Klassische Mechanik 001

Klassische Mechanik Mit einer Einfu ¨hrung in die Elastizit¨atstheorie Reinhard Hentschke Inhaltsverzeichnis 1 Mathe...

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Klassische Mechanik

Mit einer Einfu ¨hrung in die Elastizit¨atstheorie

Reinhard Hentschke

Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Grundlagen der Mechanik 1.1 Koordinaten† . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vektoren† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Differenzieren und Integrieren† . . . . . . . 1.4 Komplexe Zahlen† . . . . . . . . . . . . . .

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1 . 1 . 3 . 5 . 14

2 Die Gesetze der Mechanik 17 † ¨ 2.1 Eine Ubersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Zwei Beispiele zur newtonschen Mechanik† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Prinzip der kleinsten Wirkung f¨ ur eine Koordinate 27 3.1 Lagrangesche Gleichung f¨ ur eine Koordinate† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Zwei einfache Beispiele† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Bedeutung des Prinzips der kleinsten Wirkung† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Prinzip der kleinsten Wirkung 4.1 Lagrange Funktion eines Systems von Massenpunkten 4.2 Erhaltungsgr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Lagrange Funktion im beschleunigten System . . . . . 4.4 Wirkungsintegral freier relativistischer Teilchen . . . . 4.5 Eine Anwendung aus der Chemie . . . . . . . . . . . .

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33 33 39 42 45 49

5 Integration der Bewegungsgleichungen 51 5.1 Eindimensionale Bewegung† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2 Bewegung im Zentralfeld† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3 Streuung‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6 Kleine Schwingungen 63 6.1 Eindimensionale Bewegung† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2 Normalmodenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7 Bewegung starrer K¨ orper 77 7.1 Tr¨agheitstensor und Drehimpuls† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2 Bewegungsgleichungen des starren K¨orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.3 Starre K¨ orper in statischem Kontakt† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8 Kanonische Mechanik 89 8.1 Die hamiltonschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.2 Hamilton-Jacobi Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 iii

9 Vielteilchenmechanik 9.1 Numerische Integration der Bewegungsgleichungen† 9.2 Grundlagen der Statistischen Mechanik‡ . . . . . . 9.3 Klassifikation dynamischer Systeme . . . . . . . . . 9.4 Wege ins Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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95 95 97 104 106

10 Grundgleichungen der Elastizit¨ atstheorie♥ 10.1 Verzerrungs- und Spannungtensor . . . . . . . . . . . 10.2 Freie Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur isotrope feste K¨orper 10.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Elastische Wellen im isotropen unendlichen Medium

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111 111 114 120 121 127

A Formeln und Einheiten

129

¨ B Ubungsaufgaben

131

Vorbemerkungen

schl¨agigen Lehrb¨ uchern 1 ihr Wissen zu vertiefen. Den Abschnitten dieser Vorlesung habe ich eine Gewichtung zugeordnet, die durch die hochgestellDiese Vorlesung u ¨ber Klassische Mechanik rich† ten Symbole und ‡ bzw. durch kein Symbol sowie tet sich haupts¨achlich an Studenten der Physik im ♥ Rahmen der u ¨blichen Vorlesungsabfolge im Grund- durch angezeigt wird: studium – Mechanik, Elektrodynamik, Quantenme• † : Dieser eingeschr¨ankte Stoff ist f¨ ur Anf¨anger chanik, Statistische Mechanik. besonders wichtig. Ich denke dabei an eine inDas erste Kapitel (Mathematische Grundlagen tegrierte Vorlesung f¨ ur Erstsemester, in der der Mechanik) fasst einige wichtige mathematische Experimentatoren und Theoretiker gemeinsam Hilfsmittel zusammen. Das zweite Kapitel (Die Gelehren. ¨ setze der Mechanik) ist eine Ubersicht der Klassi• ‡ : Diese Inhalte sollten nach Bedarf ber¨ uckschen Mechanik gedacht als Orientierungshilfe f¨ ur sichtigt werden. Beispielsweise kombinieren inAnf¨anger. Das dritte Kapitel (Prinzip der kleinsten tegrierte Erstsemestervorlesungen in der ReWirkung f¨ ur eine Koordinate) bricht mit der Tragel Mechanik und W¨arme, so dass ein gewisser dition, im ersten Semester die so genannte lagranAusblick in die Vielteichenmechanik notwengesche Mechanik nicht zu erw¨ ahnen. Erfahrungsdig wird. gem¨aß jedoch beklagen die meisten Physikstudenten den f¨ ur sie nicht ersichtlichen Zusammenhang • kein Symbol: Diese Abschnitte sind f¨ ur Fortgeder einzelnen Gebiete der Physik in den ersten vier schrittene wichtig. Dabei denke ich wiederum bis sechs Semestern. Das Prinzip der kleinsten Wiran integrierte Vorlesungen f¨ u r (in der Regel) kung erscheint mir ein wirklicher Ariadnefaden in Drittsemester. diesem Labyrinth zu sein, so dass ich dieser Versuchung nicht widerstehen konnte. Diese ersten drei • ♥ : Die Einf¨ uhrung in die Elastizit¨atstheorie Kapitel bilden zusammen den Einf¨ uhrungsteil. sollte nach M¨oglichkeit und Neigung f¨ ur FortIn den folgenden vier Kapiteln wird die Klasgeschrittene ab dem dritten Semester ber¨ ucksische Mechanik bezogen auf die Standardproblesichtigt werden. me (Ein- und Zweiteilchenprobleme, Schwingungen, starrer K¨orper) behandelt. Das achte Kapi- In diesem Sinne sind auch die im Anhang B zusam¨ tel (Kanonische Mechanik) behandelt die Hamilton mengestellten Ubungsaufgaben zu sehen. Zus¨ a tzlich zu den genannten Referenzen [1] und und Hamilton-Jacobi Theorie. Es bereitet die me[2] habe ich gelegentlich weitere Referenzen verwenchanische Grundlage f¨ ur die Quantenmechanik und det. Diese sind im Text genannt 2 . insbesondere die Statistische Mechanik. Zusammen Schließlich m¨ochte ich an dieser Stelle meinen bilden die genannten f¨ unf Kapitel den Kern dieser Dank an Frau Susanne Christ f¨ ur das TE Xen Vorlesung. Dieser orientiert sich stark am Mechanik meiner Notizen aussprechen. Band des Landau/Lifschitz [1]. Die Notwendigkeit ¨ des Ubergangs von der Mechanik zur Statistischen Mechanik und die dabei auftauchenden Probleme Reinhard Hentschke werden im neunten Kapitel (Vielteilchenmechanik) Bergische Universit¨at behandelt. Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften Das zehnte Kapitel (Grundgleichungen der ElaGauß-Str. 20 stizit¨ atstheorie) ist dadurch motiviert, dass im ge42097 Wuppertal genw¨artigen Studienplan f¨ ur Physiker das wichtige e-mail: [email protected] und interessante Gebiet der Mechanik elastischer http://constanze.materials.uni-wuppertal.de K¨orper nicht auftaucht. In seiner momentanen Form, die dem Band Elastizit¨ atstheorie des Land1 z.B.: S.P. Timoshenko, J.M. Gere Theory of Elastic Staau/Lifschitz [2] folgt, dient es als kurze Einf¨ uhrung, McGraw-Hill die je nach M¨oglichkeit den Stoff erg¨ anzen sollte. bility, 2 Erw¨ ahnen m¨ ochte ich schon hier H. Goldstein Classical Das Kapitel soll Studenten in die Lage versetzen, Mechanics, Addison-Weseley sowie W. Greiner Theoretische selbstst¨andig in Referenz [2] oder in anderen ein- Physik - Mechanik, Harri-Deutsch

Die vorliegende Version vom April 2006 ist ¨ eine Uberarbeitung des urspr¨ unglichen Skripts vom Februar 2002

Kapitel 1

Mathematische Grundlagen der Mechanik Dies ist eine kompakte Darstellung mathematischer Grundlagen speziell f¨ ur die theoretische Mechanik in der folgenden Vorlesung. Die Ausgangsbasis bilden Kenntnisse, wie sie in den Grundkursen der gymnasialen Oberstufe vermittelt werden. Auf mathematische Strenge wurde zugunsten eines transparenten und selbstkonsistenten Aufbaus verzichtet. Ebenfalls verzichet wurde auf die Diskussion von Differenzialgleichungen. Teilweise werden Beispiele sp¨ ater im Text behandelt und teilweise reichen einfache N¨aherungl¨osungen aus, um die physikalische Bedeutung einer Gleichung herauszuarbeiten. Folgende Texte seien zur Vertiefung empfohlen:

(5) -5

0

5

x

y (5,1)

1 -5

5 z 2

-5

K. Weltner (Herg.) Mathematik f¨ ur Physiker, Vieweg

y

x

(5,1,2)

1 5

x

Abbildung 1.1: Kartesische Koordinaten

S. Großmann Mathematischer Einf¨ uhrungskurs in die Physik, Teubner Studienb¨ ucher

Hand in die z-Richtung zeigt. Man spricht auch von einem Rechtssystem. In der Physik ist es h¨aufig zweckm¨aßig, die kartesischen Koordinaten in der obigen Skizze durch andere, der Symmetrie des betrachteten Systems 1.1 Koordinaten† angepaßte, Koordinaten auszudr¨ ucken. Die beiden wichtigsten Alternativen sind Polarkoordinaten in Ein Punkt auf einer Geraden wird durch eine zwei Dimensionen bzw. Zylinderund KugelkoordiZahl festgelegt, die seine Position bez¨ uglich eines willk¨ urlich gew¨ahlten Ursprungs angibt (vgl. Abbil- naten in drei Dimensionen. Polarkoordinaten (siehe dung 1.1). Ein Punkt auf einer Fl¨ ache ben¨ otigt zwei Abbildung 1.2) sind durch die Gleichungen Zahlen. Ein Punkt im dreidimensionalen Raum erfordert drei Zahlen usw. Dabei ist die Anordnung x = r cos φ (1.1) der Achsen des Koordinatensystems zu beachten. y = r sin φ Wir arbeiten ausschließlich mit Systemen, bei dep nen der Daumen in die x-Richtung, der Zeigefinger (r = x2 + y 2 ) definiert. Die Gr¨oße r ist der Abin die y-Richtung und der Mittelfinger der rechten stand des Punktes vom Ursprung, w¨ahrend φ den 1

2

KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER MECHANIK

Abbildung 1.2: Polarkoordinaten

Abbildung 1.4: Kugelkoordinaten

Winkel zwischen der durch r markierten Strecke und der x-Achse bezeichnet. Zylinder- (siehe Abbildung 1.3) und Kugelkoordinaten (siehe Abbildung 1.4) sind durch die Gleichungen

!

x = ρ cos φ y = ρ sin φ z=z

(1.2)

x = r cos φ sin θ y = r sin φ sin θ z = r cos θ

(1.3)

bzw.

Abbildung 1.3: Zylinderkoordinaten

definiert. Die Gr¨oße ρ ist der radiale Abstand des Punktes von der Zylinder- bzw. z-Achse. Im Fall der Kugelkoordinaten ist r wieder der Abstand des Punktes vom Ursprung. Diesmal jedoch ist φ der Winkel zwischen der Projektion von r auf die x-yEbene und der x-Achse. Der Winkel θ ist der Winkel zwischen r und der z-Achse.

1.2. VEKTOREN†

3

z a y

a3 a2 a1

x

Abbildung 1.5: Der Vektor ~a in drei Dimensionen vom Ursprung aus gezeichnet.

1.2

Vektoren†

Vektoren beschreiben physikalische Gr¨ oßen, die neben skalarer Information (Betrag des Vektors) auch eine Richtung im Raum haben. Beispiele sind Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft. Grafisch werden Vektoren durch Pfeile dargestellt. Numerisch erfolgt die Darstellung in Komponenten:    ~a =  

a1 a2 .. .

Rechnen mit Vektoren† : Einige einfache Rechenregeln f¨ ur den Umgang mit Vektoren lauten wie folgt:

    . 

Abbildung 1.6: Deformation einer S¨aule mit quadratischem Querschnitt im Schwerefeld. Die Pfeile illustrieren die Richtung sowie durch ihre L¨ange den Betrag der Verschiebung, den ein Punkt in der S¨aule aufgrund des Schwerefeldes erf¨ahrt.

(1.4) • Multiplikation mit Skalaren (Zahlen) c:

ad Hier ist d die Raumdimension (f¨ ur gew¨ ohnlich d = 3; vgl. Abbildung 1.5). Man schreibt dann auch 

 x ~a =  y  , z



   a1 ca1     c~a = c  a2  =  ca2  .. .. . .

(1.6)

• Addition und Subtraktion (vgl. Abbildung 1.7): (1.5) 

     a1 b1 a1 + b1       ~a + ~b =  a2  +  b2  =  a2 + b2  .. .. .. . . .   a1 − b1  a2 − b2  ~ ~ ~a − b = ~a + (−1) b =   . .. .

wobei x, y und z die Komponenten des Vektors in einem rechtsh¨ andigen, rechtwinkligen Koordinatensystem sind. Vektoren treten an diskreten Punkten im Raum auf, z. B. die Kr¨ afte auf die Lager einer Br¨ ucke. Es gibt aber auch kontinuierliche Vektorfelder, beispielsweise das Verschiebungsfeld innerhalb einer quadratischen S¨ aule im Schwerefeld der Erde wie in Abbildung 10.8 gezeigt. • Betrag eines Vektors: Der Betrag | ~a | eines Vektors ~a ist dessen L¨ange und ergibt sich einfach aus

4

KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER MECHANIK folgt die Behauptung. b a

b

+

a

=

• Vektor- oder Kreuzprodukt: Hier beschr¨anken wir uns auf d = 3, d. h. f¨ ur das Kreuzprodukt gilt a

+b 

 a2 b3 − a3 b2 ~a × ~b ≡  a3 b1 − a1 b3  a1 b2 − a2 b1

-b a

=

b

-

a

-

b

(insbesondere gilt ~a ×~b = −~b ×~a). Aber welche Bedeutung hat diese Definition? Wir bilden die Gr¨oße (~a × ~b) · ~a und finden

a

Abbildung 1.7: Grafische Addition und Subtraktion von Vektoren. dem Phytagoras:

| ~a |≡ a ≡

q

v u d uX 2 2 a1 + a2 + ... = t a2i .

(1.10)

(~a × ~b) · ~a = a2 b3 a1 + a3 b1 a2 + a1 b2 a3 −a3 b2 a1 − a1 b3 a2 − a2 b1 a3 = 0

Das gleiche gilt f¨ ur (~a ×~b)·~b. D. h. ~a ×~b ist senkrecht ~ zu ~a und b. Da sich die relative Orientierung von Vektoren unter Drehungen im Raum nicht ¨andert, ugt es, den Spezialfall (1.7) gen¨

i=1

• Skalarpodukt: Das Skalarprodukt liefert, wie der Name sagt, ein Skalar und ist wie folgt definiert:

~a · ~b =

d X

ai bi .

i=1

In drei Dimensionen gilt insbesondere ~a · ~b = ab cos γ ,

(1.9)

| ~a − ~b |2 = a2 + b2 − 2ab cos γ . Durch Vergleich mit

=

| ~a × ~b |= ab | sin γ | .

2

2

2

= (a1 − b1 ) + (a2 − b2 ) + (a3 − b3 ) = a21 + a22 + a23 + b21 + b22 + b23 {z } | {z } |

(1.11)

D. h. der Betrag von ~a ×~b ist der Fl¨acheninhalt, der durch ~a und ~b festgelegten Raute (vgl. Abbildung 1.8). Simple Fortsetzung dieses Gedankens ergibt, dass der Betrag der Gr¨oße (~a × ~b) · ~c ,

2 ~a − ~b

=a2

     a b1 0  0  ×  b2  =  0  0 0 ab2

(1.8) zu betrachten. D. h. ~a, ~b und ~a × ~b bilden ein rechth¨andiges Dreibein. Mit ab2 = ab sin γ folgt außerdem

wobei γ der Winkel zwischen ~a und ~b ist. Der Be” weis“basiert auf dem Kosinussatz:

| ~a − ~b |2



(1.12)

genannt Spatprodukt, der Rauminhalt des durch ~a, ~b und ~c aufgespannten schiefwinkligen Quaders ist (vgl. Abbildung 1.8)). Insbesondere folgt z. B. durch explizites Ausmultiplizieren

=b2

−2 (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )

(~a × ~b) · ~c = (~b × ~c) · ~a = (~c × ~a) · ~b

(1.13)

1.3. DIFFERENZIEREN UND INTEGRIEREN†

z

5

δφ

y

δφ

r

b

c

δr

θ γ

x a

θ

Abbildung 1.8: Grafische Darstellung der von zwei Vektoren aufgespannten Fl¨ ache (schraffiert) sowie des Spatprodukts. (zyklische Vertauschbarkeit). Man beachte, dass das Spatprodukt kein echter Skalar ist. Beispielsweise ¨andert die Spiegelung aller Achsen am Ursprung das Vorzeichen. Das Kreuzprodukt eignet sich zur Beschreibung der Drehung von Vektoren! Um dies zu sehen, betrachten wir die Abbildung 1.9. Wir w¨ ahlen irgendeine Achse durch den ebenfalls beliebig gew¨ahlten Ursprung. Dann f¨ uhren wir eine (infinitesimale) Drehung um diese Achse aus. Durch diese Drehung wird aus ~r der neue Vektor ~r + δ~r. F¨ ur δ~r schreiben wir δ~r = r sin θδφ~eδ~r

beweisen wir wie folgt: Es sei ~b = ~a + ~c, wobei der Ursprung von ~c auf der Drehachse liegen soll. Somit liegt auch der Ursprung von ~b auf der Drehachse. ~ × (~b − ~c) = δ φ ~ × ~a. Daher gilt δ~a = δ~b − δ~c = δ φ

1.3

Differenzieren Integrieren†

und

Differenzieren† :

~ × ~r . = δφ

Hier ist ~eδ~r ein Einheitsvektor (Vektor vom Betrag ~ ist ein Vektor Eins) in Richtung von δ~r und δ φ in Achsenrichtung vom Betrag δφ. Wenn wir jetzt diese Gleichung formal durch δt teilen, dann folgt

Wir betrachten die Funktion

f (x) = xν .

(1.15)

Hier soll ν zun¨achst ganzzahlig sein. Die Steigung der Funktion an der Stelle x ist n¨aherungsweise

~˙ × ~r ~r˙ = φ ~˙ nennt man Winbei konstantem r. Die Gr¨ oße φ kelgeschwindigkeit. Sie wird meist mit dem griechischen Buchstaben ω als ω ~ bezeichnet. Es ist wichtig zu bemerken, dass die Gleichung ~ × ~a δ~a = δ φ

Abbildung 1.9: Infinitesimale Drehung

δf f (x + δx) − f (x) = , δx δx

(1.16)

wobei δx klein sein soll. Im Grenzfall δx → 0 nennt man

(1.14)

allgemein f¨ ur jeden Vektor ~a gilt, auch wenn sein Ursprung nicht auf der Drehachse liegt. Letzteres

f 0 (x) ≡

df δf = lim dx δx→0 δx

(1.17)

6

KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER MECHANIK

die Ableitung (Steigung) von f an der Stelle x 1 . f¨ ur δx → 0. Die Schreibweise O δx2 deutet an, Im Fall der Gl. (1.15) folgt dass es Terme proportional zu δx2 gibt sowie in diesem Fall Terme mit h¨oheren Potenzen von δx. Die zweite Regel ist die Kettenregel: ν ν − xν xν 1 + δx δf (x + δx) − xν x = = . δx δx δx d f (g (x)) Da f¨ ur δx n¨ aherungsweise dx f (g (x + δx)) − f (g (x)) ≈ ν δx δx δx n o ≈1+ν (1.18) 1+ 1 dg x x ≈ f g (x) + δx − f (g (x)) δx dx 2 n o gilt , folgt unmittelbar durch Einsetzen df 1 f (g (x)) + δg − f (g (x)) ≈ δx dg df dg f 0 (x) = νxν−1 . (1.19) = (1.21) dg dx Es ist naheliegend, dass die Gl. (1.19) ihre f¨ ur δx → 0 . G¨ ultigkeit beh¨ alt, auch wenn ν keine ganze Zahl Eine wichtige Funktion in der Physik ist die emehr ist. Da sich außerdem die Funktionen der Funktion Physik (zumindest lokal) durch Summen der Form X

f (x) = ex (≡ exp[x])

cν xν

(1.22)

ν

(e = 2.718 . . .). Aufgrund der Rechenregel f¨ ur Exponenten beschreiben lassen, gen¨ ugt uns die Regel (1.19), die offensichtlich Term f¨ ur Term angewandt werden kann. 1 −1 e−x = (ex ) = x Die Formel (1.16) k¨ onnen wir einsetzen, um zwei e wichtige Differenziationsregeln zu beweisen. Die erist ex positiv f¨ ur −∞ < x < ∞. ste Regel ist die Produktregel: Die Ableitung der e-Funktion ist gegeben gem¨aß d g (x) f (x) dx g (x + δx) f (x + δx) − g (x) f (x) ≈ δx 1n 0 ≈ [g (x) δx + g (x)] [f 0 (x) δx + f (x)] δx o −g (x) f (x) o 1n 0 g f δx + gf 0 δx + O δx2 ≈ δx = g 0 (x) f (x) + g (x) f 0 (x)

(1.20)

1 Die Schreibweise f 0 (x) f¨ ur die Ableitung nach x wird d d oft auf so genannte h¨ ohere Ableitungen wie dx ( dx f (x)) ≡ d2 d2 00 f (x) ausgedehnt. D. h. dx 2 f (x) ≡ f (x). dx2 2 Diese Formel erhalten wir durch Ausmultiplizieren

des ν-fachen Produkts, wobei alle h¨ oheren Terme, d. h. Terme die h¨ ohere Potenzen der kleinen Gr¨ oße δx enthalten, vernachl¨ assigt werden.

d x e dx

ex+δx − ex δx→∞ δx eδx − 1 x = e lim . δx→∞ δx =

lim

Wir werten den Ausdruck unter dem Limes als Funktion von δx mithilfe eines Taschenrechners aus und erhalten die folgende Tabelle: δx 0.1 0.01 0.001 ↓ 0 Folglich sollte gelten:

(eδx − 1)/δx 1.052 1.005 1.001 ↓ 1

1.3. DIFFERENZIEREN UND INTEGRIEREN†

7

(zur besseren Erkl¨arung siehe die Diskussion zur Gl. (1.33)) 3 . Aus Gl. (1.27) folgt f¨ ur x = 1 numed x x risch der oben angegebene Wert e = 2.718... 4 . e =e . (1.23) dx Die Ableitungsregeln f¨ ur Winkelfunktionen wie sin x oder cos x folgen aus deren Darstellung mittels Bemerkung: H¨atten wir die Zahl e nicht auf dem der eulerschen Formeln 5 6 Tastenfeld unseres Taschenrechners gefunden, dann h¨atten wir die Gl. (1.23) als Definition (mit e unbekannt) auffassen k¨ onnen, um auf der Basis dieser e±ix = cos x ± i sin x , (1.28) Definition den Wert von e zu berechnen (vgl. und. h. ten). Die Umkehrung der e-Funktion ist die Logarithmus-Funktion ln: 1 ix e + e−ix (1.29) cos x = 2 1 ix sin x = e − e−ix . (1.30) ln (ex ) = x bzw. eln x = x . (1.24) 2i √ Hier ist i = −1 i2 = −1 und insbesondere folgt Damit gilt i−1 = −i. Wir finden die Ableitungen x=ey

ln xn = ln eny = ny ln (e) = n ln x .

(1.25)

d cos x = − sin x dx d sin x = cos x . dx

Die Ableitung der ln-Funktion folgt gem¨ aß

1=

(1.31) (1.32)

Eine im Folgenden immer wieder wichtige Anwendung der Gln. (1.16) und (1.17) ist die Formel 3 Die Schreibweise df (x)/dx bzw. verk¨ urzt x=xo df (x)/dx bedeutet: Bilde die Ableitung von f (x)

d ln x (1.21) ln x d ln x d x= e = e , dx dx dx

d. h.

xo

d 1 ln x = . dx x

(1.26)

Die Bedeutung der e-Funktion in der Physik basiert, wie Sie noch feststellen werden, auf der Formel

lim

n→∞

1+

x n = ex . n

(1.27)

Die G¨ ultigkeit zeigen wir gem¨ aß x n ln 1 + n

= x/n1

≈

x n ln 1 + n n d ln x xo ln 1 + |{z} | dx{z x=1} n =0 =1

=

x

nach x und ersetze x danach durch xo . x 4 N¨ utzlich sind hier die Ungleichungen (1 + n+1 )n < (1 + x n x n+1 , da Fehlergrenzen angegeben werden ) < (1 + ) n n+1 k¨ onnen. 5 weiter unten werden wir diese Formel rechtfertigen. 6 Euler, Leonhard, schweizerischer Mathematiker, *Basel 15.4. 1707, † Sankt Petersburg 18.9. 1783. Seine wissenschaftliche T¨ atigkeit umfasst s¨ amtliche Zweige der reinen und angewandten Mathematik, Physik und Astronomie. Er stellte u.a. die nach ihm benannten Gleichungen f¨ ur die Fl¨ ussigkeitsstr¨ omung und f¨ ur die Kreiselbewegung auf, f¨ uhrte den Begriff des Tr¨ agheitsmoments und der freien Drehachse ein und bediente sich bereits der Vektorrechnung. Er vertrat (1746) eine Wellentheorie des Lichts. Zu den Anwendungen der Mathematik geh¨ oren die Musiktheorie (1739), die Theorie der Planetenbewegung (1744), die Grunds¨ atze der Artillerie (Ballistik, 1745), die Theorie des Schiffbaues (1749) und die Dioptrica (1769-71). Euler entwickelte aus Ans¨ atzen bei Jakob und Johann Bernoulli die Variationsrechnung und gab 1744 dem Prinzip der kleinsten Wirkung eine sch¨ arfere mathematische Form. Er schuf die moderne Zahlentheorie und die kombinatorische Topologie sowie zahlreiche Beitr¨ age zur Geometrie, zur Reihenlehre, zur Theorie c der Differenzialgleichungen und -geometrie. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

8

KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER MECHANIK

f (x + δx) ≈ f (x) + δxf 0 (x) .

(1.33)

n δx d f (x) n dx n−2 δx d δx δx df = 1+ f (x + )+ n dx n n dx x+ δx n | {z }

1+

Diese Gleichung besagt, dass der Funktionswert am Ort x + δx n¨ aherungsweise durch die Geradengleichung auf der rechten Seite gegeben ist. Diese For2 =f (x+ 2δx mel wird mit kleiner werdendem δx genauer, wobei n )+O(2(δx/n) ) wir von einer gen¨ ugend glatten Funktion f (x) aus.. . gehen. Insbesondere k¨ onnen wir mittels Gl. (1.33) Nullstellen von f (x) numerisch bestimmen. Ange= f (x + δx) + O(n(δx/n)2 ) . nommen xo ≡ x + δx sei eine Nullstelle, dann gilt Da aber O(δx2 /n) → 0 f¨ ur n → ∞ folgt die Bezie0 ≈ f (x) + δxf 0 (x) bzw. hung (1.36)! Nach dem binomischen Lehrsatz xo ≈ x −

f (x) . f 0 (x)

(1.34)

n

(a + b)

=

Diese Formel wiederum liefert in ihrer iterativen Variante (dem so genannten Newton Verfahren)

xn+1

f (x + δx) = lim

n→∞

a b + n ... + a0 bn n

n i

n 1

an−1 b1 + (1.37)

≡

n

= n→∞

=

1+

2 =f (x+ δx n )+O((δx/n) )

n(n−1) 2!

1+x+

1 2 x + ... 2!

(1.39)

8

sowie aus Gl. (1.36) die so genannte Taylorentwicklung von f (x) an der Stelle x:

f (x + δx)

Die Fehlerabsch¨ atzung durch O((δx/n)2 ) ist konsistent mit dem oben angenommenen Ausdruck (1.36). Wir setzen dies fort und erhalten 7 Beispiel: Die Nullstelle von f (x) = ln x − 1 ist offensichtlich die Zahl e. Die Folge xn+1 = xn − xn (ln xn − 1) liefert ausgehend von dem Startpunkt x1 = 0.5 die Werte 1.34657, 2.29246, 2.68304, 2.71805, 2.71828, 2.71828, . . ..

(1.38)

x n n + 0 1 n | {z } | {z } =n =1 n x 2 + + ... 2 n | {z }

(1.36)

n δx d f (x) n dx n−1 δx df δx d f (x) + = 1+ . n dx n dx x | {z }

n! i!(n − i)!

ex = f (x) .

(0! = 1 und n! = 1 · 2 · 3 . . . · n) folgt also zum Einen aus Gl. (1.27) die Reihendarstellung der e-Funktion

Wir k¨onnen diesen Ausdruck nach und nach auswerten:

(1.35)

eine Folge x1 , x2 , . . ., die (in der Regel) gegen die Nullstelle xo konvergiert 7 . Aber das ist nicht alles. Gl. (1.33) kann erweitert werden. Um dies zu sehen, betrachten wir die (zun¨achst) angenommene Identit¨ at δx d 1+ n dx

n 0

und mit

f (xn ) . = xn − 0 f (xn )

n 0

d (1.40) = f (x) + δx f (x) dx 2 1 d + δx f (x) + . . . . 2! dx

Betrachten wir jetzt Funktionen mehrerer Variablen wie z. B. f (x, y, z). Die Gr¨oße 8 die

u ¨brigens konform mit der Ableitungsregel (1.23) ist

1.3. DIFFERENZIEREN UND INTEGRIEREN†

df (x, y, z)

=

∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z) dx + dy ∂x ∂y ∂f (x, y, z) + dz (1.41) ∂z

9

d d 0 ~r (t) = ~r (t) −w ~. |dt {z } |dt{z } ≡~ r˙0 (t)

≡~ r˙ (t)

Die Ableitung versteht sich komponentenweise. D. heißt totales Differenzial von f (x, y, z), wobei h. die Geschwindigkeit des Wasserl¨aufers bezogen ∂/∂x, ∂/∂y und ∂/∂z partielle Ableitungen sind. auf das treibende Koordinatensystem ist Dies bedeutet, dass unabh¨ angig nach den explizit auftretenden Variablen x, y und z differenziert ~v 0 (t) = ~v (t) − w ~ wird. Der Ausdruck (1.41) kann auch als Skalarprodukt geschrieben werden: (~v 0 ≡ ~r˙0 , ~v ≡ ~r˙ ). Bilden wir nur die partielle Zeitableitung von Gl. (1.45), dann folgt ~ (x, y, z) · d~r . df (x, y, z) = ∇f (1.42) ∂~r0 (t) ~ heißt Nabla- bzw. GradientenDer Operator ∇ = −w ~. ∂t ~ (x, y, z) ist der Gradient von operator, d. h. ∇f Dies ist offensichtlich die Geschwindigkeit des f (x, y, z). Es gilt Bachwassers an einem (bzw. an allen) festen  ∂  Punkt(en) ~r. ∂x   Kommen wir nochmals auf Gl. (1.42) zur¨ uck. Es   dx  ∂  sei f (x, y) die Beschreibung von H¨ o henwerten auf ~ ≡   dy  . (1.43) ∇  ∂y  und d~r = einer xy-Landkarte. Entlang der Linien konstanter   dz H¨ohe, den H¨ohenlinien, gilt df (x, y) = 0 und daher ∂ ∂z

H¨aufig sind die Gr¨ oßen x, y und z selbst von einem Parameter abh¨angig. D. h. statt f (x, y, z) betrachten wir jetzt f (x (t) , y (t) , z (t) , t) und bilden die totale Ableitung nach t:

 0=

∂f ∂x ∂f ∂y

 ·

dx dy

.

Aus den Eigenschaften des Skalarproduktes folgt, dass die beiden Vektoren senkrecht aufeinander sted f (x (t) , y (t) , z (t) t) = hen. Der Vektor d~r = (dx, dy) liegt aber entlang dt der besagten H¨ohenlinie, denn sonst w¨are df nicht ∂f ∂f dx ∂f dy ∂f dz + + + . (1.44) Null. Folglich zeigt der Gradient in die Richtung ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t ¨ der st¨arksten Anderung von f (x, y)! Den Unterschied zwischen der totalen Ableitung Bemerkung: An dieser Stelle ist es nicht so df /dt und der partiellen Ableitung ∂f /∂t erl¨ autern schwierig, sich die Verallgemeinerung der Taylorwir an folgendem Beispiel. Es sei ~r (t) der Ortsvek- entwicklung (1.40) auf Funktionen mehrerer Variator eines Wasserl¨ aufers auf einem fließenden Bach blen zu u ¨berlegen. Z.B. gilt bezogen auf ein Koordinatensystem, das am Ufer fest montiert“ist. Die Fließgeschwindigkeit des Ba” ~ (~r) f (~r + δ~r) = f (~r) + δ~r · ∇f (1.46) ches sei u ~ ge¨berall durch den konstanten Vektor w 2 1 geben. Der Ort des Wasserl¨ aufers bezogen auf ein ~ f (~r) + . . . . δ~r · ∇ + 2! im Bach treibendes Koordinatensystem ist folglich Umrechnung von Fl¨ achenelementen von kartesischen in Polarkoordinaten: Als erstes An~r (t) = ~r (t) − wt ~ , (1.45) wendungsbeispiel der bisher gelernten Regeln beuckt in verwobei t die Zeit ist. Die totale Ableitung dieser Vek- trachten wir Fl¨achenelemente ausgedr¨ schiedenen Koordinaten. Die Punkte 1 bis 4 in der torfunktion nach der Zeit t ist 0

10

KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER MECHANIK  x (u, v) + ∂x(u,v) ∂v δv ≈  y (u, v) + ∂y(u,v) δv  . ∂v 0 

v+δv

y

3 4 2

r4

1

r2

r1

v

Daher folgt 

u+δu

~r2 − ~r1 ≈ 

u

∂x ∂u δu ∂y ∂u δu







und ~r4 − ~r1 ≈ 

0

∂x ∂v δv ∂y ∂v δv

  .

0

Wir erhalten f¨ ur das Fl¨achenelement

x

~ez · (~r2 − ~r1 ) × (~r4 − ~r1 ) ∂x ∂y ∂y ∂x = − δuδv ∂u ∂v ∂u ∂v ∂ (x, y) δuδv . ≡ ∂ (u, v)

Abbildung 1.10: Fl¨ achenelement im x-y- und u-vSystem. Abbildung 1.10 markieren die Ecken eines Fl¨achenelements

~ez · ((~r2 − ~r1 ) × (~r4 − ~r1 ))

∂(x,y) Die Gr¨oße ∂(u,v) heißt Funktionaldeterminante. Insbesondere k¨onnen wir unsere Vektoren ~r1 bis ~r4 so w¨ahlen, dass Punkt 1 im Ursprung liegt, w¨ahrend 2 auf der x-Achse und 4 auf der y-Achse liegt. Wir erhalten dann explizit

in der x-y-Ebene mit 

∂ (x, y) δuδv δxδy = ∂ (u, v)

(1.47)



0 ~ez =  0  . 1

mit ∂ (x, y) ∂x ∂y ∂y ∂x = − . ∂ (u, v) ∂u ∂v ∂u ∂v

(1.48) Die Vektoren ~ri (i = 1, 2, . . .) lassen sich dabei auch durch die alternativen Koordinaten u und v ausDie Betragsstriche stellen explizit sicher, dass das dr¨ ucken. Fl¨achenelement positiv bleibt. Diese wichtige Formel l¨aßt sich auf h¨ohere Dimensionen verallgemei  nern: x (u, v) ~r1 =  y (u, v)  ∂ (x, y, z) 0 δuδvδw . (1.49) δxδyδz =   ∂ (u, v, w) x (u + δu, v) ~r2 =  y (u + δu, v)  mit 0   x (u, v) + ∂x(u,v) ∂u δu ∂ (x, y, z) (1.50) ≈  y (u, v) + ∂y(u,v) δu  ∂u ∂ (u, v, w) 0 ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y   = + + x (u, v + δv) ∂u ∂v ∂w ∂u ∂v ∂w ∂u ∂v ∂w ~r4 =  y (u, v + δv)  ∂z ∂y ∂x ∂x ∂z ∂y ∂y ∂x ∂z − − − . 0 ∂u ∂v ∂w ∂u ∂v ∂w ∂u ∂v ∂w

1.3. DIFFERENZIEREN UND INTEGRIEREN†

11

Herleitung der eulerschen Formeln: Als zweites Anwendungsbeispiel leiten wir die eulerschen Formeln her. Wir definieren dazu den (Einheits)ortsvektor

Wir stellen uns vor, dass z urspr¨ unglich auf der x-Achse liegt. D. h. z0 = 1 ist das urspr¨ ungliche z. Anschließend werden n kleine Drehungen δφ = nφ hintereinander ausgef¨ uhrt. Das Endresultat ist z (~r). Mathematisch ausgedr¨ uckt werden diese Drehungen mittels



   x cos φ ~r =  y  =  sin φ  0 0

(1.51)

φ φ z0 1+i ... 1 + i n n |{z} {z } =1 | nmal n (1.27) φ = 1+i ≈ eiφ (1.52) n

z (~r)

und die Funktion

=

1+i

φ n

z (~r) = x + iy = cos φ + i sin φ . √ beschrieben. Setzen wir alles zusammen, so ergibt ¨ Hier ist i wieder −1! Wir untersuchen die Andesich cos φ + i sin φ = eiφ , was zu zeigen war. Die rung von z (~r) bei einer kleinen Ver¨ anderung des Formel Winkels φ in der x-y-Ebene. Gem¨ aß den Gln. ¨ (1.42), (1.14) und (1.13) gilt f¨ ur diese Anderung cos φ − i sin φ = e−iφ (1.42)

~ · δ~r ∇z (1.14) ~ × ~r ~ · δφ = ∇z (1.13) ~ · ~r × ∇z ~ = δφ .

δz (~r)

=

folgt analog, wenn wir in die entgegengesetzte Richtung drehen. Integration† :

Integration ist der Grenzfall der Summation, bei ~ dem die Zahl der Terme gegen unendlich und gleichDer Vektor δ φ hat wieder den Betrag δφ und zeigt zeitig deren Differenz gegen Null geht: in Richtung der z-Achse (hat jetzt nichts mit der Funktion z zu tun). Mit 

lim n→∞



1 ~ = i  ∇z 0

n X

δxi f 0 (xi )

δxi →0 i=1

Z

xB

≡

dxf 0 (x)

xA ∗

folgt

= f (xB ) − f (xA ) 

   0 0 ~ =  = i 0  . 0 ~r × ∇z ix − y z D. h.

δz (~r) = iδφz (~r)

(1.53)

(hier f 0 = df /dx). Offensichtlich beschreibt das Integral die Fl¨ache unter der Kurve, die durch f 0 (x) beschrieben wird, denn δxi f 0 (xi ) ist ein schmales Fl¨achensegment an der Stelle xi . Nicht so offensichtlich ist das Gleichheitszeichen (∗). Besser zu sehen ist dessen G¨ ultigkeit aus f (xA ) + δxf 0 (xA + δx) +δxf 0 (xA + 2δx) +... | {z } =f (xA +δx)

bzw. | z (~r) + δz (~r) = (1 + iδφ) z (~r) .

{z

=f (xA +2δx)

}

... + δxf 0 (xB − δx) = f (xB ) ,

12

KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER MECHANIK

wobei Gl. (1.53) mit δxi = δx ∀ i umgeschrieben wurde. Betrachten wir einige Eigenschaften von Integralen der Form

Z

∞

xe−x dx .

(1.56)

0

D. h. Z

xB

F (A) − F (B) =

dxf (x) .

(1.54)

xA

Z

∞

xe

Es gilt nat¨ urlich wieder

0

dF (x) = f (x) . dx

−x

Z ∞ ∞ −x = x −e − −e−x dx 0 |0 {z } =0 Z ∞ = e−x dx 0 ∞ = − e−x = 1 .

Die Gr¨oße F (x) heißt auch Stammfunktion von 0 f (x). Beispielsweise ist die Stammfunktion von f (x) = x gegeben durch F (x) = 12 x2 . Die Stamm- Ein weiterer wichtiger Trick ist mit folgender Intefunktion von f (x) = e−x ist einfach F (x) = −ex . gralformel verbunden Das Auffinden von Stammfunktionen ist manchZ xB Z xB mal gar nicht so einfach. Ein Trick in diesem Zud d f (x, λ) dx = f (x, λ) dx , (1.57) sammenhang ist die partielle Integration, die sich dλ xA dλ xA direkt aus der Produktregel f¨ ur das Differenzieren ergibt. Integriert lautet Gl. (1.20) n¨ amlich worin λ ein von der Integrationsvariablen unabh¨angiger Parameter ist. Als Beispiel betrachten Z xB wir wieder (1.56), aber dieses Mal in der Form d g (x) f (x) dx xA dx Z xB Z xB Z ∞ Z ∞ 0 = g (x) f (x) dx + g (x) f 0 (x) x . xe−x dx = xe−λx λ=1 xA xA 0 0 Z ∞ d Mit der Definition =− e−λx dλ 0 λ=1 d ∞ 1 −λx xB e =− g (xB ) f (xB ) − g (xA ) f (xA ) ≡ g (x) f (x) dλ 0 −λ λ=1 xa d 1 1 =− = 2 folgt unmittelbar dλ λ λ=1 λ λ=1 = 1. Z xB xB Ein dritter wichtiger Trick ist die Einf¨ uhrung neuer g 0 (x) f (x) dx g (x) f (x) = xA xA Koordinaten. Wir illustrieren dies an dem wichtiZ xB 9 gen Beispiel des Gauß-Integrals 0 + g (x) f (x) dx xA

oder Z

xB

xA

xB g (x) f 0 (x) dx = g (x) f (x) (1.55) xA Z xB − g 0 (x) f (x) dx . xA

Als Beispiel integrieren wir

9 Gauß, Carl Friedrich, Mathematiker und Astronom, *Braunschweig 30.4. 1777, †G¨ ottingen 23.2. 1855; seit 1807 Direktor der Sternwarte in G¨ ottingen, Professor f¨ ur Mathematik und Mitglied der G¨ ottinger Akademie der Wissenschaften, einer der bedeutendsten Mathematiker. Gauß begr¨ undete mit den 1801 erschienenen Disquisitiones arithmeticae die moderne Zahlentheorie. In seiner 1809 ver¨ offentlichten Theorie der Bewegungen der Himmelsk¨ orper behandelte er die Probleme der Himmelsmechanik. Seine Arbeiten u ¨ber die Methode der kleinsten Quadrate (Ausgleichsrechnung) haben die Entwicklung der Himmelsmechanik, die Theorie der unendlichen Reihen und die numerischen Me-

1.3. DIFFERENZIEREN UND INTEGRIEREN†

13 r

Z

π ∞ − e−r2 4 0 √ π . 2

=

∞

2

e−x dx . =

0

Wir schreiben

Aus Symmetriegr¨ unden gilt nat¨ urlich Z

∞

2

e−x dx =

0

sZ

∞

e−x2 dx

∞

e−y2 dy

Z

∞

∞Z

0

√

π.

−∞

∞

=

2

e−x dx =

0

0

sZ

Z

e−(x2 +y2 ) dxdy .

0

Das eben gerechnete Beispiel k¨onnen wir leicht auf Integrale des Typs

Jetzt f¨ uhren wir mittels Gln. (1.1) die Polarkoordinaten r und φ ein. Das kartesische Fl¨ achenelement dxdy folgt aus Gln. (4.52) und (1.48) mit u = r und v = φ, d. h. ∂ (x, y) = r cos2 φ + r sin2 φ = r ∂ (u, v) (cos2 φ + sin2 φ = 1) bzw.

Z

∞

2

e−ax

±bx

dx

0

ausdehnen > 0). Hier verwandelt die Substitu√ √ (a, b √ tion z = ax∓ c mit c = a1 (b/2)2 und dz = adx den Integraden in die Gauß-Form, die wir eben behandelt haben. Dieser Trick nennt sich quadratische Erg¨anzung 10 . Die Gl. (1.54) l¨asst sich auf Vektoren ausdehnen

dxdy = rdrdφ . Z

xB

dxf~ (x) , (1.58) Die Integration, die f¨ ur kartesische Koordinaten xA den positiven Quadranten umfasst, erfolgt in Polarkoordinaten in den Grenzen 0 ≤ φ ≤ π2 und wobei die Integration komponentenweise erfolgt. 0 ≤ r < ∞: Wir k¨onnen auch noch weiter verallgemeinern, indem wir das Wegintegral s Z ∞ Z ∞ Z π/2 2 Z B drre−r2 e−x dx = dφ 0 0 0 d~r · f~ (~r) s Z ∞ A π re−r2 dr = 2 0 einf¨ uhren. Wie ist diese Formel zu verstehen? An (unendlich) vielen Punkten entlang eines bestimmthoden der angewandten Mathematik sehr gef¨ ordert. 1816 ten Weges, der A und B verbindet, wird das Skawurde ihm die Vermessung des K¨ onigreichs Hannover u ¨bertr · f~ (~r) berechnet. Die Summe aller ragen, an der er 25 Jahre arbeitete und dabei zu bahnbre- larprodukt d~ chenden Untersuchungen zur Geod¨ asie und zur Differenzial- Ergebnisse ist das Wegintegral. Dabei ist d~ r der ingeometrie angeregt wurde. Von großer Bedeutung sind auch finitesimale Verbindungsvektor zwischen zwei beseine Abhandlungen zur Physik, zur Potenzialtheorie und zur Optik sowie die Erfindung des Magnetometers. Zusam- nachbarten Punkten entlang des Weges. Ein Beimen mit dem Physiker Wilhelm Weber untersuchte er den spiel aus der Mechanik ist die Arbeit W , die von Erdmagnetismus und stellte dabei sein absolutes physikali- einer Kraft f~ entlang eines Weges geleistet wird: F~ (xB ) − F~ (xA ) =

sches Maßsystem (1832) auf. Große Teile seines mathematischen Schaffens, so die Theorie der elliptischen Funktionen und die Arbeiten zur nichteuklidischen Geometrie, wurden erst durch die Ver¨ offentlichung seines Nachlasses bekannt. Literatur: B¨ uhler, W. K.: Gauß. Eine biographische Studie. Aus dem Englischen. Berlin u.a. 1987. Wußing, H.: C. F. c Gauß. Leipzig 51989. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

Z

B

W =

d~r · f~ (~r) .

A

√ Es gilt immer b2 = |b|, denn sonst kann man leicht Unsinn, wie etwa 1 = −1, erhalten. 10 Achtung!

14

KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER MECHANIK

Als Beispiel betrachten wir Sysiphus, der einen Stein eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel α hoch schiebt. Die von Sysiphus zu u ¨berwindende Kraft F~g , das wissen wir schon, zeigt senkrecht nach unten und ist konstant. Das gerichtete Wegelement zeigt aufw¨ arts parallel zur Ebene. Daraus folgt d~r · F~ = −drFg cos π2 + α = drFg sin α. Auf einer schiefen Ebene (Schr¨ age) der L¨ ange s leistet Sysiphus daher die Arbeit

Hier ist

i=

√

bzw. i2 = −1

−1

und a, b sind reelle Zahlen. Die komplexe Zahl z l¨asst sich mit einem Vektor in der x-y-Ebene vergleichen. Hierbei wird der Realteil a von z (geschrieben Re z) entlang der x-Achse aufgetragen und der imagin¨are Teil b von z (geschrieben Im z) entlang der y-Achse. Dabei entsprechen die EinteiZ lungen 1, 2, 3... auf der x-Achse den Einteilungen W (s) = drFg sin α = sFg sin α . Schr¨ age i, 2i, 3i, ... auf der y-Achse (vgl. Abbildung 1.11). ¨ Ahnlich wie bei Vektoren macht die Ungleichung Alternativ h¨ atte Sysiphus den Stein auf dem flaz > z keinen Sinn. Sinn jedoch macht | z1 |>| 2 chen Boden bis an das hohe Ende der schiefen Ebe- 1 z | bzw. | z |<| z2 |, wobei | z | die L¨ange der 1 ne schieben k¨ onnen, um ihn dann senkrecht hoch zu 2 Strecke ist, die durch die Koordinaten (0, 0) und heben. Die entsprechende Arbeit ist (a, b) begrenzt ist. D. h. Z Z d~r · F~ W = d~r · F~ + imaginäre senkrecht flacher Boden {z } | Achse Z=0

da

~ d~ r ⊥dF

= −

d~r · F~g = sFg sin α .

z=a+ib

ib

senkrecht

i

Die Arbeit ist also in diesem Beispiel vom Weg unbh¨angig. Mathematisch wird dies durch I

1

d~r · F~ (~r) = 0

(1.59)

angezeigt, wobei der Kreis im Integrationssymbol einen geschlossenen Weg beschreibt. In diesem Fall f¨ uhrt der Weg entlang der ebenen Basis der Schr¨age, anschließend nach oben und dann die Schr¨age hinunter zur¨ uck zum Ausgangspunkt. Die Richtung des Weges ist dabei gegen den Uhrzeigersinn gew¨ ahlt. Dies ist die positive Wegrichtung. Die umgekehrte Wegrichtung produziert ein Minuszeichen. Da das Integral insgesamt Null ergibt, ist das Vorzeichen hier allerdings nicht wichtig.

1.4

φ reelle Achse

Abbildung 1.11: Zeigerdarstellung in der komplexen Ebene.

| z |=

p p √ a2 + b2 = (a + ib) (a − ib) = z z¯ .

z¯ wir als konjugiert komplex zu z bezeichnet. Statt z¯ wird h¨aufig auch die Notation z ∗ verwendet. Insbesondere ist die Summe z + z¯ stets reell und die Differenz z − z¯ ist immer rein komplex. Einige Rechenregeln:

Komplexe Zahlen†

• Addition:

Komplexe Zahlen besitzen die Darstellung z = a + ib .

a

(1.60)

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d)

1.4. KOMPLEXE ZAHLEN†

15

• Subtraktion:

(a + ib) − (c + id) = (a − c) + i (b − d) • Multiplikation:

(a + ib) (c + id)

= ac + iad + ibc + i2 bd = (ac − bd) + i (ad + bc)

• Division:

a + ib bc − ad (a + ib) (c − id) ac + bd +i 2 = = 2 2 c + id (c + id) (c − id) c +d c + d2 Wenn wir mittels

sin φ =

a |z|

bzw.

cos φ =

b |z|

den Winkel φ einf¨ uhren, dann folgt z =| z | (sin φ + i cos φ) =| z | eiφ . Damit gilt beispielsweise z1 · z2 =| z1 || z2 | ei(φ1 +φ2 ) oder z1 | z1 | i(φ1 −φ2 ) . = e z2 | z2 |

(1.61)

16

KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER MECHANIK

Kapitel 2

Die Gesetze der Mechanik 2.1

† ¨ Eine Ubersicht mM ~r m~¨r = −G 2 , r r

Das newtonsche Gravitationsgesetz1 , 1 Newton, Sir (seit 1705) Isaac, englischer Physiker, Mathematiker und Astronom, *Woolsthorpe (bei Grantham, County Lincolnshire) 4.1. 1643, † Kensington (heute zu London) 31.3. 1727; war 1669-1701 Professor in Cambridge, wurde 1699 k¨ oniglicher M¨ unzmeister in London, 1703 Pr¨ asident der Royal Society in London. Sein Ruhm als Begr¨ under der klassischen theoretischen Physik geht v.a. auf sein 1687 erschienenes Hauptwerk Philosophiae naturalis principia mathematica (Mathematische Prinzipien der Naturlehre) zur¨ uck, in dem er die drei Bewegungsgesetze der Mechanik (newtonscheAxiome) und sein bereits 1666 gefundenes Gravitationsgesetz (Gravitation) formulierte. Newton erkl¨ arte damit die Bewegung der Planeten um die Sonne, die Erscheinungen von Ebbe und Flut und berechnete die Massen des Mondes und der Planeten. Er entwickelte gleichzeitig, unabh¨ angig von Leibniz, die von ihm als Fluxionsrechnung bezeichnete Differenzial- und Integralrechnung. Newton wies die Zusammensetzung des weißen Lichtes aus den Spektralfarben nach und stellte die Emissionstheorie des Lichtes mit einem Korpuskelmodell auf; er untersuchte Farberscheinungen d¨ unner Bl¨ attchen (newtonsche Interferenzringe), begr¨ undete die Akustik und bestimmte Frequenzen von Schwingungsvorg¨ angen. Erst durch die Relativit¨ atstheorie wurden die von Newton aufgestellten Axiome u ¨ber Raum und Zeit durch neue Formulierungen erweitert. Literatur: Schneider, I. Isaac Newton. M¨ unchen 1988. Wickert, J. Isaac Newton. Reinbek 1995. Fritzsch, H. Eine Formel ver¨ andert die Welt. Newton, Einstein und die Relativit¨ atstheorie. Taschenbuchausgabe. M¨ unchen u.a. 1996. Westfall, R. S. Isaac Newton. Eine Biographie. Aus dem Englischen. Heidelberg u.a. 1996. Quellentext: Im Vorwort zu den Principia (1687) erl¨ auterte Newton seine Methode, das Wechselspiel von Induktion und Deduktion und das Kriterium f¨ ur Wahrheit: Alle Schwierigkeit der Physik besteht n¨ amlich dem Anschein nach darin, aus den Erscheinungen der Bewegung die Kr¨ afte zu erforschen und hierauf durch diese Kr¨ afte die Erscheinungen zu erkl¨ aren. Hierzu dienen die allgemeinen S¨ atze, welche im ersten und zweiten Buche behandelt werden. Im dritten Buche haben wir, zur Anwendung derselben, das Weltsystem erkl¨ art. Dort wird n¨ amlich aus den Erscheinungen am Himmel, vermittelst der in den ersten B¨ uchern mathematisch bewiesenen S¨ atze, die Kraft

(2.1)

steht f¨ ur ein v¨ollig neues Weltbild. Es beschreibt die Bewegung der Planeten basierend auf einer universellen, anziehenden Kraft, ohne grunds¨atzliche Besonderheit der Erde oder eines anderen Himmelsk¨orpers. Hier sind m und M die Massen zweier Himmelsk¨orper und r ist ihr Abstand. Die Gr¨oße G = (6.673 ± 0.01) 10−11 N m2 kg −2

(2.2)

ist die Gravitationskonstante. Der Ortsvektor ~r = (x, y, z) verbindet die Massen m und M , wobei er die Position von M anzeigt, wenn m im Ursprung liegt. Mit r =| ~r |=

p √ ~r2 = x2 + y 2 + z 2

(2.3)

folgt, dass ~r/r, ein Vektor der L¨ange Eins (Einheitsvektor), parallel zu ~r ist. Die Gr¨oße  d2 x/dt2 d ~¨r = 2 ~r =  d2 y/dt2  dt d2 z/dt2 2



(2.4)

der Schwere abgeleitet, verm¨ oge welcher die K¨ orper sich bestreben, der Sonne und den einzelnen Planeten sich zu n¨ ahern. Aus derselben Kraft werden dann, gleichfalls vermittelst mathematischer S¨ atze, die Bewegungen der Planeten, Kometen, des Mondes und des Meeres abgeleitet. Induktion: die wissenschaftliche Methode, vom Einzelfall auf das Allgemeine, Gesetzm¨ aßige zu schließen; Deduktion: die Ableitung des Besonderen und Einzelnen vom Allgemeinen, die Erkenntnis des Einzelfalls durch ein allgemeines Gesetz.] c http://www.newtonia.freeserve.co.uk/ 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

17

18

KAPITEL 2. DIE GESETZE DER MECHANIK

ist die Beschleunigung von m, bzw. die zeitliche ¨ Anderung der Geschwindigkeit   dx/dt d ~r˙ = ~r =  dy/dt  , dt dz/dt

(2.5)

von m aufgrund der gegenseitigen Gravitationsanziehung zwischen m und M . Die Gravitationsanziehung ist eine von vier fundamentalen Wechselwirkungen, die momentan bekannt sind. W¨ ahrend sich die anderen drei Wechselwirkungen im Rahmen des so genannten Standardmodells vereinigen lassen, nimmt die Gravitation eine Sonderrolle ein. Die Bestrebungen zur Vereinheitlichung der Gravitation mit den anderen fundamentalen Wechselwirkungen geh¨ oren zu den interessantesten Themen der modernen Physik. Das Gravitationsgesetz (2.1) ist ein spezieller Fall der Gleichung

bekannt, man spricht von Anfangsbedingungen, so kann ~r (t + δt) f¨ ur jede Kraft F~ (~r(t), ~r˙ (t)) berechnet werden. Ist ~r (t + δt) bekannt, dann kann mittels ~r (t + δt) − ~r(t) ~r˙ (t + δt) ≈ , δt wobei diese Gleichung komponentenweise zu verstehen ist, die zuk¨ unftige Geschwindigkeit erhalten werden. Anschließend wird das Ganze f¨ ur t + 2δt wiederholt u.s.w. Kehren wir zum Gravitationsgesetz zur¨ uck. Wenn m unsere Erde ist und M die Sonne, wo bleibt dann der Einfluss vom Mond, den u ¨brigen Planeten sowie Himmelsk¨orpern auf die Erde? Die mathematische Antwort lautet m~¨r = Gm

X j

~rj − ~r Mi . 2 | r~j − ~r | | ~rj − ~r |

(2.9)

Hier ist ~r der Ortsvektor der Erde, wobei die Position der Sonne den Ursprung unseres Koordinaten¨ ~ m~r = F . (2.6) systems markiert. Der Vektor ~rj − ~r verbindet die Erde mit dem Himmelsk¨orper j, der die Masse M Die Gleichung (2.6) besagt, dass die Kraft F~ die hat. Die Gl. (2.9) ist ein spezieller Fall der Gleichung Masse m beschleunigt. Die Richtung von ~¨r ist durch ~ die Richtung von F festgelegt. Die Ursache der X Kraft F~ ist dabei beliebig. D. h. F~ kann beispielsmi~¨ri = F~i1 + F~i2 + F~i3 + ... ≡ F~ij , (2.10) weise die Kraft auf eine Ladung aufgrund eines j elektrischen Feldes sein oder aber die elastische Kraft zwischen den Enden eines Gummibandes. wobei F~ii , die Kraft der Masse mi auf sich selbst, Aus (2.6) l¨ asst sich die Position der Masse f¨ ur al- von der Summe ausgenommen ist. In Summenle Zeit bestimmen. Betrachten wir n¨ amlich die Tay- schreibweise wird diese Bedingung durch lorentwicklung der x-Komponente von ~r (t + δt) um den Zeitpunkt t, so gilt X j(6=i)

x (t + δt)

= x (t) + x˙ (t) δt 1 ¨ (t) δt2 + . . . . + x 2

(2.7)

dargestellt. Gl. (2.10) bedeutet, dass sich die Masse mi unter dem Einfluss der Vektorsumme aller auf sie wirkenHier ist δt eine kurze“positive Zeitspanne. Insbe- den Kr¨afte bewegt. Mit der Definition ” sondere gilt also n¨ aherungsweise d p~i ≡ mi ~ri = mi~r˙ i (2.11) dt 1 Fx (t) 2 δt , (2.8) x (t + δt) ≈ x (t) + x˙ (t) δt + 2 m des Impulses kann Gl. (2.10) auch als wobei wir (2.6) f¨ ur ausreichend kleine δt ausgenutzt haben. Entsprechende Gleichungen gelten nat¨ urlich f¨ ur y (t + δt) und z (t + δt). Ist also ~r (t) und ~r˙ (t)

p~˙ i =

X j(6=i)

F~ij

(2.12)

† ¨ 2.1. EINE UBERSICHT

19

ausgedr¨ uckt werden. An dieser Stelle sollten wir uns u ¨ber die Bedeutung von mi Gedanken machen. Bisher hatten wir nur u orper gespro¨ber Planeten bzw. Himmelsk¨ chen, die im Sinne von Massenpunkten miteinander wechselwirken 2 . Prinzipiell aber muss jede r¨aumlich ausgedehnte Masse, man spricht von einer Massenverteilung, in (infinitesimal) kleine Massenelemente mi zerlegt werden. Es sind dann die Kr¨afte auf diese Massenelemente mi , die mit F~i bezeichnet werden. Wie aber ist eine Zerlegung der Materie in (infinitesimal) kleine Massenelemente mi mit der uns bekannten Existenz von Atomen bzw. subatomaren Teilchen in Einklang zu bringen? Die Zerlegung der Materie in (infinitesimal) kleine Massenelemente ist eine mathematische Konstruktion, die keine R¨ ucksicht auf eine m¨ oglicherweise diskrete Struktur der Materie nimmt. Eine in diesem Sinne verallgemeinerte Form der Gl. (2.10) lautet ρ(~r)~¨r(~r) = f~(~r) .

