Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik: Eine Einführung in die mathematischen Grundlagen

Springer-Lehrbuch

Für weitere Bände: http://www.springer.com/series/1183

Manfred Böhm

Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik Eine Einführung in die mathematischen Grundlagen

123

Dr. Manfred Böhm Universität Gießen 1. Physikalisches Institut H.-Buff-Ring 16 35392 Gießen Deutschland [email protected]

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-20378-7 e-ISBN 978-3-642-20379-4 DOI 10.1007/978-3-642-20379-4 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011  Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Für Maximilian

Vorwort

Die L IE-Theorie steht in engem Zusammenhang mit dem Symmetriebegriff. Letzterer spielt eine zentrale Rolle in der modernen Physik, wo die grundlegende Themen auf die Frage nach Symmetrien zurückgeführt werden. Das vorliegende Lehrbuch gibt eine Einführung in die mathematischen Grundlagen der L IE-Theorie mit dem Ziel, das Verständnis von Symmetrien und den Umgang mit ihnen zu erleichtern. Beginnend mit der Diskussion von Gruppen und linearen Darstellungen werden in den folgenden beiden Kapiteln die L IE-Gruppen und L IE-Algebren sowohl in abstrakter Form wie auch in Matrix-Form vorgestellt. Daran anschließend wird die Korrelation von linearen Matrix L IE-Gruppen mit einfacher zu handhabenden reellen L IE-Algebren behandelt, bei der die Matrixexponentialfunktion die Vermittlerrolle spielt. Die nachfolgende Einführung in die Strukturtheorie von komplexen und reellen halbeinfachen L IE-Algebren erlaubt eine Klassifizierung. Dabei werden Themen wie C ARTAN-Unteralgebren, Wurzelsysteme, C ARTAN-Matrizen und W EYL-Gruppen behandelt. Schließlich werden die für die Anwendung der L IETheorie wesentlichen Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren erörtert. Die Themen dort sind etwa Gewichte, Charaktere, C ASIMIR-Operatoren, Tensorprodukte, YOUNG-Tableaux und Unteralgebren. Es gibt eine Vielzahl von Abhandlungen über die L IE-Theorie, die meist im Sinne der Mathematik verfasst sind und sich durch eine abstrakte Darstellungsweise auszeichnen. Demzufolge wird das Interesse jener Physiker, die sich mit experimenteller wie auch theoretischer Quantenphysik, Elementarteilchenphysik, Hochenergiephysik oder Astrophysik beschäftigen, nur bedingt geweckt. Das vorliegende Buch versucht, die mathematische Strenge aufzulockern, ohne die Logik und Beweisführungen einzuschränken. Das Ziel dabei ist, die Inhalte für Studierende vorwiegend der Physik als auch für Physiker im Beruf attraktiv und verständlich zu machen. So werden etwa die mathematischen Sätze nicht durch die übliche Form bewiesen sondern vielmehr mithilfe der Analyse von Voraussetzungen und deren Folgen zu begründen versucht. Dem liegt die Absicht zugrunde, die vorher vermittelten Kenntnisse einsetzen zu lernen und im Umgang mit ihnen vertraut zu werden. Begleitet wird die Vermittlung der L IE-Theorie und deren Anwendung durch zahlreiche, ausführlich erläuterte Beispiele, so dass das Buch das Selbststudium erleichtert. vii

viii

Vorwort

Das Buch kann Studierenden der Physik vorwiegend im Studiengang Master, Lehramt und Diplom ab dem 5. Semester empfohlen werden und ist zum Selbststudium geeignet. Vorkenntnisse sind in Quantenmechanik I und Linearer Algebra I erwünscht. Für Bachelor-Studierende ist es während des Orientierungsstudiums oder gegebenenfalls während der Thesis zu empfehlen. Der Erfolg des Buches wird hauptsächlich daran gemessen werden, ob es gelungen ist, den Leser von der Eleganz und Leistungsfähigkeit der L IE-Theorie zu überzegen. Bleibt zu hoffen, dass das Buch Zustimmung und Freude erweckt, aber auch zur Kritik und konstruktiven Mitarbeit anregt. Für Vorschläge, Einwände und Anmerkungen bin ich jederzeit dankbar. Bedanken möchte ich mich recht herzlich bei Herrn Dr. Thorsten Schneider vom Springer-Verlag für die harmonische Zusammenarbeit und die kompetente Unterstützung bei der Fertigstellung des Buches. Giessen, Februar 2011

Manfred Böhm

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Elemente und Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 16 27 33 37

3 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1 Lineare Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Reduzible und irreduzible Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Äquivalente Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4 Normale Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5 Die S CHUR’schen Lemmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.6 Orthogonalitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.7 Reguläre Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.8 Reelle, pseudoreelle und komplexe Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.9 Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.10 Produktdarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.11 Induzierte und subduzierte Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.12 Konjugierte und erlaubte Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.13 Strahldarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4 L IE-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.1 Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.2 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.3 Lineare L IE-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.4 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5 L IE-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.1 Elemente und Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.2 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 ix

x

Inhaltsverzeichnis

5.3 5.4 5.5

Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6.1 Matrixexponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6.2 Tangentialräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.3 Exponentialabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.4 Strukturen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.5 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.6 Überlagerungsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7 Halbeinfache L IE-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 7.1 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 7.2 C ARTAN-Unteralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 7.3 C ARTAN-Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 7.4 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 7.5 Wurzelsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 7.6 Einfache Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 7.7 C ARTAN-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 7.8 W EYL -Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 8.1 Kompakte und normale Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 8.2 Involutive Automorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 8.3 Automorphismen des Wurzelsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 8.4 Hauptautomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 9.1 Gewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 9.2 Höchste Gewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 9.3 Charaktere und Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 9.4 C ASIMIR-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 9.5 Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 9.6 YOUNG-Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 9.7 Unteralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 Symbole und Abkürzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 Weiterführende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

Kapitel 1

Einführung

Die Auseinandersetzung mit mathematischen Gruppen im Rahmen der Physik ist darin begründet, dass deren algebraische Struktur zusammen mit deren Darstellungen die wesentliche Grundlage bilden, um die Eigenschaften von Symmetrien zu beschreiben. Dabei gelingt die Festlegung des Begriffs Symmetrie eines betrachteten Systems – mathematisches Objekt oder Gesetz – durch die Forderung nach Invarianz dessen Struktur unter der Wirkung von Transformationen. Diese Invarianz impliziert mitunter umgekehrt eine Regelmäßigkeit bezüglich der Struktur, so dass dann die Symmetrie als Ordnungsprinzip aufgefasst werden kann. Die Menge der Transformationen bildet eine Gruppe im mathematischen Sinne. Eine solche Gruppe gilt als diskret, wenn sie endlich viele oder abzählbar unendlich viele Elemente besitzt. In dem Fall, wo die unendlich vielen Elemente eine höhere Mächtigkeit besitzen, also überabzählbar sind bzw. durch endlich viele Parameter charakterisiert werden, hat man eine kontinuierliche oder L IE-Gruppe. In Anlehnung an diese Unterscheidung gelingt eine Klassifizierung der Symmetrien in solche von diskreter (uneigentlicher, diskontinuierlicher) und kontinuierlicher (eigentlicher) Art. Betrachtet man etwa jene Symmetrien, die auf Invarianz gegen Raumbewegungen, nämlich Rotationen und Translationen basieren, dann können diese diskret oder kontinuierlich sein. Hinzu kommen noch die diskreten Transformationen der räumlichen Spiegelungen (Paritätstransformationen). Charakteristisch für diese Transformationen ist die Änderung der Lage eines Systems, die unter Beibehaltung deren Größe und Form erfolgt. Das bedeutet, dass die Raumbewegung eine abstandstreue Abbildung eines Bereichs des Raumes auf einen anderen Bereich leistet. Die zugehörigen diskreten Symmetrien, mitunter als geometrische Symmetrien bezeichnet, werden unter Einbeziehung der Spiegelungen durch die Punktgruppen, die Translationsgruppen und die Raumgruppen erfasst. Die Punktgruppen zeichnen sich dadurch aus, dass mindestens ein Punkt eines räumlichen Bereichs durch die Transformation auf sich selbst abgebildet wird. Sie sind endliche Untergruppen der orthogonalen bzw. der speziellen orthogonalen L IE-Gruppe O(3) bzw. S O(3). Die Translationsgruppen umfassen alle diskreten Verschiebungen. Sie sind unendliche Untergruppen der Raumgruppen. Die Raumgruppen selbst sind eine

M. Böhm, Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-20379-4_1, 

1

2

1 Einführung

Kombination von Punktgruppen und Translationsgruppen. Sie vermögen die Symmetrie von periodischen räumlichen Bereichen zu beschreiben und sind Untergruppen der euklidischen L IE-Gruppe E(3) (Bewegungsgruppe des R3 bzw. reelle affine Gruppe). Berücksichtigt man neben den räumlichen Freiheitsgraden auch diskrete innere Freiheitsgrade, die mit einer inneren Struktur verknüpft sind, dann müssen weitere Transformationen zur Änderung dieser Struktur diskutiert werden. Nach Kennzeichnung der Struktur etwa durch einen Farbanstrich, wird man Farbänderungen erwarten. Zusammen mit den bisher bekannten Symmetrien gelingt dann eine Erweiterung der diskreten Gruppen zu den sogenannten Farbgruppen. Im Falle etwa nur eines Freiheitsgrades mit den Werten bzw. Farben schwarz und weiß, kann eine Antisymmetrie definiert werden. Nach Korrelation der beiden Farben etwa mit einem magnetischen Moment – bzw. einem Spin –, das parallel oder antiparallel bezüglich einer vorgegebenen Richtung zeigt, erhält man die magnetischen Punktgruppen (schwarz-weiß Punktgruppen). Dort gibt es Symmetrien, die mit der diskreten, antilinearen Zeitumkehrsymmetrie übereinstimmen. Sowohl die zeitlichen Spiegelungen (Zeitumkehrsymmetrie) wie die räumlichen Spiegelungen (Inversionssymmetrie) lassen das relativistische Abstandsquadrat zweier Weltpunkte im M INKOWSKI -Raum invariant und gehören zu den diskreten äußeren Symmetrien. Bei der Inversionssymmetrie findet man einen multiplikativen Erhaltungssatz, nämlich die Paritätserhaltung, bei der das Produkt der Eigenwerte erhalten bleibt. Dagegen gibt es bei der Zeitumkehrsymmetrie keinen der Inversion entsprechenden Eigenwert, da ein betrachteter quantenmechanischer Zustand wegen der Transformation ins konjugiert Komplexe kein Eigenzustand des Zeitumkehroperators ist. Zu den diskreten inneren Symmetrien gehört etwa die Transformation eines Teilchens in das entsprechende Antiteilchen, die als Ladungs-Konjugation (C) bekannt ist. Sie impliziert eine Vorzeichenänderung aller ladungsartigen (inneren) Quantenzahlen – elektrische Ladung, Baryonenzahl, Leptonenzahl, Strangeness – unter Beibehaltung der äußeren Eigenschaften – Masse, Impuls, Spin. Setzt man voraus, dass alle ladungsartigen Quantenzahlen in der Summe verschwinden, so dass Teilchen und Antiteilchen identisch sind, dann kann eine dem Eigenwert des Konjugationsoperators entsprechende C-Parität definiert weren. Diese ist wie die Quantenzahl der räumlichen Parität (P) eine multiplikative Quantenzahl, die bei elektromagnetischer und starker Wechselwirkung erhalten bleibt. Die Einbeziehung der schwachen Wechselwirkung, die die Leptonenzahl bestimmt, verletzt die C-Invarianz und fordert deshalb zusätzlich die Paritätstransformation zur C P-Invarianz. Unter Berücksichtigung der Zeitumkehr (T ) bekommt man nach Ausführung aller drei Symmetrien die C P T -Konjugation. Die Invarianz einer großen Klasse von Theorien gegen diese kombinierten Symmetrien ist die Aussage des sogenannten C P T -Theorems. Dabei gilt nicht notwendig die Invarianz gegen einer einzelnen Transformation C, P oder T . Die Invarianz gegen einer der drei Transformationen impliziert die Invarianz gegen das Produkt der beiden anderen. Bei den kontinuierlichen Symmetrien kann man ebenfalls zwischen äußeren und inneren unterscheiden. Im Fall der äußeren raum-zeitlichen Symmetrien impliziert

1 Einführung

3

die Invarianz eines Systems gewisse Erhaltungsgrößen, die zur Festlegung von Observablen befähigt. Der Grund hierfür liegt letztlich in der Unfähigkeit, bestimmte Größen bzw. Eigenschaften eines abgeschlossenen Systems absolut zu bestimmen. So ist es im dreidimensionalen Raum wegen der Invarianz gegen eine kontinuierliche Translation nicht möglich, einen absoluten Ort zu bestimmen. Damit wird etwa die Wechselwirkungsenergie zweier Teilchen von deren relativen Abstand abhängig. Als Konsequenz daraus ergibt sich die Erhaltung des Gesamtimpulses des durch die beiden Teilchen begründeten Systems. Während bei den Translationen die Homogenität des Raumes eine absolute Ortsbestimmung verhindert, ist es im Fall von kontinuierlichen Rotationen die Isotropie des Raumes, die einer absoluten Richtungsbestimmung im Wege steht. Die Folge ist hier die Erhaltung des Drehimpulses als Observable. Die Homogenität der Zeit, die sich in der Invarianz gegen kontinuierliche Translationen in der Zeit äußert, führt zu der Erhaltung der Energie. In allen drei Fällen sind die Erhaltungsgrößen die erzeugenden Operatoren (Generatoren) der raum-zeitlichen Symmetrien. Ergänzt werden muss diese Diskussion durch die Betrachtung der L ORENTZSymmetrie im vierdimensionalen M INKOWSKI-Raum. Die zugehörigen Transformationen lassen das Abstandsquadrat zweier Weltpunkte invariant und bilden die Basis für die spezielle Relativitätstheorie. Im relativistischen Fall, wo Raumund Zeittransformationen zusammengefasst werden, erhält man aus der Homogenität des M INKOWSKI-Raumes die Erhaltung des Vierer-Impulses, der sich aus der Energie und dem Dreier-Impuls zusammensetzt. Die kontinuierlichen inneren Symmetrien zeichnen sich dadurch aus, dass die Transformationen in einem mathematisch fiktiven Raum ausgeführt werden. Die einfachste Symmetrie dieser Art ist die globale Eichsymmetrie (Eichsymmetrie 1. Art). Im Fall von globalen Phasentransformationen eines Materiefeldes, kann diese Eichsymmetrie durch die (unitäre) abelsche L IE-Gruppe U (1) in einer Dimension beschrieben werden. Dabei ist der Ladungsoperator der Generator der Gruppe. Die Forderung nach Invarianz der L AGRANGE-Dichte impliziert dann die Erhaltung der Ladung und umgekehrt. Im Fall der elektrischen Ladung spricht man von der Strukturgruppe der Elektrodynamik. Andere Ladungen können die Baryonenzahl oder Leptonenzahl sein. Bei einer Erweiterung der Eichsymmetrie zu mehr als einer Dimension bzw. einem Freiheitsgrad, was mit der Betrachtung von mehreren Generatoren verbunden ist, erwartet man wegen der Nichtvertauschbarkeit der Generatoren auch nichtabelsche Eichgruppen. Dies geschieht etwa bei der Einführung des Isospins. Dort liegt die Absicht zugrunde, die unterschiedlichen Ladungen von stark wechselwirkenden Teilchen einer Klasse bei annähernd gleichen Massen – etwa im Fall des Protons und Neutrons – zu erklären. Als Konsequenz der dann gültigen (speziellen, unitären) L IE-Gruppe SU f (2) ( f = flavour), die die Invarianz des Isospins als die entsprechende Ladung garantiert, nehmen solche Teilchen die Zustände eines nahezu entarteten Multipletts – etwa des np-Dubletts – ein. Letztere sind Eigenzustände der dritten Komponente eines Isospinvektors als ein diagonal wählbarer Generator von drei Generatoren der Gruppe, die für die Rotation im fiktiven Isospinraum

4

1 Einführung

verantwortlich sind. Eine Erklärung findet man durch die Annahme einer charakteristischen Flavourbeteiligung auf der Grundlage des Quarkmodells. Wenn dennoch die Vertauschbarkeit mit dem H AMILTON-Operator nicht erfüllt ist und deshalb eine Verletzung der Isospininvarianz bzw. eine Brechung der Isospinsymmetrie beobachtet wird, die die geringe Massendifferenz durch Aufhebung der Entartung zu erklären vermag, so ist dafür die zusätzlich zu berücksichtigende elektromagnetische Wechselwirkung verantwortlich. Falls neben der dritten Komponente des Isospins noch weitere additive Quantenzahlen bei starker Wechselwirkung erhalten bleiben, muss man weitere Freiheitsgrade und mithin höherdimensionale (unitäre) L IE-Gruppen berücksichtigen. So wird man etwa unter Einbeziehung der Strangeness bzw. der Hyperladung (= Baryonenzahl + Strangeness) einen zweiten diagonal wählbaren Generator erhalten, der zur L IE-Gruppe SU f (3) in drei Dimensionen führt. Nach Hinzunahme von Charm und Bottom gelingt schließlich eine Erweiterung zu den L IE-Gruppen SU f (4) und SU f (5) in vier und fünf Dimensionen. Die weitergehende Forderung nach Invarianz einer Feldtheorie bzw. der Beziehungen zwischen fundamentalen Feldgrößen gegen lokale Transformationen geschieht in der lokalen Eichsymmetrie (Eichsymmetrie 2. Art). Diese kann nur durch die Einführung von neuen Feldern, den sogenannten Eichfeldern erfüllt werden. Letztere sind dann für die Wechselwirkung mit den Materiefeldern verantwortlich. Im einfachsten Fall der lokalen U (1)-Symmetrie eines freien Teilchens verlangt die Forderung nach Invarianz unter lokaler Phasentransformation ein Eichfeld, das ebenfalls einer lokalen Eichtransformation unterworfen wird und so die lokale Phasenkonvention weiterreicht bzw. das Teilchen mitführt. Gemeint ist eine Transformation, die mit einem ortsabhängigen Eichparameter ausgestattet ist. Das dadurch erzwungene vektorielle Eichfeld ist dann identisch mit dem bekannten elektromagnetischen Feld, dessen Quantisierung die massefreien, neutralen Photonen als Eichbosonen liefert. Die Ankopplung des Eichfeldes an das Materiefeld kennzeichnet die lokale Eichsymmetrie als eine dynamische Symmetrie, die allgemein die Wechselwirkungen zu erklären vermag. Dabei ist zu beachten, dass im Falle von nicht-abelschen Gruppen eine Selbstwechselwirkung zwischen den Eichfeldern bzw. deren Eichbosonen zu erwarten ist. So kann die Vereinigung von schwacher und elektomagnetischer Wechselwirkung auf der Grundlage eines direkten Produkts der L IE-Gruppen SU (2) und U (1) im Sinne einer Eichtheorie erreicht werden. Die Vervollständigung des Modells verlangt noch endliche Massen sowohl für die Fermionen wie für die Eichbosonen. Diese Forderung kann nur durch eine spontane Symmetriebrechung erfüllt werden. Das Verständnis darüber wird erleichtert, wenn man an die spontane Symmetriebrechung (1. Art) bei anderen Gruppen erinnert, wie sie etwa beim Festkörper durch Verletzung der Translations- oder Rotationssymmetrie bekannt ist. Dort beobachtet man als Konsequenz das Auftreten von elementaren Anregungen, deren Feldquanten – etwa beim Quasiteilchen Phonon – jedoch keine Masse besitzen. Erst eine lokale Symmetriebrechung durch Einführung zusätzlicher Eichfelder, nämlich der sogenannen (skalaren) H IGGS - Felder mit einem im Vakuumzu-

1 Einführung

5

stand von Null verschiedenen Energiewert, wird die Erzeugung endlicher Massen insbesondere für die Eichbosonen ermöglichen. Die Grundlage zur Beschreibung der starken Wechselwirkung bildet die Quantenchromodynamik als eine Eichtheorie der Wechselwirkung zwischen den Quarks. Sie kann als konsequente Weiterentwicklung der Quantenelektrodynamik betrachtet werden, wenn man das Prinzip der lokalen Eichinvarianz im Rahmen von Symmetrieüberlegungen in den Mittelpunkt rückt. Beide Theorien erheben die Forderung nach Erhaltung der Ladung, wenngleich im einen Fall die elektrische Ladung im anderen Fall die Farbladung gemeint ist. Letztere lässt sich in drei verschiedene Beiträge (rot, grün, blau) aufteilen. Ausgehend von der Voraussetzung, daß die Farbladungen für die starke Wechselwirkung verantwortlich sind und als Quelle der die Wechselwirkung vermittelnden Eichfelder wirken, wird man die nicht-abelsche L IE-Gruppe SUc (3) (c: colour) als Eichgruppe wählen. Während im einen Fall das elektromagnetische Feld bzw. die Photonen das Eichfeld bzw. die Eichquanten darstellen, erwartet man hier gemäß den acht Generatoren der L IE-Gruppe auch acht verschiedene Eichfelder. Die entsprechenden Eichquanten, die als Gluonen bekannt sind, tragen dabei eine Farbladung, jedoch keine elektrische Ladung. Im Gegensatz zur abelschen L IE-Gruppe U (1) der Quantenelektrodynamik wird hier die Farbladung bei der Wechselwirkung geändert, woraus eine Selbstwechselwirkung der Gluonen resultiert. In Ergänzung der bisher betrachteten inneren Symmetrien seien noch jene erwähnt, die sich auf die Dynamik eines Systems gründen und nur in wechselwirkenden Systemen anzutreffen sind. Man findet bei diesen dynamischen Symmetrien neben geometrischen Transformationen noch solche, die gleichzeitig in äußeren und inneren Räumen wirken. Die daraus resultierende Invarianzgruppe des gesamten Systems umfasst dann die Menge der geometrischen Symmetrien als eine Untergruppe. Schließlich kann auch die Gravitationswechselwirkung mithilfe einer Eichtheorie begründet werden, wenn man die Invarianz gegen lineare Koordinatentransformationen der speziellen Relativitätstheorie durch eine lokale Invarianz erweitert. Dabei spielen allgemeine Koordinatentransfomationen die Rolle von Eichtransformationen. Die damit verknüpfte Verschiebung eines beliebigen Weltpunktes im M INKOWSKI-Raum bedeutet dann eine Verzerrung des sonst regelmäßigen Gitters. Zur Kompensation kann man das Gravitationsfeld einführen, in Analogie zum elektromagnetischen Feld bei der Eichtheorie der elektromagnetischen Wechselwirkung. Die damit verknüpfte eichinvariante Feldstärke wird durch einen Krümmungstensor repräsentiert, der als Maß für die Krümmung eines infinitesimalen Flächenelements auf einer affinen Mannigfaltigkeit gilt. Bei dieser Eichtheorie werden keine inneren sondern raum-zeitliche Symmetrien betrachtet. Abschließend sei darauf hingewiesen, daß eine Verallgemeinerung des Symmetriebegriffs mithilfe der sogenannten Supersymmetrie erreicht werden kann. Das Prädikat Super zielt auf die Vorstellung einer graduierten algebraischen Struktur, wie sie etwa aus der Unterscheidung in gerade und ungerade Elemente resultiert. Ziel der Überlegungen dort ist die Vereinigung von völlig unterschiedlichen Systemen wie Bosonen und Fermionen. Neuere Untersuchungen lassen vermuten, dass

6

1 Einführung

eine lokale supersymmetrische Eichtheorie bzw. eine Supergravitation ein Grenzfall einer einheitlichen Theorie, der sogenanten Stringtheorie ist. Letztere basiert nicht auf punktförmigen Teilchen sondern vielmehr auf fadenförmigen Objekten, den sogenannten Strings, die sich in zusätzlichen Dimensionen bewegen. In diesen Theorien spielen insbesondere die exzeptionellen L IE-Gruppen eine wesentliche Rolle. Daneben gibt es weitere konkurrierende Überlegungen, etwa jene, die auf einer nicht-kommutativen Geometrie der Raumzeit basiert. Auch diese Theorie hat ihre Wurzeln in der Theorie der L IE-Gruppen. Die Diskussion der L IE-Gruppen, die die Grundlage der Symmetrien bilden, kann wesentlich erleichtert werden, wenn man die Struktur der Gruppen zu linearisieren versucht. Dabei wir die Linearisierung am Einselement (Identität) vorgenommen. Das bedeutet, dass die einer L IE-Gruppe zugrunde liegende Mannigfaltigkeit durch einen flachen euklidischen Raum ersetzt wird. Letztere ist der Tangentialraum als die Menge aller Tangentialvektoren an die Mannigfaltigkeit im Einselement. Man erhält so auf dem Tangentialraum eine algebraische Struktur, die als infinitesimale Ausgabe der Gruppenstruktur aufgefasst werden kann. Sie besitzt das Verhalten von Transformationen in der Umgebung des Einselements. Der Tangentialraum zusammen mit der zugehörigen Algebra ist als die L IE-Algebra L der L IEGruppe G bekannt. Beide Strukturen haben die gleiche Dimension. Die Betrachtung der L IE-Algebra kann wegen des gleichen linearen Vektorraumes mit den Methoden der linearen Algebra erfolgen, was eine Vereinfachung der Diskussion von Symmetrien erlaubt. Diese Vorgehensweise ist darin begründet, dass die lokalen Eigenschaften einer L IE-Gruppe am Einselement die wesentlichen Informationen über die Struktur der Gruppe offenbart. Demnach vermitteln die L IE-Algebren die Antworten auf grundsätzliche Fragen über die zugehörigen L IE-Gruppen. Das Produkt ·◦· von Elementen einer L IE-Gruppe ist mit dem L IE-Produkt (L IE-Klammer) [·, ·], nämlich dem Kommutator von Elementen der zugehörigen L IE-Algebra verknüpft. Der Übergang von einer L IE-Algebra L zur zugehörigen L IE-Gruppe G bedeutet eine Verallgemeinerung des Übergangs vom linearen Raum der additiven Gruppe reeller Zahlen zur multiplikativen Gruppe reeller Zahlen. Dieser Übergang wird durch die Exponentialfunktion vermittelt exp(r + s) = exp r ◦ exp s

∀r, s ∈ R,

so dass mit exp r ∈ G

∀r ∈ L

die Theorie der L IE-Gruppen und L IE-Algebren als eine Verallgemeinerung der Theorie der klassischen Exponentialfunktion aufgefasst werden kann.

Kapitel 2

Gruppen

Symmetrieeigenschaften können als Elemente einer mathematischen Gruppe aufgefasst werden. Dabei gehören Gruppen zu den algebraischen Strukturen, die mit einer inneren Verknüpfung ausgestattet sind. Die Aufeinanderfolge von Symmetrieoperationen wird dann durch die Verknüpfung festgelegt. Eine Beschäftigung mit den Eigenschaften einer Gruppe gilt deshalb als notwendige Voraussetzung für den Umgang mit den Gruppenelementen bzw. mit den Symmetrien sowie für das Verständnis der sich daraus ergebenden Folgen.

2.1 Elemente und Verknüpfungen Eine Menge von Elementen bildet eine abstrakte Gruppe G, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind: (a) Es gilt das Multiplikationsgesetz, wonach es für jedes geordnete Paar von Elementen a, b genau ein Element c ∈ G gibt mit c =a◦b

a, b, c ∈ G.

(2.1a)

(b) Es gilt das Assoziativgesetz (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

∀ a, b, c ∈ G.

(2.1b)

(c) Es gibt genau ein (neutrales) Einselement (Identität) e mit a◦e =e◦a =a

∀ a ∈ G.

(2.1c)

(d) Es gibt zu jedem Element a ∈ G ein inverses Element a −1 mit a ◦ a −1 = a −1 ◦ a = e.

(2.1d)

Demnach ist eine Gruppe eine nicht leere Menge G zusammen mit einer binären, assoziativen Verknüpfung f , die die Abbildung des kartesischen Produkts

M. Böhm, Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-20379-4_2, 

7

8

2 Gruppen

ψ : G × G −→ G erlaubt. Zudem existieren die inversen Elemente und ein Einselement. Falls außer den Bedingungen (2.1a–c) noch das Kommutativgesetz erfüllt ist a◦b =b◦a

∀ a, b ∈ G,

(2.1e)

liegt eine abelsche Gruppe vor. Bei Verletzung der Forderungen (2.1c) und (2.1d) spricht man von einer Halbgruppe (Semigruppe). Eine Halbgruppe mit einem Einselement bildet ein Monoid. Eine Menge von Elemente, die nur die Forderung (2.1a) erfüllt ist, als Gruppoid (Magma) bekannt. Falls darüberhinaus mit allen Elementen a, b aus dem Gruppoid die Gleichungen a◦x = b und y◦a = b genau eine Lösung haben (unter Verzicht auf die Assoziativität), dann bildet diese Menge eine Quasigruppe. Eine solche Gruppe mit einem Einselement gemäß Forderung (2.1c) bildet ein Loop. Beispiel 1 Gruppen sind: Die triviale Gruppe mit der Identität e als einziges Element G = {e}. Die Menge von zwei Elementen G = {e, a = bel.}. Die Menge von Vektoren im n-dimensionalen Vektorraum mit der Addition als Verknüpfung. Die Menge G = {t|t ∈ R\{0}, e ≡ 1} mit der Multiplikation als Verknüpfung; G = (R\{0}, ·). Die Menge G = {t|t ∈ R, e ≡ 0} mit der Addition als Verknüpfung; G = (R, +). Die Menge H = {l| l ∈ Z, e ≡ 0} mit der Addition als Verknüpfung; G = (Z, +). Eine Halbgruppe ist: Die Menge H = {n | n ∈ N\{0}} mit der Addition als Verknüpfung; G = (N\{0}, +). Ein Monoid ist: Die Menge H = {n | n ∈ N} mit der Multiplikation als Verknüpfung; G = (N, ·). Beispiel 2 Ein weiteres Beispiel benutzt die Symmetrie eines Systems im euklidischen Raum R2 . Dabei werden jene isometrischen Symmetrietransformationen betrachtet, die das System in identische Lagen versetzt unter Garantie der Invarianz des Abstands zwischen zwei Punkten sowie des Winkels zwischen zwei Richtungen. Bei einem Quadrat findet man als Symmetrieelemente neben dem Einselement e

2.1

Elemente und Verknüpfungen

9

  = c4 0 drei Rotationen c4 , c42 , c43 um eine 4-zählige Drehachse c4 mit den Winkeln 2π/4, 2π/4 · 2, 2π/4 · 3 sowie vier Spiegelungen σv , σv , σd , σd an Ebenen, die die Drehachse enthalten (Abb. 2.1). Die Verknüpfung von Symmetrieelementen geschieht durch eine aufeinanderfolgende Ausführung der Transformationen. Eine dazu isomorphe Gruppe (s. Abschn. 2.3) ist jene endliche Matrix-Gruppe, die aus acht zweireihigen Matrizen besteht  e=

  0 1 0 , c4 = −1 0 1

 σv =

  −1 0 1 , σ v = 0 1 0

  1 −1 , c24 = c2 = 0 0

   0 0 −1 , c34 = , −1 1 0

    0 0 1 0 , σd = , σ d = −1 1 0 −1

 −1 . 0 (2.2)

Die Verknüpfung ist die übliche Matrizenmultiplikation. Wegen der Nichtvertauschbarkeit der Matrizen gilt diese Gruppe ebenso wie die dazu isomorphe Punktgruppe C4v als nicht-abelsch.

Abb. 2.1 Quadrat mit C4v -Punktsymmetrie; c4 : vierzählige Rotation um die z-Achse; σv , σd : Spiegelungen an vertikalen und diagonalen Ebenen, die die Drehachse einschließen

Beispiel 3 Betrachtet man eine endliche Anzahl n verschiedener Objekte, etwa die Menge der natürlichen Zahlen M = {1, 2, . . . , n}, die in einer bestimmten Reihenfolge gegeben sind, dann kann eine Permutation (Umordnung) p im Sinne einer bijektiven Abbildung  p:

M −→ M {1, 2, . . . , n} −→ { p(1), p(2), . . . , p(n)}

(2.3a)

10

2 Gruppen

ausgedrückt werden durch das Schema  p=



1

2

...

n

p(1)

p(2)

...

p(n)

.

(2.3b)

In diesem Matrixschema stehen unter den Objekten in der 1. Zeile die Bildobjekte in der 2. Zeile, die nach der Permutation die ursprünglichen Plätze der Objekte einnehmen. Daher treten die Objekte nach der Permutation in der 2. Zeile genau einmal auf. Mit zwei Permutationen p und p kann man durch Hintereinanderschaltung der Abbildungen ein Produkt p p  definieren, das erneut eine Permutation liefert   

p=pp =  =

1

2

...

n

p  (1)

p (2)

...

p (n)



1

2

...

n

p (1)

p (2)

...

p (n)

1

2

...

n

p ( p (1))

p ( p ((2))

...

p ( p ((n))



 .

Dieses Produkt genügt dem Assoziativgesetz (2.1b). Mit der identischen Permutation als das Einselement e   1 2 ... n e= 1 2 ... n bildet die Menge aller Permutationen mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung ein Gruppe, die als symmetrische Gruppe (Permutationsgruppe) Sn bezeichnet wird. Das inverse Element p−1 ist diejenige Permutation, die die Permutation p wieder rückgängig macht. Sie ist durch die Bedingung p −1 p = pp −1 = e eindeutig bestimmt. Die symmetrische Gruppe ist für n ≥ 3 keine abelsche Gruppe. Beispiel 4 Beispiele für abelsche Gruppen sind die Punktgruppen C 4 = {e, c4 , c2 , c43 , C2 = {e, σv } oder C 2 = {e, σd }.  Als Ordnung (ord G) einer Gruppe G versteht man die Anzahl g der Elemente in der Gruppe. Diese kann endlich, abzählbar unendlich oder überabzählbar unendlich sein. Daneben versteht man unter der Ordnung (ord a) eines Symmetrieelements a die kleinste natürliche Zahl n, mit der es mit sich selbst verknüpft die Identität ergibt. Elemente a mit der Ordnung ord a = 2 heißen Involutionen.

2.1

Elemente und Verknüpfungen

11

Tabelle 2.1 Multiplikationstafel A einer endlichen Gruppe G = {a1 , . . . , ag } A a1 a2 .. . ag

a1 a1 ◦ a1 a2 ◦ a1 .. . a g ◦ a1

··· ··· ··· .. . ···

a2 a1 ◦ a2 a2 ◦ a2 .. . a g ◦ a2

ag a1 ◦ a g a2 ◦ a g .. . a g ◦ ag

Beispiel 5 Im Beispiel 2 der Punktgruppe C4v des Quadrats findet man für die Ordnung der Gruppe ord C 4v = 8 und für die Ordnung der Elemente ord c4 = 4 bzw. ord σv = 2. Im Beispiel 3 der symmetrischen Gruppe Sn ist die Ordnung der Gruppe durch die Anzahl der möglichen Permutationen gegeben ord Sn = n!.  Gruppen mit endlicher Ordnung, also einer endlichen Anzahl von Elementen heißen endliche Gruppen. Für solche Gruppen kann man eine sogenannte Multiplikationstafel (Gruppentafel, C ALEY-Tafel) angeben (Tab. 2.1). In dieser Matrix A ist das Matrixelement Ai j der i-ten Zeile und j-ten Spalte das Produkt ai ◦ a j der Elemente ai und a j . Nach dem Umordnungstheorem kommt in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Gruppenelement genau einmal vor. Die Multiplikationstafel einer abelschen Gruppe ist wegen Gl. (2.1e) symmetrisch zur Hauptdiaonale. Jede endliche Gruppe G mit der Ordnung ord G = n ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sn . Beispiel 6 Im Beispiel der Punktgruppe C4v , wo die Verknüpfung der Gruppenelemente eine Hintereinanderschaltung von Transformationen bedeutet, hat die Multiplikationstafel die Form von Tabelle 2.2. Tabelle 2.2 Multiplikationstafel Ai j = ai ◦ a j mit der aufeinanderfolgenden Ausführung von Symmetrietransformationen als Verknüpfung für die Punktgruppe G = C4v des Quadrats A

e

c4

c2

c43

σv

e c4 c2 c43

e c4 c2 c43

c4 c42 c43 e

c2 c43 e c4

c43 e c4 c2

σv σd σv σd

σv σv σd σd

σv σv σd σd

σd σd σv σv

σv σv σd σd

σd σd σv σv

e c2 c43 c4

σv

σd

σv

σd

σd σv σd

σd σv σd σv

σd σv σd σv

c2 e c4 c43

c4 c43 e c2

c43 c4 c2 e

 Eine Gruppe heißt diskret, falls die Menge ihrer Elemente abzählbar ist. Ein Beispiel ist die abelsche Gruppe (Z, +) mit unendlich vielen Elementen. Demnach ist auch jede endliche Gruppe eine diskrete Gruppe. Eine Gruppe heißt kontinuierlich,

12

2 Gruppen

falls sie von überabzählbar unendlicher Ordnung ist. Dort spielt der topologische Begriff der Nachbarschaft zwischen zwei Elementen bzw. zwei Punkten einer Mannigfaltigkeit eine wesentliche Rolle (Abschn. 4.1). Beispiel 7 Ein Beispiel für eine kontinuierliche Gruppe ist die Menge der linearen, bijektiven Transformationen (Abbildungen) A eines Vektors x = (x1 , . . . , x N ) im N -dimensionalen Raum R N mit der Hintereinanderschaltung (Verkettung) als Verknüpfung  N R −→ R N A: (2.4a) x −→ A(x) = x  . Diese Gruppe umfasst demnach alle bijektiven Selbstabbildungen des Vektorraumes V = R N . Sie ist isomorph zur Gruppe G der regulären, reellen N × N -Matrizen A (det A = 0) mit x  = Ax

bzw.

xi =

N

Ai j x j

i = 1, . . . , N ,

(2.4b)

j

die als allgemeine lineare Gruppe G L(N , R) bezeichnet wird (s. a. Tab. 4.1). Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen entspricht der Matrixmultiplikation. Mit dem Einselement E = 1N , dem reziproken Element A−1 A A−1 = A−1 A = 1 N und dem Produktelement C = AB

A, B ∈ G L(N , R)

werden alle vier Gruppenaxiome (2.1a) bis (2.1d) erfüllt. Die Nichtvertauschbarkeit der Matrixmultiplikation ist dafür verantwortlich, dass die Gruppe für N ≥ 2 nicht abelsch ist. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass Vektoren rechts (Gl. 2.3b) bzw. links von einer Matrix als Spaltenvektoren bzw. als Zeilenvektoren aufgefasst werden sollen. Alleine aufgeführt gelten sie stets als Zeilenvektoren. Betrachtet man allgemein einen linearen Vektorraum V über dem Körper K, dann bildet die Menge aller linearen, bijektiven Selbstabbildungen A : V −→ V eine Gruppe G L(V), die als Automorphismusgruppe Aut (V) von V bekannt ist. Für dimV = N ist diese Gruppe isomorph zur allgemeinen linearen Gruppe G L(N , C).

2.1

Elemente und Verknüpfungen

13

Beispiel 8 Weitere Beispiele für kontinuierliche Gruppen G sind die unitären und orthogonalen Gruppen. Die unitäre Gruppe U (N ) in N Dimensionen (N ≥ 1) umfasst die Menge aller komplexen, unitären N × N -Matrizen A A A† = A† A = 1 N

bzw.

A† = A−1

(2.5)

mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung. Wegen ( AB)† = B † A† = B −1 A−1 = ( AB)−1

A, B ∈ G

ist das Produkt zweier unitärer Matrizen A, B wieder eine unitäre Matrix und somit ein Element der Gruppe U (N ).Demnach ist das Multiplikationsgesetz (2.1a) erfüllt. Auch das Assoziativgesetz (2.1b) wird eingehalten. Das Einselement ist die Einheitsmatrix 1 N , mit der die Bedingung (2.1e) erfüllt wird. Schließlich ist wegen ( A−1 )† = A = ( A−1 )−1 die zur Matrix A inverse Matrix A−1 ebenfalls unitär, was von (2.1d) verlangt wird. Das Kommutativgesetz (2.1e) wird nur für N = 1 erfüllt, so dass die Gruppe U (N ) außer für N = 1 als nicht-abelsch gilt. Beispiel 9 Eine weitere unitäre Gruppe ist die spezielle unitäre Gruppe SU (N ) in N Dimensionen (N ≥ 1). Sie umfasst alle unitären N × N -Matrizen A mit der zusätzlichen Bedingung det A = 1.

(2.6)

Nachdem die Determinante einer unitären Matrix wegen det( A A† ) = det A det A† = det A det A∗ = | det A|2 = det 1 N = 1 stets eine reine Phase ist det A = eiϕ , mit einem beliebigen Phasenwinkel ϕ, bedeutet obige Bedingung (ϕ = 0) eine besondere Einschränkung. Alle speziellen unitären Gruppen sind nicht abelsch (s. a. Tab. 4.1). Beispiel 10 Die orthogonale Gruppe O(N ) in N Dimensionen (N ≥ 2) umfasst die Menge aller reellen, orthogonalen N × N -Matrizen A A A = A A = 1 N

bzw.

A = A−1

(2.7)

mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung. Auch hier werden die vier Gruppenaxiome (2.1a) bis (2.1d) erfüllt, wobei die Argumentation wie bei der Gruppe U (N ) geschieht. Die Gruppen O(N ) sind nicht abelsch.

14

2 Gruppen

Beispiel 11 Schließlich gibt es die spezielle orthogonale Gruppe S O(N ) in N Dimensionen (N ≥ 2). Sie umfasst die Menge aller Matrizen der Gruppe O(N ) mit det A = +1. Diese einschränkende Bedingung resultiert aus der Tatsache, dass wegen det( A A ) = det A det A = (det A)2 = det 1 N = 1 die Determinante einer orthogonalen Matrix nur die Werte det A = ±1

(2.8)

annehmen kann. Das Kommutativgesetz (2.1e) wird nur für N = 2 erfüllt, so dass die Gruppe S O(N ) außer für N = 2 als nicht-abelsch gilt. Allgemein können die orthogonalen Gruppen als Spezialfall der unitären Gruppen aufgefasst werden unter Berücksichtigung der Bedingung (s. a. Tab. 4.1) A = A∗ . Beispiel 12 Die orthogonale Gruppe O(N ) basiert auf der linearen Transformation (2.3) unter Berücksichtigung der Invarianz des Skalarprodukts x 1 · x 2 zweier beliebiger Vektoren x 1 , x 2 ∈ R N . Dies impliziert die Forderung nach Orthogonalität (2.7) der Matrizen A. Die Determinante kann dann nur die beiden Werte (2.8) annnehmen, wodurch die eigentlichen (speziellen, det A = +1) und uneigentlichen Transformationen (det A = −1) unterschieden werden. Im euklidischen Raum R3 sind die Transformationen eines Ortsvektors x als eigentliche d und uneigentliche Rotationen (Drehinversionen) bekannt. Letztere, nämlich die Inversionen i, die Spiegelungen σ sowie die Drehspiegelungen s resultieren aus dem Produkt einer eigentlichen Rotation mit einer Inversion. Die Menge aller eigentlicher Rotationen bildet die spezielle orthogonale L IE-Gruppe S O(3) in drei Dimensionen. Zusammen mit der Menge der uneigentlichen Rotationen erhält man die orthogonale L IE-Gruppe O(3) in drei Dimensionen (volle Rotationsgruppe oder Rotations-Inversionsgruppe). Beispiel 13 Betrachtet man etwa eine (aktive) Rotation dz (ϕ) eines Systems bzw. eines Vektors x aus dem euklidischen Raum R3 im Rechtsschraubensinn um die z-Achse mit dem Winkel ϕ gemäß x  = d z (ϕ)x,

(2.9a)

dann errechnet sich die Rotationsmatrix d z (ϕ) bzgl. der Standardbasis {ex = (1, 0, 0), e y = (0, 1, 0), ez = (0, 0, 1)} zu ⎛

cos ϕ d z (ϕ) = ⎝ sin ϕ 0

− sin ϕ cos ϕ 0

⎞ 0 0⎠ 1

0 ≤ ϕ < 2π.

(2.9b)

2.1

Elemente und Verknüpfungen

15

Die Matrix ist orthogonal (det d z (ϕ) = +1) und beschreibt eine aktive Rotation, bei der ein Vektor x im ruhenden Koordinatensystem gedreht wird. Vertritt man den passiven Standpunkt, bei dem das System bzw. der Vektor fest bleibt und das Koordinatensystem im Rechtsschraubensinn gedreht wird, muss der Drehwinkel ϕ durch den negativen Wert −ϕ ersetzt werden. Die Inversion i – Spiegelung am Koordinatenursprung – als die einfachste uneigentliche Rotation kann nach x  = i x = −x

(2.10a)

durch die Matrix ⎛

−1 i =⎝ 0 0

0 −1 0

⎞ 0 0⎠ −1

(2.10b)

beschrieben werden. Beispiel 14 Betrachtet man neben den Rotationen auch noch Translationen (Verschiebungen) eines Vektors x im euklidischen Raum R3 um einen endlichen Vektor t, dann wird die gesamte räumliche Transformation eines Vektors x beschrieben durch x = d x + t

x, t ∈ R3 .

(2.11a)

Abbildungen eines Vektorraumes in dieser Form sind nicht mehr linear und werden als affine Abbildungen bezeichnet. Dabei ist es üblich, die beiden hintereinander auszuführenden Transformationen der orthogonalen Rotation und der Translation symbolisch durch einen Operator in der Form x  = {d|t}x

(2.11b)

auszudrücken. Für das Produkt zweier Operatoren {d 1 |t 1 } und {d 2 |t 2 } erhält man mit Gl. (2.11a) nach sukzessiver Ausführung beider Transformationen einen weiteren Operator {d 1 |t 1 }{d 2 |t 2 } = {d 1 d 2 |d 1 t 2 + t 1 }.

(2.12)

Mit dem identischen Operator {1|0} errechnet sich nach (2.13) der inverse Operator zu {d|t}−1 = {d −1 | − d −1 t}.

(2.13)

Die Menge aller Operatoren {d|t} bilden demnach eine Gruppe, nämlich die 6-dimensionale euklidische Gruppe E(3) (Bewegungsgruppe des R3 bzw. reelle affine Gruppe). Die reinen orthogonalen Rotationen bzw. die reinen Translationen

16

2 Gruppen

werden durch die Operatoren {d|0} bzw. {1|t} beschrieben. Betrachtet man nur die eigentlichen Rotationen (det d = +1, d ∈ S O(3)), dann bilden diese die eigentliche euklidische Gruppe E + (3). Falls man dem Operator {d|t} eine 4 × 4-Matrix zuordnet   d t {d|t} := B = (2.14a) 0 1 mit dem Spaltenvektor t = (t1 , t2 , t3 ) ,

(2.14b)

dann kann die Transformation (2.11) durch eine Matrixgleichung in der Form 

x 1

 =B

  x 1

(2.15)

ausgedrückt und die euklidische Gruppe E(3) als eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe G L(4, R) aufgefasst werden. 

2.2 Strukturen Eine bedeutende Rolle spielt die Untergruppe. Sie ist jede nicht leere Teilmenge H der Gruppe G, deren Elemente die Bedingungen (2.1a) bis (2.1d) für eine Gruppe mit der gleichen Verknüpfung erfüllen H ⊆ G.

(2.16)

Danach hat jede Gruppe wenigstens zwei Untergruppen, nämlich das Einselement {e} und die Gruppe G selbst, die als uneigentliche Untergruppen zur Unterscheidung von den eigentlichen (echten) Untergruppen bezeichnet werden. Da die Untergruppe erneut eine Gruppe bildet, muss die Menge ihrer Elemente eine abgeschlossene algebraische Struktur sein und kann direkt von der Multiplikationstafel abgelesen werden (s. z. B. Tab. 2.2). Es ist leicht nachzuweisen, dass der Durchschnitt von Untergruppen eine Gruppe G wieder eine Untergruppe von G ist. Beispiel 1 Untergruppen  der Punktgruppe C4v sind die Punktgruppen C 4 =  e, c4 , c42 , c43 , C2v = e, c42 = c2 , σv , σv sowie Cs = {e, σv } (Abb. 2.2).  Eine besondere Gruppe ist die zyklische Gruppe Z. Sie besteht aus Elementen, die eine Potenz eines Elements z sind Z := {z n | n ∈ Z}.

(2.17)

2.2

Strukturen

17

Abb. 2.2 Schematische Darstellung der Punktgruppe C4v mit der Aufteilung in Klassen Ka

Danach gilt für eine zyklische Gruppe ord Z = ord z = n.

(2.18)

Jedes Element einer endlichen Gruppe G zusammen mit seiner Potenz eine zyklische Untergruppe Hz ⊂ Z Hz = {z n | z ∈ Z, n ∈ Z}.

(2.19)

Zudem findet man jedes Element einer endlichen Gruppe in mindestens einer Untergruppe enthalten.  Beispiel 2 Die Punktgruppe C4 = e, c4 , c42 = c2 , c43 ist eine zyklische Gruppe und zugleich eine Untergruppe Hc4 ⊆ G = C4v . Das gleiche gilt für die Punktgruppe Cs = {e, σv } oder {e, σd }.  Mit den Elementen p = z r und q = z s einer zyklischen Gruppe findet man nach p ◦ q = z r ◦ z s = z r +s = z s ◦ z r = q ◦ p

(2.20)

die Kommutativität, so dass jede zyklische Gruppe auch abelsch ist. Eine besondere Untergruppe ist das Zentrum C C := {c ∈ G| c ◦ G = G ◦ c}.

(2.21)

Ihre Elemente c sind mit allen Gruppenelementen vertauschbar und gelten deshalb als invariante Elemente.

18

2 Gruppen

Beispiel 3 Im Fall der Punktgruppe C4v ist das Zentrum die triviale, uneigentliche Untergruppe C={e}. In der Multiplikationstafel (Tab. 2.2) sind Zeilen und Spalten für das Zentrum identisch. Im Fall der allgemeinen linearen Gruppe G L(N , R) besteht das Zentrum aus der Menge C = {λ1 N | λ ∈ R, λ = 0}. Im Fall der speziellen unitären Gruppe SU (N ) besteht das Zentrum aus der Menge C = {λ1 N | λ ∈ C, λ N = 1, |λ| = 1}.  Als Konsequenz findet man zum einen, dass das Zentrum stets eine abelsche Gruppe ist und zum anderen, dass in abelschen Gruppen das Zentrum durch die Menge aller Elemente gebildet wird. Eine ausgezeichnete Rolle spielen jene Elemente einer Teilmenge, das sogenannte (freien) Erzeugendensystem S = {si | i = 1, . . . , r }, durch deren faktorielle Anwendung jedes beliebige Element einer Gruppe G als Produkt von endlich vielen Elementen (Erzeugende, Generatoren) aus S und deren Inverse eindeutig dargestellt werden kann. Die Gruppe gilt  dann als freie Gruppe über S. Das Produkt von endlich vielen Elementen a = s1z 1 , s2z 2 . . . srzr ∈ G mit s1 , . . . , sr ∈ S (si = si+1 ∀i) und z 1 , . . . , zr ∈ Z (z i = 0 ∀i) wird als reduziertes Wort über S bezeichnet. Falls die Teilmenge S als endliche Menge gewählt werden kann, nennt man die Gruppe G eine endlich erzeugte Gruppe. Die Wahl der unahängigen Erzeugenden {si | i = 1, . . . , r } ist nicht eindeutig. Die minimale Menge von Erzeugende, deren Anzahl als der Rang r einer (endlichen) Gruppe bezeichnet wird, gilt als eine Basis. Beispiel 4 Die Gruppe der ganzen, additiven Zahlen G = (Z, +) ist eine freie Gruppe über dem Erzeugendensystem S = {1}. Bei einer zyklischen Gruppe Z = {e, z, . . . , z n−1 n ≥ 2} besteht die minimale Menge von Generatoren aus einem Element (s1 = z 1 ), so dass der Rang r = 1 beträgt. Jedes Element kann dargestellt werden durch z k (k ∈ Z). Diese Darstellung ist wegen z n = e nicht eindeutig, so dass die Gruppe keine freie Gruppe ist. Beispiel 5 Bei der Punktgruppe C4v gibt es die Erzeugenden S = {s1 = c4 , s2 = σv } mit den definierenden Beziehungen s14 = e

s22 = e

(s1 ◦ s2 )2 = e

bzw.

s1 ◦ s2 = (s1 ◦ s2 )−1 .

Der Rang ist dann r = 2. Die Beschreibung der Gruppe durch reduzierte Worte zusammen mit den Relationen geschieht dann in der Form   C 4v = e, s1 , s12 , s13 , s2 , s1 ◦ s2 , s12 ◦ s2 , s13 ◦ s2 , was allgemein als Gruppenpräsentierung bezeichnet wird. Die Gruppe ist jedoch keine freie Gruppe, da etwa das Element c4 = s11 = s14n (n ∈ N) nicht eindeutig dargestellt werden kann. 

2.2

Strukturen

19

Die Suche nach Elementen mit äquivalenten Eigenschaften führt zu dem Begriff der Konjugiertheit, der eine vereinfachende Aufteilung der Gruppe ermöglicht. Ein Element a  ist konjugiert zum Element a, falls es ein Element b ∈ G gibt, mit dem a in a  transformiert werden kann a  = b ◦ a ◦ b−1 .

(2.22)

Daraus erwächst eine Äquivalenzrelation mit den folgenden Eigenschaften: (a) a ist zu sich selbst konjugiert (Reflexivität). (b) Falls a  konjugiert ist zu a, ist auch a konjugiert zu a  (Symmetrie). (c) Falls a konjugiert ist zu a  und a  konjugiert zu a  , ist auch a konjugiert zu a  (Transitivität). Mithilfe aller zueinander konjugierter Elemente lässt sich eine Menge definieren, die als die Klasse der konjugierten Elemente oder Konjugiertenklasse bezeichnet wird (Abb. 2.2) Ka := {a, b ∈ G| b ◦ a ◦ b−1 }. Diese Festlegung erlaubt eine Einteilung der Gruppe G in Klassen Ki konjugierter Elemente G=

r 

Ki

r : Anzahl der Klassen.

(2.23)

i=1

Dabei ist zu beachten, dass Konjugiertenklassen keine Gruppen sind, da ihnen das Einselement fehlt. Nachdem jedes Element der Gruppe nur einer Klasse angehört, gilt die Beziehung r

ri = g

ri : Anzahl der Elemente einer Klasse.

(2.24)

i=1

Falls ein Element zu sich selbst konjugiert ist und deshalb nach Gln. (2.21) und (2.22) mit allen Elementen der Gruppe vertauscht, bildet es eine Klasse für sich. Gemäß Gln. (2.1d) und (2.22) bildet in abelschen Gruppen jedes Element eine Klasse für sich. Dort ist die Klassenzahl r nach Gl. (2.24) mit der Gruppenordnung g identisch. Jedes Zentrum C als die Menge von Elementen, die nach (2.21) mit allen Gruppenelementen vertauscht, ist eine Klasse für sich. Das Einselement e ist demnach als Zentrum ebenfalls immer eine Klasse für sich. Betrachtet man ein Element a mit der Ordnung n (a n = e), dann findet man für die Elemente a  derselben Klasse mit Gl. (2.22) a n = (b ◦ a  ◦ b−1 )n = b ◦ (a  )n ◦ b−1

bzw.

e = (a  )n ,

wonach diese dieselbe Ordnung besitzen. Die Umkehrung dieser Aussage ist nicht gültig. Bleibt darauf hinzuweisen, dass bei einer Gruppe, die aus der Menge von

20

2 Gruppen

Rotationen alleine besteht, es keine Klasse gibt, die sowohl eigentliche wie uneigentliche Rotationen umfasst. Beispiel 6 Bei der Gruppe C4v werden die zueinander konjugierten Elemente in  2 3 , K = {e}, K = c , c = c = c , fünf Klassen eingeteilt (Abb. 2.2): K e c 4 c 2 4 2 4 4   Kσv = σv , σv , Kσd = σd , σd . Die Beziehung (2.24) lautet 5

ri = 1 + 2 + 1 + 2 + 2 = 8.

i=1

 Eine Zerlegung der Gruppe G ganz anderer Art verwendet die sogenannte Nebenklasse. Mit der Untergruppe H = {h 1 , h 2 , . . . , h h } und dem Element a ∈ G, das nicht zur Untergruppe gehört (a ∈ / H), wird die Menge der Elemente La = a ◦ H = {a ◦ h 1 , a ◦ h 2 , . . . , a ◦ h h } als Linksnebenklasse La bzgl. des Elements a bezeichnet. Entsprechendes gilt für die Rechtsnebenklasse Ra (Abb. 2.3). Dabei gilt das Element a als Vertreter der Nebenklasse La bzw. Ra . Die Anzahl der verschiedenen Elemente einer Nebenklasse ist nach dem Umordnungstheorem mit der Anzahl der Elemente in der Untergruppe identisch gl = gr ≡ gh ≡ ord H.

(2.25)

Für den Fall, dass der Vertreter a zur Untergruppe H gehört, ist die Nebenklasse La bzw. Ra mit der Untergruppe H identisch. Andernfalls (a ∈ / H) ist die Nebenklasse La bzw. Ra bzgl. a keine Untergruppe von G. Nachdem das Einselement e in der Untergruppe H liegt, ist der Vertreter a auch ein Element der Nebenklasse (a ∈ a ◦ H), so dass jedes Element der Gruppe G mindestens in einer Nebenklasse liegt. Die Untersuchung zweier Nebenklassen Ka1 und Ka2 verhilft zu der Aussage, dass diese entweder kein Element gemeinsam haben Ka1 ∩ Ka2 = ∅ oder beide identisch sind Ka1 ≡ Ka2 . Sei das Element b ein Mitglied der Linksnebenklasse a ◦ H bzgl. des Vertreters a, dann ist die Linksnebenklasse b ◦ H bzgl. des Vertreters b mit der Linksnebenklasse a ◦ H identisch (a ◦ H ≡ b ◦ H). Demnach kann ein und dieselbe Nebenklasse aus jedem ihrer Mitglieder als Vertreter gebildet werden, so dass jedes beliebige Mitglied einer Nebenklasse ein gleichberechtigter Vertreter dieser Nebenklasse ist. Eine bedeutende Folgerung mündet in der Aufteilung einer Gruppe G nach Nebenklassen (Abb. 2.3a, b)

2.2

Strukturen

21 l 

G=

l 

ai ◦ H =

i=1

Li

(2.26a)

i=1

und G=

l 

H ◦ ai =

i=1

l 

Ri .

(2.26b)

i=1

Dabei ist die Anzahl l der Links- und Rechtsnebenklassen gleich. Die Wahl der Vertreter ai ist nicht eindeutig. Es können mit verschiedenen Vertretern identische Nebenklassen gewonnen werden. Als Index l der Untergruppe H bzgl. der Gruppe G versteht man die Anzahl l der Nebenklassen ind H = l.

(2.27)

Beispiel 7 Bei der Gruppe C4v erhält man etwa mit der Untergruppe H = C4 die Zerlegungen in Linksnebenklassen (Abb. 2.3) C4v = {e ◦ C4 , σv ◦ C 4 } = {Le , Lσv }  C 4v = e ◦ C4 , σv ◦ C4 = {Le , Lσv }

mit den Vertretern {e, σv },  mit den Vertretern e, σv ,

C4v = {c4 ◦ C4 , σv ◦ C 4 } = {Lc4 ,Lσv }

mit den Vertretern {c4 , σv },

C4v = {c4 ◦ C4 , σd ◦ C4 } = {Lc4 , Lσd }

mit den Vertretern {c4 , σd }. 

Abb. 2.3 Schematische Darstellung der Punktgruppe C4v mit einer Aufteilung in Linksnebenklassen L der Untergruppe H = C4 = e, c4 , c42 , c43 (a) und der Untergruppe H = Cs = {e, σv } (b)

22

2 Gruppen

Auch die Vertreter bilden nicht notwendig eine Gruppe. Häufig ergibt das Produkt zweier Vertreter ein Element der Untergruppe, so dass die Menge der Vertreter bezüglich der Multiplikation keine abgeschlossene algebraische Struktur bildet. Nachdem in der Zerlegung der Gruppe nach Gl. (2.26) stets einmal die Untergruppe selbst erscheint, kann man die Menge der Vertreter in einer Form wählen, die das Einselement enthält (a1 = e) so dass die Zerlegung einer Gruppe G die Form G =H∪

l 

ai ◦ H = H ∪

i=2

l 

H ◦ ai

i=2

annimmmt. Mit der vollständigen Aufteilung einer Gruppe nach Gl. (2.26) gewinnt man die Aussage, dass die Ordnung g einer Gruppe G ein ganzes Vielfaches l (= ind H) der Ordnung h einer Untergruppe H ist (Satz v. E ULER -L AGRANGE) ord G = ind H ord H

bzw.

g=lh

l, h ∈ N.

(2.28)

Wählt man als Untergruppe die zyklische Untergruppe Ha = {e = a n , a, . . . , a n−1 } eines Elements a mit der Ordnung ord a = n, dann findet man mit Gl. (2.28), dass die Ordnung g der Gruppe ein Vielfaches l der Ordnung n des Elements a ist g = l ord a = l n.

(2.29)

a g = a ln = (a n )l = el = e

(2.30)

Mit der Umformung

erhält man das Ergebnis, dass jedes Element a einer Gruppe mit der Ordnung der Gruppe ord G = g potenziert dem Einselement gleich ist (Satz v. F ERMAT). Für den Fall, dass die Ordnung einer Gruppe G eine Primzahl p ist, bekommt man für den Index der Untergruppe ind H = 1, so dass eine zyklische Gruppe mit nur einem Generator a (ord a = p) vorliegt. Zudem hat dann die Gruppe außer den uneigentlichen Untergruppen G und {e} keine eigentlichen Untergruppen und gilt deshalb als einfach. Beispiel 8 Bei der Punktgruppe C4v wird als Untergruppe gewählt: (a) H = C 4 ; dann ergibt sich mit den Vertretern {e, σv } nach Gl. (2.26) die Aufteilung (Tab. 2.2) C4v = {e ◦ C 4 , σv ◦ C 4 }. Mit ord C4v = g = 8 und ord C 4 = h = 4 erhält man nach Gl. (2.28) ind C 4 = 2. (b) H = C s ; dann ergibt sich mit den Vertretern e, c4 , c42 , c43 die Aufteilung  C4v = e ◦ Cs , c4 ◦ Cs , c42 ◦ Cs , c43 ◦ Cs . Mit ord Cs = h = 2 erhält man nach Gl. (2.28) ind Cs = 4. 

2.2

Strukturen

23

Eine weitere charakteristische Menge von Elementen sind jene, die ein festes Element a ∈ G unter Konjugation in sich transformieren bzw. die mit a vertauschbar sind. Sie bilden eine Gruppe, nämlich den Normalisator von a in G NG (a) := {g| g ◦ a = a ◦ g, g ∈ G}.

(2.31a)

Nach Potenzieren eines Elements a = g ◦ a ◦ g −1 erhält man a n = (g ◦ a ◦ g −1 )n = g ◦ a n ◦ g −1 , wonach mit dem Element a auch alle Potenzen von a den gleichen Normalisator besitzen. Der Normalisator einer Teilmenge A in G – insbesondere einer Untergruppe – ist die Menge der Gruppenelemente, die mit der Teilmenge vertauschbar sind NG (A) := {g| g ◦ A = A ◦ g, g ∈ G}.

(2.31b)

Dabei kann durchaus für einzelne Elemente a ∈ A die Vertauschbarkeit nicht erfüllt sein (g ◦ a = a ◦ g). Mit der strengeren Forderung, dass die Teilmenge B elementweise invariant ist unter der Konjugation mit Gruppenelementen g ∈ G erhält man den Zentralisator CG (A) := {g| g ◦ a = a ◦ g, ∀a ∈ A, g ∈ G}.

(2.31c)

Er bildet eine Untergruppe und ist bezüglich des Einselements die Gruppe selbst (CG (e) = G). Beispiel 9 Bei der Punktgruppe C4v wird als festes Element a gewählt (a) a = e : dann gilt NC4v (e) = C 4v . (b) a = c4 : dann gilt NC4v (c4 ) = e, c4 , c42 , c43 .  (c) a = σv : dann gilt NC4v (σv ) = e, c42 = c2 , σv , σv .  Falls das Element a des Normalisators selbstkonjugiert ist, dann gilt NG = G. Andernfalls kann die Gruppe in Linksnebenklassen zerlegt werden G=

r 

x i ◦ NG

x1 = e.

i=1

 Die Menge der zu a konjugierten verschiedenen Elemente xi ◦ a ◦ x1−1 = ai | i = 1, . . . , r gehören zu einer Klasse Ka mit ra Elementen. Mit der Anzahl va von Elementen im Normalisator NG findet man dann die Beziehung ord G = g = va ind NG = va ra .

(2.32)

24

2 Gruppen

Danach ist die Anzahl ra von Elementen einer Klasse Ka ein Teiler der Gruppenordnung. Die Anzahl r der Klassen ist jedoch im Allgemeinen kein Teiler von g. Die Summation über die Klassen liefert mit Gl. (2.24) r

va−1 = 1,

(2.33)

a=1

so dass mit va ≤ g die Zahl der Klassen einer endlichen Gruppe beschränkt ist. Beispiel C K  4v erhält  10 Bei der Punktgruppe man für die Klassen e = {e}, Kc4 =  c4 , c43 , K c2 = c42 , Kσv = σv , σv und Kσd = σd , σd die Vielfachen ve = 8, vc4 = 4, vc2 = 8, vσv = 4 und vσd = 4. Insgesamt errechnet sich Gl. (2.33) zu a va−1 = 1/8 + 1/4 + 1/8 + 1/4 + 1/4 = 1.  Bedeutender als der Normalisator ist jene Untergruppe N , deren Elemente b mit allen Gruppenelementen vertauschen und die deshalb zu sich selbst konjugiert ist N := a ◦ N ◦ a −1

∀a ∈ G

N := {b| G ◦ b = b ◦ G, b ∈ G}. (2.34a) Sie wird als invariante Untergruppe bzw. als Normalteiler N bezeichnet. Gleichbedeutend damit ist die Forderung nach Übereinstimmung von Links- und Rechtsnebenklasse bzw.

La = Ra

∀a ∈ G.

(2.34b)

Betrachtet man etwa abelsche Gruppen, dann ist wegen Gl. (2.1d) jede Untergruppe ein Normalteiler. Demnach ist auch das Zentrum C (2.21) ein Normalteiler. Einfach einzusehen ist die Aussage, dass Untergruppen vom Index zwei stets Normalteiler sind. Eine Untergruppe ist genau dann ein Normalteiler, wenn sie aus ganzen Klassen der Gruppe besteht. Jede Gruppe G besitzt deshalb zwei triviale Normalteiler, nämlich die uneigentliche Gruppen {e} und G. Durch Bildung der sogenannten Kommutatorgruppe (1. Ableitung von G) G  := {a, b ∈ G| a −1 ◦ b−1 ◦ a ◦ b} erhält man eine Untergruppe von G, die stets ein Normalteiler ist. Sie kann als Gegenstück zum Zentrum der Gruppe (2.21) aufgefasst werden. Während die Größe von letzterer ein „Maß“ für die Kommutativität darstellt, ist die Kommutatorgruppe umso größer, je weniger kommutativ die Gruppe ist. Eine Gruppe G ist genau dann abelsch, wenn die Kommutatorgruppe nur aus dem Einselement besteht (G  = {e}). Im Hinblick auf den Normalteiler kann man zwischen zwei Arten von Gruppen unterscheiden. Die einfache Gruppe besitzt keinen nicht-trivialen Normalteiler. Die halbeinfache Gruppe besitzt keinen abelschen Normalteiler. Folglich ist jede einfache Gruppe auch eine halbeinfache Gruppe und jede abelsche Gruppe ist weder einfach noch halbeinfach. Der Durchschnitt von Normalteiler einer Gruppe G ist ebenfalls ein Normalteiler von G. Es ist leicht einzusehen, dass das Zentrum C einer

2.2

Strukturen

25

Gruppe G sowie deren Untergruppen auch Normalteiler von G sind. Sie werden als zentrale Normalteiler der Gruppe G bezeichnet. Die Bedeutung von einfachen Gruppen liegt darin, dass sie die elementaren Bausteine von Gruppen darstellen. Zudem ist es gelungen, diese einfachen Gruppen vollständig zu klassifizieren, was mit allgemeinen endlichen Gruppen nicht möglich ist. Man kann ausgehend von einer endlichen Gruppe G rekursiv eine abnehmende Folge von Untergruppen {G(k) } definieren durch G0 := G

G(k) := [G, G(k−1) ]

k≥1

mit G(k) ⊇ G(k+1)

k ≥ 0,

so dass bei jedem Schritt die Kommutatorgruppe zwischen allen Elementen der Gruppe G und den der Untergruppen {G(k−1) |k ≥ 1} gebildet wird. Man erhält so eine Folge von Untergruppen {G(k) }, die sogenannte untere Zentralreihe (absteigende Reihe). Ein Gruppe G heißt nilpotent genau dann, wenn es ein k gibt, für das die Untergruppe G(k) der unteren Zentralreihe trivial ist (G(k) = {e}). Diese Eigenschaft der Nilpotenz eignet sich als Kriterium zur Charakterisierung von endlichen Gruppen. Daneben kann man rekursiv abgeleitete Gruppen definieren durch G 0 := G

G (k) := [G (k−1) , G (k−1) ]

k≥1

mit G (k) ⊇ G (k+1)

k ≥ 0,

wodurch eine abnehmende Folge von Untergruppen, die sogenannte Kommutatorreihe (abgeleitete Reihe) erzeugt wird. Ein Gruppe G heißt auflösbar, wenn es ein k gibt, für das die Untergruppe G (k) der unteren Zentralreihe trivial ist (G (k) = {e}). Im Folgenden werden die Nebenklassen Lai = {ai ◦ N = N ◦ ai | i = 1, . . . , indN } bzgl. des Normalteilers N als Elemente einer Gruppe betrachtet, um damit die Gruppenaxiome (2.1) zu überprüfen. (a) Mit Lai ◦ La j = ai ◦ N ◦ a j ◦ N = ai ◦ a j ◦ N ◦ N = Lai ◦ a j findet man für das Produkt zweier Nebenklassen erneut eine Nebenklasse. (b) Das Assoziativgesetz ist erfüllt. (c) Mit dem Element Le = e ◦ N = N

26

2 Gruppen

erhält man für beliebige Nebenklassen Lai ◦ N = ai ◦ N ◦ N = Lai , so dass dieses das Einselement ist. (d) Mit dem Element = (ai ◦ N )−1 = ai−1 ◦ N La−1 i erhält man für beliebige Nebenklassen mit Gl. (2.34a) Lai ◦ La−1 = ai ◦ N ◦ ai−1 ◦ N = ai ◦ ai−1 ◦ N ◦ N = e ◦ N = Le , i so dass dieses das inverse Element ist. Damit erfüllen die Nebenklassen bzgl. eines Normalteilers die Axiome einer Gruppe und gelten als Elemente der sogenannten Faktorgruppe (Quotientengruppe) G/N := {ai ◦ N } = {N ◦ ai }

ai ∈ G.

(2.35)

Nach dem Satz von E ULER -L AGRANGE (Gl. 2.28) gilt für die Ordnung der Faktorgruppe ord(G/N ) = g/ord N = ind N .

(2.36)

Die Zahl der Elemente ist so im Vergleich zur Gruppe G vermindert. Die Diskussion der Faktorgruppe erlaubt deshalb durch die Verdichtung auf eine kleinere Gruppe mitunter eine wesentliche Vereinfachung. Die Gruppe G lässt sich so durch den Normalteiler N in elementfremde Nebenklassen äquivalenter Elemente (Äquivalenzklassen) zerlegen. Nachdem jede Gruppe mit Primzahlordnung p (= ord G) eine zyklische Gruppe und deshalb auch eine abelsche Gruppe mit der Ordnung des Generators p (= ord a) ist, findet man eine solche Gruppe isomorph zur additiven Faktorgruppe Z p = ({0, 1, . . . , p − 1} mod p, +) (∼ = Z/ pZ). Dabei bedeutet Z bzw. pZ die Gruppe der additiven ganzen Zahlen (Z, +) bzw. ( pZ = { pz|z ∈ Z}, +). Beispiel 11 Bei der Punktgruppe C 4v werden die folgenden Untergruppen betrachtet: aus ganzen Klassen und ist kein Normalteiler. (a) Cs = {e,    σv } besteht nicht (b) C2v = e, c42 , σv , σv besteht aus den ganzen Klassen {e}, c42 , σv , σv und ist ein Normalteiler.   (c) C4 = e, c4 , c42 , c43 besteht aus den ganzen Klassen {e}, c4 , c43 , c42 und   ist ein Normalteiler; die Faktorgruppe ist C4v /C4 = e, c4 , c42 , c43 , σv , σv , = {e ◦ C4 , σv ◦ C 4 } = {Le , Lσv } mit der Ordnung (Gl. 2.36) σd , σd ord(C4v /C4 ) = ind C4 = 2.

2.3

Abbildungen

27

C4v hat einen nicht-trivialen Normalteiler und ist deshalb nicht einfach. Der Normalteiler ist eine abelsche Gruppe, so dass die Punktgruppe C 4v auch nicht als halbeinfach gilt. Beispiel 12 Die spezielle orthogonale Gruppe SO(3) besitzt nur triviale Normalteiler und gilt deshalb als einfach. Beispiel 13 Die eigentliche euklidische Gruppe E + (3), die neben den eigentlichen Rotationen d ∈ SO(3) auch die Translationen t im euklidischen Raum R3 umfasst, hat wegen d t d −1 = t 

d ∈ SO(3)

t, t  ∈ R

die Menge der Translationen als Normalteiler. Sie ist deshalb keine einfache Gruppe. Darüberhinaus ist wegen der Vertauschbarkeit der Translationen dieses Normalteilers eine abelsche Untergruppe, so dass die Gruppe E + (3) auch nicht halbeinfach ist. Beispiel 14 Vergleicht man die Transformation (2.15) der Operatoren B (2.14a) mit der Transformation (2.3) der Operatoren A, dann kann die euklidische Gruppe E(3) in drei Dimensionen als eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(4, R) in vier Dimensionen aufgefasst werden E(3) = {{d|t} ∈ GL(4, R)|d ∈ O(3), t ∈ R3 }. 

2.3 Abbildungen Bei den Abbildungen einer Gruppe G in eine andere Gruppe G  können unterschiedliche Forderungen gestellt werden. Setzt man den Erhalt der algebraischen Struktur {G, ◦} voraus, so spricht man von Morphismen. Ein Gruppen-Homomorphismus ist die Abbildung ψ einer Gruppe G mit der Verknüpfung „◦“ in eine Gruppe G  mit der Verknüpfung „∗“ ψ : G −→ G  ,

(2.37a)

so dass die Forderung nach Strukturerhaltung ψ(a ◦ b) = ψ(a) ∗ ψ(b)

∀a, b ∈ G,

(2.37b)

erfüllt ist (Abb. 2.4). Demnach ist das Bild der Verknüpfung der Elemente a und b gleich der Verknüpfung der Bilder von a und b. Falls die Abbildung injektiv ist, nennt man sie einen Monomorphismus, im surjektiven Fall wird die Bezeichnung Epimorphismus benutzt. Die Selbstabbildung bzw. der Endomorphismus bezeichnet die homomorphe Abbildung ψ einer Gruppe G in die Gruppe G  mit derselben Verknüpfung

28

2 Gruppen

Abb. 2.4 Schematische Darstellung des Homomorphismus ψ zwischen den Gruppen {G , ◦} und {G , ∗} durch ein kommutatives Diagramm (ψ ◦ = ∗ (ψ × ψ))

ψ : G −→ G 

G  ⊆ G.

mit

(2.38)

Der Isomorphismus bezeichnet die umkehrbar eindeutige (injektive und surjektive = bijektive) homomorphe Abbildung ψ (2.37) einer Gruppe G auf eine Gruppe G  , wodurch die algebraischen Strukturen beider Gruppen isomorph sind, was als Äquivalenzbeziehung G∼ = G.

(2.39)

ausgedrückt wird. Für den Fall, dass die Strukturen {G, ◦} und {G  , ∗} identisch sind, ist die isomorphe Abbildung ψ der Gruppe G auf sich selbst ein Automorphismus. Betrachtet man etwa eine Abbildung ψb in der Form einer Konjugation mit einem festen Element b  ψb :

G −→ G a −→ b ◦ a ◦ b−1 ,

(2.40)

dann ist diese nach (2.37) (b ◦ a  ◦ b−1 ) ◦ (b ◦ a  ◦ b−1 ) = b ◦ a  ◦ a  ◦ b−1

a  , a  ∈ G

ein Homomorphismus. Mit b ◦ a  ◦ b−1 = b ◦ a  ◦ b−1

folgt

a  = a  ,

so dass die Abbildung eindeutig (injektiv) ist. Zudem gibt es zu jedem Element (b ◦ a ◦ b−1 ) genau ein Urbild a, so dass die Abbildung auch umkehrbar eindeutig (surjektiv) ist. Demnach ist die Abbildung (2.40) insgesamt ein Automorphismus von G mit Umkehrabbildung (ψb )−1 = ψb−1 ,

2.3

Abbildungen

29

der als innerer Automorphismus bezeichnet wird. Jeder andere Automorphismus, der nicht diese Form (2.40) annimmt heißt äußerer Automorphismus. Die Automorphismen der Gruppe G bilden mit der Hintereinanderausführung eine Gruppe Aut(G). Dabei sind alle inneren Automorphismen eine Untergruppe Int(G), die sogar ein Normalteiler ist. Beispiel 1 Ein Beispiel zum Homomorphismus ist die Abbildung ψ der Menge aller reellen Zahlen mit der Verknüpfung „Addition“ (R, +) in die Menge aller reellen Zahlen mit der Verknüpfung „Multiplikation“ (R, ·) ψ : R −→ R gemäß der Definition ψ := a −→ exp a

a ∈ (R, +)

exp a ∈ (R, ·).

Wegen exp(a1 + a2 ) = exp a1 exp a2

a1 , a2 ∈ (R, +)

wird die Forderung (2.37) erfüllt. Beispiel 2 Ein Beispiel zum Endomorphismus ist die Abbildung der Punktgruppe G = C 4v in die Untergruppe G  = C s = {e, σv } gemäß  ψ  e, c4 , c42 , c43 −→ e,



ψ σv , σv , σd , σd −→ σv

bzw. ψ

L e = e ◦ N −→ e,

ψ

L σv = σv ◦ N −→ σv .

Beispiel 3 Ein Beispiel zum Isomorphismus ist die Abbildung ψ der Menge aller positiven, reellen Zahlen mit der Verknüpfung „Multiplikation“ (R+ , ·) auf die Menge der reellen Zahlen mit der Verknüpfung „Addition“ (R, +) ψ : R+ −→ R gemäß der Definition ψ := a −→ ln a

a ∈ (R+ , ·)

Wegen ln(a1 a2 ) = ln a1 + ln a2 wird die Forderung (2.37) erfüllt.

ln a ∈ (R, +).

30

2 Gruppen

Beispiel 4 Ein weiteres Beispiel zum Isomorphismus ist die Abbildung ψ der Punktgruppe G = C 4v auf die Punktgruppe G  = D4 = e, c4 , c42 , c43 , c2 , c2 , c2 ,  c2 gemäß ψ

ψ

e −→ e, ψ

c4 −→ c4 ,

σv −→ c2 ,

ψ

ψ

ψ

σv −→ c2 , 

ψ

c42 −→ c42 ,

c43 −→ c43 

σd −→ c2 ,

ψ



σd −→ c2 .



Dabei sind die Elemente c2 , c2 , c2 und c2 zweizählige Rotationen, deren Achsen senkrecht zur Hauptrotationsachse gerichtet sind und in den Spiegelebenen σ liegen (Abb. 2.1) Beispiel 5 Als Beispiel zum Automorphismus wird die Menge der positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation als Verknüpfung betrachtet. Diese Gruppe (R+ , ·) ist isomorph zur Komponente der Einheit GL + (1, R) der allgemeinen linearen Gruppe G L(1, R) in einer Dimension (Beispiel 12 v. Abschn. 6.3). Die Abbildung ψ definiert durch ψ := t −→ t 2

t ∈ (R+ , ·)

erfüllt die Forderung (2.37) und bedeutet ein isomorphe Abbildung von R+ auf sich selbst ψ : R+ −→ R+ . Die Elemente t und t 2 sind zueinander konjugiert, so dass ein innerer Automorphismus vorliegt.  Bei einer homomorphen Abbildung ψ einer Gruppe G in eine Gruppe G  wird die Menge jener Elemente, die auf das Einselement e abgebildet werden, als Kern der Abbildung Ker(ψ) bezeichnet Ker(ψ) := {a ∈ G | ψ(a) = e ∈ G  }.

(2.41)

In solchen Fällen lässt sich zeigen, dass der Kern ein Normalteiler N der Gruppe G ist. Zudem ist die Abbildung ψ(G) der Gruppe G auf die Faktorgruppe G/Ker(ψ) isomorph (Homomorphiesatz) ψ(G) ∼ = G/N

N = Ker(ψ).

(2.42)

Die Abbildung ψ ist im Besonderen isomorph genau dann, wenn der Kern der Abbildung ψ nur das Einselement e enthält (Ker(ψ) = {e}) Diese bedeutenden Aussagen erlauben häufig an Stelle der Gruppe G die einfachere, zur Faktorgruppe isomorphe Gruppe ψ(G) zu diskutieren.

2.3

Abbildungen

31

Beispiel 6 Ein wichtiges Beispiel für eine homomorphe Abbildung – insbesondere in der nicht-relativistischen Quantenmechanik bei der Berücksichtigung des Elektronenspins – ist die Abbildung der speziellen unitären Gruppe SU (2) auf die spezielle orthogonale Gruppe S O(3). Während die erste die Transformationen eines zweikomponentigen Spinors |χ µ > mit der Spinvariablen µ = 1/2 im zweidimensionalen H ILBERT-Raum der Spinzustände erfasst, ermöglichen die Elemente der anderen Gruppe die eigentlichen Rotationen d (det d = +1) im euklidischen Raum R3 . Die Korrelation eines Elements U ∈ SU (2) mit einem Element d ∈ S O(3) gelingt mithilfe einer hermiteschen, spurlosen 2 × 2-Matrix C, die sich als Linearkombination der drei Generatoren (4.43) bzw. der PAULI ’schen Spinmatrizen  σ1 =

 0 1 , 1 0

 σ2 =

0 i

−i 0



 ,

σ3 =

1 0

0 −1

 (2.43)

in der Form C=

3

 xk σ k =

k=1

x3 x1 + i x2

x1 − i x2 −x 3

 (2.44)

ausdrücken lässt. Dabei verhalten sich die Spinmatrizen wie die drei Komponenten eines Basisvektors σ und die Entwicklungskoeffizienten {xk |k = 1, 2, 3} sind als Koordinaten eines Vektors x = (x 1 , x2 , x3 ) im euklidischen Raum R3 aufzufassen. Im Ergebnis wird der Vektor x als Matrix C ausgedrückt. Betrachtet man die unitäre Transformation C  = U CU −1

(2.45)

mittels eines Elements U ∈ SU (2), so erhält man erneut eine hermitesche, spurlose  Matrix C  verbunden mit den neuen Entwicklungskoeffizienten xk |k = 1, 2, 3 gemäß C =

3

xk σk .

(2.46)

k=1

Nach Berechnung der rechten Seite von Gl. (2.45) und Gleichsetzen der Matrixelemente kann die lineare Transformation des Vektors x im euklidischen Raum R3 ausgedrückt werden durch x  = d(U)x.

(2.47)

Dabei ist die 3×3-Matrix d nur vom Element U abhängig. Die Länge des Vektors x bleibt bei dieser Transformation invariant, was mit der Invarianz der Determinante bei einer Äquivalenztransformation begründet werden kann (s. Gln. 2.44 und 2.45)

32

2 Gruppen

− det C  = −det U det C det U −1 = −det C =

3

k=1

xk2 =

3

  2 xk .

(2.48)

k=1

Demnach ist die Transformation d eine Rotation im euklidischen Raum R3 , die durch eine unitäre Transformation U ∈ SU (2) im zweidimensionalen Spinraum induziert wird. Mit dem Einselement U = 12 bleibt nach Gln. (2.45) und (2.46) der Vektor r invariant, so dass die zugehörige Rotation nach (2.47) das Einselement impliziert (d(U = 12 ) = 13 ). Die Determinante nimmt dann den Wert Eins an (det d(U = 12 ) = 1). Dieser Wert muss für alle Elemente U der kontinuierlich zusammenhängenden L IE-Gruppe SU (2) gelten, da bei der kontinuierlichen Variation der Werte d(U) keine Diskontinuität der Determinante det d erlaubt ist. Demzufolge ist die Transformation d eine eigentliche Rotation, so dass jedem Element U der Gruppe SU (2) ein Element d der Gruppe S O(3) zugeordnet werden kann. Daneben erhält man dasselbe Element d auch durch die gleiche Abbildung ψ des Elements −U, was durch die Form der Transformation (2.45) offensichtlich wird. Während nach Gln. (2.46) und (2.47) die Transformation der Matrix C linear mit der Rotation d verläuft, erkennt man in Gl. (2.45) eine Bilinearität der Transformation mit dem Element U, die die Unabhängigkeit des Ergebnisses vom Vorzeichen garantiert. Damit kann die homomorphe Abbildung der Gruppe SU (2) auf die Gruppe S O(3) (Epimorphismus) mit der „zweideutigen“ Zuordnung ψ(±U) = d

(2.49)

begründet werden. Den funktionalen Zusammenhang der Abbildung ψ erhält man nach Zusammenfassung der Gln. (2.44), (2.45) und (2.46) zu 3

k=1

xk σ k

=

3

xl Uσ l U −1 ,

(2.50a)

l=1

bzw. nach Substitution von x durch Gl. (2.47) und Koeffizientenvergleich zu 3

d lk σ l = Uσ k U −1 = σ k .

(2.50b)

l=1

Danach transformieren sich die Spinmatrizen bei einer Rotation im R3 wie die Komponenten eines Basisvektors. Die nachfolgende sukzessive Multiplikation mit den Generatoren (2.43) und die Spurbildung unter Beachtung der Beziehung sp(σ k σ l ) = sp(12 δkl + i klm σ m ) = δkl sp 12 + i klm sp σ m = 2δkl ( klm : L EVI -C IVITA-Symbol s. Gl. 5.41) liefert

(2.51)

2.4

Produkte

33

2xl =

3

xk sp(Uσ k U −1 σ l ),

(2.52)

k=1

woraus mit den Komponenten {xk |k = 1, 2, 3} als Basis die Elemente dkl der Rotationsmatrix d resultieren dkl (U) = ψkl (U) =

1 sp(Uσ k U −1 σ l ) 2

k, l = 1, 2, 3

∀ U ∈ SU (2). (2.53)

Bei der homomorphen Abbildung (2.49) bzw. (2.53) besteht der Kern aus den beiden Elementen N K = {12 , −12 }. Er ist ein (diskreter) Normalteiler, da er mit allen Elementen U ∈ SU (2) vertauscht. Demzufolge ist die Abbildung (2.49) – nämlich die Gruppe S O(3) – isomorph zur Faktorgruppe S O(3) ∼ = SU (2)/N K .

(2.54)

Umgekehrt gilt die Aussage, dass die surjektive Abbildung (2.49) homomorph ist und die Faktorgruppe isomorph ist zur Gruppe S O(3) abgebildet wird (Gl. 2.54). Bleibt anzumerken, dass die kontinuierliche L IE-Gruppe SU (2) trotz des Normalteilers N K als einfach gilt, da sie keine kontinuierliche invariante Untergruppe (L IE’schen Normalteiler bzw. Ideal) besitzt (s. a. Beispiel 2 v. Abschn. 6.6). 

2.4 Produkte Eine Vereinfachung der Diskussion einer Gruppe gelingt häufig durch die Faktorisierung in Gruppen mit geringerer Ordnung. Dabei spielt der Begriff des direkten Produkts eine wesentliche Rolle. Das äußere direkte Produkt ist die Menge aller Elemente a ∈ G mit G := H1 × H2 ,

(2.55)

wobei die Untergruppen H1 ⊆ G und H2 ⊆ G den folgenden Bedingungen genügen: (a) Vertauschbarkeit jedes Elements h 1 ∈ H1 mit jedem Element h 2 ∈ H2 h1 ◦ h2 = h2 ◦ h1

∀ h 1 ∈ H1 , h 2 ∈ H2 .

(2.56a)

(b) Die Untergruppen H1 und H2 haben nur das Einselement e gemeinsam H1 ∩ H2 = e.

(2.56b)

34

2 Gruppen

(c) Jedes Element a ∈ G kann dargestellt werden durch a = h1 ◦ h2 = h2 ◦ h 1

h 1 ∈ H1

h 2 ∈ H2 .

(2.56c)

Die Ordnung der Produktgruppe G ist dann ord G = ord H1 ord H2 . Wegen der Vertauschbarkeit (2.56a) sind die Untergruppen H1 und H2 Normalteiler. Demnach kann die Produktgruppe nicht eine einfache Gruppe sein. Betrachtet man die Faktorgruppe G/H1 bzw. G/H2 , so findet man einen Isomorphismus zu den Untergruppen H2 bzw. H1 G/H1 ∼ = H2

bzw.

G/H2 ∼ = H1 .

(2.57)

Hier ist zu beachten, dass die Umkehrung nicht gültig ist. Das bedeutet, dass mit dem Normalteiler H einer Gruppe G und der Faktorgruppe G/H ∼ = H die Bildung der Produktgruppe G  = H × H nicht die Gruppe liefert (G = G  ). Ausgehend von zwei Gruppen Ga = {a1 , a2 , . . .} und Gb = {b1 , b2 , . . .} kann eine Produktgruppe G := Ga × Gb festgelegt werden. Dabei ist das Produkt seiner Elemente gegeben durch (ai ◦ b j ) ◦ (ak ◦ bl ) = (ai ◦ ak ) ◦ (b j ◦ bl ), so dass die Bedingungen (2.56) erfüllt sind. Für den Fall Ga = Gb = G erhält man das Produkt G  = G ⊗ G,

(2.58)

das durch die Elemente (ai ◦ a j ∈ G  ) erklärt wird. Es ist isomorph zur Gruppe G G ∼ =G und wird als inneres direktes Produkt bezeichnet. Ausgehend von zwei einfachen Gruppen Ga und Gb , die keinen Normalteiler besitzen, erhält man in der Produktgruppe G  = Ga × Gb einen Normalteiler, der nicht abelsch ist. Demnach ist jede Gruppe, die als direktes Produkt von einfachen Gruppe ausgedrückt werden kann, eine halbeinfache Gruppe. Umgekehrt kann jede halbeinfache Gruppe als direktes Produkt von einfachen Gruppen dargestellt werden. Ersetzt man die Bedingung (2.56a) durch die schwächere Forderung nach nur einem Normalteiler, etwa H1 mit

2.4

Produkte

35

h 2 ◦ h 1 ◦ h −1 2 = h1

∀ h 2 ∈ H2 ,

(2.59)

so kann man das sogenannte halbdirekte Produkt durch G := H1  H2

(2.60)

definieren. Beispiel 1 Die orthogonale Gruppe O(3) in drei Dimensionen (volle Rotationsgruppe), die sowohl die eigentlichen wie die uneigentlichen Rotationen umfasst, besitzt zwei Untergruppen, die zudem Normalteiler sind. Es sind dies die spezielle orthogonale Gruppe S O(3) als die Menge der eigentlichen Rotationen sowie die Inversionsgruppe Ci mit nur zwei diskreten Elementen nämlich dem Einselement e und der Inversion i (Ci = {e, i}). Damit kann die Gruppe als direktes Produkt O(3) = S O(3) × Ci .

(2.61)

formuliert werden. Als Produkt zweier einfacher Gruppen gilt die Produktgruppe O(3) als halbeinfach. Nach Gl. (2.42) wird die Faktorgruppe isomorph auf die Gruppe S O(3) abgebildet (s. a. Beispiel 1 v. Abschn. 6.5). Beispiel 2 Die Rotationen zweier verschiedener Systeme im Raum R3 – etwa der Vektoren x 1 und x 2 – werden im Ganzen betrachtet durch die Produktgruppe G der beiden einfachen speziellen orthogonalen Gruppe S O(3) beschrieben G = S O(3) × S O(3). Dabei sind die Elemente d 1 ∈ S O(3) und d 2 ∈ S O(3), die die Rotationen der beiden Systeme darstellen, untereinander vertauschbar      x 1 x 2 = d 1 d 2 x 1 x 2 = d 2 d 1 x 1 x 2 und erfüllen so die Bedingung (2.56). Für die Produktgruppe G existiert mit der Gruppe S O(3) ein nicht-abelscher Normalteiler, so dass sie als halbeinfach gilt.  Beispiel 3 Bei der Punktgruppe C4v kann mit dem Normalteiler C4 = e, c4 ,  c42 , c43 und der Untergruppe Cs = {e, σv } das halbdirekte Produkt C4v = C 4  C s gebildet werden. Beispiel 4 Betrachtet man etwa die 6-dimensionale euklidische Gruppe E(3), so findet man dort zwei Untergruppen. Einmal die Menge der Rotationen d und Rotations-Inversionen −d, die isomorph ist zur 3-dimensionalen orthogonalen Gruppe ({d|0} ∈ O(3)). Zum anderen die Menge der Translationen, die isomorph ist zur 3-dimensionalen Translationsgruppe T als die Menge der Translationsvektoren

36

2 Gruppen

({1|t} ∈ T ) im euklidischen Raum R3 . Betrachtet man nur den euklidischen Raum R1 in einer Dimension, so ist die Translationsgruppe isomorph zur Menge der reellen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Mit den Gln. (2.12) und (2.13) ergibt sich für die Transformation einer Translation {1|t} {d|t}{1|t}{d|t}−1 = {d|t + d t}{d|t}−1 = {1|d t}

∀ {d|t} ∈ E(3)

erneut eine Translation. Diese ist zu sich selbst konjugiert, so dass nach Gl. (2.22) die Translationsgruppe T ein Normalteiler ist, der zudem eine abelsche Gruppe bildet. Die euklidische Gruppe ist demnach nicht einfach und erst recht nicht halbeinfach. Damit wird neben der Bedingung (2.56b) und (2.56c) die abgeschwächte Bedingung (2.59) erfüllt, wonach die gesamte euklidische Gruppe isomorph ist zu dem halbdirekten Produkt E(3) ∼ = O(3)  T .

(2.62a)

Beschränkt man die obigen Diskussionen auf die eigentliche euklidische Gruppe E + (3) mit nur eigentlichen Rotationen (d ∈ S O(3)), dann gilt analog E + (3) ∼ = S O(3)  T .

(2.62b)

 Auch für zwei Klassen K1 und K2 einer Gruppe G kann eine Produktklasse K1 × K2 festgelegt werden als die Menge aller Elemente k1 ◦ k2 mit k1 ∈ K1 und k2 ∈ K2 . Die Zahl der insgesamt erreichbaren Produktelemente k1 ◦ k2 ist das Produkt aus den Ordnungen der Klassen. Die Produktgruppe selbst lässt sich dann in ganze Klassen zerlegen K1 × K2 =

r

c12 l Kl .

(2.63)

l=1

Beispiel 5 Bei der Punktgruppe C4v wird die Multiplikationstafel der Klassen Ke , Kc2 , Kc4 , Kσv , Kσd unter Verwendung der Multiplikationstafel für die Elemente (Tab. 2.2) berechnet. Das Ergebnis ist in Tabelle 2.3 aufgelistet. Tabelle 2.3 Multiplikationstafel für die Klassen Ke = {e}, Kc4 =    2 c4 = c2 , Kσv = σv , σv , Kσd = σd , σd der Punktgruppe C4v G = C4v Ke Kc4 Kc2 Kσv Kσd

Ke Ke Kc4 Kc2 Kσv Kσd

Kc4 Kc4

{2Ke , 2Kc2 } Kc4

2Kσd 2Kσv

Kc2 Kc2 Kc4 Ke Kσv Kσd

Kσv Kσv 2Kσd Kσv {2Ke , 2Kc2 } 2Kc4



c4 , c43 , Kc2 =c2 = 4

Kσd Kσd 2Kσv Kσd 2Kc4 {2Ke , 2Kc2 }



2.5

Operationen

37

2.5 Operationen Beim Zusammenspiel von Gruppen mit anderen Strukturen wird man den sogenannten Transformationsgruppen begegnen, mit deren Hilfe die Symmetrie von Räumen bzw. Mannigfaltigkeiten beschrieben werden kann. Dabei spielt der Begriff der Gruppenoperation (Gruppenaktion) eine wesentliche Rolle. Eine Gruppe G mit der Verknüpfung ◦ wirkt als Transformationsgruppe auf einer nicht leeren Menge M, falls jedes Element a der Gruppe eine bijektive (invertierbare) Selbstabbildung ist  a:

M −→ M x −→ a(x)

(2.64a)

∀a ∈ G,

wobei die Verknüpfung ◦ die Hintereinanderschaltung zweier Operationen definiert a ◦ b(x) := a(b(x))

∀a, b ∈ G

x ∈ M.

(2.64b)

Mit diesen Voraussetzungen gilt für jede abstrakte Gruppe die Isomorphie zu einer Transformationsgruppe, die nach (2.64) eine Linksoperation erlaubt. Betrachtet man einen Punkt x der Menge M, dann erzeugt die Transformationsgruppe G eine Untermenge O(x) := {y = a(x)| a ∈ G},

(2.65)

die als das von G auf M erzeugte Orbit (Bahn) O(x) durch den Punkt x bezeichnet wird. Daneben definiert jeder Punkt x der Menge M eine Teilmenge S(x) der Gruppe G, die den Punkt x invariant lässt S(x) := {b ∈ G| b(x) = x}.

(2.66)

Sie bildet eine Untergruppe und wird als Stabilisator (Isotropiegruppe, kleine Gruppe) von x bezeichnet. Falls der Stabilisator nicht die triviale Gruppe ist, heißt der Punkt x ein Fixpunkt der Transformationsgruppe. Das Orbit eines Fixpunktes besteht nur aus einem Element. Nachdem jede Gruppe auf sich selbst durch Konjugation operiert, ist der Zentralisator eines Elements x gerade der Stabilisator bezüglich der Gruppenoperation. Die Zerlegung der Transformationsgruppe G in Nebenklassen bezüglich des Stabilisators S(x) G=

s

ai ◦ S(x)

(2.67)

i=1

liefert die Vertreter {ai | i = 1, . . . , s(x)}, die das Orbit O(x) mit der Ordnung s(x) gemäß

38

2 Gruppen

xi = ai (x)

i = 1, . . . , s(x)

(2.68)

erzeugen. Die Stabilisatoren S(xi ) von Punkten xi desselben Orbits O(x) sind zueinander konjugierte Gruppen und gehen durch einen inneren Automorphismus auseinander hervor S(xi ) = ai ◦ S(x) ◦ ai−1 = Sai (x)

i = 1, . . . , s.

(2.69)

bai (xi ) = ai ◦ b ◦ ai−1 (xi ) = ai ◦ b(x) = ai (x) = xi

(2.70)

Ihre Elemente bai sind zu b ∈ S(x) konjugiert

und lassen die Punkte des Orbits (2.68) invariant. Für den Fall, dass die Vertreter {ai | i = 1, . . . , s(x)} der Nebenklassen selbst einen Normalteiler P bilden, kann die gesamte Transformationsgruppe G als halbdirektes Produkt ausgedrückt werden G = S(x)  P.

(2.71)

Dabei wird die Gruppe P als symmetrische Gruppe des Orbits zum Stabilisator S(x) bezeichnet. Die Wirkung einer Gruppe G auf die Menge M gilt genau dann als treu (effektiv), falls mit a(x) = x

a∈G

∀x ∈ M

folgt

a = e.

(2.72)

Danach lässt nur das Einselement e alle Punkte der Menge fest, so dass der Kern der Abbildung (2.64) trivial ist. Als Konsequenz daraus findet man für zwei beliebige verschiedene Elemente a und b der treuen Gruppe G eine unterschiedliche Wirkung a(x) und b(x) auf einen beliebigen Punkt x der Menge. Die Wirkung einer Gruppe G auf die Menge M wird genau dann als frei bezeichnet, falls mit a = e

a∈G

folgt

a(x) = x

∀x ∈ M.

(2.73)

Demnach hat bei einer freien Gruppe nur das Einselement e Fixpunkte, so dass es trivial wirkt. Schließlich wirkt eine Gruppe G auf die Menge M transitiv genau dann, falls sich zwei beliebige Punkte x und x  von M stets durch ein Orbit verbinden lassen, wonach die Menge nur aus einem Orbit besteht. Demnach existiert zu zwei beliebigen Punkten von M wenigstens ein Gruppenelement a ∈ G, so dass gilt x  = a(x).

(2.74)

Für den Fall, dass es genau ein Gruppenelement a gibt, wirkt die Gruppe einfach transitiv.

2.5

Operationen

39

Beispiel 1 Betrachtet man etwa ein Quadrat, dann wird dessen Symmetrie durch die endliche Punktgruppe G = C4v beschrieben (Abb. 2.1). Die Punktmenge ist die Menge der Eckpunkte M = {1, 2, 3, 4}. Nach Wahl des Punktes 1 findet man als Stabilisator nach Gl. (2.66) die Untergruppe S(1) = Cs , deren Elemente e und σd die Invarianz des Punktes 1 garantieren. Die Zerlegung der gesamten Gruppe nach Nebenklassen bzgl. dieser Untergruppe Cs nach Gl. (2.67) ergibt (s. a. Beispiel 8 v. Abschn. 2.2) C 4v = e ◦ Cs + c4 ◦ Cs + c42 ◦ Cs + ce3 ◦ C s .  Mit den Vertretern e, c4 , c42 , c43 der Nebenklassen erhält man nach Gl. (2.68) die Punktmenge {1, 2, 3, 4}, die das Orbit O(1) des Punktes 1 zur Untergruppe C s mit der Ordnung s(1) = 4 bildet. Die zur Untergruppe C s konjugierten Gruppen sind nach Gl. (2.69) C s,e = {e, σv },

 Cs,c4 = e, σv ,

Cs,c2 = {e, σd }, 4

 Cs,c3 = e, σd , 4

deren Elemente jeweils den Punkt 1, 2, 3 und 4 invariant lassen. Nachdem die Vertreter der Nebenklassen selbst eine invariante Untergruppe bilden, nämlich die (zyklische) Punktgruppe C 4 , die zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe S4 isomorph ist, gelingt eine Faktorisierung der gesamten Gruppe durch ein halbdirektes Produkt (Beispiel 3 v. Abschn. 2.4). Die Wirkung der Gruppe C 4v auf die Punktmenge M ist treu, da nur das Einselement e alle Punkte M invariant lässt. Betrachtet man etwa die Punkte 1 und 3 – bzw. 2 und 4 – dann findet man außer dem Einselement e auch das Element σd – bzw. σd –, das trivial auf diese Punkte wirkt und sie invariant lässt. Demzufolge wirkt die Gruppe C4v nicht frei auf M. Schließlich wirkt die Gruppe C4v transitiv auf M, da es zu zwei Punkten x und x  wenigstens ein Gruppenelement gibt, das den Punkt x in x  überführt. Für das Punktepaar 1 und 2 etwa ist es das Gruppenelement c4 , nämlich eine Rotation mit dem Winkel π/2 nach links. Daneben ermöglicht auch die Spiegelung σv diese Transformation. Demnach gibt es für jedes Punktepaar x und x  mehr als ein Gruppenelement, das die Transformation (2.74) erfüllt, so dass die Gruppe C4v nicht einfach transitiv auf M wirkt.

Kapitel 3

Darstellungen

Die konkrete Erfassung von Symmetrieeigenschaften verlangt eine Korrelation zwischen Symmetrieelementen und Vektorräumen. Dies gelingt durch lineare Selbstabbildungen bzw. Operationen auf den Vektorräumen. Die Darstellungen ermöglichen dann eine Verbindung zwischen den Gruppen und Vektorräumen und erleichtern so die Diskussion der Symmetrieeigenschaften. Dabei bleibt die Betrachtung zunächst auf endliche Gruppen beschränkt.

3.1 Lineare Darstellungen Die homomorphe Abbildung der Elemente a einer Gruppe G in bijektive lineare Selbstabbildungen (Automorphismen) bzw. reguläre lineare Operatoren D(a) eines d-dimensionalen linearen Vektorraumes V über dem Körper K (K = R bzw. C) wird als d-dimensionale lineare Darstellung D(G) einer Gruppe G auf dem linearen Vektorraum V erklärt. Nachdem die Menge aller linearen bijektiven Selbstabbildungen eines d-dimensionalen Vektorraumes V die allgemeine lineare Gruppe G L(V) mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung bildet, ist die Darstellung D ein Gruppen-Homomorphismus  D:

G −→ G L(V) a −→ D(a)

a ∈ G.

(3.1a)

Dabei ist das Produkt der Gruppenelemente gleich dem Produkt der Abbildungen a1 ◦ a2 = D(a1 )D(a2 )

∀a1 , a2 ∈ G,

(3.1b)

so dass die Verknüpfung bei dem Gruppen-Homomorphismus erhalten bleibt. Der reelle bzw. komplexe Vektorraum V – der gewöhnlich ein Vektorraum im Sinne von Verschiebungen oder ein Funktionenraum ist – wird als Darstellungsraum (Trägerraum) bezeichnet. Eine triviale (identische) Darstellung gewinnt man stets durch die Zuordnung jedes Gruppenelements a zur identischen (Eins-) Abbildung bzw. trivialen Abbildung D(e).

M. Böhm, Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-20379-4_3, 

41

42

3 Darstellungen

An Stelle des Begriffs der Darstellung kann man auch den Begriff des G-Moduls einführen. Darunter versteht man einen Vektorraum V über K zusammen mit einer bilinearen Abbildung  D:

G × V −→ V (a, x) −→ ax

a∈G

x ∈ V,

(3.2)

womit man eine Operation der Gruppe G auf dem Vektorraum V bzw. ein Modul über G erhält. Demnach ist ein G-Modul eine äquivalente Beschreibung für eine Darstellung und seine Dimension mit der der Darstellung identisch. Wenn die Zuordnung (3.1) umkehrbar eindeutig ist im Sinne einer isomorphen Abbildung, so spricht man von einer treuen Darstellung. Andernfalls ist die Darstellung entartet. Im diesem Fall hat die Gruppe G wenigstens einen nicht-trivialen Normalteiler, so dass die Darstellung eine treue Darstellung der Faktorgruppe G/N ist. Umgekehrt gilt für eine Gruppe mit nicht-trivialem Normalteiler die Aussage, dass jede Darstellung D(G/N ) der Faktorgruppe eine entartete Darstellung D(G) der Gruppe ist. Daraus ergibt sich die Behauptung, dass jede einfache Gruppe keine entarteten Darstellungen außer der trivialen Darstellung erlaubt. Beispiel 1 Im Beispiel der Punktgruppe G = C4v gibt es die nicht-triviale, eindimensionale Darstellung A2 (Tab. 3.1) e −→ 1, c4 −→ 1, c42 −→ 1, c43 −→ 1, σv −→ −1, σv −→ −1, σd −→ −1 σd −→ −1, (3.3)  die entartet ist. Demnach hat die Gruppe G einen Normalteiler N : C4 = e, c4 , c42 , c43 . Die gleiche Darstellung der Faktorgruppe G/N = C4v /C 4 = {eC4 , σv C4 } = {L e , L σv }

(3.4)

ergibt sich dann zu L e −→ 1, L σv = −1

(3.5)

und gilt als treue Darstellung. Umgekehrt kann man von einer nicht-trivialen Darstellung (3.5) der Faktorgruppe ausgehen, um damit eine entartete Darstellung (3.3) der Gruppe zu erhalten. Nach Wahl einer Basis {vi | i = 1, . . . , d} im d-dimensionalen Vektorraum V können die Selbstabbildungen D(a) durch reguläre d × d-Matrizen D(a) beschrieben werden. Die homomorphe Abbildung zwischen den Gruppenelementen a und den Matrizen D(a) geschieht dann durch eine d-dimensionale Matrixdarstellung D(G) der Gruppe G. Nachdem die Operatoren D(a) den Vektorraum als invarianten

3.1

Lineare Darstellungen

43

Raum auszeichnen, lässt sich jedes Bildelement vi durch eine Linearkombination der Basiselemente darstellen D(a)vi = vi =

d

D ji (a)v j

i = 1, . . . , d = dim D

∀a ∈ G.

(3.6)

j

Die Matrixelemente der Matrixdarstellung D(a)sind demnach die Entwicklungskoeffizienten der transformierten Basiselemente vi | i = 1, . . . , d . Die so gewonnene, nicht notwendigerweise treue Matrixdarstellung bildet eine Matrixgruppe, die nach Gln. (3.1c) und (3.6)





D(a)D(b)vi = D(a) D ji (b)v j = D ji (b)D(a)v j = D ji (b)Dl j (a)vl j

=



l

j

Dl j (a)D ji (b)vl =

j



l

j

Dli (a ◦ b)vl = D(a ◦ b)vi

l

(3.7) die Matrixmultiplikation als Verknüpfung fordert D(a) D(b) = D(a ◦ b).

(3.8)

Wegen der Nichtvertauschbarkeit der Matrizenmultiplikation können irreduzible Matrixdarstellungen von abelschen Gruppen nur eindimensional sein  (s. a. Abschn. 3.2 und 3.5). Mit einem weiteren Satz von Basisfunktionen vi | i = 1, . . . , d zum selben Vektorraum, gehört auf Grund der Linearität auch der Satz  αvi + βvi | i = 1, . . . , d, α, β ∈ K zu einer Darstellung. Die Aussage ist jedoch nicht gültig für eine antilineare Abbildung A¯ mit ¯ ¯ A(αv) = α ∗ A(v), wie man sie bei der Zeitumkehrsymmetrie antrifft. Ausgehend von einer d-dimensionalen Darstellung D(G) der Gruppe G kann man den Vektorraum V zu einem G-Modul machen durch die Festlegung ax := D(a)x

a∈G

x ∈ V.

(3.9)

Andererseits wird man durch die umgekehrte Festlegung eine Darstellung D(G) gewinnen, der nach Wahl einer Basis im G-Modul durch Gl. (3.6) eine Matrixdarstellung D(G) zugeordnet wird. Dabei ist diese Zuordnung nicht eindeutig, sondern von der Wahl der Basis abhängig. Insgesamt findet man zwei mögliche Zugänge, um die Symmetrieeigenschaften zu studieren. Einmal über die linearen Abbildungen, die den Vorteil bieten, unabhängig von einer Basis zu sein. Zum anderen über die Darstellungsmatrizen, die ein quantitatives Ergebnis versprechen. Die am häufigsten benutzten Vektorräume können in zwei Arten eingeteilt werden. Zum einen sind es n-dimensionale Vektorräume, deren Elemente x sich als Spalten {xi | i = 1, . . . , n} realisieren lassen. In vielen Fällen trifft man auf

44

3 Darstellungen

euklidische Räume Rn mit gerichteten Strecken x als Elemente. Ausgehend von einer kartesischen Standardbasis {ei | i = 1, . . . , n} kann nach Gl. (3.6) eine Matrixdarstellung a gewonnen werden D(a)ei =

n

a ∈ G,

a ji e j

(3.10a)

j=1

die die Transformation eines Vektors x eines Systems im Rn gemäß 

D(a)x = x = ax

xi

bzw.

=

n

ai j x j

(3.10b)

j=1

vermittelt. Bei einer aktiven Transformation, die am Vektor x bzw. am System wirkt und das Koordinatensystem festhält, transformieren sich die Komponenten {x i | i = 1, . . . , n} kontragredient zur Basis {ei | i = 1, . . . , n}. Bei einer passiven Transformation dagegen, die am Koordinatensystem wirkt und den Vektor x bzw. das System festhält, transformieren sich die Komponenten und die Basis in gleicher Weise, was als kongredient bezeichnet wird (s. a. Abschn. 3.3). Zum anderen werden die Vektorräume meist unendlicher Dimension aus der Menge der komplexwertigen Abbildungen f (x), nämlich den quadratintegrierbaren Funktionen aufgebaut. Diese sind in der klassischen Physik oft Lösungen von Integral- oder Differenzialgleichungen. Die quantenmechanische Diskussion geschieht in einem besonderen unendlich-dimensionalen Vektorraum (Funktionenraum) mit den Zustandsvektoren als Elemente. Letzterer ist ein vollständiger, unitärer bzw. euklidischer Raum mit einem abzählbar unendlichen und vollständigen Orthonormalsystem. Bei der Suche nach der Wirkung von linearen Operatoren D(a) muss die Invarianz der transformierten Funktion berücksichtigt werden. f  (x  ) = f (x),

(3.11)

wonach die transformierte Funktion f  für jedes transformierte Argument x  den gleichen Wert hat wie die ursprüngliche Funktion f am ursprünglichen Argument x. Daraus resultiert das Ergebnis D(a) f (x) = f  (x) = f (a −1 x)

a ∈ G.

(3.12)

Demnach wird nach der Transformation die ursprüngliche Funktion an der Stelle des transformierten Arguments a −1 x betrachtet. Bleibt darauf hinzuweisen, dass neben den linearen Abbildungen auch die affinen Abbildungen diskutiert werden  :

V −→ V x −→ ax + y

x, y ∈ V.

3.1

Lineare Darstellungen

45

Dabei bedeuten a eine lineare Abbildung und y ein beliebiges festes Element des Vektorraumes V. Beispiele sind etwa die Elemente der euklidischen Gruppe (reelle affine Gruppe), wo neben den linearen Transformationen (Rotationen) von Elementen des euklidischen Raumes R3 auch Translationen erfasst werden. (Beispiel 14 v. Abschn. 2.1). Auch die Elemente (2.11) von Raumgruppen als Untergruppen der euklidischen Gruppe gehören zu den affinen Abbildungen. Beispiel 2 Betrachtet man etwa eine Matrixdarstellung mit regulären Matrizen D(a), so erhält man mit der Zuordnung D(a) = det D(a)

a∈G

(3.13)

stets eine nicht-triviale eindimensionale Darstellung, was durch D(a ◦ b) = det[ D(a) D(b)] = det D(a) det D(b) = D(a)D(b)

a, b ∈ G (3.14)

begründet wird. Beispiel 3 Ein einfaches Beispiel zum Studium von Vektorräumen mit Vektoren als Elemente liefern die Transformationen des Quadrats (Abb. 2.1), die die Punktgruppe C4v begründen. Mithilfe der kartesischen Standardbasis {ei | i = 1, 2, 3} im euklidischen Ortsraum R3 kann gemäß Gl. (3.6) eine Matrixdarstellung gewonnen werden. Für die Identität bzw. das Einselement e erhält man erwartungsgemäß die Einheitsmatrix ⎛ ⎞ 1 0 0 e = ⎝0 1 0⎠ = 13 . (3.15a) 0 0 1 Die (aktiven) Rotationen cn mit dem Winkel 2π/n um die z-Achse im Rechtsschraubensinn können nach Gl. (2.9) allgemein durch ⎛ cos(2π/n) cn = ⎝ sin(2π/n) 0

− sin(2π/n) cos(2π/n) 0

⎞ 0 0⎠ 1

(3.15b)

dargestellt werden. Schließlich werden die Spiegelungen σv , σv bzw. σd , σd durch ⎛

∓1 σ v , σ v = ⎝ 0 0

⎞ 0 0 ±1 0⎠ 0 1

⎛

0 σ d , σ d = ⎝±1 0

⎞ ±1 0 0 0⎠ 0 1

(3.15c)

vermittelt. Die Zuordnung der Gruppenelemente a ∈ C4v zu den entsprechenden Darstellungsmatrizen erfolgt homomorph, was mithilfe der Multiplikationstafel (Tab. 2.1) nachgeprüft werden kann. Demnach bilden die Matrizen { D(a)| a ∈ C 4v } eine Matrixdarstellung D(G) der Gruppe G = C 4v .

46

3 Darstellungen

Beispiel 4 Als Beispiel eines Funktionenraumes sei jener eindimensionale Vektorraum V (1) betrachtet, der durch die Basisfunktion v (1) (r) = v(x 2 + y 2 )

(3.16)

begründet wird. Dabei wird das Argument im Ortsraum R2 vom Quadrat des Radiusvektors r geprägt. Die Anwendung aller Symmetrieoperatoren {D(a)| a ∈ G = C4v } nach Gln. (3.10), (3.12) und (3.15) ergibt D(a)v (1) = v (1)

∀a ∈ C4v .

(3.17)

Die Orthogonalität der Abbildung garantiert die Invarianz der Länge eines Vektors in der Drehebene, so dass der durch die Funktion v (1) begründete Vektorraum V (1) invariant ist. Der Vergleich mit Gl. (3.6) liefert die triviale (totalsymmetrische) Darstellung (Tab. 3.1) D (1) (a) = 1 ∀a ∈ C4v .

(3.18)

Beispiel 5 Ein weiterer eindimensionaler Vektorraum V (2) wird durch die Basisfunktion v (2) (r) = x y˙ − y x˙

(3.19)

begründet, die die axiale Vektorkomponente einer Winkelgeschwindigkeit in vertikaler Richtung zur Drehebene vertritt. Betrachtet man nur die Elemente e, c4 , c42 , c43 , so liefern die damit verbundenen Operatoren nach Gln. (3.10), (3.12) und (3.15a, b) keine Änderung D(a)v (2) (r) = +v (2) (r)

  a ∈ e, c4 , c42 , c43 .

(3.20a)

Ganz anders jedoch verhalten sich die Spiegelungen, die eine Änderung des Drehsinns induzieren, wodurch eine Vorzeichenumkehr der Basisfunktionen erwartet wird D(a)v (2) (r) = −v (2) (r)

 a ∈ σv , σv , σd , σd .

(3.20b)

Der durch die Basisfunktionen v (2) begründete Vektorraum ist demnach invariant, so dass die Matrixdarstellung D (2) (G) sich mit Gl. (3.6) zu D (2) (a) = +1 D (2) (a) = −1 berechnet (Tab. 3.1).

  a ∈ e, c4 , c42 , c43  a ∈ σv , σv , σd , σd

(3.21a) (3.21b)

3.1

Lineare Darstellungen

47

Tabelle 3.1 Matrixdarstellungen D(G ) und zugehörige Basisfunktionen v(r) der endlichen Symmetriegruppe C 4v des Quadrats (A1 , A 2 , B1 , B2 , E : Bezeichnung nach M ULLIKAN) e

C 4v D(1) ,

A1

c43

c4

1

1

1

c42 = c2 1

σv

σv

σd

σd

1

1

1

1

D(2) , A2 D(3) , B1 D(4) , B2 D(5) , E

1 1 1 D1E

1 −1 −1 D2E

1 −1 −1 D3E

1 1 1 D4E

−1 1 −1 D5E

−1 1 −1 D6E

−1 −1 1 D7E

−1 −1 1 D8E

D (6)

D(6) 1

D(6) 2

D(6) 3

D(6) 4

D(6) 5

D(6) 6

D(6) 7

D(6) 8



v(r) x2

+ y2; z2 , z

x y˙ − y x˙ x 2 − y2 xy (x, y); (y z˙ − z y˙ , z x˙ − x z˙ ) v[(r − r i )2 ]

       0 0 1 0 −1 −1 0 , D2E = , D 3E = , D 4E = , 1 −1 0 1 0 0 −1         −1 0 1 0 0 1 0 −1 , D 6E = , D 7E = , D 8E = ; D 5E = 0 1 0 −1 1 0 −1 0 D 1E =

1 0

⎛

(6)

D1

(6) D4

1 ⎜0 ⎜ =⎝ 0 0 ⎛ 0 ⎜0 ⎜ =⎝ 1 0 ⎛

1 ⎜0 (6) D7 = ⎜ ⎝0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0

⎛ ⎞ 0 0 1 ⎜ 0⎟ ⎟, D (6) = ⎜ 0 0 2 ⎝0 0 0⎠ 1 1 0 ⎛ ⎞ 0 0 1 ⎜ 1⎟ ⎟, D (6) = ⎜ 1 0 5 ⎝0 0 0⎠ 0 0 0 ⎛ ⎞ 0 0 ⎜0 ⎟ 1⎟ (6) ⎜ = , D 8 ⎝1 0⎠ 0 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

⎛ ⎞ 0 0 ⎜ 0⎟ ⎟, D (6) = ⎜ 1 3 ⎝0 1⎠ 0 0 ⎛ ⎞ 0 0 ⎜ 0⎟ ⎟, D (6) = ⎜ 0 6 ⎝0 1⎠ 0 1 ⎞ 1 0 0 0⎟ ⎟. 0 0⎠ 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

⎞ 1 0⎟ ⎟, 0⎠ 0 ⎞ 1 0⎟ ⎟, 0⎠ 0

Beispiel 6 Zwei weitere invariante Vektorräume findet man mit den Basen v (3) (r) = x 2 − y 2

(3.22a)

v (4) (r) = x y.

(3.22b)

und

Beide geben Anlass zu eindimensionalen Matrixdarstellungen D(3) (G) und D (4) (G) (Tab. 3.1). Beispiel 7 Einen zweidimensionalen Darstellungsraum V (5) gewinnt man nach Wahl einer Basis aus zwei linear unabhängigen Funktionen, etwa der Form

48

3 Darstellungen (5)

v1 (r) = x z

(3.23a)

v2(5) (r)

(3.23b)

= yz.

Die Anwendung der Operatoren D(a) nach Gln. (3.10), (3.12) und (3.15) demonstriert die Invarianz des Vektorraumes V (5) und ermöglicht so nach Gl. (3.6) eine zweidimensionale Darstellung D (5) (G), wie sie in Tabelle 3.1 aufgelistet ist. Beispiel 8 Schließlich wird ein Vektorraum V (6) aus vier linear unabhängigen Basisfunktionen aufgebaut, deren Argument nur vom Abstandsquadrat (r − r i )2 zum i-ten Punkt abhängt (Abb. 2.1) vi(6) = v[(r − r i )2 ]

i = 1, 2, 3, 4.

(3.24)

Die orthogonalen Symmetrieoperatoren garantieren die Invarianz des Skalarprodukts und mithin des Abstandsquadrats, so dass lediglich ein Austausch der Punkte erwartet wird. Ohne auf die Darstellungsmatrizen (3.15) einzugehen, verhelfen geometrisch anschaulicheÜberlegungen zu den Transformationen. Mit der Abkürzung  (6) (6) (6) (6) v1 , v2 , v3 , v4 = {1 2 3 4} erhält man die Permutationen D(e){1 2 3 4} = {1 2 3 4},   D c42 {1 2 3 4} = {3 4 1 2}, D(σv ){1 2 3 4} = {2 1 4 3}, D(σd ){1 2 3 4} = {1 4 3 2},

D(c4 ){1 2 3 4} = {4 1 2 3},   D c43 {1 2 3 4} = {2 3 4 1},   D σv {1 2 3 4} = {4 3 2 1},   D σd {1 2 3 4} = {3 2 1 4}.

Damit wird die Invarianz des 4-dimensionalen Vektorraumes V (6) demonstriert, so dass nach Gl. (3.6) eine Matrixdarstellung D(6) (G) mit Permutationsmatrizen resultiert (Tab. 3.1).

3.2 Reduzible und irreduzible Darstellungen Bei der Suche nach möglichen Darstellungen wird man auch solche antreffen, deren Informationsgehalt nicht notwendig charakteristisch für diese ist, sondern möglicherweise in weiteren Darstellungen wenigstens teilweise erneut offenkundig wird. Um eine Redundanz auszuschließen und nur die wesentlichen Merkmale der einzelnen Darstellungen zu erfassen, muss man sich mit den Eigenschaften der Reduzierbarkeit beschäftigen. Dabei gilt eine Matrixdarstellung D(G) einer Gruppe G genau dann als reduzibel, falls der Darstellungsraum V wenigstens einen nichttrivialen invarianten Unterraum V  enthält. Andernfalls ist die Darstellung irreduzibel – bzw. der G-Modul einfach. Beispiel 1 Als Beispiel seien die Rotationen d(ϕ) der speziellen orthogonalen Gruppe S O(2) in zwei Dimensionen – mit dem euklidischen Ortsraum R2 als Darstellungsraum – betrachtet. Jedes Basiselement ex und e y begründet einen Unter-

3.2

Reduzible und irreduzible Darstellungen

49

raum sowie das zugehörige orthogonale Komplement. Beide sind jedoch nicht invariant gegenüber den Rotationen und liefern deshalb auch nicht einzeln betrachtet die Basis von eindimensionalen irreduziblen Darstellungen. Anders dagegen verhält es sich nach einer Basistransformation ej =

2

Si j ei

i=1

durch die unitäre Matrix 1 S= √ 2



1 i

1 −i



mit dem Ergebnis 1 e+ = √ (e x + i e y ) 2

und

1 e− = √ (e x − i e y ). 2

(3.25)

Die Anwendung einer (aktiven) Rotation d(ϕ) im Rechtsschraubensinn mit dem beliebigen Winkel ϕ (0 ≤ ϕ < 2π ) nach Gl. (2.9b)  d(ϕ) =

cos ϕ sin ϕ

− sin ϕ cos ϕ



auf die neuen Basiselemente ergibt nach Gl. (3.6)  1  d(ϕ)e+ = e+ = √ ex + i ey = exp(−iϕ)e+ , 2   1 d(ϕ)e− = e− = √ ex − i ey = exp(+iϕ)e− . 2

(3.26a) (3.26b)

Demnach beobachtet man jetzt lediglich eine Phasenänderung, so dass jedes der Elemente (3.25) die Basis eines invarianten Unterraumes sowie dessen orthogonales Komplement liefert. Der Vergleich mit Gl. (3.6) ermöglicht die Aufstellung einer diagonalen Darstellungsmatrix d D in der Form  d

D

=

exp(−iϕ) 0

 0 . exp(iϕ)

Sie ist das Ergebnis einer Ähnlichkeitstransformation mittels der Transformationsmatrix S. Die Reduzierbarkeit eines Darstellungsraumes V ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Reduzierbarkeit der Matrixdarstellung D(G), so dass

50

3 Darstellungen

diese Eigenschaft dort quantitativ studiert werden kann. Mit der Erklärung eines invarianten Unterraumes V  im Hinblick auf eine Abbildung D(a) als jene Menge von Elementen V  = {x| D(a)x ∈ V  ⊆ V, ∀a ∈ V}

(3.27a)

kann man den Begriff der Reduzierbarkeit eines Vektorraumes einführen. Ein Vektorraum V bzgl. der Abbildung D(a) gilt als reduzibel, falls er invariante Unterräume enthält, wobei die trivialen Unterräume wie der Nullraum {0} und der Vektorraum V selbst ausgeschlossen sind. Die vollständige Reduzierbarkeit eines endlichdimensionalen Vektorraumes fordert die Möglichkeit der Zerlegung in eine direkte Summe von endlichen invarianten Unterräumen V (i) V=



V (i) .

(3.27b)

i

Ausgehend von einem invarianten Unterraum V (1) ⊆ V mit der Dimension dim V (1) = d1 sowie der Basis {vi | i = 1, . . . , d} des d-dimensionalen Darstellungsraumes V (d1 ≤ d), gilt für jene Elemente aus dem invarianten Unterraum {vi ∈ V (1) | i = 1, . . . , d1 } allgemein nach Gl. (3.6) D(a)vi =

d

D ji (a)v j

i = 1, . . . , d1

∀a ∈ G,

(3.28a)

j

wobei die Invarianz das Verschwinden der Matrixelemente D ji (a) = 0

j = d1 + 1, . . . , d

(3.28b)

fordert. Demnach gewinnt man bzgl. dieser Basis eine Matrixdarstellung in der Form  D(G) =

D(1) (G) 0

M(G) D(2) (G)

 (3.29)

mit den quadratischen Matrizen D(1) und D (2) (dim D(1) = d1 , dim D(2) = d −d1 ) sowie der rechteckigen d1 × (d − d1 )-Matrix M. Die damit vermittelte Abbildung eines beliebigen Elements x in der Zerlegung  x=

x (1) x (2)



x (1) ∈ V (1)

x (2) ∈ V (2)

ergibt in Matrixschreibweise mit den Spaltenvektoren

(3.30a)

3.2

Reduzible und irreduzible Darstellungen

51

⎛

x (1)

⎛

⎞ x1(1) ⎜ . ⎟ . ⎟ =⎜ ⎝ . ⎠ (1) x d1

und

x (2)

⎞ x d(2) +1 ⎜ 1. ⎟ ⎟ =⎜ ⎝ .. ⎠ (2) xd

(3.30b)

die Transformation x  = D(G)



x (1) x (2)



 =

 D (1) (G)x (1) + M(G)x (2) . D (2) (G)x (2)

(3.31)

Daraus ist zu erkennen, dass einerseits der Unterraum V (1) auf sich abgebildet wird und deshalb invariant bleibt, andererseits der Unterraum V (2) sowohl auf sich wie auf den Unterraum V (1) abgebildet wird (Abb. 3.1). Die Wahl dieser Basis ermöglicht so eine Entkopplung der Abbildung von Elementen aus V (1) , womit das Verbot der Abbildung D(a) : V (1) −→ | V (2) gemeint ist. Das Produkt zweier Darstellungsmatrizen hat die Form  D(a) D(b) =

D(1) (a) D (1) (b) 0

M (2) D (a) D (2) (b)

 (3.32a)

mit M  = D(1) (a)M(b) + M(a) D (2) (b)

a, b ∈ G,

(3.32b)

so dass die homomorphe Darstellung der Gruppenelemente a und b die Bedingung (3.8) für die beiden Darstellungen D (1) (G) und D(2) (G) erfüllt. Demnach gelingt es, diese geringer dimensionalen Darstellungen getrennt zu betrachten. Für den Fall, dass der Darstellungsraum V (2) ebenfalls ein invarianter Unterraum bzgl. V ist und mithin das orthogonale Komplement bildet V = V (1) ⊕ V (2) ,

(3.33)

Abb. 3.1 Selbstabbildung D(a) : V −→ V (a ∈ G ) eines Darstellungsraumes V mit einem Unterraum V (2) und einem invarianten Unterraum V (1) in der Matrixdarstellung D(a) von Gl. (3.29)

52

3 Darstellungen

gilt mit Gl. (3.28) die zusätzliche Bedingung D ji (a) = 0

i = d1 + 1, . . . , d

j = 1, . . . , d1 .

(3.34)

Als Konsequenz daraus verschwindet die Matrix M(G) (= 0), so dass eine Diagonalisierung der Matrixdarstellung D(G) in Blockform erreicht werden kann  D(G) =

D(1) (G) 0

 0 . D(2) (G)

(3.35)

Andernfalls wird eine weitere Zerlegung in invariante Unterräume die Reduktion ermöglichen (Abb. 3.2). Mit der Eigenschaft der Reduzierbarkeit kann jeder Darstellungsraum endlicher Dimension gemäß Gl. (3.27) vollständig in invariante irreduzible Unterräume zerlegt werden. Dabei gilt der Eindeutigkeitssatz, der die Zerlegung bis auf die Reihenfolge und auf Äquivalenz eindeutig garantiert (M ASCHKE-Theorem). Für die Matrixdarstellung D(G) bedeutet dies die Existenz einer regulären Matrix S, mit deren Hilfe eine Basistransformation so vorgenommen werden kann, dass die Matrixdarstellung D  (G) in der neuen Basis die diagonale Blockform

Abb. 3.2 Selbstabbildung D(a) : V −→ V (a ∈ G ) eines in zwei invariante Unterräume V (1) und V (2) vollständig reduzierbaren Darstellungraumes bei (a) beliebiger Wahl der Basis in der Matrixdarstellung D(a) und (b) nach einer geeigneten Basistransformation in der diagonalen Matrixdarstellung D (a)

3.2

Reduzible und irreduzible Darstellungen

⎛ ⎜ ⎜ D (G) = ⎜ ⎝

D(1) (G)

53

⎞ D(2) (G)

..

.

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(3.36)

D(r ) (G)

annimmt. Damit ist jede Abbildung D(a), die durch D(α)  (G) vermittelt wird, ent(α) koppelt und auf den durch die Basis vi | i = 1, . . . , dα begründeten invarianten Unterraum V (α) mit der Dimension dim V (α) = dα

(3.37)

beschränkt (Abb. 3.2). Unter Verwendung der direkten Summe kann man auch die Form D (a) =



m α D (α) (a)

∀a ∈ G

m α ∈ Z+

(3.38)

α

wählen, wobei die Multiplizität (Häufigkeit) m α die Anzahl gleicher irreduzibler Darstellungen D(α) bzw. gleicher invarianter Unterräume V (α) angibt, die bei der Zerlegung auftreten. Beispiel 2 Als Beispiel wird die C4v -Symmetrie des Quadrats diskutiert. Dort  be (6) gründen die vier linear unabhängigen Basisfunktionen vi | i = 1, 2, 3, 4 (3.25) D (6) (Tab. 3.1). Die Basisden Darstellungsraum V (6) mit der Matrixdarstellung   transformation nach vi(6) | i = 1, 2, 3, 4 mittels der regulären orthogonalen Transformationsmatrix ⎛ ⎞ 1 1 1 1 1 ⎜1 −1 −1 1⎟ ⎟ S= ⎜ (3.39) ⎝ 1 −1 −1⎠ 2 1 1 −1 1 −1 ergibt eine neue Darstellung D  = S−1 DS,

(3.40)

die nach Vergleich mit Tabelle (3.1) die Zerlegung ⎛

D(1) (G)  D (G) = ⎝ 0 0 bzw.

0 D (4) (G) 0

⎞ 0 0 ⎠ D(5) (G)

(3.41a)

54

3 Darstellungen

D  (G) = D (1) (G) ⊕ D (4) (G) ⊕ D(5) (G)

(3.41b)

liefert. Demnach ist die reduzible Darstellung D(6) (G) vollständig in die irreduziblen Darstellungen D (1) (G), D (4) (G) und D(5) (G) zerlegbar.

3.3 Äquivalente Darstellungen Ausgehend von einem Element x des Vektorraumes V, das bzgl. der Basis {v j | j = 1, . . . , d} die Komponenten {x j | j = 1, . . . , d} besitzt x=

d

xjvj

(3.42)

j=1

  findet man nach einer Basistransformation mit der neuen Basis v j | j = 1, . . . , d die Darstellung x=

d

x j v j .

(3.43)

j=1

Wegen der linearen Unabhängigkeit der alten Basis kann die neue Basis als Linearkombination in der Form v j =

d

Si j vi

bzw.

v = v S

(3.44a)

i=1

dargestellt werden, so dass die Matrix S mit den Richtungskosinussen als Elemente   Si j = vi , v j (3.44b) die Basistransformation ermöglicht. Nach Gln. (3.43) und (3.44) erhält man durch Vergleich mit Gl. (3.42) eine Beziehung zwischen den alten und neuen Komponenten des Elements x xi =

d

Si j x j

bzw.

x = Sx  .

(3.45)

j=1

Dabei bleibt anzumerken, dass anders als im Fall einer linearen Abbildung des Elements x ∈ V in ein Element y ∈ V gemäß yi =

d

j=1

Di j (a)x j

bzw.

y = D(a)x

∀a ∈ G

(3.46)

3.3

Äquivalente Darstellungen

55

das Element x hier nicht transformiert wird. Entgegen der Transformation (3.44) von  Basiselementen  wird die Transformation (3.45) auf die neuen Komponenten x j | j = 1, . . . , d ausgeübt. Beide Transformationen werden als kontragredient zueinander bezeichnet. Nachdem die Basistransformation umkehrbar ist, muss eine zur Transformationsmatrix S inverse Matrix S−1 existieren, so dass die Matrix S als regulär (detS = 0) erwartet wird. Für ein Bildelement y (3.46) gilt bei einer Basistransformation entsprechend zu Gl. (3.45) die dazu kongrediente Transformation yi =

d

Si j y j

bzw.

y = Sy  ,

(3.47)

j=1

so dass man in Matrixschreibweise mit Gln. (3.46) und (3.45) die Beziehung Sy  = D(a)x = D(a)Sx 

∀a ∈ G

(3.48a)

oder nach Linksmultiplikation mit S−1 y  = S−1 D(a)Sx 

∀a ∈ G

(3.48b)

 erhält. Demnach wird die Transformation (3.46) bzgl. der neuen Basis v j | j = 1, . . . , d durch die Darstellung D  (a) = S−1 D(a)S

∀a ∈ G

(3.49)

vermittelt. Diese Beziehung ist die Erklärung für äquivalente (isomorphe) Darstellungen D und D  , die aus einer Äquivalenztransformation mittels einer regulären Matrix S hervorgehen. Somit gilt die Aussage, dass zwei Darstellungen genau dann zueinander äquivalent sind, wenn sie die gleiche lineare Transformation bzgl. verschiedener Basissysteme beschreiben. In diesem Fall ist die lineare Abbildung S zwischen den Darstellungsräumen V und V  S : V −→ V  ,

(3.50)

die durch die Matrix S nach Gl. (3.44) vermittelt wird, ein Isomorphismus. Für den Fall einer homomorphen, surjektiven Abbildung (3.50) erhält man an Stelle von Gl. (3.49) den Kommutator S D (a) = D(a)S

∀a ∈ G,

(3.51)

wodurch sich homomorphe Darstellungen D(a) und D (a) auszeichnen. Die lineare Abbildung S (3.50), die als G-Morphismus (Intertwiner) bezeichnet wird, bedeutet eine Verknüpfung mit den Transformationen der Gruppe G, was durch ein kommutatives Diagramm verdeutlicht werden kann (Abb. 3.3).

56

3 Darstellungen

Abb. 3.3 Schematische Darstellung des Kommutators (3.51) zwischen der linearen Abbildung S zweier Darstellungsräume V , V  und den Darstellungen D(G ), D  (G ) einer Gruppe G

Betrachtet man etwa eindimensionale Darstellungen D und D , dann erwartet man mit jeder regulären eindimensionalen Matrix S wegen der Vertauschbarkeit der Matrizen nach Gl. (3.49) D (a) = D(a)

∀ a ∈ G.

Folglich sind zwei eindimensionale Darstellungen entweder identisch oder sie sind nicht äquivalent zueinander. Eine Verminderung der damit geschaffenen zusätzlichen Redundanz geschieht dadurch, dass nur solche Darstellungsmatrizen betrachtet werden, die nicht zueinander äquivalent sind. Man gewinnt dabei eine Einteilung in Klassen äquivalenter Darstellungen, die durch Invarianten von Äquivalenztransformationen charakterisiert werden. Eine der Invarianten ist die Spur sp D(a) der die Abbildung D(a) vermittelnde Darstellungsmatrix D(a), die als Charakter χ (a) der Darstellung bezeichnet wird χ (a) = sp D(a) =



Dii (a).

(3.52)

i

Der Charakter χ einer endlich-dimensionalen Darstellung D ist somit die Abbildung der Gruppe G in die komplexen Zahlen C. Betrachtet man jene Elemente a und a der Gruppe G, die zueinander konjugiert sind (Gl. 2.8) und demnach zu einer Klasse gehören, dann findet man bzgl. einer festen Darstellung wegen der zyklischen Invarianz sp D(a  ) = sp( D(b) D(a) D(b−1 )) = sp ( D−1 (b) D(b) D(a)) = sp D(a), (3.53) dass alle Transformationen bzw. Darstellungen, die zur gleichen Klasse gehören den gleichen Charakter besitzen. Der Charakter der Darstellung D(e) des Einselements e ist nach Gl. (3.51) mit der Dimension des Darstellungsraumes identisch

3.4

Normale Darstellungen

57

Tabelle 3.2 Charaktere χ von Matrixdarstellungen D der endlichen Punktgruppe C4v ; D(1) . . . D(5) : irreduzible Darstellungen (A1 , A2 , B1 , B2 , E : Bezeichnung nach M ULLIKAN), D(6) : reduzible Darstellung, R x , R y , Rz : Komponenten eines axialen Vektors (s. a. Abb. 2.1)     C 4v e c4 , c43 Basis c42 σv , σv σd , σd D(1) , D(2) , D(3) , D(4) , D(5) , D(6)

A1 A2 B1 B2 E

χ (1) χ (2) χ (3) χ (4) χ (5)

1 1 1 1 2

1 1 −1 −1 0

1 1 1 1 −2

1 −1 1 −1 0

1 −1 −1 1 0

χ (6)

4

0

0

0

2

χ (e) =



Dii (e) = dim V.

z; z 2 Rz x 2 − y2 xy x, y; Rx , R y

(3.54)

i

Die Auflistung der Charaktere einzelner Klassen einer Gruppe ergibt für die verschiedenen Darstellungen eine Tabelle, die als Charaktertafel bekannt ist (Tab. 3.2).

3.4 Normale Darstellungen Bildet man etwa das Produkt aus einer d × d-Darstellungsmatrix D(a) mit der zu ihr adjungierten Matrix D† (a) und summiert über alle Elemente a der Gruppe D=



D(a) D† (a),

(3.55)

a∈G

dann erhält man eine hermitesche, positiv definite Matrix (det D = 0). Als Konsequenz daraus findet man stets eine unitäre Matrix U, die die Matrix D zu diagonalisieren vermag D D = U −1 DU.

(3.56)

D (a) = U −1 D(a)U

(3.57)

Mit Gl. (3.55) und

erhält man DiDj =



a∈G k

bzw. wegen der Diagonalform

 Dik (a)D ∗ jk (a)

(3.58a)

58

3 Darstellungen

DiDj =

   D  (a)2 ik

a ∈ G.

(3.58b)

a∈G k

Nachdem die Determinante bei der Äquivalenztransformation (3.56) eine Invariante darstellt und deshalb nicht verschwindet (det D D = det D = 0) müssen alle  D Eigenwerte endlich sein Dii = 0 oder nach Gl. (3.58b) der Bedingung DiiD > 0

i = 1, . . . , d

(3.59)

genügen. Diese Eigenschaft erlaubt die Konstruktion einer weiteren Transformationsmatrix S = U( D D )1/2 ,

(3.60)

mit deren Hilfe die Darstellungsmatrix D(a) umgeformt werden kann in eine unitäre Form Du (a) = S−1 D(a)S

a ∈ G.

(3.61)

Die Unitarität ergibt sich mit (Gl. 3.56) SS† = U D D U † = D aus Du (a) Du† (a) = S−1 D(a)S(S−1 D(a)S)† = S−1 D(a) D D † (a)(S−1 )†

= S−1 D(a) D(b) D† (b) D† (a)(S−1 )† = S−1 D(S−1 )† = 1, b

(3.62) wobei im vorletzten Schritt die Identität



D(a) D(b) ≡ D(a) b

(3.63)

a

als Folge der Gruppeneigenschaft nach dem Umordnungstheorem (Abschn. 2.1) verwendet wird. Demnach gilt die Aussage, dass jede endliche Darstellung einer unitären Darstellung äquivalent ist. Man bezeichnet sie als normale Darstellung. Die analoge Aussage im Reellen geht dahin, dass jede endliche Darstellung einer orthogonalen Darstellung äquivalent ist. Die Bedeutung der unitären bzw. orthogonalen Darstellungen erwächst aus der Invarianz des Skalarprodukts und mithin der Invarianz von Längen und Winkel bei unitären bzw. orthogonalen Abbildungen. Setzt man zwei äquivalente Darstellungen D(G) und D (G) voraus, die durch eine Äquivalenztransformation (3.49) auseinander hervorgehen, wobei sowohl die

3.5

Die S CHUR ’schen Lemmata

59

Darstellung D(G) wie die Transformationsmatrix S unitär ist, dann findet man die äquivalente Darstellung D (G) ebenfalls unitär. Für den Fall, dass beide Darstellungen D(G) und D  (G) unitär sind, kann auch eine unitäre Transformationsmatrix S gefunden werden. Zu erwähnen ist noch die unitäre Eigenschaft aller eindimensionalen Darstellungen. Mit der Ordnung n des Gruppenelements a gilt für die k-te Darstellung der Abbildung D(a n ) (= D(e)) [ D(k) (a)]n = 1,

(3.64)

woraus die k-te Darstellung der Abbildung D(a) D

(k)



2π k (a) = exp ±i n

 k∈N

(3.65)

resultiert.

3.5 Die S CHUR’schen Lemmata Die folgenden beiden Hilfssätze haben bedeutende Konsequenzen im Hinblick auf den Umgang mit den Darstellungen. Sie erlauben insbesondere die Eigenschaft der Orthogonalität sowie der Vollständigkeit quantitativ zu erfassen. Ausgangspunkt ist eine lineare Abbildung S eines irreduziblen Vektorraumes V (α) mit der Dimension dα auf einen irreduziblen Vektorraum V (β) mit der Dimension dβ S : V (α) −→ V (β) Betrachtet man alle nicht-äquivalenten Selbstabbildungen D (α) (a) und D (β) (a)(a ∈ G) der beiden Vektorräume V (α) , V (β) und setzt eine homomorphe Abbildung S nach Gln. (3.50) und (3.51) voraus S D (α) (a) = D (β) (a)S

∀a ∈ G,

(3.66)

so ist S entweder die Nullabbildung oder beide Vektorräume sind isomorph zueinander. Im letzteren Fall ist die Abbildung S regulär, so dass beide Selbstabbildungen nach Gl. (3.65) zueinander äquivalent sind. Demnach ist ein G-Morphismus S zwischen zwei irreduziblen Vektorräumen entweder die Nullabbildung oder ein Isomorphismus (1. S CHUR’sches Lemma). Die Bedeutung dieser Aussage macht eine Begründung notwendig, die im Folgenden kurz skizziert wird. Setzt man den Rang der Abbildung S als die Dimension des Bildraumes mit dγ voraus rang S = dγ ,

(3.67)

60

3 Darstellungen

so bilden die Bildelemente x (β) Sx (α) = x (β)

(3.68)

der Elemente x (α) einen nicht-trivialen invarianten Unterraum V (γ ) ⊂ V (β) bzgl. der Abbildung D (β) (a), dessen Dimension dem Rang der Abbildung S gleich ist dim V (γ ) = dγ .

(3.69)

Zum Nachweis untersucht man die Abbildung D(β) (a) eines beliebigen Elements x (β) ∈ V (γ ) unter der Verwendung von (3.68) und der Voraussetzung (3.66) 

D (β) (a)x (β) = D (β) (a)Sx (α) = S D (α) (a)x (α) = Sx (α) = x (β)



∀a ∈ G. (3.70)



Als Ergebnis erhält man ein Bildelement x (β) , das ebenfalls dem Unterraum V (γ ) angehört, womit die Invarianz dieses Unterraumes demonstriert wird. Wegen der Voraussetzung der Irreduzierbarkeit des Vektorraumes V (β) bzgl. der Abbildung D (β) (a) gibt es keine weiteren invarianten Unterräume außer den trivialen, so dass alternativ gilt V (γ ) = 0

oder

V (γ ) = V (β) .

(3.71a)

Als Konsequenz daraus ergibt sich rang S = 0

rang S = dβ

oder

bzw.

dα ≥ dβ .

(3.71b)

Betrachtet man ferner den Kern K = {x (α) ∈ V (α) | Sx (α) = 0} der Abbildung S, so ist dieser ein invarianter Unterraum bzgl. der Abbildung D (α) (a) mit der Dimension dim K = dα − dγ .

(3.72)

Zum Nachweis untersucht man die Abbildung S D (α) (a) eines beliebigen Elements x (α) ∈ K(α−γ ) ⊂ V (α) unter der Verwendung der Voraussetzung (3.66) S D (α) (a)x (α) = D (β) (a)Sx (α) = D (β) (a)0 = 0

∀a ∈ G,

(3.73)

wonach das Bildelement D (α) (a)x (α) zum Kern K(α−γ ) gehört. Auch hier erlaubt die Voraussetzung der Irreduzierbarkeit des Vektorraumes V (α) bzgl. der Abbildung D (α) (a) keine weiteren invarianten Unterräume außer den trivialen, so dass alternativ gilt K(α−γ ) = 0 Als Konsequenz daraus ergibt sich

oder

K(α−γ ) = V (α) .

(3.74a)

3.5

Die S CHUR ’schen Lemmata

rang S = 0

oder

61

rang S = dα

bzw.

dα ≤ dβ .

(3.74b)

Zusammengefasst ergeben Gln. (3.71) und (3.74) die alternative Aussage (S = 0)

S ist singulär

(dγ = dα = dβ )

oder

S ist regulär.

(3.75)

Die Vertiefung der zweiten Alternative bei Betrachtung nur eines irreduziblen Vektorraumes liefert eine Aussage über den G-Morphismus S. Setzt man die Vertauschbarkeit mit den Selbstabbildungen D(a) eines irreduziblen Vektorraumes V voraus D(a)S = S D(a)

∀a ∈ G,

(3.76)

was einer Äquivalenztransformation von D(a) auf sich selbst bedeutet, dann ist die Abbildung S ein Vielfaches λ der identischen Abbildung E (2. S CHUR’sches Lemma) S = λE.

(3.77)

Umgekehrt gilt der Vektorraum V als reduzibel bzgl. der Abbildung D(a), falls diese nur mit einem Vielfachen λ der identischen Abbildung E kommutiert. Zum Beweis betrachtet man die Eigenwertgleichung der Abbildung S Sx = λx

x ∈ V,

(3.78)

die genau dann eine nicht-triviale Lösung (x = 0) besitzt, falls die Abbildung S˜ = (S − λE) singulär ist. Mit der Vertauschbarkeit von D(a) mit λE sowie mit S ˜ woraus für gemäß der Voraussetzung (3.76) ergibt sich die Vertauschbarkeit mit S, eine singuläre Abbildung nach dem 1. S CHUR’schen Lemma nur die Nullabbildung ( S˜ = 0) und mithin die Behauptung (3.78) resultiert. Analoge Aussagen der beiden Hilfssätze sind nach Wahl einer Basis in den irreduziblen Vektorräumen auch für irreduzible Darstellungen gültig. Betrachtet man etwa zwei irreduzible Darstellungen D(α) (a) und D(β) (a), so folgt aus deren Vertauschbarkeit mit einer Matrix S S D(α) (a) = D(β) (a)S

∀a ∈ G

(3.79)

die Alternativen einer verschwindenden Matrix (S = 0) oder einer regulären Matrix (det S = 0), die die Äquivalenz beider Darstellungen garantiert (1. S CHUR’sches Lemma). Zudem fordert die Vertauschbarkeit der Matrix S mit allen Darstellungsmatrizen D(α) (a) D(α) (a)S = S D(α) (a)

∀a ∈ G

(3.80)

die zu Gl. (3.77) analoge Beziehung (2. S CHUR’sches Lemma) S = λ1.

(3.81)

62

3 Darstellungen

Eine einfache Folgerung des 2. S CHUR’schen Lemmas ist die Behauptung, dass alle Abbildungen D(a) abelscher Gruppen den Rang Eins besitzen, so dass die entsprechenden irreduziblen Darstellungen eindimensional sind (s. a. Abschn. 3.1). Zur Begründung verhilft die Vertauschbarkeit der Abbildungen untereinander D(a)D(b) = D(b)D(a)

∀a, b ∈ G

(3.82)

sowie die damit verknüpfte Aussage des 2. S CHUR’schen Lemmas, dass alle Abbildungen D(b) ein vielfaches der identischen Abbildung sind D(b) = λE

∀b ∈ G.

(3.83)

Mit der Voraussetzung der Irreduzierbarkeit des Vektorraumes bzgl. den Abbildungen muss man für die Darstellungsmatrix der identischen Abbildung die Zahl Eins fordern D(e) = 1,

(3.84)

wonach die Behauptung folgt. Eine Umkehrung der Aussage ist jedoch nicht erlaubt. In Erinnerung an die unitäre Eigenschaft aller eindimensionalen Darstellungen (Abschn. 3.4) kann man jetzt feststellen, dass alle irreduziblen Darstellungen abelscher Gruppen unitär sind. Eine weitere Folgerung findet man in der Behauptung, dass für zwei äquivalente und unitäre Darstellungen D(a) und D (a) die Transformationsmatrix S, die durch Gl. (3.49) bis auf einen Faktor festgelegt wird, unitär wählbar ist. Betrachtet man nämlich das Produkt aus Darstellungen D  (a) und der dazu adjungierten Darstel lung D † (a), das wegen der Unitarität die Einheitsdarstellung fordert 

D (a) D † (a) = S−1 D(a)S(S−1 D(a)S)† = 1

(3.85a)

D(a)SS† = SS† D(a),

(3.85b)

oder

so gilt nach dem 2. S CHUR’schen Lemma (3.81) SS† = λ1.

(3.86)

Nach Bildung des adjungierten Wertes beider Seiten findet man für den Parameter λ einen reellen Wert (λ = ±1). Mit λ = −1 erhält man nach Gl. (3.86) durch Determinantenbildung auf beiden Seiten |det S|2 = (−1)dim 1 ,

(3.87)

was ausgeschlossen werden muss. Demnach bleibt der Wert λ = +1 übrig, womit gemäß Gl. (3.86) die Unitarität der Transformationsmatrix S offensichtlich wird.

3.6

Orthogonalitäten

63

3.6 Orthogonalitäten In der Absicht, die Orthogonalität von Darstellungen endlicher Gruppen herzuleiten, wird man zunächst mit zwei beliebigen irreduziblen Darstellungen D(α) und D(β) sowie mit einer beliebigen dα × dβ -Matrix X eine Matrix P bilden P=



D(α) (a)X D (β)−1 (a),

(3.88)

a∈G

um diese auf das 1. S CHUR’sche Lemma hin zu untersuchen D(α) (a) P =



D (α) (a) D(α) (b)X D(β)−1 (b)

b∈G

=



D (α) (a ◦ b)X D(β)−1 (b) D(β)−1 (a) D (β) (a)

b∈G

=



(3.89)

D (α) (a ◦ b)X D(β)−1 (a ◦ b) D(β) (a)

b∈G

=



D(α) (c)X D (β)−1 (c) D(β) (a) = P D(β) (a)

∀a ∈ G.

c∈G

Nachdem die Voraussetzung (3.66) bzw.(3.79) erfüllt ist, muss nach dem S CHUR’schen Lemma entweder die Matrix P verschwinden oder die irreduziblen Darstellungen D (α) (a) und D(β) (a) sind äquivalent zueinander, so dass insgesamt die Forderung P = λ1δαβ

(3.90)

erhoben wird. Mit der besonderen Wahl der Matrix X X mn = δmk δnl ,

(3.91)

die nur in der k-ten Zeile und l-ten Spalte einen von Null verschiedenen Wert hat, nämlich die Zahl Eins, errechnet sich das Matrixelement Pi j zu

Pi j =

dβ g

dα

a

m

(β)−1

(α) Dim (a)X mn Dn j

(a) =

n

g

(β)−1

(α) Dik (a)Dl j

(a),

(3.92)

a

woraus sich mit Gl. (3.90) g

a

(β)−1

(α) Dik (a)Dl j

(a) = λδαβ δi j

(3.93)

64

3 Darstellungen

ergibt. Schließlich führt im Falle gleicher irreduzibler Darstellungen (α = β) die Spurbildung von Gl. (3.90) zu

−

sp( D(α) (a)X D (α) 1 (a)) = λdα

(3.94)

a∈G

bzw. mit sp( DX D−1 ) = sp( D−1 DX) = sp(1X)

(3.95)

g sp X = λdα ,

(3.96)

zu

so dass mit der besonderen Wahl von X nach Gl. (3.91) die Konstante λ zu λ=

g δkl dα

(3.97)

bestimmt wird. Insgesamt erhält man mit Gln. (3.93) und (3.97) die Orthogonalitätsrelation

(β)−1

(α)

Dik (a)Dl j

(a) =

a∈G

g δαβ δi j δkl , dα

(3.98a)

die bei unitären Darstellungen mit (β)−1

Dl j

(β)†

(a) = Dl j

(β)∗

(a) = D jl (a)

die Form

(β)∗

(α) Dik (a)D jl (a) =

a∈G

g δαβ δi j δkl dα

(3.98b)

annimmt. Eine anschauliche Interpretation benutzt jenen g-dimensionalen Vektorraum, der von den Gruppenelementen begründet wird. Dort bilden die Matrixkoeffizienten (α)

Di j (G) =

   (α) (α) dα /g Di j (a), Di j (b), . . .

(3.99)

als Elemente des Vektorraums bei festen Indizes α, i und j nach Gl. (3.98) ein Orthonormalsystem. Da die Dimension g des Vektorraumes die maximale Zahl der orthogonalen Elemente bestimmt, erhält man für deren gesamte Anzahl N die Bedingung

3.6

Orthogonalitäten

65

N=

r

α=1

dα2 ≤ g

r : Anzahl der Klassen.

(3.100)

(α)−1

(b) und die nachfolgende Summation Die Multiplikation von Gl. (3.98a) mit Dki über die Indizes α, i und k liefert die Beziehung



a∈G α

(β)−1

(α)

dα Dik (a)Dl j

(α)−1

(a)Dki

(β)−1

(b) = g Dl j

(b),

(3.101)

i,k

die nur mit Gültigkeit einer weiteren Orthogonalitätsrelation, der sogenannten Vollständigkeitsrelation

α

(α)

(α)−1

dα Dik (a)Dki

(b) = gδab

(3.102)

i,k

erfüllt wird. Der Versuch, eine Interpretation im Bild eines Vektorraumes zu geben, führt zu g Elementen D(a) =

   (α) dα /g Di j (a)| α = 1, . . . , r ; i, j = 1, . . . , dα ,

(3.103)

deren Orthonormalität durch Gl. (3.102) garantiert wird. Gemäß der allgemeinen Bedingung, dass die Anzahl der orthonormalen Elemente höchstens gleich der Dimension N des Vektorraumes sein kann g≤

r

α=1

dα2 = N

(3.104)

findet man zusammen mit Gl. (3.100) die wichtige Aussage, dass die Quadrate der Dimensionen aller irreduzibler Darstellungen aufsummiert die Gruppenordnung ergibt (Satz v. B URNSIDE). r

α=1

dα2 = g.

(3.105)

Eine größere Bedeutung erlangen die Orthogonalitätsrelationen für Charaktere. Der Grund dafür liegt ungeachtet des verminderten Informationsgehaltes in der Invarianz der Charaktere gegenüber Basistransformationen sowie in der einfacheren Handhabung. Nach Summation von Gl. (3.98a) bzgl. der Spur der Darstellungsmatrizen



a∈G

i

j

(β)−1

Dii(α) (a)D j j

(a) =



g δαβ δi j dα i

j

(3.106)

66

3 Darstellungen

erhält man mit Gl. (3.52) die Charakter-Orthogonalitätsrelation

χ (α) (a)χ (β)−1 (a) = gδαβ ,

(3.107a)

a∈G

bzw. für unitäre Darstellungen

χ (α) (a)χ (β)∗ (a) = gδαβ .

(3.107b)

a∈G

Berücksichtigt man eine die Konjugiertenklassen K p auszeichnende Eigenschaft, dass die Darstellungen von c p konjugierten Elementen gleiche Charaktere besitzen, dann lässt sich die Summation auf die insgesamt c Klassen reduzieren c

c p χ p(α) χ p(β)∗ = gδαβ .

(3.107c)

p=1

Auch hier kann man die Größe χ (α) p als Vektorelement χ (α) p =

   c p /g χ p(α) | p = 1, . . . , c

(3.108)

in einem c-dimensionalen Vektorraum auffassen. Nach Gl. (3.107c) bilden diese Elemente ein Orthonormalsystem, deren Anzahl r durch die Dimension c des Vektorraumes begrenzt ist. r ≤ c.

(3.109)

Nach Multiplikation von (3.107c) mit χq(α)∗ und Summation über alle irreduziblen Darstellungen α erhält man c r



c p χ p(α) χ p(β)∗ χq(α)∗ =

r

gδαβ χq(α)∗ = gχq(β)∗ ,

(3.110)

α

α=1 p=1

was nur erfüllt wird mit der Bedingung einer weiteren Charakter-Orthogonalitätsrelation bzw. Charakter-Vollständigkeitsrelation r

α=1

χ p(α) χq(α)∗ =

g δ pq . cp

(3.111)

Die Interpretation im Vektorraum verlangt hier die Elemente χ q(α) =

   c p /g χq(α) |α = 1, . . . , r ,

(3.112)

3.6

Orthogonalitäten

67

deren Anzahl c infolge der Orthonormalität (3.111) durch die Dimension r des Vektorraumes beschränkt ist c ≤ r.

(3.113)

Zusammen mit Gl. (3.109) ergibt sich die Forderung nach c = r,

(3.114)

so dass die Anzahl c der verschiedenen nicht-äquivalenten irreduziblen Darstellungen mit der Anzahl r der Konjugiertenklassen übereinstimmt. Die Orthogonalitätsrelationen ermöglichen eine Entscheidung darüber, inwieweit eine Darstellung reduzibel ist. In Erinnerung an die Reduzierbarkeit von Darstellungsräumen bzw. Darstellungen (Gl. 3.38), kann man eine Reduktion des Charakters χ (a) einer reduziblen Darstellung D(a) in der Form χ (a) =

r

m α χ (α) (a)

∀a ∈ G

(3.115)

α=1

ausdrücken. Mit der Orthogonalität (3.107) erhält man für α = β

|χ (a)|2 =

c

a∈G

c p |χ p |2 = g

p=1

r

α=1

m 2α ,

(3.116)

wonach zwei Fälle unterschieden werden können: (a) Der erste Fall mit der Bedingung c

c p |χ p |2 > g.

(3.117)

p=1

 Dann muss gelten α m 2α > 1, was nur erfüllt ist mit mehreren, nicht negativen ganzen Zahlen m α (= 0) oder einer Zahl m α > 1. In diesem Fall ist die Darstellung nach Gl. (3.115) reduzibel. (b) Der zweite Fall mit der Bedingung c

c p |χ p |2 = g.

(3.118)

p=1

 Dann folgt notwendigerweise α m 2α = 1, was nur für ein α = µ erfüllt sein kann (m α = δµα ). In diesem Fall hat man nach Gl. (3.115) eine notwendige Bedingung für die Irreduzierbarkeit gefunden. Setzt man umgekehrt die

68

3 Darstellungen

Irreduzierbarkeit voraus, dann erhält man aus Gl. (3.116) das hinreichende Kriterium (3.118). Zur Ermittlung der irreduziblen Darstellungen D(α) (a) sowie deren Multiplizitäten m α wird Gl. (3.115) mit χ (β)∗ (a) multipliziert und über alle Elemente a der Gruppe unter Beachtung der Orthogonalität (3.107) summiert. Man erhält allgemein (β = α) mα =

1

χ (a)χ (α)∗ (a), g

(3.119a)

a∈G

  oder wegen der Realität der Multiplizität m ∗α = m α mα =

1 ∗ χ (a)χ (α) (a). g

(3.119b)

a∈G

Die Zusammenfassung von c p konjugierten Elementen zu Konjugiertenklassen K p erlaubt mit Gl. (3.107c) die Form mα =

c 1

c p χ p χ p(α)∗ , g

(3.119c)

p=1

wonach mit Kenntnis der Charaktere χ (α) der irreduziblen Darstellungen die Reduktion explizit durchgeführt werden kann. Setzt man voraus, dass die Multiplizitäten m α,1 und m α,2 zweier reduzibler Darstellungen D red,1 und Dred,2 für alle Komponenten α gleich sind m α,1 = m α,2

∀α,

(3.120)

dann erhält man nach Gl. (3.119) χred,1 (a) = χred,2 (a)

∀a ∈ G,

(3.121)

so dass die beiden reduziblen Darstellungen äquivalent sind. Die Ermittlung einiger irreduzibler Darstellungen D (α) (G) gelingt bereits mit Kenntnis von irreduziblen Darstellungen D(α) (G/N ) der Faktorgruppe G/N = {La1 , . . . , Lag /n } bezüglich eines Normalteilers N , die zur Gruppe G  = {a1 , . . . , ag/n } isomorph ist. Dabei erfolgt eine Zuordnung der Darstellungsmatrix D(α) (Lai ) einer irreduziblen Darstellung D(α) (G  ) zu allen Elementen a der Nebenklasse Lai D(α) (Lai ) −→ a ∈ Lai = ai ◦ N ,

(3.122)

3.6

Orthogonalitäten

69 (α)

woraus die sogenannte erzeugte Darstellung D e (G) der ursprünglichen Gruppe G resultiert. Die Eigenschaft einer Darstellung für zwei Elemente Lai und La j aus verschiedenen Nebenklassen (i = j) wird durch die Voraussetzung garantiert, dass mit dem Produkt zweier Nebenklassen (Lai ◦La j = Lak ) die irreduziblen Darstellungen D (α) (G/N ) der Faktorgruppe die Bedingung D(α) (Lai ) D(α) (La j ) = D(α) (Lak )

(3.123)

erfüllt. Für zwei Elemente innerhalb einer Nebenklasse ist die Eigenschaft (3.8) der Matrixdarstellung bei nur einer Matrix für alle Elemente ohnehin trivial. Ausgehend von der Irreduzierbarkeit einer Darstellung D(α) (G/N ) der Faktorgruppe, die durch das hinreichende Kriterium (3.118) 2

  χ p(α)  = g/ord N = g/n

(3.124)

p

ausgedrückt wird, gewinnt man die umkehrbare Beziehung

a∈G

|χ (α) (a)|2 =

g/n  g/n   



 (α) 2  (α) 2 χ (a) = n χ p  = g, p=1 a∈La p

(3.125)

p=1

die als notwendiges Kriterium (3.118) die Irreduzierbarkeit der erzeugten Darstellung garantiert. Demnach findet man die erzeugte Darstellung D(α) e (G) genau dann irreduzibel, wenn die Darstellung D(α) (G/N ) der Faktorgruppe irreduzibel ist. Die irreduziblen Darstellungen mit ihren Basisfunktionen gelten als notwendige und hinreichende Bedingung für die Vermittlung der vollständigen Information über Eigenschaften einer Symmetriegruppe. Im praktischen Umgang jedoch genügt allein die notwendige Bedingung, die von den Charakteren geliefert wird, so dass meist die Charaktertafeln von Interesse sind (Abschn. 3.3). Das Aufstellen einer Charaktertafel gelingt außer durch Spurbildung noch mittels einer indirekten Methode, die auf die Kenntnis der irreduziblen Darstellungen verzichtet. Die Grundlagen dazu bilden die Orthogonalitätsrelationen (3.107) und (3.111) sowie die Beziehungen zwischen den Dimensionen und der Gruppenordnung (3.105) oder zwischen den Klassen und der Zahl der irreduziblen Darstellungen (3.114) Beispiel 1 Als Beispiel sei die Symmetriegruppe C 4v betrachtet (Tab. 3.1 und 3.2). Für die Darstellung D(5) erhält man 5

 2   c p χ p(5)  = 8

(= g),

(3.126)

p=1

so dass nach Gl. (3.118) die hinreichende Bedingung für die Irreduzierbarkeit erfüllt ist. Anders dagegen verhält es sich mit der Darstellung D(6) . Dort erhält man die

70

3 Darstellungen

Beziehung 5

 2   c p χ p(6)  = 10

(> g),

(3.127)

p=1

die das Kriterium der Irreduzierbarkeit nicht erfüllt, so dass die Darstellung reduzibel ist. Eine Entscheidung darüber, in welcher Form die Zerlegung erfolgt, wird durch Gl. (3.119) gefällt. Für die Darstellung D(1) etwa erhält man die Multiplizität m1 =

5 1

c p χ p(6) χ p(1)∗ = 1, 8

(3.128)

p=1

wonach die irreduzible Darstellung D(1) einmal in der Darstellung D(6) enthalten ist. Entsprechende Rechnungen ergeben m 2 = m 3 = 0 und m 4 = m 5 = 1, so dass die Zerlegung in der Form D(6) = 1 D(1) ⊕ 1 D (4) ⊕ 1 D (5)

(3.129)

ausgedrückt werden kann (Gl. 3.41). Beispiel 2 Mit dem Normalteiler N = C4 erhält man die zur Faktorgruppe G/N = C4v /C4 = {Le , Lσv } isomorphe Gruppe G  = Cs = {e, σv }. Sie besitzt außer der trivialen noch eine weitere eindimensionale Darstellung D(e) = 1, D(σv ) = −1. Die Zuordnung dieser Darstellung zu den Elementen der beiden Nebenklassen in der Form     D(Le ) = D e, c4 , c42 , c43 = 1 und D(Lσv ) = D σv , σv , σd , σd = −1 ergibt die erzeugte Darstellung D (2) (C4v ), die ebenfalls irreduzibel ist (Tab. 3.1).

3.7 Reguläre Darstellungen Die Verknüpfung eines beliebigen Gruppenelements a mit allen Elementen {ai |i = 1, . . . , g} der Gruppe G gemäß a ◦ ai = a j

a bel.

ai ∈ G

(3.130)

ermöglicht alle Elemente {a j | j = 1, . . . , } der Gruppe anzunehmen. Demnach kann diese Verknüpfung als lineare Abbildung der Form  a:

G −→ G b −→ a ◦ b

b∈G

(3.131)

3.7

Reguläre Darstellungen

71

aufgefasst werden, wonach die gesamte Gruppe G als Transformationsgruppe auf sich selbst wirkt und in sich abgebildet wird. Mit den Gruppenelementen {ai | i = 1, . . . , g} als Basis eines g-dimensionalen Vektorraumes V reg , lässt sich die Abbildung (3.131) nach Gl. (3.6) als Linearkombination a ◦ ai =



reg

D ji (a)a j

a∈G

(3.132)

j

ausdrücken, wodurch die sogenannte reguläre Darstellung Dreg (a) erklärt wird, die für jede Gruppe existiert. Die Gruppenelemente spielen dabei eine zweifache Rolle. Einmal als lineare Abbildungen und zum Anderen als Elemente eines linearen Vektorraumes. Demnach muss die bisher angenommene mathematische Struktur eines Ringes erweitert werden durch die zusätzliche Definition der Multiplikation mit einem Element α aus dem Zahlenkörper K und der Addition. Als Ergebnis erhält man zusätzlich die Struktur eines linearen Vektorraumes über K, was insgesamt eine Algebra über K, die sogenannte Gruppenalgebra (F ROBENIUS-Algebra) A(G) bedeutet. Die Darstellungsmatrizen reg Di j (a)

  = δ ai−1 ◦ a ◦ a j

 mit

δ(a) =

1 für a = e 0 sonst

(3.133)

sind Permutationsmatrizen, die die Struktur der Algebra festlegen. Da durch die Abbildung (3.131) jedes Element der Gruppe genau einmal angenommen wird, gilt die reguläre Darstellung als eine treue Darstellung. Ihr Charakter ist nach Gln. (3.132) und (3.133) gleich der Anzahl jener Elemente, die auf sich selbst abgebildet werden. Deshalb erwartet man nur bei der identischen Abbildung einen endlichen Charakter  ord G = g für a = e (3.134) χ reg (a) = 0 sonst. Das Kriterium (3.118) für die Irreduzierbarkeit wird nach

|χ (a)|2 = |χ (e)|2 = g 2

(> g)

(3.135)

a∈G

nicht erfüllt, so dass die reguläre Darstellung reduzibel ist. Die Multiplizitäten m α der irreduziblen Darstellungen D(α) erhält man nach Gln. (3.119) und (3.134) zu mα =

1 reg 1 χ (e)χ (α) (e) = gdα = dα . g g

(3.136)

Das bedeutet die wichtige Aussage, dass bei der Zerlegung der regulären Darstellung jede irreduzible Darstellung D (α) mit einer Vielfachheit m α erscheint, die ihrer Dimension dα gleich ist. Bei Kenntnis der regulären Darstellung Dreg

72

3 Darstellungen

gelingt es deshalb, nach einer geeigneten Basistransformation in eine diagonale Blockform ⎛

D

reg

1

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ Anzahl:

⎞ D(2) ..

.

D(2)

..

.

D(r ) ..





⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠



d2

.

(3.137)

D (r )

 dr

alle irreduziblen Darstellungen { D(α) |α = 1, . . . , r } zu finden. Betrachtet man die diagonale Darstellungsmatrix des Einselements Dreg (e), so bekommt man aus Gl. (3.115) unter Verwendung von Gln. (3.134) und (3.136) g=

r

α=1

m α dα =

r

α=1

dα2 ,

(3.138)

womit erneut der Satz v. B URNSIDE (Gl. 3.105) bestätigt wird. Die Tatsache, dass die reguläre Darstellung die Struktur einer Algebra besitzt, verhilft zu einer einfachen Interpretation der bisher gewonnenen Ergebnisse. Innerhalb der Algebra besitzt das System der Darstellungsmatrizen einen linearen Vektorraum V über K, dessen Dimension offensichtlich durch die Anzahl der Matrixelemente gegeben ist dim V = g 2 .

(3.139)

Nach Wahl der Gruppenelemente {ai | i = 1, . . . , g} als Basis für den linearen Raum V reg der Algebra über K, was die Beziehung (3.132) impliziert, erhält man für die Dimension dieses invarianten Vektorraumes dim V reg = g.

(3.140)

Der Vergleich mit (3.139) zwingt demnach zu der Forderung nach Reduzierbarkeit der regulären Darstellung. Betrachtet man die irreduziblen Darstellungen D (α) unter Zugrundelegung der Struktur einer Algebra, so findet man, dass die Dimension dieser Vektorräume gleich ist der Zahl der Matrixelemente dim V (α) = dα2 .

(3.141)

3.8

Reelle, pseudoreelle und komplexe Darstellungen

73

Der Satz v. B URNSIDE bedeutet deshalb, dass bei der Zerlegung der regulären Darstellung Dreg die Summe der Dimensionen aller Unteralgebren gleichzusetzen ist mit der Dimension des invarianten Darstellungsraumes V reg , der durch die Basis {ai | i = 1, . . . , g} aufgespannt wird. Abschließend sei darauf hingewiesen, dass die Basiselemente {ai | i = 1, . . . , g} der regulären Darstellung als Vertreter von Nebenklassen in der Zerlegung der Gruppe G nach der trivialen Untergruppe H = {e} betrachtet werden können. Für den allgemeinen Fall einer Zerlegung bzgl. einer nicht-trivialen Untergruppe H (= {e}, G) können die l (= ind H = g/ h) Nebenklassen ebenfalls als Basis für eine l-dimensionale Darstellung benutzt werden, die unter dem Namen Grunddarstellung bekannt ist.

3.8 Reelle, pseudoreelle und komplexe Darstellungen Der Vorteil einer besonderen Einteilung von Darstellungen wird bei der Berücksichtigung von antilinearen Transformationen als erlaubte Symmetrieelemente – wie die der Zeitumkehr – offensichtlich. Dabei unterscheidet man zwischen zwei Fällen: 1. Die irreduzible Darstellung D (α) ist äquivalent zu ihrem konjugiert komplexen Anteil D(α)∗ , so dass es eine unitäre Matrix S gibt, mit deren Hilfe gemäß der Äquivalenztransformation D(α)∗ = S−1 D(α) S

(3.142)

die Verknüpfung hergestellt werden kann. 2. Die irreduzible Darstellung D(α) ist nicht äquivalent zu ihrem konjugiert komplexen Anteil D α)∗ , so dass durch die Transformation D(β) = S−1 D (α) S

β = α

(3.143)

eine weitere irreduzible Darstellung der Gruppe gleicher Dimension erhalten wird und die Darstellung selbst als komplexe Darstellung gilt. Den ersten Fall kann man weiter unterteilen in: 1.a Eine reelle Darstellung und 1.b Eine komplexe Darstellung, die wegen des aus (3.142) resultierenden reellen Charakters χ (α) auch als pseudoreelle Darstellung bekannt ist. Die Zugehörigkeit zu einem der beiden Fälle wird durch die Beziehung SS∗ = ±1

(3.144)

entschieden. Zur Begründung verwendet man zunächst die konjugierte Gl. (3.142), um dann beide Gleichungen durch Substitution in der Form

74

3 Darstellungen

∗  D (α) = S−1 S−1 D (α) SS∗

(3.145)

zu verknüpfen. Nach dem 2. S CHUR’schen Lemma (3.76) und (3.80) ergibt sich daraus SS∗ = λ1.

