Mathematische Modellierung, 2. Auflage

Springer-Lehrbuch

Christof Eck · Harald Garcke · Peter Knabner

Mathematische Modellierung 2., überarbeitete Auflage

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Prof. Dr. Christof Eck Universität Stuttgart Institut für Angewandte Analysis und Numerische Simulation Pfaffenwaldring 57 70569 Stuttgart Deutschland [email protected]

Prof. Dr. Harald Garcke Universität Regensburg Fakultät für Mathematik Universitätsstr. 31 93040 Regensburg Deutschland [email protected]

Prof. Dr. Peter Knabner Universität Erlangen-Nürnberg Naturwissenschaftliche Fakultät Department Mathematik Martensstr. 3 91058 Erlangen Deutschland [email protected]

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-18423-9 e-ISBN 978-3-642-18424-6 DOI 10.1007/978-3-642-18424-6 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007, 2011  Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort

Vorwort zur zweiten Auflage Nachdem das vorliegende Buch in vielen Vorlesungen und Seminaren genutzt worden ist, sind den Autoren und einigen aufmerksamen Lesern einige Druckfehler und kleinere Ungenauigkeiten aufgefallen. Diese sind in der zweiten Auf¨ lage verbessert worden. Wesentliche Anderungen gab es bei der Einf¨ uhrung der Methode der asymptotischen Entwicklung (Abschnitt 1.5), bei der Behandlung der Optimierung mit Nebenbedingungen (Abschnitt 2.3), in der Diskussion der Nebenbedingungen in der Lagrangeschen Formulierung der Mechanik ¨ (Abschnitt 4.2), im Beweis des Satzes 4.3 (Abschnitt 4.6 und Ubungsaufgabe 4.14), bei der Herleitung der Cahn-Hilliard Gleichung (Abschnitt 6.2.13) und in der Behandlung der Phasenfeldgleichungen (Abschnitt 7.9). Im Abschnitt u ¨ber die Phasenfeldgleichungen sind auch drei zus¨atzliche Abbildungen aufgenommen worden, um die Darstellung anschaulicher zu gestalten.

Stuttgart, Regensburg, Erlangen im November 2010 Christof Eck Harald Garcke Peter Knabner

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Vorwort

Vorwort zur ersten Auflage Unter mathematischer Modellierung verstehen wir die Beschreibung eines Ph¨anomens aus Natur, Technik oder Wirtschaft mit Hilfe von mathematischen Strukturen. Das Ziel der Modellierung ist es, eine sinnvolle mathematische Problemformulierung zu gewinnen, aus der sich Aussagen und L¨osungen zu dem Ausgangsproblem ableiten lassen. Anwendbar“ sind prinzipiell alle ” Teilgebiete der Mathematik, oft entstehen aber gerade in technischen Anwendungen mathematische Probleme einer solchen Komplexit¨at, dass sie entweder vereinfacht werden m¨ ussen, indem gewisse Einfl¨ usse vernachl¨assigt werden, oder nur noch mit numerischen Methoden bearbeitet werden k¨onnen. Werden mathematische Modelle vereinfacht, etwa dadurch, dass einige kleine“ Terme ” in einer Gleichung vernachl¨ assigt werden, so ist die Aufgabe der Mathematik zu pr¨ ufen, wie stark sich das L¨ osungsverhalten dabei ¨andert. Historisch ist eine Vielzahl mathematischer Konzepte aus Anforderungen der Anwendungen heraus entstanden, insoweit ist es weder zuf¨ allig noch verwunderlich, dass Mathematik und reale Welt zusammen passen“. Mathematische Konzepte, die ” aus der Anregung eines Fachgebiets heraus entstanden sind, finden oft auch Anwendungen in ganz anderen Fachgebieten. Dar¨ uber hinaus ergibt sich bei einem konkreten Anwendungsproblem im Allgemeinen ein weiter Spielraum mathematischer Modellierung je nach gew¨ ahlter Aufl¨osung in der (zeitlichen oder r¨aumlichen) Betrachtungsebene. Auf diesem Hintergrund ist eine Ausbildung in mathematischer Modellierung unverzichtbar, wenn ein Studium der Mathematik, wie jetzt auch f¨ ur die neu entstandenen Bachelor–Studieng¨ ange gefordert, berufsqualifizierend sein soll, d.h. auch gerichtet auf industrielle/praktische/gesellschaftliche Probleme. Die klassischen Veranstaltungen eines Mathematik–Curriculums k¨onnen eine solche Ausbildung nur unzureichend gew¨ ahrleisten angesichts einer gerade im deutschen Sprachraum weit fortgeschrittenen Formalisierung in der Mathematiklehre, in der Anwendungsbeispiele — wenn u ¨berhaupt — nur den Stellenwert einer unverbindlichen“ Motivation einnehmen. Das klassische Neben” fachstudium kann im Allgemeinen die entstehende L¨ ucke nicht schließen, da die Studierenden der Mathematik oft damit u ¨ berfordert sind, gleichzeitig Inhalte aus einem Anwendungsgebiet zu erlernen und dabei auftretende mathematische Strukturen zu extrahieren, um ihr mathematisches Wissen nutzbar zu machen. Auf diesem Hintergrund sind im Rahmen der Umstrukturierung der mathematischen Studieng¨ ange und der geforderten gr¨oßeren Praxisn¨ahe eines Bachelorstudiums an vielen deutschen Universit¨aten Veranstaltungen u ¨ber mathematische Modellierung in die Curricula der mathematischen Studieng¨ange aufgenommen worden. In diesem Rahmen m¨ochte das vorliegende Lehrbuch eine Hilfestellung leisten. Das vorliegende Buch liefert zum einen Wissen aus dem Bereich zwischen“ ” Mathematik und Naturwissenschaften (zum Beispiel aus der Thermodynamik und der Kontinuumsmechanik), das Studierende und Dozenten der Mathe-

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matik ben¨otigen, um Modelle aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften zu verstehen und herleiten zu k¨ onnen. Zum anderen enth¨alt das Buch eine Vielzahl interessanter, praktisch relevanter Beispiele f¨ ur die im Mathematikstudium erlernten, oft sehr abstrakt dargestellten mathematischen Theorien, und beantwortet damit die h¨ aufig gestellte Frage wozu ist das n¨ utzlich?“. Es soll ” dabei keines der B¨ ucher u ¨ber die zugrunde liegenden mathematischen Strukturen wie lineare Gleichungen / lineare Algebra, gew¨ohnliche oder partielle Differentialgleichungen ersetzen, enth¨ alt aber trotzdem wesentliche Aspekte der Analysis f¨ ur die Modelle, insbesondere auch um die wichtige, im Mathematikstudium leider oft vernachl¨ assigte Wechselwirkung zwischen Mathematik und Anwendungen aufzuzeigen. Auf der anderen Seite bietet das Buch f¨ ur Studierende der Natur- und Ingenieurwissenschaften einen Einstieg in Methoden der Angewandten Mathematik und Mechanik. Der Inhalt des Buches beschr¨ ankt sich auf deterministische Modelle mit kontinuierlichen Skalen, wie sie in den klassischen Natur- und Ingenieurwissenschaften im Zentrum stehen. Insbesondere werden stochastische Modelle nicht thematisiert; ebenso Modelle f¨ ur Prozesse auf sehr kleinen Skalen wie etwa Teilchenmodelle oder Modelle aus der Quantenmechanik und deren Approximationen. Modelle aus den Wirtschaftswissenschaften stehen ebenfalls nicht im Fokus, da stochastische Ans¨ atze dort eine wichtige Rolle spielen. Ein wesentliches Konzept dieses Buches besteht darin, die mathematischen Strukturen (und das Wissen dar¨ uber) als Ordnungsprinzip zugrunde zu legen, nicht aber die betreffenden Anwendungswissenschaften. Dies bringt die St¨arke der Mathematik zum Ausdruck, dass ein und dasselbe Konzept oft f¨ ur ganz verschiedene Problemklassen und Anwendungsbereiche eingesetzt werden kann, und erm¨ oglicht es, in effizienter Weise Beispiele aus den verschiedensten Anwendungsgebieten zu behandeln, ohne zu Wiederholungen derselben mathematischen Grundstrukturen gezwungen zu sein: Diese Linie wird nach dem Einf¨ uhrungskapitel 1 mit den Kapiteln 2, 4, 6 und 7 verfolgt. Darin eingebettet sind die Kapitel 3 (Thermodynamik) und 5 (Kontinuumsmechanik), die zwei notwendige Bindeglieder zu den Natur- und Ingenieurwissenschaften bereit stellen. Nat¨ urlich sind auch diese Kapitel von der Anwendung mathematischer Kalk¨ ule gepr¨ agt. Der Eingrenzung des Stoffes auf der Anwendungsebene entspricht eine Eingrenzung auf mathematischer Ebene: Durchg¨ angig werden Kenntnisse aus der linearen Algebra und der Analysis intensiv genutzt. Kapitel 4 nutzt Kenntnisse wie sie entweder die Analysis oder eine Vorlesung Gew¨ohnliche Differentialgleichungen zur Verf¨ ugung stellt, Kapitel 5 macht wesentlich Gebrauch von den Methoden der mehrdimensionalen Differentiation und Integration (Integrals¨atze) und damit vom fortgeschrittenem Stoff der Analysis. Schließlich spielen in Kapitel 7 auch die Grundlagen der Geometrie von Kurven und Fl¨achen eine wichtige Rolle. Die Abgrenzung zur Analysis partieller Differentialgleichungen kann nicht so scharf gezogen werden. Entsprechende Kenntnisse auf diesem Gebiet und auch der linearen Funktionalanalysis sind f¨ ur das

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Kapitel 6 gewiss hilfreich, aber nicht notwendig. Eine Beschreibung mathematischer Sachverhalte u ¨ber partielle Differentialgleichungen erfolgt in diesem Kapitel aber nur insoweit, wie eine enge Verflechtung mit der Modellinterpretation besteht. Die Darstellung kann insofern nicht vollst¨andig rigoros sein, etwaige L¨ ucken und notwendige Vertiefungen werden aber entsprechend kenntlich gemacht. Auf diese Weise setzt dieses Kapitel nicht notwendigerweise eine vertiefte Besch¨ aftigung mit der Analysis partieller Differentialgleichungen voraus, regt aber hoffentlich zu dieser an. Auf ein separates Kapitel u ¨ber Optimierung wurde verzichtet, Konzepte der Optimierung werden aber in den einzelnen Kapiteln angesprochen. Dies spiegelt wider, dass Optimierungsprobleme in der Modellierung h¨ aufig als ¨aquivalente Formulierung anderer Problemstellungen (variationelle Formulierung) auftreten, und zwar f¨ ur Aufgaben von verschiedenem mathematischen Typ. V¨ollig in diesem Buch ausgeklammert wurde die Behandlung numerischer Methoden, obwohl diese bei der tats¨achlichen Bearbeitung von technischen und naturwissenschaftlichen Problemen mittlerweile ein zentrales Werkzeug darstellen. Wir verweisen in diesem Zusammenhang auf die umfangreiche Lehrbuchliteratur zur Numerik. Nach unserem Daf¨ urhalten kann der vorgelegte Stoff in vielf¨altiger Weise sowohl im Bachelor- als auch im Masterstudium, sowohl auf elementarem als auch auf fortgeschrittenem Niveau, eingesetzt werden. Die einfachste Verwendung sind (nach entsprechenden K¨ urzungen) zwei vierst¨ undige Vorlesungen, die das gesamte Spektrum des Buches umfassen, wobei der erste Teil in der zweiten H¨alfte einer Bachelorausbildung und der zweite Teil in einer Masterausbildung anzusiedeln w¨ are. Alternativ kann auch eine schon fr¨ uh im Bachelorstudium angesiedelte, einf¨ uhrende zweist¨ undige Vorlesung aus Teilen der Kapiteln 1, 2 und 4 erfolgen, gefolgt von einer sp¨ateren, ebenfalls zweist¨ undigen Vorlesung aus Teilen der Kapitel 5 und 6. Wenn das Studium nur eine Vorlesung vorsehen soll, ist auch ein grundlegender vierst¨ undiger Kurs, aufgebaut aus Teilen der Kapitel 1, 2, 3, 4, 5 und Aspekten aus 6 m¨oglich. Alternativ kann auf die Kapitel 5, 6 und 7 auch eine Vorlesung u ¨ber mathematische Modelle der Kontinuumsmechanik oder aber aus grundlegenden Abschnitten aus Kapitel 5 (Herleitung der Erhaltungsgleichungen) und Kapitel 6 und 7 eine Vorlesung Angewandte partielle Differentialgleichungen“ ” aufgebaut werden. Das Buch eignet sich auch sehr gut zum Selbststudium, insbesondere f¨ ur Diplomanden, Bachelor- und Masterstudierende sowie Doktoranden, die eine mathematische Arbeit mit Bezug zu den betrachteten Anwendungsph¨anomenen verfassen m¨ ochten, und die in ihrem Studium die dazu notwendigen Grundlagen noch nicht kennengelernt haben. Ziel all der beschriebenen Kurse kann nur sein, die bestehende L¨ ucke zu den Anwendungswissenschaften zu schließen, sie k¨onnen nicht die konkre¨ te Durchf¨ uhrung von Modellierungsprojekten ersetzen. Uber die intensive ¨ Besch¨aftigung mit den vielf¨ altigen hier vorgelegten Ubungsaufgaben hinaus kann nach unserem Daf¨ urhalten Modellierung abschließend nur durch Modellierungspraxis erlernt werden. Ein m¨ ogliches Lehrkonzept wie es vom 1. und 3.

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Autor in Erlangen erprobt worden ist, besteht in Problem(pro)seminaren, in denen Anwendungsaufgaben ohne jedes mathematische Material gestellt werden, wobei das Auffinden der zugeh¨ origen mathematischen Konzepte wesentlicher Bestandteil der Arbeit ist. Wir hoffen aber, dass Lehrveranstaltungen, wie sie auf das vorliegende Buch aufbauen k¨ onnen, eine wesentliche Grundlage zu einer solchen Modellierungspraxis liefern k¨ onnen. Auf dem Hintergrund des Gesagten erscheint uns das vorliegende Buch auch f¨ ur Studierende aus den Natur- (Physik, Chemie) und Ingenieurwissenschaften geeignet. Werden diesem Benutzerkreis zumindest Teile der eigentlichen Modellierungsinhalte aus ihrem konkreten Fach heraus gel¨aufig sein, so sollte doch deren rigorose Einbindung in eine mathematische Methodik zu tieferen Einblicken verhelfen. Ohne die verf¨ ugbaren Lehrb¨ ucher u ¨ber mathematische Modellierung bewerten zu wollen, erscheint uns das Angebot zumindest deutschsprachiger B¨ ucher auf diesem Gebiet als recht gering. Zwar gibt es eine Reihe von Lehrb¨ uchern, ¨ insbesondere Ubersetzungen aus dem Englischen, die sich auf ein sehr elementares Niveau konzentrieren und zum Teil auch Sch¨ uler ansprechen wollen. Ein derzeit verf¨ ugbares Lehrbuch, das den Bogen von elementaren Aspekten bis hin zur Forschungsfront zu u ¨berdecken versucht, ist uns nicht bekannt. Englischsprachige Lehrb¨ ucher folgen meistens anderen Ordnungsprinzipien. Das vorliegende Buch ist entstanden aus Lehrveranstaltungen, die der zweite Autor an der Universit¨ at Regensburg und der erste und der dritte Autor an der Universit¨ at Erlangen mehrfach durchgef¨ uhrt haben, und damit das Ergebnis eines vielschichtigen Entwicklungsprozesses. Bei diesem haben die Autoren wesentliche Hilfe erfahren. Die Autoren danken Ihren Kolleginnen und Kollegen Bernd Ammann, Luise Blank, Wolfgang Dreyer, Michael Hinze und Willi Merz f¨ ur wertvolle Anregungen. Ein besonderer Dank gilt Barbara Niethammer, die mit dem zweiten Autor eine Vorlesung u ¨ber Mathematische Modellierung an der Universit¨ at Bonn gehalten hat, von der vieles in das vorliegende Buch einging. F¨ ur sorgf¨ altiges Korrekturlesen des Manuskriptes danken wir Martin Butz, Daniel Depner, G¨ unther Gr¨ un, Robert Haas, Simon J¨orres, Fabian Klingbeil, David Kwak, Boris Nowak, Andre Oppitz, Alexander Prechtel und Bj¨orn Stinner. Beim Schreiben der Tex–Vorlagen wurden wir unterst¨ utzt von Frau Silke Berghof und ganz besonders von Frau Eva R¨ utz, die einen großen Teil des Manuskripts geschrieben und mit großem Engagement die zahlreichen Grafiken bearbeitet hat – beiden sei herzlich gedankt. F¨ ur die Covergrafik wurde eine numerische Simulation einer Karmanschen Wirbelstraße verwendet, die uns von Serge Kr¨ autle zur Verf¨ ugung gestellt wurde. Auch bei ihm, bei Ulrich Weikard, von dem Abbildung 6.14 stammt, und bei

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James D. Murray, der uns Abbildung 6.10 zur Verf¨ ugung gestellt hat, m¨ochten wir uns herzlich bedanken.

Bielefeld, Regensburg, Erlangen im Dezember 2007 Christof Eck Harald Garcke Peter Knabner

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Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.1 Was ist Modellierung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel der Populationsdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.3 Populationsmodell mit beschr¨ ankten Ressourcen . . . . . . . . . . . . .

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1.4 Dimensionsanalyse und Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Asymptotische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Anwendungen aus der Str¨ omungsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2

Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1 Elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Stabwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3 Optimierung mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

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Grundz¨ uge der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.1 Das Modell eines idealen Gases, die Maxwell–Boltzmann– Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2 Thermodynamische Systeme, das thermodynamische Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

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3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie . . . . . . 87 3.5 Thermodynamische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.6 Die Legendre–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.7 Der Kalk¨ ul der Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.8 Thermodynamik bei Mischungen, das chemische Potential . . . . 104 3.9 Chemische Reaktionen in Mehrspeziessystemen . . . . . . . . . . . . . . 111 3.10 Gleichgewichtspunkte chemischer Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.11 Kinetische Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.12 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.13 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4

Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.1 Eindimensionale Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik . . 142 4.3 Beispiele aus der Populationsdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.4 Qualitative Analysis, Phasenportraits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.5 Prinzip der linearisierten Stabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.6 Stabilit¨ at linearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.7 Variationsprobleme f¨ ur Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . 168 4.8 Optimale Steuerung gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen . . . . . 183 4.9 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 4.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

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Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.2 Teilchenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.3 Von der Teilchenmechanik zum kontinuierlichen Medium . . . . . 206 5.4 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.5 Erhaltungss¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.6 Konstitutive Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 5.7 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 5.8 Beobachterunabh¨ angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 5.9 Konstitutive Theorie f¨ ur viskose Fl¨ ussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 252

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5.10 Modellierung elastischer Feststoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 5.11 Elektromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 5.12 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 5.13 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 5.14 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 6

Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 6.1 Elliptische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 6.1.1 Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 6.1.2 Die Fundamentall¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 6.1.3 Mittelwertsatz und Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 6.1.4 Ebene Potentialstr¨ omungen, die Methode der komplexen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 6.1.5 Die Stokes–Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 6.1.6 Homogenisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 6.1.7 Optimale Steuerung elliptischer Differentialgleichungen . 337 6.1.8 Parameteridentifizierung und inverse Probleme . . . . . . . . 341 6.1.9 Lineare Elastizit¨ atstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 6.2 Parabolische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 6.2.1 Eindeutigkeit von L¨ osungen, die Energiemethode . . . . . . 350 6.2.2 Verhalten f¨ ur große Zeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 6.2.3 Separation der Variablen und Eigenfunktionen . . . . . . . . 356 6.2.4 Das Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 6.2.5 Die Fundamentall¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 6.2.6 Diffusionszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 6.2.7 Invariante Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 6.2.8 Allgemeine Anfangswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 6.2.9 Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 6.2.10 Laufende Wellen - Travelling Waves“ . . . . . . . . . . . . . . . . 369 ” 6.2.11 Reaktions–Diffusions–Gleichung und Laufende Wellen . . 371 6.2.12 Turing–Instabilit¨ at und Musterbildung . . . . . . . . . . . . . . . 377 6.2.13 Cahn–Hilliard–Gleichung und Musterbildung . . . . . . . . . . 385 6.3 Hyperbolische Erhaltungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 6.4 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

XIV

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6.5 Die Navier–Stokes–Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 6.6 Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 6.7 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 6.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 7

Probleme mit freiem Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 7.1 Hindernisprobleme und Kontaktprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 7.2 Freie R¨ ander in por¨ osen Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 7.3 Das Stefan–Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 7.4 Entropieungleichung f¨ ur das Stefan–Problem . . . . . . . . . . . . . . . . 457 7.5 Unterk¨ uhlte Fl¨ ussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 7.6 Gibbs–Thomson–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 7.7 Mullins–Sekerka–Instabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 7.8 A priori Absch¨ atzungen f¨ ur das Stefan–Problem . . . . . . . . . . . . . 465 7.9 Die Phasenfeldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 7.10 Freie Oberfl¨ achen in der Str¨ omungsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . 476 7.11 D¨ unne Filme und Lubrikationsapproximation . . . . . . . . . . . . . . . 480 7.12 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 7.13 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

A

Funktionenr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

B

Kr¨ ummung von Hyperfl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

1 Einfu ¨ hrung

1.1 Was ist Modellierung? Mit Modellierung bezeichnet man die Umsetzung konkreter Probleme aus Anwendungswissenschaften wie etwa der Physik, der Technik, der Chemie, der Biologie, den Wirtschaftswissenschaften, oder der Verkehrsplanung in eine wohldefinierte mathematische Aufgabenstellung. Bei der mathematischen Aufgabenstellung kann es sich zum Beispiel um eine Gleichung handeln, oder ein System aus mehreren Gleichungen, eine gew¨ohnliche oder partielle Differentialgleichung, oder ein System aus solchen Gleichungen, ein Optimierungsproblem, bei komplizierteren F¨ allen auch um eine Kombination solcher Probleme. Die Aufgabenstellung ist gut gestellt, wenn sie eine eindeutige L¨osung hat, und wenn diese L¨ osung stetig von den Daten des Anwendungsproblems abh¨angt. In der Regel sind die zu beschreibenden Ph¨anomene sehr komplex, und es ist nicht m¨ oglich oder nicht sinnvoll, alle Aspekte bei der Modellierung zu ber¨ ucksichtigen, weil zum Beispiel • nicht alle daf¨ ur notwendigen Daten bekannt sind, • das gewonnene Modell sich nicht mehr l¨ osen l¨asst, oder eine numerische L¨osung zu aufwendig ist, oder man die Existenz / Eindeutigkeit einer L¨osung nicht nachweisen kann. Deswegen beinhaltet fast jedes Modell Vereinfachungen und Modellannahmen. Typischerweise werden Einfl¨ usse mit unbekannten Daten vernachl¨assigt, oder nur n¨aherungsweise ber¨ ucksichtigt, und es werden komplizierte Effekte mit kleiner Auswirkung weggelassen oder stark vereinfacht. So ist es etwa bei der Berechnung der Flugbahn eines Fußballes sinnvoll, die klassische Newtonsche Mechanik zu verwenden, ohne die Relativit¨atstheorie zu ber¨ ucksichtigen. Letztere ist zwar streng genommen genauer, der Unterschied zur Newtonschen Mechanik ist aber f¨ ur die typischen Geschwindigkeiten eines Fußballs vernachl¨assigbar. Dies gilt insbesondere, wenn man sonstige Ungenauigkeiten C. Eck et al., Mathematische Modellierung, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-18424-6 1, 

2

1 Einf¨ uhrung

in den Daten, wie etwa leichte Variationen der Gr¨oße, des Gewichts, oder der Abschussgeschwindigkeit des Fußballs ber¨ ucksichtigt. Verf¨ ugbare Daten sind typischerweise gemessene Daten, und daher mit Messfehlern behaftet. Auch muss man bei diesem Beispiel zwar sicher die Erdanziehungskraft ber¨ ucksichtigen, kann aber getrost die Abh¨ angigkeit der Erdanziehung von der Flugh¨ohe des Balles vernachl¨ assigen. Ebenfalls vernachl¨ assigen kann man den Einfluss der Erdrotation. Nicht vernachl¨ assigbar ist dagegen der Einfluss des Luftwiderstandes. Die vernachl¨ assigbaren Effekte machen die Modellgleichungen komplizierter und erfordern zus¨ atzliche Daten, erh¨ohen aber die Genauigkeit der Ergebnisse nur unwesentlich. Bei der Herleitung eines Modells sollte man deshalb abw¨agen, welche Effekte wichtig sind und auf jeden Fall ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen, und welche Effekte vernachl¨ assigbar sind. Die Antworten auf diese Fragen h¨angen von der Zielsetzung bei der Modellierung ab. Beispielsweise sind die oben erw¨ahnten Modellannahmen f¨ ur die Flugbahn eines Fußballs sinnvoll, jedoch sicher nicht f¨ ur die Flugbahn einer Rakete in der Umlaufbahn der Erde. Auch w¨are ein exaktes Modell zur Berechnung des Wetters der n¨achsten sieben Tage aus Eingabedaten des Anfangstages f¨ ur Zwecke der Wettervorhersage v¨ollig nutzlos, wenn die L¨ osung des Modells auf dem st¨arksten verf¨ ugbaren Supercomputer neun Tage ben¨ otigen w¨ urde. H¨ aufig ist eine Abw¨agung zwischen der gew¨ unschten Genauigkeit von Vorhersagen des Modells und dem Aufwand zur L¨osung des Modells notwendig. Der Aufwand bemisst sich zum Beispiel nach der Zeit, die man zur L¨ osung des Modells ben¨otigt, bei numerischen L¨osungen auch nach den verf¨ ugbaren Rechenkapazit¨aten; in der Praxis wird der Aufwand h¨aufig in Kosten gemessen. Es kann aus diesen Gr¨ unden keine klare Trennung geben zwischen richtigen oder falschen Modellen, ein gegebenes Modell kann f¨ ur bestimmte Anwendungen und Zielsetzungen sinnvoll sein, f¨ ur andere dagegen nicht. Eine bei der Konstruktion von Modellen wichtige Frage ist, ob sich durch Weglassen bestimmter Terme die mathematische Struktur des Modells ¨andert. Beim Anfangswertproblem ε y  (x) + y(x) = 0 ,

y(0) = 1

mit kleinem Parameter ε f¨ uhrt das Weglassen des Terms εy  zum offensichtlich unl¨osbaren algebraischen Gleichungssystem y(x) = 0 ,

y(0) = 1 .

Der weggelassene Term ist also f¨ ur die mathematische Struktur des Problems entscheidend, unabh¨ angig davon, wie klein der Parameter ε ist. Man kann also nicht immer als klein identifizierte Terme einfach weglassen. Bei der Konstruktion eines guten mathematischen Modells sollte man vielmehr auch Aspekte der Analysis und Numerik der Modelle ber¨ ucksichtigen.

1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel der Populationsdynamik

3

Die wesentlichen Bestandteile eines mathematischen Modells sind • ein zu beschreibendes Anwendungsproblem, • eine Reihe von Modellannahmen, • eine mathematische Problemstellung, beispielsweise in Form einer mathematischen Relation, etwa einer Gleichung, einer Ungleichung, einer Differentialgleichung, oder mehrerer gekoppelter Relationen, oder eines Optimierungsproblems. Die Kenntnis der Modellannahmen ist wichtig, um den Anwendungsbereich und die Genauigkeit von Vorhersagen des Modells absch¨atzen zu k¨onnen. Das Ziel eines guten Modells ist es, aus bekannten, oder eventuell auch nur gesch¨atzten, Daten und Naturgesetzen f¨ ur ein gegebenes Anwendungsproblem und eine gegebene Fragestellung mit vertretbarem Aufwand eine m¨oglichst gute Antwort zu geben. Ein sinnvolles Modell sollte nur Daten ben¨otigen, die bekannt sind, oder f¨ ur die man zumindest plausible N¨aherungen ansetzen kann. Die Aufgabe besteht also darin, aus bekannten Daten m¨oglichst viel Information herauszuholen.

1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel der Populationsdynamik Wir betrachten in diesem Abschnitt zur Illustration einiger wichtiger Aspekte der Modellierung ein sehr einfaches Beispiel. Ein Bauer hat 200 Rinder und m¨ ochte diese Herde durch nat¨ urliches Wachstum, also ohne Zukauf von Tieren, auf 500 Rinder vergr¨ oßern. Nach einem Jahr stellt er fest, dass die Herde 230 Tiere z¨ahlt. Er m¨ ochte nun absch¨ atzen, wie lange es dauert, bis er sein Ziel erreicht hat. Eine sinnvolle Modellannahme ist, dass die Zunahme der Population von der Gr¨oße der Population abh¨ angt, da etwa eine doppelt so große Population auch doppelt so viel Nachwuchs haben sollte. Die zur Verf¨ ugung stehenden Daten sind • die Anfangszahl x(t0 ) = 200 von Tieren zu einem Anfangszeitpunkt t0 , • ein Zeitinkrement Δt = 1 Jahr, • ein Wachstumsfaktor von r = 230/200 = 1,15 pro Tier und Zeitinkrement Δt. Setzt man tn = t0 + nΔt und bezeichnet man mit x(t) die Anzahl der Tiere zum Zeitpunkt t, so kann man u ¨ber den bekannten Wachstumsfaktor die Rekursionsformel x(tn+1 ) = r x(tn ) (1.1)

4

1 Einf¨ uhrung

herleiten. Aus der Rekursionsformel erh¨ alt man x(tn ) = r n x(t0 ) . Die Aufgabe l¨asst sich nun formulieren als: Finde ein n so dass x(tn ) = 500. Die L¨osung ist 

 n ln(r) = ln

x(tn ) x(t0 )



 500 ln 200 , oder n = ≈ 6, 6. ln(1,15)

Der Bauer muss also 6,6 Jahre warten. Dies ist ein einfaches Populationsmodell, das im Prinzip auch auf andere Probleme der Biologie anwendbar ist, etwa das Wachstum von anderen Tierpopulationen, von Pflanzen oder Bakterien; es ist auch einsetzbar f¨ ur scheinbar v¨ollig andere Problemstellungen, wie zum Beispiel der Berechnung von Zinsen oder des Abk¨ uhlens von K¨ orpern, siehe dazu auch die Aufgaben 1.1 und 1.2. Ohne es m¨oglicherweise zu registrieren, haben wir bei der Herleitung allerdings schon eine Reihe von wichtigen Modellannahmen getroffen, die manchmal erf¨ ullt sind, oft aber auch nicht. Insbesondere wurde der Einfluss folgender Effekte vernachl¨assigt: • die r¨aumliche Verteilung der Population, • begrenzte Ressourcen, zum Beispiel in Form von Nahrung, • Populationsverlust durch nat¨ urliche Feinde. Weitere, ebenfalls vernachl¨ assigte Details sind zum Beispiel die Altersverteilung in der Population, die Einfluss auf die Sterberate und die Geburtenrate hat, oder die Aufteilung in weibliche und m¨annliche Tiere. Auch f¨ uhrt das Modell zu nichtganzzahligen Populationsgr¨oßen, die bei der betrachteten Aufgabenstellung streng genommen unrealistisch sind. Diese Vereinfachungen und Defizite machen das Modell nicht wertlos, man muss sie aber kennen und ber¨ ucksichtigen, um das Ergebnis richtig einsch¨atzen zu k¨onnen. Insbesondere sollte man unser Resultat von 6,6 Jahren nicht zu genau nehmen, sondern so interpretieren, dass der Bauer sein Ziel voraussichtlich im Verlauf des 7. Jahres erreicht. ¨ Ein aus dem Gesichtspunkt der mathematischen Asthetik nicht optimaler Aspekt des beschriebenen Modells ist das willk¨ urlich gew¨ahlte Zeitinkrement von einem Jahr. Dieses hat zwar f¨ ur die hier betrachtete Anwendung noch eine sinnvolle Bedeutung, trotzdem k¨ onnte man statt eines Inkrements von einem Jahr auch eines von drei Monaten w¨ ahlen, oder von zwei Jahren. Außerdem

1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel der Populationsdynamik

5

ben¨otigen wir zwei Daten, n¨ amlich das Zeitinkrement und die Wachstumsrate. Beide Daten h¨ angen voneinander ab, was andeutet, dass man das Wachstum vielleicht auch mit nur einer Zahl beschreiben k¨onnte. Als ersten Ansatz k¨onnte man vermuten, dass der Wachstumsfaktor linear vom Zeitinkrement abh¨angt, also r = 1 + Δt p mit einem noch unbekannten Faktor p. Aus r = 1,15 f¨ ur Δt = 1 Jahr folgt dann p = 0,15/Jahr. F¨ ur Δt = 2 Jahre hat man also r = 1,3. Nach 6 Jahren, also 3 mal 2 Jahren, hat der Bauer 200 · 1,33 = 439,4 Rinder. Nach dem alten“ Modell mit Δt = 1 Jahr hat er ” 200 · 1,156 ≈ 462,61 Tiere. Die Vermutung eines linearen Zusammenhangs zwischen r und Δt ist also offensichtlich falsch. Ein besserer Ansatz ist der Grenz¨ ubergang Δt → 0: x(t + Δt) ≈ (1 + Δt p) x(t) f¨ ur kleines“ Δt , ” oder pr¨aziser lim

Δt→0

oder

x(t + Δt) − x(t) = p x(t) , Δt x (t) = p x(t) .

(1.2)

Dies ist ein kontinuierliches Modell als gew¨ ohnliche Differentialgleichung, das kein willk¨ urlich gew¨ ahltes Zeitinkrement mehr enth¨alt. Es besitzt die exakte L¨osung x(t) = x(t0 ) ep(t−t0 ) . F¨ ur das bekannte Zeitinkrement Δt = 1 Jahr erh¨alt man mit dem bekannten Wachstumsfaktor r = 1,15 ep·1 Jahr = 1,15 und damit p = ln(1,15)/Jahr ≈ 0,1398/Jahr . Dies ist ein kontinuierlicher Wachstumsexponent. Das diskrete Modell (1.1) kann auch als spezielle numerische Diskretisierung des kontinuierlichen Modells aufgefasst werden. Anwendung des expliziten Euler–Verfahrens mit Zeitschritt Δt auf (1.2) liefert x(ti+1 ) = x(ti ) + Δt p x(ti ) , oder x(ti+1 ) = (1 + Δt p) x(ti ) , das ist (1.1) mit r = 1 + Δt p. Hier muss man im Fall p < 0 ein Zeitinkrement Δt < (−p)−1 w¨ ahlen, um eine sinnvolle iterative Folge zu bekommen. Mit dem impliziten Euler–Verfahren folgt

6

1 Einf¨ uhrung

x(ti+1 ) = x(ti ) + Δt p x(ti+1 ) , oder x(ti+1 ) = (1 − Δt p)−1 x(ti ) , also (1.1) mit r = (1 − Δt p)−1 . F¨ ur p > 0 muss man hier Δt < p−1 w¨ahlen. Durch Taylor–Entwicklung sieht man, dass die beiden unterschiedlichen Fak  toren f¨ ur kleines Δt bis auf einen Fehler der Ordnung O (Δt)2 “ u berein¨ ” stimmen:   (1 − Δt p)−1 = 1 + Δt p + O (Δt p)2 . Der Zusammenhang zwischen kontinuierlichem und diskretem Modell kann durch eine Analysis der Konvergenzeigenschaften des numerischen Verfahrens hergestellt werden. F¨ ur das (explizite oder implizite) Euler–Verfahren erh¨alt man zum Beispiel |x(ti ) − xi | ≤ C(te ) Δt , wobei x(ti ) die exakte L¨ osung von (1.2) zur Zeit ti und xi die N¨aherungsl¨osung des numerischen Verfahrens ist und ti ≤ te gelten soll. F¨ ur Details u ¨ber die Analyse numerischer Verfahren f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen verweisen wir auf die B¨ ucher von Stoer und Bulirsch [115] und Deuflhard und Bornemann [27]. Beide Modelle, das diskrete und das kontinuierliche, haben den scheinbaren Nachteil, dass sie auch nichtganzzahlige L¨ osungen zulassen, die beim betrachteten Beispiel offensichtlich unrealistisch sind. Das Modell beschreibt — wie jedes andere Modell auch — nicht die gesamte Realit¨at, sondern liefert nur ein idealisiertes Bild. Das Modell ist f¨ ur kleine Populationen ohnehin nicht so gut, insbesondere auch, weil der Zuwachs dann stark vom Zufall abh¨angt und deterministisch sowieso nicht genau berechnet werden kann. F¨ ur kleine Populationen sind die getroffenen Modellannahmen fragw¨ urdig, insbesondere die Vernachl¨assigung des Alters und des Geschlechts der Tiere. Im extremen Fall einer Herde aus zwei Tieren wird das Wachstum sehr stark davon abh¨angen, ob es sich um ein m¨ annliches und ein weibliches Tier handelt, oder nicht. Bei einer großen Population kann man mit einiger Berechtigung annehmen, dass diese eine charakteristische, gleichm¨ aßige Verteilung des Alters und des Geschlechts aufweist, so dass die Voraussetzung eines zur Population proportionalen Wachstums sinnvoll ist. Die Ersetzung von ganzzahligen Werten durch reelle Zahlen spiegelt hier auch eine Ungenauigkeit des Modells wieder. Es ist daher auch nicht sinnvoll, ganzzahlige Werte im Modell zu erzwingen, dies w¨ urde in der Praxis eine unrealistische Vorstellung von der Genauigkeit des Modells vermitteln. F¨ ur kleine Populationen ist statt des deterministischen Modells ein stochastisches Modell sinnvoll, das dann aber auch nur“ ” Aussagen u ¨ber eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Populationsgr¨oße liefern w¨ urde. Entdimensionalisierung Die Gr¨oßen in mathematischen Modellen haben in der Regel eine physikalische Dimension. Im Populationsmodell (1.2) haben wir eine Zahl und eine

1.2 Aspekte der Modellierung am Beispiel der Populationsdynamik

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Zeiteinheit. Wir bezeichnen mit [f ] die physikalische Dimension einer Gr¨oße f , mit A eine Anzahl und mit T eine Zeit. Es gilt [t] = T , [x(t)] = A , A [x (t)] = , T 1 [p] = . T Die Angabe einer physikalischen Dimension ist noch keine Entscheidung u ¨ber die physikalische Maßeinheit, in der man die Gr¨oße beschreiben m¨ochte. Als Zeiteinheit kann man etwa Sekunden, Minuten, Stunden, Tage, Wochen oder Jahre nehmen. Wenn man die Zeit in Jahren misst, wird t in Jahren, x(t) durch eine Zahl, x (t) in 1/Jahre und p ebenfalls in 1/Jahre angegeben. Um einerseits m¨oglichst einfache Modelle zu erhalten, und andererseits charakteristische Gr¨oßen in einem Modell zu ermitteln, kann man Modellgleichungen entdimensionalisieren. Dazu definiert man f¨ ur jede auftretende Dimension eine charakteristische Gr¨ oße, entsprechend einer Maßeinheit. Man w¨ahlt daf¨ ur aber keine der u ¨blichen Einheiten wie etwa Sekunde oder Stunde, sondern w¨ahlt problemangepasste Einheiten. Beim Populationsmodell hat man zwei Dimensionen, man ben¨ otigt also zwei charakteristische Gr¨oßen, die charakteristische Anzahl x und die charakteristische Zeit t. Diese werden zun¨achst so gew¨ahlt, dass die Anfangsdaten t0 und x0 = x(t0 ) m¨oglichst einfach sind. Als Zeitmaß bietet sich demnach τ=

t − t0 t

mit einer noch zu spezifizierenden Zeiteinheit t an, als Maß f¨ ur die Anzahl x = x0 . Setzt man y=

x x

und dr¨ uckt y als Funktion von τ aus, y(τ ) =

x(tτ + t0 ) , x

so erh¨alt man y  (τ ) = und damit das Modell

t  x (t) x

x  y (τ ) = p x y(τ ) . t

8

1 Einf¨ uhrung

Dieses Modell wird am einfachsten f¨ ur t=

1 . p

(1.3)

Man erh¨alt dann das Anfangswertproblem y  (τ ) = y(τ ) ,

(1.4)

y(0) = 1 . Dieses Modell hat die L¨ osung y(τ ) = eτ .

Man kann aus dieser L¨ osung durch R¨ ucktransformation alle L¨osungen des urspr¨ unglichen Modells (1.2) gewinnen: x(t) = x y(τ ) = x0 y(p(t − t0 )) = x0 ep(t−t0 ) . Der Vorteil der Entdimensionalisierung ist hier also, dass man die L¨osung aller Populationsmodelle vom beschriebenen Typ durch Wahl der Einheiten auf ein einziges Problem zur¨ uckf¨ uhren kann. Man beachte, dass dies unabh¨ angig vom Vorzeichen von p gilt, obwohl das Verhalten der L¨osung f¨ ur p > 0 und p < 0 unterschiedlich ist. F¨ ur p < 0 ist die L¨ osung von (1.2) gegeben durch die L¨osung von (1.4) auf dem Zweig τ < 0. Die Skalierungsbedingung (1.3) kann man auch mit Hilfe einer Dimensionsanalyse gewinnen. Man stellt dazu die gesuchte charakteristische Zeit t dar als Produkt von Potenzen der anderen charakteristischen Parameter im Modell, t = pn xm 0 mit n, m ∈ Z . Durch Berechnung der Dimension folgt [t] = [p]n [x0 ]m und damit T =

 n 1 Am . T

Diese Gleichung hat die einzige L¨ osung n = −1, m = 0, wenn man die Anzahl als eigenst¨andige Dimension interpretiert. Wir erhalten also gerade (1.3). Bei komplexeren Modellen kann man durch Entdimensionalisierung das Modell typischerweise nicht auf ein einziges Problem reduzieren, man kann aber die Anzahl der relevanten Parameter stark reduzieren und charakteristische Parameter identifizieren. Dies ist insbesondere f¨ ur Experimente wichtig, zum Beispiel kann man aus den Ergebnissen einer Entdimensionalisierung von Gleichungen f¨ ur Luftstr¨ omungen herauslesen, wie man die Umstr¨omung eines Flugzeugs an einem viel kleineren Modell experimentell messen kann. Wir werden die Dimensionsanalyse in einem der n¨achsten Abschnitte an einem aussagekr¨aftigeren Beispiel noch einmal erl¨ autern.

1.3 Populationsmodell mit beschr¨ ankten Ressourcen

9

1.3 Populationsmodell mit beschr¨ ankten Ressourcen F¨ ur große Populationen in der Natur ist eine konstante Wachstumsrate nicht mehr realistisch. Durch Beschr¨ ankung des Lebensraums, der verf¨ ugbaren Nahrungsmittel oder andere Mechanismen sind dem unbeschr¨ankten Wachstum Grenzen gesetzt. Um ein f¨ ur solche Situationen geeignetes Modell zu konstruieren, nehmen wir an, dass es eine gewisse Kapazit¨at xM gibt, f¨ ur die die Ressourcen des Lebensraums gerade noch ausreichen. F¨ ur Populationsgr¨oßen x kleiner als xM kann die Population noch wachsen, f¨ ur Werte gr¨oßer als xM nimmt die Population ab. Dies bedeutet, dass die Wachstumsrate p nun von der Population x abh¨ angt, p = p(x), und dass p(x) > 0 f¨ ur 0 < p < xM , p(x) < 0 f¨ ur p > xM gelten soll. Als einfachsten Zusammenhang kann man einen linearen Ansatz f¨ ur p w¨ahlen, p(x) = q(xM − x) f¨ ur alle x ∈ R mit einem Parameter q > 0. Mit diesem Ansatz erhalten wir das Differentialgleichungsmodell x (t) = q xM x(t) − q x(t)2 . (1.5) Der zus¨atzliche Term −q x(t)2 ist proportional zur Wahrscheinlichkeit f¨ ur die Anzahl der Kontakte zweier Exemplare der Population pro Zeiteinheit. Er beschreibt also die zunehmende Konkurrenzsituation bei zunehmender Populationsgr¨oße, die sogenannte soziale Reibung“. Die Gleichung (1.5) wurde ” vom holl¨andischen Biomathematiker Verhulst vorgeschlagen und wird als logistische Differentialgleichung oder als Gleichung des beschr¨ ankten Wachstums bezeichnet. Gleichung (1.5) l¨asst sich ebenfalls noch analytisch l¨osen, man vergleiche dazu auch Aufgabe 1.3. Aus x =q x(xM − x) folgt mit der Partialbruchzerlegung 1 x(xM

1 = − x) xM



1 1 + x xM − x



durch Integration ln(x(t)) − ln |xM − x(t)| = xM qt + c1 ,

c1 ∈ R .

