Kreiselpumpen: Handbuch für Entwicklung, Anlagenplanung und Betrieb, 3. Auflage

Kreiselpumpen

Johann Friedrich Gülich

Kreiselpumpen Handbuch für Entwicklung, Anlagenplanung und Betrieb 3., korrigierte und ergänzte Auflage

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Johann Friedrich Gülich [email protected]

ISBN 978-3-642-05478-5 e-ISBN 978-3-642-05479-2 DOI 10.1007/978-3-642-05479-2 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1999, 2004, 2010 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort zur dritten Auflage

Betriebskosten und Verfügbarkeit von Kreiselpumpen werden wesentlich durch ein breites Spektrum strömungstechnischer Phänomene bestimmt, deren Kenntnis gleichermaßen für die Pumpenentwicklung, die Anlagenplanung und für die Analyse von Problemen oder Schadensfällen notwendig ist. In diesem Buch wird daher versucht, die Strömungstechnik der Kreiselpumpen im weitesten Sinne in praxisrelevanter Form darzustellen. Neben den hydraulischen Grundlagen und der Auslegung der hydraulischen Komponenten werden Themen behandelt wie Strömungskräfte, Kennlinienstabilität, Kavitation als Strömungserscheinung und Schadensursache, die Strömung in Dichtspalten und Radseitenräumen sowie die dort entstehenden Kräfte, alle erdenklichen Arten von hydraulisch erregten Schwingungen an der Pumpe selbst oder an Rohrleitungen, schließlich auch Materialfragen wie hydraulisch induzierte Ermüdungsbrüche, Erosionskorrosion und Abrasion. Strömungstechnische Gesichtspunkte gilt es ferner zu beachten bei der Pumpenauswahl, die nur dann optimal ist, wenn das Zusammenwirken von Pumpe und Anlage bezüglich Rohrleitungsführung, Zuströmung zur Pumpe, Regelung und Betriebsführung beachtet wird. Beim Auftreten von Anlageproblemen wirken oft mehrere der erwähnten Phänomene zusammen. Deshalb sind nicht nur die betroffenen Komponenten sondern auch die Maschine als Ganzes sowie deren Verhalten in der Anlage zu analysieren. Die dritte deutsche Auflage wurde durch Informationen aus der ersten und der zweiten englischen Ausgabe ergänzt. Gegenüber der zweiten Auflage in Deutsch wurden insbesondere folgende Themen vertieft: Lagergehäuseschwingungen, hydraulische Erregerkräfte, Torsionsschwingungen, mechanische Schwingungen, Abwasserpumpen, Zweiphasenpumpen und Turbinenberechnung. Kleinere Ergänzungen wurden in allen Kapiteln vorgenommen. Die zweite englische und die dritte deutsche Auflage sind inhaltlich weitgehend gleich, aber nicht identisch. Villeneuve (Schweiz), im Februar 2010 J.F. Gülich

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Danksagung Der Direktion der Sulzer Pumpen AG, insbesondere Herrn Dr. A. Schachenmann, danke ich für die Erlaubnis zur Veröffentlichung dieses Werkes, für die Überlassung zahlreicher Schnittzeichnungen und für die großzügige Unterstützung bei der Erstellung der Abbildungen. Bei der ersten und der zweiten Auflage erhielt ich von zahlreichen Persönlichkeiten wertvolle Hilfe, für die ich mich herzlich bedanke. Für die kritische Durchsicht von Kapitel 14 und viele Hinweise danke ich den Herren Dr. P. Heimgartner, Dipl.-Ing. W. Bolliger, Dipl.-Ing. W. Schöffler. Von Herrn Schöffler erhielt ich zudem wertvolle Unterlagen und Informationen (auch für Kapitel 10 und 15), die mir ohne seine bereitwillige Hilfe schwer zugänglich gewesen wären. Mein besonderer Dank gilt auch Herrn Dr. Ing. G. Scheuerer für viele kritische Hinweise zu Kapitel 8 und Herrn Dr. Ing. W. Wesche für die Durchsicht mehrerer Kapitel und für zahlreiche Anmerkungen. Den Herren Dr. P. Dupont, Dipl.-Ing. G. Caviola, Dipl.-Ing. T. Felix, Dipl.-Ing. A. Frei, Dipl.-Ing. E. Kläui, und Dipl.Ing. W. Lienau, danke ich für die Durchsicht einzelner Kapitel oder Unterlagen. Frau H. Kirchmeier danke ich für die Bearbeitung diverser Abbildungen und die kompetente Hilfe bei zahlreichen Computerproblemen. Nicht zuletzt danke ich meiner Frau für die überaus sorgfältige Kontrolle der Druckvorlagen und die Hilfe bei Übersetzungen. Für die freundliche Genehmigung zur Verwendung von Abbildungen danke ich: − Sulzer Pumpen AG, Winterthur − Mr. T. McCloskey, Electric Power Research Institute, Palo Alto, CA, USA − VDMA, Frankfurt − VDI-Verlag, Düsseldorf − Mr. J. Falcimaigne, Institut Français du Pétrole, Paris − ASME New York Die entsprechende Quellenangabe befindet sich jeweils im Text oder in der Bildlegende. Für die Erlaubnis zur Verwendung von Abbildungen und für bereitgestellte Literatur danke ich im weiteren den Herren Prof. Dr.-Ing. F. Avellan, Dr. M. Farhat, Dr. O. Braun, Dr. S. Berten (Ecole Polytechnique Lausanne); Prof. Dr.-Ing. D.H. Hellmann, Prof. Dr. Ing. M. Böhle und H. Roclawski (TU Kaiserslautern); Prof. Dr.-Ing. G. Kosyna, Prof. Dr.-Ing. habil. U. Stark, Frau Dr.-Ing. I. Goltz, Frau P. Perez, Dr. Ing. H. Saathoff (TU Braunschweig); C.H. van den Berg (MTI Holland); Prof. Dr.-Ing. H. Wurm, (Wilo SE Dortmund); Dr. P. Dupont (Sulzer); U. Diekmann (Wilo-Emu) und A. Nicklas (Sterling Fluid Systems).

Aus dem Vorwort zur ersten Auflage

Carl Pfleiderers Buch „Die Kreiselpumpen“ stellte mit seiner 5. Auflage den Stand der Strömungstechnik der Kreiselpumpen in den 50er Jahren dar, obwohl einige fundamentale Aspekte – wie z.B. Radialschub, Druckpulsationen und hydraulische Erregerkräfte – nicht behandelt wurden. Im deutschen (wie im englischen) Sprachraum fehlte seitdem ein Buch, das die Forschungsergebnisse zu hydraulischen Problemen des Kreiselpumpenbaus entsprechend dem neuesten Stand der Technik zusammenfaßt. Im vorliegenden Buch wird versucht, aus der fast unüberblickbaren Fülle von Einzeluntersuchungen zur Strömungstechnik der Kreiselpumpen den heutigen Stand der Technik herauszuarbeiten. Die Auswahl des Stoffes und dessen Darstellung orientieren sich dabei an den Bedürfnissen der Anwendung in der Praxis sowohl des Pumpenbauers als auch der Anlagenplaner und Pumpenbetreiber. Richtige Anwendung verlangt gründliches Verständnis der physikalischen Zusammenhänge, deren Darstellung daher entsprechend viel Raum gewidmet wurde. An die Behandlung der physikalischen Mechanismen schließen sich dann jeweils Zusammenstellungen von Regeln, Empfehlungen und Tafeln für die verschiedenen Berechnungsaufgaben, den Entwurf oder für die Diagnose und Lösung von Anlagenproblemen.

Winterthur, im Januar 1999

J.F. Gülich

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Zum Gebrauch des Buches

Leider gibt es im Pumpenbau keine allgemein akzeptierte und genügend umfassende Norm für Symbole und technische Begriffe. Soweit möglich, wurde aber DIN 24260 (Ausgabe 1986) verwendet. Im Symbolverzeichnis wird jeweils angegeben, in welcher Gleichung oder in welchem Kapitel der entsprechende Begriff eingeführt wurde. Formeln, Tafeln, Tabellen, Abbildungen und Literaturzitate werden kapitelweise numeriert. Die geometrischen Abmessungen von Laufrädern und Leitapparaten (sowie einige Meßstellen) werden in Tafel 0.2 veranschaulicht. In der Praxis häufig verwendete Formeln werden in Berechnungstafeln zusammengestellt, die den gesamten Rechengang deutlich machen. Diese Tafeln erleichtern auch die Programmierung der Berechnungen. Die in Berechnungstafeln aufgeführten Gleichungen erhalten den Zusatz „T“, z.B. Gl. (T3.5.8) bezeichnet Gleichung 8 in Tafel 3.5. Empirische Daten werden in der Literatur häufig in Form von Diagrammen dargestellt. In den meisten Fällen wurden derartige Angaben zur Verwendung in diesem Buch als Gleichungen wiedergegeben, wobei − soweit verfügbar − jeweils verschiedene Quellen herangezogen wurden. Mathematische Ausdrücke: Zur Vereinfachung wird die obere Grenze von Summen nicht angeschrieben, wenn kein Zweifel über den Summanden aufkommen kann, zum Beispiel: ¦ PRR steht für st

i = z st

¦ PRR ,i und bedeutet die Summe der

i =1

Radreibungsverluste aller Stufen einer mehrstufigen Pumpe. Eine Gleichung in der Form y = a×exp(b) steht für y = a×eb, wobei “e” die Basis des natürlichen Logarithmus bedeutet. Das Symbol ~ wird für “proportional zu” verwendet; zum Beispiel bedeutet der Ausdruck PRR ~ d25 “der Radreibungsverlust ist proportional zur 5. Potenz des Laufraddurchmessers”. Die spezifische Drehzahl nq wird stets berechnet mit n in min-1, Q in m3/s und H in m. Die spezifische Drehzahl wird wie eine dimensionslose Größe behandelt. Viele Graphiken wurden mit MS-Excel erstellt. Dabei steht z.B. 1E+03 für 103. Literatur: Den Literaturzitaten zu den jeweiligen Kapiteln wird eine allgemeine Bibliographie vorangestellt, deren Einträge mit [B.1], [B.2], ... zitiert werden; sie enthält auch einige Normen und Standards: [N.1], [N.2] usw. Insgesamt werden über 600 Einzelarbeiten, Monographien und Handbücher zitiert. Dies entspricht in der Größenordnung nur 1 % der relevanten Literatur. Diese Aussage gilt für alle in diesem Buch behandelten Themen. Die zitierte Literatur wurde nach folgenden

Zum Gebrauch des Buches

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Kriterien ausgewählt: (1) um einen bestimmten Sachverhalt zu belegen; (2) um dem Leser Zugang zu Einzelheiten zu schaffen, die im vorliegenden Text keinen Platz fanden; (3) um auf Literatur zu benachbarten Sachgebieten aufmerksam zu machen, die in diesem Buch nicht behandelt wurden; (4) um dem Benutzer weiterführende Literatur zu erschließen, die in den angegebenen Arbeiten zitiert werden. Obwohl obige Kriterien angewendet wurden, läßt sich eine gewisse Zufälligkeit bei der Auswahl kaum vermeiden. Um die Lesbarkeit des Textes nicht zu erschweren, wurde nicht versucht, alle besprochenen Sachverhalte, die schon einmal veröffentlicht wurden, mit Zitaten zu belegen. Sachverhalte, die dem Stand der Technik entsprechen und in verschiedenen Veröffentlichungen zu finden sind, werden ohne Quellenangabe gebracht, weil es oft schwierig ist, die Erstveröffentlichung zu eruieren und weil Mehrfachzitate vermieden werden sollten. Patente: Etwa bestehende Patente oder Gebrauchsmuster an irgendwelchen Anordnungen werden nicht erwähnt. Das Fehlen solcher Hinweise berechtigt nicht zu der Annahme, daß die entsprechenden Anordnungen von jedermann frei benutzt werden dürften. Haftung: Trotz sorgfältiger Prüfung von Text, Gleichungen und Abbildungen können Verlag und Autor keine Gewähr für die Richtigkeit oder Brauchbarkeit des Inhaltes übernehmen. Wie bei technisch-wissenschaftlichen Veröffentlichungen üblich, wird daher jegliche Haftung von Verlag oder Autor für direkte oder indirekte Schäden aus der Verwendung der in diesem Buch gebrachten Informationen ausgeschlossen. Viele der veröffentlichten Angaben im Pumpenbau sind empirischer Natur, sie stammen aus Versuchen an spezifischen Maschinen. Die Genauigkeit bei der Übertragung auf neue Entwürfe ist schwer quantifizierbar. Dieser Sachverhalt ist stets zu beachten.

Inhaltsverzeichnis

Vorwort zur dritten Auflage ............................................................................... V Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.............................................................. VII Zum Gebrauch des Buches............................................................................. VIII 1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen ................................................ 1 1.1 Absolute und relative Strömung .................................................................. 1 1.2 Erhaltungssätze............................................................................................ 2 1.2.1 Erhaltung der Masse............................................................................. 2 1.2.2 Erhaltung der Energie .......................................................................... 3 1.2.3 Erhaltung der Bewegungsgröße ........................................................... 4 1.3 Grenzschichten, Grenzschichtbeeinflussung ............................................... 7 1.4 Strömung auf gekrümmten Bahnen ........................................................... 11 1.4.1 Kräftegleichgewicht ........................................................................... 11 1.4.2 Erzwungene und freie Wirbel ............................................................ 14 1.4.3 Strömung in gekrümmten Kanälen .................................................... 16 1.5 Strömungsverluste ..................................................................................... 18 1.5.1 Berechnung von Reibungsverlusten................................................... 18 1.5.2 Rauheitseinfluß auf die Reibungsverluste.......................................... 21 1.5.3 Verwirbelungsverluste ....................................................................... 25 1.6 Diffusoren.................................................................................................. 27 1.7 Fluidstrahlen .............................................................................................. 32 1.8 Ausgleich ungleichförmiger Geschwindigkeitsprofile .............................. 33 1.9 Strömungsverteilung in Parallelsträngen. Rohrleitungsnetze .................... 35 2 Bauarten und Leistungsdaten ......................................................................... 39 2.1 Wirkungsweise und Aufbau ...................................................................... 39 2.2 Leistungsdaten........................................................................................... 43 2.2.1 Spezifische Förderarbeit, Förderhöhe ................................................ 43 2.2.2 Netto-Energiehöhe im Saugstutzen, NPSH........................................ 45 2.2.3 Leistung und Wirkungsgrad............................................................... 46 2.2.4 Kennlinien.......................................................................................... 46 2.3 Pumpentypen und ihre Anwendung .......................................................... 47 2.3.1 Übersicht ............................................................................................ 47 2.3.2 Klassifizierungsmöglichkeiten und Einsatzgebiete............................ 50

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2.3.3 Bauarten .............................................................................................52 2.3.4 Sonderbauarten...................................................................................64 3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung..................................................69 3.1 Berechnung nach Stromfadentheorie.........................................................69 3.2 Energieübertragung im Laufrad: Spezifische Förderarbeit. Förderhöhe ...72 3.3 Die Strömungsumlenkung durch die Schaufeln. Abströmbeiwert und Minderumlenkung............................................................................................75 3.4 Dimensionslose Kennzahlen. Ähnlichkeitsgesetze. Spezifische Drehzahl 80 3.5 Leistungsbilanz und Wirkungsgrade .........................................................83 3.6 Berechnung der Nebenverluste..................................................................85 3.6.1 Radreibungsverluste ...........................................................................86 3.6.2 Leckverluste axial durchströmter Dichtspalte ....................................90 3.6.3 Leistungsverlust der Zwischenstufendichtung ...................................98 3.6.4 Leckverluste radial oder diagonal durchströmter Dichtspalte............98 3.6.5 Spaltverluste an offenen Laufrädern ..................................................99 3.6.6 Mechanische Verlustleistung ...........................................................101 3.7 Grundsätzliches zur Berechnung der Leitvorrichtung .............................102 3.8 Hydraulische Verluste .............................................................................107 3.9 Statistische Angaben über Druckzahlen, Wirkungsgrade und Verluste ..112 3.10 Einfluß der Rauheit und der Reynolds-Zahl ..........................................120 3.10.1 Übersicht ........................................................................................120 3.10.2 Wirkungsgradaufwertung...............................................................121 3.10.3 Wirkungsgradberechnung aus Verlustanalysen .............................123 3.11 Hinweise zur Verlustminimierung.........................................................129 3.12 Berechnungstafeln .................................................................................130 4 Kennlinien .......................................................................................................145 4.1 Drosselkurve und Leistungsaufnahme.....................................................145 4.1.1 Die theoretische Kennlinie (ohne Strömungsverluste).....................145 4.1.2 Die reale Kennlinie mit Strömungsverlusten ...................................148 4.1.3 Komponentenkennlinien ..................................................................151 4.1.4 Förderhöhe und Leistungsaufnahme beim Betrieb gegen geschlossenen Schieber .............................................................................157 4.1.5 Einfluß der Pumpengröße und der Drehzahl....................................160 4.1.6 Einfluß der spezifischen Drehzahl auf die Kennlinienform .............160 4.2 Bestpunktlage ..........................................................................................161 4.3 Vorausbestimmung der Kennlinie ...........................................................165 4.4 Kennfelder ...............................................................................................167 4.5 Anpassen der Kennlinie...........................................................................169 4.5.1 Abdrehen des Laufrades...................................................................169 4.5.2 Zuschärfung der Schaufeln am Laufradaustritt ................................176 4.5.3 Änderungen am Leitapparat .............................................................178 4.6 Analyse von Kennlinienabweichungen und Leistungsdefiziten ..............178 4.7 Berechnung von Kennlinienänderungen..................................................182

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5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge und ihre Wirkung auf die Kennlinien ............................................................................................. 187 5.1 Grundsätzliche Überlegungen ................................................................. 187 5.2 Die Strömung im Laufrad........................................................................ 190 5.2.1 Übersicht .......................................................................................... 190 5.2.2 Physikalische Mechanismen ............................................................ 193 5.2.3 Zusammenwirken der verschiedenen Mechanismen........................ 198 5.2.4 Rückströmung am Laufradeintritt .................................................... 201 5.2.5 Die Strömung am Laufradaustritt..................................................... 207 5.2.6 Meßtechnische Erkennung des Rückströmbeginns.......................... 208 5.3 Die Strömung in der Leitvorrichtung ...................................................... 209 5.3.1 Strömungsablösung im Leitrad ........................................................ 209 5.3.2 Der Druckrückgewinn im Leitrad .................................................... 212 5.3.3 Einfluß der Anströmung auf Druckrückgewinn und Ablösung ....... 213 5.3.4 Die Strömung in Spiralgehäusen...................................................... 215 5.3.5 Die Strömung in Ringgehäusen und Leitringen............................... 216 5.4 Auswirkungen der Rückströmung ........................................................... 217 5.4.1 Auswirkung der Rückströmung am Laufradeintritt ......................... 217 5.4.2 Auswirkung der Rückströmung am Laufradaustritt......................... 222 5.4.3 Auswirkung auf Radseitenraumströmung und Axialschub.............. 228 5.4.4 Schädliche Auswirkungen der Teillastrezirkulation ........................ 230 5.5 Einfluß von Ablösung und Rezirkulation auf die Kennlinie ................... 231 5.5.1 Arten von Kennlinieninstabilität ...................................................... 231 5.5.2 Kennlinien mit Sattel (Instabilitäten vom Typ S) ............................ 232 5.5.3 Instabilitäten vom Typ F .................................................................. 241 5.6 Maßnahmen zur Beeinflussung der Kennlinienform............................... 241 5.6.1 Einführung ....................................................................................... 241 5.6.2 Beeinflussung des Rezirkulationsbeginns am Laufradeintritt.......... 242 5.6.3 Beeinflussung des Rezirkulationsbeginns am Laufradaustritt ......... 243 5.6.4 Beseitigung einer Instabilität vom Typ F ......................................... 243 5.6.5 Beeinflussung der Sattel-Instabilität der Radialräder mit nq < 50 ... 244 5.6.6 Beeinflussung der Sattel-Instabilität der Radialräder mit nq > 50.... 249 5.6.7 Beeinflussung der Instabilität der Halbaxial- und Axialräder.......... 249 5.6.8 Reduktion von Förderhöhe und Leistung bei Nullförderung........... 250 5.7 Zur Strömung in offenen Axialrädern ..................................................... 251 6 Saugverhalten und Kavitation ...................................................................... 259 6.1 Physikalische Grundlagen ....................................................................... 259 6.1.1 Entstehung und Implosion von Dampfblasen in einer Strömung..... 259 6.1.2 Blasendynamik................................................................................. 261 6.2 Kavitation in Laufrad und Leitrad ........................................................... 264 6.2.1 Druckverteilung und Blasenfeld ...................................................... 264 6.2.2 Erforderlicher NPSH-Wert. Ausmaß der Kavitation. Kavitationskriterien................................................................................... 266 6.2.3 Modellgesetze für Kavitationsströmungen....................................... 268

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6.2.4 Die Saugzahl ....................................................................................271 6.2.5 Experimentelle Bestimmung des erforderlichen NPSHR-Wertes.....274 6.2.6 Spaltkavitation..................................................................................283 6.3 Bestimmung des NPSHR-Wertes .............................................................284 6.3.1 Einflußparameter auf den NPSHR-Wert...........................................284 6.3.2 Berechnung des NPSHR-Wertes.......................................................286 6.3.3 Abschätzung des NPSH3-Wertes als Funktion des Förderstromes ..291 6.4 Einfluß der Fluideigenschaften................................................................294 6.4.1 Thermodynamische Einflüsse ..........................................................295 6.4.2 Nichtkondensierbare Gase................................................................298 6.4.3 Keimgehalt und Zugspannungen in der Flüssigkeit .........................298 6.5 Kavitationsbedingte Schwingungen und Geräusche................................301 6.5.1 Erregermechanismen ........................................................................301 6.5.2 Kavitationsschallmessungen zur Quantifizierung der hydrodynamischen Kavitationsintensität............................................................302 6.5.3 Frequenzverhalten des Kavitationsschalls........................................305 6.6 Kavitationserosion ...................................................................................307 6.6.1 Untersuchungsmethoden ..................................................................307 6.6.2 Kavitationswiderstand......................................................................310 6.6.3 Vorausberechnung von Kavitationsschäden aufgrund der Blasenfeldlänge .........................................................................................313 6.6.4 Abschätzung der Erosion aufgrund des Flüssigkeitsschalles ...........316 6.6.5 Körperschallmessungen zur Kavitationsdiagnose............................318 6.6.6 Farberosionsversuche zur Bestimmung des Implosionsortes...........318 6.6.7 Erosionsschwellwert und Materialverhalten bei verschiedenen hydrodynamischen Kavitationsintensitäten...............................................320 6.6.8 Zusammenfassende Beurteilung.......................................................323 6.7 Die Wahl des Zulaufdruckes in der Anlage (NPSHA) .............................326 6. 8 Kavitationsschäden: Analyse und Abhilfe..............................................330 6.8.1 Aufnahme des Schadens und der Betriebsparameter .......................330 6.8.2 Kavitationsformen und typische Arten von Kavitationsschäden .....331 6.8.3 Behebung von Kavitationsschäden ..................................................336 6.9 Ungenügende Saugfähigkeit: Analyse und Abhilfe.................................337 7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten .....................339 7.1 Methoden und Randbedingungen ............................................................339 7.1.1 Methoden zur Entwicklung hydraulischer Komponenten................339 7.1.2 Hydraulische Anforderungen ...........................................................340 7.1.3 Rechenmodelle .................................................................................341 7.2 Radiale Laufräder ....................................................................................343 7.2.1 Bestimmung der Hauptabmessungen ...............................................344 7.2.2 Der Laufradentwurf..........................................................................352 7.2.3 Kriterien für die Schaufelgestaltung ................................................360 7.2.4 Gestaltungskriterien für Sauglaufräder ............................................361 7.2.5 Ausnützung dreidimensionaler Effekte ............................................363

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7.3 Radiale Laufräder für kleine spezifische Drehzahlen.............................. 364 7.3.1 Einfach gekrümmte Schaufeln (Zylinderschaufeln)......................... 364 7.3.2 Lochscheiben ................................................................................... 366 7.3.3 Radialer Schaufelstern ..................................................................... 368 7.3.4 Doppeltwirkende Laufräder mit radialen Schaufeln ........................ 369 7.4 Radiale Laufräder für Pumpen mit Verstopfungsgefahr.......................... 371 7.5 Halbaxiale Laufräder ............................................................................... 377 7.6 Axiale Laufräder und Leitapparate.......................................................... 382 7.6.1 Eigenschaften ................................................................................... 382 7.6.2 Berechnung und Wahl der Hauptabmessungen ............................... 384 7.6.3 Einige Eigenschaften von Tragflügeln............................................. 389 7.6.4 Schaufelauslegung ........................................................................... 394 7.6.5 Profilauswahl ................................................................................... 402 7.6.6 Leitradauslegung.............................................................................. 404 7.7 Vorsatzläufer ........................................................................................... 406 7.7.1 Berechnung der Vorsatzläufer ......................................................... 407 7.7.2 Entwurf und Gestaltung der Vorsatzläufer ...................................... 412 7.7.3 Abstimmung von Vorsatzläufer und Laufrad................................... 414 7.7.4 Hinweise für die Anwendung der Vorsatzläufer.............................. 415 7.8 Spiralgehäuse........................................................................................... 417 7.8.1 Berechnung und Wahl der Hauptabmessungen ............................... 417 7.8.2 Entwurf und Gestaltung der Spiralgehäuse...................................... 421 7.8.3 Einfluß der Gestaltung auf das hydraulische Verhalten................... 425 7.9 Radiale Leiträder mit und ohne Rückführung ......................................... 427 7.9.1 Berechnung und Wahl der Hauptabmessungen ............................... 427 7.9.2 Entwurf und Gestaltung radialer Leiträder ...................................... 433 7.10 Halbaxiale Leiträder .............................................................................. 436 7.11 Spirale mit Leitrad oder Stützschaufelring ............................................ 437 7.12 Ringräume und Leitringe....................................................................... 438 7.13 Einlaufgehäuse für Pumpen mit durchgehender Welle ......................... 439 8 Numerische Strömungsberechnungen ......................................................... 445 8.1 Übersicht.................................................................................................. 445 8.2 Quasi-3D-Verfahren und 3D-Euler-Rechnungen.................................... 447 8.2.1 Quasi-3D-Verfahren......................................................................... 447 8.2.2 Dreidimensionale Euler-Verfahren .................................................. 449 8.3 Grundlagen für Navier-Stokes-Berechnungen ........................................ 449 8.3.1 Navier-Stokes-Gleichungen ............................................................. 449 8.3.2 Turbulenzmodellierung .................................................................... 451 8.3.3 Behandlung der Strömung in Wandnähe ......................................... 455 8.3.4 Netzerzeugung ................................................................................. 458 8.3.5 Numerische Verfahren und Steuerparameter ................................... 461 8.3.6 Randbedingungen ............................................................................ 463 8.3.7 Anfangswerte ................................................................................... 465 8.3.8 Möglichkeiten von 3D-Navier-Stokes-Berechnungen ..................... 466

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8.4 Mittelwertbildung und Datenaufbereitung...............................................468 8.5 Laufradberechnung..................................................................................476 8.5.1 Globalwerte im Bestpunkt................................................................476 8.5.2 Geschwindigkeitsprofile...................................................................479 8.5.3 Einflußparameter..............................................................................480 8.5.4 Berechnungsbeispiel ........................................................................480 8.6 Berechnung von Leitvorrichtungen und Stufen.......................................484 8.6.1 Getrennte Berechnung der Leitvorrichtung......................................484 8.6.2 Stationäre Berechnung von Stufen oder kompletten Maschinen .....484 8.6.3 Instationäre Berechnungen...............................................................487 8.7 Zwei-Phasen- und Kavitationsströmungen..............................................488 8.8 Berechnungsstrategien, Unsicherheiten, Qualität ....................................491 8.8.1 Unsicherheiten, Fehlerquellen, Fehlerreduktion ..............................491 8.8.2 Qualitätssicherung bei CFD-Rechnungen ........................................495 8.8.3 Vergleich zwischen Rechnung und Messung...................................506 8.9 Kriterien für die Beurteilung numerischer Berechnungen.......................508 8.9.1 Allgemeine Hinweise .......................................................................508 8.9.2 Konsistenz und Plausibilität der Rechnung......................................508 8.9.3 Werden die verlangten Leistungsdaten erreicht? .............................509 8.9.4 Maximierung des hydraulischen Wirkungsgrades ...........................509 8.9.5 Kennlinienstabilität ..........................................................................512 8.10 Grundsätzliches zu CFD-Rechnungen...................................................512 9 Hydraulische Kräfte.......................................................................................515 9.1 Die Strömung im Radseitenraum.............................................................515 9.2 Axialkräfte ...............................................................................................528 9.2.1 Axialkraftberechnung allgemein ......................................................528 9.2.2 Einstufige Pumpen mit einflutigem, überhängendem Laufrad.........531 9.2.3 Mehrstufige Pumpen ........................................................................535 9.2.4 Doppelflutige Laufräder...................................................................539 9.2.5 Halbaxiale Laufräder........................................................................540 9.2.6 Axialpumpen ....................................................................................540 9.2.7 Rückenschaufeln ..............................................................................540 9.2.8 Halboffene Laufräder .......................................................................542 9.2.9 Instationäre Axialkräfte....................................................................543 9.3 Radialkräfte .............................................................................................543 9.3.1 Definition und Abgrenzung..............................................................543 9.3.2 Messung von Radialkräften..............................................................545 9.3.3 Pumpen mit Einfachspirale ..............................................................546 9.3.4 Pumpen mit Doppelspirale ...............................................................551 9.3.5 Pumpen mit Ringraum......................................................................552 9.3.6 Leitradpumpen .................................................................................553 9.3.7 Radialkraft infolge ungleichförmiger Zuströmung ..........................553 9.3.8 Axialpumpen ....................................................................................555 9.3.9 Radialkräfte in Pumpen mit Einkanallaufrad ...................................555

XVI

Inhaltsverzeichnis

9.3.10 Radialkraftausgleich....................................................................... 557 9.3.11 Radialkraftberechnung ................................................................... 558 10 Schwingungen und Geräusche .................................................................... 563 10.1 Instationäre Strömungsvorgänge am Laufradaustritt............................. 563 10.2 Druckpulsationen................................................................................... 566 10.2.1 Entstehung von Druckpulsationen ................................................. 566 10.2.2 Strömung und Schallerzeugung ..................................................... 567 10.2.3 Einflußparameter der Pumpe.......................................................... 568 10.2.4 Einfluß des Systems ....................................................................... 569 10.2.5 Modellgesetze ................................................................................ 570 10.2.6 Messung und Auswertung.............................................................. 571 10.2.7 Druckpulsationen ausgeführter Pumpen ........................................ 573 10.2.8 Auswirkungen von Druckpulsationen............................................ 576 10.2.9 Auslegungsrichtlinien .................................................................... 576 10.3 Bauteilbeanspruchung durch instationäre Strömungsvorgänge............. 577 10.4 Schallabstrahlung .................................................................................. 579 10.4.1 Körperschall ................................................................................... 579 10.4.2 Luftschall ....................................................................................... 580 10.5 Übersicht über mechanische Schwingungen bei Kreiselpumpen .......... 583 10.6 Rotordynamik ........................................................................................ 585 10.6.1 Übersicht ........................................................................................ 585 10.6.2 Kräfte in Spaltdichtungen .............................................................. 586 10.6.3 Hydraulische Laufradwechselwirkung........................................... 593 10.6.4 Lagerreaktionen ............................................................................. 595 10.6.5 Eigenwerte und kritische Drehzahlen ............................................ 595 10.6.6 Rotor-Instabilitäten ........................................................................ 598 10.7 Hydraulische Schwingungsanregung .................................................... 602 10.7.1 Interferenzen zwischen Lauf- und Leitschaufeln ........................... 602 10.7.2 Umlaufende Ablösungen................................................................ 608 10.7.3 Übrige Erregermechanismen.......................................................... 610 10.8 Richtlinien für die Konstruktion schwingungsarmer Pumpen............... 615 10.9 Zulässige Schwingungen ....................................................................... 618 10.10 Allgemeine Schwingungsdiagnose...................................................... 622 10.10.1 Überblick...................................................................................... 622 10.10.2 Schwingungsmessungen .............................................................. 623 10.10.3 Schwingungsdiagnose.................................................................. 625 10.11 Lagergehäuseschwingungen: Mechanismus, Diagnose, Abhilfe ........ 631 10.11.1 Hydraulische Erregermechanismen.............................................. 632 10.11.2 Mechanische Auswirkungen hydraulischer Anregung ................ 637 10.11.3 Hydraulische und mechanische Abhilfe....................................... 640 10.11.4 Diagnose von Lagergehäuseschwingungen ................................. 641 10.12 Hydraulische u. akustische Anregung v. Rohrleitungsschwingungen. 653 10.12.1 Anregung von Rohrleitungsschwingungen durch Pumpen.......... 654 10.12.2 Anregung von Rohrschwingungen durch Komponenten............. 656

Inhaltsverzeichnis

XVII

10.12.3 Akustische Resonanzen in Rohrleitungen....................................657 10.12.4 Hydraulische Anregung durch Wirbelstraßen..............................661 10.12.5 Kopplung zwischen Strömung und Schallwellen.........................663 10.12.6 Zum Mechanismus von Rohrleitungsschwingungen....................667 10.13 Torsionsschwingungen ........................................................................671 11 Verhalten der Kreiselpumpen in Anlagen .................................................675 11.1 Anlagenkennlinien und Arbeitspunkt. Einzelbetrieb, Parallel- und Reihenschaltung.............................................................................................675 11.2 Regelung................................................................................................680 11.3 Statische und dynamische Stabilität.......................................................687 11.4 Anfahren, Abschalten ............................................................................689 11.5 Ausfall des Antriebes, Druckstoß ..........................................................693 11.6 Zulässiger Betriebsbereich.....................................................................694 11.7 Der Pumpenzulauf .................................................................................697 11.7.1 Zulaufleitungen ..............................................................................697 11.7.2 Transientes Absinken des Zulaufdruckes.......................................700 11.7.3 Einlaufbauwerke. Zulauf aus Behältern mit freiem Fluidspiegel...706 11.7.4 Topfpumpen ...................................................................................721 11.8 Druckleitungen ......................................................................................722 12 Turbinenbetrieb. Allgemeines Kennfeld ....................................................725 12.1 Rückwärtslaufende Kreiselpumpen als Turbinen ..................................725 12.1.1 Theoretische und reale Kennlinien.................................................725 12.1.2 Leerlauf- und Widerstandskennlinien ............................................730 12.1.3 Berechnung der Kennlinien aufgrund empirischer Korrelationen .732 12.1.4 Berechnung der Turbinenkennlinien aufgrund Verlustanalysen....736 12.1.5 Verhalten der Turbinen in Anlagen................................................741 12.2 Allgemeines Kennfeld ...........................................................................744 13 Einfluß des Fördermediums ........................................................................751 13.1 Förderung von Flüssigkeiten mit hoher Viskosität................................751 13.1.1 Wirkung der Viskosität auf Einzelverluste und Kennlinie.............751 13.1.2 Umrechnung der Kennlinie von Wasser auf viskose Medien ........758 13.1.3 Einfluß der Zähigkeit auf das Saugverhalten .................................765 13.1.4 Anfahren der Pumpe mit einem viskosen Medium ........................765 13.1.5 Hinweise für die Anwendung.........................................................766 13.2 Förderung von Gas-Flüssigkeits-Gemischen.........................................767 13.2.1 Phasenverteilung in der Rohrströmung ..........................................767 13.2.2 Phasenverteilung in der Pumpenströmung, Einflußparameter .......771 13.2.3 Empirische Behandlung von Zweiphasenströmungen ...................782 13.2.4 Verhalten von Kreiselpumpen bei Gas-Flüssigkeits-Förderung ....789 13.2.5 Helico-axiale Mehrphasenpumpen.................................................794 13.2.6 Systemkennlinien ...........................................................................797 13.2.7 Flüssigkeits- und Gasansammlungen .............................................800

XVIII

Inhaltsverzeichnis

13.2.8 Ungelöste und gelöste Gase und NPSH ......................................... 802 13.3 Entspannung von Zweiphasengemischen in Turbinen .......................... 804 13.3.1 Berechnung des Arbeitsumsatzes................................................... 804 13.3.2 Berechnung der Turbinenkennlinien bei Zweiphasenströmung..... 806 13.4 Hydraulischer Feststofftransport ........................................................... 809 13.5 Nicht-Newton‘sche Flüssigkeiten.......................................................... 817 14 Werkstoffwahl für hohe Geschwindigkeiten ............................................. 823 14.1 Ermüdungsbrüche an Laufrädern oder Leiträdern................................. 824 14.2 Korrosion............................................................................................... 835 14.2.1 Grundsätzliches.............................................................................. 835 14.2.2 Korrosionsmechanismen ................................................................ 836 14.2.3 Korrosion in Trinkwasser, Kühlwasser, Abwasser ........................ 841 14.2.4 Korrosion in Meerwasser und Lagerstättenwasser......................... 843 14.3 Erosionskorrosion in vollentsalztem Wasser......................................... 849 14.4 Materialwahl und zulässige Geschwindigkeiten.................................... 857 14.4.1 Definition häufig vorkommender Fördermedien ........................... 858 14.4.2 Metallische Pumpenwerkstoffe ...................................................... 859 14.4.3 Laufräder, Leiträder und Gehäuse.................................................. 865 14.4.4 Spaltringwerkstoffe........................................................................ 877 14.4.5 Werkstoffe für mediumsberührte Wellen....................................... 880 14.4.6 Werkstoffe für Speisewasser- und Kondensatpumpen .................. 880 14.4.7 Werkstoffe für REA-Pumpen......................................................... 882 14.5 Hydroabrasiver Verschleiß .................................................................... 883 14.5.1 Einflußparameter............................................................................ 883 14.5.2 Quantitative Verschleißabschätzung .............................................. 886 14.5.3 Materialverhalten und Feststoffeinfluß .......................................... 893 14.5.4 Materialwahl .................................................................................. 896 14.5.5 Abrasionsverschleiß in Feststoffpumpen ....................................... 898 15 Zur Auswahl und Qualität von Kreiselpumpen ........................................ 901 15.1 Die Pumpenspezifikation....................................................................... 902 15.2 Bestimmung von Pumpentyp und Baugröße ......................................... 904 15.3 Technische Qualitätskriterien ................................................................ 910 15.3.1 Strömungstechnische Kriterien ...................................................... 910 15.3.2 Herstellungsqualität ....................................................................... 914 15.4 Hochleistungspumpen ........................................................................... 919 Anhang ............................................................................................................... 925 A1 Umrechnung von Maßeinheiten .............................................................. 925 A2 Eigenschaften von Wasser im Sättigungszustand.................................... 927 A3 Lösung von Gasen in Wasser .................................................................. 930 A4 Qualitätsanforderungen an Gußstücke..................................................... 933 A5 Physikalische Größen .............................................................................. 935 A5.1 Atmosphärischer Luftdruck.............................................................. 935

Inhaltsverzeichnis

XIX

A5.2 Fallbeschleunigung...........................................................................935 A6 Schallgeschwindigkeit in einer Flüssigkeit..............................................936 A7 Mechanische Schwingungen. Grundbegriffe...........................................937 A7.1. Freie Schwingungen mit viskoser Dämpfung .................................937 A7.2. Erzwungene Schwingungen ............................................................939 A7.3. Eigenfrequenzen einfacher Strukturen ............................................946 Literaturverzeichnis ..........................................................................................947 Sachverzeichnis..................................................................................................973 Formelzeichen................................................................................................XXIV

XX

Inhaltsverzeichnis

Liste der Tafeln Seite XXXII XXXIII-XXXIV

Tafel 0.1 Tafel 0.2

Abmessungen und Strömungsgrößen Geometrische Abmessungen

Tafel 1.1 Tafel 1.2 Tafel 1.3 Tafel 1.4 Tafel 1.5 Tafel 1.6

Rankine-Wirbel Turbulente Flüssigkeitsstrahlen ohne Phasengrenze Ausgleich ungleichförmiger Geschwindigkeitsprofile Häufig verwendete Druckverlustbeiwerte Berechnung von Rohrleitungsnetzen Reibungsverluste in Rohren und ebenen Platten

16 33 34 36 37 38

Tafel 2.1 Tafel 2.2 Tafel 2.3 Tafel 2.4

Hydraulische Pumpenkomponenten und Schaltungen Förderhöhe und Haltedruckhöhe (NPSH) Pumpentypen Einsatzgebiete von Kreiselpumpen

42 44 49 51

Tafel 3.1 Tafel 3.2 Tafel 3.3 Tafel 3.4 Tafel 3.5 Tafel 3.6 Tafel 3.7(1) Tafel 3.7(2) Tafel 3.7(3) Tafel 3.8(1) Tafel 3.8(2) Tafel 3.9 Tafel 3.10 Tafel 4.1 Tafel 4.2 Tafel 4.3 Tafel 4.4

Geschwindigkeitsdreiecke am Laufradeintritt 131 Geschwindigkeitsdreiecke am Laufradaustritt 132 Energieübertragung im Laufrad 133 Ähnlichkeitsgesetze und dimensionslose Kennzahlen 134 Leistungsbilanz, Wirkungsgrade und Verluste 135 Reibleistung rotierender Scheiben oder Zylinder 136 Spaltverluste I: Zylindrische Spalte 137 Spaltverluste II: Schräg- und Radialspalte, offene Räder 138 Gewinderillendichtungen bei turbulenter Strömung 139 Hydraulische Verluste im Laufrad 140 Hydraulische Verluste im Leitapparat 141 Wirkungsgradstatistik und Wirkungsgradaufwertung 142 Einfluß von Rauheit u. Reynolds-Zahl auf Wirkungsgrad 143-144 Leitapparatgerade und Bestpunktlage 162 Anpassen der Kennlinie 170 Analyse von Leistungsdefiziten 180 Berechnung von Kennlinienänderungen 184-186

Tafel 5.1

Interpretation und Anpassung der Kennlinienform

246−247

Tafel 6.1 Tafel 6.2 Tafel 6.3 Tafel 6.4

Abschätzung des Risikos von Kavitationsschäden Festlegung des NPSHA-Wertes Kavitationsschäden Analyse von NPSH-Problemen

325−326 329 332 338

Tafel 7.1

Laufradberechnung

351

Inhaltsverzeichnis

XXI

Tafel 7.2 Tafel 7.3 Tafel 7.4 Tafel 7.5 Tafel 7.6 Tafel 7.7

Auslegungsdaten für Abwasserpumpen Hauptabmessungen axialer Laufräder Tragflügelprofile Schaufelauslegung axialer Laufräder Berechnung der Vorsatzläufer, α1 = 90° Berechnung des Leitapparates

375 385 390 397-400 409 434

Tafel 8.1 Tafel 8.2 Tafel 8.3

Wandgesetz und Geschwindigkeitsverteilung Unsicherheit von CFD-Rechnungen bei Pumpen Komponenten- und Stufenberechung mit CFD

457 494-495 500-501

Tafel 9.1 Tafel 9.2 Tafel 9.3 Tafel 9.4

Rotation des Fluids im Radseitenraum Axialkraftberechnung Halboffene Laufräder. Rückenschaufeln Radialkraftberechnung

532-533 534 541 560-561

Tafel 10.1 Tafel 10.2 Tafel 10.3 Tafel 10.4 Tafel 10.5 Tafel 10.6

Hydraulisch verursachte Schäden an Pumpenbauteilen 574 Auslegungsrichtlinien für niedrige Druckpulsationen 575 Definition der Schallpegel 581 Schallemission von Pumpen 581 Erzwungene und selbsterregte Schwingungen 601 Beurteilung von Wellenschwingungen aufgrund des Verhältnisses Schwingbreite zu Lagerneuspiel 619 Tafel 10.7 Beurteilung v. Wellenschwingungen (ISO 7919-3 u.13709) 620 Tafel 10.8 Beurteilung v. Lagergehäuseschwingungen 621 Tafel 10.9(1-4) Schwingungsdiagnose 626-629 Tafel 10.9(5) Wellen- und Lagergehäuseschwingungen 630 Tafel 10.10 Einfluß der Auslegung auf Lagergehäuseschwingungen 643 Tafel 10.11A Grundfrequenzen u. Einstellungen für die Signalanalyse 646-647 Tafel 10.11B Hauptdaten 647-648 Tafel 10.11C Schaufelzahlkombination 648 Tafel 10.11D Gemessene Schwingungen 649 Tafel 10.11E Eigenfrequenzen 650 Tafel 10.11F Diagnose und Abhilfemaßnahmen 651-652 Tafel 10.11G Beurteilung der Wechselwirkung mit Rotorschwingungen 652 Tafel 10.11H Hydraulische Auslegung 653 Tafel 10.12 Akustische Wirkung von Systemkomponenten 659 Tafel 10.13 Schwingungsanregung durch Wirbelstraßen 662 Tafel 11.1 Tafel 11.2 Tafel 11.3

Berechnung von Zulaufdruck-Transienten Kritische Überdeckung von Abflußöffnungen Empirische Daten für luftziehende Oberflächenwirbel

705 712 713

Tafel 12.1

Turbinenkennlinien

734

XXII

Inhaltsverzeichnis

Tafel 12.2 Tafel 12.3

Auswertung gemessener Turbinen Vorausberechnung der Turbinenkennlinie

739-740 740

Tafel 13.1 Tafel 13.2 Tafel 13.3(1) Tafel 13.3(2) Tafel 13.4 Tafel 13.5

Berechnung der Kennlinien für viskose Medien Umrechnung der Kennlinien von Wasserförderung auf viskose Medien Gas-Flüssigkeits-Gemische Polytrope Kompression von Gemischen Expansion von Gas-Flüssigkeits-Gemischen Feststofftransport

763-764 786 787 808 814

Tafel 14.1 Tafel 14.2 Tafel 14.3 Tafel 14.4 Tafel 14.5 Tafel 14.6 Tafel 14.7(1) Tafel 14.7(2-4) Tafel 14.7(5) Tafel 14.7(6) Tafel 14.8 Tafel 14.9 Tafel 14.10 Tafel 14.11

Lauf- oder Leitschaufelbeanspruchung Laufradscheibenbeanspruchung Materialwandstärken Werkstoffeinsatz in Meerwasser bei T<30 °C Materialabtrag bei Erosionskorrosion in Deionat Stoffübergangskorrelationen Eigenschaften von Gußeisen und Stahlguß Eigenschaften von hochlegiertem Stahlguß Eigenschaften von verschleißbeständigem Gußeisen Eigenschaften von Kupfer- und Nickellegierungen Einsatzgrenzen für Gußwerkstoffe Spaltringwerkstoffe Werkstoffe für mediumsberührte Wellen Abschätzung des Metallabtrags durch Abrasion

833 834 835 846-847 854 855 870 871-873 874 875 876 879 881 890

Tafel 15.1 Tafel 15.2 Tafel 15.3 Tafel 15.4

Pumpenauswahl Toleranzen für Laufräder, Leiträder und Spiralgehäuse Qualitätsanforderungen für Laufräder und Leiträder Energieniveau und Qualitätsklassen von Pumpen

Tafel A1 Tafel A2-1 Tafel A2-2 Tafel A3-1 Tafel A7-1 Tafel A7-2-4 Tafel A7-5

Umrechnung von Maßeinheiten 925-926 Eigenschaften von Wasser im Sättigungszustand 928 Näherungsgleichungen für die Eigenschaften von Wasser 929 Löslichkeit von Gasen in Wasser 931 Freie Schwingungen 938 Erzwungene Schwingungen mit viskoser Dämpfung 940-945 Eigenfrequenzen einfacher Strukturen 946

762

909 917 918 921

Inhaltsverzeichnis

XXIII

Liste der Tabellen Tabelle 1.1 Tabelle 1.2 Tabelle 1.3 Tabelle 1.4

Grenzrauheiten Äquivalenzfaktoren ceq für die Rauheit Rauheitsklassen Äquivalente Sandrauheiten ε

Tabelle 6.1 Tabelle 6.2 Tabelle 6.3

Gebräuchliche Saugzahlen Typische NPSH-Verhältnisse Beiwerte λc und λw bei stoßfreier Anströmung

272 277 287

Tabelle 7.1 Tabelle 7.2 Tabelle 7.3 Tabelle 7.4

Saugradauslegung Drallverteilung am Laufradaustritt Schaufelzahlen für Laufräder mit nq > 140 Leit- und Laufschaufelzahl-Kombinationen

363 381 388 430

Tabelle 9.1

Variation der Förderdaten über dem Laufradumfang [9.21]

549

Tabelle 10.1 Tabelle 10.2 Tabelle 10.3

Addition von Schallquellen Erregerkräfte in 90°-Rohrbögen bei R/D=1,0 Zulässige Schwinggeschwindigkeiten von Rohrleitungen

580 663 670

Tabelle 14.1 Tabelle 14.2 Tabelle 14.3 Tabelle 14.4

Elektrochemische Potentiale in strömendem Meerwasser Wasserhärte Stahlauswahl aufgrund des Lochfraßindex PI Berechnung der zulässigen Förderhöhe

838 841 863 867

Tabelle A4-1

Gütestufen von gegossenen drucktragenden Bauteilen für verschiedene Anforderungen und Werkstoffe Nachweise für Werkstoffprüfungen bei Pumpen nach DIN EN 10204

Tabelle A4-2

21 24 24 25

933 933

Formelzeichen und Definitionen

Soweit nicht anders vermerkt, sind alle Formeln als Größengleichungen im internationalen Einheiten-System (SI-System) angeschrieben. Die wichtigsten Formelzeichen werden im folgenden definiert. Wo sinnvoll, wird angegeben, in welcher Gleichung oder in welchem Abschnitt die entsprechende Größe definiert oder eingeführt wird. Die verwendeten Formelzeichen entsprechen weitgehend DIN 24260 (Ausgabe 1986). Vektoren werden in Text und Formeln durch Fettdruck gekennzeichnet. Zeichen von nur lokaler Bedeutung sind im Text und in den Tafeln erläutert. Zum Verständnis der physikalischen Bedeutung der verschiedenen Größen sind folgende Tafeln hilfreich: • Tafeln 0.1 und 0.2: geometrische Abmessungen der strömungsführenden Kanäle und Strömungsgrößen • Tafel 2.2: Förderhöhe und Haltedruckhöhe (NPSH) • Tafeln 3.1 und 3.2: Geschwindigkeitsdreiecke • Tafel 3.4: Ähnlichkeitsgesetze und dimensionslose Kennzahlen A A A A1q A2q A3q AS a a a0 aL b b b2 b2,ges (b2,tot) bks CNL CV

Kapitel oder Gleichung Fläche, Querschnitt Bruchdehnung Kap. 14 Amplitude Kap. 10 Engster Querschnitt am Laufradeintritt (bei Trapez: A1q = a1 b1) Querschnitt am Laufradaustritt (bei Trapez: A2q = a2 b2) Engster Querschnitt am Leitradeintritt (bei Trapez: A3q = a3 b3) Antriebsseite Lichtweite zwischen Schaufeln (Index 1 bis 6) Tafel 0.2 Schallgeschwindigkeit in Rohrleitung Gl. (10.17) Schallgeschwindigkeit im Fluid Gl. (10.17) Schallgeschwindigkeit im Material des Gehäuses Gl. (T6.1.7) Beschleunigung Schaufelbreite Schaufelbreite am Laufradaustritt; wenn 2-flutig: pro Laufradseite Laufradaustrittsbreite inklusive Radseitenwänden Gl. (9.6) Körperschallbeschleunigung Gl. (10.6) Kavitationsschalldruck Tafel 6.1 Körperschall als Effektivwert der Beschleunigung

Formelzeichen und Definitionen

CV* c c cA cFe c3q cc cd ceq cf cp cph cs cs cs,äq cT cv D D, d Dfz d3q db dD dd dm

dimensionslose Körperschall-Beschleunigung CV* = CV/(u12/d1) Absolutgeschwindigkeit Kap. 1.1 Rotordämpfungskoeffizient Gl. (10.7) Axialkraftabsenkungsbeiwert Gl. (9.4), Tafel 9.1 Konzentration der Eisenionen Gl. (14.7), Tafel 14.5 mittlere Geschwindigkeit im Leitapparateintritt c3q = QLe/(zLe A3q) Koppeldämpfung Gl. (10.7) Strömungsgeschwindigkeit im Druckstutzen Äquivalenzfaktor für Rauheit Gl. (1.36b) Reibungsbeiwert an Platten Gl. (1.33) Druckrückgewinnungsbeiwert Gln. (1.11), (1.40), (T9.1.5) Phasengeschwindigkeit Kap. 10.7.1 Strömungsgeschwindigkeit im Saugstutzen Feststoffkonzentration Tafel 14.11 äquivalente Feststoffkonzentration Tafel 14.11 Geschwindigkeit in Einlaufdüse Gl. (11.15) Feststoff-Volumenkonzentration Tafel 13.5 Dämpfungsbeiwert Kap. 10.6.5 Durchmesser Diffusionsfaktor Tafel 7.5 Durchmesser des Spiralenendquerschnittes Gl. (T7.7.7) arithmetischer Mittelwert des Durchmessers am La oder Le z.B. d1b = 0,5 (d1 + d1i); so definiert, daß A1 = π d1b b1 Tafel 0.2 Durchmesser an der Wellendichtung Tafel 9.1 Innendurchmesser des Druckstutzens geometrischer Mittelwert des Durchmessers am La oder Le, z.B. d1m = 0,5(d12a + d12i )

dn ds ds DT E ER ER,a e F Fax FDsp FR Fr F r, F t Fcor FMat

XXV

Tafel 0.2

Durchmesser der Radnabe Innendurchmesser des Saugstutzens Feststoff-Partikeldurchmesser Tafel 14.11 Eintrittsdurchmesser der Einlaufdüse Abb. (11.20) Elastizitätsmodul maximale Erosionsrate (an der tiefsten Stelle des Abtrages) Tafel 6.1 Metallabtragsrate in mm/a Tafel 14.5 und 14.11 Schaufelstärke Tafel 0.2 Kraft Axialkraft Radialschubkorrektur für Doppelspiralen Abb. 9.18 in Tafel 9.4 Radialkraft (Radialschub) Gl. (9.6), Tafel 9.4 Froude-Zahl Gl. (11.15) Radial- und Tangentialkräfte Gl. (10.8) Korrosionsfaktor Tafel 6.1 Materialfaktor bei Kavitation: Tafel 6.1, bei Abrasion: Tafel 14.11

XXVI

Formelzeichen und Definitionen

f Frequenz Eigenfrequenzen bei der Betriebsdrehzahl Kap. 10.6.5 fEB fe1 Eigenfrequenz Kap. 10.6.2 kritische Drehfrequenz Kap. 10.6.5 fkr fL Leckageeinfluß auf Radreibung Gl. (T3.6.7), Tafel 3.6 Drehfrequenz fn = n/60 fn fq Anzahl Fluten: einflutig fq = 1; doppelflutig fq = 2 Umrechnungsfaktor für Förderhöhe (Rauheit, Viskosität) Gl. (3.32) fH fQ Umrechnungsfaktor für Förderstrom (Rauheit, Viskosität) Gl. (3.32) Rauheitseinfluß auf Radreibung Gl. (T3.6.6), Tafel 3.6 fR fRS Frequenz der umlaufenden Ablösungen („rotating stall“) fη Umrechnungsfaktor Wirkungsgrad (Rauheit, Viskosität) Gl. (3.31) g Fallbeschleunigung (g = 9,81 m/s2, gerundet) Anhand A5.2 H Förderhöhe pro Stufe Tafel 3.3 HMat Materialhärte Feststoffhärte Hs Htot gesamte Förderhöhe einer mehrstufigen Pumpe Tafel 2.2 statische Druckerhöhung im Laufrad Gl. (T3.3.8) Hp htot Totalenthalpie Gl. (1.4) h Gehäusewandstärke (bei Beschleunigungsaufnehmer) Tafel 6.1 hD Deckelwandstärke Tafel 6.1 Akustische Intensität Tafel 6.1 Iac IRef Bezugswert für Leistungsdichte Tafel 6.1 i Anstellwinkel (i = Schaufelwinkel - Strömungswinkel) Tafel 3.1 Jsp Integral des Leitrad- o. Spiralen-Endquerschnitts Gl. (3.15); (4.13) k Rotation des Fluids im Radseitenraum k = β/ω Gl. (9.1), Tafel 9.1 k E, k z Rotation des Fluids am Radseitenraumeintritt Abb. 9.1 k Federsteifigkeit Gl. (10.7) kc Koppelsteifigkeit Gl. (10.7) Nabenversperrung: kn = 1 – dn2/d12 kn Radialschubbeiwert (stationär) Gl. (9.6) kR Radialschubbeiwert, bezogen auf d2 (stationär) Tafel 9.4 kR,D kR,dyn dynamischer (instationärer) Radialschubbeiwert Tafel 9.4 Tafel 9.4 kR,ges (kR,tot) Radialschubbeiwert umfassend stat. und dyn. Anteile kR,o Radialschubbeiwert (stationär) für den Betrieb bei Q = 0 Tafel 9.4 Radreibungsbeiwert Tafel 3.6 kRR kRu Radialschubbeiwert (stationär) Gl. (9.7) L Länge LPA A-bewerteter Schalldruckpegel Tafel 10.4 Schadenslänge LDam Lcav Blasenfeldlänge M Drehmoment m Differenz der Lauf- und Leitradperiodizitäten Kap. 10.7.1 m Massenkoeffizient Gl. (10.7)

Formelzeichen und Definitionen XXVII

 m mc NAS NPSH NPSHA NPSHi NPSHR

NPSHx NL NLo n n(s) nN nq nss P Pi Pm Pu PRR PER Ps3 PI p p pamb pe pg pi pv Q QLa QLe QE Qh QR Qsp Qs3 q* R, r R RG

Massenstrom Koppelmasse Gl. (10.7) Nicht-Antriebsseite NPSH-Wert (net positive suction head) Gesamt-Haltedruckhöhe NPSH-Wert der Anlage Tafel 2.2, Tafel 6.2 NPSH-Wert, bei dem erste Kavitationsblasen auftreten für den Betrieb der Pumpe mit spezifiziertem Grad der Kavitation erforderlicher NPSH-Wert Kap. 6.2.2, 6.2.5, 6.3 NPSH-Wert, bei dem die Pumpe einen x-prozentigen Förderhöhenabfall zeigt Kap. 6.2.2 Flüssigkeitsschalldruck als Effektivwert; NL* = 2NL/ρ u12 Grundschalldruck Kap. 6.5 Drehzahl pro Minute Drehzahl pro Sekunde Nenndrehzahl spezifische Drehzahl (min-1, m3/s, m) Kap. 3.4, Tafel 3.4 Saugzahl (min-1, m3/s, m) Kap. 6.2.4, Tafel 3.4 Kupplungsleistung, Leistung allgemein innere Leistung Tafel 3.5 mechanische Verlustleistung Tafel 3.5 auf das Fluid übertragene Nutzleistung Pu = ρ g Htot Q Tafel 3.5 Radreibungsleistung Tafeln 3.6, 3.5 Spezifische Erosionsleistung PER = UR ER Tafel 6.1 Leitradlabyrinth-Verlustleistung Tafeln 3.5, 3.7(1) Lochfraßindex Gl. (14.8) statischer Druck Periodizität Kap. 10.7.1 Umgebungsdruck am Aufstellungsort der Pumpe (meist Luftdruck) Druck über dem Flüssigkeitsspiegel im Saugreservoir Tafel 2.2 Gasdruck (Partialdruck) Anhang A.3 Implosionsdruck Tafel 6.1 Dampfdruck (Sättigungsdruck) Förderstrom, Volumenstrom Förderstrom durch das Laufrad: QLa = Q + Qsp + QE + Qh = Q/ηv Förderstrom durch den Leitapparat: QLe = Q + Qs3 + QE Entlastungsstrom für Hilfszwecke abgezogener Förderstrom (meist null) Nennförderstrom („rated flow“) Kap.15 Spaltverluststrom (Laufradsaugseite) Tafeln 3.5, 3.7(1) Spaltverluststrom der Zwischenstufendichtung Tafeln 3.5, 3.7(1) auf den Bestpunkt bezogener Förderstrom (Fördergrad): q* = Q/Qopt Radius Gaskonstante Reaktionsgrad Kap. 3.2

XXVIII

Re Ro RMS Rm r3q S S SStr s sax tax T t t U UR

Formelzeichen und Definitionen

u V w w1q x x xD xov Y Ysch ≡ Yth Yth∞ y+ z Zh zVLe zLa zLe zR zpp zst

Reynolds-Zahl. Kanal: Re = c Dh/ν; Platte, Schaufel: Re = w L/ν Rossby-Zahl Kap. 5.2 Effektivwert Zugfestigkeit äquivalenter Radius des Spiral-Endquerschnittes Tafel 7.7 Wasserspiegelüberdeckung Kap. 11.7.3, Gl. (11.15) schallabsorbierende Oberfläche des Einlaufgehäuses Tafel 6.1 Strouhal-Zahl Tafel 10.8 radiale Spaltweite Gl. (3.12), Abb. 3.12, Tafel 3.7(1) u. (2) axialer Wandabstand zwischen Radscheiben und Gehäuse Abb. 9.1 zylindrische Gehäusekontur im Radseitenraum Abb. 9.1a Temperatur Zeit Schaufelteilung: t = π d/zLa (oder zLe) benetzter Umfang (Rohr oder Kanal) Werkstoffarbeit pro Volumeneinheit bei Sprödbruch („ultimate resilience“): UR = Rm2/(2 E) Tafel 6.1 Umfangsgeschwindigkeit u = π d n/60 Volumen Relativgeschwindigkeit mittlere Geschwindigkeit im Laufradeintritt w1q = QLa/(zLa A1q) Tafel 9.1 dimensionsloser Radius x = r/r2 Gasgehalt (Masse); Feststoff-Massenkonzentration Kap. 13 Massenkonzentration des gelösten Gases Anhang A.3 Überdeckung an Laufrad- Leitradscheiben Abb. 9.1 spezifische Förderarbeit Y=gH spezifische Schaufelarbeit, Yth = g Hth Tafel 3.3 spezifische Schaufelarbeit bei schaufelkongruenter Strömung dimensionsloser Wandabstand Tafel 8.1 Höhenlage hydraulische Verluste (Laufrad: ZLa Leitrad ZLe) Schaufelzahl Vorleitrad Laufschaufelzahl Schaufelzahl im Leitapparat (bei Spirale: Anzahl Sporne) Anzahl Rückführschaufeln Anzahl parallel arbeitender Pumpen Stufenzahl

α α αk αT β β

Gasgehalt (ppm), Gasvolumenanteil Tafel 13.3 Winkel zw. Richtung von Umfangs- und Absolutgeschwindigkeit Kerbfaktor Gl. (T14.1.7) Gesamt-Absorptionskoeffizient Tafel 6.1 Winkel zwischen w und der negativen u-Richtung Winkelgeschwindigkeit des Fluids im Radseitenraum Kap. 9.1

Formelzeichen und Definitionen

β γ δ* Δp*d Δpa Δpp-p ε ε εsp ζ ζa ζw ηvol, ηv η ηi ηh ηD ηst θu ϑ λ λ λ λ c, λ w λR μ ν ν ν1, ν2 ξ ρ ρ" ρmat ρp ρs σ σ τ τ ϕ ϕsp ψ

XXIX

Stoffübergangszahl Kap. 14.3, Tafel 14.6 Abströmbeiwert („Minderleistung“) Tafel 3.2 Verdrängungsdicke Gl. (1.18) Druckschwankung (dimensionslos) Gl. (10.1) Scheitelwert (Amplitude) der Druckschwankung Kap. 10.2.6 Doppelter Scheitelwert („peak-to-peak“) Kap. 10.2.6 Winkel im Polarkoordinatensystem Äquivalente Sandrauheit Kap. 1.5.1 Umschlingungswinkel der inneren Spirale (Doppelsp.) Tafel 0.2 Verlustbeiwert (mit Index La, Le, Sp usw.) Tafel 3.8 Auftriebsbeiwert Tafeln 7.1, 7.4 Widerstandsbeiwert Tafel 7.4 volumetrischer Wirkungsgrad Gl. (T3.5.9) Gesamt (Kupplungs-) Wirkungsgrad Gl. (T3.5.3) innerer Wirkungsgrad Gl. (T3.5.5) hydraulischer Wirkungsgrad Gl. (T3.5.8) u. Tafel 3.8 Diffusor wirkungsgrad Gl. (1.43) Stufenwirkungsgrad Gl. (T3.5.7) Ähnlichkeitsparameter für Kavitationserosion Tafel 6.1 Diffusoröffnungswinkel Gl. (1.42) Exponent der isentropen Expansion oder Kompression Winkel zwischen Schaufeln und Radscheiben (La oder Le) Tafel 0.1 Leistungszahl Tafel 3.4 Wellenlänge Tafel 10.7 Koeffizienten zur NPSH-Berechnung Gl. (6.10) Rohrreibungszahl Gl. (1.36) dynamische Zähigkeit, μ = ρ ν kinematische Zähigkeit, ν = μ/ρ Nabenverhältnis ν = dn/d1a Schwingungsordnung, natürliche Zahlen (1, 2, 3, ….) hydraulische Schaufelbelastung nach [7.2] Tafel 7.1 Dichte Dichte des Sattdampfes Dichte des Werkstoffs Dichte des Gehäusematerials Dichte des Feststoffs Kap. 13.4, 14.5 Kavitationsbeiwert (Index wie NPSH): σ = 2 g NPSH/u12 Tafel 3.4 Spannung Kap. 14 Schaufelversperrungsfaktor Tafel 0.1 Schubspannung Lieferzahl oder Durchflußzahl Tafel 3.4 Durchflußzahl für den Radseitenraum Tafel 9.1 Druckzahl Tafel 3.4

XXX

ψp Ω ΩGrenz ω ωE ωs

Formelzeichen und Definitionen

Druckzahl für die statische Druckerhöhung im Laufrad Tafel 3.3 Orbit- (Schwingungs-)kreisfrequenz Kap. 10.6.2 Orbitgrenzfrequenz Gl. (10.9) Winkelgeschwindigkeit des Rotors Eigenkreisfrequenz Kap. 10 universelle spezifische Drehzahl Tafel 3.4

Fuß- und Kopfzeichen. Abkürzungen Berechnungsstationen: im Pumpbetrieb strömt das Fluid von 1 nach 6, im Turbinenbetrieb von 6 nach 1 1 Laufschaufeleintrittskante (Niederdruckkante) 2 Laufschaufelaustrittskante (Hochdruckkante) 3 Leitschaufeleintrittskante oder Spiralgehäusezunge 4 Leitschaufelaustrittskante 5 Eintritt Rückführschaufeln 6 Austritt Rückführschaufeln A Anlage AS Antriebsseite a Anlage, Ausführung, Prototyp ax axial a,m,i äußere, mittlere, innere Stromlinie B Winkel am Bauteil (Laufschaufeln, Leitschaufeln, Spiralenzunge) cor Korrosion DS Druckseite (Druckfläche der Schaufeln) Ds Deckscheibe d Druckstutzen ER Erosion eff effektiv h hydraulisch L Leerlauf bei Turbinenbetrieb (M = 0) Kap. 12 La Laufrad Le Leitrad M Modell, Basis für Wirkungsgradumrechnung (Rauheit, Viskosität) m Meridiankomponente max Maximalwert min Minimalwert mix Mischung NAS Nicht-Antriebsseite o Daten bei Nullförderung (Q = O) opt Daten beim Förderstrom besten Wirkungsgrades P Pumpenbetrieb Kap. 12 pol polytropisch

Formelzeichen und Definitionen

q RB Ref Rez RR r s s sch SF sp SPL Sp SS st stat T TP Ts th tot u v v w w zul ' * ' "

XXXI

aus Kontinuität berechnete, mittlere Geschwindigkeit (wenn verwechselbar mit Vektor) Rezirkulationsbeginn Bezugswert Rezirkulation Radreibung radial Eintrittsstutzen (Saugstutzen) Feststoff („solid“) Kap. 13.4 Schaufel stoßfreie Anströmung Gl. (T3.1.10) Spalt, Spaltstrom Einphasenströmung („single-phase liquid“) Spirale Saugseite (Saugfläche der Schaufeln) Stufe statisch Turbinenbetrieb Kap. 12 Zweiphasenströmung („two-phase“) Tragscheibe theoretisch (verlustlose Strömung) Totaldruck (Gesamtdruck) = statischer Druck + Staudruck Umfangskomponente Verlust viskoses Fluid Kap. 13.1 Wasserförderung Kap. 13.1 Widerstandskennlinie bei Turbinenbetrieb (n = 0) Kap. 12 zulässig mit Schaufelversperrung Tafeln 0.1, 3.1 dimensionslose Größe, bei Abmessungen bezogen auf d2 z.B. b2* = b2/d2, bei Geschwindigkeiten bezogen auf u2, z.B. w1* = w1/u2 Flüssige Phase Kap. 6 u. 13 Gasförmige Phase Kap. 6 u. 13

XXXII

Formelzeichen und Definitionen

Laufrad: zLa

Tafel 0.1 Abmessungen und Strömungsgrößen Ort, HauptmaVersperrung ße Eintritt: ohne d1a, d1m, d1i, dn, 1 a1, e1 τ1 =

Austritt: d2a, d2m, d2i, b2, a2, e2, e

τ2 =

1−

z La e1 π d1 sin β1B sin λ La

1 z La e 2 1− π d 2 sin β 2B sin λ La

Rückführung: zR

Leitapparat: zLe

ohne Eintritt: d3, b3, a3, e3 A3q = a3 b3

ohne τ3 =

Austritt: d4, b4, a4, e4 A4 = a4 b4 Eintritt: d5, b5, a5, e5

1 z Le e 3 1− π d 3 sin α 3B sin λ Le

ohne

Austritt: d6, b6, a6, e6

τ6 =

1 z R ⋅ e5 1− π d 5 sin α 5B 1 z R e6 1− π d 6 sin α 6B

ohne

Bauteilwinkel β1B,a β1B β1B,i

u1a, u1m, u1i, c1m, w1, c1, α1, β1 c1m′, c1u, w1′, c1′, α1′, β1′ w1q = QLa/(zLa A1q) c2m′, c2u, c2′, w2u, β2B,a w2′, α2′, β2′ β2B β2B,i u2a, u2m, u2i,c2m, c2u c2, w2u, w2, α2, β2 α3B,a c3m, c3u, c3, α3 α 3B c3m′, c3u, c3′, α3′ α 3B,i c3q = QLe/(zLe A3q)

Q Le z Le b 4 a 4

c4 =

τ5 =

Strömungsgrößen

c5m, c5u, c5, α5 c5m′, c5u, c5′, α5′ c6m′, c6u, c6′, α6′ c6m, c6u, c6, α6

α4B,a α4B α4B,i α5B,a α5B α5B,I α6B,a α6B α6B,i

Festlegungen: Alle Strömungsgrößen können noch durch die Indices a, m oder i zur Kennzeichnung der Stromlinie ergänzt werden z. B. c1m, a; β1a, β1i usw. Ohne besondere Kennzeichnung gilt: u1 ≡ u1a und d1 ≡ d1a sowie d2 ≡ d2a, wenn d2a = d2i ist. wm = cm Durchflußgeschwindigkeiten in Relativ- und Absolutsystem sind gleich. Die Umfangskomponenten cu und wu werden durch die Versperrung nicht beeinflußt. λLa oder λLe

Schaufel Deckscheibe

Einfluß der Schaufelschrägstellung auf die Schaufelversperrung

Formelzeichen und Definitionen XXXIII

Tafel 0.2 (1) Geometrische Abmessungen e2 2

H2

a2

2

b2

β2B

e

1

d2i β1B

a1

d2b

d2a

d1 b1

1

d1a e1 d1b

dn

4

a4 H4

b5

b4

4

α4B

d1i

α5B

5

d4

a5

d5

a3

e5

H3 3

e3

α3B

3

b3 H6

d4

d3

α6B

a6

d3 b6 d6

e6

Dd 4i

e3

b2

b1

Innenspirale

6

5

A3qi, a3i d2a

d1b d2b d1i

b3

dz

d2i

dz

εSp

Außenspirale A3qa, a3a

e3

4a

Äußerer Kanal

α3B

XXXIV

Formelzeichen und Definitionen

Tafel 0.2 (2) Geometrische Abmessungen Engster Querschnitt Schrägabschnitt

H3

Diffusor H4

H2

Radseitenraumund Leitradeintrittsgeometrie mehrstufiger Pumpen

d2

xov S p a lt B

S p a lt A

S p a lt E S p a lt F

d2

d3 dw

R a d s e ite n ra u m

R a d s e ite n ra u m

Q SP d sp Q S3 d s3

sax

Radseitenraumund Leitradeintrittsgeometrie mehrstufiger Pumpen [10.66]

A nschrägung

x ov S palt B

S palt A

S palt E S palt F

d2

d3 dw

R adseitenraum

R adseitenraum

Q SP d sp Q S3 s ax

d s3

Formelzeichen und Definitionen XXXV

Pumpentypen (englische Bezeichnungen)

OHH – Overhung Single Stage ISO 13709 (API 610) Type OH2

OHC – Overhung Single Stage with Canned Motor API 685

OHM – Overhung Singe Stage with Magnetic Coupling, API 685

BBS – Between Bearings Single Stage ISO 13709 (API 610) Type BB2

GSG – Inline or Opposed Impeller Diffuser Barrel Type ISO 13709 (API 610) Type BB5

OHV – Vertical Inline ISO 13709 (API 610) Type OH3

XXXVI

Formelzeichen und Definitionen

BBT-D - Between Bearings Two-Stage Double Suction ISO 13709 (API 610) Type BB2

BBT - Between Bearings Two-Stage ISO 13709 (API 610) Type BB2

CP – Dual Volute Opposed Impeller Barrel Type ISO 13709 (API 610) Type BB5

MSD – Dual Volute Opposed Impeller Horizontally Split ISO 13709 (API 610) Type BB3

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

Die nahezu unerschöpfliche Vielfalt strömungstechnischer Erscheinungen − von der Strömung durch Blutbahnen über die Strömung in Kreiselpumpen bis zum weltweiten Wettergeschehen − beruht auf nur wenigen physikalischen Grundgesetzen. Im vorliegenden Kapitel sollen diese in Erinnerung gerufen und in ihrer Allgemeinheit beleuchtet werden. Dabei interessieren vor allem die Phänomene, die für den Pumpenbauer oder -betreiber besonders bedeutsam sind. Die Kenntnis strömungstechnischer Begriffe wird dabei vorausgesetzt. Im übrigen sei auf Lehrund Handbücher der Strömungsmechanik verwiesen, z.B. [1.1 bis 1.7] und [1.14].

1.1 Absolute und relative Strömung Im Strömungsmaschinenbau bezeichnet man eine Strömung, die in erdfesten Koordinaten beschrieben wird, als „absolute“ Bewegung und eine in rotorfesten Koordinaten betrachtete Strömung als „relativ“. Die Strömung im Relativsystem entspricht der Bewegung, wie sie ein mitrotierender Beobachter feststellen würde. Ein Punkt auf einer rotierenden Scheibe steht im Relativsystem still, während er im Absolutsystem einen Kreis beschreibt. Bewegt sich ein Massenpunkt in einer Führung auf einer rotierenden Scheibe radial nach außen, folgt er im Relativsystem einer geraden Bahn, während er im Absolutsystem eine spiralförmige Bewegung ausführt. Beim Übergang vom Absolut- ins Relativsystem sind die Zentrifugal- und die Corioliskraft einzuführen. Die Absolutbeschleunigung ergibt sich dabei als vektorielle Summe aus Relativ-, Zentrifugal- und Coriolisbeschleunigung zu: babs = dw/dt - ω2 r + 2(ω × w). Die Geschwindigkeitsverhältnisse werden durch drei Vektoren beschrieben: die Umfangsgeschwindigkeit u = ω r, die Relativgeschwindigkeit w und die Absolutgeschwindigkeit c, die sich durch vektorielle Addition von u und w ergibt:

c

w α

u

Abb. 1.1. Vektordiagramm

β

c

w β

α u

2

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

c = u + w. Im Strömungsmaschinenbau wird diese Addition meist graphisch anhand der „Geschwindigkeitsdreiecke“ gemäß Abb. 1.1 dargestellt (Kap. 3.1).

1.2 Erhaltungssätze Die Erhaltungssätze für Masse, Energie und Bewegungsgröße (Impuls) bilden die eigentliche Grundlage der Strömungsmechanik. Sie beschreiben die (nicht streng ableitbare) Erfahrung, daß in einem geschlossenen System oder Kontrollvolumen weder Masse noch Energie oder Impuls verschwinden oder entstehen kann. Für jede der obigen Größen X gilt demnach die Bilanzgleichung: X1 − X 2 +

ΔX +Z=0 Δt

(1.1)

Dabei stellen X1 die Zufuhr („Input“), X2 die Abfuhr („Output“), ΔX/Δt die zeitliche Veränderung im Kontrollvolumen und Z eine Zusatzgröße (z.B. zu- oder abgeführte Masse, Wärme oder Arbeit) dar. In dieser allgemeinen Form gelten die Erhaltungssätze für stationäre und instationäre, verlustbehaftete oder verlustlose beliebig komplexe Prozesse. Im folgenden seien nur stationäre Vorgänge mit ΔX/Δt = 0 behandelt. Wird keine Masse, Arbeit oder Wärme zugeführt (Z = 0), gilt Input = Output. Die konsequente Anwendung dieser fast trivial erscheinenden Bilanzgleichungen ist häufig das einzige Mittel, um komplexe Probleme quantitativ zu behandeln, ohne zum Experiment zu greifen. Wendet man die Erhaltungssätze auf ein infinitesimales Volumenelement eines strömenden Fluids an, erhält man partielle Differentialgleichungen, die das dreidimensionale Strömungsfeld vollständig beschreiben (Kontinuitäts- und Navier-Stokes Gleichungen), die aber im allgemeinen Fall nicht analytisch sondern nur numerisch lösbar sind. 1.2.1 Erhaltung der Masse Zur Formulierung der Erhaltungssätze betrachte man ein beliebiges Kontrollvolumen gemäß Abb. 1.2, das eine Stromröhre, ein Rohr oder eine Maschine sein kann. Am Eingangsquerschnitt mit der Kontrollfläche A1 tritt Fluid mit der Geschwindigkeit c1 und der Dichte ρ1 ein; die Größen an der Austrittskontrollfläche seien mit dem Index 2 bezeichnet. Für die Erhaltung der Masse ergibt sich nach Gl. (1.1), wenn Z = 0 ist:  = ρ1 A 1 c1 = ρ 2 A 2 c 2 = konstant m

(1.2)

und für inkompressible Strömung (Dichte konstant): A1 c1 = A2 c2. Dies ist die Kontinuitätsgleichung. Sie sagt aus, daß die eintretenden und austretenden Massenströme für ein gegebenes Kontrollvolumen gleich groß sind.

1.2 Erhaltungssätze

3

2 Z c2 n ρ2

p2

A2 h2

c1 1

n

p1

A 1 , ρ 1, h 1

Abb. 1.2. Zur Ableitung des Impulssatzes

1.2.2 Erhaltung der Energie Die Erhaltung der Energie wird durch den 1. Hauptsatz der Thermodynamik beschrieben, wenn man für Z die Summe aus zu- oder abgeführter Wärmeleistung Pw und mechanischer Leistung P einsetzt:  1 h Tot,1 + m  2 h Tot,2 + Pw + P = 0 m

(1.3)

Hierin ist hTot die Totalenthalpie [B.3]; sie ist gleich der Summe der auf die Masseneinheit bezogenen inneren Energie U, der statischen Druckenergie sowie der kinetischen und potentiellen Energie: h Tot = U +

p c2 + +gz ρ 2

(1.4)

Ist der Massenstrom am Ein- und Austritt des Kontrollvolumens gleich ( m 2 = −m 1 = m ), ergibt sich die Leistung einer Strömungsmaschine ohne Wärmeaustausch (Pw = 0) als Produkt des Massenstromes und der Differenz der Totalenthalpien am Ein- und Austritt der Maschine:  (h Tot,2 - h Tot,1 ) Pi = m

(1.5)

Pi ist dabei die innere Leistung als Summe der auf das Fluid übertragenen mechanischen Energie und all der Verluste, die zu einer Erwärmung des Fluids führen, s. Kap. 3.5. Für genaue Berechnungen an Hochdruckpumpen, z.B. für die thermometrische Wirkungsgradbestimmung, wie auch für alle Strömungsmaschinen mit kompressiblen Strömungen, muß man auf die allgemeingültige Form von Gl. (1.5) zurückgreifen. Aus Gl. (1.4) und (1.5) ergibt sich die Enthalpiedifferenz zu: P p − p1 c 2 2 − c12 Δh Tot = i = U 2 - U1 + 2 + + g (z 2 − z1 )  m ρ 2

(1.6)

4

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

Da Wärmeaustausch mit der Umgebung vernachlässigt wurde, ergibt sich die Änderung der inneren Energie U bei inkompressibler Strömung nur aus der Erwärmung infolge Verlusten innerhalb des Kontrollvolumens oder der Maschine: für Flüssigkeiten kann somit (U2 – U1) = Δpv/ρ gesetzt werden. Gleichung (1.6) folgt aus dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik und beschreibt die Verhältnisse einer Stromröhre ohne äußere Arbeitsübertragung (ΔhTot = 0): p1 +

s2 ρ 2 ρ ∂c c1 + ρ g z1 = p 2 + c 2 2 + ρ g z 2 + Δp v + ρ ³ ds 2 2 s1 ∂t

(1.7)

Dies ist die Bernoulli’sche Gleichung für inkompressible Strömungen. Weil grundsätzlich alle Strömungsvorgänge verlustbehaftet sind, enthält sie das Verlustglied Δpv. Da Massen- und Energieaustausch mit der Umgebung zu null angenommen wurden, darf man die Bernoulli’sche Gleichung nur für Stromfäden oder geschlossene Kanäle ansetzen. Um Gl. (1.7) auch für instationäre Vorgänge verwenden zu können, wurde sie durch den Term ganz rechts erweitert, der sich aus Gl. (1.22) ergibt. Bei ∂c/∂t ≠ 0 wird über den Weg von s1 nach s2 integriert. Gleichung (1.5) und (1.6) umfassen in der oben verwendeten Form alle Verluste, die zu Erwärmung des Fluids führen. Wenn in Gl. (1.6) für (U2 - U1) = Δpv/ρ nur die hydraulischen Verluste eingesetzt werden, die beim Durchströmen der Maschine entstehen, entspricht ΔhTot der theoretischen Förderarbeit Yth: Yth =

Δp v p 2 − p1 c 2 2 − c12 + + + g (z 2 − z1 ) ρ ρ 2

(1.8)

Die Größe Yth stellt die pro Masseneinheit an das Fördermedium übertragene Arbeit dar, die sich zum größten Teil als Nutzarbeit im Druckstutzen wiederfindet, aber auch in Form von Verlusten zu einer − im allgemeinen vernachlässigbaren − Erwärmung des Fluids führt. Setzt man dagegen U2 = U1, gibt Gl. (1.6) unmittelbar die spezifische Nutzförderarbeit (isentrop) Δhis = Y = g H einer Pumpe an, welche die durch die Pumpe bewirkte Erhöhung des Totaldruckes darstellt, s. Kap. 2.2. 1.2.3 Erhaltung der Bewegungsgröße Nach dem Newton’schen Grundgesetz der Mechanik ist die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße (Impuls ρQc) einer Masse gleich der vektoriellen Summe aller an der Masse angreifenden Volumen- und Oberflächenkräfte. Solche Kräfte sind die Druckkräfte p1A1 und p2A2 an den Rändern des Kontrollvolumens, Druckkräfte an festen Wänden Fw, die Schwerkraft als Volumenkraft und Reibungskräfte infolge Wandschubspannungen Fτ. Betrachtet man ein Kontrollvolumen gemäß Abb. 1.2, so läßt sich der Impulssatz für stationäre, inkompressible Strömungen wie folgt schreiben: 2

2

(p1 + ρ c1 ) A1 n1 + (p2 + ρ c2 ) A2 n2 = Fvol + Fw + Fτ

(1.9)

1.2 Erhaltungssätze

5

n1 und n2 sind Einheitsvektoren, die normal zu den Flächen A1 und A2 nach außen gerichtet sind. Schreibt man den Volumenstrom in der Impulsgleichung explizit an, wird aus Gl.(1.9): (1.10)

p1 A1 n1 + ρ Q c1 n1 + p2 A2 n2 + ρ Q c2 n2 = Fvol + Fw + Fτ

Bei der Anwendung des Impulssatzes ist folgendes zu beachten: a) die Gleichung ist gültig für stationäre inkompressible Strömung mit gleichförmigen Geschwindigkeits- und Druckverteilungen an den Flächen A1 und A2; b) A1 und A2 müssen senkrecht zu den Geschwindigkeitsvektoren stehen; c) die Vorzeichen der nach außen gerichteten Normalvektoren vom Betrag eins müssen sorgfältig behandelt werden: c1 = - c1 n1 und c2 = c2 n2; d) alle Terme sind Vektoren und müssen nach den Regeln der Vektorrechnung addiert werden; e) oft kommt es auf die zweckmäßige Wahl des Kontrollvolumens an, die so erfolgen muß, daß man Drücke und Geschwindigkeiten an den Kontrollflächen angeben kann und daß man keine unbestimmbaren Schnittkräfte erzeugt. Eine plötzliche Kanalerweiterung nach Abb. 1.3 („Carnot-Stoß“) sei als Beispiel für die Anwendung des Impulssatzes und der Bernoulli’schen Gleichung behandelt. Kontrollfläche 1 wird unmittelbar hinter den Flächensprung gelegt; hier wirkt der Druck p1 über den gesamten Querschnitt A2, weil im Totwasser der gleiche Druck wie im Strahl herrscht. Kontrollfläche 2 wird gedanklich soweit stromab gelegt, daß die Strömung wieder ausgeglichen ist. Senkrecht zur Kanalwand wirken keine Kräfte: Fw = 0. Vernachlässigt man die Schwerkraft (Fvol = 0) sowie Schubspannungen längs der Rohrwand Fτ, die im Totwassergebiet nicht übertragen werden, ergibt sich gemäß Gl. (1.10) unmittelbar der Druckrückgewinn: aus p2 A2 + ρ Q c2 – p1 A2 - ρ Q c1 = 0 folgt: p 2 - p1 = c p

ρ 2 c1 2

mit c p = 2

A1 A2

§ A1 ¨1 ¨ A 2 ©

· ¸ ¸ ¹

(1.11)

Aus Gl. (1.7) kann sodann mit Gl. (1.11) der Druckverlust berechnet werden: Δp v =

ρ ρ (c1 − c 2 ) 2 = ζ1 c12 2 2

§ A · mit ζ1 = ¨¨1 - 1 ¸¸ © A2 ¹

2

(1.12)

Nach [1.3] erreicht der gemessene Druckrückgewinn etwa 95 % der theoretischen Werte gemäß Gl. (1.11). a)

b)

c) 1

n2

n1 D1 A1

c1

p1

D2 A2

c2

A1=Ae

c2

D1

p2 1

1

a

2

2

Abb. 1.3. Plötzliche Erweiterung. a beidseitig; b Blende; c einseitige Erweiterung

2

D 2 A2

6

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

Der Impulsaustausch benötigt stromabwärts der Erweiterung eine Kanallänge von: § D · L ≈ a ¨¨1 - 1 ¸¸ D2 © D2 ¹

(1.12a)

Für eine beidseitige Erweiterung nach Abb. 1.3a oder b beträgt a = 10, für eine einseitige Erweiterung nach Abb. 1.3c ist a = 20 zu setzen. Beide Zahlen entsprechen einem Erweiterungswinkel von knapp 3°, der das Totwasser „begrenzt“ (diese Zusammenhänge wurden aus [1.3] abgeleitet). Die Gleichungen (1.11) und (1.12) können auch für Blenden oder andere Fälle mit Strahleinschnürung verwendet werden, wenn man für A1 den eingeschnürten Querschnitt Ae einsetzt, wie in Abb. 1.3b angedeutet. Der eingeschnürte Querschnitt berechnet sich aus Ae = μ A1; der Einschnürungsbeiwert für scharfkantige Blenden beträgt etwa μ = 0,61, wenn A1 << A2 ist. Drallsatz: Eine weitere Folge der dynamischen Grundgleichung ist die Erhaltung des Impulsmomentes („Drallsatz“), die für alle Strömungsmaschinen von grundlegender Bedeutung ist. Danach ist die Änderung des Drehimpulses ρ Q r cu („Drall“) gleich der Summe der angreifenden Momente. An einem Laufrad oder Leitrad einer Strömungsmaschine wirken Ein- und Austrittsdrall, ein äußeres Moment M und ggf. ein Reibmoment infolge Schubspannungen Mτ. Auf Zylinderflächen treten keine Druckkräfte in Umfangsrichtung auf. Analog zu Gl. (1.10) kann man daher schreiben: ρ Q (c2u r2 – c1u r1) = M + Mτ

(1.13)

Dies ist die Euler’sche Turbinengleichung. Hierin sind: c2u die Umfangskomponente der Strömungsgeschwindigkeit am Austritt aus dem Kontrollvolumen, r2 der Außenradius des Laufrades und c1u und r1 die entsprechenden Größen am Eintritt. Wie in Kap. 3.2 ausgeführt, ergibt sich aus Gl. (1.13) mit M ω = P unter Vernachlässigung von Mτ die spezifische Förderarbeit: Yth = c2u u2 – c1u u1

(1.14)

Setzt man Gl. (1.14) in Gl. (1.8) ein, ergibt sich die Bernoulli’sche Gleichung im Relativsystem (dabei wurde z1 = z2 und c2 = w2 - u2 + 2 u cu gesetzt; diese Beziehung folgt aus den Geschwindigkeitsdreiecken, Kap. 3.1): p1 +

ρ 2 ρ 2 ρ ρ w1 - u1 = p 2 + w 2 2 - u 2 2 + Δp v 2 2 2 2

(1.15)

Diese Überlegung zeigt, daß bei inkompressibler Strömung bei Erfüllung des Impulssatzes immer auch gleichzeitig der Energiesatz erfüllt ist. Wirken keine äußeren Momente – d.h. M und Mτ in Gl. (1.13) sind null – erfordert die Erhaltung des Impulsmomentes für eine kräftefreie Strömung cu r = konstant. Diese Beziehung hat fundamentale Bedeutung für alle Strömungen, die sich mit tangentialen Geschwindigkeitskomponenten in radialer Richtung bewegen; Beispiele sind die Strömung hinter dem Laufradaustritt, in radialen Einlaufkammern in Pumpensümpfen und ganz allgemein bei der Entstehung und Fortbewegung von Wirbeln.

1.3 Grenzschichten, Grenzschichtbeeinflussung

7

1.3 Grenzschichten, Grenzschichtbeeinflussung Bei technisch relevanten Strömungsvorgängen erfolgt die Strömung häufig relativ zu stillstehenden Wänden (z.B. Rohrleitungen, Kanäle) oder bewegten Strukturen (wie Tragflügel, Laufräder). Obwohl die Strömung in Wandnähe nur einen Bruchteil des Strömungsfeldes umfaßt, bestimmt sie weitgehend die Strömungswiderstände sowie die Geschwindigkeitsverteilung in der realen Strömung. Die klassische Strömungsmechanik beschreibt das Strömungsfeld durch eine Hauptströmung, die näherungsweise als reibungsfrei betrachtet wird und eine Grenzschichtströmung, die die Vorgänge in der Nähe von Strukturen erfassen soll. Dabei wird angenommen, daß das Fluid an der Wand die Relativgeschwindigkeit null hat („Haftbedingung“) und daß senkrecht zur Wand innerhalb der Grenzschicht keine Gradienten des statischen Druckes auftreten (∂p/∂y = 0). Die Kernströmung prägt somit der Grenzschicht den Druck auf und bestimmt die Druckverteilung im betrachteten Strömungsfeld. Alle Stromlinien haben den gleichen Druckgradienten ∂p/∂x in Strömungsrichtung, weisen aber unterschiedliche kinetische Energie auf. Aufgrund der Haftbedingung hat das Fluid an einer ruhenden Wand (z.B. Rohr oder Leitrad) die Absolutgeschwindigkeit null, während es an den Wänden eines rotierenden Laufrades die Relativgeschwindigkeit null aufweist. Demnach bewegt sich ein Fluidteilchen an den Wänden und Schaufeln eines Laufrades mit der Absolutgeschwindigkeit cu = u = ω r. Während in einer laminaren (geschichteten) Strömung − abgesehen von molekularer Diffusion − kein Austausch zwischen den einzelnen Stromlinien stattfindet, erfolgt in der turbulenten Strömung eine Mischbewegung senkrecht zur Strömungsrichtung, in der „Turbulenzballen“ endlicher Größe für den Quertransport sorgen. Dieser durch Turbulenz verursachte Impulsaustausch bestimmt weitgehend die Dicke der turbulenten Grenzschicht und die Geschwindigkeitsverteilung über dem Kanalquerschnitt. Durch erhöhte Turbulenz wird auf diese Weise den wandnahen Schichten Energie zugeführt, was eine geringere Grenzschichtdicke und ein fülligeres Geschwindigkeitsprofil ergibt. Die Geschwindigkeitsverteilung in einem Rohr vom Radius R bei ausgebildeter turbulenter Strömung ist näherungsweise durch folgende Formel gegeben: § r· = ¨1 - ¸ w max © R ¹ w

x

und

w max (y + 1) (2y + 1) = wm 2 y2

(1.16)

Hierin ist x = λR0,5 und y = λR-0,5. Diese Näherungsformel berücksichtigt die Einflüsse von Reynolds-Zahl und Rauheit, da der Rohrreibungsbeiwert λR von diesen beiden Größen abhängt. Wandrauheiten verringern die Geschwindigkeit in der Grenzschicht und führen auf diese Weise zu höheren Strömungsverlusten (Kap. 1.5.1). Die Grenzschichtdicke steigt mit der Rauheit; die Strömungsverluste wachsen und die Wandschubspannungen sinken mit der Grenzschichtdicke. In Abb. 1.4 ist die Entwicklung der Grenzschicht einer ebenen Strömung in einem Kanal schematisch dargestellt. Im Bereich A habe der Kanal einen konstanten

8

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

y 1

p+

p

∂p dx ∂x W∞

3 2 4

W∞

5

W x(y)

6

τ0

x

A

∂p ≤0 ∂x ∂w x =0 ∂x

B

C

∂p <0 ∂x ∂w x >0 ∂x

∂p >0 ∂x ∂w x <0 ∂x

Abb. 1.4. Grenzschichtentwicklung bei positiven und negativen Druckgradienten

Querschnitt d.h. w = konstant, dwx/dx = 0. Am Eintritt geht die Grenzschichtdicke gegen null, sie wächst mit zunehmender Länge des Strömungsweges an. Zu Beginn ist die Grenzschicht laminar. Sofern die Hauptströmung turbulent ist, wird auch die Grenzschicht nach einer gewissen Lauflänge turbulent, wie in Abb. 1.5 angedeutet. Dabei bleibt eine laminare Unterschicht erhalten. Der Übergang von der laminaren zur turbulenten Grenzschicht hängt ab von: Reynolds-Zahl, Wand, Turbulenz der Außenströmung, Druckgradient und Wandkrümmung.

Abb. 1.5. Grenzschichtumschlag laminar-turbulent

Wird die Strömung beschleunigt (Bereich B in Abb. 1.4), so ist dwx/dx > 0 und gemäß Gl. (1.7) dp/dx < 0. Die Grenzschichtdicke nimmt dabei ab: in beschleunigter Strömung erhält man entsprechend geringere Strömungsverluste. Bei dp/dx < 0 tritt die maximale Schubspannung an der Wand auf: man erhält mit zunehmender Beschleunigung fülligere Geschwindigkeitsprofile. Beschleunigende Einlaufkammern ergeben daher gleichmäßigere Zuströmungen zum Laufrad einer Pumpe. In verzögerter Strömung (Abb. 1.4, Bereich C) ist dwx/dx < 0 und entsprechend dp/dx > 0; die Grenzschichtdicke wächst dabei an, die Wandschubspannung sinkt; sie wird bei einer bestimmten Verzögerung null (Profil 5 in Abb. 1.4). An diesem Punkt löst die Strömung ab und führt weiter stromabwärts zu Rückströmungen in

1.3 Grenzschichten, Grenzschichtbeeinflussung

9

der Grenzschicht (Profil 6). Bei der Ablösung schnürt sich die Hauptströmung ein und beschleunigt sich entsprechend dem reduzierten Querschnitt. Stromabwärts vermischt sie sich durch Impulsaustausch mit dem Totwasser. Diese Vorgänge führen zu entsprechend hohen Strömungsverlusten, die sich in einem Abfall des statischen Druckes manifestieren (s. hierzu Kap. 1.6). Bei nicht-kreisförmigem Kanalquerschnitt ist die Geschwindigkeitsverteilung nicht rotationssymmetrisch: Analog zu Gl. (1.16) ist in einem quadratischen Kanal (Abb. 1.6) im Schnitt durch eine Diagonale ein anderes Geschwindigkeitsprofil zu erwarten als in einem Achsenschnitt parallel zu einer Wand. Folglich ändern sich die Wandschubspannungen über dem Kanalumfang. In der Diagonalen sind die Schubspannungen am niedrigsten, im Achsenschnitt senkrecht zur Wand am größten. Da der statische Druck (bei Strömung auf geraden Bahnen) über dem Querschnitt konstant ist, kann die Gleichung Δp = τ U Δ L = ρ c f

w2 U ΔL 2

(1.17)

nur erfüllt sein, wenn Fluid durch Ausgleichsströmungen senkrecht zur Kanalachse von Orten mit niedriger Schubspannung zu solchen mit höherer Schubspannung transportiert wird. Solche Sekundärströmungen treten z.B. in 3- oder 4-eckigen Kanälen (Abb. 1.6) und somit auch in Lauf- oder Leitradkanälen von Pumpen auf. In den Ecken von Kanälen, zwischen Schaufeln und Schaufelträger, oder zwischen Pfeiler und Grundplatte entstehen Wirbel („Eckenwirbel“), deren Wirkung eindrücklich zu beobachten ist, wenn abrasive Partikel in einer Strömung zu Erosion führen. Auch bei Kavitation (Kap. 6) können solche Eckenwirbel eine Rolle spielen, weil der Druck im Wirbelkern gegenüber dem Druck in der Hauptströmung gemäß Kap. 1.4.2 abgesenkt wird. Die Geschwindigkeitskomponenten der Sekundärströmung betragen etwa 1 bis 2 % der Geschwindigkeit in der Kanalachse, [1.2]. Durch Ausrunden der Ecken können die Verluste etwas verringert werden. a

B

b

w A

A τa > τb A-A

B

B–B

Abb. 1.6. Sekundärströmung im quadratischen Kanal a) Querschnitt, b) Geschwindigkeitsverteilung in Schnitt A-A und B-B (Diagonale)

Es gibt eine Reihe von Methoden zur Grenzschichtbeeinflussung, die darauf abzielen, den Strömungswiderstand zu verringern und den Punkt der Strömungsablösung zu verschieben: so kann man durch Grenzschichtabsaugung den Ablöse-

10

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

punkt in Diffusoren oder an Tragflügeln stromabwärts verschieben; durch Einblasen von Fluid kann der Grenzschicht Energie zugeführt oder eine Ablösung erzwungen werden; mittels Grenzschichtzäunen kann die Strömungsrichtung in der Grenzschicht verändert werden, um z.B. die Entstehung von Wirbelzöpfen zu verhindern oder der Grenzschichtströmung die gleiche Umlenkung wie der Hauptströmung aufzuprägen. Durch sehr feine Längsrillen läßt sich die Wirbelstruktur in der Grenzschicht so beeinflussen, daß der Strömungswiderstand um einige Prozent verringert wird. Auch die Beimischung von reibungsmindernden Agenzien wirkt über eine Reduktion der Grenzschichtdicke. Turbulenz- und Drallerzeuger können ebenfalls eingesetzt werden, um den wandnahen Schichten durch Impulsaustausch Energie zuzuführen und so die Grenzschichtdicke und damit Verluste sowie die Tendenz zur Ablösung zu vermindern. In Pumpen herrschen im wesentlichen dreidimensionale Grenzschichten in verzögerter Strömung vor, die im Laufrad zusätzlich den rotationsbedingten Feldkräften unterliegen. Diese komplexen Verhältnisse sind einer analytischen Behandlung nicht zugänglich. Will man dennoch die Größe der Grenzschichten abschätzen, kann man die Verhältnisse an einer ebenen Platte ohne Druckgradienten für die Beurteilung heranziehen. Hierzu sei die durch Gl. (1.18) definierte Verdrängungsdicke δ* verwendet: δ§ w · δ * ≡ ³ ¨¨1 − x ¸¸dy w∞ ¹ 0©

(1.18)

Die Integration erfolgt bis zur Grenzschichtdicke δ, die dadurch definiert ist, daß die örtliche Geschwindigkeit 99 % der mittleren Geschwindigkeit der Kernströmung erreicht. Bei laminarer bzw. turbulenter Strömung über eine hydraulisch glatte Platte ergibt sich die Verdrängungsdicke aus: δ *lam =

1,72 x Re x

δ *turb =

0,0174 x

mit : Re x =

Re x 0,139

wx x ν

(1.19 a, b c)

x ist die Länge des Strömungsweges von der Plattenvorderkante aus gerechnet. Der Umschlag von der laminaren in die turbulente Grenzschicht erfolgt je nach Vorturbulenz und Rauheit im Bereich von 2*104 < Rex < 2*106, s. a. Gl. (1.33b). Diese Formeln zeigen, daß die Grenzschichtdicke von der Eintrittskante bei x = 0 mit der Lauflänge der Strömung und der Zähigkeit des Fluids wächst. Auch für den Einlauf in Kanäle und Rohre können obige Formeln verwendet werden, solange die Grenzschichtdicke wesentlich kleiner als der halbe hydraulische Durchmesser des Kanals ist, so daß sich die Grenzschichten der gegenüberliegenden Wände noch nicht merklich beeinflussen. Nimmt man z.B. an, dies sei dann der Fall, wenn δ* < ¼ Dh ist, so kann mit Hilfe von Gl. (1.19) die Einlauflänge geschätzt werden, innerhalb welcher Grenzschichtbetrachtungen mittels obiger Gleichungen noch sinnvoll sind. Für Rohre läßt sich die Einlauflänge nach Gl. (1.19d) abschätzen, [1.5] (in laminarer Strömung ist die Le viel größer als in turbulenter): Le = 14,2 log Re − 46 Dh

4

gültig für Re > 10

mit : Re =

c Dh ν

(1.19d)

1.4 Strömung auf gekrümmten Bahnen

11

1.4 Strömung auf gekrümmten Bahnen 1.4.1 Kräftegleichgewicht Gemäß dem Newton’schen Trägheitsprinzip verharrt ein Körper in gleichförmiger, geradliniger Bewegung (oder in Ruhe), wenn er nicht durch Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern. Um einen Körper oder ein Fluidteilchen auf gekrümmter Bahn zu bewegen, muß demzufolge eine Kraft auf den Körper einwirken. Man betrachte hierzu einen Massenpunkt m auf einer rotierenden Scheibe, der durch eine Feder gemäß Abb. 1.7 gehalten wird und sich in einer radialen Führung bewegen kann. Rotiert die Scheibe mit der Winkelgeschwindigkeit ω, spannt sich die Feder dergestalt, daß sich ein Radius rg einstellt, bei dem die Federkraft K Δr gleich der Zentrifugalkraft m ω2 rg ist. Die Federkraft, die den Massenpunkt zwingt, sich auf kreisförmiger Bahn zu bewegen, ist radial einwärts gerichtet; man nennt sie daher Zentripetalkraft. Ihr entgegen wirkt die Massenkraft m ω2 rg (actio gleich reactio), die man als Zentrifugalkraft bezeichnet. (Diese Zusammenhänge kann man sich auch leicht veranschaulichen, indem man einen Körper an einer Schnur von Hand kreisen läßt.) m ω2rg

K Δr

Abb. 1.7. Bewegung eines Massenpunktes auf gekrümmter Bahn

Nun zur weniger anschaulichen Bewegung eines Fluidteilchens auf einer 3dimensional gekrümmten, beliebigen Stromlinie: an jedem Ort und zu jedem Zeitpunkt läßt sich ein Bahnelement ds in Richtung des örtlichen Strömungsvektors so wählen, daß durch den momentanen Krümmungsradius r und das Bahnelement ds eine Ebene gemäß Abb. 1.8 aufgespannt wird. Auf ein Fluidelement der Masse dm wirken Kräfte in Richtung der Strömung und senkrecht zur Stromlinie, für deren Berechnung das Newton’sche Gesetz F = m dc/dt = 0 die Ausgangsbasis bildet. Betrachtet seien zunächst die Kräfte in Bewegungsrichtung. Da die Geschwindigkeit c(t, s) eine Funktion der Zeit und des Ortes ist, ist die Geschwindigkeitsänderung: dc =

∂c ∂c dt + ds ∂t ∂s

(1.20)

12

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen z

Stromlinie S s

∂p · § dn¸ ¨p − © ∂n ¹

∂p · § ds¸ ¨p + © ∂s ¹

n

(c + dc) ds

dn

p,c

r

momentaner Krümmungsmittelpunkt

Abb. 1.8. Kräftegleichgewicht an einem Fluidelement

Hieraus ergibt sich die Beschleunigung („substantielle“ Beschleunigung) unter Beachtung von ds/dt = c zu: dc ∂c ∂c ds ∂c ∂c = + = +c dt ∂t ∂s dt ∂t ∂s

(1.21)

Auf das Fluidelement wirken die Druckkräfte gemäß Abb. 1.8 sowie die Schwerkraft dm g ∂z/∂s; aus Gl. (1.21) folgt dann: ∂c ∂c 1 ∂p ∂z +c + +g =0 ∂t ∂s ρ ∂s ∂s

(1.22)

Die Integration von Gl. (1.22) liefert die Bernoulli’sche Gleichung (1.7) ohne Verlustglied. Senkrecht zur Stromlinie kann man für cn(s, t) analog zum obigen Vorgehen ansetzen: dc n ∂c n ∂c n ds = + dt ∂t ∂s dt

(1.23)

Mit ds/dt = c und ∂cn/∂s = c/r ergibt sich die Beschleunigung normal zur Stromlinie: dc n ∂c n c 2 = + dt ∂t r

(1.24)

und schließlich das Kräftegleichgewicht senkrecht zur Stromlinie: ∂c n c 2 ∂z 1 ∂p + +g + =0 ∂t ∂n ρ ∂n r

(1.25)

Für stationäre Strömung bei vernachlässigbarem Einfluß der Schwerkraft wird mit dn = - dr:

1.4 Strömung auf gekrümmten Bahnen

c2 dp =ρ dr r

13

(1.26)

Diese Gleichungen, die uneingeschränkt für verlustbehaftete Strömungen gelten, lehren, daß eine Strömung auf gekrümmter Bahn immer mit Druckgradienten senkrecht zur Strömungsrichtung gekoppelt ist, dergestalt daß der Druck von außen nach innen in Richtung auf den momentanen Krümmungsmittelpunkt der Stromlinie abnimmt. Diese Druckdifferenz liefert die Zentripetalkraft, die eine Strömung auf gekrümmter Bahn überhaupt erst ermöglicht und hält der auf das Fluidelement wirkenden Massenkraft (Zentrifugalkraft) das Gleichgewicht. Umgekehrt folgt die ebenfalls grundlegende Erkenntnis, daß in einer geradlinigen Strömung keine Druckdifferenzen senkrecht zur Strömung existieren können. Demzufolge erfährt eine ebene Platte in einer Parallelströmung auch keine Kraft senkrecht zur Strömungsrichtung. Eine derartige Kraft auf einen umströmten Körper wird als hydrodynamischer Auftrieb bezeichnet; er kann nur entstehen, wenn senkrecht zur Strömungsrichtung Druckgradienten vorhanden sind, und dies ist nach obigen Ableitungen nur dann der Fall, wenn die Strömung um den Körper auf gekrümmten Bahnen verläuft. Man betrachte hierzu einen Tragflügel nach Abb. 1.9 in einem Kontrollraum, der so groß gedacht sei, daß an seinen Berandungen überall der gleiche Atmosphärendruck p0 herrscht. Zur Verdeutlichung der Überlegungen sei die Unterseite des Tragflügels im wesentlichen flach und parallel zur Anströmrichtung w0, während die Oberseite des Flügels stark gewölbt sei. Unter dem so gestalteten Tragflügel ist eine wenig gestörte Parallelströmung anzunehmen (mit Ausnahme der Vorderkante). Oberhalb des Flügels wird die Strömung infolge der Verdrängerwirkung beschleunigt, wodurch nach Gl. (1.7) der statische Druck örtlich von p0 auf p absinkt. Die Differenz zwischen p und p0 kann nur aufrechterhalten werden, weil die Stromlinien entsprechend stark gekrümmt sind, s. hierzu auch [B.27]. Dies bedeutet, daß sich die möglichen Druckdifferenzen so einstellen, daß Gl. (1.25) und (1.22) erfüllt sind, wobei in letzterer noch ein Reibungsglied hinzukommt. Das Integral der Druckverteilung über die Ober- und Unterseite des Flügels liefert den hydrodynamischen Auftrieb, den der Flügel erfährt. Beim gewölbten Tragflügel nach Abb. 1.10 ergibt sich entsprechend Gl. (1.26) unterhalb des Flügels pDS > p0, während sich auf der Saugseite wiederum pSS < p0 einstellt. Diese Überlegungen gelten selbstverständlich nicht nur für die speziellen Formen der in Abb. 1.9 dargestellten Tragflügel, sondern ganz allgemein (ebene, angestellte Platte und alle möglichen Formen von Flügeln oder Schaufeln): die Krümmung der Stromlinien erzeugt Druckgradienten senkrecht zur Hauptströmung, wodurch hydrodynamischer Auftrieb erzeugt wird. Gl. (1.25) hat somit fundamentale Bedeutung für das Verständnis von der Entstehung von Strömungskräften an Tragflügeln ebenso wie an den Schaufeln von Strömungsmaschinen. Formal wird der hydrodynamische Auftrieb häufig als Überlagerung einer Zirkulations- mit einer Parallelströmung nach dem Satz von Kutta-Joukowsky beschrieben, wobei von der Vorstellung reibungsfreier Strömung ausgegangen wird. Für die mathematische Behandlung mag dieser Ansatz dienlich sein; er ist aber physikalisch wenig anschaulich, da diese Zirkulation in Realität nicht meßbar ist.

14

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen p0

w0 p0

w0 p0

p0

Abb. 1.9. Profilumströmung pSS < p0

pDS > p0

RSS

RDS

Abb. 1.10. Gewölbter Tragflügel

Im Laufrad einer Strömungsmaschine verläuft die Absolutströmung grundsätzlich auf gekrümmten Bahnen, deren Form durch die Kinematik der Strömung um die rotierende Schaufel bestimmt wird. Dies ist auch bei einem radialen Schaufelstern mit vielen engstehenden Schaufeln der Fall. Die Druckverteilung im Laufrad stellt sich dabei im Prinzip nach Gl. (1.25) ein. Diese Zusammenhänge erklären auch, warum der Druck von innen nach außen im Laufrad steigt, warum das Fluid in einer Pumpe vom niedrigeren zum höheren Druck strömt, und warum der Druck ansteigt, obwohl die Absolutströmung im Laufrad beschleunigt wird. 1.4.2 Erzwungene und freie Wirbel Erzwungene Wirbel: Man betrachte eine Bewegung auf konzentrischen Kreisbahnen, wie sie entsteht, wenn sich ein fluidgefüllter, zylindrischer Behälter um seine Achse dreht. Das Fluid rotiert dabei im stationären Zustand wie ein fester Körper mit cu = u = ω r; somit ergibt die Integration von Gl. (1.26) die Druckverteilung im Behälter zu: p − p0 =

§ r2 · ρ 2 2 ρ ω (r − r0 2 ) = c u,0 2 ¨ − 1¸ 2 ¨ ¸ 2 2 © r0 ¹

(1.27)

Im Relativsystem (vom mitrotierenden Beobachter gesehen) liegt hier keine Strömung vor, das Fluid ist in Ruhe. Im Absolutsystem handelt es sich um eine dre-

1.4 Strömung auf gekrümmten Bahnen

15

hungsbehaftete Strömung, die als erzwungener Wirbel bezeichnet wird. Im nichtdurchströmten Radseitenraum zwischen Laufrad und Gehäuse bildet sich z.B. ein erzwungener Wirbel nach Gl. (1.27) aus, s. Kap. 9.1. Freie Wirbel: Erfolgt die Strömung hingegen nach Drallsatz cu r = cu,0 r0 = konstant, so ergibt sich nach Einsetzen dieser Beziehung in Gl. (1.26) und Integration die Druckverteilung zu: p − p0 =

§ r 2· ρ cu,02 ¨1 − 02 ¸ ¨ 2 r ¸¹ ©

(1.28)

Der Druck nimmt in diesem Fall von innen nach außen weniger stark zu als nach Gl. (1.27). Die Strömung ist drehungsfrei und wird als freier Wirbel oder Potentialwirbel bezeichnet. Wirbelzöpfe: Wir betrachten einen Wirbel in einem Tank, dessen Abmessungen groß im Vergleich zu den Abmessungen des Wirbels seien. An einem belieben Radius ro des Wirbels messen wir die Geschwindigkeit cu,o, und es herrsche dort der Druck po. In einem ausgedehnten Fluid handelt es sich dann meist um einen freien Wirbel. Gleichung (1.28) würde im Wirbelzentrum beim Radius r = 0 eine unendlich große Druckabsenkung liefern. Da das physikalisch nicht möglich ist, stellt sich im Wirbelinnern ein erzwungener Wirbel mit ω = konstant ein. In einem realen Fluid besteht ein Wirbel somit aus einem Kern, in dem eine erzwungene Rotation stattfindet, und einer Außenströmung, die den Gesetzen des freien Wirbels folgt. Dieser kombinierte Wirbel wird als „Rankine-Wirbel“ bezeichnet. Das Modell des Rankine-Wirbels beschreibt annährend die Strömungsverhältnisse in einem Tornado [1.5] oder in Wirbelzöpfen, die in Pumpeneinläufen zu Problemen führen können (Wirbelzöpfe werden in Kap. 11.7.3 ausführlich behandelt). 1

g Δ h/c u,k 2 und c u /c u,k

Fluidspiegel delta h Geschwindigkeit cu 0.5

0

Kern

-0.5

Aussenströmung

-1 0

1

2

Abb. 1.11. Geschwindigkeits- und Höhenprofil im Rankine-Wirbel

3

r/rk

4

16

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

Tafel 1.1 Rankine-Wirbel Bereich

Wirbelkern mit Radius rk

Außenströmung

erzwungener Wirbel

freier Wirbel

0 < r < rk

Gl.

r > rk

r rk

Γ r = c u ,k k 2πr r

Geschwindigkeitsverteilung

c u = ω r = c u ,k

Zirkulation

Γ = 2 π r cu = 2 π r 2 ω

Γ = 2 π rk c u , k

1.1.2

Wirbelstärke Ω = rot cu

Ω=2ω

Ω=0

1.1.3

Druckverteilung

p − p0 =

Spiegelabsenkung Gesamte Spiegelabsenkung

2 g Δh c u, k 2

mit

cu =

ω = cu,k/rk

· § r2 ρ 2 2 ρ ω (r − rk 2 ) = c u,k 2 ¨ − 1¸ ¸ ¨r 2 2 2 ¹ © k

2 g Δh

= - 1,0

theoretisch:

p − p0 =

c u, k 2

2 g Δh c u, k 2

= 2,0

In Realität:

1.1.1

§ ρ r 2· c u, k 2 ¨1 − k ¸ ¨ 2 r 2 ¸¹ ©

1.1.4

für r → ∞

1.1.5

= 0,6 bis 0.72

1.1.6

= 1,0

2 g Δh c u, k 2

Die Formeln für den Rankine-Wirbel sind in Tafel 1.1 zusammengestellt. Dabei bedeutet rk den Kernradius, der die Grenze zwischen erzwungenem und freiem Wirbel definiert. Abbildung 1.11 zeigt die Auswertung dieser Formeln: der untere Teil dieses Bildes stellt die Fluidspiegelabsenkung in einem Wirbel dar, wie man sie bei der Strömung mit freier Oberfläche in einem Becken oder Fluß beobachten kann; der obere Teil zeigt die Geschwindigkeitsverteilung. Im Wirbelkern und in der Außenströmung wird der Druck (oder Fluidspiegel) nach Tafel 1.1 um den gleichen Betrag abgesenkt. Die Geschwindigkeits- und Druck- bzw. Niveauverläufe haben theoretischen Charakter. Zähigkeitseffekte in realen Strömungen geben beim Übergang von der Kern- zur Außenströmung flachere Geschwindigkeitsgradienten. Auch die Spiegelabsenkung beträgt nur etwa 30 bis 35 % des theoretischen Wertes, also Δh = (0,3 bis 0,35) cu,k2/g, [11.15]. Abbildung 1.11 ist - wegen der dimensionslosen Darstellung – allgemeingültig. 1.4.3 Strömung in gekrümmten Kanälen In einem gekrümmten (geschlossenen oder offenen) Kanal nimmt der Druck nach Gl. (1.26) von außen nach innen in Richtung auf den Krümmungsmittelpunkt ab. Dieser Druckgradient erteilt dem Fluid die notwendige Zentripetalbeschleunigung, die eine Bewegung auf gekrümmter Bahn ermöglicht. Da in Wandnähe − in der Grenzschicht − die Strömungsgeschwindigkeit kleiner als in Kanalmitte ist, und weil der Druckgradient senkrecht zu den Stromlinien durch die Hauptströmung aufgeprägt wird, muß die Strömung in der Grenzschicht auf engerem Radius verlaufen als die Hauptströmung, damit sich das Gleichgewicht nach Gl. (1.26) ein-

1.4 Strömung auf gekrümmten Bahnen

17

stellen kann. Die Grenzschichtströmung wird daher nach innen abgelenkt, wie in Abb. 1.12a angedeutet. In Erfüllung der Kontinuitätsbedingung wird Fluid in Kanalmitte nach außen transportiert, so daß sich die in Abb. 1.12b skizzierte Sekundärströmung einstellt. Sie erscheint im Schnitt durch den Kanal als Doppelwirbel, der sich der Hauptströmung zu einer spiralförmigen Strömung überlagert. Bemerkenswert ist wiederum, daß die Hauptströmung gegen einen positiven Druckgradienten nach außen abgelenkt wird. Die Entstehung der Sekundärströmung kann auch wie folgt beschrieben werden: die Fluidteilchen erfahren in Kanalmitte wegen ihrer größeren Geschwindigkeit eine größere Zentrifugalkraft als langsamer strömende Teilchen in Wandnähe und werden somit nach außen abgelenkt; aus Kontinuitätsgründen fließt dann Fluid in der Grenzschicht nach innen zurück. Da die Ausbildung der Sekundärströmung eine gewisse Wegstrecke benötigt, bildet sich im Eintrittsbereich des Krümmers zunächst eine Geschwindigkeitsverteilung ähnlich Drallsatz nach cu r = konstant mit dem Maximum nahe der inneren Stromlinie aus; am Krümmeraustritt liegt dann das Geschwindigkeitsmaximum infolge der Sekundärströmung nahe der äußeren Stromlinie, Abb. 1.12c. Bei scharfen Krümmern tritt im Eintrittsbereich eine Ablösung an der äußeren Stromlinie auf, weil das Fluid gegen einen positiven Druckgradient strömen muß (pa > p1 nach Gl. (1.26)). Ebenso tritt an der inneren Stromlinie eine Ablösung im Austrittsbereich auf, weil auch hier das Fluid gegen einen positiven Druckgradienten strömt (pi < p2), s. Abb. 1.12c. Der Einfluß des Krümmers macht sich in der Druck- und Geschwindigkeitsverteilung bereits bei etwa L = 1 D stromaufwärts bemerkbar. Da eine Drallströmung meist recht stabil ist, findet man ausgeglichene Druck- und Geschwindigkeitsverteilungen erst nach einer Länge von 50 bis 70 Rohrdurchmessern wieder, was bei Experimenten entsprechend zu berücksichtigen ist. a

b

pa

c

p1 pa

p2

c p2 cg

pi pi

r

p2 p1

rg

cg < c

p1

rg < r 2

2

cg dp c =ρ =ρ dr r rg

rg r

§ cg · = ¨¨ ¸¸ © c¹

2

Abb. 1.12. Krümmerströmung: a zur Entstehung der Sekundärströmung (Index g entspricht der Grenzschicht); b Sekundärströmung; c Druck- und Geschwindigkeitsverteilungen

18

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

Die Sekundärströmung hat für ruhende wie rotierende, gekrümmte Kanäle (Laufräder) einen bedeutenden Einfluß auf die Geschwindigkeitsverteilung. Die besprochenen Strömungsmechanismen sind wirksam in allen gekrümmten Kanälen, wobei die Form des Kanalquerschnittes einen zusätzlichen Einfluß ausüben dürfte. Ein anschauliches Beispiel für den häufig dominierenden Einfluß der Sekundärströmung ist an Bächen und Flüssen zu beobachten: Sand wird an der Krümmungsinnenseite abgelagert und an der Außenseite wegerodiert, wodurch die Mäander entstehen. (Eine oberflächliche Betrachtung ließe Sandablagerungen infolge Zentrifugalkräften an der äußeren Stromlinie erwarten.) Die Sekundärwirbel sind instationär: sie ändern ihre Form und Größe als Funktion der Zeit, s. Kap. 10.4. Für Re = c D/ν > 5.105 kann die Druckdifferenz zwischen äußerer und innerer Stromlinie direkt aus Gl. (1.26) berechnet werden, wenn man Δr = Ra - Ri = D einsetzt und Rm der Krümmungsradius der mittleren Stromlinie ist: p a − pi =

D ρ c2 Rm

D = Rohrdurchmesser

(1.29)

Bei einem Krümmer mit Rm/D = 2 ist die Druckdifferenz zwischen äußerer und innerer Stromlinie also gleich dem Staudruck. (Im Bereich 4000 < Re < 5.105 ist die nach Gl. (1.29) erhaltene Druckdifferenz mit dem Faktor (5×105/Re)0,17 zu multiplizieren.)