Himmelsk¨orpers, teilt sich unmittelbar jeder anderen Masse in beliebig großer Entfernung mit. Die unmittelbare Fernwirkung f¨ uhrt zu Problemen, die in der allgemeinen Relativit¨atstheorie erfasst und behoben werden. Aber die Relativit¨atstheorie l¨ost nicht alle Probleme. Insbesondere kann die Relativit¨atstheorie die Entstehung des Universums nicht beschreiben. Dort verbindet sie sich zwangsl¨aufig auf eine nicht gekl¨arte Art und Weise mit der Quantentheorie bzw. beide Theorien entstehen als unterschiedliche Grenzf¨alle einer grundlegenderen Theorie, f¨ ur die es zwar immer wieder Kandidaten gibt, die aber bislang noch nicht feststeht. Die Gl. (2.12) kann weiter verallgemeinert werden, indem wir auch noch u ¨ber i summieren: X i

p~˙i =

X

F~ij ≡ F~ .

(2.14)

i,j(6=i)

Hier umfasst F~ die Vektorsumme aller Kr¨afte. Die ¨ Gr¨oße auf der linken Seite ist die zeitliche Anderung (2.13) des Gesamtimpulses

Hier ist ρ(~r) die Massedichte mi /δV in dem Volumenelement δV am Ort ~r (bzw. ~ri ) und f~(~r) ist eine entsprechende Kraftdichte F~i /δV . F~i bzw. F~ (~r) ist die Gesamtkraft auf das Massenelement im Sinne der rechten Seite der Gl. (2.10). Erfahrungsgem¨aß liefern die Gl. (2.6) bzw. (2.13) eine fantastisch genaue Beschreibung der Bewegung von Massenelementen auf den von uns unmittelbar u ¨bersehbaren L¨angen- bzw. Gr¨ oßenskalen (10−6 m (Mikroskop) bis 1011 m (Himmelsfernrohr)). Selbst jenseits dieses Bereichs stellt sich die newtonsche Mechanik weiterhin als brauchbar heraus. Irgendwann jedoch, im Bereich der Molek¨ ule und darunter, werden Abweichungen sichtbar, die schließlich eine v¨ ollig neue Beschreibung der Dynamik der Materie notwendig macht. Diese neue Beschreibung ist die Quantentheorie 3 . Und was ist mit der anderen Richtung - zu unendlichen L¨angen (und Zeiten) hin? Die newtonschen Bewegungsgleichungen beinhalten instantane Fernwirkung. D. h. eine Ver¨ anderung der Kraft, verursacht beispielsweise durch die Bewegung eines 2 Massenpunkte sind K¨ orper, deren Form und Ausdehnung bei der Beschreibung ihrer Bewegung in guter N¨ aherung vernachl¨ assigt werden k¨ onnen. 3 Dies bedeutet nicht, dass die Quantentheorie sich nicht makroskopisch bemerkbar macht. Z.B. die Emission und Absorption von Licht ist klassisch nicht beschreibbar.

P~ =

X

p~i

(2.15)

i

aller Massenelemente. Zusammengefasst folgt ˙ P~ = F~ .

(2.16)

F¨ ur ein System im statischen Gleichgewicht, wie ˙ z. B. ein Geb¨aude, gilt p~i = 0 ∀ i und damit P~ = 0 (es sei denn, es schwingt im Wind) und daher F~ = 0 .

(2.17)

Diese Gleichung wird bei der Berechnung der Statik eines Geb¨audes oder anderer mechanischer Systeme verwendet. Betrachten wir Gl. (2.16) genauer. Nach dem newtonschen Axiom actio gleich reactio gilt F~ij = −F~ji .

(2.18)

Aus Gl. (2.14) folgt daher grunds¨atzlich F~ = 0, es sei denn, zus¨atzlich zu all den Kr¨aften F~ij zwischen den Massenelementen kommen weitere Kr¨afte

20

KAPITEL 2. DIE GESETZE DER MECHANIK

¨~ mR = F~ .

F~ext,1 + F~ext,2 + . . . = F~ext

(2.24)

von externen Quellen, die nicht in den betrachteten Im allgemeinen Fall reichen die drei GleichunMassenelementen liegen. In diesem Fall gilt f¨ ur die gen, die in (2.24) in Vektorschreibweise zusammenGesamtkraft gefasst sind, nicht aus, um die Bewegung oder die Statik eines mechanischen Systems zu beschreiben. X Warum? Nat¨ urlich, wir betrachten nur noch die BeF~ = F~ij + F~ext . (2.19) wegung des Schwerpunktes und nicht mehr die der i,j(6=i) einzelnen Massenelemente mi . Allerdings gibt es einen wichtigen Sonderfall, Systeme f¨ ur die F~ext = 0 ist, werden als geschlosden so genannten starren K¨orper, dessen Bewesen bzw. isoliert Pbezeichnet. In solchen Systemen ist gung durch Angabe des Schwerpunktes und der aufgrund von i,j(j6=i) F~ij = 0 der Gesamtimpuls Schwerpunktgeschwindigkeit schon zu einem guten eine Erhaltungsgr¨ oße, d. h. Teil beschrieben wird. Ein starrer K¨orper ist eine Ansammlung von Massenelementen mi , die f¨ ur ald ~ le Zeiten ihre jeweiligen Abst¨ a nde nicht ver¨ a ndert P = 0 oder P~ = konstant . (2.20) (|~ri − ~rj | = konstant ∀ i, j). Was Gl. (2.24) nicht dt beschreibt, ist die Rotation des starren K¨orpers. Jede Ansammlung von Massenelementen hat Denken Sie beispielsweise an einen W¨ urfel, den Sie einen speziellen Referenzpunkt. Dieser so genannte in die Luft werfen. Um die Bewegung des W¨ urfels Schwerpunkt ist durch vollst¨andig zu beschreiben, m¨ ussen Sie dessen Position (3 Koordinaten) und seine Orientierung (weiP m ~ r tere 3 Winkel) relativ zu Ihrem festen Koordinai i ~ ≡ Pi (2.21) R tensystem kennen. D. h. Sie ben¨otigen weitere drei m i i Gleichungen f¨ ur die W¨ urfelbewegung. Wie sehen definiert 4 . Augedr¨ uckt mithilfe der massendichte diese zus¨atzlichen drei Gleichungen f¨ ur die Rotaρ(~r) lautet diese Definition tionsbewegung eines starren K¨orpers aus? Jetzt kommt physikalische Intuition ins Spiel! Es R geht um Rotation - warum versuchen wir es nicht ~ ≡ RV ρ(~r)~rdV , (2.22) mit einer kleinen Drehung der Gleichung R ρ(~r)dV V wobei das Integrationsvolumen den gesamten K¨orper bzw. alle Massenelemente ein schließt. Die Geschwindigkeit des Schwerpunkts ist folglich P mi~r˙ i P~ ˙ ~ R = Pi = , m i mi

mi~¨ri = F~i ≡

X

F~ij + F~ext,i

(2.25)

j

um eine feste Achse 5 . Die Masse mi ver¨andert sich nat¨ urlich nicht. Aber aus ~¨ri wird ~¨ri + δ~¨ri und aus ~ (2.23) Fi wird F~i + δ F~i . D. h. aus (2.25) wird

wobei m die Gesamtmasse ist. In einem abgeschlosmi (~¨ri + δ~¨ri ) = F~i + δ F~i . senen System besitzt der Schwerpunkt also eine ~˙ = konstant. Ziehen wir von dieser Gleichung die Gl. (2.25) ab, konstante Geschwindigkeit, d. h. R Dies ist die Verallgemeinerung bzw. die Pr¨azisie- so erhalten wir rung des newtonschen Tr¨ agheitsgesetzes f¨ ur einen Massenpunkt. Wir bemerken noch, dass Gl. (2.16) umgeschrieben werden kann in die Form mi δ~¨ri = δ F~i . 4 Der Schwerpunkt ist gerade der Mittelwert uber all ~ ri ¨ gewichtet mit den dazu geh¨ origen Massen mi .

5 Achtung! Wir sind zwar durch den starren K¨ orper motiviert. Die folgende Rechnung gilt jedoch allgemein.

† ¨ 2.1. EINE UBERSICHT

21

Im Abschnitt Mathematische Grundlagen hatten wir diskutiert, wie wir δ~¨ri und δ F~i durch den ~ ausdr¨ Drehwinkelvektor δ φ ucken k¨ onnen. Es gilt n¨amlich

In einem statischen System gilt wiederum ~ =0. N

(2.29)

Zusammen mit Gl., (2.17) bestimmt diese Gleichung vollst¨andig die Statik von Geb¨auden (also ohne Schwingungen) bzw. von statischen mechaniSt¨orend in dieser neuen Vektorgleichung ist der schen Systemen. ~ F¨ ur den starren K¨orper folgern wir, dass die kleine aber sonst beliebige Drehwinkelvektor δ φ, den wir los werden wollen. Eine M¨ oglichkeit ist die (sechs) Gln. (2.16) und (2.26) vollst¨andig seine Bewegung beschreiben. Multiplikation der Vektorgleichung mit ~ri , d. h. Wir wollen nochmals das abgeschlossene System untersuchen. F¨ ur ein abgeschlossenes System gilt ~ × ~¨ri ) · ~ri = (δ φ ~ × F~i ) · ~ri , mi (δ φ wieder F~ext = 0 und wir k¨onnen Gl. (2.28) f¨ ur das Gesamtdrehmoment umschreiben: denn jetzt folgt durch zyklische Vertauschung in den Spatprodukten X ~ = N ~ri × F~i (2.30) ~ × ~¨ri = δ φ ~ × F~i . mi δ φ

i

~ = (~ri × F~i ) · δ φ ~. mi (~ri × ~¨ri ) · δ φ

=

~ auf beiden Seiten weglassen und Wenn wir jetzt δ φ d (~ri × ~r˙ i ) ausnutzen, dann erhalten noch ~ri × ~¨ri = dt wir

~ri × F~ij

i,j(j6=i)

= =

d (~ri × p~i ) = ~ri × F~i . dt

X

X 1 X ~ri × F~ij + ~rj × F~ji 2 i,j(j6=i) i,j(j6=i) X X 1 ~ri × F~ij − ~rj × F~ij 2 i,j(j6=i)

Wir sehen sofort, dass diese Gleichung auch als

=

i,j(j6=i)

1 X (~ri − ~rj ) × F~ij 2 i,j(j6=i)

= ~˙ = N ~ , L mit ~ = L

X

~ri × p~i

0.

(2.26)

Das letzte Gleichheitszeichen folgt, da der Verbindungsvektor ~ri − ~rj parallel bzw. antiparallel zur Kraft F~ij (f¨ ur Zentralkr¨afte) ist. D. h. in abgeschlossenen Systemen ist der Gesamtdrehimpuls er(2.27) halten:

i

d~ ~ = konstant . L = 0 oder L dt

und ~ = N

X i

~ri × F~i

(2.28)

(2.31)

Eine weitere Erhaltungsgr¨oße in abgeschlossenen Systemen folgt aus einer einfachen Umformung der newtonschen Bewegungsgleichung mi~¨ri = F~ . Multiplikation mit ~r˙ i liefert

~ heißt Gegeschrieben werden kann. Die Gr¨ oße L ~ samtdrehimpuls, wobei Li = ~ri × p~i die Einzeldrehimpulse der Massenelemente mi bezogen auf den d 1 ˙ ~ · ~r˙ i = − d U . ~ heißt Drehmoment, mi~ri = −∇U Ursprung von ~ri sind, und N dt 2 dt ~ i = ~ri × F~i die Einzeldrehmomente ebenwobei N falls bezogen auf den Ursprung von ~ri sind. D. h. f¨ ur die Gr¨oße

(2.32)

22

KAPITEL 2. DIE GESETZE DER MECHANIK

1 ˙ mi~ri + U , (2.33) 2 genannt die Gesamtenergie, die Summe aus der kinetischen Energie der Masse mi (erster Term) und der potenziellen Energie U , gilt also E=

d E = 0 oder E = konstant . (2.34) dt Man beachte, dass wir angenommen haben, dass sich die Kraft auf mi als (negativer) Gradient einer Funktion U aller Koordinaten, eben der potenziellen Energie von mi , schreiben l¨ asst: ~ . F~ = −∇U

(2.35)

Es ist wichtig zu bemerken, dass die Gesamtenergie eine grunds¨ atzlich erhaltene Gr¨ oße ist, die von den hier gemachten Voraussetzungen nicht abh¨angt. Die Energieerhaltung ist eine Erfahrungstatsache, die bisher noch nirgends widerlegt wurde. Eigentlich besteht eine Vorlesung zur Klassischen Mechanik fast vollst¨ andig aus Anwendungen der newtonschen Bewegungsgleichungen f¨ ur Massenpunkte (Ein- und Zweimassenpunktprobleme sowie der Sonderfall gekoppelter periodischer Bewegungen vieler Massenpunkte) sowie der beiden Vektorgleichungen (2.16) und (2.26) auf starre ausgedehnte K¨orper. Die Differenzialgleichungen, die dabei gel¨ost werden, vereinfachen sich h¨ aufig aufgrund der drei wichtigen Erhaltungss¨ atze, die wir diskutiert haben. D. h. f¨ ur abgeschlossene Systeme, also ohne ¨außere Einfl¨ usse, ist die Gesamtenergie E, ~ der Gesamtimpuls P~ und der Gesamtdrehimpuls L konstant: E˙ = 0 ˙ P~ = 0 . ~˙ = 0 L

(2.36)

Die obigen Herleitungen dieser Erhaltungsgr¨oßen setzen verschiedene Annahmen voraus und sind wesentlich weniger allgemein als die resultierenden Erhaltungss¨ atze (2.36) selbst. Es kann gezeigt werden, und wir werden dies tun, dass diese Erhaltungss¨atze jeweils aus fundamentalen Symmetrien gefolgert werden k¨ onnen. Erhaltung der Energie ist mit der Invarianz der Naturgesetze gegen

Zeitverschiebung verkn¨ upft. Erhaltung des Gesamtimpulses und des Gesamtdrehimpulses ergibt sich jeweils aus der entsprechenden Invarianz gegen¨ uber r¨aumlicher Verschiebung (Homogenit¨at des Raumes) bzw. Rotation (Isotropie des Raumes). Wor¨ uber Sie in dieser Vorlesung nichts lernen werden, ist die Ursache bzw. die Natur der Kr¨afte F~i . Woher kommt z. B. die Gravitationskraft und warum hat sie die in Gl. (2.1) angegebene Form? Haben alle Kr¨afte die in Gl. (2.9) ausgenutzte Eigenschaft der paarweisen Additivit¨at? Warum ist die Gravitationskraft eine der vier bekannten fundamentalen Kr¨afte, wohingegen die Kraft zwischen den Enden eines gespannten Gummibandes nicht fundamental ist. Genau genommen wird sogar die Form der Gl. (2.6) als empirisch 6 vorausgesetzt, denn was ist eigentlich Masse und warum hat sie die Eigenschaft, die wir als Tr¨agheit kennen? Bevor wir dieses einf¨ uhrende Kapitel abschließen, wollen wir die Anwendung der Gleichungen (2.16) und (2.26) an zwei einfachen Beispielen illustrieren.

2.2

Zwei Beispiele zur newtonschen Mechanik†

Mathematisches Pendel: Das Mathematische Pendel besteht aus einer Punktmasse m, die an einem masselosen Faden der L¨ange l im Schwerefeld aufgeh¨angt ist (vgl. Abbildung 2.1). Gem¨aß der Gl. (2.16) schreiben wir m~¨r = F~g + T~ .

(2.37)

Auf die Pendelmasse wirkt die Gravitationskraft F~g und die Fadenspannung T~ . F¨ ur die linke Seite verwenden wir Polarkoordinaten:

sin φ cos φ cos φ ˙~r = lφ˙ − sin φ sin φ − cos φ −lφ˙ 2 ~¨r = −lφ¨ cos φ sin φ {z } | {z } | ~r

= l

≡~ e⊥

6 (vom

Experiment her)

≡~ ek

2.2. ZWEI BEISPIELE ZUR NEWTONSCHEN MECHANIK†

23

durch die Annahme, dass die Auslenkung und damit φ (t) klein ist. D. h.

x |r|=l

φ

φ (t) = δφ (t) .

r

T

e

Wir entwickeln sin δφ (t) daher gem¨aß Gl. (1.33)

m sin δφ (t) ≈ sin (0) + cos (0) δφ (t) | {z } | {z }

e

=0

Fg

=1

0

f (δx) ≈ f (0) + f (0) δx . Damit folgt aus (2.40)

y

Fg=m g

Fg g d2 δφ (t) ≈ − δφ (t) . dt2 l

(2.41)

Abbildung 2.1: Ebenes mathematisches Pendel der Der Ansatz f¨ ur die allgemeine L¨osung dieser lineakonstanten L¨ange l mit Zerlegung der Kr¨ afte. ren homogenen Dgl. lautet (l = konstant). Es ist zweckm¨ aßig, ~¨r durch die Einδφ (t) = c1 sin ωt + c2 cos ωt . heitsvektoren ~e⊥ und ~ek auszudr¨ ucken. Die gleiche Zerlegung funktioniert auch f¨ ur F~g . D. h. Die Gr¨oßen c1 und c2 sind noch zu bestimmende Konstanten. Einsetzen in (2.41) liefert F~g = F~g⊥ + F~gk = Fg⊥~e⊥ + Fgk~ek . −c1 ω 2 sin ωt − c2 ω 2 cos ωt g = − (c1 sin ωt + c2 cos ωt) l

Daraus ergibt sich direkt ¨e⊥ − mlφ˙ 2~ek = F ⊥~e⊥ + F k~ek − T ~ek . −mlφ~ g g

und damit

Da die Einheitsvektoren senkrecht zueinander stehen, folgen die unabh¨ angigen Gleichungen −mlφ¨ = mg sin φ und −mlφ˙ 2 = mg cos φ − T .

p g/l .

Die Konstanten c1 und c2 folgen aus den Anfangs(2.38) bedingungen. Z. B. w¨ahlen wir δφ (t = 0) = δφ 0 und δ φ˙ (t = 0) = w0 . Wir erhalten c1 = ωω0 und c2 = δφ0 : (2.39)

D. h. gem¨aß Gl. (2.38) erhalten wir die endg¨ ultige Bewegungsgleichung f¨ ur die Pendelmasse g φ¨ (t) = − sin φ (t) . l

ω=

δφ (t) =

ω0 sin ωt + δφ0 cos ωt . ω

(2.42)

Bemerkung: Alternativ h¨atten wir den Ansatz δφ (t) = δ φ˜0 sin (ωt + ∆) verwenden k¨onnen. Mit sin (ωt + ∆) = sin ωt cos ∆ + cos ωt sin ∆ folgt (2.40) n¨amlich

Dies ist eine Differenzialgleichung 2. Ordnung [4]. Erheblich vereinfacht wird die L¨ osung dieser Dgl. δφ (t) = (δ φ˜0 cos ∆) sin ωt + (δ φ˜0 sin ∆) cos ωt .

24

KAPITEL 2. DIE GESETZE DER MECHANIK

Durch Vergleich mit (2.42) ergibt sich r δ φ˜0

=

tan ∆

=

δφ20 + δφ0

fC

ω 2 0

α s

ω

ω . ω0

h

W¨ahlen wir z. B. ω0 = 0 (Anfangswinkelgeschwindigkeit ist Null) so folgt ∆=

π 2

fB f

T

y x

und δ φ˜0 = δφ0 .

Die L¨osung lautet jetzt

Abbildung 2.2: Eine Leiter der L¨ange l lehnt an einer Garage.

π = δφ0 cos ωt . δφ (t) = δφ0 sin ωt + 2 Bemerkung: In Aufgabe 10 (Federpendel) erhalten wir die Gleichung δ φ¨ +

k δφ = g . m

Einsteins Gravitationstheorie. Siehe z.B. H. Melcher Relativit¨ atstheorie in elementarer Darstellung. Aulis Verlag Deubner & CoKg (Abschnitt 10.2) oder S. Weinberg Gravitation and Cosmology. Wiley.

Leiterstatik: Im zweiten Beispiel betrachten wir eine an einer Garage der H¨ohe h lehnende Leiter der L¨ange l und Masse m (vgl. Skizze). Um die Leiter gegen Wegrutschen zu sichern, ist ihr unteres Ende mit einem Faden an der Wand befestigt. Der Winkel zwischen der Wand der Garage und der Leiter sei α. Gesucht sind die unbekannten Kr¨afte fB und FC sowie die Fadenspannung T . δφ (t) = δφhom (t) +δφinh (t) . (2.43) Dies ist ein Problem der Statik, d. h. wir verwen| {z } wie eben den die Gln. (2.16) und (2.26) in der Form (2.17) und (2.29). Wir schreiben Wir erkennen, dass δφinh (t) = Konstante eine L¨osung der inhomogenen Dgl. ist und zwar mit X Konstante = mg/k. F~ = f~i = 0 (2.45) Die physikalische Bedeutung der Gl. (2.39), i Dies ist eine inhomogene Dgl., da g 6= 0 gilt. Die allgemeine L¨ osung dieser Dgl. ist gleich der allgemeinen L¨ osung der homogenen Dgl. (mit g = 0), die eben diskutiert wurde, plus einer (speziellen) L¨osung der inhomogenen Dgl. D. h.

und T = mg cos φ + mlφ˙ 2 ,

(2.44)

X ~ = erlaubt die Berechnung der Fadenspannung aus der N ~ri × f~i = 0 . (2.46) i Gewichtskraft der Masse (1. Term) und aus der Zentrifugalkraft aufgrund der Kreisbewegung der Zun¨achst u ¨berzeugen wir uns, dass die GewichtsMasse (2. Term). kraft effektiv nur an einem Punkt entlang der LeiBemerkung. In dieses Beispiel ist ein nichttriter angreift, denn es gilt vialer Punkt eingegangen. Es wurde die Gleichheit von schwerer und tr¨ ager Masse angenommen! X Schon Newton hatte Pendelversuche angestellt, um mj ~g = m~g = f~ . diese Gleichheit zu pr¨ ufen. Sie ist Grundlage zu j

2.2. ZWEI BEISPIELE ZUR NEWTONSCHEN MECHANIK†

25

wobei mj Massensegmente entlang der Leiter sind als Ursprung. Die letzte Gleichung l¨asst sich auch 7 . Gl. (2.45) ist dann durch die Betr¨age ausdr¨ ucken (da alle Vektoren in einer Ebene liegen): f~ + f~B + f~C + T~ = 0

| ~rB × f~B | − | ~rC × f~C | − | ~rT × T~ | = 0 . | {z } | {z } | {z }

bzw. nach Komponenten zerlegt

= 12 lfB sin α

1 2 lT

=sfC

cos α

Die L¨ange s folgt gem¨aß Pythagoras aus

fC cos α − T = 0 . −f + fB + fC sin α = 0

Offensichtlich beinhalten diese zwei Gleichungen drei unbekannte Kr¨ afte. Daher kommt Gl. (2.46) d. h. ins Spiel. Zun¨achst w¨ ahlen wir einen Ursprung. Die0 ser ist beliebig, denn es gilt f¨ ur ~ri = ~ri + ~a, wobei ~a ein konstanter Vektor ist, X

~ri × f~i

=

X

=

X

i

(~ri0 + ~a) × f~i

1 s+ l 2

2

2 1 = h2 + s + l sin2 α , 2

s=

h l − . cos α 2

Die gesuchte dritte Gleichung lautet daher

i

~ri0 × f~i + ~a ×

i

X

f~i .

i

| {z } (2.45) =0

Eine zweckm¨aßige Wahl ist der Schwerpunkt der Leiter, d. h.

1 lfB sin α − 2

h l − cos α 2

1 fC − lT cos α = 0 . 2

Zusammen mit den beiden anderen Gleichungen lassen sich die unbekannten Kr¨afte bestimmen: fB = f − fC sin α

P

~ = Pj R

mj ~rj

j

mj

.

fC = f −

l sin(2α) 4h

.

T = fC cos α Es gilt n¨amlich f¨ ur den Drehmomentbeitrag der Gravitationskr¨afte mj ~g Die hier berechneten Kr¨afte fB und fC heißen auch Reaktionskr¨afte. In den sich ber¨ uhrenden K¨orpern X X sind diese entgegengesetzt gleich. ~ × f~ . mj ~rj × ~g = R (~rj × mj ~g ) = j

j

~ der Ursprung, R ~ = 0, dann ist dieser Beitrag Ist R Null. Es folgt ~rB × f~B + ~rC × f~C + ~rT × T~ = 0 . Dabei sind ~rB , ~rC und ~rT die Angriffspunkte der jeweiligen Kr¨ afte bezogen auf den Schwerpunkt 7 Hier wissen wir noch nicht, in welchem Punkt f~ angreift. Dies kl¨ art sich, wenn wir die Bilanz der Drehmomente aufstellen.

26

KAPITEL 2. DIE GESETZE DER MECHANIK

Kapitel 3

Prinzip der kleinsten Wirkung fu ¨r eine Koordinate 3.1

Lagrangesche Gleichung fu ¨ r eine Koordinate†

.

q

Die Bahn eines Massenpunktes soll sich durch eine Koordinate q (t) als Funktion der Zeit t beschreiben lassen. Hierbei muss q (t) keine kartesische Koordinate sein. Beispielsweise k¨ onnte q (t) = φ (t) gelten, wobei φ (t) der Winkel bez¨ uglich der x-Achse ist, der die Position eines Massenpunktes auf einer Kreisbahn zur Zeit t festlegt. Daher wird q als verallgemeinerte Koordinate bezeichnet. Die Erfahrung zeigt, dass zur vollst¨ andigen Beschreibung der Bewegung des Massenpunktes auch die Angabe der (verallgemeinerten) Geschwindigkeit

1

q(t1)

q(t2)

1

1 Wir hatten im Abschnitt 2.2 das Mathematische Pendel diskutiert. Die Differenzialgleichung f¨ ur den Auslenkwinkel ist dort 2. Ordnung und es wurden zwei Anfangsbedingungen ben¨ otigt, um die Bewegung vollst¨ andig zu beschreiben. 2 Es sei schon jetzt darauf hingewiesen, dass der Begriff Freiheitsgrad sp¨ ater in der statistischen Mechanik abweichend definiert ist

3

q

S

d q˙ (t) = q (t) dt notwendig ist. Sind also q (t0 ) und q˙ (t0 ) bekannt, so k¨ onnen diese Gr¨ oßen f¨ ur andere Zeiten t berechnet werden 1 . Da in diesem Abschnitt eine verallgemeinerte Koordinate das System (aus einem Massenpunkt) vollst¨andig charakterisiert, sagt man, dass es einen Freihheitsgrad 2 gibt. Es existiert ein sehr allgemeines Prinzip, das die Vorhersage der zeitlichen Entwicklung eines Systems basierend auf seinen Symmetrieeigenschaften

2

2

3

Pfad

Abbildung 3.1: Drei alternative Pfade. erlaubt. Im vorliegenden Fall ist damit eine alternative Herleitung“der newtonschen Bewegungsge” setze f¨ ur unseren Massenpunkt gemeint. Allerdings ist dieses so genannte Prinzip der kleinsten Wirkung wesentlich allgemeiner und durchzieht die gesamte theoretische Physik. Das ist auch der Grund, weshalb es zu diesem fr¨ uhen Zeitpunkt - in vereinfachter Form - eingef¨ uhrt werden soll. Nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung gibt es ein so genannntes Wirkungsintegral S, das f¨ ur die tats¨achlich erfolgende Bewegung des Massenpunktes ein Minimum besitzt, und dessen Variation daher verschwindet, d. h.

27

¨ EINE KOORDINATE KAPITEL 3. PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG FUR

28

Z t2 t2 ∂L ∂L d ∂L δqdt . δS = δq + − ∂q dt ∂ q˙ t1 ∂ q˙ t1

δS = 0 . Das Wirkungsintegral hat die Form t2

Z

L (q (t) , q˙ (t) , t) dt .

S=

Der erste Term verschwindet, da δq (t1 ) = δq (t2 ) = 0 sein soll. Ansonsten ist aber δq beliebig w¨ahlbar. (3.1) Daher folgt aus der Forderung δS = 0 die Gleichung

t1

Die unbekannte Funktion L (q (t) , q˙ (t) , t) heißt Lagrange Funktion 3 und t1 < t2 sind zwei Zeitpunkte. Variation von S bedeutet, dass der Massenpunkt neben seiner optimalen Bahn q (t) auch leicht abweichende Alternativen q (t) + δq (t) angeboten bekommt, die jedoch δq (t1 ) = δq (t2 ) = 0 erf¨ ullen sollen (vgl. Abbildung 3.1). Die Variation von S ist die Differenz

∂L d ∂L − =0, ∂q dt ∂ q˙

(3.2)

da der Integrand des zweiten Terms verschwinden muss. Diese letzte Gleichung heißt lagrangesche Gleichung. Man spricht auch h¨aufig von Euler-Lagrange Gleichung. Augenscheinlich handelt es sich um eine Differenzialgleichung, die uns q (t) liefert - vorausgesetzt wir kennen L = L (q (t) , q˙ (t) , t). Z t2 Z t2 Um die Frage zu kl¨aren, wie L beschaffen ist, beL (q + δq, q˙ + δ q, ˙ t) dt − L (q, q, ˙ t) dt , trachten wir einen freien Massenpunkt. Frei bedeut1 t1 tet, dass keine Kr¨afte auf den Massenpunkt einwirwobei die Argumente der Gr¨ oßen q, q, ˙ δq und δ q˙ ken. Die Position q sollte daher in L nicht auftreten weggelassen sind. Die Taylorentwicklung des ersten und gem¨aß Gl. (3.2) folgt Integranden liefert d ∂L =0. (3.3) dt ∂ q˙ ∂L ∂L δq + δ q˙ L (q + δq, q˙ + δ q, ˙ t) ≈ L (q, q, ˙ t) + ∂q ∂ q˙ Außerdem sollte L nicht vom Vorzeichen von q˙ bzw.

und Einsetzen ergibt Z

t2

δS = t1

∂L δq + δ q˙ dt . ∂q ∂ q˙

∂L

Die Gr¨oße δ q˙ ist definiert durch d δ q˙ ≡ δq . dt Es ist geschickt, an dieser Stelle partiell zu integrieren, d. h. 3 Lagrange, Joseph Louis de, franz¨ osischer Mathematiker, *Turin 25.1. 1736, † Paris 10.4. 1813; herausragender Gelehrter des 18.Jahrhunderts; Professor in Turin, Berlin und Paris, entwickelte die Variationsrechnung und wurde durch seine Zusammenfassung der Prinzipien der Mechanik zu den nach ihm benannten Gleichungssystemen der Begr¨ under der analytischen Mechanik; Beitr¨ age zur Theorie der analytischen Funktionen, zur Himmelsmechanik und Hydrodynac mik. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

von der Bewegungsrichtung abh¨angen, d. h. L = L q˙2 . Die einfachste Funktion, die dieser Betrachtung gen¨ ugt, ist L q˙2 = mq q˙2 ,

(3.4)

wobei mq eine Konstante ist. Damit folgt aus Gl. (3.3) q˙ = konstant . Dies ist das newtonsche Tr¨agheitsgesetz. Wenn wir jetzt Kr¨afte zulassen, dergestalt dass zu L eine Funktion U von q addiert wird, dann haben wir

L (q, q) ˙ =

1 mq q˙2 − U (q) . 2

(3.5)

3.2. ZWEI EINFACHE BEISPIELE†

29

Der Grund f¨ ur das Minuszeichen ist zun¨ achst einmal Konvention, denn Einsetzen dieser Gleichung in Gl. (3.2) liefert

mq q¨ = −

∂U (q) , ∂q

(3.6)

die newtonsche Bewegungsgleichung. Im Fall dass q eine kartesische Koordinate ist, ist mq die Masse m des Massenpunktes. Die rechte Seite, die negative Ableitung der potenziellen Energie U (q), ist die Kraft (vgl. Gl. (2.35)).

∂L = −mgl sin φ ∂φ und d ∂L d d pφ ≡ = ml2 φ˙ = ml2 φ¨ . dt dt ∂ φ˙ dt

(3.7)

Dies liefert die Bewegungsgleichung f¨ ur φ(t) in (2.38), die wir schon kennen. Noch eine Bemerkung. In Gl. (3.7) ist die Gr¨oße pφ definiert - der verallgemeinerte Impuls. Im Fall der kartesischen 3.2 Zwei einfache Beispiele† Koordinate x liefert die Ableitung ∂L/∂v = mv, den normalen“Impuls. Man beachte, dass das ” Mathematisches Pendel: Als erstes von zwei Einsetzen von v = lφ˙ in diese Gleichung nicht den Beispielen betrachten wir wieder das mathemati- verallgemeinerten Impuls pφ liefert. Analog dazu sche Pendel aus Abbildung 2.1. Wir schreiben wird die Ableitung ∂L/∂φ als verallgemeinerte Kraft bezeichnet. L=

1 m~v 2 − U (φ) . 2

Die Geschwindigkeit ~v ist die zeitliche Ableitung des Ortsvektors, d. h.

~v =

cos φ d d l sin φ ~r = = lφ˙ − sin φ dt dt l cos φ

Oszillator im Schwerefeld: Das zweite Beispiel ist ein im Schwerefeld der Erde aufgeh¨angter Oszillator. Die Schwingungsrichtung ist parallel zum Schwerefeld. F¨ ur die Lagrange Funktion schreiben wir wieder

L (x, x) ˙ =

1 ˙2 mx − U (x) , 2

bzw. v =| ~v |= lφ˙ . Die potenzielle Energie ist

U (φ) = mgh = mgl (1 − cos φ)

wobei wir die kartesische Koordinate x verwenden, um die Auslenkung des Oszillators zu kennzeichnen. Die potenzielle Energie U (x) setzt sich additiv aus der Lageenergie mgx und der Federener2 gie 21 k (x − x0 ) zusammen. Hier ist k die Federkonstante und x0 die Position der Oszillatormasse m, bei der die Auslenkung der Feder Null ist (entspannte Feder). D. h.

(vgl. das Beispiel von Sysiphus am Ende des Ab1 schnitts 1.3 (mit h = s sin α)). Wir bemerken, dass 2 U (x) = mgx + k (x − x0 ) . die Bewegungsgleichung sich nicht ¨ andert, wenn wir 2 eine Konstante zu L addieren. Daher ist U (φ) = Wie wir leicht nachrechnen k¨onnen, ist −mgl cos φ auch m¨ oglich. Insgesamt erhalten wir ˙ = 1 ml2 φ˙2 + mgl cos φ . L(φ, φ) 2 Einsetzen in Gl. (3.2) liefert

x ¨ = −g −

k (x − x0 ) m

die Bewegungsgleichung f¨ ur die Oszillatormasse.

30

3.3

¨ EINE KOORDINATE KAPITEL 3. PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG FUR

Bedeutung des Prinzips der kleinsten Wirkung†

Der Lagrange-Formalismus ist besonders geeignet, Symmetrien und dazugeh¨ orige Erhaltungsgr¨oßen miteinander zu verbinden. Beispielsweise sollen die Bewegungsgesetze heute die gleichen sein wie morgen. Mathematisch heißt dies, die Lagrange Funktion h¨angt nicht explizit von der Zeit ab (∂L/∂t = 0). In diesem Fall gilt f¨ ur die totale Zeitableitung ∂L dq˙ ∂L dq dL = + . dt ∂ q˙ dt ∂q dt

x0 t0 0

= x − wt = t

(3.9)

0

durch x und t ersetzt werden. Hier ist w eine konstante Relativgeschwindigkeit zwischen dem x- und x0 -Koordinatensystem. Diese so genannte Galilei Transformation behandelt die Koordinate x und die Zeit t recht ungleich. Zeit ist absolut! In der speziellen Relativit¨atstheorie ist die Zeit t eine mit x gleichberechtige Koordinate. Der Abstand zweier nahe beeinander liegender Punkte in diesem xt-Koordinatensystem ist ds, d. h.

Mit Gl. (3.2) folgt dann ds2 = c2 dt2 − dx2 . d ∂L ∂L d ∂L dL = q¨ + q˙ = q˙ dt ∂ q˙ dt ∂ q˙ dt ∂ q˙

(3.10)

Die Gr¨oße c ist zun¨achst einfach eine Konstante, die daf¨ ur sorgt, dass cdt die gleichen Einheiten hat wie dx. Die einzige Merkw¨ urdigkeit ist das oder Minuszeichen. Nach unserer Euklidischen Erfah” rung“h¨atten wir c2 dt2 +dx2 geschrieben. Wir k¨onn d ∂L ten dies tun, es w¨ urde das folgende Argument nicht q˙ −L =0. dt ∂ q˙ beeinflussen. Allerdings erhalten wir nur mit dem Minuszeichen physikalisch sinnvolle Ergebnisse und Die Gr¨oße dann w¨ urden wir das Minuszeichen nachtr¨aglich einf¨ uhren. ∂L Bevor wir zur relativistischen Lagrange FunktiE = q˙ −L (3.8) on kommen, wollen wir die Transformationen (3.9) ∂ q˙ verallgemeinern. Alternativ untersuchen wir die ist also konstant. D. h. E ist invariant unter Ver- Transformationsgleichungen schiebung der Zeit. Und welche Bedeutung hat E? Setzen wir L = 1 2 x0 = γ (x − wt) m 2 q q˙ − U (q) in Gl. (3.8) ein, dann folgt (3.11) 0 1 t = α (t − βx) . E = mq q˙2 + U (q) . 2 Ort und Zeit werden fast symmetrisch behandelt E ist also die Summe aus der kinetischen Energie sind. Die Gr¨oßen γ, α und β sind zun¨achst unbe1 2 2 mq q˙ und der potenziellen Energie U (q). Die Ge- kannt. Wir bestimmen sie aus der Bedingung, dass samtenergie ist konstant. der Raum-Zeit-Abstand ds invariant sein soll. D. h. Um einen wirklichen Eindruck von den M¨oglich- es soll gelten keiten des Lagrange-Formalismus zu bekommen, machen wir einen Abstecher in die spezielle Relatids02 = c2 dt02 − dx02 = c2 dt2 − dx2 = ds2 . (3.12) vit¨atstheorie. Die Gesetze der Klassischen Mechanik erf¨ ullen Gem¨aß (3.11) schreiben wir lediglich Galilei-Invarianz. Wie bisher in einer Di mension bedeutet dies, dass sich die newtonschen −dx02 = γ 2 −dx2 + 2wdxdt − w2 dt2 Bewegungsgleichungen, aufgeschrieben f¨ ur x und t, nicht ¨andern, wenn x und t gem¨ aß c2 dt02 = c2 α2 dt2 − 2βdtdx + β 2 dx2 .

3.3. BEDEUTUNG DES PRINZIPS DER KLEINSTEN WIRKUNG†

31

Damit wir 21 mv 2 erhalten, muss die Proportionalit¨atskonstante −mc2 sein. D. h.

Damit (3.12) erf¨ ullt ist, muss also gelten c2 = c2 α2 − γ 2 w2 0 = −2c2 α2 β + 2γ 2 w −1 = c2 α2 β 2 − γ 2 .

r 2

L = −mc

1−

v2 . c2

(3.16)

Die elementare L¨ osung dieses Gleichungssystems Der relativistische Impuls des Massenpunktes ist jetzt lautet 1−

γ

=

α

= γ w . = c2

β

w2 c2

−1/2

p=

(3.13)

Damit ergeben sich aus (3.11) die so genannten Lorentz Transformationen

∂L = mγv . ∂v

(3.17)

Der Faktor mγ ist die relativistische Masse. Sie strebt gegen unendlich f¨ ur v → c! Die n¨achste interessierende Gr¨oße ist die Energie des Massenpunktes, d. h.

E

0

x = γ (x − wt) (3.14) w t = γ t − 2x c 0

∂L −L ∂v = mγv 2 + mγ −1 c2 = mγc2 . = v

(3.18)

Insbesondere erhalten wir f¨ ur v → 0 die ber¨ uhmte der speziellen Relativit¨ atstheorie. Formel f¨ u r die Ruheenergie Nun zur¨ uck zur Lagrange Funktion f¨ ur ein relativistisches freies Teilchen. Wir machen einen ganz einfachen gedanklichen Ansatz und schreiben f¨ ur E0 = mc2 . (3.19) die Wirkung Z

2

δS ∝ δ

Z

t2

ds = δ 1

t1

ds dt , dt

(3.15)

wobei 1 und 2 zwei Punkte in der x-t-Raumzeit sein sollen. Im Wesentlichen suchen wir die k¨ urzeste Verbindung der Punkte in der Raumzeit. Durch den Vergleich von (3.15) mit unserer urspr¨ unglichen Gleichung f¨ ur die Wirkung (3.1) schließen wir ds L∝ dt

(3.12)

r

= c 1−

Wir bemerken, dass c urspr¨ unglich als eine konstante Geschwindigkeit eingef¨ uhrt wurde, die daf¨ ur sorgt, dass ct und x die gleichen Einheiten haben. Jetzt ist daraus eine physikalische Grenzgeschwindigkeit geworden, die von keiner Masse u ¨berschritten werden kann! Man sieht dies einmal dadurch, dass der Faktor γ f¨ ur v > c komplex wird, bzw. bei v = c wird mγ unendlich, oder durch das Geschwindigkeitsadditionstheorem. Gem¨aß (3.14) gilt n¨amlich

v2 c2

dx0 dx − wdt = . dt0 dt − cw2 dx

mit v = dx/dt. F¨ ur kleine Geschwindigkeiten, v c, sollte das 0 0 0 relativistische L in die klassische Form u ¨bergehen. Mit v = dx /dt und v = dx/dt erhalten wir durch Faktorisieren von dt Wir schreiben also r L∝

1−

v2 1 v2 ≈ 1 − . c2 2 c2

v0 =

v−w 1 − wv c2

bzw. v =

v0 + w 0 . 1 + wv c2

(3.20)

¨ EINE KOORDINATE KAPITEL 3. PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG FUR

32

K

K' v'

w v

´

Abbildung 3.2: Oben: System K 0 bewegt sich relativ zu System K mit der Geschwindigkeit w. In K 0 wiederum bewegt sich der L¨ aufer mit der Geschwindigkeit v 0 in die gleiche Richtung. Im System K ist seine Geschwindigkeit v. Unten: Auftragung von v gegen v 0 gem¨ aß Gl. (3.20) f¨ ur w = 0.9. Die gerade Linie zeigt die simple Addition v = v 0 + w, wie sie unserer Alltagserfahrung entspricht. Die Abweichung vom relativistischen Resultat ist umso gr¨oßer, je n¨ aher w an der Grenzgeschwindigkeit liegt. Wenn wir dann noch v = c setzen, folgt aus (3.20) ebenfalls v0 = c ,

(3.21)

obwohl w 6= 0 ist (vgl Abbildung 3.2). D. h. auch die addierten“Geschwindigkeiten v und w liefern ” lediglich c! Es sei betont, dass c eine hier noch unbekannte Grenzgeschwindigkeit ist. Die Verbindung mit der Lichtgeschwindigkeit liefert erst die maxwellsche Theorie in der Elektrodynamik.

Kapitel 4

Prinzip der kleinsten Wirkung 4.1

Lagrange Funktion eines Systems von Massenpunkten

Die Verallgemeinerung des Wirkungsintegrals (3.1) auf den Fall von s Koordinaten und s Geschwindigkeiten lautet Z

Unser Ziel ist die Herleitung der Bewegungsgesetze von miteinander wechselwirkenden Massenpunkten. Genauer gesagt wollen wir das im vorangegangenen Kapitel eingef¨ uhrte Prinzip der kleinsten Wirkung verallgemeinern. Die Position eines Massenpunktes i wird durch seinen Ortsvektor ~ri = (xi , yi , zi ) beschrieben. xi , yi und zi sind die kartesischen Koordinaten. Manchmal ist es g¨ unstig bzw. bequem andere Koordinaten einzuf¨ uhren, die der Symmetrie des Systems angepasst sind. Beispiele sind Polar- oder Kugel- bzw. Zylinderkoordinaten. Man spricht von verallgemeinerten Koordinaten q1 , q2 , . . ., qs , wenn diese das System vollst¨ andig beschreiben 1 . Die Gr¨oße s nennt man auch Freiheitsgrade des Systems 2 . Im einfachsten Fall gilt s = 3N , wobei N die Zahl der Massenpunkte ist. Die Angabe der Koordinaten qj (j = 1, ..., s) zum Zeitpunkt t, also qj (t), erlaubt allerdings noch nicht die Berechnung der Koordinaten zu einem zuk¨ unftigen Zeitpunkt t + ∆t. Dazu ist, wie die Erfahrung zeigt, die zus¨atzliche Angabe der Geschwindigdq keiten q˙j ≡ dtj (j = 1, ..., s) notwendig. Erst aus {qj (t) , q˙j (t)}j=1,...,s lassen sich die Bewegungsgleichungen der Massenpunkte i berechnen. Lagrangesche Gleichungen: 1 Kartesischer

Fall: q1 ≡ x1 , q2 ≡ y1 , q3 ≡ z1 , q4 ≡ x2 ,...

t2

L (q1 (t) , . . . , qs (t) ,

S= t1

q˙1 (t) , . . . , q˙s (t) , t) dt .

Die weitere Vorgehensweise ist genau die gleiche wie im vorherigen Abschnitt. Die Variation von S, also δS, ist diesmal Z

t2

L (q1 + δq1 , . . . , qs + δqs , t1

q˙1 + δ q˙1 , . . . , q˙s + δ q˙s , t) dt Z t2 − L (q1 , . . . , qs , q˙1 , . . . , q˙s , t) dt . t1

Die Taylorentwicklung des ersten Integranden liefert jetzt 3 L (q1 + δq1 , . . . , qs + δqs , q˙1 + δ q˙1 , . . . , q˙s + δ q˙s , t) ≈ L (q1 , . . . , qs , q˙1 , . . . , q˙s , t) s X ∂L ∂L + δqj + δ q˙j . ∂qj ∂ q˙j j=1 Wir wiederholen nun die Rechenschritte, insbesondere die partielle Integration, genau wie im Fall von nur einer Koordinate f¨ ur jeden Term in der Summe. Das Resultat besteht aus den folgenden lagrangeschen Gleichungen,

. 2 vgl.

(4.1)

3 vgl.

Abschnitt 3.1.

33

Formel (1.41)

34

KAPITEL 4. PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG die Zahl der holonomen Zwangsbedingungen ist. ∂L d ∂L − =0, ∂qj dt ∂ q˙j

(4.2) nicht-holonome Zwangsbedingungen – Diese haben nicht die Form der Gl. (4.3). Wenn z. B. ein Massenpunkt auf einer Kugeloberfl¨ache abgleitet und in vollst¨andiger Analogie zu Gl. (3.2). Dies liegt schließlich f¨allt, gilt r2 − a2 ≥ 0, wobei der Kugelnat¨ urlich daran, dass jedes δqj f¨ ur sich frei w¨ahlmittelpunkt im Ursprung liegt und a der Kugelrabar ist. In der Variationsrechnung heißen die Gln. dius ist. (4.2) eulersche Gleichungen. Gl. (4.2) wird uns als Zus¨atzlich bezeichnet man explizit zeitabh¨angige allgemeiner Ausgangspunkt f¨ ur die Aufstellung von Zwangsbedingungen als rheonom bzw. andernfalls Bewegungsgleichungen dienen. als skleronom. Bemerkung: Die Forderung δS = 0 bestimmt L nicht eindeutig. Ersetzt man L (q, q, ˙ t) durch Lagrange Gleichungen mit Nebenbedingungen: d f (q, t) (hier der EinfachL0 (q, q, ˙ t) = L (q, q, ˙ t) + dt heit halber wieder f¨ ur nur eine Koordinate), so gilt Wir betrachten wieder einen einzelnen Massenpunkt und nehmen an, er soll der nicht-holonomen Z t2 Bedingungsgleichung L0 (q, q, ˙ t) dt S0 = t1 t2

Z

Z L (q, q, ˙ t) dt +

= t1

=

t2

df dt dt t | 1 {z } Konstante

und daher δS 0 = δS = 0, d. h. L0 und L erf¨ ullen beide Gl. (4.2). Außerdem kann man L mit einer Konstante multiplizieren, ohne dass dies Auswirkungen auf Gl. (4.2) hat.

G (q, q, ˙ t) = c .

(4.4)

gehorchen. Diese kann mittels der Methode der lagrangeschen Multiplikatoren 4 in den obigen Formalismus integriert werden. Dazu variieren wir statt Gl. (4.1) das Funktional Z

t2

h

i L (q, q, ˙ t) + λ G (q, q, ˙ t) − c dt

t1

Terminologie der Zwangsbedingungen: Manchmal ist es notwendig Neben- oder Zwangsbedingungen zu ber¨ ucksichtigen, die die Bewegung der Massenpunkte beschr¨ anken. Man unterscheidet:

und erhalten offensichtlich

∂ d ∂ − ∂q dt ∂ q˙

h

i L (q, q, ˙ t) + λG (q, q, ˙ t) = 0 . (4.5)

Der unbestimmte lagrangesche Multiplikator λ wird mit Hilfe der zus¨atzlichen Gl. (4.4) berechnet. Zur Verdeutlichung betrachten wir das einfache Beispiel einer Funktion f (x, y), deren Minimum unter der zus¨atzlichen Bedingung φ(x, y) = 0 gesucht ∂f ∂y wird. Zun¨achst soll gelten 0 = ∂f f (q1 , q2 , ..., t) = 0 . (4.3) ∂x + ∂y ∂x . An∂φ ∂y dererseits gilt 0 = ∂φ ∂x + ∂y ∂x . Die Kombination Ein einfaches Beispiel w¨ are ein fester K¨orper in ∂φ ∂f ∂φ liefert 0 = ∂f ∂x + λ ∂x mit λ = − ∂y / ∂y . Wiederdem alle Abst¨ ande rij =| ~ri − ~rj | zwischen den ∂f ∂φ ∂f ∂φ 2 Massenpunkten fest sind, d. h. rij − cij = 0. Auch um aus λ = − ∂y / ∂y folgt 0 = ∂y + λ ∂y . D. h. wenn ein Teilchen durch eine feste Unterlage, wie δ(f + λφ) = 0. Haben wir statt einer Bedingungsgleichung n Bebeispielweise eine Ebene, in seiner Bewegung auf dingungsgleichungen, so wird jede mit einem eigediese Ebene beschr¨ ankt ist, unterliegt es diesen nen Multiplikator versehen. D. h., es folgt Zwangsbedingungen. Jede holonome Zwangsbe4 siehe z.B. M.R. Spiegel (1971) Advanced Mathematics, dingung reduziert die Zahl der unabh¨angigen Koordinaten um eins, d. h. s = 3N − Z, wobei Z Schaum’s outline series in mathematics, McGraw-Hill

holonome Zwangsbedingungen – Diese haben die Form

4.1. LAGRANGE FUNKTION EINES SYSTEMS VON MASSENPUNKTEN

∂ d ∂ h − L (q, q, ˙ t) ∂q dt ∂ q˙ n i X + λν Gν (q, q, ˙ t) = 0 .

x (t) = x0 sin (ωt + ∆x )

(4.6)

y (t) = y0 sin (ωt + ∆y ) +

ν=1

Nat¨ urlich ist die Verallgemeinerung auf Systeme von Massenpunkten klar.

1 m x˙ 2 + y˙ 2 − mg (l − y) . 2

Dies ist eine kartesische Variante der Lagrange Funktion aus Abschnitt 3.2. Die allgemeine Form von L werden wir im Anschluss genauer untersuchen. Die skleronom holonome Bedingungsgleichung lautet

mgl , λ

q mgl λ eine spezielle wobei ω = ml gilt. Hier ist λ L¨osung der inhomogenen Gleichung (vgl. Abschnitt 2.2). Die Anfangsbedingungen liefern

Mathematisches Pendel: Als Beispiel untersuchen wir das mathematische Pendel in kartesischen Koordinaten. Wir beziehen uns auf Abbildung 2.1 und schreiben f¨ ur die Lagrange Funktion

L(~r, ~r˙ ) =

35

r

∆x = 0 y0 +

2E m π ∆y = . 2

ωx0 =

mgl =l λ

D. h. r x(t)

y(t)

=

=

2El sin λ

r

λ t ml

!

! r mgl mgl λ + l− cos t . λ λ ml

Der Lagrange Parameter λ kann im Prinzip durch (4.7) Einsetzen dieser Gleichungen in die Bedingung (4.7) erhalten werden. Jedoch ist diese Gleichung Die Anwendung von Gl. (4.6) mit λ ersetzt durch kompliziert und wir betrachten wieder den einfa−λ liefert chen Grenzfall kleiner Auslenkung δφ(t). In diesem Fall gilt n¨amlich y(t) ≈ l und daher λ ≈ mg. Wir x erhalten somit aus x(t) ≈ lδφ(t) die Gleichung m¨ x = −λ l y s m¨ y = −λ + mg . r l 2E g δφ(t) ≈ sin t . mgl l Zusammen mit der Bedingungsgleichung sind dies G (~r) ≡

p

x2 + y 2 = l .

drei Gleichungen (bzw. Differenzialgleichungen) f¨ ur Dieses Resultat ist identisch mit unserer L¨osung x (t) , y (t) und λ. des mathematischen Pendels ausgedr¨ uckt in Gl. Es sollen die folgenden Anfangsbedingungen gel(2.42) f¨ ur die hier gew¨ a hlten Anfangsbedingungen p ten (δφo = 0 und ωo = 2E/(ml2 )). r x (t = 0) = 0

x˙ (t = 0) =

y (t = 0) = l

y˙ (t = 0) = 0 ,

2E m

wobei E die Gesamtenergie des Pendels ist 5 . Die L¨osungen lauten 5 Am

Scheitelpunkt gilt E =

1 mx˙ 2 . 2

Tr¨agheitsgesetz: Jetzt wenden wir uns der expliziten Form von L zu. Dabei gehen wir davon aus, dass der leere Raum isotrop und homogen ist. D. h., keine Richtung ist ausgezeichnet, und alle Orte sind ¨aquivalent. In einem solchen Raum h¨angt der Bewegungszustand eines Massenpunktes weder vom Ort ~r noch von

36

KAPITEL 4. PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG

∂L ∂L achlich f (~r, t) = ∂v r · w. ~ der Zeit t ab. Insbesondere sollte L wegen der Iso- ∂v 2 = konstant folgt tats¨ 2~ ∂L tropie nur vom Betrag der Geschwindigkeit bzw. W¨are jedoch ∂v 2 immer noch eine Funktion von v, von ~v 2 abh¨ angen, L = L v 2 . Damit folgt aus Gl. dann funktioniert dies nicht! (4.2) Gem¨aß dieser Argumentation gilt also

d ∂L =0. dt ∂~v

L=

(4.8)

6

bzw. ∂L/∂~v = konstant. Zwanglos l¨aßt sich dies nur mit

m 2 ~v , 2

(4.10)

wobei m/2 eine positive Konstante 8 ist. Die Gr¨oße m wird als die Masse des Massenpunkts bezeichnet! Bemerkung: Aus Gl. (4.10) folgt insbesondere f¨ ur beliebiges w ~

~v = konstant erreichen 7 . D. h. jede freie Bewegung verl¨auft mit betragsm¨ aßig konstanter Geschwindigkeit und konstanter Richtung. Dies ist das Tr¨ agheitsgesetz. Es wird auch als 1. newtonsches Gesetz bezeichnet. L f¨ ur freien Massenpunkt: Wir betrachten zwei (kartesische) Koordinatensysteme, die sich mit konstanter Geschwindigkeit w ~ in dem eben beschriebenen Raum gegeneinander bewegen (z.B. einen Zug der mit w ~ vom Bahnsteig aus gesehen durch einen Bahnhof f¨ ahrt). Man nennt diese Koordinatensysteme Inertialsysteme. Unsere Erfahrung sagt, wenn ~v die Geschwindigkeit eines Massenpunktes im ersten System (Bahnsteig) ist, dann ist ~v 0 = ~v − w ~ seine Geschwindigkeit vom zweiten System (Zug) aus gesehen. Wir schreiben daher 2

L0 = L(v 0 )

= L v 2 − 2~v · w ~ + w2 ∂L ≈ L(v 2 ) − 2 2~v · w ~ , (4.9) ∂v

wobei wir von w v ausgehen. Die Bewegungsgesetze in den beiden Inertialsystemen sollen der Form nach die gleichen sein. Dies 2 bedeutet, dass L(v 0 ) und L(v 2 ) ¨ aquivalent sein m¨ ussen. Um dies zu gew¨ ahrleisten, d¨ urfen sie sich lediglich um die totale Zeitableitung einer Funktion der Koordinaten und der Zeit unterscheiden (vgl. ∂L d oben). D. h. es muss ∂v v ·w ~ = dt f (~r, t) gelten. Mit 2~ 6

∂/∂~v ist immer als ∂/∂vx , ∂/∂vy , ∂/∂vz gemeint. Ebenso ist unten ∂/∂~ r gleichbedeutend mit dem Gradien~ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z). ten ∇ 7 Gleich wird dies noch klarer gezeigt.

