Mathematik in der Biologie

Springer-Lehrbuch

Erich Bohl

Mathematik in der Biologie 4., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage

Mit 65 Abbildungen und 16 Tabellen

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Professor Dr. Erich Bohl Universität Konstanz Fakultät für Mathematik Universitätsstraße 10 - PF D194 78457 Konstanz

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ISBN-10 3-540-29254-3 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-29254-8 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-20664-7

3. Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York

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Denken an Uta 1939 - 2001

Sie wollte einfach nur sein und war doch immer da ...

Vorwort zur 4. Auflage

Es ist erfreulich, dass in so kurzer Zeit nach Erscheinen der dritten die vorliegende Auflage 4 n¨ otig wird. Ich stelle dem bew¨ahrten Text das neue Kapitel 1 voran. Die urspr¨ ungliche Idee war, das Verst¨andnis der Ausf¨ uhrungen dadurch weiter zu verbessern, dass die Frage nach dem Sinn mathematischen Denkens in der Biologie gestellt wird. Das vorliegende Ergebnis ist anders, geht dar¨ uber hinaus, ist sogar besser: Es ist eine Einf¨ uhrung in die mathematische Modellbildung biologischer Vorg¨ ange in der Natur entstanden. Die Sinnfrage hat dann eine Antwort im Hinweis auf den Erkenntnisgewinn, der mit mathematischer Beschreibung einhergehen muss, wenn der Eintritt in dieses Denken u ¨berhaupt geschehen soll. An einfachen Beispielen aus dem Text wird der Enstehungsprozess eines mathematischen Konstrukts nachgezeichnet, das heute als mathematisches Modell angesprochen wird. Mathematische Naturbeschreibung fragt immer zuerst nach Ursachen f¨ ur Ver¨ anderung des zur Diskussion stehenden Natursystems. Ver¨anderung aber ist mathematisch Ableitung des Zustands. Daher ist ein mathematisches Modell zuerst immer auf der Suche nach einer Darstellung der Ableitung x(t) ˙ des Zustands x(t), also auf der Suche nach einer Differentialgleichung. Es beginnt stets so x(t) ˙ = F (x(t), weitere Abh¨angigkeiten) mit dem Ziel, F derart zu konstruieren, dass die wesentlichen Einfl¨ usse richtig ber¨ ucksichtigt sind. Die angegebene Form sieht schon die Abh¨angigkeit der Zustands¨ anderung vom Zustand selbst vor. So stehen Differentialgleichungen im Vordergrund und haben schon im Kapitel 2 einen fr¨ uhen Platz in der Ausbildung. Das anschließende Kapitel 3 bringt die wesentlichen Ergebnisse im skalaren Fall aus biologischer Sicht. Tabelle 0.1 soll anschaulich machen, welche Textteile (Spalten 2 bis 8) im Einzelnen durch die Abschnitte des neuen ersten Kapitels (Spalte 1) in den

VIII

Vorwort zur 4. Auflage Tabelle 0.1. Wie Kapitel 1 den u ¨ brigen Text vorbereitet Abschnitt aus Kapitel 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

zugeh¨ orige Abschnitte der u ¨ brigen Kapitel 2.2 2.2 5.3 2.2 2.2

2.4 3.2 5.4 2.5 3.2

4.2 4.2 5.2 5.5 2.6 3.3 3.6 6.2 6.3 6.4

Zusammenhang der Modellbildung gebracht werden. Eine Vorlesung k¨onnte entweder Kapitel 1 im Ganzen an den Anfang setzen oder aber mit Kapitel 2 beginnen und die Abschnitte aus Kapitel 1 einstreuen, wenn es geboten erscheint. Tabelle 0.1 m¨ ochte Orientierungshilfe sein. ¨ Mir sind die Uberlegungen aus Kapitel 1 am Anfang des Studiums wichtig: Sie d¨ urfen in einer Vorlesung nicht fehlen. Nach wie vor kann der Inhalt der ¨ Kapitel 1 - 4 in einer 2 std. Lehrveranstaltung mit 2 std. Ubungen u ¨ ber ein ganzes Semester vorgetragen werden und das mathematische Basiswissen ist vermittelt (vgl. das Vorwort zur 3. Auflage). Kapitel 1 soll auch deutlich machen, dass die logische Seite unserer Erkenntnis notwendig zu mathematischen Kategorien f¨ uhren muss. Der damit angesprochene Teil der Mathematik wird dann von selbst sichtbar. Nur dieser ist wichtig und soll zur Darstellung gelangen: in den Kapiteln 1 bis 4 als Grundwissen f¨ ur alle Studierenden der Biologie. Die weiteren Kapitel 5 und 6 sind ohnehin f¨ ur Studierende gedacht, die nach dem Einstieg in die Pflicht tiefere Einblicke als K¨ ur w¨ unschen. Aus diesem Aufbau folgt, dass die Lineare Algebra aus Kapitel 5 nicht mehr zum Grundwissen geh¨ ort. Die Analysis hat Vorrang vor der linearen Algebra, weil die Ableitung das Konzept der Ver¨ anderung und damit der Kernpunkt mathematischen Denkens in der Biologie zur analytischen Theorie geh¨ort. Der bew¨ ahrte Teil des Textes ist im Zuge dieser Auflage an vielen Stellen u ¨ berarbeitet und von Fehlern befreit. Auf dem Weg der Weiterentwicklung fr¨ uherer Auflagen bis zum jetzigen Stand liegen im Jahr 2005 Vorlesungen, Seminare und ein Vertiefungskurs f¨ ur Biologen, die ich zusammen mit Frau Dipl.Biol. I. Hendekovic abgehalten habe. Hier ist vieles entwickelt worden, das die Richtung der Konzeption von Mathematik in der Biologie festgelegt hat. Ich danke Frau Hendekovic und Dr. Rainer Kreikenbohm f¨ ur zahlreiche Diskussionen und Hinweise im Zuge dieser Lehrveranstaltungen. Dr. E. Luik

Vorwort zur 4. Auflage

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teilt mir st¨ andig erkannte Unstimmigkeiten im Text mit und hilft, die Darstellung zu verbessern. Ich danke ihm f¨ ur viele Hinweise. Wie bisher immer denke ich gern an die reibungslose und vertrauensvolle Zusammenarbeit mit dem Biologie-Team des Springer-Verlages: Dr. D. Czeschlik, Fau I. Lasch-Petersmann und Frau S. Wolf mit professioneller Unterst¨ utzung auf dem Gebiet der Informatik durch Herrn Frank Holzwarth. Konstanz, im Januar 2006

Erich Bohl

Vorwort zur 3. Auflage

Die zweite Auflage ist beim Leser angekommen und freundlich aufgenommen. Die Entstehung von Mathematik mitten in der Biologie ist Grundidee auch in der vorliegenden Auflage. Ich folge damit wohlwollenden Bemerkungen der Kritik, f¨ ur die ich sehr dankbar bin. Jedes Kapitel erh¨alt einen einf¨ uhrenden ¨ Abschnitt, welcher die Notwendigkeit der mathematischen Uberlegungen innerhalb der Biologie beleuchtet. Ich hoffe, mit diesem Instrument Biologie und Mathematik noch enger beieinander zu halten, die Motivation des Biologen weiterzulesen an keiner Stelle erlahmen zu lassen. ¨ Mit den L¨ osungen aller Ubungsaufgaben komme ich einem weiteren Wunsch nach. Das Kapitel 7 sammelt alle L¨ osungen und ordnet sie den Aufgabennummern im Text zu. Es handelt sich um Kurzfassungen m¨oglicher L¨osungswege, ¨ die so gehalten sind, dass der Leser die Uberg¨ ange leicht einbauen kann. Ich empfehle eine ausf¨ uhrliche Ausarbeitung aller Zwischenschritte, um restloses Verst¨ andnis zu erreichen. Die Zeichnungen sollten nicht nur angeschaut sondern nachvollzogen werden, ohne einfach das abgebildete Muster zu kopieren. Auf der Grenze zwischen Mathematik und Biologie k¨onnen die biologischen Sachverhalte nur geschildert, m¨ ussen die Einzelheiten in der Spezialliteratur nachgelesen werden. Dazu sind viele Literaturhinweise im Text vorgesehen. Die Aufgaben selbst sollen Techniken ein¨ uben, das Verst¨andnis von Mathematik in der Biologie vertiefen. Auch das Kapitel 5 ist neu hinzugekommen: Ein Einstieg in die Geometrie des p-dimensionalen Raumes Rp und der (d, p)-Matrizen, welche die linearen Abbildungen des Rp in den Rd vermitteln. Biologischer Ausl¨oser ist die Notwendigkeit der Rekonstruktion von in der Natur auftretenden Abh¨angigkeiten s −→ G(s), die durch Datenpaare sj , uj , j = 1, . . . , d

(0.1)

XII

Vorwort zur 3. Auflage

aus einem Experiment sichtbar gemacht werden. Wir konzentrieren uns auf die Darstellung von G durch eine Linearkombination F (s, x1 , . . . , xp ) =

p


ϕj (s)xj

(0.2)

j=1

geeignet gew¨ ahlter, reeller Funktionen ϕj (s), j = 1, . . . , p: Der wahre Zusam¨ menhang G wird zu einer Uberlagerung (0.2) der Funktionen ϕj (s) mit den Gewichten xj . Die Parameter xj , . . . , xp sind so zu bestimmen, dass die Daten (0.1) m¨ oglichst gut auf dem Funktionsverlauf (0.2) mit optimalem Parame¯p liegen tersatz x ¯1 , . . . , x uj ∼ F (sj , x ¯1 , . . . , x ¯p , j = 1, . . . , d. Die so vorgenommene Rekonstruktion von G reicht aus, wenn die N¨aherung eines Funktionswertes G(¯ s) oder der Ableitung G′ (¯ s) gefragt ist: G(¯ s) ∼ F (¯ s, x¯1 , . . . , x ¯p ) oder G′ (¯ s) ∼ F ′ (¯ s, x ¯1 , . . . , x ¯p ). Ferner kann auf diese Weise der Wert Gmax einer m¨oglichen S¨attigung G(s) −→ Gmax f¨ ur s −→ ∞ gem¨ aß s→+∞

F (s, x ¯1 , . . . , x ¯p ) −→ Fmax ∼ Gmax gut beschrieben werden. In diesem Zusammenhang ist auch eine ausreichende N¨ aherung f¨ ur einen s-Wert σ mit G(σ) =

1 Gmax 2

durch σ ˜ gem¨ aß

1 Fmax 2 erreichbar, falls G(s) und der Ansatz (0.2) streng monoton wachsen und s, s˜ existieren, so dass F (˜ σ, x ¯1 , . . . , x ¯p ) =

G(s) <

1 1 Gmax , F (˜ s, x ¯1 , . . . , x ¯p ) < Fmax 2 2

bestehen. Im Allgemeinen lassen die Gewichte x ¯1 , . . . , x ¯p selbst keine biologische Interpretation zu. Dies w¨ are nur bei einer Familie R(s, y1 , . . . , yq ) m¨ oglich, welche Ergebnis einer mathematischen Modellbildung des biologischen Vorgangs ist. Dann tragen die Parameter y1 , . . . , yp nat¨ urliche biologische Bedeutungen der entsprechenden Konstanten des Naturvorgangs. Solche Parameter gehen normalerweise nicht-linear in die Familie R(s, y1 , . . . , yq ) ein und sprengen dadurch den hier verfolgten Rahmen (0.2).

Vorwort zur 3. Auflage

XIII

Da die Studienordnungen weitgehend 2-3 Semesterwochenstunden u ¨ ber ein Semester verlangen, der Stoffumfang dieses Textes mindestens 4 Semesterwochenstunden u otigt, kann der Lehrende sogar eine ¨ ber ein Semester ben¨ Auswahl treffen, was allgemein als Vorteil angesehen wird. Bei einem vorgeschriebenen Pflichtteil von 2 Semesterwochenstunden k¨onnen die wesentlichen Dinge der Kapitel 2-4 vorgetragen werden. Der verbleibende Rest des Textes f¨ ullt 2 Semesterwochenstunden u ur besonders ¨ber ein ganzes Semester und ist f¨ interessierte Studierende auf freiwilliger Basis gedacht. Der aus der 2. Auflage u ¨ bernommene Text ist sorgf¨altig durchgesehen, von Fehlern befreit und da und dort gegl¨ attet. Die neue Rechtschreibung hat wei¨ tere Anderungen n¨ otig werden lassen. In Konstanz fand ich hilfreiche H¨ ande bei Dr. Eberhard Luik und Dipl.Biol. Irena Hendekovic. Beide haben die neuen Textteile und die L¨osungen der Aufgaben gelesen und mit kritischen Bemerkungen versehen. Die Erstel¨ lung der LATEX-Vorlage mit der Uberarbeitung oder gar Neugestaltung der Abbildungen hat Frau Liane Liske mit viel Einsatz und großem Sachverstand u ¨ bernommen und den Auftrag mit Geschick und Umsicht erledigt. Ich danke allen Mitarbeitern f¨ ur ihren Beitrag. Mein Dank geht schließlich an den Springer-Verlag, besonders an das Biologieteam: Dr. Dieter Czeschlik und die sich unerm¨ udlich einsetzenden Damen Iris Lasch-Petersmann sowie Stefanie Wolf. Konstanz, im Januar 2004

Erich Bohl

Vorwort zur 2. Auflage

Mathematik in der Biologie? Sagt man nicht eher Mathematik f¨ ur Biologen ahnlich wie Mathematik f¨ ur Physiker oder Mathematik f¨ ur Sozialwissenschaft¨ ler? Warum pl¨ otzlich Mathematik in der Biologie? In der Tat, die moderne Literatur bietet zwei M¨oglichkeiten f¨ ur einen Einstieg in unser Thema: den Absprung aus der Mathematik [12, 20, 22] (Mathematik im Hinblick auf Anwendungen in der Biologie) oder den Absprung aus der Biologie [16, 19, 26, 27, 34, 40] (Biologie unter Verwendung mathematischer Denkweisen). Das vorliegende Buch unternimmt davon abweichend den Versuch, mathematische Methoden auf dem Hintergrund von Fragen aus unserer Lebenswelt zu entwerfen. Es ist der Versuch, auf der Schnittstelle zwischen Biologie und Mathematik festzumachen und von hier aus mathematische Methodik in der Biologie zu verstehen. Mathematik in der Biologie geht von Beobachtungen der belebten Natur aus und m¨ochte dort Beitr¨age leisten, wo experimentelle Methoden der Biologie gar nicht oder nur mit großem Aufwand weiterkommen. In dieser einf¨ uhrenden Darstellung soll gezeigt werden, wie auch bei relativ einfachen Beobachtungsgegenst¨ anden die mathematische Denkweise den theoretischen Vorstellungen der Biologie mehr Sicherheit geben kann. So u ¨ berzeugt der Ansatz: das Wachstum einer Population X geschieht proportional zu ihrem Umfang - es gewinnt durch steigende Anzahl der Individuen an Geschwindigkeit. Jedenfalls findet dieses Argument zun¨achst keinen Widerspruch, es leuchtet einfach ein! Will man jedoch seine Konsequenzen u ¨ bersehen, so wird man gezwungen, die sprachlich vermittelte Annahme formal hinzuschreiben: x(t) ˙ = Rx(t), t ≥ 0. (0.3) Und damit sind wir direkt in das mathematische Denken gesprungen! x(t) steht f¨ ur den Umfang der Population X zum Zeitpunkt t ≥ 0. Zu-

XVI

Vorwort zur 2. Auflage

gleich wird klar, dass Entwicklung genauer Ver¨ anderung in der Zeit t bedeutet. Entwicklung setzt Abh¨ angigkeit von der Zeit voraus. Die in (0.3) auftretende Gr¨ oße x(t) ˙ beschreibt die Ver¨ anderung des Umfangs x(t) von X in der Zeit. Eine n¨ ahere Analyse des Ansatzes (0.3) u ¨berzeugt davon, dass damit ein ungebremstes Wachstum der Population X im Laufe der Zeit t beschrieben wird, eine Situation, welche man in der Natur im Allgemeinen nicht beobachtet. Das Wachstum einer Population ist begrenzt, muss sie doch im Verein mit anderen existieren und diesen Partnern Lebensraum im allgemeinen Sinne gew¨ ahren. Dazu geh¨ oren tats¨ achlicher Platz in der Natur, Nahrung, Licht usw. Allein das pr¨ azise Niederschreiben der Vorstellung Wachstum ist proportional zum Populationsumfang als Gleichung (0.3) und ihre Analyse f¨ uhrt dazu, dass unsere Vorstellungen erg¨ anzt werden m¨ ussen. Es liegt nahe, den bisherigen Ansatz dadurch zu verbessern, dass die Replikationsrate R > 0 vom Umfang x(t) der Population X abh¨angt, tats¨achlich also eine (nicht konstante) Funktion R = F (x(t)) vorliegt. Die gegen¨ uber (0.3) geeignetere Vorstellung lautet damit x(t) ˙ = x(t)F (x(t)), t ≥ 0.

(0.4)

Die Konsequenzen aus der eben entstandenen Situation sind nicht leicht zu durchschauen. Wir ziehen uns daher lieber auf ein Feld zur¨ uck, welches einfacher beherrschbar ist. Es geht um den speziellen Ansatz von Verhulst   x(t) , t ≥ 0, K > 0, F (x(t)) = R 1 − K welcher die Replikationsrate mit steigendem Populationsumfang einfach linear bremst. Die mit (0.4) entstehende Verhulstgleichung   x(t) , t≥0 (0.5) x(t) ˙ = Rx(t) 1 − K ist wieder einfach genug: S¨ amtliche L¨ osungen x(t) k¨onnen durch einen analytischen Ausdruck angegeben und daher vollst¨andig in ihrem zeitlichen Verlauf diskutiert werden. Das Ergebnis ist außerordentlich befriedigend: Eine nach Verhulst sich entwickelnde Population ist in ihrem Umfang durch die in (0.5) auftretende Konstante K > 0 begrenzt! Diese Population gibt den Weg frei f¨ ur Lebensraum anderer Arten und schafft die M¨oglichkeit zur Koexistenz. Nun sehen wir in unserer Lebenswelt allenthalben Konkurrenz. Der Gedanke der Evolutionsbiologie [34, 14, 15, 20] geht sogar von der Abl¨osung von Arten aus. So m¨ ussen Mechanismen untersucht werden, welche den Konkurrenzgedanken in den Vordergrund r¨ ucken. Ist es vielleicht m¨oglich, eine im Wachstum begrenzte Population, welche eine andere aus dem Felde schl¨agt,

Vorwort zur 2. Auflage

XVII

auf der Grundlage von (0.4) zu verstehen? Dazu m¨ usste f¨ ur die Funktion F ein anderer Ansatz her. Genug mit diesem Denken! Es sollte auch nur gezeigt werden, wie mathematisches Argumentieren die logischen Zusammenh¨ange von sprachlich formulierten Vorstellungen exakt freilegen und dabei helfen kann, Theorien zu bewerten und weiter zu entwickeln, falls sie den Beobachtungen noch nicht gut genug entsprechen. Es wird gleichzeitig klar, dass der Grad mathematischer Komplexit¨ at von der Komplexit¨ at der Lebensweltfrage abh¨angt. Das ist charakteristisch f¨ ur Mathematik in der Biologie oder allgemeiner: Mathematik in den Wissenschaften: Fragen an unsere Umwelt also letztlich unsere Umwelt selbst legen die zu entwickelnde Mathematik fest. Deren Komplexit¨atsgrad ist abh¨ angig vom Komplexit¨ atsgrad der zugeh¨ origen Umweltproblematik! Der nun folgende Text ist in vier Kapitel gegliedert. Das erste behandelt Basiskonzepte: Zahlen (als Messgr¨ oßen), Funktionen (als Abh¨angigkeit einer Gr¨ oße von einer anderen), Ableitungen (Ver¨ anderung einer Gr¨oße bez¨ uglich ¨ einer anderen). Bei diesen Uberlegungen fallen Prinzipien der qualitativen Kurvendiskussion automatisch ab. Ferner begleiten uns die oben besprochenen Probleme im Zusammenhang mit der Verhulstgleichung: Wir werden deren L¨ osungsgesamtheit sowie jene von der Grundgleichung (0.3) kennenlernen und diese auf der Grundlage ihres qualitativen Verhaltens vergleichen. Im Laufe der Untersuchungen werden weitere Fragen der Biologie angesprochen: Bei den Zahlen z.B. Mechanismen von Enzymaktionen und mathematische Fragen in der kinetischen Gastheorie. Das zweite Kapitel handelt von Evolutionsgleichungen einer einzigen Gr¨ oße, deren Entwicklung nur durch ihren eigenen Populationsumfang bestimmt ist. Z.B. wird mit den bereitgestellten Methoden das Verhalten aller L¨ osungen von (0.4) freigelegt sein. Im Lichte dieser allgemeinen Gleichung wird der Sonderfall der Verhulstgleichung besser verst¨andlich. In der Regel sind sogenannte qualitative Methoden allgemeiner anwendbar als die quantitativen Methoden, welche auf die Angabe eines analytischen Ausdrucks f¨ ur die L¨ osung von Evolutionsgleichungen abzielen. Diese Untersuchungen f¨ uhren automatisch in die Integralrechnung mit den wichtigsten Integrationsmethoden. Soweit sind die Verh¨ altnisse einer einzigen Gr¨oße in Abh¨angigkeit von der Zeit ausreichend behandelt. Lebende Systeme erz¨ahlen aber die Geschichte des Zusammenwirkens mehrerer Gr¨ oßen in verschiedenen Abh¨angigkeiten voneinander. So beginnen wir in Kapitel 4 mit Zust¨ anden solcher Netzwerke, die als Vektoren in einem endlichdimensionalen Raum verstanden werden. Abh¨ angigkeiten von Gr¨ oßen untereinander f¨ uhren zu Funktionen mit mehreren Variablen. Das Problem ihrer Ver¨ anderung (die sogenannten partiellen

XVIII Vorwort zur 2. Auflage

Ableitungen) f¨ uhrt automatisch zu vollst¨ andigen Differentialen einer Gr¨ oße und damit direkt in die Thermodynamik und Biophysik. Kapitel 6 behandelt die zeitliche Evolution von Zust¨anden aus zwei unabh¨ angigen Gr¨ oßen auf der Grundlage der soweit entwickelten Methoden. Es geht um Differentialgleichungssysteme mit zwei Gleichungen, deren L¨osungen mit Methoden gewonnen werden k¨ onnen, welche in den vorherigen Abschnitten bereitgestellt worden sind. Der Leser erh¨ alt einen Einblick in R¨ auberBeute-Aktionen, in das Verhalten von Fl¨ aschchenexperimenten der Mikrobiologie und in die Kinetik eines Michaelis-Menten-Prozesses. Alle diese biologischen Themen werden im Zuge der ersten drei Kapitel immer wieder vorbereitend erw¨ ahnt. Gleichzeitig begegnen Winkelfunktionen. Soweit k¨ onnen die Systeme u ¨ ber einen Erhaltungssatz auf den skalaren Fall zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Die im letzten Abschnitt behandelte allgemeine Evolutionstheorie [34, 20] ist ein erstes Beispiel, bei dem dieses Vorgehen im ersten Anlauf scheitert. Unsere Ausf¨ uhrungen enden offen, stehen vor einem ¨ notwendigen Ubertritt in eine neue Sehweise allgemeiner dynamischer Systeme im R2 , die einem neuen Anfang u ¨ berlassen bleibt. Der oben auseinandergesetzte Entwurf Mathematik in der Biologie ist erstmalig in der 1. Auflage [5] aus dem Jahre 1987 verfolgt. W¨ahrend der in den letzten dreizehn Jahren gehaltenen Vorlesungen vor Biologen wurde deutlich, dass das Konzept noch konsequenter durchgef¨ uhrt werden muss. Dies ist in der vorliegenden 2. Auflage geschehen. Gleichzeitig sind erl¨auternde Bemerkungen deutlich erweitert und sollen zur leichteren Lesbarkeit f¨ uhren. Das Aufgabenmaterial ist ausgewechselt, viele Aufgaben sind in den Text integriert. Kapitel 6 ist fast vollst¨ andig neu hinzugef¨ ugt. Nicht alle, aber die wesentlichen Teile der ersten drei Kapitel werden in einer zweist¨ undigen Vorlesung ¨ mit zwei Ubungsstunden pro Woche in Konstanz in einem Wintersemester den Anf¨ angern in der Biologie vorgetragen. Die ausgelassenen Teile und das volle Kapitel 6 sind Gegenstand einer zweist¨ undigen Fortsetzungsvorlesung in einem Sommersemester. Diese Lehrveranstaltung f¨ uhrt gleichzeitig in die Verwendung moderner Rechnersysteme ein. Es ist geplant, den Inhalt von vier aufbauenden Lehrveranstaltungen zur Mathematik in der Biologie in einem weiteren Band zusammenzutragen. Dann steht der Vergleich von Felddaten mit mathematisch gefassten Modellen im Vordergrund, ein Vorhaben, das ohne moderne numerische Methoden nicht mehr auskommt. Der vorliegende Text handelt vom Grundwissen Mathematik in der Biologie und sollte eine vierst¨ undige Veranstaltung u ¨ ber ein Semester ausmachen. Bei der Entstehung dieses Buches haben mir viele Personen geholfen, denen ich herzlich danken m¨ ochte. Besonders danke ich Herrn Dr. E. Luik f¨ ur die Bereitschaft, den Vorlesungsbetrieb mit mir zu teilen und f¨ ur die Durch-

Vorwort zur 2. Auflage

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sicht eines großen Teiles des Textes. Die beiden Damen Dipl.-Biol. C. Tralau und Dipl.-Biol. I. Hendekovic haben aus der Sicht der Biologie je die H¨alfte des Textes mit großer Sorgfalt gelesen und wichtige Anmerkungen gemacht, die zur deutlichen Verbesserung der Darstellung gef¨ uhrt haben. Die Biologieprofessoren Dr.G. Stark und Dr.W. Welte machten wertvolle Anmerkungen zu einzelnen Textstellen. Schließlich sei Dr. R. Kreikenbohm erw¨ahnt, welcher in beispielhafter Weise die Entstehung des fr¨ uheren Textes begleitet und das Konzept aus biologischer Sicht gef¨ ordert hat. Frau A.M. Schr¨oder schrieb einmal mehr die LATEX-Vorlage. Allen Personen gilt mein herzlicher Dank f¨ ur ihren Einsatz. Der Springer-Verlag war sofort zur Ver¨ offentlichung bereit: Ich danke besonders Herrn Dr. D. Czeschlik und Frau I. Lasch-Petersmann f¨ ur ihren Enthusiasmus und die professionelle Vorgehensweise von der ersten Planung bis zur Drucklegung des vollst¨ andigen Textes. Konstanz, im M¨ arz 2001

Erich Bohl

Inhaltsverzeichnis

1

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Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik? . . . . . 1.1 Unsere Welt aus biologischer Sicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Zustand eines Beobachtungsgegenstandes . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Beobachtung und Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Grafische Veranschaulichung einer Messreihe . . . . . . . . . . 1.2 Evolutionen in der Natur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Was ist eine Evolution? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Rekonstruktion und Erkenntnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 S¨ attigung einer Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Rekonstruktion von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Die Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 G¨ utemaß einer Rekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Rekonstruktion und Erkenntnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Ver¨ anderungen in der Natur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Wie kann man einer ’wahren‘ Evolution auf die Spur kommen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Ver¨ anderungsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Mathematische Modelle in der Biologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Wie kommt mathematisches Denken zum Einsatz? . . . . . 1.5.2 Entwicklung einer Population: eine dynamische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Ligandenbindung: zwei dynamische Gleichungen . . . . . . . 1.5.4 Substratfluss unter anaeroben Bedingungen: zwei dynamische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Streitbare Populationen: zwei dynamische Gleichungen . Grundbestandteile mathematischer Modellierung . . . . . . . . . . 2.1 Das Geschehen in diesem Kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Entwicklung von Populationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Zwei Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 2 4 5 5 7 8 10 10 10 12 15 16 16 17 18 18 20 22 23 25 29 29 30 30

XXII

Inhaltsverzeichnis

2.2.2 Vom Experiment zur mathematischen Beschreibung . . . 2.2.3 Ver¨ anderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Ratengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kombinatorik in der Biologie: Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Eine kombinatorische Aufgabe der Enzymkinetik . . . . . . 2.3.2 Kinetische Gastheorie als Sonderfall . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Nat¨ urliche und ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Rationale und reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Absoluter Betrag reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beschreibung von Vorg¨ angen: Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Die logistische Kurve, Verkettung von Funktionen . . . . . 2.4.3 Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6 Polynome, rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7 Konstruktion von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.8 Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Ver¨ anderungsrate von Vorg¨ angen: Ableitung . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Die Idee der Ver¨ anderungsrate zu einem festen Zeitpunkt 2.5.2 Definition der Ver¨ anderungsrate: Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Grundregeln der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Konsistenz der Tabellen 2.5 und 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5 Die logistische Kurve als L¨ osung der Verhulstgleichung . 2.5.6 Exponentielles Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen der Ableitung: Monotonie, Extrema, Kr¨ ummung 2.6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Monotonie und Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Monotonieverhalten bei der logistischen Kurve . . . . . . . . 2.6.4 Qualitative Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5 Kr¨ ummung und zweite Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.6 Ligandenbindung an Proteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.7 Sigmoides Verhalten bei der logistischen Kurve . . . . . . . . ¨ Ubungsaufgaben ........................................

32 34 35 37 38 38 40 43 43 44 45 45 46 47 48 50 51 53 55 56 56

Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung 3.1 Das Geschehen in diesem Kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Qualitative Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Evolution einer reellen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Zeitunabh¨ angige Evolutionen: Station¨are Punkte . . . . . . 3.2.3 Monoton wachsende Evolutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Monoton fallende Evolutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Langzeitverhalten von Evolutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 79 79 81 81 82 82

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7 3

57 60 62 62 64 65 65 65 66 66 66 68 71 73

Inhaltsverzeichnis XXIII

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

4

3.2.6 Stabilit¨ at von station¨ aren Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.2.7 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.2.8 Qualitative Analyse: die Verhulstgleichung . . . . . . . . . . . . 84 3.2.9 Qualitative Analyse: Allgemeine Evolutionen . . . . . . . . . . 85 Quantitative Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3.2 Die einfachste Ratengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3.3 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3.4 Angabe einfacher Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.3.5 Quantitative Analyse: Separation der Variablen . . . . . . . 88 3.3.6 Quantitative Analyse: exponentielles und logistisches Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Integrale: Summenregel und Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . 91 3.4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4.2 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4.3 Geometrische Interpretation des Integrals . . . . . . . . . . . . . 92 3.4.4 Integration als Umkehrung der Differentiation . . . . . . . . . 93 3.4.5 Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4.6 Quantitative Behandlung einer Ratengleichung . . . . . . . . 95 Integral: partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5.1 Umkehrung der Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5.2 RNA-Gehalt einer Zelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.5.3 Zur Idee der partiellen Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.6.1 L¨ osbarkeit von Anfangswertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.6.2 L¨ osungsgesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.7.1 Differentialgleichungen, Anfangswertaufgaben . . . . . . . . . 102 3.7.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.1 Das Geschehen in diesem Kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2 Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher: Gr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.2.2 Wachstum einer Population auf einem Substrat . . . . . . . 109 4.2.3 R¨ auber-Beute-Interaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.4 Pr¨ abiotische Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2.5 Zust¨ ande von nat¨ urlichen Systemen mit mehr als einer Gr¨ oße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2.6 Reelle Funktionen auf Teilmengen des RN . . . . . . . . . . . . 113 4.2.7 Graphische Darstellungsm¨ oglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.2.8 Gr¨ oßen und ihre Abh¨ angigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2.9 Implizite Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2.10 Implizit definierte Funktionen: allgemeiner Fall . . . . . . . . 117

XXIV Inhaltsverzeichnis

4.3 Ver¨ anderungsrate in Richtung verschiedener Variabler: partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.3.2 Verschiedene Abh¨ angigkeiten bei der logistischen Kurve 119 4.3.3 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3.4 Zweite partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.4 Approximation von Funktionen: Taylor Polynome . . . . . . . . . . . 122 4.4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.4.2 Taylor Polynome mit einer Ver¨anderlichen . . . . . . . . . . . . 122 4.4.3 Taylor Polynome der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . 124 4.4.4 Taylor Polynom bei mehreren Ver¨anderlichen . . . . . . . . . 125 4.4.5 Taylor Polynom beim R¨ auber-Beute-Modell . . . . . . . . . . 126 4.5 Ver¨ anderungsrate einer Gr¨ oße: vollst¨andiges Differential . . . . . . 127 4.5.1 Motivation und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.5.2 Abh¨ angigkeiten von Gr¨ oßen und deren Ver¨anderungen . 129 4.5.3 Idee des vollst¨ andigen Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.5.4 Definition des vollst¨ andigen Differentials . . . . . . . . . . . . . 132 4.5.5 Wieso ist das vollst¨ andige Differential vollst¨andig? . . . . . 134 4.5.6 Vollst¨ andiges Differential bei Abh¨angigkeit von nur einer Gr¨ oße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.5.7 Vollst¨ andiges Differential bei Abh¨angigkeit von zwei Gr¨ oßen: Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 ¨ 4.6 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.6.1 Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.6.2 Vollst¨ andige Differentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5

Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.1 Das Geschehen in diesem Kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.2 Rekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.2.1 Geschwindigkeit der Michaelis-Menten-Reaktion . . . . . . . 141 5.2.2 Rekonstruktion einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.2.3 Lineare Theoriefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.2.4 (d, p)-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.2.5 Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.3 Geometrie und lineare Abbildungen im RN . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.3.1 Fehlerquadratsumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.3.2 Abstand, inneres Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.3.3 Matrix und lineare Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.3.4 Transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.4 Lineare Datenanpassung: Ergebnisse der linearen Algebra . . . . . 153 5.4.1 Kennzeichnung der Minimalabweichung . . . . . . . . . . . . . . 153 5.4.2 Vollst¨ andige Beschreibung aller Minimierer . . . . . . . . . . . 155 5.4.3 Assoziativit¨ at der Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . 156 5.4.4 Eindeutiger Minimierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Inhaltsverzeichnis

XXV

5.4.5 Gradient von h(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.5 Linearer Datenausgleich: Bestimmung biologischer Konstanten 160 5.5.1 Michaelis-Menten-Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.5.2 Lineare Gleichungssysteme in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . 161 5.5.3 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.6 Geschwindigkeit einer Michaelis-Menten-Aktion . . . . . . . . . . . . . 164 5.6.1 Definition der Geschwindigkeit v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.6.2 Rekonstruktion von p(t) zur Bestimmung von v . . . . . . . 166 5.6.3 Lineare Gleichungssysteme im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.6.4 Geschwindigkeitsbestimmung aus Felddaten: die Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 ¨ 5.7 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6

Interaktionen zweier Populationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.1 Das Geschehen in diesem Kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.2 Ligandenbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.2.1 Die dynamischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.2.2 Eine skalare Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.2.3 Evolution der Ligandenbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.2.4 Charakteristik und KD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.3 Substratumsetzende Organismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.3.1 Fl¨ aschchenexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.3.2 Erhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.3.3 L¨ osungsgesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.3.4 Diskussion aller L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.3.5 Phasenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.4 Lineare R¨ auber-Beute-Interaktion: Winkelfunktionen . . . . . . . . . 191 6.4.1 Ein spezielles R¨ auber-Beute-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.4.2 sin und cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.4.3 R¨ uckf¨ uhrung auf eine skalare Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 193 6.4.4 Eigenschaften von cos und sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.4.5 Anwendung auf das spezielle R¨auber-Beute-Modell . . . . 196 6.5 Die Winkelfunktion tg(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.5.1 Tangens und Arcus Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.5.2 Ableitung und Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.6 Lineare Differentialgleichungssysteme in der Ebene: Matrizen und Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.6.1 Ligandenbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.6.2 Lineare dynamische Systeme: R¨auber-Beute-Modell . . . . 201 6.6.3 Alle L¨ osungen von (6.100) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.7 Biologische Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 ¨ 6.7.1 Ausgangspunkt der Uberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.7.2 Evolution einer einzigen Population . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6.7.3 Replikations- und Sterberaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.7.4 Evolution zweier Populationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

XXVI Inhaltsverzeichnis

¨ 6.8 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7

¨ L¨ osungen der Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.1 L¨ osungen zum Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.2 L¨ osungen zum Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 7.3 L¨ osungen zum Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.4 L¨ osungen zum Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.5 L¨ osungen zum Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

1 Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?

Alles beginnt immer mit dem Erstaunen u ¨ ber das, was wir sehen, geht weiter mit der neugierigen Beobachtung und findet einen H¨ohepunkt mit dem Experiment und der m¨ oglichst vollst¨ andigen Beschreibung von allen Ergebnissen als reelle Zahlen (Digitalisierung der Welt). Am Anfang steht also Verfremdung: Die Dinge bleiben nicht, was sie sind, sie werden in Worte gefasst, sie wer¨ den Zahlen. Der Biologe vollzieht diesen Ubergang im Sonderfall der belebten Natur.

1.1 Unsere Welt aus biologischer Sicht 1.1.1 Zustand eines Beobachtungsgegenstandes Gegenstand der Untersuchung sei eine Population P : Das kann eine Tierart in einer bestimmten Gegend sein, Menschen oder Fische, aber auch eine Ansammlung von Zellen, Mikroorganismen. Wir wollen den Zustand von P beschreiben. Offenbar kann man von einer guten Situation f¨ ur P ausgehen, wenn der Umfang unserer Population w¨ achst oder auf m¨oglichst hohem Niveau verharrt. Der Zustand des Beobachtungsgegenstandes P ist daher durch eine einzige Messgr¨ oße bestimmt: den Umfang x1 , eine reelle Maßzahl, z.B. x1 = 4 Personen einer Familie, x1 = 315 K¨ afer der im ersten Experiment aus Abschnitt 2.2.1 untersuchten Gemeinschaft (vgl. Tabelle 2.1 vierte Zeile, vierte Spalte), x1 = 513.3µL Zellvolumen pro 100 mL Medium der Hefezellen im zweiten Experiment aus Abschnitt 2.2.1, x1 = 82.000.000 B¨ urger eines Staates, x1 = 106 Zellen einer Kultur. Der Index 1 soll darauf vorbereiten, dass gleich Zust¨ande zur Sprache kommen, die mehr als eine einzige Messgr¨oße ben¨otigen. Dazu beobachten wir n¨ aher eine Gruppe von Personen, nun nicht als Gesamtheit P , sondern eher jedes Individuum einzeln mit dem Ziel, es unter allen

2

1 Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?

anderen zu identifizieren. Zu diesem Zweck sind Unterscheidungsmerkmale geeignet: die K¨ orpergr¨ oße x1 , die Kragenweite x2 , das Alter x3 , die Kleidergr¨oße x4 , die Schuhgr¨ oße x5 . Soweit handelt es sich unmittelbar um Zahlenangaben, u ¨ blich ist aber auch die Augenfarbe, die erst in eine Zahlenangabe x6 gewandelt werden muss. Dazu ist eine Digitalisierung von Farben n¨otig. Das ist beim Geschlecht der Person schon einfacher, weil es nur zwei M¨oglichkeiten gibt: x7 = 1 f¨ ur weiblich oder x7 = 2 f¨ ur m¨annlich. Der Zustand einer Person aus P ist nun durch die Gesamtheit der Zahlen x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 festgelegt. Wir fassen zusammen und sprechen vom Zustand x = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ).

(1.1)

Dieses Konzept wird im Kapitel 4.2 verhandelt (hier z.B. Unterabschnitt 4.2.5). Das entstandene mathematische Objekt x aus (1.1) nennt man Vektor und die einzelnen reellen Zahlen xj seine Komponenten: vector (lat.) ist ein Tr¨ ager (hier im Sinne von Beh¨ altnis); in unserem Fall h¨alt er die einzelnen Gr¨ oßen vor und bindet sie als Einheit zusammen. Es liegt nahe zu vermuten, dass im Allgemeinen der Zustand eines Beobachtungsgegenstandes durch endlich viele reelle Zahlen, die Komponenten eines Vektors x = (x1 , x2 , . . . , xN ),

(1.2)

gegeben ist. Es ist wichtig zu verstehen, dass jede Naturerscheinung durch endlich viele Gr¨oßen hinreichend gut erfassbar sein muss, soll sie einer logischen Untersuchung zug¨ anglich sein. Von nun an schreiben wir einfach x statt (x1 ), wenn eine einzige Gr¨ oße den Zustand beschreibt also N = 1 in (1.2). 1.1.2 Beobachtung und Zeit Bisher wurde nur gesagt, dass die Beobachtung einer Situation unserer Lebenswelt endlich viele Messungen xj , j = 1, . . . , N zur Bestimmung ihres Zustandes erfordert. Gleichwohl sind schon jetzt mathematische Konstrukte entstanden. Im n¨ achsten Schritt bedenken wir, dass die Zeit in unser Vorhaben eingreift: Alles Geschehen passiert in der Zeit! Sicher, es ist direkt klar, dass das Hochwachsen der Population P mit dem Zustand x viele Messungen und dann zu verschiedenen Zeiten t notwendig macht. Damit wird aber festgestellt, dass zu jeder Beobachtung x ein Zeitpunkt t geh¨ ort. Wir schreiben

1.1 Unsere Welt aus biologischer Sicht

3

x(t) und k¨ onnen bequem eine Messreihe x(t1 ) , x(t2 ) , . . . , x(t8 )

(1.3)

bestehend aus acht Messungen des Umfangs der Population P zu verschiedenen Zeitpunkten t1 , t2 , . . . , t8 , (1.4) benennen, etwa jene Messungen der K¨ afer aus dem Abschnitt 2.2.1 angeordnet nach dem Vorbild von Tabelle 1.1 mit zwei Zeilen. Die Tabelle 2.1 in 2.2.1 ist ein Beispiel mit 20 statt nur 8 Paaren. Tats¨achlich ist mit obiger Tabelle 1.1. Acht Messungen in der Zeit

Zeit: t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 Umfang: x1 (t1 ) x1 (t2 ) x1 (t3 ) x1 (t4 ) x1 (t5 ) x1 (t6 ) x1 (t7 ) x1 (t8 )

Redeweise eine Abh¨ angigkeit der Messung x von der Zeit t ausgesprochen. Solche Abh¨ angigkeiten legen den mathematischen Begriff einer Funktion fest, im vorliegenden Fall die Funktion : x(t) (1.5) mit der Bedeutung, dass zum Zeitpunkt t der Umfang x(t) beobachtet wird; oder anders: dass zum Zeitpunkt t die Zahl x(t) geh¨ort: t −→ x(t).

(1.6)

Reellen Zahlen (hier Zeitmessungen) werden reelle Zahlen (hier der Umfang der Population) zugeordnet. Das ist genau das, was geschieht, wenn ein Experimentator zu einem festen Zeitpunkt eine Messung mit dem Resultat einer einzigen Zahl unternimmt. Abh¨ angigkeiten dieser Art werden im Abschnitt 2.2 eingef¨ uhrt und begleiten den Leser durch den ganzen Text. Das Konzept ist grundlegend f¨ ur das Studium von Gr¨ oßen in der Natur. Es besteht nun keine Schwierigkeit mehr, den Zustand x = (x1 , x2 , . . . , xN ) (vgl. (1.2)) in der Zeit anzugeben: x(t) = (x1 (t) , x2 (t) , . . . , xN (t))

(1.7)

4

1 Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?

mit N reellen Funktionen t −→ xj (t) , j = 1 , . . . , N in Abh¨ angigkeit von der Zeit t. Das Symbol x(t) ist durch (1.7) festgelegt: eine Funktion t −→ x(t) , (1.8) welche jedem Zeitpunkt t einen Vektor mit den in (1.7) angegebenen Komponenten zuordnet. Tabelle 1.1 ist im Falle von (1.7) um N − 1 Zeilen zu erg¨ anzen. Bei einem Zustand, der aus drei Beobachtungen zusammengesetzt Tabelle 1.2. Acht Messungen mit je drei Beobachtungen in der Zeit

Zeit: t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 Messgr¨ oße 1: x1 (t1 ) x1 (t2 ) x1 (t3 ) x1 (t4 ) x1 (t5 ) x1 (t6 ) x1 (t7 ) x1 (t8 ) Messgr¨ oße 2 : x2 (t1 ) x2 (t2 ) x2 (t3 ) x2 (t4 ) x2 (t5 ) x2 (t6 ) x2 (t7 ) x2 (t8 ) Messgr¨ oße 3 : x3 (t1 ) x3 (t2 ) x3 (t3 ) x3 (t4 ) x3 (t5 ) x3 (t6 ) x3 (t7 ) x3 (t8 )

wird, entsteht Tabelle 1.2, weil dann N = 3 ist. Gleichung (1.7) verbindet zwei Konzepte: Vektor und Funktion (vgl. Abschnitt 4.2). 1.1.3 Grafische Veranschaulichung einer Messreihe Das Experiment ist gemacht, die Daten liegen vor. Was haben wir nun u ¨ ber das ins Auge gefasste System unserer Lebenswelt gelernt? Nehmen wir den einfachsten Fall der Tabelle 1.1, den Umfang einer Population im Laufe der Zeit, unterstellen, dass die Zeitpunkte aufsteigend geordnet sind: t1 < t2 < t3 < . . . < t8 . Die Entwicklung wird an einer Zeichnung der Punkte (tj , x(tj )), j = 1, . . . , 8 einer (t, x)-Ebene deutlich. Als Beispiel werden acht Paare der Tabelle 2.1 entnommen und als Tabelle 1.3 neu zusammengestellt. Diese ist nach dem Muster von Tabelle 1.1 aufgebaut. Die zugeh¨ orige Zeichnung ist als Abb. 1.1 zu sehen. Man erkennt deutlich das Hochwachsen der K¨ aferpopulation mit einer langsamen Anlaufphase im Zeitraum t = 0 bis t = 28, einer mittleren Wachstumsphase f¨ ur t = 42 bis t = 174 und einer abschließenden S¨attigung im hinteren Bereich. Damit sind zugleich die wesentlichen Charakteristika einer Wachstumskurve erkannt: so sieht ein typischer Wachstumsprozess eben aus. Die S¨attigung

1.2 Evolutionen in der Natur

5

Tabelle 1.3. Acht K¨ aferdaten

Zeit: 28 42 49 91 119 147 175 245 Umfang: 2 17 65 175 261 330 333 335

350 300 250 200 150 100 50 0 0

50

100

150

200

250

Abb. 1.1. Graphische Darstellung einiger K¨ aferdaten

zeigt auch, dass es der Population verwehrt ist, sich grenzenlos auszubreiten. Daf¨ ur sorgen ¨ außere Einfl¨ usse, die den K¨ afern widerstehen und eine u ¨ berzogene Ausbreitung verhindern. Dennoch, die Population w¨achst hoch, kann in der vorgefundenen Umwelt leben. Die Zeichnung sagt nichts dar¨ uber aus, wie regulierende Wirkungen der angesprochenen Art aussehen k¨onnten. Hier hel¨ fen mathematische Uberlegung weiter. Aber soweit sind wir noch nicht. Es sei auf den Unterabschnitt 1.5.2 verwiesen.

1.2 Evolutionen in der Natur 1.2.1 Was ist eine Evolution? Jedes Geschehen in der Zeit heißt Evolution; oder wissenschaftlicher gesagt: Jede Abfolge von Zust¨ anden in der Zeit heisst Evolution. Damit ist ’Geschehen‘ durch ’endlich viele Messgr¨ oßen‘, die den Zustand bestimmen, interpretiert. Bei einem aktuellen Messvorgang sind das z.B. Messungen xj (t1 ), xj (t2 ), . . . , xj (td ) , j = 1, . . . , N f¨ ur je N Gr¨ oßen x1 , x2 , x3 , . . . , xN an d verschiedenen Zeitpunkten

(1.9)

6

1 Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?

a ≤ t1 < t2 < t3 < . . . < td ≤ b. Man unterstellt, dass zu jeder Messreihe (1.9) f¨ ur einen Naturvorgang in der Zeit eine wahre Funktion t −→ q(t) = (q1 (t) , q2 (t) , . . . , qN (t)) , t ∈ [a, b],

(1.10)

die den Zustand beschreibt, geh¨ ort. ’Geschehen in der Natur‘ reduziert auf das logische Konstrukt einer ’Funktion‘ (1.10). Wir sagen auch: Jede Funktion (1.10) heißt Evolution, wenn t Messgr¨ oße der Zeit und qj (t) Maßzahlen f¨ ur die Komponenten des Zustands des Beobachtungsgegenstandes sind. Mit der Ersetzung von ’Geschehen in der Zeit‘ durch ’Funktion (1.10)‘ ist ein wichtiger Schritt hin zu einer mathematischen Naturbeschreibung getan. Die Messungen (1.9) und der Zustand (1.10) h¨angen (bei guten Daten) zusammen: es werden n¨ amlich xj (tk ) ≈ qj (tk ) , k = 1, . . . , d , j = 1, . . . , N

(1.11)

gelten. Dies bedeutet, dass die Fehler |xj (tk ) − qj (tk )| , k = 1, . . . , d , j = 1, . . . , N ’klein‘ sind, z.B. |xj (tk ) − qj (tk )| ≤ η , k = 1, . . . , d , j = 1, . . . , N

(1.12)

mit η = 10−1 oder η = 10−5 oder . . . . je nach der erwarteten Genauigkeit. Die Daten (1.9) bilden den einzigen Hinweis auf den Verlauf von q(t) aus (1.10), so dass eine Rekonstruktion von q(t) allein darauf gest¨ utzt werden muss. Eine Rekonstruktion F (t) eines Naturvorgangs (1.10) in einem reellen Intervall [a, b] besteht in der Angabe von Funktionen Fj (t) , a ≤ t ≤ b , j = 1 , . . . , N , durch konkrete analytische Ausdr¨ ucke, welche Fj (t) ≈ qj (t) , a ≤ t ≤ b

(1.13)

F (t) = (F1 (t) , F2 (t) , . . . , FN (t)) , a ≤ t ≤ b ,

(1.14)

erf¨ ullen. Sie hat die Form

und wegen (1.11) und (1.13) werden

1.2 Evolutionen in der Natur

Fj (tk ) ≈ xj (tk ) , k = 1, . . . , d , j = 1, . . . , N

7

(1.15)

gelten. Unsere Aufgabe lautet daher: Finde analytische Ausdr¨ ucke (1.14) mit (1.15) zu vorgelegten Daten (1.9)! Damit besch¨aftigt sich der Abschnitt 5 in einer Weise, die durch die Ausf¨ uhrungen der beiden n¨achsten Unterabschnitte und im Abschnitt 1.3 vorbereitet wird. Da die Forderungen (1.15) an alle Komponenten von F (t) analog sind, reicht es aus, im weiteren Text vom Fall N = 1 auszugehen. Bei N ≥ 2 wer¨ den die nun folgenden Uberlegungen auf jede der N Komponenten einzeln angewendet. 1.2.2 Rekonstruktion und Erkenntnis Betrachte einen Naturvorgang, welcher (ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit) durch eine einzige reelle Messgr¨ oße q(t) , t ∈ [a, b]

(1.16)

ausreichend repr¨ asentiert ist. Eine Serie von Messungen liefere x(t1 ), x(t2 ), x(t3 ), . . . , x(td ) mit q(t1 ) ≈ x(t1 ), q(t2 ) ≈ x(t2 ), . . . , q(td ) ≈ x(td )

(1.17)

und a ≤ t1 < t2 < . . . < td ≤ b. Angenommen, wir finden eine Rekonstruktion F (t) von q(t) , t ∈ [a, b],

(1.18)

also F (t) ≈ q(t) , t ∈ [a, b], (vgl. (1.13)). Die beiden Eigenschaften aus (1.17) und (1.18) ziehen F (t1 ) ≈ x(t1 ), F (t2 ) ≈ x(t2 ), . . . , F (td ) ≈ x(td )

(1.19)

nach sich. In welcher Weise verstehen wir mit der Kenntnis von F (t) aus (1.18) das durch (1.16) beschriebene biologische System besser? Die Antwort auf diese Frage ist entscheidend: W¨ are kein Erkenntnisfortschritt auszumachen, so k¨ onnte der Versuch mathematischer Beschreibung unterbleiben! Die folgenden ¨ Uberlegungen in den weiteren Unterabschnitten versuchen eine Antwort in mehreren Schritten. Zun¨ achst liefert eine Zeichnung der Rekonstruktion F (t) im Intervall [a, b] einen guten Eindruck der wahren Evolution (1.16), besteht doch die zweite

8

1 Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?

Zeile von (1.18). Dabei wird stets angenommen, dass [a, b] gut durch die tj repr¨ asentiert wird. Messungen von q(t) f¨ ur ein T ∈ [a, b] aber T = tj j = 1, . . . , d werden F (T ) ≈ q(T ) erf¨ ullen, so dass das Geschehen q(t) im Intervall [a, b] gut bekannt ist.

350

350

300

300

250

250

200

200

150

150

100

100

50

50

0

0 0

50

100

150

200

250

0

50

100

150

200

250

Abb. 1.2. Graphische Darstellung einiger K¨ aferdaten

Nehmen wir unsere Daten aus der Tabelle 1.3 mit der grafischen Darstellung aus Abbildung 1.1, die wir hier als Abbildung 1.2 wiederholen. In der rechten Zeichnung ist die Rekonstruktion F (t) =

u1 , u1 = 336, u2 = 224, u3 = .0603328 (1.20) 1 + (u2 − 1) exp(−u3 t)

durch die Daten gezogen. Erst der Kurvenzug macht deutlich, dass die mittlere Wachstumsphase 42 ≤ t ≤ 174 gegen¨ uber allen anderen Zeiten eine beschleunigte Entwicklung durchmacht. 1.2.3 S¨ attigung einer Evolution Betrachten wir wieder den einfachsten Fall N = 1 einer einzigen Messgr¨oße mit der wahren Abh¨ angigkeit t −→ q(t) ,

(1.21)

etwa das Wachstum einer Population. Dazu sei eine Messreihe gem¨aß Tabelle 1.1 aufgenommen. Dann stimmen die Messungen x(tj ) ungef¨ahr mit den wahren Werten u ¨berein: x(tj ) ≈ q(tj ) , j = 1, . . . , N.

(1.22)

1.2 Evolutionen in der Natur 350

350

300

300

250

250

200

200

150

150

100

100

50

50

0

0 0

50

100

150

200

250

0

50

100

150

200

9

250

Abb. 1.3. Bestimmung von Fmax unter Verwendung von vier (linkes Bild) bzw. drei Datenpunkten (rechtes Bild). Die Kreuze bleiben bei der Rekonstruktion unber¨ ucksichtigt.

Aus q(t) −→ qmax f¨ ur t −→ ∞

(1.23)

wird x(tN ) ≈ qmax , falls tN sehr groß ausf¨allt (in Zeichen tN ≫ 1), folgen. Man sagt : q(t) s¨attigt bei qmax , wenn (1.23) besteht. Wir erreichen eine gute N¨ aherung f¨ ur qmax , sobald eine Rekonstruktion F (t) f¨ ur q(t) in einem Intervall [a, b) bekannt ist, welches die S¨attigungsphase schon zeigt: x(tj ) ≈ qmax f¨ ur einige der Messungen (1.22). Das ist eine Funktion mit F (t) ≈ q(t) f¨ ur alle reellen t ∈ [a, b),

(1.24)

die im vorliegenden Fall zugleich F (t) −→ Fmax , f¨ ur t −→ ∞

(1.25)

erf¨ ullen sollte. Dann wird Fmax eine gute N¨ aherung f¨ ur qmax sein: qmax ≈ Fmax ,

(1.26)

und qmax w¨ are bestimmt. Beachte, dass b durchaus endlich sein kann. Nat¨ urlich muss F (t) aus (1.24) f¨ ur alle t ≥ 0 erkl¨ art sein, damit der Grenzwert (1.25) existieren kann. Folgen wir unter diesem Gesichtspunkt den Daten aus Tabelle 1.3 mit der Rekonstruktion

10

1 Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?

F (t) =

u1 , u1 = 336, u2 = 224, u3 = .0603328 (1.27) 1 + (u2 − 1) exp(−u3 t)

aus (1.20). Die rechte Zeichnung der Abb. 1.2 zeigt ein Bild von (1.27). Offenbar werden die Daten der S¨ attigungsphase gut getroffen. Es sei angemerkt, dass die Daten schon in die S¨ attigung reichen und eine gute N¨aherung bereits den letzten drei Datenpunkten entnommen werden kann. Abbildung 1.3 zeigt zwei Rekonstruktionen auf der Grundlage von vier bzw. nur drei ausgew¨ ahlten Datenpunkten (die jeweils offenen Kreise der Figur 1.3). Die Kreuze bleiben bei der Rechnung unber¨ ucksichtigt, so dass echte Vorhersagen des S¨ attigungswertes vorliegen. Es ist offensichtlich, dass gute Messungen in der rasanten Wachstumsphase von entscheidender Bedeutung sind. Im vorliegenden Fall f¨ uhren die Messungen 3 und 4 nicht zum Ziel. Der f¨ unfte Datenpunkt liefert eine befriedigende Vorhersage der S¨attigung, wenn man davon ausgeht, dass die drei letzten Messungen den Grenzwert einigermaßen wiedergeben.

1.3 Rekonstruktion von Funktionen 1.3.1 Die Aufgabe Wie in Abschnitt 1.2 ist ein Zustand q(t) = (q1 (t) , q2 (t) , . . . , qN (t)) , t ≥ 0

(1.28)

mit zugeh¨ origen Messungen xj (t1 ) , xj (t2 ) , xj (t3 ) , . . . j = 1, . . . , N

(1.29)

gegeben. Finde analytische Ausdr¨ ucke Fj (t) , t ≥ 0 , j = 1 , . . . , N f¨ ur eine Rekonstruktion F (t) = (F1 (t) , F2 (t) , . . . , FN (t)) , t ≥ 0

(1.30)

von (1.28) bez¨ uglich der Daten (1.29). 1.3.2 Ansatzfunktionen Es gen¨ ugt wieder, den Fall N=1 zu verfolgen. Gegeben sind daher reelle Daten

1.3 Rekonstruktion von Funktionen

x(tk ) , k = 1 , . . . , d ,

a ≤ t1 < t2 < . . . < td ≤ b,

11

(1.31)

Messungen einer unbekannten Funktion q(t) , t ∈ [a, b] .

(1.32)

Gesucht ist eine Funktion F (t), welche den Kurvenverlauf von (1.32) f¨ ur t ∈ [a, b] gut repr¨ asentiert und q(t) in diesem Sinne rekonstruiert. Von q(t) kennen wir aber nur die Messungen (1.31), die gesuchte Rekonstruktion F (t) sollte daher die Eigenschaft F (tk ) ≈ x(tk ), k = 1, . . . d,

a ≤ t1 < t2 < . . . < td ≤ b

(1.33)

besitzen. Dazu wird eine geeignete Funktionenfamilie G(t, x1 , . . . , xp )

(1.34)

abh¨ angig von p reellen Parametern x1 , . . . , xp gew¨ahlt. Jede Vorgabe von x1 , . . . , xp legt ein Mitglied der Familie (1.34), die sog. Ansatzfunktionen, fest. Die in Abschnitt 1.2 benutzten Rekonstruktionen (1.27) der acht K¨aferdaten der Tabelle 1.3 geh¨ oren zur Familie G(t, x1 , x2 , x3 ) =

x1 , mit Parametern x1 , x2 , x3 ∈ R. (1.35) 1 + x2 exp(−x3 t)

Die Konstanten u1 , u2 , u3 , welche in (1.27) auftreten, h¨angen mit den Parametern x1 , x2 , x3 so zusammen x1 = u1 , x2 = u2 − 1, x3 = u3 ,

(1.36)

weil offenbar G(t, u1 , u2 − 1, u3 ) =

u1 = F (t) 1 + (u2 − 1) exp(−u3 t)

bei festen Parametern u1 , u2 , u3

(1.37)

aus (1.36) folgt, wenn man die Definition f¨ ur F (t) in (1.27) beachtet. Mit der Wahl einer Familie (1.34) ist eine Vorentscheidung getroffen: Die Suche nach einer geeigneten Rekonstruktion wird nun auf diese Familie eingeschr¨ ankt. Sie ist damit zur¨ uckgef¨ uhrt auf die Angabe von p reellen Zahlen x ¯1 , . . . , x¯p , so dass ¯1 , . . . , x ¯p ) ≈ x(tk ) , k = 1 , . . . , d G(tk , x

(1.38)

stattfindet. Dies ist im Falle von (1.35) bei der Angabe der speziellen Rekonstruktion (1.27) geschehen. Die Berechnung von ’geeigneten‘ Parametern

12

1 Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?

x ¯1 , . . . , x¯p wird im Text im Falle einer in den x1 , . . . , xp linearen Familie (1.34) in Abschnitt 5.5 beschrieben. Jede auf solche Weise durch einen Parametersatz markierte Funktion wird Rekonstruktion F (t) = G(t, x¯1 , . . . , x ¯p ) von q(t) genannt. Es sei darauf hingewiesen, dass oftmals geeignete Ansatzfunktionen aus einem mathematischen Modell erwachsen (vgl. dazu den Unterabschnitt 1.4.1). Mit der Familie (1.34) begegnen uns Funktionen, welche reelle Werte besitzen, aber von p + 1 reellen Zahlen t, x1 , . . . , xp abh¨angen. Zur¨ uck zu den K¨ aferdaten (vgl. Tabelle 1.3) mit den Ansatzfunktionen (1.35), aus denen wir die Teilmenge g1 (t, y1 , y2 ) = G(t, y1 ,

2y1 − 1, y2 ) 3

(1.39)

mit nur zwei Parametern y1 und y2 herausgreifen. Damit wird die Familie (1.35) auf jene Elemente eingeschr¨ ankt, welche die Bedingung 1.5 = G(0, x1 , x2 , x3 ) erf¨ ullen, weil man G(0, x1 , x2 , x3 ) =

x1 1 + x2

und damit auch x1 = 1.5(1 + x2 ) oder x2 =

2x1 − 1, 3

sofort einsieht. Abbildung 1.4 entfaltet die Familie (1.39) um die Datenpunkte, wenn in der Zeichnung links y1 variiert und y2 = .06025 ist oder in der anderen Darstellung y2 l¨ auft, jedoch y1 = 336 auf der Stelle bleibt. 1.3.3 G¨ utemaß einer Rekonstruktion ¯p muss die qualitative Bedingung Zur wirklichen Berechnung von x ¯1 , . . . , x (1.38) eine quantitative Form erhalten. Dazu gehen wir von den Fehlern G(tk , x1 , . . . , xp ) − x(tk ) , k = 1 , . . . , d aus und summieren deren Quadrate d


k=1

(G(tk , x1 , . . . , xp ) − x(tk ))2 ,

(1.40)

1.3 Rekonstruktion von Funktionen 350

13

350 a=500

300

300 a=280

250

c=.09

250

200

200

150

c=.04

150 a=150

100

100

50

50

0

0 0

50

100

150

200

250

c=.02

0

50

100

150

200

250

Abb. 1.4. Die Funktionenfamilie (1.39) bewegt sich u ¨ ber die Daten: Links y2 =.06025, 150 ≤ a = y1 ≤ 500, rechts y1 = 336, .02 ≤ c = y2 ≤ .09. .

um Ausl¨ oschung durch das Fehlervorzeichen zu vermeiden. Die sog. Fehlerquadratsumme d

1
h(x1 , . . . , xp ) := (G(tk , x1 , . . . , xp ) − x(tk ))2 , 2

(1.41)

k=1

ist entstanden, eine reellwertige Funktion von p Ver¨anderlichen mit der offensichtlichen Eigenschaft 0 ≤ h(x1 , . . . , xp ) f¨ ur alle reellen x1 , . . . , xp . Der Faktor 21 in (1.41) vereinfacht einige Rechnungen und macht die zugeh¨ orige Theorie lesbarer. Die quantitative Form der Bedingung (1.38) lautet nunmehr: Finde reelle Zahlen x¯1 , . . . , x ¯p , so dass die Fehlerquadratsumme h(¯ x1 , . . . , x¯p ) unter allen m¨ oglichen anderen minimal wird: h(¯ x1 , . . . , x ¯p ) ≤ h(x1 , . . . , xp ) f¨ ur alle reellen x1 , . . . , xp .

(1.42)

Damit ist gew¨ ahrleistet, dass die Rekonstruktion F (t) := G(t, x ¯1 , . . . , x ¯p ) unter allen in der Familie (1.34) zur Wahl stehenden M¨oglichkeiten die geringsten Abweichungen in den Messpunkten (tk , x(tk )) , k = 1, . . . , d aufweist: F(t) folgt den Messpunkten am besten innerhalb der gew¨ahlten Familie (1.34). Die Suche nach einem optimalen Parametersatz im obigen Sinne ist ganz einfach, wenn die Ansatzfunktionen nur von einem einzigen Parameter x1 = η abh¨ angen:

14

1 Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?

Tabelle 1.4. Sechs Werte der Funktion h(η) auf der Suche nach einem Minimum

η: 200 230 260 290 320 350 .01· h(η): 320.110 193.084 100.195 40.406 12.819 16.642

g2 (t, η). Dazu w¨ ahlen wir unsere acht K¨ aferdaten der Tabelle 1.3 und die Familie (1.39) zusammen mit der Einschr¨ ankung y2 = .06025, so dass die Ansatzfunktionen g2 (t, η) = G(t, η,

2η − 1, .06025) 3

(1.43)

zu den Daten x(tk ) aus Tabelle 1.3 entstehen. Die zugeh¨orige Fehlerquadratsumme 8 1
h(η) = (g2 (tk , η) − x(tk ))2 (1.44) 2 k=1

kann man durch reines Auswerten in einem Intervall [a, b] minimieren. F¨ ur a=200, b=500 und 10 gleichm¨ aßig verteilten Punkten ηj findet man die Werte der Tabelle 1.4, also ein Minimum 12.819 bei η = 320.

Das Ergebnis gibt Anlass, die Auswertung in den deutlich engeren Grenzen a=290, b=350 zu wiederholen. So fortfahrend gewinnt man ein Minimum 10.612 bei ηmin mit (1.45) 331.28185523 ≤ ηmin ≤ 331.28185549, ηmin ist bis auf einen Fehler von 3 · 10−6 bestimmt, und die verbesserte Rekonstruktion F (t) = g2 (t, ηmin ) = G(t, ηmin , 2ηmin − 1, .06025) 3

(1.46)

mit ηmin = 331.281855 ist entstanden. Das Ergebnis legt eine neue Familie von Ansatzfunktionen g3 (t, η) = G(t, 331.281855,

2 · 331.281855 − 1, η) 3

(1.47)

1.3 Rekonstruktion von Funktionen

15

350 300 250 200 150 100 50 0 0

50

100

150

200

250

Abb. 1.5. Die Rekonstruktion (1.48) .

nahe, um die Fehlerquadratsumme 8

h3 (η) =

1
(g3 (tk , η) − x(tk ))2 2 k=1

nunmehr nach dem ehemals zweiten Parameter y2 = η (vgl. (1.39)) zu minimieren. Auf diese Weise wird ein Minimum 10.5244 bei η = .059776. erreicht. Jetzt lautet die Rekonstruktion F (t) = g3 (t, η¯) = G(t, 331.281855,

2 · 331.281855 − 1, .059776), 3

(1.48)

die als Abb. 1.5 dargestellt ist, ein sehr befriedigendes Ergebnis angesichts der benutzten Datenpunkte. Gleichzeitig ist der Wert Fmax = 331.281855 der S¨ attigung erreicht. 1.3.4 Rekonstruktion und Erkenntnis Was haben wir nun gelernt u afer, die unter festen Umweltbedin¨ ber die K¨ gungen beobachtet und einfach gez¨ ahlt wurden? So wird in Abschnitt 1.1.3 am Anfang der Rekonstruktion gefragt. Dort liegen nur die acht Datenpunkte der Tabelle 1.3 vor. Die Rekonstruktion (1.48) hat dem unterliegenden Wachstumsprozess die Gestalt der Abbildung 1.5 gegeben. Die Konstanten 331.281855 und .059776 haben biologische Bedeutung: Maximal werden es 332 K¨ afer in der Population sein, die sich mit der Replikationsrate .06 pro

16

1 Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?

Tag vermehren. Zu der letzten Interpretation m¨ ussen wir besser den Begriff der Ver¨ anderung verstehen. Das ist das Anliegen der n¨achsten Abschnitte. Dann sind wir in der Lage, den dynamischen Prozess, welchen die K¨afer durchlaufen, nachzustellen. Es wird sich zeigen, dass die oben verwendeten Ansatzfunktionen (1.35) nicht beliebig gew¨ ahlt sind.