1.5 Strömungsverluste Energieverluste in einer Strömung entstehen durch Reibung und Ablösungen, die infolge der Vermischung abgelösten Fluids mit der gesunden Strömung besonders verlustreich sind. In der Praxis werden oft Angaben für die Druckverlustberechnung benötigt; Angaben für häufig vorkommende Fälle sind in Tafel 1.4 zusammengestellt, umfassende Sammlungen empirischer Verlustbeiwerte findet man in den Handbüchern [1.6], [1.5] und [1.2]. 1.5.1 Berechnung von Reibungsverlusten Als Reibungswiderstände sind die Energieverluste in einer Strömung zu bezeichnen, die durch nicht abgelöste Grenzschichten hervorgerufen werden. Die Geschwindigkeitsgradienten in der Grenzschicht erzeugen Schubspannungen nach: τ = ρ (ν + ν t )

dw dy

(1.30)

Während die kinematische Zähigkeit ν eine Stoffgröße ist, hängt die „Wirbelzähigkeit“ νt („eddy viscosity“, turbulente Zähigkeit) von Intensität und Struktur der Turbulenz ab. Bei laminarer Strömung ist νt = 0, bei turbulenter Strömung gilt dagegen meist νt >> ν. Da sich Gleichung (1.30) nicht mit einfachen Mitteln in der

1.5 Strömungsverluste

19

Praxis auswerten läßt, werden die Wandschubspannungen durch Reibungsbeiwerte cf dargestellt: τ0 = cf

ρ 2 w 2

(1.31)

Die Wandschubspannung bedeutet eine Reibungskraft zwischen Strömung und benetztem Wandelement dA von dFτ = τ0 dA und eine dissipierte Leistung von: 3

(1.32)

dPd = w dFτ = ½ ρ cf w dA

Die Reibungsbeiwerte cf muß man aus Versuchen (oder Grenzschichtrechnungen) gewinnen. Für Abschätzungen verwendet man häufig die Reibungsbeiwerte an ebenen Platten, die in Abhängigkeit der Reynolds-Zahl und der relativen Rauheit in Abb. 1.13 dargestellt sind, z.B. [1.5]; sie können für turbulente Strömungen auch im Bereich 105 < ReL < 108 und 0 < ε/L < 10-3 näherungsweise aus Gl. (1.33) ermittelt werden (L = Plattenlänge). cf =

0,136 ­ 12,5 ·½ § ε ®− log ¨ 0,2 L + Re ¸¾ sch L ¹¿ © ¯

2,15

mit

Re L =

wL ν

(1.33)

Für laminare Strömungen im Bereich 0.01 < Re < Recrit können die Reibungsbeiwerte nach Gl. (1.33a) berechnet werden, [1.15]: cf = cf ,lam =

2.65 Re L

0.875

−

2 1.328 + 8 Re L + 0.016 / Re L Re L

(1.33a)

Der Übergang von laminar zu turbulent erfolgt bei der kritischen Reynolds-Zahl Recrit gemäß Gl. (1.33b); er hängt vom Turbulenzgrad Tu und der Rauheit ab. Re crit =

3 × 106

gültig für Tu < 0,1

1 + 10 4 Tu1.7

(1.33b)

Gleichung (1.33), (1.33a) und Abb. 1.13 liefern den Gesamtwiderstandsbeiwert einer Platte der Länge L. Die örtlichen Widerstandsbeiwerte, die von der lokalen Grenzschichtdicke abhängen, sind etwa 10 bis 30 % kleiner (je nach ReL und L/ε). Die Widerstandskraft auf eine Seite einer Platte mit der Breite b beträgt Fw = ½ ρ w∞2 cf b L. In einem Rohr der Länge L mit konstantem Querschnitt führt das Integral von Gl. (1.32) über die Fläche auf A = π D L und man erhält die Verlustleistung zu: Pd = c f

ρ 3 w πDL 2

(1.34)

Zwischen dissipierter Leistung und Druckverlust gilt Pd = Δpv Q (Kap. 1.1.2). Mit Q = π/4 D2 w ergibt sich die bekannte Beziehung für Druckverluste in Rohren: Δp v = 4 c f

L ρ 2 L ρ 2 w = λR w D 2 D 2

(1.35)

20

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen L/ε

0,014

200 0,012

300 400

0,010 rau

0,008

600 ht urb u

cf

3

len

10 t

M

0,006

A

M glatt

0,004 lam in

0,002

turbu

lent

ar

0 5 10

3

4·10

3

4

10

3·10 5 10 6 10 ∞

A

6

10

2·10

10

ReL

7

10

4

8

Abb. 1.13. Gesamtwiderstandsbeiwert längsangeströmter Platten

Zwischen dem Rohrreibungsbeiwert und dem Schubspannungsbeiwert besteht somit die Beziehung λR = 4 cf, die sich auch aus dem Impulssatz Gl. (1.9) ergibt: er führt auf (π/4) D2 Δpv = π τ D L und mit Gl. (1.31) dann wieder auf Gl. (1.35). Reibungsbeiwerte für turbulente Strömung durch Rohre und Kanäle können aus Gl. (1.36) oder Tafel 1.6 ermittelt werden. λR =

0,31 ­° § ε 6,5 ·½° ¸¾ + ®log¨¨ 0,135 D h Re ¸¹°¿ ¯° ©

2

mit

Re =

w Dh ν

(1.36)

Gültigkeitsbereich: 4000 < Re < 108 und 0 < ε/Dh < 0,05. Gleichung (1.36) ist für Rohre mit Kreisquerschnitt (Dh = D) und Kanäle beliebigen Querschnitts mit Dh = 4 A/U verwendbar (U= benetzter Umfang des Kanals vom Querschnitt A). Sie gilt für ausgebildete Strömung, also lange Rohre mit L/Dh > 50. Für kurze Kanäle verwendet man besser die Reibungsbeiwerte der Platte nach Gl. (1.33) zusammen mit Gl. (1.34) oder (1.35). Gleichung (1.35) läßt sich nur für die Berechnung von Druckverlusten infolge Reibung an Kanalwänden verwenden, wobei man die über den Kanalquerschnitt gemittelte Geschwindigkeit einsetzt. Im allgemeinen Fall ist auf Gl. (1.32) zurückzugreifen; dies z.B., wenn der Energieverlust zu berechnen ist, den eine längsangeströmte Platte in einem Kanal verursacht, weil sich der durch die Platte verursachten Störung kein Volumenstrom zuordnen läßt. Die Reibungsbeiwerte für Rohre oder Platten gelten für Strömungen ohne Druckgradienten in Strömungsrichtung. Treten solche auf, so ist der Reibungsbeiwert cf zu modifizieren oder durch einen Dissipationsbeiwert cd zu ersetzen: in

1.5 Strömungsverluste

21

beschleunigter Strömung (dünnere Grenzschichten) gilt cd < cf, in verzögerter Strömung ist cd > cf (s.a. Tafel 3.8). 1.5.2 Rauheitseinfluß auf die Reibungsverluste Rauheiten erhöhen erfahrungsgemäß den Strömungswiderstand bei turbulenter Strömung. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn sie aus der laminaren Unterschicht herausragen. Bei laminarer Strömung hat die Rauheit keinen Einfluß auf den Widerstand, weil der Impulsaustausch quer zur Strömung fehlt. Befinden sich alle Rauheitserhebungen innerhalb der laminaren Unterschicht, gilt die Wand bei den vorliegenden Strömungsverhältnissen als „hydraulisch glatt“, was ein Minimum an Reibungsverlusten bedeutet. Mit zunehmender Reynolds-Zahl sinkt die Grenzschichtdicke und somit sinkt auch die zulässige Rauheit. Sind die Rauheitserhebungen wesentlich größer als die Dicke der laminaren Unterschicht, ist die Wand „hydraulisch rauh“: Wirbelablösungen an den Rauheitserhebungen bilden dabei einen Formwiderstand infolge Impulsaustausches mit der Hauptströmung, der im vollrauhen Gebiet unabhängig von der Reynolds-Zahl ist. Im hydraulisch rauhen Bereich gilt folglich das quadratische Widerstandsgesetz. Im Übergangsbereich zwischen hydraulisch glatt und rauh ragen nur die hohen Rauheitsspitzen aus der laminaren Unterschicht heraus und in den turbulenten Bereich hinein; sie erhöhen so den Strömungswiderstand, der nun von der Reynolds-Zahl und der Rauheit abhängt. Tabelle 1.1 gibt die Grenzrauheiten ε, welche die drei besprochenen Bereiche abgrenzen. Tabelle 1.1 Grenzrauheiten Hydraulisch glatt

ε <

100ν w

Übergangsbereich

100

ν ν < ε < 1000 w w

Hydraulisch rauh

ε > 1000

ν w

Die Grenzlinie für hydraulisch rauhe Strömung ergibt sich nach Tabelle 1.1 zu Re = 1000 L/ε; sie ist in Abb. 1.13 dargestellt. Tabelle 1.1 gilt näherungsweise für Platten, die Angaben können aber auch (mangels besserer Unterlagen) zur Beurteilung anderer durch- oder überströmter Bauteile herangezogen werden. Dabei geht es darum festzulegen, welcher Bearbeitungsaufwand zur Verlustminimierung sinnvoll ist. Wie obige Beziehungen zeigen, müssen die Oberflächen um so feiner bearbeitet werden, je höher die Strömungsgeschwindigkeit und je niedriger die kinematische Zähigkeit des Fluids ist. Auch ist die Bearbeitungsgüte am Eintritt wegen der dünneren Grenzschicht höher zu treiben als am Austritt einer Komponente. Da in Pumpen generell ein höherer Turbulenzgrad anzunehmen ist als bei längsangeströmten Platten, sind die Grenzrauheiten in Pumpen tendenziell kleiner als nach Tabelle 1.1 zu erwarten. Die durch die Rauheit bewirkte Widerstandserhöhung hängt ab von der Rauhtiefe und der Anzahl der Rauheitserhebungen pro Flächeneinheit bzw. deren Ab-

22

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

stand. Grundlegende Messungen von Reibungsbeiwerten an Platten und Rohren erfolgten an Versuchskörpern, deren Oberfläche mit Sandkörnern beklebt waren, um den Einfluß verschiedener Rauheiten auf den Strömungswiderstand zu ermitteln, s. z.B. [1.13]. Die Sandkörner wurden mittels Lack aufgeklebt und gegen Abwaschen mit einer weiteren Lackschicht überzogen. Dadurch ergab sich eine regelmäßige Oberflächenstruktur, deren Rauhtiefe εmax dem Korndurchmesser des Sandes entsprach, weil zwischen den einzelnen Sandkörnern Lücken vorhanden waren. Die so bestimmten Reibungsbeiwerte gelten daher für diese spezielle Oberflächenstruktur, die als „Sandrauheit“ ε (oft ks) bezeichnet und durch den Korndurchmesser ds beschrieben wird (ε ≡ ks = ds). Im Übergangsbereich zwischen hydraulisch glatt und hydraulisch rauh ergibt diese Art regelmäßiger Rauheit ein Minimum in der Kurve λR = (Re), das dadurch zustande kommt, daß die lack-überzogenen Sandkörner noch keinen wesentlichen Formwiderstand bewirken, wenn deren Kuppen nur wenig aus der laminaren Unterschicht herausragen. Während die Sandrauheit also eine gleichförmige Oberflächenstruktur aufweist, haben technische (d.h. geschliffene, gegossene oder mechanisch bearbeitete) Oberflächen eine unregelmäßige Rauheit, die man z.B. durch die maximale Rauhtiefe εmax („technische Rauheit“) kennzeichnen kann. Mit wachsender ReynoldsZahl nimmt die Grenzschichtdicke ab, und es ragen allmählich immer mehr Rauheitsspitzen durch die laminare Unterschicht. Bei solchen Oberflächen fallen die Reibungsbeiwerte (wie in Abb. 1.13 oder in Tafel 1.6) kontinuierlich vom hydraulisch glatten zum vollrauhen Gebiet, ohne das erwähnte Minimum in der Funktion λR = (Re) im Übergangsbereich aufzuweisen. Die Rauhtiefe εmax ergibt sich nach Abb. 1.14 aus den Einhüllenden aller Rauheitserhebungen und -einsenkungen. Da das Ausmessen der effektiven Rauheit

y

εmax x

Abb. 1.14. Zur Definition der maximalen Rauhtiefe εmax

technischer Oberflächen aufwendig ist, verwendet man in der Praxis häufig Oberflächen-Normale (z.B. „Rugotest“), mittels derer sich die Rauheit durch Tasten des Werkstückes und Vergleich mit Probeplatten ermitteln läßt. Die Rauheitsstufen werden durch die Klassen N1, N2, N3 usw. gekennzeichnet, wobei die Rauheit beim Sprung von einer Klasse zur nächsten um den Faktor 2 steigt. Die Rauheit wird dabei als arithmetische Mittenrauheit εa (entspricht CLA = center line average und AA = arithmetic average) gekennzeichnet, die durch: εa =

1L ³ y dx L0

(1.36a)

1.5 Strömungsverluste

23

definiert ist (s. Abb. 1.14). Zwischen der maximalen Rauhtiefe εmax und der arithmetischen Mittenrauheit εa besteht die Beziehung εmax = (5 bis 7) εa; im Mittel kann man also etwa annehmen: εmax = 6 εa, [1.12]. Ermittelt man aus einer Druckverlustmessung in einem Rohr mit gegebener Rauhtiefe εmax den Reibungsbeiwert λR und berechnet aus Gl. (1.36) die zugehörige äquivalente Sandrauheit ε, erhält man als Verhältnis εmax/ε einen „Äquivalenzfaktor“ ceq: ε c eq ≡ max ε

(1.36b)

Dividiert man die maximale Rauhtiefe einer gegebenen Oberflache durch den Äquivalenzfaktor, erhält man die äquivalente Sandrauheit, die auf denselben Reibungsbeiwert führt wie die Gl. (1.36) zugrunde liegenden Messungen. Der Äquivalenzfaktor hängt von der Struktur der Rauheit – also dem Bearbeitungsverfahren – und der Orientierung der Bearbeitungsriefen in Bezug auf die Strömungsrichtung ab und kann daher in weiten Grenzen variieren. Von besonderem Einfluß ist hierbei die Anzahl der Rauheitserhebungen pro Flächeneinheit, wie sich aus Abb. 1.15 ergibt. 10

[1.11] Kugeln [3.28] geschliffen [3.28] Sand [1.11] Kalotten [1.11] Kegel

ceq

8 6 4 2 0 0

5

10

15

Teilung/Höhe: t/εmax

Abb. 1.15. Äquivalenzfaktor als Funktion der Rauheitsdichte

Um den Reibungsbeiwert cf oder λR einer Komponente mit der Rauheit εa oder εmax zu bestimmen, berechnet man also zunächst die äquivalente Sandrauheit ε aus Gl. (1.36c): ε ε = max ceq

oder mit

εmax = 6 εa

ε =

6 εa ceq

(1.36c)

und geht mit diesem Wert in Gl. (1.33) bzw. Abb. 1.13 oder Gl. (1.36). In der Literatur finden sich verschiedene Angaben für ceq. Tabelle 1.2 gibt hierzu Anhaltspunkte, s.a. [1.12]. Tabelle 1.3 zeigt die Rauheiten εa der Oberflächen-Normalen und die sich mit Gl. (1.36c) ergebenden maximalen Rauheiten εmax sowie die äquivalente Sandrauheit ε (εa ist die obere Grenze der jeweiligen Rauheitsklasse; die Werte in Tabelle 1.3 sind gerundet).

24

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

Tabelle 1.2 Äquivalenzfaktoren ceq für die Rauheit

ceq

Riefen senkrecht zur Strömungsrichtung

2.6

Riefen parallel zur Strömungsrichtung

5

gezogenes Rohr

2 – 2.6

Farbanstrich

0.63

Die Diagramme für Widerstandsbeiwerte bei Sandrauheit und technischer Rauheit unterscheiden sich nur im Übergangsbereich glatt zu rauh, liefern also im vollrauhen Gebiet für gleiche Werte von ε/d identische Widerstandszahlen. In Gl. (1.33) u. (1.36) oder Tafel 1.6 ist die „technische Rauheit“ ε einzusetzen, die der äquivalenten Sandrauheit entspricht, also auf den gleichen Widerstandsbeiwert führt wie die äquivalente Sandrauheit; diese aus Versuchen stammenden Werte finden sich in der Literatur z.B. in [1.5, 1.6, 1.11], Beispiele in Tabelle 1.4. Tabelle 1.3 Rauheitsklassen Rauheitsklasse

Arithmetische Mittenrauheit

Maximale Rauhtiefe (Abb. 1.14)

Äquivalente Sandrauheit

εa (μm)

εmax (μm)

ε (μm)

N5

0,4

2,4

1

N6

0,8

4,8

2

N7

1,6

9,6

4

N8

3,2

19

8

N9

6,3

38

16

N10

12,5

75

32

N11

25

150

64

N12

50

300

128

N13

100

600

256

In der Bestimmung der maßgebenden Rauheit liegt eine der Hauptunsicherheiten bei der Berechnung der Reibungsverluste turbulenter Strömungen: schätzt man die Rauheit um den Faktor 2 falsch, beträgt die Unsicherheit der Verlustberechnung etwa 15 bis 35 %. Rauheitseinflüsse bei der Aufwertung von Pumpenwirkungsgraden werden in Kap. 3.10 behandelt. Der Strömungswiderstand kann durch regelmäßige, quer zur Strömung liegende Rauheiten infolge regelmäßiger Wirbelablösungen stark erhöht werden. Derartige Rauheiten können z.B. durch Magnetitablagerungen in Kesseln entstehen und einen markanten Anstieg des Druckverlustes erzeugen („Riffelrauheit“).

1.5 Strömungsverluste

Tabelle 1.4 Äquivalente Sandrauheiten ε Glas, Lackierung, Kunststoff, gezogene Metallrohre, polierte Flächen gezogene Stahlrohre, neu gezogene Stahlrohre, leicht angerostet Stahlrohre, stark angerostet oder verkrustet Gußeisen Betonrohre

25

ε (mm) 0,001 bis 0,002 0,02 bis 0,1 0,15 bis 1 1 bis 3 0,3 bis 1 1 bis 3

1.5.3 Verwirbelungsverluste Während statischer Druck verlustarm in kinetische Energie umgesetzt werden kann (beschleunigte Strömung), erfolgt der umgekehrte Prozeß, kinetische Energie in statischen Druck umzuwandeln, mit weitaus größeren Verlusten. Das liegt daran, daß in realen Strömungen die Geschwindigkeitsverteilungen meist ungleichförmig sind und bei einer Verzögerung weiter verzerrt werden. Dies führt zu Verlusten durch Impulsaustausch zwischen den Strombahnen, die man als Verwirbelungsverluste („Mischungsverluste“) oder Formverluste bezeichnen kann. Derartige Verluste entstehen z.B. in Strömungen durch gekrümmte Kanäle, Armaturen, Rohrverzweigungen, Diffusoren, aber auch in Laufrädern und Leiteinrichtungen von Strömungsmaschinen sowie bei der Umströmung von Körpern und Fahrzeugen. Wegen der komplizierten dreidimensionalen Strömungsvorgänge lassen sich derartige Verluste nicht streng vorausberechnen. Man muß entweder empirische Druckverlustbeiwerte zur Abschätzung heranziehen (s. z.B. Sammlungen in [1.6], [1.5] und [1.2]) oder numerische Methoden einsetzen. Tafel 1.4 gibt die Druckverlustbeiwerte einiger häufig verwendeter Komponenten. Strömungsablösungen und Sekundärströmungen erhöhen die Ungleichförmigkeit einer Strömung und damit die Energieverluste infolge Vermischung durch Impulsaustausch. Ablösungen und Rezirkulationen führen zu besonders großen Verlusten, weil die kinetische Energie im Totwasser gegen null geht, während die Hauptströmung − verstärkt durch die Querschnittsversperrung durch das Totwasser − eine hohe kinetische Energie aufweist. Um derartige Energieverluste zu minimieren, muß man die Ausdehnung einer Ablösezone möglichst klein halten. Ein Beispiel hierzu ist die Abrundung am Eintritt in ein Rohr, wodurch die Strahleinschnürung reduziert oder verhindert werden kann. Im Gegensatz zu den Reibungsverlusten, die − außer im vollrauhen Bereich − von der Reynolds-Zahl abhängen, zeigen Formverluste (Mischungsverluste) im turbulenten Gebiet oberhalb Re > 104 häufig keine merkliche Reynolds-Abhängigkeit. Ausnahmen bilden Strukturen, bei denen der Ort der Ablösung − und somit die Ausdehnung des Totwassergebietes − von der Reynolds-Zahl abhängen. Beispiele hierfür sind die Umströmung einer Kugel oder eines Zylinders. Bei stumpfen Körpern oder eindeutigen Ablösekanten erfolgt die Ablösung weitgehend unabhängig von der Reynolds-Zahl.

26

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

Verwirbelungsverluste infolge ungleichförmiger Geschwindigkeitsverteilungen bilden bei der Strömung in Pumpen die Hauptverlustquelle − besonders bei Bauarten mit hoher spezifischer Drehzahl; diese Verluste lassen sich kaum vorausberechnen. In Kanalströmungen enthält ein ungleichförmiges Geschwindigkeitsprofil immer eine höhere kinetische Energie als eine gleichförmige Verteilung (konstanter Volumenstrom und Querschnitt vorausgesetzt). Die Differenz an kinetischer Energie von ungleichförmigen und gleichförmigen Verteilungen kann nur zu einem Teil genutzt werden: beim Ausgleich der Geschwindigkeitsunterschiede stromabwärts der betrachteten Komponente, der durch Impulsaustausch quer zur Strömungsrichtung erfolgt, entstehen Verluste an kinetischer Energie (bei allen Mischvorgängen vergrößert sich die Entropie).

c 1 p1

dA

2 p2

A

Abb. 1.16. Ausgleich einer ungleichförmigen Geschwindigkeitsverteilung

Der Übergang einer ungleichförmigen Geschwindigkeitsverteilung in eine gleichförmige läßt sich mit Hilfe von Energie- und Impulssatz näherungsweise berechnen − s. hierzu auch die Berechnung einer plötzlichen Erweiterung nach Kap. 1.2.3, Gl. (1.11) und (1.12). Wir betrachten hierzu einen Kanal konstanten Querschnitts nach Abb. 1.16, an dessen Eintritt eine ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilung vorliegt. Der Kanal sei gerade, was bedeutet, daß der statische Druck p1 über dem Kanalquerschnitt konstant ist (s. Kap. 1.4.1). Nach einer Ausgleichsstrecke stelle sich im Kanal der Druck p2 und eine konstante Geschwindigkeit cav ein, die sich aus der Kontinuitätsgleichung (1.2) ergibt: dQ = c dA und cav = Q/A bzw. cav = ³ c dA/A. Reibungseffekte sind im folgenden nicht berücksichtigt (diese wären nach Gl. (1.32) bis (1.34) abzuschätzen). Der Impulssatz nach Gl. (1.10) liefert für die Kontrollflächen 1 und 2: p2 A + ρ Q cav - ³ p1 dA - ρ ³ c dQ = 0 Der Druckrückgewinn infolge Impulsaustauschs wird damit: 2 ­ § ½ p −p c · dA ° ° ¸ cp ≡ 2 1 = 2 ®³ ¨¨ − 1 ¾ ¸ A ρ 2 c av © ¹ ° °¿ cav ¯ 2

(1.37)

1.6 Diffusoren

27

Bezeichnen wir den Mischungsverlust mit Δpmix, erhält man aus dem Energiesatz Gl. (1.7): ³ (p1 + ½ ρ c2) dQ = (p2 + ½ ρ cav2 + Δpmix) Q. Der Verlustbeiwert wird dann mit Gl. (1.37): 3

ζ mix ≡

§ c · dA Δpmix ¸ = ³ ¨¨ − cp − 1 ¸ ρ 2 © cav ¹ A cav 2

(1.38)

Gleichung (1.37) und (1.38) lassen sich auch als Doppelintegrale über den Kanalquerschnitt für zweidimensionale Geschwindigkeitsverteilungen auswerten; man kann die Integrale ebenso durch Summenbildung ersetzen, wenn zwei (oder mehr) Teilströme der Anteile ΔA1/A und ΔA2/A mit jeweils konstanten Geschwindigkeiten c1 und c2 zusammengeführt werden.

1.6 Diffusoren Diffusoren dienen der Verzögerung einer Strömung und damit der Umwandlung von kinetischer Strömungsenergie in potentielle Energie (bzw. statischen Druck). Für den Pumpenbau stellen sie deshalb sehr wichtige Bauelemente dar. Man betrachte einen Diffusor nach Abb. 1.17, dessen Ein- und Austrittsquerschnitte mit 1 bzw. 2 bezeichnet seien. Dem Diffusor sei eine beliebige Komponente nachgeschaltet, deren Strömungsverluste in die Betrachtung einbezogen werden, weil häufig die Aufgabe darin besteht, das Gesamtsystem zwischen 1 und 3 zu optimieren. Die Bernoulli’sche Gleichung (1.7) wird zunächst für den eigentlichen Diffusor zwischen Querschnitt 1 und 2 angesetzt; löst man sie nach dem Anstieg des statischen Druckes im Diffusor auf und führt einen Druckverlustbeiwert ζ1-2 ein, ergibt sich: c 2 Δp v,1− 2 1 =1- ζ1- 2 =1- 2 ρ 2 ρ 2 2 2 A c c1 c1 1 R

p 2 − p1 2

(1.39)

2

Hierin ist AR = A2/A1 das Flächen- oder Verzögerungsverhältnis des Diffusors.

ϑ 1

h1 oder 2R1

L

Abb. 1.17. Diffusor

2

3

28

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

Der Druckrückgewinn des Diffusors wird meist durch einen dimensionslosen Koeffizienten cp gekennzeichnet: p − p1 1 =1- ζ1- 2 = c p id - ζ1- 2 cp ≡ 2 ρ 2 AR 2 c1

(1.40)

2

Dabei ist cp,id = 1 - 1/AR2 der Druckrückgewinn in einem verlustlosen Diffusor. Der Druckrückgewinn im realen Diffusor läßt sich wegen der unvermeidlichen Energieverluste, die hier durch Δpv = ½ρ ζ1-2 c12 erfaßt wurden, nicht theoretisch berechnen. Man muß auf Versuchsresultate zurückgreifen, wie sie in Abb. 1.18 für ebene und in Abb. 1.19 für konische Diffusoren dargestellt sind. Diese Abbildungen zeigen Kurvenscharen mit cp als Parameter, wobei das Flächenverhältnis auf der Ordinate und die Diffusorlänge auf der Abszisse aufgetragen sind. Die Kurven cp* geben das optimale Flächenverhältnis, wenn eine bestimmte Diffusorlänge vorgeschrieben wird, während cp** die optimale Länge für ein gegebenes Flächenverhältnis liefert. Diese Optima entsprechen dem maximalen Druckrückgewinn im Diffusor unter den gegebenen Bedingungen. Abbildung 1.18 und 1.19 gelten für Diffusoren mit gerader Achse. Der Druckrückgewinn in gekrümmten Diffusoren fällt geringer aus (Messungen in [1.18]). Ist ein bestimmtes Verzögerungsverhältnis vorgegeben, kann man aus Abb. 1.18 oder 1.19 die Diffusorlänge bestimmen, die für einen maximalen Druckrückgewinn auszuführen wäre. In der Praxis werden Diffusoren oft für eine vorgeschriebene Baulänge mit AR < 3 ausgelegt.

Abb. 1.18. Druckrückgewinn in ebenen Diffusoren (Grenzschichtversperrung am Eintritt 1,5%) [1.8]

1.6 Diffusoren

29

Abb. 1.19. Druckrückgewinn in konischen Diffusoren, [1.9]

Häufig besteht die Aufgabe darin, einen Diffusor zusammen mit einer nachfolgenden Komponente zu optimieren, für deren Druckverlust Gl. (1.41) angesetzt sei: Δp v,2−3 = ζ 2-3

ρ 2 c2 2

(1.41)

Für das System zwischen den Querschnitten 1 und 3 ergibt sich dann der Verlustbeiwert zu: ζ1-3 = 1 - c p -

1 AR 2

(1 - ζ 2-3 )

(1.42)

Wird die kinetische Energie am Diffusoraustritt voll als nutzbar eingesetzt, ist ζ2= 0 zu setzen; geht sie vollständig verloren, weil der Diffusor in einen großen Raum ausbläst, ist ζ2-3 = 1 und man erhält ζ1-3 = 1 - cp. Die Güte eines Diffusors wird auch manchmal durch den Umsetzungsgrad („Diffusorwirkungsgrad“) beschrieben, der durch Gl. (1.43) definiert wird. 3

ηD =

cp c p id

=

cp 1 - 12

AR

(1.43)

30

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

Wie in Kap. 1.3 besprochen (Abb. 1.4), verdickt sich die Grenzschicht mit zunehmender Lauflänge, wenn die Strömung gegen einen positiven Druckgradienten anläuft. Bei entsprechend großer Verzögerung kann die Strömung ablösen. Je nach Stärke der Verzögerung unterscheidet man vier Strömungszustände in Diffusoren, Abb. 1.20 nach [1.10] und [B.3]: 1. Unterhalb einer Grenzverzögerung, die durch Gl. (1.44) bzw. Kurve a-a bestimmt wird, liegt die Strömung an, Bereich A in Abb. 1.20. A

B

Anliegende Strömung

C

wechselnde Ablösung

D

einseitig abgelöst

beidseitig abgelöst

300 250

L

200 2ϑ [°]

h1

150

d

R1

2ϑ

A1

100

D

A2

Hysteresegebiet

80

d

60

b

50

c

c

C

b

40 a 30

B

20 15

b

A

10

b

8

starke Turbulenz in Zuströmung schwache Turbulenz in Zuströmung

6

a 1

2

3

5

L/R1 oder L/h1 oder L/ΔR1

Abb. 1.20. Strömungszustände in Diffusoren

10

20

30

50

1.6 Diffusoren

31

2. Überschreitet die Grenzschicht eine gewisse Dicke, ergeben sich lokale, intermittierende Ablösungen, Bereich B in Abb. 1.20. 3. Bei noch stärkerer Verzögerung löst die Strömung einseitig voll ab, Bereich C. 4. Bei noch größerer Kanalerweiterung erfolgt die Ablösung beidseitig, dergestalt, daß das Fluid wie ein Strahl durch den Diffusor schießt, Bereich D. ϑzul = 16,5°

R1 L

(1.44)

Der zulässige Erweiterungswinkel nach Gl. (1.44) gilt nur für günstige Zuströmbedingungen. Es ist wichtig zu erkennen, daß der zulässige Erweiterungswinkel eines Diffusors keineswegs eine universelle Konstante ist (wie noch häufig geäußert), sondern daß er entscheidend von der Länge des Diffusors und den Strömungsbedingungen am Diffusoreintritt abhängt: die Lauflänge der Strömung ist für die Grenzschichtentwicklung und damit für die Ablösung von großer Bedeutung. Daneben hängt die Diffusorströmung ebenfalls stark von den Zuströmbedingungen am Eintritt ab: Geschwindigkeitsverteilung, Grenzschichtdicke und Turbulenz bestimmen die Strömung im Diffusor. Je dünner die Grenzschicht und je höher der Turbulenzgrad am Eintritt, desto geringer sind Ablöseneigung und Verluste im Diffusor. Dicke Grenzschichten, wie sie in langen Rohrleitungen entstehen, oder ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilungen, wie sie z.B. durch einen vorgeschalteten Krümmer hervorgerufen werden, sind ungünstig für die Diffusorströmung und bedingen eine vorzeitige Ablösung. Dagegen kann sich eine drallbehaftete Strömung günstig auf das Diffusorverhalten auswirken, weil durch Zentrifugalkräfte der Impulsaustausch zwischen Hauptströmung und Grenzschicht gefördert wird.1 Auch eine instationäre Anströmung, wie sie im Leitrad einer Pumpe vorliegt, wirkt sich günstig aus auf die Grenzschichtentwicklung und damit auf den Druckrückgewinn. Dies liegt vermutlich daran, daß die instationäre Strömung den Turbulenzgrad erhöht: je höher die Turbulenz im Diffusor, desto größer ist der Impulsaustausch zwischen wandnaher und Kernströmung, desto dünner die Grenzschichten, desto geringer die Verluste und desto größer der zulässige Erweiterungswinkel. Werden zwei Diffusoren hintereinander angeordnet, dürfen diese nicht getrennt nach Abb. 1.18 oder 1.19 und Gl. (1.44) beurteilt werden, sondern man muß die gesamte Verzögerung beider Diffusoren betrachten. Unterteilt man einen zu stark erweiternden Diffusor durch Zwischenwände oder Schaufeln, kann die Ablösung unterdrückt und der Druckrückgewinn verbessert werden. Wird dem Diffusor ein Prallblech oder ein Widerstand nachgeschaltet, sinkt die Ablöseneigung ebenfalls. Auch Maßnahmen zur Grenzschichtbeeinflussung wie Absaugen oder Einblasen können die Diffusorströmung verbessern, werden wegen des erheblichen Aufwandes aber nur in Sonderfällen eingesetzt. Bei ebenen Diffusoren ergibt ein Verhältnis b/h1 = 1 von Diffusorbreite b zu Eintrittshöhe h1 den höchsten Druckrückgewinn. Im Bereich 0,8 < b/h1 < 2 ergeben sich gegenüber diesem Optimum nur geringe Einbußen. Für Diffusoren mit 1

Ein Beispiel hierfür ist die Strömung in einem Druckstutzen, der sich an ein Spiralgehäuse anschließt, Kap. 7.8.2.

32

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

pyramidenförmigem Querschnitt, verwendet man gemäß Gl. (1.45) einen äquivalenten Eintrittsradius R1ä und einen äquivalenten Öffnungswinkel ϑäq und behandelt ihn wie einen konischen Diffusor (Abb. 1.19). R1,äq =

A1 π

und

tan ϑäq =

½° R1,äq ­° A 2 − 1¾ ® L °¯ A1 ¿°

(1.45)

1.7 Fluidstrahlen Von einem Fluidstrahl spricht man, wenn eine Flüssigkeit oder ein Gas mit endlicher Geschwindigkeit in einen Raum mit ruhendem Fluid eintritt. Hier interessiert die Wechselwirkung zwischen dem Strahl und dem ruhenden Medium. Man unterscheidet Fluidstrahlen mit Phasengrenze Flüssigkeit/Gas (z.B. ein Springbrunnen) sowie Strahlen ohne Phasengrenze also Gas/Gas oder Flüssigkeit/Flüssigkeit („submerged jets“). Beispiele hierfür sind das Einblasen von Luft in einen Raum oder das Einströmen von Wasser durch eine Düse oder ein Rohr in ein Becken, wenn der Strahl genügend weit unter dem Fluidspiegel eintritt. Die Vermischung von Strahlen ohne Phasengrenze mit dem Fluid in einem Plenum ist z.B. von Bedeutung bei der Beurteilung von Einlaufbauwerken, Prüfstandsbecken, Zulaufbehältern (Kap. 11.7.3) oder Spaltleckagen vor dem Laufradeintritt. Wir betrachten hierzu ein Fluid, das mit der Geschwindigkeit co aus einem Rohr in einen Tank einströmt, dessen Abmessungen groß im Verhältnis zum Rohrdurchmesser do sei. Das Rohr münde unterhalb des Fluidspiegels in den Tank. An der Mündung entsteht somit ein Flüssigkeitsstrahl, der sich durch Verwirbelung mit dem Tankinhalt vermischt. Mit zunehmendem Abstand x von der Mündung verbreitert sich der Strahl mit einem doppelten Öffnungswinkel von etwa 20° und seine Geschwindigkeit nimmt ab, s. Abb. in Tafel 1.2. Im Zentrum des Strahles, seinem Kern, bleibt die Mündungsgeschwindigkeit co zunächst über eine gewisse Länge x1 erhalten. Für Abstände x > x1 sinkt die Geschwindigkeit im Zentrum cm mit wachsendem Abstand x. Der Strahl reißt Fluid mit, so daß sich sein Volumenstrom mit zunehmenden x vergrößert. Mit den Formeln in Tafel 1.2 lassen sich Ausbreitung und Geschwindigkeitsabbau ebener und runder Strahlen berechnen.

1.8 Ausgleich ungleichförmiger Geschwindigkeitsprofile

33

Tafel 1.2 Turbulente Flüssigkeitsstrahlen ohne Phasengrenze d c Gültigkeitsbereich: Re = o o > 3000 ν

und

10 <

x < 200 ro

Runder Strahl

Gl.

Kernlänge mit cm = co

x1 = 12 bo

x1 = 10 ro

1.2.1

Geschwindigkeit im Kernzentrum

c m = 3,4

r c m = 12 o c o x

1.2.2

Geschwindigkeitsverteilung Breite bzw. Radius, bei dem die Geschwindigkeit auf die Hälfte des Zentrumswertes abgesunken ist

nur für x > x1

Ebener Strahl

Volumenstrom im Strahl (an der Mündung Qo)

c = cm

bo co x

§ y· −57¨ ¸ e ©x¹

2

b = 0,11 x

Q = 0,44

c = cm

§r· −94¨ ¸ e ©x¹

r = 0,086 x x Qo bo

Q = 0,16

x Qo ro

2

1.2.3

1.2.4

1.2.5

cm/2

bo oder ro

Mischzone 10°

b oder r

Kernzone co

x1

cm x

1.8 Ausgleich ungleichförmiger Geschwindigkeitsprofile Trifft eine Strömung mit ungleichförmiger Geschwindigkeitsverteilung auf einen über den Kanalquerschnitt gleichmäßig verteilten Strömungswiderstand (z.B. eine Lochplatte oder ein Sieb) verringern sich die Geschwindigkeitsunterschiede hinter dem Widerstand. Den Ausgleichsmechanismus kann man qualitativ wie folgt erklären: Der lokale Druckverlust über das Lochblech Δp(y) = ½ ρ ζA c2 (lokale Geschwindigkeit: c = f(y)) bedingt einen über die Kanalbreite y ungleichförmigen Druck. In streng geradliniger Strömung ist indes der statische Druck über den Querschnitt konstant (Kap. 1.4.1); es entstehen daher Ausgleichströmungen, die diesem Zustand zustreben und den Geschwindigkeitsausgleich bewirken.

34

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

Auch durch eine Beschleunigung der Strömung läßt sich ein ungleichförmiges Geschwindigkeitsprofil ausgleichen. Das macht man sich z.B. beim Entwurf der Einlaufgehäuse von Pumpen mit durchgehender Welle zunutze, Kap. 7.13. Auch der Zulauf zu vertikal aufgestellten Großpumpen erfolgt häufig über Trompeten oder Beschleunigungskrümmer, um die Strömung am Laufradeintritt zu verbessern. In beschleunigter Strömung werden auch Geschwindigkeitsschwankungen abgebaut, folglich verringert sich der Turbulenzgrad. Zur Erzeugung sehr turbulenzarmer Strömungen werden daher oft Düsen mit starker Beschleunigung verwendet. Der Abbau der Übergeschwindigkeiten läßt sich abschätzen nach den in Tafel T1.3 aufgeführten Formeln, zu deren Ableitung man die Bernoulli’sche Gleichung zwischen Eintrittsquerschnitt A1 und Austrittsquerschnitt A2 für je einen fiktiven Stromfaden mit c1max = cq + Δc1 bzw. c1min = cq - Δc1 ansetzt und beide Gleichungen voneinander abzieht, [1.14]. Da die Querströmung bei dieser Ableitung vernachlässigt wird, handelt es sich um eine Näherung. Tafel 1.3 Ausgleich ungleichförmiger Geschwindigkeitsprofile Mittlere Geschwindigkeit und Druckverlust Übergeschwindigkeiten

cq =

Q A

Δp =

ρ ζ A cq 2 2

Δc1 ≡ c1max – cq

c 2, max

Δc2 ≡ c2max – cq

cq

=1+

Δc 2 Δc1

Gl. 1.3.1

­° c1, max ½° - 1¾ ® °¯ cq °¿

1.3.2

Abbau der Übergeschwindigkeiten durch Widerstand

Δc 2 1 = Δc1 (1 + ζ A ) n

1.3.3

Abbau der Übergeschwindigkeiten durch Beschleunigung

Δc 2 A 2 = Δc1 A1

1.3.4

Widerstandsbeiwert bezogen auf die Anströmgeschwindigkeit cq

ζA = ζ

A22 A1

2

=

ζ f

2

f≡

A1 A2

1.3.5

Fußzeichen: 1 = Eintritt; 2 = Austritt n = Anzahl der hintereinander durchströmten Widerstände ζA = Widerstandsbeiwert bezogen auf die mittlere Anströmgeschwindigkeit cq. Die für scharfkantige, abgerundete dünne oder dicke Blenden angegebenen Widerstandsbeiwerte aus Tafel 1.4 sind für Lochbleche und ähnliche Elemente verwendbar. Man muß aber die Werte aus Tafel 1.4 vom engsten Querschnitt auf den Anströmquerschnitt nach Gl. (1.3.5) umrechnen.

Die Stromlinie mit der größten Übergeschwindigkeit staut sich vor dem Lochblech auf; dies um so stärker je höher der Widerstandsbeiwert ζ der Lochplatte ist. Pro Widerstand soll daher ζ ≈ 1 nicht überschritten werden. Anstelle eines großen Widerstandes ist es vielmehr zweckmäßig, mehrere Widerstände hintereinander einzubauen, um eine optimale Ausgleichswirkung zu erzielen.

1.9 Strömungsverteilung in Parallelsträngen. Rohrleitungsnetze

35

Lochbleche, Siebe, Stäbe oder andere Strukturen, die zum Geschwindigkeitsausgleich eingebaut werden, erzeugen relativ gleichmäßige Turbulenzstrukturen, deren Feinheit von der Größe des verwendeten Gitters abhängt.

1.9 Strömungsverteilung in Parallelsträngen. Rohrleitungsnetze Ein Rohrleitungsnetz besteht im allgemeinen Fall aus verschiedenen Parallelsträngen und hintereinander geschalteten Apparaten, Rohrleitungsteilen und Armaturen. Zur Berechnung (s. Tafel 1.5) beliebig komplizierter Netze erstellt man ein Schaltbild, in dem alle Komponenten gruppenweise als parallel oder in Reihe geschaltete Widerstände dargestellt werden. Jede Komponente ist dabei durch einen Druckverlustbeiwert ζi und einen Querschnitt Ai erfaßt dergestalt, daß der Druckverlust in der Komponente Δpi = ½ρ ζi (Qi/Ai)2 ist. Bei der Reihenschaltung fließt durch alle Komponenten derselbe Volumenstrom Q und die Druckverluste aller Komponenten addieren sich zum Systemdruckverlust nach Δp = ΣΔpi. Für alle Teile des Netzes, die hintereinander geschaltete Komponenten enthalten, wählt man einen beliebigen Bezugsquerschnitt ARS und faßt die im betrachteten Netzteil liegenden Komponenten nach Gl. (T1.5.1) zu einem Widerstand ζRS zusammen. Bei der Parallelschaltung liegt über allen Komponenten dieselbe Druckdifferenz an und die Ströme Qi addieren sich zum Gesamtstrom Q = Σ Qi. Als Bezugsquerschnitt wählt man nach Gl. (T1.5.5) die Summe der Einzelquerschnitte. Aufgrund dieser Zusammenhänge läßt sich wiederum ein resultierender Widerstandsbeiwert ζPS berechnen, mit dessen Hilfe man die Aufteilung des gesamten Volumenstromes auf die Teilströme ermitteln kann (Tafel 1.5). Bei allen Berechnungen ist streng darauf zu achten, daß der Widerstandsbeiwert für die jeweils verwendete Bezugsgeschwindigkeit definiert wird (also ζ1 zu Q1/A1 usw.). Komplizierte Netze werden schrittweise nach den angegebenen Formeln zusammengefaßt, bis sich ein resultierender Gesamtwiderstand ergibt, der die Bestimmung des Systemdurchsatzes oder -druckverlustes gestattet. Die Berechnungsmethoden von Tafel 1.5 dienen nicht nur der Berechnung von Rohrleitungsnetzen, sondern haben allgemeinere Bedeutung. Die Zusammenfassung hintereinander liegender Strömungswiderstände ist immer dann zweckmäßig, wenn die Druckdifferenz gegeben und der Durchfluß gesucht ist. Tafel 1.5 kann z.B. auch verwendet werden, um abzuschätzen, wie sich der Förderstrom eines Laufrades auf die beiden Teilspiralen einer Doppelspirale entsprechend unterschiedlicher Strömungswiderstände aufteilt, Kap. 7.8.2.

36

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

Tafel 1.4 Häufig verwendete Druckverlustbeiwerte Eintritt in Rohr oder Trompete, freistehend Eintritt, abgerundet, mit Vorderwand Eintritt mit Fase 45°, mit Vorderwand

Δp = ζ

ρ 2 w1 2

f≡

A1 A2

r DH

0≤

r ≤ 0,2 DH

0≤

r ≤ 0,2 DH

0≤

a ≤ 0.15 DH

0≤

r ≤ 0,2 DH

0≤

a ≤ 0.15 DH

r w1

DH

ζ=e

w1

DH r

w1

DH a

−17

-14

ζ = 0,5 e

ζ = 0,5 e

r DH

− 4,6

a DH

r

Einschnürung

A2

Einschnürung mit Fase 45°

A2

DH

w1

A1 DH

w1

A1

a

Plötzliche Erweiterung

w1

A1

Abgerundete Blende

{

}

w1

A2

ζ = (1 − f ) 1,5 - f + 0,24 1 - f

w1

A2

ζ = (1 − f ) 1 − f + ζ′ + 2 ζ′ (1 − f )

Kniestücke

δ

{

§ δ° · ζ = 1,2 ¨ ¸ © 90° ¹

h δ

b

Rm

Hosenrohr

w1

Saugkorb mit Fußventil Parallelschieber DIN-Ventil Rückschlagklappe Klappe, geöffnet

δ

}

{

ζ = FR FF

Bogen

a DH

ζ = 0.7 1 − f + 1 − f 2

L

A1

− 4,6

A2

w1

A1

ζ = 0,5 (1 − f ) e

ζ = (1− f ) 2

A2 A1

Scharfkantige dünne Blende Scharfkantige dicke Blende L/DH = 1

ζ = 0,5 (1 − f ) e

r DH

−14

}

ζ′ = 0,5 e

−14

r DH

2

0,23 § Rm · ¨D ¸ © H¹

x

δ° 90°

Rauheitseinfluß

FR

Hydraulisch glatt: ε > 10-3 Re > 4.104 DH

1 2

Rm DH

x

0,5 ÷ 1 >1

2,5 0,5

Querschnittsform Kreis, Quadrat Rechteck

b/h = 2÷4

FF 1,0 0,4

δ

15°

22,5°

30°

45°

60°

90°

ζ

0,15

0,23

0,3

0,7

1,0

1,4

ζ = 2,2 bis 2,5

ζ = 0,1 bis 0,5 (÷1) ζ = 3 bis 6 ζ=6 ζ = 0,2

ζ ist bezogen auf die Geschwindigkeit, die der Nennweite entspricht

1.9 Strömungsverteilung in Parallelsträngen. Rohrleitungsnetze

Tafel 1.5 Berechnung von Rohrleitungsnetzen Reihenschaltung:

Q

A1 ζ1

Durch alle Widerstände strömt der gleiche Durchsatz Q

Gl.

A2 ζ2

Ai ζi

Δ p = Σ Δ pi

Resultierender Gesamtwiderstand

§A ζ RS = ¦ ζ i ¨¨ RS © Ai i

Druckverlust der Einzelwiderstände

Δpi =

Gesamter Druckverlust

Δp =

Durchsatz für gegebene Druckdifferenz Δp

Q = A RS

Parallelschaltung:

Über alle Widerstände wird der gleiche Druckverlust abgebaut; die Förderströme stellen sich entsprechend ein.

ρ § Q· ¸ ζi ¨ 2 ¨© A i ¸¹

· ¸ ¸ ¹

2

ARS = beliebiger Bezugsquerschnitt

2

1.5.2

§ Q ρ ζ RS ¨ ¨ A RS 2 ©

· ¸ ¸ ¹

2

1.5.3

2 Δp ρ ζ RS

Q1

A1 ζ1

Q2

A2 ζ2

Qi

Ai ζi

Q

1.5.1

1.5.4

Q = Σ Qi

Δ p = Δ pi

Bezugsquerschnitt

A PS = ¦ A i

Durchsatz

Q = ¦ Qi

Druckverlust der Einzelwiderstände Resultierender Gesamtwiderstand

1.5.5 1.5.6 2

Δp =

ρ § Q1 · ρ §Q ¸ = ......... = ζ i ¨ i ζ1 ¨ 2 ¨© A1 ¸¹ 2 ¨© A i

ζ PS =

· ¸ ¸ ¹

2

1.5.7

1 ­° Ai ®Σ °¯ A PS ζ i

½° ¾ °¿

2

§ Q · ρ ¸ ζ PS ¨¨ ¸ 2 © A PS ¹

Gesamter Druckverlust

Δp =

Durchsatz für gegebene Druckdifferenz Δp

Q = A PS

Volumenströme der Einzelstränge

Qi A = i Q A PS

1.5.8

2

1.5.9

2 Δp ρ ζ PS

1.5.10

ζ PS ζi

1.5.11

37

38

1 Allgemeine strömungstechnische Grundlagen

Tafel 1.6 Reibungsverluste in Rohren und an ebenen Platten Hydraulischer Durchmesser

Dh =

4A U

Rohr oder Kanal

Laminar: Re < 2300

λR =

64 Re

A = Querschnitt U = benetzter Umfang L = Länge

Turbulent, Eq. (1.36)

λR =

8

4000 < Re <10 0 < ε/Dh < 0.05

Reynoldszahl

w Dh ν

0.31 ­° § ε 6.5 · ½° + ®log ¨ 0.135 ¸¾ D h Re ¹ ¿° ¯° ©

Δp v = λ R

Druckverlust

Re =

2

L ρ 2 w Dh 2

1.00

laminar: 64/Re glatt e/Dh = 1.0E-05 e/Dh = 1.0E-04 e/Dh = 0.001 e/Dh = 0.004 e/Dh = 0.01 e/Dh = 0.02 e/Dh = 0.05

λR

Reibungsbeiwerte gemäss Gl. (1.36)

0.10

0.01 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05 Re L =

Reynoldszahl

wL ν

Laminar: ReL < 10 oder Gl. (1.33a)

cf ,lam =

Turbulent:

cf =

5

Ebene Platte der Länge L

1.E+06 Re 1.E+07

105 < ReL <108 0 < ε/L < 10-3 Widerstand pro Seite einer ebenen Platte der Breite b und Länge L

1.328 Re L

0.136

{− log ( 0.2

ε L

+ 12.5 Re

)}

2.15

Fw = ½ ρ w∞2 cf b L

cf ist der Reibungsbeiwert für den gesamten Widerstand. Der örtliche Reibungsbeiwert hängt ab von der örtlichen Grenzschichtdicke.

2 Bauarten und Leistungsdaten

2.1 Wirkungsweise und Aufbau Kreiselpumpen sind Strömungsmaschinen zum Fördern von Flüssigkeiten, deren Aufgabe darin besteht, einen bestimmten Volumenstrom auf ein spezifiziertes Druckniveau zu bringen. In Strömungsmaschinen beruht der Energieumsatz grundsätzlich auf hydrodynamischen Vorgängen, die dadurch gekennzeichnet sind, daß alle Druck- und Energiedifferenzen proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit sind. Im Gegensatz hierzu stehen Verdrängerpumpen (z.B. Kolbenpumpen), die rein hydrostatisch wirken und deren Druckerhöhung unabhängig von Strömungsgeschwindigkeit oder Drehzahl erfolgt und sich allein entsprechend dem aufgeprägten Gegendruck einstellt. Eine Kreiselpumpe besteht nach Abb. 2.1 im wesentlichen aus einem Gehäuse, einer Lagerung für die Pumpenwelle und einem Laufrad. Die zu fördernde Flüssigkeit strömt durch den Saugstutzen zum Laufrad. Das über eine Kupplung von einem Motor angetriebene, auf der Welle fliegend angeordnete Laufrad überträgt die zur Förderung notwendige Energie auf das Fluid; dieses wird in Umfangsrichtung beschleunigt, wobei aus kinetischen Gründen der statische Druck steigt, weil die Strömung auf gekrümmten Bahnen verläuft (Kap. 1.4.1). In einer Leitvorrichtung wird das vom Laufrad geförderte Medium wie in einem Diffusor verzögert, um einen möglichst großen Anteil der am Laufradaustritt vorhandenen kinetischen Energie zur Erhöhung des statischen Druckes zu nutzen. In Abb. 2.1 besteht der Leitapparat aus einem Spiralgehäuse, an das sich ein Diffusor und der Druckstutzen anschließen. Eine Wellendichtung, z.B. eine Packungsstopfbuchse oder Gleitringdichtung, verhindert das Austreten von Förderflüssigkeit in die Umgebung oder die Lagerung (Wellendichtung in Abb. 2.1 nicht dargestellt). Vor dem Laufrad kann, wie in Abb. 2.1, zur Verbesserung der Saugfähigkeit ein Vorsatzläufer angeordnet werden (Kap. 7.7); er entfällt bei den meisten Anwendungen. Zwischen Laufrad und Gehäuse ist ein enger Dichtspalt angeordnet, durch den eine gewisse Leckage vom Laufradaustritt zum -eintritt zurückfließt. Ein zweiter, auf der Tragscheibe angeordneter Dichtspalt dient dem Ausgleich der auf die Laufraddeckscheiben wirkenden Axialkräfte. Das durch den Spalt strömende Fluid gelangt über Bohrungen in der Tragscheibe in den Saugraum zurück („Entlastungsbohrungen für den Axialschubausgleich“). Das Laufrad besteht aus einem Nabenkörper, der eine Einheit mit der Tragscheibe bildet, den Schaufeln, die Energie auf das Fluid übertragen können, und der Deckscheibe. (Letztere entfällt bei manchen Anwendungen, man spricht dann

40

2 Bauarten und Leistungsdaten Ansicht X

X

Abb. 2.1. Einstufige Spiralgehäusepumpe mit Lagerträger, Sulzer Pumpen AG

von halboffenen Laufrädern.) Abbildung 2.2 zeigt ein Laufrad im Achsenschnitt „Meridianschnitt“ und im Grundriß. Die in Drehrichtung vorne liegende Schaufelfläche weist auf einem gegebenem Radius den höchsten Druck auf; sie wird als Druckfläche oder Druckseite bezeichnet. Die gegenüberliegende Fläche mit dem niedrigeren Druck gilt entsprechend als Saugfläche oder Saugseite. Beim Blick in den Saugmund ist die Saugfläche sichtbar. Sie wird daher mitunter als „sichtbare Schaufelfläche“ oder „Schaufelunterseite“ bezeichnet; während die vom Saugmund nicht sichtbare Druckfläche auch als „Schaufeloberseite“ gekennzeichnet wird; diese Begriffe sind nicht eindeutig und daher zu vermeiden. In Abb. 2.2 sind ferner die Saugkante (auch Eintritts- oder Vorderkante) und die Druckkante (auch Austritts- oder Hinterkante) definiert. Abbildung 2.2A zeigt ein Laufrad, das mit einem 3D-CAD Programm modelliert wurde. DK Deckscheibe

ω Tragscheibe Schaufeln

Druckfläche

DK Saugmund

Nabe

Saugfläche

SK SK

Abb. 2.2. Meridianschnitt und Grundriß eines radialen Laufrades SK: Saugkante, DK: Druckkante

2.1 Wirkungsweise und Aufbau

41

Abb. 2.2A Radiales Laufrad nq = 85, modelliert als 3D-Modell, Sulzer Pumpen AG

Entsprechend der Förderaufgabe und dem Anwendungszweck gibt es eine Palette von Pumpenbauarten und -komponenten, die sich nach verschiedenen Gesichtspunkten klassifizieren lassen. Tafel 2.1 gibt einen Überblick über die verschiedenartigen Bauformen von Laufrädern, Leitvorrichtungen, Einlaufgehäusen und Kombinationsmöglichkeiten dieser Elemente (die folgenden Punkte A bis G beziehen sich auf die entsprechende Rubrik in Tafel 2.1): A. Je nach Strömungsrichtung am Laufradaustritt unterscheidet man radiale, halbaxiale und axiale Laufräder. Man spricht demzufolge auch von Radial-, Halbaxial- und Axialpumpen (auch als Propellerpumpen bezeichnet). B. Laufräder mit Deckscheibe werden als geschlossen, ohne Deckscheibe als halboffen und mit weitgehend durchbrochener Tragscheibe als offen bezeichnet. C. Gemäß der Strömungsrichtung am Leitradeintritt kennt man radiale, halbaxiale und axiale Leiträder. Schaufellose Leitringe werden selten ausgeführt. D. Als Leitvorrichtung sind bei einstufigen Pumpen Spiralgehäuse am weitesten verbreitet. Mitunter findet man auch konzentrische Ringräume oder Kombinationen von Ringraum und Spirale. E. Bei einstufigen, einflutigen Pumpen erfolgt der Zulauf meist axial wie in Abb. 2.1, bei Pumpen mit durchgehender Welle radial. Vertikale Pumpen saugen oft über eine Trompete aus einem „Sumpf“ in Naßaufstellung an, Kap. 11.7.3. F. Kann mit einem Laufrad nicht genügend Druck erzeugt werden, schaltet man mehrere Laufräder zu einer „mehrstufigen“, radialen oder halbaxialen Pumpe hintereinander. Die Leiträder werden dabei durch Rückführschaufeln ergänzt, die das Fluid zum Laufrad der folgenden Stufe leiten. Mehrstufige Pumpen lassen sich mit Spiralgehäusen an Stelle von Leiträdern ausführen; das Fluid wird dann der folgenden Stufe über entsprechend geformte Kanäle zugeführt.

42

2 Bauarten und Leistungsdaten

G. Radiale Laufräder werden auch doppelflutig ausgeführt, um größere Förderströme bewältigen zu können. Doppelflutige Pumpen werden ein- oder mehrstufig gebaut. Tafel 2.1 Hydraulische Pumpenkomponenten und Schaltungen Komponente Radial Halbaxial Axial Merkmal A Laufradform: Kennzeichen: Strömungsrichtung am Laufradaustritt halboffen

B Laufradbauart

geschlossen

C Leitrad: Kennzeichen Strömungsrichtung am Leitradeintritt

radial

D Gehäuseform

Einfachspirale

E Einlaufgehäuse

Ringraum-Einlauf

halbaxial

Doppelspirale

konzentrischer Ringraum

Ringraum + Spirale

Symmetrischer Einlauf Asymmetrischer Einlauf

mehrstufige halbaxiale Pumpen siehe Abb. 2.13.

F Reihenschaltung: mehrstufige Pumpen

G Parallelschaltung: doppelflutige Pumpen

offen

einstufig

mehrstufige doppelflutige Pumpen siehe Abb. 2.12.

2.2 Leistungsdaten

43

Die in Tafel 2.1 aufgeführten Komponenten und Merkmale ermöglichen viele Kombinationen, um Pumpen für die verschiedensten Anforderungen zu optimieren, wie sie sich aus den Förderdaten, konstruktiven, herstellungstechnischen sowie Einbau- und Betriebserfordernissen ergeben. Laufräder, Spiralgehäuse und Leiträder werden wegen ihrer komplizierten, räumlich gekrümmten Flächen überwiegend als Gußstücke ausgeführt.

2.2 Leistungsdaten Förderleistung und Kenndaten einer Kreiselpumpe sind gekennzeichnet durch: • den Förderstrom Q, der in der Regel als nutzbarer Volumenstrom durch den Druckstutzen definiert ist • die spezifische Förderarbeit Y oder die Förderhöhe H = Y/g • den Leistungsbedarf P an der Pumpenkupplung • den Wirkungsgrad η an der Pumpenkupplung • die Netto-Energiehöhe NPSE = g NPSH am Pumpeneintritt. Zu diesen Angaben gehört unabdingbar die Drehzahl n des Pumpenrotors. 2.2.1 Spezifische Förderarbeit, Förderhöhe Die spezifische Förderarbeit Y ist die dem Fluid durch die Pumpe zugeführte nutzbare Totalenergie pro Masseneinheit, die zwischen Saug- und Druckstutzen gemessen wird. Y ist identisch mit der zugeführten Totalenthalpie Δhtot, die sich bei inkompressibler Strömung aus Δhtot = Δptot/ρ ergibt (s. Kap. 1.2.2). In der Praxis arbeitet man meist mit der Förderhöhe H = Y/g, die als Energieeinheit aufzufassen ist und als potentielle Totalenergie verstanden werden kann. Es gilt: Y = Δh tot =

p2, tot − p1, tot ρ

=gH

(2.1)

Der Totaldruck (oder Gesamtdruck) setzt sich nach Gl. (1.7) zusammen aus dem statischen (System-) Druck p, dem der geodätischen Höhen z entsprechenden Druck und dem Staudruck ½ρc2. Die zwischen Saug- und Druckstutzen gemessene Förderhöhe ergibt sich daher nach Tafel 2.2 aus der Differenz der Totaldrücke bzw. der Energiehöhen Hd und Hs (Index d = Druckstutzen; s = Saugstutzen). p − ps c 2 − cs 2 H= d + zd − zs + d 2g ρg

(2.2)

Alle Energieanteile werden dabei als „Energiehöhen“ ausgedrückt: die an Saugoder Druckstutzen meßbaren statischen Druckhöhen p/(g ρ), die potentielle Energie z und Geschwindigkeitshöhen c2/(2g).

NPSH = ρg

p s, abs − p v

pe c e

ze

He

ps

cs

Hs

pd

cd

Hd

zs

zd z=0 -z

+z

za

pa c a Ha

a

c + zs + s 2g

2

NPSH = Hs + (pamb - pv)/(ρ×g)

2

• • • •

p − ps c d −c s H tot = d + zd − zs + 2g ρg

Maximal zulässige, geodätische Saughöhe (ze negativ) Minimal erforderliche, geodätische Zulaufhöhe (ze positiv)

Statischer Druck im Saugstutzen

Zulaufenergiehöhe über Dampfdruck pv pabs = pamb + ps

Förderhöhe

Htot = Hd - Hs 2

pa c 2 + za + a 2g ρg

c pe + ze + e ρg 2g

2

ρg

(

p e, abs − p v

)

(

z e = NPSH erf + H v, s −

p e, abs − p v c e 2 − +a ρg 2g

ρ 2 ce − cs 2 2

c 2 + z e + e − H v,s 2g

p s,abs = p e, abs + ρ g z e − z S − H v,s +

NPSH A =

NPSHA = Hs + (pamb - pv)/(ρ×g)

p p c 2 − ce2 HA = a − e + za − ze + a + H v, d + H v,s ρg 2g

H = Hd - Hs = Ha - He + Hv,d + Hv,s

Ha =

He =

Anlage

)

reference level

Alle Höhenkoten z sind vorzeichenbehaftet. Hv,s, Hv,d Strömungsverlusthöhen in Saug- bzw. Druckleitung ps, pd statische Drücke gemessen am Saug- bzw. Druckstutzen pe, pa statische Drücke über Saug- bzw. Druckwasserspiegel

2.2.7

2.2.5

2.2.3

pd c 2 + z d + d = H a + H v,d ρg 2g

Energiehöhe am Austritt (abgeführte Energie)

Hd =

2.2.1

Gl.

p c H s = s + z s + s = H e − H v,s ρg 2g

2

Energiehöhe am Eintritt (zugeführte Energie)

Pumpe

Tafel 2.2 Förderhöhe und Haltedruckhöhe (NPSH)

2.2.10

2.2.9

2.2.8

2.2.6

2.2.4

2.2.2

Gl.

44 2 Bauarten und Leistungsdaten

2.2 Leistungsdaten

45

Förderhöhe und spezifische Förderarbeit sind unabhängig von der Dichte bzw. der Art des Mediums. Eine Pumpe hat also bei der Förderung von Wasser, Quecksilber oder Luft (theoretisch) die gleiche Förderhöhe; sie liefert aber keineswegs die gleiche Druckerhöhung Δp = ρ g H, die man mit Manometern messen würde: alle Druckdifferenzen, Leistungen, Kräfte und Spannungen sind proportional zur Dichte. Tafel 2.2 zeigt, wie die verschiedenen Anteile der Förderhöhe bei einer Messung oder Rechnung zu berücksichtigen sind. Als Bezugsebene ist bei Pumpen mit horizontaler Welle die Achshöhe zu wählen; bei Pumpen mit vertikaler oder schräg liegender Welle wird der Durchstoßpunkt der Welle mit der Horizontalen durch den Mittelpunkt des Eintritts des oberen Sauglaufrades als Bezugsebene verwendet, [N.1]. Manometerablesungen sind entsprechend deren Höhenlage auf die Bezugsebene zu korrigieren, [N.2]. Da in die Berechnung der Förderhöhe nur Druckdifferenzen eingehen, kann man in Gl. (T2.2.1 bis 6) absolute Drücke oder Überdrücke aus Messungen verwenden. Damit durch eine gegebene Pumpenanlage ein verlangter Volumenstrom fließen kann, muß die Pumpe eine bestimmte Förderhöhe aufbringen, die man als den Förderhöhenbedarf der Anlage bezeichnet. Sie berechnet sich unter Berücksichtigung aller Strömungsverluste in der Anlage (ausgenommen die Verluste in der Pumpe) nach der Bernoulli'schen Gleichung, s. Tafel 2.2, Gl. (T2.2.6) . Im stationären Betrieb gilt H = HA: die Förderhöhe der Pumpe ist gleich dem Förderhöhenbedarf der Anlage. 2.2.2 Netto-Energiehöhe im Saugstutzen, NPSH Wird in einer Flüssigkeit der Dampfdruck unterschritten, verdampft ein Teil des Fluids. Erfolgt eine derartige Druckabsenkung und Teilverdampfung im Laufradeintritt infolge Übergeschwindigkeiten bei der Umströmung der Schaufeln, kann die Förderung beeinträchtigt werden. Dieser als „Kavitation“, bezeichnete Vorgang wird in Kapitel 6 ausführlich besprochen. Die Zulaufverhältnisse am Saugstutzen einer Pumpe bilden deshalb ein wichtiges Auslegungs- und Auswahlkriterium. Sie werden beschrieben durch die „Netto-Energiehöhe“, die als absolute Energiehöhe Hs,abs minus Verdampfungsdruckhöhe pv/(ρ g) definiert ist und durch den NPSH-Wert ausgedrückt wird. (Der NPSH-Wert „net positive suction head“ entspricht der „Haltedruckhöhe“.) Die Verhältnisse sind in Tafel 2.2 dargestellt. Man unterscheidet den experimentell bestimmten NPSH-Wert der Pumpe („erforderlicher NPSH-Wert“ oder NPSHR), der benötigt wird, um Kavitation ganz oder teilweise zu unterdrücken, sowie den NPSH-Wert NPSHA, der in der Anlage zur Verfügung steht. Da man den Dampfdruck pv als absoluten Druck aus Dampftafeln erhält, sind in Gl. (T2.2.7 und 8) absolute Drücke für die NPSH-Berechnung einzusetzen. Aus der Bernoulli'schen Gleichung erhält man den absoluten Druck am höchsten, im Abstand a über der Rotorachse liegenden Punkt des Laufrades; dieser Druck darf nie unter einen Wert fallen, bei dem sich im Laufradeintritt infolge

46

2 Bauarten und Leistungsdaten

Kavitation ein unzulässig großes Dampfvolumen bildet. Wurde für eine gegebene Pumpe der Wert NPSHR definiert, der einem bestimmten Ausmaß an Kavitation entspricht, erhält man aus der Bedingung NPSHA > NPSHR, die Zulaufverhältnisse ze, die in der Anlage zu schaffen sind, um einen sicheren Betrieb zu gewährleisten (Kap. 6). • Ergibt sich ze aus Gl. (T2.2.10) als negativ, stellt dieser Wert die größte zulässige geodätische Saughöhe dar: ⏐zs,geo,max⏐= - ze. • Liefert Gl. (T2.2.10) einen positiven Wert, benötigt die Pumpe Zulauf, d.h. der Wasserspiegel muß oberhalb der Maschine liegen. Man erkennt aus Gl. (T2.2.10), daß dies grundsätzlich immer der Fall ist, wenn Flüssigkeiten im Sättigungszustand gefördert werden sollen, da dann pe,abs = pv gilt. Mit Ausnahme von Sonderbauarten können Kreiselpumpen nur angefahren werden, wenn sie mit Flüssigkeit gefüllt sind; sie sind nicht „selbstansaugend“, können also die Saugleitung nicht evakuieren. Selbstansaugende Kreiselpumpen sind: Seitenkanal-, Peripheral- und Wasserringpumpen. Diese Bauarten werden eingesetzt, wenn die Pumpe „selbstansaugend“ sein muß (z.B. bei manchen Feuerlöschpumpen). Die erwähnten selbstansaugenden Pumpenbauarten werden auch mitunter mit radialen Laufrädern kombiniert. 2.2.3 Leistung und Wirkungsgrad Da die spezifische Förderarbeit die auf die Masseneinheit bezogene übertragene Energie darstellt, ergibt sich die Förderleistung Pu (Nutzleistung) einer Pumpe durch Multiplikation des geförderten Massenstromes m = ρ Q mit der spezifischen Förderarbeit Y: Pu = ρ Y Q = ρ g H Q

(2.3)

Die an der Kupplung notwendige Antriebsleistung P ist um die Verluste größer als die Nutzleistung; das Verhältnis beider Größen ist definiert als der Pumpenwirkungsgrad η: P ρgHQ η= u = P P

(2.4)

2.2.4 Kennlinien Variiert der Förderstrom einer Pumpe, verändern sich Förderhöhe, Leistungsbedarf und Wirkungsgrad. Werden diese Größen über dem Förderstrom aufgetragen, erhält man die „Kennlinien“ der Pumpe, Abb. 2.3. Der Wirkungsgrad weist bei einem bestimmten Förderstrom ein Maximum auf, das als „Bestpunkt“ bezeichnet

2.3 Pumpentypen und ihre Anwendung

47

wird. Die Pumpenauslegung erfolgt für diesen Bestpunkt, der durch die Werte Qopt, Hopt, Popt und ηopt gekennzeichnet wird. Der momentane Arbeitspunkt einer Pumpe stellt sich grundsätzlich so ein, daß die Förderhöhe der Pumpe gleich dem Förderhöhenbedarf der Anlage ist: H = HA. H [m], P [kW], η [%], NPSH3 [m]

125 HA

100

H η

75 50

P

25 NPSH3 0 0

100

200

300

Q [m3/h]

Abb. 2.3. Kennlinien einer Kreiselpumpe mit Anlagenkennlinie HA

2.3 Pumpentypen und ihre Anwendung 2.3.1 Übersicht Der Transport von Flüssigkeiten mit Kreiselpumpen hat in vielen Lebensbereichen und Industriezweigen eine eminente technische und wirtschaftliche Bedeutung (das Weltmarktvolumen für Kreiselpumpen liegt in der Größenordnung von 13 Milliarden Euro/a). Der Einsatzbereich umfaßt Kleinpumpen wie Heizungsumwälzpumpen und Kfz-Kühlwasserpumpen mit wenigen Watt Antriebsleistung bis zu Speicherpumpen mit mehr als 60 MW und Pumpturbinen mit über 250 MW im Pumpbetrieb. Unter dem Begriff „Kreiselpumpen“ versteht man Radial-, Halbaxial- und Axialpumpen, aber auch Seitenkanal-, Peripheral- und Wasserringpumpen, deren Wirkungsprinzip sich grundsätzlich von der Arbeitsweise der ersten Gruppe unterscheidet. Kreiselpumpen im eigentlichen Sinne werden gebaut für Förderströme von 0,001 bis 60 m3/s, Förderhöhen von 1 bis 5000 m und Drehzahlen von wenigen hundert bis vielleicht 30’000 Umdrehungen pro Minute (die angegebenen Werte sollen den breiten Anwendungsbereich illustrieren, sie umfassen nicht unbedingt die absoluten Grenzen ausgeführter oder zukünftiger Maschinen). Förderstrom, Förderhöhe und Drehzahl sind die drei Parameter, die eine Förderaufgabe charakterisieren und damit den Laufradtyp und die Bauart der Pumpe weitgehend bestimmen. Wie in Kap. 3.4 gezeigt, stellt die „spezifische Drehzahl“ nq eine Be-

48

2 Bauarten und Leistungsdaten

ziehung zwischen diesen drei Förderparametern her, die für Auswahl, Betrieb und Konstruktion einer Pumpe von fundamentaler Bedeutung ist: nq = n

Q/f q §¨ H / z ·¸ © tot st ¹

0,75

(2.5)

Dabei bedeuten zst die Stufenzahl, Hst = Htot/zst folglich die Förderhöhe pro Stufe und fq die Anzahl der Ströme, die in ein Laufrad eintreten, also fq = 1 für einflutige bzw. fq = 2 für doppelflutige Laufräder. Ob radiale, halbaxiale oder axiale Laufräder einzusetzen sind, hängt sowohl von der spezifischen Drehzahl als auch von der Pumpenbauart ab: so kann man eine Pumpe mit mittlerer spezifischer Drehzahl – z.B. nq = 60 – entweder mit einem Radialrad oder mit halbaxialem Laufrad ausrüsten, je nach der Bauart, die für den geplanten Einsatz am wirtschaftlichsten ist. Aus Gl. (2.5) ist zu erkennen: • Um kleine Förderströme auf große Drücke zu bringen, sind Pumpen mit niedriger spezifischer Drehzahl einzusetzen. Da der Wirkungsgrad unter nq < 20 mit abnehmender spezifischer Drehzahl rasch abfällt (Kap. 3.9, Abb. 3.23 bis 3.29), liegt die untere Grenze für den wirtschaftlichen Einsatz von Kreiselpumpen bei Kleinpumpen etwa bei nq = 5 bis 8 und bei größeren Leistungen etwa bei nq = 10 bis 15 – je nach dem Anwendungsbereich und den Erfordernissen nach tiefen Energiekosten. Wird diese Grenze unterschritten und kann die Drehzahl nicht erhöht werden, sind entweder mehrstufige Pumpen einzusetzen, wodurch sich nach Gl. (2.5) die spezifische Drehzahl erhöht, oder man muß auf einen anderen Pumpentyp übergehen. • Um große Volumenströme auf kleine Förderhöhen zu bringen, werden Pumpen hoher spezifischer Drehzahl benötigt. Die obere wirtschaftliche Anwendungsgrenze liegt – nicht scharf definierbar – im Bereich von nq = 350 bis 450; darüber begrenzen Bauaufwand und hydraulische Verluste den sinnvollen Einsatz. Die Grenze einer ökonomischen Anwendung wird indessen nicht nur durch die spezifische Drehzahl bestimmt; auch die Zulaufbedingungen und die absolute Größe der Pumpe beeinflussen deren Auswahl und Bauart wesentlich. Ergeben sich in einem bestimmten Anwendungsfall zu hohe spezifische Drehzahlen, ist der Förderstrom auf mehrere parallelarbeitende Pumpen aufzuteilen, wodurch die spezifische Drehzahl entsprechend sinkt. Eine Aufteilung auf mehrere Einheiten kann auch bezüglich der Kosten für den Antrieb, der Gestaltung der Anlage und der Reservehaltung bei Pumpenausfall vorteilhaft sein. In Tafel 2.3 sind die verschiedenen Laufradtypen und deren typische Eigenschaften zusammengestellt, um den Einfluß der spezifischen Drehzahl auf Bauart und Leistungsgebiet zu illustrieren. Erläuterungen zu Tafel 2.3: • Die angegebenen Förderhöhen pro Stufe im Bestpunkt stellen in etwa Maximalwerte dar. Ausführbare Umfangsgeschwindigkeit, Förderhöhe pro Stufe und Druckzahl fallen mit zunehmender spezifischer Drehzahl.

2.3 Pumpentypen und ihre Anwendung

49

Tafel 2.3 Pumpentypen Typ nq < 0,5 Kolbenpumpen

Laufradform

Hst,opt

Verdrängerpumpen 2÷10 Schraubenspindel 0,5÷4 Peripheralpumpe Abb. 2.19 SeitenkanalpumAbb. 2.18 2÷11 pe

nur mechanisch begrenzt

Radialpumpe

Auch für Gas65 ÷ 85 Flüssigkeitsgemische

5 ÷ 15 30 ÷ 35

250 m

3 ÷ 10 34 ÷ 47

0,5

Auch mehrstufig

25 ÷ 35

800 m 1 ÷ 1,2 40 ÷ 88 Unter nq < 10 (1200) vorwiegend nur Kleinpumpen In den meisten Fällen ist 400 m 0,9 70 ÷ 92 Hst,opt < 250 m

60 m

100

75 ÷ 90

400 m

1÷10 Reibungspumpe

50

ηopt [%]

85 ÷ 95

< 2 Zahnradpumpen

7÷30

ψopt

0,65

nq = 100 ist etwa 60 ÷ 88 die obere Grenze für Radialräder Für nq <50 häufig mehrstufig.

100 m

1

70 ÷ 90

160

20 m

0,4

75 ÷ 90

160 bis Axialpumpen 400

2 bis 15 m

0,4 bis 0,1

Förderströme bis 70 ÷ 88 60 m3/s Nur einstufig

35 Halbaxialpumpen

Ab nq > 75 selten mehrstufig Für nq > 100 nur einstufig sinnvoll

• Die Druckzahl ist definiert als ψopt = 2 g Hopt,st/u22 (Kap. 3). • Der Wirkungsgrad einer Pumpe hängt nicht nur von der spezifischen Drehzahl sondern auch von Bauart, Konstruktion und der absoluten Pumpengröße ab.

50

2 Bauarten und Leistungsdaten

Bei Kleinstpumpen wird die jeweils angegebene untere Grenze u.U. noch unterschritten, Kap. 3. • Radiale, halbaxiale und axiale Pumpen werden in einem Bereich von etwa 7 < nq < 400 universell eingesetzt; sie lassen sich daher schlecht in bestimmte Leistungsklassen einteilen. • Mehrstufige Pumpen werden überwiegend mit radialen – bei vertikaler Anordnung meist mit halbaxialen – Laufrädern gebaut. Ihre spezifische Drehzahl liegt allgemein unter nq < 50, weil die Mehrstufigkeit nur in diesem Bereich Vorteile hinsichtlich Wirkungsgrad bringt. Die Zahlenwerte geben typische Bereiche; Extremwerte außerhalb dieser Angaben ließen sich vermutlich für alle Beispiele finden. 2.3.2 Klassifizierungsmöglichkeiten und Einsatzgebiete Die Vielfalt der Bauarten und Anwendungen bedingt, daß Pumpen nach einer Reihe unterschiedlicher Gesichtspunkte klassifiziert werden, so z.B. nach: • • • • •

Wirkungsprinzip: Zentrifugal-, Seitenkanal-, Verdrängerpumpen Typischen Eigenschaften wie „selbstansaugend“ Bauart/Strömungsrichtung am Laufradaustritt: radial, halbaxial, axial Bauart/Leitvorrichtung: Spiralgehäuse- oder Leitradpumpen Bauart/Konstruktiv: einstufig, mehrstufig, doppelflutig, horizontal, vertikal, Unterwassermotor, Tauchpumpen, wellendichtungslos (Magnetkupplung, Spaltrohrmotor) • Fördermedium: Trinkwasser-, Kesselspeisewasser-, Kondensat-, Abwasser-, Papierstoff-, Feststoff-, Säurepumpen, Pumpen zur Förderung von Flüssigkeits/Gasgemischen. • Einsatzgebiet Obige Aufzählung liefert nur Beispiele für die vielfältigen, sich oft überschneidenden Begriffe zur Klassifizierung von Pumpen. Die Einsatzgebiete und Anwendungsmöglichkeiten der Kreiselpumpen sind außerordentlich breit und lassen sich daher auch nicht annähernd erschöpfend aufzählen. In Tafel 2.4 werden beispielhaft einige Anwendungsgebiete, die eine erhebliche wirtschaftliche Bedeutung haben, mit ihren typischen Bauarten und speziellen Anforderungen aufgelistet. In vielen Systemen ist die Pumpe eine Komponente eines komplexen Prozesses, in dem der Ausfall der Pumpe gravierende wirtschaftliche Einbußen bedeuten kann – man denke z.B. an die Kesselspeisepumpen eines Großkraftwerkes. Die Forderung nach höchster Zuverlässigkeit im Betrieb ist daher kennzeichnend für viele Pumpenspezifikationen; das gilt nicht nur für große Spezialpumpen, sondern auch für Massenprodukte wie Kühlwasserpumpen von Kraftfahrzeugen oder Heizungsumwälzpumpen.

2.3 Pumpentypen und ihre Anwendung

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Tafel 2.4 Einsatzgebiete von Kreiselpumpen Typ oder Einsatz

Typische Bauarten

„Universal“ oder Normpumpen

einstufig radial einstufig radial Prozeßpumpen für die Verfahrens- mehrstufig, technik radial oder halbaxial einstufig Kühlwasserpumpen radial oder für Großkraftwerke halbaxial Kesselspeisepumpen Kesselspeisepumpen für Großkraftwerke mehrstufig Injektionspumpen radial Pipelinepumpen

Kennzeichen, Anwendungen, Leistungsklasse P [kW] Spezielle Anforderungen 2 - 200 10 - 300 50 - 1000

Vertikalpumpen hoher spezifischer Drehzahl

100 - 2000

Industriekraftwerke

5000 45‘000 1000 20‘000 500 - 3000

Großanlagen für axial Be- oder Entwässehalbaxial rung

200 - 2000

Abwasserpumpen

alle

10 - 1000

Schiffspumpen

alle

1 - 1000

alle

5 - 500

Raketentechnik Lebensmitteltechnik Medizinaltechnik (z.B. Blutpumpen)

10 - 5000 einstufig radial einstufig radial einstufig radial Radial oder halbaxial

Hohe Zuverlässigkeit und Lebensdauer Oft nach speziellen Normen gebaut, z.B. [N.6] Dichtheit, Explosionsschutz, Sicherheit

500 - 3000

Minenpumpen

Unterwasserpumpen, Tauchmotorpumpen Gas-FlüssigkeitsGemische Pumpen ohne Wellendichtung Baggerpumpen Kiespumpen Feststoffpumpen für Kohle, Sand, Asche

Niedrige Anschaffungskosten

5 - 250 200 - 2000 50 - 1000 1000

Alle

1 - 50

alle

< 0,1

Hochtourige Maschinen mit Vorpumpe. Maßnahmen zur Vermeidung von Schwingungsund Kavitationsproblemen Injektion von Wasser zur Erhöhung der Erdölausbeute Überregionaler Transport von Trinkwasser oder Erdöl Bergwerksentwässerung Verschleiß durch sandhaltiges Wasser

Große Kanalquerschnitte, unempfindlich gegen Verstopfung Platzsparend, daher oft vertikal. Gutes Saugverhalten. Häufig mit fluchtenden Stutzen („inline“) Anwendung: Abwasser, Entwässerung. Unempfindlich gegen Eindringen von Wasser Anwendung: Verfahrenstechnik, Erdölgewinnung. Spezielle hydraulischen Formen Für gefährliche Stoffe (leckfreie Pumpen) mit Spaltrohrmotor oder Magnetkupplung. Mitfördern großer Steine und Fremdkörper. Schutz gegen abrasiven Verschleiß Schutz gegen abrasiven Verschleiß Extreme Umfangsgeschwindigkeiten, kurze Lebensdauer, mit Vorsatzläufer Extreme Reinheit, kein Eindringen von Schmiermitteln, Schonung des Fördermediums Extreme Reinheit, extreme Zuverlässigkeit, Schonung des Fördermediums

52

2 Bauarten und Leistungsdaten

2.3.3 Bauarten Im folgenden werden einige weit verbreitete Bauarten von Kreiselpumpen besprochen. Hierbei handelt es sich um Beispiele – eine vollständige Aufzählung wäre unpraktikabel. Einstufige, einflutige Pumpen mit Spiralgehäuse, Abb. 2.1: Diese Bauart bildet mit Abstand die Gruppe der am häufigsten anzutreffenden Pumpen. Das Grundkonzept, das anhand von Abb. 2.1 besprochen wurde, wird für eine Vielzahl von Anwendungen abgewandelt. Die Hauptabmessungen einer Reihe häufig verwendeter, einstufiger Spiralgehäusepumpen wurden in DIN 24255 und 24256 und ISO 2858 genormt. Radialpumpen dieser Bauart werden im Bereich spezifischer Drehzahlen von etwa nq = 7 bis 100 gebaut. Die Förderströme reichen von wenigen Litern pro Minute bis zu mehren Kubikmetern pro Sekunde bei großen Kühlwasserpumpen für thermische Kraftwerke oder bei Speicherpumpen für die Wasserkraftnutzung. Radialpumpen findet man in horizontaler oder vertikaler Aufstellung mit axialem Zulauf, aber auch als Pumpen mit fluchtendem Saug- und Druckstutzen („inline“Ausführung) sowie mit angeflanschtem Motorblock zum Einbau in eine gerade Rohrleitung. Einstufige Spiralgehäusepumpen sind in vielen Industriezweigen weit verbreitet: Wasserversorgung, Abwasser, Verfahrenstechnik einschließlich Petroindustrie, Kraftwerkstechnik sind wichtige Einsatzgebiete. Auch als Kleinpumpen werden sie in hohen Stückzahlen produziert, man denke an Kühlwasserpumpen, wie sie in jedem Kraftfahrzeug eingebaut sind oder an Heizungsumwälzpumpen für Ein- und Mehrfamilienhäuser. An diese eher unscheinbaren Pumpen mit Laufraddurchmessern von 30 bis 50 mm und Leistungsaufnahmen mit 30 bis 200 W werden z.B. hinsichtlich Zuverlässigkeit und Geräuscharmut strenge Forderungen gestellt. Auch Wirkungsgrad bzw. Energieverbrauch sind von volkswirtschaftlicher Bedeutung: Das Marktvolumen in Europa beträgt 5x106 Stück/a. Das entspricht bei einer mittleren Leistung von 60 W pro Pumpe einer installierten Kraftwerksleistung von 300 MW, [2.1]. Kleine Inline-Pumpen werden oft in Blockbauweise ausgeführt, wobei das Laufrad direkt auf das Wellenende des Motors montiert wird. Die in Abb. 2.4 gezeigte Pumpe ist mit einem Naßläufermotor ausgerüstet. Motor und Lager werden mit der Förderflüssigkeit umspült und gekühlt. Eine Wellendichtung kann somit entfallen. Die Statorwindungen des Motors werden durch einen Mantel gegen das Fluid geschützt; das gleiche gilt für den Rotor. Zur Abfuhr der Verlustleistung des Motors und der Reibleistung des im Fluid drehenden Rotors wird ein kleiner Teilstrom der Förderflüssigkeit durch den Spalt zwischen Rotor und Stator geführt. Die Lager werden durch die Förderflüssigkeit geschmiert. Eine Schwimmringdichtung reduziert die Leckage am Laufradeintritt. Die Pumpe wird ohne zusätzliche Abstützung in die Rohrleitung geflanscht. Die elektronische Reglung ist im Motorblock integriert.

2.3 Pumpentypen und ihre Anwendung

53

Abb. 2.4. Umwälzpumpe für Zentralheizungen, WILO AG

Neben radialen werden auch halbaxiale Laufräder in Spiralgehäusepumpen bis etwa nq =140 eingesetzt. Bei Kleinpumpen oder niedrigen spezifischen Drehzahlen wird als Leitapparat auch ein Ringraum (an Stelle einer Spirale) verwendet. Für die Förderung feststoffbeladener oder stark gashaltiger Medien stehen eine Reihe von Sonderbauarten mit verschiedenen Typen von geschlossenen oder offenen Laufrädern zur Auswahl; Abb. 7.17 zeigt derartige Laufradsonderformen und Abb. 7.21 zeigt einen Schnitt durch eine Abwasserpumpe. Bei Pumpen für hohe Temperaturen muß die Wellendichtung gekühlt werden (s. Kühlkammer und Kühlwasseranschlüsse in Abb. 2.1). Zudem wird der Lagerträger in Höhe der Wellenachse abgestützt, um die negativen Auswirkungen der thermischen Verformungen zu minimieren. Ziel ist, eine Verkrümmung von Welle und Gehäuse zu vermeiden, damit das Laufrad in den engen Dichtspalten nicht anstreift. Die Werkstoffpalette reicht – je nach Fördergut und Verwendungszweck – von Grauguß, über Bronzen und rostfreie Stähle aller Art, bis zu Kunststoffen, Glas und Keramik. Einstufige, doppelflutige Pumpen mit Spiralgehäuse, Abb. 2.5: Doppelflutige Laufräder erlauben gegenüber einer einflutigen Pumpe einen deutlich tieferen Zulaufdruck, wenn ein spezifizierter Volumenstrom mit einer gegebenen Drehzahl gefördert werden soll (Kap. 6.2.4). Auch hinsichtlich Wirkungsgrad sind doppelflutige Pumpen für nq < 40 gegenüber einflutigen im Vorteil. Die hydraulischen

54

2 Bauarten und Leistungsdaten

Axialkräfte auf ein doppelflutiges Laufrad sind aus Symmetriegründen weitgehend ausgeglichen (Kap. 9.2), so daß ein kleineres Axiallager genügt. Abbildung 2.5 zeigt eine doppelflutige Zubringerpumpe vertikaler Bauart für eine Pipelinepumpe zur Trinkwasserversorgung (Qopt = 2,4 m3/s, Hopt = 48 m bei n = 596 min–1, nq = 36). Als Leitapparat dient eine Doppelspirale, mit der sich die hydraulischen Radialkräfte gegenüber einer Einfachspirale erheblich reduzieren lassen (Kap. 9.3). Das untere Radiallager ist wassergeschmiert, so daß die untere Wellendichtung entfällt. Dieses Lager wird mit Kühlwasser versorgt, das aus dem Spiralgehäuse entnommen wird. Das obere Radial- und das Axiallager sind als ölgeschmierte Gleitlager ausgebildet. Für eine langsamlaufende Pumpe mit großem Wellendurchmesser bietet eine Packungsstopfbüchse eine günstige Lösung für die Wellendichtung.

Abb. 2.5. Doppelflutige Pumpe in vertikaler Ausführung, Sulzer Pumpen AG n = 596 rpm, Qopt = 2.4 m3/s, Hopt = 48 m, Popt = 1250 kW, nq = 36

2.3 Pumpentypen und ihre Anwendung

55

Einstufige, doppelflutige Pumpen werden im Bereich spezifischer Drehzahlen von etwa nq = 10 bis 100 gebaut. Die Installation erfolgt meist horizontal mit fluchtenden Saug- und Druckstutzen („inline“), so daß die Pumpe in einer geraden Leitung ohne Formstücke angeordnet werden kann – bei großen Nennweiten ein wichtiger Vorteil hinsichtlich Rohrleitungskosten, wenn das Anlagekonzept diese Installation erlaubt. Für kalte Flüssigkeiten (aber auch bis etwa 130 °C) werden doppelflutige Maschinen vorwiegend „mittengeteilt“ ausgeführt: entsprechend wird in Achsebene ein Flansch angeordnet, der nach Abheben der oberen Gehäusehälfte den Ausbau des kompletten Rotors gestattet. Druck- und Saugstutzen befinden sich unter dieser Trennebene und behindern das Öffnen der Pumpe nicht. Für hohe Temperaturen, hohe Drücke und als Prozeßpumpe werden einstufige, doppelflutige Maschinen auch mit ungeteiltem Gehäuse und ein oder zwei Dekkeln ausgeführt, die gleichzeitig die Funktion des Lagerträgers übernehmen. Mehrstufige Radialpumpen mit einflutigem Saugrad: Wird die spezifische Drehzahl für eine bestimmte Förderaufgabe so klein, daß der Wirkungsgrad zu tief bzw. die Energiekosten unverhältnismäßig hoch würden, sind mehrstufige Pumpen einzusetzen (falls sich die Drehzahl nicht erhöhen läßt). Auch aus mechanischen und konstruktiven Gründen ist es oft sinnvoll, die Förderhöhe pro Stufe zu begrenzen und mehrstufig zu bauen. Während alle Stufen im Regelfall den gleichen Volumenstrom fördern, addieren sich die Förderhöhen der hintereinander geschalteten Einzelstufen zur Gesamtförderhöhe. Die maximal ausführbare Stufenzahl wird im wesentlichen durch Schwingungsprobleme begrenzt; zum einen, weil mit zunehmender Länge der Pumpenwelle die „kritische Drehzahl“ sinkt. Zum andern steigen die schwingungsanregenden Kräfte mit dem Quadrat der Umfangsgeschwindigkeit u2 der Laufräder: je größer u2, desto mehr wächst die Gefahr von erzwungenen wie selbsterregten Schwingungen, so daß die beherrschbare Stufenzahl mit zunehmender Umfangsgeschwindigkeit sinkt. In Europa werden mehrstufige Pumpen vorwiegend mit Leiträdern gebaut, während in den USA in vielen Anwendungen auch Doppelspiralen verwendet werden. Abbildung 2.6 zeigt eine 6-stufige Leitradpumpe in Segmentbauweise (auch als „Gliederpumpe“ bezeichnet). Das Fluid wird meist, wie in Abb. 2.6, durch ein Einlaufgehäuse mit radial gerichtetem Saugstutzen zugeführt; es gibt aber auch Baureihen, die einen axialen Saugstutzen aufweisen, bei denen dann das eintrittsseitige Lager durch das Fördermedium geschmiert wird. Das Laufrad der ersten Stufe hat einen größeren Eintrittsdurchmesser als die Laufräder der Folgestufen, um den erforderlichen NPSH-Wert zu reduzieren. Das Austrittsgehäuse kann als Ringraum oder Spiralgehäuse ausgebildet werden, um das Fluid aus der letzten Stufe in den Druckstutzen zu leiten. Zwischen Ein- und Austrittsgehäuse – durch kräftige Zuganker verspannt – werden die Stufenelemente angeordnet. Sie enthalten je ein Laufrad, ein Leitrad und die Rückführschaufeln sowie – als druckführendes Teil – das Gehäuseelement, in dem das Leitrad zentriert wird. Die Lagerträger werden an Ein- und Austrittsgehäuse angeflanscht. Die statische Durchbiegung der Welle läßt sich bei langen Gliederpumpen dadurch beherrschen, daß man die Gehäuseelemente leicht konisch bearbeitet, dergestalt, daß das Gehäuse der Biegelinie des Rotors angepaßt wird.

56

2 Bauarten und Leistungsdaten

Abb. 2.6. Mehrstufige Gliederpumpe, Sulzer Pumpen AG

Die in Abb. 2.6 gezeigte Maschine ist mit fördergutgeschmierten Lagern ausgerüstet, was eine kompakte Bauweise mit entsprechenden Einsparungen an Rotorlänge, Platzbedarf, Gewicht und Kosten verspricht, [2.2]. Für höchste Drücke oder Dichtheitsanforderungen werden mehrstufige Leitradpumpen in Topfbauweise nach Abb. 2.7 gebaut. Auch hier sind Leiträder einschließlich Rückführschaufeln in Stufengehäusen angeordnet, die mit dem schweren Deckel, dem gesamten Rotor einschließlich Lagerträgern sowie dem Einlaufgehäuseeinsatz eine Montageeinheit bilden. Diese wird als Ganzes – nach Entfernen der Kupplung und eines kleinen Deckels auf der Antriebsseite – aus dem Gehäuse ausgebaut. Die in Abb. 2.7 gezeigte Konstruktion ist typisch für Kesselspeisepumpen von fossil befeuerten Kraftwerken mit mehreren hundert MW Leistung. Die gezeigte Maschine ist ähnlich aufgebaut wie die in [2.3] beschriebene Pumpe, die bei einer Drehzahl von 5800 min-1 eine Förderhöhe von 3900 m erbringt und eine Leistung von nahezu 34 MW aufnimmt. Für die Injektion von Wasser in Ölfelder werden ähnliche Pumpen eingesetzt, um auf diese Weise die Erdölausbeute zu steigern. Bei mehrstufigen Pumpen addieren sich die hydraulischen Axialkräfte aller Stufen zu einem erheblichen „Axialschub“ auf den Rotor, der nicht mit vertretbarem Aufwand durch ein Axiallager aufgenommen werden kann. Mehrstufige Pumpen verfügen daher in der Regel über eine Vorrichtung zum Axialschubausgleich, Kap. 9.2. Bei der Gliederpumpe in Abb. 2.6 ist das eine Entlastungsscheibe, während die Mantelgehäusepumpe in Abb. 2.7 einen Entlastungskolben hat.

2.3 Pumpentypen und ihre Anwendung

57

Abb. 2.7. Hochdruck-Kesselspeisepumpe in Topfbauweise, Sulzer Pumpen AG

Eine weitere Möglichkeit zum Axialschubausgleich besteht in einer gegenläufigen Anordnung der Laufräder in zwei Gruppen gemäß der 12-stufigen Pumpe mit Doppelspiralen in Abb. 2.8. Das Gehäuse ist mittengeteilt, was den Ausbau des kompletten Rotors nach Abheben der oberen Gehäusehälfte ermöglicht. Die Halbspiralen sind in die beiden Gehäuseteile eingegossen, ebenso die Umführungskanäle von der ersten zur zweiten Stufengruppe. Die Spiralen münden über Diffusoren in Überströmkanäle, die das Fluid dem Laufrad der nachfolgenden Stufe zuführen. Saug- und Druckstutzen sind in der unteren Gehäusehälfte angeordnet, so daß die Rohrleitungen beim Öffnen der Pumpe nicht demontiert zu werden brauchen. Der Druckstutzen liegt in Pumpenmitte. Dort befindet sich auch ein Entlastungskolben, der eine Leckage vom Austritt der zweiten zur ersten Stufengruppe bedingt. Ein zweiter Kolben ist am Eintritt der zweiten Stufengruppe nötig, um den Axialschub auszugleichen und den Druck vor der Wellendichtung zu reduzieren.

Abb. 2.8. Mehrstufige, mittengeteilte Pipelinepumpe mit Doppelspiralen, Sulzer Pumpen AG

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2 Bauarten und Leistungsdaten

Die gegenläufige Anordnung hat – besonders bei kleinen spezifischen Drehzahlen – einen leichten Vorteil im Wirkungsgrad gegenüber einer Pumpe mit in Reihe angeordneten Stufen und Entlastungskolben (s. Abb. 2.7), weil ein kleineres Axiallager eingebaut werden kann und der Entlastungsstrom etwas geringer ausfällt. Stützwirkung und Dämpfung des Kolbens in Rotormitte sind günstig für das Schwingungsverhalten (Kap. 10). Nachteilig sind dagegen die komplizierten Gußstücke für das Gehäuse, die auch die Standardisierung erschweren. Abbildung 2.9 zeigt eine 12-stufige Leitradpumpe für Meerwasserförderung mit gegenläufig angeordneten Laufrädern. Ähnlich wie bei Abb. 2.7 handelt es sich um eine Pumpe, bei der Rotor, Lagerung und Gehäusedeckel als Einschubeinheit ausgebildet sind (“cartridge design”). Zwischen den beiden Stufengruppen befindet sich ein Zwischenstück mit Überströmkanälen. Die Kanäle unterhalb des Mittelkolbens führen das Wasser von der ersten zur zweiten Stufengruppe. Die oberhalb des Mittelkolbens gezeigten Kanäle leiten das Fluid von der letzten Stufe über eine Ringkammer zum Druckstutzen. Das Fördermedium fließt durch den Eintrittsstutzen (in Abb. 2.9 links) über eine ringförmige Kammer durch einen beschaufelten Einsatz zum Laufrad der ersten Stufen (ähnlich wie in Abb. 2.7).

Abb. 2.9 Hochdruck-Meerwasser-Injektionspumpe. Sulzer Pumpen AG n = 6000 rpm, Qopt = 400 m3/h, Hopt = 5300 m, Popt = 7700 kW, nq = 21

Auch zweistufige Pumpen werden in gegenläufiger Anordnung gebaut, wobei entweder beide Stufen einflutig sind, oder die erste Stufe doppelflutig und die zweite einflutig ausgeführt wird. Mehrstufige Pumpen können mit einer Zwischenentnahme in jeder beliebigen Stufe versehen werden, durch die ein Bruchteil des Förderstromes abgezweigt wird. In Abb. 2.7 erfolgt die Zwischenentnahme in der zweiten Stufe. Ein Anwendungsbeispiel ist die Zwischenentnahme an einer Kesselspeisepumpe zur Regelung der Dampftemperatur vor dem Zwischenüberhitzer durch Wassereinspritzung. In diesem Fall fließt also nicht durch alle Stufen der gleiche Förderstrom, was bei der Auslegung entsprechend zu berücksichtigen ist.

2.3 Pumpentypen und ihre Anwendung

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Mehrstufige Radialpumpen mit doppelflutigem Saugrad: Mehrstufige Pumpen können auch mit doppelflutiger Saugstufe ausgeführt werden, Abb. 2.10. Diese Anordnung kann vorteilhaft sein, wenn die Anwendung sich für einen Direktantrieb mit z.B. 3600 min-1 eignet. Das doppelflutige Laufrad erlaubt bei einem gegebenen Wert von NPSHA eine höhere Drehzahl und damit eine kleinere Pumpe.

Abb. 2.10 Hochdruckpumpe mit gegenläufig angeordneten Laufrädern und doppelflutigem Saugrad in „cartridge“ Bauweise (der Druckstutzen liegt nicht in der Zeichnungsebene); Sulzer Pumpen AG

Vom Austritt des doppelflutigen Saugrads gelangt das Fluid über ein Leitrad in eine Ringkammer, von der es über mehrere Kanäle zur zweiten Stufe geführt wird. Ähnlich wie in Abb. 2.9 sind die einflutigen Laufräder gegenläufig in einer Einschubeinheit angeordnet, die von der Nichtantriebsseite her eingebaut wird (links in Abb. 2.10). Der schwere Deckel auf der Nichtantriebsseite ist als Drehverschluß ausgebildet. Dadurch lassen sich die dicken Bolzen vermeiden, die in der konventionellen Bauweise nach Abb. 2.9 notwendig sind. Die gegenläufige Anordnung der Laufräder ist auch in zweistufigen Pumpen gebräuchlich; Abb. 9.16 zeigt hierzu ein Beispiel. Abbildung 2.11 zeigt eine radial geteilte Prozeßpumpe mit doppelflutiger Saugstufe und einer einflutigen zweiten Stufe. Die Laufräder können beidseitig nach Öffnen des Deckels ausgebaut werden. Doppelspiralen und Überströmkanäle sind in das Gehäuse eingegossen. Mehrstufige, doppelflutige Pumpen: 2- oder 3-stufige Pumpen werden auch doppelflutig gebaut, wie in Abb. 2.12 anhand einer zweistufigen Wassertransportpumpe gezeigt. Das Fluid wird den beiden Saugstutzen über ein Hosenrohr zugeführt und gelangt über die Einlaufkammern zu den Sauglaufrädern. Von dort strömt das Fördermedium über Leiträder und Rückführkanäle zur doppelflutigen zweiten Stufe, die über eine Doppelspirale in den Druckstutzen fördert. Dieser ist fluchtend mit dem Eintritt in das Hosenrohr angeordnet. Die doppelflutige Anordnung erlaubt – verglichen mit der einflutigen Pumpe – niedrigere Zulaufdrücke und ist so bezüglich Investitionskosten interessant. Sie bietet zudem Vorteile im Wirkungsgrad (also den Energiekosten), weil die Leckverluste für eine Axialschubentlastung fortfallen und das Axiallager sehr viel kleiner ausfällt und somit weniger Verluste verursacht. Die etwas aufwendigere Konstruktion einer mehrstu-

60

2 Bauarten und Leistungsdaten

figen, doppelflutigen Pumpe macht sich daher bei Großanlagen für den Flüssigkeitstransport durch bauseitige Einsparungen, bei den Energiekosten und durch sehr zuverlässiges Betriebsverhalten (d.h. geringere Unterhaltskosten) schnell bezahlt.

Abb. 2.11 Zweistufige Prozeßpumpe mit doppelflutiger Saugstufe, Sulzer Pumpen AG

Abb. 2.12. Zweistufige, doppelflutige Wassertransportpumpe, Sulzer Pumpen AG Qopt = 1,7 m3/s, Hopt = 465 m bei n = 1490 min–1, nq = 23

2.3 Pumpentypen und ihre Anwendung

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Halbaxiale Pumpen: Mit der halbaxialen Konstruktion läßt sich der Außendurchmesser des Leitrades gegenüber Spiralgehäusen der radialen Bauart verringern. Vertikale Bohrlochpumpen für die Wasserversorgung, bei denen aus wirtschaftlichen Gründen ein möglichst kleiner Durchmesser gefordert wird, werden deshalb mehrstufig, halbaxial gebaut. Bei kleinen Förderströmen werden in derartigen Anwendungsfällen selbst Pumpen mit niedrigen spezifischen Drehzahlen, bis hinunter zu etwa nq = 20, noch mit halbaxialen Leiträdern ausgeführt, während die Laufräder sich von der radialen Bauart kaum unterscheiden. Auch als vertikale, mehrstufige Prozeß- oder Kondensatpumpen kleiner spezifischer Drehzahl werden halbaxiale Pumpen in Topfbauweise eingesetzt. Abbildung 2.13 zeigt eine solche Maschine mit fluchtenden Saug- und Druckstutzen. Die Leiträder bilden Stufensegmente, die aneinander geschraubt werden. Die letzte Stufe fördert in ein

b)

a)

Abb. 2.13. Mehrstufige, halbaxiale Prozeßpumpe, Sulzer Pumpen AG

Abb. 2.14. Vertikalpumpen für Naßaufstellung: a Halbaxiale Pumpe, b Axialpumpe Sulzer Pumpen AG

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2 Bauarten und Leistungsdaten

Steigrohr, das in einen Tank eingebaut wird, aus dem das Fluid zur Saugstufe gelangt. Der Axialschubausgleich erfolgt durch Entlastungsbohrungen gemäß Abb. 2.1, (s. Kap. 9.2). Der hydraulisch optimale Bereich halbaxialer Pumpen liegt bei spezifischen Drehzahlen im Bereich von etwa nq = 50 bis 170. Solche Pumpen werden in vertikaler Bauweise – häufig in Naßaufstellung – für Wasser- und Kühlwasserversorgung sowie Be- und Entwässerung eingesetzt. Abbildung 2.14 zeigt eine Pumpe mit der spezifischen Drehzahl nq = 150 mit Saugtrompete für Naßaufstellung. Der Leitradaustritt schließt an ein Steigrohr an, in dem die Welle durch mediumgeschmierte Lager gestützt wird. Der Austrittskrümmer muß bei kleinen Förderhöhen, bzw. hohen spezifischen Drehzahlen, strömungstechnisch günstig ausgebildet werden, weil seine Druckverluste mehrere Prozent der Förderhöhe ausmachen und so die Wirtschaftlichkeit beeinträchtigen. Axialpumpen: Für spezifische Drehzahlen oberhalb nq > 170 werden rein axial durchströmte Axial- oder Propellerpumpen eingesetzt, die gemäß Abb. 2.14 im Aufbau den halbaxialen Maschinen sehr ähnlich sind. Dichtungslose Pumpen: Pumpen ohne Wellendichtung („hermetisch dichte Pumpen“) werden dann eingesetzt, wenn jegliches Austreten gefährlicher oder schädlicher Stoffe verhindert werden soll. Eine Wellendichtung läßt sich vermeiden, wenn der Motor als „Naßläufer“ im Fördermedium laufen kann oder mittels einer Sperrung von der Förderflüssigkeit getrennt wird. Dichtungslose Pumpen werden in [B.14] behandelt. Mit einer Magnetkupplung läßt sich das Risiko vermeiden, daß die Motorwicklungen bei schadhaftem Mantel mit dem Fördermedium in Berührung kommen.

Abb. 2.15. Hermetisch dichte Prozeßpumpe mit Antrieb über Magnetkupplung, Sulzer Pumpen AG

2.3 Pumpentypen und ihre Anwendung

63

Permanentmagnete auf der Antriebswelle übertragen über einen Luftspalt und einen metallischen Mantel ein rotierendes Magnetfeld (und damit ein Drehmoment) auf den Pumpenrotor, Abb. 2.15. Tauchpumpen: Mittels Tauchpumpen, bei denen Pumpe und Motor im Reservoir der zu fördernden Flüssigkeit installiert werden, lassen sich Komplexität und Kosten der Pumpenanlage in vielen Anwendungen erheblich senken. Dies z.B. dann, wenn bei Trockenaufstellung lange Steigleitungen benötigt würden. Eine mögliche Ausführung ist mit einem ölgefüllten Motor ausgerüstet. Eine mechanische Dichtung trennt hier das Öl von der Förderflüssigkeit. Kleine und mittlere Abwasserpumpen werden häufig als Tauchpumpen ausgeführt. Die Pumpe wird an einer Kette von einem Boden oberhalb des Wasserspiegels in den Sumpf abgesenkt, wobei der Anschluß an die Druckleitung automatisch hergestellt wird. Abbildung 2.16 zeigt eine Tauchpumpe mit einem ölgefüllten Motor, bei dem die Verlustleistung des Motors durch einen Kühler abgeführt wird, der im Bild direkt oberhalb der Tragscheibe des Laufrades zu erkennen ist. Das Öl wird mittels eines

Abb. 2.16. Tauchpumpe für Abwasser, Wilo-Emu SE

Abb. 2.17. Freistrompumpe für Abwasser, Wilo-Emu SE

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2 Bauarten und Leistungsdaten

Hilfslaufrades durch den Motor gepumpt, das unterhalb des Motorrotors angeordnet ist. Ein externes Rohr leitet das Öl vom oberen Motorraum nach unten zum Kühler. Umweltverträgliche Öle werden verwendet, um bei Leckage unzulässige Kontaminierungen zu vermeiden. Bei anderen Ausführungen ist der Motor wassergekühlt, wobei sich ein Luftspalt zwischen Rotor und Stator befindet. 2.3.4 Sonderbauarten Freistrompumpen: Bei Freistrom- oder Wirbelradpumpen nach Abb. 2.17 befindet sich zwischen dem offenen Laufrad und der Gehäusevorderwand ein breiter axialer Spalt, so daß der Strömungsweg vom Saug- zum Druckstutzen fast frei ist. Das mit radialen Schaufeln ausgerüstete Laufrad erzeugt infolge Zentrifugalkräften eine Zirkulationsströmung, die das eintretende Fluid – mit eventuellen festen oder gasförmigen Beimengungen – in eine kräftige Rotation versetzt; hierdurch wird ein zentrifugales Druckfeld aufgebaut, mittels dessen das Fluid in den Druckstutzen transportiert wird. Da das außerhalb des Laufrades rotierende Fluid nur durch Impulsaustausch (Scherkräfte in der hochturbulenten Strömung) in Bewegung gesetzt werden kann, treten gegenüber Kreiselpumpen, bei denen das Fluid in geordneter Strömung durch das Laufrad fließt, zusätzliche Verwirbelungsverluste auf. Die Wirkungsgrade sind infolgedessen bei Freistrompumpen rund 30% niedriger als bei den üblichen Kreiselpumpen ähnlicher Größe und spezifischer Drehzahl, s. Kap. 7.4 Da das Fördergut wenig mit dem Laufrad in Berührung kommt, können Freistrompumpen – ohne Verstopfungsgefahr – alle möglichen Beimengungen einschließlich Textilien, Fasern und abrasiven Feststoffen sowie gashaltige Medien fördern. Auch zum Transport verletzlicher Produkte, wie Fische, Gemüse oder Kristalle, sind diese Pumpen geeignet. Kleine Freistrompumpen werden häufig für die Abwasserförderung eingesetzt. Reibungspumpen: Das Laufrad einer Reibungspumpe besteht aus eng nebeneinander stehenden, glatten Scheiben, die durch Bolzen und Distanzstücke in ihrer Position gehalten und vom Antrieb in Rotation versetzt werden (Skizze Tafel 2.3). Die Pumpwirkung wird durch Zentrifugalkräfte und Schubspannungen hervorgerufen, die auf die Grenzschichten dieser Scheiben ausgeübt werden: Unmittelbar an den Scheiben haftet das Fluid und bewegt sich also im Absolutsystem mit der Umfangsgeschwindigkeit der Scheiben. Infolge laminarer und turbulenter Schubspannungen wird die Flüssigkeit zwischen den Scheiben mitgeschleppt, somit ebenfalls in Drehung versetzt und durch die Zentrifugalkraft nach außen transportiert. Die Strömung zwischen den Scheiben kann laminar oder turbulent sein; der Übergang erfolgt im Bereich Reb = 1200 bis 2300 (mit Reb = r b ω/ν, wenn b den Abstand der Scheiben bedeutet). Die Druckzahl erreicht bei kleinem Durchfluß nahezu den Wert ψ = 2; sie sinkt rasch mit wachsendem Förderstrom, weil das durch Schubspannungen übertragbare Moment nicht beliebig groß werden kann. Die Beziehung ψ = 2 - 0,06 nq gibt einen Anhaltspunkt für die ungefähre Höhe

2.3 Pumpentypen und ihre Anwendung

65

der Druckzahl, die allerdings vom Abstand der Scheiben abhängt. Die Wirkungsgrade liegen im Bereich von 25 bis 35%. Reibungspumpen können mit einem oder mehreren parallel arbeitenden „Kanälen“ ausgeführt werden. Infolge der glatten Strömung ohne Schaufeln sind die Pumpen sehr schwingungs- und geräuscharm und wenig kavitationsanfällig. Reibungspumpen werden deshalb dort eingesetzt, wo Geräuscharmut als vorrangig gilt. Sie sind auch relativ unempfindlich gegen abrasiven Verschleiß durch Feststoffe, die im Fördergut mitgeführt werden. Einzelheiten zu Reibungspumpen und weitere Literatur finden sich in [2.4 bis 2.6]. Seitenkanal- und Peripheralpumpen sind unmittelbar selbstansaugend. Bei Seitenkanal- und Peripheralpumpen erfolgt die Energieübertragung vom Laufrad an das Fluid mittels Impulsaustausch zwischen der Strömung im Laufrad und im Stator: Infolge Zentrifugalkräften im Laufrad wird eine Rezirkulationsströmung zwischen dem Laufrad und dem im Gehäuse angeordneten Seitenkanal erzeugt, die den Impulsaustausch stark intensiviert, weil die Umfangsgeschwindigkeiten des Fluids und des Laufrades nahezu die gleiche Größe erreichen. Dabei strömt das Fluid spiralförmig – mehrfach über dem Umfang – vom Seitenkanal in das Laufrad zurück, Abb. 2.18. Dies bewirkt einen intensiven Impulsaustausch, der weitaus höhere Druckzahlen ergibt als sie bei Radialrädern erreicht werden (Tafel 2.3), und die bei Teillast Werte über ψ = 10 betragen können. Die optimale Anzahl Laufschaufeln liegt zwischen 22 und 26; die Schaufeln sind sternförmig angeordnet; profiliert und können geneigt sein (in Abb. 2.18 β ≠ 90°). Ein Unterbrecher trennt Saug- und Druckstutzen voneinander, wodurch ein Druckaufbau erst möglich wird. Der Seitenkanal verläuft über 270 bis 320° vom Umfang. Nachteilig sind der relativ geringe Wirkungsgrad und das hohe Geräuschniveau, bei dem die Frequenz Drehzahl mal Schaufelzahl besonders störend hervortritt. Beide Nachteile werden durch die verlustreiche Rezirkulationsströmung vera A

A c

b

Abb. 2.18. Seitenkanalpumpe. a Meridianschnitt; b Schnitt A mit Unterbrecher; c Abwicklung des Seitenkanals

66

2 Bauarten und Leistungsdaten

ursacht. Dabei übt die Formgebung des Seitenkanals einen bedeutenden Einfluß auf das Geräuschniveau aus. Die axialen Spaltspiele zwischen Laufrad und Gehäuse betragen nur 0,05 bis 0,15 mm, weshalb die Laufräder meist axial verschieblich auf der Welle angeordnet werden. Wegen der geringen Spiele sind die Pumpen empfindlich gegen Verschmutzung und Verschleiß. Neben der Ausführung nach Abb. 2.18 mit einem Seitenkanal gibt es auch Pumpen, bei denen auf beiden Seiten des Laufrades Seitenkanäle angeordnet werden, um den Förderstrom zu verdoppeln. Peripheralpumpen nach Abb. 2.19 sind in Aufbau und Wirkungsweise den Seitenkanalpumpen sehr ähnlich. Der Unterschied zwischen beiden Bauarten besteht im wesentlichen darin, daß der Ringraum bei den Peripheralpumpen nicht nur seitlich neben dem Laufrad sondern auch stirnseitig über dem Laufradaußendurchmesser angeordnet ist. Die Fähigkeit, selbstansaugend zu sein, bedeutet auch, daß die Seitenkanalpumpen Flüssigkeiten mit relativ hohen Gasanteilen fördern können, wobei Druckverhältnisse von 1,6 < pd/ps < 35 erreicht werden. Näheres zu Seitenkanalund Peripheralpumpen findet sich in [B.8] und [B.13].

Druckstutzen

Saugstutzen

Trennelement

Abb. 2.19. Peripheralpumpe, [2.7]

Wasserringpumpen sind mittelbar selbstansaugend, sofern im Pumpengehäuse genügend Flüssigkeit vorhanden ist. Ein Flügelzellenrad wird nach Abb. 2.20 exzentrisch im Pumpengehäuse gelagert. Bei Rotation des Laufrades bildet sich infolge der Zentrifugalkraft am äußeren Umfang ein Wasserring. Da der Wasserring zum Gehäuse konzentrisch läuft, bilden sich in den Zellen des Laufrades über dem Umfang veränderliche Volumina. Der Spalt zwischen Gehäuse und Laufrad wird dabei durch den Wasserring abgedichtet. Im Bereich der größten Zellen wird Gas über mit dem Saugstutzen verbundene Kanäle angesaugt und entsprechend im Bereich der kleinsten Zellen über Schlitze in den Druckstutzen gefördert. Der angesaugte Volumenstrom ergibt sich aus der Zellengröße und der Drehzahl. Der Wirkungsweise entsprechend handelt es sich also eher um eine Verdränger- als um eine Kreiselpumpe.