L0

m 02 v 2 m 2 (~v − w) ~ = 2 m 2 m = v − m~v · w ~ + w2 2 2 m d −m~r · w ~ + w2 t . (4.11) = L+ dt 2 =

Zwei solche Lagrange Funktionen sind aber wieder im Sinne des Prinzips der kleinsten Wirkung ¨aquivalent. Man sagt auch, sie sind bzgl. des Wechsels zwischen den Bezugssystemen invariant. Bemerkung: Wie Albert Einstein 9 in seiner speziellen Relativit¨atstheorie gezeigt hat, ist die oben 8 W¨ are m negativ, so k¨ onnte S durch Erh¨ ohung der Geschwindigkeit beliebig klein gemacht werden. 9 Einstein, Albert, Physiker, *Ulm 14.3. 1879, † Princeton (New Jersey) 18.4. 1955, Professor in Z¨ urich und Prag, 1914-33 Leiter des Kaiser-Wilhelm-Instituts f¨ ur Physik in Berlin, seitdem Professor in Princeton. Einstein entwickelte um 1905 die spezielle, 1915 die allgemeine Relativit¨ atstheorie, die die moderne Physik auf neue Grundlagen stellten; 1905 formulierte er eine Theorie der brownschen Bewegung, 1907 eine Theorie der spezifischen W¨ arme fester K¨ orper. Seine Erkl¨ arung des a ¨ußeren Photoeffekts (1905, 1921 Nobelpreis f¨ ur Physik) mithilfe der Lichtquantenhypothese trug zur Anerkennung der Quantentheorie bei, obwohl Einstein die statistische Interpretation der Quantenmechanik nie akzeptierte. Die Arbeiten Einsteins nach dem Ersten Weltkrieg galten der allgemeinen Relativit¨ atstheorie, insbesondere einer Theorie der Gravitation und einer einheitlichen Feldtheorie. Mit einem Brief an Pr¨ asident Roosevelt (1939) gab Einstein, ein u ¨berzeugter Pazifist, aus Furcht vor einer deutschen Aggression zusammen mit anderen den Anstoß zum Bau der Atombombe; nach 1945 setzte er sich nachhaltig f¨ ur den Abbau von Kernwaffen ein. Werke: Die ¨ Grundlage der allgemeinen Relativit¨ atstheorie (1916); Uber die spezielle und allgemeine Relativit¨ atstheorie (1917); Mein Weltbild (1934); Die Evolution in der Physik (1950, mit L. Infeld); Lebenserinnerungen (1952). Literatur: Pais,A. Raffiniert ist der Herrgott .... A. Einstein. Aus dem Englischen. Braunschweig u.a. 1986. Kanitscheider,B. Das Welt-

4.1. LAGRANGE FUNKTION EINES SYSTEMS VON MASSENPUNKTEN verwendete Geschwindigkeitsaddition, ~v 0 = ~v − w, ~ nur im Grenzfall v, w Lichtgeschwindigkeit asymptotisch korrekt. Insbesondere muss die dieser Geschwindigkeitsaddition zugrunde liegende Galilei Transformation 10 bild A. Einsteins. M¨ unchen 1988. Highfield,R. und Carter, P. Die geheimen Leben des A.Einstein. Eine Biographie. Aus dem Englischen. Berlin 1994. F¨ olsing,A. A.Einstein. Eine Biographie. Taschenbuchausgabe. Frankfurt am Main 1995. Hermann,A. Einstein. Der Weltweise und sein Jahrhundert. M¨ unchen 21995. Wickert,J. A.Einstein. Reinbek 106.108.Tausend 1995. http://www.westegg.com/einstein/ c

2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 10 Galilei, Galileo, italienischer Mathematiker, Physiker und Philosoph, *Pisa 15.2. 1564, † Arcetri (heute zu Florenz) 8.1. 1642; wurde 1589 Professor in Pisa, 1592 in Padua, 1610 Hofmathematiker und Hofphilosoph des Großherzogs von Florenz; wurde durch die Einf¨ uhrung des systematischen Experiments und der induktiven Methode zum Begr¨ under der neueren Naturwissenschaft. Mit seinen Untersuchungen zur Fall- und Wurfbewegung begr¨ undete Galilei die moderne Kinematik. Er baute 1610 das 1609 in Holland erfundene Fernrohr nach und beobachtete damit u.a. die Phasen der Venus, die Mondgebirge, die vier gr¨ oßten Jupitermonde (Galileische Monde), den Ring des Saturn sowie die Zusammensetzung der Milchstraße aus vielen Sternen. Galilei trat seit 1610 ¨ offentlich f¨ ur das heliozentrische Weltsystem des N.Kopernikus ein. 1613 entwickelte er seine Vorstellungen u altnis der Bibel zur Naturerkenntnis und ¨ber das Verh¨ v.a. zum heliozentrischen System, die eine Neuinterpretation der Heiligen Schrift erforderten. Dies f¨ uhrte zu einer ersten Auseinandersetzung mit der r¨ omischen Kirche, die 1616 mit dem Verbot dieser Lehre durch den Papst antwortete. Seine Schrift Dialogo (1632) f¨ uhrte zum Prozess gegen Galilei; am 22.6. 1633 musste er seinem Irrtum abschw¨ oren und wurde zu Hausarrest in seinem Landhaus in Arcetri verurteilt. In der Haft verfasste er trotz seiner Erblindung die Discorsi e dimostrazioni matematiche (Leiden 1638), in denen er physikalische Probleme wie die Fallgesetze behandelte; als einer der Ersten in Italien bediente sich Galilei bei seinen Schriften der Muttersprache. 1992 wurde Galilei von der r¨ omisch-katholischen Kirche rehabilitiert. Galileis Konflikt mit der Kirche wurde wiederholt in der Literatur behandelt, so von B.Brecht (3.Fassung 1955), M.Brod (1948) und Gertrud von Le Fort (1954). Literatur: Brandm¨ uller, W. Galilei und die Kirche. Ein Fall und seine L¨ osung. Aachen 1994. Hemleben, J. Galileo Galilei mit Selbstzeugnissen und Bilddokumenten. Reinbek 58.60.Tausend 1994. F¨ olsing, A. Galileo Galilei Prozeß ohne Ende. Eine Biographie. Reinbek 1996. Quellentext: Galileis Gespr¨ ache (1638) sind in Dialogform geschrieben und auf dreimal zwei Tage aufgeteilt. Behandelt werden zwei neue Wissenschaften, die Statik und das Bewegungsproblem. Am Beginn des 3./4. Ta¨ ges stellt Galilei voller Selbstbewusstsein fest: Uber einen sehr alten Gegenstand bringen wir eine ganz neue Wissenschaft. Nichts ist ¨ alter in der Natur als die Bewegung, und u ¨ber dieselbe gibt es weder wenig noch geringe Schriften der Philosophen. Dennoch habe ich deren Eigent¨ umlichkeiten in großer Menge und darunter sehr wissenswerte, aber noch nicht erkannte und noch nicht bewiesene in Erfahrung c gebracht. http://www.imss.fi.it/emostr.html 2000 Biblio-

37

~r0 = ~r − wt ~

(4.12)

t0 = t

(4.13)

durch die Lorentz Transformation ~ ~rk0 = γ (w) ~rk − wt

(4.14)

0 ~r⊥ = ~r⊥

(4.15)

w ~ · ~rk t0 = γ (w) t − c2

(4.16)

ersetzt werden (vgl. Abschnitt 3.3). Hier beziehen sich k und ⊥ auf die Richtung von w. ~ Außerdem ist c die Lichtgeschwindigkeit 11 und γ (w) = −1/2 2 . Wir werden noch einmal in Ab1 − wc2 schnitt 4.4 auf die spezielle Relativit¨atstheorie zur¨ uckkommen. Ansonsten arbeiten wir mit Geschwindigkeiten, die ausreichend klein verglichen mit der Lichtgeschwindigkeit sein sollen. Bemerkung: Man beachte

v2 =

ds dt

2 =

ds2 , dt2

wobei ds ein Wegelement ist. Es lautet in kartesischen Koordinaten ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 ,

(4.17)

in Zylinderkoordinaten graphisches Institut & F. A. Brockhaus AG 11 Das daraus folgende relativistische Geschwindigkeitsadditionstheorem lautet:

~vk =

~vk0 + w ~ 1−

w·~ ~ v0 c2

~v⊥ =

0 ~v⊥ 1 ~ v0 γ (w) 1 + w·~ c2

Danach ist c die h¨ ochste asymptotisch errreichbare Geschwindigkeit!

38

KAPITEL 4. PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG

ds2 = dρ2 + ρ2 dφ2 + dz 2 , und in Kugelkoordinaten ds2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 . Damit gilt

L=

m 2 x˙ + y˙ 2 + z˙ 2 2

Gem¨aß Gl. (4.23) gilt f¨ ur die Beschleunigung ~¨ri (t) = m1i F~i (t). Ist F~i (t) bekannt, so k¨onnen wir (4.18) aus Gl. (4.25) in kleinen Zeitschritten ∆t die Bahn von i berechnen. Allerdings ist dieser Algorithmus nicht besonders gut, da der Fehler von der Ordnung ∆t3 ist. Einen ebenso einfachen aber besseren Algorithmus der Fehlerordnung ∆t4 erhalten wir, (4.19) indem wir die Taylorentwicklungen von ~ri (t + ∆t) und ~ri (t − ∆t) um t addieren.

(4.20)

m 2 ρ˙ + ρ2 φ˙ 2 + z˙ 2 2

bzw.

L=

m 2 r˙ + r2 θ˙2 + r2 sin2 θφ˙ 2 . 2

L f¨ ur Systeme von Massenpunkten:

+

∆t) ∼ = 2~ri (t) − ~ri (t − ∆t) +

bzw.

L=

~ri (t

(4.26) 1 ~ Fi (t) ∆t2 . mi

Bei diesem Algorithmus m¨ ussen zwei Orte bekannt sein (z. B. ~ri (0) und ~ri (−∆t)). Man beachte, dass (4.21) der Algorithmus, so wie die Bewegungsgleichungen (4.23), invariant gegen¨ uber Zeitumkehr ist. Die newtonschen Bewegungsgleichungen erhalten wir auch aus dem Lagrange Formalismus, d. h. aus d ∂L ∂L Gl. (4.2) bzw. aus dt ∂~ vi = ∂~ ri , wenn wir von (4.22) X mi v 2 i L=K −U = −U (4.27) 2 i

Die Grundlage der Mechanik von Massenpunkten ausgehen, wobei K die kinetische Energie des Systems ist. Dazu m¨ ussen wir allerdings U als unbilden die newtonschen Bewegungsgleichungen abh¨angig von den Geschwindigkeiten ansehen, d. h. ˙ ~ mi~v i = Fi , (4.23) wobei die Kraft F~i auf Punkt i, die durch alle u ¨brigen Massenpunkte ausge¨ ubt wird, durch

U = U (~r1 (t) , ~r2 (t) , ~r3 (t) , ...) .

(4.28)

Dies hat eine schwerwiegende Konsequenz. Die Wirkung, die i auf j aus¨ ubt, erfolgt instantan. D. h. sie steht in Widerspruch zur speziellen Relativit¨ats∂U (4.24) theorie. Nur wenn die Geschwindigkeiten klein geF~i = − ∂~ri gen¨ uber der Lichtgeschwindigkeit sind, ist dies vertretbar. Allerdings hatte die newtonsche Theorie gegeben ist. Hierbei ist U die potenzielle Energie fast dreihundert Jahre unangefochtenen Bestand des Systems. Ist der Ort und die Geschwindigkeit und sagt beispielsweise Planetenbewegungen sehr des Punktes i zur Zeit t = 0 bekannt, so liefert die pr¨ a zise voraus. Integration von Gl. (4.23) die gesamte vergangene Man k¨onnte jetzt fragen, warum wir das Prinund zuk¨ unftige Bahn des Massenpunktes! Gl. (4.23) zip der kleinsten Wirkung und den Lagrange Forwird auch als 2. newtonsches Gesetz bezeichnet. malismus besprochen haben, um dann die BeweBetrachten wir als Beispiel die Taylorentwicklung gungsgleichungen Gl. (4.23) quasi durch die Hintert¨ ur einzuf¨ uhren. Das Prinzip der kleinsten Wir¨ber die ~ri (t + ∆t) ∼ (4.25) kung ist ein sehr tragf¨ahiges Konzept, das u = Mechanik weit hinausgeht. An manchen Stellen je1 ~ri (t) + ~r˙ i (t) ∆t + ~¨ri (t) ∆t2 . doch m¨ ussen wir gewisse Ans¨atze f¨ ur L machen 2

¨ 4.2. ERHALTUNGSGROSSEN

39

(man sagt auch Theorie dazu) und anschließend die Konsequenzen mit der Wirklichkeit bzw. dem Experiment vergleichen. Hier wußten wir vorab, dass die newtonsche Theorie der Wirklichkeit sehr nahe kommt und haben uns davon leiten lassen. Bemerkung: In den vergangenen beiden Abschnitten haben wir kartesische statt verallgemeinerter Koordinaten verwendet. Die Lagrange Funktion als Funktion der qi erhalten wir durch xi

zeitabh¨angig sein sollte 12 . Die Bewegungsgesetze, die aus L folgen, sollen jetzt oder in tausend Jahren die Gleichen sein. Man spricht auch von der Homogenit¨at der Zeit. Daher gilt X ∂L ∂L dL X ∂L = q˙j + q¨j + dt ∂q ∂ q ˙ ∂t j j |{z} j j =0 ∂L (4.2) X d = q˙j , dt ∂ q˙j j

= fi (q1 , q2 , ..., qs ) bzw.

bzw.

x˙ i

X ∂fi q˙k . = ∂qk

(4.29)

k

d X ∂L q˙j −L =0. dt j ∂ q˙j D. h. die Energie definiert durch

D. h.

L=

1X 2

E= alm ({q}) q˙l q˙m − U ({q}) .

(4.30)

l,m

j

Das Wegintegral Z W =

d~s · F~i

∂L −L ∂ q˙j

E =K +U .

(4.31)

C

wird als die am Massenpunkt i durch die Kraft F~i verrichtete Arbeit bezeichnet (vgl. Abschnitt 1.3). Mit Gl. (4.24) gilt Z

(4.33)

∂U d~s · (4.32) ∂~r C Z =− dU = UAnfang − UEnde .

(4.34)

Impulserhaltung: Die Lagrange Funktion soll auch nicht von der Wahl des Ursprungs in einem geschlossenen System abh¨angen (vgl. Tr¨agheitsgesetz). Mathematisch ausgedr¨ uckt lautet diese Forderung

= −

0 = δL =

C

F¨ ur einen geschlossenen Weg C gilt folglich W = 0. Solche Kr¨afte nennt man konservativ.

4.2

q˙j

ist eine Erhaltungsgr¨oße in geschlossenen Systemen. Da die kinetische Energie quadratisch in den Geschwindigkeitskomponenten ist, folgt insbesondere

Arbeit:

W

X

Erhaltungsgr¨ oßen

Energieerhaltung: Es existiert kein vern¨ unftiger Grund, warum L in einem abgeschlossenen System explizit

X ∂L · δ~r , ∂~ri i

wobei δ~r eine beliebige aber f¨ uP r alle i gleiche Ur∂L sprungsverschiebung ist. D. h. i ∂~ ri = 0. Damit ∂L d ∂L folgt aus ∂~ri − dt ∂~vi = 0, dass der Gesamtimpuls des Systems P~ =

X X ∂L = mi~vi ∂~vi i i

(4.35)

12 Abgeschlossen ist ein System, in dem die Massenpunkte keinen a ussen unterliegen. ¨ußeren Einfl¨

40

KAPITEL 4. PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG

eine weitere Erhaltungsgr¨ oße ist. Die Gr¨oßen p~i = mi~vi sind die Impulse der einzelnen Massenpunkte. Verallgemeinerte Impulse sind durch

~ × ~v δ~v = δ φ 13

∂L pj = ∂ q˙j

. Die Kombination dieser drei Gleichungen liefert

(4.36) 0

Xh

=

definiert.

i ~ × ~ri + p~i · δ φ ~ × ~vi p~˙ i · δ φ

i

Bemerkung: Mit

∂L ∂~ ri

X

=

∂U − ∂~ ri

~· = δφ

folgt aus (4.24)

F~i = 0 .

i X h ~ri × p~˙ i + (~vi × p~i ) i

X ~· d = δφ ~ri × p~i dt i

(4.37)

i

Die Summe aller Kr¨ afte in einem geschlossenen System verschwindet. Im Spezialfall i = 1, 2 ist dies das 3. newtonsche Gesetz (actio=reactio). Analog zu (4.36) definiert

Die Gr¨oße ~ = L

X

~ri × p~i

(4.41)

i

ist der Gesamtdrehimpuls des Systems und es gilt ∂L Fj = ∂qj

(4.38)

verallgemeinerte Kr¨ afte. Wir k¨ onnen die Lagrange Gleichungen daher auch schreiben als p˙j = Fj .

~ dL =0. dt

(4.42)

~ definieren wir durch Analog zu L

(4.39)

~ i = ~ri × p~i . L

(4.43)

Drehimpulserhaltung: Wir w¨ahlen irgendeine Achse durch den ebenfalls beliebig gew¨ ahlten Ursprung unseres geschlossenen Systems. Dann f¨ uhren wir eine (infinitesimale) Drehung um diese Achse aus (vgl. Abbildung 1.9). Auch gegen¨ uber dieser Operation soll die Lagrange Funktion invariant sein (Isotropie des Raumes). Die entsprechende Variation von L ist X ∂L

∂L · δ~vi ∂~ri ∂~vi i X = p~˙ i · δ~ri + p~i · δ~vi = 0 .

δL =

· δ~ri +

i

F¨ ur δ~r schreiben wir

die Drehimpulse der Massenpunkte bzgl. der gew¨ahlten Achse. Man beachte den Zusatz ...bez¨ uglich der gew¨ahlten Achse.... Ersetzt man n¨amlich ~ri durch ~ri0 = ~ri + ~a, wobei ~a ein beliebiger Translationsvektor ist, dann folgt ~ 0i = ~ri0 × p~i = L ~ i + ~a × p~i L

13 Allgemein ergibt sich f¨ ~ unur einen beliebigen Vektor A ~ die Anderung ~ = ¨ ter einer infinitesimalen Rotation δ φ δA ~ × A. ~ Entsprechend gilt f¨ ¨ δφ ur seine Anderung pro Zeit: ~ ~ δA ~ oder dA = ω ~ Der Index I bedeu= δφ × A ~ × A. δt

δt

dt I

¨ tet, dass sich die Anderung auf das Inertialsystem bezieht. ~ A ~ zus¨ Hat aber der Vektor A atzlich eine Ableitung ddt 6= 0 R innerhalb des rotierenden Bezugssystems R, dann gilt insgesamt die wichtige Formel ~ ~ dA ~ = dA + ω ~ ×A I dt dt R

~ × ~r . δ~r = δ φ Analog gilt f¨ ur δ~v

(4.44)

(vgl. Aufgabe).

(4.40)

¨ 4.2. ERHALTUNGSGROSSEN

41

bzw.

zusammen. ~0 = L ~ + ~a × P~ . L

Weitere Erhaltungsgr¨oßen (4.45)

Die eben diskutierten Erhaltungsgr¨oßen sind von ~ besonderer Bedeutung, da sie mit fundamentalen Ist der Gesamtimpuls des Systems Null, so ist L bzgl. der Translation der Drehachse invariant. Symmetrien des Raumes und der Zeit in engem Zusammenhang stehen. Es existieren jedoch weitere Bemerkung: Man kann sich u ¨berlegen, dass Erhaltungsgr¨oßen, deren Bedeutung weit weniger offensichtlich ist. Die Existenz dieser weiteren Erhaltungsgr¨oßen X ∂L Lz = (4.46) - statt Erhaltungsgr¨oßen wird in der Literatur ∂ φ˙ i i h¨aufig von Bewegungsintegralen gesprochen - erkl¨art sich wie folgt: Wir betrachten die L¨osung die Projektion des Drehimpulses auf eine z-Achder Bewegungsgleichungen in einem abgeschlossese ist, wobei φi Drehwinkel bez¨ uglich dieser Achnen System, das durch j = 1, 2, ..., s Koordinaten se sind. Begr¨ undung: In Zylinderkoordinaten gilt qj sowie Impulskomponenten pj charakterisiert ist. x Pi = ρi cos φi , yi = Pρi sin φ2i ˙ und daher Lz = Die L¨osungen der Bewegungsgleichungen enthalten y˙ i − yi x˙ i ) = i mi ρi φi . Andererseits gilt i mi (xiP 2s freie Konstanten (Anfangsbedingungen) Ci . In 14 L = 21 i mi (ρ˙ 2i + ρ2i φ˙ 2i + z˙i2 ) − U . einem abgeschlossenen System ist der Zeitursprung Bemerkung: Aus der obigen Herleitung folgt, beliebig w¨ahlbar. Eine Konstante ist daher die kondass f¨ ur ein System in einem ¨ außeren Feld, das eine stante Zeit t . Somit kann die L¨osung der Beweo Symmetrieachse besitzt, die Projektion des System- gungsgleichungen durch drehimpulses auf diese Achse zeitunabh¨ angig bzw. eine Erhaltungsgr¨ oße ist (Warum? 15 ). qj = qj (t + to , C1 , C2 , ..., C2s−1 ) (4.50) Bemerkung: Die Beziehung des Systemdrehimpulses, betrachtet in zwei unterschiedlichen Inerti- und alsystemen, lautet q˙j = q˙j (t + to , C1 , C2 , ..., C2s−1 ) (4.51) ~ =L ~0 + m(R ~ × w) L ~ , (4.47) ausgedr¨ uckt werden. D. h. es existieren insgesamt P 2s − 1 Bewegungsintegrale! wobei m = i mi und w ~ = ~vi − ~vi0 . Außerdem ist Betrachten wir dazu als kurzes Beispiel den eindimensionalen Oszillator (vgl. Abschnitt 3.2; hier P ist q die Auslenkung aus der Ruhelage q = x − x0 ). ~ = Pi mi~ri R (4.48) Es gilt i mi ~ p˙ k p der Schwerpunkt P des Systems. Begr¨ P Pundung: L = und q = − bzw. q¨ = − q , q˙ = 0 m (~ r × ~ v ) = m (~ r × ~ v )+ m (~ r × w). ~ m k m i i i i i i i i i i i Offensichtlich l¨asst sich Gl. (4.47) auch als wobei m die Masse und k die Kraftkonstante ist. Die allgemeine L¨osung lautet ~ =L ~0 + R ~ × P~ L

(4.49) q = q0 sin

r k

(t + t0 )

~ setzt sich m schreiben. D. h. der Drehimpuls L ~0 im Ruhsystems des (vgl. Abschnitt 2.2; das mathematische Pendel entaus dem Eigendrehimpuls L Schwerpunkts und dem Schwerpunktdrehimpuls spricht f¨ ur kleine Auslenkung genau dem vorliegenden Fall). Hier ist s = 1, und daher ist q0 das einzi14 vgl. Gl. (4.21) 15 In diesem Fall ist L nicht von φ abh¨ angig und mit (4.2) ge Bewegungsintegral korrespondierend zur erhali folgt die Behauptung. tenen Gesamtenergie E, d. h. aus E = 21 mq˙ + 12 kq 2

42

KAPITEL 4. PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG

q 2 Ek . Betrachten wir dagegen zwei folgt q0 = gekoppelte eindimensionale Oszillatoren (Befestigung-Feder-Masse-Feder-Masse), so lautet die entsprechende L¨ osung

d dw ~ (m~r0 · w) ~ − m~r0 · dt dt

m~v 0 · w ~=

an (d. h. d/dt (...) kann weggelassen werden). Damit folgt

qi = qi,0 sin ω (t + ti,0 ) , √ k mit i = 1, 2 und ω = 3± 5 m . Wenn wir t1,0 mit t0 identifizieren, dann bleiben drei Bewegungsintegrale (s = 2). Nur eines kann wiederum u ¨ber die Bedingung der Erhaltung der Ge- k 2 2 2 2 samtenergie, E = m 2 (q˙1 + q˙2 ) + 2 q1 + (q1 − q2 ) = konstant, durch E ersetzt werden. In Kapitel 9 werden wir auf Vielteilchensysteme zu sprechen kommen und auf die Rolle der Bewegungsintegrale bei der Beschreibung solcher Systeme. q

L0 =

1 2

(4.52)

und somit die Bewegungsgleichung 0

m~v˙ = −

∂U − mw ~˙ . ∂~r

(4.53)

Der Bezugssystemwechsel von K nach K 0 entspricht also dem Auftreten eines homogenen Kraftfeldes −mw. ~˙ 0 : System KR

4.3

m~v 02 − m~r0 · w ~˙ − U 2

Lagrange Funktion im beschleunigten System

Gem¨aß Gl. (4.40) gilt 0 0 ~v 0 = ~vR +ω ~ × ~rR .

(4.54)

Einsetzen in Gl. (4.52) ergibt Wir stellen uns die folgenden drei Koordinatensysteme vor: Ein Inertialsystem K, ein dazu mit m 02 0 0 der Translationsgeschwindigkeit w ~ (t) bewegtes ~vR + m~vR · (~ ω × ~rR ) (4.55) L0R = 0 2 System K und ein mit der Winkelgeschwindigkeit m 0 2 0 0 , dessen Nullpunkt ω ~ (t) rotierendes System KR + (~ ω × ~rR ) − mw ~˙ · ~rR −U . 2 0 mit dem von K zusammenf¨ allt. Die Lagrange 0 0 zu bzw. ∂L0R /∂~rR Funktionen eines Teilchensystems lauten in diesen Um die Ableitungen ∂L0R /∂~vR 0 0 0 erhalten, bilden wir dLR : drei Bezugssystemen L, L und LR . System K: Wenn ~v die Geschwindigkeit eines Teilchens im K-System ist, dann gilt L= System K 0 :

L0 =

m 2 ~v − U . 2

Mit ~v = ~v 0 + w ~ (t) folgt

m 2 m 02 ~v + m~v 0 · w ~+ w ~ −U . 2 2

dL0R

0 0 0 0 = m~vR · d~vR + m (~ ω × ~rR ) · d~vR 0 0 +m~vR · (~ ω × d~rR ) 0 0 +m (~ ω × ~rR ) · (~ ω × d~rR ) ∂U 0 0 −mw ~˙ · d~rR − 0 · d~rR ∂~rR 0 0 0 0 = m~vR · d~vR + m (~ ω × ~rR ) · d~vR 0 0 +m (~vR × ω ~ ) · d~rR 0 0 +m ((~ ω × ~rR )×ω ~ ) · d~rR ∂U 0 0 −mw ~˙ · d~rR − 0 · d~rR . ∂~rR

~ 2 k¨ onnen wir auch weglassen. Gem¨aß Den Term m 2w der Bemerkung im Anschluß an Gl. (4.2) ¨andert dies die Bewegungsgleichungen nicht, da wir w(t)2 Daraus folgt sofort als vollst¨ andige Ableitung nach der Zeit einer Funktion f (t) schreiben k¨ onnen. Das gleiche Argument ∂L 0 0 vR + m (~ ω × ~rR ) 0 = m~ wenden wir auch auf ∂~vR

4.3. LAGRANGE FUNKTION IM BESCHLEUNIGTEN SYSTEM

43

und ∂L 0 ∂~rR

ω 0 0 = m (~vR ×ω ~ ) + m ((~ ω × ~rR )×ω ~)

−mw ~˙ −

N

∂U 0 . ∂~rR

z'

Einsetzen in die Lagrange-Gleichung liefert die Bewegungsgleichung im rotierenden System: 0 m~v˙ R

R

P

y'

R

α R

nördlicher Breitengrad

∂U 0 ~˙ + m(~rR ×ω ~˙ ) (4.56) = − 0 − mw ∂~rR 0 0 +2m(~vR ×ω ~ ) + m (~ ω × (~rR ×ω ~ )) .

ϕ

x'

R

θE

Die letzten beiden Terme treten auch bei gleichf¨ormiger Rotation auf und heißen Coriolis- 16 bzw. Zentrifugalkraft. Foucaultsches Pendel 17 : Wir betrachten in diesem Beispiel das mathematische Pendel in einem rotierenden Bezugssystem (wie es z. B. in der Eingangshalle zu unserem Physikgeb¨ aude h¨ angt). Die Situation ist in Abbildung 4.1 illustriert. In der Abbildung 4.1 sei...

Abbildung 4.1: Illustration des foucaultschen Pendels an der Erdoberfl¨ache.

~ der Vektor vom Erdmittelpunkt zum • ...R Aufh¨angepunkt des Pendels.

verlegt haben 18 , hatten wir die Gl. (4.56) hergeleitet. Offensichtlich gilt in unserem Fall w ~˙ = ω ~˙ = 0. D. h.

• ...P~ der Vektor der L¨ ange l vom Aufh¨angepunkt zur Pendelmasse.

˙ mv~0 R = F~g + T~ + 2mv~0 R × ω ~ + m~ ω × (r~0 R × ω ~) .

~ • ...α der Auslenkwinkel relativ zu R.

Hier ist

• ...ϕ der Winkel der Projektion von P~ (Pendele0 -Ebene (z.B. der Fußboden bene) auf die x0R -yR in der Eingangshalle). ~ • ...θ der Winkel zwischen Erddrehachse und R. 0 F¨ ur die Bewegung eines Massenpunktes im x0R -yR 0 zR -System, wobei wir hier den Ursprung dieses Systems aus grafischen Gr¨ unden an die Erdoberfl¨ache 16 Coriolis-Kraft – nach dem franzsischen Physiker Gaspard Gustave de Coriolis, *1792, †1843 17 Foucault, Leon, franz¨ osischer Physiker, *Paris 18.9.1819, †ebenda 11.2.1868; bewies mithilfe eines Pendels (foucaultsches Pendel) die Umdrehung der Erde (foucaultscher Pendelversuch), lieferte den Nachweis, dass sich das Licht in Wasser langsamer fortpflanzt als in Luft, untersuchte die elektrischen Wirbelstr¨ ome in Metallen. c

Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim, 2004.

~ + P~ = R ~ + l~ek r~0 R = R mit 

 0 ~ = 0  R 1 19



 cos ϕ sin α und ~ek =  sin ϕ sin α  − cos α

. Die Geschwindigkeit der Pendelmasse ist ˙ v~0 R = r~0 R = l~e˙ k

18 In

Wirklichkeit liegt er im Erdmittelpunkt. und sp¨ ater ~e⊥ haben wieder die gleiche Bedeutung wie im Fall des (einfachen) mathematischen Pendels in Abbildung 2.1. 19 ~ ek

44

KAPITEL 4. PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG

mit 

~e˙ k

 −ϕ˙ sin ϕ sin α + α˙ cos ϕ cos α =  ϕ˙ cos ϕ sin α + α˙ sin ϕ cos α  α˙ sin α   − sin ϕ = ϕ˙ sin α  cos ϕ  − α~ ˙ e⊥ , 0

wobei 

 cos ϕ cos α ~e⊥ = −  sin ϕ cos α  sin α

~ = 2ml~e˙ k × ω ~ 2mv~0 R × ω   0 = 2ml~e˙ k ×  sin θE  cos θE    cos ϕ cos θE = 2mωl ϕ˙ sin α  sin ϕ cos θE  (4.59) − sin ϕ sin θE   sin ϕ cos α cos θE − sin α sin θE  . − cos ϕ cos α cos θE +α˙  cos ϕ cos α sin θE F¨ ur den Zentrifugalbeitrag erhalten wir

ist. Die Beschleunigung der Pendelmasse ist 

 0 m~ ω × r~0 R × ω ~ = mω 2  sin θE  cos θE      0 0 ×  0  + l~ek  ×  sin θE  cos θE R   cos ϕ sin α (4.60) = mω 2 l  κ cos θE  . −κ sin θE

   − sin ϕ ˙~0 v R = l~¨ek = l (ϕ¨ sin α + ϕ˙ α˙ cos α)  cos ϕ  0    cos ϕ −ϕ˙ 2 sin α  sin ϕ  − α ¨~e⊥ − α˙ ~e˙ ⊥  0 mit  − sin ϕ ˙ ek . ~e˙ ⊥ = −ϕ˙ cos α  cos ϕ  + α~ 0 

Insgesamt gilt also

mit κ = sin ϕ sin α cos θE − (R/l − cos α) sin θE . Wir k¨onnen jetzt die eigentliche Bewegungsgleichung gem¨aß Gl. (4.57) aufstellen. Dazu bemerken wir zun¨achst, dass die Pendelschwingung ausgedr¨ uckt durch α (t) schnell ist im Vergleich zur Pendel(ebenen)drehung ausgedr¨ uckt durch ϕ (t). D. h.

   − sin ϕ ˙~0 p v ⊥ = l (ϕ¨ sin α + 2α˙ ϕ˙ cos α)  cos ϕ  g/l bzw. α ¨ ∼ ω02 = g/l α ˙ ∼ ω = 0 0    cos ϕ im Vergleich zu −ϕ˙ 2 sin α  sin ϕ  − α ¨~e⊥ − α˙ 2~ek  .(4.57) 0 ϕ˙ ∼ ω = 2π/(24Std.) bzw. ϕ¨ ∼ ω 2 . Jetzt betrachten wir die Kr¨ afte, die auf die Pendelmasse einwirken. Zun¨ achst sind dies Gravitation Mit l = 1m erhalten wir und Fadenspannung: F~g + T~ ≈ mg cos α~ek + mg sin α~e⊥ − T ~ek . (4.58)

ω ' 2 · 10−15 . ω0

Hier vernachl¨ assigen wir eine kleine Inhomogenit¨at Außerdem gilt R l bzw. R ± l ' R und 20 des Gravitationsfeldes aufgrund der Kugelform der Erde. Der Beitrag der Corioliskraft ist ω2 R ' 3 · 10−3 . 20 bzw. α-Abh¨ angigkeit w02 l

4.4. WIRKUNGSINTEGRAL FREIER RELATIVISTISCHER TEILCHEN ˙ Vergleichen wir also mv~0 R (Gl. (4.57)) mit den Gln. (4.58), (4.59) und (4.60) so folgt −¨ α~e⊥ − α˙ 2~ek ≈ ω02 cos α~ek + ω02 sin α~e⊥ −

T ~ek . ml

∆ϕ24 Std. ≈ − cos θE . Das foucaultsche Pendel im Eingangsbereich zur Physik dreht in 24 Stunden um ∆ϕ ' 281◦ . D. h.

Dies ist unsere bekannte Gleichung f¨ ur das mathematische Pendel (vgl. Abschnitt 2.2). D. h.

θE ≈ arccos

α ¨

≈

2

≈

α˙

−ω02 sin α ≈ −ω02 α (α klein) T T −ω02 cos α + ≈ −ω02 + . ml ml

45

281 360

= 38.7◦ .

Der entsprechende (n¨ordliche) Breitengrad ist

90 − θE ≈ 51.3◦ . Was ϕ (t) betrifft, so interessiert uns lediglich die 0 x0R -yR -Ebene. Mit sin α ≈ α und cos α ≈ 1 (kleine Vergleichen Sie diesen Wert mit der Zahl an unserem Pendel! Auslenkung) folgt daher − sin ϕ (ϕα ¨ + 2ϕ˙ α˙ + 2ω α˙ cos θE ) cos ϕ α cos ϕ ≈ ω2 −R/l cos θE sin θE cos ϕ + ϕ˙ 2 α + 2ω ϕα ˙ cos θE sin ϕ − sin θE −2ωαα˙ 0 wobei wir g g cos ϕ cos ϕ − α 0≈ α sin ϕ sin ϕ l l | {z } =0 T cos ϕ − α+α ¨ − α˙ 2 α sin ϕ ml ausgenutzt haben. Wenn wir die Terme O (ω) ber¨ ucksichtigen (und im Grenzfall α → 0) folgt (ϕ˙ + ω cos θE )

− sin ϕ cos ϕ

≈0

bzw. ϕ˙ ≈ −ω cos θE , wobei der cos θE -Term aus dem Beitrag der Corioliskraft stammt. F¨ ur ϕ˙ = ∆ϕ/∆t und ∆t = 24 Std. folgt

4.4

Wirkungsintegral freier relativistischer Teilchen

Lorentz Transformation: ¨ Ziel der folgenden Uberlegungen ist eine m¨oglichst allgemeine Form der Transformationsgleichungen f¨ ur die Koordinaten und die Zeit zwischen Inertialsystemen K und K 0 auf der Basis des Relativit¨atsprinzips 21 22 . Wir betrachten den in Abbildung 4.2 dargestellten Fall. Die allgemeinste Form der Transformationsgleichungen, die mit R1 vertr¨aglich ist, lautet i) K → K 0

21 Naturgesetze

x0 = γ(w) (x − wt) y 0 = α(w)y z 0 = α(w)z t0 = µ(w)t + (w)x .

sind in allen Inertialsystemen gleich (Erfahrungstatsache). D. h. die Gleichungen, durch die die Naturgesetze ausgedr¨ uckt werden, sind invariant unter Transformationen der Koordinaten und der Zeit von einem Inertialsystem zum anderen. Insbesondere gilt: (R1) Raum und Zeit sind homogen. Der Koordinatenursprung ist willk¨ urlich w¨ ahlbar. (R2) Der Raum ist isotrop. Alle Richtungen sind aquivalent. Siehe auch U. E. Schr¨ oder (1981) Spezielle Re¨ lativit¨ atstheorie. Verlag Harri Deutsch 22 Bemerkung zu Erfahrungstatsachen: Mit Erfahrungstatsachen sollte man nat¨ urlich vorsichtig umgehen. Gerade die Relativit¨ atstheorie zeigt dies. Man sollte es lieber wie folgt sehen. Ausgehend von gewissen Postulaten wird eine Theorie entwickelt. Diese muss sich dann im Experiment bew¨ ahren. Tut sie es nicht, dann m¨ ussen die Postulate hinterfragt werden.

46

KAPITEL 4. PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG

z

sowie

z'

iv)

y

y 0 = α (w) α (−w) y 0 = α2 (w) y 0 | {z }

y'

K w

x

K'

=1

x'

und nichts Neues von den anderen Gleichungen! Aus α2 (w) = 1 folgt α (w) = ±1. Das Vorzeichen ist +, da f¨ ur limw→0 α (w) → 1 gelten muss. In γ 2 (w) + wγ (w) (w) = 1 f¨ uhren wir als Definition wγ(w) 23 und erhalten: ein: (w) ≡ − η2 (w)

Abbildung 4.2: Inertialsytsem K 0 bewegt sich relativ zu Inertialsystem K mit der Geschwindigkeit w entlang x bzw. x0 . Wegen R2 muss ebenfalls gelten ii) K 0 → K

1 γ (w) = q . 2 1 − η2w(w) Damit folgt x0 y0 z0

x = γ(−w) (x0 + wt0 ) y = α(−w)y 0 z = α(−w)z 0 t = µ(−w)t0 + (−w)x0 .

Einen dritten Satz von Gleichungen ergibt die Inversion von w, x, x0 (sowie y, y 0 um Rechtssystem zu erhalten): iii) −x0 = −γ(−w) (x − wt) −y 0 = −α(−w)y z 0 = α(−w)z t0 = µ(−w)t − (−w)x .

t0

= γ (w) (x − wt) = y = z wx . = γ (w) t − 2 η (w)

(4.61) (4.62) (4.63) (4.64)

Mehr Info u ¨ber γ (w) erhalten wir daraus, dass w w w K →1 K 0 →2 K 00 a¨quivalent zu K → K 00 m¨oglich ist. D. h. x00 t00

Der Vergleich von i) und iii) liefert

= γ (w2 ) (x0 − w2 t0 ) w2 x0 0 = γ (w2 ) t − 2 η (w2 )

bzw. iv) γ(w) = γ(−w) α(w) = α(−w) µ(w) = µ(−w) (w) = −(−w) .

x00

Einsetzen von ii) in i) zusammen mit iv) ergibt

t00

x0

=

γ (w) γ (−w) (x0 + wt0 )

iv)

−w µ (−w) t0 + (−w) x0 γ 2 (w) + wγ (w) (w) x0 | {z }

=

=1

+wγ (w) (γ (w) − µ (w)) t0 | {z } =0

= γ (w2 ) γ (w1 ) (x − w1 t) w1 x −w2 γ (w1 ) t − 2 η (w1 ) = ...

ist ¨aquivalent zu x00 t00

= γ (w) (x − wt) = ... .

23 Diese Definition erf¨ ullt die Bedingung (w) = − (−w). Das negative Vorzeichen sorgt außerdem f¨ ur ein mathematisch sinnvolles Geschwindigkeitsadditionstheorem (s.u.).

4.4. WIRKUNGSINTEGRAL FREIER RELATIVISTISCHER TEILCHEN

Der Ortsvektor in K sei ~r = ~r⊥ + ~rk mit ~r⊥ ⊥ w ~ und ~rk k w. ~ Es gilt dann

Daraus folgen die Gleichungen

γ (w) −wγ (w)

w1 w2 = γ (w1 ) γ (w2 ) 1 + 2 η (w1 ) = −γ (w1 ) γ (w2 ) (w1 + w2 )

~rk0

t w1 + w2 w2 . 1 + ηw2 1(w 1)

= γ (w) ~rk − wt ~

0 ~r⊥

und somit

w=

47

= ~r⊥ w ~ · ~rk = γ (w) t − c2

0

Mit ~r⊥ = ~r − 0 ~r0 = ~rk0 + ~r⊥

Dieses spezielle Geschwindigkeitsadditionstheorem macht nur Sinn, wenn η = Konstante (d. h. η = c, die Lichtgeschwindigkeit 24 ). Insbesondere gilt f¨ ur w1 = w und w2 = c

~r0

t0

w+c w+c =c. =c w= 1 + wc w +c 2 c

(~ r ·w) ~ w ~ w2

.

(~ r ·w) ~ w ~ w2

folgt f¨ ur

(~r · w) ~ w ~ 2 w

(4.66)

und ~rk =

= ~r + (γ (w) − 1)

−γ (w) wt ~ w ~ · ~r = γ (w) t − 2 , c

(4.67)

wobei ~r⊥ · w ~ = 0 verwendet wurde.

D. h. c ist die h¨ochste erreichbare Geschwindigkeit! Also:

Transformation der Geschwindigkeiten:

Inertialsystem K 0 bewegt sich mit w ~ von K aus r0 d~ r 2 sowie ~v 0 = d~ gesehen, und es seien ~ v = w dt dt0 die 2 c jeweiligen Laborgeschwindigkeiten. Es folgt mittels Offensichtlich folgen die Galilei Transformationen Gl. (4.66) f¨ ur w → 0 bzw. c → ∞ 25 . Die speziellen Lorentz Transformationen 26 (4.61), (4.62), (4.63), (4.64) d~r0 (η = c!) und (4.65) zusammen mit der Existenz ei- ~v 0 = dt0 ner Grenzgeschwindigkeit sind das Ergebnis dieses d~r Abschnitts. Man beachte auch, dass die Zeit nicht = ~ r γ (w) dt − w·d~ c2 mehr als unabh¨ angige Koordinate auftritt, sondern γ (w) − 1 (d~r · w) ~ w ~ 1 wdt ~ als Komponente des Raum Zeit-Kontinuums. + − w·d~ ~ r ~ r 2 γ (w) w dt − c2 dt − w·d~ c2 Verallgemeinerung auf beliebige Raumrichtungen: bzw. 1 γ(w) = q 1−

.

(4.65)

24 Im

Prinzip wissen wir hier noch nicht, dass c die Lichtgeschwindigkeit ist. Erst in der Elektrodynamik werden wir diesen Zusammenhang herstellen. 25 Außer in diesem Abschnitt verwenden wir hier durchweg die Galilei Transformationen. 26 Lorentz, Hendrik Antoon, niederl¨ andischer Physiker, *Arnheim 18.7. 1853, †Haarlem 4.2. 1928; Professor in Leiden, erkl¨ arte 1875 auf der Grundlage der maxwellschen Theorie die Brechung und Reflexion des Lichtes und mithilfe seiner Elektronentheorie (1895) auch den Zeeman Effekt sowie die Drehung der Polarisationsebene des Lichtes im magnetischen Feld; f¨ uhrte 1892 die Lorentz Kontraktion, 1895 die Lorentz Kraft und 1899 die Lorentz Transformation in die Elektrodynamik ein. 1902 erhielt er zusammen mit P. c Zeeman den Nobelpreis f¨ ur Physik. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

~v 0

=

1 h ~v (4.68) ~ v γ (w) 1 − w·~ c2 i 1 (~v · w) ~ w ~ + 1− − w ~ . γ (w) w2

Die Umkehrung dieser Gleichung ist durch

~vk und

=

~vk0 + w ~ 1+

w· ~ v~0 c2

(4.69)

48

KAPITEL 4. PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG

~v⊥

0 1 ~v⊥ ~ v~0 γ(w) 1 + w· 2

=

r (4.70)

0

dt = dt

1−

c

dt dx2 + dy 2 + dz 2 = c2 dt2 γ (v)

gegeben, wobei sich k bzw. ⊥ auf die Richtung von bzw. w ~ beziehen. Die Gl. (4.69) ist wiederum das schon erw¨ahnte Geschwindigkeitsadditionstheorem.

cdt . γ (v)

ds = Wirkungsintegral freier Teilchen: Das Wirkungsintegral S soll nicht vom Inertialsystem abh¨ angen. D. h. es soll eine Invariante unter Lorentz Transformationen sein. Es muss daher von Skalaren abh¨ angig sein; die einzige M¨ oglichkeit ist αds, wobei α eine Konstante und

Somit gilt Z

t2

αc dt . γ (v)

S=− t1

Im klassischen Grenzfall erwarten wir ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2

(4.71)

der infinitesimale Abstand zweier Ereignisse ist Somit sollte gelten:

27

.

Z

t2

lim S =

v→0

L(kl) dt

t1

mit der klassischen Lagrange Funktion L(kl) = S = −α ds . (4.72) mv 2 /2. Daraus folgt α = mc. Die relativistische a Lagrange Funktion des freien Teilchens ist somit Hier gilt α > 0, wie wir gleich sehen werden. Aus der speziellen Situation mc2 . (4.73) L=− γ (v) Z

b

ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = c2 dt02

Aus p~ =

∂L ∂~ v

folgt

folgt 27 Im System K geht zum Zeitpunkt t am Ort x , y , z 1 1 1 1 ein Lichtsignal aus (erstes Ereignis) und wird zur Zeit t2 am Ort x2 , y2 , z2 aufgefangen (zweites Ereignis). Es gilt

s221

≡

2

2

2

c (t2 − t1 ) − (x2 − x1 ) − (y2 − y1 )

2

− (z2 − z1 )2 = 0 ,

p~ = mγ (v) ~v

(4.74)

der relativistische Impuls mit der bekannten Geschwindigkeits¨abh¨angigkeit der Masse. Aus der Definition der Energie, E = p~ ·~v −L , folgt die ber¨ uhmte Formel

bzw. im System K 0 s02 21

≡

c2 t02 − t01

2

0 2

− z20 − z1

− x02 − x01

2

− y20 − y10

2

=0.

D. h. verschwindet der Abstand s12 zweier Ereignisse in einem Inertialsystem, dann gilt dies auch f¨ ur alle anderen. Sind zwei Ereignisse infinitesimal benachbart, so gilt

E(v) = mγ (v) c2 .

Aus der Kombination von (4.74) mit (4.75) folgt sofort der relativistische Energie-Impuls-Satz E(v)2 = p(v)2 c2 + E(0)2 .

ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 . Wie man leicht zeigen kann (vgl. [3] §2), ist ds und damit s eine Invariante unter Lorentz Transformationen.

(4.75)

Transformation der Kraft:

(4.76)

4.5. EINE ANWENDUNG AUS DER CHEMIE

49

Die Definition der Kraft F~ beruht auf einer Kon- neben seinen (kartesischen) Koordinaten ~ri (t) eine ul vention 28 . In der newtonschen Mechanik sind die Ladungskoordinate“ ei (t). Das gesamte Molek¨ ” soll aus N Atomen bestehen und besitzt die Lafolgenden Formen ¨ aquivalent: grange Funktion d~v d d~ p F~ = m~a = m = (m~v ) = . dt dt dt Hier ist ~a die Beschleunigung. F¨ ur relativistische Geschwindigkeiten gilt aber Gl. (4.74), so dass die obigen vier Formen nicht mehr ¨ aquivalent sind. Wir verwenden hier die Form d d~ p = mγ (v) ~a + m~v γ (v) . F~ = dt dt D. h. (~a · ~v ) ~v . F~ = mγ (v) ~a + mγ 3 (v) c2

L=

N X mi i=1

2

~vi2 +

N X me i=1

2

e˙ 2i − U ({ei }, {~ri }) .(4.79)

Der zweite Term ist eine kinetische Energie“ der ” ei , wobei me ein Massenparameter“ ist. Der Term ” U soll hier zus¨atzlich zur normalen“ potenziel” len Energie die Energie der Ladungen beschreiben, wobei diese auch von den Positionen der Atome abh¨angt. Eine nat¨ urliche Zwangsbedingung ergibt sich aus der Neutralit¨at des Molek¨ uls, d. h. N X

(4.77)

ei = 0 . (4.80) i=1 ~ Man beachte, dass F nicht mehr parallel zu ~a sein muss. Die Transformationsformel f¨ ur die Kraft lau- Im Sinne der Gl. (4.6) erhalten wir somit die Betet wegungsgleichungen

F~ 0 =

~ F γ(w)

+w ~

h

1−

1 γ(w)

1−

w·~ ~ v c2

~ w· ~ F w2

−

~ −~ ~ v ·F v˙ ·~ p v2

i ∂U mi~¨ri = − ∂~ri

.

(4.78) Hier bewegt sich das gestrichene System relativ zum ungestrichenen wieder mit der konstanten Geschwindigkeit w. ~

4.5

Eine Anwendung aus der Chemie

me e¨i = −

∂U +λ ∂ei

(4.81)

(4.82)

Der Lagrange Parameter λ ergibt sich durch Summation der Gl. (4.82) u ¨ber i, d. h.

λ

=

N N d2 X i 1 h X ∂U + me 2 ei (4.83) N i=1 ∂ei dt i=1 | {z }

Wir haben uns daran gew¨ ohnt, dass die qj der (nicht-relativistischen) Lagrange Funktion Koordi=0 naten eines mechanischen Systems sind. Aber es N X 1 ∂U geht auch anders. Dazu ein Beispiel. Molek¨ ule, wie = . wir wissen, sind aus Atomen aufgebaut, die gem¨aß N i=1 ∂ei ihrer Elektronenaffinit¨ at eine von Null verschiedene Partialladung ej tragen k¨ onnen. Diese h¨ angt auch Aber machen diese Bewegungsgleichungen Sinn? von anderen in der N¨ ahe befindlichen Ladungen ek Dazu sollten die Ladungen ei bei festgehaltenen ab. In einem einfachen Modell sind diese Ladun- Atompositionen ~ri um endliche Gleichgewichtswergen dynamische Variablen, d. h., jedes Atom i hat te e¯i schwanken. Um dies zu u ufen, setzen wir ¨berpr¨ 28 siehe auch H. Melcher Relativit¨ ¯i + δei in Gl. (4.82) ein. Mit ¨e¯i = 0 und der atstheorie in elementarer ei = e Darstellung. Aulis Verlag Deubner & CoKg Taylorentwicklung

50

KAPITEL 4. PRINZIP DER KLEINSTEN WIRKUNG

¯ U =U

folgt

Offensichtlich wird das System instabil, d. h. δ~e0 w¨achst ur irgendeine Ladung N √ grenzenlos, wenn f¨ X ∂U λ } = 6 0 gilt. Dies soll hier aber nicht weiter Re{ i (4.84) + δej ∂e e¯j j untersucht werden, denn dazu brauchen wir ein exj=1 29 plizites Modell f¨ u r U . Eine zus¨atzliche Referenz N 1 X ∂ 2 U zu der hier skizzierten Stabilit¨ atsanalyse ist bei+ δej δek + ... 2 ∂ej ∂ek e¯j ,¯ek spielsweise M. Braun (1979) Differenzialgleichunj,k=1 gen und ihre Anwendungen, Springer.

N

me δ¨ ei = −

+

X ∂ 2 U ∂U δej (4.85) − ∂ei e¯i j=1 ∂ei ∂ej e¯i ,¯ej

N N 1 X ∂U 1 X ∂ 2 U δej + ... . + N i=1 ∂ei e¯i N i,j=1 ∂ei ∂ej e¯i ,¯ej

Die Summe des ersten und dritten Terms muss Null sein, da die e¯i das System (4.85) l¨ osen sollen. Somit folgt in Matrixschreibweise δ~¨e = M · δ~e

(4.86)

mit δ~e = (δe1 , ..., δeN ) und " # N 1 ∂ 2 U 1 X ∂ 2 U Mij = − + me ∂ei ∂ej e¯i e¯j N i=1 ∂ei ∂ej e¯i ,¯ej Die weitere Vorgehensweise besteht darin, eine Matrix S zu suchen, die die Matrix M diagonalisiert. D. h. S−1 · M · S = Λ und S · S−1 = I, wobei die Diagonalmatrix Λ die Eigenwerte λi (nicht mit Lagrange Parametern verwechseln!) von M enth¨alt. Durch Multiplikation von (4.86) mit S−1 von links bzw. mit S von rechts erhalten wir 0

δ~¨e = Λ · δ~e0 mit δ~e0 = S−1 · δ~e. Ein entsprechender L¨osungsansatz ist   δ~e0 =  

0

(+)

δe1 0

(+)

√

e √

δeN e

λ1 t

λN t

0

+ .. .

√ (−) − λ1 t

δe1 0

(−)

e

√

+ δeN e−

λN t

   . 

29 Z.B. S.W. Rick et al. (1994) Dynamical fluctuating charge force fields, J. Chem. Phys. 101, 6141-6156

Kapitel 5

Integration der Bewegungsgleichungen 5.1

Eindimensionale Bewegung†

U(x) E

Die Lagrange Funktion f¨ ur eine eindimensionale Bewegung lautet in kartesischen Koordinaten L= 1

m 2 x˙ − U (x) 2

. Die daraus folgende Bewegungsgleichung ist

m¨ x=−

dU (x) . dx

xA

(5.1)

xB

xC

x

Abbildung 5.1: Energielandschaft in einer Dimension.

(5.2)

F¨ ur ein gegebenes U (x) und mit entsprechenZ t r 2 dem Geschick l¨ asst sich diese Differenzialgleichung [E − U (x) ] (5.5) x (t) = x (0) + dt m 0 entweder analytisch oder numerisch (siehe unten) l¨osen. bzw. Man kann aber auch von der Energieerhaltung ausgehen: r Z m dx p t= + const . (5.6) 2 E − U (x) m 2 x˙ + U (x) = E (5.3) 2 Offensichtlich machen beide L¨osungsformen nur bzw. dann Sinn, wenn r x˙ =

2 [E − U (x) ] . m

E ≥ U (x)

(5.4)

Diese Differenzialgleichung 1. Ordnung ist offensichtlich einfacher und liefert n¨ utzliche physikalische Einsichten. Ihre Integration ergibt 1 Die potenzielle Energie k¨ onnte im Prinzip noch explizit von der Zeit abh¨ angen.

(5.7)

gilt. In Abbildung 5.1 erf¨ ullen die Intervalle I1 = [xA , xB ] und I2 = [xC , ∞] diese Bedingung. Im Intervall I1 verl¨auft x (t) periodisch (warum eigentlich periodisch?) zwischen den Umkehrpunkten xA und xB . Die Periodendauer ergibt sich aus Gl. (5.6) zu 51

52

KAPITEL 5. INTEGRATION DER BEWEGUNGSGLEICHUNGEN

m

1

r

12

Schwerpunkt

! Fg

R

1

r

m

Abbildung 5.2: Ebenes Pendel.

T (E) =

2

l

r

√

m

Z

xB (E)

2m xA (E)

dx p E − U (x)

2

Koordinatenursprung

Abbildung 5.3: Illustration des Zweik¨orperpro(5.8) blems. Hier sind m und m Massenpunkte. 1 2

(Periode = Hinweg + R¨ uckweg!). Die Bewegung im Intervall I2 k¨ onnte einer Reflexion bei xC entsprechen. Periode des mathematischen Pendels: Die Energie ausgedr¨ uckt in Polarkoordinaten lautet

E=

ml2 φ˙ 2 + mgl (1 − cos φ) . 2

Die Situation ist in der Abbildung (5.3) illustriert. Diese zeigt zwei Massen m1 und m2 im Abstand r12 . Das Wechselwirkungspotenzial soll durch U (r12 ) gegeben sein. Es ist g¨ unstig, von den Ortsvektoren ~r1 und ~r2 auf die neuen Vektoren ~r12 und ~ wobei R ~ die Lage des Schwerpunkts angibt, zu R, ¨ transformieren (Ubergang zu Relativkoordinaten). (5.9) Aus

Hier ist m die Masse des Pendels, l seine L¨ange, g ~r12 = ~r1 − ~r2 und m~r = m1~r1 + m2~r2 , die Erdbeschleunigung und φ die Pendelauslenkung (vgl. Abbildung 5.2). Gem¨ aß Gl. (5.8) gilt wobei m = m1 + m2 gilt, folgt

T

r Z φmax 2 ldφ √ = 2 gl 0 cos φ − cos φmax s Z φmax 4l φmax dφ p ≈ 2 g 0 φ2max − φ2 klein s l = 2π g

mit E = mgl (1 − cos φmax ) 2 .