1.4 Ver¨ anderungen in der Natur 1.4.1 Wie kann man einer ’wahren‘ Evolution auf die Spur kommen? Zur Wiederholung: Eine Evolution wird als Funktion g(t) = (g1 (t), g2 (t), . . . , gN (t)), t ≥ 0 in der Zeit t behandelt. O.B.d.A. ist immer t = 0 der Anfangszeitpunkt der Beobachtung. N bezeichnet die (stets) endliche Anzahl der Gr¨oßen, die zur Beschreibung des Naturgeschehens ausreichen. Es sei noch einmal daran erinnert, dass die Endlichkeit dieser Anzahl angesichts unserer Weise des Erkennens notwendig ist. Bei der Auswahl der Bestimmungsst¨ ucke, die hinter den Komponenten gj (t) stehen, l¨ asst man sich gern von der M¨oglichkeit, mit vertretbarem Aufwand Messungen f¨ ur gj (t) zu erheben, leiten. Schließlich sei auch hier bemerkt, dass es zur genaueren Kennzeichnung der Funktionen gj (t) ausreicht, von einem Natursystem auszugehen, welches eine hinreichende Beschreibung durch nur eine Messgr¨oße zul¨asst, die wir dann ohne Index g(t), t ≥ 0 (1.49) also g : t −→ reelle Zahl

¨ schreiben. Im allgemeinen Fall gelten die nun folgenden Uberlegungen f¨ ur jede Komponente gk (t). Es seien Daten tj , x(tj ), j = 1, . . . , d,

(1.50) asentieren den Zeitbereich [a, b] gut) (die Zeitpunkte tj ∈ [a, b] repr¨ bekannt. Bisher wurde versucht, eine Rekonstruktion F (t) f¨ ur (1.49) in einer frei gew¨ ahlten Familie G(t, x1 , x2 , . . . , xp ) mit geeigneten Eigenschaften zu finden. Ein Polynomansatz G(t, x1 , x2 , . . . , xp ) =

p
i=1

xi ti−1

1.4 Ver¨ anderungen in der Natur

17

liegt wegen seiner einfachen Bauart nahe, wenn die Daten (1.50) kein S¨attigungsverhalten zeigen sollen. Die im Text (Kapitel 5) behandelten Ansatzfunktionen umfassen auch Polynome. Die mathematischen Mittel erfahren eine grundlegende Erweiterung, wenn der Versuch unternommen wird, das Naturgeschehen selbst auf der Grundlage von Gesetzm¨ aßigkeiten einzufangen. Man spricht von einem mathematischen Modell. Dann tritt der gesuchte Zusammenhang (1.49) als L¨osung des Modells auf, so dass die L¨ osungsgesamtheit G(t, x1 , x2 , . . . , xp ) eine geeignete Familie von Ansatzfunktionen liefert. Sogar die Konstanten x1 , x2 , . . . , xp haben biologische Bedeutung, und ihre Zahlenwerte geben Hinweise auf den Ablauf des Geschehens im beobachteten Naturvorgang. Und noch etwas zeichnet die L¨ osungsmenge eines Modells als Ansatzfamilie f¨ ur eine Rekonstruktion aus: Das Ergebnis ist eine Darstellung der gesuchten Funktion g(t) f¨ ur alle Zeiten t ≥ 0 und nicht nur im Zeitintervall der Datenpunkte. Damit werden Vorhersagen u ¨ber das Verhalten der Evolution außerhalb der Daten m¨ oglich, ein deutlich gewachsener Erkenntnisgewinn. Allerdings wird der Aufwand u oßer und lohnt sich nicht, wenn nur Fragen ¨ber ein Modell viel gr¨ im Bereich der Datenpunkte zu kl¨ aren sind. Die Aufstellung eines mathematischen Modells jedoch setzt eine mathe¨ matische Fassung von Ver¨ anderung in der Natur voraus. Hier ist Anderung ¨ im allgemeinen Sinne gemeint: Bewegung von Ort zu Ort, aber auch der Ubergang von Helligkeit zur Dunkelheit, von einer Farbe in die andere, der Wechsel ¨ der Landschaft beim Blick aus dem Flugzeug oder fahrenden Zug, der Ubergang zu neuen Lebensverh¨ altnissen oder Gewohnheiten. Da das Denken alle diese M¨ oglichkeiten als Funktion (1.49) in der Zeit erfasst, muss nur verstanden werden, in welcher Weise Objekte der Art (1.49) Ver¨anderungen erfahren, ¨ eine Uberleitung zum folgenden Unterabschnitt 1.4.2. Zuvor aber ein kurzer Blick zur¨ uck zum Abschnitt 1.1.3. Dort ist von verschiedenen Wachstumsphasen in Abbildung 1.1 die Rede. Das Konzept der Ver¨anderung hilft, solche Unterschiede genauer u ¨ber die Wachstumsgeschwindigkeit zu kennzeichnen. 1.4.2 Ver¨ anderungsrate Gegeben sei die reelle Funktion g(t) im reellen Intervall [a, b].

(1.51)

Was soll die Ver¨ anderung von (1.51) eigentlich sein? Dazu betrachten wir zwei aufeinanderfolgende Punkte t ∈ [a, b], t + h ∈ [a, b] (h > 0) und erkennen in der Differenz g(t + h) − g(t)

die Ver¨ anderung, welche der Funktionswert g(s) erf¨ahrt, wenn s die Wegstrecke h von t nach t + h u ¨berspringt. Auf die Streckeneinheit enf¨allt dann

18

1 Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?

der Anteil

g(t + h) − g(t) , h die Ver¨ anderungsrate. Diese definiert eine Funktion von h allein, denn der Punkt t ist ja fest, weil dort die Ver¨ anderung gerade interessiert. Angenommen, die Rate hat die Gestalt α + ϕ(h) mit einer reellen Konstanten α (1.52) und einer reellen Funktion ϕ(h), 0 ≤ h sowie ϕ(0) = 0.

Dann ist

g(t + h) − g(t) = α + ϕ(h) f¨ ur 0 < h, h

(1.53)

und wir k¨ onnen dem Ausdruck

g(t + h) − g(t) bei h=0 den Wert α zuweisen, h

weil die rechte Seite α + ϕ(0) von (1.53) den Wert α liefert, wenn ϕ(0) = 0 ¨ beachtet wird. Nach dieser Uberlegung nennt man α auch Ver¨anderungsrate von g(s) an der Stelle s=t und benutzt die Schreibweise g(t) ˙ := α.

(1.54)

Die Mathematik spricht von der Ableitung g(t) ˙ der Funktion g(s) an der Stelle s=t. Die mathematische Theorie zeigt, dass die Darstellung (1.53) f¨ ur (fast) alle in der Biologie vorkommenden Funktionen und an allen (interessanten) Stellen t mit geeigneten Ausdr¨ ucken (1.52) besteht. Daher gibt es durchweg eine Ver¨ anderungsrate oder Ableitung g(t). ˙ Letztere ist wieder eine reelle Funktion. Im Text werden die Regeln zur Berechnung von g(t) ˙ in den meistens auftretenden Situationen behandelt. Damit ist zugleich die Grundlage f¨ ur mathematische Modellbildung von Naturph¨anomenen gelegt.

1.5 Mathematische Modelle in der Biologie 1.5.1 Wie kommt mathematisches Denken zum Einsatz? Der Abschnitt 1.4.1 erw¨ ahnt solche Modelle bereits. Im einfachsten Fall geht es darum, die durch einen Naturvorgang bestimmte Evolution (1.49) mit Hilfe eines mathematischen Modells zu kennzeichnen. Wie soll das aber gehen? Antwort: Finde die inneren und ¨ außeren Einfl¨ usse auf das durch g(t) beschriebene Natursystem, welche zu seiner Ver¨ anderung g(t) ˙ beitragen! Diese werden von g(t) selbst abh¨ angen, sobald der Naturvorgang durch die Gr¨oße g(t) allein hinreichend gekennzeichnet ist.

1.5 Mathematische Modelle in der Biologie

19

Das aber heißt in mathematischer Sprache ur eine reellwertige Funktion g(t) ˙ = f (g(t), x1 , . . . , xp ) f¨ (1.55) f (η, x1 , . . . , xp ), wenn man ber¨ ucksichtigt, dass f auch von (unbekannten) Konstanten x1 , . . . , xp , die zur Erfassung der erw¨ ahnten Einfl¨ usse notwendig sind, abh¨angen kann. Damit aber sind wir fertig: Die Form eines mathematischen Modells steht in (1.55): eine Gleichung f¨ ur g(t), die gel¨ ost werden muss, um g(t) wirklich darzustellen und in der Hand zu haben. Das Modell besteht aus einer Differentialgleichung : Das ist immer so, weil die Modellbildung von der Darstellung der Ver¨anderung des Naturgeschehens ausgeht! Was heißt das aber? ¨ Dazu machen wir uns klar, dass (1.55) nur die Anderung z(t) ˙ des Zustands z(t) als Funktion F von z(t) und endlich vielen Konstanten ansetzt: Zustands¨ anderung = F (Zustand und Konstanten) (1.56) z(t) ˙ = F (z(t), x1 , . . . , xp ). Gelegentlich schreibt man einfacher z(t) ˙ = F (z(t)) und rechnet die Parameter x1 , . . . , xp dem Funktionssymbol F zu. Nach (1.7) hat der Zustand eines allgemeinen Systems stets die Form z(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xN (t)). Damit lautet seine Ver¨ anderung z(t) ˙ = (x˙ 1 (t), x˙ 2 (t), . . . , x˙ N (t)), und das durch (1.56) gegebene Prinzip liefert ein mathematisches Modell der Form x˙ j (t) = Fj (x1 (t), x2 (t), . . . , xN (t)) mit reellwertigen Funktionen (1.57) Fj (η1 , η2 , . . . , ηN ), j = 1, . . . , N. Im Sonderfall N = 2 bedeutet (1.57) einfach x˙ 1 (t) = F1 (x1 (t), x2 (t)), (1.58) x˙ 2 (t) = F2 (x1 (t), x2 (t)). Kapitel 3 behandelt den Fall (1.55) der Evolution einer einzigen Gr¨oße und Kapitel 6 zweier Gr¨ oßen also (1.58).

20

1 Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?

1.5.2 Entwicklung einer Population: eine dynamische Gleichung Bleiben wir aber zun¨ achst bei dem einfachsten Fall (1.55) und versuchen, zum Wachstum einer Population die rechte Seite f der Differentialgleichung zu bestimmen. Offenbar tr¨ agt der Umfang g(t) zur Ver¨anderung der Population dadurch bei, dass ihre eigene Vermehrung mit wachsendem Umfang an Fahrt gewinnt. Eine Formalisierung dieses Urteils lautet g(t) ˙ = x1 · g(t),

(1.59)

also f (η) = x1 · η mit einer reellen Konstanten x1 > 0. Nun m¨ ussen beide Seiten von (1.59) dieselbe Dimension haben. Offenbar steht links ’Populationsumfang pro Zeit‘ und rechts ′ x1 · Populationsumfang‘, so dass x1 die Dimension ’pro Zeit‘ besitzen muss, weil nur dimensionsgleiche Gr¨ oßen vergleichbar sind. Beachte das nat¨ urliche Auftreten der (freien) Konstanten x1 . Sie heißt Replikationsrate, eine angemessene Bezeichnung angesichts ihrer Dimension. Es ist klar, dass x1 die Vermehrung kennzeichnet. Das durch (1.59) beschriebene Verh¨altnis der Gr¨oßen g(t) ˙ und g(t) wird Proportionalit¨at genannt. Man sagt auch, beide Gr¨oßen sind proportional zueinander. Zur Ver¨ anderung des Umfangs g(t) einer Population tragen die Umweltverh¨ altnisse bei. Dieser Einfluss soll nun in einem speziellen Aspekt ber¨ ucksichtigt werden. Gemeint ist die Gr¨ oße des Lebensraumes. In einem im Verh¨ altnis zu g(t) großen Areal werden sich die Angeh¨origen der Population weniger begegnen als in einem eher kleinen. Begegnung aber wird proportional zu g(t)2 angesetzt, also g(t) ˙ = −u · g(t)2 (1.60) mit einer Proportionalit¨atskonstanten u > 0. Das Vorzeichen in (1.60) signalisiert, dass der hier beschriebene Einfluss wachstumshemmend wirkt. Unter Ber¨ ucksichtigung nat¨ urlicher Vermehrung und Umwelteinschr¨ankungen gem¨ aß (1.59) und (1.60) finden wir die Bilanz g(t) ˙ = x1 · g(t) − u · g(t)2 oder nach leichter Umrechnung g(t) ˙ = x1 g(t) · (1 − Mit der Setzung x2 :=

x1 u

u g(t)). x1

1.5 Mathematische Modelle in der Biologie

21

lautet die endg¨ ultige Form g(t) ˙ = x1 g(t) · (1 −

g(t) ); x2

(1.61)

die sog. Verhulstgleichung ist entstanden, deren L¨osungen Wachstumskurven erzeugen, die einen nat¨ urlichen Wachstumsprozess sehr gut wiedergeben. Tats¨ achlich geh¨ oren sie alle der Funktionenfamilie (1.35) aus Unterabschnitt 1.3.2 an, die dort als Ansatzfunktionen zur Rekonstruktion der K¨aferdaten aus Tabelle 1.3 verwendet worden sind. Die Verhulstgleichung wird im Text aus verschiedenen Gesichtspunkten genau untersucht (so in den Kapiteln 2, 3 und 6). In Kapitel 6 weist sie den Weg zu einem Modell, welches grundlegende Mechanismen bei der Interaktion zweier Populationen ber¨ ucksichtigt (siehe den Abschnitt 6.7). Kurz zur¨ uck zu (1.61) und der Bestimmung der Dimension der Konstanten x2 . Offenbar muss die Klammer auf der rechten Seite dimensionslos sein, weil sie die Dimension der dimensionslosen Zahl 1 tr¨agt. Daher hat x2 die Dimension ’Populationsumfang‘. Die rechte Seite von (1.61) wird durch die Funktion η f (η, x1 , x2 ) = x1 η · (1 − ) x2 festgelegt und besitzt die in unserem Muster (1.55) verlangte Form. Der Leser sei auf die nat¨ urlich auftretenden Parameter x1 und x2 hingewiesen. Die Deutung von x1 als Replikationsrate ist oben schon erw¨ahnt, jene von x2 als Umweltparameter bedarf einer kurzen Erkl¨ arung. Wir werden lernen, dass alattigen, so dass die Population unter keinen le L¨ osungen von (1.61) bei x2 s¨ Umst¨ anden mehr als x2 Individuen aufweisen wird. Dies ist der maximale Umfang, den die Umweltverh¨ altnisse, welche der Term g(t)2 x2 beschreibt, zulassen k¨ onnen. Ohne diesen Zusatz entsteht (1.59) mit lauter L¨ osungen, die u ¨ ber alle Grenzen wachsen, also eine Population, die beliebig großen Umfang annehmen kann, was eigentlich nicht beobachtet wird. Die durch Verhulst eingebaute Mangelsituation f¨ uhrt zu einem realistischen Bild einer hochwachsenden Gemeinschaft. Wenn x2 den maximalen Populationsumfang misst und wenn man das Wohlergehen der Gemeinschaft an ihrem Umfang ablesen kann, dann muss zu einer wirklich lebensf¨ ahigen Gruppe ein eher großes x2 geh¨oren. In der Natur erwarten wir eine verhaltene Anzahl x2 , die einerseits das Wohlergehen der eigenen Gemeinschaft, aber auch das der anderen Gruppen ber¨ ucksichtigt, die ebenfalls Lebensraum im weiten Sinn beanspruchen d¨ urfen.

22

1 Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?

1.5.3 Ligandenbindung: zwei dynamische Gleichungen Ein Substrat X der festen Konzentration x > 0 bilde mit einem Enzym E0 der Konzentration e0 (t) zum Zeitpunkt t > 0 den Komplex E1 , dessen Konzentration mit e1 (t) bezeichnet werde. Wir fragen nach der Entwicklung von E0 und E1 in einem kleinen Zeitraum, so dass die Konzentration x konstant angenommen werden kann. Dieses nat¨ urliche System ist als Evolution der beiden Gr¨oßen e0 (t) und anderung durch das Netzwerk e1 (t) gekennzeichnet, deren Ver¨ k0 X + E0 ⇋ E1 k−0

(1.62)

¨ beschrieben wird. Der Ubergang von links nach rechts geht proportional zum Produkt xe0 (t) und liefert aus der Sicht von E0 den Beitrag e˙ 0 (t) = −k0 xe0 (t), weil es sich um einen Abfluss handelt. Die R¨ uckreaktion von rechts nach links geht proportional zu E1 und bedeutet einen Zufluss aus der Sicht von E0 . Zusammen findet man die Bilanz e˙ 0 (t) = −k0 xe0 (t) + k−0 e1 (t), wenn k0 > 0 und k−0 > 0 die jeweilige Proportionalit¨atskonstante bezeichnet. Aus der Sicht von E1 treten dieselben Beitr¨ age mit je umgekehrtem Vorzeichen auf, weil Zufluss f¨ ur E0 zum Abfluss aus der Sicht von E1 und umgekehrt wird. Am Ende stehen die beiden Gleichungen e˙ 0 (t) = −k0 xe0 (t) + k−0 e1 (t),

(1.63)

e˙ 1 (t) = k0 xe0 (t) − k−0 e1 (t) oder in der allgemeinen Form (1.58) e˙ 0 (t) = F1 (e0 (t), e1 (t), k0 , k−0 ), e˙ 1 (t) = F2 (e0 (t), e1 (t), k0 , k−0 ). In unserem Sonderfall gilt spezieller F1 (η1 , η2 , x1 , x2 ) = −x1 · x · η1 + x2 · η2 , F2 (η1 , η2 , x1 , x2 ) = −F1 (η1 , η2 , x1 , x2 ), x1 = k0 > 0, x2 = k−0 > 0. Die rechte Seite in (1.63) h¨ angt wie bei der Verhulstgleichung (1.61) vom Zustand (e0 (t), e1 (t)) und zwei Konstanten ab. Diese haben wieder biologische Bedeutung: Der Quotient

1.5 Mathematische Modelle in der Biologie

KD :=

23

k−0 k0

regelt die Intensit¨ at der Bindung von X an E0 in folgender Weise. Im Falle 0 < KD << 1 liegt die Anlagerung mehr auf der Seite der Komplexbildung E1 . Im anderen Fall KD >> 1 ist es umgekehrt. Bindung tritt dann kaum auf, und der Komplex E1 existiert fast nicht. F¨ ur eine fruchtbare Entstehung von E1 ist 0 < KD << 1 notwendig. So erhalten die Konstanten k0 und k−0 durch die Gr¨ oße ihres Verh¨ altnisses KD die Bedeutung der Bewertung einer guten oder schlechten Umsetzung. Das System (1.63) wird im Abschnitt 6.2 analysiert. Den ersten Teil vom Netzwerk (1.62) kann man als Interaktion der ’Populationen X und E0 ‘ ansehen. Sein Einfluss geht mit dem Term k0 · xe0 (t) in die Bilanz (1.63) ein, also einem Term proportional zum Produkt von x und e0 . Dann aber ist es sinnvoll, das Zusammenwirken zweier Populationen X und Y mit den Umf¨ angen x(t) und y(t) durch κ · x(t)y(t), also proportional zum Produkt x(t)y(t) anzusetzen. Genau dies geschieht in Abschnitt 6.7 und ist Grundlage der Argumente, die im Unterabschnitt 1.5.2 zu (1.60) f¨ uhren: dort wirken X und X (also X mit sich selbst) zusammen! 1.5.4 Substratfluss unter anaeroben Bedingungen: zwei dynamische Gleichungen Es geht um Abbauwege von Biopolymeren und ihren Bausteinen u ¨ ber mehrere Stufen bis hin zur letzten Station CH4 oder CO2 .

(1.64)

Dazu sei auf Zehnder et al. [41] verwiesen. Zum Beispiel wird der Umsatz 4C10 H11 O5− + 6HCO3− → 4C7 H5 O5− + 9CH3 COO− + 3H + durch die Organismen Y (hier Acetobacterium woodii) bewerkstelligt (vgl. Bache R., Pfennig, N. [4] und Kreikenbohm, R., Pfennig N. [23]). Schematisch bedeutet dies Y

X = C10 H11 O5− −→ Acetat CH3 COO− ,

(1.65)

eine Station auf einem der Abbauwege, denn Acetat wird von Methanbakterien in die Option Methan (CH4 ) von (1.64) u uhrt. ¨berf¨

24

1 Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik?

Solche Umsetzungen handeln von Organismen Y und Substrat X. Sie verlaufen nach dem Schema Y X −→, das in (1.65) sichtbar wird. Bezeichnet x(t) die Konzentration von X und y(t) den Umfang der Organismen jeweils zum Zeitpunkt t ≥ 0, so beschreibt (x(t), y(t)) ∈ R2 , t ≥ 0 den Zustand von X, Y in der Zeit. Zur Aufstellung dynamischer Gleichungen gehen wir auf den allgemeinen Rahmen zur¨ uck, welcher in Unterabschnitt 1.5.1 abgesteckt wurde: nach (1.58) lautet dieser im Falle von zwei Zustandskomponenten x(t) ˙ = f (x(t), y(t)), (1.66) y(t) ˙ = g(x(t), y(t)) mit Funktionen f (η, σ) und g(η, σ), die aus den Gegebenheiten des Systems zu konstruieren sind. Was sind aber die ’Gegebenheiten des vorliegenden Systems‘ Organismen y(t) und Substrat x(t)? Zun¨ achst sollen die Organismen unter Nutzung des Substrats hochwachsen. Das liefert g(η, σ) = σ · µ(η) mit einer reellwertigen Funktion µ(η) und den Eigenschaften µ(0) = 0 µ(η) > 0 f¨ ur η > 0

ohne Substrat kein Wachstum der Organismen Substrat liefert Wachstum der Organismen.

(1.67)

Damit ist die Dynamik der Organismen y(t) ˙ = y(t) · µ(x(t)) proportional zum Populationsumfang y(t) beschrieben, wobei aber (anders als beim exponentiellen Wachstum) der Proportionalit¨atsfaktor keine Konstante ist, sondern durch den Substratumfang x(t) gesteuert wird: µ(x(t)). Von hier ist es nur ein Schritt zu einer allgemeinen Annahme u ¨ ber die Dynamik von x(t): Das Substrat soll proportional zum Zuwachs von y(t) an Fahrt verlieren: x(t) ˙ = −Konstante · [y(t) · µ(x(t))]. Die Dimension von x˙ ist Konzentration pro Zeit, und jene von y˙ lautet Populationsumfang pro Zeit. Wegen

1.5 Mathematische Modelle in der Biologie

25

x(t) ˙ = −Konstante · y(t) ˙ findet man Dimension der Konstanten = Konzentration pro Populationsumfang, so dass die neue Gr¨ oße γ := Konstante−1 die Dimension Populationsumfang pro Konzentration Substrat und damit die Dimension eines Ertrages erh¨ alt. Das vollst¨andige dynamische System f¨ ur X, Y lautet nunmehr x(t) ˙ = −γ −1 · [y(t) · µ(x(t))], mit dem Ertrag γ > 0 und den Voraussetzungen (1.67) f¨ ur µ(η),

(1.68)

sowie y(t) ˙ = y(t) · µ(x(t)). Damit sind die ’Gegebenheiten des Systems‘ genannt und zugleich in formalisierter Sprache als (1.68) gefasst. Es bleibt der Analyse von (1.68) u ¨ berlassen zu erfahren, wie wirklich alle L¨ osungen x(t), y(t) aussehen und ob deren Verhalten mit jenem des Natursystems X, Y u ¨ bereinstimmen, dazu die Ausf¨ uhrungen in Abschnitt 6.3. 1.5.5 Streitbare Populationen: zwei dynamische Gleichungen Wie in den vorigen Unterabschnitten geht es wieder um die Evolution eines zweidimensionalen Zustands z(t) = (x(t), y(t)) ∈ R2 .

(1.69)

Diesmal werden zwei Populationen X, Y betrachtet, deren Umf¨ange zum Zeitpunkt t ≥ 0 in (1.69) angegeben sind. Die mathematische Beschreibung nimmt somit die Form x(t) ˙ = f (x(t), y(t)), (1.70) y(t) ˙ = g(x(t), y(t)) an. Zur Bestimmung der Funktionen f (η, σ), g(η, σ) ben¨ otigen wir Kenntnisse u ¨ ber das Zusammenwirken von X und Y. Ein R¨ auber-Beute-Verhalten soll simuliert werden: dazu das Netzwerk

26

1 Warum verwendet ein Biologe eigentlich Mathematik? k

0 2X (nat¨ urliche Vermehrung der Beute), X −→

k

1 X + Y −→ 2Y (die R¨ auber vermehren sich auf Kosten der Beute),

Y

(1.71)

k

2 −→ (nat¨ urliches Sterben der R¨auber),

welches sofort das gesuchte Modell x(t) ˙ = k0 x(t) − k1 y(t)x(t),

(1.72)

y(t) ˙ = k1 y(t)x(t) − k2 y(t) und damit auch die fehlenden Funktionen f (η, σ) = k0 η − k1 ση, g(η, σ) = k1 ση − k2 σ festlegt. Die Aufstellung von (1.72) aus dem ’chemischen‘ Netzwerk (1.71) verwendet die Prinzipien von Unterabschnitt 1.5.3 zur Behandlung von (1.62).

Die Dynamik (1.72) kann auch in der Form x(t) ˙ = x(t)(k0 − k1 y(t)),

(1.73)

y(t) ˙ = y(t)(k1 x(t) − k2 ) geschrieben werden. Daraus entsteht (vgl. Abschnitt 6.7) das allgemeine Modell x(t) ˙ = x(t)F (αF x(t) + βF y(t)), (1.74) y(t) ˙ = y(t)G(αG x(t) + βG y(t)), zur Beschreibung gemeinsamer Evolutionen von zwei Populationen X und Y mit reellen Funktionen F (η), G(η) und den Konstanten αF , βF αG , βG ∈ R. Man erkennt den analogen Bau von (1.73) und (1.74), dabei ist (1.73) aber kein Sonderfall von (1.74). Das allgemeine Verhalten der L¨osungen von (1.74) wird im Abschnitt 6.7 auseinandergesetzt. Das Netzwerk (1.71) ist die Br¨ ucke von der qualitativen Sprachform ’R¨ auber-Beute-Verhalten‘ zum formalisierten ’R¨auber-Beute-Modell‘ (1.73),

1.5 Mathematische Modelle in der Biologie

27

die aus der Chemie u ¨ bernommen wird, um Reaktionsabl¨aufe zu verstehen. Ein Beispiel ist (1.62): k0 X + E0 ⇋ E1 . k−0 Dieses Netzwerk handelt von lauter chemischen Reaktionen, die so tats¨achlich stattfinden. Demgegen¨ uber liefert (1.71) nur eine Veranschaulichung von dem, was wirklich geschieht und setzt dies in Analogie zum Ablauf einer chemischen Reaktion: Ist die Vorstellung, dass das Zusammenwirken zweier Populationen wie zwei chemische Reaktanden funktioniert, nicht doch sehr naheliegend? Kapitel 6 wird zeigen, dass fast alle dort behandelten Systeme (1.70) lauter L¨ osungen besitzen, deren qualitatives Verhalten mit dem der skalaren Evolutionen aus Kapitel 3 vergleichbar sind. So wird das Langzeitverhalten in aller Regel station¨ ar werden. Das entspricht aber nicht der Wirklichkeit, die uns umgibt: Wir sehen immer wieder periodische Vorg¨ ange: Die Zyklen beschrieben durch Tag und Nacht, Sommer und Winter, von einem Jahr zum anderen sind nur Beispiele. Die R¨ auber-Beute-Aktion (1.71) definiert auch einen Zyklus und ist somit anders als die bisher genannten Systeme (1.70), ein guter Grund, das System (1.73) als mathematische Beschreibung von (1.71) in Unterabschnitt 6.4 zu untersuchen.

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

2.1 Das Geschehen in diesem Kapitel Die Rede u ¨ ber Mathematik in der Biologie muss bei der Biologie beginnen. Die Biologie aber beobachtet, sammelt Fakten, macht Experimente, produziert Daten in Form von Zahlenreihen, z.B. jene aus den Tabellen 2.1, 2.2. Solche Zahlenreihen treten typischerweise als Paare auf: Zu einem Zeitpunkt t nimmt eine Messgr¨ oße den Wert x an. Damit ist eine Abh¨angigkeit x(t) von x und t festgestellt, ein erster Hinweis auf den fundamentalen Funktionsbe¨ griff, welcher unsere Uberlegungen in Gang setzt. Die besondere Abh¨angigkeit einer Gr¨ oße von der Zeit beschreibt die Entwicklung jener Gr¨oße. Wir werden im folgenden Text dieses Geschehen Evolution nennen: Evolution und Entwicklung in der Zeit bezeichnen dasselbe! Entwicklung in der Zeit aber zieht Ver¨ anderung nach sich: Im Zuge der Evolution ver¨ andert sich die in Rede stehende Gr¨oße x! Diese Ver¨anderung zum Zeitpunkt t wird durch die Ableitung x(t) ˙ der Funktion x(t) beschrieben. Daher muss die Differentialrechnung entwickelt werden. Lernziele sind das Verst¨ andnis f¨ ur Funktionen (Abschnitt 2.4) und ihre Ableitungen (Abschnitt 2.5). Im Verlaufe des Textes wird deutlich, dass nach und nach Hilfsmittel entstehen, um den Verlauf von Evolutionen genauer zu beschreiben. In der Biologie ist sigmoides Geschehen weit verbreitet. Mathematisch sind Kr¨ ummungsverhalten und S¨ attigung angesprochen. So werden Kr¨ ummung, Wendepunkte, Maxima und Minima sowie das Grenzwertgeschehen f¨ ur große Zeiten t untersucht. Dies geschieht im Unterabschnitt 2.6. Grundlage f¨ ur alles bisher Gesagte ist ein Verst¨andnis f¨ ur Zahlen, dazu der Unterabschnitt 2.3.

30

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

2.2 Entwicklung von Populationen 2.2.1 Zwei Experimente Zu den experimentell relativ einfach zug¨ anglichen Beobachtungsgegenst¨anden der Biologie geh¨ oren Populationen allgemeiner Art: z.B. Tiere oder Pflanzen, aber auch Zellkulturen oder Ansammlungen gleichartiger Molek¨ ule. Von Insekten handelt folgender Text (aus Varley [36]): ’Viele Insekten k¨ onnen in kleinen Gef¨ aßen gez¨ uchtet werden. Man kann die Zuchten fast unbegrenzt halten, indem man sie regelm¨aßig mit Futter versorgt, oder das Futter in regelm¨aßigen Zeitabst¨anden erneuert. Wenn M¨ oglichkeiten gefunden werden, die vorhandenen Tiere auszuz¨ ahlen, k¨ onnen wir beobachten, wie sich die Populationsdichte unter konstanten Bedingungen im Ablauf der Zeit ver¨andert. Diese Experimente werden gew¨ ohnlich in einem Klimaschrank bei konstanter Luftfeuchtigkeit und konstanter Temperatur durchgef¨ uhrt, so dass die Bedingungen ¨ außerst k¨ unstlich sind; aber solche Experimente haben in wissenschaftlichen Untersuchungen eine alte Tradition, weil sie die Kontrolle aller Variablen mit Ausnahme der Individuenzahl gestatten. Unter solchen einschr¨ ankenden Bedingungen w¨achst die Bedeutung der intraspezifischen Konkurrenz um Nahrung und Raum, und ihre Auswirkungen k¨ onnen relativ gut isoliert werden. ... Um mit einem einfachen Beispiel zu beginnen, sei der folgende Versuch beschrieben: Crombie [11] startete Zuchten des Getreidekapuziners Rhizopertha dominica, eines kleinen Bostrychiden, mit einzelnen K¨aferpaaren in 10g Weizen (ca. 200 K¨ orner). Die K¨orner waren durch leichten Druck ’angeknackt‘ worden. Das Weibchen legt seine Eier nur in derartige Risse. Jede Woche wurden die K¨ orner durchgesiebt, ihr Gewicht auf 10g mit frisch gequetschten K¨ ornern aufgef¨ ullt, und Fraßmehl und Kot wurden weggeworfen. Mit Hilfe dieses Verfahrens wurde das Nahrungsangebot ann¨ ahernd konstant gehalten. Die K¨afereier, Larven und Puppen blieben in den K¨ ornern verborgen und wurden nicht gez¨ahlt, aber die lebenden und toten adulten K¨afer wurden alle 2 Wochen gez¨ ahlt.‘ Das Experiment handelt vom Wachstum einer K¨aferpopulation. Als Ergebnis erh¨ alt der Experimentator die Tabelle 2.1, in welcher x die Anzahl der K¨ afer und t den zugeh¨ origen Zeitpunkt (in Tagen) bedeuten. Eine ganz andere Population untersuchte T. Carlson: Es handelt sich um Hefezellen. Dazu folgendes Zitat aus Carlson [9]: ’Diese Untersuchungen u ¨ber die Hefevermehrung wurden in weithalsigen, mit zwei eingeschmolzenen Tuben neben dem Halse versehenen Jena-Extraktionskolben (Fassungsraum ca. 3/4 L) angestellt... Die Kolben wurden mit 500 ccm W¨ urze gef¨ ullt und in diesen rotierte ein propellerf¨ ormiger Umr¨ uhrer, der eine effektive Mischung und

2.2 Entwicklung von Populationen

31

Tabelle 2.1. Wachstum einer K¨ aferpopulation aus Crombie

t x

0 2

14 2

28 2

35 3

42 17

49 65

63 119

77 130

91 175

105 205

t x

119 261

133 302

147 330

161 315

175 333

189 350

203 332

231 333

245 335

259 330

Verteilung der Hefezellen herbeif¨ uhrte. Das angewendete sterile Gas musste, um mit Wasserdampf ges¨ attigt zu werden, vor der Einf¨ uhrung steriles, destilliertes Wasser passieren. S¨ amtliche Glasgef¨aße waren in einen ger¨ aumigen Thermostat, dessen Temperatur auf 30◦ C (±0.05◦) gehalten wurde, gestellt. Der Hals und die Seitentuben der G¨arungskolben waren zur Verhinderung von Luftinfektion mit steriler Watte bedeckt, außerdem wurde der Kolben mit gef¨ ullter W¨ urze im Autoklav sterilisiert. Die in der vorliegenden Arbeit mitgeteilten G¨arungsversuche sind s¨ amtlich mit Anwendung von W¨ urze von einer Presshefefabrik (Stockholm) ausgef¨ uhrt und bilden Proben von zwei verschiedenen Herstellungstagen. Die W¨ urze war aus Gerstenmalz und Roggen bereitet und wies eine Konzentration von 11.8◦ (A) resp. 12◦ (B) Balling auf; der Zuckergehalt, worunter hier alles, was alkalische Kupferl¨ osung reduziert, verstanden wird, wurde auf 9.8% (A) resp. 10.1% (B), berechnet nach der Reduktionsf¨ahigkeit bei reiner Maltose, bestimmt. Die von dem Zymotechnischen Laboratorium, Stockholm, erhaltene Hefekultur bestand aus einer typischen Oberhefe mit großen, gleichf¨ ormigen Zellen, die eine ausgepr¨agte Glykogenreaktion ¨ gaben; die Hefe wurde ca. 24 Stunden von der Uberimpfung in die Versuchsw¨ urze in gehopfter Bierw¨ urze gez¨ uchtet. Mittels steriler Pipetten wurden 10 bis 20 ccm der G¨ arungsfl¨ ussigkeit nach genau festgesetzten Zeitr¨ aumen herausgenommen und in Alkalil¨osung von abgepasster Konzentration laufen gelassen, wonach die vorhandene Zellmenge durch Zentrifugierung in dem unten beschriebenen Messr¨ohrchen volumetrisch bestimmt wurde. Es trat keine Infektion auf.‘ Wie oben ist das Ergebnis des Experiments eine Zahlentabelle (vgl. Tabelle 2.2). Die Zeit t hat die Einheit Stunden, und der Umfang y der Population der Hefezellen ist in µL Zellvolumen pro 100 mL Medium angegeben. Die Zahlen in der y-Zeile stammen nicht aus direkten Messwerten, sondern sind aus solchen errechnet (vgl. Carlson [9]).

32

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung Tabelle 2.2. Entwicklung einer Population von Hefezellen aus Carlson

t y

1 18.3

2 29

3 47.2

4 71.1

5 119.1

6 174.6

7 257.3

8 350.7

9 441

t y

10 513.3

11 559.7

12 594.8

13 629.4

14 640.8

15 651.1

16 655.9

17 659.6

18 661.8

2.2.2 Vom Experiment zur mathematischen Beschreibung ¨ Die Beispiele in 2.2.1 legen einige einfache theoretische Uberlegungen nahe, die sofort in den Gegenstand unserer Betrachtungen einf¨ uhren. Zun¨achst sind die geschilderten Situationen aus mathematischer Sicht v¨ollig gleich. Daher gen¨ ugt es, sich auf eines der Beispiele zu konzentrieren. Wir w¨ahlen den Versuch mit den K¨ afern der Tabelle 2.1. Diese besteht aus zwei Zahlenkolonnen, genauer sind es nat¨ urliche Zahlen N = {0, 1, 2, . . .} (zur Mengenklammer {. . .} vgl. die Abschnitte 2.3.1 und 2.3.3). Man sagt, die Resultate x der Messungen geh¨ oren zur Menge N und schreibt daf¨ ur x ∈ N. Wir k¨onnen die 350 300

Käfer x

250 200 150 100 50 0 0

50

100

150

200

250

Zeit t [Tage]

Abb. 2.1. Graphische Darstellung der K¨ aferdaten

Zahlenreihen in ein Koordinatensystem eintragen und finden die Abb. 2.1. Man sieht, dass das Wachstum allm¨ ahlich zur¨ uckgeht: Die Population s¨attigt. Unsere beiden Zahlenreihen sind nicht unabh¨ angig: Jedem Zeitpunkt t ist eine Anzahl x an K¨ afern zugeordnet, oder in Zeichen t → x oder x(t).

(2.1)

2.2 Entwicklung von Populationen

33

Z.B. ist (vgl. Tabelle 2.1) x(14) = 2, x(119) = 261, x(203) = 332. Eine Zuordnung dieser Art nennen wir Funktion. Wir sagen: x ist eine Funktion der Zeit t. Es f¨ allt auf, dass x nur f¨ ur gewisse nat¨ urliche Zahlen durch unsere Tabelle gegeben ist. Im Prinzip gibt es aber zu jedem Zeitpunkt ’zwischen den Messungen‘ K¨ aferanzahlen, Abb. 2.1 ist eine ’diskrete Darstellung‘ einer urspr¨ uglich kontinuierlichen Situation, verdeutlicht durch den Kurvenzug in Abb. 2.2, der zun¨ achst ’mit freier Hand‘ den Messpunkten folgend eingezeichnet wird. Nun ist tats¨ achlich jedem Zeitpunkt t auf dem waagerechten

350 300

Kaefer x

250 200 150 100 50 0 −50 −50

0

50

100

150

200

250

300

Zeit t [Tage]

Abb. 2.2. Kontinuierliche Approximation der K¨ aferdaten

Zeitstrahl eine Anzahl x(t) an K¨ afern zugeordnet. Freilich kann x(t) nicht mehr notwendig zu N geh¨ oren: Die K¨ aferzahl liegt in den reellen Zahlen R, ebenso wie t ∈ R gilt: t ∈ R → x(t) ∈ R. (2.2) Die Messpunkte sind aus der Abb. 2.1 u ¨ bernommen. Ein Blick auf die Tabelle 2.1 lehrt, dass (2.2) so nicht stehen bleiben darf: Da sich der Beobachtungszeitraum vom Zeitpunkt TA = 0 bis zum Zeitpunkt TE = 259 erstreckt, k¨onnen wir aus dieser Messung nur Werte zwischen TA und TE erwarten. TA und TE definieren das reelle Intervall [TA , TE ] = {t ∈ R : TA ≤ t ≤ TE } = [0, 259]

(2.3)

(zur Mengenklammer {...} vgl. die Abschnitte 2.3.1 und 2.3.3). Die Relation t1 ≤ t2 f¨ ur zwei reelle Zahlen t1 und t2 besagt, dass die links von ≤ stehende Zahl t1 kleiner als die rechts stehende Zahl t2 ist oder aber mit dieser u ¨ bereinstimmt. So sind 5 ≤ 7.87 aber auch 3.5 ≤ 3.5 richtige Aussagen. Mehr dazu in den Abschnitten 2.3.2 und 2.3.4. Offenbar geh¨ort die Zahl 15 zu [0, 259], aber 340 nicht, in Zeichen: 15 ∈ [0, 259], 340 ∈ [0, 259].

34

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

Wir sagen, die Funktion x ist definiert auf [TA , TE ], oder das Intervall [TA , TE ] ist der Definitionsbereich von x. 2.2.3 Ver¨ anderungen Soweit werden zwei Begriffe, die f¨ ur die Naturbeschreibung wichtig sind, separiert: Zahlen (als Messwerte von Gr¨ oßen) und Funktionen (zur Beschreibung von Vorg¨ angen in der Natur). Wir m¨ ussen den Begriff der Ver¨ anderungsrate (als Analogon f¨ ur Ver¨ anderung im weitesten Sinne) hinzuf¨ ugen: Das Wachstum unserer K¨ aferpopulation wird als deren Ver¨anderung beschrieben! Der Quotient x(t2 ) − x(t1 ) Q([t1 , t2 ]) = (2.4) t 2 − t1 heißt durchschnittliche Ver¨ anderung von x(t) im Intervall [t1 , t2 ] = {t ∈ R : t1 ≤ t ≤ t2 }

(2.5)

oder Differenzenquotienten der Funktion x. Es ist lehrreich, einige Quotienten (2.4) aus unserer Tabelle 2.1 auszurechnen: Dazu geben wir Anfangsund Endpunkt von [t1 , t2 ] und den zugeh¨ origen Wert (2.4) an. Tabelle 2.3 Tabelle 2.3. Durchschnittliche Ver¨ anderung bei der K¨ aferpopulation.

t1 t2 Q([t1 , t2 ])

0 14 0

28 35 .1428

77 91 3.2142

119 133 2.9285

161 175 1.2857

231 245 .1428

zeigt einige Zahlen. Die Differenzenquotienten der letzten Zeile schwellen an und nehmen dann wieder ab. Sie sind deutlich verschieden in einzelnen Zeitintervallen. Nach Tabelle 2.1 treten auch negative Werte auf, z.B. Q([189, 203]) = −1.2857. Dies passt nicht zu unseren Vorstellungen einer hochwachsenden Population. Das Resultat liegt aber an den Daten, nicht an der Definition (2.4). ¨ Ubung 1. Die in der Tabelle 2.1 verzeichneten Zeitpunkte seien t1 , . . . , t20 . Berechne die durchschnittlichen Ver¨ anderungsraten v¯i =

x(ti+1 ) − x(ti ) , i = 1, . . . , 19 ti+1 − ti

in den Intervallen [ti , ti+1 ], wobei die Zuordnung x : ti → x(ti ) durch Tabelle 2.1 gegeben ist. Zeichne die Funktionen f : i → ti , i = 1, . . . , 20 und g : ti → v i , i = 1, . . . , 19 in zwei Diagramme.

2.2 Entwicklung von Populationen

35

¨ Ubung 2. Berechne die durchschnittlichen Ver¨ anderungsraten v i der Funktion x(t) = t3 1 ur i = 2, 4, 6, 8. Zeichne die Funktionen x und Ti : in den Intervallen [0, i ] f¨ t → v i t, i = 2, 4, 6, 8 in ein gemeinsames Diagramm. F¨ ur eine erfolgreiche Naturbeschreibung hilft der Begriff der durchschnittlichen Ver¨ anderung nicht viel weiter, da er nur f¨ ur Intervalle erkl¨art ist. Vielmehr ben¨ otigen wir den hieraus abgeleiteten Begriff der Ver¨ anderungsrate in einem festen Zeitpunkt t. Dieser ordnet jedem t des Beobachtungsintervalls eine Ver¨anderungsrate x(t) ˙ der Funktion x(t) zu. Andere Schreibweisen sind: x′ (t), dx . Die Ver¨ a nderungsrate x(t) ˙ ist wieder eine Funktion, die dt Ableitung von x. Sie entsteht aus Quotienten x(t + τ ) − x(t) τ

(2.6)

f¨ ur τ = 0 bei nach 0 strebendem τ -Wert. Es handelt sich also um die durchschnittliche Ver¨ anderungsrate (2.4) auf dem Zeitintervall [t, t + τ ] (τ > 0) bzw. [t + τ, t] (τ < 0), welches f¨ ur τ gegen 0 auf den Zeitpunkt t zusammenschmilzt. Das Resultat ist dann nurmehr von t abh¨ angig: x(t). ˙ Nat¨ urlich muss die Funktion x in einem Intervall um den Punkt t definiert sein. 2.2.4 Ratengleichungen Wir kehren zur K¨ aferpopulation von Abb. 2.2 zur¨ uck und m¨ochten ihren Verlauf x(t) in der Zeit t beschreiben. Noch mehr interessieren uns die inneren Gesetzm¨ aßigkeiten, die Abb. 2.2 m¨ oglich machen und damit die Daten aus Tabelle 2.1 erkl¨ aren. Zu diesem Ende versuchen wir, einen Zusammenhang zwischen der Ver¨ anderungsrate x(t) ˙ und dem Populationsumfang x(t) herzustellen. Das f¨ uhrt zu Ratengesetzen oder Ratengleichungen, aus denen man x(t) ausrechnen kann. Die einfachste Vorstellung besteht darin, die Ver¨anderungsrate x(t) ˙ proportional zum Umfang der Population x(t) anzunehmen. Dann gibt es eine Zahl R > 0, den Proportionalit¨ atsfaktor, mit x(t) ˙ = Rx(t) f¨ ur t ≥ 0.

(2.7)

Da x die Dimension [Populationsumfang] und x˙ die Dimension [Populationsumfang × Zeit−1 ] hat, verlangt (2.7) [Populationsumfang × Zeit−1 ] = R · [Populationsumfang], so dass

36

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

R die Dimension [Zeit−1 ]

(2.8)

haben muss, damit auf beiden Seiten von (2.7) dieselben Dimensionen stehen. (2.7) ist eine Differentialgleichung, in den Naturwissenschaften auch Ratengleichung genannt. Sie w¨ urde den Umfang x(t) der Population weitgehend bestimmen, wenn auf ihrer rechten Seite die wesentlichen Wachstumseinfl¨ usse ber¨ ucksichtigt w¨ aren. Das werden die Ergebnisse aus den Abschnitten 3.2 und 3.6 zeigen. Zuvor wollen wir jedoch testen, ob (2.7) im Falle der K¨aferpopulation aus Tabelle 2.1 so richtig sein kann. Dazu wenden wir (2.7) auf die Messungen an. Diesen m¨ usste eine geeignete Konstante R zugeordnet sein, so dass z.B. x(0) ˙ = Rx(0) = 2R, x(42) ˙ = Rx(42) = 17R zutreffen. Weitere Werte zeigt die Tabelle 2.4. Diese signalisiert eine immer Tabelle 2.4. Tabelle 2.1 und die Ratengleichung (2.7)

t x(t) ˙

0 2R

35 3R

42 17R

133 302R

175 333R

raschere Zunahme der Population im Gegensatz zu unseren Beobachtungen in den Abschnitten 2.2.2 und 2.2.3 (vgl. insbes. Tabelle 2.3). Es muss also einen Einfluss geben, der das Wachstum bremst, und dieser muss auf der rechten Seite von (2.7) angebracht werden. Wir finden einen solchen Faktor in der Feststellung, dass die Population ihr Wachstum einschr¨ankt, sobald ihr Lebensraum zu klein wird. Das aber ¨ außert sich darin, dass sich die Individuen der Population (h¨ aufig) treffen. Die Begegnung von X mit X modellieren anderungsrate vermindert sich also um einen wir durch xx = x2 . Die Ver¨ Anteil, der proportional zu x2 ist. Wir setzen den Proportionalit¨atsfaktor gleich RK −1 mit einer neuen Konstanten K > 0 und dem R aus (2.8). Damit wird (2.7) erg¨ anzt und lautet nunmehr x(t) ˙ = Rx(t) −

R x(t)2 , t ≥ 0. K

(2.9)

Die Dimensionen von R, x(t) und Rx(t)2 sind der Reihe nach [Zeit−1 ], [Populationsumfang] und [(Populationsumfang)2× Zeit−1 ]. Daher hat die neue Konstante K die Dimension [Populationsumfang], (2.10) weil wie schon oben auf beiden Seiten von (2.9) Ausdr¨ ucke derselben Dimension stehen m¨ ussen

2.2 Entwicklung von Populationen

37

Populationsumfang = Zeit Populationsumfang Populationsumfang Populationsumfang − × . Zeit Zeit K Wir k¨ onnen (2.9) auch in der Form   x(t) x(t) ˙ = Rx(t) 1 − , t≥0 (2.11) K schreiben. Diese Differentialgleichung wurde 1838 von P.F. Verhulst [37] angegeben und heißt heute nach ihm Verhulstgleichung. Die Konstante K aus (2.10) modelliert die Umwelteinfl¨ usse, denen die Population ausgesetzt ist, in pauschaler Weise. Hier k¨onnen mehrere Faktoren eine Rolle spielen: der Lebensraum, die Nahrung, das Licht, die Temperatur usw. Es stellt sich sp¨ ater heraus, dass x(t) nach langer Zeit t gegen K strebt. K misst also, wie viele Individuen (vgl. die Dimension von K in (2.10)) letztlich zur Population geh¨ oren werden. Daher interpretieren wir großes K > 0 (wir schreiben K >> 1 und sagen K sehr groß gegen 1) als gute Umweltbedingungen und kleines K > 0 (wir schreiben 0 < K << 1 und sagen K sehr klein gegen 1) als schlechte Umweltbedingungen. Grunds¨atzlich ist K nat¨ urlich selbst wieder eine dynamische Gr¨ oße, f¨ ur die wieder eine dynamische Gleichung hinzuschreiben w¨ are. Dieser Aspekt f¨ uhrt tiefer in die Modellbildung und sei zun¨ achst ohne Belang. Es ist nicht ohne weiteres klar, dass (2.11) den oben beschriebenen Nachteil des Modells (2.7) u onnen wir erst an sp¨aterer Stelle (vgl. ¨berwindet. Dies k¨ die Abschnitte 2.4.6 und 2.5.5) einsehen, wenn die Entwicklung der mathematischen Theorie weiter fortgeschritten sein wird. Sollte (2.11) erfolgreich die Abb. 2.2 erkl¨aren, dann gibt es Grund zu der Annahme, dass die Population der K¨ afer auf der Grundlage einer Gesetzm¨ aßigkeit w¨ achst, die durch zwei Faktoren gekennzeichnet ist: (i) Replikation proportional zum Populationsumfang, (ii) Begrenzung durch Umwelteinfl¨ usse. Unser oben gestecktes Ziel, die Gesetzm¨ aßigkeit, die zu Abb. 2.2 f¨ uhrt, zu verstehen, w¨ are erreicht! 2.2.5 Ausblick Die nun folgenden Abschnitte 2.3 - 2.5 konzentrieren sich auf das Verst¨andnis einer Ratengleichung. Wir w¨ ahlen die Verhulstgleichung (2.11) als Muster und Fragen nach den Teilen, aus denen sie zusammengesetzt ist: Im Einzelnen fragen wir

38

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

in 2.3 nach t, also nach Zahlen, in 2.4 nach x(t), also nach Funktionen und in 2.5 nach x(t), ˙ also nach Ver¨ anderungen. Alle Themen sind Anlass, verschiedene Fragen der Biologie aufzugreifen. So leiten uns die nat¨ urlichen Zahlen zu kombinatorischen Betrachtungen bei Enzymaktionen und in der kinetischen Gastheorie. Funktionen sowie Ver¨ anderungen bereiten den Boden, die oben aufgeworfenen Fragen zur Populationsdynamik zu beantworten. Gleichzeitig besch¨aftigen wir uns mit den Anf¨ angen der Enzymkinetik. Hier werden die Untersuchungen im Abschnitt 2.6 eine zentrale Rolle spielen. Die Beziehung (2.11) selbst, deren Bauteile dann klar sein werden, ist Thema von Kapitel 3.

2.3 Kombinatorik in der Biologie: Zahlen 2.3.1 Eine kombinatorische Aufgabe der Enzymkinetik Die nat¨ urlichen Zahlen N treten im Prozess des Z¨ahlens automatisch auf, verst¨ andlicherweise niemals die Menge N als Gesamtheit, sondern immer nur endliche Abschnitte 1, 2, . . . , N, (2.12) wenn N beliebige Dinge gegeben sind. N selbst ist ein logisches Konstrukt. Gegeben sei ein Enzym E mit N Bindungsstellen f¨ ur ein Substrat X. Die Wechselwirkung von E mit X erfolgt derart, dass eine Anzahl von i Bindungsstellen durch das Substrat besetzt werden. Mit jedem Anlegen eines Substratmolek¨ uls an einem Bindungsplatz entsteht ein neuer Komplex des Ausgangsmolek¨ uls. Wir unterscheiden also zun¨achst zwischen dem unbesetzten E-Molek¨ ul, dem einmal besetzten E-Molek¨ ul usw. (siehe auch Abb. 2.3). F¨ ur die Konzentrationsberechnung solcher Komplexe ist es daher wichtig zu

Bindungs−

Bindungs−

Bindungs−

Bindungs−

platz 1

platz 2

platz 3

platz 4

Bindungs−

Bindungs−

Bindungs−

platz 1

platz 3

platz 4

Abb. 2.3. Schematische Darstellung eines Enzyms als Sequenz der Bindungsstellen.Oben: unbeladenes Protein, unten: nur Platz 2 ist beladen

2.3 Kombinatorik in der Biologie: Zahlen

39

wissen, auf wie viele Weisen i Bindungsstellen besetzt sein k¨onnen. Damit begegnet folgende Grundaufgabe der Kombinatorik: Es seien N Elemente gegeben, und es sei i eine nat¨ urliche Zahl mit 1 ≤ i ≤ N . Es sollen i Elemente aus den N gegebenen Elementen ausgesondert werden. Auf wie viele verschiedene Weisen k¨onnen wir i Elemente aus einer Gesamtheit von N gegebenen Elementen herausgreifen? Bevor wir zur L¨ osung kommen, m¨ ussen wir die Vorgehensweise genauer pr¨ azisieren: Die Elemente werden mit den ersten N Zahlen bezeichnet. F¨ ur i = 1 findet man die N M¨ oglichkeiten der einpunktigen Mengen {1}, {2}, . . . , {N }. Sie enthalten genau ein Element: Die Mengenklammer bindet die Elemente (hier genau eins) zur Menge zusammen. Eine kompliziertere Situation entsteht schon f¨ ur i = 2. Nun wird nach allen Paaren {Zahl, Zahl} gefragt. Wir schreiben einige Paare hin, und machen jeweils darauf aufmerksam, welche theoretischen M¨ oglichkeiten bei unserem Z¨ahlexperiment unber¨ ucksichtigt bleiben: i=2: {1, 2}, {1, 3}, . . . , nicht aber: {1, 1} (ohne Wiederholung!), . {2, 3}, {2, 4}, . . . , nicht aber: {2, 1}, weil {2, 1} = {1, 2} (ohne Anordnung!), {3, 4}, {3, 5}, . . . , nicht aber: {3, 1}, {3, 2}, weil {3, 1} = {1, 3}, usw. Ausgeschlossen sind also Wiederholungen und Auswahlen, welche von vorherigen nur durch ihre Reihenfolge unterschieden sind. Die gesuchte Anzahl an M¨ oglichkeiten, aus N Elementen i Elemente herauszugreifen, lautet   N! N := . (2.13) i i!(N − i)!

Diese Formel beinhaltet gleich zwei Definitionen auf einmal: Zun¨achst wird die linke Seite (sprich: ’N u ¨ber i‘) durch den Ausdruck auf der rechten Seite festgelegt. Das Zeichen := bedeutet, dass der Ausdruck auf der Seite mit dem Doppelpunkt durch den Ausdruck auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens erkl¨ art wird. Auf der rechten Seite von (2.13) wird N Fakult¨ at benutzt: N ! := 1 · 2 · 3 · · · (N − 1) · N, 0! := 1. Wir gehen zwei Beispiele f¨ ur den Fall N = 4 durch:

(2.14)

40

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

i = 2 : die auftretenden Paare sind {1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}   4 1·2·3·4 = 6. der Ausdruck (2.13) liefert = 1·2·1·2 2 i = 3 : die auftretenden Tripel sind {1, 2, 3}; {1, 2, 4}   {1, 3, 4}; {2, 3, 4} 4 1·2·3·4 = 4. der Ausdruck (2.13) liefert = 1·2·3·1 3

Damit ist zugleich gekl¨ art, dass ein Enzym mit N Bindungsstellen f¨ ur ein Substrat X die Anzahl N! i!(N − i)!

Komplexe mit genau i beladenen Bindungsstellen bilden kann.

¨ Ubung 3. Ein Enzym hat N = 5 Bindungsstellen. Auf wie viele verschiedene Weisen k¨ onnen i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Bindestellen besetzt werden? Fertige ein schematisches Bild (wie Abb.2.3) der verschiedenen Enzym-Substrat-Komplexe an. 2.3.2 Kinetische Gastheorie als Sonderfall In der Kinetischen Gastheorie muss die oben beschriebene Elementaraufgabe erweitert werden. Zun¨ achst aber zur experimentellen Situation: Gasmolek¨ ule in einem geschlossenen Volumen kann man nach ihrer Geschwindigkeit und ihrem Ort einigermaßen experimentell unterscheiden: Z.B. ist feststellbar, wie viele Molek¨ ule in einem kleinen Unterbereich unseres Volumens vorhanden sind, außerdem kann der Experimentator ermitteln, wie viele Molek¨ ule in einem festen Geschwindigkeitsbereich vorkommen. Damit sind die Molek¨ ule in Klassen zusammengefasst, die durch Raumst¨ ucke oder Geschwindigkeitsbereiche festgelegt werden. Wir fragen, auf wie viele Weisen N Molek¨ ule auf die k Klassen verteilt werden k¨ onnen. Um die Diskussion vom obigen Sonderfall zu trennen, stellen wir uns k T¨ opfe vor, auf die N Kugeln verteilt werden sollen. Betrachte eine Aufteilung N 1 , N 2 , . . . , Nk : N 1 + N 2 + · · · + N k = N

(2.15)

auf die k T¨ opfe: Im i-ten Topf befinden sich Ni Kugeln. In Topf 1 sind somit N1 Kugeln. Das kann man nach (2.13) auf   N! N! N = (2.16) = N1 N1 !(N − N1 )! N1 !(N2 + · · · + Nk )! Weisen erreichen.

2.3 Kombinatorik in der Biologie: Zahlen

41

Im Sonderfall k = 2 gilt 

N N1



=

N! . N1 !N2 !

(2.17)

Die jeweils restlichen N2 Kugeln m¨ ussen sich in Topf 2 befinden, so dass (2.17) bereits die Anzahl der M¨ oglichkeiten angibt, N Kugeln auf genau zwei T¨opfe so zu verteilen, dass in den ersten Topf N1 und in den zweiten Topf N2 Kugeln gelangen (beachte N2 = N − N1 , weil hier k = 2). Wir schreiten zum Fall k = 3 und stellen uns eine Aufteilung N1 + N2 + N3 = N vor: Diese Einteilung kann bez¨ uglich des ersten Topfes auf   N! N = N1 N1 !(N2 + N3 )! Weisen geschehen. Jedes Mal bleiben N2 + N3 Kugeln zur Verteilung auf die restlichen beiden T¨ opfe u ur den Fall k = 2 ¨brig. Dies kann nach dem Ergebnis f¨ nur auf (N2 + N3 )! N2 !N3 ! Weisen erfolgen. Insgesamt ist die Anzahl der M¨oglichkeiten, die in Rede stehende Verteilung zu bewerkstelligen, gegeben durch (N2 + N3 )! N! N! · = . N1 !(N2 + N3 )! N2 !N3 ! N1 !N2 !N3 !

(2.18)

Nun ist es nicht schwer einzusehen, dass es im allgemeinen Fall N! N1 !N2 ! · · · Nk !

(2.19)

M¨ oglichkeiten gibt, die Verteilung vorzunehmen. Zur¨ uck zur kinetischen Gastheorie: Soeben wurde gezeigt, dass die Aufteilung von N Gasmolek¨ ulen in k Klassen auf N! N1 !N2 ! · · · Nk ! Weisen m¨ oglich ist, wenn die j-te Klasse Nj Molek¨ ule aufnimmt. Dar¨ uber hinaus interessiert man sich f¨ ur eine Aufteilung N = N1 + N2 + · · · + Nk , welche eine maximale Anzahl von M¨ oglichkeiten (2.19) zul¨asst. F¨ ur sehr große N (N >> 1) wird die Natur im Laufe der Evolution dieser Verteilung zustreben, weil sie alle anderen Verteilungen an Wahrscheinlichkeit weit u ¨ berragt.

42

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

Hieraus entsteht die Frage nach der Maximierung des Wertes des Ausdrucks in (2.19). Angenommen wir h¨ atten N = kM Gasmolek¨ ule auf k Klassen zu verteilen. Unter diesen Umst¨ anden ist z.B. die Gleichverteilung N1 = N 2 = · · · = N k = M

(2.20)

m¨ oglich und (2.20) maximiert bereits den Ausdruck (2.19). Man kann n¨amlich N! N! < N1 ! · · · Nk ! (M !)k

(2.21)

beweisen, wenn mindestens ein Ni = M ist! Das Zeichen < in (2.21) bedeutet, dass die vor < stehende Zahl kleiner ist als die nachfolgende: etwa 5 < 10 aber nicht 10 < 1! Mehr dazu in Abschnitt 2.3.4. Wir wollen (2.21) genauer verstehen und bemerken zun¨achst, dass diese Ungleichung mit (M !)k < N1 ! · · · Nk !,

(2.22)

falls kM = N1 + · · · + Nk und mindestens ein Nj = M gleichbedeutend ist. Im Sonderfall k = 2 behauptet (2.22) z.B. M !M ! < N1 !N2 !, (2.23) falls 2M = N1 + N2 und N1 = M. ¨ Dies ist aber das Resultat der Ubungen 4 und 5, so dass (2.22) f¨ ur k = 2 bewiesen ist. ¨ Ubung 4. Seien N, k ∈ N mit 0 < k ≤ N . Zeige: N !N ! < (N + k)!(N − k)!. Schreibe die Behauptung in der Form (N + k)! N! < (N − k)! N! und verwende die Definition (2.14) auf beiden Seiten im Z¨ahler und im Nenner. ¨ Ubung 5. Seien M , N1 , N2 ∈ N mit 2M = N1 + N2 und 0 ≤ N1 < M . Zeige: M !M ! < N1 !N2 !. ¨ W¨ ahle die Darstellung N1 = M − R (d.h. R := M − N1 ) und verwende Ubung 4.

2.3 Kombinatorik in der Biologie: Zahlen

43

2.3.3 Nat¨ urliche und ganze Zahlen Wir haben bisher die Menge N der nat¨ urlichen Zahlen kennengelernt. N ist Teilmenge der ganzen Zahlen Z = {±i : i ∈ N}. Wir schreiben N ⊂ Z. Die hier benutzte Symbolik innerhalb der Mengenklammer wird allgemein zur Festlegung der ’Menge aller Dinge mit einer Eigenschaft‘ gem¨aß {Dinge : Eigenschaft} verwendet. So bezeichnet {n ∈ Z : (n + 1)(n − 1) = 0} jene ganzen Zahlen n, welche die Eigenschaft (n + 1)(n − 1) = 0 besitzen. Offenbar handelt es sich um n = −1 und n = 1, so dass {n ∈ Z : (n + 1)(n − 1) = 0} = {−1, 1} gilt: Stillschweigend ist benutzt, dass Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Zur¨ uck zu den Zahlen: Z ist Teilmenge der rationalen Zahlen   p Q= : p, q ∈ Z, q = 0 . q 2.3.4 Rationale und reelle Zahlen Die rationalen Zahlen Q liegen auf der Zahlengeraden dicht, sie lassen dennoch L¨ ucken. Diese werden durch Zahlen ausgef¨ ullt, die zusammen mit Q reelle Zahlen R genannt werden. Offenbar ist Q ⊂ R. Die im t¨aglichen Gebrauch auftretenden Zahlen sind im Allgemeinen rational. Dennoch begegnen immer wieder reelle Zahlen, welche nicht zu Q geh¨ oren: wie der Umfang 2π des Kreises mit dem Radius 1 oder die L¨ ange der Diagonalen eines Quadrates. Allerdings kann die Maßzahl einer solchen Gr¨ oße nur rational und damit bestenfalls eine N¨ aherung f¨ ur den theoretisch wahren Wert sein! Zur Theoriebildung freilich ist das Konstrukt der Menge R der reellen Zahlen unverzichtbar. Wir gehen daher nun einige Eigenschaften von R durch. Die reellen Zahlen R sind angeordnet, d.h. es liegt fest, ob a kleiner oder gleich b ist f¨ ur je zwei Zahlen a, b ∈ R: in Zeichen

44

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

a ≤ b oder gleichbedeutend b ≥ a.

(2.24)

Z.B. ist 2 ≤ 3, −15 ≤ −1, 1 ≤ 1 jedoch gilt nicht 1 < 1 aber 2 < 3. Dabei bedeutet a < b, dass a ≤ b, aber a = b ist. Wie in (2.24) sagen a < b und b > a dasselbe. Man sagt auch b gr¨oßer oder gleich a f¨ ur b ≥ a und b (echt) gr¨oßer als a f¨ ur b > a. Mit Hilfe der Anordnung k¨ onnen Intervalle definiert werden. Dieses Konzept kommt z.B. bei der Beschreibung von Messdaten zum Einsatz (vgl. Abschnitt 2.2.2). Abschnitt 2.2.3 handelt von Zeitr¨aumen, in denen Messungen vorgenommen werden. Solche Zeitr¨aume sind Intervalle. Seien a, b ∈ R, a ≤ b. Dann ist [a, b] := {t ∈ R : a ≤ t ≤ b}, (a, b] := {t ∈ R : a < t ≤ b}, (a, b) := {t ∈ R : a < t < b}, [a, b) := {t ∈ R : a ≤ t < b}. Folgende Intervalle sind Halbstrahlen (−∞, b] := {t ∈ R : t ≤ b}, (a, +∞) := {t ∈ R : a < t} (sprich ’unendlich‘ f¨ ur ∞). Schließlich seien einige Regeln f¨ ur das Rechnen mit Ungleichungen notiert, welche f¨ ur x, y, u, v, α ∈ R gelten: x ≤ y, x ≤ y, x ≤ y, x ≤ y,

y≤v u≤v α≥0 α≤0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

x ≤ v, x + u ≤ y + v, αx ≤ αy αx ≥ αy.

(2.25)

An dieser Stelle tritt zum ersten Mal der Pfeil ⇒ auf. Er bedeutet, dass die Aussage auf der Seite der Spitze des Pfeils g¨ ultig ist, falls die Voraussetzung auf der anderen Seite des Pfeils angenommen wird. Die angegebenen Regeln u ¨ ber das Rechnen mit Ungleichungen bleiben richtig, falls dort u ¨ berall das Zeichen ≤ durch < ersetzt (in den Zeilen 3 und 4 also α = 0 angenommen) wird. Schließlich sei auf die Beziehung x ≤ x hingewiesen: Offenbar trifft x = x zu! ¨ Ubung 6.  (a) Zeichne die Intervalle I1 := [0, 2) und I2 := t ∈ R : π1 ≤ t qualitativ auf einem Zahlenstrahl ein.  1 (b) Finde in der Menge 0, π1 , 2+π , π2 , 2, π 2 , −π diejenigen Zahlen, die Element von I1 und zugleich Element von I2 sind. Es ist π = 3.14159 . . .. 2.3.5 Absoluter Betrag reeller Zahlen F¨ ur a ∈ R ist der absolute Betrag |a| definiert durch

2.4 Beschreibung von Vorg¨ angen: Funktionen

|a| =



a, falls a ≥ 0, −a, falls a < 0.

45

(2.26)

|a − b| heißt Abstand der Zahlen a und b. Es gelten folgende Regeln f¨ ur zwei Zahlen a, b ∈ R: |a| ≥ 0, |a| = 0 genau dann, wenn a = 0, |ab| = |a||b|,

|a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung).