2.3 Pumpentypen und ihre Anwendung

67

Abb. 2.20. Arbeitsprinzip der Flüssigkeitsringpumpe. 1 Gaseintritt, 2 Ringflüssigkeitseintritt, 3 Schaufelrad, 4 Ringflüssigkeit, 5 Sichelförmiger Hohlraum, 6 Gas- und Ringflüssigkeitsaustritt, [2.8]

Wasserringpumpen sind für Prozesse geeignet, bei denen wenigstens zeitweise gashaltige Medien zu fördern sind. Nach [2.8] werden sie vorwiegend als Vakuumpumpen in der Verfahrenstechnik eingesetzt. Sie können zwar auch reine Flüssigkeiten fördern, sind aber aufgrund der sich gegen den Austritt verengenden Fördervolumina bei diesem Einsatz wenig effizient. Pitotrohrpumpen, Abb. 2.21: Das Fördermedium tritt durch den Eintrittsstutzen in das rotierende Gehäuse ein. Infolge Reibung rotiert das Fluid mit dem Gehäuse wie ein erzwungener Wirbel. Bedingt durch die Zentrifugalkräfte, steigt der statische Druck im Gehäuse mit dem Quadrat der Umfanggeschwindigkeit, Kap. 1.4.2, Gl. (1.27). Dabei ist ein gewisser Schlupf zwischen den Umfangsgeschwindigkeiten von Gehäuse und Fluid zu erwarten, der mit wachsendem Förderstrom zunimmt. Durch ein stationäres Pitotrohr, das im Gehäuse angeordnet ist, wird Förderflüssigkeit aus dem Gehäuse abgezogen und dem Druckstutzen zugeführt. Am Eintritt in das Pitotrohr hat das Fluid die Absolutgeschwindigkeit c2u = ×u2, die statische Druckhöhe beträgt c2u2/(2g) und die dynamische Druckhöhe erreicht c2u2/(2g). Hierin ist = c2u/u2 der Schlupf. Das Fluid wird in einem Diffusor verzögert, der in das Pitotrohr integriert ist, und gelangt sodann in den Druckstutzen. Die theoretische Druckzahl ohne Schlupf wäre = 2.0; infolge Schlupf und Strömungsverlusten dürfte opt = 1.9 erreicht werden. Das Gehäuse kann mit Hilfsschaufeln, Rippen, Nuten oder anderem versehen werden, um den Schlupf zu verringern und die Nullförderhöhe zu vergrößern. Da das Gehäuse rotiert, wird auf der Hochdruckseite keine Wellendichtung benötigt – wohl aber auf der Saugseite. Die Radreibungsverluste sind sehr gering, weil das Gehäuse in Luft rotiert. Deshalb werden trotz niedrigen spezifischen Drehzahlen relativ hohe Wirkungsgrade erreicht. Als Beispiel für die Leistungsdaten seien genannt: Nullförderhöhe bis zu 2000 m; Wirkungsgrade: 50% für nq = 2; 62% für nq = 5; Förderstrom im Bestpunkt bis zu 100 m3/h; Anstieg der Kennlinie Ho/Hopt = 1.2 bis 1.3.

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2 Bauarten und Leistungsdaten

Vermutlich wird das stationäre Pitotrohr, das mit hoher Geschwindigkeit angeströmt wird, mit einer geeigneten Profilierung versehen, um die Verluste zu reduzieren und schädliche Wirbelablösungen zu vermeiden. Da kein beschaufeltes Laufrad vorhanden ist, sind die Druckpulsationen schwach. Teillastrückströmung tritt nicht auf, weshalb in der Regel kein Mindestmengenventil erforderlich ist.

Abb. 2.21. Pitotrohrpumpe, Sterling Fluid Systems

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

In Kapitel 3 werden die Berechnungsverfahren behandelt, die im wesentlichen allen Laufrädern und Leitvorrichtungen, unabhängig von der spezifischen Bauart, gemeinsam sind. Die Einzelheiten von Berechnung, Konstruktion und Gestaltung der verschiedenen Typen von Laufrädern und Leitapparaten werden in Kap. 7 besprochen.

3.1 Berechnung nach Stromfadentheorie Die strömungstechnische Berechnung einer Kreiselpumpe hat zum Ziel, die Hauptabmessungen und Schaufelwinkel von Laufrad und Leitapparat für eine spezifizierte Förderaufgabe festzulegen. Dazu müssen für den Berechnungspunkt (meist der Wirkungsgrad-Bestpunkt) Förderstrom, Förderhöhe und Drehzahl gegeben sein. Für diese Berechnung ignoriert man Sekundärströmungen und ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilungen in Laufrad und Leitvorrichtung und ersetzt die reale durch eine idealisierte, eindimensionale Strömung (Stromfadentheorie). Für das Verständnis der Strömungsvorgänge sowie für den ersten Entwurf von Laufrad, Spiralgehäuse oder Leitrad und Rückführschaufeln hat sich die Betrachtung als Stromfaden bewährt – und zwar auch dann, wenn diese Komponenten anschließend mittels numerischer Methoden optimiert werden sollen. Die hydraulische Berechnung folgt grundsätzlich dem Lauf des Fluids durch die Maschine und betrachtet jeweils Eintritt und Austritt der durchströmten Komponenten; dies ergibt nachstehende Berechnungsstationen 1 bis 6. In Tafel 0.1 sind hierzu Laufrad, Leitrad und Spirale mit den jeweiligen Hauptabmessungen, Winkeln und Berechnungsstationen dargestellt. Mehrstufige Leitradpumpen: (1) Laufradeintritt (SK) (2) Laufradaustritt (DK) (3) Leitradeintritt (SK) (4) Leitradaustritt (DK) (5) Rückführschaufeleintritt (SK) (6) Rückführschaufelaustritt (DK)

Spiralgehäusepumpen: (1) Laufradeintritt (SK) (2) Laufradaustritt (DK) (3) Diffusoreintritt (4) Diffusoraustritt (5) Außenspirale (6) Druckstutzen

SK bedeutet die Saugkante und DK die Druckkante der Schaufeln. Bei Spiralgehäusen werden die Berechnungsstationen 5 und 6 nur für den Außenkanal von Doppelspiralen benötigt (Tafel 0.2).

70

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Die Berechnung einer Pumpe erfolgt also in Richtung des Druckanstieges (wenn man von dem geringen Druckabfall in Eintrittsstutzen oder -gehäuse und ggf. in den Rückführschaufeln absieht). Der Turbinenbetrieb einer Pumpe (Kap. 12) wird wiederum in Strömungsrichtung, nun aber in Richtung fallenden Druckes, berechnet; die Bezeichnungen werden hierfür aber beibehalten: die Berechnung erfolgt also dann von Station 6 bis 1. Folgendes sei festgelegt: • • • • • • • • • • • • •

•

•

Umfangsgeschwindigkeiten: u = ω r = π d n/60 = π d n(s) Absolutgeschwindigkeiten: c Relativgeschwindigkeiten: w Winkel im Absolutsystem: α Winkel im Relativsystem (rotierendes System): β Winkel am Bauteil: Index B; falls nicht anders vermerkt, handelt es sich um die Skelettwinkel der Schaufeln an Laufrad, Leitrad, Rückführung und Spirale Lichtweite zwischen den Schaufeln: a Breite im Meridianschnitt: b Meridiankomponenten der Geschwindigkeiten im Meridianschnitt: Index m. Es gilt grundsätzlich: cm = QLa/(fq π d b) sowie wm = cm Umfangskomponenten der Geschwindigkeiten: Index u. Es gilt grundsätzlich u = cu + wu cu zählt positiv, wenn in Richtung u wirkend; negativ, wenn u entgegengerichtet wu zählt positiv, wenn u entgegengerichtet Äußere, mittlere und innere Stromlinie werden durch die Indices a, m, i bezeichnet; z.B. c1m,m, β1B,a. Der Index m bezeichnet immer die Stromlinie, die auf den als geometrischen Mittelwert berechneten Durchmessern am Ein- und Austritt der betrachteten Komponente beginnt bzw. endet (d1m und d2m am Laufrad bzw. d3m und d4m am Leitrad). Bei der eindimensionalen Berechnung werden repräsentative Verhältnisse auf der so definierten mittleren Stromlinie vorausgesetzt. Bei kleinen spezifischen Drehzahlen betrachtet man oft nur die äußere und innere Stromlinie, während bei hohen spezifischen Drehzahlen 3, 5 oder mehr Stromlinien angebracht sind. Wenn das Fluid in eine Beschaufelung einströmt oder diese verläßt, wirkt infolge der endlichen Schaufeldicke eine Versperrung: die Durchströmgeschwindigkeit im Meridianschnitt ändert sich an diesen Stellen (rein rechnerisch) sprunghaft. An jeder Berechnungsstation lassen sich daher Geschwindigkeiten ohne und mit Versperrung definieren; Größen mit Versperrung werden durch einen hochgestellten Strich bezeichnet, z.B. c1m'. Am Eintritt in eine Beschaufelung sind zwei Geschwindigkeiten zu unterscheiden: (1) der Geschwindigkeitsvektor, der aus dem Geschwindigkeitsdreieck (Vektordiagramm) berechnet wird; (2) die sich aus der Kontinuitätsgleichung ergebende mittlere Geschwindigkeit. Diese wird mit dem Index q versehen, um Verwechslungen zu vermeiden; es gilt also cq = Q/A bzw. wq = Q/A (A ist der jeweils betrachtete örtliche Querschnitt).

3.1 Berechnung nach Stromfadentheorie

71

• Der Förderstrom des Laufrades QLa setzt sich zusammen aus dem Nutzförderstrom Q, dem Spaltstrom Qsp und ggf. dem Entlastungsstrom QE (evtl. Zwischenentnahme bei mehrstufigen Pumpen) QLa = Q + Qsp + QE. Um die Strömung um eine Schaufel beurteilen zu können, betrachtet man sie vom Blickpunkt eines „in der Schaufel sitzenden Beobachters“. Für das Laufrad ist folglich die Relativ- für den Leitapparat die Absolutströmung maßgebend. Der Zusammenhang zwischen Führungsgeschwindigkeit u, Relativgeschwindigkeit w und Absolutgeschwindigkeit c ergibt sich aus den Regeln der Vektoraddition, die sich als Geschwindigkeitsdreiecke anschaulich darstellen lassen (s. auch Kap.1.1). Zur Berechnung aller Geschwindigkeiten, deren Komponenten in Umfangs- oder Meridianrichtung und den Winkeln α und β gelten somit die bekannten geometrischen Beziehungen von Dreiecken. Eintrittsdreieck. Betrachten wir nun die Geschwindigkeitsverhältnisse am Laufradeintritt, die in Tafel 3.1 dargestellt sind. Die Meridiangeschwindigkeit unmittelbar vor den Laufschaufeleintrittskanten beträgt c1m = QLa/A1, wobei man A1 entsprechend der Lage der Eintrittskante berechnet, Gl. (T3.1.2). Unmittelbar hinter den Eintrittskanten erhöht sich die Meridiangeschwindigkeit infolge der Schaufelversperrung auf c1m' = τ1 c1m. Letztere ergibt sich aus τ1 = t1/{t1e1/(sinβ1BsinλLa)} bzw. Gl. (T3.1.7) anhand der Skizze in Tafel 3.1.1 Schließen die Schaufeln nicht senkrecht an die Deckscheiben an (λLa ≠ 90°), entsteht eine zusätzliche Versperrung, weil die Schaufelfläche offensichtlich größer wird als bei λLa = 90°; dieser Einfluß wird durch sinλLa. berücksichtigt (s. Skizze in Tafel 0.1). Die Umfangskomponenten der Absolut- oder Relativgeschwindigkeit werden durch die Versperrung nicht beeinflußt; dies folgt aus der Erhaltung des Dralls. Meistens strömt das Fluid dem Laufrad axial zu (α1 = 90°); die Umfangskomponente der absoluten Zuströmgeschwindigkeit beträgt dann c1u = 0. Ist indessen ein Vordrallregler vorhanden, oder wenn Einlaufgehäuse oder Rückführschaufeln eine Zuströmung mit α1 ≠ 90° erzeugen, ergibt sich die Umfangskomponente aus Gl. (T3.1.3). Abbildung 3.1 zeigt die Eintrittsdreiecke für drallfreie Zuströmung α1 = 90°, Mitdrall α1 < 90° und Gegendrall α1 > 90°. Man erkennt, daß der Anströmwinkel β1 der Schaufeln durch Mitdrall vergrößert und durch Gegendrall verkleinert wird. Infolge der Schaufelversperrung wächst c1m auf c1m', so daß der Anströmwinkel von β1 auf β1' steigt. Die Differenz zwischen Schaufelwinkel β1B und Strömungswinkel β1' bezeichnet man als Anstellwinkel („incidence“): i'1 = β1B - β1'. Beim Anstellwinkel null übt die Schaufel nur eine Verdrängerwirkung auf die Strömung aus; die örtlichen Übergeschwindigkeiten sind entsprechend klein. Sie wachsen mit zunehmendem Anstellwinkel bis die Strömung ablöst, da die Eintrittskante bei i1 ≠ 0 umströmt wird, Abb. 3.1d. Die Strömungswinkel ohne und mit Versperrung berechnen sich aus Gl. (T3.1.6 bzw. 8). 1

Bei profilierten Schaufeln ist der Einfluß der Versperrung u.U. nicht leicht zu definieren. Grundsätzlich ist e1 dort zu wählen, wo der engste Querschnitt gegenüber der nächsten Schaufel liegt. Der Einfluß des Winkels λ ist ggf. iterativ zu berücksichtigen.

72

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

b)

a) w1 ' i 1' β1

β1'

w1 β1B

α1

c1m

d)

u1

β1' u1

β1B w1

α1 c1u

α1'

Druckfläche

w1 ' i1'

β1

β1B β1 β1' w1u

w 1'

Mitdrall α1 < 90° (c1u > 0)

Drallfrei α1 = 90° (c1u = 0)

c)

c 1'

i1'

c1m'

c1m

α1 -c1u

c1m' w1 '

u1 β 1' i 1'

Saugfläche β1B

Gegendrall: α1 > 90° (c1u < 0)

Abb. 3.1. Geschwindigkeitsdreiecke am Laufradeintritt

Bei einem gewissen Förderstrom – d.h. einem bestimmten c1m' – sind Schaufelund Strömungswinkel gleich (β1B = β1'), und der Anstellwinkel wird null. Dieser als „stoßfreier Eintritt“ bezeichnete Strömungszustand, berechnet sich aus der Bedingung tan β1' = tan β1B nach Gl. (T3.1.10) (dort ist ϕ1,SF = c1m'/u1 der entsprechende Durchflußbeiwert gemäß Kap. 3.4). Unterschreitet der Anströmwinkel den Schaufelwinkel (i1 > 0), befindet sich der Staupunkt auf der Druckfläche der Schaufel. Übersteigt der Förderstrom hingegen den Wert des stoßfreien Eintrittes, ist der Anstellwinkel negativ, und der Staupunkt liegt auf der Schaufelsaugfläche. Austrittsdreieck. Am Laufradaustritt herrschen die Geschwindigkeitsverhältnisse nach Abb. 3.2a und Tafel 3.2. Stromabwärts des Laufrades ergibt sich die Meridiangeschwindigkeit aus Gl. (T3.2.2); unmittelbar vor der Laufradaustrittskante wirkt noch die Schaufelversperrung, und die Durchflußgeschwindigkeit ist entsprechend größer: c2m' = c2m τ2, Gl. (T3.2.3). Wiederum beeinflußt die Versperrung die Umfangskomponente nicht. Die Absolutgeschwindigkeit c2 nach Größe und Abströmwinkel α2 ist maßgebend für die Auslegung der Leitvorrichtung, Gl. (T3.2.10 u. 13).

3.2 Energieübertragung im Laufrad: Spezifische Förderarbeit. Förderhöhe In Kap. 2.2 wurde in Tafel 2.2 die zwischen Druck- und Saugstutzen meßbare Förderhöhe H definiert als die nutzbare Totaldruckhöhendifferenz, die durch die Pumpe erzeugt wird. Diese Gleichung sagt allerdings nichts darüber aus, wie die Maschine die an der Kupplung aufgebrachte Leistung in Förderarbeit umsetzt.

3.2 Energieübertragung im Laufrad: Spezifische Förderarbeit. Förderhöhe

73

Um die Energieübertragung vom Laufrad auf das Fluid zu erfassen, läßt sich der Impulssatz gemäß Gl. (1.10) heranziehen, weil er eine Beziehung zwischen Strömungsgrößen und äußeren Kräften herstellt. Er gilt für verlustlose wie für verlustbehaftete Vorgänge und erlaubt bei geeigneter Wahl der Kontrollflächen eine globale Aussage, ohne daß die Einzelheiten der Strömung innerhalb des Kontrollraumes bekannt sein müssen. Den Kontrollraum legen wir nach Abb. 3.2b um das im Meridianschnitt dargestellte Laufrad und bringen an seinem Rand folgende Größen an: • Durch die Bilanzfläche 1 tritt der Förderstrom QLa mit dem Impulsmoment („Drall“) ρ QLa r1m c1u ein. • Durch die Bilanzfläche 2 verläßt der Förderstrom das Laufrad mit dem Drall ρ QLa r2m c2u. • Die Kontrollfläche durchschneidet die Welle; an dieser Schnittstelle sind daher äußere Kräfte in der Form M = Msch + ΣMRR anzusetzen. • An Deck- und Tragscheibe herrschen Flüssigkeitsreibmomente MRR, die sich nach Kap. 3.6.1 abschätzen lassen und für die Berechnung des auf die Schaufeln wirkenden Momentes Msch nicht beachtet zu werden brauchen. • In den Bilanzflächen 1 und 2 treten turbulente Schubspannungen in Umfangsrichtung auf, weil die Kontrollflächen nicht senkrecht zu den Geschwindigkeitsvektoren c1 und c2 liegen. Diese Schubspannungen erzeugen ein Moment Mτ, das bei Berechnungen nach der Stromfadentheorie vernachlässigt wird. Gemäß numerischen Berechnungen dürfte Mτ etwa 1 % des vom Laufrad übertragenen Momentes betragen, solange keine Rückströmungen auftreten1. a)

b)

w2 c2 u2 c2u

δ

α2 β2 β1B

u1 w1 i1

c1m

α1 c1 c1u

QLa

2

w2 β2B

r2m 1

MRR

r1m r2m

M = Msch +Σ MRR Kontrollvolumen

r1m

Abb. 3.2. Zur Impulsbilanz am Laufrad. a Geschwindigkeitsvektoren; b Kontrollvolumen

1

Rückströmungen treten normalerweise bei Teillast unter q* = 0,5 bis 0,7 auf (Kap. 5); bei extrem breiten Laufrädern, wie sie für Baggerpumpen ausgeführt werden, aber auch schon im Bestpunktbereich.

74

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Die statischen Drücke in den Flächen 1 und 2 erzeugen keine Kräfte in Umfangsrichtung und gehen daher nicht in die Rechnung ein. Ebenso liefern die radialen Geschwindigkeitskomponenten keinen Beitrag zu dem auf die Schaufeln wirkenden Impulsmoment, so daß nur die Umfangskomponenten c1u und c2u zu betrachten sind. Die eindimensionale Stromfadentheorie ersetzt nun die ungleichförmigen Geschwindigkeitsverteilungen an den Kontrollflächen durch repräsentative mittlere Geschwindigkeiten, die an mittleren Radien r1m, r2m das gleiche Impulsmoment erzeugen, wie die Integrale über die realen Strömungsverteilungen. Unter all diesen Voraussetzungen liefert der Impulssatz das auf die Schaufeln wirkende Impulsmoment in der Form der „Euler'schen Turbinengleichung“ (auch als „Hauptgleichung“ bezeichnet): Msch = ρ QLa (r2m c2u − r1 c1u )

(3.1)

Die mittleren Radien werden so bestimmt, daß sie Eintritts- und Austrittsquerschnitt in zwei Flächen mit je gleichem Durchfluß aufteilen (wobei cm als konstant über den Querschnitt angenommen wird): r1m =

1 (r 2 2 1a

+ r12i )

und r2m =

1 2

2 (r2a + r22i )

(3.2)

Msch ist somit das Moment, das an der Welle aufzubringen ist, um einen Strömungszustand nach Abb. 3.2a zu erzeugen. Nach dem Newton'schen Axiom „actio = reactio“ ist Msch auch gleich dem Moment, das auf das Fluid übertragen wird. Bei einer Winkelgeschwindigkeit ω der Welle ist die entsprechende Antriebsleistung (mit u = ω r): Psch = M sch ω = ρ Q La (u 2m c 2u − u1m c1u )

(3.3)

Die auf den Massenstrom bezogene, von den Schaufeln aufgebrachte spezifische Förderarbeit ergibt sich aus der Division von Psch durch Volumenstrom und Dichte (Kap. 1.2.2): Ysch = Yth =

Psch = u 2m c2u − u1m c1u ρ Q La

(3.4)

Wie aus Gl. (3.1), (3.3) und (3.4) hervorgeht, verringert ein Mitdrall (α1 < 90°) Schaufelmoment, Leistungsaufnahme und Förderhöhe, während ein Gegendrall diese Werte vergrößert. Da die spezifische Schaufelarbeit nach Gl. (3.4) keine Verluste umfaßt (obwohl sie für die verlustbehaftete Strömung gilt!), wird sie auch als „theoretische Förderarbeit“ bezeichnet. Entsprechend ist Hth = Ysch/g die „theoretische Förderhöhe“. Die auf das Fluid übertragene Energie Ysch verteilt sich auf die nutzbare Energie im Druckstutzen Y nach Gl. (2.1) und die Strömungsverluste (s. Kap. 1.2.2 u. Gl. (1.8)); es gilt also: Ysch = Y + g Σ Zh. Diese Verluste werden durch den hydraulischen Wirkungsgrad ηh nach Gl. (3.5) erfaßt: ηh =

Y H H = = Ysch H th H + Σ Z h

(3.5)

3.3 Die Strömungsumlenkung durch die Schaufeln. Abströmbeiwert

75

Der hydraulische Wirkungsgrad umfaßt alle Strömungsverluste zwischen Saugund Druckstutzen, also Einlauf, Laufrad, Leitapparat und Austrittsgehäuse. Angaben über ηh finden sich in Kap. 3.9, Gl. (3.28a) und Abb. 3.27 bis 3.29. Aus rein geometrischen Beziehungen der Geschwindigkeitsdreiecke erhält man u cu = ½ (u2 + c2 - w2); setzt man diesen Ausdruck in Gl. (3.4) ein, ergibt sich Gl. (T3.3.2). Nach dieser Formel setzt sich die spezifische Schaufelarbeit aus drei Anteilen zusammen: Zentrifugalanteil u22 - u12, Verzögerung der Relativgeschwindigkeit w12 - w22 und Beschleunigung der Absolutgeschwindigkeit c22 - c12, die im Leitapparat weitgehend durch Verzögerung in statischen Druck umgewandelt wird. Nach Gl. (1.15) stellen die beiden ersten Terme den Anstieg des statischen Druckes im Laufrad zuzüglich den Laufradverlusten dar; Gl. (T3.3.3). Die vom Laufrad an das Fluid übertragene Energie Ysch bewirkt eine Totaldruckerhöhung Ytot,La am Laufradaustritt; ein Bruchteil von Ysch wird in Form von Strömungsverlusten im Laufrad dissipiert. Folglich gilt Ysch = Ytot,La + g ZLa (Kap. 1.2.2). Ytot ist die am Laufradaustritt vorhandene nutzbare hydraulische Energie (abzüglich der Eintrittsenergie am Saugstutzen). Die zwischen Druck- und Saugstutzen gemessene spezifische Förderarbeit Y = g H ergibt sich aus Ytot,La nach Abzug der Verluste im Leitapparat zu Y = Ytot,La - g ZLe. In Tafel 3.3 sind die Zusammenhänge zwischen spezifischer Förderarbeit und der Erhöhung des Totaldruckes und des statischen Druckes zusammengefaßt. Die Erhöhung des statischen Druckes im Laufrad Hp ergibt sich aus der Bernoulli'schen Gleichung im Relativsystem Gl. (1.15); man bezeichnet Hp auch als „Spaltdruck“ und das Verhältnis RG = Hp/H als „Reaktionsgrad“. Tafel 3.3 enthält auch Formeln zur Beschreibung der Energieübertragung im Relativsystem. Nach Gl. (3.4) erzeugen die Schaufelkräfte einen Strömungszustand, der nur durch die Umfangskomponenten der Absolutgeschwindigkeit an Laufradeintritt und -austritt beschrieben wird – die statischen Drücke gehen nicht in die Betrachtung ein. Nach Kap.1.4.1 stellt sich der statische Druck zudem entsprechend der Stromlinienkrümmung so ein, daß er den Strömungskräften das Gleichgewicht hält. Wie in Kap.5 zu besprechen, treten bei Teillast Rückströmungen an Laufradein- und -austritt auf, deren Impulsmomente in obigen Gleichungen nicht enthalten sind. Die hier behandelte Berechnung nach Stromfadentheorie gilt nur bei Betrieb ohne Rückströmung. Die Mißachtung dieser fundamentalen Tatsache führt häufig zu falschen Schlußfolgerungen. Dieses Problem wird in Kap. 8.4 vertieft.

3.3 Die Strömungsumlenkung durch die Schaufeln. Abströmbeiwert und Minderumlenkung Wie erwähnt, betrachtet man bei Anwendung des Impulssatzes nur die an den gewählten Kontrollflächen herrschenden mittleren Geschwindigkeiten und ignoriert die komplizierten Strömungsverhältnisse im Innern des eingeschlossenen Kontrollraumes. Der Impulsmomentensatz läßt folglich nicht erkennen, auf welche

76

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Weise die Strömung in den Kontrollflächen erzeugt wurde, also wie das Laufrad gestaltet werden muß, und welche Austrittsbreite, Schaufelwinkel und -zahlen auszuführen sind, damit diese mittleren Geschwindigkeiten bei gegebenen Werten von QLa und ω tatsächlich auftreten. Das Schaufelmoment entspricht Schaufelkräften, die man sich als Integral über die Druck- und Schubspannungsverteilung an den Schaufeln denken kann – so wie man den Auftrieb eines Tragflügels aus dessen Druckverteilung integriert. Wenn eine Schaufel (oder ein Tragflügel) eine Kraft aufbringen soll, muß dieses Integral offensichtlich ungleich null sein, d.h. auf der Schaufeldruckfläche müssen größere Drücke herrschen als auf der Saugfläche. Da die Druckverteilungen in einer Strömungsmaschine allein durch die Geschwindigkeitsverteilungen um die Schaufeln bedingt sind, bedeutet dies, daß auf Schaufeldruck- und -saugfläche unterschiedliche Strömungszustände herrschen. Die Strömung kann demnach nicht den Schaufeln folgen („schaufelkongruent sein“): erst ein „Schlupf“ zwischen Schaufel- und Strömungswinkel ermöglicht die Arbeitsübertragung. In Abb. 3.2a wurde daher der Strömungswinkel β2 kleiner dargestellt als der Schaufelwinkel β2B. Das beschriebene Phänomen wird als „Minderumlenkung“ oder „Minderleistung“ (engl. „slip“) bezeichnet; auch der Begriff „Deviationswinkel“δ = β2B - β2 wird verwendet. All diese Begriffe gehen also implizit von der Vorstellung einer schaufelkongruenten Strömung aus und betrachten die Abweichung der realen Strömung von dem Schaufelaustrittswinkel. Wie in Kap. 5 ausführlich zu besprechen, ergibt sich die Strömungsverteilung am Laufradaustritt – und damit der mittlere Abströmwinkel oder die Minderumlenkung – aus einem komplexen Kräftegleichgewicht. Die Abweichung der realen von der schaufelkongruenten Strömung wird dabei im wesentlichen beeinflußt durch folgende Effekte: • Die durch die Arbeitsübertragung bedingten Geschwindigkeitsunterschiede zwischen Druck- und Saugfläche der Schaufeln, Abb. 3.3a, Profil k. • Die Coriolisbeschleunigung bc wirkt der Drehrichtung entgegen und verursacht eine Sekundärströmung, die Fluid zur Druckfläche transportiert und so den Strömungswinkel β verkleinert (vgl. hierzu Abb. 3.2a), Kap. 5. a)

b)

a2 w k

ω

SS

u

bc

SS

PS

s

PS w

pstat

Abb. 3.3. Zur Minderumlenkung. a Strömung zwischen den Schaufeln; b Sekundärströmung

3.3 Die Strömungsumlenkung durch die Schaufeln. Abströmbeiwert

77

• Unmittelbar hinter den Laufradaustrittskanten werden die Unterschiede im statischen Druck zwischen Druck- und Saugfläche der Schaufeln gering, da Druckunterschiede in der freien Strömung nur durch unterschiedliche Stromlinienkrümmung aufrecht erhalten werden können. Die Geschwindigkeitsverteilung paßt sich im Schrägabschnitt des Laufradaustrittes bereits so an, daß diese Abströmbedingung erfüllt wird, bzw. daß die Hinterkante nicht zu stark umströmt wird. Vor dem Schrägabschnitt, im eigentlichen Laufradkanal, ist die Strömung besser geführt und weicht weniger vom Schaufelwinkel ab (vergl. Profile k und s in Abb. 3.3a). Abbildung 3.4 zeigt diese Effekte anhand des Verlaufes der mit einem 3D-Navier-Stokes-Programm berechneten Relativgeschwindigkeit: bis zum Querschnitt bei der Lichtweite a2 verlaufen die Strombahnen nahezu kongruent mit der Schaufelkontur, die durch die gestrichelten Linien gekennzeichnet ist; im Schrägabschnitt nach a2 krümmen sich die Strombahnen in Richtung Druckfläche und der Strömungswinkel β nimmt zum Laufradaustritt hin entsprechend ab. Bei rückwärtsgekrümmten Schaufeln entsteht die Minderumlenkung also zum großen Teil im Schrägabschnitt am Laufradaustritt. Bei radialen Schaufeln mit 90° Austrittswinkel wird die Minderumlenkung hingegen primär durch die Corioliskraft hervorgerufen. Da sich diese Strömungsvorgänge nicht mit einfachen Mitteln berechnen lassen, muß man bei Berechnungen nach der Stromfadentheorie auf empirische Daten zurückgreifen, um den Abströmwinkel zu ermitteln. Abbildung 3.5 zeigt hier-

Abb. 3.4. Relativstrombahnen in einem radialen Laufrad (Navier-Stokes Berechnung). Die gestrichelten Linien entsprechen schaufelkongruenter Strömung. (1-γ) u2

w 2∞

β 2B

δ β 2'

w2'

c

2∞

u2

c2'

c2m'

c2u c2u∞

Abb. 3.5. Minderumlenkung und Deviationswinkel

78

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

zu das Austrittsdreieck unmittelbar vor der Schaufelaustrittskante (also mit Versperrung), wobei Index ∞ üblicherweise für schaufelkongruente Strömung verwendet wird. Bekannt sind u2, c2m' aus QLa und der Schaufelaustrittswinkel β2Β. Die Differenz zwischen c2u∞ und c2u definieren wir als: c2u∞ - c2u = (1 - γ) u2

(3.6)

mit γ als Abströmbeiwert; γ = 1,0 bedeutet also schaufelkongruente Strömung; je kleiner γ, desto größer die Abweichung zwischen Strömungs- und Schaufelwinkel. Die Größe (1 - γ) erfaßt die Minderumlenkung; sie entspricht physikalisch (aber nicht formelmäßig) der von Pfleiderer definierten Minderleistung. Mit Gl (3.6) und tanβ2B = c2m'/(u2 -c2u∞) ergibt sich folgende Definitionsgleichung für den Abströmbeiwert: c −c c c τ γ ≡ 1 − 2 u∞ 2 u = 2 u + 2 m 2 u2 u 2 u 2 tanβ2B

(3.7)

Um Daten für die Laufradauslegung zu gewinnen, muß man den Beiwert γ aus Versuchen zurückrechnen und mit geometrischen Größen korrelieren. Die Rückrechnung einer Pumpe erfolgt beim Bestpunktförderstrom oder in dessen Nähe; bekannt sind dabei die Meßwerte von Q, H, P, η und (bei α1 ≠ 90°) c1u aus Gl. (T3.1.3). Durch Verlustanalyse nach Kap. 3.6 und 3.7 wird der hydraulische Wirkungsgrad ηh ermittelt, so daß auch Hth = H/ηh vorliegt. Aus Gl. (T3.2.8) erhält man dann die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit am Laufradaustritt. Mit diesem Wert läßt sich aus Gl. (3.7) der Beiwert γ berechnen. Zur Korrelation der so gewonnenen Daten sei der Ansatz von Wiesner [3.1] in modifizierter Form verwendet. Wiesner entwickelte aufgrund der Berechnungen von Busemann [3.2] eine Formel zur Vorausberechnung des Abströmbeiwertes und verglich sie mit Messungen an Kompressoren und Pumpen. Zur Anpassung dieser Korrelation an eine breitere Datenbasis von Pumpen wurde zur Berechnung von γ in Gl. (3.7) die volle Schaufeldicke als Versperrung eingesetzt und der Korrekturfaktor f1 eingeführt. Diese Auswertung ergab Gl. (T3.2.6) als Formel für die Vorausberechnung des Abströmbeiwertes γ. Die Korrelation gibt die Meßresultate von γ für radiale Laufräder mit einer Standardabweichung von etwa ±4% wieder. Das bedeutet eine 95%-Vertrauensgrenze von etwa ±8%. Da die Toleranzen des Abströmbeiwertes in die Berechnung der Förderhöhe überproportional eingehen, ist bei der Vorausberechnung nach Stromfadentheorie also mit erheblichen Unsicherheiten zu rechnen, wenn man sich nicht auf Daten bekannter Laufräder stützen kann. Aus der Literatur sind keine genaueren Korrelationen als Gl. (T3.2.6) bekannt. Auch der Versuch, durch weitere Parameter wie b2* oder d1* die Genauigkeit der Korrelation zu verbessern, führten bis jetzt nicht zum Erfolg: Diese Parameter haben zwar einen Einfluß; er ist aber nicht genügend systematisch, und wird daher durch weitere 3D-Effekte der Strömung überdeckt. Ausgehend von der Vorstellung, daß eine lange Schaufel die Strömung besser führt und somit den Abströmbeiwert erhöht, entwickelte Pfleiderer eine Minderleistungsformel, in die das statische Moment der (in den Meridianschnitt projizier-

3.3 Die Strömungsumlenkung durch die Schaufeln. Abströmbeiwert

79

ten) Stromlinie eingeht [B.1]. Bei den analysierten Pumpen ergab sich allerdings keine Verringerung der Standardabweichung unter das erwähnte Niveau von ±4%. Dieser – auf den ersten Blick überraschende – Befund erklärt sich so: Wie oben ausgeführt, ist die Strömung im eigentlichen Schaufelkanal recht gut geführt, die Schaufellänge in diesem Bereich hat somit geringen Einfluß; die Minderumlenkung erfolgt im wesentlichen im „Dreieck“ zwischen a2 und d2; sie wird durch Corioliskräfte sowie durch den Winkel- und Querschnittsverlauf weitaus mehr bestimmt als durch die in den Meridianschnitt projizierte Schaufellänge. Die Unsicherheiten der Stromfadentheorie sind grundsätzlich dadurch begründet, daß sich die 3-dimensionale Laufradströmung nicht mit einem eindimensionalen Ansatz – enthalte er noch so viele Geometrieparameter – beschreiben läßt. Die Hauptquellen der Unsicherheit seien im folgenden diskutiert: • Die Berechnung des Abströmbeiwertes nach Gl. (T3.2.4 bis 6) berücksichtigt nur die Parameter Austrittswinkel β2B, Schaufelzahl zLa, Schaufelversperrung und indirekt den Eintrittsdurchmesser d1m*. Für die Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt – also auch deren Integral, das den Mittelwert c2u in Gl. (3.4) darstellt – ist aber der gesamte Schaufel- und Kanalverlauf maßgebend. • Die Sekundärströmung im Laufrad steigt mit zunehmender Austrittsbreite, was tendenziell die Abweichung zwischen Schaufel- und Strömungswinkel erhöht. Bei Laufrädern mit großer relativer Austrittsbreite b2* ergeben sich sehr ungleichförmige Abströmprofile. • Für die Beurteilung der Arbeitsübertragung im Laufrad ist nicht nur der nominelle Schaufelaustrittswinkel heranzuziehen, sondern der gesamte Schaufelverlauf: β2B sollte über einen längeren Bereich – z.B. bis zum Querschnitt bei a2 – annähernd konstant sein, damit ein sinnvoller Winkel in die Formel für den Abströmbeiwert eingesetzt werden kann. Der lichte Schaufelabstand a2 nach Tafel 0.2 ist ein wichtiges Kontrollmaß, mit dem man einen Winkel βa2 bilden kann: a a z βa 2 = arc sin 2 = arc sin 2 La t2 π d2

(3.8)

• Je kleiner tanβa2/tanβ2B, desto geringer ist die Förderhöhe, desto größer aber auch die Abweichung von dem nach Gl. (T3.2.6) mit β2B berechneten Abströmbeiwert; dies zeigen die Messungen in [3.16], bei denen die Austrittsweite a2 bei konstanten Ein- und Austrittswinkeln extrem variiert wurde. • Die Profilierung der Schaufelaustrittskante beeinflußt die Laufradabströmung und somit die erzielte Förderhöhe ebenfalls. Für den Schaufelaustrittswinkel sind – je nach Hinterkantenprofil – verschiedene Definitionen möglich, da Skelettwinkel β2B, druckseitiger Winkel β2B,DS, und saugseitiger Winkel β2B,SS verschieden sein können. Bei unprofilierten Schaufeln sind alle drei Winkel annähernd gleich groß. Bei symmetrischer Profilierung stellt der Skelettwinkel einen repräsentativen Mittelwert dar. Dagegen ist bei saugseitiger Zuschärfung

80

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

der Skelettwinkel lokal deutlich größer als der druckseitige Winkel. Bei druckseitiger Profilierung schließlich ist β2B < β2B,SS (Abb. 3.6). • Mit zunehmendem Laufradeintrittsdurchmesser nimmt die Druckzahl (bei sonst gleichen Auslegungsparametern) tendenziell ab, was im Abströmbeiwert ungenügend berücksichtigt ist. β 2B

unprofiliert

symmetrisch zu Mittellinie profiliert

profiliert auf der Saugfläche

profiliert auf der Druckfläche

Abb. 3.6. Formen der Schaufelaustrittskanten

3.4 Dimensionslose Kennzahlen. Ähnlichkeitsgesetze. Spezifische Drehzahl Turbulente Strömungen in komplexen Geometrien lassen sich mit einfachen Mitteln nicht auf analytischem Wege exakt beschreiben. Daher werden solche Strömungen in der Praxis mit Ähnlichkeitskenngrößen und dimensionslosen Kennzahlen behandelt, mit denen man Versuche verallgemeinern und so auf unbekannte Situationen übertragen kann (z.B. Reynolds-Zahl und Druckverlustbeiwert bei der Rohrströmung, Kap. 1.5.1). Modellversuche und deren Umrechnung auf andere Drehzahlen und Pumpengrößen bilden daher auch im Pumpenbau eine wichtige Grundlage. Grundsätzliche Voraussetzung für die Anwendung von Ähnlichkeitsgesetzen ist geometrische und dynamische Ähnlichkeit. Geometrische Ähnlichkeit liegt dann vor, wenn alle Abmessungen der durchströmten Teile zweier Maschinen (Index a für die Großausführung, Index M für Modell) im gleichen Maßstabsverhältnis λ = Da/DM stehen. Dynamische Ähnlichkeit erfordert gleiche Werte von Euler-Zahl, Reynolds-Zahl, Froude-Zahl usw. bei Großausführung und Modell. Welche dieser Ähnlichkeitskennzahlen unbedingt einzuhalten sind, hängt vom untersuchten physikalischen Vorgang ab. Im Pumpenbau ist nur die Einhaltung gleicher Euler-Zahlen bei Modell und Großausführung unabdingbar. Der Einfluß der Reynolds-Zahl ist meist gering und wird daher nur bei detaillierten Verlustuntersuchungen berücksichtigt, Kap. 3.10.1 Wenn die Schwerkraft einen maßgeblichen Einfluß ausübt, ist Froude'sche Ähnlichkeit einzuhalten; diese ist folglich bei Strömungen mit freier Oberfläche – z.B. bei der Modellierung von Pumpensümpfen – zu beachten. 1

Bei der Förderung von Ölen oder anderen Medien hoher Viskosität verringern sich Förderhöhe und Wirkungsgrad gegenüber Wasserförderung hingegen stark, Kap. 13.1.

3.4 Dimensionslose Kennzahlen. Ähnlichkeitsgesetze

81

Ähnlichkeits- oder Modellgesetze können nach verschiedenen Methoden entwikkelt werden, [3.3 - 3.5]. Ohne auf Einzelheiten der Ähnlichkeitstheorie einzugehen, lassen sich die Modellgesetze für Pumpen (und Turbinen) anschaulich aus den Geschwindigkeitsdreiecken ableiten: Eintritts- und Austrittsdreieck werden dimensionslos dargestellt, indem man alle Geschwindigkeiten durch die Umfangsgeschwindigkeit u1 bzw. u2 dividiert. Dabei bleiben alle Strömungswinkelerhalten: die Darstellung nach Abb. 3.7 ist somit unabhängig von der Umfangsgeschwindigkeit – und folglich auch unabhängig von Laufraddurchmesser und Drehzahl. Da geometrische Ähnlichkeit unabdingbar vorauszusetzen ist, stehen auch u1 und u2 in einem festen Verhältnis zueinander. Alle Geschwindigkeiten sind proportional zu n × d. Für geometrisch ähnliche Laufräder werden die Geschwindigkeitsdreiecke an Ein- und Austritt allein durch die Größen cm/u und cu/u eindeutig und vollständig festgelegt (Abb. 3.7). Da die Meridiangeschwindigkeit dem Volumenstrom proportional ist, beschreibt das Verhältnis cm/u den Einfluß des Förderstromes; man kann folglich zwei Durchflußzahlen definieren: ϕ1 = c1m/u1 für den Laufradeintritt und ϕ2,La = c2m/u2 für den Laufradaustritt, Gl. (T3.4.6 u. 7): Bei geometrisch ähnlichen Laufrädern herrschen bei gegebener Durchflußzahl unabhängig von Größe und Drehzahl die gleichen kinematischen Strömungszustände. Die Durchflußzahlen beziehen sich streng auf den durch das Laufrad strömenden Volumenstrom QLa = Q/ηv; sie werden aber oft näherungsweise mit dem Nutzförderstrom Q gebildet, voraussetzend, daß der volumetrische Wirkungsgrad bei Modell und Großausführung etwa gleich sei. Da aufgrund gleicher kinematischer Verhältnisse die Größen c2u/u2 und c2m/u2 gemäß Abb. 3.7 bei Modell und Großausführung gleich sind, folgt unmittelbar aus Gl. (3.7), daß der Abströmbeiwert gleich ist. Aus Gl. (T3.3.1) ergibt sich weiter, daß die spezifische Schaufelarbeit bei Modell und Großausführung proportional zum Quadrat der Umfangsgeschwindigkeit ist. Man bildet daher folgende Druckzahl: ψ = 2 Y/u22, Gl. (T3.4.8). ψ = f(ϕ) ist also eine dimensionslose Kennlinie, die unabhängig von Drehzahl und Laufraddurchmesser ist. Löst man Gl. (T3.4.6) nach Q und Gl. (T3.4.8) nach H auf und setzt die erhaltenen Formeln nach Gl. (2.4) in Pst = ρ g Hst Q / η ein, kann man eine Leistungszahl λ entsprechend Gl. (T3.4.9) definieren. Eintritt

Austritt w2 u2

c2 u2

β2

c2m u2 = ϕ2,La α2

w2u u2

c1m u1 = ϕ1,La

β1

α1 c1u u1

c2u u2 1

1

Abb. 3.7. Geschwindigkeitsdreiecke in dimensionsloser Darstellung

82

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Aus Gl. (T3.4.6 bis T3.4.9) resultieren für geometrisch ähnliche Pumpen unmittelbar folgende Proportionalitäten: Q ∝ n d3 ; H ∝ n2 d2 und P ∝ n3 d5. Aus diesen Zusammenhängen ergeben sich die Ähnlichkeits- oder Modellgesetze zwischen Modell und Großausführung gemäß Gl. (T3.4.1 bis T3.4.4). Da alle Kräfte proportional zum Produkt aus Druck und Fläche sind, gilt ferner F ∝ n2 d4, Gl. (T3.4.5). Obige Beziehungen setzen bei Modell und Großausführung die gleichen Wirkungsgrade voraus. Ist diese Voraussetzung nicht genügend genau erfüllt, sind nach Kap. 3.6 bis 3.10 mittels entsprechender Verlustanalysen Korrekturen anzubringen. Die Ähnlichkeitsbedingungen für Kavitationsströmungen werden in Kap. 6.2.3 behandelt. Spezifische Drehzahl. Nach Gl. (T3.4.8 u. T3.4.2) können wir für die Förderhöhe schreiben: u2 H = ψ 2 = k1 n 2 d 22 ψ 2g

(3.9)

Ebenso ergeben Gl. (T3.4.6 u. T3.4.1) für den Förderstrom: Q = ϕ 2 π d 22 b *2 u 2 = k 2 ϕ 2 b *2 n d 32

(3.10)

wobei k1 und k2 Konstanten sind. Eliminiert man den Laufraddurchmesser aus diesen Beziehungen, ergibt sich nach einigen Umformungen (angeschrieben für den Bestpunkt): k2

ϕ 2 b *2

k 10.75 ψ 0.75 opt

=n

Q opt .75 H 0opt

= RFK

(3.11)

Die linke Seite dieser Gleichung ist für geometrisch ähnliche Pumpen eine Konstante „RFK“, die weder vom Laufraddurchmesser noch von der Drehzahl abhängt. Der mittlere Term beschreibt die Beziehung zwischen Drehzahl, Volumenstrom und Förderhöhe dieser Pumpe. Denken wir an den in Kap. 2 geschilderten breiten Einsatzbereich der Kreiselpumpen mit den verschiedenen Radformen (radial, halbaxial, axial, Tafel 2.1), gewinnt eine solche Beziehung zwischen den Förderkenngrößen Q, H und n eine fundamentale Bedeutung für die Auswahl des geeigneten Pumpentyps für einen gegebenen Anwendungsfall. Die Größe RFK wird deshalb als „Radformkennzahl“ bezeichnet, deren Relevanz anhand von Abb. 3.8 erläutert sei. Man betrachte ein Laufrad bei gegebener Drehzahl nx, das den Förderstrom Qx liefert. Wird das Laufrad mit verschiedenen Außendurchmessern (1 bis 6 in Abb. 3.8) ausgeführt, variiert die Förderhöhe gemäß Gl. (3.9) mit dem Quadrat des Durchmessers. Da nx und Qx konstant sind, ändert sich die Relation zwischen Q, H und n, d.h. RFK steigt entsprechend. Die Radform ändert sich in Abb. 3.8 vom Radialrad (1 bis 4a) über halbaxiale Räder bis fast zum Axialrad bei Austrittskante 6. Wie aus

3.5 Leistungsbilanz und Wirkungsgrade

83

Abb. 3.8 weiter zu erkennen, steigt das Verhältnis b2/d2 und d1/d2 mit zunehmender RFK. Die Radformkennzahl wird meist als spezifische Drehzahl nq bezeichnet. Sie ist grundsätzlich auf den Bestpunkt, die Förderhöhe pro Stufe (und bei doppelflutigen Rädern auf den Förderstrom einer Radhälfte) zu beziehen, Gl. (T3.4.15). In der angeschriebenen Form ist nq eine dimensionsbehaftete Größe. Um eine dimensionslose Kennzahl zu erhalten, kann man Qopt durch die Bezugsgröße Q1 = 1 m3/s dividieren und entsprechend H1 = 1 m sowie n1 = 1 1/min einführen. So formuliert ist nq eine dimensionslose Kennzahl. In der Praxis schreibt man diese Formel ohne die Bezugsgrößen, verwendet obige Einheiten und betrachtet nq als dimensionslose Größe. Eine wirklich dimensionslose Kennzahl stellt ωs nach Gl. (T3.4.16) dar. 1 2

d2

3 4a 4b 5

d1

6

Abb. 3.8. Entwicklung der Laufradform mit der spezifischen Drehzahl

Die spezifische Drehzahl erlaubt einen Vergleich von geometrisch nicht ähnlichen Laufrädern; sie gibt nur einen groben Anhaltspunkt über Gestaltung und Radform der Pumpe. Je nach Verwendungszweck kann eine Pumpe mit gegebenen Förderdaten n, Qopt und Hopt − also auch mit gegebener spezifischer Drehzahl − mit recht unterschiedlich gestalteten Laufrädern ausgestattet sein: Abwasseroder Baggerpumpen weisen so z.B. bei gleicher spezifischer Drehzahl etwa doppelt so große Laufradaustrittsbreiten auf als Pumpen für nicht verunreinigte Flüssigkeiten; je nach verlangter Saugfähigkeit werden bei gegebenem Laufradaustrittsdurchmesser unterschiedliche Eintrittsdurchmesser ausgeführt (Kap. 6); und die Druckzahlen können in relativ weiten Grenzen variieren, um flache oder steile Kennlinien zu erhalten.

3.5 Leistungsbilanz und Wirkungsgrade Bei allen Bewegungsvorgängen in Maschinen entstehen Verluste. Die in Kap. 2.2 eingeführte Nutzleistung Pu ist daher grundsätzlich kleiner als die an der Pumpenwelle zugeführte Leistung P. Die Summe aller Verluste ΣPv = P - Pu wird in Wärme umgesetzt. Neben den Strömungsverlusten nach Gl. (3.5) entstehen in einer Pumpe weitere Verluste („Nebenverluste“), so daß gesamthaft folgende Verlustquellen zu beachten sind:

84

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

1. Mechanische Verluste Pm in Lagern und Wellendichtungen. Sie führen in der Regel nicht zu einer Erwärmung des Fluids und werden daher als äußere Verluste bezeichnet. 2. Volumetrische Verluste infolge aller der Leckagen, die durch das Laufrad gefördert werden. Es sind dies Leckagen Qsp durch den Dichtspalt am Laufradeintritt sowie Fluidströme QE durch Einrichtungen zur Axialschubentlastung. Die Leckagen QE entstehen durch Entlastungsbohrungen bei einstufigen Pumpen oder mehrstufigen Maschinen mit Einzelradentlastung sowie in Entlastungskolben oder -scheiben (Kap. 9.2). In Sonderfällen sind im volumetrischen Wirkungsgrad noch Fluidströme Qh zu berücksichtigen, die innerhalb der Pumpe für Hilfszwecke – z.B. zur Speisung eines hydrostatischen Lagers, zu Spülung, Sperrung oder Kühlung – abgezweigt werden. Um all diese Verlustströme zu fördern, muß vom Laufrad die Leistung PL = ρ g Hth (Qsp + QE + Qh) aufgebracht werden. Volumetrische Verluste können durch einen volumetrischen Wirkungsgrad ηv ausgedrückt werden, Gl. (T3.5.9). 3. Radreibungsverluste PRR entstehen an Trag- und Deckscheibe der Laufräder, die – als hydraulisch glatte oder rauhe – Scheiben im Fluid rotieren. 4. Ähnliche Reibungsverluste Per entstehen auch an Elementen für die Axialschubentlastung (Entlastungskolben oder -scheibe, Kap. 9.2). 5. Bei mehrstufigen Pumpen treten in der Spaltdichtung zwischen den Stufen ebenfalls Leckagen auf, die aber nicht durch das Laufrad strömen und somit nicht die volle Schaufelarbeit erhalten. Sie stellen einen Drosselverlust Ps3 dar, der nur mit etwa 40% der Förderhöhe zu bewerten ist, Kap. 3.6.3. 6. Hydraulische Verluste infolge Reibung und Verwirbelung in allen durchströmten Teilen zwischen Saugstutzen und Druckstutzen werden durch den hydraulischen Wirkungsgrad ηh erfaßt (Kap. 3.7). Die Verlustleistung beträgt: Pvh = ρ g H Q (1/ηh – 1). 7. Rezirkulations- oder Austauschverluste Prez infolge Teillastrückströmungen. Bei richtiger Auslegung sind sie im Bestpunkt (und darüber) null. Beim Betrieb gegen geschlossenen Schieber oder bei niedrigem Förderstrom machen sie hingegen den Großteil der Leistungsaufnahme aus (Kap. 4 und 5). Die Verlustanteile 2 bis 7 entstehen innerhalb der Pumpe – beim Entlastungsstrom trifft das nur zu, wenn QE in den Saugstutzen zurückgeführt wird – sie erwärmen das Fluid und werden als innere Verluste bezeichnet. Mit diesen Verlusten ergibt sich die vollständige Leistungsbilanz einer Pumpe nach Gl. (T3.5.1), die in Abb. 3.9 veranschaulicht ist.1 Tafel 3.5 enthält die relevanten Gleichungen sowie Faustformeln zur Abschätzung der Nebenverluste. Des weiteren sind folgende Teilwirkungsgrade gebräuchlich: der mechanische Wirkungsgrad nach Gl. (T3.5.6); der innere Wirkungsgrad nach Gl. (T3.5.5) und der volumetrische Wirkungsgrad nach Gl. (T3.5.9). 1

Die abgestrahlten Luft-, Flüssigkeits- und Körperschalleistungen sind vernachlässigbar klein gegenüber allen anderen Verlusten.

3.6 Berechnung der Nebenverluste

85

Die Nebenverluste werden in Kap. 3.6, die hydraulischen Verluste in Kap. 3.8, behandelt. Die Berechnung aller Verlustarten ist mit Unsicherheiten von ±20 bis 30% behaftet. Beträgt der betrachtete Einzelverlust nur wenige Prozent der Kupplungsleistung – wie bei Pumpen mit mehr als 80% Gesamtwirkungsgrad –, ist eine solche Unsicherheit nicht allzu gravierend. Bei kleinen Pumpen und niedriger spezifischer Drehzahl ist sie hingegen bedeutsam. Verlustanalysen sind nicht nur für Neuentwicklungen nötig; sie sind vor allem auch eine Hilfe, die Ursachen von Leistungsdefiziten in Anlagen oder auf dem Prüfstand herauszufinden. In vielen Fällen kommt es weniger auf die absolute Größe des berechneten Verlustes an als darauf, Trends zu bestimmen, die durch eine Abweichung vom Sollwert oder eine Änderung bewirkt werden. In solchen Fällen ist eine konsistente Verlustbetrachtung wichtiger als die Wahl zwischen verschiedenen Berechnungsmethoden. Schall

Pm

Pu = ρ g H Q P

Pi = P - Pm Per PRR

PS3

Leckagen: PL = (Qsp+QE+Qh) ρ g H/Șh PRec Hydraulische Verluste: Pvh = ρ g H Q(1/Șh -1)

Abb. 3.9. Leistungsbilanz einer Pumpe

3.6 Berechnung der Nebenverluste Im folgenden werden Radreibungs- und Leckverluste als voneinander unabhängige Erscheinungen betrachtet, wie sie sich in speziellen Versuchständen (außerhalb) einer Pumpe messen lassen. In einer Kreiselpumpe besteht indessen eine enge Wechselwirkung zwischen der Hauptströmung am Laufradaustritt, der Radseitenraumströmung, dem Spaltstrom und den Radreibungsverlusten. Diese Wechselwirkung läßt sich – experimentell oder numerisch – nur schwer erfassen; sie wird in Kap. 9.1 ausführlich besprochen.

86

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

3.6.1 Radreibungsverluste Wenn ein Körper – z.B. eine kreisförmige Scheibe oder ein Zylinder – in einem Fluid rotiert, entstehen an seiner Oberfläche Schubspannungen entsprechend dem örtlichen Reibungsbeiwert cf, Kap. 1.5.1. Für eine Scheibe in ruhender Flüssigkeit ohne Gehäuseeinfluß ist die Schubspannung τ = ½ ρ cf u2 mit u = ω R, Gl. (1.31). Die Reibungskraft an einem Flächenelement 2π R dR ist dann dF = τ 2π R dR und das Reibmoment: dM = R dF = π ρ cf ω2 R4 dR. Die Reibleistung pro Scheibenseite PRR = ω M erhält man aus dem Integral PRR = ω ³ dM (vom Innenradius Ro zum Außenradius R) zu PRR = (π/5) ρ cf ω3 R5 (1 - Ro5/R5). Der Reibungsbeiwert hängt von der Reynolds-Zahl und der Rauheit der Oberflächen ab; er ist etwa ebenso groß wie bei einer längsangeströmten Platte. Beim Mantel eines rotierenden Zylinders, entspricht die Mantelfläche 2 π R L dem reibenden Flächenelement und man erhält PRZ = π ρ cf ω3 R4 L. Im Einklang mit den Ähnlichkeitsgesetzen in Tafel 3.4 steigt somit auch die Radreibungsleistung mit der 3. Potenz der Drehzahl und der 5. Potenz des Durchmessers (geometrische Ähnlichkeit R/L = konstant vorausgesetzt und abgesehen vom Einfluß der Reynolds-Zahl). Rotiert der Körper in einem Gehäuse (in Pumpen immer der Fall), hängt die Geschwindigkeitsverteilung zwischen Gehäuse und Rotationskörper vom Abstand zwischen Laufradscheibe und Gehäusewand sowie den Grenzschichten ab, die sich auf stehender und rotierender Fläche bilden; es entsteht eine Kernströmung mit etwa cu = ½ ω R (man kann also nicht mehr u = ω R setzen). Bei turbulenter Strömung beträgt die Radreibungsleistung einer Scheibe in einem Gehäuse deshalb nur etwa die Hälfte derjenigen einer freien Scheibe in ruhendem Fluid.1 Die Radreibungsleistung von Scheiben und von zylindrischen Körpern wird nach Gl. (T3.6.2 bzw. 4) berechnet. Die hierfür benötigten Reibungsbeiwerte kRR bzw. kRZ bestimmt man aus Korrelationen, die aus Messungen abgeleitet wurden. Alle entsprechenden Formeln sind in Tafel 3.6 zusammengestellt; sie basieren auf Messungen an hydraulisch glatten Scheiben: Gleichung (T3.6.3 u. T3.6.5) gründen auf [3.6 u. 3.7], Gl. (T3.6.8 bis T3.6.11) auf [3.8], Gl. (T3.6.12) auf [3.30]. Die Gleichungen für turbulente Strömungen wurden durch Korrekturfaktoren erweitert, mittels derer die Wirkung der Rauheit und des durch den Radseitenraum strömenden Spaltstromes abgeschätzt werden kann. Der Anstieg der Radreibung rauher Scheiben gegenüber hydraulisch glatten wird dabei wie folgt ermittelt: man berechnet nach Gl. (1.33) für Re = u R/ν und ε/R den Reibungsbeiwert cf sowie den entsprechenden Wert cf,o für hydraulisch glattes Verhalten (ε = 0); dies ergibt den Korrekturfaktor fR = cf/cf,o nach Gl. (T3.6.6). Gleichung. (T3.6.3) ergibt ähnliche Reibungsbeiwerte wie Gln. (T3.6.8 bis T3.6.11), Abb. 3.10; Gl. (T3.6.3) hat jedoch den Vorteil, daß mit einer einzigen 1

Dieser experimentelle Befund folgt aus Daten in [1.11]; er läßt sich nicht durch Einsetzen der halben Winkelgeschwindigkeit in die eingangs gegeben Gleichungen ableiten.

3.6 Berechnung der Nebenverluste 1.E+00

87

kRR

Eq. (T3.6.11) Eq. (T3.6.8) Eq. (T3.6.9) Eq. (T3.6.10) Eq. (T3.6.3) Eq. (T3.6.3) İ/R = 1.5E-4 [3.28] İ/R = 1.5E-4 Eq. (T3.6.3) İ/R = 4E-3 [3.28] İ/R = 4E-3 [3.9] İ/R= 1E-3 Eq. (T3.6.3) İ/R = 1E-3 Eq. (T3.6.12)

1.E-01

1.E-02

1.E-03

1.E-04 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06 Re 1.E+07

Abb. 3.10. Radreibungsbeiwerte für glatte und rauhe Oberflächen gerechnet für sax/R = 0,08 (ohne Spaltstrom durch den Radseitenraum); = Rauheit

Formel der gesamte Bereich von laminar bis turbulent ohne Unstetigkeiten an den Übergängen erfaßt wird. Zahlreiche Versuche bestätigen, daß die axiale Spaltweite nur einen sehr geringen Einfluß auf die Radreibung hat; Gl. (T3.6.11) überschätzt diesen Einfluß. Sie führt bei sax gegen null auf zu kleine und bei sax gegen unendlich auf zu große Reibungsbeiwerte. Dagegen liefert Gl. (T3.6.3) auch bei extremen Spaltweiten sax noch sinnvolle Werte. Bei sax gegen unendlich liefert Gl. (T3.6.3) Faktoren, die in etwa der freien Scheibe entsprechen, für die kRR = 0.0365/Re0.2 gilt, [1.11]. In [3.30] wurde eine Beziehung entwickelt, mit der sich die Radreibung über die Rotation des Fluids im Radseitenraum berechnen läßt, Gl. (T3.6.12 u. T3.6.13). In Kap. 9.1 wird eine weitere Formel mit mehr Parametern angegeben. Diese Formeln erfassen die Wirkung der Radseitenraumgeometrie und der Rauheiten von Gehäuse und Radscheibe. Sie sind insbesondere dann nützlich, wenn Gehäuse und Radscheibe unterschiedliche Rauheiten aufweisen. Die verschiedenen Korrelationen aus Tafel 3.6 sind in Abb. 3.10 gegenübergestellt. Man erkennt insbesondere, daß Gln. (T3.6.3) und (T3.6.12) gleichwertig sind und Gln. (T3.6.8 bis T3.6.11) gut wiedergeben. Der Einfluß der Rauheit wird durch Gl. (T3.6.6) in brauchbarer Weise erfaßt. Literaturübersichten über Radreibungsverluste findet man in [3.29, 3.30 u. 3.10], theoretische Grundlagen in [1.11]. Bei Vergleichen mit anderen Quellen sind die unterschiedlichen Definitionen der Momentenbeiwerte zu beachten (häufig wurden die Beiwerte so definiert, daß sie das Moment bzw. die Reibleistung für beide Scheibenseiten umfassen).

88

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Die Radreibungsverluste in einer Pumpe hängen von folgenden Parametern ab: 1. Reynolds-Zahl: Wie bei der Strömung über eine Platte oder durch ein Rohr sinkt der Reibungsbeiwert mit wachsender Reynolds-Zahl. Bei der Förderung von Wasser ist die Strömung im Radseitenraum in der Regel turbulent. Bei Ölen oder anderen Flüssigkeiten mit hoher Viskosität wird die Strömung laminar und die Radreibung steigt massiv (Kap.13.1). 2. Rauheit der rotierenden Scheibe: Die Rauheiten der stehenden oder rotierenden Fläche erhöhen die Reibleistung, sofern sie höher als die Grenzschichtdikke sind. Dabei sind Rauheiten in radialer Richtung, wie sie durch Drehen entstehen, weniger schädlich als Rauheiten in Umfangsrichtung oder unstrukturierte Rauheiten (Gußoberfläche), [3.17]. Gemäß den Messungen in [3.17] war die Radreibung beim Versuch mit einer gedrehten Scheibe mit εmax = 120 μm praktisch gleich groß wie bei polierter Scheibe mit ε ≈ 0. Gedrehte Scheiben können daher mit ε ≈ 0 berechnet werden; für gegossene oder sandgestrahlte Scheiben kann man ε = εmax/ceq annehmen mit dem Äquivalenzfaktor ceq = 2.6 und εmax = maximale Rauhtiefe, Kap. 3.10 [3.30−31]. Die zulässige Rauheit, die nicht überschritten werden darf, wenn man durch hydraulisch glattes Verhalten die Radreibungsverluste minimieren möchte, läßt sich nach Kap. 1.5.1 (Tabelle 1.1) beurteilen, wobei w = cu ≈ ½ ω r zu setzten ist. Zum Problem der Rauheit s. a. Kap. 3.10. 3. Rauheit der Gehäusewand: Wenn Rotor und Gehäuse die gleiche Rauheit aufweisen, ist die Rotation des Fluids im Radseitenraum unabhängig von der Rauheit, Gl. (T3.6.13). Ist hingegen εRad ≠ εGehäuse, beeinflußt die Rauheit die Rotation und damit die Radreibung: bei εRad > εGehäuse wird die Rotation angefacht, bei εRad < εGehäuse wird sie gebremst. Dabei ändert sich die Radreibung entsprechend Gl. (T3.6.12 und (T3.6.13); genauere Berechnung nach Kap. 9.1. 4. Spaltweite sax: Bei sehr engem Abstand zwischen Radscheibe und Gehäuse sax < δ (δ = Grenzschichtdicke) ist die Geschwindigkeitsverteilung im Spalt linear (Couette-Strömung), wobei die mittlere Geschwindigkeit etwa ½ ω R entspricht. Mit zunehmender Spaltweite sinkt der Reibungsverlust bis zu einem Minimum (das jedoch keine praktische Bedeutung hat, weil es konstruktiv nicht ausführbar ist) und steigt dann wieder an. Wie erwähnt, ist der Einfluß der Spaltweite bei turbulenter Strömung gering, bei laminarer Strömung hingegen groß. Je größer die benetzte Oberfläche des Radseitenraumes, desto geringer ist die Rotation. 5. Form und Größe des Radseitenraumes beeinflussen die Rotation des Fluids und damit die Radreibung. Zerklüftete Radseitenräume, große Gehäuseoberflächen, Rippen und andere Strukturen, die die Rotation des Fluids bremsen, erhöhen die Radreibungsverluste ähnlich wie rauhe Oberflächen, Kap. 9.1. 6. Grenzschichtbeeinflussung: Durch feine Rillen in Strömungsrichtung läßt sich die Turbulenzstruktur in der Grenzschicht beeinflussen, wodurch der Reibungsbeiwert um bis zu 10% herabgesetzt werden kann, [3.18]. Rillen der benötigten Feinheit mit scharfen Spitzen herzustellen, ist allerdings aufwendig.

3.6 Berechnung der Nebenverluste

89

7. Leckagestrom durch den Radseitenraum (Kap. 9.1): eine radial einwärts gerichtete Leckage bringt ein Impulsmoment der Größe ρ Qsp c2u R2 in den Radseitenraum, das die Radreibung verringert. Dagegen bremst ein radial auswärtsgerichteter Leckstrom die Fluidrotation im Radseitenraum, (wenn er keinen Vordrall hat), so daß die Radreibung ansteigt. Die Auswirkung einer Lekkage läßt sich grob durch den Korrekturfaktor gemäß Gl. (T3.6.7) abschätzen1, der aus den Rechnungen in Kap. 9.1 abgeleitet wurde und mit Messungen in [9.5] in etwa überein stimmt. Bei radial nach innen durchströmten Radseitenräumen verringert sich die Radreibung infolge der Leckage; dies kompensiert – zumindest teilweise – den Einfluß der Rauheit, so daß man oft näherungsweise fL = fR = 1,0 setzen kann. 8. Teillastrezirkulation bremst die Fluidrotation, wenn sie mit kleiner Umfangsgeschwindigkeit in den Radseitenraum eintritt (Abb. 9.7) und erhöht so die Radreibung wie aus Abb. 5.30 deutlich wird. 9. Impulsaustausch: Zwischen Hauptströmung und Radseitenraumströmung gibt es einen Impulsaustausch und somit eine Wechselwirkung, Kap. 9.1. Die drei letzten Parameter können den Radreibungsverlust stark beeinflussen und machen dessen Berechnung – besonders bei großen Leckströmen und bei Teillast – recht unsicher. Bereits im Bestpunkt beträgt die Toleranz der berechneten Radreibungsleistung etwa ±25%. Die physikalischen Zusammenhänge werden in Kap. 9.1 ausführlich behandelt, weil sie sehr wichtig für die Berechnung der Axialkräfte auf das Laufrad sind. Sind die Radreibungsverluste in einer Pumpe zu bestimmen, berechnet man mit den Formeln aus Tafel 3.6 die Reibungsanteile aller im Fluid rotierenden Rotorflächen als da sind: die Radscheiben der Deck- und Tragscheibe, deren zylindrische Stirnseiten, Spaltdichtungen am Laufrad und ggf. an der Entlastungseinrichtung usw. Bei Laufrädern radialer Bauart überwiegt der Anteil der Radscheiben bei weitem alle anderen Anteile; die Größe des Laufradeintrittsdurchmessers spielt dabei eine untergeordnete Rolle, weil (r1/r2)5 << 1 ist, Gl. (T3.6.2). Für Radialräder typischer Form kann man die Radreibungsleistung bezogen auf die Nutzleistung Pu mit den Kenngrößen nq, Re und ψopt berechnen; dies führt bei turbulenter Strömung auf Gl. (T3.5.12) oder allgemein für laminare und turbulente Strömungen auf Gl. (T3.5.13). In diesen Gleichungen wurden die Reibungsanteile von Trag- und Deckscheibe einschließlich Seiten- und Stirnflächen sowie Dichtspalten für typische Radialräder berücksichtigt. Die Gleichungen zeigen: • Der Anteil der Radreibung an der Leistungsaufnahme der Pumpe sinkt exponentiell mit zunehmender spezifischer Drehzahl und wachsender Druckzahl. Er bildet bei kleinen spezifischen Drehzahlen eine Hauptverlustquelle: bei nq = 10, ψopt = 1 und Re = 107 beträgt die Radreibung etwa 30 % der Nutzleistung des Laufrades. 1

Für genauere Untersuchungen empfiehlt sich die Radseitenraumintegration gemäß Tafel 9.1.

90

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

• Bei kleinen spezifischen Drehzahlen ist die Druckzahl möglichst hoch zu wählen, um den Wirkungsgrad zu verbessern (eine hohe Druckzahl ergibt einen reduzierten Laufraddurchmesser und damit geringere Radreibung, da PRR ∝ d25). 3.6.2 Leckverluste axial durchströmter Dichtspalte Enge Spalte („Dichtspalte“) zwischen Laufrad und stationärem Gehäuseelement begrenzen den Rückfluß vom Laufradaustritt zum -eintritt, Abb. in Tafel 3.7. Eine solche Leckage reduziert den Wirkungsgrad der Pumpe. Weil die gesamte an den Leckstrom im Laufrad übertragene mechanische Energie (d.h. die Erhöhung des statischen Druckes und die kinetische Energie) im Spalt abgedrosselt und somit in Wärme umgewandelt wird, bedeutet ein Prozent Leckstrom eine Wirkungsgradeinbuße von ebenfalls einem Prozent. An den Axialschub-Entlastungselementen treten in gleicher Weise Leckströme auf, in denen die gesamte Förderarbeit der Pumpe abgedrosselt wird (auch hier geht je Prozent Leckage der Gesamtwirkungsgrad um ein Prozent zurück). Der Dichtspalt besteht aus einem äußeren, stationären Ring und einem rotierenden Innenzylinder, wobei die Spaltweite s klein gegen den Radius des Rotationskörpers ist (s << rsp). Infolge der Druckdifferenz über dem Spalt stellt sich eine axiale Durchflußgeschwindigkeit cax ein; diese Axialströmung läßt sich bei stillstehendem Rotor nach den Gesetzen der Kanalströmung behandeln, wenn man den hydraulischen Durchmesser dh = 2 s verwendet. Der axialen Strömung überlagert sich eine Umfangsströmung, wenn der Innenzylinder rotiert. Zur Beschreibung der Strömungsverhältnisse sind daher zwei Reynolds-Zahlen notwendig: Re für die Axial- und Reu für die Umfangsströmung, Definition in Tafel 3.7, Gl. (T3.7.9). Der Umschlag laminar-turbulent erfolgt bei einer Reynolds-Zahl Re* = 2000, die mit der mittleren vektoriellen Geschwindigkeit aus cax und usp/2 gebildet wird, Gl. (T3.7.10). Die Umfangsgeschwindigkeit im Spalt hängt von der Vorrotation am Spalteintritt kin = cu/ω r ab. Sie entwickelt sich mit zunehmendem Strömungsweg z im Spalt gemäß Gl. (T3.11A), [3.27], und erreicht für lange Spalte den Grenzwert kaus = cu/ω r = 0,5. ­ ·½ § ¸° ¨ ° ¸° ¨ cu 0,75 °° λ z ¨ ¸° k≡ 1+ = 0,5 + (k in − 0,5) exp®− 2 ¸¾ ¨ u sp 4 s ° ª º ° ¨ 1 + 4 « Re » ¸° ° ¸ ¨ Re °¯ ¬ u ¼ ¹°¿ ©

(3.11a)

Bei laminarer Strömung ist die Geschwindigkeitsverteilung in Umfangsrichtung linear mit cu = 0 am Stator und cu = ω rsp = usp am Rotor. Da cu von innen nach außen abnimmt, herrschen innen größere Zentrifugalkräfte als außen. Die Geschwindigkeitsverteilung ist demzufolge instabil: oberhalb einer bestimmten

3.6 Berechnung der Nebenverluste

91

Umfangsgeschwindigkeit treten paarweise gegenläufige Wirbelstrukturen in Umfangsrichtung auf („Taylor-Wirbel“). Das Stabilitätskriterium der Wirbelentstehung ist durch die Taylor-Zahl Ta bestimmt: Ta = usp s/ν (s/rsp)0,5 = Reu /2(s/rsp)0,5, [1.11]. Taylor-Wirbel entstehen bei Ta > 41,3; die Strömung bleibt aber bei genügend kleiner Axial-Reynolds-Zahl Re bis etwa Ta = 400 noch laminar. Bei laminarer Strömung steigt der Widerstandsbeiwert zufolge der Taylor-Wirbel beträchtlich (um den Faktor 2 bis 3). Siehe hierzu auch [1.11] und [3.10]. Bei stabiler, laminarer Strömung (Ta < 41,3) hat die Rotation keinen merklichen Einfluß auf den Reibungsbeiwert λ, der sich für den konzentrischen Ringspalt zu λ = 96/Re berechnet. Der Versuch mit Reu = 0 in Abb. 3.11 bestätigt dies. Bei turbulenter Strömung hängt λ hingegen vom Verhältnis der Umfangs- zur Axial-Reynolds-Zahl Reu/Re ab. Wie aus Gl. (T3.7.10) folgt, ist die Strömung im Spalt oberhalb Reu = 4000 immer turbulent, auch wenn kein axialer Durchfluß vorhanden ist. Für Strömungen mit Re < 2000 kann der Reibungsbeiwert mittels Gl. (T3.7.14) abgeschätzt werden. Zur Berechnung der Dichtspaltleckagen verwendet man bei turbulenter Strömung experimentell bestimmte Reibungsbeiwerte. Abbildung 3.11 zeigt solche Messungen an einem glatten Spalt, Abb. 3.12 für eine Dichtung mit groben Rillen [3.11]; Abbildung 3.11 wurde durch Versuche von [3.12] für Reu = 30'000 und 50'000 ergänzt. Wie bei allen turbulenten Strömungen hängt der Widerstand auch bei der Spaltströmung von der Wandrauheit ab. Diese Abhängigkeit ist bei engen 100.00

Re u

s

λ

L

10.00

1.00

0 4000 8000 15000 30000 50000 lambda-0 4000, Gl. T3.7.14 8000, Gl. T3.7.14 15000, GL. T3.7.14 30000, Gl. T3.7.14 50000, Gl. T3.7.14

0.10

0.01 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

Re

1.E+05

Abb. 3.11. Reibungsbeiwerte glatter Spaltdichtungen [3.11], [3.12] ε/s = 0,01; L/s = 413; s = 0,315 mm

92

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

10 Reu = 15000

s

λ

g b

Reu = 8000

1

t

Reu = 4000

0,1 Reu = 2000 Reu = 0 0,01 2 10

10

3

4

10

Re

5

10

Abb. 3.12. Reibungsbeiwerte einer gerillten Spaltdichtung [3.11]; s = 0,31 mm; b/t = 0,7;

t/s = 16,1; g/s = 3,2

Spalten sogar besonders stark, weil die relative Rauheit ε/dh wegen der kleinen Spaltweite groß wird. Die erforderlichen hohen Druckdifferenzen und Probleme der Meßgenauigkeit erschweren die experimentelle Ermittlung der Reibungsbeiwerte von Dichtspalten in einem großen Reynolds-Bereich. Man ist daher oft darauf angewiesen, die verfügbaren Versuchsergebnisse zu extrapolieren. Hierzu eignet sich das Widerstandsgesetz für die Strömung in Kanälen, Gl. (1.36), weil es den gesamten Bereich turbulenter Strömungen von hydraulisch glatt bis hydraulisch rauh beschreibt. Der Einfluß der Rauheit wird dabei durch ε/s ausgedrückt, weil ε/s die Feinstruktur der Strömung im Spalt besser beschreibt als ε/2s und die Versuchsresultate genauer wiedergibt. Die so berechneten Widerstandsbeiwerte gelten für den stillstehenden Rotor (u = 0) und seien daher als λo bezeichnet, Gl. (T3.7.12). Der Einfluß der Rotation wird bei turbulenter Strömung durch einen experimentell bestimmten Faktor λ/λo erfaßt, Gl. (T3.7.13), der erhebliche Unsicherheiten in sich birgt. Wie aus Gl. (T3.7.14) abzuleiten, gilt für die Dichtspalte am Laufrad meist Reu/Re < 2; die Korrektur für den Rotationseinfluß nach Gl. (T3.7.13) liegt somit in den meisten Anwendungsfällen unter 25%, so daß diese Unsicherheit oft nicht so gravierend ist. Re u = d∗sp Re

ζ EA + λ

L 2s

2· § R G ψ − k 2 ¨1 − d∗sp ¸ © ¹

(3.11b)

Die Versuchsdaten aus Abb. 3.11 wurden gemäß Gl. (T3.7.13) um den Rotationseinfluß korrigiert; das so erhaltene λo läßt sich nun mit Gl. T3.7.12) vergleichen. Die Ergebnisse dieser Rechnung zeigen, daß die Gln. (T3.7.12 bis T3.7.13) ge-

3.6 Berechnung der Nebenverluste

93

eignet für die Extrapolation der Meßdaten sind; dies sogar in den laminaren Bereich, Abb. 3.13. Die Reibungsbeiwerte glatter Dichtspalte sowie von Spalten mit groben oder feinen Rillen und isotropen Mustern lassen sich aus Abb. 3.14 abschätzen. 1.000

Re u 0 4000 8000 15000 30000 50000 Gl. (T3.7.12) eps/2s = 0.007

λο

0.100

0.010 1.00E+02

1.00E+03

Re

1.00E+04

1.00E+05

Abb. 3.13. Reibungsbeiwerte glatter Spaltdichtungen bei usp = 0 nach Abb. 3.11

1.00 glatt eps/2s = 0,008 grobe Rillen feine Rillen isotropes M uster

λ

0.10

0.01 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

Re

1.E+06

Abb. 3.14. Reibungsbeiwerte von Spaltdichtungen, gerechnet nach Tafel 3.7 für Reu/Re = 2

94

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Neben dem Reibungsverlust sind im Dichtspalt noch Eintritts- und Austrittsverluste zu berücksichtigen, die durch ζE und ζA bzw. durch die Summe dieser Beiwerte (ζEA = ζE + ζA) erfaßt werden. Ohne Rotation wäre bei echt scharfkantigem Eintritt ζE = 0,5 und ζA = 1. Infolge der Rotation sinken beide Werte, so daß man ζEA = 1 bis 1,2 setzen kann. Die vorhandenen Versuche weisen eine große Streuung auf, weil die Ein- und Austrittsverluste von Re und Reu abhängen und weil schon kleinste Abrundungen oder Fasen am Spalteintritt den Beiwert ζE stark herabsetzen (ist die Spaltweite z.B. s = 0,3 mm, ergibt ein Abrundungsradius von 0,2 mm bereits ein r/dh = 0,33; das entspricht nach Tafel 1.4 einer Verringerung von ζE = 0,5 auf ζE = 0,03). Dichtspalte werden gemäß Abb. 3.15 in verschiedenen Formen ausgeführt: • Gerade Dichtspalte („Durchblickdichtungen“) erfordern den geringsten Fertigungsaufwand. • Gestufte Dichtspalte mit 1 bis 2 Stufen bzw. Zwischenkammern, die erhöhten Widerstand bieten, weil in einer Kammer mindestens ein Staudruck dissipiert wird: ζk = 1 bis 1,3. Auch Spaltlänge und -durchmesser lassen sich bei gestuften Spalten evtl. besser optimieren. • Z-förmiger Dichtspalt (leicht höherer Widerstandsbeiwert ζk als bei gestuftem Spalt). • Mehrfachspalte (Labyrinthspalte) als konstruktiv aufwendigste Lösung. Bei diesem Spalttyp ist zu beachten, daß Spalt a groß gegen Spalt s ausgeführt werden muß, um Rotorinstabilitäten zu vermeiden (Kap. 10). • Radial- und Schräg- oder Diagonalspalte nach Kap. 3.6.5 Die Spaltweite ergibt sich aus konstruktiven Überlegungen, um ein Anstreifen des Rotors zu verhindern (z.B. Wellendurchbiegung unter Eigengewicht und s

s gerade, glatt oder rauh t s

g

gerade, gerillt b

r

a

r

i Radialspalt

gestuft (glatt oder gerillt) Schrägspalt mit Hilfsschaufeln Z-förmig

s

a

s

a >> s!

Rotor

Abb. 3.15. Dichtspaltformen

Mehrfachspalt

3.6 Berechnung der Nebenverluste

95

Radialschub, mögliche thermische Verformungen, Freßneigung der verwendeten Werkstoffe). Das Durchmesserspiel Δd = 2 s liegt in der Größe von: ­° d Δd = 0,004 ® Rref dsp °¯ d sp

½° ¾ °¿

0,53

mit dRef = 100 mm

(3.12)

Gleichung (3.12) entspricht grob den minimalen Spaltweiten aus [N.6] zuzüglich Toleranzen entsprechend den halben Toleranzfeldern H7/h7. Ausgeführte Spaltweiten liegen in der Regel im Bereich ±30% der Spaltweiten gemäß Gl. (3.12). In [N.6] wird für Materialien mit hoher Freßneigung und Pumpen für Medien über 260 °C ein Zuschlag von 0,125 mm zu den Spielen nach Gl. (3.12) vorgeschrieben. Beim Anfahren nicht vorgewärmter Pumpen für heiße Medien ist die unterschiedliche Erwärmung von Rotor und Stator zu beachten: die Spaltringe am Laufrad erwärmen sich wegen dünner Wandstärken rascher als das Gehäuse, wodurch sich die Spiele infolge thermischer Ausdehnung verringern. Alle Spalttypen können mit glatter Oberfläche, mit Rillen verschiedenster Art oder mit isotropen Mustern (in Waben- oder Lochstruktur) zur Erhöhung des Durchflußwiderstandes ausgeführt werden. Fertigungstechnisch „glatte“ Oberfläche bedeutet keineswegs „hydraulisch glatt“. Die Rauheit ist bei der Spaltverlustberechnung stets zu beachten, sofern die Strömung turbulent ist. Der Berechnungsgang für den Spaltverlust ist in Tafel 3.7 dargestellt. Zuerst gilt es, die über dem Spalt anliegende Druckdifferenz zu ermitteln. Am Laufradaustritt herrscht der statische Druck Hp nach Gl. (T.3.7.1), den man meist genau genug mit Hilfe des Reaktionsgrades Hp = RG H mit RG = 0,75 abschätzen kann. Bei radial einwärts gerichteter Leckage (Qs1 und Qs2 in Abb. 3.16) sinkt der Druck zwischen dem Laufradaustritt und dem Dichtspalt entsprechend der Rotation des Fluids im Radseitenraum (Kap. 9.1), die durch den Rotationsfaktor k = β/ω beschrieben wird (β ist die Winkelgeschwindigkeit des Fluids). Die Druckabsenkung im Radseitenraum beträgt: Δp = ½ ρ β2 (r22 - rsp2) = ½ ρ k2 u22(1 - dsp*2), Gl. (1.27). Zur Berechnung der Druckdifferenz über den Dichtspalt am Laufrad ergibt sich hiermit Gl. (T3.7.3). Je stärker das Fluid rotiert d.h. je größer k, desto stärker sinkt die Druckdifferenz über dem Spalt und somit der Leckstrom.

QS1 QSp

b)

c)

Spaltring

QLe=Q+QE+Qs3

Spaltring

a)

QS3

QS1 QSp

QS2

QS1

QS2

Zwischenstufendichtung

Abb. 3.16. Dichtspaltströme: a) mehrstufige Pumpe; b) Laufrad mit Entlastungsbohrungen; c) doppelflutiges Laufrad

96

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Da k mit wachsender Leckage steigt (Kap. 9.1), hängt der Spaltstrom von sich selbst ab und begrenzt sich teilweise selbst, wenn er radial einwärts gerichtet ist. Strömt die Leckage (wie Qs3) dagegen radial auswärts, wie das bei den Zwischenstufendichtungen mehrstufiger Pumpen der Fall ist, addiert sich nach Gl. (T3.7.4) die durch die Rotation im Radseitenraum bedingte Druckdifferenz zu dem Druckanstieg im Leitrad, der durch ΔHLe = H - Hp = (1 - RG) H gegeben ist. Der Rotationsfaktor k läßt sich auf verschiedenen Wegen abschätzen: (1) Nach Gl. (T3.7.2) als Funktion der Reynolds-Zahl und der Spaltgeometrie; (2) Ablesen aus Abb. 9.5 bis 9.10; (3) Nach Gl. (T9.1.4); (4) Berechnung nach Tafel 9.1. An Vorrichtungen zur Entlastung des Axialschubes mehrstufiger Pumpen (Kap. 9.2.3) tritt eine Leckage auf, die meist zum Saugstutzen zurückgeführt wird. Über die Entlastungseinrichtung wird dann die von (zst - 1) Stufen erzeugte Förderhöhe zuzüglich der Druckhöhendifferenz gemäß Gl. (T3.7.3) abgebaut, so daß der Entlastungsstrom mit der Höhendifferenz nach Gl. (T3.7.5) zu berechnen ist. Die Axialgeschwindigkeit cax im Dichtspalt ist nach Gl. (T3.7.6) iterativ zu berechnen, weil der Reibungsbeiwert von der Reynolds-Zahl (d.h. von cax) abhängt. Bei gestuften Dichtungen oder Mehrfachspalten sind die Widerstände der einzelnen Stufen oder Spalte nach Kap. 1.9 als hintereinandergeschaltete Widerstände zu berechnen, wie in Gl. (T3.7.6) angeschrieben. Zur Verringerung des Spaltstromes wurden Rillen und isotrope Muster entwikkelt, um den Widerstandsbeiwert zu erhöhen: Relativ grobe Nuten wurden in [3.11] untersucht; feine und grobe Nuten in [10.25]; Wabenmuster in [10.26]. Die Wirkung derartiger Strukturen beruht darauf, daß durch turbulenten Impulsaustausch zwischen dem Spaltstrom und dem Fluid in den Rillen oder Vertiefungen die Energiedissipation vergrößert wird. Es ergibt sich eine Art „Formwiderstand“, der dazu führt, daß der Übergang von hydraulisch glatter zu vollrauher Strömung zu niedrigeren Reynolds-Zahlen verschoben wird als beim ungerillten Spalt. Für Re > 10'000 kann man daher bei solchen Geometrien in erster Näherung mit Reunabhängigen Widerstandsbeiwerten rechnen. Da (wie oben erläutert) der Rotationseinfluß in vielen Fällen relativ klein ist, kann man das etwa erreichbare Niveau von Widerstandsbeiwerten für Re > 10'000 wie folgt beschreiben: Wabenmuster: λ = 0,1 bis 0,18 Feine Rillen: λ = 0,07 bis 0,09 Lochmuster: λ = 0,07 bis 0,1 Grobe Rillen: λ = 0,04 bis 0,06 Hierbei handelt es sich nur um grobe Größenangaben, weil die effektiven Widerstandsbeiwerte empfindlich von der Oberflächenstruktur abhängen. Bei gerillten Oberflächen ist die Feinheit bzw. Anzahl (t/s) der Rillen wichtiger als deren Tiefe g, sofern g/s > 1 gewählt wird (vgl. hierzu Abb. 3.12). Das Verhältnis Rillenbreite b zu Teilung t soll zu b/t = 0,5 bis 0,7 ausgeführt werden, um den Leckstrom zu minimieren. Bei Spaltdichtungen ohne Muster ist eine möglichst hohe Rauheit anzustreben; dem sind allerdings praktische Grenzen gesetzt, weil die erforderlichen engen Fertigungstoleranzen für die Dichtspaltdurchmesser nicht mit sehr rauhen Oberflächen erreicht werden können. Gewinderillendichtungen: Statt ringförmiger Rillen oder Nuten kann man ein „Fördergewinde“ auf dem rotierenden Innenzylinder anbringen, das gegen den abzudichtenden Druck arbeitet („Gewinderillendichtung“). Die bewirkte Leck-

3.6 Berechnung der Nebenverluste

97

stromreduktion ist um so größer, je kleiner cax/usp ist. Gewinderillendichtungen ergeben immer kleinere Leckagen als glatte Dichtspalte. Sie sind aber nur sinnvoll einzusetzen, wenn cax/usp < 0,7 ist. Über dieser Grenze sind Ringnuten analog zu Abb. 3.12 wirksamer. Das Verhältnis von Spaltlänge zu Spaltweite soll über Lsp/s = 50 liegen. Gewinderillendichtungen sind geometrisch ähnlich, wenn folgende Parameter gleich sind: Steigungswinkel α , Nutbreite a zu Teilung (a+b): a/(a+b), Nuttiefe h zu Spaltweite s : h/s und Teilung zu Spaltweite : (a+b)/s. Für gegebene Werte dieser Parameter ist der Reibungsbeiwert unabhängig von der Spaltweite. Da die Auswahl günstiger Parameter vom Verhältnis der Axialgeschwindigkeit im Spalt zur Umfangsgeschwindigkeit des Rotors abhängt, ist ein iteratives Vorgehen nötig. Tafel 3.7 (3) liefert hierzu alle benötigten Angaben und Formeln, die aus Versuchen in [3.13] abgeleitet wurden. Dabei gelten Gl. (3.7.39−40) für die in Gl. (3.7.35−38) angegebenen Geometrieparameter, von denen man ± 10 % abweichen kann, ohne daß Gl. (3.7.39−40) ihre Gültigkeit verlören. Hinweise für Beurteilung und Optimierung der Dichtspaltleckage: • Die Spaltweite ist die wichtigste Einflußgröße, weil der Spaltstrom etwa mit der 1,5-ten Potenz der Spaltweite steigt. Scheinbar kleine Abweichungen von den angenommenen Abmessungen wirken sich bei kleinen spezifischen Drehzahlen spürbar auf den Wirkungsgrad aus (so bedeutet z.B. bei einer Pumpe mit nq = 15 eine Spaltspieländerung um 0,03 mm von 0,25 auf 0,28 mm eine Wirkungsgradeinbuße von einem Prozentpunkt). Entspricht die aus den nominalen Durchmessern berechnete Spaltweite dem Minimalspiel, ist zu beachten, daß die mittlere, um das halbe Toleranzfeld vergrößerte, Spaltweite für die Leckage maßgebend ist. • Die Spaltweite hat praktisch keinen Einfluß auf den Reibungsbeiwert, vorausgesetzt man berücksichtigt die relative Rauheit ε/s bei der Berechnung. Für Re > 10'000 ist die Rauheit bei Spaltströmungen stets zu beachten Für einen typischen Spalt mit Spaltweite s = 0.25 mm, Oberflächengüte N7 mit ε = 4 μm (Tabelle 1.3) erhält man eine relative Rauheit von ε/s = 0,016. • Bei der Optimierung der Spaltgeometrie hinsichtlich Form (Abb. 3.15), Spaltlänge und Oberflächenstruktur ist neben dem Wirkungsgrad auch das rotordynamische Verhalten zu beachten (Kap. 10). • Während eine Exzentrizität des Innenzylinders bei turbulenter Strömung vernachlässigbar ist, sinkt der Widerstand eines Spaltes bei laminarer Strömung mit zunehmender Exzentrizität, Gl. (T3.7.11). • Die Wirkungsgradeinbuße infolge Dichtspaltleckage fällt mit steigender spezifischer Drehzahl, weil der Leckstrom auf einen zunehmend größeren Nutzförderstrom bezogen wird (Qsp/Qopt) und die Druckdifferenz über den Spalt sinkt. Gl. (T3.5.10) gibt eine Beziehung zur Abschätzung. Oberhalb nq > 60 liegt der Spaltverlust bei etwa 1% oder darunter (bzw. 2 % wenn Entlastungsbohrungen vorhanden sind).

98

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

• Zwischen Leckstrom, Druckverteilung im Radseitenraum, Radreibung und Hauptströmung besteht eine enge Wechselwirkung (Kap. 9.1). Bei ungewöhnlich hoher Leckage sind die Verhältnisse nach Kap. 9.1 zu berechnen (Tafel 9.1). Aufgrund der vielen Einflußgrößen und der begrenzten Anzahl relevanter Messungen unterliegen Leckageberechnungen Unsicherheiten von etwa ± 30%, die durch folgende Faktoren bedingt sind: • • • • • • •

Turbulenz- und Rauheitsstruktur (und deren Wechselwirkung) Druckdifferenz über Spalt (Radseitenraumströmung) wirkliche Spaltweite (Fertigungstoleranzen): s = f(Umfang und Länge) Zentrifugalkraft: die Aufweitung des rotierenden Teiles verkleinert das Spiel Statorverformung unter Belastung evtl. geringe Temperaturdifferenz Rotor/Stator Ein- und Austrittsverlustbeiwerte ζE, ζA hängen ab von der Vorrotation am Spalteintritt. Die Kanten sind nominell scharf, aber bereits kleinste Abrundungen reduzieren die Verlustbeiwerte.

3.6.3 Leistungsverlust der Zwischenstufendichtung Der Leckstrom durch Dichtungen zwischen den Stufen mehrstufiger Pumpen wird nach Tafel 3.7(1) berechnet. Die prozentuale Wirkungsgradeinbuße ist aber kleiner als bei Leckagen um das Laufrad, weil der Energieumsatz im Leitrad nur etwa ein Viertel der Förderarbeit des Laufrades beträgt. Als Leistungsverlust in dieser Dichtung wird daher der Verlust berechnet, der sich aus der Drosselung des Spaltstromes Qs3 über die Höhendifferenz ΔHs3 ergibt: Ps3 = ρ g Qs3 ΔHs3; er geht nicht in den volumetrischen Wirkungsgrad ein und kann näherungsweise als unabhängig vom Betriebspunkt der Pumpe angenommen werden. Der Anteil Ps3/Pu sinkt mit wachsender spezifischer Drehzahl. Gleichung (T3.5.11a) dient zur Abschätzung dieses Anteils: oft ist die Faustformel genügend genau; ansonsten berechnet man ΔHs3 aus Gl. (T3.7.4), die Leckage nach Gl. (T3.7.7 bis 13) und den Leistungsverlust Ps3 aus Gl. (T3.5.11a). 3.6.4 Leckverluste radial oder diagonal durchströmter Dichtspalte Radial oder diagonal durchströmte Dichtspalte (Abb. 3.15) werden vorwiegend in Kreiselpumpen ausgeführt, deren Fördergut abrasive Stoffe enthält. Derartige Konstruktionen vermeiden im Bereich der Spaltdichtung Strömungsumlenkungen, die oft zu lokalen Auskolkungen infolge Abrasion führen. Die Strömung in Spalten mit radialer Erstreckung wird durch Zentrifugalkräfte beeinflußt, die durch die Umfangskomponente der Strömungsgeschwindigkeit im Spalt erzeugt werden. Diesen Effekt erfaßt man, wie in Kap. 3.6.2, durch den Rotationsfaktor k. Die über dem Dichtspalt anliegende Druckdifferenz Δp wird ent-

3.6 Berechnung der Nebenverluste

99

sprechend mit einem Zusatzglied ½ ρ (k ω ra)2 korrigiert. Erfolgt die Strömung von innen nach außen, ist dieser Term positiv und die Leckage vergrößert sich entsprechend. Strömt das Fluid hingegen radial einwärts, wirkt die Zentrifugalkraft der Strömung entgegen, und die Pumpwirkung im Dichtspalt reduziert den Spaltstrom. Der Leckverlust radial durchströmter Spaltdichtungen kann nach [3.25] wie folgt berechnet werden: 1. Man bestimmt die Druckdifferenz über den Dichtspalt nach Tafel 3.7(1) analog Gl. (T3.7.1 bis T3.7.4). 2. Die Reibungsbeiwerte λ = f(Re,ε) sind – wie bei axialen Spalten – nach Gl. (T3.7.12 u. T3.7.13) iterativ zu bestimmen. Dabei werden die ReynoldsZahlen mit den zwischen Ein- und Austritt geometrisch gemittelten Radialbzw. Umfangsgeschwindigkeiten im Spalt gebildet, Gl. (3.7.21); deshalb erscheint in dieser Gleichung das Radienverhältnis ar = ra/ri. 3. Die Radialgeschwindigkeit im Spalt und die Leckage ergeben sich aus Tafel 3.7(2), Gl. (3.7.22 u. T3.7.23). Beim Pumpen abrasiver Suspensionen können sich die Spalte im Betrieb stark erweitern, so daß Förderhöhe und Wirkungsgrad abnehmen. Diese Einbußen werden nicht nur durch den volumetrischen Verlust verursacht, sondern ein großer Spaltstrom erzeugt auch einen Mitdrall am Laufradeintritt und verschlechtert die Zuströmung. Dadurch erhöht sich auch die Kavitationsneigung, so daß NPSHR kräftig steigen kann. Der Spaltstrom läßt sich durch Hilfsschaufeln (wie in Abb. 3.15 angedeutet) verringern. Die Auswirkung der Leckage auf Förderhöhe, Wirkungsgrad und NPSHR kann sehr grob nach Gl. (T3.7.18 bis T3.7.20) abgeschätzt werden; (um diese Beziehungen abzuleiten, wurden die Messungen in [3.26] auf eine allgemeinere Form umgerechnet). 3.6.5 Spaltverluste an offenen Laufrädern Bei offenen oder halboffenen Laufrädern (s. Tafel 2.1) strömt durch den Spalt zwischen Gehäuse und Laufschaufeln Fluid von der Druck- zur Saugfläche der Schaufeln. Hierbei wird die kinetische Energie des Spaltstromes weitgehend verwirbelt und die Hauptströmung wird weniger umgelenkt (der Abströmbeiwert sinkt entsprechend). Wirkungsgrad, Leistungsaufnahme und Förderhöhe fallen folglich mit zunehmender Spaltweite. Andererseits wird die kinetische Energie des Spaltstromes in die energiearme Zone auf der Saugfläche eingespeist (Kap. 5), was sich z.B. günstig auf die Kennlinienstabilität halbaxialer Pumpen auswirken kann. Auch die Förderung ungelöster Gase wird infolge der Verwirbelung des Spaltstromes mit dem Hauptstrom erleichtert, weil sich die Gefahr von Gasansammlungen auf der Saugfläche der Schaufeln verringert (Kap. 13.2). Die Spaltströmung erhöht die Sekundärströmung im Kanal und macht die Strömung im Laufrad stärker dreidimensional. Bei großen Spaltweiten strömt zudem Fluid aus dem Leitapparat in den Spalt – und damit in das Laufrad – zurück (die

100

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Verhältnisse sind dann ähnlich wie in einer Freistrompumpe nach Abb. 2.17). In diesem Fall hängt die Empfindlichkeit der Pumpe auf eine Spaltweitenänderung auch davon ab, mit welcher Umfangskomponente das Fluid aus der Leitvorrichtung zurückströmt. Wie sich die Spaltströmung auf die Leistungsdaten einer gegebenen Pumpe auswirkt, ist daher nur mit einiger Unsicherheit vorauszusagen. Wegen des Einflusses des Spaltstromes auf die Hauptströmung ist eine strenge Trennung der Spaltverluste von den hydraulischen Verlusten und der Wandreibung nicht möglich. Bei kleinen Spaltweiten (s/b2 < 0,01), wie sie bei halbaxialen Pumpen hoher spezifischer Drehzahl üblich sind, scheint es deshalb angezeigt, die Spaltverluste nicht separat zu ermitteln, sondern in den hydraulischen Wirkungsgrad einzuschließen. Der Einfluß der Spaltweite auf Förderhöhe, Leistungsaufnahme und Wirkungsgrad wurde mehrfach experimentell untersucht; als neuere Arbeiten sind [3.21] bis [3.24] zu nennen. Nach diesen Arbeiten läßt sich das hydraulische Verhalten von Pumpen mit offenen Laufrädern wie folgt charakterisieren: • Die Förderhöhe einer gegebenen Pumpe sinkt linear mit zunehmender Spaltweite nach (H(s = 0) – H(s))/H(s = 0) = g s, wenn der Index s = 0 die auf Spaltweite null extrapolierten Verhältnisse und Index s das Verhalten mit endlicher Spaltweite beschreibt. Der Gradient g der Förderhöheneinbuße hängt indessen stark von der Laufradauslegung ab. Er läßt sich nur sehr unvollkommen mit den Laufradparametern korrelieren, da sich die dreidimensionale Strömung im Laufrad nicht mit einfachen Geometrieparametern beschreiben läßt: verschiedene Laufräder reagieren mit recht unterschiedlicher Empfindlichkeit auf eine Spalterweiterung. Die Leistungseinbußen gehen tendenziell zurück, wenn man die Schaufelzahl und/oder den Schaufelaustrittswinkel erhöht. Radiale Schaufelsterne mit 20 bis 30 Schaufeln und β2B = 90° reagieren daher trotz ihrer kleinen spezifischen Drehzahl wenig empfindlich auf die Spaltweite. Die Unempfindlichkeit bei großen Austrittswinkeln läßt sich dadurch erklären, daß die Geschwindigkeit im Spalt eine hohe Umfangskomponente aufweist, deren Energie zur Strömungsumlenkung beiträgt. Bei kleinen Schaufelwinkeln hingegen hat die Spaltströmung eine radial einwärts gerichtete Komponente, die der Hauptströmung entgegengerichtet ist. Aus den erwähnten Messungen kann man eine Korrelation – Gl. (T3.7.15) – für die Förderhöheneinbuße ableiten, die obige Effekte qualitativ richtig wiedergibt, aber eine beträchtliche Streuung aufweist. • Die Leistungsaufnahme sinkt – wegen geringerer Strömungsumlenkung – ebenfalls mit zunehmender Spaltweite. Das gleiche gilt für den Wirkungsgrad, der aber stärker als die Leistungsaufnahme fällt. Als Richtwerte mögen Gl. (T3.7.16 und 17) dienen, wonach die Wirkungsgradeinbuße etwa 2/3 der Förderhöheneinbuße beträgt. Die relative Leistungsaufnahme reduziert sich entsprechend um etwa 1/3 der Förderhöhenverringerung. • Die Förderhöhe fällt im ganzen Lastbereich; die relative Einbuße steigt mit wachsendem Förderstrom. Die Nullförderhöhe sinkt etwa halb so stark wie die Förderhöhe im Bestpunkt.

3.6 Berechnung der Nebenverluste

101

• Der Bestpunkt verschiebt sich mit zunehmender Spaltweite zu kleineren Förderströmen. Nach [B.1] kann man die Auswirkung des Spaltes auf Förderhöhe und Wirkungsgrad für radiale, halbaxiale und axiale Laufräder sehr grob abschätzen nach: Δη ΔH ΔQ s = = = η H Q b2

(3.13)

Halbaxiale Laufräder mit nq > 70 bis 100 werden im Regelfall halboffen ausgeführt, weil die Radreibung an einer Deckscheibe – wegen deren großen Durchmessers – eine erhebliche Einbuße an Wirkungsgrad verursachen würde (typische Größe etwa 3%). Zudem ist die Absolutgeschwindigkeit kleiner als die Relativgeschwindigkeit, so daß sich bei fehlender Deckscheibe an der äußeren Gehäusewand kleinere Reibungsverluste ergeben, als dies bei einem geschlossenen Laufrad der Fall wäre. 3.6.6 Mechanische Verlustleistung Die mechanische Verlustleistung Pm setzt sich zusammen aus den Verlusten in den Radiallagern, im Axiallager und in den Wellendichtungen; dazu kommen allenfalls zur Pumpe gehörende Hilfsaggregate, die von der Pumpenwelle angetrieben werden. Diese Verluste hängen von der Konstruktion der Pumpe ab, d.h. ob Wälzlager oder Gleitlager, Stopfbuchse oder mechanische Dichtung eingesetzt werden. Der Anteil der mechanischen Verluste an der Kupplungsleistung fällt umso stärker ins Gewicht, je kleiner die Pumpe bzw. deren Förderstrom ist: während der mechanische Wirkungsgrad bei großen Pumpen um 99,5 % liegt, können die mechanischen Verluste bei Kleinpumpen unter 5 kW einen beträchtlichen Anteil der Kupplungsleistung verschlingen, wenn z.B. – wie bei Prozeßpumpen – doppeltwirkende Gleitringdichtungen eingebaut werden. Die mechanischen Verluste lassen sich nach Gl. (T3.5.6a) abschätzen, wenn keine genaueren Angaben vorliegen. In kritischen Fällen – wie dem zuvor erwähnten – ist aber Vorsicht geboten. Eine genaue Analyse ist auch angezeigt bei Sonderkonstruktionen wie Naßläufermotoren oder Magnetkupplungen. Führt man an einer Pumpe Leistungsmessungen mit – gegenüber der Anlage – reduzierter Drehzahl aus, ist zu beachten, daß die mechanischen Verluste etwa nach Pm ∝ nx mit x = 1,3 bis 1,8 (und nicht wie die Pumpenleistung nach P ∝ n3) umzurechnen sind: bei reduzierter Drehzahl sinkt der mechanische Wirkungsgrad, was bei der Umrechnung auf Anlagebedingungen zu berücksichtigen ist.1 1

Der erwähnte Exponent bedeutet keinen Widerspruch zu Gl. (T3.5.6a), die sich auf verschiedene Pumpen mit optimal angepaßter mechanischer Ausrüstung bezieht, während die Umrechnung der mechanischen Verluste einer bestimmten Pumpe von gegebenen mechanischen Komponenten ausgeht, die bei reduzierter Drehzahl überdimensioniert sind.

102

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

3.7 Grundsätzliches zur Berechnung der Leitvorrichtung Am Laufradaustritt hat das Fluid die Umfangsgeschwindigkeit c2u = c2 cosα2 bzw. die kinetische Energie Ekin = ½ ρ Q c22. Bis zu mittleren spezifischen Drehzahlen liegt cosα2 nahe bei eins; mit Pth = ρ Q Yth = ½ ρ Q ψth u22 und c2u/u2 = ½ ψth (drallfreie Zuströmung, Gl. T3.3.9) ergibt sich der Anteil der kinetischen Energie an der Schaufelarbeit näherungsweise zu Ekin/Pth = ψth/4. Er ist also bei kleinen und mittleren spezifischen Drehzahlen beträchtlich. Ein annehmbarer Wirkungsgrad kann folglich nur erreicht werden, wenn die kinetische Energie am Laufradaustritt im Leitapparat wirksam verzögert und so ein möglichst großer Anteil in statischen Druck umgewandelt wird.1 Als Leitvorrichtung sind nach Tafel 2.1 gebräuchlich: Spiralgehäuse, beschaufelte Leiträder, Ringräume oder glatte (unbeschaufelte) Leitringe, die sich weitgehend nach gleichen Gesichtspunkten auslegen lassen. Nach dem Newton'schen Trägheitsgesetz behält ein Körper seine Bewegungsgröße bei, wenn er nicht durch äußere Krafteinwirkung daran gehindert wird. Das Fluid hat somit die Tendenz, nach dem Laufrad sein Impulsmoment (seinen „Drall“) ρ Q r2 c2u beizubehalten, sofern es nicht durch Strukturen oder Wandreibung beeinflußt wird. In einem im wesentlichen unbeschaufelten Gehäuse folgt die Strömung somit dem Gesetz cu r = c2u r2 = konstant (abgesehen von Reibungseinflüssen). Die Umfangskomponente der Strömungsgeschwindigkeit in einem beliebigen Flächenelement des Gehäuses berechnet sich also aus cu = c2u r2/r. Der Leitapparat ist nun so auszulegen, daß die Abströmung vom Laufrad entsprechend dem Drallsatz erfolgen kann, weil nur so eine umfangssymmetrische – und damit rückwirkungsfreie – Strömung erreicht wird. Der Leitapparat wird für den Förderstrom QLe = Qopt + Qs3 + QE bemessen, wobei QE den Volumenstrom durch eine Vorrichtung zur Axialschubentlastung und Qs3 die Leckage der Zwischenstufendichtung bedeuten. Spiralgehäuse: Betrachten wir einen beliebigen Querschnitt eines Spiralgehäuses nach Abb. 3.17, der sich in der Umfangsposition ε befinde. Durch ein Flächenelement dA = b dr auf dem Radius r im Querschnitt A strömt der Durchsatz dQ = cu b dr = c2u r2/r b dr und durch den gesamten Querschnitt entsprechend: Q(ε) = c2u r2 ³ b/r dr. Vom Beginn der Spirale (Punkt S in Abb. 3.17) bis zum Querschnitt A fördert das Laufrad im Auslegungspunkt den Strom Q(ε) = Qopt ε/360. Damit die Strömung ungehindert nach dem Drallsatz erfolgen kann, ist der Querschnitt A so auszulegen, daß Gl. (3.14) erfüllt wird: Qopt εo b dr = 360 c2u r2 rz r

rA

³

1

(3.14)

Eine Ausnahme bilden Axialpumpen sehr hoher spezifischer Drehzahl, die u.U. ohne Leitapparat auszuführen sind, Kap. 7.6.6.

3.7 Grundsätzliches zur Berechnung der Leitvorrichtung

103

Schnitt A

b

dr

rA S

r

A

rz rz

r2

α3Β

rz Abb. 3.17. Spiralgehäuse

Wie die Erfahrung lehrt, werden die Verluste in etwa minimal, wenn ein Spiralgehäuse so dimensioniert wird, daß das Fluid im Auslegepunkt nach dem Drallsatz strömen kann. Das bedeutet, daß die Querschnitte des Spiralgehäuses – insbesondere der Endquerschnitt – entsprechend Gl. (3.14) zu wählen sind. Für den Endquerschnitt gilt: r Q = z Le ³ c2u 2 b dr r

oder

Q = c2u r2 JSP

rA

b dr rz r

mit JSP = z Le ³

(3.15)

Dabei ist zLe die Anzahl der Teilspiralen, die das Gehäuse bilden. Am häufigsten werden verwendet: Einfachspiralen mit ε = 360° Umschlingungswinkel (also zLe = 1) sowie Doppelspiralen mit je 180° und zLe = 2. Mitunter werden Drei- oder Vierfachspiralen ausgeführt, um das Bauvolumen zu verringern. Doppelspiralen werden auch mit Umschlingungswinkeln εsp < 180° ausgeführt, wobei entsprechend zLe = 360°/εsp einzusetzen ist. Den Drall r2 c2u am Eintritt in die Spirale erhält man aus Gl. (T3.2.7 oder 8). Wird der Spirale ein Leitrad oder Leitring vorgeschaltet, dessen Austrittsgeschwindigkeit c4u ist, muß in Gl. (3.14) oder (3.15) c4u r4 eingesetzt werden. Der Sporn (oder die Zunge) einer Spirale bildet mit der Umfangsrichtung einen Skelettwinkel α3B, der entsprechend dem Anströmwinkel zu wählen ist; er ergibt sich aus den folgenden Gleichungen, die für Spiralen und Leiträder gelten:

104

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Meridiankomponente mit Versperrung nach Tafel 0.1:

c 3m′ =

Umfangskomponente nach Drallsatz (dz = d3): c3u = c 2u

Anströmwinkel mit Versperrung:

c ′ tan α 3′ = 3m c 3u

Schaufelwinkel: α 3B = α 3′ + i 3

Q Le τ 3 π d 3 b3

d2 d3

(3.16)

(3.17)

(3.18) (3.19)

Den Anstellwinkel wählt man im Bereich i3 = ±3°. Bei Spiralen gilt τ3 ≈ 1. Für die Formgebung der Zunge empfiehlt sich ein elliptisches Profil, das unempfindlich gegenüber Änderungen im Anstellwinkel (bzw. Förderstrom) ist. Es kann nach Abb. 3.17 symmetrisch ausgeführt oder auf der Saugfläche so gestaltet werden, daß sich bei Teillast möglichst kleine Anstellwinkel ergeben (hierdurch entsteht eine asymmetrische Profilierung). An die eigentliche Spirale schließt sich meist ein Diffusor an, der nach Kap. 1.6 auszulegen ist. Zwischen dem Laufradaustritt und dem Sporn ist aus hydraulischen und konstruktiven Gründen ein Abstand erforderlich, in dem das Fluid nach den Gesetzen des glatten Leitringes strömt (s.u.). Leitrad: Ein Leitrad besteht gemäß Abb. 3.18 aus zLe Schaufeln, die einen dreieckförmigen Eintrittsbereich und einen geschlossenen Kanal – den Diffusor – bilden. Der „halb-beschaufelte“, dreieckförmige Eintrittsbereich entspricht strömungstechnisch einer Teilspirale; dies umso mehr, je kleiner die Leitschaufelzahl gewählt wird. Bei hohen Leitschaufelzahlen kann sich indessen infolge des Schaufeleinflusses keine reine Drallströmung ausbilden, zumal auch der engste Querschnitt bei a3 nicht streng nach Gl. (3.15) ausgeführt wird. Grundsätzlich bildet Gl. (3.15) aber eine gute Grundlage zur Berechnung des engsten Querschnittes, der bei gegebener Breite b3 mit Hilfe von Gl. (3.20) bestimmt werden kann: ½ d ­ 2 Q Le a 3 = 3 ®exp − 1¾ 2 ¯ z Le b3 d 2 c 2u ¿

(3.20)

Diese Beziehung entspricht dem Integral von Gl. (3.15) für eine Spirale mit rechteckigem Querschnitt. Das Leitrad kann im übrigen weitgehend wie eine Spirale berechnet werden: (1) Schaufelwinkel α3B gemäß Gl. (3.16) bis (3.19) mit i3 = ±2°; (2) Diffusor nach Kap. 1.6; und Profilierung wie oben beschrieben (Einzelheiten s. Kap. 7). Im Spalt zwischen Lauf- und Leitschaufeln strömt das Fluid wie in einem Leitring. Leitring: In einem unbeschaufelten Leitring nach Abb. 3.19 kann sich die Strömung entsprechend dem Drallsatz entwickeln, und der Druck steigt in radialer Richtung gemäß Gl. (1.28). Die Meridiankomponente berechnet sich gemäß der Kontinuitätsgleichung aus:

3.7 Grundsätzliches zur Berechnung der Leitvorrichtung

105

α3B a3 a4

r3

t3 d3

Abb. 3.18. Beschaufeltes Leitrad a)

b4

b) b3

b3

r4

c)

c

α cu

cm

dr

r r2

Abb. 3.19. Glatter Leitring. a parallelwandig; b konisch; c Geschwindigkeitsvektoren

cm =

Q Le c r b = 3m 2 3 2π r b rb

(3.21)

Mit cu = c2u r2/r ergibt sich der Strömungswinkel, wenn die Reibung vernachlässigt wird, aus: c c b b tan α = m = 3m 3 = tan α3 3 cu c2 u b b

(3.22)

In einem Leitring konstanter Breite bleibt also der Strömungswinkel bei reibungsfreier Betrachtung konstant. In Wirklichkeit sinkt die Umfangskomponente cu infolge Reibung gegenüber dem ohne Schubspannungen angesetzten Drallsatz, dergestalt, daß der Strömungswinkel mit zunehmendem Radius wächst. Hierfür gilt nach [B.1] die Beziehung: ­ cu r c f r2 = ®1 + c 2u r2 ¯ b 3 tanα 3

§¨ r − 1·¸½ ¾ ¹¿ © r2

−1

(3.23)

106

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Gleichung (3.23) führt auf folgende Beziehung für den Strömungswinkel bei reibungsbehafteter Strömung: · r §r tan α 4 = tan α 3 + c f 2 ¨¨ 4 − 1¸¸ b 3 © r2 ¹

(3.24)

Die Meridiangeschwindigkeit wird durch die Reibung nicht beeinflußt, weil sie durch die Kontinuität gegeben ist. Die Reibungsverluste im Leitring konstanter Breite können näherungsweise wie folgt ermittelt werden: In einem Ringelement nach Abb. 3.19c herrscht die Geschwindigkeit c = cu/cosα = c2u r2/(r cosα); sie verursacht die Wandschubspannung τ = ½ ρ cf c2. Dabei wird die Leistung dPd = c dF = ½ ρ cf c3 dA dissipiert, Kap. 1.5. Integriert man dPd von r2 bis r4, ergibt sich mit ζ = 2 Pd/(ρ Q u22) der Koeffizient der Reibungsverluste ζLR nach Gl. (T3.8.23), der beide Seiten des Leitringes umfaßt. Gleichung (T3.8.23) zeigt: Die Reibungsverluste nehmen mit wachsendem Förderstrom ab, weil die Umfangskomponente cu sinkt und der Strömungswinkel α steigt bzw. der Reibungsweg sich verkürzt. Deshalb verschiebt sich der Bestpunkt zu größerem Förderstrom, wenn ein Leitring an Stelle einer Spirale oder eines Leitrades eingesetzt wird. Es gibt einen optimalen Abströmwinkel, der ausgeführt werden muß, damit das Wirkungsgradoptimum beim verlangten Auslegungsförderstrom liegt. Dies bedeutet, daß die Breite b2 bzw. b3 nicht beliebig gewählt werden darf. Da cu mit zunehmendem Durchfluß fällt, sinkt auch der Druckrückgewinn; ein Leitring ist folglich ein stabilisierendes Element – solange er nicht ablöst. Je kleiner der Abströmwinkel α2 aus dem Laufrad, desto größer werden die Verluste im Leitring. Ein Leitring ist für kleine spezifische Drehzahlen also hinsichtlich Wirkungsgrad ungünstig. Wird der Leitring so ausgelegt, daß seine Breite von innen nach außen abnimmt (b4 < b3), wächst der Strömungswinkel gemäß Gl. (3.22) mit zunehmendem Radius, Strömungsweg und Verluste nehmen entsprechend ab. Wird die Leitringbreite b3 größer ausgeführt als die Laufradaustrittsbreite b2, treten infolge Verzögerung der Meridiangeschwindigkeit von c2m auf c3m Stoßverluste auf, die sich nach Gl. (1.12) berechnen lassen: 2 g ΔH = (c2m' - c3m)2. Der entsprechende Verlustbeiwert, der auch den Effekt der Schaufelversperrung am Laufradaustritt enthält, ist als Gl. (T3.8.24) in Tafel 3.8 aufgeführt. Bei dieser plötzlichen Verzögerung tritt auch ein geringer Druckrückgewinn auf, der sich nach Gl. (1.11) ermitteln läßt. Gemäß Drallsatz wird die Umfangskomponente c2u nicht durch die Erweiterung von b2 auf b3 beeinflußt. Spiralgehäuse und Leitrad verhalten sich bezüglich der Erweiterung von b2 auf b3 wie ein Leitring. Ringraum: Ringräume werden mitunter für Pumpen mit niedriger spezifischer Drehzahl und für Kleinpumpen verwendet. Das Fluid wird mittels einem Diffusor aus dem Ringraum abgeführt. Der Ringraum unterscheidet sich vom Leitring dadurch, daß er merklich breiter als die Laufradaustrittsbreite ist und nur eine geringe radiale Erstreckung aufweist. Die Verzögerung der Meridiangeschwindigkeit von c2m auf c3m ist entsprechend groß, wodurch eine kräftige Sekundärströmung

3.8 Hydraulische Verluste

107

und ein Impulsaustausch zwischen Ringraum- und Laufradströmung gefördert werden. Da der Querschnittsverlauf im Ringraum nicht der Auslegung nach Drallsatz entspricht, ergibt sich im Auslegungspunkt keine Umfangssymmetrie, was sich gemäß Kap. 9.3 in entsprechend großen Radialkräften äußert.

3.8 Hydraulische Verluste Die Strömungsverluste in einer Pumpe reduzieren die nutzbare Förderhöhe entsprechend H = h×Hth oder H = Hth -ZE - ZLa - ZLe - Zsp -ZA. Sie umfassen alle zwischen Saug- und Druckstutzen entstehenden hydraulischen Verluste des Einlaufs (ZE), der Lauf- und Leiträder (ZLa, ZLe), des Spiralgehäuses (Zsp) und des Austrittsgehäuses ZA. Strömungsverluste werden durch Reibung und Verwirbelung erzeugt (Kap. 1.5.2): 1.

2.