5.2

R

m2 ~ ~r12 + R m1

√ dx

1−x2

= arcsin x

und ~r2 = −

m1 ~ . ~r12 + R m2

Wir bilden die Quadrate der zeitlichen Ableitungen 2 2 ~r˙ 1 und ~r˙ 2 und setzen diese in die Lagrange Funktion des Zweik¨orperproblems, L=

m1 ˙ 2 m2 ˙ 2 ~r + ~r − U (r12 ) , 2 1 2 1

(5.10)

ein. Wir erhalten

Bewegung im Zentralfeld†

Zweik¨orperprobleme† : 2

~r1 =

L=

µ ˙2 1 ~˙ 2 ~r12 + mR − U (r12 ) . 2 2

(5.11)

m1 m2 m1 + m2

(5.12)

Hier ist µ=

5.2. BEWEGUNG IM ZENTRALFELD†

53

die so genannte reduzierte Masse. Mittels der Lagrange Gleichung

Und somit

0=

∂L d ∂L − =0 ~ dt ∂ R ~˙ ∂R

∂L d ∂L , = ∂φ dt ∂ φ˙

d. h. der verallgemeinerte Impuls

erhalten wir pφ = µr2 φ˙ = Lz = L = konstant

(5.15)

d ~˙ mR = 0 . dt

(vgl. Gl. (4.46)). 3. Bemerkung: Gl. (5.15) hat eine einfache geoD. h. der Schwerpunkt bewegt sich kr¨ aftefrei mit metrische Deutung. Die Gr¨oße 1 r2 dφ ist die Fl¨ache 2 konstanter Geschwindigkeit. Insbesondere l¨ asst sich A, die von ~r im Winkelintervall dφ u ¨berstrichen durch Verschiebung des Ursprungs in den Schwer- wird. Nachfolgend Gl. (4.46) hatten wir n¨amlich punkt die Lagrange Funktion auf gezeigt, dass Lz = µ(~r × ~r˙ )z = µr2 φ˙ gilt. Mit ˙ |~r ×d~r| = 2dA und Lz = L folgt L = µ|~r ×~r˙ | = 2µA. µ ˙2 Daher gilt L = ~r12 − U (r12 ) 2 reduzieren. Somit ist aus dem Zweik¨ orperproblem dA , (5.16) L = 2µ ein effektives Eink¨ orperproblem geworden. dt Bemerkung: Bei einem System aus N Massenpunkten reduziert die Einf¨ uhrung von Schwer- d. h. wegen der Drehimpulserhaltung ist die pro ¨berstrichene Fl¨ache ebenfalls konstant. punktkoordinaten (wie oben) die Zahl der Zeiteinheit u Diesen Sachverhalt nennt man Fl¨achensatz oder unabh¨angigen Ortsvektoren auf N − 1. auch (f¨ ur das Gravitationsfeld) zweites keplersches Gesetz. Zentralfeldprobleme† : Zur¨ uck zur L¨osung des Zentralfeldproblems: Wie im Fall der eindimensionalen Bewegung ist es besGl. (5.11) ist die Lagrange Funktion f¨ ur ein Zenser von der Energieerhaltung auszugehen, als die tralfeldproblem. Das Zentralfeld u ¨bt auf einen MasBewegungsgleichungen direkt zu l¨osen. D. h. senpunkt die Zentralkraft ∂U (r) dU ~r F~ = − =− ∂~r dr r

(5.13)

E

= ( 5.15 )

µ 2 r˙ + r2 φ˙ 2 + U (r) 2 L2 µ 2 r˙ + + U (r) 2 2µr2 µ 2 r˙ + Uef f (r) 2

= aus. Hier verwenden wir ~r statt ~r12 . 1. Bemerkung: Die Bewegung des Massenpunk= ~ = tes ist auf eine Ebene beschr¨ ankt, da aus L konstant 3 folgt, dass auch die Richtung des Dremit himpuls unver¨andert bleibt. Damit ver¨ andert sich aber die durch ~r und p~ aufgespannte Bahnebene L2 nicht. Uef f (r) = + U (r) . 2. Bemerkung: Aus Bemerkung 1 folgt, dass 2µr2 wir Polarkoordinaten zur Beschreibung verwenden Den ersten Term in (5.18) nennt man auch k¨onnen. D. h. fugalpotenzial. Aus Gl. (5.4) erhalten wir µ 2 s L= r˙ + r2 φ˙ 2 − U (r) . (5.14) 2 2 L2 r˙ = [E − U (r)] − 2 2 3 Vgl. die zweite Bemerkung zur Drehimpulserhaltung. µ µ r

(5.17)

(5.18) Zentri-

(5.19)

54

KAPITEL 5. INTEGRATION DER BEWEGUNGSGLEICHUNGEN Wir betrachten

U (~r) = −

α r

(5.23)

als wichtigen Spezialfall des Zentralfeldproblems. Dieses Potenzial beschreibt zwei fundamentale Wechselwirkungen - die Gravitation 5 und die elektrostatische oder Coulomb Wechselwirkung. Die Bahngleichung f¨ ur (5.23) folgt aus Gl. (5.21):

φ

−1/2 α L2 L − 2 φ = dr 2 2µ E + r r r +Konstante (5.24) Z

5.4: Rosettenbahn. Hier ist ∆φ = RAbbildung rmax .... Eine geschlossene Bahnkurve ergibt sich rmin u ur U (r) ∝ r−1 oder U ∝ r2 . ¨brigens nur f¨

Zun¨achst substituieren wir x = 1/r und erhalten bzw. nach Trennung der Ver¨ anderlichen tegration Z t=

2 µ

[E − U (r)] −

und In-

L2 µ2 r 2

φ=

φ = −L

dx p

+ Konstante .(5.20)

Außerdem gilt mithilfe von Gl. (5.15), dφ =

Z

Z

2µ (E + αx) − L2 x2 +Konstante ,

dr q

4

−1/2 L2 L dr 2 2µ [E − U (r)] − 2 r r

Quadratische Erg¨anzung unter der Wurzel liefert L µr 2 dt,

(5.21)

−L2 x2 + 2µαx + 2µE µα 2 µ2 α2 2µE 2 = L − x− 2 + + 2 L L4 L 2 2 µ α 2µE = L2 + 2 1 − y2 L4 L

Die Gln. (5.20) und (5.21) l¨ osen das Zentralfeldproblem in allgemeiner Form. Die maximalen Grenzen der Integrationen rmin und rmax sind dabei mit y = x − durch

µα L2

h µ2 α2 L4

+

2µE L2

i−1/2

. Daher

Z

dy p + Konstante 1 − y2 arccos y + Konstante

φ = − E − Uef f = 0

(5.22)

= gegeben (r˙ = 0). Wenn diese Gleichung nur eine y=cos z d dz (endliche) L¨ osung hat, rmin , dann ist die Bahn Man beachte, dass dy arccos y = d cos z = 1 unendlich. D. h., der Massenpunkt kommt aus − 1 = − √ 1 = − √ 2 . Die endg¨ ultige sin z 1−cos2 z 1−y dem Unendlichen und verschwindet auch dort. Ansonsten hat die Bahnkurve die in Abbildung 5.4 L¨osung lautet dargestellte Form einer Rosettenbahn.   µα 1 † − 1/r-Potenzial : L2  , φ = arccos  q r (5.25) µ2 α2 2µE + L4 L2 4 Siehe z. B. I. N. Bronstein et al. Taschenbuch der Mathematik (1999) Abschnitt 9.2.2.3

5 Hier

spricht man auch vom Keplerproblem.

5.3. STREUUNG‡

55

wobei wir den Anfangsort der Integration so gew¨ahlt haben, dass Konstante verschwindet. q Mit q =

L2 µα

und e =

1+

2EL2 µα2

erhalten wir –

– f¨ ur α > 0 bzw. q > 0 (Anziehung):

r=

q . 1 + e cos φ

(5.26)

r

F¨ ur Exzentrizit¨ aten e < 1 (E < 0) liefert diese Gleichung Ellipsenbahnen, w¨ ahrend f¨ ur e ≥ 1 (E ≥ 0) Hyperbelbahnen resultieren (vgl. Abbildung 5.5). Man beachte in diesem Zusammenhang die allgemeine Form des effektiven Potenzials L2 Uef f = − αr + 2µr 2 gezeigt in Abbildung 5.6. Der kleinste Abstand rmin ist in jedem Fall durch

rmin =

q 1+e

r=|q|/(1+e cos(φ)) |q|=1 e=0.5

(5.27)

gegeben.

φ

r=|q|/(1+e cos(φ)) |q|=1 e=2

r=-|q|/(1-e cos(φ)) |q|=1 e=2

Abbildung 5.5: Beispiele f¨ ur Bahnkurven. Der Ursprung f¨ ur ~r liegt im rechten Brennpunkt der Ellipse.

– f¨ ur α < 0 bzw. q < 0 (Abstoßung):

r=

q . 1 − e cos φ

(5.28)

Diese Gleichung liefert ausschließlich Hyperbelbahnen (vgl. wieder Abbildung 5.5), da e > 1 gelten muss, damit r positive Werte annehmen kann. Ueff(r)

Streuung‡

5.3

Streuung im Schwerpunktsystem‡ : α<0

Streuung entspricht dem Fall, wenn Gl. (5.22) nur eine L¨osung hat (vgl. Abbildung 5.6). Den Winkel θ in Abbildung 5.7,

α>0 0

r

θ = 2ϕ0 − π ,

(5.29)

nennt man Streuwinkel. ϕ0 ist gegeben durch Z

∞

ϕ0 =

dr rmin

−1/2 L L2 2µ [E − U (r)] − (. 5.30) r2 r2

Abbildung 5.6: Effektives Potenzial f¨ ur U = − αr .

56

KAPITEL 5. INTEGRATION DER BEWEGUNGSGLEICHUNGEN Der Streuwinkel enth¨alt also Informationen u ¨ber das Wechselwirkungspotenzial U (r). Was in Streuexperimenten gemessen wird, ist allerdings die Ablenkung vieler Teilchen ausgedr¨ uckt durch den Streuquerschnitt

dσ =

(5.31)

Hier ist dN die Zahl der Teilchen, die im Winkelintervall (θ, θ + dθ) gemessen werden. Und n ist die Fl¨achendichte der einfallenden Teilchen. D. h. wir wollen θ, den Winkel um den die Teilchen aus ihrer Richtung abgelenkt werden, mit dem Streuqerschnitt (5.31) unter Verwendung von (5.30) ausdr¨ ucken. Zun¨achst schreiben wir

r φ

rmin

dN . n

x

dN = 2πρdρn ,

ϕο δρ

ρ

θ x

wobei 2πρdρ die Fl¨ache einer Kreisscheibe mit Radius ρ und Dicke dρ ist. Das Zentrum der Kreisscheibe liegt auf der Linie, auf der ein Teilchen ohne Wechselwirkung fliegen m¨ usste, um das Zielteilchen zentral zu treffen. Man nennt ρ den Stoßparameter. Es gilt also ρ = ρ (θ). Somit gilt dρ (θ) dσ = 2πρdρ = 2πρ (θ) dθ . dθ

(5.32)

Abbildung 5.7: Beispiel der Streuung zweier Teil- Statt des Streuwinkels θ wird h¨aufig der Raumwinchen mit anziehender Wechselwirkung in deren kel Ω bzw. das Raumwinkelelement dΩ = 2π sin θdθ Schwerpunktsystem. Die dicke Linie ist die offene verwendet. D. h. (!) Bahn des Abstandsvektors der Teilchen ~r (siehe auch den Einsatz oben links). Sie ergibt sich aus ρ (θ) dρ (θ) dσ = (5.33) dΩ . Gl. (5.26) f¨ ur den Fall E ≥ 0 bzw. e ≥ 1. Hingewiesin θ dθ sen sei außerdem auf die Rotationssymmetrie bei Drehungen um die gepunktete Linie. Rutherfordstreuung‡: Wir betrachten nun den konkreten Fall U (r) = − αr , in dem man von rutherfordschen Streuung 6 spricht. Gem¨aß Gl. (5.25) gilt 6 Rutherford, Ernest, Lord Rutherford of Nelson (seit 1931), britischer Physiker, *Brightwater (bei Nelson, Neuseeland) 30.8. 1871, † Cambridge 19.10. 1937; Professor in Montreal, Manchester, ab 1919 in Cambridge und Direktor des dortigen Cavendish Laboratory. Rutherford war einer der bedeutendsten Experimentalphysiker des 20. Jahrhunderts, besonders auf dem Gebiet der Radioaktivit¨ at und der Kernphysik. Er unterschied die beim radioaktiven Zerfall entstehende α-, β- und γ-Strahlung, stellte mit F. Soddy

5.3. STREUUNG‡

57

sich der Begriff Stoß auf die Wechselwirkung zweier bzw. einer begrenzten Zahl von Teilchen, die irϕ0 = φ (∞) − φ (rmin ) gendwann in einem Raumgebiet zusammengekom  men sind. Uns interessieren hier nicht die Details   der Wechselwirkung, sondern lediglich der Zusam1  = arccos  − r 2 2  ,(5.34) menhang der Teilchenimpulse vor und nach dem µv∞ ρ 1+ Stoß weit entfernt vom Gebiet der Wechselwirkung. α D. h. in einer Entfernung, in der sich die Stoßpart1 2 wobei wir E = 2 µv∞ sowie L = µv∞ ρ ausgenutzt ner kr¨aftefrei bewegen. Ein Stoß heißt elastisch, wenn er die innere haben. v∞ ist offensichtlich die RelativgeschwindigEnergie der Stoßpartner unver¨andert l¨asst. D. keit der Teilchen bei unendlicher Entfernung. Aus h. er f¨ u hrt beispielsweise zu keiner dauerhaften (5.34) folgt sofort Deformation oder zur Abgabe von W¨arme an die Umgebung. Im folgenden betrachten wir Zwei2 erst¨oße, wobei wir mit (S) das Schwerpunktsystem α ρ2 = 2 4 tan2 ϕ0 . (5.35) bezeichnen und mit (L) das Laborsystem. Ungeµ v∞ strichene Gr¨oßen beziehen sich auf die Zeit vor θ π dem Stoß, gestrichene Gr¨oßen auf die Zeit danach. bzw. mit ϕ0 = + 2

dρ ρ dθ

2

Schwerpunktsystem: Hier ruht der Schwerpunkt im Ursprung. Daher gilt wegen (4.48)

π θ 2 + 2 π θ 2 + 2

=

α2 sin 4 2µ2 v∞ cos3

=

α2 cos (θ/2) . 4 2µ2 v∞ sin3 (θ/2)

(5.36)

m1~r1 (S) + m2~r2 (S) = 0 ,

(5.38)

wobei ~r1 (S) und ~r2 (S) die Ortsvektoren der stoMit der Identit¨ at sin θ = 2 sin (θ/2) cos (θ/2) folgt ßenden Teilchen sind. Mit schließlich ~r (S) = ~r1 (S) − ~r2 (S) α2 dΩ dσ = . 4 sin4 (θ/2) 4µ2 v∞

(5.39)

(5.37) folgt

m1 m2 Dies ist die rutherfordsche Streuformel. Sie h¨angt ~r (S) ~r2 (S) = − ~r (S) (5.40) ~r1 (S) = augenscheinlich nicht vom Vorzeichen von α ab! m m Es sei noch einmal betont, dass diese Gleichung im Schwerpunktsystem der Teilchen gilt. Wie sie (m = m1 + m2 ) und somit in das Laborsystem zu transformieren ist, werden m2 m1 wir gleich sehen. ~v1 (S) = ~v ~v2 (S) = − ~v . (5.41) m m Elastischer Stoß und Bezugssystemwechsel: Dies sind die Teilchengeschwindigkeiten vor der Wechselwirkung ausgedr¨ uckt durch die RelativgeW¨ahrend sich der Begriff Streuung auf die Ablen- schwindigkeit ~v . Weder ~v noch ~r ben¨otigt den Zukung vieler Teilchen aus ihrer Bahn bezieht, bezieht satz (S), da diese Gr¨oßen die gleichen sind wie im 1903 eine Theorie des radioaktiven Zerfalls auf und schuf Laborsystem, das sich relativ zum Schwerpunktsyormigen Geschwindurch das nach ihm benannte Atommodell die Grundlage stem mit einer gewissen gleichf¨ der heutigen Atomphysik. 1919 gelang ihm die erste k¨ unstli- digkeit w ~ bewegt. che Kernreaktion durch α-Teilchen-Beschuss von Stickstoff, F¨ ur die Beschreibung des Stoßes spielt es keine der dabei in Sauerstoff umgewandelt wurde. 1908 erhielt er arts oder r¨ uckw¨arts in der Zeit c den Nobelpreis f¨ ur Chemie. 2000 Bibliographisches Insti- Rolle, ob er vorw¨ tut & F. A. Brockhaus AG beschrieben wird. Daher folgt aus (5.41) sofort

58

KAPITEL 5. INTEGRATION DER BEWEGUNGSGLEICHUNGEN

~v10 (S) =

m2 0 ~v m

~v20 (S) = −

m1 0 ~v . m

p1'(L)

(5.42)

Aus der Erhaltung der kinetischen Energie (elastischer Stoß) folgt | ~v |=| ~v 0 | bzw. ~v 0 = v · ~n ,

p2'(L)

µv n

θ1

θ

(µ/m2)p1(L)

θ2

(µ/m1)p1(L)

(5.43)

wobei ~n ein Einheitsvektor ist, der die Richtung ¨ von ~v 0 angibt. Uber diese Richtung lassen sich jedoch keine Aussagen machen. Laborsystem: Die entsprechenden Geschwindigkeiten im Laborsystem lauten ~v1 (L) = ~v1 (S) + w ~ ~v2 (L) = ~v2 (S) + w ~ 0 0 0 0 ~v1 (L) = ~v1 (S) + w ~ ~v2 (L) = ~v2 (S) + w ~.

Abbildung 5.8: Stoßgeometrie f¨ ur den Fall p~2 (L) = 0. θ ist der Streuwinkel im Schwerpunktsystem, da p~1 (L) entlang der Richtung der Relativgeschwindigkeit vor dem Stoß liegt. θ1 und θ2 beziehen sich dagegen auf das Laborsystem. Man beachte: | µv~n |=| mµ1 p~1 (L) | da |~v | = |~v 0 | = v.

Daher gilt gem¨ aß Gln. (5.41) und (5.43) ~v10

(L)

~v20 (L)

m2 v~n + w ~ = m m1 = − v~n + w ~. m

tan θ1 =

(5.44)

Hinschreiben der analogen Gleichungen f¨ ur m1~v1 (L) und m2~v2 (L), liefert nach Addition dieser Gleichungen

7

m2 sin θ m1 + m2 cos θ

(5.48)

sowie

θ2 =

π−θ 2

(5.49)

her, die es uns erlauben, Schwerpunktsystem und Laborsystem miteinander zu verkn¨ upfen. Im Fall der rutherfordschen Formel (5.37) folgt m1~v1 (L) + m2~v2 (L) w ~= . (5.45) f¨ ur den Streuquerschnitt der zun¨achst ruhenden m Teilchen (Teilchen 2) mittels Gl. (5.49) Die Multiplikation von (5.44) mit m1 bzw. m2 f¨ uhrt schließlich auf die gew¨ unschte Beziehung zwischen 2dθ2 α2 den Impulsen vor und nach dem Stoß: 2π sin (π − 2θ2 ) dσ2 = 4 4µ2 v∞ sin4 π2 − θ2 µ dθ2 α2 p~0 1 (L) = µv~n + (~ p1 (L) + p~2 (L)) (5.46) 2π sin (2θ2 ) = 4 m2 2µ2 v∞ cos4 θ2 µ 2 p~0 2 (L) = −µv~n + (~ p1 (L) + p~2 (L))(5.47) . α dΩ2 m1 = . (5.50) 2 µv∞ cos3 θ2 Weitergehende Informationen geben jetzt nur 7 Gl. (5.48) erh¨ alt man aus den Komponenten von p ~1 (L) Spezialf¨alle. Wir betrachten den Fall p~2 (L) = 0, d. gem¨aß Gl. (5.46), h. Teilchen 2 ruht vor dem Stoß. Damit gilt gleichµ zeitig p1 = m1 v, und wir k¨ onnen die Gln. (5.46) p1 (L) p01 (L) cos θ1 = µv cos θ + m 2 und (5.47) grafisch wie in Abbildung 5.8 darstellen. 0 p1 (L) sin θ1 = µv sin θ , Aus der Abbildung leiten wir sofort die Beziehungen durch eliminieren von p01 (L) und mittels p1 (L) = m1 v.

5.3. STREUUNG‡

59

8

. Offensichtlich gilt v∞ ≡ v. F¨ ur die sich anf¨ anglich bewegenden Teilchen ist der entsprechende Ausdruck komplizierter (Aufgabe). Bemerkung: Interessant ist auch die Energieverteilung der Teilchen 2 (wenn diese als anf¨ anglich ruhend angenommen werden). D. h. wir fragen nach dσ2 (0 2 (L)) statt dσ2 (θ2 ). Es gilt 0 2 (L) = p ~0 2 (L) 1 v20 2 (L) = 22m2 . Mithilfe von (5.46) und (5.47) 2 m2~ folgt

0 2 (L)

1 2 2 µ2 µ v + 2 p21 (L) 2m2 m1 v −2µ2 p1 (L) cos θ m 1 2 2 µ v θ = 1 − cos 2 m2 2 µ2 v 2 θ , (5.51) = 2 sin2 m2 2 =

wobei cos (2α) = cos2 α − sin2 α verwendet wurde. Daraus folgt

d0 2 (L)

µ2 v 2 2 sin m2 |

θ 1 θ cos dθ 2 2 2 {z }

=

2

=

1 µ2 v 2 dΩ . 2π m2

=sin θ

(5.52)

Zusammen mit Gl. (5.37) f¨ ur die rutherfordschen Streuung erhalten wir

dσ2 = 2π

α2 d0 2 (L) . 2 m2 v∞ 0 22 (L)

(5.53)

Der slingshot-Effekt‡: Eine interessante Raumfahrtanwendung im Rahmen der Streutheorie ist der so genannte slingshotEffekt, den wir stark vereinfacht betrachten wollen. Am 15. Oktober 1997 schickte die NASA die Raumsonde Cassini 9 auf eine 6.7j¨ ahrige Reise zum 8 wieder

wurde sin θ2 = 2 sin (θ2 /2) cos (θ2 /2) verwendet Giovanni Domenico, franz¨ osischer Astronom, *Perinaldo (bei Nizza) 8.6.1625, †Paris 14.9.1712; wurde 1669 Leiter der Sternwarte in Paris, bestimmte die Rotationszeiten von Jupiter und Mars, entdeckte vier Saturnmonde und die nach ihm benannte Teilung des Saturnrings 9 Cassini,

Saturn 10 . Ein Titan/Centaur Booster beschleunigte das 5700 kg schwere Raumfahrzeug auf eine Geschwindigkeit von 4 km/s relativ zur Erde. Saturn liegt jedoch recht hoch im Schwerkraftpotenzial der Sonne, und um ihn von der Umlaufbahn der Erde aus zu erreichen, ben¨otigt ein Raumfahrzeug mindestens eine Geschwindigkeit von 10 km/s. Daher beinhaltete Cassinis Flugplan die zus¨atzliche Aufnahme von Geschwindigkeit in vier planetarischen Treffen - mit Venus, noch einmal Venus, Erde und Jupiter (VVEJ Flugbahn). In jedem dieser Vorbeifl¨ uge wurde Cassini durch eine Gravitations-slingshot-Wechselwirkung mit den Planeten beschleunigt, die sich mit Geschwindigkeiten von 13 km/s (Jupiter) bis 35 km/s (Venus) um die Sonne bewegen. Der erste Vorbeiflug an Venus am 26. April 1998 lieferte Cassini eine zus¨atzliche Geschwindigkeit von ca. 7 km/s; der dritte an der Erde am 17. August 1999 f¨ ugte weitere 5.5 km/s hinzu. Der vierte und letzte Vorbeiflug an Jupiter am 30. Dezember 2000 lieferte nochmals 2 km/s und brachte Cassini auf Kurs, um Saturn am 1. Juli 2004 zu erreichen. Die gesch¨atzte Treibstoffersparnis durch die vier Treffen betrug mindestens 75 Tonnen. Inzwischen setzt die NASA routinem¨aßig solche planetarischen gravity assists ein und k¨ unftige Marsexpeditionen k¨onnten beispielsweise aus Mondvorbeifl¨ ugen Nutzen ziehen. Eine extreme Form des Man¨overs zeigt Abbildung 5.9. Die Sonde n¨ahert sich einem Planeten frontal mit der Geschwindigkeit v. Dieser bewegt sich entgegengesetzt mit der Geschwindigkeit V (beide Geschwindigkeiten seien relativ zum Sonnenbezugssystem definiert). Wir stellen uns eine extreme Haarnadelkurve hinter dem Planeten herum in die entgegengesetzte urspr¨ ungliche Bewegungsrichtung der Sonde vor. Das entspricht einem zentralen elastischen Stoß mit dem Planeten. Aus der Sicht des Planeten ergibt dies eine Geschwindigkeit (Cassini-Teilung, 1675). Nach ihm ist auch die Saturnsonde Cassini der ESA und NASA benannt (Start Ende 1997). Das gemeinsame Projekt von NASA, ESA und der Italienischen Weltraumagentur (ASI) soll u.a. Daten u ¨ber die Topographie und chemische Zusammensetzung der Oberfl¨ ache des Planeten, u are, das Magnetfeld, die Mon¨ber seine Atmosph¨ de und u ¨ber das Ringsystem liefern. Insbesondere soll auf dem Saturnsatelliten Titan die europ¨ aische Sonde Huygens (Masse 343kg, Durchmesser 2,7m) abgesetzt werden, von der c man Aussagen u are erwartet. 2000 Bi¨ber dessen Atmosph¨ bliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 10 siehe http://saturn.jpl.nasa.gov/index.cfm

60

KAPITEL 5. INTEGRATION DER BEWEGUNGSGLEICHUNGEN

v

y

vy

V

v x +V x v x +V

≈2V+v vy

Abbildung 5.9: Extreme Form des slingshotMan¨overs.

!

V + v nach dem Stoß. Aber der Planet bewegt sich noch mit der Geschwindigkeit V relativ zur Sonne, so dass sich die Sonde ebenfalls relativ zur Sonne mit der Geschwindigkeit 2V + v bewegen wird. Betrachten wir dies genauer. Die Erhaltung der kinetischen Energie und des Impulses vor und nach der Wechselwirkung verlangt

und

Aufl¨osen nach v 0 liefert v0 = −

(1 − q)v + 2V , 1+q

y

v1 vx V

x

v x +2V vy

v2

Abbildung 5.10: Oben: Sicht aus dem Ruhesystem des Planeten; unten: Relativ zum System der Sonne.

M V 2 + mv 2 = M V 02 + mv 02

−M V + mv = M V 0 + mv 0 .

vy

den Planeten zeichnen, die sich in einem beliebigen Winkel schneiden, und annehmen, dass wir es mit einer hyperbolischen Bahn symmetrisch zur x-Achse (im Bezugssystem des Planeten) zu tun haben, ist der Anfangsgeschwindigkeitsvektor der (5.54) Sonde in Bezug auf das Bezugssystem der Sonne

wobei q = m/M gilt. Da q fast Null ist (die Raumsonde hat eine verglichen mit dem Planeten zu vernachl¨assigende Masse), vereinfacht dies Gl. (5.54) zu v 0 ≈ −(v + 2V ). Nat¨ urlich sind in der Regel planetarische Vorbeifl¨ uge keine einfachen frontalen St¨ oße, aber dieselben Gesetze gelten f¨ ur beliebige Winkel der Wechselwirkung. Lassen Sie uns die Bewegungsrichtung des Planeten als die x-Achse, und die senkrechte Richtung (zur Ebene der Ekliptik) als die y-Achse annehmen. Die Sonde bewegt sich anfangs mit einer Geschwindigkeit v relativ zum Sonnenbezugssystem, in eine Richtung, bei der sie den entgegenkommenden Planeten im Winkel θ trifft. Die Abbildungen 5.10 (oben) und 5.10 (unten) zeigen dies; die erste in Bezug auf das Ruhesystem des Planeten und die zweite in Bezug auf das Sonnenbezugssystem. Wenn wir ein einfaches Parallelogramm der Geschwindigkeiten f¨ ur die Sonde und

vx = v cos θ

vy = v sin θ

und sein Geschwindigkeitsvektor lange nach der Be¨ gegnung ist gem¨aß unserer obigen Uberlegung vx0 ≈ − (v cos θ + 2V )

vy0 ≈ v sin θ .

Daraus folgt s 0

v ≈ (v + 2V )

1−

4V v (1 − cos θ) 2

(v + 2V )

(5.55)

f¨ ur den Betrag der Geschwindigkeit der Sonde nach dem Stoß“. Angenommen beispielsweise, dass die ” Anfangsgeschwindigkeit der Sonde und des Planeten exakt dieselbe ist. In diesem Fall reduziert sich die obenstehende Relation (5.55) zu

5.3. STREUUNG‡

√ v 0 ≈ v 5 + 4 cos θ . F¨ ur θ = 0 haben wir v 0 ≈ 3v. Dies entspricht dem oben diskutierten Fall des zentralen Stoßes. Auf der anderen Seite folgt f¨ ur θ = π das Resultat v 0 ≈ v. Hier bewegen sich die Sonde und der Planet in dieselbe Richtung mit derselben Geschwindigkeit. In einem realistischeren Fall n¨ ahert sich die Sonde fast senkrecht der Bahn des Planeten und lenkt geradewegs hinter ihm ein. In diesem Fall wird die Sonde in Richtung der Planetenbahn in einen Winkel ausgelenkt, der durch die obigen Formeln √ gegeben ist, und seine Endgeschwindigkeit ist 5 multipliziert mit seiner Anfangsgeschwindigkeit. Wenn Planeten Punktteilchen w¨ aren, dann w¨are es nach der Klassischen Mechanik f¨ ur ein Objekt m¨oglich (in einem ziemlich k¨ unstlichen Sonnensystem) eine unendliche Geschwindigkeit in endlicher Zeit zu erlangen, indem es wiederholt mit einer Anzahl von Planeten wechselwirken w¨ urde. Nat¨ urlich w¨are in der Praxis das Gravitationsfeld eines Planeten nicht stark genug, um das Raumschiff zu halten“, sobald es eine bestimmte Ge” schwindigkeit u ¨berschreitet. Die Grenze ist dadurch bestimmt, wie schnell man um einen Planeten kreisen kann, ohne in seine Atmosph¨ are zu tief einzutauchen (ganz zu schweigen von hineinzust¨ urzen). Einige NASA Missionen haben wiederholt die obere Atmosph¨are der Venus und der Erde in ihren Man¨overn u ¨berflogen.

61

62

KAPITEL 5. INTEGRATION DER BEWEGUNGSGLEICHUNGEN

Kapitel 6

Kleine Schwingungen 6.1

Eindimensionale Bewegung†

F

Die potenzielle Energie U (q), wobei q eine verallgemeinerte Koordinate ist, soll bei qo ein lokales Mininum besitzen. Die Taylorentwicklung um diese Stelle lautet

U (q) = U (qo ) +

0

x(t)

Abbildung 6.1: Harmonischer Oszillator bei der Auslenkung x(t) aus seiner Ruhelage.

∂U (q − qo ) ∂q qo | {z }

(6.1)

=0

Damit erhalten wir die newtonsche Bewegungsglei1 ∂ 2 U 1 ∂ 3 U 2 3 chung + (q − q ) + (q − q ) + ... . o o 2 ∂q 2 qo 6 ∂q 3 qo Der erste Term auf der rechten Seite ist eine m¨ x(t) = −kx(t) . (6.2) Konstante. Der lineare Term verschwindet am Minimum. F¨ ur Bewegungen in einer sehr kleinen Das gleiche Ergebnis liefert die Lagrange Funktion Umgebung von qo reicht der dritte Term daher vollst¨andig aus. Ein solches System bezeichnet man k m als (klassischen) harmonischen Oszillator. Ber¨ uck(6.3) L = x˙ 2 − x2 . sichtigt man Terme h¨ oherer Ordnung, so spricht 2 2 man von Anharmonizit¨ at. Allerdings kann es f¨ ur Leicht umgeschrieben lautet Gl. (6.2) Energien, die U (qo ) wesentlich u ¨berschreiten, zum Entkommen des Systems aus der Potenzialmulde p kommen, und das System stellt keinen Oszillator x ¨ + ωo2 x = 0 ωo = k/m . (6.4) mehr dar. Die allgemeine L¨osung ist (wie beim Pendel)

Harmonischer Oszillator† :

In diesem Abschnitt betrachten wir eingehend den eindimensionalen harmonischen Oszillator gezeigt in der Skizze 6.1. Die Masse sei m und die bzw. 2 U (x) Federkonstante sei momentan k = ∂ ∂x > 0 1. 2

x (t) = c1 cos ωo t + c2 sin ωo t

(6.5)

x (t) = a cos (ωo t + α)

(6.6)

o

1 Wir

verwenden hier die kartesische Koordinate x(t).

63

64

KAPITEL 6. KLEINE SCHWINGUNGEN

p mit a = c21 + c22 und tan α = −c2 /c1 (vgl. Abschnitt 2.2). Die Gr¨ oße a ist die Amplitude und α die Phase der Schwingung (6.6). ωo heißt Frequenz bzw. auch Kreisfrequenz. F¨ ur die Energie der Schwingung erhalten wir

E

=

m 2 k 2 m 2 x˙ + x = x˙ + ωo2 x2 (6.7) 2 2 2 1 2 2 = mωo a . 2 †

Ged¨ampfter harmonischer Oszillator : Wir ber¨ ucksichtigen eine zus¨ atzliche Reibungskraft fR = −ζ x˙ ,

(2λ = ζ/m) .

d ∂L ~ ∂L − +f =0. ∂~r dt ∂~r˙

(6.9)

Dies h¨ ort sich vielleicht ganz gut an, aber verstehen wir auch, was hier passiert? Zun¨ achst einmal ist Gl. (6.8) eine einfache N¨ aherung 2 , die oft sehr gut ist – aber nicht immer. Man spricht von stokescher Reibung 3 . Dann haben wir die Bewegungsgleichung (6.9) durch einfache Addition der Reibungskraft aus Gl. (6.4) erhalten. Wie aber sieht das Pendant zu Gl. (6.3) aus? Antwort: es existiert nicht. Wir betrachten ja nur ein einzelnes Teilchen, das durch die Reibung Energie an seine Umgebung abgibt. Die Umgebung wird aber nicht ber¨ ucksichtigt. Das System ist offen. Die Reibungskraft entzieht dem System Energie und diese Energiemenge ist wegabh¨ angig. Man sagt, die Reibungskraft ist

x (t) = c1 er1 t + c2 er2 t ,

(6.11)

wobei wir die drei F¨alle λ < ωo , λ > ωo und λ = ωo unterscheiden: λ < ωo :

Dies liefert

x (t) = ae−λt cos

p ωo2 − λ2 t + α ,

(6.12)

die ged¨ampfte Schwingung. λ > ωo :

Dies liefert √

x (t)

− λ−

= c1 e

+c2 e

λ2 −ωo2 t

√

− λ+

(6.13)

λ2 −ωo2 t

,

die aperiodische Bewegung. λ = ωo :

Dies liefert x (t) = (c1 + c2 t) e−λt .

2 Der

f¨ uhrende Term einer Taylorentwicklung der Reibungskraft in der Geschwindigkeit. 3 Stokes, Sir (seit 1889) George Gabriel, britischer Mathematiker und Physiker, *Skreen (County Sligo, Irland) 13.8. 1819, †Cambridge 1.2. 1903; wurde 1849 Professor in Cambridge und war 1885-90 Pr¨ asident der Royal Society; bedeutende Beitr¨ age zur Hydrodynamik (stokessches Reibungsgesetz), Optik (stokessche Regel) und Analysis, in der er den Begriff der gleichm¨ aßigen Konvergenz und den Zusammenhang zwischen Oberfl¨ achen- und Kurvenintegralen (stoc kesscher Integralsatz) erarbeitete. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

(6.10)

Die L¨osung der Gl. (6.9) erhalten wir durch den Ansatz x = ert , der auf die charakteristische Gleichung p r2 + 2λr + ωo2 = 0 und daher auf r1,2 = uhrt. Die allgemeine L¨osung lau−λ ± λ2 − ωo2 f¨ tet also

(6.8)

die der Geschwindigkeit entgegengesetzt proportional ist. ζ ist der Reibungskoeffizient. Aus Gl. (6.4) wird damit x ¨ + 2λx˙ + ωo2 x = 0

nicht Hkonservativ. Mathematisch ausgedr¨ uckt heißt das: f~R · d~s 6= 0. Umgekehrt ist dies gleichbedeutend damit, dass sich die Reibungskraft nicht aus einem Potenzial ableiten l¨asst 4 . Formal k¨onnen solche Kr¨afte f~ in unseren Formalismus integriert werden, indem man sie einfach addiert:

(6.14)

Hier reicht der Ansatz x = ert offensichtlich nicht aus! Lineare Kette‡ : ~ = − ∂U ≡ −∇U ~ , dass das gegilt nat¨ urlich f¨ ur F ∂~ r H H ~ ~ · schlossene Wegintegral verschwindet: F · d~s = − ∇U 4 Es

d~s = −

H

dU = 0.

6.1. EINDIMENSIONALE BEWEGUNG† Wir betrachten eine unendliche, eindimensionale Kette aus harmonisch gekoppelten Massen (siehe Abbildung 6.2). Die Kette besteht aus identischen Gliedern der L¨ange a. Die schwarzen Punkte sind unterschiedliche Massen M und m, die durch harmonische Federn mit den identischen Kraftkonstanten C verbunden sind. us und vs sind die Auslenkungen der jeweiligen Massen aus ihrer Ruhelage im Kettenglied s.

a C M s-1

m s

65 Hier ist k die Wellenzahl und ω die Kreisfrequenz einer Schwingung. Aber was genau bedeutet unser L¨osungsansatz physikalisch? Unter Verwendung der eulerschen Formeln schreiben wir exp [i (sak − ωt)] = cos (sak − ωt) + i sin (. . .) . Beschr¨anken wir uns zun¨achst auf den Realteil und schreiben mit k = 2π/λ sowie ω = 2π/T

us+ 1

vs+1 s+1

Abbildung 6.2: Kette aus harmonischen Federn und ungleichen Massen.

t sa − cos (sak − ωt) = cos 2π λ T

.

Betrachten wir diesen Ausdruck zu einem festen Zeitpunkt t = 0 5 , d. h. sa t=0 . cos (sak − ωt) = cos 2π λ

Offensichtlich ist λ die Wellenl¨ange einer periodiWir wollen die Bewegungsgleichungen f¨ ur us und schen Auslenkung der Massen entlang der Ketvs mithilfe der Lagrange Funktion der Kette erhal- te. D. h. Massen im Abstand sa = nλ mit n = ten. Diese lautet 0, ±1, ±2, . . . haben die gleiche Auslenkung bzgl. ihrer jeweiligen Ruhelage. Analog k¨onnen wir uns 2 einen festen Ort entlang der Kette suchen, z.B. X M u˙ 2 mv˙ s s L= + beim Kettenglied s = 0, und erhalten dann 2 2 s XC 2 2 − [vs−1 − us ] + [us − vs ] . t s=0 2 cos (sak − ωt) = cos 2π . S T Die Bewegungsgleichungen folgen gem¨ aß

D. h. jeweils nach der Zeit t = lT mit l = 0, ±1, ±2, . . . hat eine Masse im Kettenglied s wieder die gleiche Auslenkung. T ist also die Periode ∂L d ∂L ∂L d ∂L der Auslenkung dieser Masse. Schließlich k¨onnen = und = . dt ∂ u˙ s ∂us dt ∂ v˙ s ∂vs wir noch mit einer Geschwindigkeit λ/T die Kette entlang laufen (in positive Richtung). Was sehen Wir erhalten wir dann? In diesem Fall gilt sa/λ − t/T = 0. D. h. wir sehen w¨ahrend des Laufens neben uns eine konstante Auslenkung. Insgesamt beschreibt unser Mu ¨s = C (vs−1 − us ) − C (us − vs ) Ansatz eine Auslenkungswelle, die sich mit der konm¨ vs = C (us − vs ) − C (vs − us+1 ) . stanten Geschwindigkeit λ/T auf der Kette in positive Richtung ausbreitet! Der Grund, weshalb wir F¨ ur dieses gekoppelte System von Dgln. machen mit einer so genannten komplexen Welle 6 rechnen wir den L¨osungsansatz anstatt mit cos(...) oder sin(...), liegt in der gr¨oßeren Rechenbequemlichkeit, die die komplexe Welle mit sich bringt. us = u exp [i (sak − ωt)] 5 Wir betrachten ein zum Zeitpunkt t = 0 aufgenommenes (6.15) Foto der Kette. 6 Das eben Gesagte gilt nat¨ urlich auch f¨ ur den Sinus. vs = v exp [i (sak − ωt)] .

66

KAPITEL 6. KLEINE SCHWINGUNGEN

Der Ansatz (6.15) hat auf den ersten Blick nicht die erwartete Form. Wir h¨ atten auf der Basis der vorangegangenen Diskussion eher den Ansatz = cu,1 cos(sak ± ωt) + cu,2 sin(. . .) = u exp[i(sak ± ωt)] + u ¯ exp[−i(. . .)]

us



a11  a21 det   ... an1

a12 . . . a22 . . . ... ... an2 . . . X

=

 a1n a2n   ...  ann ±a1k a2l . . . anr .

Perm. von k, l, ..., r

mit

Hier steht (+) bei geraden Permutationen und (-) bei ungeraden Permutationen. Dabei wird jeweils von der nat¨ urlichen Reihenfolge k = 1, l = 2, . . ., r = n gestartet, die selbst als gerade Permutation z¨ahlt. Im hier relevaten Fall gilt

cu,1 − icu,2 u≡ 2

sowie einen analogen Ausdruck f¨ ur vs gew¨ahlt. Unser Ansatz ber¨ ucksichtigt also jeweils nur den ersten Term der allgemeineren Form, die eine Summe aus a11 a12 dem Ansatz (6.15) plus seinem konjugiert Kompledet = a11 a22 − a12 a21 a21 a22 xen ist. Zus¨ atzlich betrachten wir nur das positive Vorzeichen von ±ω, d. h. nur die in positive Richtung laufenden Wellen. Mit dieser Information im und wir erhalten die quadratische Gleichung Hinterkopf ist (6.15) aber vollst¨ andig ausreichend f¨ ur die folgende Rechnung. −ω 2 M + 2C −ω 2 m + 2C Kehren wir zu unserer Aufgabe zur¨ uck und set −C 2 2 + eiak + e−iak = 0 zen (6.15) in die Bewegungsgleichungen ein. Wir erhalten bzw. −ω 2 M u

= Cve−iak − 2Cu + Cv ω

(6.16) −ω 2 mv

2 2

= Cu − 2Cv + Cueiak

− 2C

+2

oder in Matrix- bzw. Vektorschreibweise

1 1 + m M

ω2

C2 (1 − cos (ak)) = 0 mM

mit der L¨osung

2

−ω M + 2C −C 1 + eiak

−iak

−C 1 + e −ω 2 u + 2C

u v

=0.

r ω1,2 =

Offensichtlich ist u = v = 0 eine L¨ osung. Allerdings ist dies eine sinnlose L¨ osung, denn dann sind alle Auslenkungen Null. Die physikalisch bedeutsame L¨osung folgt aus der Bedingung 7 det

−ω 2 M + 2C −C 1 + eiak

−C 1 + e−iak =0. −ω 2 u + 2C

Wir verwenden die Rechenregel zur Bestimmung von Determinanten: 7 Eine

Diskussion dieses Vorgehens im Kontext allgemeiner linearer Gleichungssysteme findet man beispielsweise in Abschnitt 3.2 der Referenz [6] oder im gleichen Kontext in den schon genannten Referenzen [4, 5] (Stichwort: homogene Gleichungssysteme).

C h m 1+ m M

#1/2 m2 m ± 1 + 2 + 2 cos (ak) . (6.17) M M r

Der Index 1 geh¨ort zum positiven Vorzeichen und der Index 2 zum negativen Vorzeichen. Was aber bedeutet diese L¨osung? Die Abbildung 6.3 zeigt die so genannten Dispersionsrelationen aus Gl. (6.17). Der Ursprung bei ak/π = 0 korrespondiert zum Grenzfall unendlich großer Wellenl¨ange. Die obere Grenze bei ak/π = 1 entspricht einer Wellenl¨ange λ = 2a. Kleinere Wellenl¨angen machen keinen Sinn 8 . Die Geschwindigkeit der Welle, 8 Warum?

6.1. EINDIMENSIONALE BEWEGUNG† λ/T = ω/k, ist also eine Funktion von k und damit von der Wellenl¨ ange - wobei es zwei verschiedene ω-Zweige gibt. Wir k¨ onnten nun die erhaltenen L¨osungen f¨ ur ω in die Gln. (6.16) einsetzen, um dadurch Information u ¨ber die (komplexen 9 ) Amplituden u und v zu erhalten und damit u ¨ber die m¨oglichen Schwingungstypen oder Schwingungsmoden der Kette. Hier jedoch betrachten wir lediglich den einfachen Grenzfall ak/π = 0. In diesem Fall liefert die Addition der Gln. (6.16) die Gleichung

67 In diesem Beispiel betrachten wir ein zweidimensionales Netz bzw. Gitter aus Massenpunkten M , die sich senkrecht zur Gitterebene auslenken lassen. Die Auslenkung am Gitterplatz l, m sei ulm . Wir nehmen an, dass benachbarte Auslenkungen harmonisch miteinander koppeln. Die Kopplungskonstante sei C. Die Bewegungsgleichung f¨ ur den Gitterplatz l, m lautet dann

M ω 2 (M u + mv) = 0 . Es gilt ω2 = 0 und damit lernen wir nichts u ¨ber den Zusammenhang von ω2 und den Amplituden in diesem Grenzfall. Aber es gilt auch ω1 6= 0 und somit folgt f¨ ur den ω1 -Zweig in diesem Grenzfall die Beziehung;

∂ 2 ulm = Flm . ∂t2

Hier ist die Kraft Flm die Summe aus vier Beitr¨agen von den Nachbarpl¨atzen. D. h. Flm = C (ul−1,m − ul,m ) + C (ul+1,m − ul,m ) +C (ul,m+1 − ul,m ) + C (ul,m−1 − ul,m ) bzw.

m u=− v. M

h Flm = C (ul+1,m + ul−1,m − 2ul,l ) i + (ul,m+1 + um−1,l − 2ul,m ) .

Sie bedeutet, daß im Fall sehr langer Wellenl¨ange im Vergleich zu a die Auslenkungen der Massen entgegengesetzt sind. Man beachte dabei, dass die gleiche Beziehung auch f¨ ur u ¯ und v¯ gilt (vgl. oben) Analog zu Gl. (6.15) machen wir einen Ansatz der und damit auch f¨ ur die reellen Konstanten (cu,i = Form −(m/M )cv,i mit i = 1, 2). ulm = uo exp i (lkl a + mkm a − ωt) , m Ω C worin a der Abstand benachbarter Massenpunkte 1.75 ist, und erhalten 1.5 1.25 −ω 2 M ulm = 1 Culm e−ikl a − 1 + Culm eikl a − 1 0.75 +Culm eikm a − 1 + Culm e−ikm a − 1 . 0.5 0.25 ak Mit 2 cos x = eix +e−ix folgt die Dispersionsrelation 1 Π 0.2 0.4 0.6 0.8 ω 2 M = 2C [2 − cos (kl a) − cos (km a)] . Abbildung 6.3: Die Dispersionsrelationen aus Gl. (6.17) aufgetragen ur m/M = 0.5. Oben: p p f¨ Insbesondere gilt im Grenzfall großer Wellenl¨angen, m/Cω1 ; unten: m/Cω2 . 2 a λ d. h. ka 1 (mit k 2 ≡ kl2 + km ), Gitterschwingungen und Schallgeschwindigkeit‡ : 9 Die

Auslenkungen us und vs sind reell!

ω2 M

k 2 a2 k 2 a2 ≈ 2C 2 − 1 + l −1+ m 2 2 2 2 2 = Ca kl + km

68

KAPITEL 6. KLEINE SCHWINGUNGEN Der experimentelle Wert von vsexp = 5.1 · 103 m/s (bei 20o C) ist noch erheblich u ¨bersch¨atzt, aber die Gr¨oßenordnung haben wir richtig erhalten.

bzw. r ω=

Ca2 k. M

Ged¨ampfter Oszillator mit Anregung† :

¨ Unter der Annahme der Ubertragbarkeit auf drei In diesem Fall wird die Bewegungsgleichung (6.9) Dimensionen sowie isotroper 10 Schallausbreitung um eine periodische Kraft k¨onnen wir jetzt die Geschwindigkeit einer Schallwelle absch¨ atzen. Im vorliegenden Fall ist die Gef = b cos ωt schwindigkeit der Welle durch erg¨anzt, d. h. vs =

ω = k

2

Ca M

1/2 x ¨ + 2λx˙ + ωo2 x =

b cos ωt . m

(6.18)

gegeben. Wir wollen die Kraftkonstante C mit HilDie allgemeine L¨osung ist die Summe aus (6.12) fe der experimentell gemessenen Kompressibilit¨at (f¨ ur λ < ωo ) und einer (speziellen) L¨osung der inabsch¨atzen, d. h. mit Hilfe von homogenen Dgl. Auch hier ist es wieder bequem, zu komplexen Zahlen zu wechseln (z(t) = x(t)+iy(t)). 1 ∂V D. h. statt (6.18) betrachten wir κT = − . V ∂P b Die Kompressibilit¨ at κT ist ein Maß f¨ ur die relative exp[iωt] . (6.19) z¨ + 2λz˙ + ωo2 z = m ¨ Anderung eines Volumens, δV /V , unter der Einwirkung einer gleichm¨ aßigen 11 Druck¨ anderung δP 12 . Haben wir die L¨osung z(t) gefunden, dann ist Wir schreiben daher der Realteil automatisch die gesuchte L¨osung von (6.18). Um die gesuchte spezielle L¨osung zu finden, geF −Cδ(V 1/3 ) C 1 ¨ hen wir von der folgenden Uberlegung aus. Wenn δP = ≈ = − δV A 3 V 4/3 V 2/3 die externe Kraft stark koppelt und damit die Bewegung des Oszillators bestimmt, erwarten wir inund erhalten κT = C3 V 1/3 bzw. C = 3κT−1 V 1/3 . Mit tuitiv, dass die gesuchte L¨osung das gleiche Zeit3 V ≈ a folgt verhalten wie die treibende Kraft hat. Dies legt den Ansatz 1/2 3 , vs ≈ κT ρ zinh (t) = Beiωt (6.20) wobei ρ = M/V die Massendichte ist. nahe. Einsetzen des Ansatzes ergibt Im Fall von Aluminium finden wir aus entsprechenden Tabellen 13 ρ = 2.7 · 103 kg/m3 und κ−1 T = b B = 7.3 · 1010 N/m2 und somit m (ωo2 − ω 2 + 2iλω) b = 1/2 3 2 vs ≈ 9 · 10 m/s . m [ωo2 − ω 2 ] + 4λ2 ω 2 10 richtungsunabh¨ angig 11 hydrostatischen 12 Im Kapitel 10 werden wir uns genauer mit der Deformation von elastischen K¨ orpern befassen. 13 Z.B. H. Kuchling, Taschenbuch der Physik.

2 2 ×e−i arctan[2λω/(ωo −ω )] .

Die komplette L¨osung ist die Summe aus Gl. (6.12) plus dem Realteil von (6.20). Sie lautet

6.1. EINDIMENSIONALE BEWEGUNG†

69 ds

du

= ae−λt cos

x (t)

p

ωo2 − λ2 t + α

dx

b

+

2

m [ωo2 − ω 2 ] + 4λ2 w2

1/2

× cos (ωt − arctan [...]) .

u(x,t)

0

L

x

(6.21)

Abbildung 6.4: An den Enden eingespannte Saite. F¨ ur lange Zeiten verschwindet offensichtlich der erste Term in Gl. (6.21) 14 . Betrachtet man den Amplitudenfaktor des zweiten Terms, so hat wobei sin2 (...) = 1/2 ausgenutzt wurde 15 . Die dieser als Funktion der treibenden Frequenz ω ein Energieabsorption h¨angt also von der Frequenz ω Maximum bei ω = ωo , der Eigenfrequenz oder ab. Dies bezeichnet man als Dispersion. Resonanzfrequenz des Oszillators. Dieses Maximum nimmt mit abnehmender Reibung (λ → 0) zu! Lagrangeformalismus f¨ ur die schwingende Saite: Dissipationsfunktion‡ :

Die Abbildung 6.4 zeigt eine an ihren Enden befestigte elastische Saite. Die Gr¨oße u (x, t) bezeichIm eingeschwungenen Zustand bleibt die Ener- net die Auslenkung der Saite am Ort x zur Zeit t. gie des eben betrachteten Oszillators unver¨ andert. Zun¨achst wollen wir die Lagrange Funktion der SaiAllerdings muss er dazu im zeitlichen Mittel eine te aufstellen, und zwar ausgedr¨ uckt durch u˙ (x, t) gewisse Energiemenge I absorbieren. Wir wollen I und u(x, t). Die kinetische Energie der Saite ist geberechnen. geben durch Dazu f¨ uhren wir die Dissipationsfunktion 1 Q = ζ x˙ 2 2

K=

(6.22)

1 ρ 2

Z

L

u˙ 2 dx .

0

ein, f¨ ur die offensichtlich fR = − ∂Q ∂ x˙ gilt. Mittels Gl. (4.33) folgt also dE dt

d ∂L x˙ dt ∂ x˙ d ∂L = x˙ dt ∂ x˙ = 2Q . =

Hier ist 21 ρdxu˙ 2 (x, t) die kinetische Energie eines Massenelements ρdx, mit der (L¨angen)Massendichte ρ, und L ist der Abstand der bei den Befestigungspunkte. F¨ ur die potenzielle Ener−L gie m¨ ussen wir die Dehnung der Saite bestimmen. Die lokale Dehnung ist gegeben durch ds − dx, wo∂L ( 6.10 ) ∂Q bei ds ein L¨angenelement entlang der Saite sein soll − = −x˙ ∂x ∂ x˙ (vgl. wiederum Abbildung 6.4 ). Die lokale Deh(6.23) nung ausgedr¨ uckt durch u (x, t) lautet

Damit wiederum gilt p dx2 + du2 − dx R 2π/ω 2 ω

ds − dx = ¯, I = 2Q

(6.24)

wobei sich die Mittelung auf eine Schwingungsperiode bezieht. Es folgt gem¨aß Gl. (6.21)

15 Es gilt sin2 (...) = sin (ωt + c)dt, wobei c eine 2π 0 von t unabh¨ angige Gr¨ oße ist. Mit der Substitution x = ωt+c folgt

sin2 (...)

=

2 2

I (ω) =

λω b

m [ωo2 − 14 Man

2 ω2 ]

+ 4λ2 ω 2

spricht von der Einschwingphase.

,

(6.25)

=

1 2π

2π+c

Z

1 1 2 2π

sin2 xdx

c

Z c

2π+c

sin2 x + cos2 x dx =

|

{z

=1

}

1 . 2

70

KAPITEL 6. KLEINE SCHWINGUNGEN ! du2 = dx 1+ 2 −1 dx ! 2 1 du ' dx 1 + −1 2 dx 2 1 du = dx . 2 dx r

u ¨ − c2

Damit folgt f¨ ur die potenzielle Energie der Saite T U= 2

Z

L

0

du dx

2 dx ,

(6.26)

d2 u =0 dx2

p mit c = T /ρ. Dies ist die Schwingungsgleichung der Saite! Die explizite L¨osung dieser Gleichung kann durch einen Separationsansatz der Form u(x, t) = ux (x)ut (t) erfolgen. Dies ist im Detail in allen B¨ uchern zur mathematischen Physik beschrieben. Uns kommt es hier momentan nur auf die Herleitung der Schwingungsgleichung mithilfe des Lagrangeformalismus an.

¨ Spannungskraft in einem Uberlandkabel: Diewobei T die Spannung der Saite sein soll. Insge- ses Beispiel soll den eben diskutierten Formalismus nochmals illustrieren, wobei wir uns auf ein stasamt erhalten wir f¨ ur L tisches Problem beschr¨anken. Die Abbildung 6.5 zeigt ein durchh¨angendes Kabel zwischen Masten " # 2 Z entlang einer Straße. Nehmen wir an, dass die Ausdu (x) 1 L L= dx ρu˙ 2 (x) − T . lenkung u(x) vollst¨andig aus der elastischen Deh2 0 dx nung des Kabels unter seinem Eigengewicht, ausuckt durch ρ, die Masse des Kabels pro L¨ange, 1 Die Gr¨oße 2 [...] ist ein einfaches Beispiel f¨ ur eine gedr¨ 17 resultiert . Wir fragen uns, wie groß die Kraft T Lagrange Dichte. ist, die in Kabelrichtung an den Masten angreift. Als n¨achstes wollen wir eine Gleichung f¨ ur u (x, t) Zun¨ a chst betrachten wir die Kabelauslenkung aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung ableiten. u (x). Wir k¨ o nnen direkt Teile des Ergebnisses Das Wirkungsfunktional lautet u ¨bernehmen, das wir gerade hergeleitet haben. Die elastische potenzielle Energie war gegeben durch 2 # Z Z L " Gl. (6.26). Die hier neue potenzielle Energie der 1 t2 du S= dt dx ρu˙ 2 − T . Lage ist 2 t1 dx 0 16

Die Variation von S bez¨ uglich u ist nun

Z

L

Upot = −ρg

u (x) dx . 0

δS

= p. I.

=

t2

L

du d d δu dt dx ρu˙ δu − T dt dx dx t1 0 Z t2 Z L d2 u − dt dx ρ¨ u − T 2 δu dx t1 0 t2 Z L L Z t2 du + dxρuδu ˙ − dtT δu . dx t1 0 0 t1

Z

Z

Damit ist die Lagrange Funktion 1 L= 2

Z

L

" 2

dx ρu˙ (x) − T 0

du (x) dx

2

# + 2ρgu (x)

Aus δu S = 0 folgt daher

Die beiden letzten Terme verschwinden. Der erste d2 u ρ¨ u − T 2 + ρg = 0 verschwindet, weil die Variation δu zu den Zeitdx punkten t1 und t2 verschwinden soll. Zu diesen Zeitpunkten liegt die Bewegung n¨ amlich fest. Der zwei- Im statischen Fall gilt also 17 Dies ist sicherlich nur ein Teil des beobachteten Effekts. te verschwindet aufgrund von δu (0, t) = δu (L, t) = Das Kabel h¨ angt in der Regel auch ohne die hier diskutierte 0. Aus δS = 0 folgt unmittelbar 16 Hier:

Kraft, die die Saite spannt

elastische Dehnung durch. Auch der Einfluß der Temperatur wird hier nicht betrachtet.

.

6.2. NORMALMODENANALYSE

71

Z

Z ds −

∆L =

Kabel Z L

1 2

≈ 0

du dx

L

dx 0 2

ρ2 g 2 L3 . 24T 2

dx =

D. h. u(x)

T = A

ρ2 g 2 L2 24T 2

(6.27)

oder L

x

T =

6.2

Aρ2 g 2 L2 24

1/3 .