Wir erhalten, nach Wahl einer geeigneten Konstante c2 ∈ R, x(t) = c2 exM qt , xM − x(t)

10

1 Einf¨ uhrung

und

c2 xM exM qt xM = . 1 + c2 exM qt 1 + c3 e−xM qt

x(t) =

Mit der Anfangsbedingung x(t0 ) = x0 folgt x(t) =

xM x0 . x0 + (xM − x0 )e−xM q(t−t0 )

(1.6)

Aus dieser exakten L¨ osung lassen sich leicht folgende Eigenschaften ablesen: • Die L¨osung bleibt, wenn x0 positiv ist, immer positiv. • F¨ ur t → +∞ konvergiert die L¨ osung, wenn x0 positiv ist, gegen den Gleichgewichtspunkt x∞ = xM . Den Graphen von x kann man auch ohne Kenntnis der exakten L¨osung skizzieren. Aus (1.5) folgt zun¨ achst x > 0 , falls x < xM , x < 0 , falls x > xM . Weiter gilt x = (x ) = (q (xM − x) x) = q(xM − x) x − q x x = q(xM − 2x)x = q 2 (xM − 2x)(xM − x) x . Daraus folgt x > 0 , falls x ∈ (0, xM /2) ∪ (xM , ∞) , x < 0 , falls xM /2 < x < xM . Die L¨osungskurven haben also bei xM /2 einen Wendepunkt und sind zwischen xM /2 und xM konkav und sonst konvex. L¨ osungen der logistischen Differentialgleichung sind in Abbildung 1.1 dargestellt. Station¨ are L¨ osungen Komplexere zeitabh¨ angige Modelle k¨ onnen h¨ aufig nicht analytisch gel¨ost werden. Es ist dann oft n¨ utzlich, zeitunabh¨ angige L¨osungen zu identifizieren. Solche L¨osungen kann man aus dem zeitabh¨ angigen Modell berechnen, wenn man alle Zeitableitungen dort Null setzt. F¨ ur unser Modell mit beschr¨anktem Wachstum erh¨alt man 0 = qxM x − qx2 . Diese Gleichung hat die zwei L¨ osungen x0 = 0 und x1 = xM .

1.3 Populationsmodell mit beschr¨ ankten Ressourcen

11

x

xM

xM 2

t Abb. 1.1. L¨ osungen der logistischen Differentialgleichung

Dies sind L¨osungen des urspr¨ unglichen Modells zu speziellen Anfangsdaten. Zeitunabh¨angige L¨ osungen treten oft als sogenannter station¨ arer Limes beliebiger L¨osungen f¨ ur große Zeiten auf, also als zeitlich konstante L¨osung, gegen die eine zeitabh¨angige L¨ osungen f¨ ur große Zeiten konvergiert. Dies passiert typischerweise nur dann, wenn die station¨ are L¨osung stabil ist im folgenden Sinn: Wenn die Anfangsdaten wenig ge¨ andert werden, dann a¨ndert sich die L¨osung auch wenig. Aus der exakten L¨ osung (1.6) l¨asst sich die Frage nach der Stabilit¨at leicht beantworten: Die L¨ osung zum Anfangswert x(t0 ) = ε mit kleinem ε > 0 ist gegeben durch xε (t) =

xM ε , ε + (xM − ε)e−xM q(t−t0 )

sie konvergiert f¨ ur t → +∞ gegen xM , die station¨are L¨osung x0 = 0 ist also nicht stabil. F¨ ur x(t0 ) = xM + ε mit kleinem ε = 0 ist die L¨ osung xε (t) =

xM (xM + ε) , (xM + ε) − ε e−xM q(t−t0 )

sie konvergiert f¨ ur t → +∞ gegen xM . Aus xε (t) = q xε (t)(xM − xε (t)) sieht man auch ohne exakte L¨ osung, dass der Abstand zu xM im Lauf der Zeit h¨ochstens kleiner werden kann, denn aus xε (t) > xM folgt xε (t) < 0 und

12

1 Einf¨ uhrung

aus xε (t) < xM folgt xε (t) > 0. Die station¨ are L¨osung xM ist also stabil. Stabilit¨at ist wichtig, weil in der Natur in der Regel keine instabilen station¨aren L¨osungen beobachtet werden k¨ onnen, diese also f¨ ur praktische Anwendungen typischerweise irrelevant sind. F¨ ur kompliziertere Modelle kann man manchmal keine exakte L¨ osung der zeitabh¨ angigen Gleichung ausrechnen. Es gibt jedoch Techniken der Stabilit¨atsanalyse, mit deren Hilfe man h¨aufig trotzdem die Stabilit¨atseigenschaften von bekannten station¨aren L¨osungen ausrechnen kann. Oft geschieht dies mit Hilfe von Linearisierungen um die station¨are L¨osung und der Berechnung von Eigenwerten des linearisierten Operators. Dies wird in Kapitel 4 n¨ aher erl¨ autert.

1.4 Dimensionsanalyse und Skalierung Wir wollen nun die Dimensionsanalyse an Hand eines etwas aussagekr¨aftigeren Beispiels erl¨ autern. Wir betrachten einen K¨orper der Masse m, der im Gravitationsfeld eines Planeten (zum Beispiel der Erde) senkrecht nach oben geworfen wird. Die Bewegung des K¨ orpers wird beschrieben durch das Newtonsche Gesetz F a= , m wobei a die Beschleunigung des K¨ orpers und F die auf den K¨orper wirkende Kraft ist. Letztere wird beschrieben durch das Gravitationsgesetz F = −G

mE m , (x + R)2

wobei G ≈ 6,674 · 10−11 N · m2 /kg2 die Gravitationskonstante ist, mE die Masse des Planeten, R der Radius des Planeten und x die H¨ohe des K¨orpers, gemessen von der Oberfl¨ ache des Planeten. Dabei wird der Str¨omungswiderstand in der Atmosph¨ are vernachl¨ assigt und der Planet als Kugel betrachtet. Definiert man die Konstante g als GmE , R2

g= so erh¨alt man F =−

gR2 m . (x + R)2

F¨ ur die Erde ist g = 9,80665 m/s2 die Erdbeschleunigung. Die Bewegung des K¨ orpers wird damit beschrieben durch die Differentialgleichung x (t) = −

gR2 . (x(t) + R)2

Diese wird erg¨anzt durch zwei Anfangsbedingungen,

(1.7)

1.4 Dimensionsanalyse und Skalierung

x(0) = 0 ,

13

x (0) = v0 ,

wobei v0 die Anfangsgeschwindigkeit bezeichnet. F¨ ur W¨ urfe auf der Erde wird typischerweise der Term x(t) im Nenner von (1.7) weggelassen, weil er, verglichen mit dem Erdradius, sehr klein ist. Wir wollen diesen Ansatz systematisch untersuchen. Dazu f¨ uhren wir zun¨achst eine Entdimensionalisierung durch. Als Beispiel benutzen wir die Daten 2

g = 10 m/s ,

R = 107 m und v0 = 10 m/s ,

deren Gr¨oßenordnungen etwa denen eines Wurfes auf der Erde entsprechen. Die auftretenden Dimensionen sind L f¨ ur die L¨ange und T f¨ ur die Zeit. Die gegebenen Daten sind die Anfangsgeschwindigkeit v0 mit Dimension [v0 ] = L/T , die Planetenbeschleunigung“ g mit Dimension [g] = L/T 2 und der ” Radius R mit Dimension [R] = L. Die unabh¨ angige Variable ist die Zeit t mit Dimension [t] = T , die gesuchte Gr¨ oße ist die H¨ohe x mit Dimension [x] = L. Wir suchen zun¨achst alle Darstellungen der Form Π = v0a g b Rc , die entweder dimensionslos sind (Fall (i)), oder die Dimension einer L¨ange haben (Fall (ii)), oder die Dimension einer Zeit haben (Fall (iii)). Aus  a  b L L [Π] = Lc = La+b+c T −a−2b T T2 folgt: Fall (i): Es ist a + b + c = 0, −a − 2b = 0, also a = −2b, c = b und damit  Π=

gR v02

b .

Als charakteristischen dimensionslosen Parameter kann man also zum Beispiel v2 ε= 0 (1.8) gR identifizieren; alle anderen dimensionslosen Parameter sind eine Potenz dieses Parameters. Fall (ii): Es ist a + b + c = 1, a + 2b = 0 und damit a = −2b, c = 1 + b. Als charakteristische L¨ angeneinheit erh¨ alt man  = v0−2b g b R1+b = R ε−b , mit noch nicht spezifizierter Konstante b.

14

1 Einf¨ uhrung

Fall (iii): Es ist a + b + c = 0, a + 2b = −1 und damit a = −1 − 2b, c = b + 1. Eine charakteristische Zeiteinheit ist demnach τ = v0−1−2b g b Rb+1 =

R −b ε . v0

Wir werden nun versuchen, Gleichung (1.7) zu entdimensionalisieren. Dazu betrachten wir eine L¨ angeneinheit x und eine Zeiteinheit t und stellen x(t) dar als x(t) = x y(t/t) . Aus (1.7) folgt x t oder

x 2

t g

2

y  (τ ) = −

y  (τ ) = −

gR2 (x y(τ ) + R)2

1 . ((x/R) y(τ ) + 1)2

Diese Gleichung wird erg¨ anzt durch die Anfangsbedingungen y(0) = 0 und y  (0) =

t v0 . x

Wir wollen nun x und t so w¨ ahlen, dass m¨ oglichst viele der auftretenden Parameter gleich Eins sind. Es gibt hier jedoch mehr Parameter als Skalierungseinheiten, n¨ amlich die drei Parameter x 2

t g

,

x t und v0 . R x

Man kann daher nur jeweils zwei Parameter auf Eins setzen und hat somit drei verschiedene M¨ oglichkeiten:  x x R a) 2 = 1 und = 1 folgt aus x = R, t = , der dritte Parameter ist R g t g √ t v0 dann v0 = √ = ε mit dem ε aus (1.8). Das Modell reduziert sich x Rg zu √ 1 y  (τ ) = − , y(0) = 0 , y  (0) = ε . (1.9) 2 (y(τ ) + 1) b)

R x t alt man f¨ ur x = R und t = , der dritte = 1 und v0 = 1 erh¨ x v0 R 2 x v Parameter ist dann 2 = 0 = ε, das dimensionslose Modell ist Rg t g ε y  (τ ) = −

1 , (y(τ ) + 1)2

y(0) = 0 ,

y  (0) = 1 .

1.4 Dimensionsanalyse und Skalierung

c)

x 2

t g ist

= 1 und

15

t v0 v2 v0 = 1 folgt f¨ ur t = und x = 0 . Der dritte Parameter x g g

x v2 = 0 = ε. Das dimensionslose Modell ist also R gR y  (τ ) = −

1 , (ε y(τ ) + 1)2

y(0) = 0 ,

y  (0) = 1 .

(1.10)

Wir wollen nun die drei entdimensionalisierten Gleichungen f¨ ur das oben erw¨ahnte Anwendungsbeispiel bewerten und vergleichen. F¨ ur R = 107 m, g = 10 m/s2 und v0 = 10 m/s ist der Parameter ε sehr klein, ε=

v2 = 10−6 . Rg

Wir werden daher Terme der Gr¨ oßenordnung ε in den Gleichungen vernachl¨assigen. Modell a) ist dann y  (τ ) = −

1 , (y(τ ) + 1)2

y(0) = 0 ,

y  (0) = 0 .

Wegen y  (0) < 0 und y  (0) = 0 liefert dieses Modell negative L¨osungen, es ist damit vollkommen ungenau und unbrauchbar. Der Grund liegt in der Skalierung innerhalb der Entdimensionalisierung: Die Parameter t und x sind hier  R t= = 103 s und x = 107 m , g beide Skalen sind f¨ ur das untersuchte Problem viel zu groß. Die maximal erreichte H¨ohe und der Zeitpunkt, zu dem sie erreicht wird, sind viel kleiner als die Skalen x f¨ ur L¨ ange und t f¨ ur Zeit und daher im entdimensionalisierten Modell kaum zu erkennen“. ” Modell b) wird zu 0=−

1 , (y(τ ) + 1)2

y(0) = 0 , y  (0) = 1 .

Dieses Problem ist nicht gut gestellt, es hat keine L¨osung. Hier sind die gew¨ahlten Zeit- und L¨angenskalen ebenfalls viel zu groß, t=

R = 106 s und x = R = 107 m . v0

Modell c) wird zu y  (τ ) = −1 ,

y(0) = 0 ,

y  (0) = 1 .

(1.11)

16

1 Einf¨ uhrung

Dieses Modell hat die L¨ osung 1 y(τ ) = τ − τ 2 2 und beschreibt damit die typische parabelf¨ ormige Weg–Zeit–Kurve eines Wurfes im Schwerefeld der Erde ohne Ber¨ ucksichtigung des Luftwiderstandes. Die R¨ ucktransformation x(t) = x y(t/t) =

v02 y(gt/v0 ) g

liefert

1 x(t) = v0 t − gt2 . 2 Dies entspricht der L¨ osung von (1.7), wenn man dort den Term x(t) im Nenner vernachl¨assigt. Die L¨ angenskalen in der Entdimensionalisierung haben hier sinnvolle Werte, v0 v2 t= = 1 s , x = 0 = 10 m . g g F¨ ur die betrachtete Anwendung ist also die Entdimensionalisierungsversion c) die richtige“. Versionen a) und b) sind zwar ebenfalls mathematisch korrekt, ” man kann aber dort den kleinen Parameter ε nicht vernachl¨assigen, weil sein Einfluss durch die (zu) großen Skalierungsparameter t und x verst¨arkt wird.

1.5 Asymptotische Entwicklung Wir werden nun eine Technik einf¨ uhren, mit der man das vereinfachte Modell verbessern kann. Die Grundidee dazu ist, im exakten Modell (1.10) den Term der Gr¨oßenordnung ε nicht komplett zu vernachl¨assigen, sondern eine Reihenentwicklung f¨ ur die L¨ osung von (1.10) bez¨ uglich ε zu versuchen, um genauere L¨osungen zu erhalten. Die Terme h¨ oherer Ordnung in ε bestimmt man, indem man die Reihenentwicklung in (1.10) einsetzt und dann die Gleichungen l¨ost, die sich zu jeder Ordnung in ε ergeben. Wir wollen dieses Vorgehen, das man als Methode der asymptotischen Entwicklung bezeichnet, zun¨ achst an einem einfachen algebraischen Beispiel diskutieren. Wir betrachten die Gleichung x2 + 0,002 x − 1 = 0 .

(1.12)

Der zweite Summand hat einen kleinen Vorfaktor. Setzen wir ε = 0,001 1, so erhalten wir x2 + 2εx − 1 = 0 . (1.13) Wir wollen nun L¨ osungen x dieser Gleichung durch eine Reihenentwicklung der Form

1.5 Asymptotische Entwicklung

x0 + εα x1 + ε2α x2 + · · · mit α > 0

17

(1.14)

ann¨ahern. Wir werden nun aber zun¨ achst allgemein definieren, was wir unter einer asymptotischen Entwicklung verstehen. Es sei x : (−ε0 , ε0 ) → R, ε > 0, eine geN  gebene Funktion. Eine Reihe φk (ε)xk heißt asymptotische Entwicklung k=0

von x(ε) zur Ordnung N ∈ N ∪ {∞} bzgl. der Reihe (φn (ε))n∈N0 , falls f¨ ur M = 0, 1, 2, 3, . . . , N x(ε) −

M

φk (ε)xk = O(φM (ε))

f¨ ur ε → 0

k=0

gilt. Ist N = ∞, so schreiben wir in diesem Fall x(ε) ∼

∞

φk (ε)xk

f¨ ur ε → 0 .

k=0

Ist φk (ε) = εk , so sprechen wir von einer asymptotischen Entwicklung von x(ε) nach Potenzen von ε. An dieser Stelle sei ausdr¨ ucklich darauf hingewiesen, dass die asymptotischen Entwicklungen zu beliebiger Ordnung existieren k¨onnen, obwohl die entsprechenden unendlichen Reihen f¨ ur jedes ε = 0 divergieren. Insbesondere kann eine asymptotische Entwicklung also existieren, obwohl die Taylorentwicklung f¨ ur x(ε) f¨ ur kein ε = 0 konvergiert. Wir setzen nun die asymptotische Entwicklung (1.14) in (1.13) ein und erhalten x20 + 2εα x0 x1 + · · · + 2ε(x0 + εα x1 + · · · ) − 1 = 0 . Wenn diese Identit¨ at richtig sein soll, muss sie insbesondere f¨ ur kleine ε richtig sein. Alle Terme, die keinen Faktor ε (oder εα ) besitzen, m¨ ussen sich zu Null addieren. Solche Terme sind von der Ordnung 1. Wir schreiben O(1) beziehungsweise O(ε) und sammeln dabei nur die Terme, die genau von der Ordnung 1 beziehungsweise ε sind. Die Gleichung zur Ordnung 1 ist O(1) :

x20 − 1 = 0 .

Die L¨osungen sind x0 = ±1. Insbesondere hat die Gleichung zur Ordnung O(1) genau so viele L¨osungen wie das urspr¨ ungliche Problem. Dies ist eine Voraussetzung, um von einem regul¨ ar gest¨ orten Problem zu sprechen. Sp¨ater werden wir sehen, wann wir von regul¨ aren und wann wir von singul¨ aren St¨orungen sprechen. Jetzt betrachten wir die Terme zur n¨ achsth¨ oheren Ordnung in ε. Welche das sind, h¨angt davon ab, ob α < 1, α > 1 oder α = 1 gilt. Ist α < 1, so folgt aus den Termen der Ordnung εα zun¨ achst x1 = 0, und aus den Termen der

18

1 Einf¨ uhrung

Ordnung εjα sukzessive xj = 0 f¨ ur 1 ≤ j < 1/α. Falls α = 1/k mit k ∈ N gilt, dann folgt aus dem Term der Ordnung kα = 1 2x0 xk + 2x0 = 0 und damit xk = −1. Im weiteren Verlauf der asymptotischen Entwicklung stellt man fest, dass f¨ ur die Terme der Ordnung j mit αj ∈ / N immer xj = 0 herauskommt, da der Term der Ordnung εαj durch 2x0 xj gegeben ist. Somit bleiben nur die Terme xkn mit n ∈ N u ur die entsprechenden Potenzen ¨brig. F¨ εknα gilt knα ∈ N. Der Potenzreihenansatz mit α < 1, α = 1/k, k ∈ N, f¨ uhrt also auf dasselbe Ergebnis wie der Ansatz α = 1, und ist somit unn¨otig kompliziert. Falls α = 1/k f¨ ur alle k ∈ N gilt, dann folgt f¨ ur den Term der Ordnung ε 2x0 = 0 , was im Widerspruch zu den bereits berechneten L¨osungen x0 = ±1 steht. Der Ansatz α < 1 ist demnach nicht sinnvoll. Im Fall α > 1 w¨are der Term der Ordnung ε ebenfalls durch 2x0 = 0 gegeben; dies ist aber, wie wir gerade gesehen haben, nicht m¨ oglich. Somit bleibt als einzige sinnvolle Wahl α = 1 und wir erhalten zur Ordnung ε die Gleichung O(ε) :

2x0 x1 + 2x0 = 0 .

Die einzige L¨osung ist x1 = −1. Ber¨ ucksichtigen wir auch Terme der n¨ achsth¨ oheren Ordnung ε2 , so erhalten wir x20 + 2εx0 x1 + ε2 x21 + 2ε2 x2 x0 + 2ε(x0 + εx1 + ε2 x2 ) − 1 = 0 und die Terme der Ordnung ε2 ergeben die Identit¨at O(ε2 ) :

x21 + 2x2 x0 + 2x1 = 0 .

Damit gilt x2 =

1 1 (x0 )−1 = ± . 2 2

Gleichung (1.12) entspricht (1.13) f¨ ur ε = 10−3 . Wir erwarten daher, dass die Zahlen x0 , x0 + εx1 , x0 + εx1 + ε2 x2 gute N¨aherungen der L¨ osungen von (1.12) sind, falls wir ε = 10−3 setzen. Es folgt x0 x0 + εx1 x0 + εx1 + ε2 x2 exakte L¨osungen 1 0,999 0,9990005 0,9990005 · · · −1 −1,001 −1,0010005 −1,0010005 · · ·

1.5 Asymptotische Entwicklung

19

Die Reihenentwicklung liefert also schon bei der Ber¨ ucksichtigung weniger Terme sehr gute N¨ aherungen. Interessant wird dieses Vorgehen nat¨ urlich erst bei komplexen Problemen ohne analytische L¨osung. Wir wollen die Methode der asymptotischen Entwicklung nun am Beispiel (1.10) des Wurfes im Schwerefeld eines Planeten diskutieren. Anwendung der Taylorentwicklung um z = 1 1 = 1 − 2z + 3z 2 − 4z 3 ± · · · (1 + z)2 auf die rechte Seite der Differentialgleichung yε (τ ) = − liefert

1 (1 + ε yε (τ ))2

yε (τ ) = −1 + 2ε yε (τ ) − 3ε2 yε2 (τ ) ± · · · .

(1.15)

(1.16)

Wir nehmen an, dass die L¨ osung yε ebenfalls eine Reihenentwicklung besitzt, und zwar von der Form yε (τ ) = y0 (τ ) + εα y1 (τ ) + ε2α y2 (τ ) + · · ·

(1.17)

mit zu bestimmenden Koeffizientenfunktionen yj (τ ) und einem noch nicht spezifizierten Parameter α. Dieser Ansatz wird in (1.16) eingesetzt, dann werden die Koeffizienten derselben Potenzen von ε verglichen. Ziel ist es, einen sinnvollen Wert des Parameters α zu ermitteln, und l¨osbare Gleichungen f¨ ur die Koeffizientenfunktionen yj (τ ), j = 0, 1, 2, . . ., zu erhalten. Einsetzen von (1.17) in (1.16) liefert y0 (τ ) + εα y1 (τ ) + ε2α y2 (τ ) + · · ·   = −1 + 2ε y0 (τ ) + εα y1 (τ ) + ε2α y2 (τ ) + · · ·  2 − 3ε2 y0 (τ ) + εα y1 (τ ) + ε2α y2 (τ ) + · · · ± · · · .

(1.18)

Entsprechend kann man die Reihenentwicklung in die Anfangsbedingungen einsetzen und erh¨ alt y0 (0) + εα y1 (0) + ε2α y2 (0) + · · · = 0 , y0 (0) + εα y1 (0) + ε2α y2 (0) + · · · = 1 . Hieraus folgt durch Vergleich der Koeffizienten von εkα , k ∈ N, sofort yj (0) = 0 f¨ ur j ∈ N ∪ {0} , y0 (0) = 1 und yj (0) = 0 f¨ ur j ∈ N .

(1.19)

Der Koeffizientenvergleich in (1.18) ist etwas komplizierter. Die niedrigste auftretende Potenz von ε ist ε0 = 1, der Vergleich der Koeffizienten von ε0 liefert

20

1 Einf¨ uhrung

y0 (τ ) = −1 . Zusammen mit den Anfangsbedingungen y0 (0) = 0 und y0 (0) = 1 erhalten wir das bereits bekannte Problem (1.11) mit der L¨osung 1 y0 (τ ) = τ − τ 2 . 2 Der n¨achste Exponent h¨ angt nun von der Wahl von α ab. F¨ ur α < 1 ist dies εα , Vergleich der Koeffizienten liefert y1 (τ ) = 0 . Zusammen mit den Anfangsbedingungen y1 (0) = y1 (0) = 0 erh¨alt man die eindeutige L¨osung y1 (τ ) = 0. Der Term 2εy0 in (1.18) kann nur kompensiert werden durch einen Term der Form εkα yk , k ∈ N, kα = 1. Wie im Fall von y1 folgern wir yj ≡ 0 f¨ ur 1 ≤ j ≤ k − 1. Analog erh¨alt man im weiteren Verlauf der asymptotischen Entwicklung, dass die Terme yk mit kα ∈ / N alle Null sind, so dass man von vornherein mit dem Ansatz α = 1 starten kann. F¨ ur α > 1 ist der n¨ achste Exponent ε1 , durch Koeffizientenvergleich folgt dann y0 (τ ) = 0. Dies ist ein Widerspruch zur oben berechneten L¨osung, also ist α > 1 sicher die falsche Wahl. Wir betrachten also den Exponenten α = 1. Die Koeffizienten von ε1 sind dann y1 (τ ) = 2 y0 (τ ) = 2τ − τ 2 . Zusammen mit den Anfangsbedingungen y1 (0) = y1 (0) = 0 erh¨alt man die eindeutige L¨osung 1 1 y1 (τ ) = τ 3 − τ 4 . 3 12 Die Koeffizienten von ε2 ergeben das Problem y2 (τ ) = 2 y1 (τ ) − 3 y02 (τ ) =

2 3 1 4 3 τ − τ − 3τ 2 + 3τ 3 − τ 4 3 6 4

und die Anfangsbedingungen y2 (0) = y2 (0) = 0. Die L¨osung ist y2 (τ ) = −

11 6 11 5 1 4 τ + τ − τ . 360 60 4

Entsprechend kann man die weiteren Koeffizienten y3 (τ ), y4 (τ ), · · · ausrechnen, wobei der Aufwand mit zunehmender Ordnung immer gr¨oßer wird. Die ersten drei Terme der Reihenentwicklung sind also       1 1 3 1 1 11 11 6 yε (τ ) = τ − τ 2 + ε τ − τ 4 + ε2 − τ 4 + τ 5 − τ + O ε3 . 2 3 12 4 60 360 Abbildung 1.2 zeigt die Graphen der Approximationen y0 (τ ) der Ordnung 0, y0 (τ ) + ε y1 (τ ) der Ordnung 1 und die exakte L¨osung f¨ ur ε = 0,2. Man sieht,

1.5 Asymptotische Entwicklung

21

1

y0 + ε y1 y0 1

yε 2

Abb. 1.2. Asymptotische Entwicklung beim senkrechten Wurf f¨ ur ε = 0,2

dass die Approximation der Ordnung 1 von der exakten L¨osung optisch kaum zu unterscheiden ist, w¨ ahrend die Approximation der 0–ten Ordnung einen deutlich sichtbaren Fehler aufweist. Wir m¨ochten nun mit Hilfe der Reihenentwicklung eine bessere Approximation f¨ ur die H¨ohe des Wurfes ausrechnen. Dazu berechnen wir zun¨achst eine Approximation f¨ ur den Zeitpunkt τ = τε , zu dem diese H¨ohe erreicht wird, aus der Gleichung yε (τ ) = 0 . Mit yε (τ ) = y0 (τ ) + ε y1 (τ ) + ε2 y2 (τ ) + · · · folgt   y0 (τ ) + ε y1 (τ ) + ε2 y2 (τ ) + O ε3 = 0 . Wir l¨osen die Gleichung wieder n¨ aherungsweise mit dem Reihenansatz τε = τ0 + ε τ1 + ε2 τ2 + · · · . Die Koeffizienten von ε0 liefern y0 (τ0 ) = 1 − τ0 = 0 , und damit τ0 = 1. Aus den Koeffizienten von ε und der Entwicklung y0 (τε ) = y0 (τ0 ) + ε y0 (τ0 )τ1 + · · · erh¨ alt man 1 y0 (τ0 )τ1 + y1 (τ0 ) = −τ1 + τ02 − τ03 = 0 3 und somit τ1 = 2/3. Die N¨ aherung erster Ordnung von τε ist damit 2 1 + ε. 3 Die entsprechende H¨ ohe ist

22

1 Einf¨ uhrung

    hε = yε (τε ) = y0 (τ0 ) + ε y0 (τ0 )τ1 + y1 (τ0 ) + O ε2 1 1 = y0 (τ0 ) + ε y1 (τ0 ) = + ε . 2 4 Wenn man die Abnahme der Gravitationskraft mit der H¨ohe ber¨ ucksichtigt, wird die H¨ohe des Wurfes also etwas gr¨ oßer. F¨ ur unser urspr¨ ungliches Beispiel mit ε = 10−6 macht sich dieser Effekt aber erst in der siebten Nachkommastelle bemerkbar. Die Existenz einer Reihenentwickung der Form (1.17) ist a priori nicht gesichert. F¨ ur eine mathematisch abgesicherte Modellbildung ist es daher n¨otig, das Ergebnis der Reihenentwicklung zu rechtfertigen, zum Beispiel durch Herleitung einer Fehlerabsch¨ atzung der Form





N



j

yε (τ ) −

≤ CN εN +1 . ε y (τ ) (1.20) j





j=0 Wir zeigen diese Absch¨ atzung f¨ ur N = 1, also |yε (τ ) − y0 (τ ) − ε y1 (τ )| ≤ Cε2 ,

(1.21)

und zwar f¨ ur τ ∈ (0, T ) mit einer geeigneten Zeit T , falls ε klein genug ist, also ε < ε0 mit einem geeigneten, noch zu spezifizierenden ε0 gilt. Als ersten Schritt konstruieren wir eine Differentialgleichung f¨ ur den Fehler zε (τ ) = yε (τ ) − y0 (τ ) − ε y1 (τ ) . Aus den Differentialgleichungen f¨ ur yε , y0 und y1 folgt zε (τ ) = yε (τ ) − y0 (τ ) − ε y1 (τ ) = −

1 + 1 − 2ε y0 (τ ) . (1 + ε yε (τ ))2

Taylorentwicklung mit Restglied liefert 1 1 = 1 − 2y + 3 y2 2 (1 + y) (1 + ϑy)4 mit ϑ = ϑ(y) ∈ (0, 1). Man erh¨ alt also zε (τ ) = −1 + 2ε yε (τ ) − 3ε2

1 y 2 (τ ) + 1 − 2ε y0 (τ ) . (1 + εϑ yε (τ ))4 ε

Durch Einsetzen von yε (τ ) = zε (τ ) + y0 (τ ) + ε y1 (τ ) folgt zε (τ ) = 2ε zε (τ ) + ε2 Rε (τ ) mit Rε (τ ) = −

3 yε2 (τ ) + 2y1 (τ ) . (1 + εϑ yε (τ ))4

(1.22)

1.5 Asymptotische Entwicklung

23

Zus¨atzlich gelten die Anfangsbedingungen zε (0) = 0 und zε (0) = 0 . Zur Absch¨atzung von Rε (τ ) ben¨ otigen wir untere und obere Schranken f¨ ur yε (τ ). Diese kann man herleiten aus der Differentialgleichung f¨ ur yε und der Darstellung   τ  τ  t    yε (τ ) = yε (0) + yε (t) dt = yε (0) + yε (s) ds dt 

0

τ



=τ+ 0

0

0

t

0

yε (s) ds dt .



Es sei tε := inf t t > 0, yε (t) < 0 . Offensichtlich folgt dann aus (1.15), dass yε (τ ) ≥ −1 f¨ ur 0 < τ < tε und damit 1 yε (τ ) ≥ τ − τ 2 . 2 Da yε stetig ist, folgt insbesondere tε ≥ 2. Wegen yε (τ ) ≤ 0 f¨ ur τ < tε gilt auch yε (τ ) ≤ tε f¨ ur τ < tε . Sei nun T ≤ tε fest gew¨ahlt, zum Beispiel T = 2. Dann gilt f¨ ur τ < T |Rε (τ )| ≤ 3|yε (τ )|2 + 2|y1 (τ )| ≤ C1 mit einer Konstanten C1 = C1 (T ). Zu wir nun eine

einem C0 > 0 definieren

weitere Zeit τε > 0 durch τε = inf t t > 0, |zε (t)| ≥ C0 ε2 . Da zε stetig ist und zε (0) = 0 gilt, folgt τε > 0. F¨ ur τ < min(T, τε ) folgt aus (1.22)

 τ  t

 τ t



1 |zε (τ )| =

zε (s) ds dt

≤ |zε (s)| ds dt ≤ T 2 (2C0 ε + C1 )ε2 . 2 0 0 0 0 F¨ ur C0 > T 2 C1 gibt es dann ein ε0 > 0, so dass n¨ amlich 1 C1 ε0 = − . 2T 2 2C0

1 2 2 T (2C0 ε0

+ C1 ) =

C0 2 ,

F¨ ur alle ε ≤ ε0 und alle t ≤ min{T, τε } gilt dann |zε (t)| ≤

C0 2 ε . 2

Da zε stetig ist, folgt daraus insbesondere τε ≥ T . Damit ist (1.21) gezeigt, mit C = C0 /2. Das Vorgehen bei der Bestimmung der asymptotischen Entwicklung kann auch allgemeiner und abstrakter in Banachr¨ aumen, also vollst¨andigen, normierten R¨ aumen, formuliert werden. Es seien B1 , B2 Banachr¨aume und F : B1 × [0, ε0 ) → B2

24

1 Einf¨ uhrung

sei eine glatte Abbildung, die insbesondere so oft differenzierbar ist, wie es ¨ f¨ ur die folgenden Uberlegungen notwendig ist. Wir suchen f¨ ur ε ∈ [0, ε0 ) eine L¨osung yε der Gleichung F (y, ε) = 0 . Wir machen den Ansatz yε =

∞

εi yi

i=0

und entwickeln F (yε , ε) =

∞ i=0

=

∞

εi Fi (yε ) = ⎛

∞

⎛ ⎞ ∞ εi Fi ⎝ εj yj ⎠

i=0

j=0

⎛ ⎞ ∞ εi ⎝Fi (y0 ) + DFi (y0 ) ⎝ εj yj ⎠

i=0

j=1

⎛ ⎞ ⎞ ∞ ∞ + 12 D 2 Fi (y0 ) ⎝ εj yj , εj yj ⎠ + . . . ⎠ j=1

j=1

= F0 (y0 ) + ε(F1 (y0 ) + DF0 (y0 )(y1 )+   + ε2 F2 (y0 ) + DF1 (y0 )(y1 ) + DF0 (y0 )(y2 ) + 12 D2 F0 (y0 )(y1 , y1 ) + ··· . Diese Gleichungen l¨ osen wir nun iterativ, mit steigender Ordnung, und erhalten F0 (y0 ) = 0 , DF0 (y0 )(y1 ) = −F1 (y0 ) , 1 DF0 (y0 )(y2 ) = −F2 (y0 ) − DF1 (y0 )(y1 ) − D2 F0 (y0 )(y1 , y1 ) , 2 .. . DF0 (y0 )(yk ) = Gk (y0 , . . . , yk−1 ) . Falls die lineare Abbildung DF0 (y0 ) : B1 → B2 eine Inverse besitzt, so k¨onnen die Werte y1 , y2 , y3 , . . . iterativ berechnet werden. Definition 1.1. Sind die Werte y0 , . . . , yN L¨ osungen der obigen Gleichungen, so heißt die Reihe N yεN := εi yi i=0

formale asymptotische Entwicklung der Ordnung N .

1.5 Asymptotische Entwicklung

25

Eine wichtige Frage ist nun, ob die durch einen kleinen Parameter ε gest¨orten“ ” Probleme eine gute N¨ aherung f¨ ur das Ausgangsproblem liefern. Dazu folgende Definition. Definition 1.2. (Konsistenz) Die Gleichungen F (y, ε) = 0 ,

ε > 0,

heißen konsistent zu F (y, 0) = 0 , falls f¨ ur alle L¨ osungen y0 von F (y0 , 0) = 0 gilt: lim F (y0 , ε) = 0 .

ε→0

Bemerkungen 1. Aus der Konsistenz folgt im Allgemeinen nicht die Konvergenz. F¨ ur L¨osungen yε von F (y, ε) = 0 muß nicht unbedingt yε − y0 → 0 in B1 gelten, siehe dazu auch Aufgabe 1.11. 2. Ein wichtiger Fall in der asymptotischen Analysis tritt auf, wenn der kleine Parameter als Faktor an einem f¨ ur die mathematische Struktur des Problems entscheidenden Term steht; bei Differentialgleichungen ist das in der Regel die h¨ ochste auftretende Ableitung der gesuchten Funktion. Man spricht dann von einer singul¨aren St¨ orung. Wir werden entsprechende Beispiele am Ende von Kapitel 6 untersuchen. Beispiele: (i) Die Gleichung

ε x2 − 1 = 0

ur ε → 0 ihre Ordnung. Insbesondere ist die Gleichung f¨ ur ε = 0 ¨andert f¨ 2 unl¨osbar und die L¨ osungen x± ur ε → 0 ε von ε x − 1 = 0 konvergieren f¨ gegen unendlich. (ii) Das Anfangswertproblem ε yε =

1 , (yε + 1)2

yε (0) = 0 ,

yε (0) = 1

ur ε > 0 hat man eine ¨andert seinen Charakter, falls man ε = 0 setzt. F¨ Differentialgleichung und f¨ ur ε = 0 erhalten wir eine unl¨osbare algebraische Gleichung.

26

1 Einf¨ uhrung

 K

Abb. 1.3. Umstr¨ omung eines K¨ orpers

1.6 Anwendungen aus der Str¨ omungsmechanik Wir werden nun die bisher behandelten Begriffe Dimensionsanalyse, asymptotische Entwicklung und singul¨ are St¨ orung an einem deutlich komplizierteren Beispiel aus der Str¨ omungsmechanik diskutieren. Die verwendeten Modelle werden in Kapitel 5 systematisch im Rahmen der Kontinuumsmechanik hergeleitet. Wir betrachten folgendes Beispiel: Ein K¨ orper K wird von einem Fluid, also von einer Fl¨ ussigkeit oder einem Gas, umstr¨ omt. Wir interessieren uns f¨ ur das Geschwindigkeitsfeld v = v(t, x) ∈ R3 , t ∈ R , x ∈ R3 , des Fluids. Wir nehmen an, dass die Geschwindigkeit f¨ ur |x| → ∞ gegen eine konstante Geschwindigkeit konvergiert, d.h. v(t, x) → V ∈ R3

f¨ ur |x| → ∞ .

Aus Erhaltungsprinzipien und unter gewissen konstitutiven Annahmen an die Eigenschaften des Fluids kann man die Navier–Stokes–Gleichungen herleiten, siehe Kapitel 5. F¨ ur ein inkompressibles Fluid mit konstanter Dichte 0 gilt bei Vernachl¨assigung ¨ außerer Kr¨ afte

0 (∂t v + (v · ∇)v) = −∇p + μΔv , ∇ ·v = 0,

(1.23) (1.24)

wobei p der Druck und μ die dynamische Viskosit¨ at des Fluids ist. Die Viskosit¨ at beschreibt die Z¨ ahigkeit des Fluids, die durch innere Reibung verursacht wird. Sie ist hoch f¨ ur Honig und niedrig f¨ ur Gase. Weiterhin ist, in Koordinaten ausgedr¨ uckt,

1.6 Anwendungen aus der Str¨ omungsmechanik

∇·v =

3 ∂ vi ∈ R ∂x i i=1

die Divergenz eines Vektorfeldes v,

3 ∂2 v ∈ R3 2 ∂x i i=1  3  (v · ∇)v = vi ∂i vj

Δv =

i=1

27

der Laplace–Operator und ∈ R3 .

j=1,2,3

Wir diskutieren zun¨ achst die Dimensionen der auftretenden Terme. Es gilt Variable Dimension v Geschwindigkeit L/T

0 Massendichte M/L3 p Druck = Kraft/Fl¨ ache (M · L/T 2 )/L2 = M/(LT 2 ) Weiter gilt [μ] = M/(LT ) . Dies liefert dann, dass alle Terme in (1.23) von der Dimension M/(L2 T 2 ) sind. Als Beispiel f¨ ur das Potential der Dimensionsanalyse betrachten wir das Verhalten bei der Umstr¨ omung eines großen Schiffes. Wir m¨ochten Experimente mit einer um den Faktor 100 verkleinerten Nachbildung durchf¨ uhren. Wann k¨onnen wir von Ergebnissen f¨ ur Experimente mit der Nachbildung auf das Verhalten des großen Schiffes schließen? Dazu m¨ ussen wir die Gleichung auf dimensionslose Form bringen. Die relevanten Parameter sind hier eine charakteristische L¨ange x, etwa die L¨ange des Schiffes, sowie die Geschwindigkeit V des Schiffes, die Dichte 0 und die Viskosit¨at μ. Wir bilden durch Kombination dieser Parameter dimensionslose Gr¨oßen, zum Beispiel t x y= , τ= , x t wobei t = t(x, V, 0 , μ) eine noch zu bestimmende charakteristische Zeit ist. Weiter setzen wir v u(τ, y) = |V | und q(τ, y) =

p , wobei p noch zu bestimmen ist. p

Multiplikation der Navier–Stokes–Gleichungen mit t/( 0 |V |) f¨ uhrt mit den Transformationsregeln ∂t = 1t ∂τ und ∇x = x1 ∇y zur Gleichung ∂τ u +

t|V | p t μ t (u · ∇)u = − ∇q + Δu . x

0 x|V |

0 (x)2

28

1 Einf¨ uhrung

Wir setzen t = x/|V |, p = |V |2 0 und η = μ/ 0 — dies ist die kinematische Viskosit¨at — und erhalten 1 Δu , Re f¨ ur |y| → ∞ .

∂τ u + (u · ∇)u = −∇q + u(τ, y) → V /|V |

| Dabei ist Re := x|V die Reynoldszahl. F¨ ur große |y| konvergiert der Betrag η der entdimensionalisierten Geschwindigkeit gegen 1. Außerdem gilt nat¨ urlich weiterhin ∇ · u = 0.

Str¨omungssituationen mit unterschiedlichem x f¨ uhren auf dieselbe dimensionslose Form, wenn nur die Reynoldszahl dieselbe ist. Wenn wir die Gr¨oße des Schiffes um den Faktor 100 verkleinern, m¨ ussen wir zum Beispiel die Anstr¨omgeschwindigkeit um den Faktor 10 vergr¨oßern und die kinematische Viskosit¨at um den Faktor 10 verkleinern, um dieselbe Reynoldszahl zu bekommen. Mit Hilfe der Reynoldszahl kann man absch¨ atzen, welche Einfl¨ usse in einer Str¨omung wichtig und welche unwichtig sind. Wir diskutieren dies am Beispiel zweier unterschiedlicher Modelle f¨ ur den Str¨ omungswiderstand eines K¨orpers, ¨ die wir an Hand heuristischer Uberlegungen motivieren werden. Bei geringen Reynoldszahlen, also hoher Viskosit¨ at oder geringer Str¨omungsgeschwindigkeit, dominiert die viskose Reibung den Str¨ omungswiderstand. Die charakteristischen Gr¨oßen sind dann die Geschwindigkeit v des umstr¨omten K¨orpers relativ zur Str¨omung, eine charakteristische Gr¨oße x des K¨orpers, und die dynamische Viskosit¨ at μ des Fluides. Die Dimensionen sind [v] = TL , [x] = L und FT [μ] = L2 , wenn F die Dimension einer Kraft bezeichnet. Eine Kombination dieser Gr¨oßen hat dann die Dimension  a b c v x μ = La+b−2c T −a+c F c . Dieses ergibt die Dimension einer Kraft, wenn a + b − 2c = 0 ,

−a + c = 0 und c = 1

und damit a = b = c = 1. Ein Gesetz f¨ ur den Reibungswiderstand in einer viskosen Fl¨ ussigkeit muss daher die Form FR = cR μ x v

(1.25)

mit einem von der Form des K¨ orpers abh¨ angigen Reibungskoeffizienten cR haben. F¨ ur eine Kugel mit Radius r kann man zeigen, dass FR = 6πrμv gilt, das ist das Stokessche Gesetz.