Reibungsverluste entstehen infolge Schubspannungen in den Grenzschichten an allen durchströmten Bauteilen. Die von der Reynolds-Zahl und der Oberflächenrauheit abhängigen Reibungsverluste sind maßgebend bei anliegender Strömung und dünnen Grenzschichten. Diese Verhältnisse finden sich insbesondere in beschleunigter Strömung und in Rohren. ReynoldsZahl und Oberflächenrauheit verlieren in stark verzögerter Strömung an Bedeutung und üben in abgelöster Strömung praktisch keinen Einfluß aus. Verwirbelungsverluste werden verursacht durch Sekundärströmungen, ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilungen, Ablösungen, Falschanströmung („Stoßverluste“), Nachlaufströmungen hinter Schaufeln oder Rippen und durch Turbulenz. Strömungsverzögerung führt zu dicken Grenzschichten, die die Geschwindigkeitsverteilung verzerren. Die wachsenden Geschwindigkeitsgradienten in ungleichförmiger Strömung bewirken einen verlustreichen Impulsaustausch zwischen den Stromlinien. Dieser erfolgt durch Wirbel unterschiedlicher Größe, wobei große Wirbel sukzessive in kleinere zerfallen bis die Wirbelenergie in Wärme (erhöhte Geschwindigkeit der Molekularbewegung) dissipiert wird.

Verwirbelungsverluste infolge ungleichförmiger Strömungsverteilung der unter Punkt 2 und in Kap. 1.5.3 beschriebenen Art bestimmen weitgehend den hydraulischen Wirkungsgrad einer Pumpe. Ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilungen werden durch eine Reihe von Mechanismen erzeugt: • Die Schaufelarbeit führt unweigerlich zu einer ungleichförmigen Geschwindigkeitsverteilung über die Schaufelteilung. Dieser Effekt steigt mit der Schaufelbelastung, d.h. mit steigender Druckzahl und abnehmender Schaufellänge. • Falschanströmung einer Schaufel führt zu örtlicher Verzögerung oder sogar Ablösung („Stoßverluste“). Dieser Effekt kann zusätzlich Kavitation verursachen. • Eine plötzliche Verzögerung, wie sie im Laufradeintritt und im engsten Querschnitt von Spirale und Diffusor auftritt, wenn der Querschnitt nicht zur vekto-

108

• •

•

• • •

•

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

riellen Geschwindigkeit paßt (zu beschreiben durch die Parameter w1q/w1 bzw. c3q/c2), führt zwangsläufig zu ungleichförmigen Geschwindigkeitsverteilungen im Schaufelkanal (Abb. 5.14). Der Strömungsmechanismus hat eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Carnot-Stoß nach Abb. 1.3. Jegliche Art von gekrümmten Stromlinien, insbesondere die Umlenkung im Meridianschnitt radialer Laufräder sowie die Schaufelkrümmung erzeugt ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilungen wie aus Abb. 1.12 deutlich wird. Strömungsablösung erzeugt Totwasserzonen und örtliche Rückströmung. Das Totwasser blockiert einen Teil des Strömungsquerschnitts, wodurch die nichtabgelöste Strömung u.U. beschleunigt wird. Hohe Verluste durch Impulsaustausch zwischen dem Totwasser und der Hauptströmung sind die Folge. Corioliskräfte, Zentrifugalkräfte und Stromlinienkrümmung (Abb. 1.12) erzeugen Sekundärströmungen, die in Kap. 5 ausführlich besprochen werden. Eine weitere Art von Sekundärströmungen entsteht durch Unterschiede zwischen den Grenzschichten an den Schaufeln und den Seitenwänden (vgl. Abb. 1.6). Die Stärke der Sekundärströmungen stellt sich vermutlich nach dem Prinzip des geringsten Widerstandes ein. Die Vermischung des Leckstromes aus der Spaltdichtung mit der Hauptströmung erzeugt eine ungleichförmige cm-Verteilung nahe der Deckscheibe, eine örtliche Mitrotation und geänderte Anströmwinkel der Schaufeln. Nachlaufströmungen an Schaufeln oder Rippen. Die Breite des Nachlaufes wird durch Fluid mit niedriger Energie an der Schaufelsaugfläche vergrößert. Die Grenzschichtströmung an Nabe und Deckscheibe wird beim Eintritt in die Beschaufelung (von Laufrad oder Leitrad) verzögert. Infolge der Versperrung durch die Schaufel und durch in Staupunktnähe stagnierendes Fluid wird die Strömung von der Wand seitwärts in den Schaufelkanal abgedrängt. Wie in Abb. 3.20 dargestellt, bildet sich dabei ein „Hufeisenwirbel“ aus. Dieser blokkiert einen Teil des Strömungsquerschnittes, erhöht die Ungleichförmigkeit der Strömung und kann zu Kavitation und Abrasion führen. In offenen halbaxialen und axialen Laufrädern entsteht eine verlustreiche Spaltströmung um die Schaufelspitze, die mit dem Hauptstrom in Wechselwirkung steht, Kap. 5.7.

Abb. 3.20. Zur Entstehung des „Hufeisenwirbel“

3.8 Hydraulische Verluste

109

Derartige Strömungsvorgänge lassen sich mittels vereinfachter Modellvorstellungen nur sehr grob beurteilen, man bestimmt daher meist den hydraulischen Wirkungsgrad aus der Leistungsbilanz nach Gl. (T3.5.8) der gemessenen Pumpe, wozu man die oben behandelten Nebenverluste aufgrund der in Kap. 3.6 angegebenen (oder ähnlichen) Korrelationen berechnen muß. Der hydraulische Wirkungsgrad ist somit erst bekannt, nachdem die Pumpe gebaut und gemessen wurde. Für die Auslegung einer Pumpe ist deshalb auf frühere Versuche bzw. Korrelationen zurückzugreifen. Der aus der Leistungsbilanz errechnete hydraulische Wirkungsgrad gestattet keine Aussage darüber, wieviel die einzelnen Komponenten der Pumpe zu den Strömungsverlusten beitragen. Zur Beantwortung dieser Frage ist es nützlich, einzelne Verlustanteile abschätzen zu können. Solche Berechnungen haben stark empirischen Charakter, weil die dreidimensionalen Geschwindigkeitsverteilungen in Laufrad und Leitapparat nicht mit einfachen Mitteln zu erfassen sind – sie allein bestimmen sowohl Reibungs- wie Verwirbelungsverluste. Abschätzungen dieser Art sind nur in Bestpunktnähe sinnvoll; bei ausgebildeter Teillastrückströmung versagen sie vollständig, wenn die Austauschleistung nicht berücksichtigt wird. Das Verlustmodell für Laufräder nach Tafel 3.8(1) umfaßt folgende Schritte und Annahmen: • Gl. (T3.8.2) definiert eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Laufradkanal, die mit den Querschnitten bei a1 und a2 an Ein- und Austritt gebildet wird. • Gl. (T3.8.3) liefert einen Reibungsbeiwert als Funktion der Reynolds-Zahl und der Rauheit, der einer längsangeströmten Platte entspricht. Das Plattenmodell ist der Kanalvorstellung vorzuziehen, weil im Laufrad wegen der kurzen Schaufellängen Anlaufströmungen anzunehmen sind. Gl. (T3.8.3) enthält die Rauheit, nach deren Einfluß in der Praxis oft gefragt wird, um beurteilen zu können, wieviel Wirkungsgradverbesserung sich durch zusätzliches Schleifen der Laufradkanäle erreichen läßt. • Gl. (T3.8.5) verwendet einen Dissipationsbeiwert: zum Reibungsbeiwert wird nach [B.3] der Betrag 0,0015 addiert, weil in verzögerter Strömung dickere Grenzschichten und folglich größere Verluste entstehen als an einer längsangeströmten Platte. Der so erhaltene Wert wird weiter mit einem empirischen Faktor multipliziert, der die relative Laufradaustrittsbreite enthält. Danach steigen die Verluste stark mit zunehmendem b2* bzw. mit wachsender spezifischer Drehzahl, was man als Effekt ungleichförmiger Geschwindigkeitsverteilungen und Sekundärströmung interpretieren kann. • Gl. (T3.8.6) ergibt den Verlustbeiwert für das Laufrad, der Reibung, Verzögerung und Verwirbelungseffekte umfaßt. • Mittels Gl. (T3.8.9) lassen sich die Stoßverluste am Laufradeintritt abschätzen. Diese Formel beschreibt die Verzögerung des Vektors der mittleren Anströmgeschwindigkeit w1m (aus dem Geschwindigkeitsdreieck) auf die Geschwindigkeit w1q im engstem Querschnitt A1q, die sich aus Gl. (T3.8.8) berechnet. Der Stoßverlust wird hier zu 30% eines Carnot-Stoßes angenommen, was für nicht allzu große Verzögerungen plausible Ergebnisse liefert. Diese Beziehung soll nicht für w1q/w1m < 0,6 verwendet werden.

110

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Ein alternatives Modell für die Reibungsverluste ist in Tafel 3.8(1), Gl. (T3.8.11 bis 14) formuliert. Man approximiert die gesamte benetzte Oberfläche der Laufradkanäle, die sich aus Deck- und Tragscheibe sowie Saug- und Druckfläche aller Schaufeln zusammensetzt, Gl. (T3.8.11). Als mittlere Geschwindigkeit wird der Mittelwert der Vektoren der Relativgeschwindigkeit an Ein- und Austritt eingesetzt, Gl. (T3.8.12). Die dissipierte Reibleistung ergibt sich analog zu Gl. (1.34) aus Gl. (T3.8.13) und der Verlustbeiwert aus Gl. (T3.8.14). Diese Berechnung entspricht dem Vorgehen bei der Verlustabschätzung von Spiralgehäusen (s.u.). Nach Gl. (T3.8.14) steigen die Reibungsverluste im Laufrad mit fallender spezifischer Drehzahl, was durch Versuche und numerische Berechnungen nicht bestätigt wird. Das Verlustmodell für Leiträder nach Tafel 3.8 (2) umfaßt folgende Schritte und Annahmen: • Mischungsverluste infolge Anströmung mit ungleichförmigem Geschwindigkeitsprofil sind nicht berücksichtigt. • Gl. (T3.8.15): Berechnung des Geschwindigkeitsvektors am Laufradaustritt • Gl. (T3.8.16): Geschwindigkeit im engsten Leitradquerschnitt • Gl. (T3.8.17): Bestimmung des Druckrückgewinnbeiwertes cp im eigentlichen Diffusor. Für ebene Diffusoren nach Abb. 1.18; für andere Typen wird auf einen äquivalenten Kegeldiffusor umgerechnet und cp aus Abb. 1.19 bestimmt. • Die Reibungsverluste zwischen Laufradaustritt und dem engsten Leitradquerschnitt lassen sich nach Kap. 1.5.1, analog zu Gl. (1.32) bis (1.35) abschätzen, indem die durch Wandschubspannungen an den Schaufeln und den Seitenwänden dissipierte Energie berechnet wird. Dies führt nach einigen Umformungen auf Gl. (T3.8.18). • Gl. (T3.8.19) liefert den Druckverlustbeiwert für das Leitrad einschließlich Rückführkanal. Ist dem Leitrad eine Spirale nachgeschaltet (also kein Rückführkanal vorhanden), ist dessen Verlustbeiwert ζov null zu setzen. Der erste Term in Gl. (T3.8.19) berücksichtigt den Verlust infolge der Verzögerung von c2 auf c3q. Es gelten die Erläuterungen zu Gl. (T3.8.9) sinngemäß. Der eigentliche Diffusor wird durch den Term 1-cp-1/AR2 beschrieben (Kap. 1.6). • Die Verluste der Rückführkanäle hängen stark von deren Gestaltung ab. Bei strömungsoptimaler Ausführung als geschlossene Kanäle wäre etwa ζov = 0,2 zu erreichen, während bei ungünstiger Konstruktion ein Staudruck c42/2g verloren gehen kann (ζov = 1,0) Das Verlustmodell für Spiralgehäuse einschließlich Diffusor und Druckstutzen nach Tafel 3.8 (2) umfaßt folgende Schritte und Annahmen: • Mischungsverluste infolge Anströmung mit ungleichförmigem Geschwindigkeitsprofil sind nicht berücksichtigt. • Da der Volumenstrom im Spiralgehäuse über den Umfang variiert, muß man die Dissipation infolge Reibung nach Gl. (1.34) berechnen. Dies führt auf Gl. (T3.8.21), die als Summe über alle Elemente ΔA der benetzten Oberfläche des Spiralgehäuses geschrieben wurde, weil man die Berechnung im Regelfall

3.8 Hydraulische Verluste

•

•

•

• •

•

111

abschnittsweise ausführen wird. Die Geschwindigkeit in der Spirale ändert sich über dem Querschnitt nach cu r = konstant und über dem Umfang; die Einteilung der Flächenelemente ist entsprechend vorzunehmen – je nach der angestrebten Genauigkeit. Wie beim Laufrad wird der Reibungsbeiwert nach der Beziehung für die längsangeströmte Platte berechnet und um den Wert 0,0015 für verzögerte Strömung erhöht. Bei Doppelspiralen wird die Integration – oder Summenbildung – für beide Teilspiralen ausgeführt. Diese Summe erfaßt die Reibung an allen benetzten Flächen; sie wird auf den gesamten Förderstrom der Pumpe (bzw. beider Teilspiralen) bezogen. An die eigentliche Spirale schließt sich im allgemeinen ein Diffusor/Druckstutzen an. Der Diffusor wird analog wie beim Leitrad nach Gl. (T3.8.17 u. 19) behandelt: man berechnet nach Kap. 1.6 einen äquivalenten Kegeldiffusor und bestimmt den Druckrückgewinnbeiwert nach Abb. 1.19. Der Druckverlust im Diffusor ergibt sich dann nach Gl. (T3.8.22). Bei Doppelspiralen kommen in der äußeren Spirale noch Druckverluste im Umführungskanal hinzu; dieser kann als Krümmer nach Tafel 1.4 und – sofern Querschnittserweiterungen vorhanden sind – mit zusätzlichen Diffusorverlusten nach Abb. 1.19 berechnet werden. Da äußere und innere Spirale verschiedene Widerstände aufweisen, entspricht die Strömungsverteilung auf beide Teilspiralen nicht dem theoretischen Wert, der sich aus deren Umschlingungswinkeln ergibt. Die Volumenströme durch beide Teilspiralen lassen sich aufgrund der berechneten Widerstände nach den Regeln für die Parallelschaltung von Strömungswiderständen gemäß Tafel 1.5 berechnen. Mit Hilfe derartiger Verlustbetrachtungen läßt sich der Umführungskanal auch so gestalten, daß durch äußere und innere Teilspirale etwa die gleichen Volumenströme fließen. Spiralgehäuse mehrstufiger Pumpen fördern in einen Überströmkanal, der das Fluid der folgenden Stufe zuführt. Wegen der starken Krümmung eines solchen Kanals treten Ablösungen und zusätzliche Verluste auf, [8.15]. Die Umlenkverluste lassen sich nach Tafel 1.4 abschätzen. Die Reibungsverluste in einem Leitring errechnen sich aus Gl. (T3.8.23). Die Stoßverluste am Laufradaustritt erhält man aus Gl. (T3.8.24). Sie treten auch bei Spiralgehäusen auf. Bei Leiträdern ist die Erweiterung von b2 auf b3 implizit in Gl. (T3.8.19) enthalten. Der Effekt der Schaufelversperrung wäre noch analog Gl. (T3.8.24) zu berücksichtigen, indem c2' statt c2 eingesetzt wird. Da Spiralgehäuse, Umführungskanäle und Diffusor/Druckstutzen auf verschiedene Weise gestaltet werden können, ist die oben skizzierte Verlustberechnung den Erfordernissen anzupassen.

Die Verluste im Pumpeneintritt sind meist unbedeutend. Für einen axialen Zulauf sind sie im Regelfall vernachlässigbar. Befindet sich zwischen saugseitiger Meßstelle und Laufradeintritt ein längeres Rohrstück, eine Einlauftrompete oder ähnliches, kann man die Druckverluste nach den üblichen Regeln berechnen, z.B. [1.6] oder Tafel 1.4. Die Einlaufgehäuse von Pumpen mit durchgehender Welle haben – je nach Konstruktion – Druckverlustbeiwerte von ζE = 0,15 bis 0,4 bezogen auf c1m (also ZE = ζE c1m2/2g). Nach Messungen in [B.21] nehmen die Einlaufverluste

112

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

mit dem Quadrat der Beschleunigung des Fluids im Einlaufgehäuse ab nach der Beziehung: § d2 − d2 ζ E = 0,75 ¨ 1 2 n ¨ d s ©

· ¸ ¸ ¹

(3.25)

Austrittsverluste sind bei vielen Pumpen nicht zu berücksichtigen, weil die Verluste im Diffusor/Druckstutzen schon bei der Berechnung des Spiralgehäuses eingeschlossen wurden. Die Verluste in den Austrittskammern mehrstufiger Pumpen hängen stark von deren konstruktiver Gestaltung ab. Typischerweise liegen sie bei 1 bis 2% der Förderhöhe einer Stufe.

3.9 Statistische Angaben über Druckzahlen, Wirkungsgrade und Verluste Aufgrund zahlloser Messungen an allen Arten von Kreiselpumpen wurden Druckzahlen und Wirkungsgrade veröffentlicht, welche eine recht zuverlässige Beurteilung der erreichbaren Werte erlauben. Wie bei allen Statistiken liefern die Zahlen Mittelwerte und mittlere Fehler, lassen aber keine Aussage über mögliche Abweichungen der Einzelmessung zu, die – im Prinzip – beliebig groß werden können. Abb. 3.21 gibt Druckzahlen ψopt als Funktion der spezifischen Drehzahl. Dabei ist ψopt immer auf den Austrittsdurchmesser d2a an der äußeren Stromlinie bezogen, 1,5

Le-Pumpen Halbaxial Spiralgehäuse

1,4

ψ

1,3

ψ0

1,2 1,1

ψopt

1,0

axiale La (Nabe)

0,9 0,8

ψi,opt

0,7 0,6

ψi

0,5 0,4 0,3

halbaxiale La (Nabe)

0,2 0,1 0,0

10

100

Abb. 3.21. Druckzahlen (Werte für Nabe nach [3.15])

nq

1000

3.9 Statistische Angaben über Druckzahlen, Wirkungsgrade und Verluste

113

ψi hingegen auf den Austrittsdurchmesser an der inneren Stromlinie d2i nach [3.15]. Die hydrodynamische Belastung an der Nabe begrenzt bei halbaxialen und axialen Laufrädern die erreichbare Druckzahl. Der Abfall der erreichbaren Druckzahl mit steigender spezifischer Drehzahl ist vorwiegend dadurch bedingt, daß der zentrifugale Anteil der Förderhöhe nach Gl. (T3.3.2) mit wachsendem nq fällt und bei Axialpumpen null wird. Theoretisch lassen sich höhere Druckzahlen als in Abb. 3.21 erreichen, man erhielte aber meist instabile Kennlinien, so daß derartige Pumpen in der Mehrzahl der Anwendungen nicht einsetzbar wären. Analytische Funktionen für die Druckzahlen gemäß Abb. 3.21 im Bestpunkt und bei Q = 0 sind durch Gl. (3.26) bzw. (3.27-28) gegeben. Bestpunkt:

ψ opt = 1,21 e

−0,77 n q / n q , Re f

= 1,21 e −0,408 ωs −0,3n q / n q , Re f

Q = 0:

Leitradpumpen:

ψ o = 1,31 e

Q = 0:

Spiralgehäusepumpen:

ψ o = 1,25 e

−0,3n q / n q , Re f

nq,Ref = 100

nq,Ref = 100 nq,Ref = 100

(3.26) (3.27) (3.28)

Wählt man ψopt nach der oberen Grenzkurve in Abb. 3.21, ergeben sich eher flache Kennlinien, und die Gefahr einer Kennlinieninstabilität wird umso größer, je höher man ψopt ausführt. Wird eine steile Kennlinie benötigt, wählt man ψopt nach der unteren Grenzkurve (oder noch tiefer). Abbildung 3.21 enthält zusätzlich noch Druckzahlen ψo bei Förderung gegen geschlossenen Schieber, Kap. 4. Aufgrund des Verlaufes ψ =f(nq) nach Abb. 3.21 und Gl. (T3.2.8 u. 11) lassen sich die Geschwindigkeitskomponenten c2u* und w2u* berechnen. Gibt man sich einen Zuströmwinkel vor, kann auch die Relativgeschwindigkeit w1* am Laufradeintritt bestimmt werden. Solche Angaben können für Abschätzungen dienlich sein, ohne daß man Einzelheiten über die Pumpe kennen oder berechnen muß. Abbildung 3.22 zeigt ein solches Diagramm mit den getroffenen Annahmen, in das auch die mittlere Relativgeschwindigkeit wsp* = (cax2 + ¼ usp2)0,5 in Dichtspalten eingetragen wurde. Für α1 = 90° gilt d1* ≈ w1*, so daß man d1 erhält. In Abb. 3.23 sind Gesamtwirkungsgrade einstufiger Radialpumpen als Funktion der spezifischen Drehzahl dargestellt, wobei der Auslegungsförderstrom als wichtiger Parameter erscheint. Der Gesamtwirkungsgrad erreicht im Bereich von nq = 40 bis 50 für eine gegebene Pumpengröße ein Maximum, das wie folgt zustande kommt: links vom Maximum steigen die Nebenverluste mit fallendem nq gemäß Gl. (T3.5.10 bis 12) exponentiell an. Bei hohen spezifischen Drehzahlen (nq > 70) steigen die hydraulischen Verluste mit wachsendem nq an infolge zunehmender Mischungsverluste, die vorwiegend durch Ungleichförmigkeiten der Strömungsverteilung über die Schaufelhöhe und Sekundärströmungen verursacht werden. Wie aus Abb. 3.23 zu erkennen, steigt der Gesamtwirkungsgrad mit dem Förderstrom; hierin erkennt man den Einfluß der Pumpengröße: da Q ∝ n d23 ist, erfaßt man mit dem Förderstrom indirekt den Einfluß von Laufraddurchmesser und Drehzahl (s. Kap. 3.9). Bei sehr kleinen Pumpen bzw. Förderströmen fallen

114

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

psi c2u* oder c3 w2u* w1* oder d1* wsp*

0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0

50

100

150

200

250

300 nq

Abb. 3.22. Geschwindigkeiten am Laufradeintritt, -austritt und im Dichtspalt, berechnet mit ηh = 0,87, kn = 1, β1a = 15°, Spaltweite s aus Gl. (3.12), Spaltstrom aus Gl. (T3.5.10). Alle Geschwindigkeiten sind auf u2 bezogen. Für α1 = 90° gilt d1* ≈ w1*.

zudem die mechanischen Verluste stark ins Gewicht (Kap. 3.6.4). Die Wirkungsgrade nach Abb. 3.23 gelten für Laufräder ohne Axialschubentlastung; werden Entlastungsbohrungen angebracht, ist der Wirkungsgrad gemäß Gl. (T3.9.9) zu korrigieren. Die Wirkungsgrade halbaxialer und axialer Pumpen sind in Abb. 3.24 dargestellt. Etwa ab nq > 70 liegen die Wirkungsgrade halbaxialer Laufräder leicht höher als bei Radialpumpen: das liegt daran, daß die Strömungsverteilung über die 1.0 ηopt 0.9 0.8 0.7 Q = 10 m3/s Q = 1 m3/s Q = 0,3 m3/s Q = 0,1 m3/s Q = 0,03 m3/s Q = 0,01 m3/s Q = 0,005 m3/s

0.6 0.5 0.4 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 nq

Abb. 3.23. Wirkungsgrad einstufiger, einflutiger Radialpumpen

3.9 Statistische Angaben über Druckzahlen, Wirkungsgrade und Verluste

115

Schaufelbreite infolge der stärkeren Deckscheibenkrümmung bei den Radialrädern mit zunehmender spezifischer Drehzahl ungleichförmiger wird, wodurch größere Verwirbelungsverluste entstehen als bei halbaxialen Laufrädern, die nur schwach gekrümmte Deckscheiben aufweisen. Die Wirkungsgrade in Abb. 3.23 und 3.24 wurden nach Gl. (T3.9.1 u. T3.9.3) berechnet. Diese empirischen Formeln zeigen, daß sich die Verluste in einem weiten Bereich von Pumpengrößen und spezifischen Drehzahlen nicht mit einfachen Potenzgesetzen erfassen lassen – ein Sachverhalt, der bei der Umrechnung der Wirkungsgrade vom Modell auf die Großausführung zu beachten ist, s. Kap. 3.10. Die Wirkungsgrade mehrstufiger Industriepumpen nach Abb. 3.25 und Gl. (T3.9.2) liegen wegen zusätzlicher Verluste in den Rückführkanälen in der Regel unter den Werten einstufiger Pumpen. Bei Speicherpumpen, die weniger kompakt gebaut werden als Pumpen für industrielle Anwendungen, erzielt man hingegen ähnliche Wirkungsgrade wie in Abb. 3.23. Doppelflutige Pumpen erreichen gemäß Abb. 3.26 und Gl. (T3.9.4) bei nq < 40 höhere Wirkungsgrade als einflutige Räder gleicher spezifischer Drehzahl, weil die auf die Leistung bezogenen Radreibungsverluste nur rund halb so groß sind und auch die Verluste im Spiralgehäuse – das ja für den doppelten Förderstrom ausgelegt ist – kleiner ausfallen. Auch der hydraulische Wirkungsgrad hängt gemäß Abb. 3.27 bis 3.29 bzw. Gl. (T3.9.6 bis 8) von der spezifischen Drehzahl und dem Förderstrom bzw. der Pumpengröße ab. Die Maxima sind weniger stark ausgeprägt als beim Gesamtwirkungsgrad; sie sind dadurch bedingt, daß bei niedrigen spezifischen Drehzahlen die Reibungs- und Verzögerungsverluste im Leitapparat stark zunehmen, während für nq > 70 – wie beim Gesamtwirkungsgrad – die Mischungsverluste für den Abfall des hydraulischen Wirkungsgrades verantwortlich sind. Bei sehr kleinen Pumpen (Förderströmen) sinkt der hydraulische Wirkungsgrad infolge erhöhter 1.0 ηopt

0.9

0.8 0.7 Q = 10 m3/s Q = 0,3 m3/s Q = 0,03 m3/s Q = 0,005 m3/s

0.6

Q = 1 m3/s Q = 0,1 m3/s Q = 0,01 m3/s

0.5 50

100

150

200

250

300 nq

Abb. 3.24. Wirkungsgrad halbaxialer und axialer Pumpen

116

ηopt

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6

Q = 1 m3/s Q = 0,3 m3/s Q = 0,1 m3/s Q = 0,03 m3/s Q = 0,01 m3/s Q = 0,005 m3/s

0.5 0.4 10

15

20

25

30

35

40

45

nq

50

Abb. 3.25. Wirkungsgrad mehrstufiger, einflutiger Pumpen

relativer Rauheit: die absolute Rauheit bleibt – bedingt durch das Gußverfahren – etwa konstant; zudem lassen sich enge Kanäle weniger gut putzen; schließlich ist auch der wirtschaftliche Anreiz, den Wirkungsgrad zu verbessern, bei Pumpen großer Leistung weitaus bedeutender als bei Kleinpumpen. Wenn man − z.B. bei kleinen Pumpen − unsicher über den hydraulischen Wirkungsgrad ist, kann folgende Faustformel dienlich sein: ηh =

1 (1 + η) 2

(3.28a)

1.0 ηopt 0.9 0.8 0.7 Q = 10 m3/s Q = 1 m3/s Q = 0,3 m3/s Q = 0,1 m3/s Q = 0,03 m3/s Q = 0,01 m3/s Q = 0,005 m3/s

0.6 0.5 0.4 10

15

20

25

30

35

nq

40

Abb. 3.26. Wirkungsgrad einstufiger, doppelflutiger Pumpen. Q entspricht Qopt der Pumpe, während nq mit dem Förderstrom einer Radseite zu berechnen ist, Gl. (T3.4.15).

3.9 Statistische Angaben über Druckzahlen, Wirkungsgrade und Verluste

117

1.0 ηh 0.9

0.8

Q = 10 m3/s Q = 0,3 m3/s Q = 0,03 m3/s Q = 0,005 m3/s

Q = 1 m3/s Q = 0,1 m3/s Q = 0,01 m3/s

0.7 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 nq

Abb. 3.27. Hydraulischer Wirkungsgrad einstufiger, einflutiger Radialpumpen

Gleichung (3.28a) liefert auch bei Teillast − ja sogar bei Q = 0 − noch sinnvolle Werte. Die mitunter verwendete Beziehung ηh = η0,5 ergibt weder bei sehr niedrigen Gesamtwirkungsgraden (Kleinpumpen) noch bei Teillast brauchbare Daten. Die nach Tafel 3.9 oder Abb. 3.23 bis 3.29 ermittelten Wirkungsgrade weisen Streuungen in der Größe von Δη = ±0,2 (1 - η) auf, die durch Unterschiede im Konstruktionskonzept (z.B. Kompaktheit der Maschine), in der Güte der hydraulischen Auslegung, in den Spaltspielen, bei der Axialschubentlastung und der me-

ηh

1.0

0.9

0.8 Q = 10 m3/s Q = 0,3 m3/s Q = 0,03 m3/s Q = 0,005 m3/s

Q = 1 m3/s Q = 0,1 m3/s Q = 0,01 m3/s

0.7 50

100

150

200

250

Abb. 3.28. Hydraulischer Wirkungsgrad halbaxialer und axialer Pumpen

nq

300

118

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

1.0 ηh 0.9

0.8 Q = 1 m3/s Q = 0,3 m3/s Q = 0,1 m3/s Q = 0,03 m3/s Q = 0,01 m3/s Q = 0,005 m3/s

0.7

0.6 10

20

30

40

50

nq

60

Abb. 3.29. Hydraulischer Wirkungsgrad mehrstufiger Radialpumpen

chanischen Ausrüstung bedingt sind. Liegen genügend Meßdaten einer oder mehrerer Pumpenreihen vor, lassen sich die Koeffizienten der Gleichungen in Tafel 3.9 leicht so anpassen, daß die Daten mit einer minimalen Standardabweichung korreliert werden. Abbildung 3.30 zeigt, wie die Nebenverluste und die hydraulischen Verluste in Laufrad und Leitapparat von der spezifischen Drehzahl abhängen. Diese Abbildungen illustrieren die Tendenzen; sie dienen zur Veranschaulichung der Zusammenhänge, können aber auch für eine grobe Beurteilung nützlich sein: So muß man bei nq < 25 vor allem danach trachten, den Leitapparat optimal auszulegen und sorgfältig zu putzen. Bei nq < 20 sind Dichtspaltweite und -geometrie zu optimieren sowie die Radreibung zu minimieren (soweit beeinflußbar). Bei nq > 50 hingegen verdienen die Laufradverluste infolge ungleichförmiger Strömungsverteilung größte Beachtung. Da die Verluste von Größe, Bauart und Ausführungsgüte abhängen ist Abb. 3.30 für eine genaue Analyse offensichtlich ungeeignet; hierzu ist auf Kap. 3.6 bzw. Tafeln 3.5 bis 3.9 zurückzugreifen. Um eine Pumpe zu beurteilen, kann man auch den „erreichbaren Wirkungsgrad“ heranziehen. Er stellt den Wirkungsgrad dar, der bei optimaler Ausführung der betrachteten Pumpe zu erwarten wäre. Ein „erreichbarer Wirkungsgrad“ läßt sich – je nach Fragestellung – mit verschiedenen Annahmen und Methoden definieren. Ohne sich z.B. über ausführbare Dichtspaltweiten oder auch wirtschaftliche Randbedingungen bezüglich Bauvolumen und Fertigungsaufwand Rechenschaft abzulegen, könnten Angaben über erreichbare Wirkungsgrade zu Fehlschlüssen verleiten. Häufig geht es bei dieser Frage vielmehr um eine Analyse, wie empfindlich der Wirkungsgrad auf all die Parameter reagiert, die hydraulische Verluste und Nebenverluste bestimmen. Mit den Angaben in Tafel 3.5 bis 3.8 läßt sich der erreichbare Wirkungsgrad z.B. mit folgenden Annahmen bestimmen:

3.9 Statistische Angaben über Druckzahlen, Wirkungsgrade und Verluste

Z/H st

0.2

119

N12 N11

0.15

Z Le H st

N9

N12

0.1

Z La H st

N9 0.05

0 10

20

30

40

50

60

70

80

90 nq 100

0.2

P/Popt

Radreibung

0.1

Zw ischenstufendichtung

0 10

20

30

40

50

60

70

80

90 n q 100

0.2

Q/Qopt

mit Axialschubentlastung ohne Axialschubentlastung

0.1 0 10

20

30

40

50

60

70

80

90 nq 100

Abb. 3.30. Abhängigkeit der Verluste von der spezifischen Drehzahl

(1) Radreibungsverlust als hydraulisch glatt unter der Annahme berechnen, daß die untere Grenze bei 75% des rechnerischen Verlustes liegt. (2) Leckagen für minimale Spaltspiele ermitteln und nur 70% des Rechenwertes als untere Grenze der verwendeten Korrelationen annehmen. Dabei kann auch der Einfluß einer anderen Dichtspaltkonstruktion untersucht werden: Spaltlänge, gestufter Spalt, Rillen oder isotrope Muster usw. (3) Die hydraulischen Verluste ermittelt man für hydraulisch glatte Flächen und setzt in Gl. (T3.8.6) cd = cf – man betrachtet somit ein Laufrad ohne die nachteiligen Einflüsse von Verzögerung und Sekundärströmung. (4) Stoßverluste in Lauf- und Leitrad werden ebenfalls null gesetzt.

120

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Über theoretische Untersuchungen zum maximal erreichbaren Wirkungsgrad einstufiger Spiralgehäusepumpen wird in [3.19] berichtet (auch in [B.21] wird dieses Thema ausführlich behandelt). Die Ergebnisse aus [3.19] lassen sich in etwa durch Gl.(T3.9.5) wiedergeben, wenn man für ηopt die Werte aus Abb. 3.23, bzw. aus Gl. (T3.9.1), einsetzt. Der „erreichbare Wirkungsgrad“ hängt von der Bauart der Pumpe ab; er wird in der Praxis durch Forderungen der Betriebssicherheit, des Bauvolumens, der Herstellkosten und konstruktive Überlegungen stark beeinflußt. Eine sorgfältige Analyse aller Verluste und des Verbesserungspotentials anhand des konkreten Einzelfalls sollte sich demnach an einen Vergleich mit theoretischen Werten anschließen.

3.10 Einfluß der Rauheit und der Reynolds-Zahl 3.10.1 Übersicht Die Verluste in einer Kreiselpumpe – und damit deren Wirkungsgrad – hängen von der Rauheit der Komponenten und der Reynolds-Zahl Re ab. Dabei erfaßt Re die Einflüsse von Pumpengröße, Drehzahl und Viskosität. Die Kenntnis dieser Zusammenhänge hat große praktische Bedeutung für: 1. Bestimmung des Wirkungsgrades der Großausführung ηa = f(Rea, εa/da) aufgrund des im Modellversuch gemessenen Wirkungsgrades ηM = f(ReM, εM/dM). 2. Bestimmung des in der Anlage erwarteten Wirkungsgrades aufgrund des im Werksversuch mit niedrigerer Drehzahl und/oder anderer Viskosität gemessenen Wirkungsgrades. Eine typische Anwendung wäre eine Kesselspeisepumpe, die auf dem Prüfstand bei 1500 1/min mit Wasser von 20 °C gemessen wurde und im Kraftwerk mit 6000 1/min und Wasser von 180 °C betrieben wird. 3. Abschätzung der Kennlinien beim Betrieb mit Flüssigkeiten hoher Viskosität (z.B. Öl mit 3000×10-6 m2/s) aufgrund von Versuchskurven, die mit kaltem Wasser erstellt wurden. 4. Beurteilung des erwarteten Wirkungsgradgewinns bei einer Reduktion der Rauheit. 5. Einfluß der Rauheit in verschiedenen Komponenten (Laufrad, Leitrad, Radseitenwände und Gehäuse) auf den Wirkungsgrad; bzw. die Beantwortung der Frage, wo in einem spezifischen Fall ein zusätzlicher Aufwand zur Wirkungsgradverbesserung die höchsten Erfolgschancen verspricht. Diese Effekte hängen von der spezifischen Drehzahl nq und dem Pumpentyp ab. Im folgenden wird grundsätzlich vorausgesetzt, daß Kennlinien und Wirkungsgrad ηa = f(Rea, εa/da) einer Anwendung (Fußzeiger „a“) aufgrund eines Modelloder Basisversuchs (Fußzeiger „M“) mit bekanntem (gemessenem) Wirkungsgrad ηM = f(ReM, εM/dM) und bekannten Kennlinien bestimmt werden sollen. Punkt 1 und 2 wurden unter dem Stichwort „Wirkungsgradaufwertung“ in der Literatur ausführlich behandelt, wobei befriedigende Ansätze zur Erfassung des

3.10 Einfluß der Rauheit und der Reynolds-Zahl

121

Rauheitseinflusses fehlten. Die Besonderheiten der Förderung hoch-viskoser Medien werden in Kap. 13.1 behandelt. Aufgrund einer vereinfachten Verlustanalyse lassen sich die fünf oben erwähnten Aufgaben durch einen gemeinsamen Ansatz behandeln, der in Kap. 3.10.3 erörtert wird; der Vergleich mit Versuchsdaten ist in [3.31] dokumentiert. 3.10.2 Wirkungsgradaufwertung Unter Wirkungsgradaufwertung versteht man die Umrechnung des Wirkungsgrades einer gegebenen Pumpe auf eine geometrisch ähnliche Maschine mit ggf. anderer Größe und/oder Reynolds-Zahl. Wie in Kap. 3.6 und 3.8 gezeigt, hängen die Radreibung, die Leckverluste sowie ein Anteil der hydraulischen Verluste – und damit auch die hydraulischen bzw. die Gesamtwirkungsgrade – von der Reynolds-Zahl und der relativen Rauheit ab. Für die Bewertung dieses Reynolds-Einflusses bzw. die Umrechnung von Wirkungsgraden auf andere Reynolds-Zahlen (die „Aufwertung“) gibt es verschiedene Möglichkeiten: 1. Man ermittelt die effektiven mechanischen Verluste sowie die Nebenverluste nach Tafel 3.6 und 3.7 getrennt für Modell und Großausführung. Ebenso errechnet man die Unterschiede im hydraulischen Wirkungsgrad zwischen Modell und Großausführung nach Tafel 3.9 und addiert diese zum hydraulischen Wirkungsgrad des Modells. Hiermit läßt sich die Leistungsaufnahme der Maschine nach Gl. (T3.5.1) und deren Wirkungsgrad nach Gl. (T3.5.3) ermitteln. Zu beachten ist auch, daß die mechanischen Verluste bei Modell und Ausführung oft unterschiedlich sind, weil verschiedene Lager und Wellendichtungen eingesetzt werden (wie erwähnt, gilt Pm ∝ nx mit x = 1,3 bis 1,8 und nicht P ∝ n3 wie bei der Pumpenleistung). 2. Die getrennte Bewertung aller Verluste gemäß Kap. 3.10.3 entspricht im wesentlichen dem Vorgehen gemäß Punkt 1. Die Aufwertung auf diesem Weg ist vermutlich z.Zt. die genaueste Methode, weil sich alle konstruktiven und anlagespezifischen wirkungsgradrelevanten Unterschiede zwischen Modell und Ausführung berücksichtigen lassen. 3. Man verfährt wie unter (1), berechnet aber die Unterschiede in den hydraulischen Verlusten nach Tafel 3.8 entsprechend den Reynolds-Zahlen und relativen Rauheiten von Modell und Ausführung. (Die absoluten Werte der Verlustberechnung wären zu ungenau, weil die Verwirbelungsverluste nicht genügend berücksichtigt werden können.) 4. Verwendung einer „Aufwertungsformel“ (s.u.). 5. Die Abb. 3.23 bis 3.26 bzw. die Formeln in Tafel 3.9 geben einen Zusammenhang zwischen Gesamtwirkungsgrad und Förderstrom Qopt. Da Q ∝ n d3, erfaßt eine derartige Darstellung indirekt den Einfluß von Pumpengröße und Drehzahl auf den Wirkungsgrad. Wenn die Zähigkeit konstant ist, bedeutet dies, daß Reynolds-Zahl (Re ∝ n d2) und relative Rauheit berücksichtigt werden, sofern die absolute Rauheit bei Modell und Ausführung gleich ist. Folglich kann die

122

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Aufwertung aufgrund von Tafel 3.9 erfolgen, indem man ηa = ηM + Δη setzt. Dabei ergibt sich Δη als Differenz der für Modell und Ausführung berechneten Wirkungsgrade – je nach Typ – gemäß Gl. (T3.9.1 bis 4). 6. Mittels numerischer Methoden läßt sich der hydraulische Wirkungsgrad von Modell- und Großausführung ermitteln. Das weitere Vorgehen erfolgt nach Schritt (1). Aufwertungsformeln: Verschiedene Formeln für die Wirkungsgradaufwertung wurden publiziert; eine Übersicht findet sich in [3.14], [3.20] sowie [3.33-3.35]. Sinnvoll sind Formeln für den inneren Wirkungsgrad ηi, die eine Aufteilung in „aufwertbare“ (d.h. Reynolds-abhängige) und nicht aufwertbare Verluste vorsehen. Aufwertbar sind die Radreibungsverluste und der reibungsbedingte Anteil an den hydraulischen Verlusten: beide fallen mit steigender Reynolds-Zahl. Beide sinken zudem, wenn die relative Rauheit ε/dh abnimmt. Diese Effekte machen die Wirkungsgradaufwertung im eigentlichen Sinne aus. Die Spaltverluste hingegen haben eine gegenläufige Tendenz: sie steigen mit Re und fallendem ε/dh. Wie aus Abb. 3.23 bis 3.29 und Tafel 3.9 hervorgeht, hängen Wirkungsgradbzw. Verluständerungen von der spezifischen Drehzahl und der Pumpengröße ab: eine Verdoppelung des Auslegungsförderstromes bedingt je nach nq und Ausgangsgröße ganz verschiedene Aufwertungsbeträge. Die publizierten Aufwertungsformeln werden diesem Sachverhalt nur unvollkommen oder gar nicht gerecht. Im Lichte dieser Überlegungen ist es durchaus sinnvoll, die Aufwertung nach Punkt (5) gemäß Tafel 3.9 vorzunehmen. Wie erwähnt setzen sich die hydraulischen Verluste aus Reibungs- und Verwirbelungsverlusten zusammen; aufwertbar sind in erster Linie nur die Reibungsverluste. Dabei ergeben sich unterschiedliche Aufwertungsgesetze, je nachdem, wie die Reynolds-Zahlen und relativen Rauheiten von Modell und Ausführung in Bezug auf hydraulisch glattes bzw. rauhes Verhalten liegen. Verhalten sich Modell und Ausführung hydraulisch glatt, ergibt sich eine Aufwertung mit Rex, wobei der Exponent mit wachsender Re-Zahl sinkt; Laufraddurchmesser, Drehzahl und Zähigkeit gehen auf gleiche Weise in die Reynolds-Zahl und damit in die Aufwertung ein. Liegen beide Maschinen dagegen im vollrauhen Bereich, ergibt sich keine Aufwertung mit der Reynolds-Zahl sondern nur über die relative Rauheit. Diese Zusammenhänge werden aus Abb. 1.13 deutlich, man vergleiche die mit M und A gekennzeichneten Punkte. Aufwertungsformeln mit konstanten Exponenten der Reynolds-Zahl können daher nur eine Näherung bieten. Diese Schwierigkeit läßt sich durch den Ansatz nach Gl. (T3.9.11 u. 12) umgehen: Man bestimmt die Reibungsbeiwerte cf = f(Re, ε/L) nach Gl. (1.33) oder Abb. 1.13 für Modell und Großausführung und wertet den hydraulischen Wirkungsgrad mit dem Verhältnis cf,a/cf,M nach Gl. (T3.9.11) auf. Dabei umfaßt der Beiwert ζR,M alle Reibungsverluste in der Pumpe (insbesondere Laufrad und Leitapparat). Die Reibungsverluste lassen sich aus der angegebenen Korrelation ζR,M/ψ abschätzen, die aufgrund von Berechnungen nach Tafel 3.8 gewonnen wurde, oder nach Tafel 3.8 für den zu untersuchenden Fall ermitteln.

3.10 Einfluß der Rauheit und der Reynolds-Zahl

123

Die Radreibung läßt sich auf ähnliche Weise behandeln: man ermittelt die Reibungsbeiwerte kRR als Funktion von Reynolds-Zahl und Rauheit für Modell und Großausführung nach Gl. (T3.6.3) und wertet den inneren Wirkungsgrad nach Gl. (T3.9.12) auf, in der die Wirkung der Radreibung und der hydraulischen Verluste gemittelt wird. Bei der Aufwertung des inneren wie des hydraulischen Wirkungsgrades schätzt man die Aufteilung der aufwertbaren sowie der Reynoldsunabhängigen Verluste als Funktion der spezifischen Drehzahl nach Gl. (T3.9.12). Schließlich läßt sich Gl. (T3.9.12) auch auf den Gesamtwirkungsgrad anwenden, wenn man auf die genaue Ermittlung der Unterschiede in den mechanischen Verlusten verzichtet. Gleichung (T3.9.13) gibt die Aufwertungsformel nach [N.5]; dabei wird ein Wirkungsgrad ηhR definiert und aufgewertet, der die hydraulischen und die Radreibungsverluste umfaßt. Dichtspaltverluste und mechanische Verluste werden für Modell und Ausführung getrennt berechnet und in ηhR,M und ηhR,a berücksichtigt. Die Umrechnung von Wirkungsgraden vom Modell auf die Ausführung ist mit einer Reihe von Unsicherheiten behaftet, die in Kap. 3.10.3 diskutiert werden. Im Regelfall wird die sorgfältige Verlustanalyse gemäß Kap. 3.10.3 die genaueste Vorhersage liefern, Aufwertungsformeln haben aber ihre Berechtigung für rasche Abschätzungen; sie sind unter anderem auch dann wichtig, wenn es darum geht, zwischen Betreiber und Hersteller vertragliche Regelungen für die Beurteilung der garantierten Wirkungsgrade zu vereinbaren, die für alle Anbieter eines Projektes gleichermaßen gelten. 3.10.3 Wirkungsgradberechnung aus Verlustanalysen In diesem Kapitel wird ein vollständiger Formelsatz (Tafel 3.10) entwickelt, mit dem sich der Einfluß von Reynolds-Zahl und Rauheit auf den Wirkungsgrad abschätzen läßt. Das Verfahren gilt für turbulente wie laminare Strömungen über hydraulisch glatte oder vollrauhe Flächen und erfaßt die Übergänge zwischen den verschiedenen Strömungsformen lückenlos. Die Wirkungsgradumrechnung berücksichtigt die hydraulischen und volumetrischen Verluste sowie die Radreibung. Diese Verluste hängen in unterschiedlicher Weise von der Reynolds-Zahl, der Rauheit und der spezifische Drehzahl ab. Alle benötigten Formeln sind in Tafel 3.10 zusammengestellt. Faktoren zur Wirkungsgradumrechnung: Die Untersuchung erfolgt zunächst für den Bestpunkt. Leistungsaufnahme und Wirkungsgrad lassen sich nach Gl. (T3.5.1) (ohne Rezirkulation) vereinfacht schreiben: P=

ρ g H zst Q + PRR + Pm ηvol ηh

ρ g H zst Q P η= u = P P

(3.29)

Dabei wird der Einfluß der Zwischenstufendichtung mehrstufiger Pumpen gemäß Gl. (T3.10.4) im volumetrischen Wirkungsgrad berücksichtigt, und die Radreibungsleistung PRR umfaßt die Summe aller maßgebenden Komponenten des

124

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Pumpenrotors, schließt also die Reibung an der Entlastungsvorrichtung (Per) ein. Der Wirkungsgrad nach Gl. (3.29) läßt sich schreiben als: η=

ηvol ηh §P P · 1 + ηvol ηh ¨¨ RR + m ¸¸ Pu ¹ © Pu

(3.30)

Die Größen ηvol, ηh and PRR hängen ab von der Reynolds-Zahl und der Rauheit, während Pm/Pu als konstant angenommen wird. Zur Umrechnung der Kennlinien von der Basis oder dem Modell („M“) auf die Anwendung („a“) seien die Faktoren nach Gl. (3.31) eingeführt. Diese Faktoren berücksichtigen nur die Abweichungen von den Modellgesetzen; Änderungen in Drehzahl und/oder Laufraddurchmesser sind ggf. vor dieser Analyse gemäß Tafel 3.4 zu berechnen. ηh ,a

fη =

ηa ηM

f ηh =

fQ =

ϕa ϕM

fH =

ηh ,M ψa ψM

f ηvol =

oder

η vol,a

f ηm =

η vol,M fQ =

Qa QM

ηm,a ηm, M

fH =

Ha HM

(3.31)

(3.32)

Die Radreibung bei der Anwendung beträgt: PRR,a = k RR,a ρa ω3 r25 f geo und beim Modell PRR, M = k RR, M ρM ω3 r25 f geo

(3.32a)

Die entsprechenden Nutzleistungen sind Pu,a = ρa g Ha Qa und Pu,M = ρM g HM QM. Mit fQ und fH aus Gl. (3.32) folgt Pu,A = Pu,M fH fQ ρa/ρM. Mit diesen Beziehungen erhält man: § PRR ¨ ¨ P © u

· §P ¸ = ¨ RR ¸ ¨ ¹a © Pu

· k RR ,a ¸ mit ¸ f f k ¹M Q H RR ,M

Pu ,M Pu ,a

=

1 fQ f H

(3.33)

Schreibt man Gl. (3.30) für die Anwendung („a“) und das Modell („M“) und dividiert die erhaltenen Gleichungen durch einander, erhält man den Multiplikator für den Wirkungsgrad mit Hilfe der Gln. (3.31−3.33) zu: ª ­§ P · º § P · ½° ° f ηh f ηvol «1 + ®¨¨ RR ¸¸ + ¨¨ m ¸¸ ¾ηvol,M ηh , M » « °© Pu ¹ M © Pu ¹ M ° » η ¿ ¬ ¯ ¼ fη ≡ a = ηM ­°§ P · k RR ,a ½ ρ f f f § · P ηh ηvol M ηm ° + ¨¨ m ¸¸ ηvol, M ηh , M 1 + ®¨¨ RR ¸¸ ¾ ρa °¯© Pu ¹ M k RR , M °¿ f H f Q © Pu ¹M

(3.34)

Diese Gleichung erfaßt alle Verluste. Wenn die Geometrie der Dichtspalte bekannt ist, kann die Re-Abhängigkeit des volumetrischen Wirkungsgrades nach Tafel (3.7) berechnet und in Form von fηvol berücksichtigt werden. Folgende Annahmen und Vereinfachungen wurden im weiteren getroffen: (1) fηvol = fηm = 1.0; ρa = ρM; fH = fηh. (2) Bei viskosen Medien mit Zähigkeiten über (50 bis 100)×10-6 m2/s verschiebt sich der Bestpunkt in etwa entlang der Leitradgeraden (Kap. 4.2);

3.10 Einfluß der Rauheit und der Reynolds-Zahl

125

es wird dann fQ = fH = fηh < 1, was in Kap. 13.1 eingehend behandelt wird. Unter diesen Voraussetzungen ergibt sich eine etwas vereinfachte Formel für die Wirkungsgradumrechnung, Gl. (T3.10.20). Faktoren zur Förderhöhenumrechnung: Die Annahme fH = fηh ist nötig, weil sich der Faktor fH (im Gegensatz zum Faktor fη) nicht direkt aus einem Versuch bestimmen läßt, wie unten gezeigt wird. Eine Ausnahme bilden Versuche mit so hoher Viskosität, daß die folgenden Störeffekte überdeckt werden: 1. Ändert sich die Reynolds-Zahl, ändert sich der Spaltstrom, was eine leichte Verschiebung der Q-H-Kurve bewirkt, da sich der Förderstrom durch das Laufrad QLa = Q/ηvol ändert, Abb. 4.25. 2. Die Laufradscheiben wirken ähnlich wie eine Reibungspumpe: Grenzschichtfluid mit c2u ≈ u2, das von den Radscheiben abgeschleudert wird, trägt zur Energieübertragung bei. Der relative Beitrag wächst mit fallender spezifischer Drehzahl, sinkender Reynolds-Zahl und wachsender Rauheit. 3. Wiederholt wurde auch ein Förderhöhenanstieg gemessen, wenn die Rauheit der Laufradkanäle vergrößert wurde: größere Rauheit bedeutet eine Verzögerung der Relativgeschwindigkeit in der Grenzschicht und Grenzschichtverdikkung; eine kleinere Relativgeschwindigkeit bedeutet aber eine höhere Absolutgeschwindigkeit und damit eine Erhöhung des Abströmbeiwertes und der theoretischen Förderhöhe. Dieser Anstieg von Hth kann (muß aber nicht) die durch die Rauheit bedingten Zusatzverluste übersteigen. Derselbe Mechanismus ist wirksam, wenn die Zähigkeit vergrößert wird. Zu diesem Förderhöhenanstieg einige Messungen: • Doppelflutiges Laufrad, nq = 10, Änderung der Rauheit von ε = 0,025 auf 0,87 mm in den Kanälen und außen an den Radscheiben [3.36]: Förderhöhenanstieg fH = 1,1 bei Wirkungsgradverlust fη = 0,84 • Einflutiges Laufrad, nq = 7, Änderung der Rauheit von ε = 3,7 μm auf 46 μm [3.31]: Förderhöhenanstieg fH = 1,01 • Selbst bei einem halbaxialen Laufrad nq = 135 wurde ein leichter Förderhöhenanstieg bei erhöhter Rauheit gemessen. • Versuche in [13.33] ergaben einen Förderhöhenanstieg bei Viskositäten bis zu 45×10-6 m2/s; erst bei 100×10-6 m2/s wurde ein Förderhöhenabfall gemessen. Dieser Effekt ist aber nicht zu trennen von der Kennlinienverschiebung infolge reduziertem Spaltstrom. • Ein leichter Förderhöhenanstieg war auch in den Messungen in [3.37−3.38] an einstufigen Pumpen mit nq = 12 bzw. 20 zu beobachten. Je besser das Laufrad (d.h. bei einer Strömung mit dünner Grenzschicht ohne Ablösung), desto größer ist der Effekt der Rauheit auf ψth; in abgelöster Strömung spielt die Rauheit hingegen keine Rolle. Die Kennlinienverschiebung infolge Spaltstromänderung, die Pumpwirkung der Radscheiben, und die Änderung des Abströmbeiwertes bedingt durch Änderungen in der Grenzschichtdicke oder den Sekundärströmungen im Laufrad, lassen sich nicht von den Reibungsverlusten

126

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

trennen. Es ist deshalb zu ungenau, wollte man den Faktor fH direkt aus dem Versuch bestimmen. Hydraulische Verluste: Wie in Kap. 3.8 ausgeführt, setzen sich die hydraulischen Verluste aus Reibungsverlusten ζR = f(Re, ε) und Mischungsverlusten ζM zusammen, wobei in diesen beiden Größen die gesamten Reibungs- bzw. Verwirbelungsverluste von Einlauf, Laufrad und Leitapparat zusammengefaßt seien. Die theoretische Förderhöhe bei Anwendung und beim Modell kann man demnach dimensionslos schreiben (s. auch Tafel 3.8): ψ th = ψ M + ζ R , M + ζ M , M = ψ a + ζ R ,a + ζ M,a

(3.35)

In Gl. (3.35) wird vorausgesetzt, daß der Abströmbeiwert, und damit die theoretische Förderhöhe, in etwa konstant bleiben, s.a. Kap. 13.1. Wenn die Schaufelarbeit konstant ist, muß das Verhältnis fH der Förderhöhen gleich dem Verhältnis der hydraulischen Wirkungsgrade sein, also fH = fηh. Werden die Mischungsverluste als unabhängig von der Reynolds-Zahl angenommen, fällt ζM,M = ζM,a aus Gl. (3.35) heraus, und man kann somit eine Beziehung zwischen ψa und ψM in der Form des Multiplikators fηh ableiten: f ηh =

ηh , a ηh , M

= 1−

· ζ R ,M § ζ R ,a ζ R ,M ¨ − 1¸ = 1 − ¨ ¸ ψ M © ζ R ,M ψM ¹

§ c f ,a · ¨ − 1¸ ¨ cf , M ¸ © ¹

(3.36)

Ist der Anteil der Reibungsverluste an der Förderhöhe ζR,M/ψM beim Modell bekannt, kann nach Gl. (3.36) abgeschätzt werden, wie sich die Förderhöhe bei anderer Rauheit und/oder Reynolds-Zahl ändert. Dabei wird vorausgesetzt, daß die Reibungsverluste ζR,a/ζR,M proportional zu den entsprechenden Reibungsbeiwerten cf,a/cf,M sind. Diese Reibungsbeiwerte hängen von Reynolds-Zahl und Rauheit ab; sie können nach Gl. (1.33) für turbulente und nach Gl. (1.33a) für laminare Strömung berechnet werden. Der Anteil der Reibungsverluste an den hydraulischen Verlusten läßt sich für eine gegebene Pumpe nach Tafel 3.8 und Kap. 3.8 abschätzen; er hängt ab von der spezifischen Drehzahl, dem Pumpentyp und der Geometrie der hydraulischen Komponenten. Die Abschätzung von ζR,M/ψM gemäß Tafel 3.8 ist aufwendig und mit Unsicherheiten behaftet. Daher wurde aufgrund einer großen Anzahl von Versuchen eine empirischer Ansatz nach Gl. (T3.10.18) entwickelt, [3.31]. Nebenverluste: Die Radreibungsverluste werden nach Tafel 3.6 und Kap. 9.1 behandelt, Gl. (T3.10.9). Zusammen mit Gl. (T3.10.8) wird so auch der Einfluß unterschiedlicher Rauheiten auf Gehäuse und Radwänden erfaßt. Eventuell vorhandene Rückenschaufeln auf der Tragscheibe werden durch Gl. (T3.10.10) berücksichtigt, die Wirkung der Leckage durch den Radseitenraum durch Gl. (T3.10.12), die Rauheit der Radscheiben durch Gl. (T3.10.7) und die Erwärmung des Fluids im Radseitenraum bei sehr hoher Zähigkeit (ν > 400 ×10-6 m2/s) durch den empirischen Faktor ftherm, der in Kap. 13.1 besprochen wird. Die volumetrischen Verluste werden nach Gl (T3.10.4), die mechanischen nach Gl (T3.10.14) abgeschätzt.

3.10 Einfluß der Rauheit und der Reynolds-Zahl

127

Rauheit: Gemäß Gl. (T3.10.5) und Kap. 1.5.2 wird der Äquivalenzfaktor ceq = 2.6 verwendet, um die Rauheit der verschiedenen Komponenten zu bewerten, wobei die maximale Rauhtiefe als 6-faches der mittleren Rauhtiefe angenommen wird. Zur Vereinfachung wurde ferner die mit r2 gebildete ReynoldsZahl für Radscheiben und hydraulische Kanäle eingesetzt. Die Auswirkung dieser Annahmen wird dadurch abgeschwächt, daß in Gln. (T3.10.8, 19 und 20) immer nur die Verhältnisse von Reibungsbeiwerten vorkommen. Die Rauheiten für Laufrad und Leitapparat werden gemittelt nach der empirischen Gleichung (T3.10.6), wobei ein gewogenes Mittel berechnet wird, das von der spezifischen Drehzahl abhängt, [3.31]. Gemäß Tafel 3.10 wurden in [3.31] 32 Versuche mit unterschiedlichen Rauheiten und Reynolds-Zahlen analysiert. Die empirischen Koeffizienten zur Berechnung der maßgebenden mittleren Rauheit nach Gl (T3.10.6) und des Anteils der aufwertbaren hydraulischen Verluste nach Gl (T3.10.18) wurden dabei optimiert, um die Standardabweichung zu minimieren. Die Untersuchung in [3.31] umfaßt folgenden Bereich: nq = 7 bis 135; d2 = 180 bis 405 mm; n = 1200 bis 7000 min-1; u2 = ω r2 = 22 bis 113 m/s; T = 20 bis 160 °C; Re = 2.5x106 bis 9.1x107; mittlere Rauheit εCLA = 0.4 bis 75 μm und äquivalente Sandrauheit ε = 1 bis 130 μm. Die Standardabweichungen zwischen Messung und Rechnung beträgt für fη ± 1.0 % und für fηh ± 1.5 %. Die Streuung steigt mit fallender spezifischer Drehzahl. Eine Variation des Äquivalenzfaktors ceq brachte keine Verbesserung; ceq = 2,6 ist also eine brauchbare Annahme. Die gefundene Beziehung aε = 0.98 - 0.0012 nq fq0,5 zur Gewichtung der Rauheit in Laufrad und Leitapparat zeigt, daß der Effekt der Rauheit im Laufrad gegenüber der Leitvorrichtung stark zurücktritt − und zwar auch bei hohen spezifischen Drehzahlen. Auch der Anteil der aufwertbaren Verluste sinkt mit wachsender spezifischer Drehzahl, Gl. (T3.10.18). Beide Funktionen sind in Abb. 3.31 dargestellt. Gleichung (T3.10.18) liefert recht ähnliche Werte wie der Ausdruck (1-V) in Gl. (T3.9.12). Unsicherheiten der Wirkungsgradberechnung: Je nach der gestellten Aufgabe (Wirkungsgradaufwertung, Beurteilung der Rauheit oder Berechnung für hochviskose Medien) unterliegt die Wirkungsgradermittlung einer Reihe von Unsicherheiten: 1 0.8 0.6 0.4 aufw ertbare Verluste Rauheitsfunktion

0.2 0 0

20

40

60

80

100

120

nq

140

Abb. 3.31. Rauheitsgewichtung aε nach Gl. (T3.10.6) und Anteil der aufwertbaren Verluste nach Gl. (T3.10.18): a1-b1 nq fq0,5

128

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

1. Die Aufwertung betrifft kleine Differenzen zwischen zwei (im Verhältnis zum Aufwertungsbetrag) großen Zahlen. Selbst wenn der Wirkungsgrad im Versuch mit hoher Genauigkeit gemessen wird, ist die Unsicherheit der an Modell und Großausführung bestimmten Wirkungsgraddifferenzen Δη = ηa - ηM beträchtlich, zumal ηa und ηM in der Regel mit verschiedenen Instrumenten in unterschiedlichen Kreisläufen ermittelt werden. Die experimentelle Überprüfung von Aufwertungsformeln ist daher schwierig. 2. Die Guß- und Fertigungstoleranzen von Modell und Ausführung sind verschieden. 3. Die Spaltspiele werden meist größenabhängig und nicht streng modellähnlich ausgeführt, z.B. entsprechend Gl. (3.12). 4. Häufig lassen sich geringe konstruktive Unterschiede aus wirtschaftlichen Gründen nicht vollständig vermeiden, sie können z.B. die Dichtspaltgeometrie, Laufradbefestigung, die Radseitenräume, den Zulauf oder den Austrittsraum betreffen. 5. Die Berechnung der Radreibungsverluste und Dichtspaltleckagen ist recht unsicher. Die Rauheit ist − ähnlich wie die Turbulenz − eher statistisch als deterministisch zu beschreiben; die strömungsmechanisch relevante Quantifizierung der Rauheit bedeutet eine der Hauptschwierigkeiten bei der Wirkungsgradbestimmung: • Die Wirkung der Rauheit auf die Strömung läßt sich selbst durch eine genaue Vermessung der Oberflächen, die in der Praxis kaum versucht wird, nicht bestimmen. • Oft variiert die Rauheit in den verschiedenen Kanälen örtlich entsprechend der Zugänglichkeit beim Putzen oder Bearbeiten. • Die rauheitsbedingten Verluste werden verursacht durch die Wechselwirkung zwischen Geschwindigkeitsprofil in Wandnähe, Turbulenz und Rauheitserhebungen. Die Feinstruktur von Rauheit und Turbulenz ist somit verantwortlich für die Verluste. Die Wechselwirkung zwischen Rauheit und Turbulenz wird bestimmt einerseits durch Größe, Form und Anzahl der Rauheitserhebungen sowie andererseits durch die Größe und Häufigkeit der Turbulenzballen in Wandnähe. Die Turbulenzstruktur hängt ab von der lokalen Geschwindigkeitsverteilung (beschleunigte oder verzögerte Strömung, Coriolis- und Zentrifugalkräften, Ablösungen, usw.). Siehe hierzu auch Abb. 1.15, Kap. 1.5.2 und [3.31]. Beispiele für die Wechselwirkung zwischen Rauheit und Turbulenz sind der Verlustanstieg bei Riffelrauheit (Kap. 1.5.2) und die Reduktion der Scheibenreibung durch feine Rillen in Umfangsrichtung (Kap. 3.6.1). • Fällt der Druck in Strömungsrichtung (dp/dx < 0), steigen die Verluste mit wachsender Wandschubspannung (oder Rauheit). In verzögerter Strömung mit dp/dx > 0 (z.B. in einem Diffusor) sinkt die Wandschubspannung mit zunehmender Rauheit und wird bei einer Ablösung τw ≈ 0. Dann nehmen also die „Reibungsverluste“ mit zunehmender Rauheit ab, während die „Mischungsverluste“ und die Gesamtverluste wachsen. Die gedankliche Trennung in „Rei-

3.11 Hinweise zur Verlustminimierung

129

bungs-“ und „Form-“ oder „Mischungsverluste“ macht in verzögerter Strömung also wenig Sinn.

3.11 Hinweise zur Verlustminimierung Der in der Praxis erreichbare Wirkungsgrad hängt ab von konstruktiven Randbedingungen, dem Bauvolumen, der angestrebten Saugzahl, Forderungen hinsichtlich der Kennlinienform und dem Herstellungsaufwand. Will man bei einer Pumpe den Wirkungsgrad erhöhen, der bereits in etwa dem Stand der Technik entspricht, gilt es, an vielen Stellen eher unscheinbare Verbesserungen einzuführen, die erst in ihrer Summe den gewünschten Effekt bringen. Zur Verlustminimierung analysiert man anhand der Tafeln 3.5 bis 3.8 zweckmäßigerweise die Nebenverluste und die hydraulischen Verluste der bestehenden Pumpe oder des vorliegenden Entwurfes. Diese Tafeln dienen gleichzeitig dazu, das Potential von Verbesserungsmaßnahmen quantitativ zu bewerten. Hydraulische Verluste (s. hierzu Kap. 7 und 8): • Eine gleichförmige Zuströmung verringert die Verluste im Laufrad. • Optimale Schaufelbelastung und Druckverteilung: zu lange Schaufeln verursachen Reibungs-, zu kurze Schaufeln Verwirbelungsverluste. • Eine zu große Laufradaustrittsbreite verursacht Verwirbelungsverluste. • Ein zu großer Eintrittsdurchmesser verursacht erhöhte Verwirbelungs-, Reibungs- und Spaltverluste und verschlechtert das Teillastverhalten. • Bei Leiträdern und Spiralgehäusen ist der Diffusor entsprechend Kap. 1.6 zu optimieren. • Ablösungen, scharfe Krümmungen, Unstetigkeiten in Krümmungs-, Winkelund Flächenverläufen vermeiden. • Rauheiten soweit reduzieren, daß hydraulisch glattes Verhalten erreicht wird. Nebenverluste (s. hierzu Kap. 3.6): • Radreibung: Keine Rippen und Einbauten im Radseitenraum, weil sie die Rotation der Flüssigkeit behindern. Rauhe Wände und große Radseitenraumvolumina vermeiden. • Bei kleinen spezifischen Drehzahlen lassen sich mittels einer hohen Druckzahl die Radreibungsverluste merklich reduzieren, wobei die Auswirkungen auf die Kennlinie nach Kap. 4 u. 5 zu beachten sind. • Spaltverluste: Eine Spaltspielverkleinerung bringt am meisten. Die Zuverlässigkeit der Maschine darf aber nicht beeinträchtigt werden. Will man sehr enge Spalte ausführen, muß durch Werkstoffwahl oder durch die Oberflächenstruktur des Dichtspaltes dafür gesorgt werden, daß beim Anstreifen des Rotors keine Schäden entstehen. Enge Spalte, die sich im Betrieb rasch erweitern, bringen dem Betreiber wenig Nutzen. Die Leckage läßt sich durch Verlängerung des

130

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Dichtspaltes nur geringfügig reduzieren. Feine Rillen, Loch- oder Wabenmuster senken den Spaltverlust wirkungsvoller. • Entlastungsstrom: Bei mehrstufigen Pumpen ist eine Entlastungsscheibe einem -kolben wirkungsgradmäßig überlegen; ein Entlastungskolben ist aber weniger anfällig und daher in vielen Anwendungen zuverlässiger als eine Scheibe. • Mechanische Verluste: Wälzlager verursachen weniger Verluste als Gleitlager. Gleitringdichtungen verbrauchen weniger Leistung als Stopfbuchsen. Konstruktive Gesichtspunkte entscheiden indes sehr oft die Auswahl dieser Elemente.

3.12 Berechnungstafeln Alle in Kap. 3 besprochenen Berechnungen lassen sich anhand der folgenden Tafeln ausführen. Zusammen mit dem Symbolverzeichnis und den in Tafeln 0.1 und 0.2 definierten Abmessungen und Größen sind diese Tafeln weitgehend selbsterklärend.

3.12 Berechnungstafeln

Tafel 3.1 Geschwindigkeitsdreiecke am Laufradeintritt

131

Gl.

Gegebene/gewählte Größen

n, QLa, d2, d1, dn, b2, zLa, α1, e1, e, ηh

Umfangsgeschwindigkeit

u1 = π d1 n/60

Meridiane Durchflußgeschwindigkeit

c 1m =

3.1.1

Q La fq A1

A1 =

π 2 (d1 − d n 2 ) 4

3.1.2

A1 = π d1b b1

Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit

c 1u =

c 1m tan α 1

3.1.3

Relativgeschwindigkeit

w1 = c1m 2 + (u1 − c1u ) 2

3.1.4

Durchflußzahl

ϕ1 = c1m / u1

3.1.5

Strömungswinkel ohne Versperrung

β1 = arc tan

Schaufelversperrung

­ ½ z La e1 τ1 = ®1 − ¾ d s in sin π β λ 1 1B La ¿ ¯

Strömungswinkel mit Versperrung

c1m τ1 β1′ = arc tan u 1 − c1u

3.1.8

β1B = β1′ + i1

3.1.9

Schaufelwinkel für gewählten Anstellwinkel, definiert als: i1 ≡ β1B − β1′

§ c ϕ1,SF = ¨¨1 − 1u u1 ©

Stoßfreie Anströmung (aus β1′ = β1b → c1m)

i1' c1

3.1.10

e

e1

β1B d1

c1u

b1

d1

dn

3.1.7

c1' α

u1

-1

· tanβ1B ¸ ¸ τ 1 ¹

c1m β1’

β1

3.1.6

c1m'

w1'

β1B

c1m u1 − c1u

d1b

e1 sinβ1B

132

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Tafel 3.2 Geschwindigkeitsdreiecke am Laufradaustritt Umfangsgeschwindigkeit

u 2 = π d 2 n / 60

Meridiane Durchflußgeschwindigkeit

c 2m =

A2 =

d2b b2

Gl. 3.2.1

Q La fq A 2

c ϕ 2,La = 2m u2

­ ½ e z La τ 2 = ®1 − ¾ π β λ d s in sin 2 2B La ¿ ¯

Schaufelversperrung

−1

3.2.3

­ 8.16 sin β 2B ½ ε lim = exp ®− ¾ z La ¯ ¿

Einfluß des Eintrittsdurchmessers auf Abströmbeiwert

3.2.2

3.2.4

3

kw = 1

*

für d 1m ≤ ε1m

Abströmbeiwert für Radial:

zLa

3

f1 = 0,98 -3

Halbaxial: f1 = 1,02 + 1,2 · 10 (nq - 50) Umfangskomponente Vorausberechnung der Absolutgeschwindigkeit Nachrechnung (H aus Versuch)

§ d∗ - ε · k w = 1 − ¨ 1m Lim ¸ ¨ 1 - εLim ¸ © ¹

3.2.5

§ sin β 2B γ = f 1 ¨1 − ¨ z La 0.7 ©

· ¸k ¸ w ¹

3.2.6

c2m τ2 · § ¸ c2u = u 2 ¨¨ γ u 2 tan β2B ¸¹ ©

3.2.7

c2u =

gH u c + 1m 1u ηh u 2 u2

3.2.8

Abströmbeiwert aus Versuch

ϕ 2,La τ 2 c γ = 2u + u2 tan β 2B

3.2.9

Absolutgeschwindigkeit

c 2 = c 2m 2 + c 2u 2

3.2.10

w 2 u = u 2 − c 2u

3.2.11

w 2 = c 2m 2 + w 2u 2

3.2.12

Absoluter Abströmwinkel ohne Versperrung

α 2 = arc tan c2m /c 2u

3.2.13

Relativer Abströmwinkel mit Versperrung

β 2 ′ = arc tan c 2m τ 2 / w 2u

3.2.14

Relativer Abströmwinkel ohne Versperrung

β2 = arc tan c 2m / w 2u

3.2.15

Deviationswinkel

δ′ = β2B - β2′

Relativgeschwindigkeit

3.2.16

oder: δ = β2B - β2 b2

δ'

c2m'

w2'

c2m w2

β2B

β2

c2

β2'

c2' α2

w2u

c2u u2

QS1 QSp

QS2 d1

3.12 Berechnungstafeln

133

Tafel 3.3 Energieübertragung im Laufrad

Gl.

Spezifische Schaufelarbeit Ysch (verlustlos)

3.3.1

§c ∗ c1u ·¸ Ysch = g H th = u 2 c 2u − u1 c1u = u 2 2 ¨¨ 2u − d1m u u 2 ¸¹ 2 ©

(

(theoretische Förderhöhe Ysch = 1 u 2 2 − u12 + w12 − w 2 2 + c 2 2 − c12 Hth) 2

)

(

)

3.3.2

1 p2 − p1 2 2 2 2 + g ZLa 3.3.33. Erhöhung des statischen YP, th = g H P, th = u 2 − u1 + w1 − w 2 = 3.3 ρ 2 Druckes im Laufrad (verlustlos) YP, th ≡ g H p, th = u 2 c 2u − u1 c1u − 1 c 2 2 − c12 3.3.4 2

(

)

)

(

Totalenthalpie (Total−p p 2 − p1 1 2 p + 2 c 2 − c12 = 2tot 1tot druckerhöhung) im Lauf- Ytot, La ≡ Δh tot = ρ ρ rad Laufradverlust

p −p g ZLa = Ysch − Ytot, La = YP, th − 2 1 ρ

Förderhöhe

H=

Statische Druckerhöhung H P =

Theoretische Druckzahl (verlustlos)

ηh u 2 2 g

3.3.5

3.3.6

­° ª Q La A d∗ tan β2B º ½° «τ2 + 2 1m »¾ ®γ − f q A 2 u 2 tan β2B ¬« A1 tan α1 ¼» ° °¯ ¿

)

(

1 u 22 − u12 + w12 − w 22 − ZLa 2g

§c * c1u ψ th = 2 ¨¨ 2u − d1m u2 © u2 ­° ϕ 2,La ψ th = 2®γ − β 2B tan °¯

3.3.7

3.3.8

· ¸ ¸ ¹

3.3.9

ª A d ∗ tan β 2B º ½° «τ 2 + 2 1m »¾ A1 tan α1 ¼» ° ¬« ¿

3.3.10

Druckzahl

­ ϕ 2,La ª A d ∗ tan β 2B º ½° ° «τ 2 + 2 1m »¾ ψ = 2η h ® γ − A 1 tan α1 °¯ tan β 2B ¬« ¼» °¿

3.3.11

Statische Druckzahl

u 2 w 2 w 2 ψ P = 1 − 1 + 1 − 2 − ζ La u 22 u 22 u 22

3.3.12

Spezifische Schaufelarbeit im Relativsystem (verlustlos)

Ysch = u 2 2 − u12 − (u 2 w 2u − u1 w1u )

3.3.13

Totalenthalpieerhöhung im Relativsystem

{

p −p 1 Ytot,La = 2 1 + w2m2 − w12m + (u 2 − w2u )2 − (u1 − w1u )2 ρ 2 w2m = c2m

}

3.3.14

w1m = c1m

u, c, w sind entweder auf die mittlere Stromlinie (geometrischer oder Massenmittelwert) zu beziehen oder auf eine beliebige Stromlinie (a, b, c, m...., bis i) für stromlinienweise Betrachtung. Beziehung zwischen Qopt und spezifischer Drehzahl

Q opt =

ωs 2 ψ opt1,5 2 2

§ ψ opt ω r23 = n q 2 ¨¨ © 2g

1,5

· ¸ ¸ ¹

3

§ π · ¨ ¸ n d 23 © 60 ¹

3.3.15

134

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Tafel 3.4 Ähnlichkeitsgesetze und dimensionslose Kennzahlen

Dimensionslose Kenngrößen

Ähnlichkeitsgesetze

Umrechnung von Modell (Index: M) auf Ausführung (Index a) · ηv ,a ¸ ¸ η ¹ v, M

§ Da ¨ ¨D © M

Förderstrom

Qa = Q M

Förderhöhe

§ n H a = H M ¨¨ a © nM

NPSH

§ n NPSH a = NPSH M ¨¨ a © nM

Leistung

§ n Pa = PM ¨¨ a © nM

Kräfte

§ n Fa = FM ¨¨ a © nM

Durchflußzahl (Austritt)

ϕ2 =

Durchflußzahl (Eintritt)

ϕ1 =

Druckzahl

ψ=

Leistungszahl mit b2

λ=

Leistungszahl mit d2

3

· ¸ ¸ ¹

· ¸ ¸ ¹

2

2

§ Da ¨ ¨D © M

π d 2b b 2 u 2 f q π (d12

2gH u 22

=

2

· zst,a ηh,a ¸ ¸ z ¹ st,M ηh,M

§ Da ¨ ¨D © M

§ Da ¨ ¨D © M

4 Q La

· ¸ ¸ ¹

2

§ Da ¨ ¨D © M

1.

Näherung: 3.4.2 ηh,a = ηh,M

2

3.4.3

5

· ρa zst,a ηM ¸ ¸ ρ z ¹ M st, M ηa

1.

Näherung: 3.4.4 ηa = ηM

4

· ρa ¸ ¸ ρ ¹ M

3.4.5

ψ1,5 § n q · ¨ ¸ b*2 ¨© 316 ¸¹

=

Näherung: 3.4.1 ηv,a = ηv,M

2

− d n ) u1 2Y

=

2

ϕ2, La =

4 b*2 ϕ2, La d1*3 k n

Q La /f q π d 2b b 2 u 2

c = 2m u2

c = 1m u1

Reynolds-Zahl

Re =

3.4.8

u 22

3.4.9 3.4.10 3.4.11

u12 cD ν

Re =

wL ν

c

Qopt / fq Hopt 0.75

= 315,6

„Type number“ Qopt / f q DIN 24260 n q = 5,55 n -1 g H opt 0,75 n [min ]

(

nss = n

Re u =

Eu =

gD

nq = n

Q opt / f q NPSH 0,75 opt

USA-Einheiten nq = 0,0194 Ns

3.4.6

3.4.7

2g NPSH

σ=

Saugzahl

· ¸ ¸ ¹

1.

2 P ϕ ψ = 2 η f q ρ π zst d 2b b 2 u 32a 2P λD = = λ π b*2 f q z st ρ d 22 u 32

Kavitationsbeiwert

Spezifische Drehzahl

· ¸ ¸ ¹

Q/f q

Froude-Zahl Fr Fr = Euler-Zahl Eu Spezifische Drehzahl, Saugzahl

na nM

Gl.

3

)

= 157,8

uR ν

Re u =

2 s u sp ν

2Δp

3.4.13 3.4.14

ρ c2

ϕ2opt b∗2 ψ opt 0.75 ωs =

ϕ1opt k n σ 0.75 opt

nss = 0,0194 Nss

3.4.12

-1

= 52,9 ωS ω Qopt / f q

(g Hopt )

0,75

n [min ] 3 Q [m /s] H [m]

=

nq 52.9

3.4.15

3.4.16

-1

n [min ] 3 Q [m /s] NPSH [m] Ns, Nss in: Q [gpm], H [ft]

3.4.17 3.4.18

3.12 Berechnungstafeln

Tafel 3.5 Leistungsbilanz, Wirkungsgrade und Verluste 3

135 Gl.

-1

Bezugsgrößen

QRef = 1m /s

Leistungsbilanz

ρgHQ P=¦ + ¦ PRR + ¦ PS3 + Pm + Per + PRez st ηv ηh st

3.5.1

Nutzleistung Pu

Pu = ρ g H tot Q

3.5.2

Gesamtwirkungsgrad η

nRef = 1500 min

P ρ g H tot Q η= u = P P η=

3.5.3

ηv ηh ρ g H tot Q ρ g H tot Q + ηv ηh ( ¦ PRR + ¦ PS3 + Pm + Per + PRez ) st

Innere Leistung Pi

Pi = P − Pm

3.5.4

Innerer Wirkungsgrad ηi

ρ g H tot Q η ηi = = Pi ηm

3.5.5

Mechanischer Wirkungsgrad ηm

P ηm = 1 − m P

3.5.6

Mechanische Verluste Pm

§Q Pm = 0,0045 ¨¨ Ref Popt © Q

Stufenwirkungsgrad ηst =

· ¸¸ ¹

0,4

§ n Ref ¨¨ © n

· ¸¸ ¹

0,3

3.5.6a

ρ g (H tot + Z EA )(Q + Q E + Q h ) η ­ Z EA ½­ Q E ½ = ¾ 3.5.7 ®1 + ¾®1 + P − Pm − Per ηm ¯ H tot ¿¯ Q ¿

Qsp

Q

Q

1+ + E + h Berechnung des hyρ g H tot Q + Qsp + Q E + Q h Q Q Q draulischen Wirηh = = 1 ¦ PRR + ¦ Ps3 +Pm + Per 3.5.8 P − P − P − P − P ¦ ¦ RR s3 m er kungsgrades aus − η Pu Messung (PREZ = 0)

(

)

Q

1

= Volumetrischer Wir- ηv = Qsp Q E Q h Q + Qsp + Q E + Q h + + 1+ kungsgrad ηv Q

Leckverlust am Qsp a zH = Laufradeintritt, Q opt n q m Spiel nach Gl. (3.12)

nq

a

m

< 27

4,1

1,6

≥ 27

0,15

0,6

Q

3.5.9

Q

Mit Entlastungsbohrungen: zH = 2; sonst: zH = 1

3.5.10

Leckverlust der Zwi- QS3 = 5,5 1,8 schenstufendichtung Qopt n q

ΔHS3 ≈ 0,4 H opt

3.5.11

Leistungsverlust der PS3 = ρ g ΔHS3QS3 Zwischenstufendichtung

PS3 2,2 = Pu,st,opt n q1,8

3.5.11a

770 f R, La f L Radreibungsleistung PRR = 2 radialer Laufräder Pu,opt n q ψ opt 2,5Re0,2 f q fR,La aus Gl. PRR 38500 k RR (T3.6.6); fL aus = Pu,opt n q 2 ψ opt 2,5 f q Gl. (T3.6,7)

Turbulent: Re > 10

Allgemein

5

3.5.12

3.5.13

136

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Tafel 3.6 Reibleistung rotierender Scheiben oder Zylinder tax

u R ω R2 = ν ν

Reynolds-Zahl

Re =

Reibleistung pro Seite einer rotierenden Scheibe für δ < 45°

­° § R k PRR = RR ρ ω3 R 5 ®1 − ¨ n cos δ °¯ © R

gültig für Re > 10

k RR =

3.6.1

δ · ¸ ¹

5½

rw

° ¾ °¿

sax rsp

3.6.2

R or r2

s

ax πR 0,02 1 + R + ⋅ f L f R, La 2Re s ax Re0,2 1 + s ax

3.6.3

2R

Reibleistung PRZ = k RZ ρ ω3 R 4 L eines rotierenS den Zylinders; 2 π R 0,075 1 + R + ⋅ k RZ = ⋅ fR gültig für Re s Re0,2 1 + S Re > 10 2R Rauheitseinfluß zu berechnen mit Rauheit der Radscheibe

Gl.

R L

­ 12,5 ° log k RR (ε) ° Re f R, La ≡ =® k RR (ε = 0) ° § ε 12,5 · ¸ ¨ ° log¨ 0,2 r + Re ¸ 2 ¹ © ¯

½ ° ° ¾ ° ° ¿

R 2Re sax

· § Re lam ≤ 8,7 ¨¨ Sax ¸¸ © R ¹ 0,1

0,925 § Sax · Alternative zu k RR = ¨ ¸ Gl. (T3.6.3) Re0,5 © R ¹ hydraulisch 1/6 glatt; ohne 0,02 § R · ¨ ¸ Leckageeinfluß k RR = ¨ ¸ Re0,25 © sax ¹ [3.8]

häuses wird nicht hier, sondern in Gl. (3.6.13) 3.6.6 berücksichtigt. ε =εmax/ceq

k RR =

0,0255 §¨ s ax Re0,2 ¨© R

πR Berücksichtik RR = + 2Re s ax gung aller Faktoren, die Rotation im Radsei- k o = 2 §r · tenraum beein1 + ¨¨ w ¸¸ flussen [3.30] © r2 ¹

· ¸ ¸ ¹

5

5

6

0,1

0,0625 Re 0,2

5

Re > 2×10

⋅ (1 - k o )1,75 f R , La f L

Leckagerichtung: *radial einwärts: ϕsp 3.6.7 positiv; a = 1,0 *radial auswärts: ϕsp negativ; a = 0,75

-1,87

Relam < Re < 2×10

10 < Re < 10

3.6.5

2.15 Die Rauheit des Ge-

Leckageeinfluß ­ § ª º a ·½ k RR (Qsp ) ¨ r ¸° gültig für: ° fL ≡ = exp®− 350 ϕsp ¨ « 2 » − 1¸¾ k RR (Qsp = 0) rsp/r2 > 0,3 und ¨ «¬ rsp »¼ ¸° ° © ¹¿ ¯ kE ≈ 0,5 k RR =

3.6.4

s

Laminar

3.6.8

Laminar; getrennte Grenzschichten

3.6.9

Turbulent

3.6.10

Turbulent, getrennte 3.6.11 Grenzschichten Gültig für Re > 10

3.6.12

cf aus Gl. (1.33)

3.6.13

1 § rw t ax ¨ ¨ r +5 r 2 © 2

· c f ,Gehäuse ¸ ¸ c f ,Laufrad ¹

3.12 Berechnungstafeln

Tafel 3.7 (1) Spaltverluste I: Zylindrische Spalte Durch Laufrad bewirkte Erhöhung des statischen Druckes Rotationsfaktor k Druckdifferenz über Spalt bei radial einwärts strömender Leckage

Hp =

2

u 2 − u12

+ w12

− w2

2

Qsp radial einwärts

k = 0,9 ysp

Qsp radial auswärts

Gl. Hp = RG H RG ≈ 0,75 für nq < 40

− ZLa

2g

0,087

k = 0,24 ysp

ysp = Re 0,3 u

-0,096

Verlustbeiwerte

ζ EA + λ

2

§ dsp · § s + ¦¨ ¸ ¨s d 2s i © si ¹ © i

2 s u sp

π dSP n 60

Übergang laminar-turbulent bei Re* = 2000

§ u sp Re * = Re 2 + 1 Re 2u = Re 1 + 1 ¨ 4 4¨c © ax

Reibungsbeiwerte bei laminarer Strömung

λ=

Reibungsbeiwerte bei turbulenter Strömung (usp = 0)

λ0 =

ν

u sp =

96 § e · ¨1 − 0,6 x ¸ Re © s ¹

3.7.4

d 2EK ½° ¾ d 2 2 °¿

3.7.5

3.7.6

2 · ­ζ + λ Li ½ ¸ ® K i 2s ¾ i¿ ¹ ¯

3.7.7

Re = · ¸ ¸ ¹

3.7.8

2 s cax ν

3.7.9

2

3.7.10

ex = Exzentrizität

0,31 ­ § 6,5 ·½ ¸¾ ®log¨ A + Re ¹¿ ¯ ©

Einfluß der Rotation

λ ­° § Re = ®1 + 0,19¨ u λ0 ° © Re ¯

Einfluß der Rotation für Strömung mit Re < 2000

λ § Re u · = 1 + 0,2¨ ¸ λ0 © 2000 ¹

· ¸ ¹

Spalt Rauh Gerillt Isotropes Muster

2

2½

3.7.11 A 0,135 ε/s 0,005 bis 0,01 0,01 bis 0,03

3.7.12

0,375

° ¾ °¿

3.7.13

1,03

si

3.7.14

cu,in

s

ΔHSp Q SP

Li = 2rsp

3.7.3

Qsp = π dsp s cax 1 bis 1,2 Ein- und Austrittsverlust ζEA = ζK = 1 bis 1,3 Verlust je Kammer

Reu =

dsp

3.7.2

2g ΔH Lsp

Reynolds-Zahlen

Lsp

s Lsp

­ d2 ½ ° S3 ° ®1 − 2 ¾ d °¯ 2 ° ¿

¯

Spaltstrom

d 22

3.7.1

u r Re u 2 = 2 2 ν

2 ­ Druckdifferenz über Ent- ΔH 2 u2 ° ®1 − EK = (z ST − 1) H + H p − k lastungseinrichtung 2g °

Axialgeschwindigkeit im cax = Spalt c ΔHsp , ΔHS3 , oder ΔHEK i = Anzahl Kammern

s d sp

2

2½ ­ u 2 ° d sp ° ΔH sp =H P - k 2 2 ®1 − ¾ 2g ° d 2 2 ° ¯ ¿

2 Druckdifferenz über 2 u2 Spalt bei radial auswärts ΔH S3 = H − H P + k 2g strömender Leckage

137

dsi

HP

HP

QS3 ΔHS3

138

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Halboffene Laufräder

Tafel 3.7 (2) Spaltverluste II: Schräg- und Radialspalte, offene Räder Förderhöheneinbuße

Wirkungsgradeinbuße Δη nach [B.16]

ψ (s =o) − ψ (s) ψ (s =o)

η(s =o) − η(s) η(s =o) Δη = 0,3

s 2,5 d2

=

=

§ e · b*2 (1 − d1* )z La ¨¨ ¸¸ © t2 ¹

0,2

n q 0,1 (sinβ2 )1,2 (sinβ1 )0,4

2 ψ (s =o) −ψ (s) 3 ψ (s =o)

s b2 − s

für

Diagonalspaltdichtung Radialspaltdichtung (Abb. 3.15)

Wirkungsgradeinbuße

ψ (s= o)−ψ (s) ψ (s= o) η(s =o) − η(s) η(s =o)

s < 0,13 b2 − s

3.7.16a

3.7.17

= (2,3 bis 3,3)

s b2

= (1,6 bis 1,9)

s b2

3.7.18 Obere Grenze für glatte Spalte; untere Grenze für Spalte mit Hilfs3.7.19 schaufeln

Anstieg des NPSH3

σ(s) − σ(s=o)

Reynolds-Zahlen

Re =

Reibungsbeiwert

λ = f (Re, Re u , ε) aus Tafel 3.7 (1)

Druckdifferenz

nach Tafel 3.7 (1)

σ(s= o)

= (15 bis 40)

2 s ci ar ν

Re u =

3.7.15

3.7.16

s

Reduktion der Lei- λ (s =o) − λ (s) = 1 ψ (s =o) −ψ (s) stungsaufnahme λ (s =o) 3 ψ (s =o) Förderhöheneinbuße

Gl.

s b2

s. Abb. 3.15

2s

ra ν

ar

3.7.20

r ar ≡ i ra

3.7.21

Rotationsfaktor k Konstanten

Re < 10

4

Re > 10

Spaltstrom radial einwärts

0,4

0,5

Spaltstrom radial auswärts

0,5

0,6

4

ci =

3.7.22

s

2Δp − k 2ω2 ra 2 (1 − a 2r ) ρ λr ζ E a r2 + i (1 − a r ) + 1 2s

ci =

3.7.23

ra ri

2Δp + k 2ω2 ra 2 (1 − a 2r ) ρ λr ζ E + i (1 − a r ) + a r2 2s

Radialgeschwindigkeit im Spalt auf Innenradius ri

Spaltstrom radial einwärts

Spaltstrom radial auswärts

Spaltstrom

Qsp = 2π ri s ci

3.7.24

3.12 Berechnungstafeln

139

Tafel 3.7 (3) Gewinderillendichtungen bei turbulenter Strömung, [3.13] Gewinderillendichtungen nur einsetzen für: cax < 0,7 u sp

Die Auswahl der Dichtungsparameter hängt ab c von ax u sp

dsp, Lsp, n, ΔH, s, ρ, ν

Gegeben Axialgeschwindigkeit im Spalt. Schätzwert für erste Iteration: λ = 0.06 Verlustbeiwerte Reynolds-Zahlen Strömung ist turbulent für

Gangzahl (ganze Zahl) Steigungswinkel α = 7 bis 13° (15°)

Gl.

2g ΔH Lsp ζ EA + λ 2s

cax =

3.7.30

3.7.31

ζ EA = 1,5 für Ein- und Austrittsverlust

Re u = u sp s ν z=

2 s u sp

u sp =

ν

π dSP n 60

Re =

2 s cax ν

3.7.32

> 700

3.7.33

π dSP sinα π dSP sinα = a+b §a +b· ¨ ¸s © s ¹

3.7.34

c α[°] = 13 − 8 ax u sp

α = 10°

−0,68

3.7.35

Gangtiefe h/s = 2,5 bis 4

§ c h = 1,2¨ ax ¨ u sp s ©

Rillenbreite a

a = 0,5 bis 0,7 a+b

Gleichung h = 2,5 (3.7.39. und 40) s gelten für nebenstehende Paramea ter = 0,5 a+b

Kontrolle

a+b = 15 bis 20 s

a+b = 17 s

Reibungsbeiwert für usp = 0 bei turbulenter Strömung Reibungsbeiwert

λ0 =

· ¸ ¸ ¹

3.7.36

3.7.36 3.7.38

0,32

­ § 20 ·½ ¸¾ ®log¨ 0,0022 + Re ¹¿ ¯ ©

Re ½ ­ λ = λ 0 ®1 + k u ¾ Re ¿ ¯

2

2

3.7.39

k = 0,18

3.7.40

Mit dem Reibungsbeiwert nach Gl. (3.7.40) wird cax nach Gl. (3.7.30) iterativ berechnet

Qsp = π dsp s cax

Spaltstrom

3.7.41

s s

h a

b

d sp

ω L sp

c ax

140

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Tafel 3.8 (1) Hydraulische Verluste im Laufrad

Gl.

Hydraulischer Wirkungsgrad

Y H H ψ ηh = = = = Ysch Hth H + ZLa + ZLe + ZEA ψ + ζLa + ζLe + ζEA

Mittlere Relativgeschwindigkeit im Laufradkanal

w av =

Reibungsbeiwert für Rauhigkeit ε

w L Re = av sch ν

Hydraulischer Durchmesser

Dh =

Dissipationsbeiwert

cd = (cf + 0,0015) (1,1 + 4b 2)

2 Q La f q z La (a 2 b 2 + A1q )

cf =

3.8.2

0,136 2,15

­ 12,5 ·½ § ε ®− log ¨ 0,2 L + Re ¸¾ sch © ¹¿ ¯

2 (a 2 b 2 + A1q )

3.8.3

3.8.4

a1 + b1 + a 2 + b2 *

Z La,R

3.8.1

3.8.5

L sch Dh

§ w av ¨ ¨ u © 2

· ¸ ¸ ¹

2

Reibungs- und Verwirbelungsverluste

ζ La,R ≡ 2g

Relativgeschwindigkeitsvektor

w1m = c1m 2 + (u1 − c1u ) 2

3.8.7

Geschwindigkeit im engsten Querschnitt

w1q =

Q La f q z La A1q

3.8.8

Stoßverlust am Eintritt

ζ La ,C ≡ 2g

Laufradverlust

ζ La = ζ La,R + ζ La,C

u2

= 4c d

2

§ w1m − w1q = 0,3 ¨¨ 2 u2 u2 ©

ZLa ,C

· ¸ ¸ ¹

3.8.6

2

nur für:

w1q w1m

> 0,6

3.8.9 3.8.10

Alternative Berechnung mit der benetzten Fläche und cf an Stelle von cd Benetzte Fläche in Radialrädern

A ben =

pro Laufradseite Mittlere Relativgeschwindigkeit Dissipierte Leistung pro Laufradseite Reibungsverluste

)

(

π 2 d 2a + d 22i − d12 − d 2n + z La Lsch (b1 + b2 ) 4

w = 0,5 ( w1 + w 2 ) Pd =

3.8.12

ρ cf w 3A ben = ρ g Q ZLa , R 2

ζ La,R ≡ 2g

ZLa,R u2

2

3.8.11

c A = f ben ϕ2 A 2

3.8.13 3

§w· ¨ ¸ ¨u ¸ © 2¹

3.8.14

3.12 Berechnungstafeln Gl.

H ψ Hydraulischer Wir- η = Y = H = = h kungsgrad Ysch H th H + ZLa + ZLe + ZEA ψ + ζ La + ζ Le + ζEA

3.8.1

Leitring

Spirale

Leitrad

Tafel 3.8 (2) Hydraulische Verluste im Leitapparat

Geschwindigkeitsvektor am Laufradaustritt

c 2u =

gH ∗ + d1m c1u ηh u 2

Strömungsgeschwindigkeit im engsten Querschnitt

c3q =

Q + QE z Le a 3 b3

c 2m =

Q La πd 2 b 2

c 2 = c 2 u 2 + c 2m 2

§ L · cp = f ¨¨ AR , 3−4 ¸¸ R1 ¹ ©

L3− 4 π = L3 − 4 R1 a 3 b3

) ( (

)

Reibungsverlu3 * 2 2g Z2-3 * * π ϕ2 b 2 = ( c + 0 , 0015 ) a + b ste im Eintritts- ζ 2-3 ≡ f 3 3 3 u 22 bereich 8 z Le a*3 b*3

(

Leitradverluste einschließlich Überströmkanal

ζ Le ≡

Überströmkanal (allein)

Δζ R = ζ ov

Reibungsverlust ΔA= benetzte Oberfläche

ζSp,R =

Diffusor (Druckstutzen) cx = Diffusoreintrittsgeschwindigkeit

c 2 ζSp, D = x 2 u2

Verluste der gesamten Spirale einschl. Druckstutzen

ζSp = ζSp,R + ζSp, D + ζ LS

u 22

§ c3q = ζ 2−3 + ¨¨ © u2

ζ ov = 0,2 bis 1,5

u 22

u 22

=

2 Pd ρ Q u2

2

=

1 Q u 22

3 ¦ (cf + 0,0015) c ΔA

§ · ¨1 − c − 1 ¸ P 2¸ ¨ AR ¹ ©

Reibung an Lei2 cf r2 tring mit konζ LR = stanter b3 sinα3 cos2α3 Breite Stoßverluste

)

§ · ¨1 + c 2 ¸ ¨ c3q ¸ © ¹

b ζ LS = ϕ 22,La ¨§ τ 2 − b2 ¸· 3 ¹ ©

§ c2u ¨ ¨ u © 2 2

3.8.17

3

3.8.18

2 2­ ½ · · ° §¨ c2 ¸ + 1 − c − 1 − ζ oν °¾ 3.8.19 ¸ ®0,3 1 − P ¸ ¸ A 2R ° ¹ ° ¨© c3q ¹ ¯ ¿

c42

2gZSp

3.8.15

3.8.16

Diffusor cp aus a 4 b4 Abb. 1.18 oder A R = a b 3 3 1.19

2g ZLe

141

3.8.20

3.8.21

3.8.22

ζ LS aus Gl. (T3.8.24)

· ¸ ¸ ¹

2

§ r2 · ¨1 − ¸ ¨ r ¸ 4¹ ©

3.8.22a

3.8.23

3.8.24

Zwischen Laufrad und Leitrad bzw. Spirale sind die Verluste des glatten Leitringes zu addieren.

142

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Tafel 3.9 Statistische Wirkungsgradangaben und Wirkungsgradaufwertung Bauart

nq

Gesamtwirkungsgrad

0,15

§ 45 · ¨n ¸ © q¹

0,06

Gl. 3

a=1

3

a = 0,5

Q ≤ 1 m /s Q > 1 m /s

m

2

Radialpumpen einstufig

≤ 100

§Q ηopt = 1 − 0,095 ¨¨ Ref © Q

n q ½° ­° · ¸¸ − 0,3 ®0,35 − log ¾ 23 °¿ ° ¹ ¯

Radialpumpen mehrstufig

≤ 60

§Q ηopt = 1 − 0,116 ¨¨ Ref © Q

n q ½° ­° · ¸¸ − 0,4 ®0,26 − log ¾ 25 °¿ °¯ ¹

Halbaxial- und Axialpumpen

≥ 45

n q ½° ­° §Q · ηopt = 1 − 0,095 ¨¨ Ref ¸¸ − 0,09 ®log ¾ 45 °¿ Q ° © ¹ ¯

Doppelflutige Pumpen

≤ 50

§Q ηopt = 1 − 0,095 ¨¨ Ref © Q

m

m

§Q · ηth,er = ηopt + 0.35 ¨¨ Ref ¸¸ Q © ¹

Exponent

Q f · m = 0,08 a §¨ Re ¸ © Q ¹

0,15

0.08

§ 45 · ¨n ¸ © q¹ m

Radialpumpen einstufig

≤ 100

· §Q ηh, opt = 1 − 0,055 ¨¨ Ref ¸¸ Q ¹ ©

Halbaxial- und Axialpumpen

≥ 45

§Q ηh, opt = 1 − 0,055 ¨¨ Ref © Q

· ¸¸ ¹

≤ 60

§Q η h, opt = 1 − 0,065 ¨¨ Ref © Q

· ¸¸ ¹

Radialpumpen mehrstufig

0,05

3.9.1

2

3.9.2

2,5

3.9.3 2

§ Q Ref ¨¨ © Q

· ¸¸ ¹

0,05

(1 − ηopt )

0,06

3.9.4

3.9.5 3

a=1

Q ≤ 1 m /s 3

a = 0,5

Q > 1 m /s 2

n q ½° § Q Ref · ­° ¸ − 0,2 ®0,26 − log ¾ ¨ 25 °¿ ¨© Q ¸¹ °¯

m

m

· ¸¸ ¹

n q ½° ­° − 0,09 ®log ¾ 45 °¿ °¯

0,1

3.9.6

2,5

3.9.7 2

n q ½° § Q Ref ­° − 0,23 ®0,3 − log ¾ ¨ 23 °¿ ¨© Q °¯

· ¸¸ ¹

0.05

3.9.8

1,6

§ · ΔηEL = 0,018 ¨ n25 ¸ © q¹

Unsicherheit der Wirkungsgrade

ΔηTol = +0,2 1 − ηopt

(

nq < 40

nq > 40: ΔηEL = 0,01

)

Aufwertung des η ­° ζ R ,M h ,a hydraulischen = ®1 − ηh , M η ψ ° h , M Wirkungsgrades ¯

ηhR =

§ c ¨1 − f , a ¨ cf , M ©

ρ g H tot (Q + Qsp + Q E ) P − Pm

·½° ¸¾ ¸° ¹¿

−1

=

)

ζ R ,M ψ

§ 12 · =b¨ ¸ ¨ nq ¸ © ¹

0,83

3.9.11

b = 0,06 bis 0,1

· ¸ ¸ ¹

η η v ηm

0,2º ª § Re · Δη = (0,4 bis 0,6) 1 − ηhR,M «1 − ¨¨ M ¸¸ » « © Rea ¹ » ¼ ¬

(

3.9.9 3.9.10

Aufwertung des 1 − η k 1 − V §¨ cf ,a St ,a = V+ + RR ,a Stufenwirkungs1 − ηSt ,M 2 ¨© cf ,M k RR ,M grades

Wirkungsgradaufwertung nach [N.5]:

§ Q Ref ¨¨ © Q

m n q ½° ­° · ¸¸ − 0,35 ®0,35 − log ¾ 17,7 °¿ °¯ ¹

Theoretisch erreichbarer Wirkungsgrad

Entlastungsbohrungen

Wirkungsgradaufwertung

3

Q f · m = 0,1 a §¨ Re ¸ © Q ¹

Exponent

Hydraulischer Wirkungsgrad

3

QRef = 1 m /s Gültig für Q ≥ 0,005 m /s

V = 0 ,3 + 0 , 4

nq 200

3.9.12

Zu berechnen für Modell (M) und Ausführung (a). ηa = ηhR,a+Δη. 3.9.13 ηhR umfaßt hydraulische und Radreibungsverluste

3.12 Berechnungstafeln

143

Tafel 3.10 (1) Einfluß von Rauheit und Reynolds-Zahl auf Wirkungsgrad nM, Qopt,M, Hopt,M, d2,M, ηM, νM, Rauheit εM der verschiede-

Gegebene Größen für die Basis

nen Komponenten

Gegebene Größen für die „Anlage“

na, Qopt,a, d2,a, νa, Rauheit εa der verschiedenen Komponenten

Spezifische Drehzahl

ωs = ω

Reynolds-Zahl

u r ω r22 Re = 2 2 = ν ν

Spaltstrom

Qsp Qopt

=

Qopt / f q

(g Hopt ) 0,75

4.1

= n q1.6

Gl.

=

7.16 × 10−3 ωs1.6

ωs ist dimensionslos; nq mit min-1, m3/s, m

3.10.1

Re verwendet für hydraulische Kanäle und Radreibung

3.10.2

In erster Näherung für Qsp und QE verwendbar

3.10.3

Q

Volumetrischer Wirkungsgrad

ηvol =

Äquivalente Sandrauheit mit ceq = 2.6 Mittlere Rauheit für hydraulische Kanäle

ε 6 εCLA ε = max = ceq ceq

Einfluß der Rauheit auf die Radreibung

nq 52.9

Q + Qsp + Q E + Qs3

3.10.4

verwendet in Gln. (7 & 16)

3.10.5

aε = 0.98 – 0.0012 nq f q

3.10.6

mit εmax = 6 εCLA

εav,h = (1 − a ε ) ε La + a ε ε Le

­ 12.5 ° log ° Re fR = ® § 12.5 · ε ° log¨ 0.2 ¸ + ¨ ° r Re ¸¹ 2 © ¯

cu = ωr

ΔHs3/Hst = 0.4 ist guter Schätzwert

ΔH s3 (z st − 1) H st zst

½ ° ° ¾ ° ° ¿

2.15

Berechnet mit der äquivalenten Sandrauheit von Radscheiben und Gehäuse

1

Bei offenem Radseitenraum:

Rotation des Fluids ohne Spaltstrom (Qsp = 0)

ko =

Radreibungsbeiwert

º ª πr 0.0625 2 (1 − k o )1.75 f R, La f L f RS » f therm k RR = « + 0.2 Re ¼» ¬« 2 Re s ax

Wirkung von Rückenschaufeln

fRS = 0.63 + 0.6 dRS/d2

Thermische Effekte auf Radreibung (empirisch)

­ § ν ° f therm = exp ®− 2 × 10 −5 ¨¨ © ν Ref °¯

Einfluß des Spaltstroms auf Radreibung für:

rsp/r2 > 0,3

§r 1 + ¨¨ w © r2

· ¸ ¸ ¹

2

§ rw t ax ¨ ¨ r +5 r 2 © 2

· f R , Gehäuse ¸ ¸ f R , Laufrad ¹

rw = r2; tax =0

dRS = Außendurchmesser der RS keine Rückenschaufeln: fRS = 1.0 1.34 ½

· ¸ ¸ ¹

­ § ª ºa ·½ ¨ r ¸° ° f L = exp®− 350 ϕsp ¨ « 2 » − 1¸¾ ¨ «¬ rsp »¼ ¸° ° © ¹¿ ¯

° ¾ °¿

6

3.10.7

3.10.8

3.10.9

3.10.10

2

νRef = 10- m /s gemäß [13.31] s. Kap. 13.1

3.10.11

Leckagerichtung: *radial einwärts: ϕsp positiv; a = 1,0 *radial auswärts: ϕsp negativ; a = 0,75

3.10.12

144

3 Grundlagen der hydraulischen Berechnung

Tafel 3.10 (2) Einfluß von Rauheit und Reynolds-Zahl Radreibung

fgeo ≈ 1.22 für typische Radialräder1) Mechanische Verluste Hydraulischer Wirkungsgrad des Modells oder der Basis Reibungsbeiwert der hydraulischen Kanäle für turbulente Strömung bei Re > Recrit Reibungsbeiwert der hydraulischen Kanäle für laminare Strömung Anteil der aufwertbaren Verluste Faktor für den hydraulischen Wirkungsgrad Faktor für den Wirkungsgrad bei:

§ PRR ¨ ¨ P © u

8 2 k RR,M f geo 31680 k RR,M f geo · ¸ = = ¸ 2.5 2 ω ψ f n q2 ψ opt2.5 f q ¹M s opt q

Pm 0.0045 = Pu η

§ Q Ref ¨¨ © Q

η ­ ª §P ° η vol ®1 − η «¨¨ RR «¬© Pu °¯

η h,M =

cf =

Gl.

· ¸¸ ¹

0.4

§ n Ref · ¨ ¸ © n ¹

3.10.13

0.3

3.10.14

· P º½ ¸ + m » °¾ ¸ ¹ M Pu »¼ °¿

3.10.15

0.136 ­ § ε 12.5 ·½ ®− log ¨ 0.2 r + Re ¸¾ 2 © ¹¿ ¯

Re crit =

cf ,lam =

ζ R ,M ψ BEP

3 × 10

2.15

6

Berechnet mit εav aus Gl. (6)

3.10.16

0.01
3.10.17

1 + 10 4 Tu1.7 2.65 Re

0.875

−

2 1.328 + 8 Re+ 0.016 / Re Re

½° ­° 1 =® − 1¾(a1 − b1 n q f q ) η °¯ h , M ¿°

f ηh , BEP = 1 −

· ζ R , M § cf ,a ¨ − 1¸ ¨ ¸ ψ opt © cf , M ¹

a1 = 0.635 b1 = 0.0016

cf,a und cf,M aus Gl. (16)

3.10.18

3.10.19

º ª ­§ P · § P · ½° ° f ηh «1 + ®¨¨ RR ¸¸ + ¨¨ m ¸¸ ¾ηvol,M ηh ,M » » « °© Pu ¹ M © Pu ¹ M ° η ¿ ¼ ¬ ¯ fη ≡ a = ½ ­°§ P · k RR ,a ηM η η · § P ° vol,M h ,M 1 + ®¨¨ RR ¸¸ + ¨¨ m ¸¸ ¾ f ηh °¯© Pu ¹M k RR ,M © Pu ¹M °¿

3.10.20

Qopt

ηa = fη ηM

3.10.21

Hydraulischer Wirkungsgrad

fηh aus Gl. (T19) ηha = fηh ηhM fQ = fH = fηh für hoch viskose Flüssigkeiten (Kap. 13.1)

fηvol = 1.0 fηm = 1.0; ρa = ρM

fQ = fH = fηh Wirkungsgrad bei

fη aus Gl. (20)

3.10.22

Die Berechnung nach Tafel 3.10 erfolgt für den Förderstrom höchsten Wirkungsgrades Qopt. Der Faktor fη wird dann für die ganze Kurve ηa(Qa) = fη ηM(QM) verwendet. 1)

fgeo ist das Verhältnis der gesamten Radreibungsverluste (an allen rotierenden Flächen) eines Laufrades zu den Verlusten an den Radseitenwänden von Deck- und Tragscheibe)

4 Kennlinien

Entsprechend den wechselnden Betriebserfordernissen arbeiten praktisch alle Pumpen zeitweise außerhalb des Auslegungspunktes, der durch q* ≡ Q/Qopt = 1 definiert ist; q* > 1 entspricht Überlast, während der Betrieb bei q* < 1 als Teillast bezeichnet wird. Die Kennlinien einer Pumpe beschreiben das Verhalten von Förderhöhe, Leistungsaufnahme und Wirkungsgrad als Funktion des Förderstromes (das Verhalten des NPSH = f(Q) wird in Kap. 6 behandelt). Der Verlauf der Leistungsgrößen über den Bereich von Q = 0 bis zum maximal möglichen Förderstrom ist wichtig für das Betriebsverhalten der Pumpe in der Anlage – z.B. bei Parallelarbeit oder beim Anfahren (s. Kap. 11). In der überwiegenden Zahl von Anwendungen wird eine mit zunehmendem Förderstrom stetig fallende Förderhöhe, also ∂H/∂Q < 0, verlangt, was man als „stabile Kennlinie“ bezeichnet. Weist die Kennlinie dagegen einen Bereich mit ∂H/∂Q > 0 auf, liegt eine „instabile“ Kennlinie vor, die bei Parallelarbeit oder flacher Anlagenkennlinie zu Problemen führen kann, Kap. 11. Laufrad und Leitvorrichtung werden in der Regel so ausgelegt, daß im Bestpunkt weder Ablösung noch Rückströmung auftritt (von Sonderbauarten wie z.B. Abwasser- oder Baggerpumpen abgesehen). Bei niedriger Teillast – typischerweise bei q* < 0,4 bis 0,75, und insbesondere bei Q = 0 – treten hingegen Rückströmungen an Laufradein- und -austritt auf, die die Form der Teillastkennlinien weitgehend bestimmen; diese Zusammenhänge und Maßnahmen zur Beeinflussung der Kennlinienform werden in Kap. 5 ausführlich behandelt. Die Messung der Kennlinien erfolgt auf dem Prüfstand durch Drosseln der druckseitigen Armatur, wobei sich entsprechend der Ventilöffnung jeweils ein Förderstrom einstellt. Zu jedem Förderstrom gehört bei gegebener Drehzahl eine bestimmte Förderhöhe (und Leistungsaufnahme); die entstehende Kurve H = f (Q) wird deshalb auch als „Drosselkurve“ bezeichnet.

4.1 Drosselkurve und Leistungsaufnahme 4.1.1 Die theoretische Kennlinie (ohne Strömungsverluste) Wie in Kap. 3 besprochen, ergibt sich die spezifische Schaufelarbeit als Differenz der Impulsmomente an Laufradein- und -austritt, Gl. (T3.3.1). Die für diese Rechnung benötigte Umfangskomponente c2u der Absolutgeschwindigkeit erhält man aus dem Austrittsdreieck, das in Abb. 4.1 für verschiedene Förderströme dimensi-

146

4 Kennlinien

onslos dargestellt ist (s. a. Tafel 3.2): die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit c2u sinkt bei gegebenem Schaufelaustrittswinkel und gegebenem Abströmbeiwert mit wachsendem c2m bzw. mit zunehmendem Förderstrom. Vektor 2 in Abb. 4.1 entspreche dem Auslegungspunkt; Vektor 1 Teillast, Vektor 3 Überlast. Bei Vektor 4 wird kein Impulsmoment mehr auf die Absolutströmung übertragen und bei Vektor 5 ist c2u negativ (Kap. 12). Bei α1 = 90° gilt ψth = 2 c2u/u2; das dimensionslose Geschwindigkeitsdreieck nach Abb. 4.1 stellt in diesem Fall den Zusammenhang ψth = f(ϕ) – also eine dimensionslose theoretische Kennlinie – dar. Nach Gl. (T3.3.10) läßt sich ψth = f(ϕ) formelmäßig ausdrücken durch: ϕ2, La · § ¸ ψ th = 2¨¨ γ − K1 β2 B ¸¹ tan ©

mit

K1 ≡ τ2 +

* A 2 d1m tan β2B A1 tan α1

(4.1)

Statt mit dem Schaufelwinkel β2B läßt sich die theoretische Kennlinie auch mit dem Strömungswinkel β2 formulieren. Hierzu geht man von Gl. (T3.3.9) aus; mit c2u = u2 - w2u und w2u/u2 = ϕ2,La τ2 cotβ2 (aus dem Austrittsdreieck) ergibt sich: ϕ2, La · § ¸ ψ th = 2¨¨1 − τ 2 tan β 2 ¸¹ ©

und

cotβ 2 = cot β 2B +

1− γ ϕ2, La τ2

für α1 = 90°

(4.2)

Wegen der komplexen Strömungsverhältnisse im Laufrad (Kap.5 u. 3.3) hängen sowohl der Strömungswinkel als auch der Abströmbeiwert im allgemeinen vom Förderstrom ab. Für eine qualitative Beurteilung (solange keine Teillastrückströmung auftritt), kann der Abströmbeiwert γ aber in erster Näherung als unabhängig vom Förderstrom angenommen werden. In diesem Fall ergibt sich die theoretische Kennlinie nach Gl. (4.1) als lineare Funktion des Förderstromes (vgl. Abb. 8.11). Wie die Erfahrung lehrt, ändert sich auch der Abströmwinkel β2 im Bereich um den Auslegungspunkt nur geringfügig, so daß auch Gl. (4.2) eine annähernd lineare theoretische Kennlinie darstellt (diese Annahme wurde in Abb. 4.1 getroffen). Strömt das Fluid mit α1 ≠ 90° zum Laufrad, ist auch das Eintrittsdreieck heranzuziehen, Gl. (T3.1.3). Bei α1 = 90° hingegen wird die Konstante K1 = τ2 (sie liegt dann also nahe bei 1). Die theoretische Förderhöhe erreicht bei QLa = 0 den Wert ψth,o = 2 γ. Sobald Rückströmungen auftreten, läßt sich über den Abströmbeiwert keine Aussage ϕ 2 = c 2m /u 2 w 2* c 2*

1 1

0,8

2

0,6

0,4

c 2 *(q*=1,0) 3

0,2

4

5

β 2B β2

c2* 0

u 2* = 1

Abb. 4.1. Dimensionsloses Austrittsdreieck bei variablem Durchflußbeiwert

q*

0,4 0,3

2 1,5

0,2 0,1

1 0,5 0

4.1 Drosselkurve und Leistungsaufnahme

147

machen; bei Q = 0 liegt γ zwischen dem Wert im Bestpunkt und eins. Bei QLa = 0 gilt also 2γ < ψth,o < 2. Welchen Wert ψth wirklich annimmt, läßt sich kaum vorausberechnen, weil die Wirkung der Rückströmung schwer zu quantifizieren ist. Aus Gl. (4.1) ist weiter ersichtlich, daß ψth null wird beim Durchfluß: ϕ2, max =

γ tan β2B K1

(4.3)

Eine Pumpe kann allerdings bei weitem nicht bis zu diesem Förderstrom fahren, weil sie in den meisten Anlagen bereits bei kleinerem Volumenstrom in Vollkavitation geraten würde (Kap.6). Diese Aussage gilt primär für Pumpen mit kleinen und mittleren spezifischen Drehzahlen. Ob die Pumpe in Kavitation gerät, hängt vom Zulaufdruck ab. Axialpumpen können oft bis H = 0 gefahren werden. In Abb. 4.2a ist die theoretische Kennlinie in der Form ψth = f(ϕLa) für die drei Fälle β2B < 90°, β2B = 90° und β2B > 90° dargestellt. Die gestrichelten Geraden gelten für γ = 1, d.h. schaufelkongruente Strömung. Die ausgezogenen ψ-Kurven berücksichtigen die Minderumlenkung (häufig liegt γ im Bereich von 0,7 bis 0,8); sie verlaufen parallel zu den Geraden für γ = 1, solange keine Rezirkulation auftritt. Bei den meisten Pumpen werden rückwärts gekrümmte Schaufeln im Bereich β2B = 15 bis 45° verwendet (Schwerpunkt 20 bis 35°); hier ergibt sich ein Schnittpunkt mit der Abszisse entsprechend ϕ2max nach Gl. (4.3): je kleiner der Laufschaufelaustrittswinkel, desto steiler verläuft die Kennlinie und desto tiefer liegt ϕ2max. Bei niedrigen spezifischen Drehzahlen und kleinen Pumpen wird mitunter ein „radialer Schaufelstern“ mit β2B = 90° ausgeführt (Kap. 7.3.3); die Kennlinie ψth verläuft dann parallel zur Abszisse. Hakenschaufeln mit β2B > 90° sind im Pumpenbau nicht üblich, weil die Kennlinie inhärent instabil wäre. a) ψ th

β 2B > 9 0 °

γ = 1 γ = 1

2

β 2B = 9 0 °

γ < 1

2γ

γ = 1 β 2B < 9 0 °

γ < 1 0

γ tan β 2 B K1

tan β 2 B K1

ϕ 2 ,L a

b) λ th

β 2B = 9 0 ° γ = 1 γ < 1

β 2B < 9 0 ° ϕ 2 ,L a

γ tan β 2 B 2K1

Abb. 4.2. Kennlinien von Schaufelarbeit und -leistung (verlustlos, ohne Teillastrückströmung) a Druckzahl; b Leistungszahl

148

4 Kennlinien

Die Leistungsaufnahme ergibt sich aus Pth = ρ g Hth QLa bzw. in dimensionsloser Schreibweise nach Gl. (T3.4.9) mit Gl. (4.1) zu: § ϕ22, La ·¸ λ th = ϕ2, La ψ th = 2¨ γ ϕ2, La − K1 ¨ tan β2B ¸ © ¹

(4.4)

Bei rückwärts gekrümmten Schaufeln (β2B < 90°) hat die theoretische Leistungsaufnahme λth = f(ϕ2,La) demnach die Form einer Parabel mit Nullpunkten bei ϕ2,La = 0 und ϕ2,La = ϕ2,max entsprechend Gl. (4.3), Abb. 4.2b. Differenziert man Gl. (4.4), ergibt sich das Maximum der Leistungsaufnahme bei ϕ2,La = 0,5 ϕ2,max; es beträgt: λ th ,max =

γ 2 tan β2B 2 K1

(4.5)

Wie aus Gl. (4.4) zu erkennen, steigt die theoretische Leistungsaufnahme bei β2B = 90° linear (und bei β2B > 90° quadratisch) mit dem Förderstrom. 4.1.2 Die reale Kennlinie mit Strömungsverlusten Nach Kap. 3 ist die wirkliche Förderhöhe um die hydraulischen Verluste in der Pumpe kleiner als die theoretische Förderhöhe, Gl. (T3.3.7). Die reale Kennlinie ergibt sich somit, wenn man die Strömungsverluste infolge Reibung und Verwirbelung von der theoretischen Förderhöhe abzieht. Häufig wurde postuliert, die Reibungsverluste wüchsen etwa quadratisch mit dem Förderstrom und die Verluste infolge Falschanströmung („Stoßverluste“) im Bestpunkt seien null, dergestalt, daß die Reibungsverluste bei q* = 1 Zr,opt = Hth,opt - Hopt = (1-ηh,opt) Hth,opt betragen. Dann würden die Reibungsverluste Zr = (1-ηh,opt) Hth,opt q*2 quadratisch mit dem Förderstrom steigen. Dabei wurde angenommen, daß die Geschwindigkeiten in der Pumpe proportional zum Förderstrom steigen. Diese Hypothese ist indessen nur bedingt erfüllt: (1) Die Relativgeschwindigkeit am Laufradeintritt ist – bei den üblichen Zuströmwinkeln von meist unter 20° – innerhalb weniger Prozent unabhängig vom Förderstrom. (2) Der Vektor der Relativgeschwindigkeit am Laufradaustritt steigt unterproportional mit dem Förderstrom. Dies ergibt sich aus Gl. (T3.2.7 u. 11), wonach w2* ≈ w2u* = 1 - γ + ϕ2,La τ2 cotβ2B geschrieben werden kann. Die in Abb. 5.15 ausgewerteten Messungen bestätigen diese Aussage, wenn man beachtet, daß w2u = u2 - c2u ist.1 (3) Die mittlere Relativgeschwindigkeit im Laufrad wav = ½ (w1 + w2) ändert sich insgesamt nur wenig mit dem Förderstrom. (4) Die Absolutgeschwindigkeit am Eintritt in die Leitvorrichtung sinkt mit dem Förderstrom, während die Geschwindigkeit im Diffusor (nach dem engsten Querschnitt 1 Nähme

man, wie in Abb. 4.1, den Abströmwinkel als unabhängig vom Förderstrom an, wäre w2 proportional zu q*.