Normalmodenanalyse

Abbildung 6.5: Durchh¨ angende Stromleitung

Hier betrachten wir Systeme mit vielen Freiheitsgraden. Die Massenpunkte dieses Systems an den Orten ~ri (i = 1, ..., N ) 18 sollen durch eine Potenzialfunktion U (~r1 , ..., ~rN ) miteinander wechselwird2 u ken. In der Regel wird eine solche Funktion viele = ρg lokale Minima besitzen, um die das System kleidx2 ne Schwingungen ausf¨ uhren kann. Hier betrachWir machen den Ansatz u (x) = C (L − x) x und ten wir irgendeines dieser Minima gekennzeichnet erhalten f¨ ur C durch die Koordinaten ~r10 , ~r20 , ..., ~rN 0 . Die der Gl. (6.1) entsprechende Entwicklung ist C=−

ρg 2T

U (~r1 , ..., ~rN )

bzw.

u (x) = −

ρg (L − x) x . 2T

= U (~r10 , ..., ~rN 0 ) (6.28) 1 ~T ~ + ... + δR · F · δR 2

mit

Wir erhalten T , indem wir die elastische Dehnung ∆L des Kabels insgesamt betrachten. D. h.

Fαβ =

∂ 2 U ∂xα ∂xβ ~r10 ,...,~rN 0

(6.29)

(α, β = 1, ..., 3N ) und T ∆L = . A L Hier ist A die Querschnittsfl¨ ache des als homogen angenommenen Kabels und ist der E-Modul (man spricht auch vom Youngs Modul) des Kabelmaterials (vgl. Abschnitt 10.2). F¨ ur ∆L gilt

~T δR

=

x1 − x10 , y1 − y10 , z1 − z10 , x2 − x20 , ..., zN − zN 0 . (6.30)

18 Wir verwenden hier der Einfachheit halber kartesische Koordinaten

72

KAPITEL 6. KLEINE SCHWINGUNGEN

D. h. die Eigenwerte aus Gl. (6.32) liefern direkt die Eigenschwingungen der Normalkoordinaten. Man spricht von Normalmoden. Die Normalmoden entsprechen dabei nicht den Bewegungen individueller Teilchen, sondern sie sind die Deformationsschwingungen des gesamten Systems. Um außer den Frequenzen selbst auch die r¨aumliche Form dieser Schwingungen zu erhalten, und zwar ~ = M−1/2 · L · Q ~ . δR (6.31) in kartesischen Koordinaten, muss die L¨osung f¨ ur Q (t) aus (6.35) in Gl. (6.31) eingesetzt werden. α Hierbei ist M−1/2 die Diagonalmatrix der Massen −1/2 −1/2 mi mit den Elementen Mαβ = mi δαβ , und Beispiel zur Normalmodenanalyse: ~ α der L ist eine Matrix, deren Spaltenvektoren L Bestimmung der Kraftkonstanten K b und K φ Eigenwertgleichung durch Normalmodenanalyse am Beispiel von Was ser 20 . −1/2 T −1/2 ~ ~ · Lα = λα Lα (6.32) (M ) ·F·M Ein einfaches diagonales Valenzkraftfeld f¨ ur ein isoliertes Wassermolek¨ ul hat die Form gen¨ ugen sollen. Durch Einsetzen von (6.31) in die folgenden Gleichungen und mit Hilfe von (6.32) Kφ 2 Kb kann leicht gezeigt werden 19 , dass die kinetische δb21 + δb22 + δφ . (6.37) U= 2 2 und die potenzielle Energie des schwingenden Systems als Funktion von Q˙ 2α und Q2α geschrieben Dabei sind δb1 und δb2 die Auslenkungen entlang werden k¨onnen: der beiden OH-Bindungen, und δφ ist die Deformation des HOH-Winkels. In diesem Beispiel wollen wir die Kraftkonstanten K b und K φ aus den spek1 X ˙2 1 ~˙ T ˙ ~ δR · M · δR = Q (6.33) troskopisch gemessenen Wellenzahlen der NormalδK = 2 2 α α schwingungen des Wassermolek¨ uls bestimmen. Zu X 1 ~T 1 diesem Zweck berechnen wir die Normalmoden des 2 ~ = λα Qα .(6.34) δU = δR · F · δR Wassermolek¨ uls, modelliert durch die Gleichung 2 2 α (6.37), mittels der eben diskutierten Methode. Zuerst m¨ ussen wir die F-Matrix der zweiten AbDie Koordinatentransformation (6.31) zerlegt“ ” also das System in eine Summe aus 3N eindimen- leitungen von U nach den kartesischen Koordinaten uls aufstellen. Dazu werden vorsionalen, unabh¨ angigen und harmonischen Oszilla- des Wassermolek¨ toren! Die neuen Koordinaten Qα nennt man Nor- ab die Auslenkungen der OH-Bindungen sowie des malkoordinaten. F¨ ur jeden dieser Oszillatoren gilt HOH-Winkels durch kartesische Koordinaten ausgedr¨ uckt. Die Abbildung 6.6 zeigt das Wassermolek¨ ul in einem entsprechenden Koordinatensystem. ¨ α + λα Qα = 0 (α = 1, ..., 3N ) Q (6.35) Wir k¨onnen uns auf ein zweidimensionales System beschr¨anken, da das Molek¨ ul nur in der Ebene sei(vgl. Gl. (6.5)). Dies folgt auch direkt aus den la- ner Bindungen schwingt. Die δ R ~ i (i = 1, 2, 3) sind d ∂δK ∂δU grangeschen Bewegungsgleichungen dt + = ˙α ∂Qα die Auslenkungen der drei Atome aus ihren Gleich∂Q 0. Mit Hilfe des Ansatzes Qα (t) ∝ cos (ωα t) folgt gewichtslagen, die wiederum als klein angenommen daher direkt werden. Um δb1 und δb2 zu berechnen, ben¨ otigen ~i wir die Projektionen bzw. Komponenten der δR k entlang der Bindungen δRi bzw. senkrecht dazu ωα = λ1/2 (6.36) α . δRi⊥ . Wir k¨onnen dann schreiben Der lineare Term verschwindet, und daher fehlt er hier. Ansonsten entspricht diese Entwicklung der Gl. (4.84), außer dass es diesmal um eine Entwicklung in kartesischen Koordinaten geht. Wir f¨ uhren jetzt eine Koordinatentransformation durch, d. h. wir definieren

19 Außerdem verwenden wir die Identit¨ at (A · B)T = BT · AT , wobei A und B Matrizen sind, und LT · L = I, wobei I die Einheitsmatrix ist.

20 vgl. auch Aufgabe 2 im Kapitel V des Mechanik-Bandes, Landau/Lifschitz.

6.2. NORMALMODENANALYSE y

δ R3

Damit ergibt sich sofort

δ R1 δ R 1⊥

H 2

73

φ /2 φ /2

H

δ R 1||

k

δRi δRi⊥

1

ϕ

x

O

δ R2

Abbildung 6.6: Skizze des Wassermolek¨ uls.

~ 1 und δ R ~ 2 auf die Binf¨ ur die Projektionen von δ R ~ ~ 2 auf Bindung 1. Die Projektionen von δ R3 und δ R dung 2 erhalten wir durch eine Spiegelung der Gleichungen (6.41) an der y-Achse, d. h. indem wir δx1 durch −δxi ersetzen. F¨ ur (6.38) erhalten wir daher δb1

δb1 δb2

k k = δR1 − δR2 1 k k = δR − δR

(6.38)

(6.39) 1 δR1⊥ − δR2⊥ 1 (6.40) δφ = b 1 + δR3⊥ − δR2⊥ 2 . b Dabei bedeutet ... 1 bzw. ... 2 , dass es sich um Projektionen bezogen auf die Bindungen 1 bzw. 2 handelt. Die Gr¨oße b ist die Bindungsl¨ ange des undeformierten Molek¨ uls. Zur Umrechnung der Projektionen in die kartesischen Koordinaten der Abbildung 6.6 bedienen wir uns einer Koordinatentransformation ~x0 = D · ~x mittels der Drehmatrix 3

D=

cos ϕ − sin ϕ

.

Hierbei ist ~x0 der Vektor ~x ausgedr¨ uckt in den Koordinaten eines um ϕ gedrehten Koordinatensystems, wobei die Drehung dem Uhrzeigersinn entgegengesetzt ist. Wenn also die x-Achse unseres ungedrehten Systems die Bindung 1 ist, dann gilt in ~ i = (δRk , δR⊥ ) f¨ diesem System δ R ur (i = 1, 2). Eii i ne Drehung um ϕ = − (π/2 − φ/2) u uhrt die ¨berf¨ Bindung 1 auf die x-Achse des x-y-Systems in Abbildung 6.6, so dass die x- und y-Komponenten von ~ i in diesem gedrehten System durch (δxi , δyi ) = δR ~ i = D · (δRk , δR⊥ ) gegeben sind. D. h. D · δR i i k die gesuchte Beziehung lautet (δRi , δRi⊥ ) = D−1 · (δxi , δyi ) mit −1

D

=

sin [φ/2] − cos [φ/2]

δb2

2 2

sin ϕ cos ϕ

cos [φ/2] sin [φ/2]

.

= δxi sin [φ/2] + δyi cos [φ/2] (6.41) = −δxi cos [φ/2] + δyi sin [φ/2]

δφ

(δx1 − δx2 ) sin [φ/2] + (δy1 − δy2 ) cos [φ/2] = − (δx3 − δx2 ) sin [φ/2] + (δy3 − δy2 ) cos [φ/2] 1 = {(−δx1 + δx2 ) cos [φ/2] b + (δy1 − δy2 ) sin [φ/2]} 1 {(δx3 + δx2 ) cos [φ/2] + b + (δy3 − δy2 ) sin [φ/2]} . =

Jetzt sind wir soweit und k¨onnen die F-Matrix konstruieren, indem wir diese Gleichungen in (6.37) einsetzen und die Matrixelemente Fαβ = ∂ 2 U/∂δxα ∂δxβ ausrechnen. Hierbei gilt δxα = δxi mit α = i und δxα = dyi mit α = i + 3, so dass wir insgesamt eine 6 × 6 Matrix erhalten. Diese Matrix m¨ ussen wir von beiden Seiten mit der Matrix M−1/2 multiplizieren, die nur in der Diagonale −1/2 −1/2 die von Null verschiedenen Werte (mH , mO , −1/2 −1/2 −1/2 −1/2 mH , mH , mO , mH ) hat. Dabei steht mH f¨ ur die Wasserstoffmasse und mO f¨ ur die Sauerstoffmassen. Die gesuchten Frequenzen να der Normalschwingungen erhalten wir aus der Gleichung √ να = λα / (2π), wobei λα die Eigenwerte der Matrix M1/2 · F · M−1/2 sind. Wir erwarten, dass 3 der 6 Eigenwerte gleich Null sind, entsprechend der gleichf¨ormigen Translation des Molek¨ uls in der x-yEbene sowie der gleichf¨ormigen Rotation um seinen Schwerpunkt in dieser Ebene. Die restlichen drei Ei√ genwerte sollten Wellenzahlen ν˜α = λα / (2πc) ergeben, die mit den experimentellen Werten u ¨bereinstimmen - in Abh¨angigkeit von den Kraftkonstanten K b und K φ . Die gesamte Rechnung ist in dem Mathematica-Programm in Abbildung 6.7 durchgef¨ uhrt. Als Resultat erhalten wir f¨ ur die nichtverschwindenden Eigenwerte:

74

KAPITEL 6. KLEINE SCHWINGUNGEN

Potentielle Energie für Wasser - Valenzkraftfeld (es gilt x[[i]]=δxi für i=1,2,3 und x[[i]]=δyi für i=4,5,6) u=kb/2 (db1^2 + db2^2) + kw/2 dw^2; db1:= (x[[1]]-x[[2]]) Sin[w/2] + (x[[4]]-x[[5]]) Cos[w/2]; db2:=-(x[[3]]-x[[2]]) Sin[w/2] + (x[[6]]-x[[5]]) Cos[w/2]; dw := 1/b ((-x[[1]]+x[[2]]) Cos[w/2] + (x[[4]]-x[[5]]) Sin[w/2] ) + 1/b (( x[[3]]-x[[2]]) Cos[w/2] + (x[[6]]-x[[5]]) Sin[w/2] ); Berechnung der F-Matrix F=Table[D[u,x[[alpha]],x[[beta]]],{alpha,6},{beta,6}]; Berechnung der M^-1/2-Matrix M=Inverse[DiagonalMatrix[{mH^(1/2),mO^(1/2),mH^(1/2), mH^(1/2),mO^(1/2),mH^(1/2)}]];

H

H

Lösung des Eigenwertproblems (wobei Eigenfrequenz=Sqrt(ev)/2π) ev=Simplify[Eigenvalues[M.F.M]]

Abbildung 6.7: Mathematica-Programm.

λ1/2 ζ

λ3

1/2 ζ ± ζ 2 − 8mO (2mH + mO ) b2 K b K φ = 2b2 mH mO 2 b = (mH + mO ) b K + 2K φ +mH b2 K b − 2K φ cos φ mH (1 − cos φ) + mO = Kb . mH mO

H

O

O

O

H

H

H

Abbildung 6.8: Normalschwingungen des Wassermolek¨ uls. Abweichungen zwischen 6 und 31 Wellenzahlen. Passt man von den AMBER-Parametern ausgehend K b und φ weiter an, dann erh¨alt man ex¨ akte Ubereinstimmung f¨ ur die angepassten Eigenfrequenzen. Aber die dritte Eigenfrequenz weicht um ca. 50 Wellenzahlen ab. Man k¨onnte sich daher u ¨berlegen, den HOH-Winkel φ als dritte anpassbare Gr¨oße anzusehen. In diesem Fall ergeben K b = 766.4Jm−2 , b−2 K φ = 69.3Jrad−2 m−2 und ¨ φ = 118.6o exakte Ubereinstimmung mit den experimentellen Wellenzahlen. Offensichtlich jedoch weicht φ stark vom Literaturwert 104.5o ab 21 . Um dies zu vermeiden, k¨onnten wir unser Kraftfeld (6.37) erweitern und b − b-Kreuzterme ber¨ ucksichtigen 22 . Hier bedeutet dies eine zus¨atzliche Kraftkonstante K bb , mit der wir die drei experimentellen Wellenzahlen exakt anpassen k¨onnen - unter Beibehaltung der Werte f¨ ur b und φ. Im allgemeinen ist es nur f¨ ur kleine Molek¨ ule m¨oglich, analytische Ausdr¨ ucke f¨ ur die λα auszurechnen. F¨ ur große Molek¨ ule muss die hier vorgef¨ uhrte Berechnung der F-Matrix sowie die Bestimmung der Eigenwerte von M−1/2 numerisch durchgef¨ uhrt werden. Numerisch kann man die Elemente der F-Matrix beispielsweise gem¨aß

Die hier angegebene Reihenfolge der Eigenwerte entspricht der Reihenfolge der Normalschwingungen in Abbildung 6.8. Die entsprechende Rechnung reproduzieren wir hier nicht. Dazu m¨ ussten wir zus¨atzlich zu den Eigenwerten die Eigenvektoren bestimmen (z.B. mit dem Mathematica-Befehl Eigenvectors anstelle von Eigenvalues). Anschließend k¨onnten wir die kartesischen Verschiebungen berechnen (man beachte, dass der Verschiebungsvek~ aus den insgesamt sechs Komponenten der tor δ R ~ i besteht). drei δ R Zur Bestimmung von K b und K φ l¨ osen pwir simultan zwei der drei Gleichungen ν˜αe = λα / (2πc) mit Hilfe des FindRoot-Befehls in Mathematica. ur die experimentellen Werte, und Hier steht ν˜αe f¨ die λα sind durch die obigen Gleichungen gegeben. Anhand der zus¨ atzlichen dritten Gleichung k¨onnen wir die Konsistenz der L¨ osung u ufen. ¨berpr¨ Die Startwerte f¨ ur K b und K φ sowie die anderen Parameter entnehmen wir hier den AMBERParametertabellen (AMBER ist ein h¨aufig verwendetes Modellierungspaket insbesondere f¨ ur Bioh i ~ (k) + δ R ~ β − ∇α U R ~ (k) molek¨ ule). Diese Werte sind K b = 768.7Jm−2 , Fαβ ≈ 1 ∇α R δRβ b−2 K φ = 70.9Jrad−2 m−2 , b = 0.96 · 10−10 m und φ = π (104.5/180) rad f¨ ur den Gleichgewichts21 Man findet auch Wassermodelle mit φ = 109.5o , wobei winkel. Die Ergebnisse sind in Tabelle 6.1 zu- von der tetraedrischen Anordnung der vier sp3 -Orbitale des sammengefasst. F¨ ur die mit den AMBER-Parame- Sauerstoffs ausgegangen wird 22 z.B.: K bb δb δb . tern ausgerechneten Eigenfrequenzen ergeben sich 1 2 2

6.2. NORMALMODENANALYSE

K b / mJ2

φ

K b2

/ radJ2 m2

K bb / mJ2

ν˜e

e ∆˜ νA

3652

−31

e ∆˜ νA

1

0

75 e ∆˜ νA

2

−50

e ∆˜ νA

b

0

1595

−6

0

0

0

3756

19

51

0

0

-

768.7

755.8

776.6

766.2

70.9

70.3

70.3

70.3

-

-

-

−20.9

Tabelle 6.1: Experimentelle Wellenzahlen ν˜e (in cm−1 ) sowie die entsprechenden Abweichungen ∆˜ ν der theoretischen Werte. A: AMBER-Werte; A1 : weitere Parameteranpassungen an λ1 und λ2 ausgehend von den AMBER-Werten; A2 : weitere Anpassung an λ2 und λ3 ausgehend von den AMBERWerten; Ab : Anpassung an alle drei Eigenwerte ausgehend von den A1 -Parametern, wobei (6.37) um einen Bindungs-Kreuzterm erg¨ anzt wurde. Die resultierenden Parameterwerte sind im unteren Teil der Tabelle eingetragen. ~ (k) ) die αte Komponenermitteln. Dabei ist ∇α U (R te des Gradienten der potenziellen Energie. Die Positionen der Atome am kten Minimum sind in dem ~ (k) zusammengefasst. Der VerschiebungsVektor R ~ β schließlich enth¨ vektor δ R alt nur eine von Null ~ β in β-Richtung. Sie verschiedene Komponente δ R sollte einerseits m¨ oglichst klein gew¨ ahlt werden, andererseits aber sollte sie deutlich u ¨ber der Maschinengenauigkeit liegen.

76

KAPITEL 6. KLEINE SCHWINGUNGEN

Kapitel 7

Bewegung starrer Ko ¨rper 7.1

Tr¨ agheitstensor Drehimpuls†

und z'

Der starre K¨orper besteht aus vielen Massenpunkten mi , deren Abst¨ ande rij = konst erf¨ ullen. F¨ ur reale Materialien (Festk¨ orper) gilt dies nat¨ urlich ¨ nur n¨aherungsweise. Der Ubergang zum kontinuierlichen Material erfolgt durch die Definition einer Massendichte ρ als Masse pro Volumenelement. Die Position und die r¨ aumliche Orientierung des starren K¨orpers werden durch drei Koordinaten und drei Winkel festgelegt.

z

y' r'

P

x' r

R

y

Winkelgeschwindigkeit† : Die Abbildung 7.1 zeigt einen starren K¨orper zusammen mit einem ¨ außeren xyz-Bezugssystem (Inertialsystem) und einem k¨ orperfesten x0 y 0 z 0 ~ + ~r0 bzw. d~r = Bezugssystem. Es gilt ~r = R 0 ~ × ~r und daher ~ + dφ dR

x

momentane Drehachse r'' r'

~ +ω ~v = V ~ × ~r0

(7.1)

a

RS ~˙ D. h. die Geschwindig~ = R ~˙ und ω mit V ~ = φ. R keit von P von außen betrachtet, ist die Geschwin~ plus ein Betrag von der Rotation des digkeit V K¨orpers. ~ der Schwerpunkt sein aber auch irHier kann R gendein anderer Referenzpunkt. Dieser muss dabei Abbildung 7.1: Oben: Ruhendes Bezugssystem (unnicht auf der Drehachse liegen! Beweis: Betrachten gestrichen) sowie mit dem starren K¨orper verbunwir die Detailskizze in Abbildung 7.1. Dort endet denes System (gestrichen). Unten: Detailskizze. ~ auf der Drehachse, w¨ der Vektor R ahrend dies f¨ ur ~ den Vektor Rs nicht der Fall ist. Wir k¨ onnen schreiben 77

¨ KAPITEL 7. BEWEGUNG STARRER KORPER

78

und ~ + ~r0 = R ~ + ~a = R

~r ~ Rs 0

bzw. bzw.

~ +ω ~v = V ~ × ~r0 ~s = V ~ +ω V ~ × ~a .

1 0

δαβ =

f¨ ur sonst

α=β

.

00

Mit ~r = ~a + ~r folgt aus der ersten Gleichung ~ +~ ~ aus der zwei~v = V ω ×~a+~ ω ×~r00 . Einsetzen von V ~ ten Gleichung ergibt ~v = Vs − ω ~ ×~a + ω ~ ×~a + ω ~ ×~r00 00 ~ und somit ~v = Vs + ω ~ × ~r . Tr¨agheitstensor† :

Hier steht α = 1 bzw. β = 1 f¨ ur die x-Komponente, α = 2 bzw. β = 2 f¨ ur die y-Komponente und α = 3 bzw. β = 3 f¨ ur die z-Komponente. Die Gr¨oßen Iαβ sind die Komponenten des Tr¨agheitstensors I. Man beachte, dass I symmetrisch ist. Die Kontinuumversion von I bzw. der Komponenten lautet

Wir betrachten die kinetische Energie des starren K¨orpers, gegeben als

!

Z Iαβ = K

=

X

X

ρ

mi~vi2

x2ν δαβ

− xα xβ

d3 r .

(7.5)

ν

2 2 X mi ~ (7.1) V +ω ~ × ~ri = 2 i

d3 r = dx1 dx2 dx3 . beachte, ¨blich ist, in Termen wie PMan P dass es u 2 bzw. x I ω ν ν α,β αβ α ωβ die Summenzeichen wegzulassen. D. h. x2ν bzw. Iαβ ωα ωβ verstehen Hier und in unserer weiteren Rechnung bezieht sich sich als Summen u ¨ber die doppelt vorkommenden ~ri auf ein k¨ orperfestes Koordinatensystem, dessen Indizes. Dies ist die so genannte SummenkonventiUrsprung der Schwerpunkt des K¨ orpers ist. D. h. on, die wir von jetzt ab verwenden wollen. ~ ist daher die Gewir verzichten auf den Index 0. V schwindigkeit des Schwerpunkts in unserem ruhen- Tr¨ agheitstensor einer homogenen Kugel: Als den bzw. ¨ außeren Bezugssystem. Damit gilt erstes Beispiel untersuchen wir die Elemente des i

K

=

Tr¨agheitstensors einer homogenen Kugel. Die homogene Kugel mit Radius R habe die Massendichte ρ. Wir betrachten zun¨achst das Element I11 oder, was das gleiche ist, das Element Ixx des Tr¨agheitstensors

X 1 ~2 ~ mV + V × ω ~· mi~ri 2 i | {z } =0(∗)

+

X mi 2

i

=

2

ω 2 ri2 − (~ ω · ~ri )

Z

1 ~2 mV + Krot 2

(7.2)

ρ r2 − x2 dV

= VKugel

Z

(*: da Ursprung im Schwerpunkt!), wobei der Beitrag der Rotation bezogen auf den Schwerpunkt Krot gegeben ist durch Krot =

Ixx

1X ωα ωβ Iαβ 2

ρ y 2 + z 2 dV .

= VKugel

In Kugelkoordinaten gilt dV = r2 drdφdθ sin θ (vgl. Aufgabe 3 (c)) und

(7.3) R

Z

α,β

drr4

Ixx = ρ

mit

0

Z

2π

Z dθ

Iαβ =

X i

mi

X

x2ν,i δαβ − xα,i xβ,i .

ν

| {z } =~ ri2

(7.4)

0

π

dθ 1 − cos2 φ sin2 θ sin θ .

0

Das Integral u ¨ber r kann unabh¨angig von den Winkelvariablen gel¨ost werden und liefert

¨ 7.1. TRAGHEITSTENSOR UND DREHIMPULS†



1 5 R . 5

I =

Das φ-Integral kann in die Klammer gezogen werden und liefert Z

2π

dφ = 2π 0

sowie 2π

Z

dφ sin2 φ sin2 θ

0

=

1 sin2 θ 2

2π

Z

dφ sin2 φ + cos2 φ | {z }

0

79

2 2 5 mKugel R

0 2 2 5 mKugel R

0 0

0



0 0 2 2 5 mKugel R

 .

Allgemein sind die Tensorelemente außerhalb der Diagonalen nicht Null. Allerdings ist der Tr¨agheitstensor I symmetrisch und daher k¨onnen wir immer ein Koordinatensystem (durch Drehung um den Ursprung, der im Schwerpunkt liegen soll) finden, in dem die Tensorelemente außerhalb der Diagonalen tats¨achlich verschwinden. Man spricht von der Diagonalisierung des Tr¨agheitstensors. Die Koordinatenachsen dieses neuen Koordinatensystems sind die Haupttr¨agheitsachsen. Aus Gl. (7.3) wird in diesem Fall

=1

Krot =

= π sin2 θ .

1 I1 ω1 2 + I2 ω2 2 + I3 ω3 2 . 2

(7.6)

Hier sind I1 , I2 und I3 die Eigenwerte von I, die Tr¨agheitsmomente bzgl. der Hauptachsen des K¨orpers (Haupttr¨agheitsmomente) und ω1 , ω2 Z π πρ 5 und ω3 sind die dazugeh¨origen Winkelgeschwin2 Ixx = R dθ 2 − sin θ sin θ . 5 digkeiten. Man unterscheidet unsymmetrische 0 Kreisel (I1 6= I2 6= I3 ), symmetrische Kreisel Wir machen die Substitution x = cos θ bzw. dx = (I = I 6= I ) 1 sowie Kugelkreisel (I = I = I ). 1 2 3 1 2 3 − sin θdθ und erhalten f¨ ur das Integral Damit folgt das Zwischenergebnis

Drehimpuls† : Z

π

Z dθ... = −

0

−1

dx 1 + x2

1

Z =

1

8 dx 1 + x2 = . 3 −1

Wir betrachten im folgenden den Eigendrehimpuls, also den Drehimpuls bezogen auf den Schwer~ = P mi (~ri × ~vi ) punkt des starren K¨orpers. Mit L i und ~vi = ω ~ × ~ri gilt

Insgesamt gilt also ~ = L Ixx

Ixx =

2 mKugel R2 . 5

Analog ergeben sich Iyy = Izz = Ixx (bzw. I22 = I33 = I11 ) und Iαβ = 0 f¨ ur α 6= β. Insgesamt gilt

mi~ri × (~ ω × ~ri )

i

8π 5 ρR . = 15

3 Mit ρ = mKugel / 4π 3 R , wobei mKugel die Kugelmasse ist, folgt

X

=

X

mi ri2 ω ~ − ~ri (~ri · ω ~)

i

bzw. Lα

=

X

mi x2l,i δαβ − xα,i xβ,i ωβ

i Gl. (7.4)

=

Iαβ ωβ .

(7.7)

1 F¨ ur I3 = 0 spricht man vom Rotator. Er hat nur f¨ unf statt sechs Freiheitsgrade, da eine Rotation um die 3-Achse keinen Sinn macht.

¨ KAPITEL 7. BEWEGUNG STARRER KORPER

80 Insbesondere gilt damit f¨ ur Krot gem¨ aß Gl. (7.3)

Krot

1~ = L ·ω ~ . 2

r L

r ω

(7.8)

x3

Tr¨agheitstensor in verschobenen Koordinaten† : Bisher hatten wir den Tr¨ agheitstensor immer in Koordinatensystemen berechnet, deren Ursprung mit dem Schwerpunkt des starren K¨orpers zusammenf¨ allt. Muss dies zwangsl¨aufig so sein? Die Antwort ist nein. Die Gl. (7.1) ist ~ = 0 ist, beispielsweise auch dann g¨ ultig, wenn V ~ = konstant. Ein Beispiel hierf¨ d. h. R ur ist ein Uhrenpendel, dessen Aufh¨ angepunkt nat¨ urlich ruht, da die Uhr an der Zimmerwand (Zimmer ist festes Bezugssystem) fest verschraubt ist. Zus¨atzlich ist der Schwerpunkt in der Regel auch recht weit von der Aufh¨ angung bzw. der Drehachse entfernt. Wenn wir die auf Gl. (7.1) folgenden ~ = 0 nochmals durchf¨ Rechnungen mit V uhren, dann erhalten wir exakt die gleichen Ausdr¨ ucke, ~ = 0 nat¨ d. h. Gln. (7.2) (mit V urlich), (7.3) 2 , (7.4), (7.5) sowie (7.8) und weiter unten die Gl. (7.14). Der Tr¨ agheitstensor wird nach wie vor in einem am starren K¨ orper fest installierten Koordinatensystem berechnet - aber dessen Ursprung ruht im Bezugssystem und der Ursprung ist nicht notwendig der Schwerpunkt des starren K¨orpers. Freier symmetrischer Kreisel: Als Beispiel betrachten wir den freien symmetrischen Kreisel (I1 = I2 6= I3 ). Im vorliegenden Fall sei der Kreisel ein homogener Konus der H¨ ohe h und Masse mKreisel . Der Radius der Grundfl¨ ache ist a. Wie in Abbildung 7.2 gezeigt, steht der Konus schr¨ ag auf seiner Spitze und rotiert. Wir wollen diese Rotation be~ ist der Gesamtdrehimpuls, rechnen. Der Vektor L der entlang der z-Achse des Labor- bzw. Bezugssystems liegen soll. Wir w¨ ahlen ein Koordinatensystem aufgespannt durch die Achsen x1 , x2 und x3 wie in der Abbildung dargestellt (die Achse x2 ist nicht explizit eingezeichnet). Der Ursprung dieses Systems, das mit dem Kreisel fest verbunden ist, und des Laborsystems seien identisch. Der Schwerpunkt des Kreisels liegt offensichtlich h¨ oher irgendwo auf der 2K rot

ist jetzt die gesamte kinetische Energie

r ω Pr

r ωK

θ

Kreisel

x1

θ

ω1

Abbildung 7.2: Skizze zur Pr¨azession des freien symmetrischen Kreisels. x3 -Achse. Die Rechnung zeigt, dass der Tr¨agheitstensor in diesem Koordinatensystem diagonal ist. Wir wollen diese Rechnung aus Platzgr¨ unden nicht komplett durchf¨ uhren, sondern lediglich die folgenden drei Tensorkomponenten angeben: Rh Izz

0

=

dz

mKreisel R h

R za/h 0

dz 0 3 mKreisel a2 . 10

(..)=s2

=

dss

R za/h 0

R 2π

dφ(..) R 2π dss 0 dφ 0

Izz ist das Tr¨agheitsmoment bez¨ uglich der x3 Achse. Hier verwenden wir Zylinderkoordinaten, wobei s der senkrechte Abstand des Volumen- bzw. Massenlements von der x3 -Achse ist. z ist der x3 -Achsenabschnitt des Volumen- bzw. Massenlements und φ ist der Winkel des Volumen- bzw. Massenelements projiziert auf die x1 -x2 -Ebene. Die Massendichte ρ ist durch mKreisel /VKreisel ausgedr¨ uckt. Das Kreiselvolumen VKreisel wiederum steht im Nenner des obigen Ausdrucks. Analog folgen

Ixz

(..)=−zs cos φ

=

0.

oder

Ixx

(..)=s2 +z 2 −s2 cos2 φ

=

3 mKreisel (a2 + 4h2 ) , 10

¨ 7.1. TRAGHEITSTENSOR UND DREHIMPULS†

81

dass Tr¨agheitsmoment bzgl. der x1 -Achse. Die Berechnung der hier nicht aufgeschriebenen Tensorelemente verl¨auft ganz anaolog und beweist die obige Behauptung. ~ z. B. in F¨ ur die weitere Betrachtung legen wir L die momentane x1 − x3 -Eben. D. h. momentan gilt dann

x3



  L1 I1  0 = 0 L3 0

0 I2 0

  0 ω1 0  0  , I3 ω3

wobei I1 ≡ Ixx , I2 ≡ Iyy und I3 ≡ Izz ist. Insbesondere folgt ω2 = 0 aus L2 = 0. ω ~ kann nun zerlegt werden in einen Beitrag ω ~ K in x3 Richtung (Rotation des Kreisels um diese Haupt~ achse) und einen Beitrag ω ~ P r in L-Richtung (Rota~ Letzterer tion des Kreisels um Achse parallel zu L). ~ ist ωP r = ω1 / sin θ, wobei θ der Winkel zwischen L und der x3 -Achse ist (vgl. Abbildung 7.2). D. h. L L1 = (7.9) I1 sin θ I1 ist der Betrag der Winkelgeschwindigkeit, mit der ~ pr¨azidiert. D. h. wir erhalten eine Rotation ω ~ um L der Projektion der x3 -Achse auf die x-y-Ebene unseres Laborsystems.

x1

d

x2 Abbildung 7.3: Freier symmetrischer Kreisel mit zus¨atzlicher Achse.

ωP r =

Satz von Steiner† : Die Form des Kreisels in dem obigen Beipiel verbunden mit der Wahl des Koordinatenursprungs in der Kreiselspitze macht die Berechnung des Tr¨agheitstensors bzw. seiner Komponenten relativ einfach. Was ist jedoch, wenn der Kreisel in Abbildung 7.2 auf einer d¨ unnen (masselosen) Achse steckt, die mit der x3 -Achse des Koordinatensystems zusammenf¨ allt. Die Spitze der Achse sei nun im Ursprung und die Spitze des Kreisels liegt um die Strecke d verschoben h¨ oher auf der x3 -Achse (vgl. Abbildung 7.3). Die Berechnung des Tr¨ agheitstensors f¨ ur diesen Fall erfolgt wieder mittels Gl. (7.5): Z Iαβ = VKreisel

2 ρ ~rneu δαβ − xneu,α xneu,β d3 rneu

~rneu = ~ralt + d~

(7.10)

ausdr¨ ucken, wobei ~ralt der Ortsvektor in unserem urspr¨ unglichen Beispiel ist und d~ = (0, 0, d), so folgt Z

~ 2 δαβ ρ (~ralt + d)

Iαβ = V

Kreisel −(xalt,α + dα )(xalt,β + dβ ) d3 ralt .

Diese Gleichung liefert allerdings keine besondere Rechenerleichterung - mit einer besonderen Ausnahme. Wenn wir statt Gl. (7.10) die Gleichung ~rneu = ~rs + d~s

(7.11)

verwenden, wobei d~s diesmal der Vektor vom Ursprung zum Kreiselschwerpunkt ist und ~rs ist der Vektor vom Schwerpunkt zum Volumen- bzw. Massenelement, dann vereinfacht sich h¨aufig die Be, . rechnung des Tr¨agheitstensors. Aufgrund von

wobei sich nun ~rneu auf das in der Abbildung 7.3 gezeigte Koordinatensystem bezieht. Wenn wir nun ~rneu durch die Beziehung

Z VsK

ρxs,α d3 rs = 0

¨ KAPITEL 7. BEWEGUNG STARRER KORPER

82 (α = 1, 2, 3), folgt Iαβ = msK (d2s δαβ − ds,α ds,β ) + Is,αβ .

f¨ ur das Tr¨agheitsmoment bzgl. einer festen Achse (hier die x3 -Achse) wird als der Satz von Steiner bezeichnet. Man beachte, das Gl. (7.13) ein spezi(7.12) eller Fall der Gl. (7.12) ist.

Hier stehen VsK und msK ganz allgemein f¨ ur das Volumen und die Masse des jeweiligen starren Lagrange Funktion des starren K¨orpers: K¨orpers (dem Kreisel im vorliegenden Fall). Die An dieser Stelle sei noch die Lagrange Funktion Is,αβ sind die Komponenten des Tr¨ agheitstensors des starren K¨orpers angegeben. Aus den Gln. (7.2) berechnet bezogen auf den Ursprung im Schwerund (7.3) folgt punkt. Wenden wir diese Formel auf den Kreisel in Abbildung 7.3 an, so folgt ~2 1 mV + Iαβ ωα ωβ − U (7.14) L = 2 2   Is,xx 0 0 ~2 mV 1~ = + L ·ω ~ −U . (7.15)  . Is,yy 0 I = 0 2 2 2 0 0 mKreisel ds + Is,zz Diese Form gilt, dies sei betont, wenn der Ursprung Da die x3 -Achse durch den Schwerpunkt geht, des k¨orperfesten Bezugssystems im Schwerpunkt gilt direkt unser altes Ergebnis, d. h. Is,zz = des K¨orpers liegt bzw. in verschobenen Koordina3 2 ~ = 0 gilt! 10 mKreisel a . Die anderen beiden Tensorkompo- ten, wenn V nenten lesen wir aus einer der vielen Tabellen mit Wenn speziell unser Koordinatensystem entlang den Tr¨agheitsmomenten einfacher geometrischer der Haupttr¨agheitsachse gew¨ahlt ist, dann gilt L ~ k 3 K¨orper ab: Is,xx = Is,yy = 80 mKreisel (4a2 + h2 ). ω ~ f¨ ur Kugelkreisel. Dies gilt auch, wenn die RotatiInsbesondere k¨ onnen wir mit Gl. (7.12) nun onsachse und eine Haupttr¨agheitsachse zusammen schreiben: fallen. Im allgemeinen Fall gilt dies jedoch nicht. Iαβ ωα ωβ = msK (d2s δαβ − ds,α ds,β ) +Is,αβ ) ωα ωβ = msK (~ ω × d~s )2 + Is,αβ ωα ωβ

7.2

Bewegungsgleichungen des starren Ko ¨rpers

= msK d2s,⊥ ω 2 + Is,αβ ωα ωβ .

Starre K¨orper besitzen sechs Freiheitsgrade. Daher sollte es ein System von sechs BewegungsgleiHier ist ds,⊥ der senkrechte Abstand des Schwerchungen geben. Diese beschreiben die zeitliche punkts von der Drehachse. Die Gleichung verein- ¨ Anderung des Gesamtimpulses P~ und des Gesamtfacht sich nochmals, wenn wir die Drehachse z.B. in ~ drehimpulses L. Richtung der x3 -Achse legen (~ ω = (0, 0, ω)). Dann gilt P~ : Aus Iαβ ωα ωβ = msK d2s,⊥ + Is,zz ω 2

P~ =

bzw.

X

p~i

i

KRot

folgt

1 msK d2s,⊥ + Is,zz ω 2 . = 2

Der in dieser Gleichung ausgedr¨ uckte Sachverhalt I = msK d2s,⊥ + Is,zz .

(7.13) bzw.

X d X ˙ P~ = f~i p~i = dt i i

¨ 7.2. BEWEGUNGSGLEICHUNGEN DES STARREN KORPERS

83

Gesamtkraft auf einen K¨orper greift in einem ein~ hier ist dies der Schwerpunkt 3 , an. zigen Punkt R, Bemerkung: Die Gl. (7.18) kann auch aus (7.16)

˙ P~ = F~ .

F~ ist die Summe u afte f~i auf die Mas¨ber alle Kr¨ ∂L d ∂L = senpunkte i des starren K¨ orpers einschließlich der ~ dt ∂~ ω ∂φ ¨ inneren Kr¨afte (z. B. Bindungen). F¨ ur die Anderung der potenziellen Energie bei einer gleichf¨ ormi- erhalten werden. F¨ ur ∂L/∂~ ω folgt gem¨aß (7.15) ~ gilt gen Verschiebung um δ R

δU =

X ∂U i

∂~ri

∂L = Iαβ ωβ = Lα . ∂ωα

~ = −δ R ~ · F~ . δR

Außerdem gilt

bzw. δU

∂U . F~ = − ~ ∂R ~ L:

(7.17)

= −

X

f~i · δ~ri = −

i

~· = −δ φ

Es gilt

X

~ × ~ri ) f~i · (δ φ

i

X

~ ~ · δφ ~ri × f~i = −N

i

bzw. d X r~i × p~i dt i X X = ~r˙ i × p~i + ~ri × p~˙ i

~˙ = L

i

| =

(7.19)

i

{z

=0

X

~ = − ∂U . N ~ ∂φ Betrachten wir ein Beispiel.

}

~ri × f~i =

i

bzw. ~˙ = N ~ . L

X

~i N

Rollen ohne Gleiten:

i

Eine homogene Kugel mit der Masse m rollt ohne zu gleiten auf einer Ebene unter dem Einfluss eines ~ sowie einer ¨außeren Kraft F~ (vgl. Drehmoments N Abbildung 7.4). Wie sehen die Bewegungsgleichun(7.18) gen aus? Gem¨aß Gl. (7.16) gilt

~ heißt Gesamtdrehmoment, wobei N ~ i die EinN zeldrehmomente sind. Man beachte, dass die Summen u ¨ber die inneren Kr¨afte und ihrer Drehmomente jeweils Null ergibt. ˙ ~˙ = 0, wenn keine Dies folgt aus P~ = 0 sowie L ¨außeren Kr¨afte vorhanden sind. Interessant ist noch der Fall des homogenen Feldes. Dazu betrachten wir beispielsweise das Schwerefeld. F¨ ur die orper gilt P Gesamtkraft auf den K¨ dann F~ = ~g i mi , wobei die mi die Massen der Massenpunkte (oder Volumenelemente) sind, aus denen der K¨orper besteht. DasPGesamtdrehmo~ = ment ist gegeben durch N ri × ~g . Mit i mi~ P P ~ ~ ~ ~ R = i mi~ri / i mi folgt N = R × F . D. h. die

dP mdV ~ = = F~ + R dt dt

(7.20)

und aus Gl. (7.18) zusammen mit Gl. (7.15) folgt ~ dL ~ + ~r × R ~ . =I ·ω ~˙ = N dt

(7.21)

~ die Kraft aufgrund der Ebene, die am Hier ist R Ber¨ uhrpunkt angreift. Außerdem ist I diagonal mit I1 = I2 = I3 ; daher gilt I·ω ~˙ = I1 ω ~˙ . 3 Im Fall des elektrischen Feldes w¨ are es der Ladungsschwerpunkt.

¨ KAPITEL 7. BEWEGUNG STARRER KORPER

84

a

d0 P~ dP~ +ω ~ × P~ = = F~ dt dt

(7.23)

~ ~ d0 L ~ = dL = N ~ . +ω ~ ×L dt dt

(7.24)

sowie

V r n R

y x

Abbildung 7.4: Rollende Kugel auf einer Ebene. Rollen ohne Gleiten bedeutet mathematisch ~ − ~r × ω V ~ =0,

(7.22)

~ die Geschwindigkeit des Kugelmittelpunkwobei V tes ist. Im Fall mit Gleitbewegung w¨ urde gelten ~ − ~r × ω V ~ = ~vgleit , ~˙ − ~r × ω ~˙ = 0. Mit ~r = −~na folgt aus Gl. (7.22) V Einsetzen in Gl. (7.20) liefert mit Gl. (7.21)

Jetzt schreiben wir diese Gleichungen komponentenweise auf, und zwar die Komponenten bezogen auf das rotierende, k¨orperfeste System: dV1 + ω2 V3 − ω3 V2 dt dV2 m + ω3 V1 − ω1 V3 dt dV3 + ω1 V2 − ω2 V1 m dt

m

Aus dieser Gleichung lassen sich die Komponenten ~ bestimmen und in Gl. (7.20) einsetzen. Dies von R ergibt sofort die gew¨ unschten Bewegungsgleichungen f¨ ur den Schwerpunkt, d. h. dVx /dt = ... sowie dVy /dt = ..., wobei die x-y-Ebene als die Rollebene gew¨ahlt wurde. Die Bewegungsgleichungen f¨ ur die Winkelgeschwindigkeit, d~ ω /dt, folgen aus (7.22), dωx /dt und dωy /dt, sowie aus Gl. (7.21), dωz /dt.

(7.25)

= F2

(7.26)

= F3 . (7.27)

~ = P~ ). F¨ m ist die Gesamtmasse (mV ur die obige Wahl des rotierenden Koordinatensystems gilt L1 = I1 ω1 etc., und wir erhalten aus (7.24) dω1 + (I3 − I2 ) ω2 ω3 dt dω2 I2 + (I1 − I3 ) ω3 ω1 dt dω3 I3 + (I2 − I1 ) ω1 ω2 dt I1

I1 ~ ~ ~ × ~n − aR ~ + a~n(~n · R) ~ . (F + R) = N am

= F1

= N1

(7.28)

= N2

(7.29)

= N3 .

(7.30)

Die Gln. (7.25) bis (7.30) heißen eulersche Gleichungen. Betrachten wir als Beispielanwendung die Rotation des freien, symmetrischen Kreisels. Mit F~ = ~ = 0 und I1 = I2 folgt dω3 /dt = 0 bzw. N ω3 = konstant. Somit gilt

Die eulerschen Gleichungen: ω˙ 1 = −ωω2 ω˙ 2 = ωω1 Wir betrachten nochmals die Gln. (7.16) sowie ~ ~ ¨ (7.18), die die zeitliche Anderung von P und L im Koordinatensystem dieser Vektoren beschreiben. mit Angenommen wir bilden die jeweiligen Zeitableid0 tungen dt in einem Koordinatensystem, das durch I3 − I1 . ω = ω3 die Haupttr¨ agheitsachsen des K¨ orpers aufgespannt I1 wird. D. h. dieses Koordinatensystem rotiert mit dem K¨orper. Gem¨ aß Gl. (4.40) gilt Offensichtlich wird dieses System durch

(7.31)

¨ 7.2. BEWEGUNGSGLEICHUNGEN DES STARREN KORPERS

z

85

F¨ ur ϕ ~˙ gilt

y'

ϕ˙ x0 ϕ˙ y0 ϕ˙ z0

z'

= ϕ˙ sin Θ sin ψ = ϕ˙ sin Θ cos ψ = ϕ˙ cos Θ .

~˙ gilt F¨ ur Θ

y x' x

.

˙ x0 = Θ ˙ cos ψ Θ

˙ y0 = −Θ ˙ sin ψ Θ

˙ z0 = 0 . Θ

~˙ gilt F¨ ur ψ ψ˙ x0 = 0 ψ˙ y0 = 0

ψ˙ z0 = ψ˙ .

Die Addition der Komponenten ergibt Abbildung 7.5: Eulersche Winkel.

ω1 = c cos (ωt)

ω2 = c sin (ωt)

ω1 ω2 ω3

˙ cos ψ = ϕ˙ sin Θ sin ψ + Θ ˙ sin ψ = ϕ˙ sin Θ cos ψ − Θ ˙ = ϕ˙ cos Θ + ψ .

(7.32) (7.33) (7.34)

Bemerkung: Wir wollen jetzt die Ergebnisse (7.9) gel¨ost. Die Projektion der Winkelgeschwindigkeit und (7.31), die wir f¨ ur den freien, symmetrischen auf die 1-2-Ebene der Tr¨ agheitsachsen rotiert also Kreisel erhalten haben, mittels der eulerschen Winmit der Winkelgeschwindigkeit ω. kel in Beziehung setzen. Dazu w¨ahlen wir zun¨achst ψ = 0 und erhalten mit (7.32) bis (7.34) Eulersche Winkel: Die Orientierung starrer K¨ orper im Raum wird oft mit Hilfe der so genannten eulerschen Winkel beschrieben. Abbildung 7.5 zeigt zwei Koordinatensysteme gleichen Ursprungs (Wir interessieren uns lediglich f¨ ur die Orientierung!). Das System (x, y, z) ruht, w¨ahrend das System (x0 , y 0 , z 0 ) rotiert. Die eulerschen Winkel sind ϕ, Θ und ψ. Die Winkel ϕ und ψ variieren zwischen 0 und 2π. Der Winkel Θ ¨ liegt zwischen 0 und π. Der Ubergang vom ungestrichenen zum gestrichenen System geschieht wie folgt. Zuerst dreht man die z-Achse um dem Winkel ϕ. Anschließend wird um die dadurch entstehende, vorl¨aufige x-Achse mit dem Winkel Θ gedreht. Dies ergibt die z 0 -Achse, um die zuletzt mit dem Winkel ψ gedreht wird. Als Beispiel betrachten wir die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit ω ~ bez¨ uglich der bewegten ~˙ und Achsen ausgedr¨ uckt durch die Summe aus ϕ ~˙ , Θ ˙~ ψ, deren Richtungen wir aus der Skizze entnehmen:

L1 = I1 ω1 L2 = I2 ω2 L3 = I3 ω3

˙ = I1 Θ = I1 ϕ˙ sin Θ ˙ . = I3 (ϕ˙ cos Θ + ψ)

Die z-Achse des Laborsystems (vgl. Abbildung 7.5) legen wir in die Richtung des konstanten Drehimpulses (vgl. Abbildung 7.2). Damit gilt ebenfalls L1 L2 L3

= 0 = L sin Θ = L cos Θ .

Wenn wir die rechten Seiten dieser Gleichungssysteme jeweils gleichsetzen, dann erhalten wir ˙ = 0 Θ I1 ϕ˙ = L ˙ = L cos Θ . I3 (ϕ˙ cos Θ + ψ)

¨ KAPITEL 7. BEWEGUNG STARRER KORPER

86 Die erste Gleichung gibt an, dass der Neigungswinkel des Kreisels in Abbildung 7.2 konstant ist. Mit ωP r = ϕ˙ entspricht die zweite Gleichung der Gl. (7.9). Die dritte Gleichung beschreibt die Winkelgeschwindigkeit der Kreiseldrehung um die eigene Achse. Außerdem k¨ onnen wir die dritte Gleichung leicht in

−ψ˙ = −L cos Θ

1 1 − I3 I1

= ω3

R2 R1

I3 − I1 ;. I1

m1

umschreiben. D. h. mit ω = −ψ˙ erhalten wir auch Gl. (7.31)!

7.3

m2

Starre Ko ¨rper in statischem Kontakt†

Bei der Ber¨ uhrung starrer K¨ orper m¨ ussen im Gleichgewicht die Bedingungen F~ =

X

f~i = 0

(7.35)

Abbildung 7.6: Hebesystem. befestigten Seiltrommeln h¨angen. Wie gezeigt soll sich das System im Gleichgewicht befinden. Insbesondere w¨ urde es keine Arbeit kosten, das Gewicht m1 abzusenken, wobei m2 gleichzeitig angehoben wird, g¨abe es nicht die Reibung. Dies l¨asst sich auch mathematisch ausdr¨ ucken:

i

sowie

X

f~i · δ~ri = 0

(7.37)

i

~ = N

X

~ri × f~i = 0

(7.36) D. h.

i

m1 gδr1 − m2 gδr2 = 0 f¨ ur jeden K¨ orper einzeln erf¨ ullt sein. Hier sind die ~ fi alle Teilkr¨ afte, die an dem jeweiligen K¨orper an- bzw. mit δr = R δφ, wobei δφ der Drehwinkel der i i greifen, und ~ri sind die Ortsvektoren der Kraftan- Rollen ist, folgt griffspunkte 4 . Ein ausf¨ uhrliches Anwendungsbeispiel (Leiterm1 R1 = m2 R2 . statik) hatte wir schon in Abschnitt 2.2 diskutiert. d’Alemberts Prinzip† : Die Abbildung 7.6 zeigt ein mechanisches System, bestehend aus zwei Gewichten (Massen) m1 und m2 , die an zwei auf einer gemeinsamen Achse 4 Die

Wahl des Ursprungs ist dabei beliebig:

~ = N

X

~ ri × f~i =

i

X

~ ri0 × f~i +

X

i

~a × f~i

X

i

|

{z

}

~ =0 =~ a×F

(mit ~ ri = ~ ri0 + ~a).

Die Gleichung (7.37) l¨asst sich allgemein auf Probleme der Statik anwenden. Dabei sind die δ~ri Verschiebungen, die mit den Zwangsbedingungen vertr¨aglich sind 5 . D. h. die f~i k¨onnen in Zwangskr¨afte (Z) (N Z) f~i und Nicht-Zwangskr¨afte f~i zerlegt werden (Z) (N Z) ~ ~ ~ (fi = fi + fi ). Es gilt dann δ~ri ⊥ f~(Z) und somit (N Z) f~i · δ~ri = 0 .

(7.38)

i 5 Die δ~ ri werden in der Literatur als virtuelle Verschiebungen bezeichnet

¨ 7.3. STARRE KORPER IN STATISCHEM KONTAKT† Dieses Verfahren zur L¨ osung von statischen Problemen kann auf dynamische Probleme erweitert werden. Es lautet dann X i

(N Z)

fi

· δ~ri =

X

p~˙ i · δ~ri .

(7.39)

i

Gl. (7.39) ist in der Literatur als d’alembertsches Prinzip bekannt 6 . Das d’alembertsche Prinzip liefert keine grunds¨atzlich neuen Erkenntnisse. Die obige Gleichgewichtsbedingung m1 R1 = m2 R2 beispiels¨ weise h¨atten wir auch aus (7.36) erhalten. Uber das ~ Skalarprodukt fi · δ~ri werden allerdings m¨ ogliche Zwangsbedingungen von Anfang an integriert. Bemerkung: Aus dem d’alembertschen Prinzip lassen sich auch die lagrangeschen Gleichungen herleiten.

6 Alembert, Jean-Baptiste Le Rond d’, franz¨ osischer Mathematiker, Philosoph und Physiker, *Paris 16.11. 1717, †ebenda 29.10. 1783; gab mit Diderot seit 1751 die ersten sieben B¨ ande der Encyclop´ edie (Enzyklop¨ adisten) heraus. Seine Erkenntnistheorie, in der er die Erfahrungswissenschaft zu begr¨ unden suchte, wurde grundlegend f¨ ur den Positivismus. Alembert hat bedeutende Fortschritte in der Zahlentheorie und Analysis erzielt. In seinem wissenschaftlichen Hauptwerk der Mechanik, Trait´ e de dynamique (1743), stellte er das d’alembertsche Prinzip auf, eine Beschreibung von beschleunigenden Kr¨ aften, die es erm¨ oglicht, dynamische Aufgaben wie statische Gleichgewichtsaufgaben zu c l¨ osen (Extremalprinzipien). 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

87

88

¨ KAPITEL 7. BEWEGUNG STARRER KORPER

Kapitel 8

Kanonische Mechanik Dieses Kapitel liefert keine neue Mechanik. Vielmehr betrachten wir die lagrangesche Formulierung, die wir entwickelt haben, aus einem anderen Blickwinkel. Verwendet wird diese Betrachtungsweise insbesondere im Zusammenhang mit der Quantentheorie und in der Statistischen Mechanik.

H=

X

pj q˙j − L

(8.1)

j

ist wegen dH

= d

X

pj q˙j − dL

j

8.1

=

Die hamiltonschen Gleichungen

= (4.36) = (4.38) =

X

X

(+q˙j ) dpj

j

eine Funktion der verallgemeinerten Koordinaten qj und Impulse pj . Sie entspricht einer zu L a¨quivalenten Beschreibung eines mechanischen Systems, wobei die Bewegungsgleichungen, die so genannten Hamiltonschen Gleichungen, durch

X ∂L X ∂L dqj + dq˙j ∂qj ∂ q˙j j j p˙j dqj +

(−p˙j ) dqj +

j

Wir betrachten das totale Differenzial der Lagrange Funktion:

dL

X

q˙j =

∂H ∂pj

(8.2)

und

pj dq˙j

j

X

p˙j dqj + d

j

−

X

pj q˙j

p˙j = −

∂H ∂qj

(8.3)

j

X

gegeben sind 2 . Die Gleichung (8.1) bezeichnet man allgemein auch als Legendre Transformation 3 . Im

q˙j dpj .

j

D. h. die Hamilton Funktion

1

1 Hamilton, Sir (seit 1835) William Rowan, irischer Mathematiker und Physiker, *Dublin 4.8. 1805, †Dunsink (bei Dublin) 2.9. 1865; entwickelte die geometrische Optik aus Extremalprinzipien, u ¨bertrug dieses Konzept auf die Klassische Mechanik (Hamiltonprinzip) und f¨ uhrte die Kr¨ aftefunktion in die Dynamik ein; f¨ uhrte 1843 die Quaternionen c als Verallgemeinerung der komplexen Zahlen ein. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

2 Wegen ihrer Einfachheit werden sie auch als kanonische Gleichungen bezeichnet. Kanonisch bedeutet soviel wie als Vorbild oder Maßstab dienend. 3 Legendre, Adrien Marie, franz¨ osischer Mathematiker, *Paris 18.9.1752, †ebenda 10.1.1833; arbeitete auf dem Gebiet der Zahlentheorie, der Variationsrechnung, der partiellen Differenzialgleichungen und der elliptischen Integrale; entdeckte (unabh¨ angig von C.F. Gauß) die Methode der kleinsten Quadrate und f¨ uhrte (u.a. zu deren Anwendung) eine wichtige Klasse von Polynomen (Legendre-Polynome) c ein. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim, 2004

89

90

KAPITEL 8. KANONISCHE MECHANIK

vorliegenden Fall vollzieht diese Transformation den Wechsel von q˙j zu pj . Der Schl¨ ussel zu diesem Wechsel liegt in der Existenz von pj = ∂L/∂ q˙j . Ebenfalls mittels dieser Beziehung sehen wir aus Gl. (4.33), dass H im Prinzip nichts weiter ist als die Energie des Systems ausger¨ uckt in den Gr¨oßen qj und pj . Genau hierin liegt auch der Hauptgrund weshalb H neben L verwendet wird.