1.6 Anwendungen aus der Str¨ omungsmechanik

29

Bei hohen Reynoldszahlen wird dieser Anteil des Str¨omungswiderstandes dominiert durch eine Kraft, die ben¨ otigt wird, um den in der Bewegungsrichtung des K¨orpers liegenden Anteil des Fluides zu beschleunigen. Die pro Zeitintervall Δt zu beschleunigende Masse ist etwa Δm ∼ A v Δt mit Dichte des Fluides, Geschwindigkeit v des K¨orpers relativ zur Str¨omungsgeschwindigkeit, und Querschnittfl¨ ache A des K¨orpers. Hier beschreibt A v Δt gerade das im Zeitintervall Δt vom K¨ orper verdr¨angte Volumen. Dieses Fluidvolumen wird etwa auf die Geschwindigkeit v beschleunigt, die dabei zugef¨ uhrte kinetische Energie ist etwa ΔEkin ∼ 12 Δm v 2 = 12 A v 3 Δt . Die Reibungskraft ist demnach gegeben durch FR v Δt = ΔEkin beziehungsweise

FR ∼ 12 A v 2 .

Die Proportionalit¨ atskonstante hier wird als cW –Wert bezeichnet, und wir erhalten FR = 12 cW Av 2 . (1.26) Da diese Kraft proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, dominiert sie f¨ ur große Geschwindigkeit die viskose Reibungskraft (1.25), w¨ahrend sie f¨ ur kleine Geschwindigkeiten gegen¨ uber (1.25) vernachl¨assigbar ist. Man kann (1.26) auch durch eine Dimensionsanalysis rechtfertigen, siehe Aufgabe 1.12. Der cW –Wert wird in der Praxis durch Messungen bestimmt; eine theoretische Herleitung wie im Fall des Stokesschen Gesetzes f¨ ur eine Kugel gibt es hier nicht. Ohnehin ist (1.26) nur eine relativ grobe Approximation der Realit¨at, die tat¨achliche Abh¨ angigkeit des Str¨ omungswiderstandes von der Geschwindigkeit ist wesentlich komplexer. Demgegen¨ uber ist das Stokessche Gesetz eine recht gute Approximation, wenn nur die Geschwindigkeit klein genug ist. Um f¨ ur eine gegebene Anwendung abzusch¨ atzen, welches der beiden Gesetze (1.25) oder (1.26) sinnvoll ist, kann man den Quotienten der beiden ermittelten Reibungskr¨afte bilden: (1.26)

FR

(1.25) FR

∼

xv = Re . μ

Dabei skalieren wir A ∼ x2 . Folglich ist bei Reynoldszahlen Re 1 das Stokessche Gesetz (1.25) sinnvoll, w¨ ahrend f¨ ur Re  1 der Str¨omungswiderstand nach (1.26) dominiert. F¨ ur Re ∼ 1 sind beide Effekte gleichermaßen wichtig.

30

1 Einf¨ uhrung

Die Navier–Stokes–Gleichungen sehen sehr kompliziert aus. K¨onnen wir eventuell Terme vernachl¨ assigen? Da wir die Gleichung auf dimensionslose Form gebracht haben, k¨ onnen wir von groß und klein sprechen. Die Begriffe groß und klein h¨angt jetzt nicht mehr von den gew¨ ahlten Einheiten ab, wir k¨onnen die Zahl 1 als mittlere Gr¨ oße interpretieren. Der einzige Parameter ist die Reynoldszahl und f¨ ur viele Aufgabenstellungen ist Re sehr groß. Dann ist 1 1 ε = Re ein kleiner Term. Wir vernachl¨ assigen den Term εΔu = Re Δu und erhalten die Euler–Gleichungen der Str¨ omungsmechanik ∂τ u + (u · ∇)u = −∇q , ∇ ·u = 0. Wie gut beschreibt dieses reduzierte Modell reale Str¨omungen? Wir werden sp¨ater sehen, dass die Eulerschen Gleichungen keine Wirbelbildung erlauben. Konkret gilt ⎛ ⎞ ∂x2 u3 − ∂x3 u2 ∇ × u(t, x) = ⎝∂x3 u1 − ∂x1 u3 ⎠ = 0 ∂x1 u2 − ∂x2 u1 f¨ ur t > 0, falls ∇ × u(0, x) = 0. Außerdem zeigt sich, dass • der Term εΔu in der N¨ ahe des Randes ∂K nicht klein ist, und falls die Euler–Gleichungen die Str¨ omung beschreiben w¨ urden, • der K¨orper der Str¨ omung keinen Widerstand entgegensetzen w¨ urde, also keine Kr¨afte der Str¨ omung entgegenwirken; dies ist das sogenannte D’Alembertsche Paradox, und • keine Auftriebskr¨ afte wirken w¨ urden. Wir sehen aber in der Praxis, dass sich bei der Umstr¨omung eines K¨orpers K Wirbel bilden k¨ onnen, die sich manchmal auch von K l¨osen. Außerdem beobachten wir sogenannte Grenzschichten, das sind d¨ unne“ Bereiche in der ” Str¨omung nahe des K¨ orpers, in denen sich das Str¨omungsfeld drastisch ¨andert. Wo liegt der Fehler des reduzierten Modells? In den Navier–Stokes–Gleichungen treten zweite Ableitungen bez¨ uglich der Ortsvariablen auf; in den Euler– Gleichungen dagegen nur erste Ableitungen. In der Theorie partieller Differentialgleichungen unterscheidet man verschiedene Typen von Differentialgleichungen, siehe dazu etwa Evans, [36]. Nach dieser Klassifikation sind die Navier–Stokes–Gleichungen parabolisch, w¨ ahrend die Euler–Gleichungen hyperbolisch sind. Das qualitative Verhalten von hyperbolischen und parabolischen Differentialgleichungen unterscheidet sich stark. So treten f¨ ur die Eulerschen Differentialgleichungen typischerweise auch bei beliebig glatten Daten Unstetigkeiten auf, w¨ ahrend man bei den Navier–Stokes–Gleichungen in der Regel glatte L¨osungen beobachtet (auch wenn dies streng genommen theoretisch bisher nicht bewiesen ist). Der kleine Faktor ε steht also vor einem Term,

1.8 Aufgaben

31

der f¨ ur das Verhalten der L¨ osung entscheidend ist. Man spricht von einer singul¨aren St¨orung. Um N¨ aherungsl¨ osungen f¨ ur die Navier–Stokes–Gleichungen zu gewinnen, kann daher die Methode der asymptotischen Entwicklung in der Form, in der wir sie kennengelernt haben, nicht angewendet werden. Sie versagt in Grenzschichten, in denen sich die L¨osung stark ¨andert. In Kapitel 6 werden wir die singul¨ are St¨ orungstheorie kennenlernen, um asymptotische Entwicklungen auch in Grenzschichten gewinnen zu k¨onnen.

1.7 Literaturhinweise Eine ausf¨ uhrliche Beschreibung und Analysis biologischer Wachstumsmodelle findet man in [96]. Zur Vertiefung der Themen Entdimensionalisierung, Skalierung und asymptotische Analysis ist [83], Chapter 6 und 7, sehr empfehlenswert, zur Skalierung und Dimensionsanalysis auch [40], Kapitel 1, und zu verschiedenen Aspekten der asymptotischen Analysis [63]. Eine Darstellung der singul¨aren St¨ orungstheorie mit vielen Beispielen bietet [71]. Teile der Darstellung in diesem Kapitel basieren auf dem Vorlesungsskript [107].

1.8 Aufgaben Aufgabe 1.1. Eine Bank bietet vier verschiedene Varianten eines Sparbuches an: Variante A mit monatlicher Zinszahlung und Zinssatz 0,3% pro Monat, Variante B mit viertelj¨ ahrlicher Zinszahlung und Zinssatz 0,9% pro Vierteljahr, Variante C mit halbj¨ ahrlicher Zinszahlung und Zinssatz 1,8% pro Halbjahr, Variante D mit j¨ ahrlicher Zinszahlung und Zinssatz 3,6% pro Jahr. a) Berechnen und vergleichen Sie jeweils den effektiven Zins, den man nach einem Jahr (bei Wiederanlage aller bezahlten Zinsen) bekommt. b) Wie m¨ ussen die Zinss¨ atze angepasst werden, damit man jeweils denselben Jahreszins von 3,6% erh¨ alt? c) Geben Sie ein zeitlich kontinuierliches Zinsmodell an, das ohne Angabe eines Zeitinkrements f¨ ur die Zinszahlung auskommt. Aufgabe 1.2. Ein Polizeikommissar m¨ ochte den Todeszeitpunkt eines Mordopfers feststellen. Er misst die Temperatur des Opfers um 12.36 Uhr, sie betr¨ agt 27◦ C. Nach dem Newtonschen Abk¨ uhlungsgesetz ist die Abk¨ uhlung eines K¨ orpers proportional zur Differenz von K¨ orpertemperatur und Außentemperatur. Leider kennt der Kommissar die Proportionalit¨atskonstante nicht. Deshalb misst er die Temperatur um 13.06 Uhr noch einmal und kommt auf

32

1 Einf¨ uhrung

25◦ C. Die Außentemperatur betr¨ agt 20◦ C, die K¨orpertemperatur zum Todes◦ zeitpunkt wird mit 37 C angesetzt. Wann fand der Mord statt? Aufgabe 1.3. (Trennung der Variablen, Eindeutigkeit, Fortsetzbarkeit) Zu stetigen reellen Funktionen f und g sei die gew¨ohnliche Differentialgleichung x (t) = f (t) g(x(t)) gegeben. Wir betrachten L¨ osungen, die durch den Punkt (t0 , x0 ) gehen, d. h. es soll x(t0 ) = x0 gelten. a) Zeigen Sie, dass im Fall g(x0 ) = 0 lokal eine eindeutige L¨osung durch den gegebenen Punkt existiert. b) Sei nun g = 0 im Intervall (x− , x+ ), g(x− ) = g(x+ ) = 0 und sei g in x− und x+ differenzierbar. Zeigen Sie, dass die L¨ osung der Differentialgleichung durch einen Punkt (t0 , x0 ) mit x0 ∈ (x− , x+ ) global existiert und eindeutig ist. Hinweis: Ist die L¨ osung durch den Punkt (t+ , x+ ) eindeutig? Aufgabe 1.4. Wir betrachten das Modell f¨ ur beschr¨anktes Wachstum von Populationen x (t) = q xM x(t) − q x2 (t) ,

x(0) = x0 .

a) Entdimensionalisieren Sie das Modell durch Wahl geeigneter Maßeinheiten f¨ ur t und x. Welche verschiedenen M¨ oglichkeiten gibt es daf¨ ur? b) Welche Entdimensionalisierung ist geeignet f¨ ur x0 xM (x0 sehr viel ” kleiner als“ xM ) in dem Sinn, dass das Weglassen kleiner Terme zu einem sinnvollen Modell f¨ uhrt? Aufgabe 1.5. (Entdimensionalisierung, Skalenanalyse) Ein K¨orper der Masse m wird von der Erdoberfl¨ache mit Geschwindigkeit v senkrecht in die H¨ ohe geworfen. Der Luftwiderstand soll durch das Stokessche Gesetz FR = −cv f¨ ur den Str¨ omungswiderstand in viskosen Fluiden ber¨ ucksichtigt werden, das f¨ ur kleine Geschwindigkeiten sinnvoll ist. Dabei ist c ein von der Form und der Gr¨ oße des K¨ orpers abh¨angiger Koeffizient. Die Bewegung h¨ange von der Masse m, der Geschwindigkeit v, der Gravitationsbeschleunigung g und dem Reibungskoeffizienten c mit Dimension [c] = M/T ab. a) Bestimmen Sie die m¨ oglichen dimensionslosen Parameter und Referenzgr¨oßen f¨ ur H¨ohe und Zeit. b) Das Anfangswertproblem f¨ ur die H¨ ohe des K¨orpers laute

1.8 Aufgaben

mx + cx = −mg ,

x(0) = 0 ,

33

x (0) = v .

Entdimensionalisieren Sie die Differentialgleichung. Es gibt wieder verschiedene M¨oglichkeiten. c) Diskutieren Sie verschiedene M¨ oglichkeiten eines reduzierten Modells, falls cv β := mg klein ist. Aufgabe 1.6. Ein Modell f¨ ur einen senkrechten Wurf auf der Erde mit Ber¨ ucksichtigung des Luftwiderstandes ist mx (t) = −mg − c|x (t)|x (t) ,

x (t0 ) = v0 .

x(t0 ) = 0 ,

Dabei wird die Gravitationskraft durch F = −mg approximiert, der Luftwiderstand bei Geschwindigkeit v ist gegeben durch cv 2 mit einer Proportionalit¨atskonstanten c, die von der Gr¨ oße und Form des K¨orpers und der Dichte der Luft abh¨angt. Dieses Gesetz ist f¨ ur h¨ ohere Geschwindigkeiten sinnvoll. a) Entdimensionalisieren Sie das Modell. Welche verschiedenen M¨oglichkeiten gibt es? b) Berechnen Sie die H¨ ohe des Wurfes f¨ ur die Daten m = 0,1 kg, g = 10 m/s2 , v0 = 10 m/s, c = 0,01 kg/m und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem entsprechenden Ergebnis des Modells ohne Luftwiderstand. Aufgabe 1.7. (Entdimensionalisierung) Wir m¨ochten die Leistung P ausrechnen, die notwendig ist, um einen K¨orper mit bekannter Form (zum Beispiel ein Schiff) in einer Fl¨ ussigkeit (zum Beispiel Wasser) fortzubewegen. Wir nehmen an, dass die Leistung abh¨angt von der L¨ange  und Geschwindigkeit v des Schiffes, der Dichte und der kinematischen Viskosit¨ at η der Fl¨ ussigkeit, sowie der Erdbeschleunigung g. Die Dimensionen der Daten sind [] = L, [ ] = M/L3 , [v] = L/T , [η] = L2 /T , [P ] = M L2 /T 3 und [g] = L/T 2 , wobei L eine L¨ange, M eine Masse und T eine Zeit kennzeichnet. Zeigen Sie, dass die Leistung P dann gegeben ist durch P = Φ(Fr, Re)

2 v 3 mit einer Funktion Φ : R2 → R und den dimensionslosen Gr¨oßen v v Re = (Reynoldszahl) und Fr = √ (Froudesche Zahl). η g Aufgabe 1.8. (Formale Asymptotische Entwicklung) a) Berechnen Sie f¨ ur das Anfangswertproblem x (t) + ε x (t) = −1 ,

x(0) = 0 ,

x (0) = 1

die formale asymptotische Entwicklung der L¨osung x(t) bis zu zweiter Ordnung in ε.

34

1 Einf¨ uhrung

b) Berechnen Sie die formale asymptotische Entwicklung f¨ ur den Zeitpunkt t∗ > 0, f¨ ur den x(t∗ ) = 0 gilt, bis zu erster Ordnung in ε, indem Sie die Reihenentwicklung t∗ ∼ t0 + ε t1 + O(ε2 ) in die erhaltene N¨aherung von x einsetzen und so t0 und t1 bestimmen. Aufgabe 1.9. Ein bereits entdimensionalisiertes Modell f¨ ur einen senkrechten Wurf mit kleinem Luftwiderstand ist x (t) = −1 − ε(x (t))2 ,

x(0) = 0 , x (0) = 1 .

Das Modell beschreibt den Wurf bis zum Erreichen der maximalen H¨ohe. a) Berechnen Sie die ersten beiden Koeffizienten x0 (t) und x1 (t) in der asymptotischen Entwicklung x(t) = x0 (t) + ε x1 (t) + ε2 x2 (t) + · · · f¨ ur kleines ε. b) Berechnen Sie die H¨ ohe des Wurfes bis zu Termen der Ordnung ε mit Hilfe einer asymptotischen Entwicklung. c) Vergleichen Sie das Ergebnis aus b) f¨ ur die Daten von Aufgabe 1.6 b) mit dem exakten Ergebnis und dem Ergebnis ohne Ber¨ ucksichtigung des Luftwiderstandes. Aufgabe 1.10. (Mehrskalenansatz) Die Funktion y(t) l¨ ose f¨ ur t > 0 und einen kleinen Parameter ε > 0 das Anfangswertproblem y  (t) + 2ε y  (t) + (1 + ε2 )y(t) = 0 ,

y(0) = 0 ,

y  (0) = 1 .

a) Berechnen Sie eine Approximation der L¨ osung mittels formaler asymptotischer Analysis bis zu erster Ordnung in ε. b) Vergleichen Sie die in a) erhaltene Funktion mit der exakten L¨osung y(t) = e−εt sin t . F¨ ur welche Zeiten t ist die Approximation aus a) gut? c) Um eine bessere Approximation zu finden, kann man den Ansatz y ∼ y0 (t, τ ) + ε y1 (t, τ ) + ε2 y2 (t, τ ) + · · · versuchen; hierbei ist τ = εt eine langsame Zeitskala. Setzen Sie diesen Ansatz in die Differentialgleichung ein und berechnen Sie y0 , so dass Sie eine bessere Approximation erhalten. Hinweis: Die Gleichung zu niedrigster Ordnung bestimmt y0 nicht eindeutig und Koeffizientenfunktionen in τ kommen vor. W¨ahlen Sie diese geschickt, so dass man y1 leicht berechnen kann.

1.8 Aufgaben

35

Aufgabe 1.11. (Konsistenz versus Konvergenz) Zu einem Parameter ε ∈ [0, ε0 ) mit ε0 > 0 betrachten wir die Familie von Operatoren F (·, ε) : B1 := Cb2 ([0, ∞)) → B2 := Cb0 ([0, ∞)) × R2 , F (y, ε) = (y  + (1 + ε)y, y(0), y  (0) − 1) . Dabei sei Cbn ([0, ∞)) der Raum der n–mal differenzierbaren Funktionen, wobei die Funktionen und ihre Ableitungen bis zur Ordnung n beschr¨ankt seien. Die Normen auf den beiden R¨ aumen B1 und B2 sind gegeben durch yB1 = sup {|y(t)| + |y  (t)| + |y  (t)|} , t∈(0,∞)

(f, a, b)B2 = sup {|y(t)|} + |a| + |b| . t∈(0,∞)

a) Berechnen Sie f¨ ur das Problem F (y, ε) = (0, 0, 0) die exakte L¨osung yε . b) Zeigen Sie: F (·, ε) ist mit F (·, 0) konsistent, aber yε konvergiert nicht gegen y0 in B1 f¨ ur ε → 0. Aufgabe 1.12. Leiten Sie das Reibungsgesetz f¨ ur den Str¨omungswiderstand bei hohen Reynoldszahlen FR = 12 cW A v 2 durch eine Dimensionsanalyse her. Nehmen Sie dazu an, dass die Reibungskraft abh¨angt von der Dichte der Fl¨ ussigkeit, einer charakteristischen Gr¨oße r des umstr¨omten K¨ orpers und der Geschwindigkeit v der Str¨omung. Da der cW –Wert von der Form des K¨ orpers abh¨ angt, d¨ urfen Sie A ∼ r2 annehmen.

2 Lineare Gleichungssysteme

Viele einfache Modelle basieren auf linearen Beziehungen zwischen verschiedenen Gr¨oßen. Problemstellungen mit mehreren Variablen und linearen Beziehungen zwischen diesen Variablen f¨ uhren auf lineare Gleichungssysteme. Auch kompliziertere Prozesse mit nichtlinearen Beziehungen zwischen den relevanten Parametern lassen sich innerhalb eines f¨ ur die Praxis h¨aufig ausreichenden G¨ ultigkeitsbereichs durch lineare Beziehungen approximieren. Wir werden in diesem Kapitel lineare Gleichungssysteme zur Beschreibung von elektrischen Netzwerken im Gleichstromkreis und im Wechselstromkreis sowie elastischen Stabwerken kennenlernen und deren Struktur analysieren. Eine weitere wichtige Anwendung sind Systeme von Rohrleitungen, wie zum Beispiel zur Versorgung von H¨ ausern oder St¨ adten mit Wasser oder Gas; dies wird in den Aufgaben thematisiert. Große lineare Gleichungssysteme erh¨alt man auch durch numerische Diskretisierungen von partiellen Differentialgleichungen; diese Gleichungssysteme haben viele Gemeinsamkeiten mit den hier vorgestellten Systemen.

2.1 Elektrische Netzwerke Elektrische Netzwerke geh¨ oren zu den elementarsten Bausteinen der modernen Welt. Sie sind wesentlich f¨ ur die ¨ offentliche Stromversorgung, aber auch f¨ ur die Wirkungsweise vieler, auch kleiner Ger¨ate und Maschinen. Wir diskutieren zun¨achst den einfachsten Fall eines elektrischen Netzwerks im Gleichstromkreis, das im wesentlichen aus Spannungs- oder Stromquellen und aus ohmschen Widerst¨ anden besteht. Insbesondere betrachten wir vorl¨aufig noch keine elektronischen Bauteile wie etwa Kondensatoren, Spulen, Dioden oder Transistoren. Als konkretes Beispiel soll das in Abbildung 2.1 gezeigte Netzwerk dienen.

C. Eck et al., Mathematische Modellierung, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-18424-6 2, 

38

2 Lineare Gleichungssysteme IV

R5 + U 2 − 5

4 R4

3

V R3 R6

+− I

U1

6

1 R1

R2 II

III 2

Abb. 2.1. Elektrisches Netzwerk

Das Netzwerk besteht im wesentlichen aus • Kanten in Form von elektrischen Leitungen, • Knoten, das sind Verbindungspunkte von zwei oder mehr Leitungen. Zur Beschreibung des Netzwerks ben¨ otigen wir folgende Informationen u ¨ber die Physik fließender Str¨ ome: Das Kirchhoffsche Stromgesetz, auch 1. Kirchhoffsches Gesetz genannt: Die Summe der Str¨ ome in jedem Knoten ist Null. Dies beschreibt die Erhaltung der elektrischen Ladung, Elektronen k¨ onnen durch das Netzwerk wandern, aber nicht in Knoten verschwinden“ oder erzeugt werden“. ” ” Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz, auch 2. Kirchhoffsches Gesetz genannt: Die Summe der Spannungen u ¨ber jede geschlossene Leiterschleife ist Null. Daraus folgt die Existenz von Potentialen an den Knotenpunkten; die an einem Leiterst¨ uck anliegende Spannung ist gegeben durch die Differenz der Potentiale an den Endpunkten. Das ohmsche Gesetz : Der Spannungsabfall U am stromdurchflossenen Widerstand R mit Stromst¨ arke I ist U = RI. Die Stromst¨arke wird im in Europa u ¨blichen Einheitensystem, dem sogenannten SI–System (Syst`eme International d’ Unit´es) in Amp`ere (A) gemessen, die Spannung in Volt (V) und der ohmsche Widerstand in Ohm (Ω). Dabei ist 1Ω = (1V)/(1A). Ein Amp`ere entspricht dem Fluss von einem Coulomb pro Sekunde, ein Coulomb entspricht 6,24150965 · 1018 Elementarladungen. Wir werden in diesem Kapitel die Einheiten bis auf wenige Ausnahmen in den Aufgaben in der Notation weglassen.

2.1 Elektrische Netzwerke

39

Zur Modellierung des Netzwerks definieren wir: • Eine Nummerierung der Knoten, in Abbildung 2.1 von I–V, sowie eine Nummerierung der Kanten, in Abbildung 2.1 von 1–6. Diese Nummerierungen k¨onnen beliebig festgelegt werden. Sie beeinflussen nat¨ urlich die konkrete Darstellung des daraus konstruierten Modells und dessen L¨osung, nicht aber die physikalische Interpretation dieser L¨osung. • Die Festlegung einer positiven Richtung f¨ ur jede Kante. Dies ist in Abbildung 2.1 durch einen Pfeil dargestellt: Die Festlegung der positiven Richtung sagt nichts u ¨ ber die tats¨achliche Richtung des Stromes aus, die wir ja noch nicht kennen k¨onnen. Des weiteren f¨ uhren wir Variablen ein, dies sind die Str¨ome und Spannungen entlang der Leiter und die Potentiale in den Knoten. Es gibt zwei verschiedene Typen von Variablen: • Knotenvariablen, n¨ amlich die Potentiale xi , i = 1, ..., m, wobei m die Anzahl der Knoten ist, hier also m = 5. Diese werden in einem Potentialvektor  x = (x1 , ..., xm ) der Dimension m zusammengefasst. • Kantenvariablen, das sind zum Beispiel die Str¨ ome yj , j = 1, ..., n, wobei n die Anzahl der Kanten ist, hier also n = 6. Diese werden in einem Stromvektor y = (y1 , ..., yn ) der Dimension n zusammengefasst. Entsprechend kann man einen Vektor e = (e1 , . . . , en ) der Spannungen bilden. Die Spannungen lassen sich aus den Potentialen berechnen durch ei = xu(i) − xo(i) ,

i = 1, ..., n ,

(2.1)

wobei u(i) der Index des unteren“ Knotens und o(i) der Index des obe” ” ren“ Knotens ist. Unten“ und oben“ definiert sich aus der vorhin festge” ” legten Richtung des Stromleiters, zum Beispiel ist in Abbildung 2.1 I der untere und II der obere Knoten des Leiters 1. Ein wesentlicher Schritt besteht nun darin, die Geometrie des Netzwerks und die bekannten physikalischen Gesetze in Beziehungen f¨ ur die eingef¨ uhrten Variablen umzusetzen. Dies geschieht mit Hilfe geeigneter Matrizen. Die Beziehung (2.1) zwischen Potentialen und Spannungen l¨asst sich schreiben als e = −Bx wobei die Matrix B = {bij }ni=1 m j=1 ⎧ ⎪ ⎨1 bij = −1 ⎪ ⎩ 0 Im Beispiel von Abbildung 2.1 ist

∈ Rn,m definiert ist durch falls j = o(i) , falls j = u(i) und sonst.

40

2 Lineare Gleichungssysteme

⎛ −1 ⎜0 ⎜ ⎜0 B=⎜ ⎜−1 ⎜ ⎝0 0

1 0 0 −1 1 0 0 −1 1 0 0 1 0 0 −1 1 0 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟. 0⎟ ⎟ 1⎠ −1

Die Matrix B heißt Inzidenzmatrix des Netzwerks. Sie beschreibt ausschließlich die Geometrie des Netzwerks, konkret die Beziehungen zwischen Knoten und Kanten. Insbesondere kennt“ die Inzidenzmatrix die Anwendung ” als elektrisches Netzwerk nicht. Dieselbe Inzidenzmatriz wird man auch bei durchstr¨omten Rohrleitungen mit derselben Geometrie bekommen. Die Inzidenzmatrix hat in jeder Zeile genau einmal den Eintrag 1 und genau einmal den Eintrag −1, alle anderen Eintr¨ age sind 0. Sie h¨angt nat¨ urlich von der Nummerierung der Knoten und Kanten und der festgelegten Richtung der Kanten ab. Der Zusammenhang zwischen Spannungsvektor e und Stromvektor y wird durch das Ohmsche Gesetz hergestellt. Dabei muss man m¨ogliche Spannungsquellen ber¨ ucksichtigen. Abbildung 2.2 zeigt ein Leiterst¨ uck mit Widerstand und Spannungsquelle. F¨ ur die Potentiale xu , xz , xo gilt mit der Spannung bj der Spannnungsquelle xz = xu − Rj yj und xo = xz + bj und damit ej = xu − xo = Rj yj − bj . Hier bezeichnet Rj yj den Spannungsabfall am stromdurchflossenen Widerstand und bj die von der Spannungsquelle erzeugte zus¨atzliche Potentialdifferenz. In Vektorschreibweise erh¨ alt man y = C(e + b) , dabei ist C ∈ Rn,n eine Diagonalmatrix, deren Eintr¨age die Leitwerte Rj−1 sind, und b ∈ Rn der Vektor der Spannungsquellen. Bei den Eintr¨agen von b muss man das Vorzeichen beachten: Wir haben ein positives Vorzeichen, wenn die Polung von − nach + in positiver Richtung verl¨auft, wie in Abbildung 2.2, und ein negatives Vorzeichen, wenn die Polung von + nach − in positiver Richtung verl¨auft. In unserem Beispiel ist ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −U1 1/R1 0 0 0 0 0 ⎜ 0 1/R2 0 ⎜ 0 ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ U2 ⎟ 0 1/R 0 0 0 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟. C=⎜ und b = ⎜ ⎟ 0 0 1/R4 0 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ 0 ⎝ 0 ⎠ 0 0 0 1/R5 0 ⎠ 0 0 0 0 0 1/R6 0

2.1 Elektrische Netzwerke

xu

41

−+

Rj

bj

xz

x0

Abb. 2.2. Zur Berechnung des Stromes

Es fehlt noch das Kirchhoffsche Stromgesetz. Dieses hat in Vektorschreibweise die Form Ay = 0 , n m,n wobei A = {aij }m definiert ist durch i=1 j=1 ∈ R ⎧ ⎪ ⎨+1 falls i = o(j) , aij = −1 falls i = u (j) und ⎪ ⎩ 0 sonst.

In unserem Beispiel ist

⎛ −1 0 ⎜ 1 −1 ⎜ A=⎜ ⎜0 1 ⎝0 0 0 0

0 0 −1 1 0

−1 0 0 1 0

⎞ 0 0 0 1⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟. −1 0 ⎠ 1 −1

Durch Vergleich mit der Inzidenzmatrix B sieht man A = B. Das ist kein Zufall, ein Vergleich der Definitionen der Eintr¨age aij und bij zeigt, dass dies f¨ ur jedes Netzwerk gilt. Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz wurde bereits in das Modell eingebaut, n¨ amlich u ¨ber die Existenz des Potentialvektors x. Wir haben also alle uns bekannten Informationen u ¨ ber das Netzwerk verarbeitet. Wenn man alles zusammenfasst, dann ist die Modellierung eines elektrischen Netzwerks aus m durchnummerierten Knoten und n durchnummerierten Leitungen mit vorgegebener Richtung gegeben durch • einen Potentialvektor x ∈ Rm , • einem Spannungsvektor e ∈ Rn , der berechnet werden kann durch e = −Bx mit der Inzidenzmatrix B ∈ Rn,m , • einem Stromvektor y ∈ Rn , zu berechnen durch y = C(e + b) mit der Leitwertmatrix C ∈ Rn,n und dem Vektor b ∈ Rn der Spannungsquellen und

42

2 Lineare Gleichungssysteme

• dem Kirchhoffschen Stromgesetz By = 0 . Dabei beschreibt die Inzidenzmatrix B die Geometrie des Netzwerks, die Leitwertmatrix C die Materialeigenschaften und der Vektor b die von außen gegebenen Triebkr¨ afte“. ” Zur Berechnung der Str¨ ome, Spannungen und Potentiale im Netzwerk w¨ahlt man eine zu bestimmende Variable, zum Beispiel x, und leitet durch Kombination aller Beziehungen eine Gleichung f¨ ur x her. Man erh¨alt B  C(b − Bx) = 0 oder

B  CBx = B  Cb .

(2.2)



Die Matrix M = B CB ist symmetrisch, wenn C symmetrisch ist. Aus x, M x = Bx, CBx mit dem euklidischen Skalarprodukt ·, · sieht man, dass M • positiv semidefinit ist, falls C positiv semidefinit ist, • positiv definit ist, falls C positiv definit ist und B nur den trivialen Kern Kern B = {0} hat. F¨ ur die meisten Netzwerke ist C in der Tat positiv definit. Die Inzidenzmatrix B hat jedoch einen nichttrivialen Kern. Man sieht leicht, dass (1, . . . , 1) ∈ Rm im Kern von B ist. Dies gilt f¨ ur jede Inzidenzmatrix, da ja jede Inzidenzmatrix in jeder Zeile genau einen Eintrag +1 sowie einen Eintrag −1 hat und alle anderen Eintr¨ age 0 sind. Dies hat zur Folge, dass das lineare Gleichungssystem keine eindeutige L¨ osung hat. Physikalisch ist der Grund leicht einzusehen: Die Potentiale sind nur bis auf eine Konstante eindeutig, oder nur dann, wenn man einen Nullpunkt“ f¨ ur das Potential festlegt. ” Da B einen nichttrivialen Kern hat, ist nicht von vornherein klar, dass das Gleichungssystem u osbar ist. Es gilt jedoch: ¨ berhaupt l¨ Satz 2.1. Es sei C ∈ Rn,n symmetrisch und positiv definit und B ∈ Rn,m . Dann gilt f¨ ur M = B  CB: (i) Kern M = Kern B, (ii) Das Gleichungssystem M x = B  b hat f¨ ur jedes b ∈ Rn eine L¨ osung. Beweis. Zu (i): Offensichtlich gilt Kern B ⊂ Kern M . F¨ ur x ∈ Kern M gilt 0 = x, B  CBx = Bx, CBx .

2.1 Elektrische Netzwerke

43

Da C positiv definit ist, folgt Bx = 0, also x ∈ Kern B. Zu (ii): Die Gleichung ist l¨ osbar, wenn B  b ⊥ Kern(M  ) gilt. F¨ ur x ∈  Kern(M ) = Kern M = Kern B gilt B  b, x = b, Bx = 0 ,  

In unserem Beispiel ist Kern B = span (1, 1, 1, 1, 1, 1) . Man kann deshalb ein Gleichungssystem mit positiv definiter Matrix durch Festsetzen eines der Potentiale herleiten. Setzt man x5 = 0, dann muss man in der Inzidenzmatrix die 5. Spalte streichen, also ⎛ ⎞ −1 1 0 0 ⎜ 0 −1 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 −1 1 ⎟ ⎜ ⎟ B=⎜ ⎟ ⎜−1 0 0 1 ⎟ ⎝ 0 0 0 −1⎠ 0 1 0 0 somit ist die Aussage bewiesen.

setzen, und statt x ∈ R5 den Vektor x = (x1 , ..., x4 ) ∈ R4 benutzen. F¨ ur das Zahlenbeispiel R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 1, U1 = 2, U2 = 4 hat man C = I ∈ R6,6 und b = (−2, 0, 4, 0, 0, 0) , also ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 −1 0 −1 2 ⎜−1 3 −1 0 ⎟ ⎜−2⎟     ⎟ ⎜ ⎟ B CB = B B = ⎜ ⎝ 0 −1 2 −1⎠ und B Cb = B b = ⎝−4⎠ . −1 0 −1 3 4 Die L¨osung des Gleichungssystems ist ⎛

⎞ 1 ⎜−1⎟ ⎟ x=⎜ ⎝−2⎠ . 1

Daraus kann man die Spannungen und die Str¨ ome ausrechnen, ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 0 ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−3⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎟ e = −Bx = ⎜ ⎟ und y = e + b = ⎜ ⎜0⎟ . 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎝1⎠ 1 1 Eine naheliegende Frage ist, ob die Inzidenzmatrix eines Netzwerks immer

Kern B = span (1, 1, . . . , 1) (2.3) erf¨ ullt. Die Antwort darauf h¨ angt von folgender geometrischen Eigenschaft des Netzwerks ab:

44

2 Lineare Gleichungssysteme

Definition 2.2. Ein Netzwerk heißt zusammenh¨angend, wenn man je zwei Knoten durch einen Weg aus Kanten verbinden kann. Aussage (2.3) ist ¨ aquivalent dazu, dass das Netzwerk zusammenh¨angend ist. Konkret gilt: Satz 2.3. F¨ ur ein Netzwerk mit Inzidenzmatrix B sind folgende Aussagen aquivalent: ¨ (i) Das Netzwerk ist zusammenh¨ angend. (ii) B kann nicht durch Umsortieren von Zeilen und Spalten in die Form   B1 0 B= 0 B2 gebracht werden mit B1 ∈ Rn1 ,m1 , B2 ∈ Rn2 ,m2 , n1 , n2 , m1 , m2 ≥ 1.

(iii) Kern B = span (1, 1, . . . , 1) . Gleichung (2.2) ist nicht die einzige M¨ oglichkeit, aus den physikalischen Zusammenh¨angen zwischen Spannungen und Str¨ omen im Netzwerk ein lineares Gleichungssysteme zu konstruieren. Man kann zum Beispiel sowohl x als auch y als zu berechnende Variable ansehen. Schreibt man das Ohmsche Gesetz in der Form Ay = e + b mit A = diag(R1 , ..., Rn ) = C −1 , so erh¨alt man das System Bx + Ay = b , B y = 0 , oder



A B B 0

    y b = . x 0

(2.4)

Diese Formulierung ist insbesondere dann sinnvoll, wenn einer der ohmschen Widerst¨ande gleich Null ist, und man daher die Matrix C nicht mehr bilden kann. Netzwerke im Wechselstromkreis Wir werden nun das beschriebene Modell auf Wechselstromkreise mit zus¨atzlichen Bauteilen erweitern. Im Wechselstromkreis hat man einen zeitlich oszillierenden Strom mit vorgegebener Frequenz, also zum Beispiel I(t) = I0 cos(ωt) .

2.1 Elektrische Netzwerke

45

Bei einem ohmschen Widerstand ist der Spannungsabfall gegeben durch U (t) = R I0 cos(ωt) = U0 cos(ωt) mit U0 = R I0 . Einen Wechselstromkreis mit ohmschen Widerst¨anden ohne weitere Bauteile kann man daher wie einen Gleichstromkreis beschreiben, wenn man die Amplituden I0 und U0 f¨ ur Stromst¨ arke und Spannung anstelle der konstanten Stromst¨arken und Spannungen des Gleichstromkreises verwendet. Neue Effekte kommen durch weitere elektrische Bauteile hinzu. Wir betrachten hier • Kondensatoren, bezeichnet mit dem Symbol . Ein Kondensator kann elektrische Ladungen speichern. Die Menge der gespeicherten Ladung ist proportional zur angelegten Spannung. Bei Spannungs¨anderungen kann ein Kondensator daher Str¨ ome aufnehmen oder abgeben. Dies wird beschrieben durch die Relation + + + + + + + + a

− − − − − − − −

I(t) = C U˙ (t) , wobei C die Kapazit¨ at des Kondensators ist. Im Wechselstromkreis mit I(t) = I0 cos(ωt) gilt also U (t) =

I0 I0 sin(ωt) = cos(ωt − π/2) . Cω Cω

Man hat hier also eine Phasenverschiebung von π/2 zwischen Strom und Spannung. • Spulen, bezeichnet durch das Symbol . Eine stromdurchflossene Spule erzeugt ein Magnetfeld, dessen St¨ arke proportional zur Stromst¨arke ist. Im Magnetfeld ist Energie gespeichert, diese muss beim Aufbau des Magnetfeldes aus dem Strom der Spule entnommen werden. Dies f¨ uhrt zu ¨ einem Spannungsabfall an der Spule, der proportional zur Anderung der Stromst¨arke ist, ˙ U (t) = L I(t) wobei L die Induktivit¨ at der Spule ist. Im Wechselstromkreis gilt also U (t) = −LI0 ω sin(ωt) = LωI0 cos(ωt + π/2) . Man hat hier also eine Phasenverschiebung von −π/2. Die auftretenden Phasenverschiebungen machen die Berechnung hier komplizierter als beim Gleichstromkreis. Es ist n¨ utzlich, die Stromst¨arke und die Spannung mit komplexen Zahlen darzustellen. Dazu nutzt man die Eulersche Formel eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ . Es gilt dann

46

2 Lineare Gleichungssysteme

    cos(ωt) = Re eiωt und sin(ωt) = Re − ieiωt . Stellt man die Stromst¨ arke dar als   I(t) = Re I0 eiωt , dann folgt f¨ ur den Spannungsabfall am ohmschen Widerstand   U (t) = Re RI0 eiωt , am Kondensator

  i U (t) = Re − I0 eiωt ωC

und an der Spule

  U (t) = Re iωLI0 eiωt .

Man kann dies durch komplexe Impedanzen R,

−

i und iωL ωC

darstellen, die die Rolle der reellen Widerst¨ ande u ¨bernehmen. Wie bei den reellen ohmschen Widerst¨ anden kann man auch komplexe Impedanzen addieren, wenn man mehr als ein Bauteil im selben Leiterst¨ uck hat. Die Gesamtimpedanz einer Leiters mit ohmschem Widerstand der St¨arke R, Kondensator der Kapazit¨at C und Spule der Induktivit¨ at L ist also R−

i + iωL . ωC

Beispiel: Wir betrachten das in Abbildung 2.3 dargestellte Netzwerk mit m = 5 Knoten und n = 6 Kanten, die Knoten und Kanten sind dort bereits durchnummeriert, die positiven Richtungen sind vorgegeben. Die angelegten Spannungen U1 (t) und U2 (t) seien gegeben durch U1 (t) = U01 cos(ωt) und U2 (t) = U02 cos(ωt) . Es ist hier wichtig, dass die Frequenzen gleich sind, weil sonst kein Wechselstromnetz bekannter Frequenz vorhanden w¨ are. Die Phasenverschiebungen von U1 und U2 sind hier ebenfalls gleich, es ist aber nicht schwierig, unterschiedliche Phasen im Modell zu ber¨ ucksichtigen. Zur Modellierung des Netzwerks benutzen wir einen Potentialvektor x ∈ Cm , einen Stromvektor y ∈ Cn und einen Spannungsvektor e ∈ Cn .

2.1 Elektrische Netzwerke

47

IV

C5

+ U2 −

L4 V

R3 R6 +− I

U1

R1 II

L2

III

Abb. 2.3. Wechselstromnetz

Es gelten die Beziehungen e = −Bx und y = C(e + b) mit der Inzidenzmatrix B des Netzwerks, der Impedanzmatrix C −1 und dem Vektor der angelegten Spannungen b. Die Inzidenzmatrix ist dieselbe wie beim Gleichstromkreis aus Abbildung 2.1, Impedanzmatrix und Vektor der angelegten Spannungen sind gegeben durch ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ R1 0 0 0 0 0 −U01 ⎜ 0 iωL2 0 0 ⎜ 0 ⎟ 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ U02 ⎟ 0 0 R3 0 0 0⎟ −1 ⎜ ⎜ ⎟. C =⎜ und b = ⎜ 0 0⎟ 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 iωL4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 0 (iωC5 )−1 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ 0 0 0 0 0 R6 0 Wie beim Gleichstromkreis erh¨ alt man wieder das Gleichungssystem (2.2), der einzige Unterschied ist nun, dass die Koeffizienten von C und b im Allgemeinen komplexe Zahlen sind. Nat¨ urlich kann man auch im Wechselstromkreis die alternative Formulierung (2.4) benutzen. F¨ ur das Zahlenbeispiel R1 = R3 = R6 = 1 Ω, L2 = L4 = 0,01 H, C5 = 0,02 F , ω = 50/s mit U01 = 10 V , U02 = 5 V folgt, ohne Einheiten, C = diag(1, −2i, 1, −2i, i, 1) und b = (−10, 0, 5, 0, 0, 0) . Das resultierende Gleichungssystem B  CBx = B  Cb hat nun die Form

48

2 Lineare Gleichungssysteme

⎛ 1 − 2i −1 0 ⎜ −1 2 − 2i 2i ⎜ ⎜ 0 2i 1 − 2i ⎜ ⎝ 2i 0 −1 0 −1 0

⎞ ⎛ ⎞ 2i 0 10 ⎜−10⎟ 0 −1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −5 ⎟ , −1 0 ⎟ x = ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ 1 − i −i ⎠ −i 1 + i 0

und die allgemeine L¨ osung ist ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2i 1 ⎜2i − 6⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ x=⎜ ⎜2i − 5⎟ + z ⎜1⎟ mit z ∈ C . ⎝ 0 ⎠ ⎝1⎠ 4i − 2 1 Daraus kann man die Spannungen und Str¨ ome berechnen: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 6 −4 ⎜ −1 ⎟ ⎜ 2i ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2i − 5⎟ ⎜ ⎟ ⎟ und y = C(e + b ) = ⎜ 2i ⎟ . e = −Bx = ⎜ ⎜ 2i ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 − 4i⎠ ⎝4 + 2i⎠ 4 + 2i 4 + 2i Den zeitlichen Verlauf einer durch die   komplexe Zahl z ∈ C gegebenen Gr¨oße erh¨alt man durch z(t) = Re z eiωt , zum Beispiel ist der Strom in Leiter Nummer 5 gegeben durch   y5 (t) = Re (4 + 2i)eiωt = 4 cos(ωt) − 2 sin(ωt) . Falls eine der angelegten Spannungen eine Phasenverschiebung hat, dann ist der entsprechende Eintrag im Vektor b ebenfalls Zahl. F¨ ur  eine komplexe  U2 (t) = U02 sin(ωt) gilt zum Beispiel U2 (t) = Re − iU02 eiωt und ⎛ ⎞ −U01 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−U02 i⎟ ⎟ b=⎜ ⎜ 0 ⎟. ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ 0

2.2 Stabwerke Ein weiteres technisch wichtiges Beispiel, das auf lineare Gleichungssysteme f¨ uhrt, sind elastische Stabwerke, manchmal auch Fachwerke genannt. Ein

2.2 Stabwerke

49

Abb. 2.4. Einfaches Stabwerk

Stabwerk ist eine Struktur, die aus (in der Regel vielen“) miteinander verbun” denen St¨aben besteht, ein typisches Beispiel sind manche Br¨ uckenkonstruktionen wie schematisch in Abbildung 2.4 gezeigt, oder manche Turmkonstruktionen wie etwa der Eiffelturm. Das Bauwerk verformt sich bei Belastung, dabei verh¨alt sich das Material elastisch, wenn es bei Wegnahme der Belastung wieder seine urspr¨ ungliche“ Form annimmt. Die Verformung ist wichtig, um die ” Kraftverteilung“ im Bauwerk zu bestimmen, sie ist aber oft so klein, dass ” sie mit bloßem Auge nicht erkennbar ist. In diesem Fall ist h¨aufig ein lineares Modell sinnvoll, wie es auch hier verwendet werden soll. Zur Modellierung eines Stabwerks betrachten wir zun¨achst einen einzelnen Stab, wie in Abbildung 2.5 dargestellt. Der Einfachheit halber werden wir hier nur r¨aumlich zweidimensionale Probleme betrachten. Die Geometrie des Stabes ist gegeben durch die L¨ ange L und den Winkel θ zu einer ausgezeichneten Richtung, zum Beispiel einer vorher festgelegten x1 –Achse.