2.4 Beschreibung von Vorg¨ angen: Funktionen 2.4.1 Funktionen Funktionen sind mathematische Analoga f¨ ur Abh¨ angigkeiten in der Natur. Da alles Geschehen in der Zeit passiert, definiert z.B. jeder Vorgang eine Abh¨ angigkeit einer Gr¨ oße x von der Zeit t, die offenkundigste und eigentlich immer vorhandene Abh¨ angigkeit: x(t). Ein typisches Beispiel steht in Abschnitt 2.2.2: die zeitliche Entwicklung des Wachstums einer K¨ aferpopulation. Tabelle 2.1 zeigt voneinander abh¨angige Messreihen. Sie ordnet jedem t-Wert genau einen x-Wert zu. Beachte, dass dies in der anderen Richtung nicht gilt: F¨ ur x = 2 finden wir t = 0 oder t = 14 oder t = 28. Die eindeutige Zuordnung ist in dieser R¨ uckrichtung nicht gegeben! Wir definieren allgemeiner: Seien A, B zwei Mengen. Eine Funktion f :A→B

(2.27)

ist eine Vorschrift, welche jedem x ∈ A genau ein Element f (x) ∈ B zuordnet. Wir nennen A den Definitionsbereich von f und die Menge f (A) := {y ∈ B : y = f (x) f¨ ur mindestens ein x ∈ A}

(2.28)

ihren Wertebereich: Dieser besteht aus allen Elementen aus B, welche als Bild eines x aus A unter der Funktion f auftreten. Wir nennen B auch die Bildmenge von f . Im Falle der K¨ aferpopulation aus Abschnitt 2.2.2 in ihrer kontinuierlichen Beschreibung der Abb. 2.2 ist der Definitionsbereich A = [0, 270], der Wertebereich = [2, 330), der Bildbereich oder die Bildmenge B = R.

(2.29)

46

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

Die Funktion f heißt reellwertig, falls B = R, sie heißt reelle Funktion, falls sie reellwertig ist und ihr Definitionsbereich A zu den reellen Zahlen geh¨ ort. Unsere K¨ aferpopulation aus 2.2.2 legt wegen (2.29) eine reelle Funktion fest. Reelle Funktionen werden vorteilhaft in einem ebenen Koordinatensystem dargestellt. Abb. 2.2 in Abschnitt 2.2.2 ist ein erstes Beispiel. In dieser Darstellung erscheint x(t) als Kurve in der Ebene. Die Punkte auf der Kurve bilden den Graphen von x. In den jetzt folgenden Nummern stehen die reellen Funktionen im Mittelpunkt der Betrachtung. Wir lassen uns von den Bed¨ urfnissen der Biologie leiten. Der Funktionsbegriff in seiner vollen Allgemeinheit (2.27) kommt erst in Kapitel 4 zur Entfaltung. 2.4.2 Die logistische Kurve, Verkettung von Funktionen Eine in der Populationsdynamik zentrale Funktion ist die logistische Kurve a L(t) = , a, b, c ∈ R. (2.30) 1 + exp(b − ct) Wir werden sp¨ ater ihre Bedeutung f¨ ur die Verhulstgleichung kennen lernen. ¨ An dieser Stelle sollen am Beispiel (2.30) grundlegende Uberlegungen zum Funktionsbegriff angestellt werden.

Zun¨ achst der Funktionsverlauf f¨ ur verschiedene Werte der Parameter a, b und c in Abb. 2.4: Sie entsteht f¨ ur b = 4, c = .5 und a = 50, 200, 300. Bei einem Vergleich f¨ allt auf, dass Abb. 2.4 und Abb. 2.2 qualitativ gleich aussehen, ein erster Hinweis auf die Bedeutung der logistischen Kurve f¨ ur das Wachstum von Populationen. Als N¨ achstes weisen wir auf die Bestandteile hin, aus denen L(t) gebaut ist. Es sind die in der Biologie h¨aufig auftretenden analytischen Ausdr¨ ucke h(t) = b − ct, (2.31) g(x) = exp(x), a f (y) = . 1+y

(2.32) (2.33)

Diese Funktionen k¨ onnen wir in folgender Weise so verketten, dass die logistische Kurve entsteht. Zun¨ achst definiert man die Verkettung der Funktionen h und g aus (2.31) und (2.32) durch g(h(t)) = exp(h(t)) = exp(b − ct). Die so beschriebene Funktion hat die Bezeichnung

(2.34)

2.4 Beschreibung von Vorg¨ angen: Funktionen

47

300

a=300 250

L(t)

200

a=200 150

100

50

a=50 0

0

5

10

15

20

t

Abb. 2.4. Einige logistische Kurven: b=4, c=0.5

(g ◦ h)(t) := g(h(t))

(2.35)

(sprich: g ’Kreis’ h). Eine Verkettung von f aus (2.33) mit (2.35) liefert schließlich die logistische Kurve (f ◦ (g ◦ h))(t) = f ((g ◦ h)(t)) =

a a = = L(t). 1 + (g ◦ h)(t) 1 + exp(b − ct)

Wir besprechen nun nacheinander die Funktionen (2.31), (2.32) und (2.33) und versuchen auf dieser Grundlage verm¨ oge des eben beschriebenen Verkettungsprozesses die logistische Kurve (2.30) besser zu verstehen. 2.4.3 Monotone Funktionen Gegenstand der Betrachtung ist die lineare Funktion (2.31), n¨amlich h(t) = b − ct.

(2.36)

Sie beschreibt eine Gerade in der Ebene. Ihr Graph gibt Anlass zu folgenden Festsetzungen: Eine reelle Funktion k(x) mit dem Definitionsbereich A heißt streng monoton wachsend, falls x < y ⇒ k(x) < k(y) f¨ ur alle x, y ∈ A,

(2.37)

monoton wachsend, falls x < y ⇒ k(x) ≤ k(y) f¨ ur alle x, y ∈ A,

(2.38)

streng monoton fallend, falls x < y ⇒ k(x) > k(y) f¨ ur alle x, y ∈ A,

(2.39)

48

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

monoton wachsend

monoton fallend

T

Abb. 2.5. Unterschiedliche Monotonie links und rechts des Fußpunkts T

und monoton fallend, falls x < y ⇒ k(x) ≥ k(y) f¨ ur alle x, y ∈ A

(2.40)

gilt. Eine reelle Funktion, welche auf einer Menge A definiert ist und dort eine der Implikationen (2.37), (2.38), (2.39) oder (2.40) erf¨ ullt, heißt monoton (in A). In diesem Sinne definiert (2.36) lauter monotone Funktionen. Sie sind streng monoton, falls c = 0 und u ¨ berall konstant, monoton wachsend und monoton fallend zugleich (vgl. (2.38) bzw. (2.40)), falls c = 0. Abb. 2.5 zeigt qualitativ verschiedene Monotonieverh¨altnisse: einen streng monoton wachsenden Verlauf links von T und einen streng monoton fallenden Verlauf rechts von T. Der in Abb. 2.5 dargestellte vollst¨andige Graph demonstriert, dass eine Funktion auf ihrem Definitionsbereich die Monotonieverh¨ altnisse a ¨ndern wird. Eine Aussage u ¨ ber einheitliches Monotonieverhalten kann man in der Mehrzahl der F¨ alle nur auf Teilmengen des Definitionsbereiches erwarten. Ein Blick auf unsere Abb. 2.4 legt nahe, dass die logistische Kurve L(t) streng monoton wachsend sein wird. F¨ ur ein sicheres Urteil in dieser Frage m¨ ussen wir unsere analytischen Kenntnisse erweitern. 2.4.4 Die Exponentialfunktion Nun zur Funktion g aus (2.32): Es handelt sich um die Exponentialfunktion. Sie ist f¨ ur alle reellen Zahlen definiert, hat dort positive Werte und ist streng monoton wachsend auf ihrem Definitionsbereich R. Eine qualitative Darstellung ihres Graphen gibt die Abb. 2.6. Wir notieren noch zwei Eigenschaften, welche in Abb. 2.6 schon angedeutet sind: exp(0) = 1, exp(1) =: e ,

(2.41)

exp(x) → 0 f¨ ur x → −∞.

(2.42)

2.4 Beschreibung von Vorg¨ angen: Funktionen

49

8 7 6

exp(t)

5 4

Eulersche Zahl e

3 2 1 0 −2

−1

0

1

2

t

Abb. 2.6. Die Exponentialfunktion exp(t)

Die letzte Eigenschaft besagt, dass die Funktionswerte der Exponentialfunktion sich der Null n¨ ahern, sobald das Argument x nach −∞ strebt. In (2.41) ist die Eulersche Zahl e durch den Funktionswert der Exponentialfunktion an der Stelle x = 1 definiert. Sie hat den Wert e = 2.71828 . . . und ist eine reelle aber keine rationale Zahl. F¨ ur die Exponentialfunktion gibt es Tabellen mit vielen Funktionswerten exp(x), etwa [1] oder [21]. Heute hat jeder (bessere) Taschenrechner eine Funktionstaste f¨ ur exp(x). Die Exponentialfunktion gen¨ ugt der Funktionalgleichung exp(x + y) = exp(x) exp(y) f¨ ur x, y ∈ R.

(2.43)

Daraus folgt insbesondere exp(x) exp(−x) = exp(x − x) = exp(0) = 1, so dass exp(−x) =

1 f¨ ur alle x ∈ R exp(x)

(2.44)

besteht (beachte exp(x) > 0). Ferner finden wir mit (2.43) nach endlich vielen Schritten exp(nx) = exp(x) exp((n − 1)x) = . . . = exp(x)n f¨ ur x ∈ R, n ∈ N.

(2.45)

F¨ ur x = 1 liefert (2.45) exp(n) = exp(1)n = en , n ∈ N.

(2.46)

Davon ausgehend setzt man allgemeiner ex := exp(x) f¨ ur alle x ∈ R.

(2.47)

50

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

¨ Ubung 7. Berechne (f ◦ g)(x) und (g ◦ f )(x) f¨ ur 1 (x = 0), g(x) = exp(2x), (a) f (x) = x (b) f (x) = exp(−x2 ), g(x) = x2 + 1. 2.4.5 Potenzen Die Diskussion u ¨ ber die Exponentialfunktion in Abschnitt 2.4.4 hat uns auf Potenzen gef¨ uhrt. F¨ ur eine reelle Zahl a gilt 0 an := a

· a · · · a , a := 1 (n ∈ N).

(2.48)

xn = a

(2.49)

n mal

Zu jedem a ≥ 0 gibt es dann genau eine reelle Zahl x ≥ 0, welche die Gleichung

befriedigt. Wir bezeichnen die eindeutige nichtnegative L¨osung von (2.49) mit 1

x = a n oder x =

√ n a.

(2.50)

Im Falle n = 2 schreibt man auch x=

√ a.

(2.51)

Die durch (2.50) definierten n-ten Wurzeln sind ≥ 0 und f¨ ur alle nichtnegativen Zahlen erkl¨ art. Es gilt  1 n  √ n a n = n a = a,

denn (2.50) erf¨ ullt Gleichung (2.49). Nun setzen wir f¨ ur jede rationale Zahl p , p, q ∈ N, q =  0 in Anlehnung an (2.50) q p

1

a q := (ap ) q , a ≥ 0. Schließlich wird

1 ur a > 0 p f¨ aq ur positives a und alle rationalen festgelegt. Damit sind die Potenzen ax f¨ Zahlen x definiert. F¨ ur die so erkl¨ arte Potenz gelten die Potenzgesetze p

a− q :=

ax ay = ax+y , (ax )y = axy , ax bx = (ab)x ,

2.4 Beschreibung von Vorg¨ angen: Funktionen

51

welche f¨ ur alle x, y ∈ Q und alle a > 0, b > 0 vorliegen. Im Falle a = 0 bleiben die Potenzgesetze bestehen, solange die vorkommenden Exponenten nichtnegativ sind. Unsere Definitionen erlauben nun die Identit¨aten   √ √ 1 1 1 m n am = (am ) n = a m n = a n = (a n )m = ( n a)m ,   1 1 √ √ 1 √ 1 n m a = ( m a) n = a m n = a mn = mn a hinzuschreiben.

2.4.6 Polynome, rationale Funktionen Als letzten Bestandteil der logistischen Kurve treffen wir auf die Funktion (2.33), n¨ amlich a f (y) = . (2.52) 1+y Sie geh¨ ort zur Klasse der rationalen Funktionen, welche aus allen Vorschriften der Art p(y) (2.53) q(y) besteht, wobei der Z¨ ahler p und der Nenner q Polynome p(y) = a0 y m + a1 y m−1 + . . . + am =:

m


am−j y j

(2.54)

j=0

sind. Die nat¨ urliche Zahl m in (2.54) heißt der Grad des Polynoms p, falls der Koeffizient a0 nicht verschwindet. Mit (2.54) ist zugleich das Symbol einer endlichen Summe erkl¨ art. Drei Sonderf¨ alle zur Verdeutlichung: 0


a0−j y j = a0 ,

j=0

1


a1−j y j = a1 + a0 y,

2


a2−j y j = a2 + a1 y + a0 y 2 .

j=0

j=0

Die rationale Funktion (2.52) entsteht, wenn p(y) = a, q(y) = y + 1

(2.55)

in (2.53) verwendet werden. Hier ist der Grad von p gleich 0 und der Grad des Nennerpolynoms q gleich 1. Im Falle y > 0 liefert (2.54) p(y) = y m (a0 + a1 y −1 + . . . + am y −m ).

(2.56)

ur k ∈ N, k > 0. y −k → 0, falls y → +∞ f¨

(2.57)

Nun gilt

52

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

Daher k¨ onnen alle Summanden in der Klammer von (2.56) mit Ausnahme des ersten vernachl¨ assigt werden, sobald y sehr groß ist. F¨ ur solche y (wir schreiben y >> 1) verh¨ alt sich das Polynom (2.56) wie die Potenz a0 y m oder in Zeichen ur y ≫ 1. (2.58) p(y) ∼ a0 y m f¨ Sei nun q(y) =

n


bn−j y j

(2.59)

j=0

ein zweites Polnyom, dann finden wir f¨ ur die rationale Funktion (2.53) a0 y m a0 p(y) ∼ = y m−n f¨ ur y ≫ 1. n q(y) b0 y b0

(2.60)

Diese Beziehung offenbart folgendes Verhalten rationaler Funktionen f¨ ur große Argumente ⎧ ⎪ ⎪ +∞, falls m > n und a0 b0 > 0, p(y) y→+∞ ⎨ −∞, falls m > n und a0 b0 < 0, −→ (2.61) a0 , falls m = n, ⎪ q(y) ⎪ ⎩ b0 0, falls m < n.

Im Falle unserer rationalen Funktion (2.52) liegt der Fall m = 0, n = 1 vor. Wegen (2.61) muss f (y) → 0 f¨ ur y → +∞ (2.62) gelten. Ferner ist f (0) = a. Sei nun a > 0, dann kann man leicht beweisen, dass f streng monoton f¨ allt f¨ ur y ≥ 0: Sei n¨ amlich 0 ≤ x < y, so folgt nacheinander 1 + x < 1 + y,

1 a a 1 < , f (y) = < = f (x). 1+y 1+x 1+y 1+x

Diese wenigen Eigenschaften setzen uns in den Stand, jedenfalls qualitativ ein Bild vom Kurvenverlauf der Funktion f aus (2.52) zu entwerfen. Zwei M¨ oglichkeiten sind in der Abb. 2.7 angegeben. Wir ben¨otigen weitere analytische Kenntnisse, um zwischen den beiden Kurvenverl¨aufen zu entscheiden. Als kleine Anwendung l¨ asst sich jetzt das Verhalten der logistischen Kurve a , a, b, c ∈ R. (2.63) L(t) = 1 + exp(b − ct)

(vgl. (2.30)) f¨ ur t → +∞ kl¨ aren: Sei dazu b > 0, c > 0, dann strebt h(t) aus (2.31) gegen −∞. Daher n¨ ahert sich die Verkettung g ◦ h aus (2.34) der Null, falls das Argument t sehr groß wird. Beachte auch, dass die Funktion exp(x) nach Abb. 2.6 f¨ ur betragsm¨ aßig große aber negative Argumente nach Null strebt. So ist die Funktion f aus (2.52) f¨ ur Funktionswerte y nahe bei Null zu diskutieren, falls die logistische Kurve L(t) f¨ ur große Argumente t interessiert.

2.4 Beschreibung von Vorg¨ angen: Funktionen

a

53

a f(x)

f(x)

x

x

Abb. 2.7. Zwei m¨ ogliche Graphen der Funktion f (x) aus (2.52)

Nun sagt aber die soeben gewonnene Abb. 2.7, dass sich die Funktionswerte f (y) gegen a > 0 bewegen, falls y nach Null strebt. Aus der Verkettungsdarstellung L = f ◦ g ◦ h (vgl. Abschnitt 2.4.2) gewinnt man schließlich L(t) → a, f¨ ur t → +∞, falls a > 0, b > 0, c > 0.

(2.64)

Damit ist das s¨ attigende Verhalten der logistischen Kurve f¨ ur große Argumente t gesichert, das schon Abb. 2.4 andeutet. Der Leser m¨oge beachten, dass wir nun die am Ende von Abschnitt 2.2.4 offen gebliebene Frage teilweise beantwortet haben, falls der Nachweis gelingt, dass die logistischen Kurven tats¨ achlich L¨ osungen der Verhulstgleichung (2.11) sind. Er erfordert mehr an analytischer Theorie und wird uns sp¨ ater besch¨aftigen. 2.4.7 Konstruktion von Funktionen Der nun folgende Abschnitt behandelt einige grundlegende Konstruktionsprinzipien f¨ ur Funktionen. Seien dazu f, g reellwertige Funktionen mit dem Definitionsbereich D. Daraus k¨ onnen wir die drei folgenden Funktionen neu konstruieren (f + g)(x) := f (x) + g(x) (x ∈ D), (f g)(x) := f (x)g(x) (x ∈ D),   f g

(x) :=

f (x) g(x)

(2.65)

(x ∈ D, g(x) = 0).

Ist etwa g(x) = α f¨ ur alle x ∈ D, so legt die zweite Zeile insbesondere (αf )(x) = αf (x), x ∈ D und α ∈ R

(2.66)

fest. Im Hinblick auf die erste Zeile ist dann auch (f − g)(x) := (f + (−g))(x) = f (x) + (−g)(x) = f (x) − g(x).

(2.67)

54

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

Ausgehend von den Potenzen ur x ∈ R, j ∈ N x → xj f¨

(2.68)

konstruiert man u ¨ber die erste Zeile von (2.65) und (2.66) die Polynome (2.54), und auf dieser Grundlage vermittelt die dritte Zeile von (2.65) die rationalen Funktionen. ¨ Ubung 8. (a) Finde f¨ ur die reellen Funktionen  f (x) = −x2 + 4x + 5 ,

g(x) = 2x(x − 2)−1 (x + 1)−1 , f (x) h(x) = g(x)

einen m¨ oglichst großen Definitionsbereich. Zeichne f (x) qualitativ. (b) Bestimme alle nat¨ urlichen Zahlen im Wertebereich der Funktion x(t) =

t , t ≥ 0. t2 + t + 1

Hinweis: Zeige 0 ≤ x(t) < 1 f¨ ur alle t ≥ 0. Eine letzte Konstruktionsvorschrift liefert die Umkehrfunktion. Sei x(t) ei8

6

4

x(t) 2

°

0

° °x−1(t)

°

−2

−4 −2

−1

0

1

2

3

4

Abb. 2.8. Geometrische Konstruktion der Umkehrfunktion: es sind x(t) = exp(t) und x−1 (t) = ln(t) gezeichnet

ne im Intervall [a, b] streng monoton wachsende reelle Funktion. Dann besteht der Wertebereich aus dem Intervall (vgl. den oberen Graphen der Abb. 2.8) x([a, b]) = [x(a), x(b)].

(2.69)

2.4 Beschreibung von Vorg¨ angen: Funktionen

55

Wegen des streng monotonen Verhaltens gibt es zu jedem y ∈ [x(a), x(b)] genau ein t¯ ∈ [a, b], welches die Gleichung x(t) = y

(2.70)

erf¨ ullt (vgl. den oberen Graphen der Abb. 2.8). Auf diese Weise ist die Zuordnung y → t¯ gegeben, welche das Intervall (2.69) auf das Intervall [a, b] abbildet. Die so erkl¨ arte Zuordnung heißt Umkehrfunktion von x und wird mit x−1 bezeichnet. Die Beziehungen (2.70) und t = x−1 (y)

(2.71)

sind gleichbedeutend. (2.71) kann als Darstellung der L¨osung von Gleichung (2.70) gesehen werden. Aus Abb. 2.8 geht die geometrische Konstruktion der Umkehrfunktion durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden hervor. Hier sind zwei Rechtecke gezeichnet, deren Konstruktion mit Hilfe der Winkelhalbierenden unmittelbar einleuchtet. Die jeweils gegen¨ uberliegenden Ecken, die nicht auf der Winkelhalbierenden liegen, zeigen, wie der Punkt (t, x−1 (t)) aus (t, x(t)) geometrisch entsteht. ¨ Es ist klar, dass unsere Uberlegungen auch f¨ ur streng monoton fallendes ur x(t) angestellt werden k¨ onnen. Daher existiert die Umkehrfunktion x−1 f¨ jede in [a, b] definierte, streng monotone reelle Funktion x. 2.4.8 Der Logarithmus Als Beispiel w¨ ahlen wir die Exponentialfunktion. Nach Abb. 2.6 ist sie streng monoton wachsend auf den reellen Zahlen. Ihr Wertebereich umfasst die positiven reellen Zahlen. Dort existiert die Umkehrfunktion exp−1 : (0, +∞) → R, welche jeder positiven reellen Zahl eine reelle Zahl zuordnet. Wir bezeichnen die so gegebene Funktion als den Logarithmus (vgl. Abb. 2.8) und schreiben ln(t) := exp−1 (t) f¨ ur t > 0.

(2.72)

ln(1) = 0, ln(e) = 1,

(2.73)

ln(t) → −∞ f¨ ur t → 0

(2.74)

(2.41) und (2.42) lehren

(beachte die Konstruktion der Umkehrfunktion durch (2.70) und (2.71)). Da die Umkehrfunktion einer streng monoton wachsenden Funktion wieder streng monoton w¨ achst, folgt aus (2.73) weiter ln(t) < 0 f¨ ur 0 < t < 1, ln(t) > 0 f¨ ur 1 < t.

(2.75)

56

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

Ferner gelten die Logarithmengesetze ln(uv) = ln(u) + ln(v) (u, v > 0), α

ln(u ) = α ln(u) (u > 0, α ∈ Q), u = ln(u) − ln(v) (u, v > 0). ln v Aus (2.77) folgt insbesondere

(2.76) (2.77) (2.78)

uα = exp(α ln(u)) f¨ ur u > 0, α ∈ Q.

(2.79)

ux := exp(x ln(u)), u > 0, x ∈ R

(2.80)

ur alle reellen x durch Diese Beziehung gibt uns Anlass, die Potenz ux f¨

zu definieren. Man kann dann zeigen, dass die Potenzgesetze aus Abschnitt 2.4.5 f¨ ur die allgemeine Potenzfunktion (2.80) g¨ ultig bleiben. Beachte, dass die Basis u positiv zu w¨ ahlen ist. Wie bei der Exponentialfunktion so gibt es auch f¨ ur den Logarithmus Tafelwerke, in denen man (nach eventueller Interpolation) die Funktionswerte ln(x) ermitteln kann, z.B. [1] oder [21], aber auch jeder Taschenrechner mit einer Funktionstaste f¨ ur den Logarithmus leistet dies.

2.5 Die Ver¨ anderungsrate von Vorg¨ angen: Ableitung 2.5.1 Die Idee der Ver¨ anderungsrate zu einem festen Zeitpunkt Zahlen begegnen als Resultate von Messungen, Funktionen als Beschreibungen von Abh¨ angigkeiten. So wird jeder Vorgang in der Zeit als Abh¨angigkeit einer Gr¨ oße x von der Zeit t behandelt: x(t). Es fehlt ein mathematisches Analogon zur Darstellung von Ver¨ anderung oder Bewegung in der Natur. Dies mag die Ver¨ anderung des Lichts an einem bestimmten Ort, der Bewaldung am Weg, des Umfangs einer Fischpopulation in einem Teich usw. sein. Der Gegenstand, dessen Ver¨ anderung nunmehr beschrieben werden soll, sei durch eine reelle Funktion x(t) in einem reellen Intervall (a, b) gegeben. Sei t ∈ (a, b) und x(t + τ ) − x(t) , τ >0 (2.81) τ die durchschnittliche Ver¨ anderungsrate (vgl. Abb. 2.9 und Abschnitt 2.2.3) in einem kleinen Intervall [t, t + τ ]. Es wurde in 2.2.3 schon erw¨ahnt, dass wir f¨ ur gegen 0 strebendes τ eine nur von t abh¨ angige Zahl erwarten, die dann die Ver¨ anderungsrate von x an der Stelle t genannt und mit x(t) ˙ oder x′ (t) oder bezeichnet wird.

d x(t) dt

(2.82)

2.5 Die Ver¨ anderungsrate von Vorg¨ angen: Ableitung

57

x

x(t+τ)

x(t+τ)−x(t) x(t)

τ

t

t

t+τ

Abb. 2.9. Die durchschnittliche Ver¨ anderungsrate

2.5.2 Definition der Ver¨ anderungsrate: Ableitung einer Funktion Sei wieder x(t) eine reelle Funktion mit dem Definitionsbereich (a, b) und sei s ∈ (a, b) vorgegeben. Dann existiert der Quotient Q(τ ) =

x(s + τ ) − x(s) τ

f¨ ur alle τ nahe bei, aber = Null. Gilt f¨ ur Q(τ ) ein Bild wie Abb. 2.10 in einer Umgebung von τ = 0, d.h. genauer Q(τ ) → A f¨ ur τ → 0, so erg¨ anzen wir den Definitionsbereich um den Wert τ = 0 und setzen Q(0) := A. Die Zahl A heißt Ableitung von x(t) an der Stelle t = s: A = x(s) ˙ = x′ (s) =

d x(s), dt

sie definiert die Ver¨ anderungsrate von x(t) im Punkte t = s. Beachte, dass A von s abh¨ angen wird, da sich Abb. 2.10 mit dem (bisher festen) Punkt s ¨ andert. Wir sagen auch x(t) ist differenzierbar an der Stelle t = s. Schließlich heißt x(t) differenzierbar in (a, b), falls x(t) an jeder Stelle t ∈ (a, b) differenzierbar ist. Dann definiert x(t) ˙ eine reelle Funktion auf (a, b), die Ableitung von x(t) in (a, b). Wir sehen uns zwei Sonderf¨ alle an. Zun¨ achst x(t) = αt + β mit α, β ∈ R,

58

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung 5

Q(τ)

4.5 4 3.5

Veränderungsrate,

3

Ableitung := A

2.5

A =: Q(0)

2 1.5 1 0.5 0 −1

−0.5

0

0.5

1

τ

Abb. 2.10. Verhalten der durchschnittlichen Ver¨ anderungsrate; der Achsenabschnitt A als Erg¨ anzung von Q(τ ) bei τ = 0, zugleich als Definition der Ver¨ anderungsrate

α(t + τ ) + β − αt − β ατ x(t + τ ) − x(t) = = = α f¨ ur alle τ = 0. τ τ τ Der Leser m¨ oge beachten, dass ατ ur τ = 0 keinen Sinn hat. Damit hat Q(τ ) τ f¨ qualitativ den in Abb. 2.10 gezeichneten (in diesem Fall konstanten) Verlauf f¨ ur alle τ = 0. Es liegt also nahe, die Erg¨ anzung Q(τ ) =

Q(0) = α vorzunehmen und diesen Wert als die Ver¨ anderungsrate x(t) ˙ von x(t) an der Stelle t zu definieren: x(t) = αt + β, x(t) ˙ = α f¨ ur t ∈ R. Unser zweites Beispiel ist x(t) = t2 , 2tτ + τ 2 (t + τ )2 − t2 = = 2t + τ f¨ ur τ = 0. τ τ Wieder finden wir das in Abb. 2.10 gezeigte Verhalten von Q(τ ) (τ = 0). Die Zeichnung legt die Erg¨ anzung Q(τ ) =

Q(0) = 2t und damit die Definition x(t) = t2 , x(t) ˙ = 2t f¨ ur t ∈ R f¨ ur die Ver¨ anderungsrate von x(t) an der Stelle t nahe.

2.5 Die Ver¨ anderungsrate von Vorg¨ angen: Ableitung

59

Unser letztes Beispiel betrifft x(t) = tN , N ∈ N, N ≥ 3,

(t + τ )N − tN , τ = 0. τ Zur Untersuchung von Q(τ ) bei τ = 0 ben¨ otigen wir die binomische Formel Q(τ ) =

 N 
N

(t + τ )N =

j

j=0

tj τ N −j , t, τ ∈ R, N ∈ N.

(2.83)

Hier ist wieder das Symbol f¨ ur die endliche Summe aus 2.4.6 benutzt, also       N N N (t + τ )N = t0 τ N + t1 τ N −1 + · · · + tN −2 τ 2 + 0 1 N −2     N N tN τ 0 . + tN −1 τ 1 + N N −1

Damit finden wir die Darstellung  N −2 
N (t + τ )N = τ 2 tj τ N −(j+2) + τ N tN −1 + tN j j=0

und nach Einf¨ uhrung der Funktion ϕ(τ ) :=

N −2 
j=0

N j



tj τ N −(j+2)

weiter (t + τ )N = τ 2 · ϕ(τ ) + τ N tN −1 + tN .

Subtraktion von tN auf beiden Seiten und Ausklammern von τ liefert (t + τ )N − tN = τ · (N tN −1 + τ ϕ(τ )) und daher die Darstellung Q(τ ) =

(t + τ )N − tN = N tN −1 + τ ϕ(τ ). τ

Offenbar ist ϕ(0) =



N N −2



tN −2 , N − 2 ≥ 1

(beachte N ≥ 3!), so dass wir die Erg¨ anzung

Q(0) := N tN −1

vornehmen k¨ onnen und schließlich ˙ = N tN −1 x(t) = tN , x(t) erhalten.

60

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

¨ Ubung 9. Zeige mit Hilfe der binomischen Formel, dass ein Enzym mit N Bindungspl¨ atzen, N ∈ N, N ≥ 1, insgesamt 2N verschiedene Komplexe bilden kann. Zum tieferen Verst¨ andnis geben wir eine nicht differenzierbare Situation an. Betrachte die Funktion  q f¨ ur t ≤ 0, x(t) = q · (t + 1) f¨ ur t > 0 mit einer reellen Zahl q > 0. Sie ist in Abb. 2.11 (linke Zeichnung) veranschaulicht. Bei t = 0 gilt dann

x(t)

Q(τ) Steigung q q

q

τ

t

Abb. 2.11. Eine nicht differenzierbare Funktion (linke Zeichnung) mit ihrer durchschnittlichen Ver¨ anderungsrate (rechte Zeichnung)

x(τ ) − q x(τ ) − x(0) = = Q(τ ) = τ τ



q· 0 τ

τ τ

f¨ ur τ > 0, = f¨ ur τ < 0



q f¨ ur τ > 0, 0 f¨ ur τ < 0.

Daher finden wir f¨ ur Q(τ ) die Abb. 2.11 (rechte Zeichnung). Die dargestellte Situation ist nicht mit der Abb. 2.10 vergleichbar: Eine Erg¨anzung bei τ = 0 m¨ usste zwei Werte ber¨ ucksichtigen: 0 oder q > 0, je nachdem ob man sich τ = 0 von links oder rechts n¨ ahert. Wir k¨ onnen bei t = 0 keine Ver¨anderungsrate von x(t) im Sinne von Abb. 2.10 definieren. Dies gilt immer, wenn der Kurvenverlauf von x(t) ’Ecken’ hat (vgl. Abb. 2.11 (linke Zeichnung)). 2.5.3 Grundregeln der Differentialrechnung Die Tabelle 2.5 sammelt einige in D ⊂ R differenzierbare Funktionen mit ihren Ableitungen. Die oben genauer diskutierten Sonderf¨alle sind auch aufgef¨ uhrt. Die Tabelle 2.6 liefert eine Zusammenstellung der wichtigsten Differentiationsregeln. Sie erm¨ oglichen die Ableitung der meisten in den Anwendungen auftretenden differenzierbaren Funktionen. Seien x(t), y(t) in (a, b) differenzierbar. Die in der ersten Zeile von Tabelle 2.6 aus x(t) und y(t) konstruierten

2.5 Die Ver¨ anderungsrate von Vorg¨ angen: Ableitung

61

Tabelle 2.5. Ableitungen elementarer Funktionen

x(t)

c

tn n ∈ N, n ≥ 1

t−n n ∈ N, n ≥ 1

x(t) ˙ D

0 R

ntn−1 R

−nt−n−1 t = 0

x(t)

tα α ∈ R, α ∈ Z

exp(t)

ln(t)

x(t) ˙ D

αtα−1 t>0

exp(t) R

t−1 t>0

Funktionen sind (soweit sie existieren) auf ihrem jeweiligen Definitonsbereich differenzierbar, und ihre Ableitung findet sich in der zweiten bzw. f¨ unften Zeile von Tabelle 2.6. In der letzten Spalte ist x′ (x−1 (t)) = 0 vorauszusetzen.

Tabelle 2.6. Ableitungsregeln

f (t)

αx(t) + βy(t)

x(t)y(t)

x(t) y(t)

f ′ (t)

αx′ (t) + βy ′ (t)

x′ (t)y(t) + x(t)y ′ (t)

y(t)x′ (t)−x(t)y ′ (t) y(t)2

Name

Summenregel

Produktregel

Quotientenregel

f (t)

x(y(t))

x−1 (t)

f ′ (t)

x′ (y(t))y ′(t)

1 x′ (x−1 (t))

Name

Kettenregel

Umkehrregel

62

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

2.5.4 Konsistenz der Tabellen 2.5 und 2.6 Mit Hilfe der Regeln aus Tabelle 2.6 k¨ onnen einige der in Tabelle 2.5 genannten Ableitungen verifiziert werden. a) Wegen ln(t) = exp−1 (t) liefert die Umkehrregel: d 1 1 d ln(t) = exp−1 (t) = = , (t > 0) −1 dt dt exp(exp (t)) t wie in Tabelle 2.5 behauptet. b) Schließlich ist laut Quotientenregel −ntn−1 d 1 d −n (t ) = = = −nt−n−1 , t ∈ R, t = 0, dt dt tn (tn )2 der Inhalt von Spalte 3 der Tabelle 2.5. ¨ Ubung 10. (a) Leite die Umkehrregel aus der Kettenregel her. ur t ≥ 0. (b) Finde die Umkehrfunktion von x(t) = tN , N ∈ N, N ≥ 1 f¨ Berechne (x−1 )′ (t) f¨ ur t > 0 mit Hilfe der Umkehrregel. Zeichne die ur t ≥ 0 und N = 2 sowie den Graph von Graphen von x, x−1 , x′ f¨ (x−1 )′ f¨ ur t > 0 und N = 2 in ein gemeinsames Diagramm. 2.5.5 Die logistische Kurve als L¨ osung der Verhulstgleichung Als Beispiel versuchen wir die logistische Kurve L(t) =

a , a, b, c ∈ R, a = 0 1 + exp(b − ct)

(2.84)

zu differenzieren. Dabei kommen fast alle Regeln der Tabelle 2.6 zum Einsatz. Zun¨ achst trifft auf (2.84) die Quotientenregel mit x(t) = a, y(t) = 1 + exp(b − ct)

(2.85)

zu. Dann gilt nach Spalte 1 von Tabelle 2.5 x′ (t) = 0 und nach der Summenregel sowie Tabelle 2.5 (Spalte 1) y ′ (t) = (exp(b − ct))′ . Die Kettenregel (vgl. auch Tabelle 2.5) liefert: y ′ (t) = exp(b − ct)(b − ct)′ .

(2.86)

2.5 Die Ver¨ anderungsrate von Vorg¨ angen: Ableitung

63

Nun greifen wir auf die Summenregel sowie auf die Tabelle 2.5 (Spalten 2 und 3) zur¨ uck: y ′ (t) = exp(b − ct)(−c), (2.87) verwenden (2.86) und (2.87) f¨ ur die Quotientenregel und finden L′ (t) =

−x(t)y ′ (t) ac exp(b − ct) = , 2 y(t) (1 + exp(b − ct))2

(2.88)

die Ver¨ anderungsrate der logistischen Kurve an der Stelle t ≥ 0. Zur Interpretation des Ergebnisses rechnen wir weiter: c exp(b − ct) a · 1 + exp(b − ct) 1 + exp(b − ct)     L(t) 1 = L(t)c · 1 − . = L(t)c 1 − 1 + exp(b − ct) a L′ (t) =

(2.89)

Damit ist L′ (t) durch L(t) ausgedr¨ uckt. (2.89) zeigt, dass L(t) die Verhulstgleichung  x x˙ = Rx 1 − (2.90) K mit R = c, K = a, a > 0 (2.91) erf¨ ullt. ¨ Nun sind wir am Ziel der Uberlegungen, welche mit der Einf¨ uhrung der Verhulstgleichung in Abschnitt 2.2.4 und der logistischen Kurve in Abschnitt 2.4.2 einsetzten und am Ende von Abschnitt 2.4.6 fortgef¨ uhrt worden sind: Die logistische Kurve beschreibt die Entwicklung einer Population mit dem Umweltparameter K = a und der Replikationsrate R = c. Diese Population s¨ attigt bei K = a f¨ ur große Zeiten t (vgl. (2.64) in 2.4.6). Insbesondere haben die Konstanten a und c in (2.84) eine biologische Interpretation erhalten. Nun zur Deutung der letzten in (2.84) auftretenden Konstanten b: Es ist L(0) =

a , 1 + exp(b)

also 0 < L(0) < a, falls a > 0 und somit L(0) exp(b) = a − L(0) oder

(2.92)

64

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

b = ln



a −1 L(0)



,

(2.93)

der gesuchte Zusammenhang von b mit dem Anfangswert L(0). Wenn die Population zum Zeitpunkt t = 0 einen Wert L(0) hat, der (2.92) gen¨ ugt, dann erf¨ ahrt b die durch (2.93) ausgedr¨ uckte Interpretation, und es gilt    a −1 exp(−ct) exp(b − ct) = exp(b) exp(−ct) = exp ln L(0) = also L(t) =



 a − 1 exp(−ct), L(0)

L(0)a . L(0) + (a − L(0)) exp(−ct)

(2.94)

An dieser Darstellung wird klar, welche Parameter wirklich vorkommen: der Anfangswert L(0), der Umweltparameter a und die Replikationsrate c. Es sei hervorgehoben, dass die Verhulstgleichung (2.90) nur den Mechanismus einer Evolution, nicht aber den Anfangswert L(0) festlegt. 2.5.6 Exponentielles Wachstum Als n¨ achsten Sonderfall differenzieren wir y(t) = α exp(Rt), α, R ∈ R.

(2.95)

Hier kommen die Kettenregel sowie die Tabelle 2.5 zur Anwendung: y(t) ˙ = αR exp(Rt). Ein Vergleich mit (2.95) lehrt, dass y˙ = Ry

(2.96)

gilt. Daher l¨ ost (2.95) die Ratengleichung (2.7), welche wir in Abschnitt 2.2.4 anl¨ asslich unseres ersten Modellierungsversuchs gewonnen haben. Wegen (2.95) nennt man das durch (2.96) beschriebene Wachstum auch exponentiell. Aus (2.95) folgt noch y(0) = α, so dass y(t) = y(0) exp(Rt)

(2.97)

gilt. Wieder tritt der Anfangswert y(0) als Parameter in der L¨osung auf. Ungest¨ ortes exponentielles Wachstum einer Gr¨oße f¨ uhrt zu ihrer unbegrenzten Ausbreitung:

2.6 Anwendungen der Ableitung: Monotonie, Extrema, Kr¨ ummung

65

y(t) → +∞, sobald nur y(0) > 0 ausf¨ allt (vgl. (2.97), (2.42) und (2.44)). Die K¨aferdaten in Abb. 2.1 signalisieren aber S¨ attigung und keine unbegrenzte Ausbreitung, so dass (2.96) als Beschreibung der K¨ aferdaten ausf¨allt, ein Ergebnis, das in Abschnitt 2.2.4 schon auf anderem Wege aus dem Verhalten der K¨aferdaten geschlossen worden ist. Die zus¨ atzliche Begrenzung des Wachstums durch Umwelteinfl¨ usse liefert logistisches Wachstum (2.94) und das charakteristische Verhalten der K¨aferdaten.

2.6 Anwendungen der Ableitung: Monotonie, Extrema, Kru ¨mmung 2.6.1 Motivation ¨ Die bisherigen Uberlegungen sind immer wieder auf Graphen von Funktionen gestoßen, deren genauer Verlauf in vielen F¨ allen von entscheidender Bedeutung ist. Das s¨ attigende Verhalten von Funktionen wurde schon behandelt. Ferner interessiert sich der Biologe in unterschiedlichen Zusammenh¨angen f¨ ur sigmoides Verhalten. Ein typisches Beispiel ist das logistische Wachstum (vgl. Abschnitte 2.2.2 und 2.4.2). Sigmoides Verhalten der Charakteristik von Enzymen (vgl. Abschnitt 2.6.6) unterscheidet diese Proteine von solchen Enzymen, deren Charakteristiken einheitliche Kr¨ ummung haben und ganz andere Aufgaben im Stoffwechselkreislauf u ¨ bernehmen. Die folgenden Abschnitte werden davon handeln. Sie geben dem Biologen Methoden zur Beurteilung von Messreihen verschiedener Experimente in die Hand, falls ein mathematisches Modell vorliegt. 2.6.2 Monotonie und Ableitung Sei x(t) eine reelle, differenzierbare Funktion auf (a, b) ⊂ R. Dann sind folgende Implikationen beweisbar: x(t) ˙ > 0 in (a, b) ⇒ x(t) w¨ achst streng monoton in (a, b), x(t) ˙ ≥ 0 in (a, b) ⇔ x(t) w¨ achst monoton in (a, b),

x(t) ˙ < 0 in (a, b) ⇒ x(t) f¨ allt streng monoton in (a, b), x(t) ˙ ≤ 0 in (a, b) ⇔ x(t) f¨ allt monoton in (a, b).

(2.98) (2.99) (2.100) (2.101)

Ein Doppelpfeil ⇔ bedeutet, dass unter der Voraussetzung einer Seite des Pfeils die Behauptung auf der anderen Seite richtig ist. Der Leser m¨oge beachten, dass der Doppelpfeil in (2.98) oder (2.100) nicht richtig w¨are, z.B. gilt ur t ∈ (−∞, +∞), jedoch ist f¨ ur x(t) = t3 die rechte Behauptung in (2.98) f¨ ˙ = 0, so dass die linke Seite von (2.98) nicht besteht. x(t) ˙ = 3t2 , d.h. x(0)

66

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

2.6.3 Monotonieverhalten bei der logistischen Kurve Noch einmal die logistische Kurve L(t) =

a a, b, c ∈ R, a = 0 1 + exp(b − ct)

mit der Ableitung ˙ L(t) =

ac exp(b − ct) (1 + exp(b − ct))2

aus Abschnitt 2.5.5: Wegen exp(b − ct) > 0 f¨ ur alle t ∈ R gilt ˙ L(t) > 0 in R, falls ac > 0, ˙ L(t) < 0 in R, falls ac < 0. Die Implikationen (2.98) und (2.100) lehren L(t) streng monoton wachsend in R, falls ac > 0, L(t) streng monoton fallend in R, falls ac < 0. Die biologisch sinnvollen F¨ alle sind durch a > 0, c > 0 (d.h. ac > 0) gekennzeichnet. Dann ist L(t) streng monoton wachsend. Nach Abschnitt 2.4.6 s¨ attigt L(t). Beide Eigenschaften reichen aber nicht aus, um ein gen¨ ugend genaues, qualitatives Bild zu entwerfen. Wir nehmen die Diskussion an dieser Stelle in Abschnitt 2.6.7 wieder auf. 2.6.4 Qualitative Kurvendiskussion Als n¨ achstes sei das Polynom p(t) = 13 t3 + t2 − 3t + 5 gegeben. Es hat die Ableitung p(t) ˙ = t2 + 2t − 3 = (t + 3)(t − 1). Daraus sehen wir, dass p(t) in (−∞, −3) und (1, +∞) streng monoton w¨achst (dort gilt p(t) ˙ > 0) und in (−3, 1) streng monoton f¨ allt (hier finden wir p(t) ˙ < 0). Diese Kenntnisse zusammen mit p(1) = 10 3 > 0 reichen aus, um qualitativ den Verlauf von p(t) zu entwerfen. Offenbar gilt p(1) ˙ = 0 = p(−3). ˙ In vielen F¨allen reicht ein ¨ qualitativer Uberblick dieser Art, genauere Kenntnisse sind oft nicht n¨otig. ¨ Ubung 11. Zeichne ein qualitatives Bild von p(t) = 13 t3 + t2 − 3t + 5. Verwende nur die oben zusammengetragenen Tatsachen. 2.6.5 Kr¨ ummung und zweite Ableitung Sei x(t) eine differenzierbare, reelle Funktion in (a, b). Dann existiert die Funktion x(t) ˙ in (a, b). Diese kann wieder in (a, b) differenzierbar sein. In diesem Fall bezeichnen wir ihre Ableitung mit

2.6 Anwendungen der Ableitung: Monotonie, Extrema, Kr¨ ummung

67

d2 x(t) dt2 und sprechen von der 2. Ableitung der Funktion x(t). Wir sagen auch, dass x(t) zweimal differenzierbar ist in (a, b). x ¨(t) oder x′′ (t) oder

Sei x(t) zweimal differenzierbar in (a, b). Gilt dann x ¨(t) > 0 in (a, b),

(2.102)

so weist der Kurvenverlauf von x(t) eine Kr¨ ummung gem¨aß der linken Zeichnung von Abb. 2.12 auf. Liegt dagegen x ¨(t) < 0 in (a, b)

(2.103)

vor, so stellt die rechte Figur der Abb. 2.12 die Kr¨ ummungsverh¨altnisse dar. In einer Umgebung eines Punktes t¯ ∈ (a, b) mit

a

b

a

b

Abb. 2.12. Kr¨ ummung:links positive,rechts negative 2. Ableitung

x( ˙ t¯) = 0, x ¨(t¯) > 0

(2.104)

liegt ein relatives Minimum f¨ ur x(t) vor und im Falle x( ˙ t¯) = 0, x ¨(t¯) < 0

(2.105)

ein relatives Maximum. (2.104) und (2.105) sind hinreichend f¨ ur das Vorliegen eines relativen Minimums (Maximums). Wechseln die Kr¨ ummungsverh¨altnisse einer Funktion x(t) bei t¯ von denen in der linken zu denen der rechten Zeichnung von Abb. 2.12 oder umgekehrt, so reden wir von einem Wendepunkt von x(t) bei t¯. An einem Wendepunkt t¯ gilt x ¨(t¯) = 0. Unter den Wendepunkten findet man die Sattelpunkte, die durch x( ˙ t¯) = 0, x ¨(t¯) = 0 beschrieben sind.

(2.106)

68

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

2.6.6 Ligandenbindung an Proteine Die Basisreaktion bei einem Michaelis-Menten-Prozess lautet X + E0 ⇋ E1 .

(2.107)

Hier bedeutet X ein Substrat, welches mit einem Enzym E0 reagiert. Das Substrat setzt sich an die einzige Bindungsstelle von E0 und bildet einen Komplex E1 . Der Doppelpfeil deutet an, dass die Reaktion reversibel ist, also in beide Richtungen ablaufen kann. Bezeichnet e0 die Konzentration des freien Enzyms E0 und e1 die Konzentration des Komplexes E1 , so ist die Charakteristik des Enzyms E0 durch das Verh¨altnis Y1 =

e1 e0 + e1

(2.108)

gegeben [10, 32]. Der Index 1 bei Y deutet auf die einzige Bindungsstelle des Enzyms hin. In einer komplizierteren Situation hat das Enzym E0 genau zwei Bindungsstellen. Wir k¨ onnen dann neben dem freien Enzym E0 die beiden Komplexe E1 , E2 bilden (vgl. [31, 10]), wobei im Falle E1 genau ein Bindungsplatz (irgendeiner von den beiden m¨ oglichen) durch das Substrat X besetzt ist. Analog sind im Falle von E2 beide Bindungspl¨ atze beladen. In diesem allgemeineren Fall wird der Bindungsprozess nicht nur durch (2.107) sondern gleichzeitig durch X + E1 ⇋ E2 (2.109) geregelt. Die Charakteristik f¨ ur dieses Enzym ist das Verh¨altnis Y2 =

e1 + e2 . e0 + e1 + e2

(2.110)

Experimentell weiß man, dass die Verh¨ altnisse (2.108), (2.110) von der angebotenen Konzentration x f¨ ur das Substrat X abh¨angen, d.h. ej = ej (x), j = 0, 1, 2. Wir erhalten also zwei Funktionen YN (x), N = 1, 2. Man hat die Darstellungen ηN (x) , N = 1, 2 (2.111) YN (x) = 1 + ηN (x) mit den Polynomen η1 (x) = K0 x, η2 (x) = K0 x + K0 K1 x2

(2.112)

gefunden ([2, 10] vgl. auch (6.29) in Unterabschnitt 6.2.4, wo (2.111) f¨ ur N = 1 nachgewiesen wird). Die Konstanten K0 , K1 regeln die beiden Reaktionen ur (2.107) (2.107) und (2.109): Genauer ist K0 eine Bindungskonstante f¨

2.6 Anwendungen der Ableitung: Monotonie, Extrema, Kr¨ ummung

69

und K1 Bindungskonstante f¨ ur (2.109). Solche Konstanten sind typischerweise positiv, f¨ ur große Werte ist die Reaktion (2.107) bzw. (2.109) u ¨ berwiegend im gebundenen Zustand E1 bzw. E2 . F¨ allt die Bindungskonstante positiv aber sehr klein aus, so ist die jeweilige Reaktion mehr in der Zerfallssituation der linken Seite anzutreffen. F¨ ur unsere Zwecke definiert (2.112) zwei Polynome mit positiven Koeffizienten K0 und K0 K1 , welche gem¨aß der ersten Zeile von ur K1 = 0, η1 (x) = η2 (x) f¨ (2.113) ur K1 = 0 Y1 (x) = Y2 (x) f¨ ineinander u ¨ bergehen. Die zweite Zeile folgt direkt aus der ersten. Wir wollen nun eine Kurvendiskussion f¨ ur die beiden Funktionen (2.111) herstellen und m¨ ussen uns wegen (2.113) nur mit Y2 (x) besch¨aftigen. Die Quotientenregel aus Tabelle 2.6 (vgl. Abschnitt 2.5.3) liefert die beiden Ableitungen η2′ (x) Y2′ (x) = , (1 + η2 (x))2 (2.114) (1 + η2 (x))η2′′ (x) − 2η2′ (x)2 ′′ . Y2 (x) = (1 + η2 (x))3 Wegen η2′ (x) = K0 + 2K0 K1 x ur x ≥ 0, so dass sofort ist η2′ (x) > 0 f¨

ur x > 0 Y2′ (x) > 0 f¨

achst streng monoton, Y2 (x) muss bei 1 s¨attigen, weil das Z¨ahlerfolgt: Y2 (x) w¨ und das Nennerpolynom denselben Grad und denselben h¨ochsten Koeffizienten besitzen (verwende (2.61) aus Abschnitt 2.4.6). F¨ ur die Kr¨ ummungsverh¨ altnisse ist das Vorzeichen der zweiten Zeile von (2.114) zu untersuchen. Da der Nenner ein Polynom mit lauter positiven Koeffizienten ist, nimmt dieser f¨ ur x ≥ 0 nur positive Werte an. Das Vorzeichen der zweiten Ableitung in der zweiten Zeile von (2.114) ist durch das Vorzeichen des Z¨ ahlers gegeben. Wir rechnen daher diesen aus und finden (1 + η2 (x))η2′′ (x) − 2η2′ (x)2 = (1 + K0 x + K0 K1 x2 )2K0 K1 −2(K0 + 2K0 K1 x)2 = 2K0 K1 − 2K02 − [−2K0 K1 (K0 x + K0 K1 x2 ) +2(4K02 K1 x + 4K02 K12 x2 )] = 2K0 (K1 − K0 ) − 6K02 K1 x[1 + K1 x].

(2.115)

70

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

An dieser Darstellung ist sofort K1 − K0 = 0 ⇒ Y2′′ (x) < 0, f¨ ur x > 0, K1 − K0 < 0 ⇒ Y2′′ (x) < 0, f¨ ur x ≥ 0 ersichtlich, weil jetzt der Z¨ ahler ein Polynom mit lauter negativen Koeffizienten wird. Unsere Charakteristik w¨ are dann eine streng monoton wachsende Funktion mit einheitlicher Kr¨ ummung, welche bei dem Wert 1 s¨attigt. Ebenso einfach ist die Implikation K1 − K0 > 0 ⇒ es gibt ein x ¯ > 0 mit Y2′′ (¯ x) = 0 sowie

(2.116)

Y2′′ (x) > 0 f¨ ur 0 ≤ x < x ¯, Y2′′ (x) < 0 f¨ ur x ¯ < x. Das Polynom in der letzten Zeile von (2.115) ist n¨amlich streng monoton fallend und beginnt bei x = 0 mit dem positiven Wert 2K0 (K1 − K0 ). Die Implikation (2.116) ben¨ otigt u ¨berdies, dass das Polynom in der letzten Zeile von (2.115) streng monoton nach −∞ strebt. Nun liegt genau ein Kr¨ ummungs¯ vor. wechsel f¨ ur die Charakteristik Y2 (x) mit genau einem Wendepunkt bei x Man spricht von sigmoidem Verhalten der Charakteristik. Ein solcher Verlauf ist in der linken Zeichnung von Abb. 2.13 (siehe 2.6.7) dargestellt. Es ist klar, dass diese Charakteristik wieder bei 1 s¨ attigt. Im Falle eines Michaelis-Menten-Prozesses ist K1 = 0, weil nur die Reaktion (2.107) vorhanden ist. Wir erkennen an (2.116), dass diese Implikation dann nicht mehr vorkommt und eine Charakteristik mit einheitlicher Kr¨ ummung wie in der rechten Zeichnung von Abb. 2.13 auftritt. Ein Enzym mit sigmoider Charakteristik ben¨otigt nach dieser Analyse mindestens zwei Bindungsstellen f¨ ur das Substrat. Dar¨ uber hinaus muss K0 < K1

(2.117)

nach (2.116) sein. So wird der Unterschied zwischen Enzymen mit nur einer Bindungsstelle oder zweien, den wir in 2.6.1 erw¨ahnt haben, in der mathematischen Analyse sichtbar. ¨ Ubung 12. Zeichne qualitativ alle M¨ oglichkeiten des Funktionsverlaufs von (2.111) mit (2.112) und K0 > 0, K1 ≥ 0. Die Sauerstoffbindung beim Haemoglobin [2] l¨auft sogar u ¨ ber vier Bindungsstellen mit Bindungskonstanten K0 , K1 , K2 und K3 .

2.6 Anwendungen der Ableitung: Monotonie, Extrema, Kr¨ ummung

71

Hier findet man K0 < K1 < K2 < K3 bei sigmoidem Verhalten der Charakteristik: Die in (2.117) beobachtete Monotonie wird u ¨ bernommen und fortgesetzt! 2.6.7 Sigmoides Verhalten bei der logistischen Kurve Es ist ferner m¨ oglich, den Verlauf der logistischen Kurve L(t) =

a , a, b, c ∈ R, a = 0 1 + exp(b − ct)

(2.118)

vollst¨ andig zu kl¨ aren. In Abschnitt 2.5.5 haben wir f¨ ur ihre erste Ableitung zwei Darstellungen erhalten (vgl.(2.88) und (2.89))   L(t) ac exp(b − ct) ′ ′ L (t) = . (2.119) und L (t) = cL(t) 1 − (1 + exp(b − ct))2 a Zur Berechnung der zweiten Ableitung eignet sich die zweite Darstellung besser. Sie liefert     L′′ (t) = cL′ (t) 1 −

L(t) a



= cL′ (t) 1 −

+ cL(t)

2L(t) a



−

L′ (t) a

=

(2.120) .

Sei nun a > 0, c > 0,

(2.121)

dann folgt aus der ersten Beziehung in (2.119), dass

0.5 ⋅ a

0.5 ⋅ a

T Abb. 2.13. Sigmoides Verhalten (links), einheitliche Kr¨ ummung (rechts)

72

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

L′ (t) > 0 f¨ ur t ≥ 0

(2.122)

gilt. Nach (2.98) w¨ achst L(t) streng monoton in [0, +∞). Wegen L(0) =

a >0 1 + exp(b)

(2.123)

folgt insbesondere L(t) > 0 in (0, +∞). Nun sei b > 0.

(2.124)

Dann finden wir nacheinander folgende Ungleichungen: 2 < 1 + exp(b), 2a < a(1 + exp(b)), L(0) =

a a < . 1 + exp(b) 2

(2.125)

Wegen L(t) → a f¨ ur t → +∞ (vgl. Abschnitt 2.4.6) und wegen der strengen Monotonie von L(t) zeigt (2.125), dass es genau ein t¯ gibt mit 2L(t¯) = a, t¯ > 0.

(2.126)

Daher zeigt (2.120) die Beziehungen L′′ (t) > 0 in [0, t¯), L′′ (t¯) = 0, L′′ (t) < 0 in (t¯, +∞).

(2.127)

Nach Abschnitt 2.6.5 sind nun die Kr¨ ummungsverh¨altnisse der logistischen Kurve klar. Die linke Zeichnung von Abb. 2.13 zeigt ein qualitatives Bild unter den Voraussetzungen (2.121) und (2.124). Bei t¯ liegt ein Wendepunkt vor. Gilt nun statt (2.124) die Voraussetzung b ≤ 0,

(2.128)

so finden wir nacheinander: exp(b) ≤ 1, a(1 + exp(b)) ≤ 2a, a a ≤ = L(0), 2 1 + exp(b)

(2.129)

so dass wegen der strengen Monotonie von L(t) sofort a2 < L(t) f¨ ur t > 0 folgt. Daher liefert (2.120) weiter L′′ (t) < 0 in [0, +∞), so dass wir einheitliche Kr¨ ummungsverh¨ altnisse nachgewiesen haben. Damit hat die logistische Kurve im Falle (2.121), (2.128) das qualitative Aussehen, welches die rechte Zeichnung der Abb. 2.13 demonstriert.

¨ 2.7 Ubungsaufgaben

73

¨ 2.7 Ubungsaufgaben ¨ Ubung 13. Welche der folgenden vier Aussagen sind richtig? Begr¨ unde jede Entscheidung. (i) F¨ ur jede reelle Zahl x ≥ −1 ist (x + 1)2 < (x + 2)4 . (ii) (iii) (iv)

F¨ ur jede reelle Zahl x ≥ −1 ist |x + 1| < (x + 2)4 .  2  3 Es gibt eine ganze Zahl n mit n − 21 < n + 23 .

Sind m, n nat¨ urliche Zahlen mit 1 ≤ m < n, dann ist m! < n!.

¨ Ubung 14. Zeichne die Funktionen L(x), R(x) und die Menge M := {x ∈ R : L(x) ≤ R(x)} in ein gemeinsames Diagramm ein. Finde eine Darstellung von M unter Verwendung von Intervallen. (a) L(x) = 2x + 1, R(x) = 21 − x, (b) L(x) = −1, R(x) = |x| − 2, (c) L(x) = x2 − 2x, R(x) = 2x − x2 . ¨ Ubung 15. Gegeben sei die Funktion h(x) =

(3x − 100)2 · x3 − 15x . (1 − 12 x)3 · (x2 + 10)

Bestimme die Menge aller reellen Zahlen, f¨ ur die h definiert ist. Wie verh¨alt sich h(x) f¨ ur x → +∞? ¨ Ubung 16. Finde einen m¨ oglichst großen Definitionbereich f¨ ur jede der reellen Funktionen  f (x) = −x2 + 2x + 3, g(x) = x(x − 1)−1 (x + 1)−1 , h(x) = f (x)g(x).

Zeichne f (x) qualitativ.

¨ Ubung 17. Vereinfache bzw. berechne √ (a) x2 x6 x7 , x ≥ 0, (c)

3

(e)

9

i=1

i=1



4 i−1





10 i−1



i

2,

,

(b)

 x2 y 4 z 0 ,

(d)

N

(f )

N

i=1

i=0



N i



3i (−5)N −i , N ∈ N,



N i



5i (−3)N −i , N ∈ N.

74

2 Grundbestandteile mathematischer Modellierung

¨ Ubung 18. Bestimme den Grenzwert der folgenden Ausdr¨ ucke f¨ ur x → +∞   N N √ (2x)N −i i=0 i 5x4 − 3x2 + 6 x2 + 1 f (x) = , g(x) = , h(x) = . 2(x + 1)4 + 3 x+3 (x − 3)N ¨ Ubung 19. Gegeben seien die Funktionen  x3 + 2x + 1 f (x) := ln( 2x2 + 1), g(x) := exp(4x), h(x) := . x2 + 1

(a) Bestimme den Definitions- und Wertebereich von f . (b) Berechne (g ◦ f )(x) und vereinfache den entstehenden Ausdruck. (c) Finde den Definitionsbereich von h ◦ g.

¨ Ubung 20. 6 (12) Kugeln sollen auf 2 (3) T¨ opfe verteilt werden. Untersuche folgende Situationen: (I) Jeder Topf erh¨ alt gleich viele Kugeln. (II) Topf eins erh¨ alt 4 (8) Kugeln und die restlichen T¨opfe erhalten 2 Kugeln. Auf wieviele verschiedene Arten k¨ onnen die Kugeln auf die T¨opfe verteilt werden? ¨ Ubung 21. f, g, h seien in R zweimal differenzierbare Funktionen. Zeige: (f gh)′ = f ′ gh + f g ′ h + f gh′ . Sind f und g zweimal differenzierbar in R, so gilt (f g)′′ = f ′′ g + 2f ′ g ′ + f g ′′ . ¨ Ubung 22.   Das Enzym E0 sei in einem Gef¨ aß mit der Konzentration E Mol V ol vorhanden, bevor das Substrat X zugegeben wird. E0 besitze einen Bindungsplatz. Wird die Substratmenge  ol] hinzugesetzt, so entsteht im Gef¨aß die Substrat X[M angigkeit konzentration x Mol V ol , die als konstant vorausgesetzt wird. In Abh¨ von x bildet sich dann die besetzte Enzymform bzw. die unbesetzte Enzymform in der Konzentration e1 (x) bzw. e0 (x) aus. Es gilt E = e1 (x) + e0 (x), e1 (x) = kx · e0 (x) , x ≥ 0 mit einer Konstanten k > 0, falls keine weiteren Reaktionen stattfinden. Finde e1 (x), e0 (x) in Abh¨ angigkeit von E und k. ¨ Ubung 23. Ein Experiment liefert zum Zeitpunkt t = 1 f¨ ur die Messgr¨oße x den Wert x = 2. Kann zwischen x und t der Zusammenhang

¨ 2.7 Ubungsaufgaben

x(t) =

75

at + 3 −2t + 1

mit einer geeigneten positiven Konstanten a ∈ R bestehen? Betrachte ein anderes Experiment mit einer weiteren Messgr¨oße x: Nach Ablauf einer großen Zeit n¨ ahere sich x dem Wert x = 3 an. Kann der Prozess f¨ ur große Zeiten durch die Beziehung b exp(t)2 + 1 x(t) = exp(t)2 + 2 mit einer geeigneten Konstanten b ∈ R beschrieben werden? ¨ Ubung 24. ur Berechne x′ f¨ √ √ (a) x(t) = t + exp( t), t ∈ R (c) x(t) =

2t2 −1 t+1 ,

t = −1,

3

(b) x(t) = ln( 3t (d) x(t) =

¨ Ubung 25. Gegeben sei die logistische Kurve L(t) =



+2t+1 ), 2t

t > 0,

exp(t2 ) + 2, t ∈ R.

K f¨ ur t ≥ 0. 1 + exp(b − Rt)

Es seien K > 0, R > 0 und b > 0. (a) Wieviele relative Extrema besitzt L′ (t)? (b) Wie verh¨ alt sich L′ (t) f¨ ur t → ∞? ¨ Ubung 26. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? 1. Jedes Polynom vom Grad 1 l¨ asst eine Umkehrfunktion zu, die auf ganz R erkl¨ art ist. 2. Es gibt reelle Funktionen f und g, f¨ ur die f ◦ g = g ◦ f ist. 3. Seien x(s) und y(s) differenzierbare Funktionen im Intervall (a, b). Dann gilt stets: (xy)′ (s) = x′ (s) · y ′ (s). 4. Es sei p ein Polynom vom Grad m und q ein Polynom vom Grad n. Dann ist p ◦ q ein Polynom vom Grad m + n. 5. F¨ ur jede reelle Zahl x mit der Eigenschaft x ≥ −1 ist stets (x+1)2 < (x+2)4 . 6. Ist f eine auf ganz R differenzierbare Funktion, so ist auch exp ◦f auf ganz R differenzierbar.

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

3.1 Das Geschehen in diesem Kapitel Die biologische Welt ist voller Entwicklungen in der Zeit. Jede Gr¨oße ist betroffen. Aus dem Kapitel 2 kennen wir das mathematische Analogon einer solchen Entwicklung: eine Funktion x : t ∈ R → x(t) ∈ R

(3.1)

in der Zeit. Zum Beispiel die Entwicklung der Population der K¨afer aus Abb. 2.2 in Unterabschnitt 2.2.2. Ein Ergebnis der Untersuchungen im Unterabschnitt 2.5.5 ist der analytische Ausdruck x(t) =

Kx(0) , t ≥ 0, K > x(0) ≥ 0 x(0) + (K − x(0)) exp(−Rt)

(3.2)

mit K = Grenze f¨ ur den maximal erreichbaren Populationsumfang, R = Wachstumsrate. Es ist kaum denkbar, dass (3.2) direkt geraten wird. Wie aber k¨onnen wir ein mathematisches Analogon zu einer Entwicklung in der Natur, die durch eine einzige Gr¨ oße ausreichend beschrieben ist, konstruieren? Damit sind wir bei der Frage gelandet, die im Abschnitt 1.5 einleitend behandelt wird. Der Leser lernt dort, dass die gew¨ unschte Konstruktion mit Hilfe der Darstellung der Ver¨ anderung x(t) ˙ des gesuchten Zustands x(t) als Differentialgleichung x(t) ˙ = f (x(t))

(3.3)

gelingt, wobei die reelle Funktion f : η ∈ R −→ f (η) ∈ R von reellen Parametern

(3.4)

78

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

α1 , . . . , αp mit biologischer Bedeutung abh¨ angen wird. Der Zugang u ¨ ber (3.3) ist eine implizite Definition f¨ ur die gesuchte Evolution (3.1): Diese erscheint als L¨osung einer Differentialgleichung (3.3), (3.4) und ist somit in (3.3) enthalten (implizit)! Im Gegensatz dazu nennt man die direkte Angabe eines analytischen Ausdrucks f¨ ur x(t) wie z.B. in (3.2) explizit. Die implizite Beschreibung (3.3), (3.4) liefert eine explizite, wenn die quantitative Analyse von (3.3) gelingt (vgl. den Schluß dieses Abschnitts)! Zugleich wird im Unterabschnitt 1.5.1 f¨ ur eine hochwachsende Population ¨ vorgemacht, wie die rechte Seite f (η) von (3.3) aus allgemeinen Uberlegungen entsteht: Tats¨ achlich ist (3.2) L¨ osung des Ratengesetzes   x(t) x(t) ˙ = Rx(t) 1 − , t≥0 (3.5) K und aus dieser Quelle gewonnen. Die durch die rechte Seite ausgedr¨ uckte Gesetzm¨ aßigkeit definiert ein Polynom  η Rη 1 − K

zweiten Grades in η, viel einfacher gebaut als die rechte Seite von (3.2)! Die Herleitung im Unterabschnitt 2.2.4 auf der Grundlage des Wachstums proportional zu x(t) und einer Wachstumshemmung proportional zu x(t)2 ist einsichtig. Entsprechende Argumente zur direkten Ableitung von (3.2) ohne den Umweg u ¨ ber (3.5) sind mir nicht bekannt. Solche Argumente w¨ aren auch nicht hilfreich, weil die Kompexit¨at der expliziten Darstellung (3.2) auf der Grundlage der deutlich einfacheren rechten Seite der Beschreibung (3.5) von selbst ensteht! Man beobachtet durchweg hohe Komplexit¨ at der L¨ osungen bei einfachen Differentialgleichungen. Viele durch mathematische Ausdr¨ ucke hinschreibbare Differentialgleichungen k¨ onnen nur numerisch mit Hilfe eines Komputers gel¨ost werden, ein Ausdruck des Sachverhaltes, dass Gesetzm¨ aßigkeiten einfacher sind, als die resultierenden Zust¨ ande, oder: dass es einfach nicht soviele analytische Ausdr¨ ucke gibt, aus denen die L¨ osungen s¨ amtlicher Differentialgleichungen hergestellt werden k¨ onnen. Und ein weiteres Argument f¨ ur die Behandlung von Differentialgleichungen in der Biologie tritt hinzu: Jede Entwicklung x(t) einer einzelnen Gr¨oße x ist L¨ osung einer Gleichung (3.3), (3.4), falls die Ver¨anderung von x zu jedem Zeitpunkt von ihrem aktuellen Wert x(t) allein abh¨angt: W¨aren wir in der Lage, alle L¨osungen von (3.3), (3.4) wenigstens qualitativ zu beschreiben, so h¨ atten wir alle Evolutionen unter der genannten Annahme vor Augen!