4.1 Drosselkurve und Leistungsaufnahme

149

der Leitvorrichtung) proportional zum Förderstrom ist. Auch die Verluste im Einlaufgehäuse, in den Rückführkanälen und im Austrittsgehäuse mehrstufiger Pumpen nehmen mit dem Quadrat des Förderstromes zu. Die Verluste infolge Falschanströmung sind im Auslegungspunkt normalerweise gering; sie steigen bei q* > 1 sowie bei q* < 1 mit (q* - 1)x, wobei oft x = 2 gesetzt wurde. Diese Verluste werden in der Literatur meist als „Stoßverluste“ bezeichnet, weil die Falschanströmung der Lauf- und Leitschaufeln als Ursache betrachtet wurde. Wie in Kap. 5 gezeigt, werden die Verwirbelungsverluste − die allerdings die eigentlichen Stoßverluste infolge Falschanströmung einschließen – vorwiegend durch über die Schaufelkanäle ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilungen verursacht. Dies gilt besonders für Pumpen mit hoher spezifischer Drehzahl. Bei nq < 40 ist vor allem der Druckrückgewinn im Leitapparat durch ungleichförmige Anströmung beeinträchtigt und verursacht entsprechende Verluste. Derartige Ungleichförmigkeiten sind (in reduziertem Maße) auch im Bestpunkt vorhanden, so daß Zopt = Hth,opt - Hopt tatsächlich bereits Reibungs- und Verwirbelungsverluste umfaßt; letztere sind bei hohen spezifischen Drehzahlen (ab etwa nq > 60) sogar dominierend. Denn bei hohem nq sind die Strömungskanäle in Laufrad und Leitvorrichtung kurz im Vergleich zu ihrem hydraulischen Durchmesser (L/Dh ist klein), so daß die Reibungsverluste anteilmäßig gering sind. Sobald Teillastrückströmungen an Laufradein- und/oder -austritt erscheinen, wachsen die Verwirbelungsverluste kräftig an („Austauschverluste“). Solche Rückströmerscheinungen wurden bisher weder theoretisch noch numerisch in allgemeiner Form behandelt; man kann allenfalls empirische Koeffizienten verwenden. Eine theoretische Berechnung all dieser Verluste – und damit der realen Kennlinie – führte deshalb bis jetzt zu keinen befriedigenden Ergebnissen (rein empirische Methoden sind indessen möglich). Abbildung 4.3 zeigt qualitativ, wie sich die reale Kennlinie H(Q) aus der theoretischen Kennlinie Hth(Q) durch Abziehen aller Reibungs- und Verwirbelungsverluste ergibt. Bei q* >> 1 wachsen die hydraulischen Verluste infolge Ablösungen und großen Geschwindigkeiten in den engsten Querschnitten von Laufrad und Leitvorrichtung „exponentiell“, weshalb sich der Förderstrom bei H = 0 zu Werten verschiebt, die weit unter den aus Gl. (4.3) berechneten liegen. Dies gilt besonders auch für Pumpen mit kleiner spezifischer Drehzahl, weil die Strömung dort häufig schon wenig oberhalb des Bestpunktförderstromes im engsten Querschnitt der Leitvorrichtung kavitiert, Kap. 6. Bei hohen spezifischen Drehzahlen ist der Überlastbereich ebenfalls begrenzt, weil niedrige Druckzahlen und hohe Durchflußbeiwerte ausgeführt werden müssen, so daß der Abstand zu ϕ2,max gemäß Gl. (4.1 u. 3) zwangsläufig abnimmt. Die wirkliche Leistungsaufnahme der Pumpe ergibt sich aus der theoretischen Leistung Pth = ρ g Hth QLa zuzüglich der in Kap. 3.6 besprochenen Nebenverluste (Abb. 4.3). Während die Leckverluste in QLa bereits eingeschlossen sind, können die anderen Nebenverluste – PRR, Pm, Ps3 und Per gemäß Gl. (T3.5.1) – näherungsweise als unabhängig vom Förderstrom angenommen werden. Der Unterschied zwischen den Kurven P und Pth besteht somit aus den Nebenverlusten und – sobald Rückströmungen auftreten – der Rezirkulationsleistung PRez.

150

4 Kennlinien

Förderhöhe mit Rezirkulation

ohne Rezirkulation HLe Hth ZLa H ZLe

η

ηh η

ηh0 QLa

Qopt

P

Q(ηhMax)

P P PRec Pth

PS3

PRR

Pm+Per QLa

Abb. 4.3. Einfluß von Verlusten und Rückströmungen auf die Kennlinie

In manchen Anwendungsfällen ist es von Vorteil, wenn das Maximum der Leistungsaufnahme beim Bestpunktförderstrom, also bei q* = 1, liegt; man spricht dann von einer „nicht überlastbaren“ Kennlinie. Da das Leistungsmaximum nach Gl. (4.3) bei ϕ(Pmax) = ½ ϕ2,Max liegt, läßt sich aus dieser Gleichung der Winkel β2B ableiten, der benötigt wird, um eine nicht überlastbare Kennlinie zu erreichen: β2B = arctan

2K1 ϕopt γ

(4.6)

Wie Gleichung (4.6) zeigt, hängt der auszuführende Schaufelwinkel ab von der gewählten Durchflußzahl – und damit auch von der Laufradaustrittsbreite – sowie von der Schaufelzahl und dem Abströmbeiwert; Gleichung (4.6) ist daher iterativ zu lösen. Um eine nicht überlastbare Leistungskurve zu erhalten, sind hohe Durchflußzahlen bzw. kleine Werte für Schaufelzahl, Austrittsbreite und -winkel zu wählen. Man erhält folglich auch eine relativ steile Q-H-Kurve. Nach Gl. (4.1 u. 4.3) ergibt sich ψth = γ; bei kleinen und mittleren spezifischen Drehzahlen erge-

4.1 Drosselkurve und Leistungsaufnahme

151

ben sich also recht ungünstige Verhältnisse (Pumpe zu groß und Wirkungsgrad zu niedrig), so daß nicht überlastbare Kennlinien bei kleinen spezifischen Drehzahlen nur in Sonderfällen verlangt werden. 4.1.3 Komponentenkennlinien Mißt man den statischen Druck H2 am Laufradaustritt, lassen sich die Verluste in Laufrad und Leitvorrichtung näherungsweise ermitteln. Das Verhalten der Verluste als Funktion des Förderstromes kann auf diese Weise besser beurteilt werden. Bei Spiralgehäusepumpen lassen sich die Verluste in der Spirale und im anschließenden Diffusor durch zusätzliche Messung des statischen Druckes H3 im Endquerschnitt der Spirale bestimmen. Bei mehrstufigen Pumpen mißt man ggf. die statischen Drücke im engsten Leitradquerschnitt H3, am Diffusoraustritt H4 und im Rückführkanal H6 (s. Abb. 4.4 und Skizzen in Tafel 0.2), um den Druckrückgewinn im Leitapparat und die Einzelverluste zu ermitteln. Aus diesen Meßgrößen ergeben sich der statische Druckanstieg Hp im Laufrad, der Druckrückgewinn (H3 - H2) im Schrägabschnitt des Leitrades sowie im gesamten Leitrad (H6 - H2). Solche Untersuchungen zeigen, wieviel die einzelnen Komponenten der Pumpe zur Druckerzeugung (und damit zur Kennlinienstabilität, Kap.5) und zu den hydraulischen Verlusten beitragen.1 Engster Querschnitt Schrägabschnitt

H3

Diffusor H4

H2

d2

Abb. 4.4. Druckmeßbohrungen H2 bis H4, Schrägabschnitt am Leitradeintritt, engster Querschnitt bei H3

Die Analyse derartiger Druckmessungen innerhalb einer Pumpe geschieht in folgenden Schritten: 1. Der hydraulische Wirkungsgrad ηh ergibt sich aus Gl. (T3.5.8), wozu die Nebenverluste nach Tafel 3.5 bis 3.7 zu ermitteln sind. Die Rechnung nach Gl. (T3.5.8) ist nur gültig, solange keine Rückströmungen auftreten, weil diese in der Impulsbilanz nicht berücksichtigt werden können, ohne die rezirkulierenden Ströme und ihre Geschwindigkeiten zu kennen (im Arbeitsbereich mit Rückströ1 Die

Genauigkeit der Messungen ist indes oft begrenzt, weil die Druckverteilung über den Laufradumfang bei Teillast variiert. Die Variation ist bei Leiträdern zwar gering, aber sehr groß bei Spiralgehäusen, bei denen mehrere Meßbohrungen nötig sind, um sinnvolle Ergebnisse zu erhalten. Die Laufrad- und Leitradverluste ergeben sich zudem jeweils als kleine Differenz zweier großer Zahlen, und haben entsprechend hohe relative Fehler.

152

4 Kennlinien

mung würden sich für c2u sonst unrealistisch hohe Werte ergeben). Bei tiefer Teillast rechnet man deshalb besser mit konstantem Abströmbeiwert γ < 1. 2. Mit ηh erhält man c2u aus Gl. (T3.2.8). Nach Tafel 3.1 und 3.2 lassen sich sodann alle Komponenten der Ein- und Austrittsdreiecke berechnen. 3. Die Laufradverluste ergeben sich als Differenz von Hp,th und der gemessenen Erhöhung des statischen Druckes Hp = H2 - H1 gemäß Gl. (T3.3.8) aus: ZLa =

)

(

1 2 u 2 − u12 + w12 − w 22 − H p 2g

(4.7)

4. Die Leitradverluste erhält man, indem man die Bernoulli’sche Gleichung (1.7) zwischen Laufrad- und Leitradaustritt ansetzt: Z Le =

(

)

1 2 c 2 − c62 − (H 6 − H 2 ) 2g

(4.8)

dabei ist H6 - H2 die gemessene statische Druckerhöhung im Leitrad. Die Ergebnisse interner Druckmessungen seien im folgenden anhand von drei Beispielen erläutert. Abbildung 4.5 zeigt Versuche an Leitradpumpen mit spezifi0,14

1,3 1,2 1,1

0,12

ψ

1

λ

λ 0,1

0,9 0,8

0,08

0,7

ψp

0,6

0,06

0,5 0,4

n q = 22 n q = 33

ψ 2-6

0,3

0,04

0,2

0,02

0,1 0

0

0,4 0,3

ψ 2-3

0,2

ψ 3-4

0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 0,5 0,4

ζ Le

0,3

ζ La

0,2 0,1 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

q*

Abb. 4.5. Komponentenkennlinien von Leitradpumpen mit nq = 22 und 33 [5.2]

4.1 Drosselkurve und Leistungsaufnahme

153

schen Drehzahlen von nq =22 und 33. Mit u22/2g dimensionslos gemachte Druckhöhen sind hier über q* aufgetragen. Der Reaktionsgrad im Bestpunkt liegt nahe bei RG = 0,75. Während die Druckzahl gegen Q = 0 abflacht, steigt der Spaltdruck Hp bei beiden Laufrädern unterhalb q* = 0,3 kräftig an; dies ist, wie in Kap. 5 erläutert, durch die Rezirkulation am Laufradeintritt bedingt. Im Schrägabschnitt des Leitrades ist bei q* < 1 ein großer Druckanstieg ψ2-3 zu verzeichnen; er macht bei nq = 33 gut 10% der Nullförderhöhe aus und erreicht bei nq = 22 sogar 17%. Bei voll ausgebildeter Rezirkulation am Laufradaustritt erfolgt also ein Druckanstieg im Leitrad, der im Schrägabschnitt am Eintritt entsteht. Der Druckrückgewinn im eigentlichen Diffuser (H4 - H3) wird erst bei q* > 1 wirksam; er steigt dann etwa quadratisch mit dem Förderstrom. Die Leitradverluste ζLe steigen gegen Q = 0 markant. Hingegen hängen die Laufradverluste ζLa bei q* < 1 wenig vom Förderstrom ab (kein Anstieg gegen Q = 0). Abbildung 4.6a zeigt Messungen an einem Laufrad nq = 33, das zunächst mit einem Leitrad und sodann mit einer Doppelspirale kombiniert wurde. Auffallend ist, daß die Spirale wesentlich schwächer auf die Laufradströmung zurückwirkt als das Leitrad: Leistungsaufnahme und Spaltdruck sind bei Teillast kleiner. Wichtig ist auch die Erkenntnis, daß die Ablösung in der Spirale ähnlich auftritt wie im Leitrad (der engste Querschnitt der Spirale war etwa 10% kleiner als im Leitrad), und daß auch in der Spirale bei Q = 0 ein Druckanstieg erfolgt. Wieder steigen die Verluste in der Spirale gegen Q = 0, während wir am Laufradeintritt keine wesentlichen Stoßverluste erkennen. Der Druckrückgewinn im (an den engsten Querschnitt anschließenden) Diffusor (H4-H3) ist bei niedriger Last gering. 1,2

a

1,1

Leitrad Spirale

1 0,9

0,25

1,4

λ

1,3

0,2

1,2

ψ

0,8

ψp

0,7

0,15

ψ

0,14

Leitrad glatter Leitring

b

q*=0 0,12 λ 0,1

ψ

1,1 1

0,8

λ

0,5

0,1

0,4

0,7

λ

Austrittsrezirkulation

0,06

0,05

0,2

0

0 0,3

ψ2-3

0,2

0,04

Eintrittsrezirkulation

0,4

ψ2-6

0,1

0,5

0,02 Eintrittsrezirkulation

1

ψp

0,8 0,7

ψ3-4

0

c2m

1,1

0,9

0,1

q*=0,5 c2m q*=1,0

0,6

0,3

q*=0,25 c2m

0,08

0,9

0,6

c2m

0,6

-0,1

0,5

0,5

0,4

0,4

ζLe

0,3

0,3

0,2

0,2

0,1

0,1

0 -0,1

0

ζLa 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

q*

-0,1

0

ψ2-3

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

q*

Abb. 4.6. Einfluß der Leitvorrichtung auf die Komponentenkennlinien bei gleichem Laufrad, nq = 33: a: Vergleich zwischen Spirale und Leitrad, [5.2]; b: Vergleich zwischen glattem Leitring und beschaufeltem Leitrad, [B.20]

154

4 Kennlinien

Er steigt etwa mit dem Quadrat des Förderstromes wie in einem Diffusor in einer Rohrleitung; dies bestätigen auch Messungen in [5.34]. In einem Spiralgehäuse mit nur ein oder zwei Spornen in großem Abstand vom Laufrad müssen Verluste infolge Falschanströmung offensichtlich wesentlich kleiner sein als in einem Leitrad, bei dem 8 bis 12 Schaufeln in dichtem Abstand zum Laufrad angeordnet sind. Dennoch sind die Verluste in beiden Leitapparaten sehr ähnlich (Abb. 4.6a). Aus diesem Befund läßt sich folgern, daß Ablösungen infolge zu großer Verzögerung (von c2 auf c3q) im Schrägabschnitt des Leitrades bzw. der Spirale für die Verluste im Leitapparat weit mehr verantwortlich sind als Stoßverluste infolge Falschanströmung. Abbildung 4.6b zeigt Messungen an einem Laufrad nq = 33, das mit einem Leitrad bzw. mit einem glatten Leitring kombiniert wurde. Die Rückwirkung des Leitringes auf das Laufrad und der Druckanstieg im Leitring bei Q = 0 sind wesentlich geringer als bei Leitrad oder Spirale; somit verlaufen auch die Gesamtkennlinie und die Leistungsaufnahme bei beiden Versuchen ganz verschieden. Die Versuche in Abb. 4.5 und 4.6 gelten qualitativ weitgehend für alle Kreiselpumpen; weitere Beispiele hierzu finden sich in Abb. 5.30, 5.31 u. 5.34 sowie in [B.20] u. [5.19]. Ganz ähnliche Komponentenkennlinien wurden in Messungen an Radialverdichtern gefunden, [5.33]. Die Auswertung einer großen Zahl Komponentenkennlinien ergab: • Die Gesamtkennlinie wird in dem Bereich flach, wo die Kurve des Druckanstieges im Schrägabschnitt des Leitrades bzw. in der Spirale abflacht. • Die Rezirkulation aus dem Leitapparat hat einen Einfluß auf die statische Druckerhöhung im Laufrad. • „Stoßverluste“ infolge Falschanströmung bei Teillast sind an Laufrädern kaum nachweisbar, weil sich die Strömung infolge Rezirkulation den Schaufeln weitgehend anpaßt. • Allgemein sind Komponenten mit ∂H/∂Q < 0 stabilisierend; dazu gehören meist die statische Druckerhöhung im Laufrad und der Schrägabschnitt des Leitrades, solange die Strömung nicht ablöst. Dagegen wirken Komponenten mit ∂H/∂Q > 0 destabilisierend auf die Kennlinie; hierzu gehört grundsätzlich der eigentliche Diffusor, der sich an den engsten Querschnitt des Leitrades oder der Spirale anschließt. In Abb. 4.7 sind die aus internen Druckmessungen ermittelten Verluste über dem Fördergrad q* für Pumpen mit nq = 16, 33 und 155 dargestellt; der Charakter der Kurven ist ähnlich wie in Abb. 4.5 und 4.6. Diese Auswertungen zeigen folgende Merkmale, die charakteristisch für eine Vielzahl ähnlicher Messungen sind: • Der Laufradverlust im Bestpunkt steigt mit der spezifischen Drehzahl. Das liegt primär daran, daß Verwirbelungsverluste und Sekundärströmungen mit zunehmender Schaufelhöhe infolge ungleichförmiger Geschwindigkeits- und Druckverteilungen wachsen.

4.1 Drosselkurve und Leistungsaufnahme

155

• Die Verluste im Leitapparat fallen im Bestpunkt mit steigender spezifischer Drehzahl, weil dort mit zunehmendem nq weniger Energie umgesetzt wird bzw. weil c2/u2 sinkt. • Als Funktion des Förderstromes steigen die Verluste im Leitapparat – von einem Minimum in Bestpunktnähe – bei Teillast und Überlast etwa parabelförmig an, wie das der Vorstellung über die „Stoßverluste“ entsprechen würde. Es handelt sich hierbei aber weniger um Verluste infolge Falschanströmung der Leitschaufeln oder des Spornes, sondern vielmehr um Verluste, die dadurch entstehen, daß die Querschnitte im Leitapparat nicht zu dem Geschwindigkeitsvektor am Laufradaustritt passen: c3q = Q/(zLe a3 b3) << c2. Dies bedeutet eine sprunghafte Verzögerung. Sie verursacht gleichzeitig sowohl einen kräftigen Druckanstieg H3-H2 im Schrägabschnitt des Leitradeintrittes als auch große Verwirbelungsverluste sobald die optimale Verzögerung im Schrägabschnitt überschritten wird (vgl. hierzu Abb. 4.5 und 4.6 q* = 0,4 bis 1). Das Optimum dieser Verzögerung dürfte etwa bei c3q/c2 = 0,8 liegen. Der Druckanstieg kurz hinter den Leitschaufeleintrittskanten spricht gegen die Hypothese, Stoßverluste infolge Falschanströmung der Schaufeln seien maßgebend für das beobachtete Verhalten. • Die Ungleichförmigkeit der Laufradabströmung trägt wesentlich zu diesen Verlusten bei. • Die Leitradverluste erreichen bei Q = 0 den größten Wert: ein großer Anteil der hohen kinetischen Energie am Laufradaustritt wird durch Impulsaustausch verwirbelt. Der Impulsaustausch wird um so intensiver, je stärker das Fluid durch Strukturen daran gehindert wird, frei mit dem Laufrad zu rotieren: ein glatter Zylinder um das Laufrad würde nur geringe Reibungsverluste erzeugen, ein Ringraum ergibt bereits – wegen des vorhandenen Wasservolumens – einen größeren Impulsaustausch; die Austauschleistung steigt weiter, wenn das Laufrad in eine Spirale fördert, und erreicht bei der Kombination mit einem Leitrad den höchsten Wert, weil die nahe dem Laufradaustritt gegenüberstehenden Leitschaufeln die Rotation der Flüssigkeit am stärksten behindern und so die größten Geschwindigkeitsgradienten und den stärksten Impulsaustausch hervorrufen; dies bestimmt weitgehend die Leistungsaufnahme bei Q = 0. • Die Laufradverluste hängen in einem weiten Bereich nur wenig vom Förderstrom ab; sie steigen meist in etwa linear mit dem Durchsatz und erreichen bei Q = 0 tendenziell ein Minimum (s. hierzu z.B. [5.34]). Stoßverluste sind – relativ schwach ausgeprägt – nur bei sehr hohen spezifischen Drehzahlen festzustellen (vgl. nq = 155 in Abb. 4.7). Wenn am Laufradeintritt Rückströmung einsetzt, sinken die Stoßverluste mit fallendem Förderstrom wieder. Große Stoßverluste scheinen also nicht aufzutreten, weil die Falschanströmung bzw. die Verzögerung von w1 auf w1q durch Einsetzen der Rezirkulation abgebaut werden. (Es handelt sich um eine Art „Selbstheilungseffekt“, der sich nach dem Prinzip des kleinsten Zwanges einstellt.) Die Unterschiede zwischen einer Falschanströmung mit positivem und negativem Anstellwinkel seien anhand von Abb. 4.8 betrachtet. Bei positivem Anstell-

156

4 Kennlinien

0,2

nq = 155

ζLa 0,1

nq = 33 nq = 16

0 1

ζLe

0,8

0,6 nq = 155

nq = 16

0,8

1,2

nq = 33

0,4 0,2 0 0

0,2

0,4

0,6

1

1,4

1,6

q*

Abb. 4.7. Laufrad- und Leitradverluste bei verschiedenen spezifischen Drehzahlen, Sulzer Pumpen AG

winkel (linkes Bild) bildet sich kurz hinter der Eintrittskante eine lokale Ablösezone auf der Schaufelsaugfläche. Der Querschnitt zwischen den Schaufeln ist wegen q* << 1 aber zu groß, so daß die Strömung verzögert werden muß. Diese Verzögerung kann stromabwärts des lokalen Totwassers erfolgen, da bis zum Erreichen des engsten Querschnittes genügend Länge zur Verfügung steht. Das Totwasser wirkt wie eine Profiländerung, der sich die Stromlinien häufig noch gut anpassen können. Selbst wenn das Totwasser einen Teil des engsten Querschnittes versperrt, wird die Strömung im Mittel noch verzögert. Ganz anders liegen die Verhältnisse bei negativem Anstellwinkel (rechtes Bild): Die Ablösezone versperrt unmittelbar den engsten Querschnitt, der bei q* > 1 ohnehin zu klein ist. Das Fluid wird folglich im Mittel beschleunigt und der statische Druck sinkt entsprechend. Selbst wenn die Strömung hinter dem örtlichen Totwasser einigermaßen geordnet verzögert wird, steigen die Verluste im Diffusor mindestens mit dem Quadrat der durch die Versperrung verursachten Erhöhung der effektiven Geschwindigkeit c3q,eff (gegenüber dem nominalen Wert c3q ohne Querschnittsversperrung). Nach Kap. 1.6 können wir für ein Leitrad ansetzen: ZLe,eff ZLe

§ c3q,eff =¨ ¨ c3q ©

2

· (1 − cp,eff ) ¸ ¸ (1 − cp ) ¹

(4.8a)

Diese Überlegungen gelten für den Laufradeintritt ebenso wie für Leiträder oder Spiralgehäuse. Wie in Kap. 6 behandelt wird (und durch Messungen bestätigt), sind die Verhältnisse ganz ähnlich, wenn die durch die Falschanströmung verursachte Ablösezone nicht mit Flüssigkeit („Totwasser“) sondern mit Dampf gefüllt ist, wie das bei der Kavitation der Fall ist. Zusammenfassend sei festgehalten, daß die plötzliche Verzögerung von c2 auf c3q im Leitapparat die Verluste bei Teillast und damit die Form der Kennlinie wesentlich beeinflußt: außer im Bestpunktbereich sind die Verluste im Leitapparat

4.1 Drosselkurve und Leistungsaufnahme

157

bei Teillast wesentlich größer als die Laufradverluste (es gilt ZLe >> ZLa). Die Laufradverluste sind für die Teillastkennlinie hingegen (von Ausnahmefällen abgesehen) eher unbedeutend. Die Laufradform übt aber sehr wohl einen maßgebenden Einfluß auf die Rückströmung und die Kennlinie aus, Kap. 5. b)

a)

c2

q* < 1

c2

q* > 1

Abb. 4.8. Wirkung lokaler Ablösungen auf Strömung am Eintritt in Laufrad oder Leitrad. a Anstellwinkel positiv: Verzögerung hinter Totwasser (im engsten Querschnitt wenig Einfluß); b Anstellwinkel negativ: Totwasser versperrt Teil des engsten Querschnitts, Strömung wird beschleunigt.

4.1.4 Förderhöhe und Leistungsaufnahme beim Betrieb gegen geschlossenen Schieber Die Förderhöhe bei geschlossenem Druckschieber also bei Q = 0 („Nullförderhöhe“) bestimmt häufig den Berechnungsdruck der Druckleitung und stellt somit einen wichtigen Parameter dar (der nicht selten vom Pumpenhersteller zu garantieren ist). Die Nullförderhöhe läßt sich mittels der Druckzahlen ψo in Abb. 3.21 abschätzen. Sie erreicht bei Leitringen und Ringräumen bei gegebenem Laufrad die niedrigsten Werte und ist bei Leitradpumpen größer als bei Spiralgehäusen, weil der Impulsaustausch – und damit die Energieübertragung beim Betrieb mit Q = 0 – zwischen Laufrad und Leitapparat durch die Leitschaufeln bzw. den Spiralensporn verstärkt wird. Die Nullförderhöhe steigt (bei sonst gleichen Parametern) mit wachsender Laufradaustrittsbreite (für weitere Einflußparameter s. Kap. 5). Wie in Kap. 5 ausführlich behandelt, treten bei niedriger Teillast Rückströmungen an Laufradein- und -austritt auf, die beim Betrieb gegen geschlossenen Schieber, d.h. bei Q = 0, ihre größte Intensität erreichen. Am Laufradeintritt stellen sich nach Abb. 4.9 typische Geschwindigkeitsprofile ein, die qualitativ weitgehend unabhängig von der spezifischen Drehzahl und den Laufradparametern sind. Mit zunehmender Rückströmung – gekennzeichnet durch negative Meridiangeschwindigkeiten im Bereich der äußeren Stromlinie – wächst die im Saugraum gemessene Umfangskomponente, weil im Laufrad ein Impulsmoment an das rückströmende Fluid übertragen wird. Der Drall des rezirkulierenden Fluids wird im Saugraum teilweise dissipiert, wodurch sich die Verluste in der Pumpe vergrößern (Verwirbelungsverluste, Austauschleistung). Integriert man über das Rezirkulationsgebiet, erhält man den Strom rückströmenden Fluids und das Impulsmoment.

158

4 Kennlinien

QRez = 2 π ³ c1m r dr

(4.9)

MRez = 2 π ρ ³ c1m c1u r2 dr

(4.10)

Die Rezirkulationsleistung PRez = ω MRez sei als Leistungszahl λ1,Rez ausgewertet: λ1,Re z =

2 PRe z ρ u13r12

(4.11)

Der Strom rückströmenden Fluids werde als Durchflußzahl definiert: ϕ1,Re z =

Q Re z A1u1

(4.12)

Eine Auswertung verschiedener Messungen an radialen und axialen Laufrädern im Bereich 20 < nq < 200 zeigt: • Die Rezirkulationsleistung am Laufradeintritt nach Gl. (4.11) steigt vom Beginn der Rezirkulation mit abnehmendem Förderstrom etwa linear, bis bei Q = 0 der Betrag λ1,Rez,o = 0,21 ± 0,01 erreicht wird. Dieser Wert ist praktisch unabhängig vom Laufrad bzw. von der spezifischen Drehzahl. Folglich läßt sich Gl. (4.11) mit λ1,Rez,o verwenden, um die Rezirkulationsleistung am Laufradeintritt abzuschätzen. • Der Durchflußbeiwert ϕ1,Rez rückströmenden Fluids gemäß Gl. (4.12) steigt ab Rezirkulationsbeginn etwa linear gegen einen Maximalwert bei Q = 0. Dieser Wert hängt von der Laufradgeometrie bzw. von der spezifischen Drehzahl ab. In Abb. 4.9 beträgt er bei Q = 0 etwa ϕ1,Rez = 0,08. Die ausgewerteten Versuche ( nq = 20 bis 220) lagen im Bereich ϕ1,Rez = 0,05 bis 0,1.

c1m /u1

0.2 0 -0.2

q* 0.1 0.28 0.43 0.53 0.66 0.95

-0.4 0.6

c1u /u1

0.4 0.2 0 0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

r/rm

Abb. 4.9. Geschwindigkeitsprofile am Laufradeintritt einer Axialpumpe, nq = 213 [5.18]

4.1 Drosselkurve und Leistungsaufnahme

159

Zu der Rezirkulationsleistung am Laufradeintritt kommen noch die Austauschleistung am Laufradaustritt und die Nebenverluste. Die Summe all dieser Anteile ergibt die Leistungsaufnahme bei geschlossenem Schieber, die als Leistungszahl λo in Abb. 4.10 aufgetragen wurde (Definition in Gl. (T3.4.9)). Mit d2b = ½ (d2a + d2i) und b2 = ½ (d2a - d2i) läßt sich diese Leistungszahl auch auf axiale Laufräder anwenden. Der Anteil der Austauschleistung an der gesamten Leistungsaufnahme bei Q = 0 wächst von etwa 50 % bei nq = 10 bis über 95 % bei nq = 250. Leitradpumpen mit nq > 20 nehmen bei Q = 0 tendenziell mehr Leistung auf als Pumpen mit Spiral- oder Ringgehäuse, weil die hohe Leitschaufelzahl (meist 7 bis 12) und der geringe Abstand zum Laufrad die Rotation des Fluids im Leitapparat behindern und somit den Impulsaustausch verstärken (s.o.). Bei stark abgedrehten Laufrädern vergrößert sich der Abstand zwischen Lauf- und Leitschaufeln (bzw. Spornen) und λo sinkt entsprechend. Bei ungewöhnlich großen Laufradaustrittsbreiten, wie sie z.B. bei Abwasser- oder Baggerpumpen ausgeführt werden, sinkt λo, weil Po offensichtlich weniger als proportional zur Austrittsbreite wächst. Die dimensionslose statische Druckhöhe am Laufradaustritt bei Q = 0 ergibt sich nach Gl. (T3.3.12) mit w12 = u12 + c12 und c1 = 0 zu ψp,o = 1 – (w2/u2)2 - ζLa. Nach Kap. 5 und Abb. 5.15 ist w2/u2 im Bereich von 0,3 bis 0,5 zu erwarten; folglich wäre ψp,o = (0,75 bis 0,91) - ζLa zu vermuten. Bei Verzögerung auf w2 = 0 (physikalisch unmöglich) und verlustloser Strömung ergäbe sich ψp,th,o = 1 als obere Grenze. An Leitradpumpen (nq < 35) gemessene Werte liegen im Bereich ψp,o = 0,8 bis 1; sie deuten auf geringe Laufradverluste bei Q = 0. Verlustfrei gilt für die Druckzahl bei Q = 0 nach Gl. (T3.3.10) mit γ = 1: ψth,o,max = 2. Der minimale hydraulische Wirkungsgrad wird damit: ηh,o,min = ψo /ψth,o,max = ½ ψo. Liegt der Abströmbeiwert γ unter 1, ist ηh,o entsprechend größer. 1 Leitradpumpen (radial und halbaxial) Spiralgehäusepumpen Abwasserpumpen

λ0

0,1

λ0 =

2P ρ π d 2b b2u32a

1 Axialpumpe: b2 = 2 (d 2a − d 2i )

d 2b = 0,01

10

100

1 2

(d 2a + d 2i ) nq

Abb. 4.10. Leistungsaufnahme bei Betrieb gegen geschlossenen Schieber

1000

160

4 Kennlinien

Für den Druckrückgewinn im Leitrad wurden für nq < 35 folgende Werte gemessen: (H3 - H2)/Ho = 0,08 bis 0,29 und (H6 - H2)/Ho = 0,12 bis 0,31 [B.20]. Im Leitrad erfolgt also auch bei Q = 0 infolge Impulsaustausch ein Anstieg des statischen Druckes – allerdings fast ausschließlich im Schrägabschnitt. 4.1.5 Einfluß der Pumpengröße und der Drehzahl Die in Kap. 3.4 abgeleiteten Ähnlichkeitsgesetze für geometrisch ähnliche Pumpen gelten für jeden beliebigen Förderstrom (d.h. jeden beliebigen Anstellwinkel): die auf die Umfangsgeschwindigkeit bezogenen Ein- und Austrittsdreiecke nach Abb. 3.5 und 4.1 sind unabhängig von Drehzahl und Pumpengröße; zu jeder beliebigen Durchflußzahl ϕ gehört eine bestimmte Druckzahl ψth. Da die Reynoldsund rauhigkeitsabhängigen Reibungsverluste nur einen kleinen Anteil an den hydraulischen Verlusten ausmachen, ist der hydraulische Wirkungsgrad innerhalb weniger Prozent unabhängig von Größe und Drehzahl, so daß ψ = f(ϕ) für geometrisch ähnliche Pumpen in erster Näherung eine universelle Kennlinie darstellt. Bei den Nebenverlusten können sich bei der Umrechnung auf andere Drehzahl oder Größe höhere Abweichungen ergeben, die aber nur in seltenen Fällen 5 % erreichen. Die Ähnlichkeitsgesetze nach Tafel 3.4 können folglich mit genügender Genauigkeit verwendet werden, um die Kennlinien einer Pumpe auf beliebige Drehzahlen oder Laufradgrößen umzurechnen, wobei man in der Regel eine Formel für die Wirkungsgradaufwertung einschließt (s. Tafel 3.9). Bei Fördermedien mit hoher Zähigkeit (wie z.B. Schweröl) oder gar Zweiphasengemischen sind jedoch Korrekturen nötig (Kap. 13). 4.1.6 Einfluß der spezifischen Drehzahl auf die Kennlinienform Bildet man in Abb. 3.21 das Verhältnis der Druckzahlen beim Betrieb gegen geschlossenen Schieber zum Bestpunkt, ist zu erkennen, daß ψo/ψopt = Ho/Hopt mit wachsender spezifischer Drehzahl zunimmt, Abb. 4.11. Das liegt daran, daß die erreichbare Druckzahl im Bestpunkt stärker mit der spezifischen Drehzahl fällt als der Nulldruck, der weitgehend durch Rückströmungen und Impulsaustausch bestimmt wird (Kap. 5). Das Verhältnis Po/Popt der Leistungsaufnahme beim Betrieb mit Q = 0 zur Leistung im Auslegungspunkt steigt von Werten um 0,5 bei kleiner spezifischer Drehzahl auf über 2 bis 4 bei Axialpumpen. Die Wirkungsgradkurven in Abb. 4.11 werden mit zunehmender spezifischer Drehzahl spitzer, weil die Verluste infolge ungleichförmiger Geschwindigkeitsverteilung über die Schaufel- und Kanalhöhen an Bedeutung gewinnen.

4.2 Bestpunktlage

2,0

161

nq = 100 80

H Hopt

70

nq = 250 60

50

1,5

3 P Popt 20

30

40

1,0 η ηopt 0,5

2 nq = 20 40 60 80

nq = 250 nq = 150

nq = 250

100

1

nq = 100 nq = 50 0 0

nq = 20

0 0,5

1,0

q*

1,5

0

0,5

1,0

q*

1,5

Abb. 4.11. Einfluß der spezifischen Drehzahl auf die Kennlinienform

4.2 Bestpunktlage Gemäß Kap. 3.7 hat das Fluid die Tendenz, nach dem Laufrad sein Impulsmoment (seinen „Drall“) ρ Q r2 c2u beizubehalten. Wie die Erfahrung lehrt, werden die Verluste daher in etwa minimal, wenn das Spiralgehäuse so ausgelegt wird, daß das Fluid im Auslegepunkt nach dem Drallsatz cu r = c2u r2 strömt. Das bedeutet, daß die Spiralquerschnitte – insbesondere der Endquerschnitt – entsprechend Gl. (3.15) zu wählen sind. Wird c2u aus Gl. (T3.2.8) in Gl. (3.15) eingesetzt, erhält man die Leitapparat-Charakteristik als lineare Beziehung HLe = f(QLe) gemäß Tafel 4.1, Gl. (T4.1.1). Der Schnittpunkt dieser „Leitradgeraden“ mit der Laufradcharakteristik nach Gl. (T3.3.7 bzw. 11) liefert den Förderstrom, bei dem der Drallsatz im Endquerschnitt erfüllt wird und bei dem – theoretisch – der maximale Wirkungsgrad zu erwarten ist. Gleichung (T4.1.3) liefert diesen Bestpunktförderstrom (kurz: „Bestpunkt“), Abb. 4.12. Gleichung (T4.1.3) läßt sich auch unmittelbar aus Gl. (3.15) ableiten: Q = c2u r2 Jsp mit c2u aus Gl. (T3.2.7) liefert direkt Gl. (T4.1.3). Die Leitradcharakteristik kann nicht gemessen werden und hat einen Sinn nur in Bestpunktnähe. Sie ist dann nützlich, wenn es gilt, die Bestpunktverschiebung infolge einer Änderung des Endquerschnittes einer Spirale oder des engsten Leit-

162

4 Kennlinien

Tafel 4.1 Leitapparatgerade und Bestpunktlage Dimensionsbehaftete Darstellung

Dimensionslose Darstellung

Gl.

Q La = Q + Q s1 + Q s 2 + Q E

Q Le = Q + Q s3 + Q E

u 2 H Le = ηh 2 g

­° Q c d* ½° Le − 1u 1m ¾ ® u2 °¯ u 2 r2 J sp °¿

QLa τ2 c d* ½° u 2 ­° H = ηh 2 ®γ − − 1u 1m ¾ g °¯ fq A2 u2 tanβ2B u2 °¿ Q opt ,th =

ηv f q A 2 u 2 γ

* ½ ­° 2 π b 2 f q ϕ2 Q Le − c1u d1m ° ψ Le = 2ηh ® ¾ J sp Q u2 °¯ °¿ 4.1.1

­° ϕ τ c d* ½° ψ = 2ηh ®γ − La 2 − 1u 1m ¾ tanβ2B u2 °¿ °¯ ϕ opt ,th =

2 π b 2 f q Q Le τ2 + tanβ 2B J sp Q La V2

4.1.2

f q ηv γ 2 π b 2 f q Q Le τ2 + tanβ 2B J sp Q La

4.1.3

V1

C B A

L a u fra d 2 L a u fra d 1

QA

QB

Abb. 4.12. Lage des Wirkungsgradoptimums

radquerschnitts zu bewerten. So würde gemäß Abb. 4.12 eine Reduktion des Bestpunktförderstromes von QB auf den Punkt C (bei Laufrad 2) durch eine Verkleinerung des Spiralquerschnittes erreicht, wobei sich die Leitapparatgerade von V1 auf V2 ändern würde. Zwei verschiedene Laufräder (Laufrad 1 und 2 in Abb. 4.12) in einem gegebenen Gehäuse hätten ihre Bestpunkte QA und QB dagegen auf derselben Leitapparatgeraden V1. Führt man solche Berechnungen für eine gegebene Pumpe durch, setzt man tunlich den aus dem Versuch nach Gl. (T3.2.9) zurück gerechneten Abströmbeiwert ein. Die Berechnung nach Gl. (3.15) und Tafel 4.1 kann sowohl für Leiträder als auch für Spiralgehäuse durchgeführt werden. Für Leiträder und Spiralen mit Rechteckquerschnitt gilt: § 2 a3 J sp = z Le b 3 ln ¨¨1 + d 3 + 2 e3 ©

· ¸ ¸ ¹

(4.13)

Bei einer Spirale mit Kreisquerschnitt, dessen Radius r3q ist, wird das Integral:

4.2 Bestpunktlage

­ ° J sp = 2 π z Le rz ®1 + ° ¯

r3q rz

− 1+ 2

½ r3q ° ¾ rz ° ¿

163

(4.13a)

Der wirklich gemessene Bestpunkt liegt erfahrungsgemäß in der Nähe des theoretischen Wertes nach Gl. (T4.1.3). Gemäß der Definition η = Pu/P = Pu/(Pu + ΣPv) = 1/(1 + ΣPv/Pu) erreicht der Wirkungsgrad offensichtlich dann sein Maximum, wenn das Verhältnis aller Verluste zur Nutzleistung ΣPv/Pu minimal wird. Angesichts der verschiedenen Verlustarten (Kap. 3.6 u. 3.7) und der Wechselwirkung zwischen Hauptströmung, Radseitenraumströmung, Radreibungs- und Leckverlusten ist es eher ein „Zufall“ als ein streng ableitbares physikalisches Gesetz, daß die Bestpunktlage in etwa durch den Schnittpunkt der Leitradgeraden mit der Laufradkennlinie beschrieben werden kann. Daß die Leitapparatgerade die Verhältnisse recht gut beschreibt, erklärt sich auch daraus, daß die Leitradverluste im Bereich des Auslegungspunktes gemäß Abb. 4.7 ein ausgeprägtes Minimum aufweisen, während sich die Laufradverluste ganz anders verhalten (vgl. hierzu auch Abb. 4.5 bis 4.7). Mit wachsenden Strömungsverlusten verschiebt sich der Bestpunkt zu kleineren Förderströmen. Dieser Befund wird durch die Modellvorstellung der Leitapparat-Charakteristik nicht wiedergegeben; denn der hydraulische Wirkungsgrad kommt in Gl. (T4.1.3) nicht vor: Gleichung (T4.1.3) liefert lediglich den Volumenstrom, bei dem der Drallsatz im engsten Querschnitt des Leitapparates bei einer bestimmten Umfangsgeschwindigkeit c2u (nämlich dem c2u bei Hopt,th) erfüllt ist. Gleichung (T.4.1.3) enthält keinerlei Aussagen über Strömungsverluste. Bei sehr hohen hydraulischen Verlusten, wie sie z.B. bei der Förderung hochviskoser Medien auftreten, versagt die Rechnung nach Tafel 4.1 (dennoch liegen die Bestpunkte auch dann noch in etwa auf der Leitapparatgeraden, wie in Kap. 13.1 gezeigt). Die Lage des Wirkungsgradoptimums hängt von folgenden Parametern ab: • Bei kleinen spezifischen Drehzahlen wird die Lage des Bestpunktes weitgehend durch den engsten Querschnitt des Leitapparates bestimmt, weil die Verluste in Spirale oder Leitrad gegenüber den Laufradverlusten überwiegen. • Oberhalb etwa nq > 75 wird der Bestpunkt zunehmend durch den Förderstrom bei stoßfreiem Eintritt in das Laufrad beeinflußt, weil nun die Laufradverluste an Bedeutung gewinnen. Nach Abb. 4.7 spielen die Verzögerungsverluste im Leitrad bei q* < 1 ebenfalls eine Rolle. • Die Rechnung gilt streng nur für die eigentliche Spirale, weil die Strömungsverluste im anschließenden Diffusor/Druckstutzen nicht berücksichtigt sind. Je größer diese Verluste werden, desto mehr liegt der wirkliche Bestpunkt links vom theoretischen Wert nach Tafel 4.1. Das gleiche gilt für Leiträder: auch hier gilt der Rechenansatz nur bis zum engsten Leitradquerschnitt. Hieraus folgt: sind der Spirale Komponenten nachgeschaltet, die große Verluste verursachen, empfiehlt sich eine leichte Überdimensionierung der Spirale, damit die kinetische Energie am Eintritt in den Diffusor verkleinert und dessen Verluste somit reduziert werden.

164

4 Kennlinien

• Wegen der kurzen Lauflänge kann sich die Strömung im Schrägabschnitt eines Leitrades weniger nach dem Drallsatz ausbilden als in einer Spirale, so daß bei Leiträdern größere Abweichungen gegenüber der Berechnung zu erwarten sind als bei Spiralen. Die Verluste in den Rückführkanälen tragen hierzu bei. • Örtliche Querschnittserweiterungen im Bereich des Endquerschnittes einer Spirale wirken sich nur bedingt auf die Bestpunktlage aus, wenn der Rest der Spirale zu eng ist. Ebensowenig kann der Bestpunkt mittels einer örtlichen Verengung zu einem kleineren Förderstrom verschoben werden, ohne daß man den Rest der Spirale entsprechend anpaßt. (Eine örtliche Verengung wäre vergleichbar mit einer Venturidüse, die den Durchsatz durch ein langes Rohr nur geringfügig beeinflußt.) Mitunter werden (a) verschiedene Laufräder in einem gegebenen Gehäuse eingesetzt oder auch (b) ein gegebenes Laufrad in modifizierten oder unterschiedlichen Gehäusen verwendet. Beide Fälle seien anhand der in Abb. 4.13 und 4.14 dargestellten Versuche erläutert: (a) Die Kurven 1 bis 3 zeigen Messungen von verschiedenen Laufrädern im gleichen Spiralgehäuse, wobei Spirale und Laufrad nach Kurve 1 für nq = 16 und 280 m3/h ausgelegt wurden. Das Laufrad nach Kurve 2 wurde dagegen für nq = 21 und 500 m3/h entworfen; es bringt in einem für diese Werte bemessenen Gehäuse Kennlinie 4. Laufrad nach Kurve 3 schließlich wurde für nq = 13 und 180 m3/h ausgelegt. Die Bestpunkte dieser unterschiedlichen Laufräder liegen nahe beim Schnittpunkt der Laufradkennlinien mit der Leitapparatgeraden nq = 16; die sich ergebenden Bestpunkte liegen sehr nahe bei nq = 16, obwohl die Laufräder für nq = 13, 16 und 21 dimensioniert wurden. Das Gehäuse bestimmt also bei kleinem nq weitgehend den Bestpunkt – die Laufradverluste spielen eine untergeordnete Rolle. Immerhin liegt der Bestpunkt des überdimensionierten Laufrades wenige Prozent rechts vom Schnittpunkt mit der Leitapparatgeraden, während das unterdimensionierte Laufrad leicht links liegt. (b) Wie sich ein gegebenes Laufrad in verschiedenen Gehäusen verhält, folgt aus dem Vergleich der Kurven 2 und 4. Infolge unterschiedlicher hydraulischer Verluste klaffen die Kennlinien 2 und 4 – im Gegensatz zu der idealisierten Darstellung in Abb. 4.12 – mit zunehmendem Förderstrom immer weiter auseinander. Dieses Verhalten läßt sich durch die Gleichungen in Tafel 4.1 nicht erfassen – es sei denn, man berechne die verschiedenen Kombinationen mit unterschiedlichen hydraulischen Wirkungsgraden. Die Leistungsaufnahme wird – außer bei sehr tiefer Teillast – praktisch allein durch das Laufrad bestimmt, wie sich das aus der Euler’schen Gleichung ergibt. Der erreichte maximale Wirkungsgrad steigt mit dem Förderstrom bzw. der Nutzleistung Pu, weil die Nebenverluste (Radreibung, mechanische und Leckverluste) weitgehend unabhängig vom verwendeten Laufrad und Gehäuse sind und sich folglich ihr Anteil an der Leistungsaufnahme mit zunehmendem Pu verringert. Durch Änderungen des engsten Querschnitts im Leitapparat sucht man mitunter, den Bestpunktförderstrom zu verschieben, um den Einsatzbereich einer gegebenen Pumpe zu erweitern. Wie Abb. 4.14 zeigt, ist dies in gewissen Grenzen möglich. So läßt sich durch Reduktion des Spiralquerschnittes das Wirkungsgrad-

1.4

1.4

1.2

1.2

2

1.0

H/Hopt

H/Hopt

4.3 Vorausbestimmung der Kennlinie

1.0

4

3

2 0.8

1

0.8

0.6

V

η

η

0.6

165

0.4

0.4

Laufrad nq = 21, Spirale nq = 16 H-LE nq = 16

0.2

Vergrösserter Spiralquerschnitt H-LE vergrössert

Laufrad nq = 21 Laufrad nq = 16

0.2

Laufrad nq = 13 H-LE

0.0 0.0

0.5

1.0

0.0

Q/Qopt 1.5

0.0

0.5

1.0

1.5 Q/Qopt 2.0

Abb. 4.13. Drei verschiedene Laufräder im Abb. 4.14. Spiralendquerschnitt um 37% gleichen Gehäuse (ausgelegt für nq = 16) vergrößert (Laufrad ausgelegt für nq = 21) Alle Q-H-Kurven sind auf den Basisversuch mit Qopt = 280 m3/h, Hopt = 194 m bei 2950 min-1 bezogen

optimum zu kleinerem Förderstrom verschieben; allerdings reduziert sich dabei der erreichte Wirkungsgrad im Bestpunkt, weil die spezifische Drehzahl sinkt und der Anteil der Nebenverluste an der Leistungsaufnahme steigt. Bei Teillast steigt der Wirkungsgrad, weil die Verzögerungsverluste im Gehäuse fallen; bei q* > 1 fällt der Wirkungsgrad steil ab, da die Beschleunigung des Fluids vom Laufradaustritt zum engsten Querschnitt große Verluste im Diffusor hervorruft. Abschließend sei nochmals betont, daß die Zusammenhänge nach Abb. 4.13 und 4.14 für kleine spezifische Drehzahlen bis etwa nq = 35 repräsentativ sind. Mit wachsendem nq steigt der Einfluß des Laufradeintritts, der oberhalb von nq = 100 dominierend wird. Werden die Laufschaufeleintrittswinkel beim Bestpunktförderstrom im wesentlichen gleich dem Strömungswinkel gewählt (Anstellwinkel nahe null), liegt der Bestpunkt auch bei hohen spezifischen Drehzahlen nahe beim Schnittpunkt von Laufrad- und Leitapparatgeraden.

4.3 Vorausbestimmung der Kennlinie Da sich weder die hydraulischen Verluste noch die Wirkung der Rezirkulation genau vorausberechnen lassen, ist die Vorausberechnung der Kennlinie nur mit empirischen (oder numerischen) Methoden möglich. Empirische Methoden basieren auf statistischen Auswertungen ausgeführter Pumpen; je stärker die Eigenschaften einer neu zu berechnenden Pumpe von denen der Datenbasis abweichen,

166

4 Kennlinien

desto unsicherer wird die Vorhersage. Ein mögliches Vorgehen wird im folgenden beschrieben: 4.3.1 Die Daten im Bestpunkt sind aus der Auslegungsrechnung bekannt: Qopt, Hopt, ηopt, ηh,opt, γopt. Ebenfalls sind die Nebenverluste nach Kap. 3.6 berechenbar. 4.3.2 Abströmbeiwert γ und hydraulischer Wirkungsgrad hängen vom Fördergrad q* ab. Eine Nachrechnung verschiedener Pumpen liefert diese Abhängigkeit; sie kann aus den Bildern 4.15 und 4.16 entnommen werden. Für den hydraulischen Wirkungsgrad gilt die Beziehung: ηh ηh, max

= 1 − 0,6 (q * − 0,9) 2 − 0,25 (q * − 0,9) 3

(4.14)

Nach dieser Auswertung erreicht der hydraulische Wirkungsgrad seinen Höchstwert bei q* = 0,9 (nicht bei q* = 1). Wie in Kap. 4.1.3 erläutert, gilt die Rechnung nur für den Bereich, in dem noch keine wesentlichen Rückströmungen auftreten. Bei β2B ≤ 90° wurde für die Auswertungen in Abb. 4.15 und 4.16 bei γ ≥ 0,95 Rückströmung vorausgesetzt. 4.3.3 Zweckmäßigerweise erstellt man eine Tabelle, in der man für Q = 0 bis Qmax die aus Abb. 4.15 entnommenen Werte für ηh/ηh,max, und γ/γopt einträgt, um anschließend ηh sowie γ zu berechnen. Aus Gl. (T3.3.7) ergibt sich sodann die Förderhöhe. 4.3.4 Die Leistungsaufnahme folgt aus Gl. (T3.5.1), wobei die Rezirkulationsleistung Prez = 0 gesetzt und die Nebenverluste aus Tafel 3.5 oder Kap. 3.6 bestimmt werden. 4.3.5 Diese Rechenschritte führt man nur im Lastbereich aus, wo γ < 0,95 ist (die Grenze kann auch etwas tiefer angesetzt werden). Druckzahl und Leistungszahl bei Q = 0 lassen sich aus Abb. 3.21 und Abb. 4.10 abschätzen. Der Verlauf von Förderhöhe und Leistungsaufnahme zwischen Q = 0 und dem oben berechneten Kennlinienteil ohne Rezirkulation muß schließlich nach Erfahrung interpoliert werden. Dabei kann die Erfahrungstatsache nutzen, daß die Kennlinie im Bestpunkt die Gerade durch die Punkte Q(Hth = 0) und Qopt, Hopt tangiert. Die Schwächen obigen Vorgehens sind offensichtlich; sie liegen u.a. in der großen Streuung von ψo und λo und in der Unsicherheit der statistischen Daten aus Abb. 4.15. Insbesondere ist eine Kennlinieninstabilität kaum zu erkennen. 1.20

γ/γopt

1.10 1.00 0.90 0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

q* 1.4

Abb. 4.15. Abhängigkeit des Abströmbeiwertes vom Förderstrom

1.6

4.4 Kennfelder

167

1.20

ηh/ηhmax 1.00 0.80 0.60 0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

q*

1.4

1.6

Abb. 4.16. Abhängigkeit des hydraulischen Wirkungsgrades vom Förderstrom

4.4 Kennfelder Wie in Kapitel 2 angedeutet, werden Kreiselpumpen entsprechend ihrem Anwendungszweck in den verschiedensten Bauformen in sehr weiten Bereichen von Förderstrom und Druckerhöhung eingesetzt. Ein bestimmter Pumpentyp, z.B. einstufige Prozeßpumpen für die Verfahrenstechnik, überdeckt jeweils entsprechend den Markterfordernissen ein bestimmtes Leistungsfeld, z.B. Q = 3 bis 800 m3/h und H = 20 bis 250 m. Aus wirtschaftlichen Gründen – Kosten für Konstruktion, Versuch, Modelle, Fertigung, Ersatzteil- und Lagerhaltung – gilt es, einen solchen Bereich mit möglichst wenigen Baugrößen optimal abzudecken. Abbildung 4.17 zeigt ein derartiges Leistungsfeld („Raster“) für einstufige, einflutige Spiralgehäusepumpen bei n = 2950 min-1. Es enthält 27 Baugrößen, die durch Nennweite des Druckstutzens (erste Zahl), und Laufradaußendurchmesser gekennzeichnet sind. Etwa vertikal übereinander angeordnete Baugrößen fördern ähnliche Volumenströme und weisen daher dieselbe Druckstutzennennweite auf. Horizontal nebeneinander angeordnete Baugrößen haben gleiche Laufradaußendurchmesser und erbringen eine ähnliche Förderhöhe. Die spezifischen Drehzahlen der einzelnen Baugrößen nehmen von unten nach oben ab; und von links nach rechts zu. Pumpen mit derselben spezifischen Drehzahl liegen in doppelt-logarithmischer Darstellung auf schräg liegenden Geraden, die in Abb. 4.17 eingezeichnet wurden. Von konstruktiven Einzelheiten abgesehen, sind die Laufräder und Leitapparate aller Baugrößen mit gleicher spezifischer Drehzahl geometrisch ähnlich, was Einsparungen bei den Entwurfs- und Versuchskosten ermöglicht. Die Laufradaußendurchmesser sind mit der Normzahl 100,1 ≈ 1,26 gestaffelt. Alle Pumpen in diesem Leistungsfeld sind auch mit der nächst tieferen Normdrehzahl verwendbar, wodurch der Einsatzbereich der Baureihe entsprechend erweitert wird. Falls nicht die vorhandenen Zulaufverhältnisse eine Pumpe mit niedriger Drehzahl verlangen, kann die Auswahl einer solchen Pumpe allerdings unwirtschaftlich werden. Kennfelder der in Abb. 4.17 gezeigten Art erlauben eine rasche Vorauswahl der Pumpen, die für einen bestimmten Anwendungsfall in Betracht kommen. Bei mehrstufigen Pumpen wird das Leistungsfeld verfeinert, indem die Förderhöhe durch die Stufenzahl gestaffelt wird. Bei sehr großen Pumpen, die mit niedriger

168

4 Kennlinien

1000

nq

H [m] 50-400

40-315

100

40-250 40-200

25-200

40-160

80-400

50-250

50-160

100-315

80-250 80-200

100-250

20 25

150-400 200-400 150-315

200-315

34 54

150-250 200-250

150-200 80-160

10 10

15

100-200

100-160

1

12 100-400

80-315

50-315

50-200

9

100

n = 2950 min-1 Q [m3/h]

1000

Abb. 4.17. Leistungskennfeld einer Prozeßpumpenbaureihe, Sulzer Pumpen AG

Drehzahl laufen, läßt sich das Raster auch mit der Drehzahl als Parameter entwerfen. Im allgemeinen sind alle Parameter (Laufraddurchmesser, spezifische Drehzahl, Stufenzahl und Normdrehzahl) zu verwenden, um das geplante Leistungsfeld optimal abzudecken. Für die Abstufung der Förderströme sind verschiedene Kriterien zu beachten: (1) Lückenlose Überdeckung des Feldes. (2) Anzahl der benötigten Baugrößen. (3) Wirkungsgradeinbuße, wenn Pumpe am Rand ihres Feldes läuft. Man kann z.B. die Förderströme nach dem Kriterium abstufen, daß am Rand des Feldes Δη = 3% beträgt. (4) Vermeidung unzulässigen Teil- oder Überlastbetriebes. (5) Spezifikation der Hauptabnehmer: z.B., daß eine Pumpe im spezifizierten Auslegungspunkt der Anlage im Bereich 0,8 < q* < 1,1 auszuwählen ist. Bei der Abstufung der Förderhöhe ist das zulässige Maß für das Abdrehen der Laufräder zu beachten (Kap. 4.5.1). Allgemein wird man die Abstufung nach Förderstrom und Förderhöhe um so feiner wählen, je größer die Pumpe, ihre Leistungsaufnahme und die Umfangsgeschwindigkeit das Laufrades sind, weil bei grober Abstufung die Einbußen bei den Investitions-, Energie- und Wartungskosten zu groß würden. Zur Erstellung eines Leistungsrasters wählt man aufgrund obiger Gesichtspunkte je einen Faktor für die Stufung der Förderströme (meist zwischen 1,5 und 2) und für die Abstufung des Laufraddurchmessers (meist als Normzahl zwischen 1,12 und 1,32. Der Bestpunkt soll nahe beim rechten Rand des Leistungsfeldes jeder Baugröße liegen, um eine Pumpenauswahl im Überlastbereich zu vermeiden. Mit der gewählten Drehzahl und den verwendeten spezifischen Drehzahlen lassen sich sodann die Bestpunkte für alle Baugrößen berechnen. Muschelkurven nach Abb. 4.18 werden häufig verwendet, um die Charakteristiken einer Baugröße mit verschiedenen Laufrad-Abdrehdurchmessern darzustellen, Kap. 4.5.1. Um solche Kurven zu erstellen, legt man durch die Wirkungsgradkurven der verschiedenen Laufraddurchmesser horizontale Schnitte (z.B. bei

4.5 Anpassen der Kennlinie 1 .3

ψ

Ș = 0 .4

1 .2

0 .7

1 .1

0 .7 5

0 .8

169

0 .8 2 Ș o p t = 0.8 5

1

0 .8 2 0 .8

0 .9 0 .8

0 .7 5 0 .7

0 .7 0 .6 0 .5

λ

0 .1 4 0 .1 0 .0 6 0 .0 2

η

1 0 .8 0 .6

d *2 d *2 d *2 d *2

0 .4 0 .2

= = = =

1 .0 0 .9 5 0 .9 0 0 .8 5

0 1

0.0 2

0 .0 4

0 .0 6

0 .0 8

0.1

ϕ

0 .1 2

Abb. 4.18. Konstruktion der Muschelkurven (die Druckzahlen sind auf den vollen Laufraddurchmesser bezogen); d2* = d2′/d2

50, 60, 70, 75, 80 und 82 %) und überträgt die Schnittpunkte bei konstantem Förderstrom in die Q-H-Kurvenschar; die dort erhaltenen Punkte ergeben Linien gleichen Wirkungsgrades, die man als „Muschelkurven“ bezeichnet. Das Vorgehen ist in Abb. 4.18 für η = 0,75 dargestellt.

4.5 Anpassen der Kennlinie Anpassungen der Kennlinie an verschiedene Betriebspunkte sind in vielen Fällen nötig. Hierzu gibt es eine Palette von Möglichkeiten und deren Kombinationen, die nicht erschöpfend aufgezählt werden können. Dabei sind sowohl Leistungsreduktion, wie Leistungserhöhung gefragt. Die Maßnahmen reichen nach Tafel 4.2 vom einfachen Abdrehen oder Zuschärfen über den Einbau neuer Laufräder (z.B. mit geändertem Schaufelwinkel) bis zum Ersatz eines ganzen Innenblockes einer mehrstufigen Mantelgehäusepumpe. In Tafel 4.2 sind Möglichkeiten zum Anpassen der Kennlinie an wechselnde Anforderungen des Betriebes aufgeführt. Welche dieser Optionen im Einzelfall realisierbar sind, hängt nicht zuletzt von den konstruktiven Gegebenheiten der betrachteten Pumpe ab. 4.5.1 Abdrehen des Laufrades Wie in Kap. 4.4 besprochen, wird mit einer gegebenen Baugröße aus wirtschaftlichen Gründen ein bestimmter Leistungsbereich abgedeckt, was durch Reduktion des Laufradaußendurchmessers erfolgt. Mittels dieses „Abdrehens“ wird die För-

170

4 Kennlinien

Tafel 4.2 Anpassen der Kennlinie Aufgabe

Möglichkeiten

1. Förderhöhe vergrößern bei Q = konst.

1.1 Zuschärfen der Laufschaufeln am Austritt Kennlinie wird flacher, Risiko einer Instabilität 1.2 Aufschweißen und Zuschärfen

Bemerkungen

1.3 Hydraulische Verluste reduzieren 1.4 Neues Laufrad: größeres d2, zLa, b2, β2B 1.5 Stufen hinzufügen (falls mehrstufig)

Ggf. Wellen- und Gehäusespannungen überprüfen.

1.6 Gegendrall vor Laufradeintritt 2. Förderhöhe verringern bei Q = konst.

2.1 Laufrad abdrehen oder kleineres Laufrad

Kennlinie wird steiler !

2.2 Stufen herausnehmen (falls mehrstufig) 2.3 Mitdrall vor Laufrad erhöhen, z.B.: a) Rückführschaufeln kürzen b) Spalt zw. Rückführschaufeln und Gehäuseelement (s. Skizze)

1mm

2.4 Neues Laufrad: kleineres zLa, b2, β2B 2.5 Drossel im Druckstutzen (aber Wirkungsgradeinbuße!) 3. Förderstrom 3.1 Spiralen- oder Leitradquerschnitt öffnen; vergrößern, erreichbare Vergrößerung bis etwa ΔQopt ≈ 15 % Bestpunkt nach rechts verschieben 3.2 Zusätzlich zu 3.1 neues Laufrad mit größerem d2, zLa, b2, oder β2B. Bei hohem nq auch größeres β1B und d1 4. Förderstrom 4.1 Spiralen- oder Leitradquerschnitt verkleiverkleinern, nern: erreichbare Verkleinerung bis ΔQopt ≈ 25 % Bestpunkt nach links 4.2 Zusätzlich zu 4.1 neues Laufrad mit kleiverschieben nerem zLa, b2, oder β2B sowie d1 und β1B

Kennlinie wird flacher, ggf. unstabil (Sattel). Wirkung steigt bei kleinem nq. NPSH-Bedarf prüfen! Gefahr von Druckseitenkavitation: Anstellwinkel und w1q/w1 prüfen, wenn nicht β1B und/oder d1 angepaßt werden. Wirkung steigt bei kleinem nq Kennlinie wird steiler Gefahr von Leitradkavitation prüfen für nq < 25.

derhöhe einer gegebenen Pumpe auf den verlangten Wert verringert, ohne daß man drosseln müßte und so unnötig Energie verschwenden würde. Die Kennlinie einer Pumpe mit abgedrehtem Laufradaußendurchmesser läßt sich nicht nach den Ähnlichkeitsgesetzen berechnen, weil ein abgedrehtes Rad nicht geometrisch ähnlich zum Laufrad mit vollem Durchmesser ist: die Laufradaustrittsbreite bleibt gleich oder steigt leicht an, der Schaufelaustrittswinkel kann sich ändern, und die Schaufeln werden kürzer. Die Schaufelkürzung bedingt eine höhere Schaufelbelastung und geringere Strömungsumlenkung – der Abströmbeiwert γ sinkt. Die Verhältnisse sind anhand des Austrittsdreieckes in Abb. 4.19a dargestellt: bei gegebenem Förderstrom steigt c2m etwa proportional zur Reduktion von d2, wodurch sich nach Gl. (T3.3.7) die Förderhöhe verringert; der Abströmwinkel im Absolutsystem steigt von α2 auf α2′. Da der Leitapparat unverändert bleibt, wächst das Verhältnis c3q/c2 bei gegebenem Durchfluß, Abb. 4.19b.

4.5 Anpassen der Kennlinie a)

c2m

b) w2

c3q

c2’

c2 α2’

171

c2 c2’

c2m’ α2

Q

zLe’

u2’

zLe

u2

Abb. 4.19. Abdrehen des Laufrades

Der Förderstrom besten Wirkungsgrades wird somit zu kleineren Werten verschoben als bei vollem Durchmesser – das ergibt sich auch aus Kap. 4.2 bzw. Abb. 4.12: die Leitapparatgerade bleibt unverändert, während die Förderhöhe sinkt. Die Bestpunktverschiebung ist jedoch kleiner als im Fall einer geometrisch ähnlichen Verkleinerung von Laufrad und Leitapparat. In Abb. 4.20 sind die Kennlinien einer doppelflutigen Pumpe (nq = 25) mit vollem und um 10 % reduziertem Laufraddurchmesser dargestellt. Zum Vergleich sind die Kennlinien (Hä, ηä) einer Pumpe eingezeichnet, die geometrisch ähnlich um 10 % verkleinert wurde. Wie groß die Abweichungen gegenüber dem Ähnlichkeitsgesetz beim Abdrehen sind, hängt von der Geometrie des Laufrades und der Druckverteilung über die Schaufeln ab. Je kürzer die Schaufellänge (also je höher die spezifische Drehzahl), desto größer die Förderhöheneinbuße für ein gegebenes Abdrehverhältnis. Da diese Zusammenhänge sich nicht theoretisch genau genug berechnen lassen, erfolgt die Berechnung der Kennlinie für ein abgedrehtes Laufrad nach empirischen Beziehungen, die im Prinzip – wie die Laufradgeometrie – herstellerspezifisch sind. Das Verfahren nach [B.17] ist in Abb. 4.20 dargestellt: Um von der Kennlinie H = f(Q) mit vollem Laufraddurchmesser d2 zur Kennlinie H′ = f (Q′) mit abgedrehtem Durchmesser d2′ zu gelangen, zieht man beliebige Strahlen (1 bis 3 in Abb. 4.20) vom Nullpunkt zur Kennlinie H = f(Q). Zu jedem so erhaltenen Wertepaar Q und H werden Q′ und H′ nach Gl. 4.15 berechnet. Q′ § d′2 · =¨ ¸ Q ¨© d 2 ¸¹

m

H′ § d′2 · =¨ ¸ H ¨© d 2 ¸¹

und

m

=

Q′ Q

(4.15)

Der Exponent m liegt zwischen 2 und 3. Wurden die Schaufeln am Austritt zugeschärft, liegt m im Bereich der Profilierung näher bei 3; wird um mehr als 5 % abgedreht, liegt m nahe bei 2. Sind β2B und b2 unabhängig vom Radius, gilt theoretisch m = 2. Der Exponent m läßt sich aus Abdrehversuchen zurückrechnen: m=

ln H′ ln

H d′2 d2

(4.16)

172

4 Kennlinien 1,4

1

1,2 H/Hopt

2

1

H(q*)

0,8

3

0,6 0,4

H’(q*)

Hä

0,2

4

0 qa* 0,9

η

ηä

0,8

η(q*)

0,7

η’(q*)

0,6 0,5

d’2

0,4

d2

NPSH3

0,3 0,2 0,1 0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

q*

Abb. 4.20. Kennlinienänderung durch Abdrehen des Laufrades

Das Wirkungsgradoptimum Q′opt einer Pumpe mit abgedrehtem Laufrad liegt rechts von dem Strahl, der vom Nullpunkt durch den Bestpunkt des Laufrades mit vollem Durchmesser läuft (Strahl 2 in Abb. 4.20). Die Bestpunkte aller Abdrehkurven liegen auf einer Linie (4 in Abb. 4.20) durch den Bestpunkt mit vollem d2, die die Abszisse bei einem Wert q*a ≈ (0,005 bis 0,01) nq schneidet. Verschiedene Abdrehgesetze wurden veröffentlicht: Nach [B.5] wäre m = 2 zu setzen und die Bestpunkte der abgedrehten Laufräder wären auf einer Geraden durch den Nullpunkt anzunehmen. Das Abdrehmaß, das notwendig ist, um eine bestimmte Förderhöhe H′ zu erreichen, berechnet sich aus: 1

d′2 § H′ · m =¨ ¸ d2 © H ¹

(4.17)

In [N.2] werden folgende Formeln für die Berechnung der Abdrehkurven gegeben: Q′ =K Q

und

H′ = K2 H

mit

K=

2 2 d′2b − d1b 2 d 22b − d1b

(4.18)

Der Bestpunktwirkungsgrad sinkt beim Abdrehen etwa nach: Δη = ε(1-d2′/d2)

(4.19)

4.5 Anpassen der Kennlinie

173

mit ε = 0,15 bis 0,25 für Spiralgehäusepumpen und ε = 0,4 bis 0,5 für Leitradpumpen. Bei kleinem nq steigt der Wirkungsgrad bei leichtem Abdrehen mitunter, weil die Radreibungsverluste gemäß Gl. (T3.6.2) mit der 5. Potenz des Durchmessers abnehmen. Gemäß Gl. (4.19) nimmt der Leistungsbedarf einer Pumpe mit abgedrehtem Laufrad (η’ = ηo - Δη) − verglichen mit einem nicht abgedrehten Laufrad (ηo) − zu. Die zusätzliche Leistung beträgt etwa: ΔP =

P′ ε (1 − d 2* ) ηo

(4.20)

wenn d2* = d2’/d2 und d2 der volle Laufraddurchmesser ist. Sind kkW die kapitalisierten Energiekosten pro kW installierte Leistung, so bedingt der Leistungszuwachs gemäß Gl. (4.20) zusätzliche Energiekosten ΔKE von: ΔK E = z pp k kW

P′ ε (1 − d 2* ) ηo

(4.21)

Dabei bedeutet zpp die Zahl der betroffenen Pumpen. Übersteigen die zusätzlichen Energiekosten gemäß Gl. (4.21) die Aufwendungen für ein neues Modell (und ggf. Konstruktionskosten), wäre ein dem reduzierten Laufraddurchmesser angepaßtes Gehäuse oder Leitrad ökonomisch (und ökologisch) sinnvoll. Für Spiralgehäusepumpen (mit ε = 0,2) wurde Gl. (4.21) ausgewertet für kapitalisierte Energiekosten von kkW = 2000 €/kW, Abb. 4.21. Diese Abbildung gibt einen Anhaltspunkt dafür, wie man den Abdrehdurchmesser bei Pumpen mit hoher Leistungsaufnahme begrenzen sollte. Ist eine Anzahl von zpp Pumpen betroffen, ist nach Gl. (4.21) die Summe von deren Leistungen zu betrachten, da die Modellkosten nur einmal anfallen, aber der Energieverlust zpp ΔP ausmacht. Ein Ablesebeispiel befindet sich in der Legende zu Abb. 4.21. Gibt man sich eine Grenze für die Energiekosten ΔKE vor, läßt sich der zugehörige Abdrehdurchmesser berechnen aus: d 2* = 1 −

ηo ΔK E z pp ε k kW P′

(4.22)

Neben der wirtschaftlich sinnvollen Begrenzung des Abdrehmaßes bei großen Pumpen ist auch das u.U. verschlechterte Betriebsverhalten bei starker Schaufelverkürzung durch Abdrehen zu beachten. Betrachten wir hierzu Abb. 4.22, in der die Kennlinien für den vollen Laufraddurchmesser (d2* = 1,0) und für den Abdrehdurchmesser d2* = 0,8 einer Pumpe mit nq = 25 dargestellt sind. Der eingezeichnete Betriebs- (oder ggf. Garantie-) -punkt liegt bei 80 % des Bestpunktes des auf d2* = 0,8 abgedrehten Laufrades (nach N.7 noch zulässig). Da sich der Förderstrom stoßfreien Laufradeintritts bei Abdrehen nicht ändert, läuft der Laufradeintritt dann bei etwa 57 % des Bestpunktförderstromes mit vollem Laufraddurchmesser. Folglich arbeitet eine so ausgewählte Pumpe praktisch immer mit Eintrittsrezirkulation. Das mag bei kleiner Pumpenleistung akzeptabel sein, bei großen Pumpen werden durch die Dissipation der Rezirkulationsleistung aber

174

4 Kennlinien

5000 kW

ΔKE [Euro]

1000000

1000 kW 400 kW 100 kW 100000

10000

1000 0.8

0.85

0.9

0.95

d'2 /d2 [-] 1

Abb. 4.21. Zusätzliche Energiekosten durch Wirkungsgradeinbuße beim Abdrehen; gültig für Spiralgehäusepumpen und gerechnet für kkW = 2000 €/kW, ηo = 0,8 und ε = 0,2. Als Leistung ist die Summe aller betroffenen Pumpen zpp P einzusetzen, wenn P die Leistungsaufnahme einer Pumpe ist. Beispiel: die Laufräder von 4 parallel arbeitenden Pumpen mit je 250 kW Leistungsaufnahme sollen um 10 % abgedreht werden; die gesamte Leistungsaufnahme beträgt also zpp P = 1000 kW. Mit d2’ = 0,9 liest man aus der Kurve „1000 kW“ ab, daß die zusätzlichen kapitalisierten Energiekosten 50'000 € betragen. Liegen die Kosten für ein neues Modell oder eine Modelländerung unter diesem Betrag, lohnt es sich also, neue Gehäuse anzufertigen (auch hinsichtlich Einsparungen bei den Materialkosten und Ökologie sinnvoll). 1.2

H/Hopt , full [-] und η [-]

1 0.8 0.6 0.4 d2* = 1.0 d2* = 0.8

0.2

Betriebspunkt 0 0

0.5

Q/Qopt, voll [-]

1

1.5

Abb. 4.22. Kennlinien beim Abdrehen des Laufrades auf 90 und 80 % des vollen Durchmessers. Der eingezeichnete Betriebspunkt liegt bei 80 % des Bestpunktes der Kurve für d2* = 0,8 − aber bei 57 % des Bestpunktes bei vollem Durchmesser.

4.5 Anpassen der Kennlinie

175

Schwingungen und Lärm angeregt. Durch die Schaufelkürzung erhöht sich die Schaufelbelastung, wodurch auch der kavitationsbedingte Lärm steigen kann. Um die Schaufeln nicht zu sehr zu kürzen, empfiehlt es sich, die DurchmesserReduktion bei Spiralgehäusepumpen wie folgt zu begrenzen: d 2′ ≥ 0,8 bis 0,85 d2 d 2′ ≥ (0,8 bis 0,85) + 0,0025 (n q − 40) d2

für nq < 40 (4.23) für 40 < nq < 100

Diese Grenzen gelten für kleine und mittlere Pumpen: je höher die Leistungsaufnahme der Pumpe, desto weniger sollte mit Rücksicht auf Schwingungen, Lärm und Kavitation abgedreht werden und desto höher ist die wirtschaftliche Grenze für d2* = d2′/d2 gemäß Gl. (4.21) oder Abb. 4.21 anzusetzen. Ist wenig NPSHA vorhanden, sind die Zulaufverhältnisse ungünstig oder wurden strenge Auflagen bezüglich Lärm und Schwingungen spezifiziert, sollte man eher den Wert 0,85 in Gl. (4.23) anwenden oder bei hoher Leistungsaufnahme noch weniger abdrehen. Hinweise für die Ausführung: • Bei Leitradpumpen kann die Kennlinie unstabil werden, wenn das Laufrad zu stark abgedreht wird. Die Grenze ist experimentell zu ermitteln. Fehlen Versuche, empfiehlt es sich, nicht mehr als 5 % abzudrehen. Muß stärker abgedreht werden, kann ein Leitrad mit kleinerem Eintrittsdurchmesser entworfen werden. Da ein Leitradmodell weniger kostet als ein Gehäusemodell, lohnt sich das Nachziehen des Leitrades schon bei kleineren Leistungen als das bei Spiralgehäusen der Fall wäre. • Bei Leitradpumpen werden die Radseitenwände auf vollem Durchmesser belassen (die Schaufeln werden gemäß Abb. 4.23b „ausgedreht“), um Instabilitäten der Kennlinie und Axialschubexkursionen bei Teillast vorzubeugen und den Impulsaustausch zwischen Haupt- und Radseitenraumströmung so gering wie möglich zu halten (Kap. 5 und 9.1). • Weil bei Leitradpumpen die Radseitenwände nicht mit abgedreht werden dürfen, ist die Wirkungsgradeinbuße beim Abdrehen größer als bei Spiralgehäusepumpen (Effekt der Radreibung, die proportional zu d5 ist). • Bei Spiralgehäusepumpen werden die Radseitenwände im Regelfall auf den gleichen Durchmesser wie die Schaufeln abgedreht, um die Radreibungsverluste zu reduzieren, Abb. 4.23a. • Eine Schrägkorrektur nach Abb. 4.23c erhöht in der Regel den Nulldruck verglichen mit parallelem Abdrehen (wie in Kap. 5 behandelt) und beugt einer gegen Q = 0 fallenden Kennlinie vor. Die Schräge wählt man meist zwischen 5 und 15°. • Ab mittleren spezifischen Drehzahlen (nq > 40) ist eine Schrägkorrektur zu empfehlen, damit die äußere Stromlinie nicht zu kurz wird.

176

4 Kennlinien

c) Schräg-Ausdrehen

d) Schräg-Ausdrehen

D

D'

D'

D

b) Ausdrehen

D

D'

a) Abdrehen

D

D'

D

D'

• Bei halbaxialen Laufrädern hat die Lage der Schaufelaustrittskanten einen großen Einfluß auf Leistung und Förderhöhe bei Q = 0 (Kap. 5): je kleiner das Verhältnis d2a/d2i desto kleiner werden Po und Ho. • Doppelflutige Pumpen mit niedrigem nq werden meist so abgedreht, daß die Schaufelaustrittskante parallel zur Rotorachse bleibt, Abb. 4.23e. • Bei leichtem Abdrehen verringern sich in der Regel Lärm und Schwingungen, weil der Abstand zwischen den Laufschaufeln und dem Leitapparat zunimmt. Bei starkem Abdrehen können die hydraulischen Erregerkräfte indessen wieder zunehmen, weil die Schaufelbelastung wächst. • Da die Förderhöhenreduktion beim Abdrehen – wie oben ausgeführt – von nicht genau erfaßbaren Parametern abhängt, wird ein Laufrad möglichst in Schritten abgedreht, um nicht zu riskieren, daß man zu stark korrigiert und so den verlangten Betriebspunkt verfehlt. • Bei starkem Abdrehen (über 10%) verschlechtert sich auch das Saugverhalten: NPSH3 steigt, wie in Abb. 4.20 angedeutet. Das liegt unter anderem an der infolge Schaufelverkürzung geänderten Druckverteilung und erhöhten Schaufelbelastung, (Kap. 6). Zudem bedeuten 3 % Förderhöhenabfall bei stark reduzierter Förderhöhe eine absolut kleinere Einbuße und somit ein geringeres Ausmaß an Kavitation. Bei mehrstufigen Pumpen sollte folglich die Saugstufe möglichst wenig oder gar nicht abgedreht werden.

e) Abdrehen

Abb. 4.23. Laufradkorrektur

4.5.2 Zuschärfung der Schaufeln am Laufradaustritt Durch saugseitiges Zuschärfen der Schaufeln am Laufradaustritt vergrößert sich die Lichtweite zwischen den Schaufeln von a2 auf a2′ (siehe hierzu Tafel 0.2 und

4.5 Anpassen der Kennlinie

177

Abb. 3.6), das Fluid wird stärker verzögert und die Förderhöhe steigt. Wie groß der Höhengewinn ist, hängt von der Druckverteilung gegen Schaufelende ab: ist die Schaufel am Ende hoch belastet oder die Strömung bereits nahezu abgelöst, kann das Fluid der durch die Schaufelzuschärfung erzeugten Kontur nur unvollkommen folgen und der Förderhöhenanstieg ist gering. Je kleiner der Austrittswinkel β2B, desto größer ist in der Regel der relative Gewinn ΔH/H. Abbildung 4.24 zeigt als Beispiel die Zuschärfung an einer Spiralgehäusepumpe nq = 28. Generell bewirkt eine saugseitige Schaufelzuschärfung folgendes: Die Förderhöhe steigt im Bestpunkt auf H′/H = (a2′/a2)x mit x = 0,4 bis 0,8. Bei Q = 0 ist ΔH/H etwa halb so groß wie im Bestpunkt. ΔH/H wächst mit zunehmendem Förderstrom und ist bei Überlast am größten. Der Bestpunkt verschiebt sich auf der Leitapparatgeraden gemäß Kap. 4.2. Der Wirkungsgrad im Bestpunkt steigt meist (aber keineswegs immer) um 0,5 bis 1 % (selten darüber), weil die Nachlaufdelle schmäler wird, solange die Strömung nicht ablöst. • Die Leistungsaufnahme steigt entsprechend dem Förderhöhenanstieg – ggf. korrigiert um den Wirkungsgradgewinn.

• • • • •

Selbstverständlich dürfen die Schaufeln nur so weit zugeschärft werden, daß ihre Festigkeit nicht beeinträchtigt wird. Umfangsgeschwindigkeit u2, Schaufelbreite (nq) und der Abstand zwischen Lauf- und Leitschaufeln sind bei der Beurteilung des mechanischen Verhaltens zu beachten (Kap. 14.1, Kap. 10 u. Tafel 10.1). Wenn entsprechende Schweißverfahrensprüfungen vorliegen, kann man die Förderhöhe im Extremfall vergrößern, indem man die Laufräder druckseitig aufschweißt und anschließend saugseitig zuschärft. Im Gegensatz zu einer mitunter geäußerten Meinung kann die Förderhöhe durch druckseitige Zuschärfung im allgemeinen nicht reduziert oder die Kennlinie nicht steiler gemacht werden, weil die Lichtweite a2 bei dieser Maßnahme unverändert bleibt. Durch druckseitiges Zuschärfen wird lediglich die Nachlaufdelle (Kap. 10.1) schmäler, was die Verwirbelungsverluste reduziert und so mitunter gar einen leichten Förderhöhenanstieg bewirkt. 1,4 1,2

ψ

1 0,8

η

0,6

ohne Zuschärfung mit Zuschärfung

0,4 0,2 0

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

Durchflußzahl

Abb. 4.24. Saugseitige Zuschärfung der Laufschaufeln am Austritt: a2 um 6,5% vergrößert

178

4 Kennlinien

4.5.3 Änderungen am Leitapparat Durch Vergrößerung oder Verkleinern des engsten Spiral- oder Leitradquerschnittes läßt sich der Förderstrom besten Wirkungsgrades verschieben. Abbildung 4.14 zeigt als Beispiel eine Pumpe mit nq = 16, deren Spiralenendquerschnitt um 37 % vergrößert wurde. Dabei vergrößerte sich der Bestpunktförderstrom etwa entsprechend der Leitapparatgeraden um 25 % und die spezifische Drehzahl stieg von nq = 15,9 auf 18,2 (der große Wirkungsgradgewinn deutet auf einen nicht optimal ausgelegten Druckstutzen des Gehäuses vor der Änderung). Charakteristisch für eine Vergrößerung des engsten Leitrad- oder SpiralEndquerschnittes ist: • Die Förderhöhe steigt bei q* > 1, weil die Verluste im Leitapparat fallen und das Verzögerungsverhältnis c3q/c2 sinkt: der Förderstrom, bei dem c3q = c2 wird, steigt. Mit wachsender spezifischer Drehzahl nimmt dieser Effekt ab. • Nullförderhöhe und Teillastförderhöhe sinken leicht. • Die Leistungsaufnahme bei Betrieb ohne Rückströmung ist (theoretisch) allein durch das Laufrad bestimmt und ändert sich kaum. Bei Q = 0 steigt die Leistungsaufnahme infolge erhöhten Impulsaustausches. • Bei kleinen spezifischen Drehzahlen steigt der Wirkungsgrad bei erweitertem Gehäusequerschnitt an, weil die Verluste in der Leitvorrichtung sinken und der Bestpunktförderstrom wächst: die konstant bleibenden Nebenverluste werden daher auf eine größere Nutzleistung Pu bezogen. • Bei nq < 12 liegen alle Wirkungsgradkurven mit verschiedenen Gehäusequerschnitten im wesentlichen unter einer Hüllkurve. Bei größeren spezifischen Drehzahlen verbessert sich hingegen der Teillastwirkungsgrad im Bereich von q* = 0,5, wenn man den Gehäusequerschnitt reduziert. • Je höher die spezifische Drehzahl, desto weniger reagiert die Lage des Bestpunktes auf Gehäuseänderungen; bei Spiralgehäusepumpen gilt diese Aussage grob für nq > 60 bis 80. Bei Leitradpumpen ist der Einfluß der engsten Querschnitte A3q ausgeprägter als bei Spiralen; aber auch hier nimmt die Empfindlichkeit mit wachsendem nq ab. • Leitrad- und Spiralgehäusepumpen verhalten sich bei Änderungen des Leitapparatquerschnitts sehr ähnlich. Bei einer Verkleinerung des engsten Querschnittes im Leitapparat ergeben sich entsprechend die umgekehrten Tendenzen.

4.6 Analyse von Kennlinienabweichungen und Leistungsdefiziten Auf dem Prüfstand oder in der Anlage kann es vorkommen, daß die gemessenen Leistungsdaten in unzulässigem Maße unter den Erwartungswerten liegen. Übersteigen die Abweichungen übliche Meß- und Bautoleranzen, deren Summe – je

4.6 Analyse von Kennlinienabweichungen und Leistungsdefiziten

179

nach Güteklasse (Kap. 15) der Pumpe und Meßanordnung – im Bereich von etwa ±2 bis 5% liegen, gilt es, die Ursachen der Abweichungen herauszufinden und Korrekturmaßnahmen zu definieren. Bei dieser häufig schwierigen Aufgabe kann Tafel 4.3 eine Hilfe für eine zielgerichtete Analyse bieten (selbstverständlich ist die Zahl möglicher Fehler und Fehlerkombinationen so groß, daß sie nicht erschöpfend aufgeführt werden können). Abweichungen und Korrekturmaßnahmen bei NPSH-Kurven werden in Kap. 6.9 und Tafel 6.4 behandelt. Bevor man an die detaillierte Analyse gemäß Schritt 3 bis 9 geht, empfehlen sich die Überprüfungen nach Punkt 1 und 2: 1. Erwartungswerte überprüfen: Auslegungsrechnung richtig? Verwendete Grundlagen in Ordnung? 2. Messungen überprüfen: • • • • • • • • •

Drehrichtung Parallelmessung mit anderen Instrumenten. Luft in Meßleitungen? Eintrittsdruckmessung durch Teillastrezirkulation verfälscht (s. Abb. 5.16)? Volumenstrommessungen: genügende Ausgleichsstrecke vor und nach Meßorgan, Luftausscheidung, Kavitation, Bypass im Kreislauf (z.B. undichte Armaturen), Vordrall, richtiger Einbau der Blende oder des Instrumentes. Elektrische Leistungsmessungen machen häufig Probleme (Genauigkeit, Motorwirkungsgrad, cosϕ). Getriebewirkungsgrad, falls Antrieb über Getriebe Versuchsanordnung prüfen: Zulaufverhältnisse Messungen in Anlagen sind häufig problematisch und verlangen äußerste Sorgfalt, um Fehlschlüssen vorzubeugen.

3. Wenn die Erwartungswerte und die Messungen richtig sind, müssen geometrische Kontrollen von Laufrad, Leitrad, Spiralgehäuse vorgenommen und mit den Sollmaßen auf den Zeichnungen verglichen werden. Bei gegossenen Komponenten treten nicht selten erhebliche Abweichungen auf, die manchmal meßtechnisch nur schwer erfaßbar sind (z.B. bei geschlossenen Laufrädern). In einem ersten Schritt sind am Laufrad folgende Dimensionen zu messen: d2, b2, a2, a1, d1, dn, Schaufeldicke und ggf. Profilierung an Schaufelein- und austritt. d2, b2, a2, sind wichtig für die Förderhöhe; a2 und a1 geben einen Hinweis, ob die Schaufel in etwa richtig liegt. Am Leitrad sind d3, a3, b3 zu messen und die Rückführschaufeln am Austritt zu kontrollieren: wird ungewollter Mit- oder Gegendrall erzeugt? Am Spiralgehäuse läßt sich im wesentlichen nur der Endquerschnitt messen: Der engste Leitapparatquerschnitt ist wichtig für die Verluste und die Bestpunktlage. 4. Ausmessen der Spaltspiele an Laufrädern und ggf. Entlastungseinrichtung. 5. Messung und Beurteilung der Oberflächengüte und Rauhigkeit der strömungsführenden Bauteile. 6. Oft empfiehlt sich auch die Verlustanalyse nach den Tafeln 3.5 bis 3.8 und Abb. 3.30, um festzustellen, welche Effekte wichtig und welche Parameter weni-

180

4 Kennlinien

Tafel 4.3 Analyse von Leistungsdefiziten Problem/Befund

Mögliche Ursachen

1. H < Hsoll und P < Psoll

1.1 b2, a2, β2B zu klein. Schau- 1.1 Laufschaufeln am Austritt zuschärfen nach 4.5.2 feln zu dick (wenn Wirkungsgrad in Ordnung, ist b2, a2, oder β2B zu klein !) 1.2 Zuströmung prüfen 1.2 Vordrall

Mögliche Abhilfen

2. H < Hsoll und P > Psoll 2.1 Hydraulische Verluste zu 2.1. ηh für Versuch u. Sollwert berechnen nach Gl. (T3.5.8). Ist hoch (H/ηh)Versuch = (H/ηh)soll, sind 2.2 Drosseleffekte hydr. Verluste zu hoch. Rau2.3 Zu große Spaltspiele (Qsp, higkeiten verkleinern. Evtl. QE) in Anlagen z.B. durch Leitapparatquerschnitt vergröVerschleiß, Korrosion, Abßern. rasion usw. 2.2. A1q, a3, b3, A3q, A5, A6 prüfen 2.3. Spaltspiele prüfen, ggf. ver2.4 Falschmessung von Q kleinern 3.1. Prüfen 3. H = Hsoll und 3.1 Leistungsmessung falsch P > Psoll 3.2 Pm, PRR, Ps3, PER zu groß 3.2. Nebenverluste überprüfen 3.3. Laufräder ausmessen evtl. korηopt < ηopt,soll 3.3 b2, a2, β2B zu groß und ηh rigieren zu tief 4. H > Hsoll und P > Psoll b2, a2, β2B zu groß

Wenn Soll-Wirkungsgrad erreicht, Laufräder abdrehen (Kap. 4.5.1). Wenn η zu tief, s. Punkt 3.

5. Qopt < Qopt,soll

nq < 35:

6. Qopt > Qopt,soll

nq < 35: Leitapparatquerschnitt Engsten Querschnitt verringern (Einsatz, Aufschweißen, Neuentzu groß wurf) nq > 60: Laufradeintrittswinkel zu groß

7.

5.1 Leitapparatquerschnitt zu 5.1. Leitrad: a3 ausfräsen. Spirale A3q vergrößern klein 5.2. Siehe Punkt 2. 5.2 Hydraulische Verluste zu groß (ηopt nicht erreicht?)

Förderhöhe erreicht Drehrichtung des Laufrades nur etwa 50 % des falsch Sollwertes Doppelflutiges Laufrad falsch montiert

• Motordrehrichtung prüfen • Laufrad um 180° drehen

8. Kennlinie unstabil

siehe Kap. 5 und Tafel 5.1

9. Ho oder Po zu groß

siehe Kap. 5.6.8

10. Keine Förderung, obwohl volle Drehzahl erreicht

Pumpe kann Heberleitung nicht füllen (Kap. 11.8, Abb. 11.28)

drallbremsende Strukturen vor Laufradeintritt einbauen

4.6 Analyse von Kennlinienabweichungen und Leistungsdefiziten

181

ger bedeutend sind. So ist z.B. bei kleinen spezifischen Drehzahlen eher die Oberflächengüte des Leitapparates als des Laufrades zu verbessern, Kap. 3.10. 7. Wurden größere geometrische Abweichungen festgestellt, lassen sich deren Auswirkungen sowie die in Betracht gezogenen Maßnahmen nach Kap. 4.7 quantitativ beurteilen. 8. Dimensionslose Kennzahlen ψopt, ψo, λopt, λo, σ sind mitunter aussagefähiger als absolute Werte und erlauben eine Plausibilitätskontrolle. 9. Häufig liegt die Ursache für ein Leistungsdefizit nicht in einem eklatanten Fehler sondern in der Kombination verschiedener (kleiner) Abweichungen, die alle in die gleiche Richtung gehen; z.B. b2 und a2 beide an der unteren Toleranzgrenze, Schaufeln zu dick, Spaltspiele an der oberen Toleranzgrenze, Rauhigkeit der durchströmten Kanäle zu groß. Bei langjährigem Betrieb in der Anlage können sich die Spaltspiele allmählich erweitern. Ein solcher Verschleiß der Spaltdichtungen an Laufrädern und ggf. an der Axialschubentlastungsvorrichtung kann verursacht werden durch: Abnützung infolge zeitweiligen Berührens, Erosionskorrosion infolge hoher Strömungsgeschwindigkeiten im Spalt und/oder Abrasion, wenn Feststoffpartikel im Förderfluid vorhanden sind. Die Zunahme der Leckagen macht sich bei kleinen spezifischen Drehzahlen besonders stark bemerkbar. Abbildung 4.25 zeigt am Beispiel einer 3-stufigen Pumpe nq = 14 mit Entlastungskolben, wie sich die Kennlinien bei einer Vergrößerung der Leckagen ändern: Förderhöhe und Leistungsaufnahme 1,4

1,4 1,2

1,2 H/Hopt

1

1

P/Popt

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,8 0,6 η 0,4 0,2

s = 0,19 mm s = 0,35 mm

0 0

0,25

0,5

0,75

1

q*

1,25

1,5

Abb. 4.25. Einfluß der Dichtspaltweite auf die Kennlinie (nq = 14), Sulzer Pumpen AG

182

4 Kennlinien

verschieben sich um die Zunahme an Leckage nach links; der Wirkungsgrad sinkt und der Bestpunkt verschiebt sich zu leicht höherem Förderstrom. Ein erhöhter Spaltstrom am Laufrad erzeugt auch einen gewissen Vordrall, da die Leckage aus dem Spalt mit einer Umfangsgeschwindigkeit austritt, die etwa die Hälfte von u1 beträgt.

4.7 Berechnung von Kennlinienänderungen Häufig kommt es vor, daß eine gegebene (gemessene) Kennlinie geändert werden soll, um die Pumpen neuen Zwecken anzupassen, oder daß man den Einfluß von gewollten oder ungewollten Geometrieänderungen berechnen möchte. Anwendungsbeispiele hierzu sind: • Die Analyse von Leistungsdefiziten und Maßnahmen zu deren Behebung gemäß Kap. 4.6 und Tafel 4.3. • Erreichen einer steileren oder flacheren Kennlinie durch Einbau eines anderen Laufrades in ein gegebenes Gehäuse. Hierzu können Schaufelzahl, Laufradaustrittsbreite oder -winkel und/oder Vordrall geändert werden. • Berechnung des Einflusses von Schaufeldicke oder Austrittslichtweite a2 zwischen den Laufschaufeln. • Bestpunktverschiebung durch Änderung des engsten Querschnittes im Leitapparat. • Einfluß von Spaltspiel oder hydraulischem Wirkungsgrad auf die Kennlinien. Der Berechnungsgang ist in Tafel 4.4 ausführlich dargestellt. Zuerst berechnet man die Nebenverluste für die gegebene Kennlinie (in Tafel 4.4 als „Basis“ bezeichnet) gemäß den Angaben in Tafel 3.5 bis 3.7. Aus dieser Verlustanalyse erhält man den hydraulischen Wirkungsgrad aus Gl. (T4.4.4) und den Abströmbeiwert nach Gl. (T4.4.6). Infolge seiner Umfangsgeschwindigkeit cusp induziert der Spaltstrom bei der Vermischung mit dem Hauptstrom einen Mitdrall, der durch Gl. (T4.4.5) berücksichtigt werden kann (diese Gleichung ergibt sich aus der Drallbilanz von Haupt- und Spaltstrom). Werden für die modifizierte Pumpe Größen geändert, die den Abströmbeiwert beeinflussen, wird aufgrund des oben aus der Basis rückgerechneten Abströmwertes γ nach Gl. (T4.4.14) ein korrigierter Wert γ’ berechnet. Auf diese Weise umgeht man die Ungenauigkeiten der Berechnung der Basis. Analog wird bei der Berechnung der Bestpunktlage vorgegangen, Gl. (T4.4.11 bis 13). Erwartet man für die modifizierte Kennlinie einen anderen hydraulischen Wirkungsgrad als für die Basis, wird dieser Wert eingesetzt; andernfalls verwendet man ηh aus Gl. (T4.4.4) auch für die neue Kennlinie. Nach dem Verfahren in Tafel 4.4 können beliebig viele Änderungen kombiniert werden; z.B. um die Auswirkung verschiedener Gußtoleranzen zu bewerten.

4.7 Berechnung von Kennlinienänderungen

183

Abbildung 4.26 zeigt die Berechnung der Kennlinien bei einer Vergrößerung der Laufradaustrittsbreite um 10 % und einer Erweiterung des Spiralendquerschnittes um 15 %. Auf diesem Weg wird der Bestpunktförderstrom um 10% erhöht. 300

1 0.9 0.8

H (m)

0.6

η

0.7

250

0.5 0.4 200

0.3

Grundlage modifiziert H-Le Grundlage H-Le modifiziert

0.2 0.1

150

0 0

2000

4000

6000

8000

10000

Q (m 3/h)

Abb. 4.26. Berechnung der Auswirkungen einer Vergrößerung der Laufradaustrittsbreite b2 um 10 % und einer Spiralquerschnitterweiterung A3q um 15 %; n = 1490 1/min; doppelflutiges Laufrad nq = 23. Ausgangsbasis sind die als „Grundlage“ bezeichneten Kurven, „HLe“ bedeutet die jeweilige Leitapparatcharakteristik 50 Grundlage

NPSH 3 (m)

40

modifiziert

30 20 10 0 0

2000

4000

6000

8000

10000

Q (m 3/h)

Abb. 4.27. Verschiebung der NPSH-Kurve durch Vergrößerung des Laufradeintrittsdurchmessers um 2.3%. Gleiche Pumpe wie in Abb. 4.26. Ausgangsbasis sind die als „Grundlage“ bezeichneten Kurven.

184

4 Kennlinien

Die Auswirkungen von Änderungen auf die NPSH3-Kurve lassen sich durch Gl. (T4.4.26) bis (T4.4.29) berechnen. Dabei wird angenommen, daß die Beziehung zwischen dem Kavitationsbeiwert und dem Anstellwinkel = f(i1a’) für das ursprüngliche und das geänderte Laufrad gleich ist. Wenn der Laufschaufeleintrittswinkel vergrößert wird, könnte diese Annahme allerdings optimistisch sein. Abbildung 4.27 zeigt die Berechnung für eine Vergrößerung des Laufradeintrittsdurchmessers um 2,3% (gleiche Daten wie in Abb. 4.26). Die Auswirkung folgender Änderungen läßt sich mit Tafel 4.4 (4) berechnen: Laufradeintrittsdurchmesser, Nabendurchmesser, Schaufeleintrittswinkel und Zuströmwinkel (Vordrall). Tafel 4.4 (1) Berechnung von Kennlinienänderungen Gegeben:

Kennlinie einer Pumpe, „Basis“:

Gesucht:

Kennlinie einer modifizierten Pumpe „modifiziert“

H = f(Q); η = f(Q); P = f(Q) und geometrische Daten

1

Spaltverluste im Bestpunkt

(Qs1, Qs2, Qs3, QE)opt entsprechend dem Pumpentyp und der Axialschubentlastung

Tafel 3.7(1)

2

Radreibungsverluste Kolben/Scheibenreibung Zwischenstufendichtung mechanische Verluste

ΣPRR, Summe aller Stufen ΣPer Summe aller Kolben oder Scheiben ΣPs3 = (zst – 1) Ps3,st Pm entsprechend Lagern und Dichtungen

Tafel 3.6 Tafel 3.5

Als Funktion des Förderstromes wird für die Basis berechnet; Schritt 3 bis 12 H H opt

3

Spaltverluste als Funktion des Förderstromes

Q sx = Q sx , opt

4

Volumenstrom durch Laufrad

Q La = Q + Q s1 + Q s 2 + Q E

4.4.2

5

Volumenstrom durch Leitrad

Q Le = Q + Q s3 + Q E

4.4.3

6

hydraulischer Wirkungsgrad

ηh =

7

Vordrall infolge α1 oder α6 und c cu,sp * (Qs1 + Qs2 ) (Q + QE ) 2 1u = dsp + induziert durch Spaltstrom u 2 usp QLa f q A1 u 2 QLa tan α6 cu,sp/usp aus Gl. (T3.11a)

8

9

Abströmbeiwert H = Htot/zst Volumenstrom durch Laufrad bezogen auf Bestpunkt

10 Abströmbeiwert und hydraulischer Wirkungsgrad als Funkti-

γ=

ρ g H tot Q La P − ¦ PRR − ¦ Ps3 − Pm − Per

gH ηh u 22

q *La =

+

Q La τ 2 d* c + 1m 1u f q A 2 u 2 tan β 2B u2

Q La Q La , opt

ηh = f(qLa*) η h , opt

4.4.1

4.4.4

4.4.5

4.4.6

4.4.7

4.4.8

4.7 Berechnung von Kennlinienänderungen on von q*; diese Daten werden 11 für die Berechnung der geänderten Kennlinie benötigt Verzögerung zwischen 12 Laufradaustritt und engstem Leitradquerschnitt

γ = f(qLa*) γ opt c3q c2

185

4.4.9 Q + QE + Qs3

=

2

2

§Q · § · QLaτ2 ¸ zLeA3q ¨ La ¸ + u22¨ γ − ¨ fqA2 ¸ ¨ fq A2u2 tanβ2B ¸ © © ¹ ¹

4.4.10

Bestpunkt „modifiziert“; Schritt 13 bis 20 Definition der modifizierten 13 Größen, markiert durch Strich (′)

z.B. A′3q, b′2, d′2, z′La, β′2B, e′, α′1, α6, η′h, Q′E, Q′s1 oder Schaufelaustrittsprofil (a′2)

14

Theoretischer Bestpunkt für Basis, Laufradvolumenstrom

Q La,opt , th =

15

Verhältnis zwischen Versuch und theoretischem Wert

a=

fq A2 u 2 γ 2 π b 2 f q Q Le τ2 + tanβ 2B J sp Q La

Q La , opt , test

4.4.12

Q La , opt , th

2 π b2 fq Für Spiralen mit beliebigem Jsp = fq A 2 u 2 γ τ2 16 Querschnitt kann Jsp aus dem − QLe,opt tanβ2B Basisversuch berechnet werden

17 a3 aus Jsp Theoretischer Bestpunkt für 18 modifizierte Werte, Laufradvolumenstrom

4.4.12a

d + 2e3 ­ § J sp · ½ a3 = z ®exp¨ z b ¸ − 1¾ 2 ¯ © Le 3 ¹ ¿ Q′La,opt = a

f q A ′2 u ′2 γ′ 2 π b ′2 f q Q ′Le τ′2 + tanβ′2B J ′sp Q′La

19 γopt aus Gl. (4.4.6)

§ ¨1 − ¨ γ′opt = γ opt © § ¨1 − ¨ ©

20 hydraulischer Wirkungsgrad

η′h,opt = ηh,opt aus Gl. (4.4.4) oder Schätzung nach Tafel 3.8, oder 3.9

Abströmbeiwert im Bestpunkt

4.4.11

sin β′2B ·¸ z′La 0.7 ¸¹ sin β2B ·¸ z La 0.7 ¸¹

4.4.12b

4.4.13

4.4.14

4.4.15

Als Funktion des Förderstromes wird für die modifizierte Hydraulik berechnet; Schritt 21 bis 30 Q′La = q *La Q′La, opt

4.4.16

H 22 Spaltverluste Q′E, Q′s1 Q′s3, als Q′sx = Q′sx , opt H opt Funktion des Förderstromes

4.4.17

21 Volumenstrom durch Laufrad

23

hydraulischer Wirkungsgrad η′h = f(Q′La)

η′h = η′h , opt

ηh η h , opt

ηh aus Gl. (4.4.8) ηh , opt

4.4.18

186

4 Kennlinien

Tafel 4.4 (3) Berechnung von Kennlinienänderungen 24

Abströmbeiwert γ′ = f(Q′La)

γ′ = γ′opt

γ γ opt

γ aus Gl. (4.4.9) γ opt

4.4.19

25 Nutzförderstrom

Q′ = Q′La − Q′s1 − Q′s 2 − Q′E

4.4.20

Vordrall infolge α′1 oder 26 α′6 und induziert durch Spaltstrom

c1′ u c′u,sp * (Q′s1 + Q′s2 ) (Q′ + Q′E ) 2 = + d′sp u ′2 u ′sp Q′La f q A1′ u ′2 Q′La tan α′6

4.4.21

Geschwindigkeitsänderung zwischen Laufradaustritt 27 und engstem Leitradquerschnitt

c′3q c′2

Q′ + Q′E + Q′s3

=

2

2

§ Q′ · · § Q′Laτ′2 ¸ z′LeA′3q ¨ La ¸ + u′22¨ γ′ − ¨ fqA′2 ¸ ¨ ¸ ′ ′ β′ f A u tan q 2 2 2B ¹ © ¹ © η′h u ′2 2 g

­° Q ′La τ′2 d ′∗ c ′ − 1m 1u ® γ′ − ′ ′ f A u tan u ′2 β′ °¯ q 2 2 2B

½° ¾ °¿

4.4.22

28 Förderhöhe

H ′tot = z st

29 Leistungsaufnahme

P′ =

ρ g H ′tot Q′La ′ + ¦ PS3 ′ + Pm ′ + Per ′ + ¦ PRR ηh st

4.4.24

30 Wirkungsgrad

η′ =

ρ g H′tot Q′ P′

4.4.25

4.4.23

NPSH Berechnung Gegeben:

NPSH-Kennlinie einer Pumpe, „Basis“: NPSH3 = f(Q) und geometrische Daten

Gesucht:

NPSH-Kennlinie einer modifizierten Pumpe, „modifiziert“

Bestimmung des Kavitationsbei31 wertes als Funktion des Anstellwinkels der Basis

σ=

2g NPSH u12

c1m τ1 i1 ' = β1B − β1′ = β1B − arc tan u1 − c1u

4.4.26

4.4.27

32 Es wird angenommen, daß der Kavitationsbeiwert = f(i1a′) für die modifizierte Pumpe gleich verläuft wie für die Basis. Die Berechnung erfolgt für die äußere Stromlinie. Für die in Schritt 29 bestimmten 33 Werte von i1a′ wird der Förderstrom mit modifizierter Geometrie berechnet Die zu den Förderströmen aus 34 Schritt 31 gehörenden NPSHWerte ergeben sich aus:

Q′ =

f q A1 u1 1 τ1 + tanα1 tan(β1B − i1' )

u2 NPSH ′ = σ(i1 ' ) 1 2g

4.4.28

4.4.29

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge und ihre Wirkung auf die Kennlinien

Wenn eine Pumpe wesentlich unter dem Bestpunktförderstrom arbeitet, spricht man von Teillastbetrieb; bei kleiner spezifischer Drehzahl kann man diesen etwa bei q* < 0,8 – bei großem nq etwa bei q* < 0,9 – annehmen. Weil Schaufeleintrittswinkel und Kanalquerschnitte für den reduzierten Förderstrom zu groß sind, ändert sich die Strömung im Teillastbereich gegenüber dem Auslegungspunkt grundsätzlich: sie wird stark 3-dimensional, und bei genügend niedrigem Durchfluß entstehen Ablösungen und schließlich Rückströmungen am Laufradeintritt und -austritt. Ein relativ einfaches Mittel, qualitativen Aufschluß über die Laufradströmung zu erhalten, sind stroboskopische Beobachtungen von Fadensonden. Auf diese Weise gewonnene Strömungsbilder in einem Radialrad von nq = 22 sind in Abb. 5.1 dargestellt [B.20]: man erkennt, daß die Strömung bei q* > 0,8 anliegt, während bei geringerem Förderstrom zunehmend große Zonen mit Ablösung und Rückströmung beobachtet werden. Ähnliche Strömungsbilder wurden an Laufrädern von nq = 26 und 33 gefunden. Die Wechselwirkung zwischen Laufrad und Gehäuse am Ein- und Austritt ist wesentlich für das Teillastverhalten der Pumpe; sie bestimmt weitgehend Kennlinie, Radial- und Axialkräfte, hydraulische Erregerkräfte, Lärm und Kavitationsvorgänge. Derart komplexe Strömungen sind nur schwer anschaulich vorstellbar. Um Pumpen mit gutem Teillastverhalten auszulegen, muß man sich daher weitgehend auf Erfahrung abstützen. Dabei ist es hilfreich, die experimentellen Beobachtungen nach den zugrunde liegenden physikalischen Mechanismen zu ordnen. Dies ist das Ziel des vorliegenden Kapitels. Zunächst soll dabei analysiert werden, welche physikalischen Eigenschaften des Teillastverhaltens sich aufgrund der Erfahrung a priori ableiten lassen. Läuft die Pumpe merklich über dem Bestpunkt (q* > 1), können zwar ebenfalls örtliche Ablösungen in Laufrad oder Leitapparat auftreten, Rückströmungen ähnlichen Ausmaßes wie bei Teillast werden aber nicht beobachtet. In Kap. 5 werden primär stationäre Strömungen betrachtet; instationäre Effekte werden in Kap. 10 behandelt.

5.1 Grundsätzliche Überlegungen 5.1.1 Gut ausgelegte Pumpen erreichen im Bestpunkt – je nach spezifischer Drehzahl, Baugröße und Oberflächengüte – hydraulische Wirkungsgrade von 85 bis

188

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

Abb. 5.1. Stroboskopische Fadensondenbeobachtungen in einem Laufrad [B.20]

95%. Man kann also davon ausgehen, daß die Strömung im Bestpunktbereich „anliegt”, d.h. daß keine wesentlichen Ablösungen auftreten, die ja mit höheren Verlusten verbunden wären. Messungen und Fadensondenbeobachtungen in Laufrädern und Leitapparaten bestätigen diese Feststellung. 5.1.2 Andererseits ist beim Betrieb gegen geschlossenen Schieber sowohl am Laufradeintritt wie am -austritt Rezirkulation zu erwarten, was folgende Überlegung zeigt: Wir denken uns einen fluidgefüllten Behälter, in dem gemäß Abb. 5.2a eine Scheibe mit radialen Rippen („Schaufeln”) auf einer Welle angeordnet ist. Offensichtlich rotiert das Fluid mit einer gewissen Geschwindigkeit, wenn die Welle sich dreht. Da auf die rotierende Flüssigkeit Zentrifugalkräfte wirken, entsteht ein Druckgradient senkrecht zur Drehachse, der nach Gl.. (1.27) eine parabelförmige Druckverteilung im Behälter erzeugt. Am größten Radius entsteht der höchste Druck, was bewirkt, daß Fluid im Gehäuse radial einwärts und im beschaufelten Rotor radial auswärts strömt: Es entsteht eine „Rezirkulation”, bei der aus Gründen der Kontinuität, der an der Nabe ins Laufrad tretende gleich dem im äußeren Bereich ausströmenden Flüssigkeitsstrom sein muß. (Ohne Reibung im Gehäuse würde das Fluid wie ein fester Körper ohne Rezirkulation rotieren.)

5.1 Grundsätzliche Überlegungen a)

189

b) E

A

Pstat

c)

Abb. 5.2. Zur Ausbildung der Rezirkulation. a radiale Schaufeln, einseitig offen; b radiale Schaufeln, beidseitig offen; c halbaxiale Stufe

5.1.3 Betrachten wir einen beschaufelten Rotor gemäß Abb. 5.2b, der keine Tragscheibe hat, so stellt sich der oben beschriebene Strömungszustand auf Seite A und E in gleicher Weise ein. Denken wir uns nun die Gehäusewände bei A und E weg, haben wir eine Axialpumpe vor uns; und wir erkennen, daß beim Betrieb gegen geschlossenen Schieber die Rückströmung am Eintritt an der äußeren Stromlinie aus dem Laufrad in das Saugrohr erfolgt. Weiter erkennt man, daß sich am Laufradaustritt eine Rückströmung einstellt, die an der Nabe in das Laufrad eintritt. 5.1.4 Diese Überlegungen gelten offensichtlich in allen Fällen, in denen eine merkliche Radiendifferenz zwischen Deckscheibe und Tragscheibe des Laufrades auftritt; also bei allen Laufrädern mit nicht achsparallelen Schaufelein- oder -austrittskanten. Das trifft am Ein- und Austritt zu für alle halbaxialen und axialen Laufräder. Für Radialräder mit achsparalleler Austrittskante läßt sich diese Aussage für die Verhältnisse am Laufradaustritt nicht machen – wohl aber für den Laufradeintritt, wenn (wie meist üblich) die Schaufeln in den Saugmund vorgezogen werden. 5.1.5 Das durch die Zentrifugalkräfte bestimmte Bild der Rückströmung bei Q = 0 wird in erster Näherung weder durch die Art der Laufradbeschaufelung noch durch die Beschaffenheit des Gehäuses verändert. Wie die Erfahrung und eine Vielzahl von Messungen zeigen, findet man es am Laufradeintritt bei mehrstufigen Radialpumpen mit Rückführschaufeln ebenso wie bei Axialpumpen mit Saugtrompete, sowie am Laufradaustritt von halbaxialen und axialen Laufrädern, unabhängig davon, ob eine Spirale, ein Ringraum oder ein Leitrad nachgeschaltet ist. 5.1.6 Abb. 5.2c zeigt die sich aus Abb. 5.2b ergebenden Verhältnisse an einer halbaxialen Pumpe (von Pfleiderer schon 1938 beschrieben, [5.1]). Wie oben abgeleitet und durch die Erfahrung bestätigt, stellen sich diese Verhältnisse bei Q = 0 zwangsläufig ein. Da das nicht schlagartig erfolgen kann, muß bereits bei größeren Volumenströmen – nämlich immer, wenn die Rückströmung sich voll ausge-

190

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

bildet hat – eine Strömung auftreten, bei der das Fluid gemäß Abb. 5.2c nahe der Nabe ins Laufrad ein- und nahe der Deckscheibe aus dem Laufrad austritt. 5.1.7 Wenn die Strömung im Bestpunkt anliegt und bei Q = 0 eine voll ausgebildete Rezirkulation auftritt, die sich (qualitativ) unabhängig von der Bauart der Pumpe und deren Auslegungsparametern aufgrund eines Kräftegleichgewichtes einstellt, folgt daraus, daß irgendwo zwischen Bestpunkt und Nullförderung im Laufrad wie im Leitapparat Ablösungen auftreten. Grundlegend ist nun die Erkenntnis, daß dies bei allen Pumpen auftritt – auftreten muß –, und zwar völlig unabhängig davon, ob die Kennlinie stabil oder instabil ist, ob unzulässige hydraulische Erregerkräfte und Druckpulsationen auftreten, oder teillastbedingte Kavitationsprobleme beobachtet werden. Folglich ist das Auftreten von Ablösung und Rückströmung zwar eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für derartige Teillastprobleme. Beim Entwurf kann man danach trachten, die Ablösungen und das Einsetzen von Rückströmung zu möglichst kleinem q* zu verschieben, man kann aber Ablösung und Rückströmung grundsätzlich nicht verhindern. Vielmehr gilt es, Rückströmungen schädlichen Ausmaßes zu vermeiden. Hierbei handelt es sich nicht um eine scharfe Grenze, weil die Auswirkungen einer Rückströmung gegebener Intensität durch die Konstruktion der Pumpe beeinflußt werden. So hängen z.B. die an der Pumpe gemessenen Schwingungsamplituden bei gegebener hydraulischer Anregung von der Rotordämpfung in Dichtspalten und Lagern ab; und ob Kavitationserosion auftritt, wird nicht nur durch die hydraulische Kavitationsintensität, sondern auch durch das verwendete Laufradmaterial und die Flüssigkeitseigenschaften bestimmt (Kap. 6.6). 5.1.8 Der Befund, daß die Strömung im Bestpunkt anliegt und bei Q = 0 eine voll ausgebildete Rezirkulation vorliegt, läßt noch eine weitere Folgerung zu: die physikalischen Mechanismen der Energieübertragung vom Laufrad an die Flüssigkeit sind vermutlich bei anliegender und voll abgelöster Strömung grundsätzlich verschieden. Gemäß Kap. 4.1.6 steigt das Verhältnis von Nullförderhöhe zu Nennförderhöhe mit zunehmender spezifischer Drehzahl stark an und erreicht bei Axialpumpen Werte um 3 bis 5. Es muß sich also um sehr wirksame Mechanismen handeln, wenn bei Rückströmung so hohe Drücke erzeugt werden (unbeschadet dessen, daß der absolute Wert der Druckziffer mit zunehmendem nq fällt).