L θ Abb. 2.5. Geometrie eines einzelnen Stabes

Wir treffen folgende Modellierungsannahmen: • Der Stab kann nur in L¨ angsrichtung belastet werden, nicht in Querrichtung. M¨ogliche Ursachen hierf¨ ur k¨ onnen sein: –

Der Stab ist reibungsfrei drehbar gelagert, so dass jede Querkraft sofort zu einer Drehbewegung f¨ uhrt.

–

Der Stab ist sehr d¨ unn, so dass jede Querkraft zu einer sehr großen Verformung f¨ uhrt und die Struktur ihre Festigkeit im Wesentlichen u afte erh¨ alt. ¨ber die L¨angskr¨

• Bei Belastung wird der Stab verformt, also gedehnt oder gestaucht, die Verformung ist proportional zur Belastung. Dies nennt man lineares Materialverhalten.

50

2 Lineare Gleichungssysteme x L 

θ

Abb. 2.6. Verformung eines Stabes

Wir wollen nun die Verformung eines Stabes bei einer gegebenen Verschiebung eines Stabendes ausrechnen. Die Verschiebung ist definiert durch einen Verschiebungsvektor x = (x1 , x2 ) , siehe Abbildung 2.6. Die L¨ange  des verformten Stabes ist gegeben durch 2

2

2 = (L cos θ + x1 ) + (L sin θ + x2 )

= L2 + 2L(cos θ x1 + sin θ x2 ) + x21 + x22 . Die auf den Stab wirkende Kraft soll proportional zur (relativen) Dehnung e =

−L L

sein. Die Dehnung ist nun aber eine nichtlineare Funktion des Verschiebungsvektors. Falls die Verschiebung (x1 , x2 ) klein ist gegen¨ uber der L¨ange,  2 2 x1 + x2 L, dann kann man die Dehnung linearisieren gem¨aß  e = ( − L)/L = 1 + 2L−1 (cos θ x1 + sin θ x2 ) + L−2 (x21 + x22 ) − 1     = 1 + L−1 cos θ x1 + sin θ x2 − 1 + O (x21 + x22 )/L2   ∼ L−1 cos θ x1 + sin θ x2 . Man erh¨alt also eine lineare Beziehung zwischen Verschiebungsvektor und Dehnung. Dies nennt man geometrische Linearisierung. Das lineare Modell beschreibt deshalb die Realit¨ at nicht exakt, sondern nur n¨aherungsweise, wir haben einen (hoffentlich kleinen) Modellfehler. Zur Verformung des Stabes ist eine Kraft y auf beide Stabenden notwendig. Diese ist bei linear elastischem Material proportional zur Dehnung,  e , y=E  eine Konstante ist, die vom Material und der Dicke (oder genauer wobei E der Querschnittfl¨ ache) des Stabes abh¨ angt. Die Kraft y ist positiv, wenn der Stab gedehnt wird, und negativ, wenn der Stab gestaucht wird. Gem¨aß des Newtonschen Gesetzes Actio = Reactio“ muss man bei Kr¨aften immer be” achten, wer“ die Kraft auf wen“ in welche Richtung“ aus¨ ubt. In Abbildung ” ” ” 2.7 ist dies f¨ ur einen gedehnten Stab dargestellt.

2.2 Stabwerke

51

vorher nachher Kr¨ afte, die der Stab auf die Endpunkte aus¨ ubt Kr¨ afte, die die Endpunkte auf den Stab aus¨ uben Abb. 2.7. Kr¨ afte bei einem gedehnten Stab

Die so definierte Kraft y wird (im hier vorliegenden eindimensionalen Fall) auch als (elastische) Spannung bezeichnet. Die Spannung in einem gedehnten beziehungsweise gestauchten Stab ist positiv beziehungsweise negativ. Bei einem Stab in einem Fachwerk werden typischerweise beide Endpunkte verschoben. Definiert man den Verschiebungsvektor des linken“ Endpunktes ” in Abbildung 2.6 als (x1 , x2 ) und denjenigen des rechten“Endpunktes als ” (x3 , x4 ) , so erh¨ alt man folgende Beziehung zwischen Verschiebungsvektoren und (absoluter) Dehnung e: e = L e = cos θ (x3 − x1 ) + sin θ (x4 − x2 )

(2.5)

Die Relation zwischen absoluter Dehnung und Spannung ist dann  . y = Ee mit E = E/L

(2.6)

Dies sind die Modellgleichungen f¨ ur einen einzelnen Stab. Die Proportionalit¨atskonstante E wird im folgenden auch als Elastizit¨atsmodul bezeichnet. Um ein ganzes Stabwerk zu modellieren, f¨ uhrt man zuerst eine Nummerierung der St¨abe und Knoten des Stabwerks durch, und definiert dann: • einen (globalen) Verschiebungsvektor x ∈ R2m , wobei m die Anzahl der (frei beweglichen) Knoten des Stabwerks ist. Dabei ist (x2i−1 , x2i ) der Verschiebungsvektor des Knotens mit der Nummer i, • einen Vektor der Dehnungen e ∈ Rn , wobei n die Anzahl der St¨abe ist, • einen Vektor der Spannungen y ∈ Rn . Danach definiert man globale Versionen der Modellgleichungen (2.5) und (2.6) u ¨ber Matrix–Vektor–Multiplikationen, das sind globale Beziehungen zwischen Verschiebungen und Dehnungen e = Bx mit einer Matrix B ∈ Rn,2m , und eine globale Beziehung zwischen Dehnungen und Kr¨aften,

52

2 Lineare Gleichungssysteme

θ Abb. 2.8. Kraft auf Einzelstab

y = Ce mit einer Matrix C ∈ R aus Materialparametern, dies wird hier eine Diagonalmatrix sein. Die Eintr¨ age von B und C erh¨ alt man durch Einsortieren der Koeffizienten in (2.5) und (2.6) an die passenden Stellen, die von der Nummerierung der Knoten und St¨ abe abh¨ angen. Um ein Gleichungssystem zur Berechnung der Verschiebungen, Spannungen und Dehnungen auszurechnen, ben¨otigt man noch eine weitere physikalische Gesetzm¨aßigkeit, n¨amlich das Kr¨ aftegleichgewicht: n,n

Die Summe der Kr¨ afte, die in einem Punkt angreifen, ist Null. Um dieses Gesetz in Matrix–Vektor–Form zu bringen, betrachten wir zun¨achst die Kraft, die ein Endpunkt eines einzelnen Stabes der Spannung y auf diesen aus¨ ubt, zum Beispiel die Kraft, die der obere rechte Punkt des in Abbildung 2.8 gezeigten Stabes auf diesen aus¨ ubt. Diese Kraft ist gegeben durch     cos θ cos θ f= y =: Ay mit A = ∈ R2,1 . sin θ sin θ Durch Vergleich mit der Beziehung zwischen Verschiebung und Dehnung   x1 e = cos θ x1 + sin θ x2 =: B mit B = (cos θ sin θ) ∈ R1,2 x2 folgt A = B  . Diese Beziehung kann man von einzelnen St¨aben auf beliebige Stabwerke u ¨bertragen: f = By . Diese Gleichung beschreibt die inneren Kr¨ afte, die als Folge der Spannungen der St¨abe auftreten. Zus¨ atzlich hat man noch ¨ außere Kr¨afte, zum Beispiel durch Fahrzeuge auf einer Br¨ ucke oder Menschen auf einem Turm. Auch die am Bauwerk selbst angreifende Gravitationskraft, also dessen Gewicht, ist eine außere Kraft. Diese Kr¨ afte werden in Punktkr¨ afte auf die Knoten umgerechnet ¨ und in einem Kraftvektor b ∈ R2m gesammelt. Das Kr¨aftegleichgewicht wird dann beschrieben durch By = b . In dieser Gleichung beschreibt B  y die Kr¨ afte, welche die Punkte an den St¨aben aus¨ uben, w¨ ahrend b die von außen an den Punkten ausge¨ ubten Kr¨afte

2.2 Stabwerke (1, 1)I 1

53

  1 f= 0

2

(0, 0) (1, 0) Abb. 2.9. Beispiel 1

angibt. Dadurch erkl¨ aren sich die unterschiedlichen Vorzeichen, beziehungsweise die Positionen links und rechts des Gleichheitszeichens. Durch Zusammenfassen aller drei Beziehungen kann man ein Gleichungssystem f¨ ur den Verschiebungsvektor x gewinnen: B  CBx = b . Wir werden nun dieses theoretische Konzept an mehreren Beispielen erl¨autern und dabei auftretende Schwierigkeiten identifizieren. Beispiel 1 Wir betrachten das in Abbildung 2.9 dargestellte Stabwerk mit der dort angegebenen Nummerierung der Verbindungsknoten durch r¨omische Ziffern und der St¨abe durch arabische Ziffern sowie der skizzierten ¨außeren Kraft. Die Zahlenpaare beschreiben kartesische Koordinaten der Punkte. Das Stabwerk besteht aus zwei St¨ aben und drei Knoten, zwei der Knoten sind jedoch festgehalten und werden nicht in die Nummerierung einbezogen. Die Variablen sind der Verschiebungsvektor x = (x1 , x2 ) , der Dehnungsvektor e = (e1 , e2 ) und der Spannungsvektor y = (y1 , y2 ) . Die Verschiebungs–Dehnungs–Beziehung ist √  √ 2/2 2/2 e = Bx mit B = . 0 1 Die Dehnungs–Spannungs–Beziehung lautet       E1 e1 E1 0 E1 0 y= = e = Ce mit C = . E2 e2 0 E2 0 E2 Das Kr¨aftegleichgewicht im Punkt I ist √      2/2 0 1 √ y1 + y2 = 1 0 2/2 oder

54

2 Lineare Gleichungssysteme

B y = f . F¨ ur die spezielle Wahl der Materialkonstanten E1 = 100, E2 = 200 folgt √   √ √  100 0 2/2 2/2 √2/2 0 0 200 0 1 2/2 1  √  √ √    50√2 0 50 50 2/2 2/2 = = . 50 250 0 1 50 2 200

B  CB =

Man erh¨alt also das Gleichungssystem     50 50 1 x= 50 250 0 mit der eindeutigen L¨ osung  x=

 5/200 . −1/200

Aus dieser L¨osung kann man die Verzerrungen und Spannungen berechnen gem¨aß √  √  2/100 2 e = Bx = und y = Ce = . −1/200 −1 Bei diesem Beispiel k¨ onnte man die Verteilung der Kraft auf die zwei St¨abe auch mit einem viel einfacheren Modell ausrechnen: Zur Aufnahme des ¨außeren Kraftvektors f = (1, 0) stehen nur zwei Richtungen zur Verf¨ ugung, n¨ amlich √    2/2 0 a= √ und b = . 1 2/2 Da {a, b} eine Basis des R2 ist, kann man f eindeutig zerlegen in f = αa + βb mit α =

√

2 und β = −1. Die Koeffizienten hier sind gerade die Spannungen.

Definition 2.4. Ein Stabwerk, in dem es nur eine einzige M¨ oglichkeit zur Verteilung der Kr¨ afte auf die St¨ abe gibt, heißt statisch bestimmt. Die Verteilung der Kr¨ afte auf die St¨ abe wird in unserem Modell gerade durch die L¨osung y der Gleichung By = f (2.7)

2.2 Stabwerke (1, 1) f= 1

(0, 0)

2

(1, 0)

55

1 0

3

(2, 0)

Abb. 2.10. Beispiel 2

beschrieben. Ein Stabwerk ist also genau dann statisch bestimmt, wenn das Gleichungssystem (2.7) eindeutig l¨ osbar ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn B  (oder B) eine quadratische, regul¨ are Matrix ist. Insbesondere muss die Anzahl der Verschiebungsfreiheitsgrade (hier 2m = 2) gleich der Anzahl der Spannungsfreiheitsgrade (hier n = 2) sein, 2m = n . Wenn man mit m die Anzahl aller Knoten, mit n die Anzahl der St¨abe und mit k die Anzahl der Zwangsbedingungen bezeichnet, dann hat man 2m = n + k .

(2.8)

Eine Zwangsbedingung beschreibt das Festhalten eines Knotens in eine Richtung. Ber¨ ucksichtigt man in Beispiel 1 in der Nummerierung auch die beiden festgehaltenen Knoten (0, 0) und (1, 0), dann ist m = 3, n = 2 und k = 4. Eine wichtige Form von Zwangsbedingungen besteht darin, einen Knoten nur in einer Richtung (oder bei dreidimensionalen Problemen in zwei Richtungen) festzuhalten. Technisch entspricht das der F¨ uhrung des Knotens in einer Schiene, wobei die Reibung vernachl¨ assigt wird. F¨ ur r¨aumlich dreidimensionale Probleme muss man Gleichung (2.8) ab¨ andern in 3m = n + k , denn jeder Knoten entspricht nun drei Freiheitsgraden. Beispiel 2 Wir betrachten das Stabwerk aus Abbildung 2.10 mit den Materialdaten E1 = 200, E2 = 100, E3 = 200, wobei Ei der Elastizit¨atsmodul f¨ ur Stab i ist. F¨ ur den Verschiebungsvektor x ∈ R2 , den Dehnungsvektor e ∈ R3 und den Spannungsvektor y ∈ R3 gelten die Beziehungen √ ⎛√ ⎞ 2/2 2/2 ⎠ e = Bx mit B = ⎝ √0 √1 − 2/2 2/2

56

2 Lineare Gleichungssysteme

⎛ ⎞ 200 0 0 y = Ce mit C = ⎝ 0 100 0 ⎠ . 0 0 200

und

Damit ist

√ ⎞ ⎛ ⎞⎛ √ √  200 0 0 √ 2/2 2/2 2/2 0 −√ 2/2 ⎝ ⎠ 0 100 0 ⎠ ⎝ √0 B  CB = √ √1 2/2 1 2/2 0 0 200 − 2/2 2/2 √ ⎞ ⎛√ √ √     2/2 2/2 100√2 0 −100√ 2 ⎝ ⎠ = 200 0 . 0 1 = √ √ 0 300 100 2 100 100 2 − 2/2 2/2

Das Gleichungssystem ist demnach     200 0 1 x= , 0 300 0 es hat die eindeutige L¨ osung x=

  1/200 . 0

Die Dehnungen und Spannungen erh¨ alt man aus ⎛√ ⎞ ⎛√ ⎞ 2/400 2/2 ⎠ und y = Ce = ⎝ 0 ⎠ . e = Bx = ⎝ √ 0 √ − 2/400 − 2/2 Das Stabwerk ist nicht statisch bestimmt, denn B ist keine quadratische Matrix. Es sind mehr St¨ abe als Verschiebungsfreiheitsgrade vorhanden. Mit einer einfachen Zerlegung der angreifenden Kraft auf die zur Verf¨ ugung stehenden Kraftrichtungen ist eine L¨ osung hier nicht mehr m¨oglich. Trotzdem l¨asst sich mit unserem Modell eine eindeutige L¨osung berechnen, da B  CB regul¨ar ist. Dies liegt daran, dass Kern B = {0} gilt, beziehungsweise dass B maximalen Rang ur eine positiv definite Matrix C gilt nach Satz   hat. F¨ 2.1 Kern B  CB = Kern B; somit ist B  CB genau dann regul¨ar, wenn C positiv definit ist und B maximalen Spaltenrang hat. Definition 2.5. Ein Stabwerk heißt statisch unbestimmt, wenn B ∈ Rn,2m mit n > 2m maximalen Rang 2m hat. Beispiel 3 Wir untersuchen das Stabwerk aus Abbildung 2.11 mit den Daten E1 = E2 = E3 = 100. Im Verschiebungsvektor x ∈ R4 bezeichnen die Komponenten

2.2 Stabwerke (0, 1)

2

I

(1, 1) II

1

f=

57

 1 0

3

(0, 0)

(1, 0)

Abb. 2.11. Beispiel 3

(x1 , x2 ) die Verschiebung von Knoten I und (x3 , x4 ) die Verschiebung von Knoten II. Es gilt

⎛

⎞ ⎛ ⎞ 0 100 100 0 0 e = Bx mit B = ⎝−1 0 1 0⎠ und y = Ce mit C = ⎝ 0 100 0 ⎠ . 0 001 0 0 100

Damit ist

⎛ 0 ⎜ 1 B  CB = 100 ⎜ ⎝0 0

Das Gleichungssystem ist

⎞ ⎛ ⎞ −1 0 ⎛ 1 0 0 100 ⎜0 1 0 0⎟ ⎟ ⎝−1 0 1 0⎠ = 100 ⎜ ⎝−1 0 1 0⎠ 0 001 0 1 0 0 ⎛

1 ⎜0 100 ⎜ ⎝−1 0

⎞ −1 0 0 0⎟ ⎟. 1 0⎠ 0 1

⎞ ⎛ ⎞ 0 −1 0 0 ⎜0⎟ 1 0 0⎟ ⎟x = ⎜ ⎟. ⎝1⎠ 0 1 0⎠ 0 0 1 0

Aus der ersten und dritten Zeile erkennt man sofort, dass das Gleichungssystem unl¨osbar ist. Der Grund hierf¨ ur ist mechanisch leicht einzusehen: Wenn die St¨abe reibungsfrei drehbar“ miteinander verbunden sind, dann kippt“ ” ” das Stabwerk nach rechts, wie in Abbildung 2.12 dargestellt. Aufgrund seiner Konstruktion kann es bestimmte Kr¨ afte nicht aufnehmen. Dies liegt nat¨ urlich auch an unseren Modellannahmen: Dasselbe Stabwerk k¨onnte die Kraft f durchaus aufnehmen, wenn die einzelnen St¨ abe auch Belastungen senkrecht zur Stabrichtung tragen k¨ onnten und die Verbindungen zwischen den St¨aben Drehmomente u onnten. Das ist in unserem Modell aber nicht so ¨bertragen k¨ spezifiziert. Ein schlecht konstruiertes Stabwerk macht sich hier mathematisch durch eine nicht l¨osbare Modellgleichung bemerkbar. Die Systemmatrix B  CB ist hier nicht invertierbar, weil B einen nichttrivialen Kern hat. Dies motiviert folgende Definition:

58

2 Lineare Gleichungssysteme

Abb. 2.12. Instabiles Stabwerk

Definition 2.6. Ein Stabwerk heißt instabil, wenn B linear abh¨ angige Spalten hat. Auch bei instabilen Stabwerken kann das lineare Gleichungssystem eine L¨osung besitzen. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Vektor der ¨außeren Kr¨afte orthogonal ist zum Kern von B  CB, der f¨ ur positiv definites C nach Satz 2.1 gleich dem Kern von B ist. In unserem Beispiel ist die Bedingung b ⊥ Kern B ¨aquivalent zu b1 + b3 = 0 . Da (b1 , b2 ) und (b3 , b4 ) die Kr¨ afte an den Knoten I und II sind, bedeutet diese Bedingung gerade, dass die resultierende Kraft in x1 –Richtung gleich Null ist. Beispiel 4 Wir betrachten das in Abbildung 2.13 dargestellte Stabwerk ohne festgehaltene Knoten. Insbesondere ist das Stabwerk nun im Raum frei beweglich. Die Materialdaten sind jeweils E1 = E2 = E3 = 100. Der globale Verschiebungsvektor x = (x1 , . . . , x6 ) ∈ R6 setzt sich zusammen aus den lokalen Verschiebungsvektoren (x2i−1 , x2i ) der Knoten i = 1, 2, 3. Der Dehnungsvektor e ∈ R3 ist gegeben durch ⎛ ⎞ x3 − x1 ⎠ = Bx , x6 − x2 e = ⎝√ 2/2 (x3 − x5 − x4 + x6 ) ⎛ ⎞ −1 0 1 0 0 0 ⎠. mit B = ⎝ 0 −1 √ 0 √0 √0 √1 0 0 2/2 − 2/2 − 2/2 2/2 Es gilt also

⎛

2 0 ⎜0 2 ⎜ 1⎜ −2 0  B B= ⎜ 2⎜ ⎜0 0 ⎝0 0 0 −2

−2 0 3 −1 −1 1

0 0 −1 1 1 −1

⎞ 0 0 0 −2⎟ ⎟ −1 1 ⎟ ⎟. 1 −1⎟ ⎟ 1 −1⎠ −1 3

2.2 Stabwerke

59

(0, 1) III

3

2

(0, 0)

(1, 0) I

1

II

Abb. 2.13. Beispiel 4

Die zu l¨osende lineare Gleichung bei einem Vektor f ∈ R6 , der die angreifenden Kr¨ afte angibt, ist also 1 B  Bx = f. (2.9) 100 Man sieht hier leicht, dass diese Matrix nicht regul¨ar ist, zum Beispiel sind die vierte und f¨ unfte Spalte identisch. Das Gleichungssystem hat also nicht f¨ ur jedes f eine L¨ osung, und wenn es eine L¨ osung gibt, ist diese typischerweise nicht eindeutig. Aus der linearen Algebra weiß man: B  Bx = f ist l¨ osbar ⇔ f ∈ Bild(B  B) ⇔ f ⊥ Kern(B  B) . Der Kern der Matrix B  B ist

⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫ 1 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎪ 0 1 0⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎬ 1 0 0  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Kern(B B) = span ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ =: R . ⎪ ⎪ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝1⎠ ⎝0⎠ ⎝−1⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 0 1 0

Die ersten beiden Vektoren hier beschreiben Verschiebungen des gesamten Stabwerks in die x1 –Richtung und die x2 –Richtung. Der dritte Vektor wird als Rotation bezeichnet. Streng genommen ist eine Drehung des Stabwerks um den Nullpunkt gegeben, wenn jeder Knoten p ∈ R2 des Stabwerks abgebildet wird auf   cos ϕ − sin ϕ p + x(p) = p, sin ϕ cos ϕ wobei ϕ der Drehwinkel ist. Setzt man in diese lokalen Beziehungen die Knotenvektoren unseres Stabwerks ein und sortiert die Ergebnisse in den globalen Verschiebungsvektor x ein, dann erh¨ alt man

60

2 Lineare Gleichungssysteme

⎛

⎞ ⎛ ⎞ 0 0 ⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ cos ϕ ⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟. x = x(ϕ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ sin ϕ ⎟ ⎜0⎟ ⎝− sin ϕ⎠ ⎝0⎠ cos ϕ 1 In der linearisierten Theorie betrachtet man nur kleine Verschiebungen, also hier kleine Drehwinkel ϕ. Linearisierung von x = x(ϕ) um ϕ = 0 liefert ⎛ ⎞ 0 ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟  ⎟ x(ϕ) ∼ x(0) + x (0)ϕ = ϕ ⎜ ⎜ 1 ⎟. ⎜ ⎟ ⎝−1⎠ 0 Die zun¨achst etwas seltsame Definition einer Drehung ist also die Folge unserer Modellvereinfachungen. Die Menge R wird als Menge der Starrk¨ orperverschiebungen bezeichnet, denn sie beschreibt diejenigen Verschiebungsvektoren, die nicht zu Dehnungen der St¨abe f¨ uhren. Die konkrete Definition h¨ angt nat¨ urlich vom betrachteten Stabwerk ab, und zwar im wesentlichen von dessen Knoten und deren Nummerierung. Man kann die Menge der Starrk¨ orperverschiebungen konstruieren aus den drei lokalen Abbildungen       1 0 −p2 x(p) = , x(p) = und x(p) = . (2.10) 0 1 p1 Zusammenfassend hat das lineare Gleichungssystem (2.9) genau dann eine L¨osung, wenn f senkrecht steht auf der Menge der Starrk¨orperverschiebungen, f ⊥ R. Physikalisch bedeutet diese Beziehung, dass die Summe aller angreifenden Kr¨afte gleich Null ist, und dass das angreifende Drehmoment, zum Beispiel um den Nullpunkt als Drehpunkt, ebenfalls Null ist. Die L¨osung ist dann nicht eindeutig, zwei L¨osungen unterscheiden sich um eine Starrk¨orperverschiebung. Diese Situation wird bei jedem Stabwerk ohne festgehaltene Knoten eintreten. ¨ Man kann diese Uberlegungen auch auf drei Raumdimensionen u ¨ bertragen. Dann hat R die Dimension 6, man hat n¨ amlich drei Translationen und drei Rotationen. Analog zu (2.10) kann man die Starrk¨orperverschiebungen erhalten aus den lokalen Abbildungen

2.3 Optimierung mit Nebenbedingungen

61

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 x(p) = ⎝0⎠ , x(p) = ⎝1⎠ , x(p) = ⎝0⎠ , 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −p2 −p3 0 x(p) = ⎝ p1 ⎠ , x(p) = ⎝ 0 ⎠ und x(p) = ⎝−p3 ⎠ . 0 p1 p2

2.3 Optimierung mit Nebenbedingungen Die in den letzten beiden Abschnitten gefundenen Gleichungssysteme f¨ ur elektrische Netzwerke und elastische Stabwerke haben dieselbe Struktur Ay + Bx = b , By = f

(2.11)

mit gegebenen Matrizen A ∈ Rn,n , B ∈ Rn,m , gegebenen Vektoren b ∈ Rn , f ∈ Rm und gesuchten Vektoren y ∈ Rn , x ∈ Rm . Diese Gleichungen charakterisieren auch die L¨ osung y eines quadratischen Optimierungsproblems mit linearen Nebenbedingungen. Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen diesem restringierten Minimierungsproblem f¨ ur y, dem primalen Problem, einem nichtrestringierten Maximierungsproblem f¨ ur x, dem dualen Problem, und einer Minimum-MaximumFormulierung f¨ ur (y, x), so dass von (2.11) auch als von einem Sattelpunktproblem gesprochen wird. Da hier nur lineare Nebenbedingungen auftreten, ¨ kommen die folgenden Uberlegungen ausschließlich mit Methoden der linearen Algebra aus. Wir betrachten nun ein quadratisches Optimierungsproblem mit linearen Nebenbedingungen der Form Minimiere F (y) := 12 y, Ay − b, y unter y ∈ Rn , B  y = f

(2.12)

mit symmetrischer, positiv definiter Matrix A ∈ Rn,n , mit B ∈ Rn,m , b ∈ Rn , f ∈ Rm . Dabei bezeichnet x, y := x y f¨ ur x, y ∈ Rn das euklidische Skalarprodukt. Wir machen mehrfach von folgenden Grundaussagen der linearen Algebra Gebrauch: Satz 2.7. Sei A ∈ Rn,n symmetrisch, positiv semidefinit, b ∈ Rn . Dann sind ¨aquivalent: (i) y ∈ Rn l¨ost Ay = b, (ii) y ∈ Rn minimiert das Funktional F (y) :=

1 y, Ay − b, y auf Rn . 2

62

2 Lineare Gleichungssysteme

Ist A positiv definit, so sind beide Probleme eindeutig l¨ osbar. Satz 2.8. Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf dem Rn und  .  die erzeugte Norm. Weiter sei U ⊂ Rn ein linearer Teilraum und W := y + U f¨ ur ein y ∈ Rn . n Dann sind f¨ ur y" ∈ R die folgenden Aussagen ¨ aquivalent: (i) y ∈ W minimiert y → " y − y auf W . (ii) (y − y", u) = 0 f¨ ur u ∈ U (Fehlerorthogonalit¨at). Damit folgt: Satz 2.9. Sei A ∈ Rn,n symmetrisch, positiv definit und y ∈ Rn . Das lineare Gleichungssystem B  y = f sei l¨osbar. Dann sind ¨ aquivalent: (i) y ∈ Rn l¨ost (2.12). (ii) Es gibt einen sogenannten Lagrange-Multiplikator x ∈ Rm , so dass (y, x) das Gleichungssystem (2.11) l¨ ost. L¨osungen y bzw. (y, x) existieren, y ist immer eindeutig und x ist eindeutig, wenn B vollen Spaltenrang hat. Beweis: Sei U := Kern B  und sei y ∈ Rn eine spezielle L¨osung von B  y = f . Dann ist die Einschr¨ ankungsmenge {y ∈ Rn | B  y = f } in (2.12) der affine Unterraum W := y + U . Es sei nun yA := (y  Ay)1/2 f¨ ur y ∈ Rn die vom Skalarprodukt x, yA := x Ay f¨ ur x, y ∈ Rn erzeugte Norm (die zugeh¨orige Energienorm). Wegen 1  1 1 y Ay − b y = y − y"2A − b y" 2 2 2 f¨ ur y" := A−1 b lautet also (2.12) ¨ aquivalent: Minimiere f(y) = y − y"A f¨ ur y ∈ W .

(2.13)

Die eindeutig existierende Minimalstelle y ∈ Rn von (2.13) bzw. (2.12) ist also nach Satz 2.8 charakterisiert durch

2.3 Optimierung mit Nebenbedingungen

y − y", uA = 0 f¨ ur ⇔ Ay − b, u = 0 ⇔ Ay − b ∈ U

⊥

63

u∈U

f¨ ur u ∈ U

= (Kern B  )⊥ = Bild B

⇔ Es existiert x ∈ Rm mit Ay − b = B(−x) . Das Urbild x ist eindeutig, genau dann, wenn B injektiv ist, d. h. vollen Spaltenrang hat.     y Das lineare Gleichungssystem (2.11) in ist gestaffelt, im Allgemeinen ist x aber x nicht eliminierbar, wohl aber y, so dass ein (nicht eindeutig l¨osbares) lineares Gleichungssystem f¨ ur den Lagrange-Multiplikator x entsteht. Satz 2.10. Unter den Voraussetzungen von Satz 2.9 sind die dortigen Aussagen auch ¨aquivalent zu (iii) x ∈ Rm ist L¨ osung von B  A−1 Bx = −f + B  A−1 b

(2.14)

und y ∈ Rn ist die eindeutige L¨osung von Ay = b − Bx .

(2.15)

(iv) x ∈ Rm ist L¨ osung des Maximierungsproblems 1 Maximiere F ∗ (x) := − B  A−1 Bx, x + x, B  A−1 b − f  2 1 − b, A−1 b 2

(2.16)

und y ∈ Rn ist die eindeutige L¨osung von Ay = b − Bx .

(2.17)

Das Maximierungsproblem (2.16) heißt auch das zu (2.12) duale Problem. Beweis: (ii)⇒(iii): Dies folgt sofort durch Aufl¨ osung der ersten Gleichung von (2.11) nach y und Einsetzen in die zweite Gleichung. (iii)⇒(ii): Ist x L¨osung von (2.14), so definieren wir y als L¨osung von (2.15). Elimination von Bx in (2.14) liefert dann die Behauptung. (iii)⇔(iv): Da B  A−1 B symmetrisch und positiv semidefinit ist, kann nach Satz 2.7 die erste Gleichung von (2.14) ¨ aquivalent als Minimierungsproblem mit dem Funktional −F ∗ (x) − 12 b, A−1 b geschrieben werden, was mit dem Maximierungsproblem (2.16) ¨ aquivalent ist.  

64

2 Lineare Gleichungssysteme

Man beachte, dass das duale Problem keine Nebenbedingungen mehr beinhaltet. Die etwas unhandliche Gestalt von F ∗ l¨asst sich unter Benutzung der primalen Variable y nach (2.17) umschreiben. Dazu sei L : Rn × Rm → R

definiert durch(y, x) →

1 y, Ay − y, b + x, B  y − f  2

das Lagrange-Funktional. Das Funktional L entsteht also aus F , indem die Gleichungsnebenbedingung mit (dem Multiplikator) x angekoppelt“ wird. ” L¨ost y die Gleichung B  y = f , dann gilt offensichtlich L(y, x) = F (y) .

(2.18)

Etwas mehr elementarer Umformungen bedarf es, das Folgende einzusehen: Sind y und x so, dass Ay + Bx = b gilt, dann folgt L(y, x) = F ∗ (x) .

(2.19)

Das duale Problem erlaubt auch eine Formulierung mit Nebenbedingungen. Das Paar (y, x) ergibt sich als L¨ osung des Problems Maximiere L(y, x)

unter

(y, x) ∈ Rn × Rm

mit

Ay + Bx = b .

Diese Charakterisierung folgt unmittelbar aus der Tatsache, dass f¨ ur Paare (y, x), die der Nebenbedingung gen¨ ugen, die Identit¨at (2.19) gilt. Da y ∈ Rn , x ∈ Rm , die (i) bis (iv) aus Satz 2.9 bzw. Satz 2.10 erf¨ ullen, die Bedingungen B  y = f und Ay + Bx = b realisieren, gilt also

min F (y) : y ∈ Rn , B  y = b = F (y) = (2.20) L(y, x) = F ∗ (x) = max {F ∗ (x) : x ∈ Rm } . Dar¨ uber hinaus gilt Satz 2.11. Unter den Voraussetzungen von Satz 2.9 gilt f¨ ur die dort und in Satz 2.10 charakterisierten y ∈ Rn und x ∈ Rm : max min L(y, x) = L(y, x) = minn max L(y, x) . m

x∈Rm y∈Rn

y∈R x∈R

Beweis: Sei f¨ ur beliebiges, aber festes x ∈ Rm F(y) = L(y, x) . Nach Satz 2.7 hat F ein eindeutiges Minimum y" = y"x und dieses ist charakterisiert durch

2.3 Optimierung mit Nebenbedingungen

65

A" y = b − Bx . Also gilt nach (2.19) min L(y, x) = L(" y , x) = F ∗ (x)

y∈Rn

und somit max min L(y, x) = F ∗ (x) .

x∈Rm y∈Rn

Andererseits ist f¨ ur festes y ∈ Rn : # max L(y, x) = m

x∈R

∞ 1 y, Ay − y, b 2

, falls B  y =  f , falls B  y = f

und somit min max L(y, x) = F (y) .

y∈Rn x∈Rm

Mit (2.20) folgt die Behauptung.

 

Wir wollen nun kurz skizzieren, wie sich das Vorgehen auf allgemeinere Optimierungsprobleme verallgemeinern l¨ asst. Dazu betrachten wir ein Optimierungsproblem der Form

min f (y) | y ∈ Rn , gj (y) = 0 f¨ ur j = 1, . . . , m . (2.21) Dabei sind f : Rn → R und gj : Rn → R, j = 1, . . . , m, hinreichend glatte Funktionen. Wir untersuchen hier nicht, unter welchen Voraussetzungen das Optimierungsproblem l¨ osbar ist. Eine notwendige Bedingung f¨ ur einen optimalen Wert y0 kann man aus fol¨ gender Uberlegung erhalten: Wir betrachten eine Kurve (−t0 , t0 )  t → y(t) durch den Kurve soll ganz in der zul¨assigen optimalen Punkt y(0) = y0 . Die Menge y ∈ Rn | gj (y) = 0 f¨ ur j = 1, . . . , m liegen, also gj (y(t)) = 0 f¨ ur j = 1, . . . , m , t ∈ (−t0 , t0 ) .

(2.22)

Betrachten wir den Grenzwert der Differenzenquotienten lim

t→0 t>0

so folgt

 1 f (y(t)) − f (y0 ) ≥ 0 , t ∇f (y0 ), y (0) ≥ 0 .

Dies gilt f¨ ur alle zul¨ assigen Richtungen a = y  (0). Aus der Ableitung von (2.22) nach t liest man heraus, dass ein a ∈ Rn genau dann eine zul¨assige Richtung ist, wenn

66

2 Lineare Gleichungssysteme

∇gj (y0 ), a = 0 f¨ ur alle j = 1, . . . , m

gilt, also a im Orthogonalraum zu U := span ∇g1 (y0 ), . . . , ∇gm (y0 ) ist. Insgesamt folgt, dass ∇f (y0 ) orthogonal ist zum Orthogonalraum von U , und damit ein Element von U sein muss. Ein notwendiges Kriterium f¨ ur ein Optimum ist also m ∇f (y0 ) + xj ∇gj (y0 ) = 0 . (2.23) j=1

Die Koeffizienten xj ∈ R heißen Lagrange–Multiplikatoren. Gleichung (2.23) muss erg¨anzt werden durch die Nebenbedingungen gj (y0 ) = 0 f¨ ur j = 1, . . . , m .

(2.24)

Mit dem Lagrange–Funktional L(y, x) = f (y) +

m

xj gj (y)

j=1

lassen sich die Bedingungen (2.23) und (2.24) kompakt schreiben als ∇y L(y, x) = 0,

∇x L(y, x) = 0 .

Dies sind Optimalit¨ atskriterien f¨ ur das Sattelpunktproblem inf sup L(y, x) .

y∈Rn x∈Rm

(2.25)

In vielen F¨allen sind die Probleme (2.25) und (2.21) ¨aquivalent. In Problem (2.25) kann man unter gewissen Voraussetzungen die Reihenfolge der geschachtelten Optimierung vertauschen, man erh¨alt dann sup inf L(y, x) .

n x∈Rm y∈R

(2.26)

Aus diesen zwei ¨ aquivalenten Formulierungen folgen zwei ¨aquivalente Optimierungsprobleme: Problem (2.25) kann man mit der Funktion F : Rn → R ∪ {+∞} , F (y) = sup L(y, x) = x∈Rm

#

f (y) +∞

falls gj (y) = 0 f¨ ur j = 1, . . . , m , sonst

schreiben als min F (y) .

y∈Rn

(2.27)

Dies ist das primale Problem, es entspricht genau dem Optimierungsproblem (2.21), wobei man die Nebenbedingungen in die Definition der Funktion F einbaut. Alternativ kann man Problem (2.26) mit

2.3 Optimierung mit Nebenbedingungen

67

F ∗ (x) = infn L(y, x) y∈R

schreiben als

max F ∗ (x) .

(2.28)

x∈Rm

Dies ist das duale Problem. Das duale Problem hat als Variable die Lagrange– Multiplikatoren des urspr¨ unglichen Problems. F¨ ur elastische Stabwerke und elektrische Netzwerke erh¨alt man das Optimierungsproblem (2.12) mit A := C −1 . Das Problem lautet dann

minn 12 y  C −1 y − b y | B  y = f . y∈R

Dieses Optimierungsproblem hat folgende physikalische Bedeutung: • Beim elastischen Stabwerk ist y der Vektor der Spannungen, C ist die Diagonalmatrix der Elastizit¨ atsmodule Ei der Einzelst¨abe, und b = 0. Es gilt also n n 1  −1 1 −1 2 1 y C y= Ej yj = yj ej 2 2 2 j=1

j=1

mit den Dehnungen ej = Ej−1 yj . Der Term 12 yj ej beschreibt die zur Verformung des Stabes j ben¨ otigte Arbeit Wj , denn diese ist gegeben durch das Integral u ¨ber Kraft mal Weginkrement:  ej 1 1 Wj = Ej e de = Ej e2j = yj ej . 2 2 0 Hier ist Ej e die Spannung eines um e gedehnten Stabes, die ja gerade gleich der angreifenden Kraft ist, und de ist gerade das Weginkrement. Folglich gibt 12 y  C −1 y die gesamte zur Verformung des Stabwerks aufgewendete Arbeit an, diese ist gleich der im Stabwerk gespeicherten elastischen Energie. Die Nebenbedingung B  y = f beschreibt die Menge der Spannungen, die bei den durch f gegebenen ¨ außeren Kr¨ aften auftreten k¨onnen. Es wird also die im Stabwerk gespeicherte elastische Energie minimiert unter der Nebenbedingung der vorgegebenen Knotenkr¨ afte. Der Verschiebungsvektor x kann interpretiert werden als Vektor der Lagrange–Multiplikatoren der Nebenbedingungen. • Beim elektrischen Netzwerk ist y der Vektor der Str¨ome, C −1 ist die Diagonalmatrix der Widerst¨ ande Ri und b der Vektor der ¨außeren Spannungen. Es ist dann n y  C −1 y = yj Rj yj . j=1

Hier beschreibt yj Rj yj die am Widerstand j verbrauchte Leistung, denn Rj yj ist die Spannung am Widerstand j und die elektrische Leistung ist

68

2 Lineare Gleichungssysteme

gegeben durch Spannung mal Stromst¨ arke. Mit Ber¨ ucksichtigung des Einflusses von b erh¨ alt man das Optimierungsproblem



min 12 y  C −1 y − b y B  y = 0 . Die physikalische Interpretation sieht man am besten am dualen Problem. Das duale Funktional ist 1 1 1 − x B  CBx + x B  Cb − b Cb = − (b − Bx) C(b − Bx) 2 2 2 1 1 = − (b + e) C(b + e) = − y  C −1 y . 2 2 Im elektrischen Netzwerk wird demnach die Dissipation von Energie minimiert unter der Nebenbedingung der angelegten Spannungen. Die Variablen y und x, also einerseits elektrische Str¨ome oder elastische Spannungen und andererseits elektrische Potentiale oder Verschiebungen, sind hier zueinander duale Variablen im Sinne der Optimierung mit Nebenbedingungen. In diesen beiden Beispielen wird folgender prinzipieller Unterschied sichtbar: • Das elastische Stabwerk beschreibt einen typischen statischen Prozess: Gesucht wird das Minimum einer Energie, im L¨osungszustand bewegt sich nichts. • Das elektrische Netzwerk beschreibt einen typischen station¨ aren Prozess: Es fließt Strom, das heißt, es wird kontinuierlich Ladung bewegt, der Stromfluss ist aber zeitlich konstant. Es wird laufend Energie dissipiert (verbraucht), die von außen zugef¨ uhrt werden muss. Beide Zust¨ande kann man interpretieren als Grenzzust¨ande dynamischer, also zeitabh¨angiger, Prozesse bei zeitlich konstanten ¨außeren Einfl¨ ussen f¨ ur große Zeiten.