3.2 Qualitative Methoden

79

Das aber ist das Ziel des vorliegenden Kapitels. Jedes Geschehen in der Zeit heißt Entwicklung oder Evolution: Es muss nicht notwendig zum Wachstum der in Rede stehenden Gr¨ oße f¨ uhren, ein Verfall bis hin zur Ausl¨oschung ist genauso denkbar. So sind Differentialgleichungen (3.3) die gemeinsame Form, welche die Entwicklungen (3.1) implizit verwahren. Zugleich k¨onnen die mathematischen Ausdr¨ ucke, aus denen sie zusammengebaut sind, durch sprachliche Argumentation nach dem Muster von Abschnitt 1.5 konstruiert werden: Dort entsteht die Gleichung (3.5), welche den expliziten Ausdruck (3.2) hervorbringt! Die Diskussion aller L¨ osungen von (3.3) hat zwei Teile. In der qualitativen Analyse werden Monotonieverhalten, Kr¨ ummung und Wendepunkte, Maxima und Minima sowie S¨ attigung und das Existenzintervall einer L¨osung bestimmt. Aus diesen St¨ ucken kann eine qualitative Zeichnung einer jeden L¨ osung gefertigt werden. Die quantitative Analyse hat das Ziel, einen analytischen Ausdruck analog zu (3.2) in m¨ oglichst vielen F¨allen (3.3) zu konstruieren. Diese Untersuchungen erfordern einen Einblick in die Integralrechnung und die Auffindung von Stammfunktionen. Eine kurze Bemerkung zu Existenz- und Eindeutigkeitsfragen f¨ ur L¨ osung von (3.3) mit gegebenem Anfangswert beschließt das Kapitel. Lernziel ist das Verst¨ andnis f¨ ur das Aussehen einer Entwicklung gem¨aß (3.3) nach qualitativen oder sogar quantitativen Gesichtspunkten. In der Biologie steht immer die Frage nach einer sigmoiden Entwicklung im Gegensatz zu einer mit einheitlicher Kr¨ ummung im Vordergrund.

3.2 Qualitative Methoden 3.2.1 Evolution einer reellen Variablen Die Ratengleichungen (2.7), (2.11) in Abschnitt 2.2.4 sind Sonderf¨alle der allgemeinen Differentialgleichung x(t) ˙ = f (x(t)), t ≥ 0,

(3.6)

wobei f eine 2-mal differenzierbare Funktion bezeichnet, die ein Intervall I ⊂ R in den Wertebereich R abbildet. Bisweilen wird die Zeit t im Schriftbild unterdr¨ uckt, und man schreibt einfacher x˙ = f (x).

(3.7)

Die Gleichung dr¨ uckt die Entwicklung einer skalaren Gr¨oße x im Laufe der Zeit t ∈ [0, +∞) aus. Wir sprechen auch von einer Evolutionsgleichung und nennen jede in einem (endlichen oder unendlichen) Intervall definierte, differenzierbare Funktion x(t), welche (3.6) erf¨ ullt, eine L¨ osung von (3.6)

80

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

oder einfach Evolution. Sie besitzt daher an jedem Punkt t ihres Definitionsbereiches eine Ableitung x(t), ˙ und diese kann gem¨aß f (x(t)), also durch Einsetzen des Wertes x(t) in die Funktion f , berechnet werden. Im Falle der Verhulstgleichung ist   x f (x) = Rx 1 − . (3.8) K ¨ Hier wird die Entwicklung einer Population beschrieben. Ahnliches gilt f¨ ur x˙ = Rx mit f (x) = Rx

(3.9)

(vgl. (2.7) von Abschnitt 2.2.4). Welches Interesse hat eigentlich die Biologie an dieser zun¨achst nur formalen Verallgemeinerung der Verhulstgleichung? Die Antwort wird offensichtlich, wenn wir die Frage umformulieren: Welches Interesse hat eigentlich die Biologie an Evolutionsprozessen? Da Leben Evolution und Biologie die Wissenschaft vom Leben ist, geh¨ ort Evolution fraglos zum Bereich der Biologie. Die Entwicklung einer einzigen Gr¨ oße x in der Zeit definiert aber eine Funktion x(t) und deren Entwicklung ist durch (3.6) beschrieben! ¨ Unsere Uberlegungen machen folgende Annahme: Die in Rede stehende Gr¨ oße x ver¨andert sich zu jeder Zeit t in Abh¨ angigkeit von ihrem eigenen momentanen Wert x(t) allein. Dies besagt, dass die Ver¨ anderungsrate x(t) ˙ eine Funktion f von x(t) allein ist: f (x(t)). Der volle mathematische Ausdruck dieser Tatsache ist gerade unsere Ratengleichung (3.6)! Es ist wichtig einzusehen, dass jede Ver¨ anderung einer Gr¨oße in der Zeit, welche die eben formulierte Annahme erf¨ ullt, in der Form (3.6) mit einer geeigneten Funktion f geschrieben werden kann. Kennen wir dann alle L¨osungen von (3.6), so beherrschen wir alle m¨ oglichen Evolutionen, welche obige Annahme erf¨ ullen. Es liegt nahe, dass wir dringend daran interessiert sein m¨ ussen, alle L¨ osungen von (3.6) wenigstens qualitativ beschreiben zu k¨onnen. ¨ Das soll Gegenstand der folgenden Uberlegungen sein. Bei unserem Vorhaben m¨ ussen wir beachten, dass (3.6) viele Evolutionen festlegt, da u ber den Anfangswert x(0) keine Annahme gemacht wird: ¨ Schließlich steht uns frei, die Anfangsbedingung x(0) ∈ I

(3.10)

selbst festzulegen. Die Gleichung (3.6) bestimmt nur die Gesetzm¨ aßigkeit der Entwicklung! Wir nennen (3.6) in Verbindung mit einer Anfangsbedingung

3.2 Qualitative Methoden

81

(3.10) eine Anfangswertaufgabe. Es wird sich herausstellen, dass (3.10) genau eine Evolution aus den vielen durch (3.6) gegebenen aussondert. ¨ Ubung 27. Gegeben sei die Funktion x ¯(t) :=

1 x0 , t ∈ [0, ) f¨ ur ein x0 > 0. 1 − tx0 x0

Zeige, dass diese Funktion die Anfangswertaufgabe x(t) ˙ = x(t)2 , x(0) = x0 l¨ ost. Zu welchem Zeitpunkt t¯ hat sich der Anfangswert x0 verdoppelt? Es folgt die qualitative Beschreibung aller L¨ osungen von (3.6). 3.2.2 Zeitunabh¨ angige Evolutionen: Station¨ are Punkte Jede Nullstelle von f , also jedes u ∈ I mit f (u) = 0

(3.11)

definiert die (¨ uberall konstante) L¨ osung y(t) = u f¨ ur t ≥ 0 von (3.6): denn offenbar wird y(t) ˙ = 0 (da y(t) konstant ist), so dass wegen (3.11) sofort y(t) ˙ = 0 = f (u) = f (y(t)), t ≥ 0 folgt. Wir nennen diese speziellen L¨ osungen auch station¨ are Punkte von (3.6): Jede Evolution, die in einem station¨ aren Punkt gestartet wird, verharrt an dieser Stelle f¨ ur alle Zeiten. ¨ Ubung 28. Gegeben sei die Differentialgleichung x˙ = x2 (x2 − 5x + 6) · exp(−x) =: f (x). Berechne alle station¨ aren Punkte. 3.2.3 Monoton wachsende Evolutionen Sei u ∈ I ein station¨ arer Punkt von (3.6). Wir starten eine Evolution bei x(0) ∈ I mit x(0) < u. Ist dann f (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ [x(0), u) (siehe Abb. 3.1), so existiert diese L¨ osung f¨ ur alle Zeiten t ≥ 0, und es gelten:

82

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

x(0) x(0)

• u

• u

Abb. 3.1. Monoton wachsende Evolutionen, der Phasenraum ist rechts herausgehoben

x(t) ˙ > 0, d.h. x w¨ achst streng monoton f¨ ur t ≥ 0,

(3.12)

x(t) → u f¨ ur t → +∞. Die zweite Zeile beschreibt das Langzeitverhalten der Evolution. Die Funktionswerte x(t) u ¨berstreichen das Intervall [x(0), u) genau einmal streng monoton, wenn t einmal von 0 nach +∞ l¨ auft. Wir nennen [x(0), u) den Orbit der Evolution x. Abb. 3.1 stellt die Situation dar. Der Pfeil unterhalb der x-Achse zeigt die Bewegungsrichtung in positiv laufender Zeit an. Wir bezeichnen die x-Achse (in Abb. 3.1 rechts herausgezeichnet) als Phasenstrahl oder Phasenraum. Jeder station¨ are Punkt definiert einen Orbit, n¨amlich jenen der Evolution y(t) = u, welche in Abschnitt 3.2.2 behandelt wird. 3.2.4 Monoton fallende Evolutionen Sei u ∈ I ein station¨ arer Punkt von (3.6). Wir starten eine Evolution bei x(0) ∈ I mit u < x(0). Ist dann f (x) < 0 f¨ ur alle x ∈ (u, x(0)], so existiert diese L¨ osung f¨ ur alle Zeiten t ≥ 0, und es gelten (vgl. Abb. 3.2): x(t) ˙ < 0, d.h. x f¨ allt streng monoton f¨ ur t ≥ 0,

(3.13)

x(t) → u f¨ ur t → +∞. 3.2.5 Langzeitverhalten von Evolutionen Soweit sind alle monotonen Evolutionen x(t) (wachsende und fallende) beschrieben, welche f¨ ur alle Zeiten t ≥ 0 definiert sind und |x(t)| ≤ κ f¨ ur jedes t ≥ 0

(3.14)

mit einem positiven (von t ≥ 0 unabh¨ angigen) κ ∈ R erf¨ ullen. Die Evolution x(t), t ≥ 0 heißt beschr¨ ankt, falls (3.14) f¨ ur ein geeignetes κ ∈ R besteht.

3.2 Qualitative Methoden

•

° ° ° °°

83

•

J

Abb. 3.2. Monotone Evolutionen

Abb. 3.2 zeigt einen allgemeinen Funktionsverlauf f (x). Auf der x-Achse sind s¨ amtliche M¨ oglichkeiten f¨ ur Orbits bezeichnet, die sich aus der bisherigen Diskussion zusammenstellen lassen. Im Intervall J verschwindet f (x). J besteht mithin aus lauter station¨ aren Punkten, die alle einzeln Orbits repr¨ asentieren. Die Bedingung (3.14) ist aus biologischer Sicht ohne Belang, interesssieren doch nur solche Wirkungen, die nicht u ¨ber alle Grenzen wachsen. Genau das aber fordert (3.14)! 3.2.6 Stabilit¨ at von station¨ aren Punkten Die Nullstellen von f (x) sind in zwei Klassen eingeteilt: solche, auf die von beiden Seiten Pfeile weisen, und solche, von denen der Pfeil auf mindestens einer Seite fortweist. Die station¨ aren Punkte der ersten Klasse heißen stabil, diejenigen der zweiten instabil. Eine gen¨ ugend kleine Auslenkung aus einem stabilen station¨aren Punkt setzt eine Evolution in Gang, welche auf diesen Punkt zur¨ ucktreibt (beachte die Pfeile in Abb. 3.2 in der N¨ahe der beiden außeren Nullstellen). Im Falle eines instabilen station¨aren Punktes gilt dies ¨ nicht (siehe die Pfeile in der N¨ ahe der Nullstellen im Intervall J der Abb. 3.2). Man pflegt stabile station¨ are Punkte mit einem vollen und instabile station¨are Punkte mit einem offenen Kreis zu kennzeichnen. 3.2.7 Wendepunkte Sei wieder x ¯(t), t ≥ 0 eine L¨ osung von x(t) ˙ = f (x(t)).

(3.15)

Eine qualitative Kurvendiskussion f¨ ur f (x) reicht aus, um die Monotonieverh¨ altnisse und das Langzeitverhalten von x ¯(t) vorherzusagen. Dazu ist die

84

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

Angabe eines analytischen Ausdrucks f¨ ur x ¯(t) u ¨ berraschenderweise unn¨otig. Man kann ebenso u ur x¯(t) ent¨ ber die Wendepunkte ohne eine Darstellung f¨ scheiden. Dazu sei angenommen, dass unsere L¨osung beschr¨ankt ist, also nach ¨ den bisherigen Uberlegungen nur streng monoton oder konstant sein kann. Die konstante L¨ osung schließen wir aus, weil wir an Wendepunkten interessiert sind. Dann aber ist x¯(t) streng monoton. Rechne x ¯˙ (t) = f (¯ x(t)), (3.16) ¨¯(t) = f ′ (¯ x x(t)) · x ¯˙ (t) und finde wegen x ¯˙ (t) = 0 f¨ ur t ≥ 0

¨ die Aquivalenz

¨¯(t) = 0 ⇔ f ′ (¯ x(t)) = 0. x

(3.17)

Orbit: I = [¯ x(0), b) oder (b, x ¯(0)]

(3.18)

Nun u ¯(t) den ¨berstreicht x

genau einmal, so dass wegen (3.17) ein Wendepunkt nur auftreten kann, wenn f ′ (η) = 0 f¨ ur mindestens ein η ∈ I (= Orbit von x ¯(t))

(3.19)

besteht. Er tritt tats¨ achlich auf, wenn ein Kr¨ ummungswechsel, also f ′ (s) · f ′ (σ) < 0 f¨ ur s < η < σ in einer Umgebung von η besteht, bei jedem Maximum (oder Minimum) von f also, das einen Vorzeichenwechsel von f ′ bei η zeigt. Im Falle von Abb. 3.3 z.B. muss der Orbit im Intervall (0, K) links vom Maximum des Graphen von f gestartet werden, damit er einen Wendepunkt aufweist, weil er streng monoton w¨ achst und den Fußpunkt vom Maximum u ¨ berstreichen wird. 3.2.8 Qualitative Analyse: die Verhulstgleichung In dieser Nummer f¨ uhren wir eine qualitative Analyse f¨ ur die Verhulstgleichung vor. f (x) ist durch (3.8) gegeben. Wir erkennen, dass jede positiv gestartete Evolution monoton dem Wert K zustrebt (vgl. Abb. 3.3). Dieser Tatbestand wird in 2.2.4 zur Interpretation von K als Umwelteinfluss benutzt. Da die Population nach unserer Analyse nur bis zu dem Wert K wachsen kann, ist K ein Maß f¨ ur die Umweltverh¨ altnisse, wenn man davon ausgeht, dass diese mit der Wachstumsfreudigkeit der Population unmittelbar einhergehen. Es ist einsichtig, dass bei x(0) = 0 die Anzahl der Individuen nicht wachsen kann: Der Nullpunkt ist ein instabiler station¨ arer Punkt.

3.2 Qualitative Methoden

85

f(x)

•

x(0)

•

°

x(0)

K

K

x

Abb. 3.3. Qualitative Analyse der Verhulstgleichung, Phasenraum rechts herausgehoben

3.2.9 Qualitative Analyse: Allgemeine Evolutionen Zusammenfassend haben wir gefunden, dass (3.7) nur monotone L¨osungen hat. Beschr¨ ankte Evolutionen x(t) s¨ attigen an einem station¨aren Punkt, alle anderen streben wachsend oder fallen nach +∞ bzw. −∞, wachsen also betragsm¨ aßig u ¨ ber alle Grenzen. Beispielsweise kann ein Vorgang mit einem nicht monotonen Verlauf u ¨ ber der Zeit (etwa ein periodischer Vorgang) keine Beschreibung durch eine skalare Evolutionsgleichung zulassen. Ferner wird eine Gleichung (3.7) mit einer rechten Seite f gem¨aß Abb. 3.4 kein sinnvolles f(x)

•

°

x

Abb. 3.4. Ratengesetz f (x) mit L¨ osungen, die von positiven zu negativen Werten wandern

mathematisches Modell sein, wenn bei jedem Anfangswert ≥ 0 eine nichtnegative Evolution erwartet wird: Beachte, dass jede Evolution zur Abb. 3.4, die links der positiven Nullstelle gestartet wird, notwendig negative Werte annehmen muss!

86

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

3.3 Quantitative Methoden 3.3.1 Motivation Vorgelegt sei wieder eine Evolution x(t) in [0, +∞), welche einer Gleichung x(t) ˙ = f (x(t))

(3.20)

mit einer zweimal differenzierbaren Funktion f :R→R gen¨ ugt. Der Abschnitt 3.2 beschreibt alle L¨ osungen von (3.20) qualitativ. Es besteht aber dar¨ uber hinaus vielfach das Bed¨ urfnis nach der Angabe eines analytischen Ausdrucks f¨ ur die L¨ osung x(t). So wissen wir aus Abschnitt 2.5.5, dass der analytische Ausdruck x(t) =

x(0)K x(0) + (K − x(0))exp(−Rt)

die Verhulstgleichung, also (3.20) mit 

x f (x) = Rx 1 − K



erf¨ ullt. Man spricht von einer quantitativen Analyse der Verhulstgleichung. Im vorliegenden Abschnitt wollen wir sehen, ob eine quantitative Analyse auch ¨ im allgemeinen Fall (3.20) gelingt. Wir nutzen die Uberlegungen zu einem Einstieg in die Integralrechnung, der sich unmittelbar anbietet. 3.3.2 Die einfachste Ratengleichung Die einfachste skalare Evolutionsgleichung (3.20) lautet x(t) ˙ = 0.

(3.21)

Hier ist f (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ R. Daher sind alle reellen Zahlen station¨are Punkte und s¨ amtliche L¨ osungen von (3.21) haben die Form x(t) = c f¨ ur t ≥ 0 mit einem c ∈ R.

(3.22)

3.3.3 Stammfunktion Sei ϕ(t) eine reellwertige Funktion, welche auf einem reellen Intervall (a, b) (a < b) erkl¨ art ist. Jede L¨ osung y(t) in (a, b) der Differentialgleichung x(t) ˙ = ϕ(t) (t ∈ (a, b))

(3.23)

3.3 Quantitative Methoden

87

heißt Stammfunktion von ϕ(t) (beachte, dass im Unterschied zu (3.20) die rechte Seite in (3.23) nicht von der unbekannten Funktion x abh¨angt!). Seien y(t), z(t) Stammfunktionen von ϕ(t), so gelten y(t) ˙ = ϕ(t), z(t) ˙ = ϕ(t) in (a, b), also auch d (y(t) − z(t)) = y(t) ˙ − z(t) ˙ = 0 in (a, b). dt Nach 3.3.2 folgt nun y(t) − z(t) = c f¨ ur t ∈ (a, b) mit einem c ∈ R.

(3.24)

Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich also h¨ochstens um eine Konstante. 3.3.4 Angabe einfacher Stammfunktionen Es ist ausreichend, eine einzige Stammfuntion f¨ ur ϕ(t) in (a, b) zu finden. Alle anderen ergeben sich gem¨ aß (3.24). Man entdeckt Stammfunktionen durch Raten und Ableiten des geratenen Ausdruckes. Es gibt viele Tabellenwerke, welche eine große Anzahl von Beispielen gesammelt haben, etwa [8] oder [17, 18]. Hilfreich sind auch Programmpakete wie Maple oder Mathematica, die immer auf dem neusten Stand alle verf¨ ugbaren Stammfunktionen bereithalten. Unsere Tabelle 3.1 zeigt nur vier der wichtigsten Stammfunktionen. Es bezeichnet Φ(t) eine Stammfunktion von ϕ(t) in dem Intervall I (= (a, b), a < b). Das Tabelle 3.1. Elementare Stammfunktionen Φ(t) f¨ ur ϕ(t)

ϕ(t)

tn , n ∈ N

exp(t)

t−1

Φ(t)

1 n+1 t n+1

exp(t)

ln(t)

t1−α , α = 1 1−α

I

R

R

(0, +∞)

(0, +∞)

t−α , α ∈ R

bedeutet genauer Φ′ (t) = ϕ(t) in I

(3.25)

(und damit nat¨ urlich auch in jedem Teilintervall von I). Man sollte die Angabe einer Stammfunktion stets durch Differentiation gem¨aß (3.25) u ufen ¨berpr¨ (sog. Probe). So wird jede Regel der Differentiation r¨ uckw¨arts gelesen zu einer Angabe f¨ ur eine Stammfunktion. Z.B. geht d (αΦ1 (t) + βΦ2 (t)) = αΦ′1 (t) + βΦ′2 (t) = αϕ1 (t) + βϕ2 (t) dt

88

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

u ¨ ber in die Aussage, dass αΦ1 + βΦ2 eine Stammfunktion von αϕ1 + βϕ2 ist, falls Φ1 , Φ2 Stammfunktionen von ϕ1 , ϕ2 sind. Unter Benutzung dieser Regel und der Tabelle 3.1 finden wir, dass Φ(t) =

N
aj j+1 t , aj ∈ R, j = 0, . . . , N j +1 j=0

(3.26)

eine Stammfunktion des Polynoms ϕ(t) =

N


a j tj

(3.27)

j=0

ist. Differenziere einfach (3.26) und finde (3.27)! Wir werden in den folgenden Abschnitten Gelegenheit haben, weitere Rechenregeln der Differentialrechnung im obigen Sinne umzudeuten. 3.3.5 Quantitative Analyse: Separation der Variablen Bevor wir diese Gedanken weiter verfolgen, wollen wir uns vom Nutzen einer in 3.3.4 angedeuteten Entwicklung f¨ ur das L¨ osen einer Differentialgleichung x(t) ˙ = f (x(t)), t ≥ 0

(3.28)

u ¯(t) eine streng monotone L¨ osung von (3.28) mit dem Orbit ¨ berzeugen. Sei x [¯ x(0), b) oder (b, x ¯(0)]. Dann gilt x ¯(t) → b f¨ ur t → +∞. Die Funktionswerte x ¯(t) durchmessen einmal den Orbit, wenn t von 0 nach +∞ l¨auft (vgl. die Abschnitte 3.2.3 und 3.2.4). Insbesondere gilt f (x) = 0 in [¯ x(0), b) bzw. (b, x ¯(0)]. 1 Daher ist f (x) in diesem Intervall definiert. Sei nun F (x) Stammfunktion f¨ ur F ′ (x) = Dann gilt

1 : f (x)

1 in [¯ x(0), b) bzw. (b, x ¯(0)]. f (x)

x ¯˙ (t) d (F (¯ x(t))) = F ′ (¯ =1 x(t))x ¯˙ (t) = dt f (¯ x(t))

(3.29)

(3.30)

f¨ ur alle t ≥ 0 (beachte (3.29) und dass x ¯(t) (3.28) l¨ost). (3.30) besagt, dass F (¯ x(t)) eine Stammfunktion von ϕ(t) = 1 in [0, +∞) ist. Anderereits liefert die Tabelle 3.1, dass ϕ(t) = 1 in [0, +∞) die Stammfunktion Φ(t) = t besitzt. Nach 3.3.3 gibt es eine Konstante c ∈ R mit F (¯ x(t)) = t + c f¨ ur t ≥ 0.

3.3 Quantitative Methoden

89

Ist t = 0, so folgt insbesondere F (¯ x(0)) = c, also F (¯ x(t)) = t + F (¯ x(0)) f¨ ur t ≥ 0.

(3.31)

Dieses ist eine implizite Gleichung f¨ ur die gesuchte L¨osung x ¯(t), welche man (m¨ oglicherweise) explizit nach x ¯(t) aufl¨ osen kann. Dann w¨are ein analytischer Ausdruck f¨ ur x ¯(t) gewonnen. Die soeben beschriebene Methode bezeichnet man als Separation der Variablen. 3.3.6 Quantitative Analyse: exponentielles und logistisches Wachstum Vorgelegt seien unsere beiden Beispiele: a) Zun¨ achst x(t) ˙ = Rx(t) f¨ ur t ≥ 0.

(3.32)

Hier ist f (x) = Rx. Daher suchen wir eine Stammfunktion f¨ ur 3.1 liefert 1 F (x) = ln(x) in (0, +∞). R Damit lautet (3.31) hier

1 Rx .

Tabelle

ln x¯(t) = Rt + ln x¯(0) f¨ ur t ≥ 0, falls der Orbit von x ¯(t) zu (0, +∞) geh¨ ort. Aus (3.33) folgt ln

(3.33) 

x ¯(t) x ¯(0)



= Rt

oder nach Anwendung der Exponentialfunktion und Multiplikation mit x¯(0) x ¯(t) = x¯(0) exp(Rt), t ≥ 0.

(3.34)

Wir sind gut beraten, das Ergebnis zu pr¨ ufen (Probe!). Nun folgt aber leicht x ¯˙ (t) = x ¯(0)R exp(Rt) = R¯ x(t) f¨ ur t ≥ 0 aus (3.34). Wir erkennen, dass (3.34) ohne Einschr¨ ankungen eine L¨ osung von (3.32) liefert, obwohl wir bei der Herleitung die Annahme, dass der Orbit von x¯(t) in (0, ∞) liegt, ben¨otigt haben. Man sollte grunds¨ atzlich die Probe machen, wenn man formal durch Separation der Variablen einen analytischen Ausdruck f¨ ur eine (m¨ogliche) L¨osung einer Differentialgleichung gewonnen hat. Bei der Berechnung der Stammfunktion und der Aufl¨ osung der impliziten Gleichung lasse man zun¨achst alle Voraussetzungen unbeachtet, also freies Rechnen walten. Die anschließende Probe bringt m¨ ogliche Einschr¨ ankungen automatisch an den Tag! b) Weiter mit der Verhulstgleichung:   x(t) , R > 0, K > 0. x(t) ˙ = Rx(t) 1 − K

(3.35)

90

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

 In diesem Fall ist f (x) = Rx 1 −

x K

ϕ(x) =



. Gesucht ist eine Stammfunktion von

K . Rx(K − x)

Nun best¨ atigt man leicht   1 1 1 ϕ(x) = + f¨ ur x = 0, x = K. R x K −x Da x−1 bzw. (K − x)−1 die Stammfunktion ln(x) bzw. − ln(K − x) hat, finden wir mit 3.3.4 die Stammfunktion   1 1 x Φ(x) = {ln(x) − ln(K − x)} = ln R R K −x von ϕ(x) in (0, K). Daher sieht (3.31) hier so aus (F = Φ!)     1 x ¯(t) x ¯(0) 1 = t + ln ln R K −x ¯(t) R K −x ¯(0) oder etwas umgeformt: ln



x ¯(t)(K − x ¯(0)) x ¯(0)(K − x¯(t))



= Rt,

x ¯(t)(K − x ¯(0)) = x ¯(0)(K − x ¯(t)) exp(Rt), x ¯(t)(K − x ¯(0) + x ¯(0) exp(Rt)) = x ¯(0)K exp(Rt). Damit wird x ¯(t) = oder aber

Kx ¯(0) exp(Rt) K − x¯(0) + x¯(0) exp(Rt) K

x¯(t) = 1+



K x ¯(0)

, falls x¯(0) > 0.

(3.36)

(3.37)

− 1 exp(−Rt)

An (3.36) erkennen wir, dass der Nenner f¨ ur x ¯(0) ≥ 0 und t ≥ 0 nicht verschwindet, da er monoton w¨ achst und bei t = 0 den Wert K > 0 annimmt. Daher existiert auch (3.37) f¨ ur alle t ≥ 0. Zur Probe setzen wir (3.36) bzw. (3.37) in unsere Ausgangsgleichung (3.35) ein. Zun¨ achst impliziert x ¯(0) = 0 sofort x ¯(t) = 0 (siehe (3.36)), und diese Funktion erf¨ ullt offenbar (3.35). Sei nun x ¯(0) > 0. Dann benutzen wir (3.37), setzen K B := −1 x ¯(0) und rechnen mit dem Ziel, die Verhulstgleichung entstehen zu lassen

3.4 Integrale: Summenregel und Partialbruchzerlegung

91

x(0)

K

t

Abb. 3.5. Fallende (oben) und wachsende (unten) L¨ osungen der Verhulstgleichung

B exp(−Rt) RB exp(−Rt) =x ¯(t)R (1 + B exp(−Rt))2 1 + B exp(−Rt) " ! " ! x ¯(t) 1 =x ¯(t)R 1 − . =x ¯(t)R 1 − 1 + B exp(−Rt) K

x ¯˙ (t) = K

Damit ist best¨ atigt, dass (3.36) die Verhulstgleichung l¨ost, falls x ¯(0) ≥ 0 ist. Man beachte, dass wir (wie beim Beispiel a) auf dem Wege der Herleitung von (3.36) Voraussetzungen ben¨ otigt haben. Die Probe offenbart, dass diese f¨ ur das Endergebnis u ussig sind. F¨ ur 0 < x ¯(t) < K ist der Kurvenverlauf ¨ berfl¨ von (3.37) durch die untere Kurve in Abb. 3.5 dargestellt (vgl. auch Abb. 2.13 in Abschnitt 2.6.7). Die Gleichung (3.36) beschreibt eine konstante Funktion, falls x ¯(0) = 0 oder x¯(0) = K ist. F¨ ur K < x ¯(0) zeigt die obere Kurve der Abb. 3.5 das Verhalten von (3.37). Damit sind alle (biologisch relevanten) L¨osungen der Verhulstgleichung beschrieben. Nur die L¨ osungen mit 0 ≤ x ¯(t) ≤ K wachsen. Im Falle 0 < x ¯(t) < K spricht man von logistischem Wachstum im Gegensatz zum exponentiellen Wachstum aus Abschnitt 2.5.6. In diesem Sinne definiert die Verhulstgleichung das logistische Wachstum.

3.4 Integrale: Summenregel und Partialbruchzerlegung 3.4.1 Motivation Im vorigen Abschnitt haben wir gelernt, dass das Konzept der Stammfunktion in der Tat ein wichtiges Hilfsmittel ist, analytische Ausdr¨ ucke f¨ ur L¨osungen einer Evolutionsgleichung x(t) ˙ = f (x(t)) (3.38) mit einer zweimal differenzierbaren Funktion f (x) zu finden. Daher verfolgen wir diesen Weg weiter. Der Ausbau zum Integral liegt unmittelbar am Weg.

92

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

3.4.2 Integrale Seien y(t), z(t) zwei Stammfunktionen der reellen Funktion ϕ(t) in [a, b]. Nach (3.24) gilt y(t) = z(t) + c f¨ ur t ∈ [a, b] (3.39) mit einer Konstanten c ∈ R. Daher besteht y(b) − y(a) = (z(b) + c) − (z(a) + c) = z(b) − z(a), die Differenz y(b)−y(a) ist also unabh¨ angig von der ausgew¨ahlten Stammfunktion. Wir nennen diese Gr¨ oße das Integral von ϕ(t) u ¨ ber [a, b] und schreiben daf¨ ur # b

a

ϕ(t)dt := y(b) − y(a)

(3.40)

mit irgendeiner Stammfunktion y von ϕ.

3.4.3 Geometrische Interpretation des Integrals Sei ϕ(t) > 0 in (a, b). Ausgangspunkt ist eine Unterteilung von [a, b] , welche utzpunkte tj = a + jh, j = durch die Schrittweite h = N1 (b − a) und die St¨ 0, 1, . . . , N definiert wird, also t0 = a, tN = b, tj+1 − tj = h, f¨ ur j = 0, . . . , N − 1. Die Intervalle [tj , tj+1 ), j = 0, . . . , N − 1 u ¨ berdecken offenbar unser Grundintervall [a, b). Rechne nun $b a ϕ(t)dt = y(b) − y(a) = y(tN ) − y(t0 ) = (y(tN ) − y(tN −1 )) + (y(tN −1 ) − y(tN −2 )) + · · · + (y(t1 ) − y(t0 )) = (y(tN −1 + h) − y(tN −1 )) + · · · + (y(t0 + h) − y(t0 )) =

N −1
j=0

(3.41)

y(tj + h) − y(tj ) · h. h

Vergr¨ oßerung der Anzahl N der St¨ utzstellen f¨ uhrt zu einer Verkleinerung der Schrittweite h. F¨ ur hinreichend kleine Schrittweite approximieren die Differenzenquotienten, welche in der letzten Zeile von (3.41) auftreten, die Ableitung von y gem¨ aß y(tj + h) − y(tj ) ≈ y ′ (tj ) = ϕ(tj ). (3.42) h Dazu sei auf die Einf¨ uhrung der Ver¨ anderungsrate in Abschnitt 2.5.2 verwiesen. Das letzte Gleichheitszeichen in (3.42) ist gerade die Definition einer Stammfunktion f¨ ur ϕ. Verwenden wir (3.42) in (3.41), so sieht man

3.4 Integrale: Summenregel und Partialbruchzerlegung

t

j

h

93

t

j+1

Abb. 3.6. Integral und Fl¨ acheninhalt: schraffiertes Rechteck hat die Fl¨ ache (Grundseite · H¨ ohe =) h · ϕ(tj )

#

b

ϕ(t)dt ≈

a

N −1
j=0

ϕ(tj ) · h.

(3.43)

Die rechts stehende Darstellung approximiert das Integral immer besser, wenn die Schrittweite h > 0 immer kleiner gew¨ ahlt wird. Beachte, dass die erste Beziehung in (3.42) durch diese Maßnahme immer genauer wird! Mit (3.43) ist unsere geometrische Interpretation des Integrals erreicht: Das Produkt ϕ(tj ) · h ist n¨ amlich der Fl¨ acheninhalt des Rechtecks, welches u ¨ ber dem Intervall [tj , tj + h] = [tj , tj+1 ] der L¨ ange h errichtet wird, wenn die H¨ ohe des Rechtecks gerade ϕ(tj ) > 0 ausmacht. Die rechte Seite von (3.43) liefert die Summe dieser Fl¨acheninhalte. Die zugeh¨ orige Fl¨ ache approximiert gerade die Fl¨ache, welche mit Hilfe der Funktion ϕ(t) u ¨ ber dem Intervall [a, b] entsteht (vgl. Abb. 3.6). 3.4.4 Integration als Umkehrung der Differentiation F¨ ur jedes t ∈ [a, b] gilt offenbar # t ϕ(s)ds = y(t) − y(a), a

f¨ ur irgendeine Stammfunktion y(t) von ϕ(t). Da die rechte Seite dieser Gleichung differenzierbar ist, gilt dies auch f¨ ur die linke, und es gilt # t d ϕ(s)ds = y(t) ˙ = ϕ(t). (3.44) dt a $t Somit ist a ϕ(s)ds eine Stammfunktion von ϕ(t), f¨ ur die auch k¨ urzer die Schreibweise

94

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

#

verwendet wird. Wir finden d dt nennen die Beispiele # sn ds =

#

ϕ(s)ds

ϕ(s)ds = ϕ(t),

1 n+1 t + c, n+1

#

(3.45)

t ds = ln + c, s(1 − s) 1−t

und verweisen auf die Abschnitte 3.3.4 und 3.3.6. Formeln dieser Art besagen, dass die Ableitung der rechten Seite die Funktion unter dem Integralzeichen auf der linken Seite liefert. Damit wird noch einmal auf die notwendige Probe nach Auffinden einer (m¨ oglichen) Stammfunktion hingewiesen. 3.4.5 Summenregel Wir machen davon gleich Gebrauch und behaupten die Summenregel # # # (αϕ1 (s) + βϕ2 (s))ds = α ϕ1 (s)ds + β ϕ2 (s)ds. (3.46) Die Probe verlangt die Ableitung der rechten Seite, welche (beachte (3.44)!)  #  # d α ϕ1 (s)ds + β ϕ2 (s)ds = αϕ1 (t) + βϕ2 (t), dt also die Funktion unter dem Integralzeichen der linken Seite von (3.46) liefert.

Die Summenregel und die Partialbruchzerlegung geh¨oren zum Handwerkszeug bei der Angabe einer Stammfunktion f¨ ur ϕ(t) =

1 , α, β ∈ R, α < β (α − t)(β − t)

(3.47)

in einem Intervall [a, b] mit α, β ∈ [a, b]. Wir versuchen eine Zerlegung der Form 1 A B = + (3.48) (α − t)(β − t) α−t β−t

mit geeigneten Konstanten A und B. Nach der Summenregel folgt dann # ds = −A ln(α − t) − B ln(β − t). (3.49) (α − s)(β − s) Zur Sicherheit die Probe:

3.4 Integrale: Summenregel und Partialbruchzerlegung

95

A B d [−A ln(α − t) − B ln(β − t)] = + = ϕ(t) dt α−t β−t f¨ ur t < α(< β). Es bleibt nur u ¨brig, A und B zu konstruieren: Aus (3.48) folgt sofort A(β − t) + B(α − t) 1 = , falls (β − t)(α − t) = 0 (α − t)(β − t) (α − t)(β − t) und damit auch 1 = Aβ + Bα − t(A + B).

(3.50)

Auf beiden Seiten von (3.50) stehen Geraden, welche nur dann u ¨ bereinstimmen, wenn Steigungen und Achsenabschnitte gleich sind. Das aber bedeutet Steigungen: 0 = A + B, Achsenabschnitte: 1 = Aβ + Bα

(3.51)

(Koeffizientenvergleich). Die Bedingungen (3.51) verlangen A = −B und 1 = Aβ − Aα = A(β − α) oder A = (β − α)−1 und B = −A. Zusammen mit (3.49) wird # 1 ds = {ln(β − t) − ln(α − t)} + c (α − s)(β − s) β−α   1 β−t + c, falls (β − t)(α − t) > 0 und α < β. ln = β−α α−t

(3.52)

Wir u ¨ berlassen dem Leser die Probe! ¨ Ubung 29. Zeige durch Differentiation der rechten Seite von (3.52), dass die Gleichung (3.52) besteht. 3.4.6 Quantitative Behandlung einer Ratengleichung Als Anwendung behandeln wir die Evolutionsgleichung x(t) ˙ = (α − x(t))(β − x(t)) =: f (x(t)), α < β.

(3.53)

Die qualitative Analyse besteht aus der Abb. 3.7. Sie zeigt zwei station¨are Punkte α, β, ersterer ist stabil und letzterer instabil. Die u ¨ brigen Orbits sind durch Pfeile am herausgehobenen Phasenstrahl angedeutet. Nun aber zur quantitativen Analyse: Wegen (3.52) ist

96

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

•

°

•

°

α

β

Abb. 3.7. Qualitative Analyse f¨ ur (3.53): f (η) = (α − η)(β − η)

1 ln F (x) = β−α



β−x α−x



eine Stammfunktion von (α − x)−1 (β − x)−1 . Daher lautet die implizite Gleichung (3.31) aus Abschnitt 3.3.5 hier so:     1 β − x(t) β − x(0) 1 ln ln =t+ . β−α α − x(t) β−α α − x(0) Es folgt ln



(β − x(t))(α − x(0)) (α − x(t))(β − x(0))



= (β − α)t,

oder (β − x(t))(α − x(0)) = (α − x(t))(β − x(0)) exp((β − α)t), x(t){(β − x(0)) exp((β − α)t) − (α − x(0))} = α(β − x(0)) exp((β − α)t) − β(α − x(0)), also schließlich x(t) =

α(β − x(0)) − β(α − x(0)) exp(−(β − α)t) . (β − x(0)) − (α − x(0)) exp(−(β − α)t)

(3.54)

Damit ist das freie Rechnen abgeschlossen, und nun die Probe: Sie setzt voraus, dass der Ausdruck (3.54) vorhanden ist, sein Nenner N (t) := (β − x(0)) − (α − x(0)) exp(−(β − α)t) nicht verschwindet! Dazu f¨ allt uns auf, dass N (t) monoton w¨achst, falls α − x(0) ≥ 0. Daher ist N (t) ≥ N (0) = β − α > 0, falls x(0) ≤ α und t ≥ 0.

(3.55)

3.4 Integrale: Summenregel und Partialbruchzerlegung

97

Solange der Nenner in (3.54) nicht verschwindet (hier bleibt er wegen (3.55) positiv), existiert der analytische Ausdruck (3.54). Nun zum Fall α < x(0) ≤ β. Dann f¨ allt N (t) streng monoton, und es gilt t→∞

N (0) = β − α > 0, N (t) −→ β − x(0) ≥ 0, so dass 0 < N (t) ≤ N (0) = β − α f¨ ur t ≥ 0 besteht. Wie eben existiert auch hier (3.54) f¨ ur alle t ≥ 0. Zusammenfassend sei festgehalten, dass der Ausdruck (3.54) f¨ ur x(0) ≤ β

(3.56)

stets vorhanden ist. x

x β

α

β t

t

Abb. 3.8. S¨ attigende (links) und u osungen ¨ ber alle Grenzen wachsende (rechts) L¨ von (3.53)

Der Vollst¨ andigkeit halber sehen wir uns die M¨oglichkeit β < x(0) an: Nun spielt der Wert   1 x(0) − α ¯ ln >0 t := β−α x(0) − β eine Sonderrolle: Durch Einsetzen in N (t) stellt man n¨amlich N (t¯) = 0 sofort fest: F¨ ur t¯ ist (3.54) nicht definiert! Weiter zeigt eine leichte Rechnung N (t) > 0 ⇔ t < t¯. Die Kurve in der rechten Zeichnung von Abb. 3.8 ist oberhalb von β gestartet: Wir erkennen, dass die Funktionswerte in der N¨ahe einer endlichen Zeit t¯ u ¨ ber

98

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

¨ alle Grenzen wachsen, in Ubereinstimmung mit unserer theoretischen Analyse. Ein solcher Vorgang w¨ urde nach endlicher Zeit ’explodieren‘. Da allein L¨osungen interessieren, die f¨ ur alle Zeiten t ≥ 0 bestehen, ist die Annahme (3.56) zwingend. Dann aber liest man x(t) → α f¨ ur t → ∞ und x(0) < β, x(t) = β f¨ ur t ≥ 0 und x(0) = β

in (3.54) ab. Die unterhalb β gestarteten Kurven der linken Figur in Abb. 3.8 zeigen den zeitlichen Verlauf. Nach dieser Vorarbeit kann die Probe beginnen. Sie steht freilich unter der Voraussetzung (3.56). Die n¨ otige Ableitung bleibe dem Leser u ¨berlassen: Dazu die unverzichtbare ¨ Ubung 30. Sei (3.56) erf¨ ullt. Differenziere den analytischen Ausdruck (3.54) und zeige, dass dieser die Differentialgleichung (3.53) l¨ ost.

3.5 Integral: partielle Integration 3.5.1 Umkehrung der Produktregel In diesem Abschnitt verfolgen wir den Ausbau der Integrationsmethoden und wollen die Produktregel d (u(t)v(t)) = u(t)v(t) ˙ + u(t)v(t) ˙ dt

(3.57)

in eine Regel der Integralrechnung umdeuten. Man spricht von partieller Integration. Offenbar besagt (3.57), dass u(t)v(t) eine Stammfunktion von u(t)v(t) ˙ + u(t)v(t) ˙ ist: # (u(s)v(s) ˙ + u(s)v(s))ds ˙ = u(t)v(t). Die Verwendung der Summenregel f¨ uhrt auf # # u(s)v(s)ds ˙ + u(s)v(s)ds ˙ = u(t)v(t),

(3.58)

oder bei festen Intervallgrenzen # b # b u(s)v(s)ds ˙ + u(s)v(s)ds ˙ = u(b)v(b) − u(a)v(a) =: u(t)v(t)|ba . (3.59) a

a

Der Leser m¨ oge die mit dem letzten Gleichheitszeichen eingef¨ uhrte Symbolik beachten. Die Verwendung von (3.59) geht von

3.5 Integral: partielle Integration

$b

$b u(s)v(s)ds ˙ = u(t)v(t)|ba − a u(s)v(s)ds ˙ schwer leicht zu berechnen zu berechnen a

99

(3.60)

aus. Es muss also ’leicht‘ sein, von dem rechts stehenden Integranden u(s)v(s) ˙ eine Stammfunktion zu finden, w¨ ahrend die Stammfunktion des links stehenden Integranden u(s)v(s) ˙ gesucht wird. 3.5.2 RNA-Gehalt einer Zelle Die Zellen einer exponentiell sich vermehrenden Population m¨ogen in der Zeit T > 0 jeweils einen Zellzyklus durchlaufen. Der mittlere RNA-Gehalt aller Zellen w¨ ahrend des Zeitintervalls [0, T ] ist bis auf einen konstanten Faktor gegeben durch das Integral  # T Θ I := + 1 · exp(−kΘ)dΘ (3.61) T 0 mit der gem¨ aß kT = ln(2)

(3.62)

definierten Konstanten k. Zu diesem Themenkreis sei der Leser auf [3] verwiesen. In unserem Zusammenhang interessiert die Auswertung des Integrals (3.61). Zun¨ achst liefert die Summenregel I=

1 T

#

T

Θ exp(−kΘ)dΘ +

#

T

exp(−kΘ)dΘ.

(3.63)

0

0

Das letzte Integral ist sofort ausgerechnet: #

!

T

exp(−kΘ)dΘ =

0

"T 1 1 − exp(−kΘ) = (1 − exp(−kT )). k k

(3.64)

0

¨ Ubung 31. Best¨ atige die in (3.64) behauptete Stammfunktion! Wir wenden uns nun dem ersten Integral in (3.63) zu und versuchen geeignete Funktionen u(θ), v(θ) zu raten, so dass (3.59) benutzt werden kann. Setze u(Θ) ˙ = exp(−kΘ), v(Θ) = Θ und finde # T # Θ exp(−kΘ)dΘ = 0

0

(3.65)

T

u(Θ)v(Θ)dΘ ˙ = u(Θ)v(Θ)

|T0

−

#

T

u(Θ)v(Θ)dΘ ˙

0

mit (3.59). Wegen (3.65) wird u(Θ) = −k −1 exp(−kΘ), v(Θ) ˙ = 1, so dass

100

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

#

T

0

1 Θ exp(−kΘ)dΘ = − T exp(−kT ) + k

#

0

T

1 exp(−kΘ)dΘ k

! "T 1 1 = − T exp(−kT ) + − 2 exp(−kΘ) k k 0 ! " 1 1 = − T exp(−kT ) + (exp(−kT ) − 1) k k gilt. Zusammen mit (3.64), (3.62) findet man schließlich ! ! " " 1 1 1 I=− T exp(−kT ) + (exp(−kT ) − 1) + 1 − exp(−kT ) kT k k " !  1 1 1 1 2 1 −1+1− −1 = − exp(−kT ) + − 2 (exp(−kT ) − 1) = k k k T k ln (2) 2 wegen exp(−kT ) =

1 1 1 = = . exp(kT ) exp(ln 2) 2

Unser Ergebnis lautet I = (2k ln (2))−1 . 3.5.3 Zur Idee der partiellen Integration Die Methode der partiellen Integration, so wie sie in 3.5.2 verwendet wird, l¨ auft auf folgendes Schema hinaus: # T Θ exp(−kΘ) dΘ



 0 v

⎡

u˙

⎞⎤T

⎛

⎢ ⎟⎥ ⎜ 1 ⎟⎥ =⎢ Θ ⎜ ⎣  ⎝− k exp(−kΘ)⎠⎦ −



v u

#

0

T 0

⎛

⎞

⎜ 1 ⎟ ⎟ 1 ⎜ ⎝− k exp(−kΘ)⎠ dΘ.





v˙ u

Es geht also darum, das zu integrierende Produkt mit dem Integral auf der linken Seite von (3.60) zu identifizieren. Damit sind u und v festgelegt, (3.60) wird mit diesen Funktionen hingeschrieben, wobei das Integral auf der rechten Seite von (3.60) ’einfach auswertbar‘ sein muss. Im obigen Fall kann man auch folgenden Versuch unternehmen: # T Θ exp(−kΘ) dΘ =



 0 u˙

v

3.6 Existenz und Eindeutigkeit

⎡

⎤T

⎢1 2 ⎥ ⎥ − =⎢ ⎣ 2 Θ exp(−kΘ)  ⎦

 v u

0

#

0

T

⎛

101

⎞

1 2⎝ Θ −k exp(−kΘ)⎠ dΘ. 

2



u

v˙

Nur scheint das letzte Integral komplizierter zu sein als das erste, so dass wir diesen Versuch aufgeben (vgl. (3.60)!).

3.6 Existenz und Eindeutigkeit 3.6.1 L¨ osbarkeit von Anfangswertaufgaben Zum letzten Mal: Gegeben sei x(t) ˙ = f (x(t))

(3.66)

mit einer zweimal differenzierbaren Funktion f : R → R. Es besteht dann der Existenz- und Eindeutigkeitssatz, welcher besagt, dass (3.66) f¨ ur jeden Anfangswert x ¯(0) ∈ R genau eine L¨ osung x ¯(t) besitzt, welche in einem Intervall [0, T ) mit T ∈ R, T > 0 oder T = +∞

(3.67)

erkl¨ art ist. Biologisch interessante L¨ osungen sollten T = +∞ erf¨ ullen, weil es i.A. keinen Grund daf¨ ur gibt, dass die Evolution nach endlicher Zeit aufh¨ort zu existieren. So zeigen die Ausf¨ uhrungen in Abschnitt 3.2, dass es alle beschr¨ ankten Evolutionen x(t) auch f¨ ur alle Zeiten t ≥ 0 gibt. Dabei heißt eine Evolution beschr¨ ankt, falls es ein reelles (von t ≥ 0 unabh¨angiges) κ > 0 gibt mit |x(t)| ≤ κ, f¨ ur alle t in jedem Existenzintervall der L¨osung x(t).

(3.68)

Wirkungen, die nicht u ¨ ber alle Grenzen wachsen (das besagt gerade (3.68)), gibt es stets f¨ ur alle Zeiten t ≥ 0! Eine Population z.B., die ihren Umfang begrenzt h¨ alt, existiert auch f¨ ur alle Zeiten! Demgegen¨ uber l¨asst (3.53) aus Abschnitt 3.4.6 L¨ osungen zu, die es nicht f¨ ur alle Zeiten t ≥ 0 gibt und ‘unbegrenzte Wirkung‘ zeigen (vgl. die rechte Zeichnung von Abb. 3.8).

102

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

3.6.2 L¨ osungsgesamtheit Eine weitere Folge des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes lautet so: Alle L¨osungen f¨ ur (3.66) sind gefunden, wenn wir zu jedem Anfangswert x(0) ∈ R die zugeh¨ orige L¨ osung von (3.66) angeben k¨ onnen. So wird in Abschnitt 3.3.6 der analytische Ausdruck x ¯(t) =

Kx ¯(0) , t ≥ 0, x(0) ≥ 0 x ¯(0) + (K − x ¯(0)) exp(−Rt)

gewonnen und erkannt, dass er die Verhulstgleichung   x(t) x(t) ˙ = Rx(t) 1 − , x(0) ≥ 0 K

(3.69)

(3.70)

l¨ ost. Dann kann es aber keine weiteren L¨ osungen von (3.70) geben, weil (3.69) f¨ ur jeden Anfangswert x ¯(0) ≥ 0 eine L¨ osung vorsieht! Vergleiche dazu das weitere Beispiel in Abschnitt 6.6.3, welches von einem System handelt.

¨ 3.7 Ubungsaufgaben 3.7.1 Differentialgleichungen, Anfangswertaufgaben ¨ Ubung 32. (a) Zeige, dass die Funktion x(t) = a + b exp(−ct), t ≥ 0 f¨ ur beliebige reelle Konstanten a, b, c die Differentialgleichung x˙ = c(a − x) l¨ ost. angigkeit von a und x0 gew¨ahlt (b) Sei x0 ∈ R gegeben. Wie muss b in Abh¨ werden, damit x(0) = x0 gilt? Finde x(t) in Abh¨angigkeit von a, c und osung x(t) der Anfangswertaufgabe x0 . Bestimme nun eine L¨ x˙ = 1 − x, x(0) = x0 . Diskutiere f¨ ur x(t) das Monotonieverhalten und das Grenzverhalten f¨ ur t → ∞ in den F¨ allen x0 < 1, x0 = 1 und x0 > 1. Zeichne die zugeh¨origen Graphen qualitativ in ein gemeinsames Diagramm. ¨ Ubung 33. Gegeben sei die Differentialgleichung x˙ = x(1 − x)(x2 − 5x + 6) exp(x) =: f (x). Berechne die station¨ aren Punkte.

¨ 3.7 Ubungsaufgaben

103

¨ Ubung 34. Das Substrat X werde durch das Enzym E abgebaut. In dimensionsloser Form bestehe zu jedem Zeitpunkt t ≥ 0 zwischen der Konzentrationsver¨anderung x(t) ˙ und der Substratkonzentration x(t) der Zusammenhang x(t) ˙ =−

x(t) . 1 + x(t)

Durch diese Beziehung wird eine Funktion v definiert, die jeder Anfangskonzentration x(0) die Ver¨ anderungsrate x(0) ˙ zuordnet. Finde den analytischen Ausdruck f¨ ur v = v(η). Zeichne v = v(η) qualitativ f¨ ur η ≥ 0. Gegeben seien nun die Anfangskonzentrationen xi (0) = i, i = 0, 1, 2, 3. Zeichne f¨ ur t ≥ 0 die Graphen der Funktionen Ti : t → xi (0) + v(xi (0))t f¨ ur i = 0, 1, 2, 3 in ein gemeinsames Diagramm. ¨ Ubung 35. Betrachtet wird die Differentialgleichung x˙ = f (x) := −5x (x − 4)2 .

(3.71)

(a) Zeichne den Graphen von f qualitativ, finde die station¨aren Punkte von (3.71), bestimme deren Stabilit¨ at und trage die Richtungspfeile der skalaren Evolutionen ein. (b) F¨ ur welche Anfangswerte x(0) besitzt die zugeh¨orige L¨osung von (3.71) einen Wendepunkt? ¨ (c) Ubertrage die Ergebnisse in ein (t, x)-Diagramm: Zeichne dazu die L¨osungen zu den Anfangswerten −2, 1, 3 qualitativ. ¨ Ubung 36. Fertige eine qualitative Skizze der Funktion x(t), welche die Anfangswertaufgabe x(t) ˙ = x(t) · (1 − x(t)) · exp(−3x(t)), x(0) = 3 l¨ ost, aus der (i) die Monotonieverh¨ altnisse, (ii)

das Langzeitverhalten,

(iii)

die Kr¨ ummungsverh¨ altnisse

klar hervorgehen. ¨ Ubung 37. Die Funktion y(t), t ≥ 0 mit y(0) = 0 besitze qualitativ die Gestalt der Abb. 3.9. Zum Zeitpunkt tWP liegt ein Wendepunkt vor. Welche der folgenden Anfangswertaufgaben k¨ onnte y(t) l¨ osen? 2 (i) x˙ = −x + 2x, x(0) = 0,

104

3 Evolutionen: Skalare Differentialgleichungen erster Ordnung

t

WP

Abb. 3.9. Kann diese Funktion eine der Differentialgleichungen (i)-(iv) l¨ osen? 1−x2 1+x2 ,

x(0) = 0,

(ii)

x˙ =

(iii)

x˙ = (x + 1)(2 − x), x(0) = 1,

(iv)

x˙ = 2 − x, x(0) = 0.

¨ Ubung 38. Finde einen analytischen Ausdruck (mit der Probe!) f¨ ur die L¨osung x¯(t), t ≥ 0 der Anfangswertaufgabe x(t) ˙ = x(t) · (x(t) − 3), x(0) = 2. Zu welchen Zeitpunkten besitzt x ¯(t) Wendepunkte? ¨ Ubung 39. Berechne die L¨ osung der skalaren Evolution x˙ = −x4 , die zur Zeit t = 0 den Wert 8 hat (Probe!). Welchen Wert findet man an der Stelle t = 1? 3.7.2 Integration ¨ Ubung 40. Bestimme eine Stammfunktion F (t) von (i)

f (t) = 1 + t + t4 ,

(ii)

f (t) = exp(t) + t3/2 ,

(iii)

f (t) = t−2 − 2t−1 + t1/2 − 1 − (4t)1/2 +

(iv)

f (t) = (5t + 4)3 + exp(6t)

√ t + (2t + 1)2 + 3.5t2.5 ,

¨ 3.7 Ubungsaufgaben

105

f¨ ur t > 0. ¨ Ubung 41. Berechne durch Partialbruchzerlegung: (a)

#

2

5

dx , 2 x + 6x − 7

(b)

#

x+3 dx. x2 + x

¨ Ubung 42. (a) Finde eine Stammfunktion von f (x) = (b) Berechne:

(x3

+

#

3x2

x4 − 25 , x ≥ 6. − 5x − 15)(x2 + 5)

1

−1

(x2

x+3 dx. − 9)(x − 4)

¨ Ubung 43. Berechne mittels partieller Integration: # 2 # 1 (a) t2 exp(−t)dt, x3 ln(x2 )dx, (b) 1

0

(c)

#

1

2

√ x ln(x)dx.

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

4.1 Das Geschehen in diesem Kapitel Unsere Beispielgr¨ oße x sei wieder der Umfang einer Population, die bisher als Entwicklung in der Zeit t behandelt worden ist und zur Untersuchung von Funktionen x(t) gef¨ uhrt hat. Es ist sofort verst¨andlich, dass die Population sich nicht nur in der Zeit, sondern z. B. auch in einer vorgegebenen Situation der Umwelt entwickelt. Das k¨ onnen widrige Umst¨ande sein, welche durch ¨ Wetter oder Feinde hervorgerufen werden. In unseren bisherigen Uberlegungen tritt die Umweltkonstante K auf, eine Gr¨ oße, die f¨ ur die hier angesprochenen Geschehnisse zust¨ andig ist. So tritt uns eine weitere Abh¨angigkeit der Gr¨oße x von einer anderen Gr¨ oße K entgegen, es entsteht x(t, K), eine Funktion x von zwei Variblen t und K. Der analytische Ausdruck x(t, K) =

x(0)K x(0) + (K − x(0)) exp(−Rt)

(4.1)

aus dem ersten Kapitel (vgl. (2.94) in 2.5.5) sieht diese Abh¨angigkeit bereits vor. Er offenbart gleichzeitig eine Abh¨ angigkeit vom Anfangswert x(0). Der allgemeine Rahmen f¨ ur so entstehende mathematische Konstrukte ist eine reellwertige Funktion G in Abh¨ angigkeit von N unabh¨angigen reellen Variablen G(η1 , . . . , ηN ).

(4.2)

G wie auch ηj , j = 1, . . . , N sind Gr¨ oßen, und (4.2) beschreibt eine Abh¨angigkeit der einen von den anderen. Wie im ersten Kapitel tritt auch hier die Frage nach der Ver¨ anderung von G auf. Ver¨ anderung aber gibt es niemals ‘an sich‘ sondern ist immer ‘in Bezug auf etwas anderes‘. Im Falle von (4.2) kann sich die Ver¨anderung von

108

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

G nur auf jede der anderen Gr¨ oßen ηj beziehen. Dies f¨ uhrt zur Definition der partiellen Ableitungen Gηj (η1 , . . . , ηN ), j = 1, . . . , N.

(4.3)

Sie beschreiben die Ver¨ anderung der Gr¨ oße G bez¨ uglich ηj . Im Falle einer Abh¨ angigkeit (4.2) ist man auch daran interessiert, die Ver¨anderung uhrt zum von G bez¨ uglich der Gesamtheit η1 , . . . , ηN zu behandeln. Dies f¨ vollst¨ andigen Differential dG in der Form dG(η1 , η2 ) = Gη1 (η1 , η2 )dη1 + Gη2 (η1 , η2 )dη2 ,

(4.4)

wenn N = 2 ist. dη1 und dη2 bezeichnen die jeweiligen Differentiale der Gr¨oßen η1 , η2 . So ist durch (4.4) die totale Ver¨ anderung von G in Abh¨angigkeit der totalen Ver¨anderung der Gr¨ oßen η1 und η2 beschrieben. Die TaylorEntwicklung kann als Approximation von (4.4) gedeutet werden. Damit ist das Lernziel klar: Beherrschung von Funktionen (4.2) und ihren partiellen Ver¨ anderungen (4.3) sowie der totalen Ver¨anderung (4.4) als mathematische Analoga f¨ ur eine Abh¨ angigkeit einer Gr¨oße von anderen Gr¨oßen in der Natur.

4.2 Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher: Gro ¨ßen 4.2.1 Motivation Soweit war nur von Funktionen f (x) einer Ver¨anderlichen x die Rede. Meistens h¨ angt der Zustand eines nat¨ urlichen Systems jedoch von mehreren unabh¨ angigen Variablen x1 , . . . , xN ab, ist also eine Funktion von ihnen: f (x1 , . . . , xN ).

(4.5)

Der in Abschnitt 2.4.1 angelegte allgemeine Funktionsbegriff kommt nun zum Einsatz! Wir beginnen unsere Untersuchungen von (4.5) mit Beispielen zur Interaktion von Populationen allgemeiner Art. In 4.2.2 geht es um eine klassische Situation der Mikrobiologie. In 4.2.3 weisen wir auf R¨ auber-BeuteInteraktionen hin. Schließlich stellt 4.2.4 ein spekulatives Modell zu einer Frage aus der pr¨ abiotischen Evolution vor. Es geht uns in diesem Kapitel nur darum, Funktionen in Abh¨ angigkeit von mehreren Variablen zu begegnen und ihre wichtigsten Eigenschaften zu behandeln. Solche Funktionen k¨onnen Gr¨ oßen beschreiben, an deren Ver¨ anderung wir naturgem¨aß interessiert sind. Die in den folgenden Unterabschnitten auftretenden Systeme von dynamischen Gleichungen selbst werden erst in Kapitel 6 Gegenstand einer ausf¨ uhrlicheren Betrachtung sein.

4.2 Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher: Gr¨ oßen

109

4.2.2 Wachstum einer Population auf einem Substrat Gegeben sei eine Population Y von Organismen in einem stillen Teil eines Gew¨ assers. Ihre Konzentration zum Zeitpunkt t in dem Beobachtungsgebiet sei y(t). F¨ ur ihre Entwicklung gilt eine Gleichung y˙ = µy.

(4.6)

Die Gr¨ oße µ wird i.A. eine Funktion sein, etwa  y µ=R 1− K

(4.7)

im Falle der Verhulstgleichung. H¨ angt µ nur von y ab, d.h. µ = µ(y), so beschreibt (4.6) die Entwicklung der Population allein aufgrund ihres eigenen Umfangs y. Dies f¨ uhrt stets auf ein skalares Modell (vgl. Abschnitt 3.2.1), die bisher ausschließlich behandelte Situation.

Die vorliegenden Untersuchungen ber¨ ucksichtigen, dass die Population Y von einem Substratangebot X lebt. Dann ist nicht nur y(t) eine dynamische Gr¨ oße, sondern auch x = x(t), die Konzentration des Substrats X zum Zeitpunkt t: Z.B. wird der Vorrat X sinken, weil Y ihn verbraucht. Es soll die Interaktion beider Populationen X und Y beschrieben werden. Nun wird µ von x abh¨ angen: µ = µ(x), wir finden y(t) ˙ = µ(x(t))y(t)

(4.8)

und stellen uns eine qualitative Darstellung von µ(x) gem¨aß Abb. 4.1 vor. Wesentlich ist das monotone und s¨ attigende Verhalten der Kurve. Es entµ(x) µmax

x

Abb. 4.1. Qualitative Abh¨ angigkeit der Replikationsrate µ vom Substrat x

spricht der Annahme, dass die Vermehrungsrate bei steigendem Nahrungsangebot zwar w¨ achst, aber u ¨ ber einen Grenzwert nicht hinausgeht, wie viel

110

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

Substrat auch vorhanden sein mag. Ein m¨ oglicher analytischer Ausdruck mit den genannten qualitativen Eigenschaften lautet µ(x) =

µmax · x , K, µmax ∈ R, µmax > 0, K > 0. K +x

(4.9)

Die Nahrungsaufnahme durch die Organismen beeinflusst die Ver¨anderungsrate x˙ des Substrats negativ, wir k¨ onnen x˙ proportional zu der Vermehrung µ(x)y der Organismen in (4.8) ansetzen, also 1 x(t) ˙ = − µ(x(t))y(t) γ

(4.10)

mit dem Proportionalit¨ atsfaktor γ −1 . Die Dimensionen   Organismen f¨ ur µ(x)y Zeit bzw.



liefern die Dimension



Substrat Zeit



Organismen Substrat

f¨ ur x˙ 

f¨ ur γ,

(4.11)

weil (4.10) die Beziehung 1 Organismen Substrat = · Zeit γ Zeit nach sich zieht. Man nennt γ wegen (4.11) auch den Ertrag. Das Modell (4.8), (4.9), (4.10) geht auf J. Monod [30] zur¨ uck. In dem hier interessierenden Zusammenhang heben wir hervor, dass die rechten Seiten des dynamischen Systems (4.8), (4.10) von zwei Unbekannten x, y abh¨ angen: 1 f (x, y) = µ(x)y bzw. g(x, y) = − µ(x)y, γ

(4.12)

zwei Beispiele reeller Funktionen von zwei unabh¨angigen Variablen. 4.2.3 R¨ auber-Beute-Interaktion In der Situation von 4.2.2 kann man die Organismen Y als R¨auber ansehen, ¨ welche die Beute (das Substrat) X jagen. Ublicherweise (vgl. [40] oder [39]) wird bei R¨ auber-Beute-Interaktionen µ(x) = δx, δ > 0

(4.13)

4.2 Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher: Gr¨ oßen

111

und ein Sterbeterm f¨ ur die R¨ auber (proportional zu −y) sowie nat¨ urliche Entstehung der Beute (proportional zu x) angenommen. Dann geht (4.8), (4.10) in das R¨ auber-Beute-Modell y(t) ˙ = δx(t)y(t) − αy(t) = y(t)(δx(t) − α), α > 0,

(4.14)

x(t) ˙ = −γ −1 δx(t)y(t) + βx(t) = x(t)(β − γ −1 δy(t)), β > 0, u achst nur die beiden reellen Funktionen ¨ ber. Uns interessieren an (4.14) zun¨ f (x, y) = y(δx − α), g(x, y) = x(β − γ −1 δy)

(4.15)

von zwei Variablen auf der rechten Seite. Genauer gesagt, handelt es sich um Polynome in x und y. Halten wir x oder y fest, so sind (4.15) Geraden in y oder x. Die beiden Systeme (4.8), (4.9), (4.10) einerseits und (4.14) andererseits, so nahe sie auch beieinander zu sein scheinen, lassen grunds¨atzlich verschiedene Ph¨ anomene im Langzeitverhalten ihrer L¨osungen erkennen. W¨ahrend jede Evolution von (4.8), (4.9), (4.10) mit positiven Anfangswerten station¨ar wird, schwingen die entsprechenden L¨ osungen von (4.14), falls sie nicht im station¨ aren Punkt gestartet werden! Mehr dazu in 6.3 und 6.4. 4.2.4 Pr¨ abiotische Evolution Als letztes Beispiel w¨ ahlen wir ein Konkurrenzmodell. Es handelt sich um zwei Arten von RNA-Str¨ angen, die in der Konzentration x(t), y(t) zum Zeitpunkt t in einem Beobachtungsvolumen vorhanden seien. Beide Arten treten in Konkurrenz mit dem Ergebnis, dass im Langzeitverhalten die eine ausstirbt (ihre Konzentration also f¨ ur t → ∞ nach 0 strebt) und die andere das Beobachtungsvolumen ausf¨ ullt (ihre Konzentration s¨attigt bei einem positiven Wert f¨ ur große Zeiten t). Das so beschriebene Verhalten entspricht der Vorstellung, dass w¨ ahrend der pr¨ abiotischen Evolution Auswahlprozesse abgelaufen sind, bei denen weniger geeignete RNA-Str¨ange den besser angepassten unterlegen und ausgestorben sind. Daf¨ ur gibt M. Eigen in [13] ein Modell an, welches in seiner einfachsten Form so lautet: x(t) ˙ = [a − Φ(x(t), y(t))]x(t), a > 0,

(4.16)

y(t) ˙ = [b − Φ(x(t), y(t))]y(t), b > 0. Die reelle Funktion Φ von zwei Variablen ist rational ax + by . Φ(x, y) = x+y

(4.17)

Der erste Summand ax bzw. by auf der rechten Seite von (4.16) signalisiert exponentielles Wachstum von x und y. Der weitere Summand mit der Funktion Φ aus (4.17) sorgt daf¨ ur, dass die Gesamtkonzentration x(t)+y(t) w¨ahrend der Evolution konstant bleibt.