(3.146)

Darüber hinaus gewinnt man aus der Eigenschaft der Unitarität von S bzw. SS∗ die Aussage über den Betrag des Eigenwertes λ |λ| ≡ 1.

(3.147)

Um auch die Phase festzulegen zu können, bildet man die zu (3.146) konjugierte Gleichung S∗ S = λ∗ 1 = λ∗ S−1 S

(3.148)

und substituiert durch Gl. (3.146) zu λ∗ ∗ 1 S S, S∗ S = λ∗ S−1 SS∗ S = λ λ

(3.149)

was nur erfüllt sein kann mit λ = λ∗ .

(3.150)

Daraus resultiert die Phase ϕ = ±π sowie der Eigenwert λ = ±1. Im Fall (1.a), der sich durch die Transformation −1 (α) D U D(α) reell = U

(3.151)

auszeichnet, erhält man durch das Konjugieren dieser Gleichung und Substituieren ∗  ∗ −1 (α) −1 D(α) = U U D U U . reell

(3.152)

Mit Gl. (3.142) findet man weiter ∗  ∗ −1 (α) −1 = SU U D U U S−1 , D(α) reell

(3.153)

so dass unter Beachtung des 2. S CHUR’schen Lemmas die Konsequenz SU ∗ U −1 = λ1 gewonnen wird. Danach errechnet sich SS∗ zu

|λ| = 1

(3.154)

3.8

Reelle, pseudoreelle und komplexe Darstellungen

75

∗  SS∗ = |λ|2 U U −1 U ∗ U −1 = +1

(3.155)

und der Fall (1.a) zeichnet sich durch das positive Vorzeichen in Gl. (3.144) aus. Eine einfache Entscheidung darüber, welcher der drei Fälle vorliegt, ermöglicht das Kriterium v. F ROBENIUS und S CHUR. Dieses benutzt den Charakter χ (α) (a ◦ a) der irreduzible Darstellung D (α) (a ◦ a) mit dem Quadrat der Elemente a als Argument

χ (α) (a ◦ a) =

a∈G



a∈G

=

(α)

Dii (a ◦ a) =

(α)

(α)

Di j (a)D ji (a)

a∈G i, j

i





(3.156)

(α) (α)∗ Di j (a)Di j (a −1 ),

a∈G i, j

wobei die Unitarität der Darstellung gefordert wird. Betrachtet man den ersten Fall, so ermöglicht die Substitution mittels Gl. (3.142) sowie die Verwendung der Orthogonalität (3.98) eine Umformung zu

χ (α) (a ◦ a) =

a∈G



a∈G i, j

(α)

(α)

−1 Di j (a)Sik Dkl (a −1 )Sl j =

k,l

g −1 Si j Si j dα

g ∗ g = S ji Si j = sp(S∗ S). dα dα

i, j

i, j

(3.157) Zusammen mit der Beziehung (3.146) erhält man dann die Kriterien

χ (α) (a ◦ a) =



a∈G

+g −g

für SS∗ = +1 Fall 1. a für SS∗ = −1 Fall 1. b.

(3.158a)

Im zweiten Fall, der nach (3.143) keine Äquivalenz erlaubt, findet man deshalb

χ (α) (a ◦ a) = 0,

Fall 2.

(3.158b)

a∈G

Bildet man die Determinante von Gl. (3.144) detS detS∗ = (−1)dim S ,

(3.159)

so erhält man wegen detS detS∗ = detS(detS)∗ = (detS)2 = 1 die Forderung nach einer geraden Dimension von pseudoreellen Darstellungen.

76

3 Darstellungen

Beispiel 1 Im Beispiel der einfachen Punktgruppe G = C4v erhält man für die zweidimensionale irreduzible Darstellung E (Tab. 3.1) gemäß dem Kriterium (3.158)

χ E (a ◦ a) =

a∈C4v



sp [ D E (a)]2 = 2 − 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 8,

a∈C 4v

wonach der Fall (1.a) verwirklicht ist. Die Darstellung E ist wie auch alle übrigen irreduziblen Darstellungen A1 , A2 , B1 , B2 eine reelle Darstellung mit der Transformationsmatrix S = 12 (SS∗ = +12 ). Beispiel 2 Die Einbeziehung eines Spins etwa mit der Quantenzahl S = 1/2 bei einer kontinuierlichen Rotation mit dem Winkel ϕ im euklidischen Raum R3 zwingt zu zwei entgegengerichteten Transformationen im zweidimensionalen Spinorraum (Beispiel 11 v. Abschn. 4.3). Demnach besitzen die als Spinordarstellungen D 1/2 bekannten Darstellungen der Rotationsgruppe S O(3) ein zweideutiges Verhalten (Gl. 4.69). Da die endlichen Punktgruppen G als Untergruppen der Rotationsgruppe O(3) gelten, wird man auch dort diese Zweideutigkeit erwarten. Die Eindeutigkeit der Spinordarstellungen kann dadurch wieder hergestellt werden, indem man ein fiktives Symmetrieelement e¯ für eine Rotation mit dem Winkel ϕ = 2π um eine beliebige Achse einführt, so dass das Einselement e erst durch eine Drehung mit ϕ = 4π verwirklicht wird. Man erhält so die doppelte Anzahl von Elementen einer ¯ die als Doppelpunktgruppe bezeichnet wird. Ein Folge davon ist neuen Gruppe G, das Auftreten von pseudoreellen irreduziblen Darstellungen, wie man etwa am Beispiel der Doppelgruppe G¯ = D¯ 2 erkennen kann. Die zweidimensionale Spinordar¯ stellung D E = D 1/2 (G¯ = D¯ 2 ) mit den Darstellungsmatrizen      1 0 −i 0 i 0 E¯ E¯ D (c2z ) = D (c¯2z ) = D (e) = 0 1 0 i 0 −i             0 −1 0 1 0 E¯ E¯ E¯   D c2y = D c¯2y = D c2x = 1 0 −1 0 i     −1 0 0 −i ¯    ¯ ¯ = , D E c¯2x = D E (e) 0 −1 −i 0 E¯



i 0



(3.160) deren Charakter reell ist, liefern gemäß dem Kriterium (3.158)

¯

χ E (a ◦ a) = 2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 + 2 = −8,

(3.161)

a∈ D¯ 2

wonach der Fall (1.b) verwirklicht ist. Die Transformation (3.142) gelingt mithilfe der unitären Matrix   0 1 S= , (3.162) −1 0 die erwartungsgemäß die Beziehung (3.144) erfüllt.

3.9

Projektionen

77

3.9 Projektionen Die Suche nach geeigneten Basiselementen von irreduziblen Darstellungen wird erheblich erleichtert durch die Anwendung des Entwicklungssatzes. Dort gilt die Aussage, dass  jedes beliebige Element v aus dem DarstellungsraumV nach Basisele(α, p ) menten vi α | i = 1, . . . , dα ; pα = 1, . . . , m α ; α = 1, . . . , r der irreduziblen Darstellungen D (α) (a) mit der Multiplizität m α entwickelt werden kann v=

mα

dα r

α

pα

(α, pα ) (α, pα ) vi .

ci

(3.163)

i

Zur Begründung wählt man aus einer Menge von g Elementen des Vektorraumes V, die mithilfe der g Operatoren {D(al )| al ∈ G, l = 1, . . . , g} gewonnen wird vl = D(al ) v

al ∈ G

l = 1, . . . , g

(3.164)

einen weiteren Satz linear unabhängiger Elemente {vl | l = 1, . . . , h ≤ g} aus, um daraus ein Orthonormalsystem {el | l = 1, . . . , h ≤ g} mithilfe des S CHMIDT’schen Verfahrens zu konstruieren (e1 ≡ v1 ≡ v). Dieses kann dann als Basis für eine hdimensionale Darstellung D(a) der Transformation D(a) gemäß Gl. (3.6) benutzt werden. Im allgemeinen Fall, bei dem die Darstellung reduzibel ist, verhilft eine Basistransformation mit der unitären Matrix S zu einer symmetrieangepassten Basis (α, pα )

vi

=

h

(α, pα )

S ji

i = 1, . . . , dα

ej

α = 1, . . . , r

pα = 1, . . . , m α ,

j

(3.165) so dass die Darstellung die diagonale Blockform (3.36) annimmt. Die invertierte Gleichung ergibt eine Entwicklung der ursprünglichen Basis nach symmetrieangepassten Basiselementen ej =

mα

dα r

α

pα

(α, pα )∗ (α, pα ) vi

S ji

j = 1, . . . , h.

(3.166)

i

Mit dem Basiselement e1 (≡ v1 ≡ v) erhält man dann eine Entwicklung der Form (3.163). Als wichtige Konsequenz des Entwicklungssatzes gilt die Möglichkeit, nach Wahl eines beliebigen Elements des betrachteten Vektorraumes die einzelnen Komponenten der Basis eines irreduziblen Darstellungsraumes V (α) zu projizieren. Ausgehend von einer irreduziblen Darstellung D(α) gemäß D(a) vk(α) =

j

(α) D (α) jk (a) v j

k = 1, . . . , dα

(3.167)

78

3 Darstellungen (β)∗

erhält man nach Multiplikation mit dem Matrixelement Dli (a) der β-ten irreduziblen, unitären Darstellung und nach Summierung über die Gruppenelemente a

(β)∗

Dli

(a) D(a) vk(α) =

a∈G

g δαβ δki vl(α) . dα

(3.168)

Dabei wird die Orthogonalität (3.98) benutzt. Man kann demnach einen Operator Plk(α) =

dα (α)∗ Dlk (a) D(a) g

k, l = 1, . . . , dα

(3.169a)

k, l = 1, . . . , dα

(3.169b)

a∈G

bzw. bei nicht-unitären Darstellungen (α)

Plk =

dα (α) −1 Dkl (a ) D(a) g a∈G

erklären, dessen Wirkung auf Basiselemente durch die Beziehungen Plk(α) vk(α) = vl(α) (α) (α) Plk vl=k

k, l = 1, . . . , dα

(3.170)

=0

(3.171)

als eine Projektion demonstriert wird. Insbesondere für l = k erhält man eine Projektion „in sich“, so dass nach der Eigenwertgleichung (α) (α)

Pkk vk

(α)

= vk

(α)

(3.172) (α)

das Basiselement vk einen Eigenvektor zum linearen Operator Pkk mit dem Eigenwert Eins bedeutet. Wegen   (α) (α) † Plk = Pkl

(3.173a)

(α) (β) Plk(α) Pmn = δαβ δkm Pln

(3.173b)

und

    (α) (α) (α)† (α)2 (α) und idempotent Pkk = Pkk . ist der Operator Pkk hermitesch Pkk = Pkk Damit ist er ein Projektionsoperator mit der Fähigkeit, ein Basiselement vk(α) zur k-ten Zeile der α-ten irreduziblen Darstellung D(α) aus einem beliebigen Element des Vektorraumes gemäß Gln. (3.172) und (3.163) herauszuprojizieren (α) Pkk v = ck(α) vk(α)

k = 1, . . . , dα .

(3.174)

3.9

Projektionen

79 (α)

Die weiteren Basiselemente werden durch Anwendung des Operators Plk (l = k) nach Gl. (3.170) erzeugt. Dadurch hat man eine Technik entwickelt, mit deren Hilfe nach Kenntnis der Darstellung D (α) (G) die zugehörige Basis aus einem gegebenen Element ermittelt werden kann. Mit den Projektionen Plk(α) v = ck(α) vl(α)

k, l = 1, . . . , dα

(3.175)

2 erhält man maximal   insgesamt dα Elemente, von denen höchstens dα Sätze (α) vi | i = 1, . . . , dα als Basis benutzt werden können. Diese sind entweder linear abhängig oder verschwinden bei der Projektion, was durch die jeweilige Symmetrie der gewählten Ausgangselemente v entschieden wird. Bleibt anzumerken, dass die (α) Operatoren Plk wegen (3.173) die Basiselemente einer Gruppenalgebra A(G) sind. Ausgehend vom Operator (3.169) erhält man nach Multiplikation mit dem (α) Matrixelement Dlk (b) und nachfolgender Summierung über die Indizes l, k und α

D(a) =



α

k

(α) Dlk (a) Plk(α) ,

(3.176)

l

wobei die Orthogonalität (3.102) benutzt wird. Man erhält so eine Entwicklung der Operatoren {D(a)| a ∈ G} nach der Basis Plk(α) der Gruppenalgebra. Demnach kann die identische Transformation in der Form D(e) =



α

(α)

Pkk

(3.177)

k

ausgedrückt werden. Nach Wahl eines beliebigen Elements v aus dem Vektorraum findet man gemäß D(e) v = v sowie mit den Beziehungen (3.176) und (3.174) den Entwicklungssatz (3.163) bei einfacher Multiplizität (m α = 1). Die Orthogonalitätseigenschaften von Basiselementen ergeben sich aus der Betrachtung zweier verschiedener unitärer irreduzibler Darstellungen D(α) und D (β) . Unter Verwendung der Orthogonalität (3.98) bekommt man mit Gl. (3.167) für das (innere) Produkt !

" 1 ! " ! 1 ∗ (β) (α) (β) (α) D(a)vi , D(a) v j D (a)D(a) vi , v j = g g a∈G a∈G " !



1 ! (α) (α) " 1 (β) (α)∗ (α) (β) = δαβ δi j v k , vk , = Dki (a)Dl j (a) vk , vl g a dα (α)

(β)

vi , v j

"

k

=

l

k

(3.178) so dass die Basiselemente unterschiedlicher irreduzibler Darstellungen sowie solche, die zu unterschiedlichen Zeilen gehören, orthogonal sind. Darüber hinaus

80

3 Darstellungen

zeigt das Ergebnis, dass das Produkt zweier Basiselemente gleicher Zeilen (i = j) einer irreduziblen Darstellung (α = β) nicht vom Index der Zeile abhängig ist. Schließlich kann auch ohne Kenntnis der vollständigen Matrixdarstellungen ein Projektionsoperator erklärt werden, der eine der Invarianten der Matrizen, nämlich den Charakter benutzt. Nach Gl. (3.169) erhält man für l = k den CharakterProjektionsoperator P (α) =

k

(α)

Pkk =

dα (α) χ (a) D(a), g

(3.179)

a∈G

der ebenso aus einem beliebigen Element des Vektorraumes ein Basiselement der α-ten irreduziblen Darstellung zu projizieren vermag und dessen Struktur gegenüber einer Äquivalenztransformation invariant bleibt. Beispiel 1 Zur Demonstration der Methode des Projektionsoperators wird die Punktgruppe G = C4v gewählt, die die Symmetrie eines Quadrats im Raum R2 beschreibt. Nach Wahl einer Funktion vi = v[(r − r i )2 ]

(3.180)

((r − r i )2 : Abstandsquadrat zur i-ten Ecke (Abb. 2.1)) aus dem Funktionenraum V wird versucht, die Basissysteme von irreduziblen Darstellungen zu konstruieren. Betrachtet man die triviale Darstellung D (1) (Tab. 3.1), so erhält man etwa nach Gl. (3.169) bzw. (3.179) den trivialen Projektionsoperator (1)

P11 = P (1) =

  1 D(e) + D(c4 ) + D c43 + D(c2 ) 8     +D(σv ) + D σv + D(σd ) + D σd ,

(3.181)

dessen Anwendung auf die Funktion v unter Beachtung von (3.12) und (3.15) die Linearkombination P (1) v1 =

1 (v1 + v2 + v3 + v4 ) = v1(1) 4

(3.182)

als Basis liefert. Eine analoge Überlegung bzgl. der 3. irreduziblen Darstellung D(3) (Tab. 3.1) mit dem Projektionsoperator (3)

P11 = P (3) =

  1 D(e) − D(c4 ) − D c43 + D(c2 ) 8     +D(σv ) + D σv − D(σd ) − D σd

(3.183)

liefert das Ergebnis P (3) v1 = 0.

(3.184)

3.9

Projektionen

81

Demnach enthält die gewählte Funktion v1 keine Basisfunktionen der irreduziblen Darstellung D(3) und kann deshalb mit deren Transformationsverhalten nicht in Einklang gebracht werden. Bei der 4. irreduziblen Darstellung D(4) (Tab. 3.1) hingegen mit dem Projektionsoperator (α) = P (4) = P11

  1 D(e) − D(c4 ) − D c43 + D(c2 ) 8     −D(σv ) − D σv + D(σd ) + D σd , (4)

wird eine endliche Basisfunktion v1 kombination (4)

v1 =

(3.185)

projiziert, die nach Gl. (3.175) die Linear-

1 (v1 − v2 + v3 − v4 ) 4

(3.186)

ergibt. Schließlich sei die zweidimensionale irreduzible Darstellung D(5) (Tab. 3.1) betrachtet mit den vier möglichen Projektionsoperatoren (5)

  1 D(e) − D(c2 ) − D(σv ) + D σv 4   1 = D(e) − D(c2 ) + D(σv ) − D σv 4     1 = −D(c4 ) + D c43 + D(σd ) − D σd 4     1 = D(c4 ) − D c43 + D(σd ) − D σd . 4

P11 = (5)

P22

(5)

P21

(5)

P12

(3.187a) (3.187b) (3.187c) (3.187d)

Die Anwendung nach Gl. (3.175) liefert die insgesamt 4 (=(dim D(5) )2 ) Projektionen 1 (v1 − v2 − v3 + v4 ) 4 1 = (v1 + v2 − v3 − v4 ) 4 1 = (v1 + v2 − v3 − v4 ) 4 1 = (v1 − v2 − v3 + v4 ). 4

v1(5) =

(3.188a)

v2(5)

(3.188b)

v3(5) v4(5)

(3.188c) (3.188d)

  Diese lassen sich einteilen in zwei Sätze von je zwei Basisfunktionen v1(5) , v2(5)   (5) (5) und v4 , v3 , die hier über ihre Eigenschaft der linearen Abhängigkeit hinaus sogar identisch sind. Eine weitere Methode benutzt die anfangs projizierte

82

3 Darstellungen (5)

(5)

Basisfunktion v1 , um daraus nach Gl. (3.170) die zweite Basisfunktion v2 projizieren (5) (5) v1 = v2(5) P21



 (5) (5) P12 v1 = 0 .

zu

(3.189)

Beispiel 2 Bei der Anwendung des Charakter-Projektionsoperators (3.179) (Tab. 3.2) P (5) =

2 (2 D(e) − 2 D(c2 )), 8

(3.190)

der den Vorteil bietet, auf die vollständige Kenntnis der Matrixdarstellung verzichten zu können liefert die Projektion zunächst eine der beiden Basisfunktionen P (5) v1 =

 1 (v1 − v3 ) = v1(5) . 2

(3.191)

Weitere Linearkombinationen der gesuchten Basisfunktionen erhält man durch Anwendung von Symmetrietransformationen 

D(ai )v1(5) = v i(5)

ai ∈ C4v

i = 1, . . . , 8.

(3.192)

Von den insgesamt acht Funktionen sind dann zwei linear unabhängige auszuwählen, etwa (5)

D(e)v1

(5)

D(c4 )v1

1 (v1 − v3 ) = v (5) 1 2 1 (5) = (v2 − v4 ) = v 2 . 2 =

(3.193a) (3.193b)

(5) Diese bilden eine Basis der irreduziblen   Darstellung D , die durch eine geeignete Transformation in die Form v1(5) , v2(5) von Gl. (3.188a) gebracht werden kann.

Beispiel 3 Schließlich sei an jene 4-dimensionale reduzible Darstellung D(6) erinnert, die mithilfe der Basis {vi | i = 1, 2, 3, 4} des zugehörigen invarianten Vektorraumes konstruiert wird (Tab. 3.1). Beim Vergleich der oben projizierten Basen für die irreduziblen Darstellungen D (1) , D(4) und D(5) mit der durch eine geeignete Basistransformation gewonnenen Quasidiagonalisierung (3.41) der Darstellung D(6) wird man jetzt zwanglos eine Erklärung für die Zerlegung in irreduzible Komponenten finden. Nach Wahl der Funktion v = x2

(3.194)

bekommt man mithilfe des Projektionsoperators P (3) (3.183) nach Gl. (3.175)

3.10

Produktdarstellungen

83

P (3) v =

1 2 (x − y 2 ) 2

(3.195)

eine Basisfunktion für die 3. irreduzible Darstellung D (3) (Tab. 3.1). Eine weitere Funktion v = x z,

(3.196)

(5)

die als eine der beiden Basisfunktionen v1 der zweidimensionalen irreduziblen Darstellung D(5) dient (Tab. 3.1), liefert nach Projektion mit den Operatoren dieser Darstellung (5)

(5)

P11 v = x z = v1

(3.197a)

(5) P22 v=0

(3.197b)

(5) P21 v (5) P12 v

= yz =

(5) v2

= 0.

(3.197c) (3.197d)

Dabei wird die Eigenwertgleichung (3.197a) mit dem Eigenwert Eins durch Gl. (3.172) bestätigt. Die übrigen Ergebnisse sind nach Gln. (3.170) und (3.171) zu erwarten und liefern die zweite Basisfunktion v2(5) = yz.

3.10 Produktdarstellungen Die Behandlung physikalischer Probleme kann oft erleichtert werden, wenn es gelingt, die gesamte Symmetrie des betrachteten Systems in reduzierte Strukturen zu faktorisieren. Voraussetzung dabei ist, dass die Gruppenelemente in den getrennten Symmetriestrukturen untereinander vertauschbar sind (Abschn. 2.5). Die Idee der Faktorisierung wird dann durch die Einführung eines direkten Produkts verwirklicht. In Anlehnung an die Diskussion des direkten Produkts bei Gruppen (Abschn. 2.5) wird zunächst die Frage nach der Festlegung des direkten Produkts (K RONECKERProdukt bzw. Tensorprodukt) von zwei Matrizen A und B gemäß C = A⊗ B

(3.198)

betrachtet. Dabei entstehen die Elemente der Produktmatrix C aus allen Produkten der Elemente Aik der Matrix A mit den Elementen B jl der Matrix B Aik B jl = Ci j,kl = ( A ⊗ B)i j,kl

i, k = 1, . . . , dim A

j, l = 1, . . . , dim B. (3.199) Demnach trägt jedes Element der neuen Matrix C einen doppelten Satz von Indizes, von denen der erste Satz (i j) als neuer Zeilenindex und der zweite Satz (kl) als neuer

84

3 Darstellungen

Spaltenindex aufgefasst werden kann. Die Reihenfolge der Zeilen und Spalten ist nicht eindeutig festgelegt und kann durch eine Äquivalenztransformation geändert werden. Für die Dimension gilt nach Gl. (3.199) dim C = dim A dim B.

(3.200)

Die Spur der Produktmatrix errechnet sich mit Gl. (3.199) zu sp C = sp ( A⊗ B) =



i

( A⊗ B)i j,i j =



j

Aii



i

B j j = sp Asp B. (3.201)

j

Mit vier Matrizen A(1) , A(2) , B (1) und B (2) gleicher Dimension bekommt man für das Matrixprodukt aus zwei direkten Produkten

( A(1) ⊗ B (1) )i j,kl ( A(2) ⊗ B (2) )kl,mn

( A(1) ⊗ B (1) ) ( A(2) ⊗ B (2) )i j,mn = =



(1) Aik

(1) B jl

k,l



(1)

= A

(2)

A

 im



k,l

(2) Akm

(2) Bln

(1)

(2)

 B

B



=



(1)

(2)

Aik Akm



(1)

(2)



B jl Bln

k,l

 jn

= [( A(1) A(2) ) ⊗ (B (1) B (2) )]i j,mn , (3.202)

wonach das direkte Produkt mit der Matrixmultiplikation vertauschbar ist. Schließlich findet man das direkte Produkt zweier Diagonalmatrizen A D und B D nach AiiD B jDj = ( A D ⊗ B D )i j,i j

(3.203)

erneut diagonal. Betrachtet man zwei irreduzible Darstellungen D(α1 ) (G1 ) und D (α2 ) (G2 ), die zu verschiedenen Gruppen G1 = {ai | i = 1, . . . , g1 } und G2 = {bi | i = 1, . . . , g2 } gehören, dann kann man ein äußeres direktes (kartesisches) Produkt gemäß D(α1 ×α2 ) (G) = D(α1 ) (G1 ) × D(α2 ) (G2 ) = { D(α1 ) (ai ) ⊗ D(α2 ) (b j )| i = 1, . . . , g1 ; j = 1, . . . , g2 }

(3.204)

definieren. Es hat die Gruppenordnung g1 g2 und die Dimension dα1 dα2 . Mit dem Produkt zweier Elemente a = a1 ◦ a2 und b = b1 ◦ b2 erhält man für die Produktdarstellung D(G) (Abschn. 2.4) mit Gl. (3.202)

3.10

Produktdarstellungen

85

D(α1 ×α2 ) (a ◦ b) = D(α1 ×α2 ) [(a1 ◦ a2 ) ◦ (b1 ◦ b2 )] = D(α1 ×α2 ) [(a1 ◦ b1 ) ◦ (a2 ◦ b2 )] = D(α1 ) (a1 ◦ b1 ) ⊗ D(α2 ) (a2 ◦ b2 ) = [ D (α1 ) (a1 ) D (α1 ) (b1 )] ⊗ [ D(α2 ) (a2 ) D (α2 ) (b2 )] = [ D(α1 ) (a1 ) ⊗ D(α2 ) (a2 )] [ D(α1 ) (b1 ) ⊗ D(α2 ) (b2 )] = D(α1 ×α2 ) (a1 ◦ a2 ) D(α1 ×α2 ) (b1 ◦ b2 ) = D(α1 ×α2 ) (a) D (α1 ×α2 ) (b). (3.205) Damit ist die Produktdarstellung D(α1 ×α2 ) (G) eine Darstellung des direkten äußeren Produkts G = G1 × G2 der beiden Gruppen G1 und G2 . Sie ist eine unitäre bzw. treue Darstellung, falls die irreduziblen Darstellungen D(α1 ) (G1 ) und D(α2 ) (G2 ) unitär und treu sind. Der Charakter der Produktdarstellung ergibt sich nach Gl. (3.201) zu χ (α1 ×α2 ) (ai ◦ b j ) = χ (α1 ) (ai ) χ (α2 ) (b j ).

(3.206)

Unter Verwendung von Gl. (3.116) gilt hier die Beziehung



cab |χ (α1 ×α2 ) (K ab )|2

a∈G1 b∈G2

=



ca |χ (α1 ) (K a )|2

a∈G1



cb |χ (α2 ) (K b )|2 ≥ ga gb = g,

(3.207)

b∈G2

wobei mit cab die Zahl der Elemente in den Klassen K ab der Produktgruppen G = G1 × G2 bezeichnet wird. Daraus gewinnt man die umkehrbare Aussage, dass im Fall der Irreduzierbarkeit beider Darstellungen D(α1 ) (G1 ) und D(α2 ) (G2 ) (Gl. 3.118) das Gleichheitszeichen gültig ist und deshalb die Darstellung des äußeren direkten Produkts (3.204) ebenfalls irreduzibel ist. Bei der Suche nach den irreduziblen Darstellungen einer Symmetriegruppe, die aus dem äußeren direkten Produkt von einzelnen Gruppen hervorgeht, genügt es demnach, die irreduziblen Darstellungen der separaten Gruppen zu kennen. Die Anzahl der gesamten irreduziblen Darstellungen ergibt sich aus der Zahl der Klassen der direkten Produktgruppe. Zudem findet man den gesamten Projektionsoperator P (α1 ×α2 ) (G) als Produkt der separaten Projektionsoperatoren P (α1 ×α2 ) (G) = P (α1 ) (G1 )P (α2 ) (G2 ).

(3.208)

Beispiel 1 Eine endliche Gruppe G kann unter Einbeziehung der Inversionsgruppe Ci erweitert werden, falls die Vertauschbarkeit von Elementen aus den beiden Gruppen garantiert ist. Die Elemente der Inversionsgruppe Ci sind die Identität e und die Inversion i, die jeweils eine Klasse bilden und deshalb zu zwei irreduziblen Darstellungen D(+) und D(−) Anlass geben. Das äußere direkte (kartesische) Produkt der beiden Gruppen ergibt eine Gruppe G  G  = G × Ci

Ci = {e, i},

(3.209)

86

3 Darstellungen

wodurch neben den eigentlichen auch die uneigentlichen Transformationen erfasst werden. Entsprechend dem äußeren direkten Produkt (3.204) zwischen den irreduziblen Darstellungen D(α) der Gruppe G und den beiden irreduziblen Darstellungen D(±) der Gruppe Ci erhält man wegen der Verdopplung der Klassen nach Gl. (3.209) auch doppelt soviele irreduzible Darstellungen, die in gerade D(α,+) und ungerade D(α,−) eingeteilt werden (Tab. 3.3). Nachdem die irreduziblen Darstellungen. D (±) nur eindimensional sind, bleibt die Dimension der Produktdarstellungen erhalten. Tabelle 3.3 Charaktertafel einer endlichen Gruppe G (a) mit dem Element a und den irreduziblen Darstellungen D(α) , der Gruppe Ci (b) und der Produktgruppe G  = G × Ci (c) mit den äußeren Produktdarstellungen D(α,+) , D(α,−) G

Ci

a

D(α) χ (α) (a) (a)

e

G  = G × Ci

i

e◦a

i ◦a

D (+) 1 1 D(−) 1 −1

D(α) ⊗ D (+) = D(α,+) χ (α) (a) χ (α) (a) D(α) ⊗ D (−) = D(α,−) χ (α) (a) −χ (α) (a)

(b)

(c)

Ein wichtiges Beispiel ist die spezielle orthogonale Gruppe S O(3) in drei Dimensionen mit nur eigentlichen Rotationen d um beliebige Achsen ϕ im Raum R3 . Die Erweiterung nach Gl. (3.209) liefert die orthogonale Gruppe O(3), die auch die uneigentlichen Rotationen −d erfasst (s. a. Beispiel 12 v. Abschn. 2.1). Dabei unterscheidet sich die ungerade Darstellung D(α,−) (±d) = ± D(α,−) (d) von der geraden Darstellung D (α,+) (±d) = + D(α,+) (d) durch das negative Vorzeichen bei uneigentlichen Rotationen −d. Betrachtet man zwei Darstellungen D(α1 ) (G) und D(α2 ) (G) derselben Gruppe G, so kann man ein inneres direktes Produkt gemäß D(α1 ⊗α2 ) (G) = D(α1 ) (G) ⊗ D(α2 ) (G) = { D(α1 ) (ai ) ⊗ D(α2 ) (ai )| i = 1, . . . , g}

(3.210)

definieren. Es hat die Gruppenordnung g und die Dimension (dα1 dα2 ). Aus   (α1 ) (α2 ) gehend von den Basissystemen vi | i = 1, . . . , dα1 und vi | i = 1, . . . , dα2 der Vektorräume V α1 und V α2 für die beiden Darstellungen Dα1 und Dα2 , wird durch das innere direkte Produkt im Sinne aller Paarungen von der Form   2) ein | i = 1, . . . , d ; j = 1, . . . , d direkter Produktvi(αj 1 ⊗α2 ) = vi(α1 ) ⊗ v (α α1 α2 j

raum bzw. Tensor(produkt)raum V (α1 ⊗α2 ) aufgespannt. Dabei muss betont werden, dass das innere direkte Produkt ⊗ zwischen den Elementen aus den Vektorräumen V (α1 ) und V (α2 ) keine gewöhnliche Multiplikation bedeutet. Mit den Selbstabbildungen D (α1 ) (a) und D (α2 ) (a) der Teilräume V (α1 ) und V (α2 ) gemäß d

D

(α1 )

(α ) (a) vi 1

=

α1

j

(α )

(α1 )

D ji 1 (a) v j

i = 1, . . . , dα1

3.10

Produktdarstellungen

87

und d

D

(α2 )

(a) vk(α2 )

=

α2

(α2 ) Dlk (a) vl(α2 )

k = 1, . . . , dα2

l

existiert eindeutig ein linearer Operator D (α1 ⊗α2 ) (a) = U (α1 ) (a) ⊗ D (α2 ) (a), der für die Selbstabbildungen des Produktraumes sorgt     D (α1 ⊗α2 ) (a) vi(α1 ) ⊗ vk(α2 ) = (D α1 (a) ⊗ D α2 (a)) viα1 ⊗ vkα2 = D (α1 ) (a)vi(α1 ) ⊗ D (α2 ) (a)vk(α2 ) d

d

=

α1 α2



j

l

α1 α2



j d

=



d

d

=

  (α ) (α ) (α ) (α ) D ji 1 (a)Dlk 2 (a) v j 1 ⊗ vl 2 (α2 )

[ D(α1 ) (a) ⊗ D(α2 ) (a)] jl,ik v j

⊗ vl

  (α1 ) (α2 ) 1 ⊗α2 ) D (α (a) v ⊗ v jl,ik j l

∀a ∈ G.

(3.211a)

l d

α1 α2



j

(α1 )



l

Damit wird gezeigt, dass die (dα1 dα2 )-dimensionale Produktdarstellung bzw. Tensordarstellung D (α1 ⊗α2 ) (G) aus dem direkten Produkt der einzelnen Darstellungen D(α1 ) und D(α1 ) hervorgeht D(α1 ⊗α2 ) = D(α1 ) ⊗ D(α2 ) .

(3.211b)

Zudem ist sie wegen Gl. (3.205) eine Darstellung der Gruppe G bzw. des inneren direkten Produkts der Gruppe G. Entsprechend erhält man für den Charakter der Produktdarstellung χ (α1 ⊗α2 ) (a) = χ (α1 ) (a) χ (α2 ) (a)

∀a ∈ G.

(3.212)

Analoge Überlegungen im Hinblick auf eine direkte Summe der Vektorräume V α1 und V α2 , deren Durchschnitt nur das Nullelement enthält, ergeben mit der direkten Summe der einzelnen Darstellungen D(α1 ) und D(α2 ) D(α1 ⊕α2 ) (G) = D(α1 ) (G) ⊕ D (α2 ) (G) = { D (α1 ) (ai ) ⊕ D(α2 ) (ai )| i = 1, . . . , g} (3.213a) eine direkte Summendarstellung, die ebenfalls eine Darstellung der Gruppe G ist. Der Charakter der Summendarstellung ist dann gegeben durch die Summe der Charaktere jeder einzelnen Darstellung

88

3 Darstellungen

χ (α1 ⊕α2 ) (a) = χ (α1 ) (a) + χ (α2 ) (a)

∀a ∈ G.

(3.213b)

Beispiel 2 Als Beispiel wird der direkte Produktraum V (1⊗2) = V (1) ⊗ V (2) der beiden Vektorräume V (1) = R3 und V (2) = R2 betrachtet. Mit den orthonormalen Basisystemen, den sogenannten Basistensoren der Stufe 1 ((1,0)  (1) Tensoren) der einzelnen Vektorräume v1 = (100), v2(1) = (010), v3(1) = (001)   und v1(2) = (10), v2(2) = (01) , erhält man als Basis für den Produktraum die sechs   (1⊗2) (1) (2) = vi ⊗ v j | i = 1, 2, 3; j = 1, 2 in der Form Paarungen vi j  1 0  0 = 1

(1⊗2) = v11

0 0

0 0

(1⊗2) v12

0 0

0 0

 

 0 0  0 = 0

(1⊗2) = v21

1 0

0 0

(1⊗2) v22

0 1

0 0

 

(1⊗2) = v31 (1⊗2) = v32

 

0 0 1 0 0 0



 0 0 0 . 0 0 1

Diese sind dann die Basistensoren der Stufe 2 ((1+1=2,0)-Tensoren) des 6dimensionalen Tensorraumes V (1⊗2) = R3 ⊗R2 = R6 , die auch als 6-komponentige Vektoren (1⊗2) v11 := (100 000)

v21

(1⊗2) v12

(1⊗2) v22

:= (000 100)

(1⊗2)

(1⊗2)

:= (010 000)

v31

:= (001 000)

:= (000 010)

(1⊗2) v32

:= (000 001).

definiert werden können. Auch wenn die einzelnen Darstellungen D(α) irreduzibel sind, wird man die Produktdarstellung im Allgemeinen reduzibel vorfinden. Eine Zerlegung in irreduzible Darstellungen im Sinne einer direkten Summe deren Vektorräume  D(α1 ⊗α2 ) (a) ∼ (α1 α2 | α) D (α) (a) a∈G (3.214) = α

wird als C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung bezeichnet und bedeutet die Zerlegung des Produktraumes in irreduzible Unterräume V (α) . Dabei gilt diese Aussage nur bis auf Isomorphie der irreduziblen Darstellungen. Der Reduktionskoeffizient (α1 α2 | α), der die Multiplizität m α der irreduziblen Darstellung D(α) (a) in der Entwicklung bedeutet, errechnet sich mithilfe der Charaktere nach Gln. (3.119) und (3.213) zu m α = (α1 α2 | α) =

1 (α1 ⊗α2 ) χ (a)χ (α)∗ (a) g a∈G

=

r 1

1 (α1 ) χ (a)χ (α2 ) (a)χ (α)∗ (a) = c p χ p(α1 ) χ p(α2 ) χ p(α)∗ . g g a∈G

p=1

(3.215a)

3.10

Produktdarstellungen

89

Daraus resultieren die Symmetriebeziehungen (α1 α2 |α) = (α2 α1 |α)

  (α1 α2 |α) = α1∗ α|α2 .

und

(3.215b)

Eine besondere Beachtung verdient das innere direkte Produkt von zwei äquivalenten irreduziblen Darstellungen D(α) (a) ⊗ D (α) (a) = (αα| α0 ) D(α0 ) (a) ⊕



(αα| γ ) D(γ ) (a).

(3.216)

γ =α0

Bei der Ermittlung des Reduktionkoeffizienten der trivialen Darstellung D(α0 ) (G) nach Gl. (3.215) (αα| α0 ) =

1 (α) 1 (α) |χ (a)|2 χ (α0 )∗ (a) = |χ (a)|2 1 > 0 g g a∈G

(3.217)

a∈G

findet man unabhängig von der irreduziblen Darstellung D(α) (G) einen endlichen Wert, so dass in diesem speziellen Fall stets die triviale Darstellung als irreduzible Komponente in der Reduktion erwartet wird. Beispiel 3 Beispiele der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung von inneren direkten Produktdarstellungen für den Fall der Punktsymmetrie G = C4v des Quadrats werden in Tabelle 3.4 demonstriert. Dabei haben alle Reduktionskoeffizienten (α1 α2 | α) den Wert Eins.

Tabelle 3.4 C LEBSCH -G ORDAN -Entwicklung von inneren direkten Produktdarstellungen (Tensordarstellungen) D(α1 ) (G ) ⊗ D(α2 ) (G ) der Symmetriegruppe des Quadrats G = C 4v (Symbolik s. Tab. 3.2) D(α1 ) ⊗ D(α2 ) A1 A2 B1 B2 E

A1 A1 A2 B1 B2 E

A2 A2 A1 B2 B1 E

B1 B1 B2 A1 A2 E

B2 B2 B1 A2 A1 E

E E E E E A1 ⊕ A2 ⊕ B1 ⊕ B2

Die Reduktion einer inneren Produktdarstellung D (α1 ⊗α2 ) (G) bedeutet deren Diagonalisierung in Blockform, so dass die irreduziblen Darstellungen D(α) (G) mit der Multiplizität m α = (α1 α2 | α) auf der Diagonaleerscheinen. Dies gelingt durch (α ) (α ) eine Basistransformation des direkten Produkts vi 1 ⊗ v j 2 | i = 1, . . . , dα1 ;   (α, p ) j = 1, . . . , dα2 nach u k α | k = 1, . . . , dα ; pα = 1, . . . , m α = (α1 α2 | α) mittels einer regulären Matrix C (α1 α2 )

90

3 Darstellungen α1 α2 



α1

d

(α, pα )

uk

=

d

i

α2 α j k

i

j

k = 1, . . . , dα

pα



2) vi(α1 ) ⊗ v (α j

(3.218)

pα = 1, . . . , m α ,

deren Elemente (α α |α) Ci j,1kp2α

 =

α1 i

α2 α j k

pα

 (3.219)

als Kopplungskoeffizienten bekannt sind. Bei der speziellen orthogonalen Gruppe S O(3) in drei Dimensionen (Rotationsgruppe), als die Menge der eigentlichen Rotationen im euklidischen Raum R3 , heißen sie C LEBSCH -G ORDAN- bzw. W IGNER-Koeffizienten. Die Zeilen bzw. Spalten der Matrix C (α1 α2 ) (C LEBSCH G ORDAN-Matrix) werden durch die Indizes i, j bzw. α, pα , k bezeichnet. Als Ergebnis der Transformation   C (α1 α2 )−1 D(α1 ⊗α2 ) (a) C (α1 α2 ) = D(α1 ⊗α2 ) (a) = (α1 α2 |α) D(α) (a) (3.220) α

erhält man in der neuen Basis die diagonale Blockform ⎛ .. . ⎜ ⎜ D (α,1) (a) ⎜  ⎜ .. D(α1 ⊗α2 ) (a) = ⎜ . ⎜ ⎜ D (α,m α ) (a) ⎝

⎞

..

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

a∈G

(3.221)

.

mit einer der Multiplizität m α entsprechenden Anzahl von Blockmatrizen D(α) (a), deren Gesamtheit eine Dimension besitzt, die gleich der Dimension des Produktraumes ist

dim V (α1 ⊗α2 ) = m α dα = dα1 dα2 . (3.222) α

Setzt man orthonormale Basissysteme voraus, dann ist die Transformationsmatrix C (α1 α2 ) unitär. Demzufolge wird die Spaltenorthonormalität

 α1 i

i

j

α2 α j k

pα

und Zeilenorthonormalität

 α1 α2 α i j k α

pα

k

∗ 

pα

α1 i

∗ 

α2 α  j k

α1 i

pα

α2 α j k

 = δαα  δ pα pα δkk 

pα

(3.223a)

 = δii  δ j j 

(3.223b)

3.10

Produktdarstellungen

91

erfüllt. Die Basiselemente des Produktraumes können dann durch die invertierte Gl. (3.218) als Linearkombinationen der Basis von irreduziblen Darstellungen ausgedrückt werden

 α1 α2 α pα ∗ (α, p ) 2) vi(α1 ) ⊗ v (α = uk α . (3.224) j i j k α

pα

k

(α)

Dieses Ergebnis resultiert auch aus der Anwendung des Projektionsoperators Pkk (3.160) auf ein Element des Produktraumes nach Gl. (3.165) (α)

Pkk



(α1 )

vi

(α2 )

⊗ vj



mα

=

(α, pα ) (α, pα ) uk ,

ck

(3.225)

pα =1

um damit Basiselemente für die α-te irreduzible Darstellung herauszuprojizieren. Zur Ermittlung der Kopplungskoeffizienten (3.219) verwendet man Gl. (3.220) D(α1 ⊗α2 ) (a) = C (α1 α2 )

 (α1 α2 | α) D(α) (a)C (α1 α2 )−1 ,

(3.226)

α

die in Komponentenschreibweise die Form (α ⊗α2 )

Dik,1jl

(α )

(α )

(a) = Di j 1 (a) ⊗ Dkl 2 (a)

 α1 α2 α = i k m α

pα



(α, p ) Dmn α (a)

pα m,n



α1 j

α2 α l n

pα

∗

(3.227) 

annimmt. Nach Multiplikation mit D(α , pα )∗ (a) und Summation über die Gruppenelemente a ∈ G erhält man unter Beachtung der Orthogonalität (3.98) mα 

α1 pα

i

α2 α k m

pα



α1 j

α2 α l n

pα

dα (α1 ) (α ) (α)∗ = Di j (a)Dkl 2 (a)Dmn (a) g

∗ (3.228) a ∈ G.

a∈G

Diese Beziehung, die auch auf dem Weg über die Methode der Projektion gewonnen werden kann, eröffnet eine Möglichkeit, die Koeffizienten der Transformationsmatrix C (α1 α2 ) aus den irreduziblen Darstellungen D(α1 ) und D(α2 ) zu ermitteln. Für den Fall, dass die Zerlegung der Produktdarstellung höchstens einmal auftretende irreduzible Darstellungen D (α) liefert (m α = (α1 α2 | α) ≤ 1) – nämlich bei den einfach reduzierbaren Gruppen –, beschränkt sich die Summe in (3.228) auf nur einen Term, wodurch die Berechnung besonders einfach wird. Dabei ist zu

92

3 Darstellungen

beachten, dass dann die Bedingung (3.128) (für i = j, k = l, m = n) durch alle Koeffizienten der Form     α1 α2 α pα α1 α2 α pα = exp(it) t ∈R (3.229a) i k m i k m erfüllt wird. Demnach können die Koeffizienten nur bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor festgelegt werden. Für den Fall, dass eine irreduzible Darstellung D (α) mehrfach in der Zerlegung der Produktdarstellung auftritt (m α ≥ 2), liefert Gl. (3.228) (für i = j, k = l, m = n) Koeffizienten der Form 

α1 i

α2 α k m

pα



=

mα

pα

 S pα pα

α2 α k m

α1 i

pα

 (3.229b)

mit einer willkürlich wählbaren, unitären m α × m α -Matrix S. Beispiel 4 Betrachtet man etwa das innere direkte Produkt der irreduziblen Darstellung E (bzw. D (5) ) der Punktsymmetrie C4v (Tab. 3.1 und 3.2) mit sich selbst, so findet man nach Gl. (3.119) eine Reduktion der Produktdarstellung in irreduzible Komponenten (Tab. 3.4) E ⊗ E = A1 ⊕ A2 ⊕ B1 ⊕ B2 .

(3.230)

Zur Ermittlung der Transformationsmatrix C E E,B1 für die einmal auftretende (m B1 = 1), eindimensionale Darstellung B1 beginnt man mit dem Koeffizient E E,B1 C11 , dessen Wert sich mit Gl. (3.228) aus 

E 1

E B1 1 1

2 =+

1 2

(3.231a)

zu 

E 1

E B1 1 1



1 = exp(it) √ 2

t ∈R

(3.231b)

E E,B1 ergibt. Die Berechnung eines weiteren Koeffizienten C22 geschieht mithilfe von



E 1

E B1 1 1



E B1 2 1

E 2



1 =− , 2

(3.232)

woraus mit Gl. (3.231) sowie nach Wahl einer reellen Phase (t = 0) und mithin E E,B eines reellen Koeffizienten C11 1 das Ergebnis 

E 2

E B1 2 1



1 = −√ 2

3.10

Produktdarstellungen

93

resultiert. Analoge Überlegungen im Hinblick auf die übrigen zwei Koeffizienten führen schließlich zu der Matrix   1 1 0 E E,B1 C =√ . 2 0 −1 Mit den Transformationsmatrizen C E E,A1 , C E E,A2 , C E E,B1 und C E E,B2 gelingt dann die Aufstellung der gesamten Transformationsmatrix C E E (3.219)

CEE

⎛ 1 1 ⎜ 0 =√ ⎜ 2 ⎝0 1

0 1 −1 0

⎞ 1 0 0 1⎟ ⎟, 0 1⎠ −1 0

(3.233)

deren Spalten durch die Indizes α (= A1 , A2 , B1 , B2 ), pα (= 1), k (= 1) und deren Zeilen durch die Indizes i (= 1, 2), j (= 1, 2) charakterisiert werden. Die Transformation der Produktbasis nach einer Basis etwa jener der irreduziblen Darstellung B1 lautet mit (3.233) nach Gl. (3.218)  1  E u 1B1 = √ v1 ⊗ v1E − v2E ⊗ v2E . 2

(3.234)

Nach Wahl einer Basis für die irreduzible Darstellung E im Funktionenraum (Tab. 3.1) von der Form v1E = x

v2E = y

(3.235)

erhält man demnach die transformierte Basis 1 u 1B1 = √ (x 2 − y 2 ), 2

(3.236)

wie man sie für die irreduzible Darstellung B1 erwartet (Tab. 3.1). Ein besonderer Fall des inneren direkten Produkts erwächst aus der Voraussetzung, dass die einzelnen faktoriellen irreduziblen Darstellungen gleich sind (α1 ) = D (α2 ) = D(α) ), aber verschiedene Basissysteme {v | i = 1, . . . , d } und i α ( D vi | i = 1, . . . , dα benutzen. Die Wirkung einer Selbstabbildung D (α⊗α) (a) des Produktraumes auf eines der Basiselemente, das die Form einer Linearkombination besitzt, ergibt nach Gl. (3.211)   D (α⊗α) (a) vk ⊗ vl ± vl ⊗ vk $

# (α) (α) (α) (α) = Dmk (a) Dnl (a) ± Dml (a) Dnk (a) vm ⊗ vn m,n

(3.237a)

94

3 Darstellungen

bzw. nach Symmetrisierung   D (α⊗α) (a) vk ⊗ vl ± vl ⊗ vk $

1 # (α)  (α) (α) (α)  . = Dmk (a)Dnl (a) ± Dml (a)Dnk (a) vm ⊗ vn ± vn ⊗ vm 2 m,n (3.237b) Damit wird eine symmetrische Produktdarstellung 

(α⊗α)

D+

(a)



=

mn,kl

$ 1 # (α) (α) (α) (α) Dmk (a)Dnl (a) + Dml (a)Dnk (a) 2

(3.238)

sowie eine antisymmetrische Produktdarstellung $ 1 # (α) (α) (α) (α) Dmk (a) Dnl (a) − Dml (a) Dnk (a) (3.239) mn,kl 2   begründet. Die zugehörigen Basissysteme vk ⊗ vl + vl ⊗ vk + | k ≤ l; k, l =    vk ⊗ vl − vl ⊗ vk − | k < l; k, l = 1, . . . , dα sind symme1, . . . , dα } bzw. trisch bzw. antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung der Indizes k und l. Bei  identischen Basissystemen der irreduziblen Darstellung D(α) {vi } ≡ vi verschwindet die antisymmetrische Basis, so dass nur die symmetrische Darstellung erwartet wird. Für die Dimension erhält man entsprechend der Anzahl linear unabhängiger Basiselemente 

(α⊗α)

D−

(a)



=

(α⊗α)

dim D+

(α⊗α)

dim D−

1 dα (dα + 1) 2 1 = dα (dα − 1), 2 =

(3.240) (3.241)

wobei deren Summe die Dimension dα2 des gesamten Produktraumes V (α⊗α) ergibt. Der Charakter der beiden Darstellungen errechnet sich nach (3.238) und (3.239) zu $ 1 # (α) (α) (α) (α) Dmm (a)Dnn (a) ± Dmn (a)Dnm (a) mn,mn 2 mn mn

1 (α) 1 (α) (α) = Dmm (a) Dnn (a) ± D (a ◦ a) 2 m 2 m mm n & % 1  (α) 2 a ∈ G. = χ (a) ± χ (a ◦ a) 2 (3.242)

χ±(α⊗α) (a) =



(α⊗α)

D±

(a)



=

Die Aufteilung des Produktraumes in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Unterraum impliziert die Zerlegung der Produktdarstellung gemäß

3.11

Induzierte und subduzierte Darstellungen

95

(α⊗α)

D (α⊗α) (G) = D +

(α⊗α)

(G) ⊕ D −

(G).

(3.243)

(α⊗α) Beide Produktdarstellungen D(α⊗α) und D− sind möglicherweise noch weiter + zerlegbar in irreduzible Komponenten.

Beispiel 5 Im Fall der Punktsymmetrie C4v des Quadrats erhält man für das innere direkte Produkt der irreduzible Darstellung E mit sich selbst nach Gl. (3.242) jene Charaktere der symmetrischen bzw. antisymmetrischen Darstellung (E ⊗ E)± , die in Tabelle 3.5 aufgelistet sind. Die nachfolgende Bestimmung der Reduktionskoeffizienten (E E| α) nach Gl. (3.215) liefert dann für die beiden Produktdarstellungen die C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklungen (3.214) (E ⊗ E)+ = A1 ⊕ B1 ⊕ B2 (E ⊗ E)− = A2 ,

(3.244a) (3.244b)

was mit dem Ergebnis (3.229) übereinstimmt.  Tabelle 3.5 Charaktere der symmetrischen (E ⊗ E)+ und antisymmetrischen (E ⊗ E)− Produktdarstellung für die Punktsymmetrie C4v C4v (E ⊗ E)+ (E ⊗ E)−

e 3 1

2 c4 −1 1

c2 3 1

2 σv 1 −1

2 σd 1 −1

3.11 Induzierte und subduzierte Darstellungen Die Suche nach irreduziblen Darstellungen D(α) (G) einer Gruppe G wird wesentlich erleichtert durch die Kenntnis der irreduziblen Darstellungen   von zugehörigen (β) einfacheren Untergruppen H ⊂ G. Ausgehend von der Basis vi | i = 1, . . . , dβ einer irreduziblen Darstellung D(β) (H) der Untergruppe H, ermittelt man jene Abbildungen (β)

D(an )vi

= wni

n = 1, . . . , ind H = l

i = 1, . . . , dβ ,

(3.245)

die den Vertretern {an | n = 1, . . . , l} in der Zerlegung der Gruppe G nach Nebenklassen bzgl. der Untergruppe H G=

ind H

n

an ◦ H

(3.246)

96

3 Darstellungen

zugeordnet sind. Man erhält so eine (l dβ )-dimensionale Basis {wni |n = 1, · · · , l; i = 1, · · · , dβ } der von der irreduziblen Darstellung D (β) (H) induzierten (β) Darstellung D ind (G) (bzw. D(β) (H ↑ G)) auf die Gruppe G. Eine Erweiterung der irreduziblen Darstellung D(β) (H) auf die gesamte Gruppe G muss der Bedingung 

D (β) (a) =

D(β) (b) 0

für a = b ∈ H sonst.

(3.247)

(β)

genügen. Die induzierte Darstellung Dind (a) als eine Darstellung der gesamten Gruppe (a ∈ G) ergibt sich aus der Konstruktion einer Matrix mit einer Anzahl l 2 von dβ -dimensionalen Blockmatrizen   (β) −1 D (β) am ◦ a ◦ an mn (a) = D

m, n = 1, . . . , l,

(3.248)

die die Forderung (3.247) erfüllen. Für die Abbildungen D(a) des (l dβ )-dimensionalen Vektorraumes gilt dann D(a) wmi =

dβ l

n

(β)

Dind n j,mi (a) wn j

a∈G

(3.249a)

j

mit der induzierten Darstellung (β)

(β)

Dind n j,mi (a) = nm (a) D ji

  an−1 ◦ a ◦ am .

(3.249b)

Dabei wird die Bedingung (3.247) durch  nm (a) =

für an−1 ◦ a ◦ am = b ∈ H sonst

1 0

(3.249c)

erfüllt. Der Charakter der induzierten Darstellung ergibt sich nach dann zu (β)

χind (a) =

l

  −1 mm (a) χ (β) am ◦ a ◦ am .

(3.250)

m

Im Allgemeinen kann diese Darstellung in irreduzible Darstellungen D(α) (G) bzgl. der Gruppe G zerlegt werden, was in der Form (β)

χind (a) = zum Ausdruck gebracht wird.

α

m α,β χ (α) (a)

a∈G

(3.251)

3.11

Induzierte und subduzierte Darstellungen

97

Beispiel 1 Eine einfache Demonstration der Induktion gelingt mit der Wahl der bei jeder Gruppe auftretenden trivialen Untergruppe H = {e}, die nur die Identität umfasst. Die Zerlegung der Gruppe G in Nebenklassen bzgl. dieser Untergruppe nach Gl. (3.246) liefert als Vertreter die g Elemente {ai ∈ G| i = 1, . . . , g} der Gruppe, mit deren Hilfe eine Darstellung induziert werden kann. Ausgehend von der einzigen trivialen Darstellung der Untergruppe D(β) (a) = 1,

(3.252) (β)

erhält man nach Gl. (3.249) eine (l dβ =) g-dimensionale Darstellung Dind (G) mit verschwindeten Elementen außer in der m-ten Zeile und der n-ten Spalte bei Erfüllung der Bedingung (3.249c) −1 ◦ a ◦ an = e ≡ H. am

(3.253)

Die so induzierte Darstellung ist mit der regulären Darstellung identisch (Abschn. 3.7), was der Vergleich von (3.253) mit der Festlegung der Strukturkonstanten nach Gl. (3.133) offenbart. In beiden Fällen erhält man deshalb nur dann ausschließlich Diagonalelemente (m = n), falls das Element a mit der Identität e übereinstimmt. Demzufolge errechnet sich der Charakter eines beliebigen Elements nach Gl. (3.134). Die umgekehrte Verfahrensweise mit dem Ziel, die irreduziblen Darstellungen einer Untergruppe H aus der Kenntnis jener der zugehörigen Gruppe G zu ermitteln, ist ebenfalls denkbar und wird bei einer Symmetrieerniedrigung etwa infolge von Störungen zur Anwendung kommen. Während man im vorangegangenen Fall mit einer geeigneten Erweiterung der vorgegebenen irreduziblen Darstellungen erfolgreich ist, wird man hier eine Einschränkung versuchen, indem nur die Elemente b der Untergruppe H unter Weglassen der übrigen Elemente ausgewählt werden. Die durch die Abbildung D(b) (b ∈ H) mit der ursprünglichen Basis gewonnene Darstellung wird als die von der irreduziblen Darstellung D (α) (G) auf die Untergruppe (α) H subduzierte Darstellung D sub (H) (bzw. D(α) (G ↓ H)) bezeichnet (α)

Dsub (H) := { D(α) (b)| b ∈ H ⊂ G}.

(3.254)

Wie die induzierten Darstellungen sind auch die subduzierten Darstellungen im Allgemeinen reduzibel bezüglich der irreduziblen Komponenten Dβ (H) der Untergruppe, was in der Form (α) (b) = χsub



m β,α χ (β) (b)

b∈H

(3.255)

β

zum Ausdruck gebracht wird. Der Vergleich der Multiplizitäten in Gln. (3.251) und (3.255) erlaubt eine Verknüpfung zwischen der induzierten und subduzierten Darstellung. Ausgehend

98

3 Darstellungen

von Gl. (3.250) und deren Substitution durch Gl. (3.251)

m α,β χ (α) (a) =

l

α

  −1 mm χ (β) am ◦ a ◦ am

a∈G

(3.256)

m

erhält man nach Multiplikation mit χ (α)∗ (a) und Summation über alle Gruppenelemente a gm α,β =

l



  −1 mm (a)χ (β) am ◦ a ◦ am χ (α)∗ (a),

(3.257)

a∈G m

wobei die Orthogonalität (3.107) verwendet wird. Die Summe bezüglich der Gruppenelemente a liefert wegen (3.249c) nur den Beitrag   −1 mm (a)χ (β) am ◦ a ◦ am = χ (β) (b)1

−1 für am ◦ a ◦ am = b ∈ H, (3.258)

so dass es genügt über die Elemente b der Untergruppe H zu summieren gm α,β =



χ (β) (b)χ (α)∗ (b) =

b∈H



(α)∗ χ (β) (b)χsub (b).

(3.259)

b∈H (α)∗

Die Substitution von χsub (b) nach Gl. (3.255) liefert das Reziprozitätstheorem (v. F ROBENIUS) m α,β = m β,α

(3.260)

mit der Aussage, dass die Multiplizität m α,β von irreduziblen Darstellungen (β) D(α) (G) als Komponenten der induzierten Darstellung Dind (G) gleich ist der Multiplizität m β,α von irreduziblen Darstellungen D(β) (H) als Komponenten der subdu(α) zierten Darstellung D sub (H). Beispiel 2 Zur Demonstration wird die C4v -Punktsymmetrie des Quadrats betrachtet. Ausgehend von der Untergruppe H : Cs = {e, σd } mit dem Index l = 4  sowie deren eindimensionalen trivialen Darstellung D A (H) (Tab. 3.6), wird man mittels der Vertreter der Nebenklassen a1 = e, a2 = c4 , a3 = c42 , a4 = c43 nach A (e) = D A (σ ) = 1 berechnen. Gl. (3.249b) die induzierte Darstellung mit D11 11 d Wählt man etwa das Gruppenelement a = c4 ∈ C4v , so ergibt sich nach Gl. (3.249c) die Matrix (c4 ) zu ⎛

0 ⎜1 ⎜ (c4 ) = ⎝ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎞ 1 0⎟ ⎟, 0⎠ 0

(3.261a)

3.11

Induzierte und subduzierte Darstellungen

99 

die wegen der Trivialität der Darstellung A ( D A (a) = 1, ∀a ∈ C4v ) nach Gl. (3.249b) auch gleich der induzierten Darstellungsmatrix ist 

A Dind (c4 ) = (c4 ).

(3.261b)

Tabelle 3.6 Charaktere (Charaktertafel) von irreduziblen Darstellungen A und A der endlichen Punktgruppe C s (Bezeichnung nach M ULLIKAN ); Rx , R y , Rz : Komponenten eines axialen Vektors Cs A A

e 1 1

σ 1 −1

Basis x; y; Rz z; R x ; R y

Insgesamt findet man eine induzierte Darstellung, die zur 4-dimensionalen Darstellung D(6) (C4v ) äquivalent ist (Tab. 3.1). Der Grund dafür liegt in der gemein samen Basis. Wählt man etwa die Funktion v A = v1 = v[(r − r 1 )2 ] als Basis für die symmetrische irreduzible Darstellung A , so wird man mittels der Vertreter {ai | i = 1, 2, 3, 4} der Nebenklassen und den dazu korrelierten Abbildungen D(a) A (C ) gewinnen nach Gl. (3.245) eine Basis für die induzierte Darstellung D ind 4v (6)

(6)

D(e) v1 = v1 = w11 D(c4 ) v1 = v2 = w41     D c42 v1 = v3(6) = w31 D c43 v1 = v4(6) = w21 ,

(3.262a) (3.262b)

  (6) die durch eine Transformation aus der Basis vi | i = 1, 2, 3, 4 der Darstellung D(6) (C4v ) (Gl. 3.24) hervorgeht. Eine nachfolgende Reduktion ergibt die irreduziblen Komponenten 

A (C4v ) = A1 ⊕ B2 ⊕ E Dind

(3.263)

m A1 ,A = m B2 ,A = m E,A = 1.

(3.264)

mit den Multiplizitäten

Umgekehrt kann man ausgehend etwa von der zweidimensionalen irreduziblen E (H) der Untergruppe Darstellung E der Gruppe G = C4v eine Darstellung Dsub H = Cs subduzieren, die nach Reduktion in die irreduziblen Komponenten E Dsub (Cs ) = A ⊕ A

(3.265)

m A ,E = m A ,E = 1

(3.266)

mit den Multiplizitäten

zerfällt (Tab. 3.7). Der Vergleich mit Gl. (3.264) (m A ,E = m E,A = 1) liefert eine Bestätigung des Reziprozitätstheorems (3.260).

100

3 Darstellungen

Eine weitere induzierte Darstellung wird durch die antisymmetrische irreduzible Darstellung A der Untergruppe C s nach dem obigen Verfahren gewonnen. Ausgehend etwa von der z-Komponente eines (axialen) Drehimpulsvektors der Form v1 = [(r − r 1 ) × (˙r − r˙ 1 )]z

(3.267)

Tabelle 3.7 Korrelationstabelle für die C4v -Punktsymmetrie; Zerlegung der subduzierten Darstel(α) lungen Dsub (H) in irreduzible Darstellungen D(β) (H) der Untergruppen H : C 4 , C 2v , Cs Dα

Dαsub

C4v

C4

C2v

Cs

A1 A2 B1 B2 E

A A B B 1E ⊕ 1E

A1 A2 A1 A2 B1 ⊕ B2

A A A A A ⊕ A

als Basisfunktionen der irreduziblen Darstellung A , bekommt man gemäß (3.245) einen Satz von vier Funktionen wi1 = [(r − r i ) × (˙r − r˙ i )]z

i = 1, 2, 3, 4,

die eine Basis für die induzierte Darstellung '  A (a) für a ∈ e, c4 , c42 , c43 , σv , σv D ind A  Dind (C4v ) =  A − Dind (a) für a ∈ σd , σd

(3.268)

(3.269)

bilden. Die nachfolgende Reduktion liefert die Zerlegung 

A (C4v ) = A2 ⊕ B1 ⊕ E Dind

(3.270)

m A2 ,A = m B1 ,A = m E,A = 1.

(3.271)

mit den Multiplizitäten

Der Vergleich mit Gl. (3.266) (m E,A = m A ,E = 1) bestätigt auch hier das Reziprozitätstheorem (3.260).

3.12 Konjugierte und erlaubte Darstellungen Die Methode der Induktion zur Erfassung von Darstellungen einer Gruppe G ist besonders in jenen Fällen von Interesse, bei denen die Untergruppe ein Normalteiler N (ord N = n) ist, der nur aus zueinander konjugierten Elementen besteht (Abschn. 2.2) ai−1 ◦ N ◦ ai = N

∀ ai ∈ G.

(3.272)

3.12

Konjugierte und erlaubte Darstellungen

101

Diese Eigenschaft erlaubt bei einem vorgegebenen Element ai der Gruppe G eine Permutation der Ordnung eines Elements b aus dem Normalteiler N , so dass eine weitere Darstellung des Normalteilers   −1 (β) a (N ) = D ◦ N ◦ a D a(β) i i i

ai ∈ G

(3.273)

gewonnen werden kann, die als die bezüglich der Gruppe G konjugierte Darstellung bekannt ist. Der Nachweis der Darstellungseigenschaft gelingt durch das Produkt der Darstellungsmatrizen zweier Elemente b1 und b2 des Normalteilers     Da(β) (b1 ) Da(β) (b2 ) = D (β) ai−1 ◦ b1 ◦ ai D(β) ai−1 ◦ b2 ◦ ai i i   (b1 ◦ b2 ) b1 , b2 ∈ N ai ∈ G, = D (β) ai−1 ◦ b1 ◦ b2 ◦ ai = Da(β) i (3.274) das sich als Darstellung des Produkts der Elemente ausdrücken lässt. Die konju(β) gierte Darstellung Dai (N ) unterscheidet sich von der ursprünglichen Darstellung (β) D (N ) durch die Permutation ihrer Matrizen. Demnach bleibt die Dimension erhalten und die Irreduzierbarkeit ist genau dann zu erwarten, wenn die ursprüngliche Darstellung D (β) (N ) irreduzierbar ist. Bemerkenswert ist die Tatsache, dass außer für Elemente ai , die dem Normalteiler N angehören, die konjugierten Darstellungen nicht notwendig äquivalent zur ursprünglichen Darstellung sind. Für den besonderen Fall, dass alle konjugierten (β) Darstellungen Dai (N ) äquivalente Darstellungen sind, wird die ursprüngliche Darstellung D (β) (N ) als selbstkonjugiert bzgl. der Gruppe G bezeichnet. Andernfalls fasst man alle nicht-äquivalenten Darstellungen zu einem Orbit O der irreduziblen Darstellung D(β) (N ) des Normalteilers N bzgl. der Gruppe G zusammen und betrachtet deren Anzahl s als Ordnung des Orbits. Daraus kann man die Aussage ableiten, dass jede selbstkonjugierte Darstellung für sich eine nicht-äquivalente Darstellung abgibt und mithin ein Orbit O mit der Ordnung s = 1 darstellt. Eine weitere Eigenschaft liefert die von der irreduziblen Darstellung D(α) (G) der Gruppe G auf den Normalteiler N subduzierten Darstellung D(α) sub (N ). Ihre Reduktion ergibt irreduzible Darstellungen D (β) (N ), die alle zum gleichen Orbit O gehören ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ (α) Dsub (N ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

..

.

Anzahl:

⎞ D(β) (N )



..

.

 m β,γ

D(β) (N )

..

⎟ ⎟ ⎟  ⎟ D (β) (N ). ⎟ = 1m β,γ ⊗ ⎟ β ⎟ ⎠ . (3.275)

102

3 Darstellungen

Die Multiplizität m β,γ dieser irreduziblen Darstellungen D(β) (N ), die für alle gleich ist, wird als Multiplizität des Orbits in der Darstellung D(α) (G) bezeichnet (der Index γ bezieht sich auf die irreduziblen Darstellungen D(γ ) (L) der kleinen Gruppe L – s. unten). Diese Aussage verhilft zu einer wertvollen Methode mit dem Ziel, die irreduziblen Darstellungen D(α) (G) der gesamten Gruppe aus der Kenntnis aller irreduziblen Darstellungen des Normalteilers zu gewinnen. Schließlich sei auf die Bedeutung jenes Falles hingewiesen, der aus der Äquivalenz von konjugierten Darstellung zur ursprünglichen Darstellung resultiert   −1 (β) a = Sl−1 D (β) (N )Sl (N ) = D ◦ N ◦ a Da(β) l l l

al ∈ G,

(3.276)

wobei die Matrix Sl die Äquivalenztransformation ermöglicht. Die Gesamtheit der Elemente al ∈ G bildet eine Gruppe, die den Normalteiler N als Untergruppe umfasst und als kleine Gruppe L (2. Art L I I ) oder Trägheitsgruppe bezeichnet wird. Demnach gehört die Menge aller Elemente {bi | i = 1, . . . , ord N = n} des Normalteilers N zur kleinen Gruppe Darstellung, da sie zu allen   einer selbstkonjugierten (β) konjugierten Darstellungen Da j (N )| a j ∈ L äquivalent ist. Ausgehend von einer Zerlegung G in Nebenklassen bzgl. des Normalteilers N mit dem Index k = ind N = g/n

G=

g/n

ai ◦ N

(3.277)

i=1 (β)

erhält man die konjugierte Darstellung Dai (N ) mit der dβ -dimensionalen Basis (β)

(β)

vi j = D(ai )v j

j = 1, . . . , dβ

i = 1, . . . , g/n,

(3.278)

  (β) wobei v j | j = 1, . . . , dβ die Basis zur irreduziblen Darstellung D(β) (N ) bedeutet. Die s-malige Auswahl von jeweils m zueinander äquivalenten konju( (β)

( j)

a1

,..., D

(β)

| j = 1, . . . , s impliziert eine Anzahl von  ( (β) (β) s nicht-äquivalenten konjugierten Darstellungen D (1) , . . . , D (s) | i = 1, . . . , m , gierten Darstellungen D

( j)

am

ai

ai

so dass die Beziehung ind N = k = s m

(3.279)

erfüllt wird. Eine schematische Auflistung der Gruppenelemente gemäß ihrer Abbildungseigenschaft geschieht durch die Matrix

3.12

Konjugierte und erlaubte Darstellungen

⎛

103 (1) ⎞ · · · am .. ⎟ .. . . ⎠ (s) · · · am

(1)

a1 ⎜ .. A=⎝ .

(s) a1

(3.280)

mit den Zeilenvektoren a( j) und den Spaltenvektoren a(i) , deren Elemente bzw. zugehörige Abbildungen durch äquivalente und nicht-äquivalente Darstellungen vermittelt werden. Eine Zerlegung der kleinen Gruppe L in Nebenklassen bezüglich des Normalteilers N geschieht dann in der Form L=

m

(1)

ai

◦N

mit

m = l/n,

(3.281)

i=1

  (1) wobei die Vertreter ai | i = 1, . . . , m zu äquivalenten Darstellungen Anlass geben. Daneben gelingt eine Zerlegung der Gruppe G in Nebenklassen bezüglich der kleinen Gruppe L G=

s

( j)

a1 ◦ L

mit

s = g/l,

(3.282)

j=1

  ( j) wobei die Vertreter a1 | j = 1, . . . , s zu nicht-äquivalenten Darstellungen Anlass geben. Ausgehend von einer irreduziblen Darstellung D(β) (N ) des Normalteilers N , kann nach Gl. (3.281) eine Darstellung D(L) der kleinen Gruppe L mit der Dimension (m dβ ) induziert werden. Weitaus wichtiger jedoch sind die irreduziblen Darstellungen D(γ ) (L) der kleinen Gruppe, deren Subduktion auf den Normalteiler ein Vielfaches m β,γ der irreduziblen Darstellung D(β) (N ) liefern ⎛ ⎜ (γ ) Dsub (N ) = ⎝ Anzahl:

D(β) (N )



⎞ ..

.

⎟ (β) ⎠ = 1m β,γ ⊗ D (N ) . D(β)

(3.283)

(N )

 m β,γ

Solche irreduziblen Darstellungen D(γ ) (L) der kleinen Gruppe L werden als erlaubte Darstellungen (kleine Darstellungen) bezeichnet. Sie erscheinen als m β,γ dimensionale Kastenmatrizen in der von der irreduziblen Darstellung D(α) (G) auf den Normalteiler N subduzierten Struktur (3.275) (α)

D sub (N ) =

 γ

(γ )

D sub (N ).

(3.284)

104

3 Darstellungen

In der Absicht, die irreduziblen Darstellungen D(α) (G) einer Gruppe G aus der Kenntnis der irreduziblen Darstellungen D (β) (N ) ihres Normalteiler N abzuleiten, wird man zunächst eine Einteilung dieser Darstellungen D(β) (N ) in zusammengehörige Systeme nicht-äquivalenter Darstellungen, nämlich der Orbits O vornehmen. Die Auswahl einer irreduziblen Darstellung D(β) (N ) aus jedem dieser Orbits und die Aufstellung der kleinen Gruppe L sind in einem zweiten Schritt vorgesehen. Schließlich kann man nach Wahl einer erlaubten Darstellung D (γ ) (L) der kleinen Gruppe L mit der Dimension (m β,γ dβ ) gemäß der Zerlegung der Gruppe G nach (γ ) Nebeklassen (3.282) damit eine Darstellung Dind (G) auf die Gruppe G induzieren. Diese Darstellung mit der Dimension (s m β,γ dβ ) ist genau dann irreduzibel, falls die Darstellung der kleinen Gruppe eine irreduzible Darstellung und mithin eine erlaubte Darstellung ist. Mit der Auswahl jeweils einer irreduziblen Darstellung aus jedem Orbit O des Normalteilers N bezüglich der Gruppe G erhält man am Ende durch Induktion alle gesuchten irreduziblen Darstellungen der Gruppe G genau einmal. Besonders übersichtlich sind die Verhältnisse bei einem Normalteiler, dessen Index k (= ind N = s m) eine Primzahl ist. Diese Voraussetzung wird von allen auflösbaren endlichen Gruppen erfüllt (s. u.).  Dort sind zwei Fälle denkbar. Zum (β) einen können alle konjugierten Darstellung Dai (N )| i = 1, . . . , k nicht zueinander äquivalent sein, woraus die Ordnung des Orbits s = k resultiert und der Index des Normalteilers N bezüglich der kleinen Gruppe L den Wert m = 1 annimmt. Die kleine Gruppe L ist dann mit dem Normalteiler N identisch (L ≡ N ), so dass eine irreduzible Darstellung des Orbits als erlaubte Darstellung der kleinen Gruppe (β) ( D (β) (N ) = D(γ ) (L)) eine Darstellung Dind (G) auf die Gruppe G zu induzieren vermag. Im zweiten Fall liefern alle Vertreter ai der Nebenklassen äquivalente Darstel  (β) lungen Dai (N )| i = 1, . . . , k , woraus die Ordnung des Orbits s = 1 und ein Index des Normalteilers N bezüglich der kleinen Gruppe L von m = k resultiert. Die kleine Gruppe L ist dann mit der Gruppe G identisch (L ≡ G). Das Bemühen, eine irreduzible Darstellung D (α) (G) der Gruppe G zu gewinnen, beschränkt sich im zweiten Fall auf die Suche nach erlaubten irreduziblen Darstellungen D(γ ) (L) der kleinen Gruppe L. Dabei benutzt man die Eigenschaft, dass die Faktorgruppe G/N = L/N eine zyklische Gruppe der Ordnung k (= ind N ) ist, was durch die Eigenschaft der Auflösbarkeit der Gruppe begründet wird (s. u.). Die Gruppe G kann dann zerlegt werden nach Linksnebenklassen in der Gestalt G=

k−1

j

a0 ◦ N

a0 ∈ G.

(3.285)

j=0

Mit der Voraussetzung, dass alle konjugierten Darstellungen zueinander äquivalent sind, erhält man nach Gl. (3.276) D

(β) (N ) a0k

  = D(β) a0−k ◦ N ◦ a0k = S−k D (β) (N )Sk

(3.286)

3.12

Konjugierte und erlaubte Darstellungen

105

und der bekannten Darstellungseigenschaft     −1   D(β) (N ) D (β) a0k D(β) a0−k ◦ N ◦ a0k = D(β) a0k

(3.287)

die Vertauschungsrelation bzgl. der irreduziblen Darstellung D(β) (N )     D(β) a0k S−k D (β) (N ) = D(β) (N ) D (β) a0k S−k .

(3.288)

Die Anwendung des 2. S CHUR’schen Lemmas verhilft dann zu dem Ergebnis   D (β) a0k S−k = λ1,

(3.289)

was nach Einführung einer neuen Transformationsmatrix S = λ1/k S

(3.290)

  D(β) a0k = Sk

(3.291)

die Form

annimmt. Nach Ermittlung der Transformationsmatrix S aus Gln. (3.286) und (3.290) kann man die irreduziblen Darstellungen der kleinen Gruppe L bzw. der Gruppe G dann aus D (γ =α) (a) = D(β) (a) D(γ =α) (a0 ) = S

für a ∈ N

(3.292a) (3.292b)

gewinnen. Die Berücksichtigung aller Elemente a der Gruppe G gelingt dann durch die Beziehung ' D

(γ =α)

(a) =

D(β) (a)

S D(β)

a0−1

◦a



für a ∈ N für a ∈ / N.

(3.293)

Wegen der k-fachen Wurzel nach Gl. (3.291) sind insgesamt k irreduzible Darstellungen zu erwarten. Beispiel 1 Zur Demonstration werden die einfachen Verhältnisse der Symmetrie des Quadrats mit der Punktgruppe G = C4v diskutiert. Die Zerlegung in Linksnebenklassen bzgl. des abelschen Normalteilers N = C 4 mit dem Index k = 2, der eine Primzahl ist, geschieht etwa gemäß C4v = e{C4 } + σv {C4 }.

(3.294)

106

3 Darstellungen

Die Vertreter a1 = e und a2 = σv ermöglichen die Berechnung konjugierter Darstellungen aus den irreduziblen Darstellungen D(β) (C4 ) = { A, B, 2E, 1E} des Normalteilers C4 (Tab. 3.8), deren Unterscheidung in äquivalente und nichtäquivalente Darstellungen die Erfassung der kleinen Gruppen erlaubt. Tabelle 3.8 Charaktere (Charaktertafel) von irreduziblen Darstellungen der endlichen Punktgruppe C4 (Bezeichnung n. M ULLIKAN); R x , R y , Rz : Komponenten eines axialen Vektors C4

e

c4

c2

c43

Basis

A B 2E 1E

1 1 1 1

1 −1 i −i

1 1 −1 −1

1 −1 −i i

z; Rz xy x + i y; R x + i R y x − i y; R x − i R y

Beginnend mit der trivialen Darstellung D A (C4 ), findet man – wie bei jeder trivialen Darstellung – nur äquivalente konjugierte Darstellungen (s. a. Tab. 2.2)   DeA (C4 ) = DσAv (C4 ) = D A σv−1 ◦ C 4 ◦ σv ,

(3.295)

deren Anzahl m = 2 beträgt. Demnach liefert die triviale Darstellung des Normalteilers insgesamt nur eine nicht-äquivalente, selbstkonjugierte Darstellung bzgl. der Gruppe C4v , so dass das erste Orbit aus der irreduziblen Darstellung O1 = { D A (C4 )} besteht und die Ordnung s = 1 besitzt. Dieser Fall gibt Anlass zu einer Koeffizientenmatrix (3.280) A = (e, σv )

(3.296)

mit nur einem Zeilenvektor a(1) , so dass nach Gl. (3.281) eine Zerlegung der kleinen Gruppe L resultiert, die mit der Gruppe G identisch ist (L ≡ G). Analoge Überlegungen gelten für die zweite irreduzible Darstellung D B (C4 ) des Normalteilers. Auch diese liefert m = 2 äquivalente konjugierte Darstellungen und ist deshalb selbstkonjugiert bezüglich der Gruppe C 4v . Nach Gl. (3.279) hat auch das zweite Orbit O2 = { D B (C4 )} die Ordnung s = 1, so dass gilt L ≡ G. Anders jedoch sind die Ergebnisse, wenn man etwa die irreduzible Darstel2 lung D E (C4 ) des Normalteilers wählt und damit die konjugierten Darstellungen (Tab. 3.8) 2

2

2E

1E

DeE (C4 ) = D E (C4 )

(3.297a)

Dσv (C4 ) = D (C4 )

(3.297b) 2

bildet. Hier ergeben sich nur nicht-äquivalente Darstellungen D E (C4 ) und 1 D E (C4 ), die das dritte Orbit O3 mit der Ordnung s = 2 bilden. Die Anzahl der äquivalenten konjugierten Darstellungen beschränkt sich auf m = 1, so dass die Koeffizientenmatrix (3.280) nur einen Spaltenvektor a1 liefert

3.12

Konjugierte und erlaubte Darstellungen

107

 A=

e σv

 .

(3.298)

Mit Gl. (3.282) resultiert daraus eine Zerlegung der Gruppe G bezüglich der kleinen Gruppe L, deren Vergleich mit der Zerlegung (3.282) bzgl. des Normalteilers die Identität von kleiner Gruppe und Normalteiler offenbart (L ≡ N ). Dies impliziert die Tatsache, dass die erlaubten Darstellungen mit den irreduziblen Darstellungen 2 1 D E (C4 ) und D E (C4 ) des Normalteilers zusammenfallen. Die Multiplizität m β,γ der einzelnen Orbits erhält man aus der Reduktion der von den irreduziblen Darstellungen { D (α) (C4v )| α = A1 , A2 , B1 , B2 , E} (Tab. 3.1 und 3.2) auf den Normalteiler C4 subduzierten Darstellungen A1 D sub (C4 ) = D A (C4 )

2 D sub (C4 ) = D A (C4 )

A

B2 (C4 ) = D B (C4 ) Dsub

E Dsub (C4 ) = D E (C4 ) ⊕ D E (C4 ) .

2

A

2 Dsub (C4 ) = D B (C4 ) 1

Nach Gl. (3.275) bekommt man für alle fünf irreduziblen Darstellungen D (α) (C4v ) die Multiplizitäten m α,γ = 1. Im letzten Fall erkennt man eine Zerlegung in zwei 2 1 irreduzible Darstellungen D E (C4 ) und D E (C4 ), die beide zum gleichen Orbit O3 gehören mit jeweils der gleichen Multiplizität. Setzt man die Kenntnis der irreduziblen Darstellungen A, B, 2E, 1E des Normalteilers voraus, dann wird man nach Wahl einer irreduziblen Darstellung aus den drei Orbits und Bildung der zugehörigen kleinen Gruppe von der erlaub(γ ) ten Darstellung D (γ ) (L) eine Darstellung Dind (G) auf die Gruppe G induzieren können. Weitaus einfacher ist es, die Eigenschaft der Faktorgruppe C 4v /C4 bzw. des Normalteilers auszunutzen, deren Ordnung bzw. dessen Index die Primzahl Zwei beträgt. Betrachtet man zunächst das erste Orbit O1 mit der einzigen nicht-äquivalenten und deshalb selbstkonjugierten Darstellung D A (C4 ) (s. o.), so findet man mit der Ordnung s = 1 des Orbits, dass nach Gl. (3.279) die Anzahl m der Nebenklassen in der Zerlegung (3.281) mit dem Index k = 2 des Normalteilers N = C 4 übereinstimmt. Demnach ist die Faktorgruppe mit  C4v /C4 eine zyklische Gruppe der Primzahlordnung 2 und den Elementen a00 = σv0 = e = σv2 , a01 = σv . Die erlaubten Darstellung der kleinen Gruppe C 4v kann dann nach Gl. (3.293) zu D (γ =α) (a) =



D A (a)  S D A σv−1 ◦ a

für a ∈ C 4 für a ∈ σv , σv , σd , σd

(3.299)

berechnet werden. Als Transformationsmatrix S findet man nach Gl. (3.291)   D A σv2 = S2 = 1 die Werte

(3.300)

108

3 Darstellungen

S = ±1.

(3.301)

Diese Zweideutigkeit der Quadratwurzel liefert insgesamt zwei erlaubte, irreduzible Darstellungen D(γ1 ) und D(γ2 ) , die mit den irreduziblen Darstellungen γ1 = A1 und γ2 = A2 der Gruppe C 4v identifiziert werden können (Tab. 3.1 und 3.2). Eine analoge Diskussion verlangt die Betrachtung der irreduziblen selbstkonjugierten Darstellung D B (C4 ) des zweiten Orbits O2 . Man erhält auch hier nach Gln. (3.293) und (3.301) zwei erlaubte Darstellung D (γ3 ) und D (γ4 ) die mit den irreduziblen Darstellungen γ3 = B1 und γ4 = B2 der Gruppe C4v identifiziert werden können (Tab. 3.1 und 3.2). 2 Beim dritten Orbit O3 findet man zwei nicht-äquivalente Darstellungen D E (C4 ) 1E und D (C4 )), womit die zweifache Ordnung s = 2 des Orbits begründet wird. Gemäß Gl. (3.279) gibt es nur eine (m = 1) äquivalente konjugierte Darstellung, so dass mit Gl. (3.281) der Normalteiler mit der kleinen Gruppe identisch ist (N ≡ L = C 4 ). Nach Wahl einer dieser beiden Darstellungen, die deshalb auch erlaubte Darstellung sind, kann dann nach Gl. (3.249) eine Darstellung auf die gesamte Gruppe G = C 4v induziert werden. Mit den zwei (= k) Vertretern e und σv der Nebenklassen in Gl. (3.286) errechnet sich die Dimension der auf G = C4v (γ ) induzierten Darstellung zu dim Dind (G) = (kdβ = sdβ = 2 · 1 =) 2. Betrachtet man etwa das Gruppenelement c4 , so findet man nach Gl. (3.249c) die Matrix  (c4 ) =

 1 0 , 0 1

(3.302)

 2 2  die zusammen mit den Elementen D11E (c4 ) = i und D22E σv−1 ◦ c4 ◦ σv = 2 2   D22E c43 = −i der irreduziblen Darstellungsmatrix D E (c4 ) (Tab. 3.8) die induzierte Darstellungsmatrix 2

E Dind (c4 ) =



i 0 0 −i

 (3.303)

liefert. Die Berücksichtigung aller Gruppenelemente a ∈ C4v ergibt dann zu√ sammen mit einer Basistransformation von 1/ 2{x + i y, x − i y} nach {x, y} vermittels der unitären Transformationsmatrix   1 1 1 S= √ (3.304) 2 i −i (γ =β)

eine induzierte Darstellung Dind3 (C4v ), die mit der irreduziblen Darstellung D E (C4v ) identifiziert werden kann (Tab. 3.1). Bei der Charakterisierung von Gruppen spielt die Eigenschaft der Auflösbarkeit eine wesentliche Rolle (Abschn. 2.2). Betrachtet wird eine abnehmende Folge

3.12

Konjugierte und erlaubte Darstellungen

109

von Untergruppen, nämlich die sogenannte Normalreihe {G(0) , . . . , G(n) } einer Gruppe G G(k) ⊂ G

k = 0, 1, . . . , n,

die mit der Gruppe G beginnt und mit dem Einselement e endet G(0) := G

G(n) := {e}

und bei der jede Untergruppe G(k) ein Normalteiler in der vorangegangenen Gruppe G(k−1) ist. Eine Gruppe G gilt dann als eine auflösbare Gruppe, falls sie eine Normalreihe besitzt, deren Faktorgruppen {G(k) /G(k−1) | k = 1, . . . , n} alle abelsche Gruppen sind. Ein spezielles Beispiel einer auflösbaren Gruppe ist jede abelsche Gruppe G. Dies kann damit begründet werden, dass mit dem Einselement {e} als (trivialen) Normalteiler N die Faktorgruppe G/{e} eine abelsche Gruppe ist. Die Eigenschaft der Auflösbarkeit einer Gruppe findet man auch für deren Untergruppen. Zudem ist jede homomorphe Abbildung einer auflösbaren Gruppe stets wieder eine auflösbare Gruppe. Insbesondere ist die Faktorgruppe G/N auflösbar für jeden Normalteiler N der Gruppe G. Für den Fall, dass G eine endliche auflösbare Gruppe ist, kann jede Normalreihe in der Gruppe erweitert werden zu einer Normalreihe, deren Faktorgruppen {G(k) /G(k−1) | k = 1, . . . , n} alle Primzahlordnung besitzen. Nachdem jede endliche Gruppe mit Primzahlordnung zyklisch ist (Abschn. 2.2), findet man, dass alle Faktorgruppen der Normalreihe zyklische Gruppen mit Primzahlordnung p sind. Demnach ist jede dieser Faktorgruppen isomorph zur additiven Faktorgruppe Z p = {0, 1, . . . , p − 1} mod p (∼ = Z/ pZ). Dabei bedeutet Z bzw. pZ die Gruppe der additiven ganzen Zahlen (Z, +) bzw. pZ = ( pa| a ∈ Z, +). Die Diskussion einer endlichen Gruppe G, etwa im Hinblick auf ihre irreduziblen Darstellungen, kann mit der Voraussetzung der Auflösbarkeit reduziert werden auf die Untersuchung von Gruppen einfacherer Struktur, nämlich den zyklischen Gruppen mit Primzahlordnung. Dabei beginnt man mit der kleinsten zyklischen Faktorgruppe G(k) /G(k−1) , um mithilfe der oben diskutierten Methode sukzessiv die irreduziblen Darstellungen der Gruppe G zu gewinnen. Dieser Weg wird etwa bei den Punktgruppen sowie den Raumgruppen beschritten, die alle zu den auflösbaren Gruppen gehören. Der allgemeine Fall, bei dem der Index des Normalteilers keine Primzahl ist, (γ ) verlangt die Induktion einer Darstellung Dind (G) der Gruppe G mithilfe einer (m β,γ dβ )-dimensionalen erlaubten Darstellung D(γ ) (L) der kleinen Gruppe L. Dabei nimmt die Suche nach der erlaubten Darstellung ihren Ausgang in der Zerlegung (3.281) der kleinen Gruppe L bzgl. des Normalteilers. Dort wird eine Möglichkeit eröffnet, durch eine irreduzible Darstellung D(β) (N ) des Normalteilers N (β) eine Darstellung Dind (L) der kleinen Gruppe L zu induzieren. Allerdings wird durch diese bekannte Methode (Abschn. 3.11) nicht notwendigerweise eine erlaubte Darstellung D(γ ) (L) gewonnen, die sich dadurch auszeichnet, dass die auf den

110

3 Darstellungen

Normalteiler subduzierten Darstellung D (γ ) (N ) in ein Vielfaches m β,γ der irreduziblen Darstellung D (β) (N ) des Normalteiler nach Gl. (3.283) zerlegbar ist. Diese Festlegung der erlaubten Darstellung zwingt zu der Behauptung, dass für alle Elemente des Normalteilers N die erlaubte Darstellung D(γ ) (N ) eine diagonale (m β,γ dβ )-dimensionale Form annimmt (s. Gl. 3.283) mit einer Anzahl m β,γ von irreduziblen Darstellungen D(β) (N ) auf der Diagonale (γ )

D pp (N ) = δ pp D (β) (N )

p, p  = 1, . . . , m β,γ .

(3.305)

Unter der Voraussetzung, dass die Menge der Elemente {a j | j = 1, . . . , m} zu äquivalenten konjugierten Darstellungen Anlass geben, erhält man daraus mit Gl. (3.276) (γ )−1

D pp

(γ )

(β) (a j ) D(β) (N ) D pp (a j ) = S−1 j D (N )S j

j = 1, . . . , m .

(3.306)

(γ )

Die weitere Umformung durch Multiplikation mit D pp von links und S−1 j von (β) rechts liefert eine Vertauschungsrelation bzgl. der irreduziblen Darstellung D (N ) des Normalteilers (γ )

(γ )

−1 (β) D(β) (N ) D pp (a j )S−1 j = D pp (a j )S j D (N ),

(3.307)

so dass nach dem 2. S CHUR’schen Lemma die Aussage (γ )

D pp (a j ) = Γ pp (a j )S j

p = 1, . . . , m β,γ

j = 1, . . . , m

(3.308)

getroffen werden kann. Dabei bilden die Faktoren Γ pp (a j ) eine m β,γ -dimensionale Diagonalmatrix Γ (a j ). Im Ergebnis hat man mit Gln. (3.305) und (3.308) die erlaubte Darstellung D (γ ) (L) der kleinen Gruppe L gewonnen. Bleibt noch zu fragen nach den charakteristischen Matrizen Γ (a j ). Die Erörterung darüber nimmt erneut ihren Ausgang in der Zerlegung (3.281) der kleinen Gruppe L bzgl. des Normalteilers N . Dort sind die Linksnebenklassen {ai ◦ N | i = 1, . . . , m} isomorph zu Elementen der Faktorgruppe L/N , die als die kleine Gruppe 1. Art L I bezeichnet wird LI ∼ = L/N .

(3.309)

Für den Fall, dass der Normalteiler N das Zentrum der kleinen Gruppe L ist, gilt letztere als die Überlagerungsgruppe der Gruppe L I . Mit der Verknüpfung der Elemente der Faktorgruppe (ai ◦ N ) ◦ (a j ◦ N ) = (ak ◦ N ), und der Invarianzeigenschaft (2.34) des Normalteilers findet man die Aussage

3.12

Konjugierte und erlaubte Darstellungen

a i ◦ a j = ak ◦ b 0

111

b0 ∈ N

i, j, k = 1, . . . , m.

(3.310)

Unter Verwendung der entsprechenden konjugierten Darstellung des Normalteilers resultiert daraus die Beziehung (β)

Da(β) (N ) = Dak ◦b0 (N ), i ◦a j

(3.311)

die sich nach Gl. (3.273) in der Gestalt     −1 −1 (β)−1 (β) = D a D(β) (b0 ) ◦ a ◦ N ◦ a ◦ a (b ) D ◦ N ◦ a D(β) a −1 i j 0 k j i k (3.312) schreiben lässt. Setzt man die Äquivalenz der konjugierten Darstellung zur ursprünglichen Darstellung D(β) (N ) voraus, so erhält man mit Gl. (3.276) −1 (β) (β)−1 (β) (β) S−1 (b0 )S−1 j Si D (N )Si S j = D k D (N )Sk D (b0 ),

(3.313)

was nach geeigneter Umformung eine Vertauschung mit der irreduziblen Darstellung D(β) (N ) liefert −1 (β) −1 −1 (β) (β) Sk D(β) (b0 )S−1 j Si D (N ) = D (N )Sk D (b0 )S j Si .

(3.314)

Die Anwendung des 2. S CHUR’schen Lemmas verhilft schließlich zu der Beziehung Sk D(β) (b0 ) = λikj Si S j

b0 ∈ N

i, j, k = 1, . . . , m,

(3.315)

wobei im unitären Fall der Faktor λikj eine komplexe Zahl vom Betrag Eins ist. Für das Produkt zweier Vertreter ai und a j (i, j = 1, . . . , m) in der Zerlegung (3.281), das sich mit Gl. (3.310) durch die erlaubte Darstellung D (γ ) (L) gemäß (γ )

(γ )

(γ )

(γ )

D pp (ai ) D pp (a j ) = D pp (ak ) D pp (b0 )

b0 ∈ N

p = 1, . . . , m β,γ (3.316) (γ ) ausdrücken lässt, bekommt man nach Substitution von D pp (L) aus Gl. (3.308) Γ pp (ai )Si Γ pp (a j )S j = Γ pp (ak )Sk D (β) (b0 )

(3.317a)

Γ pp (ai ) Γ pp (a j )Si S j = Γ pp (ak )Sk D (β) (b0 ).

(3.317b)

oder

Einsetzen von Gl. (3.315) führt schließlich zu dem Ergebnis Γ pp (ai ) Γ pp (a j ) = λikj Γ pp (ak ),

(3.318a)

112

3 Darstellungen

was wegen der beliebigen Wahl des Wertes p (= 1, . . . , m β,γ ) auch allgemein in Matrixform durch Γ (ai )Γ (a j ) = λikj Γ (ak )

i, j = 1, . . . , m

(3.318b)

ausgedrückt werden kann. Damit wird eine Beziehung gewonnen, die die Matrizen {Γ (ai )| i = 1, . . . , m} festzulegen erlaubt, so dass die erlaubten Darstellungen D(γ ) (L) der kleinen Gruppe L nach Gln. (3.305) und (3.308) ermittelt werden können.

3.13 Strahldarstellungen Vornehmlich die Diskussion von Raumgruppen als Untergruppen der euklidischen Gruppe E(3) (s. Beispiel 14 v. Abschn. 2.1) gibt Anlass sich mit jenen Darstellungen D(σ ) (G) zu beschäftigen, die entsprechend Gl. (3.318) allgemein durch die Bedingung D(σ ) (ai ) D(σ ) (a j ) = λk (ai , a j ) ai , a j , ak ∈ G ai ◦ a j = a k

D(σ ) (ak ) |λk (ai , a j )| = 1 (3.319a) (3.319b)

festgelegt werden. Der Vergleich mit den gewöhnlichen Darstellungen offenbart eine Abschwächung der Forderung (5.8), was die sogenannten Strahldarstellungen (projektiven Darstellungen) auszeichnet. Sie sind eineAbbildung D der endlichen Gruppe calG in die Gruppe G L(V) der linearen Selbstabbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraumes V über K, die folgende Bedingungen erfüllt: (a) D(e) = Identität(V), (b) zu ai , a j ∈ G existiert ein geeigneter Skalar λk (ai , a j ) ∈ C, so dass (3.319a) erfüllt ist. Daneben können Strahldarstellungen unabhängig von der Forderung (III.319) auch als ein Homomorphismus der Gruppe G in die Gruppe P G L(V) der projektiven Abbildungen eines Vektorraumes V verstanden werden. Die zugehörigen Darstellungsmatrizen D(G) der projektiven Abbildung sind nur bis auf einen nichtverschwindenden Phasenfaktor λ festgelegt. Demnach sind die sogenannten n projektiven Koordinaten eines Elements aus einem (n + 1)-dimensionalen projektiven Vektorraum nur bis auf den gemeinsamen Faktor λ eindeutig. Betrachtet man diese Koordinaten als Komponenten eines Vektors im Rn , dann findet man wegen des Phasenfaktors λ eine eindimensionale Vektorschar, den sogenannten Strahl. Der Vergleich mit den gewöhnlichen Darstellungen zeigt, dass dort die Faktoren λ alle den Wert Eins besitzen. Dadurch ist die Darstellung eindeutig bestimmt und die Vektorschar reduziert sich eindeutig auf nur einen Vektor. Deshalb wird häufig, insbesondere zur Abgrenzung von den Strahldarstellungen, der Name Vektordarstellung gebraucht.

3.13

Strahldarstellungen

113

  Die g 2 (= (ord G)2 ) Faktoren λk (ai , a j ) = λikj | i, j = 1, . . . , g bilden das sogenannte Faktorsystem. Aus dem Assoziativgesetz bezüglich der Darstellungen [ D(σ ) (ai ) D(σ ) (a j )] D (σ ) (al ) = D(σ ) (ai )[ D(σ ) (a j ) D(σ ) (al )]

(3.320)

folgt die assoziative Bedingung für die einzelnen Faktoren m n λikj λm kl = λin λ jl ,

(3.321)

wonach eine Abhängigkeit der Faktoren untereinander abgeleitet werden kann. Die Erfassung aller Gruppenelemente in einer einzigen assoziativen Bedingung gelingt durch die Einführung von g × g-Matrizen Λ mit den Elementen m Λmn (i) = λm (ai , an ) = λin

m, n = 1, . . . , g,

(3.322)

so dass Gl. (3.321) die Form Λ(i)Λ( j) = λikj Λ(k)

i, j = 1, . . . , g

(3.323)

annimmt. Unter Beachtung dieser Bedingung kann jedes beliebige System aus g 2 Zahlen ein Faktorsystem zur Strahldarstellung D(σ ) (G) bilden. Betrachtet man etwa eine gewöhnliche Vektordarstellung als eine Strahldarstellung D(σ ) (G) mit dem Faktorsystem λ ≡ 1, so erhält man nach Multiplikation jeder Darstellungsmatrix mit dem Faktor s D(σ ) (a) = s(a) D(σ ) (a)

|s(a)| = 1

a∈G

(3.324)

erneut eine Strahldarstellung D(σ ) (G), die so aus einer Eichtransformation hervorgeht. Das neue Faktorsystem, das sich aus D(σ ) (ai ) D(σ ) (a j ) =

s(ai ) s(a j ) (σ ) D (ak ) s(ak )

(3.325)

zu λikj =

s(ai ) s(a j ) s(ak )

(3.326)

berechnet, wird als äquivalent zum ursprünglichen Faktorsystem λikj (≡ 1) festgelegt. Die Äquivalenz von Strahldarstellungen induziert so eine Äquivalenz der zugehörigen Faktorsysteme und umgekehrt. Eine Verallgemeinerung liefert die Aussage, dass ein äquivalentes Faktorsystem λ von einem anderen Faktorsystem λ durch die Beziehung

114

3 Darstellungen

λikj =

s(ai ) s(a j ) k λi j s(ak )

(3.327)

assoziiert werden kann. Durch die Einführung von äquivalenten Faktorsystemen wird vermieden, dass jedes beliebige System von g 2 Zahlen unter Einhaltung der Bedingungen (3.319) ein Faktorsystem abgibt. Bildet man das Produkt zweier äquivalenter Faktorsysteme λ und λ , dann erhält man erneut ein Faktorsystem λ λikj = λikj λikj ,

(3.328)

λikj λikj = λikj λikj

(3.329)

wobei die Vertauschbarkeit

erlaubt ist. Demnach bildet die Menge der Äquivalenzklassen Kl von Faktorsystemen mit der Multiplikation als Verknüpfung eine abelsche endliche Gruppe, nämlich die sogenannte Multiplikatorgruppe (S CHUR’sche Multiplikator) M(G) = {Kl | l = 0, . . . , m − 1}. Das Einselement K0 hat das Faktorsystem λ0 = 1 und gehört zu der gewöhnlichen Vektordarstellung der Gruppe G. Die Elemente Kl dieser Gruppe M(G) sind die sogenannten Multiplikatorklassen. Für den besonderen Fall, dass Gl. (3.326) den Wert Eins annimmt, sind alle äquivalenten Faktorsysteme identisch und die Zahlen {s(a)| a ∈ G} definieren eine gewöhnliche eindimensionale Vektordarstellung der Gruppe G. Ausgehend von der assoziativen Bedingung (3.323) erhält man durch die Berechnung der Determinante auf beiden Seiten  g det Λ(i) det Λ( j) , λikj = det Λ(k)

(3.330)

 g wonach mit Gl. (3.326) das zum Faktorsystem λikj = 1 äquivalente System λikj assoziiert wird. Beim Übergang zu einem anderen äquivalenten System, etwa durch Umeichung nach Gl. (3.324) mit s(ai ) = [det Λ(i)]−1/g ,

(3.331)

erhält man unter Verwendung von Gl. (3.326)  g % s(a ) s(a ) &g  g i j λikj = 1, λikj = s(ak ) so dass die Faktoren λ des Systems nur eine Anzahl g von Lösungen

(3.332)

3.13

Strahldarstellungen

115

λikj = 11/g

(3.333)

annehmen. Aus dieser Einschränkung erwächst dann auch die Forderung nach einer endlichen Anzahl von Multiplikatorklassen Kl . Beispiel 1 Als einfaches Beispiel wird die Symmetrie der Punktgruppe C s betrachtet. Sie enthält zwei Elemente, nämlich das Einselement e sowie die Spiegelung σ . (σ ) Aus der Verknüpfungstafel der Strahldarstellungen Dk (a) (Tab. 3.9) kann man ein Faktorsystem λikj ablesen, das die 4 (= g 2 ) Zahlen λ111 = +1

λ212 = +1

λ221 = +1

λ122 = −1

(3.334)

Tabelle 3.9 Verknüpfungstafel der Strahldarstellungen D(σ ) (a) für die Symmetrie der Punktgruppe G = C s = {e, σ } mit einem speziellen Faktorsystem λikj D (σ ) (e) +1 D (σ ) (e) +1 D (σ ) (c2 )

Cs D (σ ) (e) D(σ ) (σ )

D (σ ) (σ ) +1 D(σ ) (σ ) −1 D(σ ) (e)

umfasst. Die Zusammenfassung in Matrixschreibweise nach (3.322) ergibt  Λ(e) =

  1 0 0 , Λ(σ ) = 0 1 1

 −1 , 0

(3.335)

womit die assoziative Bedingung (3.323) 

 0 −1 = λ212 Λ(σ ) 1 0   −1 0 Λ(σ ) Λ(σ ) = = λ122 Λ(e) 0 −1 Λ(e) Λ(σ ) =

(3.336a) (3.336b)

bestätigt werden kann. Ein dazu äquivalentes Faktorsystem Λikj resultiert aus einer Eichtransformation mit s(e) = 1

s(σ ) = −i

(3.337)

nach Gl. (3.327) zu λ1 11 = +1

λ2 12 = +1

λ2 21 = +1

λ1 22 = +1,

(3.338)

womit erneut die assoziative Bedingung erfüllt wird. Dieses besondere Faktorsystem λikj (= λ0 = 1) gehört zu den gewöhnlichen Vektordarstellungen, so dass die Strahldarstellungen D(σ ) (a) zu den Vektordarstellungen D(α) (a) äquivalent sind.

116

3 Darstellungen

Die Multiplikatorgruppe M besteht deshalb nur aus einer Klasse K0 äquivalenter Faktorsysteme, was allgemein für zyklische Gruppen zutrifft. Die Faktoren λikj selbst sind auf die beiden Lösungen λikj = ±1

(3.339)

der Gl. (3.334) mit g = 2 beschränkt, was man am ursprünglichen Faktorsystem (3.335) ablesen kann. Der besondere Fall, dass Gl. (3.326) den Wert Eins annimmt, resultiert aus der Eichtransformation s(e) = 1

s(σ ) = 1,

(3.340)

wodurch mit den Zahlen {s(a) = D A (a)| a = e, σ } die triviale Vektordarstellung A gewonnen wird. Wie im Fall der gewöhnlichen Vektordarstellungen können auch hier die Eigenschaften der Äquivalenz sowie der Reduzierbarkeit beobachtet werden. Die Zerlegung in irreduzible Darstellungen geschieht nach Gln. (3.36) und (3.115), falls das Faktorsystem erhalten bleibt. Bei äquivalenten Strahldarstellungen D(σ )(G) und D (σ ) (G) ergibt sich aus dem Produkt D(σ ) (ai ) D (σ )) (a j ) = S−1 D(σ ) (ai )SS−1 D(σ ) (a j )S = S−1 λikj D(σ ) (ak )S = λikj D (σ ) (ak )

(3.341)

erneut die Forderung nach demselben Faktorsystem λikj . Ebenfalls gültig unter Beibehaltung des Faktorsystems sind die wichtigen Aussagen des 1. und 2. S CHUR’schen Lemmas. Auf der Suche nach den irreduziblen Strahldarstellungen D(σ ) (G) wird man zunächst die Gruppe G mithilfe der Multiplikatorgruppe M(G) erweitern (S CHUR’sche Überlagerung), um die neue Gruppe Gˆ =

g−1

al ◦ M

(3.342)

l=0

mit der Anzahl m g (= ord G  ) von Elementen zu erhalten. Dabei wird die Faktorgruppe bzgl. des Normalteilers M isomorph auf die ursprüngliche Gruppe abgebildet ∼ ˆ G/M(G) = G.

(3.343)

Anschließend ermittelt man die gewöhnlichen irreduziblen Vektordarstellungen ˆ Beschränkt man sich weiter nur auf jene Elemente, D (α) der erweiterten Gruppe G.

3.13

Strahldarstellungen

117

die zur ursprünglichen Gruppe G gehören, dann liefern die irreduziblen Vektordarstellungen auch die gesuchten irreduziblen Strahldarstellungen D(σ ) (G). Beispiel 2 Im oben betrachteten Beispiel der Symmetriegruppe G = Cs ist das Faktorsystem (3.339) λikj (= λ0 ≡ 1) zu dem vorgegebenen Faktorsystem (3.335) λikj äquivalent, woraus die Äquivalenz zwischen den irreduziblen Vektordarstellungen und den gesuchten irreduziblen Strahldarstellungen resultiert. Demnach besteht die Mutiplikatorgruppe nur aus der Identität und man bekommt als irreduzible Strahldarstellungen die beiden irreduziblen Vektordarstellungen A und B  (Tab. 3.6) 

D A (e) = 1  D A (e) = 1



D A (σ ) = 1  D A (σ ) = −1.

(3.344a) (3.344b)

Der Übergang zu einem äquivalenten Faktorsystem (3.335) λikj durch eine reziproke Eichtransformation von (3.338) s  (e) = s −1 (e) = 1

s  (σ ) = s −1 (σ ) = i

liefert die zu (3.345) äquivalenten irreduziblen Strahldarstellungen 

D A  (e) = 1  D A  (e) = 1



D A  (σ ) = i  D A  (σ ) = −i,

die mit den beiden Spinordarstellungen 1E¯ und 2E¯ identisch sind.

(3.345a) (3.345b)

Kapitel 4

L IE-Gruppen

L IE-Gruppen gehören zu den kontinuierlichen Gruppen und besitzen eine überabzählbar unendliche Anzahl von Elementen (s. Abschn. 2.1). Der Begriff der Kontinuierlichkeit soll dabei an die infinitesimale Abweichung der Gruppenelemente erinnern. Beim Versuch, eine allgemeine L IE-Gruppe zu erklären, wird man mit drei verschiedenen Arten von mathematischen Strukturen konfrontiert. Zum einen findet man die Gruppenstruktur, wonach die Elemente der L IE-Gruppe die Axiome (2.1) erfüllen. Daneben bilden die Gruppenelemente einen topologischen Raum und werden deshalb von der Struktur einer topologischen Gruppe geprägt. Schließlich gehören die Elemente zu einer analytischen Mannigfaltigkeit mit Abbildungen dieser Mannigfaltigkeit auf sich selbst als Gruppenoperationen. Die Einbeziehung dieser drei mathematischen Strukturen erlaubt eine allgemeine Definition einer L IEGruppe, die unabhängig von Matrixdarstellungen ist und deshalb die Bezeichnung abstrakte L IE-Gruppe rechtfertigt. Von besonderem physikalischem Interesse sind die sogenannten linearen L IEGruppen, die eine endlich-dimensionale Matrixdarstellung besitzen. Der Isomorphismus zwischen der abstrakten und linearen L IE-Gruppe ermöglicht eine Charakterisierung von L IE-Gruppen mithilfe von Matrixdarstellungen, so dass auf die Diskussionen im Rahmen der Differenzialgeometrie verzichtet werden kann.

4.1 Topologische Räume Die Beschreibung von topologischen Räumen hat das Ziel, deren Eigenschaften zu untersuchen, unabhängig von geometrischen Eigenschaften, die etwa durch Strecken oder Winkel ausgedrückt werden. Dies impliziert eine allgemeine Behandlung des Raumbegriffs, so dass neben dem bekannten Anschauungsraum oder dem euklidischen Raum Rn noch weitere Räume – etwa unendlich-dimensionale H ILBERT-Räume, Phasenräume der Physik, BANACH-Räume, Mannigfaltigkeiten – erfasst werden. Der topologische Raum gilt als der allgemeinste Typ eines Raumes, der die grundlegendsten Begriffe der Analysis zu formulieren erlaubt.

M. Böhm, Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-20379-4_4, 

119

120

4 L IE-Gruppen

Betrachtet man eine Menge R von Elementen bzw. Punkten {xi }, dann bekommt man mit der Menge aller Teilmengen S dieser Menge R die Potenzmenge P(R) := {S| S ⊆ R}.

(4.1)

Beispiel 1 Falls die Menge etwa aus drei Punkten besteht R = {x1 , x2 , x3 } dann kann die Potenzmenge mit den möglichen Teilmengen in der Form P(R) = {∅, {x 1 }, {x2 }, {x3 }, {x1 , x2 }, {x1 , x3 }, {x2 , x 3 }, {x1 , x2 , x3 }} ausgedrückt werden. Bei einer Menge mit einer endlichen Anzahl n von Punkten hat die Potenzmenge P(R) genau 2n Teilmengen.  Zur Erklärung der mengentheoretischen Topologie führen zwei Wege, die von unterschiedlichen Grundbegriffen ausgehen. Der eine benutzt den Begriff der offenen Menge O. Eine Topologie T über einer Menge R ist dann die Zusammenfassung von offenen Mengen O, die als Teilmengen den folgenden Bedingungen genügen: (a) Sowohl die leere Menge ∅ als auch die Menge R selbst sind Elemente von T ∅⊂T

R⊂T,

(4.2a)

d. h. R und ∅ sind offen. (b) Der Durchschnitt jeder beliebigen endlichen Anzahl n von offenen Mengen Oi (i = 1, . . . , n) aus T ist ebenfalls ein Element von T Oi ⊂ T

dann

n )

Oi ⊂ T ,

(4.2b)

i=1

d. h. der Durchschnitt beliebig endlich vieler offener Mengen ist wieder offen. (c) Die Vereinigung jeder beliebigen Anzahl von offenen Mengen Oi aus T ist ebenfalls ein Element von T Oi ⊂ T

dann

n 

Oi ⊂ T ,

(4.2c)

i=1

d. h. die Vereinigung beliebig endlich vieler offener Mengen ist wieder offen. Demnach ist eine Topologie T über einer Menge R vollständig durch die Gesamtheit der zugehörigen offenen Mengen erklärt. Dabei kann man zwei Extremfälle unterscheiden. Einmal die triviale (indiskrete) Topologie (KlumpenTopologie), die nur aus der leeren Menge ∅ und der Menge R selbst besteht

4.1

Topologische Räume

121

(T = {∅, R}). Zum anderen die diskrete Topologie, die aus der Potenzmenge besteht (T = P(R)). Ein topologischer Raum (R, T ) ist dann eine menge R, auf der eine Topologie T definiert ist. Beispiel 2 Als Beispiel sei der Raum R mit den Punkten x1 , x2 , x3 , x 4 und x5 R = {x1 , x2 , x3 , x4 , x 5 } betrachtet. Unter den zwei Systemen von Teilmengen T1 = {∅, R, {x1 }, {x3 , x 4 }, {x1 , x3 , x4 }, {x2 , x3 , x4 , x 5 }} und T2 = {∅, R, {x1 }, {x3 , x 4 }, {x1 , x3 , x4 }, {x2 , x3 , x4 }} erfüllt das erste T1 die drei Bedingungen (a)–(c) und gilt demnach als eine Topologie über R. Das zweite System von Teilmengen T2 ist keine Topologie über R, da die Vereinigungsmenge {x 1 , x3 , x4 } ∪ {x2 , x3 , x4 } = {x 1 , x2 , x3 , x 4 } nicht zu T2 gehört und deshalb die Bedingung (3.2c) nicht erfüllt. Beispiel 3 Als weiteres Beispiel seien die reellen Zahlen bzw. der Raum R erwähnt. Die offenen Teilmengen Oi ⊂ R sind entweder mit der leeren Menge ∅ identisch oder es gibt zu jedem in ihnen enthaltenen Punkt x 0 ∈ Oi auch ein offenes Intervall (a, b), das den Punkt x0 enthält und seinerseits ganz in Oi enthalten ist x0 ∈ (a, b) ⊆ Oi . Jedes so erklärte offene Intervall ist dann eine offene Menge, mit der der topologische Raum konstruiert werden kann. Man bezeichnet dies als die natürliche Topologie über R. Analoge Überlegungen gelten auch für den allgemeinen euklidischen Raum Rn .  Ein anderer Weg zur Erklärung einer Topologie benutzt die Umgebung U(x) eines Punktes x ∈ R als Fundamentalbegriff. Gemeint ist eine Teilmenge von R, die eine offene Menge aus R enthält, die ihrerseits den Punkt x enthält x ∈ O ⊆ U(x) ⊆ R, bzw. deren Komplement U\O eine den Punkt x nicht enthaltende abgeschlossene Menge bildet. Der Umgebungsbegriff erlaubt die lokalen Eigenschaften – im Unterschied zu den globalen Eigenschaften – eines Raumes zu untersuchen.

122

4 L IE-Gruppen

Für diese Umgebung U(x) gelten die Umgebungsaxiome: (a) x liegt in jeder Umgebung U(x). (b) Falls U(x) eine Umgebung von x ist, dann ist auch jede Obermenge V von U eine Umgebung von x. (c) Sind U1 (x) und U2 (x) Umgebungen von x, dann ist auch der Durchschnitt U1 ∩ U2 eine Umgebung von x. (d) Zu jeder Umgebung U(x) gibt es eine Umgebung W(x) mit W ⊂ U, so dass U auch eine Umgebung eines jeden Punktes x ∈ W ist. Als Konsequenz findet man, dass eine Umgebung U nicht notwendigerweise eine offene Menge sein muss. Dagegen ist jede offene Menge O, die den Punkt x enthält, auch eine (offene) Umgebung U(x), da sie sich selbst enthält. Mit der Umgebung als Fundamentalbegriff kann dann – an Stelle des Begriffs der offenen Menge – ebenfalls eine Topologie T über einen Raum R erklärt werden. Jedem Element x ∈ R ist ein System von Umgebungen {U(x)} als Teilmengen des Raumes R zugeordnet. Dabei gilt: (a) (b) (c) (d)

x ∈ U für jede Teilmenge U ⊂ {U(x)}. Falls U ⊂ {U(x)} dann gilt für jedes V mit V ⊃ U: V ⊂ {U(x)}. Sei U1 , U2 ⊂ {U(x)}, dann gilt für den Durchschnitt: U1 ∩ U2 ⊂ {U(x)}. Zu jedem U ⊂ {U(x)} existiert ein W ⊂ {U(x)}, so dass U ⊂ {U(x)} ∀x ∈ W.

Eine diskrete Topologie T (s. o.) findet man dort, wo man alle einen Punkt x ∈ R enthaltenden Teilmengen von R als Umgebungen erklären kann. Bei der trivialen Topologie (s. o.) besteht das System der Umgebungen {U(x)} für jedes x ∈ R nur aus dem Raum selbst. Bleibt anzumerken, dass der Begriff des topologischen Raumes bezüglich seiner logischen Struktur einfacher ist als der wohlbekannte Begriff des metrischen Raumes, da bei der Erklärung einer Topologie auf die Theorie der rellen Zahlen verzichtet werden kann. Die weitere Betrachtung wird beschränkt durch die Forderung nach Trennbarkeit. Dabei gilt ein topologischer Raum R genau dann als separiert, wenn zwei verschiedene Punkte x1 , x2 (x1 = x2 ) aus dem Raum R stets disjunkte Umgebungen U(x1 ), U(x 2 ) und damit auch disjunkte offene Mengen O(x1 ), O(x2 ) besitzen x 1 ∈ U(x1 ), x2 ∈ U(x2 )

mit

U(x 1 ) ∩ U(x2 ) = ∅.

(4.3)

Ein solcher topologischer Raum wird als H AUSDORFF-Raum bezeichnet. Dieses H AUSDORFF´sche Trennungsaxiom erlaubt die Trennung disjunkter Punkte durch Umgebungen und macht sie topologisch unterscheidbar. Es ist jetzt nicht mehr möglich – wie etwa bei der trivialen Topologie – dass sämtliche Umgebungen eines Punktes x ∈ R auch noch andere Punkte außer x gemeinsam haben. Dabei ist anzumerken, dass ein topologischer Raum mit diskreter Topologie (T = P(R)) immer auch ein H AUSDORFF-Raum ist. Im Gegensatz dazu kann ein topologischer Raum mit trivialer Topologie (T = {∅, R}) wegen des Scheiterns der Trennbarkeit kein H AUSDORFF-Raum sein, außer die Menge R hat nur ein Element.

4.1

Topologische Räume

123

Beispiel 4 Ein Beispiel eines H AUSDORFF-Raumes ist der eindimensionale euklidische Raum R der reellen Zahlen (natürliche Topologie). Ausgehend von zwei beliebigen Punkten x1 , x2 ∈ R, findet man zwei disjunkte offene Intervalle (x1 − |x1 − x 2 |/2 + ε, x1 + |x 1 − x2 |/2 − ε) um x 1 und (x2 − |x1 − x 2 |/2 ∗ ε x2 + |x1 − x 2 |/2 − ε) um x2 mit 0 < ε < |x1 − x 2 |/2. Die Erweiterung auf n Dimensionen ergibt den euklidischen Raum Rn .  Allgemein gilt jeder Raum, auf dem eine Metrik bzw. Abstandsfunktion erklärt ist (s. Abschn. 4.3), als ein spezieller topologischer Raum. Darüberhinaus ist er ein H AUSDORFF-Raum. Beispiel 5 Ein häufig auftretendes Beispiel ist die Menge der n × n-Matrizen mit komplexen Elementen. Dieser Raum ist metrisierbar (s. Abschn. 4.3) und gilt deshalb als H AUSDORFF-Raum.  Überdeckungseigenschaften fordern weitaus schärfere Einschränkungen als die Trennungsaxiome. Ein System von Teilmengen {Si } (Si ∈ R) heißt eine Überdeckung des Raumes R, falls jeder Punkt von R in wenigstens einer Teilmenge Si liegt  R= Si . (4.4) i

Das System der Teilmengen {Si } bildet eine Teilmenge der Potenzmenge P(R). Falls das System von Teilmengen {Si } aus einer endlichen Anzahl von Teilmengen Si besteht, dann spricht man von einer endlichen Überdeckung des Raumes R. Ein topologischer Raum (R, T ) und seine Topologie T heißen kompakt, wenn der Raum ein H AUSDORFF-Raum ist und jede Überdeckung von R mit offenen Mengen Oi eine endliche Überdeckung von R umfasst. Dabei gilt: (a) Jede kompakte Teilmenge von R eines H AUSDORFF-Raumes (R, T ) ist abgeschlossen. (b) Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist wieder kompakt. Beispiel 6 Als Beispiel sei ein nicht endlicher topologischer Raum (R, T ) mit diskreter Topologie T = P(R) betrachtet. Um zu zeigen, dass dieser nicht kompakt ist, muss eine offene Überdeckung von R gefunden werden, die keine endliche Teilüberdeckung von R enthält. Wählt man das System der Teilmengen {X } mit

124

4 L IE-Gruppen

nur einem Punkt x ∈ R, dann hat man wegen Gl. (3.4) eine Überdeckung von R. Sie ist zudem offen, da jede Teilmenge eines diskreten Raumes offen ist. Es gibt jedoch kein echtes Teilsystem von {X }, das R überdeckt. Schließlich ist das System der Teilmengen nicht endlich, weil R nicht endlich ist. Demnach enthält die offene Überdeckung {X } keine endliche Teilüberdeckung, so dass R nicht kompakt ist. Als Konsequenz stellt man fest, dass ein topologischer Raum (R, T ) mit diskreter Topologie T = P(R) genau nur dann kompakt sein kann, wenn er aus einer endlichen Anzahl von Punkten besteht. Beispiel 7 Der euklidische Raum Rn besteht aus einer unendlichen Anzahl von Punkten, so dass keine endliche Überdeckung gefunden werden kann. Er gilt deshalb als nicht kompakt. Beispiel 8 Betrachtet man etwa die reellen Zahlen mit ihrer natürlichen Topologie sowie das offene Intervall (−1, 1) als Teilmenge, so besitzt dieses die offene Überdeckung (−1, 1) =

∞ 

Sn

n=2

durch die offenen Intervalle Sn = (−1 + 1/n, 1 − 1/n). Das offene Intervall ist jedoch nicht kompakt, da sich aus der Überdeckung keine endliche Überdeckung auswählen lässt. Beispiel 9 Betrachtet man dagegen das abgeschlossene Intervall [−1, 1] als Teilmenge, dann findet man in jeder offenen Überdeckung  [−1, 1] ⊆ Sn n=2

durch die offenen Intervalle Sn = (−1 − ε + 1/n, 1 + ε − 1/n), eine endliche Überdeckung (n = 1, . . . , N ), deren Anzahl N bei einem vorgegebenen ε(> 0) sich ergibt nach ε − 1/N > 0

bzw.

N > 1/ε.

Wegen dieser endlichen Überdeckung gilt das abgeschlossene Intervall als kompakt. Beispiel 10 Dieses Ergebnis kann verallgemeinert auf den euklidischen Raum Rn übertragen werden. Eine Teilmenge M des Rn ist genau dann kompakt, wenn M beschränkt und abgeschlossen ist. 

4.1

Topologische Räume

125

Eine Teilmenge M eines topologischen Raumes heißt genau dann zusammenhängend, falls M nicht eine Zerlegung der Form M=U ∪V

(4.5a)

gestattet, wobei U und V nichtleere, offene Mengen sind mit U ∩ V = ∅.

(4.5b)

Das bedeutet, dass M und die leere Menge ∅ die einzigen Teilmengen von M sind, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind. Die Eigenschaften kompakt und zusammenhängend können als innere Eigenschaften einer Menge bezeichnet werden. Beispiel 11 Der euklidische Raum Rn ist demnach zusammenhängend. Im Gegensatz dazu findet man, dass die Potenzmenge P(R) – wie jeder diskreter topologischer Raum – nicht zusammenhängend ist.  Mit der Eigenschaft des Zusammenhangs kann man ein Gebiet G definieren. Es ist eine nichtleere zusammenhängende offene Teilmenge eines topologischen Raumes. Eine Teilmenge M eines topologischen Raumes R heißt genau dann einfach zusammenhängend, wenn M zusammenhängend ist und sich jede in M verlaufende, geschlossene stetige Kurve auf einen Punkt zusammenziehen lässt. Schließlich kann man die (zusammenhängende) Komponente K eines topologischen Raumes R definieren. Es ist eine maximale zusammenhängende Teilmenge von R, die nicht echt in einer umfassenderen zusammenhägenden Menge enthalten ist. Beispiel 12 Betrachtet man etwa einen zusammenhängenden Raum R, dann hat dieser nur eine Komponente, nämlich sich selbst. Ein anderer Raum R bestehe aus den fünf Punkten R = {x 1 , x2 , x3 , x4 , x 5 } und der Topologie T = {∅, R, {x1 }, {x3 , x4 }, {x1 , x3 , x4 }, {x2 , x 3 , x4 , x5 }}. Dann findet man als Komponenten von R die Teilmengen {x1 } und {x2 , x3 , x4 , x 5 }. Jede andere zusammenhängende Teilmenge von R – z. B. {x2 , x3 , x 5 } – ist eine Teilmenge eine dieser beiden zusammenhängenden Komponenten.  Unter dem Begriff der Abbildung f einer Menge R in eine Menge R f : R −→ R

(4.6)

126

4 L IE-Gruppen

versteht man ganz allgemein, dass jedem Element x ∈ R ein wohlbestimmtes Element f (x) ∈ R zugeordnet wird. Wenn als Bild f (R) der Menge R die gesamte Menge R auftritt, dann liegt eine Abbildung f von R auf R vor. Für den Fall, dass R und R topologische Räume sind, interessieren insbesondere solche Abbildungen, die die Topologien von R und R invariant lassen und als stetig gelten. Eine Abbildung f : R −→ R eines topologischen Raumes R in einen topologischen Raum R heißt stetig, falls eine der drei gleichwertgen Bedingungen erfüllt ist: (a) Die Urbildmenge f −1 (O ) einer jeden in R offenen Menge O ⊂ R ist offen in R. (b) Die Urbildmenge f −1 (O ) einer jeden in R abgeschlossenen Menge O ⊂ R ist abgeschlossen in R. (c) Zu jedem Punkt x ∈ R und jeder Umgebung V des Bildpunktes f (x) ∈ R gibt es eine Umgebung U mit f (U) ⊂ V. Dabei ist anzumerken, dass die Umkehrabbildung f −1 nicht unbedingt existieren muss, da keine eineindeutige Abbildung gefordert wird. Die Bedingung (c) bedeutet in der Analysis die (ε, δ)-Bedingung. Sie beschreibt eine lokale Eigenschaft und ist deshalb möglicherweise nur für gewisse Punkte erfüllt. Die Abbildung ist dann nur in diesen Punkten stetig. Beispiel 13 Als Beispiel betrachte man den Raum R = {x 1 , x2 , x3 , x4 } mit der Topologie T = {∅, R, {x1 }, {x 1 , x 2 }, {x1 , x2 , x3 }} und den Raum R = {y1 , y2 , y3 , y4 } mit der Topologie T  = {∅, R , {y1 }, {y2 , y3 }, {y2 , y3 , y4 }}. Für die beiden Abbildungen f : R −→ R

und

g : R −→ R

wähle man (Abb. 4.1) f (x 1 ) = y2 ,

f (x 2 ) = y3 ,

f (x 3 ) = y4 ,

f (x4 ) = y3

g(x1 ) = y1 ,

g(x2 ) = y1 ,

g(x3 ) = y3 ,

g(x4 ) = y4 .

sowie

Dabei stellt man fest, dass die Abbildung f stetig ist, da das Urbild jeder Menge der Topologie T  über R eine Menge der Topologie T über R ist. Dagegen ist die

4.1

Topologische Räume

127

Abbildung g nicht stetig. Denn das Urbild der in R offenen Mengen {y2 , y3 , y4 } ist die Menge g −1 [{y2 , y3 , y4 }] = {x 3 , x4 }, die keine offene Menge ist und demnach nicht zur Topologie T gehört.

Abb. 4.1 Schematische Darstellung der Abbildungen f und g eines topologischen Raumes R in einen topologischen Raum R

Beispiel 14 Betrachtet man etwa einen topologische Raum R mit diskreter Topologie T = P(R), dann ist jede Abbbildung f : R −→ R eine stetige Abbildung. Denn ausgehend von einer beliebigen offenen Teilmenge H von R findet man als Urbild f −1 (H) stets eine offene Teilmenge von R, da dessen Topologie jede Teilmenge als offen erklärt. Eine ähnliche Überlegung führt zu dem Ergebnis, dass auch bei einem topologischen Raum mit trivialer Topologie jede Abbildung stetig ist.  R

Schließlich kann man zwischen zwei topologischen Räumen R und die Eigenschaft der Äquivalenz beschreiben. Die beiden Räume heißen homöomorph bzw. topologisch äquivalent, falls eine bijektive Abbildung f : R −→ R existiert, so dass f und f −1 stetig sind. Bei dieser homöomorphen Abbildung (topologische Abbildung ) besitzt jede offene Menge O ⊂ R eine offene Menge O = f (O) ⊂ R als Bild und es ist jede offene Menge O ⊂ R das Bild f (O) einer offenen Menge O ⊂ R. Homöomorphe topologische Räume sind in ihrer topologische Struktur nicht zu unterscheiden. Das Interesse der Topologie gilt der Untersuchung jener Eigenschaften, die unter Homöomorphismus erhalten bleiben. Beispiel 15 Als Beispiel für einen topologischen Raum R sei das offene Intervall (−1, 1) der rellen Zahlen R betrachtet. Dieses wird durch die Funktion f (x) = tan(π/2 · x) in den Raum R abgebildet ( f : R −→ R). Die Abbildung ist bijektiv und stetig. Die inverse Funktion f −1 existiert und ist ebenfalls stetig. Demnach sind die topologischen Räume (−1, 1) und R homöomorph zueinander. 

128

4 L IE-Gruppen

4.2 Mannigfaltigkeiten Mannigfaltigkeiten spielen in der modernen Physik eine bedeutende Rolle, etwa bei der Frage nach der Gestalt des Universums oder im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie. Einfachste Beispiele sind glatte Flächen bzw. Kurven, die in jedem Punkt eine Tangentialebene bzw. eine Tangente besitzen. Im Vordergrund steht die Verallgemeinerung der Idee einer Fläche (oder einer Kurve), ohne jedoch diese allgemeine Fläche in den Raum Rn einzubetten, also ohne Angaben dieser allgemeinen Fläche in Bezug auf den Raum Rn . Vielmehr wird eine Parameterdarstellung dieser Fläche gewählt. Im Ergebnis bedeutet es eine homöomorphe Abbildung eines offenen Teils dieser Fläche auf ein Gebiet des euklidischen Raumes Rn . Eine topologische Mannigfaltigkeit R ist ein H AUSDORFF-Raum, so dass jeder Punkt eine Nachbarschaft hat, die homöomorph zum euklidischen Raum Rn ist. Man kann sie auch als ein H AUSDORFF-Raum R mit einer abzählbaren Basis offener Mengen Oi ⊂ R auffassen. Dabei bedeuten eine abzählbare Basis eines topologische Raumes die abzählbar offenen Mengen Oi ⊂ R, mit * denen jede weitere offene Menge O ⊂ R als Vereinigungsmenge O = i Oi einiger dieser Basismengen Oi ausgedrückt werden kann. Damit unterscheidet sich die Mannigfaltigkeit als topologischer Raum lokal nicht vom euklidischen Raum Rn und wird deshalb dort als lokaler euklidischer Raum bezeichnet. Es gilt also die lokalen Eigenschaften von den globalen Eigenschaften zu trennen. Während jede n-dimensionale reelle Mannigfaltigkeit R lokal wie eine offene Menge im Rn aussieht, kann das globale Verhalten völlig unterschiedlich sein. Die Punkte können demnach lokal durch reelle Koordinaten charakterisiert werden. Bei einem Wechsel des Bezugssystems erwartet man dann eine Änderung der Koordinaten. Deshalb gilt es solche Eigenschaften – etwa von Tangentialvektoren oder von Tensorfeldern – hervorzuheben, die unabhängig von der Wahl der Koordinaten sind oder deren Transformationsverhalten bekannt ist. Beispiel 1 Als Beispiel seien zwei unterschiedliche eindimensionale reelle Mannigfaltigkeiten betrachtet (Abb. 4.2). Dort sind die Umgebungen etwa der Punkte x und y homöomorph zu einem offenem Intervall im euklidischen Raum R und verhalten sich demnach gleich. Global betrachtet haben die beiden Mannigfaltigkeiten jedoch eine unterschiedliche Struktur. 

Abb. 4.2 Zwei global unterschiedliche eindimensionale Mannigfaltigkeiten mit einer gleichen lokalen Umgebung der Punkte x und y

4.2

Mannigfaltigkeiten

129

Eine Mannigfaltigkeit ist n-dimensional, falls jeder Punkt der Mannigfaltigkeit eine Umgebung besitzt, die zum euklidischen Raum Rn homöomorph ist. Anschaulich ausgedrückt sieht jede n-dimensionale Mannigfaltigkeit aus wie der euklidische Raum Rn und kann durch das „Zusammenkleben“ von nichtleeren offenen Mengen des Rn erhalten werden (Klebeabbildung). Beispiel 2 Betrachtet man etwa den euklidischen Raum Rn , so ist dieser selbst eine topologische Mannigfaltigkeit. Jede nichtleere offene Menge aus diesem Raum stellt deshalb eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit dar. Ein bedeutendes Beispiel für eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist die n-(dimensionale)-Sphäre S n . Sie ist homöomorph zur Oberfläche einer (n + 1)dimensionalen Kugel, der sogenannten n-Kugel D n+1 . Die 1-Kugel D 1 bedeutet ein abgeschlossenes Intervall im Raum R1 . Entsprechend besteht die 0-Sphäre S 0 aus den beiden Randpunkten. Sie ist die einzige nicht zusammenhängende Sphäre, die als Gruppe betrachtet isomorph zur zyklischen Faktorgruppe Z2 = Z/2Z der Ordnung Zwei ist (Abschn. 2.2). Die 2-Kugel D 2 bedeutet eine Kreisscheibe mit Rand im Raum R2 . Entsprechend ist die 1-Sphäre S 1 dann der Rand, nämlich die Kreislinie, die durch die komplexen Zahlen beschrieben werden kann. Sie ist zusammenhängend, aber nicht einfach zusammenhängend, und als Gruppe betrachtet isomorph zur L IE-Gruppe U (1) (Beispiel 10 und 12). Die 3-Kugel D 3 bedeutet eine Vollkugel mit Randfläche im Raum R3 . Entsprechend ist die 2-Sphäre S 2 dann die Oberfläche, die durch Kugelkoordinaten beschrieben werden kann. Sie ist einfach zusammenhängend – wie alle höherdimensionale Sphären (n ≥ 2) – und besitzt keine Gruppenstruktur. Die 3-Sphäre S 3 ist als 3-dimensionale Mannigfaltigkeit im 4-dimensionalen Raum R4 nicht mehr anschaulich vorstellbar und kann durch Quaternionen beschrieben werden. Topologisch wird sie durch zwei 3-Kugeln D 3 dargestellt, bei denen die Punkte der Oberfläche miteinander identifiziert bzw. „zusammengeklebt“ werden. Als Gruppe betrachtet ist sie isomorph zur L IE-Gruppe SU (2) (Beispiel 8). Bleibt anzumerken, dass die 2-Sphäre S 2 die einzige (orientierte, unberandete) 2-dimensionale Mannigfaltigkeit ist, in der man eine beliebige, geschlossene stetige Kurve auf eine Punkt zusammenziehen kann. Bereits beim Torus T 2 , der die Form der Oberfläche eines Rettungsringes (donut) hat, ist dies wegen des Lochs in der Mitte nicht möglich. Demnach ist jede kompakte unberandete, einfach zusammenhängende (orientierte) 2-dimensionale Mannigfaltigkeit homöomorph zur 2-Sphäre S 2 . Diese Aussage gilt auch für eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Bezug auf die 3-Sphäre S 3 (P OINCARÉ-Vermutung).  Die Idee eines Tangentenvektors an eine Fläche im euklidischen Raum R3 , die den Bezug auf ein Koordinatensystem entbehrlich macht, wird verallgemeinert auf eine Mannigfaltigkeit übertragen. Dabei findet man neben der topologischen Struktur auch eine differenzierbare Struktur. Letztere gewährt eine kontinuierliche Struktur der Räume, so dass diese anschaulich den reellen euklidischen Räumen gleichen. Dabei sind jedoch noch keine Längen und Winkel definiert, was erst durch die

130

4 L IE-Gruppen

Einführung einer Metrik gelingt. Um die lokale Eigenschaft der Differenzierbarkeit erfassen zu können, müssen zwei weitere Begriffe eingeführt werden. Ausgehend von einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit R kann man eine Karte (lokales Koordinatensystem) (O, ψ) auf R der Dimension n definieren. Sie setzt sich zusammen aus einer offenen Menge O ∈ R, dem sogenannten Gebiet von R, und einer homöomorphen (bijektiv stetigen) Abbildung ψ von dieser Menge O auf eine offene Teilmenge ψ(O) des n-dimensionalen euklidischen (relleen) Raumes Rn  O −→ Rn ψ: (4.7a) x −→ x. Die Abbildung ψ ist die Kartenabbildung und ψ(O) das Kartenbild von O. Die Koordinaten (x1 , . . . , xn ) eines Bildes ψ(x) ∈ Rn des Punktes x ∈ O ⊂ R werden als lokale Koordinaten von x in der Karte (O, ψ) bezeichnet ψ(x) = x = (x 1 , . . . , xn ).

(4.7b)

Nach Wahl einer zweiten Karte (Ol , ψl ) neben der Karte (Ok , ψk ) erhält man für den Punkt x ∈ R die neuen lokalen Koordinaten ψl (x). Daraus gewinnt man die Transformationsgleichungen für die beiden lokalen Koordinaten # # $ $ ψl (x) = ψl ψk−1 (ψk (x)) bzw. ψk (x) = ψk ψl−1 (ψl (x)) . (4.8) Dabei gilt die Forderung, dass die beiden Karten differenzierbar verträglich sind. Zwei Karten (Ok , ψk ) und (Ol , ψl ) heißen differenzierbar verträglich (glatt überlappend), falls Ok ∩ Ol = ∅ oder falls die Abbildung  ψk (Ok ∩ Ol ) −→ ψl (Ok ∩ Ol ) (4.9) ψl ◦ ψk−1 : x (k) −→ x (l) eine umkehrbar, stetig differenzierbare Abbildung von einer offenen Menge ψk (Ok ∩ Ol ) des Rn auf eine andere offene Menge ψl (Ok ∩ Ol ) des Rn ist. Beim Übergang von einer Karte (Ok , ψk ) zur Karte (Ol , ψl ) werden im Überlappungsbereich durch (4.9) die Koordinaten umgerechnet, so dass eine differenzierbare Kurve auf der Mannigfaltigkeit R in beiden Koordinatensystemen ohne Knicke erscheint. Man erhält so für eine Mannigfaltigkeit R ein System von Karten {(Oi , ψi )}, das als Atlas bezeichnet wird. Der Atlas ist maximal (vollständig), falls er zu jeder Karte auch alle zu dieser Karte differenzierbar verträglichen Karten enthält. Ein differenzierbarer Atlas auf einer topologischen Mannigfaltigkeit R ist ein System von paarweise miteinander differenzierbaren verträglichen Karten {(Oi , ψi )} mit Homöomorphismen ψi derart, dass eine offene Überdeckung von R durch die Gesamtheit der offenen Mengen Oi erreicht wird  Oi . (4.10) R= i

4.2

Mannigfaltigkeiten

131

Eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit, die mit einem differenzierbaren Atlas versehen ist, heißt eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dort ist also für jedes beliebige Paar von Karten (Ok , ψl ) und (Ol , ψl ) aus dem Atlas von R mit einem nichtleeren Durchschnitt der offenen Mengen Ok und Ol (Ok ∩ Ol = ∅) der Homöomorphismus ψl ◦ ψk−1 zwischen der offenen Teilmenge ψk (Ok ∩ Ol ) des Rn und der offenen Teilmenge ψl (Ol ∩ Ok ) des Rn eine differenzierbare Abbildung (s. a. Abb. 4.3). Eine C m -Mannigfaltigkeit liegt genau dann vor, falls alle Abbildungen (4.9) die Glattheit C m besitzen und deshalb bis zur Ordnung m stetig differenzierbar sind. Der Atlas wird dann C m -Atlas genannt. Die Abbildungen (4.9) liefern gewissermaßen eine Vorschrift, wie die einzelnen Karten aus dem Atlas „zusammengeklebt“ werden müssen, um die Mannigfaltigkeit zu erhalten, ohne letztere in einen Raum höherer Dimension einzubetten. Mithilfe eines Atlas kann man die auf einer Mannigfaltigkeit definierten geometrischen Objekte auf die Karten abbilden und dann dort auf der Grundlage der Analysis diskutieren. Damit gelingt eine Beschreibung von physikalischen Gesetzen bzw. Eigenschaften in nicht-euklidischen Räumen. Falls auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit auch eine Metrik definiert ist, wird sie zum R IEMANN ’schen Raum.

Abb. 4.3 Oberfläche einer Kugel als Mannigfaltigkeit R. Die Karten (Ok , ψk ) und (Ol , ψl ) sind 2 offene Teilmengen des euklidischen Raumes Punkt x ∈ R erscheint in beiden differenzier R ; der   (k) (k) (l) (l) bar verträglichen Karten als Punkt x (k) = x1 , x2 bzw. x (l) = x1 , x2

Beispiel 3 Der einfachste Fall einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist der Raum Rn selbst. Er besitzt nur eine Karte ψk=0 (Ok=0 ) = Rn mit der identischen Abbildung ψk=0 = e. Die Menge aller Abbildungen, die mit der identischen Abbildung verträglich sind, bilden den maximalen Atlas (kanonisch glatte Struktur). Gewöhnlich braucht man mehr als eine Karte, um eine Mannigfaltigkeit R zu überdecken. Dabei erhält man mitunter zwei sich überlappende Karten (Ok , ψk ) und (Ol , ψl ), was durch die Abbildung des Durchschnitts Ok ∩ Ol verursacht wird.

132

4 L IE-Gruppen

Die Abbildung ψk ◦ψl−1 erlaubt dann die Menge ψk (Ok ∩Ol ) des Rn auf die Menge ψl (Ok ∩ Ol ) des Rn abzubilden (Abb. 4.3). Im Beispiel der Kreislinie bzw. der eindimensionalen Sphäre S 1 – als topologische Mannigfaltigkeit betrachtet – braucht man mindestens zwei offene Karten. Diese bekommt man etwa durch die stereographische Projektion der Mengen O1 = {z ∈ S 1 |z = −i} und O2 = {z ∈ S 1 |z = i}, bei denen jeweils ein Punkt ausgenommen wird, auf den euklidischen Raum R bzw. die reelle Achse. Die Übergangsfunktionen ψ1 ◦ ψ2−1 : x −→ −1/x und ψ2 ◦ ψ1−1 : x −→ −1/x (x ∈ R) haben den Definitionsbereich R\{0}, der das Bild der nichtleeren Schnittmenge O1 ∩ O2 bedeutet. Versucht man die 1-Sphäre S 1 als topologische Mannigfaltigkeit zu beschreiben, dann wird man aufgefordert die zwei Karten, nämlich zwei Kopien der reellen Achse so „zusammenzukleben“, dass der Punkt x auf der eine Karte mit dem Punkt 1/x auf der anderen Karte zusammenfällt. Der Punkt x = 0 auf der einen Karte wird dann mit dem unendlich fernen Punkt auf der anderen Karte zusammengeklebt und umgekehrt, so das die beiden Linien zu einem geschlossen Kreis werden. Diese etwas umständlich anmutende Definition eines geschlossenen Kreises hat den Vorteil, nicht auf die Einbettung der 1-Sphäre in einen Raum höherer Dimension, etwa C oder R2 , zurückgreifen zu müssen. Damit ist die 1-Sphäre ein eigenständiges Objekt. Im Beispiel der Kugeloberfläche bzw. der zweidimensionalen Sphäre S 2 als topologische Mannigfaltigkeit betrachtet erhält man als Bildmengen „geographische Karten“. Dabei ist es möglich, dass ein Punkt x auf der Kugeloberfläche in verschiedenen Karten auftritt (Abb. 4.3). Dann liegt ein Wechsel der lokalen Koordinaten vor und es gilt die Forderung, dass die beiden Karten differenzierbar verträglich sind.  Eine topologische Mannigfaltigkeit heißt eine analytische Mannigfaltikeit R der Dimension n falls für jedes beliebige Paar von Karten (Ok , ψk ) und (Ol , ψl ) mit einem nichtleeren Durchschnitt der offenen Mengen Ok , Ol (Ok ∩ Ol = ∅) die Abbildung ψl ◦ ψk−1 eine analytische Funktion ist von der Teilmenge ψk (Ok ∩ Ol ) des Rn auf eine offene Teilmenge ψl (Ok ∩ Ol ) des Rn . Die Forderung nach einer analytischen Funktion bedeutet, dass die Abbildung ψl ◦ ψk−1 durch n Funktionen der n Variablen ausgedrückt und jede davon in der Nachbarschaft eines beliebigen Punktes in eine konvergente TAYLOR-Reihe entwickelt werden kann. Das Produkt R × R zweier analytischer Mannigfaltigkeiten R und R mit den Dimensionen n und n  ist wieder eine analytische Mannigfaltigkeit mit der Summe der Dimensionen (n + n  ) als gesamte Dimension. Beispiel 4 Beispiel einer analytischen Manngfaltigkeit der Dimension n ist der n-dimensionale Raum Rn selbst. Dort gibt es eine einzige Karte (O, ψ) auf Rn . Sie besteht aus Rn als offene Menge O und dem Homöomorphismus ψ, der jedem Punkt x ∈ Rn genau dessen kartesischen Koordinaten ψ(x) = x (Gl. 4.7) zuordnet.  Schließlich seien zwei analytische Mannigfaltigkeiten R und R mit den Dimensionen n und n  sowie eine stetige Abbildung φ von R auf R betrachtet (Abb. 4.4).

4.2

Mannigfaltigkeiten

133

Abb. 4.4 Schematische Darstellung einer analytischen Abbildung φ von einer offenen Teilmenge Ok ⊂ R auf eine offene Teilmenge Ol ⊂ R

  Falls für jede Karte (Ok , ψk ) aus dem Atlas von R und für jede Karte Ol , ψl aus dem Atlas von R die zusammengesetzte Abbildung ψl ◦ φ ◦ ψk−1 von einer offenen    Teilmenge ψk (Ok ) des Rn auf eine offene Teilmenge ψl Ol des Rn eine analytische Funktion ist, dann nennt man die Abbildung φ eine analytische Abbildung. Eine Abbildung φ ist ein Diffeomorphismus, falls sie invertierbar ist und sowohl φ als auch φ −1 differenzierbar sind. Mit Kenntnis der bisherigen grundlegenden Ausführungen ist man nun in der Lage, eine allgemeine L IE-Gruppe mit der Dimension n zu definieren. Es ist eine Menge G von Elementen {a, b, . . .}, die die folgendenEigenschaften besitzt: (a) G ist eine Gruppe. (b) G ist eine analytische Mannigfaltigkeit der Dimension n. (c) Die für je zwei beliebige Elemente a, b ∈ G durch  G × G −→ G (Multiplikation) φ: (a, b) −→ ab definierte Abbildung φ vom kartesischen Produkt G × G auf G – die den Elementen a, b ∈ G ihr Produkt ab ∈ G zuordnet – ist eine analytische Abbildung. (d) Die für jedes beliebige Element a ∈ G durch  (Inversion) φ : G −→ G −1 a −→ a definierte Abbildung φ von G auf G – die dem Element a ∈ G sein inverses Element a −1 ∈ G zuordnet – ist eine analytische Abbildung.

134

4 L IE-Gruppen

Als lokale L IE-Gruppe wird die Nachbarschaft vom Einselement der Gruppe bezeichnet. Eine L IE-Untergruppe H von G ist eine Untermannigfaltigkeit H ⊆ G, die auch gleichzeitig eine Untergruppe von G ist (Abschn. 2.2). Ein L IE-Morphismus (ψ : G1 −→ G2 ) zwischen zwei L IE-Gruppen G1 und G2 ist ein Gruppenmorphismus, bei dem die Abbildung ψ stetige partielle Ableitungen beliebiger Ordnung besitzt. Beispiel 5 Das einfachste Beispiel ist jede endliche Gruppe. Sie kann als nulldimensionale L IE-Gruppe aufgefasst werden. Beispiel 6 Ein weiteres einfaches Beispiel einer L IE-Gruppe ist ein N -dimensionaler Raum V über dem Körper K (K = R bzw. C). Dort erfüllen alle linearen, bijektiven Selbstabbildungen A : V −→ V die Kriterien einer L IE-Gruppe. Sie wird als allgemeine lineare Gruppe G L(V) bezeichnet und hat die Dimension N 2 bzw. 2N 2 . Nachdem jede endlich dimensionale L IE-Gruppe isomorph zu einer Untergruppe der allgemeinenlinearen Gruppe G L(N , K) ist (Satz v. A DO), sind invertierbare N × N -Matrizen A (det A = 0) die Elemente dieser Gruppe. Als Verknüpfung gilt die Matrizenmultiplikation. Beispiel 7 Betrachtet man etwa die L IE-Gruppe der linearen Selbstabbildungen A des Raumes R N zusammen mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung (s. a. Beispiel 7 v. Abschn. 2.1) x  = Ax

x, x  ∈ R N ,

(4.11)

dann findet man einen Isomorphismus zur Gruppe der regulären reellen N × N Matrizen A. Sie bilden die allgemeine lineare Gruppe G L(N , R) in N Dimensionen. Die Nichtvertauschbarkeit der Matrizenmultiplikation ist dafür verantwortlich, dass die Gruppe nicht abelsch ist (N > 1). Mit der zusätzlichen Forderung an die Determinante der Matrizen (det A = +1) erhält man die spezielle (unimodulare) lineare Gruppe S L(N , R) in N Dimensionen. Beispiel 8 Falls man die linearen Abbildungen A verknüpft mit der Forderung nach Invarianz des Skalarprodukts x 1 · x 2 zweier beliebiger Vektoren x 1 , x 2 ∈ R N – was gleichbedeutend ist mit der Invarianz des Abstands der Vektoren sowie Ihres Winkels zueinander –, dann bekommt man den Isomorphismus zur orthogonalen Gruppe O(N ) der orthogonalen N × N -Matrizen A (s. a. Beispiel 12 v. Abschn. 2.1). Im euklidischen Raum R3 etwa gibt es die eigentlichen Rotationen (det A = +1) und uneigentlichen Rotationen (det A = −1). Letztere sind mit einer Inversion verbunden. Die spezielle (unimodulare) orthogonale Gruppe S O(N ) in N Dimensionen erhebt die einschränkende Forderung det A = +1, wodurch nur eigentliche Transformationen erlaubt sind (Abb. 4.5). Betrachtet man den komplexen Raum C, dann kann man die analogen L IEGruppen mit komplexen N × N -Matrizen definieren. Es sind dies die allgemeine lineare Gruppe G L(N , C) und die spezielle lineare Gruppe S L(N , C). Hinzu kommt die unitäre Gruppe U (N ) sowie die spezielle unitäre Gruppe SU (N ) mit der zusätzlichen Forderung (2.4) (Abb. 4.5). 

4.2

Mannigfaltigkeiten

135

Abb. 4.5 Schematische Darstellung der Mengen von reellen L IE-Gruppen (S O(N ) = S L(N , R)∩ O(N )) (a) und komplexen L IE-Gruppen (SU (N ) = S L(N , C) ∩ U (N )) (b)

Im Ergebnis wird jedem Element a aus der Umgebung U(g) eines Gruppenelements g ∈ G durch den Homöomorphismus ψ aus der Karte (U(g), ψ) umkehrbar eindeutig ein Punkt x ∈ Rn mit den lokalen Koordinaten ψ(a) = (x1 , . . . , xn ) zugeordnet. Die zur homöomorphen Abbildung ψ inverse Abbildung ψ −1 (x) liefert dieses Element a als Funktion g(x 1 , . . . , xn ) seiner Koordinaten. Demnach können die Elemente a ∈ U(g) als Punkte x in einem n-dimensionalen Raum Rn aufgefasst werden. Das bedeutet, dass jedes Element a durch einen Satz von n Parametern (x 1 , . . . , xn ) charakterisiert wird. Der Raum Rn gilt deshalb als Parameterraum und bestimmt so die Dimension n einer Gruppe G. Die Erfüllung der Axiome einer Gruppe erlaubt von einer endlich kontinuierlichen Gruppe mit n Parametern zu sprechen. Betrachtet man das Produkt c = ab zweier Elemente a, b ∈ G, dann erhält man die lokalen Koordinaten {z i | i = 1, . . . , n} von z aus dem funktionalen Zusammenhang zwischen diesen und den Koordinaten bzw. den Parametern {xi | i = 1, . . . , n} und {yi | i = 1, . . . , n} (Abb. 4.6) z = ψ(c) = ψ[φ(a, b)] = ψ[φ(g(x)), φ(g( y))] ≡ f (x, y)

(4.12a)

Abb. 4.6 Schematische Darstellung der homöomorphen Abbildungen sowie der Kompositionsfunktion f

136

4 L IE-Gruppen

bzw. z i = f i (x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn )

i = 1, . . . , n.

(4.12b)

Die sogenannte Kompositionsfunktion f entspricht bei endlichen Gruppen der Multiplikationstafel (s. Tab. 2.1). Analog können die lokalen Koordinaten {x¯i | i = 1, . . . , n} eines zu einem Element a inversen Elements a −1 durch reelle Funktionen h i (x) der lokalen Koordinaten x des Elements a ausgedrückt werden x¯ = ψ(a −1 ) = ψ[φ(a)] = ψ[φ(g(x))] ≡ h(x)

(4.13a)

bzw. xi = h i (x1 , . . . , x n )

i = 1, . . . , n.

(4.13b)

Wegen der Forderungen (c) und (d) an eine L IE-Gruppe sind die Kompositionsfunktionen f i und h i analytische Funktionen vom Raum Rn auf den Raum Rn . Im Ergebnis erhält man aus den vier Gruppenaxiomen für die Kompositionsfunktionen die folgenden Funktionalgleichungen f (x, y) = z ∈ Rn

Multiplikationsgesetz f [ f (x, y), z] = f [x, f ( y, z)] Assoziativgesetz f (x, e) = f (e, x) = x e : Einselement ¯ = f ( x, ¯ x) = e f (x, x) x¯ : inverses Element.

(4.14a) (4.14b) (4.14c) (4.14d)

Nachdem jede L IE-Gruppe auch ein topologischer Raum ist, gelten für sie auch alle topologischen Begriffe. Besonders wichtig – insbesondere für die Darstellungstheorie – sind die Eigenschaften kompakt und zusammenhängend. Eine topologische Gruppe G ist eine kompakte L IE-Gruppe, wenn sie als topologischer Raum betrachtet einen kompakten Raum bildet. Bei einer Teilmenge des reellen oder komplexen Raumes endlicher Dimension gilt die darauf basiernde Gruppe als kompakt, falls die Teilmenge beschränkt und abgeschlossen ist. Die Eigenschaft der Kompaktheit erlaubt häufig die Aussagen über endlichdimensionale Räume auf unendlich-dimensionale Räume zu übertragen. Dort ist eine einfache Charakterisierung der Kompaktheit nicht mehr möglich. Beispiel 9 Ein einfaches Beispiel sind die linearen Abbildungen A (2.4a) des R auf den R zusammen mit der Operation der Abbildungsverknüpfung. Sie bilden die allgemeine lineare Gruppe G L(1, R) in einer Dimension (N = 1), die isomorph ist zur Gruppe der reellen Zahlen {x ∈ R| x = 0} mit der üblichen Multiplikation als Verknüpfung. Die zugehörige Mannigfaltigkeit ist der eindimensionale euklidische Raum R ohne die Zahl 0, was einer Geraden ohne den Ursprung entspricht (Abb. 4.7). Die Menge der Elemente ist unbeschränkt, so dass die Gruppe als nichtkompakt gilt.

4.2

Mannigfaltigkeiten

137

Beispiel 10 Ein anderes einfaches Beispiel ist die unitäre Gruppe U (1) in einer Dimension (N = 1). Sie umfasst die Menge aller komplexen Zahlen vom Betrag Eins ({z ∈ C| |z| = 1}) und hat als Verknüpfung die übliche Multiplikation. Die zugehörige Mannigfaltigkeit ist die eindimensionale Sphäre S 1 bzw. der Einheitskreis (Abb. 4.7). Der einzige Parameter (n = N 2 = 1), nämlich der Drehwinkel, variiert in dem beschränkten und abgeschlossenen Intervall [0, 2π ], wonach die Gruppe als kompakt gilt. 

Abb. 4.7 Mannigfaltigkeiten der nicht-kompakten einparametrigen L IE-Gruppe G L(1, R) (a) und der kompakten einparametrigen L IE-Gruppe U (1) (b)

Die Definition einer zusammenhängenden Gruppe, einer einfach zusammenhängenden Gruppe sowie einer (zusammenhängenden) Komponente einer Gruppe ist auch hier – wie beim Begriff der Kompaktheit – äquivalent zur entsprechenden Definition bzgl. des topologischen Raumes. Darüberhinaus kann die Komponente des Einselements einer topologischen Gruppe definiert werden. Es ist jene zusammenhängende Komponente G0 ∈ G, die das Einselement e enthält (e ∈ G0 ). Damit lassen sich zwei Aussagen behaupten. Zum einen bildet die Komponente des Einselements G0 einen Normalteiler (Abschn. 2.2) der betrachteten Gruppe G. Zum anderen bildet jede Komponente einer topologischen Gruppe eine Rechts- bzw. Linksnebenklasse der Komponente des Einselements G0 . Beispiel 11 Im Beispiel der Menge der reellen Zahlen {x ∈ R| x = 0}, die zur allgemeinen linearen Gruppe G L(1, R) isomorph ist, wird die zugehörige Mannigfaltigkeit vom eindimensionalen Raum R ohne den Ursprung (x = 0) gebildet (Abb. 4.7). Als topologischer Raum betrachtet besteht dieser aus zwei zusammenhängenden Komponenten, nämlich aus der Menge der positiven, reellen Zahlen (x > 0) und der negativen reellen Zahlen (x < 0). Dabei ist die Menge {x ∈ R| x > 0} eine Komponente des Einselements G L + (1, R), da sie das Einselement (e = 1) enthält. Nachdem die Zahl x = 0 ausgeschlossen ist, wird die Bedingung (4.5) erfüllt, so dass die gesamte Gruppe nicht zusammenhängend ist. Beispiel 12 Im Beispiel der unitären Gruppe U (1) in einer Dimension mit den komplexen Zahlen als Elemente ({z ∈ C| |z| = 1}) ist die zugehörige Mannigfaltigkeit der Einheitskreis (Abb. 4.7). Als topologischer Raum ist dieser Einheitskreis zusammenhängend. Allerdings ist es nicht möglich, jede in dem Kreis

138

4 L IE-Gruppen

verlaufende doppelpunktfreie, geschlossene Kurve auf einen Punkt zusammenzuziehen. Demnach ist der topologische Raum und mithin die L IE-Gruppe nicht einfach zusammenhängend. 

4.3 Lineare L IE-Gruppen Die Definition einer linearen L IE-Gruppe basiert auf konkreten Elementen, nämlich den Matrizen, so dass auf topologische Räume und Mannigfaltigkeiten verzichtet werden kann. Damit gewinnt sie eine besondere Bedeutung im Hinblick auf die Anwendung bei konkreten physikalischen Problemen. Auf Grund der Homogenität einer jeden topologischen Gruppe genügt es, eine L IE-Gruppe nur in der Nähe des Einselements zu betrachten. Die Struktur dieses Gebietes bestimmt die Struktur der ganzen Gruppe. Der Begriff „Nähe zum Einselement“ zwingt zur Diskussion eines Abstands zweier Gruppenelemente. Das bedeutet die Einführung einer Metrik auf der Gruppe, so dass die Gruppe als metrischer Raum aufgefasst werden kann. Eine Metrik auf einem Raum R ist eine (Abstands-) Funktion bzw. ein Abstand d(x, x  ) von zwei Elementen x, x  ∈ R auf dem Produkt R × R mit Werten in der Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, für die folgende Bedingungen erfüllt sind: d(x, x  ) = d(x  , x) ∀ x, x  ∈ R (Symmetrie) (4.15a)   (4.15b) d(x, x ) = 0 genau dann, wenn x = x (4.15c) d(x, x  ) > 0 falls x = x        d(x, x ) ≤ d(x, x ) + d(x , x ) ∀ x, x , x ∈ R (Dreiecksungl.). (4.15d) Ein metrischer Raum ist dann eine Menge R zusammen mit einer Metrik auf R. In einem solchen metrischen Raum kann man eine offene Kugelumgebung Uε (x) mit dem Radius (> 0, bel., reell) definieren als die Menge aller Punkte x  ∈ R, deren Abstand d(x, x  ) kleiner als eine positive reelle Zahl ε ist Uε (x) := {x  ∈ R | d(x, x  ) < ε, ε > 0}.

(4.16)

Eine offene Menge Om eines metrischen Raumes R zeichnet sich dann dadurch aus, dass eine offene Kugelumgebung Uε (x) existiert (ε > 0, reell), die ganz in dieser Menge Om enthalten ist x ∈ Uε (x) ⊆ Om . Damit ist jede offene Kugelumgebung Uε (x) auch eine offene Teilmenge Om des Raumes R. Die offenen Mengen Om erzeugen so eine metrische Topologie Tm über einem metrischen Raum R. Jeder metrische Raum kann dann als topologischer Raum aufgefasst werden, wenn man eine Umgebung im obigen Sinne

4.3

Lineare L IE-Gruppen

139

erklärt. Betrachtet man etwa zwei disjunkte Punkte x, x  aus einem metrischen Raum R, dann lassen sich stets zwei verschiedene Umgebungen dieser Punkte angeben, etwa die offenen Kugelumgebungen Uε (x) und Uε (x  ) mit dem Radius ε = d(x, x  )/2 − α (α ≥ 0). Beispiel 1 Ein einfaches Beispiel ist die diskrete Metrik  0 f. x = x  d(x, x  ) := 1 f. x = x  .

(4.17)

Sie induziert auf dem metrischen Raum R die diskrete Topologie T = P(R) (s. Abschn. 4.1). Dort wird jeder Punkt x ∈ R durch die Wahl des Radius ε mit 0 < ε < 1 zur offenen Kugelumgebung Uε (x) und mithin zur offenen Menge erklärt. Im Gegensatz dazu sind die Verhältnisse bei der trivialen Topologie (T = {∅, R}). Dort ist der topologische Raum nicht metrisierbar. Beispiel 2 Ein anderes, wichtiges Beispiel ist die euklidische Metrik d E im euklidischen Raum R N . Sie ist definiert durch die Abstandsfunktion zweier Punkte x = {x 1 , . . . , x N } und y = {y1 , . . . , x N } d E (x, y) :=

+ N

,1/2 (xi − yi )

2

x, y ∈ R N.

(4.18)

i=1

Die Kugelumgebungen Uε (x) sind im Fall N = 3 gewöhnliche Vollkugeln mit dem Radius ε abzüglich der Kugeloberfläche. Eine weitere Metrik im euklidischen Raum R N kann definiert werden durch ˜ d(x, y) := max |xi − yi | 1≤i≤N

x, y ∈ R N.

(4.19)

Die Kugelumgebungen Uε (x) sind dann im Fall N = 3 achsenparallele Würfel mit der Kantenlänge 2ε um x als Mittelpunkt. Beide Metriken induzieren dieselbe Topologie über R N . Beispiel 3 Schließlich sei die Metrik einer Gruppe G mit der N -dimensionalen, treuen Matrixdarstellung D(G) definiert durch sp{[ D(a) − D(b)]† [ D(a) − D(b)]} . / N

N /

/ =0 |Di j (a) − Di j (b)|2 a, b ∈ G.

d(a, b) : =

(4.20)

i=1 j=1

Als Konsequenz dieser Metrik findet man eine Topologie über den N 2 2 2 2 dimensionalen euklidischen Raum R N (bzw. C N = R2N ). 

140

4 L IE-Gruppen

Eine lineare L IE-Gruppe G kann dadurch definiert werden, dass sie den folgenden Bedingungen genügt: (a) Die Gruppe G besitzt wenigstens eine endliche, N -dimensionale treue Matrixdarstellung D(G). (b) Es gibt eine positive reelle Zahl δ, so dass jedes Element a ∈ G mit d(a, e) < δ

δ > 0,

(4.21)

– also aus der offenen Kugelumgebug Uδ (e) mit Radius δ um das Einselement e – eineindeutig einem Punkt x = (x 1 , . . . , xn ) aus einem reellen, n-dimensionalen euklidischen Raum Rn zugeordnet wird und somit durch n reelle Parameter eindeutig parametrisiert wird a = a(x).

(4.22)

Das Einselement e wird durch den Ursprung im Rn parametrisiert (x 1 = x 2 = · · · = xn = 0) e = e(0).

(4.23)

(c) Es gibt eine positive reelle Zahl η, so dass jeder Punkt x ∈ Rn mit d E (x, 0) < η

η > 0,

(4.24)

– also aus der offenen Kugelumgebung Uη (0) mit Radius η um den Ursprung 0 – eineindeutig einem Element a ∈ G aus der offenen Kugelumgebung Uδ (e) mit Radius δ um das Einselement e zugeordnet wird. (d) Jedes Matrixelement der Matrixdarstellung D(a) ≡ D[a(x)] mit x ∈ Uη (0) ist eine analytische Funktion der Parameter x = (x1 , . . . , xn ). Das bedeutet, dass jedes Matrixelement Di j um alle Punkte x 0 ∈ Uη (0) in eine Potenzreihe nach (x − x 0 ) entwickelt werden kann. Demnach müssen die Ableitungen ∂ Di j ∂ 2 Di j , ,··· ∂ x k ∂ x k ∂ xl

i, j = 1, . . . , N

(4.25)

an allen Punkten in Uη (0) einschließlich des Ursprungs x = (0, . . . , 0) existieren. Bildet man die n Ableitungen a k der N × N -Darstellungsmatrizen am Ursprung x = 0 des Rn  ∂ Di j (x)  ak,i j = i, j = 1, . . . , N k = 1, . . . , n, (4.26) ∂ xk  x=0 dann erhält man die n Generatoren (Erzeugenden) {ak |k = 1, . . . , n} einer linearen L IE-Gruppe G in der Darstellung D(G). Mitunter wird dafür auch die Form

4.3

Lineare L IE-Gruppen

141

aˆ k,i j =

1 ak,i j i

(4.27)

gewählt, die aus einer Komplexifizierung resultiert. Diese n Generatoren {ak |k = 1, . . . , n} bilden die Basis eines reellen, n-dimensionalen Vektorraumes bzw. einer reellen, n-dimensionalen L IE-Algebra (s. Abschn. 6.2). Die Operation der Gruppenmultiplikation sowie die der Invertierung sind analytisch. Als Konsequenz daraus findet man einen funktionalen Zusammenhang eines     der Produkts. Das bedeutet, dass mit den Parametern (x , . . . , x ) und x , . . . , x 1 n n 1   Elemente a und a  die Parameter x 1 , . . . , x n des Produkts a  = a ◦ a  gegeben sind durch den funktionalen Zusammenhang   xi = xi x1 , . . . , x n ; x1 , . . . , x n

i = 1, . . . , n.

(4.28)

Dabei sind die Funktionen xi analytisch für alle x, x  ∈ Rn .   Entsprechend gilt für die Invertierung, dass die Parameter x 1 , . . . , x n von a −1 ausgedrückt werden können durch x i = x i (x1 , . . . , x n )

i = 1, . . . , n

(4.29)

mit den analytischen Funktionen x i . Beispiel 4 Ein einfaches Beispiel ist die Menge der reellen Zahlen {t ∈ R| t = 0} mit der gewöhnlichen Multiplikation als Verknüpfung. Diese abelsche Gruppe G = (R\{0}, ·) ist isomorph zur allgemeinen linearen Gruppe G L(1, R) in einer Dimension (s. Gl. 4.11). Das Einselement ist die Zahl Eins. Es gibt eine treue eindimensionale Matrixdarstellung, nämlich für jedes Element a der Gruppe die Zahl selbst ( D(t) = t). Die Metrik ist gegeben durch die Abstandsfunktion d(t, t  ) = |t − t  |. Nach Wahl von δ = 1/2 findet man alle Elemente t ∈ G mit 1−1/2 < t < 1+1/2 in der offenen Kugelumgebung Uδ um das Einselement e (= 1). Eine Parametrisierung dieser Elemente t ∈ Uδ gelingt dann durch t = exp x

−∞< x <∞

(4.30)

mit nur einem Parameter x. Das Einselement ist darstellbar durch den Wert x = 0 e = 1 ≡ exp(x = 0). Nach Wahl einer positiven reellen Zahl η = ln 3/2 (> 0) ist jeder Punkt x ∈ R1 aus der offenen Kugelumgebung mit Radius η um den Ursprung x 2 < η2 = η = (ln 3/2)2

142

4 L IE-Gruppen

wegen 2/3 < t = exp x < 3/2 eineindeutig einem Element t ∈ G aus der offenen Kugelumgebung Uδ (e) mit Radius δ = 1/2 um das Einheitselement e zuzuordnen. Das Matrixelement D11 (x) = exp x ist eine analytische Funktion des Parameters x. Insgesamt kommt man zu dem Ergebnis, dass alle vier Forderungen (a) bis (d) erfüllt sind und die Gruppe deshalb eine lineare L IE-Gruppe ist, die mit ihrer einparametrigen Untergruppe übereinstimmt. Der einzige Generator ist nach Gl. (4.29) a1 = 1. Bleibt anzumerken, dass sich die Parametrisierung (4.30) auf alle Elemente t > 0 bezieht, die eine Untergruppe von G bilden. Jene Elemente t  mit t  < 0 können ausgedrückt werden durch t  = (−1) exp x

− ∞ < x < +∞.

(4.31)

Beispiel 5 Ein weiteres wichtiges Beispiel ist die orthogonale Gruppe O(2) in zwei Dimensionen. Sie umfasst die Menge aller reellen, orthogonalen 2 × 2-Matrizen A (s. Gl. 2.7). Die zusätzliche Forderung bzgl. der Determinante (det A = +1) wird von der Menge jener Matrizen erfüllt, die die spezielle orthogonale Gruppe S O(2) bilden und eine Untergruppe darstellen (S O(2) ⊂ O(2)). Eine treue zweidimensionale Darstellung ist durch die Matrizen selbst gegeben ( D( A) = A), so dass Bedingung (a) erfüllt ist. Die Forderung nach Orthogonalität (Gl. 2.7) bedeutet A211 + A221 = A211 + A212 = A221 + A222 = A212 + A222 = 1

(4.32a)

und A11 A21 + A22 A12 = A11 A12 + A22 A21 = 1. Dies impliziert A211 = A222

und

A212 = A221 ,

wonach vier Fälle als Lösungen diskutiert werden. 1. Fall: A11 = +A22 und A21 = −A12 , womit die Matrizen die Form   A11 −A12 A= A12 A11 annehmen. Als Konsequenz aus Gl. (4.32a) erhält man

(4.32b)

4.3

Lineare L IE-Gruppen

143

det A = A11 A22 − A12 A21 = A211 + A212 = 1, so dass die Matrizen A der Untergruppe S O(2) angehören ( A ∈ S O(2)). Die Abstandsfunktion ergibt sich mit Gln. (4.20) und (4.32a) zu d( A, 12 ) = 2(1 − A11 )1/2 . 2. Fall: A11 = −A22 und A12 = A21 , womit die Matrizen die Form   A11 A12 A= A12 −A11 annehmen. Als Konsequenz aus Gl. (4.32a) erhält man für die Determinante det A = A 11 A22 − A12 A21 = −A112 − A212 = −1 und für die Abstandsfunktion d( A, 12 ) = 2. Die weiteren Möglichkeiten sind in Fall 1 und Fall 2 enthalten. 3. Fall: A11 = A22 und A12 = A21 . Nach Gl. (4.32b) erhält man A11 A12 = 0 mit den beiden Konsequenzen: (a) A11 = A22 = 0, so dass mit A12 = A21 = ±1 (n. Gl. 4.32a) die Matrizen die Form   0 1 A=± mit det A = −1 1 0 annehmen; dies ist ein Spezialfall von Fall 2 (s. o.). (b) A12 = A21 = 0, so dass mit A11 = A22 = ±1 (n. Gl. 4.32a) die Matrizen die Form   1 0 A=± mit det A = 1 0 1 annehmen; dies ist ein Spezialfall von Fall 1 (s. o.). 4. Fall: A11 = −A22 und A12 = −A21 . Nach Gl. (4.32b) erhält man A11 A12 = 0 mit den beiden Konsequenzen: (a) A11 = A22 = 0, so dass mit A12 = ±1 bzw. A21 = ±1 (n. Gl. 4.32a) die Matrizen die Form   0 1 A=± mit det A = 1 −1 0

144

4 L IE-Gruppen

annehmen; dies ist ein Spezialfall von Fall 1 (s. o.). (b) A12 = A21 = 0, so dass mit A11 = ±1 bzw. A22 = ∓1 (n. Gl. 4.32a) die Matrizen die Form   1 0 A=± mit det A = −1 0 −1 annehmen; dies ist ein Spezialfall von Fall 2 (s. o.). Insgesamt gibt es für die Darstellungsmatrizen nur zwei Typen von Lösungen:  Typ 1 :

A1 = 

Typ 2 :

A2 =

A11

−A12

A12

A11

A11 A12

A12 −A11

 det A1 = 1;  det A2 = −1.