2.4 Literaturhinweise Die Darstellung in diesem Kapitel ist angelehnt an Kapitel 2 von [116]. Weiterf¨ uhrende Literatur zu den beschriebenen Anwendungen findet man in Lehrb¨ uchern zur technischen Mechanik, etwa [106] und [118], und zur Elektrotechnik, zum Beispiel [60]. Die Mathematik linearer Gleichungssysteme ist in jedem Lehrbuch u ¨ber lineare Algebra zu finden, zum Beispiel in [38]. L¨osungsverfahren f¨ ur lineare Gleichungssysteme findet man in Numerik–Lehrb¨ uchern [108], [114], [115], speziell f¨ ur iterative L¨ osungsverfahren sei auch auf [59], [92], [103], [113] verwiesen.

2.5 Aufgaben

69

2.5 Aufgaben Aufgabe 2.1. Bestimmen Sie die Str¨ ome und Spannungen in folgendem Netzwerk: − 1V

1Ω + + 1V −

1Ω

1Ω

0,5 Ω 1Ω 1Ω 1Ω Aufgabe 2.2. Konstruieren Sie zu den folgenden Inzidenzmatrizen jeweils ein passendes Netzwerk ohne elektrische Bauteile: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 −1 0 0 0 −1 0 1 ⎜ 0 −1 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 1 0 −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−1 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a) B = ⎜−1 1 0 0 ⎟ b) B = ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 0 −1 0 ⎟ ⎝ 0 −1 1 0 ⎠ ⎝ 0 0 0 1 0 −1⎠ 1 0 0 −1 0 0 −1 0 1 0 Aufgabe 2.3. Gegeben ist das folgende Netzwerk mit einer Spannungsquelle und einer Stromquelle: 1Ω

1Ω 1Ω −

+ −

+

1A

2V

1Ω a) Wie k¨onnen Sie die Stromquelle in das Netzwerkmodell einbauen? Erweitern Sie das Modell aus Abschnitt 2.1 um Stromquellen.

70

2 Lineare Gleichungssysteme

b) Berechnen Sie die Spannungen und Str¨ ome im Netzwerk. Aufgabe 2.4. Gegeben ist ein Gleichstromnetzwerk mit Inzidenzmatrix B, Leitwertmatrix C, Vektoren x der Potentiale, y der Str¨ome, e der Spannungen und b der Spannungsquellen. a) Die an einem Widerstand dissipierte Leistung ist bekanntlich P = U I, wenn U der Spannungsabfall am Widerstand und I der Strom ist. Stellen Sie eine Formel f¨ ur die gesamte im Netzwerk dissipierte Leistung auf. b) Die von einer Spannungsquelle zur Verf¨ ugung gestellte Leistung ist ebenfalls P = U I, wobei U die Spannung der Quelle und I die St¨arke des entnommenen Stromes ist. Stellen Sie eine Formel f¨ ur die von allen Spannungsquellen erbrachte Leistung auf. c) Zeigen Sie, dass die Gr¨ oßen aus a) und b) identisch sind. Aufgabe 2.5. Es ist das Gleichungssystem   A B M z = f mit M = , A ∈ Rn,n , B ∈ Rn,m und f ∈ Rn+m B 0 gegeben. Die Matrix A sei symmetrisch und positiv semidefinit. a) Zeigen Sie: y ∈ Kern A ⇔ y  Ay = 0. b) Berechnen Sie den Kern von M in Abh¨ angigkeit der Kerne von A, B und B. c) Charakterisieren Sie die Vektoren f , f¨ ur die das Gleichungssystem M z = f l¨osbar ist. Aufgabe 2.6. Es sei C ∈ Rn,n symmetrisch und regul¨ar, aber nicht notwendigerweise positiv definit, und B ∈ Rn,m . Gilt dann f¨ ur M = B  CB immer noch Kern M = Kern B? Begr¨ unden Sie Ihre Aussage mit einem Beweis oder einem Gegenbeispiel. Aufgabe 2.7. Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Spannungen und Str¨ome im folgenden Wechselstromnetz mit Kreisfrequenz ω = 50/s auf:

2.5 Aufgaben

71

0,02H 1Ω − +

U2

+ −

0,02F

U1 0,02F

1Ω 1Ω

1Ω

1Ω 0,02H Benutzen Sie die Spannungsquellen a) U1 (t) = 2V cos(ωt), U2 (t) = 2V cos(ωt) , b) U1 (t) = 8V cos(ωt), U2 (t) = 8V sin(ωt) , √ c) U1 (t) = 8V cos(ωt), U2 (t) = 8 2V cos(ωt − π/4) . Aufgabe 2.8. Gegeben ist ein Wechselstromnetzwerk mit Kreisfrequenz ω, Inzidenzmatrix B ∈ Rn,m , Leitwertmatrix C ∈ Cn,n , Potentialvektor x ∈ Cm , Stromvektor y ∈ Cn , Spannungsvektor e ∈ Cn und Vektor der Spannungsquellen b ∈ Cn . a) Bestimmen Sie eine Formel f¨ ur die an allen ohmschen Widerst¨anden dissipierte Leistung P (t) zur Zeit t. b) Geben Sie eine Formel f¨ ur die aus den Spannungsquellen entnommene Leistung Q(t) zur Zeit t an. c) Warum wird im Allgemeinen P (t) = Q(t) gelten? d) Zeigen Sie, dass die in einer Periode von allen ohmschen Widerst¨anden dissipierte Leistung gleich der im selben Zeitraum von den Spannungsquellen entnommenen Leistung ist: 



2π/ω

P (t) dt = 0

2π/ω

Q(t) dt . 0

Aufgabe 2.9. Berechnen Sie, wenn m¨ oglich, die Verschiebungen, Spannungen und Dehnungen der folgenden Stabwerke. Die Elastizit¨atsmoduli sind an den St¨aben angegeben.

72

2 Lineare Gleichungssysteme

a)

b)

(0, 1)

100

(1, 2)

(2, 1)

75   0 f= −1

(0, 0)

100

100

(0, 0)

100 200 (2, 0)   0 f= −1

50

(3, 0)

d)

c) (1, 1) 100

(0, 0)

(1, 1) 100

200   0 f= −1

100

100

(2, 0)

(2, 0) (0, 0)

200

f=

  1 0

Aufgabe 2.10. Entscheiden Sie, ob die abgebildeten Stabwerke statisch bestimmt, statisch unbestimmt oder instabil sind: b)

a) (1, 1)

(0, 0)

(1, 0)

(1, 1)

(2, 1)

(0, 0)

(2, 0)

(2, 0)

d)

c)

(1, 1)

(1, 1)

(0, 0)

(1, 0)

(1, 0)

(2, 0)

(0, 0)

(1, 0)

(2, 0)

Aufgabe 2.11. a) Bestimmen Sie eine Formel f¨ ur die elastische Energie, die in einem linear elastischen Stabwerk gespeichert ist, bestehend aus der Summe der elastischen Energien der Einzelst¨abe. b) Berechnen Sie die Arbeit, die von den Knotenkr¨aften bei der Verformung eines Stabwerks geleistet wird. c) Zeigen Sie, dass die Gr¨ oßen aus a) und b) gleich sind.

2.5 Aufgaben

73

Aufgabe 2.12. Es ist das abgebildete Stabwerk ohne festgehaltene Knoten gegeben:   1 f (3) = 1 (0, 1) 100 100 (0, 0) f

(1)

100

f (2) =

  0 1

(1, 0)

=?

Bestimmen Sie die Kraft f (1) so, dass das lineare Gleichungssystem f¨ ur das Stabwerk eine L¨osung hat, und berechnen Sie die allgemeine L¨osung. Aufgabe 2.13. Auf einen Stab der L¨ ange L mit Endpunkten x(1) und x(2) (1) wirke an der Position αx + (1 − α)x(2) die Kraft f . a) Ermitteln Sie eine Aufteilung der Kraft auf die beiden Endpunkte der Art f (1) = βf ,

f (2) = (1 − β)f ,

so dass das Drehmoment der aufgeteilten Kraft (bez¨ uglich x(1) ) gleich dem Drehmoment der urspr¨ unglichen Kraft ist. Dabei bezeichne f (i) = f x(i) die Kraft an Knoten i. b) Wie k¨onnen Sie das Gewicht eines Stabwerks durch einen Vektor aus Knotenkr¨aften beschreiben? Aufgabe 2.14. In den folgenden dreidimensionalen Stabwerken seien die Elastizit¨atsmoduli aller St¨ abe gleich 1. a) Berechnen Sie die Spannungsverteilung in folgendem Stabwerk mit festen Knoten (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 2, 0) und am Knoten (1, 1, 1) angreifender √  Kraft f = 3/50, 0, 0 : (1, 1, 1)

(0, 2, 0)

(0, 0, 0)

(2, 0, 0)

74

2 Lineare Gleichungssysteme

b) Berechnen Sie die Spannungsverteilung in folgendem Stabwerk mit festen Knoten (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 2, 0), (2, 2, 0) und am Knoten (1, 1, 1) angrei√  fender Kraft f = 3/50, 0, 0 : (1, 1, 1)

(0, 2, 0) (2, 2, 0) (0, 0, 0)

(2, 0, 0)

c) Zeigen sie, dass das folgende Stabwerk mit festen Knoten (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) und (2, 2, 0) instabil ist. Welche Bedingungen m¨ ussen zwei an den Punkten (0, 1, 1) und (1, 1, 1) angreifende Kraftvektoren erf¨ ullen, damit das resultierende lineare Gleichungssystem trotzdem eine L¨osung hat? (1, 1, 1)

(0, 1, 1)

(0, 2, 0) (2, 2, 0) (0, 0, 0)

(1, 0, 0)

Aufgabe 2.15. Bestimmen Sie eine Basis f¨ ur die Menge der Starrk¨orperverschiebungen eines dreidimensionalen Stabwerks mit den Knotenpunkten p(1) = (0, 0, 0) , p(2) = (1, 0, 0) , p(3) = (0, 1, 0) , p(4) = (0, 0, 1) . Pr¨ ufen sie, ob die Basisvektoren tats¨ achlich linear unabh¨angig sind. Aufgabe 2.16. Gegeben ist das folgende System von Rohrleitungen:

2.5 Aufgaben

1m B

75

1m C 1m

1m A

3m

¨ In Offnung A wird eine Fl¨ ussigkeit mit der Rate q = 0,001 m3 /s eingespeist, ¨ an Offnung B und C betr¨ agt der Druck 105 N/m2 ; das entspricht 1 Bar. Nach dem Gesetz von Hagen–Poiseuille kann man die Durchflussrate durch ein Rohr mit kreisf¨ormigem Querschnitt berechnen durch ΔV =

π R4 Δp Δt , 8μL

dabei ist ΔV das Volumen der Fl¨ ussigkeit, die in der Zeit Δt durch das Rohr fließt, L die L¨ange und R der Radius des Rohres, Δp der Druckunterschied zwischen den Endpunkten des Rohres und μ die dynamische Viskosit¨at der Fl¨ ussigkeit. a) Stellen Sie ein allgemeines Modell f¨ ur die Berechnung der Durchflussraten in einem Rohrsystem auf. ¨ b) Berechnen Sie die Ausflussraten an den Offnungen B und C sowie den ¨ Druck an Offnung A f¨ ur eine Fl¨ ussigkeit der Viskosit¨at μ = 0,001 N s/m2 (das entspricht Wasser), wenn die Rohre den Radius 10 cm haben. Hinweis: Zur Vereinfachung der Rechnung sind geeignete Skalierungen sinnvoll. Aufgabe 2.17. Bestimmen Sie mit Hilfe von Lagrange–Multiplikatoren die Minima und Maxima der Funktion f (x, y) = (x + 1)2 ey unter der Nebenbedingung a) 2(x − 1)2 + y 2 = 3 , beziehungsweise b) 2(x − 1)2 + y 2 ≤ 3 . Aufgabe 2.18. Betrachten Sie das Optimierungsproblem

min 12 y  Ay − b y | y ∈ Rn , B  y = c

(2.29)

mit einer symmetrischen, positiv semidefiniten Matrix A ∈ Rn,n , mit B ∈ Rn,m , b ∈ Rn , c ∈ Rm , sowie das lineare Gleichungssystem

76

2 Lineare Gleichungssysteme



A B B 0

    y b = . x c

(2.30)

a) Zeigen Sie, dass beide Probleme ¨ aquivalent sind im folgenden Sinn: (i) Zu jeder L¨ osung y des Optimierungsproblems (2.29) gibt es ein x ∈ Rm , so dass (y, x) eine L¨ osung des linearen Gleichungssystems (2.30) ist. (ii) Ist (y, x) eine L¨ osung von (2.30), so ist y eine L¨osung von (2.29). b) Unter welchen Bedingungen an b, c hat (2.29) eine L¨osung? Aufgabe 2.19. Beweisen Sie die S¨ atze 2.7 und 2.8.

3 Grundzu ¨ ge der Thermodynamik

Die Thermodynamik befasst sich mit der Untersuchung bestimmter physikalisch beobachtbarer Eigenschaften von Materie, wie zum Beispiel der Temperatur, des Drucks, und des Volumens beziehungsweise der Dichte und deren Beziehungen zueinander. Gemeinsames Merkmal dieser Gr¨oßen ist es, dass sie die makroskopisch messbare“ Auswirkung von Bewegungen der Atome ” oder Molek¨ ule beschreiben, aus denen Gase, Fl¨ ussigkeiten und Feststoffe zusammengesetzt sind. Die genaue Bewegung der einzelnen Teilchen ist dabei nicht bekannt; ihre Beschreibung w¨ are auch aufgrund der großen Zahl der Teilchen viel zu kompliziert. Ziel der Thermodynamik ist es vielmehr, eine makroskopische Beschreibung f¨ ur die Wirkung der Bewegung von Teilchen und deren Wechselwirkungen mit Hilfe von relativ wenigen makroskopischen Gr¨oßen zu finden und so gut wie m¨ oglich zu begr¨ unden. Aufgrund der im Detail unbekannten Bewegung einer sehr großen Anzahl von Teilchen spielen dabei stochastische Methoden eine wichtige Rolle. Konzepte der Thermodynamik sind bei vielen Prozessen aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften wichtig, zum Beispiel bei Phasen¨ uberg¨angen wie etwa der Erstarrung von Fl¨ ussigkeiten oder dem Schmelzen von Feststoffen, bei Diffusionsprozessen, und bei chemischen Reaktionen und Verbrennungsprozessen. Eine wichtige Forderung an Modelle f¨ ur solche Prozesse ist es, dass diese thermodynamisch konsistent sind, also nicht im Widerspruch stehen zu Gesetzen der Thermodynamik. Insbesondere ist dabei die Kompatibilit¨at zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik zu pr¨ ufen. Dieses Kapitel hat zum Ziel, Lesern ohne Vorkenntnissen aus der Thermodynamik die wichtigsten Begriffe und Gesetze der Thermodynamik nahezubringen; insbesondere die Zusammenh¨ ange einfacher thermodynamischer Gr¨oßen wie Temperatur, Druck und Volumen u ¨ber die Zustandsgleichung, den ersten und zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, den Begriff der Entropie, die thermodynamischen Potentiale, sowie Grundbegriffe der Thermodynamik f¨ ur

C. Eck et al., Mathematische Modellierung, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-18424-6 3, 

78

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Mischungen. Am Ende dieses Kapitels werden Modelle zur Beschreibung von chemischen Reaktionen vorgestellt.

3.1 Das Modell eines idealen Gases, die Maxwell–Boltzmann–Verteilung Ein ideales Gas besteht aus bewegten Massenpunkten, die nur durch elastische St¨oße miteinander wechselwirken. Die Massenpunkte sind in einem m¨oglicherweise variablen Volumen eingeschlossen, an dessen Rand sie elastisch reflektiert werden. Dieses Modell ist eine idealisierte Approximation f¨ ur Gase mit relativ geringer Dichte. Obwohl das Modell sehr einfach ist, hat es sich in der Praxis erstaunlicherweise als sehr aussagekr¨ aftig erwiesen. Die Teilchen eines idealen Gases bewegen sich mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Es ist m¨oglich, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeit aus den folgenden Annahmen herzuleiten: A1) Die Verteilung besitzt eine Dichte f : R3 → [0, ∞) := {x ∈ R | x ≥ 0}. Das bedeutet, dass f¨ ur jede (Lebesgue–messbare) Menge B ⊂ R3 die Wahrscheinlichkeit, dass v ∈ B liegt, sich wie folgt berechnet  P (v ∈ B) = f (v) dv . B

Dabei gilt

 f (v) dv = 1 . R3

A2) Die Verteilung jeder Komponente v der Geschwindigkeit besitzt ebenfalls eine Dichte g :  P (v ∈ B) = g (v) dv B

f¨ ur jede Lebesgue–messbare Menge B ⊂ R. A3) Die Verteilungen aus A 1) und A 2) sind unabh¨ angig im folgenden Sinn: (i) g1 = g2 = g3 =: g, (ii) P (v ∈ B1 × B2 × B3 ) = P (v1 ∈ B1 ) P (v2 ∈ B2 ) P (v3 ∈ B3 ), das heißt, die Verteilungen der Komponenten v1 , v2 , v3 sind unabh¨ angig im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie.   (iii) Es gibt eine Funktion Φ : [0, ∞) → [0, ∞), so dass f (v) = Φ |v|2 . A4) Die Funktion Φ ist stetig differenzierbar und g ist stetig. Dabei sei bemerkt, dass A1) sich schon aus A2) und A3)-(ii) ergibt. F¨ ur eine Menge der Form

3.1 Das Modell eines idealen Gases, die Maxwell–Boltzmann–Verteilung

79

B = [w1 , w1 + h] × [w2 , w2 + h] × [w3 , w3 + h] gilt dann  P (v ∈ B) =

w1 +h w1

=

3  $ j=1



w2 +h



w2

w3 +h

  Φ v12 + v22 + v32 dv3 dv2 dv1

w3

wj +h

g(z) dz .

wj

Division durch h3 und Grenz¨ ubergang h → 0 liefert  2  Φ w1 + w22 + w32 = g(w1 ) g(w2 ) g(w3 ) . Dies gilt f¨ ur alle w ∈ R3 . Setzt man w1 = z und w2 = w3 = 0, so folgt   Φ z 2 = g(z) g 2 (0) . F¨ ur w3 = 0 folgt dann mit y = w12 , z = w22 Φ(y + z) = g(w1 ) g(w2 ) g(0) =

Φ(y) Φ(z) Φ(y) Φ(z) g(0) = . g 2 (0) g 2 (0) g 3 (0)

Dies kann man nach y ableiten und erh¨ alt Φ (y + z) =

Φ (y) Φ(z) . g 3 (0)

Einsetzen von y = 0 ergibt nun folgende Differentialgleichung f¨ ur Φ: 

" Φ(z) mit K " = − Φ (0) . Φ (z) = −K g 3 (0) Die allgemeine L¨osung dieser Gleichung ist "

Φ(z) = C 3 e−Kz mit C ∈ R. Die Konstante C berechnet sich aus der Normierungsbedingung  1= R3

  Φ |v|2 dv = C 3



"

2

e−K|v| dv =

  C2

R3

+∞

0

und wir erhalten   C= 2

+∞

" 2 −Kz

e



−1 dz

=

0

Hier und weiter unten nutzen wir die Identit¨ aten

" K . π

"

2

e−Kz dz

3 ,

80

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik



∞

" 2 2n −Kz

z e 0

√ 1 · 3 · · · · · (2n − 1) π " > 0. dz = f¨ ur n ∈ N0 = N ∪ {0}, K " n+1/2 2n+1 K

Die Wahrscheinlichkeitsdichten der Geschwindigkeit lauten also  f (v) =

" K π

3/2 "

e−K|v| 

und g(z) =

 3

Φ(3z 2 ) =

2

" K " 2 e−Kz . π

H¨ aufig findet man in der Literatur auch die Verteilung des Betrages der Ge& '3/2 % 2 " " schwindigkeit, die sich aus P (|v| ≤ v0 ) = {|v|≤v0 } K e−K|v| dv nach π Anwendung des Transformationssatzes wie folgt ergibt:  v0 P (|v| ≤ v0 ) = F (z) dz 0

wobei

4 " 3/2 2 −Kz " 2 F (z) = √ K z e . π

" ab. Alle diese Verteilungen h¨ angen nur von einem einzigen Parameter K Die mittlere kinetische Energie eines Teilchens ist 1 u = mA 2



1 |v|2 f (v) dv = mA 2 3 R



" K π

3/2

 4π 0

∞

"

2

z 4 e−Kz dz =

3 " −1 , mA K 4

wobei mA die Masse eines Teilchens ist. Es stellt sich heraus, dass diese Gr¨oße proportional ist zur absoluten Temperatur T , konkret gilt u = 32 kB T mit der Boltzmann–Konstanten kB ≈ 1,3806504 · 10−23 J/K. Die absolute Temperatur ist genau dann Null, wenn alle Teilchen des Gases in Ruhe sind; auf der Celsius–Skala entspricht dies −273,15◦ C. In einem idealen Gas ist die absolute Temperatur ein Maß f¨ ur die mittlere kinetische Energie der Teilchen. " lautet demnach Der Skalierungsfaktor K " = mA . K 2kB T Die gesamte kinetische Energie eines Gases aus N Teilchen mit absoluter Temperatur T ist U = N u = 32 N kB T .

3.1 Das Modell eines idealen Gases, die Maxwell–Boltzmann–Verteilung

81

Die Wahrscheinlichkeitsdichten der Geschwindigkeitsverteilung lauten 

3/2 2 mA e−mA |v| /(2kB T ) , 2πkB T   3/2 2 2 mA F (z) = z 2 e−mA z /(2kB T ) , π kB T  mA −mA z2 /(2kB T ) g(z) = e . 2πkB T f (v) =

(3.1) (3.2) (3.3)

¨ Aus den obigen Uberlegungen ergibt sich: Satz 3.1. (Maxwell–Boltzmann–Verteilung) Unter den Annahmen A1)–A4) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeit in einem idealen Gas gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsdichten (3.1)–(3.3). Bei einem einatomigen idealen Gas ist die Summe der kinetischen Energie identisch zur inneren Energie des Gases. Bei mehratomigen idealen Gasen gibt es weitere Quellen der inneren Energie, zum Beispiel Rotationsbewegungen, Schwingungen von verbundenen Atomen um ihre Ruhelage, chemische Bindungsenergien; wobei allerdings nicht alle Freiheitsgrade bei jeder Temperatur aktiv sind. In einem Modell ohne Ber¨ ucksichtigung von chemischen Bindungsenergien hat die innere Energie eines idealen Gases die Form U = z2 N kB T , wobei z die Anzahl der aktiven Freiheitsgrade bezeichnet. Im Allgemeinen kann z eine von der Temperatur abh¨ angige reelle Zahl sein; wir werden die Abh¨angigkeit von der Temperatur im Folgenden jedoch vernachl¨assigen. Im Fall eines einatomigen Gases entspricht z = 3 den drei linear unabh¨angigen Richtungen einer Bewegung im Raum. Aus der Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man den Druck eines idealen Gases berechnen. Der Einfachheit halber betrachten wir dazu einen W¨ urfel der Kantenl¨ ange L, der ein ideales Gas aus N Massenpunkten der Masse mA enth¨alt, und dessen Seitenfl¨ achen jeweils senkrecht zu einem der Einheitsvektoren stehen. Es gilt dann: • Ein Teilchen mit Geschwindigkeitskomponente vj in Richtung j f¨ uhrt in |vj | jeder Zeiteinheit im Mittel 2L voll elastische St¨oße mit einer der beiden Seitenfl¨achen senkrecht zum Einheitsvektor ej aus. • Jeder Stoß bewirkt einen Impuls¨ ubertrag von 2mA vj , denn die j–te Komponente des Impulses ¨ andert sich von mA vj zu −mA vj . • Die Kraft, die alle“ Teilchen auf eine der sechs Seitenfl¨achen aus¨ uben, ist ” dann gegeben durch

82

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

  +∞ 2 N mA K g(vj ) dvj = 2 s2 e−Ks ds L π R 0   N mA K1 π N mA −1 N kB T 2U = 2 = K = = . 3 L π 4 K 2L L 3L

N mA F = L



vj2

Der Druck ist also gegeben durch p=

F 2U 2U = = A 3LA 3V

mit dem Fl¨acheninhalt A = L2 der Seitenfl¨ ache und dem Volumen V = L3 . Dies ist die Zustandsgleichung des idealen Gases. In der Regel wird die Zustandsgleichung mit Hilfe der absoluten Temperatur ausgedr¨ uckt: pV = N kB T . Das Modell des idealen Gases ist das einfachste Beispiel f¨ ur ein sogenanntes pVT–System. Ein solches System wird beschrieben durch • drei Variablen: Den Druck p, das Volumen V , die Temperatur T ; • eine Zustandsgleichung F (p, V, T ) = 0. Ein solches System hat zwei Freiheitsgrade, da eine der drei Variablen durch die Zustandsgleichung aus den beiden anderen hervorgeht. Man kann die Variablen p, V , T in zwei Klassen einteilen: Die Temperatur T und der Druck p h¨ angen nicht von der Gr¨ oße des Systems ab, also der Zahl N der Partikel; das Volumen ist proportional zur Gr¨oße des Systems. Variablen, die unabh¨angig von der Gr¨ oße des Systems sind, heißen intensive Variablen, solche, die proportional zur Gr¨ oße des Systems sind, heißen extensiv.

3.2 Thermodynamische Systeme, das thermodynamische Gleichgewicht Viele Ergebnisse der Thermodynamik werden durch (Gedanken-) Experimente mit sogenannten thermodynamischen Systemen begr¨ undet. Der Name thermodynamisches System steht als abstrakter Oberbegriff f¨ ur alle m¨oglichen Konfigurationen von Materie, die man in der Thermodynamik studieren kann. Der Begriff umfasst insbesondere: • Eine gegebene Menge eines bestimmten Reinstoffes. • Eine gegebene Menge einer Mischung mit bekannter Zusammensetzung. • Verbundsysteme, die aus mehreren Teilsystemen bestehen.

3.3 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik

83

Einem thermodynamischen System ordnet man einen Zustand zu, der im einfachsten Fall eines PVT–Systems aus der inneren Energie und dem Volumen des Systems besteht, in komplizierteren F¨ allen aber auch mehrere innere Energien und mehrere Volumina von Teilsystemen enthalten kann. Den Zustand eines thermodynamischen Systems kann man ¨ andern, zum Beispiel durch • Expansion oder Kompression von Teilsystemen. Dadurch wird dem System Energie in korrelierter“, mechanisch nutzbarer“ Form zugef¨ uhrt oder ” ” abgenommen. • Zufuhr oder Abfluss von W¨ arme, also von Energie in unkorrelierter“ ” Form. • Mischen oder Entmischen von Teilsystemen. Das Entmischen kann technisch mit Hilfe von Phasen¨ uberg¨angen geschehen, wie etwa beim Destillieren von Alkohol, oder mit Hilfe von halbdurchl¨assigen Membranen. • Herstellen von Kontakten verschiedener Teilsysteme. Die wesentlichen M¨oglichkeiten sind –

Kontakt an einer beweglichen Wand oder einer verformbaren Membran, die den Austausch von Druck und Volumen erm¨oglicht,

–

Kontakt an einer w¨ armedurchl¨ assigen Wand, die den Austausch von Energie in Form von W¨ arme erm¨ oglicht.

Wenn man ein thermodynamisches System unter konstanten ¨außeren Bedingungen h¨alt, also etwa gegebenem Druck beziehungsweise gegebenem Volumen und gegebener Temperatur beziehungsweise w¨armeisoliert, dann strebt das System gegen einen Grenzzustand, den man thermodynamisches Gleichgewicht nennt. Hinter fast allen Resultaten und Konzepten der Thermodynamik steht die Vorstellung, dass das betrachtete System bereits im Gleichgewicht ist. Das gilt beispielsweise f¨ ur die Maxwell–Boltzmann–Verteilung und die Zustandsgleichung der idealen Gase. Die bei der Herleitung der Maxwell– Boltzmann–Verteilung getroffenen Annahmen u ¨ber die Verteilung der Geschwindigkeit kann man interpretieren als konkrete Vorstellung dar¨ uber, wie das thermodynamische Gleichgewicht in einem idealen Gas aussieht. Auch bei Zustands¨anderungen geht man in der Regel davon aus, dass die Systeme immer sehr nahe“ an einem Gleichgewichtszustand liegen und man deshalb den ” Unterschied zum Gleichgewichtszustand vernachl¨assigen kann. Dies ist dann sinnvoll, wenn die Zustands¨ anderungen hinreichend langsam ablaufen.

3.3 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik Der erste Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt die Energieerhaltung. F¨ ur eine Zustands¨anderung in einem pVT–System vom Zustand (U1 , V1 ) zum Zustand (U2 , V2 ) mit Zustandsgleichung p = p(U, V ) f¨ ur den Druck hat er die

84

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

1

2 Abb. 3.1. Beispiel 1

Form ΔU = ΔQ + ΔW , ¨ wobei ΔU = U2 − U1 die Anderung der inneren Energie ist, ΔQ die zugef¨ uhrte Energie in Form von W¨ arme, und ΔW die am System geleistete Arbeit. Hat die Zustands¨ anderung die Form [0, 1]  t → (U (t), V (t)) mit stetig differenzierbaren Funktionen U (t), V (t), p(t) = p(U (t), V (t)), so hat der erste Hauptsatz die Form ˙ , U˙ = Q˙ + W wobei U (t) die innere Energie zur Zeit t, Q(t) die insgesamt bis zur Zeit t zugef¨ uhrte Energie in Form von W¨ arme und W (t) die bis zum Zeitpunkt t am System geleistete Arbeit ist und der Punkt ˙ die Ableitung nach der Zeit t kennzeichnet. Die am System geleistete Arbeit hat h¨aufig die Form ˙ = −p V˙ , W

(3.4)

denn Arbeit ist Kraft mal Weg“, der Druck ist Kraft durch Fl¨ache“, und ” ” Fl¨ache mal Weg“ gibt dann gerade die Volumen¨anderung an. Formel (3.4) gilt ” dann, wenn der w¨ ahrend der Zustands¨ anderung von außen auf den Rand des thermodynamischen Systems einwirkende Druck gleich dem Druck p des thermodynamischen Systems ist, was nicht bei allen Beispielen und Anwendungen der Fall ist. Falls (3.4) g¨ ultig ist, dann ist die Energieerhaltung gegeben durch U˙ = Q˙ − pV˙ .

(3.5)

Als Anwendung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik betrachten wir die folgenden drei einfachen Beispiele: Beispiel 1: Adiabatische Expansion Wir betrachten ein in einem Kolben eingeschlossenes ideales Gas aus N Teilchen der Masse mA , siehe Abbildung 3.1. Der Kolben habe die Querschnittsfl¨ ache A, die L¨ange des Gasvolumens werde von 1 nach 2 vergr¨ oßert. Die innere Energie a¨ndert sich dabei von U1 nach U2 , der Druck von p1 nach p2 . Das Gas tauscht keine W¨arme mit der Außenwelt aus; eine solche Zustands¨ anderung wird als adiabatisch bezeichnet. Bekannt seien U1 , p1 , gesucht sind U2 , p2 . Aus der Zustandsgleichung U= und der Energieerhaltung

z pV 2

3.3 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik

85

U˙ = −pV˙ folgt die Differentialgleichung z U˙ = (pV ˙ + pV˙ ) = −pV˙ 2 und damit

z z+2 ˙ pV ˙ =− pV . 2 2 Separation der Variablen und Integration liefert p˙ z + 2 V˙ =− p z V

und pV κ = konstant mit κ = 1 +

2 z

.

(3.6)

Man kann hier eine der Variablen u ¨ber die Zustandsgleichung durch die innere Energie ersetzen, zum Beispiel gilt auch U V κ−1 = konstant.

(3.7)

Aus diesen beiden Gleichungen folgt  κ  κ V1 1 p2 = p1 = p1 V2 2 und

 U2 = U1

V1 V2

κ−1

 = U1

1 2

κ−1 .

Die vom Gas geleistete Arbeit ist gerade   κ−1  1 W = U1 − U2 = 1 − U1 . 2 Beispiel 2: Expansion ohne mechanischen Energiegewinn Das Gas aus Beispiel 1 sei zun¨ achst eingeschlossen in das Volumen V1 . Durch Entfernen einer Wand wird das Volumen auf V2 vergr¨oßert, ohne dass das Gas dabei Energie abgibt. Die innere Energie bleibt also erhalten, das Volumen 2U1 vergr¨oßert sich von V1 auf V2 und der Druck verringert sich von p1 = auf zV1 p2 =

V1 2U1 = p1 . zV2 V2

Dieses Beispiel zeigt insbesondere, dass auch unter adiabatischen Randbedin¨ gungen nicht jede Volumen¨ anderung eine Anderung der inneren Energie zur Folge haben muss. Insbesondere sind die Beziehungen (3.4) und (3.5) hier nicht anwendbar, da bei der Expansion kein Außendruck vorhanden ist, gegen den Arbeit geleistet werden muss. Im Unterschied zu Beispiel 1 haben wir

86

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

1

2 Abb. 3.2. Beispiel 2

hier auch keine stetig differenzierbare“ Zustands¨anderung vorliegen; in der ” Praxis wird es einige Zeit dauern, bis sich nach dem Entfernen der Trennwand wieder ein thermodynamisches Gleichgewicht eingestellt hat. Beispiel 3: Isotherme Expansion Wir betrachten wie in Beispiel 1 die Expansion eines idealen Gases aus N Teilchen der Masse mA vom Volumen V1 auf das Volumen V2 , diesmal sei der Kolben aber nicht thermisch isoliert, sondern in Kontakt mit einem Außenmedium gegebener Temperatur T . Bei der Expansion k¨ uhlt sich das Gas deshalb nicht ab, sondern nimmt W¨arme aus dem Außenmedium auf. Der Druck ist dann in Abh¨angigkeit des Volumens gegeben durch N kB T p= . V Die bei der Expansion vom System geleistete Arbeit ist demnach  −ΔW = W1 − W2 =

V2

p(V ) dV = N kB T ln V1

V2 . V1

Die inneren Energien vor und nach der Expansion sind gleich, U1 = U2 = 32 N kB T . Deshalb muss die bei der Expansion geleistete Arbeit als W¨armemenge aus dem umgebenden Medium aufgenommen werden, ΔQ = Q2 − Q1 = W1 − W2 = N kB T ln

V2 . V1

(3.8)

Die in Beispiel 1 und 3 beschriebenen Beziehungen gelten auch f¨ ur entsprechende Kompressionsvorg¨ ange, wenn V2 < V1 ist. Die resultierenden negativen Vorzeichen in der gewonnenen Arbeit, beziehungsweise der aufgenommenen W¨ arme in Beispiel 3, bedeuten, dass Arbeit aufgewendet, beziehungsweise W¨ arme abgegeben wird. Der Prozess aus Beispiel 2 kann nicht in umgekehrter Richtung durchlaufen werden. Die Prozesse in Beispiel 1 und 3 sind reversibel, der Prozess in Beispiel 2 ist irreversibel.

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie

87

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik ist eine pr¨azise Formulierung der folgenden ¨aquivalenten Beobachtungen: (i) W¨arme fließt nicht von selbst“, also ohne Einsatz anderer Energieformen, ” aus einem kalten in einen warmen K¨ orper. (ii) Man kann durch bloßes“ Abk¨ uhlen eines Reservoirs keine mechanische ” Energie oder Arbeit gewinnen. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik postuliert, dass es einen wesentlichen physikalischen Unterschied gibt zwischen mechanisch nutzbarer“ Ener” gie und mechanisch nicht nutzbarer“ Energie, der im ersten Hauptsatz keine ” Rolle spielt. Dieser Unterschied ist auch dann wichtig, wenn gar keine Energie u ¨bertragen wird, wie man an den beiden obigen Beispielen aus Abschnitt 3.3 sehen kann. Bei Beispiel 1 hatten wir aus der inneren Energie mechanisch nutzbare Energie durch Expansion entnommen. Bei Beispiel 2 hatten wir keine mechanisch nutzbare Energie gewonnen, daf¨ ur ist die innere Energie des expandierten“ Gases gleich geblieben, und die Temperatur ist damit h¨oher ” als beim Resultat von Beispiel 1. Nach dem zweiten Hauptsatz ist es nicht mehr ohne weiteres m¨ oglich, aus dem Endzustand von Beispiel 2 zum Endzustand von Beispiel 1 zu gelangen, da dies ja dem Gewinn von mechanisch nutzbarer Energie durch bloßes Abk¨ uhlen eines W¨armereservoirs entsprechen w¨ urde. In diesem Sinn ist durch die in Beispiel 2 beschriebene Zustands¨anderung mechanisch nutzbare Energie verlorengegangen. Umgekehrt kann man sehr wohl vom Endzustand von Beispiel 1 unter Verwendung der bei Beispiel 1 gewonnenen mechanischen Energie zum Endzustand von Beispiel 2 kommen, indem man etwa den Kolben adiabatisch komprimiert, dabei die gewonnene mechanische Energie wieder einsetzt, und danach die Zustands¨anderung von Beispiel 2 durchf¨ uhrt. Aus dieser Beobachtung folgt die Erkenntnis, dass man durch ungeschickte“ ” Zustands¨anderungen mechanisch nutzbare Energie verlieren“ kann im Sinne, ” dass diese Energie in mechanisch nicht nutzbare“ Energie transformiert wird. ” Bei adiabatischen Zustands¨ anderungen kann als Kriterium f¨ ur diesen Verlust der Wert von U˙ + pV˙ dienen: Gilt U˙ + pV˙ = 0 ,

(3.9)

¨ so wird keine mechanisch nutzbare Energie verloren, denn jede Anderung der inneren Energie fließt in oder stammt aus einer mechanischen Leistung pV˙ . Gilt dagegen U˙ + pV˙ > 0 , (3.10) so verlieren wir mechanisch nutzbare Energie.

88

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Die wissenschaftlich exakte Formulierung dieser Beobachtungen f¨ uhrt auf eine weitere wichtige Zustandsgr¨ oße, die Entropie. Zur Einf¨ uhrung der Entropie betrachten wir zun¨ achst W¨ armekraftmaschinen. W¨ armekraftmaschinen W¨ armekraftmaschinen erzeugen mechanische Energie, indem sie W¨arme aus einem warmen Reservoir entnehmen und einen Teil der aufgenommenen W¨ arme in ein kaltes Reservoir abgeben. Sie verstoßen dabei nicht gegen den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, denn sie nutzen zur Gewinnung von mechanischer Energie einen vorhandenen Temperaturunterschied aus. Die f¨ ur theoretische Zwecke wichtigste W¨ armekraftmaschine ist durch den Carnotschen Kreisprozess gegeben. Dieser ist dadurch charakterisiert, dass W¨ arme nur zu zwei verschiedenen Temperaturen T1 und T2 abgegeben oder aufgenommen wird. Der Carnot–Prozess besteht daher aus zwei isothermen Prozessschritten, an denen W¨ arme abgegeben und aufgenommen wird, und zwei adiabatischen Prozessschritten, mit denen die beiden Temperaturen T1 und T2 verbunden werden. Er ist schematisch in Abbildung 3.3 durch ein T –V –Diagramm und ein p–V –Diagramm charakterisiert. T T2

p

1

4

p1 p2

2

p4 T1

p3

3 V

V1 V4

V2

V3

V

Abb. 3.3. Der Carnotsche Kreisprozess

Die vier Prozessstufen bestehen aus 1. einer isothermen Expansion, 2. einer adiabatischen Expansion, 3. einer isothermen Kompression, 4. einer adiabatischen Kompression. Bei einem idealen Gas als Arbeitsmedium geschieht in diesen Prozessstufen folgendes:

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie

89

1. Die Maschine expandiert, w¨ ahrend sie in Kontakt mit einem heißen Reservoir der Temperatur T2 ist. Dabei wird die mechanische Arbeit W1 erzeugt, die innere Energie bleibt konstant, die W¨armemenge Q1 = W1 wird aus dem heißen Reservoir aufgenommen. Die Temperatur bleibt konstant bei T2 , das Volumen wird gr¨ oßer, der Druck kleiner. 2. Die Maschine wird nun thermisch isoliert und expandiert weiter. Dabei wird die Arbeit W2 erzeugt; da keine W¨ armezufuhr von außen erfolgt, f¨ uhrt dies zur Verminderung der inneren Energie um W2 . Die Temperatur f¨allt von T2 auf T1 , das Volumen wird gr¨ oßer, der Druck kleiner. 3. Die Maschine wird nun in Kontakt mit dem kalten Reservoir 1 der Temperatur T1 gebracht und komprimiert. Dadurch wird mechanische Arbeit −W3 zugef¨ uhrt. Die Temperatur ist konstant bei T1 , also ¨andert sich die innere Energie nicht. Die Maschine gibt die W¨armemenge −Q3 = −W3 an das kalte Reservoir ab. Das Volumen wird kleiner, der Druck gr¨oßer. 4. Die Maschine wird wieder thermisch isoliert und weiter komprimiert. Dazu muss die Arbeit −W4 aufgewendet werden. Da keine W¨arme zu- oder abfließt, ¨andert dies die innere Energie um W4 . Die Temperatur erh¨oht sich von T1 auf T2 , das Volumen wird kleiner, der Druck gr¨oßer. Man kann die in einem Umlauf gewonnene Arbeit leicht aus dem Resultat (3.8) von Beispiel 3 und dem Energieerhaltungssatz ausrechnen: In Prozessschritt 1 wird die W¨armemenge V2 Q1 = N kB T2 ln V1 aufgenommen, in Prozesschritt 3 die W¨ armemenge −Q2 mit Q2 = N kB T1 ln

V4 V3

abgegeben. Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dann, dass die mechanische Arbeit   V2 V4 W = Q1 + Q2 = N kB T2 ln + T1 ln V1 V3 gewonnen wird. Der Wirkungsgrad der Maschine ist das Verh¨altnis der gewonnenen mechanischen Arbeit und der aus dem heißen Reservoir entnommenen W¨ armemenge: W T1 ln(V4 /V3 ) η= =1+ . Q1 T2 ln(V2 /V1 ) Die in das kalte Reservoir abgegebene W¨ arme konnte von der W¨armekraftmaschine nicht als mechanische Energie genutzt werden. Wir werden nun den Wirkungsgrad weiter vereinfachen. Dazu ben¨otigen wir die genaue Form der Linien im Prozessdiagramm. Auf den isothermen Linien gilt pV = N kB T = konstant.

90

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Auf den adiabatischen Linien gilt nach (3.6) pV κ = konstant mit κ = 1 + 2/z. Insgesamt gilt also f¨ ur die Daten auf den Schaltpunkten“ ” des Carnot–Prozesses N kB T1 = p3 V3 = p4 V4 ,

N kB T2 = p1 V1 = p2 V2

und p1 V1κ = p4 V4κ ,

p2 V2κ = p3 V3κ .