112

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

¨ Ubung 44. Sei x(t), y(t), t ∈ [α, β) eine L¨ osung von (4.16). Es sei α ≤ 0 < β und x(t) + y(t) = 0 in [α, β). Sei u(t) := x(t) + y(t). Zeige: u(t) ˙ = 0 f¨ ur alle t ∈ (α, β) und leite daraus den Erhaltungssatz x(t) + y(t) = x(0) + y(0) f¨ ur t ∈ [α, β) her. Auf diese Weise wird das exponentielle Wachstum gebremst. F¨ ur weitere Einzelheiten mit einer n¨ aheren Betrachtung der biochemischen Hintergr¨ unde sei der Leser auf [14] verwiesen. Die tieferen mathematischen Zusammenh¨ange werden in [20] diskutiert. Abschnitt 6.7 behandelt die Evolutionsgleichungen x(t) ˙ = x(t)F (αF x(t) + βF y(t)), y(t) ˙ = y(t)G(αG x(t) + βG y(t)), αF ≥ 0 , βF ≥ 0 , αG ≥ 0 , βG ≥ 0, welche mit (4.16) verwandt sind. F und G stehen f¨ ur reelle Funktionen mit geeigneten Voraussetzungen. 4.2.5 Zust¨ ande von nat¨ urlichen Systemen mit mehr als einer Gr¨ oße Nun aber zur¨ uck zum eigentlichen Gegenstand der Untersuchung, den reellen Funktionen mehrerer Variabler. Zur Vorbereitung ihrer Definition m¨ ussen wir mathematische Objekte (u1 , u2 , . . . , uN ) betrachten. Es sind Vektoren mit den Komponenten ui ∈ R (i = 1, . . . , N ). Z.B. ist (4.17) f¨ ur gewisse reelle Paare (x, y) erkl¨ art: F¨ ur jedes solche Paar kann man die rechte Seite auswerten, falls x + y = 0, etwa Φ(1, 1) = 0.5(a + b). Die Paare (u1 , u2 ) sind die 2-dimensionalen Vektoren, analog werden die N Tupel reeller Zahlen (u1 , u2 , . . . , uN ) N -dimensionale Vektoren genannt. RN bezeichnet die Menge aller N -dimensionalen Vektoren, z.B. (1, 2) ∈ R2 , (1, 1, 0, −3, −8) ∈ R5 . Die Elemente von R2 lassen sich in der Ebene darstellen, und die Elemente des onnen im Raum veranschaulicht werden. Beispielsweise ist in der (u1 , u2 )R3 k¨ Ebene der Abb. 4.2 der Punkt (2, 1) ∈ R2 markiert. Dieselbe Abbildung zeigt ur h¨ohere Dimensionen h¨ort den Punkt (2, 1, 2.5) im Anschauungsraum R3 . F¨ diese Darstellbarkeit auf. Es ist u ¨ blich, die Komponenten des Vektors u ∈ RN mit demselben Buchstaben und einem angeh¨ angten Index zu bezeichnen:

4.2 Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher: Gr¨ oßen

113

uj , j = 1, . . . , N, folglich u = (u1 , u2 , . . . , uN ) oder w = (w1 , w2 , . . . , wN ). Diese Praxis soll im Text m¨ oglichst durchgehalten werden. Die Verabredung kann ung¨ unstig sein, wenn ein konkretes System unserer Lebenswelt beschrieben werden soll: So handelt der Abschnitt 4.2.2 von Organismen und Substrat, also vom Vektor (Organismendichte, Substratkonzentration),

(4.18)

dessen Komponenten nicht unbedingt nur ’durchgez¨ahlt‘, sondern mit eigenen Symbolen bezeichnet werden sollten. Damit bleibt die N¨ahe zum nat¨ urlichen System erhalten. Allgemein ist zu sagen, dass biologische Systeme in der Regel nicht skalare Zust¨ ande haben, nicht nur durch eine einzige reelle Gr¨oße x beschrieben werden, sondern durch endlich viele u1 , . . . , uN reelle Gr¨oßen, die dann zum Vektor u = (u1 , . . . , uN ) zusammengefasst den Zustand des Systems beschreiben. So legt (4.18) den Zustand des Systems aus Abschnitt 4.2.2 fest. 4.2.6 Reelle Funktionen auf Teilmengen des RN Wir k¨ onnen Teilmengen des RN auszeichnen, z.B. {(u1 , u2 , u3 ) : 1 ≤ u1 ≤ 2, −1 ≤ u2 ≤ 1, −6 ≤ u3 ≤ 0}, {(u1 , u2 ) : u21 + u22 = 1},

(4.19)

{(u1 , u2 ) : u21 + u22 > 1}. Die erste Zeile definiert einen Kasten im Raum mit drei Kanten der L¨ange 1 (in u1 -Richtung), 2 (in u2 -Richtung) und 6 (in u3 -Richtung). Die zweite Zeile beschreibt eine Kreislinie mit dem Radius 1 und die dritte Zeile schließlich bezeichnet den Außenbereich dieses Kreises (ohne die Kreislinie selbst). Nun erinnern wir an den allgemeinen Funktionsbegriff aus 2.4.1. Gegenstand der folgenden Betrachtungen sind reellwertige Funktionen mit einem Definitionsbereich D ⊂ RN und einem Wertebereich in der Bildmenge urzer g(u) geschrieben werden R. Sie k¨ onnen in der Form g(u1 , . . . , uN ) oder k¨ g : D → R, (u1 , . . . , uN ) ∈ D → g(u1 , . . . , uN ) ∈ R,

114

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

wenn wir den Vektor (u1 , . . . , uN ) wieder mit dem Buchstaben u abk¨ urzen. Z.B. ist (4.17) f¨ ur alle Paare (x, y) ∈ R2 mit x + y = 0 definiert, d.h. D = {(x, y) ∈ R2 : x = −y}, und es gilt Φ(1, 2) =

a + 2b . 3

Die Funktionen (4.15) sind ohne Einschr¨ ankung f¨ ur alle (x, y) ∈ R2 definiert, 2 also D = R . 4.2.7 Graphische Darstellungsm¨ oglichkeiten Sei g(u1 , u2 ) eine reellwertige Funktion von 2 Variablen mit dem Definitionsbereich D ⊂ R2 . Man kann dann den Punkt (u1 , u2 , g(u1 , u2 )) ∈ R3 im Raum veranschaulichen (vgl. Abb. 4.2). Dies liefert eine Darstellung von g, wenn (u1 , u2 ) durch D l¨ auft. Es entsteht eine Fl¨ache im Raum, z.B. jene der Abb. 4.3. Eine kompliziertere Fl¨ ache dieser Art zeigt Abb. 4.4 mit steileren H¨ ohendifferenzen, die einfacher in einer H¨ ohenkarte (siehe Abb. 4.5) veranschaulicht wird. Solche Karten stellen in einer (x1 , x2 )-Ebene eine Schar endlich vieler Kurven

z−Achse

2.5

g(u1,u2)

2 1.5 1 0.5 0 4 3

u2

2

u1

1

u2−Achse

6 4

2 0

0

u1−Achse

Abb. 4.2. Darstellung eines Punktes einer durch g(u1 , u2 ) definierten Fl¨ ache im R3

(x1 (σ), x2 (σ)) : g(x1 (σ), x2 (σ)) = h f¨ ur σ ∈ Ih mit dem Kurvenparameter σ und dem zugeh¨ origen Parameterintervall Ih dar (vgl. auch Unterabschnitte 4.5.2 und 4.5.4). Jedes h ∈ R beschreibt die Kurve aller Punkte auf der durch g definierten Fl¨ache, welche dieselbe H¨ohe h u ¨ ber der (x1 , x2 )-Ebene aufweisen. Die Kurven werden mit der zugeh¨origen H¨ ohenzahl h beschriftet (siehe Abb. 4.5). Beide Abbildungen 4.4 und 4.5 sind aus dem Demoteil des Graphikangebots von MATLAB.

4.2 Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher: Gr¨ oßen

115

3 2.5 2 1.5 1 0.5 6 6

4 4

2

2 0

0

Abb. 4.3. Darstellung einer reellwertigen Funktion definiert im R2

10 5 0 −5 −10 20 15

20 15

10

10

5

5 0

0

Abb. 4.4. Relief einer Funktion aus dem Graphikangebot von MATLAB

25

23

2.7

45

1.

66

55 38 0.1

0.13855

30

6.7071

66

2.7

10

23

45 1.

15

2.766

−1

−2.4889

5 .17

0.13855

2

20

−5.1163 −3.8026

5

−1.1752 5

10

15

20

25

30

Abb. 4.5. H¨ ohenkarte der Funktion aus Abb. 4.4 (Graphikangebot von MATLAB)

116

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

4.2.8 Gr¨ oßen und ihre Abh¨ angigkeiten Die L¨ osungen der Verhulstgleichung lauten x(t) =

K K , B := − 1 f¨ ur x(0) > 0 1 + B · exp(−Rt) x(0)

(4.20)

(vgl. (3.37) in 3.3.6). Hier ist x ein Maß f¨ ur den Umfang der Population. Betrachten wir (4.20) n¨ aher, so f¨ allt uns auf, dass x nicht nur von der Zeit t, sondern auch vom Umweltparameter K und dem Anfangswert x(0), der in B versteckt ist, abh¨ angt. R > 0 ist die Wachstumsrate der Population X und bleibt konstant, wenn wir eine bestimmte Gemeinschaft untersuchen. Soll die Abh¨ angigkeit von K und B ber¨ ucksichtigt werden, so m¨ ussen wir genauer x(t, K, B)

(4.21)

schreiben. Dabei variieren t, K ∈ [0, +∞), B ∈ (−1, +∞), der Definitionsbereich von (4.21) lautet also D = {(t, K, B) ∈ R3 : t ≥ 0, K ≥ 0, B > −1}.

(4.22)

Bei dieser Auffassung ist der Umfang x der Population gegen¨ uber t, K, B noch herausgehoben: Es ist die abh¨ angige Variable, w¨ahrend alle anderen unabh¨ angig gesehen werden. Soll die Gleichberechtigung von x, t, K und B demonstriert werden, so schreibe man (4.20) einfach in der Form (1 + B · exp(−Rt))x − K = 0.

(4.23)

Nun steht nur noch eine Beziehung zwischen Gr¨ oßen da: dem Umfang x einer Population, dem Umweltfaktor K usw. Nach [29] ist eine Gr¨oße eine ’generelle Bezeichnung f¨ ur mess- oder z¨ ahlbare Eigenschaften, ferner f¨ ur das bestimmte Resultat einer Z¨ ahlung oder Messung‘. Im Grunde handelt Naturbeschreibung von Gr¨ oßen und deren Beziehungen untereinander. Wollen wir die Abh¨ angigkeit einer Gr¨ oße G mit der Maßzahl g ∈ R von anderen Gr¨oßen Xj mit der Maßzahl xj ∈ R, j = 1, . . . , N studieren, so untersuchen wir g in Abh¨ angigkeit von den Variablen x1 , x2 , . . . , xN : g(x1 , . . . , xN ). So handelt (4.10) von der Abh¨ angigkeit der Ver¨anderungsrate der Organismen von ihrem Umfang y und dem Nahrungsangebot x. Es wird die momentane Situation des Systems durch den Vektor (Nahrungsangebot x, Umfang der Population y)

(4.24)

beschrieben. Das Konzept des Vektors hat u.a. seinen Ursprung darin, dass ein nat¨ urliches System i.A. nur durch die Angabe verschiedener, ihm zugeordneter Gr¨ oßen hinreichend beschrieben werden kann. Im Falle von (4.10) sind dies die Komponenten des Vektors (4.24).

4.2 Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher: Gr¨ oßen

117

4.2.9 Implizite Gleichungen Einige Gr¨ oßen der Thermodynamik sind Volumen V (oder das molare Volumen V¯ ), Temperatur T , Druck P , Entropie S, Enthalpie H, freie Enthalpie G usw. Definition und Bedeutung dieser Gr¨ oßen werden in [2] genau erkl¨art. Dort findet man zwischen diesen Gr¨ oßen die Beziehungen P V = RT, G = H − T S, V¯ = V¯0 (1 + β0 (T − T0 ) − κ0 (P − P0 ))

(4.25)

mit geeigneten Konstanten V¯0 , β0 , κ0 , T0 , P0 . In der zweiten Zeile wird V¯ als Funktion von T und P aufgefasst. Dann legt die rechte Seite die Funktion V¯ (T, P ) fest. Insbesondere gilt nun V¯ (T0 , P0 ) = V¯0 . In der ersten Gleichung von (4.25) bezeichnet R eine Konstante (vgl. auch [2], wo klargemacht wird, dass R das Produkt der universellen Gaskonstanten mit einer Stoffmenge ist). Die Beziehung liefert z.B. die Abh¨ angigkeit des Volumens V von P und T gem¨ aß T V (P, T ) = R · (P = 0). (4.26) P Auf diese Weise entstehen aus Beziehungen der Form (4.25) zwischen Gr¨oßen bei Festlegung der Abh¨ angigkeiten Funktionen. Wir sagen, die Funktion (4.26) ist implizit durch die Gleichung f (P, T, V ) := P V − RT = 0

(4.27)

erkl¨ art, und meinen damit, dass f (P, T, V (P, T )) = 0 f¨ ur alle Argumente (P, T ) mit P = 0 gilt. Wir sagen auch, (4.27) ist nach V aufl¨ osbar. Man sieht leicht, dass (4.27) auch nach P aufl¨osbar ist. Dann entsteht die Funktion P (T, V ) = RT V −1 (V = 0), welche offenbar f (P (T, V ), T, V ) = 0 befriedigt. Nun ist der Vektor (T, V ) die unabh¨angige und P die abh¨ angige Variable. 4.2.10 Implizit definierte Funktionen: allgemeiner Fall Allgemeiner sei g eine reellwertige Funktion mit dem Definitionsbereich D ⊂ RN . Die Gleichung (4.28) g(x1 , x2 , . . . , xN ) = 0 mag f¨ ur gewisse (x2 , x3 , . . . , xN ) ∈ RN −1 eindeutig nach x1 aufl¨osbar sein. Die L¨ osung sei x1 = σ. Dann h¨ angt σ von x2 , x3 , . . . , xN ab, und (4.28) definiert die f¨ ur diese Argumente erkl¨ arte Funktion x1 = σ(x2 , x3 , . . . , xN )

(4.29)

118

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

in impliziter Weise. Wir sagen, (4.29) ist implizit durch (4.28) gegeben oder (4.28) ist eine implizite Gleichung f¨ ur (4.29). Definitionsgem¨aß gilt die Identit¨ at g(σ(x2 , . . . , xN ), x2 , . . . , xN ) = 0 (4.30) f¨ ur alle (x2 , . . . , xN ) im Definitionsbereich der implizit definierten Funktion (4.29). Als Beispiel sei die Methode der Separation der Variablen zur L¨osung von x(t) ˙ = f (x(t))

(4.31)

aus Abschnitt 3.3.5 gew¨ ahlt. Sie liefert die Beziehung F (x) − F (¯ x(0)) − t = 0

(4.32)

(vgl.(3.31) in 3.3.5). Dies ist eine Gleichung der Form (4.28) mit g(x, t) := F (x) − F (¯ x(0)) − t,

(4.33)

welche die L¨ osung x(t) von (4.31) mit dem vorgegebenen Anfangswert x ¯(0) implizit definiert (falls (4.33) nach x aufl¨ osbar ist und die Probe erfolgreich verl¨ auft). Das Resultat der in Abschnitt 3.3.5 beschriebenen Methode ist demnach eine implizite Gleichung f¨ ur eine (m¨ ogliche) L¨osung von (4.31). In Abschnitt 3.3.6 sind zwei konkrete F¨ alle durchgerechnet, bei denen (4.32) unter Angabe eines analytischen Ausdrucks nach x aufgel¨ost werden kann. Meistens ist es das Ziel, einen konkreten analytischen Ausdruck f¨ ur die L¨osung x(t) von (4.32) zu finden, der dann wiederum eine L¨osung der Differentialgleichung (4.31) ist, wenn die Probe dies best¨atigt. Die Probe besteht darin nachzurechnen, dass x(t) die Gleichung (4.31) tats¨achlich l¨ost!

4.3 Ver¨ anderungsrate in Richtung verschiedener Variabler: partielle Ableitung 4.3.1 Motivation Die Beschreibung der Ver¨ anderung einer Funktion f (x) von einer Variablen f¨ uhrt auf den Begriff der Ver¨ anderungsrate d f (x) dx

(4.34)

in einem Punkt x. Wie ver¨ andert sich aber f (x1 , . . . , xN ) bei N unabh¨angigen Ver¨ anderlichen x1 , . . . , xN ? So vermittelt (4.25) die Abh¨angigkeit V (P, T ) = R ·

T (P = 0) P

(4.35)

4.3 Ver¨ anderungsrate in Richtung verschiedener Variabler: partielle Ableitung

119

des Volumens V von der absoluten Temperatur T und dem Druck P in einem thermodynamischen System. Welchen Einfluss hat nun eine Ver¨anderung von T oder P auf V ? Wie variiert V , wenn man T oder P ¨andert? Ein Sonderfall der oben aufgeworfenen Frage f¨ ur N = 2! Zun¨ achst aber weitere Beispiele. 4.3.2 Verschiedene Abh¨ angigkeiten bei der logistischen Kurve Wir kehren zur Gleichung (4.23) in 4.2.8 zur¨ uck, sie sei hier wiederholt: (1 + B · exp(−Rt))x − K = 0.

(4.36)

Betrachten wir eine feste Organismenpopulation mit dem Umfang x, so tr¨agt diese eine feste Replikationsrate R, so dass R vern¨ unftigerweise konstant bleibt. Alle anderen Gr¨ oßen B, t, x und K k¨onnen grunds¨atzlich variieren! Im ersten Schritt seien B, t fest, die linke Seite von (4.36) wird eine Funktion f1 (x, K). Dann definiert (4.36) die Abh¨ angigkeit x(K) =

K 1 + B · exp(−Rt)

(4.37)

implizit, und diese Funktion ist differenzierbar (beachte B, R, t sind fest!) dx 1 = . dK 1 + B · exp(−Rt)

(4.38)

Im zweiten Schritt seien t, K konstant, die linke Seite von (4.36) ist nun eine Funktion f2 (x, B), und (4.36) definiert x(B) =

K 1 + B · exp(−Rt)

(4.39)

implizit mit der Ableitung dx K · exp(−Rt) =− . dB (1 + B · exp(−Rt))2

(4.40)

Allgemeiner ist durch (4.36) die Funktion x¯(K, B, t) =

K 1 + B · exp(−Rt)

(4.41)

implizit festgelegt. Die rechte Seite von (4.38) erscheint, wenn wir (4.41) bei festgehaltenen B, t nach K differenzieren. F¨ ur die Funktion x ¯ aus (4.41) entsteht die sog. partielle Ableitung nach K

120

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

1 ∂ x ¯(K, B, t) = . ∂K 1 + B · exp(−Rt)

(4.42)

Sie beschreibt die Ver¨ anderungsrate des Umfangs x¯ der Population bei sich andernden Umweltverh¨ altnissen K und sonst festen Parametern B, t. ¨ Analog interpretieren wir (4.40): K · exp(−Rt) ∂ x ¯(K, B, t) = − ∂B (1 + B · exp(−Rt))2

(4.43)

als Ver¨ anderungsrate von x¯ bei variablem B aber festen t, K. Nun ist die weitere partielle Ableitung und ihre Bedeutung klar: R · K · B · exp(−Rt) ∂ x ¯(K, B, t) = . ∂t (1 + B · exp(−Rt))2

(4.44)

4.3.3 Partielle Ableitung Sei f (x1 , . . . , xN ) eine reellwertige Funktion mit dem Definitionsbereich D ⊂ RN . Sie heißt im Punkte (y1 , . . . , yN ) ∈ D partiell differenzierbar nach xj , falls die reelle Funktion g(x) := f (y1 , . . . , yj−1 , x, yj+1 , . . . , yN )

(4.45)

bei x = yj differenzierbar ist (beachte, dass die Variablen y1 , . . . , yj−1 , yj+1 , . . . , yN in (4.45) festgehalten werden und dass g eine reelle Funktion im Sinne von Abschnitt 2.4.1 ist). Die Ableitung g ′ (x) bei x = yj heißt partielle Ableitung von f nach xj im Punkte (y1 , . . . , yN ) ∈ D. Mit den Bezeichnungen ∂ f (y1 , . . . , yN ) oder fxj (y1 , . . . , yN ) oder Dxj f (y1 , . . . , yN ) ∂xj

(4.46)

f¨ ur die partielle Ableitung besteht die Definitionsgleichung ∂ f (y1 , . . . , yN ) := g ′ (yj ). ∂xj Schließlich heißt f nach xj partiell differenzierbar in D, falls f in jedem Punkt (x1 , . . . , xN ) des Definitionsbereichs D nach xj partiell differenzierbar ist. So entstehen N partielle Ableitungen (4.46) f¨ ur j = 1, . . . , N , welche den Gradienten von f bilden:

4.3 Ver¨ anderungsrate in Richtung verschiedener Variabler: partielle Ableitung

121

grad f (x1 , . . . , xN ) = (4.47) (fx1 (x1 , . . . , xN ), fx2 (x1 , . . . , xN ), . . . , fxN (x1 , . . . , xN )). Dies ist eine auf D definierte Funktion mit Werten in RN . Sie fasst s¨amtliche Ver¨ anderungsraten von f zusammen. In dieser Sprechweise wird in 4.3.2 der Gradient der Funktion (4.41) berechnet. 4.3.4 Zweite partielle Ableitung Sei f wie in Abschnitt 4.3.3 eine reellwertige Funktion mit dem Definitionsbereich D ⊂ RN . Es existiere der Gradient auf D. Dann ist fxj eine reelle Funktion auf D, deren Gradient wieder f¨ ur alle x = (x1 , . . . , xN ) ∈ D vorhanden ∂ sein m¨ oge. Seine Komponenten ∂x (f xj ) heißen 2. partielle Ableitungen i von f und haben die Bezeichnungen: ∂2 f (x1 , . . . , xN ) oder fxj xi (x1 , . . . , xN ) oder Dxj xi f (x1 , . . . , xN ). ∂xi ∂xj (4.48) F¨ ur i = j schreibt man auch ∂2 f (x1 , . . . , xN ) oder Dx2 i f (x1 , . . . , xN ). ∂x2i Unter sehr allgemeinen (in den Anwendungen durchweg als erf¨ ullt anzusehenden) Voraussetzungen an f besteht die Symmetrie     ∂ ∂ ∂ ∂ f (x1 , . . . , xN ) = f (x1 , . . . , xN ) (4.49) ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi oder k¨ urzer fxi xj = fxj xi . (4.49) wurde 1873 von H.A. Schwarz bewiesen. Der vollst¨ andige Satz wird heute als Satz von Schwarz zitiert. Als Beispiel w¨ ahlen wir die Funktion (4.41). Wegen (4.42) ist exp(−Rt) ∂2 x ¯(K, B, t) = − , ∂B∂K (1 + B · exp(−Rt))2 und (4.43) zeigt, dass dieser Wert mit ∂2 x ¯(K, B, t) ∂K∂B u ¨ bereinstimmt. Wie man die fxj (j = 1, . . . , N ) als Vektor anordnet, so sammelt man die fxi xj (i, j = 1, . . . , N ) in einem rechteckigen Schema

122

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

⎡

fx1 x1 fx1 x2 fx1 x3 ⎢ fx2 x1 fx2 x2 fx2 x3 ⎢ ⎣ ... ... ... fxN x1 fxN x2 fxN x3

⎤ . . . fx 1 x N . . . fx 2 x N ⎥ ⎥ ... ... ⎦ . . . fx N x N

(4.50)

einer Matrix. Mehr zum Konzept einer Matrix in Kapitel 5. (4.50) heißt Hessematrix von f . In ihrer j-ten Zeile steht der Gradient von fxj !

4.4 Approximation von Funktionen: Taylor Polynome 4.4.1 Motivation ¨ In den soweit vorgetragenen Uberlegungen spielen reelle Funktionen f (u1 , . . . , uN ) auf einem Definitionsbereich D des RN eine zentrale Rolle. Es u ¨ berrascht nicht, dass man ihr Aussehen wenigstens in Teilmengen von D vor Augen haben m¨ ochte. Eine M¨ oglichkeit ist die Approximation durch ’einfachere‘ analytische Ausdr¨ ucke. Dazu eignen sich Polynome in jeder Variablen uj von niedrigem Grad. In diesem Abschnitt lernen wir die einfachsten Konstruktionen kennen. 4.4.2 Taylor Polynome mit einer Ver¨ anderlichen Sei x(t) eine differenzierbare, reelle Funktion in einem Intervall (a, b) der reellen Achse. In einer kleinen Umgebung U (t¯) = {t ∈ (a, b) : |t − t¯| < ǫ} ⊂ (a, b), ǫ > 0

(4.51)

um einen Punkt t¯ in (a, b) sei x(t) eine Gerade. Da sie durch den Punkt (t¯, x(t¯)) l¨auft, muss unsere Funktion in der Umgebung (4.51) von der Form x(t) = m(t − t¯) + x(t¯), t ∈ U (t¯)

(4.52)

sein, wobei die Steigung m noch zu bestimmen ist. Nun folgt aber durch Differentiation von (4.52) x(t) ˙ = m f¨ ur alle t ∈ U (t¯). Insbesondere ist m = x( ˙ t¯), so dass x(t) = x( ˙ t¯)(t − t¯) + x(t¯)

(4.53)

in einer Umgebung (4.51) besteht. Es ist im Allgemeinen nicht zu erwarten, dass eine gegebene Funktion in irgendeiner Umgebung exakt eine Gerade definiert. Allerdings kann man erwarten, dass (4.53) den Funktionsverlauf in einer

4.4 Approximation von Funktionen: Taylor Polynome

123

hinreichend kleinen Umgebung von t¯ mit gen¨ ugender Genauigkeit wiedergibt; wir schreiben x(t) ∼ x( ˙ t¯)(t − t¯) + x(t¯) =: p1 (t) (4.54) und bezeichnen das rechts stehende Polynom p1 (t) als Taylor Polynom vom Grade 1 an der Stelle t = t¯ der Funktion x(t). Die so beschriebene Gerade definiert die Tangente an die Kurve x(t) im Punkte t = t¯. Die Kurve stimmt mit ihrer Tangente im Punkte t¯ u ¨ berein und wird durch diese hinreichend nahe bei t¯ gen¨ ugend genau approximiert. Offenbar h¨angt p1 (t) von der Stelle t¯ ab, so dass genauer p1 (t) = p1 (t, t¯) besteht. In einem zweiten Anlauf unterstellen wir, dass unsere Funktion x(t) in der Umgebung (4.51) ein Polynom 2. Grades x(t) = α(t − t¯)2 + β(t − t¯) + x(t¯)

(4.55)

ist. Zur Bestimmung der freien Konstanten α, β differenzieren wir (4.55) zweimal und finden x(t) ˙ = 2α(t − t¯) + β, x ¨(t) = 2α, t ∈ U (t¯). F¨ ur t = t¯ wird x( ˙ t¯) = β, x ¨(t¯) = 2α, und (4.55) liefert die Darstellung x(t) =

x ¨(t¯) (t − t¯)2 + x( ˙ t¯)(t − t¯) + x(t¯) 2

(4.56)

in der Umgebung (4.51). Wie im obigen Fall k¨ onnen wir im Allgemeinen nicht erwarten, dass eine vorgelegte Funktion in irgendeinem Intervall sich exakt wie ein Polynom 2. Grades verh¨ alt. Allerdings wird die rechte Seite von (4.56) in einer gen¨ ugend kleinen Umgebung von t¯ eine ausreichende Approximation f¨ ur unsere Funktion x(t) sein. Man schreibt x(t) ∼

x ¨(t¯) (t − t¯)2 + x( ˙ t¯)(t − t¯) + x(t¯) =: p2 (t, t¯). 2

(4.57)

Das hierdurch definierte Polynom p2 (t, t¯) heißt Taylor Polynom vom Grade 2 an der Stelle t = t¯ der Funktion x(t). Es wird unsere Funktion x(t) in einer gen¨ ugend kleinen Umgebung von t¯ hinreichend genau darstellen. Wir sagen, dass das Polynom p1 (t, t¯) aus (4.54) die Funktion in erster N¨ aherung und das Polynom p2 (t, t¯) aus (4.57) in zweiter N¨ aherung bei t¯ approximiert. Offenbar folgen    2  ∂ ∂ ¯ ¯ ¯ pi (σ, t) p2 (σ, t) =x ¨(t¯), i = 1, 2 = x( ˙ t), i = 1, 2, ∂σ ∂σ 2 σ=t¯ σ=t¯ aus (4.54) und (4.57). Beide Eigenschaften zeigen, dass die G¨ ute der N¨aherung mit der Anzahl der u ¨ bereinstimmenden Ableitungen im zentralen Punkt

124

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

t = t¯ besser wird. Dazu sei auf die Abb. 4.6 im n¨achsten Unterabschnitt 4.4.3 verwiesen, welche von der Exponentialfunktion handelt und unterschiedliche Approximationsg¨ uten der beiden Taylor Polynome veranschaulicht: Das gestrichelt gezeichnete Polynom p2 (t, t¯) =

t2 +t+1 2

gibt exp(t) bdeutlich besser und in einem gr¨oßeren Intervall wieder als die ausgezogene Gerade p1 (t, t¯) = t + 1!

Im Falle x( ˙ t¯) = 0 liefert die erste Approximation (4.54) nur die Konstante ¯ x(t). F¨ ur eine genauere Analyse wird man daher auf die durch (4.57) gegebene zweite Approximation u ¨(t¯) = 0 angetroffen, so ¨berwechseln. Wird wieder x w¨ are auch die zweite Approximation nur konstant, und man m¨ usste sich nach einer wiederum h¨ oheren lokalen Approximation unserer Funktion x(t) in einer Umgebung von t¯ umsehen. 4.4.3 Taylor Polynome der Exponentialfunktion Als erstes Beispiel diene die Exponentialfunktion x(t) = exp(t) mit x(t) ˙ = exp(t) = x¨(t), t ∈ R,

(4.58)

so dass die Taylor Polynome an der Stelle t¯ die Darstellungen

3 2.5

exp(t)

2 1.5 1

t+1 0.5⋅ t2+t+1

0.5 0 −1

−0.5

0

0.5

1

Abb. 4.6. Die Exponentialfunktion und ihre Taylor Polynome im Nullpunkt

4.4 Approximation von Funktionen: Taylor Polynome

exp(t) ∼ p1 (t, t¯) = exp(t¯)(t − t¯ + 1), exp(t) ∼ p2 (t, t¯) = exp(t¯)

1

¯2 ¯ 2 (t − t) + t − t + 1

haben. F¨ ur eine Approximation um t¯ = 0 gilt speziell



exp(t) ∼ t + 1, t ∈ U (0), exp(t) ∼

1 2

125

(4.59)

(4.60)

t2 + t + 1, t ∈ U (0).

Die Abb. 4.6 vermittelt einen Eindruck von der G¨ ute der Approximation. Das n¨ achste Beispiel sei f (x) = Hier ist f ′ (x) = −

1 , x > −1. 1+x

1 2 , f ′′ (x) = , x > −1, (1 + x)2 (1 + x)3

(4.61)

(4.62)

so dass die Funktion (4.61) in einer Umgebung von x ¯ = 1 durch f (x) ∼ − 41 (x − 1) +

1 2

= p1 (x, 1), x ∈ U (1),

f (x) ∼ 81 (x − 1)2 − 41 (x − 1) +

1 2

(4.63)

= p2 (x, 1), x ∈ U (1),

gut repr¨ asentiert werden sollte. Unser letztes Beispiel lautet h(x) =

1 , x ∈ R. 1 + exp(−x)

(4.64)

Hier gilt h′ (x) =

exp(−x) exp(−x)(exp(−x) − 1) , h′′ (x) = (1 + exp(−x))2 (1 + exp(−x))3

oder h(x) ∼

1 1 x + = p1 (x, 0) = p2 (x, 0), x ∈ U (0), 4 2

(4.65)

(4.66)

weil h′′ (0) = 0 ist. 4.4.4 Taylor Polynom bei mehreren Ver¨ anderlichen Das Konzept der Taylor Polynome l¨ asst sich auf Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher u achst f (x1 , x2 ) eine reellwertige Funktion von zwei ¨ bertragen. Sei zun¨

126

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

Variablen mit dem Definitionsbereich D ⊂ R2 . S¨amtliche ersten partiellen Ableitungen von f m¨ ogen in D existieren. Wir wollen f in einer Umgebung U (¯ x1 , x ¯2 ) := {(x1 , x2 ) ∈ D : |x1 − x ¯1 | < ǫ, |x2 − x ¯2 | < ǫ} ⊂ D, ǫ > 0 hinreichend klein vorgegeben ¯2 ) ∈ D approximieren. Das Taylor Polynom ersten Grades von (¯ x1 , x lautet f (x1 , x2 ) ∼ f (¯ x1 , x ¯2 )(x2 − x ¯2 ) x1 , x ¯2 )(x1 − x ¯1 ) + fx2 (¯ x1 , x ¯2 ) + fx1 (¯

(4.67)

¯2 ) f¨ ur (x1 , x2 ) ∈ U (¯ x1 , x¯2 ). =: p1 (x1 , x2 , x¯1 , x Dies ist eine direkte Verallgemeinerung von (4.54) f¨ ur zwei Dimensionen. Im Falle von N Dimensionen liegt eine reellwertige Funktion f (x1 , x2 , . . . , xN ) vor, welche auf einer Teilmenge D ⊂ RN definiert ist. Existieren alle ersten partiellen Ableitungen von f in D, so lautet das Taylor Polynom ersten Grades an einer Stelle (¯ x1 , x¯2 , . . . , x ¯N ) ∈ D folgendermaßen x1 , . . . , x ¯N ) + f (x1 , . . . , xN ) ∼ f (¯

N
j=1

x1 , . . . , x ¯N )(xj − x ¯j ) fxj (¯

(4.68)

¯1 , . . . , x ¯N ) f¨ ur (x1 , . . . , xN ) ∈ U (¯ x1 , . . . , x ¯N ) ⊂ D. =: p1 (x1 , . . . , xN , x In Verallgemeinerung von U (x1 , x2 ) ist ¯N ) := {(x1 , . . . , xN ) ∈ RN : |xi − x ¯i | < ǫ, i = 1, . . . , N } U (¯ x1 , . . . , x f¨ ur ein (hinreichend kleines) ǫ > 0 festgelegt. 4.4.5 Taylor Polynom beim R¨ auber-Beute-Modell Zum Abschluss ein Beispiel zu (4.67): Es sei die rechte Seite g(x, y) = x(β − γ −1 δy), f (x, y) = y(δx − α)

(4.69)

des R¨ auber-Beute-Modells (4.14) aus 4.2.3 vorgelegt. Setze alle Konstanten α, β, γ und δ gleich 1, betrachte also x(t) ˙ = x(1 − y), y(t) ˙ = y(x − 1) in einer geeigneten Umgebung U (1, 1) := {(x, y) ∈ R2 : |x − 1| < ǫ, |y − 1| < ǫ}

(4.70)

4.5 Ver¨ anderungsrate einer Gr¨ oße: vollst¨ andiges Differential

127

des Punktes (¯ x = 1, y¯ = 1) ∈ R2 mit ǫ > 0 hinreichend klein, finde gx (x, y) = 1 − y, fx (x, y) = y, gy (x, y) = −x, fy (x, y) = x − 1 und damit speziell x, y¯) = fy (¯ x, y¯), 0 = f (¯ x, y¯) = g(¯ x, y¯) = gx (¯ fx (¯ x, y¯) = 1, gy (¯ x, y¯) = −1. Nun zeigt (4.67) g(x, y) ∼ −(y − 1), f (x, y) ∼ x − 1

(4.71)

in U(1,1). Daher werden (hoffentlich!) die L¨ osungen des R¨auber-Beute-Modells (4.70) in der N¨ ahe des Punktes (1, 1) ∈ R2 mit jenen des linearen Systems x(t) ˙ = −(y − 1), y(t) ˙ =x−1

(4.72)

vergleichbar sein. Das System (4.72) wird in Abschnitt 6.4.1 gel¨ost, um erste Einblicke in die durch (4.70) definierte kompliziertere Dynamik zu gewinnen.

4.5 Ver¨ anderungsrate einer Gr¨ oße: vollst¨ andiges Differential 4.5.1 Motivation und Ausblick Ausgangspunkt ist eine Gr¨ oße F , welche von weiteren Gr¨oßen x1 , . . . , xN abh¨ angt, also eine Funktion F (x1 , . . . , xN ).

(4.73)

Streng genommen handelt (4.73) von den Maßzahlen der Gr¨oßen. Wir wollen aber zwischen Gr¨ oße und ihrer Maßzahl nicht unterscheiden, solange keine Unklarheiten zu bef¨ urchten sind. In 4.3 wird die partielle Ver¨ anderung von F bez¨ uglich jeder der einzelnen Variablen untersucht. Hier fragen wir nach der totalen Ver¨ anderung von F in Abh¨ angigkeit von Ver¨anderungen der einzelnen Gr¨ oßen x1 , . . . , xN . Unsere Beispiele kommen aus der Biophysik (insbesondere aus der Thermodynamik). Wenn man nach Ver¨anderung fragt, so ist der Ausgangspunkt immer die Maßzahl F einer Gr¨ oße. Ihre Ver¨ anderung von FAnf ang =: FA nach FEnde =: FE wird mit

(4.74)

128

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

dF bezeichnet. Soweit handelt es sich ausschließlich um ein Symbol. Soll ihm Sinn gegeben werden, so sind Abh¨ angigkeiten n¨ otig: Ver¨anderung hat nur Sinn in Abh¨angigkeit von. Also werden weitere Maßzahlen x1 , . . . , xn gebraucht, welche die gesuchte Ver¨ anderung von F ausl¨ osen. Die Abh¨angigkeit von x1 , . . . , xn verdeutlicht die Symbolik F (x1 , . . . , xn ) und dF (x1 , . . . , xn ). Es soll FA = F (z1 , . . . , zn ) in FE = F (y1 , . . . , yn )

(4.75)

u uhrt werden (vgl. 4.74). Das geschieht dadurch, dass zun¨achst ¨ berf¨ (z1 , . . . , zn ) nach (y1 , . . . , yn ) ¨ wandert. Diesen Ubergang vermittelt ein Weg (η1 (τ ), . . . , ηn (τ )) mit τ ∈ [τA , τE ],

(4.76)

welcher vom Anfangspunkt (z1 , . . . , zn ) zum Endpunkt (y1 , . . . , yn ) alle Zwischenstufen mit Hilfe der reellen Funktionen ηj : [τA , τE ] −→ R, j = 1, . . . , n festlegt. Damit sind die Forderungen ηj (τA ) = zj , ηj (τE ) = yj , j = 1, . . . , n

(4.77)

¨ klar: Anfang und Ende werden ja in (4.75) bezeichnet. Den Ubergang (4.75) leistet die Funktion F (η1 (τ ), . . . , ηn (τ )), τ ∈ [τA , τE ] mit (4.77).

(4.78)

Die gesuchte totale Ver¨ anderung dF entsteht aus diesen Vorgaben im Kern als Ableitung von (4.78)! Dabei werden beliebige Wege (4.76) zugelassen. Wie das gehen soll, ist Gegenstand der folgenden Unterabschnitte mit einer Definition von dF im Unterabschnitt 4.5.4. Im einfachsten Fall (n = 1 in (4.76)) ist der Weg eindimensional η1 (τ ) = x(τ ), τ ∈ [τA , τE ]. Sein geometrischer Ort ist der Bildbereich x([τA , τE ]), ein Geradenst¨ uck, ein einfacher Strich auf einem Blatt Papier. Die Punkte x(τ ) laufen in dieser

4.5 Ver¨ anderungsrate einer Gr¨ oße: vollst¨ andiges Differential

129

Menge beginnend mit x(τA ) hin und her bis schließlich das Ende x(τE ) erreicht ¨ wird. Wegen η1 (τ ) = x(τ ) liefert (4.78) den Ubergang (4.75) in der einfachen Form F (x(τ )), τ ∈ [τA , τE ]. (4.79) Als Sonderfall ist (wegen n = 1!) der Weg x(τ ) = τ mit τ ∈ [τA , τE ] m¨oglich, f¨ ur den (4.79) in F (τ ), τ ∈ [τA , τE ]

u orige Ableitung lautet F ′ (τ ), die u ¨ bliche Ver¨anderungsrate ¨ bergeht. Die zugeh¨ einer Funktion! 4.5.2 Abh¨ angigkeiten von Gr¨ oßen und deren Ver¨ anderungen Wir kehren zur ersten Beziehung von (4.25) in Abschnitt 4.2.9 f¨ ur die Gr¨oßen Druck P , Volumen V und Temperatur T P V = RT

(4.80)

mit einer Konstanten R zur¨ uck. Im ersten Schritt stellen wir uns vor, dass der Druck P frei variiert und fassen die beiden anderen Gr¨ oßen T und V als Funktionen des Druckes P auf: T = TDruck (P ), V = VDruck (P ). F¨ ur jede Vorgabe von P muss (4.80) gelten, d.h. ur alle P ≥ 0. P VDruck (P ) − RTDruck (P ) = 0 f¨ Die linke Seite ist eine differenzierbare Funktion der reellen Variablen P , deren Ableitung u ¨ berall verschwinden muß, weil die Funktion selbst u ¨berall verschwindet: P·

dVDruck (P ) dTDruck (P ) + VDruck (P ) − R · =0, dP dP

(4.81)

der gesuchte Zusammenhang der Ver¨ anderungsraten von VDruck und TDruck . Im zweiten Schritt gehen wir wieder von (4.80) aus und stellen uns nunmehr vor, dass die Temperatur T frei variiert. Dann werden die Gr¨oßen P und V als Funktion der Temperatur T aufgefasst: P = PT emp (T ), V = VT emp (T ). Wiederum muss f¨ ur jede Vorgabe von T die Gleichung (4.80) gelten: PT emp (T )VT emp (T ) − RT = 0. Differentiation nach T liefert die Abh¨ angigkeit der Ver¨anderungsraten von VT emp und PT emp bei Variation der Temperatur T PT emp (T ) ·

dVT emp (T ) dPT emp (T ) + VT emp (T ) · − R = 0. dT dT

(4.82)

130

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

Die Abh¨ angigkeiten (4.81) und (4.82) sind Sonderf¨alle einer gemeinsamen ’Form‘, welche folgendermaßen hergestellt wird: Noch einmal ist (4.80) unser Ausgangspunkt. Wir nehmen an, dass unser System im (P, V, T )-Raum einen Weg durchl¨ auft. Dieser ist beschrieben durch eine Kurve (P (τ ), V (τ ), T (τ )), τ ∈ I ⊂ R.

(4.83)

Sie besteht aus drei reellen Funktionen P (τ ), V (τ ), T (τ ), τA ≤ τ ≤ τE .

(4.84)

Wir nennen τ den Kurvenparameter und I das Parameterintervall. W¨ ahrend τ das Intervall I = [τA , τE ] vom linken zum rechten Randpunkt einmal durchl¨ auft, beschreibt der in (4.83) angegebene Vektor einen Pfad im dreidimensionalen (P, V, T )-Raum mit dem Anfangspunkt := QA = (P (τA ), V (τA ), T (τA )) (4.85) und dem Endpunkt := QE = (P (τE ), V (τE ), T (τE )). Auf der Strecke vom Kurvenanfang QA zum Kurvenende QE liegen die Punkte (P (τ ), V (τ ), T (τ )) mit τA < τ < τE ,

Temperatur (T)−Achse

welche einen Weg im Zustandsraum RN festlegen, z.B. jenen aus Abb. 4.7. Es ist klar, dass man auf vielen verschiedenen Wegen den Zustandswechsel (4.85) erreichen kann. Alle diese Wege sind durch je drei Funktionen (4.84)

Endpunkt 15

10

5

Anfangspunkt 0 1 0.5

1 0.5

0

Volumen (V)−Achse

0

−0.5

−0.5 −1

−1

Druck (P)−Achse

Abb. 4.7. Beispiel einer Kurve im R3

mit festen Anfangs- und Endwerten (4.85) gegeben, soll doch jeder von ihnen uhren. Der in Abb. 4.7 gezeigte Sonderfall ist ein Beispiel von QA nach QE f¨ f¨ ur einen Weg, der im Zustandsraum R3 in einer Schlangenbewegung bergauf geht. Der Leser sollte selbst auf ein Blatt Papier weitere dreidimensionale

4.5 Ver¨ anderungsrate einer Gr¨ oße: vollst¨ andiges Differential

131

Wege malen, die zwei feste Punkte verbinden. An jedem Kurvenpunkt muss die Beziehung (4.80) bestehen: P (τ )V (τ ) = RT (τ ), τ ∈ I.

(4.86)

Differentiation nach τ liefert die Abh¨ angigkeit P (τ ) ·

dP (τ ) dT (τ ) dV (τ ) + V (τ ) · =R· , τ ∈I dτ dτ dτ

(4.87)

f¨ ur die drei Ver¨ anderungsraten von V, P, T entlang des Weges (4.83). Nun entdecken wir, dass unser Weg (4.83) im Falle (4.81) so aussieht: Parameter: τ = P (4.88) Darstellung des Weges: (τ, VDruck (τ ), TDruck (τ )), τ ∈ IDruck . Daher stimmen (4.87) und (4.81) u ¨berein: Die erste Komponente PDruck (τ ) = ′ τ von (4.88) hat die Ableitung PDruck (τ ) = 1! Analog geht (4.87) in (4.82) u ¨ ber, wenn Parameter: τ = T (4.89) Darstellung des Weges: (PTemp (τ ), VTemp (τ ), τ ), τ ∈ ITemp gew¨ ahlt wird: Nun hat die dritte Komponente TTemp (τ ) = τ die Ableitung ′ (τ ) = 1! Die Darstellungen (4.88) und (4.89) verwenden verschiedene TTemp Funktionen f¨ ur P , V und T , die auch unterschiedliche Namen tragen. (4.87) beschreibt das Zusammenwirken der Ver¨anderungsraten von P, V, T entlang einer allgemeinen Kurve im (P, V, T )-Raum, a¨hnlich wie (4.80) eine Beziehung zwischen diesen Gr¨ oßen selbst herstellt. Dabei ist es gleichg¨ ultig, um welchen Weg es sich handelt. Wir demonstrieren diese Unabh¨angigkeit, indem wir in (4.87) die Kurve im Schriftbild nicht mehr auftreten lassen und einfach P · dV + V · dP = R · dT (4.90) schreiben. Dies ist nichts anderes als eine invariante Schreibweise von (4.87). Die Zeile (4.90) stellt eine Form dar, welcher wir Inhalt entlocken, sobald eine Kurve (4.83) gew¨ ahlt und dann (4.87) hingeschrieben wird. In diesem Sinne fasst (4.90) alle m¨ oglichen Beziehungen (4.87) zusammen, sobald dort alle Pfade im Raum ins Auge gefasst werden, so z.B. die M¨oglichkeiten (4.88) und (4.89). Der Leser sollte die verschiedenen biologischen Interpretationen des Kurvenparameters τ einmal als Druck in (4.88) und dann als Temperatur in (4.89) beachten. Mathematisch handelt es sich immer um reelle Zahlen, die nat¨ urlich dimensionsbehaftet und damit inhaltlich deutbar sein k¨onnen.

132

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

4.5.3 Idee des vollst¨ andigen Differentials Wir geben nun die Gleichberechtigung der Gr¨oßen P, V, T in (4.80) auf und definieren u angigkeit der Temperatur T von den ¨ ber diese Beziehung die Abh¨ beiden Gr¨ oßen P und V , also T = R−1 P V =: F (P, V ).

(4.91)

Die soeben eingef¨ uhrte Funktion F ist nach ihren beiden Variablen partiell differenzierbar ∂ ∂ F (P, V ) = R−1 V, F (P, V ) = R−1 P. ∂P ∂V

(4.92)

Setze (4.91) und (4.92) in (4.90) ein und erhalte R · dF (P, V ) = R · dT = R ·

∂ ∂ F (P, V )dV + R · F (P, V )dP, ∂V ∂P

oder nach Division durch R dF (P, V ) =

∂ ∂ F (P, V ) · dV + F (P, V ) · dP. ∂V ∂P

Der entstandene Ausdruck heißt vollst¨ andiges Differential der Funktion F . Er misst die Ver¨ anderungsrate von F in Abh¨angigkeit der Ver¨anderungsraten von V und P und unterstellt dabei, dass F in Abh¨angigkeit von V und P vollst¨ andig beschrieben ist, also keine weiteren Abh¨angigkeiten mehr vorliegen! 4.5.4 Definition des vollst¨ andigen Differentials Den in der letzten Nummer behandelten Sachverhalt k¨onnen wir vorteilhaft verallgemeinern. Sei F (x1 , . . . , xN ) eine reellwertige Funktion, welche auf einer Teilmenge D ⊂ RN definiert sei. S¨amtliche partiellen Ableitungen Fxj (x1 , . . . , xN ), j = 1, . . . , N m¨ ogen f¨ ur (x1 , . . . , xN ) ∈ D existieren. Wir betrachten nun eine Kurve (x1 (τ ), x2 (τ ), . . . , xN (τ )) ∈ D, τ ∈ I

(4.93)

in D. Sie besteht aus reellen Funktionen xj (τ ) (j = 1, . . . , N ), welche in einem Intervall I erkl¨ art und differenzierbar sind. I heißt das Parameterintervall zum Kurvenparameter τ . In (4.93) ist angedeutet, dass die Kurve ganz im Definitionsbereich D der Funktion F verl¨ auft. So gibt es die reelle Funktion ϕ(τ ) := F (x1 (τ ), x2 (τ ), . . . , xN (τ )), τ ∈ I , welche die Werte von F entlang der Kurve (4.93) annimmt. Sie ist auf ganz I definiert. Man kann beweisen, dass ϕ auf I differenzierbar ist. Ferner best¨atigt man die Darstellung

4.5 Ver¨ anderungsrate einer Gr¨ oße: vollst¨ andiges Differential d dτ ϕ(τ )

=

=

133

d dτ F (x1 (τ ), . . . , xN (τ ))

(4.94)

N

d ∂ j=1 ∂xj F (x1 (τ ), . . . , xN (τ )) dτ xj (τ )

f¨ ur die Ableitung. Die rechte Seite dieser Gleichung kann als Ver¨anderungsrate von F entlang der Kurve (4.93) aufgefasst werden. Sie ist Anlass zur Definition des vollst¨ andigen Differentials von F gem¨aß N
∂ dF (x1 , . . . , xN ) := F (x1 , . . . , xN )dxj ∂x j j=1

oder k¨ urzer dF =

N


(4.95)

(4.96)

Fxj dxj .

j=1

¨ Ahnlich wie an der entsprechenden Stelle in 4.5.2 stellen wir fest, dass (4.95) nur eine Form ist, welche nach Wahl einer Kurve (4.93) dasselbe wie (4.94) besagt. Die Darstellung (4.96) macht eine Analogie zum ersten Taylor Polynom x1 , . . . , x ¯N ) + f (x1 , , . . . , xN ) ∼ f (¯

N
j=1

x1 , . . . , x ¯N )(xj − x ¯j ) fxj (¯

(4.97)

aus Abschnitt 4.4.4 deutlich: Mit den Abk¨ urzungen x1 , . . . , x ¯N ), ∆f = f (x1 , . . . , xN ) − f (¯

(4.98)

¯j (j = 1, . . . , N ) ∆xj = xj − x nimmt (4.97) die Form ∆f ∼

N


(4.99)

fxj ∆xj

j=1

an. Dieser Formelzeile stellen wir die ’Form‘ (4.96) gegen¨ uber: ∆f ∼

N
j=1

fxj ∆xj

und

df =

N


fxj dxj .

(4.100)

j=1

Damit wird verst¨ andlich, dass df gern ’n¨ aherungsweise‘ mit der Differenz ∆f aus der ersten Gleichung von (4.98) in Zusammenhang gebracht wird. Analoges gilt f¨ ur dxj und die Differenz ∆xj aus der zweiten Zeile von (4.98). Der Leser sollte aber beide Beziehungen (4.100) stets sauber auseinanderhalten: Die erste ist Resultat einer lokalen Ersetzung von f durch das Taylor Polynom vom Grad 1, w¨ ahrend die zweite als ’Form‘ f¨ ur die oben beschriebene Handlungsanweisung steht. Gleichwohl vertieft die erste das Verst¨andnis der zweiten inhaltlich.

134

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

4.5.5 Wieso ist das vollst¨ andige Differential vollst¨ andig? Verfolgt man den Gedankengang der Nummern 4.5.2 bis 4.5.4 sorgf¨altig, so wird erkennbar, dass das vollst¨ andige Differential dF einer Gr¨oße F nur dann bestimmt ist, wenn diese Gr¨ oße von mindestens einer anderen Gr¨oße x abh¨ angt. Das ist so auch richtig, gibt es doch ’Ver¨anderung‘ niemals ’an sich‘ sondern nur ’in Bezug auf etwas‘. Hier interessiert uns der Fall, wenn F von x allein abh¨ angt, also eine Funktion F (x) vorliegt. Dann aber besagt (4.95): dF (x) = F ′ (x)dx. (4.101) Diese Gleichung liefert die Form aller Ver¨ anderungsm¨oglichkeiten von F , wenn F nur in Abh¨ angigkeit der Gr¨ oße x gesehen wird. Daher heißt das Differential dF in (4.101) auch vollst¨ andig. Diese Sehweise k¨ onnen wir unmittelbar auf (4.95) im Hinblick auf (4.94) u ¨ bertragen: (4.95) beschreibt die Form aller Ver¨anderungsm¨oglichkeiten dF der Gr¨ oße F , wenn diese von den Gr¨ oßen xj , j = 1, . . . , N abh¨angt. Die Ver¨ anderung einer Gr¨ oße F unterstellt Abh¨angigkeiten. F¨ ur F (x) (Abh¨ angigkeit von einer weiteren Gr¨ oße) gilt (4.101). Im Falle F (u, v) (Abh¨angigkeit von zwei weiteren Gr¨ oßen) jedoch ist dF (u, v) =

∂F ∂F (u, v)du + (u, v)dv ∂u ∂v

usw. So h¨ angt die ’totale Ver¨ anderung‘ einer Gr¨oße (erwartungsgem¨aß) zuerst von der Anzahl der ins Auge gefassten Abh¨ angigkeiten ab! 4.5.6 Vollst¨ andiges Differential bei Abh¨ angigkeit von nur einer Gr¨ oße Man begegnet h¨ aufig dem vollst¨ andigen Differential dF einer Gr¨oße F bez¨ uglich der Gr¨ oße x in der Form dF = g(x)dx. (4.102) Hier bezeichnet g eine reellwertige Funktion definiert auf dem Messintervall Ix von x: g : Ix → R. Dann wird F als Funktion F (x) in Abh¨ angigkeit von x gesehen, und (4.102) bedeutet dx(τ ) dF (x(τ )) = g(x(τ )) , τ ∈ Iτ := [aτ , bτ ] (4.103) dτ dτ f¨ ur irgendeine Funktion x(τ ) : Iτ → Ix , differenzierbar in Iτ .

(4.104)

4.5 Ver¨ anderungsrate einer Gr¨ oße: vollst¨ andiges Differential

135

Beachte, dass ein Weg (oder eine Kurve) im eindimensionalen Raum R1 durch eine Funktion (4.104) festgelegt ist (vgl. (4.93)). Geometrisch geschieht nur etwas auf einem Teil einer Geraden: Die Bewegung der Funktionswerte (4.104) in der Bildmenge Ix , die ja einen Strich darstellt! Ist x(τ ) monoton, so wird das Geradenst¨ uck genau einmal durchlaufen. Kehren wir aber zur Gleichung (4.103) zur¨ uck. Gleichzeitig muss dF (x(τ )) dx(τ ) = F ′ (x(τ )) , τ ∈ Iτ dτ dτ

(4.105)

bei differenzierbarem F gelten, so dass (4.103) und (4.105) sofort g(x(τ ))

dx(τ ) dx(τ ) = F ′ (x(τ )) , τ ∈ Iτ dτ dτ

(4.106)

f¨ ur alle Funktionen (4.104) nach sich ziehen. Unter diesen Funktionen gibt es sicher solche, bei denen die Ableitung nach dem Parameter τ nicht verschwindet, so dass wir in (4.106) dividieren d¨ urfen und g(x) = F ′ (x) f¨ ur alle x ∈ Ix

(4.107)

erhalten. Integration von x(aτ ) nach x(bτ ) liefert F (x(bτ )) − F (x(aτ )) =

#

x(bτ )

F ′ (x)dx =

x(aτ )

#

x(bτ )

g(x)dx.

x(aτ )

Mit irgendeiner Stammfunktion G f¨ ur g findet man sofort die Gleichung F (x(bτ )) − F (x(aτ )) = G(x(bτ )) − G(x(aτ )).

(4.108)

Werden noch Anfangs- und Endpunkte der Kurve x(τ ), τ ∈ Iτ = [aτ , bτ ] (vgl. (4.104)) mit xA := x(aτ ), xE := x(bτ ) bezeichnet, so erf¨ahrt die Gr¨oße F auf ihrem Wege nach (4.108) die Ver¨ anderung F (xE ) = F (xA ) + G(xE ) − G(xA ).

(4.109)

Aus der Form (4.102) des vollst¨ andigen Differentials dF kann die Abh¨angigkeit F (x) gem¨ aß (4.109) mit Hilfe einer Stammfunktion f¨ ur g(x) rekonstruiert werden. Zum Abschluss zur Thermodynamik: Dort findet man f¨ ur die Entropie S eines Gases bei konstanter Temperatur T (vgl.[2]) die Gleichung dS =

P · dV, T

(4.110)

136

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

welche schon fast die Gestalt (4.102) besitzt. Wegen P V = RT

(4.111)

ist

P R = (4.112) T V tats¨ achlich eine Funktion von V allein, und (4.110) erh¨alt die Gestalt g(V ) =

dS = g(V )dV

(4.113)

wie (4.102) verlangt (beachte die Funktion (4.112)). Gesucht ist eine Stammfunktion G f¨ ur (4.112): G(V ) = R ln(V ). Dann sagt (4.109), dass der Zusammenhang   VE S(VE ) = S(VA ) + R ln (4.114) VA zwischen der Entropie S und dem Volumen V am Anfang und am Ende des Weges bestehen muss. ¨ Man schreibt nun gern den Ubergang von der Form (4.110) zur Abh¨angigkeit (4.114) ’invariant‘ hin, indem man die obigen Schl¨ usse, welche (4.110) in (4.114) u uhren, durch die Sequenz ¨berf¨ dS = $ SE SA

dS =

P T

$ VE

dV =

R dV VA V

R V dV,

= R ln

SE − SA = R ln



VE VA





VE VA



,

(4.115)

ersetzt. Dies ist eine formale Rechnung, welche den Weg u ¨ber die Auswahl einer allgemeinen Kurve unterdr¨ uckt. 4.5.7 Vollst¨ andiges Differential bei Abh¨ angigkeit von zwei Gr¨ oßen: Potentiale Gegeben seien drei Gr¨ oßen F , u und v, sowie die Abh¨angigkeit F (u, v) : D ⊂ R2 → R.

(4.116)

Das totale Differential von F (bez¨ uglich u und v) sei durch dF (u, v) = g1 (u, v) · du + g2 (u, v) · dv

(4.117)

mit zwei reellen Funktionen g1 (u, v), g2 (u, v) definiert auf D gegeben. Gleichzeitig muss

¨ 4.6 Ubungsaufgaben

137

∂F ∂F (u, v)du + (u, v)dv ∂u ∂v bestehen. Wie in Abschnitt 4.5.6 folgt nun dF (u, v) =

g1 (u, v) =

∂F ∂u (u, v),

g2 (u, v) =

∂F ∂v

(u, v) f¨ ur (u, v) ∈ D

(4.118)

oder: grad F (u, v) = (g1 (u, v), g2 (u, v)). Wegen der zweiten Zeile von (4.118) heißt F ein Potential des Vektorfeldes (g1 (u, v), g2 (u, v)), (u, v) ∈ D.

(4.119)

Offenbar besteht die Integrabilit¨ atsbedingung  2  ∂2F ∂g1 ∂ F ∂g2 (u, v) = (u, v) = (u, v) = (u, v), (u, v) ∈ D. ∂v ∂v∂u ∂u∂v ∂u Unter sehr allgemeinen Annahmen, welche in den Anwendungen ’stets‘ erf¨ ullt sind, hat ein Feld (4.119) ein Potential, falls die Integrabilit¨atsbedingung zutrifft.

¨ 4.6 Ubungsaufgaben 4.6.1 Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher ¨ Ubung 45. Gegeben sei die Funktion f (x, y) =

2x , x, y ∈ R. 1 + y2

(a) Skizziere die beiden reellen Funktionen g(x), h(y), die entstehen, wenn man einer der beiden Variablen den Wert 1 zuordnet und f bzgl. der anderen Variablen betrachtet. Wie lauten die analytischen Ausdr¨ ucke der Funktionen g, h? (b) Fertige eine qualitative Skizze der Menge aller Punkte (x, y) ∈ R2 an, f¨ ur die f (x, y) = 5 gilt. ¨ Ubung 46. Finde jeweils einen analytischen Ausdruck f¨ ur vier durch die Gleichung exp(1 + x2 ) = (t + 2)(t − 1) implizit gegebene differenzierbare Funktionen. Diskutiere den maximalen Definitionsbereich dieser Funktionen in den reellen Zahlen. Verdeutliche die Definitionsbereiche durch eine Skizze.

138

4 Beschreibung von Vorg¨ angen mit mehr als einer unabh¨ angigen Variablen

¨ Ubung 47. (a) Bestimme Gradient und maximalen Definitionsbereich in der (u, v)-Ebene von ln(u2 + v + 1) . g(u, v) = u+7 (b) Wir betrachten die Funktion f (x, y) = x exp(xy) − y 2 . Berechne alle Punkte (¯ x, y¯) ∈ R2 , welche grad f (¯ x, y¯) = 0 erf¨ ullen. ¨ Ubung 48. Gegeben sei die Funktion f (x, y, z) := exp(xy + z 3 ) − y, (x, y, z) ∈ R3 . (a) Berechne den Gradienten von f sowie die zweite partielle Ableitung fxz . (b) Bestimme das Taylor Polynom vom Grad 1 an der Stelle (¯ x, y¯, z¯) = (0, 1, 0) zu f . (c) Es sei g(x) := f (x, 2, 0). Bestimme das Taylor Polynom vom Grad 2 an der Stelle x¯ = 1 zu g. 4.6.2 Vollst¨ andige Differentiale ¨ Ubung 49. Welche Abh¨ angigkeit der Gr¨ oßen x und y folgt aus der Forderung y dx = x dy? ¨ Ubung 50. Das vollst¨ andige Differential der Gr¨ oße η sei durch dη = (2x2 + 3x3 )dx gegeben. Um welchen Zusammenhang zwischen η und x handelt es sich? ¨ Ubung 51. u, v, w seien drei Gr¨ oßen. Welche Abh¨ angigkeit von du, dv und dw besteht, falls durchweg u2 + 3uvw + w3 u = 0 festgestellt wird?

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

5.1 Das Geschehen in diesem Kapitel ¨ Ausgangspunkt der folgenden Uberlegungen ist ein Datensatz si , yi , i = 1, . . . , d

(5.1)

aus einem Experiment f¨ ur einen Naturvorgang: Zu jedem Wert si der Gr¨oße s m¨ oge genau ein Wert yi der Gr¨ oße y geh¨ oren. Dieser Zusammenhang yi = q(si ), i = 1, . . . , d

(5.2)

soll m¨ oglichst gut aus den Daten (5.1) rekonstruiert werden. Dazu ben¨otigt man eine Familie (5.3) F (s, x1 , . . . , xp ) : s ∈ R → R reeller Funktionen, innerhalb derer die Rekonstruktion geschehen soll. Jede dort vorhandene Funktion ist durch genau einen Parametersatz (x1 , . . . , xp ) ∈ Rp festgelegt. So begegnet der Geschwindigkeitsausdruck p = 3 : q(s) =

x1 up (s, x2 , x3 ) , x1 ≥ 0, x2 > 0, 1 + x2 up (s, x2 , x3 )

1 4s 1 + x3 2up (s, x2 , x3 ) = s − η + (s − η)2 + , η := , x3 ≥ 0 x2 x2

(5.4)

eines bindeproteinabh¨ angigen Transportsystems in Zellen [35]. Es handelt sich um eine Theoriefunktion, deren Parameter (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 die biologischen Gr¨ oßen Vmax , KM und K bestimmen: Vmax =

x1 1 x3 + 2 , KM = , K= . x2 x2 2x2

140

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

Es bedeuten Vmax die maximale Transportgeschwindigkeit und KM den Fußpunkt s > 0 mit Vmax q(KM ) = . 2 Schließlich regelt K die Effizienz des Teiltransportes aus dem Periplasma durch die innere Membran in das Zellinnere: Messdaten u ¨ ber den Gesamttransport erm¨ oglichen mit Hilfe von K einen Einblick in einen Teilschritt des ganzen Transportgeschehens! Soll K aus einem Transportexperiment ermittelt werden, so ist eine Funktionenfamilie (5.3) zu verwenden, deren Parameter die Bestimmung von K erlauben, z.B. F (s, x1 , x2 , x3 ) =

x1 up (s, x2 , x3 ) 1 + x2 up (s, x2 , x3 )

(5.5)

mit up (s, x2 , x3 ) aus der zweiten Zeile von (5.4). Es kann aber auch vorkommen, dass von der Abh¨angigkeit (5.2) nur ein Funktionswert q(¯ s) oder die Ableitung q ′ (¯ s) verlangt wird (ein Sonderfall tritt im Unterabschnitt 5.6.4 auf). Dann mag die Rekonstruktion von q in einer frei gew¨ ahlten Funktionenfamilie (5.3) erfolgen: z.B. als Polynom F (s, x1 , . . . , xp ) =

p


sp−j xj ,

(5.6)

j=1

dessen Koeffizienten an die Messungen (5.1) angepasst gew¨ahlt werden. Zur Betonung: Der Ansatz (5.6) ist im Falle des Transporters (5.4) ungeeignet, die Konstante K zu bestimmen. Das wird anders, wenn nur Vmax und KM gesucht sind: Eine Rekonstruktion (5.3), zu der SF > 0 und Fmax mit ur 0 < s, 2F (SF ) = Fmax 0 < F (s, x1 , . . . , xp ) ≤ Fmax f¨ existieren, wird ausreichende Approximationen Vmax ∼ Fmax , KM ∼ SF liefern. Hier gen¨ ugt eine lineare Abh¨ angigkeit F (s, x1 , . . . , xp ) =

p 

ϕi (s)xi ,

i=1

(5.7)

ϕj : R → R, j = 1, . . . , p, welche etwas allgemeiner gehalten ist als (5.6). Man versucht eine Rekonstruk¨ tion des wahren Zusammenhangs q aus (5.2) durch die lineare Uberlagerung aus p reellen Funktionen ϕ1 , . . . , ϕp mit den Gewichten x1 , . . . , xp , den Parametern.