5.2 Die Strömung im Laufrad 5.2.1 Übersicht Die 3-dimensionale Strömungsverteilung im Laufrad bestimmt nicht nur die Energieübertragung von den Schaufeln an das Fluid (einschl. der Minderumlenkung) und die hydraulischen Verluste, sondern auch den Druckrückgewinn sowie mögliche Ablösungen im Leitapparat; die Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt ist nämlich geradezu entscheidend für das Geschehen in der Leitvorrichtung. Diesen Umstand zu ignorieren, ist eine der hauptsächlichen Schwächen der in Kap. 3 und 4 behandelten eindimensionalen Theorie. Zahlreiche Messungen in

5.2 Die Strömung im Laufrad

191

Laufrädern haben gezeigt, daß es eine unendliche Vielfalt von Geschwindigkeitsprofilen gibt, die von vielen geometrischen und hydraulischen Parametern abhängen. Sie mit einfachen Mitteln zu beschreiben, ist unmöglich. Die im folgenden entwickelten Modellvorstellungen sollen eine Hilfe sein, um die verwickelten Zusammenhänge besser zu verstehen und aus solchem Verständnis Konsequenzen für die Beurteilung numerischer Strömungsberechnungen und die Auslegung von Laufrädern zu ziehen. Die Strömung im Laufrad erfolgt im Absolutsystem grundsätzlich auf gekrümmten Bahnen. Dies ist, wie in Kap. 1.4.1 besprochen, nur möglich, wenn ein Druckgradient in Richtung auf den momentanen Krümmungsmittelpunkt vorhanden ist; er erzeugt die Zentripetalkraft, die notwendig ist, um das Fluidteilchen auf seiner gekrümmten Bahn zu halten. Der durch die Stromlinienkrümmung hervorgerufene Druckgradient stellt den einzigen Mechanismus dar, mittels dessen ein Laufrad den statischen Druck erhöhen kann; Dieser Sachverhalt erklärt, warum das Fluid vom niedrigeren Saugdruck zum höheren Austrittsdruck strömen kann und warum der statische Druck im Laufrad steigt, obwohl die Strömung im Absolutsystem beschleunigt wird. Die Druckerzeugung im Laufrad erfolgt also ausschließlich dadurch, daß dem Fluid von den Schaufeln eine Absolutgeschwindigkeit mit tangentialer Komponente cu erteilt wird; das Druckfeld stellt sich dabei so ein, daß es den Trägheitskräften das Gleichgewicht hält. Behandelt man die Laufradströmung aus der Sicht eines Beobachters im rotierenden System, in dem Zentrifugal- und Coriolisbeschleunigung zu berücksichtigen sind, werden diese Trägheitskräfte erzeugt durch: die Zentrifugalbeschleunigung infolge Rotation bz = ω2r, die Coriolisbeschleunigung bc = 2 ω × w und die Zentrifugalbeschleunigung infolge der Stromlinienkrümmung bz = w2/Rsl (Rsl sei der momentane Radius der Stromlinie). Vernachlässigt man Schubspannungen infolge Wandreibung und Impulsaustausch zwischen Stromlinien, kann man das Kräftegleichgewicht bei stationärer Strömung schreiben: 1 ∂p ∂r w 2 = 2ω × w + rω 2 − ρ ∂n ∂n R sl

(5.1)

Infolge von Grenzschichten sowie der Strömungsumlenkung im Meridianschnitt und um die Schaufeln ist die Geschwindigkeitsverteilung in einem Laufrad grundsätzlich ungleichförmig. Die durch die Laufradgeometrie bestimmte Strömungskinematik erzeugt ein Druckfeld, das diesen ungleichförmigen Geschwindigkeitsverteilungen aufgeprägt ist. Um an jeder Stelle das Kräftegleichgewicht nach Gl. (5.1) aufrechtzuerhalten, paßt sich die Stromlinienkrümmung an, und es entstehen Ausgleichsströmungen quer zur Hauptströmung. In den folgenden Abschnitten werden diese „Sekundärströmungen” und ihre Wirkung auf die Geschwindigkeitsprofile im Laufrad erörtert, da sie einen wesentlichen Einfluß auf die Verluste und den Druckrückgewinn im Leitapparat sowie die Kennlinienstabilität haben. Allgemein treten Sekundärströmungen dann auf, wenn senkrecht zur Richtung der Hauptströmung Kräfte wirken, die entsprechende Druckgradienten quer zur

192

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

Strömung erzeugen. Nach Gl. (5.1) werden diese Druckgradienten durch die einander entgegengerichteten Zentrifugal- und Coriolisbeschleunigungen bestimmt. Das Verhältnis dieser Beschleunigungen entscheidet folglich darüber, in welche Richtung die Strömung abgelenkt wird; es sei als eine Rossby-Zahl definiert: b Ro = z bc

(5.2)

Da die so definierte Rossby-Zahl zwei senkrecht zur Hauptströmung wirkende, entgegengerichtete Kräfte in Beziehung setzt, kann man sie geradezu als „Sekundärströmungsparameter” bezeichnen. Wie im folgenden gezeigt, muß man mindestens drei Rossby-Zahlen verwenden, um die Sekundärströmung zwischen den Schaufeln, in axial durchströmten Laufradpartien und im gekrümmten Meridianschnitt zu beschreiben.1 Die Strömungsverteilung im Laufrad hängt im wesentlichen vom Zusammenwirken folgender Effekte ab: • Schaufelkräfte (Zirkulation oder Auftrieb), die durch die Umströmung der Schaufeln entstehen.2 • Zentrifugalkräfte. Die Erfahrung zeigt, daß ein Laufrad dem Fluid eine um so größere Umfangskomponente erteilen kann, je größer das Verhältnis von Austritts- zu Eintrittsradius ist. Für diesen Sachverhalt sei der anschauliche Begriff „Zentrifugalwirkung” verwendet, auch wenn die Zentrifugalkraft keine unmittelbare Pumpwirkung ausübt. • Corioliskräfte • Geschwindigkeitsverteilung am Laufradeintritt • Grenzschichten • Dichtspaltleckagen • Wechselwirkung zwischen Gehäuse und Leitvorrichtung bei Rezirkulation Die Erfahrung lehrt, daß die Form der Kennlinie sowie ggf. eine Kennlinieninstabilität im praktisch wichtigen Bereich durch die Drehzahl kaum meßbar beeinflußt wird [5.6], [5.18], [5.37]: so ergaben die Versuche an einer dreistufigen Pumpe in [5.17], daß die Form der Kennlinien bei allen drei Drehzahlen sehr ähnlich war, obwohl die Drehzahl im Bereich 1:4 und die Reynolds-Zahl fast 1:20 variiert wurde. Hieraus folgt, daß das globale Teillastverhalten nicht empfindlich auf die Reynolds-Zahl bzw. die Grenzschicht reagiert, obwohl diese für die erste lokale Ablösung verantwortlich sein sollte. Folglich ist die Teillastkennlinie weitgehend durch das oben besprochene Gleichgewicht Reynolds-unabhängiger Strömungskräfte nach Gl. (5.1) bestimmt. Voll ausgebildete Rückströmung – nicht aber der Rückströmbeginn – wird deshalb recht gut durch 3D-Euler-Rechnungen modelliert. 1

In der Literatur werden unterschiedliche Definitionen für die Rossby-Zahl verwendet, was bei Vergleichen zu beachten ist. 2 Der aus Gründen der Anschaulichkeit eingeführte Begriff „Schaufelkräfte” ist nicht exakt: die auf die Schaufel wirkende Kraft ist das Integral der Druckverteilung über die Schaufel; diese Druckverteilung hängt nur von der Geschwindigkeitsverteilung im Laufrad ab.

5.2 Die Strömung im Laufrad

193

5.2.2 Physikalische Mechanismen 5.2.2.1 Wirkung der Rotation Wir betrachten ein Radialrad mit rückwärts gekrümmten Schaufeln, Abb. 5.3; die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Zeichenebene sei null. Auf ein Fluidteilchen, das an einem gegebenen Punkt mit der Relativgeschwindigkeit w auf einer Bahn mit dem Krümmungsradius Rsl strömt, wirken neben den Druckkräften: • die Komponente der Zentrifugalbeschleunigung bz1 = ω2 R sinβ in Richtung von w • die Komponente der Zentrifugalbeschleunigung bz2 = ω2 R cosβ normal zu w • die Bahnbeschleunigung bz3 = w2/Rsl senkrecht zu w • die Coriolisbeschleunigung bc = 2 w × ω senkrecht zu w, aber entgegengesetzt zu bz2 und bz3. Für die Sekundärströmung, und damit die Geschwindigkeitsverteilung im Laufradkanal, sind primär die Beschleunigungen senkrecht zur momentanen Strömungsrichtung maßgebend. Offensichtlich entscheidet nun das Verhältnis (bz2+bz3)/bc darüber, ob das Fluidelement zur Saug- oder zur Druckfläche der Schaufel abgelenkt wird. Dieses Verhältnis ist die in Gl. (5.2) definierte RossbyZahl (mit Index S für „Schaufel”): RoS =

u cos β wR + 2w 2 u R sl

(5.3)

Ist diese Kenngröße nahe bei eins, wäre keine merkliche Sekundärströmung zu erwarten; ist sie kleiner als eins, überwiegt die Corioliskraft und die Strömung wird in Richtung Druckfläche der Schaufel abgelenkt; ist sie größer als eins, transbz3

bz1

u

ω2R bz2 β

w

w

β bc

SS

DS

b z1 = ω 2 R sin β b z 2 = ω 2 R cos β b z3 =

w2 R sl

bc = 2w ⋅ ω

R Rsl

Abb. 5.3. Beschleunigung an einem Fluidelement in einem radialen Laufrad

194

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

portiert die Sekundärströmung Fluid zur Saugfläche der Schaufeln. Da die Strömungsverteilung infolge Grenzschichten, Meridiankrümmung und Schaufelkräften immer ungleichförmig ist, treten in Wirklichkeit auch bei RoS = 1 Sekundärströmungen auf. Setzt man w = wu/cosβ, wu = u - cu und ψth = 2 cu/u, ergeben sich die folgenden Ausdrücke für die Rossby-Zahl: RoS =

RoS =

cos2 β § c 2¨1 − u u ©

· ¸ ¹

R § c · + ¨1 − u ¸ u ¹ 2 cos β R sl ©

cos2β § ψ th · R + ¨1 − ¸ 2 − ψ th © 2 ¹ 2 cos β R sl

(5.4)

(5.5)

Da die Relativgeschwindigkeit im Laufradkanal örtlich nicht konstant ist, variiert auch die örtliche Beschleunigung, der die einzelnen Elemente unterliegen. In einem Totwassergebiet (wo w gegen null geht) strebt RoS gegen unendlich, hier herrscht also nur die Zentrifugalbeschleunigung, die danach trachtet, das Totwasser in Richtung Schaufelsaugfläche zu transportieren. Man vergleiche hierzu die Richtung der Fadensonden in den Totwasserzonen auf der Druckfläche der Schaufeln in Abb. 5.1. Diese Zusammenhänge zeigen qualitativ die Wirkung der Rotation auf die Sekundärströmung und das Geschwindigkeitsprofil über eine Schaufelteilung. Am deutlichsten sieht man den Einfluß bei einem durchströmten Kanal, dessen Achse senkrecht zur Rotationsachse liegt. Dann geht cosβ gegen null und Rsl gegen unendlich d.h. RoS gegen null, und es entwickelt sich eine Sekundärströmung gegen die Druckfläche. Messungen an einem rotierenden Kanal von quadratischem Querschnitt [5.3] in Abb. 5.4, sowie an einem rotierenden Diffusor [5.4], bestätigen dies. In der Grenzschicht verschwindet der Einfluß der Coriolisbeschleunigung (wegen der Haftbedingung geht w gegen null; Ros geht gegen unendlich); die in der Hauptströmung induzierte Sekundärströmung fließt (auch wegen der Kontinuität) in den wandnahen Zonen zur Saugfläche zurück, wie aus Abb. 5.4 und 5.10 zu erkennen. Bei Laufrädern sind die Verhältnisse wegen der unten zu besprechenden weiteren Einflüsse zwar wesentlich komplizierter, man kann aber dennoch den Einfluß der Rotation in etwa beurteilen: •

•

Bei im wesentlichen radialen Schaufeln (β2Β gegen 90°) liegen die Verhältnisse ähnlich wie beim rotierenden Kanal; die Rossby-Zahl geht gegen null, und es ist eine starke Sekundärströmung in Richtung Druckfläche zu erwarten. Das bedingt ein Geschwindigkeitsprofil zwischen den Schaufeln, das ein Maximum nahe der Druckfläche hat und demzufolge ein Defizit an der Saugfläche aufweist („wake”), Abb. 5.4, 5.11. Bei rückwärts gekrümmten Schaufeln liegt die Rossby-Zahl nach Gl. (5.5) nahe bei eins. Die Strömung befindet sich in einem „labilen” Gleichgewicht; die Geschwindigkeitsverteilung hängt von vielen Einflüssen ab und läßt sich

5.2 Die Strömung im Laufrad

195

schwer vorhersagen. Kleine Änderungen in der Geometrie oder im Förderstrom können zu einem Umschlag der Strömung führen. Mit sinkendem Förderstrom steigt die Rossby-Zahl gemäß Gl. (5.3) leicht an, weil die Relativgeschwindigkeit bei Teillast sinkt und der erste Term überwiegt. Die Strömung verlagert sich in Richtung Druckfläche.

•

SS

PS

a)

b) 1.0

1.0

SS

PS 0.7

w wm

0.8

Re

0.9 1.0

1.1 1.2

1.25

z b

= 34700 0.5

0

0.5

0 1.0

0 0

y/b

1.0

Drehrichtung

Abb. 5.4. Rotierender quadratischer Kanal, SS Saugseite, PS Druckseite, [5.3] a Geschwindigkeitsverteilung in Richtung der Kanalachse. b Isotachen und Sekundärströmung

Die hier eingeführte Kennzahl RoS liegt innerhalb der Laufradkanäle – mit Ausnahme von Totwasserzonen – vermutlich meist unter eins, so daß die Strömung in Richtung Druckfläche der Schaufel abgelenkt wird. Die Gleichungen (5.2) bis (5.4) zeigen, daß die Sekundärströmung zwischen den Schaufeln von mehreren Parametern abhängt, die beide Terme auf der rechten Seite der Gleichungen gegenläufig beeinflussen. Hieraus ist zu folgern, daß sich das Strömungsgleichgewicht in Radialrädern mit stark rückwärtsgekrümmten Schaufeln auf verschiedene Weise einstellen kann, und somit schwer voraussagbar ist. Die Analyse einer großen Zahl gemessener Geschwindigkeitsprofile am Austritt solcher Laufräder läßt daher keine allgemeinen Tendenzen erkennen. 5.2.2.2 Wirkung der Schaufelkräfte Ein Laufrad überträgt dann Energie an das Fluid, wenn auf der Saugfläche der Schaufeln ein kleinerer Druck herrscht als auf der Druckfläche. Dies ist der Fall, wenn die Schaufel so umströmt wird, daß auf der Saugfläche die Relativgeschwindigkeit, wie in Abb. 3.3 skizziert, größer als auf der Druckfläche ist. Über der Schaufellänge ergeben sich daher qualitativ die in Abb. 5.5 dargestellten Verteilungen des statischen Druckes und der Relativgeschwindigkeit. Die theoretische Schaufelarbeit ergibt sich näherungsweise aus dem Integral über die Druckverteilung: offensichtlich gilt die Proportionalität Yth ∝ pDS - pSS und damit auch Yth ∝ wSS2 - wDS2. Mit sinkendem Förderstrom steigt Yth an; und das würde auch

196

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

für (wSS - wDS) gelten, wenn nicht die zuvor besprochene, durch die Corioliskraft bedingte, Sekundärströmung diese Geschwindigkeitsdifferenz ganz oder teilweise ausgleichen würde. An der Schaufelhinterkante muß die Druckdifferenz gegen null gehen, weil in der freien Strömung hinter dem Laufrad keine Unstetigkeit in der statischen Druckverteilung bestehen kann. Die Geschwindigkeitsverteilung im Laufrad gleicht sich daher gegen den Austritt so an, daß diese Abströmbedingung eingehalten wird (Abb. 3.3). Dieser Vorgang führt zu der in Kap. 3 besprochenen Minderumlenkung, die im wesentlichen erst im letzten Teil der Schaufel entsteht. Für das Verständnis der Laufradströmung ist es wichtig festzuhalten, daß die Wirkungen der Schaufelkräfte und der Corioliskraft gegeneinander gerichtet sind: aus der Schaufelumströmung ergibt sich tendenziell ein Geschwindigkeitsmaximum nahe der Saugfläche (Abb. 3.3a, Profil k), während die Corioliskraft das Maximum der Relativgeschwindigkeit gemäß Abb. 5.4 eher zur Druckfläche verlagert. Offensichtlich ist das Gleichgewicht zwischen diesen beiden Kräften recht labil, so daß sich nicht mit einfachen Mitteln voraussagen läßt, wann die Relativgeschwindigkeit auf der Saugfläche der Schaufeln größer, gleich oder kleiner als auf der Druckfläche ist. Messungen zeigen häufig, daß die Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt im Bereich q* = 0,8 bis 0,9 gleichförmiger als im Bestpunkt ist. Die Mischungsverluste sind hier entsprechend geringer. Dieses Verhalten trägt dazu bei, daß das Maximum des hydraulischen Wirkungsgrades oft ebenfalls in diesem Bereich liegt, also nicht mit dem Maximum des Kupplungswirkungsgrades zusammenfällt (s.a. Abb. 4.16). w SS

w PS L

p PS

p SS

L

Abb. 5.5. Druck- und Geschwindigkeitsverteilungen im Laufrad (schematisch)

5.2 Die Strömung im Laufrad

197

5.2.2.3 Wirkung der Axialströmung In Axialrädern oder axial durchströmten Laufradteilen (insbesondere im axialen Eintritt von Radialrädern) wirken auf ein Fluidteilchen gemäß Abb. 5.6 die Zentrifugalbeschleunigung bz = u2/R und die Coriolisbeschleunigung bc = 2 wu × ω; daraus ergibt sich eine Rossby-Zahl, die mit dem Index „ax” versehen sei: Ro ax =

1 1 1 = = wu § c u · 2 − ψ th 2 ¸ 2¨¨1 − u u ¸¹ ©

(5.6)

An Hand von Gl. (5.6) erkennt man, daß die Rossby-Zahl bei nicht abgelöster Strömung unter eins liegt, so daß die Hauptströmung tendenziell in Richtung Nabe abgelenkt wird. Mit zunehmendem Förderstrom sinkt Roax; die Sekundärströmung in Richtung Nabe verstärkt sich. Ist diese Kennzahl größer als eins, ist die Sekundärströmung nach außen gerichtet. In einer Totwasserzone (wu gegen null) strebt die Rossby-Zahl gegen unendlich, und die Strömung wird radial auswärts beschleunigt. Auch in der Grenzschicht an den Schaufeln strebt (wegen der Haftbedingung w → 0) Roax gegen unendlich; die Grenzschichtströmung wird also durch Zentrifugalkräfte nach außen beschleunigt. Abb. 5.7 zeigt die aus Messungen abgeleitete Sekundärströmung in einem Vorsatzläufer nach [5.5] und bestätigt diese Überlegungen. ω

wu w

wu

bz

Leckage

u bc

ω

R ω

Abb. 5.6. Beschleunigung an einem Fluidelement in axialer Strömung

Abb. 5.7. Sekundärströmung in einem axialen Vorsatzläufer [5.5]

5.2.2.4 Wirkung der Meridiankrümmung In einem Radialrad wird die Strömung vom axialen Eintritt um 90° auf den radialen Austritt umgelenkt. Die Meridiankomponente der Strömung unterliegt damit den Gesetzen der Krümmerströmung nach Abb. 1.12: am Eintritt in den Krümmer entwickelt sich ein Geschwindigkeitsprofil gemäß Drallsatz (c r = konstant) mit der größten Geschwindigkeit an der inneren Wand; es bildet sich infolge Zentrifugalkräften eine Sekundärströmung, die gegen den Austritt die Geschwindigkeitsverteilung umlagert, so daß die größte Geschwindigkeit an der Krümmeraußen-

198

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

wand auftritt. In Abb. 5.8 sind diese Verhältnisse auf die Meridianströmung eines Radialrades übertragen. Die Druckdifferenz zwischen Trag- und Deckscheibe, die durch die Zentrifugalbeschleunigung bz2 = cm2/Rm erzeugt wird, ist nach Gl. (1.29) Δp = ρ cm2 B/Rm. Die durch die Krümmung bedingte Zentrifugalbeschleunigung und eine Komponente der Coriolisbeschleunigung bc = 2 w × ω wirken also beide in dem Sinn, daß die Strömung in Richtung Tragscheibe abgedrängt wird, Abb. 5.8. Dem entgegen wirkt die durch die Rotation bedingte Komponente der Zentrifugalbeschleunigung bz1 = u2/R (siehe Abb. 5.6 und 5.8). Somit kann auch hier die Sekundärströmung durch eine Rossby-Zahl beschrieben werden: Ro m =

b z1 cos ε = b z 2 + b c cos ε § c ¨¨ m © u

1 2

w R · +2 u ¸¸ u ¹ R m cos ε

(5.7)

Diesem Vorgang überlagert sich noch die Wirkung der Schaufelkräfte und der Schaufel-Rossby-Zahl. Die Strömung wird voll 3-dimensional und sehr unübersichtlich, weil mal der eine und mal ein anderer Effekt überwiegt. Dazu kommt bei Teillast die Rückwirkung der Leitvorrichtung. Daher kann man das Maximum in der Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt sowohl an der Tragscheibe finden, wenn der Einfluß der Meridiankrümmung dominiert, als auch an der Deckscheibe, wenn der Einfluß der Zentrifugalkraft in Teilen des Schaufelkanals überwiegt, wo die Strömung noch eine axiale Komponente aufweist. Festzuhalten ist, daß die Meridiankrümmung einen entscheidenden Einfluß auf die Geschwindigkeitsverteilung über die Schaufelbreite ausübt, während die Verteilung zwischen den Schaufeln durch die Schaufelkräfte und die Rotation bestimmt wird.

Rm

c2m

bz1 cm

ε ε

bc

ε

bz2

R cm

Abb. 5.8. Beschleunigung und Geschwindigkeiten im Meridianschnitt

5.2.3 Zusammenwirken der verschiedenen Mechanismen Die Diskussion der verschiedenen auf die Strömung wirkenden Kräfte hat gezeigt, daß die Geschwindigkeitsprofile im Laufrad (und am Laufradaustritt) Maxima an der Trag- oder Deckscheibe sowie an der Druck- oder Saugfläche der Schaufeln

5.2 Die Strömung im Laufrad

199

aufweisen können. Wie die Geschwindigkeitsverteilung bei einer gegebenen Pumpe und bei gegebenem Durchfluß wirklich aussieht, läßt sich weder mit einfachen Mitteln voraussagen, noch im nachhinein (Messung oder numerische Berechnung) leicht erklären – es sei denn, ein ganz bestimmter Mechanismus würde eindeutig überwiegen. Besonders schwierig ist die Beurteilung der Strömung in Radialrädern spezifischer Drehzahlen von 50 bis 100, da die Schaufelaustrittskanten nahe dem Bereich liegen, wo der Meridianschnitt eine starke Krümmung aufweist. Wenn die Sekundärströmung asymmetrisch ist, entsteht eine spiralförmige Strömung im Laufradkanal. Dann hängt die Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt offensichtlich davon ab, an welcher Stelle, bezogen auf die „Steigung” der Spirale, sich die Laufradaustrittskante befindet. Diese Modellvorstellung erklärt, warum man als Funktion der spezifischen Drehzahl scheinbar völlig unsystematische Geschwindigkeitsverteilungen am Laufradaustritt vorfindet. Asymmetrische, spiralförmige Strömungsformen ergeben sich auch aus der Überlagerung der Krümmerströmung im Meridianschnitt (Abb. 5.8) mit der durch die Rotation bedingten Sekundärströmung (Abb. 5.4), die ein Strömungsmuster nach Abb. 5.9 erzeugt, s.a. [5.50]. Allgemein gilt: die durch Feldkräfte verursachten Sekundärströmungen fließen in der Kernströmung von Bereichen niedrigen Druckes zu Zonen höheren Drukkes; in der Grenzschicht strömt das Fluid dann aus Kontinuitätsgründen vom höheren zum tieferen Druck zurück, Abb. 1.12, 5.9 und 5.10. Überlagert man die Wirkung der Meridiankrümmung (Kap. 5.2.2.4) und der Schaufelkräfte (Kap. 5.2.2.2), so ergibt sich in der Ecke zwischen der Deckscheibe (c2m-Minimum nach Abb. 5.8) und der Schaufelsaugfläche (w-Maximum gemäß Abb. 3.3) eine Zone mit minimaler Energieübertragung („wake”). Dazu kommt wie oben die Wirkung der Coriolisbeschleunigung, die Fluid in Richtung Schaufeldruckfläche transportiert. Abb. 5.10 zeigt, welche Sekundärströmung sich hier einstellt. Diese Strömungsform wurde in Messungen häufig beobachtet; besonders in hoch belasteten Radialkompressoren, aber auch in Pumpen; so z.B. bei Versuchen an halbaxialen Laufrädern in [6.44], die das Energiedefizit in der Ecke zwischen Deckscheibe und Schaufelsaugfläche ausgeprägt aufwiesen. Abbildung 5.11 zeigt als Beispiel die cm-Verteilung am Austritt eines Kompressorlaufrades mit rückRotation

Krümmung D

D

T

DS

+

T

D

DS

T

u

SS

SS

Abb. 5.9. Überlagerung der durch Krümmung und Rotation verursachten Sekundärströmungen; D Deckscheibe, T Tragscheibe, SS Saugfläche, DS Druckfläche

200

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge Deckscheibe

a)

b) Deckscheibe

DS

-

DS

u

Tragscheibe

Tragscheibe

+

-

+

pstat > pstat

-

pstat < pstat

SS

Abb. 5.10. Sekundärströmung in radialen Laufrädern. a nach [5.29]; b gemäß den entwikkelten Modellvorstellungen; SS Saugfläche, DS Druckfläche

0.6

cm(y,z)/u2

0.4

1.0 0.9 0.7

0.2

0

Tragscheibe

0.5 0.3 0.1 z/b 0

DS

0.1

0.3 y/l

0.5

0.7

0.91.0

Deckscheibe

SS

Abb. 5.11. Meridiangeschwindigkeit am Austritt eines radialen Kompressorlaufrades [5.28]

wärtsgekrümmten Schaufeln. Die Zone niedriger Energieübertragung befindet sich bei Pumpen oft an der Deckscheibe über die gesamte Teilung und weniger in der Ecke zur Schaufelsaugfläche konzentriert; sie beeinflußt den Druckrückgewinn im Leitapparat, die Rückströmung am Laufradaustritt und die Stabilität der Kennlinie. Die theoretische Schaufelarbeit ergibt sich aus dem Integral über u cu am Laufradaustritt; die vom Laufrad an das Fluid wirklich übertragene Energie folgt aus dem Integral des Totaldruckes am Laufradaustritt (jeweils nach Abzug der entsprechenden Integralwerte am Laufradeintritt). Aus dem Quotient beider Größen erhält man den hydraulischen Laufradwirkungsgrad, der entsprechend den Leitradverlusten größer als der hydraulische Wirkungsgrad der Pumpe ist. Ein bestimmter Integralwert kann nun offensichtlich aus „unendlich” vielen verschiedenen Geschwindigkeitsprofilen am Laufradaustritt entstehen. Bei gegebenen Integralwerten hat also die Form des Geschwindigkeitsprofils am Laufradaustritt

5.2 Die Strömung im Laufrad

201

keinen unmittelbaren Einfluß auf die übertragene Energie; dieser Einfluß wird erst in der Leitvorrichtung wirksam. 5.2.4 Rückströmung am Laufradeintritt Wie in Kap. 5.1.2 begründet, muß sich beim Betrieb gegen geschlossenen Schieber am Laufradeintritt zwangsläufig eine Rückströmung einstellen, bei der das Fluid am größten Durchmesser des Saugmundes aus dem Laufrad in den Saugraum zurückfließt und in Nabennähe wieder ins Laufrad eintritt. Das aus dem Laufrad rückströmende Fluid hat dabei eine Umfangsgeschwindigkeit größer als null, die sich durch Impulsaustausch auf das Fluidvolumen vor dem Laufrad überträgt, so daß bei niedrigem Förderstrom über dem gesamten Eintrittsquerschnitt ein von außen nach innen abnehmender Vordrall vorhanden ist, Abb. 4.9. Die Rotation des Fluids erzeugt eine etwa parabelförmige Druckverteilung vor dem Laufrad. Wenn keine Rippen oder Einbauten vor dem Laufrad die Rotation bremsen, dringt die Rückströmung mit abnehmendem Förderstrom immer weiter in die Eintrittsleitung ein (der induzierte Drall kann noch bei L/D > 10 nachgewiesen werden). Sind keine Strukturen zur Drallbremsung vorhanden, wird die Saugdruckmessung durch die Eintrittsrezirkulation verfälscht: man ermittelt entsprechend eine zu niedrige Förderhöhe und zu hohe NPSH-Werte. Bei Versuchen mit axialem Zulauf ist deshalb ein Gleichrichter oder ein Kreuz in der Eintrittsleitung erforderlich; bei tiefer Last ist der Eintrittsdruck vor, im Bestpunktbereich und darüber stromabwärts solcher Elemente zu messen (s. a. Kap. 5.2.6 u. Abb. 5.16). Diese Verhältnisse werden ohne Ausnahme durch zahllose Versuche an radialen, halbaxialen und axialen Laufrädern bestätigt. In Abb. 5.12 ist diese Strömung im Meridianschnitt radialer und axialer Laufräder schematisch dargestellt (halbaxiales Laufrad in Abb. 5.2c). Abbildung 4.9 zeigt als Beispiel die am Eintritt eines Axialrades gemessenen cm- und cu-Verteilungen: die Rückströmung setzt an der Deckscheibe bei etwa q* = 0,6 ein. Mit abnehmendem Förderstrom wächst die Intensität der Rückströmung: die Größe der erfaßten Zone, die negativen cm und die Vorrotation cu steigen. Wenn auch die hier beschriebenen Verhältnisse bei allen Laufrädern qualitativ gleich sind, bestehen erhebliche quantitative Unterschiede bezüglich Beginn und QRec a)

b)

D1eff D1 D0 DR

QRec d)

c)

Q

QRec e)

Q

Q

D1eff

Abb. 5.12. Formen von Rückströmungen (Komponenten im Meridianschnitt)

202

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

Intensität der Rückströmung. Insbesondere der Frage, wann die Rückströmung einsetzt, wurden viele Untersuchungen gewidmet, z.B. [5.6 bis 5.10], ohne daß bisher eine allgemeingültige Methode zur Vorausberechnung gefunden wurde. Damit eine Rückströmung der am Laufradeintritt beobachteten Form überhaupt auftreten kann, müssen zwei Voraussetzungen erfüllt sein: (1) Die Strömung muß örtlich ablösen (2) Es müssen starke Druckunterschiede senkrecht zur Richtung der Hauptströmung auftreten. Eine Bedingung allein genügt nicht: so führen weder eine Ablösung über die ganze Schaufelhöhe in einem ebenen Gitter noch Druckgradienten quer zur Strömung (z.B. in einem scharfen Krümmer) zu einer Rückströmung der an Laufrädern beobachteten Art. Die örtliche Ablösung hängt nicht nur von Grenzschichteffekten ab, sondern auch von dem oben besprochenen Kräftegleichgewicht, das von vielen geometrischen Parametern und dem Förderstrom bestimmt wird. Diese Effekte lassen sich bestenfalls mit numerischen Methoden berechnen; der Versuch, sie mit wenigen einfachen Größen allgemeingültig zu erfassen und so den Beginn der Rückströmung vorauszusagen, hat angesichts der komplexen Strömungsverhältnisse wenig Aussicht auf Erfolg. Ein solches Vorgehen mag allenfalls für eine Gruppe ähnlich ausgeführter Pumpen erfolgreich sein, [5.7], versagt aber für andere Fälle [5.11], [B.20]. Der Anstellwinkel, der von vielen Autoren als maßgebend für den Beginn der Rückströmung angesehen wird, hat zwar einen Einfluß auf die Ablösung, vermag aber direkt nichts über die Druckgradienten quer zur Strömung auszusagen. Eine Korrelation des Rückströmbeginns mit dem Anstellwinkel war daher nicht möglich, wie in [B.20] anhand von Daten aus [5.6] nachgewiesen wurde1: Bei den Messungen in [5.6] wurden halbaxiale Laufräder (nq = 180) mit fünf verschiedenen Beschaufelungen untersucht: die Rezirkulation am Eintritt setzte ein bei Anstellwinkeln zwischen null und 11° oder Verzögerungsverhältnissen von w1q/w1a = 0,42 bis 0,61. Die Rezirkulation kann folglich schon bei Anstellwinkel null einsetzen, wenn die Strömung im weiteren Verlauf der Schaufel entsprechend stark verzögert wird. Betrachten wir hierzu Abb. 5.13a: aufgetragen über dem Förderstrom sind die Relativgeschwindigkeit w1 , die sich aus den Geschwindigkeitsdreiecken für die äußere und die innere Stromlinie ergibt, sowie die mittlere Geschwindigkeit w1q = QLa/(zLa A1q) im engsten Querschnitt am Laufradeintritt, die man aus der Kontinuitätsgleichung erhält. Rechts von Punkt 1 wird die Strömung von w1 auf w1q beschleunigt; links von Punkt 1 wird sie an der äußeren Stromlinie verzögert. Da die Strömung bei Q = 0 nicht auf null verzögert werden kann, muß sie irgendwann ablösen. Diese Ablösung wird – im wesentlichen unabhängig vom Anstellwinkel – durch den Querschnitt des Schaufelkanals verursacht. Abbildung 5.13a macht auch deutlich, wie Druckdifferenzen quer zur Hauptströmung entstehen können: an der inneren Stromlinie setzt die Verzögerung erst bei 1

Zu dieser Schlußfolgerung gelangten auch Stoffel und Weiß aufgrund von LDVMessungen in drei radialen Laufrädern, [5.39].

5.2 Die Strömung im Laufrad

i1

a)

c1 A1

w1

A1q

β1

Rezirkulationsbeginn

c1m

α1 u1

w1, w1q

c1u

Q w1q = z A la 1q

1 w1i

u1a u1i

203

w1a

2 b)

Q

i1

w1

w1q w1

Abb. 5.13. Verzögerung der Strömung am Laufradeintritt, [B.20]

kleinerem Durchsatz ein, weil die Relativgeschwindigkeit wegen des kleineren Radius wesentlich kleiner ist als an der äußeren Stromlinie. Bis zur Ablösung wird folglich an der äußeren Stromlinie ein größerer Druck aufgebaut als an der Nabe. Sobald eine Ablösung auftritt, in der die Relativgeschwindigkeit sinkt, wird das Totwasser durch Zentrifugalkräfte in Richtung Deckscheibe abgelenkt (s. Kap. 5.2.2.3), wodurch schließlich die Rückströmung in den Saugmund entsteht, wenn die Totwasserzone groß genug geworden ist. Hieraus folgt: Je größer das Radienverhältnis der äußeren zur inneren Stromlinie r1a/r1i desto größer werden die Druckdifferenzen senkrecht zur Strömungsrichtung, desto früher setzt die Rückströmung ein und desto intensiver wird sie. Dieser Sachverhalt erklärt auch, warum der Rückströmbeginn q*RB = QRB/Qopt in der Regel mit wachsender spezifischer Drehzahl steigt, und warum bei Laufrädern mit achsparalleler (oder wenig geneigter) Eintrittskante die Rückströmung bei relativ kleinen Förderströmen einsetzt. Entwirft man hingegen Laufräder für verschiedene spezifische Drehzahlen mit dem gleichen Laufradeintritt (vergleiche hierzu Abb. 3.8), also in etwa gleichen Werten für r1a/r1i und w1q/w1a, dann beginnt die Rückströmung beim selben Förderstrom, weil der Laufradaustritt wenig Einfluß auf das Einsetzen der Rezirkulation ausübt, [5.39]. Gegen die Hypothese, der Anstellwinkel sei maßgebend für das Einsetzen der Rückströmung, spricht auch folgende Überlegung (s. hierzu Abb. 5.13b): Da der Schaufelwinkel an der inneren Stromlinie meist größer als an der äußeren ist, steigt der Anstellwinkel nahe der Nabe bei abnehmendem Volumenstrom schneller als außen. Würde die Rückströmung primär vom Anstellwinkel abhängen, müßte sie an der Nabe statt an der Deckscheibe auftreten. Betrachten wir hingegen

204

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

die Verzögerung w1q/w1 über die Schaufelhöhe, so tritt tatsächlich außen die größte Verzögerung auf, weil dort die Relativgeschwindigkeit am größten ist. Wie oben besprochen, erzeugt diese Verzögerung auch einen Druckgradienten quer zur Hauptströmung, der eine Vorbedingung für das Einsetzen der Rückströmung ist. Eine starke Verzögerung der Relativgeschwindigkeit von w1 auf w1q erzeugt am Schaufelanfang und im engsten Querschnitt eine ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilung, wie das qualitativ in Abb. 5.14 für verschiedene q* dargestellt ist:

q* >> 1 w1 q* << 1 q* = 1

Abb. 5.14. Relativgeschwindigkeitsverteilung im engsten Querschnitt am Laufradeintritt

die Rückströmung entwickelt sich auf der Druckfläche der Schaufeln aus einem Geschwindigkeitsmanko, das sich bereits bei q* = 1 andeutet, weil die Relativströmung an der Schaufeldruckfläche gegenüber der -saugfläche verzögert wird. Diese Verteilung wird grundsätzlich durch die Arbeitsübertragung induziert (s. Abb. 3.3); erst bei q* >> 1 wandelt sich die Geschwindigkeitsverteilung so, daß dann wDS > wSS wird. Wie in Kap. 5.2.2.1 erläutert, tritt in Zonen mit kleiner Relativgeschwindigkeit der Einfluß der Corioliskraft gegenüber der Zentrifugalkraft zurück. Im Totwassergebiet nach Abb. 5.14, oder in der Zone des Geschwindigkeitsmankos, wird Fluid auf der Druckfläche durch die Zentrifugalkraft nach außen transportiert, dergestalt, daß sich eine Rückströmung nach Abb. 5.2 einstellt. Da die absoluten Schaufeleintrittswinkel bei Pumpen klein sind, ergeben sich bei Teillast Anstellwinkel von nur wenigen Grad; zudem wird mit fallendem Förderstrom durch die Schaufelrückwirkung zunehmend ein Vordrall induziert. Dies hat zur Folge, daß sich bei Falschanströmung hinter der Schaufeleintrittskante, wie in Abb. 5.14 skizziert, nur örtliche Ablösungen begrenzten Ausmaßes einstellen, die nicht für die Rückströmung verantwortlich sind. Als weitere Untersuchungsergebnisse seien angeführt: Messungen an einem Radialrad mit unterschiedlichen Anströmbedingungen ergaben keinen Zusammenhang zwischen Anstellwinkel und Beginn der Rückströmung [5.10]. Die Geschwindigkeitsverteilung vor dem Laufrad wurde dabei mit Sieben verändert, wodurch sich entsprechend die Anstellwinkel über der Schaufelhöhe änderten. Wertet man diese Versuche hingegen mit der Verzögerung w1q/w1 aus, so steigt der Rezirkulationsbeginn tatsächlich mit abnehmendem w1q/w1. In den in [5.33] untersuchten Laufrädern von Radialkompressoren trat die Rückströmung trotz unterschiedlicher Beschaufelung in beiden Rädern beim gleichen Förderstrom auf; auch dieser Befund läßt sich so deuten, daß die Druckdifferenz quer zur Hauptströmung für den Rückströmbeginn maßgebend war (das Verhältnis d1a/d1i war bei beiden Rädern nahezu gleich).

5.2 Die Strömung im Laufrad

205

Typischerweise beginnt die Rückströmung bei QRB/Qopt = (0,4 bis 0,75) ± 0,1 (steigend von nq = 10 bis 300). Nach den Auswertungen in [B.20] setzte die Rückströmung ein, wenn das Verzögerungsverhältnis w1q/w1a im Bereich 0,4 bis 0,65 lag; unter w1q/w1a = 0,4 trat bei allen untersuchten Pumpen Rückströmung auf. Eine Korrelation dieser kritischen Verzögerung mit geometrischen Abmessungen war nicht erfolgreich. Die Verzögerung läßt sich ausdrücken durch: w1q w1

≈

Q ϕ A = 1 1 f q A1q z La u1 z La A1q

(5.7a)

Aus den Daten in [B.20] läßt sich eine empirische Korrelation für den Durchflußbeiwert bestimmen, bei dem die Rückströmung beginnt: ϕ1,RB = 0,03 + 0,16 (1 + b1/RRSW) (d1a/d1i) (zLa A1q/A1)

(5.7b)

Diese Korrelation wies nur eine relativ geringe Streuung von etwa ± 10 % auf, obwohl sie radiale wie axiale Laufräder umfaßt; wie weit sie allgemein verwendbar ist, bleibt offen. Immerhin enthält sie drei wesentliche Elemente: (1) Der Term zLaA1q/A1 quantifiziert nach Gl. (5.7a) die Verzögerung der Relativgeschwindigkeit – je größer A1q/A1, desto höher die Verzögerung und desto früher der Rückströmbeginn. (2) Das Verhältnis d1a/d1i ist ein Maß für die Druckunterschiede über der Schaufelhöhe – je größer d1a/d1i, desto höher sind diese Druckunterschiede und desto früher setzt die Rezirkulation ein. (3) Das Verhältnis b1/RRSW beschreibt die Krümmung im Meridianschnitt, die für Ablösungen im Laufradkanal bedeutsam ist: eine starke Krümmung führt zu vorzeitiger Ablösung und Rückströmung. Wie Abb. 5.1 zeigt, treten im Laufradkanal bei tiefer Last neben der Rückströmzone an der Eintrittskante weitere Ablösungen und lokale Rückströmungen im Laufrad auf: eine ausgeprägte Ablösung ist auf der Schaufeldruckfläche etwa in der Mitte zwischen Ein- und Austritt zu erkennen; eine weitere Rückströmung findet sich auf der Tragscheibe nahe dem Austritt. Wachsen Ablösezonen im Kanal mit der Rezirkulation am Eintritt zusammen, kann Fluid mit beträchtlicher Umfangsgeschwindigkeit in den Saugraum gelangen, wo dann dicht vor den Schaufeleintrittskanten c1u > u1 in der Rezirkulationszone gemessen werden kann. Über ähnliche Erscheinungen wird auch in [5.39] berichtet. Folgende Parameter bestimmen den Druckgradient senkrecht zur Strömungsrichtung und beeinflussen somit Beginn und Intensität der Rückströmung: • Das Verhältnis der Durchmesser Deckscheibe zu Nabe d1a/d1i an der Schaufeleintrittskante ist vermutlich die wichtigste Einflußgröße. Dieses Verhältnis steigt mit der spezifischen Drehzahl; die Intensität der Rückströmung und der Wert von q*, bei dem sie einsetzt, steigen daher im allgemeinen mit nq. Sauglaufräder mit ebenfalls großem d1a/d1i zeigen die gleiche Tendenz. Laufräder mit achsparalleler Eintrittskante (d1a = d1i) erzeugen wenig Rückströmung (und neigen deshalb zu Instabilität, wie unten ausgeführt). • Engster Querschnitt am Laufradeintritt: je kleiner dieser Querschnitt, desto geringer ist die Tendenz zu Rückströmung weil w1q/w1 steigt.

206

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

• Anstellwinkel bzw. Schaufeleintrittswinkel und Winkelverlauf längs der Stromlinien sind eher von sekundärem Einfluß. • Lage der Eintrittskante im Meridianschnitt und im Grundriß (Vorwärts- oder Rückwärtssichelung) • Krümmung der Deckscheibe im Meridianschnitt • Laufschaufelzahl • Volumenstrom und Geschwindigkeitsverteilung vor dem Laufrad • Grenzschichtdicke an der Deckscheibe, die auch durch Einleitung und Größe der Dichtspaltleckage beeinflußt wird. Zusammenfassend ist festzuhalten: 1. Rückströmung am Laufradeintritt tritt bei allen Laufrädern grundsätzlich an der äußeren Stromlinie auf; und zwar dann, wenn die Verzögerung der Relativgeschwindigkeit zum engsten Querschnitt hin ein bestimmtes (allerdings nicht allgemein quantifizierbares) Maß überschreitet. 2. Auch Pumpen mit stabiler Kennlinie, die keinerlei Probleme beim Teillastbetrieb aufwerfen, haben Rückströmung. 3. Die Rückströmung entsteht nicht direkt hinter den Laufschaufeleintrittskanten, sondern im Bereich des engsten Querschnittes oder scharfer Krümmung, wo die größten Druckunterschiede über der Schaufelhöhe auftreten. Das Kräftegleichgewicht zwischen den Stromlinien ist für die Rückströmung maßgebend; Grenzschichteffekte mögen zwar die erste lokale Ablösung beeinflussen, aber Einsetzen und Intensität der Rückströmung hängen praktisch nicht von der Reynolds-Zahl ab (das zeigen auch die Versuche in [5.16]). 4. Der Rückströmung geht eine Ablösung auf der Druckfläche der Schaufeln an der äußeren Stromlinie voraus. 5. Druckgradienten senkrecht zur Hauptströmungsrichtung sind erklärbar durch Zentrifugalkräfte und durch unterschiedliche Verzögerung der Relativgeschwindigkeit von der Schaufeleintrittskante zum engsten Querschnitt im Laufradkanal. 6. Ablösung und Rückströmung hängen von der 3-dimensionalen Geschwindigkeitsverteilung im Laufrad sowie der Zuströmung ab; solche Effekte lassen sich nicht mit einfachen Mitteln allgemeingültig beschreiben und somit vorausberechnen. 7. Eine Korrelation des Rückströmbeginns mit dem Anstellwinkel ist nicht möglich. 8. Im Laufradkanal treten mehrere Ablösezonen und Rückströmgebiete auf; dies zeigen die Fadensondenbeobachtungen in Abb. 5.1 oder auch die Messungen in [5.37 bis 39]. 9. Eine Leitvorrichtung, die eine weitgehend gleichmäßige Druckverteilung über dem Laufradumfang gewährleistet, hat nur geringen Einfluß auf die Eintrittsrezirkulation. Ein Spiralgehäuse erzeugt hingegen bei Teillast einen über den Laufradumfang veränderlichen Druck. Das Laufrad arbeitet dann in verschiedenen Sektoren über dem Umfang bei unterschiedlichen Betriebspunkten bzw.

5.2 Die Strömung im Laufrad

207

Strömungszuständen, so daß dann im allgemeinen auch ein Einfluß auf die Rückströmung vorhanden ist, Kap. 9.3. 10. Beim Abdrehen des Laufradaußendurchmessers ändert sich die Eintrittsrezirkulation nur dann, wenn die Schaufeln sehr stark gekürzt werden. 5.2.5 Die Strömung am Laufradaustritt Wie Abb. 5.12 zeigt, tritt auch am Laufradaustritt Rückströmung auf; diese wird im Zusammenhang mit der Leitradströmung (Kap. 5.3) besprochen, weil sie durch die Rückwirkung der Leitvorrichtung stark beeinflußt wird, und weil es sich um eine Rückströmung aus dem Stator in das Laufrad handelt. Bei tiefer Teillast sind aber auch im Laufradkanal wegen zu starker Verzögerung Ablösungen und Totwassergebiete zu erwarten, wie in Abb. 5.1 zu erkennen und auch in [5.38] nachgewiesen. Dies ist besonders ausgeprägt bei Laufrädern mit großer relativer Austrittsbreite b2/d2 oder großem Austrittswinkel (vergleiche hierzu die Messungen an einer Baggerpumpe in [5.41]). Nach Kap. 5.2.2 hängt die Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt ab von einem empfindlichen Gleichgewicht verschiedener Wirkungsmechanismen dergestalt, daß man nicht mit einfachen Mitteln voraussagen kann, ob die Geschwindigkeitsmaxima an der Trag- oder Deckscheibe oder in der Mitte auftreten. Das gilt, wie Abb. 5.12 zeigt, auch für die Lage der Rückströmzone: alle dort dargestellten Fälle werden beobachtet. Die Analyse einer Vielzahl von Versuchen gestattet dennoch, einige allgemeine Aussagen über die Abströmung von radialen, halbaxialen und axialen Laufrädern zu machen: • Bei jedem Lastpunkt – also auch bei Q = 0 – gibt es mindestens einen Bereich des Laufrades oder „einen Stromfaden”, in dem eine „quasi-normale” Energieübertragung von den Schaufeln auf die Flüssigkeit stattfindet. Dies zeigt Abb. 5.15, in der die maximale, im Austrittsprofil gemessene Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit als c2u,max/u2 über q* aufgetragen wurde. Bei allen Versuchen erreicht diese Größe zwischen q* = 0 und 0,5 Werte von 0,5 bis 0,7. Die Rückströmzonen und Totwassergebiete scheinen sich also nach dem Prinzip des kleinsten Widerstandes so einzustellen, daß ein Bereich oder eine Stromröhre im Laufrad gerade mit der Verzögerung arbeitet, die ohne Ablösung ertragen wird. • Die umfangsgemittelten c2m- und die c2u-Verteilungen sind bei Teillast meist stark ungleichförmig. Dort, wo c2m negativ wird, also Rückströmung auftritt, ist auch c2u deutlich kleiner als bei positivem c2m. Dies gilt für radiale, halbaxiale und axiale Laufräder. Dieser Befund steht im Gegensatz zu dem, was man erwarten würde, wenn man ein Geschwindigkeitsdreieck für den betrachteten “Stromfaden” zeichnet, da dann eine kleine Meridiankomponente mit einer großen Umfangskomponente verbunden wäre. Das gleichzeitige Auftreten kleiner cm- und cu-Komponenten deutet auf Ablösung hin. • Bei halbaxialen und axialen Laufrädern sowie Radialrädern mit genügend schräger Austrittskante („Schrägkorrektur”) tritt die Rückströmung immer an

208

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

der Nabe oder Tragscheibe auf. Dies ist dadurch bedingt, daß bei Teillast die äußere Stromlinie bei genügend großem Radienverhältnis (infolge Zentrifugalkräften) mehr Druck erzeugt als die innere, Kap. 5.1.3. a) Radialräder (nq = 20 ÷ 80)

c2u,Max u2

b) Axiale und halbaxiale Laufräder

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6

0.5

0.5

0.4

c2u,Max 0.4

0.3

u2

0.2

0.2

0.1 0.0 0.0

0.3

0.1 0.25

0.5

0.75

1.0

1.25 q*

0.0 0.0

axial nq = 213 [5.18] halbaxial nq = 180 [5.6] halbaxial nq = 132 0.25

0.5

0.75

1.0

1.25 q*

Abb. 5.15. Maximale örtliche Werte von c2u/u2 für verschiedene Laufräder

5.2.6 Meßtechnische Erkennung des Rückströmbeginns Das Einsetzen der Rückströmung am Laufradeintritt läßt sich experimentell mit verschiedenen Methoden erfassen: • Am einfachsten ist die Messung der durch die Fluidrotation erzeugten Druckerhöhung nach Abb. 5.16. Dazu bringt man eine Druckmeßbohrung möglichst nahe vor dem Laufrad an und mißt die Druckdifferenz zu einer zweiten Bohrung, die in einiger Entfernung vor der ersten liegt. Zwischen beiden Meßbohrungen muß ein Gleichrichter (oder eine andere Struktur) vorhanden sein, die eine Rotation des Fluids an der stromaufwärts liegenden Bohrung verhindert. (Der durch den Gleichrichter verursachte Druckverlust fällt bei Teillast nicht ins Gewicht.) Die gemessene Druckhöhendifferenz ΔH trägt man über dem Förderstrom auf: solange keine Rückströmung auftritt, ergibt ΔH = f(Q) eine Parabel entsprechend dem Druckverlust zwischen den beiden Meßstellen. Sobald eine merkliche Rückströmung auftritt, weicht der Verlauf ΔH = f(Q) deutlich von der Parabel ab und ΔH wechselt das Vorzeichen (wie in Abb. 5.16 sehr gut zu erkennen). Man kann auch die Umfangskomponente am äußeren Stromfaden c1u,a aus dem gemessenen ΔH näherungsweise ermitteln, wenn man annimmt, daß das Fluid wie ein Festkörper rotiert: nach Gl. (1.27) wird c1u,a/u1 = (2 g⏐ΔH⏐/u12)0,5. • Beobachtung von Fadensonden • Messung von Druckschwankungen in der Eintrittsleitung: beim Einsetzen der Rezirkulation steigen die Druckschwankungen plötzlich an; bei tieferem Durchfluß, d.h. ausgebildeter Rezirkulation, sinken sie wieder, wenn auch nicht auf das Niveau im Bestpunktbereich. • Messung der Geschwindigkeitsverteilung mittels Strömungssonden, Hitzdrahtsonden (bei Versuchen mit Luft), Laser-Velozimetrie.

5.3 Die Strömung in der Leitvorrichtung

2 1

ΔH=h 1-h 2 [m]

209

Q RB

0 0

500

-1

1000 0.68Q BEP

Q [m 3/h]

1500 Q BEP

-2 h1

h2

-3 -4

cu/u1

Gleichrichter

0.6 0.4

-5

0.2

ΔH

0

-6

0

0.5

q*

Abb. 5.16. Ermittlung des Rezirkulationsbeginns durch Druckmessung in der Saugleitung, nq = 90

Die meßtechnische Erfassung der Rückströmung am Laufradaustritt ist wegen der meist schlechteren Zugänglichkeit schwieriger als am Laufradeintritt; folgende Methoden kommen in Frage: Messung der Druckschwankungen (die stochastischen Anteile steigen beim Einsetzen der Rückströmung, [5.7], [5.37 u. 5.38]), Geschwindigkeitsmessungen mit den oben erwähnten Mitteln; Fadensondenbeobachtungen mit Endoskop; Bestimmung der Fluidrotation in den Radseitenräumen durch Messung von Druckdifferenzen (in Kap. 5.4.3 und Abb. 5.30 beschrieben).

5.3 Die Strömung in der Leitvorrichtung 5.3.1 Strömungsablösung im Leitrad Die in Abb. 5.15 dargestellten Messungen zeigten, daß die Absolutgeschwindigkeit am Laufradaustritt bei niedriger Teillast 50 bis 70 % von u2 erreicht. Eine Strömung mit dieser Geschwindigkeit kann bei Q = 0 im Leitrad nicht auf null verzögert werden, ohne daß eine Ablösung auftritt. Fadensondenbeobachtungen aus [B.20] im Leitrad einer Pumpe mit nq = 22 in Abb. 5.17 bestätigen dies: während die Strömung bei q* = 1,5 anliegt, erscheinen bei q* = 0,94 am Diffusoraustritt erste Ablösungen und bei q* = 0,8 hat sich die Ablösezone über den größten Teil der Schaufelsaugfläche ausgebildet. Bei q* = 0,6 treten zusätzlich Ablösungen auf der Schaufeldruckfläche auf, und man erkennt eine Rückströmung in Richtung Laufrad an der Tragscheibe vor der Leitschaufeleintrittskante, die wächst, wenn der Durchfluß weiter reduziert wird. Je nach Anströmung und Wahl des Diffusoröffnungswinkels treten die beschriebenen Erscheinungen bei verschiedenen Pumpen bei unterschiedlichem q* auf; sie sind ansonsten aber typisch für die Strömung in Leiträdern radialer Bauart.

210

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

Abb. 5.17. Strömungsbeobachtungen im Leitrad (nq = 22), Kennlinien s. Abb. 4.6, [B.20]

Insbesondere trat bei allen Versuchen die Rückströmung stromaufwärts der Leitschaufeleintrittskanten bzw. kurz vor dem Spiralensporn auf (nie in der Mitte zwischen zwei Schaufeln oder nahe den Schaufelsaugflächen). Dieser Sachverhalt wurde auch bei Radialkompressoren gefunden [5.27]. Die Strömungsablösung bei Teillast tritt nicht in allen Leitradkanälen gleichzeitig auf. Wird der Förderstrom ausgehend vom Bestpunkt reduziert, tritt die Ablösung zunächst in einem Kanal auf. Bei weiterer Förderstromverringerung lösen zwei, drei oder mehrere Kanäle ab. Dabei kann die Strömung stationär („alternate stall“) oder aber instationär verlaufen, [10.68]. Im letzteren Fall läuft die Ablösung mit einer bestimmten Frequenz um. Man spricht von “rotierenden Ablösungen” (“rotating stall”), die in Kap. 10.7.2 besprochen werden. Verschiedene Effekte sind dafür verantwortlich, daß die Strömung nicht in allen Leitradkanälen gleichzeitig erfolgt: (1) über dem Umfang ungleichförmige Abströmung aus dem Laufrad – z.B. infolge unsymmetrischer Strömung am Laufradeintritt; (2) geometrische Toleranzen; (3) ungleichförmige Druckverteilung stromabwärts des Leitrades infolge einer nachgeschalteten Spirale oder verursacht durch den Druckstutzen. In diesen Fällen arbeitet jeder Leitradkanal in einem etwas anderen Betriebspunkt bzw. gegen eine andere Widerstandskennlinie (s. Kap. 10.7.1, Abb. 10.19). Die letzte Stufe einer mehrstufigen Pumpe kann sich folglich anders verhalten als die vorhergehenden Normalstufen, in denen die Strömung weitgehend rotationssymmetrisch ist. Um die Verhältnisse am Leitradeintritt zu erfassen, sind analoge Überlegungen wie gemäß Abb. 5.13 bei der Verzögerung am Laufradeintritt anzustellen: Wäh-

5.3 Die Strömung in der Leitvorrichtung

211

rend die Absolutgeschwindigkeit c2 am Laufradaustritt mit wachsendem Förderstrom fällt, steigt die nach Kontinuitätsgleichung berechnete Geschwindigkeit c3q im engsten Leitradquerschnitt vom theoretischen Wert null bei Q = 0 proportional zum Durchsatz an, Abb. 5.18. Beide Kurven schneiden sich bei Q1 (c2 = c3q). Bei Q > Q1 wird die Strömung im Schrägabschnitt des Leitrades beschleunigt, d.h. bis zum engsten Querschnitt sinkt der statische Druck entsprechend der BernoulliGleichung – bei großem Durchfluß kann es sogar zu Kavitation im Leitrad kommen, Kap. 6.2.5). Mißt man den Druck im engsten Leitradquerschnitt (Index 3), wird H3-H2 demnach bei Q = Q1 null. Irgendwo bei Q < Q1 wird die Verzögerung so groß, daß die Strömung ablöst; man erkennt das daran, daß die Kurve (H3-H2) deutlich abflacht oder, wie in Abb. 5.18, ein lokales Maximum aufweist. Versuche an zwei Leiträdern mit verschiedenen Eintrittsquerschnitten zeigen die hier erläuterten Verhältnisse, Abb. 5.19: insbesondere erkennt man den Nulldurchgang der Kurve ψ3-2 bei c2 = c3q und die Verschiebung des Ablösepunktes (Maximum von ψ3-2) nach links, wenn der Leitradeintrittsquerschnitt reduziert wird. Entsprechend erhöht sich auch der Wirkungsgrad bei Teillast. Deutlich ist auch die Abflachung der Kennlinie dort zu erkennen, wo die Ablösung im Leitrad auftritt. Die statische Druckerhöhung im Laufrad ψp wird durch die Leitradänderung kaum beeinflußt. Wie aus den Versuchen in Abb. 4.6a hervorgeht, verhalten sich Spiralgehäuse ganz ähnlich wie Leitradpumpen, so daß die anhand von Abb. 5.18 angestellten Überlegungen ebenfalls auf Spiralpumpen anzuwenden sind; insbesondere wird auch hier unterhalb eines bestimmten Förderstromes bei Teillast eine kritische Verzögerung von c2 auf c3q erreicht, bei der die Strömung ablöst (c3q wird mit dem örtlichen Spiralenquerschnitt oder dem Spiralenendquerschnitt berechnet). Leitradkavitation

Strömungsablösung

c c2

Beschleunigung

Verzögerung c 3q c 3q/c 2

QS

Q1

Qc

Q

1.0 Q

0 H

H th

η

η H 3-H 2

H 1

q*

Abb. 5.18. Strömungsverzögerung und Beschleunigung im engsten Querschnitt des Leitapparates, [5.26]

212

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

Der Anstellwinkel hat ebenfalls einen Einfluß – zumindest bezüglich örtlicher Ablösungen. Wenn man den Leitschaufelbeginn so gestaltet, daß der Anstellwinkel im fraglichen Lastpunkt nahe null ist, tritt aber dennoch eine Ablösung auf, sobald die zulässige Verzögerung überschritten wird. Diese hängt weitgehend ab vom Verhältnis c3q/c2 und der Geschwindigkeitsverteilung am Leitradeintritt. Messungen an Leitradpumpen im Bereich 15 < nq < 35 ergaben, daß die Kurve ψ3-2 = f(Q) dann abflachte oder instabil wurde, wenn c3q/c2 einen Wert zwischen 0,3 und 0,6 erreichte. 5.3.2 Der Druckrückgewinn im Leitrad Der Druckrückgewinn im Leitapparat entscheidet bei Pumpen mit spezifischen Drehzahlen bis etwa nq ≈ 80 im wesentlichen darüber, ob die Kennlinie stabil oder instabil wird. Für den Druckanstieg im Leitrad sind zwei Bereiche zu unterscheiden: der Schrägabschnitt von H2 bis H3, in dem der Druckanstieg H3-H2 gemessen wird, und der eigentliche Diffusor, in dem der Druck von H3 bis H4 steigt, s. Skizzen in Tafel 0.2. Beim Spiralgehäuse verhält sich die eigentliche Spirale bis zum Austrittsquerschnitt wie der Schrägabschnitt des Leitrades und der an den Spiralenaustritt anschließende Diffusor wie der Bereich H3 bis H4 des Leitrades. Die Messungen von (H3-H2) in Abb. 5.19, 4.5 und 4.6 zeigen, daß im Schrägabschnitt am Leitradeintritt (oder der Spirale) ein Druckanstieg erfolgt, der mit fallendem Durchfluß bis zu einem Maximalwert, nämlich dem Ablösepunkt, zunimmt. Das Verzögerungsverhältnis c3q/c2 ist maßgebend für diese Druckerhöhung. Dagegen folgt der Druckrückgewinn im Diffusor eines Leitrades oder einer Spirale – im Bestpunktbereich und darüber – ähnlichen Gesetzen wie sie für die Diffusorströmung in einem Kanal gelten: die Beiwerte für den Druckrückgewinn nach Abb. 1.18 oder 1.19 sind anwendbar, und H4-H3 steigt etwa quadratisch mit dem Durchsatz. Bei Teillast können diese Druckrückgewinnbeiwerte jedoch nicht für die quantitative Voraussage verwendet werden, weil im engsten Querschnitt eine stark ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilung herrscht. Somit ist die kinetische Energie am Diffusoreintritt wesentlich größer als der Wert, der sich nach der Kontinuitätsgleichung ergeben würde. Deshalb ist nicht die mittlere, sondern eher die maximale Geschwindigkeit im engsten Leitradquerschnitt für den Druckanstieg maßgebend. Unterhalb des Förderstromes, bei dem die Strömung im Leitapparat ablöst, insbesondere bei Q = 0, erfolgt der Druckanstieg im Leitrad vermutlich nach anderen Mechanismen als bei der normalen Diffusorströmung. Der Carnot-Stoß könnte einen solchen Mechanismus darstellen, weil er den Druckanstieg nach einer plötzlichen Querschnittserweiterung (also auch bei voll abgelöster Strömung) beschreibt; auf das Leitrad bezogen, wäre der Druckhöhenanstieg danach: (H3 − H 2 )stat =

c3q (c 2 − c3q ) g

(5.8)

5.3 Die Strömung in der Leitvorrichtung

ψ

213

1,2

ψ

1,0 0,8

ψp

0,6 0,4

ψ2-6

0,2 0 1

a3* = 0,09 a3* = 0,07

0,8

c3q/c2

0,6 0,4 0,2

ψ2-3

0 -0,2

η

1

0,16

0,8

0,14

0,6

η

0,4

λ

0,12

λ

0,1

0,2

0,08

0 0

0,06

0,12

ϕ

0,06 0,18

Abb. 5.19. Einfluß des Leitradeintrittsquerschnittes auf die Kennlinie [5.26]

Eine Auswertung von Gl. (5.8) mit mittleren Geschwindigkeiten würde ergeben, daß bei Q = 0 wegen c3q = 0 kein Druckanstieg im Leitrad durch diesen Mechanismus erfolgen kann; auch bei größerem Durchfluß errechnet man im Teillastbereich nach Gl. (5.8) wesentlich kleinere Druckanstiege als gemessen werden. Man müßte die Wirkung der Rückströmung hinsichtlich Querschnittsversperrung berücksichtigen, um eine solche Rechnung durchzuführen. Als weiterer Mechanismus für den Druckanstieg bei voll abgelöster Strömung im Leitrad – insbesondere im Schrägabschnitt – ist der Impulsaustausch zu betrachten, der in einer Flüssigkeitskupplung und in Seitenkanalpumpen für die Arbeitsübertragung verantwortlich ist. Das würde bedeuten, daß die Förderhöhe bei voll abgelöster Strömung – wie die Leistungsaufnahme – mit der Intensität der Rückströmung ansteigt. 5.3.3 Einfluß der Anströmung auf Druckrückgewinn und Ablösung Wenn am Eintritt in einen Diffusor die Grenzschicht dick, die wandnahe Strömung also schon stark verzögert ist, wird der Druckrückgewinn im Diffusor ver-

214

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

schlechtert und die Gefahr von Ablösungen steigt (Kap. 1.6). Das trifft auch zu, wenn das Geschwindigkeitsprofil am Diffusoreintritt asymmetrisch ist, z.B. weil ein Krümmer vorgeschaltet wurde. Diese Überlegungen gelten ebenfalls für Leiträder: sind dicke Grenzschichten oder ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilungen am Leitradeintritt vorhanden, ist der Druckrückgewinn beeinträchtigt und die Neigung zur Ablösung wächst. Dieser Sachverhalt hat großen Einfluß auf die hydraulischen Verluste und die Stabilität der Kennlinie. Daß der Druckrückgewinn im Leitrad stark durch ungleichförmige Anströmung beeinträchtigt wird, ergibt sich z.B. aus den Versuchen in [5.12] und [5.35], aus denen man für eine sehr grobe Schätzung dieses Einflusses die Beziehung: cp/cp,o = 1 - 2,25(Uf1 - 1)

mit

§ c U f 1 = ³ ¨ 2m ¨ c 2m,av ©

2

· dA ¸ ¸ A ¹

(5.8a)

ableiten kann (gültig für 1 < Uf1 < 1,4). Dabei ist cp,o der Beiwert bei gleichförmiger und cp der Druckrückgewinn bei Anströmung mit ungleichförmiger Geschwindigkeitsverteilung; die Ungleichförmigkeit ist definiert nach Gl. (8.19) mit der Meridiankomponente der Geschwindigkeit. Wenn c2m an einer Radscheibe gegen null geht, sinkt der cp-Wert auf einen Bruchteil seines Wertes bei gleichförmiger Anströmung, weil in der randnahen Schicht im Diffusor mangels genügend hoher kinetischer Energie kaum Druck aufgebaut wird. Es ist offensichtlich, daß bei Reduktion des Durchflusses in einem solchen Fall sehr bald eine Ablösung im Leitrad zu erwarten wäre. Wie unten gezeigt, muß das bezüglich Kennlinienstabilität kein Nachteil sein; der Wirkungsgrad wird aber durch ungleichförmige Anströmung verschlechtert (Kap. 1.5.2 und 8.5). Wie in Kap. 5.2.4 festgestellt, sind zwei Bedingungen zu erfüllen, damit eine Rückströmung auftreten kann: die Strömung muß ablösen, und es muß ein genügend großer Druckgradient quer zur Strömungsrichtung vorhanden sein. Das gilt auch für die Rückströmung aus dem Leitapparat. Solche Druckgradienten können sich primär dann ausbilden, wenn das Leitrad ungleichförmig angeströmt wird, wodurch der Druckaufbau im Leitrad dann über der Breite variiert. Um dies zu erkennen, schreibe man den Druckanstieg im Leitrad für verschiedene Stromlinien eines ungleichförmigen Geschwindigkeitsprofils nach Gl. (1.7) an. Ob die Strömung im Leitrad an der Seite ablöst, wo c2 das Maximum hat oder dort, wo c2 minimal ist, hängt von den weiteren Eigenschaften des Geschwindigkeitsprofils ab. Betrachten wir ein Profil wie in Abb. 5.20a skizziert: der Druckanstieg infolge Verzögerung ist dort am größten, wo c2 maximal ist. Hier wird auch die Strömung ablösen, wenn der Druckverlauf im Leitrad durch den Mittelwert von c2 geprägt wird bzw. das Maximum von c2 eine lokale Spitze darstellt. In Abb. 5.20b dagegen unterscheiden sich der maximale und der mittlere Wert von c2 nur wenig; das mittlere c2 wird also den Druckverlauf im Leitrad bestimmen. Auf der Seite des skizzierten Geschwindigkeitsmankos ist der Druckaufbau jedoch geringer, so daß eine Sekundärströmung auftritt; die Strömung löst dort ab, wo c2 sein Minimum hat. Der Effekt der ungleichförmigen Anströmung überlagert sich der generellen Verzögerung c3q/c2, die bei abnehmendem Volumenstrom gemäß Abb. 5.18 wirk-

5.3 Die Strömung in der Leitvorrichtung

215

sam wird. Er ist entscheidend für das Auftreten von Instabilitäten. Auch die in [5.13] beschriebenen Untersuchungen lassen sich auf diese Weise deuten: die Instabilitäten in den Kennlinien treten dann auf, wenn eine immer stärker werdende Ungleichförmigkeit der Laufradabströmung – zusammen mit der wachsenden generellen Verzögerung im Leitrad – zur Ablösung führt, wobei der Druckrückgewinn im Leitrad stark, die statische Druckerhöhung im Laufrad aber wenig oder gar nicht beeinflußt werden. a)

c2

p-p2

c2max

A

f(c2max) c2 f (c 2 )

c3/c2

b)

A

c2

p-p2

c2 f (c 2 )

c2min A c3/c2

f(c2min) A L

Abb. 5.20. Zur Ablösung im Leitrad, A = Ablösung, a Ablösung bei örtlicher Übergeschwindigkeit, b Ablösung bei örtlichem Geschwindigkeitsmanko

Nach obigen Überlegungen ist die Ungleichförmigkeit der umfangsgemittelten Geschwindigkeitskomponenten über die Laufradaustrittsbreite bedeutsam für hydraulische Verluste und Kennlinienstabilität. Eine Ungleichförmigkeit über die Schaufelteilung beeinflußt hingegen die instationären Kräfte und Druckpulsationen; sie bewirkt eine instationäre Anströmung des Leitrades, erhöht den Turbulenzgrad und wirkt sich daher u.U. günstig auf den Druckrückgewinn im Leitrad aus. 5.3.4 Die Strömung in Spiralgehäusen Gemäß Kap. 3.7 bewegt sich ein Fluidteilchen nach dem Laufradaustritt entsprechend dem Drallsatz cu r = c2u r2 = konstant. Die Umfangsgeschwindigkeit im Spiralgehäuse nimmt also mit zunehmendem Radius ab, während der statische Druck gemäß Gl. (1.28) von innen nach außen zunimmt. Diese in Abb. 5.21 qualitativ dargestellten Druck- und Geschwindigkeitsverteilungen lassen sich – in Bestpunktnähe – experimentell nachweisen, z.B. [5.37]. Bei Überlast- und Teillastbe-

216

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

trieb passen die Spiralenquerschnitte nicht mehr zur Laufradabströmung, und die Strömungsverteilung weicht ab von dem in Abb. 5.21 gezeigten Verhalten (s. hierzu auch Kap. 9.3.3). Bei Teillast werden die Druckgradienten über dem Radius flacher, bei Überlast wachsen sie. Wie in einem Rohrbogen oder in jedem gekrümmten Kanal bildet sich in Spiralgehäusen eine Sekundärströmung entsprechend den in Kap. 1.4 besprochenen Mechanismen. Sie hat grundsätzlich die Form eines Doppelwirbels gemäß p(r) cu(r)

Abb. 5.21. Strömungsverhältnisse in Spiralgehäusen

Abb. 5.21 (vergleiche hierzu auch Abb. 1.12), der mit wachsender Ungleichförmigkeit der Laufradabströmung zunehmend unsymmetrisch wird. In flachen, rechteckigen oder trapezförmigen Spiralquerschnitten wird man wegen des kleineren Radienverhältnisses eine weniger intensive Sekundärströmung erwarten als in kreisförmigen oder quadratischen Spiralgehäusequerschnitten. Für die Verzögerung der Strömung in der Spirale gelten ähnliche Überlegungen wie anhand von Abb. 5.18 für Leiträder angestellt wurden; dies folgt aus den Versuchen in Abb. 4.6a. Wie besprochen, ist jedoch die Rückwirkung der Spirale auf das Laufrad geringer als beim Leitrad: Po, Ho und Hp,o sind daher kleiner. Spiralgehäuse reagieren offensichtlich auch weniger empfindlich auf eine ungleichförmige Laufradabströmung als Leiträder; sattelförmige Kennlinieninstabilitäten findet man daher kaum bei Spiralgehäusepumpen unter nq = 70 (es sei denn, die Kennlinie Hp = f(Q) sei merklich instabil). 5.3.5 Die Strömung in Ringgehäusen und Leitringen Auch in einem unbeschaufelten Leitrad – dem „glatten Leitring“ – bildet sich im wesentlichen eine Strömung entsprechend dem Drallsatz cu r = c2u r2 aus, wobei der Druck von innen nach außen gemäß Gl. (1.28) ansteigt. In den Wandgrenzschichten geht die Geschwindigkeit gegen null; dort kann also dieser Druckaufbau nicht stattfinden: die Hauptströmung prägt der Grenzschicht den radialen Druckgradienten auf. Folglich strömt Fluid in der Grenzschicht von außen nach innen zurück, und es entsteht eine Sekundärströmung wie in einem Rohrbogen oder in einem Spiralgehäuse. Liefert das Laufrad – wie bei Teillast meist der Fall – ein Abströmprofil, das an einem Rand (oder beidseitig) eine energiearme Zone aufweist, verstärkt sich dieser Effekt entsprechend. Da ein Leitring keine Schaufeln oder Sporne aufweist, kann keine Falschanströmung im engeren Sinne auftreten. Strömungsinstabilitäten in Leitringen wer-

5.4 Auswirkungen der Rückströmung

217

den folglich primär durch ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilungen am Laufradaustritt hervorgerufen: Ändert sich c2u über der Laufradbreite, ergeben sich nach Gl. (1.28) Unterschiede im radialen Druckanstieg im Leitring, wodurch die Sekundärströmungen verstärkt und Ablösungen erzeugt werden. Wie in Kap. 3.7 ausgeführt, hängen die Länge des Strömungsweges, dem ein Fluidteilchen im Leitring folgt, und somit die Reibungsverluste, vom Strömungswinkel α3 ab. Bei niedrigem Förderstrom wird der Abströmwinkel zunehmend flach und der Weg, den ein Fluidteilchen nimmt, verlängert sich, so daß dicke Wandgrenzschichten erzeugt werden, die schließlich ablösen. Es wurde daher mitunter ein kritischer Strömungswinkel beobachtet, bei dessen Unterschreitung die Grenzschicht ablöste und Rückströmungen auftraten. Der kritische Strömungswinkel sinkt, wenn am Rand energiearme Zonen auftreten. Bei diesen Vorgängen spielt die Energieverteilung über die Leitringbreite also eine wesentliche Rolle: die Ablösungen entstehen dort, wo die kinetische Energie der Laufradabströmung zu tief gegenüber dem Mittelwert liegt. Die Verteilung von α3 über der Ringraumbreite, die wegen tan α = cm/cu untrennbar mit den c2m- und c2u-Profilen zusammenhängt, beeinflußt die Sekundärströmungen und Ablösungen und relativiert die Angabe eines allgemein verwendbaren kritischen Abströmwinkels. Die Neigung zu Ablösungen – bzw. der kritische Abströmwinkel – steigt mit dem Radienverhältnis r4/r2; die Ablöseneigung sinkt mit zunehmender Reynolds-Zahl und wachsendem Verhältnis Breite zu Radius b/r2. Bei ungünstiger Laufradauslegung können Ablösungen schon im Bestpunkt auftreten, was sich mittels Numerik analysieren und vermeiden läßt. Bei niedriger Teillast sind Ablösungen hingegen unvermeidlich. Beim Betrieb gegen geschlossenen Schieber zirkuliert das Fluid im Leitring (verglichen mit einem beschaufelten Leitrad) weitaus intensiver; ein Impulsaustausch findet nur zwischen den Ablösezonen im Leitring und dem Laufrad statt. Leistungsaufnahme und Nulldruck sind entsprechend deutlich tiefer als bei Pumpen mit Leitrad oder Spiralgehäuse, weil das zurückströmende Fluid eine größere Umfangsgeschwindigkeit aufweist (vergleiche hierzu Abb. 4.6b).

5.4 Auswirkungen der Rückströmung 5.4.1 Auswirkung der Rückströmung am Laufradeintritt Nach Tafel 3.3 läßt sich die theoretische Förderhöhe schreiben als: u 2 − u 2 w 2 − w 22 c 22 − c12 H th = 2 1 + 1 + 2g 2g 2g

(5.9)

Die drei Terme auf der rechten Seite von Gl. (5.9) haben folgende Bedeutung: • Hz = (u22 - u12)/(2g) ist der durch Zentrifugalkräfte bedingte Förderhöhenanteil, der lediglich vom Verhältnis des Eintritts- zum Austrittsradius abhängt und primär nicht von Schaufelwinkeln und -form beeinflußt wird.

218

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

• Hw = (w12 - w22)/(2g) ist der Förderhöhenanteil, der durch die Verzögerung der Relativgeschwindigkeit im Laufrad erzeugt wird. Er hängt ab von den Schaufelwinkeln, dem Förderstrom und etwaigen Rezirkulationszonen, die das Stromlinienbild beeinflussen. • Hp,th = Hz + Hw stellt die Erhöhung des statischen Druckes im Laufrad bei verlustloser Strömung dar. Während Hp am Laufradaustritt gemessen werden kann, sind Hz und Hw nicht getrennt erfaßbar. • Ha = (c22 - c12)/(2g) ist der Förderhöhenanteil, der durch Beschleunigung der Absolutströmung im Laufrad entsteht. Er wird im Leitapparat weitgehend durch Verzögerung in statischen Druck umgesetzt. Wie diese einzelnen Förderhöhenanteile vom Volumenstrom abhängen, ist in Abb. 5.22 dargestellt. Im Bereich, wo Rezirkulation auftritt, hat die Darstellung etwas hypothetischen Charakter und gilt allenfalls für eine Stromlinie, die „halbwegs normal” arbeitet. Der zentrifugale Anteil ist dabei über dem Durchsatz konstant dargestellt. Dies ist nur in dem Bereich richtig, wo keine Rückströmung am Laufradeintritt vorhanden ist. Denn mit Einsetzen der Rezirkulation wird der äußere Bereich des Laufradeintrittsquerschnittes durch rückströmendes Fluid versperrt, so daß der Förderstrom zur Nabe abgedrängt wird (Abb. 5.12): die effektiven Stromlinien verschieben sich und treten in die Beschaufelung auf einem kleineren Radius ein als ohne Rückströmung. Dadurch steigt der zentrifugale Förderhöhenanteil; er wird durch Gl. (5.10) beschrieben, wenn d1eff den effektiven Durchmesser kennzeichnet, auf dem die Strömung ins Laufrad eintritt: HZ =

(u 22 − u12eff ) 2g

(5.10)

Die Rezirkulation erhöht also die theoretische Förderhöhe um den Betrag: H Re z =

u 22 §¨ d12 d12eff − 2 g ¨¨ d 2 d 22 © 2

· ¸ ¸¸ ¹

(5.11)

Dieser rezirkulationsbedingte Förderhöhenanstieg wächst in dem Maße, in dem sich die Stromlinien zur Nabe verschieben. Zu Beginn der Rückströmung ist der Effekt klein, mit abnehmendem Förderstrom nimmt er jedoch zu, bis die Rezirkulation bei Q = 0 ihr Maximum erreicht (Abb. 5.23). Gemäß Gl. (5.11) steigt der rezirkulationsbedingte Förderhöhenanteil mit dem Quadrat des Verhältnisses d1/d2. Da d1/d2 mit wachsender spezifischer Drehzahl zunimmt, wächst auch der Förderhöhenanstieg infolge Rezirkulation mit steigendem nq stark an. Dies ist in Abb. 5.24 dargestellt, wo der zentrifugale Förderhöhenanteil ψz,opt im Bestpunkt (ohne Rückströmung) und der Anteil ψz,o bei Q = 0 über nq aufgetragen sind. Die Differenz zwischen beiden Kurven ist der bei Q = 0 durch die Rezirkulation verursachte Förderhöhenanstieg ψRez,o. Bei Axialpumpen ist im Bestpunkt ψz,opt = 0 (wegen d1 = d2); bei Nullförderung verschieben sich die Stromlinien stark und ψRez,o erreicht ein Maximum. Bei kleiner spezifischer Drehzahl hingegen ist der rezirkulationsbedingte Förderhöhenanteil klein, weil das Potential zur Stromlini-

5.4 Auswirkungen der Rückströmung 1.5

§ c2 ¨ ¨u © 2

2

· §c ¸ −¨ 0 ¸ ¨u ¹ © 2

· ¸ ¸ ¹

219

2

ξLa + ξLe 1.0

ψ ψth

§u 1 − ¨¨ 1 © u2

0

ψp th

ξLa

0.5 · ¸ ¸ ¹

2

§ w0 ¨ ¨u © 2

2

· § w2 · ¸ −¨ ¸ ¸ ¨u ¸ ¹ © 2 ¹

0.5

2

ψp

1.5

1.0

q*

Abb. 5.22. Statische und dynamische Anteile der Förderhöhe als Funktion von q*

enverschiebung wegen der kleinen Schaufelhöhe abnimmt. Die Erfahrung und diein Kap. 5.1.2 angestellten Überlegungen bestätigen denn auch, daß die Intensität der Rückströmung mit wachsendem nq steigt. Andererseits induziert die Rückströmung eine Vorrotation im zuströmenden Fluid (Abb. 4.9). Somit sinkt gemäß Gl. (T3.3.1) (oder Gl. 5.9: w1 sinkt, c1 steigt) die theoretische Förderhöhe. Die Erfahrung bestätigt dies: wird die rückströmungsinduzierte Vorrotation durch Einbauten abgebremst, steigt die Förderhöhe bei Teillast und insbesondere bei Q = 0. Beispiele hierfür sind die Rückführschaufeln von mehrstufigen Pumpen und Rippen in Saugstutzen oder Einlaufgehäuse. Das Problem des induzierten Vordralls wird in Kap. 8.4 weiter erörtert. Am deutlichsten beobachtet man den Einfluß der Eintrittsrezirkulation auf die Förderhöhe gemäß Abb. 5.24 bei Axialpumpen. Abbildung 5.25 zeigt die Kennlinien einer Propellerpumpe mit dem Nabenverhältnis 0,4, bei der dasselbe Laufrad jeweils mit und ohne Leitrad gemessen wurde. Bei q* = 0,65 hat die Kennlinie eiHz

1.0

mit Rezirkulation ΔHRez

Axialpumps

ψz,0 bei Q = 0 ohne Rezirkulation

ψz,opt

ΔψRez,0 bei q* = 1

Q BEP

Abb. 5.23. Einfluß der Eintrittsrezirkulation auf den zentrifugalen Förderhöhenanteil

’0

nq

Abb. 5.24. Einfluß der spezif. Drehzahl auf den zentrifugalen Förderhöhenanteil

220

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

nen Sattel, der auf Ablösungen zurückzuführen ist. Unterhalb von q* = 0,55 steigt die Kennlinie steil an, weil die Stromlinien mit zunehmender Rezirkulation am Eintritt zu kleineren – am Austritt zu größeren – Radien verschoben werden (Abb. 5.12 und 5.2). Für dn/d2 = 0,4 wäre nach Gl. (5.11) theoretisch ψRez,o = 0,84 zu erwarten, während 0,49 bis 0,59 gemessen wurde. Das Leitrad erhöht den Druck und die Leistungsaufnahme beim Betrieb gegen geschlossenen Schieber nur wenig, wie der Vergleich beider Kennlinien zeigt. Die meisten axialen und halbaxialen Laufräder weisen ein ähnliches Verhalten auf wie die in Abb. 5.25 gezeigten Versuche. Bei voll abgelöster Strömung kann folglich der Förderhöhenanstieg bei Reduktion des Förderstromes ab Rezirkulationsbeginn durch das Wirken von Zentrifugalkräften erklärt werden, die eine größere Umlenkung der Strömung hervorrufen als die geordnete Umströmung der Schaufelprofile in der Nähe des Auslegungspunktes. Bei niedrigen spezifischen Drehzahlen ist die nach Gl. (5.11) zu erwartende Wirkung der Rückströmung auf die Förderhöhe nach Abb. 5.24 viel schwächer als im obigen Beispiel. Abb. 5.26 zeigt Versuche an einer Pumpe mit nq = 16, wo mit vergrößertem Laufradeintrittsdurchmesser die Förderhöhe bei Teillast merklich stieg (Schaufelform und -winkel blieben bei dieser Änderung gleich). Nach Gl. (5.11) beträgt der theoretische Anstieg der Druckzahl bei Q = 0 etwa 0,043; der gemessene Wert ist 0,04. Der statische Druck am Laufradaustritt ist bei vergrößertem Laufradeintrittsdurchmesser im Bereich des Bestpunktes kleiner als zuvor, im Teillastbereich mit Rezirkulation steigt er dagegen an; beide Beobachtungen stehen im Einklang mit Gl. (5.9) und Abb. 5.22. Die Leistungsaufnahme stieg bei vergrößertem Laufradeintrittsdurchmesser infolge der verstärkten Rezirkulation (dieser Anstieg liegt allerdings unerwartet hoch). 0,6

1,4

mit Leitrad ohne Leitrad

ψ

0,19

ψ

1,2

0,17

ψ

0,3

λ

1

0,15

ψp

0,13

0,8

0 0,09

d*1 = 0,525 d*1 = 0,428

0,6

0,11 0,09

λ 0,4

λ

0,055

0,07

0,2 0,02

0,05

0 0

0,05

0,1

0,15

0,2 BEP

ϕ

Abb. 5.25. Kennlinien einer Axialpumpe mit und ohne Leitrad [5.2]

0,03 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

q*

Abb. 5.26. Einfluß des Laufradeintrittsdurchmessers auf die Kennlinie, nq = 16, [B.20]

5.4 Auswirkungen der Rückströmung

221

Vergrößert man den Nabendurchmesser bei sonst gleicher Geometrie (oder bei einer Versperrung an der Nabe), verringert sich der Betrag, um den die Stromlinien sich bei Rückströmung zu kleinerem Radius verschieben können; damit sinkt die Druckzahl bei Q = 0, [5.2]. Gemäß der hier besprochenen Modellvorstellung wird die Förderhöhe bei Rückströmung wesentlich durch das Verhältnis der effektiven Durchmesser bestimmt, an denen die noch „intakte” Stromlinie in das Laufrad ein- und austritt (Abb. 5.12). Die Lage der Schaufeleintrittskante muß daher auf die Teillastkennlinie einen erheblichen Einfluß ausüben, was auch durch die Erfahrung und zahlreiche Veröffentlichungen bestätigt wird. Abb. 5.27 belegt dies mit Messungen an vier Laufrädern mit verschiedenen Durchmessern an der äußeren und inneren Schaufeleintrittskante, wobei allerdings auch die Schaufelzahl und die Laufradaustrittsbreite geändert wurden: je größer der Laufradeintrittsdurchmesser und je größer das Verhältnis d1a/d1i, desto höher ist der Nulldruck. Zusammenfassend ist festzuhalten: • Wenn die Rückströmung am Laufradeintritt voll ausgebildet ist, steigen Spaltdruck, Förderhöhe und Leistungsaufnahme mit zunehmender Intensität der Rezirkulation. Dies um so mehr, wenn der durch die Rückströmung induzierte Vordrall durch Strukturen vor dem Laufrad reduziert oder eliminiert wird. • Mit steigender spezifischer Drehzahl (bzw. mit steigendem Verhältnis d1a/d1i) wächst dieser Effekt stark. Er erklärt die steilen Kennlinien von Pumpen mit hohem nq sowie den Einfluß der Laufschaufeleintrittskante auf die Teillastkennlinie. 1.2

1.4

η/ηRef

1.2

1

H/HRef

1

d1*

d1a d1i

0.61

1.55

A1 0.67

1.71

A2

0.6

1.1

A3

0.6

1.29

0.8

0.8

P/PRef

0.6

0.6 A1 0.4

0.4

A A2

0.2

A3

0.2

Q/QRef 0

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Abb. 5.27. Einfluß des Laufradeintritts auf die Kennlinie [5.8]

1.4

A

222

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

5.4.2 Auswirkung der Rückströmung am Laufradaustritt Wenn Fluid aus der Leitvorrichtung in das Laufrad zurückströmt, hat seine Strömungsgeschwindigkeit eine Umfangskomponente nahe null. Im Laufrad wird das Fluid wieder auf eine höhere Geschwindigkeit beschleunigt. Wenden wir den Impulssatz auf diesen Vorgang an, ergibt sich, wie die Erfahrung bestätigt, daß die Leistungsaufnahme steigt („Austauschleistung“). Die Wirkung der Rückströmung auf die Förderhöhe ist weit weniger eindeutig. Gemeinhin wird angenommen, die Rezirkulation beeinträchtige die Förderhöhe und sei verantwortlich für etwaige Kennlinieninstabilitäten. Aufgrund zahlreicher experimenteller Befunde ist diese Vorstellung zu überprüfen. Wir betrachten hierzu anhand der Kennlinien in Abb. 4.6 und der Strömungsbeobachtungen im Leitrad nach Abb. 5.17 drei Stadien: die Ablösung im Diffusor, voll ausgebildete Rezirkulation und eine „Übergangszone” zwischen diesen beiden Zuständen: Eine lokale Ablösung im Leitrad, wie sie in Abb. 5.17 bei q* = 0,94 auftritt, beeinträchtigt den Druckrückgewinn im Leitrad und die Kennlinie nicht merklich. Erst bei starker Ablösung bei q* = 0,4 wird der Druckanstieg in der Leitvorrichtung instabil. Die Gesamtkennlinie bleibt indes stabil, weil das Laufrad bei q* < 0,4 infolge Rückströmung am Laufradeintritt bedeutend mehr statischen Druck erzeugt (ψp steigt markant gegen Q = 0). Bei Q = 0 ist die Rückströmung voll ausgebildet. Im Übergangsbereich zwischen Q = 0 und dem Druckeinbruch im Leitrad bei q* < 0,4 ist die Rezirkulation noch nicht so weit ausgebildet, daß sie einen Beitrag zur Kennlinienstabilisierung leisten kann. Zahlreiche Versuchsergebnisse und Beobachtungen sind so zu deuten, daß voll ausgebildete Rückströmung am Laufradaustritt die Förderhöhe vergrößert: 1. Abb. 5.28 zeigt anhand von 13 Versuchen an Radialpumpen mit nq = 15 bis 35, daß der Druckanstieg im Schrägabschnitt des Leitrades beim Betrieb mit Q = 0 mit der Intensität der Rückströmung (wie in Abb. 5.28 definiert) eindeutig wächst. Wie zu erwarten, folgt die Leistungszahl dem gleichen Trend. Messungen an einer halbaxialen Pumpe (nq = 150) sind im Abb. 5.29 dargestellt. Dabei wurde der statische Druck ρ g Hp am Laufradaustritt an der äußeren Stromlinie gemessen. Sein Verlauf Hp = f(Q) ist stabil. Der leichte Sattel in der Kennlinie wird durch ein Defizit im Leitraddruckrückgewinn verursacht, weil das Leitrad mit einer über die Schaufelhöhe ungleichförmigen Geschwindigkeit angeströmt wird. Im Unterschied zu den oben besprochenen Messungen an Radialpumpen trägt das Leitrad unterhalb q* < 0,67 nicht zur Druckerhöhung bei (in einem gewissen Bereich ist der Beitrag sogar negativ). Im Bestpunkt beträgt der Druckrückgewinn im Leitrad 15% der Förderhöhe, bei q* = 1,27 sogar 30%. Gemäß der Druckdifferenzmessung vor dem Laufrad (installiert und durchgeführt nach Kap. 5.2.6, Abb. 5.16) setzte die Eintrittsrezirkulation etwa bei q* = 0,55 ein. Unterhalb von q* = 0,5 steigen Förderhöhe und statische Druckerhöhung im Laufrad infolge der Rückströmung am Laufradeintritt markant. 2. In Abb. 5.30 sind Messungen an zwei Laufrädern (bei gleichem Leitrad) dargestellt: Laufrad A hat eine stabile, Laufrad B eine instabile Kennlinie. Bei Laufrad A entwickelt sich auf der Deckscheibe eine Rückströmung, die von q* = 0,5 bis

5.4 Auswirkungen der Rückströmung

223

0.4 0.36

(H 3 − H 2 ) Q = 0

0.32

u 2 / 2g

2

0.28 0.24 0.2

b3

0.08 λo 0.07

c2m

0.06

c2m,Rez

0.05

bRez

0.04 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

c2mRec/u2*(bRec/b 3) bei Q = 0

Abb. 5.28. Einfluß der Rückströmung auf den Druckrückgewinn im Leitrad und die Leistungsaufnahme bei Q = 0 [B.20]

q* = 0 kontinuierlich wächst. Bei Laufrad B dagegen ist die Rückströmung im ganzen Bereich niedriger als bei A, und das gilt auch für die Förderhöhe; besonders ausgeprägt ist dies bei q* = 0,25, wo das Minimum in der Förderhöhe von Laufrad B auftritt: dort ist die Rezirkulation null! Dieser Befund wird durch die Leistungsaufnahme bestätigt, auch sie hat ein Minimum bei q* = 0,25. Der Spaltdruck von Laufrad A ist bei Q = 0 leicht höher als bei B, was offensichtlich auch durch die höhere Rückströmung bewirkt wurde. 3. Die durch eine Rezirkulation verursachte Rückwirkung der Leitvorrichtung auf das Laufrad manifestiert sich eindrücklich in Abb. 4.6b: unterhalb q* = 0,6, wo die Austrittsrezirkulation einsetzt, ist der Spaltdruck beim Versuch mit Leitrad wesentlich größer als mit schaufellosem Leitring. Ein ganz ähnliches Verhalten finden wir auch beim Vergleich von Spirale und Leitrad in Abb. 4.6a. 4. Die Wechselwirkung zwischen Radseitenraum- und Hauptströmung wird beeinflußt durch den Spalt zwischen den Deckscheiben von Leitrad und Laufrad und die Überdeckung bzw. die Länge dieses Spaltes: ist der Spalt groß, wächst die Wechselwirkung infolge Impulsaustausch zwischen Haupt- und Radseitenraumströmung; ist er klein, erfolgt sie nur über den Energietransport durch die Leckageströmung (s. hierzu auch Kap. 9.1 und Abb. 9.1). Viele Versuche haben ausnahmslos bestätigt, daß der Druck gegen geschlossenen Schieber bei mehrstufigen Pumpen steigt, wenn der Spalt eng ist [B.20][ 5.15]. Wie aus Abb. 5.31 zu erkennen, ändert sich dabei die Leistungsaufnahme nur wenig; der Förderhöhenanstieg bei Teillast ist also durch den verbesserten Impulsaustausch zwischen Leitrad und

224

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge 14

H [m]

Hp H Leitrad Schrägabschnitt

12 10 8 6 4 2 0 -2

Rezirkulationsbeginn

2 H [m]

Eintritt

0 -2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1 q* 1,2

1,4

Abb. 5.29. Komponentenkennlinien einer halbaxialen Pumpe nq = 150 Ds

Ts

Ds

Ts

Ds

Ts

Ds

Ts Ds = Deckscheibe Ts = Tragscheibe

4 1,3

ψ

3 2

1,2

λ 0,27

1

1,1 1

ψ

ψp

0,9

0,22

0,8 0,7

0,17

0,6

λ

0,5

0,12

0,4

ψ 2-6

0,3 0,2

0,07

Laufrad A Laufrad B

0,1 0 0,65 k Ds

0,02

0,55 0,45

Laufrad A Laufrad B Leitring

0,35 0,25 0,15

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1 q* 1,2

1,4

Abb. 5.30. Einfluß der Laufradabströmung auf die Kennlinienstabilität, nq = 32

5.4 Auswirkungen der Rückströmung

225

Laufrad zu erklären. Infolgedessen wächst auch die Rückwirkung des Leitrades auf das Laufrad: der Spaltdruck steigt, wenn der Spalt verengt wird; ebenso erhöht sich der Druckrückgewinn im Leitrad (Abb. 5.31). 5. Abb. 5.32 zeigt den großen Einfluß der Lage der Austrittskante auf die Förderhöhe von halbaxialen Pumpen. Form 1 ergab wesentlich höhere Werte für Leistungsaufnahme und die Förderhöhe als Form 2, bei der d2a leicht reduziert wurde. Wenn wir uns die beiden Extremfälle achsparalleler Austrittskante (wie bei einem Radialrad) und radialer Austrittskante (wie bei einem Axialrad) vergegenwärtigen, wird der Einfluß der Austrittskante auf die Rückströmung verständlich, s. Skizze in Abb. 5.32. 6. Auch bei Radialrädern verursacht eine Schrägkorrektur der Laufschaufelaustrittskante eine Erhöhung der Nullförderhöhe, weil die Radiendifferenz eine intensivere Rezirkulation erzeugt. Abb. 5.33 illustriert dies: beim Rad mit schräger Austrittskante (bei gleichem mittlerem Durchmesser) waren Förderhöhe und Leistungsaufnahme bei niedriger Last größer als bei achsparalleler Austrittskante – ein Zeichen dafür, daß der Impulsaustausch infolge Rezirkulation anstieg. 1,3

ψ

1,2

0,14 0,13 λ 0,12 0,11 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05

λ

1,1 1

ψp

0,9 0,8

Spalt A = 5 mm Spalt A = 1 mm

0,7 0,6 0,4 0,3

A

ψ2-6

0,2

ζLe

0,1

ζLa

ψ2-3

0 -0,1 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 q* 1,2

Spalt A = 1 mm q* = 0

Spalt A = 5 mm

q* = 0,25 2

1,4

q* = 0,375

m/s 2

2

c2m 0

-2 Ts

Ds

0

0

-2

-2 Ts

Ds

Ts

Ds

Abb. 5.31. Wirkung des Deckscheibenspaltes A auf die Kennlinie, nq = 26 [B.20]

226

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

7. Ein großes Verhältnis von Leitradeintrittsbreite b3 zu Laufradaustrittsbreite b2 fördert die Ablösung im Leitrad, weil die Meridiankomponente plötzlich verzögert wird. Hinter der plötzlichen Erweiterung bildet sich hierdurch eine verstärkte Rezirkulation, die Leistungsaufnahme und Förderhöhe bei kleinem Durchfluß vergrößert. Dies geht aus den Versuchen in Abb. 5.34 hervor, in denen ein gegebenes Laufrad mit zwei verschiedenen Leiträdern untersucht wurde, die nahezu den gleichen engsten Querschnitt aufwiesen: beim breiteren Leitrad löst die Strömung bereits bei ϕ = 0,08 ab, Förderhöhe und Leistungsaufnahme sind aber bei ϕ < 0,04 höher als beim schmaleren Leitrad, das kaum eine Ablösung erkennen läßt. 8. Bei mehrstufigen Pumpen kann die axiale Rotorstellung bzw. eine Rotorverschiebung aus der Position, wo Laufradmitte auf Leitradmitte steht, einen merklichen Einfluß auf die Kennlinie haben, weil die Lage der Rezirkulationszone (Abb. 5.12) durch die Rotorstellung beeinflußt werden kann. Wenn z.B. bei mittiger Rotorstellung eine schwach ausgeprägte Rezirkulation an der Deckscheibenseite vorhanden ist, wird diese Rezirkulationszone verstärkt, wenn der Rotor in Richtung Druckseite verschoben wird, weil die Meridiangeschwindigkeit an der Deckscheibenseite plötzlich verzögert wird. 9. Bei Pumpen mit kleinen spezifischen Drehzahlen muß die relative Laufradaustrittsbreite b2/d2 genügend groß gewählt werden, um eine stabile Kennlinie zu erhalten. Nach Kapitel 5.2.2 wird die Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt mit zunehmendem b2/d2 ungleichförmiger. Dies fördert aber, wie in 5.3.3 besprochen, die Rezirkulation am Laufradaustritt. 10. Der Impulsaustausch und damit die Nullförderhöhe werden vergrößert, wenn man den Abstand zwischen den Lauf- und Leitschaufeln oder die Leitradeintrittsweite a3 verkleinert (eine reduzierte Lichtweite a3 verringert möglicherweise die Umfangskomponente cu des rückströmenden Fluids). 0.31

1

λ 0.26 2 0.21 1.5 ψ

1

1

2

1

2

0.5 0

Grenzfall "radial"

Grenzfall "axial"

-0.5 0

0.1

0.2

ϕ

0.3

0.4

Abb. 5.32. Einfluß der Laufschaufelaustrittskanten auf die Kennlinienform [5.2]

5.4 Auswirkungen der Rückströmung

227

0.16

1.2 achsparallel schräg

ψ

1.1

λ

0.14

ψ

λ

1

0.12

0.9

0.1

0.8

0.08

0.7

0.06 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1 ϕ 0.12

0.14

0.16

Abb. 5.33. Schräglage der Laufschaufelaustrittskante bei gleichem mittlerem Durchmesser nq = 33, [5.2] 1.3

b3/b2 a3* α3B 0,95 0,076 11,90 1,12 0,063 8,50

ψ

1.1 ψ 0.9

l

0.16 0.14 l 0.12

0.7

0.1

0.5

0.08 (H 6 − H 2 ) ⋅ 2g

0.3

u2

0.06

2

0.1 0

0.03

0.06

0.09

0.12

ϕ

0.15

0.04 0.18

Abb. 5.34. Typischer Einfluß der Leitradparameter auf die Kennlinienstabilität [5.2]

11. Wie bei Seitenkanalpumpen bewirkt eine Erhöhung der Laufschaufelzahl eine leicht größere Nullförderhöhe, weil der Impulsaustausch intensiviert wird. Für die Wirkung der Rückströmung könnte man auch noch eine andere Modellvorstellung formulieren: die Rezirkulation versperrt einen Teil des Laufradaustrittsquerschnittes. Auch im Leitrad versperrt die Rückströmung einen Teilquerschnitt, was eventuell den Druckrückgewinn in der gesunden Strömung verbessert. Nach diesem Gedankenmodell arbeitet eine Stromröhre in Laufrad und Leitrad infolge einer Art „Teilbeaufschlagung” in etwa normal, wenn auch mit reduziertem hydraulischen Wirkungsgrad. Die Totwassergebiete „führen” die Strömung ähnlich wie feste Wände trotz eines gewissen Impulsaustausches, der in den Scherschichten zwischen Rück- und Hauptströmung auftreten muß. Auch nach dieser Vorstellung steigt die Teillastförderhöhe mit einer zunehmenden, geordneten Rezirkulation. Die oben beschriebenen experimentellen Befunde könnten weitgehend auch nach diesem Modell interpretiert werden.

228

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

Bei voll ausgebildeter Rückströmung ist die räumliche Strömungsverteilung über die Laufradbreite und über den Laufradumfang maßgebend; die Zusammenhänge sind daher noch keineswegs geklärt. Es ist davon auszugehen, daß der Nulldruck Ho proportional zu der kinetischen Energie am Leitapparateintritt ist, also Ho ∝ c32 und folglich ψo ∝ (c3/u2)2. c3 steigt, wenn energiearmes Fluid aus dem Leitapparat in das Laufrad zurückströmt und dort wieder beschleunigt wird. In diesem Fall steigen Nulldruck und Leistungsaufnahme gleichsinnig, wie das aus Abb. 5.28 und den Versuchen in Abb. 5.30 bis 5.34 sowie Abb. 4.6a,b hervorgeht. Vergrößert man den Impulsaustausch zwischen Laufrad und Leitapparat bewußt, wie in Kap.7.3.2 und 7.3.3 oder durch Wahl eines großen Verhältnisses von b2/d2 und/oder d2a/d2i, d1a/d1i usw., steigen Leistungsaufnahme und Nulldruck in der Regel ebenfalls gleichsinnig (wie bei einer Seitenkanalpumpe).Welcher Anteil der kinetischen Energie von c32 bei gegebener Rückströmung wirksam wird, um den Nulldruck zu erhöhen, hängt indessen auch von der Gestaltung des Leitapparates ab: wird viel Energie dissipiert, steigt die Förderhöhe trotz intensiver Rezirkulation nicht. Dieser Sachverhalt wird durch die Versuche in Abb. 5.19 illustriert: bei Verkleinerung der Lichtweite a3 am Leitradeintritt stieg der Nulldruck deutlich, während die Leistungsaufnahme nahezu gleich blieb. Nulldruck und Förderhöhe müssen sich also keineswegs immer im gleichen Sinne ändern. 5.4.3 Auswirkung auf Radseitenraumströmung und Axialschub Während die Rezirkulation am Laufradeintritt keinen merklichen Einfluß auf die Strömung im Radseitenraum hat, kann die Wirkung der Austrittsrückströmung beträchtlich sein. Dies erfahrungsgemäß dann, wenn sie auf der Deckscheibenseite auftritt, weil dann rückströmendes Fluid mit kleiner Umfangsgeschwindigkeit durch die Dichtspaltleckage in den Radseitenraum transportiert wird und dort die Flüssigkeitsrotation bremst, Kap. 9.1. Dasselbe geschieht auf der Tragscheibenseite bei Laufrädern mit Entlastungslöchern, während bei mehrstufigen Pumpen mit radial auswärtsgerichteter Leckage ein solcher Effekt wenig oder gar nicht festzustellen ist. Messungen in Abb. 5.30 illustrieren, wie die Rückströmung die Rotation im Radseitenraum beeinflußt. Dargestellt ist kDs als das Verhältnis der mittleren Winkelgeschwindigkeit des Wassers im Radseitenraum zu der des Laufrades (Kap. 9.1). Bei Laufrad A entwickelt sich unterhalb q* = 0,75 eine mit fallendem Durchfluß stetig wachsende Rezirkulation auf der Deckscheibenseite; der Rotationsfaktor kDs im Radseitenraum fällt dabei kontinuierlich von etwa 0,5 auf 0,18, weil Wasser mit kleinem c2u in den Radseitenraum gelangt. Laufrad B verhält sich ganz anders: die Rückströmung erscheint bei Q = 0 auf der Tragscheibenseite; deshalb ist kDs nicht beeinflußt (doppelt so groß als bei Laufrad A). Die Verringerung des Rotationsfaktors im Bereich q* = 0,15 bis 0,65 wird durch niedrige c2u an der Deckscheibe verursacht, wie man aus dem Vergleich der Kurven kDs = f(q*) mit den Geschwindigkeitsprofilen ersieht. Das Verhalten von kDs folgt sehr gut dem Verlauf, der auf Grund der c2m- und c2u-Verteilung zu erwarten ist. Im Leitring wird die Umfangsgeschwindigkeit des rückströmenden Fluids größer als beim

5.4 Auswirkungen der Rückströmung

229

Leitrad, weil die Rotation nicht durch Schaufeln behindert wird; die Rotation des Fluids im Radseitenraum (kDs ≈ konst.) wird entsprechend intensiver (Abb. 5.30). Untersuchungen an einer Pumpe mit nq = 22 zeigen den Einfluß der Rückströmung auf die Radseitenraumströmung auf ähnliche Weise [5.31]: bei breitem Radseitenraum trat die Rezirkulation im ganzen Förderstrombereich nahe der Tragscheibe auf, und dort wurde entsprechend die Rotation im Radseitenraum gebremst. Bei sehr engem Radseitenraum sprang die Rückströmzone von der Tragscheibe zur Deckscheibe und der Rotationsfaktor stieg entsprechend wieder an. (Der Wechsel im Ort der Rezirkulation äußerte sich auch in einem leichten Sattel in der Kennlinie, Kap. 5.5.2.) Derartige Änderungen der Rotation im Radseitenraum müssen einen starken Einfluß auf den Axialschub (Kap. 9.2) ausüben [5.15], [5.32]. Da der Axialschub bei mehrstufigen Pumpen zu einem großen Teil ausgeglichen wird, können Änderungen der Rotation im Radseitenraum eine Schubumkehr wie bei den Versuchen in Abb. 5.35 bewirken, bei denen der Einfluß axialer Rotorverschiebungen auf Axialschub und Kennlinie ermittelt wurde. Geschwindigkeitsmessungen fehlen 300

Test 52 Test 51 Test 53

H [m]

Test 52

250

200 Test 53 150 10 Test 53

Fax [kN]

5

Test 51

0 Test 52

-5 0

0.5

q*

1

1.5

Abb. 5.35. Einfluß der Rotorstellung auf Kennlinie und Axialschub, nq = 22, Sulzer Pumpen AG; Test 51: Rotorstellung mittig; Test 52: Rotorverschiebung zur Druckseite; Test 53: Rotorverschiebung zur Saugseite

230

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

zwar, aber die Ergebnisse lassen sich im Lichte obiger Erläuterungen recht gut deuten: wenn der Rotor in Richtung Druckseite verschoben wird, bildet sich infolge des Absatzes zwischen Laufrad- und Leitraddeckscheibe die Rezirkulation auf der Deckscheibenseite; dadurch sinkt die Rotation, die Integration der Druckverteilung auf der Deckscheibe ergibt eine größere Kraft als im Bestpunkt und der Axialschub wirkt in Richtung Druckseite. Das umgekehrte passiert, wenn der Rotor in Richtung Saugseite verschoben wird: ein Absatz entsteht an der Tragscheibe, die Rezirkulation entsteht somit dort; die Rotation im deckscheibenseitigen Radseitenraum bleibt unbeeinflußt und der Schub geht in Richtung Saugseite, wie das der Auslegungspraxis entspricht. Bei beiden Rotorpositionen ist die Kennlinie stabil; die Rezirkulationszone bleibt stabil jeweils auf der Seite, wo der Absatz entsteht. Ist hingegen der Rotor gegenüber den Leiträdern mittig ausgerichtet, folgt die Axialschubkurve zunächst dem Fall, wo die Rezirkulation auf der Tragscheibenseite entsteht. Unterhalb q* < 0,6 sinkt der Axialschub plötzlich, woraus zu schließen ist, daß sich auf der Deckscheibenseite eine Rezirkulationszone gebildet hat. Die Teillastkennlinie kann somit von der Rotorstellung abhängen, was durch Unterschiede im Druckrückgewinn im Leitrad bedingt ist. Auch oberhalb des Bestpunktes hängt der Axialschub von der Rotorstellung ab, weil sich die Dichtspaltlänge und damit Leckage und Druckverteilung im Radseitenraum ändern (Kap. 9.1). 5.4.4 Schädliche Auswirkungen der Teillastrezirkulation Wie oben gezeigt, steigen Leistungsaufnahme und Förderhöhe beim Betrieb gegen geschlossenen Schieber infolge Rückströmungen an Laufradein- und -austritt. Bei Pumpen hoher spezifischer Drehzahl ist dieser Anstieg unerwünscht, weil die Rohrleitung für den Nulldruck berechnet und der Motor für das Anfahren gegen geschlossenen Schieber ausgelegt werden muß. Die durch die Rezirkulation hervorgerufene Zusatzleistung wird zudem in der Pumpe dissipiert, was zur Erwärmung des Fluids führt (s. Kap. 11.6, zulässiger Betriebsbereich, Mindestmenge). Bei ausgedehntem Betrieb im Bereich mit starker Rezirkulation wird die Lebensdauer der Pumpe mitunter infolge Schwingungen oder Kavitation beeinträchtigt (Kap. 10). Dabei wird die gesamte Rezirkulationsleistung wie in einer Wasserwirbelbremse dissipiert: • In Rückströmungen entstehen (wie im Totwasser hinter einem Brückenpfeiler) infolge Scherschichten große Wirbel. Besonders am Laufradaustritt verursachen derartige Wirbel infolge Wechselwirkung zwischen Laufrad und Leitvorrichtung schwingungsanregende Kräfte und Druckpulsationen. Als Folge davon kann es zu verstärktem Verschleiß an den Dichtspalten, Schäden an Lagern und Dichtungen, zu Ermüdungsbrüchen an verschiedenen Pumpenkomponenten, unerwünschten Schwingungen, Druckschwankungen im System und Lärm kommen. In Tafel 10.1 sind häufig beobachtete Probleme dieser Art, ihre Ursachen und mögliche Abhilfemaßnahmen zusammengestellt [6.14].

5.5 Einfluß von Ablösung und Rezirkulation auf die Kennlinie

231

• Die in Scherschichten erzeugten Wirbel können am Laufradeintritt (in Sonderfällen sogar am Laufradaustritt) zu Kavitationsschäden führen, wenn der Druck im Wirbelkern unter den Dampfdruck des Fluids sinkt. Am Laufradeintritt implodieren die so entstandenen Blasen meist auf der Druckfläche der Schaufeln (Kap. 6.8 und Tafel 6.3). Die Rezirkulation kann also einerseits Schäden verursachen, anderseits ist ein bestimmtes Maß von Rezirkulation nötig, um überhaupt stabile Kennlinien zu erhalten. Es muß demnach gemäß Abb. 5.36 eine optimale Intensität der Rückströmung geben. Diese ist jedoch keine „universelle” Größe, sondern es hängt erheblich von der Konstruktion der Pumpe und der Materialwahl ab, welche Höhe die erregenden Kräfte haben können, ohne daß es zu vorzeitigem Verschleiß oder Schäden kommt. Auch das zur Stabilisierung der Kennlinie erforderliche Ausmaß der Rezirkulation läßt sich noch nicht quantifizieren. optimale Auslegung

Kavitationsschall

Hydraulische Erregerkräfte HMax-H0

Druckpulsationen pulsierende Wirbelzöpfe

H = f(Q) unstabil

ϕRez

H = f(Q) stabil

Abb. 5.36. Zur optimalen Intensität der Rezirkulation

5.5 Einfluß von Ablösung und Rezirkulation auf die Kennlinie 5.5.1 Arten von Kennlinieninstabilität In Kapitel 4.1 wurde besprochen, wie sich die Kennlinie aus der theoretischen Schaufelarbeit und den Verlusten in den verschieden Teilen einer Pumpe ergibt, siehe hierzu auch Abb. 5.22. Nach den Gleichungen in Kap. 4.1 würde man für Laufräder mit Austrittswinkeln unter 90° immer Kennlinien erhalten, die von q* = 0 mit wachsendem Förderstrom stetig fallen (die also „stabil” sind). Wie in Kap. 5.1 besprochen, muß jedoch die Strömung in Laufrad und Leitrad bei allen Pumpen bei irgendeinem Teillastpunkt ablösen, weil bei q* = 0 an Eintritt und Austritt des Laufrades voll ausgebildete Rückströmung herrscht. Durch die Ablö-

232

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

sung kann eine Kennlinie instabil werden, wobei wir zwei Arten von Instabilität unterscheiden wollen: Typ F: Die Kennlinie kann – wie bei Laufrad A, A2 oder A3 in Abb. 5.27 – ein Maximum aufweisen, so daß Ho < Hmax; diese gegen Q = 0 fallende Kennlinie sei im folgenden als Instabilität „Typ F” bezeichnet. Je kleiner die spezifische Drehzahl, desto eher neigt eine Pumpe zu dieser Art Instabilität; oberhalb von nq = 25 30 bilden solche Instabilitäten eher die Ausnahme. Typ S: Die Kennlinie kann einen Sattel aufweisen, wie in Abb. 5.30 bei Laufrad B. Diese Form der Instabilität sei als Typ „S” bezeichnet. Ab etwa nq = 30 sind Leitradpumpen anfällig für diese Art von Instabilität; man begegnet ihr aber auch gelegentlich bei Spiralgehäusepumpen mit hoher spezifischer Drehzahl (z.B. [5.37] nq = 90). Mit wachsendem nq steigt das Risiko einer sattelförmigen Instabilität; und der Förderstrom, bei dem sie auftritt, rückt immer näher an den Auslegepunkt der Pumpe. Typischerweise tritt diese Instabilität bei q* = 0,6 bis 0,9 auf (weshalb sie auch als „Vollastinstabilität” bezeichnet wurde). Eine sattelförmige Instabilität ist manchmal mit einer Hysterese verbunden: bei fallendem Förderstrom tritt die sprunghafte Änderung der Förderhöhe bei kleinerem Förderstrom auf als bei steigendem Durchsatz bzw. beim Öffnen des Drosselventils. Die Kennlinien von Pumpturbinen weisen häufig eine Hysterese auf, weil das Laufrad für die Optimierung des Turbinenbetriebes große Eintrittsquerschnitte (A1 und A1q) erhält. Das Auftreten einer Hysterese bedeutet, daß sich eine spezifische Strömungsform über einen bestimmten Förderstrombereich trotz störender Faktoren halten kann (eine Art “lock-in effect”). Überschreiten die Störfaktoren eine Grenze, schlägt die Strömungsform plötzlich in einen anderen stabilen zustand um. Beispiele für Hysteresen finden sich in [5.37], [11.23] und in Abb. 6.17. Trotz der außerordentlich komplexen Strömungsvorgänge, die eine Kennlinieninstabilität verursachen, lassen sich aufgrund einer Analyse zahlreicher Versuche Modellvorstellungen über die Strömungsvorgänge bei Instabilitäten entwickeln. 5.5.2 Kennlinien mit Sattel (Instabilitäten vom Typ S) Einige Erfahrungstatsachen (T1 bis T8) und Überlegungen aus den vorhergehenden Abschnitten bilden die Grundlage für diese Modellvorstellungen: T1 Alle Pumpen arbeiten bei q* = 0 an Laufradein- und austritt mit voll ausgebildeter Rezirkulation. Die Mechanismen der Energieübertragung sind also anders als bei nicht abgelöster Strömung in Bestpunktnähe. T2 Der hohe Nulldruck von Axialpumpen läßt sich als Wirkung von Zentrifugalkräften deuten. Man kann aber auch von der Vorstellung ausgehen, daß die Rückströmungen an Eintritt und Austritt des Axialrades eine „Selbstheilung” des Strömungsbildes bewirken, dergestalt, daß entlang der sich um die Rezirkulationszonen bildenden Stromlinie eine „quasi-normale” Arbeitsübertragung stattfinden kann, bei der die Radiendifferenz allerdings eine wesentliche Rolle spielt. Beide Modellvorstellungen betrachten die Rückströmung als verantwortlich dafür, daß der Nulldruck ein Mehrfaches der Förderhöhe im Bestpunkt erreicht.