(a) Die Hamilton Funktion eines Massenpunktes in kartesischen Koordinaten lautet

H=

p2r +

pφ 2 pθ 2 + r2 r2 sin2 θ

Funktion

∂f df = + {H, f } . dt ∂t

Die geschweiften Klammern werden als Poisson (8.4) Klammern 4 bezeichnet; sie lauten hier

1 2 p~ + U (~r) . 2m

(b) Die Hamilton Funktion eines Massenpunktes in Kugelkoordinaten lautet 1 2m

(8.7)

Poisson Klammern: Die totale Zeitableitung einer f (qi , pi , t) l¨asst sich schreiben als

Beispiele:

H=

∂L ∂H =− . ∂λ qj ,q˙j ∂λ qj ,pj

+ U (r, θ, φ) .(8.5)

X ∂H ∂f ∂H ∂f {H, f } = − (8.8) ∂pi ∂qi ∂qi ∂pi i ∂f ∂f (8.2), (8.2) X q˙i + p˙i . = ∂qi ∂pi i

ur zwei beliebige Funktionen f und g gilt analog Dies folgt aus Gl. (4.22) mittels pr = ∂L/∂ r, ˙ F¨ ˙ ˙ pθ = ∂L/∂ θ und pφ = ∂L/∂ φ. X ∂f ∂g ∂f ∂g − . (8.9) {f, g} = Die totale Zeitableitung von H ist ∂pi ∂qi ∂qi ∂pi i dH dt

X ∂H ∂H X ∂H + q˙j + p˙j ∂t ∂qj ∂pj j j

=

(8.2), (8.3)

=

∂H . ∂t

Aus dieser Definition folgen die Rechenregeln

(8.6)

D. h. wenn H nicht explizit zeitabh¨ angig ist, dann gilt dH/dt = 0 (vgl. Energieerhaltung). Manchmal sind L bzw. H neben qj und q˙j bzw. qj und pj noch von einem (oder mehreren) Parameter λ abh¨angig. Es gilt dann

dL =

X

p˙j dqj +

j

X

pj dq˙j +

j

∂L dλ ∂λ

bzw.

dH = −

X j

p˙j dqj +

X

q˙j dpj +

j

Durch Addition folgt mittels (8.1)

∂H dλ . ∂λ

{f, g} = −{g, f }

(8.10)

{f, c} = 0 (mit c = konstant)

(8.11)

{f1 + f2 , g} = {f1 , g} + {f2 , g}

(8.12)

4 Poisson, Sim´ eon Denis, franz¨ osischer Mathematiker und Physiker, *Pithiviers (D´ epartement Loiret) 21.6. 1781, †Paris 25.4. 1840; trug wesentlich zum Ausbau der Potenzialtheorie bei (Poisson Gleichung), die er zur L¨ osung elektrostatischer und magnetischer Probleme anwandte. Poisson befasste sich u.a. mit W¨ armeleitung und Wahrscheinlichkeitstheorie und gab als Grenzfall der Binomialverteilung die nach ihm benannte Poisson Verteilung an, bei der die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses sehr klein, die Anzahl der unabh¨ angigen Wiederc holungen sehr groß ist. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

8.2. HAMILTON-JACOBI THEORIE

91 Auf analoge Weise erhalten wir {Ly , Lz } = −Lx sowie {Lz , Lx } = −Ly . (8.13) Die Poisson Klammern werden uns in der Quantenmechanik wieder begegnen und dort gute Dienste leisten (Stichwort: allgemeine Quantisie(8.14) rungsvorschrift).

{f1 f2 , g} = f1 {f2 , g} + f2 {f1 , g} ∂f ∂g ∂ {f, g} = { , g} + {f, }. ∂t ∂t ∂t Insbesondere gilt {f, qk } =

Kanonische Transformationen:

∂f ∂pk

{f, pk } = −

Unter kanonischen Transformationen der alten Koordinaten qi und Impulse pi zu den neuen Koordinaten und Impulsen Qj = Qj (qk , pk , t) und Impulsen Pj = Pj (qk , pk , t) bleiben die hamiltonschen (8.16) Gleichungen der Form nach unver¨andert. D. h. (8.15)

∂f ∂qk

sowie ∂H0 Q˙ j = ∂Pj

{qi , qk } = 0 {pi , pk } = 0 {pi , qk } = δik . (8.17) Ferner gilt die Jacobi Identit¨ at

5

{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0 . (8.18) Außerdem gilt das Poisson Theorem {f, g} = konstant ,

(8.19)

wenn f und g Bewegungsintegrale sind (d. h. es gibt df /dt = 0 und dg/dt = 0). Als Beispiel betrachten wir die PoissonKlammer der Drehimpulskomponenten Lx und Ly eines Teilchens:

3 h X ∂ ∂ (ypz − zpy ) (zpx − xpz ) ∂pα ∂xα α=1 i ∂ ∂ − (ypz − zpy ) (zpx − xpz ) ∂xα ∂pα 3 Xh = (yδzα − zδyα ) (δzα px − δxα pz )

=

α=1

− (δyα pz − δzα py ) (zδxα − xδzα )

Hamilton-Jacobi Theorie

Nach der Definition der Wirkung ist ihre totale zeitliche Ableitung l¨angs einer Bahn dS =L dt

(8.21)

bzw. wenn wir S als Funktion der Koordinaten und der Zeit ansehen

i

= ypx − xpy = −Lz . 5 Jacobi,

(8.20)

Hier bedeutet der Strich an H, dass es sich um die Hamilton Funktion der Qj und Pj handelt. Ein Beispiel f¨ ur eine kanonische Transformation ist die Transformation zu Normalkoordinaten, die wir diskutiert haben. Bemerkung: Die Transformationen Qj = Qj (qk , pk , t) sowie Pj = Pj (qk , pk , t) verkn¨ upfen sowohl Qj als auch Pj mit qk und pk . Dadurch geht die urspr¨ ungliche Bedeutung als verallgemeinerte Koordinaten und Impulse weitgehend verloren 6 . Man spricht deswegen allgemein von qk und pk bzw. Qj und Pj als kanonisch konjugierten Gr¨oßen.

8.2

{Lx , Ly }

0

∂H P˙j = − . ∂Qj

Carl Gustav Jacob, Mathematiker, *Potsdam 10.12. 1804, †Berlin 18.2. 1851; entwickelte die Theorie der elliptischen Funktionen, arbeitete u ¨ber Differenzialgleichungen, Variationsrechnung, analytische Mechanik und Himc melsmechanik; wichtige Beitr¨ age zur Zahlentheorie. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

dS ∂S X ∂S = + q˙j . dt ∂t ∂qj j

(8.22)

Betrachten wir jetzt nochmals die Variation von S: 6 Dies sieht man sehr deutlich anhand der kanonischen Transformation Q = p und P = −q.

92

KAPITEL 8. KANONISCHE MECHANIK

t2 ∂L δS = δq + t1 ∂ q˙

Z

t2

t1

Die entsprechende Hamilton-Jacobi Differenzialgleichung lautet

∂L d ∂L − δqdt ∂q dt ∂ q˙

2

k + q2 = 0 . (f¨ ur einen Freiheitsgrad). Wenn wir auf der stati2 on¨aren Bahn nur ihren Endpunkt q (t2 ) variieren, Wir machen den Separationsansatz S = St + Sq dann gilt in einen Zeitteil St sowie einem Ortsteil Sq und erhalten ∂L = pδq δS = δq ∂ q˙ t=t2 2 1 dSq k ˙ − S = + q2 = c , t bzw. 2m dq 2 δS =

∂S 1 + ∂t 2m

X

∂S ∂q

worin c eine Konstante ist. F¨ ur St folgt

pj δqj

j

St = −ct ,

und daher

und f¨ ur dSq /dq gilt ∂S = pj . ∂qj

(8.23)

p dSq = 2mc − mkq 2 . dq

Einsetzen der Gln. (8.21) und (8.23) in (8.22) liefert D. h. X ∂S =L− pj q˙j = −H (q1 , ..., p1 , ..., t) . (8.24) ∂t j Wenn wir in Gl. (8.24) die verallgemeinerten Impulse durch (8.23) ersetzen, dann erhalten wir die so genannte Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung:

S=

Z p 2mc − mkq 2 dq − ct .

(8.26)

Aber wie erhalten wir aus (8.26) die gesuchte L¨osung q (t)? Um die allgemeine Vorgehensweise zu verstehen, verlassen wir hier kurz unser Beispiel. Erzeugende einer kanonischen Transformation:

∂S ∂S ∂S + H q1 , ..., qs , , ..., , t = 0 . (8.25) ∂t ∂qi ∂qs

Aus Gl. (8.22) kombiniert mit (8.23) und (8.25) folgt

Dies ist eine partielle Differenzialgleichung erster Ordnung, die neben den lagrangeschen und den kanonischen Gleichungen eine dritte allgemeine Methode 7 zur Aufstellung und L¨ osung der Bewegungsgleichungen darstellt. bzw. Betrachten wir als Beispiel den harmonischen Oszillator:

dS =

X

pj dqj − Hdt

j

S=

Z X

pj dqj − Hdt .

(8.27)

j

H= 7 abgesehen

k p2 + q2 . 2m 2

von den newtonschen Bewegungsgleichungen

Selbstverst¨andlich gilt Gl. (8.27) auch f¨ ur die kanonisch transformierten Variablen Qj und Pj . D. h. aus δS = 0 folgt

8.2. HAMILTON-JACOBI THEORIE

δ

Z X

q q q k k Mit w0 = m ,α= m C und a = 2c k ist dies offensichtlich identisch zu Gl. (6.6). Hier entspricht C einer Anfangszeit und c = E (vgl. Gl. (6.7)). D. h. Energie und Zeit sind kanonisch konjugierte Variablen. Dem Anf¨anger mag dieser Abschnitt akademisch erscheinen. Seine besondere Bedeutung wird in der Regel erst im Rahmen der Quantenmechanik deutlich. Hier sind die Stichw¨orter SommerfeldWilson Quantisierung, quasi-klassische N¨ aherung aber auch Pfadintegration.

pj dqj − Hdt = 0

j

und

δ

Z X

Pj dQj − H0 dt = 0 .

j

Daraus folgt X

pj dqj − Hdt =

X

j

Pj dQj − H0 dt + dF ,

j

wobei dF das totale Differenzial einer Funktion der Koordinaten, der Impulse und der Zeit ist. Ergo gilt

dF =

X

(pj dqj − Pj dQj ) + (H0 − H) dt (8.28)

j

und damit

pj =

∂F ∂qj

Pj = −

∂F ∂Qj

H0 = H +

∂F . (8.29) ∂t

Die Funktion F heißt auch erzeugende Funktion der kanonischen Transformation. Fahren wir jetzt mit dem Beispiel fort und setzen speziell F = S sowie c = Q und C = P . Aus (8.29) ∂S folgt H0 = 0 (vgl. Gl. (8.25)), C = − ∂S ∂c und p = ∂q 0 0 (vgl. Gl. (8.23)). Mit H = 0 folgt weiter ∂H /∂C = c˙ = 0 und −∂H 0 /∂c = C˙ = 0. D. h. c und C sind Konstanten, und aus Gl. (8.26) erhalten wir

−C =

p

Z m/k

dq q

|

−t

2c k

− q2 {z } √k

=− arccos

2c q

bzw. r q=

2c cos k

r

! k (t + C) . m

93

94

KAPITEL 8. KANONISCHE MECHANIK

Kapitel 9

Vielteilchenmechanik 9.1

Numerische Integration der † Bewegungsgleichungen

m∗i

Im Kapitel 5 hatten wir uns mit Zweik¨ orperproblemen befasst. Aber schon die Wechselwirkung von drei Massenpunkten ist so nicht mehr l¨ osbar 1 . Daher betrachten wir hier einige numerische Aspekte der L¨osung von Bewegungsgleichungen in Systemen aus vielen Teilchen. Typischerweise versteht man unter Teilchen sehr große Objekte wie Planeten bzw. Satelliten oder sehr kleine wie Atome bzw. Molek¨ ule. Die Unterscheidung dieser Extremf¨alle ist prim¨ar eine Frage nach den typischen Dimensionen, d. h. nach der Energie-, L¨ angen-, Massenund Zeitskala 2 . Es sei eine typische Energie des betrachteten Problems, σ eine typische L¨ ange, η eine typische Masse und τ eine typische Zeit. Mittels der dimensionslosen Gr¨oßen m∗ = m/η, ~r∗ = ~r/σ, t∗ = t/τ und U ∗ = U/ schreiben wir die newtonschen Bewegungsgleichungen als

∂U ∗ d2~ri∗ = − . 2 ∂~ri∗ dt∗

(9.2)

Der Index i bezeichnet hier die einzelnen Teilchen i = 1, ..., N . Die dimensionslose Gl. (9.2) ist jetzt im Prinzip unabh¨angig vom betrachteten Problem. Wir m¨ ussen lediglich darauf achten, dass der Zeitschritt ∆t, den wir in dem einfachen Algorithmus (4.26) eingef¨ uhrt hatten, ausreichend klein gegen¨ uber τ gew¨ahlt ist. Dazu m¨ ussen wir τ bzw. die Gr¨oßen η, σ und kennen. Bei Problemen die durch eine potenzielle Energie der Form wie in Abbildung 5.6 (f¨ ur α > 0) charakterisiert sind, w¨are beispielsweise die Tiefe des Minimums und σ seine Position. Die potenzielle Energie zwischen Paaren von Edelgasatomen bzw. kleinen neutralen Molek¨ ulen hat qualitativ eine ¨ahnliche Form, und dort macht man es ebenso. In der Welt der Atome und Molek¨ ule ist τ im Bereich von Picosekunden ∼ = 10−12 s und ∆t im Bereich von Femtosekunden ∼ = 15−15 s ! Runge-Kutta Integration:

ησ ∗ d2~ri∗ ∂U ∗ m = − τ 2 i dt∗2 σ ∂~ri∗

Eine robuste und genaue Standardmethode f¨ ur die numerische L¨osung von Gl. (9.2) im Fall N = 1 ist die Runge-Kutta Methode (RK). Im Fall einer gew¨ohnlichen Differenzialgleichung 1. Ordnung,

bzw., wenn wir die typische Zeit durch r τ=

ησ 2

(9.1)

dy = f (x, y) dx

festlegen, als 1 Wenn

(9.3)

lautet der RK3 Algorithmus

man von Spezialf¨ allen wie der Normalmodenanalyse einmal absieht. 2 Es ist bemerkenswert, wie die Klassische Mechanik diese vielen Gr¨ oßenordnungen in der L¨ ange beinhaltet.

95

y (xn+1 )

= y (xn ) +

hh f (xn , yn ) 2

(9.4)

96

KAPITEL 9. VIELTEILCHENMECHANIK i +f (xn+1 , yn + fn h) + O h3 0 yn+1

Hier ist h die Schrittweite und xn = nh + x0 , wobei x0 der Anfangswert ist. Außerdem gilt yn = y (xn ) sowie fn = f (xn , yn ). Den Algorithmus (9.4) erh¨alt man aus der Taylorentwicklung

yn+1 k1

0

y (x + h)

= y (x) + y (x) h 1 + y 00 (x) h2 + O h3 2 = y (x) + f (x, y) h 1 d + f (x, y) h2 + O h3 . 2 dx

Unter Beachtung von ∂f ∂x

+

∂f ∂y f

d dx f

(x, y) =

∂f ∂x

+

∂f ∂y ∂y ∂x

k2 k3

=

gilt

y (x + h)

1 = y (x) + f (x, y) h 2 1 ∂f ∂f + h f (x, y) + h+ fh 2 ∂x ∂y | {z } =f (x+h,y+f h)+O(h2 )

+O h

3

.

Die Notation RK3 sagt aus, dass dieses Verfahren die Ordnung O h2 ber¨ ucksichtigt. Der Algorithmus l¨ asst sich auch auf gew¨ohnliche Differenzialgleichungen n. Ordnung anwenden, wenn man diese in Systeme 1. Ordnung umschreibt: y (n) = f x, y, y (1) , ..., y (n−1) .

Verlet Algorithmen† : Hauptnachteil der RK Methode sind die vielen Funktionsberechnungen pro Integrationsschritt. RK Methoden sind daher f¨ ur große Systeme mit N ∼ 100 oder ∼ 1000 oder gar ∼ 106 nicht n¨ utzlich. Eine m¨ogliche Alternative stellt der Algorithmus (4.26) dar. In der Literatur, die sich mit der Integration der Bewegungsgleichungen moleklarer Systeme wie Gase oder Fl¨ ussigkeiten befasst, man spricht von Molekulardynamik 4 oder MolekulardynamikSimulationen, findet man (4.26) unter dem Stichwort Verlet Algorithmus. Er hat den Vorteil, dass bei nur einer Funktions- bzw. Kraftberechnungpro Zeitschritt der Fehlervon der Ordnung O ∆t4 ist (warum nicht O ∆t3 ?). Ein Nachteil ist, dass ein kleiner Term O ∆t2 zur Differenz zweier großer Zahlen addiert wird. Diesen Nachteil beseitigt die leap frog-Variante des Verlet Algorithmus:

(9.5)

Mit y0 ≡ y, y1 ≡ y

(1)

, y2 ≡ y

(2)

, ..., yn = y

2 1 1 (9.7) = yn0 + k1 + k2 + k3 6 3 6 1 = yn + h{yn0 + (k1 + 2k2 )} (9.8) 6 +O h4 = hf (xn , yn ) h h h = hf xn + , yn + yn0 + k1 2 2 8 h = hf xn + h, yn + hyn0 + k2 . 2

(n)

folgt

~vi

∆t t+ 2

= ~vi

∆t t− 2

(9.9) 3

y00

= y1

.. . 0 yn−2 0 yn−1

~ri (t + ∆t) (9.6)

= yn−1 = f (x, y0 , y1 , ..., yn−1 ) .

+∆t~ai (t) + O ∆t = ~ri (t) (9.10) ∆t +∆t~vi t + + O ∆t3 . 2

Hier ist ~v ≡ ~r˙ und ~a ≡ ~¨r. Die erste Gleichung ergibt sich durch Subtraktion der Taylorentwicklungen Zum Schluß geben wir noch den geschlossenen von ~vi (t + ∆t/2) und ~vi (t − ∆t/2) bis O ∆t3 . 00 3 RK4 f¨ ur DGL des Typs y = f (x, y) an : Anschließend wird in der Taylorentwicklung von 3 siehe M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover; (25.5.22)

4 M.P. Allen, D.J. Tildesley, Computer Simulation of Simple Liquids, Oxford

9.2. GRUNDLAGEN DER STATISTISCHEN MECHANIK‡

97

~ri (t + ∆t) bis O ∆t4 die Geschwindigkeit ~vi (t) 2 durch ~vi (t) = ~vi (t + ∆t/2) − ∆t ai (t) − ∆t8 ~a˙ i (t) + 2 ~ O ∆t3 ersetzt. Dies liefert die zweite Gleichung. Der Name leap frog-Algorithmus bezieht sich auf die Staffelung von Positions- und Geschwindigkeitsschritten. Diese Variante des Verlet Algorithmus ist in der Praxis der Computersimulation molekularer Systeme sehr beliebt.

9.2

Grundlagen der Statistischen Mechanik‡

In diesem Abschnitt wollen wir Probleme diskutieren, die bei der Anwendung der Mechanik in Systemen 5 aus sehr vielen Teilchen, wie beispielsweise Gasen, auftreten. Es erweist sich als notwendig, von der exakten Berechnung der einzelnen Teilchenbahnen abzusehen und stattdessen eine statistische Beschreibung einzuf¨ uhren. Die resultierende Statistische Mechanik ist Gegenstand einer separaten Vorlesung. Viele Details in diesem Abschnitt werden wir daher im Erz¨ ahlstil abhandeln. Wichtig ist das prinzipielle Verst¨ andnis der auftretenden Probleme, um in der Vorlesung zur Statistischen Mechanik deren Grundlagen besser begreifen zu k¨onnen! Phasenraum‡: In der hamiltonschen Formulierung wird der momentane Zustand eines mechanischen Systems durch einen Punkt im so genannten Phasenraum beschrieben, der die Koordinaten (q1 (t), q2 (t), ..., q3N (t), p1 (t), p2 (t), ..., p3N (t)) besitzt. Dieser Punkt wandert als Funktion der Zeit, und sein zur¨ uckgelegter Weg heißt Phasenraumtrajektorie. Abbildung 9.1 zeigt Trajektorien des einfachen Pendels aus Abbildung 5.2 f¨ ur unterschiedliche Anfangskoordinaten und Anfangsimpulse. Man beachte, dass die Trajektorien sich nicht schneiden 5 Hier

verstehen wir unter System einen großen ” Beh¨ alter“, der gleichf¨ ormig mit Materie ausgef¨ ullt ist. Groß bedeutet, dass Randeffekte durch die Beh¨ alterw¨ ande vernachl¨ assigbar sind. Systeme werden h¨ aufig danach unterschieden, ob sie isoliert (keinerlei Wechselwirkung mit der Umgebung findet statt), geschlossen (nur Energieaustausch ist m¨ oglich) oder offen (Energie und Teilchenaustausch sind m¨ oglich) sind.

Abbildung 9.1: Phasenraumtrajektorien des ebenen Pendels. k¨onnen 6 , da die Angabe von Ort und Impuls die Bewegung eindeutig festlegt. Sonderf¨alle sind die (labilen) Fixpunkte bei ..., −π, π, .... Meßgr¨oßen als Zeitmittelwerte‡: Die wichtige Bedeutung des Phasenraums wird in der Statistischen Mechanik deutlich. Diese stellt die physikalischen Gesetze auf, mit deren Hilfe die Eigenschaften von Vielteilchensystemen beschrieben werden. Das einzelne Teilchen verliert seine Bedeutung. Wichtig sind vielmehr die Eigenschaften des Systems insgesamt - beispielsweise seine Energie oder, wenn wir ein Gas betrachten, sein Druck. Alle diese Gr¨oßen werden durch Integrationen im Phasenraum berechnet. Betrachten wir die Gr¨oße A(q1 (t), q2 (t), ..., q3N (t), p1 (t), p2 (t), ..., p3N (t), t). Dabei kann es sich beispielsweise um den Druck in einem Gas zu einem bestimmten Zeitpunkt t handeln. Messen w¨ urden wir allerdings den Mittelwert A¯ dieser Gr¨oße u ¨ber ein bestimmtes Zeitintervall T hinweg. D. h. 1 A¯ = T

Z

T

dtA (q1 (t) , q2 (t) , ..., p3N (t) , t) .(9.11) 0

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass A keine explizite Zeitabh¨angigkeit besitzt. Das System soll isoliert sein und sich im Gleichgewicht befinden. Uns interessiert dann der Grenzfall T → ∞, und wir definieren den Zeitmittelwert 6 Sie k¨ onnen nat¨ urlich geschlossen sein (periodische Bewegung).

98

KAPITEL 9. VIELTEILCHENMECHANIK

Methode die zweite Schwierigkeit in einer bloßen Annahme beseitigt, war sie derart erfolgreich, dass Z 1 T dtA (q1 (t) , ..., p3N (t)) (9.12) sie bis heute Bestand hat. Wir werden uns gleich hAi ≡ lim T →∞ T 0 n¨aher mit der Gibbschen Methode besch¨aftigen. Eine g¨anzlich andere mechanische Methode, um 7 . Die Frage, die sich stellt, ist folgende: Ist die- die oben genannten Schwierigkeiten zu meistern, ” se Formel n¨ utzlich f¨ ur die Berechnung (makrosko- wurde von L. Boltzmann 11 etwa zur gleichen Zeit pischer) Meßwerte im Gleichgewicht basierend auf entwickelt. den mikroskopischen Koordinaten und Impulsen in dem entsprechenden mechanischen System?“ Wir Boltzmanns Bild‡: sehen sofort, dass Gl. (9.12) f¨ ur reale Systeme mit ihren typischerweise 1023 Teilchen, die außerdem ¨ Boltzmann basiert seine Uberlegungen auf nicht einzeln aufgel¨ ost werden k¨ onnen, ungeeig- verd¨ unnten Gasen und zwar auf der Wahrscheinnet ist. Lediglich Computersimulationen (vgl. un- lichkeit f (~r, ~v )d3 rd3 v am Ort (Volumenelement) ~r ten), in denen die Trajektorien von einer gewis- ein Gasteilchen mit der Geschwindigkeit ~v vorzusen Anzahl Teilchen mithilfe des oben diskutierten finden. D. h. Boltzmann r¨ uckt ab von einer (sinnVerlet-Algorithmus integriert und gespeichert wer- losen) Integration der Bewegungsgleichungen aller ¯ Der Grenzden, erlauben die Berechnung von A. Teilchen in einem makroskopischen System zugunwert T → ∞ ist auch in diesem Fall nat¨ urlich nicht sten einer Beschreibung mittels statistischer Konrealisierbar 8 . zepte. Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte f (~r, ~v ) beNeben der technischen Schwierigkeit der Berech- kannt, so l¨asst sich Gl. (9.12) gem¨aß nung des Integrals in Gl. (9.12) existiert noch eine zweite subtile Schwierigkeit. Offensichtlich h¨angt R 0 die Phasenraumtrajektorie des ebenen Pendels in A (~r, ~v ) f (~r, ~v ) d3 rd3 v R (9.13) hAi = Abbildung 9.1 von den Anfangsbedingungen ab. B f (~r, ~v ) d3 rd3 v Damit w¨are jedes hAi f¨ ur dieses System ebenfalls eine Funktion der Anfangsbedingungen. Das Gleiucken. Hier ist A0 (~r, ~v ) die Gr¨oße A ausgeche, so w¨ urde man folgern, sollte auch in einem ausdr¨ uckt durch ihre Werte am Ort ~r im Ortsraum Beh¨alter gelten, der ein Teilchengas enth¨alt. Damit dr¨ und am Ort ~v im Geschwindigkeitsraum. Im Gegenw¨are beispielsweise der Druck eine Funktion der satz zum Phasenraum bzw. Γ-Raum spricht man Anfangsbedingungen. Tats¨ achlich stellt man expehier vom µ-Raum. Der Index B steht f¨ ur Boltzrimentell fest, dass lediglich die Erhaltungsgr¨oße mann. D. h. wir wollen unten noch diskutieren, in9 Gesamtenergie den Druck beeinflusst . Die u ¨brigen wieweit hAi tats¨ a chlich mit dem Zeitmittelwert B Bewegungsintegrale, die nicht mit den fundamenuckt in Gl. (9.12) gleichzusetzen ist. talen Symmetrien von Raum und Zeit verbunden ausgedr¨ Allgemein folgt f (~r, ~v , t), man beachte die exsind, scheinen dagegen keinen Einfluss zu haben! plizite Zeitabh¨ angigkeit, aus der nach Boltzmann Die technische Schwierigkeit der Berechnung benannten Gleichung von hAi wurde gegen Ende des 19. Jahrhunderts von J. W. Gibbs 10 u ¨berwunden. Obwohl seine 7 Die

Existenz der rechten Seite wird u ¨brigens im so genannten Theorem von Birkhoff behandelt (siehe z. B. A. I. Khinchin (1949) Mathematical Foundations of Satistical Mechanics. Dover). 8 zumindest nicht exakt 9 Der Gesamtimpuls und der Gesamtdrehimpuls sollen Null sein. 10 Gibbs, Josiah Willard, amerikanischer Mathematiker und Physikochemiker, *New Haven (Connecticut) 11.2. 1839, †ebenda 28.4. 1903; schuf den Begriff der thermodynamischen Phase, stellte die gibbssche Phasenregel auf und f¨ uhrte verschiedene thermodynamische Funktionen ein. c

2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

11 Boltzmann, Ludwig, osterreichischer Physiker, *Wien ¨ 20.2. 1844, †(Selbstmord) Duino (heute Duino-Aurisina, bei Triest) 5.9. 1906; Professor in Graz, Wien, M¨ unchen, Leipzig; wandte als Erster die Gesetze der Statistik (Boltzmann Statistik) auf die Molek¨ ule eines Gases an (kinetische Gastheorie), entdeckte u.a. die Beziehung zwischen Entropie und Wahrscheinlichkeit und begr¨ undete das Stefan-Boltzmann Gesetz. Werke: Wissenschaftliche Abhandlungen, 3B¨ ande. (1909). Literatur: Kaizik,J. Versuch einer Begegnung. Mach gegen Boltzmann. Wien 1986; Stiller,W. L.Boltzmann. Altmeister der klassischen Physik, Wegbereiter der Quantenphysik und Evolutionstheorie. Thun u.a. 1989; Grieser,D. c K¨ opfe. Portraits der Wissenschaft. Wien 1991. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

9.2. GRUNDLAGEN DER STATISTISCHEN MECHANIK‡

∂ ~ ~r + ~v˙ · ∇ ~ ~v f (~r, ~v , t) = ∂f (9.14) + ~v · ∇ ∂t ∂t Koll

99

entwickelt sich f¨ ur f (~v , t) f¨ ur lange Zeiten in die so genannte maxwellsche Verteilung 15 : 1 f (~v ) ∝ exp − βmv 2 . 2

(9.18) Die linke Seite ist offensichtlich die totale zeitliche ¨ Anderung von f (~r, ~v , t), w¨ ahrend die rechte Seite ¨ die Ursache dieser Anderung, n¨ amlich die St¨ oße der Hier ist m die Teilchenmasse. Außerdem gilt (Gas)teilchen untereinander, beschreibt. Wir betrachten diesen Term nicht im Detail, 12 sondern 1 , (9.19) β= beschr¨anken uns auf folgende Bemerkungen: kB T • Die betrachteten St¨ oße gehorchen der Energieund Impulserhaltung.

worin

kB = 1.380658..JK −1 (9.20) • Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Teilchen mit den Geschwindigkeiten ~v1 und ~v2 im gleichen die Boltzmann Konstante ist. Die Gr¨oße T ist hier ~r-Volumenelement liegen, ist das Produkt die Temperatur, auf die wir unten noch zu sprechen kommen werden. Ein anschauliches Beispiel zeigt die Abbildung f (~r, ~v1 , t)d3 rd3 v1 f (~r, ~v2 , t)d3 rd3 v2 . (9.15) 9.2. Dort wird ein Gas bestehend aus 108 LennardJones Teilchen betrachtet. Urspr¨ unglich haben die Diese Vernachl¨ assigung jeglicher Korrelation, Lennard-Jones Teilchen zuf¨allige Positionen soman bezeichnet sie als molekulares Chaos“, wie Geschwindigkeitskomponenten, die ebenfalls ” zerst¨ort den Einfluss der Anfangsbedingungen zuf¨allig aus einer Gleichverteilung gezogen werden. 13 . Die Bewegungsgleichungen dieser 108 Teilchen werden anschließend ausgehend von diesen AnfangsBoltzmann konnte basierend darauf die Unglei- bedingungen mittels des leap frog-Verlet Algorithchung mus numerisch integriert 16 . Die Gasdichte ist dabei konstant. Die Abbildung 9.2 zeigt die zeitliche Entwicklung der H-Funktion. Man erkennt, dass dH (t) ullt ist, wobei dies jedoch ≤0 (9.16) Gl. (9.16) tats¨achlich erf¨ dt lokal nicht der Fall sein muss, sondern, wie schon (im Mittel) herleiten, wobei die H-Funktion durch Z H (t) =

d3 vf (~v , t) ln f (~v , t)

(9.17)

gegeben ist 14 . Gl. (9.16) nennt man auch H-Theorem, wobei −H (t), wie Sie noch lernen werden, im wesentlichen die Entropie des Gases ist. Gl. (9.16) ist der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, ausgedr¨ uckt auf der molekularen Ebene! Insbesondere 12 Siehe z.B. K. Huang (1963) Statistical Mechanics. Kapitel 3 13 In welchem Sinn diese Annahme mit der uns bisher bekannten deterministischen Mechanik vereinbar ist, werden wir im n¨ achsten Abschnitt sehen. 14 Die irrelevante Ortskoordinate im Argument von f lassen wir weg

15 Maxwell, James Clerk, britischer Physiker, *Edinburgh 13.6. 1831, †Cambridge 5.11. 1879; erneuerte die von T.Young aufgestellte Dreifarbentheorie des Sehens und f¨ orderte besonders die kinetische Gastheorie (maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung), schloss aus mathematischen berlegungen, dass der Saturnring aus festen Teilchen bestehen m¨ usse, erweiterte die Vektor- und Tensoranalysis, zeigte die elektromagnetische Natur der Lichtwellen. Er entwickelte die Theorie des elektromagnetischen Feldes (Elektrizit¨ at) durch Mathematisierung des von M. Faraday in die Phyc sik eingef¨ uhrten Feldbegriffs (maxwellsche Theorie). 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 16 Wie man solche Computersimulationen im Detail durchf¨ uhrt, k¨ onnen Sie z.B. in meinem Skript Molekulares Modellieren mit Kraftfeldern (http://constanze.materials.uniwuppertal.de/Skripten.html) nachlesen. Sie k¨ onnen genau dieses System auch im Rahmen eines Computerpraktikums selber untersuchen: http://constanze.materials.uniwuppertal.de/Skripten/Computerlabor/ProjektpraktikumLJ.pdf

100

KAPITEL 9. VIELTEILCHENMECHANIK

gesagt, im Mittel u ¨ber ein gewisses Zeitintervall! Die Verteilungen der Geschwindigkeitskomponenten, berechnet etwa gegen Ende des Zeitfensters in dem die H-Funktion dargestellt ist, ist ebenfalls in Abbildung 9.2 gezeigt. Aufgrund der geringen Zahl von Teilchen ergeben sich Schwankungen, aber trotzdem ist der Einklang mit der durchgezogenen maxwellsche Verteilung gut zu erkennen. Diese ist u ¨brigens mit der Temperatur des Gases berechnet, die sich, wie wir gleich noch zeigen werden, aus der mittleren kinetischen Teilchenenergie ergibt.

-5.0

H(t)

Kraft pro Fl¨ache A sein soll. Ein einzelnes Teilchen der Masse m, das mit der Wand kollidiert, tr¨agt dabei den Anteil

fx =

2mvx ∆px = ∆t ∆t

zur momentanen Kraft F (t) bei. Hier ist fx die Kraft in x-Richtung, wobei die Beh¨alterwand als senkrecht zur x-Richtung angenommen wird. ∆px = 2mvx ist der Impuls¨ ubertrag w¨ahrend des Stoßes, der im Zeitintervall ∆t abl¨auft. In diesem Zeitintervall durchquert das Gasteilchen eine Schicht der Dicke ∆x = 12 ∆tvx parallel zur Beh¨alterwand. Einsetzen in die obige Gleichung liefert

-5.4

fx = -5.8

0

5

10

15

20

mvx2 . ∆x

Damit folgt f¨ ur die mittlere Gesamtkraft

Zeitschritte /1000

Z

fi*(!i*,t)

F =

mvx2 dvx . ∆x

Hierin ist n die Gesamtzahl der Teilchen in der eben erw¨ahnten Schicht, und f (vx ) ist die normierte maxwellsche Verteilung f¨ ur die x-Komponenten der Geschwindigkeiten der Gasteilchen. Mit ρ = n/ (A · ∆x), der Teilchenzahldichte im Gas, sowie Gl. (9.18) folgt

0.2 0.1 0 -6

nf (vx )

-4

-2

!i *

2

4

6

R∞

m 2 e−β 2 vx vx2 dvx −∞ R ∞ −β m v2 e 2 x dvx −∞ Z ∞ 2 −β m 2 vx

P = mρ Abbildung 9.2: Computersimulation von 108 Lennard-Jones Teilchen, die ein verd¨ unntes Gas mod = −2ρ ln e dvx dellieren. Oben: Die zeitliche Entwicklung der dβ −∞ H-Funktion; unten: Verteilungsfunktion der Ge√ z=vx β m d 1 2 schwindigkeitskomponenten vi (i = 1, 2, 3). Die ver= ρ ln β = ρ . dβ β schiedenen Symbole korrespondieren zu den drei Raumrichtungen. Die durchgezogene Linie ist die Dies ist das bekannte ideale Gas-Gesetz, theoretische maxwellsche Verteilung berechnet mit der gemessenen Temperatur des simulierten Gases. Gesternte Gr¨ oßen sind in Lennard-Jones Einheiten. P V = N kB T ,

(9.21)

Ein weiteres Beispiel soll die Berechnung makro- hergeleitet auf der Basis von molekularen St¨oßen skopischer Meßgr¨ oßen im µ-Raum illustrieren. Und mit den W¨anden des Beh¨alters! zwar betrachten wir den Druck, den ein ideales Gas auf die W¨ ande seines Beh¨ alters aus¨ ubt. Der Druck Liouvillesches Theorem: P ist gegeben durch P = F/A, wobei F die mittlere

9.2. GRUNDLAGEN DER STATISTISCHEN MECHANIK‡

101

ihre G¨ ultigkeit. Dies kann man ausnutzen, um die Bewegungsgleichungen der zus¨atzlich eingef¨ uhrten Gr¨oßen zu erhalten 19 . Die folgende Beweisskizze f¨ ur Gl. (9.23) beschr¨ankt sich der Einfachheit halber auf den Fall ρ = ρ (q, p, t), aber die Verallgemeinerung auf (9.22) ist (fast) offensichtlich. Unser jetzt zweidimensionales Volumenelement am Ort (q, p) soll ¨ die Fl¨ache dqdp haben. Die lokale zeitliche Anderung von ρ am Ort (q, p) ist ∂ρ/∂t q,p . Andererseits a¨ndert sich ρ dadurch, dass Phasenraumpunkte in (9.22) das Volumenelement hinein bzw. herausstr¨omen. Entlang q ist dieser Nettostrom die Differenz der dq Str¨ome durch die Seiten bei q − dq 2 und q + 2 . D. h.

Bevor wir auf die Sichtweise von Gibbs eingehen, wollen wir ein n¨ utzliches Theorem betrachten. Wir stellen uns unendlich viele v¨ ollig unabh¨ angige aber sonst identische mechanische Systeme vor, von denen jedes einen Punkt im Phasenraum liefert 17 . In einem bestimmten Volumenelement des Phasenraums haben diese Punkte zur Zeit t die Anzahldichte ρ (t). Diese Dichte sollte ortsabh¨ angig sein, d. h. ρ = ρ (q1 , q2 , ..., q3N , p1 , p2 , ..., p3N , t) . ρ erf¨ ullt das folgende n¨ utzliche Theorem: ∂ρ X ∂ρ ∂ρ dρ = + q˙j + p˙j =0 dt ∂t ∂qj ∂pj j

ρq˙

(j = 1, ..., 3N ) oder ausgedr¨ uckt mittels der Poisson Klammer

q− dq 2

− ρq˙

q+ dq 2

dpdt

ist die Zahl der Phasenraumpunkte, um die sich die Zahl dieser Punkte im Volumenelement pro Zeiteinheit dt durch Bewegung entlang q ver¨andert. Gedρ ∂ρ = + {H, ρ} = 0 . (9.23) nauer gesagt ist [...] > 0, wenn sich die Zahl der dt ∂t Phasenraumpunkte im Volumenelement erh¨oht. ¨ Dies ist das liouvillesche Theorem 18 . Das liou- Die entsprechende Anderung, hervorgerufen durch villesche Theorem bestimmt die Phasenraumdichte den Nettostrom entlang p, ist nicht eindeutig, aber es schr¨ ankt die M¨ oglichkeiten ein! dρ ¨ Bemerkung: Man beachte, dass dt die Anderung ρp˙ dp − ρp˙ dp dqdt . p− 2 p+ 2 beschreibt bezogen auf einen Beobachter“, der mit ” der Phasenraumfl¨ ussigkeit“ reist. Die Ableitung Die Summe der beiden Strombeitr¨age ergibt ∂ρ ” ∂t dagegen bezieht sich auf einen festen Ort. Bemerkung: Es kann manchmal n¨ utzlich sein, d d den Phasenraum zu erweitern. D. h. neben den − (ρq) ˙ − (ρp) ˙ . dq dp Koordinaten und Impulsen des mechanischen Systems f¨ uhrt man weitere verallgemeinerte KoordiGleichsetzen dieses Ausdrucks mit ∂ρ/∂t ergibt die naten und Impulse ein. Trotzdem behalten die unKontinuit¨atsgleichung ten genannte Kontinuit¨ atsgleichung und Gl. (9.23) 17 Die Systeme unterscheiden sich lediglich bez¨ uglich ihrer Anfangsbedingungen, die v¨ ollig zuf¨ allig gew¨ ahlt sind. Sind die Systeme isoliert, so sollen alle Anfangsbedingungen auf der gleichen Energiehyperfl¨ ache liegen. 18 Liouville, Joseph, franz¨ osischer Mathematiker, *SaintOmer (D´ epartement Pas-de-Calais) 24.3. 1809, †Paris 8.9. 1882; z¨ ahlt zu den bedeutendsten Mathematikern des 19.Jahrhunderts; entwickelte die Grundlagen der analytischen Zahlentheorie und verfasste u ¨ber 400 Arbeiten, in denen er außerdem bedeutende Beitr¨ age zur Algebra, Geometrie sowie zur Analysis und ihren Anwendungen in der Physik (u.a. elliptische Funktionen, Differenzialgleichungen) liec ferte. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

d ∂ρ d (ρq) ˙ + (ρp) ˙ + =0 dq dp ∂t

(9.24)

bzw. dρ dρ ∂ρ +ρ q˙ + p˙ + dq dp ∂t | {z }

dq˙ dp˙ + dq dp

=0.

=dρ/dt

19 W.G. Hoover, Computational Statistical Mechanics, Elsevier.

102

KAPITEL 9. VIELTEILCHENMECHANIK

Mithilfe der hamiltonschen Gleichungen, q˙ = ∂H ∂p und p˙ = − ∂H , sehen wir aber sofort, dass (...) = 0 ∂q gilt, und damit sind wir fertig. Das Liouville Theorem k¨ onnen wir auch noch aus einem zweiten Blickwinkel betrachten – dem Boltzmannschen Blickwinkel. Dabei berechnen wir ¨ die zeitliche Anderung des Phasenraumvolumenelements

dq (t) dp (t) + O(δt2 ) usw. Daraus folgt dq(t0 )dp(t0 ) = dq (t) dp (t) im Grenzfall δt → 0 21 . Somit gilt dΓ = konstant .

(9.26)

Die Abbildung 9.3 zeigt Phasenraumpunkte im zeitlichen Abstand δt berechnet f¨ ur ein ebenes Pendel ausgehend von drei Anfangsbedingungen in der N¨ahe von φ = −π/2 und pφ = 0. Der Zeitschritt ist klein und die Anfangsbedingungen sind ¨ahnlich ur nicht zu große Zeiten die WandedΓ(t) ≡ dq1 (t)dq2 (t)...dq3N (t) (9.25) genug, um f¨ rung und Deformation eines Phasenraumvolumen×dp1 (t)dp2 (t)...dp3N (t) , elementes zu demonstrieren.

das sozusagen mit dem Phasenraumpunkt des Systems reist. Der Einfachheit halber beschr¨anken wir uns wieder auf dΓ = dqdp. Allgemein gilt unter einer Koordinatentransformation Q = Q (q, p) bzw. P = P (q, p) dQdP = 20

∂Q ∂q

∂Q ∂p

∂P ∂q

∂P ∂p

p

!

t=t0 +5 "t

dqdp

. Wenn wir speziell

! Q = q (t + δt) ≈ q (t) + q˙ (t) δt P = p (t + δt) ≈ p (t) + p˙ (t) δt

dq (t + δt) dp (t + δt) ∂ q˙ ∂ p˙ = 1+ δt 1+ δt dq (t) dp (t) ∂q ∂p + O δt2 i h ∂ q˙ ∂ p˙ + = 1+ δt dq (t) dp (t) ∂q ∂p | {z } =0(∗)

+ O δt

Abbildung 9.3: Volumenelement im 2D Phasenraum des ebenen Pendels. Gibbssches Bild:

w¨ahlen, dann folgt

2

t=t0

(*: f¨ ur hamiltonsche Systeme). Die Beziehung dq (t + δt) dp (t + δt) = dq (t) dp (t) + O(δt2 ) l¨aßt sich iterieren, d. h. dq (t + 2δt) dp (t + 2δt) = 20 Siehe Abschnitt 1.3 (Umrechnung von Fl¨ achenelementen).

Ein Punkt (q1 , q2 , ..., q3N , p1 , p2 , ..., p3N ) im Phasenraum zu einer bestimmten Zeit wird als Mikrozustand des Systems bezeichnet. Grundlage f¨ ur die gibbssche Formulierung der Statistischen Mechanik ist die Annahme, dass bei vollkommen isolierten Systemen jeder Mikrozustand gleich wahrscheinlich ist. Dies ist zumindest plausibel, denn es gibt keinen Grund, warum einer dieser Mikrozust¨ande vor den u ¨brigen ausgezeichnet ist. Um diese Annahme ausnutzen zu k¨onnen, stellen wir uns wieder sehr viele oder besser unendlich viele identische 22 , unabh¨angige mechanische Systeme 21 Man beachte in diesem Zusammenhang lim n→∞ (1 + xt/n)n = ext mit t = nδt. Daraus sieht man n¨ amlich, dass f¨ ur das obige Argument die Ordnung O(δt) nicht ausreichend w¨ are. Sie muss verschwinden! 22 Identisch heißt hier gleiche Zahl von Teilchen unter gleichen Bedingungen im selben Volumen.

9.2. GRUNDLAGEN DER STATISTISCHEN MECHANIK‡ vor, von denen jedes einen Punkt im Phasenraum liefert. In der Statistischen Mechanik nennt man diese Gedankenkonstruktion ein Ensemble. Im Fall der kompletten Isolation sind die Energien E aller dieser Systeme gleich und konstant. Die Gleichwahrscheinlichkeit der Mikrozust¨ ande, die zu dieser Energie passen, bedeutet, dass die Dichte ρ der Phasenraumpunkte auf einer Hyperfl¨ ache E = H(q1 , q2 , ..., q3N , p1 , p2 , ..., p3N ) konstant sein muss:

103

D. h. die Integration verl¨auft u ¨ber die Energiehyperfl¨ache E = H. Im kanonischen Fall dagegen schreiben wir

hAiG,kan

R dΓA exp (−βH) = R . dΓ exp (−βH)

(9.31)

Hier umfasst die Integration den gesamten Phasenraum. In der Vorlesung zur Statistischen Mechanik wird gezeigt werden, dass im thermodynamischen ρ = konstant . (9.27) Limes (die Teilchenzahl geht gegen unendlich bei gleichbleibender Teilchendichte) gilt: Man beachte, dass dieses ρ mit dem liouvilleschen Theorem (9.23) konsistent ist! In der Statistischen hAiG = hAiG,mikro = hAiG,kan . (9.32) Mechanik spricht man vom mikrokanonischen Ensemble. Wenn dagegen die einzelnen Systeme nicht mehr D. h. die unterschiedlichen Ensembles liefern idenisoliert sind, sondern mit ihrer Umgebung Energie tische Resultate! Betrachten wir ein Beispiel. Wir setzen die Gr¨oße (z.B. W¨arme) austauschen k¨ onnen, dann ist ρ nicht ∂H ur A in Gl. (9.31) ein und erhalten l¨anger nur konstant, sondern es l¨ asst sich basierend qj ∂qj f¨ 23 auf der obigen Annahme zeigen : R ∂H exp [−βH] dΓqj ∂q ∂H Γ j R hqj i= ρ ∝ exp (−βH) . (9.28) ∂qj dΓ exp [−βH] Γ Z −1 p. I. Dies ist das so genannte kanonische Ensemble. Wie= dΓ exp [−βH] Γ der erf¨ ullt diese Form der Phasenraumdichte das qjmax Z h 1 liouvillesche Theorem (9.23) (zeigen Sie dies). 0 × dΓ − qj exp [−βH] Die Berechnung makroskopischer Messgr¨ oßen im β Γ qjmin Gleichgewicht basiert im gibbschen Bild auf so Z i 1 genannten Ensemblemittelwerten. Analog zu Gl. + exp [−βH] dqj . β (9.13) im µ-Raum schreiben wir nun

Hier bedeutet der Index 0 , dass die Variable qj ausdΓA(q1 , ..., p1 , ...)ρ(q1 , ..., p1 , ...) genommen ist. Der erste Term in der eckigen KlamR .(9.29) hAiG = mer verschwindet, da wir uns ein Gas vorstellen, dΓρ(q1 , ..., p1 , ...) das in einen Beh¨alter eingesperrt ist, so dass die poHier steht der Index G f¨ ur Gibbs. Wie oben im tenzielle Energie bei qjmax und qjmin , also auf den Fall von hAiB m¨ ussen wir u ¨berlegen, inwieweit der W¨anden, unendlich ist. Die Abk¨ urzung p.I. steht so genannte Ensemblemittelwert hAiG tats¨ achlich f¨ ur partielle Integration. Damit folgt mit dem Zeitmittelwert in Gl. (9.12) gleichzusetzen ist. Im mikrokanonischen Fall lautet diese Formel ∂H konkret hqj i = kB T ∂qj R dΓA oder f¨ ur N Gasteilchen . (9.30) hAiG,mikro = RE=H dΓ E=H R

23 siehe beispielsweise R. Hentschke (2004), Statistische Mechanik - Eine Einf¨ uhrung f¨ ur Physiker, Chemiker und Materialwissenschaftler, Wiley-VCH.

3N X ∂H h qj i = 3N kB T . ∂q j j=1

(9.33)

104

KAPITEL 9. VIELTEILCHENMECHANIK

Andererseits k¨ onnen wir die linke Seite dieser letzten Gleichung auch durch

9.3

Klassifikation scher Systeme

dynami-

3N 3N N Das zentrale Problem bei der gibbsschen Methode X X X ∂H h i = −h qj qj p˙j i = −h ~ri · F~i i (9.34) ist die angenommene Gleichheit des Ensemblemit∂qj j=1 j=1 i=1 telwerts hAiG,mikro mit dem entsprechenden Zeitmittelwert ausgedr¨ uckt durch Gl. (9.12). Diese Anausdr¨ ucken, wobei F~i die Kraft auf Gasteilchen i nahme bezeichnet man auch als Ergodenhypotheam Ort ~ri sein soll. In einem idealen bzw. hinrei- se. Wo liegt das Problem? Nun, es ist nicht unchend verd¨ unnten Gas verschwindet die Kraft F~i bedingt sicher, dass die Trajektorie eines mechafast u alter mit der Ausnahme der nischen System wirklich alle (wichtigen) Regionen ¨berall im Beh¨ Beh¨alterw¨ ande. Wir schreiben daher des Phasenraums erreichen kann. Bei der Ensemble-Konstruktion auf der anderen Seite werden per Z Definition alle Regionen des Phasenraums ber¨ uck3N X ~ sichtigt. Anders formuliert kann man fragen: Wie −h ~ri · Fi i ' P dA (~n · ~r) A f¨ u hren deterministische Bewegungsgleichungen auf j=1 Z zuf¨ a llige“ Phasenraumtrajektorien? S. v. Gauß ” ~ · ~r = P dV ∇ Bevor wir diesen Punkt n¨aher beleuchten, wollen V wir eine f¨ ur unsere Zwecke n¨ utzliche Klassifikation = 3P V . (9.35) dynamischer Systeme vornehmen. Diese ist in Ab~ = ~ndA ist ein nach außen bildung 9.4 dargestellt. Zun¨achst unterscheiden sich Hier ist P der Druck, dA orientiertes Fl¨ achenelement auf der Beh¨alterwand, dynamische Systeme danach, ob sie wiederkehrenund V ist das Beh¨ altervolumen. Die Kombination den Trajektorien bzw. nicht wiederkehrenden Travon (9.33), (9.34) und (9.35) liefert wieder das be- jektorien besitzen. Die meisten Kometen fallen in die zweite Rubrik. Eine Ausnahme ist der halleykannte Gesetz des idealen Gases: sche Komet, der einer wiederkehrenden Trajektorie folgt. Allgemein gilt nach einem Theorem von Poincar´e 24 (engl.: Poincar´e’s recurrence theorem), P V = N kB T . dass ein Phasenraumpunkt, der sich in einem endBemerkung: Die gleiche Rechnung k¨onnen wir lichen Phasenraum bewegt, beliebig genau und be∂H ersetzt durch liebig h¨aufig jede zug¨anglich Systemkonfiguration wiederholen mit der Gr¨ oße pj ∂p j ∂H einnimmt. Allerdings ist f¨ ur Systeme mit schon weqj ∂qj . Statt Gl. (9.33) erhalten wir nigen Teilchen die f¨ ur eine R¨ uckkehr notwendige Zeitspanne astronomisch. 3N 3N X X ∂H Abh¨angig davon, ob eine Hamilton Funktion die h pj i = h pj q˙j i ∂p Bewegung bestimmt oder nicht, unterscheidet man j j=1 j=1 hamiltonsche von nichthamiltonschen Systemen. = 2hKi Wir interssieren uns hier f¨ ur die hamiltonschen Sy= 3N kB T . steme. Beispiele f¨ ur die zweite Sorte sind dissipati-

Hier ist hKi die mittlere kinetische Energie im System. D. h. die Gleichung

hKi =

2 N kB T 3

(9.36)

verbindet die mikroskopischen Teilchengeschwindigkeiten mit der makroskopischen Gr¨oße Temperatur!

24 Poincar´ e, Jules Henri, franz¨ osischer Physiker und Mathematiker, *Nancy 29.4. 1854, †Paris 17.7. 1912, Professor in Caen und Paris, begr¨ undete die moderne Topologie, lieferte Beitr¨ age zur L¨ osung des Dreik¨ orperproblems und von Differenzialgleichungen. Er arbeitete u.a. zur Himmelsmechanik, Thermodynamik, Elektrizit¨ atstheorie und Optik und gilt als einer der Vorl¨ aufer der einsteinschen (speziellen) Relativit¨ atstheorie. Von besonderer Bedeutung waren seine B¨ ucher u ¨ber die Grundlagen der Wissenschaft (Wissenschaft und Hypothese, 1901; Der Wert der Wissenschaft, 1905). http://un2sg4.unige.ch/athena/html/fran fr.html c

2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

9.3. KLASSIFIKATION DYNAMISCHER SYSTEME

105

nur einen verschwindend geringen Teil des Phasenraumsegments ausmacht, das der Konstanz der Gesamtenergie E = E1 + E2 entspricht! Daher sind Wiederkehrende die Trajektorien solcher Systeme, wie das in diesem Nichtwiederkehrende Trajektorien Trajektorien Beispiel, nicht f¨ ur Berechnungen von Mittelwerten im Sinne der Statistischen Mechanik geeignet, wo Nichthamiltonsche man davon ausgeht, dass jeder Phasenraumpunkt Hamiltonsche Systeme Systeme auf der Gesamtenergiehyperfl¨ache beitragen kann. Die weitere Unterscheidung der nichtintegraIntegrable Systeme Nichtintegrable Systeme blen Systeme in Abbildung 9.4 basiert auf der Idee der Stabilit¨at, d. h. wie reagiert eine Phaperiodisch quasi-periodisch nichtergodisch ergodisch mischend senraumtrajektorie auf kleine St¨orungen. Damit ein System aus irgendeinem Nichtgleichgewichtszustabile Bahn unstabile Bahn stand ins Gleichgewicht evolvieren kann, muss seine (die Trajektorie ist beschränkt (die Trajektorie bedeckt auf einen Torus im Phasenraum) die gesamte Energiehyperfläche) Phasenraumtrajektorie unstabil gegen¨ uber kleinen St¨orungen sein. Was damit gemein ist illustriert die Abbildung 9.5. Die ungest¨orten Trajektorien werAbbildung 9.4: Klassifikationsschema f¨ ur dynamiden zum Zeitpunkt t = 0 leicht gest¨ort. d. h. der sche Systeme. entsprechende Phasenraumpunkt wird geringf¨ ugig um δ(0) verschoben. Die Abbildung zeigt unterschiedliche Systemantworten auf diese St¨orung. Die ve Systeme bzw. Systeme, in denen Reibung auf- Differenz der gest¨orten Trajektorie zur ungest¨orten tritt. In (geschlossenen) hamiltonschen Systemen Traktorie zur Zeit t ist dabei δ(t). Dargestellt sind gilt H = konstant. Die hamiltonschen Systeme un- von oben nach unten die F¨alle terscheiden wir schließlich danach, ob sie integrabel, d. h. analytisch l¨ osbar, sind oder nicht. In in stabil  δ(t) = cδ(0) tegrablen Systemen ist die Zahl der Freiheitsgraδ(t) = ctδ(0) quasiperiodisch .(9.37) δ(t) = de gleich der Zahl der unabh¨ angigen Erhaltungs λt δ(t) = δ(0)e unstabil gr¨oßen. Dynamische Systeme

Integrable Systeme werden unterteilt in solche mit periodischer Bewegung und solche mit quasigestörte Trajektorie periodischer Bewegung. Periodisch bedeutet, dass !(0) sich die Phasenraumtrajektorie in endlicher Zeit ungestörte Trajektorie schneiden“ wird. Quasiperiodische Bewegung da” gegen illustrieren wir an einem Beispiel. Ein System gestörte Trajektorie bestehe aus zwei nicht gekoppelten harmonischen !(0) Oszillatoren in einer Dimension. D. h. der Phasenungestörte Trajektorie raum ist vierdimensional. Die Konstanz der Energie des ersten Oszillators, E1 , beschr¨ ankt die Systemtrajektorie auf ein Volumen im Phasenraum. Die gestörte Trajektorie Konstanz der Energie des zweiten Oszillators, E2 , !(0) beschr¨ankt die Systemtrajektorie weiterhin auf eiungestörte Trajektorie ne geschlossene Fl¨ ache im Phasenraum. Man kann Zeit t ausprobieren, dass ein rationales Verh¨ altnis der Oszillatorfrequenzen auf eine periodische Bewegung f¨ uhrt. Ein irrationales Verh¨ altnis dagegen liefert ei- Abbildung 9.5: Die ungest¨orten Trajktorien werden ne Trajektorie, die sich nicht schneidet, aber auf zum Zeitpunkt t = 0 leicht gest¨ort die oben genannte Fl¨ ache beschr¨ ankt bleibt, und diese dicht bedeckt. Dies nennt man quasi-periDamit ein isoliertes System aus dem Nichtgleichodisch. Man beachte aber, dass die genannte Fl¨ache gewicht ins Gleichgewicht evolvieren kann, m¨ ussen

106

KAPITEL 9. VIELTEILCHENMECHANIK

zwei Bedingungen erf¨ ullt sein. Erstens muss die gesamte Energiehyperfl¨ ache zug¨ anglich sein. Zweitens muss die Bewegung wenigstens mischend sein, damit auch alle beliebig kleinen Segmente der Energiehyperfl¨ ache erreicht werden. Mischend bedeutet soviel wie wenigstens unstabil“. Systeme, die diese ” beiden Bedingungen nicht erf¨ ullen, heißen nichtmischend. Quasiperiodische Bewegung ist daher nichtmischend. Obwohl die gest¨ orte Trajektorie langsam von der urspr¨ unglichen Trajektorie abweicht, ist die Trajektorie jedoch in jedem Fall auf einen Teil der Energiehyperfl¨ ache beschr¨ ankt. Die beiden oben genannten Bedingungen sind auch Grundlage der schon erw¨ ahnten Ergodenhypothese. Diese besagt, dass der Zeitmittelwert definiert durch Gl. (9.12) tats¨ achlich dem Ensemblemittelwert definiert durch Gl. (9.30) gleichzusetzen ist!