5.2 Rekonstruktion

141

Die folgenden Abschnitte behandeln den Ansatz (5.7) zur Rekonstruktion von q(s). Die Parameter x = (x1 , . . . , xp ) sollen so gew¨ahlt werden, dass die Fehlerquadratsumme d

h(x) :=

p


1
ϕi (sj )xi )2 (yj − 2 j=1 i=1

m¨ oglichst klein wird, die Daten sich m¨ oglichst gut auf dem Graphen des L¨ osungsausdrucks (5.7) versammeln. In diesem Zusammenhang liefert die Darstellung 2(h(u) − h(v)) = Φ(u − v)2 + 2(ΦT Φv − ΦT y, u − v)

(5.8)

¨ einen vollst¨ andigen Uberblick u osungen ¨ber alle Minimall¨ ur alle x ∈ Rp u ∈ Rp : 0 ≤ h(u) ≤ h(x) f¨

(5.9)

und f¨ uhrt zu einem numerischen Verfahren, alle u ∈ Rp mit (5.9) zu finden. ¨ Die theoretischen Uberlegungen in den folgenden Abschnitten sind auf das Verst¨ andnis von (5.8) abgestellt. Es erfordert die Einf¨ uhrung grundlegender Konzepte der linearen Algebra: Vektoren, Matrizen, inneres Produkt und Norm, lineare Abbildungen des Rp in den Rd . So bleibt die Bedeutung von (5.8) ohne diese Grundkenntnisse unklar. Wie an jeder Stelle in diesem Text sollen mathematische Konzepte nur dann zur Sprache kommen, wenn der biologische Inhalt danach verlangt: (5.8) aber schließt das tiefere Verst¨ andnis f¨ ur das geschilderte Minimierungsvorhaben auf, welches seinerseits das allenthalben auftretende Bed¨ urfnis nach Rekonstruktion von Naturvorg¨ angen f¨ ordert. Andererseits fordert (5.8) die linearen Konzepte, welche nun zusammengestellt werden sollen. Zum Lernziel: Verst¨ andnis f¨ ur den Einsatz linearer Rekonstruktion, f¨ ur den Sinn und den Anwendungsbereich dieser Ideen in der Biologie. Die Einsicht, dass lineare Konzepte n¨ otig sind, um hier Klarheit zu erhalten.

5.2 Rekonstruktion 5.2.1 Geschwindigkeit der Michaelis-Menten-Reaktion Wir betrachten einen Michaelis-Menten-Prozess, welcher ein Substrat X in ein Produkt P mit Hilfe eines Enzyms E0 umsetzt. Die Basisreaktion am Enzym selbst beschreibt die Ligendenbindung X + E0 ⇋ E1 .

142

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

Wir erinnern an ihre Charakteristik Y1 (x) =

K0 x 1 + K0 x

(5.10)

(vgl. 2.6.6). Dabei bezeichnen x die Konzentration des angebotenen Substrats X und K0 eine Reaktionskonstante. Genauer handelt es sich um die Assoziationskonstante, weil bei großem Wert f¨ ur K0 die oben angegebene Reaktion mehr auf der rechten Seite (also auf der Seite des Komplexes E1 ) zu finden ist. Demgegen¨ uber bezeichnet man mit KD :=

1 K0

die Dissoziationskonstante, welche offenbar sehr klein ausf¨allt, wenn die Assoziationskonstante sehr groß angesetzt wird. Die KD dient dem Biologen als Beurteilung der Affinit¨ at des Substrats X zum Enzym E0 . Offenbar k¨onnen wir (5.10) auch mit Hilfe der Dissoziationskonstanten gem¨aß Y1 (x) =

x KD + x

(5.11)

schreiben. Der vollst¨ andige Michaelis-Menten-Prozess folgt dem Reaktionsnetzwerk X + E0 ⇋ E1 ⇀ E0 + P. Nun wird die Produktbildung ber¨ ucksichtigt. Man erkennt das Netzwerk der Ligandenbindung im vorderen Teil der Kette. Die Geschwindigkeit v der Entstehung von P h¨ angt von der Konzentration x der Substratvorgabe X ab. ¨ Eine genauere theoretische Uberlegung liefert den analytischen Ausdruck v(x) =

vmax x KM + x

(5.12)

mit zwei Konstanten vmax > 0, KM > 0. Die KM spielt f¨ ur den MichaelisMenten-Prozess die Rolle der KD bei der Ligandenbindung. Den Zusammenhang (5.12) kann man durch Invertieren in die lineare Abh¨angigkeit KM 1 1 1 = · + v vmax x vmax

(5.13)

u uhren, so dass durch die Setzung der neuen Variablen ¨ berf¨ s=

1 1 , y= x v

und die Einf¨ uhrung der neuen Konstanten

(5.14)

5.2 Rekonstruktion

u1 =

143

KM 1 , u2 = vmax vmax

(5.15)

y = u1 s + u2

(5.16)

die lineare Beziehung entsteht. Die Gr¨ oßen x und v k¨ onnen gemessen werden. Nach d Messungen liegt eine Reihe von Paaren xj , vj , j = 1, . . . , d (5.17) vor. Gem¨ aß (5.14) sind dann auch die fiktiven Messungen sj =

1 1 , yj = , j = 1, . . . , d xj vj

(5.18)

bekannt und m¨ ussen wegen (5.16) im Idealfall auf einer Geraden liegen. Tats¨ achlich sind (x, v)-Messungen immer fehlerbehaftet und werden in einem (s, y)-Koordinatensystem nur ungef¨ ahr auf einer Geraden versammelt. Dann aber kann man auf den Achsen die Konstanten (vgl. (5.15)) 1 , vmax

1 KM

direkt ablesen: Die Achsenabschnitte der Geraden (5.16) lauten n¨amlich y − Achse (s = 0) : y = u2 = s − Achse (y = 0) : s = −

1 vmax

,

u2 1 =− . u1 KM

Die Darstellung in der (s, y)-Ebene heißt Lineweaver-Burk-Diagramm der (x, v)-Messungen (vgl. [2] und [25]). Es sei hier erw¨ahnt, dass die Messungen (5.17), welche in einem Lineweaver-Burk-Diagramm nicht ungef¨ahr auf einer Geraden liegen, auch nicht gem¨ aß (5.12) zusammenh¨angen k¨onnen! 5.2.2 Rekonstruktion einer Funktion Im einleitenden Abschnitt 5.1 wird schon darauf hingewiesen, dass ein großer Anwendungsbereich des linearen Ansatzes (5.7) f¨ ur Daten (5.1) dann vorliegt, wenn es darum geht, die wahre Abh¨ angigkeit yj = q(sj ), j = 1, . . . , d

(5.19)

m¨ oglichst gut aus den Messungen zu rekonstruieren. Dann beschreibt (5.7) ¨ q(s) als lineare Uberlagerung durch Ansatzfuntionen

144

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

ϕj : [sA , sE ] → R, j = 1, . . . , p,

(5.20)

von denen jede charakteristische Eigenschaften von q haben sollte. Die gesuchten Parameter x = (x1 , . . . , xp ) definieren dabei das Gewicht der Funktionen (5.20) am vollen Geschehen q(s).

Solche Rekonstruktionen dienen dazu, einen Funktionswert q(¯ s) oder einen s) zu approximieren. Sie k¨onnen auch dabei helfen, das Ableitungswert q ′ (¯ Integral # sE

q(s)ds

sA

zu bestimmen oder einfach den Kurvenverlauf s → q(s) zu veranschaulichen, um etwa sigmoides Verhalten sichtbar zu machen. So sucht man die Zeit t¯ ≥ 0 mit der maximalen Ver¨ anderungsrate q( ˙ t¯) = Max{q(t) ˙ : t ≥ 0} f¨ ur q. Das Interesse an t¯ ≥ 0 tritt bei Transportexperimenten von Substrat in eine Zelle auf. Der Wert q( ˙ t¯) wird u ¨ ber eine Rekonstruktion von q(t) aus Messungen tk , qk ≈ q(tk ), k = 1, . . . , d

gewonnen. Ein Ansatz (5.7) liefert den gesuchten Wert q( ˙ t¯) in der rekonstruierten Form p
¯ ϕ′j (t¯)xj . q( ˙ t) = j=1

Dieses Thema wird in Abschnitt 5.6 behandelt. 5.2.3 Lineare Theoriefunktion Die biologische Fragestellung der Bestimmung von vmax und KM aus den Messungen (5.18) gibt Anlass zu folgender Aufgabe: Gegeben seien Messungen sj , yj , j = 1, . . . , d

(5.21)

und ein Zusammenhang gem¨ aß yj = F (sj , u1 , u2 ), j = 1, . . . , d.

(5.22)

Die gesuchten Parameter fassen wir als Komponenten des Vektors u = ussen wegen (5.16) die Funktion F in (5.22) in der (u1 , u2 ) ∈ R2 auf und m¨ Form (5.23) F (s, u) = u1 s + u2

5.2 Rekonstruktion

145

schreiben. Dann verlangt (5.22), dass alle Messpunkte (5.21) auf der Geraden (5.16) liegen. Man bezeichnet F (s, u) aus (5.23) als Theoriefunktion zu den Daten (5.21). Bisher wird der Datenausgleich am Leitfaden einer Theorie mit nur zwei gesuchten Parametern u1 und u2 beschrieben. Liegen p Parameter x = (x1 , . . . , xp ) ∈ Rp wie in 5.2.2 vor, so lautet die Theoriefunktion zum allgemeinen, linearen Ausgleich der Daten (5.21) so: p F (s, x) = j=1 ϕj (s)xj , (5.24) ϕj : [sA , sE ] ∈ R → R. Man erh¨ alt den Sonderfall (5.23) f¨ ur p = 2 : ϕ1 (s) = s, ϕ2 (s) = 1 f¨ ur s ∈ R zur¨ uck. Im allgemeinen Fall (5.21), (5.24) lautet die zu (5.22) analoge Forderung p
ϕj (sk )xj , k = 1, . . . , d. (5.25) yk = F (sk , x) = j=1

Die Funktion (5.24) ist bei festem Parametersatz x ∈ Rp in s keine Gerade in der Ebene, gleichwohl definiert F (s, x) f¨ ur festes s in jeder Unbekannten xj eine lineare Funktion. 5.2.4 (d, p)-Matrizen

Die bisher beschriebene Situation gibt Anlass f¨ ur einen Einstieg in Grundlagen der linearen Algebra. Die unter der Summe auf der rechten Seite von (5.25) auftretenden Gr¨ oßen ϕj (sk ) werden in einem Schema ⎡ ⎤ ϕ1 (s1 ) . . . ϕp (s1 ) ⎢ ϕ1 (s2 ) . . . ϕp (s2 ) ⎥ ⎥ Φ=⎢ (5.26) ⎣ ... ... ... ⎦ ϕ1 (sd ) . . . ϕp (sd )

zusammengefasst. Es handelt sich um eine (d, p)-Matrix mit reellen Elementen Φij = ϕj (si ), i = 1, . . . , d, j = 1, . . . , p. Jede Ansammlung reeller Zahlen Aij ∈ R, i = 1, . . . , d, j = 1, . . . , p

146

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

f¨ ur ein d ∈ N und ein p ∈ N definiert die Elemente einer reellen (d, p)-Matrix ⎡ ⎤ A11 A12 . . . A1p ⎢ A21 A22 . . . A2p ⎥ ⎥ A=⎢ (5.27) ⎣ ... ... ... ... ⎦ . Ad1 Ad2 . . . Adp

A besteht aus den d-Zeilen und den p-Spalten

⎡

⎤ A1k ⎢ ⎥ i-te Zeile von A : [Ai1 , . . . , Aip ], k-te Spalte von A : ⎣ ... ⎦ ,

(5.28)

Adk

so dass man den ersten Index i der Elemente Aij als Zeilenindex und das j als Spaltenindex bezeichnet: AZeile,Spalte . 5.2.5 Matrixmultiplikation Welchen Vorteil ziehen wir aus der Matrix (5.26) im Hinblick auf die Konstruktion von geeigneten Parametern x zum Ausgleich der Daten (5.21) im Sinne von (5.25)? Dazu das Konzept der Multiplikation zweier Matrizen A und B: Diese Operation ist nur m¨ oglich, wenn A (d, p)-reihig, B (p, q)-reihig

(5.29)

sind, weil dann alle Summen p


Aiσ Bσj , i = 1, . . . , d, j = 1, . . . , q

(5.30)

σ=1

existieren. Diese versammelt man in einer (d, q)-Matrix, die mit AB bezeichnet wird. Man findet mit (5.30) sofort die Eintragungen (AB)ij :=

p


Aiσ Bσj , i = 1, . . . , d, j = 1, . . . , q.

σ=1

Jeder Vektor x ∈ Rp wird als Matrix mit nur einer Spalte ⎡ ⎤ x1 ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ .. ⎥ (p, 1)-reihige Matrix ⎣ . ⎦ xp

verstanden, so dass die Multiplikation

(5.31)

5.2 Rekonstruktion

147

Ax : (d, p)-reihig · (p, 1)-reihig = (d, 1)-reihig vorgenommen werden kann. Es ist d

Ax ∈ R : (Ax)j =

p


σ=1

Ajσ xσ f¨ ur x ∈ Rp ,

(5.32)

wenn (5.31) verwendet wird. Im Falle der (d, p)-reihigen Matrix Φ aus (5.26) besteht offenbar (Φx)i =

p


σ=1

Φiσ xσ =

p


ϕσ (si )xσ = F (si , x), i = 1, . . . , d.

(5.33)

σ=1

Damit ist die lineare Theoriefunktion (5.24) u ¨ber die Matrix (5.26) beschrieben. Fassen wir die y-Messungen aus (5.21) in dem Vektor ⎡ ⎤ y1 ⎢ ⎥ y = ⎣ ... ⎦ ∈ Rd yd

zusammen, so verlangt (5.25) die Darstellung dieses Vektors gem¨aß Φx = y

(5.34)

durch den Parametervektor x (vgl. 5.3.1 f¨ ur die Definition der Gleichheit zweier Vektoren). Er ist — wenn es ihn u ¨ berhaupt in Rp gibt — L¨osung des linearen Gleichungssystems (5.34). Der R¨ uckblick auf die spezielle Ausgangssituation p = 2 : ϕ1 (s) = s, ϕ2 (s) = 1 liefert die Matrix

⎡

s1 , ⎢ s2 , ⎢ Φ=⎢ . ⎣ ..

⎤ 1 1⎥ ⎥ .. ⎥ (d, 2)-reihig .⎦

(5.35)

sd , 1

und die linke Seite

⎡

⎡ ⎤ ⎤ s1 , 1 s1 x1 + x2   ⎢s , 1⎥  ⎢s x + x ⎥ 2⎥ x ⎢ 2 ⎥ x ⎢ 2 1 Φx = Φ 1 = ⎢ . . ⎥ 1 = ⎢ ⎥ .. x2 ⎣ .. .. ⎦ x2 ⎣ ⎦ . sd , 1

sd x1 + x2

(5.36)

148

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

das Gleichungssystem (5.34). Man erkennt, dass (5.34) deutlich mehr Gleichungen als Unbekannte besitzt. Das muss auch so sein, weil die m¨oglichst vielen Daten (5.21) durch m¨ oglichst wenige Parameter x repr¨asentiert werden sollen. Im g¨ unstigen Fall wird man 1 ≤ p << d

(5.37)

finden. ¨ Ubung 52. Berechne Ax, BA, B(Ax), (BA)x f¨ ur ⎤ ⎡ 123 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎢0 7 5⎥ 7 00256 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎣ 0⎦ . 1 1 2 2 3 1 0 0 , x = , B = A=⎢ ⎥ ⎣3 7 6⎦ 55000 5 222

5.3 Geometrie und lineare Abbildungen im RN 5.3.1 Fehlerquadratsumme Ausgangspunkt ist ein Datensatz (5.21) mit einer Theoriefunktion (5.24). Damit ist das Gleichungssystem (5.25) oder in Matrixform (5.34) zu l¨osen. Dieses System hat deutlich mehr Gleichungen als Unbekannte und wird im Allgemeinen keine L¨ osung zulassen. Daher betrachtet man lieber die Fehler yj − F (sj , x) = yj − (Φx)j = (y − Φx)j , j = 1, . . . , d oder ihre Summe

d
(y − Φx)j . j=1

Eine naheliegende Idee besteht darin, die Fehlersumme m¨oglichst klein zu halten. Wegen der Ausl¨ oschung verschiedener Fehler ist man besser beraten, die Summe der Fehlerquadrate d
j=1

(y − Φx)2j

zu minimieren. Aus technischen Gr¨ unden, welche im Laufe der Diskussion offensichtlich werden, geht man zur Fehlerquadratsumme d

h(x) :=

1
(y − Φx)2j 2 j=1

(5.38)

5.3 Geometrie und lineare Abbildungen im RN

149

u ¯ ∈ Rp zu finden, so dass ¨ ber und versucht einen Vektor x 0 ≤ h(¯ x) ≤ h(x) f¨ ur alle x ∈ Rp

(5.39)

besteht. Dann w¨ are gew¨ ahrleistet, dass der spezielle Vektor x ¯ wenigstens gegen¨ uber allen anderen dadurch ausgezeichnet ist, dass seine Fehlerquadratsumme unter allen anderen Summen dieser Art liegt. h(¯ x) heißt auch Minimalabweichung. Die Forderung (5.39) l¨ asst m¨oglicherweise mehrere Vektoren zu, welche die Fehlerquadratsumme minimieren. Dies wird anders, wenn man sch¨ arfer als (5.39) sogar fordert 0 ≤ h(¯ x) < h(x) f¨ ur alle x ∈ Rp , x = x¯.

(5.40)

Zun¨ achst eine Klarstellung: F¨ ur zwei Vektoren u, v ∈ RN besteht definitionsgem¨ aß die Implikation u = v ⇔ uj = vj , j = 1, . . . , N. Hierdurch ist die Gleichheit zweier Vektoren festgelegt: Gleichheit bedeutet ¨ Ubereinstimmung aller Komponenten! Die Fehlerquadratsumme (5.38) gibt Anlass zur Definition N
(5.41) u2j , u ∈ RN . u2 := j=1

Man nennt u die Norm des Vektors u ∈ RN . Mit (5.41) nimmt die Fehlerquadratsumme (5.38) die Gestalt 2h(x) = y − Φx2 , x ∈ Rp

(5.42)

an. Zur Interpretation von (5.42) ben¨ otigt man weitere Vorstellungen u ¨ ber Geometrie im RN . Dazu die n¨ achsten Unterabschnitte. 5.3.2 Abstand, inneres Produkt Zun¨ achst sind Summe u + v und Produkt αu f¨ ur irgendein reelles α und Vektoren u, v ∈ RN zu definieren. Dies geschieht durch Angabe der Komponenten von beiden Konstrukten. Genauer setzt man (u + v)j := uj + vj , (αu)j := αuj , j = 1, . . . , N.

(5.43)

Beide Operationen sind komponentenweise erkl¨art: Man addiert entsprechende Komponenten bzw. multipliziert sie mit der Konstanten α ∈ R. Dazu die ¨ Ubung 53. Berechne: (1, 2, 3) + (0, 2.5, −1.5), 10 · (6, 3, 8, 5.5).

150

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

Die Norm u gegeben durch (5.41) hat drei zentrale Eigenschaften: zun¨achst u ≥ 0,

(5.44)

u = 0 ⇔ uj = 0 f¨ ur j = 1, . . . , N (verwende (5.41)) und danach αu = |α| u f¨ ur u ∈ RN , α ∈ R.

(5.45)

Eine leichte Rechnung αu2 =

N


(αu)2j =

N
j=1

j=1

α2 u2j = α2

N
j=1

u2j = α2 u2

√ α2 = |α| beachtet wird. Schließlich gilt die

f¨ uhrt direkt zu (5.45), wenn Dreiecksungleichung

u + v ≤ u + v.

(5.46)

Im Sonderfall N = 2 : u = (u1 , u2 ) ∈ R2 besteht die Abb. 5.1 in der Ebene: Der durch die Komponenten des Vektors

u2 (Länge der Diagonale)2= u21 + u22 u

1

Abb. 5.1. Geometrische Interpretation der Norm im R2

u bezeichnete Punkt hat den in der Zeichnung angegebenen Abstand vom Nullpunkt, also (L¨ ange der Diagonale)2 = u2 . Dieser Abstand repr¨ asentiert die Norm des Vektors in der Ebene Norm von u := L¨ ange der Diagonale = u.

5.3 Geometrie und lineare Abbildungen im RN

151

¨ Ubung 54. Best¨ atige die Dreiecksungleichung f¨ ur u(1) = (2, 5, 7), u(2) = (−3, 0, 5, 5, 6),

v (1) = (−3, 0, −6), v (2) = (1, −6, 3, 7, 4).

Nun zum Konzept des inneren Produktes zweier Vektoren u, v ∈ RN . Es wird durch N
(u, v) := uj vj (5.47) j=1

festgelegt und ist

symmetrisch : (u, v) = (v, u), homogen : (αu, v) = α(u, v), α ∈ R, linear : (αu + βw, v) = α(u, v) + β(w, v), α, β ∈ R, w ∈ RN .

(5.48)

Die Symmetrie f¨ allt durch die Definition (5.47) unmittelbar ins Auge, und die Homogenit¨ at rechnet man gem¨ aß


(αu, v) = uj vj = α(u, v) αuj vj = α (αu)j vj = j

j

j

leicht nach. Die beiden mittleren Schritte verwenden (5.43). Schließlich zur Linearit¨ at: Dazu aber die ¨ Ubung 55. Zeige, dass das innere Produkt linear im ersten Faktor ist. Genau genommen handeln die beiden letzten Eigenschaften in (5.48) nur vom ersten Faktor des inneren Produktes. Die Symmetrie erlaubt analoge Gleichungen auch f¨ ur den hinteren Faktor: homogen : (u, αv) = α(u, v), α ∈ R, linear : (u, αv + βw) = α(u, v) + β(u, w), α, β ∈ R, w ∈ RN .

(5.49)

Zum Einsatz der Symmetrie f¨ ur (5.49) sei die Homogenit¨at kurz vorgef¨ uhrt: (u, αv) = (αv, u) = α(v, u) = α(u, v). Ein analoges Argument sichert die Linearit¨ at. Der Zusammenhang des inneren Produktes mit der Norm und der Fehlerquadratsumme wird durch u2 = (u, u), 2h(x) = y − Φx2 = (y − Φx, y − Φx) hergestellt.

(5.50)

152

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

5.3.3 Matrix und lineare Abbildung Die Zeile (5.32) zeigt, dass eine (N1 , N2 )-Matrix A die Abbildung A : u ∈ RN2 → Au ∈ RN1

(5.51)

vermittelt. Wie das innere Produkt so ist auch diese Abbildung homogen : A(αu) = αAu, α ∈ R, linear : A(αu + βv) = αAu + βAv, α, β ∈ R, u, v ∈ RN2 .

(5.52)

Die Homogenit¨ at (αAu)j = α(Au)j = α

N2


Aji ui =

N2


Aji αui =

Aji (αu)i = (A(αu))j

i=1

i=1

i=1

N2


ist leicht nachgerechnet (verwende (5.32) und (5.43)). Die Linearit¨at folgt mit der Homogenit¨ at aus dem Sonderfall [A(u + v)]j =

N2


Aji (u + v)i =

i=1

=

N2
i=1

Aji ui +

N2


N2


Aji (ui + vi )

i=1

Aji vi = (Au)j + (Av)j = [Au + Av]j , j = 1, . . . , N1

i=1

mit (5.43). Das Ergebnis dieser Rechnung lautet zusammengefasst A(u + v) = Au + Av, u, v ∈ RN2 ,

(5.53)

wenn die Definition der Gleichheit zweier Vektoren nach 5.3.1 verwendet wird. ¨ Ubung 56. Zeige die Linearit¨ at gem¨ aß (5.52). 5.3.4 Transponierte Matrix Die Matrix A sei (N1 , N2 )-reihig. Die zu A geh¨orige transponierte Matrix AT hat die Elemente (AT )ij := Aji , j = 1, . . . , N1 , i = 1, . . . , N2

(5.54)

und ist (N2 , N1 )-reihig. Offenbar leistet die Transponierte die Abbildung AT : u ∈ RN1 → AT u ∈ RN2 ,

(5.55)

5.4 Lineare Datenanpassung: Ergebnisse der linearen Algebra

153

deren Definitionsbereich gerade die Bildmenge von A aus (5.51) und deren Bildmenge der Definitionsbereich jener Abbildung (5.51) ist. Die Transponierte setzt uns in den Stand, die Matrix A in (Av, u) f¨ ur v ∈ RN2 , u ∈ RN1

(5.56)

auf das hintere Argument her¨ uberzuw¨ alzen (Av, u) = (v, AT u) f¨ ur v ∈ RN2 , u ∈ RN1 .

(5.57)

Man u ¨ berlegt sich leicht, dass die inneren Produkte in (5.56) und (5.57) definiert sind, aber in verschiedenen R¨ aumen agieren: einmal im RN1 und einmal N2 im R . Die Aktion (5.57) wird durch folgende Rechnung best¨atigt: zun¨achst die Aufl¨ osung mit Hilfe der Komponenten (Av, u) =

N1


(Av)j uj =

j=1

j=1

=

N2 N1 

j=1

k=1

N2 N1 





Ajk vk uj

k=1

 
N2 
N1 Ajk uj vk Ajk vk uj = k=1

j=1

und dann unter Verwendung von Ajk = (AT )kj die neue Zusammenfassung =

N2 
N1
k=1

j=1

T



(A )kj uj vk =

N2


(AT u)k vk = (v, AT u).

k=1

Die erste Umrechnung benutzt den Tatbestand, dass man die Reihenfolge endlicher Summen vertauschen darf.

5.4 Lineare Datenanpassung: Ergebnisse der linearen Algebra 5.4.1 Kennzeichnung der Minimalabweichung Zur¨ uck zum Ausgangsproblem, der Anpassung erhobener Felddaten sj , yj , j = 1, . . . , d, ein d ∈ N an eine lineare Theoriefunktion  F (s, x) = pj=1 ϕj (s)xj , ein p ∈ N, ϕj : s ∈ [sA , sE ] → R.

Die (d, p)-Matrix

(5.58)

(5.59)

154

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

Φ : Φij = ϕj (si ), j = 1, . . . , p, i = 1, . . . , d legt die zugeh¨ orige Fehlerquadratsumme h(x) = 12 y − Φx2 mit y = (y1 , . . . , yd )T ∈ Rd ,

(5.60)

x = (x1 , . . . , xp )T ∈ Rp , 1 ≤ p ≪ d fest. Gesucht ist ein Parametervektor x¯ ∈ Rd , welcher die Fehlerquadratsumme im Sinne von 0 ≤ h(¯ x) ≤ h(x) f¨ ur alle x ∈ Rp

(5.61)

oder sogar 0 ≤ h(¯ x) < h(x) f¨ ur alle x ∈ Rp , x = x ¯ minimiert. Es ist keineswegs sicher, ob u ¨ berhaupt ein Minimierer x¯ des Parametersatzes existiert. Wenn dies der Fall sein sollte, k¨onnte es sogar mehrere solcher Vektoren geben. Seien x ¯, y¯ ∈ Rp , x ¯ = y¯ zwei verschiedene Minimierer, so m¨ ussen f¨ ur die Minimalabweichungen die beiden Ungleichungen h(¯ x) ≤ h(¯ y ), h(¯ y ) ≤ h(¯ x) bestehen: Gilt doch die erste Zeile in (5.61) einerseits f¨ ur x ¯ und x = y¯ und andererseits f¨ ur y¯ an Stelle von x¯ und x = x ¯. Beide Ungleichungen zusammen implizieren h(¯ x) = h(¯ y), also die Gleichheit der Minimalabweichungen zweier m¨oglicherweise verschiedener Minimierer! Vom mathematischen Standpunkt aus werden zwei verschiedene Minimierer — sollten sie existieren — nicht unterscheidbar sein. Hier m¨ ussten biologische Kriterien her, um den einen Minimierer gegen den anderen auszuspielen. Nun aber zur zentralen Darstellung der Fehlerquadratsumme in unserer Situation: F¨ ur je zwei Vektoren u, v ∈ Rp gilt n¨amlich die Identit¨at 2(h(u) − h(v)) = Φ(u − v)2 + 2(ΦT (Φv) − ΦT y, u − v).

(5.62)

Der Nachweis von (5.62) erfordert alle Konzepte, welche bisher in diesem Kapitel zusammengetragen worden sind. Zuvor aber zu den Konsequenzen aus (5.62): Sei n¨amlich ein Parametervektor v¯ gefunden, welcher das lineare Gleichungssystem ΦT (Φ¯ v ) = ΦT y

(5.63)

5.4 Lineare Datenanpassung: Ergebnisse der linearen Algebra

155

erf¨ ullt. Dann w¨ urde der erste Faktor ΦT (Φv) − ΦT y im inneren Produkt auf der rechten Seite von (5.62) lauter Nullkomponenten besitzen, und das innere Produkt selbst w¨ urde mithin verschwinden. Die Gleichung (5.62) besteht auf der rechten Seite nur noch aus einer Summe von Quadraten (einer Summe von nicht negativen Elementen, vgl. (5.41)) 2(h(u) − h(¯ v )) = Φ(u − v¯)2 ≥ 0 f¨ ur alle u ∈ Rp

(5.64)

oder h(u) ≥ h(¯ v ) f¨ ur alle u ∈ Rp . Damit ist die Ungleichung in der zweiten Zeile gewonnen, und jede L¨osung von (5.63) ist ein Minimierer der Fehlerquadratsumme, Motivation genug, nun den Argumenten zu folgen, welche auf die Darstellung (5.62) f¨ uhren! Zun¨ achst die Umrechnung 2h(u) = y − Φu2 = y − Φ(v + u − v)2 = y − Φv − Φ(u − v)2 = ([y − Φv] − Φ(u − v), [y − Φv] − Φ(u − v)), welche die Linearit¨ at im Sinne von (5.52) und die Definition der Norm u ¨ ber das innere Produkt gem¨ aß (5.50) verwendet. Nun treten die Rechenregeln (5.48), (5.49) f¨ ur das innere Produkt in Aktion, um 2h(u) = (y − Φv, y − Φv) − (y − Φv, Φ(u − v)) −(Φ(u − v), y − Φv) + (Φ(u − v), Φ(u − v)) zu schließen. Der letzte Schritt 2h(u) = 2h(v) − 2(y − Φv, Φ(u − v)) + Φ(u − v)2 = 2h(v) − 2(ΦT (y − Φv), u − v) + Φ(u − v)2

= 2h(v) − 2(ΦT y − ΦT (Φv), u − v) + Φ(u − v)2 schließlich verwendet (5.60) sowie die Symmetrie (5.48) des inneren Produktes. Dadurch entsteht die erste Formelzeile im letzten Block. Der Schritt zur zweiten und dritten Zeile zieht die Eigenschaft (5.57) der Transposition und deren Linearit¨ at (5.52) heran. Mit der letzten Gleichung im letzten Block sind wir am Ziel: Eine leichte Umordnung f¨ uhrt direkt auf (5.62). 5.4.2 Vollst¨ andige Beschreibung aller Minimierer Bleibt einzusehen, dass alle Minimierer (5.63) erf¨ ullen m¨ ussen, bleibt zu fragen, wann es genau einen Minimierer gibt, und bleibt schließlich die Art der Forderung (5.63) zu untersuchen. Gehen wir nacheinander vor und beginnen mit dem letzten Punkt: Φ ist

156

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

(d, p)-reihig und ΦT ist (p, d)-reihig. Wegen y ∈ Rd ist die rechte Seite ΦT y von (5.63) ein Vektor aus dem Rp . Dieselbe Reihenzahl ermittelt man f¨ ur die linke Seite, denn es gelten die Implikationen v¯ ∈ Rp ⇒ Φ¯ v ∈ Rd ⇒ ΦT (Φ¯ v ) ∈ Rp .

(5.65)

Die im Unterabschnitt 5.2.5 eingef¨ uhrte Multiplikation zweier Matrizen erlaubt die Bildung der (p, p)-reihigen Matrix ΦT Φ. Es soll nun ΦT (Φ¯ v ) = (ΦT Φ)¯ v

(5.66)

gezeigt werden. Dies identifiziert die Forderung (5.63) als lineares Gleichungssystem (ΦT Φ)¯ v = ΦT y (5.67) mit der quadratischen Matrix ΦT Φ der Reihenzahl p. Beachte, dass p die Anzahl der Parameter bezeichnet, also m¨ oglichst klein gehalten wird. Bei einem Ausgleich mit nur p = 2 Parametern w¨ urde (5.67) ein Gleichungssystem mit nur zwei linearen Gleichungen bedeuten. Gem¨ aß Unterabschnitt 5.2.5 f¨ uhrt p = 2 : ϕ1 (s) = s, ϕ2 (s) = 1 auf die Matrizen ⎡

⎤ 1 " ! d d 2 1⎥ ⎥ T j=1 sj j=1 sj . .. ⎥ , Φ Φ = d d .⎦ j=1 sj sd 1

s1 ⎢ s2 ⎢ Φ=⎢ . ⎣ ..

(5.68)

5.4.3 Assoziativit¨ at der Matrizenmultiplikation Die Gleichung (5.66) behauptet, dass die Ausf¨ uhrung der Multiplikation dreier Matrizen in beliebiger Reihenfolge geschehen kann, solange keine Vertauschungen der Faktoren stattfinden. Genauer handelt (5.66) von drei Matrizen A (q1 , q2 ) − reihig, B (q2 , q3 ) − reihig, C (q3 , q4 ) − reihig,

(5.69)

welche die Operationen AB (q1 , q3 )-reihig, (AB)C (q1 , q4 )-reihig, (5.70) BC (q2 , q4 )-reihig, A(BC) (q1 , q4 )-reihig zulassen. (5.66) ist der Sonderfall B = Φ, C = v¯ A = ΦT , (p, d)-reihig, (d, p)-reihig, (p, 1)-reihig.

(5.71)

5.4 Lineare Datenanpassung: Ergebnisse der linearen Algebra

157

Zur¨ uck zu (5.70): Folgende Summen entstehen bei der Berechnung der Elemente von Produkten dreier Matrizen: [(AB)C]ij =

[A(BC)]ij =

q3


Aiα Bασ Cσj ,

σ=1

q3
q2


σ=1 α=1

q2


q3 q2



Aiα Bασ Cσj ,

(AB)iσ Cσj =

Aiα (BC)αj =

α=1

α=1 σ=1

i = 1, . . . , q1 , j = 1, . . . , q4 . Es ist lediglich die Definition (5.31) f¨ ur die Elemente einer Produktmatrix benutzt. Endliche Summen sind aber vertauschbar, so dass obige Rechnung die Identit¨ aten [(AB)C]ij = [A(BC)]ij , i = 1, . . . , q1 , j = 1, . . . , q4

(5.72)

liefert. Damit ist die Multiplikation von Matrizen assoziativ: (AB)C = A(BC),

(5.73)

wenn man die Gleichheit zweier Matrizen E, F durch die Gleichheit entsprechender Elemente definiert: Eij = Fij f¨ ur alle Paare i, j. Der Sonderfall (5.71) besagt (ΦT Φ)v = ΦT (Φv) (p, 1)-reihig

(5.74)

wie in (5.66) benutzt. Dort entsteht das lineare Gleichungssystem (5.67) mit der (p, p)-reihigen Matrix ΦT Φ. 5.4.4 Eindeutiger Minimierer uber mehr am Ende Jeder Minimierer l¨ ost (5.67) mit der Matrix A = ΦT Φ: Dar¨ von 5.4.5! Seien u, v ∈ Rp zwei L¨ osungen von (5.67). Dann besteht wegen der Linearit¨ at die Implikation Av = ΦT y = Au ⇒ A(v − u) = Av − Au = ΦT y − ΦT y = 0.

(5.75)

Es gibt also zwei verschiedene L¨ osungen u, v oder (v − u) = 0 von (5.67), falls Ae = 0 f¨ ur ein e = 0

(5.76)

besteht. Andererseits liefert die Linearit¨ at Av = ΦT y, e = 0, Ae = 0 ⇒ A(v + e) = Av + Ae = Av = ΦT y.

(5.77)

158

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

Wegen v + e = v f¨ ur e = 0 besteht (5.76) genau dann, wenn (5.67) mindestens zwei verschiedene L¨osungen besitzt. Die Mehrdeutigkeit eines Minimierers ist also unmittelbar mit der Existenz mindestens eines von Null verschiedenen Vektors verkn¨ upft, welcher durch die Matrix A im Sinne von (5.76) auf den Nullvektor abgebildet wird. Im Falle A = ΦT Φ besteht weiter die Implikation ΦT Φe = 0 ⇒ Φe2 = (Φe, Φe) = (ΦT Φe, e) = (0, e) = 0,

(5.78)

welche die Regel (5.57) benutzt. Wegen (5.44) findet man daher eine Richtung der Implikation (5.79) ΦT Φe = 0 ⇔ Φe = 0. Die R¨ uckrichtung ⇐ besteht wegen Φe = 0 ⇒ ΦT Φe = ΦT 0 = 0. Das System (5.67) ist genau dann eindeutig l¨osbar, wenn Φe = 0 ⇔ e = 0

(5.80)

besteht. Ein Blick auf den Sonderfall p = 2 : ϕ1 (s) = s, ϕ2 (s) = 1 zeigt

⎡

(5.81)

⎡ ⎤ ⎤ s1 v1 + v2 1   ⎥ .. ⎥ v1 = ⎢ .. ⎣ ⎦ . ⎦ v2 . sd 1 sd v1 + v2

s1 ⎢ .. 0 = Φv = ⎣ .

f¨ ur (5.80). Dieses System verlangt

sj v1 + v2 = 0, j = 1, . . . , d.

(5.82)

Im n¨ achsten Schritt sei angenommen, dass zwei Indizes i und k existieren mit si = sk . Wegen (5.82) besteht insbesondere si v1 + v2 = 0, sk v1 + v2 = 0.

(5.83)

Substraktion liefert (si − sk )v1 = 0, so dass v1 = 0 und daran anschließend wegen (5.83) auch v2 = 0 folgt. Der bisher noch nicht diskutierte Fall lautet

5.4 Lineare Datenanpassung: Ergebnisse der linearen Algebra

s1 = s2 = · · · = sd =: s,

159

(5.84)

so dass (5.82) mit der einzigen Gleichung sv1 + v2 = 0 u ¨ bereinstimmt. Diese besitzt aber die unendlich vielen L¨ osungen (v1 , v2 = −sv1 ), auft und s = 0 ist. Damit besteht (5.80) wenn v1 durch alle reellen Zahlen l¨ im Falle von (5.81) in jeder biologisch sinnvollen Situation: Niemand wird bei einer Datenerhebung den Fall (5.84) ins Auge fassen! 5.4.5 Gradient von h(x) Welcher Art ist eigentlich die Forderung (5.63)? Die letzte Frage aus dem Programm, das im Einstieg zum Unterabschnitt 5.4.2 formuliert wird. Gefragt wird nach dem Ausdruck (ΦT Φ)v − ΦT y, (5.85) welcher f¨ ur jeden Minimierer verschwinden soll. Zur Bedeutung von (5.85) werde der Gradient der Fehlerquadratsumme d

h(x) =

1 1
y − Φx2 = (yj − (Φx)j )2 2 2 j=1

(5.86)

berechnet. Offenbar liefert ein erster Schritt   p d
∂ ∂ ∂
∂ (yj −(Φx)j ) − h(x) = (Φx)j , (Φx)j = Φjα xα = Φjk . ∂xk ∂xk ∂xk ∂xk α=1 j=1 Eine Zusammenfassung beider Darstellungen f¨ uhrt auf d

d

[grad(h(x))]k =

=

d
j=1



∂ (Φjk (Φx)j − Φjk yj ) (yj − (Φx)j )(−Φjk ) = h(x) = ∂xk j=1 j=1

((ΦT )kj (Φx)j − (ΦT )kj yj ) = (ΦT Φx)k − (ΦT y)k = ((ΦT Φ)x − ΦT y)k , k = 1, . . . , p.

Da zwei Vektoren u ¨bereinstimmen, wenn entsprechende Komponenten gleich sind, besagt unser Ergebnis grad(h(x)) = (ΦT Φ)x − ΦT y.

(5.87)

Jeder Minimierer v erf¨ ullt grad(h(v)) = Nullvektor.

(5.88)

160

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

Zur Erinnerung: In einem Minimum oder einem Maximum einer reellen Funktion verschwindet ihre Ableitung! Das Minimum der Fehlerquadratsumme ist durch das Verschwinden des Gradienten, also aller partiellen Ableitungen nach (5.88) charakterisiert! Die Forderungen (5.88) und (5.67) stimmen wegen (5.87) u ¨ berein. Daher sind alle Minimierer L¨osungen von (5.67).

5.5 Linearer Datenausgleich: Bestimmung biologischer Konstanten 5.5.1 Michaelis-Menten-Bestimmung Eine Wiederholung: Der Unterabschnitt 5.2.1 handelt von einem Datensatz xj = Substratkonzentration, vj = Umsetzungsgeschwindigkeit (5.89) j = 1, . . . , d erhoben bei einer Umsetzung eines Substrats X in ein Produkt P mit Hilfe eines Enzyms E0 . Beide Datenkolonnen erf¨ ullen vj −

vmax xj ≈ 0, j = 1, . . . , d, KM + xj

(5.90)

im Idealfall sogar als Gleichheit. In dieser Schreibweise ist die Theoriefunktion rational und die zu bestimmenden Konstanten vmax und KM erscheinen nicht-linear. Die fiktiven Daten sj =

1 1 , yj = , j = 1, . . . , d xj vj

(5.91)

u uhren (5.90) in den linearen Zusammenhang ¨ berf¨ yj − (u1 sj + u2 ) ≈ 0, j = 1, . . . , d,

(5.92)

wiederum mit Gleichheit im Idealfall. Die zugeh¨orige Theoriefunktion F (s, u) = u1 s + u2 , u = (u1 , u2 ), s ∈ R beinhaltet Konstanten u1 , u2 , welche linear eingehen (vgl. den Unterabschnitt 5.2.1). Die Bestimmung der Konstanten u aus den Daten (5.91) fordert die L¨osung des Gleichungssystems Au = b, A (2, 2)-reihig, b ∈ R2

(5.93)

5.5 Linearer Datenausgleich: Bestimmung biologischer Konstanten

161

mit den Matrixelementen (vgl. (5.68)) A11 =

d


s2j ,

A12 =

d


sj = A21 , A22 = d

(5.94)

j=1

j=1

und der rechten Seite 

s s . . . sd b = Φ y, Φ = 1 2 1 1 ... 1 T

T



,

welche die beiden Komponenten b1 =

d
j=1

sj y j , b 2 =

d


yj

(5.95)

j=1

besitzt (vgl. (5.67), (5.68) in Unterabschnitt 5.4.2). Die L¨osung u = (u1 , u2 ) von (5.93) mit (5.94) und (5.95) liefert die verlangten biologischen Gr¨oßen vmax , KM wegen 1 KM = u1 , = u2 vmax vmax (vgl. (5.15) im Unterabschnitt 5.2.1). Dies bedeutet vmax =

u1 1 , KM = , u2 u2

(5.96)

so dass die beiden biologischen Konstanten, welche in (5.90) auftreten, aus einer Messung (5.89) eindeutig bestimmbar sind! Die Eindeutigkeit ergibt sich ¨ aus den Uberlegungen des Unterabschnitts 5.4.4. 5.5.2 Lineare Gleichungssysteme in der Ebene Und nun zur L¨ osung des Gleichungssystems (5.93) mit (5.94), (5.95): Gegeben sei eine (2, 2)-Matrix A und ein Vektor b ∈ R2 . Gesucht ist ein Vektor x ∈ R2 , welcher Ax = b, A11 x1 + A12 x2 = b1 ,

(5.97)

A21 x1 + A22 x2 = b2 l¨ ost. Die folgenden Rechnungen ben¨ otigen die detailierte Darstellung in den beiden letzten Zeilen. Zun¨ achst wird die erste Zeile mit A21 und die zweite Zeile mit A11 durchmultipliziert. Man erh¨ alt die beiden linken Gleichungen von

162

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

A21 A11 x1 + A21 A12 x2 = A21 b1 , A11 A21 x1 + A11 A22 x2 = A11 b2 ,

A22 A11 x1 + A22 A12 x2 = A22 b1 , (5.98) A12 A21 x1 + A12 A22 x2 = A12 b2 .

Die rechte H¨ alfte entsteht, wenn die erste Zeile des Originalsystems (5.97) mit A22 und die zweite Gleichung mit A12 multipliziert wird. F¨ ur den folgenden Schritt definiert man die Determinante der Matrix A durch det(A) := A11 A22 − A12 A21 .

(5.99)

Subtraktion der beiden Zeilen in (5.98) liefert im linken Fall die erste Zeile der linken Spalte von   A11 b1 det(A)x2 = A11 b2 − A21 b1 , det(A)x2 = det A21 b2 (5.100)   b1 A12 det(A)x1 = A22 b1 − A12 b2 , det(A)x1 = det b2 A22 und im rechten Teil die zweite Zeile der linken Spalte. Die rechte Spalte (5.100) ist nur eine andere Schreibweise der linken und verwendet die Symbolik u ¨ ber die Determinante, welche in (5.99) eingef¨ uhrt worden ist. Sie liefert offensichtlich die Implikation     A11 b1 b A det det 1 12 A21 b2 b2 A22 det(A) = 0 ⇒ x2 = , x1 = , (5.101) det(A) det(A) so dass das Gleichungssystem (5.97) eindeutig l¨ osbar ist, falls die Determinante (5.99) nicht verschwindet. Damit kennt man eine Richtung der ¨ Aquivalenz det(A) = 0 ⇔ (5.97) eindeutig l¨osbar, n¨ amlich jene von links nach rechts. Nun die Anwendung im Falle (5.93) mit (5.94) und (5.95). Hier gilt det(A) = d

d

2 j=1 sj

−



d

j=1 sj

2

= 0,

(5.102)

f alls d ≥ 2, si = sk f¨ ur ein Indexpaar i, k ¨ und daher die linke Seite der obigen Aquivalenz. Man kann (5.102) direkt ¨ nachrechnen. Die beiden ersten F¨ alle d = 2, 3 seien der Ubung 57 u ¨ berlassen. ¨ Ubung 57. Zeige, dass 2(s21 + s22 ) − (s1 + s2 )2

5.5 Linearer Datenausgleich: Bestimmung biologischer Konstanten

163

genau dann verschwindet, wenn s1 = s2 ist und sonst positiv ausf¨allt. Der obige Ausdruck ist jener in (5.102) f¨ ur d = 2! Anleitung: Berechne das Quadrat nach der binomischen Formel. Zeige anschließend, dass 3(s21 + s22 + s23 ) − (s1 + s2 + s3 )2 (d = 3 in (5.102)!) genau dann verschwindet, wenn s1 = s2 = s3 ist und sonst positiv ausf¨ allt. Die zu den Daten (5.89) bzw. (5.91) bestimmte Gerade y = u1 s + u2 mit u1 , u2 aus (5.101) heißt Regressionsgerade. Dabei l¨ost (u1 , u2 ) das Sytem (5.93) mit (5.94) und (5.95), d.h.     A11 b1 b1 A12 det det A21 b2 b2 A22 u1 = , u2 = , det(A) det(A) wenn (5.94) und (5.95) herangezogen werden. 5.5.3 Inversion Ein Beispiel bietet sich an: In den beiden ersten Spalten der Tabelle 5.1 stehen Konzentrations- und Geschwindigkeitsmessungen bei der als Inversion bezeichneten Reaktion Saccharose + H2 0 −→ D-Glucose + D-Fructose. Diese Reaktion verl¨ auft wie in Abschnitt 5.2.1 beschrieben, wenn wir dort unter X die Saccharose und unter E0 das Enzym Invertin verstehen. Die Daten sind [28] entnommen. Genauere Einzelheiten zur Geschwindigkeit v erf¨ ahrt der Leser in 5.6. Die Messungen sind im Lineweaver-Burk-Diagramm (Abb. 5.2) markiert. Zur Bestimmung der Regressionsgeraden, die zu den Spalten 3 und 4 der Tabelle 5.1 geh¨ ort, ben¨ otigen wir die Gr¨oßen A11 = 49306.03, A12 = A21 = 381.57, A22 = 7, b1 = 325.59, b2 = 3.544 aus (5.94) und (5.95). Daraus errechnet man u1 = .004644 . . . , u2 = .25310 . . . nach (5.101). Die Regressionsgerade y = u1 s + u2 ≈ .004644s + .2531 ist in Abb. 5.2 zu sehen. Nun kann man (vgl. (5.96)) die KM und die vmax , welche in (5.90) auftreten, aus den Achsenabschnitten in Abb. 5.2 errechnen vmax = 3.951 . . . , KM = 0.0183 . . . . Dieses Beispiel ist neben anderen in dem Aufsatz [25] angegeben.

(5.103)

164

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung Tabelle 5.1. Geschwindigkeitsmessung bei der Invertase

s = x−1 y = v −1

x

v

.3330 .1670 .0833 .0416 .0208 .0104 .0052

3.636 3.636 3.236 2.666 2.114 1.466 .866

3.003 5.988 12.004 24.038 48.076 96.153 192.307

.275 .275 .309 .375 .473 .682 1.154

1.4

y=ν−1

1.2 1 0.8 0.6 0.4

−1

0.2

νmax

0 −0.2 −100

K−1

−1

s=c

D

−50

0

50

100

150

200

Abb. 5.2. Regressionsgerade f¨ ur Michaelis-Menten-Daten der Inversion

5.6 Geschwindigkeit einer Michaelis-Menten-Aktion 5.6.1 Definition der Geschwindigkeit v Gegeben sei eine Umsetzung

X

E0 

(5.104) ?P eines Substrats X in ein Produkt P mit Hilfe eines Enzyms E0 . Die Konzentrationen von X und P werden mit x bzw. p bezeichnet. Dieses Geschehen in der Zeit t entfaltet eine Entwicklung x(t), p(t), 0 ≤ t.

(5.105)

Man kann davon ausgehen, dass P auf Kosten von X entsteht und hochw¨achst, so dass p(t) eine streng monoton wachsende und s¨attigende Funktion ist: Wird

5.6 Geschwindigkeit einer Michaelis-Menten-Aktion

165

doch das Wachstum aufh¨ oren, sobald die Substratvorgabe x(0) > 0 verbraucht ist. Ferner wird man p(0) = 0 haben. Damit ist die linke Skizze von Abb. 5.3 nahegelegt. Man erh¨alt eine ¨ geringf¨ ugige Anderung, falls f¨ ur kleine Zeiten eine Anlaufphase bei der Entstehung von P auftritt, welche zu einem Wendepunkt in einem Zeitpunkt tw > 0 Anlass gibt. Diese Situation veranschaulicht die rechte Zeichnung in Abb. 5.3. F¨ ur die Ableitung p′ (t) bestehen die beiden M¨oglichkeiten p

p

p

p

max

max

p(t)

p(t)

t

tW

t

Abb. 5.3. Zwei Entstehungskurven des Produkts P in der Zeit

linke Zeichnung 0 ≤ p(t) ˙ < p(0) ˙ f¨ ur 0 < t

rechte Zeichnung 0 ≤ p(t) ˙ < p(t ˙ w) f¨ ur 0 < t, t = tw .

(5.106)

Ohne Wendepunkt nimmt die Ableitung im Laufe der Zeit ab, mit Wendepunkt schwillt sie zun¨ achst an, erreicht im Wendepunkt ihr Maximum und f¨ allt dann nach Null gehend. Die Geschwindigkeit v der Umsetzung (5.104) stimmt definitionsgem¨ aß mit der maximal m¨oglichen Entstehungsgeschwindigkeit des Produkts P u ¨ berein: linke Zeichnung v = v(x(0)) := p(0) ˙

rechte Zeichnung v = v(x(0)) := p(t ˙ w ).

(5.107)

Diese Geschwindigkeit ist im Unterabschnitt 5.2.1 gemeint. Dort wird der analytische Ausdruck (5.12) angegeben. Die hier auftretende Konzentrationsvorgabe x stimmt mit x(0) u ¨berein, so dass v = v(x(0)) =

vmax x(0) KM + x(0)

(5.108)

besteht. Da das Substratangebot X im Laufe der Entwicklung (5.105) st¨andig f¨ allt, legt das maximale Angebot x(0) gem¨ aß (5.108) die Geschwindigkeit der Umsetzung (5.104) fest. Die rechte M¨ oglichkeit in (5.106) tritt im Sonderfall (5.108) nicht auf.

166

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

5.6.2 Rekonstruktion von p(t) zur Bestimmung von v Die Untersuchung einer Umsetzung (5.104) geschieht in einem Dialyseexperiment. Man beobachtet die Entstehung des Produktes P in der Zeit, erhebt also einen Datensatz 0 < tj , pj ≈ p(tj ), j = 1, . . . , d

(5.109)

bei Vorgabe der Konzentration x(0) f¨ ur das Substrat X. Zur Bestimmung der Geschwindigkeit v = v(x(0)) aus (5.109) muss die Funktion p(t) rekonstruiert werden. Dies geschieht im Falle der linken Zeichnung von Abb. 5.3 aus Daten in der N¨ ahe des Nullpunktes, ben¨ otigt aber im Falle der rechten Zeichnung Daten u ¨ ber den Zeitpunkt tw hinaus, damit der Wendepunkt repr¨asentiert wird. Hier versuchen wir einen Ansatz durch ein Polynom. Wegen p(0) = 0 liegen die Ansatzfunktionen p(t) ≈ F (t, u) = t(u1 + u2 t + u3 t2 ), u = (u1 , u2 , u3 ), t ≥ 0

(5.110)

nahe. Zun¨ achst stellt man F˙ (t, u) = u1 + 2u2 t + 3u3 t2 , (5.111) F¨ (t, u) = 2u2 + 6u3 t fest und findet, dass F (t, u) einen Wendepunkt zu einer positiven Zeit repr¨ asentieren kann. Dazu sind alle drei Parameter u = (u1 , u2 , u3 ) n¨otig. Die wahre Funktion p(t) ist nicht-negativ und s¨attigt: 0 ≤ p(t) f¨ ur 0 ≤ t,

(5.112)

ur t −→ ∞. p(t) −→ pmax f¨ Da ein Polynom nicht s¨ attigen kann, d¨ urfen wir allenfalls eine Rekonstruktion im Rahmen von (5.110) auf einem Intervall [0, T ] mit reellem T und den beiden Eigenschaften 1. 0 ≤ F (t, u) f¨ ur 0 ≤ t ≤ T,

(5.113)

2. ein m¨ oglicher Wendepunkt zu einem Zeitpunkt tw ∈ [0, T ] erwarten. Der Wendepunkt tw ist nach (5.111) stets eindeutig. Wegen (5.113) m¨ ussen zwei F¨ alle zur Rekonstruktion von p(t) durch F(t,u) unterschieden werden: Fall a) F (t, u) erf¨ ullt 1. aus (5.113) und hat einheitliche negative Kr¨ ummung in [0, T ]; (5.114) Fall b) F (t, u) erf¨ ullt 1. aus (5.113), beginnt mit positiver Kr¨ ummung und besitzt genau einen Wendepunkt

5.6 Geschwindigkeit einer Michaelis-Menten-Aktion

tw = −

167

u2 ∈ [0, T ]. 3u3

F¨ ur die gesuchten Parameter u = (u1 , u2 , u3 ) bedeutet dies im Fall a) 0 < u1 , u2 < 0, Fall b) 0 < u1 , u2 > 0, u3 < 0.

(5.115)

ur kleine t > 0, so dass F (t, u) weDie Bedingung 0 < u1 sichert F˙ (t, u) > 0 f¨ nigstens anfangs streng-monoton w¨ achst (vgl.(5.111)). Das Vorzeichen von u2 regelt die anf¨ angliche Kr¨ ummung von F (t, u), weil F¨ (t, u) ≈ u2 nach (5.111) besteht. Schließlich sichern u2 > 0, u3 < 0, dass der Wendepunkt tw > 0 ausf¨ allt (vgl. (5.111)). Im Falle b) ist tw = −

u2 u2
(5.116)

zu verlangen, damit der Wendepunkt im Definitionsbereich [0, T ] der Rekonstruktion liegt. Beachte, dass die Zeitpunkte tj , an denen Daten erhoben werden, das Intervall [0, T ] gut ausf¨ ullen sollten. Die Bedingung (5.116) zeigt im nachhinein an, ob das Datenmaterial zu den errechneten Parametern passt. Die Konstruktion geeigneter Konstanten u im Ansatz (5.110) geschieht durch Datenanpassung von (5.109) mit der linearen Theoriefunktion F (t, u) = ϕ1 (t)u1 + ϕ2 (t)u2 + ϕ3 (t)u3 , ϕ1 (t) = t, ϕ2 (t) = t2 , ϕ3 (t) = t3 , t ∈ R,

(5.117)

Parameter u = (u1 , u2 , u3 ) ∈ R3 wie in den bisherigen Abschnitten dieses Kapitels beschrieben. Es ist wichtig zu erkennen, dass mit (5.110) nur eine Rekonstruktion von p vorgenommen wird, um die Ableitung an einem festen Punkt zu bestimmen. Dazu ist der Vorschlag (5.110) durchaus verbesserungsf¨ahig, Polynome geh¨ oren nur zu den einfachsten analytischen Ausdr¨ ucken, wenn es darum geht, Kurvenz¨ uge m¨ oglichst genau nachzuzeichnen. Diese Optimierungsaufgabe ist grunds¨ atzlich verschieden von jener, welche im Unterabschnitt 5.2.1 zur Einleitung dieses Kapitels besprochen wird. Dort ist die Theoriefunktion (5.12) keineswegs willk¨ urlich und nur so gew¨ahlt, dass ein vorgelegter Kurvenzug erfolgreich nachempfunden werden kann. Die auftretenden Konstanten vmax , KM haben biologischen Inhalt, den biologischen Prozess der Umsetzung kennzeichnend. Dagegen lassen die in (5.110) auftretenden Konstanten u keine biologische Interpretation zu. Sie sind lediglich darauf gerichtet, die Geschwindigkeit p(0) ˙ im Fall a) oder p(t ˙ w ) aus (5.116)

168

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

im Fall b) m¨ oglichst gut zu bestimmen, und machen dar¨ uber hinaus keine Angaben zum biologischen Mechanismus der Umsetzung. Der Ansatz (5.110) kann beliebig ersetzt werden, wenn die Ersetzung eine bessere Vorhersage der Geschwindigkeit v erlaubt. Der Ansatz (5.12) ist nicht ersetzbar, weil er ein definiertes Netzwerk X + E0 ⇋ E1 ⇀ E0 + P voraussetzt, welches die Umsetzung (5.104) bewerkstelligt. Deswegen ist (5.12) in der Lage, mit Hilfe der Konstanten vmax und KM Aussagen u ¨ ber das innere Geschehen zu machen. 5.6.3 Lineare Gleichungssysteme im R3 Die Durchf¨ uhrung der Datenanpassung mit der Funktionenfamilie (5.117) erfordert die L¨ osung eines linearen Gleichungssystems Ax = b

(5.118)

mit einer (3, 3)-Matrix A und einem Vektor b ∈ R3 . Genauer handelt es sich um (5.67), also um A = ΦT Φ, b = ΦT y mit ⎡ ⎤ t1 t21 t31 ⎢ t2 t22 t32 ⎥ ⎢ ⎥ (5.119) Φ=⎢ . . . ⎥ , ⎣ .. .. .. ⎦ td t2d t3d

weil nach der zweiten Zeile von (5.117)

p = 3 : ϕ1 (t) = t, ϕ2 (t) = t2 , ϕ3 (t) = t3 besteht. Zur¨ uck aber zu (5.118): Es geht um drei lineare Gleichungen A11 x1 + A12 x2 + A13 x3 = b1 , A21 x1 + A22 x2 + A23 x3 = b2 , A31 x1 + A32 x2 + A33 x3 = b3 ,

(5.120)

deren L¨ osungen die gesuchten Konstanten u = (u1 , u2 , u3 ) sind. Bei der L¨osungsformel diene der zweidimensionale Fall (5.101) als Leitfaden: Er verlangt die Definition der Gr¨ oße det(A) f¨ ur (3, 3)-Matrizen A. Mit Hilfe dieser Symbolik sei die L¨ osung von (5.118) in der Form uj =

det(A(j) ) , j = 1, 2, 3, falls det(A) = 0 det(A)

(5.121)

geschrieben. Dazu m¨ ussen die Matrizen A(j) und die Determinante det(A) erkl¨ art werden. Dies ist im ersten Fall einfach, lesen wir doch in (5.101) ab,

5.6 Geschwindigkeit einer Michaelis-Menten-Aktion

169

dass A(j) aus der Matrix A entsteht, wenn man dort die j-te Spalte durch die Komponenten des Vektors b ersetzt. Dies u ur den ¨bernehmen wir einfach f¨ hier vorliegenden dreidimensionalen Fall, so dass z.B. ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ b1 A12 A13 A11 b1 A13 A(1) =: ⎣ b2 A22 A23 ⎦ , A(2) =: ⎣ A21 b2 A23 ⎦ (5.122) b3 A32 A33 A31 b3 A33 wird. Nun aber zur Determinante: Damit (5.121) eine korrekte Darstellung der L¨ osung von (5.118) wird, muss man det(A) := A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A21 A32 A13 (5.123) −A13 A22 A31 − A11 A23 A32 − A33 A12 A21 setzen. Diese Festlegung ist nat¨ urlich im Falle des Z¨ahlers in (5.121) auf die Matrix A(j) anzuwenden. Zur besseren Einpr¨ agung der Definition der Determinante im dreidimensionalen Fall sei bemerkt, dass der erste Summand das Produkt der Hauptdiagonalelemente von A ist. Der zweite Summand entsteht aus den hervorgehobenen Elementen von ⎤ ⎡ A11 A12 A13 ⎣ A21 A22 A23 ⎦ . A31 A32 A33 Die Eintragungen der ersten oberen Nebendiagonalen sind zu multiplizieren und das Ergebnis wiederum mit dem unteren linken Eckelement. Analog ist der dritte Summand in (5.123) konstruiert ⎤ ⎡ A11 A12 A13 ⎣ A21 A22 A23 ⎦ . A31 A32 A33

Man findet das Produkt der unteren Nebendiagonalelemente mit dem Eckelement oben rechts. Die negativen Summanden in (5.123) entstehen entlang der zweiten Diagonalen A31 , A22 , A13 und benutzen entsprechend die fetten Eintragungen in ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ A11 A12 A13 A11 A12 A13 ⎣ A21 A22 A23 ⎦ , ⎣ A21 A22 A23 ⎦ . A31 A32 A33 A31 A32 A33 5.6.4 Geschwindigkeitsbestimmung aus Felddaten: die Inversion Zur¨ uck zum Unterabschnitt 5.5.3 mit dem Datensatz aus Tabelle 5.1 die Umsetzung von Saccharose durch das Enzym Invertin betreffend. An der fr¨ uheren

170

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung Tabelle 5.2. Errechnete Geschwindigkeit v aus [28]

x(0) v

0.333 3.363

0.0416 2.666

0.0052 0.866

Stelle wurde verschwiegen, wie die v-Messung in der zweiten Spalte von Tabelle 5.1 entsteht. Beispielhaft seien die drei Paare (x(0), v) aus Tabelle 5.2 gew¨ ahlt. Die in der zweiten Zeile angegebenen Geschwindigkeitswerte werden aus Zeitdaten der Entstehung des Produktes konstruiert. Zu den ins Auge gefassten drei x(0)-Werten sind die zugeh¨ origen Zeitdaten in der Tabelle 5.3 mit ihren graphischen Darstellungen als Abb. 5.4 zusammengestellt: p(t) bezeichnet die Ver¨ anderung des Winkels der Polarisationsachse gegen den Nullwert des Polarisationsapparates. Diese Gr¨ oße ist proportional zur Entstehungskonzentration von Saccharose. Jeder der drei Datens¨atze gibt Anlass zur Rekon-

4

2.5

0.4

3.5 2

3 2.5

0.3

1.5

2

0.2 1

1.5 1

0.1

0.5

0.5 0

0

50

100

150

0

0

100

200

0

0

50

100

150

Abb. 5.4. Graphische Darstellung der Daten aus Tabelle 5.3

struktion der entsprechenden Produktentwicklung p(t) gem¨aß Unterabschnitt 5.6.2, wobei das lineare (3, 3)-Gleichungssystem (5.118) nach Unterabschnitt 5.6.3 gel¨ ost werden kann. Die Ergebnisse sind die drei Kurven der oberen Bildreihe in Abb. 5.5. Dazu geh¨ oren die numerischen Ergebnisse der Tabelle 5.4. Dort sind in der letzten Spalte die Anzahl der ber¨ ucksichtigten Messpunkte festgehalten. Zu jedem x(0)-Wert gibt es zwei Zeilen: In der ersten Zeile sind alle drei u-Werte (5.110) ber¨ ucksichtigt, die zur oberen Bildreihe von Abb. 5.5 geh¨ oren. In der zweiten Zeile ist u2 = u3 = 0 gesetzt: Es handelt sich um einen Versuch, die Daten mit einer Geraden p(t) ≈ u1 t

(5.124)

zu rekonstruieren, welche in der zweiten Bildreihe von Abb. 5.5 zusammen mit der jeweiligen Kurve aus der ersten Bildreihe zu sehen ist. Zun¨achst aber

5.6 Geschwindigkeit einer Michaelis-Menten-Aktion

171

Tabelle 5.3. Produktentwicklung bei der Inversion aus [28]

x(0)

t

p(t)

x(0)

t

p(t)

x(0)

t

p(t)

0.333

1 7 14 26 49 75 117 1052

0.043 0.305 0.587 0.980 1.713 2.602 3.968 18.253

0.0416

2.25 10.25 30.75 61.75 90.75 112.75 132.75 154.75 1497.00

0.061 0.258 0.816 1.386 1.684 1.914 2.084 2.119 2.189

0.0052

1 8 16 28 50 80 114 2960

0.007 0.054 0.134 0.170 0.238 0.315 0.343 0.330

5

2.5

0.5

4

2

0.4

3

1.5

0.3

2

1

0.2

1

0.5

0.1

0

0

50

100

150

0

0

100

200

0

5

2.5

0.5

4

2

0.4

3

1.5

0.3

2

1

0.2

1

0.5

0.1

0

0

50

100

150

0

0

100

200

0

0

50

100

150

0

50

100

150

Abb. 5.5. Rekonstruktion der Datens¨ atze aus Tabelle 5.3: dargestellt ist das Produkt p der Inversion u ¨ ber der Zeit t

172

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

Tabelle 5.4. Optimale Parameter nach (5.110) f¨ ur die Datens¨ atze aus Tabelle 5.3

x(0)

u1

u2

u3

Anzahl der M esspunkte

0.333

4.124299 4.226016

-.0145455

.00007104

7 3

0.0146

2.993399 2.640341

-.0142192

.00002450

8 3

0.0052

.810549 .804673

-.0074584

.00002634

7 3

zur¨ uck zur Tabelle 5.4. Sie zeigt durchweg u1 > 0, u2 < 0, 0 < u3 < 10−4 , so dass Fall a) aus (5.115) vorliegt. Die Geschwindigkeit v ist somit durch v = F˙ (0, u) erkl¨ art, und die zweite Spalte der Tabelle 5.4 liefert gleichzeitig die Geschwindigkeit der Umsetzung. Schließlich mehr zum Ansatz (5.124): Er muss die Tangente der Entstehungsgeschichte p(t) im Nullpunkt gen¨ ugend gut wiedergeben. Daher k¨onnen nur Daten in der N¨ ahe des Nullpunktes verwendet werden. Im vorliegenden Fall eignen sich die ersten drei Datenpaare, die u ummen nach ¨brigen Paare kr¨ rechts und w¨ urden zu einer immer kleineren Geschwindigkeit v(x(0)) = u1 f¨ uhren, wie ein Blick auf die Bilder in Abb. 5.5 unmittelbar zeigt. Allein die drei ersten Daten liefern zusammen mit (5.124) ¨ahnliche Geschwindigkeitswerte wie (5.110) mit dem vollen Datenmaterial! Diese Beobachtung trifft auch f¨ ur x(0) = 0.333 (erstes Bild in Abb. 5.5) zu, obwohl die Messpunkte einer Geraden zu folgen scheinen: Der Ansatz (5.124) unter Verwendung der ersten 7 Datenpunkte f¨ ur x(0) = 0.333 (vgl. Tabelle 5.3) liefert v(.333) = u1 = 3.442236 (vgl. Abb. 5.6), niedriger als beide Werte in Tabelle 5.5. Die Geraden in Abb. 5.5 zeigen, dass es sich nicht um die Tangenten an die Kurven gem¨aß (5.110) handelt, dass aber eine Repr¨ asentation dieser Kurven einigermaßen stattfindet, Ausdruck der Beobachtung, dass die Geschwindigkeitszahlen in beiden

¨ 5.7 Ubungsaufgaben

173

F¨ allen ¨ ahnlich ausfallen: vgl. Tabelle 5.4! Einen Vergleich unserer Ergebnisse mit den Geschwindigkeitsangaben aus [28] vermittelt die Tabelle 5.5. Tabelle 5.5. Vergleich unserer Ergebnisse mit den Geschwindigkeitsangaben in [28]

x(0)

0.333

0.0416

0.0052

v aus [28] v nach (5.124) v nach (5.110)

3.636 4.226 4.124

2.666 2.640 2.993

0.866 0.805 0.811

4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

20

40

60

80

100

120

Abb. 5.6. Rekonstruktion der .333-Daten nach (5.124): Dargestellt ist das Produkt p der Inversion u ¨ ber der Zeit t

¨ 5.7 Ubungsaufgaben ¨ Ubung 58. (a) Gegeben seien reelle Matrizen A : (p1 , q1 ) − reihig, B : (p2 , q2 ) − reihig. Zeige: AB und BA sind nur dann zugleich definiert, wenn p1 = q2 und p2 = q1 .