In beiden Fällen müssen die Matrixelemente der Bedingung A211 + A212 = 1 genügen. Daraus leitet sich die Möglichkeit einer Parametrisierung durch einen Winkel x ab mit −π ≤ x ≤ π. Die Matrizen haben dann die Form  cos x Typ 1 : A1 = sin x  cos x Typ 2 : A2 = sin x



− sin x cos x sin x

det A1 = 1;

(4.33a)

det A2 = −1.

(4.33b)



− cos x

Die Menge der Matrizen A1 bildet die L IE-Gruppe S O(2), die eine Untergruppe der L IE-Gruppe O(2) ist. Nach Gl. (4.20) erhält man für den Abstand zum Einselement d( A, 12 ) = 2(1 − cos x)1/2 d( A, 12 ) = 2

für

für

A ∈ O(2).

A ∈ S O(2)

(4.34a) (4.34b)

Nach Wahl von δ ≤ 2 findet man eine offene Kugelumgebung Uδ (12 ) mit dem Radius δ um das Einselement 12 , die einen Teil der Matrizen A(∈ S O(2)) vom Typ 1 – nicht jedoch vom Typ 2 – umfasst. Jedes Gruppenelement A ∈ Uδ (12 ) wird durch die Parametrisierung (4.33a) eineindeutig einer reellen Zahl, nämlich dem

4.3

Lineare L IE-Gruppen

145

Winkel x zugeordnet. Das Einselement 12 wird für x = 0, also dem Ursprung im Raum R parametrisiert. Damit ist die Bedingung (b) erfüllt. Für ein vorgegebenes δ(> 0) findet man nach (4.34a) ein η mit η ≤ arccos(1 − δ 2 /4), so dass jeder Punkt x ∈ R aus der offenen Kugelumgebung Uη (0) mit Radius η(> d E (x, 0)) um den Ursprung eineindeutig einem Element A aus der offenen Kugelumgebung Uδ (12 ) mit Radius δ um das Einselement 12 zugeordnet werden kann. Damit ist die Bedingung (c) erfüllt. Da die trigonometrischen Funktionen in (4.33a) und (4.33b) analytische Funktionen des Parameters x sind, ist auch Bedingung (d) erfüllt. Die L IE-Gruppe S O(2) – ebenso wie die L IE-Gruppe O(2) – ist also eine lineare L IE-Gruppe mit der Dimension N = 2. Der einzige Generator der Gruppe ergibt sich mit Gl. (4.33a) zu  a=

 0 −1 . 1 0

(4.35a)

Bleibt anzumerken, dass jede Matrix A2 (vom Typ 2) durch das Produkt einer Matrix A1 (vom Typ 1) und einer weiteren Matrix ausgedrückt werden kann  A2 =

0 1

1 0

 A1

− π ≤ x ≤ π.

(4.35b)

Beispiel 6 Das nächste Beispiel ist die spezielle unitäre Gruppe SU (2) in zwei Dimensionen (N = 2). Sie umfasst die Menge aller komplexen unitären 2 × 2-Matrizen A, deren Determinante den Wert Eins annimmt (Gln. 2.5 und 2.6). Eine treue zweidimensionale Matrixdarstellung ist durch die Matrizen selbst gegeben ( D( A) = A), so dass Bedingung (a) erfüllt ist. Mit der allgemeinen Form der Matrix A  A=

a c

b d

 (4.36)

sowie den Forderungen (2.5) und (2.6) erhält man die Bestimmungsgleichungen |a|2 + |b|2 = 1,

|a|2 + |c|2 = 1,

(4.37a)

|b|2 + |d|2 = 1,

|c|2 + |d|2 = 1,

(4.37b)

a ∗ c + b∗ d = 0,

ab∗ + cd ∗ = 0,

(4.37c)

ad − bc = 1. Die Gln. (4.37a) und (4.37b) liefern

(4.37d)

146

4 L IE-Gruppen

|a|2 = |d|2

und

|b|2 = |c|2 .

Nach Multiplikation von Gl. (4.37c) mit b und unter Berücksichtigung von Gl. (4.37d) bekommt man ba ∗ c + bb∗ d = d(|a|2 + |b|2 ) − a ∗ = d − a ∗ = 0

bzw.

d = a∗ .

Entsprechend bekommt man nach Multiplikation von Gl. (4.37c) mit d c = −b∗ . Im Ergebnis erwartet man für die Matrix A ∈ SU (2) (Gl. 4.36) die Form  A=

a −b∗

b a∗

 mit |a|2 + |b|2 = 1.

(4.38)

In komplexer Schreibweise a = a1 + ia2 ,

b = b1 + ib2

a1 , a2 , b1 , b2 reell

erhält die Bedingung (4.38) die Form a12 + a22 + b12 + b22 = 1.

(4.39)

Als Konsequenz daraus sind nur drei der vier reellen Parameter linear unabhängig. Eine geeignete Parametrisierung gelingt dann mit den drei Parametern {xi |i = 1, 2, 3} durch a2 = x3 /2,

b1 = x2 /2,

b2 = x1 /2

(4.40a)

und wegen Gl. (4.39) durch a1 =

-

  1 − x 12 + x22 + x 32 /4.

(4.40b)

Der Abstand eines Gruppenelements A zum Einselement 12 ist nach Gl. (4.20) 1 d( A, 12 ) = 2 1 − Er soll reell sein   1 − 1 − x 12 + x22 + x 32 /4 ≥ 0

  1 − x 12 + x22 + x32 /4.

und

(4.41)

  1 − x12 + x 22 + x 32 /4 ≥ 0,

wonach sich die möglichen Werte der Parameter {xi | i = 1, 2, 3} beschränken auf den Bereich

4.3

Lineare L IE-Gruppen

147

0 ≤ x12 + x 22 + x32 ≤ 4. Als Konsequenz daraus erhält man für die Abstandsfunktion die Bedingung 0 ≤ d( A, 12 ) ≤ 2, so dass diese maximal den Wert Zwei annehmen kann. Mit der Forderung (4.21) aus Bedingung (b) findet man mit Gl. (4.41) x12 + x 22 + x32 < 2δ − δ 2 /4.

(4.42)

Da die rechte Seite dieser Beziehung positiv sein muss, gilt die Forderung √ 0 < δ < 2 2. √ Also wird man nach Wahl von δ < 2 2 eine offene Kugelumgebung Uδ (12 ) mit dem Radius δ um das Einselement 12 bekommen, die einen Teil der Matrizen A ∈ SU (2) umfasst. Am Ursprung (x = 0) ergibt sich nach (4.40) und (4.38) die Einheitsmatrix ( A(x = 0) = 12 ), womit Bedingung (b) erfüllt ist. Für dieses vorgegebene δ(> 0) findet man nach (4.42) einen Radius η mit η≤

-

2δ − δ 4 /4,

so dass jeder Punkt x ∈ R3 aus der offenen Kugelumgebung Uη (0) mit diesem Radius η um den Ursprung 0 eineindeutig einem Element A aus der offenen Kugelumgebung Uδ (12 ) mit Radius δ um das Einselement 12 zugeordnet werden kann. Damit ist die Bedingung (c) erfüllt. Bei der gewählten Parametrisierung (4.40a) und (4.40b) ist jedes Matrixelement eine analytische Funktion der Parameter {xi | i = 1, 2, 3}, so dass auch Bedingung (d) erfüllt ist. Die Gruppe SU (2) ist deshalb eine lineare L IE-Gruppe mit der Dimension n = 3. Die drei Generatoren ergeben sich nach (4.40a) zu 1 a1 = 2



 0 i , i 0

1 a2 = 2



 0 1 , −1 0

1 a3 = 2



i 0

0 −i

 .

(4.43)

Bleibt darauf hinzuweisen, dass mitunter auch die Schreibweise (4.27) bzw. (2.43) gewählt wird, wonach die Generatoren mit den PAULI´schen Spinmatrizen übereinstimmen. Im Sinne einer Verallgemeinerung kann man die Anzahl der Argumente bzw. die Dimension der Darstellung zu einer Zahl N erweitern. Die Anzahl n der Parameter bzw. die Dimension der L IE-Gruppe ergibt sich dann in der folgenden Weise (Tab. 4.1).

148

4 L IE-Gruppen

Beispiel 7 Orthogonale Gruppe O(N ): Zunächst erwartet man bei einer Matrixdarstellung mit reellen, N × N -Matrizen insgesamt N 2 reelle Parameter. Mit der Forderung nach Orthogonalität (Gl. 2.7) werden unabhängige Bedingungen an diese Parameter gestellt. Ihre Anzahl ist N von den Diagonalelementen sowie (N −1)N /2 von den Nichtdiagonalelementen. Insgesamt erhält man (N + 1)N /2 unabhängige

Tabelle 4.1 Lineare L IE -Gruppen in N Dimensionen als Teilmengen von G L(N , K) bzw. als Un2 2 termannigfaltigkeiten von R N (K = R) und R2N (K = C); dabei bedeuten: ⎛ ⎞ −1r 0 0 0     ⎜ 0 1s 0 1 N /2 0 0 0 ⎟ 1p ⎟ , J= , G=⎜ g= ⎝ 0 0 −1q 0 −1r 0 ⎠ −1 N /2 0 0 0 0 1s mit

p + q = N , p ≥ q ≥ 1; Gruppe G

2s + 2r = N , 1 ≤ r ≤ N /2 Matrix A∈G

allgemeine lineare G L(N , C) Ai j ∈ C, det A = 0 G L(N , R) Ai j ∈ R, det A = 0 spezielle lineare S L(N , C) A ∈ G L(N , C), det A = 1 A ∈ G L(N , R), det A = 1 S L(N , R) orthogonale O(N , C) A ∈ G L(N , C), A A = 1 N , det A = ±1 A ∈ G L(N , R), A A = 1 N , det A = ±1 O(N ) (N > 1) spezielle orthogonale S O(N , C) A ∈ O(N , C), det A = 1 A ∈ O(N ), det A = 1 S O(N ) unitäre U (N ) A ∈ G L(N , C), A A† = 1 N , | det A| = 1 spezielle unitäre SU (N ) A ∈ U (N ), det A = 1 pseudounitäre U ( p, q) A ∈ G L(N , C), A† g A = g SU ( p, q) A ∈ U ( p, q) ∩ S L(N , C) pseudorthogonale O( p, q) A ∈ G L(N , R), A g A = g A ∈ O( p, q) ∩ S L(N , R) S O( p, q) S O ∗ (N )

A ∈ G L(N , C), A A = 1, A† J A = J

A ∈ G L(N , C), J A∗ = A J, det A = 1 SU ∗ (N ) symplektische Sp(1/2 N , C) A ∈ G L(N , C), A J A = J A ∈ G L(N , R), A J A = J Sp(1/2 N , R) unitäre symplektische Sp(1/2 N ) A ∈ Sp(1/2 N , C) ∩ U (1/2 N , C) pseudosymplektische Sp(r, s) A ∈ G L(N , C), A J A = J, A† G A = G

dim G n 2N 2 N2 2(N 2 − 1) N2 − 1 N (N − 1) N (N − 1)/2 N (N − 1) N (N − 1)/2 N2 N2 − 1 N2 N2 − 1 N (N − 1)/2 N (N − 1)/2 N (N − 1)/2 N2 − 1 N (N + 1) N (N + 1)/2 N (N + 1)/2 N (N + 1)/2

4.3

Lineare L IE-Gruppen

149

Bedingungen. Die Anzahl der Parameter bzw. die Dimension der Gruppe errechnet sich dann zu dim O(N ) = N 2 − N (N + 1)/2 = N (N − 1)/2.

(4.44)

Beispiel 8 Spezielle orthogonale Gruppe S O(N ): Hier gibt es die zusätzliche Forderung (2.6) an die Determinante der Matrizen, die jedoch wegen der Orthogonalität (2.7) mit Gl. (2.8) bereits erfüllt ist. Es gibt deshalb keine weitere unabhängige Bedingung an die Parameter, so dass die Dimension der Gruppe die gleiche ist wie die Dimension der orthogonalen Gruppe dim S O(N ) = N (N − 1)/2.

(4.45)

Beispiel 9 Unitäre Gruppe U (N ): Zunächst erwartet man bei einer Matrixdarstellung mit komplexen N × N -Matrizen insgesamt 2N 2 reelle Parameter. Mit der Forderung nach Unitarität (Gl. 2.5) werden unabhängige Bedingungen an diese Parameter gestellt. Ihre Anzahl ist N von den rellen Diagonalelementen und 2(N − 1)N /2 von den komplexen Nichtdiagonalelementen. Insgesamt erhält man N 2 unabhängige Bedingungen. Die Anzahl der Parameter bzw. die Dimension der Gruppe errechnet sich dann zu dim U (N ) = 2N 2 − N 2 = N 2 .

(4.46)

Beispiel 10 Spezielle unitäre Gruppe SU (N ): Hier gibt es die zusätzliche Forderung (2.4) an die Determinante der Matrizen, so dass im Vergleich zur unitären Gruppe eine weitere unabhängige Bedingung an die Parameter gestellt wird. Die Dimension der Gruppe errechnet sich dann zu dim SU (N ) = N 2 − 1.

(4.47)

Beispiel 11 Die außergewöhnliche Bedeutung der eigentlichen Rotationen d im euklidischen Raum R3 – insbesondere im Hinblick auf die Quantenmechanik des Drehimpulses – veranlasst die spezielle orthogonale Gruppe S O(3) in drei Dimensionen als Beispiel zu diskutieren. Ihre Elemente d sind isomorph zur Menge der orthogonalen 3×3-Matrizen A, deren Determinate den Wert Eins annimmt (Gl. 2.8). Eine treue dreidimensionale Darstellung ist durch die Rotationsmatrix d gegeben, die die lineare, aktive Transformation eines Vektors x des euklidischen Raumes R3 nach x  gemäß 

x = dx

bzw.

xi

=

3

di j x j

(4.48)

j=1

ermöglicht. Aus der Orthogonalität (d = d −1 ) erhält man sechs Bedingungsgleichungen für die insgesamt neun reellen Matrixelemente, so dass drei Matrixelemente als unabhängige Parameter die Rotation zu charakterisieren vermögen. Diese

150

4 L IE-Gruppen

Parameter können als Komponenten ϕ1 , ϕ2 und ϕ3 eines Rotationsvektors ϕ aufgefasst werden, der in Richtung der Rotationsachse zeigt und dessen Länge ϕ den positiven Drehwinkel angibt (s. a. Beispiel 18). Ein Vorzeichenwechsel des Drehwinkels (−ϕ) ist gleichbedeutend mit einer Richtungsumkehr des Rotationsvektors (−ϕ). Die Variation des Drehwinkels ϕ im abgeschlossenen Intervall [−π, π] verlangt deshalb das Verbot eines negativen Drehvektors. Andernfalls geschieht die Variation des Drehwinkels im Intervall [0, π ]. Die Charakterisierung der dreiparametrigen Rotationsmatrix d(ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) mit einem Rotationsvektor ϕ ist durch den Isomorphismus zwischen der Gruppe S O(3) und der Gruppe der Rotationsvektoren gerechtfertigt. Im Unterschied zur speziellen orthogonalen Gruppe S O(2) in zwei Dimensionen verliert hier bei zwei verschiedenen Rotationen ϕ 1 und ϕ 2 um verschiedene Rotationsachsen die Vektoraddition zu einer gesamten Rotation ϕ ihre Gültigkeit. Damit wird die nicht-abelsche Eigenschaft der Gruppe S O(3) berücksichtigt, die mit dem Verbot der Vertauschbarkeit von Matrizen bei der Matrixmultiplikation korreliert ist.

Abb. 4.8 Demonstration des Orthonormalsystems {n, χ i , ψ i } für den Fall i = 3

Mit der orthonormalen Standardbasis e = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} des euklidischen Raumes R3 erhält man nach Gl. (3.6) 

e = e d(ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 )

bzw.

ei

=

3

d ji (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 )e j

(4.49)

j=1

die Rotationsmatrix zu   d ji (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) = ei , e j .

(4.50)

4.3

Lineare L IE-Gruppen

151

Um den transformierten Vektor ei zu ermitteln, empfiehlt es sich, einen Satz von drei Vektoren einzuführen n=

ϕ , |ϕ|

χi =

ϕ × ei , |ϕ × ei |

ψi =

(ϕ × ei ) × ϕ |ϕ × ei |

i = 1, 2, 3,

(4.51)

die ein Orthonormalsystem bilden. Durch diese Konstruktion liegt der Einheitsvektor ei in einer Ebene mit den Vektoren n und ψ i (Abb. 4.8)   ei = ψ i ei , ψ i + n "ei , n#

i = 1, 2, 3,

(4.52)

wobei die Symbolik " · , · # das Skalarprodukt im Raum R3 bedeutet. Nach der Rotation um den Vektor n als Rotationsachse und mit dem Drehwinkel ϕ bleibt die Projektion von ei auf die Achse n unverändert, während die Projektion von ei auf den Vektor ψ i mit cos ϕ abnimmt. Zudem wird der Vektor ei aus der Ebene {ψ i , ei , n} herausgedreht, wodurch eine Komponente des neuen Vektors ei in Richtung χ i erwächst, die mit sin ϕ zunimmt. Der transformierte Einheitsvektor ei errechnet sich dann zu     ei = ψ i ei , ψ i cos ϕ + ψ i ei , ψ i sin ϕ + n "ei , n#

i = 1, 2, 3.

(4.53)

Unter Verwendung der Umformungen ψi =

ei − n "ei , n# |ei × n|

(4.54a)

|ei × n|2 = 1 − "ei , n#2   ψ i ei , ψ i = ei − n "ei , n#   χ i ei , ψ i = n × ei

(4.54b) (4.54c) (4.54d)

wird Gl. (4.53) zu ei = n "ei , n# (1 − cos ϕ) + ei cos ϕ + (n × ei ) sin ϕ

i = 1, 2, 3.

(4.55)

Die skalare Multiplikation mit dem Einheitsvektor e j führt dann mit Berücksichtigung von "ei , n# = 

ϕi = ni , ϕ 



(4.56a) 

(n × ei ), e j = (ei × e j ), n =

3

k=1

und Gl. (4.50) zu dem Ergebnis

εi jk "ek , n# = −

3

k=1

ε jik n k (4.56b)

152

4 L IE-Gruppen 3

  di j (ϕ) = ei , e j = δ ji cos ϕ + n j n i (1 − cos ϕ) − sin ϕ ε jik n k .

(4.57a)

k=1

Dabei bedeuten die Koeffizienten εi jk die Elemente eines vollständig antisymmetrischen Tensors 3. Stufe ε (s. Gl. 5.41). Die orthogonale Rotationsmatrix mit den Parametern n 1 , n 2 und n 3 hat dann die Form d(ϕ)  =

cos ϕ + n 21 (1 − cos ϕ) n 1 n 2 (1 − cos ϕ) − n 3 sin ϕ n 1 n 3 (1 − cos ϕ) − n 2 sin ϕ

n 1 n 2 (1 − cos ϕ) + n 3 sin ϕ cos ϕ + n 22 (1 − cos ϕ) n 2 n 3 (1 − cos ϕ) − n 1 sin ϕ

n 1 n 3 (1 − cos ϕ) − n 2 sin ϕ n 2 n 3 (1 − cos ϕ) + n 1 sin ϕ cos ϕ + n 23 (1 − cos ϕ)

 .

(4.57b) Das Einselement wird durch den Ursprung (ϕ = 0) im Raum R3 parametrisiert (d(ϕ = 0) = 13 ). Jedes Matrixelement der Darstellung d(ϕ) ist eine analytische Funktion der Parameter {n i |i = 1, 2, 3}. Die Gruppe S O(3) ist demnach eine lineare L IE-Gruppe mit der Dimension n = 3. Die drei Generatoren ergeben sich nach Gln. (4.26) und (4.57) zu ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 ⎠. (4.58) a1 = ⎝ 0 0 −1 ⎠ a2 = ⎝ 0 0 0 ⎠ a3 = ⎝ 1 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 Sie bilden eine Basis {ak | k = 1, 2, 3} bzw. eine definierende Darstellung der zugehörigen L IE-Algebra so(3) (s. Beispiel 2 v. Abschn. 5.5) und erfüllen die Kommutatorbeziehungen [a 1 , a 2 ] = −a3

[a2 , a3 ] = −a1

[a3 , a 1 ] = −a2 .

(4.59)

Bleibt darauf hinzuweisen, dass bei einer passiven Rotation, wo der Vektor x fest bleibt und das Koordinatensystem transformiert wird, der Rotationswinkel ϕ durch den negativen Wert −ϕ ersetzt wird. Die Ermittlung des Charakters der Parameterdarstellung (4.57) durch die Spurbildung ergibt χ (ϕ) = sp d(ϕ) = 1 + 2 cos ϕ.

(4.60)

Dieses Ergebnis erlaubt zusammen mit Gl. (4.52) die Aussage, dass alle eigentlichen Rotationen mit dem gleichen Betrag des Drehwinkels |ϕ| aber um beliebige Achsen im Raum zueinander konjugiert sind und deshalb zu einer gemeinsamen Klasse gehören. Die homomorphe Abbildung (2.49) der speziellen unitären Gruppe SU (2) auf die Gruppe S O(3) (s. Beispiel 4 v. Abschn. 2.3) erlaubt auch die Charakterisierung eines Elements U ∈ SU (2) mithilfe der drei Parameter {n i | i = 1, 2, 3} durch die Beziehung

4.3

Lineare L IE-Gruppen

U(ϕ) = 12 cos

153

 ϕ  ϕ ϕ + i(n 1 σ 1 + n 2 σ 2 + n 3 σ 3 ) sin = exp −i "n, σ # , (4.61a) 2 2 2

(σ k = PAULI’sche Spinmatrizen (2.43)), die auch in der Form  U(ϕ) =

cos ϕ/2 + in 3 sin ϕ/2 i(n 1 − in 2 ) sin ϕ/2

i(n 1 + in 2 ) sin ϕ/2



cos ϕ/2 − in 3 sin ϕ/2

(4.61b)

ausgedrückt werden kann. Der Nachweis benutzt die Abbildung (2.53) sowie die Umformungen sp (σ j σ k σ l ) = 2iε jkl

(4.62a)

sp (σ j σ k σ l σ m ) = 2δ jk δlm + 2δ jm δkl − 2δ jl δkm .

(4.62b)

und

Man erhält so eine treue, zweidimensionale Darstellung, deren Einselement durch den Ursprung (ϕ = 0) im Raum R3 parametrisiert wird (U(ϕ = 0) = 12 ). Jedem Element d ∈ S O(3) mit dem Drehwinkel ϕ entsprechen nach Gl. (2.49) zwei Elemente ±U ∈ SU (2) mit den Drehwinkeln ϕ und ϕ + 2π . Die Variation des Drehwinkels ϕ geschieht deshalb im abgeschlossenen Intervall [−2π, +2π ]. Nach Gl. (4.26) erhält man mit der Darstellung (4.61) die drei Generatoren {ak | k = 1, 2, 3} von Gl. (4.43). Der Charakter errechnet sich zu χ (ϕ) = sp U(ϕ) = 2 cos

ϕ , 2

(4.63)

wonach alle Elemente U(ϕ) mit dem gleichen Betrag des Drehwinkels |ϕ| zu einer gemeinsamen Klasse gehören. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass die Darstellung (4.61) jene irVektorraum bedeutet, die reduzible Darstellung D J im (2J + 1)-dimensionalen mithilfe der Standardbasis vmJ | − J ≤ m ≤ +J bei einer Drehimpulsquantenzahl J = 1/2 gewonnen wird (s. Beispiel 1 v. Abschn. 5.5) U(ϕ) = D J =1/2 (ϕ).

(4.64)

Die Elemente des komplexen Darstellungsraumes (Spinorraum) mit der Dimension Zwei (= 2J + 1) sind Spinoren v J =1/2 der Stufe Eins (= n = 2J ) mit zwei (= 2J + 1 = n + 1) Komponenten ⎛ v

J =1/2

=⎝

1/2

⎞

1/2

⎠,

v+1/2 v−1/2

(4.65)

154

4 L IE-Gruppen

die in der nicht-relativistischen Quantenmechanik ein F ERMI-Teilchen mit der Spinquantenzahl J = s = 1/2 beschreiben. Eine Rotation mit dem Winkel ϕ = 2π im Raum R3 bedeutet unabhängig von der Richtung der Drehachse die identische Transformation, so dass nach Gl. (4.57) die Darstellung des Einselements e erhalten wird d(ϕ = 2π ) = d(e) = 13 .

(4.66)

Anders dagegen im Spinorraum, wo die dazu korrelierte Transformation den Wert U(ϕ = 2π ) = −U(e) = −12

(4.67)

annimmt, und ein zweikomponentiger Spinor (4.65) entgegengerichtet wird. Erst eine Rotation mit dem Winkel ϕ = 4π im Raum R3 liefert auch im Spinorraum die Darstellung des Einselements U(ϕ = 4π ) = U(e) = 12 ,

(4.68)

so dass allgemein jede Rotation im euklidischen Raum mit dem Winkel ϕ zu zwei entgegengerichteten Transformationen im Spinorraum mit den Darstellungen D1/2 (ϕ) = U(ϕ)

und

D1/2 (ϕ + 2π ) = −U(ϕ)

(4.69)

korreliert ist. Die Ursache für diese Zweideutigkeit ist die homomorphe Abbildung (2.49) der Gruppe SU (2) auf die Gruppe S O(3), bei der der Kern aus den Elementen (4.66) und (4.67) besteht (Beispiel 4 v. Abschn. 2.3). Eine Erweiterung der Betrachtung auf einen Spinorraum mit höherer Dimension, wie sie die Diskussion eines Systems von n F ERMI-Teilchen mit der gesamten Spinquantenzahl S = n/2 notwendig macht, zwingt zur Einführung von Spinoren n-ter Stufe. Ein ähnlicher Weg wird beim Übergang von Vektoren zu Tensoren beschrieben. Dabei können in Erinnerung an die Tensoralgebra die dort gewonnenen Ergebnisse übernommen werden. So erwartet man etwa von einem Spinor 2-ter Sufe ein  Transformationsverhalten seinervier Komponenten, das dem der Pro1/2 1/2 dukte vk ⊗ vl | k = ±1/2, l = ±1/2 mit den Komponenten zweier Spinoren 1-ter Stufe als Faktoren gleichzusetzen ist. Die Beschreibung des gesamten Spinzustands zweier F ERMI-Teilchen setzt jedoch die Symmetrieeigenschaft eines Spinors 2-ter Stufe voraus, so dass sich die Zahl der unabhängigen Komponenten auf drei reduziert. Bei einem System von n F ERMI-Teilchen erwartet man dann einen symmetrischen Spinor der Stufe n (= 2S) mit allgemein (n + 1) (= 2S + 1) unabhängigen Komponenten. Während im Fall eines symmetrischen Spinors 1-ter 1/2 1/2 Stufe die beiden unabhängigen Komponenten v+1/2 und v−1/2 sich bei Rotationen im euklidischen Raum mittels der Transformationsmatrix (4.64) linear ineinander transformieren, sind es im allgemeinen Fall eines symmetrischen Spinors n-ter Stufe die (n + 1 = N ) unabhängigen Spinorkomponenten. Sie bilden die Basis für eine

4.3

Lineare L IE-Gruppen

155

(n + 1)-dimensionale Darstellung Dn/2 (ϕ) der speziellen unitären Gruppe SU (N ). Dabei ist die Zweideutigkeit der Darstellung mit der Forderung nach halbzahliger Spinquantenzahl S verbunden. Als Konsequenz daraus können nur Spinoren ungerader Stufe n (= 2k + 1; k = 0, 1, . . .) als Basis der zweideutigen Darstellungen bzw. Spinordarstellungen verwendet werden. Beispiel 12 Die Eigenschaften der Matrixdarstellungen einer linearen L IE-Gruppe werden durch den positiven metrischen Tensor κ bestimmt. Darunter versteht man jenen Tensor 2-ter Stufe, der in der kovarianten Form κi j ((0,2)-Tensor) als lineare Abbildung des N -dimensionalen Vektorraumes V in den dualen Vektorraum V ∗ aufgefasst werden kann und so den Übergang von einem Vektorraum zu dem ihm dualen Vektorraum ermöglicht. Dabei werden die Komponenten eines Vektors aus dem Vektorraum V, nämlich der kontravariante Spaltenvektor {x i } = (x 1 , . . . , x N ) in die Komponenten des Vektors aus dem Dualraum V ∗ , nämlich in den kovarianten Zeilenvektor {x j } = (x 1 , . . . , x N ) durch das Herabziehen der Indizes transformiert und umgekehrt mithilfe der kontravarianten Form κ i j ((2,0)Tensor) xi =

N

κi j x j

xi =

und

j=1

N

κi j x j .

(4.70)

j=1

Die kontravariante Form κ i j des metrischen Tensors ist wegen der Positivität von κ invers zur kovarianten Form κi j

κ jk κ ki = δij .

(4.71)

k

Von Bedeutung sind dann nur jene Darstellungen D(G) einer L IE-Gruppe G D(A)x i = x i =

N

D i j (A)x j

A ∈ G,

(4.72)

j=1

die ein Skalarprodukt (inneres Produkt), definiert durch "x, y# :=

N

xi y i =

i=1

N N



κik x k y i ,

(4.73)

i=1 k=1

bezüglich der transformierten Zeilenvektoren xi und Spaltenvektoren x  j invariant lassen N

i=1

xi x i =

N

i=1

xi x i .

(4.74)

156

4 L IE-Gruppen

Daraus errechnet sich mit Gln. (4.70) und (4.72) die linke Seite der Gl. (4.74) zu N

k=1

xk x k =

N N



κkl x l x k =





k=1 l=1

k

l

m

κkl Dl m x m D k i x i .

(4.75a)

i

Der Vergleich mit der rechten Seite von Gl. (4.74) N

xi x i =

i=1

N

N

κim x m x i

(4.75b)

i=1 m=1

ergibt für den metrischen Tensor κim =

N

N

κkl D l m D k i

oder

κ = D κ D.

(4.76)

k=1 l=1

Die Invarianz des Skalarprodukts (4.74) impliziert so mit Gl. (6.171) die Invarianz des metrischen Tensors. Der metrische Tensor κ kann dann in eine symmetrische Form (κ = κ ) und eine antisymmetrische Form (κ = −κ ) eingeteilt werden. Für einen zweidimensionalen Vektorraum (N = 2) erhält man im symmetrischen Fall und bei einer orthonormalen Basis als metrischen Tensor κ = 12 = κ −1 ,

(4.77)

so dass mit Gl. (4.70) jede Komponente x µ eines Vektors in die entsprechende Komponente x ν des dazu dualen Vektors transformiert wird. Demnach ist der Vektorraum isomorph zu seinem Dualraum und die orthonormale Basis ist identisch mit der dualen Basis (kanonischer Isomorphismus). Das Skalarprodukt (4.73) hat dann die Form "x, y# = x1 y 1 + x 2 y 2 = x 1 y 1 + x 2 y 2 = x 1 y1 + x 2 y2 ,

(4.78)

wonach die Unterscheidung zwischen oberen und unteren Indizes hinfällig wird. √ "x, x# ist immer positiv definit, was eine euklidische Metrik Die Norm auszeichnet. Die Darstellungsmatrizen, die die Invarianzbedingung (4.76) erfüllen, sind alle orthogonalen Matrizen der L IE-Gruppen O(2) und S O(2). In N Dimensionen sind es die Matrixdarstellungen der orthogonalen Gruppen O(N ) und S O(N ) (Tab. 4.1 und 4.2). Ein anderer symmetrischer Tensor  κ=

1 0

erlaubt nach Gl. (4.70) die Transformation

0 −1

 (4.79)

4.3

Lineare L IE-Gruppen

157

x1 = x 1

und

x2 = −x 2 ,

(4.80)

wonach der Vektorraum von seinem Dualraum unterscheidbar wird. Das Skalarprodukt (4.73) hat die Form "x, y# = x 1 y 1 − x 2 y 2 ,

(4.81)

so dass die Norm als die Länge eines Vektors ihren Sinn verliert. Man bekommt so eine pseudoeuklidische Metrik (M INKOWSKI -Metrik) des zweidimensionalen M INKOWSKI-Raumes, dessen Koordinatensystem durch die x-Achse und die ctAchse gebildet wird. Im vierdimensionalen M INKOWSKI -Raum hat die Metrik die diagonale Form κ = diag(1, −1, −1, −1, ),

(4.82)

dessen Invarianz nach Gl. (4.76) durch die Darstellungsmatrizen der L ORENTZGruppe O(1, 3) garantiert wird. In N Dimensionen sind es die Matrixdarstellungen der pseudoorthogonalen Gruppen O( p, q) und S O( p, q) (Tab. 4.1 und 4.2). Tabelle 4.2 Lineare L IE-Gruppen mit symmetrischer und antisymmetrischer Metrik symmetrische Metrik euklidische Metrik O(N ) S O(N )

pseudoeuklidische Metrik O( p, q) S O( p, q) p + q = N, p ≥ q ≥ 1 antisymmetrische Metrik SU (2) Sp(1/2 N , C) Sp(1/2 N , R) Sp(1/2 N )

Im antisymmetrischen Fall hat der metrische Tensor für einen zweidimensionalen Vektorraum die Form   0 1 κ= = −κ , (4.83) −1 0 so dass nach Gl. (4.70) die Transformation x1 = x 2

und

x2 = −x 1

(4.84)

möglich sein wird. Die Komponenten von Vektorraum und Dualraum werden so antisymmetrisch ausgetauscht. Das Skalarprodukt (4.73) ergibt "x, y# = x 1 y 2 − x 2 y 1 ,

(4.85)

158

4 L IE-Gruppen

wonach die Norm verschwindet ("x, x# = 0), so dass jeder Vektor zu sich selbst orthogonal ist. Man bekommt so eine Spinormetrik des zweidimensionalen Raumes, die durch die speziellen unitären Matrizen der L IE-Gruppe SU (2) invariant bleibt. In N Dimensionen hat die antisymmetrische Metrik die Form  κ=

0 −1 N /2

 1 N /2 , 0

(4.86)

dessen Invarianz (4.76) durch die Darstellungsmatrizen der symplektischen L IEGruppe Sp(1/2 N , K) (K = R bzw. C) garantiert wird (Tab. 4.1 und 4.2). Letztere beschreiben die linearen kanonischen Transformationen des Phasenraumes in der klassischen Mechanik.  Besonders hervorzuheben ist die einparametrige L IE-Untergruppe H einer linearen L IE-Gruppe G (s. a. Abschn. 6.3). Ihre Elemente a(x) sind abhängig von nur einem reellen Parameter x mit Werten im Bereich −∞ < x < +∞ und sie genügen der Beziehung a(x 1 )a(x 2 ) = a(x1 + x 2 )

∀x1 , x2 mit − ∞ < x1 , x2 < +∞.

(4.87a)

Diese Untergruppe hat die Dimension n = 1. Wegen der Kommutativität bzgl. der Addition von reellen Zahlen ist auch jede einparametrige Untergruppe kommutativ a(x 1 )a(x 2 ) = a(x2 )a(x1 )

∀ x 1 , x2

(4.87b)

und mithin eine abelsche Gruppe. Für x = 0 erhält man nach Gl. (4.87a) das Einselement e ∈ G a(x = 0) = e.

(4.88)

Zu einer linearen L IE-Gruppe von N × N -Matrizen A erhält man alle einparametrigen Untergruppen durch Exponentiation des Produkts aus dem Parameter x und einer Matrix a A(x) = exp(x a)

− ∞ < x < +∞.

(4.89a)

Dabei ist die Matrix a der einzige Generator der einparametrigen Untergruppe  d A  a= , d x x=0

(4.89b)

der auch als Tangentialvektor a im Einselement 1 N bezeichnet wird (s. Abschn. 6.2). An dieser Stelle sei erwähnt, dass jede lokale einparametrige L IE-Gruppe, deren Elemente aus einer hinreichend kleinen Umgebung U(1 N ) des Einselements 1 N

4.3

Lineare L IE-Gruppen

159

sind, isomorph ist zu einem Intervall des euklidischen Raumes R, das den Ursprung enthält. Beispiel 13 Als Beispiel wird die spezielle orthogonale Gruppe S O(3) in drei Dimensionen betrachtet. Sie umfasst die eigentlichen Rotationen eines Systems im euklidischen Raum R3 , die etwa um die z-Achse als Rotationsachse mit dem Winkel ϕ als Parameter durch die Matrix d z (ϕ) von Gl. (2.9) beschrieben werden. Diese Elemente erfüllen Gl. (4.87a) und bilden eine einparametrige Untergruppe, die gemäß Gl. (4.33a) isomorph zur L IE-Gruppe S O(2) ist. Die Reihenentwicklung liefert ⎛ ⎞ ∞ 1 0 0

ϕ 2k A(ϕ) ≡ d z (ϕ) = 13 + ⎝ 0 1 0 ⎠ (−1)k (2k)! 0 0 0 k=1 ⎛ ⎞ ∞ 0 −1 0

(4.90) ϕ 2k+1 0 0⎠ (−1)k + ⎝1 (2k + 1)! 0 0 0 k=0

= exp(ϕa)

0 ≤ ϕ < 2π,

so dass mit Gl. (4.89) der Generator der einparametrigen Untergruppe die Form ⎛

⎞ 0 −1 0 0 0⎠ a = ⎝1 0 0 0 annimmt.

(4.91)

 Die Eigenschaften zusammenhängend und kompakt spielen ein herausragende Rolle im Hinblick auf die Darstellungen einer linearen L IE-Gruppe G. Ausgehend vom Parameterraum Rn , der die Dimension n der Gruppe bestimmt, findet man eine Erklärung dieser inneren Eigenschaften, die äquivalent ist zu jener bei topologischen Gruppen (Abschn. 4.2). So wird man eine lineare L IE-Gruppe G mit der Dimension n als (weg-) zusammenhängend bezeichnen, falls alle n Parameter {xi | i = 1, . . . , n} im euklidischen Raum Rn eine zusammenhängende Teilmenge bilden. Dabei sind alle Matrixelemente Di j der treuen, endlich-dimensionalen Matrixdarstellung D(G) kontinuierliche Funktionen dieser Parameter, so dass durch kontinuierliche Variation der Parameter alle Elemente der Gruppe erhalten werden. Für zwei beliebige Elemente a1 , a2 ∈ G gibt es demnach einen kontinuierlichen Weg zwischen entsprechenden Punkten x 1 (a1 ) und x 2 (a2 ) im Parameterraum Rn . Der Weg bedeutet dabei ein Kurvenstück im Rn , das ein Abbild des abgeschlossenen Intervalls [0, 1] im Raum R ist (Abb. 4.9). Falls es n nicht-äquivalente Wege gibt, dann heißt die lineare L IE-Gruppe n-fach zusammenhängend (Abb. 4.9). Dabei bedeuten äquivalente Wege solche, die durch eine kontinuierliche Transformation ohne den Parameterraum zu verlassen ineinander überführt werden können. Eine L IE-Gruppe ist demnach einfach zusammenhängend, falls der Parameterraum zusammenhängend ist und sich

160

4 L IE-Gruppen

Abb. 4.9 Demonstration einer einfach (a) und zweifach (b) zusammenhängenden linearen L IEGruppe am Bild ihres Parameterraumes Rn ; die beiden kontinuierlichen Wege (I ) und (II) zwischen zwei beliebigen Punkten x 1 , x 2 ∈ Rn sind nicht äquivalent

dort jede geschlossene, stetige Kurve auf einen Punkt zusammenziehen lässt (s. a. Tab. 4.3). Als (zusammenhängende) Komponente G0 der Gruppe G wird man jene maximal zusammenhängende Teilmenge von Elementen verstehen, die durch Variation der Parameter erhalten wird (s. Abschn. 4.1 und 4.2). Falls die Komponente G0 ⊆ G das Einselement (e ∈ G0 ) enthält, dann ist sie ein Normalteiler (invariante Untergruppe, s. Abschn. 2.2). Diese zusammenhängende Untergruppe wird auch als Komponente des Einselements einer linearen L IE-Gruppe bezeichnet. Daneben findet man, dass jede Komponente eine Rechts- bzw. Linksnebenklasse der Komponente des Einselements G0 bildet. Eine lineare L IE-Gruppe kann prinzipiell abzählbar unendlich viele Komponenten besitzen. Von Bedeutung sind allerdings nur jene Gruppen mit einer endlichen Anzahl. Falls nur eine Komponente vorhanden ist, kann die gesamte Gruppe gemäß obiger Definition selbst als zusammenhängend bezeichnet werden. Beispiel 14 Im Beispiel der Menge der reellen Zahlen {t ∈ R| t = 0} mit der gewöhnlichen Multiplikation als Verknüpfung G = (R\{0}, ·), die zur allgemeinen linearen Gruppe G L(1, R) isomorph ist, kann die Teilmenge {t ∈ R| t > 0} durch kontinuierliche Variation des Parameters x (−∞ < x < +∞) nach Gl. (4.30) erhalten werden. Diese Teilmenge ist deshalb eine Komponente. Sie ist darüber hinaus eine einfach zusammenhängende Untergruppe, da sie das Einselement (e = 1) enthält, und gilt als Komponente des Einselements G L + (1, R). Eine andere Teilmenge {t  ∈ R| t  < 0} mit der Parametrisierung nach Gl. (4.31) bildet eine weitere Komponente, die nicht aus der ersten erhalten werden kann. Die gesamte Gruppe besitzt so mehr als eine Komponente und ist deshalb nicht zusammenhängend. Mit dem Normalteiler N = {t ∈ R| t > 0} als Komponente des Einselements erhält man die andere Komponente durch Multiplikation von rechts bzw. / N ). Diese Komponente ist deshalb eine von links mit dem Element t0 = −1(∈ Rechts- bzw. Linksnebenklass bzgl. des Vertreters t0 = −1 (s. a. Beispiel 11 v. Abschn. 4.2).

4.3

Lineare L IE-Gruppen

161

Beispiel 15 Im Beispiel der unitären Gruppe U (1) mit den komplexen Zahlen vom Betrag Eins als Elemente ({z ∈ C| |z| = 1}) und dem einzigen reellen Parameter ϕ besteht der Parameterraum aus dem abgeschlossenen Intervall [0, 2π ] des euklidischen Raumes R (s. a. Beispiel 10 und 12 v. Abschn. 4.2). Neben dem direkten Weg zwischen zwei Elementen z 1 und z 2 mit den Parametern 0 < ϕ1 < ϕ2 < 2π gibt es unendlich viele weitere Wege über die äquivalenten Punkte 0, 2π, 4π, . . . im Parameterraum (Abb. 4.10). Die Wege verlaufen etwa von ϕ1 nach 0 und von 2π, 4π, . . . nach ϕ2 . Alle diese Wege gelten als nicht-äquivalent, da sie nur unter Verlassen des Parameterraumes [0, 2π ] durch eine kontinuierliche Transformation ineinander überführt werden können. Demnach ist die Gruppe zwar zusammenhängend, jedoch nicht einfach zusammenhängend, sondern vielmehr unendlich-fach zusammenhängend.

Abb. 4.10 Nicht-äquivalente Wege (I ), (II) und (III) zwischen zwei Punkten ϕ1 und ϕ2 im Parameterraum [0, 2π ] der unitären Gruppe U (1)

Die Isomorphie zur speziellen orthogonalen Gruppe S O(2) impliziert eine analoge Diskussion, so dass auch diese Gruppe als nicht einfach zusammenhängend gilt (s. a. Beispiel 12 v. Abschn. 4.2 und Beispiel 1 v. Abschn. 6.4). Beispiel 16 Ein anderes Beispiel ist die orthogonale Gruppe O(2) in zwei Dimensionen. Die zweidimensionale Darstellung umfasst nach Parametrisierung durch den Winkel x (s. Gl. 4.33) zwei Typen von Matrizen. Die Menge vom ersten Typ A1 (Gl. 4.33a) bildet eine Komponente. Da das Einselement 12 dazugehört, ist sie eine zusammenhängende Untergruppe und gilt als Komponente des Einselements. Dieser Normalteiler repräsentiert die spezielle orthogonale Gruppe S O(2) in zwei Dimensionen. Die Menge der Matrizen vom zweiten Typ A2 (Gl. 4.33b) bilden ebenfalls eine Komponente. Nachdem die Determinante nicht kontinuierlich zwischen den beiden Werten −1 und +1 (Gl. 4.33) variiert, können beide Komponenten nicht zusammenhängen, so dass die Gruppe O(2) insgesamt als nicht-zusammenhängend / S O(2)) gilt. Die Multiplikation des Normalteilers S O(2) mit A2 (x = π/2)(∈ (s. Gl. 4.35) von rechts bzw. von links ergibt eine Rechts- bzw. Linksnebenklasse bzgl. des Vetreters A2 (x = π/2). Sie ist die zweite Komponente der Gruppe O(2). Beispiel 17 Im Beispiel der speziellen unitären Gruppe SU (2) können die Elemente (4.38) wegen der Forderung (4.39) als Punkte mit den Koordinaten (a1 , a2 , b1 , b2 ) auf einer Kugel im vierdimensionalen euklidischen Raum R4 aufgefasst werden. Alle Wege zwischen zwei beliebigen Punkten verlaufen auf der Kugeloberfläche als Parameterraum und können durch eine kontinuierliche Transformation ineinander

162

4 L IE-Gruppen

überführt werden. Damit gleichbedeutend ist die Tatsache, dass jede dort verlaufende doppelpunktfreie, geschlossene Kurve sich auf einen Punkt zusammenziehen lässt. Demzufolge gilt die zusammenhängende Gruppe mit einer Komponente als einfach zusammenhängend. Diese Überlegungen können verallgemeinert werden auf N Dimensionen, so dass alle L IE-Gruppen SU (N ) (N ≥ 2) als einfach zusammenhängend gelten (s. Tab. 4.3). Beispiel 18 Schließlich wird die spezielle orthogonale Gruppe S O(3) als Beispiel gewählt, deren Elemente die eigentlichen Rotationen d im euklidischen Raum R3 sind (Beispiel 10 und 11 v. Abschn. 2.1). Eine mögliche Parametrisierung gelingt durch die drei Komponenten (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) eines Rotationsvektors ϕ, der in Richtung der Rotationsachse zeigt (s. a. Beispiel 11). Dabei werden alle möglichen Rotationen durch die Variation des Betrages ϕ des Rotationsvektors im abgeschlossenen Intervall [−π, +π ] erreicht. Nachdem eine maximale Rotation durch den Betrag ϕmax = π erfolgt, liegen alle möglichen Endpunkte der Rotationsvektoren ϕ innerhalb einer Kugel mit dem Radius ϕmax , die den Parameterraum darstellt. Zwei Rotationsvektoren ϕ und −ϕ mit maximalem Betrag ϕ < π beschreiben dieselbe Rotation, so dass diametral auf der Kugeloberfläche gelegene Punkte äquivalent sind.

Abb. 4.11 Nicht-äquivalente Wege (I )und (II) zwischen zwei Punkten ϕ 1 und ϕ 2 im Parameterraum ϕ ≤ π der speziellen orthogonalen Gruppe S O(3); ϕ max und ϕ max sind äquivalente Punkte auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius ϕmax = π

Die Verbindung zweier beliebiger Punkte innerhalb der Kugel mit den Rotationsvektoren ϕ 1 und ϕ 2 kann auf zwei verschiedenen Wegen erfolgen (Abb. 4.11). Einmal über einen Weg (I) innerhalb der Kugel bzw. des Parameterraumes. Zum anderen über einen Weg (II), der ausgehend von dem Endpunkt von ϕ 1 auf einen Punkt ϕ max auf der Oberfläche verläuft, um weiter von einem dazu diametral gelegenen äquivalenten Punkt ϕ max am Endpunkt von ϕ 2 zu enden. Beide Wege können nicht durch eine kontinuierliche Transformation ohne den Parameterraum zu verlassen ineinander überführt werden, so dass sie als inäquivalent gelten. Die Gruppe S O(3) ist deshalb nicht einfach zusammenhängend sondern vielmehr zweifach zusammenhängend.

4.3

Lineare L IE-Gruppen

163

Diese Überlegungen lassen sich verallgemeinern auf N Dimensionen mit dem Ergebnis, dass die L IE-Gruppen S O(N ) (N ≥ 3) keine einfach zusammenhängenden Gruppen sind.  Bleibt nachzutragen, dass bei der Definition des Zusammenhangs die Funktionen der Matrixelemente von den n Parametern nicht notwendig analytisch und eindeutig sein müssen. Vielmehr kann neben dem System {x i | i = 1, . . . , n} durchaus ein weiteres System von Parametern {yi | i = 1, . . . , n} gefunden werden, das nicht alle Forderungen einer linearen L IE-Gruppe erfüllt. Beide Parametersysteme müssen also nicht umwandelbar sein. Jenes System {xi }, das die Forderungen erfüllt, eignet sich vorwiegend zum Studium der lokalen Eigenschaften der L IE-Gruppen – also in der Nähe des Einselements – sowie zum Studium der L IE-Algebren (s. Kap. 5). Das andere System {yi } ist insbesondere beim Studium der globalen Eigenschaften von Interesse. Beispiel 19 Zur Demonstration wird die spezielle unitäre Gruppe SU (2) in zwei Dimensionen betrachtet. Dort kann man abweichend von Gl. (4.40a) mit a = cos y1 exp(i y2 ),

b = sin y1 exp(i y3 )

(4.92a)

und den drei Parametern 0 ≤ y1 ≤ π/2,

0 ≤ y2 ≤ 2π,

0 ≤ y3 ≤ 2π

(4.92b)

eine weitere Parametrisierung finden, mit der Gl. (4.38) erfüllt wird. Die Elemente der Matrix   cos y1 exp(i y2 ) sin y1 exp(i y3 ) (4.93) A= − sin y1 exp(−i y3 ) cos y1 exp(−i y2 ) sind kontinuierliche Funktionen von den drei Parametern, so dass alle Elemente der Gruppe erhalten werden. Allerdings entspricht dem Einselement 12 eine Menge von Punkten im Parameterraum R3 y1 = 0,

y2 = 0,

0 ≤ y3 ≤ 2π.

Demnach verschwindet der dritte Generator am Ursprung  ∂ A( y)  a3 = = 0. ∂ y3  y=0 Das bedeutet, dass die Forderungen an eine lineare L IE-Gruppe verletzt sind und deshalb keine umkehrbar eindeutige Abbildung im Bereich des Einselements vorliegt.

164

4 L IE-Gruppen

Beispiel 20 Ein weiteres Beispiel ist die Menge der eigentlichen Rotationen d im euklidischen Raum R3 . Sie ist isomorph zur Menge der orthogonalen 3×3-Matrizen A, deren Determinante den Wert Eins annimmt und so die spezielle orthogonale Gruppe S O(3) in drei Dimensionen begründet. Diese Elemente bilden eine Komponente der orthogonalen Gruppe O(3), die darüberhinaus noch die Menge der uneigentlichen Rotationen umfasst. Letztere ist ebenfalls eine Komponente innerhalb der Gruppe O(3). Nachdem das Einselement 13 zur Gruppe S O(3) gehört, ist sie eine zusammenhängende Untergruppe und gilt deshalb als Komponente des Einselements.

Abb. 4.12 Demonstration der E ULER’schen Winkel α, β und γ bei einer aktiven eigentlichen Rotation eines Systempunktes P nach P  ; drei aufeinanderfolgende Rotationen mit den Winkeln γ , β und α um die Koordinatenachsen z, y und z

Jede beliebige eigentliche Rotation d kann aufgefasst werden als drei nacheinander ausgeführte Rotationen. Vertritt man den aktiven Standpunkt, der die Rotation eines Systems bei festgehaltenen Koordinatenachsen vorschreibt, so erfolgen die drei Rotationen vermittels der Operatoren dz (γ ), d y (β) und dz (α) mit den Winkeln γ , β und α um die Achsen z, y und nochmals z (Abb. 4.12) d(α, β, γ ) = dz (α)d y (β)dz (γ )

0 ≤ α, γ < 2π

0 ≤ β < π.

(4.94)

Diese drei sogenannten E ULER’schen Winkel α, β und γ eignen sich als die drei Parameter {yi | i = 1, 2, 3}, insbesondere bei einer globalen Betrachtung der gesamten zusammenhängenden Gruppe S O(3). Die aktive Transformation eines Systems erzielt das gleiche Ergebnis wie die passive Methode. Dort werden drei aufeinanderfolgende Rotationen vermittels der Operatoren dz (α), d y  (β) und dz  (γ ) vorgeschrieben. Eine erste Rotation mit dem Winkel α um die z-Achse, eine nachfolgende Rotation mit dem Winkel β um die neue y  -Achse und schließlich eine dritte Rotation mit dem Winkel γ um die neue z  -Achse. Die Identität von aktiver und passiver Rotation kann durch die faktorielle Anordnung der einzelnen Operatoren nach der Beziehung

4.3

Lineare L IE-Gruppen

165

dz (α)d y (β)dz (γ ) = dz  (γ )d y  (β)dz (α)

(4.95)

zum Ausdruck gebracht werden. Mit der orthonormalen Standardbasis {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} des euklidischen Raumes R3 erhält man für die einzelnen aktiven Transformationen (4.94) die orthogonalen Rotationsmatrizen ⎛

⎞ cos γ − sin γ 0 cos γ 0 ⎠ , d z (γ ) = ⎝ sin γ 0 0 1 ⎛ ⎞ cos β 0 sin β 1 0 ⎠, d y (β) = ⎝ 0 − sin β 0 cos β ⎛ ⎞ cos α − sin α 0 cos α 0 ⎠ . d z (α) = ⎝ sin α 0 0 1

(4.96a)

(4.96b)

(4.96c)

Die Rotation eines Vektors x des euklidischen Raumes R3 nach x  um eine beliebige Achse wird dann durch Gl. (4.48) ausgedrückt, wobei die Rotationsmatrix nach Gl. (4.94) das Produkt der einzelnen Rotationsmatrizen (4.96) ist d(α, β, γ ) = d z (α)d y (β)d z (γ ).

(4.97)

Sie ist eine treue, dreidimensionale Darstellung und hat mit Gl. (4.96) die Form  d(α, β, γ ) =

cos α cos β cos γ − sin α sin γ − cos α cos β sin γ − sin α cos γ cos α sin β sin α cos β cos γ + cos α sin γ − sin α cos β sin γ + cos α cos γ sin α sin β − sin β cos γ sin β sin γ cos β

 .

(4.98) Bei der gewählten Parametrisierung durch die E ULER’schen Winkel erhält man nach Gl. (4.26) drei Generatoren, von denen zwei übereinstimmen, so dass sie keine Basis für einen dreidimensionalen Vektorraum einer L IE-Algebra bilden. Die homomorphe Abbildung (2.49) der speziellen unitären Gruppe SU (2) auf die Gruppe S O(3) (Beispiel 4 v. Abschn. 2.3) erlaubt auch die Charakterisierung eines Elements U ∈ SU (2) mithilfe der E ULER’schen Winkel als Parameter. Betrachtet man etwa die Rotation eines Vektors x im Raum R3 um die z-Achse mit dem Winkel γ , so erhält man mit der Standardbasis die Darstellung d z (γ ) von Gl. (4.96a) x  = d z (γ )x.

(4.99)

Die damit korrelierte Darstellung U z (γ ) der Gruppe SU (2), die eine Transformation im Spinorraum vermittelt, errechnet sich nach Gl. (2.50) zu

166

4 L IE-Gruppen

 U z (γ ) =

exp(+iγ /2) 0

 0 . exp(−iγ /2)

(4.100)

Umgekehrt kann man daraus mithilfe der Abbildungsvorschrift (2.53) die Darstellung d z (γ ) berechnen. Die Darstellung (4.100) kann auch mithilfe des Basiselements a 3 ∈ SU (2) (4.43) bzw. der PAULI’schen Spinmatrix σ 3 (2.43) in der Form  γ  U z (γ ) = exp(γ a3 ) = exp i σ 3 2

(4.101a)

ausgedrückt werden, was durch die Reihenentwicklung 

 ∞   ∞ 1 0 (iγ /2)k 0 0 (−iγ /2)k + 0 1 0 1 k! k! k=1 k=1   exp(+iγ /2) 0 = = 12 cos(γ /2) + 2a 3 sin(γ /2). 0 exp(−iγ /2)

exp(γ a3 ) = 12 +

und Vergleich mit (4.100) bestätigt wird. Analoge Überlegungen zu zwei weiteren Rotationen mit den Darstellungen d y (β) (4.96b) und d z (α) (4.96c), nämlich um die y-Achse und die z-Achse, ergeben zwei Transformationen im Spinorraum, die durch die Matrizen   cos(β/2) sin(β/2) U y (β) = exp(β a2 ) = (4.101b) − sin(β/2) cos(β/2) und  U z (α) = exp(αa3 ) =

exp(+iα/2) 0

0 exp(−iα/2)

 (4.101c)

dargestellt werden. Eine beliebige Rotation im Raum R3 mit der Darstellungsmatrix (4.98) induziert dann im Spinorraum eine unitäre Transformation, deren Darstellungsmatrix durch das Produkt der einzelnen Matrizen (4.100) und (4.101) gegeben ist U(α, β, γ ) = U z (α)U y (β)U z (γ ) = exp(αa3 + β a2 + γ a3 )   exp[i(α + γ )/2] cos(β/2) exp[−i(α − γ )/2] sin(β/2) = . − exp[i(α − γ )/2] sin(β/2) exp[−i(α + γ )/2] cos(β/2) (4.102) Der Vergleich mit einem entsprechenden Element U ∈ SU (2), das nach Gl. (4.61b) durch die drei Komponenten n 1 , n 2 und n 3 eines normierten Rotationsvektors ϕ/ϕ parametrisiert wird, ergibt eine Beziehung zwischen den unterschiedlichen Parametersystemen in der Form

4.3

Lineare L IE-Gruppen

167

n 1 sin(ϕ/2) = − sin(β/2) sin[(α − γ /2)]

(4.103a)

n 2 sin(ϕ/2) = − sin(β/2) cos[(α − γ /2)]

(4.103b)

n 3 sin(ϕ/2) = cos(β/2) sin[(α + γ /2)]

(4.103c)

cos(ϕ/2) = cos(β/2) cos[(α + γ /2)].

(4.103d) 

Die Eigenschaft der Kompaktheit einer linearen L IE-Gruppe basiert auf einer Aussage über Mengen eines endlich-dimensionalen reellen oder komplexen Raumes (Satz v. H EINE -B OREL). Dort gilt jede Teilmenge von Punkten als kompakt genau dann, wenn diese Menge abgeschlossen und beschränkt ist. Betrachtet man etwa eine treue N -dimensionale Darstellung D(G) der linearen L IE-Gruppe G, dann findet man ganz allgemein die Topologie des Parameterraumes 2 2 R N bzw. C N mit N 2 bzw. 2N 2 Parametern. Es genügt jedoch eine zusammenhängende Untergruppe zu diskutieren, die etwa durch ein System von n Parametern {yi | i = 1, . . . , n} charakterisiert wird. Die obige Aussage über den reellen bzw. komplexen Raum kann dann übertragen werden auf eine n-dimensionale lineare L IE-Gruppe. Eine solche Gruppe mit einer endlichen Anzahl von zusammenhängenden Komponenten ist kompakt, falls die Parameter in beschränkten und abgeschlossenen Intervallen [ai , bi ] variieren (ai ≤ yi ≤ bi | i = 1, . . . , n) (Tab. 4.3). Diejenigen L IE-Gruppen, die nicht kompakt sind, erkennt man daran, dass sie 2 2 eine unbeschränkte Menge an Matrixelementen im Parameterraum R N bzw. C N aufweisen. Die Menge von Matrixelementen einer linearen L IE-Gruppe G ist genau dann beschränkt, falls eine endliche reelle Zahl M existiert, so dass gilt d(g, e) < M

∀ g ∈ G.

Falls eine L IE-Gruppe G kompakt ist, dann ist jede L IE-Untergruppe H ⊆ G auch kompakt. Eine nicht kompakte L IE-Gruppe kann jedoch durchaus eine kompakte L IE-Untergruppe besitzen. Beispiel 21 Im Beispiel der Gruppe G = (R\{0}, ·) – bzw. der allgemeinen linearen Gruppe G L(1, R) – ist die treue eindimensionale Darstellung D(t) = t unbeschränkt im euklidischen Raum R – bzw. der einzige Parameter x in der Parametrisierung nach Gl. (4.30) variiert in einem unbeschränkten Intervall (−∞ < x < ∞) –, so dass die Gruppe als nicht-kompakt gilt. Zudem besitzt sie keinen nicht-trivialen Normalteiler und ist deshalb nicht einfach. Analoge Überlegungen sind für die allgemeine lineare Gruppe G L(N , K) (K = R, bzw.C) in N Dimensionen erlaubt (Tab. 4.3).

168

4 L IE-Gruppen Tabelle 4.3 Innere Eigenschaften von linearen L IE-Gruppen Eigenschaft kompakt nicht kompakt

zusammenhängend

einfach zusammenhängend

Gruppe O(N ), S O(N ), U (N ), SU (N ), Sp(1/2 N ) G L(N , R), G L(N , C), S L(N , R), S L(N , C), O(N , C), S O(N , C), Sp(1/2 N , C), Sp(1/2 N , R), O( p, q), S O( p, q), U ( p, q), SU ( p, q) G L(N , C), S L(N , C), S L(N , R), S O(N , C), S O(N ), U (N ), SU (N ), Sp(1/2 N , C), Sp(1/2 N , R), Sp(1/2 N ) S L(N , C), SU (N ), S O(1) (= S L(1, R)), Sp(1/2 N )

nicht zusammenhängend 2 Komponenten 4 Komponenten

G L(N , R), O(N ), O(N , C) O( p, q), S O( p, q)

Beispiel 22 Bei der orthogonalen Gruppe O(2) und der speziellen orthogonalen Gruppe S O(2) variiert der einzige Parameter x nach Gl. (4.33) in einem beschränkten und abgeschlossenen Intervall (−π ≤ x ≤ π ). Ähnliche Überlegungen gelten allgemein für die N (N − 1)/2 Parameter der Gruppen O(N ) und S O(N ), so dass diese als kompakt gelten (Tab. 4.3). 

4.4 Darstellungen Die Darstellungstheorie über endliche Gruppen (Kap. 3) kann durch die Einbeziehung von kompakten L IE-Gruppen erweitert und verallgemeinert werden (Tab. 4.3). Dabei spielt das sogenannte H AAR-Integral aus der Maßtheorie eine wichtige Rolle. Es ist ein Maß auf der Gruppe, das eine Mittelung von Funktionen über die gesamte Gruppe erlaubt. Ausgehend von einer endlichen Gruppe G kann man eine Funktion f auf G definieren, indem jedem Element a ∈ G ein komplexer Wert zugeordnet wird. Dies geschieht etwa in einer Matrixdarstellung D(G) mit den Matrixelementen Di j (G) als Funktionswerte. Nach dem Umordnungstheorem (Abschn. 2.1), das in der Menge {a  ◦ a| a ∈ G} genau dieselben Elemente wie in der Gruppe {a| a ∈ G} voraussagt, erhält man für die Summe der Funktionswerte

a∈G

f (a) =



f (a  ◦ a)

∀ a  ∈ G,

(4.104)

a∈G

was als Linksinvarianz bezeichnet wird. Eine entsprechende Aussage gilt für die Menge {a ◦ a  | a ∈ G}, was die Rechtsinvarianz erklärt. Setzt man den speziellen Fall f (a) ≡ 1 für alle a ∈ G voraus, dann erhält man beim Aufsummieren über die Gruppe G einen endlichen Wert

4.4

Darstellungen

169



f (a) = ord G = g = V (G)

f (a) = 1,

für

(4.105)

a∈G

nämlich die Ordnung g der Gruppe bzw. das sogenannte Gruppenvolumen V (G), das die Rolle einer Normierung spielt. Die Erweiterung dieser Überlegungen auf topologische Gruppen führt zu einer Integration über die ganze Mannigfaltigkeit. Die Auswahl der Gruppenelemente wird durch einen Normierungsfaktor ersetzt. Dabei spielt das H AAR-Integral über eine topologische Gruppe G die Rolle der Summe von Gl. (4.104). Mit jedem beliebigen Element a ∈ G und jeder beliebigen stetigen Funktion f , für die das Integral definiert ist, erhält man das linksinvariante H AAR-Integral 2

2 G

f (a)dl a =

G

f (a  ◦ a)dl a

∀a  ∈ G.

(4.106)

Entsprechend dazu kann man ein rechtsinvariantes H AAR-Integral definieren. Im Falle einer zusammenhängenden, n-dimensionalen linearen L IE-Gruppe G mit den n Parametern {xi | i = 1, . . . , n} der Elemente a ∈ G findet man für das linksinvariante (bzw. rechtsinvariante) H AAR-Integral 2

2 G

f (a)dl a = =

2G

f (a)σl (a)da 2 d x 1 . . . d x n f [a(x1 , . . . , xn )]σl (x1 , . . . , xn )

(4.107)

mit der linksinvarinten (bzw. rechtsinvarianten) Gewichtsfunktion σl (a) = σl (x1 , . . . , x n ) (bzw. σr (a) = σr (x1 , . . . , x n )). Dabei erfolgt die Integration über den n-dimensionalen Parameterraum d n x = d x1 . . . d xn . Diese Integrale sind endlich, falls (für f (a) ≡ 1) die Integrale 2

2 G

dl a =

G

2 σl (a)da < ∞

bzw.

G

2 dr a =

G

σr (a)da < ∞

endlich sind. Können die linksinvarianten und rechtsinvarianten Gewichtsfunktionen gleich gewählt werden (σl (a) = σr (a) = σ (a)), dann sind die Integrale (4.106) sowohl links- wie rechtsinvariant und die Gruppe G gilt als unimodular (dl a = dr a = σ (a)da). Eine besondere Rolle nehmen kompakte L IE-Gruppen G ein. Sie sind stets unimodular und das invariante Integral 2

2 G

f (a)σ (a)d(a) =

2 d x1 . . .

d xn f [a(x1 , . . . , xn )]σ (x1 , . . . , xn ) < ∞

(4.108) ist endlich für jede beliebige stetige Funktion f (a). Ausgehend von der Invarianzbedingung (4.106)

170

4 L IE-Gruppen

2

2 G

f (a)σ (a)da =

G

f (a  )σ (a)da

mit a  = a  ◦ a

∀ a  ∈ G (4.109a)

erhält man 2

2 G

f (a)σ (a)da =

G

f (a  )σ (a  )da  ,

(4.109b)

was damit begründet wird, dass die den Elementen a und a  entsprechende Volumenelemente d V gleich sein müssen d V (a) = d V (a  )

σ (a)da = σ (a  )da  .

bzw.

(4.110)

Nach dem Wechsel der Integrationsvariablen von a  nach a ergibt sich σ (a) = σ (a  )

∂a  da ∂a

(4.111a)

mit der Funktionaldeterminante (JACOBI-Determinante)   ∂ x j x1 , . . . , xn ; x 1 , . . . , xn ∂a  = det . ∂a ∂ xi

(4.111b)

Diese Beziehung erlaubt die Bestimmung der Gewichtsfunktion σ (a  ). Mit der Auswahl eines beliebigen Elementes a etwa dem Einslelement a = e (x 1 = x2 = . . . xn = 0) errechnet sich die Gewichtsfunktion zu  &−1 ∂a   σ (a ) = σ [a(x = 0)] . ∂a x=0 %



(4.112)

Dabei kann der konstante Faktor σ [a(a = 0)] willkürlich dem Wert Eins gleichgesetzt werden. In Analogie zu Gl. (4.105) erhält man für das Gruppenvolumen 2 V (G) =

G

σ (a)da.

(4.113)

Kompakte L IE-Gruppen haben so endliche Gruppenvolumina und sind deshalb bzgl. ihrer Eigenschaften vergleichbar mit endlichen Gruppen (s. Gl. 4.105). Für den Fall, dass eine L IE-Gruppe nicht kompakt ist, findet man sowohl das linksinvariante Integral (4.106) wie das rechtsinvariante Integral nicht endlich. Außerdem gilt für eine abelsche L IE-Gruppe sowie für eine halbeinfache L IEGruppe – die keinen abelschen Normalteiler besitzt –, dass sie unimodular ist. Beispiel 1 Die Menge der reellen Zahlen {t ∈ R| t = 0} mit der gewöhnlichen Multiplikation als Verknüpfung ist eine nicht-kompakte lineare L IE-Gruppe G = (R\{0}, ·), die isomorph ist zur allgemeinen linearen Gruppe G L(1, R) in einer

4.4

Darstellungen

171

Dimension (s. Beispiel 9 und Abb. 4.7 v. Abschn. 4.2). Sie ist zudem eine abelsche Gruppe und deshalb unimodular. Die Parametrisierung geschieht nach Gl. (4.30) und die Gewichtsfunktion wird dem Wert Eins zugeordnet (σ (x) ≡ 1). Mit dem Element t  = exp x  (−∞ < x  < +∞) erhält man die Beziehung 2

+∞ −∞

f (tt  )d x =

2 2

=

+∞

−∞ +∞ −∞

f (exp x exp x  )d x 2



f [exp(x + x )]d x =

+∞ −∞

2 f (exp x)d x =

+∞ −∞

f (t)d x,

womit die Rechtsinvarianz nachgewiesen ist. Entsprechendes gilt für die Linksinvarianz. Wegen der Divergenz des Integrals 2

2

G

dt =

+∞ −∞

dx

ist das Gruppenvolumen nicht endlich, was auch von einer nicht-kompakten Gruppe erwartet wird. Beispiel 2 Die spezielle orthogonale Gruppe S O(2) in zwei Dimensionen ist eine abelsche, zusammenhängende und kompakte L IE-Gruppe (Tab. 4.3). Demnach ist sie auch unimodular. Die Parametrisierung erfolgt nach Gl. (4.33a). Mit x  = x + x  errechnet sich die Gewichtsfunktion nach Gl. (4.112) zu σ (x) = 1. Betrachtet man etwa die Elemente A und A mit   cos(x + x  ) − sin(x + x  )    A = AA = A A = , sin(x + x  ) cos(x + x  ) dann werden diese durch x, x  bzw. x  parametrisiert, wobei gilt ⎧ ⎨ x + x  x = x + x  − 2π ⎩ x + x  + 2π

für −π ≤ x + x  ≤ π für π < x + x  für x + x  < −π.

Die Invarianzbedingung (4.106) hat dann die Form 2

+π

−π

f [ A(x) A (x)]d x =

2

+π

−π

f [ A (x) A(x)]d x =

2

+π −π

f [ A(x)]d x,

wonach sie bestätigt wird. Zudem ist das Gruppenvolumen V (G) endlich 2 V (G) =

G

2 dx ≡

+π

−π

2 σ (x)d x = 1 =

+π

−π

was auch von einer kompakten L IE-Gruppe erwartet wird.

d x = 2π,

172

4 L IE-Gruppen

Beispiel 3 Als weiteres Beispiel einer zusammenhängenden zweidimensionalen L IE-Gruppe G wird die Menge der Matrizen  A=

x1 0

x2 1

 0 < x1 < ∞

− ∞ < x2 < ∞

betrachtet. Die Gruppe ist offensichtlich nicht abelsch und nicht kompakt. Die Menge der Matrizen  B=

1 0

x2 1

 − ∞ < x2 < ∞

bildet einen abelschen Normalteiler, so dass die L IE-Gruppe auch nicht-halbeinfach ist. Die Linksmultiplikation A A führt zu dem Element A =



x 1 x1 0

x1 x2 + x 2 1

 ,

womit die Funktionaldeterminante (4.111) den Wert  ∂ x j  = x12 det  ∂ xi  x1 =1 x2 =0

annimmt. Mit Gl. (4.112) findet man dann für die linksinvariante Gewichtsfunktion σl (x1 , x 2 ) =

1 . x12

Die Rechtsmultiplikation A A führt zu dem Element 



A =

x1 x1 0

 x1 x2 + x2 , 1

womit die Funktionaldeterminante (4.111) den Wert  ∂ x j  det = = x1  ∂ xi  x1 =1 x2 =0

annimmt. Mit Gl. (4.112) findet man dann für die rechtsinvariante Gewichtsfunktion σr (x1 , x2 ) =

1 . x1

4.4

Darstellungen

173

Demnach sind die linksinvariante und rechtsinvariante Gewichtsfunktion verschieden, so dass die L IE-Gruppe G nicht als unimodular gilt.  Die Diskussion der Darstellungen D(G) von L IE-Gruppen G geschieht in analoger Weise zu jener bei endlichen Gruppen. Dabei setzt man voraus, dass die homomorphe Abbildung (3.1) kontinuierlich verläuft, was zu der Bezeichnung kontinuierliche Darstellung Anlass gibt. Das bedeutet, dass die Matrixelemente der Darstellung D(G) einer zusammenhängenden linearen L IE-Gruppe G kontinuierliche Funktionen der Parameter {xi | i = 1, . . . , n} sein müssen. Wie für endlich Gruppen gilt auch für kompakte L IE-Gruppen G die Aussage, dass mit der Voraussetzung der Reduzierbarkeit jeder Darstellungsraum endlicher Dimension vollständig in invariante Unterräume zerlegt werden kann. Dabei gilt auch der Eindeutigkeitssatz, der die Zerlegung bis auf die Reihenfolge und auf Äquivalenz eindeutig garantiert. Es existiert also eine reguläre Matrix S mit deren Hilfe eine Basistransformation so vorgenommen werden kann, dass die reduzible Matrixdarstellung D(G) in der neuen Basis die diagonale Form (3.36) annnimmt. Eine andere Schreibweise ist die der direkten Summe (3.38) von irreduziblen Darstellungen D(α) . Die gleiche Aussage gilt auch für reduzible Darstellungen von zusammenhängenden, nicht-kompakten und halbeinfachen L IE-Gruppen sowie für jede unitäre reduzible Darstellung einer beliebigen anderen Gruppe. Beispiel 4 Betrachtet man etwa ein beliebiges Element (4.30) der allgemeinen linearen Gruppe G L(1, R) (s. Beispiel 1), dann findet man dafür eine treue zweidimensionale Darstellung  D(t) =

1 0

t 1

 − ∞ < t < +∞,

die reduzibel ist. Setzt man die vollständige Reduzierbarkeit voraus, dann gibt es eine reguläre Matrix S, mit deren Hilfe die Transformation der Darstellung D(t) in eine diagonale Form D (t) möglich ist D (t) = S−1 D(t)S =



 α(t) 0 . 0 β(t)

Nachdem die Determinante sowie die Spur einer Matrix bei einer Ähnlichkeitstransformation invariant ist (αβ = 1 , α + β = 2), erhält man für die Diagonalelemente den Wert Eins (α = β = 1) und für die Darstellung D  (t) die Einheitsmatrix D  (t) =



 1 0 . 0 1

Wegen S D  (t)S−1 = SS−1 = 12 = D(t)

174

4 L IE-Gruppen

findet man auch für die ursprüngliche Darstellung D(t) die Einheitsmatrix, was ein Widerspruch ist. Demnach ist die reduzible Darstellung D(t) nicht vollständig reduzibel, was von einer nicht-kompakten L IE-Gruppe auch erwartet wird.  Die Vergleichbarkeit von kompakten L IE-Gruppen mit endlichen Gruppen zeigt sich auch in der Existenz von normalen Darstellungen (s. Abschn. 3.4). Es sind dies unitäre Darstellungen, die als äquivalente Darstellungen für jede endliche Darstellung einer kompakten L IE-Gruppe erhalten werden. Für nicht-kompakte, einfache L IE-Gruppen gilt die Aussage, dass außer der trivialen Darstellung keine endlichdimensionale unitäre Darstellung existiert. Gleichwohl kann man in diesen Fällen auch endlich-dimensionale Darstellun↑ gen erhalten, wenn man – wie etwa bei der homogenen L ORENTZ-Gruppe L + , die nicht kompakt oder einfach ist – auf die Unitarität verzichtet und die Wahl einer nicht-unitären Darstellung akzeptiert. Andernfalls wird man mit einer unitären Dar↑ stellung – wie etwa bei der P OINCARÉ-Gruppe P+ – eine unendlich-dimensionale Darstellung antreffen. Ein anderes Ergebnis dagegen erwartet man von nicht-kompakten L IE-Gruppen, die nicht einfach sind, also einen nicht-trivialen Normalteiler besitzen. Dort findet man sowohl unitäre Darstellungen wie solche, die nicht äquivalent zu unitären Darstellungen sind. Beispiel 5 Die Menge der reellen Zahlen {t ∈ R|t = 0} – die zur allgemeinen linearen L IE-Gruppe G L(1, R) isomorph ist – bildet eine nicht-kompakte L IE-Gruppe, die auch nicht einfach ist (Beispiel 14 v. Abschn. 4.3). Eine eindimensionale unitäre Darstellung erhält man mit Gl. (4.30) etwa durch die Festlegung D1 (t) = exp(iαt)

α ∈ R.

Eine weitere eindimensionale, allerdings nicht unitäre Darstellung wird definiert durch D 2 (t) = exp(βt)

β ∈ R.

Beide Darstellungen könne jedoch nicht mittels einer regulären Matrix in einer Äquivalenztransformation ineinander überführt werden und gelten deshalb als nicht-äquivalente Darstellungen. Beispiel 6 Die euklidische Gruppe E(3) ist weder kompakt noch einfach (Beispiel 4 v. Abschn. 2.4). Mit Gl. (2.14) findet man eine 4-dimensionale treue Darstellung D({d|t}) (:= B), die jedoch nicht äquivalent zu einer unitären Darstellung ist.  Analog zur Orthogonalität (3.98) erhält man für zwei unitäre irreduzible und nicht-äquivalente Darstellungen D(α) und D(β) einer kompakten L IE-Gruppe G die Orthogonalitätsrelation

4.4

Darstellungen

175

2 G

(β)∗

(α)

Dik (a)D jl (a)da =

1 δαβ δi j δkl , dα

(4.114)

wobei die Summation über die Gruppenelemente durch eine invariante Integration ersetzt wird. Die Charakter-Orthogonalitätsrelation für eine kompakte L IE-Gruppe hat dann analog zu Gl. (3.107) die Form 2 χ (α) (a)χ (β)∗ (a)da = δαβ . (4.115) G

Damit kann man zeigen, dass eine hinreichende Bedingung für die Äquivalenz zweier Darstellungen durch die Gleichheit der entsprechenden Charaktere erfüllt wird. Zur Ermittlung der Multiplizität m α , die die Anzahl gleicher irreduzibler Darstellungen D(α) bei der Zerlegung einer reduziblen Darstellung D(G) ausdrückt, wird bei einer kompakten L IE-Gruppe G die Beziehung (3.119) verallgemeinert zu einem invarianten Integral 2 χ ∗ (a)χ (β) (a)da. (4.116) mα = G

Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine Darstellung D(α) einer kompakten L IE-Gruppe irreduzibel ist, kann nach Gl. (3.118) in der Form 2 |χ (α) (a)|2 da = 1 (4.117) G

ausgedrückt werden. Schließlich kann auch der Satz v. B URNSIDE (Gl. 3.105) sowie die Aussage über die Anzahl unterschiedlicher, nicht-äquivalenter irreduzibler Darstellungen (Gl. 3.114) auf kompakte L IE-Gruppen übertragen werden. Bei dieser Verallgemeinerung muss allerdings berücksichtigt werden, dass die Charakterisierung solcher Gruppen durch kontinuierliche Parameter keine diskreten Werte erlaubt. Deshalb werden abzählbar unendlich viele unterschiedliche, nicht-äquivalente irreduzible Darstellungen erwartet. Beispiel 7 Im Beispiel der unitären Gruppe U (1) mit den komplexen Zahlen als Elemente {z ∈ C| |z| = 1} ist wegen der abelschen Eigenschaft jede irreduzible Darstellung eindimensional. Zudem muss diese unitär gewählt werden können, da die Gruppe kompakt ist (Tab. 4.3). Als irreduzible Darstellung gewinnt man so die Form D (α) (z) = exp(iαx)

− π ≤ x ≤ +π

α ∈ R.

(4.118)

Wegen exp(+iπ ) = exp(−iπ ) muss der Wert α ganzzahlig sein. Man erhält dann insgesamt eine unendliche, jedoch abzählbare Anzahl irreduzibler Darstellungen

176

4 L IE-Gruppen

{ D(α) | α = 0, ±1, . . .}, von denen genau dann je zwei D(α1 ) und D(α2 ) äquivalent sind, falls gilt α1 = α2 . Beispiel 8 Im Beispiel der Menge der reellen Zahlen {t ∈ R| t = 0} mit der Multiplikation als Verknüpfung – die zur allgemeinen linearen Gruppe G L(1, R) isomorph ist – erwartet man ebenfalls wegen der abelschen Eigenschaft jede irreduzible Darstellung als eindimensional. Sie muss jedoch nicht unitär sein, da die Gruppe nicht kompakt ist (Tab. 4.3). Demnach kann die Form (4.30) D(α) (t) = exp(αt)

− ∞ < t < +∞

α∈C

(4.119)

gewählt werden. Die Darstellung ist genau dann unitär, falls α rein imaginär ist ($(α) = 0). 

Kapitel 5

L IE-Algebren

Eine sehr erfolgreiche Methode zur Untersuchung einer L IE-Gruppe basiert auf der Linearisierung einer solchen Gruppe am Einselement, worauf sich die zur L IEGruppe zugehörige L IE-Algebra offenbart. Demnach werden die lokalen Eigenschaften der L IE-Gruppe durch die entsprechende L IE-Algebra beherrscht. Letztere liefert dann alle Informationen über die lokale Struktur einer L IE-Gruppe in der Umgebung des Einselements. Das bedeutet eine wesentliche Erleichterung bei der Suche nach den Darstellungen einer L IE-Gruppe. Dabei basiert der Zusammenhang zur entsprechenden L IE-Algebra auf der Matrixexponentialfunktion (Abschn. 6.1). Die Charakterisierung der L IE-Algebren verläuft in gleicher Weise wie die der Gruppen (Kap. 2). Dabei gibt es Eigenschaften und Definitionen, die einander entsprechen.

5.1 Elemente und Verknüpfungen Eine Menge von Elementen a, b, c, . . . aus einem (reellen bzw. komplexen) Vektorraum über K (= R bzw. C) mit der Dimension n, für die eine als L IE-Produkt bzw. als L IE-Klammer [a, b] bezeichnete binäre Verknüpfung [ , ] definiert ist, bildet eine (reelle bzw. komplexe) L IE-Algebra L über dem Körper K mit der Dimension n, falls die folgenden Bedingungen vom L IE-Produkt erfüllt werden: (a) Für jedes beliebige Paar von Elementen a, b ∈ L gilt [a, b] ∈ L

∀a, b ∈ L.

(5.1a)

(b) Es ist für beliebige (reelle bzw. komplexe) Zahlen α, β linear im ersten Faktor [αa + βb, c] = α[a, c] + β[b, c]

∀ a, b, c ∈ L (Linearität).

(5.1b)

(c) Es ist antisymmetrisch bzgl. der Vertauschung der Elemente a, b [a, b] = −[b, a]

∀ a, b ∈ L (Antikommutativität).

M. Böhm, Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-20379-4_5, 

(5.1c)

177

178

5 LIE-Algebren

(d) Es genügt der Bedingung (JACOBI-Identität) [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0

∀ a, b, c ∈ L.

(5.1d)

Eine L IE-Algebra L über dem Körper K ist also anders ausgedrückt ein K-Vektorraum L zusammen mit einer bilinearen Abbildung [ , ]  [, ]:

L × L −→ L (a, b) −→ [a, x]

a, b ∈ L,

(5.2)

die die Bedingungen (5.1a) bis (5.1d) erfüllt. Die JACOBI-Identität bedeutet eine Modifikation des Assoziativgesetzes von assoziativen Algebren. Eine Konsequenz aus den Forderungen (5.1b) und (5.1c) ist die Linearität des L IE-Produkts auch im zweiten Faktor für beliebige (reelle bzw. komplexe) Zahlen β, γ [a, (βb + γ c)] = β[a, b] + γ [a, c]

∀ a, b, c ∈ L,

so dass das L IE-Produkt bilinear ist. Eine weitere Konsequenz aus der Forderung (5.1c) ist das Verschwinden des L IE-Produkts aus gleichen Elementen [a, a] = 0

∀a ∈L

(5.3)

womit man das Nullelement – bzw. das neutrale Element bzgl. der Addition – erhält. Falls man hier das Element a durch die Summe (a + b) ersetzt, erhält man mit der Bilinearität des L IE-Produkts [(a + b), (a + b)] = [a, a] + [a, b] + [b, a] + [b, b] = [a, b] + [b, a] = 0, (5.4) so dass die Forderungen von (5.1c) und (5.3) äquivalent sind. An dieser Stelle sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass die Matrizen einer reellen L IE-Algebra L nicht notwendigerweise reell sein müssen. Hingegen gilt als notwendige Bedingung, dass die Elemente a ∈ L aus einer reellen linearen Kombination der Basis {ek |k = 1, . . . , n} hervorgehen. Erst die Erweiterung durch eine komplexe lineare Kombination der Basiselemente begründet eine komplexe L IE-Algebra, was als Komplexifizierung verstanden wird. Demnach kann jede komplexe L IE-Algebra auch als reelle L IE-Algebra aufgefasst werden, was durch den Koeffizientenkörper entschieden wird. Die Bedeutung der Komplexifizierung liegt darin, dass komplexe L IE-Algebren wesentlich einfacher zu untersuchen sind, insbesondere im Hinblick auf die Darstellungen (Abschn. 5.5). Beispiel 1 Ein einfaches Beispiel einer dreidimensionalen L IE-Algebra ist der euklidische Raum R3 mit dem Vektorprodukt seiner Elemente x als L IE-Produkt [x 1 , x 2 ] := x1 × x2 = −x2 × x1

x1 , x2 ∈ R3 .

5.1

Elemente und Verknüpfungen

179

Als weiteres Beispiel wird die Menge aller linearen Selbstabbildungen bzw. Operatoren a : V → V eines linearen Vektorraumes V über dem Körper K (K = R bzw. C) betrachtet. Sie bildet eine reelle L IE-Algebra L, die sogenannte allgemeine lineare L IE-Algebra gl(V), falls für zwei beliebige Operatoren a, b und einem Element x des Vektorraumes das L IE-Produkt als Kommutator definiert wird [a, b]x := a(b x) − b(a x)

x ∈V

∀ a, b ∈ L.

(5.5)

Beispiel 2 In einem anderen Beispiel wird die Menge aller N × N -Matrizen mit Elementen im Körper K (K = R bzw. C) betrachtet. Sie bildet eine reelle L IE-Algebra L, die allgemeine lineare L IE-Algebra gl(N , K), falls das L IE-Produkt zweier beliebiger Matrizen a, b durch den Kommutator definiert wird [a, b] := ab − ba

∀ a, b ∈ L.

(5.6)

Damit werden alle vier Forderungen einer L IE-Algebra erfüllt. Die Verbindung zwischen diesem speziellen Fall und der abstrakten L IE-Algebra geschieht durch den Satz von A DO, wonach jede abstrakte endlich-dimensionale L IE-Algebra isomorph ist zur L IE-Algebra von Matrizen mit dem Kommutator (5.6) als L IE-Produkt, so dass sie als eine Unteralgebra von gl(N , K) gilt.  Eine abelsche (bzw. kommutative) L IE-Algebra liegt immer dann vor, wenn für jedes beliebige Paar von Elementen a, b ∈ L das L IE-Produkt verschwindet [a, b] = 0

∀ a, b ∈ L

bzw.

[L, L] = 0.

(5.7)

Jede abelsche L IE-Algebra der Dimension n ist isomorph zur L IE-Algebra D(n, K), die die Menge aller diagonalen n × n-Matrizen umfasst. Für eine eindimensionale L IE-Algebra L, deren Elemente ein Vielfaches αa eines einzigen Elementes a sind, erhält man wegen der Bilinearität und wegen Gl. (5.3) [αa, βa] = αβ[a, a] = 0

∀ α, β ∈ K.

Demnach gilt jede eindimensionale L IE-Algebra als abelsch. Jede abelsche L IEAlgebra der Dimension n ist isomorph zur n-fachen direkten Summe von eindimensionalen L IE-Algebren. Letztere sind isomorph zur L IE-Algebra u(1), die der unitären Gruppe U (1) zugeordnet ist. Ausgehend von einer Basis {ek | k = 1, . . . , n} des endlich-dimensionalen (reellen bzw. komplexen) Vektorraumes einer L IE-Algebra L, kann das L IE-Produkt zweier beliebiger Basiselemente ei , e j ∈ L als Element der L IE-Algebra nach den n Basiselementen entwickelt werden

180

5 LIE-Algebren

[ei , e j ] =

n

fikj ek

∀ i, j = 1, . . . , n.

(5.8)

k

Die n 3 (reellen bzw. komplexen) Entwicklungskoeffizienten fikj sind die Strukturkonstanten der (reellen bzw. komplexen) L IE-Algebra bzgl. der Basis {ek | k = 1, . . . , n}, die die L IE-Algebra definieren. Sie enthalten die gesamte lokale Information über die einer L IE-Algebra zugehörigen L IE -Gruppe. Bei einer abelschen L IE-Algebra verschwinden alle Strukturkonstanten fikj = 0, ∀ i, j, k = 1 . . . , n wegen der Kommutativität (5.7) beliebiger Paare von Elementen. Die Anzahl der miteinander kommutierenden Basiselemente (bzw. Generatoren) bestimmt den Rang einer L IE-Algebra. Aus den Forderungen (5.1) an das L IE-Produkt kann man entsprechende Forderungen an die Strukturkonstanten ableiten. So erhält man mit der Antikommutativität (5.1c) und mit Gl. (5.8) n

f ikj ek = −

n

k

f jik ek .

(5.9)

k

Wegen der linearen Unabhängigkeit der Basis sind notwendigerweise die Strukturkonstanten fikj bzgl. der beiden unteren Indizes antisymmetrisch f ikj = − f jik

i, j, k = 1, . . . , n.

(5.10)

Demnach verschwinden jene Strukturkonstanten, deren untere Indizes übereinstimmen f iik = 0

i, k = 1, . . . , n.

Mit der JACOBI-Identität (5.1d) erhält man [ei , [e j , ek ]] + [e j , [ek , ei ]] + [ek , [ei , e j ]] =

n 

 fikl [ei , el ] + f kil [e j , el ] + f ilj [ek , el ]

l

=

n

n 

l

 fikl f ilm + f kil f jlm + f ilj f klm em = 0.

m

(5.11)

Daraus ergibt sich wegen der linearen Unabhängigkeit der Basis n 

l

 f ilj film + f kil f jlm + filj f klm = 0.

(5.12)

5.1

Elemente und Verknüpfungen

181

Als Konsequenz aus der Bilinearität (5.1b) und (5.2) gewinnt man die Aussage, dass das L IE-Produkt [a, b] zweier beliebiger Elemente a, b einer (reellen bzw. komplexen) L IE-Algebra a=

n

αi ei

b=

i

n

βi ei

i

mit den (reellen bzw. komplexen) Koordinaten {αi | i = 1, . . . , n} und {βi | i = 1, . . . , n} bzgl. der Basis {ei | i = 1, . . . , n} durch die Strukturkonstanten ausgedrückt werden kann [a, b] =

n

n

i

αi β j [ei , e j ] =

n

n

n

j

i

j

αi β j f ikj ek .

(5.13)

k

Demnach erlaubt die Kenntnis der L IE-Produkte (5.8) aller Basiselemente und mithin aller n 3 Strukturkonstanten f ikj die Kenntnis aller L IE-Produkte von beliebigen Elementen der L IE-Algebra. Zudem gilt die Behauptung, dass zu jedem Satz von n 3 Konstanten f ikj , die die Forderung der Antikommutativität (5.1c) sowie der JACOBI-Identität (5.1d) erfüllen, eine L IE-Algebra mit genau diesen Konstanten als Strukturkonstanten existiert. Beispiel 3 Als Beispiel für eine reelle L IE-Algebra wird die der unitären L IEGruppe U (N ) entsprechende („unitären“) L IE-Algebra u(N ) (N ≥ 1) betrachtet. Die Forderung nach Unitarität (2.5) der Gruppenelemente impliziert die Forderung nach Antihermitezität der Elemente aus der L IE-Algebra (s. Abschn. 6.2). Letztere umfasst deshalb die Menge aller komplexen, antihermiteschen (schiefhermiteschen) N × N -Matrizen a mit a† = −a

∀ a ∈ u(N ).

(5.14)

Wegen [a, b]† = (ab − ba)† = b† a † − a† b† = ba − ab = −[a, b]

∀ a, b ∈ u(N )

ist der Kommutator zweier beliebiger Elemente erneut antihermitesch und mithin ein Element der L IE-Algebra u(N ), was der Forderung (5.1a) genügt. Ausgehend von einer beliebigen, komplexen N × N -Matrix a der allgemeinen linearen L IE-Algebra gl(N , C) wird man insgesamt 2N 2 reelle Parameter zur Beschreibung der N 2 Matrixelemente erwarten (Tab. 5.1). Die einschränkende Forderung nach Antihermitezität (5.14) ergibt für die N komplexen Diagonalelemente aii die N Bedingungen aii∗ = −aii,

182

5 LIE-Algebren

wonach diese Elemente rein imaginär sind. Für die übrigen (2N (N − 1)/2 =) N (N − 1) komplexen Nichtdiagonalelemente ai j gelten wegen (5.14) die N (N − 1) Bedingungen ai∗j = −a ji, so dass insgesamt (N + N (N − 1) =) N 2 unabhängige Bedingungen an die 2N 2 reellen Parameter gestellt werden. Die Zahl der unabhängigen Parameter bzw. die Dimension n der L IE-Algebra u(N ) beträgt demnach (Tab. 5.1) n = 2N 2 − N 2 = N 2 . Beispiel 4 Für die („spezielle unitäre“) L IE-Algebra su(N ) gilt neben den bisher betrachteten Bedingungen noch die weiter einschränkende Forderung nach dem Verschwinden der Spur der Matrizen a sp a = 0.

(5.15)

Diese Forderung resultiert aus der Forderung (2.6) an die Determinante der Elemente aus der entsprechenden L IE-Gruppe SU (N ) und liefert noch eine zusätzliche Bedingung an die rein imaginären Diagonalelemente aii . Insgesamt ergibt sich die Zahl der unabhängigen Parameter bzw. die Dimension der L IE-Algebra su(N ) zu (Tab. 5.1) n = N 2 − 1. Beispiel 5 Ein weiteres Beispiel ist die („orthogonale“) L IE-Algebra o(N ) (N > 1). Die Forderung (2.7) nach Orthogonalität der Elemente aus der entsprechenden L IEGruppe O(N ) impliziert hier die Forderung nach Antisymmetrie der Elemente aus der L IE-Algebra. Demnach umfasst letztere die Menge aller reellen, antisymmetrischen (schiefsymmetrischen) N × N -Matrizen a mit a = −a

∀ a ∈ o(N ).

(5.16)

Wegen der Umformung [a, b] = (ab − ba) = b a − a b = ba − ab = −[a, b] ∀ a, b ∈ o(N ) ist der Kommutator zweier beliebiger Elemente erneut antisymmetrisch und mithin ein Element der L IE-Algebra o(N ), was der Forderung (5.1a) genügt. Ausgehend von einer beliebigen reellen N × N -Matrix a der allgemeinen L IEAlgebra gl(N , R) wird man insgesamt N 2 Parameter zur Beschreibung der N 2 Matrixelemente erwarten (Tab. 5.1). Die einschränkende Forderung (5.16) nach Antisymmetrie ergibt für die N reellen Diagonalelemente aii die N Bedingungen aii = −aii,

5.1

Elemente und Verknüpfungen

183

Tabelle 5.1 Reelle L IE-Algebren L der zughörigen L IE-Gruppen G von N × N -Matrizen A mit dem Kommutator als L IE-Produkt für die Matrizen a ∈ L (s. Tab. 4.1); dabei bedeuten: ⎛ ⎞ 0 0 −1r 0     ⎜ 0 1s 0 1 N /2 0 0 ⎟ 1p 0 ⎟ , J= g= , G=⎜ ⎝ 0 0 −1r 0 ⎠ 0 1q −1 N /2 0 0 0 0 1s p+q = N

mit

p≥q ≥1

2s + 2r = N

1 ≤ r ≤ N /2

L

Matrix a∈L

dim L n

gl(N , C)

ai j ∈ C

2N 2

gl(N , R)

ai j ∈ R

N2

sl(N , C) sl(N , R)

a ∈ gl(N , C), sp a = 0 a ∈ gl(N , R), sp a = 0

2(N 2 − 1) N2 − 1

o(N , C) = so(N , C)

a ∈ gl(N , C), a = −a

N (N − 1)

o(N ) = so(N )

a ∈ gl(N , R), a = −a

N (N − 1)/2

u(N )

a ∈ gl(N , C), a† = −a

N2

su(N )

a ∈ u(N ), sp a = 0

N2 − 1

Algebra

u( p, q) su( p, q) o( p, q) = so( p, q) so∗ (N )

a ∈ gl(N , C),

a† g

= −ga

a ∈ u( p, q) ∩ sl(N , C) a ∈ gl(N , R), a ∈ gl(N , C),

a

a g

= −a,

N2 − 1

= −ga a† J

N2

= −Ja

N (N − 1)/2 N (N − 1)/2

su ∗ (N )

a ∈ gl(N , C), J a∗ = a J, sp a = 0

N2 − 1

sp(1/2 N , C)

a ∈ gl(N , C), a J = − J a

N (N + 1)

sp(1/2 N , R) sp(1/2 N ) sp(r, s, C)

a J

a ∈ gl(N , R), = −Ja a ∈ sp(1/2 N , C) ∩ u(1/2 N )

N (N + 1)/2 N (N + 1)/2

a ∈ gl(N , C), a J = − J a, a† G = −Ga N (N + 1)/2

wonach diese Elemente verschwinden. Für die übrigen (2N (N − 1)/2 =) N (N − 1) reellen Nichtdiagonalelemente ai j gelten wegen Gl. (5.16) die N (N − 1)/2 Bedingungen ai j = −a ji, so dass insgesamt (N + N (N − 1)/2 =) N (N + 1)/2 unabhängige Bedingungen an die N 2 reellen Parameter gestellt werden. Die Zahl der unabhängigen Parameter bzw. die Dimension n der L IE-Algebra o(N ) beträgt demnach (Tab. 5.1) n = N 2 − N (N + 1)/2 = N (N − 1). Beispiel 6 Die weiter einschränkende Forderung (2.8) bzgl. der Determinante (det A = 1) der Elemente aus der L IE-Gruppe S O(N ) impliziert bei der entsprechenden („speziellen orthogonalen“) L IE-Algebra so(N ) (N > 1) mit reellen, antisymmetrischen N × N -Matrizen a das Verschwinden der Spur

184

5 LIE-Algebren

sp a = 0

∀ a ∈ so(N ).

(5.17)

Diese Forderung wird jedoch wegen sp a = sp a = −sp a bereits durch die Voraussetzung (5.16) erfüllt. Während die entsprechende L IEGruppe S O(N ) eine Untergruppe der Gruppe O(N ) ist (Tab. 4.1) findet man die Identität der entsprechenden L IE-Algebren so(N ) ≡ o(N ).

(5.18) 

5.2 Strukturen Wie bei den Gruppen (Abschn. 2.2) kann man auch bei einer (reellen bzw. komplexen) L IE-Algebra L eine Teilmenge bzw. einen Unterraum H unterscheiden, deren Elemente bzgl. desselben L IE-Produkts [ , ] über demselben Körper K wie für L die Bedingungen (5.1a) bis (5.1d) erfüllen und somit selbst wieder eine (reelle bzw. komplexe) L IE-Algebra bilden [a, b] ∈ H

∀ a, b ∈ H.

(5.19a)

Definiert man allgemein für zwei Unterräume U und V einer L IE-Algebra Ldas L IE-Produkt [U, V] als den Unterraum, der von allen Kommutatoren u ∈ U und v ∈ V aufgespannt wird [U, V] := spanK {[u, v]| u ∈ U, v ∈ V}, dann kann die Teilmenge H ausgedrückt werden durch [H, H] ⊆ H ⊂ L.

(5.19b)

Sie wird dann als (reelle bzw. komplexe) L IE-Unteralgebra bezeichnet. Eine eigentliche bzw. echte L IE-Unteralgebra H liegt immer dann vor, wenn H nicht mit einer trivialen L IE-Unteralgebra, nämlich dem Nullelement {0} oder der L IE-Algebra L selbst zusammenfällt. Die Dimension der L IE-Unteralgebra H ist dann kleiner als die Dimension der L IE-Algebra L. Beispiel 1 Als Beispiel sei die L IE-Algebra u(N ) (N  1) mit komplexen, antihermiteschen N × N -Matrizen a betrachtet (Gl. 5.14). Eine weiter einschränkende Forderung nach dem Verschwinden der Spur der Matrizen (Gl. 5.15) wird von einer Teilmenge erfüllt. Diese Forderung resultiert etwa aus der Forderung (2.6) an die Determinante der Elemente aus der L IE-Gruppe SU (N ). Nachdem allgemein die Spur eines Kommutators zweier beliebiger Matrizen A, B verschwindet

5.2

Strukturen

185

sp([ A, B]) = sp( AB − B A) = sp( AB) − sp(B A) = sp( AB) − sp( AB) = 0, findet man für jedes beliebige Paar von Matrizen a, b aus der zur L IE-Gruppe SU (N ) gehörenden L IE-Algebra su(N ) einen spurlosen Kommutator und somit ein Element [a, b] der L IE-Algebra su(N ). Demnach bildet die Teilmenge der spurlosen Matrizen eine Unteralgebra su(N ) der L IE-Algebra u(N ).  Falls für jedes Element b einer L IE-Unteralgebra I und für jedes Element a der zugehörigen L IE-Algebra L das L IE-Produkt ein Element der L IE-Unteralgebra I ist, dann liegt eine invariante L IE-Unteralgebra bzw. ein Ideal I von L vor [I, L] ⊆ I.

(5.20)

Demnach ist ein Ideal I unter der Wirkung der L IE-Algebra L invariant. Ein eigentliches Ideal I liegt immer dann vor, wenn es weder mit dem Nullelement {0} noch mit der L IE-Algebra L selbst zusammenfällt. Setzt man voraus, dass eine L IEAlgebra L zwei Ideale I1 und I2 besitzt, dann findet man mit [I1 , I2 ], mit I1 ∩ I2 sowie mit der Menge I1 + I2 := {x ∈ L| x = x1 + x2 , x1 ∈ I1 , x 2 ∈ I2 } ebenfalls ein Ideal von L. Alternativ ist es die triviale Menge, nämlich das Nullelement {0}. Analog zum Normalteiler bei den Gruppen kann man auch hier zwischen zwei Arten von L IE-Algebren unterscheiden. Einmal die einfache L IE-Algebra, die – außer L und dem Nullelement {0} – kein nicht-triviales Ideal besitzt. Zum anderen die halbeinfache L IE-Algebra, die kein abelsches Ideal besitzt. Folglich ist jede einfache L IE-Algebra auch eine halbeinfache L IE-Algebra und jede abelsche L IEAlgebra weder einfach noch halbeinfach. Halbeinfach sind alle jene L IE-Algebren, die zu kompakten L IE-Gruppen gehören und deshalb auch als kompakte L IEAlgebren bezeichnet werden können. Nachdem die Dimension n einer jeden abelschen L IE-Algebra den Wert Eins annimmt (n = 1) wird man für die Dimension einer einfachen bzw. einer halbeinfachen L IE-Algebra einen Wert größer als Eins (n > 1) fordern müssen. Beispiel 2 Als Beispiel wird die zur speziellen orthogonalen Gruppe S O(3) gehörige L IE-Algebra so(3) betrachtet. Die Generatoren der Gruppe bzw. die Basis der Algebra {ak |k = 1, 2, 3} (4.58) gehorchen den Kommutatorbeziehungen (4.59), so dass Gl. (5.20) nicht erfüllt ist und deshalb keine invariante L IE-Unteralgebra existiert. Demnach gilt die L IE-Algebra so(3) als einfach. Sie gilt erst recht als halbeinfach, was wegen der Kompaktheit der zugehörigen L IE-Gruppe S O(3) auch zu erwarten ist. Für die Beschreibung der Rotationen zweier verschiedener Systeme im Raum R3 – etwa der Vektoren x 1 und x 2 – wird die Produktgruppe G der beiden einfachen Gruppen S O(3) verwendet (s. Beispiel 2 v. Abschn. 2.4) G = S O(3) × S O(3). Die Basen {a1,k | k = 1, 2, 3} und {a2,k | k = 1, 2, 3} der zugehörigen L IE-Algebren erfüllen jede für sich die Kommutatoren (4.59) und sind untereinander vertauschbar

186

5 LIE-Algebren

[a1,k , a 2,l ] = 0

k, l = 1, 2, 3.

Damit erhält man für jede der Basen nach Gl. (5.20) ein Ideal, das nicht abelsch ist, so dass die der Produktgruppe G entsprechende L IE-Algebra als halbeinfach gilt. Das Zentrum C einer L IE-Algebra L ist die Menge jener Elemente c, die mit allen Elementen der L IE-Algebra L vertauscht C := {c| [c, L] = 0, a ∈ L}.

(5.21)

Es erfüllt damit Gl. (5.20) und gilt als Ideal (s. a. Gl. 2.21). Ähnlich dem Zentrum gibt es eine weitere Art von Unteralgebra, die als Zentralisator einer Teilmenge K von L bezeichnet wird. Darunter versteht man die Menge jener Elemente a der L IE-Algebra L, deren L IE-Produkt mit allen Elemente aus der Teilmenge K das Nullelement ergibt (s. a. 2.31c) CL (K) := {a| [a, K] = 0, a ∈ L}.

(5.22)

Bezüglich des Nullelements K = {0} ist der Zentralisator die L IE-Algebra selbst (CL (0) = L). Nach Gl. (5.21) ist der Zentralisator CL (L) der L IE-Algebra L gleich dem Zentrum C(L) der L IE-Algebra (CL (L) = C(L)). Eine Menge von Elementen a der L IE-Algebra L, deren L IE-Produkt mit einer Unteralgebra H in dieser enthalten ist und so als abgeschwächte Forderung gilt NL (H) := {a| [a, H] ⊆ H, a ∈ L},

(5.23)

wird als Normalisator bezeichnet (s. a. 2.31a). Es ist die größte Unteralgebra der L IE-Algebra L, die die Unteralgebra H als Ideal enthält. Für den Fall, dass die Unteralgebra H ein Ideal I ist, ist der Normalisator gleich der L IE-Algebra (NL (I) = L). Wie bei den Gruppen kann man auch für L IE-Algebren L mithilfe eines Ideals I eine sogenannte Quotientenalgebra betrachten (Abschn. 2.2). Diese ist der Quotientenvektorraum L/I = {a + I| a ∈ L}

(5.24a)

zusammen mit dem L IE-Produkt [a + I, b + I] = [a, b] + I

∀a, b ∈ L.

(5.24b)

Schließlich gibt es für jede L IE-Algebra L eine abgeleitete Algebra L . Sie ist definiert als die Menge aller Linearkombinationen von L IE-Produkten L := [L, L].

(5.25)

5.3

Abbildungen

187

Betrachtet man die Beziehung [L , L] = [[L, L], L] ⊆ [L, L] = L so gewinnt man mit Gl. (5.20) die Aussage, dass die abgeleitete Algebra L sicher ein Ideal ist.

5.3 Abbildungen In Analogie zu den Überlegungen bei Gruppen (Abschn. 2.3) kann man auch hier verschiedene Abbildungen ψ einer (reellen bzw. komplexen) L IE-Algebra L in eine (reelle bzw. komplexe) L IE-Algebra L erklären. Der Homomorphismus bezeichnet die Abbildung ψ einer L IE-Algebra L in eine L IE-Algebra L über demselben Körper K ψ : L −→ L,

(5.26a)

falls für alle Elemente a, b ∈ L und alle α, β ∈ K gilt ψ(αa + βb) = αψ(a) + βψ(b) = αa  + βb

∀a  , b ∈ L

(5.26b)

und ψ([a, b]) = [ψ(a), ψ(b)] = [a  , b ]

∀a  , b ∈ L,

(5.26c)

womit die algebraische Struktur erhalten bleibt. Setzt man einen Homomorphismus ψ einer L IE-Algebra L in eine L IE-Algebra L über demselben Körper K voraus, so besitzen die beiden L IE-Algebren genau dann dieselbe Dimension n, wenn sie auch isomorph zueinander sind. Für den Fall, dass die L IE-Algebra L mit der L IE-Algebra L übereinstimmt, ist die Abbildung ψ eine Selbstabbildung bzw. ein Endomorphismus. Der Isomorphismus bezeichnet die umkehrbar eindeutige (injektive und surjektive = bijektive) homomorphe Abbildung ψ (5.26) einer L IE-Algebra L auf eine L IE-Algebra L über demselben Körper K (s. a. Abschn. 2.3). Die Isomorphie der Strukturen beider L IE-Algebren kann dann durch eine eine Äquivalenzbeziehung ausgedrückt werden L∼ = L.

(5.27)

Falls die L IE-Algebra L mit der L IE-Algebra L übereinstimmt, ist die isomorphe Selbstabbildung ψ ein Automorphismus. Die Menge der automorphen Abbildungen bilden eine Gruppe Aut(L) mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung ψ ◦ φ(a) = ψ(φ(a))

ψ, φ ∈ Aut(L)

∀ a ∈ L.

(5.28)

188

5 LIE-Algebren

Diese Gruppe ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Ein Automorphismus ψ der L IE-Algebra L, der die Forderung ψm = e

(Einselement)

m∈N

(5.29)

erfüllt, wird als Automorphismus der Ordnung m bezeichnet. Die der Gruppe Aut(L) zugehörige L IE-Algebra wird durch die Menge der Derivationen Der(L) auf L gebildet. Dabei ist eine Derivation δ eine lineare Abbildung der L IE-Algebra L in sich gemäß der Festlegung  δ:

L −→ L [a, b] −→ [δ(a), b] + [a, δ(b)]

∀a, b ∈ L,

(5.30)

wodurch die sogenannte L EIBNIZ-Regel erfüllt wird. Ein Beispiel für eine Derivation ist die adjungierte Abbildung D ad (a) für ein beliebig gewähltes Element a ∈ L D ad (a) :

 L −→ L b −→ D ad (a)(b) = [a, b]

(5.31)

∀b ∈ L.

Derivationen dieser Form gehören zu den inneren Derivationen. Mit der JACOBI Identität (5.1d) erhält man D ad (a)([b, c]) = [D ad (a)(b), c] + [b, D ad (a)(c)], so dass die Forderung (5.30) erfüllt ist. Beispiel 1 Als Beispiel wird die Abbildung der reellen L IE-Algebra u(1) auf die reelle L IE-Algebra so(2) betrachtet. Die Basiselemente der L IE-Algebren sind die Generatoren der entsprechenden linearen L IE-Gruppen U (1) (= {z ∈ C| |z| = 1}) und S O(2). Nach Gln. (4.26) und (4.33a) findet man dafür jeweils nur ein Basiselement, nämlich a=i

für u(1)

und

a =



0 −1

1 0

 für

so(2).

Beide L IE-Algebren sind eindimensional, so dass sie auch als abelsch gelten mit denselben verschwindenden Strukturkonstanten. Demanch gilt die Abbildung ψ(a) = a als isomorph. Bei einer homomorphen Abbildung ψ einer L IE-Algebra L in eine L IE-Algebra L ist der Kern der Abbildung Ker(ψ), nämlich jene Menge, die auf das neutrale Element 0 abgebildet wird Ker(ψ) = {a ∈ L| ψ(a) = 0 ∈ L }

bzw.

Ker(ψ) = {ψ −1 (0)| 0 ∈ L } (5.32)

5.4

Summen und Produkte

189

ein Ideal I. Zudem ist der Faktorraum L/Ker(ψ) eine zum Bildraum L isomorphe L IE-Algebra. Umgekehrt findet man, dass bei einem Ideal Ker(ψ) = I einer L IEAlgebra L über K der Faktorraum L/Ker(ψ) eine L IE-Algebra bzgl. des L IEProdukts darstellt. Zudem ist die L IE-Algebra des Faktorraumes L/Ker(ψ) isomorph zur L IE-Algebra L (s. a. Abschn. 2.3). Ein besonderer Isomorphismus mit weitreichenden Folgen ist jener zwischen den linearen endlich-dimensionalen (reellen bzw. komplexen) L IE-Algebren und den (reellen bzw. komplexen) L IE-Algebren von N × N -Matrizen mit dem Kommutator zweier Matrizen als L IE-Produkt (Satz v. A DO). Die Bedeutung dieser Aussage liegt darin, dass die Gesamtheit der L IE-Algebren von Matrizen ausreicht, um alle Strukturen von abstrakten L IE-Algebren zu erfassen.

5.4 Summen und Produkte Analog zu den Vektorräumen lässt sich etwa zwischen zwei reellen bzw. komplexen L IE-Algebren L1 und L2 über demselben Körper K eine direkte Summe erklären L = L1 ⊕ L2 .

(5.33)

Dabei müssen die folgenden Bedingungen erfüllt sein: (a) Der zur L IE-Algebra L gehörige lineare Vektorraum L ist eine direkte Summe der beiden zu den L IE-Algebren L1 und L2 gehörigen linearen, orthogonalen Vektorräumen L = L1 ⊕ L2

bzw.

L1 ∩ L2 = ∅.

(5.34a)

(b) Das L IE-Produkt aller Elemente a1 ∈ L1 mit allen Elementen a2 ∈ L2 verschwindet [a1 , a2 ] = 0

∀ a1 ∈ L1

und a2 ∈ L2 .

(5.34b)

Die Dimension der L IE-Algebra L ist dann die Summe der Dimensionen der einzelnen L IE-Unteralgebren L1 und L2 . Wegen Gl. (5.34a) besitzen die beiden L IE-Unteralgebren L1 und L2 nur das Nullelement gemeinsam und sind deshalb orthogonal. Zudem sind sie wegen Gl. (5.34b) Ideale der L IE-Algebra L. Falls eine L IE-Algebra L als direkte Summe von einfachen L IE-Algebren ausgedrückt werden kann, dann ist sie halbeinfach. Auch die Umkehrung ist gültig, wonach jede halbeinfache L IE-Algebra L als direkte Summe von einfachen L IE-Algebren ausgedrückt werden kann. Es ist das Analogon zur Aussage über halbeinfache L IE-Gruppen, die umkehrbar eindeutig durch das direktes Produkt von einfachen L IE-Gruppen ersetzt werden können (Abschn. 2.4). Ersetzt man die Forderung (5.34b) durch die schwächere Forderung, dass etwa nur L1 als Ideal in der Summe L eingebunden ist

190

5 LIE-Algebren

[L1 , L2 ] ⊆ L1 , dann kann man durch L = L1 % L2

(5.35)

eine halbdirekte Summe definieren. Beispiele dazu sind die L IE-Algebren der euklidischen Gruppen, wo eine der Unteralgebren eine abelsche L IE-Algebra ist (s. a. Beispiel 4 v. Abschn. 2.4). Ausgehend von zwei reellen bzw. komplexen L IE-Algebren La = {a1 , a2 , . . .} und Lb = {b1 , b2 , . . .} über demselben Körper K kann man ein direktes (kartesisches) Produkt erklären L = La × Lb := {(a, b)| a ∈ La , b ∈ Lb }.

(5.36a)

Diese Produktmenge ist erneut ein linearer Vektorraum über K, der zusammen mit dem L IE-Produkt [(ai , b j ), (ak , bl )] := ([ai , ak ], [b j , bl ])

(5.36b)

eine L IE-Algebra L über dem Körper K wird.

5.5 Darstellungen Wie im Fall der Gruppen kann man auch bei den L IE-Algebren eine d-dimensionale lineare Darstellung D(L) auf einem Vektorraum V definieren. Es ist die homomorphe Abbildung der Elemente a der (reellen bzw. komplexen) Algebra L über K in lineare Selbstabbildungen (Endomorphismen) bzw. lineare Operatoren D(a) eines d-dimensionalen linearen Vektorraumes V über dem Körper K (K = R bzw. C). Nachdem die Menge aller Selbstabbildungen EndK (V) eines d-dimensionalen Vektorraumes V die der allgemeinen linearen L IE-Gruppe G L(V) zugeordnete L IE-Algebra gl(V) bildet, ist die Darstellung D ein Homomorphismus von L IEAlgebren  D:

L −→ gl(V) a −→ D(a)

(5.37a)

a ∈ L.

Dabei ist das Produkt der Elemente a gleich dem Produkt der Abbildungen [a1 , a2 ] = [D(a1 ), D(a2 )] = D(a1 )D(a2 ) − D(a2 )D(a1 )

∀a1 , a2 ∈ L, (5.37b)

so dass das L IE-Produkt erhalten bleibt. Der Vektorraum V wird als Darstellungsraum (Trägerraum) bezeichnet. Wenn die Abbildung (5.37) umkehrbar eindeutig ist im Sinne einer isomorphen Abbildung, so spricht man von einer treuen Darstellung.

5.5

Darstellungen

191

Eine triviale Darstellung gewinnt man stets durch Zuordnung jedes Elements der L IE-Algebra zur Nullabbildung, die jedes beliebige Element des Vektorraumes in den Nullvektor abbildet. Diese Darstellung ist sicher keine treue Darstellung. Analog zur Darstellung von Gruppen (Abschn. 3.1) kann man auch einen Vektorraum V über K zusammen mit einer bilinearen Abbildung definieren  L × V −→ V D: (5.38a) (a, x) −→ ax a∈L x ∈ V, mit der Forderung a(bx) − b(ax) = [a, b]x

x ∈V

∀a, b ∈ L.

(5.38b)

Danach erhält der Vektorraum V die Struktur eines L-Moduls. Nach Wahl einer Basis {vi | i = 1, . . . , d} im Vektorraum V, dessen Dimension d als die Dimension der Darstellung gilt, können die Selbstabbildungen D(a) durch d × d-Matrizen D(a) beschrieben werden. Die homomorphe Abbildung zwischen den Elementen a der L IE-Algebra L und den Matrizen D(a) geschieht dann durch eine d-dimensionale Matrixdarstellung D(L) der L IE-Algebra L. Nachdem die Operatoren den Vektorraum als invarianten Raum auszeichnen, lässt sich jedes Bildelement vi durch eine Linearkombination der Basiselemente darstellen D(a) vi = vi =

d

D ji (a) v j

i = 1, . . . , dim D = d

∀ a ∈ L.

(5.39)

j

Die so gewonnene, nicht notwendigerweise treue Matrixdarstellung D(L) bildet eine L IE-Algebra, die nach Gln. (5.37), (5.39) und (3.8) die Matrixmultiplikation als Verknüpfung fordert. Wegen der Nichtvertauschbarkeit der Matrixmultiplikation können Matrixdarstellungen von abelschen L IE-Algebren nur eindimensional sein. Viele der Konzepte, die für die Darstellungen von diskreten, endlichen Gruppen diskutiert werden, sind auch im Fall von L IE-Algebren gültig. So gibt es die reduziblen bzw. irreduziblen Darstellungen (Abschn. 3.2) und die äquivalenten Darstellungen (Abschn. 3.3). Zudem gelten die S CHUR’schen Lemmata (Abschn. 3.5). Beispiel 1 Die Ermittlung von irreduziblen Darstellungen wird am Beispiel der reellen L IE-Algebra L = su(2) demonstriert. Die Isomorphie zur L IE-Algebra so(3) (Beispiel 3 v. Abschn. 6.4) liefert für beide L IE-Algebren die gleichen Darstellungen. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Basiselemente {a k | k = 1, 2, 3} (4.43) bzw. der Generatoren der entsprechenden L IE-Gruppe SU (2) über dem Körper C der komplexen Zahlen (s. Gl. 5.89), gelingt durch eine komplexe Linearkombination der Basis eine Komplexifizierung der L IE-Algebra L nach LC , die isomorph ist zur komplexen L IE-Algebra sl(2, C). Die Grundlage der Diskussion bilden die Vertauschungsrelationen [a1 , a2 ] = −a3 bzw.

[a2 , a 3 ] = −a1

[a 3 , a 1 ] = −a2

(5.40a)

192

5 LIE-Algebren

[al , a m ] = −

3

εlmn an = −

n=1

3

n εlm an

l, m = 1, 2, 3,

(5.40b)

n=1

n (L EVI die die L IE-Algebra festlegen. Dabei sind die Koeffizienten εlmn bzw. εlm C IVITA-Symbol) die Elemente eines vollständig antisymmetrischen Tensors ε 3-ter Stufe bzw. von drei vollständig antisymmetrischen Tensoren ε1 , ε 2 und ε3 mit

n εlmn = εlm

⎧ ⎨1 = 0 ⎩ −1

falls lmn eine gerade Permutation falls gleiche Indizes falls lmn eine ungerade Permutation.

(5.41)

Die Tensoren {−εk |k = 1, 2, 3} sind identisch mit den Generatoren {ak |k = 1, 2, 3} (4.58) der Rotationsgruppe S O(3). Nachdem die zugehörige L IE-Gruppe SU (2) kompakt ist, erwartet man für deren Elemente eine endliche Darstellung und mithin eine normale (unitäre) Darstellung (Abschn. 4.4). Entsprechend den Ergebnissen von Abschn. 6.2 wird mit diesen Voraussetzungen eine antihermitesche Darstellung D(a) der L IE-Algebra su(2) erwartet D† (a) = − D(a)

∀a ∈ su(2).

(5.42)

Ausgehend von einer Darstellung D(a) in einem d-dimensionalen, unitären Darstellungsraum V mit der orthonormalen Basis {vi | i = 1, . . . , d} gemäß Gl. (3.6) D(a)vi =

d

D ji (a)v j

i = 1, . . . , d,

(5.43)

j=1

erhält man mit Gl. (5.42) auch antihermitesche lineare Operatoren D † (a) = −D(a)

∀a ∈ su(2).

(5.44)

Mit der Basis {ak | k = 1, 2, 3} kann man drei weitere Operatoren einführen Jk = −i D(ak )

k = 1, 2, 3,

(5.45)

  die dann hermitesch sind Jk = Jk† und somit reelle Eigenwerte erwarten lassen. Sie entsprechen abgesehen von einem Faktor h¯ den Komponenten des vektoriellen Drehimpulsoperators J in der Quantenmechanik. Die Kommutatoren der Operatoren Jk errechnen sich mit der Beziehung [D(al ), D(am )] = D([al , a m ]) und den Kommutatoren (5.40) zu

(5.46)

5.5

Darstellungen

193

[Jl , Jm ] = i

3

εlmn Jn ,

(5.47)

n=1

und begründen so eine L IE-Algebra mit rein imaginären Strukturkonstanten. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass der Vektoroperator J des Drehimpulses auch als Erhaltungsgröße eines rotationsinvarianten Systems gilt. Mit dieser Voraussetzung kommt man in einer quantenmechanischen Betrachtung ebenfalls zu den Kommutatorbeziehungen (5.47) der Drehimpulskomponenten (s. Beispiel 7 v. Abschn. 6.3). Diese bilden die Grundlage zur Bestimmung des Spektrums der Operatoren. Das bedeutet, dass alleine mithilfe der linearen Algebra die Eigenwerte und Eigenvektoren gewonnen werden können. Dabei versucht man eine maximale Anzahl der Operatoren {Jk | k = 1, 2, 3}, die nach Gl. (5.45) der Basis der L IE-Algebra bzw. den Generatoren der L IE-Gruppe entsprechen, zu diagonalisieren. Nachdem es nur einen Operator gibt, der gleichzeitig mit allen Operatoren vertauscht, und die L IE-Algebra sl(2, C) deshalb den Rang Eins hat, kann man nur einen von den dreien wählen – etwa J3 –, um ihn mithilfe der Eigenvektoren v durch die Eigenwertgleichung J3 v = λv

(5.48)

mit dem reellen Eigenwert λ – dem sogenannten Gewicht – zu diagonalisieren. Daneben gibt es den Operator des Quadrates J 2 = J12 + J22 + J32 ,

(5.49)

der wegen Gl. (5.47) mit allen Komponenten {Jk | k = 1, 2, 3} vertauscht [ J 2 , Jk ] = 0

k = 1, 2, 3.

(5.50)

Ein solcher Operator, der eine bilineare Funktion aller drei Generatoren ist, wird als C ASIMIR-Operator bezeichnet und kann wegen Gl. (5.50) mit den gleichen Eigenvektoren v und dem Eigenwert a durch die Eigenwertgleichung J 2 v = av

(5.51)

diagonalisiert werden (Abschn. 9.4). Er ist jedoch kein Element der L IE-Algebra sl(2, C). Dies impliziert in der Quantenmechanik die Aussage, dass nur eine Komponente des Drehimpulsoperators J – etwa J3 – gleichzeitig mit dem Betrag des Vektoroperators | J 2 | beobachtet werden kann. Die Diagonalisierung (5.48) und (5.51) wird vereinfacht durch die Einführung zweier nicht hermitescher Operatoren J+ und J− mit J± = J1 ± i J2 ,

(5.52)

194

5 LIE-Algebren

  die zueinander adjungiert sind J±† = J∓ . Wegen des Kommutators (5.50) sind auch diese beiden Operatoren mit dem C ASIMIR-Operator vertauschbar [ J 2 , J± ] = 0.

(5.53)

Mit dieser neuen Basis {J3 , J± } der L IE-Algebra sl(2, C) erhält man nach Gl. (5.47) die Kommutatoren [J3 , J± ] = ±J±

und

[J+ , J− ] = 2J3 .

(5.54a)

Daraus lässt sich allgemein die Beziehung 6

7 J3 , J±n = ±n J±n

n = 0, 1, . . .

(5.54b)

ableiten. Daneben liefern die Kommutatoren (5.47) zusammen mit Gl. (5.52) das Ergebnis J± J∓ = J12 + J22 ± J3 = J 2 − J32 ± J3 .

(5.55)

Nach Anwendung von Gl. (5.54a) auf einen Eigenvektor v bekommt man J3 J± v = (J± J3 ± J± )v = (λ ± 1)J± v,

(5.56)

wonach J± v ein Eigenvektor zum Operator J3 mit dem Eigenwert (λ + 1) ist. Das bedeutet, dass die Operatoren J± das Spektrum um eine Einheit erhöhen bzw. erniedrigen, so dass sie als Stufenoperatoren (Schiebe-, Leiteroperator) bezeichnet werden. Daneben ist wegen des Kommutators (5.50) der Vektor J± v auch ein Eigenvektor des Operators J 2 zum Eigenwert a. Mit einem beliebigen Vektor u des Darstellungsraumes erhält man aus dem Skalarprodukt !

" ! " ! " ! " u, J 2 u = u, J12 u + u, J22 u + u, J32 u

(5.57)

drei Summanden, von denen jeder wegen der Hermitezität der Basisoperatoren {Jk | k = 1, 2, 3} und dem positiven Skalarprodukt – bzw. der positiven Länge eines Vektors – größer als Null ausfällt !

" u, Jk2 u = "u, Jk Jk u# = "Jk u, Jk u# ≥ 0

k = 1, 2, 3,

(5.58)

so dass allgemein die Ungleichung !

" ! " u, J 2 u ≥ u, J32 u ≥ 0

(5.59)

resultiert. Für den Fall, dass der Vektor u ein Eigenvektor v ist, findet man damit die Abschätzung

5.5

Darstellungen

195

a ≥ λ2 ≥ 0

bzw.

−

√

√ a ≤ λ ≤ + a,

(5.60)

wonach der Eigenwert λ des Operators J3 nach oben und nach unten durch einen maximalen und einen minimalen Wert λmax bzw. λmin beschränkt ist. Diese Aussage ist auch als Konsequenz der Voraussetzung einer endlich-dimensionalen Darstellung aufzufassen. Die Anwendung von Gl. (5.54a) auf einen Eigenvektor vmax , der zum maximalen Eigenwert λmax gehört, ergibt J3 J+ vmax = (J+ J3 + J+ )vmax = (λmax + 1)J+ vmax ,

(5.61)

was wegen Gl. (5.60) nur erfüllt werden kann, wenn der Vektor J+ vmax verschwindet (J+ vmax = 0). Damit erhält man unter Berücksichtigung von Gl. (5.55)     J− J+ vmax = J 2 − J32 − J3 Vmax = a − λ2max − λmax vmax = 0

(5.62)

bzw. a = λmax (λmax + 1).

(5.63)

Analoge Überlegungen bezüglich der Anwendung von J3 J− auf einen Eigenvektor vmin , der zum minimalen Eigenwert λmin gehört, mit dem Verschwinden des Vektors J− vmin (J− vmin = 0) als Konsequenz, ergeben nach     J+ J− vmin = J 2 − J32 + J3 vmin = a − λ2min + λmin vmin = 0

(5.64)

die zu (5.63) analoge Beziehung a = λmin (λmin − 1).

(5.65)

Schließlich kann man nach Anwendung von Gl. (5.54b) auf den Eigenvektor vmax J3 J−n vmax = (λmax − n)J−n vmax

(5.66)

eine größtmögliche Zahl n finden, mit der die Beziehung λmax − n = λmin

(5.67)

erfüllt ist. Die Substitution von n und λmin durch die Gln. (5.63) und (5.65) führt zu λmax =

n 2

n = 0, 1, . . . ,

(5.68)

wonach der maximale Eigenwert, der im Folgenden mit J (≡ λmax ) bezeichnet wird, nur ganz- oder halbzahlig sein kann

196

5 LIE-Algebren

J = 0,

1 3 , 1, , . . . . 2 2

(5.69)

Nach Gl. (5.67) ist −J (≡ λmin ) der minimale Eigenwert und der Eigenwert a vom C ASIMIR-Operator J 2 errechnet sich nach Gl. (5.63) bzw. Gl. (5.65) zu a = J (J + 1).

(5.70)

Nach Umbenennung des Eigenwerts in λ = m – in der Quantenmechanik die magnetische Quantenzahl –haben mit dem orthonormalen System von Eigenvekto (J ) ren vm | − J ≤ m ≤ +J – in der Quantenmechanik die Zustandsvektoren des H ILBERT-Raumes – die Eigenwertgleichungen (5.48) und (5.51) die Gestalt (J ) (J ) J 2 vm = J (J + 1)vm

(5.71a)

(J ) (J ) J3 vm = mvm

(5.71b)

− J ≤ m ≤ +J.

Dabei gilt der maximale Eigenwert J – nämlich der die irreduzible Darstellung charakterisierende Drehimpuls – als das höchste Gewicht. Für eine vorgegebene Zahl J gilt der irreduzible Darstellungsraum der L IE-Algebra sl(2, C) wegen dem äquidistanten Spektrum des Operators J3 nach Gl. (5.71b) als (2J + 1)-fach entartet (Richtungsentartung in der Quantenmechanik). Die Wirkung der Generatoren erlaubt eine Änderung des Eigenwertes m, jedoch keine Änderung der Dimension der Darstellung (dim D(J ) = (2J + 1)). Die Forderung nach Ganzzahligkeit einer Dimension wird durch Gl. (5.69) erfüllt. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass mitunter durch eine neue Skalierung der Operator J¯3 = 2J3 an Stelle des Operators J3 als Generator gewählt wird, was die Kommutatoren [ J¯3 , J± ] = ±2 J¯3

und

[J+ , J− ] = J¯3

zur Folge hat. Als Ergebnis erhält man an Stelle von Gl. (5.68) einen maximalen Eigenwert bzw. das höchste Gewicht λmax ≡ J = n, der stets eine nicht-negative ganze Zahl ist. Zudem sind alle die übrigen Eigenwerte λ ganzzahlig, was die allgemeine Diskussion von Darstellungen einfacher L IE-Algebren erleichtert (Abschn. 9.1 und 9.2). Nach Kenntnis des Spektrums der Operatoren J 2 und J3 kann die Wirkung der (J ) Operatoren J± bzw. J1 und J2 (s. Gl. 5.52) auf die Eigenvektoren vm untersucht (J ) sowohl ein Eigenvektor von J3 zum werden. Wegen Gl. (5.48) ist der Vektor J± vm Eigenwert (m ± 1) als auch wegen des Kommutators (5.50) ein Eigenvektor von J 2 (J ) (J ) zum Eigenwert J (J + 1), so dass die Vektoren J± vm und vm±1 „parallel“ gerichtet

5.5

Darstellungen

197

sind (J ) (J ) J± vm = c± vm±1 .

(5.72)

Die komplexen Koeffizienten c± errechnen sich mit der Orthonormalität der Eigenvektoren " ! " ! ! " (J ) (J ) (J ) (J ) (J ) (J ) = J± vm = vm , c± vm , J± vm , J∓ J± vm ) |c± |2 = c± vm und mit Gl. (5.55) zu " " ! ! (J ) (J ) (J ) (J ) |c± |2 = vm = [J (J + 1) − m 2 + m] vm , ( J 2 − J3 ∓ J3 )vm , vm = (J ∓ m)(J ± m + 1).

(5.73)

Die Wahl von reellen und positiven Phasenfaktoren c± (C ONDON -S HORTLEYKonvention) ergibt mit Gl. (5.72) (J ) J± vm =

 (J ) (J ∓ m)(J ± m + 1) vm±1 .

Mit dem System von Eigenvektoren

(5.74)

  (J ) vm | − J ≤ m ≤ +J erhält man

nach Gl. (5.43) eine irreduzible Darstellung D J (a), deren Matrixelemente sich ergeben zu " ! (J ) (J ) (J ) Dm  m (a) = vm  , D(a)vm

∀a ∈ su(2).

(5.75)

Die Substitution des Operators D(a) nach Gl. (5.45) liefert für die irreduziblen Darstellungen der Basis {ak | k = 1, 2, 3} 9 ! " ! " 8 (J ) (J ) (J ) (J ) 1 (J ) (J ) (J ) Dm  m (a1 ) = vm  , D(a 1 )vm = Vm  , i J1 vm = vm  , i(J+ + J− )vm 2 (5.76a) 9 " ! " 8 ! 1 (J ) (J ) (J ) (J ) (J ) (J ) (J ) Dm  m (a2 ) = vm  , D(a 2 )vm = Vm  , i J2 vm = vm  , i(J+ − J− )vm 2 (5.76b) ! " ! " (J ) (J ) (J ) (J ) (J ) Dm  m (a3 ) = vm  , D(a 3 )vm = vm  , i J3 vm . (5.76c) Mit den Gln. (5.71b) und (5.74) sowie mit der Orthonormalität der Eigenvektoren erhält man schließlich das Ergebnis

198

5 LIE-Algebren

 7 1 6 i (J − m)(J + m + 1) δm  m+1 + (J + m)(J − m + 1) δm  m+1 2 (5.77a)  7 1 6 (J ) Dm  m (a2 ) = i (J − m)(J + m + 1) δm  m+1 − (J + m)(J − m + 1) δm  m+1 2 (5.77b) (J )

Dm  m (a1 ) =

(J )

Dm  m (a3 ) = imδm  m .

(5.77c)

Für den Fall J = 0 ist die Darstellung D(J =0) (ak ) = 0 (k = 1, 2, 3) eindimensional (2J + 1 = 1) und kann als triviale Darstellung (Singulett) aufgefasst werden. Für den Fall J = 1/2 (−1/2 ≤ m ≤ +1/2) errechnet sich die irreduzible Darstellung gemäß Gl. (5.77) zu D(J =1/2) (ak ) = ak

k = 1, 2, 3

a k ∈ su(2).

(5.78)

Diese 2-dimensionale (2J + 1 = 2) Darstellung ist demnach identisch mit der Basis {ak | k = 1, 2, 3} (4.43) der L IE-Algebra su(2), die auch als fundamentale (definierende) Darstellung (Dublett) bezeichnet wird. Für den Fall J = 1 (−1 ≤ m ≤ +1) errechnet sich die irreduzible Darstellung gemäß Gl. (5.77) zu ⎛ 0 i D (J =1) (a1 ) = √ ⎝ 1 2 0 ⎛ 0 i D (J =1) (a2 ) = √ ⎝ −i 2 0 ⎛ 1 0 D(J =1) (a3 ) = i ⎝ 0 0 0 0

1 0 1

⎞ 0 1⎠ 0

⎞ i 0 0 i⎠ −i 0 ⎞ 0 0 ⎠. −1

(5.79a)

(5.79b)

(5.79c)

Diese 3-dimensionale (2J + 1 = 3) Darstellung ist äquivalent zur definierenden Darstellung der L IE-Algebra so(3), nämlich deren Basis { a¯ k | k = 1, 2, 3} nach Gl. (4.58). Die Äquivalenztransformation a¯ k = S−1 D (J =1) (ak )S

k = 1, 2, 3

a¯ k ∈ so(3)

ak ∈ su(2) (5.80a)

erfolgt durch die unitäre Transformationsmatrix ⎛

1 i 1 S= √ ⎝ 0 0 2 −1 i

⎞ √0 2 ⎠. 0

(5.80b)

5.5

Darstellungen

199

Nachdem jede L IE-Algebra selbst ein Vektorraum L ist, kann diese auch als Operator-Algebra aufgefasst werden, die auf sich selbst wirkt. Man erhält so eine Darstellung von L auf sich selbst, was – wie im Fall der regulären Darstellung von endlichen Gruppen – immer möglich ist. Betrachtet man deshalb die Elemente a einer L IE-Algebra L sowohl als Abbildungen bzw. als Operatoren [a, ] als auch als Elemente eines linearen Vektorraumes L über K, dann kann man eine adjungierte (reguläre) Darstellung definieren (s. a. Abschn. 3.7)  L −→ gl(L) D ad : (5.81) a −→ D ad (a) = [a, ] a ∈ L, mit der adjungierten Abbildung D ad (a) von Gl. (5.31), die eine (innere) Derivation der L IE-Algebra bedeutet. Demnach ist der Darstellungsraum, in dem der Operator D ad (a) wirkt, mit dem Vektorraum L identisch. Der Kern der Abbildung (5.81) besteht aus allen Elementen x, die auf das Nullelement abgebildet werden (D ad (x) = [a, x] = 0) und deshalb mit allen Elementen der L IE-Algebra L vertauschen. Nach Gl. (5.21) stimmt dann der Kern mit dem Zentrum C überein, das als ein Ideal gilt. Setzt man voraus, dass die L IE-Algebra L einfach ist und deshalb kein nicht-triviales Ideal besitzt, dann muss der Kern entweder mit dem Nullelement {0} oder mit der L IE-Algebra L selbst zusammenfallen. Im letzten Fall verschwinden alle L IE-Produkte, so dass die L IE-Algebra abelsch ist, was der Voraussetzung widerspricht. Demnach muss der Kern C die leere Menge sein, so dass die adjungierte Abbildung (5.81) eine umkehrbar eindeutige Zuordnung garantiert und als treue Darstellung gilt. Im Gegensatz dazu ist die adjungierte Darstellung jeder abelschen L IE-Algebra nicht treu. Nach Wahl einer Basis {ei | i = 1, . . . , n} im Darstellungsraum L können die Operatoren D ad (a) durch reguläre n × n-Matrizen Dad (a) beschrieben werden. Dabei sind die Matrixelemente die Entwicklungskoeffizienten der Bildelemente ei nach dieser Basis (Gl. 5.39) D (a)ei = ad

ei

=

n

D ad ji (a)e j

i = 1, . . . , dim D ad (a) = n

∀ a ∈ L,

j=1

(5.82) wodurch die adjungierte Matrixdarstellung Dad (a) der L IE-Algebra L erklärt wird, deren Dimension mit der Dimension der L IE-Algebra L übereinstimmt. Mit der Beziehung [[a, b], ei ] =

n

D ad ([a, b])e j

j = 1, . . . , n

k=1

sowie der JACOBI-Identität (5.1d) [[a, b], ei ] = −[[b, ei ], a] − [[ei , a], b] $

# ad ad ad = −D ad ji (b)Dk j (a) + D ji (a)Dk j (b) ek k

j

200

5 LIE-Algebren

erhält man D ad ([a, b]) = [ D ad (a), D ad (b)],

(5.83)

was die Darstellungseigenschaft der adjungierten Darstellung demonstriert. Im Ergebnis erhält man mit der adjungierten Darstellung Dad (L) für jede L IE-Algebra L eine nicht-triviale Darstellung. Der Vergleich von (5.82) mit Gl. (5.8) liefert das Ergebnis Dkadj (ei ) = fikj ,

(5.84)

wonach wegen der linearen Unabhängigkeit der Basiselemente die Matrixelemente der adjungierten Darstellung Dad (L) mit den Strukturkonstanten der L IE-Algebra identisch sind. Mit der JACOBI-Identität (5.1d) erhält man für das L IE-Produkt zweier adjungierter Darstellungsmatrizen [ Dad (ei ), Dad (e j )]mn =

# k

=

 k

=− =

ad ad ad ad Dmk (ei )Dkn (e j ) − Dmk (e j )Dkn (ei )

   k m k k m k f ikm f jn fikm f jn − f jk fin = + f jk f ni





$

k m fikj f nk

k m f ikj f kn =

k



ad f ikj Dmn (ek )

i, j = 1, . . . , n.

k

(5.85) Demnach bilden die Darstellungsmatrizen Dad (ek ) eine durch die Strukturkonstanten festgelegte L IE-Algebra, die der L IE-Algebra L entspricht. Betrachtet man einen endlich-dimensionalen Vektorraum V über einem (algebraisch geschlossenen) Körper K, dann kann jeder Endomorphismus ψ eindeutig zerlegt werden in der Form ψ = ψ s + ψn

ψ ∈ EndK (V)

(5.86a)

mit der Vertauschung [ψs , ψn ] = 0.

(5.86b)

Bei dieser sogenannten J ORDAN-Zerlegung bedeutet ψs bzw. ψn ein halbeinfacher bzw. nilpotenter Teil des Endomorphismus. Ein halbeinfacher Endomorphismus ψs zeichnet sich dadurch aus, dass es eine geeignete Basis des Vektorraumes V gibt, die die Abbildung zu diagonalisieren vermag und so die Eigenvektoren liefert. Ein nilpotenter Endomorphismus verschwindet nach einer endlichen p-ten Potenz

5.5

Darstellungen

201

  p ψn = 0, p > 0 , was in einer Matrixdarstellung durch eine echte obere Dreiecksmatrix garantiert wird. Als Konsequenz daraus findet man als einzigen Eigenwert von ψn den einfach entarteten Wert 0, so dass der Endomorphismus ψ denselben Eigenwert besitzt wie der halbeinfache Teil ψs . Entsprechend der Zerlegung (5.86) des Endomorphismus gelingt eine J ORDAN-Zerlegung einer halbeinfachen L IEAlgebra L a = as + an

∀a ∈ L

(5.87a)

mit der Vertauschung [as , an ] = 0.

(5.87b)

Nachdem die adjungierte Abbildung D ad (a) eine treue Abbildung ist, findet man auch für deren Bilder eine analoge Zerlegung. Dabei ist die adjungierte Abbildung des halbeinfachen Teils Dsad bzw. nilpotenten Teils Dnad diagonalisierbar bzw. nilpo ad  p = 0, p > 0 . tent Dn Diese Zerlegung kann auf jede endlich-dimensionale Darstellung D einer halbeinfachen L IE-Algebra L übertragen werden, wobei die J ORDAN-Zerlegung (5.87) erhalten bleibt D(a) = D(as ) + D(an ) = Ds (a) + Dn (a)

∀a ∈ L.

(5.88)

Man erhält so einen halbeinfachen Anteil Ds (a) und einen nilpotenten Anteil Dn (a). Bleibt darauf hinzuweisen, dass in nicht halbeinfachen L IE-Algebren die halbeinfachen und nilpotenten Anteile in verschiedenen Darstellungen völlig unabhängig voneinander sind. Daneben gilt für jede endlich-dimensionale Darstellung D einer halbeinfachen L IE-Algebra die vollständige Reduzierbarkeit. Beispiel 2 Als Beispiel wird die der speziellen unitären L IE-Gruppe SU (2) entsprechende L IE-Algebra su(2) betrachtet. Dort sind die Elemente alle antihermiteschen 2×2-Matrizen a (5.14), deren Spur verschwindet (5.15). Die Dimension dieser L IEAlgebra bzw. des zugehörigen Vektorraumes L errechnet sich zu n = N 2 − 1 = 3 (Tab. 5.1). Als Basiselemente {ak | k = 1, 2, 3} kann man die Generatoren (4.43) der entsprechenden linearen L IE-Gruppe SU (2) wählen, die die Gleichung 3

k=1

αk a k =

1 2



iα3 iα1 − α2

iα1 + α2 −iα3

 =0

(5.89)

nur mit der Lösung α1 = α2 = α3 = 0 erfüllen und mithin linear unbabhängig sind. Die Kommutatoren errechnen sich nach Gl. (5.40). Wegen

202

5 LIE-Algebren

D ad (al )a m =

3

ad Dnm (al )an =

n=1

3

n flm an

n=1

erhält man aus dem Vergleich mit Gl. (5.40b) für die Strukturkonstanten n ad l = Dnm (al ) = −εlmn = −εmn . flm

(5.90)

Die adjungierte dreidimensionale Darstellung der L IE-Algebra su(2) hat dann für die drei Basiselemente die Form ⎛ ⎞ 0 0 0 (5.91a) Dad (a1 ) = −ε 1 = ⎝ 0 0 −1 ⎠, 0 1 0 ⎛ ⎞ 0 0 1 (5.91b) Dad (a2 ) = −ε 2 = ⎝ 0 0 0 ⎠, −1 0 0 ⎛ ⎞ 0 −1 0 0 0 ⎠. Dad (a3 ) = −ε 3 = ⎝ 1 (5.91c) 0 0 0 Sie ist identisch mit der definierenden Darstellung der L IE-Algebra so(3), die durch die Generatoren { a¯ k | k = 1, 2, 3} der zugehörigen L IE-Gruppe S O(3) nach Gl. (4.58) gegeben ist.  Der Übergang von einer reellen L IE-Algebra L – über dem Körper R – zu einer komplexen L IE-Algebra LC – über dem Körper C – wird als Komplexifizierung bezeichnet und verläuft analog zur Komplexifizierung eines reellen Vektorraumes. Diese komplexe L IE-Algebra LC ist dann die Menge aller Elementpaare (a, b) ∈ L × L, für die eine punktweise Addition (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) := (a1 + a2 , b1 + b2 )

(5.92a)

sowie eine Multiplikation mit komplexen Zahlen z = x + i y in der Form (x + i y)(a, b) := (xa − yb, xb + ya)

a, b ∈ L × L

x, y ∈ R

(5.92b)

definiert ist. Das L IE-Produkt für zwei beliebige Elementpaare (a1 , b1 ) und (a2 , b2 ) ist dann gegeben durch [(a1 , b1 ), (a2 , b2 )] = ([a1 , a2 ] − [b1 , b2 ], [a1 , b2 ] + [b1 , a2 ]).

(5.93)

An Stelle der Elementpaare (a, b) kann man auch die Schreibweise eines komplexen Elementes (a + ib) wählen, womit die Forderungen (5.92) erfüllt werden. Die

5.5

Darstellungen

203

Komplexifizierung kann dann ausgedrückt werden durch das direkte Produkt mit dem Koeffizientenkörper C, der als zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der Basis {1, i} betrachtet wird LC := L ⊗R C ≡ L ⊕ iL.

(5.94)

Mit der Basis {ak |k = 1, . . . , dimR L} der reellen L IE-Algebra L findet man für die komplexe L IE-Algebra LC etwa die Basis {(ak , 0) = ak |k = 1, . . . , dimR L} oder {(0, ak ) = iak |k = 1, . . . , dimR L}. Demnach haben beide L IE-Algebren L und LC bezogen auf ihren Koeffizientenkörper R bzw. C die gleiche Dimension dimR L = dimC LC

(5.95a)

und die gleichen Strukturkonstanten. Die reelle Dimension dimR LC ist dann das Zweifache der reellen Dimension dimR L dimR LC = 2dimR L.

(5.95b)

Jede reelle L IE-Algebra L, deren Komplexifizierung LC isomorph zu einer : ist, wird als reelle Form der L IE-Algebra L : bezeichnet, komplexen L IE-Algebra L von denen es mehrere verschiedene geben kann. Das bedeutet, dass aus der Komplexifizierung nicht isomorpher reeller L IE-Algebren eine für alle gleiche komplexe L IE-Algebra resultieren kann. Nach Tabelle 5.2 sind die L IE-Algebren der linken : in der rechten Spalte. Spalte die reellen Formen L der komplexen L IE-Algebren L Zu jeder d-dimensionalen Darstellung D L einer reellen L IE-Algebra L mit der Basis {ak |k = 1, . . . , dimR L} gibt es eine d-dimensionale Darstellung DLC der Komplexifizierung LC mit der Basis {(ak , 0)|k = 1, . . . , dimR L}, so dass für jedes Element ak von L gilt DLC (ak ) = DL (ak )

k = 1, . . . , dimR L.

(5.96a)

Umgekehrt kann man von einer d-dimensionalen Darstellung DL: einer komplexen : mit der Basis {bk |k = 1, . . . , dimC L} : ausgehen, um eine reelle L IE-Algebra L : ist. Dann gibt es Form L zu bilden, deren Komplexifizierung LC isomorph zu L eine d-dimensionale Darstellung DL mit DL (bk ) = D LC (bk )

: k = 1, . . . , dimC L.

(5.96b)

Demnach findet man eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen den Dar: und jeder ihrer reellen Formen L. Als Konsequenz daraus gilt die stellungen von L : genau dann Aussage, dass eine Darstellung DL: einer komplexen L IE-Algebra L vollständig reduzibel ist, falls die entsprechende Darstellung D L der reellen Form L vollständig reduzibel ist. Wegen der Abgeschlossenheit des Koeffizientenkörpers C wird die Diskussion von komplexen L IE-Algebren bevorzugt, insbesondere im Hinblick auf Darstellungen.

204

5 LIE-Algebren

Tabelle 5.2 Komplexifizierung von reellen L IE-Algebren L nach komplexen L IE-Algebren LC : ( p, q, r, s: s. Tab. 5.1) mit LC ∼ =L reelle Algebra L

gl(N , R) u(N ) u( p, q, C) sl(N , R) su(N ) su( p, q) o(N ) o( p, q) so∗ (N ) so( p, q) sp(1/2 N , R) sp(r, s, C) sp(1/2 N )

komplexe Algebra : L gl(N , C) sl(N , C) o(N , C) so(N , C) sp(1/2 N , C)

Beispiel 3 Im Fall der reellen dreidimensionalen L IE-Algebra L1 = su(2) gelingt die Komplexifizierung abweichend von der oben diskutierten Methode auf einem einfachen direkten Weg. Ausgehend von der Basis {ak |k = 1, 2, 3} (4.43) bildet man die Menge aller Linearkombinationen der Form a=

3

αk a k

αk ∈ C.

(5.97)

k=1

Wegen der linearen Unabhängigkeit der Basis {ak |k = 1, 2, 3} über dem komplexen Körper C liefert diese Menge eine Erweiterung der L IE-Algebra su(2), die als deren Komplexifizierung L C gilt. Den gleichen Weg der Komplexifizierung kann man auch bei der reellen dreidimensionalen L IE-Algebra L2 = sl(2, R) wählen. Dort hat die Menge aller reellen spurlosen 2 × 2-Matrizen die Basis b1 = i a1

b2 = a2

b3 = i a3 ,

(5.98)

die ebenfalls linear unabhängig ist über dem komplexen Körper C. Die linearen Kombinationen mit komplexen Koeffizienten liefern erneut die Menge (5.97), so dass die gleiche Komplexifizierung LC erhalten wird. Letztere ist isomorph zur komplexen Matrix L IE-Algebra sl(2, C). Beide Basissysteme (4.43) und (5.98) gehören sowohl zu den reellen L IE-Algebren L1 und L2 wie zur komplexen L IEAlgebra LC , womit Gl. (5.95) bestätigt wird. Dennoch muss betont werden, dass die reellen Vektorräume, die von den beiden Basissystemen über dem reellen Körper R aufgespannt werden, verschieden sind, so dass die reellen L IE-Algebren L1 = su(2) und L2 = sl(2, R) nicht isomorph sind. In jenen Fällen, bei denen die reelle L IE-Algebra L keine Basis besitzt, die über dem komplexen Körper C linear unabhängig ist, muss dieses einfache Ver-

5.5

Darstellungen

205

fahren scheitern, da es keine Erweiterung der reellen L IE-Algebra erlaubt. Dort wird man den oben diskutierten allgemeinen Weg wählen. Ein Beispiel ist die reelle 6-dimensionale L IE-Algebra sl(2, C), die die Menge der spurlosen komplexen 2×2Matrizen umfasst. Eine mögliche Basis sind die sechs Matrizen  a1 =  a4 =

1 0

0 −1

i 0

0 −i



 a2 =



 a5 =

0 0

1 0

0 i 0 0







 a6 =



0 1

0 0

0 i

 0 , 0

a3 =

(5.99)

die über R linear unabhängig sind, jedoch wegen der Beziehungen a4 = i a1

a5 = i a2

a6 = i a3

nicht über dem komplexen Körper C. Als Ergebnis der Komplexifizierung LC nach der allgemeinen Methode erhält man LC ∼ = sl(2, C) ⊕ sl(2, C).

(5.100)

Danach ist die Komplexifizierung der einfachen reellen L IE-Algebra sl(2, C) keine einfache sondern eine halbeinfache komplexe L IE-Algebra, nämlich die direkte Summe aus zwei einfachen isomorphen L IE-Algebren sl(2, C) über dem Körper C. 

Kapitel 6

Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Die lokalen Eigenschaften einer L IE-Gruppe, die aus der Umgebung des Einselements gewonnen werden, liefern die wesentlichen Informationen über die Strukturen und sind deshalb von besonderem Interesse. Nachdem diese Eigenschaften von der entsprechenden L IE-Algebra geprägt werden, gilt es als vorrangige Aufgabe, den Zusammenhang zwischen einer linearen L IE-Gruppe und der zugehörigen L IE-Algebra näher zu untersuchen.

6.1 Matrixexponentialfunktionen Eine direkte Verknüpfung zwischen einer linearen L IE-Gruppe G und einer reellen L IE-Algebra L geschieht durch die Matrixexponentialfunktion. Sie ist definiert durch die Potenzreihe exp a := 1m +

∞

am , m!

(6.1)

m=1

mit der m × m-Matrix a. Dabei gilt die Konvergenz für jede beliebige Matrix a. Die Matrixexponentialfunktion hat die folgenden Eigenschaften: (a) Komplexe Konjugation (exp a)∗ = exp a∗ .

(6.2a)

(exp a) = exp a .

(6.2b)

(exp a)† = exp a† .

(6.2c)

(b) Transposition

(c) Hermitesche Konjugation

(d) Für jede beliebige, reguläre m × m-Matrix S (det S = 0) gilt

M. Böhm, Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-20379-4_6, 

207

208

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

exp(SaS−1 ) = S(exp a)S−1 .

(6.2d)

(e) Für die Determinante gilt det(exp a) = exp(sp a).

(6.2e)

(f) Die Abbildung ψ(a) = exp a

(Exponentialabbildung)

(6.2f)

ist eine umkehrbar eindeutige Abbildung einer kleinen Umgebung der m × mNullmatrix 0m auf eine kleine Umgebung der m × m-Einheitsmatrix 1m . (g) Falls die Matrix a die Eigenwerte {λi | i = 1, . . . , m} besitzt, dann hat die Matrixexponentialfunktion (6.1) die Eigenwerte {exp λi | i = 1, . . . , m}. Setzt man voraus, dass zwei beliebige m × m-Matrizen a und b miteinander kommutieren, dann gilt für das Produkt der Exponentialfunktionen exp a exp b = exp(a + b) = exp b exp a.

(6.3)

Betrachtet man zwei beliebige m × m-Matrizen a und b, deren sämtliche Matrixelemente beliebig klein sind, dass Terme höherer Ordnung vernachlässigt werden können, dann gilt für das Produkt der Exponentialfunktionen exp a exp b = exp c

(6.4a)

1 1 c = a + b + [a, b] + {[a, [a, b]] + [b, [b, a]]} + . . . . 2 12

(6.4b)

mit

Letztere Gleichung ist als BAKER -C AMPBELL -H AUSDORFF-Formel bekannt. Schließlich findet man wegen Gl. (6.2e), dass die Matrixexponentialfunktion für jede beliebige m × m-Matrix a regulär ist det(exp a) = 0

(6.5a)

(exp a)−1 = exp(−a).

(6.5b)

und es gilt

Beispiel 1 Als Beispiel werden die eigentlichen Rotationen eines Systems im euklidischen Raum R3 betrachtet. Die dazu isomorphe Matrixgruppe ist die spezielle orthogonale Gruppe S O(3) in drei Dimensionen. Eine Rotation um die z-Achse als Drehachse mit dem Winkel ϕ wird durch die Rotationsmatrix d z (ϕ) von Gl. (2.9) bzw. durch die Reihenentwicklung von Gl. (4.90) beschrieben. Im Ergebnis kann sie durch die Beziehung

6.2

Tangentialräume

209

d z (ϕ) = exp(ϕa)

− π ≤ ϕ < +π

ausgedrückt werden. Dabei bedeutet die Matrix a (4.91) den Generator a 3 bzw. den Tangentialvektor (4.89b) am Einselement einer einparametrigen Untergruppe mit dem Parameter ϕ.

6.2 Tangentialräume Ziel dieses Abschnitts ist es zu zeigen, dass die L IE-Algebra L einer L IE-Gruppe G der sogenannte Tangentialraum von G an der Stelle des Einheitselements ist. Dabei wird der Umweg über die Erklärung einer analytischen Kurve in einer Mannigfaltigkeit abgekürzt und vielmehr bereits von einer linearen L IE-Gruppe G ausgegangen. Dort findet man die Vorhersage einer N -dimensionalen, treuen Matrixdarstellung D(G) (Abschn. 4.3). Nach Gln. (4.21) und (4.22) entspricht jede Matrix A ∈ D(G) in der Nähe des Einselements umkehrbar eindeutig einem Punkt x ∈ Rn in der Nähe des Ursprungs 0. Vorausgesetzt werden n Parameter {xi | i = 1, . . . , n}, von denen jeder eine auf einem offenen Intervall I definierte relle analytische Funktion der Variablen ist x(t) = ((x 1 (t), . . . , xn (t))

t ∈ I = {t ∈ R| t1 < t < t2 ; t1 < 0, t2 > 0}.

Diese mögen für t = 0 gerade die Parameterwerte x(0) = 0 annehmen, die dem Einselement der Gruppe G entsprechen (e(0) = 1 N ∈ G). Zudem möge der Punkt x(t) ∈ Rn der Bedingung (4.24) genügen für alle t ∈ I . Dann kann man eine analytische Kurve A(t) in einer linearen L IE-Gruppe definieren als die von dem Satz von Parametern x(t) abhängigen N × N -Matrizen A[x(t)] ∈ D(G). Der Punkt t = 0 im Intervall I entspricht so dem Einslement e und deshalb der Einheitsmatrix ( A(t = 0) = 1 N ). Als Tangentialvektor a einer analytischen Kurve in einer linearen L IE-Gruppe G am Einselement e ∈ G definiert man die N × N -Matrix  d A(t)  . (6.6) a := dt t=0 Sie ist die Ableitung der analytischen Kurve A(t) in einer N -dimensionalen, treuen Matrixdarstellung D(G) der L IE-Gruppe G nach der Variablen t am Punkt t = 0. Demnach ist der Tangentialvektor a ein lokales Objekt, da er am Einselement liegt. Betrachtet man alle analytischen Kurven A(t) in der L IE-Gruppe G, die durch das Einselement e verlaufen, dann bildet die Menge der zugehörigen Tangentialvektoren a im Punkt e den Tangentialraum einer linearen L IE-Gruppe. Dieser Tangentialraum ist ein reeller n-dimensionaler Vektorraum, dessen Basis durch die n Generatoren {a k | k = 1, . . . , n} (4.26) der linearen L IE-Gruppe gebildet werden. Das bedeutet, dass jeder Tangentialvektor a einer beliebigen analytischen Kurve durch das Einselement ein Element dieses Tangentialraumes ist und nach den n Generatoren der

210

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Gruppe G in der Matrixdarstellung D(G) entwickelt werden kann a=

n

αk a k

αk ∈ R.

(6.7)

k=1

Umgekehrt gilt auch, dass jedes Element a des n-dimensionalen reellen Vektorraumes – der aus allen reellen Linearkombinationen (6.7) besteht – der Tangentialvektor im Punkt e an eine beliebige analytische Kurve A(t) durch das Einselement e ist. Ausgehend von zwei beliebigen Tangentialvektoren a und b der analytischen Kurven A(t) und B(t) aus dem Tangentiaraum einer linearen L IE-Gruppe G findet man mit dem Kommutator [a, b] ebenfalls ein Element c des Tangentialraumes. Das bedeutet, dass der Kommutator gleich dem Tangentialvektor c einer analytischen Kurve C(t) durch das Einselement ist, wobei gilt C(t) = A

√  √  √ −1 √ −1 t B t A t B t .

(6.8)

Der Nachweis gelingt durch die √ Linearisierung der analytischen Kurven in der Umgebung des Einselements mit t = s  1 2 d 2 A  A(s) = 1 + sa + s + ... 2 ds 2 s=0

(6.9a)

 1 2 d 2 B  + ... B(s) = 1 + sb + s 2 ds 2 s=0

(6.9b)

A−1 (s) = 1 − sa + O(s 2 )

(6.9c)

B −1 (s) = 1 − sb + O(s 2 ).

(6.9d)

und

bzw.

und

Die Substitution in Gl. (6.8) liefert C(s) = 1 + s 2 [a, b] + O(s 2 ),

(6.10)

wodurch die Multiplikation von Elementen einer L IE-Gruppe mit dem L IE-Produkt von Elementen der zugehörigen L IE-Algebra verknüpft wird. Der Tangentialvektor an die Kurve C(t) im Einselement errechnet sich daraus zu

6.2

Tangentialräume

211

 d C(t)  = [a, b] = c, dt t=0

(6.11)

was erneut ein Element des Tangentialraumes ist. Für abelsche L IE-Gruppen erhält man nach Gl. (6.9) wegen der Vertauschbarkeit der Elemente C(t) = 1, so dass mit Gl. (6.11) der Kommutator erwartungsgemäß verschwindet ([a, b] = 0; s. a. Abschn. 5.1). Demnach kann das L IE-Produkt (6.11) als Maß für die Nichtvertauschbarkeit der Gruppenelemente verstanden werden. Zusammenfassend stellt man fest, dass der Tangentialraum einer linearen L IEGruppe G mit der Dimension n ein reeller linearer n-dimensionaler Vektorraum über R ist, der auch den Kommutator [a, b] zweier beliebiger Elemente a und b als Element enthält. Nachdem der Kommutator die in der Definition (5.1) und (5.2) einer L IE-Algebra erhobenen Forderungen an ein L IE-Produkt erfüllt, ist der Tangentialraum einer linearen L IE-Gruppe G auch eine reelle L IE-Algebra L mit der Dimension n. Diese Charakterisierung mündet in der Formulierung: Zu jeder linearen L IE-Gruppe G mit der Dimension n existiert eine entsprechende reelle L IE-Algebra L mit derselben Dimension. Das bedeutet, dass die N × N -Matrizen {ak | k = 1, . . . , n} (4.26) die Basis für die L IE-Algebra bilden. In Umkehrung des Fundamentalsatzes gilt die Behauptung, dass jede reelle L IEAlgebra isomorph ist zu einer reellen L IE-Algebra L, die zu irgendeiner linearen L IE-Gruppe G gehört. Dabei sei darauf hingewiesen, dass die Konstruktion der L IE-Algebra von der Wahl der Parametrisierung abhängt. Unterschiedliche Parametrisierungen haben L IE-Algebren zur Folge, die isomorph zueinander sind. Beispiel 1 Ein einfaches Beispiel ist die unitäre Gruppe U (1) in einer Dimension mit den komplexen Zahlen (z = exp(i x)) vom Betrag eins als Elemente. Der einzige reelle Parameter x kann als reelle analytische Funktion in der Form x(t) = xt

t ∈R

(6.12)

ausgedrückt werden, so dass für t = 0 der Parameterwert verschwindet (x = 0) und mithin das Einselement der Gruppe angenommen wird. Mit der analytischen Kurve z(t) = exp(i xt)

t ∈ R,

(6.13)

die hier mit der Mannigfaltigkeit, nämlich dem Einheitskreis zusammenfällt, erhält man nach Gl. (6.6) den Tangentialvektor a = i x.

(6.14)

Die Variation des Parameterwertes x liefert die Menge der zu den analytischen Kurven z(t) gehörigen Tangentialvektoren, die den Tangentialraum bilden. Dieser eindimensionale Vektorraum hat etwa den hermiteschen Tangentialvektor (6.14) als Basis, der zugleich der Generator der Gruppe U (1) ist. Das L IE-Produkt zweier beliebiger Elemente a = i x1 und b = i x2 aus dem Tangentialraum verschwindet

212

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

[a, b] = 0

∀ a, b ∈ {i x},

(6.15)

so dass der Tangentialraum zu einer abelschen L IE-Algebra u(1) = {i x| x ∈ R} wird (s. a. Gl. 5.7). Diese L IE-Algebra ist wie auch die zugehörige L IE-Gruppe erwartungsgemäß eindimensional. Die Linearisierung der Gruppe in der Umgebung des Einselements ergibt exp(i xt) = 1 + i xt + O(t 2 )

t ∈R

x ∈ R,

(6.16)

wonach die Elemente {i x| x ∈ R} der L IE-Algebra erkennbar werden und die Parametrisierung für beliebig kleine Werte des Parameters x als lokal gilt. Beispiel 2 Betrachtet wird die unitäre Gruppe U (N ). Wegen der Forderung nach Unitarität (2.5) der Elemente A gilt für jede analytische Kurve A(t) durch das Einselement A(t) A† (t) = A† (t) A(t) = 1 N .

(6.17)

Damit ergibt sich für alle Tangentialvektoren (6.6) am Einselement   d A† (t)  d A(t)  † A (0) + A(0)  dt t=0 dt 

= a1 N + 1 N a† = a + a† = 0 N , (6.18) t=0

woraus die Forderung nach Antihermitezität (s. Gl. 5.14) resultiert. Die Tangentialvektoren bilden in ihrer Gesamtheit die reelle L IE-Algebra u(N ). Beispiel 3 Betrachtet wird die orthogonale Gruppe O(N , K) (K = R bzw. C). Wegen der Forderung nach Orthogonalität (2.7) der Elemente A gilt für jede analytische Kurve A(t) durch das Einselement A(t) A (t) = A (t) A(t) = 1 N .

(6.19)

Damit ergibt sich für alle Tangentialvektoren (6.6) am Einselement   d A (t)  d A(t) 

A (0) + A(0)  dt t=0 dt 

= a1 N + 1 N a = a + a = 0 N , (6.20)

t=0

woraus die Forderung nach Antisymmetrie (s. Gl. 5.16) resultiert. Die Tangentialvektoren bilden in ihrer Gesamtheit die reelle L IE-Algebra o(N , K). Beispiel 4 Betrachtet man etwa die spezielle unitäre Gruppe SU (2), dann erhält man dort die Generatoren (4.43) (s. Beispiel 6 v. Abschn. 4.3). Sie bilden die Basis der reellen L IE-Algebra su(2) und erfüllen die Kommutatorbeziehungen [a1 , a 2 ] = −a3

[a 2 , a 3 ] = −a1

[a3 , a1 ] = −a2

(6.21a)

6.3

Exponentialabbildungen

213

bzw. [ak , al ] = −



m εkl am .

(6.21b)

m

Zudem besteht diese Basis aus antihermiteschen (Gl. 5.14) und spurlosen (Gl. 5.15) Matrizen, so dass diese Eigenschaften für die Menge aller Elemente der L IEAlgebra su(2) erwartet wird.

6.3 Exponentialabbildungen Eine einparametrige L IE-Untergruppe H einer linearen L IE-Gruppe G mit dem reellen Parameter t (Abschn. 4.3) ist eng korreliert zu der reellen L IE-Algebra L, die zur Gruppe G gehört. Dies offenbart sich darin, dass jedes Element a der L IE-Algebra verknüpft ist mit einer einparametrigen L IE-Untergruppe H = { A(t)} durch (s. a. Gl. 4.89) A(t) = exp(t a)

a∈L

− ∞ < t < +∞.

(6.22)

Die Menge der Elemente {αa| α ∈ R}. Einparametrige Untergruppen sind analytische Kurven in einer linearen L IE-Gruppe und mithin globale Objekte. Bei Kenntnis der Tangentialvektoren bzw. der Generatoren, die lokale Objekte darstellen, kann man alle einparametrigen Untergruppen bestimmen. Die lokale Information impliziert so eine globale Information. Beispiel 1 Innerhalb der speziellen orthogonalen Gruppe S O(3) bildet die Menge der Rotationen d eines Systems im Raum R3 um eine beliebige feste Achse n mit dem Winkel ϕ (−π ≤ ϕ ≤ +π ) eine einparametrige Untergruppe H = {d(ϕ)}. Wählt man als Rotationsachse etwa die z-Achse, dann werden die Elemente der einparametrigen Untergruppe durch die Rotationsmatrix d z (ϕ) von Gl. (2.9) dargestellt (s. a. Beispiel 13 v. Abschn. 4.3) A(ϕ) := d z (ϕ) = exp(ϕa)

− π ≤ ϕ ≤ +π.

(6.23)

Die Untergruppe wird durch den Tangentialvektor a erzeugt, der nach Gl. (4.89) bzw. gemäß a = lim

ϕ→0

d z (ϕ) − d z (0) ϕ

(6.24)

die Form (4.91) annimmt. Bei einer beliebigen Richtung der Rotationsachse, die durch den normierten Rotationsvektor n = ϕ/|ϕ| = (n 1 , n 2 , n 3 ) charakterisiert wird, kann die Rotation mit dem Winkel ϕ durch die Transformationsmatrix (4.57) dargestellt werden. Die

214

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Menge aller Rotationen {d n (ϕ)} um beliebige Winkel ϕ bildet dann eine einparametrige Untergruppe mit dem Parameter ϕ und kann nach Gl. (6.22) ausgedrückt werden durch d n (ϕ) = exp(ϕa)

0 ≤ ϕ ≤ 2π.

(6.25)

Der Generator dieser Untergruppe {d n (ϕ)|0 ≤ ϕ ≤ 2π } wird durch die lokale Betrachtung einer infinitesimalen Umgebung des Einselements bestimmt und errechnet sich nach Gl. (4.89) bzw. (6.24) zu einem Element a der zur Rotationsgruppe zugehörigen L IE-Algebra so(3) ⎛

0 a = ⎝ n3 −n 2

−n 3 0 n1

⎞ 3 n2

⎠ −n 1 = n k ak . 0 k=1

(6.26)

Dabei bedeuten die Matrizen {ak | k = 1, 2, 3} die Basis (4.58) der L IE-Algebra so(3). Beispiel 2 Betrachtet man etwa die reelle L IE-Algebra su(N ) der zugehörigen speziellen unitären Gruppe SU (N ), dann kann jedes Element a ∈ su(N ) verknüpft werden mit irgendeiner einparametrigen Untergruppe A(t) ∈ SU (N ) gemäß Gl. (6.22). Da die Gruppenelemente A(t) als unitär vorausgesetzt werden, ergibt sich mit Gln. (6.2c) und (6.5b) die Forderung nach Antihermitezität der N × N Matrizen a a† = −a

a ∈ su(N ).

(6.27a)

Mit der weiteren Voraussetzung (2.6) bezüglich der Determinante für alle reellen Werte des Parameters t findet man mit Gl. (6.2e) sp a = 0

a ∈ su(N ),

(6.27b)

so dass die L IE-Algebra su(N ) aus der Menge aller spurlosen und antihermiteschen N × N -Matrizen a besteht. Betrachtet man die Elemente A einer treuen N -dimensionalen Matrixdarstellung D(G) der linearen L IE-Gruppe G aus einer beliebig kleinen offenen Umgebung U(1 N ) des Einselements 1 N , dann gehört jedes dieser Elemente einer einparametrigen Untergruppe H = { A(t)} von G an. Diese Elemente A können deshalb durch Exponentiation irgendeines Elementes a der reellen L IE-Algebra L erhalten werden A = exp a

a ∈ L für

A ∈ U(1 N ).

(6.28)

Demzufolge besitzen zwei L IE-Gruppen die gleichen L IE-Algebren, falls sie in einer gewissen Umgebung des Einselements übereinstimmen.

6.3

Exponentialabbildungen

215

Beispiel 3 Die orthogonale Gruppe O(3) in drei Dimensionen umfasst sowohl die eigentlichen Rotationen d, nämlich Elemente der speziellen orthogonalen Gruppe S O(3) als auch die uneigentlichen Rotationen −d, so dass sie als die Menge O(3) = {±d| d ∈ S O(3)}

(6.29)

ausgedrückt werden kann. Mit der Metrik (4.20) erhält man für den Abstand d des Elements −13 vom Einselement √ d(13 , −13 ) = 2 3. Damit kann eine offene Umgebung U(13 ) des Einselements 13 bestimmt werden  √  U(13 ) = d ∈ O(3)| d(13 , d) < 2 3 , innerhalb derer die Gruppen O(3) und S O(3) übereinstimmen und deshalb die gleiche L IE-Algebra besitzen o(3) = so(3). Beide Gruppen besitzen die gleiche Komponente des Einselements, die mit der Gruppe S O(3) zusammenfällt. Dennoch sind die Gruppen O(3) und S O(3) global verschieden voneinander. Die Aussage (6.28) kann über die Umgebung U(1 N ) hinaus verallgemeinert werden auf die Komponente des Einselements G0 einer linearen L IE-Gruppe G. Voraussetzung dafür ist die Kompaktheit der Gruppe. Dann ist es möglich, jedes Element A einer treuen Matrixdarstellung D(G0 ) mit der zusammenhängenden Untergruppe G0 auszudrücken durch A = exp a

a ∈ L für

A ∈ D(G0 )

G0 ⊆ G

G : kompakt.

(6.30)

Im speziellen Fall, dass die Gruppe G zusammenhängend und kompakt ist, hat jedes Element A einer treuen Matrixdarstellung D(G) die Form (6.30). Die Matrixexponentialfunktion ermöglicht so eine Abbildung der reellen L IE-Algebra L, die zu einer linearen L IE-Gruppe G gehört, in diese L IE-Gruppe. Nachdem auch mit verschiedenen Argumenten a 1 und a2 (a1 = a2 ) der Exponentialfunktion dasselbe Element A erhalten werden kann, ist die Exponentialabbildung nicht notwendigerweise umkehrbar eindeutig. Die Abbildung ist surjektiv für die Komponente des Einselements G0 , falls die L IE-Gruppe G kompakt ist. Die Bedeutung der Exponentialabbildung liegt darin, dass sie bei einer vorgegebenen linearen L IE-Gruppe die Bestimmung der zugehörigen reellen L IE-Algebra erlaubt, ohne den Umweg über eine explizite Parametrisierung. Beispiel 4 Betrachtet man wieder die spezielle orthogonale Gruppe S O(3), die als kompakt gilt, und wählt die drei Komponenten n 1 , n 2 und n 3 des normierten

216

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Rotationsvektors n = ϕ/|ϕ| als Parameter, dann kann jedes beliebige Element a der zugehörigen L IE-Algebra so(3) durch deren Basis {ak | k = 1, 2, 3} (4.58) ausgedrückt werden a=

3

n k ak

n k ∈ R.