9.4

Wege ins Chaos

Kommen wir nun zur¨ uck zur urspr¨ unglichen Frage: Wie f¨ uhren deterministische Bewegungsgleichungen auf zuf¨ allige“ Phasenraumtrajektorien? Wirk” lich beantworten k¨ onnen wir die Frage an dieser Stelle nicht. Wir k¨ onnen aber zwei Beispiele betrachten, die trotz ihrer Einfachheit den Effekt zeigen. Das erste Beispiel hat nichts mit Mechanik zu tun. Es ist die so genannte logistic map,

xi 1 0.8 0.6 0.4 0.2 5

10

15

20

5

10

15

20

i

xi 1 0.8 0.6 0.4 0.2 i

f=4 r # (1-#) &; ListPlot[NestList[f,Nest[f,.5,0],20],PlotRange->{0,1}, PlotJoined->True,AxesLabel->{i,\!\(x\_i\)}]

Abbildung 9.6: Graphische Darstellung zweier Zahlenfolgen der Gl. (9.38), ausgehend von x1 = 0.5. Oben links: r = 0.2. Oben rechts: r = 0.7. Schon eine geringe Zahl von Iterationen f¨ uhrt nahe an den Fixpunkt heran. Unten: Mathematica-Programm.

von r (berechnet mit λ = limn→∞ (9.38) λ alsPFunktion n−1 n−1 i=0 ln |4r (1 − 2xi )| 27 ). Bei r = 0.2 und eine einfache nichtlineare Abbildung. Diese erzeugt r = 0.7 ist λ wie erwartet negativ. Je negativer Zahlenfolgen x1 , x2 , x3 ,..., ausgehend von x1 ∈ λ ist, um so gr¨oßer ist die Stabilit¨at. Aber es gibt [0, 1], 25 in Abh¨ angigkeit von r. F¨ ur r < 0.25 ist auch Bereiche mit positivem λ! D. h. ein kleiner 0 ein attraktiver bzw. stabiler Fixpunkt (warum?). Unterschied beim Startwert w¨achst exponentiell an. D. h. eine St¨ orung des Anfangspunktes wirkt sich Abbildung 9.8 illustriert das Verhalten f¨ ur positive langfristig nicht aus (vgl. Abbildung 9.5). Es gilt Werte von λ am Beispiel r = 1. Es ist keine offenalso x∗ ≡ limi→∞ xi = 0. Bei r = 0.25 h¨ort 0 auf, sichtliche Regelm¨aßigkeit feststellbar 28 . der stabile Fixpunkt zu sein, stattdessen ist dieser Betrachten wir jetzt ein einfaches Beispiel aus jetzt > 0. Abbildung 9.6 illustriert dies f¨ ur r = 0.2 der Mechanik 29 . Abbildung 9.9 (a) zeigt eiund r = 0.7. Man kann den Einfluss von r syste27 K¨ onnen Sie sich denken, wie diese Formel zustande matisch untersuchen und gewinnt dadurch u ¨berrakommt (vgl. H. Gould, J. Tobochnik (1996) An Introducschende Einsichten. Wir illustrieren dies hier ledigtion to Computer Simulation Methods. Addison-Wesley). lich anhand einer Auftragung des Exponenten λ in 28 Allerdings k¨ onnte diese Graphik auf einem baugleichen |∆xi | ∼ |∆x1 | exp[(i − 1)λ] 26 . Abbildung 9.7 zeigt Computer exakt reproduziert werden. Man spricht daher xi+1 = 4rxi (1 − xi ) ,

25 Damit

gilt ebenfalls xi ∈ [0, 1] ∀ i > 1. 26 Die Gr¨ oße λ wird auch Lyapunov Exponent genannt.

vom deterministischen Chaos. 29 Die folgenden Abbildungen wurden aus J.M. Haile (1992) Molecular Dynamics Simulation. Wiley Interscience

9.4. WEGE INS CHAOS

107

0.4

0.0

! -0.4

-0.8 0.7

0.8

r

0.9

1

Abbildung 9.7: λ aufgetragen gegen r.

ne kreisrunde Arena mit harten W¨anden. Im Innenraum dieser Arena wird ein Kugelteilchen an einem beliebigen Ort angestoßen. Gerade Bahnst¨ ucken werden durch die Kollision mit den W¨anden gem¨aß Energie- und Impulserhaltung umgelenkt. Insgesamt ergibt sich ein regelm¨aßiges Muster. Abbildung 9.9 (b) zeigt die Sitation nach einer leichten St¨orung der Anfangsbedingungen (bei erhaltener Energie). Es resultiert ein sehr ¨ahnlicher p Stern. Der gem¨aß der Glei(xa (t) − xb (t))2 + (ya (t) − yb (t))2 chung d(t) = bestimmte Abstand zwischen urspr¨ unglicher und gest¨orter Trajektorie w¨achst linear (vgl. Abbildung 9.9 (c)). Die gleichen drei Panele zeigt die Abbildung 9.10. Der einzige Unterschied ist die Wand der Arena, die nun aus harten Kugeln besteht. In diesem Fall w¨achst d(t) exponentiell. Der Unterschied zwischen beiden Arenen ist nochmals in Abbildung 9.11 illustriert, die die jeweiligen Trajektorien nach 400 Kollisionen mit der Wand zeigt. D. h. im Fall der glattwandigen Arena, wird der Positionsraum nicht wirklich gut durchmustert. Anderen Fall f¨ uhren molekulare Wech” selwirkungen“ zu einer sehr unstabilen Trajektorie, die zumindest optisch eine zufriedenstellendere Durchmusterung liefert. All dies ist nat¨ urlich kein Beweis, aber es zeigt, wie selbst die Trajektorie eines einfachen mechanischen Systems zuf¨allig“ sein ” kann.

xi 1 0.8 0.6 0.4 0.2 500

1000

1500

i 2000

Abbildung 9.8: Graphische Darstellung einer Zahlenfolge der Gl. (9.38), ausgehend von x1 = 0.1 f¨ ur r = 1.

(Kapitel 2) u ¨bernommen.

108

KAPITEL 9. VIELTEILCHENMECHANIK

(a) (a)

(b)

Abweichung d(t)

Abweichung d(t)

(b)

Anzahl der Kollisionen

Abbildung 9.9: Teilchen in der glattwandigen Arena [7].

berechnet angepasst

Anzahl der Kollisionen Abbildung 9.10: Teilchen in der Arena mit W¨anden aus harten Kugeln [7].

9.4. WEGE INS CHAOS

Abbildung 9.11: Vergleich der quasiperiodischen mit der chaotischen Trajektorie. Die Pfade sind Trajektorien im Konfiguartionsraum f¨ ur die beiden im Text beschriebenen Modelle [7].

109

110

KAPITEL 9. VIELTEILCHENMECHANIK

Kapitel 10

Grundgleichungen der Elastizit¨ atstheorie♥ Verzerrungs- und SpanHier betrachten wir die Mechanik von als Kon- 10.1 tinua aufgefaßten festen K¨ orpern. Diese werden nungtensor durch a¨ußere Kr¨ afte elastisch deformiert. Elastische Deformationen sind reversibel. Ist dies nicht Herleitung des Verzerrungstensors u: vollst¨andig der Fall spricht man dagegen von plastischen Deformationen. In Abbildung 10.1 bezeichDer Abstand zweier (infinitesimal) benachbarter net ~r einen Punkt im nicht deformierten K¨orper, Punkte im K¨orper ist vor der Deformation 0 w¨ahrend ~r die Lage des Punktes im deformierten K¨orper bezeichnet. Die Differenz q dx21 + dx22 + dx23

dl =

0

~u = ~r − ~r

(10.1)

bzw. ausgedr¨ uckt mittels der Summenkonvention

wird als Verschiebungsvektor bezeichnet. Insbesondere ist ~u = ~u (~r) in der Regel von Ort zu Ort unterschiedlich.

dl =

q dx2i .

Nach der Deformation dagegen gilt

F

dl0

q dx01 2 + dx02 2 + dx03 3

=

bzw.

u r r'

q dl = dx0i 2 . 0

Daraus folgt mit Gl. (10.1)

dl

02

=

2

(dxi + dui ) =

∂ui dxi + dxk ∂xk

2

= dx2i Abbildung 10.1: Illustration des Verschiebungsvektors ~u.

+2

∂ui ∂ui ∂ui dxi dxk + dxk dxl ∂x ∂x ∂xl | k {z } | k {z } i←→k

111

i←→l

♥ ¨ KAPITEL 10. GRUNDGLEICHUNGEN DER ELASTIZITATSTHEORIE

112

= dl2 ∂uk 1 ∂ul ∂ul +2 dxi dxk + dxi dxk ∂xi 2 ∂xk ∂xi | {z } ∂uk ∂ul ∂ul 1 ∂ui =2

dl02

∂xk

+ ∂x + ∂x i

k ∂xi

u

dxi dxk

= dl2 + 2uik dxi dxk .

dl

(10.2)

dl'

Hier ist

uik =

1 2

∂ui ∂uk ∂ul ∂ul + + ∂xk ∂xi ∂xk ∂xi

(10.3)

der Verzerrungstensor u in Komponentenschreibweise. Einige Bemerkungen zu u: i) Der Verzerrungstensor ist symmetrisch, d. h. uik = uki . ii) Er kann daher (in jedem Punkt!) diagonalisiert werden. D. h. dl02

=

(δik + 2uik ) dxi dxk = 1 + 2u(1) dx21 + 1 + 2u(2) dx22 + 1 + 2u(3) dx23 .

Die Indizes 1, 2 und 3 bezeichnen Koordinaten entlang der Hauptachsen. Die u(i) sind die Hauptwerte von u. Es gilt somit

Abbildung 10.2: Illustration des Unterschiedes zwischen Verschiebung ~u(~r) und Verzerrung dl − dl0 , anhand der Biegung eines an seiner Basis eingespannten elastischen Balkens. Den Unterschied zwischen Verschiebung und Verzerrung illustriert Abbildung 10.2. W¨ahrend die Verschiebungsvektoren ~u(~r) betragsm¨aßig groß sein k¨onnen, sind die entsprechenden Verzerrungen im Sinne der Ungleichung (10.5) immer noch klein. Wenn ein K¨orper kleinen Deformationen unterliegt, sind s¨amtliche Komponenten von u, die ja die relativen L¨angen¨anderungen im K¨orper charakterisieren, kleine Gr¨oßen (vgl. (10.6), was wiederum die N¨aherung

uik ≈ dx0i =

q

1 + 2u(i) dxi .

1 2

∂ui ∂uk + ∂xk ∂xi

(10.7)

(10.4) impliziert.

Die gesamte lokale L¨ angen¨ anderung ist also eine iv) Die relative lokale Volumen¨anderung aufgrund ¨ unabh¨angige Uberlagerung aus L¨ angen¨anderungen der Deformation ist gegeben durch (dV 0 − dV )/dV . entlang der Hauptachsen. Hier ist iii) Die relativen L¨ angen¨ anderungen k¨ onnen i. A. als klein angenommen werden, d. h.

dV 0 = dx01 dx02 dx03 das Volumenelement im deformierten Zustand und

dx0i − dxi 1. dxi

(10.5) dV = dx1 dx2 dx3

Damit folgt mittels Gl(10.4) p 1 + 2u(i) − 1 ≈ u(i) 1 .

bezieht sich auf das gleiche Volumenelement vor der Deformormation. Die xi sollen dabei Hauptachsen(10.6) koordinaten sein. Mit Gl. (10.4) folgt

10.1. VERZERRUNGS- UND SPANNUNGTENSOR

113

bzw. Z fi dV

dV

V

f¨ ur jede Komponente. Man beachte, dass f~ eine Kraftdichte mit der Einheit Kraft pro Volumen ist. Mit der Definition

fi =

∂σik ∂xk

(10.10)

Abbildung 10.3: Skizze zum Spannungstensor. f¨ uhren wir den (inneren) Spannungstensor ein. Analog zum gaußschen Satz aus der Vektoranalysis, dV 0

p p 1 + 2u(1) 1 + 2u(2) 1 + 2u(3) dx dx dx 1 2 3 ≈ 1 + u(1) 1 + u(2) 1 + u(3) dV ≈ dV 1 + u(1) + u(2) + u(3) . {z } | =

p

=Sp(u)

Hier ist Sp(u) die Spur von u. Da diese Darstellungsunabh¨angig ist, gilt

Z

~ · KdV ~ ∇ =

V

I

~ · dA ~, K

A

~ wobei A die Oberfl¨ache von V sein soll und dA das nach außen gerichtete Fl¨achenelement, schreiben wir Z

Z fi dV =

∂σik dV = ∂xk

I σik dAk .

Diese M¨oglichkeit der Umwandlung des Volumenintegrals in ein Oberfl¨achenintegral begr¨ undet auch die Definition (10.10), denn es sollten nur Beitr¨age bzw. f¨ ur die relative lokale Volumen¨ anderung von der Oberfl¨ache von V zur Nettokraft auf V beitragen. Die Spannungen an den inneren GrenzdV 0 − dV = uii = Sp(u) . (10.9) fl¨achen, in der Skizze 10.3 sind diese durch die GitdV terzellen angedeutet, kompensieren sich im elastischen Gleichgewicht. Herleitung des Spannungstensors σ: Anmerkung: Eigentlich sollten die x0i verwendet Die bei der Deformation eines K¨ orpers auftre- werden, da sich die Rechnung auf den deformierten tenden Kr¨afte in seinem Inneren nennt man inne- K¨orper bezieht. Die Verwendung von xi ist aber ein re Spannungen. Diese versuchen den K¨ orper in sei- Fehler h¨oherer Ordnung. Die Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur den defornen urspr¨ unglichen Gleichgewichtszustand zur¨ uckmierten K¨ o rper lauten zuverzusetzen. Die Kr¨ afte, von denen hier die Rede ist, sind auf der L¨ angenskala der Elastizit¨ atstheorie (Kontinuumlimes!) kurzreichweitig (Reichweite ca. ∂σik =0. (10.11) einige Molek¨ uldurchmesser). ∂xk Wir betrachten ein Teilvolumen V (vgl. Skizze 10.3) und die auf dieses wirkende Nettokraft Zus¨atzlich k¨onnte eine ¨außere Kraft auf das Volumen insgesamt (Volumenkraft) einwirkt. Ist dies Z beispielsweise die Gravitation, dann gilt im Gleichf~dV gewicht dV 0 = dV (1 + uii )

(10.8)

♥ ¨ KAPITEL 10. GRUNDGLEICHUNGEN DER ELASTIZITATSTHEORIE

114

der Materie bzw. ihrer mechanischen Eigenschaften. Diese liefert die Thermodynamik. Die Thermo∂σik + ρgi = 0 . (10.12) dynamik ist eine makroskopische Theorie der Ma∂xk terie. In diesem Sinne ist die Elastizit¨atstheorie ein und weniger eine FortsetHier ist ~g die Gravitationsbeschleunigung, und ρ ist Teil der Thermodynamik 2 zung der Mechanik . die Massendichte des K¨ orpers. Im Gegensatz zur Die Thermodynamik ist eine ph¨anomenologische Gravitation als Volumenkraft gehen Oberfl¨achenTheorie, d. h. sie baut auf gut gesicherten exkr¨afte durch Randbedingungen ein. Im Falle einer perimentellen Erfahrungen auf. Diese sind in den ~ externen Oberfl¨ achenkraft P gilt Haupts¨atzen der Thermodynamik formuliert 3 . Der erste Hauptsatz beschreibt die Konstanz der Energie E eines isolierten Systems: Pi dA − σik dAk = 0 . Hier ist Pi die Komponente in Richtung i. Und dE = dq + dw . (10.14) −σik dAk ist die entsprechend in negative i-Richtung weisende Komponente der Spannung an der dq ist die dem System zugef¨ uhrte W¨arme(menge), Oberfl¨ache. Diese Gleichung k¨ onnen wir mithilfe und dw ist die am System geleistete Arbeit. Der des nach außen gerichteten Oberfl¨ acheneinheitsvekzweite Hauptsatz besagt, dass die Gr¨oße S, die tors ~n als Entropie des Systems, bei einem spontan ablaufenden Prozess zunimmt. Mathematisch beschreibt 4 σ n =P (10.13) dies die Clausius Ungleichung ik k

i

schreiben (auf der gesamten Oberfl¨ache des K¨orpers).

10.2

Freie Energie

Das Hauptziel dieses Abschnitts ist die Verbindung zwischen dem Verzerrungstensor und dem Spannungstensor. Thermodynamik der Deformation: In einer Kontinuumtheorie des elastischen K¨orpers muss eine Gr¨ oße ber¨ ucksichtigt werden, die uns in der Mechanik bisher nicht begegnet ist 1 . Offensichtlich ist die Elastizit¨ at eines Materials von seiner Temperatur T abh¨ angig. Dies kommt daher, dass wir uns den K¨ orper aus Volumenelementen aufgebaut denken, von denen jedes eine riesige Anzahl von Atomen bzw. Molek¨ ulen enth¨alt, u ¨ber die wir im Prinzip mitteln. Diese Atome und Molek¨ ule f¨ uhren thermische Bewegungen aus, die die elastischen Eigenschaften temperaturabh¨ angig machen. Weder die lagrangesche Funktion noch die Hamilton Funktion stellen eine Verbindung zur Temperatur her. Wir ben¨ otigen hier eine neue Beschreibung 1 Wir

sehen dabei mal von dem Abschnitt 6.2 ab.

dS ≥

dq . T

(10.15)

Dies kann gleichzeitig als thermodynamische Definition der Temperatur aufgefasst werden 5 . Die Kombination aus (10.14) und (10.15) liefert dF ≡ dE − T dS ≤ 0 .

(10.16)

Diese Ungleichung setzt voraus, dass T und das Volumen V des Systems konstant sind. Wenn wir 2 Diese Uneinheitlichkeit wird erst in der Statistischen Mechanik wieder beseitigt. 3 Eine elementare aber gute Einf¨ uhrung gibt P.W. Atkins, Physikalische Chemie, VCH; siehe auch R. Hentschke, Statistische Mechanik - Eine Einf¨ uhrung f¨ ur Physiker, Chemiker und Materialwissenschaftler, Vorlesungsskript. Siehe insbesondere das Erg¨ anzungsskript unter dem Link: http://constanze.materials.uniwuppertal.de/Skripten/Skript StatMech/Thermodynamics.pdf 4 Clausius, Rudolf Julius Emanuel, Physiker, *K¨ oslin (heute Koszalin) 2.1.1822, †Bonn 24.8.1888; Mitbegr¨ under der mechanischen W¨ armetheorie; formulierte den 2.Hauptsatz der Thermodynamik und f¨ uhrte den Begriff der Entroc pie ein. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim, 2004 5 Die Thermodynamik kennt keine thermische Bewegung von Molek¨ ulen und Atomen, da sie keine Molek¨ ule und Atome kennt!

10.2. FREIE ENERGIE

115

hier von Volumen reden, dann meinen wir auch die Form. Außerdem wird keine andere Art von Arbeit (Nicht-Volumenarbeit) geleistet. D. h. bei einem unter diesen Bedingungen spontan im System verlaufenden Prozess (z.B. k¨ onnen chemische Reaktionen ablaufen) gilt

Z

Z fi δui dV

= p. I.

=

∂σik δui dV ∂xk Z

I σik δui dAk − {z } |

σik

∂δui dV ∂xk

=0(∗)

dF

T,V,..

≤0.

∗∗

(10.17)

=

−

1 2

Z σik δ

∂u ∂uk i dV + ∂xk ∂xi {z } |

Diese Ungleichung ist das wichtigste Resultat der ∼ =2uik Z Thermodynamik, auf der alle ihre Folgerungen aufbauen 6 ! Ein spontan ablaufender Prozess verl¨auft = − σik δuik dV in die Richtung, in der die freie Energie reduziert wird. Erst wenn der spontane Prozess abgeklun- (*: wenn die Fl¨ache im Unendlichen nicht deforgen ist, und sich im zeitlichen Mittel kein Vor- miert ist. **: siehe 8 ). Daraus folgt gang (z.B. chemische Reaktion) mit Vorzugsrichtung mehr ausmachen l¨ aßt, gilt das Gleichheitszei−δw = −σik δuik . (10.21) chen. Man spricht vom chemischen Gleichgewicht7 . Es ist diese Situation, die wir hier betrachten. Die Das Minuszeichen vor δw kommt daher, dass wir Gr¨oße mit +δw die Arbeit bezeichnet hatten, die am System geleistet wird. Hier ist −δw die vom System F(T, V ) = E − T S , (10.18) geleistete Arbeit! Zusammen mit Gl. (10.20) erhalten wir deren Definition die Ungl. (10.16) nahelegt, heißt freie Energie. Sie ist die Funktion, die uns erlaubt, uik mit σik zu verbinden. dF = −SdT + σik duik (10.22) Im Gleichgewicht verbinden wir (10.14) und (10.15) zur so genannten Fundamentalgleichung der 9 und daher Thermodynamik: ∂F (10.23) σik = . dE = T dS + dw . (10.19) ∂uik T Kombiniert mit dF = dE − d(T S) = dE − T dS − SdT folgt sofort dF = −SdT + dw .

(10.20)

Freie Energie isotroper K¨orper: 8 Hier verwenden wir die Symmetrie des Spannungstensors (σik = σki ). Das Argument hierf¨ ur lautet wir folgt. Das Drehmoment auf ein bestimmtes Volumen des K¨ orpers ist

Berechnen wir dw! Die Arbeit, die von den Kr¨aften der inneren Spannungen bei einer klei¨ nen Anderung der Verschiebung um δui (reversibler Prozess, d. h. Gleichgewicht) geleistet wird, ist

Z (fi xk − fk xi )dV =

Z

∂(σil xk − σkl xi ) dV − ∂xl

I

Z

= 6 Vom

Prinzip her ¨ ahnlich wie im Fall der Wirkung haben wir hier eine Funktion vorliegen, deren Minimum uns neue Naturgesetze liefert. Diese Gesetze bestehen aus Gleichungen zwischen den Gr¨ oßen T , P (Druck), V , E, S, F ,... bzw. ihren wechselseitigen Ableitungen. Die Vorhersagen der Thermodynamik umfassen u.a. das Massenwirkungsgesetz, die Gefrierpunkterniedrigung, die Siedepunkterh¨ ohung, die Phasenregel, ... 7 Allerdings treten weiterhin so genannte thermische Schwankungen um das Gleichgewicht herum auf.

=

Z

(σil xk − σkl xi )dAl −

∂σil ∂σkl xk − xi dV ∂xl ∂xl

Z (σil δkl − σkl δil )dV (σik − σki )dV .

Das Volumenintegral muss verschwinden, d. h. σik = σki , damit das Drehmoment nur von den Oberfl¨ achenkr¨ aften herr¨ uhrt. 9 Hier sind die Gr¨ oßen F und S pro Volumen gerechnet, d. h. es handelt sich um die freie Energiedichte bzw. Entropiedichte.

♥ ¨ KAPITEL 10. GRUNDGLEICHUNGEN DER ELASTIZITATSTHEORIE

116

Jetzt werden wir versuchen, einen plausiblen Ausdruck f¨ ur die freie Energie ausgedr¨ uckt durch den Verzerrungstensor aufzustellen, um dann mittels Gl. (10.23) die Verbindung zum Spannungstensor herzustellen. Wir gehen hier davon aus, dass (wie oben diskutiert) die uik kleine Gr¨ oßen sind. Es liegt dann nahe, die freie Energie F ausgehend von ihrem Wert Fo (T ) im undeformierten Zustand als eine Entwicklung in Potenzen der uik darzustellen: Linearer Term - G¨ abe es einen in uik linearen ∂F Term, so dass ∂uik 6= 0 im Grenzfall uik → 0 T die Folge w¨ are, dann gilt im undeformierten K¨orper σik 6= 0. Dies macht keinen Sinn, und daher m¨ ussen lineare Beitr¨ age verschwinden. Quadratischer Term - F ist eine skalare Funktion. D. h. die Terme in der Entwicklung m¨ ussen ebenfalls Skalare sein. Aus dem symmetrischen Tensor 2ter Stufe uik lassen sich zwei unabh¨angige Skalare konstruieren. Dies ist einmal die Spur uii und außerdem die Summe der Quadrate der Komponenten u2ik 10 . Bis einschließlich dem quadratischen Term gilt daher f¨ ur isotrope Medien

F = Fo (T ) +

λ 2 u + µu2ik . 2 ii

(10.24)

Abbildung 10.4: Links: reine Dilation - Volumen¨anderung ohne Form¨anderung; Rechts: reine Scherung - Form¨anderung ohne Volumen¨anderung.

F = Fo +

σik uik . 2

(10.26)

Es ist m¨oglich und sinnvoll die freie Energie in eine Form zu bringen, in der λ2 u2ii + µu2ik zerlegt wird in eine Summe, in der der erste Term einer reinen Scherung und der zweiten Term einer reinen Dilatation entspricht. Scherung bedeutet, dass es bei der Deformation keine Volumen¨anderung gibt, w¨ahrend Dilatation bedeutet, dass das Volumen nicht jedoch die Form des K¨orpers sich ¨andert (siehe Abbildung 10.4). Zu diesem Zweck schreiben wir zun¨achst

1 1 λ und µ sind die Lam´e Koeffizienten11 . Neben uik = uik − δik ull + δik ull . (10.27) 3 3 Fo (T ) sind auch die Lam´e Koeffizienten temperatu{z } | rabh¨angig. Sie sind außerdem Materialkonstanten, (∗) d. h., sie h¨ angen von dem betrachteten Material ab. Hier ist die Summe der Diagonalelemente des BeiAufgrund von Gl. (10.24) gilt trags (*) ist gleich Null. Er liefert also keinen Beitrag zur Volumen¨anderung, die durch uii gegeben ∂(F − Fo ) ist (vgl. Gl. (10.8)), und entspricht daher einer reiuik = 2(F − Fo ) , ∂uik nen Scherung. Aus Gl. (10.27) folgt f¨ ur u2ik und mit (10.23) folgt u2ik

10 gilt

nur f¨ ur isotrope K¨ orper 11 Im allgemeinen Fall lautet diese Gleichung

F = Fo (T ) +

λijkl uij ukl . 2

=

2

(...) +

1 δik δik u2 9 | {z } ll =δii =3

2 2 + uik δik ull − δik δik u2ll 3 | {z } 9 | {z } ull 3 | {z }

(10.25)

Die λijkl heißen Elastizit¨ atzmoduln oder auch elastische Konstanten. In anisotropen Medien ist die Zahl der verschiedenen Moduln (maximal 21) und der in der freien Energie auftretenden Terme abh¨ angig von der Symmetrie des Mediums. Eine ausf¨ uhrliche Diskussion hierzu wird in §10 der Referenz [2] pr¨ asentiert.

=0

=

1 (...) + u2ll . 3 2

Damit folgt unmittelbar

10.2. FREIE ENERGIE

1 F = Fo + µ uik − δik ull 3

117

2

1 + κu2ll . (10.28) 2

Den Koeffizienten µ nennt man Schermodul, und 2 κ=λ+ µ 3

(10.29)

ist der Kompressionsmodul. Damit die Stabilit¨at gew¨ahrleistet ist muss µ > 0 und κ > 0 gelten. Ist dies nicht der Fall, dann treten spontane und unbegrenzte Verzerrungen auf, da diese gem¨aß Ungl. (10.17) zu einer Erniedrigung der freien Energie f¨ uhren. Berechnung von σik aus σik =

∂F ∂uik T :

uik

σll δik 1 + 9κ 2µ

=

1 σik − σll δik (10.32) . 3

D. h. der Verzerrungstensor ist eine lineare Funktion des Spannungstensors bzw. die Deformation ist den angreifenden Kr¨aften proportional (hookesches Gesetz 12 ) Bemerkung: Bei einer hydrostatischen 13 Kompression wirkt auf ein Fl¨achenelement die Kraft −δP dAi . Hier ist δP der (kleine) hydrostatische Druck. Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Kompressionskraft aufgrund von δP entgegengesetzt zur Oberfl¨achennormale wirkt. Diese Kraft ausgedr¨ uckt durch den Spannungstensor lautet σik dAk bzw. σik dAk = −δP dAi = −δP δik dAk und daher

Aus Gl. (10.28) folgt

σik = −δP δik .

(10.33)

Es folgt aus (10.31)

dF = κull dull + 2µ (...) d (...) . Mittels (...) δik = 0 erhalten wir

uii = −

1 dF = κull δik + 2µ uik − δik ull duik 3

δP κ

bzw.

1 ∂V 1 =− . V ∂P T κ

Hier ist κ−1 die isotherme Kompressibilit¨at. Elastizit¨atsmodul und poissonsche Zahl:

und

Wir betrachten eine einfache Streckung (bzw. Kompression) eines runden Stabes in z-Richtung 1 σik = κull δik + 2µ uik − δik ull . (10.30) hervorgerufen durch eine Kraft P~ bzw. −P~ auf 3 die Stabenden, wie sie in Abbildung 10.5 illustriert Gl. (10.30) erlaubt σik aus uik im Fall isotroper ist. Die Verzerrung uik soll innerhalb des Stabes fester K¨orper zu bestimmen. konstant sein. Aus der Gleichgewichtsbedingung (10.13) folgt auf dem Stabmantel Verzerrungstensor uik als Funktion von σik :

Es gilt

σll = 3κull

bzw. ull =

1 σll 3κ

und damit

σik bzw.

1 1 = σll δik + 2µ uik − σll δik 3 9κ

(10.31)

σxx nx σyx nx σzx nx

+ σxy ny = 0 + σyy ny = 0 + σzy ny = 0

12 Hooke, Robert, englischer Naturforscher, *Freshwater (Isle of Wight) 18.7. 1635, †London 3.3. 1703; verbesserte zahlreiche physikalische Ger¨ ate (Uhren, Luftpumpe, Mikroskop) und entdeckte 1678 das nach ihm benannte hookesche Gesetz (Elastizit¨ at). Hooke f¨ uhrte den Namen Cellula (Zelle) in die Wissenschaft ein. c http://www.ucmp.berkeley.edu/history/hooke.html 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 13 uberall gleichm¨ aßigen ¨

♥ ¨ KAPITEL 10. GRUNDGLEICHUNGEN DER ELASTIZITATSTHEORIE

118 y

z P

n x z

P

ux(-x1) ux(x1)

uz

ux(x2)

ux(-x2)

∂uz =konst ∂z

uz(z2)

x

uz(z1)

z2

z1

Abbildung 10.6: Querkontraktion des obigen Stabes. Man beachte: uxx (x) = ∂ux (x)/∂x ≈ (ux (x2 ) − ux (x1 ))/(x2 − x1 ) < 0 mit x ≈ x1 ≈ x2 .

z

Abbildung 10.5: Einfache Streckung eines runden Stabes. Man beachte: uzz (z) = ∂uz (z)/∂z ≈ (uz (z2 ) − uz (z1 ))/(z2 − z1 ) mit z ≈ z1 ≈ z2 . 14

. Damit aber sind alle σik = 0 auf dem Mantel. An den Enden dagegen gilt σzz = P .

=

9κµ . 3κ + µ

(10.35)

Die Komponenten uxx und uyy bestimmen die relative Querkontraktion. Abbildung 10.6 illustriert die Querkontraktion in der x-z-Ebene des obigen Stabes. Das negative Verh¨altnis der Querkontraktion zur longitudinalen Dehnung heißt Querkontraktionskoeffizient bzw. poissonsche Zahl:

Aus (10.32) folgt

uxx = uyy

1 =− 3

1 1 − 2µ 3κ

ν=−

P

uxx uzz

(10.36)

mit

bzw.

uzz

1 = 3

1 1 + µ 3κ

ν=

P .

. W¨ahrend die Definitionen (10.34) und (10.36) auch f¨ ur anisotrope Materialien anwendbar sind, gelten die Beziehungen (10.35) und (10.37) nur in isotropen Medien. Aus κ, µ > 0 folgt P uzz

(10.34)

definiert den so genannten E- bzw. Youngs-Modul. D. h. 14 Zur

(10.37)

15

F¨ ur i 6= j gilt uij = 0. Die Beziehung

=

1 3κ − 2µ 2 3κ + µ

Notation: σxx , σxy , etc. ist ¨ aquivalent zu σ11 , σ12 , etc. Das Gleiche gilt f¨ ur uxx etc. D. h. uxx = u11 usw. Man beachte auch, dass beispielsweise δii = 3 aber δ11 = 1 ist.

−1 ≤ ν (κ = 0)

≤ 21 . (µ = 0)

15 Tritt bei der Dehnung des Stabes keine Volumen¨ anderung auf, so gilt gem¨ aß Gl. (10.9) uxx + uyy + uzz = 0. Mit uxx = uyy folgt daraus uxx = − 21 uzz . D. h. in diesem Fall gilt ν = 21 .

10.2. FREIE ENERGIE

119 Quelle: Kuchling, Taschenbuch der Physik

Abbildung 10.7: Prinzipskizze f¨ ur die innere Strktur eines Stabes, der sich unter Zug verdickt. Bemerkung: ν < 0 bedeutet, dass sich der Stab bei Zug verdickt! Dies kommt in der Regel nicht vor, ist aber prinzipiell m¨ oglich. Wie ein solches Material im Prinzip aufgebaut sein k¨ onnte illustriert die Abbildung 10.7. Es ist u ¨blich, und ν statt κ und µ zu verwenden. D. h.

µ=

2 (1 + ν)

und κ =

3 (1 − 2ν)

(10.38)

liefert

F = Fo +

2 (1 + ν)

u2ik +

ν u2 1 − 2ν ll

. (10.39)

Die gezeigten Tabellen enthalten Zahlenwerte f¨ ur den Elastizit¨ atsmodul (hier: E) und die poissonsche Zahl ν (hier: µ) sowie f¨ ur den Schubbzw. Schermodul µ (hier: G) und den Kompressionsmodul κ (hier: K) aus Kuchling, Taschenbuch der Physik. Liste n¨ utzlicher Festk¨ orper:

σik =

1+ν

uik =

Formeln

uik +

f¨ ur

ν ull δik 1 − 2ν

1 ([1 + ν] σik − νσll δik )

isotrope

(10.40)

(10.41)

♥ ¨ KAPITEL 10. GRUNDGLEICHUNGEN DER ELASTIZITATSTHEORIE

120

uzz =

10.3

bzw. explizit

σxx

=

1 [σzz − ν (σxx + σyy )]

(10.50)

uxy =

1+ν σxy

(10.51)

uxz =

1+ν σxz

(10.52)

uyz =

1+ν σyz

(10.53)

Gleichgewichtsbedingungen fu ¨ r isotrope feste Ko ¨rper

(10.42) Einsetzen von (10.40) in (10.12) liefert (1 + ν) (1 − 2ν) ([1 − ν] uxx + ν (uyy + uzz )) ∂ull ν ∂uik + + ρgi = 0 1 + ν ∂xk (1 + ν) (1 − 2ν) ∂xi

σyy = ... ([1 − ν] uyy + ν (uxx + uzz )) (10.43) und mit (10.7)

σzz = ... ([1 − ν] uzz + ν (uxx + uyy ))

∂ 2 ui ∂ 2 uk + 2 (1 + ν) ∂x2k 2 (1 + ν) ∂xk ∂xi

(10.44)

∂ 2 uk ν + ρgi (1 + ν) (1 − 2ν) ∂xi ∂xk ∂ 2 ui ∂ 2 uk − 2ν + 2ν = + 2 (1 + ν) ∂x2k 2 (1 + ν) (1 − 2ν) ∂xi ∂xk +ρgi = 0 . +

σxy =

uxy 1+ν

(10.45)

σxz =

uxz 1+ν

(10.46) D. h.

σyz

uyz = 1+ν

∂ 2 ui 2 (1 + ν) ∂x2k

(10.47)

(10.54)

∂ 2 uk 2 (1 + ν) (1 − 2ν) ∂xi ∂xk +ρgi = 0

+

und

uxx =

uyy =

1 [σxx − ν (σyy + σzz )] 1 [σyy − ν (σxx + σzz )]

(10.48) bzw.

∆~u + (10.49)

1 ~ ~ 2 (1 + ν) ∇ ∇ · ~u = −ρ~g (10.55) |{z} 1 − 2ν (∗)

10.4. BEISPIELE

121 und σzy = 0. D. h. σik = 0 ∀i, k außer σzz ! F¨ ur die obere Querschnittsfl¨ache gilt σxz = 0, σyz = 0 und σzz = 0. Eine L¨osung f¨ ur diese Randbedingungen ist σzz = −ρg (l − z). Alle u ¨brigen σik verschwinden. Aus (10.48) bis (10.53) folgt

z

() 1 0 0

n=

z Fg

z

y

l

n=

() 0 0 1

0

uxx

x

uyy

z

n=

() 0 1 0

uzz

y

uxy = uxz

0

x

ν ρg (l − z) = dito 1 = − ρg (l − z) = uyz = 0 .

=

Mit (10.7) folgt (unter Beachtung von

y

0,

x

∂ux ∂z

Abbildung 10.8: Deformation eines Stabes im Schwerefeld.

+

∂uz ∂x

= 0 und

∂ux ∂x

=

; ux

=

∂uy ∂z

+

∂uz ∂y

∂ux ∂y

+

∂uy ∂x

= 0)

ν ρg (l − z) ν ρg (l − z) x + gx (y, z) | {z } =0

(*: ggf. durch andere Volumenkr¨ afte ersetzen) bei Oberfl¨achenkr¨aften gilt ... = 0, und die Kr¨afte selbst gehen u ¨ber die Randbedingungen ein. Bemerkung: Das Resultat (10.55) wurde auf der Basis der N¨aherung (10.7) gewonenn. Es ist daher selbst eine N¨aherung!

∂uy ∂y

=

; uy

=

ν ρg (l − z) ν ρg (l − z) y + gy (x, z) | {z } =0

10.4

∂uz ∂z

Beispiele

Deformation eines Stabes im Schwerefeld:

; uz

Die Abbildung 10.8 zeigt links einen langen Stab, der auf einer festen Unterlage steht. Dieser Stab wird durch die in −z-Richtung wirkende Schwerkraft deformiert. Wir wollen das resultierende Ver- mit schiebungsfeld ~u(~r) berechnen. Aus den Gleichgewichtsbedingungen (10.11) und (10.12) resultiert hier ∂σxk ∂σyk = =0 ∂xk ∂xk

und

∂σzk = ρg . ∂xk

1 = − ρg (l − z) 1 1 1 2 2 = ρg (l − z) − l + f (x, y) 2 2 1 2 = − ρg l2 − (l − z) + f (x, y) 2

∂ux ν ∂uz =− = ρgx ∂x ∂z

und

∂uz ∂uy ν =− = ρgy Betrachten wir die Seitenfl¨ achen (vgl. Abbildung ∂y ∂z 10.8), so folgen aus σik nk = 0 die Gleichungen σxx = 0, σyx = 0, σzx = 0, σxy = 0, σyy = 0 folgt letztlich

=

♥ ¨ KAPITEL 10. GRUNDGLEICHUNGEN DER ELASTIZITATSTHEORIE

122

R2 R1 P1

P2

Abbildung 10.10: Hohlkugel mit Innenradius R1 und Außenradius R2 . Hohlkugel unter hydrostatischem Druck: << Graphics‘PlotField3D‘ l = 10; n = 0.3; PlotVectorField3D@8Hl - zL x, Hl - zL y, H-l ^ 2 + Hl - zL ^ 2 + n Hx ^ 2 + y ^ 2LL H2 nL<, 8x, -3, 3<, 8y, -3, 3<, 8z, 1, 10<, VectorHeads fi TrueD

Abbildung 10.9: Oben: Verschiebungsfeld eines elastischen Stabes der senkrecht im Schwerefeld aufgestellt ist. Unten: Mathematica-Programm.

uz

1 ν 2 ρg l2 − (l − z) + ρg x2 + y 2 2 2 ρg 2 = − {l2 − (l − z) − ν x2 + y 2 } . 2

Wir betrachten die in Abbildung 10.10 dargestellte Hohlkugel. Der Innendruck der Kugel sei P1 und der Außendruck P2 . Uns interessiert das Verschiebungsfeld ~u(r), das sich infolge dieses Druckunterschiedes ergibt. Offensichtlich ist ~u radialsymmetrisch und nur von r abh¨angig. Wir verwenden daher Kugelkoordinaten, wobei der Ursprung im Zentrum der Kugel liegt. Weiterhin benutzen wir Gl. (10.55) in der Form ~ ∇ ~ · ~u) = 0 (1 − 2ν) ∆~u + ∇(

= −

Abbildung 10.9 zeigt das errechnete Verschiebungsfeld des Stabes. Aufgetragen sind die reduzierten Komponenten: 1 ux ν ρg 1 uy ν ρg 1 uz ν ρg

~ ∇·~ ~ u)− ∇×( ~ ∇×~ ~ u) ≡ ∆~u Mit der Vektoridentit¨at ∇( folgt ~ × (∇ ~ × ~u) + 2(1 − ν)∇( ~ ∇ ~ · ~u) = 0 . (1 − 2ν) ∇

=

(l − z) x

Aus Symmetriegr¨ unden ist ~u = u(r)~n (mit ~n = ~r/r), und es folgt

=

(l − z) y

~ × ~u ∇

= −

1 2 2 {l − (l − z) − ν x2 + y 2 } . 2ν

~ × u(r)~n = ∇ ~ × ~n −~n × = u(r) ∇ | {z } =0

Man beachte, dass diese L¨ osung in der unmittelbaren N¨ ahe der Bodenplatte nicht g¨ ultig ist. Sie gen¨ ugt auch nur f¨ ur x = y = 0 der Bedingung Damit gilt uz (z = 0) = 0. Dies liegt daran, dass wir die nichttrivialen Randbedingungen an der Bodenplatte ~ ∇ ~ · ~u) = 0 ∇( gar nicht ber¨ ucksichtigen 16 . 16 Z.B.

ob Gleiten m¨ oglich ist oder nicht etc.

~ ∇u(r) =0. | {z } du(r) ~ = dr ∇r |{z} ×~n=0 =~ n

~ · ~u = c ≡ 3a . bzw. ∇

~ ~r = ~er ∂/∂r + In Kugelkoordinaten gilt weiter ∇ −1 −1 ~eφ (r sin θ) ∂/∂φ + ~eθ r ∂/∂θ, wobei die ~er =

10.4. BEISPIELE

123

|∂~r/∂r|−1 (∂~r/∂r), ~eφ =... die jeweiligen orthogonalen Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten sind (vgl. Aufgabe 46). Daher liefert die rechte Gleichung

σrr

∂ 1 ∂ 1 ∂ ~er + ~eφ + ~eθ · ∂r r sin θ ∂φ r ∂θ ~er ur + ~eφ uφ + ~eθ uθ = 3a | {z } |{z}

ν urr + (urr + 2uθθ ) 1 − 2ν [(1 − ν) urr + 2νuθθ ] (1 + ν) (1 − 2ν) h 2b (1 − ν) a − 3 (1 + ν) (1 − 2ν) r i b +2ν a + 3 r 2 b . a− (1 − 2ν) (1 + ν) r3 1+ν

= = =

=0

=0

bzw. ∂ 3a = ur + ∂r ∂ 1 ~eφ · ~er ur r sin θ ∂φ | {z }     − sin θ sin φ − sin φ =  cos φ  ·  sin θ cos φ  0 0 | {z } =sin θ

∂ 1 ~eθ · ~er + ur . r ∂θ | {z }     cos θ cos φ cos θ cos φ =  cos θ sin φ  ·  cos θ sin φ  − sin θ − sin θ | {z } =1

=

Die Randbedingungen lauten gem¨aß Gl. (10.13)

= −P1 = −P2

σrr σrr

bei r = R1 bei r = R2 .

(10.56)

Und damit folgt

a = b

=

P1 R13 − P2 R23 1 − 2ν R23 − R13 R13 R23 (P1 − P2 ) 1 + ν . R23 − R13 2

(10.57)

Wir betrachten zwei Spezialf¨alle:

Damit haben wir 2 ∂ ur + ur = 3a . ∂r r

i) F¨ ur den Fall der d¨ unnen Kugelschale der Dicke h = R2 −R1 << R mit P2 = 0 und P1 = P erhalten wir

¨ Diese DGl hat die L¨ osung ur = ar + rb2 (Uberb pr¨ ufung: a − 2 r3 + 2a + 2 rb3 = 3a). Jetzt fehlen noch die Konstanten. Dazu schreiben wir zun¨achst die Komponenten des Verzerrungstensowie sors auf. Aus Aufgabe 33 haben wir ∂ur 2b =a− 3 ∂r r ur b uφφ = =a+ 3 r r ur b uθθ = =a+ 3 . r r 17 . Die anderen Komponenten verschwinden. Gem¨aß (10.40) gilt urr

=

17 Wiederum wurden diese Formeln auf der Basis des gen¨ aherten Verzerrungstensors (10.7) berechnet.

ur =

σθθ = σφφ =

1 − ν P R2 2h

PR 2h

und σ ¯rr =

(10.58)

P 2

(der Balken bedeutet die u ¨ber die Schalendicke gemittelte Radialspannung). Bemerkung: Interessant ist auch der Fall P1 = P2 = P . Hierf¨ ur gilt a = −P 1−2ν und b = 0. Daher folgt ur = −P 1−2ν r. D. h., ist der Innendruck gleich dem Außendruck so schrumpft die Kugel proportional zu P .

♥ ¨ KAPITEL 10. GRUNDGLEICHUNGEN DER ELASTIZITATSTHEORIE

124

ii) Das unbegrenzte Medium unter hydrostatischer Kompression mit einem kugelf¨ ormigem Hohlraum wird durch R1 = R, R2 = ∞, P1 = 0 und P2 = P (hydrostatischer Druck) beschrieben. Dies entspricht einem blasenf¨ ormigen Defekt im Medium, so wie ihn Abbildung 10.11 zeigt.

z Kompression neutrale Fläche

ζ

h

x

Dehnung R

Abbildung 10.12: Leicht gebogene, d¨ unne Platte. Auf der neutralen Fl¨ache gibt es weder Kompression noch Dehnung. Abbildung 10.11: Kugelf¨ ormige Blase mit Radius R im unendlich ausgedehnten Medium.

ii) Da außerdem zˆ k ~n mit gen¨ ugender Genauigkeit folgt

Hier gilt

σxz = σyz = σzz = 0 . R3 r3 R3 = −P 1 + 3 . 2r

σrr

= −P

σθθ

= σφφ

iii) Aus (10.60) folgt f¨ ur kleine h, dass (10.60) u ¨berall im Inneren der Platte erf¨ ullt ist. Damit folgt mit ∂ui k + ∂u ... uik = 21 ∂x ∂xi k

1−

... aus Gl. (10.46)

D. h. am Rande des Hohlraums sind die oßer als der Druck im σθθ = σφφ = − 32 P gr¨ Unendlichen. Dort reißt das Medium am ehesten!

∂ux ∂z ; ux

Freie Energie einer gebogenen Platte: Wir betrachten eine d¨ unne, leicht gebogene Platte der Dicke h (siehe Abbildung 10.12). Der Verschiebungsvektor der neutralen Fl¨ ache sei

~u

 0  0 = ζ (x, y)

∂uy ∂z ; uy

(10.59)

Wir machen die folgenden vereinfachenden Annahmen: i) Die inneren Spannungen sind wesentlich gr¨oßer als die ¨außeren Kr¨ afte Pi , so dass gem¨ aß Gl. (10.13) mit Pi = 0 folgt σik nk = 0 .

18

∂uz ∂ζ ≈− ∂x ∂x ∂ζ ∼ = −z ∂x

= −

... aus Gl. (10.47)



(0)

(10.60)

∂uz ∂ζ ≈− ∂y ∂y ∼ −z ∂ζ = ∂y = −

... aus Gl. (10.44) uzz ; uz

ν (uxx + uyy ) 1−ν ν z2 ∂2ζ ∂2ζ + 2 . 1 − ν 2 ∂x2 ∂y

= − =

F¨ ur die u ¨brigen Komponenten von uik folgt 18 Integrationskonstante gleich Null, da bei z = 0 gilt u = x uy = 0 (neutrale Fl¨ ache!)

10.4. BEISPIELE

125

∂ux ∂2ζ = −z 2 ∂x ∂x ∂uy ∂2ζ uyy = = −z 2 ∂y ∂y 2 ν ∂2ζ ∂ ζ uzz = z + 1 − ν ∂x2 ∂y 2 2 z ∂ ζ ∂2ζ ∂2ζ uxy = − + = −z 2 ∂y∂x ∂x∂y ∂x∂y 1 ∂ux ∂uz uxz = + ≈ 0 s. o. 2 ∂z ∂x 1 ∂uy ∂uz uyz = + ≈ 0 s. o. 2 ∂z ∂y ν u2ik + 1−2ν Die freie Energie F = Fo + 2(1+ν) u2ll ist damit uxx

F

=

h u2 + u2yy + u2zz + 2u2xy = Fo + 2 (1 + ν) xx ν 2 u + u2yy + u2zz + 1 − 2ν xx i +2uxx uyy + 2uxx uzz + 2uyy uzz h 1−ν u2 + u2yy + u2zz = Fo + 2 (1 + ν) 1 − 2ν xx +2u2xy i 2ν + (uxx uyy + uxx uzz + uyy uzz ) 1 − 2ν h 1−ν z2 = Fo + 2 (1 + ν) 1 − 2ν n ∂ 2 ζ 2 ∂ 2 ζ 2 + ∂x2 ∂y 2 2 o ν2 ∂2ζ ∂2ζ + + 2 2 ∂x2 ∂y (1 − ν) 2 2 ∂ ζ 2ν +2z 2 + z2 ∂x∂y 1 − 2ν 2 h ∂2ζ ∂2ζ ∂2ζ ∂2ζ ν ii − + . ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 2 1−ν

Die Zusammenfassung dieses Ausdrucks sowie die Integration u ¨ber das Plattenvolumen liefert die elastische freie Energie der gesamten Platte:

FP l

h ∂ 2 ζ 2 ∂ 2 ζ ∂ 2 ζ ii +2 (1 − ν) − 2 2 . ∂x∂y ∂x ∂y

h3 = 24 (1 − ν 2 )

Z dxdy

h ∂2ζ

∂2ζ + ∂x2 ∂y 2

2 (10.61)

Man beachte, dass der zweite Term durch zweifache partielle Integration zum Verschwinden gebracht werden kann, falls die Oberfl¨achenbeitr¨age verschwinden (z. B. ζ = 0 am Rand der Platte). Ein spezielles Beispiel - Biegeinstabilit¨at: Die Abbildung 10.13 zeigt eine d¨ unne Platte, die einer Kraft T ausgesetzt ist. Die Frage lautet: Wie groß ist die kritische Kraft Tkrit , bei der die Platte einknickt? T

x

L

z y x d!

dx

ds

Abbildung 10.13: Links oben: D¨ unne Platte unter Belastung. Rechts unten: Skizze zur Biegearbeit Die spezielle Geometrie (inkl. 1 − ν 2 ≈ 1) vereinfacht das Problem. Mit ζ = ζ (x) folgt aus (10.61)

FP l =

h3 24

Z dxdy

∂2ζ ∂x2

2 .

Jetzt berechnen wir die Arbeit wT , die beim Biegen verrichtet wird (vgl. die Skizze in Abbildung 10.13). Mit q 2 dx2 + (dζ (x)) − dx ! 2 1 ∂ζ (x) ∼ −1 = dx 1 + 2 ∂x

ds − dx =

126

♥ ¨ KAPITEL 10. GRUNDGLEICHUNGEN DER ELASTIZITATSTHEORIE

gilt

Fall (i = 1) sind die untere und die obere Kante der Platte fest eingeklemmt, w¨ahrend im Fall (i = 1/2) dies nicht so ist. Wir schreiben daher q = 2π/λ, wobei λ die Wellenl¨ange der Biegeinstabilit¨at ist. Im Fall (i = 1) gilt λ = L. Im Fall (i = 1/2) dagegen gilt λ = 2L. F¨ ur beide F¨alle zusammen k¨ onnen wir also schreiben: qmin = 2πi/L. Einsetzen in die obigen Gleichung f¨ ur σkrit liefert

wT

1 T 2

=

Z dx

∂ζ ∂x

2

1 = σ 2

Z dV V

∂ζ ∂x

2 .

Hier ist V das Plattenvolumen, und σ ist die Spannung definiert durch T /Plattenrand. Gem¨aß der thermodynamischen Beziehung (10.16), die aus der Kombination der beiden ersten Haupts¨atze folgt, ergibt sich im Fall dw 6= 0 die Gleichgewichtsbedingung = δζ (FP l − wT ) 2 2 # Z " σ ∂ζ 2 ∂2ζ − dV . z = δζ 2 ∂x2 2 ∂x

0

Anmerkung: 1 δζ 2

Z "

1 h

I

R h/2 −h/2

∂2ζ ∂x2

z 2 dz =

2

−σ

1 2 12 h

∂ζ ∂x

≡ I. D. h.

2 #

i=1

i=1/2

Abbildung 10.14: Randbedingungen f¨ ur die gebogene Platte: fest eingespannt (i = 1) bzw. nicht eingespannt (i = 1/2).

dxdy = 0 (10.62) .

Die Variation ergibt Z h

∂2ζ ∂2 δζ 2 ∂x ∂x2 i ∂ζ ∂ −σ δζ dxdy = 0 . ∂x ∂x

I

σkrit = I

4π 2 i2 . L2

Man beachte: σkrit ∝ L−2 . D. h. Platten mit großem L knicken sehr viel leichter ein, so wie wir es Die partielle Integration mit δζ (x) = 0 bei ±L/2 schon aus Erfahrung wissen. In der englischsprachigen Literatur ist dieser Typ der elastischen Instaergibt bilit¨at ¨ofters als Euler buckling beschrieben. Interessant ist nat¨ urlich auch die elastische Instabilit¨at ∂4ζ ∂2ζ von St¨aben bzw. S¨aulen. Im Prinzip erh¨alt man I 4 + σ 2 = 0 . dort ein ¨ahnliches Resultat 19 . ∂x ∂x In einer Aufgabe werden wir (n¨aherungsweise) Zur L¨ osung machen wir den Ansatz ζ (x) = untersuchen, was mit einer Platte passiert, die in ζ0 sin (qx) und erhalten ein elastisches Medium eingebettet ist. Wenn das Medium ausreichend steif ist, dann entspricht qmin 2 Iq 4 − σq 2 = 0 bzw. σkrit = Iqmin . nicht l¨anger dem gr¨oßten λ (so wie oben), sondern die Biegeinstabilit¨at wird mehreren bzw. vieOffensichtlich entspricht q = 0 der ungebogenen len Wellenl¨angen entsprechen (die instabile Platte Platte. F¨ ur die gebogene Platte dagegen gilt q > 0. sieht aus wie Wellblech). σkrit ist die kleinste Spannung, die notwendig ist, um eine Biegeinstabilit¨ at zu erzeugen. Es sind aber nicht alle Werte f¨ ur qmin m¨ oglich, sondern nur je19 Die beste Quelle, um sich uber derartige Stabilit¨ atspro¨ ne, die die Randbedingungen erf¨ ullen. Zwei Rand- bleme zu informieren, ist das Buch von Timoshenko und bedingungen sind in Abbildung 10.14 illustriert. Im Gere Theory of Elastic Stability.

10.5. ELASTISCHE WELLEN IM ISOTROPEN UNENDLICHEN MEDIUM

10.5

Elastische Wellen im isotropen unendlichen Medium

Gem¨aß Gl. (10.10) gilt

ρ¨ ui =

127

bzw. ∂ 2 uy 1 ∂uy − =0 ∂x2 ct ∂t2 mit der transversalen Ausbreitungsgeschwindigkeit

∂σik , ∂xk

(10.63)

r ct =

. 2ρ (1 + ν)

(10.66)

wobei ρ die Masse pro Volumeneinheit (Dichte) ist. Gleiches gilt f¨ ur f¨ ur uz . Man beachte cctl = Nach Gl. (10.54) git f¨ ur isotrope Medien q q 1−ν → cl > ct 43 mit −1 ≤ ν ≤ 21 . 2 1−2ν Bemerkung: Die Zerlegung einer Welle in zwei ¨ = ∆~u (10.64) ρ~u 2 (1 + ν) unabh¨angige Wellen mit den Geschwindigkeiten ct und cl kann auch im allgemeinen Fall einer belie~ ∇ ~ · ~u) . ∇( + 2 (1 + ν) (1 − 2ν) bigen elastischen Welle im unbegrenzten Medium durchgef¨ uhrt werden (vgl. Referenz [2] §22). Betrachten wir eine ebene Welle in x-Richtung, d. h. ~u = ~u (x, t). Wir erhalten

¨ ρ~u

=

∂2 ~u 2 (1 + ν) ∂x2   2 ∂ ux /∂x2  .  0 + 2 (1 + ν) (1 − 2ν) 0

D. h. ρ¨ ux = 2 (1 + ν)

1 1+ 1 − 2ν

∂ 2 ux ∂x2

bzw. 1 ∂ 2 ux ∂ 2 ux − =0 ∂x2 c2l ∂t2 mit der longitudinalen Ausbreitungsgeschwindigkeit s cl =

(1 − ν) . ρ(1 + ν)(1 − 2ν)

In y-Richtung gilt

ρ¨ uy =

∂2 uy 2 (1 + ν) ∂x2

(10.65)

128

♥ ¨ KAPITEL 10. GRUNDGLEICHUNGEN DER ELASTIZITATSTHEORIE

Anhang A

Formeln und Einheiten = ~c · (~a × ~b) ~a × (~b × ~c) = ~b(~a · ~c) − ~c(~a · ~b) ~ = (~a · ~c)(~b · d) ~ (~a × ~b) · (~c × d) ~ ~b · ~c) −(~a · d)(

Kartesische Einheitsvektoren: e~1 , e~2 , e~3 ; e~i · e~j = δij mit δ11 = δ22 = δ33 = 1 und δ12 = δ21 = δ13 = δ31 = δ23 = δ32 = 0 aber δii = 3 ! Skalarprodukt: ~a · ~b = ai e~i · bj e~j = ai bj δij = ai bi

~ × (∇ϕ) ~ ∇ = 0 ~ ~ ∇ · (∇ × ~a) = 0 ~ ~ × ~a) = ∇( ~ ∇ ~ · ~a) − ∇ ~ 2~a ∇ × (∇ ~ · (ϕ~a) = ~a · ∇ϕ ~ + ϕ∇ ~ · ~a ∇

Vektorprodukt: e~1 ~a × ~b = a1 b1

e~2 a2 b2

e~3 a3 b3

 a2 b3 =  a3 b1 a1 b2

 − a3 b2 − a1 b3  − a2 b1

~ × (ϕ~a) = ∇ϕ ~ × ~a + ϕ∇ ~ × ~a ∇ ~ a · ~b) = (~a · ∇) ~ ~b ∇(~ ~ a +(~b · ∇)~

e~j × e~k ≡ e~i ijk

ijk

~ × ~b) +~a × (∇ ~ × ~a) +~b × (∇

  123 = 231 = 312 = 1 132 = 213 = 321 = −1 =  0 sonst

~ · (~a × ~b) ∇ ~ × (~a × ~b) ∇

ijk ist in allen Indizes antisymmetrisch.