Aus diesen Identit¨ aten ergibt sich T1 p3 V3 p3 V3κ V31−κ V31−κ = = = T2 p2 V2 p2 V2κ V21−κ V21−κ und analog

T1 p4 V4 V 1−κ = = 41−κ . T2 p1 V1 V1

Dies impliziert V3 V4 V1 V4 ln(V4 /V3 ) = , oder = und damit = −1 . V2 V1 V2 V3 ln(V2 /V1 ) Der Wirkungsgrad des Carnot–Prozesses ist demnach η =1−

T1 . T2

Die Maschine ist also um so effizienter, je gr¨ oßer der Temperaturunterschied zwischen heißem und kaltem Reservoir ist, oder je n¨aher T1 am absoluten Nullpunkt T = 0 ist. Der Carnotsche Kreisprozess erlaubt es, aus vorhandenen Temperaturunterschieden mechanische Arbeit zu gewinnen. Eine wichtige Folgerung daraus ist: Wenn W¨ arme von einem heißen in einen kalten Bereich fließt, wird mechanisch nutzbare Energie in mechanisch nicht nutzbare Energie umgewandelt und geht in diesem Sinne verloren“. ” Eine wesentliche Eigenschaft des Carnotschen Kreisprozesses ist der W¨armeaustausch bei gleicher Temperatur. Dies l¨ asst sich in der Praxis nicht realisieren: Wenn W¨arme vom heißen Reservoir zur Maschine fließen soll, braucht man einen Temperaturunterschied. Je kleiner der Temperaturunterschied ist, desto mehr Zeit wird f¨ ur den W¨ armetransport ben¨otigt. Ein Zyklus in einem Carnotschen Kreisprozess w¨ urde deshalb unendlich viel Zeit in Anspruch

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie

91

nehmen. Der W¨ armeaustausch ohne Temperaturdifferenz ist jedoch wesentlich f¨ ur reversible Prozesse: Wenn zwischen der Maschine und dem Reservoir w¨ ahrend des W¨armeaustausches eine Temperaturdifferenz besteht, kann man diesen Prozessschritt nicht mehr umkehren, da ja dann W¨arme von einem k¨alteren in einen heißeren Bereich fließen m¨ usste. In diesem Sinne sind alle reversiblen Prozesse, bei denen W¨ armetransport stattfindet, Idealisierungen. ¨ Man kann durch einfache Uberlegungen aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik folgern, dass alle reversiblen W¨ armekraftmaschinen aus zwei isothermen und zwei adiabatischen Prozessschritten mit denselben Arbeitstemperaturen denselben Wirkungsgrad haben m¨ ussen: Satz 3.2. Der Wirkungsgrad jeder reversiblen W¨ armekraftmaschine mit zwei adiabatischen und zwei isothermen Prozessschritten und W¨ armeaustausch bei den Temperaturen T1 und T2 mit T1 < T2 ist η =1−

T1 . T2

(3.11)

Begr¨ undung: Wir betrachten zwei reversible W¨armekraftmaschinen I und II vom beschriebenen Typ. Maschine I nimmt bei Temperatur T2 die W¨armemenge QI2 auf und gibt bei Temperatur T1 die W¨armemenge −QI1 ab, die II entsprechenden Daten bei Maschine II seien QII 2 und Q1 . Die in einem Prozessschritt geleistete Arbeit soll bei beiden Maschinen gleich sein, II W = QI2 + QI1 = QII 2 + Q1 .

W W f¨ ur Maschine I und η II = II f¨ ur QI2 Q2 Maschine II. Bei unterschiedlichen Wirkungsgraden muss also Die Wirkungsgrade sind also η I =

QI2 = QII 2 gelten. Falls zum Beispiel QI2 > QII uckw¨arts 2 gilt, dann kann man Maschine I r¨ laufen lassen und an Maschine II koppeln. Die gekoppelte Maschine ben¨otigt in der Summe keine Energie und transportiert die W¨armemenge QI2 − QII 2 >0 vom kalten in das heiße Reservoir, im Widerspruch zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik.   Definition der Entropie Wir werden nun aus dem Wirkungsgrad des Carnotschen Kreisprozesses einige wichtige Folgerungen ziehen, die f¨ ur alle pV T –Systeme g¨ ultig sind. Dazu betrachten wir einen Carnotschen Kreisprozess mit den im (V, T )–Diagramm aus Abbildung 3.3 skizzierten Schaltpunkten“ (V1 , T2 ), (V2 , T2 ), (V3 , T1 ) und ”

92

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik T2 T1 Abb. 3.4. Grenz¨ ubergang im Carnotschen Kreisprozess

(V4 , T1 ); die entsprechende Prozesskurve im (V, T )–Diagramm wird mit Γ bezeichnet. Die aus dem heißen“ Reservoir aufgenommene W¨arme kann man ” mit Hilfe des ersten Hauptsatzes (3.5) durch das Linienintegral 

V2

Q1 = V1



 ∂U (T2 , V ) + p(T2 , V ) dV ∂V

darstellen. Die insgesamt vom System geleistete Arbeit ist  W = p(T, V ) dV . Γ

Aus dem Wirkungsgrad (3.11) des Kreisprozesses folgt   T1 W = 1− Q1 . T2 Es gilt also 

V2

V1



∂U (T2 , V ) + p(T2 , V ) ∂V

 dV =

T2 T2 − T1

 p(T, V ) dV . Γ

Der Grenz¨ ubergang T1 → T2 =: T liefert, wie in Abbildung 3.4 skizziert,   V2   V2 ∂U ∂p (T, V ) + p(T, V ) dV = T (T, V ) dV . ∂V ∂T V1 V1 Division durch V2 − V1 und Grenz¨ ubergang V1 → V2 =: V liefert die Clapeyronsche Formel ∂U ∂p (T, V ) + p(T, V ) = T (T, V ) . (3.12) ∂V ∂T Mit Hilfe dieser Formel zeigen wir folgenden Satz 3.3. Die Abbildungen (T, V ) → U (T, V ) und (T, V ) → p(T, V ) seien zweimal stetig differenzierbar. Dann besitzt das Vektorfeld     1 ∂U T (T, V ) T ∂T   → 1 ∂U V (T, V ) + p(T, V ) T ∂V  V ). ein Potential S = S(T,

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie

93

Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass      ∂ 1 ∂U ∂ 1 ∂U (T, V ) = (T, V ) + p(T, V ) . ∂V T ∂T ∂T T ∂V Die linke Seite ist gegeben durch 1 ∂ 2U , T ∂T ∂V und die rechte Seite lautet    2  1 ∂U 1 ∂ U ∂p − 2 (T, V ) + p(T, V ) + (T, V ) + (T, V ) T ∂V T ∂T ∂V ∂T 1 ∂ 2U = (T, V ) . T ∂T ∂V Damit ist die Aussage bewiesen.

 

Wir wollen nun die Gr¨ oße S als Funktion von U und V darstellen. Um Variablen und Funktionen auseinanderzuhalten, werden wir die Funktion  und (T, V ) → p(T, V ) mit p bezeichnen. F¨ (T, V ) → U (T, V ) nun mit U ur   S(U, V ) = S T(U, V ), V , wobei (U, V ) → T(U, V ) die bez¨ uglich T invertierte Funktion (T, V ) →  U (T, V ) ist, gilt dann   ∂ T  ∂ T ∂S ∂ S   1 ∂U 1 (U, V ) = T (U, V ), V (U, V ) = T(U, V ), V (U, V ) = ∂U ∂T ∂U T ∂T ∂U T und  ∂ T  ∂S ∂ S   ∂ S   (U, V ) = T (U, V ), V (U, V ) + T (U, V ), V ∂V ∂T ∂V ∂V      ∂ T    1 ∂U 1 ∂U    = T (U, V ), V (U, V ) + T (U, V ), V + p T (U, V ), V . T ∂T ∂V T ∂V Aus 0=

   ∂ U  ∂ T  ∂    ∂U U T (U, V ), V = T(U, V ), V (U, V ) + T(U, V ), V ∂V ∂T ∂V ∂V

folgt

  p T(U, V ), V ∂S (U, V ) = . ∂V T

Es gilt also ∂S(U, V ) 1 ∂S(U, V ) p = und = , (3.13) ∂U T ∂V T wobei T und p hier als Funktionen von U und V aufgefasst werden. Diese Formeln heißen Gibbssche Formeln.

94

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Definition 3.4. Die Funktion (U, V ) → S(U, V ) heißt Entropie. Die Bezeichnung Entropie wurde von Rudolf Clausius gepr¨agt, sie geht zur¨ uck auf das griechische Wort f¨ ur Verwandlung. Mit Hilfe der Entropie kann man nun eine pr¨azisere Formulierung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik formulieren. Wir betrachten dazu ein thermodynamisches System mit einem abstrakten Zustandsraum Z und einer Entropiefunktion S : Z → R. Ein pV T –System mit Zustandsgleichung f (T, p, V ) = 0 hat beispielsweise den Zustandsraum Z = {(T, p, V ) | T, p, V ≥ 0, f (T, p, V ) = 0}. Definition 3.5. Eine Zustands¨ anderung t → z(t) ∈ Z in einem thermodynamischen System mit Zustandsraum Z und Entropiefunktion S : Z → R erf¨ ullt den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, wenn f¨ ur t → S(t) = S(z(t)) gilt: Q˙ S˙ ≥ . T

(3.14)

Dabei ist T die absolute Temperatur und Q(t) die bis zum Zeitpunkt t insgesamt zugef¨ uhrte W¨ armemenge. F¨ ur adiabatische Zustands¨ anderungen folgt aus (3.14) S˙ ≥ 0 . Auf der Basis der Entropie kann man auch reversible (umkehrbare) und irreversible (nicht umkehrbare) Zustands¨ anderungen charakterisieren: Definition 3.6. In einem thermodynamischen System mit Zustandsraum Z und Entropie S : Z → R heißt eine stetig differenzierbare Zustands¨ anderung [0, 1] → Z Q˙ reversibel, wenn S˙ = , T



irreversibel, wenn S(1) − S(0) >

1 0

˙ Q(t) dt . T (t)

F¨ ur ein ideales Gas kann man die Entropie berechnen mit Hilfe der Zustandsgleichung pV = N kB T und der Formel U= f¨ ur die innere Energie. Es gilt

z N kB T 2

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie

95

∂S 1 z 1 = = N kB und (3.15) ∂U T 2 U ∂S p N kB = = . (3.16) ∂V T V Aus der ersten Gleichung folgt S(U, V ) = z2 N kB ln UU0 + c(V ) und dann durch Einsetzen in die zweite Gleichung c (V ) = NVkB , also c(V ) = N kB ln VV0 . Die Gr¨oßen U0 und V0 hier sind Referenzwerte f¨ ur die innere Energie und das Volumen. Sie sind insbesondere deshalb notwendig, weil U und V Gr¨oßen mit einer physikalischen Dimension sind, und deshalb Ausdr¨ ucke wie ln U und ln V nicht sinnvoll definiert sind. Außerdem lassen sich die Integrationskonstanten durch geeignete Wahl von U0 und V0 definieren. Der Werte der Integrationskonstanten ist meistens unwichtig, weil in der Regel nur Entropie¨ anderungen eine Rolle spielen. Insgesamt gilt z U V N kB ln + N kB ln . 2 U0 V0 Mit Hilfe der Zustandsgleichung pV = N kB T und der Formel U = z2 N kB T f¨ ur die innere Energie kann man die Entropie auch als Funktion anderer Variabler ausdr¨ ucken, zum Beispiel als Funktion von Temperatur und Volumen z T V S(T, V ) = N kB ln + N kB ln 2 T0 V0 S(U, V ) =

2U0 mit Referenztemperatur T0 = zN kB , oder als Funktion von Temperatur und Druck z+2 T p S(T, p) = N kB ln − N kB ln 2 T0 p0

mit Referenzdruck p0 = N kVB0 T0 . Die Gibbsschen Formeln (3.13) sind allerdings nur f¨ ur S als Funktion von U und V g¨ ultig. Als Anwendung bestimmen wir die Entropie¨ anderung f¨ ur die Beispiele 1 und 2 am Ende von Abschnitt 3.3. In Beispiel 1, der adiabatischen Expansion, wurde der Zustand (U1 , V1 ) mit Entropie z U1 V1 N kB ln + N kB ln 2 U0 V0 & '2/z transformiert in den Zustand (U2 , V2 ) mit U2 = U1 VV12 und Entropie S1 =

S2 =

z U2 V2 N kB ln + N kB ln . 2 U0 V0

U1 V1 2 2 Wegen ln U U0 = ln U0 + z ln V2 folgt S1 = S2 . Die Entropie hat sich also nicht ge¨andert, die Zustands¨ anderung ist damit reversibel. In Beispiel 2 ist U2 = U1 und V2 > V1 , damit ist z U1 V2 S2 = N kB ln + N kB ln > S1 . 2 U0 V0 Die Zustands¨anderung ist also irreversibel.

96

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Die Temperatur als integrierender Faktor Am Beginn dieses Abschnittes haben wir reversible und irreversible Zustands¨anderungen in einem pVT–System durch die Beziehungen (3.9) und ¨ (3.10) charakterisiert. Ein Ziel unserer Uberlegungen war es, eine skalare Gr¨oße zu finden, die f¨ ur zwei durch eine reversible Zustands¨anderung ver” bundene“ Zust¨ande denselben Wert hat, bei irreversiblen Zustands¨anderungen dagegen ansteigt. Aus (3.9) und (3.10) kann man als sinnvolle Wahl einer solchen Gr¨oße ein Potential Σ des Vektorfeldes     U 1 → V p(U, V ) vermuten, also eine Funktion Σ = Σ(U, V ) mit ∂Σ ∂Σ = 1 und = p. ∂U ∂V In diesem Fall gilt n¨ amlich f¨ ur jede differenzierbare Zustands¨anderung t → (U (t), V (t)) d Σ(U (t), V (t)) = U˙ (t) + p(U (t), V (t)) V˙ (t) . dt Allerdings besitzt nicht jedes Vektorfeld ein Potential, und insbesondere wird (U, V ) → (1, p(U, V )) im Allgemeinen kein Potential haben. Aus der Definition der Entropie ist jedoch ersichtlich, dass das Vektorfeld   1 1 (U, V ) → T (U, V ) p(U, V ) ein Potential hat, wobei man die absolute Temperatur hier als Funktion von U und V auffassen muss. Die reziproke Temperatur 1/T spielt hier die Rolle eines sogenannten integrierenden Faktors. Definition 3.7. Es sei v : Rn → Rn ein Vektorfeld. Eine Funktion λ : Rn → R heißt integrierender Faktor des Vektorfeldes v, wenn λv ein Potential besitzt, wenn es also eine Funktion ϕ : Rn → R gibt mit ∂ϕ = λvj . ∂xj Die Rolle der reziproken Temperatur als integrierender Faktor zu (U, V ) → (1, p(U, V )) mit der Entropie als Potential kann man zu einem alternativen Zugang zur Definition der Entropie ausbauen.

3.4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, die Entropie

97

Entropie und thermodynamisches Gleichgewicht Mit Hilfe der Entropie kann man eine notwendige Bedingung f¨ ur das thermodynamische Gleichgewicht eines Systems unter adiabatischen Randbedingungen formulieren, also bei Systemen, die thermisch isoliert sind, so dass keine Energie in Form von W¨ arme zu- oder abfließt. Wir betrachten dazu ein thermodynamisches Verbundsystem aus zwei Teilsystemen. Ein typisches Beispiel ist ein Gef¨aß, das durch eine Trennwand oder eine Membran unterteilt ist; in den beiden Teilen sind m¨ oglicherweise verschiedene Substanzen, oder verschiedene Phasen beziehungsweise Aggregatzust¨ande (fest, fl¨ ussig, gasf¨ormig) derselben Substanz. Die Trennwand kann den Austausch bestimmter Gr¨oßen erlauben oder verhindern, sie kann zum Beispiel thermisch isoliert oder thermisch durchl¨assig sein, fest oder beweglich. Ziel ist es, das thermodynamische Gleichgewicht zu charakterisieren. Eine wichtige Anwendung des thermodynamischen Gleichgewichts zweier Teilsysteme ist die Bestimmung des Schmelzoder Siedepunktes einer Substanz, die beiden Teilsysteme entsprechen dann den beiden Phasen (die feste und die fl¨ ussige oder die fl¨ ussige und die gasf¨ormige) des Materials. Ein wichtiges Kriterium zur Bestimmung des thermodynamischen Gleichgewichts ist der folgende Satz: Satz 3.8. (Clausius) Ein thermodynamisches System unter adiabatischen Randbedingungen ist im thermodynamischen Gleichgewicht, wenn die Entropie maximal ist. Diese Aussage folgt aus der Beobachtung, dass die Entropie bei adiabatischen Zustands¨anderungen h¨ ochsten wachsen kann. Wenn die Entropie also ihr Maximum annimmt, dann ist keine weitere Zustands¨anderung mehr m¨oglich, und das charakterisiert gerade das thermodynamische Gleichgewicht. Als Anwendung des Satzes von Clausius betrachten wir ein Gef¨aß mit festgehaltenem Volumen V , das durch eine bewegliche Membran in zwei Teilvolumina V1 und V2 = V − V1 getrennt wird. Die Membran sei w¨armedurchl¨assig, so dass W¨armefluss von einem Teilsystem in das andere m¨oglich ist. Wir bezeichnen die Temperatur, die innere Energie, die Entropie und den Druck in Teilsystem i f¨ ur i = 1, 2 jeweils mit Ti , Ui , Si und pi . Die gesamte innere Energie ist dann U = U1 + U2 , die Entropie S = S1 + S2 . Mit Si = Si (Ui , Vi ) kann man die Entropie des Gesamtsystems schreiben als S(U1 , V1 ) = S1 (U1 , V1 ) + S2 (U − U1 , V − V1 ) . Ein notwendiges Kriterium f¨ ur ein Maximum ist ∂S ∂S1 ∂S2 1 1 = − = − = 0 und ∂U1 ∂U1 ∂U2 T1 T2 ∂S ∂S1 ∂S2 p1 p2 = − = − = 0. ∂V1 ∂V1 ∂V2 T1 T2

98

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Das Gleichgewicht ist also charakterisiert durch T1 = T2 und p1 = p2 , also der Stetigkeit von Temperatur und Druck.

3.5 Thermodynamische Potentiale Wir betrachten eine beliebige reversible Zustands¨anderung t → (U (t), V (t)) in einem pVT–System. Umstellen der Beziehung 1 p S˙ = U˙ + V˙ T T liefert U˙ = T S˙ − pV˙ . Wenn man U als Funktion von S und V schreibt, dann gilt ∂U ˙ ∂U ˙ U˙ = S+ V. ∂S ∂V Da diese Beziehung f¨ ur alle Zustands¨ anderungen gilt, kann man folgern, dass die Gleichungen ∂U ∂U = T, = −p ∂S ∂V erf¨ ullt sein m¨ ussen. Man kann nun durch eine einfache mathematische Transformation, der sogenannten Legendre–Transformation, die wir im n¨achsten Abschnitt kurz erl¨ autern werden, weitere energie¨ahnliche Funktionen gewinnen, bei denen die Rollen von S und V als Variable und von T und −p als partielle Ableitungen vertauscht werden: F¨ ur die freie Energie F (T, V ) := U − T S als Funktion von T und V gilt: F˙ = U˙ − T˙ S − T S˙ = −S T˙ − pV˙ und damit

∂F (T, V ) = −S , ∂T

∂F (T, V ) = −p . ∂V

F¨ ur die Enthalpie H(S, p) := U + pV als Funktion von S und p gilt: H˙ = U˙ + pV ˙ + pV˙ = T S˙ + V p˙

3.5 Thermodynamische Potentiale

und damit

∂H(S, p) =T, ∂S F¨ ur die freie Enthalpie

99

∂H(S, p) =V . ∂p

G(T, p) := U − T S + pV als Funktion von T und p gilt: G˙ = U˙ − T˙ S − T S˙ + pV ˙ + pV˙ = −S T˙ + V p˙ und damit

∂G(T, p) ∂G(T, p) = −S , =V . ∂T ∂p Die freie Enthalpie ist auch als Gibbssche freie Energie bekannt. Die Funktionen (T, V ) → F (T, V ), (S, p) → H(S, p), (T, p) → G(T, p) heißen thermodynamische Potentiale. Sie sind zum Beispiel wichtig, wenn man Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur thermodynamische Systeme unter verschiedenen Nebenbedingungen formulieren m¨ ochte. Dazu koppelt man den ersten und zweiten Hauptsatz der Thermodynamik mit den Zeitableitungen von F , H, G und ¨ leitet aus daraus gewonnenen Ungleichungen durch eine ¨ahnliche Uberlegung wie in der Begr¨ undung des Satzes von Clausius die gew¨ unschten Gleichgewichtsbedingungen ab. Den ersten Hauptsatz schreibt man in der Form ˙ = Q˙ − p0 V˙ , U˙ = Q˙ + W ˙ = −p0 V˙ die Rate der dem System zugef¨ wobei W uhrten Arbeit ist. Diese Arbeit wird durch Kompressions- oder Expansionsvorg¨ange realisiert, p0 bezeichnet dabei den von außen auf den Rand des Systems einwirkenden Druck. Dieser kann, muss aber nicht mit dem Druck p im System u ¨bereinstimmen, wie die beiden Beispiele aus Abschnitt 3.3 zeigen. In Beispiel 1 ist p0 = p, w¨ahrend man bei Beispiel 2 keine Abfuhr von mechanischer Energie hat und deshalb p0 = 0 zu setzen ist. Kombination mit dem zweiten Hauptsatz Q˙ S˙ ≥ T liefert U˙ ≤ T S˙ − p0 V˙ . Daraus kann man folgende Gleichgewichtsbedingungen herleiten: Isothermer, isochorer Fall: Mit T˙ = 0, V˙ = 0 folgt aus d (U − T S) ≤ −S T˙ − p0 V˙ = 0 , dt dass die freie Energie F = U − T S durch m¨ogliche Zustands¨anderungen nicht zunehmen kann. Das Gleichgewicht ist also charakterisiert durch das Minimum der freien Energie F = U − T S.

100

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Adiabatischer, isobarer Fall: Aus S˙ = 0 und p˙ = 0 sowie der Annahme p0 = p folgt d (U + pV ) ≤ T S˙ + V p˙ = 0 . dt Das Gleichgewicht ist demnach durch das Minimum der Enthalpie H = U + pV bestimmt. Isothermer, isobarer Fall: Aus T˙ = 0 und p˙ = 0 sowie p = p0 folgt d (U − T S + pV ) ≤ −S T˙ + V p˙ = 0 . dt Das Gleichgewicht ist also durch das Minimum der freien Enthalpie G = U − T S + pV charakterisiert. F¨ ur die Formulierung der Gleichgewichtsbedingung muss man also gerade dasjenige thermodynamische Potential w¨ ahlen, dessen kanonische Variablen“ ” unter den betrachteten Nebenbedingungen konstant sind.

3.6 Die Legendre–Transformation Die Herleitung der thermodynamischen Potentiale aus der inneren Energie im vorhergehenden Abschnitt geschieht durch Anwendungen einer mathematischen Transformation, der sogenannten Legendre–Transformation. Die Legendre–Transformation ist nicht nur in der Thermodynamik wichtig, sondern zum Beispiel auch in der Mechanik beim Zusammenhang zwischen dem Lagrange– und dem Hamilton–Formalismus, den wir in Abschnitt 4.2 erl¨autern werden, oder bei Optimierungsproblemen. Wir werden hier die Definition und die wichtigsten Eigenschaften der Legendre–Transformation kurz skizzieren. Definition 3.9. Es sei f : Rn → R eine stetig differenzierbare Funktion. Die Ableitung y  von f mit Komponenten yj (x) :=

∂f (x) ∂xj

sei invertierbar, das heißt, es gibt eine Funktion x : Rn → Rn mit y  (x (y)) = y f¨ ur alle y ∈ Rn . Dann heißt f  (y) := x (y) · y − f (x (y)) die Legendre–Transformierte von f .

3.7 Der Kalk¨ ul der Differentialformen

101

F¨ ur die Legendre–Transformierte gilt die Beziehung ∂f  (y) = xj (y) . ∂yj Dies sieht man durch einfaches Nachrechnen ein:  n  ∂f  ∂x

∂f  ∂x (y) = (y) y − (x (y)) (y) + xj (y) = xj (y) . ∂yj ∂yj ∂x

∂yj

=1

Die Legendre–Transformation realisiert f¨ ur hinreichend allgemeine Funktionen gerade die Vertauschung der Rolle von Variable und partieller Ableitung, die bei der Konstruktion der thermodynamischen Potentiale im vorigen Abschnitt ¨ wichtig war. Der Ubergang von der inneren Energie U zur freien Energie F , der Enthalpie H und der freien Enthalpie G entspricht bis auf das Vorzeichen gerade der Legendre–Transformation bez¨ uglich eines oder zweier zueinander dualer“ Paare von Variablen und partiellen Ableitungen. ”

3.7 Der Kalku ¨l der Differentialformen Viele der bisher betrachteten Ergebnisse lassen sich in kurzer Form mit Hilfe von Differentialformen 1. Ordnung, im Folgenden auch kurz Differentialformen genannt, darstellen. Definition 3.10. Eine Differentialform auf U ⊂ Rn ist eine stetige Abbildung ω : U × Rn → R , (x, t ) → ω(x), t  , die linear im zweiten Argument ist. Die wesentliche Operation f¨ ur Differentialformen 1. Ordnung sind Kurvenintegrale.

Definition 3.11. Sei ω eine Differentialform und Γ = x(s) | s ∈ (0, 1) eine stetig differenzierbare Kurve im Rn . Dann ist das Kurvenintegral von ω u ¨ber Γ definiert durch   1 ω= ω(x(s)), x (s) ds . Γ

0

Aufgrund der Linearit¨ at von t → ω(x), t  ist diese Definition unabh¨ angig von der Wahl der Parametrisierung, falls die Kurven in der gleichen Richtung durchlaufen werden. An Hand dieser Definition kann man auch die unterschiedliche Rolle der Argumente x und t in der Differentialform ablesen: W¨ ahrend x einen Punkt im Raum darstellt, ist t ein (m¨oglicher) Tangentialvektor einer Kurve durch x. Wir werden nun zwei M¨ oglichkeiten betrachten Differentialformen zu erhalten.

102

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

(i) Zu einem Vektorfeld y : Rn → Rn ist eine Differentialform ω=

n

yj dxj

j=1

gegeben durch ω(x), t  =

n

yj (x) tj = y(x) · t .

j=1

Mit dxj bezeichnen wir die lineare Abbildung dxj (ei ) = δij , wobei ei der i– te Einheitsvektor ist. Offensichtlich kann man jede Differentialform in dieser Form darstellen: Da f¨ ur jedes feste x ∈ Rn die Abbildung t → ω(x), t  linear ist, gibt es ein y(x) mit ω(x), t  = y(x)·t. einer Das Kurvenintegral

solchen Differentialform u ¨ber eine Kurve Γ = x(s) | s ∈ (0, 1) ist  n

 yj dxj =

Γ j=1

n 1

0 j=1

yj (x(s)) xj (s) ds =:

 y(x) · dx . Γ

(ii) Zu einer stetig differenzierbaren Funktion φ : Rn → R sei dφ definiert durch n ∂φ dφ := dxj . ∂x j j=1 Das Kurvenintegral von dφ ist 

 dφ =

Γ

n 1 0 j=1

∂φ (x(s)) xj (s) ds = ∂xj

 ∇φ(x) · dx = φ(x(1)) − φ(x(0)) . Γ

Definition 3.12. Eine Differentialform ω auf U ⊂ Rn heißt vollst¨andiges Differential, wenn es eine differenzierbare, skalare Funktion φ : U → R gibt mit ω = dφ. Der Begriff des vollst¨ andigen Differentials enth¨ alt nichts, was wir nicht schon kennen: Eine Differentialform ist genau dann ein vollst¨andiges Differential, wenn das zugeh¨ orige“ Vektorfeld ein Potential besitzt. ” Einer der wesentlichen Vorteile von Differentialformen ist, dass man damit rechnen“ kann. Dazu definieren wir eine multiplikative Verkn¨ upfung einer ” Funktion φ : Rn → R mit einer Differentialform ω zu einer neuen Differentialform φω durch (φω)(x), t  = φ(x)ω(x), t  . Satz 3.13. F¨ ur stetig differenzierbare Funktionen φ, ψ : Rn → R und Differentialformen gelten folgende Rechenregeln:

3.7 Der Kalk¨ ul der Differentialformen

(i) d(φψ) = φ dψ + ψ dφ. (ii) Aus dφ =

n

⎛

y dx und yj = 0 folgt dxj =

=1

103

⎞

1 ⎜ ⎝dφ − yj

n

⎟ y dx ⎠.

=1

=j

Beweis. (i) folgt aus der Produktregel: d(φψ), t  =

 n n  ∂ ∂ψ ∂φ (φψ) tj = φ +ψ tj = φ dψ, t +ψ dφ, t  . ∂xj ∂xj ∂xj j=1 j=1

(ii) folgt durch Nachrechnen: dxj , t  = ej · t = tj und, wegen (

∂φ ∂x

= y ,

⎛

1 ⎜ ⎝dφ − yj

⎞

n

=1

=j

) n 1 y

⎟ y dx ⎠ , t = dφ, t  − t

yj yj

=1

=j

=

n n 1 ∂φ y

t − t = tj . yj ∂x

yj

=1

=1

=j

  Anwendung in der Thermodynamik Differentialformen sind in der Thermodynamik sehr beliebt, weil man damit viele Beziehungen ohne die Verwendung von k¨ unstlichen thermodynamischen ¨ Prozessen und die damit einhergehenden Anderungen der thermodynamischen Gr¨oßen aufschreiben kann. Beispielsweise kann man die Evolutionsgleichung der Entropie f¨ ur reversible Zustands¨ anderungen 1 p S˙ = U˙ + V˙ T T kurz schreiben als

1 p dU + dV . T T Diese Gleichung kommt ohne Zeitableitung eines virtuellen thermodynamischen Prozesses aus und enth¨ alt gleichzeitig die Gibbsschen Formeln (3.13). Durch Anwendung der Rechenregeln aus Satz 3.13 erh¨alt man direkt dS =

dU = T dS − p dV

104

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

anstatt der Beziehung U˙ = T S˙ − pV˙ . F¨ ur die thermodynamischen Potentiale folgt, ebenfalls mit den Rechenregeln aus Satz 3.13 dF = d(U − T S) = dU − T dS − S dT = −S dT − p dV , dH = d(U + pV ) = dU + p dV + V dp = T dS + V dp , dG = d(U − T S + pV ) = dU − T dS − S dT + p dV + V dp = −S dT + V dp . Auch die Legendretransformation l¨ asst sich mit dem Kalk¨ ul der Differentialformen leicht einf¨ uhren: F¨ ur eine Funktion f mit vollst¨andigem Differential df =

n

yj dxj

j=1

ist die Legendre–Transformierte definiert durch f =

n

xj y j − f .

j=1

Das vollst¨andige Differential der Legendre–Transformierten ist df  =

n j=1

(yj dxj + xj dyj ) − df =

n

xj dyj .

j=1

3.8 Thermodynamik bei Mischungen, das chemische Potential Bei vielen in der Praxis auftretenden Stoffen handelt es sich um Mischungen von mehreren Komponenten. Wenn sich die Zusammensetzung einer betrachteten Mischung zeitlich oder r¨ aumlich a ¨ndern kann, dann muss man den Einfluss der Zusammensetzung auf die Thermodynamik der Mischung modellieren. Dies ist unter anderem bei Modellen f¨ ur Diffusionsprozesse und f¨ ur chemische Reaktionen wichtig. Wir betrachten eine Mischung aus M Komponenten mit Massen m1 , . . . , mM . Die Mischung sei in zwei Teilsysteme aufgeteilt, die durch eine Membran getrennt sind. Die Membran sei durchl¨ assig f¨ ur die Komponente 1, w¨armedurchl¨assig und beweglich, so dass der Druck und die Temperatur in beiden Teilsystemen gleich sind. Wir m¨ ochten nun bestimmen, wie sich Komponente 1 auf die beiden Teilsysteme aufteilt. Wir setzen dabei die Temperatur T und den Druck p als konstant voraus und haben somit den isothermen, isobaren Fall. Das thermodynamische Gleichgewicht wird also durch das Minimum der freien Enthalpie G bestimmt. Wenn man wie in Abbildung 3.5 (1) skizziert die Massen der Komponenten in Teilsystem 1 und 2 mit mj und

3.8 Thermodynamik bei Mischungen, das chemische Potential (2)

105

(1)

mj = mj − mj und die freien Enthalpien der Teilsysteme mit G1 und G2 bezeichnet, dann ist die gesamte freie Enthalpie gegeben durch   (1) (1)  (1) (1)  G T, p, m1 , . . . , mM = G1 T, p, m1 , . . . , mM  (1) (1)  + G2 T, p, m1 − m1 , . . . , mM − mM . Die Komponente 1 teilt sich im Gleichgewicht so auf, dass G minimal wird. Ein notwendiges Kriterium daf¨ ur ist ∂G (1) ∂m1

=

∂G1 (1) ∂m1

−

∂G2 (2) ∂m1

= 0, also

∂G1 (1) ∂m1

=

∂G2 (2)

.

∂m1

Das bedeutet, dass die Ableitung der freien Enthalpie G nach der Komponente m1 im thermodynamischen Gleichgewicht stetig ist. F¨ ur eine Mischung mit freier Enthalpie G = G(T, p, m1 , . . . , mM ) heißt ∂G =: μj ∂mj chemisches Potential der Komponente j. Wenn eine Membran, die zwei Mischungen trennt, durchl¨ assig ist f¨ ur die Komponente j der Mischungen, dann nimmt μj auf beiden Seiten der Membran denselben Wert an. Aus der Definition des chemischen Potentials folgt die differentielle Beziehung dG = −S dT + V dp +

M

μj dmj .

j=1

Durch verschiedene Versionen der Legendre–Transformation kann man folgende Beziehungen f¨ ur Mischungen herleiten: dU = T dS − p dV +

M

μj dmj ,

j=1

dF = −S dT − p dV +

M

μj dmj ,

j=1

dH = T dS + V dp +

M

μj dmj ,

j=1

μj 1 p dU + dV − dmj . T T T j=1 M

dS =

Das chemische Potential ist, trotz seines Namens, kein Potential im mathematischen Sinn. Es handelt sich dabei vielmehr um die Ableitung eines Potentials,

106

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik T, p T, p (1) (1) (2) (2) m1 , ..., mM m1 , ..., mM    (1) (1) (2) (2)  G1 T, p, m1 , . . . , mM G2 T, p, m1 , . . . , mM

(1)

(2)

mj + mj

= mj

Abb. 3.5. Zur Definition des chemischen Potentials

n¨ amlich der freien Enthalpie, nach einer Variablen, n¨amlich der Masse der betrachteten Komponente. Ableitungen von Potentialen werden h¨aufig auch als Triebkr¨afte bezeichnet. Hinter dieser Bezeichnung steht die Vorstellung, dass das betrachtete System sich in Richtung des negativen Gradienten des Potentials bewegt und so im Laufe der Zeit gegen ein Minimum des Potentials strebt. Wir werden nun einige wichtige Eigenschaften des chemischen Potentials zusammenstellen. Zur Vereinfachung der Schreibweise werden die Massen der Komponenten in einem Massevektor m = (m1 . . . , mM ) zusammengefasst. Falls die freie Enthalpie eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist, dann kann man gemischte zweite partielle Ableitungen vertauschen. Es folgt dann ∂μj ∂2G ∂μk = = f¨ ur j, k = 1, . . . , M . ∂mk ∂mj ∂mk ∂mj Die freie Enthalpie G ist, wie alle thermodynamischen Potentiale, eine extensive Gr¨oße; das bedeutet, ihr Wert ist proportional zur Gr¨oße des Systems. Die Gr¨oße des Systems wird hier durch die Massen angegeben. Es gilt also G(T, p, αm) = α G(T, p, m) f¨ ur α ≥ 0 . Dies bedeutet, dass G 1–homogen bez¨ uglich der Variablen m ist: Definition 3.14. Eine Funktion f : Rn → R heißt k–homogen, wenn f (αx) = αk f (x) f¨ ur alle x ∈ Rn , α > 0 . Aus dieser einfachen Eigenschaft kann man einige wichtige Folgerungen ableiten. Es gilt einerseits  ∂G(T, p, αm) ∂  = α G(T, p, m) = G(T, p, m) ∂α ∂α und andererseits ∂G(T, p, αm) ∂G(T, p, αm) = mj . ∂α ∂mj j=1 M

F¨ ur α = 1 folgt mit μj = μj (T, p, m) =

∂G(T,p,m) ∂mj

3.8 Thermodynamik bei Mischungen, das chemische Potential

G(T, p, m) =

M

μj (T, p, m) mj .

107

(3.17)

j=1

Durch Ableiten nach mk folgt ∂G(T, p, m) ∂μj = mj + μk . ∂mk ∂mk M

μk =

j=1

Daraus folgt die Gibbs–Duhem–Beziehung M M ∂μj ∂μk mj = mj = 0 . ∂m ∂m k j j=1 j=1

(3.18)

Außerdem ist α μj (T, p, αm) =

∂G(T, p, αm) ∂G(T, p, m) =α = α μj (T, p, m) ∂mj ∂mj

und folglich μj (T, p, αm) = μj (T, p, m) f¨ ur α > 0 . Das bedeutet, dass μj 0–homogen ist bez¨ uglich m. Es bedeutet auch, dass μj eine intensive Gr¨oße ist, die nicht von der gesamten Masse m = m1 +· · ·+mM abh¨angt, sondern nur von den Massenanteilen, die man zum Beispiel durch m die Konzentrationen cj = mj beschreiben kann, μj (T, p, m) = μ j (T, p, c ) mit c = (c1 , . . . , cM ) , cj =

mj . m

Beispiele Das einfachste Beispiel ist ein reiner Stoff. Es ist dann M = 1, m1 = m und μj (T, p, m) = μ(T, p) =

G(T, p, m) . m

Bei einem idealen Gas mit z Freiheitsgraden und Atommasse m0 ist   T    G(T, p, m) = z+2 + N kB T ln pp0 + αN m0 T 2 N kB T 1 − ln T0      = z+2 r m T 1 − ln TT0 + r m T ln pp0 + α m T , 2 wobei m0 die Masse eines Atoms ist, m = N m0 die gesamte Masse des Systems kB und r = m . Der Term α m T stammt von der Integrationskonstanten aus der 0 Entropie; er muss hier mit m skaliert werden, da die Entropie eine extensive Gr¨oße ist. Das chemische Potential lautet damit   T    μ(T, p) = z+2 + r T ln pp0 + α T . 2 r T 1 − ln T0

108

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Ein etwas aussagekr¨ aftigeres Beispiel ist eine Mischung verschiedener idealer Gase. Die Zustandsgleichung idealer Gase ist pV = N kB T . Wir betrachten eine Mischung von M verschiedenen idealen Gasen. Von Gas j (0) seien Nj Teilchen vorhanden, die Masse dieser Teilchen sei mj . Die Gesamt(0)

masse von Gas j ist mj = Nj mj . Die Zustandsgleichung der Mischung, die man ebenfalls als ideales Gas betrachtet, kann man auf zwei Arten interpretieren: Gas j f¨ ullt das gesamte Volumen V aus und u ¨ bt dabei einen Partialdruck pj aus, pj V = Nj kB T . Der gesamte Druck ist dann p=

M

pj .

j=1

Andererseits kann man jedem Gas ein Partialvolumen Vj zuordnen mit pVj = Nj kB T , das Gesamtvolumen ist dann V =

M

Vj .

j=1

Aus beiden Interpretationen folgt die Zustandsgleichung pV = N kB T f¨ ur die gesamte Mischung und die Formeln pj Vj Nj = = . p V N Die innere Energie setzt sich zusammen als Summe der inneren Energien der Teilsubstanzen, M zj U= 2 Nj kB T , j=1

wobei zj die Anzahl der Freiheitsgrade von Gas j ist. Die Entropie setzt man ebenfalls an als Summe der Teilentropieen der Komponenten, wobei man allerdings f¨ ur Komponente j den zugeh¨ origen Partialdruck pj verwendet. Man erh¨alt dann S=

M & z

j +2

2

j=1

Nj kB ln

T  T0

− Nj kB ln

 pj  p0

(0)

− Nj mj αj

'

3.8 Thermodynamik bei Mischungen, das chemische Potential

109

(0)

mit Integrationskonstanten Nj mj αj . Die Mischung wird dabei interpretiert als Verbundsystem aus M verschiedenen, unabh¨ angigen  p  Teilkomponenten.   p  Man kann die Entropie mit der Formel ln pj0 = ln pj + ln pp0 und der (0)

Abk¨ urzung rj = kB /mj

schreiben als S=

M

Sj + SMix

j=1

mit   (0) − Nj kB ln pp0 − Nj mj αj & '     z +2 = mj j2 rj ln TT0 − rj ln pp0 − αj

Sj =

zj +2 2 Nj kB

ln

T  T0

und der Mischungsentropie Smix = −

M

Nj kB ln

 pj  p

.

j=1

Mit

mj

(0) m pj Nj = = M j =: Xj (m)  mk p N

(3.19)

(0)

k=1

mk

kann man die Mischungsentropie schreiben als Funktion von m1 , . . . , mM : Smix (m) = −

M

mj rj ln(Xj (m)) .

j=1

Die Gr¨oße Xj (m) heißt Molenbruch der Komponente j. Ein Mol bezeichnet NA ≈ 6,02214179 · 1023 Teilchen einer Substanz. Die Zahl NA heißt Avogadro– Zahl ; sie ist so gew¨ ahlt, dass ein Mol Kohlenstoffatomkerne, bestehend aus 6 Protonen und 6 Neutronen, genau 12 Gramm wiegen. Die MMolzahl der SubN stanz j ist νj = NAj , die gesamte Molzahl ist ν = NNA = j=1 νj . Es gilt also N

ν

insbesondere Xj (m) = Nj = νj . Die Messung von Substanzen in Mol ist vor allem in der Chemie gebr¨ auchlich. Man kann aus der Molzahl und der Anzahl der Kernteilchen (Protonen und Neutronen) einer Substanz einfach auf das Gewicht schließen; Molzahl mal Zahl der Kernteilchen ist, bis auf eine kleine Abweichung, gleich dem Gewicht in Gramm. Wenn man Teilchenzahlen in Mol misst, kann man auch die Konstante rj anders darstellen: rj =

kB (0) mj

=

R , Mj

110

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik (0)

wobei Mj = NA mj die Masse eines Mols aus Teilchen der Substanz j ist und R = NA kB die kinetische Gaskonstante. Die freie Enthalpie einer Mischung idealer Gase ist gegeben durch G = U − T S + pV =

M

Gj (T, p, mj ) + Gmix (T, p, m)

j=1

mit Gj (T, p, mj ) = mj

zj +2 2

     rj T 1 − ln TT0 + mj rj T ln pp0 + αj mj T

und Gmix (T, p, m) = −T Smix (m) . Zur Bestimmung des chemischen Potentials berechnen wir zun¨achst M

∂ ∂ ln(Xk (m)) = N kB Xk (m) = 0 , ∂mj ∂mj M

mk rk

k=1

k=1

dies gilt wegen mk rk /Xk (m) = N kB und μj =

∂G = ∂mj

zj +2 2

M k=1

Xk (m) = 1. Damit folgt

     rj T 1 − ln TT0 + rj T ln pp0 + rj T ln(Xj (m)) + αj T

(0)

= μj (T, p) + rj T ln(Xj (m)) mit den chemischen Potentialen der entsprechenden Reinstoffe (0)

μj (T, p) =

zj +2 2

     rj T 1 − ln TT0 + rj T ln pp0 + αj T .

(3.20)

Eine Verallgemeinerung von Mischungen idealer Gase sind ideale Mischungen. Bei idealen Mischungen setzt man zwar keine idealen Gase mehr voraus, postuliert aber trotzdem die Formeln U (T, p, m) =

M

Uj (T, p, mj ) und

j=1

S(T, p, m) =

M

Sj (T, p, mj ) + Smix (m)

j=1

f¨ ur innere Energie und Entropie, wobei Uj und Sj die innere Energie und Entropie des entsprechenden reinen Stoffes ist und Smix (m) = −

M j=1

mj rj ln(Xj (m))

3.9 Chemische Reaktionen in Mehrspeziessystemen

111

mit dem in (3.19) definierten Molenbruch Xj (m). Die freie Enthalpie ist G(T, p, m) =

M

Gj (T, p, mj ) − T Smix (m)

j=1

mit den freien Enthalpien Gj (T, p, mj ) der reinen Stoffe. Das chemische Potential lautet dann (0)

μj (T, p, m) = μj (T, p) + rj T ln(Xj (m)) (0)

mit μj (T, p) =

(3.21)

∂Gj (T, p, mj ) . ∂mj

Die hier diskutierten Beispiele sind noch ziemlich einfach. Bei realen Mischungen beobachtet man manchmal eine Erw¨ armung oder Abk¨ uhlung und eine Volumen¨anderung w¨ ahrend des Mischvorganges. Bei solchen Mischungen ist es nicht m¨oglich, die innere Energie und die Zustandsgleichung in der oben beschriebenen Weise additiv zu entkoppeln. Oft findet man Modelle, bei denen die Formel (3.21) f¨ ur das chemische Potential bei idealen Mischungen modifiziert wird, zum Beispiel, indem man den Molenbruch Xj (m) durch eine allgemeinere Funktion ersetzt, (0)

μj (T, p, m) = μj (T, p) + rj T ln(aj (T, p, m)) .