(6.31)

k=1

Die Exponentiation nach Gl. (6.30) liefert dann ein Element d(n 1 , n 2 , n 3 ) der L IEGruppe S O(3) in der Darstellung von Gl. (4.57) d(n 1 , n 2 , n 3 ) = d(ϕ) = exp

 3

 n k ak .

(6.32)

k=1

Abb. 6.1 Infinitesimale Rotation eines Vektors x nach x  im Raum R3 um die Achse δn mit dem Winkel δϕ

Umgekehrt kann man ausgehend von einem Element d(n 1 , n 2 , n 3 ) der Gruppe S O(3) mit der obigen Parametrisierung eine lokale Betrachtung der Umgebung des Einselements durchführen. Dies impliziert eine infinitesimale Rotation δn = δϕ/|δϕ| mit dem Winkel δϕ und mithin eine Linearisierung von Gl. (6.32) am Einselement ⎞ ⎛ 3 1 −δn 3 δn 2

1 −δn 1 ⎠ . (6.33) δn k a k = ⎝ δn 3 d(δn) = 13 + −δn 2 δn 1 1 k=1 Die (aktive) Transformation eines Vektors x des euklidischen Raumes R3 nach x  geschieht dann durch (Abb. 6.1) x  = d(δn)x = x + δn × x,

(6.34)

6.3

Exponentialabbildungen

217

wobei die Symbolik · × · das Vektorprodukt (äußeres Produkt) im R3 bedeutet. Demnach kann ein Element d(δn) in der Nähe des Einselements dargestellt werden durch Gl. (6.33). Die Generatoren {ak | k = 1, 2, 3} (4.58) gehorchen den Kommutatorbeziehungen (4.59) und bilden eine Basis der zugehörigen L IE-Algebra so(3). Beispiel 5 Für den Fall, dass eine zu einem System gehörige skalare Funktion ψ(x) mit dem linearen Rotationsoperator d transformiert wird, erhält man bei einer infinitesimalen Rotation um die Achse δn mit Gl. (3.12) und nach einer Entwicklung bis zum linearen Term d(δn)ψ(x) = ψ[d −1 (δn)x] = ψ(x − δn × x) = ψ(x) − "(δn × x), ∇ x ψ(x)# = ψ(x) − "δn, (x × ∇ x )# ψ(x). (6.35) Mit der Einführung eines hermiteschen Vektoroperators L = (L 1 , L 2 , L 3 ) gemäß L = −i x × ∇ x ,

(6.36)

der in der Quantenmechanik – abgesehen von einem Faktor h¯ – den Drehimpulsoperator in der Ortsdarstellung bedeutet, führt die Substitution zu dem Rotationsoperator d(δn) = 1 − i "δn, L#.

(6.37)

Der Übergang zu einer Rotation mit einem beliebigen, endlichen Winkel ϕ um die Achse n geschieht durch die Betrachtung von l infinitesimalen Rotationen lδn = n, die hintereinander ausgeführt im Grenzfall den Rotationsoperator d(n) als Element der Gruppe S O(3) ergeben  d(n) = lim

l→∞

l i 1 − "δn, L# = exp(−i "n, L#). l

(6.38)

Wegen der Hermitezität des Vektoroperators L (6.36) erhält man eine unitäre Form des Rotationsoperators d † (n) = d −1 (n),

(6.39)

so dass auch die adjungierte Darstellung bzw. die definierende Darstellung der Gruppe S O(3) als unitär erwartet wird. Die Generatoren der Gruppe sind die hermiteschen Komponenten des Vektoroperators L (6.36) und können mit der Basis {ak | k = 1, 2, 3} (4.58) ausgedrückt werden durch L k = −i

3

3

l=1 m=1

εklm xl

! " ∂ = −i x, a ∇ x k ∂ xm

k = 1, 2, 3.

(6.40)

218

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Sie erfüllen die Kommutatorbeziehungen [L k , L l ] = i

3

εklm L m

(6.41)

m=1

und begründen so als Basis die zugehörige L IE-Algebra so(3), die als Drehimpulsalgebra bekannt ist. Betrachtet man die Menge der Translationen t = (t1 , t2 , t3 ) im euklidischen Raum R3 , die als dreiparametrige Untergruppe der euklidischen Gruppe E(3, R) die abelsche Translationsgruppe bilden, so erhält man den Translationsoperator D(t) im H ILBERT-Raum als Lösung der Funktionalgleichung D(t 1 )D(t 2 ) = D(t 2 )D(t 1 ) = D(t 1 + t 2 )

(6.42)

D(t) = exp "t, a#.

(6.43)

in der Form

Eine infinitesimale Translation um den Vektor δt ermöglicht die Transformation einer skalaren Funktion ψ(x) D(δt)ψ(x) = ψ(x − δt) = ψ(x) − "δt, ∇ x ψ(x)#.

(6.44)

Nach Einführung eines hermiteschen Vektoroperators p = ( p1 , p2 , p3 ) gemäß p = i∇ x ,

(6.45)

der in der Quantenmechanik – abgesehen von einem Faktor h¯ – den Impulsoperator in der Ortsdarstellung bedeutet, führt die Substitution zu dem Translationsoperator D(δt) = 1 − i "δt, p#.

(6.46)

Der Übergang zu einer Translation um einen beliebigen, endlichen Vektor t geschieht wie oben durch die Betrachtung von l infinitesimalen Translationen lδt = t mit beliebiger Reihenfolge, die im Grenzfall den Translationsoperator (6.43) ergeben D(t) = exp(−i "t, p#).

(6.47)

Die Generatoren der Gruppe sind die hermiteschen Komponenten des Vektoroperators p (6.45) pk = −i

∂ ∂ xk

k = 1, 2, 3.

(6.48)

6.3

Exponentialabbildungen

219

Sie erfüllen die Kommutatorbeziehungen [ pk , pl ] = 0

k, l = 1, 2, 3

(6.49)

und begründen so als Basis eine abelsche L IE-Algebra mit dem Rang Drei. Sie ist eine Unteralgebra der zur euklidischen Gruppe E(3, R) zugehörigen L IE-Algebra, so dass letztere weder einfach noch halbeinfach ist.

Abb. 6.2 Infinitesimale Rotation einer Vektorfunktion ψ(x) nach ψ  (x  ) im Raum R3 um die Achse δn mit dem Winkel δϕ

Beispiel 6 Für den Fall, dass eine zum System gehörige Vektorfunktion (Vektorfeld) ψ(x) mit dem linearen Rotationsoperator d transformiert wird, muss bei der Invarianzbedingung (3.11) zusätzlich berücksichtigt werden, dass auch die Vektorfunktion ψ der Transformation unterliegt (Abb. 6.2) ψ  (x  ) = dψ(x).

(6.50)

Daraus resultiert dann mit Gl. (3.12) die Wirkung des Rotationsoperators d gemäß dψ(x) = dψ(d −1 x).

(6.51)

Bei einer infinitesimalen Rotation um die Achse δn transformiert sich die Vektorfunktion zu d(δn)ψ(x) = d(δn)ψ[d −1 (δn)x].

(6.52)

Die Verwendung von Gl. (6.35) erlaubt die Umformung d(δn)ψ(x) = ψ[d −1 (δn)x] + δn × ψ[d −1 (δn)x] = ψ(x − δn × x) + δn × ψ(x − δn × x).

(6.53)

220

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Nach einer Entwicklung, die nur lineare Terme von δn berücksichtigt, erhält man d(δn)ψ(x) = ψ(x) − "(δn × x), ∇ x ψ(x)# + δn × ψ(x).

(6.54)

Der zweite Term kann mithilfe des hermiteschen Vektoroperators L (6.36) umgeformt werden zu "(δn × x), ∇ x (x)# = i "δn, Lψ(x)#.

(6.55)

Eine andere Schreibweise für das Vektorprodukt des 3. Terms von Gl. (6.54) gelingt mithilfe der antisymmetrischen Tensoren ε1 , ε 2 und ε3 (Gl. 5.41) in der Form (δn × ψ)k =

3

3

k εlm δn l ψm .

(6.56)

l=1 m=1

Nach Einführung eines hermiteschen Vektoroperators S = (S1 , S2 , S3 ) mit den Komponenten Sk = −iε k

k = 1, 2, 3

(6.57)

führt die Substitution von (6.55) und (6.56) in Gl. (6.54) zu dem Rotationsoperator d(δn) = 1 − i "δn, (L + S)#.

(6.58)

Der Übergang zu einer Rotation mit einem beliebigen, endlichen Winkel ϕ geschieht durch die Betrachtung von l infinitesimalen Rotationen lδn = n, die hintereinander ausgeführt im Grenzfall den Rotationsoperator d(n) als Element der Gruppe S O(3) ergeben % &l i d(n) = lim 1 − "δn, (L + S)# = exp[−i "n, (L + S)#]. l→∞ l

(6.59)

Der Matrixoperator S kann dabei in der Quantenmechanik – abgesehen von einem Faktor h¯ – als Operator für den inneren Drehimpuls oder Eigendrehimpuls (Spin) des Vektorfeldes aufgefasst werden. Für diesen gelten mit Gl. (6.57) wie im Fall des Vektoroperators L nach Gl. (6.41) die Kommutatorbeziehungen [Sk , Sl ] = i

3

εklm Sm .

(6.60)

m=1

Damit kann ein gesamter Vektoroperator bzw. ein Gesamtdrehimpulsoperator J =L+S

(6.61)

6.3

Exponentialabbildungen

221

festgelegt werden, dessen hermitesche Komponenten {Jk | k = 1, 2, 3} die Generatoren der Rotationsgruppe S O(3) bzw. die Basis der zugehörigen L IE-Algebra so(3) bedeuten. An dieser Stelle sei angemerkt, dass die Berechnung des Operatorquadrats S2 mithilfe seiner Komponenten (6.57) zu dem Ergebnis führt S2 = S21 + S22 + S23 = 213 .

(6.62)

Der Vergleich mit dem Eigenwert S(S + 1) der quantenmechanischen Eigenwertgleichung in der Form (5.71a) liefert als Betrag bzw. als Quantenzahl des Eigendrehimpulses S = 1. Die Untersuchung eines Vektorfeldes im Hinblick auf das Transformationsverhalten unter einer Rotation im R3 erlaubt demnach eine Entscheidung über die Frage nach dem Drehimpulsoperator, insbesondere nach dem Eigendrehimpulsoperator. Während im Fall von skalaren Feldern letzterer verschwindet, so dass nur ein Bahndrehimpuls zu erwarten ist, werden im Fall von Vektorfeldern solche Teilchen beschrieben, die einen Eigendrehimpuls mit der Quantenzahl S = 1 besitzen. Ein bekanntes Beispiel ist das Vektorpotential der elektromagnetischen Wechselwirkung, dessen Quantisierung das Quasiteilchen Photon ergibt. Bleibt zu ergänzen, dass die Drehimpulsoperatoren L und S untereinander vertauschen und so die gleichen Eigenvektoren besitzen. Die Erklärung dafür ist ihre unterschiedliche Wirkungsweise. Während der Bahndrehimpuls L differentiell im Ortsraum wirkt (Gl. 6.40), ermöglicht der Eigendrehimpulsoperator S als Matrixoperator (Gl. 6.57) eine lineare Kombination der Komponenten {ψk (x)| k = 1, 2, 3} des Vektorfeldes. Beispiel 7 Die Transformation eines Operators A nach A bei der unitären Transformation eines Systems im euklidischen Raum R3 durch den Operator D(a) (a ∈ G) ergibt sich aus der Forderung nach Invarianz des Skalarprodukts 

"  !   ψ  , A ψ  = D(a)ψ, A D(a)ψ = ψ, D(a)† A D(a)ψ = "ψ, Aψ#

(6.63a)

zu A = D(a)AD(a)† .

(6.63b)

Betrachtet man etwa einen Operator A, von dem die Invarianz (A = A ) bei Rotation d eines Systems gefordert wird, so erhält man mit dem Rotationsoperator d den Kommutator [d, A] = 0.

(6.64)

Demnach transformiert sich ein solcher pseudoskalarer Operator nach der trivialen Darstellung für beliebige Rotationsvektoren n. Falls man neben den eigentlichen noch die uneigentlichen Rotationen −d zulässt, dann werden solche invarianten Operatoren als skalare Operatoren bezeichnet. Ein Beispiel ist der gewöhnliche

222

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

(sphärische) H AMILTON -Operator mit einem abstandsabhängigen Anteil der potenziellen Energie. Wählt man etwa den Operator d(n) von Gl. (6.32) als Rotationsoperator, dann folgen aus der Invarianzbedingung (6.64) die Kommutatorbeziehungen des Matrixoperators A mit den Generatoren (4.58) der Gruppe S O(3) [ak , A] = 0

k = 1, 2, 3,

(6.65)

was eine notwendige und hinreichende Bedingung erhebt. Im Falle des H AMILTON Operators als rotationsinvarianten Operator (H = A) resultiert daraus eine Erhaltungsgröße für eine dem Generator a = (a1 , a 2 , a 3 ) zugeordnete Observable. Betrachtet man einen Vektoroperator V , so müssen dessen drei Komponenten {Vk | k = 1, 2, 3} durchaus nicht mit dem Rotationsoperator d vertauschbar sein. Bei der Suche nach dem Transformationsverhalten der einzelnen Operatoren {Vk | k = 1, 2, 3} wird man berücksichtigen müssen, dass der Vektoroperator als eine Erhaltungsgröße des rotationsinvarianten Systems gilt. Dies impliziert die Aussage,  dass der transformierte Operator V  im transformierten System ek | k = 1, 2, 3 ei = d ei =

3

i = 1, 2, 3

d ji e j

d ∈ S O(3)

(6.66)

j=1

mit dem Operator V im ursprünglichen System {ek | k = 1, 2, 3} übereinstimmt 3

Vi ei =

i=1

3

Vi ei =

i=1

3

3

Vi d ji e j .

(6.67)

i=1 j=1

Daraus gewinnt man wegen der linearen Unabhängigkeit der Basis {ek | k = 1, 2, 3} die notwendige und hinreichende Bedingung Vi =

3

di j V j

bzw.

j=1

V j =

3

i=1

d˜ ji Vi =

3

di j Vi ,

(6.68)

i=1

die das Transformationsverhalten des Vektoroperators demonstriert. Dabei ist zu beachten, dass entgegen dem Verhalten von Vektoren (Gl. 3.10) bei einer (aktiven) Rotation eines Systems im Raum R3 die Transformation von Vektoroperatoren in kontragredienter Weise durch die transponierte Rotationsmatrix d˜ beschrieben wird. Vollzieht man wieder eine infinitesimale Rotation im Sinne einer lokalen Diskussion, dann erhält man unter Verwendung der Rotationsmatrix d(δn) und den Gln. (6.63) und (6.64) Vi

= d(δn)Vi d (δn) = †

3

j=1

d˜i j (δn)V j

i = 1, 2, 3,

(6.69a)

6.3

Exponentialabbildungen

223

was sich umformen lässt zu Vj =

3

di j (δn)d(δn)Vi d † (δn)

j = 1, 2, 3.

(6.69b)

i=1

Nach Substitution von d(δn) durch die Matrixdarstellung (6.33) sowie von d(δn) durch den unitären Rotationsoperator von Gl. (6.37) bekommt man Vj =

3

+

3

δi j +

i=1

 εi jm δn m

1−i

m=1

3





δn k L k Vi 1 + i

k=1

3

, δn l L l

.

l=1

(6.70) Die Berücksichtigung nur linearer Terme von δn k erlaubt die weitere Umformung Vj =

3

'

i=1

= Vj +

δi j +

3

 εi jm δn m

Vi − i

m=1 3

3

3

; δn k [L k , Vi ]

k=1

εi jm δn m Vi − i

i=1 m=1

3

(6.71)

δn k [L k , V j ].

k=1

Wegen der linearen Unabhängigkeit der Komponenten {δn k | k = 1, 2, 3} erhält man daraus eine notwendige und hinreichende Bedingung für Gl. (6.69) und mithin für die Rotationsinvarianz des Vektoroperators V [L k , V j ] = −i

3

εi jk Vi = i

i=1

3

εk ji Vi .

(6.72)

i=1

Für den Fall, dass der Vektoroperator V mit dem Drehimpulsoperator L von Gl. (6.36) übereinstimmt, findet man auf diesem Wege erneut die Kommutatorbeziehungen der Drehimpulskomponenten (6.41), womit die L IE-Algebra so(3) begründet wird. Schließlich wird die Transformation eines koordinatenunbhängigen Operators U im zweidimensionalen Spinorraum der zweikomponentigen Spinoren erörtert. Dabei verwendet man die homomorphe Abbildung (2.49) der Gruppe SU (2) auf die Gruppe S O(3), wonach jede unitäre Transformation im Spinorraum mit einer (eigentlichen) Rotation im euklidischen Raum R3 korreliert ist (Beispiel 4 v. Abschn. 2.3). Als Ansatz für den Transformationsoperator U wählt man die unitäre Form U = exp(−i "n, a#)

− i a ∈ su(2),

(6.73)

mit dem hermiteschen Operator a, dessen Komponenten {ak | k = 1, 2, 3} die Basis der zugehörigen komplexen L IE-Algebra su(2) bilden. Nachdem der PAULI Operator σ = {σ k | k = 1, 2, 3} sich bei einer Transformation mit dem Operator U

224

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

bzw. bei einer Rotation im Raum R3 wie ein Vektoroperator verhält, was durch Gl. (2.50b) demonstriert wird, gilt bei einer infinitesimalen Rotation σ i = U (δn)σ i U † (δn) =

3

d˜i j (δn)σ j

i = 1, 2, 3.

(6.74)

j=1

Analog zu obigen Überlegungen erhält man mit den Umformungen (6.70) und (6.71) die Kommutatorbeziehungen [ak , σ j ] = i

3

εk ji σ i .

(6.75)

i=1

Die Operatoren {ak | k = 1, 2, 3} wirken im Spinorraum auf zweikomponentige Spinoren und können deshalb durch eine vollständige Basis für 2×2-Matrizen, etwa durch die PAULI’schen Spinmatrizen σ 1 , σ 2 und σ 3 sowie durch die Einheitsmatrix 12 dargestellt werden ak =

3

αkl σ l + βk 12

k = 1, 2, 3.

(6.76)

l=1

Dabei bewirkt die Einheitsmatrix nur eine identische Transformation, so dass sie überflüssig bleibt (βk = 0, k = 1, 2, 3). Die Substitution in den Kommutatorbeziehungen (6.75) liefert eine Bestimmungsgleichung für die Koeffizienten αkl 3

αkl [σ l , σ j ] = i

l=1

3

εk ji σ i .

i=1

Mit den Kommutatorbeziehungen der PAULI ’schen Spinmatrizen (2.43) [σ l , σ j ] = 2i

3

εl ji σ i

l, j = 1, 2, 3

i=1

kommt man zu der Bedingung

2

3 3



αkl εl ji σ i =

l=1 i=1

3

εk ji σ i ,

i=1

die nur erfüllt werden kann durch αkl =

1 δkl 2

k, l = 1, 2, 3.

(6.77)

6.3

Exponentialabbildungen

225

Damit erhält man nach Gl. (6.76) die Operatoren ak =

1 σk 2

k = 1, 2, 3,

(6.78)

so dass der Transformationsoperator (6.73) die Form   i U = exp − "n, σ # 2

(6.79)

annimmt. Ein Vergleich mit dem Operator (6.59) zeigt, dass der Matrixoperator S den Wert S=

σ 2

(6.80)

annimmt und wegen seiner Wirkung im zweidimensionalen Spinorraum der Operator für den Eigendrehimpuls s eines F ERMI-Teilchens darstellt. Die Berechnung des Operatorquadrates s2 mit den Komponenten (2.43) 1 2 3 σ k = 12 4 4 3

s2 =

(6.81)

k=1

liefert durch Vergleich mit dem Eigenwert s(s +1) der quantenmechanischen Eigenwertgleichung in der Form von (5.71a) als Betrag bzw. als Quantenzahl s = 1/2. Schließlich gelingt auch für beliebige lineare L IE-Gruppen G die Exponentialabbildung der zugehörigen reellen L IE-Algebra L. Voraussetzung ist eine zusammenhängende L IE-Gruppe G. In diesem Fall können deren Elemente A der treuen Matrixdarstellung D(G) durch ein Produkt einer endlichen Anzahl k von Exponentialfunktionen beliebiger Elemente {ai | i = 1, . . . , k} der reellen L IEAlgebra L ausgedrückt werden. A=

k <

exp ai

ai ∈ L für

A ∈ D(G).

(6.82)

i=1

Falls die Gruppe G nicht zusammenhängend ist, dann liefert Gl. (6.82) die Menge jener Elemente, die die Komponente des Einselements G0 bilden. Die Gleichheit von L IE-Algebren impliziert so die Gleichheit von Komponenten des Einselements G0 zugehöriger L IE-Gruppen. Beispiel 8 Die spezielle lineare Gruppe S L(2, R) in zwei Dimensionen, die nicht kompakt ist (Tab. 4.2), besteht aus der Menge der reellen 2 × 2-Matrizen A, die die Voraussetzung (2.6) für die Determinante erfüllen. Die Verknüpfung eines Elements a der zugehörigen L IE-Algebra sl(2, R) mit einer einparametrigen Untergruppe geschieht durch Gl. (6.22), so dass wegen der Voraussetzung (2.6) die Spur der

226

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Matrizen a verschwindet (sp a = 0). Die beiden Eigenwerte λ1 und λ2 einer solchen spurlosen Matrix sind entweder beide reell oder beide ausschließlich imaginär, wobei in beiden Fällen gilt λ1 = −λ2 . Als Konsequenz daraus erhält man im ersten Fall für exp(λ1 ) und exp(λ2 ) reelle und positive Werte und im zweiten Fall für | exp(λ1 )| = | exp(λ2 )| = 1. Betrachtet wird jetzt ein Element A aus der Gruppe S L(2, R) mit der Form  A=

r 0 0 r −1

 r < −1,

(6.83)

das mit dem Element −12 zusammenhängend ist. Letzteres Element ist mit dem Einselement 12 zusammenhängend durch die einparametrige Untergruppe A(x) nach Gl. (4.33a), so dass insgesamt auch das Element (6.83) mit dem Einselement zusammenhängend ist. Setzt man Gl. (6.28) als gültig voraus, dann erwartet man als Eigenwert der Matrix A die Werte exp(+λ1 ) = r und exp(−λ1 ) = r −1 (Abschn. 6.1), was wegen der Voraussetzung (6.83) (r < −1) zu einem Widerspruch führt. Demnach können die Elemente A ∈ S L(2, R) der Form (6.83) nicht durch Exponentiation gemäß exp a ausgedrückt werden. Nachdem die Elemente A eine Komponente des Einselements G0 der Gruppe S L(2, R) bilden, ist die Voraussetzung für die Anwendung von Gl. (6.82) erfüllt. Ausgehend von den Elementen (6.83) mit r = − exp(−λ)  A=

− exp(−λ) 0 0 − exp(+λ)

 (6.84)

findet man nach Gl. (6.82) das Produkt zweier Exponentialfunktionen A = A1 A2 = exp(λa 1 ) exp(π a2 )

(6.85a)

mit den spurlosen Matrizen  a1 =

−1 0

0 1



 und

a2 =

0 1

 −1 . 0

(6.85b)

Die Begründung hierfür liefert die Reihenentwicklung nach Gl. (6.1) für das Element A1  A1 = exp(λa1 ) = 12 + = 12 +

∞ 

(−1)k k=1

sowie für das Element A2

0

   −1 0 λ −1 0 λ2 + + ... 0 1 1! 0 1 2!    exp(−λ) 0 0 λk = 0 exp(+λ) 1 k!

(6.86a)

6.4

Strukturen und Abbildungen

227

A2 = exp(π a2 )   ∞   ∞ π 2k π 2k+1 1 0

0 −1

= 12 + (−1)k (−1)k + 0 1 1 0 (2k)! (2k + 1)! k=1 k=0     cos π − sin π −1 0 = = . sin π cos π 0 −1

(6.86b)

6.4 Strukturen und Abbildungen Vergleicht man die Strukturen einer linearen L IE-Gruppe mit denen der dazugehörigen L IE-Algebra, dann erkennt man einen engen Zusammenhang, der in den folgenden Aussagen erkennbar wird. Ausgehend von einer linearen L IE-Gruppe G und einer Untergruppe G  ⊂ G ist bei den zugehörigen reellen L IE-Algebren L und L findet man die L IE-Algebra L als eine Unteralgebra der L IE-Algebra L (L ⊂ L). Für den Fall, dass die Untergruppe G  ein Normalteiler ist (G  = N ), wird die Unteralgebra L als ein Ideal erwartet (L = I). Betrachtet man die reelle L IE-Algebra L einer entsprechenden L IE-Gruppe G, dann ist jede Unteralgebra L ⊂ L die L IE-Algebra von genau einer zusammenhängenden Untergruppe, also einer Komponente des Einselements (G0 ⊂ G). Eine lineare L IE-Gruppe ist genau dann einfach bzw. halbeinfach, falls die zugehörige L IE-Algebra einfach bzw. halbeinfach ist. Für die weitere vergleichende Diskussion von L IE-Gruppen und L IE-Algebren muss der Begriff der homomorphen Abbildung φ einer Gruppe G auf eine Gruppe G  durch eine lokale Betrachtung ergänzt werden (s. Abschn. 2.3). Setzt man voraus, dass mit dem Element A(x1 , . . . , xn ) einer linearen L IE-Gruppe G in der Nähe des Einselements 1 N die Abbildung φ( A) eine analytische Funktion der Parameter {xi | i = 1, . . . , n} ist, dann gilt die Abbildung als analytischer Homomorphismus von G auf G  . Für den Fall, dass ein analytischer Homomorphismus darüber hinaus eine umkehrbar eindeutige Abbildung ist, spricht man von einem analytischen Isomorphismus von G auf G  . Mit diesen beiden Begriffen lassen sich zwei Aussagen formulieren, die einen weiteren Einblick in die Verknüpfung zwischen einer linearen L IE-Gruppe und deren zugehörige reelle L IE-Algebra gewähren. Dabei wird von zwei linearen L IEGruppen G und G  sowie von deren entsprechenden L IE-Algebren L und L ausgegangen. Setzt man voraus, dass eine analytische homomorphe Abbildung φ von G auf G  existiert, dann kann eine homomorphe Abbildung ψ von L auf L definiert werden durch   d ψ(a) = φ[exp(t a)] dt t=0 Darüber hinaus gilt

− ∞ < t < +∞

∀a ∈ L.

(6.87)

228

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

exp[tψ(a)] = φ[exp(t a)]

− ∞ < t < +∞

∀a ∈ L.

(6.88)

Betrachtet man etwa zwei Elemente a und b aus der reellen L IE-Algebra L und setzt die Abbildungen auf die reelle L IE-Algebra L als gleich voraus ψ(a) = ψ(b)

a, b ∈ L,

(6.89)

dann bekommt man mit Gl. (6.88) φ[exp(t a)] = φ[exp(t b)]. Setzt man weiter einen analytischen Isomorphismus φ zwischen den linearen L IEGruppen G und G  voraus, so gilt wegen der umkehrbaren Eindeutigkeit exp(t a) = exp(t b). Dies kann jedoch nur erfüllt sein mit a = b, so dass wegen Gl. (6.89) auch die Abbildung ψ von L auf L ein analytischer Isomorphismus ist. Beispiel 1 Als Beispiel für die Gruppe G bzw. G  wird die unitäre Gruppe U (1) (= {z||z| < 1}) bzw. die spezielle orthogonale Gruppe S O(2) betrachtet (s. Beispiel 5 v. Abschn. 4.3). Die Abbildung zwischen den beiden Gruppen (s. Gl. 4.33a) 

cos t − sin t φ(z) = φ(exp it) = sin t cos t mit z ∈ U (1) und A1 ∈ S O(2)

 = A1

(6.90)

ist ein analytischer Isomorphismus. Mit dem Basiselement a = i der der Gruppe U (1) zugehörigen reellen L IE-Algebra u(1) (Beispiel v. Abschn. 5.3) ergibt sich nach Gl. (6.87)       d cos t − sin t  d 0 −1  = = = a (6.91) φ(exp ti) ψ(a) = 1 0 cos t t=0 dt dt sin t t=0 mit

a ∈ u(1)

und

a ∈ so(2),

wobei a das Basiselement der reellen L IE-Algebra so(2) bedeutet. Wie im Beispiel von Abschn. 5.3 demonstriert wird, ist auch die Abbildung zwischen den zugehörigen L IE-Algebren u(1) und so(2) isomorph. Setzt man voraus, dass der Kern K einer analytischen homomorphen Abbildung φ von einer linearen L IE-Gruppe G auf eine lineare L IE-Gruppe G  eine diskrete Untergruppe ist, dann gibt es eine endliche, offene Umgebung U des Einselements

6.4

Strukturen und Abbildungen

229

e ∈ G derart, dass nur das Einselement auf das Einselement e der Gruppe G  abgebildet wird. Demzufolge leistet die Abbildung φ eine isomorphe Abbildung der Umgebung U auf eine Umgebung U  des Einselements e ∈ G. Beide Gruppen haben dann die gleiche Dimension. Als Konsequenz daraus besitzen auch die zugehörigen L IE-Algebren L und L die gleiche Dimension. Damit ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Aussage erfüllt, dass die Abbildung ψ von Gl. (6.87) der L IE-Algebra L auf die L IE-Algebra L isomorph ist (s. Abschn. 5.3). Diese Aussage gilt als Hauptsatz über die lokale Struktur von L IE-Gruppen. Als Konsequenz daraus erwächst die wichtige Erkenntnis, dass zu verschiedenen (nicht-isomorphen) linearen L IE-Gruppen durchaus die gleichen (isomorphen) L IEAlgebren gehören können. Es bedeutet umgekehrt, dass die reelle L IE-Algebra nicht die globale Struktur der entsprechenden L IE-Gruppe bestimmt, sondern vielmehr nur die lokale Struktur (s. a. Abschn. 6.6). Beispiel 2 Als Beispiel wird die multiplikative Gruppe der positiven, reellen Zahlen G = R+ = {x|x ∈ R, x > 0} betrachtet. Sie ist isomorph zur Komponente des Einselements G L + (1, R) der algemeinen linearen Gruppe in einer Dimension. Jedes Element kann in der Form (4.30) mit dem Parameter x dargestellt werden (Beispiel 5 v. Abschn. 4.3). Daneben wird die spezielle orthogonale Gruppe G  = S O(2) in zwei Dimensionen betrachtet, deren Elemente in der Form (4.33a) mit dem Parameter x dargestellt werden (s. Beispiel 5 v. Abschn. 4.3). Die Abbildung φ der Gruppe G auf die Gruppe G  durch die Festlegung  φ(exp x) =

cos x sin x

− sin x cos x

 (6.92)

ist ein analytischer Homomorphismus, dessen Kern die Menge der Elemente K = {exp x|x = 2π n; n = 0, ±1, . . .} umfasst. Diese Menge ist abzählbar unendlich, so dass es eine beliebig kleine, offene Umgebung des Einselements {|x| < ε| 0 < ε < 2π } gibt, die außer dem Einselement des Kerns kein weiteres Element der Gruppe enthält. Demnach ist der Kern eine diskrete Untergruppe. Wegen der Eindimensionalität der homomorphen Gruppen G und G  findet man auch die zugehörigen L IE-Algebren L und L eindimensional. Schließlich erwartet man einen Isomorphismus zwischen den L IE-Algebren L = gl + (1, R) und L = so(2). Mit der Basis a = 1 der zur L IE-Gruppe G entsprechenden L IE-Algebra gl + (1, R) (s. Gl. 4.89) erhält man mit Gl. (6.92) und unter Berücksichtigung von Gl. (6.87) das Bildelement d ψ(a) = dt



cos t sin t

  0 − sin t  = 1 cos t t=0

−1 0



= a ,

(6.93)

nämlich die Basis a  (Gl. 6.91) der L IE-Algebra so(2) (s. Beispiel v. Abschn. 5.3). Dieses Ergebnis begründet die isomorphe Abbildung ψ zwischen den L IE-Algebren L und L . Dabei wird offensichtlich, dass ungeachtet der zueinander isomorphen L IE-Algebren die L IE-Gruppen global voneinander verschieden sind. Während die

230

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

L IE-Gruppe G L + (1, R) nicht kompakt ist, gilt die L IE-Gruppe S O(2) als kompakt (Tab. 4.2, Beispiel 14 und Beispiel 16 v. Abschn. 4.3). Beispiel 3 In einem weiteren Beispiel wird die spezielle unitäre Gruppe G = SU (2) auf die spezielle orthogonale Gruppe G  = S O(3) abgebildet (Beispiel 6 v. Abschn. 2.3). Diese Abbildung ψ von Gl. (2.49) ist homomorph und wird erklärt durch (Gl. 2.53) ψkl (U) =

1 sp (Uσ k U −1 σ l ) 2

k, l = 1, 2, 3

∀U ∈ SU (2),

(6.94)

wonach sie auch als analytisch erkennbar ist. Nachdem der Kern der Abbildung aus den beiden Elementen 12 und −12 besteht und somit eine endliche und diskrete Untergruppe ist, müssen die den L IE-Gruppen entsprechenden L IE-Algebren L und L dreidimensional sein. Insgesamt erwartet man einen Isomorphismus zwischen den L IE-Algebren L = su(2) und L = so(3). Mit einem beliebigen Element a aus der L IE-Algebra L = su(2) erhält man nach Gln. (6.87) und (6.94) die Abbildung (   d 1 sp [exp(t a)σ k exp(−t a)σ l ]  dt 2 t=0 1 = sp (σ k [a, σ l ]) k, l = 1, 2, 3 ∀a ∈ su(2). 2

ψkl (a) =

(6.95)

Die Substitution des Elements a durch die Basis {ak | k = 1, 2, 3} ∈ su(2) (4.43) mit ak =

1 iσ k 2

k = 1, 2, 3

(6.96)

(σ k : PAULI’sche Spinmatrizen (2.43)) und die Berücksichtigung der Kommutatorbeziehungen (s. a. Gl. 5.40) [σ p , σ q ] = 2i

3

ε pqr σ r

(6.97)

r =1

sowie von Gl. (2.51) liefert das Ergebnis 1 ψkl (a p ) = sp 2 =−

   % & 3

1 1 σk iσ p , σ l = − sp σ k ε plr σ r 2 2

3

r =1

r =1

p

ε plr δkr = −ε plk = −εlk

p, l, k = 1, 2, 3.

(6.98)

6.4

Strukturen und Abbildungen

231

Die Bildelemente {ψ(a p )| p = 1, 2, 3} sind demnach die drei antisymmetrischen Tensoren {−ε p | p = 1, 2, 3} (5.91) bzw. die Generatoren {ak | k = 1, 2, 3} von Gl. (4.58). Sie bilden eine Basis für die L IE-Algebra L = so(3) und genügen den gleichen Kommutatorbeziehungen wie die Basis der L IE-Algebra L = su(2) (Gl. 5.40)

[ψ(al ), ψ(am )] = −

3

εlmn ψ(an ),

(6.99)

n=1

womit der Isomorphismus zwischen den beiden L IE-Algebren L und L bestätigt wird. Bleibt darauf hinzuweisen, dass in diesem Beispiel beide zugehörigen L IEGruppen G und G  kompakt (Tab. 4.3) und nur epimorph sind.

Schließlich kann man die Voraussetzung der letzten Aussage dahingehend abändern, dass der Kern einer analytischen homomorphen Abbildung φ von einer L IEGruppe G mit der Dimension n auf eine L IE-Gruppe G  mit der Dimension n  eine L IE-Gruppe N K ist. In diesem Fall hat der Kern N K die Dimension (n − n  ) und die zugehörige L IE-Algebra ist ein Ideal I K der zur Gruppe G zugehörigen reellen L IE-Algebra L. Eine lineare L IE-Untergruppe G  (⊆ G) einer linearen L IE-Gruppe G bedeutete bislang eine Teilmenge der Gruppe G. Setzt man einen analytischen Isomorphismus zwischen der L IE-Untergruppe G  und einer weiteren linearen L IE-Gruppe G  voraus, dann kann man die Gruppe G  ebenfalls als eine lineare L IE-Untergruppe von G erklären. Man gewinnt so eine Erweiterung des Begriffs Untergruppe. Beispiel 4 Betrachtet werden etwa die Matrizen B der Form  B=

A 0 0 1

 A ∈ SU (2),

(6.100)

wobei die Matrix A ein Element der speziellen unitären Gruppe SU (2) ist (s. Beispiel 3 v. Abschn. 4.3). Sie umfassen eine Teilmenge der speziellen unitären Gruppe SU (3) in drei Dimensionen und bilden zudem eine Untergruppe G  ⊂ SU (3). Wegen des analytischen Isomorphismus zwischen der Gruppe G  = SU (2) und der Gruppe G  φ( A) = B

A ∈ G 

B ∈ G

kann auch die L IE-Gruppe SU (2) als lineare L IE-Untergruppe der speziellen unitären Gruppe SU (3) aufgefasst werden, obwohl sie keine Teilmenge bildet.

232

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

6.5 Darstellungen L IE-Algebren können mithilfe der linearen Algebra untersucht werden und sind deshalb wesentlich einfachere Objekte als L IE-Gruppen. Diese Erkenntnis sowie die enge Beziehung zwischen beiden Objekten legt es nahe, bei der Suche nach den Darstellungen einer L IE-Gruppe zunächst die einfachere Aufgabe der Bestimmung von Darstellungen der zugehörigen L IE-Algebra zu lösen. Um den Zusammenhang zwischen den Darstellungen einer linearen L IE-Gruppe G und einer reellen L IE-Algebra L untersuchen zu können, ist eine lokale Betrachtung notwendig, wo der Begriff der analytischen Darstellung DG eine wesentliche Rolle spielt. Eine solche Darstellung der linearen L IE-Gruppe G wird stets dann so bezeichnet, wenn es für jedes Element A(x) = A(x1 , . . . , xn ) der L IE-Gruppe G eine beliebig kleine Umgebung des Einselements (x = 0) gibt, wo die Darstellungen D[ A(x1 , . . . , x n )] analytische Funktionen der Parameter {xi | i = 1, . . . , n} sind. Jede kontinuierliche Darstellung (Abschn. 4.4) ist genau dann eine analytische Darstellung, falls die L IE-Gruppe kompakt ist. Unter der Voraussetzung einer d-dimensionalen analytischen Darstellung DG einer linearen L IE-Gruppe G, deren zugehörige L IE-Algebra L ist, lassen sich die folgenden bedeutenden Aussagen formulieren: (a) Es existiert eine d-dimensionale Darstellung DL der reellen L IE-Algebra L mit   d DG [exp(t a)] DL (a) = ∀a ∈ L t ∈ R. (6.101) dt t=0 (b) Es gilt exp[t DL (a)] = DG [exp(t a)]

∀a ∈ L

t ∈ R.

(6.102)

(c) Falls die d-dimensionalen analytischen Darstellungen DG und DG der linearen L IE-Gruppe G zueinander äquivalent sind, dann sind auch die nach Gln. (6.101) und (6.102) verknüpften Darstellungen DL und D L der reellen L IE-Algebra L zueinander äquivalent. Die Umkehrung dieser Aussage gilt auch für zusammenhängende L IE-Gruppen. (d) Falls die analytische Darstellung DG reduzibel ist, dann ist auch die zugehörige Darstellung DL reduzibel. Setzt man die vollständige Reduzierbarkeit von DG voraus, dann erwartet man auch die vollständige Reduzierbarkeit von DL . Die Umkehrung dieser Aussage gilt auch für zusammenhängende L IE-Gruppen. (e) Für zusammenhängende L IE-Gruppen ist die analytische Darstellung DL genau dann irreduzibel, falls D G irreduzibel ist – eine Konsequenz der Aussage (d). (f) Falls die analytische Darstellung D G eine unitäre Darstellung ist, dann ist die zugehörige Darstellung D L (a) antihermitesch für alle Elemente a der L IEAlgebra L. Die Umkehrung dieser Aussage gilt auch für zusammenhängende L IE-Gruppen. Im Hinblick auf Gl. (6.102) ist zu betonen, dass nicht notwendigerweise jede Darstellung D L (a) der rellen L IE-Algebra L eine Darstellung DG der linearen Gruppe G liefert. Die Aussage bedeutet vielmehr, dass DG durch die Exponentiation

6.5

Darstellungen

233

(6.102) erhalten werden kann, vorausgesetzt sie ist eine analytische Darstellung. Obwohl die Matrizen auf der linken Seite von Gl. (6.102) für alle a ∈ L und für alle rellen Werte t wohl definiert sind, müssen sie nicht unbedingt eine Darstellung der L IE-Gruppe G bilden. Die Verknüpfung zwischen der Darstellung DG [exp(t a)] einer linearen L IEGruppe G und dem linearen Operator DG (exp(t a) erfolgt nach Gl. (3.6) mit dem Gruppenelement exp(t a) (a ∈ L). Die Darstellung DL (a) der zugehörigen L IEAlgebra L erhält man nach Gl. (5.39) mit dem linearen Operator DL (a). An Stelle der Gln. (6.101) und (6.102) hat man dann das analoge Ergebnis   d ∀a ∈ L t ∈ R (6.103) DG [exp(t a)] DL (a) = dt t=0 und exp[t DL (a)] = DG [exp(t a)]

∀a ∈ L t ∈ R.

(6.104)

Beide Operatoren DL (a) und DG [exp(t a)] wirken in demselben Vektorraum mit dem Basissystem {vi | i = 1, . . . , dim DG = dim D L }. Beispiel 1 Ein einfaches Beispiel ist die spezielle unitäre Gruppe SU (2). Dort können die irreduziblen Darstellungen der zugehörigen L IE-Algebra su(2) nach Gl. (6.102) gewonnen werden. Betrachtet man etwa alle jene Elemente U ∈ SU (2), die zu einer gemeinsamen Klasse gehören und deshalb nur durch den Betrag eines Drehwinkels |ϕ| unabhängig von der Rotationsachse n charakterisiert werden, so findet man mit Gl. (4.61) und nach Wahl der z-Achse als Rotationsachse (n = (0, 0, 1))   exp(iϕ/2) 0 − π ≤ ϕ ≤ +π, (6.105) U(ϕ) = = exp(ϕa 3 ) 0 exp(−iϕ/2 wobei a3 einer der Generatoren der Gruppe ist (s. Gl. 4.43). Eine irreduzible Darstellung dieser Elemente U errechnet sich nach Gl. (6.102) # $ D(J ) (U) = D (J ) [exp(ϕa3 )] = exp ϕ D(J ) (a3 ) (6.106) und mit der diagonalen irreduziblen Darstellung D(J ) (a3 ) (5.77c) des Basiselements a3 der zugehörigen L IE-Algebra su(2) zu ⎛ ⎞ exp(i J ϕ) ⎜ ⎟ exp(i(J − 1)ϕ) ⎜ ⎟ (6.107a) D (J ) (U) = ⎜ ⎟ .. ⎝ ⎠ . exp(−i J ϕ) bzw. (J ) Dm  m (U) = exp(imϕ)δm  m

− J ≤ m ≤ +J.

(6.107b)

234

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Der Charakter ergibt sich daraus zu +J

χ (J ) (U) = sp D (J ) (U) =

exp(imϕ) =

m=−J

sin[(J + 1/2)ϕ] . sin ϕ/2

(6.108)

Für den Fall J = 1/2 (m = ±1/2) erhält man (s. a. Gl. 4.63) χ (J =1/2) (U) = 2 cos

ϕ , 2

(6.109a)

wonach die zweidimensionale Darstellung D (J =1/2) mit dem Element U von Gl. (6.105) identisch ist. Für den Fall J = 1 (−1 ≤ m ≤ +1) erhält man χ (J =1) (U) = 1 + 2 cos ϕ,

(6.109b)

wonach die dreidimensionale Darstellung D(J =1) (U) äquivalent ist zur dreiparametrigen Rotationsmatrix d(ϕ) (Gl. 4.57), die nach Gl. (4.60) den gleichen Charakter besitzt. Im zweidimensionalen unitären Raum C2 mit den Punkten z = (z 1 , z 2 ) (z 1 , z 2 ∈ C) kann man bei einer Transformation wie im Fall der Rotation eines Systems im euklidischen Raum R3 einen Vektoroperator J erklären, dessen Komponenten analog zu Gl. (6.40) " ! Jk = −i x, a k ∇z

(6.110)

sich mit der Basis {ak | k = 1, 2, 3} (Gl. 4.43) der L IE-Algebra su(2) errechnen zu   1 ∂ ∂ + z1 J1 = z2 2 ∂z 1 ∂z 2   i ∂ ∂ − z1 z2 J2 = − 2 ∂z 1 ∂z 2   1 ∂ ∂ − z1 z2 J3 = . 2 ∂z 2 ∂z 1

(6.111a) (6.111b) (6.111c)

Für die zueinander adjungierten Operatoren J+ und J− findet man nach Gl. (5.52) J+ = z 2

∂ ∂z 1

bzw.

J− = z 1

∂ . ∂z 2

(6.112)

Die den Gln. (5.71) und (5.74) entsprechenden Gleichungen werden dann durch die (2J + 1) Eigenfunktionen (−1)m (J −m) (J +m) (J ) z (z) = √ z2 vm (J − m)!(J + m)! 1 erfüllt.

− J ≤ m ≤ +J

(6.113)

6.5

Darstellungen

235

Beispiel 2 Als Beispiel wird die spezielle orthogonale Gruppe S O(2) betrachtet. Die zugehörige abelsche L IE-Algebra so(2) ist eindimensional und hat nach Gln. (4.26) und (4.33a) das einzige Basiselement a (4.35a) (s. a. Beispiel v. Abschn. 5.3). Da es nur eine Kommutatorbeziehung gibt [a, a] = 02 , kann man als eindimensionale Darstellung DL eine komplexe Zahl wählen DL (a) = z

z ∈ C.

(6.114)

Die Exponentiation nach Gl. (6.102) liefert für deren linke Seite exp[t DL (a)] = exp(t z)

z ∈ C.

Die zugehörige L IE-Gruppe S O(2) hat die Elemente A (4.33a), die auch eine eindimensionale Darstellung bilden  D G ( A) = A(t) =

cos t sin t

− sin t cos t

 − π ≤ t ≤ +π,

(6.115)

was mit der rechten Seite von Gl. (6.102) übereinstimmt (Beispiel 13 v. Abschn. 4.3)  DG [exp(t a)] = 12 +  +

0 1

1 0

 ∞ t 2k 0

(−1)k 1 (2k)! k=1  ∞ t 2k+1 −1

(−1)k = A(t). 0 (2k + 1)!

(6.116)

k=0

Eine Variation des Parameters t um die Periode 2π ergibt für die rechte Seite von Gl. (6.102) A(t + 2π ) = exp[a(t + 2π )] = A(t),

(6.117)

wonach die Darstellung DG invariant bleibt. Dagegen wird für die linke Seite von Gl. (6.102) das Ergebnis exp[(t + 2π ) D L (a)] = exp[(t + 2π )z] = exp(2π z) exp[t D L (a)]

z∈C (6.118) erzielt, was eine andere Darstellung impliziert. Demanch liefert die Darstellung DL der L IE-Algebra L nach (6.114) genau dann eine Darstellung DG vermittels der Exponentiation (6.102), falls die Zahl z rein imaginär und ganzzahlig ist. Beispiel 3 Im folgenden Beispiel soll die Verknüpfung zwischen den Darstellungen der speziellen orthogonalen Gruppe S O(3) und der zugehörigen L IE-Algebra so(3)

236

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

erörtert werden. Ausgehend von der Basis {ψ(a p ) = −ε p | p = 1, 2, 3} (6.98) der L IE-Algebra L = so(3) mit den Basiselementen {a p | p = 1, 2, 3} (6.96) der dazu isomorphen L IE-Algebra su(2), kann man eine zweidimensionale Darstellung DL der L IE-Algebra L gewinnen, indem die isomorphe Abbildung ψ (6.98) invertiert wird (Beispiel 3 v. Abschn. 6.4) D L (a p ) = ψ −1 (−ε p ) =

1 iσ p 2

p = 1, 2, 3

(6.119)

(σ p : PAULI’sche Spinmatrizen (2.43)). Nach Exponentiation gemäß Gl. (6.102) erhält man für die linke Seite etwa mit a 3     t exp(it/2) 0 . (6.120) exp[t DL (a3 )] = exp i σ 3 = 0 exp(−it/2) 2 Hingegen liefert die rechte Seite von Gl. (6.102) etwa mit dem Basiselement a3 (= −ε3 ; Gl. (5.91) – s. a. Beispiel 13 v. Abschn. 4.3) ⎛

⎞ ∞ 1 0 0

t 2k (−1)k DG [exp(t a3 )] ≡ exp(t a3 ) = 13 + ⎝ 0 1 0 ⎠ (2k)! 0 0 0 k=1 ⎛ ⎞ ⎛ ∞ 0 −1 0

cos t − sin t t 2k+1 0 0⎠ cos t + ⎝1 (−1)k = ⎝ sin t (2k + 1)! 0 0 0 k=0 0 0

⎞ 0 0⎠. 1 (6.121)

Nach Variation des Parameters t um die Periode 2π erhält man für die linke Seite (Gl. 6.120) einen Vorzeichenwechsel exp[(t + 2π ) DL (a 3 )] = − exp[t DL (a3 )], während die rechte Seite (Gl. 6.121) invariant bleibt exp[(t + 2π )a 3 ] = exp(t a3 ). Demnach vermag die Exponentiation nach Gl. (6.102) keine Darstellung DG der L IE-Gruppe S O(3) zu liefern (Beispiel 2 v. Abschn. 6.6). Wie bei den endlichen Gruppen kann man auch bei den L IE-Gruppen eine Produktdarstellung D (α1 ×α2 ) (G) (3.204) des äußeren direkten Produkts G = G1 × G2

(6.122)

zweier Gruppen G1 und G2 erklären. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden. Im ersten Fall ist die Gruppe G1 eine endliche Gruppe mit der Ordnung g1 und der treuen irreduziblen Darstellung D(α1 ) (G1 ), während die Gruppe G2 eine

6.5

Darstellungen

237

lineare L IE-Gruppe ist mit einer ebenfalls treuen endlich-dimensionalen Darstellung D(α2 ) (G2 ). Die L IE-Gruppe G2 möge in der Nähe des Einselements durch die n reellen Werte {x k | k = 1, . . . , n} parametrisiert werden und eine Anzahl N zusammenhängende Komponenten besitzen. Die Produktdarstellung (3.204) verhilft dann zu der Aussage, dass das direkte Produkt (6.122) der beiden Gruppen G1 und G2 ebenfalls eine L IE-Grupe G mit N g1 zusammenhängenden Komponenten ist. Die Komponente des Einselements von G ist daher isomorph zur Produktdarstellung D (α1 ) (e) × D(α2 ) (H) = D(α1 ×α2 ) (e × H), wobei die Gruppe H die Komponente des Einselements der L IE-Gruppe G2 ist. Die Elemente der Produktgruppe G können nahe dem Einselement durch die gleichen n Werte {x k | k = 1, . . . , n} parametrisiert werden. Zudem ist die Produktgruppe genau dann kompakt, falls die L IE-Gruppe G2 kompakt ist. Im zweiten Fall sind beide Gruppen G1 und G2 lineare L IE-Gruppen. Mithilfe der Produktdarstellung (3.204) kann gezeigt werden, dass das äußere direkte Produkt (6.122) erneut eine lineare L IE-Gruppe G ist mit N1 N2 Komponenten (Ni = Anzahl der Komponenten der Gruppe Gi ; i = 1, 2) und mit (n 1 + n 2 ) reellen Parametern (n i = Anzahl der Parameter der Gruppe Gi ; i = 1, 2). Daneben ist die L IE-Gruppe G genau dann kompakt, falls sowohl G1 als auch G2 kompakt ist. Betrachtet man eine endliche Gruppe als eine nulldimensionale L IE-Gruppe, dann ist der oben diskutierte Fall hier mit berücksichtigt. Bleibt darauf hinzuweisen, dass die der direkten Produktgruppe G entsprechende reelle L IE-Algebra L isomorph ist zur direkten Summe der den L IE-Gruppen G1 und G2 entsprechenden reellen L IE-Algebren L1 und L2 L∼ = L1 ⊕ L2 .

(6.123)

Hingegen gilt nicht die Umkehrung dieser Aussage. Falls die mit einer linearen L IE-Gruppe G verknüpfte L IE-Algebra L zu einer direkten Summe zweier L IEAlgebren L1 und L2 nach Gl. (6.123) isomorph ist, dann muss diese L IE-Gruppe G nicht notwendigerweise isomorph zum äußeren direkten Produkt der zugehörigen L IE-Gruppen G1 und G2 sein. Beispiel 4 Als Beispiel für eine endliche Gruppe G1 wird die Inversionsgruppe Ci im euklidischen Raum R3 betrachtet. Sie besitzt zwei Elemente die auch die beiden Klassen bilden, nämlich das Einselement e und die Inversion i (Beispiel 1 v. Abschn. 3.10). Demnach ist die Ordnung g1 = 2 und es gibt zwei irreduzible Darstellungen D(+) und D (−) (Tab. 3.3). Für die lineare L IE-Gruppe G2 wird die spezielle orthogonale Gruppe S O(3) gewählt, deren Elemente die eigentlichen Rotationen um beliebige Achsen ϕ im wird jener Raum betrachtet, euklidischen Raum R3 sind. Als Darstellungsraum  der durch die (2J + 1) Eigenvektoren vmJ | − J ≤ m ≤ +J des Drehimpulsoperators zum Quadrat J 2 bzw. des dazu vertauschbaren Operators Jz der zKomponente des Drehimpulsoperators erzeugt wird. Man gewinnt dann die endliche, irreduzible Darstellung D (J ) (ϕ) mit der Dimension (2J + 1) (Beispiel 1 v. Abschn. 5.5). Die Parametrisierung der Rotation kann auf zweifache Weise geschehen. Einmal durch die Komponenten {ϕi | i = 1, 2, 3} eines Rotationsvektors ϕ der in Richtung der Rotationsachse zeigt und dessen Länge ϕ den positiven Drehwinkel

238

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

angibt (s. a. Beispiel 11 v. Abschn. 4.3). Zum anderen durch die drei E ULER’schen Winkel {α, β, γ | 0 ≤ α, γ ≤ 2π, 0 ≤ β < π } (s. a. Beispiel 20 v. Abschn. 4.3), so dass in beiden Fällen eine dreidimensionale L IE-Gruppe parametrisiert wird. Diese Gruppe ist zusammenhängend und besitzt deshalb nur eine Komponente (N = 1), die zugleich die Komponente des Einselements ist. Das äußere direkte Produkt (6.122) O(3) = C i × S O(3)

(6.124)

liefert die orthogonale Gruppe O(3), bei der neben den eigentlichen Rotationen auch die uneigentlichen Rotationen (Rotations-Inversionen) erfasst werden (Beispiel 1 v. Abschn. 2.4). Diese L IE-Gruppe besitzt zwei (N g = 2) zusammenhängende Komponenten. Die Komponente des Einselements ist isomorph zur Produktdarstellung D(±) (e) × D(J ) (ϕ) = D(J ) (ϕ), so dass sie mit der Komponente des Einselements der L IE-Gruppe S O(3) zusammenfällt. Nachdem die Produktgruppe (6.124) in einer beliebig kleinen Umgebung des Einselements mit der Gruppe S O(3) übereinstimmt (Beispiel 1 v. Abschn. 6.3), findet man für beide Gruppen dieselbe Dimension (dim O(3) = dim S O(3) = 3), so dass auch die drei Parameter der beiden L IE-Gruppen die gleichen sind. Die Gruppe S O(3) ist kompakt und erfüllt so die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass auch die Produktgruppe O(3) kompakt ist. Beispiel 5 Die Konstruktion der euklidischen Gruppe E(3, R) (Beispiel 14 v. Abschn. 2.1) kann verallgemeinert werden, indem jede lineare L IE-Gruppe G von Tabelle 4.1, die auch eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe G L(N , K) ist, zusammengesetzt wird mit einer Translation t aus dem N -dimensionalen Raum K N (K = R bzw. C). Die gesamte Transformation wid dann ausgedrückt in der Form (2.11a) x  = Ax + t

A ∈ G ⊆ G L(N , K)

t, x ∈ K N.

(6.125)

Analog zu Gl. (2.62) erhält man die gesamte Gruppe G  durch das halbdirekte Produkt G  = G  K N.

(6.126)

Dabei errechnet sich die Dimension n der Produktgruppe G  sowie die der zugehörigen L IE-Algebra L zu dim G  = dim L = dim G + N .

(6.127)

Für das Produkt zweier Elemente { A1 | t 1 } und { A2 | t 2 } aus der Produktgruppe G  erhält man mit Gl. (6.125) analog zu Gl. (2.12) { A1 | t 1 } { A2 | t 2 } = { A1 A2 | A1 t 2 + t 1 }

A1 , A2 ∈ G

t 1 , t 2 ∈ K N. (6.128)

6.5

Darstellungen

239

Das L IE-Produkt errechnet sich zu [{a1 | t 1 }, {a2 | t 2 }] = {[a1 , a2 ]| a1 t 2 − a2 t 1 }

a1 , a2 ∈ L

t 1 , t 2 ∈ K N. (6.129)

Beispiel 6 Betrachtet wir die unitäre Gruppe U (2) in zwei Dimensionen. Die damit verknüpfte reelle L IE-Algebra L = u(2) umfasst die Menge aller antihermiteschen 2 × 2-Matrizen, deren Spur nicht notwendigerweise verschwindet (Beispiel 3 v. Abschn. 5.1). Die Dimension (n = N 2 = 4) dieser L IE-Algebra verlangt vier Basiselemente (Tab. 5.1), von denen drei die Basis {a k |k = 1, 2, 3} der L IE-Algebra L1 = su(2) bilden (Gl. 4.43). Als viertes Basiselement kann man die antihermitesche Matrix a4 = i12 wählen. Sie ist die Basis einer reellen L IE-Algebra L2 und vertauscht mit allen Elementen a k der Basis von L1 = su(2) [ak , a4 ] = 0

ak ∈ L1 = su(2)

k = 1, 2, 3,

so dass die Forderung (5.34) zur Bildung einer direkten Summe von zwei L IEAlgebren L1 und L2 erfüllt ist L = L1 ⊕ L2 . Die zugehörigen linearen L IE-Gruppen G1 und G2 können nach Gl. (6.28) durch Exponentiation aus den L IE-Algebren L1 und L2 erhalten werden. Danach ergibt sich für G1 erwartungsgemäß die spezielle unitäre Gruppe SU (2) und für G2 die Menge der Matrizen G2 = {exp it12 | t ∈ R}. Beide Gruppen sind Untergruppen der Gruppe G = U (2). Daneben sind die Elemente aus den unterschiedlichen Gruppen miteinander vertauschbar, so dass die Forderung (2.56a) zur Bildung eines direkten äußeren Produkts erfüllt ist. Nicht erfüllt ist jedoch die Forderung (2.56b), da beide Gruppen G1 und G2 zwei Elemente gemeinsam haben, nämlich das Einselement 12 und das Element −12 . Somit ist die L IE-Gruppe G = U (2), deren zugehörige L IE-Algebra L = u(2) zur direkten Summe der L IE-Algebren L1 = su(2) und L2 isomorph ist, nicht isomorph zum äußeren direkten Produkt G1 × G2 der den L IE-Algebren L1 und L2 zugehörigen L IE-Gruppen G1 = SU (2) und G2 . Obige Überlegungen können verallgemeinert werden durch die Betrachtung einer unitären L IE-Algebra L = u(N ) in einer Dimension N . Dann findet man diese isomorph zur direkten Summe der L IE-Algebren L1 = su(N ) und L2 = u(1) u(N ) ∼ = u(N ) ⊕ u(1).

240

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Gleichwohl ist die zur L IE-Algebra L zugehörige unitäre Gruppe G = U (N ) nicht isomorph zum äußeren direkten Produkt G1 × G2 der Gruppe G1 = SU (N ) und G2 = U (1), die den L IE-Algebren L1 = su(N ) und L2 = u(1) entsprechen.

Schließlich bleibt noch die Frage nach jener Darstellung D (α1 ⊗α2 ) (L) der L IE-Algebra L, die dem inneren direkten Produkt D (α1 ⊗α2 ) (G) der irreduziblen Darstellungen D(α1 ) (G) und D (α2 ) (G) einer L IE   -Gruppe G entspre(α ) chen. Ausgehend von den zugehörigen Basissystemen vi 1 | i = 1, . . . , dα1   und vi(α2 ) | i = 1, . . . , dα2 der Vektorräume V (α1 ) und V (α2 ) wird durch das   2) innere direkte Produkt vi(αj 1 ⊗α2 ) = vi(α1 ) ⊗ v (α | i = 1, . . . , d ; j = 1, . . . , d α α 1 2 j ein Produktraum bzw. ein Tensorraum V (α1 ⊗α2 ) aufgespannt. Mit den Operatoren (α ) (α ) DG 1 [exp(t a)] und DG 2 [exp(t a)] der Teilräume d

DG(α1 ) [exp(t a)]vi(α1 ) =

α1

(α )

(α1 )

(α )

(α2 )

DG ,1ji [exp(t a)]v j

(6.130a)

j (α )

(α2 )

DG 2 [exp(t a)]vi

dα2

=



DG ,2ji [exp(t a)]v j

(6.130b)

j

erhält man für den Operator DG(α1 ⊗α2 ) [exp(t a)] = DG(α1 ) [exp(t a)] ⊗ DG(α2 ) [exp(t a)] des Produktraumes V (α1 ⊗α2 ) (s. a. Gl. 3.211) (α ⊗α2 )

DG 1

  (α ) (α ) (α ) (α ) (α ) (α ) [exp(t a)] vi 1 ⊗ vk 2 = DG 1 [exp(t a)]vi 1 ⊗ DG 1 [exp(t a)]vk 2 d

=

d

α1 α2



j

1 ) (α2 ) DG(α,1ji) [exp(t a)]v (α DG ,lk [exp(t a)]vl(α2 ) j

l

# dα1 dα2

=

j

# j

$

(α )

l

dα1 dα2

=

(α )

DG 1 (exp(t a)) ⊗ DG 2 (exp(t a)) (α ⊗α )

(α1 )

DG ;1jl,ik2 [exp(t a)]v j

(α2 )

⊗ vl

(α1 )

jl,ik

vj

(α2 )

⊗ vl

∀a ∈ L.

l

(6.131) Unter Berücksichtigung von Gln. (6.104) und (6.130) kommt man weiter zu dem Ergebnis

6.5

Darstellungen

241

$  #     (α ⊗α ) (α ) (α ) (α ) (α ) (α ) (α ) = exp t DL 1 (a) vi 1 ⊗ exp t DL 2 (a) vk 2 ) exp t DL 1 2 (a) vi 1 ⊗ vk 2 $ #  (α ) (α ) (α ) (α ) = exp t DL 1 (a) + DL 2 (a) vi 1 ⊗ vk 2 $ #  (α1 ) (α2 ) = exp t DL (a)viα1 ⊗ vk(α2 ) + vi(α1 ) ⊗ DL (a)vk(α2 ) , (6.132a) (α1 ⊗α2 ) so dass der Operator DL (a) des Produktraumes V (α1 ⊗α2 ) in der Form

  (α ) (α ) (α ) (α ) (α ) (α ) (α ) (α ) (a) vi 1 ⊗ vk 2 := DL 1 (a)vi 1 ⊗ vk 2 + vi 1 ⊗ DL 2 (a)vk 2 (6.132b) 1) erklärt werden kann. Betrachtet man zudem die irreduziblen Darstellungen D(α L (a) (α ) (α ) (α ) und D L 2 (a) der L IE-Algebra L, die durch die Operatoren DL 1 (a) und DL 2 (a) gemäß den Beziehungen (α ⊗α2 )

DL 1

d

(α1 )

DL

(α ) (a)vi 1

=

α1

(α )

(α1 )

DL,1ji (a)v j

(6.133a)

(α2 ) (α2 ) DL , ji (a)v j

(6.133b)

j

und d

(α2 )

DL

(a)vi(α2 )

=

α2

j

definiert sind, dann ergibt die Substitution in Gl. (6.132b)   (α1 ⊗α2 ) (α ) (α ) (α ) (α ) (α ) (α ) (α ) (α ) DL (a) vi 1 ⊗ vk 2 = DL 1 (a)vi 1 ⊗ vk 2 + vi 1 ⊗ DL 2 (a)vk 2 α1 α2 #



d

d

=

j

# j



j

(α2 )

⊗ vk

(α1 )

+ vi

(α )

(α2 )

2 ⊗ DL,lk (a)vl

(α )

(α )

D L 1 (a) ⊗ 1dα2 + 1dα1 ⊗ DL 2 (a)

l

dα1 dα2

=

(α1 )

$

l

dα1 dα2

=

(α )

DL,1ji (a)v j

(α ⊗α )

(α1 )

DL 1jl,ik2 (a)v j

(α2 )

⊗ vl

$

(α1 )

jl,ik

vj

(α2 )

⊗ vl

∀a ∈ L.

l

(6.134a) mit der sogenannten Produktdarstellung bzw. Tensordarstellung der L IE-Algebra L (α ) (α ) 1 ⊗α2 ) D(α (a) = DL 1 (a) ⊗ 1dα2 + 1dα1 ⊗ DL 2 (a) L

a ∈ L.

(6.134b)

242

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Bleibt anzumerken, dass die beiden verschiedenen Produkträume V (α1 ) ⊗ V (α2 ) und V (α2 ) ⊗ V (α1 ) isomorph zueinander sind V (α1 ) ⊗ V (α2 ) ∼ = V (α2 ) ⊗ V (α1 ) ,

(6.135a)

so dass das Tensorprodukt – bis auf Isomorphie – kommutativ ist. Daneben ist das Tensorprodukt – bis auf Isomorphie – auch assoziativ (V (α1 ) ⊗ V (α2 ) ) ⊗ V (α3 ) ∼ = V (α1 ) ⊗ (V (α2 ) ⊗ V (α3 ) ).

(6.135b)

1 ⊗α2 ) (3.211) der L IE-Gruppe G geht Anders als bei der Produktdarstellung D(α G sie nicht aus dem direkten Produkt der einzelnen Darstellungen hervor, obwohl die Basis dieser Produktdarstellung durch das direkte Produkt zwischen den Basen der einzelnen Darstellungen gebildet wird. Der Grund hierfür ist in der Nichtlinearität des direkten Produkts (3.211) zu sehen, was der Darstellung einer Algebra widerspricht. Der Charakter der Produktdarstellung errechnet sich dann mit Gl. (3.201) zu

χL(α1 ⊗α2 ) (a) = dα2 χL(α1 ) (a) + dα1 χL(α2 ) (a)

∀a ∈ L.

(6.136)

Die Reduktion der Produktdarstellung (6.134b) in irreduzible Darstellungen D(α) L der L IE -Algebra L verlangt eine Diagonalisierung mittels einer regulären Matrix C (α1 α2 ) (s. a. Gl. 3.220) (α ⊗α2 )

C (α1 α2 )−1 DL 1



(a)C (α1 α2 ) = D(α1 ⊗α2 ) (a) =

 α

(α)

(α1 α2 |α) DL (a) (6.137)

mit den Reduktionskoeffizienten bzw. Multiplizitäten (α1 α2 | α) = m α (s. a. Gl. 3.215). Diese Diagonalisierung bedeutet eine Basistransformation jener Pro 2) duktbasis vi(α1 ) ⊗ v (α , die auch der Produkt| i = 1, . . . , d ; j = 1, . . . , d α1 α2 j  (α, p ) (α ⊗α ) darstellung DG 1 2 (a) zugrunde liegt, nach u k α | k = 1, . . . , dα ; pα = 1, . . . , m α = (α1 α2 |α)}. Demzufolge gilt sowohl für G als auch für L die Basistransformation (3.218), wonach die Entwicklungskoeffizienten bzw. C LEBSCH -G ORDANKoeffizienten   α pα α 1 α2 (α1 α2 |α) Ci j, kpα = (6.138) i j k als die Elemente der Transformationsmatrix (C LEBSCH -G ORDAN-Matrix) C (α1 α2 ) ermittelt werden können. Die obigen Aussagen lassen sich allgemein auf jede abstrakte reelle bzw. komplexe L IE-Algebra L übertragen, die keine Verknüpfung zu einer linearen L IE-Gruppe zulässt. Ausgehend von den irreduziblen Darstellungen D(α1 ) (a) und D (α2 ) (a) mit einem beliebigen Element a (∈ L) erhält man eine

6.5

Darstellungen

243

(dα1 dα2 )-dimensionale Produktdarstellung D (α1 ⊗α2 ) (a) in der Form (6.134b), wobei auf die Indizierung L zum Zeichen der Verallgemeinerung verzichtet wird. Die nachfolgende C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung ist analog zu Gl. (3.214) bzw. (3.218) mit den gleichen Kopplungskoeffizienten (3.219). Die Ermittlung der Kopplungskoeffizienten geschieht nach jenen Verfahren, die auch bei endlichen Gruppen benutzt werden (Abschn. 3.10). Setzt man eine kompakte L IE-Gruppe G voraus, dann erhält man analog zu Gl. (3.228) unter Beachtung der Orthogonalität (4.114) zweier verschiedener irreduzibler Darstellungen D(α1 ) und D(α2 ) die Beziehung  ∗ α 1 α2 α pα α pα α1 α2 i k m j l n 2 (α ) (α ) (α)∗ = dα Di j 1 (a) Dkl 2 (a) Dmn (a)d a a ∈ G,

mα 

pα

(6.139)

G

die die Kopplungskoeffizienten aus den irreduziblen Darstellungen zu ermitteln erlaubt. (α1 ) = Für den besonderen Fall, dass die einzelnen Vektorräume gleich sind  (V  (α ) (α) V 2 = V ) aber verschiedene Basissysteme vi , vi | i = 1, . . . , dα benutzen, kann man – wie bei den endlichen Gruppen bzw. bei den kompakten L IEGruppen – eine symmetrische sowie eine antisymmetrische Produktdarstellung erklären (Gln. 3.238   und 3.239). Die zugehörigen Basissysteme sind dann vk ⊗ vl ± vl ⊗ vk | l, k = 1, . . . , dα . Damit gelingt eine Zerlegung der Produktdarstellung D(α⊗α) in der Form (3.243) (α⊗α)

D (α⊗α) (a) = D +

(α⊗α)

(a) ⊕ D −

(a)

a ∈ L,

(6.140)

wobei sowohl der symmetrische Anteil D(α⊗α) wie der antisymmetrische Anteil + (α⊗α) nicht irreduzibel sein muss, sondern möglicherweise noch weiter in irreduD− zible Darstellungen zerlegt werden kann. Beispiel 7 Am Beispiel der speziellen unitären Gruppe SU (2) wird das direkte Produkt D(J1 ) ⊗ D(J2 ) zweier irreduzibler Darstellungen D(J1 ) und D(J2 ) im Hinblick auf dessen C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung untersucht. Dabei interessieren nur jene Elemente U, die zu einer gemeinsamen Klasse gehören und deshalb nur durch den Betrag eines Drehwinkels ϕ unabhängig von einer beliebig gewählten Rotationsachse – etwa n = (0, 0, 1) – charakerisiert werden. Ausgehend von den Charakteren χ (J1 ) (U) und χ (J2 ) (U) nach Gl. (6.108) der einzelnen Darstellungen D(J1 ) (U) und D (J2 ) (U) nach Gl. (6.107) erhält man als Charakter für die Produktdarstellung χ

(J1 ⊗J2 )

(U) =

+J1

m 1 =−J1

exp(im 1 ϕ)

+J1

m 2 =−J1

exp(im 2 ϕ)

U ∈ SU (2).

(6.141)

244

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Eine Umordnung der Summanden erlaubt die Schreibweise χ

(J1 ⊗J2 )

(U)

=

(J

1 +J2 )

exp(imϕ) +

m=−(J1 +J2 )

(J1 +J 2 −1)

exp(imϕ) + . . .

m=−(J1 +J2 −1)

(6.142) +

|J

1 −J2 |

exp(imϕ) =

m=−|J1 −J2 |

J

1 +J2

χ (J ) (U)

U ∈ SU (2),

J =|J1 −J2 |

wonach eine C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung des Charakters der Produktdarstellung nach Charakteren einzelner irreduzibler Darstellungen zum Ausdruck gebracht wird. Als Konsequenz daraus erwartet man auch bei der Reduktion der Produktdarstellung D(J1 ⊗J2 ) eine C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung in der entsprechenden Form D(J1 ⊗J2 ) (U) = D(J1 ) (U) ⊗ D(J2 ) (U) =

J 1 +J2

D (J ) (U)

U ∈ SU (2) .

J =|J1 −J2 |

(6.143) Dabei sind die Reduktionskoeffizienten (J1 J2 |J ) (Gl. 3.215) bzw. die Multiplizitäten alle einfach (J1 J2 |J ) = 1

|J1 − J2 | ≤ J ≤ J1 + J2 ,

(6.144)

so dass die L IE-Gruppe SU (2) bzw. deren zugehörige L IE-Algebra su(2) als einfach reduzierbar gilt. Im Gegensatz dazu findet man die L IE-Gruppe SU (N ) mit n > 2 nicht einfach reduzierbar. Die Dimension der Produktdarstellung errechnet sich dann nach Gl. (3.222) bzw. Gl. (6.143) zu J

1 +J2

(2J + 1) = (2J1 + 1)(2J2 + 1).

(6.145)

J =|J1 −J2 |

Das gleiche Ergebnis bekommt man aus analogen Überlegungen im Hinblick auf die Produktdarstellungen der speziellen orthogonalen Gruppe S O(3) sowie der zugehörigen L IE-Algebren su(2) und so(3). Dabei ist anzumerken, das im Falle der eigentlichen Rotationsgruppe S O(3) bzw. ihrer zugehörigen L IE-Algebra so(3) die Werte für J ganzzahlig sind. In der Quantenmechanik wird durch die Erweiterung der H ILBERT-Räume zweier getrennter Systeme mit den Drehimpulsoperatoren J 1 und J 2 durch direkte Produktbildung zum Tensorraum das Vektormodell der Drehimpulskopplung begründet. Es bedeutet eine Addition der Operatoren J = J 1 + J 2.

(6.146)

6.5

Darstellungen

245

Die Auswahlregel der neuen Drehimpulsquantenzahlen Gl. (6.143) zu

J

(J1 J2 J ) := |J1 − J2 | ≤ J ≤ J1 + J2 ,

resultiert aus

(6.147)

was als Dreiecksregel bekannt ist. Dabei gehört die Quantenzahl des Grenzfalles J = J1 + J2 bzw. J = |J1 − J2 | zur maximalen bzw. minimalen Kopplung mit parallelen bzw. antiparallelen Drehimpulsvektoren J 1 und J 2 . Die Erweiterung der Gruppe durch das direkte Produkt mit der diskreten Inversionsgruppe Ci nach Gl. (3.209) liefert die orthogonale Gruppe O(3), deren irreduzible Darstellungen sich außer durch J noch durch die Parität π = ±1 unterscheiden (Beispiel 1 v. Abschn. 3.10). In der Zerlegung (6.143) eines direkten Produkts zweier solcher Darstellungen D (J1 ,π ) und D (J2 ,π ) erwartet man für alle irreduziblen Komponenten D (J,π ) die Parität π = π1 π2 .

(6.148)

Die Reduktionskoeffizienten (6.144) sowie die C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten sind die gleichen wie bei der Zerlegung von Produktdarstellungen der Untergruppe S O(3). Beispiel 8 Die Ermittlung der C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten als jene Elemente einer regulären C LEBSCH -G ORDAN-Matrix C (J1 J2 ) , mit deren Hilfe eine Basistransformation der Produktdarstellung D(J1 ) (U) ⊗ D(J2 ) (U) (U ∈ SU (2)) nach Gl. (3.218) duchgeführt wird (J ) um

=

+J1

+J2

(J J |J )

m 1 =−J1 m 2 =−J2

=

(J1 ) (J2 ) Cm 11m22 ,m 1 vm ⊗ vm 1 2

+J2 

J1 m1

+J1

J2 m2

m 1 =−J1 m 2 =−J2

|J1 − J2 | ≤ J ≤ J1 + J2

J m

1



(J1 ) (J2 ) ⊗ vm vm 1 2

(6.149)

− J ≤ m ≤ +J,

gelingt einfacher, wenn die der Gruppe zugehörige L IE-Algebra su(2) diskutiert wird. Dort sind die gleichen Koeffizienten in der sogenannten 3J -Symbolik zu erwarten, die hier durch die häufig verwendete Symbolik (C ONDON -S HORTLEY) (J J |J ) Cm 11m22 ,m 1

 =

J1 m1

J2 m2

J m

 := (J1 m 1 J2 m 2 | J1 J2 J m)

(6.150)

gekennzeichnet werden. Setzt man orthonormale Basissysteme voraus, dann ist die Transformationsmatrix C (J1 J2 ) mit der Dimension (6.145) unitär und man erhält analog zu den Gl. (3.223) die Spaltenorthonormalität

246

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren +J1

+J2

∗   m 2 =−J2 (J1 m 1 J2 m 2 | J1 J2 J m) (J1 m 1 J2 m 2 | J1 J2 J m )

m 1 =−J1

|J1 − J2 | ≤ J ≤ J1 + J2

= δ J J  δmm 

− J ≤ m ≤ +J

(6.151a)

sowie die Zeilenorthonormalität J

1 +J2

+J

  (J1 m 1 J2 m 2 | J1 J2 J m)∗ J1 m 1 J2 m 2 | J1 J2 J m = δm 1 m  δm 2 m  1

J =|J1 −J2 | m=−J

− J1 ≤ m 1 ≤ J2

2

− J2 ≤ m 2 ≤ J2 . (6.151b)

Ausgehend von den getrennten Systemen und den dort gültigen Eigenwertglei(J ⊗J ) chungen (5.74) und (5.71), kann man die Stufenoperatoren J± 1 2 sowie die dritte (J ⊗J ) Komponente Jz 1 2 eines Vektoroperators J definieren, die auf die Basiselemente (J ) u m (6.149) des Produktraumes wirken (J ⊗J2 ) (J ) um

J± 1

=

 (J ) (J ∓ m)(J ± m + 1)u m±1

+J2

(J ) (J ) Jz(J1 ⊗J2 ) u m = mu m =m

+J2

m 1 =−J1 m 2 =−J2

(6.152a)

(J1 ) (J2 ) (J1 m 1 J2 m 2 | J1 J2 J m)vm ⊗ vm . 1 2

(6.152b) (J )

(J )

Diese Operatoren erfüllen mit Wirkung auf das direkte Produkt vm 11 ⊗ vm 22 der Basiselemente der getrennten Vektorräume nach Gl. (6.132b) die Gleichungen (J ) (J1 ) (J ) (J2 ) (J1 ) (J2 ) (J2 ) (J1 ) J±(J1 ⊗J2 ) vm ⊗ vm = J± 1 vm ⊗ vm + vm ⊗ J± 2 vm (6.153a) 1 2 1 2 1 2 (J1 ⊗J2 ) (J1 ) vm 1

Jz

(J )

(J1 ) (J2 ) (J1 ) (J2 ) ⊗ vm 22 = Jz(J1 ) vm ⊗ vm + vm ⊗ Jz(J2 ) vm 1 2 1 2 (J1 ) (J2 ) = (m 1 + m 2 )vm ⊗ vm . 1 2

(6.153b)

(J )

Nach Substitution von u m in Gl. (6.152a) durch Gl. (6.149) und Vergleich mit Gl. (6.153b) erhält man +J2

+J2

m 1 =−J1 m 2 =−J2

=m

(J1 ) (J2 ) (J1 m 1 J2 m 2 | J1 J2 J m)(m 1 + m 2 )vm ⊗ vm 1 2 +J2

+J2

m 1 =−J1 m 2 =−J2

(6.154) (J1 ) (J2 ) (J1 m 1 J2 m 2 | J1 J2 J m)vm ⊗ vm . 1 2

6.5

Darstellungen

247

 Wegen der linearen Unabhängigkeit der Produktbasis vmJ1i ⊗ vmJ2j | i = 1, . . . , (2J1 + 1); j = 1, . . . , (2J2 + 1)} gilt für alle Werte von J mit |J1 − J2 | ≤ J ≤ J1 + J2 und für alle Werte von m mit −J ≤ m ≤ +J (m − m 1 − m 2 )(J1 m 1 J2 m 2 | J1 J2 J m) = 0.

(6.155)

Das bedeutet, dass nur dann endliche C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten zu erwarten sind, falls die Bedingung m = m1 + m2

(6.156)

erfüllt ist. In der Quantenmechanik wird so die Erhaltung der Drehimpulskomponente in Richtung der Quantisierungsachse zum Ausdruck gebracht. Die Doppelsumme (6.149) kann dann zu einer einfachen Summe reduziert werden (J ) = um

+J1

m 1 =−J1

(J )

(J1 ) 2 (J1 m 1 J2 (m − m 1 )| J1 J2 J m)vm ⊗ vm−m 1 1

|J1 − J2 | ≤ J ≤ J1 + J2

(6.157)

− J ≤ m ≤ +J.

Dabei gilt die Symmetriebeziehung (J1 m 1 J2 (m−m 1 )| J1 J2 J m) = (−1) J −J1 −J2 (J2 (m−m 1 )J1 m 1 | J1 J2 J m) (6.158a) bzw. in anderer Symbolik 

J1 m1

J2 m − m1

J m

 = (−1)

J −J1 −J2



J2 m − m1

J1 m1

 J . m

(6.158b)

-Koeffizienten beginnt man Zur Ermittlung der C LEBSCH -G ORDAN  stets mit  (J ) den transformierten Basiselementen u m=J | |J1 − J2 | ≤ J ≤ J1 + J2 , um eine (J1 ) (J2 ) Linearkombination der Produktbasis vm 1 ⊗vm−m 1 zu erarbeiten. Dabei werden alle Basiselemente als orthonormiert vorausgesetzt. Der größte Wert für m – bei maximaler Drehimpulskopplung infolge paralleler Drehimpulsvektoren J 1 und J 2 – wird erreicht mit J = J1 + J2 zu

m max = J1 + J2 . Dieser Wert wird unter Beachtung der Bedingung (6.156) von nur einem Zahlenpaar (m 1 , m 2 ) = (J1 , J2 ) geliefert, so dass in der Summe (6.157) nur ein Term auftritt (J ) (J ) (J ) und das transformierte Basiselement u J ein Vielfaches des Elements v J1 1 ⊗ v J22 (J2 ) 1) der Produktbasis ist. Man erhält dann mit normierten Basiselementen v (J J1 und v J2

248

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

  (J ) (J ,J ) (J ) (J ) u J = exp iϕ J 1 2 v J1 1 ⊗ v J2 2 ,

(6.159)

wobei der Phasenfaktor beliebig wählbar ist. Der nächste kleinere Wert von m, der nach Gl. (6.157) mit J − 1 = J1 + J2 − 1 vorgegeben wird, errechnet sich zu m = m max − 1 = J1 + J2 − 1. Dieser Wert wird mit Rücksicht der Bedingung (6.156) von zwei Zahlenpaaren (m 1 , m 2 ), nämlich (J1 − 1, J2 ) bzw. (J1 , J2 − 1) geliefert, so dass das Basiselement ) (J1 ) (J2 ) u (J J −1 nach (6.157) durch eine Linearkombination der Elemente v J1 −1 ⊗ v J2 und (J )

(J )

v J11 ⊗ v J22−1 der Produktbasis ausgedrückt wird. Eine solche Linearkombination

1 +J2 −1) dieser beiden Elemente wird zudem noch von dem Basiselement u (J J1 +J2 −1 verlangt. Letzteres ist nach (6.152b) ein Eigenvektor mit dem maximalen Eigenwert (J1 + J2 − 1), der zur zweiten irreduziblen Darstellung D(J −1) in der C LEBSCH G ORDAN-Zerlegung (6.143) gehört. Im allgemeinen Fall mit J = J1 + J2 − k errechnet sich der Wert von m zu

m = m max − k = J1 + J2 − k. Man erwartet hier (k + 1) Zahlenpaare (m 1 , m 2 ) = {(J1 − k, J2 ), (J1 − k + 1, J2 ), . . . , (J1 , J2 − k)}, die der Bedingung (6.156) genügen, so dass das transformierte Basiselement (J ) u m=J −k nach Gl. (6.157) durch eine Linearkombination der zu den Zahlenpaaren

(J1 ) (J2 ) (m 1 , m 2 ) gehörenden (k + 1) Elementen vm der Produktbasis ausge1 ⊗ vm 2 drückt werden kann. Zudem erwartet man k weitere solche Linearkombinationen  (J +J −i) dieser Produktbasis, um die Basiselemente u J11+J22−i | i = 1, . . . , k auszudrücken. Dabei muss stets die Bedingung (J ⊗J2 ) (J −i) u J −i

J+ 1

=0

i = 1, . . . , k

(6.160)

erfüllt werden. Die Forderung nach orthonormierten Linearkombinationen liefert  (J1 ,J2 ) . Der die Koeffizienten bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor exp iϕ J kleinste Wert von m – bei minimaler Kopplung im Vektormodell der Drehimpulse – ) wird schließlich mit J = |J1 − J2 | erreicht. Ausgehend vom Basiselement u (J J (|J1 − J2 |≤ m ≤ J1 + J2 ) im allgemeinen Fall, erhält man alle übrigen 2J Basis (J ) elemente u J −k | k = 1, . . . , 2J durch k-fache Anwendung des Stufenoperators  k 1 ,J2 ) J−(J1 ⊗J2 ) unter Verwendung von Gln. (6.152a) und (6.153a). Die Phasen ϕ (J J werden so gewählt, dass gilt (C ONDON -S HORTLEY-Konvention)

6.5

Darstellungen

249

(J1 J1 J2 (m − J1 ) = J2 | J1 J2 J m = (J1 − J2 )) ∈ R |J1 − J2 | ≤ J ≤ J1 + J2

und

≥0

(6.161a)

bzw. in anderer Symbolik 

J1 J1

J2 m − J1 = J2

J m = J1 − J2

 ∈ R und

≥ 0.

(6.161b)

Damit werden auch alle C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten reell. Zur Demonstration wird das direkte Produkt der irreduziblen Darstellungen D(J1 =1/2) und D(J2 =1/2) diskutiert. Nach Gl. (6.143) erhält man die C LEBSCH G ORDAN-Enwicklung D(J =1/2) ⊗ D(J =1/2) = D (J =1/2⊗J =1/2) = D(J =1) ⊕ D(J =0) ,

(6.162)

wonach die Zahlen J = 1 und J = 0 möglich sind. Bei der irreduziblen Darstellung D (J =1) , das den maximalen Wert für m liefert (m max = J1 + J2 = 1), gibt es nur ein Zahlenpaar (m 1 , m 2 ), das die Bedingung (6.156) erfüllt, und man erhält nach Gl. (6.159) das Basiselement   (1/2,1/2) (J =1/2) (J =1/2) (J +J =1) u J11+J22=1 = exp iϕ1 v J11=1/2 ⊗ v J22=1/2 . (J =1/2⊗J2 =1/2)

Die Anwendung des Absteigeoperators J− 1 gung von Gln. (6.152a) und (6.153a) zunächst

(6.163a)

liefert unter Berücksichti-

   (1/2,1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) =1) c1 v1/2−1=−1/2 ⊗ v1/2 + c2 v1/2 ⊗ v1−1/2=−1/2 . c0 u (J J −1=0 = exp iϕ1 (6.163b) Dabei errechnen sich die Normierungskonstanten c bzw. c oder c nach Gl. (5.74) 0 1 2 √ mit (J + m)(J − m + 1) und m = J = 1 bzw. m = J = 1/2 zu c0 =

√

2

bzw.

c1 = c2 = 1. (J =1/2⊗J =1/2)

2 Eine weitere Anwendung des Absteigeoperators J− 1 zu   (1/2,1/2) (1/2) (1/2) (J =1) v−1/2 ⊗ v−1/2 . 2u −1 = 2 exp iϕ1

führt schließlich

(6.163c)

Die Bedingung (6.161) hat mit Gl. (6.163b) die Form 

   1 1 1 1 −1 1 1 (1/2,1/2) ∈R | 1 0 = √ exp iϕ1 2 2 2 2 2 2 2

wodurch der Phasenfaktor festgelegt wird

und

≥ 0,

(6.164)

250

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

  (1/2,1/2) exp iϕ1 = 1. Man erhält dann mit Gl. (6.157) die Entwicklungen (1/2)

(1)

(1/2)

u 1 = v1/2 ⊗ v1/2  1  (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1) u 0 = √ v−1/2 ⊗ v1/2 + v1/2 ⊗ v−1/2 2 (1/2)

(1/2)

u (1) −1 = v−1/2 ⊗ v−1/2 .

(6.165a) (6.165b) (6.165c)

Bei der irreduziblen Darstellung D(J =0) , das den Wert m = J1 + J2 − 1 = 0 liefert, gibt es zwei Zahlenpaare {m 1 , m 2 } = {∓1/2, ±1/2}, die die Bedingung (6.156) erfüllen, und man erhält nach Gl. (6.157) (J =1/2)

(J =0)

(J =1/2)

u J1 +J2 −1=0 =c3 v J11−1=−1/2 ⊗ v J22=1/2 (J =1/2)

(J =1/2)

+ c4 v J12=1/2 ⊗ v J22−1=−1/2

c1 , c2 ∈ C.

(6.166)

Die Erfüllung der Forderung (6.160) hat zur Konsequenz (J =1/2)

1 c3 J+(J1 ) v−1/2

(J =1/2)

⊗ v1/22

(J =1/2)

+ c4 v1/21

(J ) (J =1/2)

2 ⊗J+ 2 v−1/2

(1/2)

= (c3 + c4 )v1/2

(1/2)

⊗v1/2 = 0 bzw. c3 = −c4 . Diese Forderung ist gleichbedeutend mit der Forderung nach Orthogonalität (1) (0) der Basiselemente u 0 (6.165b) und u 0 (6.166) bzw. nach Spaltenorthogonalität (6.151a). Wegen der Orthonormiertheit der Basiselemente liefert die Normierung    (J =0) 2 u 0  = 1 die Konstante   1 (1/2,1/2) c3 = √ exp iϕ0 , 2 so dass Gl. (6.166) ausgedrückt werden kann durch (J =0)

u0

   1 (1/2,1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) v−1/2 ⊗ v1/2 − v1/2 ⊗ v−1/2 . = √ exp iϕ0 2

Mit der Bedingung (6.161)

6.5

Darstellungen



251

   1 1 1 −1 1 1 1 (1/2,1/2) ∈R | 0 0 = − √ exp iϕ0 2 2 2 2 2 2 2

und

≥ 0,

(6.167)

wodurch der Phasenfaktor festgelegt wird   (1/2,1/2) = −1, exp iϕ0 erhält man die Entwicklung nach Gl. (6.157) in der Form  1  (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) v u (0) . = √ ⊗ v − v ⊗ v 0 1/2 −1/2 −1/2 1/2 2

(6.168)

Die C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten sind dann die Matrixelemente (6.150) der Transformationsmatrix C (1/2 1/2) mit der Dimension (2J1 + 1)(2J2 + 1) = 4, deren Zeilen durch die Wertepaare (m 1 , m 2 ) und deren Spalten durch die Wertepaare (J, m) indiziert werden (Tab. 6.1). Diese C LEBSCH -G ORDAN-Matrix zerfällt in drei nicht verbundene Blockmatrizen, von denen zwei eindimensional und eine zweidimensional ist (s. a. Beispiel 5 v. Abschn. 9.5). Tabelle 6.1 Transformationsmatrix (C LEBSCH -G ORDAN -Matrix) C (J1 =1/2 J2 =1/2) mit den 1/2 1/2 C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten C m 1 m 2 ,J m = (J1 m 1 J2 m 2 | J1 J2 J m) für die Produktdarstellung D(J1 =1/2) ⊗ D(J2 =1/2) der L IE-Algebra su(2) bzw. der L IE-Gruppe SU (2) J m m1 1/2 1/2 −1/2 −1/2

m2 1/2 −1/2 1/2 −1/2

1 1

1 0

0 0

1 −1

1 0 0 0

0√ 1/√2 1/ 2 0

0√ 1/ √2 −1/ 2 0

0 0 0 1

Beispiel 9 Als weiteres Beispiel wird das Transformationsverhalten von Tensoroperatoren bei Rotation d eines Systems im euklidischen Raum R3 untersucht. Nachdem bereits skalare bzw. vektorielle Operatoren als Tensoren 0-ter Stufe bzw. 1-ter Stufe betrachtet wurden (Beispiel 7 v. Abschn. 6.3), kann die Diskussion unter Einbeziehung von Tensoroperatoren m-ter Stufe  verallgemeinert werden. Mit dem direkten Produkt von m euklidischen Räumen Ri3 | i = 1, . . . , m wird ein Tensorraum Tm3 erzeugt Tm3 = R31 ⊗ R32 ⊗ . . . ⊗ R3m ,

(6.169)

dessen Basis {vi1 i2 ...i m | i = 1, 2, 3}, die sogenannten Basistensoren m-ter Stufe, ein direktes Produkt {vi1 vi2 . . . vim | i = 1, 2, 3} der m Basissysteme der einzelnen Räume {vi | i = 1, 2, 3}, nämlich der Basistensoren 1-ter Stufe sind. Damit gelingt es in Analogie zum Vektoroperator bzw. Tensoroperator 1-ter Stufe im Raum R3

252

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

den Tensoroperator m-ter Stufe T als Element des 3m -dimensionalen Tensorraumes Tm3 durch die Produktbasis in der Form T=



i1

...



i2

Ti1 i2 ...i m vi1 i2 ...i m

(6.170)

im

auszudrücken. Unter Einbeziehung des dualen Vektorraumes bzw. mit der Unterscheidung von kontravarianten und kovarianten Indizes spricht man auch von einem (m, 0)-Tensor. Die Transformation der 3m Tensorkomponenten, die als Operatoren im H IBERT-Raum wirken, geschieht dann im Sinne einer Verallgemeinerung der Transformation (6.68) der drei Vektorkomponenten gemäß D(d)Ti1 i2 ...i m D † (d) =



j1

...

j2



D j1 i1 (d)D j2 i2 (d) . . . D jm im (d)T j1 j2 ... jm .

jm

(6.171) Daraus resultiert die 3m -dimensionale Tensordarstellung D T (d), die als direktes Produkt von m 3-dimensionalen Darstellungen D(d) (≡ d(n)) der speziellen Rotationsgruppe S O(3) gilt

D T (d) =

m =

D k (d)

d ∈ S O(3).

(6.172)

k=1

Eine weitere Verallgemeinerung gelingt durch die Betrachtung eines ndimensionalen euklidischen Vektorraumes Rn mit n Basiselementen. Der aus dem direkten Produkt (6.169) von m solchen Vektorräumen gewonnene Tensorraum Tmn hat dann die Dimension dimTmn = n m (= dim V m ). Analog zu Gl. (6.171) transformieren sich die n m Tensorkomponenten nach einer Tensordarstellung, die aus dem direkten Produkt von m n-dimensionalen Darstellungen hervorgeht. Der Tensorraum Tm3 enthält im allgemeinen invariante Unterräume, so dass eine Tensordarstellung einer Untergruppe G ⊆ S O(3) in irreduzible Darstellungen D(α) (G) zerlegt werden kann. Gemäß der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung (3.214) D T (a) =



m α D(α) (a)

a ∈ G ⊆ S O(3)

(6.173)

α

sucht man nach solchen Tensorkomponenten Ti(α) , die sich nicht nach der Produktdarstellung (6.171) sondern vielmehr nach irreduziblen Darstellungen D (α) (G) der Untergruppe G ⊆ S O(3) transformieren. Dabei wird man abweichend  von Gl. (α) (6.170) den Tensoroperator durch die Basissysteme vi | i = 1, . . . , dα der r irreduziblen Darstellungen D(α) mit der Multiplizität m α ausdrücken

6.5

Darstellungen

253

T=

dα r



m α Ti(α) vi(α) ,

(6.174)

α=1 i=1

wodurch eine Zerlegung des Tensorraumes Tm3 in invariante Unterräume T (α) mit der Dimension dα erfolgt. Aus der Forderung, dass der durch den Operator  D(a)  (α) nach transformierte Tensoroperator T  nach einer Basistransformation von vi    (α) mit demselben Operator D(a) erhalten bleibt, resultiert analog zu Gl. (6.68) vi die Bedingung 

D(a)Ti(α) D † (a) = Ti(α) =

dα

(α)

(α)

D ji (a)T j

i = 1, . . . , dα

a ∈ G ⊆ S O(3).

j=1

(6.175) Demnach wird das Transformationsverhalten der einzelnen Tensorkomponenten  (α) Ti , deren gesamte Anzahl nach Gl. (6.174) durch α m α dα gegeben ist, durch die irreduziblen Darstellungen D (α) im Sinne einer Basistransformation geprägt, was zu der Bezeichnung irreduzible Tensorkomponenten Ti(α) Anlass gibt. Besonders einfach sind die Verhältnisse bei einem pseudoskalaren Operator A, der als Tensoroperator 0-ter Stufe aufgefasst werden kann. Er transformiert sich wegen der Invarianzbedingung (6.64) nach der trivialen Darstellung, so dass er ungeachtet der Symmetriegruppe G stets mit einer irreduziblen Tensorkomponente zu identifizieren ist. Eine solche Komponente, die sich nach der trivialen Darstellung transformiert, ist als invariante (unabhängige) Tensorkomponente bekannt. Ein Vektoroperator V gilt als Tensoroperator 1-ter Stufe und kann nach Gl. (6.170) in drei Komponenten {Vk | k = 1, 2, 3} zerlegt werden. Die Frage nach den irreduziblen Komponenten entscheidet die Betrachtung einer speziellen Gruppe G. So erhält man etwa im Beispiel der Symmetrie des Quadrates (Abb. 2.1) mit der Punktgruppe G = C4v ⊆ S O(3) für die beiden Komponenten Vx (= V1 ) und Vy (= V2 ) nach Tabelle 3.1 ein Transformationsverhalten, das durch die Beziehung †

D(a)Vi D (a) =

Vi

=

2

D Eji (a)V j

i = 1, 2

a ∈ C4v ⊆ S O(3) (6.176)

j=1

beschrieben wird. Danach spannen die beiden Vektorkomponenten V1 und V2 einen invarianten Tensorraum T E auf. Dieser ist mit dem 2-dimensionalen Raum der irreduziblen Darstellung DE identisch, so dass die beiden Operatoren als irreduzible Tensorkomponenten ViE | i = 1, 2 gelten. Die dritte Operatorkomponente Vz (= V3 ) ist invariant gegenüber allen Transformationen D(a). Demzufolge ist sie eine irreduzible Komponente T A1 der trivialen Darstellung D A1 und gilt deshalb auch als invariante Tensorkomponente. Im Ergebnis findet man eine Zerlegung des 3-dimensionalen Tensorraumes T13 in zwei irreduzible Tensorräume T E und T A1 , von denen der erste zweidimensional und der zweite eindimensional ist.

254

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Die Erweiterung der speziellen Rotationsgruppe S O(3) durch das direkte Produkt mit der endlichen Inversionsgruppe Ci nach Gl. (3.209) zur orthogonalen Gruppe O(3) erlaubt neben den eigentlichen Rotationen d auch die uneigentlichen Rotationen −d zu erfassen. Als Ergebnis erhält man zu jeder bisher betrachteten Darstellung eine ungerade Darstellung D (α,−) (±d) = ± D(α,−) (d), die sich bei uneigentlichen Rotationen −d durch das negative Vorzeichen von der geraden Darstellung D(α,+) (±d) = + D(α,+) (d) unterscheidet (Beispiel 1 v. Abschn. 3.10). Dies eröffnet die Möglichkeit, das unterschiedliche Transformationsverhalten von polaren und axialen Vektoren (Pseudovektoren) bei uneigentlichen Transformationen zu beschreiben. Der Vorzeichenwechsel von axialen Komponenten wird dann durch Einfügen der Determinante einer Darstellung als Faktor in Gl. (6.171) berücksichtigt. Eine alternative Beschreibung bietet die Auffassung eines axialen Vektors als antisymmetrischen Tensor 2-ter Stufe mit drei linear unabhängigen Komponenten (s. unten). Im Beispiel der Punktgruppe C 4v wird demnach das Transformationsverhalten der z-Komponente eines polaren Vektoroperators – etwa des Ortsoperators R z = Vz – bzw. eines axialen Vektoroperators – etwa des Drehimpulsoperators M z = Mx y − M x y – durch die irreduzible Darstellung D A1 bzw. D A2 geprägt (Tab. 3.1). Die Interpretation eines axialen Vektoroperators als antisymmetrischen Tensoroperator 2-ter Stufe ergibt die drei Komponenten Tyz − Tzy , Tzx − Tx z und Tx y − Tyx , von denen die letzte eine irreduzible Tensorkomponente mit dem Transformationsverhalten der Darstellung D A2 ist. Ein Tensoroperator 2-ter Stufe kann nach der Basis {vi j | i, j = 1, 2, 3} des Produktraumes zerlegt werden, so dass nach Gl. (6.170) insgesamt neun Tensorkomponenten Ti j zu erwarten sind. Die Suche nach irreduziblen Tensorkomponenten beginnt mit der Spurbildung (Kontraktion), mit dem Ergebnis eines Tensoroperators 0-ter Stufe. Dadurch bekommt man stets eine der Symmetrie gegenüber invariante Tensorkomponente T (α=1) mit dem Transformationsverhalten der trivialen Darstellung D (α=1) 3

T (α=1) = sp T = Tii . (6.177) i=1

Eine Zerlegung des Tensoroperators in einen antisymmetrischen Anteil T a und einen symmetrischen Anteil T s T = Ta + Ts

(6.178)

ist die Grundlage der weiteren Diskussion. Der antisymmetrische Tensoroperator (Ti j = −T ji , Tii = 0) wird durch die antisymmetrische Kombination der Elemente in der Form 3

1 Ta, i j = (Ti j − T ji ) = εikj Ta, k i, j = 1, 2, 3 (6.179a) 2 k=1

gebildet und liefert drei Tensorkomponenten {Ta, k | k = 1, 2, 3}, die als Komponenten eines axialen Vektoroperators aufgefasst werden können. Der symmetrische

6.5

Darstellungen

255

Tensoroperator (Ti j = T ji ) wird durch die symmetrische Kombination der Elemente in der Form Ts, i j =

1 (Ti j + T ji ) 2

i, j = 1, 2, 3

(6.179b)

gebildet und liefert sechs Tensorkomponenten {Ts, i j | i, j = 1, 2, 3}. Davon können die drei Diagonalelemente wegen der Spurbildung (6.177) nur noch zwei linear unabhängige Komponenten liefern. Betrachtet man wieder als Beispiel die Symmetrie des Quadrates mit der Punktgruppe G = C4v , dann erfährt der 3-dimensionale Tensorraum eine Reduktion in einen 1-dimensionalen Raum mit der irreduziblen Komponente 1 (Tx y − Tyx ) 2

Ta,A2z =

(6.180a)

sowie einen 2-dimensionalen Raum mit den irreduziblen Komponenten Ta,E x =

1 (Tyz − Tzy ) 2

und

Ta,E y =

1 (Tzx − Tx z ), 2

(6.180b)

deren Transformationsverhalten durch die irreduziblen Darstellungen A2 und E bestimmt wird (Tab. 3.1). Der symmetrische Tensoroperator liefert nach Abzug einer Komponente Tx 2 + Ty 2 + Tz 2 = T A1 insgesamt fünf irreduzible Komponenten, deren Transformationsverhalten nach Gl. (6.175) zu den Bezeichnungen Ts,Az12 , Ts, x 2 − Ts,B1y 2 , Ts,B2x y , Ts,Ex z und Ts,E yz Anlass gibt. Als weiteres Beispiel wird die spezielle orthogonale Gruppe S O(3) mit dem als Darstellungsraum betrachtet. Als Basis wählt man die EigenH ILBERT-Raum   (J ) vektoren vm | − J ≤ m ≤ +J der Operatoren J 2 und Jz , die im Ortsraum und mit Kugelkoordinaten durch die Kugelflächenfunktionen dargestellt werden und die (2J + 1)-dimensionalen, irreduziblen Darstellungen D(J ) (d) der Elemente d ∈ S O(3) begründen (Beispiel 1 v. Abschn. 5.5). Die Zerlegung eines Tensors n-ter Stufe in irreduzible Komponenten geschieht dann nach Gl. (6.174) durch T=

n +J



(J ) m J Tm(J ) vm ,

(6.181)

J =0 m=−J

wobei m J die Multiplizität der Darstellung bedeutet. Das Transformationsverhalten der irreduziblen Tensorkomponenten genügt der Bedingung (6.175) D(d)Tm(J ) D † (d) =

+J

m  =−J

(J ) ∗

(J )

Dm  m (d)Tm 

− J ≤ m ≤ +J

J = 0, 1, . . . , n. (6.182)

256

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Setzt man einen ganzahligen Wert für J voraus, dann sind die irreduziblen Darstellungen D(J ) (d) der Elemente d ∈ S O(3) die gleichen wie die der Elemente U ∈ su(2) und haben nach Wahl der z-Achse als Rotationsachse und bei beliebigem Drehwinkel die diagonale Form (6.107). Bei einer infinitesimal kleinen Rotation um die z-Achse mit dem Winkel δϕ im Sinne einer lokalen Betrachtung der Umgebung des Einselements erhält man mit dem Operator (6.37) D(dz , δϕ) = 1 − iδϕ Jz

(6.183)

(J ) Dm  m (δϕ) = (1 + imϕ)δm  m

(6.184)

und der Darstellung (6.107)

nach Gl. (6.182) in der Form 

Tm(J ) =

+J

(J )

m  =−J

Dm  m (δϕ)D(dz , δϕ)Tm(J ) D † (dz , δϕ)

(6.185)

das Ergebnis (Beispiel 7 v. Abschn. 6.3) $ #   (J ) (J ) Tm(J ) = Tm(J ) + im  δϕTm  + iδϕ Tm  , Jz .

(6.186)

Daraus resultiert die Kommutatorbeziehung #

$ Jz , Tm(J ) = −mTm(J ) ,

(6.187a)

die durch Berücksichtigung der Stufenoperatoren J± ergänzt werden kann durch #

$  (J ) J± , Tm(J ) = (J ∓ m)(J ± m + 1)Tm±1 .

(6.187b)

Diese drei Kommutatoren vermögen so neben Gl. (6.182) die irreduziblen Tensorkomponenten zu charakterisieren. Betrachtet man einen Tensoroperator 1-ter Stufe bzw. einen Vektoroperator V = (Vx , Vy , Vz ) im 3-dimensionalen Tensorraum (J = 1), so findet man mit den Linearkombinationen (1)

V0

= Vz

(6.188a)

und 1 (1) V±1 = ∓ √ (Vx ± i Vy ) 2

(6.188b)

6.5

Darstellungen

257

drei irreduzible Tensorkomponenten, die sich nach der irreduziblen Darstellung (J =1) | m = −1, 0, 1 des OperaD(J =1) (d) (Gl. 6.107) mit den Eigenvektoren vm tors Jz transformieren. Man bezeichnet sie als sphärische Tensorkomponenten. Ein Tensoroperator 2-ter Stufe {Ti j | i, j = 1, 2, 3} kann aus dem direkten Produkt zweier Tensoroperatoren 1-ter Stufe gewonnen werden. Gemäß der C LEBSCH G ORDAN-Entwicklung (6.143) der zugehörigen 9-dimensionalen Produktdarstellung D (J =1) ⊗ D(J =1) = D(J =1⊗J =1) = D (J =0) ⊕ D(J =1) D (J =2)  werden jene irreduziblen Tensorkomponenten

(6.189)

 Tm(J ) | − 2 ≤ m ≤ +2 erwartet,

die sich nach den irreduziblen Darstellungen D(J =0) , D (J =1) und D(J =2) transformieren. Die invariante Tensorkomponente, die sich nach der trivialen Dartellung D (J =0) transformiert, bekommt man durch Spurbildung der 3 × 3-Matrix T nach Gl. (6.177). Die Zerlegung des Tensoroperators T nach Gl. (6.177) liefert für den antisymmetrischen Anteil einen axialen Vektoroperator M mit den drei Komponenten M x = 1/2(Tyz − Tzy ), M y = 1/2(Tzx − Tx z ) und Mz = 1/2(Tx y − Tyx ), deren sphärische Komponenten M0(1) = Mz

(6.190a)

1 (1) M±1 = ∓ √ (Mx ± i M y ), 2

(6.190b)

und

die sich nach der irreduziblen Darstellung D(J =1) (Gl. 6.107) transformieren. Schließlich bekommt man noch sechs Tensorkomponenten durch den komplementären symmetrischen Anteil, von denen eine Diagonalkomponente wegen der Linearkombination bei der Spurbildung (6.177) bereits verwendet wurde (s. o.). Die übrigen fünf Tensorkomponenten Tx y , Tx z , Tyz , Tzz und (Tx x − Tyy ), die einen symmetrischen Tensor 2-ter Stufe mit verschwindender Spur bilden, können durch geeignete Linearkombination die fünf sphärischen Komponenten bilden 1 (2) = √ (Tx x ± 2i Tx y − Tyy ), T±2 2 1 (2) T±1 = ∓ √ (Tx z ± i Tyz ), 2 (2)

T0

= Tzz − Tx x − Tyy .

(6.191a) (6.191b) (6.191c)

Diese transformieren sich wie die Basisfunktionen der irreduziblen Darstellung D(J =2) und gelten deshalb als irreduzible Tensorkomponenten.

258

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Eine Erweiterung der Betrachtung auf Tensoroperatoren 3-ter Stufe verlangt die Untersuchung des direkten Produkts von drei 3-dimensionalen irreduziblen Darstellungen D(J =1) ⊗ D(J =1) ⊗ D(J =1) = D(J =1) ⊗ ( D(J =0) ⊕ D(J =1) ⊕ D(J =2) ) = D (J =0) ⊕ 3 D (J =1) ⊕ 2 D (J =2) ⊕ D(J =3) . (6.192) Die Suche nach den irreduziblen Tensorkomponenten geschieht auch hier durch geeignete Kombinationen der insgesamt 27 Tensorkomponenten, die mit den Transformationseigenschaften der in (6.192) beteiligten irreduziblen Darstellungen { D(J ) | J = 0, 1, 2, 3} vereinbar sind. Dabei gilt es das dreimalige (m J =1 = 3) bzw. das zweimalige (m J =2 = 2) Auftreten der irreduziblen Darstellungen D(J =1) bzw. D (J =2) zu berücksichtigen. Beispiel 10 Bei dem Versuch, eine geeignete Tensortransformation zu finden, die   das direkte Produkt von irreduziblen Tensorkomponenten Ti(α1 ) | i = 1, . . . , dα1   (α ) und Ti 2 | j = 1, . . . , dα2 zweier verschiedener ireduzibler Darstellungen D(α1 )   (α) und D(α2 ) in einzelne irreduzible Komponenten Tk | k = 1, . . . , dα einer irreduziblen Darstellung D(α) überführt, wird man an das analoge Problem im Hinblick auf die Basissysteme bei Produktdarstellungen erinnert (Abschn. 3.10). Dort kann das direkte Produkt zweier irreduzibler Darstellungen mithilfe einer Transformation (3.218) der Produktbasis auf Diagonalform (3.221) gebracht werden. Nachdem die irreduziblen Tensorkomponenten das gleiche Transformationsverhalten zeigen wie die Basis einer irreduziblen Darstellung (Gl. 3.175), kann man die in Gl. (3.218) gewonnenen Ergebnisse direkt übernehmen und erhält so die Entwicklung dα1 dα2  

α1 α2 α pα (α, pα ) = Ti(α1 ) ⊗ T j(α2 ) Tk i j k (6.193) i j k = 1, . . . , dα

pα = 1, . . . , m α , (α α | α)

die durch die Kopplungskoeffizienten Ci j,1k p2 α (Gl. 6.138) bestimmt wird. Damit können Paare von irreduziblen Tensorkomponenten auf einen irreduziblen Tensoroperator zurückgeführt werden, was allgemein als Kontraktion (Verjüngung) bezeichnet wird. In dem speziellen Fall gleicher irreduzibler Darstellungen der beiden faktoriellen Tensorkomponenten (α1 = α2 = α), was die Gleichheit der Stufe der zugehörigen Tensoroperatoren impliziert, ist es stets möglich, einen invarianten irreduziblen Tensoroperator zu bilden T

A1

=

dα  dα

α i

j

i

α j

A1 1



(α)

Ti

⊗ T j(α) ,

(6.194)

6.5

Darstellungen

259

der sich nach der trivialen Darstellung D A1 transformiert. Die Erklärung dafür liefert die Analogie zum direkten Produkt zweier gleicher irreduzibler Darstellungen D(α) , bei dem die C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung (3.216) einen endlichen Reduktionskoeffizienten ((αα| A1 ) > 0) nach Gl. (3.217) der trivialen Darstellung liefert. Dies hat letztlich seine Ursache darin, dass aus dem direkten Produkt zweier Tensoren gleicher Stufe ein quadratischer Produkttensor entsteht, der die Spurbildung und demnach die Bildung einer invarianten Tensorkomponente erlaubt. Im Beispiel der Symmetrie des Quadrates mit der endlichen Punktgruppe G = C4v wird  der zweikomponentige Vektoroperator bzw. der Tensoroperator 1-ter Stufe V E = VxE = V1E , VyE = V2E betrachtet, der sich nach der irreduziblen Darstellung E transformiert (Tab. 3.1). Das Produkt mit sich selbst ergibt den Tensoroperator 2-ter Stufe

T E⊗E =

2

2

Ti E⊗E viE ⊗ v Ej . j

(6.195)

i=1 j=1

Die irreduziblen Tensorkomponenten findet man durch eine Zerlegung des 4dimensionalen Produkttensors 2-ter Stufe  T

E⊗E

=

Tx 2 Tyx

Tx y Ty 2

 (6.196)

in eine invariante Komponente (Tx 2 + Ty 2 ) A1 durch Spurbildung, eine antisymmetrische Komponente (Tx y − Tyx ) A2 sowie zwei symmetrische Komponenten (Tx 2 − Ty 2 ) B1 und TxBy2 . Das Transformationsverhalten dieser Komponenten ist das gleiche wie das der Basiselemente der irreduziblen Darstellungen A1 , A2 , B1 und B2 (Tab. 3.1), so dass sie als irreduzible Tensorkomponenten gelten.  Ein anderer Weg führt über die Entwicklung der Produktbasis viE ⊗ v Ej |  (α, p ) i, j = 1, 2} in Gl. (6.195) nach Basissystemen vk α |α = 1, . . . , r ; pα = 1, . . . ,  m α ; k = 1, . . . , dα von irreduziblen Darstellungen D (α) wie sie in Gl. (3.224) ausgedrückt wird. Zusammen mit Gl. (6.195) bekommt man T E⊗E =



i, j

α

pα

k

 Ti E⊗E j

E i

E j

α k

pα

∗

(α, pα )

uk

.

(6.197)

Nach der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung (3.230) findet man in der Reduktion die irreduziblen Darstellungen A 1 , A2 , B1 und B2 , von denen jede einfach erscheint (m A1 = m A2 = m B1 = m B2 = 1). Unter Verwendung der Transformationsmatrix C E E (3.233) erfolgt die Zerlegung des Produkttensors in der Form

260

T

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren E⊗E

=

2

4 2



 Ti E⊗E j

i=1 j=1 α=1

E i

E j

α 1

1



u (α)

1 = √ [(Tx 2 + Ty 2 )v A1 + (Tx y − Tyx )v A2 + (Tx 2 − Ty 2 )v B1 + 2Tx y v B2 ]. 2 (6.198) Dabei beobachtet man das Auftreten einer invarianten Tensorkomponente T A1 = (Tx 2 + Ty 2 ), wie es nach Gl. (6.194) vom direkten Produkt zweier gleicher irreduzibler Tensorkomponenten erwartet wird. -Raum Im Fall der speziellen orthogonalen Gruppe   S O(3) mit dem H ILBERT (J ) als Darstellungsraum und der Standardbasis vm | − J ≤ m ≤ +J erhält man für die Entwicklung (6.193) nach Produkten von irreduziblen Tensorkomponenten unterschiedlicher Stufe J1 und J2 die Form  +J1 +J2 



J J1 J2 Tm(J11 ) ⊗ Tm(J22 ) Tm(J ) = m m1 m2 m 1 =−J1 m 2 =−J2

=

+J1

+J2

m 1 =−J1 m 2 =−J2

(J1 m 1 J2 m 2 | J1 J2 J m)Tm(J11 ) ⊗ Tm(J22 )

− J ≤ m ≤ +J. (6.199)

Dabei gilt für jede Zahl bzw. jeder Stufe J die Dreiecksregel (6.147). Mit zwei irreduziblen Tensorkomponenten gleicher Stufe (J1 = J2 ) ermöglicht nach Gl. (J =0) 0-ter (6.194) das direkte Produkt stets die Kontraktion auf einen Operator Tm Stufe, der sich nach der trivialen Darstellung D(J =0) transformiert und deshalb gegenüber Rotationen invariant ist. Beispiel 11 Ein weiteres Beispiel für Produktdarstellungen, das insbesondere bei quantenmechanischen Problemen der Störungstheorie eine wesentliche Rolle spielt," ! (α) (α ) (α ) ergibt sich aus der Betrachtung von Matrixelementen der Form vk , Ti 1 v j 2 und deren Invarianz gegenübereiner unitären Transformation   D(a) (a ∈ G), die  (α) 2) | j = 1, . . . , d sowohl auf die Basissysteme vk | k = 1, . . . , dα und v (α α 2 j   wie auf den Tensoroperator Ti(α1 ) | i = 1, . . . , dα1 wirkt " ! " ! (α) (α ) (α ) (α) (α ) (α ) D(a)vk , D(a)Ti 1 D † (a)D(a)v j 2 = vk , D † (a)D(a)Ti 1 D † (a)D(a)v j 2 " ! 2) a ∈ G. = vk(α) , Ti(α1 ) v (α j (6.200) Mit den Beziehungen der Form (3.167), wodurch die irreduziblen Darstellungen D(α) (a) und D(α2 ) (a) begründet werden, sowie mit der Transformation der (α ) irreduziblen Tensorkomponente Ti 1 nach Gl. (6.175) erhält man aus Gl. (6.200)

6.5

Darstellungen

261

!

dα1 dα2 dα

"

(α)∗ 2) 2) vk(α) , Ti(α1 ) v (α = Dk  k (a)Di(α i 1 ) (a)D (α j j  j (a) k

i

j

(6.201)

! " (α) (α ) (α ) = vk  , Ti  1 v j  2

a ∈ G.

Die nachfolgende Reduktion des direkten Produkts zwischen den irreduziblen Darstellungen D(α1 ) (a) und D (α2 ) (a) mithilfe einer Basistransformation liefert die C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung (3.227), womit die Substitution erfolgt !

2) vk(α) , Ti(α1 ) v (α j

"

=



k



i

j

α2 j

α1 i

(α)∗ Dk  k (a)

α n

pα 

 α1 α

∗

i

pα  m n (α  , pα  )

Dmn

α2 j

α m

pα 



" ! (α) α ) (α ) (a) vk  , Ti  1 v j  2 . (6.202)

Schließlich erlaubt eine Summation über die Elemente a bei endlichen Gruppen – bzw. eine Integration über die Gruppenmannigfaltigkeit bei kompakten Gruppen – die Anwendung der Orthogonalitätsrelation (3.98) – bzw. Gl. (4.114) – mit dem Ergebnis  ! " g

α1 α2 (α) (α ) (α ) g vk , Ti 1 v j 2 = dα p    i  j  α k i j ! " (α) (α ) (α ) vk  , Ti  1 v j  2 ,

α pα k



α1 α2 i j

α pα k

∗

(6.203) das abgekürzt die Form !

(α)

(α1 ) (α2 ) vj

vk , Ti

"

=

mα 

α1 i

pα =1

α2 j

α k

pα

∗

W (α, pα )

(6.204a)

annimmt und als W IGNER -E CKART-Theorem bekannt ist. Der Faktor W (α, pα ) wird als reduziertes Matrixelement bezeichnet und oft durch die Symbolik > > " ! > > W (α, pα ) = v (α) >T (α1 ) > v (α2 )

(6.204b)

ausgedrückt. Er ist eine von den Indizes i, j und k unabhängige Größe und errechnet sich für einfach reduzierbare Gruppen, deren irreduzible Komponenten in der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung (3.214) nur einfach vorkommen (m α ≤ 1), zu

262

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

W (α, pα ) =

 1 α1 i dα    k

i

j

α2 j

α k

!

(α)

(α1 ) (α2 ) v j

vk  , Ti 

"

.

(6.205)

Die Untersuchung der Matrixelemente (6.200) kann nach Gl. (6.204) auf die Diskussion zweier verschiedener Probleme aufgeteilt werden. Zum einen gibt es das reduzierte Matrixelement W (α, pα ) (6.205), das in der Quantenmechanik oft aufgrund mangelnder Kenntnis über Wechselwirkungen T und Eigenvektoren vi die Berechnung nur näherungsweise erlaubt. Zum anderen gibt es den zweiten Faktor in Gl. (6.204), der von Symmetrieeigenschaften und den meist einfach zu bestimmenden Reduktionskoeffizienten beherrscht wird. Ein endlicher Wert des Matrixelements (6.200) wird demnach immer dann erwartet, wenn in der C LEBSCH G ORDAN-Entwicklung der direkten Produktdarstellung D(α1 ) (a) ⊗ D(α2 ) (a) =

 (α1 α2 | γ ) D(γ ) (a)

a∈G

(6.206)

γ

die irreduzible Darstellung D (α) (a) als Komponente erhalten ist m α = (α1 α2 | α) ≥ 1.

(6.207)

Der Reduktionskoeffizient bzw. die Multiplizität m α errechnet sich dabei nach Gl. (3.215). Bildet man zudem das direkte Produkt von Gl. (6.206) mit der irreduziblen Darstellung D (α) (a) und setzt die Gültigkeit von (6.207) voraus, dann ergibt sich D (α) (a) ⊗ D(α1 ) (a) ⊗ D (α2 ) (a) =



(α1 α2 | γ ) D(α) (a) ⊗ D (γ ) (a)

γ =α

⊕D

(α)

(6.208) (a) ⊗ D

(α)

(a)

a ∈ G.

Die nachfolgende Reduktion des direkten Produkts zweier gleicher irreduzibler Darstellungen beinhaltet nach Gln. (3.216) und (3.217) stets die triviale Darstellung D A1 (a), so dass auch eine weitere Formulierung des W IGNER -E CKART-Theorems verwendet werden kann: Ein endlicher Wert des Matrixelements (6.200) wird immer dann erwartet, wenn in der Reduktion des direkten Produkts der zugehörigen irreduziblen Darstellungen die triviale Darstellung als Komponente erscheint. Als Beispiel sei eine Zustandsänderung im H ILBERT-Raum der Quantenmechanik infolge der Wechselwirkung mit elektrischen und magnetischen Feldern betrachtet, die zu Multipolübergängen Anlass gibt. Dabei resultiert aus der D IRAC’schen Störungstheorie ein Störoperator, der in erster Näherung für elektrische Dipolübergänge E1 durch einen polaren Vektoroperator, nämlich den Ortsoperator R = (Vx , Vy , Vz ) vertreten wird. Bei einem System mit etwa C4v -Punktsymmetrie findet man nach Tabelle 3.1 eine Zerlegung dieses Tensoroperators 1-ter Stufe R in die  A1 E E E E irreduziblen Komponenten Vx = V1 , Vy = V2 und Vz = V3A1 . Nach Wahl von v1A1 als Ausgangszustand zwingt die Frage nach den erlaubten Übergängen

6.5

Darstellungen

263

sowie nach den Polarisationsverhältnissen zur Untersuchung von Matrixelemente der Form " ! α1 = E, A1 i = 1, 2, 3. (6.209) E1 ∝ vk(α) , Vi(α1 ) v1A1 Nachdem es keinen endlichen Wert für die C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten C E A1 , α gibt (s. Beispiel 1 v. Abschn. 3.10) 

E i

A1 1

α 1

∗

=0

i = 1, 2

verschwinden alle Matrixelemente der Form ∗ " E A ! α (α) 1 W (α,1) = 0 v1 , ViE v1A1 = i 1 1

∀α = E,

i = 1, 2

(6.210)

∀α = E,

(6.211) so dass elektrische Dipolübergänge von nach verboten sind. Für den Fall der Darstellung α = E bekommt man mit den Kopplungskoeffizienten C E E, A1 nach Gl. (3.233) α= E v1

v1A1

1 C E E, A1 = √ 2



1 0 0 1

 (6.212a)

die Matrixelemente " E ! A1 E E vk , Vy=2 v1 = i

A1 1

E k



1 = √ δik 2

i, k = 1, 2,

(6.212b)

E wonach die elektrischen Übergänge vom Zustand v1A1 nach dem Endzustand vx=1 E bzw. v y=2 erlaubt und x- bzw. y-polarisiert sind. Dagegen ist ein y- bzw. xpolarisierter Übergang wegen

!

" ! " E E E E vx=1 , Vy=2 v1A1 = v y=2 , Vx=1 v1A1 = 0

nicht erlaubt. Einen endlichen Wert erwartet man für das Matrixelement " ! A1 A1 für α = A1 , v1  = 0 vkα , Vz=3

(6.212c)

(6.213)

da in der Reduktion einer Produktdarstellung zweier gleicher irreduzibler Darstellungen stets die triviale Darstellung erwartet wird. Demnach ist ein elektrischer Dipolübergang vom Ausgangszustand v1A1 nach dem Endzustand v1A1 erlaubt und z-polarisiert. Im Fall magnetischer Dipolübergänge M1 ergibt die Störungsrechnung einen Störoperator, der durch einen magnetischen Dipoloperator bzw. einen

264

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Drehimpulsoperator als axialen Vektoroperator M = (M x=1 , M y=2 , Mz=3 ) vertreten wird. Im Beispiel der C4v -Punktsymmetrie findet man nach Tabelle 3.1 eine Zerlegung in die irreduziblen Komponenten (Mx=1 , M y=2 ) E und MzA2 . Die ersten beiden Komponenten zeigen wie im Fall des polaren Vektoroperators R das gleiche Transformationsverhalten nach der irreduziblen Darstellung α = E, so dass die Ergebnisse (6.212) bei der Diskussion von elektrischen Dipolübergängen übernommen werden können. Anders verhält es sich bei der Frage nach den möglichen z-polarisierten Übergängen. Eine Entscheidung darüber liefert das Matrixelement !

" vk(α) , MzA2 v1A1 = 0

für

α = A2 ,

(6.214)

dessen Nichtverschwinden bei einem Endzustand vkA2 einen z-polarisierten Übergang erlaubt. Die Diskussion von Matrixelementen der Form (6.200) in Systemen mit der speziellen Rotationssymmetrie S O(3) gibt Anlass zur Untersuchung von Änderungen jener Zustände im H ILBERT-Raum, die durch die Standardbasis   (J ) vm | − J ≤ m ≤ +J für die irreduziblen Darstellungen D(J ) (d) repräsentiert werden. Mit einem irreduziblen Tensoroperator Tm(J ) , der sich Nach Gl. (6.182) transformiert, hat das W IGNER -E CKART-Theorem (6.204) für die einfach reduzierbare Gruppe (m α = 1) die Form !

" (J2 ) (J ) (J1 ) vm = (J m J1 m 1 | J J1 J2 m 2 )∗ W J2 , , T v m m 2 1

(6.215a)

" ! > > > > W (J2 ) = v J2 >T J > v (J1 )

(6.215b)

wobei

das von m, m 1 und m 2 unabhängige reduzierte Matrixelement bedeutet. Die Über(J1 ) (J2 ) gänge zwischen den Zuständen vm 1 und vm 2 werden dann durch den C LEBSCH G ORDAN-Koeffizient (J m J1 m 1 | J J1 J2 m 2 ) entschieden, der nur dann einen endlichen Wert besitzt, falls Gl. (6.156) erfüllt ist m = m 1 − m 2 = m

mit

− J ≤ m ≤ +J.

(6.216)

Gleichzeitig muss die Dreiecksregel (6.147) gelten. Betrachtet man etwa elektrische bzw. magnetische Dipolübergänge, dann findet man, dass sowohl der polare Störoperator R wie auch der axiale Störoperator M nach bzw. Gl. (6.190)  Gl. (6.188)    (1) (1) (1) (1) (1) (1) in drei irreduzible Komponenten V−1 , V0 , V+1 bzw. M−1 , M0 , M+1 zerlegt werden kann, die sich nach der irreduziblen Darstellung D (J =1) (Gl. 6.107) transformieren. Mit J = 1 und m = 0, ±1 ist der elektrische bzw. magnetische Dipolübergang nur dann erlaubt, falls nach Gl. (6.216) und der Dreiecksregel (6.147) die Bedingung

6.5

Darstellungen

265

m = m 1 − m 2 = 0, ±1

(6.217a)

J = J1 − J2 = 0, ±1

(6.217b)

und

erfüllt ist. Ein anderer Weg benutzt die C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung (6.143), (J ) wonach das direkte Produkt der mit dem Zustand vm 11 und dem Vektoroperator R (J bzw. M verbundenen irreduziblen Darstellungen D 1 ) und D(J =1) zerlegt wird in D(J =1) ⊗ D(J1 ) = D (J1 −1) ⊕ D(J1 ) ⊕ D(J1 +1) .

(6.218)

Gemäß dem W IGNER -E CKART-Theorem erwartet man nur dann einen endlichen Wert für das Matrixelement (6.215), falls wenigstens eine der stets einfach auftretenden irreduziblen Darstellungen in der Zerlegung (6.218) mit der Darstellung  (J ) D (J2 ) zur Basis vm 22 | − J2 ≤ m 2 ≤ +J2 übereinstimmt. Gleichbedeutend ist die Aussage, dass der Übergang nur dann erlaubt ist, falls das direkte Produkt aus den drei beteiligten irreduziblen Darstellungen D (J2 ) ⊗ D(J =1) ⊗ D(J1 ) = D (J2 ) ⊗ D(J1 −1) ⊕ D(J2 ) ⊗ D(J1 ) ⊕ D(J2 ) ⊗ D(J1 +1) (6.219) nach Reduktion die triviale Darstellung D(J =0) enthält. Dies impliziert nach Gl. (3.217) die Forderung nach zwei gleichen irreduziblen Darstellungen der drei direkten Produkte auf der rechten Seite von Gl. (6.219), so dass nach beiden Aussagen die Auswahlregel (6.217b) abgeleitet werden kann. Nachzutragen bleibt die Aus! " (J =1) (J =0) (J =0) wertung von Matrixelementen der Form v . Die Reduktion des , Tm v direkten Produkts der damit verbundenen irreduziblen Darstellungen D (J =0) ⊗ D(J ) ⊗ D(J =0) = D (J )

(6.220)

verhindert das Auftreten der trivialen Darstellung, so dass Dipolübergänge zwischen Zuständen mit J = 0 verboten sind.  Im Folgenden werden Elemente B(t) betrachtet mit der Form B(t) = A exp(t b) A−1 = exp(t Ab A−1 )

A∈G

b ∈ L t ∈ R, (6.221)

die zur L IE-Gruppe G gehören. Sie bilden eine einparametrige Untergruppe, deren Generator nach Gl. (4.89) das Element Ab A−1 ist. Demnach gehört dieses Element zur zugehörigen L IE-Algebra L. Betrachtet man weiter die analytische Funktion F(t) = Ab A−1

mit

A = exp(t a)

und bildet die Ableitungen nach dem Parameter t

a∈L

(6.222)

266

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

dF = [a, F] , dt

d2 F = [a, [a, F]] , . . . , dt 2

(6.223)

dann kommt man mit der analytischen Entwicklung   1 2 d 2 F  d F  + t + ... F(t) = F(0) + t dt t=0 2 dt 2 t=0

(6.224)

1 Ab A−1 = b + t[a, b] + t 2 [a, [a, b]] + . . . . 2

(6.225)

zu dem Ergebnis

Ausgehend von einer n-dimensionalen linearen L IE-Gruppe G sowie der zugehörigen reellen L IE-Algebra L mit der Basis {a k | k = 1, . . . , n} kann man jedes Element der Form Aa A−1 , das nach Gl. (6.225) der L IE-Algebra angehört, nach der Basis entwickeln Aai A−1 =

n

D Ad ji ( A)a j

i = 1, . . . , n

A ∈ G.

(6.226)

j=1

Die Menge der n × n-Matrizen { DAd ( A)| A ∈ G} bildet dann eine analytische Darstellung der Gruppe G, die als adjungierte Darstellung D Ad (G) bekannt ist. Zum Nachweis betrachtet man etwa zwei Elemente A und A der Gruppe G und bekommt mit Gl. (6.225) ( A A )ai ( A A )−1 =

n

 D Ad ji ( A A )a j .

(6.227a)

j=1

Andererseits gilt ( A A )ai ( A A )−1 = A( A ai A

−1

) A−1 =

n

 −1 D ad ji ( A ) Aa j A

j=1

=

n

n

(6.227b)

 Ad D Ad ji ( A )Dki ( A)a k .

k=1 j=1

Der Vergleich von Gl. (6.227a) mit Gl. (6.227b) unter Berücksichtigung der linearen Unabhängigkeit der Basis {ak | k = 1, . . . , n} ergibt DAd ( A A ) = DAd ( A) DAd ( A ),

(6.228)

womit die Darstellungseigenschaft (3.1) nachgewiesen ist. Wegen Gl. (6.225) ist die adjungierte Darstellung auch eine analytische Darstellung.

6.5

Darstellungen

267

Für kleine Parameter t und beliebige Elemente a ∈ L gilt mit Gl. (6.225) exp(t a)ai exp(−t a) =

n

D Ad ji (exp(t a))a j

j=1

= ai + t[a, ai ] + . . . = {1n + t[a, ] + . . .}ai

a ∈ L, (6.229)

wonach die adjungierte Darstellung entwickelt werden kann DAd (exp t a) = 1n + t Dad (a) + . . . .

(6.230)

Für den Fall, dass die Darstellung DG ( A) der L IE-Gruppe G gleich der adjungierten Darstellung DAd ( A) ist ( DG ( A) = D Ad ( A)) und die Darstellung D L (a) der zugehörigen L IE-Algebra L mithilfe der Beziehung (6.101) ausgedrückt werden kann durch     d d Ad  = (6.231) DG (exp t a) D (exp t a) , D L (a) = dt dt t=0 t=0 findet man mit (6.230) DL (a) = Dad (a).

(6.232)

Danach ist die zugehörige Darstellung DL (a) der L IE-Algebra L die adjungierte Darstellung D ad (a) von L und es gilt wegen Gl. (6.101) Dad (a) =

  d Ad D (exp t a) dt t=0

∀a∈L

t ∈R

(6.233)

∀a∈L

t ∈ R.

(6.234)

bzw. wegen Gl. (6.102) exp[t Dad (a)] = D Ad [exp(t a)] Betrachtet man etwa die Abbildung ψ A (b) = Ab A−1

∀A∈G

b ∈ L,

(6.235)

dann erhält man wegen Gl. (6.225) erneut ein Element b der L IE-Algebra L, so dass durch die Abbildung ψ A der Vektorraum L auf sich selbst abgebildet wird. Für jedes Element b ∈ L gibt es mit Gl. (6.235) ein Element b = A−1 b A ∈ L, weshalb die Abbildung ψ A isomorph ist. Zudem ist die Abbildung linear und es gilt ψ A ([b, b ]) = A(bb − b b) A−1 = Ab A−1 Ab A−1 − Ab A−1 Ab A−1 (6.236) = [ψ A (b), ψ A (b )].

268

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Damit sind die Forderungen (5.26) erfüllt und die Abbildung in der Form (6.235), die durch Konjugation mit Elementen aus der L IE-Gruppe G gebildet wird, ist ein Automorphismus, der als innerer Automorphismus bekannt ist. Die Menge aller inneren Automorphismen ist eine zusammenhängende Komponente der Gruppe aller Automorphismen Aut(L) und wird als Gruppe der inneren Automorphismen bzw. adjungierte Gruppe Int(L) bezeichnet (s. Gl. 5.28). Diese Komponente enthält mit A = 1 auch das Einselement (ψ A=1 (b) = b), so dass Int(L) eine Komponente des Einselements und mithin ein Normalteiler ist. Alle Automorphismen in der Menge Aut(L), die nicht innere Automorphismen sind, werden äußere Automorphismen genannt (s. a. Abschn. 2.3). In Analogie zu den Überlegungen im Hinblick auf die Darstellung einer Produktgruppe kann man eine Darstellung D(L) einer direkten Summe L = L1 ⊕ L2 zweier (reeller bzw. komplexer) L IE-Algebren L1 und L2 definieren. Dabei liegen (2) L1 und L2 die den einzelnen DarstellungsräumenV (1) und  V der L IE-Algebren  (1) (2) Basissysteme vi | i = 1, . . . , d1 und vi | i = 1, . . . , d2 zugrunde. Mit den Operatoren D (1) (a) und D (2) (a), die in den beiden Vektorräumen wirken (1)

D (1) (a  )vi

=

d1

(1)

(1)

D ji (a  )v j

i = 1, . . . , d1

a  ∈ L1

(6.237a)

k = 1, . . . , d2

a  ∈ L2

(6.237b)

j=1

D

(2)

(a



(2) )vk

=

d2

(2)

(2)

Dlk (a  )vl

l=1

erhält man für den Operator D(a  + a  ), der in der direkten Summe beider Vektorräume wirkt,     (1) (2) (1) (2) = [D (1) (a  ) + D (2) (a  )] vi vk D(a  + a  ) vi vk = D (1) (a  )vi(1) vk(2) + vi(1) D (2) (a  )vk(2) =

d1

d2

(1) (2)

[ D(1) (a  ) ⊗ 1d2 + 1d1 ⊗ D(2) (a  )] jl,ik v j vl

j=1 l=1

=

d1

d2

(1) (2)

D jl,ik (a  + a  )v j vl

∀a  ∈ L1

∀a  ∈ L2 .

j=1 l=1

(6.238) Demnach ist die Darstellung D(a) = D(a  + a  ) = D(1) (a  ) ⊗ 1d2 + 1d1 ⊗ D(2) (a  ) a  ∈ L2 a ∈ L1 ⊕ L2 a  ∈ L1

(6.239)

6.6

Überlagerungsgruppen

269

eine d1 d2 -dimensionale Darstellung D(L) = D(L1 ⊕ L2 ) der direkten Summe L = L1 ⊕ L2 zweier (reeller bzw. komplexer) L IE-Algebren L1 und L2 . Der Nachweis gelingt durch die Umformung des L IE-Produkts zweier Darstellungen von direkten Summen aus den L IE-Algebren L1 und L2 , wobei die Gln. (3.202) und (6.239) berücksichtigt werden [ D(a  + a  ), D(b + b )] = [{ D(1) (a  ) ⊗ 1d2 + 1d1 ⊗ D(2) (a  )}, { D(1) (b ) ⊗ 1d2 + 1d1 ⊗ D(2) (b )}] = [ D (1) (a  ), D (1) (b )] ⊗ 1d2 + 1d1 ⊗ [ D(2) (a  ), D(2) (b )] = D (1) ([a  , b ]) ⊗ 1d2 + 1d1 ⊗ D(2) ([a  , b ]) a  , b ∈ L1 a  , b ∈ L2 . = D([a  + a  , b + b ]) (6.240) Das Ergebnis ist eine Darstellung vom L IE-Produkt zweier Summen aus den L IEAlgebren L1 und L2 , so dass die Darstellungseigenschaft (3.2) erfüllt ist. Die Darstellung (6.239) der direkten Summe zweier L IE-Algebren ist das Analogon zur Darstellung (3.204) des direkten äußeren Produkts zweier Gruppen. Setzt man zwei lineare L IE-Gruppen G1 und G2 als kompakt voraus, dann kann eine weitergehende Aussage bezüglich der Reduzierbarkeit einer Darstellung der Form (6.239) getroffen werden. Mit den irreduziblen Darstellungen D (α,1) (L1 ) und D (α,2) (L2 ) der entsprechenden L IE-Algebren L1 und L2 erwartet man die Darstellung (6.239) D(α) (L1 ⊕L2 ) der direkten Summe L1 ⊕L2 als irreduzibel. Außerdem ist jede irreduzible Darstellung D (α) (L1 ⊕L2 ) eine äquivalente Darstellung zu jener Darstellung, die nach Gl. (6.239) gebildet wird.

6.6 Überlagerungsgruppen Mithilfe der L IE-Algebra gelingt es, Informationen über die lokale Struktur in der Umgebung des Einselements der zugehörigen L IE-Gruppe zu gewinnen. Diese lokale Struktur kann für mehrere global unterschiedliche Gruppen – mit global unterschiedlichen Mannigfaltigkeiten – die gleiche sein. Demnach gibt es zu jeder L IE-Algebra genau eine Gruppe, die die Information über die globale Struktur liefert. Das bedeutet, dass man mit deren Hilfe alle zu einer L IE-Algebra gehörigen L IE-Gruppen ermitteln kann. Grundlage dafür sind die Aussagen des Hauptsatzes über die lokale und globale Struktur von L IE-Gruppen. Setzt man eine zusammenhängende L IE-Gruppe G voraus, dann gibt es genau eine einfach zusammenhängende L IE-Gruppe G ∗ , deren zugehörige reelle L IEAlgebra L – bis auf einen Isomorphismus – die gleiche ist wie die der L IE-Gruppe G. Zudem findet man eine homomorphe Abbildung ψ der L IE-Gruppe G ∗ auf die L IE-Gruppe G ψ : G ∗ −→ G

mit

NK ⊆ C ⊂ G ∗,

(6.241)

270

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

wobei der Kern N K ein diskreter Normalteiler von G ∗ ist, der zugleich im Zentrum C von G ∗ liegt (zentraler Normalteiler). Man bezeichnet die L IE-Gruppe G ∗ als universelle Überlagerungsgruppe (Darstellungsgruppe) von G und L. Die L IE-Gruppe G ist dann analytisch isomorph zur Faktorgruppe G∼ = G ∗ /N K .

(6.242)

Dabei entspricht jedem Punkt der Mannigfaltigkeit von G eine Menge von Punkten der Mannigfaltigkeit von G ∗ , deren Anzahl k durch die Ordnung des Kerns N K bestimmt wird. Die Gruppe G wird so k-fach von der Gruppe G ∗ überlagert. Falls die L IE-Gruppe G selbst einfach zusammenhängend ist, dann sind beide L IE-Gruppen G und G ∗ isomorph zueinander. Umgekehrt erhält man – bis auf einen Isomorphismus – genau alle zusammenhängenden L IE-Gruppen G mit der gleichen zugehörigen L IE-Algebra L, indem man die Faktorgruppe (6.242) bildet. Dabei ist die Gruppe N K ein diskreter Normalteiler, der im Zentrum C von G liegt. Eine entscheidende Aussage betrifft die Darstellungen D L der zur Überlagerungsgruppe G ∗ gehörigen L IE-Algebra L, von denen jede mit einer Darstellung DG ∗ nach Gl. (6.101) verknüpft ist. Wenn die Überlagerungsgruppe G ∗ eine lineare L IE-Gruppe ist – wie in den meisten physikalisch relevanten Fällen –, dann liefert jede Darstellung D L der reellen L IE-Algebra L von G ∗ durch Exponentiation eine Darstellung DG ∗ der Überlagerungsgruppe. Die Überlagerungsgruppe G ∗ ist stets dann eine lineare L IE-Gruppe, falls die betrachtete zusammenhängende L IE-Gruppe G kompakt oder abelsch ist. Andernfalls ist die Überlagerungsgruppe nicht notwendigerweiselinear. Ausnahmen sind die nicht-kompakten L IE-Gruppen  1 S L(N , C) (N ≥ 2), Sp 2 N , C (N ≥ 2) und S O(N , C) (N ≥ 3), die eine lineare Überlagerungsgruppe besitzen. Setzt man voraus, dass die Darstellung D G ∗ ( A) von allen Elementen A aus dem zentralen Normalteiler N K die triviale Darstellung annimmt D G ∗ ( A) = 1 N

∀ A ∈ NK ,

(6.243a)

dann kann man eineindeutig die Darstellungen DG ( AN K ) der Gruppe G aus den Darstellungen DG ∗ ( A) der universellen Überlagerungsgruppe G ∗ gemäß DG ( A N K ) = DG ∗ ( A) D G ∗ (N K ) = DG ∗ ( A)1 N

∀A∈G

(6.243b)

ermitteln. Einfach einzusehen ist die Aussage, dass bei zwei zueinander isomorphen reellen L IE-Algebren L1 und L2 die zugehörigen einfach zusammenhängenden L IEGruppen G1∗ und G2∗ zueinander isomorph sind. Falls die beiden Gruppen G1∗ und G2∗ die universellen Überlagerungsgruppen der entsprechenden L IE-Algebren L1 und L2 sind, dann findet man die Überlagerungsgruppe G ∗ der direkten Summe L der L IE-Algebren

6.6

Überlagerungsgruppen

271

L = L1 ⊕ L2

(6.244a)

isomorph zum direkten äußeren Produkt der beiden Überlagerungsgruppen G∗ ∼ = G1∗ × G2∗ .

(6.244b)

Im speziellen Fall einer abelschen reellen L IE-Algebra L mit der Dimension n, die nach Gl. (5.34) als direkte Summe von n eindimensionalen L IE-Algebren ausgedrückt werden kann L=

n 

Li ,

(6.245a)

i=1

ist die universelle Überlagerungsgruppe G ∗ isomorph äußeren direkten Produkt von n L IE-Gruppen G, von denen jede aus der multiplikativen Gruppe R+ der positiven reellen Zahlen besteht G∗ ∼ =

n <

+ × Ri .

(6.245b)

i=1

Beispiel 1 Die spezielle unitäre Gruppe SU (N ) (N ≥ 2) ist einfach zusammenhängend (Beispiel 17 v. Abschn. 4.3) und ist deshalb ihre eigene Überlagerungsgruppe. Gesucht werden nun alle jene kompakten L IE-Gruppen, deren L IE-Algebren isomorph sind zur L IE-Algebra su(N ). Betrachtet man ein Element A des Zentrums C ⊂ SU (N ), so muss dessen Darstellung D( A) = A wegen der Vertauschbarkeit mit den Darstellungen aller Elemente (s. Gln. 2.21 und 3.79) nach dem 2. S CHUR’schen Lemma der Bedingung (3.80) genügen A = λ1 N

A ∈ C.

(6.246)

Mit der Forderung (2.6) an die Determinante bekommt man λN = 1

bzw.

λ = exp(2πi p/N )

p = 0, 1, . . . , N − 1,

(6.247)

so dass das Zentrum C aus einer endlichen Menge von N Elementen besteht C = {exp(2πi p/N )1 N | p = 0, 1, . . . , N − 1}.

(6.248)

Im Fall N = 2 besteht das Zentrum C (6.248) aus den zwei Elementen C = {12 , −12 }. Demnach sind jene kompakten L IE-Gruppen, deren reelle L IE-Algebren isomorph auf die relle L IE-Algebra su(2) abgebildet werden, die Gruppe SU (2) sowie nach

272

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Tabelle 6.2 Universelle Überlagerungsgruppen G ∗ zu speziellen orthogonalen L IE-Gruppen G Gruppe

universelle Überlagerungsgruppe

G

G∗

S O(2) S O(1, 1) S O(3) S O(4) S O(3, 1) S O(2, 2) S O(5) S O(4, 1) S O(3, 2) S O(6)

R+ R+

Spin(3) = SU (2) Spin(4) = SU (2) × SU (2) S L(2, C) SU (1, 1) × SU (1, 1) Spin(5) = Sp(2) Sp(2, 2) Sp(2, R) SU(4)

Gl. (6.242) die Faktorgruppe SU (2)/C. Letztere ist nach Gl. (2.54) isomorph zur speziellen orthogonalen Gruppe S O(3) (Tab. 6.2). Im Fall N = 3 besteht das Zentrum C (6.248) aus den drei Elementen C = {13 , exp(2πi/3)13 , exp(4πi/3)13 }. Demnach sind jene kompakten L IE-Gruppen, deren reelle L IE-Algebren isomorph auf die reelle L IE-Algebra su(3) abgebildet werden, die Gruppe SU (3) und die Faktorgruppe SU (3)/C. Im Fall N = 4 besteht das Zentrum C (6.248) aus den vier Elementen C = {14 , i14 , −14 , −i14 }. Demnach sind jene kompakten L IE-Gruppen, deren reelle L IE-Algebren isomorph auf die reelle L IE-Algebra su(4) abgebildet werden, die Gruppe SU (4) sowie die Faktorgruppen SU (4)/C und SU (4)/C  , wobei die Gruppe C  eine Untergruppe vom Zentrum C ist C  = {14 , −14 }. Beispiel 2 Die spezielle unitäre Gruppe SU (2) wird nach Gl. (2.49) bzw. (2.53) analytisch homomorph auf die spezielle orthogonale Gruppe S O(3) abgebildet, wobei der Kern N K = {12 , −12 }

(6.249)

ein zentraler Normalteiler ist (Beispiel 6 v. Abschn. 2.3). Darüberhinaus findet man einen Isomorphismus zwischen den zugehörigen L IE-Algebren su(2) und so(3) (Beispiel 3 v. Abschn. 6.4). Nachdem die Gruppe SU (2) auch einfach zusammenhängend ist (Beispiel 17 v. Abschn. 4.3), gilt sie als universelle Überlagerungsgruppe für die Gruppe S O(3). Die zweideutige homomorphe Abbildung (2.49) hat

6.6

Überlagerungsgruppen

273

zur Folge, dass die Gruppe S O(3) zweifach überlagert wird und nach Gl. (6.242) bzw Gl. (2.54) isomorph zur Faktorgruppe SU (2)/N K ist. Ausgehend von einer Darstellung D(J ) (U) der Überlagerungsgruppe SU (2) (Beispiel 1 v. Abschn. 6.5) kann man nach Gl. (6.243) genau dann eine Darstellung D (J ) der Gruppe S O(3) gewinnen, wenn jedes Element U des zentralen Normalteilers N K (6.249) durch die triviale Darstellung nach Gl. (6.243a) vertreten wird D (J ) (N K ) = 12J +1

N K ∈ SU (2).

(6.250)

Für das Element U = +12 , nämlich das Einselement, ist diese Bedingung trivialerweise erfüllt. Das zweite Element U = −12 entspricht nach Gl. (4.61) bzw. (6.105) einer Rotation mit dem Winkel ϕ = 2π um eine beliebige Rotationsachse – etwa um die z-Achse n = (0, 0, 1) – und man erhält mit Gl. (6.106) die Darstellung (J ) Dm  m (−12 ) = exp(im2π )δm  m

− J ≤ m ≤ +J

(6.251a)

J > 0, ganzzahlig J > 0, halbzahlig.

(6.251b)

bzw. D(J ) (−12 ) =



+12J +1 −12J +1

für für

Die Forderung (6.250) ist somit genau dann erfüllt, falls J ganzzahlig ist. Dies ist dann auch die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine irreduzible Darstellung D (J ) der Gruppe S O(3) aus der Exponentiation einer irreduziblen Darstellung der L IE-Algebra su(2) bzw. so(3) nach Gl. (6.102) erhalten werden kann. Bei einer Rotation mit dem Winkel ϕ um die Achse n = (0, 0, 1) hat sie dann die Form (6.107), wobei J ganzzahlig ist. Beispiel 3 Betrachtet wird die unitäre Gruppe U (1) sowie die spezielle orthogonale Gruppe S O(2). Beide Gruppen sind kompakt, jedoch nicht einfach zusammenhängend. Zudem sind sie in der Nähe des Einselements isomorph zueinander und deshalb analytisch isomorph zueinander (Beispiel 1 v. Abschn. 6.4), so dass die Überlagerungsgruppen ebenfalls als isomorph zueinander erwartet werden. Betrachtet man weiter die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen R+ = {x ∈ R| x > 0}, die isomorph zur Komponente des Einselements G L + (1, R) der allgemeinen linearen Gruppe ist, so findet man einen analytischen Homomorphismus zur Gruppe S O(2) und darüberhinaus einen Isomorphismus zwischen den zugehörigen L IE-Algebren gl + (1, R) und so(2) (Beispiel 2 v. Abschn. 6.4). Nachdem die Gruppe R+ auch einfach zusammenhängend ist (Beispiel 14 v. Abschn. 4.3), gilt sie als universelle Überlagerungsgruppe für die Gruppen S O(2) und U (1) (Tab. 6.2). Das bedeutet anschaulich, dass jedem Punkt der Mannigfaltigkeiten von S O(2) und U (1) unendlich viele Punkte im Raum R+ entsprechen. Demnach werden die beiden Gruppen unendlich-fach überlagert. Bei der homomorphen Abbildung ψ der Gruppe R+ auf die Gruppe U (1) ψ(exp x) = z = exp(i x)

0 ≤ x ≤ 2π

(6.252)

274

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

besteht der Kern N K aus der unendlichen, abzählbaren Menge N K = {exp(2π k)| k = 0, ±1, ±2, . . .},

(6.253)

wonach er ein diskreter zentraler Normalteiler ist. Die Gruppe U (1) ist dann nach Gl. (6.242) analytisch isomorph zur Faktorgruppe R+ /N K U (1) ∼ = R+ /N K .

(6.254)

Ausgehend von einer unitären Darstellung der Gruppe R+ D ( p) (exp) = exp(i px)

p∈R

(6.255)

( p)

kann man nach Gl. (6.243) eine Darstellung DU der Gruppe U (1) konstruieren genau dann, wenn jedes Element des zentralen Normalteilers (6.253) durch die triviale Darstellung nach Gl. (6.243a) vertreten wird D( p) (exp 2π k) = exp(i2π kp) = 1

k = 0, ±1, ±2, . . . .

(6.256)

Demzufolge muss p ganzzahlig sein ( p ∈ Z). Mit Gln. (6.243a) und (6.255) ergeben sich die unitären Darstellungen der Gruppe U (1) zu ( p)

DU (exp i x) = exp(i px)

p ∈ Z.

(6.257)

Beim Übergang zum allgemeinen Fall der unitären Gruppe U (N ) in N Dimensionen (N ≥ 2), findet man deren zugehörige reelle L IE-Algebra u(N ) isomorph zur direkten Summe (s. Beispiel 6 v. Abschn. 6.5) u(N ) ∼ = u(1) ⊕ su(N ).

(6.258)

Die Überlagerungsgruppen der den beiden L IE-Algebren entsprechenden Gruppen U (1) und SU (N ) sind die Gruppen R+ (s. o.) und SU (N ). Letztere ist einfach zusammenhängend (Tab. 4.3) und deshalb ihre eigene Überlagerungsgruppe (s. Beispiel 1). Nach (6.244) ist die Überlagerungsgruppe der direkten Summe beider L IEAlgebren isomorph zum direkten äußeren Produkt der beiden Überlagerungsgruppen G∗ ∼ = R+ × SU (N ).

(6.259)

Bei der homomorphen Abbildung ψ(G ∗ ) der Überlagerungsgruppe G ∗ auf die Gruppe U (N ) ψ(exp x, A) = exp(i x) A

− ∞ < x < +∞

A ∈ SU (N )

(6.260)

6.6

Überlagerungsgruppen

275

beststeht der Kern N K aus der abzählbar unendlichen Menge der Elemente N K {exp(2π k/N ), exp(−2πik/N )1 N }

k = 0, ±1, ±2, . . . ,

(6.261)

so dass er als ein zentraler Normalteiler gilt. Die Gruppe U (N ) ist dann nach Gl. (6.259) isomorph zur Faktorgruppe U (N ) ∼ = R+ × SU (N )/N K .

(6.262)

Ausgehend von einer irreduziblen Darstellung D SU ( A) der Gruppe SU (N ) kann man eine unitäre irreduzible Darstellung der Produktgruppe (6.259) ermitteln ( p)

DG ∗ (exp x, A) = D R (exp x) D SU ( A) = exp(i px) D SU ( A)

p ∈ R. (6.263)

Damit erhält man nach Gl. (6.243) eine unitäre irreduzible Darstellung für die Gruppe U (N ) genau dann, wenn jedes Element aus dem Kern N K (6.261) durch die Einheitsmatrix vertreten wird ( p)

D R [exp(2π k/N )] D SU [exp(−2πik/N )1 N ] = exp(2πikp/N ) D SU [exp(−2πik/N )1 N ] = 1 N

∀ k = 0, ±1, ±2, . . . . (6.264)

Demzufolge muss die Bedingung exp(2πi p) D SU [exp(−2πi/N )1 N ] = 1 N

(6.265)

erfüllt sein. Beispiel 4 Als weiteres Beispiel wird die spezielle orthogonale Gruppe S O(N ) gewählt, die in Dimensionen N ≥ 3 nicht einfach zusammenhängend ist. Die universelle Überlagerungsgruppe ist die sogenannte Spingruppe Spin(N ) mit dem Isomorphismus (Tab. 6.2) S O(N ) ∼ = Spin(N )/C

ord C = 2.

(6.266)

In drei Dimensionen (N = 3) erhält man (s. Beispiel 6 v. Abschn. 2.3 – Gl. 2.54) Spin(3) = SU (2)

(6.267a)

C = {12 , −12 }.

(6.267b)

(s. a. Beispiel 2) und

In höheren Dimensionen gilt

276

6 Lineare L IE-Gruppen und reelle L IE-Algebren

Spin(4) = SU (2) × SU (2) Spin(5) = Sp(2) (unitäre symplektische Gruppe)

(6.268) (6.269)

Spin(6) = SU (4).

(6.270) 

Kapitel 7

Halbeinfache LIE-Algebren

Die besondere Hervorhebung von halbeinfachen L IE-Algebren ist mit den zahlreichen Anwendungen in der Physik begründet. Durch die Wahl einer besonderen Form der Basissysteme werden diese L IE-Algebren in ihrer Struktur miteinander vergleichbar. Als Konsequenz daraus gewinnt man eine universelle Methode zum Auffinden der irreduziblen Darstellungen. Eine eindrucksvolle Demonstration wurde bereits mithilfe der L IE-Algebra su(2) bzw. deren komplexe Form sl(2, C) vorgestellt (Beispiel 1 v. Abschn. 5.5). Zunächst gilt es, die Struktur von halbeinfachen komplexen L IE-Algebren zu studieren, um schließlich eine vollständige Klassifizierung von einfachen komplexen L IE-Algebren zu gewinnen. Diese kann auch auf die zugehörigen L IE-Gruppen übertragen werden.

7.1 Bilinearformen Die Charakterisierung halbeinfacher L IE-Algebren setzt die Kenntnis der Bilinearform (2-Linearform) voraus. Eine solche Form B(u, v) für ein beliebiges Paar von Vektoren u, v aus dem Vektorraum V über dem Körper K ist die Abbildung auf dem kartesischen Produkt V × V mit Werten in die (reellen bzw. komplexen) Zahlen K B : V × V −→ K

(7.1)

mit der Eigenschaft der Linearität sowohl im ersten Argument B(αu + βv, w) = α B(u, w) + β B(v, w)

(7.2a)

wie im zweiten Argument B(u, αv + βw) = α B(u, v) + β B(u, w)

α, β ∈ K

u, v, w ∈ V. (7.2b)

Eine Bilinearform ist symmetrisch bzw. antisymmetrisch, wenn die Abbildung B für jedes Paar u, v ∈ V bezüglich der Vertauschung der beiden Argumente symmetrisch (+) bzw. antisymmetrisch (−) ist.

M. Böhm, Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-20379-4_7, 

277

278

7 Halbeinfache L IE-Algebren

B(u, v) = ±B(v, u).

(7.2c)

Aus der Linearität im ersten Argument (7.2a) ergibt sich mit der Symmetrie bzw. Antisymmetrie (7.2c) die Linearität im zweiten Argument (7.2b). Im Unterschied zum skalaren (inneren) Produkt im euklidischen bzw. im unitären Vektorraum kann die Bilinearform für u, v = 0 auch verschwinden oder negativ sein. Im unitären Vektorraum über einem komplexen Koeffizientenkörper C fordert die Vertauschung der Argumente die komplexe Konjugation (Hermitezität), so dass keine symmetrische Bilinearform vorliegt. Anders dagegen im euklidischen Vektorraum über einem reellen Koeffizientenkörper R, wo die Linearität im ersten Argument sowie die Symmetrieforderung (7.2c) erfüllt ist, so dass das skalare Produkt dort als symmetrische Bilinearform aufgefasst werden kann. Eine symmetrische Bilinearform gilt als entartet falls es wenigstens ein Element u ∈ V gibt, so dass für alle Elemente v ∈ V die Bilinearform verschwindet B(u, v) = 0

∀v ∈ V.

(7.3)

Umgekehrt gilt eine Bilinearform als nicht-entartet, falls die Forderung (7.3) nur durch ein Nullelement v = 0 erfüllt werden kann. Mit einer Basis {ei |i = 1, . . . , d} des Vektorraumes V hat die Bilinearform zweier Elemente u=

d

u i ei

v=

und

i=1

d

v i ei

(7.4)

i=1

die Gestalt B(u, v) =

d d



u i v j B(ei , e j ) =

i=1 j=1

d d



u i v j Bi j = u Bv

(7.5)

i=1 j=1

mit den Spaltenvektoren u, v ∈ Kd . Dabei können die Komponenten {u i |i = 1, . . . , d} und {v j |i = j, . . . , d} reell oder komplex sein und die Matrix der quadratischen Form B wird durch die Bilinearform der Basiselemente erklärt Bi j := B(ei , e j )

i, j = 1, . . . , d.

(7.6)

Setzt man eine Entartung voraus, so kann die Bedingung (7.3) bei beliebigen Komponenten {v i |i = 1, . . . , d} des Elements v genau dann erfüllt werden, falls gilt d

i=1

u i Bi j = 0

j = 1, . . . , d.

(7.7)

7.1

Bilinearformen

279

Dieses Gleichungsystem für die unbekannten Komponenten {u i |i = 1, . . . , d} besitzt genau dann eine nichttriviale Lösung, falls die Determinante det B verschwindet. Demnach ist eine symmetrische Bilinearform B dann und nur dann nicht entartet, wenn gilt det B = 0.

(7.8)

Diese Aussage ist unabhängig von der Wahl der Basis {ei |i = 1, . . . , d}. Betrachtet man den Vektorraum einer (reellen bzw. komplexen) L IE-Algeba L mit der Matrixdarstellung D(L), dann kann mit zwei beliebigen Elementen a und b sowie mit den zugehörigen Darstellungen D(a) und D(b) durch die Spur des Matrixprodukts B(a, b) = sp[ D(a) D(b)]

a, b ∈ L

(7.9)

eine symmetrische Bilinearform definieren, die als Spurform bezeichnet wird. Der Nachweis gelingt mithilfe von Eigenschaften der Spur eines Matrixprodukts, wonach die Forderungen (7.2a), (7.2b) und (7.2c) erfüllt werden. Eine besondere Spurform, die ein wertvolles Kriterium bei der Charakterisierung von halbeinfachen L IE-Algebren liefert, ist die K ILLING-Form κ. Sie ist die symmetrische Spurform auf einer (reellen bzw. komplexen) L IE-Algebra bezüglich der adjungierten Darstellung Dad (L) κ(a, b) = sp [ D ad (a), Dad (b)]

a, b ∈ L.

(7.10)

Unter jedem beliebigen Automorphismus ψ von L ist sie invariant κ(ψ(a), ψ(b)) = κ(a, b)

∀a, b ∈ L,

(7.11)

und es gilt wegen der zyklischen Vertauschung der Matrizen Dad unter der Spurbildung die Invarianz bezüglich des L IE-Produkts κ([a, b], c) = κ(a, [b, c])

∀a, b ∈ L.

(7.12)

Setzt man eine reelle L IE-Algebra L voraus, dann sind die Strukturkonstanten bzw. die Matrixelemente der adjungieren Darstellung Dad (L) reell (Abschn. 5.1) und man erwartet im Gegensatz zu einer komplexen L IE-Algebra eine reelle K ILLINGForm κ(a, b). Mit dem Ideal I einer L IE-Algebra L und deren K ILING-Form κI (a, b) findet man die Beziehung κ(a, b) = κI (a, b)

∀a, b ∈ I.

(7.13)

Eine wichtige Rolle im Hinblick auf eine Charakterisierung von L IE-Gruppen spielt der metrische Tensor κ auf einer (reellen bzw. komplexen) L IE-Algebra L. Er ist die K ILLING-Form κ(ei , e j ) der Basiselemente {ek |k = 1, . . . , n}

280

7 Halbeinfache L IE-Algebren

κ(ei , e j ) = κi j = sp ( Dad (ei )( Dad (e j )) =

n n



ad ad Dkl (ei )Dlk (e j )

k=1 l=1

=

n

n

l f ilk f jk

(7.14)

= κ ji

k=1 l=1

und bedeutet als kovarianter Tensor 2-ter Stufe ((0,2)-Tensor) eine Metrik auf der L IE-Algebra, die durch die Strukturkonstanten ausgedrückt werden kann. Betrachtet man zwei beliebige Elemente a und b mit den (reellen bzw. komplexen) Komponenten {a i |i = 1, . . . , n} und {b j | j = 1, . . . , n} bezüglich der Basis {ek |k = 1, . . . , n} a=

n

b=

a i ei

i=1

n

a, b ∈ L,

bjej

(7.15)

j=1

dann kann die K ILLING-Form κ(a, b) (7.9) durch den metrischen Tensor κ ausgedrückt werden κ(a, b) =

n

n

a b κ(ei , e j ) = i

j

i=1 j=1

n

n

a i b j κi j .

(7.16)

i=1 j=1

Der metrische Tensor κ erlaubt das Herauf- und Herunterziehen von Indizes, etwa bei den Strukturkonstanten fi jl =

n

fikj κkl ,

(7.17)

k=1

wodurch ein kovarianter Tensor 3-ter Stufe ((0,3)-Tensor) definiert wird. Dieser ist symmetrisch bezüglich der zyklischen Permutation der unteren Indizes f i jl = f jli = fl ji .

(7.18)

Der Nachweis gelingt mithilfe von Gln. (7.14) (7.10) sowie der JACOBI-Identität (5.12) durch f i jl =



k

=

n



 k

=

m

m n f ikj f kn flm = −

m

n



 k

m

n



k

k k m f jm fikm + f mi f jk



m

m n f ikj f kn flm

n

n flm

(7.19) 

k n k m n f jm fikm flm − f im f jk flm ,

7.1

Bilinearformen

281

wonach der letzte Term invariant ist gegenüber der zyklischen Permutation der Indizes i, j und l. Im euklidischen Vektorraum ist die Bilinearform mit dem skalaren Produkt gleichzusetzen, so dass aus Gl. (7.14) die euklidische Metrik κ = 1n

bzw.

κi j = δi j = κ ji

(7.20)

resultiert (Beispiel 12 v. Abschn. 4.3). Betrachtet man die linearen Abbildungen a eines endlich-dimensionalen Vektorraumes V in den Körper K (a : V −→ K), so bildet deren gesamte Menge den zum Vektorraum V dualen Vektorraum V ∗ . Die Dimension des dualen Vektorraumes V ∗ ist die des abgebildeten Vektorraumes V. Das skalare (innere) Produkt eines beliebigen Elements a – des sogenannten linearen Funktionals bzw. Ko-Vektors – aus dem Dualraum V ∗ mit einem beliebigen Element b aus dem Vektorraum V, das das kartesische Produkt V ∗ × V in einen Körper K abbildet, wird definiert durch "a, b# := a(b) ∈ K

a ∈ V∗

b ∈ V.

(7.21)

Es stellt eine Bilinearform B(ba , b) dar, wobei ba ein Element des Vektorraumes V ist und eindeutig durch das Funktional a(b) bestimmt wird. Mit der Basis {ei |i = 1, . . . , n} des n-dimensionalen Vektorraumes V kann durch die symmetrische, nicht-entartete Bilinearform   ! " ! " B e∗j , ei = e∗j , ei = e j , ei = δ j i e∗j = e j ∈ V ∗

ei ∈ V

i, j = 1, . . . , n

(7.22)

eine kontravariante reziproke Basis {e j | j = 1, . . . , n} des Dualraumes V ∗ festgelegt werden. Ein beliebiges Element x aus dem Vektorraum V wird dann durch die kovarianten Komponenten {xi |i = 1, . . . , n} bzw. die kontravarianten Komponenten {x i |i = 1, . . . , n} bezüglich der kontravarianten Basis {ei } bzw. der kovarianten Basis {ei } ausgedrückt durch x=

n

i=1

x i ei =

n

x i ei

ei ∈ V

ei ∈ V ∗ .

(7.23)

i=1

Die Stellung der Indizes – oben oder unten – charakterisiert das Transformationsverhalten bei einem Basiswechsel (R ICCI-Kalkül – s. a. Beispiel 12 v. Abschn. 4.3). Mit der Reziprozität (7.22) erhält man die kovarianten bzw. die kontravarianten Komponenten zu xi = "x, ei # = x(ei )

bzw.

x i = "x, ei # = x(ei ).

(7.24)

282

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Die Substitution durch Gl. (7.23) liefert den Zusammenhang zwischen den Komponenten in den beiden Vektorräumen xj =

n





e j , ei x = i

i=1

n

κ ji x i .

(7.25)

i=1

Demnach wird der Übergang vom Vektorraum V zum Dualraum V ∗ und mithin das Herabziehen der Indizes durch den kovarianten metrischen Tensor ((0,2)-Tensor) κ 

! "

 e j , ei = κ ji = κ jk ek , ei = κ jk δ k i = κ ji k

(7.26a)

k

ermöglicht (Beispiel 12 v. Abschn. 4.3). Analog dazu kann man einen kontravarianten metrischen Tensor ((2,0)-Tensor) definieren durch !

" e j , ei = κ ji ,

(7.26b)

der den Übergang vom Dualraum V ∗ zum Vektorraum V und mithin das Heraufziehen der Indizes erlaubt xj =

n !

n "

e j , ei x i = κ ji xi .

i=1

(7.27)

i=1

Die beiden Vektorräume V und V ∗ sind isomorph zueinander. Dabei wird der Isomorphismus bezüglich der Basen durch den metrischen Tensor beschrieben. Der Komponentenvektor {x i |i = 1, . . . , n} bzw. {xi |i = 1, . . . , n} ist dabei ein kontravarianter Spaltenvektor bzw. ein kovarianter Zeilenvektor aus dem Vektorraum Kn . Beide Formen des metrischen Tensors sind wegen (7.22) invers zueinander (Gl. 4.71) n

κik κ k j = δi j ,

(7.28)

k=1

was bedeutet, dass der Tensor (7.28) ein invarianter (1,1)-Tensor auf dem Produktraum V ⊗ V ∗ ist. Betrachtet man zwei beliebige Elemente a und b der L IEAlgebra L mit den (reellen bzw. komplexen) Komponenten {ai |i = 1, . . . , n} und {b j | j = 1, . . . , n} bezüglich der Basis {ei } bzw. {e j } a=

n

i=1

dann kann das Skalarprodukt

ai e

i

b=

n

j=1

bjej,

(7.29)

7.1

Bilinearformen

283

"



!   "a, b# = ai ei , b j e j = ai b i = a i b j ei , e j i

=

j



i

i

κi j a b = i

j

j



i

i

j

(7.30)

κ ai b j ij

j

ebenso wie die K ILLING -Form



κ(a, b) = a i b j κ(ei , e j ) = κi j a i b j i

j

i

(7.31)

j

durch den metrischen Tensor ausgedrückt werden. Der metrische Tensor enthält Informationen über das Koordinatensystem bzw. dessen Schiefwinkeligkeit. Demnach erhält man im euklidischen Vektorraum über R mit der orthonormalen Basis {ei |i = 1, . . . , n} die euklidische Metrik (7.20) bzw. die euklidische Geometrie. Die Charakterisierung der halbeinfachen L IE-Algebren verlangt die Kenntnis von Eigenschaften, die im Folgenden diskutiert werden. Dabei wird man ähnlich zum Vorgehen bei endlichen Gruppen zwei verschiedene Wege wählen, die auf iterativer Weise bei einer L IE-Algebra L enden (Abschn. 2.2). Einmal definiert man ausgehend von einer L IE-Algebra L rekursiv abgeleitete Algebren (Derivationen) L(0) := L,

L(k) := [L(k−1) , L(k−1) ]

k≥1

(7.32a)

mit L(k) ⊇ L(k+1)

k ≥ 0.

(7.32b)

Diese bilden eine abnehmende Folge von Unteralgebren {L(k) }, die als Kommutatorreihe (abgeleitete Reihe) bezeichnet wird. Zum anderen definiert man rekursiv eine weitere abnehmende Folge von Unteralgebren {L(k) } durch L(0) := L,

L(k) := [L, L(k−1) ]

k≥1

(7.33a)

mit L(k) ⊇ L(k+1)

k ≥ 0,

(7.33b)

wo bei jedem Schritt das L IE-Produkt zwischen allen Elementen der Unteralgebra {L(k−1) } und jenen der L IE-Algebra L gebildet wird. Diese wird als untere Zentralreihe (absteigende Reihe) bezeichnet. Nachdem mit zwei Idealen I1 und I2 einer L IE-Algebra L der Kommutator [I1 , I2 ] ebenfalls ein Ideal ist (s. Abschn. 5.2), muss jede Unteralgebra L(k) bzw. L(k) ein Ideal sein. Andernfalls enthält sie nur das Nullelement und gilt als triviale L IE-Algebra (L(k) = L(k) = {0}). Eine L IE-Algebra L heißt perfekt genau dann, falls gilt L(1) = L(2) = [L, L] = L. Demnach ist jede halbeinfache L IE-Algebra perfekt.

(7.34)

284

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Die Folge von Unteralgebren {L(k) } bzw. {L(k) } in der Kommutatorreihe bzw. der absteigenden Reihe kann nach einer endlichen Anzahl k ∈ N von Elementen mit dem trivialen Ideal {0} enden. Diese Eigenschaft der Nilpotenz eignet sich – wie bei der analogen Diskussion von endlichen Gruppen – als Kriterium zur Charakterisierung von L IE-Algebren. Eine L IE-Algebra L heißt nilpotent genau dann, falls es ein k ∈ N gibt, für das das Ideal L(k) der absteigenden Reihe trivial ist (L(k) = {0}). Daneben heißt eine L IE-Algebra auflösbar, falls es ein k ∈ N gibt, für das das Ideal L(k) der abgeleiteten Reihe trivial ist (L(k) = {0}). Da das Ideal L(k) eine Unteralgebra des Ideals L(k) ist (L(k) ⊆ L(k) ), wird man von jeder nilpotenten L IE-Algebra auch eine auflösbare Algebra erwarten, aber nicht umgekehrt. Die Eigenschaft der Nilpotenz bzw. der Auflösbarkeit einer L IEAlgebra findet man auch für deren Unteralgebren. Zudem ist jede homomorphe Abbildung einer nilpotenten bzw. auflösbaren L IE-Algebra stets wieder eine nilpotente bzw. auflösbare L IE-Algebra (s. a. Abschn. 5.5). Beispiel 1 Ein Beispiel einer nilpotenten L IE-Algebra ist die Menge der echten oberen (bzw. unteren) Dreiecksmatrizen N (N , K), deren Diagonale identisch Null ist N (N , K) := {a ∈ gl(N , K)| ai j = 0; 1 ≤ j ≤ i ≤ N }. Betrachtet man das L IE-Produkt [a, a] = a(1) , so erhält man die L IE-Algebra der oberen Dreiecksmatrizen mit verschwindender Hauptdiagonale und erster Nebendiagonale. Im nächsten Schritt der absteigenden Reihe mit dem L IE-Produkt [a, a(1) ] = a(2) erhält man eine L IE-Algebra, bei der zusätzlich eine weitere Nebendiagonale verschwindet. Im letzten Schritt schließlich erhält man das triviale Ideal [a, a(N −1) ] = a (N ) = 0, so dass die L IE-Algebra N (N , K) als nilpotent – und auch als auflösbar – gilt. Dabei sei angemerkt, dass jede nilpotente L IE-Algebra isomorph ist zu einer Unteralgebra der L IE-Algebra N (N , K) (Satz v. E NGEL). Ein einfaches Beispiel ist die reelle (2N + 1)-dimensionale H EISENBERGAlgebra H (N , R). Im Fall (N = 3) hat sie die Basis B H = { p1 , p2 , p3 , q1 , q2 , q3 , c}. Sie wird definiert durch die L IE-Produkte [ pi , p j ] = [qi , q j ] = [ pi , c] = [qi , c] = [c, c] = 0 und [ pi , q j ] = cδi j

∀i, j = 1, 2, 3.