174

5 Rekonstruktion von Funktionen aus Zahlenpaaren: Lineare Datenanpassung

(b) Konstruiere (2, 2)-reihige Matrizen A, B mit AB = BA bzw. AB = BA. (c) Eine Diagonalmatrix ist h¨ ochstens in der Hauptdiagonalen mit von Null verschiedenen Elementen a1 , . . . , aN besetzt. Alle anderen Eintragungen sind Nullen: ⎡ ⎤ a1 ⎢ a2 ⎥ ⎢ ⎥ diag(a1 , . . . , aN ) := ⎢ ⎥ . . .. ⎣ ⎦ aN Zeige: Es gilt stets

diag(a1 , . . . , aN ) diag(b1 , . . . , bN ) = diag(b1 , . . . , bN ) diag(a1 , . . . , aN ) f¨ ur aj , bk ∈ R, j, k = 1, . . . , N . ¨ Ubung 59. Sei A eine (3, 3)-reihige obere Dreiecksmatrix ⎡ ⎤ A11 A12 A13 A22 A23 ⎦ mit Aii = 0, j = 1, 2, 3 A=⎣ A33

(alle nichtbezeichneten Eintragungen von A sind Nullen). Sei b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 . Finde die L¨osung x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 von ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ A11 A12 A13 b1 x1 ⎣ A22 A23 ⎦ ⎣ x2 ⎦ = ⎣ b2 ⎦ (5.125) b3 x3 A33

oder k¨ urzer Ax = b.

(a) Schreibe das System (5.125) komponentenweise als drei separate Gleichungen. (b) L¨ ose zun¨ achst die dritte Gleichung nach x3 , die zweite Gleichung nach x2 und dann die erste Gleichung nach x1 auf und verwende in jedem Schritt das Resultat der vorigen Rechnungen. ur (5.125) in (c) Stelle die so nach (b) hergestellte L¨ osung x = (x1 , x2 , x3 ) f¨ der Form x = Bb mit einer geeigneten (3, 3)-Matrix B dar. (d) Zeige: AB =diag(1, 1, 1) = BA f¨ ur A aus (5.125) und B aus (c). ¨ Ubung 60. Sei A eine (N1 , N2 )-reihige Matrix und B eine (N0 , N1 )-reihige Matrix. Dann gibt es die Abbildungen

¨ 5.7 Ubungsaufgaben

175

A : RN 2 → RN 1 , B : RN 1 → RN 0 , so dass die Abbildung B ◦ A : RN2 → RN0 erkl¨ art ist. Zeige, dass B ◦ A durch eine Matrix gegeben ist. Welche Matrix definiert B ◦ A? ¨ Ubung 61. A sei (N1 , N2 )-reihig, B sei (N2 , N3 )-reihig. (a) Zeige: (AT )T = A, (AB)T = B T AT (b) F¨ ur N1 = N2 zeige: (AAT )ij = (AAT )ji , i, j = 1, . . . , N1 .

6 Interaktionen zweier Populationen

6.1 Das Geschehen in diesem Kapitel Gegenstand in Kapitel 3 ist die Entwicklung einer Gr¨oße x(t) in der Zeit und deren Bestimmung als L¨ osung einer skalaren Anfangswertaufgabe x(t) ˙ = F (x(t)), x(0) ∈ R gegeben.

(6.1)

Hier gilt (vgl. (1.1)) z(t) = (x(t)) ∈ R1 ist der Zustand des Systems zum Zeitpunkt t. Daher besagt (6.1) nur Zustands¨ anderung = F (Zustand), oder auch

(6.2) die Zustands¨ anderung ist vom aktuellen Zustand allein abh¨angig.

Von nun an betrachten wir (6.2) als Form eines mathematischen Modells f¨ ur einen biologischen Vorgang. Dann gilt allgemein z(t) ˙ = G(z(t)) f¨ ur den Zustand eines biologischen Systems

(6.3)

mit einer geeigneten Funktion G, welche die Gesetzm¨aßigkeit beschreibt, die f¨ ur die Ver¨ anderung des Systems verantwortlich ist. Der Ausdruck Zustand im Zusammenhang mit biologischen Systemen ist in Kapitel 1, Abschnitt 1.1.1 eingef¨ uhrt. Gleichzeitig wird dort erkl¨ art, dass dieser aus einer endlichen Anzahl von Gr¨ oßen zusammengefasst in einem Vektor mit reellen Komponenten z = (z1 , z2 , . . . , zN ), oder in der Zeit: z(t) = (z1 (t), z2 (t), . . . , zN (t)), t ≥ 0

(6.4)

178

6 Interaktionen zweier Populationen

besteht. Die reellen Zahlen zj bezeichnen die Masszahlen der einzelnen Gr¨oßen. Daher ist z(t) ˙ = (z˙1 (t), z˙2 (t), . . . , z˙N (t)) die Ver¨ anderung des Zustands zum Zeitpunkt t und G : RN −→ RN , so dass (6.3) ein System z˙j (t) = Gj (z1 (t), z2 (t), . . . , zN (t)), t ≥ 0, j = 1, . . . , N

(6.5)

von Differentialgleichungen beschreibt. Vorgelegt sei nun ein biologisches System, dessen Zustand zum Zeitpunkt t durch zwei Gr¨ oßen x(t), y(t), t ∈ R (6.6) bestimmt wird: z. B. zwei Populationen in der Auseinandersetzung um gemeinsamen Lebensraum. Dann ist z(t) = (z1 (t), z2 (t)) = (x(t), y(t)), so dass wir

x(t) ˙ = f (x(t), y(t)), x(0) ∈ R gegeben,

(6.7)

y(t) ˙ = g(x(t), y(t)), y(0) ∈ R gegeben. finden, wenn die Komponenten von G mit G1 (x, y) = f (x, y), G2 (x, y) = g(x, y) bezeichnet werden. Eine Analyse von (6.7) hat das Ziel, alle L¨osungen wenigstens qualitativ zu beschreiben. Dies gelingt zum Beispiel, wenn zwischen x(t) und y(t) eine Abh¨ angigkeit x(t) = ϕ(y(t)), t ∈ R (6.8) mit einer differenzierbaren Funktion ϕ : R → R besteht. Dann verlangt (6.7) dasselbe wie y(t) ˙ = g(ϕ[y(t)], y(t)), t ∈ R, (6.9) eine skalare Gleichung, deren L¨ osungen nach Abschnitt 3.2 vollst¨andig u ¨ bersichtlich sind. Ist y¯(t), t ≥ 0 L¨ osung von (6.9), so erf¨ ullt x ¯(t) = ϕ(¯ y (t)), y¯(t), t ∈ R unser System (6.7).

(6.10)

6.2 Ligandenbindung

179

Das vorliegende Kapitel behandelt drei biologische Systeme der oben beschriebenen Art und ein weiteres, dessen Behandlung den obigen Rahmen verl¨ asst. Es reicht u ¨ber diesen Text hinaus in eine notwendige Fortentwicklung mathematischer Technik. In allen vier F¨ allen m¨ ussen zun¨achst die Komponenten G1 (x, y) = f (x, y), G2 (x, y) = g(x, y) der rechten Seite aus (6.7) gewonnen werden. Dabei werden Konstruktionsprinzipien sichtbar, welche im Einzelfall Gesetzm¨aßigkeiten des biologischen Vorgangs beschreiben. Ein einfacher (aber h¨ aufig auftretender) Fall liegt vor, wenn als Zwischenstufe ein chemisches Netzwerk (beispielsweise (6.11)) erstellt werden kann. Dann f¨ uhrt das Prinzip der Massenwirkung schnell zum Ziel. Aus allem fließen die Lernziele: ein tieferes Verst¨andnis der Entwicklung biologischer Systeme, deren Beschreibung mit zwei Gr¨oßen auskommt und die eine Erhaltungsgr¨ oße besitzen. Es geht darum, die Erkenntnis zu f¨ordern, dass mathematischer Zugriff biologische Einsicht entstehen l¨asst oder vertieft. Eine weiterf¨ uhrende Spezialausbildung muss von Experimenten ausgehen und die Interpretation gemessener Daten durch mathematische Modelle in den Vordergrund stellen, weit allgemeiner und grunds¨atzlicher als in Kapitel 5, das nur einen Einstieg bereith¨ alt. Dies geht freilich u ur ¨ber einen Einstieg f¨ alle Biologiestudenten und damit u ¨ber die Zielsetzung dieses Buches hinaus.

6.2 Ligandenbindung 6.2.1 Die dynamischen Gleichungen Das Reaktionsschema steht in Abschnitt 2.6.6 (vgl. dort (2.107)). F¨ ur die hier angestrebte quantitative Behandlung ben¨ otigen wir die um die Geschwindigkeitskonstanten k0 und k−0 erweiterte Form k0 X + E0 ⇋ E1 , k0 > 0, k−0 > 0. k−0

(6.11)

Zur Bedeutung der genaueren Schreibweise (6.11) betrachte die Konzentrationen x, e0 , e1 der Reaktanden X, E0 , E1 . Es seien e0 , e1 in der Zeit t ver¨anderlich und daher Funktionen der Zeit: e0 (t), e1 (t). Die Konzentration x von X hingegen soll der Einfachheit halber zeitunabh¨ angig angenommen werden. Aus der Sicht von E0 besagt das Netzwerk (6.11), dass die Ver¨anderung e˙ 0 (t) durch e˙ 0 (t) = −k0 xe0 (t) + k−0 e1 (t)

(6.12)

gegeben ist. Der erste Summand auf der rechten Seite signalisiert die Ver¨anderungsrate e˙ 0 (t) proportional zu den Konzentrationen von X, E0 mit dem

180

6 Interaktionen zweier Populationen

Proportionalit¨ atsfaktor k0 . Das negative Zeichen zeigt an, dass die Konzentration von E0 durch diese Reaktion abnimmt. Im Gegensatz dazu wird durch den zweiten Term die Konzentration von E0 vermehrt, und dies geschieht proportional zur Konzentration von E1 . Analog ist die dynamische Gleichung e˙ 1 (t) = k0 xe0 (t) − k−0 e1 (t) (6.13) gebaut, welche das Geschehen (6.11) aus der Sicht von E1 beschreibt.

Wollen wir den Zustand (e0 (t), e1 (t)) der Aktion (6.11) zu jedem Zeitpunkt t ≥ 0 verstehen, so m¨ ussen wir das System (6.12), (6.13) l¨osen. Dieses Unternehmen scheint deutlich komplizierter zu sein, als die skalaren Evolutionen erster Ordnung aus Kapitel 2, handelt es sich doch um eine Evolution zweier Konzentrationen gleichzeitig. Dennoch ist unser Vorhaben auf die Techniken von Kapitel 2 zur¨ uckf¨ uhrbar. Um dies einzusehen, addieren wir beide Gleichungen (6.12), (6.13) und finden d (e0 + e1 )(t). dt

(6.14)

e0 (t) + e1 (t) = e0 (0) + e1 (0) =: E.

(6.15)

0 = e˙ 0 (t) + e˙ 1 (t) = Integration liefert den Erhaltungssatz

E bezeichnet die Gesamtkonzentration des Enzyms (in beiden Formen) am Anfangspunkt t = 0. Sie bleibt nach (6.15) f¨ ur die gesamte Entwicklung (alle Zeiten t ≥ 0) unver¨ andert. Wir w¨ urden dies vom Netzwerk (6.11) her vermuten; (6.15) bedeutet, dass unser Kunstsystem (6.12), (6.13) insoweit mit den Erwartungen des nat¨ urlichen Systems u ¨ bereinstimmt. Wir gehen weiter und k¨ onnen z.B. die Gr¨ oße e1 (t) = E − e0 (t) (6.16)

separieren. Einsetzen in (6.12) liefert nacheinander

e˙ 0 (t) = −k0 xe0 (t) + k−0 (E − e0 (t)),

(6.17)

e˙ 0 (t) = −(k0 x + k−0 )e0 (t) + k−0 E. Bei diesem Schritt geht keine L¨ osung verloren: Tats¨achlich entsteht aus der L¨ osung der skalaren Gleichung (6.17) verm¨ oge (6.16) ein Paar von Funktionen, welche dann (6.12), (6.13) erf¨ ullen. Diesen Test u ¨ berlassen wir der ¨ Ubung 62. e¯0 (t), t ≥ 0 sei eine L¨ osung der skalaren Gleichung (6.17). e¯1 (t), t ≥ 0 sei gem¨ aß (6.16) aus e¯0 (t) konstruiert. Zeige, dass das Paar (¯ e0 (t), e¯1 (t)) , t ≥ 0 das System (6.12), (6.13) l¨ ost. Zur¨ uck bleibt die Behandlung von (6.17), eine Aufgabe, die mit den Methoden von Kapitel 2 gel¨ ost wird.

6.2 Ligandenbindung

181

6.2.2 Eine skalare Aufgabe Dazu schreiben wir (6.17) in der abstrakten Form y˙ = −ay + b,

(6.18)

a = k0 x + k−0 , b = k−0 E, m¨ ussen also (vgl. Abschnitt 3.3.5) eine Stammfunktion von 1 b − ay finden, welche durch

1 F (y) = − · ln(b − ay) (6.19) a schnell ermittelt ist. Damit bilden wir die implizite Gleichung (vgl. (3.31) in Abschnitt 3.3.5) F (y) − F (y(0)) = t, − a1 ln(b − ay) + formen diese um ln



1 a

(6.20)

ln(b − ay(0)) = t,

b − ay(0) b − ay



= at,

b − ay(0) = (b − ay) exp(at), (b − ay(0)) exp(−at) = b − ay und finden schließlich den analytischen Ausdruck y(t) =

b b − ( − y(0)) exp(−at) a a

(6.21)

als m¨ ogliche L¨ osung von (6.18). Die Probe: b y(t) ˙ = −( − y(0))(−a) exp(−at) a = (b − ay(0)) exp(−at) = −ay(t) + b, wird durch Differentiation von (6.21) und unter anschließender Verwendung der Darstellung (6.21) durchgef¨ uhrt. Unser Resultat ist, dass (6.21) in der Tat (6.18) erf¨ ullt.

182

6 Interaktionen zweier Populationen

6.2.3 Evolution der Ligandenbindung Nun sind die L¨ osungen von (6.17) klar: e0 (t) =

b a

− ( ab − e0 (0)) exp(−at),

a = k0 x + k−0 > 0, b = k−0 E ≥ 0, e1 (t) = E − e0 (t) = E −

b a

(6.22)

+ ( ab − e0 (0)) exp(−at).

Diese Gleichungen zeigen, dass beide Funktionen f¨ ur t → +∞ dem station¨aren Punkt b b e¯0 = , e¯1 = E − (6.23) a a zustreben. ¨ Ubung 63. Warum folgt aus Aufgabe 62, dass das Paar (e0 (t), e1 (t)), t ≥ 0 von (6.22) das System (6.12), (6.13) erf¨ ullen muss? 6.2.4 Charakteristik und KD In einem Dialyseexperiment [32] kann man die Konzentrationen von E0 und E1 messen: Gegeben seien zwei Kammern (siehe Abb. 6.1), in der linken sei

E

1

E

0

X

X

X E0

Anfangssituation

nach einer Zeit t > 0

Abb. 6.1. Zwei Kammern mit trennender Membran, durchl¨ assig (in beiden Richule. tungen) f¨ ur Substratmolek¨ ule X, nicht aber f¨ ur E0 - oder E1 -Molek¨

unbeladenes Enzym E0 und in der rechten Substrat X. Beide Kammern seien getrennt durch eine Membran, welche die X-Molek¨ ule durchl¨asst, jedoch eine Barriere f¨ ur die Molek¨ ule des Enzyms in freier (E0 ) und beladener (E1 ) Form darstellt. Wir gehen davon aus, dass das Enzym genau einen Bindungsplatz f¨ ur das Substrat besitzt. Nach anf¨ anglicher Trennung von Substrat- und Enzymmolek¨ ulen werden erstere durch die trennende Membran hindurchwandern ulen aufbauen. und in der linken Kammer ein Gemisch von E0 - und E1 -Molek¨

6.2 Ligandenbindung

183

In beiden Kammern k¨ onnen nun Proben entnommen und vermessen werden. Man stellt einen station¨ aren Zustand fest, welcher durch das Paar (e0 = e0 (x) = Konzentration von E0 , e1 = e1 (x) = Konzentration von E1 ) beschrieben sei. Wiederholung dieser Vorgehensweise f¨ ur verschiedene Konzentrationsangebote xj , j = 1, . . . , N liefert eine Sequenz xj , e1 (xj ), j = 1, . . . , N.

(6.24)

Eintragen dieser Paare in eine (x, e1 )-Ebene erzeugt ein Bild der in Abschnitt 2.6.6 (vgl. dort (2.108)) definierten Charakteristik Y1 (x) =

e1 (x) , beachte E = e0 (x) + e1 (x). E

(6.25)

Unser Modellsystem (6.12), (6.13) wird station¨ar, wenn die Zeit von t = 0 nach +∞ strebt: Diese ’Zeit‘ t ist also jene, welche das Netzwerk (6.11) selbst definiert! (Man kann sie als ’Eigenzeit‘ von (6.11) bezeichnen.) Daher entsprechen die station¨ aren Werte von E0 und E1 den beiden in (6.23) genannten Werten unseres Modellsystems. Das weist den Weg zu einem (Modell-) Analogon der Charakteristik Y1 (x), von der Abschnitt 2.6.6 handelt: Aus der Definition (2.108) in 2.6.6 (des nat¨ urlichen Systems) wird unter Verwendung von (6.22) und (6.23) die Charakteristik Y1 (x) =

e¯1 b k−0 e1 = =1− =1− , E E E ·a k0 x + k−0

(6.26)

k0 x Y1 (x) = k0 x + k−0 des Modellsystems. Es gelten folgende Dimensionen: ur k−0 : [Zeit−1 ], f¨ ur k0 : [Zeit−1 · Konzentration−1 ], f¨

(6.27)

welche an (6.12), (6.13) direkt abgelesen werden k¨onnen: Die Dimensionen auf beiden Seiten von (6.12) oder (6.13) m¨ ussen u ¨ bereinstimmen. Ferner k¨onnen wir nur Gr¨ oßen mit gleichen Dimensionen addieren und m¨ ussen schließlich beachten, dass auf der linken Seite von (6.12) oder (6.13) die Dimension [Konzentration pro Zeit] steht. Mit den Setzungen (6.27) rechnet man sofort nach, dass auf beiden Seiten von (6.12) und (6.13) dieselben Dimensionen erscheinen und dass dort nur Dinge derselben Dimension addiert werden. Die in Abschnitt 2.6.6 eingef¨ uhrte Bindungskonstante K0 koppeln wir gem¨ aß

184

6 Interaktionen zweier Populationen

k0 (6.28) k−0 mit den Geschwindigkeitskonstanten k0 , k−0 aus dem Netzwerk (6.11) und gewinnen dann wegen (6.26) die Darstellung K0 =

Y1 (x) =

K0 x . K0 x + 1

(6.29)

Dies ist der Ausdruck (2.111) (N = 1) aus Abschnitt 2.6.6! Im Hinblick auf (6.11) sieht man nun deutlich, dass die Reaktion (6.11) u ¨berwiegend im gebundenen Zustand E1 liegt, falls die Konstante (6.28) sehr groß ist: k0 >> k−0 ! K0 heißt auch Assoziationskonstante von (6.11). Im Gegensatz dazu ist (K0 )−1 die Dissozitationskonstante, welche groß wird, falls (6.11) vorwiegend im Zustand der linken Seite auftritt: k−0 >> k0 ! K0 hat wegen (6.27) die Dimension [Konzentration−1 ], so dass die Bildung K0 x dimensionslos ist. Im Gegensatz zur Assoziationskonstanten arbeitet man in der Biologie h¨ aufiger mit der Dissoziationskonstanten KD :=

1 k−0 = k0 K0

der Dimension [Konzentration]. Mit der KD wird (6.29) Quotient x Y1 (x) = KD + x

(6.30)

(6.31)

zweier Gr¨ oßen der Dimension [Konzentration]. Die KD erh¨alt aufgrund von (6.31) folgende Interpretation: Zun¨ achst w¨ achst Y1 streng-monoton und erf¨ ullt ur x → +∞. Y1 (x) → 1 f¨

(6.32)

Ferner finden wir

1 . (6.33) 2 Die KD ist also jene Konzentration an Substratgabe x, bei der die Funktion Y1 (x) halbmaximale Gr¨ oße annimmt. Man geht von der Vorstellung aus, ur um so kleineres x erreicht, je kleiner dass ein Enzym (fast) maximales Y1 f¨ die KD ist. Daher ist man in der Biologie im Allgemeinen an der Situation Y1 (KD ) =

0 < KD << 1

(6.34)

ur das Substrat X und interessiert. Man spricht von hoher Affinit¨ at von E0 f¨ meint damit, dass nur geringe Substratgaben x ausreichen, um Y1 (x) ∼ 1 zu erreichen. Dazu die

6.3 Substratumsetzende Organismen

185

¨ Ubung 64. Gegeben sei Y1 (x) aus (6.31). Es sei xǫ das kleinste x ≥ 0 mit Y1 (x) ≥ 1 − ǫ, 0 < ǫ < 1 vorgegeben. Zeige: (a) xǫ = Y1−1 (1 − ǫ),

(b) xǫ → 0, falls ǫ → 1 oder KD → 0.

¨ Nach Ubung 64 ist Y1 (x) bei nur wenig Substratangebot xǫ fast auf dem maximalen Stand 1, wenn KD sehr klein ist. Y1 (x) ≈ 1 aber heißt e1 ≈ e0 + e1 nach (2.108). Dann ist das freie Enzym E0 fast vollst¨andig in E1 umgewandelt, eine Voraussetzung f¨ ur eine effektive Enzymaktion, weil E1 die gew¨ unschte Umsetzung zum Produkt gew¨ ahrleistet. Der letzte Gedanke geht u ¨ ber das Ausgangsnetzwerk (6.11) hinaus, welches vollst¨ andig so k0 (6.35) X + E0 ⇋ E1 ⇀ E0 + Produkt k−0 lautet! Nun kann die Konzentration x vom Substrat X sicher nicht mehr konstant angesehen werden. Die neue dynamische Gr¨oße x = x(t) verlangt nach einer weiteren Differentialgleichung, und das Problem f¨allt aus dem Rahmen des vorliegenden Kapitels. Allerdings ist die obige Untersuchung eine wichtige Vorbereitung f¨ ur das Verst¨ andnis des erweiterten Netzwerks (6.35).

6.3 Substratumsetzende Organismen 6.3.1 Fl¨ aschchenexperiment In einem Fl¨ aschchen wachse eine Population Y von Organismen auf einem Substrat X. So w¨ achst (vgl. [4, 23]) Y = Acetobacterium woodii auf dem Substrat X = 3,4,5-Trimethoxybenzoat C10 H11 O5− und bewerkstelligt den Umsatz 4C10 H11 O5− + 6HCO3− → 4C7 H5 O5− + 9CH3 COO− + 3H + , bricht also 3,4,5-Trimethoxybenzoat in Acetat CH3 COO− und Gallat C7 H5 O5−

186

6 Interaktionen zweier Populationen

herunter. Dieser Umsatz ist Bestandteil eines Netzwerks von Abbaustufen, die in der Natur unter anaeroben Bedingungen auftreten. Typischerweise bleibt das Gallat (C7 H5 O5− ) nicht liegen, sondern wird weiter zu Acetat und Bicarbonat von Pelobacter acidicallici verwertet (vgl. [24]). Damit ist immer noch nicht das Ende des Abbauwegs erreicht: Acetat verwenden gewisse Methanbakterien und spalten es endg¨ ultig in CH4 (Methan) und CO2 . Zum Netzwerk nat¨ urlicher Abbauwege sei auf Zehnder et al. [41] verwiesen. ¨ Folgende Uberlegungen sollen das Verst¨ andnis der Dynamik solcher Umsetzungen f¨ ordern. Zum Zeitpunkt t ≥ 0 sei der Umfang der Population Y mit y(t) und jener von X mit x(t) bezeichnet. Beide Konzentrationen k¨onnen zu beliebigen Zeitpunkten gemessen werden. Nat¨ urlich sind die Anfangswerte x(0) ≥ 0, y(0) ≥ 0

(6.36)

bekannt. Die Aufnahme einer Messreihe xj ∼ x(tj ), yj ∼ y(tj ), j = 1, . . . , N

(6.37)

zeigt, dass der Zustand (xj , yj ), t ≥ 0 einem station¨aren Punkt (¯ x ≥ 0, y¯ ≥ 0)

(6.38)

zustrebt. Soweit die experimentelle Erfahrung. Wir wollen das Experiment auf der Grundlage der Vorstellungen verstehen, die zu dem in Abschnitt 4.2.2 angegebenen dynamischen System x(t) ˙ = − γ1 µ(x(t))y(t),

(6.39)

y(t) ˙ = µ(x(t))y(t). gef¨ uhrt haben. Die Funktion µ(x) regelt zusammen mit dem Ertrag γ > 0 die Dynamik des Geschehens. Beide Gr¨ oßen sind unbekannt, und wir w¨ urden diese L¨ ucke auf der Grundlage der Daten (6.37) am liebsten schließen. 6.3.2 Erhaltungssatz Zuerst machen wir uns klar, dass (6.39) das im vorigen Abschnitt geschilderte Geschehen nachbildet. Unser Ziel ist daher, alle L¨osungen (x(t), y(t)) zu beschreiben. Aus Abschnitt 4.2.2 sind uns die Voraussetzungen γ > 0, µ : R → R, diffbar., µ(0) = 0, µ(η) > 0 f¨ ur η > 0,

(6.40)

x(0) ≥ 0, y(0) ≥ 0 vertraut. Sei (x(t), y(t)), t ∈ I := [0, T ) (T > 0, oder T = +∞) eine L¨osung von (6.39). Dann ist die Gleichung

6.3 Substratumsetzende Organismen

0 = γ x(t) ˙ + y(t) ˙ =

187

d {γx(t) + y(t)} in I dt

leicht best¨ atigt. Sie liefert sofort den Erhaltungssatz

•

f(x)

•

x

Abb. 6.2. Qualitative Analyse von (6.43). Der Phasenstrahl ist versetzt hervorgehoben, die station¨ aren Punkte (stabil und instabil) sind markiert

γx(t) + y(t) = γx(0) + y(0) =: c, t ∈ I,

(6.41)

welcher z.B. die Darstellung y(t) = c − γx(t), t ∈ I

(6.42)

erm¨ oglicht. Einsetzen von (6.42) in die erste Zeile von (6.39) ergibt die skalare Gleichung x(t) ˙ = −µ(x(t))(γ −1 c − x(t)) =: f (x(t)). (6.43) Diese ist leicht diskutiert: Eine qualitative Analyse zeigt Abb. 6.2. Dort ist 0 ≤ x(0) ≤ x(0) + γ −1 y(0) = γ −1 c

(6.44)

benutzt. Daher zeigt Abb. 6.2, dass eine L¨ osung x(t) f¨ ur alle Zeiten t ≥ 0 existiert: x : [0, +∞) → R. (6.45) 6.3.3 L¨ osungsgesamtheit Die so konstruierte Funktion (6.45) liefert u ¨ ber (6.42) das Paar x(t), y(t) = c − γx(t), c = γx(0) + y(0),

(6.46)

welches f¨ ur alle Zeiten t ≥ 0 existiert und die beiden Gleichungen (6.39) erf¨ ullt: Dazu sei die Probe gerechnet:

188

6 Interaktionen zweier Populationen

x(t) ˙ = −µ(x(t))(γ −1 c − x(t)) = −µ(x(t))γ −1 y(t), y(t) ˙ = −γ x(t) ˙ = µ(x(t))y(t). Auf dieser Grundlage ist eine vollst¨ andige Analyse aller L¨osungen von (6.39) m¨ oglich: Zun¨ achst Fall 1: x(0) = 0. Wegen (6.41) finden wir y(0) = c. Ferner ist x = 0 ein station¨arer Punkt von (6.43). Daher gilt die erste Beziehung in x(t) = x(0) = 0, y(t) = c = y(0) f¨ ur t ≥ 0.

(6.47)

Dann aber folgt die zweite Gleichung sofort aus der Darstellung (6.46). Fall 2: x(0) = γ −1 c = x(0) + γ −1 y(0). Wieder liegt der Anfangswert von x(t) auf einem station¨aren Punkt von (6.43), so dass die erste Gleichung in x(t) = γ −1 c, y(t) = 0 (6.48) oder x(t) = x(0), y(t) = y(0) = 0 f¨ ur t ≥ 0 zutrifft. Mit der Konstruktion (6.46) findet man die zweite Gleichung. Fall 3: 0 < x(0) < γ −1 c = x(0) + γ −1 y(0), also y(0) > 0. Der Anfangswert x(0) liegt zwischen den beiden station¨aren Punkten von Abb. 6.2. Ihr entnimmt man direkt die erste Zeile von t→+∞

x(t) −→ 0 streng-monoton fallend,

(6.49)

t→+∞

y(t) −→ y(0) + γx(0) streng-monoton wachsend. Die zweite Zeile ist eine Folge der Konstruktion (6.46). 6.3.4 Diskussion aller L¨ osungen Das Resultat aus 6.3.3 sei genauer beleuchtet: Zun¨achst stellen wir fest, dass die F¨ alle 1 und 2 praktisch nicht vorkommen, weil entweder kein Substrat (Fall 1) oder keine Organismenpopulation (Fall 2) vorliegt. Die generische Situation ist durch Fall 3 gegeben: Das Substrat nimmt streng monoton ab, w¨ ahrend gleichzeitig die Organismen streng monoton zunehmen und einer Grenzdichte zustreben. Der Zuwachs zur Anfangsdichte ist nach (6.49) durch γx(0), also den verwertbaren Teil der Anfangskonzentration des Substrats beschrieben. Er h¨ angt offensichtlich nur von der Konstanten

6.3 Substratumsetzende Organismen

189

γ (und nat¨ urlich vom Anfangswert x(0)), nicht aber von der Ratenfunktion µ(η) ab. Wegen (6.38) und (6.49) gilt y¯ = y(0) + γx(0), so dass der Ertrag γ=

y¯ − y(0) >0 x(0)

(6.50)

bestimmt werden kann (beachte y¯ − y(0) > 0, weil y(t) streng-monoton w¨ achst). Die Gleichung (6.50) verbindet lauter messbare Gr¨oßen — y¯ (Populationsumfang am Ende des Experiments) und (x(0), y(0)) (Anfangszustand) — aus der Natur mit der Konstanten γ des Modellsystems (6.39). Die (6.39) beherrschende Ratenfunktion µ(η) selbst bleibt der einfachen Versuchsanordnung verborgen. Man lernt sie besser kennen, wenn die Kultur im Chemostaten hochw¨ achst. Dies wird in Kreikenbohm, Pfennig [23] durchgef¨ uhrt. Die dort gewonnenen Daten sind in [6] mit einem Chemostatenmodell behandelt, welches eine Verallgemeinerung unserer Gleichungen (6.39) darstellt. F¨ ur den Chemostaten ist nicht nur die experimentelle, sondern auch die mathematische Situation deutlich komplizierter. Jedenfalls reichen die Methoden dieses Bandes nicht mehr aus, um die Chemostatengleichungen zu verstehen. Die beschriebenen Eigenschaften von (6.39) ensprechen durchaus den Erwartungen von einem Fl¨ aschchenexperiment. Auch die F¨alle 1 und 2 sind mit unserer Intuition vereinbar: ohne Substrat kein Wachstum (Fall 1) und ohne Organismen kein R¨ uckgang des Substrats und keine spontane Entstehung von Organismen (siehe (6.48)). Das Zusammentreffen von Gr¨ oßen des Experiments und Bausteinen des Modellsystems (vgl. (6.50)) markiert die Schnittstelle zwischen Natur und mathematischer Beschreibung. Im vorliegenden Fall lehrt die Analyse, dass das geschilderte Experiment noch keinen Hinweis auf die Ratenfunktion µ(η) gibt: Eine durchaus brauchbare Erkenntnis, die auf dem Weg, den Vorgang zu verstehen, weiterhilft. 6.3.5 Phasenebene Nun aber zur¨ uck zur Theorie dynamischer Systeme am Beispiel von (6.39): Es ist u osungsverhalten zweidimensionaler Systeme in der ¨ blich, das L¨ Phasenebene zu beschreiben. Dies ist die (x, y)-Ebene, in welcher jede L¨ osung (x(t), y(t)), t ∈ [0, +∞) von (6.39) durch die Kurve (vgl. Abschnitt 4.5) (x(t), y(t)), Kurvenparameter t, Parameterintervall [0, +∞)

(6.51)

veranschaulicht wird. In den F¨ allen 1 und 2 (siehe 6.3.3) degeneriert diese Kurve zu einem Punkt, da nach (6.47) bzw. (6.48) der jeweilige Anfangswert in der Zeit nicht verlassen wird: Beachte die durch offene Kreise markierten

190

6 Interaktionen zweier Populationen y

x

Abb. 6.3. Phasenebene des Systems (6.39). Die Achsen sind voller instabiler station¨ arer Punkte (offene Kreise), die sonstigen Orbits parallele Geraden, die der Richtung der Pfeile folgend von rechts unten nach links oben durchlaufen werden (einige sind gezeichnet)

Punkte in Abb. 6.3. In der generischen Situation von Fall 3 h¨angen die Dichten der Organismenpopulation und des Substrats gem¨aß y(t) + γx(t) = c

(6.52)

zusammen (vgl. (6.46)). Dies bedeutet, dass die Kurven (6.51) Geraden y + γx = c

(6.53)

in der Phasenebene sind, veranschaulicht in Abb. 6.3. Sie werden von rechts unten nach links oben — den Pfeilen in Abb. 6.3 folgend — in positiver Zeit durchlaufen. Im Grenzwert t → +∞ wird der Kreis auf der y-Achse und der jeweiligen Geraden erreicht. Zu jeder Anfangssituation (x(0) > 0, y(0) > 0) gibt es genau eine Gerade der eben beschriebenen Art. Der nichtnegative Quadrant der Phasenebene ist also vollst¨ andig durch solche Geraden u ¨ berdeckt, wenn wir s¨ amtliche Anfangssituationen ins Auge fassen. Nat¨ urlich sind alle Punkte der beiden Achsen instabile station¨ are Punkte P , weil sich in jeder Umgebung auf der Achse andere station¨ are Punkte befinden. Daher gibt es in jeder Umgebung von P Anfangswerte, deren zugeh¨orige Evolutionen (6.39) niemals nach P zur¨ uckkommen! ¨ Ubung 65. Sei P ein station¨ arer Punkt von (6.39). Finde alle Evolutionen mit Anfangspunkt (x(0) > 0, y(0) > 0), die nicht nach P streben.

6.4 Lineare R¨ auber-Beute-Interaktion: Winkelfunktionen

191

6.4 Lineare R¨ auber-Beute-Interaktion: Winkelfunktionen 6.4.1 Ein spezielles R¨ auber-Beute-Modell In Abschnitt 4.2.3 wurde schon erw¨ ahnt, dass das R¨auber-Beute-Modell (4.14) einen schwingenden Vorgang bestimmt. W¨ ahlen wir alle Konstanten gleich 1, so entsteht die besondere R¨ auber-Beute-Aktion x˙ = x(1 − y), y˙ = y(x − 1).

(6.54)

Durchweg werden dimensionslose Gr¨ oßen angenommen. Grundlage solcher Aktionen ist das ’chemische‘ Netzwerk k

0 X −→ 2X (nat¨ urliche Vermehrung der Beute),

X +Y

k

1 −→ 2Y (die R¨ auber vermehren sich auf Kosten der Beute),

Y

k

2 −→ (nat¨ urliches Sterben der R¨auber)

(6.55) mit zwei Populationen X (der Beute) und Y (den R¨aubern) und ihren Populationsumf¨ angen x(t), y(t) zum Zeitpunkt t ≥ 0. (6.55) erfasst nur ungen¨ ugend (vgl. [40]) einen nat¨ urlichen R¨ auber-Beute-Vorgang. Das Netzwerk geh¨ ort aber zu den einfachsten Mechanismen, welche Oszillationen beschreiben. Es entfaltet seine St¨ arken, wenn es um das Verst¨andnis von Periodizit¨at ¨ geht. Uberdies leistet es wertvolle Dienste bei einer Begr¨ undung des VolterraPrinzips (vgl. [7] hier Abschnitt 4.9, [38] hier Kap. XXIV, § XI). Die Umsetzung des Reaktionsschemas (6.55) in dynamische Gleichungen ¨ f¨ ur x(t) und y(t) geschieht am Leitfaden der Uberlegungen aus Abschnitt 6.2.1, welche zur Behandlung des Netzwerks (6.11) angestellt worden sind: x˙ = k0 x − k1 yx, y˙ = k1 yx − k2 y.

(6.56)

In der ersten Zeile von (6.55) entsteht X proportional zu sich selbst mit dem Proportionalit¨ atsfaktor k0 . Damit ist der erste Term auf der rechten Seite der ersten Gleichung in (6.56) klar. Ein analoges Argument besteht f¨ ur den letzten Term in der zweiten Gleichung: Gem¨ aß der letzten Zeile des Netzwerkes vergeht n¨ amlich die Population Y proportional zu ihrem eigenen Umfang. Schließlich die beiden letzten Ausdr¨ ucke: Sie stehen f¨ ur die eigentliche Bejagung, welche proportional zu den Umf¨ angen der R¨auber-und Beutepopulationen in unserem Netzwerk beschrieben sind. Dieses Geschehen dezimiert die Beute X und tr¨ agt gleichzeitig zur Vermehrung der R¨auber Y bei. Offenbar entsteht (6.54), wenn k0 = k1 = k2 = 1 gesetzt wird.

192

6 Interaktionen zweier Populationen

Es soll im Folgenden nicht darum gehen, (6.54) zu l¨osen, vielmehr wird in einer Umgebung der Stelle (1, 1) ∈ R2 eine N¨ aherung angegeben, welche die Situation vereinfacht und deren L¨ osung mit Hilfe der Winkelfunktionen Sinus und Kosinus aufgebaut werden kann. Gleichzeitig erhalten wir Gelegenheit, die wichtigsten Eigenschaften der Winkelfunktionen zusammenzustellen. Dazu werden die rechten Seiten von (6.54) an der Stelle (1, 1) ∈ R2 durch Taylor Polynome vom Grade 1 ersetzt. Dann entsteht das lineare System x˙ = −(y − 1), y˙ = x − 1

(6.57)

(siehe (4.72) in Abschnitt 4.4.5). Wir substituieren noch u = x − 1, v = y − 1

(6.58)

und finden f¨ ur die dynamischen Variablen u, v das System u˙ = −v, v˙ = u.

(6.59)

6.4.2 sin und cos Sei u(t), v(t) eine L¨ osung von (6.59) f¨ ur t ≥ 0. Die Funktion w(t) = u(t)2 + 2 ullt dann v(t) erf¨ w˙ = 2uu˙ + 2v v˙ = 2(−uv + vu) = 0 f¨ ur alle t ≥ 0. Mit Abschnitt 3.3.2 folgt w(t) = w(0) f¨ ur alle t ≥ 0, also u(t)2 + v(t)2 = u(0)2 + v(0)2 f¨ ur t ≥ 0.

(6.60)

u(0) = 1, v(0) = 0,

(6.61)

Sei nun dann gilt in jedem Zeitpunkt t ≥ 0 die Gleichung u(t)2 + v(t)2 = 1.

(6.62)

Die Paare (u(t), v(t)) liegen demnach auf dem Einheitskreis in der (u, v)¨ Ebene. Die Uberlegungen im n¨ achsten Unterabschnitt 6.4.3 werden zeigen, dass es eine endliche Zeit T > 0 gibt, so dass die Punkte (u(t), v(t)) genau einmal durch den ganzen Einheitskreis laufen, wenn t von −T nach T getrieben wird. Die so definierten Funktionen heißen u(t) =: cos(t), v(t) =: sin(t) (sprich: Kosinus, Sinus). Die oben festgelegte Konstante T definiert die Zahl π: T = π.

6.4 Lineare R¨ auber-Beute-Interaktion: Winkelfunktionen

193

f(v)

•

v

• Abb. 6.4. Qualitative Analyse zu (6.64). Der Phasenstrahl ist versetzt hervorgehoben, die station¨ aren Punkte sind markiert

6.4.3 R¨ uckf¨ uhrung auf eine skalare Gleichung Wir wollen die Tatsachen aus Abschnitt 6.4.2 besser verstehen, greifen auf den Erhaltungssatz (6.62) zur¨ uck und stellen eine Unbekannte dar, z.B.  u(t) = 1 − v(t)2 mit v(t)2 ≤ 1. (6.63) Verwende (6.63) in der zweiten Gleichung von (6.59) und finde  v(t) ˙ = 1 − v(t)2 , v(0) = 0,

(6.64)

wobei die Anfangsbedingung durch die zweite Forderung in (6.61) vorgeschrieben wird. Zur qualitativen √ Analyse von (6.64) betrachte die Abb. 6.4. Hier ist die rechte Seite f (v) := 1 − v 2 gezeichnet: Die L¨osung v(t) der Anfangswertaufgabe (6.64) muss streng monoton wachsend dem Wert 1 entgegenstreben. ¨ Es ist aber eine entscheidende Anderung gegen¨ uber der bisherigen qualitativen Analyse eingetreten: Die Funktion f (v) besitzt die Ableitung −v , 0≤v<1 f ′ (v) = √ 1 − v2 und ist f¨ ur v = 1 nicht differenzierbar. Dieser Umstand ist verantwortlich daf¨ ur, dass die L¨ osung v(t) von (6.64) den Wert 1 nicht erst nach unendlich langer sondern schon nach endlicher Zeit τ ∈ R, 0 < τ erreicht. Die L¨osung erf¨ ullt die Merkmale v(t) > 0, v(t) ˙ > 0 f¨ ur 0 < t < τ, 0 < v(t) < 1 f¨ ur 0 < t < τ v(0) = 0, v(0) ˙ = 1, v(τ ) = 1, v(τ ˙ ) = 0,

(6.65)

194

6 Interaktionen zweier Populationen

wobei zur Festlegung der Ableitung an der Stelle t = τ nur die Ann¨aherung des Differenzenquotienten aus dem Inneren des Intervalls [0, τ ] verwendet werden darf. Wir k¨ onnen die soeben beschriebene L¨ osung von (6.64) auf das Intervall [−τ, τ ] ausdehnen:  −v(−t) f¨ ur − τ ≤ t ≤ 0, w(t) = (6.66) v(t) f¨ ur 0 ≤ t ≤ τ erf¨ ullt die Anfangswertaufgabe (6.64): Dies ist offensichtlich f¨ ur 0 ≤ t ≤ τ , weil dort w(t) = v(t) besteht, und gilt f¨ ur −τ ≤ t ≤ 0 wegen   (6.67) w(t) ˙ = v(−t) ˙ = 1 − v(−t)2 = 1 − w(t)2 (verwende die obere Definition in (6.66) und die Kettenregel). Offenbar erf¨ ullt w(t) aus (6.66) die Merkmale −1 < w(t) < 1 f¨ ur − τ < t < τ, w(−τ ) = −1, w(0) = 0, w(τ ) = 1.

(6.68)

w(t) ˙ > 0 f¨ ur − τ < t < τ, w(−τ ˙ ) = w(τ ˙ ) = 0. Daher existiert u ¯(t) :=



1 − w(t)2 f¨ ur − τ ≤ t ≤ τ

(6.69)

und ist differenzierbar mit der Ableitung 2w(t)w(t) ˙ = −w(t), −τ ≤ t ≤ τ, u ¯˙ (t) = −  2 1 − w(t)2

(6.70)

weil (6.67) besteht! Diese Beziehung ist f¨ ur −τ < t < τ offensichtlich — schließlich gilt die erste Zeile von (6.68) —, die Gleichung (6.70) kann u ¨ berdies f¨ ur t = ±τ bewiesen werden. Aus (6.67), (6.69) und (6.70) folgt u ¯˙ = −w, w˙ = u¯,

(6.71)

(¯ u(t), w(t)), −τ ≤ t ≤ τ

(6.72)

so dass das Paar das lineare System (6.59), (6.61) l¨ ost. Die Anfangsbedingungen u¯(0) = 1, w(0) = 0

(6.73)

liest man an (6.68) und (6.69) ab. Nach Abschnitt 6.4.2 l¨ost auch (cos(t), sin(t)), −τ ≤ t ≤ τ

(6.74)

die Anfangswertaufgabe (6.59), (6.61). Nun gilt der Existenz- und Eindeutigkeitssatz aus Abschnitt 3.6.1 auch f¨ ur Systeme mit zwei Gleichungen, so dass (6.72) und (6.74) dieselben L¨ osungen darstellen:

6.4 Lineare R¨ auber-Beute-Interaktion: Winkelfunktionen

195

cos(t) −

π

−

sin(t)

τ

τ

π

w(t)

cos(t)

sin(t)

Abb. 6.5. Die Winkelfunktionen sin und cos: links der Kurvenverlauf, rechts geometrische Deutung am Einheitskreis. Das im Text konstruierte Intervall [−τ, τ ] und die dort - als L¨ osung von (6.64) - definierte Funktion w(t) sind eingezeichnet. Man kann sin in [−τ, τ ] durch w(t) erkl¨ aren (siehe den streng-monoton wachsenden, ausgezogenen Kurvenzug der linken Zeichnung)

u ¯(t) = cos(t), w(t) = sin(t), −τ ≤ t ≤ τ.

(6.75)

Den Verlauf der beiden Kurven (6.75) zeigt die Abb. 6.5. Wegen (6.62) besteht die geometrische Situation am Einheitskreis, welche dort außerdem dargestellt wird. F¨ ur das so konstuierte τ gilt offenbar τ = T2 = π2 mit der Zeit T aus Abschnitt 6.4.2! Tats¨ achlich sind die Funktionen (6.74) bisher nur in dem Intervall π π [−τ, +τ ] = [− , + ] 2 2 erkl¨ art. Die Eigenschaften (6.68) reichen zu einer Fortsetzung beider Winkelfunktionen u ur alle reellen Eintragungen t ∈ ¨ ber dieses Intervall hinaus f¨ [−π, +π] aus. Der entstehende Kurvenverlauf wird in Abb. 6.5 angedeutet. Die Definition auf ganz R entsteht als periodische Fortsetzung in den Außenbereich von [−π, +π]. Die so konstruierten 2π − periodischen Funktionen u ¯(t) und w(t), t ∈ R erf¨ ullen ebenfalls das System (6.71). Unsere Interpretation am Einheitskreis zeigt, dass das Geschehen im Intervall [−π, +π] genau einmal den gesamten Einheitskreis u ¨ berstreicht. 6.4.4 Eigenschaften von cos und sin ¨ Nach diesen eher theoretischen Uberlegungen zur Definition der Winkelfunktionen kehren wir zu den Aussagen von 6.4.2 zur¨ uck. Zun¨achst ist sin2 (t) + cos2 (t) = 1, | sin(t)| ≤ 1, | cos(t)| ≤ 1 (vgl. (6.62), Abb. 6.5) und weiter

(6.76)

196

6 Interaktionen zweier Populationen

d d sin(t) = cos(t), cos(t) = − sin(t) dt dt

(6.77)

nach (6.59) sowie schließlich sin(t + 2π) = sin(t), cos(t + 2π) = cos(t) (vgl. Abb. 6.5), sin(0) = 0, cos(0) = 1 (vgl. (6.61))

(6.78) (6.79)

[− π2 , + π2 ]

auf Grund der Fortsetzungsprozesse aus zun¨achst in [−π, +π] und dann nach ganz R (vgl. den Unterabschnitt 6.4.3). Wegen der Eigenschaft (6.78) sagt man, dass sin und cos 2π-periodisch sind. Die Gleichungen (6.77) liefern die Integralbeziehungen # # cos(s)ds = sin(t), sin(s)ds = − cos(t). (6.80) Schließlich k¨ onnen wir die Taylor Polynome an der Stelle t = 0 ausrechnen. Dazu ben¨ otigt man neben (6.77) noch d2 d (sin(t)) = (cos(t)) = − sin(t), dt2 dt d d2 (cos(t)) = (− sin(t)) = − cos(t). dt2 dt Wegen (6.79) liefert (4.57) in Abschnitt 4.4.2 sofort sin(t) ∼ p2 (t, t¯ = 0) = t in einer Umgebung von t¯ = 0, cos(t) ∼ p2 (t, t¯ = 0) = 1 − 12 t2 in einer Umgebung von t¯ = 0. 6.4.5 Anwendung auf das spezielle R¨ auber-Beute-Modell Wir kehren kurz zum R¨ auber-Beute-Modell (6.54) zur¨ uck, welches in der N¨ahe von (1, 1) ∈ R2 durch (6.57) approximiert wird. Die L¨osungen von (6.57) lauten x(t) = 1 + R cos(t + α), y(t) = 1 + R sin(t + α) (6.81) mit freien reellen Konstanten R, α. Differentiation von (6.81) liefert unter Ber¨ ucksichtigung von (6.77) n¨ amlich x(t) ˙ = −R sin(t + α) = −(y(t) − 1), y(t) ˙ = R cos(t + α) = x(t) − 1, also (6.57). Die L¨ osungen (6.81) sind periodisch und beschreiben konzentrische Kreise mit dem Mittelpunkt (1, 1) ∈ R2 und dem Radius |R| in der (x, y)-Ebene, denn es gilt (x(t) − 1)2 + (y(t) − 1)2 = R2 (cos2 (t + α) + sin2 (t + α)) = R2 .

6.5 Die Winkelfunktion tg(t)

197

F¨ ur R > 0 aber hinreichend klein liegen die L¨osungen (6.81) ganz in einer Umgebung von (1, 1) ∈ R2 , in der (6.54) gut durch (6.57) repr¨asentiert wird. Daher kann man erwarten, dass auch (6.54) in der N¨ahe von (1, 1) ∈ R2 periodische L¨ osungen besitzt, die in der (x, y)-Ebene geschlossene Kurven um ahere Diskussion von (6.54) zeigt, dass dies (1, 1) ∈ R2 beschreiben. Eine n¨ tats¨ achlich der Fall ist. So bleiben wir wieder mit einem Hinweis allein: Die Vorstellung des periodischen Verhaltens aller L¨ osungen von (6.54) wird gest¨arkt, aber nicht sichergestellt. Die eben erw¨ ahnte n¨ahere Diskussion jedoch u ¨ bersteigt die soweit bereitgestellten mathematischen M¨ oglichkeiten.

6.5 Die Winkelfunktion tg(t) 6.5.1 Tangens und Arcus Tangens Die Funktion tg(t) :=

sin(t) cos(t)

(6.82)

(sprich Tangens) bereichert in Weise die Integralrechnung. ¨ berraschender  u  Zun¨ achst ist sie im Intervall − π2 , π2 definiert und hat den in Abb. 6.6 angezeigten Verlauf. Bei − π2 und π2 wachsen die Betr¨age der Funktionswerte

tg(t)

arc tg(t)

Abb. 6.6. tg und arc tg

u ¨ ber alle Grenzen (gestrichelte Linien der linken Zeichnung von Abb. 6.6). Der Tangens ist streng monoton wachsend, besitzt also eine Umkehrfunktion   tg−1 , welche auf ganz R definiert ist und den Wertebereich − π2 , π2 besitzt (rechte Zeichnung von Abb. 6.6). Man nennt tg−1 den Arcus Tangens und schreibt arc tg(t) := tg−1 (t).

198

6 Interaktionen zweier Populationen

6.5.2 Ableitung und Stammfunktion Wir finden d sin(t) cos(t) cos(t) + sin(t) sin(t) d tg(t) = = dt dt cos(t) cos2 (t) und erhalten unter Verwendung von (6.82) oder (6.76) die Darstellungen 1 d d tg(t) = 1 + tg2 (t) oder tg(t) = . dt dt cos2 (t)

(6.83)

Damit liefert die Umkehrregel (Tabelle 2.6 in 2.5.3) d d 1 arc tg(t) = tg−1 (t) = ′ . dt dt tg ((tg)−1 (t)) Nun greifen wir auf die erste Darstellung in (6.83) zur¨ uck und finden 1 1 d arc tg(t) = = . dt 1 + (tg((tg)−1 (t)))2 1 + t2 (6.83) und (6.84) geben uns die Stammfunktionen # # ds ds = tg(t), = arc tg(t). 2 cos (s) 1 + s2

(6.84)

(6.85)

Der Leser m¨ oge bemerken, dass wir die rationale Funktion (1 + s2 )−1 nicht mit Hilfe der Partialbruchzerlegung aus Abschnitt 3.4.5 integrieren konnten, da das Nennerpolynom keine reellen Nullstellen besitzt. Mit (6.85) lernt man, dass Winkelfunktionen zur Integration von (1 + s2 )−1 n¨otig sind.

6.6 Lineare Differentialgleichungssysteme in der Ebene: Matrizen und Eigenwerte 6.6.1 Ligandenbindung Die Grundlagen sind im Unterabschnitt 6.2.1 gelegt: Es handelt sich um das Netzwerk (6.11) mit dem zugeh¨ origen dynamischen System (6.12), (6.13), welches hier wiederholt sei e˙ 0 (t) = −k0 xe0 (t) + k−0 e1 (t),

(6.86)

e˙ 1 (t) = k0 xe0 (t) − k−0 e1 (t). Wir setzen nun die lineare Theorie, welche im Kapitel 5 ausgebreitet worden ist, ein und definieren dazu die Matrix

6.6 Lineare Differentialgleichungssysteme in der Ebene: Matrizen und Eigenwerte

K=



−k0 x k−0 k0 x −k−0



(6.87)

und den Zustandsvektor e(t) := (e0 (t), e1 (t)) ∈ R2 .

(6.88)

Der Bildvektor Ke(t) hat die Komponenten [Ke(t)]1 = −k0 xe0 (t) + k−0 e1 (t), [Ke(t)]2 = k0 xe0 (t) − k−0 e1 (t),

(6.89)

eben die rechte Seite des Systems (6.86). Mit der Einf¨ uhrung der Ver¨ anderungsrate e(t) ˙ := (e˙ 0 (t), e˙ 1 (t)), t ≥ 0 des Zustands (6.88) wird die kompakte Form e(t) ˙ = Ke(t)

(6.90)

von (6.86) erreicht. Nun zu den L¨ osungen e¯(t) von (6.90). Der analytische Ausdruck steht in Abschnitt 6.2.3 (dort (6.22)), er sei hier wiederholt:   e¯0 (t) = ab − ab − e0 (0) exp(−at), (6.91)   e¯1 (t) = E − ab + ab − e0 (0) exp(−at) mit

a = k0 x + k−0 > 0, b = k−0 E ≥ 0. Offensichtlich kann (6.91) in    b e¯0 (t) a e¯(t) = = e¯1 (t) E−

b a



+



  b −1 − e0 (0) exp(−at) 1 a

(6.92)

(6.93)

u uhrt werden (beachte die Regeln f¨ ur das Rechnen mit Vektoren aus ¨ berf¨ 5.3.2). Unter Verwendung von (6.92) erh¨ alt der erste Vektor auf der rechten Seite von (6.93) die Darstellung ⎡ b ⎤     a E k−0 ⎦ = 1 k−0 E ⎣ = , (6.94) a (k0 x + k−0 )E − k−0 E a k0 x E − ab und (6.93) lautet dann e¯(t) =

E a



    b k−0 −1 − e0 (0) exp(−at). + 1 k0 x a

(6.95)

199

200

6 Interaktionen zweier Populationen

Die Beziehung (6.95) spannt die L¨ osung mit Hilfe der beiden Vektoren     −1 k−0 2 ∈ R2 (6.96) ∈ R , v := u := 1 k0 x auf. Sie stehen in einem engen Verh¨ altnis zur Matrix K, welches durch die Gleichungen        k−0 −k0 x k−0 −k0 xk−0 + k−0 k0 x 0 Ku = = = , k0 xk−0 − k−0 k0 x k0 x k0 x −k−0 0 Kv =



−k0 x k−0 k0 x −k−0



   k0 x + k−0 −1 , = 1 −k0 x − k−0

Kv = −(k0 x + k−0 )



−1 1

(6.97)



ausgedr¨ uckt wird. Mit den Abk¨ urzungen λ := −(k0 x + k−0 ), 0 := (0, 0) der sog. Nullvektor kann (6.97) k¨ urzer geschrieben werden: Ku = 0 = 0 · u, Kv = λ · v.

(6.98)

Die Vektoren (6.96) werden also unter der Matrix K einfach verl¨angert oder gestaucht, n¨ amlich mit der Konstanten 0 bzw. λ multipliziert! Vektoren x ∈ R2 , x = Nullvektor, welche unter einer Matrix A bis auf eine Konstante erhalten bleiben Ax = µ · x f¨ ur ein µ ∈ R, heißen Eigenvektoren von A, die zugeh¨ origen Konstanten µ werden Eigenwerte der Matrix A genannt. In diesem Sinne sind die Vektoren u, v aus (6.96) Eigenvektoren der Matrix K mit den Eigenwerten 0 bzw. λ. Mit Hilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren von K ist die L¨ osung des Systems (6.90) vollst¨ andig beschrieben (siehe (6.95), (6.92)): e¯(t) = αu + βv · exp(λt) = αu · exp(0t) + βv · exp(λt) α :=

E a

, β :=

b a

− e0 (0).

(6.99)

6.6 Lineare Differentialgleichungssysteme in der Ebene: Matrizen und Eigenwerte

6.6.2 Lineare dynamische Systeme: R¨ auber-Beute-Modell Man k¨ onnte versuchen, das in Abschnitt 6.4.1 betrachtete lineare System (6.59) analog zu behandeln. Die Gleichungen haben die Gestalt      u 0 −1 u˙ , (6.100) = v 1 0 v˙ weil



0 −1 1 0

    u −v = v u

besteht. Zur Bestimmung aller L¨ osungen von (6.100) versuchen wir die Erkenntnisse des letzten Abschnittes zu nutzen. Im Hinblick auf (6.97) ist die Eigenwertaufgabe      0 −1 x x =λ (6.101) 1 0 y y oder gleichbedeutend

−y = λx, x = λy

(6.102)

zu betrachten. (6.102) f¨ uhrt zu den Forderungen −y = λ2 y, x = λy,

(6.103)

wenn die zweite Gleichung in (6.102) in die erste eingesetzt wird. (6.103) l¨asst zwei M¨ oglichkeiten offen: Zun¨ achst y = 0, x = 0, also den Nullvektor (beide Komponenten verschwinden!), welcher als Eigenvektor ausgeschlossen ist, und dann y = 0, −1 = λ2 , x = λy. Die hier entstehenden Eigenvektoren lauten   λ y , y ∈ R , λ2 = −1. 1

(6.104)

(6.105)

Bekanntlich gibt es aber keine reelle Zahl λ, deren Quadrat mit −1 u ¨ bereinstimmt. Wir m¨ ussen unseren L¨ osungsversuch abbrechen, weil die Eigenwertaufgabe (6.101) keine reellen L¨ osungen besitzt! Hier w¨are ein nat¨ urlicher ¨ Ubergang in die komplexen Zahlen n¨ otig, der in dieser einf¨ uhrenden Darstellung aber nicht unternommen werden soll. Es ist lehrreicher zu verstehen, dass im obigen Fall der Weg u ¨ ber die Eigenwerte gar nicht erfolgreich sein darf, f¨ uhrt er doch zu L¨osungen der Form (6.99), welche nur aus Exponentialtermen zusammengesetzt sind. Dies ist aber unm¨ oglich, weil wir aus dem Unterabschnitt 6.4.2 schon wissen, dass

201

202

6 Interaktionen zweier Populationen



cos(t) α sin(t)



, α ∈ R, t ∈ R

(6.106)

L¨osungen von (6.100) sind. Es ist an dieser Stelle u ¨berhaupt nicht einzusehen, warum die in (6.106) auftretenden Winkelfunktionen mit der Exponentialfunktion verwandt sein sollen. Beachte dazu nur das Langzeitverhalten: Die L¨osungen (6.106) bleiben beschr¨ ankt und oszillieren, w¨ahrend die aus dem Eigenwertansatz resultierenden L¨ osungen der Form (6.99) streng monoton wachsende oder fallende Anteile zeigen, jedenfalls in keinem Fall oszillieren! Der oben schon angedeutete Weg in die komplexen Zahlen sorgt f¨ ur Kl¨arung. 6.6.3 Alle L¨ osungen von (6.100) Zum Schluss soll der Leser alle L¨ osungen von (6.100) kennenlernen. Es stellt sich heraus, dass (6.106) erg¨ anzt werden muss. Die L¨osungsgesamtheit ist gem¨ aß       − sin(t) cos(t) u(t) , α, β ∈ R, t ∈ R +β =α (6.107) cos(t) sin(t) v(t) gegeben. ¨ Ubung 66. Zeige, dass alle Vektoren aus (6.107) das System (6.100) l¨osen. Zeige weiter, dass jede Anfangswertaufgabe        u(t) ˙ 0 −1 u(t) u(0) = , ∈ R2 gegeben (6.108) v(t) ˙ 1 0 v(t) v(0) eine L¨ osung in der Form (6.107) besitzt. Finde einen analytischen Ausdruck f¨ ur diese L¨ osung. Die im letzten Teil der Aufgabe 66 ausgedr¨ uckte Tatsache besagt, dass in der Menge der analytischen Ausdr¨ ucke (6.107) f¨ ur jede Anfangswertaufgabe (6.108) eine L¨ osung zu finden ist. Aus rein praktischen Gr¨ unden sind alle unsere Bed¨ urfnisse damit befriedigt, haben wir doch jede Anfangswertaufgabe gel¨ ost! Aus diesem Umstand folgt, dass sogar alle L¨ osungen von (6.100) durch die Menge der analytischen Ausdr¨ ucke (6.107) gegeben sind, ein Tatbestand, der in Abschnitt 3.6.2 schon im Falle einer skalaren Anfangswertaufgabe erw¨ ahnt und benutzt wird.

6.7 Biologische Evolution ¨ 6.7.1 Ausgangspunkt der Uberlegungen Das Zusammwirken zweier Populationen X und Y f¨ uhrt zu vielf¨altigen Erscheinungsformen auf der Grundlage von Mechanismen, die wir eigentlich alle

6.7 Biologische Evolution

203

gern verstehen w¨ urden. Dieser letzte Abschnitt jedoch ist bescheidener: Er unterstellt keine spezifische Situation zwischen X und Y , geht vielmehr von allgemein einsichtigen Voraussetzungen aus und fragt nach den entstehenden Erscheinungsbildern (vgl. auch [34]). Insbesondere interessieren die M¨oglichkeiten von Koexistenz oder ruin¨ oser Konkurrenz mit den zugeh¨origen vielf¨ altigen Zeitbildern. Diese sind dann von Interesse, wenn im Experiment nicht nur der Endzustand (eine Population unterliegt bzw. beide Populationen erleben ein geordnetes Nebeneinander), sondern auch der zeitliche Prozess dorthin beobachtet wird. F¨ ur einen Einstieg in unsere Untersuchungen ben¨otigen wir zun¨achst eine Basis, auf der eine einzige Population hochw¨achst. In Kapitel 2 wurde der Mechanismus von Verhulst besprochen. Ist x(t) der Umfang der Population X zum Zeitpunkt t, so ist das Geschehen nach Verhulst durch  x x˙ = xR 1 − , R > 0, K > 0 (6.109) K

gegeben. Am Leitfaden der zugeh¨ origen Vorstellungen (vgl. Abschnitt 2.2.4) werde (6.109) allgemeiner gefasst: Offenbar ist (6.109) ein Sonderfall von x(t) ˙ = x(t)F (x(t)).

(6.110)

(6.109) entsteht aus (6.110) f¨ ur  η . F (η) := R 1 − K

(6.111)

6.7.2 Evolution einer einzigen Population X sei eine Population, die gem¨ aß (6.110) w¨ achst. Die Funktion F sei dreimal differenzierbar und erf¨ ulle F : {η ∈ R : η ≥ 0} → R, F (0) > 0, F ′ (η) < 0, 2F ′ (η) + ηF ′′ (η) < 0, F (ηF ) = 0

(6.112)

f¨ ur η ≥ 0 und ein ηF > 0. Im Falle von (6.111) gilt R F (0) = R > 0, F ′ (η) = − K < 0 , η ≥ 0,

ur η ≥ 0, 2F ′ (η) + ηF ′′ (η) = 2F ′ (η) < 0 f¨

(6.113)

ur ηF = K > 0. F (ηF ) = 0 f¨ Beachte, dass (6.110) exponentielles Wachstum mit einer Replikationsrate F , welche vom Umfang der Population X abh¨ angt, beschreibt.

204

6 Interaktionen zweier Populationen

Die qualitative Analyse von (6.110) ist einfach bewerkstelligt: Der Leser sei auf Abb. 6.7 verwiesen, aus der sofort die Eigenschaften

xF(x)

x(0)

•

x(0)

xF

η

F

•

ηF

x

Abb. 6.7. Qualitative Analyse der Gleichung (6.110): xF Fußpunkt des einzigen Maximums und ηF die zweite Nullstelle, der Phasenraum ist rechts herausgehoben

x(t) streng monoton wachsend f¨ ur t ≥ 0, x(t) sigmoid, falls 0 < x(0) < xF , (6.114) x(t) von einheitlicher Kr¨ ummung, falls xF < x(0), x(t) → ηF , falls t → +∞ f¨ ur eine L¨ osung x(t) abgelesen werden k¨ onnen. In (6.114) bezeichnet xF ∈ (0, ηF )

(6.115)

den Fußpunkt des einzigen Maximums von xF (x), welches nach Abb. 6.7 existiert. ¨ Ubung 67. Zeige, dass unter den Voraussetzungen (6.112) eine qualitative Kurvendiskussion der Funktion xF (x) zur Abb. 6.7 f¨ uhrt. Es ist wichtig zu erkennen, dass die qualitativen Eigenschaften der L¨osungen nicht ge¨ andert werden, wenn wir vom urspr¨ unglichen Verhulst-Modell (6.109) zum allgemeineren Modell (6.110) u ¨bergehen! Quantitativ k¨onnen erhebliche Unterschiede auftreten: So h¨ angen die Fußpunkte xF und ηF und damit die Kr¨ ummungsverh¨ altnisse sowie das Langzeitverhalten m¨oglicherweise stark von der gew¨ ahlten Ratenfunktion F ab (vgl. dazu auch (6.114)). 6.7.3 Replikations- und Sterberaten Die Ratenfunktion F ist in nat¨ urlicher Weise als Differenz

6.7 Biologische Evolution

F (η) = r(η) − s(η)

205

(6.116)

eines Replikationsanteils r(η) und eines Sterbeanteils s(η) dargestellt [34]. Ist der Replikationsanteil konstant, so muss wegen (6.112) F (η) = RF − s(η), RF > 0, RF > s(0), s′ (η) > 0, 2s′ (η) + ηs′′ (η) > 0 (f¨ ur η ≥ 0),

(6.117)

ur ein ηF > 0) s(ηF ) = RF (f¨ gefordert werden. Im Falle eines konstanten Sterbeanteils findet man F (η) = r(η) − SF , ur η ≥ 0), SF > 0, r(0) > SF , r′ (η) < 0, 2r′ (η) + ηr′′ (η) < 0 (f¨

(6.118)

r(ηF ) = SF (f¨ ur ein ηF > 0), wenn (6.112) beachtet wird. Zwei Beispiele: Zun¨ achst s(η) =

RF KF

· η, KF > 0, RF > 0, 

F (η) = RF 1 − also der Verhulstansatz und dann r(η) =

RF 1+η

η KF



(6.119)

, ηF = KF ,

, 0 < SF < RF , (6.120)

F (η) =

RF 1+η

− SF , ηF =

RF −SF SF

.