~ × ~a) = ~b · (∇ ~ × ~b) −~a · (∇ ~ · ~b) = ~a(∇ ~ · ~a) −~b(∇ ~ a +(~b · ∇)~ ~ ~b −(~a · ∇)

~a × ~b = aj bk e~j × e~k = ~ei ijk aj bk N¨ utzlich:

Laplace Operator in Zylinderkoordinaten: ~ 2ϕ = 1 ∂ ∇ ρ ∂ρ

ijk kmn = δim δjn − δin δjm Vektoridentit¨ aten: (α~a) × ~b

= ~a × (α~b) = α(~a × ~b) ~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a)

ρ

∂ϕ ∂ρ

+

1 ∂2ψ ∂2ϕ + ρ2 ∂φ2 ∂z 2

Laplace Operator in Kugelkoordinaten: ~ 2ϕ ∇

129

=

1 ∂ r2 ∂r

r

2 ∂ϕ

∂r 1 ∂2ϕ + 2 2 r sin θ ∂φ2

1 ∂ + 2 r sin θ ∂θ

∂ϕ sin θ ∂θ

130

ANHANG A. FORMELN UND EINHEITEN

Taylorentwicklung: ~ ~r ) ϕ (~r) ϕ (~ro + δ~r) = ϕ (~ro ) + (δ~r · ∇ ~ ro 1 ~ ~r )(δ~r · ∇ ~ ~r ) ϕ (~r) + ... + (δ~r · ∇ 2 ~ ro Gaußscher Satz: Integralsatz von Gauß - Es sei ∂V eine geschlossene Fl¨ache, die das Volumen V begrenzt. Dann gilt Z

~ · AdV ~ ∇ =

V

I

~ · df~ . A

∂V

Das gerichtete Fl¨ achenelement df~ zeigt dabei nach außen 1 . In der englischsprachigen Literatur wird dieser Satz auch als divergence theorem oder Green’s theorem in space genannt. Einheiten: L¨ange Zeit Masse Kraft Arbeit, Energie Druck elastische Module

m s kg N = kgms−2 J = Nm P a = N m−2 N m−2

Konstanten (MKS): Lichtgeschwindigkeit

c = 2.99792458 ms−1

atomare Masseneinheit

ma = 1.66055 · 10−27 kg

Gravitationskonstante

G = 6.673 · 10−11 N m2 kg −2

Masse der Erde

mE = 5.977 · 1024 kg

Radius der Erde

rE = 6.37 · 106 m

Fallbeschleunigung

g = 9.80665 ms−2

Boltzmann Konstante

kB = 1.380658 JK −1

1 Beweis siebe z. B. M. R. Spiegel (1971) Advanced Mathematics. Schaum’s outline series. McGraw-Hill

Anhang B

¨ Ubungsaufgaben Aufgabe 1: Vektoren auf dem Gitter Die kartesischen Basisvektoren eines zweidimensionalen Gitters seien  1 ~a1 = a  0  0 

~a · ~b = |~a||~b| cos(~a, ~b) ~ = (~a · ~c)(~b · d) ~ − (~a · d)( ~ ~b · ~c) (~a × ~b) · (~c × d) |~a × ~b| = |~a||~b|| sin(~a, ~b)|

 √1/2 und ~a2 = a  3/2  , 0 

(b) Zeigen Sie ~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~b). Dr¨ ucken Sie dieses Dreifachprodukt durch Vektorkomponenten aus und zeigen Sie, dass man wobei a die so genannte Gitterkonstante ist. es als Determinante schreiben kann. Was passiert, wenn zwei der Vektoren parallel sind, und (a) Berechnen Sie die Fl¨ ache der durch die was ist die geometrische Bedeutung des Ausdrucks. beiden Vektoren aufgespannten Raute. Aufgabe 3: Weg-, Fl¨achen- und Volumenelemente (b) Zeichnen Sie das durch die Vektoren aufgespannte Gitter. D. h. zeichnen Sie die Gitterpunkte, (a) In kartesischen Koordinaten lautet das die durch die Vektoren i~a1 + j~a2 , wobei i und j Quadrat des Wegelements ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 . ganze Zahlen sind, definiert sind. Leiten Sie die entsprechenden Ausdr¨ ucke f¨ ur ds2 in Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten her. (c) Berechnen Sie den Abstand der ersten, zweiten und dritten Nachbarn des durch die Formeln (b) Rechnen Sie das kartesische Fl¨achenelement ~b1 = 2π ~a2 × ~e3 ~a1 · (~a2 × ~e3 )

dxdy mithilfe der in der Vorlesung abgeleiteten Formel in Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten ~ e × ~ a 3 1 und ~b2 = 2π . um. ~a1 · (~a2 × ~e3 )

ur das Volumendefinierten Gitters in Einheiten von 1/a. Hier ist (c) Wiederholen Sie Teil (b) f¨ ~e3 ein Einheitsvektor in die Richtung senkrecht element dxdydz. zur Ebene, die durch ~a1 und ~a2 festgelegt wird. Aufgabe 4: Kraft – Zwei Zentren Aufgabe 2: Produkte von Vektoren Das so genannte Lennard-Jones Potenzial Skalar- und Vektorprodukt zweier Vektoren ~a und u(rij ) = 4 (σ/rij )12 − (σ/rij )6 ist ein einfaches ~b sind gegeben durch ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 Modell der Wechselwirkungsenergie zweier Edelbzw. ~a × ~b = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ). gasatome i und j an den Orten ~ri bzw. ~rj . Dabei gilt rij = |~ri −~rj |. Die Gr¨oßen und σ sind positive Konstanten. In dieser Vorlesung werden wir lernen, (a) Zeigen Sie 131

¨ ANHANG B. UBUNGSAUFGABEN

132

dass die Kraft F~i , die Atom i durch Atom j erf¨ahrt f¨ ur große n durch Ez = nDo /4 gegeben ist. d d d ~ ~ Vergleichen Sie dies mit der Bindungsenergie der durch Fi = −∇~ri u(rij ) = − dxi , dyi , dzi u(rij ) R rz einzelnen Bindung. Hinweis: E = −n F (r)dr, z ro gegeben ist. wobei F (r) = −duMorse (r)/dr ist, und rz folgt aus Fz = F (rz ). (a) Berechnen Sie F~i . Benutzen Sie Ihren Ausdruck f¨ ur Fz aus (b) Skizzieren Sie sowohl u(rij )/ als auch σ F~i / (c) 2 Teil (a), um die Zerreißkraft eines 1mm starken in Richtung von ~rij als Funktionen von rij /σ. Kevlarfadens abzusch¨atzen. Nehmen Sie an, dass die angegebene Querschnittsfl¨ache ca. 5 · 1012 Aufgabe 5: Kraft – Drei Zentren zu zerreißende C-C Bindungen enth¨alt, f¨ ur die Do ≈ 3.6eV und a ≈ 1.95˚ A−1 sein soll.

i

j rik

Aufgabe 7: Valenzwinkelpotenzial

rjk

Drei Massenpunkte i, j und k besitzen das folgende (harmonische) Wechselwirkungspotenzial (vgl. Skizze):

k Es seien i, j und k drei Massenpunkte. Die Massenpunkte i und k im Abstand rik sowie j und k im Abstand rjk seien mit harmonischen Federn (Kraftkonstante k; Gleichgewichtsfederl¨ange bo ) verbunden. Stellen Sie zun¨ achst die gesamte potenzielle Energie des Systems auf. Berechnen Sie anschließend die Kr¨ afte F~i , F~j und F~k , die auf jeden einzelnen der Massenpunkte einwirken. Nutzen Sie dabei relevante Symmetrien bzw. Erhaltungss¨ atze aus.

u(φ) =

kφ (φ − φo )2 2

i

j rik

!

rjk

k

Aufgabe 6: Zerreißen kovalenter Bindungen

(a) Die L¨angen rik und rjk sowie die Gr¨oßen k φ und φo sind konstant, nur der Winkel φ ist variabel. Ein Modellpotenzial f¨ ur kovalente Bindungen in Zeigen Sie, dass die Kraft F~ φ auf Massenpunkt i als i Molek¨ ulen ist das Morse-Potenzial h

−a(r−ro )

uMorse (r) = Do 1 − e

i2

,

~rik × (~rik × ~rjk ) F~iφ = −k φ (φ − φo ) 2 r × ~ rik ~ik rjk

(B.1)

wobei Do die Tiefe des Potenzialtopfes ist, ro ist die Position des Minimums und a ist eine Konstante (Skizzieren Sie das Morse- Potenzial!).

geschrieben werden kann.

(a) Leiten Sie einen Ausdruck f¨ ur die Kraft Fz her, die aufgewandt werden muss, um eine lineare Kette aus n gleichen Bindungen zu zerreißen, wenn das Bindungspotenzial das Morse-Potenzial ist. Die Kraft soll an den Kettenenden angreifen.

Hinweise: Gehen Sie von δu = k φ (φ − φo )δφ ~ r aus, und verwenden Sie cos φ = ~rrik · rjk . Die ik jk 2 2 2 2 beiden Regeln (~a × ~b) = a b − (~a · ~b) und ~a × (~b ×~c) = ~b(~a ·~c) −~c(~a ·~b) sind ebenfalls n¨ utzlich.

(b)

Geben Sie auch F~jφ sowie F~kφ an.

(b) Zeigen Sie, dass die Energie (oder Zerreißar- Aufgabe 8: Galileiinvarianz beit) Ez , die n¨ otig ist, um die Kette zu zerreißen,

133 Zeigen Sie, dass die newtonsche Bewegungsgleichung des eindimensionalen harmonischen Oszillators

m

d d2 x0 = − 0 u0 (x0 ) dt02 dx

(b) Machen Sie die Annahmen ρ = l + δρ und φ = δφ, wobei δρ und δφ kleine Gr¨oßen sein sollen. Setzen Sie diese Gleichungen in die Bewegungsgleichungen aus Teil (a) ein und vernachl¨assigen Sie alle Terme, die nicht linear in den kleinen Gr¨oßen sind. Sie erhalten entkoppelte Bewegungsgleichungen f¨ ur δρ und δφ.

k 0 (x − x0o )2 2

(c) L¨osen Sie die Bewegungsgleichungen f¨ ur δρ und δφ.

mit

u0 (x0 ) =

invariant unter Galilei Transformationen (t0 = t und x0 = x − wt) sind, falls w = konstant gilt.

Aufgabe 11: Variation mit Nebenbedingungen

Aufgabe 9: Schiefer Wurf aus beliebiger H¨ ohe

Welche ebene Kurve y(x) (siehe Skizze)

Eine Kugel (Massenpunkt) wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v unter dem Winkel α zur x-Achse abgestoßen. Die Abstoßh¨ ohe sei h. Unter welchem Winkel α erreicht man die maximale Weite? Aufgabe 10: Federpendel (Newton) Wir betrachten das ebene Pendel im Schwerefeld in Polarkoordinaten (ρ, φ).

y(x)

!A

A

x1

x2 x

begrenzt bei gegebener L¨ange l die gr¨oßtm¨ogliche Fl¨ache A? D. h. Z

x2

y(x)dx = Maximum x1

unter der Nebenbedingung, dass die L¨ange l der Kurve fest ist:

! Fg

Z

"

ds = l . ∂A

Stellen Sie die entsprechende eulersche Gleichung mit Nebenbedingung auf. √ Zeigen Sie, dass die Kreisgleichung y(x) = r2 − x2 diese Differenziullt. Welchen Wert hat dabei der Als zus¨atzliche Besonderheit ist die Pendell¨ange algleichung erf¨ ver¨anderlich. D. h. die Pendelstange ist eine Feder Lagrange Parameter? mit der potenziellen Energie 12 k(ρ − l)2 , wobei k die Federkonstante und l die Gleichgewichtsl¨ange Aufgabe 12: Schiefe Ebene ist. Auf einer schiefen Ebene gleitet ein Massenpunkt (a) Skizzieren Sie das Federpendel inklusive der ab (Skizze). Stellen Sie wieder die Lagrange Funktiauf die Masse wirkenden Kr¨ afte. Ausgehend von on auf, und beschreiben Sie die Ebene als Zwangsder allgemeinen newtonschen Bewegungsgleichung bedingung in den Koordinaten x und y. Wiederum f¨ ur den Ortsvektor der Masse stellen Sie die beiden mit der Methode der lagrangeschen Multiplikatoren Bewegungsgleichungen f¨ ur ρ und φ auf. Hinweis: berechnen Sie die Bewegungsgleichungen des MasFolgen Sie unserer Vorgehensweise im Fall des senpunktes, und geben Sie deren L¨osungen x(t) und starren Pendels aus der Vorlesung. y(t) an.

m

¨ ANHANG B. UBUNGSAUFGABEN

134 y

glied s. Fg

a !

C1 x

us+ 1 vs+ 1

C2

s- 1

s

s+ 1

!

Aufgabe 13: Federpendel (Lagrange) Wir betrachten nochmals das Federpendel aus der Aufgabe 10. 0

1

ka "

(a) Geben Sie die Ausdr¨ ucke f¨ ur die kinetische Leiten Sie die Bewegungsgleichungen f¨ ur us und und die potenzielle Energie des Pendels an. Bev her und setzen Sie den folgenden Ansatz ein: s achten Sie, dass sie den Energienullpunkt beliebig w¨ahlen k¨ onnen. Schreiben Sie den resultierenden Ausdruck f¨ ur die Lagrange Funktion L hin. us = uei(sak−ωt) vs = vei(sak−ωt) . (b) Aus den entsprechenden Lagrange Gleichungen leiten Sie die Bewegungsgleichungen f¨ ur ρ und φ ab. Geben Sie diese Bewegungsgleichungen zus¨atzlich in dimensionsloser Form an, indem Sie p l als die Einheit der L¨ ange und τp = l/g als l Einheit der Zeit einf¨ uhren (τm = m/k ist eine zweite typische Zeit!). (c) Gehen Sie zum starren Pendel u ¨ber, indem Sie die Zwangsbedingung ρ = l einf¨ uhren. Mit der Methode der lagrangeschen Multiplikatoren geben Sie die resultierenden Bewegungsgleichungen an, und schreiben Sie außerdem den Ausdruck f¨ ur den ¨ Lagrange Multiplikator λ hin (Ubrigens, λ hat hier die Bedeutung einer Kraft, und zwar ist dies die so genannte Zwangskraft, die das Pendel zum starren Pendel macht!). L¨ osen Sie die Bewegungsgleichung f¨ ur φ f¨ ur kleine Auslenkungen (sin φ ≈ φ). Warum erhalten Sie kein befriedigendes Ergebnis, wenn Sie in das Ergebnis des Teils b) direkt ρ = l einsetzen? Aufgabe 14: Lineare Kette (Newton) Wir betrachten die unendliche, eindimensionale Kette in der Abbildung (oben). Die Kette besteht aus identischen Gliedern der L¨ ange a. Die schwarzen Punkte sind identische Massen M , die durch Federn mit den Kraftkonstanten C1 und C2 verbunden sind. us und vs sind die Auslenkungen der jeweiligen Massen aus ihrer Ruhelage im Ketten-

Dies sind komplexe Wellen mit k = 2π/λ und ω = 2πν. Dabei ist λ die Wellenl¨ange der longitudinalen Wellen und ν ist deren Frequenz. u und v sind die jeweiligen Amplituden. Zeigen Sie, dass Sie mit dem obigen Ansatz zwei L¨osungen f¨ ur ω 2 , d. h. ω 2 = ω 2 (k), erhalten und geben Sie diese so genannten Dispersionsrelationen, die in der Abbildung (unten) skizziert sind, an. Aufgabe 15: Lineare Kette (Lagrange) Wir betrachten nochmals die unendliche, eindimensionale Kette aus der vorherigen Aufgabe. (a) Stellen Sie die Lagrange Funktion der Kette auf, leiten Sie daraus die Bewegungsgleichungen f¨ ur us und vs her und setzen Sie wieder den Ansatz us = uei(sak−ωt)

vs = vei(sak−ωt) .

ein. Zeigen Sie, dass Sie mit dem obigen Ansatz zwei L¨osungen f¨ ur ω 2 , d. h. ω 2 = ω 2 (k), erhalten und geben Sie diese an. (b) Zeigen Sie, dass Sie die in der Abbildung in Aufgabe 14 gezeigten so genannten Dispersionsrelationen erhalten, wenn Sie ω = ω(k) f¨ ur die beiden F¨alle skizzieren. Betrachten Sie dazu das Verhalten der ω = ω(k) in den Grenzf¨allen

135 großer Wellenl¨angen (k → 0) und kleinstm¨oglicher Wellenl¨angen (k = π/a) (warum ist dies die keinstm¨ogliche Wellenl¨ ange?), und geben Sie die Formeln f¨ ur ω an, die zu den jeweiligen Graphen bei 0 und 1 geh¨ oren. Anmerkung: Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen durch c = νλ = ω/k gegeben ist (Phasengeschwindigkeit), bedeutet Ihr Ergebnis, dass es auf der Kette augenscheinlich zwei Wellentypen gibt, die sich bei gleichem k mit unterschiedlicher Geschwindigkeit ausbreiten. Außerdem gibt es Frequenzen, die sich weder mit dem einen noch mit dem anderen Wellentyp realisieren lassen. Aufgabe 16: Ebenes Doppelpendel Die Abbildung zeigt ein ebenes Doppelpendel mit masselosen Stangen konstanter L¨ ange l, Pendelmassen m1 und m2 sowie den Auslenkwinkeln φ1 und φ2 relativ zur y-Achse.

x φ1

F

Aufgabe 17: Oszillator (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p(x)δx daf¨ ur, den harmonischen, eindimensionalen Oszillator in einem Auslenkungsintervall der L¨ange δx um die Auslenkung x anzutreffen. Tragen Sie p(x) im Intervall (−a, a) auf, wobei a die Amplitude ist. (b) Berechnen Sie eine N¨aherungsl¨osung f¨ ur den anharmonischen Oszillator gegeben durch

l

m1 g

(c) L¨osen Sie die Bewegungsgleichungen der Winkel im Grenzfall kleiner Auslenkung. Berechnen Sie die Eigenfrequenzen des Systems sowie die Amplitudenverh¨altnisse (Verh¨altnisse der maximalen Auslenkwinkel der beiden Massen). Skizzieren Sie die beiden Schwingungsarten des Doppelpendels. Hinweise: Zun¨achst entwickeln Sie die in den exakten Bewegungsgleichungen auftretenden Winkelfunktionen und vernachl¨assigen alle quadratischen bzw. h¨oheren Beitr¨age. Zus¨atzlich vernachl¨assigen Sie Terme der Art φi φ˙ 2j (i, j = 1, 2) (Begr¨ undung?). Das resultierende gekoppelte System l¨osen Sie analog zur Vorgehensweise im Fall der linearen Kette (Aufgaben 14 und 15).

φ2

x ¨ + ωo2 x + λx2 = 0 . l

Betrachten Sie die Gr¨oße λ als klein, arbeiten Sie mit dem Ansatz x(t) = A cos(ωo t + δ) + λx1 (t), und berechnen Sie x1 (t), indem Sie nur Tery me linear in λ ber¨ ucksichtigen. Hinweise: (i) 2 cos2 (z) = 1 + cos(2z); (ii) L¨osungs(a) Fertigen Sie zun¨ achst eine Skizze an, in die ansatz f¨ ur inhomogene Differenzialgleichung Sie alle relevanten Kr¨ afte einzeichnen. Erhalten x1,i (t) = C + D cos(2ωo t + δ 0 ). Sie dann die Bewegungsgleichungen der Winkel mittels der newtonschen Bewegungsgleichungen Aufgabe 18: Normalmodenanalyse angewandt auf jede Masse. Hinweis: Erweitern Sie die Vorgehensweise im Fall des mathematischen (a) Bei der Umformung der potenziellen EnerPendels aus der Vorlesung. Sie erhalten vier gie eines Systems aus N Massenpunkten auf NorGleichungen, aus denen Sie die zwei Fadenspan- malkoordinaten haben wir einen Schritt noch nicht nungen eliminieren k¨ onnen. Beachten Sie außerdem durchgef¨ uhrt. Zeigen Sie die G¨ ultigkeit von sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 = cos(φ1 − φ2 ) sowie sin φ1 cos φ2 − cos φ1 sin φ2 = sin(φ1 − φ2 ). ~ T · LT · (M−1/2 )T · F · M−1/2 · L · Q ~ Q (b) Erhalten Sie die gleichen Bewegungsglei3N X chungen der Winkel mittels der Lagrange Funktion = λα Q2α des Doppelpendels. α=1 m2

¨ ANHANG B. UBUNGSAUFGABEN

136 ausgehend von Eigenwertgleichung der ~ α = λα L ~ α . Hier ist (M−1/2 )T · F · M−1/2 · L ~ Lα der αte Spaltenvektor von L. Außerdem gilt LT · L = I, wobei I die Einheitsmatrix ist.

in der Vorlesung die folgende Transformationsgleichung f¨ ur die Geschwindigkeiten eines Teilchens innerhalb seines jeweiligen Inertialsystems hergeleitet:

~ α bzw. i (b) Beweisen Sie die Orthogonalit¨ at der L 1 (~v · w) ~ w ~ 1 h ~v 0 T − w ~ . + 1 − ~ v = zeigen Sie L · L = I unter der Annahme λα 6= λβ ~ v γ (w) γ (w) w2 1 − w·~ 2 c f¨ ur α 6= β. Zeigen Sie, dass die Umkehrung dieser TransformaAufgabe 19: Einf¨ uhrung in Mathematica tionsgleichung durch (a) Reproduzieren Sie die Mathematica Rechnung des Beispiels zur Normalmodenanalyse (Wasser), und u ufen Sie die angegebenen ¨berpr¨ Formeln f¨ ur die λi . (b) In Aufgabe 17 (b) hatten Sie eine N¨aherungsl¨osung des anharmonischen Oszillators berechnet: x(t) ≈ A(1 + λ) cos(ωo t + δ) 2 λ A 1 + sin2 (ωo t + δ) . − 3 ωo L¨osen Sie die Differenzialgleichung x ¨ + ωo2 x + λx2 = 0 jetzt numerisch exakt mit Mathematica, und erzeugen Sie einen Graphen, der f¨ ur λ = 0.3, A = ωo = 1 und δ = 0 im Intervall 0 ≤ t ≤ π die N¨aherungsl¨osung, die numerisch exakte L¨ osung sowie die L¨osung des harmonischen Oszillators (λ = 0) zusammen darstellt. Alle drei Kurven sollten bei t = 0 auf Eins normiert sein, und es sollte x(t ˙ = 0) = 0 gelten. Ihr endg¨ ultiger Graph sollte außerdem sinnvoll beschriftet sein! Hinweise: Ein m¨ oglicher numerischer Algorithmus folgt aus der Addition der beiden Taylorentwicklungen x(t ± δt) = x(t) ± x(t)δt ˙ + 12 x ¨(t)δt2 +O(δt3 ). D. h. x(t + δt) = −x(t − δt) + 2x(t) + x ¨(t)δt2 + O(δt4 ) .

~vk =

~ ~vk0 + w 1+

w· ~ v~0 c2

und ~v⊥ =

0 1 ~v⊥ ~ v~0 γ(w) 1 + w· 2 c

gegeben ist, wobei sich k bzw. ⊥ auf die Richtung von w ~ beziehen. Aufgabe 21: Invarianz von ds Zeigen Sie durch explizites Einsetzen der Lorentz Transformation (~r · w) ~ w ~ = ~r + (γ (w) − 1) − γ (w) wt ~ 2 w w ~ · ~r t0 = γ (w) t − 2 c p die Invarianz von ds = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 . ~r0

Aufgabe 22: Ellipsengleichung (a) Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, deren Abst¨ande von den beiden Brennpunkten eine konstante Summe haben. Leiten Sie aus dieser Bedingung die Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten ab. (b) Legen Sie den linken Brennpunkt in den Ursprung und rechnen Sie die oben gewonnene Ellipsengleichung in ebene Polarkoordinaten um.

Gehen Sie von x(−δt) = x(0) = 1 aus und verwenden sie ein vern¨ unftiges δt. Es d¨ urfen auch andere algebraische Computerprogramme wie Maple etc. Aufgabe 23: Kepler-Kreisbahn verwendet werden! F¨ ur ein Teilchen der Masse µ auf einer KeplerKreisbahn, d. h. U (~r) = −α/r mit α > 0 und Aufgabe 20: Geschwindigkeitsadditionstheorem r = R, berechnen Sie die mittlere kinetische EnerR 1 T ¯ Inertialsystem K 0 bewegt sich relativ zu Inertial- gie, K = T 0 RKdt, und die mittlere potenzielle ¯ = 1 T U dt, wobei T die Periodendauer system K mit der Geschwindigkeit w. ~ Wir hatten Energie, U T 0

137 ist, jeweils ausgedr¨ uckt durch die Gesamtenergie E. hervor. Hier ist C eine Konstante proportional zur Gravitationskonstante und zur Staubdichte, und ~r ist der Radiusvektor von der Sonne zur Erde. Aufgabe 24: Virialtheorem Die Kraft f¨ uhrt zu einer kleinen Ver¨anderung δU F¨ ur ein Teilchen der Masse µ auf einer Kepler- des Kepler-Potenzials U (r) = −α/r. Die Bahn der Ellipsenbahn berechnen Sie die mittlere kinetische Erde ist dadurch keine geschlossene Ellipse mehr, R ¯ = 1 T Kdt, und die mittlere po- sondern eine Rosettenbahn. Berechnen Sie die Energie, K T 0 ˙ R ¯ = 1 T U dt, wobei T die Pr¨azessionsfrequenz ω = φ der Drehung der großen tenziellen Energie, U T 0 ¯ gehen Hauptachse der Erdellipse in niedrigster N¨aherung Periodendauer ist. Zur Berechnung von K in C. Hinweis: Aufgaben zu Kapitel III im Mechad Sie von der Mittelung u (~r · p~) aus. Dies f¨ uhrt ¨ber dt nik-Band des Landau/Lifschitz. Bemerkung: Diese ¯ = −~r · F~ ). Aufgabe ist die doppelte Punktzahl wert. Weitere auf das so genannte Virialtheorem (2K f¨ unf Sonderpunkte gibt es f¨ ur eine Erkl¨arung des Aufgabe 25: Bahnkurve f¨ ur U = αr2 ersten Satzes dieser Aufgabe. Bestimmen Sie die Gleichung der Bahnkurve r = r(φ) f¨ ur das Potenzial U = αr2 (α > 0) analog zum Fall des 1/r-Potenzials. Berechnen Sie die Umlaufzeit T f¨ ur den Spezialfall einer Kreisbahn (Hinweis: Fl¨achensatz verwenden!). Aufgabe 26: Laplace-Runge-Lenz Vektor Im Kepler Problem, U (r) = −α/r, existiert als weiterer erhaltener Vektor der Laplace-Runge-Lenz Vektor definiert gem¨ aß

Aufgabe 28: Unelastischer Stoß Ein Elektron der Masse m und der Anfangsgeschwindigkeit vo trifft in einem unelastischen, zentralen Stoß auf ein ruhendes Atom der Masse M , das dabei in ein um W h¨oheres Energieniveau gehoben wird. Welche Anfangsgeschwindigkeit vo ist dazu mindestens notwendig? Aufgabe 29: Streuung harter Kugeln

Harte Kugeln der Masse m1 und mit dem Radius R1 werden an ruhenden harten Kugeln der ~ = p~ × L ~ − µα~r . Masse m2 mit Radius R2 gestreut. Berechnen Sie A r dσ2 (θ2 ), wobei θ2 der Streuwinkel im Laborsystem ist, sowie den u ¨ber den gesamten Raumwinkel ~ Zeigen Sie ddtA = 0, und berechnen Sie die L¨ange integrierten Streuquerschnitt σ (interpretieren 2 ~ ausgedr¨ von A uckt durch die Exzentrizit¨ at e sowie Sie Ihr Resultat). Berechnen Sie außerdem das ~ relativ zur Bahnellipse. die Richtung von A Verh¨altnis der Laborenergien f¨ ur die Teilchen der Kommentar: Hier bestimmen 3 Ortskompo- Sorte 1, 0 1 (L)/1 (L), in f¨ uhrender Ordnung f¨ ur nenten die Lage des Systems im Schwerpunktsy- kleine θ1 . Hier ist 1 (L) die Energie vor dem Stoß stem. Abz¨ uglich eines Zeitursprungs ergibt dies und 0 1 (L) die Energie danach. 2s − 1 = 2 · 3 − 1 = 5 Bewegungsintegrale. Auf der ~ Aufgabe 30: Prinzip von d’Alembert anderen Seite kennen wir die Erhaltungsgr¨ oßen L, ~ d.h insgesamt 7 ErhaltungsE und jetzt auch A, gr¨oßen. Daher muss es zwei weitere Gleichungen Mithilfe des d’alembertschen Prinzips geben Sie die geben, die diese Zahl auf 5 reduzieren. Diese sind Beschleunigung x ¨(t) f¨ ur das in der Skizze gezeigte die gesuchte Beziehung A = A(e(E, L)) sowie die System (Atwood Maschine) an. Vernachl¨assigen ~ relativ zu L. ~ Orientierung von A Sie die Tr¨agheit der Rollen. Aufgabe 27: Periheldrehung

Aufgabe 31: Tr¨agheitstensor

Eine homogene Staubverteilung im Sonnen- F¨ ur die folgenden Massenverteilungen berechnen system ruft eine zus¨ atzliche Gravitationskraft Sie Haupttr¨agheitsachsen sowie die dazugeh¨orenF~ = −mErde C~r auf die Erde in Richtung Sonne den Tr¨agheitsmomente:

¨ ANHANG B. UBUNGSAUFGABEN

138

liegen. Der Schwerpunkt des Pendels wiederum ~ liege bei R. R2

~ = P ~ri × p~i , (a) Zeigen Sie, ausgehend von L i dass f¨ ur den Drehimpuls bez¨ uglich der (momentanen) Pendel- bzw. Drehachse

! R1

~ =I ·ω L ~ .

x m1

Fg

m2

gilt. Hierbei ist ω ~ die Winkelgeschwindigkeit der Pendelbewegung um die Drehachse und Iist gegeben durch

I = I SP + I S . (a) Ein gleichschenkliges, infinitesimal d¨ unnes Dreieck mit homogener Massendichte (ρ = σδ(z)). Die L¨ange der Schenkel sei a und der von ihnen eingeschlossene Winkel sei α = 45o . Referenzpunkt ist hier der Schwerpunkt.

Der erste Term ist der Tr¨agheitstensor einer Punktmasse M (=Pendelmasse) im Schwerpunkt bezogen auf die Drehachse. Der zweite Term ist der Tr¨agheitstensor des Pendels bezogen auf seinen Schwerpunkt.

(b) Drei gleiche Massenpunkte bei (a, 0, 0), (b) Zeigen Sie daraus: Wenn Sie ω ~ in z-Richtung (0, a, 2a) und (0, 2a, a). Referenzpunkt ist hier der definieren, dann folgt Ursprung. F¨ uhren Sie die notwendige Diagonalisierung manuell und nicht mit dem Computer 2 ~ ·ω (Mathematica etc.) aus! L ~ = M RS,⊥ + (I S )zz ω 2 . Aufgabe 32: Uhrenpendel Wir betrachten ein Uhrenpendel bestehend aus einer masselosen Stange der L¨ ange l plus dem Pendelgewicht der Masse M . Das eine Ende der Stange ist der Aufh¨ angepunkt. Am anderen Ende ist der Schwerpunkt des Pendelgewichts befestigt. Das Pendelgewicht ist ein homogener, flacher Zylinder mit Radius a, dessen Zylinderachse senkrecht zur Pendelebene orientiert ist. Stellen sie eine Bewegungsgleichung f¨ ur kleine Pendelwinkel φ mittels einer entsprechenden Lagrange Funktion auf. Berechnen Sie das relevante Haupttr¨agheitsmoment des Pendelgewichts. Geben Sie die Pendelfrequenz ausgedr¨ uckt durch die Gr¨oßen g, a und l an. Aufgabe 33: Allgemeines Pendel Wir betrachten ein beliebig geformtes Pendel. Der Koordinatenursprung soll im Aufh¨angepunkt

RS,⊥ ist der senkrechte Abstand des Schwerpunktes zur Pendelachse. Aufgabe 34: Rollender Kegel auf der Ebene Ein homogener Kegel der Masse m mit der H¨ohe ¨ h und dem Offnungswinkel α rollt auf der Seite liegend auf einer horizontalen Ebene. Seine Umlaufzeit in der Ebene sei T . (a) Berechnen Sie die kinetische Energie K des Kegels als Funktion der oben angegebenen Gr¨oßen. (b) Berechnen Sie ebenso den Gesamtdrehim~ puls L bezogen auf ein festes Koordinatensystem, dessen Ursprung die Spitze des Kegels ist und dessen x − y-Ebene gleichzeitig die Ebene bildet, auf der der Kegel liegt. Aufgabe 35: Lineares Molek¨ ul

139 ~ = P ~rν × f~ν = F¨ ur ein lineares Molek¨ ul gilt N ν P ~ Hier ist ~s ein Einheitsvektor ~s × ν dν f~ν = ~s × G. entlang der molekularen Achse, und dν ist der Abstand vom νten Wechselwirkungszentrum, wo die Kraft f~ν angreift, zum Schwerpunkt. Zeigen Sie, dass ~¨s gegeben ist durch ~ 0 − ~s · G ~ 0 + ~s˙ 2 ~s , ~¨s = G ~ 0 = G/I ~ wobei G gilt. Hier ist I eines der beiden identischen, nicht-verschwindenen Haupttr¨ agheitsmomente des Molek¨ uls. Hinweis: Gehen Sie von ~ =I ·ω L ~ aus, und verwenden Sie ~s˙ = ω ~ × ~s. Aufgabe 36: Bogenstatik

(a) K¨onnen sie mit den Gesetzen der Mechanik Die Skizze zeigt eine Schlucht der Breite h, die starrer K¨orper eine plausible theoretische Erur dieses Ph¨anomen liefern? mit identischen, homogenen Quadern der L¨ange kl¨arung f¨ b u uckt werden soll. D. h. die Stirnfl¨achen ¨berbr¨ der jeweils obersten beiden Quader sollen sich (b) Sch¨atzen Sie ab, in welcher H¨ohe der Schornkr¨aftefrei ber¨ uhren, ohne dass irgendwo Quader stein erstmals bricht, wenn dieser eine gleichm¨aßige kippen. Oder mathematisch ausgedr¨ uckt: 2x = h. Dicke besitzt und im Vergleich zu seiner H¨ohe unn ist. Wieviele Quader muss Ihr Bogen mindestens hoch d¨ sein, damit dieser eine Schlucht der Breite 1.7b Aufgabe 38: Rotierende Scheibe u ¨berspannen kann?

b x R

h

k !

m

k

rR

Freiwillige Zusatzaufgabe: Welches maximale h k¨ onnen Sie (mit beliebig vielen Quadern) auf die obige Art und Weise u ¨berspannen? Aufgabe 37: Bruch eines Schornsteins Wenn alte Fabrikschornsteine gesprengt oder umgelegt werden, dann sieht dies oft aus wie in der gezeigten Abbildungsfolge. Man erkennt, dass der Schornstein im Umfallen auseinanderbricht. Das Zerbrechen ist jedoch nicht direkt durch die Sprengung verursacht, da der Schornstein unterhalb der Bruchstelle noch weitgehend unzerst¨ ort ist.

Das Bild zeigt eine rotierende Scheibe. Der Radius der Scheibe sei R und die konstante Winkelgeschwindigkeit sei ω. Im Zentrum der Scheibe ist eine Feder befestigt, deren zweites Ende mit einer reibungsfrei verschiebbaren Masse m verbunden ist. Eine zweite Feder verbindet die Masse mit dem Rand der Scheibe. Die Federkonstanten seien jeweils k. F¨ ur ω = 0 ist der radiale Abstand der Masse vom Zentrum der Scheibe R/2. Sie sollen allgemein eine Formel f¨ ur rR (ω) angeben. Gehen Sie

¨ ANHANG B. UBUNGSAUFGABEN

140

~ = R(cos φ sin θ, sin φ sin θ, dabei von der Bewegungsgleichung aus, die wir im z 0 ). Verwenden Sie R Abschnitt Lagrange Funktion im beschleunigten cos θ), wobei θ = konstant sowie R = konstant und ” System“ f¨ ur rotierende Systeme hergeleitet haben: ω = φ˙ gelten sollen. m~v˙ R

∂U + m(~rR × ω ~˙ ) ∂~rR +2m(~vR × ω ~ ) + m (~ ω × (~rR × ω ~ )) .

= −

¨ Hinweis: Uberlegen Sie zun¨ achst, welche Terme Null sein m¨ ussen!

(b) mit

Zeigen Sie, dass dieses Resultat identisch ist

(B.2) ω × ~r˙0 R ~¨r = ~r¨0 R + 2~ ~ +ω ~ . +~ ω× ω ~ × (~r0 + R) ~˙ × (~r0 + R)

Aufgabe 39: Rotierendes Bezugssystem

Der Index R bedeutet hier, dass diese Zeitablei¨ tungen sich nur auf die zeitliche Anderung von ~r0 Wir betrachten eine Kugel mit Radius R, deren relativ zum System R beziehen. Mittelpunkt im Ursprung eines Inertialsystems (I) 1. Bemerkung: Die Gl. (B.2) bedeutet, dass ruht (vgl. Skizze). Dort ist ein festes Koordina- die newtonsche Bewegungsgleichung im System I, tensystem angebracht. Die Kugel rotiert mit der m~¨r = F~ , im System R die Form Winkelgeschwindigkeit ω ~ (t) um die z-Achse dieses ~ auf der Koordinatensystems. An einem Punkt R 1 ~ Kugeloberfl¨ ache ist ein zweites Koordinatensystem ~r¨0 R = F − 2~ ω × ~r˙0 R (B.3) m (R) mit der Kugel verbunden. Dabei hat die ~ und die ~ −ω ~ x0 -Achse die gleiche Richtung wie R, −~ ω× ω ~ × (~r0 + R) ~˙ × (~r0 + R) ˙ ~ Ein y 0 -Achse hat die gleiche Richtung wie R. Punkt im System I habe den Ortsvektor ~r. Der hat. Neben der eigentlichen Kraft F~ treten so gegleiche Punkt im System R hat den Ortsvektor ~r0 . nannte Scheinkr¨afte auf. So werden die folgenden ~ + ~r0 . D. h. ~r = R Terme der Reihe nach als Coriolisbeschleunigung, Zentripetalbeschleunigung 1 und Linearbeschleunigung bezeichnet. 2. Bemerkung: Die rechte Seite der Gl. (B.2) ergibt sich aus der zweifachen Anwendung des Diffe d ~ (mit |R| ~ = renzialoperators dt + ω ~ × auf ~r0 + R !

z'

y' x' r' r

z

R

y x

(a) Berechnen Sie die Beschleunigung ~¨r als Funktion von R, φ, θ im System I sowie den Komponenten von ~r0 im System R (z.B. x0 , y 0 und

R

const), wobei der Index R wieder die obige Bedeutung hat. Bei der Herleitung der Drehimpulserhaltung hat~ unten wir gesehen, dass ein beliebiger Vektor A ~ ¨ ter einer infinitesimalen Rotation δ φ die Anderung ~×A ~ = δφ ~ erf¨ahrt. Entsprechend gilt f¨ δA ur eine ~ ~ ~ oder dA = ω ~ ¨ ~ ×A. Anderung pro Zeit: δδtA = δδtφ ×A dt I ~ zus¨atzlich eine Ableitung dA~ 6= Hat der Vektor A dt R 0 innerhalb des rotierenden Bezugssystems, dann gilt insgesamt ~ ~ dA dA ~. ~ ×A = +ω dt I dt R 1 Zur Begriffskl¨ arung: zentripetal [lateinisch], zum Mittelpunkt (Zentrum) hinstrebend; Gegensatz: zentrifugal.

141 (c) Wir betrachten Gl. (B.3) f¨ ur den Fall einer freien Bewegung eines Massenpunktes m unter dem m ~r. Einfluss der Gravitationskraft F~ = −G MErde r3 ¨ Uberlegen Sie zun¨ achst welche zwei Terme auf der rechten Seite von Gl. (B.3) zus¨ atzlich zu F~ mitgenommen werden sollten, und begr¨ unden Sie ¨ Ihre Uberlegung. Fassen Sie anschließend F~ mit ~ zu −g~ex0 zusammen. ~ex0 ist ein Ein−~ ω × (~ ω × R) heitsvektor entlang der x0 -Achse im R-System. Geben Sie die Bewegungsgleichung des Massenpunktes im R-System in Komponentenform an: x ¨0 y¨0 z¨0

= ...y˙ 0 − ... = ...x˙ 0 − ...z˙ 0 = ...y˙ 0 .

Ein homogener Zylinder mit dem Radius a und der Masse mZyl kann frei um seine Mittelachse rotieren. Auf dem Mantel des Zylinders ist eine helikale Rinne mit dem Neigungswinkel α befestigt (siehe Skizze), in der ein Massenpunkt m ohne Reibung gleiten kann. Dieser Massenpunkt, der urspr¨ unglich am oberen Rand des Zylinders ruht, soll unter dem Einfluss der Schwerkraft die Rinne hinabgleiten. (a) Stellen Sie die newtonsche Bewegungsgleichung f¨ ur den Ortsvektor ~r(t) des Massenpunktes auf. Hinweis: Es treten zun¨achst unbekannte Kr¨afte auf, f¨ ur die Sie in Teil (b) zus¨atzliche Gleichungen brauchen. Denken Sie an die Drehimpulse im System.

(b) Geben Sie die L¨osung (also ~r(t) bzgl. eiWas hier als ... ausgelassen ist, sind unterschiednes raumfesten Koordinatensystems) an f¨ ur die liche Funktionen von g, φ˙ = |~ ω |, und sin θ bzw. ˙ (0) = Anfangsbedingungen ~ r (0) = (a, 0, 0) und ~ r cos θ. Hinweis: siehe den Band Mechanik II des (0, 0, 0). Greiner. (d) Integrieren Sie die oben erhaltenen Bewegungsgleichungen einmal nach der Zeit, und bestimmen Sie die drei resultierenden Konstanten aus den Anfangsbedingungen f¨ ur einen horizontalen Wurf in z 0 -Richtung (Richtung Nordpol): z 0 (0) = 0 y 0 (0) = 0 x0 (0) = h

z˙ 0 (0) = vz y˙ 0 (0) = 0 x˙ 0 (0) = 0 .

Das resultierende System aus gekoppelten Gleichungen 1. Ordnung l¨ osen Sie iterativ wie folgt. In der ersten N¨ aherung setzen Sie φ˙ gleich Null (warum ist das nicht schlecht?) und l¨ osen die so entstehenden Gleichungen. Die zweite N¨aherung erhalten Sie durch Einsetzen dieser ersten N¨aherungsl¨osung in das urspr¨ ungliche System 1. Ordnung. Geben Sie die so erhaltene zweite N¨aherungsl¨osung an. F¨ ur eine Anfangsh¨ ohe von h = 400m und einer Anfangsgeschwindigkeit von vz = 100m/s geben Sie die Abweichung vom Aufschlagpunkt aufgrund der Erdrotation an, wenn θ = 39o ist. Aufgabe 40: Rotierende Spiralbahn (Newton)

Aufgabe 41: Rotierende Spiralbahn (Hamilton) In dieser Wiederholung der vorherigen Aufgabe verwenden wir die Hamiltonsche Mechanik. (a) Leiten Sie H f¨ ur das gesamte System aus Zylinder und Massenpunkt her. (b)

L¨osen Sie die Bewegungsgleichungen.

Aufgabe 42: Hamilton Mechanik f¨ ur ebenes Pendel am Gummizug In Aufgabe 10 hatten wir das ebene Pendel am Gummizug betrachtet. Geben Sie die hamilton-

¨ ANHANG B. UBUNGSAUFGABEN

142 schen Bewegungsgleichungen f¨ ur dieses System an. Normieren Sie dabei die potenzielle Energie gem¨aß U (φ = 0, ρo ) = 0, wobei ρo die L¨osung von ∂U/∂ρ|φ=0 = 0 ist. Aufgabe 43: Hamilton/Lagrange und zur¨ uck

~ri (t

+

∆t) = 2~ri (t) − ~ri (t − ∆t) 1 + F~i (t) ∆t2 + O(∆t4 ) , mi

kommen kann.

Eine Hamilton Funktion mit einem Freiheitsgrad Aufgabe 45: Trajektorien des Federpendels hat die Form (a) Schreiben Sie die hamiltonschen Bewegungsgleichungen aus Aufgabe 42 in dimensionsloser kq bα 2 −αt p − bqpe−αt + q e α + be−αt + . Form auf. Die vier gekoppelten DifferenzialgleiH= 2α 2 2 chungen 1. Ordnung enthalten dann nur noch den freien Parameter K = (τlp /τm )2 (vgl. Aufgabe 10 α, b und k sind Konstanten. p (b); τl = l/g und τm = m/k). Geben Sie auch (a) Finden Sie eine entsprechende Lagrange die Hamilton Funktion selbst in dimensionsloser Form an. Funktion. (b) Finden Sie eine ¨ aquivalente Lagrange Funktion, die nicht explizit von der Zeit abh¨angt. (b) Im speziellen Fall K → ∞ (starres Pendel) bleiben nur zwei Gleichungen u ¨brig. Geben Sie dieWelches H entspricht diesem zweiten L. se an, und schreiben Sie ein Computerprogramm, das mithilfe des Algorithmus (B.4) die Gr¨oßen Aufgabe 44: Numerische Integratoren φ(t) und pφ (t) berechnet. Stellen Sie die Phasenur die f¨ unf Anfangsbedingungen (a) Ausgehend von dem in der Vorlesung herge- raumtrajektorien f¨ 0 φ(t = 0) = ∓π; p (t = 0) = ±0.001, φ(t = 0) = π5 ; φ leiteten RK3 f¨ ur Dgln. des Typs y = f (x, y), pφ (t = 0) = 0 und φ(t = 0) = ∓π; pφ (t = 0) = ±1 graphisch im Intervall (−π, π) dar. hh y (xn+1 ) = y (xn ) + f (xn , yn ) (B.4) 2 (c) Erweitern Sie Ihr Computerprogramm so, i 3 dass Sie (ebenfalls mit dem Algorithmus (B.4)) +f (xn+1 , yn + fn h) + O h , auch die F¨alle K < ∞ integrieren k¨onnen. F¨ ur die π , p (t = 0) = 0, Anfangsbedingung φ(t = 0) = φ 5 geben Sie einen Runge-Kutta Algorithmus 3 ρ(t = 0) = 1 und p (t = 0) = 0 untersuchen Sie ρ (O(h )) an, der direkt auf Dgln. des Typs 00 0 die zwei F¨ a lle K = 10 (steife Feder) und K = 1 y = f (x, y, y ) anwendbar ist. D. h. der Algorith0 3 (weiche Feder). Tragen Sie in beiden F¨ a llen die mus sollte die Form y (xn+1 ) = ... + O(h ) und (φ, pφ )- und (ρ, pρ )-Projektionen der Trajektorien y(xn+1 ) = ... + O(h3 ) haben. auf. 2

2

(b)

Zeigen Sie, wie man zur leap frog Variante,

∆t = ~vi t − ~vi 2 1 +∆t F~i (t) + O ∆t3 mi ~ri (t + ∆t) = ~ri (t) ∆t +∆t~vi t + + O ∆t3 , 2

∆t t+ 2

des Verlet Algorithmus,

(d) F¨ ur die beiden F¨alle unter (c) untersuchen Sie die Energieerhaltung Ihres Algorithmus. Berechnen Sie dazu die Wurzel aus dem mittleren Schwankungsquadrat von H gegeben durch p hH2 i − hHi2 . PM 1 Hier bedeutet hxi = M i=1 xi , und M ist die Zahl der Integrationsschritte. Ihr Resultat sind zwei Tabellen mit δH gegen M f¨ ur M = 10, 50, 102 , 103 , 104 , 105 (Zeitschritt: ∆t = 0.01). δH =

143 2uik dxi dxk in die analoge Form 2uαβ dxα dxβ in Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten um, und geben Aufgabe 46: Verzerrungstensor in Zylinder- und Sie die uαβ an. (ii) Die etwas aufwendige ReKugelkoordiunaten chenarbeit kann durch den Einsatz algebraischer Rechenprogramme wie Mathematica oder Maple Leiten Sie die unten angegebenen Gleichungen f¨ ur erleichtert werden. die Komponenten des Verzerrungstensors in (a) Zylinder- und (b) Kugelkoordinaten aus dem §1 im Aufgabe 47: Euler-Instabilit¨at bei elastischer Band Elastizit¨ atstheorie des Landau/Lifschitz her: Unterst¨ utzung Interpretieren Sie Ihr Resultat.

In Kugelkoordinaten r, θ, ϕ haben wir

urr

=

uθθ

=

uϕϕ

=

2uθϕ

=

2urθ

=

2uϕr

=

∂ur , ∂r 1 ∂uθ ur + , r ∂θ r uθ ur 1 ∂uϕ + cot θ + , r sin θ ∂ϕ r r 1 ∂uϕ 1 ∂uθ − uϕ cot θ + , r ∂θ r sin θ ∂ϕ uθ 1 ∂ur ∂uθ − + , ∂r r r ∂θ 1 ∂ur ∂uϕ uϕ + − . r sin θ ∂θ ∂r r

In Zylinderkoordinaten r, ϕ, z gilt

urr

=

uϕϕ

=

uzz

=

2urϕ

=

2urz

=

2uϕz

=

∂ur , ∂r 1 ∂uϕ ur + , r ∂ϕ r ∂uz , ∂z 1 ∂uz ∂uϕ + , r ∂ϕ ∂z ∂uz ∂ur + , ∂z ∂r ∂uϕ uϕ 1 ∂ur − + . ∂r r r ∂ϕ

Hinweise: (i) Es ist g¨ unstig, zun¨ achst die kartesi~ schen Gr¨oßen d~r, ∇ und ~u als Linearkombinationen der jeweiligen krummlinigen Einheitsvektoren hinzuschreiben (siehe z.B. S. Großmann Mathematischer Einf¨ uhrungskurs f¨ ur die Physik). Gehen Siedann von dl02 = dl2 + 2uik dxi dxk mit ∂ui k uik = 12 ∂x + ∂u f¨ ur kleine Deformationen ∂xi k in kartesischen Koordinaten aus. Schreiben Sie

Anstelle des Funktionals in Gl. (10.62) des Skripts betrachten Sie das Funktional Z "

I 2

∂2ζ ∂x2

2

K σ + ζ2 − 2 2

∂ζ ∂x

2 # dxdy .

Dieser Ansatz bettet die Platte in ein elastisches Medium ein. Dabei ist K ein Maß f¨ ur dessen Steifigkeit. Berechnen Sie wiederum und analog zur Rechnung in der Vorlesung σkrit . Diskutieren Sie die F¨alle K klein bzw. K groß getrennt. Skizzieren Sie die Verformung der Platte unter dieser Kompressionsinstabilit¨at.

144

¨ ANHANG B. UBUNGSAUFGABEN

Literaturverzeichnis [1] L. D. Landau, E. M. Lifschitz (1979) Mechanik. Akademie-Verlag [2] L. D. Landau, E. M. Lifschitz (1979) Elastizit¨atstheorie. Akademie-Verlag [3] L. D. Landau, E. M. Lifschitz (1981) Klassische Feldtheorie. Akademie-Verlag [4] K. Weltner (Herg.) (1994) Mathematik f¨ ur Physiker. Vieweg [5] S. Großmann (2005) Mathematischer Einf¨ uhrungskurs f¨ ur die Physik, Teubner Studienb¨ ucher [6] G. E. Joos, E. Richter (1994) H¨ ohere Mathematik. Verlag Harri Deutsch [7] Diese Abbildung wurde dem Buch Molecular Dynamics Simulation von J. M. Haile entnommen (John Wiley & Sons, 1992)

145

Index H-Theorem, 99 Γ-Raum, 98 µ-Raum, 98 Amplitude, 64 Anharmonizit¨ at, 63 aperiodische Bewegung, 64 Arbeit, 13, 39 Ausbreitungsgeschwindigkeit longitudinale, 127 transversale, 127 Beschleunigung, 18, 38 Bewegungs -gleichung, 33 newtonsche, 19, 21, 29 -integral, 41 binomischen Lehrsatz, 8 Boltzmann -Gleichung, 98 -s Bild, 98 Konstante, 99 Chaos deterministisches, 106 chemisches Gleichgewicht, 115 Computersimulation, 98 Coriolis -beschleunigung, 140 -kraft, 43 d’alembertsches Prinzip, 87 Deformation elastische, 111 plastische, 111 Differenzieren Kettenregel, 6 partielle vs. totale Ableitung, 9 Produktregel, 6 totales Differenzial, 9 Dispersion, 69 Dissipationsfunktion, 69

Drehimpuls, 21 Drehmoment, 21, 83 e-Funktion, 6 Eigen -drehimpuls, 41 -frequenz, 69 Einschwingphase, 69 Elastizit¨atzmodul -n, 116 Energie, 22 Energie-Impuls-Satz relativistischer, 48 Ensemble, 103 -mittelwert, 103 kanonisches, 103 mikrokanonisches, 103 Entropie, 99, 114 Ergodenhypothese, 104, 106 Eulersche Gleichungen, 34 eulersche Gleichungen, 84 Winkel, 85 Eulersche Formeln, 7, 11 Fixpunkt, 106 Fl¨achenelemente umrechnen, 9 Fl¨achensatz, 53 freie Energie, 115 Freiheitsgrade, 33 Frequenz, 64 Fundamentalgleichung, 115 Funktionaldeterminante, 10 Galilei Transformation, 37 Gas ideales, 100, 104 ged¨ampfte Schwingung, 64 Geschwindigkeitsadditionstheorem, 31, 48 Gibbssches Bild, 102 146

INDEX Gleichheit der Wahrschlichkeiten, 102 Gravitationsgesetz, 17 Hamilton -Jacobische Differenzialgleichung, 92 -sche Gleichungen, 89 Funktion, 89 Hauptachsen, 79 Hauptsatz der Thermodynamik 1., 114 2., 99, 114 Hookesches Gesetz, 117 Impuls, 18 relativistischer, 31 Inertialsystem, 36 Instabilit¨at elastische, 126 Integration, 11 Arbeit als Wegintegral, 13 Koordinatentransformation, 12 Parameter in Integralen, 12 partielle, 12 quadratische Erg¨ anzung, 13 Stammfunktion, 12 Wegintegral, 13 isotherme Kompressibilit¨ at, 117 Jacobi-Identit¨at, 91 kanonisch -e Gleichungen, 89 -e Transformation, 91 erzeugende Funktion, 93 konjugiert, 91 Kepler -problem, 54 -sches Gesetz zweites, 53 kinetische Energie, 38 komplexe Zahl, 14 Imagin¨arteil, 14 konjugiert komplex, 14 Realteil, 14 Kompressionsmodul, 117 Kontinuit¨atsgleichung, 101 Kosinussatz, 4 Kraft, 13, 38 konservative, 39 nicht konservative, 64

147 Kreisel, 79 Kugel-, 79 symmetrischer, 79 unsymmetrischer, 79 Lagrange -sche Gleichungen, 28, 33 -scher Multiplikator, 34 Dichte, 70 Lam´e Koeffizienten, 116 Legendre Transformation, 89 Linearbeschleunigung, 140 Liouvillesches Theorem, 101 logistic map, 106 Lorentz Transformationen, 31, 37 Lyapunov-Exponent, 106 Massenpunkt, 19 Mathematica, 106 maxwellsche Verteilung, 99 Mikrozustand, 102 mischend, 106 Mittelwert Ensemblemittelwert, 103 Zeitmittelwert, 97 Modul Youngs, 71, 118 Molekulardynamik-Simulationen, 96 molekulares Chaos, 99 neutrale Fl¨ache, 124 Newton -sche Bewegungsgleichungen, 38 -sches Gesetz drittes, 40 erstes, 36 zweites, 38 Newton Verfahren, 8 nichtmischend, 106 Normal -koordinaten, 72 -moden, 72 Oberfl¨achenkraft, 114 Ortsvektor, 33 Oszillator, 41 angeregter, 68 anharmonischer, 135 ged¨ampfter, 64 harmonischer, 63, 92, 133, 135

148

INDEX im Schwerefeld, 29

Pendel foucaultsches, 43 allgemeines, 138 Doppel-, 135 Feder-, 133, 134, 141, 142 mathematisches, 22, 29, 35, 52, 97 Uhren-, 138 Periheldrehung, 137 Phase, 64 Phasenraum, 97 trajektorie, 97 Poincar´e’s recurrence theorem, 104 Poisson -sche Zahl, 118 Klammern, 90 Theorem, 91 potenzielle Energie, 38 Pr¨azession, 81 Quantenmechanik, 93 Raum Γ-, 98 µ-, 98 Reaktionskr¨ afte, 25 reduzierte Masse, 53 Reibung, 64 -skoeffizient, 64 stokesche, 64 Relativit¨ atstheorie spezielle, 36 Relativkoordinaten, 52 Resonanzfrequenz, 69 Ruheenergie, 31 Runge-Kutta Methode, 95 rutherfordsche Streuformel, 57 Saite Schwingungsgleichung, 70 Scheinkr¨ afte, 140 Schermodul, 117 Schwerpunkt, 20, 41 slingshot-Effekt, 59 Spannungstensor, 113 Statistische Mechanik, 97 Steiner Satz von, 82 Stoßparameter, 56

Streu -querschnitt, 56 -winkel, 55 Summenkonvention, 78 System geschlossen, 97 isoliert, 97 offen, 97 Taylorentwicklung in einer Variablen, 8 von Funktionen mehrerer Variablen, 9 Temperatur, 99, 104, 114 Thermodynamik, 114 thermodynamischer Limes, 103 Tr¨agheits -gesetz, 36 -moment, 79 -tensor, 78 Tr¨agheitstensor Haupttr¨agheitsachsen, 79 Trajektorie Stabilit¨at, 105 Umkehrpunkte, 51 Vektoren Betrag, 3 Kreuzprodukt, 4 Skalarprodukt, 4 verallgemeinerte Koordinaten, 27, 33 Verlet Algorithmus, 96 Verschiebungsvektor, 111 Verzerrungstensor, 112 Virialtheorem, 137 virtuelle Verschiebungen, 86 Volumenkraft, 113 Wellenzahl, 65 Wirkungsintegral, 27 relativistisches freies Teilchen, 31 Zentralkraft, 53 Zentrifugal -kraft, 24, 43 -potenzial, 53 Zentripetalbeschleunigung, 140 Zwangsbedingung, 34 holonom, 34 nicht-holonome, 34 rheonom, 34

INDEX skleronom, 34

149