Dabei bedeuten die Elemente { pi | i = 1, 2, 3} und {qi | i = 1, 2, 3} die Komponenten des Impulsoperators P und Ortsoperators Q, die auf dem H ILBERT-Raum operieren.

7.1

Bilinearformen

285

Die H EISENBERG-Algebra hat eine abelsche Unteralgebra, die etwa durch { pi | i = 1, 2, 3} und c aufgespannt wird. Diese Unteralgebra ist wegen [c, qi ] = 0

und

[ pi , q j ] = cδi j

∀i, j

ein Ideal, so dass die H EISENBERG-Algebra weder halbeinfach noch einfach ist. Sie ist isomorph zu den echt oberen Dreiecksmatrizen. Im Fall N = 1 hat ein Element a = x p + yq + zc ∈ H (1, R) die Form ⎛

0 a = ⎝0 0

x 0 0

⎞ z y⎠ 0

x, y, z ∈ R.

Das L IE-Produkt zweier Elemente a1 , a2 ergibt dann ⎛

0 ⎝0 0

0 0 0

⎞ x1 y2 − x2 y1 ⎠. 0 0

Beispiel 2 Ein Beispiel einer auflösbaren L IE-Algebra ist die Menge der oberen Dreiecksmatrizen T (N , K) mit endlichen Diagonalelementen T (N , K) := {a ∈ gl(N , K)| ai j = 0; 1 ≤ j < i ≤ N }. Nach k Schritten in der abgeleiteten Reihe erhält man mit [a (k−1) , a (k−1) ] = a(2 ) eine L IE-Algebra, bei der die Hauptdiagonale sowie 2k−1 Nebendiagonalen verk−1 schwinden. Demnach gibt es einen endlichen Wert k, für den gilt a(2 ) = 0, so dass die L IE-Algebra T (N , K) als auflösbar – aber nicht als nilpotent – gilt. Dabei sei angemerkt, dass jede auflösbare L IE-Algebra isomorph ist zu einer Unteralgebra der L IE-Algebra T (N , K) (Satz v. L IE) k−1

Im allgemeinen Fall ist eine L IE-Algebra L nicht auflösbar. Bekannte Beispiele sind etwa die L IE-Algebra gl(V) aller Selbstabbildungen eines K-Vektorraumes V oder die L IE-Algebra gl(N , K) aller N × N -Matrizen. Dennoch besitzt jede L IEAlgebra ein eindeutig bestimmtes, maximal auflösbares Ideal, das als Radikal rad L bekannt ist. Demnach ist eine L IE-Algebra L auflösbar, falls sie mit ihrem Radikal identisch ist (rad L = L). Eine halbeinfache L IE-Algebra L kann dann mit der Eigenschaft der Auflösbarkeit charakterisiert werden. Sie ist genau dann halbeinfach, falls das Radikal verschwindet (rad L = 0) bzw. falls sie kein auflösbares Ideal besitzt. So kann die Halbeinfachheit als gegensätzliche Eigenschaft zur Auflösbarkeit aufgefasst werden. Die Frage nach der Auflösbarkeit einer L IE-Algebra wird nach dem 1. C ARTAN-Kriterium entschieden. Danach gilt eine L IE-Algebra L genau dann als auflösbar, falls die K ILLING -Form (7.16) verschwindet κ(a, b) = 0

∀ a, b ∈ L(1) = [L, L].

(7.35)

286

7 Halbeinfache L IE-Algebren

In Analogie zu dem Kriterium (7.3) für die Entartung einer Bilinearform findet man für die K ILLING -Form das sogenannte 2. C ARTAN-Kriterium, das eine zentrale Bedeutung bei der Diskussion von L IE-Algebren einnimmt. Demnach ist eine (reelle bzw. komplexe) L IE-Algebra L genau dann halbeinfach, wenn die Determinante des metrischen C ARTAN-Tensors nicht verschwindet und mithin die K ILLING-Form der Basiselemente nicht entartet ist det κ = 0

notwendig und hinreichend für

L = halbeinfach.

(7.36)

Eine Schlüsselrolle bei der Untersuchung von halbeinfachen L IE-Algebren nimmt deren adjungierte Darstellungen ein. Setzt man voraus, dass zwei unterschiedliche Elemente a und b die gleiche adjungierte Darstellung besitzen D ad (a) − D ad (b) = D ad (a − b) = 0

a, b ∈ L,

(7.37)

dann findet man für ein beliebiges Element c ∈ L die Beziehung D ad (a − b)D ad (c) = 0

(7.38)

und somit eine verschwindende K ILLING-Form κ(a − b, c) = 0.

(7.39)

Demnach ist die K ILLING-Form der Elemente (a−b) und c entartet. Nach Gl. (7.31) ist auch die K ILLING-Form der Basiselemente entartet, so dass die L IE-Algebra nicht halbeinfach ist, was zu einem Widerspruch führt. Als Konsequenz daraus gilt die Behauptung, dass die adjungierte Darstellung einer halbeinfachen L IE-Algebra auch eine treue Darstellung ist. Für eine einfache L IE-Algebra gilt darüberhinaus, dass die adjungierte Darstellung auch eine irreduzible Darstellung ist. Zur Begründung geht man von der gegenteiligen Annahme aus, nämlich einer reduziblen adjungierten Darstellung D ad (L). Dann gibt es einen nicht-trivialen Unterraum V  des Darstellungsraums V ≡ L, so dass für alle Elemente a ∈ L und b ∈ L gilt D ad (a)b = [a, b ] ∈ V  .

(7.40)

Demnach muss die L IE-Unteralgebra V  ein nicht-triviales Ideal sein, was zu einem Widerspruch zur Voraussetzung über die Einfachheit der L IE-Algebra führt. Die Charakterisierung von halbeinfachen L IE-Algebren kann durch verschiedene Aussagen erfolgen, die alle zueinander äquivalent sind. So ist eine L IE-Algebra L genau dann halbeinfach, wenn sie isomorph ist zur direkten Summe von einfachen L IE-Algebren (Abschn. 5.4). Letztere sind dann Ideale von L. Diese Form der Charakterisierung von Halbeinfachheit erlaubt eine Zerlegung jeder halbeinfachen L IE-Algebra in kleinste Komponenten, nämlich in einfache L IE-Algebren. Als Konsequenz daraus wird man sich bei der Diskussion von halbeinfachen L IEAlgebren auf die Untersuchung von einfachen L IE-Algebren beschränken. Eine

7.1

Bilinearformen

287

Tabelle 7.1 Halbeinfache und reduktive Matrix L IE -Algebren L (s. a. Tab. 5.1) L

L

halbeinfach

reduktiv gl(N , C) N ≥ 1 gl(N , R) N ≥ 1

sl(N , C) N ≥ 2 sl(N , R) N ≥ 2 so(N , C) N ≥ 3 so(N ) N ≥ 3 su(N ) N ≥ 2 su( p, q) p + q ≥ 2 so( p, q) p + q ≥ 3 so ∗ (N ) N ≥ 4 sp(1/2 N , C) N ≥ 2 sp(1/2 N , R) N ≥ 2 sp(1/2 N ) N ≥ 2 sp(r, s) r + s ≥ 1

so(2, C) so(2)

so(1, 1)

Zerlegung in eine direkte Summe von einfachen und abelschen L IE-Algebren, die als irreduzible Ideale gelten, zeichnet die sogenannten reduktiven L IE-Algebren aus. Eine weitere Charakterisierung der Halbeinfachheit geschieht durch die Isomorphie einer L IE-Algebra zur Komplexifizierung der L IE-Algebra einer zugehörigen kompakten, einfach zusammenhängenden L IE-Gruppe, was ein notwendiges und hinreichendes Kriterium ist. Schließlich gelingt eine Charakterisierung durch die vollständige Reduzierbarkeit jeder endlich-dimensionalen Darstellung, was ebenfalls notwendig und hinreichend ist (Tab. 7.1). Beispiel 3 Die spezielle unitäre Gruppe SU (N ) ist kompakt und einfach zusammenhängend (Tab. 4.3). Nach Komplexifizierung der zugehörigen L IE-Algebra su(N ) findet man eine Isomorphie zur komplexen L IE-Algebra sl(N , C), so dass letztere als halbeinfach gilt. Die spezielle unitäre Gruppe SU (2) besitzt einen nicht-trivialen Normalteiler, nämlich das Zentrum {1, −1} (Beispiel 6 v. Abschn. 2.3 und Beispiel 1 v. Abschn. 6.6). Jedoch als L IE-Gruppe betrachtet, wo der Normalteiler als eine invariante Untergruppe definiert wird, besitzt sie keinen Normalteiler und gilt deshalb als einfache L IE-Gruppe und erst recht als halbeinfache L IE-Gruppe. Entsprechend besitzt die zugehörige L IE-Algebra su(2) kein eigentliches Ideal und ist ebenfalls einfach. Mit der adjungierten Darstellung (5.88c) der L IE-Algebra erhält man nach Gl. (7.14) für die K ILLING-Form der Basiselemente bzw. für den C ARTAN-Tensor (Tab. 7.2) κi j = κ(ai , a j ) = −2δi j

i, j = 1, 2, 3.

(7.41)

Die Determinante des C ARTAN-Tensors errechnet sich zu detκ = (−2)3 = −8

(= 0),

(7.42)

womit nach dem C ARTAN-Kriterium (7.36) die Algebra su(2) als halbeinfach gilt.

288

7 Halbeinfache L IE-Algebren Tabelle 7.2 K ILLING-Form κ(a, b) für einige L IE-Algebren L (K = R bzw. C) L

sl(N , K) N ≥ 2 su(N ) N ≥ 2 so(N , K) N ≥ 3 sp(1/2 N , K) N ≥ 2

κ(a, b) 2N sp(ab) −2N sp(a† b) (N − 2)sp(ab) 2(N + 1)sp(ab)

Sie hat darüberhinaus auch kein nicht-abelsches Ideal und ist deshalb auch eine einfache L IE-Algebra. Andernfalls kann sie als direkte Summe von mindestens zwei einfachen L IE-Algebren ausgedrückt werden (s. o.), deren Dimension jeweils mindestens Zwei sein muss. Die gesamte Dimension ist dann mindestens Vier, was mit der Dimension der Algebra (dim su(2) = 3) nicht übereinstimmt und so zu einem Widerspruch führt. Beispiel 4 Ein weiteres Beispiel ist die unitäre Gruppe U (N ) (N ≥ 1). In einer Dimension ist die Gruppe abelsch und deshalb nicht einfach. In N ≥ 2 Dimensionen kann die zugehörige L IE-Algebra u(N ) in eine direkte Summe nach Gl. (6.258) in die L IE-Algebren u(1) und su(N ) zerlegt werden. Dabei ist die L IE-Algebra u(1) abelsch, so dass die gesamte L IE-Algebra u(N ) und mithin die L IE-Gruppe U (N ) nicht halbeinfach sein kann. Beispiel 5 Die spezielle orthogonale Gruppe S O(N ) ist in zwei Dimensionen (N = 2) abelsch und ebenso wie die zugehörige L IE-Algebra so(2) nicht einfach und erst recht nicht halbeinfach. In drei Dimensionen (N = 3) ist die der L IE-Gruppe S O(3) entsprechende L IEAlgebra so(3) isomorph zur L IE-Algebra su(2) (Beispiel 3 v. Abschn. 6.4), so dass sie – wie die Gruppe S O(3) – einfach ist. In vier Dimensionen(N = 4) ist die der Gruppe S O(4) zugehörige L IE-Algebra so(4) isomorph zur direkten Summe zweier L IE-Algebren (Tab. 6.2) so(4) ∼ = su(2) ⊕ su(2) ∼ = so(3) ⊕ so(3),

(7.43)

von denen jede einfach ist (s. o.). Dies impliziert, dass die gesamte L IE-Algebra so(4), die ein nicht-abelsches Ideal besitzt, als halbeinfach gilt ebenso wie die zugehörige L IE-Gruppe S O(4).

7.2 C ARTAN-Unteralgebren In der Absicht, die Suche nach Darstellungen zu vereinfachen, wird man eine besonderer Form der Basis einer halbeinfachen L IE-Algebra wählen. Dabei werden ˜ bezeichnet), deren Körper C komplexe L IE-Algebren betrachtet (hier mit L (≡ L) algebraisch geschlossen ist. Begründet wird dieses Vorhaben durch die umkehrbar eindeutige Zuordnung der Darstellung einer rellen L IE-Algebra mit der Darstellung ihrer Komplexifizierung. Ausgehend von der linearen adjungierten Abbildung einer komplexen, n-dimensionalen L IE-Algebra L

7.2

C ARTAN-Unteralgebren

289

ada : L −→ L,

(7.44a)

die durch das L IE-Produkt [a, ] mit ada = [a, b] ∈ L

(7.44b)

erklärt wird, kann man einen Eigenvektor x zum Element a mit dem Eigenwert λ einführen, so dass die Eigenwertgleichung ada x = λx

[a, x] = λx

bzw.

a, x ∈ L

(7.45)

erfüllt ist. Man betrachtet demnach solche Elemente a = h, deren adjungierte Matrixdarstellung Dad (h) bei geeigneter Wahl der Basis gleichzeitig diagonalisierbar und mithin vollständig reduzibel ist. Diese Elemente werden als halbeinfache Elemente bezeichnet. Mit der Basis {ak |k = 1, . . . , n} der komplexen L IE-Algebra L können die Elemente h und x durch die Darstellung h=

n

µi ai

n

x=

und

i=1

ν jaj

(7.46)

j=1

in der Eigenwertgleichung (7.45) substituiert werden. Zudem werden die Kommutatoren der Basiselemente bzw. die Matrixdarstellung Dad (ai ) verwendet adai a j = [ai , a j ] =

n

Dkadj (ai )ak =

k=1

n

i, j = 1, . . . , n,

fikj ak

(7.47)

k=1

so dass die Eigenwertgleichung (7.45) die Form annimmt n

n

+

j=1 k=1

n

 µ

i

fikj

− λδ kj

, ν ak = 0. j

(7.48)

i=1

Wegen der linearen Unabhängigkeit der Basis {ak |k = 1, . . . , n} erhält man daraus das Gleichungssystem n

+

j=1

n



,

µi fikj − λδ kj ν j

=0

k = 1, . . . , n,

(7.49)

i=1

wozu die charakteristische Säkulargleichung det

 n

i=1

 µ

i

fikj

− λδ kj

=0

k, j = 1, . . . , n

(7.50)

290

7 Halbeinfache L IE-Algebren

gehört. Man erwartet n (= dim L) (reelle oder komplexe) Eigenwerte, die von der Wahl des halbeinfachen Elements h ∈ L – bzw. der Komponenten {µi |i = 1, . . . , n} – sowie von der Basis – bzw. von den Strukturkonstanten – bestimmt werden und von denen einige entartet sein können. Zu jedem Eigenwert λ gehört dann ein Eigenvektor x. Bei der Ermittlung der Eigenvektoren spielt eine nilpotente Unteralgebra, die sogenannte C ARTAN-Unteralgebra H, die es in jeder endlich-dimensionalen komplexen L IE-Algebra gibt, eine besondere Rolle. Sie ist die maximale abelsche Unteralgebra, so dass jede Unteralgebra H von L, die H als eigentliche Unteralgebra besitzt (H ⊇ H) keine abelsche Unteralgebra ist. Die maximale abelsche Unteralgebra H ist dann nicht in einer anderen abelschen Unteralgebra H echt enthalten. Zudem muss die adjungierte Darstellung Dad auf dieser Unteralgebra vollständig reduzibel sein. Demnach sind die l Basiselemente {h i |i = 1, . . . , l} der C ARTANUnteralgebra H untereinander vertauschbar [h i , h j ] = 0

bzw.

fikj = 0

i, j = 1, . . . , l

(7.51)

und bestimmen so den Rang der L IE-Algebra rang L = l = dim H.

(7.52)

An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass in quantenmechanischen Systemen, deren lokale Symmetrie durch die L IE-Algebra L beschrieben wird, der Rang von L eine maximale Zahl von Quantenzahlen bedeutet, die die Zustände des Systems zu charakterisieren vermögen. Die adjungierten Darstellungen Dad (h) ebenso wie andere Darstellungen von halbeinfachen Elementen h ∈ H sind alle gleichzeitig reduzibel, was eine Folge der Vertauschbarkeit (7.51) der Basiselemente ist. Wegen der abelschen Eigenschaft sind alle irreduziblen Darstellungen eindimensional und erscheinen auf der Diagonale, so dass die adjungierte Darstellung Dad (H) in eine direkte Summe von eindimensionalen irreduziblen Darstellungen zerlegt werden kann. Als Konsequenz daraus erwartet man, dass die L IE-Algebra L von solchen Elementen aufgespannt wird, die alle gleichzeitig Eigenvektoren von allen adjungierten Abbildungen adh sind. Zu erwähnen bleibt, dass eine halbeinfache L IE-Algebra L mehrere verschiedene C ARTAN-Unteralgebren mit der gleichen Dimension besitzen kann. Hierbei gilt, dass zwei beliebige C ARTAN-Unteralgebren aufgrund eines inneren Automorphismus ψ ∈ Int(L) zueinander konjugiert sind (Gl. 6.235). Die geeignete Wahl einer maximalen Anzahl von linear unabhängigen, halbeinfachen Elementen h in der Form (7.58) hat dann zur Konsequenz, dass eine maximale Anzahl verschiedener Eigenwerte existiert. Zudem erwartet man bei halbeinfachen L IE-Algebren nur einen Eigenwert l-fach entartet. Der Vergleich der Eigenwertgleichug (7.45) mit Gl. (7.51) zeigt, dass dieser zum Eigenwert λ = 0 gehört. Demnach gibt es zu diesem Eigenwert l linear unabhängige Eigenvektoren {h i |i = 1, . . . , l} mit

7.2

C ARTAN-Unteralgebren

291

[h, h i ] = 0

i = 1, . . . , l,

(7.53)

die den C ARTAN-Unterraum H aufspannen. Für einen endlichen Eigenwert, der sogenannten Wurzel α(h) (= λ), ist der zugehörige Eigenvektor eα mit [h, eα ] = α(h)eα

α(h) ∈ C

(7.54)

ein Element eines Unterraumes Lα , der als Wurzelunterraum bezeichnet wird. Dieser Unterraum ist eindimensional, da keine Entartung vorliegt. Der Eigenwert α(h) ist eine komplexe Zahl und linear abhängig vom Element h, so dass er als lineare Funktion gilt. Die gesamte L IE-Algebra kann dann als direkte Summe der einzelnen Unterräume aufgefasst werden L=H⊕



Lα = L0 ⊕

α∈



Lα ,

(7.55)

α∈

was als Wurzelraumzerlegung von L bezüglich der C ARTAN-Unteralgebra H bekannt ist. Dabei bedeutet das Wurzelsystem  die Menge der verschiedenen endlichen Wurzeln α(h) (= 0), deren Anzahl || gegeben ist durch || = dim L − rang L = n − l.

(7.56)

Zusammen mit der entarteten Wurzel (α = 0) spannen sie den zum Vektorraum H dualen Vektorraum H∗ auf. Die kanonische Basis B der L IE-Algebra L wird dann gebildet durch die Elemente B = {h i |i = 1, . . . , l} ∪ {eα |α ∈ },

(7.57)

die als C ARTAN -W EYL-Basis bezeichnet wird. Die Indizierung mit lateinischen bzw. mit griechischen Buchstaben bezieht sich auf den l-dimensionalen Unterraum H bzw. auf die (n − l) eindimensionalen Unterräume Lα und variiert von 1 bis l bzw. von 1 bis (n −l). Die Indizierung mit ρ, σ und τ bezieht sich auf den gesamten Raum L. Der Vergleich von Gln. (7.51) und (7.53) liefert die Entwicklung des Elements h aus dem Vektorraum H nach den Basiselementen {h i |i = 1, . . . , l} h=

l

µi h i

µi ∈ C

h ∈ H.

(7.58)

i=1

Wegen der JACOBI -Identität (5.11) [h, [h i , eα ]] = −[h i , [eα , h]] − [eα , [h, h i ]] erhält man nach Substitution von Gln. (7.58), (7.54) und (7.53)

(7.59)

292

7 Halbeinfache L IE-Algebren

[h, [h i , eα ]] = α(h)[h i , eα ]

i = 1, . . . , l,

(7.60)

wonach die l Elemente [h i , eα ] ebenfalls Eigenvektoren zur Wurzel α(h) sind. Nachdem die Wurzel α(h) nicht entartet ist, müssen wegen Gl. (7.54) alle l Elemente proportional zu eα sein [h i , eα ] = αi eα =

n−l

µ=1

µ

fiα δαµ eµ

i = 1, . . . , l,

(7.61a)

woraus die bezüglich der Indizes α und µ diagonalen Strukturkonstanten µ

f iα = αi δαµ

i = 1, . . . , l

(7.61b)

resultieren. Mithilfe von Gln. (7.54) und (7.58) erhält man daraus α(h)eα =

l

µi [h i , eα ] =

i=1

l

µi αi eα ,

i=1

so dass jede endliche Wurzel α(h) ausgedrückt werden kann durch α(h) =

l

µi αi .

(7.62)

i=1

Danach kann die Wurzel α(h) des zugehörigen Eigenvektors eα als ein Vektor aufgefasst werden, der als Wurzelvektor bezüglich der Basis {h i |i = 1, . . . , l} der C ARTAN-Unteralgebra bezeichnet wird. Er ist ein Element des zum Vektorraum H dualen l-dimensionalen Vektorraumes, des sogenannten Wurzelraumes H∗ und hat bezüglich der Basis {h i | i = 1, . . . , l} die kovarianten Komponenten {αi |i = 1, . . . , l}. Die Basiselemente e±α bzw. Wurzeloperatoren gelten als Stufenoperatoren (Leiteroperatoren). Zur Begründung sei an die irreduziblen Darstellungen der komplexen L IE-Algebra sl(2, C) erinnert (Beispiel 1 v. Abschn. 5.5). Wie in jenem Fall ergibt auch hier die Anwendung des Operators e±α auf ein Element eines Darstellungsraumes, das den Eigenwert λi des Operators h i hat (s. Gl. 5.71b), einen Eigenvektor zum Eigenwert λi ± αi des Operators h i (s. Gl. 5.51). Demnach wird der ursprüngliche Eigenwert um den Wert αi erhöht bzw. erniedrigt, wofür letztlich die Kommutatorbeziehung (7.61) verantwortlich ist (s. a. Abschn. 9.1). An dieser Stelle sei auf eine andere Betrachtungsweise hingewiesen, bei der die Wurzel α als ein lineares Funktional auf H eingeführt wird, das die Wirkung der adjungierten Abbildung auf die L IE-Algebra beschreibt. Für ein beliebiges Element h der C ARTAN-Unteralgebra H bekommt man wegen der diagonalen Form der adjungierten Abbildung D ad (h) die Invarianz des eindimensionalen Unterraumes Lα nach Wirkung des adjungierten Operators, so dass Gl. (7.61) die Form annimmt

7.2

C ARTAN-Unteralgebren

293

[h, eα ] = adh eα = α(h)eα

h ∈ H.

(7.63)

Demzufolge spannt die Menge der Funktionale α(h), die die Eigenwerte des Operators adh sind, den Dualraum H∗ auf. Da die K ILLING -Form (7.10) nicht entartet ist, existiert für jede Wurzel α ∈  ⊂ H∗ umkehrbar eindeutig ein Element h α aus der C ARTAN-Unteralgebra H mit α(h) = cα κ(h α , h)

∀h ∈ H,

(7.64)

wobei die Konstante cα für die Normierung verantwortlich ist. Danach existiert ein natürlicher Isomorphismus zwischen der C ARTAN-Unteralgebra H und dem Wurzelraum H∗ . Daneben kann man für jede Wurzel α ein Element Hα aus dem Vektorraum H finden, das als Ko-Wurzel (duale Wurzel) bekannt ist Hα = α ∨ :=

2 h α ∈ H. κ(h α , h α )

(7.65)

Ihre Eigenschaften sind mit denen der Wurzel α eng verbunden. Schließlich kann durch die K ILLING-Form auf dem zum C ARTAN-Unterraum H dualen Vektorraum H∗ eine symmetrische, nicht-entartete Bilinearform "·, ·# definiert werden "α, β# := cα cβ κ(h α , h β ) = cβ α(h β ) = cα β(h α )

∀α, β ∈  ⊂ H.

(7.66a)

Für eine beliebige Wurzel α ∈  gilt dabei "α, α# = α(h α ) = 0.

(7.66b)

Zudem findet man mit jedem Paar von Wurzeln α, β ∈  für "α, β# einen reellen, rationalen Wert (Rationalitätseigenschaft der Wurzeln – s. a. Abschn. 7.4). Betrachtet man etwa den Vektorraum H0∗ , der von der Menge der Wurzeln  ⊂ ∗ H über dem reellen Zahlenkörper R aufgespannt wird H0∗ = spanR {α|α ∈ },

(7.67a)

dann ist dieser die euklidische Form des Dualraumes H∗ . Die Beschränkung der K ILLING-Form (7.66) auf das Produkt H0∗ × H0∗ liefert dann ein positiv definites Skalarprodukt " · , · #. Man erhält so eine euklidische Metrik auf dem reellen Wurzelraum H0∗ , der isomorph zum euklidischen Raum Rl ist. Betrachtet man weiter jenen Vektorraum, der über dem reellen Zahlenkörper R von der Menge der Elemente h α mit α ∈  ⊂ H∗ bzw. der Menge der Ko-Wurzeln Hα aufgespannt wird H0 = spanR {h α |α ∈ },

(7.67b)

dann ist dieser Raum H0 die euklidische Form des Vektorraumes H. Demnach sind die Elemente von H0 genau jene linearen Funktionale, die reell sind auf H0 . Für

294

7 Halbeinfache L IE-Algebren

diese Funktionale findet man einen Isomorphismus zwischen dem Vektorraum H0∗ und H0 , so dass die K ILLING-Form (7.66) ein positiv definites Skalarprodukt auf dem reellen Vektorraum H0 liefert. Damit kann der Vektorraum H0 mit seinem Dualraum H0∗ identifiziert werden. Für jede beliebige Wurzel α ∈  und ein beliebiges Element h aus dem reellen Vektorraum H0 errechnet sich das Funktional α(h) zu einem reellen Wert, der nach Gl. (7.62) als Skalarprodukt "µ, α# aufgefasst werden kann. Nachdem die Einführung des Skalarprodukts (7.66) den Vektorraum H mit seinem dazu dualen Vektorraum, nämlich dem Wurzelraum H∗ zu identifizieren vermag, können die Wurzel α und die zugehörige Ko-Wurzel Hα als Elemente desselben Vektorraumes aufgefasst werden. Sie unterscheiden sich demnach nur um ein skalares Vielfaches voneinander. Aus der Normierungsbedingung   "α, Hα # = α, α ∨ = 2

α, Hα ∈ H∗

(7.68a)

findet man mit der Definition (7.65) die Beziehung Hα = α ∨ =

2 α, "α, α#

(7.68b)

wonach das Element α∨ ∈ H∗ als Ko-Wurzel verwendet wird. Mit der Festlegung der Funktionale α(h i ) durch αi , was mit den Aussagen der Gln. (7.61) und (7.63) konsistent ist, erhält man nach Gl. (7.66) α(h β ) =

1 i 1 1

"α, β# = α βi = α(h i )βi cβ cβ cβ i

∀α ∈ .

(7.69)

i

Als Konsequenz der Linearität des Funktionals ergibt sich daraus hβ =

1 i 1 "β, h# . β hi = cβ cβ

(7.70)

i

Nach den Gln. (7.63) und (7.64) bekommt man [e−α , h] = −[h, e−α ] = α(h)e−α = cα κ(h α , h)e−α . Die Substitution in die K ILLING-Form κ([eα , e−α ], h) = κ(eα , [e−α , h]), die das Ergebnis von Gl. (7.12) ist, liefert unter Berücksichtigung von Gl. (7.2) κ([eα , e−α ], h) = κ(eα , cα κ(h α , h)e−α ) = cα κ(h α , h)κ(eα , e−α ) bzw.

7.2

C ARTAN-Unteralgebren

295

{([eα , e−α ] − κ(eα , e−α )cα h α ), h} = 0

∀h ∈ H.

Nachdem die K ILLING-Form nicht entartet ist, erhält man daraus den Kommutator ˜ h# . [eα , e−α ] = cα κ(eα , e−α )h α = κ(eα , e−α ) "α, h# = "α,

(7.71)

Mit der JACOBI-Identität (5.11) [h, [eα , eβ ]] = −[eα , [eβ , a]] − [eβ , [a, eα ]] bekommt man nach Substitution von Gl. (7.54) [h, [eα , eβ ]] = (α + β)[eα , eβ ]. Setzt man voraus, dass keine Entartung vorliegt (α + β = 0), dann ist das Element [eα , eβ ] ebenfalls ein Eigenvektor zum Eigenwert (α + β), so dass gilt [eα , eβ ] =

µ

µ µ

f αβ δα+β eµ = Nαβ eα+β

(7.72a)

mit den Strukturkonstanten µ

µ

f αβ = Nαβ δα+β

α + β = 0.

(7.72b)

Falls (α + β) kein Eigenwert ist, dann ist das Element [eα , eβ ] das Nullelement [eα , eβ ] = 0

bzw.

τ f αβ =0

α = τ ∈ .

(7.73)

Schließlich gibt es den Fall, dass Entartung vorliegt (α + β = 0) [h, [eα , eβ ]] = 0. Hierbei ist das Element [eα , eβ ] nach Gln. (7.53) und (7.58) eine Linearkombination der Basis {h i |i = 1, . . . , l} der C ARTAN-Unteralgebra H [eα , eβ=−α ] =



i f α,−α hi

α + β = 0,

(7.74a)

i

wonach mit Gl. (7.71) die Strukturkonstanten µ

µ

i f αµ = κ(eα , e−α )αi δ−α = α˜ i δ−α

(7.74b)

resultieren. Da die Wahl der Basis {h i |i = 1, . . . , l} sowie die Normierung der Elemente eα noch nicht festgelegt ist, erwartet man keine eindeutige Bestimmung der Strukturkonstanten.

296

7 Halbeinfache L IE-Algebren

7.3 C ARTAN-Tensoren Die K ILLING-Form auf der L IE-Algebra L mit der Basis B (7.57) gilt als C ARTANTensor κ, der nach Gl. (7.14) ermittelt wird. Mit den Gln. (7.51), (7.61), (7.72) und (7.74) erhält man für einen Teil des Tensors, nämlich für die Elemente κασ der α-ten Zeile (α = 1, . . . , n − l)

µ ν κασ = f αν fσ µ µ

=

ν



µ

=−

µ

i



αi f σi α +

i



µ

f αi f σi µ δi +

β=−α



β

(α+β) f αν f σ,(α+β) +

i f α,−α f σ−α i

i

β

β=−α



β

Nαβ f σ,(α+β) δσ +α+β +



(7.75)

i f α,−α f σ−α i .

i

Diese drei Terme sind nach Gln. (7.61), (7.72) und (7.74) genau dann endlich, falls gilt σ = −α.

(7.76)

Nachdem bei einer halbeinfachen L IE-Algebra das C ARTAN-Kriterium (7.36) erfüllt ist und deshalb keine Entartung vorliegt, gilt als notwendige und hinreichende Bedingung, dass mit der Wurzel α auch das Element −α eine Wurzel ist. Als Konsequenz daraus erwartet man nur ein Element der α-ten Zeile endlich sowie eine gerade Anzahl {(n − l) = 2k|k ∈ N} von endlichen, nicht-entarteten Wurzeln. Nach Normierung der Elemente eα durch die Forderung (W EYL-Konvention) καβ = κ(eα , eβ ) = δ−αβ

α, β = 1, . . . , n − l

(7.77)

und nach Ordnung der Basiselemente kann der gesamte C ARTAN-Tensor κ ausgedrückt werden in der Form ⎛ ⎞ κ¯ 0 ⎜ ⎟ 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ 0 1 ⎟ ρ, σ = 1. . . . , n. (7.78) κρσ = ⎜ ⎜ ⎟ 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ .. ⎜ ⎟ . ⎝ ⎠ .. . 0 Darin errechnet sich der Tensor κ¯ nach Gl. (7.61) zu κ¯i j =



µ

α

µ

α µ α fiα f jµ δα δµ =

α

α α fiα f jα =

α∈

αi α j = κ¯ ji

i, j = 1, . . . , l. (7.79)

7.3

C ARTAN-Tensoren

297

Er kann als K ILLING-Form κ(h ¯ i , h j ) bzw. als metrischer Tensor auf der l-dimensionalen C ARTAN-Unteralgebra H aufgefasst werden und erlaubt so die Verknüpfung zwischen dieser Unteralgebra und dem dazu dualen Wurzelraum H∗ . Das Skalarprodukt zweier beliebiger Elemente α und β aus dem Vektorraum H∗ ergibt sich dann nach Gl. (7.30) zu







"α, γ # "β, γ # , (7.80) "α, β# = κ¯ ji α j β i = γ j γi α j β i = j

γ ∈

i

j

γ ∈

i

so dass das Normquadrat eine Summe von Quadraten liefert

"α, α# = "α, γ #2 .

(7.81)

γ ∈

Für die Determinante des C ARTAN-Tensors κ bekommt man ¯ det κ = (−1)(n−l)/2 det κ.

(7.82)

Sie ist mit der Voraussetzung einer halbeinfachen L IE-Algebra (7.36) verschieden von Null (det κ = 0). Demzufolge erwartet man eine nichtverschwindende Determinante des metrischen Tensors κ¯ (det κ¯ = 0), so dass auch die K ILLING -Form der C ARTAN-Unteralgebra nicht entartet ist. Nach Einführung der inversen Matrix κ¯ −1 , die der kontravarianten Form κ¯ i j entspricht l

κ¯ ik κ¯ k j = δ ij ,

(7.83)

k=1

erlaubt der metrische Tensor κ¯ nach Gln. (7.27) und (7.25) das Herauf- bzw. Herabziehen von Indizes



κ¯ i j α j bzw. αi = κ¯i j α j . (7.84) αi = j

j

Das Skalarprodukt zweier Wurzeln α und β errechnet sich mithilfe der Komponenten zu (Gl. 7.30) "α, β# =

l

αi β i =

i=1

l

l

κ¯ i j αi β j .

(7.85)

i=1 j=1

Unter Verwendung von Gl. (7.79) kommt man zu dem Ergebnis l

l

i=1 j=1

κ¯ κ¯i j = ij

l

l (n−l)/2



i=1 j=1 α=1

κ¯ αi α j = ij

l (n−l)/2



j=1 α=1

α αj = j

(n−l)/2

"α, α# ,

α=1

(7.86) das nach Substitution durch Gl. (7.83) die Form

298

7 Halbeinfache L IE-Algebren



"α, α# = l

(7.87)

α∈

annimmt. An dieser Stelle soll erneut darauf hingewiesen werden, dass bei einer geeigneten Wahl der Basis {h i | i = 1. . . . , l} der C ARTAN-Unteralgebra H alle Komponenten {αi = α(h i )| i = 1, . . . , l} einer beliebigen Wurzel α reell sind. Demnach kann der reelle Vektorraum H0∗ (7.67a), der von der Menge der Wurzeln {α| α ∈ } über dem reellen Zahlenkörper aufgespannt wird, als der zum Vektorraum H0 duale Vektorraum aufgefasst werden. Die K ILLING -Form auf dem Wurzelraum H0∗ liefert dann ein positiv definites Skalarprodukt " · , · # und mithin eine euklidische Metrik. Als Konsequenz daraus findet man den Wurzelraum H0∗ isomorph zum euklidischen Raum Rl . i von Der metrische Tensor κ¯ erlaubt die Ermittlung der Strukturkonstanten f α,−α Gl. (7.74) zu i = f α,−α

l

κ¯ i j f α,−α, j =

j=1

l

κ¯ i j f −α, j,α =

l



β

κ¯ i j κ−αβ f jα ,

(7.88)

j=1 β

j=1

wobei die Symmetriebeziehung (7.18) verwendet wird. Mit der Normierung nach Gl. (7.77) und mit Gl. (7.61) erhält man daraus i f α,−α =

l

j=1 β

β

κ¯ i j f jα δαβ =

l

κ¯ i j α j = α i

i, j = 1, . . . , l,

(7.89)

j=1

so dass der Kommutator (7.74) ausgedrückt werden kann durch [eα , e−α ] =

l

α i h i = "α, h# .

(7.90)

i=1

Eine allgemeine Betrachtung unabhängig von der Normierung (7.77) ergibt mit Gl. (7.88) die Strukturkonstanten i f α,−α =

=

l

j=1 β l

j=1

β

κ¯ i j κ(e−α , eα ) f jα δαβ =

κ¯ i j κα,−α α j =

l

α κ¯ i j κ(e−α , eα ) f jα

j=1 l

(7.91)

κ¯ i j α˜ j = α˜ i ,

j=1

was mit Gl. (7.74b) übereinstimmt. Der Kommutator (7.90) hat dann die allgemeine Form [eα , e−α ] =

l

i=1

κ(eα , e−α )αi h i =

l

i=1

κα,−α α i h i =

l

i=1

α˜ i h i = "α, ˜ h# .

(7.92)

7.3

C ARTAN-Tensoren

299

Betrachtet man die Basis {h i |i = 1, . . . , l} der C ARTAN-Unteralgebra als kovariante Komponenten eines Vektors h aus dem Vektorraum H, dann kann man mit den kontravarianten Komponenten {α j | j = 1, . . . , l} des Wurzelvektors α aus dem dazu dualen Raum H∗ sowie mit den beiden Basiselementen eα und e−α der Wurzelunterräume Lα und L−α eine Unteralgebra Uα definieren ["α, h# , e±α ] = ± "α, α# e±α [eα , e−α ] = "α, h#

bzw. [h α , e±α ] = ±α(h α )e±α bzw. [eα , e−α ] = cα h α ,

(7.93a) (7.93b)

die in dieser Normierung (7.77) mit der C ARTAN -W EYL -Basis (7.57) als kanonische C ARTAN -W EYL-Form bezeichnet wird. Eine allgemeine Formulierung unabhängig von der Normierung (7.77) gelingt mithilfe von Gln. (7.66) und (7.69) durch die Kommutatoren [h α , e±α ] = ±α(h α )e±α = ±cα−1 "α, α# e±α = ±cα κ(h α , h α )e±α [eα , e−α ] = "α, h# κ(eα , e−α ) = cα κ(eα , e−α )h α .

(7.94a) (7.94b)

Demnach gibt es für jede Wurzel α aus dem Wurzelsystem  eine 3-dimensionale einfache Unteralgebra Uα der L IE-Algebra L. Diese sogenannte Wurzelunteralgebra Uα mit den endlichen Wurzeln α und −α ist isomorph zur komplexen L IE-Algebra sl(2, C) (s. Beispiel 1) und kann zerlegt werden in der Form Uα = Lα ⊕ H ⊕ L−α = Lα ⊕ [Lα , L−α ] ⊕ L−α .

(7.95)

Die gesamte L IE-Algebra L ist somit aus (n − l)/2 Kopien der L IE-Algebra sl(2, C) aufgebaut. Davon sind nur l Kopien zur Charakterisierung der gesamten L IE-Algebra L notwendig (s. a. Abschn. 7.7). Eine weitere, häufig verwendete Normierung (C HEVALLEY-Konvention) gemäß cα =

"α, α# 2

κ(E α , E β ) =

und

2 δ−α β "α, α#

(7.96)

ergibt mit dem Element Hα nach Gl. (7.68) Hα =

  2 i α hi = α∨, h "α, α#

(7.97)

i

sowie den Elementen E α ∈ Lα und E −α ∈ L−α die Kommutatoren [Hα , E ±α ] = ±2E ±α [E α , E −α ] = Hα . Diese Form mit der sogenannten C HEVALLEY-Basis

(7.98a) (7.98b)

300

7 Halbeinfache L IE-Algebren

B = {Hα |α ∈ } ∪ {E α |α ∈ },

(7.99)

die die Normierungsbedingung (7.96) erfüllt, ist als kanonische C HEVALLEY-Form bekannt. Dabei ist anzumerken, dass alle Strukturkonstanten Nαβ ganzzahlig sind. Der Vergleich mit den Kommutatoren (5.54) und (5.55) erlaubt diese Basis mit den Operatoren J± und 2J3 der Drehimpulsalgebra sl(2, C) zu identifizieren. Demnach können die dort gewonnenen Ergebnisse insbesondere im Hinblick auf die Darstellungen D (J ) der Unteralgebra Uα übernommen werden (s. Beispiel 1 v. Abschn. 5.5 und Kap. 9). Ausgehend von drei endlichen Wurzeln α, β und γ , die die Bedingung α+β +γ =0

α, β, γ ∈ 

(7.100)

erfüllen, kommt man mit der JACOBI-Identität [eα , [eβ , eγ ]] + [eγ , [eα , eβ ]] + [eβ , [eγ , eα ]] = 0

(7.101)

und der Substitution durch die Gln. (7.72) und (7.94b) zu dem Ergebnis "α, h# κα,−α Nβγ + "β, h# κβ,−β Nγ α + "γ , h# κγ ,−γ Nαβ = 0

(7.102)

Aus der linearen Unabhängigkeit der Basis bzw. der Komponenten {h i |i = 1, . . . , l} des Vektors h aus der C ARTAN-Unteralgebra H folgt für jede dieser Komponenten die Bedingung αi h i κα,−α Nβγ + β i h i κβ,−β Nγ α + γ i h i κγ ,−γ Nαβ = 0

i = 1, . . . , l (7.103a)

bzw. α i κα,−α Nβγ + β i κβ,−β Nγ α + γ i κγ ,−γ Nαβ = 0,

(7.103b)

die zusammen mit der Bedingung (7.100) αi + β i + γ i = 0

i = 1, . . . , l

(7.104)

nur erfüllt sein kann, falls gilt κα,−α Nβγ = κβ,−β Nγ α = κγ ,−γ Nαβ .

(7.105)

Analoge Überlegungen ergeben mit einer Wurzel α + β + γ = −δ (∈ ) und der Voraussetzung, dass die Summen (α + β), (α + γ ) und (β + γ ) eine Wurzel aus dem Wurzelsystem  sind, die Beziehung Nαβ Nγ δ κα+β,−α−β + Nβγ Nαδ κβ+γ ,−β−γ + Nγ α Nβδ κγ +α,−γ −α = 0.

(7.106)

7.3

C ARTAN-Tensoren

301

Betrachtet man etwa die drei endlichen Wurzeln −α, (α + β) und −β, so erhält man aus Gl. (7.105) im Fall der Normierung (7.77) N−α,(α+β) = N(α+β),−β = N−β,−α .

(7.107)

Mit der Symmetrieeigenschaft der Strukturkonstanten Nαβ = −Nβα und der Vereinbarung Nαβ = −N−α,−β

(7.108)

sowie mit den Gln. (7.61), (7.72) und (7.74) bekommt man für den C ARTAN-Tensor κ nach Gl. (7.75)



β i i κα,−α = κ(eα , e−α ) = − αi f −α,α + f α,−α f αi−α + Nαβ f −α(α+β) =−



i

αi (−α˜ ) −

i

= 2 "α, ˜ α# +

i

β=−α



i

α˜ (−αi ) + i

β=−α

Nαβ N−α(α+β)

β=−α

i 2 Nαβ



mit

α˜ = κα,−α α. (7.109)

Bleibt der Hinweis, dass die Vereinbarung (7.108) zusammen mit einer positiven, reellen Normierung gemäß Gl. (7.77) oder (7.96) mit allen Paaren α und −α für reelle Strukturkonstanten Nαβ garantiert. Alternativ können die beiden Normierungen negativ und reell gewählt werden. Die Forderung nach reellen Strukturkonstanten Nαβ impliziert dann die Forderung nach der Vereinbarung Nαβ = N−α,−β.

(7.110)

Beispiel 1 Als Beispiel wird die komplexe einfache Matrix L IE-Algebra sl(2, C) als die Komplexifizierung der L IE-Algebra su(2) betrachtet. Nach der C ARTANKlassifizierung von abstrakten, einfachen L IE-Algebren wird sie mit A1 bezeichnet. Sie umfasst die Menge der drei (= dim L) spurlosen komplexen 2 × 2-Matrizen, die aus der Linearkombination der antihermiteschen Basis {ak |k = 1, 2, 3} (4.43) mit komplexen Komponenten {λk |k = 1, 2, 3} hervorgeht (Beispiel 3 v. Abschn. 5.5). Zudem ist sie isomorph zur komplexen L IE-Algebra so(3), was durch die Isomorphie zwischen den beiden reellen L IE-Algebren begründet wird (Beispiel 3 v. Abschn. 6.4). Als C ARTAN-Unteralgebra H wird die Menge der Matrizen h = λ3 a 3

λ3 ∈ C

(7.111)

betrachtet, die trivialerweise abelsch ist und wegen der Kommutatoren (5.40) auch maximal abelsch ist. Die adjungierte Darstellung hat nach Gl. (5.91c) die Gestalt D ad (λ3 a3 ) = −λ3 ε3 ,

302

7 Halbeinfache L IE-Algebren

die diagonalisiert werden kann zu ⎛

⎞ 0 0 −i 0 ⎠ 0 0

i ⎝ 0 (λ a ) = −λ Dad 3 3 3 d 0

und deshalb vollständig reduzibel ist. Die Dimension dieser C ARTAN-Unteralgebra H bzw. der Rang der komplexen L IE-Algebra A1 errechnet sich dann nach Gl. (7.52) zu l = 1. Nach Wahl eines Basiselements der C ARTAN-Unteralgebra h1 = a 3

(7.112)

und der Basiselemente aus den eindimensionalen Wurzelunteräumen Lα und L−α eα = a 1 + i a 2

e−α = a1 − i a 2

und

(7.113)

erhält man mit Gl. (7.61a) und den Kommutatoren (5.40) [h1 , eα ] = i eα

[h1 , e−α ] = −i e−α .

und

(7.114)

Daraus resultieren die zwei endlichen Wurzeln α = α1 = i

− α = −α1 = −i.

und

(7.115)

Die Ermittlung der kontravarianten Komponente α 1 der Wurzel α geschieht mithilfe von Gl. (7.70) hα = cα−1 α 1 h1

(7.116)

nach Gl. (7.64) α(h1 ) = α1 = cα κ(hα , h1 ) = κ(α 1 h1 , h1 ) = α 1 κ(h1 , h1 ).

(7.117)

Für die K ILLING -Form κ(h1 , h1 ) der Basiselemente bzw. für den metrischen Tensor κ¯ der C ARTAN-Unteralgebra bekommt man nach Gl. (7.41) oder nach Gl. (7.79)

κ(h1 , h1 ) = κ¯ 11 = κ¯ = α1 α1 = ii + (−i)(−i) = −2, (7.118) α∈

so dass mit Gl. (7.115) die kontravariante Komponente α(h1 ) = α 1 =

1 2i

(7.119)

resultiert. Sie ermöglicht nach Gl. (7.116) die explizite Angabe des Elements hα zu hα =

1 4cα



1 0

0 −1

 =

1 σ z. 4cα

(7.120)

7.3

C ARTAN-Tensoren

303

Die weiteren Matrixelemente des C ARTAN-Tesors κ ergeben sich zu κ(eα , eα ) = καα = κ22 = sp [( Dad (eα ) Dad (eα )] = 0 = κ−α,−α = κ33 (7.121a) und κ(eα , e−α ) = κα,−α = κ23 = sp [ D ad (eα ) Dad (e−α )] = −4 = κ−αα = κ32 , (7.121b) so dass mit (7.118) der gesamte C ARTAN-Tensor (7.78) in der Form ⎛ ⎞ −2 0 0 0 −4 ⎠ κ =⎝ 0 (7.122) 0 −4 0 auftritt. Die √ Normierung der Basis geschieht nach Gl. (7.118) durch die Konstante c1 = −i/ 2 zu   √ 1 1 1 0 ¯h1 = c1 h1 = cα 2hα = √ = √ σ z, (7.123) 0 −1 2 2 2 2 womit man die Wurzeln 1 α¯ = α¯ 1 = √ 2

1 − α¯ = −α¯ 1 = − √ 2

bzw.

(7.124)

bekommt. Die Normierung der übrigen Basiselemente eα und e−α unter Berücksichtigung der Forderung (7.77) geschieht nach Gl. (7.121) durch die Konstante c2 = −i/2 zu   i 1 0 1 1 1 e¯ α = c2 eα = − (a1 + i a 2 ) = = (σ x + iσ y ) = σ + (7.125a) 2 2 0 0 8 2 und i 1 e¯ −α = c2 e−α = − (a1 − i a2 ) = 2 2



0 1

0 0

 =

1 1 (σ x − iσ y ) = σ − . (7.125b) 8 2

Die kontravariante Komponente αi der Wurzel α ist nach Gl. (7.90) 1 [¯eα , e¯ −α ] = √ h¯ 1 2 gleich der kovarianten Komponente α1 (7.124), was bei einer euklidischen Metrik (κ¯ = 1) auch zu erwarten ist. Für das Normquadrat der Wurzelvektoren bekommt man nach Gl. (7.85) bzw. Gl. (7.109) "α, ¯ α# ¯ = "α, α# = α 1 α1 =

1 , 2

(7.126)

304

7 Halbeinfache L IE-Algebren

womit die Dimension l der C ARTAN-Unteralgebra H gemäß Gl. (7.87) bestätigt wird

1 1 "α, l= ¯ α# ¯ = + = 1. 2 2 α∈ ¯

Eine andere Normierung gemäß den Forderungen (7.96) cα =

1 4

und

κ(E α , E −α ) = 4

liefert mit Gln. (7.97) und (7.120) das Element   1 0 Hα = = σ z. 0 −1

(7.127a)

Die Normierung der Elemente (7.113) ergibt wegen Gl. (7.121) die Form   0 1 (7.127b) = σ+ E α = −i eα = 0 0 und  E −α = −i e−α =

0 0 1 0

 = σ −.

(7.127c)

Die C HEVALLEY-Basis {H α , E ±α } erfüllt dann die Kommutatoren (7.98), die von der Drehimpulsalgebra bekannt sind (Beispiel 1 v. Abschn. 5.5). Dort entsprechen in den Gln. (5.54) und (5.55) die Operatoren J¯3 = 2J3 bzw. J± den Elementen H α bzw. E ±α . Beispiel 2 Für die Komplexifizierung sl(3, C) der einfachen L IE-Algebra su(3), deren abstrakte Form mit A2 bezeichnet wird, kann man als Basis {λk |k = 1, . . . , 8} die acht spurlosen, hermiteschen 3 × 3-Matrizen (G ELL -M ANN-Matrizen) wählen ⎛

0 λ1 = ⎝ 1 0 ⎛ 0 λ4 = ⎝ 0 1 ⎛ 0 λ7 = ⎝ 0 0

⎞ 1 0 0 0⎠ 0 0 ⎞ 0 1 0 0⎠ 0 0 ⎞ 0 0 0 −i ⎠ i 0

⎛

⎛ ⎞ 0 1 0⎠ λ3 = ⎝ 0 0 0 ⎛ ⎞ 0 −i 0 0 0⎠ λ6 = ⎝ 0 0 0 0 ⎛ ⎞ 1 0 0 1 0 ⎠. λ8 = √ ⎝ 0 1 3 0 0 −2

0 λ2 = ⎝ i 0 ⎛ 0 λ5 = ⎝ 0 i

−i 0 0

0 −1 0 0 0 1

⎞ 0 0⎠ 0 ⎞

0 1⎠ 0

(7.128)

Dabei ist anzumerken, dass eine Analogie zur möglichen Basis der L IE-Algebra sl(2, C), nämlich zu den PAULI’schen Spinmatrizen besteht. So sind die Basiselemente λ1 , λ4 und λ6 – abgesehen von einer zusätzlichen Zeile und Spalte mit Nullelementen – analog zur Spinmatrix σ x . Entsprechend können die Basiselemente λ2 ,

7.3

C ARTAN-Tensoren

305

λ5 und λ7 mit σ y und das Basiselement λ3 mit σ z in Analogie gebracht werden. Das Basiselement λ8 hat kein Analogon in der Algebra sl(2, C), da es mit λ3 vertauschbar ist. Aufgrund dieser Analogie können auch im allgemeinen Fall einer Dimension N der L IE-Algebra sl(N , C) die (N 2 − 1) Basiselemente {λk |k = 1, . . . , N 2 − 1} gefunden werden, die den Kommutatorbeziehungen [λk , λl ] = 2i

2 −1 N

f klm λm

k, l = 1, . . . , N 2 − 1

(7.129)

m=1

genügen. Dabei sind die Strukturkonstanten f klm antisymmetrisch unter Permutation von zwei beliebigen Indizes (Tab. 7.3). Als Basis der C ARTAN-Unteralgebra H werden die beiden Elemente h1 = λ3 und h2 = λ8 gewählt, deren Diagonalität die Vertauschbarkeit garantiert, was auch durch Gl. (7.129) bestätigt wird. Es ist die Tabelle 7.3 Nichtverschwindende Strukturkonstanten f klm der einfachen komplexen L IE-Algebra sl(3, C) nach Gl. (7.129) klm

123 147 156 246 257 345 367 458 678 √ √

f klm

1

1 2

− 12

1 2

1 2

1 2

− 12

3 2

3 2

maximale Anzahl vertauschbarer Basiselemente, so dass die Dimension der Unteralgebra H bzw. der Rang der komplexen L IE-Algebra A2 sich nach Gl. (7.52) zu l = 2 errechnet. Als Basen der sechs (= N 2 − l) eindimensionalen Wurzelunteräume {Lα |α ∈ } wählt man eα = (λ1 + iλ2 ) eβ = (λ6 + iλ7 ) eγ = (λ4 + iλ5 )

e−α = (λ1 − iλ2 ) e−β = (λ6 − iλ7 ) e−γ = (λ4 − iλ5 ).

(7.130a) (7.130b) (7.130c)

Die sechs Wurzeln erhält man dann mithilfe von Gl. (7.129) aus den Kommutatoren [h1 , eα ] = 2eα [h1 , e−α ] = −2e−α [h1 , eβ ] = −eβ [h1 , e−β ] = e−β [h1 , eγ ] = eγ [h1 , e−γ ] = −e−γ

[h2 , eα ] = 0 [h2 , e−α ] = 0 √ [h2 , eβ ] = 3eβ √ [h2 , e−β ] = − 3e−β √ [h2 , eγ ] = 3eγ √ [h2 , e−γ ] = − 3e−γ

(7.131)

als Vektoren in der Form α = (2, 0)  √  β = −1, 3  √  γ = 1, 3

− α = (−2, 0)  √  − β = 1, − 3  √  − γ = −1, − 3 .

(7.132a) (7.132b) (7.132c)

306

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Dabei gilt die Beziehung α + β = γ.

(7.133)

Mit der adjungierten Darstellung für das Element h1 = λ3 ⎛

0 1 0 ⎜−1 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ad D (h1 ) = 2i ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎝0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 −1/2 0 0 0

0 0 0 1/2 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1/2 0

0 0 0 0 0 −1/2 0 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

errechnet sich das Element κ¯ 11 des metrischen Tensors κ¯ der C ARTAN-Unteralgebra H nach Gl. (7.14) zu ⎛

κ(h1 , h1 ) = κ¯ 11

⎞ −1 0 0 0 0 0 0 0 ⎜ 0 −1 0 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 −1/4 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ = 12. = (−4)sp⎜ 0 0 0 −1/4 0 0 0⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 −1/4 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 0 0 0 −1/4 0 ⎠ 0 0 0 0 0 0 0 0

Dieses Ergebnis ist konform mit Gl. (7.79) κ(h1 , h1 ) = κ¯ 11 =



α1 α1 = 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12.

(7.134a)

α∈

Entsprechend erhält man für die übrigen Elemente κ(h2 , h2 ) = κ¯ 22 = 12

κ(h1 , h2 ) = κ¯ 12 = 0 = κ¯ 21 = κ(h2 , h1 ). (7.134b) Die Ermittlung der kontravarianten Komponenten α1 und α 2 der Wurzel α geschieht mithilfe von Gl. (7.70) und

hα = cα−1 (α 1 h1 + α 2 h2 )

(7.135)

nach Gl. (7.64) α(h1,2 ) = α1,2 = cα κ(hα , h1,2 ) = κ(α 1 h1 + α 2 h2 , h1,2 ) = α 1 κ(h1 , h1,2 ) + α 2 κ(h2 , h1,2 ).

(7.136)

7.3

C ARTAN-Tensoren

307

Mit den Werten α1,2 (7.132) und {κ(hi , h j )|i, j = 1, 2} (7.134) erhält man schließlich die Komponenten α1 =

1 6

und

α 2 = 0.

(7.137)

Sie ermöglichen nach Gl. (7.135) die explizite Angabe des Elements hα zu ⎛ ⎞ 1 0 0 1 1 ⎝ 0 −1 0 ⎠ . hα = (7.138) h1 = 6cα 6cα 0 0 0 Entsprechende Überlegungen gelten für die Ermittlung der kontravarianten Korrdinaten β 1 und β 2 der Wurzel β mit dem Ergebnis √ 3 1 1 2 β =− und β = . (7.139) 12 12 Nach Gl. (7.70) erhält man damit ⎛   0 1 1 ⎝ 1 1 0 h2 = − h1 + hβ = cβ 12 12 6cβ 0

0 1 0

⎞ 0 0 ⎠. −1

(7.140)

Wegen Gl. (7.133) gilt für das dritte Element hγ hγ = hα+β = hα + hβ .

(7.141)

h2  erfolgt mithilfe von Die Normierung der orthogonalen Basiselemente h1 und  √ Gl. (7.134) (κ¯ 11 = κ¯ 22 = 1) durch die Konstante c1 = 1/ 2 3 = c2 zu √ 1 h¯ 1 = c1 h1 = cα 3hα = √ λ3 2 3

(7.142a)

1 h¯ 2 = c2 h2 = cα hα + cβ 2hβ = √ λ8 . 2 3

(7.142b)

und

Damit ergeben sich die Wurzelvektoren (7.132) zu  1 √ ,0 3   1 1 β¯ = − √ , 2 3 2   1 1 γ¯ = √ , 2 3 2 

α¯ =

  1 − α¯ = − √ , 0 (7.143a) 3   1 1 − β¯ = (7.143b) √ ,− 2 2 3   1 1 − γ¯ = − √ , − . (7.143c) 2 2 3

308

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Die Normierung der übrigen Basiselemente (7.130) {¯eα = ceα |α ∈ } durch die Konstante c benutzt Gl. (7.109) unter Berücksichtigung der Forderung (7.77) 2 2 2 2 + c2 Nα,−γ = 2 "α, ¯ α# ¯ + N¯ αβ + N¯ α,−γ = 1. 2 "α, ¯ α# ¯ + c2 Nαβ

(7.144)

Dabei errechnen sich die Strukturkonstanten aus [eα , eβ ] = Nαβ eγ = 2eγ

[eα , e−γ ] = Nα,−γ e−β = 2e−β

und

zu Nαβ = 2

Nα,−γ = 2.

und

Mit dem Skalarprodukt "α, ¯ α# ¯ =

1 3

(7.145)

resultiert dann aus Gl. (7.144) die Normierungskonstante 1 c= √ . 2 6 Für die übrigen Skalarprodukte erhält man 

 1 ¯ β¯ = β, 3

bzw.

  1 α, ¯ β¯ = − , 6

(7.146)

womit nach Gl. (7.87) die Dimension l der C ARTAN-Unteralgebra H bestätigt wird l=

α∈ ¯

1 1 1 "α, ¯ α# ¯ = 2 + 2 + 2 = 2. 3 3 3

Eine andere Normierung gemäß den Forderungen (7.96) cα =

1 6

und

κ(E α , E −α ) = 6

liefert mit den Gln. (7.97) und (7.135) für die Wurzel α das Basiselement ⎛ ⎞ 1 0 0 H α = ⎝ 0 −1 0 ⎠ = h1 . 0 0 0

(7.147)

Die Normierung der Elemente eα und e−α (7.130a) E α = c+ eα

bzw.

E −α = c− e−α

mit den Konstanten c+ und c− ergibt nach [eα , e−α ] = 4h1

(7.148)

7.3

C ARTAN-Tensoren

309

und nach Gln. (7.98b) und (7.147) [E α , E −α ] = H α = h1 die Beziehung c+ c− =

1 4

mit der möglichen Lösung c+ =

1 = c− . 2

Zusammen mit dem Element H α (7.147) bilden die Elemente E ±α (7.148) ⎛

0 Eα = ⎝ 0 0

1 0 0

⎞ 0 0⎠ 0

⎛

und

E −α

0 = ⎝1 0

0 0 0

⎞ 0 0⎠ 0

(7.149)

die Basis einer 3-dimensionalen einfachen Unteralgebra (Wurzelunteralgebra), die den Kommutatoren (7.98) der L IE-Algebra sl(2, C) genügt und bei der Diskussion von Hadronen als T -Spin (I -Spin) Unteralgebra bekannt ist. Ähnliche Überlegungen bezüglich der Wurzeln β und γ liefern zwei weitere Wurzelunteralgebren sl(2, C) mit den Basiselementen ⎛

⎞ 0 0 0 0⎠ Hβ = ⎝ 0 1 0 0 −1

⎛

0 Eβ = ⎝ 0 0

0 0 0

⎞ 0 1⎠ 0

⎛

E −β

0 = ⎝0 0

0 0 1

⎞ 0 0⎠ 0 (7.150)

und

⎛

1 Hγ = ⎝ 0 0

0 0 0

⎞ 0 0⎠ −1

⎛

0 Eγ = ⎝ 0 0

0 0 0

⎞ 1 0⎠ 0

⎛

E −γ

0 = ⎝0 1

0 0 0

⎞ 0 0⎠. 0 (7.151)

Sie sind als U -Spin (L-Spin) Unteralgebra bzw. als V -Spin (K -Spin) Unteralgebra bekannt. Dabei sind die Basiselemente H α , H β und H γ der einzelnen C ARTANUnteralgebren linear abhängig Hγ = Hα + Hβ , so dass die übrigen acht linear unabhängigen Elemente eine Basis für die L IEAlgebra sl(3, C) bilden.

310

7 Halbeinfache L IE-Algebren

7.4 Wurzeln Die Wurzel besitzen eine Reihe von Eigenschaften, die bei der Suche nach irreduziblen Darstellungen eine wertvolle Hilfe sind. Zu ihrer Ermittlung werden die Kommutatoren der C ARTAN -W EYL Form (7.51), (7.61), (7.72) und (7.74) benutzt, die zudem das mögliche Wurzelsystem einzuschränken erlauben. Ausgehend von einer Wurzel γ , die mit der Wurzel α keine Wurzel ergibt (α + γ ∈ / ), so dass nach Gl. (7.73) die Elemente eγ und eα vertauschbar sind [eγ , eα ] = 0

α + γ = τ ∈ ,

(7.152)

kann man aufgrund von Gl. (7.72) mit [eγ , e−α ] = Nγ ,−α eγ −α = eγ −α

(7.153)

eine Folge von Gleichungen konstruieren [eγ −α , e−α ] = eγ −2α ... ...  [eγ − pα , e−α ] = eγ −( p+1)α ,

(7.154)

die wegen der endlichen Zahl von Elementen eγ − pα nach etwa g Gliedern abbrechen muss [eγ −gα , e−α ] = eγ −(g+1)α = 0.

(7.155)

Die Strukturkonstanten sind dabei nach Gl. (7.152) in den Elementen e enthalten. Mithilfe von Gl. (7.72) können diese Gln. (7.154) auch invertiert werden zu der Folge [eγ −( p+1)α , eα ] = µ p+1 eγ − pα

[eγ − pα , eα ] = µ p eγ −( p−1)α ... ... [eγ −α , eα ] = µ1 eγ ,

(7.156)

die nach ( p + 1) Schritten wegen der Forderung (7.152) einen verschwindenden Komponenten µ0 (= 0) liefert. Zur Ermittlung der Komponente µ p+1 wird das Element eγ −( p+1)α des ersten Kommutators von (7.156) substituiert. Nach Berücksichtigung der JACOBI-Identität µ p+1 eγ − pα = [[eγ − pα , e−α ], eα ] = −[[e−α , eα ], eγ − pα ] − [[eα , eγ − pα ], e−α ] (7.157) erhält man mit Gln. (7.61), (7.92) und den Kommutatoren (7.156)

7.4

Wurzeln

311

µ p+1 eγ − pα =



κα α i [h i , eγ − pα ] + µ p [eγ −( p−1)α , e−α ]

i

=



(7.158)

κα α i (γi − pαi )eγ − pα + µ p eγ − pα ,

i

wobei κα eine Abkürzung für die K ILLING -Form κ(eα , e−α ) bedeutet. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Elemente eγ −α kann daraus eine Rekursionsformel für die Komponenten µ p gewonnen werden µ p+1 eγ − pα = κα "α, γ # − pκα "α, α# eγ − pα + µ p eγ − pα .

(7.159)

Mit der Forderung (7.152) bekommt man µ0 = 0, so dass die explizite Rekursion in der Form µ p = pκα "α, γ # −

1 p( p − 1)κα "α, α# 2

(7.160)

ausgedrückt werden kann. Nach Gl. (7.155) verschwindet die Komponente µg+1 (= 0), womit das Ergebnis g=2

"α, γ #  ∨  = α ,γ "α, α#

(7.161)

erhalten wird. Demnach ist mit der speziellen Voraussetzung (7.152), dass α + γ keine Wurzel ist, die Größe g eine ganze Zahl und man erwartet eine Anzahl (g + 1) Wurzeln   γ , γ − α, γ − 2α, . . . , γ − gα = γ − 2 α ∨ , γ

α+γ ∈ / .

(7.162)

Im allgemeinen Fall, wo α + β (= τ ∈ ) eine Wurzel sein kann, führt man zwei positive ganze Zahlen m und n ein, so dass β + kα genau dann eine Wurzel ist, falls k im abgeschlossenen Intervall zwischen −m und n liegt. Man nennt diese lückenlose Menge von Wurzeln β + kα

mit

−m ≤k ≤n

m, n ≥ 0

k∈Z

(7.163)

einen α-String von Wurzeln durch die Wurzel β. Betrachtet man die Wurzel (β+nα) als die Wurzel γ der vorangegangenen Überlegung, dann findet man nach (7.162) den Wurzel-String mit (m + n + 1) Wurzeln β − mα, β − (m − 1)α, . . . , β − (n + 1)α, β − nα,

(7.164)

so dass nach obiger Überlegung gilt g = m + n.

(7.165)

312

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Unter Verwendung von Gln. (7.161), (7.163) sowie der Substitution γ = β + nα

(7.166)

bekommt man 2 "α, β# = 2 "α, γ # − 2n "α, α# = (m + n) "α, α# − 2n "α, α# = (m − n) "α, α# bzw. (Master-Gleichung für Wurzeln) m−n =2

"α, β#  ∨  = α ,β "α, α#

(m − n) ∈ Z

m, n ≥ 0.

(7.167)

Demnach ist für zwei Wurzeln α und β das Skalarprodukt (7.167) eine ganze Zahl (m − n), die sogenannte C ARTAN-Zahl. Betrachtet man einen Vektor γ =β −2

"α, β# α, "α, α#

(7.168a)

so findet man mit Gl. (7.167) den Ausdruck γ = β − (m − n)α = β + (n − m)α

(n − m) ∈ Z.

(7.168b)

Damit erfült der Vektor γ die Forderung (7.163) (−m ≤ n − m ≤ n) und gehört zum α-String durch β. Es gilt deshalb die Aussage, dass der Vektor (7.168) ebenfalls eine endliche Wurzel ist. Man erhält diese Wurzel durch Spiegelung sα der Wurzel β an einer Hyperebene durch den Ursprung und senkrecht zur Wurzel α (s. Abschn. 7.8). Ausgehend von einer Basis {β(i) |i = 1, . . . , l} im Wurzelraum H∗ , kann eine beliebige Wurzel α ausgedrückt werden durch α=

l

bi β(i)

bi ∈ Q.

(7.169)

i=1

Zur Bestimmung der Komponenten {bi |i = 1, . . . , l} verwendet man den Satz von l linearen Gleichungen 

  β( j) , β(i) =  bi 2  2 β( j) , β( j) β( j) , β( j) i=1 

β( j) , α

l

j = 1, . . . , l,

(7.170)

deren Komponenten nach Gl. (7.167) rational und sogar ganzzahlig sind. Demnach müssen auch die Komponenten {bi |i = 1, . . . , l} rational sein.

7.4

Wurzeln

313

Für einen α-String durch die Wurzel β nach Gl. (7.164) erhält man mit Gl. (7.167) "α, β# =

1 (m β − n β ) "α, α# 2

(7.171)

und Substitution durch Gl. (7.81) die Beziehung "α, α# =

1 (m β − n β )2 "α, α#2 , 4

(7.172a)

β∈

die mit der Bedingung (7.66b) die Form $−1 #

"α, α# = 4 (m α − n α )2

(7.172b)

β∈

annimmt. Demnach ist der Wert "α, α# eine reelle und rationale Zahl. Der Vergleich mit (7.171) zeigt, dass auch der Wert "α, β# eine reelle und rationale Zahl ist. Zudem findet man wegen Gl. (7.172b) die Bilinearform "·, ·# als positiv definit auf einem Vektorraum mit rationalen, linearen Kombinationen von Wurzeln, so dass sie als Skalarprodukt gilt. Betrachtet man etwa die möglichen Wurzeln β, die proportional einer vorgegebenen Wurzel α sind β = kα

β, α ∈ ,

(7.173)

dann muss nach Gl. (7.167) die Zahl 2k ganzzahlig sein. Für den Fall 2k = 1 findet man wegen der Vertauschbarkeit zweier gleicher Elemente eα [eα/2 , eα/2 ] = 0

(7.174a)

einen Widerspruch zu Gl. (7.72), da nach Voraussetzung α eine Wurzel ist. Demnach ist der Wert k = 1/2 nicht erlaubt. Entsprechendes gilt für 2k = −1. Für den Fall 2k = 4 findet man wegen der Vertauschbarkeit [eα , eα ] = 0

(7.174b)

ebenfalls einen Widerspruch zu Gl. (7.72). Entsprechends gilt für 2k = −4. Insgesamt sind für eine Wurzel α nur die Werte k = 0, ±1 erlaubt, so dass die Wurzeln α, 0 und −α erwartet werden, wie es von der zur L IE-Algebra sl(2, C) isomorphen Wurzelunteralgebra Uα (7.95) bekannt ist. Einen expliziten Ausdruck für die Elemente eα erhält man nach Gl. (7.154) als ein Produkt von Strukturkonstanten eγ − pα = Nγ ,−α Nγ −α,−α . . . Nγ −( p−1)α,−α eγ − pα .

(7.175)

314

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Der Vergleich mit Gl. (7.156) führt dann zu der Beziehung µ p+1 = Nγ − pα,−α Nγ −( p+1)α,α ,

(7.176)

die mit der Wurzel γ nach Gl. (7.166) ausgedrückt werden kann durch die Form µ p+1 = Nβ+(n− p)α,−α Nβ+(n− p−1)α,α .

(7.177a)

Sie ist vergleichbar mit Gl. (7.160), die nach der Substitution von Gln. (7.161) und (7.165) die Form µ p+1 =

1 ( p + 1)(m + n − p)κα,−α "α, α# 2

(7.177b)

annimmt. Für den Fall p = n − 1 wird Gl. (7.177a) mithilfe von Gl. (7.106) sowie der Gl. (7.108) zu κα+β,−α−β κα+β,−β−β 2 N−βα Nαβ = Nαβ , κ−β,β κβ,−β (7.178) so dass die Substitution von Gl. (7.177b) die Beziehung µn = Nβ+α,−α Nβα = N−α(β+α) Nαβ =

2 = Nαβ

 κα,−α κβ,−β 1  "α, α# nβ m β + 1 2 κα+β,−α−β

(7.179)

liefert. Dabei sind die positiven ganzen Zahlen m β und n β bei vorgegebener Wurzel α Funktionen von der Wurzel β. Da eine endliche Strukturkonstante (Nαβ = 0) erwartet wird, muss die Zahl n β der Bedingung n ≥ 1 genügen. Die Normierung nach der W EYL-Konvention von Gl. (7.77) ergibt dann die Strukturkonstanten in der Form 2 = Nαβ

 1  n β m β + 1 "α, α# . 2

(7.180)

Dagegen ergibt die Normierung nach der C HEVALLEY-Konvention von Gl. (7.96) die Beziehung  "α + β, α + β#  2 = nβ mβ + 1 Nαβ . "β, β#

(7.181a)

Letztere kann auch ersetzt werden durch 2 = (m β + 1)2 , Nαβ

(7.181b)

wonach die Strukturkonstanten in der C HEVALLEY-Form als ganzzahlig erwartet werden. Der C ARTAN-Tensor κ (7.109) kann dann nach Substitution des Quadrats

7.4

Wurzeln

315

2 durch Gl. (7.179) allgemein ausgedrückt werden durch der Strukturkonstanten Nαβ

κ(eα , e−α ) ≡ κα,−α = 2 "α, ˜ α# +

1 κα,−α κβ,−β "α, α# n β (m β + 1). (7.182) 2 κα+β,−α−β β=−α

Damit wird in der C ARTAN -W EYL -Form die Forderung ⎤

1 n β (m β + 1)⎦ 1 = "α, α# ⎣2 + 2 ⎡

(7.183a)

β=−α

bzw. in der C HEVALLEY Form die Forderung ⎤

"α + β, α + β# 1 n β (m β + 1)⎦ 1 = "α, α# ⎣2 + "β, β# 2 ⎡

(7.183b)

β=−α

erfüllt. Beispiel 1 Die L IE-Algebra A2 , die isomorph zur komplexen L IE-Algebra sl(3, C) ist, besitzt sechs endliche Wurzeln ±α, ±β und ±γ = ±(α + β) (Beispiel 2 v. Abschn. 7.3. Der α-String von Wurzeln durch die Wurzel β umfasst die zwei Wurzeln β und β + α, so dass nach Gl. (7.163) die ganzen Zahlen m=0

und

n=1

bzw. nach Gl. (7.165) die ganzen Zahlen g =m+n

und

m − n = −1

gefunden werden. Mit den Skalarprodukten (s. Beispiel 2 v. Abschn. 7.2) "α, α# =

1 3

"α, β# = −

1 6

"α, γ # =

1 6

α+γ ∈ /

(7.184)

werden dann die Gln. (7.161) und (7.167) bestätigt. Die Wurzelspiegelung sα β des Wurzelvektors β an einer Ebene senkrecht zum Vektor α ergibt den Wurzelvektor γ , was auch das Ergebnis von Gl. (7.168) ist. Nach Gl. (7.180) bekommt man für das Quadrat der Strukturkonstante mit der Normierung (7.77) in der C ARTAN -W EYL -Form 1 1 1 2 N¯ αβ = ·1·1· = . 2 3 6 Entsprechende Überlegungen gelten für den α-String durch die Wurzel −γ mit dem Ergebnis

316

7 Halbeinfache L IE-Algebren

1 2 N¯ α,−γ = , 6 so dass Gl. (7.144) erfüllt ist. Mit der Normierung in der C HEVALLEY-Form nach Gl. (7.177) erhält man den ganzzahligen Wert 2 Nαβ = 1,

wie er aus dem Kommutator [E α , E β ] = E γ mit den Elementen (7.149) und (7.150) erwartet wird. Die Forderungen (7.183) sind dann ebenfalls erfüllt.

7.5 Wurzelsysteme Eine Abstrahierung der bisherigen Ergebnisse vermag die Klassifizierung von komplexen, halbeinfachen L IE-Algebren zu erleichtern. Dabei wird unabhängig von einer L IE-Algebra ein abstraktes Wurzelsystem in einem endlich-dimensionalen, reellen Vektorraum V mit Skalarprodukt eingeführt. Es ist die endliche Menge  von nichtverschwindenden Elementen α mit den Eigenschaften (a) Die Vektoren α ∈  spannen den Vektorraum V auf V = spanR {α|α ∈ }.

(7.185a)

(b) Die orthogonale Transformation sα (W EYL -Spiegelung) sα (β) = β − 2

  "β, α# = β − β, α ∨ "α, α#

α, β ∈ 

bedeutet die lineare Selbstabbildung sα : V −→ V

α ∈ .

(7.185b)

"β, α# ∈Z "α, α#

α, β ∈ .

(7.185c)

(c) Es gilt 2

Dabei ist die Dimension des Vektorraumes V der Rang des Wurzelsystems. Ein solches Wurzelsystem gilt als reduziert, falls für eine Wurzel α aus dem Wurzelsystem  die doppelte Wurzel 2α nicht zum Wurzelsystem gehört. Mit diesen Definitionen kann man die Aussage treffen, dass das Wurzelsystem  einer komplexen, halbein-

7.5

Wurzelsysteme

317

fachen L IE-Algebra L bzgl. der C ARTAN-Unteralgebra H ein abstraktes, reduziertes Wurzelsystem in V – bzw H0∗ – ist. Eine weitere Eigenschaft ist die der Reduzierbarkeit. Setzt man voraus, dass es eine nichttriviale, orthogonale Zerlegung des Vektorraumes V – etwa in den Unterraum V1 und dem orthogonalen Komplement V2 – gibt V = V1 ⊕ V2

mit

V1 ⊥V2

bzw.

V1 ∩ V2 = ∅,

(7.186a)

dann wird das Wurzelsystem  als reduzibel bezeichnet  = 1 ∪ 2

mit

i :  ∩ Vi

i = 1, 2

(7.186b)

und kann als direkte Summe aus 1 und 2 dargestellt werden. Andernfalls ist es irreduzibel. Dabei ist ein Wurzelsystem  einer komplexen, halbeinfachen L IEAlgebra L bzgl. einer C ARTAN-Unterlagebra H genau dann irreduzibel, falls die L IE-Algebra L einfach ist. Die Zerlegung einer halbeinfachen L IE-Algebra L in einfache L IE-Algebren {Li |i = 1, . . . , m} durch die direkte Summe L=

m 

Li

(7.187a)

i=1

impliziert die Reduktion des Wurzelsystems  in der Form (s. Abschn. 5.4) =

m 

i

mit

"α, β# = 0

∀α ∈ k , β ∈ l

und

k = l.

i=1

(7.187b) Wegen der Zerlegung einer halbeinfachen L IE-Algebra nach Gl. (7.187a) erhält man mit der Klassifizierung aller einfachen L IE-Algebren auch automatisch die Klassifizierung aller halbeinfachen L IE-Algebren. Zwischen den Wurzelvektoren α und β kann man zwei charakteristische Größen definieren, nämlich einen Winkel ϕ mithilfe des Skalarprodukts "α, β# = "α, α#1/2 "β, β#1/2 cos ϕ

(7.188)

sowie eine relative Länge lαβ als das Verhältnis der Normen lαβ =

"α, α#1/2 "β, β#1/2

.

(7.189)

"α, β# = p ∈Z "β, β#

(7.190)

Nach Gl. (7.185c) erhält man mit 2

"α, β# =q ∈Z "α, α#

und der Substitution in Gl. (7.188)

und

2

318

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Tabelle 7.4 Nichttriviale Fälle (a bis g) des Winkels ϕ und der relativen Länge lαβ zwischen zwei Wurzelvektoren α und β einer halbeinfachen L IE-Algebra ()α) ≥ )β)) ϕ lαβ p q

a π/6 √ 3 3 1

b π/4 √ 2 2 1

c π/3 1 1 1

d π/2 − 0 0

e 2π/3 1 −1 −1

f 3π/4 √ 2 −2 −1

g 5π/6 √ 3 −3 −1

4 cos2 ϕ = pq ∈ {0, 1, 2, 3, 4} ⊂ Z,

(7.191a)

wonach der Winkel ϕ auf acht mögliche Werte eingeschränkt wird (Tab. 7.4) ϕ ∈ {0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5π/6}.

(7.191b)

Setzt man etwa den Wurzelvektor α als größer voraus ("α, α#1/2 ≥ "β, β#1/2 ), dann erwartet man die relativen Längen lαβ ∈ {−,

√ √ √ √ 3, 2, 1, −, 1, 2, 3}.

(7.192)

Dabei ist in den Fällen ϕ = 0 und ϕ = π/2 die relative Länge lαβ unbestimmt ( p = q = 0). Nachdem die abstrakten Wurzeln den reellen Wurzelraum V aufspannen, können die Wurzelsysteme im ein- und zweidimensionalen Fall durch die sogenannten Wurzeldiagramme veranschaulicht werden. Dabei erwartet man wegen der euklidischen Metrik auf dem reellen Wurzelraum V eine Isomorphie zum euklidischen Raum Rl . Als Konsequenz daraus ist das Skalarprodukt "α, β# mit dem Skalarprodukt zweier Vektoren und bezüglich einer Standardbasis {ei | i = 1, . . . , l} gleichzusetzen. Beispiel 1 Im Fall einer einfachen L IE-Algebra vom Rang l = 1 erwartet man die beiden endlichen Wurzeln ±α, die durch eine W EYL-Spiegelung (7.185b) ineinander transformiert werden. Sie spannen den eindimensionalen euklidischen Raum V = R auf, so dass das Wurzelsystem die einfache Form von Abb. 7.1 annimmt. Zu diesem Wurzeldiagramm gehört die dreidimensionale L IE-Algebra A1 , die isomorph ist zu den L IE-Algebren B1 und C1 . Diese abstrakten L IE-Algebren sind ihrerseits isomorph zu den komplexen Matrix-Algebren gemäß A1 ∼ = sl(2, C),

B1 ∼ = so(3, C),

C1 ∼ = sp(2, C).

Abb. 7.1 Wurzelsystem  der einfachen L IE-Algebra A1 (∼ = C1 ) im Raum R = B1 ∼

Aus der Forderung nach Normierung ergibt sich für das Normquadrat "α, α# der Wert von (7.126) (s. Beispiel 1 v. Abschn. 7.2).

7.5

Wurzelsysteme

319

Beispiel 2 Im Fall einer einfachen L IE-Algebra vom Rang l = 2 erwartet man die Darstellung des Wurzelsystems  ⊂ R2 im zweidimensionalen euklidischen Raum R2 . Dabei genügt es, jeweils zwei linear unabhängige Wurzelvektoren, nämlich die sogenannten einfachen Wurzelvektoren (Abschn. 7.5) α und β mit dem Zwischenwinkel ϕ zu betrachten, um alle weiteren Wurzelvektoren durch W EYL Spiegelungen (7.185b) sα und sβ – als die Generatoren der W EYL -Gruppe (Abschn. 7.8) – sowie deren Produkte zu erzeugen.

Abb. 7.2 Wurzelsysteme  der einfachen L IE-Algebren A2 (∼ = sl(3, C)), B2 (∼ = so(5, C)), C2 (∼ = sp(2, C)) und G 2 im Raum R2

Bei zwei Wurzelvektoren mit gleicher Norm bzw. deren Quadrat "α, α# = "β, β#

(7.193)

und dem Zwischenwinkel ϕ = 2π/3 erhält man sechs Wurzeln, die ein reguläres Sechseck bilden (Abb. 7.2). Dieses Wurzelsystem  bzw. die dazugehörige L IE-Algebra wird mit A2 bezeichnet. Letztere ist isomorph zur komplexen MatrixAlgebra sl(3, C). Mit den endlichen Wurzeln α und β erhält man die Wurzel γ = α + β (Gl. 7.133), wohingegen die Vektoren β − α und β + 2α keine Wurzelvektoren sind (Beispiel 2 v. Abschn. 7.2). Das Normquadrat errechnet sich aus der Normierungsbedingung

320

7 Halbeinfache L IE-Algebren



"α, α# +

α



"β, β# = 2

(7.194)

β

und mit Gl. (7.193) zu "α, α# =

1 = "β, β# = "γ , γ # . 3

(7.195)

Bei zwei Wurzelvektoren mit der unterschiedlichen Norm bzw. deren Quadrat "β, β# = 2 "α, α#

(7.196)

und dem Winkel ϕ = 3π/4 erhält man vier Wurzeln vom Typ α und vier Wurzeln vom Typ β (Abb. 7.2). Zu diesem Wurzelsystem  gehört die 10-dimensionale L IE-Algebra B2 , die isomorph ist zur komplexen Matrix-Algebra so(5, C). Das Normquadrat der Wurzelvektoren errechnet sich aus der Bedingung (7.194) und mit Gl. (7.196) zu "α, α# =

1 6

und

"β, β# =

1 . 3

(7.197)

Für den Fall, dass die beiden Wurzelvektoren α und β vertauscht werden, erhält man ein Wurzelsystem , das durch Rotation um π/4 aus dem Wurzelsystem B2 hervorgeht. Dieses Wurzelsystem gehört zur L IE-Algebra C2 , die somit isomorph ist zur L IE-Algebra B2 (Abb. 7.2). Sie ist zudem isomorph zur komplexen MatrixAlgebra sp(2, C) (s. Gl. 6.267). Das Normquadrat der Wurzelvektoren ergibt sich nach Gl. (7.197) bei vertauschten Wurzelvektoren. Bei zwei Wurzelvektoren mit der unterschiedlichen Norm bzw. deren Quadrat "α, α# = 3 "β, β#

(7.198)

und dem Winkel ϕ = 5π/6 erhält man sechs Wurzeln vom Typ α und sechs Wurzeln vom Typ β. Dieses Wurzelsystem bzw. die dazugehörige 14-dimensionale L IEAlgebra wird mit G 2 bezeichnet (Abb. 7.2). Das Normquadrat der Wurzelvektoren errechnet sich aus der Bedingung (7.194) und mit Gl. (7.198) zu "α, α# =

1 4

und

"β, β# =

1 . 12

(7.199)

Schließlich bleibt noch jener Fall zu diskutieren, bei dem zwei unterschiedliche Wurzelvektoren α und β mit unbestimmter relativer Länge lαβ den Winkel ϕ = π/2 einschließen. (Tab. 7.5). Nach W EYL-Spiegelungen erhält man ein Wurzelsystem  mit vier Wurzelvektoren (Abb. 7.3), das nach Gl. (7.187b) reduziert werden kann in die direkte Summe  =  1 ⊕ 1 .

(7.200a)

7.5

Wurzelsysteme

321

Dabei gehört das Wurzelsystem 1 mit zwei endlichen Wurzelvektoren zur einfachen L IE-Algebra A1 (Beispiel 1). Das Wurzelsystem  bzw. die zugehörige abstrakte L IE-Algebra wird mit D2 bezeichnet. Letztere ist 6-dimensional und kann nach Gl. (7.187a) in zwei 3-dimensionale L IE-Algebren A1 zerlegt werden D2 = A 1 ⊕ A 1 .

(7.200b)

Dies ist darin begründet, dass die L IE-Algebra D2 bzw. die dazu isomorphe MatrixAlgebra so(4, C) wohl halbeinfach aber nicht einfach ist, so dass eine Zerlegung in eine direkte Summe zweier einfacher L IE-Algebren erwartet wird. Analog dazu geschieht die Zerlegung der dazu isomorphen Matrix-Algebra (s. a. Gl. 6.268) so(4, C) = su(2) ⊕ su(2).

(7.200c)

Abb. 7.3 Wurzelsystem  der halbeinfachen L IE-Algebra D2 (∼ = so(4, C))

Zusammenfassend muss festgestellt werden, dass es in jedem irreduziblen Wurzelsystem  höchstens zwei verschiedene Normen bzw. Längen von Wurzelvektoren gibt. Demzufolge sind nur vier verschiedene Wurzelsysteme (A2 , B2 , D2 , G 2 ) vom Rang Zwei zu erwarten. Beispiel 3 Eine Erweiterung der Betrachtung von einfachen L IE-Algebren mit dem allgemeinen Rang l führt zu unendlichen Folgen, den sogenannten klassischen einfachen L IE-Algebren Al , Bl , Cl und Dl . Dort kann man zwischen zwei Typen unterscheiden. Beim ersten Typ, zu dem Bl , Cl und Dl gehören, wird man im l-dimensionalen Wurzelraum eine orthonormale Basis {ei |i = 1, . . . , l} wählen, um damit das Wurzelsystem  zu konstruieren. Für die L IE-Algebra Bl ergibt sich das Wurzelsystem (Tab. 7.5)  = {±ei |i = 1, . . . l} ∪ {±ei ± e j |i = j}. Dabei sind die 2l Wurzeln der ersten Menge vom Typ α und die 2l(l − 1) Wurzeln der zweiten Menge vom Typ β. Das Normquadrat der Wurzelvektoren errechnet sich dann mit der allgemeinen Normierungsbedingung

322

7 Halbeinfache L IE-Algebren





"α, α# +

α

"β, β# = l

(7.201)

β

sowie mit Gl. (7.196) zu "α, α# =

1 2(2l − 1)

und

"β, β# =

1 . 2l − 1

Die L IE-Algebra Bl hat dann nach Gl. (7.56) die Dimension dim Bl = l(2l − 1) und ist isomorph zur Matrix-Algebra so(2l + 1, C). Für die L IE-Algebra Cl ergibt sich das Wurzelsystem (Tab. 7.5)  = {±2ei |i = 1, . . . l} ∪ {±ei ± e j |i = j}. Dabei sind die 2l Wurzeln der ersten Menge vom Typ β und die 2l(l − 1) Wurzeln der zweiten Menge vom Typ α. Das Normquadrat der Wurzelvektoren errechnet sich dann mit der Bedingung (7.201) zu "α, α# =

1 2(l + 1)

und

"β, β# =

1 . l +1

Die L IE-Algebra Cl hat dann nach Gl. (7.56) die Dimension dim Cl = l(2l + 1) und ist isomorph zur Matrix-Algebra sp(l, C). Für die L IE-Algebra Dl ergibt sich das Wurzelsystem (Tab. 7.5)  = {±ei ± e j |i = j} Tabelle 7.5 Wurzelsysteme  der klassischen einfachen L IE-Algebren L im Vektorraum V mit orthonormalen Basissystemen {ei |i = 1, . . . , dim V } (||: Anzahl der endlichen Wurzeln) L

rang L

dim L

dim V



||

Isomorphie

Al

l≥1

l(l + 2)

l +1

{ei − e j |i = j}

l(l + 1)

sl(l + 1, C)

Bl

l≥2

l(2l + 1)

l

{±ei }∪ {±ei ± e j |i = j}

2l 2

so(2l + 1, C)

Cl

l≥3

l(2l + 1)

l

{±2ei }∪ {±ei ± e j |i = j}

2l 2

sp(l, C)

Dl

l≥4

l(2l − 1)

l

{±ei ± e j |i = j} 2l(l − 1)

so(2l, C)

mit 2l(l − 1) Wurzeln vom gleichen Typ α. Als Normquadrat erhält man mit Gln. (7.201) und (7.193) "α, α# =

1 . 2(l − 1)

Die L IE-Algebra Dl hat dann nach Gl. (7.56) die Dimension dim Dl = l(2l − 1) und ist isomorph zur L IE-Algebra so(2l, C). Die L IE-Algebra Al gehört zum zweiten Typ von einfachen L IE-Algebren. Dort wählt man eine orthonormale Basis {ei |i = 1, . . . , l + 1}, die einen reellen Vektor-

7.5

Wurzelsysteme

323

raum V mit der Dimension dim V = l + 1 aufspannt. Für das Wurzelsystem ergibt sich (Tab. 7.5)  = {ei − e j |i = j}

i, j = 1, . . . , l + 1

mit insgesamt l(l + 1) Wurzeln α, die in einen zum Wurzelraum isomorphen Unterraum U mit der Dimension dim  U = l projiziert werden. Letzterer ist als Hyperebene orthogonal zum Vektor l+1 ei . Als Normquadrat erhält man mit Gl. (7.201) i "α, α# =

1 . l +1

Die L IE-Algebra Al hat dann nach Gl. (7.56) die Dimension dim Al = l(l + 2) und ist isomorph zur L IE-Algebra sl(l + 1, C) (Tab. 7.5). Beispiel 4 Auch die exzeptionellen einfachen L IE-Algebren kann man bezüglich der Wahl der Basis in zwei Typen unterteilen. Beim ersten Typ, zu dem die L IEAlgebren E 8 und F4 gehören, existiert eine orthonormale Basis {ei |i = 1, . . . , 8} bzw. {ei |i = 1, . . . , 4} im 8- bzw. 4-dimensionalen Wurzelraum, womit das Wurzelsystem aufgebaut werden kann (Tab. 7.6). Der zweite Typ umfasst die L IE-Algebren E 6 , E 7 und G 2 (Tab. 7.6). Dort wählt man – wie im Fall der L IE-Algebra Al (Beispiel 3) – eine orthonormale Basis {ei }, die einen reellen Vektorraum aufspannt mit der Dimension dim V = rang L + 1 im Fall E 7 und G 2 bzw. dim V = rang L + 2 im Fall E 6 . Die Wurzelvektoren α werden in einem zum Wurzelraum isomorphen Unterraum U mit der Dimension dim U = rang L projiziert. Letzterer ist orthogonal zum Vektor (e1 + e2 + e3 ) für G 2 , zum Vektor (e7 + e8 ) für E 7 sowie zu den Vektoren (e6 + e8 ) und (e7 + e8 ) für E 6 . Nachzutragen ist der Hinweis, dass mithilfe der dualen Wurzeln α ∨ (7.68b) ein zum Wurzelsystem duales Wurzelsystem ∨ definiert werden kann ∨ := {α ∨ |α ∈ }.

(7.202)

Tabelle 7.6 Wurzelsysteme  der exzeptionellen einfachen L IE-Algebren L im Vektorraum V mit orthonormalen Basissystemen {ei |i = 1, . . . , dim V } (||: Anzahl der endlichen Wurzeln) L

dim L dim V

E6 E7

78 133

8 8

E8

248

8

  8 1 2

i=1 (−1)



||

s. E 8 s. E 8

72 126

{±2e 240 i ± e j |i  = j}∪ 8 n(i) : gerade i mit i=1 (−1)

n(i) e

F4

52

4

{±ei } ∪ {±ei ± e j |i= j}∪ 1 4 i=1 ±ei 2

48

G2

14

3

{±ei } ∪ {±ei ± e j |i = j}

12

324

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Dieses ist isomorph zum Wurzelsystem der sogenannten dualen L IE-Algebra L∨ von L ∨ ∼ = (L∨ ).

(7.203)

7.6 Einfache Wurzeln Nach Wahl einer Hyperebene im endlich-dimensionalen, reellen Vektorraum V mit Skalarprodukt – bzw. H0∗ –, die keine Wurzel enthält, kann der Wurzelraum in zwei voneinander getrennte Halbräume V+ und V− aufgeteilt werden. Damit gelingt es eine Menge von Wurzeln auszuzeichnen und etwa jene Menge + , die im Halbraum V+ liegen als positive Wurzeln (α > 0) zu definieren + := {α ∈ |α > 0}.

(7.204)

Andernfalls gelten die Wurzeln als negative Wurzeln (α < 0) (Tab. 7.7). Diese Einteilung hat zur Folge, dass in der linearen Entwicklung einer Wurzel α nach einer Tabelle 7.7 Positive (+ ) und einfache () Wurzelsysteme von einfachen L IE-Algebren L im Vektorraum V mit den orthonormalen Basissystemen {ei |i = 1, . . . , dim V } L

dim V

+



Al

l +1

{ei − e j |i < j}

{ei − ei+1 }

Bl

l

{ei }∪ {ei ± e j |i = j}

{ei − ei+1 |i = 1, . . . , l − 1}∪ {el }

Cl

l

{2ei }∪ {ei ± e j |i = j}

{ei − ei+1 |i = 1, . . . , l − 1}∪ {2el }

Dl

l

{ei ± e j |i < j}

{ei − ei+1 |i = 1, . . . , l − 1}∪ {el−1 + el }

E6

8

< i ≤ 5}∪   {ei ± e j |1 ≤ j  5 1/2 e8 − e7 − e6 + i=1 (−1)n(i) ei  (−1)n(i) : ungerade

{ei+1 1, . . . , 4}∪  − ei |i =   7 1/2 e8 + e1 − i=2 ei ∪

j ≤ i ≤ 6}∪  {ei ± e j |1 ≤ 6 1/2 e8 − e7 + i=1 (−1)n(i) ei ∪  {e8 − e7 }, (−1)n(i) : gerade

{ei+1  − ei |1 ≤i ≤ 5}∪  7 ei ∪ 1/2 e8 + e1 − i=2

e j | j ≤ i}∪   {ei ± 7 1/2 e8 + i=1 (−1)n(i) ei  (−1)n(i) : ungerade

{ei+1 1, . . . , 6}∪  − ei |i =   7 1/2 e8 + e1 − i=2 ei ∪

E7

E8

8

8

{e1 + e2 }

{e1 + e2 }

{e1 + e2 }

F4

4

{ei ± e j | j ≤ i}∪ 1/2{e1 ± e2 ± e3 ± e4 }

{e2 − e3 , e3 − e4 , e4 }∪ 1/2{e1 − e2 − e3 − e4 }

G2

3

{e1 − e2 , e3 − e1 , e3 − e2 }∪ {e2 + e3 − 2e1 , e1 + e3 − 2e2 , −e1 − e2 + 2e3 }

{e1 − e2 , e2 + e3 − 2e1 }

7.6

Einfache Wurzeln

325

Basis {α(i) |i = 1, . . . , l} im Wurzelraum V gemäß Gl. (7.210) die erste nichtverschwindende Komponente ai positiv ist. Die Entscheidung darüber, ob eine Wurzel positiv ist, hängt demnach von der Lage der Hyperebene bzw. von der Wahl der Basis ab. Die Summe zweier positiven Wurzeln sowie das positive Vielfache einer positiven Wurzel ist stets positiv. Nachdem es bei einem abstrakten, reduzierten Wurzelsystem  kein Vielfaches der Wurzel α gibt – außer −α – ist die Wurzel α genau dann aus dem positiven Wurzelsystem + , wenn −α im negativen Wurzelsystem − enthalten ist. Demnach kann die Menge der Basiselemente {eα |α ∈ } (7.57) bzw. Stufenoperatoren aufgeteilt werden in zwei Teilmengen {eα |α ∈ } = {e+α |α ∈ + } ∪ {e−α |α ∈ − },

(7.205)

die aus der Menge der Aufsteigeoperatoren (Erzeugungsoperatoren) e+α und der Absteigeoperatoren (Vernichtungsoperatoren) e−α besteht. Dabei ist zu beachten, dass die willkürliche Wahl der Hyperebene bzw. der Basis darüber entscheidet, welche Operatoren zu den Aufsteige- bzw. Absteigeoperatoren gehören. Die Anzahl |+ | der positiven Wurzeln ist gerade die Hälfte der gesamten Anzahl || von endlichen Wurzeln. Demzufolge muss die gesamte Anzahl und mithin die Differenz zwischen der Dimension und dem Rang einer halbeinfachen L IE-Agebra geradzahlig sein. (s. a. Abschn. 7.3). Mit den Unterräumen, die von den Aufsteigebzw. Absteigeoperatoren (7.205) aufgespannt werden, bekommt man die L IEUnteralgebren L+ und L− . Letztere erlauben eine Aufteilung der gesamten L IEAlgebra L in der Form L = L+ ⊕ H ⊕ L− = L+ ⊕ L0 ⊕ L− ,

(7.206)

die als Dreiecks- oder G AUSS-Zerlegung von L bezeichnet wird. Schließlich kann man zwischen zwei Wurzeln α und β eine Vergleichsoperation definieren α>β

für

α − β > 0 bzw.

(α − β) ∈ +

α, β ∈ .

(7.207)

Damit gelingt eine einfache (lexikographische) Anordnung auf dem Wurzelraum, die unter Addition und Multiplikation mit positiven Skalaren erhalten bleibt und ausschließlich von der Wahl der Basis abhängig ist. Zur Klassifizierung einer L IE-Algebra ist die Angabe aller Wurzeln α ∈  wegen deren linearen Abhängigkeit redundant. Unter der Menge der positiven Wurzeln {α|α ∈ + } gibt es jedoch eine ausgezeichnete Teilmenge, die sogenannten einfachen Wurzeln, die die wesentlichen Informationen über das Wurzelsystem  einer einfachen L IE-Algebra enthalten (Tab. 7.7). Dabei wird eine Wurzel als einfach bezeichnet, wenn sie positiv ist und nicht in einer Linearkombination von anderen positiven Wurzeln mit positiven Komponenten zerlegt werden kann. Demnach

326

7 Halbeinfache L IE-Algebren

sind die einfachen Wurzeln genau jene Wurzeln, die am nächsten an der Hyperebene liegen. Die willkürliche Wahl der Hyperebene bzw. der Basis im Wurzelraum entscheidet darüber, welche Wurzeln als einfach gelten. Unabhängig von der Wahl der Hyperebene kann man in einem abstrakten Wurzelraum eine Menge  von genau l einfachen Wurzeln α(i) definieren  := {α(i) |i = 1, . . . , l = rang L}.

(7.208)

Diese Menge  ist linear unabhängig und spannt den reellen Wurzelraum V auf V = spanR {α(i) |i = 1, . . . , l},

(7.209)

so dass die einfachen Wurzeln eine Basis bilden. Sie ist jedoch nicht notwendigerweise orthonormal. Der euklidische Vektorraum zusammen mit der Basis (7.208) werden als einfaches (fundamentales) System  bezeichnet. Jede beliebige Wurzel α kann dann durch eine Linearkombination von einfachen Wurzeln dargestellt werden α=

l

ai α(i)

α(i) ∈ 

ai ∈ Z.

(7.210)

i=1

Dabei ist hervorzuheben, dass die Komponenten {ai |i = 1, . . . , l} alle ganzzahlig sind. Falls alle Komponenten positiv sind ist die Wurzel α positiv (α ∈ + ). Umgekehrt ist die Bedingung (7.210) auch hinreichend dafür, dass die Menge  der Wurzeln ein einfaches System ist. Ausgehend von zwei einfachen Wurzeln α(i) und α( j) (i = j) sowie von der Voraussetzung, dass die Differenz eine positive Wurzel ist α(i) − α( j) ∈ +

α(i) , α( j) ∈ 

i = j,

dann lässt sich die Wurzel α(i) als Summe zweier positiver Wurzeln darstellen α(i) = (α(i) − α( j) ) + α( j) , was der linearen Unabhängigkeit widerspricht. In analoger Weise bekommt man einen Widerspruch zu der Voraussetzung, dass die Differenz (α(i) − α( j) ) eine negative Wurzel ist. Als Konsequenz daraus gilt die Aussage, dass die Differenz zweier verschiedener einfacher Wurzeln keine Wurzel des Wurzelsystems  ist α(i) − α( j) ∈ /

α(i) , α( j) ∈ 

i = j.

(7.211)

Betrachtet man einen α(i) -String durch die einfache Wurzel α( j) α( j) − mα(i) , α( j) − (m − 1)α(i) , . . . , α( j) + nα(i)

m, n ≥ 0

m, n ∈ Z,

7.6

Einfache Wurzeln

327

dann erhält man mit Gl. (7.211) die Forderung nach einer verschwindenden Zahl m (= 0). Nach Gl. (7.167) findet man zusammen mit dem reellen, positiven Norm  quadrat von α(i) ( α(i) , α(i) > 0, s. Gl. 7.172b) für das Skalarprodukt zweier verschiedener einfachen Wurzeln   α(i) , α( j) ≤ 0. (7.212) Demnach schließen die Wurzelvektoren zweier einfacher Wurzeln stets einen stumpfen Winkel {π/2 ≤ ϕ ≤ π } ein. Mit einer einfachen Wurzel α(i) aus dem Basissystem  bekommt man durch 2α(i)  α(i) , α(i)

∨ = α(i)

i = 1, . . . , l

α(i) ∈ 

(7.213)

 ∨ . Dabei sind die einfachen Ko-Wurzeln α ∨ |i = 1, eine einfache Ko-Wurzel α(i) (i) . . . , l} gerade die einfachen Wurzeln der zur L IE-Algebra L dualen L IE-Algebra L∨ (s. Gl. 7.203). An dieser Stelle sei auf den zum Wurzelraum V – bzw. H0∗ – dualen Raum, den sogenannten Gewichtsraum V ∗ – bzw. H0 – hingewiesen, dessen Elemente als die Gewichte λ der L IE-Algebra L aufgefasst werden können (Abschn. 9.1). Wählt man als Basis des Wurzelraumes die einfachen Ko-Wurzeln B ∗ = {α (i)∨ |i = 1, . . . , l},

(7.214a)

dann besteht die dazu duale Basis B des Gewichtsraumes B = {( j) | j = 1, . . . , l},

(7.214b)

die als DYNKIN-Basis bezeichnet wird, aus den sogenannten l fundamentalen Gewichten (i) einer halbeinfachen L IE-Algebra mit der Eigenschaft !

" α (i)∨ , ( j) = δ ij

" 1! " α (i) , ( j) = α (i) , α (i) δ ij 2

!

i, j = 1, . . . , l. (7.215) Die Indexstellung – unten bzw. oben – bringt die ko- bzw. kontravarianten Transformationseigenschaften zum Ausdruck. In der geometrischen Interpretation steht der j-te fundamentale Gewichtsvektor senkrecht zu den Wurzelvektoren {α (i) |i = i, j = 1, . . . , l}. Die orthogonale Projektion dieses Gewichtsvektors ( j) auf den  Wurzelvektor α (i) ist gerade dessen halbe Länge α (i) , α (i) . Die Komponenten {λi | i = 1, . . . , l} eines beliebigen Gewichts λ in der DYNKIN-Basis bzw.

λ=

l

i=1

werden als DYNKIN-Label bezeichnet.

λi (i)

(7.216)

328

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Analog zu dieser Betrachtung kann man eine zu den einfachen Wurzeln als Basis B ∗ = {α (i) |i = 1, . . . , l}

(7.217a)

  B = ∨ ( j) | j = 1, . . . , l ,

(7.217b)

duale Basis

finden, deren Elemente die l fundamentalen Ko-Gewichte ∨(i) sind und die Forderung ! " i α (i) , ∨ (i) = δ j

" 1 !  α (i) , ( j) = ( j) , ( j) δ ij 2

bzw.

i, j = 1, . . . , l (7.218)

erfüllen. Die Summe der fundamentalen Gewichte bzw. fundamentalen Ko-Gewichte definieren einen Vektor, der als W EYL -Vektor ρ bzw. als dualer W EYL-Vektor ρ ∨ bekannt ist (s. a. Abschn. 7.8) ρ=

l

(i)

bzw.

ρ∨ =

i=1

l

∨ (i) .

(7.219)

i=1

Dieser Vektor genügt der Forderung, dass dessen DYNKIN-Label λi alle gleich dem Wert Eins sind und man erhält mit Gl. (7.215) bzw. (7.218) ! " α (i)∨ , ρ = 1

bzw.

" ! α (i) , ρ ∨ = 1

i = 1, . . . , l.

(7.220)

Nachdem jede Wurzel α nach Gl. (7.210) als Linearkombination von einfachen Wurzeln mit ganzzahligen Komponenten darstellbar ist, kann man eine besondere Teilmenge des Wurzelraumes H0∗ definieren, nämlich die Menge aller Linearkombinationen von einfachen Wurzeln α (i) mit ganzzahligen Komponenten ai (∈ Z). Man erhält so eine Menge von Vektoren, deren Gesamtheit das sogenannte Wurzelgitter L r (L) aufspannen L r (L) = spanZ  = spanZ .

(7.221)

Betrachtet man an Stelle der einfachen Wurzeln die einfachen Ko-Wurzeln α (i)∨ (7.213), dann erhält man als Menge aller Linearkombinationen das Ko-Wurzelgitter L∨ r (L). Analog dazu kann man im Gewichtsraum H0 ein Gewichtsgitter L w (L) einführen, das von den fundamentalen Gewichten (7.214) über den ganzen Zahlen Z aufgespannt wird

7.6

Einfache Wurzeln

329

L w (L) = spanZ {(i) |i = 1, . . . , l}.

(7.222)

Dieses ist dann dual zum Ko-Wurzelgitter 6 7∗ L w (L) = L ∨ r (L) , so dass Skalarprodukt von Elementen aus dem einen Gitter mit solchen aus dem anderen Gitter stets eine ganze Zahl ist. Zudem ist das Wurzelgitter Lr als Untergitter im Gewichtsgitter Lw enthalten (Lr ⊂ Lw ). Die ganzzahlige, positive Summe der Komponenten {ai |i = 1, . . . , l} einer Wurzel α nach Gl. (7.210) bzw. ganz allgemein eines Gittervektors im Wurzelgitter L r (L) mit dem einfachen System  wird als Höhe der Wurzel α bezeichnet htα =

l

ai ∈ Z.

ai

(7.223)

i=1

Demnach sind jene positiven Wurzeln α ∈ + mit der Höhe htα = 1 gerade die einfachen Wurzeln α (i) . Die Verknüpfung einer beliebigen Wurzel mit ihrer Höhe (7.224) ermöglicht eine Z-Abstufung des Wurzelraumes  −→ Z. Mit Gl. (7.219) lässt sich die Höhe einer Wurzel α durch das Skalarprodukt htα =

l ! " 

 a i α (i) , ρ ∨ = α, ρ ∨

(7.224)

i=1

ausdrücken. Die Höhe einer Wurzel erlaubt dann die Einführung von positiven Wurzeln (7.204) bzw. einer Vergleichsoperation (7.207) durch die Forderung htα > 0

(7.225a)

htα > htβ.

(7.225b)

bzw.

Für ein irreduzibles Wurzelsystem  mit dem einfachen System  gibt es genau eine Wurzel θ mit maximaler Höhe htθ ≥ htα

∀α ∈ ,

(7.226)

die als höchste Wurzel der L IE-Algebra bezeichnet wird θ=

l

i=1

ai α (i)

2 ai∨ α (i)∨ . = "θ, θ # l

bzw.

θ

i=1

(7.227a)

330

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Die linearen Komponenten ai bzw. ai∨ der höchsten Wurzel θ bzgl. einer Basis von einfachen Wurzeln {α (i) | i = 1, . . . , l} bzw. einfachen Ko-Wurzeln {α (i)∨ | i = 1, . . . , l} werden als C OXETER-Label (K ACˇ -Label) bzw. duale C OXETER-Label bezeichnet "θ, θ #  a∨ α (i) , α (i) i

ai = 

i = 1, . . . , l.

(7.227b)

Die Summe dieser Komponenten definieren eine für eine einfache L IE-Algebra charakteristische Konstante h := 1 +

l

  ai = 1 + α, ρ ∨

(7.228a)

  ai∨ = 1 + ρ, α ∨ ,

(7.228b)

i=1

bzw. h ∨ := 1 +

l

i=1

die als C OXETER-Zahl bzw. duale C OXETER-Zahl bekannt ist. Betrachtet man eine beliebige Wurzel β aus dem positiven Wurzelsystem + ohne die höchste Wurzel θ , dann kann der Wurzelvektor (θ − β) als Linearkombination der Basis (7.216) mit positiven, ganzzahligen Komponenten dargestellt werden. Demnach erhält man mit θ=

l

ai α (i)

und

i=1

l

bi α (i)

(7.229a)

∀β ∈ + \θ.

(7.229b)

β=

i=1

die Aussage ai ≥ bi

i = 1, . . . , l

Neben der höchsten Wurzel gibt es noch genau eine kurze Wurzel θs ∈  mit maximaler Höhe unter den kurzen Wurzeln, die als die höchste kurze Wurzel bezeichnet wird. Beispiel 1 Bei der L IE-Algebra A2 findet man die sechs endlichen Wurzeln ±α, ±β und ±γ = ±(α + β) (s. Beispiel 2 v. Abschn. 7.3 und Abb. 7.2). Nach Wahl einer Geraden als Hyperebene kann diese den Wurzelraum H0∗ = R2 in zwei Halbräume aufteilen, von denen der eine von den positiven Wurzeln {α, β, γ } ∈ + und der andere von den negativen Wurzeln {−α, −β, −γ } ∈ − aufgespannt wird. Mit dieser Aufteilung werden als Basissystem  die einfachen Wurzeln

7.6

Einfache Wurzeln

331

Abb. 7.4 Wurzelgitter L r (A2 ) (———) und Gewichtsgitter L w (A2 ) (- - - - -) der einfachen L IEAlgebra A2 nach Gl. (7.215) mit L r ⊂ L w

α (1) = α

und

α (2) = β

gewählt. Es sind jene l = 2 Wurzeln, die der Trennungsgerade am nächsten liegen. Zudem schließen sie einen stumpfen Winkel ein (φ = 2π/3). Eine andere Aufteilung durch Rotation der Geraden liefert etwa die positiven Wurzeln {α, −β, γ = α + β} sowie die negativen Wurzeln {β, −α, −γ }. Dadurch bekommt man ein Basissystem  mit den einfachen Wurzeln α(1) = −β

und

α (2) = γ ,

die wieder der Trennungsgerade am nächsten liegen und den gleichen stumpfen Winkel einschließen (ϕ = 2π/3).       Mit den Skalarprodukten α (1) , α (1) = α (2) , α (2) = 1/3 bzw. α (1) , α (2) = −1/6 nach den Gln. (7.145) und (7.146) errechnen sich die 2 (= l) fundamentalen Gewichte aus Gl. (7.215) zu (1) =

2 (1) 1 (2) α + α 3 3

(7.230a)

(2) =

1 (1) 2 (2) α + α . 3 3

(7.230b)

und

Die Basissysteme B∗ = {α (1) , α (2) } bzw. B = {(1) , (2) } erlauben dann die Konstruktion des Wurzelgitters L r (A2 ) bzw. des Gewichtsgitters L w (A2 ), wobei die beiden reellen Vektorräume H0 und H0∗ als gleichwertig behandelt werden (Abb. 7.4). Nachdem der Vektorraum H0 , der von der Basis {h i | i = 1, . . . , l} über R aufgespannt wird, aufgrund der positiv definiten K ILLING-Form (7.66) und mithin eines

332

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Skalarprodukts " · , · # mit dem dazu dualen Wurzelraum H0∗ = spanR {α| α ∈ } identifiziert werden kann, wird man die Elemente der beiden Vektorräume als gleichwertig behandeln. Demnach können die Wurzeln α selbst als Gewichte betrachtet werden, nämlich als Gewichte der adjungierten Abbildung (Gl. 7.54 – s. a. Beispiel 1 v. Abschn. 9.1). Die Ermittlung des Skalarprodukts auf dem Gewichtsraum bzw. auf dem Wurzelraum geschieht mithilfe der Komponenten der Gewichte bzw. der Wurzeln bezüglich der Basis von einfachen Ko-Wurzeln bzw. der DYNKIN Basis (7.214). Als Konsequenz daraus erhält man mit Gl. (7.23) etwa für ein Element λ des Gewichtraumes H0 die Darstellung λ=

l

λi α (i)∨ =

i=1

l

λi (i)

λ ∈ H0 .

(7.231a)

i=1

Dabei sind die kovarianten Komponenten λi bzw. kontravarianten Komponenten λi (DYNKIN-Label) mit der Reziprozität (7.215) nach Gl. (7.24) gegeben durch   λi = (i) , λ

! " λi = α (i)∨ , λ

i = 1, . . . , l.

(7.231b)

Der Übergang vom Vektorraum H0 zum Dualraum H0∗ und umgekehrt geschieht mithilfe des kovarianten bzw. kontravarianten metrischen Tensors κˆ nach Gln. (7.25) und (7.27). Dieser Tensor besitzt nach Gl. (7.26) die Komponenten   κˆ i j = (i) , ( j)

bzw.

" ! κˆ i j = α (i)∨ , α ( j)∨ .

(7.232)

Beide Formen sind nach Gl. (7.28) bzw. Gl. (7.83) reziprok zueinander (κˆ κˆ −1 = 1) und können durch die Vertauschung der beiden Vektorräume wechselseitig substituiert werden (Abschn. 7.3). Im vorliegenden Fall bedeutet die Metrik mit oberen Indizes die auf die C ARTAN-Unteralgebra H beschränkte K ILLING(i) ( j) ˆ i , H j ) und wird als (symmetrisierte) C ARTAN-Matrix Form κ(H ˆ α , H α ) = κ(H bezeichnet (Abschn. 7.7). Der metrische Tensor mit unteren Indizes, bekannt als die quadratische Formenmatrix der L IE-Algebra L, ist dann dual zur K ILLING -Form (s. a. Abschn. 7.3). Das Skalarprodukt zweier Gewichte λ und µ kann analog zum Skalarprodukt zweier Wurzeln (Gl. 7.85) ausgedrückt werden durch "λ, µ# =

l

λi µi =

i=1

l l

i=1 j=1

κˆi j λi µ j =

l l



κˆ i j λi µ j .

(7.233)

i=1 j=1

7.7 C ARTAN-Matrizen Die Klassifizierung aller komplexen halbeinfachen L IE-Algebren kann reduziert werden auf die Klassifizierung von bestimmten Matrizen, die sogenannten

7.7

C ARTAN-Matrizen

333

C ARTAN-Matrizen A, die die Struktur der L IE-Algebra wiederspiegeln. Darüberhinaus liefern diese Matrizen die irreduziblen Darstellungen. Eine solche Matrix A, deren Elemente die Skalarprodukte der einfachen Wurzeln {α(i) | i = 1, . . . , l} sind, wird definiert durch  !  " 2 α(i) , α( j) ∨  = α(i) , α( j) Ai j : =  α(i) , α(i) (7.234) α(i) , α( j) ∈  ⊂ .

i, j = 1, . . . , l = rang L

Sie gilt als die C ARTAN-Matrix eines Wurzelsystems  in Bezug auf das einfache System . Wahlweise kann auch die transponierte Matrix A zur Festlegung verwendet werden. Eine nähere Analyse liefert die folgenden Eigenschaften: (a) Die Diagonalelemente haben stets den Wert Aii = 2

∀i = 1, . . . , l.

(7.235a)

(b) Aus der Symmetrie des Skalarprodukts im Vektorraum V – bzw. H0∗ – folgt die Äquivalenz Ai j = 0

genau dann, falls

A ji = 0

i, j = 1, . . . , l.

(7.235b)

(c) Nach Gl. (7.185c) sind die Matrixelemente Ai j ganze Zahlen Ai j ∈ Z

i, j = 1, . . . , l.

(7.235c)

(d) Nach Gl. (7.212) gilt für die Matrixelemente Ai j ≤ 0

i = j.

(7.235d)

(e) Es existiert eine diagonale Matrix D mit positiven Elementen, so dass die Matrix D A D −1 symmetrisch und positiv definit ist. Dies bedeutet auch, dass wegen der linearen Unabhängigkeit der l einfachen Wurzeln für die Determinante det A (G RAM’sche Determinante der Wurzelvektoren) gilt det A > 0.

(7.235e)

Falls man auf die letzte Eigenschaft verzichtet, dann erhält man verallgemeinerte C ARTAN-Matrizen, die die allgemeine Klasse von K AC -M OODY-Algebren zu charakterisieren vermögen. Die Konstruktion der C ARTAN-Matrix A setzt die Kenntnis des einfachen Systems  voraus. Eine unterschiedliche Numerierung der einfachen Wurzeln in der Menge  bzw. eine Umordnung von Zeilen und Spalten gibt Anlass zu unterschiedlichen C ARTAN-Matrizen. Diese sind jedoch isomorph (äquivalent), da sie

334

7 Halbeinfache L IE-Algebren

durch eine Permutationsmatrix zueinander konjugiert sind. Die C ARTAN-Matrix einer einfachen L IE-Algebra ist somit bis auf Isomorphie unabhängig von der Wahl der Basis (7.208) der einfachen Wurzeln. Isomorphe L IE-Algebren besitzen den gleichen Rang und die gleiche Dimension. Als Konsequenz daraus gewinnt man (zusammen mit den S ERRE -Gleichungen (7.278)) die Aussage, das diejenigen C ARTAN-Matrizen, die nicht durch Umnumerierung von einfachen Wurzeln ineinander transformiert werden können zu solchen L IE-Algebren gehören, die nicht isomorph zueinander sind. Unabhängig von einer L IE-Algebra kann man eine quadratische Matrix A durch die Forderungen (7.235a) bis (7.235e) definieren. Eine solche Matrix ist dann eine abstrakte C ARTAN-Matrix, die ihrerseits das vollständige Wurzelsystem  einer L IE-Algebra L zu bestimmen erlaubt. Die Frage nach der Reduzierbarkeit einer C ARTAN-Matrix A wird durch die Reduzierbarkeit des Wurzelsystems  bzw. durch die Zerlegung der L IE-Algebra L in einfache L IE-Algebren nach Gl. (7.187) entschieden. Dabei ist ein Wurzelsystem genau dann reduzibel, falls es durch eine geeignete Numerierung der Indizes von einfachen Wurzeln gelingt, die C ARTAN-Matrix in eine diagonale Blockform mit mehr als einem Matrixblock zu bringen. In diesem Fall gilt die C ARTAN-Matrix A als reduzibel, andernfalls als irreduzibel. Jede abstrakte C ARTAN-Matrix kann durch geeignete Anordnung der Indizes auf eine diagonale Blockform transformiert werden, so dass deren einzelne Matrixblöcke jeweils eine irreduzible C ARTANMatrix bilden. Betrachtet man zwei beliebige einfache Wurzeln α(i) und α( j) aus dem einfachen System , dann erhält man mit Gln. (7.190) und (7.234) "! " ! ∨ ∨ = pq = 4 cos2 ϕ ≤ 4, , α( j) α( j) , α(i) Ai j A ji = α(i)

(7.236)

wonach die Produkte auf fünf Werte eingeschränkt werden Ai j A ji ∈ {0, 1, 2, 3}

für

i = j

und

Aii Aii = 4.

(7.237)

Zusammen mit den Forderungen (7.235) ergeben sich daraus nur vier mögliche Paarungen von Nicht-Diagonalelementen Ai j (Tab. 7.8). Diese Einschränkungen sind bereits eine Konsequenz der Forderung (7.235e), so dass auf die Einführung der Matrixelemente Ai j nach Gl. (7.234) und mithin auf das einfache System  mit dessen euklidischem Vektorraum und positiv definiter Metrik verzichtet werden kann. Tabelle 7.8 Mögliche Fälle a bis d von Nicht-Diagonalelementen Ai j (i = j) der C ARTANMatrix A Ai j A ji ϕ 4 cos2 ϕ

a 0 0 π/2 0

b −1 −1 2π/3 1

c −1 −2 3π/4 2

d −1 −3 5π/6 3

7.7

C ARTAN-Matrizen

335

Mit jeder (abstrakten) C ARTAN-Matrix A kann ein Graph verknüpft werden, das sogenannte (abstrakte) C OXETER-Diagramm. Diese Darstellung veranschaulicht die gegenseitige Lage der einfachen Wurzeln {α(i) |i = 1, . . . , l} eines Wurzelsystems  und erleichtert so die Diskussion der C ARTAN-Matrix. Ein C OXETERDiagramm besteht aus Knoten und Linien. Jeder Knoten i vertritt etwa eine einfache Wurzel α(i) . Die Knoten i und j werden durch Linien verbunden, deren Anzahl durch das Produkt Ai j A ji festgelegt ist. Nach Tabelle 7.7 erwartet man eine, zwei oder drei Verbindungslinien entsprechend den Winkeln ϕ = 2π/3, ϕ = 3π/4 und ϕ = 5π/6. Diejenigen Knoten, die zu orthogonalen einfachen Wurzeln gehören (ϕ = 0), werden nicht verbunden. In diesem Fall hat die C ARTAN-Matrix A eine diagonale Blockform (Ai j = A ji = 0), so dass sie als reduzibel gilt. Demnach ist das Wurzelsystem  irreduzibel, falls das C OXETER-Diagramm verbunden ist. Isomorphe C ARTAN-Matrizen, die durch Umnummerierung der einfachen Wurzeln bzw. durch Umordnung von Zeilen und Spalten auseinander hervorgehen und mithin isomorphe L IE-Algebren beschreiben, lassen das C OXETER-Diagramm invariant. Bleibt zu erwähnen, dass die Knoten neben den einfachen Wurzeln auch noch weitere charakteristische Größen einer L IE-Algebra vertreten können. Gemeint sind etwa die Zeilen {i|i = 1, . . . , l} der C ARTAN-Matrix, die Basiselemente {h i |i = 1, . . . , l} der C ARTAN-Unteralgebra, die Generatoren {s(i) ≡ sα(i) |i = 1, . . . , l} der W EYL-Gruppe (Abschn. 7.8) sowie die fundamentalen Gewichte {(i) |i = 1, . . . , l} (Abschn. 7.6). Demnach werden die Knoten allgemein durch die Indizes i = 1, . . . , rang L = dim V gekennzeichnet. Eine weitere Kennzeichnung ergibt ein Pfeil von einem Knoten i in Richtung eines Knotens j, für den Fall |Ai j | > |A ji | (Ai j = 0), womit eine Richtungsangabe   von einer längeren Wurzel α(i) zu einer kürzeren Wurzel α( j) erfolgt ( α(i) , α(i) > α( j) , α( j) ). Auf diese Weise ergibt sich aus dem C OXETER-Diagramm das sogenannte DYNKIN-Diagramm. Da es bei jeder endlich-dimensionalen einfachen L IE-Algebra zwei verschieden lange einfache Wurzeln gibt, erhält man damit eine eindeutige Angabe. Mitunter wird an Stelle des Pfeils der Knoten der längeren bzw. kürzeren Wurzel mit einem ausgefüllten bzw. offenen Kreis gekennzeichnet. Jeder Knoten kann auch mit einem Gewicht {ωi |i = 1, . . . , l} versehen werden. Letzteres ist proportional dem Normquadrat und definiert durch   ωi := ω α(i) , α(i)

i = 1, . . . , l,

(7.238)

wobei die Konstante ω so gewählt wird, dass der minimale Wert aller Gewichte {ωi |i = 1, . . . , l} den Wert Eins annimmt. Die Gewichte bringen so die Länge einer Wurzel zum Ausdruck, so dass auf die Pfeilrichtung verzichtet werden kann. Mit Gl. (7.234) errechnet sich das Verhältnis zweier Gewichte zu A ji ωi = ωj Ai j woraus die Beziehung

Ai j = 0,

(7.239a)

336

7 Halbeinfache L IE-Algebren

 Ai j = − Ai j A ji

1

ωj ωi

i, j = 1, . . . , l

(7.239b)

resultiert. Die Angabe über die Zahl der Verbindungslinien (Ai j A ji ) zwischen zwei Knoten sowie über die relativen Gewichte bzw.  die relativen Längen der zugehö rigen einfachen Wurzeln ω j /ωi = lα( j) α(i) liefert genügend Information, um aus dem DYNKIN-Diagramm bis auf Isomorphie eindeutig die C ARTAN-Matrix zu ermitteln. Beispiel 1 Im Falle einer einfachen L IE-Algebra vom Rang l = 1, zu der die isomorphen L IE-Algebren A1 , B1 und C1 gehören, gibt es nur eine einfache Wurzel α (Beispiel 1 v. Abschn. 7.5), so dass im DYNKIN-Diagramm nur ein Knoten erwartet wird. Die C ARTAN-Matrix errechnet sich nach Gl. (7.234) zu A = 2.

(7.240)

Die L IE-Agebra D1 , die zur Matrixalgebra so(2, C) isomorph ist, muss aus diesem Fall ausgeschlossen werden, da sie nicht halbeinfach ist. Beispiel 2 Die L IE-Algeba A2 hat zwei einfache Wurzeln α(1) (= α) und α(2) (= β) mit gleicher Norm und dem Winkel ϕ = 2π/3 (Beispiel 2 v. Abschn. 7.5). Die Nicht-Diagonalelemente der 2× 2 C ARTAN-Matrix A ergeben sich nach Tabelle 7.8 zu (A2 ) 2) A(A 12 = A 21 = −1,

was durch die Werte (7.145) und (7.146) mithilfe von Gl. (7.234) bestätigt wird. Auch Gl. (7.239) liefert mit den Gewichten nach Gl. (7.238) ω1 = ω2 = 1 (A )

(A )

und dem Wert A12 2 A21 2 = 1 das gleiche Ergebnis. Insgesamt hat die C ARTANMatrix die Gestalt   2 −1 . (7.241) A(A2 ) = −1 2 Das zugehörige DYNKIN-Diagramm besteht aus zwei Knoten, die durch eine Linie (A12 A21 = 1) verbunden sind (Abb. 7.5). Bei der L IE-Algebra B2 gibt es zwei einfache Wurzeln α(1) (= β) und α(2) (= α) mit unterschiedlicher Norm ((7.196), die einen Winkel von ϕ = 3π/4 einschließen (Beispiel 2 v. Abschn. 7.5). Die C ARTAN-Matrix A(B2 ) ergibt sich mit den Werten von Tabelle 7.8 zu   2 −1 A(B2 ) = . (7.242) −2 2

7.7

C ARTAN-Matrizen

337

Das zugehörige DYNKIN-Diagramm besteht aus zwei Knoten, die durch zwei Linien (A12 A21 = 2) verbunden sind (Abb. 7.5). Zudem wird mit der Pfeilrichtung zum Ausdruck gebracht, dass die Norm der Wurzel α(1) größer ist als die der Wurzel α(2) . Dies kann auch durch die Gewichte betont werden, die sich nach (7.238) zu ω1 = 2 und ω2 = 1 ergeben. Nach Vertauschung der beiden einfachen Wurzeln der L IE-Algebra B2 erhält man die einfachen Wurzeln der L IE-Algebra C2 , deren C ARTAN-Matrix dann wegen der Umordnung der Indizes mit (7.242) die Form annimmt   2 −2 A(C2 ) = . (7.243) −1 2 Sie ist demnach isomorph zur C ARTAN-Matrix A(B2 ) , die die gleiche L IE-Algebra beschreibt (Beispiel 2 v. Abschn. 7.5). Entsprechend erwartet man für die L IEAlgebra C 2 das DYNKIN -Diagramm der L IE-Algebra B2 , wobei wegen der vertauschten Normen der einfachen Wurzeln die Gewichte vertauscht sind bzw. die Pfeilrichtung umgekehrt ist (Abb. 7.5).

Abb. 7.5 DYNKIN-Diagramme für die irreduziblen Wurzelsysteme bzw. die einfachen L IEAlgebren A2 , B2 , C 2 und G 2 (die Gewichte {ωi |i = 1, 2} sind über den Knoten eingezeichnet)

Bei der L IE-Algebra G 2 gibt es zwei einfache Wurzeln α(1) (= α) und α(2) (= β) mit unterschiedlicher Norm (7.198), die einen Winkel von ϕ = 5π/6 einschließen (Beispiel 2 v. Abschn. 7.5). Die C ARTAN-Matrix A(G 2 ) ergibt sich mit den Werten von Tabelle 7.8 zu   2 −1 (G 2 ) A = . (7.244) −3 2 Das zugehörige DYNKIN -Diagramm besteht aus zwei Knoten, die durch drei Linien (A12 A21 = 3) verbunden sind (Abb. 7.5). Zudem wird mit dem Pfeil die Richtung von der einfachen Wurzel mit größerer Norm zur einfachen Wurzel mit kleinerer Norm ausgezeichnet. Die Gewichte, die sich nach (7.239) zu ω1 = 3 und ω2 = 1 ergeben, erlauben eine analoge Auszeichnung. Schließlich wird die halbeinfache L IE-Algebra D2 betrachtet. Sie besitzt zwei einfache Wurzeln α(1) (= α) und α(2) (= β) mit unbestimmter relativer Länge, die einen Winkel von π/2 einschließen (Beispiel 2 v. Abschn. 7.5). Die C ARTAN-Matrix A(D2 ) ergibt sich mit den Werten von Tabelle 7.8 zu

338

7 Halbeinfache L IE-Algebren

A(D2 ) =



 2 0 . 0 2

(7.245)

Sie zeigt eine diagonale Blockform und ist deshalb reduzibel. Die diagonalen Kästen mit den Elementen A11 = A22 gehören jeweils zu der irreduziblen C ARTAN-Matrix A(A1 ) der L IE-Algebra A1 (s. Beispiel 1). Das zugehörige DYNKIN-Diagramm besteht aus zwei Knoten. Diese sind jedoch nicht miteinander verbunden (A12 = A21 = 0), womit die Reduzierbarkeit des Wurzelsystems  gemäß Gl. (7.200a) bzw. die Zerlegung der halbeinfachen L IE-Algebra in zwei einfache L IE-Algebren gemäß Gl. (7.200b) demonstriert wird. Eine Ausdehnung der Betrachtung von einfachen L IE-Algebren der letzten Beispiele führt zur Diskussion der klassischen einfachen L IE-Algebren Al , Bl , Cl und Dl mit allgemeinem Rang l bzw. zu den exzeptionellen einfachen L IE-Algebren E 6 , E 7 , E 8 , F4 und G 2 . Für die DYNKIN-Diagramme, die mit einer abstrakten l × l-C ARTAN-Matrix verknüpft sind, gelten dabei die folgenden Eigenschaften: (a) Es gibt keine Schleifen. (b) Es gibt keine Vielfachverbindungslinien bei einem möglichen Verzweigungsknoten. (c) Es gibt höchstens eine vielfache Verbindung. (d) Es gibt höchsten einen Verzweigungsknoten mit genau drei Ästen. Damit erhält man die DYNKIN -Diagramme von Abb. 7.6. Umgekehrt ist jedes der Diagramme das DYNKIN-Diagramm eines irreduziblen Wurzelsystems  bzw. einer einfachen L IE-Algebra L. Die Einschränkungen bezüglich des Ranges l bei den klassischen L IE-Algebren resultieren aus der Forderung, isomorphe Wurzelsysteme und mithin identische DYNKIN-Diagramme zu vermeiden. So findet man etwa identische Diagramme für die L IE-Algebren A1 , B1 und C1 , die demnach isomorph sind (A1 ∼ = B1 ∼ = C1 ). Die Diagramme für B2 und C2 unterscheiden sich nur durch die Vertauschung der einfachen Wurzeln, so dass die zugehörigen L IE-Algebren isomorph sind (B2 ∼ = C2 ). Analoges gilt für die Algebren A3 und D3 (A3 ∼ = D3 ). Alle genannten Isomorphien gelten auch für die entsprechenden reellen L IE-Algebren. Für die L IE-Algebra D1 existiert kein DYNKIN -Diagramm. Diese L IE-Algebra ist isomorph zur eindimensionalen abelschen Matrix-Algebra so(2, C) (Tab. 7.5) bzw. zur abelschen Matrix-Algebra u(1) (Beispiel v. Abschn. 5.3), die alle keine einfachen L IE-Algebren sind. Schließlich muss hervorgehoben werden, dass jedes andere DYNKIN -Diagramm, das nicht in Abb. 7.6 enthalten ist, zu einer L IE-Algebra gehört, die entweder eine unendliche Dimension besitzt oder nicht realisierbar ist. Bleibt zu ergänzen, dass jene einfachen L IE-Algebren, deren einfache Wurzeln die gleiche Norm haben und deshalb zu nur einer Verbindungslinie zwischen zwei beliebigen Knoten des DYNKIN-Diagramms Anlass geben (Ai j = A ji = −1), als einfach zusammenhängend bezeichnet werden. Dazu gehören Al , Dl , E 6 , E 7 und bei E 8 . Die übrigen L IE-Algebren besitzen Wurzeln verschiedener Norm. So ist √ und F bzw. bei G die Norm der größeren Wurzel um einen Faktor Bl , C√ 2 l 4 2 bzw. 3 größer als die Norm der kleineren Wurzel (s. a. Beispiel 2 v. Abschn. 7.5).

7.7

C ARTAN-Matrizen

339

Einfach zusammenhängende L IE-Algebren besitzen eine symmetrische C ARTANMatrix und sind stets zu sich selbst dual (L = L∨ ). Dies gilt als Ausnahme auch für die L IE-Algebren C2 , G 2 und F4 . Hingegen ist (Bl )∨ die zu C2 duale L IE-Algebra. Beispiel 3 Als Beispiel wird die zur einfachen L IE-Algeba Al−1 isomorphe komplexe Matrix-Algebra sl(l, C) betrachtet. Sie gehört zur speziellen linearen Gruppe

Abb. 7.6 DYNKIN-Diagramme von irreduziblen Wurzelsystemen bzw. endlich-dimensionalen einfachen L IE-Algebren (die Gewichte {ωi |i = 1, . . . , l} sind über den Knoten eingezeichnet)

S L(l, C) in l Dimensionen und umfasst die Menge der spurlosen, komplexen l× l-Matrizen sl(l, C) = {a ∈ gl(l, C)|sp a = 0}.

(7.246)

Die C ARTAN-Unteralgebra H besteht dann aus der Menge der diagonalen Matrizen

340

7 Halbeinfache L IE-Algebren

H = {h ∈ sl(l, C)|h : diagonal},

(7.247a)

die zerlegt werden kann in der Form H = H0 ⊕ iH0 = CH0 ,

(7.247b)

wobei die reelle Form H0 der C ARTAN-Unteralgebra die reellen diagonalen Matrizen umfasst. Eine geeignete Basis für den Vektorraum der l × l-Matrizen liefern die Basismatrizen ei, j , die gemäß (ei, j )mn = δim δ jn

i, j = 1, . . . , l

(7.248a)

in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte die Zahl Eins und sonst die Zahl Null besitzen. Das Produkt zweier Basismatrizen ei, j und ek,m ergibt dann erneut eine Basismatrix ei, j ek,m = δik ei,m .

(7.248b)

Ein Element ei des zur C ARTAN-Unteralgebra H dualen Raumes H∗ ist definiert durch das lineare Funktional ei (H) auf den Diagonalmatrizen (7.247) ⎛ ⎜ h=⎝

h1

⎞ ..

⎟

h i ei,i ⎠= l

. hl

mit

i=1

l

h i = 0,

(7.249)

i=1

so dass es den Eintrag im i-ten Diagonalelement herausgreift ei (h) = h i

bzw.

ei (e j, j ) = δi j .

(7.250)

Mit den Beziehungen hei, j = h i ei, j

bzw.

ei, j h = h j ei, j

(7.251)

kommt man zu dem Ergebnis [h, ei, j ] = Dad (h)ei, j = (ei (h) − e j (h))ei, j .

(7.252)

Dort ist das Basiselement ei, j der gleichzeitige Eigenvektor für alle adjungierten Darstellungen Dad (h) zum linearen Funktional ei (h) − e j (h) als Eigenwert. Letzteres spielt dabei die Rolle der Wurzel α aus dem Wurzelsystem  α = (ei − e j )(h). Eine Wurzelraumzerlegung gelingt dann in der Form

(7.253)

7.7

C ARTAN-Matrizen

341

L=H⊕



Cei, j = L0



i= j

Lei −e j

(7.254a)

i= j

mit den eindimensionalen Wurzelräumen Lei −e j = {a ∈ sl(l, C)| Dad (h)a = (ei − e j )(h)a, ∀h ∈ H}.

(7.254b)

Als C ARTAN -W EYL-Basis gilt die Menge der (l 2 − 1) Elemente B = B+ ∪ B0 ∪ B−

(7.255)

mit den (l − 1) diagonalen Basiselementen der C ARTAN-Unteralgeba B0 = {hi,i+1 = ei,i − ei+1,i+1 | i = 1, . . . , l − 1}

(7.256a)

sowie den 2l(l − 1)/2 nicht-diagonalen Basiselementen (Stufenoperatoren) B± = {ei, j | 1 ≤ i < j ≤ l} ∪ {ei, j | 1 ≤ j < i ≤ l}.

(7.256b)

Der Generator für die höchste Wurzel θ ist dann eθ = e1,l . Alle Wurzeln α sind über dem reellen Vektorraum H0 reell und können deshalb als Elemente des dazu dualen reellen Wurzelraumes H0∗ aufgefasst werden. Letzterer ist deshalb isomorph zum euklidischen Raum Rl , der durch eine orthogonale Standardbasis {ek |k = 1, . . . , l} aufgespannt wird. Um eine Ordnung unter den Wurzeln errichten zu können, wird man die Eigenschaft der Positivität benutzen. Danach gilt eine Wurzel α als positiv, falls in der linearen Entwicklung nach der Standardbasis die erste nichtverschwindende Komponente positiv ist. Daraus resultieren die positiven Wurzeln nach Gl. (7.253) in der Ordnung + = {ei − e j |1 ≤ i < j ≤ l}.

(7.257a)

Die einfachen Wurzeln sind dann (Tab. 7.7)  = {ei − ei+1 |1 ≤ i ≤ l}.

(7.257b)

Mithilfe der K ILLING -Form (7.64) auf der C ARTAN-Unteralgebra H bekommt man einen Zusammenhang zwischen dieser und dem dazu dualen Wurzelraum H∗ , nämlich zwischen der Matrix hα(i) = hi,i+1 = ei,i − ei+1,i+1

(7.258a)

und der Wurzel bzw. den linearen Funktionalen α(i) = ei − ei+1 .

(7.258b)

342

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Als Konsequenz daraus kann die C ARTAN-Matrix berechnet werden C)) Ai(sl(l, j

 α(i) (hα( j) ) κ(hα(i) , hα( j) ) α(i) , α( j)  =2 =2 = 2 α(i) (hα(i) ) κ(hα(i) , hα(i) ) α(i) , α(i) 

=2

sp( Dad (hi,i+1 ) Dad (h j, j+1 ))

sp( D ad (hi,i+1 ) Dad (hi,i+1 )) ⎧ 2 2l sp(hi,i+1 h j, j+1 ) ⎨ =2 = −1 ⎩ 2l sp(hi,i+1 hi,i+1 ) 0

für i = j für i + 1 = j sonst .

oder i = j + 1 (7.259)

Das gleiche Ergebnis erhält man durch die Betrachtung des reellen euklidischen Wurzelraumes H∗ (∼ = Rl ), auf dem die K ILLING-Form (7.66) ein  positiv definites Skalarprodukt liefert. Mit der orthonormalen Standardbasis ek |k = 1, . . . , dimH0∗ = l sowie mit Gl. (7.258b) errechnet sich die C ARTAN-Matrix zu (sl(l,C)) Ai j



 α(i) , α( j)  = 2 α(i) , α(i) (ei − ei+1 ) · (e j − e j+1 ) =2 (ei − ei+1 ) · (ei − ei+1 ) ⎧ ⎨2 = 2δi j − δi j+1 − δi+1 j = −1 ⎩ 0

für i = j für i + 1 = j sonst,

oder i = j + 1 (7.260a)

bzw. ⎛

A(sl(l,C))

2 ⎜ −1 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜··· ⎜ ⎝··· ···

−1 0 2 −1 −1 2

..

.

⎞ ··· ···⎟ ⎟ ···⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ 2 −1 0 ⎟ ⎟ −1 2 −1 ⎠ 0 −1 2

(7.260b)

Das DYNKIN-Diagramm der dazu isomorphen abstrakten L IE-Algeba Al−1 ist in Abb. 7.6 dargestellt. Die C ARTAN-Matrix A, die allein die Kenntnis der einfachen Wurzeln voraussetzt, erlaubt die Ermittlung aller Wurzeln. Zur Begründung beginnt man mit einer positiven Wurzel α (> 0)

7.7

C ARTAN-Matrizen

343

α=



ai α(i)

α(i) ∈ ,

(7.261)

i

deren Höhe htα = k ≥ 1 bekannt sein soll, was wenigstens für eine einfache Wurzel α( j) mit htα( j) = 1 der Fall ist. In einem nächsten Schritt versucht man alle jenen positiven Wurzel β zu finden, deren Höhe um eine Einheit größer ist (htβ = k + 1) β = {α + α( j) |α( j) ∈ }.

(7.262)

Betrachtet man den α( j) -String von Wurzeln durch die Wurzel α α + pα(i)

−m ≤ p ≤n

m, n ≥ 0

p ∈ Z,

(7.263)

dann findet man mit Gl. (7.167) m − n = 2

  α(i) , α α( j) , α( j)

.

(7.264)

Die Umkehrung der Aussage (7.212) bzgl. des Skalarprodukts zweier verschiedener einfacher Wurzeln zwingt zu der Behauptung 

 α(i) , α > 0

∀i = 1, . . . , l,

(7.265)

so dass nach Gl. (7.264) die ganze Zahl m positiv sein muss (m > 0). Als Konsequenz daraus bekommt man im α( j) -String (n + 1) Wurzeln, mit der Höhe ht{α + pα( j) | − m ≤ p ≤ 0} ≤ k, die bereits als bekannt vorausgesetzt werden. Vielmehr ist man an den Wurzeln mit der Höhe (k + 1) interessiert. Eine notwendige Bedingung dafür, dass die Form (7.262) bei bekannter Wurzel α mit der Höhe k eine Wurzel ist, liefert der α( j) String durch α mit der Forderung einer positiven ganzen Zahl n (n > 0). Diese Zahl n, die darüber entscheidet, ob eine Form (7.262) eine Wurzel ist, errechnet sich nach Substitution mithilfe von Gl. (7.263) aus Gl. (7.264) zu n=m−



 

α( j) , α(i)  =m− ai A i j . α( j) ; α( j) i

ai 2 

i

(7.266)

Beispiel 4 Die L IE-Algebra G 2 vom Rang l = 2 besitzt zwei einfache Wurzeln α(1) und α(2) (α und β in Beispiel 2 v. Abschn. 7.5). Aus dem DYNKIN -Diagramm Abb. 7.5 entnimmt man A12 A21 = 3

und

ω1 = 3

ω2 = 1,

344

7 Halbeinfache L IE-Algebren

womit nach Gl. (7.239) die C ARTAN-Matrix (7.244) berechnet werden kann. Beginnend mit der bekannten einfachen Wurzel α(2) wird der α(1) -String durch α(2) α(2) + r α(1)

−m ≤r ≤n

m, n ≥ 0

untersucht. Mit der Aussage (7.211), dass (α(2) − α(1) ) keine Wurzel ist, muss die Zahl m verschwinden (m = 0). Nach Gl. (7.266) bekommt man mit a2 = 1 die Zahl n = −a2 A12 = 1, so dass der α(1) -String aus den Wurzeln {α(2) , α(2) + α(1) }

(7.267)

besteht. In einem zweiten Schritt wird die einfache Wurzel α(1) als bekannt vorgegeben und der α(2) -String durch α(1) α(1) + r α(2)

−m ≤r ≤n

m, n ≥ 0

untersucht. Hierbei erhält man wieder wegen der Aussagen (7.211) eine verschwindende Zahl m (= 0) und Gl. (7.266) liefert mit a1 = 1 die Zahl n = −a1 A21 = 3. Der α(2) -String durch α(1) besteht dann aus den Wurzeln {α(1) , α(1) + α(2) , α(1) + 2α(2) , α(1) + 3α(2) }.

(7.268)

Eine positive Wurzel der Höhe 2 (= (htα(2) + 1)) ist nach (7.267) und (7.268) die Wurzel (α(1) + α(2) ). Eine positive Wurzel der Höhe 3 (= htα(1) + 2)) ist die Wurzel (α(1) +2α(2) ). Sie ist die einzige Wurzel dieser Höhe, da (α(2) +2α(1) ) keine Wurzel ist. Schließlich findet man mit (α(1) + 3α(2) ) nach (7.268) eine Wurzel der Höhe 4. In einem letzten Schritt wird die Wurzel (α(1) +3α(2) ) mit der Höhe 4 als bekannt vorgegeben, um den α( j=1) -String durch die Wurzel (α(1) + 3α(2) ) {α(1) + 3α(2) + r α(1) }

−m ≤r ≤n

m, n ≥ 0

zu untersuchen. Mit der Aussage, dass (α(1) + 3α(2) − α(1) ) = 3α(2) keine Wurzel ist, bekommt man eine veschwindende Zahl m (= 0). Gl. (7.266) liefert dann mit a1 = 1 und a2 = 3 die Zahl n = −a1 A11 − a2 A12 = 1, so dass der α(1) -String aus den Wurzeln

7.7

C ARTAN-Matrizen

345

{α(1) + 3α(2) , 2α(1) + 3α(2) }

(7.269)

besteht. Als positive Wurzel der Höhe 5 (= ht(α(1) +3α(2) )+1) findet man dann die Wurzel (2α(1) +3α(2) ). Sie ist die einzige dieser Höhe, da (α(1) +4α(2) ) keine Wurzel ist. Weitere Kombinationen, die auf dieser Wurzel als bekannte Wurzel basieren, sind (2α(1) + 3α(2) ) + α(1) = 3(α(1) + α(1) ) und (2α(1) + 3α(2) ) + α(2) = 2(α(1) + 2α(1) ), die beide keine Wurzeln sind, so dass weitere Wurzeln der Höhe 5 nicht existieren. Insgesamt findet man mit (7.267), (7.268) und (7.269) die 12 endlichen Wurzeln  = {±α(1) ,±α(2) ,±(α(1) +α(2) ),±(α(1) +2α(2) ),±(α(1) +3α(2) ),±(2α(1) +3α(2) )}. (7.270) Die Dimension der L IE-Algebra G 2 errechnet sich zu dim G 2 = || + rang G 2 = 12 + 2 = 14.

Schließlich erlaubt die C ARTAN-Matrix auch die Bestimmung des Skalarprodukts "α, β# beliebiger Wurzeln α und β. Ausgehend vom Normquadrat einer einfachen Wurzel α( j) nach Gl. (7.81) 

 2  α( j) , α( j) = 2 α( j) , γ

j = 1, . . . , l,

(7.271)

γ ∈+

erhält man nach Substitution der Wurzel γ durch die lineare Darstellung bzgl. einer Basis von einfachen Wurzeln {α(i) |i = 1, . . . , l} γ =

l

(γ )

ai α(i)

(7.272)

i=1

und unter Berücksichtigung von Gl. (7.234) 



α( j) , α( j) = 2

γ ∈+



2

  1 (γ ) ai A ji α( j) , α( j) 2 l

i=1

  oder wegen dem nichtverschwindenden Normquadrat ( α( j) , α( j) = 0)

(7.273a)

346

7 Halbeinfache L IE-Algebren



α( j) , α( j)



⎡

1

=⎣ 2

γ ∈+

 l

(γ ) ai A ji

2 ⎤−1 ⎦

j = 1, . . . , l.

(7.273b)

i=1

Die Normenquadrate der übrigen einfachen Wurzeln errechnen sich dann nach der Beziehung 

    ωi  A ji α(i) , α(i) = α( j) , α( j) = α( j) , α( j) ωj Ai j

i = 1, . . . , l

(7.274)

mit den Gewichten ωi bzw. ω j . Nach Gl. (7.234) gelingt dann die Ermittlung der Skalarprodukte von einfachen Wurzeln gemäß 

 1   α( j) , α(i) = A ji α( j) , α( j) 2

i, j = 1, . . . , l

i = j

(7.275a)

bzw. von beliebigen Wurzeln gemäß  1

(α) (β)  A ji a j ai α( j) , α( j) . 2 l

"α, β# =

l

(7.275b)

i=1 j=1

Beispiel 5 Die einfache L IE-Algebra A1 besitzt nur eine positive bzw. einfache Wurzel α(1) = α (Beispiel 1 v. Abschn. 7.5). Das Normquadrat errechnet sich nach Gl. (7.273b) mit der C ARTAN-Matrix A(A1 ) = A11 = 2 zu  α(1) , α(1) =





1 2 2 2

−1

=

1 , 2

was mit dem Ergebnis (7.126) übereinstimmt. Die einfache L IE-Algebra A2 besitzt drei positive Wurzeln (Beispiel 2 v. Abschn. 7.3 und Beispiel 3 v. Abschn. 7.5) + = {α(1) , α(2) , α(1) + α(2) }. Betrachtet man zunächst die einfache Wurzel α(1) , dann errechnet sich deren Normquadrat nach Gl. (7.273b) mit der C ARTAN-Matrix A(A2 ) (7.241) zu 

&−1 %  1 1 2 = . α(1) , α(1) = (A11 + A212 + (A11 + A12 )2 ) 2 3

Für die Skalarprodukte der einfachen Wurzeln erhält man damit nach Gl. (7.275a) das Ergebnis 

 1  1 1  α(1) , α(2) = (−1) = − = α(2) , α(1) , 2 3 6

was insgesamt mit (7.145) und (7.146) übereinstimmt.

7.7

C ARTAN-Matrizen

347

Die einfache L IE-Algebra G 2 besitzt 12 endliche Wurzeln (Gl. 7.270), von denen 6 positiv sind + = {α(1) , α(2) , α(1) + α(2) , α(1) + 2α(2) , α(1) + 3α(2) , 2α(1) + 3α(2) }. Betrachtet man zunächst wieder die einfache Wurzel α(1) , dann errechnet sich deren Normquadrat nach Gl. (7.273b) mit der C ARTAN-Matrix A(G 2 ) (7.244) zu   # 2 α(1) , α(1) = A211 + A212 + (A11 + A12 )2 + (A11 + 2A12 )2 $−1 1 +(A11 + 3A12 )2 + (2A11 + 3A12 )2 = . 4 Nach Gl. (7.274) erhält man damit das Normquadrat der einfachen Wurzel α(2) 

α(2) , α(2)

 A12   (−1) 1 1 α(1) , α(1) = = . A21 (−3) 4 12

Die Skalarprodukte der einfachen Wurzeln errechnen sich schließlich nach Gl. (7.275a) zu 

 1    1  α(1) , α(2) = A12 α(1) , α(1) = − = α(2) , α(1) . 2 8

Die Bedeutung der C ARTAN-Matrix A und des ihr zugeordneten einfachen Systems  im Hinblick auf die dort enthaltene Information über die betreffende L IEAlgebra, kann anhand von einfachen Beziehungen demonstriert werden. Zu deren Herleitung geht man von einem abstrakten Wurzelsystem  sowie dem zugehörigen einfachen System  aus und definiert für jede einfache Wurzel {α(i) |i = 1, . . . , l = rang } eine zur einfachen L IE-Algebra A1 isomorphe einfache L IE-Unteralgebra Li . Dabei werden für jede dieser Unteralgebren {Li | i = 1, . . . , l} die drei Generatoren in der C HEVALLEY-Basis (7.99) verwendet 2  Hα(i) α(i) , α(i) = E ±α(i) i = 1, . . . , l.

Hi = 

(7.276a)

E ±i

(7.276b)

Sie gelten als die Standardgeneratoren der L IE-Algebra L in Bezug auf H, ,  und A. Die Generatoren (7.276b) sind jene Stufenoperatoren, die mit den einfachen Wurzeln α(i) verknüpft sind und die Beziehung (s. Gl. 7.96) 2  α(i) , α(i)

κ(E +i , E −i ) = 

(7.277)

348

7 Halbeinfache L IE-Algebren

erfüllen. Nachdem die C ARTAN-Unteralgebra abelsch ist, erhält man die Kommutatoren [Hi , H j ] = 0

i, j = 1, . . . , l.

(7.278a)

Daneben findet man die Kommutatoren [E +i , E − j ] = δi j Hi

i, j = 1, . . . , l,

(7.278b)

was durch Gl. (7.98b) begründet werden kann. Mit Gln. (7.93) und (7.276b) ergeben sich die weiteren Kommutatoren 2  α( j) (Hα(i) )E ± j = ±Ai j E ± j . α(i) , α(i) (7.278c) Als gesamtes Ergebnis hat man mit den Gln. (7.278) bisher die L IE-Produkte zwischen Generatoren von verschiedenen einfachen Wurzeln gewonnen. Schließlich wird noch Gl. (7.278c), die für alle Wurzeln der L IE-Algebra gilt, ersetzt durch eine Beziehung, die die Länge eines α(i) -Strings durch die einfache Wurzel α( j) (i = j) festlegt [Hi , E ± j ] = ±α( j) (Hi )E ± j = ± 

α( j) − mα(i) , α( j) − (m − 1)α(i) , . . . , α( j) + nα(i) . Mit der Aussage (7.211), dass (α( j) − α(i) ) keine Wurzel sein kann, findet man eine verschwindende Zahl m (= 0) und erhält mit Gl. (7.167)   α(i) , α( j)  = Ai j . −n = 2  α( j) , α( j) Das bedeutet, dass für die Zahl (n + 1) = 1 − Ai j der Wert α( j) + (1 − Ai j )α(i) keine Wurzel ist. Als Konsequenz daraus endet der α(i) -String nach (n + 1) Anwendungen des Stufenoperators E j auf E i . Analoge Überlegungen gelten für die Anwendungen des Stufenoperators E − j , so dass insgesamt das Ergebnis in Form der S ERRE-Beziehung ausgedrückt werden kann [E ± j , [E ± j , . . . , [E ± j , E ± j ] . . .] = [ad E ± j ]1−Ai j E ±i = 0.

(7.278d)

Die Gln. (7.278), die als C HEVALLEY-S ERRE-Gleichungen bezeichnet werden, bilden die Grundlage zur Erzeugung der L IE-Algebra L. Sie erlauben die Aussage, dass ausgehend von einem abstrakten Wurzelsystem  mit dem Rang l die durch die Standardgeneratoren {Hi , E ±i |i = 1, . . . , l} erzeugte L IE-Algebra nach den Gln. (7.278) eine endlich-dimensionale einfache L IE-Algebra ist mit einem zu  isomorphen Wurzelsystem. Demnach gelingt eine kompakte Charakterisierung über die Darstellung einer L IE-Algebra L vermittels der Standardgeneratoren nebst ihrer definierenden Beziehungen (7.278), ohne dass eine Basis als Erzeugendensystem

7.7

C ARTAN-Matrizen

349

der L IE-Algebra notwendig ist (Eine vergleichbare Beschreibung von endlichen Gruppen durch die Gruppenpräsentierung wird im Beispiel 5 v. Abschn. 2.2 vorgestellt). Am Ende dieses Abschnitts wird noch einmal die Klassifizierung von einfachen L IE-Algebren näher diskutiert. Ausgehend von einer komplexen halbeinfachen L IEAlgebra L kommt man durch die Wahl einer C ARTAN-Unteralgebra H in einem ersten Schritt zu einem reduzierten Wurzelsystem  H

L −→ .

(7.279)

Dieser Übergang ist umkehrbar eindeutig bis auf einen Isomorphismus. Demnach sind zwei halbeinfache L IE-Algebren mit zueinander isomorphen reduzierten Wurzelsystemen ebenfalls isomorph (Isomorphismussatz). Zudem ist dieser Übergang auch surjektiv. Das bedeutet, dass jedes abstrakte reduzierte Wurzelsystem zu einer komplexen halbeinfachen L IE-Algebra gehört (Existenzsatz). Schließlich muss betont werden, dass dieser bijektive Übergang (7.279) von der Wahl der C ARTAN-Unteralgebra unabhängig ist, so dass keine Willkür im Hinblick auf das Wurzelsystem und mithin auf die Beschreibung der L IE-Algebra zu erwarten ist. Die Begründung hierfür findet man in der Aussage, dass zwei beliebige C ARTAN-Unteralgebren H und H aufgrund eines inneren Automorphismus Int(L) nach Gl. (6.235) zueinander konjugiert sind. In einem zweiten Schritt kommt man ausgehend von einem abstrakten reduzierten Wurzelsystem  durch die Wahl einer Ordnung des einfachen Systems  zu einer abstrakten C ARTAN-Matrix A 

 −→ A.

(7.280)

Auch dieser Übergang ist bis auf einen Isomorphismus umkehrbar eindeutig. Demnach sind zwei abstrakte reduzierte Wurzelsysteme, die zu isomorphen abstrakten C ARTAN-Matrizen gehören, ebenfalls isomorph. Zudem ist dieser Übergang auch surjektiv. Das bedeutet, dass jede abstrakte C ARTAN-Matrix zu einem abstrakten reduzierten Wurzelsystem gehört. Schließlich muss auch hier betont werden, dass der Übergang (7.280) von der Wahl der Ordnung bzw. des einfachen Systems  unabhängig ist, so dass keine Willkür im Hinblick auf die C ARTAN-Matrix zu erwarten ist. Die Begründung hierfür liefert die W EYL -Gruppe, mit deren Hilfe zwei beliebige Systeme von positiven Wurzeln + und + bzw. zwei einfache Systeme  und  ineinander abgebildet werden (Abschn. 7.8). Im Ergebnis gibt es mit den S ERRE-Beziehungen (7.278d) unabhängig von den getroffenen Wahlen eine bijektive Abbildung – bis auf Isomorphie – von der Menge der einfachen L IE-Algebren L auf die Menge der C ARTAN-Matrizen A H,

L −→ A.

(7.281)

Damit trägt die abstrakte irreduzible C ARTAN-Matrix die volle Information über die Struktur einer endlich-dimensionalen einfachen L IE-Algebra und kann deshalb

350

7 Halbeinfache L IE-Algebren

zu deren Charakterisierung verwendet werden. Auch halbeinfache L IE-Algebren, die als direkte Summen einfacher L IE-Algebren darstellbar sind, können demnach klassifiziert werden. Im Fall reduktiver komplexer L IE-Algebren gelingt eine Zerlegung in eine direkte Summe von abelschen und einfachen L IE-Algebren. Die ersten sind wiederum darstellbar als direkte Summen von eindimensionalen u(1)Algebren, deren Klassifizierung trivial ist, so dass insgesamt auch die reduktiven L IE-Algebren aufgrund von Gl. (7.281) klassifiziert werden können.

Beispiel 6 Noch einmal das Beispiel zur Ermittlung der L IE-Algebra A2 mithilfe jener Information, die in der C ARTAN-Matrix (6.241) verborgen ist. Beginnend mit einer bekannten einfachen Wurzel α(2) aus dem System , die die Höhe htα(2) = 2 besitzt, wird man nach Gl. (7.278d) den α(1) -String durch die Wurzel α(2) ermitteln. Die Anwendung der Leiteroperatoren E ±1 zwingt nach den zwei (= 1 − A12 ) Schritten [E ±1 , E ±2 ] = ±(α(1) + α(2) )E ±(1+2)

und

[E ±1 , [E ±1 , E ±2 ]] = 0,

zu der Aussage, dass der α(1) -String durch α(2) mit Gl. (7.72) aus den Wurzeln ±α(2) , ±(α(2) + α(1) ) besteht. Zudem findet man nach Gl. (7.73), dass ±(α(2) + 2α(1) ) keine Wurzel ist, wonach Wurzeln mit einer Höhe größer als der Wert Zwei ausgeschlossen werden können. Analoge Überlegungen gelten für die Suche nach dem α(2) -String durch die bekannte Wurzel α(1) vermittels der Leiteroperatoren E ±2 . Nach zwei (= 1 − A21 ) Schritten erhält man [E ±2 , [E ±2 , E ±1 ]] = 0, wonach nur die Wurzel α(1) und (α(1) + α(2) ) mit den Höhen Eins und Zwei möglich sind. Insgesamt besitzt die L IE-Algebra A2 die 6 Wurzeln ±α(1) , ±α(2) und ±(α(1) + α(2) ) bzw. Linearkombinationen davon, was mit den Ergebnissen in Beispiel 2 von Abschn. 7.3 übereinstimmt. Allgemein betrachtet beginnt man mit einer bekannten einfachen Wurzel α(i) , deren Höhe Eins ist. Danach ermittelt man mithilfe der S ERRE-Beziehungen den α( j) -String durch die Wurzel α(i) (i = j), wobei die Stufenoperatoren E α als ein Vielfaches des L IE-Produktes mit E ± j gelten. Man erhält so alle Wurzeln β mit der Höhe htβ = 2. Anschließend beginnt man mit der Wurzel β, um erneut mithilfe der S ERRE-Beziehungen den α( j) -String durch die Wurzel β zu ermitteln. Man erhält dann alle Wurzeln γ mit der Höhe ht γ = 3. Dieses Verfahren, das als S ERREKonstruktion bekannt ist, wird fortgesetzt und erlaubt so induktiv die Ermittlung aller Wurzeln einer einfachen L IE-Algebra.

7.8

W EYL-Gruppen

351

7.8 W EYL-Gruppen Die Wurzelsysteme  besitzen eine Symmetrie unter Spiegelungen an bestimmten Hyperebenen, was bereits im euklidischen Wurzelraum R2 anschaulich offenkundig wird (s. Abb. 7.1 und 7.2). Demnach kann man auch von einer Symmetrie der zugehörigen L IE-Algebra sprechen. Das Ziel ist nun, jene Symmetriegruppen zu finden, die durch solche Spiegelungen erzeugt werden. Bei der Transformation sα (β) = β − 2

"β, α# α "α, α#

α∈

(7.282a)

wirkt der Operator sα , der einer Wurzel α aus dem Wurzelsystem  zugeordnet ist, auf ein Element β des endlich-dimensionalen reellen Wurzelraumes V. Für den Fall, dass das Element β eine Wurzel ist, erhält man nach Gl. (7.168) mit sα (β) erneut eine Wurzel und zudem ein Element des Wurzelgitters. Folglich vermag jeder Operator sα die Menge der Wurzeln  auf sich selbst abzubilden  sα :

 −→  β −→ sα (β).

(7.282b)

Dabei genügt die Abbildung sα (β) für alle Wurzeln α ∈  den folgenden Forderungen, was mithilfe von (7.282) begründet werden kann: (a) Es gilt sα (α) = −α

∀α ∈ .

(7.283a)

(b) Die Abbildung ist surjektiv sα (sα (β)) = β

bzw.

sα sα = 1

∀β ∈ .

(7.283b)

(c) Die Abbildung ist isometrisch (orthogonal), wodurch die Invarianz des Skalarprodukts garantiert wird "sα (β), sα (γ )# = "β, γ #

∀β, γ ∈ .

(7.283c)

(d) Die Abbildung ist linear sα (µβ + νγ ) = µsα (β) + νsα (γ )

µ, ν ∈ C

∀β, γ ∈ .

(7.283d)

In der geometrischen Interpretation bedeutet die Abbildung sα (β) (7.282) eine Spiegelung des Wurzelvektors β an einer Hyperebene, die durch den Ursprung geht und senkrecht zum Wurzelvektor α gerichtet ist (Abb. 7.7). Bei dieser sogenannten W EYL-Spiegelung wird von jedem Wurzelvektor das Zweifache der ganzzahligen Projektion "β, α# / "α, α# in Richtung des Vektors α abgezogen.

352

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Abb. 7.7 Zweidimensionale Darstellung im euklidischen Raum R2 der Erzeugung eines Wurzelvektors γ = sα (β) im α-String (β + kα) durch eine W EYL-Spiegelung sα des Wurzelvektors β an einer Spiegelebene S senkrecht zum Wurzelvektor α

Zu jeder W EYL -Spiegelung sα existiert die inverse Abbildung sα−1 . Das Produkt zweier W EYL -Spiegelungen sα und sα bedeutet die Hintereinanderschaltung der einzelnen Abbildungen. Als Konsequenz daraus erzeugen alle W EYL -Spiegelungen {sα |α ∈ } eine diskrete Gruppe, die als W EYL-Gruppe W() bzw. W(L) des Wurzelsystem  bzw. der L IE-Algebra L bezeichnet wird. Dabei ist das Einselement e die identische Abbildung. Betrachtet man das duale Wurzelsystem ∨ = {α ∨ |α ∈ } im dualen Vektorraum V ∗ , so können die beiden W EYL Gruppen W() und W(∨ ) miteinander identifiziert werden. Die Gruppenelemente sα sorgen für eine Permutation der Wurzeln α, so dass die W EYL -Gruppe eine Untergruppe der Menge aller Permutationen ist. Letztere ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S|| = SdimL−rangL = Sn−l . Betrachtet man eine orthogonale Transformation d des Vektorraumes V, so dass dα eine Wurzel ist, dann bekommt man mit sdα (dϕ) = dϕ − 2

"ϕ, α# "dϕ, dα# dα = dϕ − 2 dα = d(sα ϕ) "dα, dα# "α, α#

die Beziehung sdα = dsα d −1

dα ∈ .

(7.284)

Sie gilt für alle Elemente aus der W EYL -Gruppe W(). Die W EYL-Gruppe W() ist ein Normalteiler jener Gruppe, die aus der Menge der linearen Selbstabbildungen des Wurzelsystems  besteht und als Automorphismusgruppe Aut() bezeichnet wird W() ⊆ Aut().

(7.285)

Letztere ist für endlich-dimensionale einfache L IE-Algebren eine endliche Gruppe, so dass auch die W EYL -Gruppe endlich ist. Eine Selbstabbildung der Automorphis-

7.8

W EYL-Gruppen

353

musgruppe sorgt ebenfalls für eine Permutation der Wurzeln. Zudem wird durch diese Abbildung das einfache System  in ein anderes erlaubtes einfaches System  abgebildet, was einer neuen Aufteilung des Wurzelraumes in positive und negative Wurzeln vermittels einer neuen Hyperebene entspricht. Der Nachweis kann indirekt demonstriert werden. Setzt man voraus, dass die Abbildung sα (α(i) ) einer einfachen Wurzel α(i) als positive Linearkombination von Abbildungen sα (β) positiver Wurzeln β ∈ + dargestellt werden kann sα (α(i) ) =



n β sα (β)

nβ > 0

α(i) ∈ ,

(7.286)

β∈+

dann erhält man nach Multiplikation mit sα unter Verwendung von (7.283b) für die einfache Wurzel α(i) ebenfalls eine positive Linearkombination von positiven Wurzeln und mithin einen Widerspruch. Das bedeutet, dass die Abbildung sα :  −→ 

α∈

(7.287)

als Element der W EYL -Gruppe W() ein Element der Automorphismusgruppe Aut() ist. Die Existenz einer solchen Abbildung berechtigt zu der Aussage, dass die W EYL-Gruppe transitiv auf die Menge der einfachen Systeme wirkt. Zudem findet man genau eine solche Abbildung, so dass die W EYL-Gruppe sogar einfach transitiv wirkt sα () = 

genau dann, falls

sα = e.

(7.288)

Dies berechtigt auch zu der Aussage, dass die W EYL -Gruppe frei wirkt (Abschn. 2.5). An Stelle von Spiegelungen sα , die mit allen Wurzeln α des Wurzelsystems  verknüpft sind, genügt es jene l (= rang L) Spiegelungen sα(i) ≡ s(i) zu betrachten, die den einfachen Wurzeln α(i) zugeordnet werden. Mit diesen sogenannten einfachen W EYL -Spiegelungen (fundamentale W EYL-Spiegelungen) {s(i) |i = 1, . . . , l} kann dann die W EYL-Gruppe W() erzeugt werden, so dass sie als deren Generatoren gelten. Gegenüber den Spiegelungen sα als Generatoren gewinnt man den Vorteil, dass die Anzahl der Generatoren von (n − l) auf l reduziert wird. Die Wirkung von einfachen W EYL-Spiegelungen s(i) bzw. von deren Produkten ergibt dann das Wurzelsystem  (Beispiel 2 v. Abschn. 7.5). Tabelle 7.9 Exponent n i j von Gl. (7.291) für verschiedene Winkel ϕ zwischen den einfachen Wurzeln α(i) und α( j) bzw. verschiedenen Verbindungslinien |Ai j | im DYNKIN-Diagramm ϕ |Ai j | n ji

π/2 2π/3 3π/4 5π/6 0 1 2 3 2 3 4 6

Die Konstruktion der W EYL-Gruppe wird durch zwei Eigenschaften erleichtert. Zum einen durch deren transitive und freie Wirkung, wonach für zwei Elemente w1

354

7 Halbeinfache L IE-Algebren

und w2 gilt w1 (α(i) ) = w2 (α(i) ) genau dann, falls w1 = w2

w1 , w2 ∈ W()

Zum anderen durch die Beziehung s(i) (α( j) ) = α( j) − Ai j α(i)

α(i) , α( j) ∈ .

α(i) ∈ . (7.289) (7.290)

Dabei wird die Struktur der W EYL-Gruppe vollständig durch Produkte von Generatoren {s(i) |i = 1, . . . , l} in der Form (s(i) s( j) )n i j = e

ni j ∈ Z

n ii = 1

(7.291)

bestimmt, was als Gruppenpräsentierung bezeichnet wird (Beispiel 5 v. Abschn. 2.2). Damit gehört diese Gruppe zu der Klasse der C OXETER-Gruppen. Der ganzzahlige Exponent wird durch die Lage der einfachen Wurzeln α(i) und α( j) festgelegt (Tab. 7.9). Das Produkt zweier einfacher W EYL-Spiegelungen bedeutet eine Rotation um die Schnittkurve der zu den Spiegelungen gehörenden Hyperebene als Drehachse mit dem Drehwinkel 2π/n i j . Nachdem es nur eine endliche Anzahl von Produkten einfacher W EYL -Spiegelungen gibt, die verschieden vom Einselement sind, muss die W EYL-Gruppe endlich sein. Wesentlich für die weitere Diskussion sind weniger die verschiedenen W EYL Gruppen selbst als vielmehr grundsätzliche Eigenschaften, die die Diskussion von Darstellungen einfacher L IE-Algebren erleichtern. Betrachtet man eine positive Wurzel α (> 0), dann ergibt sich mit der Entwicklung α=

l

ai α(i)

α(i) ∈ 

α ∈ +

(7.292)

i=1

nach Gl. (7.282) die einfache W EYL -Spiegelung s( j) (α) = α − 2 

  α, α( j) α( j) , α( j)

 α( j) =



+



ai α(i) + 1 − 2 

i= j

α, α( j)

 ,

α( j) , α( j)

 α( j) . (7.293)

Mit der Voraussetzung, dass α keine einfache Wurzel ist, etwa α = α( j) , findet man, dass auch kein Vielfaches a j der einfachen Wurzel α( j) eine Wurzel ist (α = a j α( j) ) außer für a j = ±1 (s. Gl. 7.173). Demnach gibt es mindestens eine positive Komponente ai > 0 (i = j) in der Entwicklung (7.292), so dass nach Gl. (7.293) die einfache W EYL -Spiegelung positiv ausfällt s( j) (α) > 0

für

α>0

α = α( j) .

(7.294a)

Man erhält so eine Selbstabbildung der Menge der positiven Wurzeln außer α( j) s( j) : {+ \α( j) } −→ {+ \α( j) }.

7.8

W EYL-Gruppen

355

Für den Fall, dass die Wurzel α gleich ist der einfachen Wurzel α( j) (a j = 1), liefert die Substitution von (7.292) in (7.293) das Ergebnis s( j) (α) = −α( j) = −α < 0

für

α>0

α = α( j) .

(7.294b)

Dieses Ergebnis resultiert auch aus Gl. (7.293). Eine bedeutende Rolle im Hinblick auf die Darstellungen von halbeinfachen L IEAlgebren spielt der W EYL-Vektor ρ (7.219). Er ist definiert als die halbe Summe der positiven Wurzeln ρ=

1

α. 2

(7.295)

α∈+

Nach einer W EYL -Spiegelung s( j) , die alle positiven Wurzeln außer α( j) permutiert und in sich abbildet, kommt man mit Gl. (7.294) zu dem Ergebnis s(i) (ρ) =

1 2

1 = 2

α∈+ \α( j)



α∈+ \α( j)

1 s( j) (α) + s( j) (α( j) ) 2 (7.296)

1 α − α( j) = ρ − α( j) 2

j = 1, . . . , l.