Gem¨ aß (6.114) wird das Langzeitverhalten durch die Gr¨oße ηF bestimmt. Daher h¨ angt der endg¨ ultige Umfang der Population bei der Entwicklung (6.110), (6.119) nur vom Sterbe- nicht aber vom Replikationsterm ab. Anders liegen die Verh¨ altnisse bei einer Entwicklung (6.110), (6.120): Hier ist der endg¨ ultige Umfang der Population sowohl vom Replikations- als auch vom Sterbeterm bestimmt, n¨ amlich RF − S F ηF = . SF ¨ Ubung 68. Zeige, dass die Ratenfunktion (6.120) die Voraussetzungen (6.118) erf¨ ullt (vgl. dazu [34]).

206

6 Interaktionen zweier Populationen

6.7.4 Evolution zweier Populationen Neben der Population X betrachten wir nun eine zweite Y , welche zusammen mit X w¨ achst. Im einfachsten Fall leben beide Populationen nebeneinander, etwa gem¨ aß x(t) ˙ = x(t)F (x(t)), (6.121) y(t) ˙ = y(t)G(y(t)), wenn y(t) den Umfang der Population Y zum Zeitpunkt t ≥ 0 bezeichnet. Die Funktionen F und G sollen die allgemeinen Voraussetzungen von (6.112) erf¨ ullen. Beide Populationen X und Y st¨ oren einander nicht und verhalten sich wie in (6.114) vorhergesagt, d.h. genauer x(t), y(t) streng monoton wachsend f¨ ur t ≥ 0 x(t), y(t) sigmoid, falls 0 < x(0) < xF , 0 < y(0) < yG , (6.122) x(t), y(t) von einheitlicher Kr¨ ummung, falls xF < x(0), yG < y(0), x(t) → ηF , y(t) → ηG , falls t → +∞. Es ist klar, dass im Allgemeinen xF = yG oder ηF = ηG

(6.123)

gelten wird. Was geschieht aber, wenn beide Populationen X und Y in irgendeiner Weise interagieren? In jedem Fall werden sie um den Lebensraum streiten. Das bedenken wir zun¨ achst anhand der einfachen Verhulstsituation   η F (η) = RF 1 − , RF > 0, KF > 0. (6.124) KF Die zugeh¨ orige Entwicklung x˙ = RF x −

RF x·x KF

begegnet als Differenz von exponentiellem Wachstum RF x und einem Term RF x · x, KF welcher in allgemeiner Weise das Zusammentreffen der Population X mit sich selbst beschreibt. Nun wird ein Ansatzpunkt f¨ ur die Kommunikation mit der anderen Population Y sichtbar: Die Begegnung der Population X mit Y fordert einen Term

6.7 Biologische Evolution

RF x · y, KG und die Verhulstgleichung erh¨ alt die erweiterte Form    RF y RF x . x·x− x · y = xRF 1 − + x˙ = RF x − KF KG KF KG

207

(6.125)

An dieser Stelle ist ein Vergleich mit der ersten Gleichung aus (6.121) lehrreich: Die rechte Seite von (6.125) kann auch als      KF F xRF 1 − K1F x + K · y = xF x + · y , KG KG  mit F (η) := RF 1 −

η KF



geschrieben werden, so dass (6.125) folgendermaßen aussieht:   KF x˙ = xF x + y . KG

(6.126)

(6.127)

Damit ist die einfachste Interaktion zwischen den Populationen X und Y durch x(t) ˙ = x(t)F (αF x(t) + βF y(t)), y(t) ˙ = y(t)G(αG x(t) + βG y(t)),

(6.128)

αF , βF , αG , βG > 0 gegeben (siehe auch [34]). Die Funktionen F und G m¨ ussen die Grundvoraussetzungen (6.112) erf¨ ullen. In (6.128) k¨ onnen die Konstanten α, β zun¨achst allgemein reell und positiv vorgegeben werden. Aus der Herleitung von (6.126) u ogliche Bedeutung f¨ ur den biologischen Prozess ¨ ber (6.125) werden deren m¨ sichtbar. Die beiden Populationen X und Y sind in (6.128) symmetrisch behandelt: Es herrscht die Vorstellung vor, dass beide Populationen allein gem¨aß (6.110), (6.112) hochwachsen. Das Gemeinsame an ihrem Schicksal wird u ¨ ber Begrenzungen definiert, die vom Lebensraum im allgemeinen Sinn, den beide Populationen X und Y gleichermaßen nutzen, herr¨ uhren. Aber wie sieht die gemeinsame Entwicklung (6.128) wirklich aus? Welche Zust¨ ande (x(t), y(t)) sind m¨ oglich? Wir fragen nach allen L¨osungen (x(t), y(t)), t ≥ 0, x(0) ≥ 0, y(0) ≥ 0

(6.129)

von (6.128) und suchen nach einer (wenigstens qualitativen) Beschreibung. In diesem Zusammenhang ist folgendes Resultat von Interesse: Jede

208

6 Interaktionen zweier Populationen

L¨osung (6.129) von (6.128) existiert f¨ ur alle Zeiten t ≥ 0 und hat die Eigenschaften: a) x(0) > 0, y(0) > 0: x(t) > 0, y(t) > 0 f¨ ur t ≥ 0,

(6.130)

x(t) → x ¯, y(t) → y¯ f¨ ur t → +∞, wobei (¯ x, y¯) das System xF (αF x + βF y) = 0, yG(αG x + βG y) = 0,

(6.131)

x ≥ 0, y ≥ 0, x + y > 0 l¨ost. b) x(0) = y(0) = 0: x(t) = 0, y(t) = 0 f¨ ur t ≥ 0 c) x(0) > 0, y(0) = 0: x(t) > 0, y(t) = 0 f¨ ur t ≥ 0, x(t) → ηF α−1 ur t → +∞. F f¨ d) x(0) = 0, y(0) > 0: x(t) = 0, y(t) > 0 f¨ ur t ≥ 0, −1 f¨ ur t → +∞. y(t) → ηG βG

Biologische Evolution ist auch am Langzeitverhalten interessiert, will man doch wissen, ob beide Populationen nebeneinander bestehen bleiben (Koexistenz) oder eine von beiden ausstirbt (ruin¨ ose Konkurrenz). Das Resultat besagt, dass die L¨ osungen des Systems (6.131) unsere Fragen beantworten. Wenden wir uns diesem System zu: Da ein Produkt nur verschwinden kann, wenn einer der beiden Faktoren verschwindet, liefert (6.131) die Forderungen x ¯ = 0, y¯ = 0 oder: x ¯ = 0, G(βG y¯) = 0, y¯ > 0, ¯) = 0, y¯ = 0, x ¯ > 0, oder: F (αF x

(6.132)

6.7 Biologische Evolution

oder schließlich

209

F (αF x ¯ + βF y¯) = 0, x ¯ > 0, (6.133) G(αG x ¯ + βG y¯) = 0, y¯ > 0.

F und G aber erf¨ ullen (6.112). Daher ist ηF (bzw. ηG ) die einzige positive Nullstelle von F (bzw. G), so dass (6.132) mit x ¯ = y¯ = 0, oder: x ¯ = 0, βG y¯ = ηG ,

(6.134)

oder: αF x¯ = ηF , y¯ = 0 und (6.133) mit αF x ¯ + βF y¯ = ηF , x ¯ > 0, (6.135) αG x ¯ + βG y¯ = ηG , y¯ > 0 aquivalent ist. Der einzig biologisch interessante Fall ist ¨ x(0) > 0, y(0) > 0,

(6.136)

damit wenigstens am Anfang beide Populationen vorhanden sind. Dann verlangt obiges Resultat x ¯ > 0 oder y¯ > 0, so dass nur x¯ = 0, y¯ =

ηF ηG > 0 oder x ¯= > 0, y¯ = 0 βG αF

(6.137)

oder aber (6.135) u ¨ brig bleiben. Im ersten Fall von (6.137) gewinnt Y gegen X und im zweiten Fall X gegen Y , veranschaulicht in der linken Zeichnung von Abb. 6.8. Sie zeigt die beiden Geradenst¨ ucke αF x + βF y = ηF , αG x + βG y = ηG ,

(6.138)

x ≥ 0, y ≥ 0, wenn das erste oberhalb vom zweiten liegt. Sind die Geradenst¨ ucke entgegengesetzt angeordnet, so ist Abb. 6.9 zust¨andig. Nun gewinnt Y gegen X (linke Zeichnung). Koexistenz ist in der rechten Zeichung von Abb. 6.9 i.A. nicht zu erwarten, vielmehr h¨angt das Geschehen vom Anfangszustand x(0) > 0, y(0) > 0 ab.

210

6 Interaktionen zweier Populationen

αF x+βF y=ηF

αF x +βF y=ηF

⊗

X und Y leben nebeneinander

⊗

X gewinnt gegen Y Konkurrenz

Koexistenz

Abb. 6.8. Phasenebene einer Evolution (6.128) zweier Populationen: M¨ oglichkeit von ruin¨ oser Konkurrenz und Koexistenz. Umfang der X-Population auf der waagerechten Achse, Umfang der Y-Population auf der senkrechten Achse ⊗Y

gewinnt gegen X αG x +βG y=ηG

⊗

αG x+βGy=ηG ⊗ ⊗

Konkurrenz Abb. 6.9. Phasenebene einer Evolution (6.128) zweier Populationen: M¨ oglichkeit von ruin¨ oser Konkurrenz. Umfang der X-Population auf der waagerechten Achse, Umfang der Y-Population auf der senkrechten Achse

Population y(t)

Population x(t)

Population y(t) Population x(t) t (Zeit)

t (Zeit)

Abb. 6.10. Zeitbilder einer Evolution (6.128) zweier Populationen: X oder Y stirbt aus. Zur linken Zeichnung geh¨ ort das Phasenbild der Abb 6.9, zur rechten Zeichnung jenes von Abb. 6.8 (dort jeweils das linke Bild!)

¨ 6.8 Ubungsaufgaben

Population y(t)

Population x(t)

211

Population x(t)

Population y(t)

t (Zeit)

t (Zeit)

Abb. 6.11. Zeitbilder einer Evolution (6.128) zweier Populationen: X und Y existieren nebeneinander (linkes Bild, Abb.6.8 rechts ist die zugeh¨ orige Phasenebene), X stirbt aus (rechtes Bild, Abb.6.9 rechts ist die zugeh¨ orige Phasenebene)

Abschließend sehen wir uns Zeitbilder an, die auf der Grundlage der verschiedenen Phasenbilder der Abb. 6.8 und 6.9 entstehen k¨onnen. Die linke Zeichnung von Abb. 6.11 veranschaulicht die M¨oglichkeit der Koexistenz. Alle anderen Zeichnungen stellen verschiedene Weisen der ruin¨osen Konkurrenz dar: Die schließlich aussterbende Population kann anf¨anglich wachsen (Abb.6.10), beide Populationen m¨ ogen ebenso gut zun¨achst fallen (Abb.6.11).

¨ So enden unsere Uberlegungen mit einer Vielfalt m¨oglicher Erscheinungsformen, in der theoretischen Sache aber offen. Sie weisen auf weitere notwendige Untersuchungen hin: Die Begr¨ undung des Resultats f¨ uhrt in eine grunds¨ atzliche Diskussion allgemeiner Systeme x(t) ˙ = f (x(t), y(t)), (6.139) y(t) ˙ = g(x(t), y(t)), die ihre R¨ uckf¨ uhrung auf die Behandlung skalarer Gleichungen und somit auf die Theorie von Kapitel 3 betrifft. Alle Systeme (wirklich alle?) des auslaufenden Kapitels gehen u uck. ¨ ber einen Erhaltungssatz auf den skalaren Fall zur¨ Ist das vielleicht immer m¨ oglich, wenn ein System (6.139) vorliegt? Im Falle von (6.128) wurde kein Erhaltungssatz formuliert!

¨ 6.8 Ubungsaufgaben ¨ Ubung 69. Gegeben sei die reversible Reaktion k0 X + Y ⇋ Z, k0 > 0, k−0 > 0 k−0

212

6 Interaktionen zweier Populationen

mit den Spezies X, Y und Z. Seien x(t), y(t), z(t) die Konzentrationen von X, Y, Z zum Zeitpunkt t ≥ 0. Begr¨ unde, dass die dynamischen Gleichungen x(t) ˙ = −k0 x(t)y(t) + k−0 z(t), y(t) ˙ = −k0 x(t)y(t) + k−0 z(t), z(t) ˙ = k0 x(t)y(t) − k−0 z(t) die Evolution von X, Y, Z beschreiben. ¨ Ubung 70. Gegeben sei das System aus Aufgabe 69. Sei (¯ x(t), y¯(t), z¯(t)), t ≥ 0 eine L¨osung. Zeige: x ¯(t) + z¯(t) = x¯(0) + z¯(0), t ≥ 0, y¯(t) + z¯(t) = y¯(0) + z¯(0), t ≥ 0, x ¯(t) − y¯(t) = x¯(0) − y¯(0), t ≥ 0. ¨ Ubung 71. Gegeben sei das System aus Aufgabe 69. Sei (¯ x(t), y¯(t), z¯(t)), t ≥ 0 eine L¨osung. Zeige: x ¯˙ (t) = −k0 x ¯(t)(¯ x(t) − α) + k−0 (β − x ¯(t)), y (t) + α)¯ y (t) + k−0 (γ − y¯(t)), y¯˙ (t) = −k0 (¯ z¯˙ (t) = k0 (β − z¯(t))(γ − z¯(t)) − k−0 z¯(t), wenn α := x ¯(0) − y¯(0), β := x ¯(0) + z¯(0), γ := y¯(0) + z¯(0) = β − α gesetzt werden. ¨ Ubung 72. Analysiere die erste Gleichung x(t) ˙ = −k0 x(t)(x(t) − α) + k−0 (β − x(t)) =: f (x(t)) aus Aufgabe 71 qualitativ: (a) Zeichne f (x) qualitativ, (b) bestimme die station¨ aren Punkte, (c) bestimme die Monotonieverh¨ altnisse aller L¨osungen x¯(t) mit x ¯(0) ≥ 0. ¨ Ubung 73. Beschreibe alle L¨ osungen des Systems von Aufgabe 69 qualitativ, wenn x(0) ≥ 0, y(0) ≥ 0 und z(0) ≥ 0 gelten. Anleitung: Verwende Aufgaben 70 und 72. ¨ Ubung 74. Finde einen analytischen Ausdruck f¨ ur die L¨ osung der Gleichung aus Aufgabe 72.

¨ 6.8 Ubungsaufgaben

213

¨ Ubung 75. Finde einen analytischen Ausdruck f¨ ur die Komponenten x¯(t), y¯(t), z¯(t) der L¨ osungen des Systems aus Aufgabe 69. ¨ Ubung 76. L¨ ose das Fl¨ aschchensystem 1 ˙ = x(t)y(t), x(0) ≥ 0, y(0) ≥ 0 x(t) ˙ = − x(t)y(t), y(t) γ (vgl. (6.39) mit µ(x) = x!!) qualitativ und quantitativ. ¨ Ubung 77. Finde analytische Ausdr¨ ucke f¨ ur die L¨ osungen von (a) (b)

y¯˙ (t) = −k0 (¯ y(t) + α)¯ y (t) + k−0 (γ − y¯(t)), z¯˙ (t) = k0 (β − z¯(t))(γ − z¯(t)) + k−0 z¯(t)

aus Aufgabe 71, falls βk0 > k−0 . ¨ Anleitung: Nutze die L¨ osungen der Ubungen 70 und 72.

7 ¨ L¨ osungen der Ubungsaufgaben

7.1 Lo ¨sungen zum Kapitel 2 ¨ Ubung 1. Finde: f : i → ti als linke und g : ti → v¯i als rechte Zeichnung in Abb. 7.1. Es folgt die Wertetabelle f¨ ur g:

tj Q[(tj , tj+1 )]

0 0.00000

14 0.00000

28 0.14286

35 2.00000

42 6.85714

tj Q[(tj , tj+1 )]

49 3.85714

63 0.78571

77 3.21429

91 2.14286

105 4.00000

tj Q[(tj , tj+1 )]

119 2.92857

133 2.00000

147 −1.07143

161 1.28571

175 1.21429

tj Q[(tj , tj+1 )]

189 −1.28571

203 0.03571

231 0.14286

245 −0.35714

259

¨ Ubung 2. Zur geforderten Zeichnung vgl. Abb. 7.2: Die Kurve 0 zeigt x(t) = t3 in [0, 0.25], die Gerade i geht durch den Ursprung und hat die Steigung v¯i , i = 2, 4, 6, 8.

216

¨ 7 L¨ osungen der Ubungsaufgaben 300

7 6

250 5 200

4 3

150 2 100

1 0

50 −1 0

0

5

10

15

−2

20

0

100

200

300

¨ Abb. 7.1. zu Ubung 1 0.02 0.018 0.016 0.014

0

0.012

2

0.01 0.008 0.006

4

0.004

6

0.002 0

8 0

0.1

0.2

0.3

¨ Abb. 7.2. zu Ubung 2

¨ Ubung 3. i Anzahl 5! = i!(5−i)!

0 5! 5!

=1

1 5! 4!

=5

2 5! 2!3!

=

3·4·5 2·3

3 = 10

5! 3!2!

= 10

4 5! 4!1!

i=1: i=2: i=3: i=4: ¨ Abb. 7.3. einige M¨ oglichkeiten zu Ubung 3

=5

5 5! 5!

=1

7.1 L¨ osungen zum Kapitel 2

217

¨ Ubung 4. Nach (2.14) gilt N! = (N − k + 1) · (N − k + 2) · · · N, (N − k)!

(7.1)

(N + k)! = (N + 1)(N + 2) · · · (N + k). N! Ferner bestehen −k < 0, also auch N − k + j < N + j, j = 1, . . . , k (beachte k ≥ 1). Dann aber ist (N − k + 1)(N − k + 2) < (N + 1)(N − k + 2) < (N + 1)(N + 2) nach der 3. Regel (2.25) und im n¨ achsten Schritt (N − k + 1)(N − k + 2)(N − k + 3) < (N + 1)(N + 2)(N − k + 3) < (N + 1)(N + 2)(N + 3). Nach endlich vielen Schritten wird (N + k)! N! = (N − k + 1) · · · N < (N + 1) · · · (N + k) = (N − k)! N! erreicht (vgl. (7.1)). ¨ Ubung 5. Setze R := M − N1 und finde R = M − N1 = −M + N2 wegen 2M = N1 + N2 . Damit bestehen zugleich N1 = M − R, N2 = M + R sowie 0 < R ≤ M (weil ¨ 0 ≤ N1 < M ) und nach Ubung 4 folgt M !M ! < (M + R)!(M − R)! = N1 !N2 !, weil R = M − N1 > 0. ¨ Ubung 6. 0

1

(a) 1 π

(b)

1 π π, 2.

2

218

¨ 7 L¨ osungen der Ubungsaufgaben

¨ Ubung 7.   (a) (f ◦ g)(x) = exp(−2x), (g ◦ f )(x) = exp x2 , x = 0. (b) (f ◦ g)(x) = exp(−(x2 + 1)2 ), (g ◦ f )(x) = 1 + exp(−2x2 ). ¨ Ubung 8. (a) Die Definitionsbereiche sind: [−1, 5] f¨ ur f , {x ∈ R : x = −1, x = 2} f¨ ur g, [−1, 5] ohne die Null f¨ ur h. Die verlangte Zeichnung liegt als Abb. 7.4 vor. f

−1

5

x

¨ Abb. 7.4. Qualitative Zeichnung von f zu Ubung 8 t < 1. (b) Wegen t ≥ 0 folgt sofort t < t2 + t + 1 und somit x(t) = t2 +t+1 Wegen x(0) = 0 ist die Null die einzige nat¨ urliche Zahl im Wertebereich von x(t).

¨ Ubung 9.  N Komplexe mit genau i Bindungen bei N vorhandenen Pl¨atzen. Es gibt i Dies kann f¨ ur i = 0, 1, . . . , N geschehen. So erh¨alt man insgesamt  N 
N i=0

i

=

 N 
N i N −i = (1 + 1)N = 2N 1 ·1 i i=0

Komplexe. ¨ Ubung 10. (a) Es ist x(x−1 (t)) = t, x′ (x−1 (t))(x−1 )′ (t) = 1, so dass die Behauptung folgt.

7.1 L¨ osungen zum Kapitel 2 1

1

1

219

1

(b) F¨ ur x(t) = tN gilt x−1 (t) = t N , denn (tN ) N = (t N )N = t N ·N = t. Daher wird (x−1 )′ (t) =

1 1 1 1 1 = · t N −1 . = = 1 1 N −1 ′ x′ (x−1 (t)) N N N x (t ) N (t )

Die verlangten Zeichnungen findet der Leser in Abb. 7.5 (linkes Bild): Kurve 1: 2 · t = x′ (t) Kurve 3:

√

t = x−1 (t)

Kurve 2: t2 = x(t) Kurve 4:

1 √ 2 t

= (x−1 )′ (t)

p

1 2 3 4 −3

t

1

t

¨ ¨ Abb. 7.5. zu Ubung 10 (links), zu Ubung 11 (rechts)

¨ Ubung 11. Vgl. rechte Zeichnung von Abb. 7.5. ¨ Ubung 12. Es bestehen: K0 = 0 : YN (x) = 0, x ≥ 0, N = 1, 2; K0 > 0, K1 = 0 : YN (x) =

K0 x , x ≥ 0, N = 1, 2; 1 + K0 x

K0 > 0, K1 > 0 : Y1 (x) = Y2 (x) =

K0 x , x ≥ 0, 1 + K0 x

K0 x(1 + K1 x) , x ≥ 0. 1 + K0 x(1 + K1 x)

F¨ ur eine graphische Darstellung vgl. Abb. 7.6: Die linke Zeichnung zeigt Y1 (oder Y2 ) qualitativ f¨ ur K1 < K0 und die beiden anderen Zeichnungen Y2 im

220

¨ 7 L¨ osungen der Ubungsaufgaben

Falle von K1 > K0 qualitativ. Die mittlere Zeichnung ist ein Ausschnitt am Nullpunkt und hebt den Wendepunkt hervor, w¨ahrend die rechte Zeichnung denselben Graphen f¨ ur große x-Werte zeigt. Hier wird die S¨attigung herausgestellt.

¨ Abb. 7.6. zu Ubung 12

¨ Ubung 13. (i) wahr: 0 ≤ x + 1 < x + 2 ⇒ (x + 1)2 < (x + 2)2 < (x + 2)4 , weil 1 ≤ (x + 1) + 1 = x + 2. (ii) wahr: |x + 1| = x + 1 ≤ x + 2 < (x + 2)4 , weil 1 ≤ x + 2 wegen x + 1 ≥ 0. 5 5 3 (iii) wahr: f¨ ur n = 1 ist n − 21 = 12 , n + 23 = 25 und ( 12 )2 = 41 < 25 4 · 2 = (2) . (iv) wahr: n! = m!(m+1) · · · n und m+j > 1 f¨ ur j = 1, . . . , n−m implizieren die Behauptung. ¨ Ubung 14. (a) M = (−∞, − 61 ]. (b) M besteht aus [1, +∞) und (−∞, −1]. (c) M = [0, 2]. ¨ Ubung 15. Definitionsbereich = {x ∈ R : x = 2}, ferner gilt h(x) → −72 f¨ ur x → +∞. ¨ Ubung 16. f : [−1, 3], g : {x ∈ R : x = 1, x = −1}, h : {x ∈ R : x ∈ (−1, 3], x = 1}. Finde die qualitative Zeichnung f¨ ur f (x) als Abb. 7.8.

7.1 L¨ osungen zum Kapitel 2

221

R

L

L

−1 +1

x R

− 1 6

x

x L

R ¨ Abb. 7.7. zu Ubung 14 (a) linke Abbildung, (b) mittlere Abbildung, (c) rechte Abbildung f

−1

3

x

¨ Abb. 7.8. zu Ubung 16

¨ Ubung √17. (a) |x|7 x, (b) |x|y 2 ,          2 3   4 4 4 4 j 4 3 i 2 = 2(2 + 1) − 2 2 =2 2 + 24 = (c) j i − 1 3 4 j=0 i=1 2 · 34 − 2(4 · 23 + 24 ) = 2(34 − 25 − 24 ) = 66, N N (d) (3 − 5)N −(−5)N = (−1) (2  − 5N),        9 8 10    10 10 10 10 10 (e) = = − − = 210 − 11, i − 1 j j 9 10 i=1 j=0 j=0 (f ) (5 + (−3))N = 2N .

222

¨ 7 L¨ osungen der Ubungsaufgaben

¨ Ubung 18. Die Grenzwerte lauten: 52 , 1, 2N . ¨ Ubung 19. (a) Definitionsbereich: R,√Wertebereich: {η ∈ R : η ≥ 0}. (b) (g ◦ f )(x) = exp(4 ln( 2x2 + 1)) = (2x2 + 1)2 . (c) Definitionsbereich f¨ ur h ◦ g: R. ¨ Ubung 20. 6! (I) 3!3! = 6! (II) 4!2! =

4·5·6 12! 1·2·3 = 20, 4!4!4! = 34650. 5·6 12! 9·10·11·12 1·2 = 15, 8!2!2! = 1·2·1·2

= 2970.

¨ Ubung 21. (f · g · h)′ = f ′ · (g · h) + f · (g · h)′ = f ′ · g · h + f · (g ′ · h + g · h′ ), (f · g)′′ = (f ′ · g + f · g ′ )′ = f ′′ · g + f ′ · g ′ + f ′ · g ′ + f · g ′′ . ¨ Ubung 22. E = kx · e0 (x) + e0 (x) = e0 (x)(1 + kx) oder e0 (x) = kx E · 1+kx .

E 1+kx ,

e1 (x) = kx · e0 (x) =

¨ Ubung 23. Nein, weil 2 =

0 sein w¨ urde.

Ja, weil x(t)

b = 3 m¨oglich ist.

a+3 −1 = −a − 3, also a = −5 < b+exp(−t)2 t→+∞ = 1+2 exp(−t)2 −→ b und daher

¨ Ubung 24. √ 1 (a) x′ (t) = 2√ (1 + exp( t)). t (b) x′ (t) = (c) x′ (t) = (d) x′ (t) =

2t(9t2 +2)−2(3t3 +2t+1) 2t 3t3 +2t+1 · 4t2 (t+1)4t−2t2 +1 2t2 +4t+1 = (t+1)2 . (t+1)2 t exp(t2 ) √ . exp(t2 )+2

=

18t3 +4t−6t3 −4t−2 2t(3t3 +2t+1)

¨ Ubung 25. (a) Ein Extremum am Wendepunkt von L(t). (b) L′ (t) → 0 f¨ ur t → +∞.

=

6t3 −1 t(3t3 +2t+1) .

7.2 L¨ osungen zum Kapitel 3

223

¨ Ubung 26. Nur 3. und 4. sind falsch.

7.2 L¨ osungen zum Kapitel 3 ¨ Ubung 27. x0 ·x0 ¯(t)2 , x ¯(0) = x0 ; 2x0 = x¯(t¯) = x ¯˙ (t) = (1−tx 2 = x 0) 1 ¯ ¯ 1 − 2tx0 = 0, t = 2x0 .

x0 1−t¯x0 ,

2x0 (1 − t¯x0 ) = x0 ,

¨ Ubung 28. 0 = f (x) = x2 (x2 − 5x + 6) exp(−x), also x2 = 0 oder x2 − 5x + 6 = 0,

(7.2)

weil exp(−x) > 0 f¨ ur alle reellen x. (7.2) aber liefert x = 0 oder x = 3 oder x = 2. ¨ Ubung  1 29. β−t  d = dt β−α · ln α−t

1 β−α

·

α−t β−t

·

−(α−t)+β−t (α−t)2

=

1 β−α

·

β−α (β−t)(α−t)

=

1 (β−t)(α−t) .

¨ Ubung 30. Setze β¯ = β − x(0), α ¯ = α − x(0), γ = β − α, dann ist x(t) =

αβ¯ − β α ¯ exp(−γt) ¯ β−α ¯ exp(−γt)

(7.3)

abzuleiten. x(t) ˙ =

(β¯ − α ¯ exp(−γt))γβ α ¯ exp(−γt) − (αβ¯ − β α ¯ exp(−γt))γ α ¯ exp(−γt) (β¯ − α ¯ exp(−γt))2 =

exp(−γt) γα ¯ β¯ exp(−γt)(β − α) ¯ 2· =α ¯ βγ . (β¯ − α ¯ exp(−γt))2 (β¯ − α ¯ exp(−γt))2

(7.4)

Andererseits findet man mit (7.3) α − x(t) =

α(β¯ − α ¯ exp(−γt)) − αβ¯ + β α ¯ exp(−γt) ¯ β−α ¯ exp(−γt)

α ¯ (β − α) exp(−γt) α ¯ γ exp(−γt) = ¯ = ¯ β−α ¯ exp(−γt) β−α ¯ exp(−γt)

(7.5)

224

¨ 7 L¨ osungen der Ubungsaufgaben

sowie β − x(t) =

¯ βγ β(β¯ − α ¯ exp(−γt)) − αβ¯ + β α ¯ exp(−γt) = ¯ . ¯ β−α ¯ exp(−γt) β−α ¯ exp(−γt)

Dies zusammen mit (7.5) liefert ¯ 2 · exp(−γt) α ¯ βγ (α − x(t))(β − x(t)) = ¯ = x(t), ˙ (β − α ¯ exp(−γt))2 wenn (7.4) Beachtung findet. ¨ Ubung 31. Sei x(θ) = − k1 exp(−kθ), dann ist x′ (θ) = − k1 (−k) exp(−kθ) = exp(−kθ), also der Integrand von (3.64). ¨ Ubung 32. (a) x(t) ˙ = −bc exp(−ct) = −c(x(t) − a). (b) x0 = x(0) = a + b also b = x0 − a und daher x(t) = a + (x0 − a) exp(−ct). c = a = 1 liefert x(t) = 1 + (x0 − 1) exp(−t). x0 < 1 : x(t) streng monoton wachsend, x0 > 1 : x(t) streng monoton fallend, ur t ∈ R. x0 = 1 : x(t) = 1 f¨ In jedem Fall besteht x(t) → 1 f¨ ur t → +∞. Die geforderte Zeichnung findet der Leser als linkes Bild von Abb. 7.9.

1+exp(−t)

1−2exp(−t) x

1

¨ ¨ Abb. 7.9. zu Ubung 32 (linkes Bild), Ubung 36 (rechtes Bild)

¨ Ubung 33. 0 = f (x) = x(1 − x)(x2 − 5x + 6) exp(x) bedeutet x = 0 oder x = 1 oder

7.2 L¨ osungen zum Kapitel 3

 2 0 = x2 − 5x + 6 = x − 52 + 6 − x = 3.

25 4

225

also x = 0 oder x = 1 oder x = 2 oder

¨ Ubung 34.   η i t , i = 0, 1, 2, 3, zur Zeichnung siehe , Ti (t) = i − 1+i · t = i 1 − 1+i v(η) = − 1+η Abb. 7.10. x v(η)

3 2

T3

1 T T1

−1

0

T2

¨ Abb. 7.10. zu Ubung 34

¨ Ubung 35. (a) Station¨ are Punkte: x = 0 (stabil) und x = 4 (instabil). Vgl. Abb. 7.11 (rechtes Bild). (b) f ′ (x) = −5(x − 4)2 − 10x · (x − 4) = −5(x − 4)(3x − 4) mit den Nullstellen ur 43 < x(0) < 4 ein Wendepunkt auf, x = 4 und x = 43 . Daher tritt f¨ da der Orbit nach der rechten Zeichnung von Abb. 7.11 den Punkt xtief mit f ′ (xtief ) = 0 passieren muß. (c) Vgl. die linke Zeichung der Abb. 7.11.

¨ Ubung 36. Vgl. die rechte Zeichnung der Abb. 7.9 und beachte den Wendepunkt des Orbits unserer L¨ osung, der nach der Berechnung der Nullstellen von f ′ (η) mit der rechten Seite f (η) = η(1 − η) · exp(−3η) erscheint und kleiner ist als der Anfangspunkt x(0) = 3 unseres Orbits. Die Kurvendiskussion von f (η) zeigt u allt und daher die Nullstelle von f ′ (η) trifft. ¨ berdies, daß der Orbit monoton f¨

¨ Ubung 37. ur (i), f (x) = Mit f (x) = −x2 + 2x f¨

1−x2 1+x2

f¨ ur (ii) und f (x) = 2 − x f¨ ur (iv)

¨ 7 L¨ osungen der Ubungsaufgaben

226

f

¨ ¨ Abb. 7.11. zu Ubung 35 (c) (linkes Bild), zu Ubung 35 (a) (rechtes Bild)

bestehen die Zeichnungen der Abb. 7.12. Die L¨ osungen von (ii) und (iv) haben keinen Wendepunkt und die L¨osung von (iii) erf¨ ullt nicht die Anfangsbedingung y(0) = 0. Die L¨osung von (i) schließlich lautet x(t) = 0 f¨ ur t ∈ R. So kann y(t) aus Abb. 3.9 keine der angegebenen Anfangswertaufgaben l¨ osen.

f

f

(i)

f

(ii) (iv)

1

2

1

2

¨ Abb. 7.12. zu Ubung 37

¨ Ubung $38.ds $ Wegen s(s−3) =

ds −s(3−s)

=

1 3

ln

 3−σ  −σ

1 3

(verwende Partialbruchzerlegung  x(0)  ln 3−x(t) x(t) · 3−x(0) = t. Wir rech-

aus 3.4.5) lautet die implizite Gleichung nen mit x(0) = 2   3 − x(t) = 3t, 6 − 2x(t) = x(t) exp(3t), x(t)(2 + exp(3t)) = 6 ln 2 · x(t)

7.2 L¨ osungen zum Kapitel 3

und finden x ¯(t) =

6 2+exp(3t) ,

t ≥ 0. Probe: x ¯(0) =

6 3

227

= 2.

−6 · 3 exp(3t) 3 exp(3t) = −¯ x(t) (2 + exp(3t))2 2 + exp(3t)   6 = x¯(t)(¯ x(t) − 3). = −¯ x(t) 3 − 2 + exp(3t) x ¯˙ (t) =

(7.6)

¨¯(t) = x Wendepunkt: x ¯˙ (t) = x¯(t)(¯ x(t) − 3), x ¯˙ (t)(¯ x(t) − 3) + x ¯(t)x ¯˙ (t) = ¨¯(t) = 0 f¨ x ¯˙ (t)(2¯ x(t) − 3). Wegen (7.6) ist x ¯˙ (t) < 0, so dass x ur x¯(t) = 1.5, 6 d.h. 2+exp(3t = 32 , 12 = 6 + 3 exp(3tw ), 2 = exp(3tw ). Der Wendepunkt tritt w) zur Zeit tw = 31 ln(2) auf. ¨ Ubung $ 39. Wegen s−4 ds = − 31 σ −3 lautet die implizite Gleichung − 31 x(t)−3 + 31 x(0)−3 = 8 1 −t, −x(t)−3 = −3t − 8−3 , x(t)3 = 8−31+3t , x(t) = √ . Probe: = √ 3 −3 3 1+3·83 t 8 +3t 4

1

x(0) = 8, x(t) ˙ = − 38 · (1 + 3 · 83 t)− 3 · 3 · 83 = −[8 · (1 + 3 · 83 t)− 3 ]4 = −x(t)4 ; 8 . x(1) = √ 3 1+3·83 ¨ Ubung 40. (i) F (t) = t + 21 t2 + 15 t5 , 5 (ii) F (t) = exp(t) + 52 t 2 , (iii) F (t) = −t−1 − 2 ln(t) − t + 16 (2t + 1)3 + t3.5 , 1 (iv) F (t) = 20 (5t + 4)4 + 16 exp(6t). ¨ Ubung 41. $5 dx = (a) 0 = x2 + 6x − 7 = (x + 3)2 − 16 also x1 = 1, x2 = −7, 2 x2 +6x−7      $5 1 1 1 t−1 5 4 dx (x−1)(x+7) = 8 ln 7+t 2 = 8 ln 12 · 9 = 8 ln(3). $ t dx $ t dx  t  $ 2 x+3 (b) x(x+1) dx = x+1 + 3 · x(x+1) = ln(t + 1) + 3 · ln 1+t = 3 · ln(t) − 2 · ln(1 + t). ¨ Ubung 42. (x2 −5)(x2 +5) x2 −5 x2 −5 1 (a) f (x) = (x3 +3x 2 −5x−15)(x2 +5) = x2 (x+3)−5(x+3) = (x+3)(x2 −5) = x+3 . Daher ist ln(x + 3) eine Stammfunktion f¨ ur f (x). 1 6   3 4 $1 $1 x+3 dx (b) −1 (x2 −9)(x−4) dx = −1 (x−3)(x−4) = ln 4−t 3−t −1 = ln 2 · 5 = ln 5 . ¨ Ubung 43. $2 ˙ = s3 , v˙ = 2s : 1 u(s)v(s)ds ˙ = (a) u(s) = 41 s4 , v(s) = ln(s2 ), u(s)

¨ 7 L¨ osungen der Ubungsaufgaben

228

1

 $2 1 4 2 4 2 2 4 s ln(s ) 1 − 1 4 s · s ds =   1 1 4 2 15 2 4 s 1 = 8 ln(2) − 8 . 2

4 ln(4) −

1 4

ln(1) −

1 2

$2 1

s3 ds = 4 ln(4)−

$1 ˙ = exp(−s), v(s) ˙ = 2s: 0 u(s)v(s)ds ˙ = (b) u(s) = − exp(−s), v(s) = s , u(s) $1 $1 1 1 2 1 [−s exp(−s)]0 + 0 2s exp(−s)ds = − e +2 0 u(s)sds ˙ = − e −2[s exp(−s)]10 $1 +2 0 exp(−s)ds = − 1e − 2e + 2[− exp(−s)]10 = − e3 − 2e + 2 = 2 − 5e . $2 √ 3 (c) u(s) = 23 s 2 , v(s) = ln(s), u(s) ˙ = s, v(s) ˙ = s−1 : 1 u(s)v(s)ds ˙ = √ $2√ √ 2 2 $ 2 3 −1 2 3 2 2 2 s 2 ln(s) − s 2 · s ds = 3 8 ln(2) − 3 1 s ds = 3 8 ln(2)− √  23 3 2 12 √3 1 2 2 2 8 ln(2) − 3 8 + 3 . 3s 1 = 3

7.3 L¨ osungen zum Kapitel 4 ¨ Ubung 44. ur alle u(t) ˙ = x(t) ˙ + y(t) ˙ = ax(t) + by(t) − ax(t)+by(t) x(t)+y(t) · (x(t) + y(t)) = 0 f¨ t ∈ (α, β). Daher muss u(t) konstant sein f¨ ur diese t, also auch x(t) + y(t) = u(t) = u(0) = x(0) + y(0). ¨ Ubung 45. 2 (a) g(x) = 2x 2 = x, h(y) = 1+y 2 , siehe linkes Bild der Abb. 7.13. 2 (b) 2x = 5(1 + y ), x = 2.5(1 + y 2 ), siehe mittleres Bild der Abb. 7.13.

g(x)

2 x

e

h(y) ¨ ¨ Abb. 7.13. zu Ubung 45 (linkes und mittleres Bild) Ubung 46 (rechtes Bild)

¨ Ubung 46.   x+ (t) = ln[(t + 2)(t − 1)] − 1, x− (t) = − ln[(t + 2)(t − 1)] − 1, t+ (x) = 2 −0.5(1 + 9 + 4 exp(1 + x )), t− (x) = −0.5(1 − 9 + 4 exp(1 + x2 )) Definiur tionsbereich f¨ ur x± (t) : {t ∈ R : (t + 2)(t − 1) ≥ e}, Definitionsbereich f¨ t± (x) : R. Finde die Zeichnung im rechten Bild von Abb. 7.13: der ausgezogene Teil der Geraden auf der H¨ ohe e > 0 liefert den Definitionsbereich

7.3 L¨ osungen zum Kapitel 4

229

{t ∈ R : (t + 2)(t − 1) ≥ e} als ausgezogene Linie außerhalb des durch (t + 2)(t − 1) gebildeten Trichters. Die beiden separaten Geradenst¨ ucke sind auf die x-Achse zu projizieren. ¨ Ubung 47. (a)

2u 2 −ln(u2 +v+1) (u+7)· u2 +v+1 +v+1) ∂ g(u, v) = = (u+7)(u2u2 +v+1) − ln(u ∂u (u+7)2 (u+7)2 , ∂ 1 ∂v g(u, v) = (u+7)(u2 +v+1) . Maximaler Definitionsbereich von g(u, v): 2 2

{(u, v) ∈ R : u = −7, u + v + 1 > 0}. (b) Wegen grad f (x, y) = (exp(xy) · (1 + xy), x2 · exp(xy) − 2y) ist exp(xy) · (1 + yx) = 0, und x2 exp(xy) − 2y = 0

zu l¨ osen: 1 + xy = 0, x2 exp(xy) − 2y = 0, 1 xy = −1, x2 exp(−1) − 2y = 0, y 2 x2 exp(−1) = 2y 3 , xy = −1, y = √ , 3 2e √ 3 x = − 2e. ¨ Ubung 48. (a) grad f (x, y, z) = exp(xy + z 3 ) · (y, x, 3z 2 ) + (0, −1, 0), fxz (x, y, z) = ∂ 3 2 3 ∂z (y · exp(xy + z )) = 3yz · exp(xy + z ). (b) grad f (0, 1, 0) = (1, 0, 0) + (0, −1, 0) = (1, −1, 0), p(x, y, z; 0, 1, 0) = x − (y − 1) = x − y + 1, weil f (0, 1, 0) = 0. (c) g(x) = exp(2x) − 2, g ′ (x) = 2 exp(2x), g ′′ (x) = 4 exp(2x), p(x; 1) = exp(2) − 2 + 2 exp(2)(x − 1) + 2 exp(2)(x − 1)2 = exp(2)(−1 + 2x + 2(x − 1)2 ) − 2 = exp(2)(2x2 − 2x + 1) − 2. ¨ Ubung 49. y 1 1 x dx = x y dy: Integration liefert ln( a ) = ln( b ), x = a = 0 und b = 0.

a b

· y mit reellen Konstanten

¨ Ubung 50. $ x    x η(x) − η(0) = 0 (2s2 + 3s3 )ds = 32 s3 + 43 s4 0 = x3 23 + 43 x . ¨ Ubung 51. (2u + 3vw + w3 ) · du + 3uw · dv + (3uv + 3uw2 ) · dw = 0.

230

¨ 7 L¨ osungen der Ubungsaufgaben

7.4 L¨ osungen zum Kapitel 5 ¨ Ubung 52. ⎤ 22 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ 25 ⎥ 29 47 42 413 ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ax = ⎢ ⎢ 7 ⎥ , BA = 15 29 26 , B(Ax) = 235 = (BA)x. ⎣ 51 ⎦ 5 45 40 235 24 ⎡

¨ Ubung 53. (1, 4.5, 1.5), (60, 30, 80, 55). ¨ Ubung 54. √ √ √ (1) (1) u + v 5, 1), u(1)  = 78, v (1)  = 45, u(1) + v (1)  = 27 ≤ √ √ = (−1, 78 + 45 = u(1)  + v (1) . √ √ (2) (2) (2) u + v (2) 10), u(2)  = 95, v (2)  √ = 111, √ √ = (−2, √ −6, 8, 12,(2) √ u 2 + v  = (2) 348 ≤ 95 + 111 = u  + v , denn 348 < ( 95 + 111) . ¨ Ubung 55. (αu + βw, v) = α

N 

j=1

uj vj + β

N 

j=1 N 

(αu + βw)j vj =

N 

(αuj + βwj )vj =

j=1

wj vj = α(u, v) + β(w, v).

N 

(αuj vj + βwj vj ) =

j=1

j=1

¨ Ubung 56. Mit (5.53) und der Homogenit¨ at gilt A(αu + βv) = A(αu) + A(βv) = αAu + βAv. ¨ Ubung 57. 2(s21 +s22 )−(s1 +s2 )2 = 2s21 +2s22 −s21 −2s1 s2 −s22 = s21 +s22 −2s1 s2 = (s1 −s2 )2 ist genau dann = 0, wenn s1 = s2 und > 0, wenn s1 = s2 . 3(s21 + s22 + s23 ) − (s1 + s2 + s3 )2 = 2(s21 + s22 ) − (s1 + s2 )2 + s21 + s22 + 3s23 − 2(s1 + s2 )s3 − s23 = (s1 − s2 )2 + s21 + s22 + 2s23 − 2(s1 + s2 )s3 = (s1 − s2 )2 + (s1 − s3 )2 + s22 + s23 − 2s2 s3 = (s1 − s2 )2 + (s1 − s3 )2 + (s2 − s3 )2 ist genau dann = 0, wenn s1 = s2 = s3 und > 0, wenn s1 = s2 oder s1 = s3 oder s2 = s3 .

7.4 L¨ osungen zum Kapitel 5

231

¨ Ubung 58. (a) AB ist erkl¨ ur q1 = und BA w¨ are erkl¨ ur q2 =  p1 .  artf¨  p2   art f¨ 12 12 32 14 (b) F¨ ur A = ,B= = besteht AB = = BA. Ferner 01 10 10 12       00 00 00 ist A = = A. 00 00 00 (c) diag(a1 , . . . , aN )diag(b1 , . . . , bN ) = diag(a1 b1 , a2 b2 , . . . , aN bN ) = diag(b1 , . . . , bN )diag(a1 , . . . , aN ). ¨ Ubung 59. = b3 . (a) A11 x1 + A12 x2 + A13 x3 = b1 , A22  x2 + A231 x3 = b2A,12A33 x3 A  3 3 (b) x3 = Ab33 , x1 = A11 b1 − A22 b2 − A2333b3 − AA1333b3 . , x2 = A122 b2 −A23 · Ab33   A23 A12 ⎡ 1 A12 A13 ⎤ 1 1 A11 − A22 · A11 A11 · A33 · A22 − A33 A23 1 ⎦ −A · A122 (c) B = ⎣ 0 A22 33 1 0 0 A33 (d) Hier werden beispielhaft einige Eintragungen von AB und BA mit A aus (5.125) und B aus (c) angegeben: (AB)11 = A11 · (AB)12 = A11



(AB)13 = A11 · =

A23 A33

(BA)13 =

A13 A11

=

A13 A11

·

1 A11

−

= 1,

A12 A22 ·A11



1 A11

·

A12 A22

−



A23 A33

A13 A33

−

A12 A22

·

A23 A11

−

A12 A22

·

A23 A11

+ A12 ·

·

A12 A22

−

1 A22

A13 A33

−

A23 ·A12 A33 ·A22

+

A33 A11

·



+

A23 A11

·

A12 A22

= 0,



− A12 ·

A13 A33

+ A23 A33

−

+

A13 A33

= 0,

A12 A22

·

A23 A33 ·A22

A13 A11

−

A13 A33



= 0.

Alle weiteren Eintr¨ age ben¨ otigen analoge Rechnungen. ¨ Ubung 60. A : x ∈ RN2 → Ax ∈ RN1 , B : x ∈ RN1 → Bx ∈ RN0 . Also B ◦ A : x ∈ N2 N1 N1    Aiα xα = Bji Bji (Ax)i = RN2 → B(Ax) ∈ RN0 ; [(B ◦ A)x]j = i=1

i=1

N2 N1  

i=1 α=1

Bji Aiα xα =

N1 N2   

α=1

i=1



Bji Aiα xα =

N2 

α=1

(BA)jα xα = [BAx]j , j =

α=1

1, . . . , N0 oder (B ◦ A)x = (BA)x f¨ ur alle x ∈ RN2 . Daher wird die Ver-

232

¨ 7 L¨ osungen der Ubungsaufgaben

kettung B ◦ A durch die Matrix BA beschrieben. ¨ Ubung 61. (a) [(AT )T ]ij = [AT ]ji = Aij f¨ ur alle i, j, also (AT )T = A. [(AB)T ]ij = N2 N2   (AB)ji = Ajα Bαi = (B T )iα (AT )αj = [B T AT ]ij f¨ ur alle i, j also α=1

α=1

(AB)T = B T AT . (b) (AAT )T = (AT )T AT = AAT nach a). Das aber heißt [AAT ]ij = ur alle i, j. [(AAT )T ]ij = [AAT ]ji f¨

7.5 L¨ osungen zum Kapitel 6 ¨ Ubung 62. Wegen e¯1 (t) = E − e¯0 (t) ist e¯˙ 0 (t) = −k0 x¯ e0 (t) + k−0 (E − e¯0 (t)) = −k0 x¯ e0 (t) + e0 (t) − k−0 e¯1 (t). k−0 e¯1 (t) und daher auch e¯˙ 1 (t) = −e¯˙ 0 (t) = k0 x¯ ¨ Ubung 63.   Weil nach Unterabschnitt 6.2.2 durch e¯0 (t) = ab − ab − e¯0 (0) exp(−at), a = k0 x+k−0 , b = k−0 E L¨ osungen von (6.17) angegeben sind und e¯1 (t) = E−¯ e0 (t) ¨ nach dem Prinzip von Ubung 62 konstruiert wird. Damit sind alle Vorausset¨ zungen von Ubung 62 erf¨ ullt. ¨ Ubung 64. Y1 (x), x ≥ 0 ist streng monoton wachsend mit dem Wertebereich [0, 1). Daher existiert die streng monoton wachsende Umkehrfunktion Y1−1 auf [0, 1). (a) Aus 1 − ǫ ≤ Y1 (x) folgt Y1−1 (1 − ǫ) ≤ x. Daher ist xǫ :=Min{x ∈ R : x ≥ 0, Y1 (x) ≥ 1 − ǫ} = Y1−1 (1 − ǫ). Dη (b) Offenbar ist Y1−1 (η) = K ur 0 ≤ η < 1, so dass xǫ = Y1−1 (1 − ǫ) = 1−η f¨   KD (1−ǫ) KD (1−ǫ) = KD 1ǫ − 1 und daher xǫ → 0, falls KD → 0 oder 1−(1−ǫ) = ǫ ǫ → 1. ¨ Ubung 65. Fall 1: P = (¯ x, 0), x¯ ≥ 0, dann besteht die gesuchte Menge aus allen Paaren (x(0) > 0, y(0) > 0). Fall 2: P = (0, y¯), y¯ ≥ 0, dann besteht die gesuchte Menge aus allen Paaren (x(0) > 0, y(0) > 0) mit y(0) + γx(0) = y¯.

7.5 L¨ osungen zum Kapitel 6

233

¨ Ubung 66. F¨ u r die Darstellung (6.107)     gilt einerseits  u(t) ˙ − sin(t) − cos(t) =α +β und andererseits v(t) ˙ cos(t) − sin(t)          0 −1 u(t) −v(t) − sin(t) − cos(t) = =α +β und daher die Ba1 0 v(t) u(t) cos(t) − sin(t) hauptung: Insbesondere f¨ ur t = 0:      liefert  (6.107)  u(0) 1 0 α = α +β = , so dass bei Vorgabe von u(0), v(0) ∈ R v(0) 0 1 β die L¨ osung von (6.108) mit α = u(0), β = v(0) in der Form (6.107) geschrieben werden kann. Der gefragte analytische Ausdruck lautet u(t) = u(0) cos(t) − v(0) sin(t), v(t) = u(0) sin(t) + v(0) cos(t). ¨ Ubung 67. Die n¨ otigen Rechnungen lauten: (xF (x))′ = F (x) + xF ′ (x), (xF (x))′′ = 2F ′ (x) + xF ′′ (x). Wegen (6.112) gilt (xF (x))′′ < 0 f¨ ur alle x ≥ 0, so dass (xF (x))′ streng monoton f¨ allt f¨ ur x ≥ 0. Wegen (6.112) gelten auch (xF (x))′x=0 = F (0) > 0, (xF (x))x=ηF = ηF F (ηF ) = 0, (xF (x))x=0 = 0 so dass genau ein Nulldurchgang von (xF (x))′ besteht! ¨ Ubung 68. Die n¨ otigen Rechnungen lauten: r(η) =

2RF RF RF , r′ (η) = − , r′′ (η) = , 1+η (1 + η)2 (1 + η)3

r(0) = RF > SF , 2r′ (η) + ηr′′ (η) = −

2RF η 2RF 2RF + =− , 2 3 (1 + η) (1 + η) (1 + η)3

r(ηF ) = SF ⇔ RF = SF (1 + η) ⇔ ηF =

RF − S F > 0. SF

¨ Ubung 69. ¨ Der Produktterm k0 x(t)y(t) beschreibt den Anderungsanteil, welcher durch das Aufeinandertreffen von X und Y hervorgerufen wird, proportional zum Produkt x(t) · y(t): aus der Sicht von X und Y ein Verlust, aus der Sicht von Z ein Gewinn. Damit wird zugleich eine Proportionalit¨at dieses Anteils der Ver¨ anderung sowohl zu X als auch zu Y festgestellt. Entsprechend bescheibt k−0 z(t) den Anteil der Ver¨ anderung proportional zum Umfang der Spezies Z:

234

¨ 7 L¨ osungen der Ubungsaufgaben

ein Gewinn f¨ ur X und Y aus deren Sicht, ein Verlust aus der Sicht von Z. ¨ Ubung 70. Die drei Erhaltungss¨ atze enstehen, wenn man die erste oder die zweite dynamische Gleichung zur dritten addiert, oder die beiden ersten dynamischen Gleichungen voneinander subtrahiert. Bei diesen Operationen heben sich die Einfl¨ usse der jeweiligen rechten Seiten auf, so dass die u ¨ brig bleibenden linken Seiten eine durchweg verschwindende Ableitung besitzen und daher konstant sein m¨ ussen. ¨ Ubung 71. ¨ Die Erhaltungss¨atze von Ubung 70 liefern: y¯(t) = x ¯(t) − α, z¯(t) = β − x ¯(t), ¯(t)(¯ x(t) − α) + k−0 (β − x ¯(t)). Analog gelten: x ¯(t) = y¯(t) + α, also x ¯˙ (t) = −k0 x z¯(t) = γ − y¯(t) und daher y¯˙ (t) = −k0 (¯ y (t) + α)¯ y (t) + k−0 (γ − y¯(t)). Schließlich ist x ¯(t) = β−¯ z (t), y¯(t) = γ−¯ z (t), so dass z¯˙ (t) = k0 (β−¯ z (t))(γ−¯ z (t))−k−0 z¯(t). ¨ Ubung 72. f (η) = −k0 η(η − α) + k−0 (β − η) = −k0 η 2 + η(k0 α − k−0 ) + k−0 β. − k10 f (η) =:   2 −0 ) −0 2 g(η) = η − k0 α−k = 0. − kk−0 · β − (k0 α−k 2k0 4k02 0 Die Abb. 7.14 zeigt zwei verschiedene m¨ ogliche qualitative Zeichnungen von f (η): zwei station¨ are Punkte, rechter stabil, linker instabil. Siehe auch die ¨ L¨ osung von Ubung 74 mit einer noch genaueren Analyse der Funktion g(η).

η

−

η

+

η

−

η

+

¨ ¨ Abb. 7.14. zu Ubung 72 und Ubung 74: gezeichnet ist −g(η) qualitativ, gel¨ ost wird x(t) ˙ = −k0 g(x(t)).

¨ Ubung 73. Da x(t), y(t) dieselben dynamischen Gleichungen erf¨ ullen, k¨onnen wir es im-

7.5 L¨ osungen zum Kapitel 6

235

mer so einrichten, dass α = x(0) − y(0) ≤ 0 ausf¨ ullt (tausche sonst x(t) ¨ gegen y(t)!). Dann aber ist x(t) qualitativ in Ubung 72 charakterisiert. Die Beschreibung f¨ ur y(t) und z(t) folgt aus den Erhaltungss¨atzen y(t) = x(t)− α, ¨ z(t) = β − x(t) (vgl. Ubung 70) mit α = x(0) − y(0), β = x(0) + z(0). ¨ Ubung 74. x(t) ˙ = −k0 g(x(t)) mit g(η) = η(η − α) −

1 K0 (β

− η) wenn K0 =

k0 k−0 ,

¨ α = x ¯(0) − y¯(0) und β = x ¯(0) + z¯(0) (vgl. Ubung 71). Wir d¨ urfen α ≤ 0 ¨ wegen der Herkunft aus dem Netzwerk von Ubung 69 festlegen (vgl. L¨osung  ¨ von Ubung 73). Dann ist g(η) = η(η + |α|) − K10 (β − η) = η 2 + η |α| + K10 − 2 2    β 1 1 − Kβ0 − 14 |α| + K10 . Daher hat g die NullstelK0 = η + 2 |α| + K0   2  |α| + K10 + 4 Kβ0 . Offenbar ist η− < 0 < η+ len 2η± = − |α| + K10 ± (falls 0 < β = x ¯(0) + z¯(0)), und wegen g(0) = − Kβ0 < 0 findet man g(η) = (η − η+ )(η − η$− ). Zu l¨ osen ist daher x(t) ˙ = −k0 (η  )(η − η− ).  η+−−sη+ s dη 1 1 Stammfunktion: − k10 = − · ln k0 η+ −η− η− −s . + )(η−η− )  η(η−η η− −x(0)  + −x(t) Implizite Gleichung: ln η− −x(t) · η+ −x(0) = −k0 (η+ − η− )t.

−x(0) L¨ osung: A(η+ − x(t)) = (η− − x(t)) exp(−k0 (η+ − η− )t) mit A = ηη− . + −x(0) Daher gelten x(t)(exp(−k0 (η+ − η− )t) − A) = η− exp(−k0 (η+ − η− )t) − Aη+ , −η− exp(−k0 (η+ −η− )t) x(t) = Aη+A−exp(−k . Die Probe (Einsetzen des analytischen Aus0 (η+ −η− )t) drucks in die Differentialgleichung) bleibt dem Leser zu tun u ¨ brig.

¨ Ubung 75. ¨ Die Erhaltungss¨ atze aus Ubung 70 liefern z¯(t) = x ¯(0) + z¯(0) − x¯(t) =: β − x ¯(t), y¯(t) = x ¯(t) − (¯ x(0) − y¯(0)) =: x ¯(t) − α, ¨ ¨ aber x ¯(t) ist aus Ubung 74 quantitativ und aus Ubung 72 qualitativ bekannt. ¨ Ubung 76. Der Erhaltungssatz γx(t) + y(t) = γx(0) + y(0) =: c verlangt y(t) = c − γx(t) ¯ mit β¯ := cγ −1 . Mit der also x(t) ˙ = − γ1 x(t)(c − γx(t)) = x(t)(x(t) − β) $ dη  β−σ  ¯ 1 −1 ¯ Stammfunktion η(η−β) > 0 lautet die implizi¯ = β¯ ln −σ , β = cγ      ¯ ¯ β β x(0)  β¯ ¯ − β1¯ ln x(0)− = t, ln x(t)− = βt, te Gleichung β1¯ ln x(t)− x(t) x(0) x(t) · x(0)−β¯ ¯ ¯ exp(βt), ¯ x(t)[x(0)−(x(0)− β) ¯ exp(βt)] ¯ = βx(0), ¯ (x(t)− β)x(0) = x(t)(x(0)− β) ¯

¯

βx(0) γ βx(0) x(t) = x(0)−(x(0)− ¯ exp(βt) ¯ , y(t) = c − γx(t) = c − x(0)−(x(0)−β) ¯ exp(βt) ¯ . Die β) Probe (Einsetzen dieser analytischen Ausdr¨ ucke in die Differentialgleichungen) bleibt dem Leser zu tun u ¨ brig. x(t) streng monoton fallend, x(t) → 0 f¨ ur t → +∞, β¯ > 0, y(t) streng monoton wachsend, y(t) → c f¨ ur t → +∞, β¯ > 0.

236

¨ 7 L¨ osungen der Ubungsaufgaben

Der Fall β¯ = 0 liefert die triviale L¨ osung x¯(t) = y¯(t) = 0, t ≥ 0. ¨ Ubung 77. ¨ a) Ersetze α durch −α und β durch γ in Ubung 72 und verwende 74. ˙ b) z¯(t) = −k0 z¯(t)(γ − z¯(t)) + βk0 (γ − z¯(t)) + k−0 z¯(t) = k0 z¯(t)(¯ z (t) − γ)+ βk0 γ − z¯(t)(βk k−0 ). z¯˙ (t)  0βk− 0γ = k0 z¯(t)(¯ z (t) − γ) + (βk0 − k−0 ) βk0 −k−0 − z¯(t) . ¨ 72 durch −k0 bzw. Ersetze k0 bzw. k−0 bzw. β in Ubung 0γ und verwende 74. βk0 − k−0 bzw. βkβk 0 −k−0

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Sachverzeichnis

Abbauwege 23 Abh¨ angigkeit 3 von der Zeit 3–7 Ableitung 29, 35, 56–65 an einer Stelle 57 Definition der 57 in einem Intervall 57 partielle 108, 119 absoluter Betrag 44 Abstand 149 analytischer Ausdruck 6, 77, 86, 89, 91, 98 Anfangsbedingung 80 Anfangswert 80 Anfangswertaufgabe 81, 101–102 Existenz und Eindeutigkeit 101 Assoziationskonstante 142 Bildmenge 45 Bindungskonstante 68 binomische Formel 59, 163 Datenanpassung 139 Fehlerquadratsumme 141 lineare 139, 153 Minimall¨ osung 141 Definitionsbereich 34 Determinante 162, 168 Dialyseexperiment 166, 182 Differentialgleichung 36, 79 L¨ osung einer 79 Differentialrechnung Ableitungsregeln 61 elementare Funktionen 60

Grundregeln 60 Differenzenquotienten 34 differenzierbar an einer Stelle 57 in einem Intervall 57 Dissoziationskonstante 142 Dreiecksungleichung 45, 150 dynamische Gleichung 37 Eigenwertaufgaben Eigenvektoren 200–201 Eigenwerte 200–201 Enzym 65 Bindungsstelle 38 Charakteristik 65 s¨ attigendes Verhalten 65 sigmoides Verhalten 65, 68 Komplex 38, 68 Ligandenbindung 68 Erhaltungssatz 180, 187 beim Michaelis-Menten-Prozess 180 Ertrag 25 Eulersche Zahl 48 Evolution 5, 29, 80 Wendepunkt einer 83 beschr¨ ankte (Definition) 82, 101 Langzeitverhalten einer 82 monoton fallende 82 monoton wachsende 81 Orbit einer 82, 84 Phasenraum einer 82 zwei Populationen 203–211 Koexistenz 208

240

Sachverzeichnis

Konkurrenz 208 Evolutionsgleichung 79, 203–211 Exponentialfunktion 48 Funktionalgleichung 48 exponentielles Wachstum 64, 91

Geschwindigkeitskonstante 183 Gradient 120, 159 Gr¨ oße 37, 108–118, 127–137 vollst¨ andiges Differential einer 127–137

Fakult¨ at 39 Fehlerquadratsumme 13, 141, 148, 151, 154 Fl¨ aschchenexperiment 185 Grundgleichungen 185–190 Form 130, 133 freies Rechnen 89 Probe 89, 96 Funktion 3, 33, 45–56 Ableitung einer 29 Ableitung eines Vorzeichens 66 Bildmenge 45 Definitionsbereich einer 45 Graph einer 46 implizit definiert 117 Konstruktion einer 53 lineare 47 monotone 47 Polynom 50 rationale 50 Verhalten bei unendlich 50 relatives Maximum 67 relatives Minimum 67 s¨ attigendes Verhalten 65 Sattelpunkt 67 sigmoides Verhalten 65 streng monoton fallende 47 streng monoton wachsende 47 Verkettung 46 von mehreren Ver¨ anderlichen 108–118 Gradient 120 partielle Ableitung 119 von zwei Ver¨ anderlichen Fl¨ ache im Raum 114 H¨ ohenkarte 114 Wendepunkt einer 67 Wertebereich 45 zweite Ableitung und Kr¨ ummung 67

Halbstrahl 44 Hessematrix 122

Geschwindigkeit 169

141, 142, 164, 165,

imlizite Definition 78 implizite Gleichung 89, 117–118 inneres Produkt 149, 151 Integral 91 als Umkehrung der Differentiation 91, 93 Definition u ¨ ber die Stammfunktion 91 geometrische Interpretation 92 Partialbruchzerlegung 94 Summenregel 94 Integralrechnung 86 Integration Summenregel 94 Partialbruchzerlegung 94 partielle 98–101 Stammfunktion 87 Intervall 44 Inversion 163, 169 kinetische Gastheorie 40 Koeffizientenvergleich 95 Koexistenz 208 Kombinatorik 39 Konkurrenz 208 Kr¨ ummung 67 Kurve 130, 132 Kurvenparameter 130, 132 Langzeitverhalten 82 Ligandenbindung 22, 68, 179 sigmoide Charakteristik 70 lineare Abbildung 148, 152 lineares Gleichungssystem 147, 154, 161 Lineweaver-Burk-Diagramm 143, 163 L¨ osung unbeschr¨ ankte 98 Logarithmengesetze 56 Logarithmus 55

Sachverzeichnis logistische Kurve 46, 52, 62, 71, 119 sigmoides Verhalten 71 logistisches Wachstum 65, 91 mathematische Naturbeschreibung 1–27 mathematisches Modell 17, 18 Matrix 122, 145, 152 Eigenvektoren einer 200–201 Eigenwerte einer 200–201 Hauptdiagonalelement einer 152, 169 transponierte 152 Matrixmultiplikation 146, 156 Assoziativit¨ at der 156, 157 Michaelis-Menten-Prozess 68, 141, 142, 160, 179–185 Assoziationskonstante 142, 183 Charakteristik eines 182 Dialyseexperiment 182 Dissoziationskonstante 142, 183 Erhaltungssatz eines 180 Geschwindigkeit eines 141, 142, 164 Geschwindigkeitskonstante 179 Ligandenbindung 70 Lineweaver-Burk-Diagramm 143, 163 Zustand eines 180 Minimalabweichung 149, 153 Minimall¨ osung 141 Minimierer 155, 157 eindeutiger 157 N-dimensionaler Raum Norm 149, 151 Orbit

112

82

Parameterintervall 130 Partialbruchzerlegung 94 partiell differenzierbar 120 partielle Ableitung 108, 119 periodischer Vorgang 27 Phasenebene 189 Phasenstrahl 82 Polynom 50 Grad eines 50 in zwei Variablen 111 Populationsdynamik 46

241

Potential 137 Potenzgesetze 50 Probe 89, 90 proportional 35, 110, 179 Proportionalit¨ at 20 Proportionalit¨ atsfaktor 35, 110, 179 Proportionalit¨ atskonstante 20 qualitative Analyse 79 der Verhulstgleichung 84 einer allgemeinen Evolution 85 quantitative Analyse 86, 89, 95 exponentielles Wachstum 89 logistisches Wachstum 89 Separation der Variablen 88 R¨ auber-Beute-Interaktion 25, 108, 110 R¨ auber-Beute-Modell 26, 111, 191 lineares 191–197 L¨ osungen f¨ ur 201–202 Ratengleichung 35, 79, 80 quantitative Analyse 95 Regressionsgerade 162, 163 Rekonstruktion 6, 7, 15, 139, 141, 143, 166 von Funktionen 10–16, 139, 143, 166 von Naturvorg¨ angen 141 Replikationsrate 204 S¨ attigung 8 Sattelpunkt 67 Separation der Variablen 88 Stammfunktion 87 station¨ arer Punkt 81 instabiler 83 stabiler 83 Sterberate 204 Summe endliche 59 Summenregel 94 Systeme aus zwei Differentialgleichungen 179–202 Fl¨ aschchengl. 185–190 lineare Systeme 198–202 Michaelis-Menten-Gl. 179–185 R¨ auber-Beute-Gl. 191–197 Taylor Polynome 122–127 beim R¨ auber-Beute-Modell

126

242

Sachverzeichnis

der Exponentialfunktion Theoriefunktion 144 lineare 144

124

Umkehrfunktion 54 geometrische Konstruktion Umweltparameter 64

54

Vektor 2, 112 als Zustand eines biologischen Systems 2 Komponente eines 112 Ver¨ anderung 16 Ver¨ anderungsrate 17, 34, 56–65 an einem Punkt 57 Definition der 57 Verhulstgleichung 21, 37, 62, 80 Verallgemeinerung der 203 Verkettung 46 vollst¨ andiges Differential 108, 127–137 Vergleich mit dem Taylor Polynom 133

Wachstum einer Population auf einem Substrat 108 exponentielles 91 logistisches 71, 91 Wachstumsgeschwindigkeit 17 Wendepunkt 67, 165 Wertebereich 45 Winkelfunktion tg(t) 197–198 Winkelfunktionen sin und cos 192–197 Wurzel 50 Zahlen ganze 43 nat¨ urliche 32, 38 in der kinetischen Gastheorie 40 rationale 43 reelle 33, 43 absoluter Betrag 44 Zustand 1, 180 eines allgemeinen Systems 19 eines biologischen Systems 1–2 Ver¨ anderungsrate von 199