(3.22)

Die Funktion aj (T, p, m) heißt Aktivit¨ at. H¨ aufig wird die Aktivit¨at geschrieben als aj (T, p, m) = γj (T, p, m) Xj (m) , der Faktor γj hier heißt Aktivit¨ atskoeffizient. Er beschreibt die Abweichung der Mischung vom Fall einer idealen Mischung, wo γj (T, p, m) = 1 gilt.

3.9 Chemische Reaktionen in Mehrspeziessystemen Chemische Substanzen bestehen aus Molek¨ ulen, die ihrerseits aus Atomen zusammengesetzt sind. W¨ ahrend einer chemischen Reaktion muss die Gesamtmasse der Atome erhalten bleiben. Dies kann durch spezielle Formulierungen sichergestellt werden, die wir im Folgenden darstellen werden. Eine chemische Spezies ist charakterisiert durch (i) eine Molek¨ ulformel, zum Beispiel H2 O f¨ ur Wasser oder C6 H12 O6 f¨ ur Glukose, (ii) eine bestimmte Molek¨ ulstruktur, falls es zur selben Molek¨ ulformel verschiedene Molek¨ ulstrukturen gibt; das ist zum Beispiel bei Glukose der Fall,

112

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

(iii) eine Phase beziehungsweise einen Aggregatzustand, also die feste, fl¨ ussige oder gasf¨ormige Phase. Von einer chemischen Substanz spricht man, wenn die Phase nicht spezifiziert wird. Ein chemisches Element ist eine Substanz, die innerhalb der betrachteten Anwendung nicht weiter zerlegt werden kann, zum Beispiel eine Atomsorte. Ein chemisches System setzt sich zusammen aus • einer Liste verschiedener chemischer Spezies, • einer Liste der Elemente, aus denen die Spezies gebildet sind. Ein chemisches System wird durch eine geordnete Liste der Spezies und Elemente dargestellt. An der Molek¨ ulformel wird manchmal die Molek¨ ulstruktur und die Phase durch K¨ urzel in Klammern angegeben. Beispiel: Das System

(Na2 O(), NaOH(), NaCl(), H2 O()), (H, O, Na, Cl) besteht aus Natriumoxid, Natriumhydroxid, Natriumchlorid (Kochsalz) und Wasser. Der in Klammer angeh¨ angte Zusatz () bezeichnet die Phase fl¨ ussig“ ” (liquid) oder das Auftreten der Substanz als L¨ osung in einer Fl¨ ussigkeit. Im Folgenden lassen wir die Phase und die Molek¨ ulstruktur in der Notation weg. Wir betrachten ein chemisches System mit NS Spezies und NE Elementen, wobei die Spezies und Elemente durchnummeriert sind. Die Spezies lassen E sich dann durch einen Formelvektor a ∈ NN beschreiben, dessen i–te Kompo0 nente die Anzahl der Atome des i–ten Elementes in der Molek¨ ulformel angibt. Der Molek¨ ulvektor f¨ ur Na2 O im oben angegebenen System ist beispielsweise a = (0, 1, 2, 0) . Die Molek¨ ulvektoren kann man als Spalten in eine Matrix einsetzen und erh¨ alt dann die Formelmatrix A = a(1) , . . . , a(NS ) ∈ RNE ,NS ; dabei ist a(j) der Formelvektor der j–ten chemischen Spezies. F¨ ur das obige Beispiel ist ⎛ ⎞ 0102 ⎜1 1 0 1⎟ E NS ⎜ ⎟ A = (aij )N i=1 j=1 = ⎝2 1 1 0⎠ . 0010 Die Menge einer chemischen Spezies wird typischerweise in Mol angegeben. Die Zusammensetzung eines chemischen Systems wird beschrieben durch einen Element–Mol–Vektor e = (e1 , ..., eNE ) , der die insgesamt vorhandenen Molzahlen aller Elemente enth¨ alt, und einen Spezies–Mol–Vektor ν = (ν1 , ..., νNS ) , der die Molzahlen der Spezies enth¨alt. Aus dem Spezies–Mol– Vektor ν kann man den Element–Mol–Vektor berechnen: In Spezies j tritt das Element i genau aij mal auf. Es gilt also

3.9 Chemische Reaktionen in Mehrspeziessystemen

ei =

NS

113

aij νj ,

j=1

oder, in Kurzform, e = Aν .

(3.23)

In einem abgeschlossenen System, bei dem kein Zufluss oder Abfluss von Elementen erfolgt, ist der Element–Mol–Vektor konstant, der Spezies–Mol– ¨ Vektor kann sich aber durch chemische Reaktionen ¨andern. F¨ ur die Anderungsrate ν˙ eines Spezies–Mol–Vektors gilt Aν˙ = e˙ = 0 , oder ν˙ ∈ Kern A .

(3.24)

Diese Relation beschreibt die Massenerhaltung der einzelnen Elemente w¨ahrend einer Reaktion; sie wird als Element–Masse–Einschr¨ ankung, oder kurz als EME, bezeichnet. F¨ ur jede Matrix A ∈ RNE ,NS gilt die orthogonale Zerlegung   RNS = Bild A + Kern A .



Es sei y(1) , .. . , y (NR ) eine Basis von Kern A, z (1) , . . . , z (NC ) eine Basis von Bild A , wobei NR = dim Kern A, NC = Rang A und   Y = y (1) , . . . , y (NR ) ∈ RNS ,NR ,

  Z = z (1) , . . . , z (NC ) ∈ RNS ,NC .

Man kann den Spezies–Mol–Vektor ν ∈ RNS dann eindeutig darstellen als ν = Y ξ + Zη mit ξ ∈ RNR , η ∈ RNC . Aus der Element–Masse–Einschr¨ ankung ν˙ ∈ Kern A folgt, dass sich η durch eine Reaktion nicht ¨ andern kann, es gilt also ν = Y ξ + Zη (0) mit einem Vektor η (0) ∈ RNC . Die Reaktion wird daher eindeutig durch den Vektor ξ ∈ RNR beschrieben. Die Komponenten von ξ heißen Reaktionskoordinaten. Die Dimension NR ist gerade die Anzahl der unabh¨ angigen Reaktionen. Die Komponenten von η heißen Reaktionsinvarianten. Definition 3.15. Die Matrix Y heißt st¨ ochiometrische Matrix, der Koeffizient yij von Y ist der st¨ ochiometrische Koeffizient der i–ten Spezies in der j–ten unabh¨angigen chemischen Reaktion. Die Spalten y (1) , . . . , y (NR ) von Y heißen Reaktionsvektoren. Der von den Spalten von Y aufgespannte Raum Kern A ist eindeutig, die Matrix Y selbst ist aber nicht eindeutig. Es gibt in der Regel eine Freiheit

114

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

bei der Auswahl der unabh¨ angigen Reaktionen. Man kann Y aus A mit dem Gauß–Verfahren bestimmen, indem man A auf die Form   " INC A " ∈ RNC ,NR mit Einheitsmatrix INC ∈ RNC ,NC und A 0 0 transformiert. Dies ist m¨ oglich, wenn man neben Zeilen auch Spalten von A vertauschen darf. Dabei ist zu beachten, dass die Vertauschung von Spalten die Reihenfolge der chemischen Spezies in der Liste der chemischen Spezies ¨andert; das Vertauschen von Zeilen hat keine Auswirkungen. Als st¨ochiometrische Matrix kann man dann   " −A Y = mit Einheitsmatrix INR ∈ RNR ,NR (3.25) INR w¨ahlen, denn

   " " INC A −A =0 0 0 INR

und Y hat maximalen Rang NR . Gleichung (3.25) beschreibt die kanonische Form der st¨ochiometrischen Matrix. Beispiel 1: Wir betrachten das chemische System {(H2 O, H, OH), (H, O)}. Es ist hier NS = 3, NE = 2, die Formelmatrix lautet   211 A= . 101 Gauß–Elimination liefert   &   ' 10 1 "= 1 ; " mit A = IA 0 1 −1 −1 dieses Ergebnis ist ohne Vertauschung von Spalten m¨oglich. Es ist also NC = 2, NR = 1, die st¨ ochiometrische Matrix besteht aus dem Reaktionsvektor   y  = Y  = −1 1 1 . Dies beschreibt die einzige m¨ ogliche Reaktion H + OH  H2 O . Beispiel 2: Wir betrachten das System {(Na2 O, CrCl3 , NaOH, NaCl, H2 O, Na2 CrO4 , Cl2 ), (H, O, Na, Cr, Cl)} aus Natriumoxid Na2 O, Chromchlorid CrCl3 , Natriumhydroxid NaOH, Natriumchlorid NaCl, Wasser, Natriumchromat Na2 CrO4 und Chlor. Es ist hier NS = 7, NE = 5,

3.9 Chemische Reaktionen in Mehrspeziessystemen

⎛

0 ⎜1 ⎜ A=⎜ ⎜2 ⎝0 0

0 0 0 1 3

1 1 1 0 0

0 0 1 0 1

2 1 0 0 0

0 4 2 1 0

115

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟. 0⎠ 2

Das Gauß–Verfahren liefert: ⎛ ⎞ 1 0 1 0 1 4 0 (2) ⎜0 1 0 0 0 1 0⎟ (4) ⎜ ⎟ ⎟ A→⎜ ⎜0 0 1 0 2 0 0⎟ (1) ⎝0 0 −1 1 −2 −6 0⎠ (3) − 2(2) 0 0 0 1 0 −3 2 (5) − 3(4) ⎛ ⎞ 1 0 0 0 −1 4 0 (1) − (3) ⎜0 1 0 0 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎟ →⎜ ⎜0 0 1 0 2 0 0⎟ ⎝0 0 0 1 0 −6 0⎠ (4) + (3) 0 0 0 0 0 3 2 (5) − (4)neu Nach Vertauschung der f¨ unften mit der siebten Spalte erh¨alt man das Ergebnis ⎛ ⎞ 1 0 0 0 0 4 −1 ⎜0 1 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 1 0 0 0 2 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝0 0 0 1 0 −6 0 ⎠ 0 0 0 0 1 3/2 0 Die entsprechende Sortierung der chemischen Spezies ist (Na2 O, CrCl3 , NaOH, NaCl, Cl2 , Na2 CrO4 , H2 O) . Es ist NC = 5, NR = 2; die kanonische Form der st¨ochiometrischen Matrix lautet ⎛ ⎞ −4 1 ⎜ −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −2⎟ ⎜ ⎟ 0⎟ Y =⎜ ⎜ 6 ⎟. ⎜−3/2 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 0⎠ 0 1 Die beiden Spaltenvektoren entsprechen den beiden unabh¨angigen Reaktionen 12 NaCl + 2 Na2 CrO4  8 Na2 O + 2 CrCl3 + 3 Cl2 , Na2 O + H2 O  2 NaOH . Dabei wurde die erste Spalte der st¨ ochiometrischen Matrix mit dem Faktor 2 skaliert, um statt des Eintrags 3/2 einen ganzzahligen Wert zu bekommen.

116

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

3.10 Gleichgewichtspunkte chemischer Reaktionen, das Massenwirkungsgesetz Der Gleichgewichtspunkt eines chemischen Systems ist diejenige Aufteilung der Substanzen, die man bei einer chemischen Reaktion unter gegebener Temperatur und gegebenem Druck f¨ ur große Zeiten erh¨alt. Dieser Gleichgewichtspunkt wird durch das Minimum der freien Enthalpie G = G(T, p, m) beschrieben, wobei der Vektor m die Massen der chemischen Substanzen enth¨alt. Diese Massen kann man aus den Molzahlen berechnen durch mj = mj (νj ) = Mj νj (0)

(0)

mit der Molmasse Mj = NA mj der Spezies j, wobei mj die Masse eines einzelnen Molek¨ uls und NA ≈ 6,02214179 · 1023 die Avogadro–Zahl ist. Die Molzahlen m¨ ussen folgende Nebenbedingungen erf¨ ullen: (i) νj ≥ 0 f¨ ur j = 1, . . . , NS . (ii) Die Element–Masse–Einschr¨ ankung ν − ν (0) ∈ Kern A; dabei ist A die (0) Formelmatrix und ν ein gegebener Molvektor, zum Beispiel mit den zu Beginn der Reaktion vorhandenen Molzahlen der chemischen Substanzen als Komponenten. Insgesamt erh¨alt man ein Optimierungsproblem mit Gleichungs- und Ungleichungsnebenbedingungen,

 

min G(T, p, m(ν)) νj ≥ 0 f¨ ur j = 1, . . . , NS , A ν − ν (0) = 0 . Wird die chemische Reaktion mit Hilfe von Reaktionskoordinaten ξ beschrieben, dann ist ν(ξ) = ν (0) + Y ξ mit der st¨ochiometrischen Matrix Y . Das zu l¨ osende Optimierungsproblem ist dann



min G(T, p, m(ξ)) νj (ξ) ≥ 0 f¨ ur j = 1, . . . , NS . Dies ist ein Optimierungsproblem mit Ungleichungsnebenbedingungen. Der Massevektor ist hier gegeben durch m(ξ) = M ν (0) + M Y ξ , wobei M = diag (M1 , . . . , MNS ) die Diagonalmatrix der Molmassen ist. Wir betrachten hier den einfachsten Fall, dass im Optimum keine der Ungleichungsnebenbedingungen aktiv ist, also das Argument ξ ∗ des Minimums νj (ξ ∗ ) > 0 f¨ ur j = 1, . . . , NS erf¨ ullt. Das Optimalit¨atskriterium ist dann

3.10 Gleichgewichtspunkte chemischer Reaktionen

117

S ∂ ∂G ∂mk (ξ) G(T, p, m(ξ)) = (T, p, m(ξ)) ∂ξj ∂mk ∂ξj

N

0=

k=1

=

NS

μk (T, p, m(ξ))Mk ykj

f¨ ur j = 1, . . . , NR ,

k=1

oder, in Vektorschreibweise, Y M μ = 0 .

(3.26)

Dies ist das Massenwirkungsgesetz. Das chemische Potential ist h¨ aufig in der Form (0)

μj (T, p, m) = μj (T, p) + rj T ln(aj (T, p, m))

(3.27)

(0)

gegeben mit dem chemischen Potential μj (T, p) eines Reinstoffes, der Gas(0)

konstanten rj = kB /mj und der Aktivit¨ at aj (T, p, m), siehe (3.22). Es ist dann (0) Mj μj (T, p, m) = Mj μj (T, p) + R T ln(aj ) mit der molaren Gaskonstanten R = NA kB = Mj rj . Anwendung der Exponentialfunktion auf das Massenwirkungsgesetz liefert  N  NS (0) S $ y M μ (T, p) kj k k ak (T, p, m)ykj = exp − =: Kj (T, p) . (3.28) RT k=1

k=1

Der Faktor Kj (T, p) ist unabh¨ angig von ξ und heißt Gleichgewichtskonstante. Mit der Standard–Differenz der freien Enthalpie (0)

ΔGj (T, p) =

NS

(0)

ykj Mk μk (T, p)

k=1

hat die Gleichgewichtskonstante die Form (0)

Kj (T, p) = e−ΔGj

(T,p)/(R T )

.

Im Fall einer idealen Mischung sind die Aktivit¨aten identisch mit den Molenbr¨ uchen νk Xk = , wobei ν = ν1 + · · · + νNS . ν Das Massenwirkungsgesetz lautet dann NS $ k=1

y

Xk kj = Kj (T, p) .

118

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Dabei h¨angt die linke Seite nur von der Zusammensetzung der Mischung ab, die rechte Seite nur von Druck und Temperatur. Im Fall einer Mischung idealer Gase gilt zus¨ atzlich (3.20) & & '  '   (0) Mk μk (T, p) = Mk zk2+2 rk T 1 − ln TT0 + rk T ln pp0 + αk T + βk      = zk2+2 R T 1 − ln TT0 + R T ln pp0 + Mk (αk T + βk ) , wobei zk die Anzahl der Freiheitsgrade eines Molek¨ uls der Substanz k ist und αk und βk Konstanten sind. Die Konstante βk ist in den bisherigen Formeln des chemischen Potentials nicht aufgetreten. Bei chemischen Reaktionen ist es jedoch notwendig, chemische Bindungsenergien in der inneren Energie zu ber¨ ucksichtigen. Dies f¨ uhrt zur modifizierten Formel der inneren Energie z N kB T + N β 2

U=

f¨ ur ein ideales Gas, wobei β gerade die chemische Bindungsenergie beschreibt.  (0) in der Formel des Dadurch erh¨alt man eine zus¨ atzliche Konstante β = β/m chemischen Potentials. Die Gleichgewichtskonstante Kj (T, p) ist dann  −

Kj (T, p) = exp

NS

ykj

z

k +2



2

1 − ln

 T  T0

k=1

−

1 R

NS



Mk ykj αk +

βk T



+ ln



p p0





k=1 (0)

= Kj (T ) p−Y j mit der Spaltensumme Y j =

ykj und der temperaturabh¨angigen Konstan-

k=1

ten  (0) Kj (T )

N S

=

Y p0 j

exp −

NS

ykj

z

k +2

2

   1 − ln TT0 −

1 R

k=1

NS



Mk ykj αk +

βk T



 .

k=1

Das Massenwirkungsgesetz hat dann die Form NS & $ νk 'ykj k=1

ν

(0)

= Kj (T ) p−Y j .

(0)

Der Verlauf von Kj (T ) wird in der Regel durch Messungen bestimmt. ν

Anstelle der Molzahlen werden oft auch die molaren Konzentrationen cj = Vj verwendet, wobei V das Volumen der Gasmischung ist. Der Molenbruch ist ν dann Xj = νj = cj Vν und f¨ ur eine Mischung idealer Gase folgt

3.10 Gleichgewichtspunkte chemischer Reaktionen NS & $ νk 'ykj k=1

ν

=



NS $

y ckkj

k=1

V ν

Y j

119

(0)

= Kj (T ) p−Y j .

Mit der Zustandsgleichung pV = N kB T = νR T folgt NS $

y  (0) (T ) mit K  (0) (T ) = ckkj = K j j

k=1

(0)

Kj

(RT )Y j

.

 j hier h¨ Die Gleichgewichtskonstante K angt nicht mehr vom Druck ab. Wenn die st¨ochiometrische Matrix in der kanonischen Form   " −A Y = I gegeben ist, dann kann man das Massenwirkungsgesetz umschreiben in μNC +j =

NC

" akj

k=1

Mk μk f¨ ur j = 1, . . . , NR MNC +j

im allgemeinen Fall, oder aNC +j = Kj (T, p)

NC $

(ak (T, p, m))"akj ,

j = 1, . . . , NR

k=1

f¨ ur die Darstellung (3.28), oder XNC +j = Kj (T, p)

NC $

a "

Xk kj ,

j = 1, . . . , NR

k=1

im Fall einer idealen Mischung, oder  (0) (T ) cNC +j = K j

NC $

" a

ckkj ,

j = 1, . . . , NR

k=1

im Fall einer Mischung idealer Gase. Beispiel: Ammoniaksynthese Wir untersuchen die Reaktion 3 H2 + N2  2 NH3 . Zu Beginn der Reaktion liegen 3 Mol H2 , 1 Mol N2 und kein NH3 vor. Wir benutzen die Beziehungen f¨ ur ideale Gase. Das chemische System ist

120

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik



(H2 , N2 , NH3 ); (H, N) . Die zugeh¨orige Formelmatrix lautet A=

  203 , 021

nach Gauß–Elimination erh¨ alt man   1 0 3/2 , 0 1 1/2 die st¨ochiometrische Matrix ist demnach ⎛ ⎞ −3/2 Y = ⎝−1/2⎠ . 1 Aus der Element–Masse–Einschr¨ ankung ⎧⎛ ⎞⎫ ⎛ ⎞ 3 ⎨ −3/2 ⎬ ν − ν (0) ∈ Kern A = span ⎝−1/2⎠ mit ν (0) = ⎝1⎠ ⎩ ⎭ 1 0 folgt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ν1 − 3 −3/2 ⎝ν2 − 1⎠ = λ ⎝−1/2⎠ , ν3 1

oder nach Elimination von λ ν1 + 32 ν3 = 3 , ν2 + 12 ν3 = 1 . Das Massenwirkungsgesetz lautet X3 3/2 1/2 X1 X2

= K(T, p)

mit Xj = νj /ν, ν = ν1 + ν2 + ν3 und der Gleichgewichtskonstanten K(T, p) = K0 (T ) p . Dies l¨aßt sich umformen in ν13 ν2 = (K0 (T ))−2 p−2 . ν32 ν 2 Wenn man alle Molzahlen in ν3 ausdr¨ uckt, kann man dies umschreiben zu

3.11 Kinetische Reaktionen

121

33 (2 − ν3 )4 = (K0 (T ))−2 p−2 . 24 ν32 (4 − ν3 )2 Wir betrachten nun bei konstanter Temperatur T die beiden Grenzf¨alle f¨ ur großen“ und kleinen“ Druck p. ” ” Im Grenzfall p → 0 lautet die Gleichgewichtsbedingung ν32 (4 − ν3 )2 = 0 , also ν3 = 0 oder ν3 = 4. Die L¨ osung ν3 = 4 ist hier nicht zul¨assig, da dies zu negativen Molzahlen ν1 = 3 − 32 ν3 und ν2 = 1 − 12 ν3 f¨ uhren w¨ urde. Die richtige L¨osung ist also ν3 = 0, ν1 = 3 und ν2 = 1, es wird also kein Ammoniak gebildet. Im anderen Grenzfall p → +∞ wird die Gleichgewichtsbedingung zu (2 − ν3 )4 = 0 , die L¨osung ist ν3 = 2, ν1 = ν2 = 0; es liegt also nur noch Ammoniak vor.

3.11 Kinetische Reaktionen Die Beschreibung von Reaktionen durch das Massenwirkungsgesetz ist nur sinnvoll, wenn die Reaktion sehr schnell abl¨ auft, so dass das Gleichgewicht bei ¨ Anderungen der ¨ außeren Bedingungen, insbesondere der Temperatur und des Druckes, deutlich schneller erreicht wird, als sich die ¨außeren Bedingungen andern. Langsam ablaufende Reaktionen werden als kinetische Reaktionen ¨ ¨ bezeichnet. Die Anderung der Molzahlen wird in der Regel durch gew¨ ohnliche Differentialgleichungen modelliert: j (T, p, ν) f¨ ν˙ j = R ur j = 1, . . . , NS .

(3.29)

j wird in der Praxis aus experimentellen DaDie genaue Form der Funktion R ten extrapoliert. Wir k¨ onnen jedoch aufgrund der Ergebnisse der Abschnitte  formulieren: 3.9 und 3.10 folgende notwendige Bedingungen f¨ ur R j (T, p, ν) ≥ 0 gelten, da sonst im weiteren Verlauf der (i) F¨ ur νj = 0 muss R Reaktion die Bedingung νj ≥ 0 verletzt w¨ urde.  (ii) Wegen ν˙ ∈ Kern A = Bild Y muss R(T, p, ν) = Y R(T, p, ν) mit R(T, p, ν) ∈ RNR gelten. j (T, p, ν) = 0 (iii) Ist (T, p, ν) bereits ein Gleichgewichtspunkt, dann muss R gelten. (iv) Die Evolution von ν bei konstanten T und p darf die freie Enthalpie nicht vergr¨oßern,  d  G T, p, m(ν(t)) ≤ 0 f¨ ur feste T, p. dt

122

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

Forderung (iv) wird durch die Vorstellung begr¨ undet, dass auch eine kinetische Reaktion das betrachtete Reaktionssystem in Richtung eines Gleichgewichtspunktes treiben wird; nur geschieht dies nicht schnell genug, um diesen sofort zu erreichen. Wir verlangen deshalb nicht, dass die freie Enthalpie minimiert wird, wohl aber, dass sie bei konstanten ¨ außeren Bedingungen nicht vergr¨oßert wird. Anstelle der Formulierung (3.29) kann man auch die st¨ ochiometrische Formulierung mit der Darstellung ν = ν(ξ) = ν (0) + Y ξ verwenden. Man erh¨ alt dann das System gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen ξ˙j = Rj (T, p, ξ) f¨ ur j = 1, . . . , NR mit den Reaktionskoordinaten als Variablen. Hier ist Bedingung (ii) automatisch erf¨ ullt. Wir diskutieren nun m¨ ogliche Ans¨ atze f¨ ur die Funktionen Rj (T, p, ξ) im Fall, dass keine Nebenbedingungen aktiv sind, also νj (ξ) > 0 f¨ ur j = 1, . . . , NS gilt. Diese Ans¨atze sind so konstruiert, dass sie die Bedingungen (ii), (iii) und (iv) erf¨ ullen.  a) R(T, p, ξ) = −K ∇ξ G(T, p, m ξ)) mit einer positiv definiten Matrix K ∈ RNR ,NR . Diese Matrix kann auch von T , p und ξ abh¨angen. Diese Form von R erf¨ ullt die Bedingungen (iii) und (iv), denn d G(T, p, m(ξ(t))) = ∇ξ G(· · · ) · ξ˙ = −K∇ξ G(· · · ) · ∇ξ G(· · · ) ≤ 0 , dt und im Optimum gilt ∇ξ G(T, p, m(ξ)) = 0. Die partielle Ableitung Aj := −

 ∂ G(T, p, m ξ)) ∂ξj

heißt Affinit¨ at der j–ten Reaktion. Die Affinit¨at zeigt an, wie sich die freie Enthalpie durch den Ablauf der j–ten Reaktion ¨andert, und ist deshalb ein Maß daf¨ ur, in welche Richtung und mit welcher Geschwindigkeit diese Reaktion unter den gegebenen ¨ außeren Bedingungen abl¨auft. b) In der Literatur findet man h¨ aufig Modelle, die direkt aus dem Massenwirkungsgesetz NS $ y  (0) (T ) c j = K j

=1

f¨ ur ideale Gase abgeleitet werden. Man sortiert dazu die Eintr¨age der + st¨ochiometrischen Matrix nach positiven und negativen Eintr¨agen, yij = − max{yij , 0}, yij = − min{yij , 0}. Eine zum Massenwirkungsgesetz passende Reaktionskinetik ist dann

3.11 Kinetische Reaktionen

Rj (T, p, c) = kjf (T, p)

NS $

y−

c j − kjb (T, p)

=1

NS $

y+

c j .

123

(3.30)

=1

Die Koeffizienten kjf (T, p) und kjb (T, p) beschreiben die Raten der beiden Richtungen der Reaktion. Sie m¨ ussen die Bedingung

kjf (T,p) kjb (T,p)

 (0) (T ) = K j

erf¨ ullen, damit man im station¨ aren Grenzfall Rj (T, p, c) = 0 wieder das Massenwirkungsgesetz bekommt. F¨ ur dieses Gesetz gilt ebenfalls (iii) und (iv), wie in Aufgabe 3.16 gezeigt wird. Falls f¨ ur die betrachtete Variable ξ Nebenbedingungen aktiv sind, also νj (ξ) = 0 f¨ ur mindestens ein j ∈ {1, . . . , NS } gilt, dann muss die Bedingung ν˙ j ≥ 0 sichergestellt werden. Dies kann geschehen, indem man den Vektor R der Reaktionsraten zun¨ achst durch eines der beiden Modelle a) oder b) ausrechnet und dann das Ergebnis auf den Raum der zul¨ assigen Reaktionsraten

  r ∈ RNR (Y r)j ≥ 0 f¨ ur j ∈ IA ξ  

projiziert. Mit IA (ξ) = j ∈ {1, . . . , NS } | νj ξ = 0 wird dabei die Indexmenge der aktiven Nebenbedingungen bezeichnet. Die Realisierung dieser Projektion f¨ uhrt auf ein quadratisches Optimierungsproblem, auf das wir hier jedoch nicht n¨aher eingehen werden. Kopplung von kinetischen Reaktionen und Gleichgewichtsreaktionen In komplizierteren chemischen Systemen laufen oft kinetische Reaktionen und Gleichgewichtsreaktionen parallel ab. Man muss dann die Beschreibungen der Gleichgewichtsreaktionen durch Optimierungsprobleme und der kinetischen Reaktionen durch gew¨ ohnliche Differentialgleichungen koppeln. Dazu spaltet man den Vektor ξ der Reaktionskoordinaten und die st¨ochiometrische Matrix Y auf in Anteile der kinetischen Reaktionen und Anteile der Gleichgewichtsreaktionen:  K   ξ ξ= , Y = YK YG ξG K

G

K

G

mit ξ K ∈ RNR , ξ G ∈ RNR , Y K ∈ RNS ,NR , Y G ∈ RNS ,NR . Dabei bezeichnet der obere Index K den Anteil der kinetischen Reaktionen, G den Anteil der Gleichgewichtsreaktionen, NRK und NRG sind die Anzahl der kinetischen Reaktionen beziehungsweise der Gleichgewichtsreaktionen. Es folgt dann Y ξ = Y K ξK + Y GξG . F¨ ur die kinetischen Reaktionen gilt   ξ˙K = RK T, p, ξ K , ξ G

(3.31)

124

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

  mit einem Vektor RK T, p, ξ K , ξ G der Reaktionsraten. Die Gleichgewichtsreaktionen werden durch das Optimierungsproblem      ξ G = arg min G T, p, m ξ K , ξ G | νj ξ K , ξ G ≥ 0 (3.32)

f¨ ur j = 1, . . . , NS     beschrieben. Dabei ist m ξ K , ξ G = M ν (0) + Y K ξ K + Y G ξ G . Wenn im Optimum keine der Nebenbedingungen aktiv ist, dann folgt aus (3.32)    YG M μ T, p, m ξ K , ξ G = 0 . (3.33) Die Kopplung von (3.31) mit (3.33) ist dann ein Algebro–Differentialgleichungssystem. Im einfachsten Fall hat man eine Mischung idealer Gase und im Optimum der Gleichgewichtsreaktionen sind die Nebenbedingungen nicht aktiv. Die Reaktionskinetik (3.30) mit den molaren Konzentrationen c = ν /V liefert dann ξ˙jK = kjf

NS $

y−

c j − kjb

=1

NS $

y+

c j ,

j = 1, . . . , NRK

(3.34)

=1

mit den Reaktionskoeffizienten kjf = kjf (T, p) und kjb = kjb (T, p). Das Massenwirkungsgesetz (3.33) hat die Form NS $

y  (0) (T ) , c j = K j

j = NRK + 1, . . . , NRK + NRG

(3.35)

=1

 (0) (T ) = mit der Gleichgewichtskonstanten K j

kjf (T,p) . kjb (T,p)

3.12 Literaturhinweise Die Darstellung dieses Kapitels orientiert sich zu großen Teilen an ausgew¨ahlten Abschnitten aus [94]; die Abschnitte 3.9 und 3.11 auch an [104]. Zur weiteren Vertiefung sei neben dem sehr empfehlenswerten Buch [94] mit vielen interessanten historischen Anmerkungen auch auf [77], [97], [117] sowie, speziell zur Thermodynamik von Mischungen, auf [1] verwiesen.

3.13 Aufgaben Aufgabe 3.1. Ein ideales Gas aus N1 Teilchen der Masse mA mit mittlerer kinetischer Energie u1 = 12 mA |v1 |2 der Teilchen und ein ideales Gas aus N2

3.13 Aufgaben

125

Teilchen derselben Substanz mit mittlerer kinetischer Energie u2 = 12 mA |v2 |2 werden in einem Beh¨ alter zusammengebracht. Dabei bezeichne |vj |2 jeweils den Mittelwert des Quadrates des Betrages der Geschwindigkeit der Teilchen. Vor dem Zusammenf¨ ugen sei die Verteilung der Geschwindigkeit jeweils durch das Maxwell–Boltzmann–Gesetz gegeben. a) Berechnen Sie die Geschwindigkeitsverteilung unter der Annahme, dass alle Teilchen ihre Geschwindigkeit beibehalten. b) Ermitteln Sie die Geschwindigkeitsverteilung unter der Annahme, dass nach dem Zusammenf¨ ugen eine Maxwell–Boltzmann–Verteilung vorliegt und die gesamte innere Energie sich durch das Zusammenf¨ ugen nicht ¨andert. c) Wie erkl¨aren Sie sich den offensichtlichen Unterschied zwischen beiden Verteilungen? Welche der Verteilungen ist die Richtige? Aufgabe 3.2. In einem zylinderf¨ ormigen Kolben mit Querschnittsfl¨ache 0,1 m2 befinde sich ein ideales Gas. Beim Druck von p1 = 105 N/m2 (also 1 bar) und der Temperatur 27◦ C habe der Kolben die H¨ohe 50 cm. Auf den Stempel werde nun zus¨ atzlich zum Luftdruck p1 langsam eine Kraft von 10 000 N aufgebracht. Wie stark wird der Kolben komprimiert, wenn er w¨armeisoliert ist, und um wieviel Grad erh¨ oht sich dabei die Temperatur?

Hinweis: Die Gleichungen f¨ ur ein ideales Gas gelten f¨ ur die absolute Temperatur, die in Kelvin (K) gemessen wird. Dabei entspricht 0◦ C etwa 273 K. Aufgabe 3.3. Wir betrachten die Gleichung n

yj (x(t)) x˙ j (t) = 0

(3.36)

j=1

mit gegebenen Funktionen yj : Rn → R und gesuchten Funktionen xj : R → R, j = 1, . . . , n.

126

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

a) Nehmen Sie an, dass das Vektorfeld y(x) = (yj (x))nj=1 ein Potential ϕ hat und konstruieren Sie daraus eine Darstellung der L¨osungen von (3.36). b) Finden Sie eine L¨ osungsdarstellung f¨ ur den Fall, dass y(x) kein Potential hat, aber einen integrierenden Faktor λ = 0 mit Potential ϕ von λv. c) Finden Sie L¨osungen zu den Gleichungen (i) 2 x(t) y(t) x(t) ˙ + x2 (t) y(t) ˙ = 0, (ii) 2 x(t) y(t) x(t) ˙ + y(t) ˙ = 0, (iii) y(t) cos x(t) x(t) ˙ + 2 sin x(t) y(t) ˙ = 0. Aufgabe 3.4. Der im abgebildeten Diagramm skizzierte Kreisprozess ist eine N¨aherung f¨ ur den in einem Ottomotor ablaufenden thermodynamischen Prozess. Die Linien 1 und 3 sind adiabatisch, die Linien 2 und 4 isochor. Schritt 1 entspricht der Verdichtung, Schritt 2 der Verbrennung am oberen Totpunkt des Kolbens, Schritt 3 der Expansion und Schritt 4 dem Auslass der Abgase am unteren Totpunkt des Kolbens. p 2 3 4 1

V1

V2

V

Bestimmen Sie f¨ ur ein ideales Gas die in jedem Prozessschritt u ¨bertragene W¨ armemenge und die geleistete Arbeit und geben Sie den Wirkungsgrad an. Zeigen Sie, dass der Wirkungsgrad nur vom Verdichtungsverh¨ altnis V1 /V2 abh¨angt. Aufgabe 3.5. Im abgebildeten Diagramm ist eine N¨aherung f¨ ur den in einem Dieselmotor ablaufenden Kreisprozess skizziert. Der wesentliche Unterschied zum Ottomotor ist die Einspritzung des Kraftstoffes nach der Verdichtung, die etwas Zeit in Anspruch nimmt. W¨ ahrend der Einspritzung und Verbrennung bewegt sich der Kolben, so dass man hier die Verbrennungsphase als isobar (und nicht als isochor wie beim Ottomotor) annimmt. Der Kreisprozess besteht also aus einem isobaren, einem isochoren und zwei adiabatischen Schritten. Bestimmen Sie f¨ ur ein ideales Gas die in jedem Prozessschritt u ¨bertragene W¨armemenge und geleistete Arbeit und geben Sie den Wirkungsgrad in Abh¨angigkeit der drei Volumina V1 , V2 und V3 an.

3.13 Aufgaben

127

p

V1 V3

V2

V

Aufgabe 3.6. Berechnen Sie die Legendre–Transformation folgender Funktionen. a) f : R → R, f (x) = 12 ax2 + bx + c mit a, b, c ∈ R, a > 0. b) f : Rn → Rn , f (x) = 12 x Ax + b x + c, wobei A ∈ Rn,n symmetrisch und positiv definit ist und b ∈ Rn , c ∈ R. c) f : R+ → R, f (x) = x ln x, d) f : R2 → R, f (x, y) = x ey . Aufgabe 3.7. Eine Funktion f : Rn → R ist konvex, wenn f¨ ur alle x, y ∈ Rn und alle λ ∈ (0, 1) f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) gilt. Zeigen Sie: a) F¨ ur eine stetig differenzierbare Funktion f : Rn → R sind folgende drei Aussagen ¨aquivalent: (i) f ist konvex, (ii) f (y) − f (x) ≥ ∇f (x) · (y − x) f¨ ur alle x, y ∈ Rn , (iii) (∇f (x) − ∇f (y)) · (x − y) ≥ 0 f¨ ur alle x, y ∈ Rn . b) Ist f : Rn → R stetig differenzierbar und konvex, so stimmt die Legendre– Transformierte f ∗ von f auf ihrem Definitionsbereich u ¨berein mit der Funktion   f(y) = sup x · y − f (x) . x∈Rn

c) Die Legendre–Transformierte im Sinne von b) einer konvexen Funktion f : Rn → R ist konvex. Aufgabe 3.8. (Spezifische W¨ arme) Wenn man eine Substanz der Masse m erhitzt, dann ist die dazu notwendige W¨ armemenge Q bei idealen Gasen proportional zur Temperaturdifferenz, Q = c m (T2 − T1 ) . Die Proportionalit¨ atskonstante c wird als spezifische W¨ arme bezeichnet.

128

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

a) Berechnen Sie f¨ ur ein ideales Gas die spezifische W¨arme c = cV , wenn w¨ahrend der Erw¨ armung das Volumen konstant bleibt. b) Bestimmen Sie die spezifische W¨ arme c = cp , wenn der Druck konstant bleibt. c) Zeigen Sie, dass die notwendige Zufuhr von W¨arme bei konstantem Druck ¨ identisch ist zur Anderung eines der thermodynamischen Potentiale (freie Energie, Enthalpie, freie Enthalpie). Aufgabe 3.9. Leiten Sie aus der Gibbsschen Formel dS =

1 p dU + dV T T

und der Annahme, dass die Abbildungen (U, V ) → S(U, V ), (T, V ) → U (T, V ) und (T, V ) → p(T, V ) zweimal stetig differenzierbar sind, die Clapeyronsche Formel ∂U (T, V ) ∂p(T, V ) = −p + T ∂V ∂T her. 2 Hinweis: Bestimmen Sie zun¨ achst die zweiten Ableitungen ∂T∂ ∂V S(U (T, V ), V ) 2 und ∂V∂ ∂T S(U(T, V ), V ). Aufgabe 3.10. Die Zustandsgleichung eines van–der–Waals–Gases ist p=

N kB T aN 2 − 2 . V − Nb V

Dabei beschreibt b das Eigenvolumen der Gasmolek¨ ule und a die Reduktion des Druckes durch Anziehungskr¨ afte der Molek¨ ule. Wir betrachten ein van– der–Waals–Gas, dessen spezifische W¨ arme bei konstantem Volumen gleich cV =

3 kB 2 m0

ist, wobei m0 die Masse eines einzelnen Gasmolek¨ uls ist. a) Zeigen Sie, dass die innere Energie gegeben ist durch U (T, V ) =

3 aN 2 N kB T − . 2 V

b) Berechnen Sie die Entropie des Gases. Aufgabe 3.11. (Osmose) Es seien zwei thermodynamische Teilsysteme I und II gegeben, die durch eine semipermeable Membran getrennt sind. Die Membran sei durchl¨assig

3.13 Aufgaben

129

f¨ ur eine Substanz A und undurchl¨ assig f¨ ur eine Substanz B. In Teilsystem I befinde sich eine Mischung mit Massen mIA der Substanz A und mB = mIB der Substanz B, in Teilsystem II sei nur die Substanz A mit Masse mII A vorhanden. Bekannt seien die Gesamtmassen mA = mIA + mII A und mB , die Volumina V I und V II der Teilsysteme und die Temperatur T . a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase und der Forderung μIA = μII an das chemische Potential der Komponente A die A Aufteilung der Masse mA auf die beiden Teilsysteme I und II sowie die (unterschiedlichen!) Dr¨ ucke pI und pII in den Teilsystemen. b) Zeigen Sie, dass der Druckunterschied pI −pII gleich dem Partialdruck der Komponente B in Teilsystem I auf die Membran ist. Benutzen Sie zur L¨ osung der Aufgabe die Beziehungen f¨ ur Mischungen idealer Gase. Aufgabe 3.12. Bestimmen Sie f¨ ur folgende chemische Reaktionssysteme jeweils eine st¨ochiometrische Matrix und den zugeh¨origen Satz unabh¨angiger chemischer Reaktionen:

a) (CO2 , H2 O, H2 CO3 ), (C, H, O)

b) (CO2 , O2 , H2 O, C6 H12 O6 , C57 H104 O6 ), (C, H, O)

c) (N2 , O2 , H2 O, NO, NO2 , NH3 , HNO3 ), (H, N, O) Erl¨auterung: CO2 — Kohlendioxid, H2 O — Wasser, H2 CO3 — Kohlens¨aure, O2 — Sauerstoff, C6 H12 O6 — Glukose (ein Kohlenhydrat), C57 H104 O6 — Triolein (ein biologisches Fett), N2 — Stickstoff, NO — Stickstoffmonoxid, NO2 — Stickstoffdioxid, NH3 — Ammoniak, HNO3 — Salpeters¨aure. Aufgabe 3.13. Manche chemische Substanzen sind elektrisch geladen. Dies wird in chemischen Formeln durch hochgestellte − oder +–Zeichen angedeutet. Bei Reaktionssystemen mit solchen Substanzen kann es sinnvoll sein, ein Elektron e− zu den Elementen dazuzunehmen. Bestimmen Sie eine st¨ochiometrische Matrix und einen Satz unabh¨ angiger Reaktionen f¨ ur das System

− + − (CO2− 3 , HCO3 , H , H2 O), (C, H, O, e ) − + aus Carbonat (CO2− 3 ), Hydrogencarbonat (HCO3 ), Oxoniumionen (H ) und Wasser.

Aufgabe 3.14. Gegeben sei die chemische Reaktion 2 CO + O2 = 2 CO2 . Zu einem Anfangszeitpunkt mit gegebener Temperatur T0 und gegebenem Druck p0 seien 2 Mol CO, 1 Mol O2 und 2 Mol CO2 vorhanden.