Dies bedeutet, dass die einfache W EYL -Spiegelung s( j) den W EYL -Vektor ρ um die einfache Wurzel α( j) vermindert. Unter Verwendung der Orthogonalität (7.283c)    s( j) (ρ), s( j) (α( j) ) = ρ, α( j)

 findet man mit Gl. (7.296)



   ρ − α( j) , −α( j) = ρ, α( j) ,

woraus das Ergebnis (7.220)     2 ρ, α( j) = α( j) , α( j)

∀α( j) ∈ 

(7.297)

abgeleitet werden kann. Jedes Element w der W EYL -Gruppe W() lässt sich durch ein Produkt von Generatoren {s(i) |i = 1, . . . , l} ausdrücken w = s(i1 ) s(i 2 ) . . . s(i n ) ,

(7.298)

das als W EYL-Wort des Elements w mit den Buchstaben {s(i k ) |k = 1, . . . , n} bekannt ist. Nachdem ein vorgegebenes Element w durch viele verschiedene Worte ausgedrückt werden kann, ist man besonders an jener Buchstabenfolge interessiert,

356

7 Halbeinfache L IE-Algebren

die minimal ist. Sie wird als reduziertes W EYL-Wort bezeichnet und ist nicht notwendigerweise eindeutig. Die Anzahl n der Generatoren bzw. Buchstaben in (7.298) heißt die Länge l(w) des Elements w bezüglich des einfachen Systems  l(w) := n.

(7.299)

Das Einselement e ist dann das Element mit verschwindender Länge (l(e) = 0). Für das inverse Element w −1 erhält man das W EYL-Wort w−1 = s(i n ) s(i n−1 ) . . . s(i 1 ) ,

(7.300)

so dass die Länge l des Elements w der Bedingung l(w) = l(w−1 )

(7.301)

genügt. Zudem gibt es für endlich-dimensionale einfache L IE-Algebren genau ein Element wmax mit einer maximalen Anzahl von Buchstaben und folglich einer maximalen Länge l(wmax ) > l(w)

∀w ∈ W\wmax

(7.302a)

mit l(wmax ) = |+ |,

(7.302b)

wmax :  −→ −

(7.303)

das die Abbildung

ermöglicht. Setzt man voraus, dass die Inversion i = −e zur W EYL -Gruppe gehört, dann ist dieses Element das längste Element. Für die Länge eines Elements w gilt die Zahl aller positiven Wurzeln (α > 0), deren Bild nach der W EYL -Spiegelung eine negative Wurzel ergibt l(w) = |{α ∈ + |w(α) < 0}|.

(7.304)

Mit einer einfachen W EYL -Spiegelng s(i) erhält man dann wegen Gl. (7.294a)  l(ws(i) ) =

l(w) + 1 l(w) − 1

genau dann, wenn ws(i) > 0 genau dann, wenn ws(i) < 0.

(7.305)

Außer der Länge eines W EYL-Wortes w kann man auch ein Vorzeichen signw definieren durch signw := (−1)l(w) .

(7.306)

7.8

W EYL-Gruppen

357

Die Länge entscheidet demnach darüber, ob es sich bei dem Element w um eine eigentliche (spezielle) oder uneigentliche Abbildung handelt (s. Beispiel 12 v. Abschn. 2.1). Im ersten Fall hat die Determinante der orthogonalen Darstellung w den Wert detw = +1,

(7.307a)

so dass die Menge der zugehörigen Abbildungen, nämlich die reinen Rotationen, zur speziellen orthogonalen Gruppe S O(n) gehören und eine Untergruppe der W EYL Gruppe W() bilden. Im zweiten Fall hat die Determinante den Wert detw = −1,

(7.307b)

womit jene Abbildungen erfasst werden, die zusammen mit den eigentlichen Abbildungen des ersten Falls zur orthogonalen Gruppe O(n) gehören. Nachdem die Buchstaben eines W EYL -Wortes w als einfache W EYL -Spiegelungen {s(i) |i = 1, . . . , l} uneigentliche Abbildungen sind und deshalb jede für sich durch ein negatives Vorzeichen charakterisiert werden kann dets (i) = signs(i) = −1

i = 1, . . . , l,

(7.308)

erhält man für das Vorzeichen eines Elements w mit Gl. (7.299) signw =

l <

signs(i) = (−1)n .

(7.309)

i=1

Bei einem positiven Vorzeichen ist die Abbildung w eine reine Rotation. Andernfalls besteht die Abbildung aus dem Produkt einer Rotation und einer Spiegelung. Schließlich kann man den Wurzelraum V in einer besonderen Weise aufteilen, die für die W EYL -Gruppe charakteristisch ist. Dabei werden alle zu den W EYL Spiegelungen gehörenden Hyperebenen senkrecht zu den Wurzeln α, nämlich die Fixpunktmengen {V w=sα |α ∈ }, an denen die Spiegelungen stattfinden, entfernt. Die dann verbleibende Menge Cw = V\



Vw

w∈W ()

setzt sich zusammen aus l (= rang L) sternförmig angeordnete Kegel, deren Elementarmenge als offene W EYL-Kammer (Alkoven) bezeichnet wird. Diejenige Kammer C des Wurzelsystems , deren Elemente λ positive DYNKIN-Label λi besitzen und als dominante Elemente gelten " ! Ce = {λ ∈ V| λi = λ, α (i)∨ > 0 ∀α (i) ∈ }

(7.310)

358

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Abb. 7.8 Offene W EYL-Kammern Cw am Beispiel des Wurzelsystems (A2 ) der einfachen L IEAlgebra A2 (Ce : Fundamentalkammer; V s(1) , V s(2) : Kammerwände)

heißt Fundamentalkammer (dominante W EYL -Kammer) des einfachen Systems  und wird durch die Wahl der Basis eindeutig festgelegt. Ihre Wände sind deshalb jene Hyperebenen V w=s(i) , die als Spiegelebenen der einfachen W EYL Spiegelungen s(i) senkrecht zu den einfachen Wurzeln α(i) stehen (Abb. 7.8). Die W EYL-Gruppe W() wirkt einfach transitiv und frei auf der Menge der W EYL-Kammern Ww analog zu den Aussagen (7.287) und (7.288) im Hinblick auf die einfachen Systeme als Mannigfaltigkeiten. Demzufolge erhält man ausgehend von der Fundamentalkammer Ce einschließlich der beiden Kammerwände als Grenzflächen den gesamten Wurzelraum V durch die Wirkung der Gruppenelemente. Umgekehrt gibt es zu jedem Element λ des Wurzelraums V, das nicht auf einer Kammerwand liegt, genau ein W EYL-Gruppenelement wλ , so dass wλ (λ) dominant ist bzw. in die Fundamentalkammer Ce abgebildet wird. Das Bild einer W EYL-Kammer unter der Abbildung eines maximalen W EYL-Wortes wmax liefert analog zur Abbildung (7.303) des einfachen Systems die entgegengerichtete W EYL Kammer wmax : C −→ −C.

(7.311)

Insgesamt findet man eine Anzahl (= ord W()) von W EYL-Kammern Cw , die dann nach den Elementen w der W EYL -Gruppe benannt werden können. Dabei wird die Fundamentalkammer Ce dem Einselement e zugeordnet (Abb. 7.8). Jene Hyperebenen, die die Fundamentalkammer von den übrigen W EYL -Kammern trennen, sind die Fixpunktmengen {V s(i) |i = 1, . . . , l}. Ihre Elemente λ haben demnach mindestens ein verschwindendes DYNKIN-Label " ! λi = λ, α (i)∨ = 0, (7.312a)

7.8

W EYL-Gruppen

359

so dass sie unter der einfachen W EYL-Spiegelung s(i) invariant bleiben  s(i) (λ) = λ − 2 

λ, α (i)



α (i) , α (i)

 α (i) = λ.

(7.312b)

Beispiel 1 Die eindimensionale einfache L IE-Algebra A1 mit den zwei Wurzeln α und −α im Wurzelraum R kann nur durch eine Spiegelung sα an einer Geraden S als Hyperebene im Raum R2 senkrecht zur Wurzel α auf sich selbst abgebildet werden (Abb. 7.9). Zusammen mit dem trivialen Einselement e erhält man als W EYL-Gruppe W(A1 ) die endliche Gruppe 2. Ordnung W(A1 ) = {e, sα }.

(7.313a)

Sie ist isomorph zur Inversionsgruppe Ci = {e, −e} bzw. zu den Punktgruppen Cs und C2 W(A1 ) ∼ = Ci .

(7.313b)

Wählt man als einfache Wurzel α(1) = α, die mit dem einfachen System  identisch  ist, dann liefert die W EYL-Spiegelung sα = s(1) die einfache Wurzel α(1) = −α  (≡  ), was einer neuen Aufteilung in positive Wurzeln entspricht.

Abb. 7.9 Einfache Wurzel α(1) der einfachen L IE-Algebra A1 mit orthonormaler Basis {e1 , e2 } des reellen Vektorraumes R2 ; S: Spiegelgerade

Ausgehend von einer orthonormalen Basis {e1 , e2 } im Wurzelraum R2 , mit deren Hilfe die beiden Wurzeln ausgedrückt werden können in der Form (Tab. 7.7) α = e1 − e2

und

− α = −e1 + e2 ,

(7.314)

erhält man durch die Abbildung s(1) eine Permutation der Basis {e1 , e2 }. Demnach ist die W EYL-Gruppe {e, sα } isomorph zur symmetrischen Gruppe S2 mit den 2! Elementen (Tab. 7.10)  e=

e1 e1

e2 e2



 s(1) =

e1 e2

e2 e1

 .

(7.315)

360

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Die einfache L IE-Algebra A2 besitzt zwei einfache Wurzeln α(1) und α(2) (s. Beispiel 2 v. Abschn. 7.5 und Abb. 7.2). Die Ermittlung der W EYL -Gruppe W(A2 ) mithilfe der Generatoren s(1) und s(2) führt zunächst nach Gl. (7.290) und der C ARTAN-Matrix (7.241) zu den einfachen W EYL -Spiegelungen s(1) (α(1) ) = −α(1) s(1) (α(2) ) = α(1) + α(2)

s(2) (α(1) ) = α(1) + α(2) s(2) (α(2) ) = −α(2) .

(7.316)

Damit können Produkte der Generatoren nach Gl. (7.289) auf ihre Eigenschaft als Gruppenelemente überprüft werden s(1) s(2) (α(1) ) = α(2) s(2) s(1) (α(1) ) = −(α(1) + α(2) ) s(2) s(1) (α(2) ) = α(1) s(1) s(2) (α(2) ) = −(α(1) + α(2) ) s(1) s(2) s(1) (α(1) ) = s(2) s(1) s(2) (α(1) ) = −α(2) s(1) s(2) s(1) (α(2) ) = s(2) s(1) s(2) (α(2) ) = −α(1) . (7.317) Dabei ermöglicht das längste W EYL -Wort wmax = s(1) s(2) s(1) die Abbildung (7.303). Der Vergleich mit Gl. (7.289) und die Berücksichtigung von 2 2 = s(2) = e, s(1)

(7.318)

wonach keine weiteren Produkte der Generatoren auftreten, liefert die W EYL Gruppe W(A2 ) als die Menge von 6 Elementen W(A2 ) = {e, s(1) , s(2) , s(1) s(2) , s(2) s(1) , s(1) s(2) s(1) }.

(7.319)

Die Gruppenpräsentierung mithilfe der Generatoren benutzt Gl. (7.318) sowie die Beziehung (s(1) s(2) )3 = e,

(7.320)

wobei der Exponent n 12 = 3 nach Tabelle 7.8 einen Winkel ϕ = 2π/3 zwischen den einfachen Wurzeln α(1) und α(2) fordert (Abb. 7.2). Die Gruppenelemente s(1) s(2) , s(2) s(1) und e bedeuten Rotationen c3 , c32 und c33 um eine 3-zählige Achse senkrecht zum Wurzelraum R2 mit einem Winkel vom 1-fachen, 2-fachen und 3-fachen des Winkels 2π/3. Die weiteren drei Gruppenelemente s(1) , s(2) und s(1) s(2) s(1) (= s(2) s(1) s(2) ) bedeuten Spiegelungen, bei denen jeweils eine der drei positiven Wurzeln α(1) , α(2) und (α(1) + α(2) ) ins Negative übergeht. Die W EYL-Gruppe W(A2 ) ist demnach isomorph zur Punktgruppe C3v (bzw. D3 ) W(A2 ) ∼ = C3v ,

(7.321)

die die Symmetrie eines gleichseitigen Dreiecks beschreibt. Ausgehend von einer orthonormalen Basis {e1 , e2 , e3 } im Vektorraum R3 , mit deren Hilfe die einfachen Wurzeln ausgedrückt werden können in der Form (Tab. 7.7)

7.8

W EYL-Gruppen

361

α(1) = e1 − e2

α(2) = e2 − e3

(7.322)

liefern die Abbildungen durch die W EYL-Gruppe nach Gln. (7.316) und (7.317) die Permutationen     e1 e2 e3 e1 e2 e3 s(1) = s(2) = e2 e3 e2 e1 e3 e1     e1 e2 e3 e1 e2 e3 s(1) s(2) = s(2) s(1) = e3 e2 e1 e3 e1 e2   e1 e2 e3 s(1) s(2) s(1) = . e3 e2 e1 

e=

e1 e1

e2 e3

e3 e2



(7.323) Die W EYL-Gruppe ist so isomorph zur symmetrischen Gruppe S3 mit der Ordnung 3! (Tab. 7.10) W(A2 ) ∼ = S3 .

(7.324)

Die einfache L IE-Algebra B2 besitzt zwei einfache Wurzeln α(1) und α(2) (α and β in Beispiel 2 v. Abschn. 7.5), die mit der orthonormalen Basis {e1 , e2 } im Wurzelraum R2 ausgedrückt werden können in der Form (Abb. 7.10) α(1) = e2

α(2) = e1 − e2 .

(7.325)

Die Ermittlung der W EYL-Gruppe W(B2 ) mithilfe der Generatoren bzw. einfachen W EYL-Spiegelungen s(1) und s(2) sowie deren Produkte geschieht in analoger Weise wie im Beispiel der L IE-Algebra A2 . Als Ergebnis bekommt man eine Menge von 8 Elementen W(B2 ) = {e, s(1) , s(2) , s(1) s(2) , s(2) s(1) , s(2) s(1) s(2) , s(1) s(2) s(1) , s(1) s(2) s(1) s(2) }. (7.326) Die Gruppenpräsentierung durch die Generatoren geschieht mithilfe der Relationen 2 2 = s(2) =e s(1)

(s(1) s(2) )4 = e,

(7.327)

wobei der Exponent n 12 = 4 nach Tabelle 7.9 einen Winkel ϕ = 3π/4 zwischen den einfachen Wurzeln α(1) und α(2) fordert (Abb. 7.10).

362

7 Halbeinfache L IE-Algebren

Abb. 7.10 Einfache Wurzeln α(1) und α(2) der einfachen L IE-Algebra B2 im Wurzelraum R2 mit orthonormaler Basis {e1 , e2 }

Die Gruppenelemente s(1) s(2) , s(2) s(1) , s(1) s(2) s(1) und e bedeuten Rotationen c4 , c42 , c43 und c44 um eine 4-zählige Achse senkrecht zum Wurzelraum R2 mit einem Winkel vom 1-fachen, 2-fachen, 3-fachen und 4-fachen des Winkels π/2. Die weiteren Gruppenelemente s(1) , s(2) s(1) s(2) , s(2) und s(1) s(2) s(1) s(2) bedeuten vier Spiegelungen σv , σv , σd und σd , bei denen eine Wurzel ins Negative übergeht und ihr orthogonales Komplement invariant bleibt. Die W EYL-Gruppe W(B2 ) ist demnach isomorph zur Punktgruppe C 4v (bzw. D4 ) W(B2 ) ∼ = C4v ,

(7.328)

die die Symmetrie eines Quadrates beschreibt (s. Abb. 2.1 und Abschn. 2.1). Die Abbildungen e und s(2) der W EYL -Gruppe liefern die Permutationen  e=

e1 e1

e2 e2



 s(1) =

e1 e2

e2 e1

 ,

(7.329a)

während die übrigen Gruppenelemente alle jene Permutationen liefern, die mit einem Vorzeichenwechsel verknüpft sind    e1 e2 e1 s(1) s(2) = s(2) s(1) = −e2 e1 e2    e2 e1 e1 e2 s(1) s(2) s(1) = s(2) s(1) s(2) = −e1 −e2 −e1 e2   e2 e1 s(1) s(2) s(1) s(2) = . −e2 −e1 

s(2) =

e1 e1

e2 −e2 



e2 −e1



(7.329b)

Dabei ermöglicht das längste W EYL -Wort wmax = s(1) s(2) s(1) s(2) die Abbildung (7.303). Die W EYL-Gruppe ist so isomorph zum halbdirekten Produkt der symmetrischen Gruppe S2 und dem Quadrat der Inversionsgruppe Ci (Tab. 7.10) W(B2 ) ∼ = S2  Ci × Ci = S2  Ci2 .

(7.330)

Mit den 2! Elementen der symmetrischen Gruppe S2 und den 4 (= 2 · 2) Elementen der Produktgruppe Ci2 erhält man insgesamt 8 Elemente. Für die zur L IE-Algebra B2 isomorphe einfache L IE-Algebra C2 gelten analoge Überlegungen, so dass man als W EYL -Gruppe W(C2 ) das Ergebnis (7.326) bekommt.

7.8

W EYL-Gruppen

363

Die einfach L IE-Algebra G 2 besitzt zwei einfache Wurzeln α(1) und α(2) (α und β in Abb. 7.2). Die Aufstellung der W EYL-Gruppe gelingt anschaulich durch eine Analyse der Symmetrie des Wurzelsystems (G 2 ) von Abb. 7.2. Dabei findet man insgesamt 12 Symmetrieelemente. Es sind sechs Rotationen c6 , c62 , c63 , c64 , c65 und c66 = e um eine 6-zählige Achse senkrecht zum Wurzelraum R2 mit Vielfachen des Winkels π/3 sowie sechs Spiegelungen, bei denen jeweils eine Wurzel ins Negative transformiert wird und das orthogonale Komplement invariant bleibt. Die W EYL Gruppe W(G 2 ) ist demnach isomorph zur Punktgruppe C6v (bzw. D6 ) W(G 2 ) ∼ = C6v .

(7.331)

Abb. 7.11 Einfache Wurzeln α(1) und α(2) der halbeinfachen L IE -Algebra D2 mit orthonormaler Basis {e1 , e2 }

Schließlich wird noch die halbeinfache L IE-Algebra D2 betrachtet. Sie besitzt zwei einfach Wurzeln α(1) und α(2) (α und β in Beispiel 2 v. Abschn. 7.5), die mit der orthonormalen Basis {e1 , e2 } im Wurzelraum R2 ausgedrückt werden können in der Form (Abb. 7.11) α(1) = e1 − e2

α(2) = e1 + e2 .

(7.332)

Die Ermittlung der W EYL-Gruppe W(D2 ) analog zum Vorgehen wie im Falle der L IE-Algebra A2 ergibt W(D2 ) = {e, s(1) , s(2) , s(1) s(2) = s(2) s(1) }.

(7.333)

Die Abbildungen e und s(1) liefern die Permutationen  e=

e1 e1

e2 e2



 s(1) =

e1 e2

e2 e1

 ,

(7.334a)

während die übrigen Gruppenelemente jene Permutationen ergeben, die mit einem geraden Vorzeichenwechsel verknüpft sind

364

7 Halbeinfache L IE-Algebren

 s(2) =

e1 −e1

e2 −e2



 s(1) s(2) =

e1 −e2

e2 −e1

 .

(7.334b)

Dabei ermöglicht das längste W EYL-Wort wmax = s(1) s(2) die Abbildung (7.303). Die W EYL-Gruppe ist so isomorph zum halbdirekten Produkt der symmetrischen Gruppe S2 und der Inversionsgruppe Ci W (D2 ) ∼ = S2  Ci ,

(7.335)

so dass insgesamt 4 (= 2 · 2) Elemente erwartet werden. Die Gruppenelemente s(1) s(2) und e bedeuten Rotationen c2 und c22 um eine 2-zählige Achse senkrecht zum Wurzelraum R2 mit dem Winkel π und 2π . Die übrigen Gruppenelemente s(1) und s(2) bedeuten Spiegelungen, bei denen eine Wurzel ins Negative übergeht und ihr orthogonales Komplement invariant bleibt. Die W EYL-Gruppe ist demnach isomorph zur Punktgruppe C2v (bzw. D2 ) W(D2 ) ∼ = C2v .

(7.336)

Beispiel 2 Im allgemeinen Fall einer einfachen L IE-Algebra Al mit dem Rang l Tabelle 7.10 Struktur der W EYL-Gruppen W (L) und Anzahl der Gruppenelemente |W | von klassischen einfachen L IE-Algebren L L

W (L)

Al Bl Cl Dl

Sl+1 Sl  Cil Sl  Cil Sl  Cil−1

|W | (l + 1)! l!2l l!2l l!2l−1

werden die einfachen Wurzeln {α(i) |i = 1, . . . , l} durch die orthonormale Standardbasis {ei |i = 1, . . . , l + 1} des Vektorraumes V ∼ = Rl+1 ausgedrückt in der Form (7.257b) (s. a. Tab. 7.5) α(i) = ei − ei+1

i = 1, . . . , l.

(7.337)

Die Wirkung einer einfachen W EYL -Spiegelung s(i) auf ein Basiselement ergibt 

ek , α(i)

s(i) (ek ) = ek − 2  ⎧ ⎨ ei+1 = ei ⎩ ek



α(i) , α(i)

 α(i) = ek − 2

"ek , ei − ei+1 # (ei − ei+1 ) "ei − ei+1 , ei − ei+1 #

für k = i für k = i + 1 sonst. (7.338)

Demnach besteht die W EYL -Gruppe W(Al ) aus allen Permutationen der Basis {ei |i = 1, . . . , l + 1}. Sie ist deshalb isomorph zur symmetrischen Gruppe Sl+1

7.8

W EYL-Gruppen

365

mit (l + 1)! Elementen (Tab. 7.10) W(Al ) ∼ = Sl+1 .

(7.339)

Dabei entsprechen die W EYL -Gruppenelemente allgemein den Transpositionen von Basiselementen. Die einfachen W EYL -Spiegelungen bedeuten nach Gl. (7.338) Transpositionen von benachbarten Basiselementen. Im allgmeinen Fall einer einfachen L IE-Algebra Bl bzw. Cl besteht die W EYL Gruppe W(Bl ) bzw. W(Cl ) aus allen Permutationen sowie aus allen Permutationen mit Vorzeichenwechsel der Basis {ei |i = 1, . . . , l} im Wurzelraum Rl . Man erhält demnach eine Isomorphie zum halbdirekten Produkt Sn Cil mit insgesamt l!2l Elementen (Tab. 7.10). Auch im Fall der einfachen L IE-Algebra Dl bedeutet eine Teilmenge der W EYL -Gruppe W(Dl ) alle Permutationen der Basis {ei |i = 1, . . . , l}. Die übrige Teilmenge bewirkt Permutationen, die mit einer geraden Anzahl von Vorzeichenwechsel verbunden sind. Die Grupppe ist demnach isomorph zum halbdirekten Produkt Sl  Cil−1 mit insgesamt l!2l−1 Elementen (Tab. 7.10).

Kapitel 8

Halbeinfache reelle L IE-Algebren

Nachdem die K ILLING-Form κ (7.14) als Metrik verwendet werden kann, stellt sich die Frage nach deren Vorzeichen bzw. nach den Vorzeichen der Eigenwerte des : erfolgt C ARTAN-Tensors κ. Im Falle einer komplexen halbeinfachen L IE-Algebra L beim Übergang von reellen zu komplexen Koeffizienten wegen der Bilinearität ein Vorzeichenwechsel κ(ia, ib) = −κ(a, b)

: a, b ∈ L,

so dass hier keine Antwort möglich ist. Dagegen ist die Frage nach dem Vorzeichen im Falle einer reellen halbeinfachen L IE-Algebra L durchaus sinnvoll, was in den folgenden Abschnitten erörtert wird. Im Unterschied zur Klassifizierung von einfachen komplexen L IE-Algebren, die sich wegen der algebraischen Geschlossenheit des Koeffizientenkörpers C auf sehr direktem Weg ohne größere Schwierigkeit gestaltet, wird man bei den reellen einfachen L IE-Algebren eine kompliziertere Analyse erwarten. Dies ist darin begründet, dass hier der Koeffizientenkörper R algebraisch nicht abgeschlossen ist, so dass das Eigenwertproblem (7.45) bzw. die charakteristische Säkulargleichung (7.50) zur Ermittlung der Wurzeln nicht notwendigerweise eine Lösung im Körper R besitzt. Demnach muss man auf dem Weg über die Komplexifizierung einen Informationsverlust hinnehmen. Dies wird etwa darin offensichtlich, dass aus der Komplexifizierung nicht-isomorpher reeller L IE-Algebren eine für alle isomorphe komplexe L IE-Algebra resultieren kann (Tab. 5.2).

8.1 Kompakte und normale Formen Die Umkehrung der Idee von einer Komplexifizierung LC einer reellen L IE-Algebra L gemäß Gl. (5.94) im Sinne einer Körpererweiterung (Abschn. 5.5) zwingt zur : über dem Körper C in eine reelle L IEUmformung einer komplexen L IE-Algebra L :R über dem Unterkörper R (⊂ C). Dabei wird die skalare Multiplikation Algebra L : −→ L) : auf den Zahlenkörper R beschränkt, ohne die L IE-Algebra als (C × L :× L : −→ L) : zu verändern. Durch Menge sowie die Addition von Elementen (L

M. Böhm, Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-20379-4_8, 

367

368

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

: eine reelle L IEdiesen Skalarwechsel kann man jeder komplexen L IE-Algebra L : Algebra LR zuordnen, was als Reellifizierung bekannt ist. : findet man : der komplexen L IE-Algebra L Mit der Basis {ak | k = 1, . . . , dimC L} : : für die reelle L IE-Algebra LR die Basis {ak , iak | k = 1, . . . dimC L}, so dass gilt :R = 2dimC L. : dimR L

(8.1)

An dieser Stelle ist darauf hinzuweisen, dass das Verfahren der Reellifizierung nicht die Umkehrung der Komplexifizierung bedeutet. Eine Begründung hierfür liefert die Beziehung (5.95a) zusammen mit Gl. (5.95b) bzw. Gl. (8.1). Danach gilt für eine : reelle L IE-Algebra L bzw. für eine komplexe L IE-Algebra L : :R )C = 2dim L dim (L

bzw.

dim (LC )R = 2dim L,

(8.2)

: und (L :R )C wesentlich verschieden so dass die L IE-Algebren L und (LC )R bzw. L sind. Zudem ist die reelle L IE-Algebra (LC )R der Komplexifizierung LC isomorph zur direkten Summe (LC )R ∼ = L ⊕ L,

(8.3)

wobei L diejenige reelle L IE-Algebra bedeutet, deren Komplexifizierung LC ergibt. :0 sind dann jene reelDie reellen Formen einer komplexen einfachen L IE-Algebra L : :0 . len Unteralgebren L von LR , deren Komplexifizierung LC isomorph ist zu L Eine reelle L IE-Algebra L ist genau dann halbeinfach, falls ihre Komplexifizierung LC halbeinfach ist. Andererseits gilt für eine reelle einfache L IE-Algebra L, dass ihre Komplexifizierung LC entweder einfach ist oder in die direkte Summe zweier isomorpher Ideale zerlegt werden kann (Beispiel 3 v. Abschn. 5.5). Unter den reellen Formen gibt es genau eine halbeinfache L IE-Algebra L, die die Eigenschaft der Kompaktheit besitzt. Diese Eigenschaft ist dadurch definiert, dass die Forderung nach einer negativ definiten K ILLING-Form erhoben wird κ(a, b) < 0

a = 0

∀a, b ∈ L.

(8.4)

Falls diese Forderung nicht erfüllt ist, gilt die halbeinfache reelle L IE-Algebra L als nicht kompakt. Dabei ist zu betonen, dass diese Eigenschaft nicht auf die Topologie der L IE-Algebra, nämlich auf ihren Vektorraum bezogen ist. Letzterer ist homöomorph zum euklidischen Raum RdimL und wegen dessen Unbegrenztheit stets nicht kompakt. Eine halbeinfache reelle Unteralgebra L einer halbeinfachen reellen L IEAlgebra L ist ebenfalls kompakt, falls L kompakt ist. Die Eigenschaft der Kompaktheit erlaubt die Einführung eines Skalarprodukts auf dem n-dimensionalen Vektorraum L "a, b# = −κ(a, b)

∀a, b ∈ L,

(8.5)

8.1

Kompakte und normale Formen

369

das positiv definit ist. Demnach gelingt es, eine orthonormale Basis {ai | i = 1, . . . , n} zu finden, die der Bedingung   ai , a j = −κ(ai , a j ) = δi j

(8.6)

genügt. Ausgehend von der orthogonalen Basis {ai | i = 1, . . . , n} einer kompakten, reellen halbeinfachen L IE-Algebra L , bekommt man wegen der Invarianz des L IEProdukts (7.12) − κ([a, ai ], a j ) = κ(ai , [a, a j ])

∀a ∈ L

(8.7)

mit der adjungierten Darstellung Dad (a) nach Gln. (5.81) und (5.82) die Beziehung −κ



 ad Dki (a)ak , a j

 = κ ai ,

k



 Dkadj (a)ak

.

k

Die Linearität der K ILLING -Form κ ermöglicht die Umformung −



ad Dki (a)κ(ak , a j ) =



k

Dkadj (a)κ(ai , ak ).

K

Mit der Orthonormiertheit der Basis erhält man nach Gl. (8.6) die antisymmetrischen Darstellungsmatrizen D ad (a) ad D ad ji (a) = −Di j (a)

∀a ∈ L.

(8.8)

Die Substitution durch die Strukturkonstanten mithilfe von Gl. (5.84) liefert dann j

j

i = − f ik = f ikj = f jik . f ki = − f ki j = f jk

(8.9)

Demnach sind die Strukturkonstanten total antisymmetrisch, nämlich antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung aller Paare von Indizes. Damit wird die Forderung (5.10) nach Antisymmetrie bezüglich der Vertauschung nur des unteren Indexpaares, die allgemein für jede L IE-Algebra gilt, weiter verschärft. Die Kompaktheit einer reellen L IE-Algebra liefert eine Aussage über die Eigenschaft der zugehörigen L IE-Gruppe. Nach dem Satz von W EYL ist eine einfach zusammenhängende halbeinfache L IE-Gruppe G genau dann kompakt, falls die zugehörige reelle L IE-Algebra L vom kompakten Typ ist. Beispiel 1 Eine wesentliche Voraussetzung des Satzes von W EYL ist die Halbeinfachheit einer L IE-Gruppe G. Als Gegenbeispiel wird die multiplikative Gruppe der positiven Zahlen G = (R+ , ·) mit R+ = {x| x ∈ R, x > 0} betrachtet, die isomorph ist zur Komponente des Einselements G L + (1, R) der allgemeinen linearen Gruppe G L(1, R) in einer Dimension. Sie kann homomorph abgebildet werden auf die

370

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

spezielle orthogonale Gruppe G  = S O(2) in zwei Dimensionen (Beispiel 2 v. Abschn. 6.4). Beide Gruppen G und G  sind abelsch und deshalb nicht halbeinfach, so dass die Voraussetzung des W EYL ’schen Satzes nicht erfüllt wird. Die zugehörigen L IE-Algebren L = gl + (1, R) und L = so(2) sind isomorph zueinander. Dennoch findet man die Gruppe G als nicht kompakt und die Gruppe G  als kompakt (Beispiel 21 und 22 v. Abschn. 4.4). : mit der endlichen Dimension Für jede halbeinfache komplexe L IE-Algebra L n können stets zwei spezielle reelle Formen konstruiert werden. Dies ist dadurch begründet, dass beeigneter Wahl der Basis reelle Strukturkonstanten vorliegen. Ausgehend von der C ARTAN -W EYL -Basis (7.57) erhält man durch alle reellen Linearkombinationen der Basiselemente einen reellen Vektorraum L L = spanR [{h k | k = 1, . . . , l} ∪ {eα | α ∈ }].

(8.10a)

Dieser ist eine L IE-Algebra L = H0 ⊕



Reα ,

(8.10b)

α∈

die als normale (split) reelle Form bezeichnet wird. Demnach wird man bei allen klassischen komplexen L IE-Algebren den Koeffizientenkörper C auf den Unterkörper R beschränken (Tab. 8.1). Im Falle einer orthonormalen Basis hat der C ARTAN-Tensor κ die diagonale Kastengestalt von Gl. (7.78). Dabei geben die normierten Elemente e¯α und e¯−α , die den Unterraum Lα aufspannen, Anlass zu einem C ARTAN-Tensor   0 1 κ= , (8.11a) 1 0 der nach Diagonalisierung die Form  κd =

1 0

0 −1

 (8.11b)

annimmt. : kann Eine andere reelle Form der halbeinfachen komplexen L IE-Algebra L stets aus der normalen reellen Form durch eine Basistransformation mit komplexen Koeffizienten gewonnen werden. Die neue Basis B = {i h k | k = 1, . . . , l} ∪ {i f α | α ∈ + } ∪ {gα | α ∈ + }

(8.12a)

mit f α = eα + e−α

und

gα = eα − e−α

(8.12b)

spannt einen reellen Vektorraum auf. Wählt man eine orthonormale Basis {h¯ k | k = 1, . . . , l} für die C ARTAN-Unteralgebra H sowie eine normierte Basis {e¯α | α ∈ }, dann hat der C ARTAN-Tensor κ (7.78) die Form

8.1

Kompakte und normale Formen

371

κ = −1n .

(8.13)

Die durch die Basis (8.12a) erzeugte halbeinfache reelle L IE-Algebra besitzt demnach eine negativ definite K ILLING-Form und wird als kompakte reelle Form Lc bezeichnet. Sie ist bis auf Isomorphie eindeutig, so dass jede komplexe einfache : genau eine solche Form Lc besitzt. Damit kann eine KlassifizieL IE-Algebra L rung von kompakten reellen einfachen L IE-Algebren zurückgeführt werden auf die Klassifizierung von komplexen einfachen L IE-Algebren. Falls für eine beliebige reelle Form L ein Unterraum L mit der Dimension l (= dim L − l  ) existiert, auf den die K ILLING-Form negativ definit ist, dann ist dieser eine Unteralgebra, die als die maximale kompakte Unteralgebra L von L bezeichnet wird. Der Unterraum L mit der Dimension l  (= dim L − l  ), auf dem die K ILLING-Form positiv definit ist, bildet dagegen keine Unteralgebra. Beispiel 2 Betrachtet man etwa die klassische einfache komplexe Matrix L IEAlgebra sl(2, C) (∼ = A1 ), dann kann man als Basis die Generatoren (4.43) wählen B (a) = {ak | k = 1, 2, 3}

(8.14)

und erhält damit die Strukurkonstanten (5.90) (Beispiel 2 v. Abschn. 5.5). Eine andere mögliche Form ist die C ARTAN -W EYL Basis (7.57) (  1 1 B (b) = a3 = h1 , √ (a1 + i a 2 ) = eα , √ (a1 − i a 2 ) = e−α , 2 2

(8.15)

die durch eine unitäre Transformation S B(b) = SB(a) aus der Basis B(a) hervorgeht. Damit sind die Basiselemente nicht mehr antihermitesch, sondern es gilt e+ α = −e−α .

(8.16)

: über C auf Beide Basissysteme spannen den gleichen Vektorraum L : = spanC B (a) = spanC B(b) L

(8.17)

: Im Gegensatz dazu sind die und erzeugen die gleiche komplexe L IE-Algebra L. Vektorräume, die von beiden Basissystemen über dem reellen Körper R aufgespannt werden, nicht isomorph zueinander. Ausgehend von einer Basis in der Form (8.14) erhält man nach Normierung (7.123) der Basis für die C ARTAN-Unteralgebra i i h¯ 1 = − √ h1 = − √ a3 2 2

(8.18a)

372

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

sowie nach Normierung (7.125) der Basis für das orthogonale Komplement i i e¯ ±α = − e±α = − (a1 ± i a 2 ) 2 2

(8.18b)

Bc = {bc,1 , bc,2 , bc,3 }

(8.19)

insgesamt die Basis

mit den Elementen 1 bc,1 = i h¯ 1 = √ a3 2 i 1 bc,2 = √ (¯eα + e¯ −α ) = √ a1 2 2

(8.20)

1 1 bc,3 = √ (¯eα − e¯ −α ) = √ a2 . 2 2 Lc der komplexen L IE-Algebra Diese Basis Bc erzeugt die kompakte reelle Form √ A1 . Sie ist zudem – abgesehen von einem Faktor 1/ 2 – identisch mit der Basis der reellen L IE-Algebra su(2) (s. Beispiel 2 v. Abschn. 5.5) Lc = su(2). Der C ARTAN-Tensor κ errechnet sich dann nach Gl. (7.41) zu κ = −13 .

(8.21)

Im anderen Fall der reellen L IE-Algebra (8.10) findet man nach Normierung gemäß den Gln. (7.123) und (7.125) die Basis B = {b1 , b2 , b3 }

(8.22a)

mit den Elementen i 1 b1 = h¯ 1 = − √ a3 = √ σ z 2 2 2 i 1 b2 = e¯ +α = − (a1 + a2 ) = σ + 2 2 i 1 b3 = e¯ −α = − (a1 − a2 ) = σ − . 2 2

(8.22b)

8.1

Kompakte und normale Formen

373

Diese Basis erzeugt die normale reelle Form L = sl(2, R). Der C ARTAN-Tensor κ hat hier die Gestalt (7.78) und errechnet sich nach Tabelle 7.2 zu ⎛

1 κ = ⎝0 0

0 0 1

⎞ 0 1 ⎠. 0

Eine Basistransformation nach  Bd =

i 1 i √ a3 , √ a2 , √ a1 2 2 2

( (8.23a)

ermöglicht die Diagonalisierung des C ARTAN-Tensors in der Form ⎛

⎞ 1 0 0 κ d = ⎝ 0 −1 0 ⎠. 0 0 1

(8.23b)

Der Übergang von der normalen reellen Form zur kompakten reellen Form Lc gelingt dann durch eine weitere Basistransformation mit komplexen Koeffizienten der Transformationsmatrix ⎛ ⎞ −i 0 0 C = ⎝ 0 0 −i ⎠. 0 1 0

Tabelle 8.1 Kompakte und normale reelle Formen Lc bzw. L von klassischen einfachen kom: plexen L IE-Algebren L : L

Lc

L

Al ∼ su(l + 1) sl(l + 1, R) (l ≥ 1) = sl(l + 1, C) Bl ∼ = so(2l + 1, C) so(2l + 1) so(l + 1, l) (l ≥ 1) Cl ∼ sp(l) sp(l, R) (l ≥ 1) = sp(l + 1, C) so(2l) so(l, l) (l ≥ 3) Dl ∼ = so(2l, C)

Beispiel 3 Im allgemeinen Fall von klassischen einfachen komplexen L IE-Algebren : sind die beiden reellen Formen in Tabelle 8.1 auflistet. Dabei ist anzumerken, dass L man für die klassische L IE-Algebra D2 , die wohl halbeinfach aber nicht einfach ist, eine kompakte reelle Form Lc = so(4) findet. Letztere ist nach Gl. (7.43) (bzw. Gl. 7.200) isomorph zur direkten Summe zweier einfacher reeller L IE-Algebren su(2), so dass Lc ebenfalls halbeinfach ist. Die Isomorphien verschiedener klassischer komplexer L IE-Algebren geben Anlass zu Isomorphien der zugehörigen kompakten reellen Formen. So findet man wegen der Isomorphie von A1 , B1 und C1 (Abschn. 7.7) die Isomorphie der kompakten reellen Formen

374

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

su(2) ∼ = so(3) ∼ = sp(1).

(8.24)

Außerdem implizieren die Isomorphien B2 ∼ = C2 und A3 ∼ = D3 die Isomorphien so(5) ∼ = sp(2)

su(4) ∼ = so(6).

und

(8.25)

Als Konsequenz daraus erwartet man einen Homomorphismus zwischen den zugehörigen L IE-Gruppen, etwa die homomorphe Abbildung von SU (2) auf S O(3) (Beispiel 6 v. Abschn. 2.3).

8.2 Involutive Automorphismen Die Diskussion der Struktur und Klassifizierung von reellen halbeinfachen L IEAlgebren verlangt die Kenntnis von Automorphismen (Abschn. 5.3). An solche Selbstabbildungen einer (reellen oder komplexen) L IE-Algebra L werden zwei wesentliche Bedingungen geknüpft. Einmal die Forderung (5.27) nach dem Erhalt der Strukturen und zum anderen die Forderung nach einer injektiven und surjektiven Abbildung, die die umkehrbare Eindeutigkeit garantiert. Im Falle eines Automorphismus ψ m-ter Ordnung (5.29), der stets diagonalisierbar ist, kann dann der Vektorraum L zerlegt werden in die direkte Summe L=

m−1 

Lk

m ∈ N.

(8.26)

k=0

Dabei sind die Unterräume Lk = {a ∈ L| ψ(a) = λk a}

k = 0, . . . , m − 1

(8.27a)

die Eigenräume des Automorphismus ψ. Die zugehörigen Eigenwerte errechnen sich aus der Forderung (5.29) zu λk = exp(2πik/m)

k = 0, . . . , m − 1.

(8.27b)

Als Konsequenz eines solchen Automorphismus ergibt sich für die Eigenräume [Lk , Ll ] ⊆ Lk+l mod m .

(8.28)

Die Zerlegung einer L IE-Algebra L in der allgemeinen Form L=

 k∈S

Lk

(8.29)

8.2

Involutive Automorphismen

375

mit der Forderung [Lk , Ll ] ⊆ Lk+l

∀k, l ∈ S

(8.30)

bedeutet eine Graduierung der L IE-Algebra L durch die abelsche, additive Gruppe (S, +). Dabei wird häufig die Gruppe der ganzen Zahlen Z mit der Addition als Verknüpfung verwendet. Im Fall der Form (8.26) liegt eine Zm -Graduierung durch die Gruppe Zm = ({0, 1, . . . , m − 1} mod m, +) vor. Letztere ist isomorph zur Faktorgruppe Z/mZ, wobei Z bzw. mZ die Gruppe der additiven Zahlen (Z, +) bzw. (mZ = {mz| z ∈ Z}, +) bedeutet (Abschn. 2.2). Umgekehrt findet man bei einer Zm -Graduierung einer L IE-Algebra L, dass deren lineare Abbildung ψ auf L mit ψ(ak ) = exp(2πik/m)ak

ak ∈ Lk

k = 0, . . . , m − 1

(8.31)

ein Automorphismus m-ter Ordnung ist. Im Übrigen sei hier der Hinweis angebracht, dass im Falle einer Z2 -Graduierung (Semigraduierung) die Grundlage für eine L IE-Superalgebra und damit für eine Supersymmetrie geschaffen wird. Gemäß den L IE-Produkten (8.28) findet man mit [L0 , L0 ] ⊆ L0 ,

(8.32)

dass ausschließlich der Eigenraum L0 zum Eigenwert +1 eine Unteralgebra ist. Zu diesem Ergebnis gelangt man auch durch die Umformung ψ([a0 , b0 ]) = [ψ(a0 ), ψ(b0 )] = [a0 , b0 ] ⊆ L0

∀a0 , b0 ∈ L0 .

(8.33)

Diese Unteralgebra L0 wird als Fixpunktalgebra des Automorphismus ψ bezeichnet. Betrachtet man die K ILLING-Form κ zweier Elemente ak und al aus verschiedenen Eigenräumen Lk und Ll , so erhält man wegen der Bilinearität mit Gl. (8.31) κ(ψ(ak ), ψ(al )) = κ(e2πik/m ak , e2πil/m al ) = e2πi(k+l)/m κ(ak , al ).

(8.34)

Die Invarianz der K ILLING-Form gegenüber jedem Automorphismus ψ nach Gl. (7.11) liefert dann das Ergebnis κ(ak , al ) = 0

für

k + l = 0

mod m

ak ∈ Lk

al ∈ Ll .

(8.35)

Danach sind die Unterräume Lk und Lm−k im Hinblick auf die K ILLING -Form paarweise zueinander korreliert. Das bedeutet, dass es zu jedem Element ak aus dem Eigenraum Lk ein Element am−k aus dem Eigenraum Lm−k gibt mit κ(ak , am−k ) = 0

ak ∈ Lk

am−k ∈ Lm−k .

(8.36)

376

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

Für den Fall k = 0 findet man wegen der nichtverschwindenden K ILLING -Form (κ(a0 , b0 ) = 0; a0 , b0 ∈ L0 ) nach Gl. (8.32), dass das direkte Produkt L0 × L0 nicht entartet ist. Als Konsequenz daraus erwartet man für die Fixpunktalgebra L0 eine reduktive Unteralgebra von L, die sich in eine direkte Summe aus einfachen und abelschen L IE-Algebren zerlegen lässt (Abschn. 7.1). Die adjungierte Abbildung ada (5.31) ist ein Endomorphismus des endlich-dimensionalen Vektorraumes L. Durch die Exponentiation ψ werden deshalb die Elemente der L IE-Algebra L in die L IE-Gruppe G abgebildet  ψ:

L −→ G a −→ A = exp(ada )

∀a ∈ L.

(8.37)

Dabei erzeugt das Bild ψ(L) eine Untergruppe, die als adjungierte Gruppe bezeichnet wird und deren zugehörige L IE-Algebra L ist. Daneben gehört die adjungierte Abbildung ada (5.31) zu den inneren Derivationen, deren Menge die L IE-Algebra der Gruppe der inneren Automorphismen Int(L) bzw. der adjungierten Gruppe bildet. Diese Gruppe ist ein Normalteiler der Menge aller Automorphismen Aut(L) (Abschn. 2.3 und 6.5). Jeder innere Automorphismus ψ(L) kann so als Produkt von Automorphismen in der Form (8.37) bzw. durch Konjugation mit Elementen aus der zugehörigen L IE-Gruppe G in der Form (6.235) ausgedrückt werden. Zwei Unteralgebren L1 und L2 einer L IE-Algebra L sind konjugiert zueinander, falls es einen inneren Automorphismus ψ gibt, so dass gilt L1 = ψ(L2 )

L1 , L2 ⊂ L.

(8.38)

So sind etwa zwei C ARTAN-Unteralgebren einer halbeinfachen komplexen L IEAlgebra im Hinblick auf einen inneren Automorphismus zueinander konjugiert (Abschn. 7.2). Von besonderem Interesse sind die Automorphismen 2. Ordnung. Ein solcher involutiver Automorphismus (Involution) ψ liefert mit einer halbeinfachen kom: eine umkehrbar eindeutige Verknüpplexen, endlich-dimensionalen L IE-Algebra L fung zu einer reellen halbeinfachen L IE-Algebra L. Demnach lassen sich mithilfe der involutiven Automorphismen die reellen Formen gewinnen. Betrachtet man zunächst eine relle n-dimensionale L IE-Algebra L der halb: , dann kann man mit deren Basis {ak | k = einfachen komplexen L IE-Algebra L 1, . . . , n} eine Darstellung ψ des involutiven Automorphismus festlegen durch ψ(ai ) =

n

ψi j (ai )a j

i = 1, . . . , n,

(8.39)

j=1

die der Forderung (Gl. 5.29) ψ 2 (a) = 1n a

∀a ∈ L

(8.40)

8.2

Involutive Automorphismen

377

genügt. Bei der Suche nach den möglichen Eigenwerten λ der Eigenwertgleichung mit den Basiselementen als Eigenvektoren ψ(ak ) = λak

k = 1, . . . , n

(8.41)

bekommt man nach Multiplikation mit der Matrix ψ von links ψ 2 (ak ) = λ2 ak

k = 1, . . . , n.

(8.42)

Der Vergleich mit Gl. (8.40) liefert für ψ 2 den Eigenwert λ2 = 1 und mithin die Eigenwerte für ψ zu (s. Gl. 8.27) λ0,1 = ±1.

(8.43)

Nach Bildung des Minimalpolynoms als jenes Polynom P(ψ) (= 0) in ψ von minimalem Grad, das der Bedingung P(ψ) = 0 genügt, findet man mit P(ψ) = (ψ − λ0 1n )(ψ − λ1 1n ) = (ψ − 1n )(ψ + 1n ), dass dieses in Linearfaktoren aufgeteilt werden kann, deren Nullstellen alle von einfacher Multiplizität sind. Damit erfüllt die involutive Abbildung ψ ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Diagonalisierbarkeit der Darstellung ψ, was auch im allgemeinen Fall eines Automorphismus m-ter Ordnung behauptet werden kann (s. Gl. 8.26). Nach Diagonalisierung von ψ durch eine Basis {ak | k = 1, . . . , n} der reellen L IE-Algebra L erscheinen die beiden Eigenwerte λ0 und λ1 auf der Diagonale. Man erhält so die Eigenwertgleichung ψ(ak ) = λak

k = 1, . . . , n,

(8.44)

wo der Eigenwert λ = +1 bzw. −1 zum Eigenvektor ak des involutiven Automorphismus ψ gehört. Letzterer erlaubt demzufolge eine Zerlegung jeder reellen halbeinfachen L IE-Algebra L nach Gl. (8.26) in zwei Vektorräume, die hier nach der herkömmlichen Symbolik mit K und P bezeichnet werden L = K ⊕ P.

(8.45)

Sie sind die Eigenräume zu den Eigenwerten λ = +1 bzw. −1. Mit den Kommutatoren nach Gl. (8.28) bzw. (8.30) [K, K] ⊆ K

[K, P] ⊆ P

[P, P] ⊆ K

(8.46)

378

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

findet man eine Graduierung der L IE-Algebra L durch die Halbgruppe Z2 . Nach Gl. (8.35) sind diese Unterräume K und P orthogonal bezüglich der K ILLING -Form κ. Zudem ist der Eigenraum K eine Unteralgebra, nämlich die Fixpunktalgebra der L IE-Algebra L, nicht dagegen das orthogonale Komplement P. Mit der zusätzlichen Bedingung, dass die K ILLING-Form negativ definit bzw. positiv definit ist auf K bzw. auf P, wird eine Zerlegung der reellen L IE-Algebra L in der Form (8.45), für deren Unterräume die Kommutatoren (8.46) gelten, als C ARTAN-Zerlegung bezeichnet. Der C ARTAN-Tensor κ hat dann bei geeigneter Wahl der Basis die diagonale Kastenform  κd =

 0 −1dim K . 0 +1dim P

(8.47)

Mit dieser Pseudo-Orthonormalität der Basis bezüglich der K ILLING-Form wird dann die notwendige und hinreichende Bedingung (7.36) für die Halbeinfachheit erfüllt. Die Unteralgebra K ist dabei die maximale kompakte Unteralgebra von L. Bildet man die direkte Summe L∗ := K ⊕ iP

(8.48)

dann wird dadurch wegen (8.46) bzw. wegen der Bilinearität der K ILLING -Form : definiert, nämlich die kompakte reelle Form Lc (∼ eine reelle Form von L = L∗ ), ∗ ∗ ∗ so dass deren Komplexifizierung LC (= L ⊕ iL ) isomorph ist zur komplexen : (Satz v. C ARTAN). Beginnt man an Stelle der reellen L IE-Algebra L IE-Algebra L L mit der kompakten reellen Form Lc , dann ist bei jeder Zerlegung (8.48) wegen der Bilinearität der K ILLING-Form der Vektorraum iPc nicht kompakt, während der Vektorraum Kc kompakt bleibt. Demzufolge liefert hier die Form (8.48) sofort die C ARTAN-Zerlegung. Das Vorzeichen des C ARTAN-Tensors κ, das festgelegt wird durch δ := sp κ = −dim K + dim P,

(8.49a)

wird als Charakter (K ILLING-Index) der reellen Form L bezeichnet. Betrachtet man die diagonale Darstellung ψ des Automorphismus bezüglich einer geeigneten Basis {ak | k = 1, . . . , dim L} der reellen L IE-Algebra L, deren Diagonalelemente die Eigenwerte λ = +1 bzw. −1 zu den Eigenräumen K bzw. P sind, dann findet man für den Charakter δ = −sp ψ.

(8.49b)

Diese Größe erlaubt eine eindeutige Identifizierung der unterschiedlichen reellen : Im speziellen Fall der komFormen einer komplexen halbeinfachen L IE-Algebra L. pakten reellen Form, deren K ILLING-Form κ negativ definit ist auf Lc erhält man den Charakter

8.2

Involutive Automorphismen

379

δ(Lc ) = sp κ = −dim Kc = −dim Lc = −n,

(8.50)

so dass mit Gl. (8.49b) der Automorphismus ψ die Identität mit der Darstellung 1n bedeutet. Setzt man voraus, dass der involutive Automorphismus nicht trivial ist ψ = 1n

bzw.

δ = −sp ψ = −n,

dann findet man (8.49a), dass die K ILLING -Form κ auf der reellen Form L, die durch ψ von der kompakten Form Lc erzeugt wird, nicht negativ definit ist. Demnach erhält man ausgehend von der kompakten reellen L IE-Algebra Lc mithilfe der nicht-trivialen Automorphismen alle nicht-kompakten reellen L IE-Algebren L. Betrachtet man einen involutiven Automorphismus ψ einer reellen halbeinfachen L IE-Algebra L, der eine Zerlegung (8.45) in Eigenräume K und P zu den Eigenwerten λ = +1 und λ = −1 zur Folge hat, dann wird durch die zusätzliche Forderung nach einer positiv definiten, symmetrischen Bilinearform κψ (a, a  ) := −κ(a, ψ(a  ))

a, a  ∈ L

(8.51)

der Automorphismus ψ, der immer existiert, als C ARTAN-Involution bezeichnet. Man erhält so mit κψ ein Skalarprodukt auf L. Betrachtet man Elemente a und a  bzw. b und b aus den Eigenräumen K bzw. P der C ARTAN-Involution ψ, so erhält man mit ψ[a, a  ] = [ψ(a), ψ(a) ] = [a, a  ]

bzw. ψ[a, b] = [ψ(a), ψ(b)] = [a, −b] = −[a, b] ψ[b, b ] = [ψ(b), ψ(b)] = [−b, −b ] = [b, b]

[K, K] ⊆ K bzw. [K, P] ⊆ P bzw.

[P, P] ⊆ K

die Kommutatoren (8.46), die bei einer C ARTAN-Zerlegung erfüllt werden. Zudem findet man wegen der positiven Definitheit der Bilinearform κψ (8.51), dass die K ILLING-Form κ positiv definit bzw. negativ definit ist auf K bzw. P, was insgesamt einer C ARTAN-Zerlegung entspricht. Auch umgekehrt kann auf analogem Wege gezeigt werden, dass ausgehend von einer C ARTAN-Zerlegung in die Vektorräume K und P ein involutiver Automorphismus definiert wird, der eine C ARTANInvolution ψ ist. Beginnt man mit der kompakten reellen Form Lc , dann können alle reelle Formen durch die C ARTAN-Involutionen klassifiziert werden. Diese Klassifizierung erlaubt demnach alle relle Formen Lψ = L∗ nach Gl. (8.48) zu finden. Die Erweiterung des involutiven Automorphismus auf eine komplexe halbein: erzeugt im Falle einer C ARTAN-Involution ψ die kompakte fache L IE-Algebra L reelle Form Lc (= K). Dabei ist die K ILLING-Form κ negativ definit auf Lc , so dass die Forderung (8.51) der positiven Definitheit von κψ erfüllt ist. Beispiel 1 Als Beispiel wird die normale reelle Form L = sl(2, R) der komplexen : = sl(2, C) (∼ halbeinfachen Matrix L IE-Algebra L = A1 ) betrachtet (s. a. Beispiel 2 v. Abschn. 8.1). Ausgehend von der Basis (8.22) wird eine C ARTAN-Zerlegung

380

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

(8.45) vorgenommen, so dass die Unterräume K und P die Kommutatoren (8.46) liefern. Daneben findet man die Basis in der Form (8.23a) 1 B K = √ {a2 } 2

i B P = √ {a1 , a3 } 2

(8.52)

pseudo-orthonormal bezüglich der K ILLING-Form, wodurch nach Gl. (8.23b) die Forderung nach negativer bzw. positiver Definitheit der K ILLING-Form κ auf K bzw. P erfüllt wird. Der Vektorraum K ist dabei die maximale kompakte Unteralgebra von L. Bei dieser C ARTAN-Zerlegung sind die Unterräume K und P die Eigenräume eines involutiven Automorphismus ψ zum Eigenwert λ = +1 bzw. −1, der mit der Basis (8.23a) die diagonale Darstellung ψ = diag(−1, +1, −1)

(8.53)

annimmt. Da die K ILLING-Form κ auf K bzw. auf P negativ bzw. positiv definit ist, erhält man mit den Eigenwertgleichungen ψ(a) = +a

a∈K

und

ψ(a  ) = −a 

a ∈ P

(8.54)

nach Gl. (8.51) eine positiv definite Bilinearform κψ , so dass ψ ein C ARTANInvolution ist. Der Charakter errechnet sich nach Gl. (8.49) zu δ = −sp ψ = 1.

(8.55)

Nach Bildung der direkten Summe (8.48) erhält man eine reelle Form L∗ , deren K ILLING-Form κ(a, a  ) < 0 für a, a  ∈ K für κ(ib, ib ) = −κ(b, b ) < 0

b, b ∈ P

insgesamt wegen der Bilinearität negativ definit ist auf L∗ . Die Basis der reellen Form L∗ errechnet sich – abgesehen vom Vorzeichen – mit (8.53) und (8.48) zur Basis Bc (8.19). Demnach ist die reelle L IE-Algebra L∗ , die durch die C ARTANInvolution ψ aus der rellen Form L = sl(2, R) erzeugt wird, isomorph zur kompakten reellen Form Lc = su(2). Beginnt man umgekehrt mit der kompakten reellen Form Lc = su(2) und deren Basis Bc (8.20), dann erhält man durch den involutiven Automorphismus ψ mit der Darstellung (8.53) eine Zerlegung in die Eigenräume Kc und Pc zu den Eigenwerten λ = +1 und λ = −1. Die Forderung nach einer negativ bzw. positiv definiten K ILLING-Form κ auf Kc und Pc wird durch die direkte Summe in der Form (8.48) Lψ = Kc ⊕ iPc

(8.56)

8.3

Automorphismen des Wurzelsystems

381

erfüllt, so dass diese Zerlegung mit der maximal kompakten Unteralgebra Kc und dem nicht-kompakten Komplement iPc eine C ARTAN-Zerlegung ist. Sie ist äquivalent zu einer C ARTAN-Involution ψ, da nach Gl. (8.51) mit der negativ bzw. positiv definiten K ILLING-Form auf Kc bzw iPc stets eine positiv definite Bilinearform κψ auf Lψ erwartet wird. Der Charakter δ errechnet sich nach Gl. (8.49) zu dem Wert (8.55). Er erlaubt eine eindeutige Identifizierung der reellen Form Lψ , deren ψ : = sl(2, C). Für die Basis Komplexifizierung LC isomorph ist zur L IE-Algebra L der Unterräume Kc bzw iPc erhält man mit (8.20) und (8.56) die Elemente {a2 } bzw. {ia1 , ia3 }. Ein Vergleich mit der Basis Bd (8.23a) zeigt, dass die durch die C ARTANZerlegung (8.56) bzw. durch die C ARTAN-Involution ψ aus der kompakten reellen Form Lc = su(2) erzeugte L IE-Algebra Lψ isomorph ist zur normalen Form L = sl(2, R).

8.3 Automorphismen des Wurzelsystems Die linearen Selbstabbildungen des Wurzelsystems  einer halbeinfachen kom: sind Automorphismen des reellen Wurzelraumes H∗ (7.67a) plexen L IE-Algebra L 0 mit   −→  ρ: (8.57) α −→ ρ(α) ∀α ∈ . Dabei gilt die Forderung nach Invarianz des Skalarprodukts "ρ(α), ρ(β)# = "α, β#

α, β ∈ .

(8.58)

Demnach sind diese Automorphismen ρ mit isometrischen (orthogonalen) Transformationen im euklidischen Raum R3 vergleichbar und können als Rotationen im Wurzelraum H0∗ interpretiert werden. Dabei werden die Wurzeln untereinander permutiert. Mit der Hintereinanderschaltung der Elemente als Verknüpfung bildet die Menge der Automorphismen ρ die Automorphismusgruppe Aut(), die als Untergruppe der gesamten endlichen Anzahl von Permutationen endlich ist. Ein Element ρ der Automorphismusgruppe Aut() kann nicht durch eine willkürliche Permutation der Wurzeln beschrieben werden. So wird man etwa bei der Vertauschung von nur zwei Wurzeln oder im Falle einer zweifach zusammenhängenden L IE-Algebra bei einer Vertauschung von zwei Wurzeln verschiedener Länge keine Selbstabbildung des Wurzelsystems  erzielen. Demnach sind im Allgemeinen nicht alle Permutationen eine Selbstabbildung, so dass die Automorphismusgruppe Aut() eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S|| darstellt Aut() ⊆ S||

: − rang L : = n − l. || = dim L

(8.59)

Der Vergleich von (8.57) und (8.58) mit (7.282) und (7.283) macht deutlich, dass jedes Element {sα | α ∈ } der W EYL -Gruppe W() auch ein Element der

382

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

Automorphismusgruppe Aut() ist. Hingegen muss nicht jedes Element der Automorphismusgruppe zur W EYL-Gruppe gehören, so dass die Umkehrung der Aussage nicht gültig ist. Die W EYL -Gruppe ist so eine Untergruppe (Gl. 7.285) und darüber hinaus sogar ein Normalteiler. Eine den Automorphismus begleitende Permutation der einfachen Wurzeln   α(1) α(2) ... α(n) (8.60a) p(ρ) = p(α(1) ) p(α(2) ) . . . p(α(n) ) kann in der Zyklendarstellung eindeutig in ein Produkt von Zyklen pz zerlegt werden (s. a. Abschn. 9.6) p(ρ) =

l <

pzi (ρ),

(8.60b)

i=1

die kein Element gemeinsam haben und deshalb paarweise miteinander vertauschen. Dabei ist ein Zyklus pz der Länge (Ordnung) r allgemein definiert als eine Permutation von nur r Objekten – bzw. r Wurzeln {α(k) , p(α(k) ), . . . , pr −1 (α(k) )} – während die übrige Teilmenge von (l − r ) Objekten unberücksichtigt bleibt  pz =

... ...

α(k) p(α(k) )

... ...

p(α(k) ) . . . p2 (α(k) ) . . .

pr −1 (α(k) ) r p (α(k) ) = α(k)

 ... . ...

(8.61a)

Bei dieser zyklischen Permutation kommt die Wurzel α(k) an die Position der Wurzel p(α(k) ), die Wurzel p(α(k) ) an die Position der Wurzel p 2 (α(k) ) usw., was abgekürzt ausgedrückt wird durch pz = (α(k) p(α(k) ) . . . pr −1 (α(k) )).

(8.61b)

Die Anzahl r der Objekte – bzw. Wurzeln – ist gleich der Anzahl der Paarvertauschungen (Transpositionen). Für den Fall, dass die Summe über die einfachen Wurzeln der Zyklen pzi von (8.61b) nicht verschwindet, gehört der Automorphismus ρ nicht zur W EYL-Gruppe W() und gilt als spezieller Automorphismus τ des Wurzelsystems

pz i  = 0

∀i

für

ρ := τ ∈ / W().

(8.62)

α(k)

Nachdem die W EYL-Gruppe W() einfach transitiv auf die Menge der einfachen Systeme  bzw. die W EYL -Kammern Ww wirkt (Abschn. 7.8), ist die Faktorgruppe der Automorphismusgruppe Aut() in Bezug zur W EYL -Gruppe W() isomorph zu einer Untergruppe D() (s. Abschn. 2.5) Aut()/W() ∼ = D().

(8.63)

8.3

Automorphismen des Wurzelsystems

383

Die Elemente τ dieser Untergruppe D(), die als die Vertreter der Nebenklassen bezüglich der W EYL -Gruppe gelten, vermögen ein gegebenes einfaches System  in sich selbst abzubilden und lassen so eine gewählte W EYL -Kammer Cw invariant  τ:

 −→  α(i) −→ τ (α(i) )

∀τ ∈ D().

(8.64)

Da die W EYL -Gruppe W() ein Normalteiler ist, kann die Automorphismusgruppe Aut() als halbdirektes Produkt Aut() = W()  D()

(8.65a)

ausgedrückt werden. Danach setzt sich jeder Automorphismus ρ des Wurzelsystems  zusammen aus einem Element w der W EYL -Gruppe und einem Element τ der Gruppe D() ρ =w◦τ

w ∈ W()

τ ∈ D().

(8.65b)

Solche Symmetrien τ des einfachen Systems  gehören zu den speziellen Automorphismen des Wurzelsystems, die die Bedingung (8.62) erfüllen. Sie permutieren die einfachen Wurzeln {α(i) | i = 1, . . . , l}, so dass damit eine entsprechende Abbildung der Indizes verknüpft ist, die hier ebenfalls mit τ bezeichnet wird τ (α(i) ) = α(τ (i))

i = 1, . . . , l.

(8.66)

Wegen Gl. (7.234) erhält man durch die Abbildung τ eine Permutation von Zeilen und Spalten der C ARTAN-Matrix A, wobei die Invarianz garantiert ist. Diese Symmetrie kann ausgedrückt werden in der Form Aτ (i) τ ( j) = Ai j

i, j = 1, . . . , l.

(8.67)

Als Konsequenz daraus erwartet man eine Invarianz des DYNKIN -Diagramms. Dies bedeutet die Invarianz der Gewichte (ωτ (i) = ωi ) sowie nach Gl. (8.66) eine Permutation der Knoten, so dass nach Gl. (8.67) die Anzahl Aτ (i) τ ( j) Aτ ( j) τ (i) der Verbindungslinien zwischen den Knoten τ (i) und τ ( j) gleich ist der Anzahl zwischen i und j. Im Ergebnis ist der spezielle Automorphismus τ des Wurzelsystems ein Automorphismus des DYNKIN-Diagramms, der so dessen Punktsymmetrie charakterisiert. Umgekehrt wird man beim Fehlen jeder nicht-trivialen Symmetrie des DYNKIN-Diagramms erwarten, dass es außer den Elementen der W EYL -Gruppe keine weiteren Automorphismen des Wurzelsystems  und deshalb auch keine nicht-trivialen Automorphismen des einfachen Systems  gibt. Ein besonderer Fall erwächst aus einer möglichen Zerlegung einer L IE-Algebra :1 und L :2 , die zueinander isomorph : in zwei einfache komplexe L IE-Algebren L L sind und die einfachen Systemen 1 und 2 besitzen

384

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

:2 := L :1 ⊕ L L

:1 ∼ :2 . L =L

(8.68)

Dort kann man eine Abbildung τ festlegen τ : 1 −→ 2 ,

(8.69)

: gehört, sondern vielmehr ein die nicht zur W EYL-Gruppe W() der L IE-Algebra L spezieller Automorphismus der Faktorgruppe D() ist. Beispiel 1 Im Fall der einfachen komplexen L IE-Algebra A1 mit den Wurzeln α und −α (Abb. 7.1) gibt es zwei Automorphismen ρ1 und ρ2 (Beispiel 1 v. Abschn. 7.3) ρ1 (α) = α ρ2 (α) = −α, (8.70) die mit den Elementen der W EYL -Gruppe W(), nämlich dem Einselement e und der W EYL-Spiegelung sα identisch sind (Beispiel 1. v. Abschn. 7.8). Demanch fällt die Automorphismusgruppe Aut() mit der W EYL-Gruppe W() zusammen, so dass nach Gl. (8.63) die Faktorgruppe nur aus einer Nebenklasse besteht, deren Vertreter als spezieller Automorphismus τ das Einselement e ist (D() = {e}). Die einfache L IE-Algebra A2 hat zwei einfache Wurzeln α(1) (= α) und α(2) (= β) der insgesamt sechs Wurzeln (Beispiel 2 v. Abschn. 7.3 und 7.5). Betrachtet man etwa die Abbildung (Abb. 7.2) ρ(α(1) ) = α(2)

ρ(α(2) ) = α(1) ,

(8.71a)

dann ist diese wegen ρ(±(α(1) + α(2) )) = ±(α(2) + α(1) ) = ρ(±α(3) ) = ±α(3)

(8.71b)

ein linearer Automorphismus der Gruppe Aut(). Er bedeutet eine Spiegelung ρ = σ3 an einer Ebene, die eine Wurzel α(3) (= α(1) + α(2) ) enthält und orthogonal zum Wurzelraum R2 ist. Demnach gehört dieser Automorphismus nicht zur W EYL Gruppe W(A2 ) (7.319). Weitere Automorphismen, die nicht zur W EYL-Gruppe gehören, sind die Spiegelungen σ1 bzw. σ2 an Ebenen senkrecht zum Wurzelraum R2 , die die einfachen Wurzeln α(1) bzw. α(2) enthalten, sowie drei Rotationen c6 , c63 und c65 um eine 6-zählige Rotationsachse senkrecht zum Wurzelraum R2 mit einem Winkel vom 1-fachen, 3fachen und 5-fachen des Winkels 2π/6. Insgesamt hat die Automorphismusgruppe Aut() zusammen mit den 6 Elementen der W EYL-Gruppe (7.319) die 12 Elemente  Aut() = e = c66 , s(1) , s(2) , s(1) s(2) = c62 , s(2) s(1)

 = c64 , s(1) s(2) s(1) , σ1 , σ2 , σ3 , c6 , c63 , c65 .

(8.72)

8.3

Automorphismen des Wurzelsystems

385

Sie ist isomorph zur Punktgruppe D6v (bzw. D6 ) mit der Ordnung 12 Aut() ∼ = D6v , die die Symmetrie eines gleichseitigen Sechsecks beschreibt. Nach Bildung der Faktorgruppe (8.63) erhält man unter Berücksichtigung der halbdirekten Produkte D6v ∼ = D6  C s

D3v ∼ = D3  C s

die Isomorphie D6v /D3v ∼ = Cs = D(),

(8.73)

so dass die Untergruppe D() aus zwei Punktgruppenelementen, nämlich dem Einselement e und einer Spiegelung σ besteht. Dabei gilt nach Wahl des einfachen Systems  = {α(1) , α(2) } gemäß Abb. (7.2) die Spiegelung σ = σ3 als Automorphismus von . Betrachtet man die den Automorphismus σ3 begleitende Permutation der sechs Wurzeln   α(1) α(2) α(3) −α(1) −α(2) −α(3) p(σ3 ) = , (8.74a) α(2) α(1) α(3) −α(2) −α(1) −α(3) dann findet man mit der Zyklendarstellung p(σ3 ) = (α(1) α(2) )(α(3) )(−α(1) − α(2) )(−α(3) ),

(8.74b)

dass keine der Summen (8.62) über die einfachen Wurzeln {α(i) |i = 1, 2, 3} der drei Zyklen { pzi |i = 1, 2, 3} verschwindet. Damit wird die Bedingung (8.62) erfüllt, so dass die Spiegelung σ3 ein spezieller Automorphismus τ ist, der nicht zur W EYL-Gruppe gehört. Dieser Automorphismus σ3 (= τ ) gilt als Vertreter einer Nebenklasse in der Zerlegung (8.73) der Automorphismusgruppe D6v bezüglich des Normalteilers D3v . Mit der Isomorphie der Punktgruppe Cs zur additiven Gruppe Z2 bekommt man nach (8.63) auch die Isomorphie von letzterer zur Symmetriegruppe D() des DYNKIN-Diagramms (Tab. 8.2). Dabei hat das DYNKIN -Diagramm (Abb. 7.5) außer dem Einselement bzw. der Identität nur die Symmetrie τ einer Spiegelung mit τ (α(1) ) = α(τ (1)) = α(2)

τ (α(2) ) = α(τ (2)) = α(1) ,

(8.75)

was mit der Zerlegung (8.63) übereinstimmt. Beispiel 2 Eine allgemeine Analyse ergibt für die L IE-Algebra Al (l ≥ 2) stets eine Zerlegung der Automorphismusgruppe Aut() in zwei Nebenklassen, zu deren Vertreter das Einselement e sowie ein spezieller Automorphismus τ gehört. Letzterer ist als Symmetrie des DYNKIN-Diagramms eine Spiegelung σ , die die einfache Wurzel

386

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

α(i) bzw. den Knoten (i) in die einfache Wurzel α(l+1−i) bzw. den Knoten (l +1−i) abbildet (Abb. 7.6) τ (α(i) ) = α(τ (i)) = α(l+1−i) .

(8.76)

Demnach ist die Faktorgruppe (8.63) bzw. die Symmetriegruppe D() des einfachen Systems  oder des DYNKIN-Diagramms isomorph zur zyklischen Gruppe der additiven Zahlen Z2 (Tab. 8.2). Tabelle 8.2 Faktorgruppen Aut()/W () des Wurzelsystems  bzw. Symmetriegruppen D() : des einfachen Systems  oder des DYNKIN-Diagramms für einfache klassische L IE -Algebren L ({e}: triviale Gruppe, Z2 ∼ = Z/2Z) : L D() A1 {e} Al (l ≥ 2) Z2 Bl (l ≥ 1) {e} {e} Cl D4 S3 Dl (l > 4) Z2

Bei der L IE-Algebra Bl (l ≥ 1) fällt die Automorphismusgruppe Aut() mit der W EYL-Gruppe W() zusammen. Dies hat zur Folge, dass es außer der trivialen Symmetrie des Einselementes keinen speziellen Automorphismus τ gibt. Betrachtet man das DYNKIN -Diagramm (Abb. 7.6), dann findet man auch dort als einzige Symmetrie lediglich das Einselement e, so dass die Gruppe D() mit der trivialen Gruppe {e} übereinstimmt. Das gleiche Ergebnis bekommt man für die klassische einfache L IE-Algebra Cl (l ≥ 1) sowie für die exzeptionellen einfachen L IE-Algebren E 7 , E 8 , F4 und G 2 , was mit der Symmetrie der zugehörigen DYNKIN-Diagramme leicht zu begründen ist (Abb. 7.6). Die klassische einfache L IE-Algebra Dl (l ≥ 3, l = 4) besitzt eine Faktorgruppe (8.63) mit zwei Nebenklassen, deren Vertreter neben dem Einselement e ein spezieller Automorphismus τ des einfachen Systems  ist mit τ (α(i) ) = α(i) τ (α(l) ) = α(l−1)

i = 1, . . . , l − 2 τ (α(l−1) ) = α(l) .

(8.77)

Im DYNKIN-Diagramm bedeutet diese Symmetrie eine Spiegelung, bei der die letzten Knoten vertauscht werden (Abb. 7.6). Damit ist die Automorphismusgruppe D() des DYNKIN-Diagramms isomorph zur Gruppe Z2 (Tab. 8.2). Die einfache L IE-Algebra D4 hat mit ihren vier einfachen Wurzeln ein DYNKIN Diagramm (Abb. 8.1), dessen Symmetrie bzw. Automorphismusgruppe durch die isomorphe Punktgruppe C2v eines gleichseitigen Dreiecks beschrieben wird. Dabei sind die einfachen Wurzeln α(1) , α(3) und α(4) in den Ecken platziert, während die einfache Wurzel α(2) in der Mitte des Dreiecks sitzt und bei jedem Automorphismus invariant bleibt. Die Automorphismen des Diagramms sind drei Spiegelungen σ1 , σ3 und σ4 an Ebenen durch die Wurzeln α(1) , α(3) – senkrecht zur Zeichenebene –

8.3

Automorphismen des Wurzelsystems

387

Abb. 8.1 DYNKIN-Diagramm der einfachen L IE-Algebra D4 mit den einfachen Wurzeln {α(i) |i = 1, 2, 3, 4} und mit orthonormaler Basis {e1 , e2 }

und α(4) sowie drei Rotationen c3 , c32 und c33 (= e) um eine 3-zählige Drehachse durch die Wurzel α2 – senkrecht zur Zeichenebene – mit den Winkeln 2π/3, 4π/3 und 2π . Diese sechs Punktgruppenelemente ermöglichen eine Permutation der drei einfachen Wurzeln α(1) , α(3) und α(4) , so dass die Automorphismusgruppe D() ∼ = C2v isomorph ist zur symmetrischen Gruppe S3 mit 6 (= 3!) Permutationen bzw. Elementen Tab. (8.2). Betrachtet man etwa die Rotation c3 , dann erhält man für die begleitende Permutation  p(c3 ) =

α(1) α(3)

α(2) α(2)

α(3) α(4)

α(4) α(1)

 ,

(8.78a)

bei der in der Zyklendarstellung p(c3 ) = (α(1) α(3) α(4) )(α(2) )

(8.78b)

keiner der Summen (8.62) über die einfachen Wurzeln {α(i) | i = 1, 2, 3, 4} der zwei Zyklen { pzi | i = 1, 2} verschwindet. Demnach wird – wie für alle übrigen Symmetrieelemente – die Bedingung (8.62) für einen speziellen Automorphismus τ erfüllt. Schließlich findet man bei der einfachen L IE-Algebra E 6 zwei Automorphismen des DYNKIN-Diagramms (Abb. 7.6). Zum einen die Identität bzw. das Einselement e und zum anderen ein Spiegelung σ6 ≡ τ an einer Ebene durch den Knoten i = 6 – senkrecht zur Zeichenebene – mit τ (α(i) ) = α(6−i) τ (α(6) ) = α(6) .

i = 1, . . . , 5

388

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

dabei erfolgt eine Permutation der einfachen Wurzeln  p(σ6 ) =

α(1) α(2) α(3) α(4) α(5) α(6) α(5) α(4) α(3) α(2) α(1) α(6)

 ,

bei der in der Zyklendarstellung p(σ6 ) = (α(1) α(5) )(α(2) α(4) )(α(3) )(α(6) ) keiner der Summen (8.62) über die einfachen Wurzeln {α(i) | i = 1, . . . , 6} der vier Zyklen { pzi | i = 1, . . . , 4} verschwindet. Demnach ist diese Spiegelung σ6 des DYNKIN-Diagramms ein spezieller Automorphismus τ . Die beiden Elemente e und σ6 bilden als Vertreter der beiden Nebenklassen in der Zerlegung (8.63) die Punktgruppe Cs , die isomorph ist zur Gruppe Z2 (Tab. 8.2).

8.4 Hauptautomorphismen Die Diskussion der Automorphismen eines Wurzelsystems verhilft zu wertvollen Erkenntnissen über die Automorphismen der zugehörigen L IE-Algebra. Eine wesentliche Rolle spielt dabei die Symmetrie D() des DYNKIN -Diagramms, das die volle Information über das einfache System  beinhaltet. : bezüglich Betrachtet man die Faktorgruppe der Automorphismusgruppe Aut(L) : der Gruppe der inneren Automorphismen Int(L), wobei letztere eine Komponente des Einselements und mithin ein Normalteiler ist, dann findet man für deren Elemente, nämlich den Nebenklassen die Isomorphie : : ∼ : Aut(L)/Int( L) = Out(L).

(8.79)

: die sogenannte äußere AutoDabei bedeutet die Menge der Nebenklassen Out(L) morphismusgruppe. Sie darf nicht mit der Menge der äußeren Automorphismen verwechselt werden, die keine Gruppe bildet (s. Abschn. 2.3), sondern sie ist vielmehr ihrerseits isomorph zur Symmetriegruppe des DYNKIN-Diagramms : ∼ Out(L) = D().

(8.80)

: trivial ist und deshalb nur aus dem EinseleFür den Fall, dass die Gruppe Out(L) : : = Int(L)). : ment besteht, gilt die L IE-Algebra L als vollständig (Aut(L) : Da die adjungierte Gruppe Int(L) ein Normalteiler ist, kann die Automorphis: als halbdirektes Produkt analog zu (8.65a) ausgedrückt werden musgruppe Aut(L) : = Int(L) :  Out(L). : Aut(L)

(8.81)

8.4

Hauptautomorphismen

389

: zusammen aus einem Danach setzt sich jeder Automorphismus der L IE-Algebra L : und inneren Automorphismus ψInt als Element der adjungierten Gruppe Int(L) : einem Element ψτ der äußeren Automorphismusgruppe Out(L) ψ = ψInt ◦ ψτ

: ψInt ∈ Int(L)

: ψτ ∈ Out(L).

(8.82)

Dabei wird der Automorphismus ψτ durch den Automorphismus τ des einfachen Systems bzw. durch die Punktsymmetrie des DYNKIN -Diagramms induziert und als Erweiterung von τ bezeichnet. In jenem speziellen Fall, bei dem die Erweiterung ψτ mit dem Einselement bzw. der Identität zusammenfällt, erhält man nach (8.82) eindeutig einen inneren Automorphismus für ψ. Dies bedeutet auch wegen der Isomorphie (8.80) und der Beziehung (8.65), dass man genau dann einen inneren Automorphismus ψInt für ψ erwartet, falls τ ein Element der W EYL -Gruppe W() ist. Zwei Automorphismen ψ und ψ  heißen zueinander konjugiert, falls es einen inneren Automorphismus ψInt gibt, der es erlaubt, durch Konjugation die beiden Automorphismen ineinander zu überführen −1 ψ  = ψInt ◦ ψ ◦ ψInt

: ψInt ∈ Int(L).

(8.83)

Durch diese Konjugation können die Automorphismen – etwa der kompakten reellen Form Lc – auf eine Standardform reduziert werden, so dass sich die Strukturen nur bis auf Konjugiertheit bzw. Isomorphie unterscheiden. Dabei gibt es endlich viele Klassen konjugierter Automorphismen, von denen jede durch einen Hauptautomorphismus (Standardautomorphismus) ψ repräsentiert werden kann. Demnach ist jeder Automorphismus einer kompakten rellen Form Lc konjugiert zu einem Hauptautomorphismus ψ. Um alle nicht-kompakten reellen L IE-Algebren zu finden, genügt es dann, lediglich die involutiven Hauptautomorphismen der kompakten reellen Form zu diskutieren. Ein Hauptautomorphismus kann in der Gestalt von (8.82) ausgedrückt werden. Dort beschreibt der erste Faktor den inneren involutiven Hauptautomorphismus, : gehört. Demnach gibt es zu jedem besonderen der zur adjungierten Gruppe Int(L) Automorphismus τ des Wurzelsystems  bzw. zu jeder Nebenklasse in der Zerlegung (8.63) der Faktorgruppe Aut()/W() und mithin zu jeder Erweiterung ψτ eine Menge von Hauptautomorphismen, die sich durch innere Automorphismen unterscheiden. Nachdem zwei beliebige C ARTAN-Unteralgebren bezogen auf einen inneren Automorphismus nach Gl. (8.38) zueinander konjugiert sind, fordert man, : invariant lässt dass die Erweiterung ψτ die C ARTAN-Unteralgebra H ψτ (h) = h

: ∀h ∈ H.

(8.84)

Zunächst werden nur solche Hauptautomorphismen ψ betrachtet, bei denen die Erweiterung ψτ trivial ist. Der damit verknüpfte spezielle Automorphismus τ des Wurzelsystems ist dabei das Einselement e und gehört zur W EYL -Gruppe, so dass der Hauptautomorphismus ψ nach Gl. (8.82) mit dem inneren Automorphismus ψInt

390

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

: wo zusammenfällt (ψ = ψInt ). Man findet diesen Fall bei jenen L IE-Algebren L, die Symmetrie des DYNKIN-Diagramms D() nur das Einselement e besitzt. Zu diesen L IE-Algebren, die sonst keine weiteren Automorphismen besitzen, gehören die klassischen L IE-Algebren A1 , Bl (l ≥ 1), Cl (Tab. 8.2) sowie die exzeptionellen L IE-Algebren E 7 , E 8 , F4 , G 2 . Die Suche nach einer geeigneten Form für den inneren Automorphismus bzw. den Hauptautomorphismus ψ (8.37) wird mithilfe der C ARTAN -W EYL Basis (7.57) : – oder deren kompakte reelle Form Lc – einer komplexen einfachen L IE-Algebra L wesentlich erleichtert. Setzt man eine punktweise invariante C ARTAN-Unteralgebra : voraus H ψ(h i ) = h i

: hi ∈ H

: = l, i = 1, . . . , rang L

(8.85)

:0 (8.32) enthalten ist, dann bekommt man unter Wirdie in der Fixpunktalgebra L kung des Automorphismus auf das L IE-Produkt (7.61a) ψ[h i , eα ] = [h i , ψ(eα )] = adh i ψ(eα ) = αi ψ(eα )

∀α ∈ .

(8.86)

Danach ist ψ(eα ) ein Eigenvektor der adjungierten Abbildung adh i , der zum glei:α chen Eigenwert αi gehört wie der Eigenvektor eα . Da die Wurzelunterräume L eindimensional und mithin nicht entartet sind, folgt daraus die Proportionalität zwi:α schen den beiden Eigenvektoren ψ(eα ) und eα , so dass die Wurzelunterräume L auf sich selbst abgebildet werden. So ist jeder Stufenoperator eα in Bezug auf die : auch ein Eigenvektor des Automorphismus ψ. ψ-stabile C ARTAN-Unteralgebra H Insgesamt existiert für jeden inneren Automorphismus ψ endlicher Ordnung m : – bzw. ihrer reellen kompakten Form Lc – eine einer einfachen L IE-Algebra L C ARTAN -W EYL -Basis (7.57) mit Eigenvektoren von ψ als Elemente, wobei die : enthält. Als Konsequenz daraus :0 die C ARTAN-Unteralgebra H Fixpunktalgebra L hat der innere Automorphismus bezüglich dieser Basis nach Gl. (8.37) die Form : h ∈ H.

ψ = exp(adh )

(8.87)

: das mithilfe der Ausgehend von einem Element h der C ARTAN-Unteralgebra H, C ARTAN -W EYL Basis ausgedrückt werden kann in der Form h = 2πi

l

µk h k

µk ∈ R,

(8.88)

k=1

bekommt man für einen Automorphismus der Ordnung m nach Gl. (8.87)  l 2πi k ψ = exp µ adh k . m 

k=1

(8.89)

8.4

Hauptautomorphismen

391

Dies bedeutet eine Parametrisierung durch die l Basiselemente {h k | k = 1, . . . , l} der C ARTAN-Unteralgebra, die durch den sogenannten Verschiebungsvektor aus dem zum reellen Wurzelraum H0∗ dualen Gewichtsraum H0 repräsentiert wird µ = (µ1 , . . . , µl ) ∈ H0 ∼ = Rl .

(8.90)

Gemäß den Gln. (7.53) und (7.61) findet man mit der Wirkung der adjungierten Abbildung auf die C ARTAN -W EYL -Basis adh h k = [h, h k ] = 0

k = 1, . . . , l

adh eα = [h, eα ] = "µ, α# eα

∀α ∈ 

(8.91a)

(8.91b)

die Eigenwertgleichungen ψ(h k ) = h k

k = 1, . . . , l

 2πi "µ, α# eα ψ(eα ) = exp m

(8.92a)



∀α ∈ .

(8.92b)

Die Forderung (5.29) nach einem Automorphismus m-ter Ordnung impliziert die Bedingung "µ, α# ∈ Z

mod m

∀α ∈ .

(8.93)

Der Verschiebungsvektor (8.90), der als Element aus dem zum Wurzelraum H0∗ dualen Gewichtsraum H0 aufgefasst werden kann, ist danach geeignet, die inneren Automorphismen endlicher Ordnung zu beschreiben. Da er nur bis auf die Addition von Gewichten aus dem Gewichtsgitter L w festgelegt ist, erlaubt er die Automorphismen nur bis auf eine Konjugation eindeutig zu klassifizieren. Nachdem die Ergebnisse (8.92) und (8.93) für alle positiven Wurzeln gelten, kann die Diskussion auf die einfachen Wurzeln {α (k) | k = 1, . . . , l} beschränkt werden. Ausgehend von der Eigenwertgleichung  ψ(eα(k) ) = exp

  2πi  µ, α (k) eα(k) m

k = 1, . . . , l

(8.94)

erhält man aus der Forderung (5.29) nach einem Automorphismus m-ter Ordnung die Bedingung 

   µ, α (k) = , α (k)∨ ∈ Z

mod m

k = 1, . . . , l

(8.95a)

392

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

mit  (k) (k)  α ,α =µ . 2

(8.95b)

Mit der zur Basis B∗ (7.214a) des Wurzelraumes H0∗ dualen DYNKIN -Basis B (7.214b) gewinnt man die Darstellung des Verschiebungsvektors  gemäß =

l

k (k) ,

(8.96)

k=1

so dass wegen der Orthogonalität (7.215) für (8.95) das k-te DYNKIN-Label erhalten wird zu  (k) (k)  " ! k (k) k α ,α  = µ, α =µ . (8.97) 2 Die Bedingung (8.95) wird dann zu einer Forderung nach ganzzahligen DYNKIN Label k ∈ Z

mod m

k = 1, . . . , l.

(8.98)

Dies bedeutet, dass der Gewichtsvektor  ein Element des Gewichtsgitters L w sein muss. Da die ganzzahligen Werte k nur bis auf mod m definiert sind, kann man sie aus der Menge {0, 1, . . . , m − 1} auswählen. Im Fall eines involutiven Automorphismus (m = 2) erwartet man mit den m l = 2l möglichen Verschiebungsvektoren bzw. Gewichtsvektoren insgesamt 2l innere Hauptautomorphismen ψ, von denen einige jedoch isomorphe reelle Formen erzeugen. Beispiel 1 Ausgehend von der kompakten reellen Form Lc = su(3) der komplexen : = sl(3, C) (∼ Matrix L IE-Algebra L = A2 ) wird versucht, mithilfe eines inneren Automorphismus ψ nach Gl. (8.87) eine weitere reelle Form zu erzeugen. Die Para: nach Gl. (8.88) liefert mit der Basis (8.12) und metrisierung eines Elements h ∈ H der adjungierten Abbildung adh =

l 2πi k µ hk m

µk ∈ R

(8.99)

k=1

die Beziehungen adh i h k =

1 [h, i h k ] = 0 m

k = 1, 2

(8.100a)

adh i f α =

1 2π "µ, α# gα [h, i f α ] = − m m

(8.100b)

8.4

Hauptautomorphismen

adh gα =

393

1 2π "µ, α# i f α [h, gα ] = m m

∀α ∈ + .

(8.100c)

Daraus gewinnt man nach Gln. (5.8) und (5.82) die adjungierte Darstellung  D ad (Lc ) = 0l=2 ⊕

2π m

0 − 2π m "µ, α# "µ, α# 0

 ∀α ∈ + .

(8.101)

Für die Darstellung des Automorphismus ψ (8.87) erhält man dann   cos(2π/m "µ, α#) sin(2π/m "µ, α#)

ψ = exp( Dad ) = 12 ⊕

α∈+

 − sin(2π/m "µ, α#) . cos(2π/m "µ, α#)

(8.102) Der Charakter δ der reellen Form L errechnet sich mit Gl. (8.49b) allgemein zu ⎛ δ = − ⎝2 + 2

α∈+

⎞  2π "µ, α# ⎠ cos m 

(8.103)

und die Eigenwertgleichungen (8.92) haben die Gestalt ψ(i h k ) = i h k

k = 1, 2

(8.104a)



   2π 2π "µ, α# i f α − sin "µ, α# gα ψ(i f α ) = cos m m

(8.104b)

   2π 2π "µ, α# i f α + cos "µ, α# gα m m

(8.104c)

 ψ(gα ) = sin

∀α ∈ + .

Die Forderung (5.29) nach einem Automorphismus m-ter Ordnung impliziert die Bedingung ψ

m

  cos(2π "µ, α#) = 12 ⊕ sin(2π "µ, α#) α∈+

− sin(2π "µ, α#) cos(2π "µ, α#)

 = 18

mit der Konsequenz cos 2π "µ, α# = 1

bzw.

exp(2πi "µ, α#) = 1

∀α ∈ + .

(8.105)

Daraus resultiert für alle positiven Wurzeln die Bedingung (8.93). Demzufolge gilt auch für die beiden einfachen Wurzeln α (1) und α (2) die Bedingung (8.95). Setzt man einen inneren Automorphismus 2-ter Ordnung voraus, dann heißt die Forderung (8.98) an die beiden DYNKIN-Label 1 und 2 des Gewichtsvektors 

394

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

k ∈ Z = {0, 1}

k = 1, 2.

mod 2

(8.106)

Die möglichen Paarungen der DYNKIN-Label liefern 4 (= 2l ) Verschiebungsvektoren, so dass auch vier Hauptautomorphismen erwartet werden (Tab. 8.3). Tabelle 8.3 Hauptautomorphismen ψ zu den ganzzahligen paarweisen Werten der DYNKIN -Label 1 und 2 nach Gl. (8.106) ψ ψ (I) ψ (II) ψ (III) ψ (IV)

1 0 1 0 1

2 0 0 1 1

Im ersten Fall ψ (I) erhält man mit 1 = 2 = 0 für das dritte DYNKIN-Label entsprechend der linearen Kombination für die dritte positive Wurzel α (3) = (1) (α + α (2) ) den Wert 3

3 = 1 + 2 = 0, womit nach (8.102) die Darstellung ψ (I) = 18 mit dem Charakter nach (8.103) δ (I) = −(2 + 2 · 3) = −8 resultiert. Es ist die Darstellung eines trivialen Automorphismus, der die kompakte reelle Form Lc identisch abbildet. Im zweiten Fall ψ (II) erhält man mit 1 = 1 und 2 = 0 für das dritte DYNKIN-Label 3 entsprechend der linearen Kombination zur dritten positiven Wurzel α (3) = (α (1) + α (2) ) den Wert 3 = 1 + 2 = 1. Die Darstellung ψ (II) dieses Automorphismus ergibt sich dann nach (8.102) zu ψ (II) = 12 ⊕ −12 ⊕ 12 ⊕ −12 mit dem Charakter δ (II) = −spψ (II) = 0.

8.4

Hauptautomorphismen

395

Tabelle 8.4 Nicht-kompakte reelle L IE-Algebren L, die durch einen inneren involutiven Hauptautomorphismus ψ = exp(adh ) aus der kompakten reellen Form Lc der klassischen einfachen : erzeugt werden (s. a. Tab. 8.1 und 5.1); [n] : größte natürliche Zahl ≤ n L IE-Algebra L : L

L

δ

i mit i = 1

h

Al (l ≥ 1) ∼ = sl(l + C)

su(l + 1 − k, k) k ≤ [(l + 1)/2]

1 − (l + 1 − 2k)2

k

2πi(l + 1)h k

l − 2(l − 2k)· (l − 2k + 1)

l − k, l

2πi(sl − 1)· (h l−k + 2h l )

Bl (l ≥ 1) so(2l + 1 − 2k, 2k) ∼ k ≤ [l] = so(2l + 1, C) Cl (l ≥ 1) ∼ = sp(1, C)

sp(l, R)

l

l

2πi(l + 1)h l

Cl (l ≥ 2)

sp(k, l − k) k ≤ [l/2]

−l − 2(l − 2k)2

k

2πi(l + 1)h k

Dl (l ≥ 3) ∼ so(2l, C) =

so(2l − 2k, 2k) k ≤ [l/2]

l − 2(l − 2k)2

k

4πi(l − 1)h k

Dl (l ≥ 3)

so∗ (2l)

−l

l

4πi(l − 1)h l

Das Element h errechnet sich nach (8.99) mit den Kordinaten µ1 und µ2 aus den Gleichungen (8.97), (7.145) und (7.146) µ1 = 61 = 6 µ2 = 0 zu h = 6πi h 1 . Die weiteren Fälle ψ (II) und ψ (IV) liefern Automorphismen mit dem gleichen verschwindenden Charakter δ (III) = δ (IV) = 0. Da zu diesem Charakter bis auf Isomorphie genau eine reelle L IE-Algebra L existiert, deren Komplexifizierung die : = sl(3, C) ergibt, wird durch diese inneren Hauptautomorphismen L IE-Algebra L ψ (II) , ψ (III) und ψ (IV) stets die gleiche reelle Form L erzeugt, nämlich die Matrix L IE-Algebra L = su(2, 1) (s. a. Tab. 8.4). Beispiel 2 Eine allgemeine Diskussion von inneren involutiven Hauptautomorphis: liefern jene reellen men im Hinblick auf die klassischen einfachen L IE-Algebren L nicht-kompakten L IE-Algebren L, die in Tabelle 8.4 aufgelistet sind. Dabei ist anzumerken, dass die reelle L IE-Algebra sl(l + 1, R), deren Komplexifizierung die L IE-Algebra sl(l + 1, C) (∼ = Al ) ergibt, durch einen äußeren involutiven Automorphismus erzeugt wird, falls l ≥ 2 gilt. Bei der L IE-Algebra sl(2, C) (∼ = A1 ) mit l = 1 wird man wie im Fall der L IEAlgebra sl(3, C) von Beispiel 1 verfahren. Ausgehend von der kompakten reellen Form Lc = su(2) findet man mit der einzigen einfachen und positiven Wurzel α (= α (1) ) für einen involutiven Automorphismus nach Gl. (8.98) die Forderung an das einzige DYNKIN-Label  = 1 ∈ Z = {0, 1} mod 2. l Man erhält so 2 (= 2 ) Verschiebungsvektoren, die zu zwei Automorphismen Anlass geben.

396

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

Im ersten Fall ergibt der Gewichtsvektor  = 0 den trivialen Automorphismus ψ (I) mit der Darstellung ψ (I) = 13 , so dass die identische kompakte reelle Form su(2) erzeugt wird. Im zweiten Fall erhält man mit  = 1 für die Darstellung des inneren Automorphismus nach Gl. (8.102) ψ (II) = 11 ⊕



−1 0

0 −1



⎛

1 0 = ⎝ 0 −1 0 0

⎞ 0 0⎠ −1

und für den Charakter δ = −sp ψ (II) = 1. Das Element h errechnet sich nach Gl. (8.99) mit dem DYNKIN -Label aus den Gln. (8.97) und (7.126) µ = µ1 = 4 = 41 = 4 zu h = 4πi h 1 . Dieser Automorphismus ψ (II) erzeugt die reelle Matrix L IE-Algebra L = su(1, 1) (Tab. 8.4). Ein Vergleich mit dem Automorphismus ψ (8.53) und dessen Charakter δ (8.55), der aus der kompakten reellen Form Lc die normale Form L = sl(2, R) erzeugt (Beispiel v. Abschn. 8.2), gibt Anlass zu der Feststellung, dass beide L IEAlgebren isomorph sind su(1, 1) ∼ = sl(2, R). : implizieren Die Isomorphien einzelner niedrig-dimensionaler L IE-Algebren L Isomorphien von zugehörigen reellen Formen L (s. a. Beispiel 3 v. Abschn. 8.1 – Gln. 8.24 und 8.25). Ein zusammenfassender Überblick wird in Tabelle 8.5 vermittelt. In jenen Fällen, bei denen in der Zerlegung (8.63) außer dem Einselement noch weitere Vertreter τ der Nebenklasse auftreten, muss im Hauptautomorphismus nach Gl. (8.82) die Erweiterung ψτ berücksichtigt werden. Diese ist für alle speziellen Automorphismen τ des Wurzelsystems involutiv ψτ2 = e

(8.107)

8.4

Hauptautomorphismen

397

: invariant. Die Anwendung und lässt nach Gl. (8.84) die C ARTAN-Unteralgebra H der Erweiterung auf Gl. (7.63) unter Berücksichtigung von ψτ (eα ) = cα eτ (α)

∀α ∈ 

cα = const

(8.108)

ergibt [ψτ (h), eτ (α) ] = α(h)eτ (α) .

(8.109)

Daraus gewinnt man die Beziehung   α ψτ−1 (h) = τ (α)(h),

(8.110a)

Tabelle 8.5 Isomorphien niedrig-dimensionaler halbeinfacher L IE-Algebren und zugehöriger reeller Formen Lc und L (s. a. Tab. 5.1) : L

Lc

L

Al ∼ = B1 ∼ = C1

su(2) ∼ = so(3) ∼ = ∼ = sp(1)

su(1, 1) ∼ = so(1, 2) ∼ = ∼ sp(1, R) ∼ = = sl(2, R)

B2 ∼ = C2

so(5) ∼ = sp(2)

so(1, 4) ∼ = sp(1, 1) so(3, 2) ∼ = sp(2, R)

A3 ∼ = D3

su(4) ∼ = so(6)

su(2, 2) ∼ = so(4, 2) su(3, 1) ∼ = so∗ (6) ∼ so(5, 1) = su ∗ (4) so(3, 3) ∼ = sl(4, R)

D2 ∼ = A1 ⊕ A1

so(4) ∼ = so(3) ⊕ so(3) so∗ (4) ∼ = so(3) ⊕ so(2, 1) so(2, 2) ∼ = so(2, 1) ⊕ so(2, 1) so(3, 1) ∼ = sl(2, C)

die die Invarianz des transformierten Funktionals garantiert α  (h  ) = α(h).

(8.110b)

Ein Automorphismus ψτ ist demnach nur dann eine Erweiterung, falls (8.110) erfüllt ist. Die Anwendung eines Hauptautomorphismus ψ nach (8.82) und (8.87) auf die C ARTAN -W EYL Basis (7.57) unter Berücksichtigung von ψτ (h k ) = h τ (k)

k = 1, . . . , l

(8.111)

sowie von Gl. (8.108) liefert das Ergebnis ψ(h i ) = exp(adh )h τ (i) = h τ (i)

i = 1, . . . , l

ψ(eα ) = exp(adh )cα eτ (α) = exp(τ (α))cα eτ (α)

∀α ∈ .

(8.112a)

(8.112b)

398

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

Betrachtet man andererseits die Abbildung ψ  = ψτ ◦ exp(adψτ−1 (h)),

(8.113)

dann liefert deren Wirkung auf die C ARTAN -W EYL Basis das Ergebnis ψ  (h i ) = ψτ h i = h τ (i)

i = 1, . . . , l

      ψ  (eα ) = ψτ exp α ψτ−1 (h) eα = exp α ψτ−1 (h) cα eτ (α)

(8.114a)

∀α ∈ . (8.114b)

Nach Vergleich der beiden Ergebnisse (8.112) und (8.114) unter Substitution der Beziehung (8.110) findet man die beiden Automorphismen ψ und ψ  gleich, so dass gilt ψ 2 = ψ ◦ ψ  = exp(adh ) ◦ ψτ2 ◦ exp(adψτ−1 (h) ).

(8.115)

Die Forderung nach einem involutiven Automorphismus (ψ 2 = e) impliziert dann unter Berücksichtigung der involutiven Erweiterung (8.107) sowie der ψτ -Stabilität : die Bedingung (8.84) der C ARTAN-Unteralgebra H ψ 2 = [exp(adh )]2 = e.

(8.116)

Demnach ist der Hauptautomorphismus ψ genau dann involutiv, wenn der innere Automorphismus involutiv ist, so dass die Bedingung (8.95) bzw. (8.98) mit m = 2 erfüllt sein muss. Beispiel 3 Als Beispiel wird wieder die kompakte reelle Form Lc = su(3) der Matrix L IE-Algebra sl(3, C) (∼ = A2 ) betrachtet unter Einbeziehung des einzigen nicht-trivialen speziellen Automorphismus τ entsprechend der Abbildung ρ nach Gl. (8.71). Letzterer gibt Anlass zu einer Erweiterung ψτ des Hauptautomorphismus (8.82) mit der Wirkung auf die Basis (8.12) ψτ (i h 1 ) = i h 2

ψτ (i h 2 ) = i h 1

(8.117a)

ψτ (i f α(1) ) = i f α(2)

ψτ (igα(1) ) = igα(1)

(8.117b)

ψτ (i f α(2) ) = i f α(1)

ψτ (igα(2) ) = igα(1)

(8.117c)

ψτ (i f α(1) +α(2) ) = −i f α(1) +α(2)

ψτ (gα(1) +α(2) ) = −gα(1) +α(2) .

(8.117d)

Das negative Vorzeichen in den beiden letzten Gleichungen resultiert aus der Konstante cα(1) +α(2) von Gl. (8.108), die für einfache Wurzeln {αi | i = 1, 2} mit dem Wert

8.4

Hauptautomorphismen

399

cα(i) = 1

i = 1, 2

(8.118)

festgelegt wird. Im Hinblick auf die dritte positive Wurzel (α(1) + α(2) ) erhält man mit ψτ (eα(1) +α(2) ) = cα(1) +α(2) eτ (α(1) )+τ (α(2) ) = cα(1) +α(2) eα(2) +α(1) sowie andererseits mit Gl. (7.72) ψτ (eα(1) +α(2) ) = = =

1

ψτ [eα(1) , eα(2) ] =

Nα(1) α(2) Nτ (α(1) ) Nτ (α(2) ) Nα(1) α(2) Nτ (α(1) ) Nτ (α(2) ) Nα(1) α(2)

cα(1) cα(2) Nα(1) α(2)

[eτ (α(1) ) , eτ (α(2) ) ]

cα(1) cα(2) eτ (α(1) )+τ (α(2) ) cα(1) cα(2) eα(2) +α(1) ,

so dass daraus durch Vergleich der beiden Gleichungen und unter Berücksichtigung von (8.118) der Wert cα(1) +α(1) =

Nτ (α(1) ) Nτ (α(2) ) Nα(1) α(2)

cα(1) cα(2) =

Nα(2) Nα(1) Nα(1) α(2)

= −1

ermittelt wird. Aus den Gln. (8.117) gewinnt man dann die Darstellung ⎛

0 ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ψτ = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 −1 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟. 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ −1

(8.119)

Zusammen mit der Darstellung des inneren Automorphismus (8.102) erhält man für Darstellung ψ des Hauptautomorphismus (8.82) nur zwei nicht-verschwindende Diagonalelemente, die beide die gleichen Werte annehmen. Nachdem die Erweiterung ψτ mit Gl. (8.84) die C ARTAN-Unteralgebra H invariant lässt, wird nach Gl. (8.117a) für den Ansatz (8.88) nur ein Parameter µ gewählt h = 2πiµ(h 1 + h 2 )

µ∈R

h 1 , h 2 ∈ H.

(8.120)

400

8 Halbeinfache reelle L IE-Algebren

Tabelle 8.6 Nicht-kompakte reelle L IE -Algebren L, die durch einen Hauptautomorphismus ψ = : erzeugt ψInt ◦ ψτ aus der kompakten reellen Form Lc von klassischen einfachen L IE-Algebren L werden (s. a. Tab. 8.1 und 5.1); [n] : größte natürliche Zahl ≤ n : L Al , l ≥ 2

L

sl(l + 1, R)

Al , l > 1 su ∗ (l + 1) ungerade Dl , l ≥ 3 so(2l − 2 p − 1, 2 p + 1)

δ l

τ Gl. (8.76)

−l − 2

Gl. (8.76)

h l gerade : 0 l ungerade : 2πi(l + 1)h (l+1)/2 0

l − 2(l− Gl. (8.77) 4πi(l − 1)(h l−1 + hl ), −2 p − 1)2 p=0 4πi(l − 1)h l− p−1 , p ≤ [l/2]

Damit errechnen sich die endlichen Diagonalelemente des Hauptautomorphismus ψ nach Gleichung (8.102) im Fall m = 2 zu    ψ77 = ψ88 = − cos π µ, α(1) + α(2) . Wegen Gl. (8.97) findet man mit     α(1) , α(1) = α(2) , α(2)

und

µ1 = µ2 = µ

nur ein DYNKIN-Label für den Verschiebungsvektor 1 = 2 = ,

(8.121)

so dass die endlichen Diagonalelemente von ψ die Werte   ψ77 = ψ88 = − cos(2π µ, α(1) ) = − cos 2π  annehmen. Der Charakter der Darstellung ψ ergibt sich dann allgemein zu δ = −spψ = +2 cos 2π .

(8.122)

Bei nur einem DYNKIN -Label (8.121) des Verschiebungsvektors lässt die Forderung (8.106) nur 2 (= 2(l=1) ) Automorphismen ψ erwarten. Für den Fall  = 0 bzw. h = 0 bekommt man die Darstellung in der Form (8.119) mit dem Charakter nach Gl. (8.122) δ = 2. Der zweite Fall mit  = 1 liefert den gleichen Charakter δ, so dass ein zum ersten Fall (8.119) isomorpher Hauptautomorphismus gefunden wird. Beide Automorphismen erzeugen die nicht-kompakte reelle Matrix L IE-Algebra L = sl(3, R). Die Ergebnisse einer allgemeinen Diskussion im Hinblick auf die klassischen einfachen L IE-Algebren sind in Tabelle 8.6 aufgelistet.

8.4

Hauptautomorphismen

401

Bleibt zu ergänzen, dass auch die nicht einfache reelle direkte Summe Lc,1 ⊕Lc,2 zweier kompakter einfacher L IE-Algebren Lc,1 und Lc,2 , die isomorph zueinander sind, eine nicht-kompakte reelle L IE-Algebra L zu erzeugen vermag. Dabei ist der involutive Hauptautomorphismus ψ mit der Erweiterung ψτ gleichzusetzen. Mit dem speziellen Automorphismus τ von Gl. (8.69) der Faktorgruppe D() findet man für die Darstellung ψ = ψ τ dann stets einen verschwindenden Charakter (δ = 0). Die so erzeugten rellen Formen sind in Tabelle 8.7 aufgelistet. Tabelle 8.7 Nicht-kompakte reelle L IE -Algebren L, die durch einen Hauptautomorphismus ψ = := L :1 ⊕ L :2 erzeugt ψτ aus der kompakten reellen Form Lc von nicht einfachen direkten Summen L :1 ∼ :2 werden (s. a. Tab. 8.1 und 5.1); L =L := L :1 ⊕ L :2 L Al ⊕ Al , l ≥ 1 Bl ⊕ Bl , l ≥ 1 Cl ⊕ C l , l ≥ 1 Dl ⊕ Dl , l ≥ 3

L

sl(l + 1, C) so(2l + 1, C) sp(l, C) so(2l, C)

Kapitel 9

Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Die wesentliche Bedeutung von halbeinfachen L IE-Algebren erwächst aus der Betrachtung deren komplexen Darstellungen. Dabei können viele der dort gewonnenen Ergebnisse mit geringfügigen Änderungen der Voraussetzungen auf allgemeinere Algebren übertragen werden. Ein grundlegender Begriff in der Darstellungstheorie ist der des Gewichts bzw. des höchsten Gewichts, der eine irreduzible Darstellung bis auf Äquivalenz eindeutig zu charakterisieren vermag. Wegen der möglichen Zerlegung einer halbeinfachen L IE-Algebra (im Folgenden der Einfachheit halber ohne Unterscheidung zur reellen Form mit L bezeichnet) in eine direkte Summe von einfachen L IE-Algebren (Abschn. 5.4 und 7.1), wird man sich bei der Diskussion von irreduziblen Darstellungen D(L) auf solche beschränken, die einfache L IE-Algebren betreffen. Diese Vorgehensweise wird auch bei den reduktiven L IE-Algebren verfolgt, die in eine direkte Summe von einfachen und abelschen L IE-Algebren zerlegt werden können (Abschn. 7.1). Letztere sind isomorph zur eindimensionalen L IE-Algebra u(1), deren Generator D(a) multiplikativ wirkt D(a)v = α v

a ∈ u(1)

α ∈ C,

wonach die irreduzible Darstellung α, die mitunter als Ladung bezeichnet wird, stets eindimensional ist. Die Diskussion von irreduziblen Darstellungen einfacher L IE-Algebren kann dann im Wesentlichen auf die Analyse der Darstellungstheorie der einfachen L IE-Algebra A1 (∼ = sl(2, C)) zurückgeführt werden (s. Beispiel 1 v. Abschn. 5.5 und Beispiel 2 v. Abschn. 9.1).

9.1 Gewichte Betrachtet man einen d-dimensionalen Vektorraum V über dem Körper K (K = R bzw. C), dann erhält man mit den Selbstabbildungen bzw. den Operatoren D(a) (a ∈ L) nach (5.37) eine d-dimensionale Darstellung D(L) der L IE-Algebra L auf dem Vektorraum V. Fasst man die Operation D(a) der L IE-Algebra L als Multiplikator auf dem Vektorraum V auf, dann ergibt sich für den Vektorraum nach (5.38)

M. Böhm, Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-20379-4_9, 

403

404

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

die Struktur eines L-Moduls als äquivalente Beschreibung der Darstellung D(L). Ausgehend von einer Basis {ak | k = 1, . . . , dimV = d} des Vektorraumes V und der damit begründeten Matrixdarstellung D(L) (Gl. 5.39) D(a)ai =

d

D ji (a)a j

i = 1, . . . , dimV = d

: a ∈ L,

(9.1)

j=1

bekommt man bei geeigneter Wahl der Basis für die Darstellung D(h) eines jeden Elements h der C ARTAN-Unteralgebra H eine diagonale Form {Di j = Di j δi j | i, j = 1, . . . , d}, so dass alle Operatoren D(h) – wegen der Vertauschbarkeit (7.51) – gleichzeitig diagonal wirken D(h)ai = Dii (h)ai

i = 1, . . . , dimV = d

∀h ∈ H.

(9.2)

In dieser Eigenwertgleichung ist das Diagonalelement Dii (h) ein Eigenwert zum Operator D(h) mit dem Eigenvektor ai . Der Eigenwert wird als Gewicht der Darstellung D(L) – bzw. des L-Moduls – bezeichnet. Nach der allgemeinen Form D(h)vλ = λ(h)vλ

∀h ∈ H

(9.3)

ist das Gewicht λ(h) ein lineares Funktional auf der C ARTAN-Unteralgebra H und somit – wie die Wurzeln α ∈  – ein Element des Dualraumes H∗ . Für jede endlichdimensionale Darstellung und allen untereinander vertauschbaren Elementen h der C ARTAN-Unteralgebra H existiert wenigstens ein Gewicht. Die Eigenvektoren vλ , die zu verschiedenen Gewichten gehören, sind linear unabhängig, so dass deren maximale Anzahl gleich der Dimension der Darstellung dim D (= dim V) ist. Die Menge aller Eigenvektoren (Gewichtsvektoren) vλ die Gl. (9.3) erfüllen, wird als Gewichtsraum Vλ des Gewichts λ in V bezeichnet Vλ = {vλ ∈ V| D(h)vλ = λ(h)vλ }.

(9.4)

Er ist ein simultaner Eigenraum unter der diagonalen Wirkung von Operatoren D(h) mit Elementen h der C ARTAN-Unteralgebra H. Nachdem jede endlichdimensionale Darstellung D eine geeignete Basis besitzt, so dass die C ARTANUnteralgebra diagonal wirkt, kann man den Darstellungsraum V in eine direkte Summe von Eigenräume Vλ zerlegen V=



Vλ .

(9.5)

λ∈P (V )

Dabei bedeutet das Gewichtssystem P(V) ∈ H∗ die Menge aller Gewichte der Darstellung D P(V) = {λ ∈ H∗ | Vλ = ∅},

(9.6)

9.1

Gewichte

405

so dass die Zerlegung (9.5) als ein Analogon zur Wurzelraumzerlegung (7.55) aufgefasst werden kann. Die Multiplizität bzw. Entartung m λ eines Gewichts bzw. eines Eigenwertes λ als jene Anzahl von verschiedenen Eigenvektoren mit dem gleichen Gewicht ist so mit der Dimension des Eigenraumes Vλ identisch (dim Vλ = m λ ). Ein Gewicht λ, das nicht entartet ist (m λ = 1) und deshalb nur zu einem Wurzelvektor vλ gehört, heißt ein einfaches Gewicht. Unter Berücksichtigung von Gl. (7.63) erhält man mit der entsprechenden Gleichung für die Operatoren [D(h), D(eα )] = α(h)D(eα )

α∈

(9.7)

und nach Substitution der Eigenwertgleichung (9.2) [D(h), D(eα )]vλ = α(h)D(eα )vλ

(9.8)

bzw. D(h)(D(eα )vλ ) = [λ(h) + α(h)](D(eα )vλ )

α ∈ .

(9.9)

Setzt man voraus, dass D(eα )vλ nicht verschwindet, dann ist [λ(h) + α(h)] ebenfalls ein Gewicht bzw. ein Eigenwert zum Operator D(h) mit dem Eigenvektor D(eα )vλ . Diese Aussage berechtigt dazu, die Wurzeloperatoren {D(eα )| α ∈ + } als Stufenoperatoren (Leiteroperator) und die Wurzeloperatoren {D(e+α )| α ∈ + } bzw. {D(e−α )| α ∈ + } als Aufsteige- bzw. Absteigeoperatoren zu bezeichnen. Ihre Wirkung auf die Gewichtsräume ist eine Abbildung derselben aufeinander D(eα ) : Vλ −→ Vλ+α

α ∈ .

(9.10)

Demnach sind die Gewichte in dem Gewichtssystem P(V) einer irreduziblen Darstellung untereinender durch die Wurzeln verbunden. Eine wesentliche Eigenschaft eines beliebigen Gewichts λ von einer endlichdimensionalen Darstellung D(L) ist seine algebraische Integralform 

 "λ, α# ∈Z λ, α∨ = 2 "α, α#

∀α ∈ .

(9.11)

Das bedeutet im Besonderen, dass jedes Gewicht λ ein Element des reellen Unterraumes H0∗ ist, der von den Wurzeln α ∈  nach Gl. (7.67a) aufgespannt wird. Der Nachweis gelingt analog zu jenem für die Aussage (7.167) bezüglich einer Wurzel α, jedoch mit dem wesentlichen Unterschied, dass ein Gewicht im Gegensatz zu einer Wurzel nicht einfach sein muss. Eine andere Begründung verwendet für jede Wurzel α ∈  die zur L IE-Algebra sl(2, C) isomorphe dreidimensionale Unteralgebra Uα (7.95), die durch die Kommutatoren (7.98) festgelegt wird. Jede irreduzible Matrixdarstellung dieser Unteralgebra Uα besitzt dann ganzzahlige Eigen  werte λ(Hα ) = λ, α ∨ der diagonalen Darstellungsmatrix von H α (s. a. Beispiel 1

406

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

v. Abschn. 5.5). Die gesamte Darstellung D(L) setzt sich dann aus der direkten Summe solcher Darstellungen D(Uα ) zusammen, so dass die Ganzzahligkeit der Diagonalelemente (9.11) für alle Wurzeln α ∈  erwartet wird. Nachdem das Funktional λ(h) dem Dualraum H∗ angehört, kann jedes beliebige Gewicht durch eine Linearkombination aus deren Basis, nämlich den einfachen Wurzeln {α(i) | i = 1, . . . , l} ausgedrückt werden λ=

l

ai α(i)

α(i) ∈ 

ai ∈ Q.

(9.12)

i=1

Der Nachweis der Rationalität der Koeffizienten {ai | i = 1, . . . , l} gelingt durch die Bedingung 

λ, α

∨



  l l



α(i) , α "λ, α# ai α(i) (Hα ) = 2 =2 = λ(Hα ) = . "α, α# "α, α# i=1

(9.13)

i=1

Dort ist nach Aussage von Gl. (9.11) die linke Seite ganzzahlig. Nach Aussage von Gl. (7.167) bzw. (7.185c) sind auch alle Funktionale α(i) (Hα ) ganzzahlig, so dass insgesamt alle Koeffizienten {ai | i = 1, . . . , l} reell und rational sein müssen. Betrachtet man ein Element h aus dem reellen Vektorraum H0 , dann erwartet man mit den dann reellen Funktionalen α(i) (h) nach Gl. (9.12) auch einen reellen Wert für das Gewicht λ(h). Wie bei den Wurzeln kann man auch für ein Gewicht λ mithilfe einer Wurzel α ∈  eine lückenlose Menge von Gewichten erhalten λ + kα

k∈Z

−m ≤k ≤n

m, n ≥ 0,

(9.14)

die als der α-String von Gewichten durch das Gewicht λ einer Darstellung D(L) gilt. Dabei müssen die Gewichte (9.14) des α-Strings nicht notwendigerweise die gleiche Multiplizität besitzen. Für eine endliche Wurzel α ∈  existieren zwei positive ganze Zahlen m und n, so dass ein Element (λ + kα) des α-Strings genau dann ein Gewicht ist, falls k im abgeschlossenen Intervall zwischen −m und n liegt. Analog zu der Aussage eines Wurzelstrings (7.167) findet man hier für die beiden Zahlen die Beziehung (Master Gleichung)   "λ, α# m − n = λ, α ∨ = 2 "α, α#

(m − n) ∈ Z

m, n ≥ 0.

(9.15)

Auch die Symmetrieeigenschaften von Gewichten sind analog zu jenen von Wurzeln. So findet man mit der Wurzel α ∈  eine Symmetrie sα , die jedem Gewicht λ einer Darstellung D(L) ein Gewicht sα (λ) der gleichen Darstellung zuordnet sα (λ) = λ − 2

"λ, α# α "α, α#

α ∈ .

(9.16)

9.1

Gewichte

407

Dabei sind die Multiplizitäten der beiden Gewichte λ und sα (λ) derselben Darstellung gleich m λ = m sα (λ)

sα (λ) ∈ W().

(9.17a)

Eine Begründung basiert auf den analogen Aussagen (7.185) und (7.282) für die Wurzeln einer halbeinfachen L IE-Algebra, so dass das Gewicht sα (λ) als eine W EYL-Spiegelung des Gewichts λ aufgefasst werden kann. In der geometrischen Interpretation bedeutet die Abbildung sα (λ) eine Spiegelung des Gewichts λ an einer Hyperebene, die durch den Ursprung geht und senkrecht zum Wurzelvektor α gerichtet ist. Dies gilt für alle Elemente {sα (λ)| sα ∈ W()} der W EYL -Gruppe W(). Die durch die W EYL-Spiegelungen aus dem Gewicht λ erzeugten Gewichte sα (λ) gleicher Multiplizität werden als äquivalente Gewichte einer Darstellung D(L) bezeichnet. Demnach gilt für die Dimension der Eigenräume dim Vλ = dim Vsα (λ)

sα (λ) ∈ W(),

(9.17b)

so dass das Gewichtssystem P(V) (9.6) stabil ist unter der Wirkung der W EYL Gruppe. Nach Gl. (9.16) bekommt man mit einem Gewichtsvektor λ beginnend alle anderen Gewichte der irreduziblen Darstellung durch die Translation aller Wurzelvektoren α ∈ . Die gesamten Gewichtssysteme der irreduziblen Darstellungen werden so durch die Wurzeln des Wurzelsystems erhalten. Als Folge davon kann jedes Gewichtssystem als ein endliches Untergitter des l-dimensionalen Wurzelgitters mit den Gewichten als Gitterpunkte aufgefasst werden. Die Punktgruppe des Wurzelgitters ist dann die W EYL-Gruppe W() der L IE-Algebra. Betrachtet man ein beliebiges Element ak der C ARTAN -W EYL -Basis, dann gibt es stets zwei weitere Basiselemente ak und ak , die wegen Gl. (7.93) das L IE-Produkt 6 7 ak = ck ak , ak

ck = const

erfüllen, woraus für eine Matrixdarstellung D(L) der Kommutator 6    7 D(ak ) = ck D ak , D ak

(9.18)

resultiert. Nach Spurbildung auf beiden Seiten der Gleichung findet man wegen der Vertauschung der Matrixmultiplikation           sp D ak D ak = sp D ak D ak , dass die Spur der Darstellung D(ak ) des Basiselements ak und mithin aller Elemente a ∈ L verschwindet sp D(a) = 0

∀a ∈ L.

(9.19)

408

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Für ein Element h aus der C ARTAN-Unteralgebra H gilt dann mit sp D(h) =



m λ λ(h) = 0

h∈H

(9.20)

λ

die Aussage, dass die Summe aller Gewichte jeder beliebigen Darstellung D(L) verschwindet. Betrachtet man eine mit einer einfachen Wurzel α(i) ∈  verknüpfte L IE-Unteralgebra Li , die isomorph ist zur L IE-Algebra A1 bzw. sl(2, C), dann ist jedes Basiselement h α(i) = h i der C ARTAN-Unteralgebra H einer halbeinfachen L IEAlgebra L auch ein Element der Basis Bi = {h α(i) = h i } ∪ {e±α(i) = e±i }

i = 1, . . . , l

(9.21)

einer L IE-Algebra A1 bzw. sl(2, C), die die Standardgeneratoren bedeuten (Gl. 7.276). Nach den Ergebnissen der Darstellungstheorie von A1 , die für alle L IE-Unteralgebren {Li | i = 1, . . . , l} gültig sind, kann man für die L IE-Algebra L eine geeignete Basis finden, auf die alle Generatoren {D(h i )| i = 1, . . . , l} diagonal wirken D(h i )vλ = λi vλ

i = 1, . . . , l

∀vλ ∈ Vλ :

(9.22)

An dieser Stelle sei daran erinnert, dass die Gewichte λ auch als Elemente des zum Wurzelraum H∗ (= spanC {α| α ∈ }) dualen Raumes H (= spanC {h i | i = 1, . . . , l}), nämlich des Gewichtsraumes aufgefasst werden können, dessen Basis, die sogenannte DYNKIN-Basis (7.214b) ist, nämlich die Menge der fundamentalen Gewichte {(i) | i = 1, . . . , l}. Dieser Gewichtsraum, der mit der C ARTANUnteralgebra H identifiziert werden kann und dessen Dimension durch den Rang l der L IE-Algebra L bestimmt ist, darf nicht mit dem Darstellungsraum verwechselt werden. Betrachtet man die Menge der Generatoren {h i | i = 1, . . . , l} als (kontravariante) Koeffizienten eines Vektors h aus H, dann bildet die Menge der Eigenwerte {λi | i = 1, . . . , l} nach Gl. (9.22) die Koeffizienten eines l-dimensionalen Vektors λ, nämlich des Gewichtsvektors der Darstellung D(L), der dann ein Element des Gewichtsraumes H ist (Abschn. 7.6). Die Darstellung eines Gewichts λ nach Gl. (7.231a) bezüglich einer (kontravarianten) Basis von einfachen Ko-Wurzeln {α (i)∨ | i = 1, . . . , l} bzw. einer (kovarianten) DYNKIN-Basis {(i) | i = 1, . . . , l} liefert die kovarianten Koeffizienten {λi | i = 1, . . . , l} bzw. die kontravarianten Koeffizienten {λi | i = 1, . . . , l} (DYNKIN -Label) als Entwicklungskoeffizienten Der Übergang vom Vektorraum H0 zum Dualraum H0∗ gelingt mithilfe der Eigenschaft (7.215) bzw. des (kontravarianten) metrischen Tensors κˆ i j (symmetrisierte C ARTAN-Matrix (7.232)) analog zu Gl. (7.27) durch

9.1

Gewichte

α (i)∨ =

409

l

κˆ i j ( j) =

j=1

l !

l "

 α (i)∨ , α ( j)∨ ( j) =

j=1

j=1

2  A ji ( j) α (i)∨ , α (i)∨ (9.23a)

oder α (i) =

l

A ji ( j) .

(9.23b)

j=1

Danach sind die die Entwicklungskoeffizienten bzw. DYNKIN-Label {(α (i) ) j | j = 1, . . . , l} der einfachen Wurzeln in der DYNKIN-Basis (7.214b) gleich den Spalten der C ARTAN-Matrix (α (i) ) j = A ji

j = 1, . . . , l.

(9.24)

Der umgekehrte Übergang vom Dualraum H0∗ zum Vektorraum H0 liefert mit der Reziprozität (7.28) des metrischen Tensors κˆ die Beziehung (i) =

l

j=1

κˆ i j α

( j)∨

=

l



(i) , ( j)



j=1

2  α ( j) = ( A−1 ) ji α ( j) . (9.25) α ( j) , α ( j) j=1 l



Danach sind die Entwicklungskoeffizienten {((i) ) j | j = 1, . . . , l} der fundamentalen Gewichte in der Basis der einfachen Wurzeln gleich den Spalten der reziproken C ARTAN-Matrix ((i) ) j = ( A−1 ) ji

j = 1, . . . , l.

(9.26)

Beispiel 1 Betrachtet wird die adjungierte Matrixdarstellung D ad (L) einer halbeinfachen L IE-Algebra L, die mit der C ARTAN -W EYL-Basis als die Menge {ak | k = 1, . . . , dim L} durch die Beziehung D ad (a)am = [a, am ] =



ad Dnm (a)an

a∈L

(9.27)

n

festgelegt wird. Man erhält dann für alle Elemente h der C ARTAN-Unteralgebra H wegen der vollständigen Reduzierbarkeit der adjungierten Darstellung bzw. wegen Gl. (7.51) eine diagonale Darstellung Dad (H). Mit der Basis (7.57) findet man als Diagonalelemente Diiad (h) = 0

h∈H

i = 1, . . . l

(9.28a)

und ad (eα ) = α(h) Dαα

α ∈ .

(9.28b)

410

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Demnach ist die Wurzel α(h) ein Eigenwert bzw. ein Gewicht der adjungierten Darstellung Dad zum Eigenvektor eα , das wegen der Eindimensionalität des Wurzelraumes Lα (= Vα=λ ) stets einfach ist (m α=λ = 1). Fasst man das verschwindende Diagonalelement Diiad (h) = 0 als Gewicht λ(h) = 0 auf, dann gehört dieser Eigenwert zu den l verschiedenen Eigenvektoren {h i | i = 1, . . . , l} und ist deshalb l-fach entartet (m λ=0 = l). Die Menge aller Gewichte P  der adjungierten Darstellung Dad (L) ist dann die Menge der Wurzeln  zusammen mit l verschwindenden Gewichten entsprechend der Anzahl von l Basiselementen der C ARTAN-Unteralgebra P  =  ∪ {0}.

(9.29)

Die Darstellung ist demnach stets reell, so dass zu jedem Gewicht λ ein Gewicht −λ gehört. Für ein Element h der C ARTAN-Unteralgebra H erhält man durch die Spurbildung das Ergebnis sp D ad (h) = m λ=0 0 +



[1α(h) + 1(−α(h))] = 0

∀h ∈ H,

α∈+

was mit Gl. (9.20) übereinstimmt. Beispiel 2 Betrachtet man die zweidimensionale Darstellung der L IE-Algebra A1 (∼ = sl(2, C)) (Beispiel 1 v. Abschn. 7.3) mit der Normierung nach Gln. (7.123) und (7.125), dann ergibt die Eigenwertgleichung nach (9.3) D( h¯ 1 )v1 = λ1 ( h¯ 1 )v1

(9.30)

die reellen Gewichte 1 λ1 ( h¯ 1 ) = λ1 = √ 2 2

und

1 λ2 ( h¯ 1 ) = λ2 = − √ 2 2

und

v2 =

(9.31)

zu den Gewichtsvektoren v1 =

  1 0

  0 . 1

Beide Gewichte sind demnach einfach und bilden das Gewichtssystem P(V) = {λ1 , λ2 } der Darstellung. Der Darstellungsraum V ist nach Gl. (9.5) eine direkte Summe der beiden eindimensionalen Gewichtsräume Vλ1 und Vλ2 . Die Summe der einfachen Gewichte verschwindet nach Gl. (9.20) λ1 + λ2 = λ1 − λ1 = 0. Mit dem Aufsteigeoperator D(e¯α ) wird nach Gl. (9.10) D(¯eα ) : Vλ2 −→ Vλ2 +α = Vλ1

9.1

Gewichte

411

der Gewichtsraum Vλ2 auf den Gewichtsraum Vλ1 abgebildet, so dass das Element D(¯eα )vλ2 (= 0) ein Eigenvektor zum Eigenwert (λ2 +α) = λ1 vom Operator D( h¯ 1 ) ist. Die Bildung des Skalarprodukts nach Gl. (9.11) liefert für das Gewicht λ1 mit Gl. (7.126)   λ1 , ±α ∨ = ±1 (9.32) eine algebraische Integralform. Der α-String {λ1 , λ1 − α} durch das Gewicht λ1 hat die Länge Zwei und liefert nach Gln. (9.14) und (9.15) den Wert   m − n = 1 = λ1 , α ∨ , was mit (9.14) übereinstimmt. Durch die W EYL-Spiegelung sα – an einer Ebene senkrecht zur Wurzel α – erhält man aus dem Gewicht λ1 bzw. λ2 das äquivalente Gewicht λ2 bzw. λ1 sα (λ1 ) = λ2

bzw.

sα (λ2 ) = λ1

mit gleicher Multiplizität (m λ1 = m sα (λ1 )=λ2 = 1), so dass das Gewichtssystem {λ1 , λ2 } stabil ist unter der Wirkung der W EYL-Gruppe W(). Letztere ist isomorph zur Punktgruppe Ci , nämlich der Inversionsgruppe (Beispiel 1 v. Abschn. 7.8) (Abb. 9.1).

Abb. 9.1 Gewichte λ und Wurzeln α der einfachen L IE-Algebra A1 in Einheiten der DYNKIN Basis {(1) }; (ooooo): Gewichtsgitter Lw , (xxxxx): Wurzelgitter Lr

Analog zur einzigen (l = 1) einfachen Wurzel α (1) im Wurzelraum H0∗ , die dort die Basis bildet, gibt es im dazu dualen eindimensionalen Gewichtsraum H0 nur ein fundamentales Gewicht (1) , das die DYNKIN -Basis bildet. Mit der C ARTANMatrix A = 2 (7.240) bzw. deren reziproken Wert A−1 = 1/2 bekommt man nach Gl. (9.26) bzw. nach Gl. (9.23) (1) =

1 (1) α 2

bzw.

α (1) = 2(1) .

(9.33)

Danach hat die Wurzel α (= α (1) ) das DYNKIN-Label Zwei, das als Entwicklungskoeffizient bezüglich der DYNKIN-Basis gilt (Abb. 9.1). Falls man beginnend mit dem Gewichtsvektor λ1 eine Translation mit dem Wurzelvektor α durchführt, dann erhält man den Gewichtsvektor λ2 , dessen DYNKIN -Label λ2 sich mit Gl. (9.33) zu λ2 = λ1 − 2 = 1 − 2 = −1 errechnet.

412

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Im Fall der Normierung gemäß den Forderungen (7.96) erhält man mit H α (= σ z ) und E ±α nach Gl. (7.127) wegen der Kommutatoren (7.98a) die beiden Wurzeln α = ±2. Die Eigenwertgleichung (9.3) liefert die einfachen reellen Eigenwerte bzw. Gewichte λ1 (H α ) = 1

und

λ2 (H α ) = −1.

Mit dem Aufsteigeoperator E α bekommt man nach D(E α )vλ2 = vλ1 den Eigenvektor vλ1 zum Eigenwert λ2 + α = λ1 vom Operator D(E α ). Dabei entsprechen die Operatoren H α bzw. E ±α den Operatoren J¯3 bzw. J± , die von der Drehimpulsalgebra in der Quantenmechanik bekannt sind (Beispiel 1 v. Abschn. 5.5). Die Veranschaulichung des Wurzelgitters Lr bzw. des Gewichtsgitters Lw im Raum R zeigt, dass deren Punktgruppe die Inversionsgruppe Ci = {e, −e} ist, die nur ein nicht-triviales Element, nämlich die Inversion besitzt. Beide Gitter haben deshalb die gleiche Punktsymmetrie wie die W EYL -Gruppe W(A1 ), wobei das Gewichtsgitter Lw das Wurzelgitter Lr enthält (Lr ⊂ Lw ) (Abb. 9.1).

9.2 Höchste Gewichte Analog zur Wurzel kann man auch ein Gewicht – aufgefasst als Funktional λ(h) des Wurzelraumes H0∗ – als positiv (λ > 0) festlegen, falls in der Entwicklung (9.12) nach einer Basis von einfachen Wurzeln {α(i) | i = 1, . . . , l} der erste nichtverschwindende Koeffizient positiv ist. Damit gelingt die Einführung einer Vergleichsoperation zwischen zwei Gewichten λ und µ – analog zu (7.207) λ>µ

für

λ − µ > 0,

(9.34)

die für eine einfache (partielle) Ordnung des Systems positiver Gewichte sorgt. Jenes Gewicht  einer irreduziblen Darstellung D(L), das die Forderung größer zu sein als alle äquivalenten Gewichte erfüllt >λ

∀λ ∈ P,

(9.35)

9.2

Höchste Gewichte

413

gilt als höchstes Gewicht. Demnach wird der zugehörige Eigenvektor v , der sogenannte Höchstgewichtsvektor von allen Aufsteigeoperatoren {D(α)| α ∈ + } vernichtet D(eα )v = 0

∀α ∈ + .

(9.36)

Im Unterschied zu einem maximalen Gewicht als jenes Gewicht, oberhalb dessen es keine Gewichte gibt und von denen mehrere existieren können, findet man nur ein höchstes Gewicht , das auch das einzige höchste Gewicht ist. Dabei gilt die Aussage, das jede endlich-dimensionale irreduzible Darstellung D(L) nur ein höchstes Gewicht  bzw. einen Höchstgewichtsvektor v besitzt. Daneben existiert auch ein Eigenvektor des niedrigsten Gewichts, der von allen Absteigeoperatoren {D(−α)| α ∈ + } vernichtet wird. Ausgehend von dem höchsten Gewicht  einer endlich-dimensionalen irreduziblen Darstellung D(L), erhält man durch die W EYL -Spiegelungen {sα | α ∈ } weitere Gewichte, die die Bedingung  − sα () ≥ 0

∀α ∈ 

(9.37)

erfüllen. Mit Gl. (9.16) findet man 2

", α# ≥0 "α, α#

∀α ∈ ,

(9.38)

was sicher auch für einfache Wurzeln {α(i) | i = 1, . . . , l} gilt. Wegen der algebraischen Integralform (9.11) eines beliebigen Gewichts, bekommt man schließlich das Ergebnis  2

, α(i)



α(i) , α(i)

 ∈ Z≥0

α(i) ∈ .

(9.39)

Betrachtet man das höchste Gewicht  als Element des Vektorraumes H0 =

l

i (i) ,

(9.40)

i=1

dann sind dessen DYNKIN -Label {i | i = 1, . . . , l} nicht negative ganze Zahlen i ∈ Z≥0

i = 1, . . . , l.

(9.41)

Solche Gewichte heißen dominante ganze Gewichte. Nach Identifizierung des Vektorraumes H0 mit seinem Dualraum H0∗ bzw. des Gewichtsgitters Lw mit dem Wurzelgitter Lr – aufgrund der positiv definiten K ILLING-Form (7.66) – liegen solche dominanten ganzen Gewichte in der Fundamentalkammer Ce (7.310). Ein

414

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Gewicht einer irreduziblen Darstellung D(L) ist genau dann ein höchstes Gewicht , falls dessen DYNKIN-Label alle nicht negative ganze Zahlen sind, so dass es das höchste dominante ganze Gewicht ist. Für jedes dominante ganze Gewicht  gibt es – bis auf Isomorphie – genau eine endlich-dimensionale irreduzible Darstellung D () (L) mit  als höchstem Gewicht (C ARTAN’s Satz v. höchsten Gewicht). Aufgrund dieser bijektiven Abbildung (D () −→ ) gelingt es, eine irreduzible Darstellung D () (L) einer halbeinfachen L IE-Algebra L umkehrbar eindeutig durch sein höchstes Gewicht, nämlich einem dominaten ganzen Gewicht zu charakterisieren. Zwei irreduzible Darstellungen mit gleichem höchsten Gewicht  sind dann äquivalent und höchste Gewichte mit verschiedenen DYNKIN-Label liefern nicht-äquivalente Darstellungen. Demnach erhält man jede nicht-äquivalente irreduzible Darstellung, indem man eine Anzahl rang L = l nicht-negativer ganzer Zahlen für l DYNKIN-Label {i | i = 1, . . . , l} wählt. Damit gelingt eine Parametrisierung der irreduziblen Darstellungen mithilfe der l DYNKIN-Label, was durch die Symbolik D () = D (

1 ,2 ,...,l )

l = rang L

(9.42a)

ausgedrückt werden kann. Jene l irreduziblen Darstellungen, die zu einem fundamentalen Gewicht (k) gehören D (=(k) ) = D (0,0,...,

k ,...,0)

1 ≤ k ≤ l,

(9.42b)

werden fundamentale Darstellungen genannt. Höchste Gewichte  besitzen zwei Eigenschaften, die für die irreduziblen Darstellungen wesentlich sind. Zum einen ist jedes höchste Gewicht einer irreduziblen Darstellung einfach bzw. nicht entartet dim V = 1

bzw.

m  = 1.

(9.43)

Als Konsequenz daraus bilden alle äquivalenten Gewichte, die aus einer W EYL Spiegelung {sα ()| α ∈ } hervorgehen, eine Menge von einfachen Gewichten. Zum anderen kann jedes beliebige Gewicht λ einer irreduziblen Darstellung D () (L) mit dem höchsten Gewicht  dargestellt werden in der Form λ=−

l

ai α (i)

ai ∈ Z≥0 .

(9.44)

i=1

Bezeichnet man die ganzzahlige und positive Summe der Koeffizienten {ai | i = 1, . . . , l} als Tiefe dp λ des Gewichts λ dp λ =

l

i=1

ai

ai ∈ Z≥0 ,

(9.45)

9.2

Höchste Gewichte

415

dann muss die Tiefe des höchsten Gewichts verschwinden dp  = 0.

(9.46)

Für alle anderen Gewichte erwartet man eine größere Tiefe (dp λ > dp ). Ausgehend von einem höchsten Gewicht , erhält man mit dem α (i) -String durch dieses Gewicht eine Menge von Wurzeln ,  − α (i) ,  − 2α (i) , . . . , −, deren Anzahl sich nach Gln. (9.14) und (9.15) mit n = 0 ergibt zu   m − n + 1 = , α (i)∨ + 1 = i + 1.

(9.47)

Innerhalb dieses α (i) -Strings kann es durchaus Gewichte mit positiven DYNKIN Label geben, so dass von diesen aus weitere α (k) -Strings beginnen können. Mit einer vorgegebenen Darstellung D(L) kann man durch die Festlegung ¯ D(a) := −D (a)

∀a ∈ L

(9.48)

¯ eine weitere Darstellung D(L) der L IE-Algebra L gewinnen. Den Nachweis liefert die Umformung ¯ 1 ), D(a ¯ 2 )] = [D (a1 ), D (a2 )] = [D(a2 ), D(a1 )] [ D(a = −[D(a1 ), D(a2 )] = [D(a1 ), D(a2 )]

a1 , a2 ∈ L.

¯ Diese Darstellung D(L) mit der gleichen Dimension wie die Darstellung D(L) wird als konjugierte (kontragrediente, duale) Darstellung bezeichnet. Die Namensgebung basiert auf den unitären Darstellungen D(G) von kompakten L IE-Gruppen G, die den L IE-Algebren L mit deren antihermiteschen Basis zugeordnet sind. Letztere besitzen ebenfalls antihermitesche Darstellungen D(L) (D = −D + ), was die Umformung D¯ = −D = (−D + )∗ = D ∗ (a)

∀a ∈ L

erlaubt. Danach ist die Darstellung (9.48) die komplex konjugierte Darstellung. ¯ Die Gewichte λ¯ der konjugierten Darstellung D(L) ergeben sich nach Gl. (9.48) ¯ als Diagonalelemente der Darstellung D(H) der C ARTAN-Unteralgebra H nach Gl. (9.2) bzw. Gl. (9.3) zum negativen Gewicht der Darstellung D(L) λ¯ = −λ.

(9.49)

Darüberhinaus sind die Multiplizitäten der beiden Gewichte gleich (m λ¯ = m λ ).

416

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Betrachtet man eine Darstellung D () des höchsten Gewichts , dann ist die ¯ konjugierte Darstellung D¯ () = D () eine irreduzible Darstellung des höchsten ¯ Dieses höchste Gewicht  ¯ errechnet sich zu Gewichts . ¯ = −λmin , 

(9.50)

wobei das Gewicht λmin das Gewicht der irreduziblen Darstellung D () mit maxi¯ maler Tiefe und mithin eindeutig und einfach ist. Man bezeichnet dieses Gewicht  als konjugiert zum Gewicht . Eine irreduzible Darstellung D(L) heißt selbstkonjugiert, wenn sie zur konju¯ gierten Darstellung D(L) äquivalent ist ¯ D(a) ∼ = D(a)

∀a ∈ L.

(9.51)

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Selbstkonjugiertheit ist die Invarianz des Gewichtssystems unter Vorzeichenwechsel. Ein Beispiel dafür liefert die adjungierte Darstellung Dad (L) mit ihrem Gewichtssystem (9.29). Dort gibt es zu jedem endlichen Gewicht λ (= α) ein Gewicht −λ (= −α). Beispiel 1 Die einfache L IE-Algebra A1 (∼ = sl(2, C)) hat den Rang Eins und besitzt deshalb nur eine einfache Wurzel α (1) im Wurzelraum H0 . Mithilfe der C ARTANMatrix (7.240) A = 2 bzw. deren reziproken Wert A−1 = 1/2 errechnet sich das einzige fundamentale Gewicht (1) im Gewichtsraum H0 nach Gl. (9.25) zu (9.33). Eine irreduzible Darstellung D () kann dann durch das höchste und dominant ganze Gewicht  = 1 (1)

1 ∈ Z≥0

festgelegt werden. Dabei erfolgt die Parametrisierung nur durch das einzige DYNKIN-Label 1 . Alle weiteren Gewichte der irreduziblen Darstellung D () des höchsten Gewichts  können nach Gl. (9.44) durch sukzessive Subtraktion der einfachen Wurzel α (1) (= 2(1) ) erhalten werden. Sie bilden die Menge des α (1) -Strings durch das höchste Gewicht   = 1 (1) ,  − α (1) = (1 − 2)(1) ,  − 2α (1) = (1 − 4)(1) , . . . ,  − 1 α (1) = ( − 2 )(1) = − (1) = − 1

1

1

(9.52)  ≥ Z≥0 , 1

dessen Länge (1 + 1) dann die Dimension der Darstellung D () bestimmt dim D (=

1

(1) )

= (1 + 1).

(9.53)

Dieser α (1) -String bildet die Menge der einfachen Eigenwerte des Operators h 1 ∈ H0 – das Gewichtssystem P(V () ) –, die ausgehend vom höchsten Gewichtsvektor

9.2

Höchste Gewichte

417

v durch 1 -fache Anwendung des Absteigeoperators e−α gewonnen wird. Der Vektorraum V () kann deshalb nach Gl. (9.5) in eine direkte Summe eindimensionaler Vektorräume Vλ zerlegt werden V (=

1

(1) )

=

+ 

Vλ .

(9.54)

λ = −  − λ ∈ 2Z(1)

Abb. 9.2 Einfache Gewichte der Höchstgewichtsdarstellung D (= (1) ) bei der L IE-Algebra A1 resultierend aus der sukzessiven Subtraktion der einfachen Wurzel α (1) in der DYNKIN-Basis (α (1) = 2(1) = 2) 1

Benutzt man die Normierung der Basis nach der C HEVALLEY-Konvention (7.96), dann erhält man mit den Kommutatoren (7.98) die einfache Wurzel α (1) = 2,

418

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

so dass nach Gl. (9.25) das fundamentale Gewicht (1) = 1 resultiert. Der α (1) -String (9.52) umfasst dann die Menge (1 + 1) einfacher Gewichte 1 , 1 − 2, 1 − 4, . . . , −1

1 ∈ Z≥0 ,

(9.55)

von denen jedes in Abb. 9.2 durch das DYNKIN-Label in einem Kasten symbolisiert wird. Nach einer Umskalierung des Basiselements der C ARTAN-Unteralgebra gemäß Hα =

1 Hα 2

(9.56a)

erhält man mit den Kommutatoren 6

7 Hα , E ±α = ±E ±α

[E +α , E −α ] = Hα

(9.56b)

analog zu den Gln. (5.54a) die einfache Wurzel α (1) = 1, womit nach Gl. (9.25) das fundamentale Gewicht (1) = ( A−1 )11 =

1 2

errechnet wird. Die weiteren Gewichte ergeben sich dann aus (9.52) zu 1 1 1 , − 1, . . . , − 2 2 2

1 ∈ Z≥0 .

(9.57)

Damit bekommt man für ungeradzahlige DYNKIN-Label 1 = (2n − 1)

n∈N

halbzahlige Eigenwerte bzw. Gewichte, wodurch die Spinordarstellungen D (=n+1/2) charakterisiert werden. In der Quantenmechanik kann die Zahl 1 /2 mit der Drehimpulsquantenzahl J identifiziert werden (Beispiel 1 v. Abschn. 5.5). Im Fall 1 = 0 bekommt man die irreduzible Darstellung D (

1 =0)

(a) = 0

∀a ∈ A1 .

(9.58a)

9.2

Höchste Gewichte

419

Abb. 9.3 Gewichtsdiagramm P der fundamentalen Darstellung D (1) der L IE-Algebra A1 schematisch dargestellt durch die DYNKIN -Label

Sie hat nach Gl. (9.53) die Dimension dim D (0) = 1

(9.58b)

und wird als triviale Darstellung oder Singulett bezeichnet. Im Fall 1 = 1 bekommt man die irreduzible Darstellung D (1) (a), die als fundamentale (definierende) Darstellung bekannt ist. Sie besitzt zwei (= 1 +1) einfache Gewichte (Dublett), die die Dimension nach Gl. (9.53) bestimmen dim D (1) = 2.

(9.59)

Eine schematische Demonstration der beiden Gewichte im R1 liefert das Gewichtsdiagramm der fundamentalen Darstellung D (1) (Abb. 9.1). Ausgehend vom höchsten Gewicht (1) bzw. dessen DYNKIN-Label 1 = 1 erhält man das zweite Gewicht −(1) mit dem DYNKIN-Label 1 = −1 durch die Subtraktion des DYNKIN-Label A11 = 2 der einzigen einfachen Wurzel α (1) (Abb. 9.3). Mit der Skalierung von Gl. (9.56) und dem ungeraden DYNKIN-Label 1 = 1 findet man die Spinordarstellung D (1/2) , die die beiden Gewichte  = 1/2 und − = −1/2 besitzt (s. a. Gl. 5.78). Im Fall des geraden DYNKIN -Label 1 = 2 1 bekommt man die Darstellung D ( (1) =1) mit den drei Gewichten λ = 1, 0, −1 und der Dimension nach Gl. (9.53) dim D (1) = 3 (s. a. Beispiel 1 v. Abschn. 5.5). Beispiel 2 Die einfache L IE-Algebra A2 (∼ = sl(3, C)) hat den Rang Zwei und besitzt deshalb zwei einfache Wurzeln α (1) und α (2) . Mithilfe der C ARTAN-Matrix A (7.241) bzw. deren reziproken Wert   1 2 1 (9.60) A−1 = 3 1 2 bekommt man nach den Gln. (9.23) und (9.25) den Zusammenhang zu den fundamentalen Gewichten (1) und (2) (s. a. Gl. 7.230) α (1) = 2(1) − 1(2) bzw.

α (2) = −1(1) + 2(2)

(9.61a)

420

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

(1) =

2 (1) 1 (2) α + α 3 3

(2) =

1 (1) 2 (2) α + α . 3 3

(9.61b)

Eine irreduzible Darstellung D ( , ) kann dann durch das höchste Gewicht  = 1 (1) + 2 (2) festgelegt werden, so dass die Parametrisierung durch die beiden DYNKIN-Label 1 und 2 erfolgt. Im allgemeinen Fall einer irreduziblen Darstellung D () mit dem höchsten Gewicht (9.40) erhält man alle Gewichte mit der Tiefe Eins, indem jene einfachen Wurzeln α (i) subtrahiert werden, für die gilt 1

i > 0

2

i = 1, . . . , l.

(9.62)

Das bedeutet, dass die DYNKIN-Label { j | j = 1, . . . , l} um die DYNKIN-Label der einfachen Wurzel α (i) vermindert werden. Letztere sind nach Gl. (9.23b) bzw. (9.24) die i-te Spalte der C ARTAN-Matrix A. Dieses Verfahren rekursiv fortsetzend erreicht man schließlich ein Gewicht mit einer gewissen Tiefe, dessen DYNKIN Label alle nicht positiv sind. Dabei werden die Multiplizitäten m λ der Gewichte λ nicht berücksichtigt, so dass darüber keine Information erhalten wird. Im besonderen Fall der fundamentalen Darstellung D (1,0) , deren höchstes Gewicht  die DYNKIN-Label 1 = 1 und 2 = 0 besitzt, wird man die einfache Wurzel α (1) in der DYNKIN-Basis (9.61a) subtrahieren, um dann das Gewicht λ1 =  − α (1) = −1(1) + 1(2) mit den DYNKIN-Label 1 = −1 und 2 = 1 zu erreichen (Abb. 9.4a). Von diesem Gewicht aus kann wegen 2 = 1 > 0 nach Gl. (9.62) die einfache Wurzel α (2) in der DYNKIN-Basis (9.60a) subtrahiert werden mit dem Ergebnis eines Gewichts λ2 = λ1 − α (2) = 0(1) − 1(2) , dessen beide DYNKIN-Label (0 und −1) nicht positiv sind, so dass das Verfahren hier endet (Abb. 9.4a). Während im ersten Schritt, bei dem ein α (1) -String der Länge Zwei startet, die erste Spalte Ai1 = {2, −1} der C ARTAN-Matrix von den DYNKIN-Label (1, 0) des höchsten Gewichts  subtrahiert wird, ist es im zweiten Schritt, bei dem ein α (2) -String ebenfalls der Länge Zwei startet, die zweite Spalte Ai2 = {−1, 2} die von den DYNKIN-Label (−1, 1) des Gewichts λ1 subtrahiert wird. Das Gewichtssystem P besitzt insgesamt drei Gewichte, so dass diese fundamentale Darstellung auch verkürzt mit 3 bezeichnet wird. Das Gewichtssystem P der fundamentalen Darstellung D (1,0) kann – nach Identifizierung des Gewichtsraumes H0 mit dem Wurzelraum H0∗ – im Raum R2 durch das sogenannte Gewichtsdiagramm ausgedrückt werden (Abb. 9.5). Die Punktsymmetrie dieses Diagramms ist C3v , nämlich die eines gleichseitigen Dreiecks, und stimmt mit der Punktsymmetrie der W EYL -Gruppe überein (Gl. (7.321) – s. a. Beispiel 1 v. Abschn. 7.8).

9.2

Höchste Gewichte

421

Abb. 9.4 Gewichtssystem P der fundamentalen Darstellung D (1,0) (a) und D (0,1) (b) der L IEAlgebra A2 schematisch dargestellt durch die DYNKIN -Label

Im Fall der weiteren fundamentalen Darstellung D (0,1) , deren höchstes Gewicht  die DYNKIN-Label 1 = 0 und 2 = 1 besitzt, wird man zunächst die einfache Wurzel α (2) in der DYNKIN-Basis (9.61a) subtrahieren, um dann das Gewicht λ1 =  − α (2) = 1(1) − 1(2) mit den DYNKIN-Label 1 = 1 und 2 = −1 zu erreichen (Abb. 9.4b). Von diesem Gewicht aus kann wegen 1 = 1 > 0 nach Gl. (9.62) die einfache Wurzel α (1) in der DYNKIN-Basis (9.61a) subtrahiert werden mit dem Ergebnis eines Gewichts λ2 = λ1 − α (1) = −1(1) + 0(2) , dessen beide DYNKIN-Label – −1 und 0 – nicht positiv sind, so dass das Verfahren hier endet (Abb. 9.4b). Bei diesen beiden Schritten wird jeweils die zweite Spalte Ai2 bzw. die erste Spalte Ai1 der C ARTAN-Matrix A von den DYNKIN-Label der Ausgangsgewichte  und λ1 subtrahiert. Die Gewichte dieser Darstellung D (0,1) sind diejenigen der fundamentalen Darstellung D (1,0) mit entgegengesetztem Vorzeichen. Danach wird die Darstellung D (0,1) auch als antifundamentale Darstellung bezeichnet. Sie gilt als konjugiert zur fundamentalen Darstellung D (1,0) , was auch durch die Symbolik 3¯ zum Ausdruck kommt. Das Gewichtssystem P der fundamentalen Darstellung D (0,1) im Raum R2 geht durch Punktspiegelung am Ursprung aus dem Gewichtssystem der fundamentalen Darstellung D (1,0) hervor (Abb. 9.5b). Es hat demnach die gleiche Punktsymmetrie C 3v . Beide 3-dimensionalen fundamentalen Darstellungen D (1,0) und D (0,1) sind nicht-triviale Darstellungen der L IE-Algebra A2 mit niedrigster Dimension. Eine allgemeine Diskussion von fundamentalen Darstellungen aller klassischen

422

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Abb. 9.5 Gewichtsdiagramm (Triplett) der fundamentalen Darstellungen D (1,0) (= 3) (a) und ¯ (b) der L IE-Algebra A2 im Gewichts- bzw. Wurzelraum mit den fundamentalen D (0,1) (= 3) Gewichten {(1) , (2) } bzw. einfachen Wurzeln {α (1) , α (2) }

einfachen L IE-Algebren ergibt niedrigst-dimensionale fundamentale Darstellungen, deren höchste Gewichte in Tabelle (9.1) aufgelistet sind. Tabelle 9.1 Höchste Gewichte und Dimensionen von niedrigst-dimensionalen fundamentalen Darstellungen D () der klassischen einfachen L IE -Algebren L L

A1 Al (l ≥ 2) Bl (l ≥ 3) Cl D4 Dl (l ≥ 5)

höchstes Gewicht  dim D () (1) 2 (1) , (2) (l + 1) (1) 2l + 1 (1) 2l (1) , (l−1) , (l) 8 (1) 2l

Schließlich wird die Darstellung D (1,1) betrachtet, deren höchstes Gewicht  die DYNKIN-Label 1 = 1 und 2 = 1 besitzt und nach Gl. (9.61b) durch die einfachen Wurzeln in der Form  = (1) + (2) = α (1) + α (2)

(9.63)

ausgedrückt wird. Nachdem beide DYNKIN-Label nicht negativ sind, kann nach (9.62) sowohl ein α (1) -String als auch ein α (2) -String gestartet werden, die beide die Länge Zwei haben und so bei einem Gewicht der Tiefe Eins enden. Der α (1) -String bzw. α (2) -String endet dann nach Gl. (9.63) bei dem Gewicht  − α (1) = α (2)

bzw.

 − α (2) = α (1) ,

das mit der einfachen Wurzel α (2) bzw. α (1) identifiziert werden kann und nach Gl. (9.61a) die DYNKIN -Label (−1, 2) bzw. (2, −1) besitzt (Abb. 9.6). Von diesen beiden Gewichten α (2) und α (1) startet erneut jeweils ein α (2) -String bzw. ein α (1) String, die beide die Länge Drei haben und bei dem Gewicht −α (2) bzw. −α (1) mit der Tiefe Drei enden. Demnach umfasst der α (2) -String die Gewichte α (2) , 0 und −α (2) bzw. der α (1) -String die Gewichte α (1) , 0 und −α (1) . Von den Gewichten

9.2

Höchste Gewichte

423

Abb. 9.6 Gewichtssystem P = {α (1) + α (2) , α (2) , α (1) , 0, 0, −α (1) , −α(2) , −α (1) − α (2) } der adjungierten Darstellung D (1,1) (= 8) der L IE-Algebra A2 , schematisch dargestellt durch die zwei DYNKIN-Label; das Gewicht (0,0) ist zweifach entartet

−α (1) bzw. −α (2) mit den DYNKIN-Label (−2, 1) bzw. (1, −2) kann wegen der Forderung (9.62) erneut die einfache Wurzel α (2) bzw. α (1) subtrahiert werden, um das Gewicht −(α (1) + α (2) ) = − mit der Tiefe Vier zu erhalten. Dieses Gewicht besitzt nach Gl. (9.61a) die DYNKIN-Label (−1, −1), die beide nicht positiv sind, so dass das Verfahren bei diesem niedrigsten Gewicht mit dem entgegengesetzten Vorzeichen des höchsten Gewichts endet (Abb. 9.6). Das Gewicht mit dem DYNKIN -Label (0,0) und der Tiefe Zwei kann von zwei verschiedenen Gewichten der Tiefe Eins, nämlich von α(2) und α (1) erreicht werden. Es hat deshalb die Multiplizität m λ=0 = 2.

424

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Dieses zweifach entartete Gewicht gehört zu den verschwindenden Eigenwerten der beiden Generatoren h 1 und h 2 der zweidimensionalen C ARTAN-Unteralgebra. Auch das niedrigste Gewicht −(α (1) + α (2) ) = − wird durch zwei verschiedene Strings erreicht. Dennoch ist es einfach, da es symmetrisch ist zum einfachen höchsten Gewicht . Die 8-dimensionale Darstellung D (1,1) , deren Gewichtssystem P das Wurzelsystem (A2 ) sowie das zweifach entartete Gewicht λ = 0 umfasst, bedeutet nach Gl. (9.29) die adjungierte Darstellung der L IE-Algebra A2 (Abb. 9.7). Dabei gibt es zu jedem Gewicht λ ein Gewicht mit entgegengesetztem Vorzeichen, was eine Inversionssymmetrie des Gewichtsdiagramms ausdrückt. Die sechs von Null verschiedenen Gewichte des Wurzelsystems  erhält man durch die sechs W EYL Spiegelungen (7.319) des höchsten Gewichts nach Gl. (9.16). Sie sind dshalb äquivalente Gewichte, die alle die gleiche Multiplizität (m = 1) besitzen.

Abb. 9.7 Gewichtsdiagramm (Oktett) der adjungierten Darstellung D (1,1) (= 8) der L IE-Algebra A2 im Gewichts- bzw. Wurzelraum mit den fundamentalen Gewichten {λ(1) , (2) } bzw. den einfachen Wurzeln {α (1) , α(2) }

Das Gewichtsdiagramm hat die Symmetrie der Automorphismusgruppe Aut() des Wurzelsystems (8.72) und ist deshalb isomorph zur Punktgruppe D6v . Die Inversionssymmetrie sorgt für die Invarianz des Gewichtssystems unter Vorzeichenwechsel und mithin für die Äquivalenz der adjungierten Darstellung D (1,1) zur konjugierten Darstellung D¯ (1,1) , so dass die Darstellung – wie jede adjungierte Darstellung – als selbstkonjugiert gilt. 1 2 l Im allgemeinen Fall einer L IE-Algebra Al ist die Darstellung D ( , ,..., ) l l−1 1 konjugiert zur Darstellung D ( , ,..., ) , so dass eine symmetrische Anordnung der DYNKIN-Label l+1− j =  j zu äquivalenten Darstellungen führt. Das höchste Gewicht der adjungierten Darstellung hat die Form

9.3

Charaktere und Dimensionen

 = (1) + (l)

425

l ≥ 2.

Die DYNKIN-Label {1, 0, . . . , 0, 1} geben dann Anlass zu der Symbolik D (1,0,...,0,1) . Durch W EYL -Spiegelungen erhält man aus dem höchsten Gewicht  die äquivalenten einfachen Gewichte, die mit den l(l + 1) Wurzeln zusammenfallen. Das Gewichtsdiagramm der adjungierten Darstellung D (1,0,...,0,1) ist dann das Wurzeldiagramm zusammen mit dem l-fach entarteten verschwindenden Gewicht λ = (0, . . . , 0).

¯ Abb. 9.8 Fundamentale Darstellung D (1,0) (= 3) (a), antifundamentale Darstellung D (0,1) (= 3) (b) und adjungierte Darstellung D (1,1) (= 8) (c), ausgedrückt durch die DYNKIN-Diagramme mit den DYNKIN-Label als Knoten

Eine schematische Charakterisierung von irreduziblen Darstellungen mit höchstem Gewicht (9.40) gelingt auch durch das DYNKIN -Diagramm. Dort kann man den l Knoten die entsprechenden DYNKIN-Label {i | i = 1, . . . , l} zuordnen. Im Fall der L IE-Algebra A2 erhält man dann die für die irreduziblen Darstellungen D (1,0) , D (0,1) und D (1,1) repräsentativen DYNKIN-Diagramme von Abb. (9.8).

9.3 Charaktere und Dimensionen Bei der Suche nach den Gewichten λ einer irreduziblen Darstellung D () (L) des höchsten Gewichts  wird man im allgemeinen Fall auch solche antreffen, die nicht einfach sind (m λ > 1) und deren Gewichtsvektoren vλ zu mehrdimensionalen Vektorräumen Vλ gehören. Mithilfe einer rekursiven Methode gelingt es relativ einfach, die Multiplizität m λ eines möglichen Gewichts λ (9.12) – bzw. die Dimension des zugehörigen Gewichtsraumes Vλ – mit endlicher Tiefe zu ermitteln. Dazu benutzt man etwa die F REUDENTHAL’sche Rekursionsformel



m λ = (" + ρ,  + ρ# − "λ + ρ, λ + ρ#)−1 2 "λ + kα, α# m λ+kα λ = . α∈+ k≥1

(9.64) Das Element ρ ist dabei der W EYL-Vektor (7.219) bzw. (7.295). Durch die Summierung über die nicht-negativen ganzen Zahlen k (∈ Z≥0 ) werden Gewichte (λ + kα) erfasst, deren Tiefe kleiner ist als das betrachtete Gewicht . Beginnend mit der einfachen Multiplizität m  = 1 des höchsten Gewichts  kann man rekursiv die Multiplizität jener Gewichte λ ermitteln, deren Tiefe um k = 1 wächst. Beispiel 1 Als Beispiel zur F REUDENTHAL-Formel wird die adjungierte Darstellung D (1,1) der L IE-Algebra A2 betrachtet. Dort soll die Multiplizität m λ=0 des verschwindenden Gewichts λ = 0 mit Kenntnis des einfachen höchsten Gewichts  mit den DYNKIN-Label (1, 1) ermittelt werden (Abb. 9.6).

426

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Bei der Berechnung des Skalarprodukts "λ + kα, α# im Zähler der F REUDENTHAL-Formel (9.64) betrachtet man nach Vorgabe einer positiven Wurzel α ∈ + zunächst die Gewichte λ (= λ + kα) mit geringerer Tiefe. Der α-String durch diese Gewichte λ liefert dann nach der Master-Gleichung (9.15) die beiden Zahlen m und n, so dass der Zähler von (9.64) die Form 2 "λ + kα, α# = (m − n) "α, α#

α ∈ +

k ≥ 1.

(9.65)

annimmt. Beginnt man im vorliegenden Beispiel etwa mit der positiven Wurzel α (1) , dann findet man mit k = 1 das einzige Gewicht λ geringerer Tiefe mit den DYNKIN Label (2, −1) (Abb. 9.6). Der α (1) -String durch dieses Gewicht, der dort beginnt und beim Gewicht (−2, 1) endet, hat die Länge Zwei. Er liefert die Zahlen m = 2 und n = 0, so dass sich nach (9.65) das Skalarprodukt im Zähler von (9.64) errechnet zu ! " ! " ! " 2 λ , α (1) = 2 λ + α (1) , α (1) = 2 α (1) , α (1) . Bei der zweiten positiven Wurzel α (2) findet man mit k = 1 das einzige Gewicht λ geringerer Tiefe mit den DYNKIN-Label (−1, 2) (Abb. 9.6). Der α (2) -String durch dieses Gewicht, der dort wieder beginnt und beim Gewicht (1, −2) endet, hat die Länge Zwei. Er liefert auch hier die Zahlen m = 2 und n = 0, so dass sich nach (9.65) das Skalarprodukt im Zähler von (9.64) errechnet zu ! " ! " ! " 2 λ , α (2) = 2 λ + α (2) , α (2) = 2 α (2) , α (2) . Schließlich findet man mit der dritten positiven Wurzel (α (1) + α (2) ) und k = 1 das einzige Gewicht λ geringerer Tiefe mit den DYNKIN-Label (1,1) (Abb. 9.6). Der (α (1) + α (2) )-String mit der Länge Zwei beginnt dort und endet beim Gewicht (−1, −1), so dass hier die Zahlen m = 2 und n = 0 erhalten werden. Nach (9.65) errechnet sich das Skalarprodukt im Zähler von (9.64) zu " ! " ! 2 λ , α (1) + α (2) = 2 α (1) + α (2) , α (1) + α (2) . Die Summierung über alle drei positiven Wurzeln liefert unter Berücksichtigung  1/2 deren gleiche Norm α (i) , α (i) (Beispiel 2 v. Abschn. 7.5) den Zähler der F REUDENTHAL-Formel ! " ! " Z = (2 + 2 + 2) α (1) , α (1) = 6 α (1) , α (1) . Das Skalarprodukt im Nenner N der F REUDENTHAL-Formel (9.64) hat nach Umformung die Gestalt N = " + λ + 2ρ,  − λ# .

(9.66)

9.3

Charaktere und Dimensionen

427

Mit dem ersten Faktor in der DYNKIN-Basis {(i) | i = 1, . . . , l}  + λ + 2ρ = und dem zweiten Faktor mit der Tiefe

λi (i)

(9.67)

i=1



−λ=

l

j

q j in der Basis der einfachen Wurzeln

l

q j α ( j)

(9.68)

j=1

erhält man allgemein für den Nenner nach Gl. (7.215) D C l l



i ( j) λ (i) , qjα N= i=1

=

j=1

l l

i=1 j=1

" 1! 1 i ! (i) (i) " j λ q j α ( j) , α ( j) δi = λ qi α , α 2 2 l

i

i = 1, . . . , l.

i=1

(9.69) Im vorliegenden Beispiel errechnen sich die DYNKIN-Label {λi | i = 1, 2} des Gewichts (9.67) mit den DYNKIN-Label (1,1) des höchsten Gewichts , den DYNKIN-Label (0,0) des betrachteten Gewichts λ sowie mit den DYNKIN-Label (1,1) des W EYL-Vektors – die nach Gl. (7.219) stets den Wert Eins haben – zu (λ1 , λ2 ) = (1, 1) + (0, 0) + 2(1, 1) = (3, 3). Für das Gewicht (9.68) als zweiten Faktor in (9.66) erhält man nach  − λ = α (1) + α (2) die Koeffizienten q1 = 1 und q2 = 1, so dass insgesamt der Nenner (9.69) den Wert N=

! " ! " 1  ! (1) (1) " + 3 α (2) , α (2) = 3 α (1) , α (1) 3 α ,α 2

annimmt. Dabei wurde wieder für beide einfachen Wurzeln das gleiche Normquadrat vorausgesetzt. Die gesuchte Multiplizität m λ=0 des Gewichts λ = 0 in der adjungierten Darstellung D (1,1) ergibt sich dann nach der F REUDENTHAL-Formel (9.64) zu   6 α (1) , α (1) Z m λ=0 = =  (1) (1)  = 2, N 3 α ,α was eine zweifache Entartung bedeutet (s. a. Beispiel 2 v. Abschn. 9.2).

428

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

In Erinnerung an endlich-dimensionale Darstellungen von endlichen Gruppen oder kompakten L IE-Gruppen muss noch einmal betont werden, dass der Charakter χ einer Darstellung die volle Information über diese enthält und so bei deren Diskussion ein wesentliche Rolle spielt. Es ist deshalb auch bei den halbeinfachen L IEAlgebren das Ziel, eine Größe auf dem Darstellungsraum V zu finden, die Auskunft gibt über das Gewichtssystem P(V) der Darstellung sowie über die Multiplizitäten m λ aller Gewichte. Diese Größe wird definiert als χ :=



m λ exp λ =

λ∈P (V )



dim Vλ exp λ.

(9.70)

λ∈P (V )

Sie ist mit den grundlegenden Operationen auf den Darstellungsräumen verträglich und liefert etwa bei zwei Darstellungsräume V und W für deren direkte Summe bzw. für deren direktes Produkt die Summe bzw. das Produkt der einzelnen Größen χ (V ⊕ W) = χ (V) + χ (W) χ (V ⊗ W) = χ (V)χ (W).

(9.71)

Bei der Einführung der Größe χ als Charakter wird für alle Gewichte λ formal die exponentielle Abbildung λ −→ exp λ

(9.72a)

mit exp λ exp µ = exp(λ + µ)

und

1 −→ exp 0

(9.72b)

verwendet. Sie ist isomorph zur Abbildung der additiven abelschen Gruppe R>0 auf die multiplikative Gruppe R>0 der positiven reellen Zahlen. Durch diese Abbildung vermeidet man jenen Konflikt, der nach Gl. (9.20) bei einer einfachen Addition von Gewichten auftritt. Eine Begründung für diese Vorgehensweise basiert auf der Struktur der Menge aller Gewichte im Gewichtsgitter Lw , die eine abelsche Gruppe mit der Addition als Verknüpfung bildet. Da mit jeder Gruppe eine assoziative Algebra, nämlich die Gruppenalgebra verknüpft ist, kann man die Exponentialabbildung (9.72) der Gruppenelemente λ als Basis für deren Gruppenalgebra betrachten. Demnach kann auch die Größe χ als Element dieser Gruppenalgebra aufgefasst werden. Nachdem die Gewichte lineare Funktionale λ(h) auf der C ARTAN-Unteralgebra H und somit Elemente des Dualraumes H∗ sind, gilt nach Gl. (9.72) auch die Größe χ als ein solches Funktional. Andererseits können die Gewicht auch als Elemente des zum Wurzelraum H∗ dualen Raumes H, nämlich des Gewichtsraumes – bzw. der C ARTANUnteralgebra – aufgefasst werden. Als Konsequenz daraus bedeutet das Funktional λ(µ) das Skalarprodukt (7.233), so dass die Abbildung (9.72) die Form

9.3

Charaktere und Dimensionen

429

λ(µ) −→ exp λ(µ) := exp "λ, µ#

∀µ ∈ H

(9.73)

annimmt. Setzt man eine unitäre Matrixdarstellung D voraus, deren Basiselemente {vλ | λ ∈ P(V)} alle die gleiche Norm besitzen, dann gelingt mit Gln. (9.70) und (9.73) die Umformung

χ (µ) =

λ∈P (V )

m λ exp "λ, µ# =



"vλ , vλ # exp "λ, µ#

∀µ ∈ H.

(9.74)

vλ ∈ V

Mit einem Element h µ der C ARTAN-Unteralgebra H und der Eigenwertgleichung (9.3) D(h µ )vλ = λ(h µ )vλ = "λ, µ# vλ

(9.75)

erhält man weiter



 

 "vλ , exp "λ, µ# vλ # = exp vλ , D(h µ )vλ vλ , (exp D(h µ ))vλ = χ (µ) = vλ ∈V

=



vλ ∈ V

exp(Dvλ vλ (h µ )) = sp [exp D L (h µ )]

vλ ∈V

∀µ ∈ H.

vλ ∈V

(9.76) Dabei bedeutet DL eine irreduzible Darstellung der L IE-Algebra L auf dem Darstellungsraum V. Zu diesem Ergebnis kommt man auch im Falle eines unendlichdimensionalen Darstellungsraumes V, vorausgesetzt alle abzählbar endlichen Gewichtsräume Vλ ⊂ V sind endlich-dimensional. Setzt man voraus, dass die zur L IE-Algebra L gehörige Gruppe G halbeinfach ist, dann gibt es eine Untergruppe T ⊂ G, die ein maximaler Torus ist. Ein (kompakter) Torus bedeutet eine (kompakt zusammenhängende) abelsche Untergruppe der kompakten zusammenhängenden L IE-Gruppe G. Dabei ist ein n-dimensionaler Torus T n isomorph zum direkten Produkt von n Kopien der Gruppe S 1 = {z ∈ C| |z| = 1} – nämlich der Kreislinie –, die ihrerseits isomorph ist zur unitären Gruppe U (1) in einer Dimension (s. a. Beispiel 3 v. Abschn. 4.2) T

n

∼ = S1 × S1 × . . . × S1 ∼ = U (1) × U (1) × . . . × U (1).