5.5 Einfluß von Ablösung und Rezirkulation auf die Kennlinie

233

T3 In der Leitvorrichtung wird auch bei q* = 0 noch ein Druckanstieg von 10 bis 30 % des Nulldruckes erzeugt. Man kann den Impulsaustausch als maßgebenden Mechanismus ansehen oder das Maximum des Staudruckes der örtlichen Absolutgeschwindigkeit als entscheidend betrachten. Nun ist aber c2max um so größer, je stärker die Rückströmung ist, weil die Rückströmung einen Teil des Laufradaustrittsquerschnittes versperrt. In beiden Fällen wächst also der Druckanstieg im Leitrad bei q* = 0 , wenn die Rezirkulation intensiver wird. T4 Bei einem bestimmten Verzögerungsverhältnis c3q/c2 löst die Strömung im Leitapparat ab; dieses hängt von dem Geschwindigkeitsprofil am Laufradaustritt und von geometrischen Parametern ab. T5 Eine Rückströmung tritt dann auf, wenn eine Ablösung und ein genügend großer Druckgradient senkrecht zur Hauptströmungsrichtung vorhanden sind. (Diese Kombination ist eine notwendige und hinreichende Bedingung.) T6 Bei nq < 70 trägt die Spaltdruckkennlinie meist weniger zur Instabilität bei als der Druckrückgewinn im Leitrad. Oft ist sie stabil, wenn die Gesamtkennlinie einen Sattel aufweist. Dagegen ist der Druckrückgewinn im Leitrad praktisch immer instabil, wenn die Kennlinie einen Sattel hat. T7 Die Spaltdruckkennlinie wird durch die Rückströmung aus dem Leitrad stabilisiert, Abb. 4.6b. T8 Wenn ein Sattel auftritt, d.h. die Förderhöhe bei Drosselung des Durchflusses sinkt, muß sich die Strömungsform in Laufrad und/oder Leitrad geändert haben. Welche Art von Änderungen oder welche Strömungsformen wirken sich nun ungünstig auf die Stabilität aus? Hierzu seien einige Hypothesen (H1 bis H8) formuliert, deren Plausibilität anhand von Versuchen überprüft werden soll. H1 Wenn die Strömung im Bestpunkt anliegt, bei Q = 0 aber voll abgelöst rezirkuliert, dann sollte diejenige Pumpe eine stetig fallende Kennlinie haben, bei der sich die Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt möglichst kontinuierlich von dem gleichförmigen Profil im Bestpunkt zur asymmetrischen Verteilung mit Rückströmung entwickelt. Weder am Eintritt noch am Austritt oder innerhalb des Laufrades dürfen plötzliche Änderungen in der Geschwindigkeitsverteilung (oder Umschläge des Strömungsbildes) auftreten; Ablösungs- und Rückströmzonen müssen sich kontinuierlich vergrößern und immer am selben Ort bleiben. Abb. 5.37 zeigt ein solches Beispiel: die Axialpumpe mit nq = 213 hat zwar eine deutliche Änderung im Kennliniengradient dort, wo die Eintrittsrezirkulation einsetzt (dargestellt in Abb. 4.9), eine Instabilität ist aber nicht vorhanden. Das Laufrad hatte drei Schaufeln mit nur etwa 70° Umschlingung an der äußeren Stromlinie, also keinerlei Schaufelüberdeckung. Die Rückströmungen an Eintritt und Austritt sind intensiv; sie vergrößern sich kontinuierlich, sobald sie eingesetzt haben. Auch oberhalb des Rezirkulationsbeginns entwickeln sich die Geschwindigkeitsprofile am Austritt mit einem stetig wachsenden c2m-Defizit an der Nabe. Oberhalb des Rezirkulationsbeginns wird die Strömung gemäß Kap. 5.2.2.3 in Richtung Nabe abgelenkt, d.h. das Maximum von c2m liegt in der inneren Hälfte des Kanals (nach Gl. 5.6 ergibt sich eine Rossby-Zahl von 0,59 bei q* = 1,04). Ganz anders verhält sich die halbaxiale Pumpe (nq = 180) mit einem ausgeprägten Sattel in der Kennlinie, über die in [5.6] berichtet wird: die Geschwindigkeitspro-

234

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge 0,3

c 2m/u2a

0,2 q* 0,95 0,66 0,53 0,43 0,28 0,1

0,1 0 -0,1 -0,2 0,4 0,3

c2u/u2a

0,2 0,1 0 0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

r/rm

1

0,3

ψ2m

η

ψ 2m

0,25

n=1200 n=1100 n=1000 n= 900 n= 800

0,2 0,15

rpm rpm rpm rpm rpm

0,1 0,05

0

0,05

0,1

0,15

ϕ2m

0,2

Abb. 5.37. Messungen an einer Axialpumpe nq = 213 [5.18]

file am Austritt entwickeln sich unregelmäßig, und im instabilen Bereich tritt ein c2u-Defizit an der äußeren Stromlinie auf. H2 Wenn sich das Strömungsbild bei einer kleinen Reduktion des Förderstromes plötzlich ändert, ist gemäß dem Prinzip des kleinsten Zwanges eine Verringerung der Förderhöhe zu erwarten, die um so größer ausfällt, je markanter die Änderung des Strömungsbildes war. Häufig beobachtet man z.B., daß die Rezirkulationszone am Laufradaustritt von der Deckscheibe zur Tragscheibe (oder umgekehrt) springt. Dabei wird zwangsläufig auch ein Förderstrombereich durchlaufen, wo die Rezirkulation nahezu verschwindet, was einen Einbruch in der Förderhöhe bedeutet. Manchmal treten auch Hysteresiserscheinungen in der Kennlinie oder im Axialschub auf; sie sind dadurch bedingt, daß der Umschlag der Strömungsform bei verschiedenen Werten von q* erfolgt, je nachdem ob der Förderstrom reduziert oder vergrößert wird (s.a. Abb. 6.17). Wenn wir bedenken, welch starken Einfluß die Lage der Rezirkulationszone auf die Rotation im deckscheibenseitigen Radseitenraum hat (s. Abb. 5.30 und Kap. 5.4.3), wird klar, daß eine Hysterese im Strömungsumschlag einen starken Einfluß auf den Axialschub ausüben kann. Strömungsumschläge dieser Art können verschiedene Ursachen haben, z.B.: a) Es kann ein „Ablöseverzug” auftreten: die Ablösung wurde bewußt oder unbewußt zu lange hinausgezögert und erfaßt dann bei ihrem plötzlichen Einsetzen ei-

5.5 Einfluß von Ablösung und Rezirkulation auf die Kennlinie

235

ne große Zone (Kavitationsbeobachtungen an Laufrädern mit flacher Druckverteilung auf der Saugfläche zeigen, daß so ein Effekt bei entsprechender Schaufelgestaltung erreicht werden kann). Im Gegensatz hierzu steht die „normale” Ablösung, die zu Beginn nur sehr lokal auftritt und bei Reduktion des Durchsatzes kontinuierlich wächst (Abb. 5.1, 5.17, 4.9). b) Beim Einsetzen der Laufradeintrittsrezirkulation ändert sich die Strömungsverteilung am Laufradaustritt schlagartig; z.B. weil die Rezirkulationszone von der Trag- zur Deckscheibe (oder umgekehrt) springt. Dieser Fall tritt vermutlich recht häufig auf und hinterläßt beim Beobachter den Eindruck, die Eintrittsrezirkulation sei primäre Ursache der Instabilität und daher zu bekämpfen. H3 Bei Radialrädern hoher spezifischer Drehzahl und halbaxialen Laufrädern gewinnt der Strömungsumschlag im Laufrad größte Bedeutung, weil der Druckrückgewinn in der Leitvorrichtung mit zunehmendem nq fällt und daher nur einen geringen Beitrag zur Förderhöhe leistet. Zudem wächst die Anzahl der Freiheits-

+

A

i1

an Deckscheibe an Nabe

Q B

-

A: Ablösung in Nabennähe B: Beginn der Rezirkulation an Deckscheibe

Abb. 5.38. Variation des Anstellwinkels i1 am Laufradeintritt

grade für die Strömung, weil die Kanalbreite zu- und die Führung der Strömung abnimmt. Wie oben erwähnt, kann ein solcher Umschlag insbesondere dann eintreten, wenn die Rezirkulation am Laufradeintritt einsetzt. Einen möglichen Mechanismus kann man wie folgt postulieren: In Abb. 5.38 sind die Anstellwinkel an der Deckscheibe und an der Nabe über dem Förderstrom aufgetragen. Solange keine Rezirkulation vorhanden ist, wächst der Anstellwinkel an der Nabe mit abnehmendem Durchfluß schneller als an der Deckscheibe, weil die Schaufelwinkel an der Nabe größer sind (Abb. 5.14). Bei einem kritischen Anstellwinkel löst die Strömung zunächst an der Nabe ab, wodurch am Laufradaustritt an der Tragscheibe eine Rezirkulation induziert werden kann. Am Laufradeintritt entsteht noch keine Rezirkulation, weil sich der entsprechende Druckgradient quer zur Strömungsrichtung noch nicht ausgebildet hat. Dies erfolgt erst bei kleinerem Durchfluß, wenn die Verzögerung und der Anstellwinkel an der äußeren Stromlinie kritische Werte erreicht haben. Wenn dann die Rezirkulation am Laufradeintritt genügend stark geworden ist, wird an der Nabe eine Vorrotation induziert, so daß der Anstellwinkel an der Nabe kleiner wird (er kann bei kleiner Last sogar negativ werden). Folglich verschwindet die Ablösung an der Nabe und damit die Austrittsrezirkulation an der Tragscheibe: die Rezirkulation am Austritt springt dann in der Folge zur Deckscheibe.

236

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

asymmetrisch

symmetrisch

Abb. 5.39. Symmetrische und asymmetrische Geschwindigkeitsverteilung (c2m) am Laufradaustritt

H4 Wenn Rückströmung einen „Selbstheilungseffekt” hat, indem sie einen Teil des Leitradkanals blockiert, so daß der restliche Kanalquerschnitt quasi normal arbeitet, dann ist eine asymmetrische oder einseitige Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt besser als eine symmetrische Verteilung mit Zonen niedriger Energie an Trag- und Deckscheibe, Abb. 5.39. Dieser Schluß ergibt sich auch aus T5: die für die Rückströmung notwendigen Druckgradienten quer zur Hauptströmung bilden sich stärker aus, wenn die Geschwindigkeitsverteilung asymmetrisch ist; denn bei symmetrischer Verteilung bilden sich nur zwei schwächere Rezirkulationszonen und kein eindeutiger Druckgradient über die Kanalbreite. H5 Solange die Verzögerung im Leitapparat noch nicht zu groß ist, sind symmetrische Profile unschädlich (im Hinblick auf den Wirkungsgrad sogar günstig). Erst wenn die generelle Verzögerung c3q/c2 einen Grenzwert erreicht hat, ist die Verteilung mit energiearmen Zonen an Trag- und Deckscheibe ungünstig, weil sie zu einer Ablösung ohne, oder mit verringerter Rezirkulation führt: „Ablösung ohne Rezirkulation bedeutet Gefahr von Instabilität”. In besonderem Maße gilt dies auch für halbaxiale und axiale Laufräder, deren Kennliniensteilheit durch die Rezirkulation bestimmt wird, so daß sich ein Sattel bildet, wenn die Rezirkulation nicht unmittelbar nach der Ablösung im Laufrad genügend stark einsetzt. H6 Die Ablösung in der Leitvorrichtung soll in dem Bereich der Kennlinie erfolgen, wo die Spaltdruckkurve noch nicht flach oder gar instabil ist. Eine frühe Ablösung im Leitrad hat auch den Vorteil, daß die Förderhöhe noch nicht so weit angestiegen ist, die Kennlinie also früher abflacht und noch „Potential” vorhanden ist, bis der (begrenzte) Nulldruck erreicht wird, Abb. 5.40. Eine späte Ablösung erfolgt mehr schlagartig, eine frühe mehr graduell. Asymmetrische Profile neigen vermutlich in der Regel zu früherer Ablösung als symmetrische. H7 Um Sattelbildung bei halbaxialen und axialen Pumpen zu vermeiden, muß man das Laufrad so entwerfen, daß am Austritt an der äußeren Stromlinie keine energiearmen Zonen entstehen, damit ein Umschlag der Strömung vermieden wird; denn bei niedrigem Durchfluß tritt ja die Rezirkulation zwangsläufig an der Nabe auf. Ein frühzeitiges Einsetzen der Nabenrückströmung hilft bei diesem Unterfangen, weil die Durchflußströmung nach außen abgedrängt wird. Die c2m-Verteilungen in Abb. 5.37 deuten in diese Richtung – ebenso die Versuche in [5.20 bis 5.22] mit halbaxialen Laufrädern offener und geschlossener Bauart. Im besonderen zeigen die Messungen in [5.21] und [5.22], daß eine Energiezufuhr in Nähe der Außenwand die Stabilität verbessert. Das erfolgte in diesem Fall durch

5.5 Einfluß von Ablösung und Rezirkulation auf die Kennlinie H

237

frühe Ablösung infolge asymmetrischer Geschwindigkeitsverteilung spätere Ablösung infolge symmetrischer Geschwindigkeitsverteilung

Q BEP

Abb. 5.40. Einfluß einer frühen oder späten Ablösung auf die Q-H-Kurve

den Spaltstrom zwischen Gehäuse und Laufrad beim offenen Laufrad, das infolge dieses Effektes eine stabilere Kennlinie hatte als ein geschlossenes Rad. Auch Beim geschlossenen Laufrad konnte durch Energiezufuhr an der äußeren Stromlinie die Stabilität verbessert werden; dies wurde in einer Versuchsreihe mittels eines Schlitzes zwischen Deckscheibe und Schaufel erreicht, der nahe des Laufradaustritts angebracht wurde und etwa 50 % der Schaufellänge umfaßte. Im weiteren ließ sich die Arbeitsübertragung an der äußeren Stromlinie dadurch verbessern, daß die Dichtspaltleckage axial umgelenkt wurde, anstatt sie radial in den Hauptstrom einzuleiten (dies ergab eine geringe Grenzschichtdicke am Laufradeintritt). H8 Vorsatzläufer („Inducer”, Kap. 7.7) haben meist eine steile, stabile Kennlinie. Dies hat mehrere Gründe: (1) Das Verhältnis d2/dn ist groß, man erhält also nach Gl. (5.11) einen hohen Nulldruck. (2) Eine Leitvorrichtung, in der die Strömung ablösen könnte, ist nicht vorhanden. Oft wird nur der statische Druck hinter dem Inducer gemessen; die Spaltdruckkennlinie ist aber gemäß T6 bei den meisten Laufrädern recht stabil. Auch die Integration des Totaldruckes ergibt meist eine stabile Kennlinie; bei instabilen Kennlinien leistet immer das nach Ablösung auftretende Defizit im Leitraddruckrückgewinn einen wesentlichen Beitrag zur Instabilität. (3) Die Schaufelkanäle von Vorsatzläufern sind eng, die Strömung ist gut geführt, und es kommt demzufolge nicht zu einem plötzlichen Umschlag der Strömungsform. Die in [5.24] gezeigten Geschwindigkeitsprofile am Austritt eines Vorsatzläufers weisen denn auch mit abnehmendem Förderstrom eine gleichmäßige Zunahme von c2u an der äußeren Stromlinie auf – ganz ähnlich wie in Abb. 5.37. Gegen Q = 0 treten hinter dem Inducer sehr große Druckdifferenzen zwischen der äußeren und der inneren Stromlinie auf. Dieser Druckgradient quer zur Hauptströmung hält etwaigen Druckgradienten senkrecht zur Strömung im Laufrad das Gleichgewicht und unterdrückt so eine Rückströmung aus dem Laufrad, die natürlich ohne Inducer auftreten würde. Dieser Befund bestätigt indirekt, daß Ablösung und Druckgradienten quer zur Strömung zusammen wirken müssen, damit eine Rückströmung auftreten kann. Als weiteres Beispiel zur Illustration des Gesagten zeigt Abb. 5.41 Messungen aus [5.13], die zwei Eigenschaften aufweisen, die wir oben als ungünstig erkannt haben: den Umschlag der Rezirkulationszone von der Tragscheibe zur Deckscheibe und im instabilen Bereich symmetrische Profile mit energiearmer Zone an Trag-

238

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

und Deckscheibe. Schon bei q* = 0,97 ist ein Viertel der Austrittsfläche mit einer Rezirkulation belegt (das Rad ist also zu breit); bei q* = 0,9 ist diese Zone entsprechend angewachsen. Im Bereich des Sattels, bei q* = 0,88, ist sie deutlich kleiner als bei q* = 0,9; und bei q* = 0,85 hat sich an Trag- und Deckscheibe je eine energiearme Zone gebildet; gesamthaft bleibt die Rezirkulation auch hier schwächer als bei q* = 0,9. Bei q* = 0,78 schließlich dominiert sie an der Deckscheibe und die Förderhöhe steigt wieder. Ein Wechsel der Rezirkulationszone von der Deck- zur Tragscheibe trat auch in den Versuchen an einer Leitradpumpe mit instabiler Kennlinie auf, [5.19]. Messungen an einer Pumpturbine mit instabiler Kennlinie finden sich weiter in [5.30]; in diesem Fall lag die energiearme Zone vor der Ablösung an der Deckscheibe und sprang nach der Ablösung zur Tragscheibe. Doppelflutige Laufräder sind – abgesehen von Fertigungstoleranzen – symmetrisch und haben von der Geometrie her somit die Neigung, symmetrische Abströmprofile zu erzeugen. Dies gilt aber nur, solange keine Ablösung und/oder Rückströmung im Leitrad auftritt. Man kann sich vorstellen, daß die labile Strömung hier noch mehr Freiheitsgrade hat als in einflutigen Pumpen. Das Risiko von Strömungsumschlägen und ungenügender Rückströmung erschwert es somit, bei doppelflutigen Pumpen mit Leitrad stabile Kennlinien zu erreichen. Die Erfahrung lehrt denn auch, daß Probleme mit instabilen Kennlinien bei dieser Bauart oft sehr schwierig zu lösen sind [5.25]. Die in [5.25] beschriebenen Versuche werden im Lichte der oben entwickelten Modellvorstellungen verständlich: Ds

Ts Ds

Ts Ds

Ts Ds

Ts Ds

Ts

c2m

Ts = Tragscheibe Ds = Deckscheibe

1.5

Hst/Hst,opt

1.4 1.3

5 4

1.2

3

2

1

1.1 1.0 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Q/Qopt

Abb. 5.41. Kennlinie einer mehrstufigen Pumpe mit Leitrad [5.13]

5.5 Einfluß von Ablösung und Rezirkulation auf die Kennlinie

239

die sattelförmige Instabilität wurde verringert durch eine Verkleinerung des Spaltes zwischen den Deckscheiben von Laufrad und Leitrad und durch eine Schrägkorrektur, bei der der Schaufeldurchmesser an den Deckscheiben kleiner war als am Mittelsteg des Laufrades. Hierdurch wurde offensichtlich die Rückströmung intensiviert und eine Asymmetrie der Laufradabströmung erzeugt; sie ist verantwortlich für die etwas frühere Ablösung im Leitrad. Wenn in einem Leitradkanal Ablösung oder Rückströmung auftritt, ändert sich die Druckverteilung am Laufradaustritt. Dies hat aber einen Einfluß auf die Strömung durch die Laufradkanäle. Die sich einstellenden Strömungszustände können nicht mehr symmetrisch sein, und die Strömung wird stark instationär. Vermutlich können dann auch unterschiedliche Volumenströme durch beide Laufradhälften auftreten. CFD-Berechnungen im unstabilen Bereich der Q-H-Kurve einer Pumpe mit doppelflutigem Laufrad führten zu diesem Ergebnis [5.52]; eine experimentelle Bestätigung steht allerdings noch aus. Abbildung 5.42 zeigt die Strömung im Leitrad einer Pumpe mit doppelflutigem Laufrad, Leitrad und Spirale bei q* = 0,8 (CFD Berechnungen in [5.52]). Die

Abb. 5.42. Strömungsformen im Leitrad einer Pumpe mit doppelflutigem Laufrad, Leitrad und Spirale, q* = 0.8, CFD Berechnungen aus [5.52].

240

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

Q-H-Kurve wies eine Hysterese auf. Die Ansicht in Abb. 5.42 ist von der Spirale in die Leitradkanäle. Das obere Bild gilt für den oberen Ast der Hysterese in der Q-H-Kurve, der beim Verringern des Förderstromes durchlaufen wurde. Das untere Bild gilt für den unteren Ast, der sich beim Vergrößern des Förderstromes einstellte (Abb. 8.18 zeigt die Q-H-Kurve). Beim Betrieb auf dem unteren Ast ist die Strömung asymmetrisch, wodurch ein starker Wirbel entsteht. Die hierdurch bedingten Verluste reduzieren die Förderhöhe und führen zu der beobachteten Instabilität mit einem positiven Gradienten der Q-H-Kurve, vgl. hierzu Abb. 5.20. Da der Wirbel im Leitradkanal nach dem engsten Querschnitt entsteht, kommt es bei q* = 0,8 noch nicht zu einer Rückströmung in das Laufrad, die eine Vergrößerung der Förderhöhe bewirken könnte. Dieser Effekt wird erst unterhalb von q* = 0,6 wirksam, wo die Förderhöhe wieder ansteigt. Die Kennlinienstabilität reagiert – auch bei Radialrädern – häufig erstaunlich empfindlich auf scheinbar kleine Unterschiede in der Zuströmung zum Laufrad; dabei kann auch der Druckrückgewinn im Leitrad beeinflußt werden. Dies zeigt, daß die Geschwindigkeitsverteilung vor dem Laufrad auch dessen Abströmung stark beeinflussen kann, wenn die Strömung labil ist. Der Laufradeintritt und die Umlenkung im Meridianschnitt bestimmen weitgehend die cm-Verteilung am Laufradaustritt (s. Kap. 5.2). Versuche mit nur einer Stufe sind deshalb wenig aussagefähig für das Teillastverhalten mehrstufiger Pumpen [5.26], weil die Zuströmung aus den Rückführschaufeln nicht korrekt modelliert wird. Mehrstufige Pumpen zeigen mitunter ein besseres Stabilitätsverhalten als einstufige, weil die Fertigungstoleranzen in den einzelnen Stufen zu leicht unterschiedlichen Strömungsformen (Ablösepunkte, Rezirkulation) führen. Pumpen mit Spiralgehäuse sind meist weniger anfällig auf eine Instabilität vom Typ S. Dieser Befund bestätigt die Aussage, daß der Druckrückgewinn in der Leitvorrichtung einen starken Einfluß auf die Stabilität der Kennlinie hat. Bei Versuchen zur Kennlinienstabilität ist es daher zweckmäßig, den Spaltdruck zu messen und diesen nebst der Druckerhöhung in der Leitvorrichtung über dem Förderstrom aufzutragen. Leider wurde diesem Sachverhalt in vielen Untersuchungen nicht Rechnung getragen, was deren Interpretation sehr erschwert, z.B. [5.6], [5.13], [5.20 bis 5.22]. In Spiralgehäusen variiert der Druck über dem Laufradumfang bei Teillast stark, wodurch große Asymmetrien in der Strömung erzeugt werden, die analog zu den oben entwickelten Modellvorstellungen für die bessere Stabilität von Spiralgehäusepumpen verantwortlich sein könnten. Die Variation des Druckes über dem Laufradumfang scheint auch zu bewirken, daß keine plötzlichen Strömungsumschläge auftreten. Obige Analyse zeigt ferner, daß umfangsgemittelte Absolutgeschwindigkeiten am Laufradaustritt recht aussagekräftig sind. Man muß sich indes stets bewußt sein, daß diese Betrachtungsweise eine Vereinfachung ist, die nicht alle Einzelheiten erfassen kann. Sie erlaubt jedoch, Maßnahmen zur Stabilisierung zu definieren und so Konsequenzen für den Entwurf zu ziehen (Kap. 5.6). Schließlich zeigt obige Analyse, daß der cm-Verteilung eine geradezu überragende Rolle zukommt: sie läßt Rückströmung und energiearme Zonen erkennen. Denn die örtlich übertragene Energie ist proportional zu cm cu, so daß cm auch dann auf eine solche Zone

5.6 Maßnahmen zur Beeinflussung der Kennlinienform

241

hinweist, wenn cu kein Manko gegenüber dem Mittelwert hat (wie die gezeigten Messungen bestätigen, sind aber zudem bei Teillast cm-Defizite meist gekoppelt mit cu-Defiziten). 5.5.3 Instabilitäten vom Typ F Bei Pumpen mit kleiner spezifischer Drehzahl besteht die Gefahr, daß die Förderhöhe ein Defizit bei Q = 0 aufweist (Instabilität Typ F gemäß 5.5.1). Wie oben ausführlich diskutiert und mit zahlreichen Messungen belegt, bestimmt die Rezirkulation an Laufradein- und -austritt die Förderhöhe bei kleinem Durchfluß. Wenn die Nullförderhöhe zu niedrig ist, bedeutet dies folglich, daß die Rezirkulation am Eintritt und/oder Austritt zu schwach ausgebildet ist und intensiviert werden muß, um die Kennlinie zu stabilisieren. Der durch die Rückströmung induzierte Mitdrall am Laufradeintritt muß zudem möglichst gut unterdrückt werden, Kap. 5.6.4. Für den Ablösepunkt im Leitrad, bei dem die Kennlinie flach wird, gelten ähnliche Überlegungen wie in Kap. 5.5.2. Auch in diesem Fall hat die Abströmung vom Laufrad einen Einfluß auf die Rückströmung; energiearme Zonen gleichzeitig an Trag- und Deckscheibe sind ungünstig, während eine einseitige Geschwindigkeitsverteilung eine intensivere Rezirkulation erzeugt und damit die Voraussetzungen für eine stabile Kennlinie verbessert.

5.6 Maßnahmen zur Beeinflussung der Kennlinienform 5.6.1 Einführung Grundsätzlich läßt sich jede Kennlinie stabilisieren, wenn man sie genügend steil macht. Dies ist zu erreichen durch kleine relative Laufradaustrittsbreite, kleinen Laufschaufelaustrittswinkel, kleine Laufschaufelzahl, große Vorrotation oder einen genügend engen Querschnitt in der Leitvorrichtung. Mit Rücksicht auf die Druckzahl bzw. die Baugröße muß man mit diesen Parametern jedoch meist an die obere Grenze gehen – und diese ist gerade dadurch gegeben, daß die Kennlinie instabil wird. Wo diese Grenze liegt, läßt sich nicht genau vorausberechnen. Auch das qualitative Verständnis für diese Vorgänge ist erst ansatzweise entwickelt. Letztlich ist man auf den Versuch angewiesen, um den Nachweis der Kennlinienstabilität zu erbringen. Wenn eine Kennlinie instabil ist, handelt es sich meist um ein Förderhöhendefizit von wenigen Prozent; die Vorausberechnung müßte daher sehr genau sein, um eine derartige Treffsicherheit zu erreichen. Bei der Komplexität der abgelösten instationären Strömung und der Vielzahl der geometrischen Parameter ist eine solche Genauigkeit heute kaum erreichbar. Es ist daher auch nicht möglich, wirklich sichere Kriterien für das Erreichen stabiler Kennlinien aufgrund einiger Hauptabmessungen der hydraulischen Komponenten anzugeben. Denn wie oben diskutiert, hängen die vielfältigen Formen, die die Laufradströmung annehmen kann, von der

242

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

Gestaltung des Meridianschnittes und der Schaufeln sowie von der Geschwindigkeitsverteilung vor dem Laufrad ab. Auch ist die Kombination der verschiedenen Parameter oft entscheidender als ein einzelner Parameter selbst. So kommt es vor, daß eine Maßnahme, die bei Pumpe „A” stabilisierend wirkt, sich bei Pumpe „B” als einflußlos oder sogar destabilisierend erweist. Dennoch gibt es eine Reihe von Maßnahmen, mit denen man die Kennlinienstabilität gezielt beeinflussen kann. Diese Maßnahmen stimmen mit den oben entwickelten Modellvorstellungen überein und haben sich in der Praxis vielfach bewährt (s. hierzu Tafel 5.1). Die erwähnten Einschränkungen machen klar, daß es keine Rezepte geben kann, um alle Kennlinien unter allen Umständen stabil zu machen. Je höher man die Druckzahl im Bestpunkt wählt (dies gilt für alle spezifischen Drehzahlen), desto schwieriger wird es, die Kennlinie zu stabilisieren. Oft haben Maßnahmen zur Stabilisierung der Kennlinie auch unerwünschte Nebenwirkungen wie z.B. eine nicht akzeptable Einbuße an Wirkungsgrad. Wenn der Betreiber der Pumpe eine Instabilität akzeptiert, weil die Anlage so betrieben wird, daß die Pumpe nie in den instabilen Bereich gerät, kann man die Druckzahl höher wählen und durch entsprechende Gestaltung der hydraulischen Komponenten auch einen höheren Wirkungsgrad erreichen, als wenn eine stetig fallende Kennlinie erreicht werden muß. Diese Aussage gilt z.B. für Speicherpumpen, deren Betriebsbereich durch die topographiebedingten Wasserspiegel oft eng ist und die wegen der hohen Antriebsleistung für Spitzenwirkungsgrade auszulegen sind. 5.6.2 Beeinflussung des Rezirkulationsbeginns am Laufradeintritt Der Beginn der Rezirkulation am Laufradeintritt hängt primär ab von der Verzögerung von w1 auf w1q, von den Druckgradienten quer zur Strömung und sekundär vom Anstellwinkel. Der Rezirkulationsbeginn kann somit auf folgendem Wege zu kleinerem Volumenstrom verschoben werden: 1. 2. 3. 4.

Verkleinerung des Laufradeintrittsdurchmessers Verkleinerung des engsten Querschnittes am Laufradeintritt Vorrotation (Mitdrall) erzeugen, z.B. Vorleitschaufeln, Rückführschaufeln Vergrößerung des Schaufeleintrittsdurchmessers d1i an der Nabe, bzw. Verkleinerung des Verhältnisses d1a/d1i 5. Verkleinerung der Laufschaufeleintrittswinkel, wenn gleichzeitig der engste Querschnitt reduziert wird. Durch die Maßnahmen 1 bis 3 wird die Verzögerung am Laufradeintritt reduziert, während man durch Maßnahme 4 mögliche Druckgradienten quer zur Strömung verringert. Hierfür ist vor allem noch die Verteilung der Strömungs- und Geometrieparameter über der Schaufelhöhe maßgebend. Es ist aber schwierig, hierfür quantitative Regeln anzugeben, die allgemeingültig sind. Wenn man den Rezirkulationsbeginn zu stark zu kleinen Förderströmen verschiebt, riskiert man eine instabile Kennlinie, da mit obigen Maßnahmen (mit der möglichen Ausnahme von 5) die Intensität der Rückströmung bei Q = 0 verringert

5.6 Maßnahmen zur Beeinflussung der Kennlinienform

243

wird. Da die überwiegende Mehrzahl der Pumpen auch bei tiefer Teillast problemlos arbeitet, ist es wirtschaftlich nicht sinnvoll, jeglichen Betrieb bei Rückströmungen „um jeden Preis” vermeiden zu wollen (s. a. Kap. 5.1.7). 5.6.3 Beeinflussung des Rezirkulationsbeginns am Laufradaustritt Der Beginn der Rückströmung am Laufradaustritt hängt primär ab von der Verzögerung c3q/c2 und von der Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt; letztere ist verantwortlich für die Druckgradienten quer zur Strömung im Diffusor, ohne die wohl Ablösung, aber keine Rückströmung auftreten kann. Die Ablösung in der Leitvorrichtung läßt sich mit folgenden Maßnahmen zu kleinerem Förderstrom verschieben: 1. Reduktion von c2 (dieser Weg ist oft nicht akzeptabel, weil sich die Förderhöhe reduzieren würde). 2. Reduktion des engsten Querschnittes der Leitvorrichtung. Bei kleinen spezifischen Drehzahlen steht dieser Weg nur soweit offen, als sich der Bestpunkt nicht zu stark nach links verschiebt. Bei großen spezifischen Drehzahlen (ab etwa nq > 80) hat die Leitvorrichtung zunehmend weniger Einfluß auf die Bestpunktlage, so daß hier eine solche Anpassung möglich ist. 3. Reduktion der Leitschaufeleintrittswinkel. Diese Maßnahme ist nur begrenzt wirksam, wenn der engste Querschnitt nicht gleichzeitig verringert wird. Bei Spiralgehäusen ist der Einfluß des Zungenwinkels noch geringer als bei Leiträdern. 5.6.4 Beseitigung einer Instabilität vom Typ F Um eine gegen Q = 0 fallende Kennlinie stabil zu machen, muß man primär die Wirkung der Rezirkulation an Laufradein- und austritt verstärken (wodurch sich im Regelfall auch die Leistungsaufnahme bei Q = 0 vergrößert). Die Wirkung der Rezirkulation am Laufradaustritt (Impulsaustausch) läßt sich vergrößern durch: 1. Vergrößerung der relativen Laufradaustrittsbreite b2* 2. Vergrößerung von b3/b2 3. Verkleinerung von a3* (Abb. 5.19) bzw. Verkleinerung des Spiralenendquerschnittes. Diese Maßnahme bedeutet aber eine Bestpunktverschiebung und ist daher nur begrenzt anwendbar. 4. Verkleinerung des Laufrad/Leitradabstandes d3/d2; dem sind allerdings Grenzen hinsichtlich Druckpulsationen und dynamischen Spannungen gesetzt (Tafel 10.2, Kap. 10.1.9). Kaum wirksam ist diese Maßnahme bei Spiralgehäusen, weil der Impulsaustausch durch die Sekundärströmung in der Spirale und wenig durch die Zunge beeinflußt wird. 5. Verkleinerung des Abstandes zwischen den Deckscheiben von Laufrad und Leitrad, Abb. 5.31 6. Schräge Laufradaustrittskante, Abb. 5.33 (die Wirksamkeit steigt mit b2*)

244

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

7. Eventuell axiale Rotorverschiebung, Abb. 5.35 8. Asymmetrisches Geschwindigkeitsprofil am Laufradaustritt im Bereich, wo die Kennlinie flach wird (Kap. 5.5.2). Die Wirkung der Laufradeintrittsrezirkulation läßt sich beeinflussen durch: 9. Unterdrückung des durch die Rezirkulation verursachten Vordralls durch Rippen und Einbauten. Bei mehrstufigen Pumpen sind die Rückführschaufeln der vorhergehenden Stufe möglichst nahe an das folgende Laufrad heranzuziehen. Aus mechanischen Gründen muß ein Mindestabstand eingehalten werden, den man grob gleich der Schaufelbreite am Laufradeintritt setzen kann. 10. In einem großen Fluidvolumen vor dem Laufrad wird die Umfangskomponente des rezirkulierenden Fluids weitgehend dissipiert; es wirkt ähnlich wie die Strukturen unter 9). 11. Ein dem Laufrad vorgeschalteter Diffusor hingegen bremst die durch Rezirkulation induzierte Vorrotation weniger stark als ein axialer Zulauf; der Nulldruck sinkt um so mehr, je größer das Diffusoröffnungsverhältnis ist. (Man denke sich im Extremfall ein glattes Blech in kurzem Abstand vor dem Laufrad: das kleine eingeschlossene Fluidvolumen kann bei Q = 0 nahezu ungehindert rotieren, wodurch der Nulldruck entsprechend sinkt.) 12. Vorziehen der Laufschaufeleintrittskanten, besonders an der Nabe, so daß d1i etwa minimal wird. 13. Vergrößerung des Laufradeintrittsdurchmessers 14. Verkleinerung des Nabendurchmessers Die Maßnahmen 9 und 12 sowie 1 bis 4 sind am wirksamsten, um bei spezifischen Drehzahlen bis etwa nq ≈ 25 gegen Q = 0 stetig steigende Kennlinien zu erreichen. Der Nulldruck wächst zwar leicht mit dem Laufschaufelaustrittswinkel und der Schaufelzahl, die Kennlinie wird aber flacher und das Risiko einer Instabilität steigt. (Eine gewisse Ausnahme bildet der radiale Schaufelstern nach Kap. 7.3.3.) 5.6.5 Beeinflussung der Sattel-Instabilität der Radialräder mit nq < 50 Die Kennlinienstabilität der Radialräder mit nq < 50 wird wesentlich bestimmt durch den Druckrückgewinn im Leitrad, der wiederum von der Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt abhängt. Betrachten wir zunächst Leitradpumpen in dieser Gruppe, so kann die Sattelbildung der Kennlinie mit folgenden Maßnahmen beeinflußt werden: Der Ablösepunkt im Leitrad kann durch Verkleinerung der Leitradeintrittsbreite b3 zu kleinerem Förderstrom verschoben werden. Dadurch wird erfahrungsgemäß die Gefahr von Sattelbildung verringert. Gleichzeitig nimmt die Intensität der Rezirkulation bei Q = 0 ab, wodurch der Nulldruck sinkt. Dies kann erwünscht sein, kann aber auch eine Instabilität des Typs F, Welligkeit der Kennlinie oder einen zweiten Sattel hervorrufen. Die empfohlene b3-Verkleinerung steht in scheinbarem Widerspruch zu Kap. 5.5.2, Ziffer H6; wie bei allen diskutierten Maßnahmen handelt es sich also um eine Optimierungsaufgabe.

5.6 Maßnahmen zur Beeinflussung der Kennlinienform

245

1. Die Wirkung einer a3-Verkleinerung auf den Sattel ist uneinheitlich; für jede Pumpe muß hier ein Optimum gefunden werden. Eine a3-Verkleinerung bewirkt aber regelmäßig einen Anstieg des Nulldrucks, eine Verschiebung des Bestpunktes zu kleinerem Förderstrom und eine Verringerung der Förderhöhe bei großem Durchsatz, weil sich der Punkt mit c3q = c2 zu kleinerem Durchfluß verschiebt (Abb. 5.18 und 5.19). Je kleiner die spezifische Drehzahl, desto stärker reagiert die Lage des Wirkungsgradoptimums auf eine a3-Änderung (Kap. 4.2). Eine a3-Vergrößerung verschiebt dagegen die Ablösung im Leitrad zu einem größeren Förderstrom, was (wie bereits erwähnt) günstig sein kann, weil die Kennlinie früher abflacht. Die Stabilität der Kennlinie wird aber nur verbessert, wenn die Spaltdruckkennlinie des Laufrades in diesem Bereich genügend steil ist und der Druckrückgewinn im Leitrad trotz der früheren Ablösung im Leitrad nicht einbricht. 2. Form und Lage der Laufschaufeleintrittskante haben einen großen Einfluß auf die Strömung im Laufrad und demzufolge auch auf die Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt; allgemeine Regeln lassen sich indessen kaum angeben. Die Erfahrung zeigt, daß es nicht (wie bei der Instabilität F) unbedingt günstig ist, die Laufschaufeln an der Nabe möglichst weit vorzuziehen: dies führt zu sehr großen Eintrittswinkeln an der inneren Stromlinie und entsprechend starken Änderungen im Anstellwinkel, die gemäß dem anhand von Abb. 5.38 postulierten Mechanismus einen Umschlag in der Laufradabströmung provozieren können. 3. Bei mehrstufigen Pumpen könnte man in den einzelnen Stufen geometrisch verschiedene Komponenten einsetzen, die entsprechend bei unterschiedlichem q* ablösen (aus Kostengründen bei gegossenen Komponenten keine attraktive Lösung, bei NC-gefrästen Leiträdern aber ein gangbarer Weg). Allgemein sind die in Kap. 5.6.4 aufgeführten Maßnahmen keineswegs dazu geeignet, die sattelförmige Instabilität zu beheben; ihre Wirkung ist uneinheitlich bis kontraproduktiv. Um den Sattel wirklich zu verstehen und zu beheben, muß man durch Messung oder numerische Berechnung mehr über die Laufradabströmung in Erfahrung bringen. Liegen solche Informationen vor, kann man das Laufrad – und dessen Zuströmung – so gestalten, daß plötzliche Strömungsumschläge innerhalb des Laufrades, am Laufradaustritt oder in den Rezirkulationszonen vermieden werden. Auch Abströmprofile mit energiearmen Zonen gleichzeitig an Trag- und Deckscheibe sind ungünstig. Für derartige Analysen und Optimierungen kommen aus wirtschaftlichen Gründen praktisch nur numerische Methoden in Betracht. 4. Vermeidung eines plötzlichen Umschlages in der Strömungsform durch Schaffung einer „Sollablösestelle” im Laufrad, die sicherstellt, daß die energiearme Zone und die Rezirkulation am Laufradaustritt immer am gleichen Ort (z.B. an der Deckscheibe) auftreten. Die Deckscheibe bietet sich hierzu an, weil die Meridiankrümmung gemäß Kap. 5.2.2.4 die Tendenz hat, hier eine energiearme Zone zu produzieren. Die überwiegende Zahl der vorliegenden Messungen bestätigt, daß bei Q = 0 die Rezirkulation an der Deckscheibe erfolgt. Daher sollte man beim Laufradentwurf danach trachten, bei keinem Förderstrom eine energiearme Zone oder Rückströmung an der Tragscheibe zu haben.

Q

Q

Typisch für nq > 35

H

d Zu große Nullförderhöhe oder Leistungsaufnahme

Typisch für nq < 30

H

ψP

c Q-H-Kurve fallend gegen Q =0

Q

HLe

ψP

Q

steigt gegen Q = 0

Q

steigt gegen Q=0

HLe, flach oder gegen Q = 0 fallend

HLe

HP, ψP flach gegen Q = 0

Q

Interne Drücke

Q-H-Kurve

Befund

Q

Q

Absinken der Rotation infolge Rezirkulation

β ω 0,5

β ω 0,5

Axialschub, β/ω = f (Q)

• Zu große Rezirkulation am Laufradaustritt

• • • • •

LE: a3 vergrößern Spirale: A3q vergrößern b2 verkleinern δTE verkleinern b3/b2 verkleinern

δTE

Mögliche Maßnahmen Achtung: Alle Änderungen können Nebenwirkungen zeitigen • Ungenügende • Laufschaufeleintrittskante an Rezirkulation am Nabe vorziehen (d1eff verkl.) Laufradeintritt (zu • Rückführschaufeln vorziehen geringe Zentrifugal(c1u reduzieren) wirkung) • LA-Eintrittsdurchmesser vergrößern • Nabendurchm. verkleinern • Ungenügende • LE: a3 verkleinern Rezirkulation am • Spirale: A3q verkleinern Laufradaustritt (zu • Spalt A verkleinern δTE geringer Impulsaus• δTE vergrößern tausch zwischen Lauf- u. • b2 vergrößern Leitrad • d3* verkleinern (Achtung: Druckpulsationen) • Zu große Rezirkulation • Rückführschaufeln kürzen am Laufradeintritt • Einlaufring • d1 verkleinern • d1i oder dn vergrößern Mögliche Ursachen oder Mechanismen

Tafel 5.1(1) Interpretation und Anpassung der Kennlinienform (ψP = stat. Druckerhöhung im Laufrad; HLe = Druckanstieg im Leitapparat)

246 5 Teillastverhalten und 3-dimensionale Strömungsvorgänge

nq > 60

Q

Q

30 < nq <60

η

Η

Q

Q

f Q-H-Kurve zu steil bei q* > 1

H

H

e Q-H-Kurve flach oder mit Sattel

Q-H-Kurve

Befund

HLe

HLe

HP

H

Q

Q

Q

Interne Drücke

S

H

Q

H

S

Q

Q

•

•

•

•

•

•

Bei Leitradkavitation ist der NPSH-Steilanstieg • kaum durch Laufradeintritt beeinflußbar.

NPSH3

Austrittsrezirkulation: S: an Deckscheibe H: an Tragscheibe

β ω 0,5

Axialschubexkursionen

Fax

Mögliche Maßnahmen Achtung: Alle Änderungen können Nebenwirkungen zeitigen Ablösung in Leitrad • b3/b2 reduzieren (Spirale) aber noch keine • Meridianschnitt ändern voll ausgebildete • Strömungsumschlag numerisch Rezirkulation analysieren Rückströmzone wechselt • Unterschiedliche Hydrauliken in von Trag- zu verschiedenen Stufen Deckscheibe (oder umgekehrt) Strömungsablösung empfindlich gegen Fertigungstoleranzen oder Laufradeintrittsbedingungen • Spalt A verkleinern, Ablösung empfindlich Überdeckung vergrößern auf Rotorstellung • Engsten Querschnitt des Kavitation in Leitrad Leitapparates vergrößern oder Spirale (Achtung Bestpunkt verschiebt Starke Beschleunigung sich nach rechts) der Strömung vom Laufradaustritt zum engsten Querschnitt des Leitapparates Drosselverlust, • Verstopfung beseitigen; evtl. Verstopfung Oberflächen verfeinern

Mögliche Ursachen oder Axialschub, NPSH = f(Q) Mechanismen

Tafel 5.1(2) Interpretation und Anpassung der Kennlinienform (ψP = stat. Druckerhöhung im Laufrad; HLe = Druckanstieg im Leitapparat)

5.6 Maßnahmen zur Beeinflussung der Kennlinienform

247

248

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

5. Folgt man dieser Argumentation, ist ein großer Deckscheibenradius, wie man ihn mit Rücksicht auf den Wirkungsgrad wählen würde, nicht unbedingt optimal in Bezug auf die Stabilität. (Dies könnte einer der Gründe dafür sein, daß man bei nq < 25, wo der Deckscheibenradius klein ist, selten eine SattelInstabilität findet.) 6. Vermeidung symmetrischer Laufradabströmprofile bei Teillast, weil sie zu energiearmen Zonen gleichzeitig an Trag- und Deckscheibe führen, so daß sich die Rezirkulation nicht genügend ausbilden kann und die Gefahr besteht, daß es zu einem plötzlichen Wechsel in der Strömungsform – bzw. der Lage der Rezirkulationszone mit entsprechendem „Nulldurchgang” – kommt. Systematische Untersuchungen in der hier aufgezeigten Richtung liegen z.Zt. nicht vor, weil detaillierte Messungen sehr aufwendig sind und geeignete numerische Verfahren sich erst in der Entwicklung befinden. Will man die wirkliche Teillastförderhöhe ermitteln, muß die numerische Rechnung die Rückwirkung des Leitrades unbedingt auf geeignete Weise nachbilden, wie Abb. 4.6a,b zeigt. Zur Beurteilung der Laufradabströmung mag es oft genügen, das Laufrad allein zu berechnen. So zeigen z.B. Messungen in [5.36], daß die Abströmung aus einem Laufrad von nq = 20 qualitativ ähnliche Profile aufwies, wenn die Pumpe mit Leitrad oder glattem Leitring lief. Eine Reihe von Parametern gestattet es, die Laufradströmung gezielt in dem Sinne zu beeinflussen, daß man eine stabile, bei Teillast asymmetrische, Abströmung erhält, die sich vom Bestpunkt bis zu Nullast stetig entwickelt: • Zuströmprofil am Laufradeintritt • Optimierung der Laufschaufeleintrittskante nach Lage, Verwindung, Anstellwinkelverteilung und Form: z.B. vorwärts- oder rückwärtsgesichelt • Meridianschnittkrümmung • Grenzschichtbeeinflussung durch: Spaltstromeinleitung, Öffnungen in der Deckscheibe an geeigneter Stelle, Schlitze in den Schaufeln • „Hilfsschaufeln” an Trag- oder Deckscheibe (Grenzschichtzäune) • Einseitig stärkere Verzögerung im Laufrad (z.B. a2 deckscheibenseitig vergrößern oder den Kanal im Meridianschnitt am Austritt durch eine örtliche b2-Vergrößerung erweitern) • Einseitig stärkere Verzögerung im Leitrad (z.B. a3 deckscheibenseitig vergrößern). • Nichtrotationssymmetrische Tragscheibe. Im Pumpenbau wurden derartige dreidimensionale Strömungseffekte bisher kaum systematisch untersucht und eingesetzt, hier liegt jedoch ein Potential für zukünftige Optimierung mittels numerischer Berechnungen. Wenn solche Wege zum Erfolg führen sollen, gilt es, die Parameter so zu optimieren, daß man im Bestpunkt nichts oder möglichst wenig an Wirkungsgrad einbüßt. Dies wird bei Radialrädern hoher spezifischer Drehzahl zunehmend schwieriger, weil hier die hydraulischen Verluste infolge Ungleichförmigkeit der Strömung alle anderen Verlustquellen (einschließlich Reibung) dominieren.

5.6 Maßnahmen zur Beeinflussung der Kennlinienform

249

5.6.6 Beeinflussung der Sattel-Instabilität der Radialräder mit nq > 50 Radialräder mit achsparalleler Austrittskante werden bis etwa nq = 100 ausgeführt. Die Laufradkanäle sind im Verhältnis zu ihrer Breite sehr kurz, Ablösung und Rezirkulation setzen bei hohen Werten von q* ein, die Strömung hat viele Freiheitsgrade und befindet sich somit in einer Art „labilem Gleichgewicht”. Laufradströmung und Kennlinie können deshalb empfindlich auf Änderungen in der Zuströmung reagieren. Die Spaltstromeinleitung spielt eine Rolle, weil sie die Grenzschicht an der äußeren Stromlinie beeinflußt. Entsprechend kann auch die Kennlinienstabilität dadurch verändert werden, daß man das Laufrad offen oder geschlossen ausführt. Bei diesen Laufrädern kommen zur Stabilisierung sinngemäß die in Kap. 5.6.5 und 5.6.7 beschriebenen Maßnahmen in Betracht. Hinzu kommen noch die Optimierung der Form der Austrittskante, die man bei hohem nq nicht mehr unbedingt achsparallel macht, sowie die Optimierung der Verwindung der Schaufeln am Austritt und der Verteilung der Schaufelwinkel über die Austrittsbreite. 5.6.7 Beeinflussung der Instabilität der Halbaxial- und Axialräder Wie erwähnt, befindet sich bei halbaxialen Laufrädern mit genügend großem Verhältnis d2a/d2i und bei Axialrädern die Austrittsrezirkulation grundsätzlich an der Nabe. Zur Kennlinienstabilisierung stehen folgende Maßnahmen zur Verfügung: 1. Gestaltung des Laufrades so, daß sich die Geschwindigkeitsprofile kontinuierlich vom Bestpunkt zu Nullast entwickeln. 2. Vermeidung von energiearmen Zonen am äußeren Stromfaden, weil dies nach Einsetzen der Rückströmung zu einem Strömungsumschlag führen würde (die Rückströmung verdrängt die Durchflußströmung nach außen und die energiearme Zone springt zur Nabe). Kap. 5.5.2, Ziffer H7, gibt hierzu weitere Hinweise. 3. Gemäß Kap. 5.5.2, Ziffer H7 muß die Rückströmung nach der Ablösung möglichst bald einsetzen, weil sie am Eintritt wie am Austritt die Durchflußströmung so verdrängt, daß deren Energieübertragung verbessert wird. Dies ist dadurch zu erreichen, daß man danach trachtet, die Ablösung einseitig und nicht über die ganze Kanalbreite gleichzeitig zu produzieren (diese Aussage gilt für Lauf- und Leitrad). 4. Mit steigendem d2a/d2i wird die Kennlinie nach Rezirkulationsbeginn steiler. Dies ist bei dieser Art Pumpen zwar meist unerwünscht, aber das Verhältnis d2a/d2i muß im Hinblick auf die Sattelbildung optimiert werden. 5. Auch die Verhältnisse d1a/d2a sowie d1a/d1i sind wichtig, um die Rezirkulation zu optimieren und so die Gefahr der Sattelbildung zu reduzieren. 6. Form und Lage der Laufschaufeleintrittskante haben einen großen Einfluß auf die Strömung im Laufrad und demzufolge auch auf dessen Abströmung; für halbaxiale Laufräder sind diese Parameter vermutlich sehr wichtig, um stabile Kennlinien zu erreichen (vergleiche hierzu auch Kap. 5.5.2, H3). Vorwärtsoder Rückwärtssichelung gehören zu diesen Maßnahmen.

250

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

7. Auch die Leitschaufeleintrittskante kann einen wesentlichen Einfluß auf die Stabilität haben. Nach Untersuchungen in [5.49] wurden Kennlinienstabilität, Druckzahl und Wirkungsgrad verbessert indem die ursprünglichen Leitschaufeln mit Eintrittskante senkrecht zur Rotorachse ersetzt wurden durch gesichelte Eintrittskanten. Die Sichelung tangierte einen Radialstrahl gemäß Abb. 5.43 an der äußeren Stromlinie unter 10° und an der Nabe unter 30° (die Wölbung der Schaufel wurde bei diesen Versuchen allerdings ebenfalls geändert).

Abb. 5.43. Gesichelte Leitradeintrittskante eines Axialkompressors, [5.49]

8. Vermutlich ist es auch günstig, das Laufrad so auszulegen, daß die Rückströmung an Eintritt und Austritt bei etwa dem gleichen Förderstrom einsetzen. Setzt die Rezirkulation am Eintritt bei wesentlich kleinerem Durchfluß ein als am Austritt, besteht die Gefahr eines Strömungsumschlages wie in Kap. 5.5.3, H3 beschrieben. 9. Aus Punkt 2 und 3 ist zu schließen, daß am Laufradaustritt eine starke Verwindung der Schaufeln günstig ist, um die Kennlinie zu stabilisieren. Ferner scheint es günstig zu sein, das Verhältnis von Schaufellänge zu Teilung („solidity”) an der äußeren Stromlinie im Vergleich zur solidity an der inneren Stromlinie möglichst groß zu wählen, um eine energiearme Zone an der äußeren Stromlinie zu vermeiden. 5.6.8 Reduktion von Förderhöhe und Leistung bei Nullförderung Zwar kann in Sonderfällen eine steile Kennlinie und ein hoher Nulldruck verlangt sein, in der überwiegenden Mehrzahl der Anwendungsfälle ist hingegen ein niedriger Nulldruck bei flacher, stetig fallender Kennlinie im Hinblick auf die Rohrleitungskosten erwünscht. Bei halbaxialen und axialen Pumpen gewinnt diese Forderung an Bedeutung; zudem wird bei diesen Maschinen verlangt, daß die Leistungsaufnahme bei Q = 0 möglichst wenig über der Leistung im Auslegepunkt liegt. Für Pumpen mit hoher spezifischer Drehzahl gilt es also, die Wirkung der Rezirkulation an Laufradein- und -austritt zu reduzieren. Hierzu stehen folgende Mittel zur Verfügung: 1. Rippen und Strukturen vor dem Laufrad, die den rezirkulationsbedingten Vordrall bremsen, können in größerem Abstand vom Laufradeintritt angebracht werden. Dies gilt vor allem für hohe spezifische Drehzahlen (nq > 50); denn Leistungsaufnahme und Förderhöhe bei Q = 0 sinken stark, wenn der Abstand

5.7 Zur Strömung in offenen Axialrädern

251

zwischen den Laufschaufeleintrittskanten und drallbremsenden Einbauten vergrößert wird. Derartige Strukturen dürfen aber in der Regel nicht eliminiert werden, weil sonst die Kennlinie instabil wird. Saugt die Pumpe aus einem offenen Sumpf an, sind drallbremsende Strukturen ebenfalls notwendig, um die Gefahr von luftziehenden Wirbeln sowie von Wand- und Bodenwirbeln zu reduzieren, Kap. 11.7.3. Eine detaillierte Untersuchung diverser Einbauten vor dem Laufrad ist in [5.23] beschrieben. 2. Auch ein großes Flüssigkeitsvolumen vor dem Laufrad hat eine ähnliche Wirkung wie Rippen, weil in ihm die Umfangsgeschwindigkeit des rezirkulierten Fluids wirksam dissipiert wird. Zur Reduktion von Förderhöhe und Leistungsaufnahme bei Q = 0 muß das Fluidvolumen vor dem Laufrad demnach möglichst klein gehalten werden (falls aus baulichen Gründen möglich). 3. Mit einem kleineren Radienverhältnis (einer flacheren Laufschaufelaustrittskante) d2a/d2i reduziert man gemäß Abb. 5.32 Nullförderhöhe und Leistungsaufnahme. 4. Das Verhältnis d1a/d1i darf nicht zu groß gewählt werden, wenn ein niedriger Nulldruck gefordert wird. Bei Pumpen mit hoher spezifischer Drehzahl lassen sich daher Förderhöhe und Leistungsaufnahme bei Q = 0 wirksam reduzieren, wenn man d1i (ggf. durch Zurückschneiden der Schaufeln) vergrößert. Bei Axialpumpen haben die Leitradparameter wenig Einfluß auf die Nullförderung, wie aus Abb. 5.25 zu erkennen. Im übrigen, und bei kleinen spezifischen Drehzahlen, sind die in Kap. 5.6.4 aufgeführten Maßnahmen in umgekehrtem Sinne anzuwenden. Dabei handelt es sich um einen Kompromiß zwischen den Forderungen nach stabiler Kennlinie, niedrigen Nullförderwerten und hohem Wirkungsgrad.

5.7 Zur Strömung in offenen Axialrädern Die oben besprochenen Strömungsformen und -mechanismen treten in offenen wie geschlossenen Laufrädern in ähnlicher Weise auf. Bei offenen Laufrädern tritt die Spaltströmung aber als zusätzliches Element hinzu, das einen wesentlichen Einfluß auf die Strömungsverhältnisse und damit auch auf das Teillastverhalten der Pumpe ausübt. Durch den Spalt zwischen Gehäuse und Laufschaufeln strömt Fluid von der Druck- zur Saugseite. Die sich dabei in Wandnähe einstellende Strömung wurde in Versuchen an Axialkompressoren sowie an einer Axialpumpe durch Ölanstrichbilder − im Fall der Pumpe auch durch Kavitation − visualisiert und in ihrer Wirkung auf die Kennlinie sowie auf die Entstehung umlaufender Ablösungen interpretiert, Kompressoren [5.42 bis 5.46], Pumpe [5.47 u. 5.48]. Die Spaltströmung folgt dem Weg des geringsten Widerstandes; die Geschwindigkeit im Relativsystem steht deshalb etwa senkrecht zur Schaufel. Eine axiale Komponente der Geschwindigkeit im Spalt ist dann (im Pumpbetrieb) gegen die Hauptströmung gerichtet. Dies um so mehr, je kleiner die Schaufelwinkel β1B und

252

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

β2B sind.1 Durch die Rotation der Schaufeln entsteht infolge Schubspannungen an der Schaufelstirnseite zudem eine Geschwindigkeitskomponente in Umfangsrichtung, so daß die wandnahe Strömung im Absolutsystem auf gekrümmten Bahnen erfolgt. Mittels Ölanstrichbildern der Gehäusewand lassen sich die resultierenden Stromlinien sichtbar machen; Ölanstrichbilder stellen zeitliche Mittelwerte der instationären Absolutströmung dar. Abbildung 5.44 zeigt eine solche Aufnahme; die in Abb. 5.45 skizzierten Stromlinien erleichtern die Interpretation. Dort wo die axial vorwärts gerichtete Hauptströmung (linker Bereich in Abb. 5.45) auf die axial rückwärts gerichtete Spaltströmung trifft, löst die Gehäusegrenzschicht ab. Es entsteht eine in Umfangsrichtung verlaufende Ablöselinie; sie erscheint in Abb. 5.44 als schmales schwarzes Band (s. auch Abb. 5.45) und befindet sich für den gezeigten Betriebspunkt nahezu mittig über dem Rotor; in diesem Band weisen die Wandschubspannungen ein Minimum auf. Unmittelbar stromabwärts der Schaufelhinterkante legt sich die Strömung wieder an die Gehäusewand an. Die in Umfangsrichtung verlaufende Anlegelinie ist in Abb. 5.44 als weiße Linie erkennbar. Da stromabwärts der Beschaufelung keine Spaltwirkung und damit keine axiale Rückströmkomponente mehr vorhanden ist, befindet sich die Anlegelinie häufig unmittelbar stromabwärts der Schaufeln. Abhängig von der Spaltgeometrie, dem Schaufelaustrittswinkel, und der Belastungsverteilung an der äußeren Stromlinie kann sich die Anlegelinie aber auch stromauf der Rotoraustrittsebene ausbilden, [5.45, 5.48].

Abb. 5.44. Wandnahe Absolutströmung bei q* = 1 in einem Axialkompressor; links: Ölanstrichbild; Mitte: gemessene Isobaren: Linie (a) Verlauf der Spaltwirbelachse; rechts: Überlagerung der Isobaren über das Ölanstrichbild, [5.42, 5.44]. 1

Vorsatzläufer und helico-axiale Laufräder für 2-Phasen-Gemische (Abb. 13.22) haben sehr flache Winkel, so daß die Spaltströmung im wesentlichen axial rückwärtsgerichtet ist. Beim radialen Schaufelstern nach Abb. 7.14 erfolgt die Spaltströmung hingegen (bei kleinen Spaltweiten) in Umfangsrichtung.

5.7 Zur Strömung in offenen Axialrädern

Absolutgeschwindigkeit Relativgeschwindigkeit Rotor-Umfangsgeschwindigkeit

253

Hinterkantenebene

Anlegelinie

Ablöselinie Vorderkantenebene

Wandstromlinien Vorwärtsströmung Vorwärtsströmung

Rückwärtsströmung

Abb. 5.45. Strömungsverhältnisse an der Gehäusewand; linker Bereich: Vorwärtsströmung stromauf und am Eintritt des Laufrades; mittlerer Bereich: Rückströmung im Bereich des Laufrades; rechter Bereich: Vorwärtsströmung zum Leitrad, [5.42]

Auch die Ablöselinie verändert ihre Position mit dem Förderstrom: rechts vom Bestpunkt (q* > 1) liegt sie nahe dem Laufradaustritt und verschiebt sich mit abnehmendem Volumenstrom stromaufwärts: Mit fallendem Durchsatz steigt der Anstellwinkel an der Schaufeleintrittskante; dadurch steigen in diesem Bereich die Strömungsumlenkung und die Druckdifferenz zwischen Druck- und Saugseite; die Spaltgeschwindigkeit wächst entsprechend und verschiebt die Ablöselinie. Zusammenfassend: je höher die Schaufelbelastung am Eintritt, desto näher rückt die Ablöselinie zur Eintrittsebene; je höher die Belastung am Austritt, desto

254

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

näher rückt die Anlegelinie zur Rotoraustrittsebene. Die Schaufelbelastung an Einund Austritt steigt mit fallendem Förderstrom. Abbildung 5.44 zeigt ferner die gemessene Druckverteilung an der Gehäusewand; Linie a kennzeichnet eine Drucksenke, entlang der sich der spaltinduzierte Wirbelzopf bewegt. Der Spaltwirbel startet im Punkt minimalen Druckes an der Ablöselinie und entwickelt sich entlang einer leicht gekrümmten Achse stromabwärts. Bei starker Teillast, vor Beginn des Strömungsabrisses, platzt der Spaltwirbel spiralförmig auf („vortex breakdown“), wobei die Spaltströmung zunehmend instationär wird, [5.48]. Abbildung 5.46 zeigt hierzu den kavitierenden Wirbelkern im Laufrad einer Axialpumpe vor und nach dem Aufplatzen des Wirbels für verschiedene Förderströme. Kurz vor Einsetzen der Eintrittsrezirkulation liegt die Ablöselinie an den Schaufeleintrittskanten. Wenn nun der Förderstrom weiter geringfügig reduziert wird, beginnen bei Axialkompressoren rotierende Ablösungen, und bei Axialpumpen setzt die Eintrittsrezirkulation ein; die Kennlinie wird hier meist unstabil. Dabei verschiebt sich die Ablöselinie sprunghaft stromaufwärts (Abb. 5.47c), und die Zone der Eintrittsrezirkulation weitet sich in radialer und axialer Richtung aus. Infolge der hohen Umfangsgeschwindigkeit des rezirkulierenden Fluids sinkt die Förderhöhe, was meist einen Sattel in der Kennlinie hervorruft (s. a. Kap. 8.4). Abbildung 5.47 zeigt hierzu Ölanstrichbilder der Laufschaufelsaugseite einer Axialpumpe kurz nach Einsetzen der Eintrittsrezirkulation; man erkennt am Eintritt die Rückströmung B und am Austritt die radial nach außen gerichteten Stromlinien A (s. Skizze c), vergleiche hierzu auch Abb. 5.12. Wie in Kap. 5.1 und 5.2 besprochen, wird die Rückströmung am Laufradeintritt in erster Linie durch das Kräftegleichgewicht über die Schaufelhöhe bestimmt. Trotz des Einflusses der Spaltströmung gilt dies auch für offene Axialräder; aus den oben beschriebenen Versuchen darf man daher nicht folgern, daß sich die Kennlinie durch Aufbringen eines Deckbandes stabilisieren ließe.

Abb. 5.46. Kavitierender Spaltwirbel in einer Axialpumpe; a) Wirbel ohne „vortex breakdown“ bei q* = 1,3; b) Wirbel mit „vortex breakdown“ bei q* = 0,8; c) Wirbel mit „vortex breakdown“ bei q* = 0,75 (Momentaufnahme bei transientem Betrieb), [5.48]

5.7 Zur Strömung in offenen Axialrädern

255

Abb. 5.47. Stromlinien an der Schaufelsaugfläche des Laufrades einer Axialpumpe bei q* = 0,7; a) am Laufradeintritt, b) am Laufradaustritt, c) Skizze der Strömungsformen, [5.48]

Abb. 5.48. Strömung nahe dem Laufradaustritt einer Axialpumpe bei q* = 0,33; a) Stromlinien an der Schaufelsaugfläche; b) durch Kavitation sichtbar gemachter Wirbelzopf quer durch den Kanal; c) Skizze der Strömungsformen, [5.48]

256

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

Im Gebiet mit ausgeprägter Rückströmung an Laufradeintritt und -austritt bildet sich ein quer durch den Schaufelkanal verlaufender Wirbel aus. Er hat seinen Ursprung auf der Schaufelsaugseite nahe dem Austritt an der äußeren Stromlinie und erstreckt sich bis vor die Eintrittskante der nachfolgenden Schaufel. Der Wirbelursprung ist auf dem Ölanstrichbild in Abb. 5.48 (q* = 0,33) gut sichtbar; bei Absenkung des NPSHA kavitiert der Wirbelzopf, Abb. 5.48b. Auch im Leitrad wird die Strömung bei Teillast stark dreidimensional. Hierzu zeigt Abb. 5.49 Ölanstrichbilder der Gehäusewand und einer Leitschaufelsaugseite kurz vor Beginn der rotierenden Ablösung in einem einstufigen Kompressor. Infolge des großen Anstellwinkels, verursacht durch die ausgeprägte Spaltströmung am Rotor, löst die Strömung im Leitrad gehäusenah auf der Saugseite ab. Die äußere Kanalhälfte wird durch Fluid von niedriger Geschwindigkeit weitgehend versperrt, das am Austritt des Leitradkanals von einem nabenseitig entstehenden starken Wirbel („corner stall“) aufgenommen wird. Die Untersuchungen in [5.42 bis 5.48] erfolgten an einer Axialpumpe und an verschiedenen Kompressorbeschaufelungen sowohl in der Maschine als auch im Windkanal an stillstehenden Schaufelgittern. Die beschriebenen Strömungsformen traten bei allen Untersuchungen in qualitativ ähnlicher Weise auf und sind daher für Axialpumpen (und Kompressoren) charakteristisch. Auch bei halbaxialen Pumpen von hoher spezifischer Drehzahl mit offenen Laufrädern sind ähnliche Strömungsformen zu erwarten; dies zeigte sich auch bei instationären CFDBerechnungen der in [8.66] untersuchten Pumpe (nq = 155). Die stark dreidimensionalen Strömungsformen, die aus den Ölanstrichbildern Abb. 5.46 bis 5.49 deutlich werden, geben exemplarisch auch einen Eindruck von den Mechanismen, die in Pumpen Schwingungen und Lärm erregen. Einzelheiten zu den oben besprochenen Versuchen an der Axialpumpe finden sich in [5.51]. Die Versuchspumpe wies eine unstabile Q-H-Kurve auf: Förderhöhe und Leistungsaufnahme sanken plötzlich infolge Eintrittsrezirkulation bei q* = 0,73, Abb. 5.50. Die Kurve NPSH3 = f(q*) hatte eine Spitze bei q* = 0.75;

Abb. 5.49. Strömung im Leitrad eines Axialkompressors kurz vor Beginn rotierender Ablösungen; links: Gehäusewandströmung; rechts: Schaufelsaugfläche (die Nabe ist unten); Strömung von links nach rechts, [5.46]

5.7 Zur Strömung in offenen Axialrädern

257

dort traten Schwingungen auf, die einen normalen Betrieb verunmöglichten. Die Rückströmung setzte bei Absenken des Zulaufdrucks bei höherem Förderstrom ein, Abb. 5.51. Mittels Nuten, die unmittelbar stromaufwärts des Laufrades in das Eintrittsgehäuse gefräst wurden, konnte die Q-H-Kurve vollständig stabilisiert werden. Dabei verschwanden die hohen Schwingungen und die Spitze in der NPSH-Kurve. Die Wirkung der axial verlaufenden Nuten besteht darin, daß die tangentiale Geschwindigkeitskomponente des aus dem Laufrad mit Drall zurückströmenden Wassers reduziert wird. Dies erfolgt durch Impulsaustausch zwischen dem rückströmenden Fluid und der Flüssigkeit in den Nuten. Der Effekt ist ähnlich wie bei der Rezirkulationsbremse in Abb. 6.39d. Wegen dieser bemerkenswerten Verbesserung seien einige Einzelheiten der Pumpe und der Gehäuseänderung erwähnt, [5.51]. Dabei wurden Verhältniszahlen gebildet, um die Übertragung auf andere Pumpen zu erleichtern. • Pumpendaten: nq = 150, d2 = 350 mm, Qopt = 1780 m3/h bei 1485 1/min opt = 0.78; opt = 0.35, zLa = 6, zLe = 11, dn/d2 = 0.535 (der Wirkungsgrad ist im Vergleich zu Abb. 3.24 recht niedrig, was möglicherweise auf einen großen Abstand zwischen Lauf- und Leitrad zurückzuführen ist). • Gehäuseänderung: axiale Nuten, die unmittelbar stromaufwärts des Laufrades in den Mantel gefräst wurden. Eine Überlappung der Nuten und der Laufschaufeln war nicht vorhanden. • Der Manteldurchmesser im Bereich mit den Nuten betrug ds/d2 = 0.973. Es ist wichtig, daß der Manteldurchmesser im Bereich mit den Nuten kleiner ist als der Laufraddurchmesser, da sonst die Nuten nicht in der Lage sind, den durch die Rückströmung induzierten Vordrall genügend zu reduzieren. • Nutenlänge: Lg/d2 = 0.515. Bei der minimalen untersuchten Länge von Lg,min/d2 = 0.15 wies die Q-H-Kurve noch eine leichte Instabilität nahe bei Q = 0 auf. • Nutenabmessungen: Teilung pg/d2 = 0.051, Tiefe tg/d2 = 0.0114, Breite bg/d2 = 0.0286; Verhältnis Breite zu Teilung bg/pg = 0.562, Verhältnis Tiefe zu Breite tg/bg = 0.4. • Bei Förderströmen oberhalb des Rezirkulationsbeginns haben axiale Nuten praktisch keinen Einfluß auf Förderhöhe, Leistung, Wirkungsgrad und NPSH3. Dagegen wird der Teillastwirkungsgrad durch die Nuten verbessert. • Wenn der Vordrall durch die Nuten reduziert wird, ändert sich auch die Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt. Diese Änderung im Strömungsbild ist wesentlich für die Stabilisierung der Q-H-Kurve; vgl. hierzu Kap. 6.2.5 und die Besprechung von Abb. 6.17. • Die Nuten brachten auch den Querkanalwirbel zum Verschwinden. • Die hohe Umfangsgeschwindigkeit des rückströmenden Wassers führt zu Kavitation an den Nuten, was eine Gefahr von Kavitationserosion bedeutet. • Die Nuten führten zu einer Verringerung der Schwingungen bei Betrieb nahe der Spitze in der Kurve NPSH3 = f(Q). Diese Verbesserung war aber nicht bei allen Förderströmen zu verzeichnen. Nachteilig war ein Anstieg des Lärms um etwa 10 dBA bei Teillastbetrieb.

258

5 Teillastverhalten. 3-dimensionale Strömungsvorgänge

Eine Verbesserung der Kennlinien und des Schwingungsverhaltens durch die Nuten vor dem Laufradeintritt ist nur dann zu erwarten, wenn die Unstabilität durch Eintrittsrezirkulation verursacht wird. Wenn die Probleme dagegen durch Ablösungen und Rückströmung am Laufradaustritt entstehen, haben die Nuten am Eintritt vermutlich keine Wirkung. ψ, η

0.8

ohne Nuten mit Nuten

0.6 0.4 0.2 0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

q* 1.4

0.6

0.8

1.0

1.2 q* 1.4

0.8

1.0

1.2 q* 1.4

λD

0.10 0.08 0.06 0.04 ohne Nuten mit Nuten

0.02 0.00

σ3

0.0

0.8

0.2

0.4

ohne Nuten mit Nuten

0.6 0.4 0.2 0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

Abb. 5.50. Wirkung axialer Nuten stromaufwärts des Laufrads, [5.51]

q* stall

0.85 0.80 0.75 0.70 0.0

0.5

1.0

1.5

σA

2.0

Abb. 5.51. Einsetzen der Rückströmung als Funktion des NPSHA, [5.51]

6 Saugverhalten und Kavitation

Begriffsbestimmungen: Unter Kavitation („Hohlraumbildung“) versteht man die teilweise Verdampfung von Flüssigkeit in einem durchströmten System. Ein dampferfüllter Hohlraum entsteht, wenn der statische Druck in einer Strömung infolge Übergeschwindigkeiten örtlich auf den Sättigungsdruck des Fluids absinkt, so daß etwas Flüssigkeit verdampft und in einem kleinen Gebiet des Strömungsraumes eine Zweiphasenströmung entsteht. Der Dampf kondensiert schlagartig („implodiert“), sobald er stromabwärts in Zonen transportiert wird, wo der statische Druck den Sättigungsdruck wieder übersteigt. Mit zunehmendem Ausmaß der Kavitationszonen, bzw. der Gebiete mit Zweiphasenströmung, werden Förderhöhe und Wirkungsgrad der Pumpe beeinträchtigt, Lärm und Schwingungen angeregt und u.U. Bauteile durch Kavitationserosion beschädigt. Bei Verwendung des Begriffes „Kavitation“ ist zwischen der „Kavitationsströmung“ – d.h. dem Auftreten lokaler Gebiete mit Zweiphasenströmung – und „Kavitationserosion“ bzw. Kavitationsschäden zu unterscheiden. Die Gesamtheit der Implosionsenergie aller Blasen sei als „hydrodynamische Kavitationsintensität“ bezeichnet. Übersteigt diese den Kavitationswiderstand – eine reine Werkstoffgröße des eingesetzten Materials – tritt bei genügend langer Einwirkung ein Materialabtrag (Kavitationsschaden) auf. Die Möglichkeiten, gelöste Gase mittels Kavitation aus einer Flüssigkeit abzuscheiden, wurden in [6.51] untersucht.

6.1 Physikalische Grundlagen 6.1.1 Entstehung und Implosion von Dampfblasen in einer Strömung Jeder Stoff kann in den Phasen fest, flüssig und gasförmig auftreten. Der Übergang von einer Phase zur anderen („Eisbildung“ oder „Verdampfung“) wird durch Phasengleichgewichte in einem p-, T- Diagramm beschrieben. So kennzeichnet die Dampfdruckkurve pv(T) das Gleichgewicht (den „Sättigungszustand“) zwischen flüssig und gasförmig vom Tripelpunkt bis zum kritischen Punkt (Abb. 6.1). Eine Flüssigkeit im Zustand p1, T1 mit p1 > pv(T1) kann verdampft werden, indem man sie bei konstantem Druck auf die Sättigungstemperatur Tv(p1) erwärmt (Punkt V), oder indem sie bei konstanter Temperatur auf den Sättigungsdruck pv(T1) entspannt wird (Punkt K in Abb. 6.1). Bei der Phasenumwandlung

260

6 Saugverhalten und Kavitation 108 107

Druck N/m2

10

Wasser p1, T1

6

kritischer Punkt

V

105 104

Eis

Wasserdampf K

103 Tripelpunkt

102 101 -100

0

100

200

300

°C

Temperatur

Abb. 6.1.Phasengleichgewicht von Wasser

flüssig zu gasförmig ist die Verdampfungswärme zuzuführen; beim umgekehrten Vorgang, der Kondensation, wird die Verdampfungswärme frei. Bei der Strömungskavitation wird ein − sehr kleiner − Teilstrom des Fluids bei konstanter Temperatur (in Abb. 6.1 von p1 nach K) soweit entspannt, daß etwas Fluid verdampft; stromabwärts der Zone tiefsten Druckes – dies unterscheidet Kavitation und Entspannungsverdampfung – steigt der Druck aber wieder soweit an, daß der Sättigungsdruck überschritten wird und der Dampf kondensiert. Das Wesen der Strömungskavitation besteht also darin, daß der statische Druck in einem System zunächst infolge Beschleunigung der Strömung örtlich auf den Dampfdruck absinkt und nachfolgend durch Verzögerung wieder soweit steigt, daß die Dampfblasen implodieren. Abbildung 6.2 zeigt hierzu den Verlauf des statischen Druckes in einer Venturidüse: der minimale Druck pmin im engsten Querschnitt läßt sich aus Gl. (1.7), der Druckrückgewinn im Diffusor von A1 nach A2 gemäß Kap. 1.6 berechnen. Lassen wir die Temperatur des Fluids bei sonst gleichen Bedingungen in 4 Stufen T1 bis T4 variieren, zu denen die Sättigungsdrücke pv,1 bis pv,4 gehören: Im Zustand 1 ist pmin > pv,1 (T1); der Sättigungsdruck wird nicht erreicht, und es tritt folglich keine Verdampfung auf. Bei pmin ≤ pv,2 (T2) wird Sättigung erreicht, so daß erste Dampfblasen entstehen können. Bei pv,3 (T3) erfaßt die Zone mit pmin < pv,3 etwa 2/3 der Diffusorlänge; dieser Bereich ist mit einem Blasenfeld belegt, das bereits auf die Strömung im Kanal zurückwirkt. Im Zustand 4 ist der Druckrückgewinn im Diffusor kleiner als pv,4 pmin, so daß der entstandene Dampf nicht mehr kondensiert; die Zweiphasenströmung bleibt erhalten und erfaßt stromabwärts des Diffusors den ganzen Kanal. Entsprechend dem Druckverlust und dem thermodynamischen Gleichgewicht verdampft mit zunehmender Rohrlänge etwas Flüssigkeit (dabei verdampft stets nur ein Bruchteil der Masse des strömenden Fluids). Einen solchen Vorgang bezeichnet man als Entspannungsverdampfung.

6.1 Physikalische Grundlagen

A0

w0

w1

A1

Blasenfeld

p0,stat

Δpu

pv,4

261

A2

p2,stat

pv,3 pv,2

pMin

pv,1

p0,stat − p Min =

(

)

ρ w12 − w 0 2 + Δp v 2

cp ≡

p0,stat − p Min ρ 2

w 02

2

§A · = ¨¨ 0 ¸¸ − 1 + ζ v © A1 ¹

Abb. 6.2. Kavitation in einer Düse

Wegen der Schubspannungen zwischen vorbeiströmendem Fluid und Blasenfeld kann letzteres nicht in Ruhe sein. Es entstehen ständig Blasen, die stromabwärts zum Blasenfeldende transportiert werden und dort implodieren, wo wieder p > pv gilt. Damit die entsprechende Flüssigkeitsmenge verdampfen kann, muß die benötigte Verdampfungswärme durch Wärmeleitung und Konvektion von der umgebenden Flüssigkeit an den Dampfblasenrand transportiert werden. Hierzu bedarf es einer endlichen Temperaturdifferenz ΔTu. Dieser Temperaturdifferenz entspricht eine Druckdifferenz Δpu, um die der Druck in der Dampfblase den Sättigungsdruck unterschreitet, wie in Abb. 6.2 angedeutet. (s. Kap. 6.4.1). Denken wir uns nun die Düse in Abb. 6.2 mit Wasser durchströmt, das entsprechend dem Eintrittsdruck mit Luft gesättigt ist: Sobald der örtliche Druck in der Düse merklich unter den Sättigungsdruck fällt, gast entsprechend dem Henry’schen Gesetz Luft aus. Das ergibt freie, fein verteilte Einzelblasen, wenn der Druck im ganzen Kanal genügend abgesenkt wird, oder es bildet sich ein Blasenfeld wie in Abb. 6.2. Durch Ausgasen kann somit auch Kavitation entstehen, ohne daß der Druck unter den Sättigungsdruck fällt. In jedem gaserfüllten Volumen, das an eine Flüssigkeit grenzt, ist jedoch immer ein Dampfanteil vorhanden: der Partialdruck des Dampfes ist gleich dem Sättigungsdruck, der sich aus der Fluidtemperatur ergibt. Ist der Beitrag des Ausgasens bedeutend, spricht man auch von „gasförmiger Kavitation“. Wie unten ausgeführt, schwächen nichtkondensierbare Gase die Intensität der Implosion und verringern somit das Potential für Lärm, Schwingungen und Materialabtrag. 6.1.2 Blasendynamik Kavitationskeime: Kavitationsblasen entstehen nur, wenn das Fluid „Keime“ enthält. Dies sind Ansammlungen von Gas- oder Dampfmolekülen, die als mikro-

262

6 Saugverhalten und Kavitation

skopisch kleine Blasen mit Durchmessern im Bereich von 10-3 bis 10-1 mm vorliegen. Freie Gasblasen in einer nicht gasgesättigten Flüssigkeit würden sich durch Diffusion im Fluid langsam lösen. Daß Keime in ungesättigter Flüssigkeit dennoch stabil sind, erklärt man durch die Hypothese, daß die Gasmoleküle an nichtnetzenden Partikeln adsorbiert sind. Die Erfahrung lehrt, daß in praktisch allen technischen Anlagen, wo Flüssigkeiten gefördert werden, genügend Keime vorhanden sind; dies gilt auch für hochreines, entgastes Speisewasser (andernfalls wäre der Siedevorgang im Kessel nicht möglich). Im Inneren eines Keimes befinden sich Gas und Dampf. Der Druck pB im Keim entspricht der Summe der Partialdrücke des Gases pg und der Flüssigkeit pv; er ist infolge der Oberflächenspannung ST größer als der Druck p des umgebenden Fluids: pB - p = pg + pv - p = 2 ST/R (R = Keimradius). Ein gegebener Keim enthält eine bestimmte Menge Gas, deren Volumen dem Gasgesetz p V = konstant folgt, wenn sich der Druck in der Blase ändert. Hieraus und aus dem Kräftegleichgewicht an der Blase ergibt sich, daß der Keimradius mit dem Umgebungsdruck variiert. Gerät ein Keim in eine Zone niedrigen Druckes – z.B. in den engsten Querschnitt einer Düse nach Abb. 6.2, – wächst sein Radius, wobei wegen der geänderten Partialdruckverhältnisse etwas Fluid verdampft. Dabei werden nur Keime oberhalb einer bestimmten Größe zum Wachstum angeregt; je tiefer der örtliche Druck sinkt, desto mehr Keime werden aktiviert. Die Zahl der aktivierbaren Keime wächst daher mit dem Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit. Je länger die Zone tiefen Druckes und je niedriger der örtliche Druck absinkt, desto mehr Kavitationsblasen entstehen. Absolut keimfreies Wasser würde hohe Zugspannungen ertragen; in der Praxis liegt die Zugspannung im Wasser jedoch nahe bei null, Kap. 6.4.3. Sind zu wenig Keime vorhanden, wird die Kavitationsblasenbildung eingeschränkt; oberhalb eines Grenzwertes des Keimgehaltes stellt sich hingegen eine Sättigung ein, und die Kavitationsströmung läßt sich durch Zufuhr von Keimen nicht weiter beeinflussen. Dieser Grenzwert sinkt mit steigender Strömungsgeschwindigkeit. Aus vorstehendem folgt, daß verschiedene Kavitationsformen (die durch unterschiedliche Druckverteilungen bedingt sind) ganz verschieden auf das Keimspektrum reagieren. Die Form der Druckverteilung – flach oder spitz – hat somit einen Einfluß auf das Blasenwachstum. Blasenimplosion: Wenn eine Dampfblase durch die Strömung in Zonen transportiert wird, in denen der örtliche Druck den Sättigungsdruck übersteigt, ist das Phasengleichgewicht nach Abb. 6.1 gestört und der in der Blase enthaltene Dampf kondensiert schlagartig. Man stelle sich hierzu nach Abb. 6.3a eine kugelförmige Blase vor, deren dampfförmiger Inhalt plötzlich kondensiert: da der Druck innerhalb der Blase dabei zusammenbricht, wird die Blasenwand durch den höheren Umgebungsdruck konzentrisch radial einwärts beschleunigt und erreicht gegen Ende der Implosion eine hohe „Blaseneinsturzgeschwindigkeit“ ci, die sich aus der „Rayleigh’schen Gleichung“ berechnen läßt: ci =

· 2 p − p B §¨ R o3 ⋅ − 1¸ 3 ¨ ¸ 3 ρ © Re ¹

(6.1)

6.1 Physikalische Grundlagen a) Einzelblase

263

b) Blasenimplosion bei der Strömung gegen einen Druckgradienten

Beginn: kugelförmig

Abflachung und Einbuchtung

Strahlbildung

c) Blasenimplosion nahe an einer Wand

Beginn: kugelförmig

Einbuchtung

Strahlbildung

Abb. 6.3. Blasenimplosion, schematisch

Abb. 6.4. Implosion einer Blase in Wandnähe; Aufnahmen: Labor für hydraulische Strömungsmaschinen, Ecole Polytechnique Fédérale, Lausanne; 24'000 Bilder pro Sekunde; der Maßstab beträgt etwa 2:1

Dabei ist p der Druck in der umgebenden Flüssigkeit, pB der Druck in der Blase (pB ≥ pv), Ro der Blasenradius zu Beginn und Re am Ende der Implosion. Bei diesem Vorgang entstehen gemäß pi = ρ ao ci örtlich und zeitlich sehr begrenzte Druckspitzen, die 1000 bar und mehr erreichen und somit die Festigkeit der eingesetzten Werkstoffe übersteigen können. (Diese Beziehung für einen Wasserschlag geht auf Joukowski zurück; ao ist die Schallgeschwindigkeit im Fluid.) Die Berechnung des konzentrischen Blasenkollapses nach Rayleigh geht von idealisierten Verhältnissen aus; sie ist aber als Modellvorstellung nützlich für das Verständnis der Implosion: fundamental ist die Erkenntnis, daß der Implosionsdruck mit der Blasengröße zu Beginn der Implosion und der treibenden Druckdifferenz steigt, während er mit dem Blasenradius am Ende der Implosion sinkt. Das Schadenspotential steigt mit der implosionsauslösenden örtlichen Druckdifferenz; diese wird nicht nur durch die Strömungsverhältnisse bestimmt, sondern auch durch benachbarte Kavitationsblasen, die verstärkend oder schwächend wirken können. In technischen Strömungen implodieren die Blasen in asymmetrischer Weise, wie in Abb. 6.3 skizziert und durch die Aufnahmen in Abb.6.3d nachgewiesen. Dabei bildet sich ein scharfer Flüssigkeitsstrahl („micro-jet“) der gemäß pi = ρ ao cjet eine stoßartige Belastung für das Material darstellt. Die Aufnahmen einer Blasenimplosion in 6.4 zeigen die Bildung des „microjet“. Die Blase wurde durch elektrische Funkenentladung erzeugt (man erkennt schwach die beiden Elektroden, deren Abstand von der im Bild untenliegenden

264

6 Saugverhalten und Kavitation

Wand 6 mm betrug). Der Blasendurchmesser im Bild links beträgt etwa 15 mm (die Elektroden sind auch im Zentrum der Blase sichtbar). Die Asymmetrie der Implosion wird entweder durch die Nähe einer festen Wand (Abb. 6.3c) oder durch Druckgradienten (Abb. 6.3b) verursacht, wie sie überall dort zu erwarten sind, wo Blasen durch die Strömung in Zonen höheren Druckes transportiert werden. Dies gilt besonders für das Blasenfeldende, wo die Strömung verzögert wird (z.B. in einer Düse nach Abb. 6.2 oder in einer Pumpe). Der Blasendurchmesser beträgt zu Beginn der Implosion etwa 1 bis 5 mm; gegen Implosionsende liegt er im Bereich von Zehntelmillimetern. Der Durchmesser des „micro-jet“ ist folglich von ähnlicher Größe. Hohe Druckspitzen sind nur in unmittelbarer Nähe der Blase im Endstadium der Implosion zu erwarten. Die Blasen müssen daher sehr nahe an der Werkstoffoberfläche implodieren, um einen Werkstoffangriff erzeugen zu können. Die bei der Implosion in den Hohlraum einstürzende Flüssigkeit wirkt wie ein Kolben auf den Blaseninhalt, dergestalt, daß nichtkondensierbare Gase adiabat komprimiert werden. Der Blaseninhalt erwärmt sich entsprechend, so daß in der Endphase der Implosion auch ein Restdampfanteil komprimiert wird (Re in Gl. 6.1 bleibt endlich). Infolge der im komprimierten Gas und Dampf gespeicherten Energie bildet sich nach der Implosion erneut eine Blase („rebound-phase“). Dieser Vorgang wiederholt sich, bis die Energie dissipiert ist. Im Endstadium des Blasenkollapses spielt auch die Kompressibilität der umgebenden Flüssigkeit eine Rolle. Die demzufolge entstehenden Stoßwellen tragen neben dem „micro-jet“ zur eventuellen Werkstoffzerstörung bei. Drei weitere Effekte begrenzen den Implosionsdruck auf endliche Werte: 1) Bei hoher Dampfdichte wirkt die Abfuhr der Kondensationswärme limitierend. 2) Erreicht die Blasenwandgeschwindigkeit die Schallgeschwindigkeit, trifft das Rechenmodell nicht mehr zu. 3) Die Implosionsenergie kann nicht größer als die (endliche) potentielle Energie zu Beginn des Blaseneinsturzes sein: E pot =

(

4 π R o 3 − R e3 3

) (p − p ) v

(6.2)

Epot ist die maximale Arbeit, die von der umgebenden Flüssigkeit beim Blaseneinsturz auf R = Re geleistet werden kann.

6.2 Kavitation in Laufrad und Leitrad 6.2.1 Druckverteilung und Blasenfeld Kavitationszonen an der Eintrittskante eines Laufrades entstehen auf ähnliche Weise wie in der Düse nach Abb. 6.2. Betrachten wir hierzu die Druckverhältnisse am Laufradeintritt nach 6.5, die die Druckverteilung auf der Schaufelsaugfläche ohne Kavitation zeigt. Im Eintrittsstutzen herrscht der statische Druck ps und die Geschwindigkeit cs. Im Einlaufgehäuse sinkt der statische Druck infol-

6.2 Kavitation in Laufrad und Leitrad

265

β1B u1

β1

w1

Blasenfeld

i1

Totaldruck ps

(ρ/2)cs2

stat. Druck

ps

pDS

p1 bei pv = pmin: ρ g NPSHi

ρ 2 §¨ 1 + ζE − c 2 1m ¨ sin2 α

Δp = (ρ/2)λw,i w12

©

1

c 2s c12m

· ¸ ¸ ¹

ρ g NPSHA pv,2 pv,1

pSS mit Kavitation pSS ohne Kavitation

pmin (ohne Kavitation)

Abb. 6.5. Kavitation an der Eintrittskante einer Laufschaufel

ge Strömungsverlusten und einer ggf. vorhandenen Beschleunigung auf den Wert p1 unmittelbar vor dem Laufrad. Die Schaufel mit dem Eintrittswinkel β1B werde mit dem Strömungswinkel β1 bzw. dem Anstellwinkel i1 angeströmt; bei der Profilumströmung sinkt der statische Druck infolge örtlicher Übergeschwindigkeiten um Δp = ½ ρ λw,i w12 auf den Wert pmin. Ähnlich wie beim Tragflügel läßt sich diese Druckabsenkung durch einen Profilbeiwert λw,i und die Relativgeschwindigkeit w1 beschreiben; λw,i hängt ab von der Profilform und der Anströmung, insbesondere vom Anstellwinkel i1. Liegt der minimale örtliche Druck pmin über dem Sättigungsdruck, tritt keine Kavitation auf. Erreicht oder unterschreitet pmin hingegen den Sättigungsdruck, bildet sich ein Blasenfeld. Wie man aus der Druckverteilung in Abb. 6.5 erkennt, steigt dessen Ausdehnung mit der Länge der Zone, in der p < pv ist. Das Erscheinen der ersten Blasen bei pmin = pv bezeichnet man als visuellen Kavitationsbeginn („cavitation inception“). Je länger und dicker das Blasenfeld, desto stärker wirkt es auf die Strömung zurück, und die Druckverteilung weicht zunehmend vom Verlauf ohne Kavitation ab. Da im gesamten Blasenfeld der Sättigungsdruck herrscht, ändert sich die Druckverteilung am vorderen Teil der Schaufel entsprechend. Zudem verdrängt das Blasenfeld Fluid infolge Querschnittsversperrung; stromabwärts des Blasenfeldes entfällt diese Verdrängerwirkung und das Fluid wird um so stärker verzögert, je dicker das Blasenfeld ist (s. hierzu Kap. 4.1.3). Abbildung 6.6 zeigt diese Verhältnisse anhand berechneter Druckverteilungen an einem Radialrad [8.39]: ohne Kavitation (volle Linien) ergibt sich an der Eintrittskante auf der Saugfläche eine scharfe Unterdruckspitze, die bei Kavitation (gestrichelte Linien) verschwindet und durch einen horizontalen Teil konstanten Druckes ersetzt wird. Das Blasenfeld erstreckt sich hier über etwa ein Drittel der Schaufellänge; man erkennt

266

6 Saugverhalten und Kavitation

deutlich den steilen Druckanstieg stromabwärts des Blasenfeldes infolge Verzögerung. Die Integration der Druckverteilung liefert im wesentlichen die vom Laufrad erbrachte spezifische Förderarbeit. Man erkennt in Abb. 6.6, daß (im gezeigten Fall) die Förderhöhe noch nicht durch Kavitation beeinträchtigt ist: zwar wird die Unterdruckspitze „abgeschnitten“, dieses Defizit wird aber gegen das Blasenfeldende wieder kompensiert. Mit fortschreitender Länge des Blasenfeldes stellt sich schließlich ein Zustand ein, in dem die Schaufelarbeit reduziert wird. In grober Näherung ist dies der Fall, wenn die Blasenfeldlänge auf der Schaufelsaugfläche die Schaufelteilung t1 = π d1/zLa überschreitet und einen Teil des engsten Querschnitts am Laufradeintritt versperrt. Während sich bei positivem Anstellwinkel i1 ≥ 0 nach Abb. 6.6 eine Unterdruckspitze auf der Schaufelsaugfläche und ein Staupunkt auf der Druckfläche ausbilden, wandert der Staupunkt bei negativem Anstellwinkel auf die Saugfläche und die Unterdruckspitze entsteht auf der Druckfläche; dort erscheinen dann auch die ersten Kavitationsblasen (Abb. 6.7). Der erste Teil der Schaufel, in dem pSS > pDS gilt, arbeitet als Turbine und verringert demzufolge die Förderarbeit. Auf der Schaufeldruckfläche ruft schon eine geringe Blasenentwicklung einen Förderhöhenabfall hervor, weil bereits kurze Blasenfelder den engsten Querschnitt merklich reduzieren und die Druckverteilung modifizieren, s. Abb. 4.7. 0,0

0,0 cp [-]

cp [-]

DS

-0,4

DS

-0,4 SS

SS

-0,8

-0,8

-1,2 ohne Kavitation σA = 0,27 -1,6 0,0

0,4

0,8

1,2

1,6 L/r2 2,0

Abb. 6.6. Druckverteilung bei positivem Anstellwinkel: i = 5°; w1q/w1 = 0,71

-1,2 ohne Kavitation σA = 1 -1,6 0,0

0,4

0,8

1,2

1,6 L/r2 2,0

Abb. 6.7. Druckverteilung bei negativem Anstellwinkel: i = -12°; w1q/w1 = 1,34

Berechnung für die äußere Stromlinie; SS Saugfläche, DS Druckfläche, [8.39].

6.2.2 Erforderlicher NPSH-Wert. Ausmaß der Kavitation. Kavitationskriterien Die Länge des Unterdruckgebietes, in dem p ≤ pv gilt, bestimmt das Ausmaß der Kavitationszone; diese kann verschwindend klein sein (erste Blasen, die von außen an der Pumpe nicht feststellbar sind) oder das ganze Laufrad erfassen („Voll-

6.2 Kavitation in Laufrad und Leitrad

267

kavitation“ bis zum Zusammenbruch der Förderung). Man benötigt daher Kriterien, um die Kavitation in einer Pumpe quantitativ zu beschreiben. Wie oben besprochen, ist der minimale örtliche statische Druck am Laufradeintritt maßgebend für Auftreten und Ausmaß der Kavitation. Dieser Druck ist mit einfachen Mitteln nicht meßbar; man kann ihn allenfalls mit numerischen Verfahren berechnen oder in aufwendigen Laborversuchen bestimmen. In der täglichen Praxis werden hingegen einfach meßbare Größen benötigt; daher quantifiziert man grundsätzlich alle Kavitationsvorgänge mit dem in Kap. 2 eingeführten NPSH-Wert, der als Differenz zwischen der Totaldruckhöhe im Eintrittsstutzen und der Dampfdruckhöhe definiert ist. Er kann auch als Abstand der Eintritts- zur Dampfdruckhöhe – kurz „Dampfdruckabstand“ – bezeichnet werden. p − p v cs 2 NPSH = s + 2g ρg

(6.3)

Herrscht im Eintrittsstutzen der Druck ps, erhält man für gegebene Werte von Verdampfungsdruck und Volumenstrom nach Abb. 6.5 einen Wert NPSHA für den in der Anlage vorhandenen Dampfdruckabstand. Bei pmin = pv entstehen die ersten Dampfblasen, der zugehörige Dampfdruckabstand ist der NPSHi-Wert; er stellt den Minimalwert dar, den die Pumpe benötigt, um ohne Kavitationsblasen zu laufen. Senkt man sukzessive den Zulaufdruck unter den Wert NPSHi, vergrößert sich das Blasenfeld, bis die Kavitationszonen schließlich so groß werden, daß sie die Förderarbeit beeinträchtigen. Eine Pumpe hat also verschiedene NPSH-Werte, je nachdem, welches Ausmaß an Kavitation man betrachtet bzw. zuläßt. Der erforderliche NPSH-Wert der Pumpe NPSHR stellt daher den Dampfdruckabstand dar, bei dem ein bestimmtes Kavitationskriterium eingehalten wird. Ohne das betrachtete Kavitationskriterium – bzw. das zugelassene Ausmaß an Kavitation – zu spezifizieren, ist die Angabe des NPSH-Wertes einer Pumpe sinnlos. Gebräuchliche Kavitationskriterien sind: • • • • • • • • • •

NPSHi: visueller Kavitationsbeginn: erste Dampfblasen werden sichtbar NPSHo: beginnender Förderhöhenabfall NPSH1: Förderhöhe des Sauglaufrades fällt um 1 % NPSH3: Förderhöhe des Sauglaufrades fällt um 3 % NPSHVK: „Vollkavitation“: Förderhöhe des Laufrades ist stark reduziert (sie „bricht zusammen“). Das Laufrad läuft weitgehend in einer 2-Phasenströmung NPSHx mit x Prozent Förderhöhenabfall Ein definiertes Maß an Wirkungsgradabfall (z.B. beginnender oder 1 % Wirkungsgradabfall) Ein definiertes Maß von Materialabtrag bzw. Kavitationserosion Ein definierter Geräuschanstieg infolge Kavitation Eine spezifizierte Lebensdauer des Sauglaufrades (z.B. 50‘000 h)

Das weitaus am häufigsten verwendete Kavitationskriterium ist NPSH3 – nicht weil es technisch besonders sinnvoll wäre, sondern weil es einfach zu messen ist.

268

6 Saugverhalten und Kavitation

In den Pumpencharakteristiken vieler Hersteller findet man daher NPSH ohne nähere Angabe, daß es sich um NPSH3 handelt. 6.2.3 Modellgesetze für Kavitationsströmungen Wie oben besprochen, hängen Entstehung und Ausbreitung der Kavitationsblasen von der Druckverteilung an den Schaufeln und vom Keimspektrum ab. Mit steigendem Unterdruck (d.h. steigender Umfangsgeschwindigkeit) werden zunehmend kleinere Keime aktiviert. Die örtliche Druckverteilung wird durch die Reynolds-Zahl beeinflußt; selbst einzelne Rauheitserhebungen können (Reynoldsabhängig) den örtlichen Druck zusätzlich soweit absenken, daß eine Blase entsteht und so NPSHi erreicht wird. Streng gültige Ähnlichkeitsgesetze, die solche Feinheiten erfassen könnten, sind für Kreiselpumpen nicht bekannt. In der Praxis verwendet man daher für die Übertragung von Messungen an einer gegebenen Pumpe auf andere Drehzahlen oder andere Baugrößen geometrisch ähnlicher Maschinen vereinfachte Modellgesetze. Der Strömungszustand am Laufradeintritt wird durch den Durchflußbeiwert ϕ1 beschrieben; bei gegebenem ϕ1 sind Stoßzustand bzw. Anstellwinkel für ein gegebenes Laufrad gleich, wie aus dem Eintrittsdreieck folgt. ϕ1 =

c1 m u1

(6.4)

Alle Druckdifferenzen und Druckverteilungen in einer Pumpe sind proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit. Folglich ist eine Euler-Zahl in erster Näherung als Ähnlichkeitskenngröße für die Kavitationskriterien bzw. das Ausmaß der Kavitation anzusetzen. Man definiert daher Kavitationsbeiwerte σi, σ3, σx usw. entsprechend: σx =

2 g NPSH x

(6.5)

u 12

Hieraus folgt, daß man NPSH-Werte quadratisch mit Drehzahl und Durchmesser umrechnet: § n D · ¸ NPSH = NPSH M ¨¨ ¸ © n M DM ¹

2

(6.6)

Zudem gilt für die Blasenfeldlänge Lcav das Modellgesetz: Lcav = f (σ A , ϕ1 ) d1

(6.6a)

Bei gegebenen Werten von σA und ϕ1 ist somit also das Verhältnis Lcav/d1 bei geometrisch ähnlichen Laufrädern (in erster Näherung) unabhängig von der Größe und der Drehzahl.

6.2 Kavitation in Laufrad und Leitrad

269

Voraussetzungen für die Anwendung obiger Modellgesetze: • Die Pumpen müssen geometrisch ähnlich sein. Diese Forderung ist für das Laufrad und den Einlauf streng zu erfüllen. Wie oben besprochen, können auch Leitapparat und Laufradaustritt (Laufradaußendurchmesser) einen Einfluß auf die Kavitation haben – insbesondere bei Teillastrückströmung. Es ist daher nicht zu empfehlen, das Teillast-Kavitationsverhalten von Leitrad- auf Spiralgehäusepumpen (oder umgekehrt) zu übertragen. Da diese Rückwirkung nicht immer vorhanden oder im Kavitationsverhalten wahrnehmbar ist, wird mitunter argumentiert, man könne auf die geometrische Ähnlichkeit am Laufradaustritt bei der Übertragung von Kavitationsversuchen verzichten. Das mag in vielen Fällen zutreffen, kann aber auch zu verhängnisvollen Fehlschlüssen führen. • Gleiche Förderflüssigkeit von gleicher Temperatur, Gasgehalt und Keimspektrum. Diese Forderung ist in der Praxis häufig nicht streng zu erfüllen; s. hierzu auch Kap. 6.4. Bei den Messungen in [6.46] wurde die Drehzahl der Versuchspumpe im Bereich von 1000 bis 3500 1/min variiert. Die Modellgesetze nach Gl. (6.5 bis 6.6a) waren dabei mit geringer Streuung erfüllt. Dieser Befund wurde zudem durch die Messungen in [6.4] bestätigt, bei denen nicht nur die Umfangsgeschwindigkeit zwischen 27 und 81 m/s sondern auch die Wassertemperatur zwischen 30 und 160 °C geändert wurde. Die erwähnten Meßergebnisse weisen die üblichen Streuungen auf, zeitigen aber keine systematischen Abweichungen, aus denen sich Maßstabsgesetze ableiten ließen. Im Pumpenbau haben sich daher bisher keine Modellgesetze durchgesetzt, die von Gl. (6.5 bis 6.6a) abweichen würden. Die Anwendung von Maßstabsgesetzen, wie sie aus Untersuchungen in [6.24, 6.45, 6.48] folgen, würde für Pumpen zu Ergebnissen führen, die in krassem Widerspruch zur Prüfstands- und Anlagenpraxis stünden. Bei Anwendung der Modellgesetze und bei der Beurteilung von Kavitationsversuchen treten dennoch mitunter erhebliche Abweichungen auf, die durch folgende Unsicherheiten bedingt sein können: 1. Bereits kleine Toleranzen im Schaufeleintrittsprofil oder -winkel (selbst die Rauheit) können erhebliche Abweichungen beim Kavitationsbeginn NPSHi verursachen, haben aber wenig Einfluß auf NPSH3. 2. Toleranzen des engsten Querschnittes und der Eintrittswinkel beeinflussen den NPSH-Steilanstieg und die NPSH3-Werte im Bestpunktbereich und darüber. 3. Wegen dieser Empfindlichkeit auf geometrische Abweichungen könnten Maßstabsgesetze für den Größeneinfluß nur mit NC-gefrästen Laufrädern bestimmt werden (entsprechende Versuche sind bisher nicht bekannt). 4. Bei kleinen Laufrädern (mit Eintrittsdurchmessern unter 100 bis 140 mm) nimmt NPSHx mit abnehmender Laufradgröße zu – u.a. wegen Grenzschichtversperrung oder weil das Blasenfeld bei engen Kanälen die Strömung stärker beeinflußt. 5. Die Reynolds-Zahl beeinflußt die Grenzschichtdicke. Bei niedrigen ReynoldsZahlen liegen manche Rauheitserhebungen und Unebenheiten innerhalb der

270

6 Saugverhalten und Kavitation

Grenzschicht, die bei hohen Reynolds-Zahlen Störungen in der Druckverteilung erzeugen und NPSHi erhöhen können. 6. Solange keine Sättigung mit Keimen erreicht wird, hängen die NPSHR-Werte vom Keimspektrum ab, das aber selten bekannt ist. 7. Luftausscheidung – vor allem bei NPSH-Werten unterhalb des Atmosphärendruckes – kann die Messungen verfälschen. 8. Messungen des NPSH-Wertes sind daher, besonders bei tiefen absoluten Eintrittsdrücken, schwierig. Deshalb wird mitunter die Meinung vertreten, der Geschwindigkeitsexponent in Gl. (6.6) sei kleiner als 2,0, wenn man von einer höheren Drehzahl auf eine tiefere umrechnet. Dies steht im Widerspruch zu neueren Messungen, die auf Exponenten größer 2,0 zu deuten scheinen, [6.45], s. hierzu auch Kap. 6.4. Zusammenfassend: es gibt keine physikalisch fundierte, praxistaugliche Alternative zu den Modellgesetzen gemäß Gl. (6.4 bis 6.6a). Diese Gesetze gelten für die Strömung, nicht aber für die Aktivierung von Kavitationskeimen. Die Keimaktivierung hängt ab von der absoluten Druckdifferenz Δpu = pv - pmin (Abb. 6.2) und läßt sich daher nicht durch relative Größen wie cp,min oder σ erfassen. Bei Saugversuchen mit niedrigem NPSHA-Wert (NPSHA-< 20 m) in Kreisläufen mit luftgesättigtem Wasser ist es beim Herunterrechnen der gemessenen NPSH-Werte auf kleinere Drehzahlen oder Laufraddurchmesser ratsam, einen Exponenten kleiner als 2 zu verwenden. Auf diese Weise wird vermieden, zu optimistische NPSH-Werte anzugeben. Zu diesem Ziel wurden die Drehzahlexponenten aus Versuchen bestimmt, über die in [6.54] berichtet wurde. Die sich aus Gl. (6.6) ergebenden Exponenten liegen zwischen 1,3 und 1,8; sie wurden in Abb. 6.8 über NPSH3 aufgetragen.

Exponent x [-]

2.0

1.5 Versuch [6.54] Versuch [6.54], Fig. 9 Versuch [6.54], Fig. 11 Gl. (6.6b)

1.0 0

5

10 NPSH3 [m]

15

20

Abb. 6.8. Exponent x für das Umrechnen von NPSH3 bei niedriger Drehzahl

In der industriellen Praxis werden keine einheitlichen Regeln verwendet, wie aus einer Analyse der Verkaufskennlinien von 8 Pumpenherstellern hervorgeht: die anscheinend verwendeten Exponenten lagen im Bereich von 0,2 bis 2,2 [6.53].

6.2 Kavitation in Laufrad und Leitrad

271

Es würde wenig Sinn machen, für „niedrige“ Drehzahlen einen Exponenten von z.B. 1,5 zu verwenden und für „hohe“ Drehzahlen auf den Exponent 2,0 überzugehen. Um Diskonuitäten zu vermeiden und den physikalischen Gegebenheiten gerecht zu werden, muß vielmehr eine kontinuierliche Funktion angesetzt werden. Aufgrund der spärlichen Versuchsdaten wird Gl. (6.6b) vorgeschlagen für die Umrechnung von NPSH3-Werten auf Drehzahlen oder Laufraddurchmesser, die niedriger sind als im Versuch: § n Da · ¸ NPSH a = NPSH M ¨¨ a ¸ © n M DM ¹

x

mit

§ NPSH 3 x = 2 ¨¨ © NPSH Re f

· ¸ ¸ ¹

0.3

NPSHRef = 20 m

(6.6b)

Die sich aus Gl. (6.6b) ergebende Kurve ist in Abb. 6.8 eingetragen. Gleichung (6.6b) wurde so angesetzt, daß sich – verglichen mit den Versuchsresultaten – eine konservative Vorhersage der NPSH-Kurven ergibt. Die Anwendung von Gl. (6.6b) sei anhand eines Beispiels erläutert: an einer gegebenen Pumpe sei NPSH3 = 6 m gemessen bei einer Drehzahl von 3000 1/min. Wenn nun dieselbe Pumpe bei 1500m 1/min betrieben werden soll, liefert Gl. (6.6b) den Exponenten x = 1.39 und NPSH3 = 2.3 m. Es wird empfohlen, Gl. (6.6b) nur für das Herunterrechnen auf kleinere Drehzahlen oder Laufraddurchmesser zu verwenden. Um mit der NPSH-Vorhersage auf der sicheren Seite zu liegen, sollte man für die Umrechnung auf größere Drehzahlen oder Laufraddurchmesser stets den Exponent 2, also Gl. (6.6), ansetzen. Es ist zu beachten, daß obiges Vorgehen rein empirisch ist; die Zielsetzung besteht einzig darin, zu optimistische NPSH-Vorhersagen bei der Umrechnung von Versuchsdaten auf kleinere Umfangsgeschwindigkeiten zu vermeiden. 6.2.4 Die Saugzahl Zur Bewertung der Saugfähigkeit einer Pumpe oder der Güte eines Sauglaufrades bezüglich NPSH3 hat sich die Saugzahl nss bewährt. Sie wird für den Bestpunkt der Pumpe definiert, um geometrisch nicht ähnliche Pumpen miteinander vergleichen zu können. Physikalisch sinnvoller wäre es, die Saugzahl mit dem Förderstrom des stoßfreien Eintritts zu definieren, da dieser dem Auslegungspunkt des Laufradeintritts entspricht, der Vergleich von Pumpen verschiedener Hersteller wäre aber damit erschwert, weil die Laufradparameter meist nicht bekannt sind. n ss = n

Qopt / f q NPSH 30,75

(6.7)

Bei doppelflutigen Laufrädern ist der Durchfluß pro Laufradseite zu betrachten. Die Saugzahl hat eine zur spezifischen Drehzahl analoge Form und wird mit den gleichen Dimensionen gebildet; man kann sie ableiten, indem man den Durchmesser aus den beiden Beziehungen Q = k1 n D3 und NPSH = k2 (n D)2 eliminiert. Mit den dimensionslosen Kennzahlen nach Gl. (6.4) und (6.5) lautet die Saugzahl mit der Nabenversperrung kn = 1 - (dn/d1)2:

272

6 Saugverhalten und Kavitation

n ss =

30 π

(2g )0.75

ϕ1k n σ30.75

= 158

ϕ1k n

(6.8)

σ30.75

Tabelle 6.1 gibt die Saugzahlbereiche verschiedener Laufräder. Die zweckmäßigerweise auszuführende Saugzahl hängt ab vom Einsatzgebiet – besonders von der Umfangsgeschwindigkeit u1 und dem Fördermedium. Bei Kleinpumpen werden häufig Saugzahlen unterhalb dieser Bereiche ausgeführt, wenn genügend NPSHA vorhanden ist. Tabelle 6.1 Gebräuchliche Saugzahlen:

nss (min-1, m3/s, m)

Anwendungsgebiet

u1 (m/s)

nss

Standard-Laufräder für axialen Zulauf oder durchgehende Welle Sauglaufräder für axialen Zulauf Sauglaufräder für durchgehende Welle, ein- oder zweiflutig Hochdruckpumpen, die für kurze Blasenlängen ausgelegt werden Vorsatzläufer für industrielle Anwendung (Kap. 7.7.4) Vorsatzläufer für Raketentechnik

< 50 < 35 < 50 > 50 < 35 (45)

160 bis 220 220 bis 280 180 bis 240 160 bis 190 400 bis 700 >> 1000

Saugzahlerhöhung: Zur Minimierung der Verluste muß der Laufradeintrittsdurchmesser so gewählt werden, daß die Relativgeschwindigkeit am Laufradeintritt in etwa minimal wird (s. Kap. 7). Eine solche Auslegung gibt aber nicht immer genügend tiefe NPSH3, so daß man die Saugfähigkeit oft gegenüber diesem Auslegungskonzept verbessern muß. Hierzu stehen verschiedene Wege offen: • Durch Vergrößern des Laufradeintrittsdurchmessers d1 erreicht man Saugzahlen bis etwa 300. Wie in Kap. 5 erläutert, ergeben große Eintrittsdurchmesser entsprechend intensive Teillastrückströmungen, weil die Druckgradienten quer zur Strömungsrichtung steigen (größeres Verhältnis d1/d1i). Der Saugzahlerhöhung durch größere d1 sind daher Grenzen gesetzt. • Eine Vergrößerung der Schaufeleintrittswinkel oder des engsten Querschnittes am Laufradeintritt entspricht einer Auslegung für einen größeren Volumenstrom, d.h. der Punkt stoßfreien Eintritts wird zu QSF >> Qopt verschoben. Führt man so bei gegebenem Eintrittsdurchmesser größere Winkelübertreibungen oder größere engste Querschnitte aus, verringern sich NPSH3 und NPSHvk bis zu einem gewissen Grade, weil die „Dampfschluckfähigkeit“ steigt, die Strömung bis zum engstem Querschnitt stärker verzögert wird und das Blasenfeld weniger die Hauptströmung beeinflußt; der Laufradeintritt läuft stärker bei Teillast. Anstellwinkel und Blasenvolumen steigen aber in weiten Betriebsbereichen und die Rückströmung am Laufradeintritt setzt bei höheren Förderströmen ein, was zu Lärm, Schwingungen und Erosion führen kann. Diese Maßnahme zur Saugzahlerhöhung wurde früher mitunter praktiziert, wird aber heute nicht mehr empfohlen: eine maßvolle d1-Vergrößerung ist vorzuziehen. • Eine Verringerung der Schaufelzahl reduziert die Versperrung am Laufradeintritt und verbessert die Saugzahl um einige Prozent. Man verliert aber an

6.2 Kavitation in Laufrad und Leitrad

273

Druckzahl, was sich zwar durch eine Vergrößerung von Laufradaustrittsbreite oder -winkel kompensieren läßt, aber infolge ungleichförmiger Laufradabströmung bezüglich hydraulischer Schwingungsanregung nachteilig sein kann. Ein Kompromiß ist bei Laufrädern mit geraden Schaufelzahlen möglich, indem jede zweite Schaufel am Eintritt zurückgeschnitten wird („splitter vanes“). Dieses Konzept, das in der Raketentechnik die Regel darstellt, wird bei Industriepumpen allerdings wenig eingesetzt. • Doppelflutige Laufräder teilen den Förderstrom in zwei Teilströme auf. Würde jede Hälfte des doppelflutigen Laufrades die gleiche Saugzahl erreichen wie ein einflutiges Laufrad, ergäbe sich nach Gl. (6.7) eine Reduktion des NPSH3 um den Faktor (1/2)2/3 = 0.63. Dieser Wert wird selten erreicht, weil das doppelflutige Laufrad ein größeres Nabenverhältnis aufweist, wodurch sich nach Kap. 6.3.2 die Saugfähigkeit verschlechtert. Das Einlaufgehäuse einer doppelflutigen Pumpe erzeugt zudem eine wesentlich schlechtere Strömungsverteilung als ein axialer Zulauf. Dies beeinträchtigt die erreichbare Saugzahl weiter, weil die Schaufeln in verschiedenen Sektoren unterschiedlich angeströmt werden, Kap. 7.13. • Ein Vorsatzlaufrad (V-Rad, „Inducer“) ist ein dem eigentlichen Laufrad vorgeschaltetes Axialrad mit 2 oder 3 langen Schaufeln, die wenig Eintrittsversperrung haben. Das V-Rad arbeitet mit ausgeprägter Kavitation; es erhöht den Druck vor dem eigentlichen Laufrad so weit, daß dieses ohne kavitationsbedingten Höhenabfall fördert. V-Räder werden in Kap. 7.7 behandelt. Saugzahlbegrenzung: Verschiedentlich wurde vorgeschlagen, die Saugzahl zu begrenzen, weil - inzwischen veraltete - Betriebsstatistiken1 eine Häufung von Kavitations- und Schwingungsschäden an Pumpen andeuteten, deren Saugzahl den Wert 213 überstieg2. Diese Beobachtung wurde damit erklärt, daß hohe Saugzahlen große Laufradeintrittsdurchmesser und große Eintrittswinkel erfordern würden, die infolge intensiver Teillastrückströmung Kavitationserosion, Schwingungen und Druckpulsationen verursachen könnten. Diese Begründung ist höchstens tendenziell richtig; denn für Intensität und Schädlichkeit von Teillastrezirkulation sind neben dem Laufradeintrittsdurchmesser eine Reihe anderer Parameter maßgebend. Es ist daher unrichtig, aus der Saugzahl den Rezirkulationsbeginn abzuleiten, wie das im Bestreben getan wurde, die Pumpenauswahl zu erleichtern. Eine derartige Saugzahlbegrenzung stellt eine unzulässige Vereinfachung der dreidimensionalen Strömungsvorgänge dar, die zur Teillastrückströmung führen. Wie in Kap. 7 ausgeführt, lassen sich hohe Saugzahlen zudem nicht nur durch Vergrößerung des Laufradeintritts sondern – weitaus besser − durch sorgfältige Auslegung der Schaufeln erreichen. Wie der langjährige schadensfreie Betrieb zahlloser Pumpen mit Saugzahlen weit oberhalb der Grenze nss = 213 beweist, bedeutet eine Saugzahlbegrenzung eine unnötige Einschränkung; sie würde viele wirtschaftliche Anlagenkonzepte 1

Es handelt sich um Statistiken aus der Zeit von 1975 bis 1981 über den Betrieb von Pumpen, die in den 1960er Jahren entwickelt wurden; Einzelheiten in [6.39]. 2 Je nach Pumpentyp und Autor wurden unterschiedliche Grenzen propagiert.