130

3 Grundz¨ uge der Thermodynamik

a) Leiten Sie mit Hilfe des Massenwirkungsgesetzes und der Beziehungen f¨ ur ideale Gase eine Gleichung f¨ ur die Molzahl von CO2 in Abh¨angigkeit von Druck, Temperatur und der Gleichgewichtskonstanten K(T ) her. b) Bestimmen Sie die Grenzwerte dieser Molzahl f¨ ur sehr hohen Druck (p → +∞) und f¨ ur sehr niedrigen Druck (p → 0) bei festgehaltener Temperatur T. Aufgabe 3.15. Wir m¨ ochten den Gleichgewichtspunkt einer chemischen Reaktion im adiabatisch–isobaren Fall charakterisieren. a) Zeigen Sie, dass die Ableitung der Enthalpie nach den Massen der Komponenten auch hier das chemische Potential ergibt: ∂H(S, p, m) = μj (T (S, p, m), p, m) . ∂mj b) Formulieren Sie die Gleichgewichtsbedingung als Optimierungsproblem. c) Formulieren Sie die Gleichgewichtsbedingung unter der Annahme, dass keine Nebenbedingung aktiv ist, als L¨ osung eines nichtlinearen Gleichungssystems. Welchen Unterschied sehen sie im Vergleich zum Massenwirkungsgesetz aus Abschnitt 3.10 f¨ ur den isothermen, isobaren Fall? Aufgabe 3.16. F¨ ur ideale Gase kann man das kinetische Reaktionsgesetz ξ˙j = kjf (T, p)

NS $

y−

c j − kjb (T, p)

=1

NS $

y+

c j

=1

ν

die moV + − lare Konzentration von Spezies j, yij = max{yij , 0} und yij = − min{yij , 0} die positiven und negativen Anteile der st¨ ochiometrischen Matrix und die f k j (T, p) Koeffizienten kjf (T, p) und kjb (T, p) erf¨ ullen b = Kj (T ) mit der Gleichkj (T, p) gewichtskonstanten Kj (T ) aus der Formulierung formulieren. Dabei ist ξ der Vektor der Reaktionskoordinaten, c =

NS $

y

c j = Kj (T )

=1

des Massenwirkungsgesetzes. Zeigen Sie, dass f¨ ur das oben definierte Reaktionsgesetz die Bedingungen d G(T, p, m(ξ(t))) ≤ 0 und dt b) ∇ξ G(T, p, m(ξ)) = 0 ⇒ ξ˙ = 0 a)

3.13 Aufgaben

131

erf¨ ullt sind. & ' NS 1 Hinweis: Bestimmen Sie zun¨ achst exp RT

=1 y j M μ mit der Molmasse M und dem chemischen Potential μ der Spezies  sowie der molaren Gaskonstanten R und schauen Sie sich die Herleitung des Massenwirkungsgesetzes f¨ ur ideale Gase in den molaren Konzentrationen noch einmal an.

4 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

¨ Viele Naturgesetze dr¨ ucken die Anderung einer Gr¨oße als Folge der Wirkung ¨ anderer Gr¨oßen aus. So ist zum Beispiel die Anderung der Geschwindigkeit eines K¨orpers proportional zu der auf den K¨orper wirkenden Kraft, aus ¨ der Anderung eines elektrischen Feldes erh¨ alt man ein Magnetfeld, ein sich ¨ anderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld. Die Anderung einer Gr¨oße ¨ wird mathematisch durch Ableitungen ausgedr¨ uckt und deshalb f¨ uhren viele Naturgesetze auf Differentialgleichungen. Im einfachsten Fall, wenn die relevanten Gr¨oßen nur von einer Variablen abh¨ angen, hat man eine gew¨ohnliche Differentialgleichung, oft auch ein System gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen. In den Kapiteln 1 und 3 haben wir bereits einige Beispiele f¨ ur Modelle kennengelernt, die auf gew¨ ohnliche Differentialgleichungen f¨ uhren: Populationsmodelle, Modelle f¨ ur die Bewegung von K¨ orpern im Schwerefeld eines Planeten, und kinetische Reaktionen. Wir werden in diesem Kapitel weitere Differentialgleichungsmodelle kennenlernen und an Hand dieser Modelle wichtige qualitative Eigenschaften gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen studieren.

4.1 Eindimensionale Schwingungen Ein wichtiges Ph¨anomen, das durch gew¨ ohnliche Differentialgleichungen beschrieben wird, sind Schwingungen von elastisch verbundenen Massenpunkten. Der einfachste Fall ist ein an einer Feder befestigter Massenpunkt der Masse m, wie in Abbildung 4.1 dargestellt. Die Bewegung des Massenpunktes folgt aus dem Newtonschen Gesetz m¨ x=F,

(4.1)

wenn m die Masse, x = x(t) die Position des Massenpunktes zur Zeit t und F = F (t) die am Massenpunkt angreifende Kraft ist. Die Feder u ¨ bt eine Kraft auf den Massenpunkt aus, die von der Dehnung der Feder abh¨angt; im einfachsten Fall hat man einen linearen Zusammenhang C. Eck et al., Mathematische Modellierung, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-18424-6 4, 

134

4 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

Abb. 4.1. Eindimensionale Schwingung

FF = −kx

(4.2)

mit der Federkonstanten k. Das Minuszeichen hier bedeutet, dass die Kraft der Feder der Auslenkung entgegenwirkt. Weitere Kr¨afte k¨onnen durch Reibung hervorgerufen werden. Wir betrachten hier Reibungskr¨afte der Form FR = −β x˙ ,

(4.3)

die linear von der Geschwindigkeit abh¨ angen. Diese Beziehung erh¨alt man zum Beispiel aus dem Stokesschen Gesetz f¨ ur die Reibung einer Kugel in einer viskosen Fl¨ ussigkeit; die Konstante β ist dann gegeben durch β = 6πμr, wenn μ die dynamische Viskosit¨ at der Fl¨ ussigkeit und r der Radius der Kugel ist. Bei K¨orpern anderer Form muss man den Faktor 6πr durch einen anderen, von der Form und der Gr¨ oße des K¨ orpers abh¨angigen Faktor ersetzen. Das Stokessche Gesetz gilt f¨ ur große Viskosit¨ aten und kleine Geschwindigkeiten, wenn die viskose Reibung andere Effekte dominiert. Die Reibung an einem festen Untergrund wird durch (4.3) nicht richtig beschrieben. Ein sinnvolles Modell hierf¨ ur ist das Coulombsche Reibungsgesetz, x˙ f¨ ur x˙ = 0 , |x| ˙ |FR | ≤ cF FN f¨ ur x˙ = 0 .

FR = −cF FN

Hier ist cF der Reibungskoeffizient und FN die Kraft, mit der der K¨orper auf den Untergrund gedr¨ uckt wird. Die erste Zeile hier beschreibt die Gleitreibung, die Reibungskraft ist dann der Bewegungsrichtung entgegengesetzt, ihre St¨arke h¨angt aber nicht von der Geschwindigkeit der Bewegung ab. Die zweite Zeile modelliert die Haftreibung, der K¨ orper bewegt sich nicht, die durch Reibung verursachte Kraft kann eine beliebige Richtung haben, ihre St¨arke ist durch cF FN begrenzt. Das Coulombsche Reibungsgesetz ist nichtlinear und nicht glatt; es ist deshalb deutlich schwieriger zu analysieren als die hier betrachteten einfachen Schwingungen. Wir betrachten nun Schwingungen mit viskoser D¨ampfung nach (4.3) und m¨ ochten zus¨atzlich a afte zulassen, die auf das Feder–Masse–System ¨ußere Kr¨ einwirken, etwa durch Gravitation. Insgesamt erhalten wir dann F = FF + FR + f

(4.4)

mit ¨außerer Kraft f . Durch Kombination der Gleichungen (4.1), (4.2), (4.3) und (4.4) erh¨alt man folgende Differentialgleichung f¨ ur die Auslenkung x der Feder:

4.1 Eindimensionale Schwingungen

x ¨(t) + 2a x(t) ˙ + b x(t) = g(t) .

135

(4.5)

Dabei ist b = k/m, a = β/(2m) und g(t) = f (t)/m. Im allgemeinsten Fall ist x(t) eine vektorwertige Variable, da die Position im Raum ein Vektor ist. Wenn die Feder, die ¨ außere Kraft, die Anfangsauslenkung und die Anfangsgeschwindigkeit jedoch dieselbe Richtung haben, dann wird x(t) f¨ ur alle Zeiten diese Richtung beibehalten, und man kann x(t) als skalare Variable interpretieren. Ein anderes wichtiges Anwendungsbeispiel f¨ ur Gleichung (4.4) sind elektromagnetische Schwingungen. Wir betrachten einen Schwingkreis, der aus einem Kondensator der Kapazit¨ at C, einer Spule der Induktivit¨at L und einem ohmschen Widerstand R zusammengesetzt ist. Wie in Abschnitt 2.1 erl¨autert, gelten f¨ ur den Spannungsabfall UR am ohmschen Widerstand, UC am Kondensator, UL an der Spule und der Stromst¨ arke I die Beziehungen UR (t) = R I(t),

˙ . I(t) = C U˙ C (t) und UL (t) = L I(t)

(4.6)

Nach dem Kirchhoffschen Spannungsgesetz ist die Summe der Teilspannungen in einer geschlossenen Leiterschleife gleich Null. Wenn U0 die angelegte ¨außere Spannung bezeichnet, dann gilt UL (t) + UR (t) + UC (t) = U0 (t) . Ableiten nach der Zeit und Einsetzen der Beziehungen (4.6) liefert ¨ + R I(t) ˙ + 1 I(t) = U˙ 0 (t) . L I(t) C Bei bekanntem Verlauf der ¨ außeren Spannung U0 (t) hat diese Gleichung ebenfalls die Form (4.5), mit x(t) = I(t), a = R/(2L), b = 1/(LC) und f (t) = U˙ 0 (t)/L. Bei Gleichung (4.5) handelt es sich um eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Da die Technik zur L¨osung solcher Gleichungen im wesentlichen nicht von der Ordnung abh¨angt, betrachten wir eine Gleichung allgemeiner Ordnung n, x(n) (t) + an−1 x(n−1) (t) + · · · + a1 x (t) + a0 x(t) = f (t) mit Koeffizienten a0 , . . . , an−1 . Diese Gleichung schreiben wir abstrakt in der Form Lx = f, wobei Lx definiert ist durch Lx(t) = x

(n)

(t) +

n−1

a x( ) (t) .

(4.7)

=0

Wir interpretieren L als Abbildung, die eine n–fach stetig differenzierbare Funktion x auf die stetige Funktion Lx abbildet. Eine solche Abbildung, die

136

4 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

Funktionen mit Hilfe von Ableitungen auf andere Funktionen abbildet, wird als Differentialoperator bezeichnet. Als Ordnung des Differentialoperators bezeichnet man die h¨ ochste auftretende Ableitungsordnung. Als Definitionsmenge eines Differentialoperators der Ordnung n kann man zum Beispiel



C n (R) := f : R → R f (k) existiert und ist stetig f¨ ur k = 1, . . . , n w¨ahlen. Die Differentialgleichung (4.5) heißt linear, weil der zugeh¨orige Differentialoperator L linear ist, L(αx + βy) = α Lx + β Ly f¨ ur x, y ∈ C n (R) und α, β ∈ R. Aus dieser Eigenschaft resultieren zwei wichtige Folgerungen: • Sind x1 und x2 L¨ osungen von Lx = f , so ist die Differenz x1 − x2 eine L¨osung von Lx = 0. • Ist x1 eine L¨ osung von Lx = f und x0 eine L¨osung von Lx = 0, so ist x0 + x1 eine weitere L¨ osung von Lx = f . Ist xp eine beliebige L¨ osung von Lx = f , eine sogenannte Partikul¨ arl¨ osung, so k¨onnen wir die L¨ osungsmenge darstellen als L(f ) = xp + L(0) , wobei L(0) die L¨ osungsmenge der homogenen Gleichung Lx = 0 ist. Eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten kann mit dem Ansatz x(t) = eλt gel¨ ost werden, wobei λ ein zu bestimmender d λt

λt Parameter ist. Wegen dt e = λ e folgt  Leλt = pL (λ)eλt mit dem charakteristischen Polynom pL (λ) = λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 . Die homogene Gleichung Lx = 0 ist also erf¨ ullt, wenn λ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms pL ist. Im einfachsten Fall hat pL lauter verschiedene Nullstellen λ1 , . . . , λn ; wir erhalten dann n linear unabh¨angige L¨osungen xj (t) = eλj t .

4.1 Eindimensionale Schwingungen

137

Diese bilden eine Basis von L(0). Eine solche Basis heißt ein Fundamentalsystem. Falls λj echt komplex ist, also λj = μj +i ωj mit μj , ωj ∈ R, ωj = 0, und imagin¨arer Einheit i, dann ist xj ebenfalls komplex. Bei einer Differentialgleichung mit reellen Koeffizienten hat auch das charakteristische Polynom reelle Koeffizienten, und zu jeder komplexen Nullstelle λ = μ + iω gibt es eine dazu konjugiert komplexe Nullstelle μ − iω. Aus den beiden komplexen L¨osungen z1 (t) = e(μ+iω)t und z2 (t) = e(μ−iω)t kann man durch Linearkombination zwei linear unabh¨angige reelle L¨ osungen bestimmen, x1 (t) = 12 (z1 (t) + z2 (t)) = eμt cos(ωt) und x2 (t) =

1 2i (z1 (t)

− z2 (t)) = eμt sin(ωt) .

Anwendung auf alle Paare konjugiert komplexer L¨osungen liefert ein reelles Fundamentalsystem. Bei mehrfachen Nullstellen bekommt man u ¨ber den Exponentialansatz kein vollst¨andiges Fundamentalsystem, da es zu jeder mehrfachen Nullstelle λ nur eine L¨osung der Form eλt gibt. Um weitere L¨ osungen zu gewinnen, faktorisieren wir zun¨achst den Differentialoperator. Sind λ1 , . . . , λm alle Nullstellen von p und ist rj die Vielfachheit von λj , so gilt L=

m $ 

d dt

− λj

rj

.

j=1

In dieser Darstellung kann die Reihenfolge der Faktoren vertauscht werden. Um zum Eigenwert λ mit Vielfachheit r genau r verschiedene Fundamentall¨osungen zu gewinnen, betrachten wir die Gleichung d r − λ x(t) = 0 . (4.8) dt F¨ ur den L¨osungsansatz x(t) = c(t) eλt gilt offensichtlich

x (t) = c (t) eλt + λ c(t) eλt ,

oder anders ausgedr¨ uckt d dt

  d − λ c(t)eλt = eλt dt c(t) .

(4.9)

Aus (4.8) folgt deshalb die Gleichung c(r) (t) = 0 , und somit ist c ein Polynom vom Grad r − 1. Wir erhalten also zum Eigenwert λ die r Fundamentall¨ osungen eλt , t eλt , . . . , tr−1 eλt .

138

4 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

Wir wenden dies nun auf die Schwingungsgleichung (4.5) an. Dabei nehmen wir a, b ≥ 0 an, da dies bei den beschriebenen Anwendungen sinnvoll ist. Das charakteristische Polynom p(λ) = λ2 + 2aλ + b hat die beiden Nullstellen λ1/2 = −a ±



a2 − b .

Wir unterscheiden nun drei F¨ alle: Fall 1: b < a2 . In diesem Fall sind beide Nullstellen reell und negativ, und wir haben zwei L¨ osungen u1 (t) = eλ1 t und u2 (t) = eλ2 t . Jede andere L¨ osung ergibt sich als Linearkombination dieser beiden L¨osungen. Da λ1 , λ2 negativ sind, klingen beide L¨osungen f¨ ur t → +∞ ab. Die D¨ampfung ist hier so stark, dass es keine Schwingung gibt; das System kriecht“ nach einer Auslenkung langsam in die Ruhelage. Man spricht ” vom sogenannten Kriechfall. Fall 2: b > a2 . Wir haben dann zwei komplexe Eigenwerte λ1/2 = −a ± iω √ mit ω = b − a2 . Die zugeh¨ origen reellen L¨osungen sind x1 (t) = e−at cos(ωt) und x2 (t) = e−at sin(ωt) . Es handelt sich dabei um Schwingungen. Im Fall a = 0 bleibt die Amplitude der Schwingung konstant; die Schwingung ist dann unged¨ ampft. Im Fall a > 0 verringert sich die Amplitude mit zunehmender Zeit; es handelt sich dann um eine ged¨ ampfte Schwingung. Ursache der D¨ampfung ist die Reibung im mechanischen Feder–Masse System beziehungsweise der ohmsche Widerstand beim elektrischen Schwingkreis. Fall 3: b = a2 . In diesem Fall hat das charakteristische Polynom die doppelte Nullstelle λ = −a. Ein zugeh¨ origes Fundamentalsystem ist x1 (t) = e−at ,

x2 (t) = t e−at .

Es handelt sich hier um einen Grenzfall zwischen der Schwingung aus Fall 2 und der Kriechl¨ osung aus Fall 1. Beide Fundamentall¨osungen klingen f¨ ur t → +∞ ab, L¨ osung x2 (t) steigt jedoch f¨ ur kleine t zun¨achst an. Dies kann man als halbe Periode einer Schwingung interpretieren, die danach in eine Kriechl¨osung u osungen nennt man den aperiodischen ¨bergeht. Diese L¨ Grenzfall. Mit Hilfe der Fundamentall¨ osung kann man nun f¨ ur beliebige Anfangsdaten x(0) = x0 und x(0) ˙ = x1 die eindeutige L¨ osung der Differentialgleichung bestimmen. Im Fall x0 = 1 und x1 = 0, also einer Schwingung mit vorgegebener Anfangsauslenkung 1 und Anfangsgeschwindigkeit 0, erh¨alt man etwa

4.1 Eindimensionale Schwingungen

139

Abb. 4.2. Unged¨ ampfte Schwingung (−), ged¨ ampfte Schwingung (− − −) und aperiodischer Grenzfall (− · −·)

λ2 λ1 eλ1 t + eλ2 t f¨ ur b < a2 , λ2 − λ1 λ1 − λ2 & ' a x(t) = e−at cos(ωt) + sin(ωt) f¨ ur b > a2 und ω x(t) = (1 + at)e−at f¨ ur b = a2 . x(t) =

F¨ ur x0 = 0 und x1 = 1 hat man  λt  1 e 1 − eλ2 t f¨ ur b < a2 , λ1 − λ2 1 x(t) = e−at sin(ωt) f¨ ur b > a2 und ω x(t) = t e−at f¨ ur b = a2 . x(t) =

Dies sind sogenannte freie Schwingungen, die ausschließlich u ¨ber die Anfangsbedingungen generiert werden. Erzwungene Schwingungen Wir betrachten nun Schwingungen, die durch periodische Anregungen erzeugt werden. Das typische Beispiel hierf¨ ur ist ein elektrischer Schwingkreis, der an eine Wechselstromquelle angeschlossen ist; die Funktion f (t) hat dann die Form f (t) = c1 cos(ωt − ϕ) mit Kreisfrequenz ω und Phase ϕ. Wir untersuchen zun¨ achst den allgemeinen Fall Lx = eμt mit einem Differentialoperator L der Form (4.7) und einem komplexen Parameter μ. Man kann dann einen speziellen Ansatz in Form der rechten Seite versuchen,

140

4 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

x(t) = c eμt . Einsetzen in die Differentialgleichung liefert c p(μ) eμt = eμt mit dem charakteristischen Polynom p zu L. Falls μ keine Nullstelle von p ist, so erh¨alt man c = 1/p(μ) und damit die Partikul¨ arl¨ osung xp (t) =

1 μt e . p(μ)

Falls μ eine Nullstelle von p ist, also etwa p(λ) =

m *

(λ−λ )r gilt mit μ = λm ,

=1

dann kann man den Ansatz modifizieren zu x(t) = c(t) eμt . Mit Beziehung (4.9), angewendet f¨ ur λ = μ, folgt Lx =

m−1 $

d dt

− λ

 r  d dt

−μ

rm 

$  m−1 r  (r )  d c(t)eμt = c m (t)eμt . dt − λ

=1

=1

Man kann nun eine Partikul¨ arl¨ osung finden mit c(rm ) (t) =  c, also etwa c(t) =  c rm t , wobei c  berechnet wird aus rm ! m−1 $

d

− λ

dt

r  μt  ce  = eμt .

=1

Mit q(λ) :=

m−1 $

(λ − λ )r =

=1

folgt  c=

1 q(μ)

p(λ) (λ − λm )rm

und man erh¨ alt die Partikul¨ arl¨ osung xp (t) =

1 trm eμt . rm ! q(μ)

Wir wenden dies nun an auf die inhomogene Schwingungsgleichung (4.5) mit f (t) = eiσt . Dabei sei iσ ein rein imagin¨ arer Faktor. Sind λ1 und λ2 die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, so erh¨alt man im Fall iσ ∈ / {λ1 , λ2 } die Partikul¨arl¨osung xp (t) =

1 iσt 1 e = eiσt . p(iσ) (iσ − λ1 )(iσ − λ2 )

(4.10)

Dies entspricht einer Schwingung mit Kreisfrequenz ω = σ der Anregung und 1 1 komplexer Amplitude p(iσ) = (iσ−λ1 )(iσ−λ . 2)

4.1 Eindimensionale Schwingungen

141

Der Fall iσ ∈ {λ1 , λ2 } kann hier nur f¨ ur a = 0 auftreten, also bei Anwendungen ohne D¨ampfung.√Das charakteristische Polynom hat dann zwei komplexe Nullstellen λ1/2 = ± bi. Man erh¨ alt dann die Partikul¨arl¨osung 1 t eiσt . 2iσ Die Amplitude dieser L¨ osung divergiert f¨ ur t → +∞. Man spricht in diesem Fall von Resonanz : Die ¨ außere Anregung vergr¨oßert die Amplitude der Schwingung im Lauf der Zeit immer mehr. Resonanz in diesem engeren Sinn tritt nur bei unged¨ampften Schwingungen auf. Bei Schwingungen mit √ geringer D¨ ampfung, also bei kleinem a > 0 und λ1/2 = −a ± iω mit ω = b − a2 , kann man aus Formel (4.10) jedoch ebenfalls den Einfluss von Resonanz ablesen: Der Faktor 1/p(iσ) hat f¨ ur |σ| = ω den Wert 1/(a(a + 2iσ)), und f¨ ur kleines a wird der Betrag dieses Faktors sehr groß. Resonanzph¨anomene sind in vielen technischen Anwendungen sehr wichtig. Die Stabilit¨at mechanischer Strukturen bei dynamischen, also zeitlich ver¨ anderlichen, Belastungen h¨angt im wesentlichen davon ab, ob a ußere Lasten in Resonanz mit sogenannten ¨ Eigenschwingungen der mechanischen Struktur treten k¨onnen, und ob im Fall von Resonanz gen¨ ugend D¨ ampfung vorhanden ist, um die Zufuhr von Energie durch die ¨außere Anregung ausgleichen zu k¨onnen. Ganz besonders wichtig sind Resonanzph¨anomene in der Akustik, etwa bei der Vermeidung von L¨arm. xp (t) =

Wenn man f¨ ur eine reelle rechte Seite f (t) eine reelle L¨osung gewinnen m¨ochte, kann man das wieder durch Linearkombination komplexer L¨osungen erreichen. Um die L¨osung von (4.5) f¨ ur f (t) = cos(σt) zu ermitteln, stellt man f (t) dar als Linearkombination von f1 (t) = eiσt und f2 (t) = e−iσt ,   f (t) = 12 f1 (t) + f2 (t) . Sind x1 (t) und x2 (t) L¨ osungen zu f1 (t) und f2 (t), so ist x(t) = 12 (x1 (t) + x2 (t)) die L¨osung von (4.5) zu f (t) = cos(σt). Man erh¨alt damit die Partikul¨arl¨osung ⎧ 2 ⎨ (b − σ ) cos(σt) + 2aσ sin(σt) f¨ ur iσ ∈ / {λ1 , λ2 } , xp (t) = (b − σ 2 )2 + 4a2 σ 2 √ ⎩1 f¨ ur a = 0, |σ| = b . 2σ t sin(σt) M¨ochte man ein Anfangswertproblem l¨ osen, so muss man zu dieser Partikul¨arl¨osung eine L¨ osung der homogenen Schwingungsgleichung addieren, so dass die Summe die Anfangswerte erf¨ ullt. Damit kann man Einschwingvorg¨ ange studieren, also etwa den Spannungsverlauf in einem elektrischen Schwingkreis nach dem Einschalten der Wechselspannungsquelle. Energieerhaltung Wir betrachten die Differentialgleichung (4.5) in der dimensionsbehafteten Form

142

4 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

m¨ x + β x˙ + kx = f mit beliebiger zeitabh¨ angiger rechter Seite f . Diese Gleichung beschreibt einen schwingenden Massenpunkt mit Position x, R¨ uckstellkraft FF = −kx, angreifender ¨außerer Kraft f und viskoser D¨ ampfung“ durch die Kraft FR = −β x. ˙ ” Multiplikation der Gleichung mit x˙ und Integration bez¨ uglich der Zeit von t0 bis t1 liefert 1 k 1 k m x˙ 2 (t1 ) + x2 (t1 ) = m x˙ 2 (t0 ) + x2 (t0 ) 2 2 2 2  t1  t1 + f x˙ dt − β x˙ 2 (t) dt . t0

(4.11)

t0

Diese Gleichung beschreibt die Energiebilanz. Die im System enthaltene Energie besteht aus der kinetischen Energie T = 12 mx˙ 2 und der potentiellen Ener%t gie U = k2 x2 . Der Term t01 f x˙ dt beschreibt die dem System durch die ¨außere %t Kraft f zugef¨ uhrte Energie und t01 β x˙ 2 (t) dt ist die durch Reibung oder viskose D¨ampfung dissipierte“ Energie. Letztere wird in der Regel in W¨arme ” umgewandelt und verschwindet“ deswegen in einer rein mechanischen Ener” giebilanz. Wir k¨onnen die Energiebilanz leicht auf allgemeine, nichtlineare konstitutive Gesetze f¨ ur die R¨ uckstellkraft FF = FF (x) und die viskose D¨ampfung FR = FR (x) ˙ u bertragen. Dazu brauchen wir lediglich eine Stammfunktionen ¨ V von −FF . Diese Stammfunktion ist gerade die potentielle Energie. Weiterhin bezeichne T = 12 mx˙ 2 die kinetische Energie und Φ = Φ(x) ˙ = FR (x) ˙ x˙ eine Dissipationsfunktion. Aus der Gleichung m¨ x − FR (x) ˙ + V  (x) = f folgt durch Multiplikation mit x˙ und Integration bez¨ uglich der Zeit  t1   T (x(t ˙ 1 )) + V (x(t1 )) = T (x(t ˙ 0 )) + V (x(t0 )) + f x˙ + Φ(x) ˙ dt . t0

4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik Wir werden nun zwei wichtige verallgemeinerte Formulierungen der Grundgleichungen der Mechanik f¨ ur Systeme von Punktmassen kennenlernen. Als einfaches Beispiel betrachten wir zun¨ achst eine Schwingung ohne D¨ampfung, mit nichtlinearer R¨ uckstellkraft FR (x), die durch ein Potential V gegeben ist, FR (x) = −V  (x). Die zugeh¨ orige Differentialgleichung ist m¨ x = −V  (x) .

(4.12)

4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik

143

Die linke Seite hier kann dargestellt werden als Zeitableitung der Ableitung der kinetischen Energie T = T (x, x) ˙ = 12 mx˙ 2 nach der Geschwindigkeit x, ˙ m¨ x=

d ∂T . dt ∂ x˙

Dabei fassen wir x und x˙ als unabh¨ angige Variable auf und interpretieren sowohl T als auch V als Funktionen von x und x. ˙ Gleichung (4.12) hat dann die Form d ∂T ∂V =− . dt ∂ x˙ ∂x Da in diesem Beispiel T unabh¨ angig von x und V unabh¨angig von x˙ ist, kann man diese Gleichung mit Hilfe der Lagrangefunktion L = L(x, x) ˙ = T (x) ˙ − V (x) umformulieren zu

∂L d ∂L = . ∂x dt ∂ x˙ Dies ist die Grundgleichung der Lagrangeschen Formulierung der Mechanik f¨ ur einen Massenpunkt. Man kann dieses Prinzip leicht erweitern auf Systeme aus einer festen Anzahl von Massenpunkten. Um die Notation auch f¨ ur den Fall von mehr als einer Raumdimension einfach zu halten, fassen wir die Komponenten der Positionsvektoren aller Massenpunkte in einem einzigen Vektor x ∈ RN zusammen. Zur Komponente xj geh¨ ore die Masse mj . Sind xi und xj unterschiedliche Komponenten einer Position desselben Massenpunktes, so muss nat¨ urlich mi = mj gelten. Die kinetische Energie des Systems ist dann T (x, x) ˙ =

1 2

N

mj x˙ 2j .

j=1

F¨ ur die potentielle Energie lassen wir eine allgemeine Funktion V = V (x) zu; die j–te Komponente der auf das System wirkenden Kraft ist dann gegeben durch ∂V − . ∂xj Die zugeh¨orige Lagrangefunktion ist L(x, x) ˙ = T (x, x) ˙ − V (x, x) ˙ ∂V und die Bewegungsgleichung mj x ¨j = − ∂x f¨ ur die Komponente j ist, wie man j leicht nachpr¨ uft, identisch zu

∂L d ∂L = . ∂xj dt ∂ x˙ j

(4.13)

144

4 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

Wenn auf das System ¨ außere Kr¨ afte fext einwirken, dann treten diese als zus¨atzlicher Term auf der linken Seite von (4.13) auf, ∂L d ∂L + fext,j = . ∂xj dt ∂ x˙ j

(4.14)

Die a¨ußeren Kr¨afte d¨ urfen dabei von t, x, x˙ abh¨angen. Prinzipiell kann man auch die vom Potential V erzeugte Kraft −∇x V (x) als a¨ußere Kraft formulieren, diese tritt dann im Lagrange–Funktional nicht mehr auf und man erh¨alt die Gleichung ∂T ∂V d ∂T − + fext,j = . ∂xj ∂xj dt ∂ x˙ j Manchmal kann man die a ¨ußere Kraft auch in das Lagrangefunktional L mit integrieren, n¨amlich genau dann, wenn sich diese darstellen l¨aßt als fext,j = fext,j (t, x, x) ˙ =−

∂U d ∂U (t, x, x) ˙ + (t, x, x) ˙ ∂xj dt ∂ x˙ j

(4.15)

mit einem verallgemeinerten Potential U (t, x, x). ˙ In diesem Fall lautet das Lagrangefunktional L(t, x, x) ˙ = T (x) ˙ − V (x) − U (t, x, x). ˙ Der zus¨atzliche Term U liefert in Gleichung (4.13) wegen der Bedingung (4.15) gerade die externe Kraft fext,j auf der linken Seite. Bedingung (4.15) ist zum Beispiel erf¨ ullt f¨ ur eine nur von der Zeit abh¨ angige Kraft fext = f (t); das verallgemeinerte Potential ist dann U = U (t, x) = −f (t) · x. Ein etwas allgemeineres Beispiel ist eine von einem zeit- und ortsabh¨angigen verallgemeinerten ∂U Potential U = U (t, x) stammende Kraft fext,j (t, x) = − ∂x (t, x). j Gleichung (4.13) kann interpretiert werden als notwendiges Kriterium f¨ ur einen station¨aren Punkt des Optimierungsproblems +  t1

 

min L(t, x, x) ˙ dt x ∈ C 1 [t0 , t1 ], RN , x(t0 ) = x(0) , t0 (4.16) , (1) x(t1 ) = x mit festgehaltenen Anfangs- und Endpunkten x(0) und x(1) . Das Funktional % t1 x → t0 L(t, x, x) ˙ dt wird auch als Wirkung der durch x beschriebenen Bewegung bezeichnet. F¨ osung x von (4.16) und eine beliebige Variation  ur eine L¨ y ∈ C 1 [t0 , t1 ], RN mit y(t0 ) = y(t1 ) = 0 ist n¨amlich x + εy eine zul¨assige Vergleichsfunktion f¨ ur das Optimierungsproblem. Es muss daher gelten

4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik

 t1

d L(t, x + εy, x˙ + εy) ˙ dt

dε t0 ε=0   t1 N  ∂L ∂L = yj + y˙ j dt ∂xj ∂ x˙ j t0 j=1

145

0=

 =

N  t1

t0

j=1

∂L d ∂L − ∂xj dt ∂ x˙ j

(4.17)



yj dt ,

wobei im letzten Schritt eine partielle Integration f¨ ur den zweiten Summanden durchgef¨ uhrt wird. Gilt f¨ ur eine stetige Funktion f : [t0 , t1 ] → RN 

N t1 t0

fi (x) ϕi (x) dx = 0 f¨ ur alle

  ϕ ∈ C01 [t0 , t1 ], RN ,

i=1

so folgt f ≡ 0. Diese Aussage heißt Fundamentallemma der Variationsrechnung und wird in Aufgabe 4.19 bewiesen. Da die Funktionen yj bis auf die Randdaten beliebig gew¨ ahlt sind, folgen also die Lagrangeschen Gleichungen (4.13) aus (4.17). Es sei hier bemerkt, dass L¨ osungen von (4.13) im Allgemeinen nur kritische Punkte des Optimierungsproblems sind und nicht notwendigerweise ein Extremum realisieren. Die Formulierung der Bewegungsgleichung mechanischer Systeme als station¨ arer Punkt eines geeigneten Wirkungsfunktionals wird auch als Hamiltonsches Prinzip der station¨ aren Wirkung bezeichnet. Ein wesentlicher Vorteil der Lagrangeschen Formulierung besteht darin, dass die Gleichungen unabh¨ angig von der Auswahl sogenannter verallgemeinerter Koordinaten sind. Wir betrachten verallgemeinerte Koordinaten qj = q"j (x), j = 1, . . . , N und die zugeh¨orige Lagrangefunktion " q, q) L(t, ˙ . Dabei sei q" : RN → RN eine bijektive Abbildung, deren Ableitungsmatrix & 'N ∂ q"i " besteht wegen q˙ = Dx q" = ∂x invertierbar sei. Zwischen L und L j i,j=1

Dx q"(x)x˙ der Zusammenhang   " t, q"(x), Dx q"(x)x˙ . L(t, x, x) ˙ =L Das Optimierungsproblem l¨ asst sich in den verallgemeinerten Koordinaten schreiben als + t1 ,

 

1 N (0) (1) " min L(t, q, q) ˙ dt q ∈ C [t0 , t1 ], R , q(t0 ) = q , q(t1 ) = q t0

146

4 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

    mit q (0) = q" x(0) und q (1) = q" x(1) ; denn dies entspricht nur einer anderen " q(t), q(t)). Darstellung des Integranden L(t, x(t), x(t)) ˙ = L(t, ˙ Das zugeh¨orige Optimalit¨atskriterium ist " " ∂L d ∂L = . ∂qj dt ∂ q˙j ¨ Die Aquivalenz dieser Gleichungen zu (4.13) l¨asst sich unter gewissen Annahmen an die Parametrisierung auch direkt durch Umparametrisieren der Gleichungen zeigen, siehe dazu Aufgabe 4.3. Die verallgemeinerte Lagrangesche Formulierung ist besonders vorteilhaft bei Problemen mit Nebenbedingungen. Man kann dann verallgemeinerte Koordinaten w¨ahlen, die die Nebenbedingungen automatisch erf¨ ullen, und die zugeh¨origen Lagrangeschen Bewegungsgleichungen l¨osen. Wir begr¨ unden den Lagrange–Formalismus f¨ ur Aufgabenstellungen mit Nebenbedingungen f¨ ur ein Problem mit Ortsvariable x = x(t) ∈ RN und s Nebenbedingungen gi (t, x) = 0, i = 1, . . . , s. In die Ortsvariable seien die Komponenten aller Massenpunkte einsortiert; bei  Massenpunkten im d–dimensionalen Raum ist N = d. Die Nebenbedingungen definieren eine Menge zul¨assiger Punkte

X(t) = x ∈ RN | gi (t, x) = 0 f¨ ur i = 1, . . . , s . Wir nehmen an, dass die Funktionen gi differenzierbar seien, dass die Gradienten {∇x gi (t, x) | i = 1, . . . , s} f¨ ur alle x ∈ X(t) linear unabh¨angig seien, und dass X(t) eine (N − s)–dimensionale, gen¨ ugend glatte Mannigfaltigkeit im RN ist. Die Bewegungsgleichung muss zur Erf¨ ullung der Nebenbedingungen erg¨anzt werden durch noch unbekannte Zwangskr¨ afte Z1 , . . . , ZN . Die Zwangskr¨afte halten die Kurve der Bewegung in der Mannigfaltigkeit der zul¨assigen Punkte. Der Vektor Z(t) ∈ RN der Zwangskr¨ afte zur Zeit t steht im Punkt x(t) senkrecht zur Menge X(t) der zul¨ assigen Punkte beziehungsweise zum Tangentialraum im Punkt x(t) Tx(t) X(t) = {y ∈ RN | ∇x(t) gi (t, x) · y = 0 f¨ ur i = 1, . . . , s}. In Komponenten geschrieben gilt dann mj x ¨j = fj + Zj . Sind hier xi und xj verschiedene Komponenten desselben Massenpunktes, so gilt mi = mj . Wir schreiben die Bewegungsgleichung kompakt in Matrix– Vektor–Notation Mx ¨=f +Z, (4.18) wobei M die Diagonalmatrix der Punktmassen, f der Vektor der ¨außeren Kr¨ afte und Z der Vektor der Zwangskr¨ afte ist. Es ist f¨ ur die folgenden Betrachtungen nicht erforderlich, dass M eine Diagonalmatrix ist, es gen¨ ugt,

4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik

147

M als symmetrisch und positiv definit vorauszusetzen. Ein wichtiges Anwendungsbeispiel f¨ ur ein mechanisches System, bei dem die Massenmatrix M keine Diagonalgestalt hat, ist das im n¨ achsten Abschnitt diskutierte dynamische elastische Stabwerk. Wir nehmen an, dass die Kraft f = f (t, x) ein Potential U = U (t, x) hat, f = −∇x U . Wir nehmen weiterhin an, dass man die Menge der zul¨assigen Positionsvektoren X(t) parametrisieren kann, X(t) = {" x(t, q) | q ∈ Rr } . Dabei ist r = N − s die Anzahl der Freiheitsgrade. Die Ableitungen von x "(t, ·) nach den Komponenten von q liegen dann gerade im Tangentialraum, ∂" x (t, q) ∈ Tx" (t,q) X(t) f¨ ur j = 1, . . . , r . ∂qj Ableiten von t → x "(t, q(t)) f¨ ur eine gegebene Kurve t → q(t) liefert d x "(t, q(t)) = ∂t x "(t, q(t)) + ∇q x "(t, q(t)) · q(t) ˙ . dt Dieser Ausdruck gibt die Geschwindigkeit x(t) ˙ der Kurve x(t) = x "(t, q(t)) an. Wir definieren daher "˙ q, q) x(t, ˙ = ∂t x "(t, q) + ∇q x "(t, q) · q˙ .

(4.19)

Hier und im Folgenden werden t, q und q˙ als unabh¨ angige Variable der Lagrangefunktion interpretiert, dies ist insbesondere bei der Notation partieller Ableitungen zu beachten. Aus (4.19) folgt dann insbesondere "˙ ∂x ∂" x (t, q, q) ˙ = (t, q) . ∂ q˙j ∂qj Multiplikation der Bewegungsgleichung (4.18) mit kannte Zwangskraft, denn Tx" (t,q) X(t). Man erh¨ alt also

∂" x ∂qj (t, q)

Mx ¨· Dabei ist x ¨= als

(4.20) ∂x " ∂qj

eliminiert die unbe-

∈ Tx" (t,q) X(t) und Z ist senkrecht zu

∂" x ∂" x =f· . ∂qj ∂qj

d2 x(t, q(t))). dt2 ("

(4.21)

Wir schreiben die linke Seite dieser Gleichung     ∂" x d x x "˙ · ∂" "˙ · d ∂" Mx ¨· = Mx − Mx . ∂qj dt ∂qj dt ∂qj

Es gilt d dt



∂" x ∂qj

 =

"˙ ∂2x " ∂" x ∂x + ∇q · q˙ = . ∂t ∂qj ∂qj ∂qj

148

4 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

Unter Ber¨ ucksichtigung von (4.20) folgt   " " "˙ " ∂" x d ∂ x "˙ · "˙ · ∂ x˙ = d ∂ T − ∂ T Mx ¨· = Mx − Mx ∂qj dt ∂ q˙j ∂qj dt ∂ q˙j ∂qj mit der kinetischen Energie 1" "˙ q, q) T"(t, q, q) ˙ = x(t, ˙ q, q) ˙  M x(t, ˙ . 2 Außerdem gilt wegen f (t, x) = −∇x U(t, x) f·

" ∂" x ∂U =− ∂qj ∂qj

" (t, q) = U (t, x " unabh¨ mit U "(t, q)). Da U angig ist von q, ˙ hat (4.21) gerade die Form " " ∂L d ∂L = ∂qj dt ∂ q˙j mit der u ¨blichen Lagrangefunktion " q, q) " (t, q) . L(t, ˙ = T"(t, q, q) ˙ −U Beispiel: Wir betrachten ein Pendel aus einem Massenpunkt der Masse m, der mit einem masselosen starren Stab der L¨ ange  am Ursprung befestigt ist und sich im Schwerefeld der Erde bewegt, siehe dazu Abbildung 4.3. Zur Beschreibung der Lage des Pendels verwenden wir den Winkel ϕ zur Vertikalen. Die Position in kartesischen Koordinaten ist dann   sin ϕ x = x(ϕ) =  . − cos ϕ Kinetische und potentielle Energie lauten T = 12 m|x| ˙ 2 = 12 m2 ϕ˙ 2 und U = mgx2 = −mg cos ϕ . Die Lagrangefunktion ist demnach L(ϕ, ϕ) ˙ = T − U = 12 m2 ϕ˙ 2 + mg cos ϕ . Mit

∂L ∂L = −mg sin ϕ und = m2 ϕ˙ ∂ϕ ∂ ϕ˙

folgen die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen m2 ϕ¨ + mg sin ϕ = 0 .

4.2 Lagrangesche und Hamiltonsche Formulierung der Mechanik

149

ϕ

Abb. 4.3. Eindimensionale Schwingung

Die Hamiltonsche Formulierung der Mechanik erh¨alt man mit Hilfe der Legendre–Transformation der Lagrange–Funktion bez¨ uglich der verallgemeinerten Geschwindigkeiten. Die Legendre–Transformation ist in Abschnitt 3.6 erkl¨art. Es sei ∂L pj = ∂ q˙j die zu q˙j duale Variable und H(t, q, p) = p · q(t, ˙ q, p) − L(t, q, q(t, ˙ q, p)) die Hamiltonfunktion, also gerade die Legendretransformierte zur Lagrangefunktion. Dabei wird angenommen, dass man q˙ als Funktion der neuen Variablen t, q, p schreiben kann; dies ist eine der Voraussetzungen f¨ ur die Existenz der Legendre–Transformierten. Es gilt dann ∂H ∂ q˙ ∂L ∂L ∂ q˙k ∂L d ∂L =p· − − =− =− = −p˙j und ∂qj ∂qj ∂qj ∂ q˙k ∂qj ∂qj dt ∂ q˙j r

k=1 r

∂ q˙k ∂L ∂ q˙k ∂H = q˙j + pk − = q˙j . ∂pj ∂pj ∂ q˙k ∂pj r

k=1

k=1

Dies liefert die Grundgleichungen der Hamiltonschen Formulierung der Mechanik ∂H ∂H q˙j = und p˙j = − f¨ ur j = 1, . . . , r . (4.22) ∂pj ∂qj Wie bei der Lagrangeschen Formulierung ist auch bei der Hamiltonschen Formulierung die Auswahl beliebiger verallgemeinerter Koordinaten m¨oglich. Es ist dazu lediglich n¨ otig, die kinetische Energie und die verallgemeinerte potentielle Energie in den neuen Variablen auszudr¨ ucken. Bei der Hamiltonschen Funktion handelt es sich h¨ aufig um die Energie des Systems, also die Summe aus potentieller und kinetischer Energie. Beim Beispiel der eindimensionalen, nichtlinearen Schwingung mit Potential V haben wir die kinetische Energie T (x) ˙ = 12 mx˙ 2

150

4 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

und die Lagrangefunktion L(t, x, x) ˙ = 12 m x˙ 2 − V (x) . Es folgt ∂L = mx, ˙ ∂ x˙ das ist gerade der Impuls des bewegten Massenpunktes. Mit q = x, q˙ = x˙ = folgt weiter p=

H(t, q, p) = p

p m

p m & p '2 p2 − + V (q) = + V (q) . m 2 m 2m

Hier ist H = T + V also tats¨ achlich die Energie des Systems. Die Lagrange