(9.77)

Als Mannigfaltigkeit betrachtet hat etwa ein Torus T 2 mit der Dimension Zwei die Form der Oberfläche eines Rettungsringes (donut). Ein maximaler Torus ist jener Torus, der nicht in einem anderen Torus echt enthalten ist. Die dem maximalen Torus T zugeordnete L IE-Algebra ist dann die C ARTAN-Unteralgebra H der der L IE-Gruppe G entsprechenden L IE-Algebra L. In einer kompakten, zusammenhängenden L IE-Gruppe G gehört jedes Element zu einem maximalen Torus und je zwei maximale Tori sind zueinander konjugiert.

430

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Demnach ist jedes Element a der Gruppe G konjugiert zu einem Element t aus dem maximalen Torus a = b ◦ t ◦ b−1

b∈G

t ∈T.

(9.78)

Als Konsequenz daraus genügt es, bei der Ermittlung des Charakters χ einer irreduziblen Darstellung der Gruppe G die Spurbildung auf den maximalen Torus zu beschränken. Die Verknüpfung des maximalen Torus T mit der C ARTANUnteralgebra H der zugeordneten L IE-Algebra L vermittelt die Beziehung t = exp h

t ∈T ⊂G

h ∈ H ⊂ L.

(9.79)

Betrachtet man eine endlich-dimensionale, analytische Matrixdarstellung DG (t) der L IE-Gruppe G, dann gibt es zur Darstellung DL der zugehörigen L IE-Algebra L mit Gl. (9.79) die Beziehung (s. Abschn. 6.5) D G (t) = DG (exp h) = exp[ D L (h)]

t ∈T

h ∈ H.

(9.80)

Dabei ist hervorzuheben, dass dieser Zusammenhang zwischen den Darstellungen der L IE-Gruppe und der zugehörigen L IE-Algebra nur bei lokaler Betrachtung erlaubt ist (Abschn. 6.5). Die Substitution in Gl. (9.76) liefert das Ergebnis χ (h) = sp[ D G (exp h)] = sp[ DG (t)]

h∈H

t ∈T,

(9.81)

wonach die Größen χ (h) als Charaktere der irreduziblen Darstellungen D G (exp h) von Elementen t des Torus T aufgefasst werden können. Mit einem Element sα der W EYL -Gruppe W() erhält man für die Exponentialfunktion (9.73) unter Berücksichtigung der Orthogonalität der W EYL -Spiegelung (7.283c) ! "   sα (λ(µ)) = λ(sα−1 (µ)) = exp λ, sα−1 (µ) = exp "sα (λ), µ# = exp λ , µ , wobei λ nach Gl. (9.16) ein äquivalentes Gewicht der Darstellung bedeutet. Zusammen mit Gl. (9.17) erhält man für den Charakter (9.74) sα (χ (µ)) = χ (sα (µ)) = χ (µ)

sα ∈ W().

(9.82)

Demnach ist der Charakter χ () (µ) einer irreduziblen Darstellung D() des höchsten Gewichts  invariant gegenüber der W EYL-Gruppe W(). Diese Aussage bildet die Grundlage bei der Herleitung einer Beziehung für den Charakter χ () , die als W EYL’sche Charakterformel bekannt ist  w∈W () signw exp "w( + ρ), µ# () µ . (9.83) χ (e ) =  w∈W () signw exp "w(ρ), µ#

9.3

Charaktere und Dimensionen

431

Sie ist für jene Elemente µ ∈ H definiert, für die der sogenannte W EYL-Nenner nicht verschwindet. Dabei werden die Elemente der W EYL -Gruppe W() nach Gl. (7.298) mit w bezeichnet und deren Vorzeichen nach Gl. (7.306) bzw. Gl. (7.308) ermittelt. Anzumerken bleibt, dass mit jenen Elementen µ ∈ H, bei denen der W EYL-Nenner verschwindet, auch der Zähler in Gl. (9.83) den Wert Null annimmt und der Charakter selbst endlich bleibt. Eine andere Formulierung des Nenners A(µ) gelingt durch die sogenannte W EYL-Nenner Identität

A(µ) =

signw exp "w(ρ), µ#

w∈W ()

  &  < % 1 1 "α, "α, µ# − exp − µ# . = exp 2 2

(9.84)

α∈+

Die Substitution in die W EYL ’sche Charakterformel (9.83) liefert dann den Ausdruck χ () (eµ ) =

A( + µ) . A(µ)

(9.85)

Im Fall einer trivialen Darstellung mit einem verschwindenden Höchstgewichtsvektor  = 0 erhält man daraus erwartungsgemäß für alle Elemente µ der C ARTANUnteralgebra den Charakter χ (=0) (eµ ) = 1

∀µ ∈ H.

Die Wirkung eines Generators der W EYL -Gruppe bzw. einer einfachen W EYL Spiegelung si ∈ W auf den W EYL -Nenner (9.84) ergibt  !  " "& 1 1! −1 −1 (µ) − exp − α, s(i) (µ) α, s(i) 2 2 α∈+   & %  <   1 1 ∀s(i) ∈ W(). = s(i) (α), µ − exp − s(i) (α), µ exp 2 2

s(i) (A(µ)) =

< %

exp

α∈+

(9.86) Die Wirkung der einfachen W EYL-Spiegelung s(i) auf die positiven Wurzeln α ∈ + geht dahin, dass letztere permutiert und in sich selbst abgebildet werden. Eine Ausnahme bilden jene einfachen Wurzeln α(i) , deren Vorzeichen nach Gl. (7.294) invertiert werden. Insgesamt erhält man für alle Generatoren {s(i) | i = 1, . . . , l} der W EYL-Gruppe s(i) (A(µ)) = −A(µ)

i = 1, . . . , l

(9.87a)

432

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

bzw. mit Gl. (7.308) s(i) (A(µ)) = sign s(i) A(µ)

i = 1, . . . , l.

(9.87b)

Da jedes Element w der W EYL-Gruppe W() nach Gl. (7.298) als Produkt der Generatoren darstellbar ist, kommt man zu dem Ergebnis w(A(µ)) = sign w A(µ).

(9.88)

Demnach ist die Nennerfunktion A(µ) antisymmetrisch bzg. der W EYL -Gruppe (W EYL-alternierend). Das gleiche Ergebnis erhält man für die Zählerfunktion A( + µ) in Gl. (9.85), so dass insgesamt der Charakter χ () als Quotient (9.85) der beiden Funktionen die Forderung (9.82) nach Symmetrie bezüglich der W EYL Gruppe erfüllt. Die Dimension der irreduziblen Matrixdarstellung D() erhält man nach Gl. (3.54) durch die Ermittlung des Charakters χ () (eµ ) am Einselement eµ = 1. Dies bedeutet die Betrachtung des Gewichts µ = 0, das nach Gl. (9.84) einen verschwindenden Nenner A(µ = 0) = 0 und mithin nach (9.85) einen unbestimmten Charakter zur Folge hat. Man benutzt deshalb ein Gewicht µ in der Parameterform µ = tρ

t ∈R

ρ ∈ H,

um in einem Grenzübergang t → 0 den Parameter t verschwinden zu lassen. Nach Substitution dieses Gewichts µ in der Charakterformel (9.83)  χ

()

(e ) = tρ

w∈W () signw exp[t



"w( + ρ), ρ#]

w∈W () signw exp "w(ρ), µ#

gelingt mit Gl. (9.85) die Umformung A(t ( + ρ)) A(tρ) #    $ E 1 1 α∈+ exp 2 "t ( + ρ), α# ρ − exp − 2 "t ( + ρ), α# #    $ = E 1 1 α∈+ exp 2 "tρ, α# − exp − 2 "tρ, α# < exp(t " + ρ, α#) − 1 = exp(− "ρ, t#) . exp t "ρ, α# − 1

χ () (etρ ) =

α∈+

(9.89) Der Grenzübergang t → 0 liefert dann nach Anwendung einer algebraischen Form der Regel von DE L’H ÔPITAL die Dimension der Darstellung

9.3

Charaktere und Dimensionen

dim D

()

433

  <  + ρ, α ∨ < " + ρ, α# = , = "ρ, α# "ρ, α ∨ # α∈+

(9.90)

α∈+

was als W EYL’sche Dimensionsformel bekannt ist. Mit der Darstellung der positiven Wurzeln α ∈ + in der Basis der einfachen Wurzeln {α ( j) | j = 1, . . . , l} α=

l

(α)

q j α ( j)

α ( j) ∈ 

j=1

sowie der Darstellung des höchsten Gewichts  in der DYNKIN-Basis {(i) | i = 1, . . . , l} l

=

i (i)

(9.91)

i=1

bekommt man für das Skalarprodukt ", α# =

l l



(α)

i q j

!

i=1 j=1

1 = 2

l

l l

" 1

! " (α) j (i) , α ( j) = i q j δi α ( j) , α ( j) 2 i=1 j=1

(α)

i qi

!

α (i) , α (i)

"

(9.92)

i=1

und mit Gl. (7.297) für das Skalarprodukt "ρ, α# =

l

(α)

qi

!

" α (i) , α (i) .

(9.93)

i=1

  Dabei gilt das Normquadrat α (i) , α (i) nach (7.238) als das relative Gewicht ωi /ω der einfachen Wurzel α (i) . Die Substitution dieser Skalarprodukte in Gl. (9.90) erlaubt eine Umformung der W EYL ’schen Dimensionsformel nach dim D

()

=

< α∈+

 (i) (i)  (α) i i=1 qi ( + 1) α , α .  l (α)  (i) α , α (i) i=1 qi

l

(9.94)

Beispiel 2 Betrachtet wird die irreduzible Darstellung D() des höchsten Gewichts der einfachen L IE-Algebra sl(2, C) (∼ = A1 ). Mit den weiteren Gewichten aus der Menge (9.52) des α (1) -Strings durch das höchste Gewicht  erhält man die Matrixdarstellung eines Elements µ der C ARTAN-Unteralgebra H in der diagonalen Form

434

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

D() (µ) = diag (", µ# , " − α, µ# , . . . , "−, µ#)

α ≡ α (1) .

(9.95)

Dabei wird der Höchstgewichtsvektor  als ein Element der C ARTAN-Unteralgebra H aufgefasst. Nach Gl. (9.80) liefert die Exponentiation eine Darstellung der zugehörigen L IE-Gruppe S L(2, C) D () (eµ ) = diag (exp ", µ# , exp " − α, µ# , . . . , exp "−, µ#).

(9.96)

Der Charakter dieser Darstellung ergibt sich dann nach Spurbildung zu χ () (eµ ) = exp ", µ#

2/α

exp(−k "α, µ#),

k=0

was als geometrische Reihe durch die Summenformel zusammengefasst werden kann 1 − [exp(− "α, µ#)]2/α+1 1 − exp(− "α, µ#) exp ", µ# − exp(− " + α, µ#) . = 1 − exp(− "α, µ#)

χ () (eµ ) = exp ", µ#

Eine Erweiterung des Quotienten durch e1/2"α,µ# ermöglicht die symmetrische Schreibweise exp " + α/2, µ# − exp(− " + α/2, µ#) sinh " + α/2, µ# = . exp "α/2, µ# − exp(− "α/2, µ#) sinh "α/2, µ# (9.97) Die W EYL-Gruppe W(A1 ) (7.313a), die isomorph ist zur Inversionsgruppe (7.313b), besteht aus dem Einselement e und der Spiegelung s(1) mit der Wirkung χ () (eµ ) =

sign e = +1 sign s(1) = −1   α α α α e + s(1)  + =+ =− . 2 2 2 2

(9.98a) (9.98b)

Die Substitution dieser Ergebnisse in Gl. (9.97) liefert die W EYL’sche Charakterformel (9.83) mit dem W EYL -Vektor ρ = α/2. Verwendet man die Skalierung des Basiselements der C ARTAN-Unteralgebra in der Form (9.56a), dann erhält man mit der einfachen Wurzel α ≡ α (1) = 1 für die irreduzible Darstellung D () den Charakter (s. a. Gl. 6.108) χ () (eµ ) =

  sinh  + 12 µ sinh µ2

.

(9.99)

9.3

Charaktere und Dimensionen

435

Beispiel 3 Als Beispiel zur W EYL’schen Dimensionsformel wird die einfache L IEAlgebra A1 (∼ = sl(2, C)) betrachtet. Dort gibt es nur eine positive Wurzel α ≡ α (1) (α) mit dem Koeffizienten q1 = 1. Nach Gl. (9.94) errechnet sich dann die Dimension der Darstellung D () mit dem höchsten Gewicht  = 1 (1) zu dim D( ) = (1 + 1), 1

(9.100)

was mit Gl. (9.53) übereinstimmt. Im Beispiel der L IE-Algebra A2 (∼ = sl(3, C)) mit den drei positiven Wurzeln α (1) , α (2) und (α (1) + α (2) ) errechnet sich die Dimension der Darstellung D() mit dem höchsten Gewicht  = 1 (1) + 2 (2) nach Gl. (9.94) zu

dim D

(1 ,2 )

 =

1 + 1 1



2 + 1 1



 1 + 2 + 2 . 2

(9.101)

Dabei muss in diesem Fall einer einfach zusammenhängenden L IE-Algebra, deren "α, α# bzw. relative Gewicht positive Wurzeln alle das gleiche   Normquadrat (Gl. 7.238) besitzen, der Faktor α (i) , α (i) nicht berücksichtigt werden. Für die ¯ ergibt sich daraus die Fundamentaldarstellung D (1,0) (= 3) bzw. D(0,1) (= 3) Dimension dim D(1,0) = dim D(0,1) = 3. Für die adjungierte Darstellung D (1,1) mit insgesamt sieben Gewichten, von denen das verschwindende Gewicht λ = (0, 0) zweifach entartet ist, bekommt man nach Gl. (9.101) (s. Beispiel 2 v. Abschn. 9.2) dim D (1,1) = 8. Im allgemeinen Fall einer L IE-Algebra Al (∼ = sl(l + 1, C)) setzt sich die Dimension einer Darstellung D() des höchsten Gewichts  aus Faktoren zusammen, von denen jeder einer positiven Wurzel α ∈ + zugeordnet werden kann. Der Nenner jedes einzelnen Faktors ist gleich der Anzahl der einfachen Wurzeln α (i) , aus der sich die positive Wurzel α zusammensetzt. Der Zähler ist gleich dieser Anzahl zusammen mit den DYNKIN-Label i , die den berücksichtigten einfachen Wurzeln entsprechen. Diese Ergebnis ist auch gültig für die einfach zusammenhängenden L IE-Algebren Dn , E 6 , E 7 und E 8 . Im Falle einer L IE-Algebra, die nicht einfach zusammenhängend ist, muss jeder Faktor im Zähler und Nenner mit dem entsprechenden Gewicht ωi (7.238) multipliziert werden.

436

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

9.4 C ASIMIR-Operatoren Bei der Diskussion von irreduziblen Darstellungen der einfachen klassischen L IEAlgebra su(2) begegnet man einem Operator (5.49), der bezüglich der Generatoren von 2. Ordnung ist und mit diesen vertauscht (Beispiel 1 v. Abschn. 5.5). Dieser sogenannte C ASIMIR-Operator ist somit ein symmetrieinvarianter Operator. Er erlaubt deshalb durch seine Eigenwerte eine eindeutige Charakterisierung von irreduziblen Darstellungen und ist so bei der Zerlegung von reduziblen endlichen Darstellungen in irreduzible Komponenten eine wertvolle Hilfe. Setzt man eine – reelle oder komplexe – L IE-Algebra L mit der Basis {ak | k = 1, . . . , n} voraus, dann kann der quadratische C ASIMIR-Operator (C ASIMIR-Operator 2. Ordnung) C2 allgemein als Bilinearform der linearen Operatoren {D(ak )| k = 1, . . . , n} ausgedrückt werden C2 =

n

n

κ(a k , al )D(ak )D(al ) =

k=1 l=1

n

n

κ kl D(ak )D(al ).

(9.102)

k=1 l=1

Dabei bedeuten {κ kl | k, l = 1, . . . , n} die Elemente des reziproken metrischen C ARTAN-Tensors κ (7.78). Nachdem die K ILLING -Form bzw. der C ARTAN-Tensor nach Gl. (7.36) nicht entartet ist (det κ = 0), ist die Existenz des reziproken Tensors κ −1 und mithin des Operators C2 eindeutig garantiert. Zudem ist der Operator C2 unabhängig von der Wahl der Basis, was durch eine Basistransformation mithilfe einer regulären Transformationsmatrix demonstriert werden kann. Verwendet man die C ARTAN -W EYL Basis (7.57) zusammen mit der W EYL Konvention (7.77), dann hat der C ASIMIR-Operator die Gestalt C2 =

l l

i=1 j=1

κ¯ i j D(h i )D(h j ) +



D(eα )D(e−α ) = C2H + C 2 .

(9.103)

α∈

Dabei bedeutet die Metrik κ¯ i j mit den oberen Indizes die auf die C ARTAN-Unteral¯ i , h j ) (s. Gl. 7.83). Wegen gebra H0 beschränkte kontravariante K ILLING-Form κ(h Gl. (7.57) vertauscht der erste Operator C2H mit allen Operatoren {D(h k )| k = 1, . . . , l}, die der Basis {h k | k = 1, . . . , l} der C ARTAN-Unteralgebra zugeordnet sind. Mit der Umformung [h i , eα e−α ] = [h i , eα ]e−α + eα [h i , e−α ] = αi eα e−α − αi eα e−α = 0

i = 1, . . . , l

∀α ∈ 

kommt man zu dem Ergebnis, dass auch der zweite Teil C2 des C ASIMIR-Operators (9.103) mit allen Generatoren {D(h k )| k = 1, . . . , l} vertauscht. Bleibt die Frage nach den Kommutatoren mit den übrigen Operatoren {D(eβ )| β ∈ }. Zur Klärung wird zunächst wieder nur der erste Operator C2H in (9.103) betrachtet. Dabei werden die Operatoren D(h) bzw. D(e±α ) der einfacheren

9.4

C ASIMIR-Operatoren

437

Schreibweise wegen im folgenden Absatz durch die Symbolik der Generatoren h bzw. e±α ausgedrückt D(h) := h

D(e±α ) := e±α .

bzw.

Man erhält dann für den Kommutator ⎡ ⎤ l l  l

l

 $ #



κ¯ i j h i h j , eβ ⎦ = κ¯ i j h i [h j , eβ ] − κ¯ i j h j [h i , eβ ] C2H , eβ = ⎣ i=1 j=1

=

l

l

i=1 j=1

(κ¯ i j h i β j eβ − κ¯ i j h j βi eβ ).

i=1 j=1

Unter Beachtung von Gl. (7.70) l l



κ¯ i j βi h j =

i=1 j=1

l

β j h j = "β, h# = h β

j=1

gelingt weiter die Umformung # $ C2H , eβ = h β eβ + eβ h β .

(9.104)

Für den zweiten Teil C2 des C ASIMIR-Operators (9.103) errechnet sich der Kommutator mit Gl. (7.72) zu , +



7 6  eα e−α , eβ = eα N−αβ eβ,−α + Nαβ eα+β e−α C2 , eβ = α∈

α∈ α = β

+ eβ h −β + h −β eα

α∈ α = β

β ∈ . (9.105)

Nach Substitution der Variablen α durch α = α  − β und unter Berücksichtigung von Gl. (7.107) sowie der Vereinbarung (7.108) Nαβ = N−β,−α = Nα+β,−β = −N−α−β,β erhält man für den zweiten Summanden von (9.105)

α ∈  α  = β

Nα −β,β eα  eβ−α = −

α ∈  α  = β

N−α β eα eβ−α  ,

438

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

womit der erste Summand in (9.105) aufgehoben wird. Übrig bleiben dann noch die letzten beiden Summanden, die wegen eβ h −β = −eβ h β von den beiden Termen im Kommutator mit dem ersten Teil C 2H (9.104) gerade kompensiert werden. Insgesamt gewinnt man die Aussage, dass der C ASIMIROperator C2 mit allen Generatoren bzw. allen Operatoren {D(a)| a ∈ L} vertauscht. Diese Ergebnis, das auch die Vertauschung mit den Leiteroperatoren beinhaltet, impliziert dann die Forderung, dass für alle Gewichtsvektoren {vλ | λ ∈ P(V)} einer irreduziblen Darstellung, die durch Absteigeoperatoren aus einem Höchstgewichts() vektor v erhalten werden, ein gleicher Eigenwert C2 gehört. Letztlich ist diese Aussage eine Konsequenz des 2. S CHUR’schen Lemmas (Abschn. 3.5). Dort wird unter Voraussetzung der Vertauschbarkeit eines Operators mit allen Operatoren der L IE-Algebra die Wirkung dieses Operators auf alle Vektoren der irreduziblen Darstellung als konstant gefordert (Gl. 3.77). Für eine irreduzible Höchstgewichtsdarstellung D () auf dem Darstellungsraum V () kann diese Aussage bezüglich des C ASIMIR-Operators C2 ausgedrückt werden durch C2 v = C2() v

∀v ∈ V () .

(9.106) ()

Danach wirkt der C ASIMIR-Operator C 2 als Konstante C2 multipliziert mit dem () Einselement. In dieser Eigenwertgleichung ist C2 der Eigenwert des C ASIMIROperators in der Höchstgewichtsdarstellung D () . Eine Umformung des C ASIMIR-Operators (9.103) in C2 =

l l





κ¯ i j D(h i )D(h j )+

D(eα )D(e−α )+

α∈+

i=1 j=1



D(e−α )D(eα ) (9.107)

α∈+

liefert nach Substitution von (Gl. 7.98b) D(eα )D(e−α ) = [D(eα ), D(e−α )] + D(e−α )D(eα ) = D(h α ) + D(e−α )D(eα ) die Gestalt C2 =

l

i=1

D(h i )D(h i ) +



(2D(e−α )D(eα ) + D(h α )).

(9.108)

α∈+

Betrachtet man eine irreduzible Darstellung D () mit dem höchsten Gewicht , dann erwartet man für die Wirkung des C ASIMIR-Operators C2 auf das Basiselement v – nämlich den Höchstgewichtsvektor – des Darstellungsraumes V () mit den Eigenwertgleichungen

9.4

C ASIMIR-Operatoren

439

D(h i )v = (h i )v = i v i = 1, . . . , l D(h α )v = (h α )v = "λ, α# v α∈ α∈ D(eα )v = 0

(9.109a) (9.109b) (9.109c)

den Eigenwert C2() =

l



i i +

", α# = ", # + ", 2ρ# = ",  + 2ρ# . (9.110)

α∈+

i=1

Dabei ist ρ der W EYL-Vektor (7.295). Nach Wahl einer orthonormierten Basis {ak | k = 1, . . . , n} der L IE-Algebra L, die der Bedingung κ(ak , al ) = κkl = δkl

κ = 1n

bzw.

(9.111a)

genügt, erhält man mit dem reziproken metrischen C ARTAN-Tensor (κ(ak , al ))−1 = κ kl = δ kl

bzw.

κ −1 = 1n

(9.111b)

für den C ASIMIR-Operator nach Gl. (9.102) die Form C2 =

n

D 2 (ak ).

(9.112)

k=1

Eine irreduzible Matrixdarstellung D() des höchsten Gewichts  erfüllt dann die Forderung n 

D() (ak )

2

()

= C 2 1d

d = dim D() .

(9.113)

k=1 ()

Daraus errechnet sich der Eigenwert C2 C2()

durch Spurbildung zu

+ n , 

 1 () 2 = sp D (ak ) . d

(9.114)

k=1

Für die adjungierte Darstellung Dad (L) mit der K ILLING-Form bzw. dem C ARTANTensor (7.14) # $ κkl = κ(ak , al ) = sp Dad (ak ) D ad (al ) = δkl

440

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

und einer Dimension, die gleich der Dimension der L IE-Algebra L ist (dim Dad = dim L = n), ergibt sich daraus der C ASIMIR-Eigenwert zu ()

C2

= 1.

(9.115)

Eine andere Formulierung für den C ASIMIR-Eigenwert C2() in der adjungierten Darstellung gelingt mithilfe der höchsten Wurzel θ (Gl. 7.229a), die hier die Rolle des höchsten Gewichts  übernimmt. Nach Substitution des W EYL-Vektors ρ in Gl. (9.110) durch Gl. (7.219) und unter Berücksichtigung der Orthogonalitätsrelation (7.215) erhält man C (θ) C2

= "θ, θ # + θ, 2

l

D (i) = "θ, θ # + 2

C l

i=1

= "θ, θ # +

l

!

j=1

"

αjα

( j)

,

l

i=1

D (i) (9.116)

ai α (i) , α (i) ,

i=1

Tabelle 9.2 C OXETER-Zahl h und duale C OXETER-Zahl h ∨ von klassischen einfachen L IE-Algebren L h L Al (l ≥ 2) l + 1 Bl (l ≥ 3) 2l 2l Cl Dl (l ≥ 5) 2l − 1

h∨ l +1 2l + 1 l +1 2l − 2

was umgeformt unter Einbeziehung der dualen C OXETER-Zahl h ∨ (7.228b) ausgedrückt werden kann durch (Tab. 9.2)    l l

1 ! (i) (i) " = "θ, θ # 1 + ai α , α ai∨ = "θ, θ # h ∨ . = "θ, θ # 1 + "θ, θ # i=1 i=1 (9.117) In dem Bemühen, für den C ASIMIR-Operator eine allgemeine Form mit höherer Ordnung zu finden, wird man zunächst an Stelle der Basis {ai | i = 1, . . . , n} der L IE-Algebra L die dazu duale Basis {a j | j = 1, . . . , n} wählen, die aus der Transformation mithilfe des (kontravarianten) metrischen C ARTAN-Tensors κ hervorgeht 

(θ) C2

aj =

n

i=1

κ i j ai .

(9.118)

9.4

C ASIMIR-Operatoren

441

Für den quadratischen C ASIMIR-Operator C 2 bezüglich dieser Basis C2 =

n n



κi j D(a i )D(a j )

i=1 j=1

ergibt sich unter Berücksichtigung der dem C ARTAN  Beziehung (7.14) zwischen Tensor κ und den Strukturkonstanten f ikl | i, k, l = 1, . . . , n die Form C2 =



i

j

k

f ikl f jlk D(a i )D(a j ).

(9.119)

l

Diese Form erlaubt eine Verallgemeinerung des C ASIMIR-Operators Cm mit der Ordnung m durch die Festlegung Cm =

n

j

i 1 j1 ,i 2 j2 ,...i m jm =1

j

j

f i12j2 f i23j2 . . . f im1 jm D(a i1 )D(a i2 ) . . . D(a im ).

(9.120)

Der Operator Cm (m ≥ 2) ist gleichfalls vertauschbar mit allen Operatoren D(a) [Cm , D(a)] = 0

∀a ∈ L.

(9.121)

Für jede halbeinfache L IE-Algebra vom Rang l gibt es eine Menge von l C ASIMIR-Operatoren {Cr | r = 2, . . . , l + 1} die nach Gl. (9.120) als Funktion der n Generatoren {D(a k )| k = 1, . . . , n} ausgedrückt werden können (Theorem v. R ACAH ). Dabei sei angemerkt, dass auch hier für nicht halbeinfache L IEAlgebren invariante Operatoren konstruiert werden können, die mit allen Operatoren {D(a)| a ∈ L} vetrtauschen. Als Konsequenz der Vertauschbarkeit (9.121) findet man die Vertauschbarkeit aller C ASIMIR-Operatoren {Cr | r = 2, . . . , l + 1} untereinander. Das bedeutet, dass diese l Operatoren gleichzeitig diagonalisiert werden können. Sie haben die gleichen Eigenvektoren einer Darstellung D () und sind deshalb auf dieser Darstellung l-fach entartet. Mit der Menge von l zugehörigen  () Eigenwerten Cr | r = 2, . . . , l + 1 , von denen es genau eine gibt, kann dann jede irreduzible Darstellung D () eindeutig charakterisiert werden. Diese Charakterisierung gilt als alternativ zu jener, die durch das höchste Gewicht  bzw. dessen Parametrisierung mithilfe der l DYNKIN-Label {i | 1, . . . , l} erfolgt. Bildet man Summen oder Produkte von C ASIMIR-Operatoren, dann erhält man erneut C ASIMIR-Operatoren, so dass diese nicht eindeutig sind. Dennoch sind die  () l C ASIMIR-Operatoren Cr | r = 2, . . . , l + 1 vollständig. Das bedeutet, dass diese Menge den größten Satz von invarianten Operatoren bildet. Demnach kann jeder Operator U , der mit allen Operatoren {D(a)| a ∈ L} vertauscht – in der Quantenmechanik etwa der H AMILTON -Operator – durch die l C ASIMIR-Operatoren dargestellt werden U = U (Cr )

r = 1, . . . , l + 1.

(9.122)

442

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Im Falle einer abelschen L IE-Algebra bilden alle n Generatoren {D(ak )| k = 1, . . . , n} wegen deren Vertauschbarkeit untereinander (rang L = dim L) selbst n invariante C ASIMIR-Operatoren. Beispiel 1 Betrachtet man die kompakte reelle Form su(2) der komplexen L IEAlgebra sl(2, C), die nach Gl. (8.24) isomorph ist zur L IE-Algebra so(3), und benutzt die Basis {ak | k = 1, 2, 3} in der Form (4.43), dann erhält man die K ILLINGForm bzw. den C ARTAN-Tensor (7.41). Der reziproke Wert errechnet sich zu 1 κ i j = (κ −1 )i j = − δi j . 2

(9.123)

Der C ASIMIR-Operator C2 (9.102) hat dann mit den Operatoren {D(ak )| k = 1, 2, 3} (5.44) bzw. mit den hermiteschen Operatoren {Jk |k = 1, 2, 3} (5.45) die Form C2 = −

1 2 1 2 1 D (ak ) = Jk = J 2 . 2 2 2 3

3

k=1

k=1

(9.124)

Dabei bedeutet der Operator J 2 (5.49) in der Quantenmechanik das Quadrat des Drehimpulsoperators. Betrachtet man die irreduzible Darstellung D() mit dem höchsten Gewicht ()  = 1 (1) = 12 1 α (1) , dann errechnet sich der Eigenwert C2 des C ASIMIROperators nach Gl. (9.110) zu C2() =

8

9 " ! 1 1 1 (1) 1 1 (1)  α ,  α + α (1) = 1 (1 + 2) α (1) , α (1) . 2 2 4

(9.125)

  Die Substitution des Normquadrats α (1) , α (1) durch Gl. (7.126) liefert dann den Eigenwert C2() =

1 1 1  ( + 2) 8

1 ∈ Z≥0 .

(9.126)

In der Quantenmechanik kann das DYNKIN-Label 12 1 mit der Drehimpulsquantenzahl J identifiziert werden (Beispiel 1 v. Abschn. 5.5), so dass letztere die ganzoder halbzahligen Werte (5.69) annimmt. Damit hat der C ASIMIR-Eigenwert die Form C 2() =

1 J (J + 1) 2

J=

1 1  2

1 ∈ Z≥0 .

(9.127)

Durch Vergleich mit dem C ASIMIR-Operator (9.124) erhält man für das Quadrat des Drehimplsoperators J 2 die Eigenwerte J (J + 1), was mit Gl. (5.70) übereinstimmt. Die einfache L IE-Algebra A1 hat wegen der Eindimensionalität der C ARTANUnteralgebra (l = 1) nur einen C ASIMIR-Operator, nämlich C 2 etwa in der Form

9.4

C ASIMIR-Operatoren

443 ()

von Gl. (9.124). Der Eigenwert C2 mit Eigenvektoren v im Darstellungsraum V () ergibt sich zu (9.127), wobei das höchste Gewicht  das DYNKIN-Label 1 = 2J besitzt. Die irreduzible Darstellung D () kann so durch diesen Eigenwert C 2() oder durch das DYNKIN-Label 1 charakterisiert werden. In der Quantenmechanik wird dafür bekannterweise die Drehimpulsquantenzahl J verwendet. Beispiel 2 Die einfache L IE-Algebra sl(3, C) (∼ = A2 ) mit zwei einfachen Wurzeln α (1) und α (2) hat die fundamentalen Gewichte (1) und (2) nach Gl. (9.61). Betrachtet man die irreduzible Darstellung D () des höchsten Gewichts  = 1 (1) + () 2 (2) , dann errechnet sich der C ASIMIR-Eigenwert C2 mit dem W EYL-Vektor ρ = α (1) + α (2) und mit

  + 2ρ =

   1 1 2 2 2 1 1 2  +  + 2 α (1) +  +  + 2 α (2) 3 3 3 3

zu ()

C2

=

$ 1# 1 2 ( ) + (2 )2 + 1 2 + 31 + 32 . 9

(9.128)

Im Fall der adjungierten Darstellung D (1,1) mit den DYNKIN -Label 1 = 1 und 2 = 1 resultiert daraus der Eigenwert C 2() = 1, was mit dem Ergebnis (9.115) übereinstimmt. Ausgehend von der höchsten Wurzel θ der adjungierten Darstellung D (1,1) (Abb. 9.6) θ = α (1) + α (2) , erhält man mit deren Normquadrat "θ, θ # = 1/3 (s. Beispiel v. Abschn. 7.6) sowie mit deren dualen C OXETER-Zahl (Tab. 9.2)  ∨

h = 1+

2

 ai

=3

i=1

nach Gl. (9.117) das gleiche Ergebnis (θ)

()

C2 = C2

= 1.

Nach Wahl einer orthonormierten Basis {ak | k = 1, . . . , n}, mit der der C ARTANTensor κ die diagonale Gestalt (9.111a) annimmt, erhält man wegen der Invarianz

444

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

(7.12) der symmetrischen Bilinearform B  bezüglich des L IE-Produkts B  ([ak , al ], am ) = B  (ak , [al , am ])

k, l, m = 1, . . . , n

die Beziehung n

k=1

f ikj B  (ak al ) =

n

f jlk B  (ai , ak )

i, j, l = 1, . . . , n.

(9.129)

k=1

Unter Berücksichtigung der totalen Antisymmetrie (8.9) der Strukturkonstanten kommt man zu dem Ergebnis Dad (a j )B  = B  Dad (a j )

j = 1, . . . , n.

(9.130)

Nach dem 2. S CHUR’schen Lemma impliziert diese Vertauschbarkeit der Matrix B  der Bilinearform mit einer irreduziblen Matrixdarstellung die Aussage, dass erstere ein Vielfaches γ der Einheitsmatrix ist B  = γ 1n

bzw.

B  (ak , al ) = γ δkl ,

(9.131a)

k, l = 1, . . . , n

(9.131b)

was mit Gl. (9.111a) in der Form B  (ak , al ) = γ κkl

ausgedrückt werden kann. Danach gilt für alle Elemente a und b der L IE-Algebra L B  (a, b) = γ κ(a, b)

∀a, b ∈ L,

(9.132)

wobei die Konstante γ unabhängig von der Wahl der Elemente a, b ist. Betrachtet man etwa eine beliebige Matrixdarstellung D(L), dann ist die symmetrische invariante Spurform (7.9) nach Gl. (9.132) proportional zur K ILLINGForm sp[ D(a) D(b)] = γ κ(a, b)

a, b ∈ L.

(9.133)

Die Proportionalitätskonstante γ ist als DYNKIN-Index (2. Ordnung) der Darstellung D bekannt. Dieser bleibt bei einerÄnlichkeitstransformation der Darstellung D invariant und hat für die adjungierte Darstellung D ad nach Gl. (7.10) den Wert Eins. () Mit dem Eigenwert C2 von Gl. (9.114) des C ASIMIR-Operators C2 in der Form (9.112) erhält man durch Substitution von Gl. (9.133) das Ergebnis C2() =

n 1

γ κ(ak , ak ). dim D k=1

(9.134)

9.4

C ASIMIR-Operatoren

445

Daraus errechnet sich unter der weiteren Substitution des C ARTAN-Tensors (9.111) die Beziehung C 2() =

n γ, dim D

(9.135)

Bei einer Zerlegung einer Matrixdarstellung D mit dem DYNKIN-Index γ in eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen D  und D mit den DYNKIN-Indizes γ  und γ  D(a) = D  (a) ⊕ D (a)

a∈L

findet man wegen sp[ D(a) D(a)] = sp[ D (a) D  (a)] + sp[ D  (a) D (a)] mit (9.133) die Beziehung γ = γ  + γ  .

(9.136)

Für eine Basis {h i |i = 1, . . . , l} der C ARTAN-Unteralgebra H bekommt man mit den diagonalen Darstellungen D(h) nach Gln. (9.2) und (9.3) bzw. (9.22) sp[ D(h i ) D(h i )] =



m λ λ2 (h i ) =

λ∈P (V )



m λ λi2

i = 1, . . . , l.

(9.137)

λ∈P (V )

Die Summierung über die Basis, die als orthonormiert vorausgesetzt wird κ(h ¯ i , h j ) = κ¯ i j = δi j

bzw.

κ(h ¯ i , h j ) = κ¯ i j = δi j ,

l

l

(9.138)

liefert mit Gl. (9.133) l

i=1

sp[ D(h i ) D(h i )] = γ

κ(h ¯ i , hi ) = γ

i=1

κ¯ = γ l,

(9.139)

i=1

so dass insgesamt der Vergleich mit Gl. (9.137) zu dem Ergebnis führt l



i=1 λ∈P (V )

m λ λi2 = γ l.

(9.140a)

446

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Eine andere Formulierung resultiert aus der Berücksichtigung von Gln. (7.80) und (9.138) γ =

l l 1

1

1

m λ κ¯ ii λi λi = m λ λi λi = m λ "λ, λ# . l l l i=1 λ∈P (V )

i=1 λ∈P (V )

λ∈P (V )

(9.140b)

9.5 Tensorprodukte 

Die Diskussion des Tensorprodukts zweier irreduzibler Darstellungen D( ) und  D ( ) mit den höchsten Gewichten  und  setzt voraus, dass die Gewichte λ   bzw. λ der zugehörigen Gewichtssysteme P(V ( ) ) bzw. P(V ( ) ) m λ -fach bzw.  m λ -fach entartet sein können und die Eigenvektoren {vλ , pλ |λ ∈ P(V ( ) ), pλ =  1, . . . , m λ } bzw. {vλ , pλ |λ ∈ P(V ( ) ), pλ = 1, . . . , m λ } besitzen. Die An    ( ) wendung des Operators D ( ⊗ ) (a) auf die Produktbasis v  ( ) ⊗ vλ , p  des 

λ , pλ



Vektorraumes V ( ⊗ ) liefert nach Gl. (6.132)

λ

      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D ( ⊗ ) (a) vλ , p  ⊗ vλ , p  = D ( ) (a)vλ , p  ⊗ vλ , p  +vλ , p  ⊗ D ( ) (a)vλ , p  λ λ λ λ λ λ     )  )  (  ( λ ∈P V λ ∈P V pλ = 1, . . . , m

pλ = 1, . . . , m λ

∀a ∈ L. (9.141)





Dabei wirken die Operatoren D ( ) (a) und D ( ) (a) nach Gl. (6.133) auf die ge  trennten Darstellungsräume V ( ) und V ( ) . Für ein Element h aus der C ARTAN-Unteralgebra H erhält man mit den Eigenwertgleichungen ( )



D ( ) (h)vλ , p D

( )

( )

λ

( )

(h)vλ , p

λ



= λ (h)vλ , p

λ ( )

= λ (h)vλ , p

λ

λ (h) ∈ P(V ( ) )

(9.142a)

( )

(9.142b)

λ (h) ∈ P(V

)

das Ergebnis         ( ) ( ) ( ) ( ) D ( ⊗ ) (h) vλ , p  ⊗ vλ , p  = [λ (h) + λ (h)] vλ , p  ⊗ vλ , p  λ

λ

λ

λ

∀h ∈ H. (9.143)

Gewicht der Produktdarstellung mit dem Danach ist (λ +λ ) ein Eigenwert   bzw. ein    ( ) ( ) zugehörigen Eigenvektor vλ , p  ⊗ vλ , p  . Das Gewichtssystem P(V ( ⊗ ) ) 



λ

λ

der Produktdarstellung D ( ⊗ ) umfasst dann die Menge der Gewichte 



λ = {λ + λ | λ ∈ P(V ( ) ), λ ∈ P(V ( ) )}.

(9.144)

9.5

Tensorprodukte

447

Die Multiplizität m λ dieser Gewichte errechnet sich nach

m λ = m λ +λ =

m µ m µ .

(9.145)

µ , µ µ + µ = λ

An dieser Stelle ist anzumerken, dass die Gewichte in der Quantenmechanik die Rolle von Quantenzahlen annehmen. Für den Fall, dass eine Symmetrie durch LIEAlgebren erfasst werden kann, spricht man bei Tensorprodukten wegen der Summe (9.144) – bzw. wegen Gl. (6.134) – von additiven Quantenzahlen. Im Gegensatz dazu liefert die Beschreibung einer Symmetrie durch L IE-Gruppen wegen der Zerlegung des Tensorprodukts nach (3.211) multiplikative Quantenzahlen.    Das Tensorprodukt D ( ⊗ ) zweier irreduzibler Matrixdarstellungen D( )  und D( ) einer halbeinfachen L IE-Algebra L ist erneut endlich-dimensional und kann deshalb in irreduzible Darstellungen D () zerlegt werden. Man erhält die C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung (s. a. Gln. 3.220 und 6.137) 







D( ⊗ ) = D( ) ⊗ D( ) =



(  | ) D()

(9.146)



mit dem Reduktionskoeffizient (L ITTLEWOOD -R ICHARDSON -Koeffizient) (  | ), der die Multiplizität m  der irreduziblen Darstellung D () in der Entwicklung  zum Ausdruck bringt. Wegen der Vertauschbarkeit zweier Darstellungen D( ) und  D ( ) im direkten Produkt nach Gl. (6.135a) erhält man mit Gl. (9.146) die Symmetriebeziehung für Reduktionskoeffizienten (  | ) = (  | ).

(9.147) 



Das höchste Gewicht ( +  ) der Produktdarstellung D( ⊗ ) setzt sich additiv aus den zwei einfachen höchsten Gewichten  und  der einzelnen Darstellun  gen D( ) und D( ) zusammen. Es ist deshalb ebenfalls einfach, was auch durch Gl. (9.145) bestätigt wird. Nach diesen Überlegungen gewinnt man ein einfaches Kriterium für das Auftreten der trivialen eindimensionalen Darstellung in der C LEBSCH -G ORDANEntwicklung, dem sogenannten Singulett D (=0) mit verschwindendem Höchstgewichtsvektor  = 0. Diese Darstellung wird wegen Gl. (9.48) genau dann erwartet,   falls die einzelnen Darstellungen D( ) und D( ) zueinander konjugiert sind 

 ¯ ( ) . D ( ) = D

¯   | 0) der trivialen Darstellung D (=0) in der Für den Reduktionskoeffizient (  ( ¯ ) ⊗ D( ) gilt wegen Gl. (3.215b) Zerlegung des Tensorprodukts D ¯   | 0) = ( 0|  ). (

448

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Mit der Isomorphie des Tensorprodukts 

 ¯ ( ) ⊗ D(=0) ∼ D = D( )

findet man für den Reduktionskoeffizient ( 0|  ) den Wert Eins, so dass auch der ¯   | 0) und mithin die Multiplizität der trivialen DarstelReduktionskoeffizient (  ¯ ( ) ⊗ D( ) einfach ist lung D(0) in der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung von D m (=0) = 1. 



Für den Charakter χ ( ⊗ ) der Produktdarstellung (9.146) erhält man unter Berücksichtigung von Gl. (3.212)

    χ ( ⊗ ) = χ ( ) χ ( ) = (  | )χ () , (9.148) 

was als Charakter-Summenregel bekannt ist. Die Ermittlung der Dimension einer   Produktdarstellung aus dem Charakter χ ( ⊗ ) (exp µ) mit verschwindendem Gewicht (µ = 0) liefert mit (9.148) die sogenannte Dimension-Summenregel

    dim D( ⊗ ) = dim D( ) dim D( ) = (  | )dim D() . (9.149)  

Das Tensorprodukt (9.146) der beiden irreduziblen Darstellungen D ( ) und  ( D ) kann im Sinne von Gl. (6.134b) ausgedrückt werden durch 







D( ⊗ ) = D( ) ⊗ 1dim D( ) + 1dim D( ) ⊗ D( ) . 





(9.150)



Für das Produkt D( ⊗ ) (a) D ( ⊗ ) (b) zweier Elemente a und b der L IEAlgebra L ergibt sich mit Gl. (3.202) 















D( ⊗ ) (a) D ( ⊗ ) (b) = D( ) (a) D( ) (b) ⊗ 1dim D( ) + D( ) (a) D ( ) (b) 







+ D ( ) (b) D( ) (a) + 1dim D( ) ⊗ D( ) (a) D ( ) (b)

∀a, b ∈ L. (9.151)

Die Spurbildung unter Berücksichtigung von Gln. (3.201) und (9.19) liefert dann 











sp( D( ⊗ ) (a) D( ⊗ ) (b)) = sp( D( ) (a) D ( ) (b))dim D( 



 )



+ sp( D ( ) (a) D( ) (b))dim D( ) . 



Danach gilt mit Gl. (9.133) für den DYNKIN-Index γ ( ⊗ ) der Produktdarstellung   D( ⊗ ) 











γ ( ⊗ ) = γ ( ) dim D ( ) + γ ( ) dim D( ) ,

(9.152)

9.5

Tensorprodukte

449

was als Summenregel für DYNKIN -Indizes bekannt ist. Alle oben aufgeführten Summenregeln sind eine nützliche Hilfe bei der Suche nach einer Reduktion (9.146) von Tensorprodukten. Zur Ermittlung der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung eines Tensorprodukts zweier irreduzibler Matrixdarstellungen betrachtet man die Menge aller Gewichte (unter Berücksichtigung deren Multiplizität), die durch die Summe von Gewich  ten λ ∈ P(V ( ) ) der Höchstgewichtsdarstellung D ( ) und von Gewichten λ ∈   P(V ( ) ) der Höchstgewichtsdarstellung D( ) gebildet wird 







S0( ⊗ ) = {λ + λ | λ ∈ P(V ( ) ), λ ∈ P(V ( ) )}.

(9.153)

Zunächst wählt man das maximale Gewicht ( +  ), das stets einfach ist, und   ermittelt alle Gewichte P(V ( + ) ) der irreduziblen Höchstgewichtsdarstellung  + ) ( D – etwa vermittels der F REUDENTHAL -Formel (9.64). Anschließend entfernt man diese Menge von der Menge aller Gewichte (9.153), wobei die Multiplizitäten berücksichtigt werden. Übrig bleibt eine reduzierte Menge von Gewichten ( ⊗ )

( ⊗ )

= S0

S1





− P(V ( ⊗ ) ),

(9.154)

die erneut die Bestimmung eines maximalen Gewichts ( +  )1 erlaubt. Man er  mittelt dann die Menge der Gewichte P(V ( + )1 ) der Höchstgewichtsdarstellung  + ) ( 1 , um sie von der reduzierten Menge (9.154) zu entfernen. Die wiederD holten Schritte dieses Vorgehens enden an der Stelle, wo kein Gewicht bei der Bildung der reduzierten Menge übrig bleibt und letztere die leere Menge ist. 



Beispiel 1 Zur Demonstration wird das Tensorprodukt D( + ) zweier Höchst  gewichtsdarstellungen D( =2) und D ( =3) der einfachen L IE-Algebra A1 (∼ = sl(2, C)) betrachtet. Die Menge der Gewichte (9.153) ist dann mit der Normierung der Basis nach der C HEVALLEY-Konvention (7.96) gegeben durch Gl. (9.55) 

S0( =2⊗

 =3)

= {2, 0, −2} + {3, 1, −1, −3} = {5, 3, 3, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −3, −3, −5}.

(9.155)

Man erhält so entsprechend der Anzahl von möglichen additiven Kombinationen {λ + λ } der einzelnen Gewichte insgesamt 12 Gewichte, die alle einfach sind.   Diese Zahl bestimmt die Dimension der Produktdarstellung D( =2⊗ =3) , was unter Verwendung von Gl. (9.53) mit Gl. (9.149) übereinstimmt 

dim D ( =2⊗

 =3)



= dim D( =2) dim D (

 =3)

= 3 · 4 = 12.

Zunächst wählt man das maximale einfache Gewicht  +  = 5 und ermittelt die Menge der einfachen Gewichte der irreduziblen Darstellung D (=5) mit diesem Gewicht als höchstem Gewicht nach Gl. (9.55) 

 =5)

P(V ( +

) = {5, 3, 1, −1, −3, −5}.

(9.156)

450

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Nach Subtraktion dieser Menge von der Menge (9.155) bleibt die reduzierte Menge (9.154) an Gewichte 

S1( =2⊗

 =3)

= {3, 1, 1, −1, −1, −3}.

(9.157)

In einem zweiten Schritt wählt man aus der reduzierten Menge (9.157) das maximale Gewicht  = 3 und ermittelt die Menge der einfachen Gewichte der Höchstgewichtsdarstellung D(=3) nach Gl. (9.55) P(V (=3) ) = {3, 1, −1, −3},

(9.158)

um diese von der reduzierten Menge (9.157) zu subtrahieren. Übrig bleibt dann die neue reduzierte Menge ( =2⊗ =3)

S2

= {1, −1}.

(9.159)

Schließlich liefert die Wahl des maximalen Gewichts  = 1 die Höchstgewichtsdarstellung D(=1) , deren Gewichtssystem nach Gl. (9.55) P(V (=1) ) = {1, −1}

(9.160)

mit der reduzierten Menge (9.159)  identisch ist. Die dann  ermittelte reduzierte ( =2⊗ =3) = ∅ , so dass das Verfahren Menge ist deshalb die leere Menge S3 hier endet. Insgesamt findet man eine C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung (9.146) der Pro  duktdarstellung D( ⊗ ) in drei irreduzible Höchstgewichtsdarstellungen, die alle nur einfach vorkommen (m () = 1) 

D( =2⊗

 =3)

= D(=5) ⊕ D(=3) ⊕ D(=1) .

(9.161)

Dabei bleibt die Dimension nach Gl. (9.149) erhalten 

dim D( =2⊗

 =3)

= (2 + 1)(3 + 1) = 12

bzw. dim D (=5) + dim D(=3) + dim D(=1) = 6 + 4 + 2 = 12. Eine allgemeine Überlegung mit beliebigen höchsten Gewichten  und  liefert die Reduktionskoeffizienten ⎧ ⎨ 1 für |λ −  | ≤  +    und  +  +  ∈ 2Z (  | ) = (9.162) ⎩ 0 sonst.

9.5

Tensorprodukte

451

Danach sind die Multiplizitäten m () der irreduziblen Darstellungen D() alle einfach, so dass die L IE-Algebra A1 als einfach reduzierbar gilt. Das Tensorprodukt     D( ⊗ ) zweier irreduzibler Höchstgewichtsdarstellungen D ( ) und D( ) der L IE-Algebra A1 hat dann die C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung (s. a. Beispiel 7 v. Abschn. 6.5)

D

( ⊗ )

 + 

(a) ∼ =

D () (a)

a ∈ A1 .

(9.163)

 = | −  |  +  +  ∈ 2Z

Man erhält so das gleiche Ergebnis wie bei der Diskussion von Produktdarstellungen der L IE-Gruppe SU (2) bzw. S O(3) (Beispiel 7 v. Abschn. 6.5 – Gl. 6.143). Die Dimension der Produktdarstellung errechnet sich dann nach Gl. (9.149) zu 



( + 1)( + 1) =

 + 

( + 1),

(9.164)

=| + |

was mit Gl. (6.145) übereinstimmt. Beispiel 2 In einem weiteren Beispiel wird das Tensorprodukt zwischen den beiden   fundamentalen Darstellungen D( =(1,0)) und D ( =(0,1)) der einfachen L IEAlgebra A2 (∼ = sl(3, C)) betrachtet. Mit deren Gewichtssysteme (Abb. 9.4) 

P(V ( =(1,0)) ) = {λ(1) = (1, 0), −λ(1) + λ(2) = (−1, 1), −λ(2) = (0, −1)} (9.165a) bzw. P(V (

 =(0,1))

) = {λ(2) = (0, 1), λ(1) − λ(2) = (1, −1), −λ(1) = (−1, 0)} (9.165b)

erwartet man für die Menge (9.153) entsprechend der Anzahl von möglichen additiven Kombinationen {λ +λ } der einzelnen Gewichte insgesamt 9 (= 3·3) Gewichte 

 =(0,1))

S0( =(1,0)⊗

= {λ(1) + λ(2) , 2λ(1) − λ(2) , −λ(1) + 2λ(2) , 0, 0, 0, − 2λ(1) + λ(2) , λ(1) − 2λ(2) , −λ(1) − λ(2) },

(9.166a)

die sich nach Gl. (9.61) in der Form ( =(1,0)⊗ =(0,1))

S0

= {α (1) + α (2) , α (1) , α (2) , 0, 0, 0, − α (1) , −α (2) , −α (1) − α (2) }

(9.166b)

452

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

ausdrücken lassen. Dabei ist das Gewicht (0, 0) dreifach entartet (m λ=(0,0) = 3). Die Anzahl der möglichen Gewichte stimmt nach Gln. (9.53) und (9.149) mit der Dimension der Produktdarstellung überein 

 =(0,1))



dim D( =(1,0)⊗

= dim D( =(1,0)) dim D(

 =(0,1))

= 3 · 3 = 9.

Nach Wahl des maximalen einfachen Gewichts  = (1) + (2) = α (1) + = (1, 1) bekommt man für das Gewichtssystem P(V (1,1) ) der zugehörigen adjungierten Darstellung D(1,1) die Menge (Abb. 9.6) α (2)

P(V (1,1) ) = {α (1) + α (2) , α (1) , α (2) , 0, 0, −α (1) , −α (2) , −α (1) − α (2) }, (9.167)   (=(1,1)) wobei das Gewicht λ = (0, 0) zweifach entartet ist m λ=(0,0) = 2 . Die Subtraktion dieser Gewichte von der Menge (9.166) ergibt ein einziges einfaches Gewicht λ = (0, 0), das zur trivialen irreduziblen Höchstgewichtsdarstellung D (=0) gehört. Insgesamt findet man dann eine C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung des Tensorprodukts in zwei Höchstgewichstdarstellungen 

 =(0,1))

D ( =(1,0)⊗

∼ = D (=(1,1)) ⊕ D(=(0,0)) ,

(9.168)

die beide einfach vorkommen (m () = 1). Dabei bleibt die Dimension nach Gl. (9.149) erhalten 





 =(0,1))

dim D( ⊗ ) = dim D( =(1,0)) dim D (

=3·3=9

bzw. dim D(1,1) + dim D(0,0) = 8 + 1 = 9.

Bei der bisher benutzten Methode zur Ermittlung der C LEBSCH -G ORDANEntwicklung wird die Kenntnis der Gewichtssysteme von beiden irreduziblen   Höchstgewichtsdarstellungen D ( ) und D ( ) sowie des Gewichtssystems der irreduziblen Komponente D() in der Zerlegung (9.146) vorausgesetzt. Zur Herleitung einer einfacheren Methode, die weniger Information verlangt, beginnt man mit der Charakter-Summenregel (9.148) und erhält zusammen mit der W EYL’schen Charakterformel (9.83) die Beziehung

w∈W ()



sign w exp[w(λ +ρ)]χ ( ) =



w∈W ()

sign w



(  |) exp[w(+ρ)].



(9.169)

9.5

Tensorprodukte

453 

Nach Substitution des Charakters χ ( ) durch die Festlegung (9.70) unter Berück sichtigung der Stabilität des Gewichtssystems P(V ( ) ) unter der Wirkung der W EYL-Gruppe W() (Gl. 9.17) erhält man



( )

sign w m λ

w∈W () λ ∈P (V ( ) )

=



exp[w(λ +  + ρ)]

sign w



(  |) exp[w( + ρ)].

(9.170)



w∈W ()

Betrachtet man auf der rechten Seite den Summand mit der identischen W EYL Spiegelung w = e, dann ist das Argument ( + ρ) der Exponentalfunktion ein Gewicht aus der Fundamentalkammer Ce . Setzt man den einfachsten, speziellen Fall voraus, dass die Menge der Gewichte µ im Argument der Exponentialfunktion auf der linken Seite von (9.170) ebenfalls in der Fundamentalkammer Ce liegen 

µ = {λ +  + ρ|λ ∈ λ ∈ P(V ( ) )}

µ ∈ Ce ,

(9.171)

dann kann nur jener Summand auf der linken Seite mit w = e dem rechten Term mit dem Argument ( + ρ) gleichgesetzt werden. Falls demnach die Bedingung (9.171) erfüllt ist, wird die Summierung über die W EYL -Gruppenelemente w ∈ W() überflüssig, da deren transitive Wirkung die W EYL -Kammern nur permutiert (Abschn. 7.8). Man erhält dann mit der identischen W EYL -Spiegelung w = e die Beziehung

 λ ∈P ⊂V ( )

( )

m λ

exp(λ +  + ρ) =

(  |) exp( + ρ).

(9.172)



Wegen der linearen Unabhängigkeit der Exponentialfunktionen verlangt die Lösung deren Gleichsetzung, was die Bedingung der Gleichsetzung entsprechender Argumente zur Folge hat ( )

(  |) = m λ =− .

(9.173)

Der allgemeine Fall zeichnet sich dadurch aus, dass ein Gewicht µ aus der Menge (9.171) auch in einer beliebigen W EYL-Kammer Cw (= Ce ) liegt. Dann gibt es genau eine W EYL-Spiegelung w0 ∈ W(), so dass das Element w0 (µ) dominant ist und deshalb zur Fundamentalkammer gehört (w0 (µ) ∈ Ce ). Dabei erhält man auf der linken Seite von Gl. (9.170) einen Beitrag der Form 

)   signw m ( λ exp[w(λ +  + ρ)],

der mit einem Summand auf der rechten Seite verglichen wird, dessen Gewicht (+ρ) in der Fundamentalkammer Ce liegt. Aus der Forderung nach Gleichsetzung

454

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

der Argumente der Exponentialfunktionen auf beiden Seiten w(λ +  + ρ) =  + ρ

λ = w−1 ( + ρ) −  − ρ

bzw.

resultiert schließlich die K LYMIK-Formel

( ) signw m λ mit (  |) =

(9.174)



λ = w −1 (+ρ)− ∈ P(V ( ) ).

w∈W ()

(9.175) Dort werden nur jene Summanden berücksichtigt, deren W EYL-Spiegelung w die Bedingung (9.174) erfüllen. Die Ermittlung der Reduktionskoeffizienten (  | ) nach dieser Beziehung verlangt neben der Kenntnis der W EYL -Gruppe W() nur   die Kenntnis eines der Gewichtssysteme P(V ( ) ) und P(V ( ) ) der beiden Höchst  gewichtsdarstellungen D( ) und D( ) , was einen wesentlichen Vorteil gegenüber den bisherigen Methoden bedeutet. Beispiel 3 Wie im vorangegangenen Beispiel wird erneut das Tensorprodukt   D( =(1,0)) ⊗ D( =(0,1)) der einfachen L IE-Algebra A2 ∼ = sl(3, C) untersucht.  Die beiden einzelnen irreduziblen fundamentalen Darstellungen D( =(1,0)) und  D ( =(0,1)) besitzen die Gewichtssysteme (9.165a) und (9.165b).  Betrachtet man mit λ ∈ P(V ( ) ),  = (1, 0) und dem W EYL-Vektor ρ = (1, 1) etwa die Menge der Gewichte µ = λ +  + ρ = {(2, 2), (3, 0), (1, 1)},

(9.176)

dann findet man zwei dominante Gewichte λ = (2, 2) und λ = (1, 1) mit positivem DYNKIN-Label, die nach (7.310) in der Fundamentalkammer Ce liegen. Für diese Gewichte wird die Bedingung (9.171) genau durch die triviale W EYL -Spiegelung, nämlich die Identität w = e erfüllt. Demnach findet man für  = λ +λ die Menge  = {(1, 1), (0, 0)}.

(9.177)

Die Reduktionskoeffizienten (  |) für die irreduziblen Darstellungen mit diesen Gewichten  als höchstes Gewicht errechnen sich nach der K LYMIK-Formel (9.175) zu (  |) = (1, 1) = sign e m () λ =(0,1) = 1 · 1 = 1

(9.178a)

und ()

(  |) = (0, 0) = sign e m λ =(−1,0) = 1 · 1 = 1

(9.178b)

Das dritte Gewicht µ = (3, 0) der Menge (9.176) liegt nach (7.312a) auf einer Kammerwand und ist wegen (7.312b) invariant gegenüber einer W EYL -Spiegelung. Demnach gibt es keim W EYL-Gruppenelement w das die Bedingung (9.171) zu

9.5

Tensorprodukte

455

erfüllen vermag, so dass auch kein Beitrag in der K LYMIK-Formel erwartet wird. Insgesamt bekommt man nach (9.177) und (9.178) die C LEBSCH -G ORDANZerlegung (9.168) von Beispiel 2. 

Beispiel 4 In einem weiteren Beispiel wird das Tensorprodukt D ( =(1,1)) ⊗  D( =(1,1)) der einfachen L IE-Algebra A2 (∼ = sl(3, C)) diskutiert. Dabei sind die beiden faktoriellen Höchstgewichtsdarstellungen gleich der adjungierten Darstellung.  Mit λ ∈ P(V ( ) ) (Abb. 9.6),  = (1, 1) und dem W EYL-Vektor ρ = (1, 1) sind in der Menge der Gewichte µ = λ +  + ρ = {(3, 3), (1, 4), (4, 1), (2, 2), (2, 2), (1, 1), (0, 3), (3, 0)} (9.179) die ersten sechs mit positiven DYNKIN -Label dominante Gewichte, die nach (7.310) in der Fundamentalkammer Ce liegen. Für diese Gewichte wird die Bedingung (9.171) genau durch die triviale W EYL-Spiegelung, nämlich die Identität w = e erfüllt. Demnach findet man für  = λ +  die Menge  = {(2, 2), (0, 3), (3, 0), (1, 1), (1, 1), (0, 0)}.

(9.180)

Die Reduktionskoeffizienten (  |) für die irreduziblen Darstellungen mit den ersten vier Gewichten  als höchstem Gewicht errechnen sich nach der K LYMIKFormel (9.175) zu ( )

(  |) = sign e m λ =− = 1 · 1 = 1 für  = {(2, 2), (0, 3), (3, 0), (0, 0)}. (9.181a) Bei der Ermittlung des Reduktionskoeffizient (  | = (1, 1)) muss die zweifache Entartung des Gewichts  berücksichtigt werden, so dass sich nach (9.175) ergibt ( )

(  | = (1, 1)) = sign e m (0,0) = 1 · 2 = 2.

(9.181b)

Die letzten beiden Gewichte µ = {(0, 3), (3, 0)} der Menge (9.179) liegen nach (7.312a) auf einer Kammerwand und sind nach (7.312b) invariant gegenüber einer W EYL-Spiegelung. Demnach gibt es kein W EYL -Gruppenelement w, das die Bedingung (9.171) zu erüllen vermag, so dass auch kein Beitrag in der K LYMIK-Formel erwartet wird. Insgesamt bekomt man nach (9.180) und (9.181) die C LEBSCH -G ORDAN-Zerlegung D(1,1) ⊗ D(1,1) ∼ = D(2,2) ⊕ D(3,0) ⊕ D(0,3) ⊕ 2 D (1,1) ⊕ D(0,0) . Dabei bleibt die Dimension nach Gl. (9.149) erhalten dim D(1,1) dim D(1,1) = 8 · 8 = 64

(9.182)

456

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

bzw. dim D(2,2) + dim D(3,0) + dim D(0,3) + 2dim D (1,1) + dim D(0,1) = 27 + 10 + 10 + 2 · 8 + 1 = 64.





( ⊗ ) nach Gl. (9.146) verlangt eine Die Zerlegung des Tensorprodukts    D  ) ( ) nach Transformation der Produktbasis vλ , p  ⊗ vλ(  , p  λ



( ⊗ =,q)

u λ, pλ



λ



| λ ∈ P(V ( ⊗ ) ), pλ = 1, . . . , m λ , q = 1, . . . , (  |) = m () 





mittels einer regulären Matrix C (  ) (Abschn. 6.5). Diese Reduktion bedeutet eine Diagonalisierung der Produktdarstellung quadratischer, nicht verbundener Darstellungsmatrizen, so dass die Eigenwertgleichung 



(,q)

(,q)

D ( ⊗ ) (h)u λ, pλ = λ(h)u λ, pλ

∀h ∈ H 

(9.183)



erfüllt wird. Die Elemente der Transformationsmatrix C (  ) sind die C LEBSCH G ORDAN-Koeffizienten in der Entwicklung der transformierten Basis nach der Produktbasis (s. a. Gln. 6.138 und 6.149) (,q)

u λ, pλ =



















λ ∈P (V ( ) ), pλ λ ∈P (V ( ) ), pλ

=



) ( ) Cλ pλ λ pλ , λpλ vλ(  , p  ⊗ vλ , p  λ



λ ∈P (V ( ) ), pλ λ ∈P (V ( ) ), pλ

 λ pλ

   λ pλ λ

λ

q pλ



( )

( )

vλ , p  ⊗ vλ , p  . λ

λ

(9.184) Die Summierung erfolgt über alle Gewichte λ und λ der Höchstgewichtsdarstel  lungen D  und D unter Berücksichtigung deren Multiplizitäten m λ und m λ . Wegen der Eigenwertgleichungen (9.142) und (9.183) erwartet man nur dann endliche C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten, falls die Bedingung λ = λ + λ

(9.185)

erfüllt ist (s. a. Gl. 6.156). Zur Ermittlung der C LEBSCH -G ORDAN-Matrix beginnt man mit dem höchsten Gewicht  =  +  der Produktdarstellung (9.146), das stets einfach ist, und erhält als Basisfunktion für die irreduzible Höchstgewichtsdarstellung D() nach Gln. (9.183) und (9.185) (s. a. Gl. 6.159) (= + ,q=1)

u = +

(  |,q=1) ( ) v 1

= C  ,



( ) ⊗ v  1

(  |,q=1)

C  ,

∈ C. (9.186)

9.5

Tensorprodukte

457

Unter der Vorausetzung von orthonormierten Basiselementen verlangt die Normie   (  |,q=1) 2 rung mit C  ,  = 1 einen Phasenfaktor, der üblicherweise – nach der C ONDON -S HORTLEY-Konvention (s. a. 6.161b) – reell und positiv gewählt wird (  |) C  ,

 =

 

   

 = 1.

(9.187) 



Dieser ist ein Element der C LEBSCH -G ORDAN-Matrix C (  ) mit den beiden Zeilenindizes λ =  bzw. λ =  sowie den beiden Spaltenindizes  =  bzw. (= + ) λ = . Alle weiteren Basiselemente u λ, der Höchstgewichtsdarstellung pλ 



D(= + ) erhält man durch wiederholte Anwendung von Absteigeoperatoren auf Gl. (9.186) unter Berücksichtigung von Gl. (6.132b). In einem nächsten Schritt betrachtet man ein höchstes Gewicht  mit  <   ,q  +  . Der Basisvektor u , p der Höchstgewichtsdarstellung D(< + ) in der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung (9.146) des Tensorprodukts ist dann nach Gl. ( ) ( ) (9.184) eine Linearkombination von Produkten der Form vλ , p  ⊗ vλ , p  , wobei die λ λ Bedingung (9.185) eingehalten wird. Nach Anwendung aller Aufsteigeoperatoren   {D ( ⊗ ) (eα(i) )| i = 1, . . . , l} mit der Forderung 



()

D ( ⊗ ) (eα(i) )u < + , p = 0

α (i) ∈ 

(9.188)

lassen sich dann die C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten – bis auf Normierungsfaktoren und willkürliche Phasenfaktoren – ermitteln. Für den Fall, dass eine irreduzible Darstellung D() in der C LEBSCH -G ORDANEntwicklung (9.146) des Tensorprodukts mehrfach vorkommt, ((  |) = m () > 1), wird man eine Anzahl m () verschiedene Linearkombinationen (9.184) ansetzen. Dabei erwartet man wegen der Bedingung (9.188), dass diese linear unabhängig sind. Ein besonderer Fall des Tensorprodukts erwächst aus der Voraussetzung, dass die einzelnen faktoriellen irreduziblen Darstellungen gleich sind (Abschn. 3.10 und 6.5). Man erhält dort eine Aufteilung des Produktraumes in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen invarianten Unterraum, der eine Zerlegung der Produktdarstellung in eine symmetrische bzw. antisymmetrische Komponente der Form (3.243) bzw. (6.140) erlaubt, die ihrerseits reduzierbar sein können. Setzt man weiter voraus, dass die faktorielle Darstellung im Tensorprodukt die adjungierte Darstellung D ad (L) ist, dann gilt für den Fall der kompakten reellen L IEAlgebra L = su(l + 1) bzw. deren Komplexifizierung Al , dass das Tensorprodukt D ad (L) ⊗ D ad (L) = Dad⊗ad (L) in seiner Zerlegung erneut wenigstens zweimal die adjungierte Darstellung Dad (L) enthält, nämlich einmal in der Reduktion der ad⊗ad (L) sowie einmal in der Reduktion der antisymmetrischen Komponente D+ ad⊗ad symmetrischen Komponente D− (L).

458

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren 

¯ ( ) ⊗ D( ) In einem weiteren besonderen Fall wird das Tensorprodukt D  ¯ ( ) und D( ) betrachtet. Auszweier zueinander konjugierter Darstellungen D   gehend von den zugehörigen Basissystemen {v¯i( ) | i = 1, . . . , d } und {vi( ) | i = 1, . . . , d } werden die Elemente der Form wl =



i

( )

( )

Di j (al )v¯ j

( )

⊗ vi

l = 1, . . . , n = dim L

(9.189)

j

untersucht, wobei al der Basis {ak | k = 1, . . . , n} der L IE-Algebra angehört. Die   Anwendung des Operators D ( ⊗ ) (ak ) auf diese Elemente ergibt 



D ( ⊗ ) (ak )wl =

d  d 



i

=

$ # ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ¯ D Di( (a ) (a ) v ¯ ⊗ v + v ¯ ⊗ D (a )v l k j k i j i j

j

d  d  d 



i

j

r



# d  d  d 

=

$ #   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Di j (al ) D¯ r j (ak )v¯r( ) ⊗ vi + Dri (ak )v¯ j ⊗ vr( )

i

j

$  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dir (al ) D¯ jr (ak ) + Dr j (al )Dir (ak ) v¯ j ⊗ vr( ) .

r

Mit Rücksicht auf Gl. (9.48) gelingt dann die Umformung nach 



D ( ⊗ ) (ak )wl =

d d #



i





D ( ) (ak ), D ( ) (al )

j

$

( )

ij

v¯ j

( )

⊗ vi

,

was mit Gl. (5.85) auch ausgedrückt werden kann durch

D

( ⊗ )

(ak )wl =

d  d  n



i

j

( )

( )

f klr Di j (ar )v¯ j

( )

⊗ vi

.

r

Nach Substitution von Gln. (5.84) und (9.189) erhält man schließlich 



D ( ⊗ ) (ak )wl =

n

ad Drl (ak )wr .

(9.190)

r =1

Demnach ist die Menge der Elemente (9.189) {wk | k = 1, . . . , n = dim L} eine Basis der adjungierten Darstellung Dad (L). Als Konsequenz daraus erwartet man  ¯ ( ) ⊗ D( ) einer Darstellung mit deren in der Zerlegung des Tensorprodukts D konjugierten Darstellung stets die adjungierte Darstellung Dad , deren Multiplizität

9.5

Tensorprodukte

459

wenigstens einfach ist (m ad = (¯   | ad) ≥ 1). Der zugehörige C LEBSCH G ORDAN-Koeffizient ist nach (9.189) gegeben durch 

¯  i

 ad, q j l



( )

= cDi j (al ),

(9.191)

wobei c eine Normierungskonstante bedeutet. Beispiel 5 Betrachtet man die einfache L IE-Algebra A1 (∼ = sl(2, C)), dann liefert das Tensorprodukt zwischen zwei irreduziblen Höchstgewichtsdarstellungen   D( ) und D( ) die C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung (9.146). Die Transforma( ,q=1) ( ,q=1) tion der orthonormierten Produktbasis vλ , p  =1 ⊗vλ , p  =1 mithilfe der C LEBSCH 

λ



λ

G ORDAN-Matrix C (  ) nach Gl. (9.184) hat dann die Form (s. a. Gl. 6.149) 

(,q=1) u λ, pλ =1

=







λ =− λ =− 

=



(  |) ( )

Cλ λ , λ vλ

  

 λ  

λ =− λ =−

( )

⊗ vλ

 )   q = 1 ( ) vλ( ⊗ vλ  λ λ

(9.192)

mit | −  | ≤  ≤  + 

und

−  ≤ λ ≤ .

Beginnend mit dem höchsten einfachen Gewicht  =  + erhält man für den     Basisvektor u (= + ) der Höchstgewichtsdarstellung D(= + ) das Produkt (9.186) und den C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizient (9.187). Letzterer ist das erste Element der C LEBSCH -G ORDAN-Matrix, das mit den Werten (λ =  , λ =  ) bzw. ( = , λ = ) für die Zeile bzw. für die Spalte indiziert wird (Tab. 9.3). Nachdem die L IE-Algebra A1 mit rangA1 = l = 1 nur die einzige einfache Wurzel α (1) = α besitzt, gibt es auch nur einen Absteigeoperator D(e−α ), dessen  + ) ( ) ( ) k-fache Anwendung auf den Basisvektor u (= = v ⊗ v die übrigen    (= + ) | k = 1, . . . , 2 der k = 2 der insgesamt (2 + 1) Basiselemente u |−k|

irreduziblen Darstellung D() hervorbringt. Die einmalige Anwendung von D(e−α ) liefert nach Gln. (9.142) und (9.10) mit α = 1 nach der C HEVALLEY-Konvention und der Skalierung (9.56a) (−) ()

(−) ( )

( )

(−) ( )

( )

C0 u −1 = C1 v −1 ⊗ v + C 2 v ⊗ v −1 .

(9.193)

Danach kann die Bedingung (9.185) ( − 1 = λ =  +  ) von den zwei verschiedenen Wertepaaren { − 1,  } und { ,  − 1} erfüllt werden. Die Normierungskonstanten C 0(−) und C 1(−) bzw. C2(−) errechnen sich nach Gl. (5.74) mit

460

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

C (−) =

 ( + λ)( − λ + 1)

(9.194)

und λ =  zu C0(−) = und λ =  bzw. λ =  zu √ (−) C1 = 2

√

2 =



2( +  )

(−)

bzw.

C2

=

√

(9.195a)

2 .

(9.195b)

Der Vergleich mit der Entwicklung (9.192) liefert dann die C LEBSCH -G ORDANKoeffizienten 1 C1(−)  (  |) (9.196a) C λ = −1 λ = ,λ=−1 = (−) =  C 0

(  |) C λ = λ = −1,λ=−1

1

(−)

=

C2

(−)

C0

=

 . 

(9.196b)

Sie bedeuten nach Gl. (9.193) die Skalarprodukte " ! (  |) ( ) ( ) C −1  ,−1 = u () −1 , v −1 ⊗ v

(9.197a)

" ! (  |) () ( ) ( ) C  −1,−1 = u −1 , v ⊗ v −1 .

(9.197b)

In der C LEBSCH -G ORDAN-Matrix sind diese Koeffizienten in einer Spalte, die durch das Wertepaar  und λ =  − 1 indiziert wird. Sie unterscheiden sich durch die Zeilenzugehörigkeit, die durch die Indizes λ =  − 1 und λ =  bzw. λ =  und λ =  − 1 ausgedrückt werden (Tab. 9.3). Betrachtet man das nächste kleinere Gewicht  − 1 =  +  − 1 in der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung (9.146), das als höchstes Gewicht der irreduziblen Darstellung D (−1) gilt, dann kann die Bedingung (9.185) für dieses höchste Gewicht (−1) des Basisvektors u (−1) −1 in der Entwicklung (9.192) ebenfalls durch die zwei Wertepaare {λ =  − 1, λ =  } und {λ =  , λ =  − 1} erfüllt werden. Man erhält so die Linearkombination (  |−1)





(  |−1)





( ) ( ) ( ) ( ) u (−1) −1 = C  −1  ,−1 v −1 ⊗ v + C   −1,−1 v ⊗ v −1

mit den C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten ! " (  |−1) (λ−1) ( ) ( ) C −1  ,−1 = u −1 , v −1 ⊗ v " ! (  |−1) (λ−1) ( ) ( ) C  −1,−1 = u −1 , v ⊗ v −1 .

(9.198a)

(9.198b) (9.198c)

9.5

Tensorprodukte

461

Zur Ermittlung dieser komplexen Konstanten verwendet man die Bedingung (9.188). Die Wirkung des einzigen Aufsteigeopertaors D(+eα ) auf (9.198) ergibt (+)

(  |−1)

( )

( )

(+)

(  |−1)

( )

( )

0 = C 3 C  −1  ,−1 v −1 ⊗ v + C4 C  −1,−1 v ⊗ v −1 . (9.199) Die Normierungskonstanten C3 und C 4 errechnen sich nach Gl. (5.74) mit C (+) =

 ( − λ)( + λ + 1)

(9.200)

und λ =  − 1 bzw λ =  − 1 zu (+)

C3

=

√

2

(+)

bzw.

C4

=

√

2 .

(9.201)

Die Lösung von Gl. (9.199) impliziert dann die Bedingung √ √ (  |−1) (  |−1) 2 C −1  ,−1 = − 2 C   −1,−1 .

(9.202a)

Dieses Ergebnis resultiert auch aus der Forderung nach Orthogonalität von Basisvektoren !

()

(−1)

u −1 , u −1

"

= 0,

die zu verschiedenen irreduziblen Höchstgewichtsdarstellungen D() und D (−1) gehören. Mit Gln. (9.193) und (9.198) erhält man so C1 0=

 ( ) ( ) v −1 ⊗ v + 

1

 ( ) ( ) v ⊗ v −1 , 

" (  |−1) ( ) (  |−1) ( ) ( ) ( ) C −1  ,−1 v + C −1  ,−1 v ⊗ v −1 ,  −1 ⊗ v was die Bedingung (9.202a) notwendig macht. Schließlich resultiert aus der Normierungsbedingung von Gl. (9.198a) " ! (−1) (−1) u −1 , u −1 = 1 die Forderung     (  |−1) 2 (  |−1) 2 C  −1  ,−1 + C  −1,−1 = 1.

(9.202b)

462

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Das Gleichungssystem (9.202) liefert dann die C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten (9.198) zu 1  (  |−1) (9.203a) C −1  ,−1 = −  1  (  |−1) C  −1,−1 = . (9.203b)  



Insgesamt erhält man innerhalb der C LEBSCH -G ORDAN-Matrix C (  ) eine zweidimensionale Blockmatrix, die auf der Diagonale liegt und deshalb nicht mit der eindimensionalen Matrix (9.187) verbunden ist (Tab. 9.3). Dabei wird die Forderung nach Spalten- und Zeilenorthogonalität (6.151) innerhalb der Blockmatrix erfüllt. 







Tabelle 9.3 C LEBSCH -G ORDAN-Matrix C (  ) für das Tensorprodukt D( ⊗ ) zweier   irreduzibler Höchstgewichtsdarstellungen D( ) und D ( ) der einfachen L IE-Algebra A1

λ

λ







 

 −1

1

-0



0

 − 1 .. .

0

−1

 .. .

 λ

 -  

−1 −1

··· ···

-0

− -

   

..

.

Dieses Verfahren kann dann fortgesetzt werden, indem weitere Anwendungen des Absteigeoperators D(e−α ) erfolgen unter Berücksichtigung von Gl. (9.194) bzw. der Orthogonalität von Basisvektoren verschiedener irreduzibler Darstellungen. Im einem nächsten Schritt erwartet man dann eine nicht-verbundene 3× 3-Blockmatrix auf der Diagonale der C LEBSCH -G ORDAN-Matrix. Beispiel 6 Ein weiteres Beispiel ist das Tensorprodukt (9.168) zwischen den ir  reduziblen Höchstgewichtsdarstellungen D ( =(1,0)) und D( =(0,1)) der einfachen L IE-Algebra A2 (∼ = sl(3, C)), die als die beiden fundamentalen Darstellungen bekannt sind. Dabei werden zunächst die C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten der irreduziblen Komponente D(1,1) (= 8) in der Zerlegung (9.168) ermittelt. Beginnt man mit dem höchsten einfachen Gewicht  =  +  = (1, 1) des Gewichtssystems P(V (1,1) ) (9.167) der adjungierten Darstellung D=(1,1) , dann erhält man für den zugehörigen Basisvektor das Produkt (9.186) (=(1,1))

u λ=

( =(1,0))

= vλ =

( =(0,1))

⊗ vλ =

(9.204a)

und den C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizient (9.187)      (1, 0) (0, 1) (1, 1)   q=1 = = 1. λ =  λ =  λ =  (1, 0) (0, 1) (1, 1) (9.204b)

9.5

Tensorprodukte

463

Die L IE-Algebra A2 mit rangA2 = l = 2 hat zwei einfache Wurzeln α (1) und α (2) , so dass auch zwei Absteigeoperatoren D(e−α (1) ) und D(e−α(2) ) zur   Wirkung kommen. Nach Anwendung des Absteigeoperators D ( ⊗ ) (e−α(1) ) auf Gl. (9.204a) erhält man für die linke Seite (Abb. 9.6) 



(−) (=(1,1)) D ( ⊗ ) (e−α(1) )u (=(1,1)) = C0 u −α (1) =α (2) λ=

sowie für die rechte Seite      ( ) ( ) D ( ⊗ ) (e−α (1) ) vλ = ⊗ vλ = 













 )

( ) ( ) ( ) ( = D ( ⊗ ) (e−α(1) )v ⊗ v + v ⊗ D ( ⊗ ) (e−α (1) )v  ( )



(−)

( )

 = C 1 v + v ⊗ 0.  −α (1) =(1,1) ⊗ v 



Die vernichtende Wirkung des Absteigeoperators D ( ⊗ ) (e−α(1) ) auf das Basis

( ) element v ist damit begründet, dass das Gewicht  = (0, 1) zusammen mit  dem Gewicht  − α (2) = (1, −1) einen α (2) -String der Länge Zwei bildet (Abb. 9.4). Die Normierungskonstante C0(−) errechnet sich nach Gl. (9.194). Dabei erhält man wegen des α (1) -Strings mit den Gewichten (1,1) und (−1, 2) und der Länge Zwei (Abb. 9.6) für  = 1 (1) = 1 · 1/2 und λ = 1/2 den Wert C0− = 1. Eine analoge Überlegung gilt für die Ermittlung der Normierungskonstante C1(−) bezüglich eines α (1) -Strings mit den Gewichten (1,0) und (1,1) des Gewichtssystems P(V (1,0) ) (Abb. 9.4) mit dem Ergebnis C1(−) = 1. Insgesamt bekommt man dann 

( ) ( u () = v −α(1) ⊗ v −α (1) =α (2)

 )

(9.205a)

mit dem C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizient        (1, 0) (0, 1) (1, 1) = = 1. (−1, 1) (0, 1) (1, 2) λ =  − α (1) λ =  λ =  − α (1) (9.205b)  ⊗ ) ( (e−α(2) ) auf (9.204a) Nach Anwendung des zweiten Absteigeoperators D erhält man für die linke Seite (Abb. 9.6) 



(−) (=(1,1)) D ( ⊗ ) (e−α(2) )u (=(1,1)) = C2 u −α (2) =α (1) λ=

sowie für die rechte Seite      ( ) ( ) D ( ⊗ ) (e−α (2) ) vλ = ⊗ vλ = 



( )

( )

( )





( )

= D ( ⊗ ) (e−α(2) )v ⊗ v + v ⊗ D ( ⊗ ) (e−α (1) )v 





( ) ( ) ( ) = 0 ⊗ v + C3(−) v ⊗ v    −α (2) =(1,−1) .

464

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren 



Dabei kann die vernichtende Wirkung des Absteigeoperators D ( ⊗ ) (e−α (2) ) ( )

auf das Basiselement v analog zum obigen Fall des Absteigeoperators   D ( ⊗ ) (e−α(1) ) wieder damit begründet werden, dass das Gewicht  = (1, 0) zusammen mit dem Gewicht  − α (1) = (−1, 1) einen α (1) -String der Länge Zwei bildet (Abb. 9.4). Die Normierungskonstanten C2(−) und C3(−) errechnen sich wieder nach analogen Überlegungen wie oben unter Berücksichtigung eines Wurzelstrings (−) (−) der Länge Zwei nach Gl. (9.194) mit dem Ergebnis C2 = C3 = 1. Insgesamt erhält man 



( ) ( ) = v ⊗ v u ()   −α (2) −α (2) =α (1)

(9.206a)

mit dem C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizient         (1, 0) (0, 1) (1, 1) = = 1. (9.206b) (1, 0) (1, −1) (2, −1)   − α (2) λ =  − α (2) 



Eine weitere Anwendung des Absteigeoperators D ( ⊗ ) (e−α (2) ) auf Gl. (9.205a) ergibt für die linke Seite 



(−) () D ( ⊗ ) (e−α(2) )u ()) = C4 u −α(1) −α(2) =(0.0) λ=−α (1)

sowie für die rechte Seite

     ( ) ( ) D ( ⊗ ) (e−α(2) ) v = ⊗ v   −α (1)  







( ) ( ) ( ) ( ) + C 5(−) v C5(−) v  −α (1) −α (2) ⊗ v  −α (1) ⊗ v −α (2) .

Die Normierungskonstante C4(−) errechnet sich bezüglich eines α (2) -Strings der Länge Drei (Abb. 9.6). Ausgehend vom höchsten Gewicht  +  − α (1) = α (2) = (−1, 2), erhält man nach Gl. (9.194) mit  = 1 (1) = 2·1/2 = 1 und λ =  = 1 √ den Wert C 4(−) = 2. Die Normierungskonstante C5(−) errechnet sich bezüglich eines α (2) -Strings der Länge Zwei mit den Gewichten (−1, 1) und (0, −1) (Abb. (−) 9.4) zu C5 = 1. Insgesamt erhält man 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) u () = √ v −α(1) −α(2) ⊗ v + √ v −α(1) ⊗ v −α(2) (9.207a) −α (1) −α (2) =(0,0) 2 2 mit den C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten       − α (1) − α (2)  0 p = 1   1    = =√ .  (1)  (2)  −α 0 p = 1  −α 2

(9.207b)

In analoger Vorgehensweise können dann alle weiteren C LEBSCH -G ORDANKoeffizienten ermittelt werden.

9.5

Tensorprodukte

465

Bei der Ermittlung der C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten der irreduziblen Darstellung D (0,0) (= 1) in der Zerlegung (9.168) wird die Bedingung (9.185) λ = λ + λ mit λ =  = (0, 0) von drei verschiedenen Wertepaaren {λ , λ } erfült. Demnach gilt nach Gl. (9.183) für den Basisvektor der Höchstgewichtsdarstellung D (=(0,0))      0 (=(0,0),q=1) ( ) ( ) u = v ⊗ v −α(2) −α(1)   (2) (1)   −α −α 0     0 ( ) ( ) + v −α (1) ⊗ v −α(2) (9.208)  (1)  (2)  −α 0  −α     0 ( ) ( ) + v −α (1) −α(2) ⊗ v .  (1) (2)   0  −α −α Die Bestimmung der C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten gelingt dann mit Gl.   (9.188). Nach Anwendung des Aufsteigeoperators D ( ⊗ ) (e+α(1) ) bzw.   D ( ⊗ ) (e+α(2) ) bekommt man     0 (+)  ( ) ( ) 0 = C1 v ⊗ v −α(2)   (2) (1)   −α −α 0 (9.209a)     0 (+) ( ) ( ) + C1 ⊗ v v  −α (2)  − α (1)  − α (2) 0  bzw.



   0 ( ) ( ) ⊗ v v 0=  − α (1)  − α (2) 0  −α(1)     0 (+) ( ) ( ) + C2 v −α (1) ⊗ v .  (1) (2)   0  −α −α (+) C2

(9.209b)

Die Normierungskonstanten C1(+) und C2(+) errechnen sich bezüglich eines α (1) bzw. α (2) -Strings der Länge Zwei nach Gl. (9.194) mit  = 1/2 und λ = 1/2 (+) (+) zu C1 = C2 = 1. Die Gln. (9.209) liefern dann für die C LEBSCH -G ORDANKoeffizienten die Bedingung 

 

 0   − α (2) − α (1) 0



   0  =−  − α (1)  − α (2) 0     0 = .  − α (1) − α (2)  0

  (=0)   = 1 und unter BeMit der Normierung des Basisvektors (9.208) u  rücksichtigung von reellen und positiven Phasenfaktoren (C ONDON -S HORTLEYKonvention) √ erhält man schließlich für die C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizienten die Werte ±1/ 3.

466

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

9.6 YOUNG-Tableaux Bei der Ermittlung der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung von n-fachen Tensorprodukten bezüglich einfacher L IE-Algebren ist die Kenntnis der diskreten symmetrischen Gruppe (Permutationsgruppe) Sn eine wertvolle Hilfe (s. a. Beispiel 4 v. Abschn. 2.1). Eine Erklärung dafür liefert der enge Zusammenhang zwischen den Darstellungen der L IE-Algebra und denen der Gruppe Sn . Ein spezieller Fall ist bereits in Abschn. 3.10 und 6.5 vorgestellt worden. Dort wird das zweifache Tensorprodukt zweier irreduzibler Darstellungen betrachtet, die auf dem gleichen Vektorraum V (α) erklärt sind. Die Symmetrisierung bzw. Antisymmetrisierung der Produktbasis erlaubt eine Zerlegung des Produktraumes V (α⊗α) in einen symmetrischen und antisymmetrischen Unterraum, was eine entsprechende Zerlegung der Produktdarstellung nach Gl. (3.243) bzw. (6.140) zur Folge hat. Dabei kann sowohl die symmetrische Darstellung D+ wie die antisymmetrische Darstellung D− möglicherweise noch in irreduzible Darstellungen der betrachteten L IE-Algebra reduziert werden. Betrachtet man etwa die einfache L IE-Algebra Al (∼ = sl(l + 1, C)), dann findet man für deren (l + 1)-dimensionale Fundamentaldarstellung D(1,0,...,0) mit dem Höchstgewichtsvektor  = (1 = 1, 2 = 0, . . . l = 0) die (l +1) Basisvektoren ()

()

()

v1 ≡ v , v2 ≡ v−α(1) , . . . , vl+1 ≡ v−α(1) −...−α(l) als Eigenvektoren zu den Gewichten P(V () ) = {,  − α (1) , . . . ,  − α (1) − . . . − α (l) }. Das Tensorprodukt zwischen zwei Fundamentaldarstellungen D(1,0,...,0) mit der Dimension (l + 1)(l + 1) besitzt dann die Produktbasis {u k1 k2 = vk1 ⊗ vk2 | k1 , k2 = 1, . . . , l + 1}. Diese Basistensoren 2-ter Stufe setzen sich aus den getrennten Basissystemen, nämlich den beiden (l + 1)-komponentigen Basistensoren 1-ter Stufe {vki | ki = 1, . . . , l + 1; i = 1, 2} zusammen, die als die zwei Objekte der symmetrischen Gruppe S2 aufgefasst werden. Die umfasst neben dem Einselemnt e   Gruppe die Vertauschung (Transposition) p = 12 21 und ist isomorph zur Punktgruppe Cs bzw. Ci (Tab. 3.3b). Sie besitzt deshalb die gleiche Charaktertafel (Abb. 9.9). Die Anwendung der Operatoren e und p auf die Produktbasis e(vk1 ⊗ vk2 ) = vk1 ⊗ vk2 = u k1 k2 p(vk1 ⊗ vk2 ) = vk p(1) ⊗ vk p(2) = u k2 k1

(9.210a) (9.210b)

liefert die Basis {u k1 k2 , u k2 k1 } für eine 2-dimensionale Darstellung der symmetrischen Gruppe S2  D(e) =

1 0 0 1



 D( p) =

0 1

 1 . 0

9.6

YOUNG-Tableaux

467

Abb. 9.9 Punktsymmetrie Cs – bzw. C i , C2 – zweier identischer Objekte 1 und 2 im euklidischen Raum R2 mit dem Einselement e und der Spiegelung σv an einer Ebene senkrecht zur Ebene R2 – bzw. Inversion i – als Symmetrieelemente

Nach Diagonalisierung mittels einer unitären Basistransformation (Beispiel 1 v. Abschn. 3.2) D(d) (e) =



1 0 0 1



D(d) ( p) =



1 0 0 −1

 (9.211)

gelingt eine Reduktion in zwei irreduzible Darstellungen. Dies bedeutet eine Symmetrisierung und Antisymmetrisierung der Produktbasis. Im ersten Fall erhält man mit der Linearkombination (+)

u k1 k2 = {vk1 ⊗ vk2 + vk2 ⊗ vk1 },

(9.212)

die der Forderung nach Invarianz gegenüber der Transposition p genügt (+)

(+)

p u k1 k2 = u k1 k2 ,

(9.213)

eine Basis für die symmetrische, eindimensionale (triviale) Darstellung D+ (S2 ). Im zweiten Fall erhält man mit der Linearkombination u k(−) = {vk1 ⊗ vk2 − vk2 ⊗ vk1 }, 1 k2

(9.214)

eine Basis für die antisymmetrische Darstellung D− (S2 ), die der Forderung nach Antisymmetrie genügt (−)

(−)

p u k1 k2 = −u k1 k2 .

(9.215)

Eine andere Methode zur Ermittlung der Basisvektoren der beiden irreduziblen Darstellungen D + (S2 ) und D− (S2 ) basiert auf der Anwendung von Projektionsoperatoren (Abschn. 3.9). Ausgehend von einem Produktvektor vk1 ⊗vk2 erhält man durch Anwendung des Projektionsoperators (3.169) bzw. des Charakterprojektionsoperators (3.179) und unter Verwendung der für die Gruppe S2 gültigen Charaktertafel der Punktgruppe Cs – bzw. Ci , C 2 – (Tab. 3.3b) die Projektionen

468

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

P (+) (vk1 ⊗ vk2 ) =

1 1 1 (+) (D(e) + D( p))vk1 ⊗ vk2 = (vk1 ⊗ vk2 + vk2 ⊗ vk1 ) = u k1 k2 2 2 2

und P (−) (vk1 ⊗ vk2 ) =

1 1 1 (−) (D(e) − D( p))vk1 ⊗ vk2 = (vk1 ⊗ vk2 − vk2 ⊗ vk1 ) = u k1 k2 . 2 2 2

Diese stimmen mit den Basiselementen (9.212) und (9.214) – bis auf einen konstanten Faktor – überein. Die hintereinander ausgeführte Anwendung der Operatoren D( p) und {D(a)| a ∈ Al } auf die Produktbasis ergibt mit Gl. (9.141) D( p)D(a)u k1 k2 = D( p)D(a)(vk1 ⊗ vk2 ) = D( p)(D(a)vk1 ⊗ vk2 + vk1 ⊗ D(a)vk2 ) = D( p)

l+1

(D jk1 (a)v j ⊗ vk2 + D jk2 (a)vk1 ⊗ v j )

j=1

=

l+1

(D jk1 (a)vk2 ⊗ v j + D jk2 (a)v j ⊗ vk1

j=1

= D(a)(vk2 ⊗ vk1 ) = D(a)D( p)(vk1 ⊗ vk2 ) = D(a)D( p)u k1 k2 , wonach die beiden Operatoren vertauschbar sind. Als Konsequenz daraus ist auch (−) D(a)u k(+) bzw. D(a)u k1 k2 ein Basisvektor der symmetrischen bzw. antisymme1 k2 trischen Darstellung D+ (S2 ) und D− (S2 ). Im Falle der symmetrischen Darstellung findet man nach (3.240) insgesamt 12 (l+1)(l+2) linear unabhängige Kombinationen (+) k1 k2 und mithin Produktvektoren u k1 k2 , die der Invarianzforderung (9.213) genügen und sich deshalb nach der symmetrischen Darstellung transformieren. Diese bilden dann eine Basis zu einer Darstellung D+ (Al ) der L IE-Algebra Al mit der Dimension dim D+ (Al ) =

1 (l + 1)(l + 2). 2

(9.216)

Im Falle der antisymmetrischen Darstellung D− (S2 ) findet man nach (3.241) insgesamt 12 l(l + 1) linear unabhängige Kombinationen k1 k2 und mithin Produktvekto(−) ren u k1 k2 , die der Antisymmetrieforderung (9.215) genügen und sich deshalb nach der antisymmetrischen Darstellung transformieren. Diese bilden dann die Basis zu einer Darstellung D − (Al ) der L IE-Algebra Al mit der Dimension dim D − (Al ) =

1 l(l + 1). 2

(9.217)

Nach Gln. (9.212) und (9.214) erhält man für die Produktbasis u k 1 k 2 = vk 1 ⊗ v k 2 =

1 (+) 1 (−) u + u 2 k1 k2 2 k 1 k 2

(9.218a)

9.6

YOUNG-Tableaux

469

und es gilt für die Produktdarstellung D⊗2 (Al ) mit der Dimension (d Al )2 = (l +1)2 die Zerlegung in irreduzible Komponenten D ⊗2 (Al ) = D+ (Al ) ⊕ D− (Al ).

(9.218b)

Der Produktraum V (1,0,...,0) ⊗ V (1,0,...,0) ist dann auch ein Darstellungsraum für die symmetrische Gruppe S2 . Die DYNKIN-Label des höchsten Gewichts, das mit der symmetrischen Produkt(9.212) verknüpft ist, erhält man mit k1 = k2 = 1 und basis u k(+) 1 k2  =  +  = 1(1) + 0(2) + . . . + 0(l) + 1(1) + 0(2) + . . . + 0(l) = 2(1) zu 1 = 2

und

2 = 3 = . . . = l = 0.

Danach gilt für die symmetrische Produktdarstellung die Isomorphie ( D(1,0,...,0) ⊗ D(1,0,...,0) )+ ∼ = D(2,0,...,0) .

(9.219)

Die DYNKIN-Label des höchsten Gewichts, das mit der antisymmetrischen Pro(9.214) verknüpft ist, erhält man mit k1 = 1, k2 = 2 und duktbasis u k(−) 1 k2  =  + ( − α (1) ) sowie mit Gl. (9.23b) und der C ARTAN-Matrix A(Al ) (s. Anhang)  = 1(1) + 0(2) + . . . + 0(l) −

l

A j1 ( j)

j=1

= 2(1) − 2(1) + 1(2) + 0(3) + . . . + 0(l) = 1(2) zu 2 = 1

und

1 = 3 = . . . = l = 0.

Danach gilt für die antisymmetrische Produktdarstellung die Isomorphie ( D(1,0,...,0) ⊗ D(1,0,...,0) )− ∼ = D(0,1,0,...,0) .

(9.220)

Beispiel 1 Im speziellen Fall des zweifachen Tensorprodukts mit der Fundamental1 darstellung D( =1) der L IE-Algebra A1 (∼ = sl(2, C) erhält man mit den zwei (= (l + 1) = (1 + 1)) Basisvektoren

470

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren ()

v1 ≡ v=1 

()

(1)

= v1/2

()

()

v2 ≡ v−α (1) = v−1/2

und

(9.221)

 insgesamt 4 (= (l + 1)(l + 1)) Produktvektoren u k1 k2 = vk1 ⊗ vk2 | k1 , k2 = 1, 2 als Basis der reduziblen Produktdarstellung D(S2 ). Eine Realisierung der Basisvektoren (9.221) geschieht etwa durch die beiden Zustände (Dublett) eines F ERMITeilchens mit der Spinquantenzahl 1/2 im zweidimensionalen Darstellungsraum. Das Tensorprodukt D (1) ⊗ D(1) bedeutet dann die Kopplung von solchen F ERMITeilchen bzw. von deren H ILBERT-Räume.   Die Symmetrisierung liefert nach Gl. (9.212) die 3 = 12 (l + 1)(l + 2) symmetrischen Produktvektoren ( )

(+)

( )

( )

( )

u 11 = v1

⊗ v1

+ v1

⊗ v1

(9.222a)

(+) = v1 u 12

⊗ v2

+ v2

⊗ v1

(9.222b)

( )

(+) u 22

=

 v2( )

( )

 ⊗ v2( )

( )

 + v2( )

( )

 ⊗ v2( ) .

(9.222c)

Diese bilden die Basis für die 3-dimensionale symmetrische irreduzible Produktdarstellung D + D+ (e) = 13

D + ( p) = 13 . (+)

Das höchste Gewicht  ist mit dem symmetrischen Basisvektor u 11 verknüpft und hat wegen  =  +  = 1(1) + 1(1) = 2(1) das DYNKIN-Label 1 = 2. Danach gilt für die symmetrische Produktdarstellung – in Übereinstimmung mit (9.216) – die Isomorphie ( D (1) ⊗ D(1) )+ ∼ = D (2) .

(9.223)

Im Fall der Spin-1/2-Teilchen wird so der Triplett-Zustand repräsentiert. Die Antisymmetrisierung liefert nach Gl. (9.214) nur einen antisymmetrischen Produktvektor (−)

( )

u 12 = v1

( )

⊗ v2

( )

− v2

( )

⊗ v1

.

(9.224)

Dieser ist Basisvektor der antisymmetrischen Produktdarstellung D− D − (e) = 1

D− ( p) = −1,

deren Dimension nach Gl. (9.217) den Wert Eins hat. Das höchste Gewicht , das mit dem Produktvektor (9.224) verknüpft ist, hat wegen

9.6

YOUNG-Tableaux

471

 =  + ( − α (1) ) = 1(1) + 1(1) − α (1)

= 2(1) − A j1  j = 2(1) − 2(1) = 0 das DYNKIN-Label 1 = 0. Danach gilt für die antisymmetrische Produktdarstellung – in Übereinstimmung mit (9.217) – die Isomorphie ( D(1) ⊗ D(1) )− ∼ = D (0) .

(9.225)

Im Fall der Spin-1/2-Teilchen wird so der Singulett-Zustand repräsentiert. Insgesamt findet man dann mit Gl. (9.223) die C LEBSCH -G ORDAN-Zerlegung des Tensorprodukts   D( =1) ⊗ D( =1) ∼ = D(=0) ⊕ D(=2) ,

(9.226)

was mit Gl. (9.163) übereinstimmt. Eine Verallgemeinerung verlangt die Diskussion des n-fachen Tensorproduktes D ⊗n (L) einer einfachen L IE-Algebra L. Die Basis des zugehörigen unitären Tensorraumes V ⊗n ergibt sich mit der Basis des Darstellungsraumes V, nämlich den Basistensoren 1-ter Stufe {vk | k = 1, . . . , dim V = d} – bzw. d-komponentigen Basisvektoren – zur Produktbasis, nämlich den d n Tensoren n-ter Stufe u k1 ,k2 ,...,kn = vk1 ⊗ vk2 ⊗ . . . ⊗ vkn

ki = 1, . . . , dim V = d.

(9.227)

Diese Tensordarstellung D ⊗n (L) ist im Allgemeinen reduzibel, was durch die Zerlegung in Tensoren mit besonderer Symmetrie gelingt. Mit einem beliebigen Element p (2.32b) der symmetrischen Gruppe Sn kann man einen Operator D( p) festlegen, der auf den Produktvektor (9.227) wirkt D( p)(u k1 ,k2 ,...,kn ) = u k p(1) ,...,k p(n) = vk p(1) ⊗ . . . ⊗ vk p(n) ki = 1, . . . , dim V = d

p ∈ Sn .

(9.228)

Diese Abbildung bedeutet eine lineare Selbstabbildung des Tensorraumes V ⊗n , so dass dieser auch als Darstellungsraum der symmetrischen Gruppe Sn aufgefasst werden kann. Die Basis der zugehörigen Darstellung D(Sn ) besteht aus d n Produkten der Form (9.227). Eine Reduktion in irreduzible Darstellungen D (α) (Sn ) gelingt dann – analog zum speziellen Fall der Gruppe S2 – durch eine Basistransformation mit dem Ergebnis von geeigneten Linearkombinationen der Produktbasis (9.227). Dabei können total symmetrische, total antisymmetrische sowie gemischt symmetrische Formen auftreten. Diese bilden dann die symmetrieangepassten Basissysteme der irreduziblen Darstellungen D(α) (Sn ). Eine geeignete Methode, um dieses Ziel zu erreichen, verwendet die Technik der Projektionsoperatoren. Bleibt hervorzuheben, dass die total symmetrische Darstellung ( D + ( p) = +1) und die total antisymmetrische Darstellung ( D− ( p) = sign p = (−1)| p| –

472

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

s. u.) genau einmal vorkommen und eindimensional sind. Nachdem die Operatoren D( p) der Gruppe Sn mit jenen Operatoren D(a) der L IE-Algebra L vertauschen, bekommt man mit den irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe auch Darstellungen der L IE-Algebra L. Demnach kann man für die L IE-Algebra L eine Basis wählen, die auch eine Basis für eine irreduzible Darstellung der symmetrischen Gruppe ist. Das bedeutet, dass der Tensorraum V ⊗n in invariante Unterräume bezüglich L zerlegt werden kann. Im besonderen Fall der L IE-Algebra Al sind die so gewonnenen Unterräume bzw. Darstellungen auch irreduzibel. Betrachtet man etwa das n-fache Tensorprodukt mit der fundamentalen Darstellung D (1,0,...,0) zur L IE-Algebra Al als Faktoren, dann bekommt man wegen (9.228) mit den (l + 1)n = dim V ⊗n Basistensoren n-ter Stufe – bzw. (l + 1)n komponentigen Basisvektoren (Beispiel 2 v. Abschn. 3.10) – der Form (9.227) eine Darstellung D(Sn ) der symmetrischen Gruppe Sn , die in irreduzible Komponenten D (α) (Sn ) zerlegt werden kann. Die dα (= dim D(α) ) Basisvektoren – bzw. Basistensoren – einer solchen irreduziblen Darstellung D (α) sind lineare Kombinationen von Tensorprodukten der Form (9.227). Man erhält diese symmetrieangepasste Basis etwa durch die Anwendung von Projektionsoperatoren. Setzt man voraus, A dass insgesamt dα l linear unabhängige Vektoren mithilfe der (l + 1)n Produkte (9.227) konstruiert werden können, die sich nach der i-ten Spalte der irreduziblen Darstellung D(α) (Sn ) transformieren, dann gibt es für jede Spalte i = 1, . . . , dα A (α) A solche dα l linear unabhängigen Tensorelemente wi j | j = 1, . . . , dα l . Wegen der Vertauschbarkeit der Operatoren {D( p)| p ∈ Sn } und {D(a)| a ∈ Al } ist auch   Al D(a)wi j | j = 1, . . . , dα ein Basisvektor – bzw. Basistensor – der i-ten Spalte Al von D(α) (Sn ), so dass  i = 1, . . . , dα die dα linear un für jeden festen Wert (α) A A abhängigen Vektoren wi j | j = 1, . . . , dα l eine Basis für eine dα l -dimensionale

irreduzible Darstellung D(α) (Al ) der L IE-Algebra Al liefern. Auf diesem Weg kann jede irreduzible Darstellung der L IE-Algebra Al gewonnen werden. Beispiel 2 Im speziellen Fall des dreifachen Tensorprodukts D (1) ⊗ D(1) ⊗ D(1) , 1 dessen Faktoren alle die Fundamentaldarstellung D ( =1) der L IE-Algebra A1 (∼ = sl(2, C)) bilden, erhält man mit den zwei Basisvektoren (9.221) insgesamt 8 (= (l + 1)n ; l = 1, n = 3) Produktvektoren – bzw. Tensoren 3-ter Stufe – u k1 k2 k3 = vk1 ⊗ vk2 ⊗ vk3

k1 , k2 , k3 = 1, 2.

(9.229)

Letztere bilden die Basis für eine 8-dimensionale reduzible Darstellung D(S3 ) der symmetrischen Gruppe S3 . Die Reduktion liefert dann irreduzible Darstellungen D(α) (S3 ), deren Basissysteme eine total symmetrische, eine total antisymmetrische sowie gemischte Formen zeigen. Die Suche nach diesen Basissystemen wird durch die Isomorphie der symmetrischen Gruppe S3 zur Punktgruppe C 3v – bzw. D3 – erleichtert. Letztere beschreibt die Symmetrie eines gleichseitigen Dreiecks  und besitzt als Elemente außer dem Einselement e zwei 3-zählige Rotationen c3 , c32

9.6

YOUNG-Tableaux

473

 um eine Achse senkrecht zur Ebene R2 sowie drei Spiegelungen σv , σv , σv an Ebenen senkrecht zur Ebene R2 (Abb. 9.10). Mit den Elementen { pi | i = 1, . . . , 6} der symmetrischen Gruppe S3 findet man die äquivalenten Operationen  p1 =  p4 =

1 1

2 2

3 3

1 2

2 1

3 3

 

∼ =e ∼ = σv

 p2 = p5 =

1 3 

2 1 1 3

3 2 2 2

  1 2 3 ∼ 2 ∼ p = c = 3 = c3 3 2 3 1    3 ∼  1 2 3 ∼  p = σ = v = σv . 6 1 1 3 2 (9.230) 

Dabei sind die Eckpunkte des Dreiecks äquivalent zu den Objekten der symmetrischen Gruppe. Eine vollständige Symmetrisierung der Produktbasis (9.229) bezüglich aller Permutationen der symmetrischen Gruppe S3 gelingt durch die Linearkombination (+)

u k1 k2 k3 = 123 + 231 + 312 + 213 + 321 + 132

u ki k j kr :≡ i jr.

(9.231)

2 Abb. 9.10 Punktsymmetrie C 3v eines gleichseitigen Dreiecks im euklidischen  Raum R mit dem  Einselement e, zwei 3-zähligen Rotationen c3 , c32 sowie drei Spiegelungen σv , σv , σv als Symmetrieelemente

Es ist die Basis der trivialen eindimensionalen symmetrischen Darstellung D+ (S3 ) = 1. Man erhält diesen symmetrieangepassten Basisvektor – bis auf einen konstanten Faktor – auch mithilfe des Projektionsoperators bzw. Charakter(+) (+) projektionsoperators Pkl = Pll = P (+) (3.169), der äquivalent ist zum Projek(A ) tionsoperator P 1 bezüglich der trivialen Darstellung D A1 der Punktgruppe C 3v (Tab. 9.4)

P (+) =

1

D( pk ). 6 6

k=1

(9.232)

474

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Seine Anwendung auf den Produktvektor (9.229) liefert dann P (+) u k1 k2 k3 =

1 (+) u . 6 k1 k2 k3

(9.233)

Eine vollständige Antisymmetrisierung der Produkbasis (9.229) bezüglich der Vertauschung zweier Faktoren gelingt durch die Linearkombination (−)

u k1 k2 k3 = 123 + 231 + 312 − 213 − 321 − 132

u ki k j kr :≡ i jr.

(9.234)

Es ist die Basis der eindimensionalen antisymmetrischen Darstellung D− (S3 ) = sign p. Dabei bedeutet das Vorzeichen sign p die Parität der Permutation p (s. u.). Man erhält diesen symmetrieangepassten Basisvektor – bis auf einen konstanten Faktor – auch mithilfe des Projektionsoperators bzw. Charakterprojektionsoperators (−) (−) Pkl = Pll = P (−) (3.169), der äquivalent ist zum Projektionsoperator P (A2 ) bezüglich der trivialen Darstellung D A2 der Punktgruppe C3v (Tab. 9.4)

P

(+)

  3 6

1

= D( pk ) − D( pk ) . 6 k=1

(9.235)

k=4

Seine Anwendung auf den Produktvektor (9.229) liefert dann P (+) u k1 k2 k3 =

1 (−) . u 6 k1 k2 k3

(9.236)

der Produktbasis erreicht man durch Eine gemischt symmetrische Form u k(±) 1 k2 k3 die Linearkombination u k(±,1) = 123 + 213 − 321 − 312 1 k2 k3

u ki k j kr :≡ i jr.

(9.237)

Sie bedeutet zunächst eine Symmetrisierung bezüglich der Vertauschung des 1. und 2. Faktors sowie nachfolgend eine Antisymmetrisierung bezüglich einer Vertauschung des 1. und 3. Faktors. Analog dazu erhält man nach Umkehrung der Reihenfolge von Symmetrisierung und Antisymmetrisierung bezüglich der Vertauschungen eine weitere gemischt symmetrische Form = 123 + 321 − 213 − 231 u k(±,2) 1 k2 k3

u ki k j kr :≡ i jr.

(9.238)

  (±,1) (±,2) Beide Formen bilden zusammen die symmetrieangepasste Basis u k1 k2 k3 , u k1 k2 k3 einer zweidimensionalen irreduziblen Darstellung D± (S3 ) der symmetrischen Gruppe S3 . Insgesamt ergibt sich für die Produktbasis (9.229) des Tensorraumes die Zerlegung in symmetrieangepasste Basissysteme

9.6

YOUNG-Tableaux

u k1 k2 k3 =

475

1 (+) 1 (−) 1 (±,1) 1 (±,2) u k1 k2 k3 + u k1 k2 k3 + u k 1 k2 k3 + u k1 k2 k3 . 6 6 3 3

(9.239)

(9.231) findet man mit den zwei BasisIm Fall der symmetrischen Form u k(+) 1 k2 k3 vektoren (9.221) wegen der Forderung k ≤ i   k j an die Werte {ki , k j = 1, 2} insgesamt 4 =

1 3! (l

+ 1)(l + 2)(l + 3); l = 1 linear unabhängige Produktvektoren

    (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) u 111 , u 112 , u 122 , u 222 = w11 , w12 , w13 , w14 = w(+) .

(9.240)

Diese bilden die Basis für eine symmetrische irreduzible Produktdarstellung D+ (A1 ) der L IE-Algebra A1 mit der Dimension dim D+ (A1 ) = d+A1 = 4. Das (+) höchste Gewicht  ist mit dem Basisvektor u 111 verknüpft und hat wegen des dreifachen Tensorprodukts nach  =  +  +  = 1(1) + 1(1) + 1(1) = 3(1) das DYNKIN-Label 1 = 3. Somit gilt für die total symmetrische Produktdarstellung die Isomorphie ( D(1) ⊗ D(1) ⊗ D(1) )+ ∼ = D(3) .

(9.241)

Alle vier Basisvektoren (9.240) transformieren sich nach der ersten (i = 1) – und einzigen – Spalte der eindimensionalen (dα = d+ = 1) symmetrischen irreduziblen Darstellung D+ (S3 ) (≡ 1) der symmetrischen Gruppe S3 . Im antisymmetrischen Fall können wegen der Forderung ki < k j an die Werte {ki , k j = 1, 2} keine linear unabhängige Vektoren der  Form (9.234) mithilfe der

acht möglichen Produktvektoren gefunden werden d−A1 = 0 . Demnach gibt es keine Basis für eine eindimensionale total antisymmetrische Produktdarstellung D− (A1 ). Im gemischt symmetrischen Fall findet man zwei linear unabhängige Vektoren der Form (9.237) 

(±,1)

(±,1)

u 112 , u 221



 ± ± = w11 , w12 = w± 1

(9.242a)

sowie zwei linear unabhängige Vektoren der Form (9.238)    (±,2) (±,2) ± ± = w± u 121 = w21 , u 212 , w22 2.

(9.242b)

  A Beide Systeme von 2 = d± 1 Vektoren liefern jeweils eine Basis für eine zweidimensionale irreduzible Produkdarstellung D± (A1 ) der L IE-Algebra A1 . Das (±,1) höchste Gewicht, das im ersten System mit dem Basisvektor u 112 bzw. im zweiten

476

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren (±,2)

System mit dem Basisvektor u 121 verbunden ist, hat in beiden Systemen den gleichen Wert. Es errechnet sich etwa im ersten System mit k1 = 1, k2 = 1 und k3 = 2 zu  =  +  +  = 1(1) + 1(1) + 1(1) − α (1) = 2(1) − 1(1) = 1(1) und hat das DYNKIN -Label 1 = 1. Somit gilt für die gemischt symmetrische Produktdarstellung bezüglich jedes der Basissysteme (9.242a) und (9.242b) die Iso1 morphie zur Darstellung D ( =1) (A1 ) und man erhält insgesamt die Isomorphie ( D(1) ⊗ D(1) ⊗ D(1) )± ∼ = 2 D(1) .

(9.243)

Tabelle 9.4 Charaktere von irreduziblen Matrixdarstellungen D A1 , D A2 und D E (Symbolik n. M ULLIKAN) der endlichen Punktgruppe C3v (s. a. Tab. 3.2)   σv , σv , σv C3v e c3 , c32 Basis D A1 D A2 DE

1 1 2

1 1 −1

1 −1 0

z, z 2 Rz x, y; Rx , R y

Aufgrund der Isomorphie der symmetrischen Gruppe S3 zur Punktgruppe C 3v kann man mithilfe der Charaktere der zweidimensionalen Darstellung D E (Tab. 9.4) einen Projektionsoperator (3.179) festlegen 2 2 P (±) ∼ = (2D( p1 ) − D( p2 ) − D( p3 )). = P (E) = (2D(e) − D(c3 ) − D(c32 )) ∼ 6 6 (9.244) Die Anwendung auf die gemischt symmetrischen Formen (9.237) und (9.238) liefert eine Eigenwertgleichung (±,1)

(±,1)

P (±) u k1 k2 k3 = u k1 k2 k3

(±,2)

(±,2)

P (±) u k1 k2 k3 = u k1 k2 k3

mit dem Eigenwert Eins. Danach sind diese gemischt symmetrischen Basisvektoren (±,2) u k(±,1) und u k1 k2 k3 Linearkombinationen der Basis von jener zweidimensionalen 1 k2 k3 (dα = d± ) Darstellung D± (S3 ), die dem Projektionsoperator P (±) (9.244) zugrunde liegt. DieMatrixdarstellung D ± (S3 ) kann so gewählt werden, dass die ± beiden d±A1 = 2 Elemente (9.242) w± 1 bzw. w 2 sich nach der ersten Spalte (i = 1) bzw. der zweiten Spalte (i = 2) transformieren. Dabei ist diese Darstellung D± (S3 ) nicht notwendig unitär. So erhält man etwa für die Permutation p4 von (9.230) gemäß (±,1)

(±,1)

(±,2)

D( p4 )u 112 = D( p4 )(2 · 112 − 2 · 211) = 2 · 112 − 2 · 211 = u 112 − u 121 und

9.6

YOUNG-Tableaux

477

(±,2)

(±,2)

D( p4 )u 121 = D( p4 )(2 · 121 − 2 · 211) = 2 · 211 − 2 · 121 = −u 121 die nicht-unitäre Darstellungsmatrix  D± ( p4 )) =

1 −1

0 −1



 mit

p4 =

1 2

2 1

 3 . 3

(9.245)

Insgesamt ergibt sich nach (9.241) und (9.243) die Zerlegung des dreifachen Tensorprodukts zu D(1) (a) ⊗ D(1) (a) ⊗ D(1) (a) ∼ = D(3) (a) ⊕ 2 D (2) (a)

a ∈ A1 ,

(9.246a)

was mit dem Ergebnis von Gl. (9.163) übereinstimmt D(1) (a) ⊗ D(1) (a) ⊗ D(1) (a) ∼ = [ D(2) (a) ⊕ D(0) (a)] ⊗ D(1) (a) = D(3) (a) ⊕ D(1) (a) ⊕ D(1) (a)

a ∈ A1 . (9.246b)

Eine wesentliche Erleichterung beim Umgang mit Permutationen erlaubt die Zyklendarstellung. Dabei ist ein Zyklus pz definiert als eine Permutation von nur i Objekte untereinander, bei der eine Teilmenge von (n − i) Objekte unberücksichtigt bleibt. Beginnend etwa mit dem Objekt k der i Objekte bekommt man die zyklische Permutation   ... k ... p(k) ... pi−1 (k) . . . pz = . (9.247a) . . . p(k) . . . p( p(k)) . . . p i (k) = k . . . Dabei kommt das Objekt k an die Position des Objekts p(k), das Objekt p(k) an die Position des Objekts p( p(k)) = p 2 (k) usw. Dieser Zyklus wird abgekürzt durch die Symbolik pz = (k p(k) p( p(k)) = p2 (k) . . . pi−1 (k)).

(9.247b)

Danach nimmt jedes Objekt die Position des in der Zeile unmittelbar rechts neben ihm stehenden Objekts ein. Das letzte Objekt tritt dabei an die Position des ersten Objekts. Die Reihenfolge der i Objekte ist nur bis auf ein zyklische Permutation festgelegt. Jene Objekte, die in dem Zyklus pz nicht aufgeführt sind, werden auch nicht permutiert. Die Anzahl i der Objekte, die permutiert werden, definieren die Länge bzw. die Ordnung eines Zyklus. Der Zyklus kann dann auch als i-gliedrig bezeichnet werden. 1-gliedrige Zyklen mit der Ordnung Eins, die nur ein Element haben und deshalb keine Permutation erlauben, werden oft nicht aufgeführt.

478

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Jede Permutation p kann faktoriell in Zyklen pz zerlegt werden, die kein Objekt gemeinsam haben und deshalb paarweise untereinander vertauschen p = p z 1 p z 2 . . . pz m .

(9.248)

Demnach ist diese Zerlegung unabhängig von der Reihenfolge und gilt als eindeutig. Jeder Zyklus pzi der Ordnung i mit i > 1 – und wegen Gl. (9.248) auch jede Permutation p – kann als Produkt von (i −1) Transpositionen (Paarvertauschungen) bzw. 2-gliedrigen Zyklen (k l) ausgedrückt werden pzi = (1 2 . . . i) = (1 2)(2 3) . . . (i − 1 i)

i > 1.

(9.249a)

Dabei muss angemerkt werden, dass die Faktoren von der rechten Seite her beginnend angewendet werden. Andernfalls gilt die Faktorisierung pzi = (1 2 . . . i) = (1 2)(1 3) . . . (1 i)

i > 1.

(9.249b)

Diese Transpositionen können als Generatoren der symmetrischen Gruppe gewählt werden. Die faktorielle Zerlegung einer Permutation ist jedoch nicht eindeutig, da die Nummer eines Objekts in mehreren Faktoren bzw. Transpositionen auftreten kann. Eine Vertauschung von zwei Transpositionen mit einem gemeinsamen Objekt liefert dann gewöhnlich eine andere Permutation. Eine Permutation p gilt als gerade (gerade Parität) bzw. ungerade (ungerade Parität) | p|

sign p = (−1)

 =

+1 für gerades p −1 für ungerades p,

(9.250)

falls sie durch eine gerade bzw. ungerade Anzahl | p| von Transpositionen faktorisierbar ist. Jede Permutation ist entweder gerade oder ungerade. Die geraden Permutationen bilden einen Normalteiler der Gruppe Sn vom Index Zwei, der als alternierende Gruppe An (n > 2) bezeichnet wird. Die Faktorgruppe ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S2 Sn /An ∼ = S2 = {(1) (2), (1 2)}.

(9.251)

Die ungeraden Permutationen bilden keine Gruppe, da das Einselement e fehlt. Letzteres ist durch keine Transposition darstellbar und gilt deshalb als gerade Permutation ((−1)|e| = (−1)0 = +1). Für die Ordnung der symmetrischen Gruppe Sn als die Anzahl derer Elemente gilt ord Sn = n!,

(9.252a)

9.6

YOUNG-Tableaux

479

so dass die Gruppe endlich ist. Die Ordnung der alternierenden Gruppe An beträgt dann nach (9.251) ord An = n!/2

(9.252b)

Ausgehend von einer endlichen Gruppe G = {a1 , a2 , . . . , an } mit der Ordnung n kann man durch Multiplikation der Gruppe – etwa von links – mit einem Element ai ∈ G nach dem Umwandlungstheorem (Tab. 2.1) genau alle Elemente erhalten. Dabei bedeutet die Abbildung ai −→ ai ◦ G

ai ∈ G

eine Permutation pi der n Elemente {a1 , a2 , . . . , an }  pi =

a1 ai ◦ a 1

a2 ai ◦ a 2

... an . . . ai ◦ an

 i = 1, . . . , n.

Die mit den {a1 , a2 , . . . , an } erhaltenen n Permutationen { pi | i = 1, . . . , n} bilden eine Gruppe, die sogenannte reguläre Permutationsgruppe, die eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe ist. Demnach ist jede endliche Gruppe G mit der Ordnung n isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sn (Theorem v. C AYLEY ). Betrachtet man das zu einem Element p ∈ Sn konjugierte Element p  nach Gl. (2.22) p  = s ◦ p ◦ s −1

s ∈ Sn ,

(9.253)

dann bekommt man mit Gl. (9.248) p = s ◦ pz1 ◦ s −1 ◦ s ◦ pz 2 ◦ s ◦ . . . ◦ pzm ◦ s −1 , wonach das konjugierte Element p die gleiche Zyklenstruktur aufweist. Das bedeutet, dass alle jene Permutationen p, die die gleiche Zyklenstruktur besitzen, zu einer Klasse von zueinander konjugierten Elementen gehören. Man kann somit die Klasse einer symmetrischen Gruppe durch die Zyklenstruktur (k) charakterisieren. Dies gelingt mithilfe von nicht-negativen ganzen Zahlen {ki | i = 1, . . . , n} der unterschiedlichen i-gliedrigen Zyklen, von denen jede die Anzahl ki eines Zyklus i-ter Ordnung angibt (k) = (k1 , k2 , . . . , kn ).

(9.254a)

Dabei gilt die Bedingung n

i=1

ki i = n.

(9.254b)

480

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Die Anzahl rk der Elemente in einer Klasse mit der Zyklenstruktur (k) nach Gl. (9.254) ist gegeben durch rk =

1k 1 k

1

n! . k 2 ! . . . n n kn !

! 2k2 k

(9.255)

Eine andere Schreibweise der Bedingung (9.254b) n

i=1

ki i =

n

ki +

i=1

n

ki + . . . +

i=2

n

ki + kn = λ1 + λ2 + . . . + λn−1 + λn = n

i=n−1

(9.256) erlaubt die Festlegung von ganzen Zahlen λ1 =

n

k i , λ2 =

i=1

n

ki , . . . , λn−1 =

i=2

n

k i , λn = k n

(9.257a)

i=n−1

mit λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λn−1 ≥ λn ,

(9.257b)

die eine mögliche Verteilung (Partition) [λ] von n Objekten zu beschreiben vermag. Mit der Differenz λ j − λ j+1 =

n

l= j

kl −

n

kl = k j

(9.258)

l= j+1

erhält man die zu (9.256) inverse Beziehung. Die Symbolik [λ] = [λ1 , λ2 , . . . , λn ] wird abgekürzt durch die Angabe jener λk -Werte, die nicht verschwinden [λ] = [λ1 , λ2 , . . . , λk ]

falls

λk+1 = λk+2 = . . . = λn = 0.

(9.259)

Solche Verteilungen [λ], die die Lösungen der Gl. (9.254b) für ki bedeuten, sind ebenfalls geeignet, die Klassen äquivalenter Permutationen p der symmetrischen Gruppe Sn zu charakterisieren. Demnach gibt es ebensoviele Klassen K wie es Verteilungen [λ] gibt. Nachdem bei einer endlichen Gruppe die Anzahl der nichtäquivalenten irreduziblen Darstellungen nach (3.114) mit der Anzahl der Klassen übereinstimmt, kann jede irreduzible Darstellung D[λ] mithilfe einer Verteilung [λ] von n Objekten charakterisiert werden. Eine solche Verteilung (9.259) und mithin die zugehörige Zyklenstruktur (9.254) wird graphisch durch das sogenannte YOUNG-Diagramm veranschaulicht (Abb. 9.11). Gemäß der Bedingung (9.257b) ist die Anzahl der Quadrate in jeder Spalte größer oder gleich der Anzahl der Quadrate in der rechtsseitigen Spalte. Jedes YOUNG-Diagramm vermag dann eine Klasse bzw. eine irreduzible Darstellung der symmetrischen Gruppe zu repräsentieren.

9.6

YOUNG-Tableaux

481

Abb. 9.11 YOUNG-Diagramm  der Verteilung [λ] = [λ1 , . . . , λ j , . . . , λn ] mit λ j Quadrate in einer Zeile j und der Bedingung nj=1 λ j = n

Mitunter findet man auch eine andere Form der Charakterisierung, nämlich durch die Zyklenstruktur (k) (9.254a). Dabei bedeutet die Zahl k j , die die Anzahl des j-gliedrigen Zyklus angibt, nach Gl. (9.258) die Differenz zweier aufeinanderfolgender Zeilen (λ j , λ j+1 ) und somit die Anzahl von Spalten mit j Quadraten. Durch Spiegelung eines Y OUNG-Diagramms an der Hauptdiagonale bzw. durch Vertauschung der Zeilen mit den Spalten bekommt man das assoziierte YOUNG-Diagramm ˜ als Veranschaulichung der assoziierten Verteilung [λ]. Ein YOUNG-Diagramm wird zu einem YOUNG-Tableau T [λ], falls die Quadrate mit den Ziffern 1, 2, . . . , n der n Objekte besetzt werden. Durch Spiegelung eines YOUNG-Tableau an der Hauptdiagonale erhält man das dazu assoziierte YOUNG:[λ]. Dabei muss das assoziierte YOUNG-Tableau nicht notwendigerweise Tableau T :[λ] = T [λ˜ ]). Bei einem mit der assoziierten Verteilung [λ˜ ] zusammenfallen (T Standard-YOUNG-Tableau wachsen die Ziffern innerhalb einer Zeile von links nach rechts und innerhalb einer Spalte von oben nach unten. Die Standard-Y OUNGTableaux mit unterschiedlichen Anordnungen der Quadrate vertreten jeweils eine unterschiedliche Permutationssymmetrie und mithin auch eine nicht-äquivalente irreduzible Darstellung D [λ] (Sn ). Die Dimension einer irreduziblen Darstellung ist dann gegeben durch die Anzahl von Standard-YOUNG-Tableaux bei einer festen Anordnung der Quadrate. Beispiel 3 Als Beispiel wird die symmetrische Gruppe S3 betrachtet, deren drei Objekte, die durch die drei Ziffern 1,2,3 gekennzeichnet sind, permutiert werden. Dort findet man etwa für die Permutationen p die Zyklendarstellungen pz   1 2 3 p= pz = (123) = (231) = (312) 2 3 1   1 2 3 p= pz = (132) = (321) = (213) 3 1 2   1 2 3 p= pz = (12)(3) = (231) = (12). 2 1 3 Eine faktorielle Zerlegung der Zyklen pz in 2-gliedrige Zyklen bzw. Transpositionen ist davon abhängig, in welcher Reihenfolge die Faktoren angewendet werden. Von der rechten Seite her mit der Anwendung beginnend erhält man für die obigen

482

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

ersten beiden Zyklen pz = (123) = (12)(23) pz = (132) = (12)(13). Diese Permutationen sind gerade, während die dritte Permutation ( pz = (12)(3)) nur in eine Transposition faktorisierbar und deshalb ungerade ist. Die symmetrische Gruppe S3 umfasst insgesamt die Menge der Elemente S3 = {(1)(2)(3), (132) = (12)(13), (123) = (12)(23), (12)(3), (13)(2), (23)(1)} (9.260a) und ist isomorph zur Punktgruppe C3v – bzw. D3 S3 ∼ = C3v .

(9.260b)

Die Untermenge der geraden Permutationen bildet die alternierende Gruppe A3 = {(1)(2)(3), (132) = (12)(13), (123) = (12)(23)}.

(9.261a)

Sie hat nach (9.252b) die Ordnung ord A3 = 6/2 = 3 und ist ihrerseits isomorph zur Punktgruppe C 3 A3 ∼ = C3 .

(9.261b)

Nachdem die Punktgruppe C3v durch ihren Normalteiler C3 sowie durch die Punktgruppe C s durch ein halbdirektes Produkt faktorisiert werden kann (s. a. Beispiel 3 v. Abschn. 2.4) C3v = Cs  Cs , findet man mit den Isomorphismen (9.260b), (9.261b) sowie dem Isomorphismus S2 ∼ = Cs die Faktorisierung der symmetrischen Gruppe S3 in der Form S3 = A3  S2 .

(9.262)

Die Multiplikation liefert dann mithilfe von (9.261) und der Gruppe S2 = {(1)(2), (12)} ein Ergebnis, das den Isomorphismus (9.251) bestätigt. Nach dem Beispiel von Abschn. 2.5 spielt dabei die alternierende Gruppe A3 die Rolle der symmetrischen Gruppe eines Orbits zum Stabilisator S2 . Mit dem Element s = (13) ∈ S3 erhält man nach Gl. (9.253) das zu p = (123) ∈ S3 konjugierte Element p  = (13)(123)(31) = (13)(32)(1) = (321).

9.6

YOUNG-Tableaux

483

Es ist erneut 3-gliedrig und hat die gleiche Zyklenstruktur (k) = (0, 0, 1), die die Bedingung (9.254b) erfüllt. Die Elemente p = (12)(3), p = (13)(2) und p = (23)(1) haben alle die gleiche Zyklenstruktur (9.254a) (k) = (1, 1, 0), die – mit 1 · 1 + 1 · 2 = 3 – die Bedingung (9.254b) erfüllt. Sie bilden eine Klasse K3 , deren Anzahl von Elementen sich nach Gl. (9.255) errechnet zu rk =

6 3! = = 3. 11 1!21 1! 2

Betrachtet man zunächst die symmetrische Gruppe S2 = {(1)(2), (12)}, dann findet man dort zwei Klassen konjugierter Elemente. Die erste Klasse K1 besteht aus dem Einselement e = (1)(2), das zwei 1-gliedrige Zyklen umfasst (k1 = 2) und die Zyklenstruktur k = (2, 0)

(9.263a)

besitzt. Die mögliche Verteilung [λ] ergibt sich dann nach (9.256) (2 = 2 + 0) mit λ1 = 2 und λ2 = 0 zu [λ] = [2, 0] = [2].

(9.263b)

Das zugehörige YOUNG-Diagramm als Veranschaulichung dieser Verteilung hat in der ersten Zeile zwei (λ1 = 2) und in der zweiten Zeile keine (λ2 = 0) Quadrate. Die Anzahl der Spalten, die ein Quadrat bzw. zwei Quadrate besitzen, wird durch k1 bzw. k2 festgelegt und ergibt sich nach (9.263a) bzw. (9.258) zu k1 = λ1 − λ2 = 2 bzw. k2 = 0 (Abb. 9.12).

Abb. 9.12 YOUNG-Diagramme der Verteilungen [λ] = [2] und [λ] = [12 ] für die symmetrische Gruppe S2 mit den Klassen K1 und K2

Die zweite Klasse K2 besteht ebenfalls aus nur einem Element, nämlich dem 2-gliedrigen Zyklus (12), das mit k1 = 0 und k2 = 1 die Zyklenstruktur k = (0, 1)

(9.264a)

besitzt. Die mögliche Verteilung [λ] ergibt sich nach (9.256) (2 = 1 + 1) mit λ1 = 1 und λ2 = 1 zu

484

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

[λ] = [1, 1] = [12 ] .

(9.264b)

Das zugehörige YOUNG-Diagramm hat in der ersten und zweiten Zeile jeweils nur ein Quadrat. Die Anzahl der Spalten, die ein bzw. zwei Quadrate besitzen, wird durch k1 bzw. k2 festgelegt und ergibt sich nach (9.264a) zu k1 = 0 bzw. k2 = 1 (Abb. 9.12). Bei der symmetrischen Gruppe S3 findet man drei Klassen mit Elementen jeweils gleicher Zyklenstruktur (k) (k) = (3, 0, 0) K1 = {(1)(2)(3)} K2 = {(123), (213)} (k) = (0, 0, 1) k = (1, 1, 0). K3 = {(12)(3), (13)(2), (23)(1)}

(9.265a)

Die Isomorphie der symmetrischen Gruppe S3 zur Punktgruppe C3v impliziert mit (9.230) die Äquivalenz dieser Klassen zu den Klassen der Punktgruppe Ke = {e}   Kc3 = c3 , c32  Kσ = σv , σv , σv .

(9.265b)

Bei der ersten Klasse K1 mit drei 1-gliedrigen Zyklen {(1)(2)(3)} ergibt sich die Verteilung [λ] nach (9.256) (3 = 3 + 0 + 0) mit λ1 = 3 und λ2 = λ3 = 0 zu [λ] = [3, 0, 0] = [3].

(9.266)

Das zugehörige YOUNG-Diagramm hat in der ersten Zeile drei (λ1 = 3) sowie in der zweiten Zeile keine (λ2 = λ3 = 0) Quadrate. Die Anzahl der Spalten, die ein Quadrat besitzen, wird durch k1 festgelegt und ergibt sich nach (9.265a) bzw. (9.258) zu k 1 = λ1 − λ2 = 3. Wegen k2 = k3 = 0 sind keine Spalten mit zwei Quadraten bzw. drei Quadraten zu erwarten (Abb. 9.13).

Abb. 9.13 YOUNG-Diagramme der Verteilungen [λ] = [3], [λ] = [2, 1] und [λ] = [13 ] für die symmetrische Gruppe S3 mit den Klassen K1 , K2 und K3

Die zweite Klasse K2 besteht nur aus zwei 3-gliedrigen Zyklen {(132), (123)}, so dass sich die mögliche Verteilung [λ] nach (9.256) (3 = 1 + 1 + 1) mit λ1 = λ2 = λ3 = 1 errechnet zu

9.6

YOUNG-Tableaux

485

[λ] = [1, 1, 1] = [13 ].

(9.267)

Diese Verteilung ist die zur Verteilung [3] assoziierte Verteilung ([1:3 ] = [3]). Die Anzahl der Spalten mit drei, zwei oder einem Quadrat ergibt sich nach (9.265a) zu k3 = 1, k2 = k1 = 0 (Abb. 9.13). Die dritte Klasse K3 besteht aus drei 2-gliedrigen Zyklen sowie aus drei 1-gliedrigen Zyklen (Gl. 9.265a), so dass sich die mögliche Verteilung [λ] nach (9.256) (3 = 2 + 1 + 0) mit λ1 = 2, λ2 = 1 und λ3 = 0 errechnet zu [λ] = [2, 1, 0] = [2, 1].

(9.268)

F1] ist die gleiche, so dass die Verteilung [2, 1] Die dazu assoziierte Verteilung [2, als zu sich selbst-assoziiert gilt. Die Anzahl der Spalten mit einem Quadrat bzw. zwei Quadraten ergibt sich nach (9.265a) bzw. (9.258) zu k1 = λ1 − λ2 = 1 bzw. k2 = λ2 − λ3 = 1 (Abb. 9.13). Bei der Diskussion von irreduziblen Darstellungen D[λ] der symmetrischen Gruppe Sn sind drei Operatoren von wesentlicher Bedeutung. Sie sind als Elemente der Gruppenalgebra A(G) (F ROBENIUS-Algebra) mit einem YOUNG-Tableau T [λ] verknüpft. Der erste ist der Zeilen-Symmetrisierer

S[λ] =

D( p).

(9.269)

p∈T [λ]Zeile

Die Summe umfasst hierbei alle Operatoren {D( p)| p ∈ Sn }, die die Menge der Objekte {1, 2, . . . , λi } einer Zeile i des YOUNG-Tableau T [λ] betreffen. Der zweite ist der Spalten-Antisymmetrisierer

A[λ] =

sign p D( p).

(9.270)

p∈T [λ]Spalte

Die Summe umfasst alle Operatoren {D( p)| p ∈ Sn }, die die Menge der Objekte {1, 2, . . . , λ j } einer Spalte j des YOUNG-Tableau T [λ] betreffen, wobei mit dem Vorzeichen sign p der Permutation p gewichtet wird. Der dritte Operator schließlich ist das Produkt von beiden Operatoren und wird als YOUNG-Operator (YOUNG-Symmetrisierer) bezeichnet Y [λ] = A[λ]S[λ] =

p∈T [λ]Spalte

sign p D( p)



D( p).

(9.271)

p∈T [λ]Zeile

Dieser Operator ist – abgesehen von einem konstanten Faktor – die diagonale Form des Projektionsoperators der symmetrischen Gruppe Sn . Der Faktor errechnet sich nach (3.169) zu

486

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

dim D[λ] (Sn ) d[λ] = , ord Sn n! so dass damit ein normierter YOUNG-Operator Yˆ [λ] festgelegt werden kann d[λ] Yˆ [λ] = Y [λ]. n!

(9.272)

Der Operator ist idempotent ((Yˆ [λ])2 = Yˆ [λ]) und vermag nach Gl. (3.174) die Basis einer irreduziblen Darstellung zu erzeugen. Die Koeffizienten der Operatoren [λ] ( p) der irD( p) in (9.271) sind dann gemäß (3.169) die Diagonalelemente Dkk reduziblen Matrixdarstellung D[λ] ( p). Nach Anwendung des YOUNG-Operators auf einen ((dimV)n -dimensionalen) Produktvektor (9.227) – bzw. einen Produkttensor n-ter Stufe – werden jene Faktoren, die zu den Quadraten einer Zeile bzw. einer Spalte des YOUNG-Tableau T [λ] gehören, symmetrisiert bzw. antisymmetrisiert. Alle YOUNG-Operatoren einer symmetrischen Gruppe, die zu Standard-Y OUNGTableaux {T [λ]i | i = 1, . . . , d[λ] } gehören und so das gleiche YOUNG-Diagramm besitzen, erzeugen äquivalente Darstellungen D[λ] (Sn ). Die Anzahl der StandardYOUNG-Tableaux ist dann gleich der Dimension d[λ] der irreduziblen Darstellung. Diejenigen YOUNG-Operatoren, die zu unterschiedlichen Y OUNG-Diagrammen gehören, erzeugen inäquivalente Darstellungen, so dass die Symbolik [λ] für die Verteilung bzw. für die YOUNG-Diagramme zur Kennzeichnung der irreduziblen Darstellungen D[λ] geeignet ist. Die Dimension d[λ] einer irreduziblen Darstellung errechnet sich nach einer algebraischen Beziehung, der sogenannten F ROBENIUS-Formel d[λ] =

n!

E i< j

hi − h j

h i = λi + m − i.

h 1 !h 2 ! . . . h m !

(9.273a)

Dabei bedeutet λi die Anzahl der Quadrate in der i-ten Zeile und m die Anzahl der Zeilen des Y OUNG-Diagramms [λ] (Abb. 9.11). Eine andere, einfachere Form wird durch die sogenannte Stufen-Formel ausgedrückt d[λ] = E

n! (i, j)∈[λ] h i j

.

(9.273b)

Dabei bezeichnet das Ziffernpaar (i, j) ein Quadrat des YOUNG-Diagramms [λ] in der i-ten Zeile und j-ten Spalte. Die sogenannte Stufenlänge h i j ist die Anzahl der Quadrate einer Stufe im YOUNG-Diagramm, die das Quadrat (i, j) als obere linke Ecke besitzt. Demnach ist h i j die Anzahl der Quadrate (i  , j  ), die sich direkt rechts ( j  ≥ j) und unter (i  ≥ i) dem Quadrat (i, j) befinden zusammen (i  = i, j  = j) mit dem einem Quadrat (i, j).

9.6

YOUNG-Tableaux

487

Das direkte (innere) Produkt einer irreduziblen Darstellung D[λ] (Sn ) der symmetrischen Gruppe Sn mit der total antisymmetrischen Darstellung D[1 ] ( p) = sign p = (−1)| p| = n



+1 für gerades p −1 für ungerades p

(9.274)

liefert die assoziierte Darstellung n : D( p) = D( p) ⊗ D[1 ] ( p)

mit : D( p) =



+ D( p) für gerades p − D( p) für ungerades p.

(9.275a)

(9.275b)

Bei einer irreduziblen Darstellung D( p) ist auch die assoziierte Darstellung : D( p) irreduzibel. Falls der Charakter χ ( p) der ungeraden Permutation p verschwindet (χ ( p) = 0 für ungerades p), dann stimmen die Charaktere aller Permutationen p ∈ Sn der beiden Darstellungen D und : D überein, so dass letztere äquivalent zueinander sind ( : D ∼ = D) und als selbstassoziiert gelten. Das YOUNG-Diagramm [λ] [λ] ˜ D ), ist die [λ˜ ], das mit der assoziierten Darstellung : D verknüpft ist ( D[λ] = : assoziierte Verteilung [λ˜ ]. Beispiel 4 Als Beispiel werden die Standard-YOUNG-Tableaux T [λ] der symmetrischen Gruppe S3 betrachtet (Abb. 9.14). Der YOUNG-Operator Y [3] errechnet sich nach (9.271) mit den Permutationen (9.230) bzw. (9.260a) zu Y [3] = D(e)[D(e) + D((132)) + D((123)) + D((12)) + D((13)) + D((23))] = D(e) + D((132)) + D((123)) + D((12)) + D((13)) + D((23)) (9.276) und stimmt – bis auf den Faktor 6 – mit dem Operator P (+) (9.232) überein. Die Anwendung auf den Produkttensor (9.229) liefert nach Gl. (9.233) den symmetrie(+) angepassten Basistensor 3-ter Stufe – bzw. den Basisvektor – u [3] k1 k2 k3 (≡ u k 1 k 2 k 3 – s. [3] Gl. 9.231) der totalsymmetrischen eindimensionalen Darstellung D (≡ D+ ).

Abb. 9.14 Standard-YOUNG-Tableaux T [λ] der symmetrischen Gruppe S3

488

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Der nächste YOUNG-Operator Y [13 ] errechnet sich nach (9.271) mit den Permutationen (9.230) bzw. (9.260a) zu Y [13 ] = [D(e) + (−1)2 D((12))D((13)) + (−1)2 D((12))D((23)) + (−1)1 D((12)) + (−1)1 D((13)) + (−1)1 D((23))]D(e) = D(e) + D((132)) + D((123)) − D((12)) − D((13)) − D((23)). (9.277) Die Anwendung auf den Produktvektor (9.229) liefert nach Gl. (9.236) den sym3] (−) metrieangepassten Basisvektor u [1 k 1 k 2 k3 (≡ u k1 k2 k3 – s. Gl. (9.234)) – bzw. den Basis-

tensor 3-ter Stufe – der total antisymmetrischen Darstellung D[1 ] (≡ D− ). Schließlich errechnet sich der Y OUNG-Operator Y [2, 1] für das StandardYOUNG-Tableau T [2, 1]1 bzw. T [2, 1]2 (Abb. 9.14) nach (9.271) mit den Permutationen (9.230) bzw. (9.260a) zu 3

Y [2, 1]1 = [D(e) + (−1)D((13))][D(e) + D((12))] = D(e) − D((13)) + D((12)) − D((13))D((12)) = D(e) − D((13)) + D((12)) − D((123))

(9.278a)

Y [2, 1]2 = [D(e) + (−1)D((12))][D(e) + D((13))] = D(e) − D((12)) + D((13)) − D((12))D((13)) = D(e) − D((12)) + D((13)) − D((132)).

(9.278b)

bzw.

Die Anwendung auf den Produktvektor (9.229) liefert dann jeweils einen Basis(±,1) [2,1]2 (±,2) 1 vektor u [2,1] k1 k2 k3 (≡ u k1 k2 k3 – Gl. (9.237)) bzw. uk1 k2 k3 (≡ u k 1 k 2 k 3 – Gl. (9.238)), [2,1]1 [2,1]2 die gemeinsam die symmetrieangepasste Basis u k1 k2 k3 , u k1 k2 k3 der zweidimen-

sionalen irreduziblen Darstellung D [2,1] (≡ D± ) bilden. Die Dimension der Darstellung D[2,1] wird durch die RUTHERFORD-Formel (9.273) bestimmt. Dort erhält man mit h 1 = λ1 + 2 − 1 = 3 und h 2 = λ2 + 2 − 2 = 1 die Dimension d[2,1] =

3!2 = 2, 3!1!

(9.279)

was mit der Anzahl der Standard-YOUNG-Tableaux übereinstimmt. Ein anderer Weg, die Dimension dα einer irreduziblen Darstellung D(α) zu bestimmen, basiert auf der Ermittlung des Charakters einer Klasse Ka der Matrixdarstellung χ ∗(α) (Ka ) =

g z(α, Ka ). ra

(9.280)

Dabei bedeutet ra die Anzahl der Elemente der Klasse Ka nach Gl. (2.24) und für die Zahl z gilt

9.6

YOUNG-Tableaux

489

z(α, Ka ) =

rα rα   dα

dα

∗(α) (α) D j j (ai ) = D j j ai−1 . g g i=1

(9.281)

i=1

Letztere ist somit unabhängig vom Index j bzw. von den Diagonalelementen der Darstellungsmatrizen { D (α) (ai )|i = 1, . . . , ra }. Im besonderen Fall der symmetrischen Gruppe Sn gilt dann mit deren irreduziblen Darstellungen D [λ] einer Klasse, die durch die Zyklenstruktur (9.254a) charakterisiert werden kann, die zu (9.280) analoge Beziehung χ [λ] (k) = χ [λ] (k1 , . . . , kn ) =

n! ∗ z ([λ], (k)). r(k)

(9.282a)

Nach Substitution von z durch n! z d[λ]

zˆ = im Sinne einer Normierung, erhält man χ [λ] (k) =

d[λ] ∗ z ([λ], (k)). r(k)

(9.282b)

Unter Verwendung des Kriteriums für Irreduzierbarkeit nach (3.118) findet man schließlich – mit m α = 1 – die Beziehung

r(k) |χ [λ] (k)|2 =

(k)

2

d[λ] (k)

r(k)

|ˆz ([λ], (k))|2 = n!,

(9.283)

die es erlaubt, die Dimension d[λ] der irreduziblen Darstellung zu ermitteln. Die Anzahl r(k) der Elemente in den drei verschiedenen Zyklenstrukturen der Form (9.254a) errechnet sich nach Gl. (9.255) zu r(k)=(3,0,0) = 1, r(k)=(0,0,1) = 2 und r(k)=(1,1,0) = 3. Die Zahl zˆ ([2, 1], Ka ) kann mithilfe von Gl. (9.281) gewonnen [2,1] nach dem Vergleich mit dem Projektionswerden. Dabei sind die Elemente Dkk operator (3.169) gerade jene Koeffizienten, die bei den Operatoren D( p) im Projektionsoperator Yˆ [2, 1] für die Klasse Ka auftreten. Ausgehend vom YOUNG-Operator Y [2, 1]1 (9.278a) erhält man mit den Koeffizienten [2,1]1 (e) = 1 Dkk [2,1]1 Dkk (132) = 0 [2,1]1 (12) Dkk

=1

[2,1]1

Dkk

(123) = −1

[2,1]1 Dkk (13)

nach Gln. (9.282a) und (9.281) die Zahlen

= −1

[2,1]1 Dkk (23) = 0

490

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren [2,1]1 zˆ ([2, 1]1 , K1 = (3, 0, 0)) = Dkk (e) = 1 [2,1]1 [2,1] zˆ ([2, 1]1 , K2 = (0, 0, 1)) = Dkk (132) + Dkk 1 (123) = −1 [2,1]1 [2,1]1 [2,1]1 (12) + Dkk (13) + Dkk (23) = 0. zˆ ([2, 1]1 , K3 = (1, 1, 0)) = Dkk

Die Dimension der Darstellung D[2,1] ergibt sich dann in Übereinstimmung mit Gl. (9.279) zu d[2,1] = 2. Die Charaktere errechnen sich nach (9.282b) zu χ [2,1] (K1 = (3, 0, 0)) = 2 χ [2,1] (K2 = (0, 0, 1)) = −1 χ [2,1] (K3 = (1, 1, 0)) = 0, was mit den Charakteren χ E der zur symmetrischen Gruppe S3 isomorphen Punktgruppe C2v übereinstimmt (Tab. 9.4). Schließlich ist anzumerken, dass mit Gl. (9.283) wegen χ [λ] ( p ◦ p) = |χ [λ] ( p)|2 nach dem Kriterium (3.158a) eine relle Darstellung D[λ] ( p) und mithin ein reller Charakter χ [λ] ( p) erwartet wird. Setzt man zwei irreduzible, zueinander äquivalente Darstellungen D [λ] (Sn ) und  [λ D ] (Sn ) voraus, dann wird in der Reduktion des direkten Produkts aus beiden die triviale Darstellung D [n] (Sn ) genau einmal auftreten 

D [n] ⊂ D [λ] ⊗ D [λ ]

für

 D [λ] ∼ = D [λ ] .

(9.284)

Der Nachweis geschieht analog zum Nachweis der Behauptung (3.216). Nach Gl. (3.217) errechnet sich der Reduktionkoeffizient der trivialen, totalsymmetrischen Darstellung mit χ [n] = 1 und Gl. (9.283) zu 1 [λ] 1

|χ ( p)|2 χ [n] ( p) = r(k) |χ [λ] (k)|2 = 1. n! n!

([λ][λ ], [n]) =

(k)

p∈Sn



Für den Fall, dass die Darstellung D [λ ] (Sn ) assoziiert ist zu D [λ] (Sn ) (s. Gl. 9.275)  : :[λ] = D [λ] ⊗ D [1n ] , D [λ ] = D [λ] = D

erscheint in der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung des direkten Produkts beider n Darstellungen die total antisymmetrische Darstellung D [1 ] (Sn ) genau einmal :[λ] D [1 ] ⊂ D [λ] ⊗ D n

für

:[λ] . D [λ] ∼ =D

(9.285)

Der Nachweis geschieht auch hier durch die Ermittlung des Reduktionskoeffizients der antisymmetrischen Darstellung unter Berücksichtigung von Gl. (9.274) bzw.

9.6

YOUNG-Tableaux

491

von |χ [1 ] ( p)| = 1 mit Gl. (9.283) n

1 λ] 1

n ([λ][: λ], [1n ]) = |χ ( p)|2 |χ [1 ] ( p)|2 = r(k) |χ [λ] (k)|2 = 1. n! n! (k)

p∈Sn

Zur Ermittlung der Matrixdarstellungen D [λ] (Sn ) der symmetrischen Gruppe kann man verschiedene Methoden wählen. Eine davon startet von einem System vollständig orthonormaler Elemente des Darstellungsraumes V ⊗n , um dann mithilfe von Projektionsoperatoren eine geeignete Basis einer irreduziblen Darstellung zu erzeugen. Das bedeutet die Anwendung eines YOUNG-Operators Yˆ [λ] auf einen Produktvektor u 1,2,...,n = v1 ⊗ v2 . . . ⊗ vn mit dem Ergebnis eines symmetrieangepassten Produktvektors u [λ] . Dieser setzt sich aus einer Linearkombination von unterschiedlichen Produktvektoren u 1,2,...,n zusammen. In einem zweiten Schritt kommen alle Permutation {D( p)| p ∈ Sn } zur Anwendung. Danach erhält man insgesamt n! symmetrieangepasste Produktvektoren, aus denen eine maximale Anzahl von linear unabhängigen als Basisfür eine irreduzible Darstellung D[λ] (Sn ) ausgewählt wird. Damit kann dann die Matrixdarstellung ermittelt werden. Beispiel 5 Als Beispiel wird die symmetrische Gruppe S3 betrachtet. Zum Auffinden etwa der irreduziblen Darstellung D [2,1] (S3 ) bezüglich der Klasse bzw. der Verteilung [λ] = [2, 1] wird man den YOUNG-Operator Y [2, 1]1 bzw. Yˆ [2, 1]1 (9.272) nach Gl. (9.278a) auf einen Produktvektor u k1 ,k2 ,k3 anwenden (s. Beispiel 4), um einen symmetrieangepassten Produktvektor zu bekommen 2 Yˆ [2, 1]1 u 1,2,3 = u k(±,1) = u [2,1]1 . 6 1 ,k2 ,k3 Im nächsten Schritt wird etwa die Permutation p = (12) bzw. der Operator D((12)) auf den symmetrieangepassten Produktvektor u [2,1]1 angewandt. Mit Gl. (9.237) erhält man einen weiteren symmetrieangepassten Produktvektor 1 1 D((12))u [2,1]1 = D((12)) u k(±,1) = D((12)) (123 + 213 − 321 − 312) 3 1 ,k2 ,k3 3 1 u ki ,k j ,kr :≡ i jr, = (213 + 123 − 231 − 132) = u [2,1]2 3 der zum ersten linear unabhängig ist. Die Anwendungen aller übrigen Permutationen bzw. Operatoren {D( p)| p ∈ S3 , p = (12)} liefern keine weiteren linear unabhängigen Vektoren, so dass der Satz {u [2,1]1 , u [2,1]2 } eine Basis für die irreduzible Darstellung D [2,1] bildet. Die Darstellung etwa für das Element p = (12) ergibt sich dann nach Gl. (3.6) mit D((12))u [2,1]1 = u [2,1]2 D((12))u [2,1]2 = u [2,1]1

492

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

zu D

[2,1]

 (12) =

 0 1 . 1 0

(9.286)

Dabei muss darauf hingewiesen werden, dass die Darstellung nicht unitär ist. Sie ist jedoch einer unitären Darstellung äquivalent, so dass der Charakter χ [2,1] (12) = 0 gleich dem einer unitären Darstellung ist (Abschn. 3.4). Eine weitere Methode zur Ermittlung der Matrixdarstellungen D[λ] (Sn ) verfolgt das Ziel, eine Satz von d[λ] linear unabhängigen Projektionsoperatoren Plk[λ] aus der Menge von insgesamt d[λ]2 Operatoren auszuwählen. Dieser bildet dann wegen Gl. (3.173b) eine Basis der Gruppenalgebra A(Sn ). Mithilfe dieser veralllgemeinerten YOUNG-Operatoren lassen sich dann nach Gl. (3.169) die Elemente der Matrixdar[λ] −1 ( p ) ermitteln. stellungen Dkl Man betrachtet zunächst eine Folge von Standard-YOUNG-Tableaux {Ti [λ]|i = 1, . . . , d[λ] }. Die Reihenfolge wird bestimmt durch die numerische Abweichung der Ziffern in den Quadraten von der natürlichen Besetzung. Dabei erhält man eine natürliche Besetzung durch die wachsenden Ziffern, falls man das Tableau zeilenweise von links nach rechts liest. Zudem setzt man einmal voraus, dass es in einer Zeile des Tableau Ti [λ] zwei Ziffern n 1 und n 2 gibt, die auch in einer Spalte des Tableau T j [λ] auftreten und des weiteren, dass es in einer Zeile des Tableau T j [λ] zwei Ziffern n 3 und n 4 gibt, die auch in einer Spalte des Tableau Ti [λ] auftreten. Mit der Permutation p = (i j), die die beiden Standard-Tableaux transformiert Ti [λ] = (i j)T j [λ],

(9.287)

2 Operatoren einführen kann man dann insgesamt d[λ]

d[λ] Ai [λ]D((i j))S j [λ] n!

Pi[λ] j =

i, j = 1, . . . , d[λ] ,

(9.288)

die der Beziehung [λ] [λ] Pi[λ] j Pkl = δik Pil

(9.289)

genügen und deshalb eine Basis der Gruppenalgebra bilden. Diese Projektionsoperatoren erlauben dann gemäß Gl. (3.169) Plk[λ] =

d[λ] [λ] −1 Dkl ( p )D( p) n! p∈Sn

l, k = 1, . . . , d[λ]

(9.290)

9.6

YOUNG-Tableaux

493

[λ] durch Koeffizientenvergleich mit (9.288) die Elemente Dkl der irreduziblen Darstellung D[λ] (P) zu ermitteln. Für den speziellen Fall l = k bekommt man aus (9.288) den gewöhnlichen normierten Y OUNG-Operator Yˆ [λ] (9.272) als die diagonale Form des Projektionsoperators sowie aus (9.289) dessen Idempotenz.

Beispiel 6 Als Beispiel wird erneut die symmetrische Gruppe S3 betrachtet, um die Darstellung D[2,1] zu ermitteln. Dort gibt es eine Folge von zwei StandardYOUNG-Tableaux T1 [2, 1] und T2 [2, 1], wonach die Dimension d[2,1] der Darstellung in Übereinstimmung mit (9.279) den Wert Zwei annimmt. Das erste der beiden Tableaux zeigt eine natürliche Besetzung, da die Ziffern in den Quadraten beim zeilenweisen Auslesen anwachsen (Abb. 9.14). Mit den Ziffern n 1 und n 2 gibt es zwei Ziffern, die in einer Zeile von T1 [2, 1] – bzw. einer Spalte von T2 [2, 1] – und auch in einer Spalte von T2 [2, 1] – bzw. einer Zeile von T1 [2, 1] – auftreten, so dass obige Voraussetzungen erfüllt sind. Die Transformation zwischen den beiden Standard-Tableaux gelingt mithilfe der Transposition p = (23) T1 [2, 1] = (23)T2 [2, 1].   2 verallgemeinerten ProjektionsoperaDamit erhält man nach (9.288) die 4 = d[2,1] toren [2,1] P11 = [2,1] P22 = [2,1] P12 =

= = = [2,1] P21 =

= = =

2 1 A1 S1 = [D(e) − D((13)) + D((12)) − D((123))] 6 3 2 1 A2 S2 = [D(e) − D((12)) + D((13)) − D((132)))] 6 3 2 A1 D((23))S2 6 1 [D(e) − D((13))]D((23))[D(e) + D((13))] 3 1 [D(e) − D((13))][D((23)) + D((123))] 3 1 [D((23)) − D((132)) + D((123)) − D((12))] 3 2 A2 D((32))S1 6 1 (D(e) − D((12)))D((32))(D(e) + D((12))) 3 1 (D(e) − D((12)))(D((32)) + D((132))) 3 1 (D((32)) − D((123)) + D((132)) − D((13)). 3

(9.291a) (9.291b)

(9.291c)

(9.291d)

494

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

[2,1] Nach Gl. (9.290) können daraus die Elemente Dkl der Matrixdarstellung gewonnen werden. So erhält man etwa für die Permutation p = (12) die Darstellung

D

[2,1]

−1

((12)

)= D

[2,1]

 ((12)) =

1 −1

 0 , −1

(9.292)

die wie im Fall (9.286) nicht unitär ist.

Schließlich kann man mit der Vertauschbarkeit D((i j))S j [λ] = Si [λ]D((i j))

(9.293)

den Projektionsoperator (9.288) ausdrücken in der Form Pi[λ] j

d[λ] Ai [λ]Si [λ]D((i j)) = Yˆi [λ]D((i j)) n!

i, j = 1, . . . , d[λ] .

(9.294)

Dieser vermag die symmetrieangepassten Basisvektoren der irreduziblen Darstellung D[λ] aus einem beliebigen Produktvektor herauszuprojizieren. Mithilfe der oben diskutierten Methoden lassen sich allgemeine Vorschriften ableiten, die die Bestimmung von unitären und reellen Darstellungen D[λ] ermöglichen. Grundlage dafür ist die Eigenschaft, dass jede Permutation nach Gln. (9.248) und (9.249) in Transpositionen faktorisiert werden kann. Demnach genügt es, die Darstellungen der Transposition p = (i − 1 i) zu kennen, deren Gesamtheit die Generatoren bilden. Setzt man voraus, dass die Spalten k bzw. Zeilen l nach den Indizes der Standard-YOUNG-Tableaux benannt werden, dann gilt für die endlichen [λ] Matrixelemente Dlk ((i − 1 i)) [λ] ((i − 1 i)) = +1, Dkk

(9.295a)

 falls im Tableau Tk [λ] die Ziffern (i − 1) und i in derselben Zeile auftreten alle   [λ] = 0 , oder übrigen Elemente verschwinden Dkl [λ] Dkk ((i − 1 i)) = −1,

(9.295b)

 falls im Tableau Tk [λ] die Ziffern (i − 1) und i in derselben Spalte auftreten alle   [λ] übrigen Elemente verschwinden Dkl = 0 , oder

9.6

YOUNG-Tableaux

495

.. . k [λ] Dkl ((i − 1 i)) = . ..

···



···

1 − 1/22 (9.295c)

 1 − 1/22 m = k, l

für

l

−1/s

l .. . [λ] Dmm =0

···

k

1/s

n = k, l,

falls Tk [λ] sich von Tl [λ] nur durch eine Permutation (i − 1 i) unterscheidet und zudem in Tk [λ] jene Zeile, die die Ziffer k − 1 enthält, über der Zeile angeordnet ist, die die Ziffer l enthält. Dabei ist der Parameter s die Anzahl der Schritte, die notwendig sind, um in einem Tableau vom Quadrat mit der Ziffer k zum Quadrat l auf horizontalem und vertikalem Weg zu kommen. Beispiel 7 Zur Ermittlung der Darstellungen D[2,1] (S3 ) der symmetrischen Gruppe S3 werden die zwei Standard-YOUNG-Tableaux T1 [2, 1] und T2 [2, 1] betrachtet, die die Dimension d[2,1] = 2 festlegen (Abb. 9.14). Im Fall etwa der Permutation p = (12) erhält man nach den Regeln (9.295a) und (9.295b) [2,1] ((12)) = +1 D11

D2[2,1] ((12)) = −1

[2,1] [2,1] D12 ((12)) = D21 ((12)) = 0,

womit die Darstellungsmatrix die unitäre Form D [2,1] ((12)) =



 1 0 . 0 −1

(9.296)

annimmt. Im Fall etwa der Permutation p = (23), wo die Ziffern 2 und 3 weder in einer Zeile noch in einer Spalte erscheinen, erhält man nach der Regel (9.295c) mit zwei (= s) Schritten zwischen den beiden Ziffern [2,1] ((23)) = −1/2 D11

[2,1] D22 ((23)) = +1/2 √ [2,1] [2,1] D12 ((23)) = D21 ((23)) = 3/2,

also insgesamt die unitäre Darstellungsmatrix D

[2,1]

 ((23)) =

−1/2 √ 3/2

√  3/2 . 1/2

(9.297)

Diese Darstellungsmatrizen (9.296) und (9.297) sind äquivalent zu jenen, die für die äquivalenten Symmetrieoperationen eines gleichseitigen Dreiecks, nämlich

496

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

den Spiegelungen σv und σv nach Gl. (9.230) erwartet werden (Abb. 9.10). So erhält man etwa für die Spiegelung σv an einer Ebene senkrecht zur Ebene R2 nach Gl. (3.15c) die Darstellung (9.296). Nachdem die Transpositionen (12) und (23) gemäß Gl. (9.249a) als Generatoren der symmetrischen Gruppe S3 gelten, können alle übrigen Darstellungsmatrizen von (9.296) und (9.297) bzw. deren Produkte abgeleitet werden. Betrachtet man allgemein die Transposition p = (i − 1 i), dann hat diese eine ungerade Parität (9.250) (−1)1 = −1. Wegen Gl. (9.275b) erwartet man für die : λ] verknüpft ist, assoziierte Darstellung D [λ] , die mit der assoziierten Verteilung [: :

D[λ] ((i − 1 i)) = − D[λ] ((i − 1 i)). Nach Vertauschung der Spalten und Zeilen bzw. nach Spiegelung an der Winkelhalbierenden der Tableaux T1 [2, 1] und T2 [2, 1] erhält man für die assoziierten Tableaux (Abb. 9.14) die Äquivalenz :1 [2, 1] ∼ T = T2 [2, 1]

:2 [2, 1] ∼ T = T1 [2, 1].

Nachdem der Tensorraum V ⊗n mit den d n (= dim V ⊗n ) Basistensoren n-ter Stufe {u k1 ,...,kn = u k | ki = 1, . . . , d} (9.227) sowohl einen Darstellungsraum für die L IE-Algebra L als auch für die symmetrische Gruppe Sn bedeutet, erwartet man dessen Reduktion in invariante Unterräume auf zweifache Weise. Einmal bezüglich der L IE-Algebra gemäß V ⊗n =

d[λ]  λ

Vi[λ] (L) =



d[λ] V [λ] (L),

(9.298)

λ

i

wobei die Zahl der untereinander äquivalenten Vektorräume V [λ] (L) in der Zerlegung – nämlich die Multiplizität – gerade gleich der Dimension d[λ] des irreduziblen Darstellungsraumes V [λ] (Sn ) der symmetrischen Gruppe Sn ist. Zum anderen die Reduktion bezüglich der symmetrischen Gruppe gemäß dL

V ⊗n =

[λ] 

λ

k

Vk[λ] (Sn ) =

 λ

L [λ] d[λ] V (Sn ),

(9.299)

wobei die Multiplizität, mit der der irreduzible Vektorraum V [λ] (Sn ) in der ZerleL des Darstellungsraumes V [λ] (L) der L IEgung auftritt, gleich der Dimension d[λ] Algebra L ist. Insgesamt werden mit den Basistensoren {u k1 ,...,kn = u k | ki = 1, . . . , d} die Darstellungen des direkten äußeren Produkts zwischen den Darstellungen D [λ] (L) und den Darstellungen D [λ] (Sn ) begründet. Diese Produktdarstellungen haben dann

9.6

YOUNG-Tableaux

497

L und sind irreduzibel, falls die einzelnen faktoriellen Dardie Dimension d[λ] d[λ] stellungen irreduzibel sind (Abschn. 3.10). Die Dimension des Tensorraumes V ⊗n ergibt sich dann aus der Summe über die Dimension der Produktdarstellungen

dn =

λ

L d[λ] d[λ]

d = dim V,

(9.300)

was auch nach Gln. (9.298) und (9.299) erwartet wird. Die Reduktion des Tensorraumes V ⊗n (9.298) bezüglich der L IE-Algebra L geschieht mithilfe der Projektionsmethode. Dabei wird ein   vollständiger Satz von [λ] irreduziblen Projektionsoperatoren Pii | i = 1, . . . , d[λ] (9.290) der symmetriL symmetrieangepasster Basisschen Gruppe Sn verwendet. Zur Ermittlung aller d[λ] tensoren n-ter Stufe der irreduziblen Darstellung D [λ] (L) wird man zunächst die L linear unabhängigen und zu projizierenden Tensorprodukte u d[λ] k1 ,...,kn = u k aufsuchen. Dies geschieht mithilfe eines graphischen Verfahrens unter Verwendung des YOUNG-Diagramms [λ]. Es ermöglicht die Aufstellung von speziellen erlaubten YOUNG-Tableaux, von denen jedes für die Projektion zur Verfügung stehendes Tensorprodukt repräsentiert. Ausgegangen wird von einer festen Konfiguration k = k1 , . . . , kn , von der es entsprechend der Anzahl von Tensorprodukten eine Anzahl von insgesamt (dim V)n gibt. Betrachtet man zwei Indizes ki und k j , deren zugehörige Basisvektoren vki und vk j bzgl. einer Vertauschung antisymmetrisiert werden, dann können diese nicht die gleichen Ziffern ki , k j ∈ {1, . . . , dim V} einnehmen. Vielmehr gilt im Fall der Antisymmetrisierung und mithin für eine Spalte des YOUNG-Diagramms die Forderung

ki < k j

für

1 ≤ i < j ≤ dim V.

(9.301a)

Andererseits können diejenigen Indizes ki und k j , deren zugehörige Basisvektoren vki und vk j bezüglich Vertauschung symmetrisiert werden, auch gleiche Ziffern ki , kk j ∈ {1, . . . , dim V} einnehmen. Demnach gilt im Fall der Symmetrisierung und mithin für eine Zeile des YOUNG-Diagramms ki ≤ k j

für

1 ≤ i < j ≤ dim V.

(9.301b)

Im Ergebnis werden die Ziffern einer festen Konfiguration k = k1 , . . . , kn auf die Quadrate eines YOUNG-Diagramms [λ] so verteilt, dass sie in einer Spalte von oben nach unten zunehmen und von links nach rechts nicht abnehmen. Eine Wiederholung von zwei Ziffern innerhalb einer Zeile ist so durchaus erlaubt (ki = k j , i = j). Dagegen impliziert eine Wiederholung von zwei Ziffern innerhalb der Quadrate einer Spalte eine verschwindende Antisymmetrisierung, so dass dieses YOUNG-Tableau nicht erlaubt ist. Mithilfe dieser graphischen Methode erhält man aus einem YOUNG-Diagramm [λ] unter Berücksichtigung aller (dimV)n Konfigurationen (ki = k j , i = j)

498

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

L erlaubte Y OUNG-Tableaux. Mit jedem dieser erlaubten Y OUNG insgesamt d[λ] Tableaux ist ein Tensorprodukt u k1 ,...,kn verknüpft – entsprechend den Ziffern in den Quadraten –, dessen Projektion mit einem vollständigen Satz irreduzibler Projek  [λ] tionsoperatoren Pii | i = 1, . . . , d[λ] (9.288) der symmetrischen Gruppe Sn einen   Satz von symmetrieangepassten Basistensoren u [λ] k,i | i = 1, . . . , d[λ] liefert [λ] u [λ] k,i = Pii u k

i = 1, . . . , dim V.

(9.302)

Letztere gehören zu den in der Reduktion (9.298) insgesamt d[λ] äquivalenten Darstellungen D [λ] (L). Alle weiteren symmetrieangepassten Basistensoren erhält man L Tensorprodukte, die den erlaubten YOUNG -Tableaux durch die Projektion aller d[λ] zugeordnet sind. L einer irreduziblen Darstellung D [λ] (L) ist festgelegt durch Die Dimension d[λ] die Anzahl der erlaubten YOUNG-Tableaux bzw. durch die Anzahl von Konfigurationen k = k1 , . . . , kn . Letztere bedeutet eine Anzahl dim V von unabhängigen Zifferntupel k1 , . . . , kn entsprechend der Anzahl von Basistensoren u k1 ,...,kn mit n Indizes k1 , . . . , kn ∈ {1, . . . , d = dim V}, die die richtigen Symmetrieeigenschaften besitzen. Daneben kann die Dimension auch durch eine algebraische Relation ausgedrückt werden, was insbesondere bei komplizierten YOUNG-Diagrammen und deren aufwendige Besetzung mit dem d-Zifferntupel von Vorteil ist. Für die einfache L IEAlgebra Al findet man dafür E Al d[λ]

=

i< j (h i

− h j)

l!(l − 1)! . . . 1!

h i = λi + l + 1 − i

i, j = 1, . . . , l + 1. (9.303)

Dabei bedeutet λi die Anzahl der Quadrate in der i-ten Zeile und es gilt für die Zahl m der Zeilen des Y OUNG-Diagramms m ≤ l + 1, so dass λi verschwindet (λi = 0), falls i größer ist als die Zahl m in h i (i > m). Wie bei der Ermittlung der Dimension von Darstellungen der symmetrischen Gruppe (9.273a) gibt es auch hier eine weitere einfachere Form, nämlich die sogenannte Stufen-Formel A

d[λ]l

< (i, j)∈[λ]

(l + 1 − i + j) . hi j

(9.304)

Dabei hat das Zahlenpaar (i, j) bzw. die Stufenlänge h i j die gleiche Bedeutung wie in Gl. (9.273b). Schließlich ist darauf hinzuweisen, dass ein erlaubtes YOUNG-Tableau der L IEAlgebra Al entsprechend der (l + 1) Basisvektoren der fundamentalen Darstellung

9.6

YOUNG-Tableaux

499

D () (Al ) höchstens (l + 1) Zeilen haben kann. Andernfalls gibt es eine Spalte mit mehr als (l + 1) Quadraten, so dass eine der Ziffern k1 , . . . , kn ∈ {1, . . . , l + 1} mehrfach auftritt und eine Antisymmetrisierung nicht möglich ist. Im Folgenden werden zwei YOUNG-Diagramme [λ] und [λ ] mit den Verteilungen [λ] = [λ1 , . . . , λl+1 ] und [λ ] = [λ1 + 1, . . . , λl+1 + 1] betrachtet. Wenn das erste Diagramm [λ] mit (l + 1) Spalten zum Tensorraum V ⊗n gehört, muss das zweite mit nur einer neuen Spalte aus zusätzlichen (l + 1) Quadraten zum Tensorraum V ⊕(n+l+1) gehören. Die Besetzung dieser neuen Spalte mit den Ziffern {1, 2, . . . , (l + 1)} kann wegen der Forderung nach Antisymmetrisierung (9.301a) nur auf eine einzige Weise mit wachsender Reihenfolge geschehen. Demnach erhält man für beide Y OUNG-Diagramme die gleiche Anzahl von erlaubten YOUNGTableaux und mithin auch die gleiche Anzahl von Ausgangstensoren für die nachfolgende Projektion, so dass die Dimension der irreduziblen Darstellungen D [λ] (Al )  und D [λ ] (Al ) gleich ist. Als Konsequenz daraus gewinnt man die Aussage, dass mit der gleichen Anzahl von Basistensoren die beiden Darstellungen zueinander äquivalent sind. Diese Überlegung lässt sich fortsetzen durch die Einführung weiterer Spalten der Anzahl {z ∈ Z| z > −λl+1 } mit (l + 1) Quadraten, ohne dass eine nicht-äquvalente irreduzible Darstellung resultiert. Daneben sind auch jene irreduziblen Darstellun gen D [λ] und D [λ ] mit der Verteilung [λ ] = [λ1 − λl+1 , λ1 − λl , . . . λ1 − λ2 ] zueinander äquivalent (dual). Als Konsequenz daraus kann man bei der Ermittlung der Dimension einer irreduziblen Darstellung D [λ] (Al ) alle Spalten mit genau (l+1) Quadraten ignorieren. Bei der Ermittlung der Gewichte einer irreduziblen Darstellung D [λ] (Al ) beginnt man zunächst mit nur einem Basisvektor vki der (l + 1)-dimensionalen fundamentalen Darstellung D (ki ) (Al ). Gemäß der Eigenwertgleichung (9.22) bzw. (9.109a) j

D(h j )vki = ki (h j )vki = ki vki

hj ∈ H

ki ∈ {1, . . . , (l + 1)} (9.305) gehört dieser Basisvektor vki zu dem Gewicht ki , das in der DYNKIN-Basis {(i) | i = 1, . . . , l} durch die l DYNKIN-Label festgelegt wird   ki = 1ki , . . . , lki

j = 1, . . . , l

ki ∈ {1, . . . , (l + 1)}.

(9.306)

Betrachtet man weiter das Tensorprodukt n-ter Stufe u k1 ,...,kn , dann findet man die Eigenwertgleichung D(h j )u k1 ,...,kn = D(h j )vk1 ⊗ vk2 ⊗ . . . ⊗ vkn + vk1 ⊗ D(h j )vk2 ⊗ . . . ⊗ vkn + . . . + vk1 ⊗ vk2 ⊗ . . . ⊗ D(h j )vkn =

n

j

ki u k1 ,...,kn

j = 1, . . . , l.

i=1

(9.307)

500

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Danach setzt sich die Komponente  j bzw. das DYNKIN-Label des gesamten Gewichts , das zum Tensorprodukt u k1 ,...,kn gehört, additiv aus den gleichen j Komponenten ki bzw. den DYNKIN-Label der faktoriellen Basisvektoren {vki | i = 1, . . . , n} zusammen j =

n

j

k i

j = 1, . . . , l

ki ∈ {1, . . . , (l + 1)}.

(9.308)

i=1 [λ] Für das symmetrieangepasste Tensorprodukt u [λ] k = u k1 ,...,kn bekommt man dann wegen der Vertauschbarkeit des Operators {D(a)| a ∈ Al } mit dem Operator {D( p)| p ∈ Sn } bzw. dem Projektionsoperator (9.290) die Eigenwertgleichung [λ] [λ] [λ] j j j D(h j )u [λ] k,i = D(h )Pii u k = Pii D(h )u k = Pii D(h )u k1 ,...,kn

=

n

ki u [λ] k,i j

(9.309)

j = 1, . . . , l.

i=1

Unter Berücksichtigung aller Operatoren D8h j ) mit den Elementen {h j | j = 1, . . . , l} der C ARTAN-Unteralgebra H ist der symmetrieangepasste Basistensor u [λ] k der irreduziblen Darstellung D [λ] (Al ) dann dem Gewicht [λ] k =

n  n 

ki 1ki , 2ki , . . . , lki = i=1

(9.310)

i=1

zuzuordnen. Um alle Gewichte [λ] k , die zu einem YOUNG -Diagramm [λ] gehören, Al von erlaubten YOUNG-Tableaux zu erhalten, wird man entsprechend der Anzahl d[λ] bzw. der Anzahl von möglichen Konfigurationen {k = k1 , . . . , kn | ki ∈ {1, . . . , (l + 1)}} die Eigenwerte nach Gl. (9.310) ermitteln. Neben der Verteilung [λ] kann eine irreduzible Darstellung D [λ] (Al ) auch durch das höchste Gewicht [λ] bzw. deren DYNKIN-Label charakterisiert werden. Das dem höchsten Gewicht zugeordnete YOUNG-Tableau hat in den Quadraten der ersten Zeile λ1 mal die Ziffer 1, in der zweiten Zeile λ2 mal die Ziffer 2, bis Addition der den Ziffern schließlich in der l-ten Zeile λl mal die Ziffer l. Durch  l 1 2 zugeordneten Gewichte ki = ki , ki , . . . , ki erhält man dann das höchste Gewicht [λ] =

l+1

λki ki

i = 1, . . . , n.

(9.311)

ki =1

Diese Konfiguration des erlaubten YOUNG-Tableau kann nur auf eine einzige Weise erreicht werden, so dass das maximale Gewicht nicht entartet ist.

9.6

YOUNG-Tableaux

501

Eine andere Form der Charakterisierung eines YOUNG-Diagramms [λ] und somit einer irreduziblen Darstellung D [λ] (Al ) gelingt durch die Zyklenstruktur (k) (9.254a). Dabei bedeuten die Zyklen ki der symmetrischen Gruppe die l DYNKIN Label {i |i = 1, . . . , l} des höchsten Gewichts (9.40). Die Länge der j-ten Zeile eines YOUNG-Diagramms ist dann gegeben durch λ j − λl+1 =

l

i ,

i= j

so dass das DYNKIN-Label  j als die Anzahl der Spalten mit j Quadraten sich aus der Differenz zweier aufeinanderfolgender Zeilen errechnet (s. a. Gl. 9.258)  j = λ j − λ j+1 .

(9.312)

Eine irreduzible Darstellung D [λ] (Al ) = D ( ,..., ) (Al ) mit dem höchsten Gewicht (9.40) kann dann durch ein YOUNG-Diagramm [λ] beschrieben werden, dessen Anzahl von Spalten mit j Quadraten durch das DYNKIN-Label  j festgelegt wird. Allgemein gilt für die Anzahl der Quadrate eines YOUNG-Diagramms (s. a. Gl. 9.254b) 1

l

i=1

λi =

l

l

ii .

i=1

Die fundamentale Darstellung D (1,0,...,0) , deren maximales Gewicht  die DYN KIN -Label 1 = 1, 2 = 3 = . . . = l = 0 besitzt, kann als Y OUNG-Diagramm [λ] = [λ1 = 1, λ2 = 0, . . . , λl+1 = 0] durch ein einziges Quadrat repräsentiert werden. Allgemein wird eine fundamentale Darstellung mit dem höchsten Gewicht  = i (i) δi j ( j = 1, . . . , l) durch ein YOUNG-Diagramm [λ] = [1i ] vertreten, das nur eine Spalte mit i Quadraten besitzt. Ein YOUNG-Diagramm [λ] = [1l+1 ], das nur aus einer Spalte mit (l + 1) Quadraten besteht, hat das verschwindende maximale Gewicht  = 0. Damit wird eine eindimensionale triviale Darstellung (Singulett) vertreten, bei der alle DYNKIN Label nach (9.312) verschwinden ({i = 0| i = 1, . . . , l}). Die adjungierte Darstellung D (1,0,...,1) (Al ), deren maximales Gewicht  die DYNKIN-Label 1 = 1, 2 = 3 = . . . = l−1 = 0, l = 1 besitzt (l ≥ 2), kann durch die Verteilung [λ] = [2, 1l−1 ] dargestellt werden. Für das zugehörige YOUNG-Diagramm erwartet man dann nach Identifizierung der DYNKIN -Label mit der Zyklenstruktur (9.254a) eine Spalte mit nur einem Quadrat sowie eine Spalte mit (l − 1) Quadraten. Beispiel 8 Im trivialen Fall mit nur einem Faktor vki im Tensorprodukt (9.227) ist die symmetrische Gruppe S1 relevant. Die triviale, einzige Verteilung [λ] = [1] wird dort durch ein Quadrat als YOUNG-Diagramm vertreten. Setzt man die einfache L IE-Algebra Al voraus, dann gibt es entsprechend der (l + 1) Basisvektoren

502

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

der fundamentalen Darstellung D [1] (Al ) auch eine Anzahl (l + 1) Konfigurationen {k = ki | ki ∈ {1, . . . , (l + 1)}}. Letztere werden als Ziffern {1, 2, . . . , (l + 1)} in das YOUNG-Diagramm einzeln eingetragen, woraus insgesamt (l + 1) erlaubte YOUNG-Tableaux resultieren. Als DYNKIN-Label dieser fundamentalen Darstellung D [1] (Al ) bekommt man nach (9.312) die bekannten Werte (1 = 1, 2 = 3 = . . . l = 0). Das maximale Gewicht errechnet sich dann zu 1(1) , wie man es nach Beispiel 1 von Abschn. 9.2 erwartet. Im speziellen Fall der L IE-Algebra A1 werden entsprechend der beiden Basis()

(−α (1) )

vektoren der fundamentalen Darstellung vk1 = v1 ≡ v und vk1 = v2 ≡ v die beiden Ziffern k1 = 1 und k1 = 2 jeweils in ein YOUNG-Diagramm eingetragen. Man erhält so zwei erlaubte YOUNG-Tableaux (Abb. 9.15). Diese repräsentieren eine zweidimensionale Darstellung D [1] (A1 ), die mit der fundamentalen Darstellung D (=1) (A1 ) (Dublett) identisch ist (Abb. 9.3). Im Fall der trivialen Darstellung D (=0) (A1 ) = 0 (9.58a) mit nur einem Basisvektor ((1 + 1) = 1), der ein Singulett vertritt, wird kein YOUNG-Tableau gezeichnet.

Abb. 9.15 Zwei erlaubte YOUNG-Tableaux für die irreduzible Darstellung D [1] (A1 ) bei einem einfachen, trivialen Tensorprodukt und der L IE-Algebra A1 Al Die Dimension der d[1] der irreduziblen Darstellung D [1] (Al ) mit der trivialen Verteilung [λ] = [1] und nur einem Quadrat als YOUNG-Diagramm errechnet sich nach der Stufenformel (9.304) mit der einzigen Stufenlänge h 11 = 1 zu dem bereits bekannten Ergebnis (Tab. 9.1) für die fundamentale Darstellung D (=1) (Al ) (Beispiel 14 und 15) zu A

d[1]l =

l +1−1+1 = l + 1. 1

Die Gewichte, die zu dem YOUNG-Diagramm [λ] = [1] mit nur einem Quadrat gehören (Abb. 9.15), errechnen sich nach (9.310) für die Konfiguration k = k1 = 1 und k = k1 = 2 zu 1 [1] k1 =1 =  (1) = 1(1)

und

1 (1) [1] = −1 (1) = −1(1) . k1 =2 =  (1) − α

Es sind die zwei einfachen Gewichte der fundamentalen Darstellung D (1) (A1 ) (Abb. 9.3). Das maximale Gewicht 1(1) hat das DYNKIN-Label 1 = 1, das diese fundamentale Darstellung zu charakterisieren vermag (Beispiel 1 v. Abschn. 9.2). Man erhält dieses DYNKIN-Label, das nach Identifizierung mit der Zyklenstruktur (9.254a) nur eine Spalte mit nur einem Quadrat bedeutet, auch nach Gl. (9.312) mit [λ] = [λ1 = 1]. Beispiel 9 Als weiteres Beispiel werden die 4 (= (l + 1)2 = d) Tensorprodukte {u k1 ,k2 | k1 , k2 ∈ {1, 2}} der L IE-Algebra A1 betrachtet. Diese Tensoren 2-ter Stufe spannen den Tensorraum V ⊗2 auf, dessen Reduktion nach Gl. (9.298) bzgl. A1 und

9.6

YOUNG-Tableaux

503

den zwei möglichen Verteilungen [λ] = [2] sowie [λ] = [12 ] ausgedrückt wird durch V ⊗2 = 1V [2] (A1 ) + 1V [1 ] (A1 ). 2

(9.313a)

Die Reduktion des Tensorraumes im Hinblick auf die symmetrische Gruppe S2 nach Gl. (9.299) liefert die Zerlegung V ⊗2 = 3V [2] (S2 ) + 1V [1 ] (S2 ). 2

(9.313b)

Eine Dimensionsbetrachtung ergibt dann mit der Bilanz (9.300) für die Dimension 2 der irreduziblen Darstellungen D [2] (A1 ) und D [1 ] (A1 ) A1 d[2] =3

und

A

d[112 ] = 1.

Abb. 9.16 Erlaubte YOUNG-Tableaux bei einem 2-fachen Tensorprodukt V ⊗2 im Fall der L IE2 Algebra A1 ; (a) [λ] = [2] bzw. D [2] (A1 ), (b) [λ] = [12 ] bzw. D [1 ] (A1 )

Die Verteilung [λ] = [2] mit dem zugehörigen YOUNG-Diagramm von Abb. 9.12 fordert eine reine Symmetrisierung der beiden Basisvektoren vk1 und vk2 der fundamentalen Darstellung von A1 . Dies bedeutet eine Verteilung der den beiden Vektoren entsprechenden Ziffern k1 , k2 ∈ {1, 2} auf die Quadrate des YOUNG-Diagramms [λ] = [2], wobeiletzterevon links nach rechts nicht abnehmen dürfen (Gl. 9.301a). A1 Man erhält so 3 = d[2] erlaubte YOUNG-Tableaux (Abb. 9.16). Damit verknüpft sind die drei Tensorprodukte u 11 , u 12 und u 22 , deren Projektion mit dem Projektionsoperator (9.288) der symmetrischen Gruppe S2

[2] P11 = P [2] =

1 (D(e) + D((12))) 2

einen Satz von drei symmetrieangepassten Basistensoren u k1 ,k2 für die irreduzible Darstellung D [2] (A1 ) (Triplett) liefert

504

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren [2] u [2] 11 = P u 11 = u 11 1 [2] u [2] 12 = P u 12 = 2 (u 11 + u 12 ) [2] u [2] 22 = P u 22 = u 22 .

(9.314)

A1 der Darstellung D [2] (A1 ) errechnet sich ausgehend vom Die Dimension d[2] YOUNG-Diagramm der Abb. 9.12 nach der Stufen-Formel (9.304) mit den beiden Stufenlängen h 11 = 2 und h 12 = 1 zu dem bekannten Ergebnis (s. o.)

A1 = d[2]

(2 − 1 + 1)(2 − 1 + 2) = 3. 2·1

Die Verteilung [λ] = [12 ] mit dem zugehörigen YOUNG-Diagramm von Abb. 9.12 fordert eine reine Antisymmetrisierung der beiden Basisvektoren vk1 und vk2 . Dies bedeutet eine Verteilung der den beiden Vektoren entsprechenden Ziffern einer k1 = 1 und k2 = 2 auf die beiden Quadrate des YOUNG-Diagramms  im Sinne  A1 Zunahme innerhalb der Spalte nach (9.301a). Man erhält so ein = d[12 ] erlaubtes YOUNG-Tableaux (Abb. 9.16). Damit verknüpft ist ein Tensorprodukt u 12 , dessen Projektion mit dem Projektionsoperator (9.288) der symmetrischen Gruppe S2 [1 ] P11 = P [1 ] = 2

2

1 [D(e) − D((12))] 2

] den symmetrieangepassten Basistensor u [1 für die irreduzible Darstellung 12 2 D [1 ] (A1 ) (Singulett) liefert (s. a. Beispiel 1) 2

] [1 ] u 12 = u [1 12 = P 2

2

1 (u 12 − u 21 ). 2

Die Dimension d[1A12 ] der Darstellung errechnet sich ausgehend von dem YOUNGDiagramm von Abb. (9.12) nach der Stufen-Formel (9.304) mit den beiden Stufenlängen h 11 = 2 und h 21 = 1 zu dem bekannten Ergebnis (s. o.) d[1A12 ] =

(2 − 1 + 1)(2 − 2 + 1) = 1. 2·1

Die Gewichte in Einheiten der DYNKIN-Basis {(1) }, die zu dem YOUNGDiagramm [λ] = [2] mit einer Zeile aus zwei Quadraten gehören (Abb. 9.12), errechnen sich nach (9.310) mit nur einer Komponente (l = 1) für die drei Konfigurationen k1 , k2 = 11, 12, 22 bzw. für die drei erlaubten YOUNG-Tableaux (Abb. 9.16a) zu (Abb. 9.17)

9.6

YOUNG-Tableaux

505

Abb. 9.17 Gewichte der fundamentalen Darstellung D (1) (A1 ) (•) sowie der irreduziblen Darstel2 lungen D [2] (A1 ) (Triplett: (o)) und D [1 ] (A1 ) (Singulett: (x)) in DYNKIN-Label i bzw. Einheiten der DYNKIN-Basis {(i) } 1 1 1 [2] 11 = k1 =1 + k2 =1 =  +  = 2 = 2 1 1 [2] 12 = k1 =1 + k2 =2 =  −  = 0 1 1 1 [2] 22 = k1 =2 + k2 =2 = − −  = −2 = −2.

Das höchste Gewicht [2] = 2(1) hat das DYNKIN -Label 1 = 2, das die irreduzible Darstellung (Triplett) zu charakterisierren vermag (D [2] (A1 ) := D (2) (A1 )). Man erhält dieses DYNKIN-Label, das nach Identifizierung mit der Zyklenstruktur (9.254a) zwei Spalten mit jeweils einem Quadrat bedeutet, auch nach Gl. (9.312) mit [λ] = [λ1 = 2]. Das Gewicht, das zu dem YOUNG-Diagramm [λ] = [12 ] mit zwei Zeilen zu je einem Quadrat gehört (Abb. 9.12), errechnet sich nach (9.310) für die einzige mögliche Konfiguration k1 , k2 = 12 bzw. für das einzige erlaubte YOUNG-Tableau (Abb. 9.16b) zu ] 1 1 [1 12 = k1 =1 + k2 =2 =  −  = 0, 2

was für ein Singulett auch zu erwarten ist (Abb. 9.17). Es ist zugleich das maximale Gewicht dieser trivialen Darstellung, das nach der Zyklenstruktur (9.254a) mit dem verschwindendem DYNKIN-Label 1 = 0 keine Spalte mit nur einem Quadrat erwarten lässt. In Fortführung des letzten Beispiels werden die 8 (= (l + 1)3 = d) Tensorprodukte {u k1 ,k2 k3 | k1 , k2 , k3 ∈ {1, 2, 3}} der L IE-Algebra A1 betrachtet. Diese Tensoren 3-ter Stufe spannen den Tensorraum V ⊗3 auf, dessen Reduktion nach Gl. (9.298) bezüglich A1 und den möglichen Verteilungen[λ] = [3] sowie [λ] = [2, 1] ausgedrückt wird durch V ⊗3 = 1V [3] (A1 ) + 2V [2,1] (A1 ).

(9.315a)

Die Reduktion des Tensorraumes im Hinblick auf die symmetrische Gruppe S3 nach Gl. (9.299) liefert die Zerlegung V ⊗3 = 4V [3] (S3 ) + 2V [2,1] (S3 ).

(9.315b)

506

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Eine Dimensionsbetrachtung ergibt dann mit der Bilanz (9.300) für die Dimension der irreduziblen Darstellungen D [3] (A1 ) und D [2,1] (A1 ) A1 =4 d[3]

und

A1 d[2,1] = 2.

Abb. 9.18 Erlaubte YOUNG-Tableaux bei einem 3-fachen Tensorprodukt V ⊗3 im Fall der L IEAlgebra A1 ; (a) [λ] = [3] bzw. D [3] (A1 ), (b) [λ] = [2, 1] bzw. D [2,1] (A1 )

Die Verteilung [λ] = [3] mit dem zugehörigen YOUNG-Diagramm von Abb. (9.13) fordert eine reine Symmetrisierung der drei Basisvektoren vk1 , vk2 und vk3 der fundamentalen Darstellung von A1 . Dies impliziert eine Verteilung der den drei Vektoren entsprechenden Ziffern k 1 = 1 und k1 = 2 auf die Quadrate des YOUNG-Diagramms [λ] = [3], wobei die Ziffern von links nach rechts nicht ab A nehmen dürfen (Gl. 9.301a). Man erhält so 4 = d[3]1 erlaubte YOUNG-Tableaux (Abb. 9.18b). Damit verknüpft sind vier Tensorprodukte u 111 , u 112 , u 122 und u 222 , deren Projektion mit dem Projektionsoperator (9.288) der symmetrischen Gruppe S3 [3] P11 = P [3] =

1 [D(e) + D((12)) + D((23)) + D((31)) + D((132)) + D((123))] 6

einen Satz von vier symmetrieangepassten Basistensoren u k1 ,k2 ,k3 für die irreduzible Darstellung d [3] (A1 ) (Quartett) liefert [3] u [3] 111 = P u 111 = u 111 1 [3] u [3] 112 = P u 112 = 3 (u 112 + u 121 + u 211 ) 1 [3] u [3] 122 = P u 122 = 3 (u 122 + u 212 + u 221 ) [3] u [3] 222 = P u 222 = u 222 .

(9.316)

A1 Die Dimension d[3] der Darstellung D [3] (A1 ) errechnet sich ausgehend von dem YOUNG-Diagramm in Abb. 9.13 nach der Stufen-Formel (9.304) mit den drei Stufenlängen h 11 = 3, h 12 = 2 und h 13 = 1 zu dem bekannten Ergebnis (s. o.)

9.6

YOUNG-Tableaux

507

A

d[3]1 =

(2 − 1 + 1)(2 − 1 + 2)(2 − 1 + 3) = 4. 3·2·1

Die Verteilung [λ] = [2, 1] mit dem zugehörigen YOUNG-Diagramm von Abb. 9.13 fordert eine gemischte Symmetrisierung bzw. Antisymmetrisierung der drei Basisvektoren vk1 , vk2 und vk3 . Dies impliziert eine Verteilung der den Basisvektoren entsprechenden Ziffern k1 = 1 und k1 = 2 auf die Quadrate der 1. Zeile als auch auf die der 1. Spalte mit Rücksicht auf die bekannten Forderungen (9.301), so dass die Ziffern von links nach rechts nicht abnehmen dürfen und von oben nach unten   A1 wachsen müssen. Man erhält so 2 = d[2,1] erlaubte YOUNG-Tableaux, mit denen zwei Tensorprodukte u 11, 2 und u 12, 2 verknüpft sind (Abb. 9.18b). Nachdem die irreduzible Darstellung D [2,1] (S3 ) der symmetrischen Gruppe S3 zweidimensional ist (d[2,1] = 2), wird man zur Ermittlung der symmetrieangepassten Basis der irreduziblen Darstellung D [2,1] (A1 ) nach Gl. (9.278) auch zwei Projektionsoperatoren der Form (9.291a) und (9.291b) erwarten. Die Projektion mithilfe des ersten Operators (9.291a) liefert dann einen Satz von zwei symmetrieangepassten Basistensoren für die irreduzible Darstellung D [2,1] (A1 ), der – bis auf einen konstanten Faktor – mit jenen von Gl. (9.237) übereinstimmt 2 (u 11, 2 − u 21, 2 ) 3 1 = (u 12, 2 − u 22, 1 ). 3

[2,1] u [2,1] 11, 2 = P11 u 11, 2 =

(9.317a)

[2,1] u [2,1] 12, 2 = P11 u 12, 2

(9.317b)

Die Projektion mithilfe des zweiten Operators (9.291b) liefert einen dazu linear unabhängigen Satz symmetrieangepasster Basistensoren 1 (u 21, 1 − u 12, 1 ) 3 1 = (u 12, 2 − u 21, 2 ), 3

[2,1] u [2,1] 11, 2 = P22 u 11, 2 =

(9.318a)

[2,1] u [2,1] 12, 2 = P22 u 12, 2

(9.318b)

der – bis auf eine konstanten Faktor – mit jenen von Gl. (9.238) übereinstimmt. Beide Basissätze gehören zur zweidimensionalen Darstellung D [2,1] (A1 ), die wegen der Multiplizität d[2,1] = 2 in der Zerlegung (9.315a) zweimal auftritt. A1 der Darstellung D [2,1] (A1 ) errechnet sich ausgehend von Die Dimension d[2,1] dem YOUNG-Diagramm in Abb. 9.13 nach der Stufen-Formel (9.304) mit den drei Stufenlängen h 11 = 3, h 12 = 1 und h 21 = 1 zu dem bekannten Ergebnis (s. o.) A1 d[2,1] =

(2 − 1 + 1)(2 − 1 + 2)(2 − 2 + 1) = 2. 3·1·1

Die Gewichte in Einheiten der DYNKIN-Basis {(1) }, die zu dem YOUNGDiagramm [λ] = [3] mit einer Zeile aus drei Quadraten gehören (Abb. 9.13), errechnen sich nach (9.310) mit nur einer Komponente (l = 1) für die vier Konfigurationen k1 , k2 , k3 = 111, 112, 122, 222 bzw. für die vier erlaubten YOUNG-

508

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Tableaux (Abb. 9.18) zu 1 1 1 1 [3] 111 = k1 =1 + k2 =1 + k 3 =1 =  +  +  = 3 = 3 1 1 1 1 [3] 112 = k1 =1 + k2 =1 + k 3 =2 =  +  −  = 1 = 1 1 1 1 1 [3] 122 = k1 =1 + k2 =2 + k 3 =2 =  −  −  = −1 = −1 1 1 1 1 [3] 222 = k1 =2 + k2 =2 + k 3 =2 = − −  −  = −3 = −3.

Das höchste Gewicht [3] = 3(1) hat das DYNKIN -Label 1 = 3, das die irreduzible Darstellung (Quartett) zu charakterisieren vermag (D [3] (A1 ) := D (3) (A1 )). Man erhält dieses DYNKIN-Label, das nach Identifizierung mit der Zyklenstruktur (9.254a) drei Spalten mit jeweils einem Quadrat bedeutet, auch nach Gl. (9.312) mit [λ] = [λ1 = 3]. Die Gewichte, die zu dem YOUNG-Diagramm [λ] = [2, 1] mit einer Zeile aus zwei Quadraten sowie einer Zeile aus einem Quadrat gehören (Abb. 9.13), errechnen sich nach (9.310) mit nur einer Komponente (l = 1) für die zwei Konfigurationen k1 , k2 , k3 = 112 und 122 bzw. zwei erlaubten YOUNG-Tableaux (Abb. 9.18) zu 1 1 1 1 [2,1] 112 = k1 =1 + k2 =1 + k3 =2 =  +  −  = 1 = 1 1 1 1 1 [2,1] 122 = k1 =1 + k2 =2 + k3 =2 =  −  −  = −1 = −1.

Das höchste Gewicht [2,1] = 1(1) hat das DYNKIN-Label 1 = 1, das die irreduzible Darstellung (Dublett) zu charakterisieren vermag (D [2,1] (A1 ) := D (1) (A1 )). Es ist die fundamentale Darstellung mit zwei einfachen Gewichten (s. Beispiel 21). Man erhält dieses DYNKIN -Label auch nach Gl. (9.312) mit [λ] = [λ1 = 2, λ2 = 1]. Nach Identifizierung mit der Zyklenstruktur (9.254a) findet man nur eine Spalte mit nur einem Quadrat (Abb. 9.15), so dass die Äquivalenz der irreduziblen Darstellungen D [2,1] (A1 ) und D [1] (A1 ) die Forderung nach Streichung jener Spalte mit zwei Quadraten (Abb. 9.18) erhebt.

Abb. 9.19 Erlaubte YOUNG-Tableaux bei einem 2-fachen Tensorprodukt V ⊗2 im Fall der L IE2 Algebra A2 ; (a) [λ] = [2] bzw. D [2] (A2 ), (b) [λ] = [12 ] bzw. D [1 ] (A2 )

Beispiel 10 Schließlich werden die 9 (= (l + 1)2 = d) Tensorprodukte {u k1 ,k2 | k1 , k2 ∈ {1, 2, 3}} der L IE-Algebra A2 betrachtet. Diese Tensoren 2-ter

9.6

YOUNG-Tableaux

509

Stufe spannen den Tensorraum V ⊗2 auf, dessen Reduktion nach Gl. (9.298) bzgl. A2 und den zwei möglichen Verteilungen [λ] = [2] sowie [λ] = [12 ] ausgedrückt wird durch V ⊗2 = 1V [2] (A2 ) + 1V [1 ] (A2 ). 2

(9.319a)

Die Reduktion des Tensorraumes im Hinblick auf die symmetrische Gruppe S2 nach Gl. (9.299) liefert die Zerlegung V ⊗2 = 6V [2] (S2 ) + 3V [1 ] (S2 ). 2

(9.319b)

Eine Dimensionsbetrachtung ergibt dann mit der Bilanz (9.300) für die Dimension 2 der irreduziblen Darstellungen D [2] (A2 ) und D [1 ] (A2 ) A

d[2]2 = 6

A

d[122 ] = 3.

und

Im Fall der Verteilung [λ] = [2], die eine reine Symmetrisierung fordert, bekommt man die erlaubten Y OUNG-Tableaux aus der möglichen Verteilung der den beiden Vektoren vk1 und vk2 entsprechenden Ziffern k1 , k2 ∈ {1, 2, 3} auf die beiden Quadrate des YOUNG-Diagramms K1 von Abb.  9.12 unter  Berücksichtigung A2 erlaubte YOUNGder Bedingung (9.301a). Man erhält so insgesamt 6 = d[2] Tableaux (Sextett) (Abb. 9.19a). Im Fall der Verteilung [λ] = [12 ], die eine reine Antisymmetrisierung fordert, 2 erhält man entsprechend der Dimension der irreduziblen Darstellung D [1 ] (A2 ) ins gesamt 3 = d[1A22 ] erlaubte YOUNG-Tableaux (Triplett) (Abb. 9.19b).

A2 der irreduziblen Darstellung D [2] (A2 ) errechnet sich ausDie Dimension d[2] gehend von dem Y OUNG-Diagramm [2] (Abb. 9.12) nach der Stufen-Formel (9.304) mit den beiden Stufenlängen h 11 = 2 und h 12 = 1 zu dem bekannten Ergebnis (s. o.) A2 d[2] =

(3 − 1 + 1)(3 − 1 + 2) = 6. 2·1

Im Fall der irreduziblen Darstellung D [1 ] (A2 ) erhält man ausgehend von dem YOUNG-Diagramm [12 ] (Abb. 9.12) mit den beiden Stufenlängen h 11 = 2 und h 21 = 1 das bekannte Ergebnis (s. o.) 2

A

d[122 ] =

(3 − 1 + 1)(3 − 2 + 1) = 3. 2·1

Die Gewichte in Einheiten der DYNKIN-Basis {(1) , (2) }, die zu dem YOUNGDiagramm [λ] = [2] mit einer Zeile aus zwei Quadraten gehören (Abb. 9.12), errechnen sich nach (9.310) mit zwei Komponenten (l = 2) für die sechs Konfigurationen k1 , k2 = 11, 12, 22, 13, 23, 33 bzw. sechs erlaubten YOUNG-Tableaux (Abb. 9.19a) zu (Abb. 9.20)

510

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

[2] 11 = (1 + 1, 0 + 0) = (2, 0) [2] 12 = (1 − 1, 0 + 1) = (0, 1) [2] 22 = (−1 − 1, 1 + 1) = (−2, 2) [2] 13 = (1 − 0, 0 − 1) = (1, −1) [2] 23 = (−1 − 0, 1 − 1) = (−1, 0) [2] 33 = (0 + 0, −1 − 1) = (0, −2). Das höchste Gewicht [2] = 2(1) + 0(2) hat die DYNKIN -Label 1 = 2 und 2 = 0, die die irreduzible Darstellung (Sextett) zu charakterisieren vermögen (D [2] (A2 ) := D (2,0) (A2 )). Man erhält diese DYNKIN -Label, die nach Identifizierung mit der Zyklenstruktur (9.254a) zwei Spalten mit nur einem Quadrat und keine Spalte mit zwei Quadraten bedeuten, auch nach Gl. (9.312) mit [λ] = [λ1 = 2, λ2 = 0].

Abb. 9.20 Gewichte der fundamentalen Darstellung D (1,0) (A2 ) (Triplett: (•)), der irreduziblen Darstellung D [2] (A2 ) := D (2,0) (A2 ) (Sextett: (o) ) sowie der antifundamentalen Darstellung 2 D [1 ] (A2 ) := D (0,1) (A2 ) (Triplett: (x)) in DYNKIN -Label (1 , 2 ) bzw. Einheiten der DYNKIN Basis {(1) , (2) }

Die Gewichte, die zu dem YOUNG-Diagramm [λ] = [12 ] mit zwei Zeilen zu je einem Quadrat gehören (Abb. 9.12), errechnen sich nach (9.310) mit zwei Komponenten (l = 2) für die drei Konfigurationen k1 , k2 = 12, 13, 23 bzw. für die drei erlaubten YOUNG-Tableaux (Abb. 9.19b) zu (Abb. 9.20) ] [1 12 = (1 − 1, 0 + 1) = (0, 1) 2

] [1 13 = (1 − 0, 0 − 1) = (1, −1) 2

] [1 23 = (−1 − 0, 1 − 1) = (−1, 0). 2

9.6

YOUNG-Tableaux

511

Das höchste Gewicht [1 ] = 0(1) + 1(2) hat die DYNKIN-Label 1 = 0 und 2 = 1, die die irreduzible Darstellung (Triplett) zu charakterisieren vermögen 2 (D [1 ] (A2 ) := D (0,1) (A2 )). Es ist die antifundamentale Darstellung, deren Gewichte das entgegengesetzte Vorzeichen haben im Vergleich zu den Gewichten der fundamentalen Darstellung D (1,0) (A2 ) (Abb. 9.5a). Betrachtet man das 3-fache Tensorprodukt, so wird der Tensorraum V ⊗3 von den insgesamt 27 (= (l + 1)3 = d) Tensorprodukten mit den Basisvektoren {u k1 ,k2 ,k3 | k1 , k2 , k3 ∈ {1, 2, 3}} der L IE-Algebra A2 aufgespannt. Seine Reduktion nach Gl. (9.298) bzgl. A2 und den drei möglichen Verteilungen [λ] = [3], [λ] = [2, 1] sowie [λ] = [13 ] liefert die Zerlegung 2

V ⊗3 = 1V [3] (A2 ) + 2V [2,1] (A2 ) + 1V [1 ] (A2 ). 3

(9.320a)

Die Reduktion des Tensorraumes im Hinblick auf die symmetrische Gruppe S3 nach Gl. (9.299) liefert die Zerlegung V ⊗3 = 10V [3] (S3 ) + 8V [2,1] (S3 ) + 1V [1 ] (S3 ). 3

(9.320b)

Eine Dimensionsbetrachtung ergibt dann mit der Bilanz (9.300) für die Dimension 3 der irreduziblen Darstellungen D [3] (A2 ), D [2,1] (A2 ) und D [1 ] (A2 ) A2 = 10, d[3]

A2 d[2,1] =8

und

d[1A23 ] = 1.

Im Fall der Verteilung [λ] = [3], die eine reine Symmetrisierung fordert, bekommt man die erlaubten Y OUNG-Tableaux aus der möglichen Verteilung der den drei Vektoren vk1 , vk2 und vk3 entsprechenden Ziffern k1 , k2 , k3 ∈ {1, 2, 3} auf die beiden Quadrate des YOUNG-Diagramms K1 von Abb. 9.13  Berücksichtigung  unter A2 der Bedingung (9.301a). Man erhält so insgesamt 10 = d[3] erlaubte YOUNGTableaux (Dekuplett) (Abb. 9.21a). Im Fall der Verteilung [λ] = [2, 1], die eine gemischte Symmetrisierung fordert, erhält man durch die möglichen Aufteilungen der Ziffern {1, 2, 3} auf die Quadrate des YOUNG-Diagramms K3 von Abb. 9.13 insgesamt 8 (= d[2,1] A2 ) erlaubte YOUNG-Tableaux (Oktett) (Abb. 9.21b). Schließlich findet man bei der Verteilung [λ] = [13 ], die wegen der reinen Antisymmetrisierung der drei Faktoren nach (9.301a) eine monoton aufsteigende Folge der Ziffern {1, 2, 3} fordert, nur ein erlaubtes Y OUNG-Tableau (Singulett) (Abb. 9.21c). Ermittelt man die Dimension der irreduziblen Darstellungen nach der StufenFormel (9.304), dann erhält man etwa im Fall D [2,1] (A2 ) mit dem YOUNGDiagramm K3 von Abb. 9.13 und den Stufenlängen h 11 = 3, h 12 = 1 und h 21 = 1 das bekannte Ergebnis A2 d[2,1] =

(3 − 1 + 1)(3 − 1 + 2)(3 − 2 + 1) = 8. 3·1·1

512

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Abb. 9.21 Erlaubte YOUNG-Tableaux bei einem 3-fachen Tensorprodukt V ⊗3 im Fall der L IEAlgebra A2 ; (a) [λ] = [3] bzw. D [3] (A2 ), (b) [λ] = [2, 1] bzw. D [2,1] (A2 ), (c) [λ] = [13 ] bzw. 3 D [1 ] (A2 )

Betrachtet man etwa die Verteilung [λ] = [2, 1] mit zwei Quadraten in der ersten Zeile und einem Quadrat in der zweiten Zeile (Abb. 9.13), dann errechnen sich die Gewichte nach (9.310) mit zwei Komponenten (l = 2) in der DYNKIN-Basis {(1) , (2) } für die acht Konfigurationen k1 , k2 , k3 = 112, 122, 132, 113, 123, 133, 223, 233 bzw. acht erlaubten YOUNG-Tableaux (Abb. 9.21b) zu [2,1] 112 = (1 + 1 − 1, 0 + 0 + 1) = (1, 1) [2,1] 122 = (1 − 1 − 1, 0 + 1 + 1) = (−1, 2) [2,1] 132 = (1 + 0 − 1, 0 + 1 − 1) = (0, 0) [2,1] 113 = (1 + 1 + 0, 0 + 0 − 1) = (2, −1) [2,1] 123 = (1 − 1 + 0, 0 + 1 − 1) = (0, 0) [2,1] 133 = (1 + 0 + 0, 0 − 1 − 1) = (1, −2) [2,1] 223 = (−1 − 1 + 0, 1 + 1 − 1) = (−2, 1) [2,1] 233 = (−1 + 0 + 0, 1 − 1 − 1) = (−1, −1).

9.6

YOUNG-Tableaux

513

Das höchste Gewicht [2,1] = 1(1) + 1(2) hat die DYNKIN -Label 1 = 1 und 2 = 1, die die irreduzible Darstellung (Oktett) zu charakterisieren vermögen (D [2,1] (A2 ) := D (1,1) (A2 )). Es ist die adjungierte Darstellung, deren Gewicht mit den DYNKIN-Label 1 = 0 und 2 = 0 zweifach entartet ist (Abb. 9.6). Nach Identifizierung der DYNKIN-Label des höchsten Gewichts, die auch nach Gl. (9.312) errechnet werden, mit der Zyklenstruktur (9.254a) erwartet man in Übereinstimmung mit der Verteilung [2, 1] eine Spalte mit nur einem Quadrat sowie eine Spalte mit zwei Quadraten. Die zweifache Entartung des Gewichts (0,0) ist darin begründet, dass in der Konfiguration k1 , k2 , k3 der zugehörigen zwei erlaubten YOUNG-Tableaux die Ziffern 1, 2 und 3 wiederholt vorkommen. Eine weitere sinnvolle Anwendung der YOUNG-Tableaux bietet sich bei der Suche nach der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung (9.146) von Tensorprodukten (Abschn. 9.5). Dabei wird auf ein graphisches Verfahren zurückgegriffen, das bei der Zerlegung von Tensorprodukten aus irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe benutzt wird (L ITTLEWOOD -R ICHARDSON-Regel). Mit der Voraussetzung der Assoziativität und Distributivität des direkten (inne  ren) Produkts zweier irreduzibler Darstellungen D [λ ] (Al ) und D [λ ] (Al ) wird eines der am Produkt beteiligten YOUNG-Diagramme [λ ] und [λ ] – etwa das Zweite – ausgewählt, um dessen Quadrate zeilenweise mit der Zeilennummer 1, 2, . . . auszufüllen. Anschließend werden diese markierten Quadrate an das andere – etwa das Erste – angefügt, so dass ein gültiges YOUNG-Diagramm entsteht. Dies impliziert die Forderung (9.257b), dass jede Zeile länger oder gleich lang ist verglichen mit der darunter liegenden Zeile. Man beginnt zunächst einzeln mit den Quadraten, die mit der Ziffer 1 besetzt sind, um weiter fortzufahren mit jenen Quadraten, die mit der Ziffer 2 besetzt sind usw. Zudem sind zwei Bedingungen zu berücksichten (1) Es dürfen keine zwei Quadrate mit der gleichen Kennzeichnung bzw. Ziffer in einer Spalte auftreten, da sonst die mit den Quadraten verbundenen Indizes ki , die ursprünglich in einer Zeile auftreten und so für eine Symmetrisierung von Basisvektoren sorgen, dann fälschlicherweise eine Antisymmetrisierung verursachen. (2) Wählt man einen Weg über das Diagramm beginnend mit dem äußersten rechten Quadrat der 1. Zeile, der zeilenweise nach links und nach unten verläuft, dann muss an jedem Punkt dieses Weges die Anzahl der Quadrate mit der Ziffer i mindestens größer oder gleich der Anzahl der Quadrate mit der Ziffer (i + 1) sein. Diejenigen Diagramme, deren Spalten länger als (l + 1) sind, werden nicht berücksichtigt, da dort eine Antisymmetrisierung – wegen dem mehrfachen Auftreten von Indizes ki – nicht möglich ist. Schließlich ist daran zu erinnern, dass wegen der Äquivalenz von solchen Darstellungen, deren YOUNG-Diagramme sich nur durch eine verschiedene Anzahl von Spalten mit (l + 1) Quadraten unterscheiden, die Spalten der Länge (l + 1) gestrichen werden können. Ein YOUNG-Diagramm, das aus einer oder mehreren Spalten der gleichen Länge (l + 1) besteht, gibt Anlass zu

514

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

einem verschwindenden Gewicht ( = 0), so dass die eindimensionale Darstellung (Singulett) repräsentiert wird. Beispiel 11 Ein einfaches Beispiel ist das direkte (innere) Produkt aus den 1 2 3 l beiden fundamentalen Darstellungen D ( =1, = =...= =0) (Al ) und 1 2 3 l ( =0, =1, =...= =0) D (Al ) der L IE-Algebra Al (l ≥ 2). Mit der Charakterisierung der irreduziblen Darstellungen durch die Verteilungen bzw. YOUNG2 Diagramme [λ] hat das Tensorprodukt die Form D [1] (Al ) ⊗ D [1 ] (Al ) (Abb. 9.22). Nach Kennzeichnung der Quadrate des rechten Diagramms [λ] = [12 ] zeilenweise mit den Ziffern 1 und 2 – der ersten und zweiten Zeile – werden diese Quadrate in der natürlichen Reihenfolge an das linke Diagramm [λ] = [1] angefügt (Abb. 9.22a). Dabei können das erste und das dritte YOUNG-Diagramm nicht die Bedingung (2) erfüllen, weshalb sie weggelassen werden. Nach Entfernen der Ziffern aus allen Diagrammen findet man dann die C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung (Abb. 9.22b) D (1,0,0,...,0) ⊗ D (0,1,0,...,0) = D (1,1,0,...,0) ⊕ D (0,0,1,0,...,0) bzw. D [1] ⊗ D [1 ] = D [2,1] ⊕ D [1 ] . 2

3

Abb. 9.22 Demonstration der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung des direkten Produkts D (1,0,0,...,0) ⊗ D (0,1,0,...,0) der L IE-Algebra Al (l ≥ 2) mithilfe von YOUNG-Diagrammen; (a) Zwischenergebnis; (b) Endergebnis mit der direkten Summe D (1,1,0,...,0) ⊕ D (0,0,1,0,...,0) bzw. 3 D [2,1] ⊕ D [1 ]

Im Fall der L IE-Algebra A2 (∼ = sl(3, C)) ergibt sich für das Tensorprodukt der beiden fundamentalen Darstellungen die direkte Summe aus der adjungierten Dar-

9.6

YOUNG-Tableaux

515

stellung D (1,1) (A2 ) und der trivialen Darstellung D (0,0) (A2 ) D (1,0) (A2 ) ⊗ D (0,1) (A2 ) = D (1,1) (A2 ) ⊕ D (0,0) (A2 ) bzw. D [1] (A2 ) ⊗ D [1 ] (A2 ) = D [2,1] (A2 ) ⊕ D [1 ] (A2 ), 2

3

was mit Gl. (9.168) übereinstimmt. Eine andere Schreibweise, die die Dimension der Darstellung symbolisiert, hat die Form 3 ⊗ 3¯ = 8 ⊕ 1, wodurch die Dimensionserhaltung zum Ausdruck kommt. In einem anderen Fall wird das Tensorprodukt zwischen der ersten fundamentalen Darstellung D (1,0,...,0) (Al ) und der letzten fundamentalen Darstellung D (0,0,...,1) (Al ) der L IE-Algebra Al (l ≥ 3) betrachtet. Nach Kennzeichnung der l Quadrate des rechten YOUNG-Diagramms zeilenweise mit den Ziffern 1 bis l der l Zeilen, werden diese Quadrate in der natürlichen Reihenfolge an das erste Diagramm angefügt (Abb. 9.23). Die Erfüllung der Bedingungen (1) und (2) erlaubt schließlich nur zwei YOUNG-Diagramme, nämlich [λ] = [2, 1l−1 ] und [λ] = l−1 [1l+1 ]. Diese stehen repräsentativ für die adjungierte Darstellung D [2,1 ] (Al ) und l+1 die triviale Darstellung D [1 ] (Al ). Die C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung hat dann die Form

Abb. 9.23 Demonstration der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung des Tensorprodukts D (1,0,0,...,0) ⊗D (0,0...0,1) zwischen der ersten und letzten fundamentalen Darstellung der L IE-Algebra Al (l ≥ 3) mithilfe von YOUNG-Diagrammen

516

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

D (1,0,...,0) ⊗ D (0,0,...0,1) = D (1,0,...0,1) ⊕ D (0,0,...,0) . Eine andere Schreibweise, die die Dimension der Darstellung symbolisiert und so die Dimensionerhaltung ausdrückt, hat die Form n ⊗ n¯ = (n¯ 2 − 1) ⊕ 1. Beispiel 12 Als weiteres Beispiel wird das direkte Produkt aus den beiden (äqui1 2 valenten) adjungierten Darstellungen D ( =1, =1) (A2 ) der L IE-Algebra A2 diskutiert. Mit der Charakterisierung der adjungierten Darstellung durch die Verteilung [λ] = [2, 1] hat das Tensorprodukt die Form D [2,1] ⊗ D [2,1] (Abb. 9.24). Nach Kenzeichnung der drei Quadrate des rechten Diagramms [2, 1] zeilenweise mit den Ziffern 1 und 2 – der ersten und zweiten Zeile – werden diese Quadrate in der natürlichen Reihenfolge an das linke Diagramm [2, 1] angefügt Abb. 9.24a). Die letzten beiden Diagramme – Nr. 11 und Nr. 12 – haben jeweils eine Spalte mit 4 (> 3 = (l + 1)) Quadraten, so dass sie der Bedingung (1) nicht genügen und deshalb entfernt werden. Die Diagramme mit den Nummern 1, 4, 7 und 9 genügen nicht der Bedingung (2) und müssen deshalb ebenfalls entfernt werden. Nach Löschung der Ziffern in den Quadraten findet man die C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung von Abb. 9.24b. Dort können noch alle Spalten mit 3 (= l + 1) Quadraten in den Diagrammen mit den Nummern 2, 4, 5 und 6 gestrichen werden. Das letzte Diagramm besitzt dann nur eine Spalte mit der Länge 3 (= l + 1), womit die triviale Dar3 stellung D (0,0) (A2 ) bzw. D [1 ] (A2 ) (Singulett) vertreten wird. Letztere ist wegen des Produkts zweier äquivalenter Darstellungen auch nach (3.217) zu erwarten. Die C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung hat dann die Form D (1,1) ⊗ D (1,1) = D (2,2) ⊕ D (3,0) ⊕ D (0,3) ⊕ 2D (1,1) ⊕ D (0,0) bzw. D [2,1] ⊗ D [2,1] = D [4,2] ⊕ D [3,0] ⊕ D [3,3] ⊕ 2D [2,1] ⊕ D [1 ] . 3

In der Schreibweise, die die Dimension der Darstellung symbolisiert, lautet das Ergebnis 8 ⊗ 8 = 27 ⊕ 10 ⊕ 10 ⊕ 2 · 8 ⊕ 1. Bleibt der Hinweis, dass in der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung die irreduzible Darstellung D (1,1) (A2 ) zweimal vorkommt, so dass das Tensorprodukt nicht einfach reduzibel ist. Allgemein gilt die Aussage, dass ein Tensorprodukt dann einfach reduzierbar ist, falls eine der beiden faktoriellen Darstellungen ein rechteckiges YOUNG-Diagramm besitzt (und deshalb deren DYNKIN-Label i nicht alle von Null verschieden sind). Diese Voraussetzung wird stets von allen Diagrammen bzw. irreduziblen Darstel-

9.6

YOUNG-Tableaux

517

Abb. 9.24 Demonstration der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung des Tensorprodukts zwischen den beiden adjungierten Darstellungen D (1,1) der L IE -Algebra A2 mithilfe von YOUNGDiagrammen; (a) Zwischenergebnis, (b) Endergebnis mit der direkten Summe D (2,2) ⊕ D (3,0) ⊕ 3 D (0,3) ⊕ 2D (1,1) ⊕ D (0,0) bzw. D [4,2] ⊕ D [3,0] ⊕ D [3,3] ⊕ 2D [2,1] ⊕ D [1 ]

∼ sl(2, C)) erfüllt, so dass deren Tensorprodukte als lungen der L IE-Algebra A1 (= einfach reduzierbar gelten (Beispiel 7 v. Abschn. 6.5 und Beispiel 1 v. Abschn. 9.5). Beispiel 13 In einem letzten Beispiel wird die C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung von Tensorprodukten der L IE-Algebra A1 (∼ = sl(2, C)) diskutiert. Betrachtet man 1 etwa eine (m + 1)-dimensionale Darstellung ((m + 1)-Multiplett) D ( =m) bzw. 1 2 D [λ]=[m] als ersten Faktor und die triviale Darstellung D ( =0) bzw. D [λ]=[1 ] (Singulett) als zweiten Faktor, dann kann das Tensorprodukt durch die YOUNGDiagramme von Abb. 9.25 dargestellt werden.

518

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Abb. 9.25 Demonstration der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung des Tensorprodukts D (1,0,0,...,0) ⊗D (0,0...0,1) zwischen der ersten und letzten fundamentalen Darstellung der L IE-Algebra Al (l ≥ 3) mithilfe von YOUNG-Diagrammen; (a) Zwischenergebnis, (b) Endergebnis

Die Berücksichtung der Bedingungen (1) und (2) liefert das Zwischenergebnis von Abb. 9.25a. Nach Entfernen der ersten Spalte mit zwei (= (l + 1)) Quadraten sowie den Ziffern 1 und 2 erhält man das YOUNG-Diagramm [λ] = [m] (Abb. 9.25b), das zum ursprünglichen (m + 1)-Multiplett D (m) gehört D (m) ⊗ D (0) = D (m) bzw. D [m] ⊗ D [1 ] = D [m] . 2

Dieses Ergebnis ist bei einer trivialen Darstellung als Faktor im Tensorprodukt auch zu erwarten, was durch die symbolische Schreibweise bzgl. der Dimension (m + 1) ⊗ 0 = m ⊕ 1 unmittelbar ausgedrückt wird. Das Tensorprodukt zwischen den irreduziblen Darstellungen D [m 1 ] ((m 1 + 1)Multiplett) und D [m 2 ] ((m 2 + 1)-Multiplett) der L IE-Algebra A1 – mit m 1 > m 2 – wird durch das YOUNG-Diagramm von Abb. 9.26 ausgedrückt. Die Berücksichtigung der Bedingungen (1) und (2) liefert das Zwischenergebnis von Abb. 9.26a. Nach Entfernen von Spalten mit 2 (= (l + 1)) Quadraten findet man die C LEBSCH G ORDAN-Entwicklung (Abb. 9.26b) D (m 1 ) ⊗ D (m 2 ) = D (m 1 +m 2 ) ⊕ D (m 1 +m 2 −2) ⊕ · · · ⊕ D (m 1 −m 2 ) bzw.

9.7

Unteralgebren

519

D [m 1 ] ⊗ D [m 2 ] = D [m 1 +m 2 ] ⊕ D [m 1 +m 2 −2] ⊕ . . . ⊕ D [m 1 +m 2 ] . Die Identifizierung des DYNKIN -Label 1 /2 mit der Drehimpulsquantenzahl J in der Quantenmechanik liefert dann analog zu den Ergebnissen (6.143) bzgl. der L IE-Gruppe SU (2) die Entwicklung des Tensorprodukts von irreduziblen Darstellungen zweier Systeme mit den Drehimpulsoperatoren J 1 und J 2 , wodurch die Drehimpulskopplung (6.146) zum Ausdruck gebracht wird (s. Beispiel 1 v. Abschn. 9.2).

Abb. 9.26 Demonstration der C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung des Tensorprodukts D (1,0,0,...,0) ⊗D (0,0...0,1) zwischen der ersten und letzten fundamentalen Darstellung der L IE-Algebra Al (l ≥ 3) mithilfe von YOUNG-Diagrammen; (a) Zwischenergebnis, (b) Endergebnis

9.7 Unteralgebren Die Suche nach Unteralgebren L einer L IE-Algebra L ist immer dann von Interesse, wenn durch eine Störung oder Deformation eines Systems die ideale durch L ausgedrückte Symmetrie vermindert wird. In der Folge erwartet man eine Reduktion der Anzahl an Symmetrietransformationen, so dass die realen Verhältnisse des Systems mithilfe der Unteralgebra L beschrieben werden. Bei dieser Symmetrieerniedrigung fragt man nach der sogenannten Einbettung der Unteralgebra L in die L IE-Algebra L mit dem Ziel, die Beziehungen zwischen den Darstellungen in beiden Algebren zu ermitteln. Dabei erwartet man, dass die Darstellungen der

520

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

vollen L IE-Algebra L im Hinblick auf die Unteralgebra L infolge der Subduktion reduzibel sein werden (s. a. Abschn. 3.11). Eine Einbettung ψ der L IE-Algebra L in die L IE-Algebra L bedeutet die injektive, homomorphe Abbildung ψ : L −→ L

(9.321)

und zugleich den Isomorphismus ψ(L ) auf eine Unteralgebra von L. Damit erfolgt die Einbettung bis auf Isomorphie. Man erwartet so eine Unterscheidung zwischen L und ψ(L ). Dennoch soll im Folgenden an Stelle von ψ(L ) ⊆ L die Symbolik L ⊆ L verwendet werden. Betrachtet werden nur eigentliche Unteralgebren L , so dass obige Einbettung als eigentlich gilt. Zudem werden die Unteralgebren L bzw. deren Einbettungen als maximal vorausgesetzt. Danach gibt es keine größere L IE-Algebra L ⊂ L, die L enthält (L ⊂ L ) außer die volle L IE-Algebra L. Eine Unteralgebra L einer einfachen L IE-Algebra heißt regulär, falls alle Stufenoperatoren der reduktiven Unteralgebra auch Stufenoperatoren von L sind. Danach sind die Generatoren der C ARTAN-Unteralgebra H ⊂ L bzw. die Stufenoperatoren der Unteralgebra L lineare Kombinationen der Generatoren von H ⊂ L bzw. der Stufenoperatoren von L. Als Konsequenz daraus ist das Wurzelsystem  der Unteralgebra L eine Untermenge des Wurzelsystems  der vollen L IE-Algebra ( ⊂ ) und es gilt analog zur Zerlegung (7.55) L = H ⊕



Lα

Lα : Wurzelunterraum.

(9.322)

α∈

Diejenigen Unteralgebren, die nicht regulär sind, gehören zu den speziellen Unteralgebren. Man unterscheidet zwischen den R-Unteralgebren und S-Unteralgebren, von denen nur die ersten reguläre Unteralgebren enthalten. Bei der Klassifizierung aller reduktiven Unteralgebren von einfachen L IE-Algebren wird man dann nach maximalen R- bzw. S-Unteralgebren suchen. Eine maximale reguläre Unteralgebra hat eine maximale Anzahl identischer, gleichzeitig vertauschbarer Generatoren, nämlich die der C ARTAN-Unteralgebra, so dass die C ARTAN-Unteralgebren H und H identisch sind und es gilt rang L = rang L.

(9.323)

Betrachtet man eine Unteralgebra L der L IE-Algebra L mit deren Wurzelsystem  und deren einfachem System  , dann gilt nach (7.211), dass die Differenz zweier verschiedener einfacher Wurzeln kein Element des Wurzelsystems  ist α (i) − α ( j) ∈ / 

α (i) , α ( j) ∈ 

i = j.

(9.324)

Setzt man die Unteralgebra L als regulär voraus, dann erwartet man auch die Forderung

9.7

Unteralgebren

521

α (i) − α ( j) ∈ /

α (i) , α ( j) ∈  .

(9.325)

Andernfalls erhält man nach (7.72) einen endlichen Stufenoperator eα(i) −α( j) [eα(i) , eα( j) ] = Nα(i) α( j) eα (i) −α ( j) , der in der Unteralgebra L liegt, so dass die Wurzel (α (i) − α ( j) ) dem Wurzelsystem  angehört. Letzteres bedeutet einen Widerspruch zu (9.324). Bei der Suche nach der regulären Unteralgebra L wird man daher eine Untermenge  ⊂  des Wurzelsystems  ermitteln, so dass für je zwei Wurzeln aus diesem einfachen Sytem  , deren Differenz die Forderung (9.325) erfüllt und so nicht zum Wurzelsystem  der vollen L IE-Algebra L gehört. Die Menge der Operatoren {h α } ∪ {eα , e−α } bilden dann die Basis der regulären Unteralgebra L mit derem einfachen System  . Bei der Ermittlung jener Untermenge  benutzt man die Menge + =  ∪ {−α (0) },

(9.326)

die als erweitertes einfaches System bezeichnet wird. Dabei bedeutet −α (0) die höchste negative Wurzel, deren Eigenschaft Anlass gibt zu der Behauptung − α (0) − α (i) ∈ /

∀α (i) ∈ .

(9.327)

Die Elemente des erweiterten einfachen Systems + (9.326) genügen dann den Bedingungen (7.211) sowie (7.212) und zeigen so alle Eigenschaften eines einfachen Systems mit Ausnahme der linearen Unabhängigkeit. Letztere kann jedoch dadurch erreicht werden, dass man ein Element α (i) ∈  aus dem erweiterten einfachen System + entfernt. Die dann gewonnene Menge von Elementen sind linear unabhängig und bilden das einfache System  der Unteralgebra L , das möglicherweise reduzibel ist. Dabei kann man zwei Fälle unterscheiden. Der erste Fall betrifft die L IE-Algebren L = Al . Dort liefert jede Menge  = + \{α (i) } =  ∪ {−α (0) }\{α (i) }

α (i) ∈ 

(9.328)

ein einfaches System für eine maximale reguläre und halbeinfache Unteralgebra L . Umgekehrt gilt die Aussage, dass es keine anderen maximale reguläre und halbeinfache Unteralgebren gibt außer jenen mit dem einfachen System  (9.328). Ausnahmen betreffen die exzeptionellen L IE-Algebren F4 , E 7 und E 8 . Dort sind die so gewonnenen Unteralgebren nicht immer maximal

522

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

 ∪ {−α (0) }\{α (3) } : A3 ⊕ A1 ⊂ B4 ⊂ F4

F4

mit

E7

mit  ∪ {−α (0) }\{α (3) } : A3 ⊕ A3 ⊕ A1 ⊂ D6 ⊕ A1 ⊂ E 7

E8

mit  ∪ {−α (0) }\{α (3) } : A3 ⊕ D5 ⊂ D8 ⊂ E 8

E8

mit  ∪ {−α (0) }\{α (5) } : A5 ⊕ A2 ⊕ A1 ⊂ E 6 ⊕ A2 ⊂ E 8

E8

mit  ∪ {−α (0) }\{α (6) } : A7 ⊕ A1 ⊂ E 7 ⊕ A1 ⊂ E 8 .

Der zweite Fall betrifft die L IE-Algebra L = Al . Dort bekommt man mit dem einfachen System  (9.328) eine uneigentliche Unteralgebra L , nämlich die L IEAlgebra L selbst. Deshalb wird man hier zwei einfache Wurzeln α (i) und α (i) aus dem erweiterten System + (9.326) entfernen, um mit dem einfachen System  = + \{α (i) , α ( j) } =  ∪ {−α (0) }\{α (i) , α ( j) }

α (i) , α ( j) ∈  (9.329) eine eigentliche halbeinfache und maximale reguläre Unteralgebra L zu erhalten. Solche Unteralgebren haben dann die Form i = j

L = Al−1

(9.330a)

oder L = Al ⊕ Al−l  −1

mit

 ( l −1 l  ∈ 1, 2, . . . , . 2

(9.330b)

Analog zu dem einfachen System  kann auch mit dem erweiterten System + ein DYNKIN-Diagramm verknüpft werden, das als erweitertes DYNKIN -Diagramm bezeichnet wird. Man erhält dieses auch durch Anfügen eines Knotens, der der höchsten negativen Wurzel −α (0) entspricht. Letzterer ist mit dem höchsten Gewicht max der adjungierten Darstellung D ad (L) verbunden. Im ersten Fall, der die L IE-Algebren L = Al betrifft, erhält man nach Entfernen eines Knotens analog zum Entfernen einer einfachen Wurzel mit dem resultierenden System (9.328) das DYNKIN-Diagramm der maximal regulären Unteralgebra (rang L = rang L). ∼ so(2l + 1, C)) bekommt man aus dem erBeispiel 14 Bei der L IE-Algebra Bl (= weiterten DYNKIN-Diagramm Bl+ (Abb. 9.27) nach Entfernen des Knotens mit der Ziffer 1 vom linken Ende Bl ⊆ Bl , des Knotens mit der Ziffer l vom rechten Ende Dl ⊂ Bl und des Knotens mit der Ziffer l  von der Mitte

9.7

Unteralgebren

523

Dl  ⊕ Bl−l  ⊂ Bl . Bei der L IE-Algebra Cl (∼ = sp(l, C)) bekommt man aus dem erweiterten DYNKIN-Diagramm Cl+ (Abb. 9.27) nach Entfernen des Knotens mit der Ziffer 0 oder l vom Ende Cl ⊆ C l und eines Knotens mit der Ziffer l  von innen Cl  ⊕ Cl−l  ⊂ Cl . Bei der L IE-Algebra Dl (∼ = so(2l, C)) bekommt man aus dem erweiterten DYNKIN-Diagramm Dl+ (Abb. 9.27) nach Entfernen des Knotens mit der Ziffer 1 vom linken Ende bzw. l vom rechten Ende Dl ⊆ Dl und eines Knotens mit der Ziffer l  von innen Dl  ⊕ Dl−l  ⊂ Dl . Bei der exzeptionellen L IE-Algebra F4 bekommt man aus dem erweiterten DYNKIN-Diagramm F4+ (Abb. 9.27) nach Entfernen des Knotens mit der Ziffer 0 vom linken Ende F4 ⊆ F4 , des Knotens mit der Ziffer 4 vom rechten Ende B4 ⊂ F4 und eines Knotens von der Mitte A1 ⊕ A3 ⊂ F4

oder

A2 ⊕ A3 ⊂ F4

oder

A1 ⊕ C3 ⊂ F4 .

Bei der exzeptionellen L IE-Algebra G 2 bekommt man aus dem erweiterten DYNKIN-Diagramm G + 2 (Abb. 9.27) nach Entfernen des Knotens mit der Ziffer 0

G 2 ⊆ G2, des Knotens mit der Ziffer 2

524

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Abb. 9.27 Erweiterte DYNKIN-Diagramme von einfachen L IE-Algebren; die Knoten i vertreten eine einfache Wurzel α (i) , der Knoten 0 vertritt die höchste negative Wurzel α (0) (s. a. Abb. 7.6)

A2 ⊂ G 2 und des Knotens mit der Ziffer 1 A1 ⊕ A 1 ⊂ G 2 .

Im zweiten Fall, der die L IE-Algebren L = Al betrifft, erhält man nach Entfernen eines Knotens aus dem erweiterten DYNKIN-Diagramm analog zum Enfernen einer einfachen Wurzel mit dem resultierenden System (9.328) das ursprüngliche reguläre DYNKIN-Diagramm, so dass keine eigentliche Unteralgebra resultiert. Erst das Entfernen von zwei Knoten – bzw. einem Knoten aus dem

9.7

Unteralgebren

525

regulären DYNKIN-Diagramm – analog zum Entfernen zweier einfacher Wurzeln liefert mit dem resultierenden System (9.329) die regulären halbeinfachen Unteralgebren (9.330). Diese sind jedoch nur maximal unter den halbeinfachen Unteralgebren von Al . Demnach hat die L IE-Algebra Al keine halbeinfache maximale Unteralgebra. Maximale reguläre, jedoch nicht halbeinfache Unteralgebren der L IE-Algebra Al erhält man durch Entfernen eines Generators E α(i) etwa aus der C HEVALLEY-Basis (7.99). Diese Unteralgebren enthalten die halbeinfache Unteralgebra (9.330), die aus dem zusätzlichen Entfernen der Generatoren E −α(i) und Hα(i) resultiert. Letztere kann maximal sein unter den halbeinfachen Unteralgebren oder kann in einer S-Unteralgebra enthalten sein. Beispiel 15 Im Fall der L IE-Algebra L = Al sind die L IE-Algebren L (9.330) mit rang L = rang L − 1, die durch das Entfernen der Generatoren {Hα(i) , E α(i) , E −α (i) |α (i) ∈ } resultieren, nur maximal unter den halbeinfachen Unteralgebren („maximale halbeinfache L IE-Algebren“). Entfernt man nur die Generatoren E α(i) und E −α(i) von der C HEVALLEY-Basis, dann erhält man die reduktiven Algebren L ⊕ u(1) ⊂ Al .

(9.331)

Dabei bedeuten L die halbeinfachen Unteralgebren (9.330), deren einfaches System die Form  = \{α (i) }

α (i) ∈ 

annimmt. Betrachtet man etwa die L IE-Algebra L = A4 (∼ = sl(5, C)), dann erhält man durch Entfernen des Knotens α (3) aus dem DYNKIN-Diagramm (Abb. 7.6) entsprechend dem Entfernen der Basiselemente {Hα(3) , E α(3) , E −α(3) } aus der C HEVALLEY-Basis (7.99) die reguläre Unteralgebra L ( ⊂ ) L = A 2 ⊕ A 1 ⊂ A 4

(9.332a)

sl(3, C) ⊕ sl(2, C) ⊂ sl(5, C).

(9.332b)

bzw.

Diese Unteralgebra L ist keine Unteralgebra, die maximal ist unter allen Unteralgebren von A4 , da ihr Rang bzw. die Dimension ihrer C ARTAN-Unteralgebra H um Eins kleiner ist (H ⊂ H) und so der Forderung (9.323) widerspricht rang (A2 ⊕ A1 ) = rang A4 − 1. Sie ist vielmehr nur maximal unter den halbeinfachen L IE-Algebren. Für den Fall, dass nur die Generatoren E α(3) und E −α(3) aus der C HEVALLEYBasis entfernt werden, erhält man in der reellen Form su(5) die nicht halbeinfache maximale Unteralgebra

526

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

su(3) ⊕ su(2) ⊕ u(1) ⊂ su(5),

(9.333)

die reduktiv ist und die halbeinfache Unteralgebra su(3) ⊕ su(2) enthält. Sie liefert den klassischen Ansatz für die große vereinigte Eichtheorie (GUT – grand unified theorie). Dort können in einem Standardmodell, das in einer der Anfangsstadien der kosmischen Evolution Gültigkeit hat (10−43 s ≤ t ≤ 10−35 s bzw. 1032 K ≤ T ≤ 1027 K), die Unteralgebren in die einfache L IE-Algebra su(5) eingebettet werden. Umgekehrt gelesen bedeutet die Einbettung (9.333) eine Symmetriebrechung. Die zugehörige Gruppe des ersten Summand u(1) ist die abelsche Eichgruppe (Eichsymmetrie) der elektromagnetischen Wechselwirkung, wonach das Eichfeld mit einem masselosen Eichboson, nämlich dem Photon identifiziert werden kann. Die zugehörige Gruppe des zweiten Summand su(2) ist die Eichgruppe der schwachen Wechselwirkung mit einem Eichfeld aus drei Eichbosonen, nämlich den Vektorbosonen W ± und dem Eichboson Z , entsprechend der Anzahl der Generatoren bzw. der Dimension (= (l + 1)2 − 1) der L IE-Algebra. Schließlich ist die zugehörige Gruppe des letzten Summand su(3) die Eichgruppe der starken Wechselwirkung mit 8 (= (l + 1)2 − 1) Eichbosonen, nämlich den masselosen Gluonen. Letztere sind mit einer Farbladung behaftet und wirken zwischen den Quarks (Quantenchromodynamik). Beispiel 16 Ein weiteres Beispiel ist die Einbettung ψ der Unteralgebra A1 in die L IE-Algebra A2 A1 ⊂ A2

(9.334)

nach Entfernen des Knotens α (2) aus dem DYNKIN-Diagramm der L IE-Algebra A2 (Abb. 7.6). Betrachtet man die dazu isomorphen Matrixdarstellungen der abstrakten L IE-Algebren sl(2, C) ⊂ sl(3, C)

bzw.

su(2) ⊂ su(3),

dann bilden die antihermiteschen, spurlosen Matrizen 



D(a ) =

a 0

0 0



a ∈ L = sl(2, C)

(9.335)

die Unteralgebra von sl(3, C). Mit den Elementen (7.127) als Basis für die Unteralgebra L = sl(2, C) H α =



1 0

 0 , −1

E α  =



 0 1 , 0 0

E −α =



0 1

0 0



erhält man nach (9.335) und durch den Vergleich mit (7.147) sowie mit (7.149) die Einbettung in der Form   ψ Hα  = Hα (1) ,

  ψ E α  = E α(1) ,

   ψ E −α  = E −α (1) .

(9.336)

9.7

Unteralgebren

527

Danach ist das Wurzelsystem  eine Untermenge des Wurzelsystems  der vollen L IE-Algebra A2 , so dass die Beziehung (9.322) erfüllt und die Einbettung regulär ist. Sie ist jedoch nicht maximal regulär, da die C ARTAN-Unteralgebra H nicht mit der C ARTAN-Unteralgebra H übereinstimmt und so die Beziehung (9.323) verletzt wird. Eine andere Einbettung bekommt man mit der 3-dimensionalen  adjungierten Darstellung der L IE-Algebra A1 , die für die drei Basiselemente ak | k = 1, 2, 3 (4.43) die Form (5.91) annimmt. Diese Darstellung D(a ), die identisch ist mit der definierenden Darstellung der L IE-Algebra so(3), bildet dann eine Unteralgebra von sl(3, C). Mit dem Basiselement H α (7.127a) der C ARTAN-Unteralgebra H ⊂ A1 erhält man die Darstellung  

D H α



⎛

0 −1 0 = −2i D  (a3 ) = −2i ⎝ 1 0 0

⎞ 0 0⎠. 0

(9.337)

Diese Darstellung ist nicht diagonal und deshalb kein Element der C ARTAN-Unteralgebra H ⊂ sl(3, C), so dass H keine Unteralgebra von H ist. Eine Diagonalisierung gelingt dann mithilfe eines inneren Automorphismus durch die Äquivalenztransformation φ A ( D ) = A D A−1

A ⊂ S L(3, C).

(9.338)

Mit der unitären Matrix ⎛

1 1 A = √ ⎝1 2 0

−i i 0

⎞ 0 ⎠ √0 2

kommt man zu dem Ergebnis 6

 

φ A D H α 

7

⎛

⎞ 1 0 0 = 2 ⎝ 0 −1 0 ⎠ , 0 0 0

dessen Vergleich mit (7.147) eine Einbettung in der Form   ψ Hα  = 2Hα(1)

(9.339)

erlaubt. Mit den weiteren Basiselementen E α (7.127b) und E −α (7.127c) sowie der Einbettung mithilfe von (5.91a) und (5.91b) erhält man die Darstellungen

528

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

 

D E α



⎛

0 =⎝ 0 −1

⎞ 0 1 0 i⎠ −i 0

(9.340a)

und  

D E −α



⎛

0 0 = ⎝0 0 1 i

⎞ −1 −i ⎠ . 0

(9.340b)

Die unitäre Transformation (9.338) liefert dann das Ergebnis 6

 

φ A D E α

7

=

√

⎛

0 2⎝ 0 −1

0 0 0

⎞ 0 1⎠ 0

6

 

φ A D E −α 

7

=

√

⎛

0 0 2⎝0 0 1 0

⎞ 0 −1 ⎠ , 0

dessen Vergleich mit (7.149) eine Einbettung in der Form   √ ψ E α  = 2(E α (2) − E −(α(1) +α(2) ) )    √ ψ E −α 2(−E α(2) − E −(α(1) +α(2) ) )  =

(9.341a) (9.341b)

erlaubt. Diese Einbettung ist nicht regulär. Die Begründung liegt darin, dass es für die Wurzel α  der Unteralgebra  A1 keine Wurzel α gibt derart, dass die Elemente       ψ Hα  , ψ E α  und ψ E −α  eine Linearkombination der Elemente Hα , E α und

E −α sind. Demnach gehört die Wurzel α  (≡  ) von A1 nicht zu einer Untermenge des Wurzelsystems  der vollen L IE-Algebra A2 . Ganz anders dagegen sind die Verhältnisse im ersten Fall der Einbettung (9.336). Dort gehört die Wurzel α  = α (1) der L IE-Algebra A1 zum Wurzelsystem  = {α (1) , α (2) , α (1) + α (2) } der vollen L IE-Algebra A2 , so dass die Einbettung regulär ist.

Bei der Diskussion der maximalen – nicht regulären – S-Unteralgebren, wird zunächst ein (l + 1)-dimensionaler Darstellungsraum V einer L IE-Algebra L betrachtet. Dieser ist dann nach (5.37) eine homomorphe Abbildung von L auf die Menge aller Selbstabbildungen des Raumes V, nämlich die L IE-Algebra gl(V). Letztere ist wiederum isomorph zur Matrix L IE-Algebra sl(l + 1, C) ⊂ gl(l + 1, C). Als Konsequenz daraus kann man für jede (l + 1)-dimensionale Darstellung D(L ) eine Einbettung der L IE-Algebra L in die L IE-Algebra sl(l + 1, C) erwarten L ⊂ sl(l + 1, C).

(9.342)

Eine weitere Differenzierung gelingt für den Fall, dass die Darstellung D(L ) selbstkonjugiert ist und so Gl. (9.51) erfüllt. Dann lassen sich gemäß den folgenden Voraussetzungen zwei Unterscheidungen treffen:

9.7

Unteralgebren

529

(a) Für den Fall, dass die Darstellung D(L ) – bzw. der Vektorraum V – orthogonal ist, was die Existenz einer invarianten symmetrischen Bilinearform bedeutet, erhält man die Einbettung L ⊂ so(l + 1).

(9.343)

(b) Für den Fall, dass die Darstellung D(L ) – bzw. der Vektorraum V – symplektisch ist, was die Existenz einer invarianten antisymmetrischen Bilinearform bedeutet, erhält man die Einbettung L ⊂ sp(1/2(l + 1), C)

(l + 1) : gerade.

(9.344)

Dabei gilt eine Darstellung bzw. ein Darstellungsraum V als orthogonal bzw. symplektisch, wenn der invariante Tensor κ auf dem Produktraum V ⊗ 2 = V ⊗ V (oder V ∗ ⊗ V ∗ ), der den Übergang vom (l + 1)-dimensionalen Vektorrraum V zu dem ihm dualen Vektorraum V ∗ ermöglicht, symmetrisch ist (Gl. 4.70 – s. a. Beispiel 12 v. Abschn. 4.3) κi j = κ ji

oder

κ = κ

(9.345a)

κi j = −κ ji

oder

κ = −κ .

(9.345b)

bzw. antisymmetrisch ist

Betrachtet man die der L IE-Algebra L zugeordnete L IE-Gruppe G  , dann liefert die Forderung nach Invarianz des Tensors κ auf dem Produktraum V ⊗2 bzw. der Produktdarstellung D⊗2 (G  ) D(A)κ D −1 (A) = κ

A ∈ G

(9.346)

nach Gl. (6.171) die Beziehung κ D0 (G  ) = D⊗2 (G  )κ

D0 (G  ) = 1

(9.347a)

bzw. nach Gl. (4.76) D0 (G  )κ = D (G  )κ D(G  )

(9.347b)

mit der trivialen Darstellung D0 (G  ). Wegen Gl. (3.51) wirkt der Tensor κ im Sinne eines G  -Morphismus (Intertwiner) zwischen den zueinander homomorphen Darstellungen D 0 (G  ) und D ⊗2 (G  ). Der invariante Tensor κ gibt somit in der Reduktion des Tensorprodukts D⊗2 (G  ) Anlass zum Auftreten der trivialen Darstellung (Abschn. 3.10). Im Fall der L IE-Algebra L erhält man mit der trivialen Darstellung D0 (L ) = 0 die zu (9.347) analoge Beziehung

530

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

κ D0 (L ) = D⊗2 (L )κ = 0

D0 (L ) = 0.

(9.348a)

Unter Verwendung der Exponentialfunktion zur Abbildung der L IE-Algebra L in die zugehörige Gruppe G  in der Nähe des Einselements (Abschn. 6.5) D(G  ) = exp[ D(L )] ≈ 1 ⊕ D(L ) findet man nach (9.347) [1 ⊕ D0 (L )]κ = [1 ⊕ D (L )]κ[1 ⊕ D(L )]. oder 0 = D (L )κ ⊕ κ D(L ).

(9.348b)

Bei einem symmetrischen Tensor κ (9.345a) wird die Invarianzbedingung für die L IE-Gruppe G  (9.347) bzw. für die zugehörige L IE-Algebra L (9.348) durch Matrizen der orthogonalen Gruppen O(l + 1, R) und S O(l + 1, R) bzw. der Algebren so(l + 1) erfüllt. Bei einem antisymmetrischen Tensor κ (9.345b) wird die Invarianzbedingung (9.347) bzw. (9.348) durch Matrizen der symplektischen Gruppen Sp(1/2(l + 1), K) bzw. der Algebren sp(1/2(l + 1)) erfüllt. Schließlich sei darauf hingewiesen, dass die speziellen Einbettungen (9.343) und (9.344) – abgesehen von wenigen Ausnahmen – auch maximal sind. Zudem findet man die Voraussetzung der Selbstkonjugiertheit der Darstellung bei allen irreduziblen Höchstgewichtsdarstellungen von einfachen L IE-Algebren außer bei den meisten Höchstgewichtsdarstellungen von Al , D2l+1 und E 6 . Beispiel 17 Betrachtet man allgemein die adjungierte Darstellung D ad einer einfachen L IE-Algebra L mit der Dimension dim D ad = dim L , dann gibt es nach (7.11) bzw. (7.12) eine symmetrische, invariante Bilinearform, so dass die Darstellung bzw. der Darstellungsraum V ad orthogonal ist. Nach Gl. (9.343) erhält man dann die maximale spezielle Einbettung L ⊂ so(dim L ).

(9.349)

In dem speziellen Fall L = su(3) (∼ = A2 ) gibt es eine 8-dimensionale adjungierte Darstellung D ad (L ), die mit der Basis {λk |k = 1, . . . , 8} (7.128) definiert ist durch D ad (a)λi = [a, λi ] =

8

Diadj (a)λ j

i = 1, . . . , 8

a ∈ su(3).

(9.350)

j=1

Die Forderung nach Invarianz für eine symmetrische Bilinearform B(u, v) (u, v ∈ L ) gegenüber einer infinitesimalen Transformation D(A) = exp D(a) ≈ 1 + D(a) (A ∈ SU (3), a ∈ su(3)) impliziert wegen Gl. (7.2)

9.7

Unteralgebren

531

B((1+D(a))u, (1+D(a))v) = B(u, v)+B(D(a)u, v)+B(u, D(a)v)

u, v ∈ su(3)

die Bedingung B(D(a)u, v) + B(u, D(a)v) = 0.

(9.351)

Mit der Festlegung der Bilinearform als die Spurform bezüglich der adjungierten Darstellung nach (7.10) findet man mit der linearen Transformation D(a) und Gl. (9.350) sp(D ad (a)uv) = sp([a, u]v) = −sp(u[a, v]) diese Bedingung (9.351) erfüllt. Demnach gibt es eine invariante symmetrische Bilinearform für die adjungierte Darstellung, so dass nach (9.349) die maximale spezielle Einbettung su(3) ⊂ so(dim su(3)) = so(32 − 1) = so(8) erwartet wird. Beispiel 18 Betrachtet wird die fundamentale irreduzible Darstellung D ((1) ) (Al ) der L IE-Algebra L = Al (∼ = sl(l + 1, C)). Sie liefert nach Gl. (9.342) auf dem komplexen (l + 1)-dimensionalen Darstellungsraum V ((1) ) die triviale Einbettung sl(l + 1, C) ⊆ sl(l + 1, C). Betrachtet man dagegen den 2(l + 1)-dimensionalen reduziblen Darstellungsraum V ((1) ) ⊕ V ((1) )† = V (1,0,...,0) ⊕ V (0,...,0,1) = V ((1) ) ⊕ V ((l) ) , der aus der Summe des Vektorraumes V ((1) ) und des dazu adjungierten Vektorraumes V ((l) ) besteht, dann ist dieser selbstkonjugiert und orthogonal. Demzufolge gibt es eine invariante symmetrische Bilinearform, so dass man mit Gl. (9.343) die Einbettung sl(l + 1, C) ⊂ so(2(l + 1), C) erwartet. Diese Einbettung ist jedoch nicht maximal. Eine maximale reguläre, jedoch nicht halbeinfache Einbettung gelingt durch sl(l + 1, C) ⊕ u(1) ⊂ so(2(l + 1), C). Allgemein gilt die Aussage, dass bei einem reduziblen Darstellungsraum keine maximale Einbettung zu erwarten ist.

532

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Neben den bisher ermittelten einfachen S-Unteralgebren aus den klassischen L IE-Algebren gibt es auch solche, die nicht einfache Einbettungen zeigen sl(l + 1, C) ⊕ sl(l  + 1, C) ⊂ sl((l + 1)(l  + 1), C) so(l + 1) ⊕ so(l  + 1) ⊂ so((l + 1)(l  + 1)) sp(l + 1) ⊕ sp(l  + 1) ⊂ sp((l + 1)(l  + 1)) 

(9.352)



so(l + 1) ⊕ sp(l + 1) ⊂ sp((l + 1)(l + 1)) so(l + 1) ⊕ so(l  + 1) ⊂ so(l + 1 + l  + 1)

l, l  : gerade.

Diese Einbettungen sind alle maximal. In der Absicht, die S-Unteralgebren L von exzeptionellen L IE-Algebren L zu gewinnen, bedarf es einer besonderen Charakterisierung, die zwischen inäquivalenten Einbettungen ψ derselben Unteralgebra L zu unterscheiden vermag. Dies gelingt durch den DYNKIN-Index der Einbettung γL ⊂L . Ausgehend von einer invarianten Bilinearform κ auf L definiert durch κ(a  , b ) := κ L (ψ(a  ), ψ(b ))

a  , b ∈ L 

findet man die Proportionalität zur K ILLING-Form κ L auf L 

κ L (ψ(a  ), ψ(b )) = γL ⊂L κ L (a  , b )

∀a  , b ∈ L

(9.353)

mit dem DYNKIN-Index γL ⊂L als Proportionalitätsfaktor. Diese Proportionalität gilt für alle invarianten Bilinearformen auf einer einfachen Unteralgebra L . Bei einer reduktiven Unteralgebra gibt es für jedes Ideal einen separaten DYNKIN Index. Mit einer Darstellung D(L ) auf dem Vektorraum V nach Gl. (5.37) und der Einbettung ψ von Gl. (9.321) erhält man durch die Abbildung D ◦ ψ : L −→ gl(V)

(9.354)

eine Darstellung der Unteralgebra L auf dem Vektorraum V. Für den DYNKIN Index 2. Ordnung dieser Darstellungen D ◦ ψ und D gilt nach (9.133) 

sp[D ◦ ψ(a  )D ◦ ψ(b )] = γ D◦ψ κ L (a  , b ) 



L



a  , b ∈ L , 

sp[D(ψ(a ))D(ψ(b ))] = γ D κ (ψ(a ), ψ(b ))





(9.355a) 

a , b ∈ L . (9.355b)

Nachdem die Spurform beider Darstellungen identisch ist, erhält man daraus zusammen mit dem DYNKIN-Index der Einbettung (9.353) das Verhältnis der DYNKIN-Indizes (2. Ordnung) für die Darstellungen D ◦ ψ(L ) und D(L ) γL ⊂L =

γ D◦ψ . γD

(9.356)

9.7

Unteralgebren

533

Im Allgemeinen ist die Darstellung D ◦ ψ(L ) reduzibel in irreduzible Darstellungen, deren DYNKIN-Indizes (2. Ordnung) aufsummiert den Index γ D◦ψ ergibt. Tabelle 9.5 Maximale S-Unteralgebren L von exzeptionellen L IE-Algebren L L

L

[3] [1] [1] [2] [1] A[9] 2 , G 2 , C 4 , F4 , A2 ⊕ G 2 A1[231] , A1[399] , A2[21] , A1[15] ⊕ A1[24] [2] [3] [1] [1] [1] [520] A[7] , 1 ⊕ G 2 , A1 ⊕ F4 , C 3 ⊕ G 2 , A1 [16] [6] [1] [1] [156] [8] [1] A1 ⊕ A2 , F4 ⊕ G 2 , A1 , A1 ⊕ G 2 A1[28]

E6 E7 A1[760] ,

A1[1240] ,

B2[12]

E8 F4 G2

Die maximalen S-Unteralgebren der exzeptionellen L IE-Algebren sind in Tabelle 9.5 aufgelistet. Dort wird der DYNKIN -Index der Einbettung zur Unterscheidung von äquivalenten Einbettungen in eckigen Klammern angegeben. Bei nicht maximalen Unteralgebren können Fälle auftreten, bei denen mehrere inäquivalente Einbettungen auch den gleichen DYNKIN-Index besitzen. Nach der Ermittlung und Klassifizierung der Unteralgebren L von einfachen L IE-Algebren L ist man daran interessiert, wie sich die irreduziblen Darstellungen D () (L) der vollen L IE-Algebra nach der Subduktion auf die Unteralgebra in irreduzible Darstellungen D (i ) (L ) mit dem höchsten Gewicht i aufteilen (s. a. Abschn. 3.11). Die Lösung liefert die sogenannte Verzweigungsregel, mit deren ()  Hilfe die Reduktion der subduzierten Darstellung Dsub (L ) gelingt D () (L) −→



D (i ) (L ).

(9.357)

i

Analog dazu findet man für die zugehörigen Charaktere die Summenregel χ () (L) −→



χ (i ) (L ).

(9.358)

i

Betrachtet man die zugehörige L IE-Gruppe am Einselement (exp µ = 1), dann erhält man nach Gl. (3.54) mit verschwindendem Gewicht (µ = 0) aus Gl. (9.358) die Erhaltung der Dimension, ausgedrückt durch die Summenregel dim D () (L) =



dim D (i ) (L ).

(9.359)

i

Schließlich kann man mit Gl. (9.356) eine Summenregel für die DYNKIN -Indizes 2. Ordnung herleiten γL ⊂L γ () =

i

γ (i ) (L ).

(9.360)

534

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Zur Ermittlung der Verzweigungsregel wird die Methode der Projektion verwendet. Ausgehend von der Einbettung der C ARTAN-Unteralgebra H ⊂ L in die C ARTAN-Unteralgebra H ⊂ L ψ : H −→ H,

(9.361a)

die eine injektive Abbildung ψ ist, kann man eine dazu duale Abbildung ψ ∗ finden, die den Wurzelraum H∗ auf den Wurzelraum H∗ abbildet ψ ∗ : H∗ −→ H∗ .

(9.361b)

Diese Abbildung ist surjektiv (ψ ∗ ψ = 1) und bedeutet eine Projektion, die festgelegt wird durch ψ∗ ◦ α = α ◦ ψ

α ∈ H∗ ,

(9.362)

so dass gilt (ψ ∗ ◦ α)(h  ) = ψ ∗ (α(h  )) = α(ψ(h  ))

h  ∈ H ⊂ H.

(9.363)

Mit einem Gewicht λ(h) ∈ H∗ , der die Eigenwertgleichung (9.2) bzw. (9.3) mit dem Eigenvektor vλ erfüllt D(h)vλ = λ(h)vλ ,

(9.364)

erhält man dann nach Gln. (9.361) und (9.363) für die subduzierte Darstellung Dsub (L ) = D ◦ ψ(L ) = D(ψ(L )) D(ψ(h  ))vλ = λ(ψ(h  ))vλ = ψ ∗ (λ(h  ))vλ

h  ∈ H ⊂ H.

(9.365)

Dieses Ergebnis erlaubt die Aussage, dass man aus einem Gewicht λ einer Darstellung D(L) der L IE-Algebra L ein Gewicht ψ ∗ (λ) ∈ H∗ der subduzierten Darstellung D(ψ(L )) der Unteralgebra L erhält. Die Gewichte λ(ψ(h  )) der subduzierten Darstellung errechnen sich dann mithilfe der Projektion (9.361b) der Gewichte λ(h  ) aus H∗ nach H∗ ψ ∗ (λ(h  )) = λ(ψ(h  )) = Pλ

h  ∈ H ⊂ H.

(9.366)

Dabei findet man nach vorgegebenem Gewicht λ(h  ) ∈ H∗ eine Projektionsmatrix P mit einer Anzahl von rang L Spalten und rang L Zeilen. Im Fall einer maximalen regulären Einbettung, die der Forderung (9.323) genügt, fallen die C ARTAN-Unteralgebren H und H zusammen. Die Stufenoperatoren eα der Unteralgebra L sind dann nach Gl. (7.63) sowohl Eigenvektoren unter der Wirkung der adjungierten Operatoren {D ad (h  ) = [h  , ]|h  ∈ H } wie auch der adjungierten Operatoren {D ad (h) = [h, ]|h ∈ H}. Demnach sind sie auch

9.7

Unteralgebren

535

Stufenoperatoren der vollen L IE-Algebra L, so dass man die Wurzel – bzw. die Gewichte der adjungierten Darstellung – von L unter der Menge der Wurzeln – bzw. der Menge der Gewichte der adjungierten Darstellung – von L findet. Dabei ist zu betonen, dass nicht jede Wurzel von L eine Wurzel von L ist, da sonst die beiden L IE-Algebren zusammenfallen. Im Ergebnis erhält man für die adjungierte Darstel- ad lung D ad (L) nach Subduktion auf die Unteralgebra L Dsub (L ) = ψ ∗ (D ad (L )) und Reduktion in irreduzible Komponenten die Verzweigungsregel D ad (L) −→ D ad (L ) ⊕



D (i ) (L ).

(9.367)

i

Dabei gilt nach geeigneter Umordnung der Basis {a1 , . . . , an } der adjungierten Darstellung D ad (L) – bzw. der L IE-Algebra L – und der Basis {a1 , . . . , an  } der adjungierten Darstellung D ad (L ) – bzw. der L IE-Algebra L – die Beziehung n  < n. Für den Fall, dass zu einer halbeinfachen Unteralgebra L noch eine abelsche L IE-Algebra L hinzukommt L ⊕ L ⊂ L

L : halbeinfach

L : abelsch,

(9.368)

gibt es ein Basiselement ak aus der Menge {an  +1 , . . . , an } = {a1 , . . . , an }\{a1 , . . . , an  } mit D ad (ai )ak = [ai , ak ] = Dkk (ai ) = D(ai ) = 0

i = 1, . . . , n  .

G Als Konsequenz daraus muss die direkte Summe i D (i ) (L ) in (9.367) die triviale Darstellung als irreduzible Komponente enthalten. Diese Bedingung ist auch hinreichend. Im Fall einer reellen L IE-Algebra L wird man für L die abelsche L IE-Algebra u(1) erwarten (s. Gl. 9.333). Allgemein gilt die Aussage, dass für jede reguläre Einbettung ψ der Unteralgebra L die subduzierte Darstellung reduzibel ist. Die Umkehrung ist nur bedingt richtig. Betrachtet werden die L IE-Algebren L = An , Bn , Cn sowie deren Unteralgebren L , die eine reduzible subduzierte Darstellung haben mögen. Setzt man voraus, dass die Darstellung im Fall An n-dimensional ist und keine invariante symmetrische Bilinearform besitzt, im Fall Bn (2n + 1)-dimensional und orthogonal ist, im Fall C n 2n-dimensional und symplektisch ist, dann bekommt man in allen drei Fällen eine reguläre Unteralgebra L . Als Konsequenz daraus erwartet man im Fall von L IE-Algebren An , Bn und C n mit S-Unteralgebren subduzierte Darstellungen mit der Dimension n, 2n + 1 bzw. 2n, die alle irreduzibel sind. Die duale Abbildung (9.366) erlaubt die Ermittlung des Gewichtssystems der subduzierten Darstellung ψ ∗ (D(L )). Eine nachfolgende Reduktion dieser Darstellung liefert dann die irreduziblen Komponenten D (i ) (L ) der Verzweigungsregel (9.357).

536

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Im Fall von regulären Einbettungen findet man die Projektion (9.366) und mithin die Gewichte der subduzierten Darstellung  auf sehr  einfachem Wege etwa durch die Betrachtung der DYNKIN-Label k = , α (k)∨ . Dabei werden nur jene einfachen Wurzeln α (k) berücksichtigt, die zum neuen einfachen System  (9.328) bzw. (9.329) der Unteralgebra L gehören. Zusätzlich wird gemäß dem erweiterten System (9.326) das DYNKIN-Label " ! 0 = , −α (0)∨

(9.369)

benutzt. Mit der Entwicklung der höchsten negativen Wurzel −α(0) nach (7.227) kann dann das DYNKIN-Label 0 durch die DYNKIN-Label k der Gewichte λ ∈ P  (ψ ∗ (D(L ))) sowie die C OXETER-Koeffizienten ausgedrückt werden. Beispiel 19 Betrachtet wird die reguläre Einbettung ψ (9.334) der Unteralgebra L = A1 in die L IE-Algebra L = A2 mit dem Ziel, die Verzweigungsregel für die 1 2 adjungierte Darstellung D ( =1, =1) (A2 ) = D (µ1 =1,µ2 =1) (A2 ) zu gewinnen. Ausgehend von einem Gewicht µ aus dem Gewichtssystem P (1,1) (A2 ) der adjungierten Darstellung in der Basis (A2 ) der einfachen Wurzeln µ = µ1 α (1) + µ2 α (2)

mit

" " ! ! ∨ , µ µ1 = µ, ∨ = µ,  2 (1) (2)

(9.370)

wird man durch die Einbettung eine Reduktion auf das Gewicht µ = µ1 α (1)

(9.371)

erwarten. Für ein Element h  der C ARTAN-Unteralgebra H ⊂ A1 impliziert die Projektion (9.361) die Gleichsetzung µ(h  ) = µ (h  )

h  ∈ H ⊂ H.

Mit der linearen Verknüpfung (9.336) zwischen den C ARTAN-Unteralgebren H ⊂ A1 und H ⊂ A2 erhält man daraus µ1 α (1) (Hα(1) ) + µ2 α (2) (Hα(1) ) = µ1 α (1) (Hα(1) )

(9.372a)

bzw. ! " ! " ! " µ1 α (1) , α (1)∨ + µ2 α (2) , α (1)∨ = µ1 α (1) , α (1)∨ .

(9.372b)

Die Berechnung der Skalarprodukte unter Verwendung von (7.146) ergibt 1 µ1 = µ1 − µ2 , 2

(9.373)

9.7

Unteralgebren

537

so dass der Projektionsoperator P von Gl. (9.366) die Form einer einzeiligen (rangA1 = 1) und zweispaltigen (rangA2 = 2) Matrix annimmt P = (1 2).

(9.374)

Die nachfolgende Projektion aller Gewichte der adjungierten Darstellung µ1 D (1,1) (A2 ) (Abb. 9.6) liefert dann die Gewichte µ bzw. deren Koeffizienten  (1,1)

(Tab. 9.6). Man erhält so das reduzierte Gewichtssystem P  Dsub (A1 ) der auf die Tabelle 9.6 Entwicklungskoeffizienten bezüglich der Basis  und DYNKIN -Label für das Ge(1,1) (A )) der adjungierten Darstellung D (1,1) (A ) sowie für das reduzierte Gewichtssystem P (D 2  2  (1,1) (1,1)  wichtssystem P Dsub (A1 ) der auf die Unteralgebra A1 subduzierten Darstellung Dsub (A1 ) im Fall einer regulären Einbettung A1 ⊂ A2 Gewichts− system

Koeffizient

P (D (1,1) (A2 )) µ1

α (1) + α (2) α (1) α (2) 0 0 −α (2) −α (1) (1) −α − α (2)

1 1 0 0 0 0 −1 −1

µ1

µ2

1 1/2 0 1 1 −1/2 0 0 0 0 −1 1/2 0 −1 −1 −1/2

Dynkin − Label

Gewichts− system   (1,1)  P Dsub (A1 )

1

2

1

Gewichts− system   (1,1)  P Dsub (A1 )

1/2α (1) α (1) −1/2α (1) 0 0 1/2α (1) −α (1) −1/2α (1)

1 2 −1 0 0 1 −2 −1

1 −1 2 0 0 −2 1 −1

1 2 −1 0 0 1 −2 −1

(1) 2(1) −(1) 0 0 (1) −2(1) −(1)

(1,1)

Unteralgebra A1 subduzierten Darstellung Dsub (A1 ), die in irreduzible Komponenten zerlegt werden kann. Letzteres verlangt eine Koordination der Gewichte aus dem reduzierten Gewichtssystem P  zu den Gewichtssystemen P  (D µ (A1 )) der irreduziblen Darstellungen D (µ) (A1 ) der Unteralgebra A1 . Das höchste Gewicht µ = α (1) aus P  kann dann dem höchsten Gewicht der  3-dimensionalen irreduziblen Darstellung D (µ1 =1) (A1 ) mit dem Gewichtssystem P  (D (µ1 =1) (A1 )) = {α (1) , 0, −α (1) } 

zugeordnet werden. Nach dem Entfernen dieses Gewichtssystems von dem reduzierten Gewichtssystem bleibt die Restmenge S =



( 1 (1) 1 (1) 1 1 α , α , 0, − α (1) , − α (1) . 2 2 2 2

Das höchste Gewicht davon ist µ = 1/2α (1) . Es gehört zur 2-dimensionalen ir reduziblen Darstellung D (µ1 =1/2) (A1 ), die zweimal vorkommt und das Gewichtssystem

538

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren



P  (D (µ1 =1/2) (A1 )) = 

1 (1) 1 (1) α ,− α 2 2

(

besitzt (s. a. Beispiel 1 v. Abschn. 9.2). Nach dem zweimaligen Entfernen dieses Gewichtssystems von der Menge S  bleibt nur noch das Gewicht µ = 0, das zur  trivialen Darstellung D (µ1 =0) (A1 ) gehört. Das gleiche Ergebnis resultiert nach einer Methode, die die DYNKIN-Label {i } benutzt und bei einer regulären Einbettung erlaubt ist. Das Entfernen etwa des 2. Knotens aus dem regulären DYNKIN-Diagramm der L IE-Algebra A2 bzw. das Entfernen der einfachen Wurzel α (2) aus dem einfachen System (A2 ) impliziert das Entfernen der 2. Spalte mit den DYNKIN-Label 2 von Tabelle 9.6. Die Projektion aller 8 Gewichte des Gewichtssystems P(D (1,1) (A2 )) der adjungierten Darstellung D (1,1) (A2 ) erfolgt dann mit dem Operator P = (1 0).

(9.375)

  (1,1) Das so gewonnene reduzierte Gewichtssystem P  Dsub (A1 ) der subduzierten (1,1) (A1 ) (Tab. 9.6) erlaubt schließlich wieder eine Zerlegung in irDarstellung Dsub  reduzible Darstellungen D (i ) (A1 ). Im Ergebnis erhält man für die adjungierte Darstellung D (1,1)(A2 ) die Verzweigungsregel (9.357) im Hinblick auf die DYNKIN Basis in der Form 1 =2)

D (1,1) (A2 ) −→ D (

1 =1)

(A1 ) ⊕ 2D (

(A1 ) ⊕ D (

1 =0)

(A1 ).

(9.376a)

Unter Verwendung der Dimension der irreduziblen Darstellungen als Symbolik erhält man daraus 8 −→ 3 ⊕ 2 2 ⊕ 1.

(9.376b)

Dabei ist darauf hinzuweisen, dass nach Vergleich mit der Form (9.367) in Gl. (9.376) neben derGadjungierten Darstellung D (2) (A1 ) der Unteralgebra A1 in der direkten Summe i D (i ) (L = A1 ) die triviale Darstellung D (0) (A1 ) als irreduzible Komponente auftritt. Als Konsequenz daraus kann eine Einbettung der reduktiven Unteralgebra in der Form (9.331) erwartet werden. 1 2 Im Fall der fundamentalen Darstellung D ( =1, =0) (A2 ) der L IE-Algebra A2 mit dem Gewichtssystem (Abb. 9.4) P(D (1,0) (A2 )) = {(1) , −(1) + (2) , −(2) }

(9.377)

bekommt man nach dem Entfernen der DYNKIN-Label 2 bzw. nach Projektion der drei Gewichte mit dem Operator (9.375) das reduzierte Gewichtssystem     (1,0) P  Dsub (A1 ) = (1) , −(1)

9.7

Unteralgebren

539

  (1,0) der auf die Unteralgebra A1 subduzierten Darstellung Dsub (A1 ) . Die nachfolgende Zerlegung in irreduzible Komponenten D (i ) (A1 ) liefert dann die Verzweigungsregel D (1,0) (A2 ) −→ D (

1 =1)

1 =0)

(A1 ) ⊕ D (

(A1 )

(9.378a)

bzw. 3 −→ 2 ⊕ 1.

(9.378b)

Die Verzweigung (9.376) kann auch mithilfe von YOUNG-Tableaux erhalten werden. Ausgehend von den 8 erlaubten YOUNG-Tableaux (Oktett) der Darstellung D (1,1) (A2 ) = D [2,1] (A2 ) mit der Verteilung [λ] = [2, 1] (Abb. 9.21b) wird man zunächst jene Quadrate entfernen, die die Ziffer 3 enthalten und die 3. Basisfunktion der 3-dimensionalen L IE-Algebra A2 vertreten. Dies geschieht in der Absicht, der Dimension dim A1 = 2 (= l + 1) der L IE-Algebra A1 Rechnung zu tragen. Danach werden jene Spalten entfernt, die 2 (= l + 1) Quadrate besitzen und – wegen des verschwindenden maximalen Gewichts – die triviale Darstellung vertreten. Übrig bleiben dann ein Dublett (die ersten beiden YOUNG-Tableaux von Abb. 9.21b), ein Singulett (3. YOUNG-Tableau) sowie ein zweites Dublett (6. und 8. YOUNGTableau). Das Ergebnis stimmt mit der Verzweigung (9.376) überein. Dieses Verfahren kann verallgemeinert und auf die Einbettung der Unteralgebra Al−1 in die L IE-Algebra Al angewandt werden. Dabei gilt als Voraussetzung, dass die Einbettung regulär ist. Im speziellen Fall der regulären Einbettung A1 ⊂ A2 ist die Unteralgebra mit einer der drei Wurzelalgebren {(A1 )α(i) |α (i) ∈ (A2 )} der vollen L IE-Algebra A2 identisch (Beispiel 2 v. Abschn. 7.3). Betrachtet man das Gewichtsdiagramm der adjungierten Darstellung A(1,1) (A2 ) der vollen L IEAlgebra A2 (Abb. 9.7), dann kann man dieses Oktett zerlegen in ein Triplett (Abb. 9.5a), in zwei Dublett (Abb. 9.3) sowie in ein Singulett. Diese Zerlegung stimmt erneut mit der Verzweigung (9.376) überein. Allgemein gilt die Aussage, dass jedes Gewichtsdiagramm einer irreduziblen Darstellung D () (A2 ) eine Reihe von Multiplett-Darstellungen D (i ) (A1 ) der regulären Unteralgebra A1 enthält. Beispiel 20 Betrachtet wird die nicht reguläre Einbettung ψ (9.334) der Unteralgebra L = A1 in die L IE-Algebra L = A2 (Beispiel 17) mit dem Ziel, 1 2 die Verzweigungsregel für die adjungierte Darstellung D ( =1, =1) (A2 ) = D (µ1 =1,µ2 =1) (A2 ) zu gewinnen. Mit einem Gewicht µ (9.370) aus dem Gewichtssystem P(D (1,1) (A2 )) erhält man nach der Reduktion auf das Gewicht µ (9.371) (1,1) (A1 ) und unter Verwendung der linearen Verder subduzierten Darstellung Dsub knüpfung (9.336) zwischen den C ARTAN-Unteralgebren H ⊂ A1 und H ⊂ A2 die Beziehung 2µ1 α (1) (Hα (1) ) + 2µ2 α (2) (Hα(1) ) = µ1 α (1) (Hα (1) )

(9.379a)

540

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

bzw. ! " ! " ! " 2µ1 α (1) , α (1)∨ + 2µ2 α (2) , α (1)∨ = µ1 α (1) , α (1)∨ .

(9.379b)

Die Verwendung von (7.146) bei der Berechnung der Skalarprodukte liefert dann µ1 = 2µ1 − µ2 ,

(9.380)

so dass der Projektionsoperator P von Gl. (9.366) die Gestalt P = (2 − 1)

(9.381)

annimmt. Die nachfolgende Projektion aller acht Gewichte der adjungierten Darstellung Koeffizienten µ1 D (1,1) (A2 ) (Abb. 9.6) liefert dann die Gewichte µ bzw. deren   (1,1)  (Tab. 9.7). Man erhält so das reduzierte Gewichtssystem P Dsub (A1 ) der subduzierten Darstellung, die in irreduzible Komponenten zerlegt werden kann. Beginnend mit dem höchsten Gewicht µ = 2α (1) aus P  , dann kann dieses dem  1 höchsten Gewicht der 5-dimensionalen Darstellung D (µ1 =2) (A1 ) = D ( =4) (A1 ) mit dem Gewichtssystem P  (D (µ1 =2) (A1 )) = {2α (1) , α (1) , 0, −α (1) , −2α (1) } 

zugeordnet werden. Nach dem Entfernen dieses Gewichtssystems von dem reduzierten Gewichtssystem bleibt die Restmenge S  = {α (1) , 0, −α (1) }. Das höchste Gewicht davon ist µ = α (1) . Es gehört zur 3-dimensionalen irredu 1 ziblen Darstellung D (µ1 =1) (A1 ) = D ( =2) (A1 ). Insgesamt liefert die Zerlegung des reduzierten Gewichtssystems die Reduktion der subduzierten Darstellung in irreduzible Komponenten und mithin die Verzweigung in der Form D (1,1) (A2 ) −→ D (

1 =4)

1 =2)

(A1 ) ⊕ D (

(A1 )

(9.382a)

bzw. unter Verwendung der Dimension der irreduziblen Darstellungen als Symbolik 8 −→ 5 ⊕ 3.

(9.382b)

Dabei ist anzumerken, dass nach Vergleich mit der Form neben der adG (9.367) (i ) (L = A ) von D jungierten Darstellung D (2) (A1 ) die direkte Summe 1 i Gl. (9.367) mit der irreduziblen Darstellung D (4) (A1 ) identisch ist. Danach tritt dort

9.7

Unteralgebren

541

Tabelle 9.7 Entwicklungskoeffizienten bezüglich der Basis  für das Gewichtssystem (1,1) (A )) der adjungierten Darstellung D (1,1) (A ) sowie für das reduzierte Gewichtssystem P (D 2  2  (1,1) (1,1) P  Dsub (A1 ) der auf die Unteralgebra A1 subduzierten Darstellung Dsub (A1 ) im Fall einer nicht regulären Einbettung A1 ⊂ A2 Gewichts− system

Koeffizient

P (D (1,1) (A2 ))

µ1

µ2

µ1

Gewichts− system   (1,1) P  Dsub (A1 )

α (1) + α (2) α (1) α (2) 0 0 −α (2) −α (1) (1) −α − α (2)

1 1 0 0 0 0 −1 −1

1 0 1 0 0 −1 0 −1

1 2 −1 0 0 1 −2 −1

α (1) 2α (1) −α (1) 0 0 α (1) −2α (1) −1α (1)

keine triviale Darstellung auf, so dass in diesem Fall keine Einbettung der reduktiven Unteralgebra in der Form (9.331) erlaubt ist. Im Fall der nicht regulären Einbettung A1 ⊂ A2 kann die Unteralgebra A1 anders als bei der regulären Einbettung mit keiner der drei Wurzelalgebren {(A1 )α(i) |α (i) ∈ (A2 )} der vollen L IE-Algebra A2 korreliert werden. Demnach sind auch die Ge wichtsdiagramme der irreduziblen Darstellungen D ( ) (A1 ) von (9.382) nicht in dem Gewichtsdiagramm (Oktett) der adjungierten Darstellung D (1,1) (A2 ) enthalten, so dass die Einbettung als speziell gilt. 1 2 Im Fall der fundamentalen Darstellung D ( =1, =0) (A2 ) der L IE-Algebra A2 mit dem Gewichtssystem (9.377) (Abb. 9.4) bekommt man nach der Projektion der drei Gewichte mit dem Operator (9.381) das reduzierte Gewichtssystem     (1,0) P  Dsub (A1 ) = {α (1) , 0, −α (1) } = 2(1) , 0, −2(1) .

(9.383)

Dieses gehört zu der 3-dimensionalen Darstellung D (µ1 =1) (A1 ) = D ( womit die Verzweigungsregel die Form 

D (1,0) (A2 ) −→ D (

1 =2)

(A1 )

1 =2)

(A1 ),

(9.384a)

bzw. 3 −→ 3

(9.384b)

annimmt. Bleibt anzumerken, dass in diesem Fall der nicht regulären Einbettung die (1,0) subduzierte Darstellung Dsub (A1 ) mit dem Gewichtssystem (9.383) nicht reduzibel ist. Beispiel 21 Im folgenden Beispiel wird die reguläre Einbettung ψ der Unteralgebra L = A2 in die L IE-Algebra L = G 2 diskutiert mit dem Ziel, die

542

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Verzweigungsregel für die adjungierte Darstellung D ( =1, =0) (G 2 ) zu gewinnen. Nach dem erweiterten DYNKIN-Diagramm (Abb. 9.27) wird dabei der Knoten mit der Ziffer 2 bzw. die einfache Wurzel α (2) aus dem erweiterten einfachen System + (G 2 ) entfernt. Die Unteralgebra hat hier den gleichen Rang wie die volle L IEAlgebra (rang G 2 = rang A2 = 2). Das Wurzelsystem (G 2 ) der vollen L IE-Algebra G 2 einschließlich der zwei (= rang G 2 ) verschwindenden Wurzeln kann nach dem Wurzeldiagramm von Abb. 7.2 ermittelt werden. Man erhält insgesamt 14 (= || + rang G 2 ) Wurzeln, die mit dem Gewichtssystem P(D (1,0) (G 2 )) der adjungierten Darstellung D (1,0) (G 2 ) übereinstimmen. Letzteres errechnet sich auch ausgehend von dem höchsten Gewicht  = 1(1) + 0(2) nach einer Methode, die in Beispiel 2 von Abschn. 9.2 vorgestellt wird. Dazu ist neben der C ARTAN-Matrix AG 2 (7.241) auch die reziproke C ARTAN-Matrix ( AG 2 )−1 (quadratische Formenmatrix) erforderlich 1

G 2 −1

(A )

 ==

2 3

2

 1 , −2

um die Beziehungen zwischen der Basis des einfachen Systems  = {α (1) , α (2) } und der DYNKIN-Basis {(1) , (2) } nach Gln. (9.23) und (9.25) zu gewinnen α (1) = 2(1) − 3(2)

α (2) = −(1) + 2(2)

bzw. (1) = 2α (1) + 3α (2)

(2) = α (1) + 2α (2) .

Damit erhält man das Gewichtssystem P(D (1,0) (G 2 )), das in Abb. 9.28 dargestellt ist. Dort bilden die sechs langen Wurzeln von Abb. 7.2 bzw. die Gewichte {a} ∪ {−a} von Abb. 7.28 zusammen mit den beiden verschwindenden Wurzeln die insgesamt 8 Gewichte (Oktett) der adjungierten Darstellung D (1,1) (A2 ) der L IEAlgebra A2 (Abb. 9.7). Die übrigen 6 Wurzeln bzw. die Gewichte {b}∪{−b} können der fundamentalen Darstellung D (1,0) (A2 ) sowie der antifundamentalen Darstellung D (0,1) (A2 ) zugeordnet werden (Abb. 9.5). Als Ergebnis findet man gemäß der Verzweigungsregel (9.357) eine Zer(1,0) legung der auf die Unteralgebra A2 subduzierten Darstellung Dsub (A2 ) = ψ ∗ (D (1,0) (A2 )) in irreduzible Komponenten D (i ) (A2 ) in der Form D (1,0) (G 2 ) −→ D (1,1) (A2 ) ⊕ D (1,0) (A2 ) ⊕ D (0,1) (A2 ),

(9.385a)

bzw. mit der Symbolik, die die Dimension ausdrückt ¯ 14 −→ 8 ⊕ 3 ⊕ 3.

(9.385b)

9.7

Unteralgebren

543

Beispiel 22 Als weiteres Beispiel wird die reguläre Einbettung ψ der L IE-Algebra L = A3 in die L IE-Algebra L = B3 betrachtet. Dabei gilt es die Verzweigungs1 2 3 regel für die 7-dimensionale Darstellung D ( =1, =0, =0) (B3 ) zu ermitteln. Eine

Abb. 9.28 Gewichtssystem P (D (1,0) (G 2 )) der adjungierten Darstellung D (1,0) (G 2 ) der L IEAlgebra G 2 ausgedrückt durch die DYNKIN-Label (1 , 2 ); a: lange Wurzeln, b: kurze Wurzeln (s. Abb. 7.2)

Abb. 9.29 Erweitertes DYNKIN-Diagramm B3+ der einfachen L IE-Algebra B3 (s. a. Abb. 9.27)

solche Einbettung erreicht man mithilfe des erweiterten DYNKIN-Diagramms B3+ etwa durch das Entfernen des Knotens mit der Ziffer 3 bzw. durch das Entfernen der einfachen Wurzel α (3) aus dem erweiterten einfachen System + (B3 ) (Abb. 9.29). Die Unteralgebra hat demnach den gleichen Rang wie die volle L IE-Algebra. Mit der C ARTAN-Matrix (s. Anhang)

544

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

⎛

⎞ 0 −1 ⎠ 2

2 −1 2 ( A B3 ) = ⎝ −1 0 −2 und der reziproken C ARTAN-Matrix ( A B3 )−1

⎛ 2 1⎝ 2 = 2 2

⎞ 2 1 4 2⎠ 4 3

gewinnt man nach Gln. (9.23) sowie (9.25) die Beziehungen zwischen der Basis des einfachen Systems (B2 ) = {α (1) , α (2) , α (3) } und der DYNKIN-Basis {(1) , (2) , (3) } α (1) = 2(1) − (2) α (2) = −(1) + (2) − 2(3)

(9.386a)

α (3) = −(2) + 2(3) bzw. (1) = α (1) + α (2) + α (3) (2) = α (1) + 2α (2) + 2α (3) 1 3 (3) = α (1) + α (2) + α (3) . 2 2

(9.386b)

Das Gewichtssystem P(D (1,0,0) (B3 )) errechnet sich dann ausgehend von dem höchsten Gewicht  = 1 ( = (1, 0, 0)) bzw. µ = α (1) + α (2) + α (3) (µ = (1, 1, 1)) nach der Methode in Beispiel 2 von Abschn. 9.2 (Abb. 9.30). Die höchste Wurzel α (0) ergibt sich in Analogie zur L IE-Algebra L = B2 mit (0) α = β + 2α ≡ α (1) + 2α (2) (s. Beispiel 2 v. Abschn. 7.5) zu α (0) = α (1) + 2α (2) + 2α (3) .

(9.387)

Die DYNKIN-Label (1 , 2 , 3 ) für deren negativen Wert −α (0) errechnen sich nach (9.386a) zu 1 = 0,

2 = 1,

3 = 0.

Das DYNKIN-Label 0 wird nach Gl. (9.369) ermittelt. Zusammen mit Gl. (9.387) erhält man           , α (2) , α (3) , α (1) , α (0) 0  = −2  (0) (0)  = −2  (1) (1)  + 2  (2) (2)  + 2  (3) (3)  . α ,α α ,α α ,α α ,α

9.7

Unteralgebren

545

Abb. 9.30 Gewichtssystem P (D (1,0,0) (B3 )) = {α (1) + α (2) + α (3) , α (2) + α (3) , α (3) , 0, −α (3) , −α (2) − α (3) , −α (1) − α (2) − α (3) } der 7-dimensionalen fundamentalen Darstellung D (1,0,0) (B3 ) der L IE-Algebra B3 ausgedrückt durch die DYNKIN -Label 1 , 2 und 3

Unter Berücksichtigung der Beziehung zwischen den Normen der einfachen Wurzeln (s. Beispiel 3 v. Abschn. 7.5) " ! " ! " ! " α (1) , α (1) = α (2) , α (2) = 2 α (3) , α (3) = α (0) , α (0)

!

kommt man mit Gl. (7.215) zu dem Ergebnis " ! " ! " ! 0 = − , α (1)∨ − 2 , α (2)∨ − , α (3)∨ = −1 − 22 − 3 . Mit Abb. 9.30 gelingt dann die Aufstellung des erweiterten Gewichtssystems P + für die Darstellung D (1,0,0) (B3 ). Das Entfernen des Knotens mit der Ziffer 3 aus dem erweiterten DYNKIN Diagramm von Abb. 9.29 mit dem Ergebnis der Unteralgebra A3 impliziert die Streichung der 3.   Spalte von Tabelle 9.8. Man erhält so das Gewichtssystem (1,0,0) (1,0,0) P  Dsub (A3 ) einer auf die Unteralgebra A3 subduzierten Darstellung Dsub (A3 ) = ψ ∗ (D (1,0,0) (A3 )) (Tab. 9.9). Die Projektion (9.366) des Gewichtssystems

546

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

Tabelle 9.8 Erweitertes Gewichtssystem P + (D (1,0,0) (B3 )) der 7-dimensionalen Darstellung D (1,0,0) (B3 ) ausgedrückt durch die DYNKIN-Label 1 , 2 , 3 und 0 1

2

1 −1 0 0 0 1 −1

3

0 1 −1 0 1 −1 0

0 −1 −1 0 0 0 1 1

0 0 2 0 −2 0 0

P(D (1,0,0) (B3 )) erfolgt dabei mit dem 3-zeiligen (rang A3 = 3) und 3-spaltigen (rang B3 = 3) Projektionsoperator ⎛

1 P =⎝ 0 −1

0 1 −2

⎞ 0 0⎠. −1

  (1,0,0) Tabelle 9.9 Gewichtssystem P  Dsub (A3 ) der auf die Unteralgebra A3 subduzierten Darstel(1,0,0) lung Dsub (A3 ) = ψ ∗ (D (1,0,0) (A3 )) ausgedrückt durch die DYNKIN-Label 1 , 2 und 3

1

2

1 −1 0 0 0 1 −1

0 1 −1 0 1 −1 0

3 −1 −1 0 0 0 1 1

Die nachfolgende Zerlegung der subduzierten Darstellung in irreduzible Kompo  (1,0,0) nenten verlangt die Zuordnung der Gewichte aus P  Dsub (A3 ) zu jenen Gewichten aus dem Gewichtsystem P  (D () )(A3 ) der irreduziblen Darstellungen D (A3 ) . Betrachtet man etwa das höchste Gewicht  = (0, 1, 0), dann gehört dieses zu der 6-dimensionalen fundamentalen Darstellung D (0,1,0) (A3 ). Das Gewichtssystem P  (D (0,1,0) )(A3 ) dieser irreduziblen Darstellung errechnet sich mithilfe der C ARTAN-Matrix (s. Anhang) ⎛

2 ( A A3 ) = ⎝ −1 0 bzw. der reziproken C ARTAN-Matrix

⎞ −1 0 2 −1 ⎠ −1 2

9.7

Unteralgebren

547

( A A3 )−1

⎛ 3 1⎝ 2 = 4 1

2 4 2

⎞ 1 2⎠ 3

sowie den Beziehungen zwischen der Systems (A3 )={α (1) ,   Basis des einfachen α (2) , α (3) } und der DYNKIN -Basis (1) , (2) , (3) nach Gln. (9.23) und (9.25) α(1) = 2(1) − (2) α (2) = −(1) + 2(2) − (3) α (3) = −(2) + 2(3) bzw. 3 (1) 1 (2) 1 (3) α + α + α 4 2 4 1 (1) 1 (3) (2) = α +α + α 2 2 1 (1) 1 (2) 3 (3) = α + α + α . 4 2 4

(1) = (2) (3)

Das Ergebnis ist in Abb. 9.31 dargestellt (s. a. Beispiel 2 v. Abschn. 9.2). (0,1,0) (A ) aus dem GeNach dem Entfernen der 3   6 Gewichte der Darstellung D (0,1,0)  (A3 ) (Tab. 9.9) bleibt noch das Gewicht  = (0, 0, 0), wichtssystem P Dsub

Abb. 9.31 Gewichtssystem P  (D (0,1,0) (A3 )) der 6-dimensionalen fundamentalen Darstellung D (0,1,0) (A3 ) der L IE-Algebra A3 ausgedrückt durch die DYNKIN-Label 1 , 2 und 3

548

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

das zur trivialen Darstellung D (0,0,0) (A3 ) gehört. Im Ergebnis findet man eine Zerlegung der subduzierten Darstellung in irreduzible Komponenten gemäß der Verzweigungsregel (9.357) in der Form D (1,0,0) (B3 ) −→ D (0,1,0) (A3 ) ⊕ D (0,0,0) (A3 )

(9.389a)

bzw. unter Verwendung der Dimension der irreduziblen Darstellungen als Symbolik 7 −→ 6 ⊕ 1.

(9.389b)

Eine andere Einbettung erreicht man durch das Entfernen des Knotens mit der Ziffer 2 im erweiterten DYNKIN-Diagramm B3+ (Abb. 9.29) bzw. durch das Entfernen der einfachen Wurzel α (2) aus dem erweiterten einfachen System + (B3 ) A1 ⊕ A1 ⊕ A1 ⊂ A3 . Dieser Schritt verlangt das Entfernen der DYNKIN-Label 2 aus dem erweiterten Gewichtssystem P + (D (1,0,0) (B3 )), was die Streichung der 2. Spalte von Tabelle 9.8 zur Folge hat. Man erhält so das Gewichtssystem P  einer subduzierten Darstellung (1,0,0) Dsub (A1 ⊕ A1 ⊕ A1 ) (Tab. 9.10), deren DYNKIN-Label 1 , 2 und 3 jeweils  einem Gewicht bezüglich einer irreduziblen Darstellung D ( ) (A1 ) zuzuordnen ist. Das höchste Gewicht 2(1) mit dem DYNKIN-Label 1 = 2 kann dem Ge  wichtssystem P(D (2) (A1 )) = 2(1) , 0, −2(1) der 3-dimensionalen Darstel-

lung D (2) (A1 ) einer der drei L IE-Algebren zugeordnet werden. Daneben zeigen die anderen beiden L IE-Algebren A1 jeweils die DYNKIN -Label 1 = 0 (3., 4. und 5. Zeile v. Tab. 9.10), die mit dem Gewichtssystem der trivialen Darstellung D (0) (A1 ) korreliert sind. Nach dem Entfernen dieser Gewichte aus dem Gewichtssystem P  findet man in der Restmenge ein Gewichtssystem P(D (1) (A1 )) = (1) , −(1) ,

das zu der 2-dimensionalen Darstellung D (1) (A1 ) von zwei der drei L IE-Algebren A1 gehört (1. und 2. bzw. 6. und 7. Zeile v. Tab. 9.10). Parallel dazu erscheint jeweils ein verschwindendes Gewicht mit dem DYNKIN -Label 1 = 0, das mit der trivialen Darstellung D (0) (A1 ) der dritten L IE-Algebra A1 korreliert ist. Insgesamt erhält man aus der Zuordnung der Gewichte oder deren DYNKIN-Label die Verzweigungsregel in der Form # $ D (1,0,0) (B3 ) −→ D (0) (A1 ) ⊕ D (2) (A1 ) ⊕ D (0) (A1 )] ⊕ [D (1) (A1 ) ⊕ D (0) (A1 ) ⊕ D (1) (A1 )

(9.390a)

9.7

Unteralgebren

549

Tabelle 9.10 Gewichtssystem P  der auf die Unteralgebra (A1 ⊕ A1 ⊕ A1 ) subduzierten Darstel(1,0,0) lung Dsub (A1 ⊕ A1 ⊕ A1 ) ausgedrückt durch die DYNKIN -Label 1 1 1 −1 0 0 0 1 −1

1

1 −1 −1 0 0 0 1 1

0 1 2 0 −2 0 0

bzw. unter Verwendung der Dimension der irreduziblen Darstellungen als Symbolik 7 −→ (1, 3, 1) ⊕ (2, 1, 2).

(9.390b)

Beispiel 23 Schließlich wird die reguläre Einbettung ψ der Unteralgebra L = A1 ⊕ A2 in die L IE-Algebra L = A4 diskutiert. Das Ziel ist hier die Ermittlung der Verzweigungsregel für die 5-dimensionale fundamentale Darstellung D (1,0,0,0) (A4 ). Eine solche Einbettung erreicht man dadurch, dass im regulären DYNKIN-Diagramm etwa der Knoten mit der Ziffer 3 bzw. im einfachen System (A4 ) die einfache Wurzel α (3) entfernt wird (s. Abb. 7.6). Mit der C ARTAN-Matrix (s. Anhang) ⎛

2 ⎜ −1 A4 (A ) = ⎜ ⎝ 0 0

⎞ −1 0 0 2 −1 0⎟ ⎟ −1 2 −1 ⎠ 0 −1 2

bzw. der reziproken C ARTAN-Matrix ⎛

( A A4 )−1

4 1⎜ 3 ⎜ = ⎝ 5 2 1

3 6 4 2

2 4 6 3

⎞ 1 2⎟ ⎟ 3⎠ 4

gewinnt man nach Gln. (9.23) sowie (9.25) die Beziehungen zwischen der Basis des einfachen Systems (A4 ) und der DYNKIN-Basis {(1) , (2) , (3) , (4) } α (1) = 2(1) − (2) α (2) = −(1) + 2(2) − (3) α (3) = −(2) + 2(3) − (4) α (4) = −(3) + 2(4) bzw.

550

9 Darstellungen halbeinfacher L IE-Algebren

3 (4α (1) + 3α (2) + 2α (3) + α (4) ) 5 1 = (3α (1) + 6α (2) + 4α (3) + 2α (4) ) 5 1 = (2α (1) + 4α (2) + 6α (3) + 3α (4) ) 5 1 = (α (1) + 2α (2) + 3α (3) + 4α (4) ). 5

(1) = (2) (3) (4)

Das Gewichtssystem P(D (1,0,0,0) (A4 )) errechnet sich dann ausgehend von dem höchsten Gewicht  = 1 ( = (1, 0, 0, 0)) bzw. µ = 15 (4α (1) + 3α (2) + 2α (3) +   α (4) ) = 45 , 35 , 25 , 15 nach der Methode in Beispiel 2 von Abschn. 9.2 (Abb. 9.32).

Abb. 9.32 Gewichtssystem P (D (0,1,0,0) (A4 )) der 5-dimensionalen fundamentalen Darstellung D (1,0,0,0) (A4 ) der L IE-Algebra A4 ausgedrückt durch die DYNKIN-Label 1 , 2 , 3 und 4

Das Entfernen des Knotens mit der Ziffer 3 aus dem gewöhnlichen DYNKIN Diagramm der L IE-Algebra A4 (s. Abb. 7.6) mit dem Ergebnis der regulären Unteralgebra A2 ⊕ A1 impliziert die Streichung der DYNKIN-Label 3 in Abb. 9.32. Man erhält so das reduzierte Gewichtssystem P  der subduzierten Darstellung (1,0,0,0) (A2 ⊕ A1 ) (Tab. 9.11). Dsub Das höchste Gewicht mit dem DYNKIN-Label (1 = 1, 2 = 0) kann dem Gewichtssystem P  (D (1,0) (A2 )) der 3-dimensionalen fundamentalen Darstellung D (1,0) (A2 ) der L IE-Algebra A2 zugeordnet werden (Abb. 9.4a). Daneben gehören die verschwindenden Gewichte 1 = 0 zum Gewichtssystem der trivialen Darstellung D (0) (A1 ) der L IE-Algebra A1 (1., 2. und 3. Zeile v. Tab. 9.11). Nach dem Entfernen dieser Gewichte aus dem reduzierten Gewichtssystem P  findet man in der Restmenge ein Gewichtssystem, dessen höchstes Gewicht  = (1) das DYNKIN-Label 1 = 1 besitzt. Dieses gehört zum Gewichtssystem   P  (D (1) (A1 ) = (1) , −(1) der 2-dimensionalen fundamentalen Darstellung

9.7

Unteralgebren

551

D (1) (A1 ) der L IE-Algebra A1 (Abb. 9.3). Daneben sind die verschwindenden Gewichte  = (1 = 0, 2 = 0) mit der trivialen Darstellung D (0,0) (A2 ) der L IEAlgebra A2 korreliert (4. und 5. Zeile v. Tab. 9.11). Im Ergebnis findet man mithilfe der Korrelation von Gewichten des reduzierten Gewichtssystems P  zu Gewichten aus dem Gewichtssystem irreduzibler Darstellungen der Unteralgebra A2 ⊕ A1 die Verzweigungsregel in der Form # $ D (1,0,0,0) (A4 ) −→ D (1,0) (A2 ) ⊕ D (0) (A1 )] ⊕ [D (0,0) (A2 ) ⊕ D (1) (A1 ) (9.392a)

Tabelle 9.11 Gewichtssystem P  der auf die Unteralgebra (A2 ⊕ A1 ) subduzierten Darstellung (1,0,0,0) (A2 ⊕ A1 ) ausgedrückt durch die DYNKIN-Label 1 , 2 und 1 Dsub 1 1 −1 0 0 0

2 0 1 −1 0 0

1 0 0 0 1 −1

bzw. unter Verwendung der Dimension der irreduziblen Darstellungen als Symbolik 5 −→ (3, 1) ⊕ (1, 2).

(9.392a)

In analoger Weise erhält man für die antifundamentale Darstellung D (0,0,0,1) (A4 ) bzw. 5¯ die Verzweigungsregel ¯ 1) ⊕ (1, 2). ¯ 5¯ −→ (3,

(9.392b)

Diese spielt neben anderen eine wesentliche Rolle bei der großen vereinigten Eichtheorie (GUT – s. Beispiel 23). Dort stehen Quarks und Leptonen auf gleicher Stufe und erscheinen in gemeinsamen Multipletts. Die beiden Summanden können mit zwei Teilchenfamilien korreliert werden. Die erste besteht aus einem anti-downQuark d¯ c (c: color = rot, grün, blau); die zweite besteht aus einem Neutrino sowie einem Elektron (νe , e). Demnach bedeutet der erste Summand (3, 1) ein su c (3)Triplett (Farbtriplett) und ein su(2)-Singulett. Der zweite Summand (1, 2) bedeutet ein su c (3)-Singulett (Farbsingulett) und ein su(2)-Dublett.

Anhang

C ARTAN-Matrizen AL von einfachen L IE-Algebren L L = Al mit der Dimension dim Al = l(l + 2) und der adjungierten Darstellung D (2) (A1 ) bzw. D (1,0,...,1) (Al ) (l > 1): ⎛

A Al

⎞ 2 −1 0 ··· 0 0 0 ⎜ −1 2 −1 · · · 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 2 ··· 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. . . .. .. .. ⎟ = ⎜ ... ⎟ . . . . . . ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 0 · · · 2 −1 0 ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 · · · −1 2 −1 ⎠ 0 0 0 ··· 0 −1 2 ⎛

⎞ l (l − 1) (l − 2) · · · 3 2 1 ⎜ (l − 1) 2(l − 1) 2(l − 2) · · · 6 4 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (l − 2) 2(l − 2) 3(l − 2) · · · 9 6 3 ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ . .. .. .. .. .. ⎟ . .. ( A Al )−1 = ⎜ .. ⎟ . . . . . . ⎟ l +1 ⎜ ⎜ 3 ⎟ 6 9 · · · 3(l − 2) 2(l − 2) (l − 2) ⎜ ⎟ ⎝ 2 4 6 · · · 2(l − 2) 2(l − 1) (l − 1) ⎠ 1 2 3 · · · (l − 2) (l − 1) l

M. Böhm, Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik, Springer-Lehrbuch, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 DOI 10.1007/978-3-642-20379-4, 

553

554

Anhang

L = Bl mit der Dimension dim Bl = l(2l + 1) und der adjungierten Darstellung D (2) (B1 ) bzw. D (0,1,...,0) (Bl ) (l > 1): ⎛

A Bl

⎞ 2 −1 0 ··· 0 0 0 ⎜ −1 2 −1 · · · 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 2 ··· 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. . . .. .. .. ⎟ = ⎜ ... . . . . . .⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 ··· 2 −1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 · · · −1 2 −1 ⎠ 0 0 0 ··· 0 −2 2 ⎛

( A Bl )−1

1 ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜ =⎜ ⎜ .. ⎜. ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1 1

1 1 2 2 2 3 2 3 .. .. . . 2 3 2 3 2 3

1 ··· 1 1 2 ··· 2 2 3 ··· 3 3 4 ··· 4 4 .. . . .. .. . . . . 4 · · · (l − 2) (l − 2) 4 · · · (l − 2) (l − 1) 4 · · · (l − 2) (l − 1)

⎞

1 2

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎟ ⎟. .. ⎟ . ⎟ ⎟ 1 ⎟ (l − 2) 2 ⎟ 1 (l − 1) ⎠ 1 3 2

2

1 2l

L = Cl mit der Dimension dim Cl D (2,0,...,0) (Bl ) (l > 1):

= l(2l + 1) und der adjungierten Darstellung

⎛

ACl

⎞ 2 −1 0 ··· 0 0 0 ⎜ −1 2 −1 · · · 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 2 ··· 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. . . .. .. .. ⎟ = ⎜ ... ⎟ . . . . . . ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 0 · · · 2 −1 0 ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 · · · −1 2 −2 ⎠ 0 0 0 ··· 0 −1 2 ⎛

( ACl )−1

1 ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜ = ⎜ .. ⎜. ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1 1 2

1 2 2 2 .. .

1 2 3 3 .. .

2 2 1

3 3 3 2

1 2 3 4 .. .

··· ··· ··· ··· .. .

4 ··· 4 ··· 2 ···

1 2 3 4 .. .

(l − 2) (l − 2) 1 2 (l − 2)

1 2 3 4 .. .

(l − 2) (l − 1) 1 2 (l − 1)

1 2 3 4 .. .

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ (l − 2) ⎟ ⎟ (l − 1) ⎠ 1 2l

Anhang

555

L = Dl mit der Dimension dim Dl = l(2l − 1) und der adjungierten Darstellung D (0,1,1) (D3 ) bzw. D (0,1,0,...,0) (Dl ) (l > 3): ⎛

A Dl

⎞ 2 −1 0 ··· 0 0 0 0 ⎜ −1 2 −1 · · · 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 ⎟ 2 · · · 0 0 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. . . .. .. .. .. ⎟ ⎜ . . . . . . . .⎟ =⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 ··· 2 −1 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 · · · −1 2 −1 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 ··· 0 −1 2 0⎠ 0 0 0 ··· 0 −1 0 2 ⎛

( A Dl )−1

1 ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜ =⎜ ⎜ ... ⎜ ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎝2 1 2

1 2 2 2 .. .

1 2 3 3 .. .

2 1 1

3 3 2 3 2

1 ··· 2 ··· 3 ··· 4 ··· .. . . . . 4 ··· 2 ··· 2 ···

1 2

1 2 3 4 .. .

1 3 2

(l − 2) 1 2 (l − 2) 1 2 (l − 2)

1 2 (l

2 .. .

− 2)

1 4l 1 4 (l

− 2)

1 2

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎟ ⎟. .. ⎟ . ⎟ ⎟ 1 2 (l − 2) ⎟ ⎟ 1 ⎠ 4 (l − 2) 1 3 2

1 4l

L = E6 mit der Dimension dim E 6 = 78 und der adjungierten Darstellung D (0,0,0,0,0,1) (E 6 ): ⎛

A E6

2 −1 0 0 ⎜ −1 2 −1 0 ⎜ ⎜ 0 −1 2 −1 =⎜ ⎜ 0 0 −1 2 ⎜ ⎝ 0 0 0 −1 0 0 −1 0 ⎛

( A E6 )−1

4 ⎜5 ⎜ 1 ⎜6 = ⎜ 3⎜ ⎜4 ⎝2 3

0 0 0 −1 2 0

5 6 4 10 12 8 12 18 12 8 12 10 4 6 5 6 9 6

⎞ 0 0⎟ ⎟ −1 ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 2

⎞ 2 3 4 6⎟ ⎟ 6 9⎟ ⎟. 5 6⎟ ⎟ 4 3⎠ 3 6

556

Anhang

L = E7 mit der Dimension dim E 7 = 133 und der adjungierten Darstellung D (1,0,0,0,0,0,0) (E 7 ): ⎛

A E7

2 −1 0 0 0 ⎜−1 2 −1 0 0 ⎜ ⎜ 0 −1 2 −1 0 ⎜ 0 0 −1 2 −1 =⎜ ⎜ ⎜ 0 0 0 −1 2 ⎜ ⎝ 0 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 ⎛

( A E7 )−1

4 ⎜6 ⎜ ⎜8 1⎜ 6 = ⎜ 2⎜ ⎜4 ⎜ ⎝2 4

6 8 12 16 16 24 12 18 8 12 4 6 8 12

⎞ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 −1 ⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ −1 0⎟ ⎟ 2 0⎠ 0 2

6 4 12 8 18 12 15 10 10 8 5 4 9 6

⎞ 2 4 4 8⎟ ⎟ 6 12 ⎟ ⎟ 5 9⎟ ⎟. 4 6⎟ ⎟ 3 3⎠ 3 7

L = E8 mit der Dimension dim E 8 = 248 und der adjungierten Darstellung D (0,0,0,0,0,0,1,0) (E 8 ): ⎛

AE8

2 −1 0 0 0 0 ⎜ −1 2 −1 0 0 0 ⎜ ⎜ 0 −1 2 −1 0 0 ⎜ ⎜ 0 0 −1 2 −1 0 =⎜ ⎜ 0 0 0 −1 2 −1 ⎜ ⎜ 0 0 0 0 −1 2 ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 ⎛

( A E8 )−1

4 ⎜ 7 ⎜ ⎜ 10 ⎜ ⎜ 8 =⎜ ⎜ 6 ⎜ ⎜ 4 ⎜ ⎝ 2 5

7 14 20 16 12 8 4 10

10 20 30 24 18 12 6 15

8 16 24 20 15 10 5 12

⎞ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 −1 ⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ −1 0⎟ ⎟ 2 0⎠ 0 2

⎞ 6 4 2 5 12 8 4 10 ⎟ ⎟ 18 12 6 15 ⎟ ⎟ 15 10 5 12 ⎟ ⎟. 12 8 4 9⎟ ⎟ 8 6 3 6⎟ ⎟ 4 3 2 3⎠ 9 6 3 8

Anhang

557

L = F4 mit der Dimension dim F4 = 52 und der adjungierten Darstellung D (1,0,0,0) (F4 ): ⎛

A F4

⎞ 2 −1 0 0 ⎜ −1 2 −1 0⎟ ⎟ =⎜ ⎝ 0 −2 2 −1 ⎠ 0 0 −1 2 ⎛

( A F4 )−1

2 ⎜3 =⎜ ⎝4 2

3 6 8 4

2 4 6 3

⎞ 1 2⎟ ⎟. 3⎠ 2

L = G2 mit der Dimension dim G 2 = 14 und der adjungierten Darstellung D (1,0) (G 2 ):  A

G2

=

2 −3

( AG 2 )−1 =



−1 2



 2 1 . 3 2

Symbole und Abkürzungen

A α B C C C χ D D (α) D ad D reg D () (α) Dsub (β) Dind D∗ D D† dα D  e f ikj G H I K K Kn λ κ L mα

C ARTAN-Matrix Wurzel Basis Zentrum, W EYL-Kammer Punktgruppe Körper der komplexen Zahlen Charakter einer Darstellung Darstellung, Abbildung, Operator irreduzible Darstellung adjungierte Darstellung reguläre Darstellung fundamentale Darstellung subduzierte Darstellung induzierte Darstellung komplex konjugierte Darstellung transponierter Operator (hermitesch) adjungierter Operator Dimension einer irreduziblen Darstellung Matrixdarstellung Wurzelsystem Einselement, neutrales Element Strukturkonstante Gruppe, L IE-Gruppe Untergruppe, Unteralgebra Ideal Klasse Körper n-Tupel Zeilen- bzw. Spaltenraum über K Gewicht metrischer Tensor L IE -Algebra Multiplizität einer irreduziblen Darstellung

559

560

N N  R V Z 1n ∅ ◦ := ∼ = ≡ ⊕ % × ⊗  ∩ ∪ ∀ ∃ [λ] [, ] ", #

Symbole und Abkürzungen

Normalteiler Menge der natürlichen Zahlen einfaches Wurzelsystem Körper der reellen Zahlen Vektorraum Ring der ganzen Zahlen n × n-Einheitsmatrix leere Menge binäre Verknüpfung Definition isomorph identisch direkte Summe halbdirekte Summe äußeres direktes (kartesisches) Produkt inneres direktes Produkt halbdirektes Produkt Durchschnitt Vereinigung Allquantor Existenzquantor Verteilung Kommutator, L IE-Produkt Bilinearform, Skalarprodukt

Weiterführende Literatur

Kapitel 2, 3 S. L. A LTMANN, Induced Representations in Crystals and Molecules, Academic Press, 1977. F. AYRES Jr., Algebra – Theorie und Anwendung, McGraw-Hill, 1999. L. BAUMGÄRTNER, Gruppentheorie, W. de Gruyter, 1972. B. BAUMSLAG , B. C HANDLER , B. T HOMAS, Gruppentheorie: Theorie und Anwendung, McGraw-Hill, 1979. A. B EUTELSBACHER, Linare Algebra, Vieweg und Teubner, 2003. H. B OERNER, Representations of Groups, North-Holland, 1963. M. B ÖHM, Symmetrien in Festkörpern: Gruppentheoretische Grundlagen und Anwendungen, Wiley, 2002. M. B URROW, Representation Theory of Finite Groups, Academic Press, 1965. J. F. C ORNWELL, Group Theory in Physics, vol. I, Academic Press, 1989. C. W. C URTIS , I. R EINER, Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, Wiley, 1962. M. H AMERMESH, Group Theory and its Application to Physical Problems, Dover, 1989. B. H UBERT, W. W ILLEMS, Lineare Algebra, Vieweg und Teubner, 2006. T. I NUI , Y. TANABE , Y. O NDERA , Group Theory and Its Application in Physics, Springer, 1996. C. J. I SHAM, Lectures on Groups and Vector Spaces for Physicists, World Scientific Lecture Notes in Physics, vol. 31, World Scientific, 1989. L. JANSEN , M. B OON , Theory of Finite Groups – Application in Physics, North-Holland, 1967. A. G. K UROSCH, Gruppentheorie, Akademie, 1972. D. E. L ITTLEWOOD, The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups, Clarendon Press, 1958. G. J. L JUBARSKI, Anwendungen der Gruppentheorie in der Physik, Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1962. E. M. L OEBL (Ed.), Group Theory and Its Applications, Academic Press, 1968. W. L UDWIG , C. FALTER, Symmetries in Physics: Group Theory Applied to Physical Problems, Springer, 1988. G. W. M ACKEY, Induced Representations of Groups and Quantum Mechanics, Benjamin, 1968. M. M IRMAN, Group Theory: An Intuitive Approach, World Scientific, 1995. F. D. M URNAGHAN, The Theory of Group Representations, Dover, 1963. J. S CHIKIN, Lineare Räume und Abbildungen, Spektrum Akademischer Verlag, 1994. J. P. S ERRE, Linear Representations of Finite Groups, Springer, 1977. A. S PEISER, Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, Birkhäuser, 1956. T. A. S PRINGER, Linear Algebraic Groups, Birkhäuser, 1998. U. S TAMMBACH, Lineare Alkgebra, Teubner, Stuttgart, 1980. M. T INKHAM, Group Theory and Quantum Mechanics, McGraw-Hill, 1964.

561

562

Weiterführende Literatur

W.-K. T UNG, Group Theory in Physics, World Scientific, 1991. B. L. VAN DER W ERDEN, Group Theory and Quantum Mechanics, Springer, 1974.

Kapitel 4 J. F. A DAMS, Lectures on Lie Groups, University of Chicago Press, 1982. A. BAKER, Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Springer, 2002. A. O. BARUT, R. R ACZKA, Theory of Group Representations and Applications, World Scientific Publishing, 1987. J.-Q. C HEN , P.-N. WANG , Z.-M. L Ü , X.-B. W U, Tables of the Clebsch-Gordan, Racah and Subduction Coefficients of SU(n) Groups, World Scientific, 1987. P. M. C OHN, Lie Groups, Cambridge University Press, 1965. F. H. C ROOM, Basic Concepts of Algebraic Topology, Springer, 1978. J. J. D UISTERMAAT, J. A. C. K OLK, Lie Groups, Springer, 2000. R. G ILMORE, Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications, Dover, 2006. A. H ATCHER, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002. W. H EIN, Einführung in die Struktur- und Darstellungstheorie der klassischen Gruppen, Springer, 1990. S. H ELGASON, Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces, Academic Press, 1989. C. J. I SHAM, Modern Differential Geometry for Physicists, World Scientific, 1999. A. W. K NAPP, Lie Groups: Beyond an Introduction, Birkhäuser, 1996. W. S. M ASSEY, A Basic Course in Algebraic Topology, Springer, 1993. J. R. M UNKRES, Topology: A First Course, Prentice Hall, 2000. L. S. P ONTRJAGIN, Topologische Gruppen, Teubner, 1957. W. ROSSMANN, Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford University Press, 2006. A. A. S AGLE , R. E. WALDE, Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Academic Press, 1973. J. T ITS, Liesche Gruppen und Algebren, Springer, 1983. F. W. WARNER, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983. B. G. W YBOURNE, Classical Groups for Physicists, Wiley, 1974.

Kapitel 5, 6 H. A BBASAPOUR , M. M OSKOWITZ, Basic Lie Theory, World Scientific, 2007. A. O. BARUT, R. R ACZKA, Theory of Group Representations and Applications, World Scientific Publishing, 1987. N. B OURBAKI, Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1–3, Springer, 1999. R. C ARTER , G. S EGAL , I. M ACDONALD , Lectures on Lie Groups and Lie Algebras, Cambridge University Press, 1995. M. L. C URTIS, Matrix Groups, Springer, 1984. K. E RDMANN , M. J. W ILDON, Introduction to Lie Algebras, Springer, 2006. J. FARAUT, Analysis on Lie Groups: An Introduction, Cambridge Unversity Press, 2008. H. D. F EGAN, Introduction to Compact Lie Groups, World Scientific, 1991. H. F REUDENTHAL , H. D E V RIES , Linear Lie Groups, Academic Press, 1969. W. F ULTON , J. H ARRIS, Representation Theory: A First Course, Springer, 1991. R. G ILMORE, Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications, Dover, 2006. B. C. H ALL, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. M. H AUSNER , J. T. S CHWARTZ, Lie Groups and Lie Algebras, Gordan a. Breach, 1989.

Weiterführende Literatur

563

J. H ILGERT, K.-H. N EEB, Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg+Teubner, 1991. G. P. H OCHSCHILD , Basic Theory of Algebraic Groups and Lie Algebras, Springer, 1981. W. Y. H SIANG, Lectures on Lie Groups, World Scientific, 1998. J. E. H UMPHREYS, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer, 1997. M. I SE , M. TAKEUCHI, Lie Groups I/II, AMS, 1991. N. JACOBSON, Lie Algebras, Dover, 1972. A. K IRILLOV Jr., An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Cambridge University Press, 2008. J. F. P RICE, Lie Groups and Compact Groups, Cambridge University Press, 1977. W. ROSSMANN, Lie Groups, Oxford University Press, 2002. A. A. S AGLE , R. E. WALDE, Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Academic Press, 1973. H. S AMELSON, Notes on Lie Algebras, Springer, 1990. J.-P. S ERRE, Lie Algebras and Lie Groups, Springer, 2006. J. S TILLWELL, Naive Lie Theory, Springer, 2008. J. T ITS, Liesche Gruppen und Algebren, Springer, 1983. V. S. VARADARAJAN, Lie Groups, Lie Algebras and Their Representations, Springer, 1984.

Kapitel 7, 8, 9 H. A BBASAPOUR , M. M OSKOWITZ, Basic Lie Theory, World Scientific, 2007. M. F. ATIYAH , G. L. L UKE (Eds.), Representation Theory of Lie Groups, Cambridge University Press, 1979. J. G. F. B ELINFANTE , B. KOLMAN , A Survey of Lie Groups and Lie Algebras with Applications and Computational Methods, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1989. R. B ERNDT, Representations of Linear Groups, Vieweg+Teubner, 2007. H. B OERNER, Representations of Groups, North-Holland, 1970. N. B OURBAKI, Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 7–9, Springer, 2008. T H . B RÖCKER , T. TOM D IECK, Representations of Compact Lie Groups, Springer, 2003. D. B UMP, Lie Groups, Springer, 2004. R. N. C AHN, Semi Simple Lie Algebras and Their Representations, Benjamin and Cummings, 1984. R. C ARTER, Simple Groups of Lie Type, Wiley, 1989. R. C ARTER , G. S EGAL , I. M AC D ONALD, Lectures on Lie Groups and Lie Algebras, Cambridge University Press, 1995. C. C HEVALLEY , Theory of Lie Groups, Princeton University Press, 1999. J.-Q. C HEN , P.-N. WANG , Z.-M. L Ü , X.-B. W U, Tables of the Clebsch-Gordan, Racah and Subduction Coefficients of SU(n) Groups, World Scientific, 1987. P. M. C OHN, Lie Groups, Cambridge University Press, 1965. J. F. C ORNWELL, Group Theory in Physics, vol. II, Academic Press, 1989. J. F UCHS , C. S CHWEIGERT, Symmetries, Lie Algebras and Representations, Cambridge University Press, 2003. W. F ULTON, Young Tableaux. With Application to Representation Theory and Geometry, Cambridge University Press, 1997. W. F ULTON , J. H ARRIS, Representation Theory: A First Course, Springer, 1991. M. G OURDIN, Unitary Symmetries, North Holland, 1967. B. C. H ALL, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. J. E. H UMPHREYS, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer, 1972. N. JACOBSON, Exceptional Lie Algebras, Marcel Dekker, 1971. N. JACOBSON, Lie Algebras, Dover, 1972. A. A. K IRILLOV, Elements of the Theory of Representations, Springer, 1976.

564

Weiterführende Literatur

A. W. K NAPP, Representation Theory of Semi Simple Groups: An Overview Based on Examples, Princeton University Press, 1986. D. B. L ICHTENBERG, Unitary Symmetry and Elementary Particles, Academic Press, 1978. W. B. M C K AY, J. PATERA, Tables of Dimensions, Indices, and Branching Rules for Representations of Simple Lie Algebras, Marcell Dekker, 1981. G. W. M ACKEY, The Theory of Unitary Group Representations, University of Chicago Press, 1976. W. M ILLER, Symmetry Groups and Their Applications, Academic Press, 1972. A. L. O NISHCHIK, Lectures on Real Semisimple Lie Algebras and Their Representations, European Mathematical Society, 2004. A. L. O NISHCHIK , E. B. V INBERG (Eds.), Lie Groups and Lie Algebras III: Structure of Lie Groups and Lie Algebras, Springer, 1994. D. H. S ATTINGER , O. L. W EAVER , Lie Groups and Algebras with Applications to Physics, Geometry and Mechanics, Springer, 1986. J.-P. S ERRE, Complex Semisimple Lie Algebras, Springer, 2001. B. S IMON, Representations of Finite and Compact Lie Groups, American Mathematical Society, 1996. W.-K. T UNG, Group Theory in Physics, World Scientific, 1985. V. S. VARADARAJAN, Lie Groups, Lie Algebras and Their Representations, Springer, 1984.

Sachverzeichnis

A Abbildung, 125 adjungierte, 188 affine, 15, 44 analytische, 133 Exponential-, 208 homöomorphe, 127 Karten-, 130 Kern e., 30, 188 projektive, 112 stetige, 126 topologische, 127 A DO Satz v., 134, 179, 189 Algebra abgeleitete, 186 Drehimpuls-, 218 Fixpunkt-, 375 H EISENBERG -, 284 K AC -M OODY-, 333 L IE-, 177 Quotienten-, 186 Analytische Kurve, 209 Antisymmetrisierer Spalten-, 485 Atlas, 130 differenzierbarer, 130 maximaler, 130 Automorphismus, 28, 187 äußerer, 29, 268 innerer, 29, 268 involutiver, 374, 376 konjugierter, 389 Automorphismusgruppe, 12, 268, 352, 381 äußere, 388 B BAKER -C AMPBELLH AUSDORFF-Formel, 208

Basis, 18 abzählbare, 128 C ARTAN -W EYL-, 291 C HEVALLEY -, 299 DYNKIN-, 327 kontravariante, 281 kovariante, 281 symmetrieangepasste, 77 Basistransformation, 54 Bewegungsgruppe, 15 Bilinearform, 277 entartete, 278 B URNSIDE Satz v., 65, 72, 175 C C2 , 10 C2v , 16, 26 C4 , 10, 16–17, 21–22, 26, 35 C4v , 11, 16–18, 20–24, 27, 35–36 C ARTAN Satz v., 378 C ARTAN-Involution, 379 C ARTAN-Kriterium, 285 C ARTAN-Matrix, 333 abstrakte, 334 reduzible, 334 symmetrisierte, 332, 408 C ARTAN-Tensor, 296 C ARTAN-Unteralgebra, 290 C ARTAN -W EYL-Basis, 291 C ARTAN-Zahl, 312 C ARTAN-Zerlegung, 378 C ASIMIR-Operator, 193, 436 C AYLEY Satz v., 479 Charakter, 378 Charakter-Summenregel, 448 Charakterformel, 430

565

566 Charaktertafel, 57 C HEVALLEY-Basis, 299 C HEVALLEY-Konvention, 299 C HEVALLEY-S ERRE-Gleichungen, 348 Ci , 35, 237 C LEBSCH -G ORDAN-Entwicklung, 88, 243, 447 C LEBSCH -G ORDAN-Koeffizient, 90, 242, 245, 456 C LEBSCH -G ORDAN-Matrix, 90, 242 C ONDON -S HORTLEY-Konvention, 197, 248 C OXETER-Diagramm, 335 C OXETER-Gruppe, 354 C OXETER-Label, 330 C OXETER-Zahl, 330 Cs , 16–17, 22, 26, 35 D D4 , 30 Darstellung adjungierte, 199, 266, 409, 424 analytische, 232 antifundamentale, 421 äquivalente, 54–55, 191 äquivalente Klassen e., 56 assoziierte, 487 Charakter e., 56 definierende, 152, 198 Dimension e., 41 entartete, 42 erlaubte, 103 erzeugte, 69 fundamentale, 198, 414, 419 Gewicht e., 404 Grund-, 73 homomorphe, 55 identische, 41 induzierte, 96 irreduzible, 48, 191 kleine, 103 komplexe, 73 konjugierte, 101, 415 kontinuierliche, 173 lineare, 41, 190 Matrix-, 42, 191 Multiplizität e., 53 normale, 58, 174 Orbit e., 101 orthogonale, 58 Produkt-, 87, 236, 241 projektive, 112 pseudoreelle, 73 reduzible, 48, 191

Sachverzeichnis reelle, 73 reguläre, 71, 199 selbstkonjugierte, 101, 416 Spinor-, 155 Strahl-, 112 subduzierte, 97 Summen-, 87 Tensor-, 87, 241 treue, 42, 190 triviale, 41, 191 unitäre, 58, 174 Vektor-, 112 zweideutige, 155 Darstellungsgruppe, 110, 270 Darstellungsraum, 41, 190 Derivation, 188 innere, 188 Diffeomorphismus, 133 Differenzierbar verträglich, 130 Dimension-Summenregel, 448 Direkte Summe, 189 Direktes Produkt, 33, 190 Drehimpulskopplung, 244 Drehspiegelung, 14 Dreiecksregel, 245 Dublett, 198, 419 DYNKIN -Basis, 327 DYNKIN -Diagramm, 335 erweitertes, 522 DYNKIN -Index, 444 d. Einbettung, 532 DYNKIN -Label, 327 E E(3), 15, 27, 35, 174 E + (3), 16, 27, 36 Eichsymmetrie globale, 3 lokale, 4 Eigentliche Transformation, 14 Einbettung, 520 maximale, 520 Endomorphismus, 27, 187 halbeinfacher, 200 nilpotenter, 200 E NGEL Satz v., 284 Epimorphismus, 27, 32 Erzeugende, 18, 140 Erzeugendensystem, 18 Euklidische Gruppe, 15 eigentliche, 16

Sachverzeichnis Euklidischer Raum, 121 lokaler, 128 E ULER’schen Winkel, 164 E ULER -L AGRANGE, Satz v., 22 Exponentialabbildung, 208 F Faktorgruppe, 26 Faktorsystem, 113 äquivalentes, 113 Farbgruppe, 2 F ERMAT, Satz v., 22 F REUDENTHAL-Formel, 425 F ROBENIUS-Formel, 486 F ROBENIUS Satz v., 98 Fundamentalkammer, 358 G G AUSS-Zerlegung, 325 Gebiet, 125, 130 G ELL -M ANN-Matrizen, 304 Generator, 140 Gewicht, 193, 327 äquivalentes, 407 dominantes ganzes, 413 einfaches, 405 fundamentales, 327 höchstes, 196, 413 konjugiertes, 416 Multiplizität e., 405 Tiefe e., 414 Gewichtsdiagramm, 420 Gewichtsgitter, 328 Gewichtsraum, 327, 404, 408 Gewichtsstring, 406 Gewichtssystem, 404 Gewichtsvektor, 404 G L + (1, R), 160, 369 gl + (1, R), 370 G L(1, R), 30, 137, 141, 160, 167, 170, 173–174, 176 G L(4, R), 27 G L(N , C), 12 gl(N , C), 181 gl(N , K), 179, 285 G L(N , K), 134 G L(N , R), 12, 18 G L(V ), 12, 41, 134 gl(V ), 179, 190, 285 G -Modul, 42 einfacher, 48 Graduierung, 375 Grunddarstellung, 73

567 Gruppe abelsche, 8 abstrakte, 7 adjungierte, 376 allgemeine L IE-, 133 allgemeine lineare, 12, 18, 27, 30, 41, 134, 136–137, 141, 160, 167, 170, 173–174, 176, 229, 369 alternierende, 478 auflösbare, 25, 109 Automorphismus-, 12, 268, 352, 376, 381 Basis e., 18 Bewegungs-, 15 C OXETER -, 354 Dimension e., 135 diskrete, 1, 11 echte Unter-, 16 eigentliche euklidische, 16, 36 eigentliche Unter-, 16 einfach reduzierbare, 91 einfach zusammenhängende, 137 einfache, 24 endliche, 11 endlich erzeugte, 18 endlich kontinuierliche, 135 euklidische, 15, 27, 35, 45, 174, 238 Faktor-, 26 Farb-, 2 Freie, 18, 38 Halb-, 8 halbeinfache, 24 Inversions-, 35, 237 Kleine, 102 Kommutator-, 24 kompakte L IE-, 136, 167–168 Komponente e., 137 Kontinuierliche, 1, 11 L IE-Unter-, 134, 231 lineare L IE-, 138 lokale L IE-, 134 L ORENTZ-, 157, 174 magnetische Punkt-, 2 Multiplikator-, 114 nilpotente, 25 Ordnung e., 10, 169 orthogonale, 13–14, 35, 86, 134, 142, 148–149, 156, 161, 164, 168, 212, 215, 238, 254 Permutations-, 10 P OINCARÉ-, 174 pseudoorthogonale, 157 Punkt-, 1 Quasi-, 8

568 Quotienten-, 26 Rang e., 18 Raum-, 1 reelle affine, 15 Rotations-, 35, 90 spezielle lineare, 134, 225 spezielle orthogonale, 14, 27, 31, 35, 48, 86, 90, 134, 142, 149, 159, 161–162, 164, 168, 185, 188, 213, 215, 228–230, 235, 237, 255, 260, 264, 272–273, 275, 370 spezielle unitäre, 13, 18, 31, 145, 149, 152, 161, 163, 165, 201, 212, 214, 230–231, 233, 243, 271 Spin-, 275 symmetrische, 10, 466 symplektische, 158 Trägheits-, 102 Transformations-, 37 transitive, 38 Translations-, 1, 35, 218 treue, 38 uneigentliche Unter-, 16 unimodulare, 169 unitäre, 13, 137, 149, 161, 175, 188, 211–212, 228, 239, 273–274 universelle Überlagerungs-, 270 Unter-, 16 W EYL-, 352 zusammenhängende, 137 zusammenhängende Unter-, 160 zyklische, 16 Gruppenalgebra, 71, 79 Gruppenoperation, 37 Gruppenpräsentierung, 18, 354 Gruppentafel, 11 Gruppenvolumen, 169 Gruppoid, 8 GUT, 526, 551 H Höchstgewichtsvektor, 413 H AAR-Integral, 168–169 Halbgruppe, 8 Hauptautomorphismus, 389 H AUSDORFF-Raum, 122 H EINE -B OREL Satz v., 167 H EISENBERG-Algebra, 284 Homomorphismus, 27, 187 analytischer, 227

Sachverzeichnis I Ideal, 185 eigentliches, 185 Index d. Untergruppe, 21 Intertwiner, 55 Inversion, 14 Inversionsgruppe, 35 Involution, 10, 376 Isomorphismus, 28, 187 analytischer, 227 kanonischer, 156 J JACOBI-Identität, 178 J ORDAN -Zerlegung, 200 K K ACˇ -Label, 330 Karte, 130 Kartenabbildung, 130 Kartenbild, 130 Kern e. Abbildung, 30, 188 K ILLING-Form, 279 K ILLING-Index, 378 Klasse Konjugierten-, 19 Multiplikator-, 114 Neben-, 20 Produkt-, 36 K LYMIK -Formel, 454 Ko-Wurzel, 293–294 einfache, 327 Ko-Wurzelgitter, 328 Kommutatorreihe, 283 Kompakt, 123 Komplexifizierung, 178, 202, 367 Komponente, 125, 160 des Einselements, 137, 160 kontravariante, 281 kovariante, 281 Kompositionsfunktion, 136 Konjugiert, 19 Konjugiertenklasse, 19 Kontraktion, 258 Koordinaten, 130 lokale, 130 Kopplungskoeffizient, 90 Kugelumgebung, 138 L ↑ L + , 174 L EVI -C IVITA-Symbol, 192

Sachverzeichnis L IE Satz v., 285 L IE-Algebra, 177 A1 , 301, 318, 336, 346, 359, 371, 384, 410, 416, 435, 449, 459, 469, 472, 501–502 A2 , 304, 315, 319, 330, 336, 346, 360, 384, 419, 425, 435, 451, 454–455, 462, 508, 514, 516, 542 A3 , 543 A4 , 525, 549 Al , 322, 338–339, 364, 385, 435, 466, 514, 517, 525–526, 531, 536, 539 abelsche, 179 allgemeine lineare, 179, 181, 190 auflösbare, 284 B1 , 318, 336 B2 , 320, 336, 361 B3 , 543 Bl , 321, 338, 386, 522 Basis e., 179 C1 , 318, 336 C2 , 320, 337 Cl , 322, 338, 386, 523 duale, 324 D2 , 321, 337, 363 D4 , 386 Dl , 322, 338, 386, 523 E 6 , 323, 338, 387 E 7 , 323, 338, 386 E 8 , 323, 338, 386 eindimensionale, 179 einfach reduzierbare, 451 einfach zusammenhängende, 338 einfache, 185, 189 exzeptionelle einfache, 323, 338 F4 , 323, 338, 386, 523 Formenmatrix e., 332 G 2 , 323, 337–338, 343, 347, 363, 386, 523, 542 halbeinfache, 185, 189 klassische einfache, 321, 338 kompakte, 185 kompakte reelle Form, 371 komplexe, 178 konjugierte, 376 maximal kompakte, 371 nilpotente, 284 normale reelle Form, 370 perfekte, 283 Radikal e., 285 Rang e., 180, 290 reduktive, 287 reelle, 178

569 reelle Form, 203 vollständige, 388 L IE-Gruppe abstrakte, 119 allgemeine, 133 kompakte, 159, 168 lineare, 119, 140 lokale, 134 zusammenhängende, 159 L IE-Morphismus, 134 L IE-Produkt, 177 L IE-Superalgebra, 375 L IE-Unteralgebra, 184 eigentliche, 184 invariante, 185 L IE-Untergruppe, 134, 231 L IE-Klammer, 177 Linksinvarianz, 168 Linksnebenklasse, 20 L ITTLEWOOD-Koeffizient, 447 Loop, 8 M Mannigfaltigkeit analytische, 132 differenzierbare, 131 n-dimensionale, 129 topologische, 128 M ASCHKE Satz v., 52 Matrixdarstellung, 42, 191 Menge offene, 120 Metrik, 138 diskrete, 139 euklidische, 139, 156, 281 M INKOWSKI-, 157 pseudoeuklidische, 157 Spinor-, 158 Metrische Topologie, 138 Metrischer Raum, 138 Metrischer Tensor, 279, 282, 297, 332 Monoid, 8 Monomorphismus, 27 Multiplikationstafel, 11 Multiplikatorgruppe, 114 Multiplikatorklasse, 114 N Natürliche Topologie, 121, 123 Nebenklasse, 20 Vertreter e., 20 n-Kugel, 129 Normalisator, 23, 186

570 Normalreihe, 109 Normalteiler, 24 zentraler, 25, 270 n-Sphäre, 129 O O(2), 142, 161, 168 O(3), 35, 86, 164, 254 Offene Menge, 120 O(N ), 13–14, 134, 148, 156 o(N ), 182 Operator C ASIMIR-, 193, 436 Eigendrehimpuls-, 220 Gesamtdrehimpuls-, 220 H AMILTON -, 222 hermitescher, 78 idempotenter, 78, 486 Leiter-, 292, 405 linearer, 41 PAULI-, 223 pseudoskalarer, 221 regulärer, 41 skalarer, 221 Stufen-, 194, 292, 325, 405 Tensor-, 251 Vektor-, 222 O( p, q), 157 Orbit, 37, 101 Multiplizität e., 102 Ordnung e., 101 Ordnung e. Elements, 10 Ordnung e. Gruppe, 10 Orthogonalitätsrelation, 64, 174 Charakter-, 66, 175 P ↑ P+ , 174 PAULI’schen Spinmatrizen, 31 PAULI-Operator, 223 Permutation, 9 gerade, 478 ungerade, 478 Permutationsgruppe, 466, 479 P OINCARÉ-Vermutung, 129 Potenzmenge, 120 Produkt äußeres, 33 äußeres direktes, 84, 236 direktes, 33, 190 halbdirektes, 35 inneres, 34 inneres direktes, 86 K RONECKER-, 83

Sachverzeichnis L IE-, 177 Tensor-, 83 Produktdarstellung, 87, 236, 241 antisymmetrische, 94, 243 symmetrische, 94, 243 Produktklasse, 36 Produktraum, 86, 240 Projektion, 78 Projektionsoperator, 78 Charakter-, 80 Punktgruppe, 1 magnetische, 2 Q Quotientenalgebra, 186 Quotientengruppe, 26 R R ACAH Theorem v., 441 Radikal, 285 Raum Darstellungs-, 41, 190 euklidischer, 121 H AUSDORFF-, 122 kompakter, 123 metrischer, 138 Produkt-, 240 Spinor-, 153, 223 Tensor-, 240, 251 topologischer, 121 zusammenhängender, 125 Raumgruppe, 1 Rechtsinvarianz, 168 Rechtsnebenklasse, 20 Reduktion, 68 Reduzierbarkeit, 48 Reellifizierung, 368 Reihe abgeleitete, 283 absteigende, 283 Reziprozitätstheorem, 98 R ICCI-Kalkül, 281 R IEMANN’scher Raum, 131 Rotation eigentliche, 14 uneigentliche, 14 Rotationsgruppe, 90 S S CHUR ’sches Lemma, 59 Selbstabbildung, 41, 190 S ERRE-Beziehung, 348 S ERRE-Konstruktion, 350

Sachverzeichnis Singulett, 198, 419 sl(2, C), 301, 371, 395, 433, 442 sl(2, R), 373, 379 sl(3, C), 304, 315, 319, 392, 443 sl(l + 1, C), 323 sl(l, C), 339 sl(N , C), 287 S L(N , R), 134 S O(2), 48, 142, 161, 168, 188, 273, 370 so(2), 188, 370 so(2l + 1, C), 322 so(2l, C), 322 S O(3), 14, 27, 31, 35, 86, 90, 149, 159, 162, 164, 185, 213, 215, 217, 221, 237, 255, 260, 264, 272 so(3), 185, 288 so(4), 288 so(4, C), 321 so(5, C), 320 S O(N ), 14, 134, 149, 163, 272, 275 so(N ), 183, 288 S O( p, q), 157, 272 Sp(1/2 N , K), 158 sp(2, C), 320 Spiegelung, 14 Spingruppe, 275 Spinor, 153 Spinorraum, 153, 223 sp(l, C), 322 Spurform, 279 Stabilisator, 37 Standardmodell, 526, 551 Strahldarstellung, 112 Strukturkonstanten, 180 Stufen-Formel, 498 su(1, 1), 396 SU (2), 31, 145, 152, 161, 163, 165, 233, 243 su(2), 191, 201, 287, 372, 380 su(2, 1), 395 su(3), 392 Summe direkte, 189 halbdirekte, 190 SU (N ), 13, 18, 149, 155, 271 su(N ), 182, 185 3J -Symbolik, 245 Symmetrie diskrete, 1 diskrete äußere, 2 diskrete innere, 2 dynamische, 5 geometrische, 1 kontinuierliche, 1–2

571 kontinuierliche innere, 3 L ORENTZ-, 3 Rotations-, 3 Super-, 5 Translations-, 3 Zeitumkehr-, 2 Symmetrisierer Zeilen-, 485 Symmetrisierung, 467 T T , 35, 218

T -Spin Unteralgebra, 309 Tangentialraum, 209 Tangentialvektor, 158, 209 Tensor C ARTAN-, 296 metrischer, 155, 279, 282, 297, 332 Tensordarstellung, 87, 241 Tensorkomponente invariante, 253 irreduzible, 253 sphärische, 257 Tensoroperator, 251 Tensorraum, 86, 240, 251 Topologie, 120 diskrete, 121–122 metrische, 138 natürliche, 121, 123 triviale, 120, 122 Topologischer Raum, 121 Torus, 129, 429 Trägheitsgruppe, 102 Transformation aktive, 44 kanonische, 158 kongrediente, 44, 55 kontragrediente, 44, 55 passive, 44 Transformationsgruppe, 37 Translation, 15 Translationsgruppe, 1, 35, 218 Transposition, 382, 478 Trennbarkeit, 122 U U -Spin Unteralgebra, 309 U (1), 137, 161, 175, 188, 273 u(1), 179, 188 Überdeckung, 123 Überlagerungsgruppe, 110, 270 Umgebung, 121

572 Umordnungstheorem, 11, 20, 168 U (N ), 13, 182, 274 u(N ), 181, 184, 288 Uneigentliche Transformation, 14 Unteralgebra, 519 Einbettung e., 519 R-, 520 reguläre, 520 S-, 520 spezielle, 520 Untergruppe, 16 einparametrige, 158 Index d., 21 invariante, 24 zusammenhängende, 160 V V -Spin Unteralgebra, 309 Vektor axialer, 254 kontravarianter, 155 kovarianter, 155 polarer, 254 W EYL -, 328 Vektorraum linearer, 41, 190 reduzibler, 50 Verteilung, 480 assoziierte, 481, 487 Verzweigungsregel, 533 Vollstädigkeitsrelation Charakter-, 66 Vollständigkeitsrelation, 65 W W EYL Dimensionsformel v., 433 W EYL-Gruppe, 352 W EYL-Kammer, 357 dominante, 358 W EYL-Konvention, 296 W EYL-Nenner, 431 W EYL-Spiegelung, 351 einfache, 353 W EYL-Vektor, 328, 355 W EYL-Wort, 355 reduziertes, 356

Sachverzeichnis W EYL Satz v., 369 W IGNER -E CKART-Theorem, 261 Wort reduziertes, 18 Wurzel, 291 duale, 293 einfache, 325 höchste, 329 höchste kurze, 330 Höhe e., 329 Ko-, 293–294 positive, 324 Wurzel-String, 311 Wurzeldiagramm, 318 Wurzelgitter, 328 Wurzelraum, 292 Wurzelraumzerlegung, 291 Wurzelsystem, 291 abstraktes, 316 duales, 323 Rang e., 316 reduzibles, 317 reduziertes, 316 Wurzelunteralgeba, 299 Wurzelunteraum, 291 Wurzelvektor, 292 Y YOUNG-Diagramm, 480 assoziiertes, 481 YOUNG-Operator, 485 YOUNG-Tableau, 481 assoziiertes, 481 Standard-, 481 Z Zentralisator, 23, 186 Zentralreihe, 25 Zentrum, 17, 186 Z p , 26, 109 Zusammenhängend einfach, 125, 159 mehrfach, 159 Zusammenhängende Komponente, 125, 160 Zusammenhang, 125 Zyklendarstellung, 382, 477 Zyklenstruktur, 479 Zyklus, 477