274

6 Saugverhalten und Kavitation

vereiteln, weil sie zu unnötig großen Pumpen oder höheren Baukosten für größere NPSHA führen würde. Die Saugzahlproblematik wird ausführlich in [6.39] anhand von Beispielen aus der Praxis besprochen. 6.2.5 Experimentelle Bestimmung des erforderlichen NPSHR-Wertes Der erforderliche NPSH-Wert einer Pumpe wird üblicherweise in einem „Saugversuch“ ermittelt. Hierzu mißt man die Förderhöhe der Saugstufe bei jeweils festgehaltenem Förderstrom und konstanter Drehzahl, indem man sukzessive den Zulaufdruck absenkt. Die Förderhöhe wird nach Abb. 6.9 als Funktion des NPSHA − oder wie in Abb. 6.9 über σA − aufgetragen. Bei genügend hohem NPSHA ergibt sich ein horizontaler Teil der Saugkurve, in dem die Förderhöhe noch nicht durch Kavitation beeinträchtigt ist. Wird ein bestimmter Zulaufdruck unterschritten, beginnt die Förderhöhe zu fallen. Dieser Abfall ist zunächst kaum 1,2

σ0

σ3 σ 1

q* = 0,237

1,0

q* = 0,486

q* = 0,747

H/Hopt

σi q* = 1,000

0,8 q* = 1,23

Lcav/t1=0,087 0,6 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

σA 1,2

Abb. 6.9. Bestimmung verschiedener Kavitationskriterien im Saugversuch bei konstanter Drehzahl durch sukzessives Absenken des Zulaufdruckes (jede Kurve bei Q = konstant gemessen) 1,2

σA

Lcav/t1a

σi

1,0

0,014

0,8

0,087 0,36

0,6 0,4

0,029

3%

1%

0%

0,2 VK 0 0,1

0,4

0,7

1

q*

1,3

Abb. 6.10. Blasenfeldlängen und Förderhöhenabfall als Funktion des Kavitationsbeiwertes und des Förderstromes

6.2 Kavitation in Laufrad und Leitrad

275

wahrnehmbar, entwickelt sich aber mit abnehmendem Dampfdruckabstand immer stärker; bei Unterschreitung eines Grenzwertes fällt die Förderhöhe schließlich steil ab. Dort wo sie senkrecht abreißt, herrscht in großen Teilen der Laufradkanäle eine Zweiphasenströmung bzw. „Vollkavitation“, die allein schon wegen der stark verringerten Gemischdichte den Druckaufbau reduziert. Hat man solche Saugkurven bei mehreren Förderströmen aufgenommen, werden die σR- (wie in Abb. 6.9) oder die NPSHR-Werte bestimmt, die den gesuchten Kavitationskriterien NPSHo, NPSH1, NPSH3, NPSHvk entsprechen. Sie werden anschließend gemäß Abb. 6.10 über dem Förderstrom aufgetragen. Bei mehrstufigen Pumpen sind die Kriterien für den Förderhöhenabfall grundsätzlich nur auf die Förderhöhe der Saugstufe zu beziehen (ließe man fälschlicherweise 3 % Abfall der Gesamtförderhöhe einer mehrstufigen Pumpe zu, würde die Saugstufe bereits in Vollkavitation arbeiten). Die Förderhöhe der Saugstufe mehrstufiger Pumpen läßt sich mittels einer zusätzlichen Meßbohrung direkt messen. Verzichtet man hierauf, ist sie rechnerisch zu ermitteln (bei Rädern gleichen Außendurchmessers in allen Stufen näherungsweise nach H1.st = Htot/zst). Bei hohen Stufenzahlen wird die Bestimmung der NPSH-Werte infolge unvermeidlicher Meßtoleranzen aber recht unsicher, weil ein Abfall der Gesamtförderhöhe um wenige Zehntelprozent kaum genau ermittelt werden kann. Der Eintrittsdruck läßt sich im Versuch wie folgt einstellen: (1) Drosselung in der Eintrittsleitung; (2) Verändern des Saugwasserspiegels; (3) in geschlossenen Kreisläufen durch Variation des Gasdruckes über dem Saugwasserspiegel. Die Drosselung mittels Saugschieber ist versuchstechnisch einfach, führt aber oft zu Problemen mit Gasausscheidung, wenn man mit NPSH-Werten arbeitet, die weit unter dem Atmosphärendruck liegen, weil im Drosselorgan infolge hoher Strömungsgeschwindigkeiten der Druck noch zusätzlich abgesenkt wird. Um die Gasausscheidung zu verringern, sollte der saugseitige Drosselschieber möglichst tief angeordnet werden. Bei Versuchen mit offenen Kreisläufen haben sich auch Unterwasserschieber bewährt, die im Becken unmittelbar hinter dem Eintritt in die Saugleitung (meist Trompete) installiert werden. Beim Verändern des Saugwasserspiegels scheidet sich ebenfalls Gas aus, sobald merkliche Unterdrücke erreicht werden. Bei geschlossenen Kreisläufen ist eine möglichst weitgehende Entgasung der Flüssigkeit anzustreben, weil (im Gegensatz zu offenen Kreisläufen) ausgeschiedenes Gas nicht aus dem Kreislauf entweichen kann. Modellpumpen für die Saugradentwicklung (insbesondere für Hochdruckpumpen) werden oft mit einem Fenster ausgeführt, durch das man die Kavitation am Laufradeintritt mittels eines Stroboskops beobachten kann. Auf diese Weise läßt sich der Kavitationsbeginn NPSHi bestimmen und man kann die Blasenfeldlänge als Funktion des NPSHA visuell abschätzen und registrieren (Skizzen, Photo, Video). Die Resultate eines solchen Versuches sind ebenfalls in den Bildern 6.9 und 6.10 dargestellt; Abb. 6.11 zeigt die Aufnahme eines Blasenfeldes. Bei Teillastrezirkulation treten häufig wolkenartige Blasenansammlungen in verschiedenen Formen und an unterschiedlichen Orten auf, Abb. 6.12 zeigt ein Beispiel. Ohne besondere Vorkehrungen (transparente Schaufeln oder spiegelnde Flächen an Nabe) lassen sich nur die Kavitationsblasen auf der Schaufelsaugfläche erfassen.

276

6 Saugverhalten und Kavitation

Abb. 6.11. Kavitationsblasenbildung an der Abb. 6.12. Kavitationsblasenbildung bei Teillastrückströmung Schaufeleintrittskante Sulzer Pumpen AG

Wie das Ausmaß der Kavitation bzw. die Kavitationskriterien vom Förderstrom abhängen, sei anhand von Abb. 6.13 erläutert: RU 2

Kavitationsbeginn Saugfläche

NPSH NPSHi,SF

Druckfläche NPSHi steigende Rezirkulation

1 NPSH0 NPSHVK NPSH3

Qopt/QSF QRB/QSF

1,0

Q/QSF

Abb. 6.13. Typischer NPSH-Verlauf für radiale Laufräder (schematisch)

• Der visuelle Kavitationsbeginn NPSHi hat ein Minimum beim Förderstrom stoßfreien Eintritts QSF, der sich nach Gl. (T3.1.10) berechnet. Bei Q < QSF entstehen Blasen auf der (sichtbaren) Saugfläche, bei Q > QSF auf der Druckfläche der Schaufeln. • Das NPSHi und die Blasenfeldlänge steigen mit zunehmendem Anstellwinkel – d.h. abnehmendem Förderstrom – bis zum Beginn der Rückströmung aus dem Laufrad in den Saugraum. Mit zunehmender Rückströmung nimmt der Anstellwinkel (und damit die Blasenfeldlänge) nämlich wieder ab. Hierzu tragen drei Effekte bei: a) Der Laufraddurchfluß nimmt um QRez zu (Abb. 5.12). b) Der äußere Ring des Laufradeintritts wird durch rückströmendes Fluid versperrt, wodurch sich der effektive Strömungsquerschnitt verringert, also c1m und β1 größer werden. c) Der aus dem Laufrad rückströmende Volumenstrom

6.2 Kavitation in Laufrad und Leitrad

• •

•

•

277

QRez hat eine Umfangskomponente in Drehrichtung des Laufrades. Der Drall des rückströmenden Volumenstromes wird durch Impulsaustausch auf den eintretenden Volumenstrom übertragen und erzeugt so eine Vorrotation. Alle drei Effekte addieren sich in dem Sinne, daß die Strömungswinkel vergrößert und die Anstellwinkel reduziert werden, wodurch sich die Blasenfeldlänge verringert. Wird die Vorrotation durch Rippen oder andere Strukturen wirksam unterdrückt, bleiben nur die Mechanismen a) und b) wirksam. Je nachdem, wie stark die einzelnen Effekte den Strömungswinkel beeinflussen, flacht die NPSHi-Kurve ab oder steigt gar gegen Q = 0 gemäß Kurve „RU“ stetig an. Nahe dem stoßfreien Förderstrom treten Kavitationsblasen bei genügend tiefem NPSHA gleichzeitig auf Saug- und Druckfläche auf. Die Kurve für Vollkavitation NPSHvk läuft meist in etwa auf den Nullpunkt zu. Bei großem Förderstrom steigt die Kurve steil an. Wenn man bei genügend großem Durchfluß mißt, erfolgt dieser „NPSH-Steilanstieg“ nahezu senkrecht. Er stellt eine Art Fördergrenze dar. Auch die Kurve für NPSH3 läuft häufig gegen den Nullpunkt und steigt monoton mit zunehmendem Förderstrom. Eine Ausnahme bilden Sauglaufräder mit sehr großer Saugzahl, Vorsatzläufer und Laufräder mit nq > 70. Die Kurve NPSH3 folgt dann oft dem gestrichelten Verlauf in Abb. 6.13, der durch intensive Rezirkulation und Strömungsumschläge bestimmt wird. Der Verlauf der Kurven NPSHx = f(Q) wird bestimmt durch: (1) die durch Kavitationszonen bewirkte Querschnittsversperrung; (2) die Verzögerung der Strömung stromabwärts des Blasenfeldes; (3) die Verzögerung oder Beschleunigung der Relativgeschwindigkeit w1 zur Geschwindigkeit im engsten Laufradquerschnitt w1q. (Wäre nämlich allein der Anstellwinkel i1 maßgebend, müßte NPSHx mit fallendem Durchfluß steigen.) Bei niedriger Teillast ist der engste Querschnitt am Laufradeintritt wesentlich zu groß, eine Versperrung durch Kavitationsblasen verbessert daher tendenziell die Strömung. Wird das Fluid im engsten Querschnitt beschleunigt, d.h. w1q/w1 > 1, sinkt der statische Druck und die Blasenentwicklung steigt entsprechend (s. Abb. 5.13). Die Kurve für NPSHo weist – wie NPSHi – häufig ein Maximum im Bereich von QRB auf, das aber wesentlich flacher als bei NPSHi ist. Je größer die Saugzahl, desto ausgeprägter wird dieses Maximum. Bei relativ engem Saugmund tritt es nicht in Erscheinung, Abb. 6.10.

Abhängig von der Saugradauslegung, der Zuströmung und der spezifischen Drehzahl können Abweichungen von obigen Tendenzen auftreten. Die Größe der verschiedenen NPSH-Werte und deren Relation zueinander hängen von der LaufradTabelle 6.2 Typische NPSH-Verhältnisse Laufradtyp

NPSHi/NPSH3

Normalauslegung

4 bis 6

Profil für tiefes NPSHi

2 bis 3

Kleine Schaufelzahl zLa = 3

8 bis 10

NPSH0/NPSH3

1,1 bis 1,3

NPSHvk/NPSH3

0,8 bis 0,9

278

6 Saugverhalten und Kavitation

auslegung und dem Pumpentyp ab. Typische Verhältnisse für den Punkt stoßfreien Eintritts nach [6.17] sind in Tabelle 6.2 aufgeführt. Eine große Schaufelbelastung am Laufradeintritt verursacht ausgeprägte Unterdruckspitzen und ein entsprechend hohes Verhältnis NPSHi/NPSH3; dies erklärt die Werte von NPSHi/NPSH3 in Tabelle 6.2 für kleine Schaufelzahl.1 Hierzu trägt auch der Umstand bei, daß NPSH3 bei kleinen Schaufelzahlen infolge abnehmender Schaufelversperrung fällt. Für ein gegebenes Verhältnis FNPSH = NPSHA/NPSH3 (das oft als NPSHZuschlag verwendet wird, Kap. 6.7) ergeben sich je nach Schaufelauslegung ganz unterschiedliche Blasenfeldlängen (dies folgt auch aus den Angaben in Tabelle 6.2). Abbildung 6.14 zeigt Beispiele hierzu. 1.0 q*= 1; nss = 209 q* = 0.67; nss = 209 q* = 1; nss = 275, Konzept L q* = 0.78; nss = 275, Konzept L q* = 1, nss = 278, Konzept H q* = 1, nss = 278, Konzept L NSPH0

0.9 0.8

Lcav /T 1a

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 1

2

3

F NPSH

4

5

Abb. 6.14. Einfluß des NPSHA-Wertes auf die Blasenfeldlänge (T1a = Schaufelteilung); Konzept „H“: spitzes Profil, großer Anstellwinkel; Konzept „L“: Schaufel ausgelegt für flache Druckverteilung, s. Kap. 7.2.4, Abb. 7.10; FNPSH = NPSHA/NPSH3

Verkürzt man die Laufschaufeln, sinkt deren Fähigkeit, das durch die Blasen verursachte Defizit an Förderarbeit am Blasenfeldende zu kompensieren. Deshalb steigen die NPSHx-Werte, wenn die Laufräder am Austritt stark abgedreht werden. Die Saugkurven H = f(NPSHA) bei konstantem Förderstrom können verschiedene charakteristische Formen annehmen: 1. Wird die Strömung am Blasenfeldende wirksam verzögert, verträgt das Laufrad relativ lange Blasenfelder, bevor ein H-Abfall eintritt. Je mehr das der Fall ist, 1

Wie in Kap. 7.2.4 erläutert, kann man durch geeignete Schaufelkonstruktionen auch bei kleinen Schaufelzahlen eine niedrige Schaufelbelastung erreichen.

6.2 Kavitation in Laufrad und Leitrad

2. 3.

4.

5.

6.

279

desto enger rücken NPSHvk, NPSH3, NPSH1, und NPSH0, zusammen: es entsteht ein scharfes Knie in der Kurve H = f(NPSHA). Derartige Verläufe sind typisch für Laufräder mit kleiner bis mittlerer spezifischer Drehzahl, die spitze Druckverteilungen aufweisen. Beobachtungen und Messungen in [6.42 bis 6.44] bestätigen, daß Schichtkavitation sogar bei recht langen Blasenfeldern keine Förderhöheneinbuße hervorruft, weil die Strömung hinter dem Blasenfeld gemäß Abb. 6.6 verzögert wird. Wenn das Blasenfeld schließlich so lang wird, daß die Energieübertragung beeinflußt wird, fällt die Förderhöhe steil ab. Instationäre Blasenfelder, wie sie sich durch Ablösung von Blasenwolken äußern, erzeugen hingegen keinen zusätzlichen Auftrieb, sondern führen zu einem allmählichen Förderhöhenabfall, sobald Blasen auftreten. Wenn Blasenwolken von der Saugfläche zur Druckfläche der nächsten Schaufel schwimmen, wird nach Beobachtungen in [6.44] die Förderhöhe beeinträchtigt. Bei Laufrädern mit flacher Druckverteilung liegen NPSHvk, NPSH3, NPSH1, und NPSH0 weiter auseinander, wie z.B. in Abb. 6.9. Bei Q > QSF wird der Förderhöhenabfall durch Blasen auf der Schaufeldruckfläche bestimmt. Der Höhenabfall setzt bei hohem σA ein, weil bereits kleine Blasenfelder den engsten Querschnitt merklich versperren und so zu einer Beschleunigung der Strömung führen. Zudem ist hinter dem Blasenfeld kaum ein Druckrückgewinn vorhanden (Abb. 6.7). Bei kleinen spezifischen Drehzahlen (etwa nq < 20) wird die Förderhöhe bei großem Förderstrom Q > Qopt durch Kavitation in Leitrad oder Spirale beeinflußt. Dies ist bei Volumenströmen der Fall, bei denen das Fluid vom Laufradaustritt zum engsten Querschnitt des Leitapparates merklich beschleunigt wird, d.h. c3q deutlich über c2 liegt (s. Kap. 5.3 und Abb. 5.18). Je kleiner die spezifische Drehzahl, desto näher rückt dieser Punkt an den Förderstrom besten Wirkungsgrades. (Bei den Versuchen in Abb. 5.17 wurden Kavitationsblasen an den Leitschaufeleintrittskanten erst bei q* > 1,3 beobachtet.) Abbildung 6.15 zeigt die Ergebnisse σ = f(ϕ1/ϕ1,SF) von Versuchen mit zwei Leiträdern mit unterschiedlichen Eintrittsweiten a3 bei gleichem Laufrad (ausgelegt für nq = 15). Leitrad 2 hatte einen um 25 % größeren Eintrittsquerschnitt als Leitrad 1. Während der Kavitationsbeginn σi bei beiden Versuchen gleich verläuft, ist die σ3-Kurve aus Versuch 2 im Bereich ϕ1/ϕ1,SF > 0,63 gegenüber der Kurve aus Versuch 1 um etwa 17 % zu größerem Durchsatz verschoben. Die bei den Meßpunkten angegebenen Zahlen bedeuten die Beschleunigungsverhältnisse c3q/c2 des Fluids vom Laufradaustritt zum engsten Leitradquerschnitt. Bis c3q/c2 ≈ 1,1 wird NPSH3 vom Laufrad bestimmt. Für Beschleunigungen wesentlich über 1,1 steigt NPSH3 mit (c3q/c2)x mit x = 8 bis 9 (diese Exponenten gelten nur für diese Versuche; sie können nicht auf andere Verhältnisse übertragen werden). Steilanstieg der NPSH3-Kurve und Fördergrenze werden in diesem Fall eindeutig durch das Leitrad bestimmt. Mit dem statischen Druck p2 am Laufradaustritt läßt sich ein Kavitationsbeiwert für den Leitapparat bilden:

280

6 Saugverhalten und Kavitation

10 1,57

σ

1,46

σi 1,36

σ3

σ3

1,43

1

1

1,26 2 1,11 1,09 0,89

0,1 0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

ϕ1/ϕ1,SF

1,0

Abb. 6.15. Einfluß des Leitrads auf die Kavitation bei nq = 15. Bei Kurve 2 war der Leitradeintrittsquerschnitt 25 % größer als bei Kurve 1. Die angeschriebenen Zahlen bedeuten die Beschleunigung c3q/c2 vom Laufradaustritt zum Leitradeintrittsquerschnitt. Sulzer Pumpen AG.

p − pv σ A, LE ≡ 2 = ρ 2 c3q 2

c2 NPSH A − s + H p 2g c32q

§ u = σA ¨ 1 ¨ c3q ©

2

· § c ¸ −¨ S ¸ ¨ c3q ¹ ©

2

· § ¸ + ψ R ¨ u2 G ¸ ¨ c3q ¹ ©

· ¸ ¸ ¹

2

(6.9)

2g

7. Ob der Förderhöhenabfall durch das Leitrad oder das Laufrad induziert wird, läßt sich auch feststellen, indem man den statischen Druck Hp am Laufradaustritt mißt und über NPSHA aufträgt: solange das Leitrad ohne Einfluß ist, erfolgen Förderhöhenabfall und Einbuße an statischer Druckerhöhung bei dem gleichen NPSHA. Ist dagegen das Leitrad maßgebend für den Höhenabfall, sinkt die Kurve H = f(NPSHA) früher als Hp = f(NPSHA). 8. Manchmal beobachtet man, daß die Förderhöhe wie in Abb. 6.16 leicht ansteigt, bevor der Förderhöhenabfall eintritt. Dieses Verhalten bestätigt erneut, daß die Strömung durch das Blasenfeld beeinflußt wird. In diesem Fall könnte das Blasenfeld wie ein strömungsgünstigeres Profil wirken oder eine Umverteilung der Strömung über die Schaufelhöhe verursachen. Propellerpumpen oder Laufräder mit dicken Profilen (wie Abwasserpumen) können diese Eigenart aufweisen. Abbildung 6.16 zeigt Messungen an einer Axialpumpe bei q* = 1, bei denen dieser Förderhöhenanstieg etwa 5 % ausmacht, während η = f(NPSHA) in diesem Fall keinen solchen Anstieg zeigt (es gibt aber auch Pumpen, bei denen der Wirkungsgrad ebenfalls leicht steigt). Mit zunehmendem Anstellwinkel steigt die Blasenentwicklung bei Propellerpumpen stark an, was sich besonders auf σi und schwächer auf die σx auswirkt, Abb. 6.16. 9. Bei halbaxialen Laufrädern beobachtet man nach Abb. 6.17 in der NPSH3Kurve bei Teillast mitunter eine Spitze, die darauf beruht, daß das Kavitationsblasenfeld die Energieübertragung im Laufrad beeinflußt. Dies kann – wie in

6.2 Kavitation in Laufrad und Leitrad

281

Abb. 6.17 – mit einer Hysterese verbunden sein. So waren bei diesen Versuchen aus [6.26] zwei stabile Strömungszustände möglich: auf dem oberen Ast der Saugkurven ist die c2m-Verteilung am Laufradaustritt über die Breite relativ gut ausgeglichen, während auf dem unteren Ast bei kurzen Blasenfeldlängen zunächst ein Geschwindigkeitsdefizit an der äußeren Stromlinie zu beobachten war. Bei genügend großen Blasenfeldlängen änderte sich die c2m-Verteilung dergestalt, daß sich die Energieübertragung an der äußeren Stromlinie erhöhte, wodurch die Förderhöhe auf Werte entsprechend dem oberen Ast stieg. Das Förderhöhendefizit wurde also durch eine zu niedrige Energieübertragung an der äußeren Stromlinie verursacht, was in der c2m-Verteilung sichtbar wird. Bemerkenswert ist der Befund, daß das Blasenfeld in beiden Fällen gleich lang war, die NPSH-Spitze also nicht durch extrem lange Blasenfelder, sondern durch eine kavitationsbedingte Änderung der Energieübertragung im Laufrad verursacht wurde (was sich als Änderung im Abströmprofil bemerkbar machte). Diese Versuche bestätigen den in Kap. 5.5 besprochenen Einfluß von Strömungsumschlägen auf Förderhöhe und Kennlinienstabilität sowie die Wichtigkeit einer möglichst ungestörten Energieübertragung an der äußeren Stromlinie (Kap. 5.6.7). Sie erklären auch, daß die Förderhöhe mitunter bei Kavitation ansteigen kann, wie anhand der Versuche in Abb. 6.13 gezeigt. An allen drei in [6.26] untersuchten Laufrädern wurde beobachtet, daß sich die Energieübertragung im Laufrad bei Kavitation vergleichmäßigte (man könnte dies als „Selbstheileffekt“ nach dem Prinzip des kleinsten Zwanges interpretieren). Bei starker Rezirkulation bilden sich die anliegenden Blasenfelder zurück, statt dessen erscheinen Blasenwolken im Schaufelkanal und vor dem Laufradeintritt; die Dampfblasen entstehen im Zentrum von Wirbeln, die durch Scherschichten zwischen der Durchflußströmung und rezirkulierendem Fluid hervorgerufen wer1,1 σ

1

1

0,9

H/Hopt σi

0,8

0,95 η

1%H 3%H

0,8

0,7 ση=0

0,9 η

0,6

0,6

0%η

0,5

0,8

0,4

0,4 0,3 0,2 0,1 0,6

0,85

0,75 0,2

σ1

0,7

σ3 0,8

1

q* 1,2

0 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,65 0,6 σA 0,7

Abb. 6.16. Kavitationsmessungen an einer Propellerpumpe, Sulzer Pumpen AG

282

6 Saugverhalten und Kavitation 50

H [m]

η

40

0,7

30 NPSH3% 20 [m]

η

0,6 H

0,5 0,4

NPSH3%-Spitze

10 0

0,9 0,8

0,3 0,2 3 800 1000 1200 1400 1600 1800 Q [m /h] NPSH3%

0

200

400

600

33 H [m]

140 L cav [mm] 120

31 c2m

29

DS

c2m TS

c2m

H

DS

TS

DS

TS

100

27

80

25 23

c2m DS

21 19 17

5

10

DS

TS

Lcav (oberer/unterer Verlauf der Abreißkurve)

H100% = 28,1 m H100% = 26,5 m

0

60

c2m TS

15

20

25

40 20 0 30 NPSHA [m]

Abb. 6.17. Beeinflussung der Förderhöhe durch Kavitationsblasenfelder (1200 min-1), [6.26]

den. Die Blasen können auf der Druckfläche der Schaufeln und auf Strukturen stromaufwärts des Laufrades implodieren und Materialanfressungen hervorrufen. Während anliegende Blasen bei visueller Beobachtung durch die Blasenfeldlänge gut zahlenmäßig erfaßbar sind, lassen sich die durch Teillastrückströmung entstehenden Blasenwolken mittels stroboskopischer Beobachtung schlecht quantifizieren. Kavitationsschallmessungen (Kap. 6.5.2) oder Farbabtragsversuche unter kontrollierten Bedingungen (Kap. 6.6.6) können hier weiterhelfen. Statt der oben beschriebenen Saugversuche bei konstantem Förderstrom können auch gemäß Abb. 6.18 „Abreißkurven“ gefahren werden, um die Saugfähigkeit zu bestimmen. Dazu hält man die Stellung des Saugschiebers fest und öffnet sukzessive den Druckschieber; dabei vergrößert sich der Förderstrom entlang der Kennlinie für kavitationsfreien Betrieb (Kurve a in Abb. 6.18), bis die Förderhöhe infolge Kavitation zu fallen beginnt (Punkte KB). Mit zunehmender Öffnung des Druckschiebers steigt der Förderstrom und die Förderhöhe sinkt infolge Kavitation bis zum Steilabfall. Man erhält so Kurven der Form b und c, aus denen sich NPSHo, NPSH3 und NPSHvk bestimmen lassen wie in Abb. 6.18 skizziert.

6.2 Kavitation in Laufrad und Leitrad H

283

KB

a A

c

b

Q

NPSH

NPSH A

b

0% 3% VK

c

Position Saugschieber konstant Q

Abb. 6.18. Saugversuch bei konstanter Saugschieberposition

Dieses Vorgehen ist weniger genau als die Saugversuche nach Abb. 6.9 mit konstantem Förderstrom, ist aber z.B. dann zweckmäßig, wenn sich mangels Flexibilität des Versuchskreislaufes der horizontale Teil der Saugkurve nicht mit einer genügenden Anzahl von Meßpunkten belegen läßt. 6.2.6 Spaltkavitation Kavitation kann auch in den Dichtspalten geschlossener Laufräder und in den Spalten zwischen den Laufschaufeln und dem Gehäuse bei offenen Laufrädern auftreten. Auch hier entstehen Dampfblasen, sobald der örtliche Druck den Dampfdruck erreicht. Materialanfressungen am Gehäuse oder an den Laufschaufeln infolge Spaltkavitation bei offenen Laufrädern werden beim Einsatz ungeeigneter Werkstoffe beobachtet, Kap. 6.8. Spaltkavitation in Dichtspalten von geschlossenen Laufrädern wurde an einer Pumpe und einem rotierenden Zylinder in [6.40] untersucht. Dabei entstanden Kavitationsblasen im Dichtspalt nahe vor dem Austritt, sowie in der Vermischungszone von Spalt- und Hauptstrom, besonders dann, wenn der Saugstutzen einen kleineren Durchmesser als der Laufradeintritt aufwies (also ds < d1 war). Versucht man, die Meßdaten aus [6.40] zu verallgemeinern, so läßt sich der Beginn der Kavitation im Spalt durch Gl. (6.9a) beschreiben: § u sp · p − pv ¸ = 1,2¨ σsp,i ≡ s ¨ csp ¸ ρ 2 ¹ © csp 2

0,8

(6.9a)

Diese Formel beruht auf der Vorstellung, daß die Spaltgeschwindigkeit der primär maßgebende Parameter ist, daß der Volumenstrom im Saugstutzen von untergeordneter Bedeutung ist und somit eine Beziehung auf der Basis des Spaltstroman-

284

6 Saugverhalten und Kavitation

teils Qsp/Q sich schwer auf andere Verhältnisse übertragen läßt. Der Volumenstrom Q im Saugstutzen spielt hingegen eine entscheidende Rolle bei der Entstehung von Kavitationsblasen im Stutzen an Rippen oder Rücksprüngen, wie sie bei ds < d1 auftreten.

6.3 Bestimmung des NPSHR-Wertes 6.3.1 Einflußparameter auf den NPSHR-Wert Die Bildung von Kavitationszonen und somit sämtliche Werte des NPSHR entsprechend den in Kap. 6.2.2 besprochenen Kavitationskriterien hängen von vielen Parametern ab: Das Eintrittsgehäuse bestimmt das Geschwindigkeitsprofil am Laufradeintritt und somit den Anströmwinkel der Schaufeln; zudem beeinflußt es die Teillastrückströmung. Folglich haben die Form des Eintrittsgehäuses sowie Rippen und Einbauten einen Einfluß auf die Kavitation. Ein axialer Zulauf ohne vorhergehende Störungen wie Bögen oder Armaturen liefert eine rotationssymmetrische Zuströmung zum Laufrad; er erlaubt aber eine starke, weit in die Saugleitung reichende Teillastrückströmung, wenn keine Rippen vorhanden sind. Radiale Einläufe (für Pumpen mit durchgehender Welle) liefern je eine Zone mit Gegendrall und Mitdrall, die durch die Umströmung der Welle verursacht wird (Kap. 7.13). Dies führt zu deutlichen Unterschieden in der Blasenfeldlänge über dem Umfang, weil der Anströmwinkel von der Vorrotation abhängt. Ähnlich ist es auch bei Krümmern, die nahe vor einem axialen Stutzen angeordnet sind. Die Einflußparameter des Einlaufes sind:

• Einlauftyp:

• • • • • •

* axial * radial, symmetrisch (Gegendrall und Mitdrallzone über je 180° gemäß Abb. 7.50) * radial, asymmetrisch (Teilspirale mit Gegendrallzone) Beschleunigungsverhältnis im Einlauf Rippen, Einbauten Strömungsverluste Bildung von Wirbelzöpfen 3-dimensionale Geschwindigkeitsverteilung infolge von Störungen vor dem Eintrittsstutzen Die im Einlaufgehäuse erzeugte Turbulenz hat einen Einfluß auf beginnende und ausgebildete Kavitation, [6.24], s.a. Kap. 6.4.3.

Laufrad: Offensichtlich hat die Laufradgeometrie einen entscheidenden Einfluß auf die Kavitation. Erfahrungsgemäß können schon recht kleine Toleranzen den Kavitationsbeginn und die Erosion massiv beeinflussen. Die im folgenden aufgezählten Parameter sind teils miteinander verknüpft, so daß sich ihre Wirkung auch experimentell nicht getrennt bestimmen läßt. Außerdem kann die Laufradgeome-

6.3 Bestimmung des NPSHR-Wertes

285

trie (und damit deren Einfluß auf die Blasenfeldlänge) nicht durch die Hauptabmessungen und Schaufelwinkel hinreichend beschrieben werden, sondern hierzu sind die Koordinaten der Schaufelflächen und Deckscheiben erforderlich. Diese Schwierigkeiten sind weitgehend dafür verantwortlich, daß bisher keine einfachen Verfahren bekannt wurden, mit denen sich die Blasenfeldlänge vorausberechnen ließe (abgesehen von numerischen Verfahren). Folgende Laufradparameter beeinflussen die Blasenausbreitung und den Förderhöhenabfall (gilt vorwiegend für Laufräder radialer Bauart):

• Laufradeintrittsdurchmesser und Nabendurchmesser • Schaufeleintrittswinkel auf den verschiedenen Stromlinien • Schaufelzahl: kleinere Schaufelzahl bedeutet geringere Versperrung durch die Schaufeldicke. Auch haben Laufräder mit kleinen zLa relativ lange Schaufeln und große Schaufelteilung, so daß das Blasenfeld den engsten Querschnitt erst bei niedrigeren Kavitationsbeiwerten versperrt; σvk und σ3 fallen daher mit abnehmender Schaufelzahl (bei sonst gleichen Parametern). Wie oben anhand von Tabelle 6.2 besprochen, gilt dies nicht für den Kavitationsbeginn σi. • Engster Querschnitt am Laufradeintritt, der die Verzögerung/Beschleunigung w1q/w1 der Relativgeschwindigkeit am Laufradeintritt bestimmt. Der engste Querschnitt hängt ab vom gesamten Schaufelverlauf – auch vom Schaufelaustrittswinkel, der bei kleiner Schaufelzahl einen wesentlichen Einfluß ausübt. • Profilierung der Schaufeleintrittskanten • Position der Schaufeleintrittskanten im Meridianschnitt • Lage der Schaufeleintrittskanten zur Strömung (Vorwärts- oder Rückwärtssichelung im Grundriß, s. Kap. 7, Abb. 7.8): • Winkelverlauf (Schaufelverlauf) zwischen Eintrittskante und engstem Querschnitt • Krümmungsradius der Deckscheibe • Übergangsradien zwischen den Schaufeln und den Radseitenwänden • Rauheit der Schaufeln (Einfluß auf Blasenbeginn) • Spaltweite, die sich auf zweifache Weise auswirkt: a) Die Dichtspaltleckage erhöht den Durchfluß durch das Laufrad. b) Die Leckage erhöht den Mitdrall des in das Laufrad eintretenden Fluids, da sie eine Umfangskomponente von etwa 50% der Umfangsgeschwindigkeit am Dichtspalt hat, Kap. 6.2.6. • Beide Effekte bewirken eine Vergrößerung des Strömungswinkels am Laufradeintritt, was folgende Auswirkungen zeitigt: Verschlechtertes Kavitationsverhalten im Überlastbereich; Blasenbeginn bei tieferem σi und kleinere Blasenfeldlänge bei Teillast. • Entlastungsbohrungen für den Axialschubausgleich wirken sich teilweise ähnlich aus wie die Dichtspaltleckage. • Teillastrückströmungen: σi und σo fallen meist, wenn die Rückströmung einsetzt. • Wird ein Laufrad stark abgedreht (Kap. 4.5.1), steigen die NPSHR-Werte, weil die Schaufelbelastung und damit die örtlichen Übergeschwindigkeiten steigen.

286

6 Saugverhalten und Kavitation

Zudem bedeuten 3 % Förderhöhe eines stark abgedrehten Laufrades einen absolut geringeren Abfall als bei vollem Durchmesser, so daß auch aus diesem Grunde nach dem Abdrehen ein höherer NPSH3-Wert gemessen wird (Beispiel: hat ein Laufrad mit vollem Durchmesser Hopt = 200 m, wird der NPSH3 bei einem ΔH = 6 m ermittelt; wird das Laufrad abgedreht und hat nun noch Hopt = 140 m, ergibt sich NPSH3 bereits bei ΔH = 4,2 m). Leitvorrichtung: Teillastrückströmungen aus der Leitvorrichtung beeinflussen bei genügender Intensität die Rezirkulation am Laufradeintritt, die sich auf Kavitationsform und Blasenfeldlänge auswirkt. Das Kavitationsblasenbild bei Teillast hängt deshalb davon ab, ob das Laufrad in eine Spirale oder in ein Leitrad fördert. Die Variation des Druckes im Spiralgehäuse über dem Umfang bewirkt, daß die einzelnen Laufradkanäle in verschiedenen Kennlinienpunkten – also bei unterschiedlichen Volumenströmen – arbeiten: folglich werden die einzelnen Schaufeln unterschiedlich angeströmt, was sich entsprechend auf Druckverteilung und Blasenfeld auswirkt (Kap. 9.3.3). Die in diesem Zusammenhang wesentlichen Parameter sind:

• Typ der Leitvorrichtung (Spiralgehäuse, Leitrad, Ringraum) • Engster Querschnitt im Leitrad oder im Spiralgehäuse (Abb. 6.15) Da die Ablösung in der Leitvorrichtung aber auch von den Zuströmverhältnissen abhängt, hat die Geometrie des Laufradaustrittes (Austrittsbreite, Austrittswinkel usw.) ebenfalls einen Einfluß auf die Kavitation bei Teillast. Zusammenfassend ist somit festzuhalten: Bei Teillastrezirkulation herrscht eine so enge Wechselwirkung zwischen Eintrittsgehäuse, Laufrad und Leitvorrichtung, daß eine getrennte Betrachtung einzelner Komponenten nicht immer genügenden Aufschluß über das Strömungsverhalten liefern kann. Betriebsparameter: Der Kavitationsbeiwert σA bestimmt bei gegebener Geometrie und gegebenem Durchflußbeiwert das Ausmaß der Kavitation. Der Durchflußbeiwert als Verhältnis von c1m zu u1 ergibt bei gegebener Geometrie den Anstellwinkel, der wiederum die Druckverteilung an den Schaufeln beeinflußt. Da die Kavitationserosion gemäß Kap. 6.6.3 mit der 6. Potenz der Umfangsgeschwindigkeit steigt, können schon kleine Extrapolationen vorhandener Betriebserfahrungen in Grenzfällen drastische Wirkung zeigen. Der Einfluß von Fluideigenschaften und Gasgehalt wird in 6.4 besprochen. 6.3.2 Berechnung des NPSHR-Wertes Wie aus Abb. 6.5 deutlich wird, ergibt sich der minimale örtliche Druck am Laufradeintritt aus der Beschleunigung der Hauptströmung sowie den Verlusten im Einlauf und aus der durch örtliche Beschleunigung verursachten Druckabsenkung infolge der Umströmung der Schaufeleintrittskanten. Daher wurde häufig folgende Beziehung angesetzt:

6.3 Bestimmung des NPSHR-Wertes c2 w2 NPSH = λ c 1m + λ w 1 2g 2g

287

(6.10)

oder als Kavitationsbeiwert nach Gl. (6.5): § ϕ · σ = (λ c + λ w ) ϕ12 + λ w ¨¨1 − 1 ¸¸ tan 1¹ ©

2

(6.11)

Der Beiwert λc erfaßt Beschleunigung und Verluste im Eintritt, λw die Druckabsenkung an den Schaufeln. Der Beiwert λc läßt sich bestimmen aus: λc = 1 + ζE (ζE = Verlustbeiwert des Einlaufes). Für einen axialen Zulauf setzt man meist λc = 1,1 und für Pumpen mit radialen Einlaufgehäusen (je nach Konstruktion) λc = 1,2 bis 1,35. Da c1 << w1, fällt eine Unsicherheit bei λc nicht so stark ins Gewicht wie bei λw. Dagegen hängt λw nicht nur vom betrachteten Kavitationskriterium ab (z.B. NPSHi oder NPSH3), sondern auch von sämtlichen geometrischen und betrieblichen Parametern, die in 6.3.1 aufgezählt wurden. Tabelle 6.3 liefert typische Bereiche für λw im Betrieb bei stoßfreiem Eintritt (oder bei q* = 1): Tabelle 6.3 Beiwerte λc und λw bei stoßfreier Anströmung NPSH3:

NPSHi:

Laufräder

λw,3 = 0,1 bis 0,3

λw,i = 0,4 bis 1,5 (bis 2,5)

Vorsatzläufer

λw,3 = 0,03 bis 0,06

λw,i = 0,2 bis 0,3

Manche Laufräder liegen noch außerhalb dieser Bereiche. Setzt man Gl. (6.11) in Gl. (6.8) ein, ergibt sich für die Saugzahl: n ss =

158 ϕ1 k n 0.75

2½ ­ § ϕ1 · ° ° 2 ¸ ¾ ®(λc + λ w ) ϕ1 + λ w ¨¨1 − ¸ © tan α1 ¹ °¿ °¯

(6.12)

Diese Gleichung zeigt, daß die erreichbare Saugzahl mit zunehmendem Nabenverhältnis ν = dn/d1 abnimmt (kn = 1 - ν2). Obwohl λw von der Einlauf- und Laufradgeometrie abhängt (also letztlich unbekannt ist), wird für den Laufradentwurf häufig ein bestimmter Wert λw angenommen, um den Laufradeintritt zu optimieren. Hierzu setzt man in Gl. (6.10) ein: c1m = 4 Q/(π (d12 - dn2) ; w12 = c1m2 + (u1 - c1m/tanα1)2 und u1 = π d1 n/60; differenziert ∂NPSH/∂d1; setzt den erhaltenen Ausdruck null und löst nach dem optimalen Eintrittsdurchmesser d1,opt auf und erhält so Gl. (6.13).

288

6 Saugverhalten und Kavitation

2 ­ § Q ·3 § λ + λ ° 2 La w ¸ ¨ c d1,opt = ®d n + 10.6¨ ¨ λ ¸ ¨ f n w ° © q ¹ © ¯

1 1 ½2 3 · °

­ ¸ ¾ = °®d 2n + d 22 ϕ2 b*2 La ¸ ¹ ° ° ¯ ¿

(

­ § λ + λw ° d1,opt = ®d 2n + 1.48 × 10−3 ψ n1q.33d 22 ¨¨ c © λw ° ¯

)¨

2 § 3 ¨ 32

©

1 1 ½2 3 · °

λc + λ w ¸ ¾ λ w ¸¹ ° ¿

1 1 ½2 ·3 °

(6.13)

¸ ¾ ¸ ¹ ° ¿

Die optimale Durchflußzahl (berechnet mit diesem d1,opt) ergibt sich zu: 1

§ ·3 Q La λ w 2.3 ¸ ϕ1,opt = ¨ ¨ f q n (λ c + λ w ) ¸ 2 © ¹ ­ § Q ·3 § λ + λ ° 2 La w ¨ ¸ ¨ c ®d n + 10.6¨ ¸ ¨ ° © fq n ¹ © λ w ¯

1 1 ½2 ·3 °

(6.14)

¸ ¾ ¸ ¹ ° ¿

In Gl. (6.13) und (6.14) wurde vorausgesetzt, daß der absolute Nabendurchmesser dn aus konstruktiven Bedingungen festgelegt wird. Stattdessen kann man das Nabenverhältnis kn = 1 - dn2/d12 als konstant annehmen, wodurch sich einfachere Formeln ergeben: 1

§ Q La d1,opt = 3.25 ¨ ¨ fq n k n © ϕ1,opt =

n ss =

98

·3 § λ + λ w ¸ ¨ c ¸ ¨© λ w ¹

λw 2 (λ c + λ w )

§ kn ¨ (λ c + λ w )0,25 ¨© λ w

· ¸ ¸ ¹

1

·6 ¸ ¸ ¹

(6.14a)

(6.14b) 0,5

(6.14c)

Die Gleichungen (6.13) bis Gl. (6.14c) gelten für drallfreie Zuströmung; sie lassen sich zur Optimierung des Laufradeintritts für eine gewählte Saugzahl (NPSH3) oder für niedrigen Blasenbeginn (NPSHi) verwenden; es ist lediglich jeweils der entsprechende Wert für λw einzusetzen. Der resultierende Eintrittsdurchmesser ist jedoch nur dann optimal, wenn das in die Rechnung eingesetzte λw auch in der Ausführung tatsächlich erreicht wird (und das hängt letztlich von den in 6.3.1 besprochenen Parametern ab). Man könnte nun annehmen, daß λw – wie bei einem Tragflügel – in erster Linie vom Anstellwinkel i1 = β1B - β1' abhängt. Die Erfahrung lehrt und spezifische Versuche bestätigen, daß λw,3 sowohl vom Anstellwinkel (also bei gegebenem Laufrad und Eintrittsgehäuse vom Förderstrom) als auch vom absoluten Schaufelwinkel (also dem Staffelungswinkel des Gitters) abhängt: die Unterdruckbeiwerte steigen mit wachsendem Strömungswinkel β1 oder mit dem Schaufeleintrittswin-

6.3 Bestimmung des NPSHR-Wertes

289

kel β1B. Die Abb. 6.19 und 6.20 zeigen eine Auswertung diverser Versuche, die diese Abhängigkeit mit großer Streuung aufweisen. Abbildung 6.19 und 6.20 gelten für den Betrieb im Bestpunkt, wobei vorausgesetzt wird, daß der Förderstrom stoßfreien Eintritts nahe bei Qopt liegt. Aus Abb. 6.19 und 6.20 erkennt man, daß λw,i stärker vom Schaufelwinkel abhängt als λw,3. Man beachte, daß in Abb. 6.19 der Schaufelwinkel, dagegen in Abb. 6.20 der Zuströmwinkel die Daten besser korreliert. Die Versuche in Abb. 6.19 wurden an radialen Einläufen durchgeführt und mit λc = 1,35 ausgewertet; die Standardabweichung beträgt ± 35 %. Die Daten in Abb. 6.20 stammen aus Messungen mit radialen Einläufen (λc = 1,35) und mit axialem Zulauf (λc = 1,1); ihre Standardabweichung beträgt ± 25 %. Bei der Anwendung derartiger Unterdruckbeiwerte ist immer zu bedenken, daß alle λw empfindlich von Schaufelgestaltung, Förderstrom und Zuströmprofil abhängen. Wenn λw,3 vom Zuströmwinkel abhängt, muß sich auch eine Korrelation zwischen Saugzahl und Zuströmwinkel herstellen lassen. Tut man dies für einen breiten Anwendungsbereich, ist zu berücksichtigen, daß die Saugzahl gemäß Gl. (6.12) mit steigendem Nabenverhältnis sinkt und daß die Durchflußzahl ϕ1 mit zunehmender spezifischer Drehzahl wachsen muß, wenn man optimale Laufräder erhalten will. Mit den drei Parametern Zuströmwinkel (oder ϕ1), spezifische Drehzahl und Nabenverhältnis läßt sich eine normierte Saugzahl nss* bilden (nq,Ref = 27): n*ss =

n ss §¨ n q, Ref k n ¨© n q

· ¸ ¸ ¹

0,19

verwendbar für nq < 170

(6.15)

Diese Größe wurde in Abb. 6.21 über dem Zuströmwinkel β1a aufgetragen. Die Versuchsdaten umfassen Pumpen mit radialer und axialer Zuströmung sowie radialen und halbaxialen Laufrädern im Bereich nq = 10 bis 160; die Standardabweichung beträgt ± 14 %. Zur Bestimmung des Eintrittsdurchmessers eines Laufrades für gewählte Werte von nq, nss und dn/d1 (bzw. kn) kann man somit aus Gl. (6.15) n*ss ermitteln, aus Abb. 6.21 den auszuführenden Zuströmwinkel ablesen und aus Gl. (6.16) den Eintrittsdurchmesser d1 berechnen (wenn dn festliegt, ist über kn zu iterieren): d1 = 2.9 3

§ Q La tanβ1 · ¨1 + ¸ ¨ f q n k n tanβ1 © tanα1 ¸¹

(6.16)

Oder in dimensionsloser Schreibweise für α1 = 90°: d 0,483 ωs 0,667 ψ 0,5 d1* ≡ 1 = d2 (k n tanβ1 )0.333

(6.16a)

Der Zusammenhang zwischen Zuströmwinkel und Saugzahl gemäß Abb. 6.21 ist auch durch Gl. (6.16b) auszudrücken, mittels der sich die Saugzahl für einen gegebenen Zuströmwinkel oder Durchflußbeiwert ϕ1 = tan β1a ermitteln läßt:

290

6 Saugverhalten und Kavitation 1,8 1,6 λ w,i

λ w ,i = 3(tan β1B , a ) 0 ,9

1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 5

10

15

20

β 1B,a [°]

25

Abb. 6.19. Unterdruckbeiwerte für den Kavitationsbeginn als Funktion des Schaufelwinkels am Eintritt an der äußeren Stromlinie, Sulzer Pumpen AG 0,25

λw,3

λ w ,3 = 0,3(tan β1a ) 0,53

0,20 0,15 0,10 0,05 5

10

15

20

β1a [°]

25

Abb. 6.20. Unterdruckbeiwerte für 3% Förderhöhenabfall als Funktion des Strömungswinkels bei q* = 1 an der äußeren Stromlinie, Sulzer Pumpen AG 400

n ss** =

125 ϕ10,455

300 nss** 200

100

5

10

15

Abb. 6.21. Normierte Saugzahl als Funktion des Strömungswinkels an der äußeren Stromlinie

20

β1a [°]

n ss** =

25

n ss §¨ 27 ·¸ k n ¨© n q ¸¹

0.19

6.3 Bestimmung des NPSHR-Wertes

n ss =

125 k n ­° n q ½° ® ¾ ϕ10,455 °¯ 27 °¿

291

0.19

± 15 %

für nq < 170

(6.16b)

Umgekehrt kann man für eine gewünschte Saugzahl den auszuführenden Durchflußbeiwert berechnen aus: ­125 ½ ϕ1 = k n 1.1 ® ¾ ¯ n ss ¿

2.2

­° n q ½° ® ¾ °¯ 27 °¿

0.418

± 40 %

(6.16c)

6.3.3 Abschätzung des NPSH3-Wertes als Funktion des Förderstromes Wie die Versuchsdaten in Abb. 6.20 zeigen, streuen die Unterdruckwerte im Bestpunkt stark. Will man den Verlauf der NPSH3-Kurven über dem Förderstrom vorausberechnen, ist also ebenfalls mit großen Unsicherheiten zu rechnen. Daher kann es sich nur um eine Abschätzung dieser Kurvenverläufe handeln, bei der wir von folgender Überlegung ausgehen: In dem Bereich, wo die Relativgeschwindigkeit w1 bis zum engsten Laufradquerschnitt A1q auf w1q verzögert wird und solange der Anstellwinkel noch positiv ist, verläuft die NPSH3-Kurve eher flach, während sie bei Druckflächenkavitation und Beschleunigung von w1 auf w1q steil ansteigt. Die Grenze Qsa zwischen diesen beiden Bereichen gilt es also zu definieren. Zudem muß der oben besprochene Leitradeinfluß bewertet werden, der besonders bei kleinen spezifischen Drehzahlen einen vorzeitigen Steilanstieg der NPSH3-Kurven hervorrufen kann. Drei Förderstromkriterien lassen sich heranziehen, um den NPSH-Steilanstieg zu beurteilen:

• Wird der Förderstrom stoßfreien Eintritts QSF überschritten, wird der Anstellwinkel negativ und Kavitationsblasen erscheinen tendenziell auf der Druckfläche der Schaufeln: QSF =

f q A1 tanβ1B u1a tan β1B · τ1 §¨1 + τ1 tanα1 ¸¹ ©

(6.17)

• Der Förderstrom Qw, bei dem w1 = w1q wird, berechnet sich aus: QW =

f q A1 u1m 2

1 § A1 · ¨ z A ¸ −1 + tan α1 © La 1q ¹

(6.18)

• Der Förderstrom Qc, bei dem c2u = c3q wird, ergibt sich aus:1 1

Da α2 bei Pumpen mit kleiner spezifischer Drehzahl sehr klein ist, liefert c2 ≈ c2u eine ausreichende Näherung, die die vereinfachte Beziehung nach Gl. (6.19) ermöglicht.

292

6 Saugverhalten und Kavitation

Qc =

fq u 2 A 2 γ fq A2 τ2 + z Le A 3q η v tanβ 2B

(6.19)

Zur Abschätzung der NPSH3-Kurve kann man mit den nach Gl. (6.17) bis (6.19) berechneten Förderströmen gemäß Abb. 6.22 wie folgt vorgehen: 1. Es sei angenommen, daß Druckflächenkavitation bei Q > QDS wirksam wird, wobei QDS als Mittelwert von Qw und QSF definiert sei: Q DS = 1 (QSF + Q W )

(6.20)

2

2. Wenn Qc unterhalb von QDS liegt, ist anzunehmen, daß der Leitapparat den NPSH-Wert im Bereich Q > Qc beeinflußt und den Steilanstieg der NPSH3Kurve maßgeblich bestimmt. 3. Der Förderstrom Qsa, der den Übergang vom flachen zum steilen Bereich der NPSH-Kurve kennzeichnet, wird als der kleinere der beiden Werte Qc und QDS gewählt; also Qsa = QDS, wenn Qc > QDS und Qsa = Qc, wenn Qc < QDS. 4. Man berechnet nun NPSH3 für den Auslegungsförderstrom Qopt nach Gl. (6.10). λw,opt im Bestpunkt wird als Funktion des Anströmwinkels β1,opt aus Abb. 6.20 bestimmt. 5. In dem Bereich, wo Q < Qsa gilt, wird NPSH3 = f(Q) aus Gl. (6.10) ermittelt. Man berechnet hierzu den Anströmwinkel β1 als Funktion des Förderstromes und bestimmt den zugehörigen Unterdruckbeiwert λw nach Gl. (6.21), so daß sich ein mit dem Förderstrom steigender NPSH-Verlauf ergibt. § tanβ 1 λ w = λ w ,opt ¨ ¨ tanβ1,opt ©

· ¸ ¸ ¹

0.57

(6.21)

Diese Berechnung erfolgt bis zum oben definierten Förderstrom Qsa, für den wir den Wert NPSHsa erhalten. 6. Im Bereich mit Druckflächenkavitation, also für Q > Qsa, nimmt man an, daß NPSH3 quadratisch bis kubisch mit dem Förderstrom steigt: § Q NPSH = NPSH sa ¨¨ © Qsa

· ¸ ¸ ¹

x

(6.22)

Den Exponent setzt man x = 2 bis 3, wobei zu bedenken ist, daß die NPSHKurve ab einem bestimmten Förderstrom sehr steil ansteigt und so den Förderstrom effektiv begrenzt. Der Exponent steigt im Prinzip mit Q; er wird im Steilanstieg sehr groß.

6.3 Bestimmung des NPSHR-Wertes

NPSH3

§ Q NPSH = NPSH Sa ¨¨ © Q sa

· ¸ ¸ ¹

293

x

Berechnung nach Gl. (6.10) und Bild 6.17 NPSHSa

Q

Q Sa

Abb. 6.22. Vorausbestimmung des NPSH3-Wertes

Das vorstehende Verfahren läßt sich leicht an Versuchsergebnisse anpassen, um die Treffsicherheit zu verbessern. Für Q > Qopt liegt die Kurve für Vollkavitation meist nur wenig unter den Werten des NPSH3. Im Bereich des Steilanstieges liegt die Kurve für NPSHo häufig nur wenig über der NPSH3-Kurve. Den Kavitationsbeginn NPSHi am Laufradeintritt berechnet man am besten über die Druckverteilung mittels numerischer Verfahren gemäß Kap. 8. Da der Kavitationsbeginn sehr empfindlich von der Zuströmungsverteilung und den geometrischen Eigenschaften des Laufrades abhängt, läßt sich schwerlich ein allgemeingültiges empirisches Verfahren angeben. Numerische Verfahren sind hingegen mit Aussicht auf Erfolg einsetzbar, weil die Druckverteilung am Schaufeleintritt wenig von Reibungseffekten abhängt. Abbildung 6.23 zeigt typische Verläufe des NPSH3-Wertes über dem Förderstrom. Für kleine spezifische Drehzahlen fällt NPSH3 monoton mit dem Volumenstrom, wie durch die Kurve für nq = 20 angedeutet; bei höheren spezifischen Drehzahlen verlaufen die NPSH-Kurven bei Teillast zunehmend flacher und steigen schließlich gegen Q = 0 wieder an. Bei axialen Laufrädern steigt der NPSHWert scharf an, sobald der Förderstrom deutlich vom stoßfreien Eintritt abweicht. Hieraus resultiert ein relativ enger Betriebsbereich (vgl. Abb. 6.16). NPSH3 N P S H 3 ,o p t

nq = 80

2 ,0

1 ,0

nq = 20

nq = 250

80 20

0

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1 ,0

1 ,2

q*

Abb. 6.23. Einfluß der spezifischen Drehzahl auf den Verlauf von NPSH3 = f(q*)

294

6 Saugverhalten und Kavitation

Leitradkavitation: Wie erwähnt ist bei spezifischen Drehzahlen unter etwa nq = 20 bis 30 ist der Einfluß der Kavitation im Leitapparat bei q* > 1,1 bis 1,3 zu beachten. Bei dessen Beurteilung kann man auch die in Gl. (6.19) vernachlässigte Meridiankomponente c2m mit berücksichtigen; der Förderstrom des Laufrades, bei dem c3q = c2 wird, ergibt sich dann aus: Q La,c = u 2 f q A 2 γ

a2 − 1 −

τ2 tanβ 2B

τ a − 1 − ­® 2 ½¾ ¯ tanβ2B ¿ 2

mit

2

f q A 2 Q Le

a≡ z A Q Le 3q La

(6.22a)

Diese Formel stimmt sinngemäß mit den Untersuchungen in [6.37] überein. Die Fördergrenze durch Vollkavitation im Leitapparat wird erreicht, wenn der statische Druck p3 im engsten Querschnitt bis auf den Dampfdruck pv absinkt. Um die Geschwindigkeit c3q,vk zu ermitteln, bei der dieser Zustand erreicht wird, setzt man die Bernoulli’sche Gleichung zwischen Saugstutzen und engstem Leitradquerschnitt an und löst nach c3q,vk bzw. dem Volumenstrom Q3q,vk = c3q,vk zLe A3q auf: c32q, vk ps cs2 p + + g (H + H v,3−6 ) = 3 + 2 2 ρ ρ 2

§d · Q vk,Le = u 2 z LeA3q σA ¨¨ 1 ¸¸ + ψ + ζ3−6 © d2 ¹

(6.22b)

Untersuchungen in [6.37] ergaben den visuellen Kavitationsbeginn im Leitrad bei etwa c3q = c2 nach Gl. (6.22a), während die Fördergrenze bei einem Volumenstrom erreicht wurde, der etwas kleiner war als nach Gl. (6.22b) errechnet. Man kann daher den Einfluß des Druckverlustes im Diffusor und in den Rückführkanälen, der durch ζ3-6 erfaßt wird, in Gl. (6.22b) meist vernachlässigen. Über Messungen zur Fördergrenze nach Gl. (6.22b) wird in [6.38] berichtet.

6.4 Einfluß der Fluideigenschaften Wie oben bereits angedeutet, hängen Entstehen und Verschwinden von Kavitationsblasen vom Gasgehalt und den physikalischen Eigenschaften der Flüssigkeit ab; dazu gehören auch die Oberflächenspannung zwischen Dampf/Gas und Flüssigkeit sowie Diffusionsvorgänge bei der Lösung von Gasen. Zu unterscheiden sind hier:

• thermodynamische Parameter, die den Energietransport bei Verdampfung und Kondensation der Blasen bestimmen • der Einfluß gelöster und freier Gase • der Gehalt an Kavitationskeimen.

6.4 Einfluß der Fluideigenschaften

295

Über diese außerordentlich komplexen Vorgänge sind wenig quantitative Informationen vorhanden, die in der Praxis verwendbar wären. Der Einfluß der Fluideigenschaften ist zu unterscheiden von den in Kap. 6.2.3 behandelten Modellgesetzen oder „Maßstabeffekten“, die die Parameter Pumpengröße, Drehzahl und Zähigkeit (also Reynolds-Zahl) erfassen − unbeschadet dessen, daß das Verhalten der Kavitationskeime von der Strömungsgeschwindigkeit abhängt. 6.4.1 Thermodynamische Einflüsse Zur Erzeugung einer Dampfblase vom Volumen Vb ist die entsprechende Verdampfungsenthalpie aufzuwenden; sie entspricht der Energie E = ρ″ Vb hv (hierin ist ρ″ ist die Sattdampfdichte in der Blase; hv ist die Verdampfungsenthalpie). Diese Energie wird durch Wärmeleitung und Konvektion von der umgebenden Flüssigkeit an den Dampfblasenrand transportiert. Hierzu bedarf es einer endlichen Temperaturdifferenz ΔTu, welcher nach der Gleichung von ClausiusClapeyron eine Druckdifferenz Δpu entspricht, um die der Druck in der Dampfblase den Sättigungsdruck unterschreitet: Δp u =

ρ′ρ′′ h v ΔTu ⋅ ρ′ − ρ′′ T

(6.23)

Wegen der Schubspannungen zwischen strömendem Fluid und Blasenfeld herrscht im Blasenfeld eine Strömung, die nur aufrechtzuerhalten ist, wenn der stromabwärts transportierte Dampf ständig durch Verdampfung im vorderen Teil des Blasenfeldes produziert wird. Aufgrund von Messungen in [6.19] läßt sich der erzeugte Dampfstrom abschätzen aus Q″ = cQ Lcav Bcav w1 mit cQ = 0,0052 als Mittelwert aus Messungen an einem Profil (Bereich: cQ = 0,004 bis 0,007); Lcav und Bcav sind Länge und Breite des Blasenfeldes. Aus dem Energieverbrauch zur Verdampfung von Q″ und dem Wärmetransport läßt sich eine Beziehung zur Abschätzung der Temperaturdifferenz zwischen Blase und umgebendem Fluid ableiten [6.19]; sie lautet vereinfacht: ΔTu = 2 Pr 0.67

h v ρ ′′ c ′p ρ′

(6.24)

Hierin ist Pr = ρ′ ν cp′/λ die Prandtl-Zahl, cp′ die spezifische Wärme und λ die Wärmeleitfähigkeit der Flüssigkeit. Aus dem nach Gl. 6.24 berechneten Wert für ΔTu ergibt sich mit Gl. (6.23) die Druckdifferenz Δpu zu: Δp u = 2 Pr 0.67

(ρ′′h v )2 (ρ′ − ρ′′) T c′p

(6.25)

Für Wasser erhält man bei 20 °C vernachlässigbar kleine Werte: ΔTu = 0,07 °C und Δpu = 10 N/m2. Oberhalb etwa 150 °C hingegen wächst die Bedeutung ther-

296

6 Saugverhalten und Kavitation

modynamischer Effekte, wie aus Abb. 6.24 zu erkennen. Hydrodynamische Kavitationsintensität und Schadensrisiko nehmen entsprechend ab. Stepanoff verwendete einen Faktor B = ρ′ cp′ΔTu/(ρ″ hv), um den Einfluß der Fluideigenschaften zu korrelieren, wobei ΔTu = f(Δpu) für eine angenommene Druckabsenkung nach Gl. (6.23) eingesetzt wurde, [B.2]. Ein Vergleich mit Gl. (6.24) ergibt, daß B = 2 Pr0,67 zu setzen wäre. Die bei der Blasenentstehung zugeführte Wärme muß bei der Implosion wieder abgeführt werden; auch dies erfolgt durch Konvektion und Wärmeleitung. In erster Näherung kann man die bei der Implosion entstehenden Übertemperaturen gleich den Werten aus Gl. (6.24) setzen. Dies gilt nicht für die Endphase der Implosion, in der das in der Blase enthaltene Gas und ein Restdampfanteil nahezu adiabat komprimiert werden, so daß auf örtlich begrenztem Raum sehr hohe Temperaturen erzeugt werden (die als Luminiszenserscheinungen beobachtet wurden). 10000 1000 100

Δ pu [kPa]

Δ Tu [grd]

10 Δ NPSH3 [m]

1 0,1 0,01 0,001

0

50

100 150 200 Temperatur [°C]

250

300

Abb. 6.24. Einfluß der Wassertemperatur auf die Kavitation

Im kritischen Punkt lassen sich flüssige und gasförmige Phase nicht mehr unterscheiden (ρ′ = ρ″ und hv = 0): bei Annäherung an den kritischen Punkt verschwindet daher jegliche Kavitation. Allgemein gilt: je größer der nach Gl. (6.24) berechnete Wert für ΔTu desto stärker werden Blasenwachstum und -implosion durch den erforderlichen Wärmetransport behindert. Als grobe Regel kann man annehmen, daß thermodynamische Effekte bei ΔTu < 1 °C vernachlässigbar sind, daß sie aber bei ΔTu > 2 bis 5 °C die hydrodynamische Kavitationsintensität immer stärker verringern, bis diese im kritischen Punkt verschwindet: Der Einfluß der Fluideigenschaften auf Kavitationsintensität und Schadensrisiko ist bei Überschreitung von ΔTu > 5 °C als bedeutend anzunehmen. Wie Versuche mit verschiedenen Flüssigkeiten ergaben, verringert sich das erforderliche NPSH3, wenn merkliche thermodynamische Effekte zu erwarten sind bzw. ΔTu groß wird. Diese Verbesserung läßt sich abschätzen, indem man aus Gl. (6.25) Δpu und aus Gl. (6.26) die NPSH-Verbesserung ΔNPSH3 berechnet (die sich für Wasser ergebenden Werte sind in Abb. 6.24 dargestellt).

6.4 Einfluß der Fluideigenschaften

§ Δp u ΔNPSH = a ¨ ¨ ρ′ g H Ref ©

· ¸ ¸ ¹

297

0.58

mit HRef = 1.0 m

(6.26)

Die empirische Konstante beträgt für Wasser a = 0,43 m und für Kohlenwasserstoffe etwa a = 0,25. Die Verringerung des NPSH3 nach Gl. (6.26) gibt nur einen Anhaltspunkt; es ergeben sich ähnliche Werte wie aus dem Nomogramm in [N.4]. Die dort verwendeten Versuche decken den Bereich bis etwa ΔTu < 7 °C und Δpu < 2,4 bar. Vorsichtigerweise sollte man das NPSH3 einer gegebenen Pumpe aufgrund thermodynamischer Effekte um höchstens 50 % reduzieren, auch wenn man nach Gl. (6.26) eine höhere Verbesserung errechnet. Auch der absolute Wert der Korrektur sollte auf ΔNPSH3,max = 2 bis 4 m begrenzt werden. Stroboskopische Kavitationsbeobachtungen bei Wassertemperaturen von 60 bis 180 °C in [6.4] ergaben, daß die von der Laufschaufeleintrittskante aus gemessene Blasenfeldlänge – mit nur geringer Streuung – unabhängig von der Wassertemperatur ist. Die Erfahrung bestätigt, daß die an Modellpumpen bei kaltem Wasser beobachteten Blasenfelder sich gut decken mit entsprechenden Erosionsbildern an geometrisch ähnlichen Laufrädern in Kraftwerkspumpen (Temperaturen bis etwa 200 °C). Diese Beobachtungen widersprechen nicht der Feststellung, daß die hydrodynamische Kavitationsintensität bei Wasser mit Temperaturen von über 120 bis 140 °C deutlich gegenüber kaltem Wasser abnimmt, weil das Schadenspotential nicht nur durch die Blasenfeldlänge sondern auch durch die Entgasung des Speisewassers, geringere Blasenfelddicke bzw. reduzierte Dampfproduktion Q’’, und die Thermodynamik des Implosionsvorganges beeinflußt wird. Die Gleichungen (6.24 bis 26) gelten nicht nur für Wasser sondern auch für beliebige Flüssigkeiten wie Kohlenwasserstoffe oder Kältemittel. Enthalten Kohlenwasserstoffgemische Komponenten mit unterschiedlichen Dampfdruckkurven, ist ΔTu für jeden Bestandteil getrennt zu berechnen. Bei derartigen Gemischen verdampfen und kondensieren die einzelnen Komponenten je nach örtlichem Druck in verschiedenem Maße, so daß der Kavitationsvorgang graduell abläuft und nur geringe Kavitationsintensitäten erzeugt werden. Von den in Gl. (6.24) verwendeten Größen variiert die Dampfdichte weitaus am stärksten, wenn sich die Wassertemperatur ändert; sie zeigt – als Maß für die zu verdampfende Masse – die größte Wirkung auf die hydrodynamische Kavitationsintensität. Bei Betrachtungen zur Kavitationserosion kommen zu den Parametern in Gl. (6.24) noch Sekundäreinflüsse hinzu:

• Dichte der Flüssigkeit als Maß für die „Härte des Wasserschlages“ bei der Implosion • Schallgeschwindigkeit in der Flüssigkeit (Wirkung ähnlich Dichte) • Die Oberflächenspannung ist bedeutsam für Keimspektrum und Blasenwachstum. • Die Viskosität ist nur von Einfluß auf die Kavitation, wenn sie die Werte von Schweröl erreicht. Der Blasenbeginn NPSHi hängt von der Reynolds-Zahl ab.

298

6 Saugverhalten und Kavitation

6.4.2 Nichtkondensierbare Gase Enthält ein Fördermedium der Temperatur Tf Gase, deren kritische Temperatur Tkrit < Tf ist, tritt bei Druckerhöhung keine Umwandlung von gasförmig zu flüssig auf: solche Gase sind im vorliegenden Zustand „nicht kondensierbar“. Enthält eine Kavitationsblase nichtkondensierbare Gase (z.B. im Wasser gelöste Luft), werden diese bei der Implosion adiabatisch komprimiert. Die hierzu notwendige Energie verringert die Implosionsdrücke bzw. die hydraulische Kavitationsintensität bei gegebener potentieller Energie nach Gl. (6.2). Gelöste und ungelöste Gase reduzieren daher Kavitationslärm, Schwingungen und Schäden. In Sonderfällen kann man sogar etwas Luft in die Saugleitung einführen, um Kavitationsprobleme zu mildern. Enthält ein Fluid hohe Anteile gelöster Gase, die in Zonen niedrigen Druckes ausgasen, dergestalt, daß große, gasgefüllte Kavitationszonen am Laufrad entstehen, kann die Förderarbeit beeinträchtigt werden oder im Extremfall die Förderung aussetzen. Sind im Zulaufreservoir beim Druck p1 xD kg Gas pro kg Flüssigkeit gelöst, berechnet sich der volumetrische Gasanteil Qgas/Q’ beim Druck p aus: Qgas Q'

ρ x DR T § p − pv p − pv · ¨1 − ¸ ≈ 1 αE + p − pv p − p v ¨© p1 − p v ¸¹

(6.27)

Q’ ist der Volumenstrom der Flüssigkeit; αE ist der Volumenanteil ungelöster (freier) Gase, der ggf. schon im Eintritt in die Saugleitung vorhanden ist. Die Rechnung kann man für den Druck im Eintrittsstutzen (p = ps) oder einen angenommenen minimalen Druck an der Schaufel durchführen, wobei zu beachten ist, daß der Druck im Blasenfeld pB = pv +pg beträgt. Gleichung (6.27) liegt das Henry’sche Gesetz zugrunde, nach dem der Anteil gelöster Gase proportional ist zum Partialdruck des Gases über dem Saugwasserspiegel. Eine Flüssigkeit kann Gas nur bis zu einem bestimmten Ausmaß lösen. Die Löslichkeit, die diese Sättigungsgrenze beschreibt, hängt von der Art der Flüssigkeit und der Art des Gases ab. Wasser kann bei einer Temperatur von 20 °C und einem Partialdruck von 1 bar eine Luftmasse von 24 ppm lösen (was in Gl. (6.27) als xD = 24 *10-6 einzusetzen wäre). Mit zunehmender Temperatur sinkt die Löslichkeit; im Siedepunkt wird sie null. In Anhang A3 sind diese Zusammenhänge ausführlicher dargestellt; dort finden sich auch Formeln und Diagramme zur Ermittlung der Löslichkeit verschiedener Gase in Wasser. Normale Pumpen, die nicht speziell für die Förderung von Gas-FlüssigkeitsGemischen ausgelegt sind, können in der Regel bis etwa 2 Volumenprozent Luft im Eintrittsstutzen vertragen, ohne daß die Förderarbeit beeinträchtigt wird. Ab 5 bis 10 Vol% bricht die Förderung dagegen meist zusammen, Kap. 13.2. 6.4.3 Keimgehalt und Zugspannungen in der Flüssigkeit Enthält ein Fluid wenig Kavitationskeime, wird die Dampfbildung verzögert und tritt erst bei größeren Unterdrücken auf als in keimreicher Flüssigkeit: „das Was-

6.4 Einfluß der Fluideigenschaften

299

ser kann Zugspannungen Z aufnehmen“, oder es tritt ein „Siedeverzug“ auf. Je größer Z, desto niedriger wird σi entsprechend: p − p v − Z cs 2 NPSH i = s + 2g ρg

(6.27a)

Um Unsicherheiten bezüglich des Vorzeichens der Zugspannungen auszuschließen, wurde in Gl. (6.27a) der Betrag von Z eingesetzt. Die in Kap. 6.1.1 besprochene Gaskavitation wird durch den örtlichen Druck und die Löslichkeit des Gases auf physikalisch sinnvolle Weise beschrieben und wird daher hier von dem Begriff „Zugspannungen“ unterschieden, also nicht durch Gl. (6.27a) erfaßt. Abbildung 6.25 zeigt schematisch, wie sich Zugspannungen und Gasgehalt auf den Kavitationsbeginn auswirken. σi

Gasförmige Kavitation Zugspannung null Zugspannung positiv

Q

Abb. 6.25. Einfluß von Zugspannungen und Gasgehalt auf den Kavitationsbeginn

Die Zugspannungen hängen ab vom Gas- und Keimgehalt, der durch die Vorbehandlung des Wassers beeinflußt wird. Gashaltiges Wasser in wirbelreicher Strömung weist praktisch keine Zugspannungen auf. Solchen Verhältnissen begegnen wir in Anlagen und Versuchkreisläufen mit Armaturen, Abzweigstücken, Apparaten und Pumpen. Wie die Praxis lehrt, gilt dies auch für die Kreisläufe in Kraftwerken, die mit weitgehend entgastem Wasser unter hohen Drücken arbeiten (Gasgehalt Größenordnung 1 bis 3 %o der Sättigung bei 1 bar). Dieser scheinbare Widerspruch zu Untersuchungen wie [6.24, 6.45, 6.48] ist möglicherweise durch die sehr hohe Turbulenz zu erklären, die in solchen Anlagen herrscht. Auch die an Feststoffteilchen (z.B. Metalloxiden) adsorbierten Gas- oder Dampfmoleküle tragen zur Keimbildung bei. Offene Anlagen oder Versuchsstände unterscheiden sich in ihrem Verhalten in der industriellen Praxis oft nicht grundsätzlich von geschlossen Kreisläufen mit Entgasung. Dies mag daran liegen, daß in geschlossenen Kreisläufen durch Wirbelablösungen, Kavitation im Laufrad und/oder in Armaturen sehr viel Keime generiert werden, die den Einfluß der Entgasung wettmachen. Trachtet man danach, den Keimgehalt zu verringern, bedarf es aufwendiger Anlagen zur Beruhigung der Strömung und zur teilweisen Absorption des in den Keimen vorhandenen Gases (Beruhigungsstrecken und große Behälter). Aus den erwähnten Arbeiten läßt sich folgendes schließen:

• Wie in Kap. 6.1.2 erwähnt, steigt die Zahl der zum Blasenwachstum aktivierten Keime mit dem Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit. Der Einfluß der Zug-

300

•

• •

• •

• •

6 Saugverhalten und Kavitation

spannungen auf die Kavitation hängt daher von den Versuchsparametern ab. Beim Übergang von Modellversuchen bei tiefer Drehzahl und kaltem, luftgesättigtem Wasser auf die Betriebsbedingungen in einem Kraftwerk bei hoher Drehzahl, hoher Temperatur und hochreinem, entgasten Wasser ändern mehrere Parameter gleichzeitig, deren Auswirkungen sich weitgehend zu kompensieren scheinen (s. Kap. 6.4.1). Welche Keimgröße an einem bestimmten Ort im Versuchskreislauf zum Wachsen aktiviert wird, hängt also ab von der örtlichen Geschwindigkeit, dem Druckverlauf (also der Vorgeschichte des Fluids) und der Turbulenz. Deshalb mißt man tendenziell an jeder Stelle im Kreislauf eine andere Zugspannung. Mit Korrekturfaktoren wurde daher versucht, von der an der Probenentnahmestelle gemessenen Zugspannung auf die im Laufrad „kavitationswirksame“ Zugspannung zu schließen, [6.45]. Solche Faktoren sind aber nicht allgemeingültig, da sie anlagenabhängig sind. Wegen des Einflusses von Druckverteilung, Geschwindigkeit und Turbulenz auf das Keimwachstum lassen sich die Wirkung der Zugspannungen und der Strömungsgrößen grundsätzlich nicht trennen. Die enge Wechselwirkung zwischen Keimwachstum/Zugspannung und Strömungsgrößen läßt wenig Aussicht darauf, daß allgemeingültige, praxistaugliche Zusammenhänge gefunden werden könnten: Die Druckprofile in Kreisläufen und die Druckverteilung an den Laufradschaufeln − und damit die Verweilzeit der Keime in den verschiedenen Druckzonen unterliegen keinen allgemeingültigen Gesetzen. Gelingt es, ein Wasser mit Zugspannungen größer null zu produzieren, sinkt σi tendenziell mit zunehmender Zugspannung gemäß Gl. (6.27a). Gasgehalt und Keimzahl korrelieren zwar nicht direkt, doch der Keimgehalt läßt sich meist durch Entgasen reduzieren, so daß in entgastem, beruhigten Wasser Z bis 0,5 bar sein könnte. Zugspannungen bis über 1 bar erhält man, indem man gefiltertes, entgastes Wasser mehrere Stunden unter Druck setzt, wobei mikroskopische Gasansammlungen im Wasser vermehrt (aber keineswegs vollständig) gelöst werden. Die gemessenen Zugspannungen sinken mit dem Gasgehalt. Über Zugspannungen in heißem Wasser (thermische Kraftwerke) oder in den vielfältigen Fluids in Verfahrenstechnik, Petroindustrie oder Kältetechnik liegen keine Informationen vor.

Zusammenfassend ist festzuhalten: Obwohl die Wirkung des Keimspektrums bzw. der Zugspannungen auf die Kavitationsblasenentstehung zweifelsfrei nachgewiesen wurde, sind keine allgemeingültigen Ansätze oder Verfahren bekannt, mit denen sich diese Effekte in der Pumpenpraxis zuverlässig erfassen ließen. Die jahrzehntelange, weltweite Anwendung der Modellgesetze nach Kap. 6.2.3 im Pumpen- und Wasserturbinenbau legt − trotz der bei Kavitationsmessungen vorhandenen Streuung − den Schluß nahe, daß die Zugspannungen in aller Regel im Pumpenbetrieb von untergeordneter Bedeutung sind.

6.5 Kavitationsbedingte Schwingungen und Geräusche

301

Die Einflüsse von Wasserqualität, Gas- und Keimgehalt sind verantwortlich für einen Teil der – recht großen – Streuung, die Kavitationsmessungen oft anhaftet. Im Pumpenbau wird der Keimgehalt bei Modell- oder Abnahmeversuchen in der Regel nicht gemessen. Häufig führt man aber in geschlossenen Versuchskreisläufen eine Teilentgasung des Wassers durch und überwacht den Luft- oder Sauerstoffgehalt (gelöste Anteile). Auf diese Weise beeinflußt man indirekt über die Reduktion der gelösten Gase auch das Keimspektrum und vermeidet oder reduziert Luftausscheidung stromaufwärts des Laufrades.

6.5 Kavitationsbedingte Schwingungen und Geräusche 6.5.1 Erregermechanismen Die Implosion von Dampfblasen oder dampferfüllten Zonen erzeugt Druckpulsationen, die Schwingungen und Lärm anregen; unterschiedliche Mechanismen sind hierfür verantwortlich:

• Die Implosion (kleiner) Einzelblasen erzeugt hochfrequenten Wasserschall im kHz-Bereich, den man zur Kavitationsdiagnose verwenden kann, [6.5]. • Schwankungen des Kavitationsblasenfeldes entstehen infolge instationärer Anströmung des Laufrades (ungleichförmige Zuströmung über dem Laufradumfang bei radialem Pumpeneintritt, Turbulenz, ungünstige Zuströmbedingungen, Wirbelablösungen an Rippen). • Starke Druckpulsationen mit Frequenzen von unter 10 Hz können an Saugrädern oder Vorsatzläufern mit intensiver Rückströmung bei Teillast mit niedrigen NSPHA-Werten auftreten. Der Mechanismus ihrer Entstehung ist nach [10.5] vereinfacht wie folgt zu erklären: starke Rezirkulation induziert einen Vordrall und erzeugt so eine etwa parabelförmige Druckverteilung vor dem Laufrad (vgl. hierzu Abb. 5.16); infolge Unterschreitung des Dampfdruckes bildet sich in Achsnähe im Saugrohr ein zopfartiger Dampfkern, der einen Teil des Zuströmquerschnittes versperrt; durch die Versperrung wächst die Zuströmgeschwindigkeit im äußeren Bereich des Saugrohres, so daß der Anströmwinkel steigt; als Folge davon bricht die Rezirkulation zusammen und der Dampfkern implodiert. Somit verschwindet die Versperrung in Saugrohrmitte wieder, der Anströmwinkel sinkt und der Zyklus wiederholt sich von neuem. • Niederfrequente Pulsationen großer Amplituden entstehen durch Schwankungen großvolumiger Kavitationszonen, die eine Kompressibilität darstellen und zu Instabilitäten des Systems führen („cavitation surge“). Sie haben nichts zu tun mit Kennlinieninstabilitäten und treten auch bei stetig fallender Kennlinie auf. • Über verschiedene Formen pulsierender Kavitation in Vorsatzläufern wird in [10.30] berichtet; auch rotierende Kavitationszonen mit übersynchroner Frequenz wurden im Bestpunktbereich beobachtet. Über Messungen zur rotierenden Kavitation in einem Radialrad (Bauform mit Trag- und Deckscheibe paral-

302

6 Saugverhalten und Kavitation

lel zueinander) wurde in [6.44] berichtet. Probleme mit rotierender Kavitation im Bereich industrieller Pumpenanwendungen wurden bisher aber nicht bekannt. Die bei der Blasenimplosion entstehenden Druckwellen erzeugen Flüssigkeits-, Körper- und Luftschall. Der Luftschall fällt mitunter als knatternder, polternder „Kavitationslärm“ lästig, weil er im Frequenzbereich von einigen hundert Hertz auftritt, wo das menschliche Gehör besonders empfindlich reagiert. Dieser Lärm wird verursacht durch große, durch Teillastrezirkulation erzeugte Blasenwolken oder durch lange Blasenfelder von der Größe der Schaufelteilung. Der Lärm ist besonders intensiv im Betriebsbereich um NPSHA = NPSH0 bis NPSH3. Wie im nächsten Abschnitt besprochen, sinkt der Lärm, wenn NPSHA gegen NPSHvk reduziert wird. Mit wachsender Umfangsgeschwindigkeit u1 steigt der Lärm, während er mit zunehmendem Gasgehalt fällt. Durch Einblasen oder Einsaugen von etwas Luft wird Kavitationslärm wirksam bekämpft (diese Maßnahme ist jedoch nur in Sonderfällen akzeptabel). 6.5.2 Kavitationsschallmessungen zur Quantifizierung der hydrodynamischen Kavitationsintensität Der durch Kavitation hervorgerufene Flüssigkeitsschall – im folgenden als „Kavitationsschall“ bezeichnet – kann mit einem geeigneten Druckaufnehmer im Einlauf der Pumpe sehr einfach gemessen werden (z.B. piezoelektrische QuarzDruckaufnehmer). Da die Stärke des gemessenen Signals – d.h. der Schalldruck – mit Blasenanzahl, Blasenvolumen und Implosionsdruck steigt, ist der Schalldruck ein Maß für die hydrodynamische Kavitationsintensität. Deshalb befassen sich zahlreiche Arbeiten mit Kavitationsschall. Drei praktische Anwendungen stehen im Vordergrund:

• Feststellen des Kavitationsbeginns durch Erfassen des Zustandes, bei dem der Schalldruck (kavitationsbedingt) über den Grundschalldruck ansteigt (z.B. bei Kavitation auf den nicht beobachtbaren Schaufeldruckflächen). • Ermitteln eines Zusammenhanges zwischen Kavitationsschall und Erosion. • Diagnose von Anlagenproblemen. Ein bewährtes Verfahren besteht darin, daß man den Schalldruck NL während eines Saugversuches (Abb. 6.9) bei jedem Meßpunkt als RMS-Wert im Frequenzbereich von z.B. 1 bis 180 kHz registriert. Für jeden Förderstrom ergibt sich dann eine Kurve NL = f(σ), die den Schalldruck als Funktion des NPSHA-Wertes darstellt. Abb. 6.26 zeigt schematisch das Ergebnis eines solchen Versuches: Bei hohen Drücken am Pumpeneintritt, bei denen noch keine Kavitation stattfindet, mißt man den vom Zulaufdruck unabhängigen Grundschalldruck NLo, der durch Turbulenz, instationäre Schaufelkräfte und durch mechanische Maschinengeräusche bedingt ist. Das Einsetzen der Kavitation äußert sich durch einen Schalldruckanstieg, der den „akustischen Kavitationsbeginn“ markiert. Er tritt oft

6.5 Kavitationsbedingte Schwingungen und Geräusche

303

bei etwas höherem NPSH-Wert auf als der visuelle Kavitationsbeginn, weil feinste Blasen im Kreislauf entstehen können, bevor man an den Schaufeln Kavitationsbilder beobachtet. Nach dem Kavitationsbeginn steigt der Schalldruck mit abnehmendem σA zunächst langsam, später stärker, bis zu einem Maximum, das etwa bei NPSHo zu erwarten ist. Links des Maximums sinkt der Schall steil ab, und zwar meist unter den Grundschalldruck. Ein solches Maximum beobachtet man bei Luftschall, Flüssigkeits- und Körperschall sowie bei der Erosion. Es läßt sich anhand von Abb. 6.26 erklären: Die potentielle Implosionsenergie nach Gl. 6.2 hängt ab von der treibenden Druckdifferenz und dem Blasenvolumen. Mit fallendem σA steigen Blasenanzahl und Blasenvolumen; dagegen sinkt die treibende Druckdifferenz (theoretisch linear) mit σA. In Wirklichkeit wird die treibende Druckdifferenz zunächst durch implodierende Nachbarblasen erhöht; sie sinkt erst, wenn mit zunehmendem Dampfgehalt die Kompressibilität des Mediums steigt; beide Effekte ergeben qualitativ den in Abb. 6.26 dargestellten Verlauf. Aus dem besprochenen Verlauf von Lcav = f(σA) und (p - pv) = f(σA) ergeben sich die erwähnten Maxima für die potentielle Implosionsenergie und damit für Schall und Erosion. Für das Absinken des Schalldrucks nach Erreichen des Maximums (Zone B in Abb. 6.26) können zwei weitere Gründe verantwortlich sein: a) Sind große Blasenausbreitungen am Laufradeintritt vorhanden, wird ein Teil des Schalls in diesen Zonen mit Zweiphasenströmung absorbiert: die Blasen können z.B. im Innern der Laufradkanäle implodieren, wobei Dampfblasen zwischen Implosionszone und Druckaufnehmer eine Abschirmung bilden. b) Bei tiefem Zulaufdruck kann L cav V cav

A

B

Abschrirmung

NL

NLo ER Erosion

visueller

σ akustischer

Kavitationsbeginn

(p − p v ) ≈

ρ u 2σ 2 1

Verstärkung durch N achbarblasen wachsende N achgiebigkeit

σ

E pot σ VK

σi

σ

Abb. 6.26. Einfluß des Kavitationsbeiwertes auf Blasenvolumen, Kavitationsschall, Erosion und potentielle Implosionsenergie

304

6 Saugverhalten und Kavitation

sich im Pumpeneinlauf (oder im vorgeschalteten Drosselventil) Luft ausscheiden, womit wieder eine blasenhaltige Strömung vorliegt, welche die Schallübertragung beeinträchtigt. Eine Zweiphasenströmung verändert die akustischen Eigenschaften des Mediums, weil die Schallgeschwindigkeit infolge erhöhter Kompressibilität und Impendanzsprüngen an den Blasenwänden – je nach Gasgehalt und Strömungsform – stark unter den Wert in Wasser absinkt, Kap. 13.2. Aus der Tatsache, daß der Schall in Zone B unter den Grundschalldruck sinkt, läßt sich der Schluß ziehen, daß die Hauptursache des Grundschalldruckes nicht im Einlauf, sondern im Laufrad, d.h. in den instationären Schaufelkräften zu suchen ist. Entstünde der Grundschalldruck durch Strömungsvorgänge im Einlauf, könnten Dampfzonen im Laufrad die Druckaufnehmer nicht gegenüber dem Grundschall abschirmen. Bei der Anwendung von Kavitationsschallmessungen sind Zone A und B in Abb. 6.26 zu unterscheiden: In Zone A ist die Kavitation örtlich begrenzt, und der gemessene Kavitationsschall kann als Maß für die Kavitationsintensität dienen. In Zone B wird infolge großer Bereiche mit Zweiphasenströmung soviel Schallenergie absorbiert, daß der gemessene Schalldruck kein zuverlässiges Maß für die Kavitationsintensität darstellt. Kavitationsschallmessungen liefern nur ein indirektes Maß für die Kavitationsintensität, das zudem von der verwendeten Instrumentierung – insbesondere vom registrierten Frequenzbereich – abhängt (beim Vergleich verschiedener Publikationen zu beachten). Um die Messungen bei unterschiedlichen Pumpen und Betriebsbedingungen besser miteinander vergleichen zu können, wird eine dimensionslose Darstellung eines Referenzschalldruckes eingeführt. Dazu ist zunächst der Grundschall NLo vom Gesamtschall NL abzuziehen, um den Effekt der Kavitation allein zu erfassen. Da die Addition von Schallquellen nach einem quadratischen Gesetz erfolgen muß, berechnet man den Kavitationsschall CNL aus: CNL = NL2 − NL02

(6.28)

Weil in der Regel jede Schaufel eine Kavitationszone hat – also eine Schallquelle darstellt – wird auf eine Referenzschaufelzahl zLa,Ref = 7 umgerechnet, damit man Laufräder mit verschiedenen Schaufelzahlen miteinander vergleichen kann: CNL Re f = CNL

z La, Re f z La

(6.29)

Diese Schallgrößen werden nun dimensionslos dargestellt: NL* =

2 NL ρ u12

(6.30)

Analog werden NLo, CNL, CNLRef dimensionslos gemacht. Wie Abb. 6.27a beweist, stellt Gl. (6.30) ein brauchbares Modellgesetz für die Umrechnung des Kavitationsschalls auf verschiedene Drehzahlen dar: die dimensionslosen Schallkurven für die Drehzahlen 5000, 7000 und 8920 min-1 decken sich gut.

6.5 Kavitationsbedingte Schwingungen und Geräusche NL*

0.040

a)

CV*

0.040

0.032

0.032

0.024

0.024

0.016

0.016

σo

0.008 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Für Abb. a und b: n = 5000 min-1 n = 7000 min-1 n = 8920 min-1

σo

0.008

σA

b)

305

0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

σA

Abb. 6.27. Flüssigkeits- und Körperschallmessungen an einer Hochdruckstufe (Wassertemperatur 60 °C). a Flüssigkeitsschall; b Körperschall, [6.4]

Kavitationsschallmessungen sind nicht nur einfach zu handhaben, sondern sie bieten auch den Vorteil, daß alle Kavitationsformen registriert werden – insbesondere auch Blasenwolken und Druckflächenkavitation, die visuell schlecht quantifizierbar sind. Der Kavitationsschall CNL erfaßt alle Parameter der 2Phasenströmung und der Blasenimplosion für den jeweils betrachteten Betriebszustand, also: Strömungsgeschwindigkeit, Kavitationskoeffizient, Blasenfeldlänge, Anstellwinkel, Profilform, Temperatur, Gasgehalt, effektive örtliche Druckdifferenz und Blasengröße. Der Implosionsort ist andererseits nicht festzustellen. Führt man Kavitationsschallmessungen unter kontrollierten – d.h. jeweils hinsichtlich Instrumentierung und Versuchsaufbau vergleichbaren - Bedingungen durch, stellt der gemessene Flüssigkeitsschall ein Maß für die Kavitationsintensität dar (darf aber nicht mit dieser verwechselt werden). Statt des Flüssigkeitsschalls kann man auch den Körperschall CV messen. Abbildung 6.27b stellt die Körperschallsignale dar, die mit einem Beschleunigungsaufnehmer außen am Einlaufgehäuse gemessen wurden; diese Kurven CV* = CV/(u12/d1) zeigen ein ganz ähnliches Verhalten wie der Flüssigkeitsschall. (Bei Körperschallmessungen wäre der Exponent 2.5 evtl. besser geeignet; die verfügbaren Daten reichen aber noch nicht aus, um diese Vermutung zu erhärten.) Als Quellen für den Grundschalldruck kommen in Frage: Körperschall, verursacht durch mechanische Erregungen (Kugellager, Getriebe, Reibung in Dichtungen oder Labyrinthen); in der Strömung mitgeführte Gasblasen; instationäre Schaufelkräfte (Laufrad); Turbulenz der Strömung, Druckschwankungen im Kreislauf (Armaturen). 6.5.3 Frequenzverhalten des Kavitationsschalls Kavitation erzeugt Schall durch stochastische Impulse bei der Implosion einzelner Blasen; Dauer, Höhe und zeitliche Folge der Impulse sind (ähnlich wie bei turbulenten Schwankungen) unregelmäßig verteilt. Die Folge ist ein kontinuierliches, breitbandiges Spektrum; seine Energieverteilung weist ein breites Maximum auf, das durch die am häufigsten auftretende Implosionszeit bedingt ist. Mißt man den Kavitationsschall als breitbandigen Effektivwert, ist dieses Maximum im Bereich

306

6 Saugverhalten und Kavitation

von 20 bis 400 kHz zu vermuten – je nach Art und Betriebsbedingungen der Pumpe. Die Frequenz bei der größten Energiedichte steigt nämlich mit dem Kavitationsbeiwert und der Strömungsgeschwindigkeit. Einzelblasen mit kleinem Ausgangsradius können Implosionszeiten im Bereich von μs haben und folglich Frequenzen im MHz-Bereich erzeugen. Wie stroboskopische Beobachtungen der Blasenausbreitung an Laufrädern zeigen, schwanken die Blasenfelder mit zunehmender Länge – d.h. abnehmendem σA. Bei Kavitation an Einzelprofilen erfolgen solche Schwankungen mit definierten Frequenzen gemäß einer Strouhal-Zahl SStr. Sie liegt im Bereich von SStr = 0,3 ± 0,04 und ist definiert durch SStr = f Lcav/w1. Die Länge der Schwankungen ΔLER wächst gemäß ΔLER = (0,01 bis 0,015) w1/wRef mit steigender Anströmgeschwindigkeit (wRef = 1 m/s), [6.18] und [6.1]. In Pumpen wurde hingegen eher breitbandiger Kavitationsschall im Bereich von einigen hundert Hertz bis zu einigen kHz beobachtet. (Das mag daran liegen, daß die Blasenfeldschwankungen an den verschiedenen Schaufeln nicht im Takt erfolgen.) Entsprechend f = SStr w1/Lcav steigt die Frequenz mit wachsender Umfangsgeschwindigkeit, während sie mit zunehmender Blasenfeldlänge sinkt. Bei ausgeprägter Kavitation und hoher Energieübertragung im Laufrad können auf diese Weise erzeugte Druckpulsationen betriebliche Probleme verursachen – z.B. Schäden an Gleitringdichtungen, wie in [6.15] berichtet. Zusammenfassend ist festzuhalten: 1. Kavitationsschalldruck und -spektrum hängen ab von: (a) den Implosionen von Einzelblasen, die Schall im Bereich von 10 kHz bis 1 MHz verursachen; (b) den Schwankungen des Blasenfeldes, die mit Frequenzen unter 1000 bis 2000 Hz auftreten. Vermutlich modulieren die Blasenfeldschwankungen die Implosionsereignisse, weil sie den Transport der Blasen vom Entstehungs- zum Implosionsort beeinflussen. 2. Mit zunehmendem NPSHA oder Kavitationsbeiwert und zunehmender Geschwindigkeit verschiebt sich die maximale Energiedichte des Kavitationsschallspektrums zu höherer Frequenz. 3. Will man die hydrodynamische Kavitationsintensität mittels Kavitationsschallmessungen erfassen, ist es notwendig, in einem möglichst breiten Frequenzspektrum zu messen. Dabei muß der niederfrequente Anteil mitgemessen werden, weil gerade die Blasenfeldoszillationen wesentlich zum Kavitationsschaden beitragen. Diese Aussagen werden bestätigt durch Messungen der instationären Drücke im rotierenden Laufrad im Eintrittsbereich: am Ende des Kavitationsblasenfeldes wurden Frequenzen unter 200 Hz registriert, wobei die dominierenden Frequenzen mit zunehmender Kavitation abnahmen, [6.44]. Würde man den Kavitationsschall nur in einem schmalen Frequenzband messen, verschöbe sich beim Ändern der Betriebsparameter der Bereich maximaler Energiedichte relativ zum Meßband. Fehlschlüsse bei der Interpretation der Resultate (z.B. Relation zwischen Schall und Geschwindigkeit) wären die Folge. In der Literatur wurde häufig nur in einem relativ schmalen Frequenzband gemessen. Die Wahl des Frequenzbandes ist dabei als willkürlich anzusehen; sie

6.6 Kavitationserosion

307

erschwert die Interpretation, die Vergleichbarkeit mit anderen Messungen, sowie die Aufstellung von Korrelationen zwischen Schall und Erosion oder weiteren Betriebsparametern. 4. Will man mittels Kavitationsschallmessungen den Kavitationsbeginn bestimmen, ist der Hochpassfilter auf einen Wert einzustellen, der über dem Frequenzbereich des Grundschalls (z.B. 10 kHz) liegt: nur so ist diese Methode genügend empfindlich, da sich nur dann der durch die ersten Blasenimplosionen erzeugte geringfügige Schallanstieg genügend deutlich vom Grundschalldruck abhebt. Störend ist dabei Spaltkavitation oder Kavitation im Kreislauf, die z.B. in Ventilen auftritt, da ebenfalls vom Eintrittsdruck abhängig.

6.6 Kavitationserosion Materialabtrag infolge Kavitation tritt nur dann auf, wenn die hydrodynamische Kavitationsintensität HKI den Kavitationswiderstand KW des Werkstoffes übersteigt und die Kavitation genügend lange auf den Werkstoff einwirkt. Die HKI hängt ausschließlich von den Strömungs- und Fluideigenschaften ab, während der KW eine reine Werkstoffgröße ist: HKI und KW sind voneinander vollständig unabhängig. Die Erosionsrate ER steigt mit zunehmender HKI und sinkt mit dem KW: ER ≈ HKIx/KWy. Ist die HKI wesentlich größer als der KW, tritt die Werkstoffschädigung bereits nach kurzer Einwirkungszeit – der „Inkubationszeit“ – auf. Liegt die HKI hingegen nur ganz wenig über dem KW, wird die Inkubationszeit sehr lang und geht für HKI < KW gegen unendlich. Die hydrodynamische Kavitationsintensität läßt sich bis heute weder direkt messen noch auf theoretischem Wege berechnen. Man ist daher auf empirische Korrelationen angewiesen; zwei Ansätze werden behandelt: A) Abschätzung der Erosionsrate aufgrund der Blasenfeldlänge, des NPSHA-Wertes und der Fluideigenschaften in Kap. 6.6.3; B) Abschätzung der Erosionsrate aufgrund des Kavitationsschalls in Kap. 6.6.4. Über einige Anwendungen dieser Methoden wird in [6.20] berichtet. Unterschiedliche Strömungsformen führen zu unterschiedlichen Kavitationszonen und Erosionsbildern, die Rückschlüsse auf die Schadensursachen zulassen; dieses Thema wird in Kap. 6.8.2 behandelt. 6.6.1 Untersuchungsmethoden Verschiedene Versuchsapparate wurden entwickelt, um die Erosionsrate diverser Werkstoffe unter Kavitation im Labor zu messen:

• Beim magnetostriktiven Schwinger wird eine Materialprobe mit hoher Frequenz und kleiner Amplitude (meist 20 kHz und ± 25 μm) im Prüfmedium bewegt. Infolge der hohen Beschleunigung (fast 4x105 m/s2) kann das Fluid nicht den Bewegungen der Probe folgen, und es entstehen Dampfblasen, die auf der

308

• • • •

6 Saugverhalten und Kavitation

Probe implodieren und eine intensive Kavitationsbeanspruchung hervorrufen. Es handelt sich hier allerdings nicht um Strömungs- sondern um Schwingungskavitation. Die Materialprobe wird mitunter auch gegenüber dem Schwinger angeordnet, um Versuche mit niedrigerer HKI zu fahren. Strömungskanäle mit Venturidüsen ähnlich Abb. 6.2 oder Strömungskörpern wurden häufig eingesetzt, um den Einfluß der Geschwindigkeit und des Werkstoffs auf die Erosion zu messen, [6.1]. Rotierende Scheiben mit Löchern oder Störkörpern, die Kavitationszonen erzeugen. Strahlapparate, bei denen das Prüfmedium mit hoher Druckdifferenz (z.B. 250 bar) durch eine feine Blende (0,5 mm Durchmesser) entspannt wird. Die dabei erzeugten Dampfblasen implodieren auf der zu untersuchenden Materialprobe. Tropfenschlagerosion verursacht ähnliche Schäden wie Kavitation (man denke an den „micro-jet“), weshalb sich auch Versuche an Tropfenschlaggeräten verwenden lassen.

Alle derartigen Laborversuche weisen zwei Nachteile auf: 1) Die Strömungsverhältnisse sind grundsätzlich verschieden von der Strömung in Kreiselpumpen. Die hydrodynamische Kavitationsintensität ist unbekannt. Die Ergebnisse können nur mit großen Einschränkungen auf Pumpen übertragen werden. 2) Um kurze Versuchszeiten zu erreichen, arbeitet man mit Kavitationsintensitäten, die meist wesentlich größer als in Pumpen sind. Die Versuche gelten daher für „ausgebildete Erosion“ und nicht für Betrieb nahe der Erosionsgrenze, wo der Schadensmechanismus einem Ermüdungsprozeß ähnelt. Will man allerdings den Einfluß des Materials oder des Fluids auf ausgebildete Kavitation in Form von Material- oder Korrosionsfaktoren bestimmen, wird man mit Rücksicht auf die Kosten meist auf derartige Versuchseinrichtungen zurückgreifen müssen. Man hat auch versucht, mittels elektro-chemischen Messungen Kavitationserosion zu entdecken und zu quantifizieren. Das Verfahren macht sich den Umstand zu nutze, daß die Passivierungsschicht auf Stählen durch die Blasenimplosion zerstört wird, wodurch lokal eine verstärkte Korrosion entsteht. Die Potentialdifferenz der erodierenden Probe zu einer Referenzelektrode wird gemessen und dient als Maß für die Intensität der Erosion, [6.19]. Implodieren Blasen mit genügender Intensität auf einem duktilen Werkstoff, entstehen zu Beginn des Vorgangs zunächst Vertiefungen („pittings“) infolge plastischer Verformung, die je nach Blasengröße und Material im Bereich von 10 bis 50 μm liegen. Anzahl und Größe dieser Vertiefungen werden als Maß für die Kavitationsintensität betrachtet, und es wurde versucht, Verfahren für die Vorausberechnung von Kavitationsschäden auf dieser Basis zu entwickeln, [6.36]. Die Entwicklung ist noch nicht abgeschlossen. Gegen einen industriellen Einsatz spräche zudem der erhebliche Versuchsaufwand, der in jedem Einzelfall erforderlich wäre. Trotz erheblicher Anstrengungen gelang es bisher mit den oben besprochenen Mitteln nicht, allgemeine Methoden zur quantitativen Beurteilung (Vorausberech-

6.6 Kavitationserosion

309

nung) des Risikos von Kavitationsschäden zu entwickeln, die in der Praxis genügend einfach zu handhaben wären. Grund: Kavitationserosion ist ein komplexer Vorgang mit 3-dimensionaler Zweiphasenströmung, thermodynamischen Effekten und Materialreaktionen im Mikrobereich, [6.20]. Mit theoretischen Ansätzen und Erosionsversuchen in einfachen Versuchsapparaturen lassen sich keine allgemeingültigen Lösungen gewinnen, die auf Pumpen oder andere Maschinen übertragbar wären; denn die Strömungs- und Druckverteilung im rotierenden Laufrad läßt sich nicht durch rotierende Scheiben oder stationäre Kanäle (Venturi) oder Tragflügel – und schon gar nicht durch den magnetostriktiven Schwinger – nachbilden. Daher zeigen Abtragsraten in Venturidüsen [6.1] oder an Tragflügeln über der Blasenfeldlänge aufgetragen ganz andere Tendenzen als man in Kreiselpumpen beobachtet, [6.2]. Wollte man Kavitationserosion in Kreiselpumpen zwecks Vorausberechnung wissenschaftlich streng beschreiben, müßte man folgende Effekte analytisch, numerisch oder experimentell in allgemeingültiger Form erfassen:

• Keimspektren (Keimgrößen als Funktion der Häufigkeit für verschiedene Anwendungsfälle, bzw. Wasserqualitäten). • Einlaufströmung: Bei Einläufen mit durchgehender Welle variiert die Laufradzuströmung und damit das Blasenfeld über den Umfang, was ein voll 3dimensionales Problem darstellt und einen erheblichen Einfluß auf die Blasenentwicklung hat. • Laufradströmung (ggf. unter Berücksichtigung der Teillastrezirkulation), gekennzeichnet durch die örtliche Geschwindigkeits- und Druckverteilung an den Schaufeln. Entstehung und Wachstum von Dampfblasen werden durch das dynamische Verhalten der Keime in der Zone bestimmt, wo der örtliche statische Druck den Dampfdruck erreicht. Gasgehalt und thermodynamische Flüssigkeitseigenschaften beeinflussen dieses Blasenwachstum. Das Blasenfeld wirkt seinerseits auf die Schaufelumströmung zurück. Wie in Kap. 6.8.2 beschrieben, treten zudem ganz unterschiedliche Kavitationsformen auf. • Implosion der Blasenschwärme beim Eintritt in Zonen, wo der statische Druck den Dampfdruck übersteigt; hieraus ergibt sich die hydrodynamische Kavitationsintensität als Lastspektrum für den Werkstoff. Tatsächlich lassen sich Wachstums- und Implosionszone nicht trennen, da das Blasenfeld oszilliert. Der Gehalt an nichtkondensierbaren Gasen und thermodynamische Vorgänge beeinflussen das Implosionsgeschehen und damit die Kavitationsintensität maßgebend. • Reaktion des Werkstoffes auf das aus den Implosionen entstehende Spektrum einer sehr großen Zahl zeitlich und örtlich extrem begrenzter Einzellasten. Es besteht wenig Aussicht, diese komplexen physikalischen Zusammenhänge analytisch, numerisch und/oder experimentell in genügend allgemeiner Form zu beschreiben. Sucht man Berechnungsverfahren, die mit wenig Aufwand in der täglichen Praxis verwendbar sind, kommen empirische Korrelationen in Frage. Man bedenke, daß vergleichsweise einfache Vorgänge wie Druckverlust und Wärmeübergang in turbulenten Strömungen im Ein- oder Zweiphasengebiet eben-

310

6 Saugverhalten und Kavitation

falls fast ausschließlich mittels empirischer Korrelationen berechnet werden. Bei solchen Verfahren wird eine möglichst große Anzahl von Meßergebnissen mit physikalisch sinnvollen Ähnlichkeitsparametern durch Potenzfunktionen korreliert, um die vorhandenen Versuche mit bestimmten Geometrien und Strömungszuständen auf andere Konfigurationen übertragen zu können. Die Streuung empirischer Korrelationen wächst mit der Zahl der für den Vorgang maßgebenden physikalischen Einflußgrößen. Da empirische Korrelationen von einfachen Zweiphasenströmungen Streuungen von über ± 100% aufweisen, wird man bei dem äußerst komplexen Phänomen der Kavitationserosion weit größere Unsicherheiten in Kauf nehmen müssen. Die im folgenden behandelten Methoden für die Vorausberechnung von Erosionsraten in Kreiselpumpen beruhen auf gemessenen, berechneten oder geschätzten Blasenfeldlängen oder auf Flüssigkeits- und Körperschallmessungen; bezüglich Einzelheiten über die Entwicklung der Korrelationen zur Erosionsberechnung sei auf die Literatur verwiesen, [6.2 bis 6.5]. 6.6.2 Kavitationswiderstand Die Kavitationsbeanspruchung durch implodierende Dampfblasen bzw. durch dabei entstehende „micro-jets“ erfolgt durch Stöße mit zeitlich und örtlich extrem kleiner Ausdehnung, aber hoher Energie und Frequenz. Dabei wird der Werkstoff örtlich plastisch verformt, wie das aus Abb. 6.28 deutlich wird, die den durch einen einzigen Kavitationswirbel an Stellit erzeugten Schaden zeigt. Aus der Stoßartigkeit der Belastung mittels eines Mediums, das in eine Struktur einzudringen sucht, ist zu vermuten, daß die Härte als erste Näherung für den Kavitationswiderstand dienen kann. Die extrem kleine örtliche Ausdehnung der Beanspruchung deutet ferner darauf hin, daß dem Werkstoffgefüge eine wesentliche Bedeutung für den Kavitationswiderstand zukommt. So führen Gefüge- und andere nicht kontrollierbare Einflüsse zu Variationen der Abtragsrate im Verhältnis bis

Abb. 6.28. Krater erzeugt durch die Implosion eines Kavitationswirbels auf Stellit; der Durchmesser des Kraters beträgt etwa 50 μm. Aufnahme: Ecole Polytechnique Fédérale, Lausanne, [6.49]

6.6 Kavitationserosion

311

1:5, [6.12]. Der Stand des Wissens für die Vorhersage des Kavitationsabtrages kann hinsichtlich Kavitationswiderstand wie folgt umrissen werden, z.B. [6.19 u. 6.21]:

• Keiner der herkömmlichen Werkstoffkennwerte (wie Härte, Zugfestigkeit) genügt, um den Kavitationswiderstand genau zu beschreiben, weil die Beanspruchung unter Kavitation zu stark von der Belastungsart beim Zugversuch, Härtemessung usw. abweicht. • Innerhalb von Gruppen ähnlicher Werkstoffe steigt der Kavitationswiderstand mit zunehmender Härte oder Zugfestigkeit Rm. Die Erosionsrate ER folgt dann etwa der Proportionalität ER ∝ 1/Rm2. • Bei gleicher Zugfestigkeit hat der zähere Werkstoff den größeren Kavitationswiderstand. Extrem spröde Werkstoffe haben daher trotz großer Härte einen geringen Kavitationswiderstand. • Bei gleicher Härte und gleicher Zähigkeit ist der Werkstoff mit dem feineren Gefüge der beständigere. • Der Werkstoffangriff erfolgt bevorzugt an Korn- und Phasengrenzen oder Poren an der Oberfläche. Der Einbau von Hartstoffpartikeln in das Werkstoffgefüge verschlechtert daher die Resistenz gegen Kavitationserosion, während der Widerstand gegen Abrasion steigt (Kap. 14.5). • Die Erosionsbeständigkeit kann gesteigert werden, wenn es gelingt, durch geeignete metallurgische Maßnahmen (wie z.B. Ausscheidungs- oder Dispersionshärtung, Martensitbildung oder Kaltverfestigung) die Zugfestigkeit zu erhöhen, ohne daß dabei die Duktilität zu stark abnimmt [6.21]. Entscheidend für einen hohen Kavitationswiderstand ist die Umwandlung von Austenit in Martensit durch Kaltverfestigung, [6.30]. • Stahl ist (wie viele andere Metalle) in Wasser chemisch nur beständig, wenn sich auf der Grenzfläche zwischen Metall und Wasser eine Passivierungsschicht (wie bei „rostfreien“ Stählen) oder eine Schutzschicht aus Korrosionsprodukten (wie bei unlegierten oder niedriglegierten Stählen) bildet. Wird diese Schicht durch implodierende Blasen zerschlagen und somit ungeschütztes Grundmaterial freigelegt, überlagert sich der Kavitationsbeanspruchung ein korrosiver Angriff. So ist der Kavitationsabtrag im Meerwasser generell höher als in Süßwasser. Gute Korrosionsbeständigkeit des Werkstoffs in dem betrachteten Medium ist also Voraussetzung für hohen Kavitationswiderstand. • Weiche Einschlüsse (z.B. Graphit im lamellaren Gußeisen), weiche oder sehr spröde Korngrenzen, Poren, Risse und Fehlstellen setzen den Kavitationswiderstand herab. Dies ist bei der Entwicklung von Beschichtungen zu beachten. • Beschichtungen müssen nicht nur frei von Fehlstellen sein, sondern auch genügende Härte aufweisen ohne spröde zu sein. Die Schicht muß so dick sein, daß sich das Grundmaterial unter den Implosionsdruckspitzen nicht plastisch verformt. • Die Kavitationsbeanspruchung ruft einen komplizierten, mehrachsigen Spannungszustand hervor. Druckeigenspannungen erhöhen den Kavitationswiderstand, Zugeigenspannungen setzen ihn herab.

312

6 Saugverhalten und Kavitation

• Der zeitliche Verlauf der Materialreaktion wird bestimmt durch Kaltverfestigung (vorwiegend in der Inkubationsphase), Aufrauhung (zunehmende Kerbwirkung) bei fortschreitender Beanspruchung und eigentliche Werkstoffzerrüttung (Risse) im Bereich, wo die maximale Abtragsrate erreicht wird. Speziell für hohen Kavitationswiderstand entwickelte Werkstoffe und Legierungen für Auftragsschweißung weisen daher eine extrem hohe Kaltverfestigung auf. • Prüfverfahren, mit denen der Kavitationswiderstand gemessen werden könnte, sind nicht bekannt. Die Messung des Kavitationsabtrages kann nämlich solange nicht als indirektes Maß für den Kavitationswiderstand herangezogen werden, als die absolute hydraulische Kavitationsintensität nicht bestimmt werden kann. • Fazit: hohe Zugfestigkeit, hohes Kaltverfestigungsvermögen, ein homogenes Gefüge und poren- bzw. rißfreie Oberflächen sind Voraussetzung für einen großen Kavitationswiderstand. Wenn ein Materialabtrag erfolgt, wird am Werkstoff Arbeit verrichtet. Die entsprechende Energie pro Flächeneinheit entspricht einer Spannung σ multipliziert mit einem Weg ε, d.h. dem Integral des Spannungs-Dehnungs-Diagrammes ³σ dε. Man verwendet einen idealisierten Spannungs-Dehnungs-Verlauf, der davon ausgeht, daß der elastische Bereich bis zum Erreichen der Bruchgrenze erhalten bleibt. Unter dieser Annahme ergibt das Integral UR = ³σ dε die Werkstoffarbeit pro Volumeneinheit bei Sprödbruch („ultimate resilience“) UR = Rm2/2E. Diese Größe wird zur Beurteilung des Kavitationswiderstandes verwendet. Das Produkt aus der Werkstoffarbeit pro Volumeneinheit und der Erosionsrate ergibt die spezifische Erosionsleistung PER = UR ER. Die Verwendung von UR ist eine grobe Näherung, weil die oben aufgezählten Einflußparameter auf den Kavitationswiderstand nicht mit nur einer Kenngröße beschrieben werden können. Der Mechanismus der Werkstoffschädigung ändert sich nämlich in Abhängigkeit von der hydrodynamischen Kavitationsintensität: bei HKI ≅ KW ist die Ermüdungsfestigkeit unter Kavitation maßgebend für den KW. Ist dagegen HKI >> KW („ausgebildete Erosion“), beschreibt UR das Werkstoffverhalten recht gut. Für die verschiedenen Stahlsorten ist die Verwendung von Härte, Zugfestigkeit und „Sprödbrucharbeit“ äquivalent, da zwischen Härte und Zugfestigkeit ein etwa konstanter Faktor (Brinellhärte/Zugfestigkeit = 0,293) besteht und der E-Modul nahezu konstant ist. Die Einflüsse des metallurgischen Gefüges und der Korrosion bei Meerwasser werden durch Material- und Korrosionsfaktoren Fmat und Fcor beschrieben, die aus Versuchen mit Strahlapparaten, Lochscheiben oder dem magnetostriktiven Schwinger ermittelt werden, [6.3, 6.13 ]. (Weiteres zum Materialverhalten s. Kap. 6.6.7).

6.6 Kavitationserosion

313

6.6.3 Vorausberechnung von Kavitationsschäden aufgrund der Blasenfeldlänge Risiko und Ausmaß von Kavitationsschäden lassen sich mittels empirischer Korrelationen abschätzen; die hierzu benötigten Formeln sind in Tafel 6.1 zusammengestellt. Schadenskorrelation. Wie in den vorhergehenden Abschnitten besprochen, steigt die hydraulische Kavitationsintensität mit dem Gesamtvolumen aller in der Strömung erzeugten Dampfblasen und der die Implosion treibenden Druckdifferenz. In erster Näherung ist nun anzunehmen, daß das Blasenvolumen mit der Blasenfeldlänge Lcav und die treibende Druckdifferenz mit dem NPSHA-Wert wächst. Man kann daher versuchen, die Erosionsrate ER mit den Material- und Flüssigkeitseigenschaften, dem NPSHA-Wert sowie Lcav zu korrelieren. Die Verwendung der in einer Pumpe gemessenen Blasenfeldlänge hat den Vorteil, daß man auf diese Weise eine separate Erfassung all jener Parameter umgeht, welche die Kavitationsströmung bestimmen (s. Kap. 6.3.1) und deren Vorausberechnung sehr aufwendig, schwierig und unsicher wäre. Kavitationsschäden an Laufrädern aus verschiedenen Anlagen und Anwendungsbereichen wurden ausgewertet, um eine Beziehung für die Vorausberechnung von Kavitationsschäden zu entwickeln. Dabei wurden die von der Eintrittskante aus gemessenen Schadenslängen (anstelle der nicht in allen Fällen gemessenen Blasenfeldlänge Lcav) und die maximale örtliche Tiefe des Materialabtrages zur Beschreibung des Schadens verwendet. Für ein gegebenes Blasenfeld hängt die Erosion ab vom NPSHA-Wert, dem Kavitationswiderstand (näherungsweise erfaßt durch UR) und den Flüssigkeitseigenschaften, die durch Dampfdichte, Schallgeschwindigkeit und Gasgehalt charakterisiert seien. Um eine Beziehung zwischen all diesen Parametern und der Abtragsrate zu finden, wurde ein Ähnlichkeitsparameter, Gl. (T6.1.1), abgeleitet und in Abb. 6.29 über der – von der Laufschaufeleintrittskante aus gemessenen – Schadenslänge aufgetragen. Druckflächen- und Wirbelkavitation erweisen sich gemäß dieser Auswertung bei gegebener Schadenslänge als etwa 50-mal aggressiver als Kavitation auf der Saugfläche der Schaufeln, weil die treibende Druckdifferenz in der Implosionszone oder das Blasenvolumen größer sind. Die Daten für Saug- und Druckflächenkavitation lassen sich als Potenzfunktionen Θu = f(Lcav) darstellen und nach der spezifischen Erosionsleistung auflösen: man erhält Gl. (T6.1.2), zur Vorausberechnung des Kavitationsabtrages für eine gemessene oder gerechnete Blasenfeldlänge. Dabei muß man annehmen, daß Schadenslänge und Blasenfeldlänge etwa gleich sind. Wie der Vergleich von Laborversuchen und Anlagemessungen zeigt, trifft dies sehr häufig zu; erhebliche Schwankungen können allerdings auftreten. Die Blasenfeldlänge läßt sich nach Gl. (T6.1.3) abschätzen, wenn keine Messungen vorliegen, [6.10]. Abbildung 6.29 enthält etwa 70 Messungen aus Anlagen und an einer Laborpumpe mit 800 m Förderhöhe pro Stufe [6.4]. Somit umfaßt die Schadenskorrelation Daten aus einem breiten Parameterbereich:

314

6 Saugverhalten und Kavitation 10-18 Saugseite -19

10

Druckseite und Wirbelkavitation

-2 Θu (W/m )

10-20

10-21 [6.7] [6.9]

-22

10

10-23

L cav,R = 10mm L cav L , Dam L cav,R L cav,R

10-24 -1 10

2

4

6

100

2

4

6

101

2

4

6

102

Abb. 6.29. Korrelation zwischen Erosion und Schadenslänge [6.2] [6.4] [6.20]

• • • • •

Kondensat und Frischwasser: 10 bis 190 °C, α = 0,03 bis 24 ppm NPSHA = 4 bis 230 m; u1 = 20 bis 90 m/s; σΑ = 0,11 bis 0,95 q* = 0,25 bis 1,3; nq = 22 bis 55; d2 = 270 bis 2400 mm Schadenslänge: Lcav = 10 bis 300 mm Rm = 460 bis 1000 N/mm2; ER = 0,02 bis 80 μm/h

Wie dieses Spektrum von Parametern beweist, umfaßt die Korrelation völlig verschiedene Pumpentypen, deren Laufradgestaltung entsprechend unterschiedlich ist. Abbildung 6.29 enthält sowohl eigene Messungen als auch Daten aus der Literatur, [6.7 bis 6.9]; Gl. (T6.1.2) ist somit nicht spezifisch für die Pumpen nur eines Herstellers. Nach [6.8] werden auch Kavitationsschäden in halbaxialen Pumpen durch Gl. (T6.1.2) gut korreliert, wie an 5 Beispielen gezeigt wird. Anwendungen der in Tafel 6.1 aufgeführten Berechnungsmethoden und Vergleiche mit Erfahrungen in diversen Anlagen werden in [6.7 u. 6.8], [6.20] sowie [6.27 bis 29] gebracht. Bemerkenswert an den Daten in Abb. 6.29 ist auch der Befund, daß im Bereich der untersuchten Laufraddurchmesser (d2 = 270 bis 2400 mm, Bereich 1:9) die Erosionsdaten mit der absoluten Blasenfeldlänge korrelieren, also kein Einfluß der Laufradgröße erkennbar ist. Ein Versuch, die Erosionsdaten aus Abb. 6.29 über dem Verhältnis Blasenfeld zu Schaufelteilung (Lcav/t1a) aufzutragen, ergab eine schlechtere Korrelation der Messungen als nach den Formeln in Tafel 6.1. Dieses Verhalten läßt sich vermutlich dadurch erklären, daß die Strömung am Blasenfeldende eher durch die absolute Blasenfeldlänge als durch die Schaufelteilung beeinflußt wird: je länger das Blasenfeld, desto größer ist in der Regel auch seine

6.6 Kavitationserosion

315

Dicke, desto stärker die örtliche Verzögerung und damit die treibende Druckdifferenz sowie die Implosionsenergie (vgl. Abb. 6.5 bis 6.7). Laufradlebensdauer. Aus einer statistischen Analyse der Daten in Abb. 6.29 kann man nach Gl. (T6.1.10) die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der eine geforderte Laufradlebensdauer Lerf in einem spezifischen Anwendungsfall erreicht wird; die rechnerische Lebensdauer LRe wird dabei aus Gl. (T6.1.2 u. 9) ermittelt. Die Lebensdauer gilt danach als erschöpft, wenn die Erosionstiefe 75 % der Schaufeldicke erreicht hat. (Man kann in Gl. (T6.1.9) selbstverständlich auch eine andere Erosionstiefe als zulässig einsetzen, um die entsprechende Wahrscheinlichkeit zu ermitteln). Unsicherheiten und Grenzen der Korrelation: 1. Gleichung (T6.1.2) gilt im wesentlichen für ausgebildete Erosion. Der Erosionsschwellwert läßt sich aus Gl. (T6.1.2) nicht bestimmen (s. hierzu Kap. 6.6.7). 2. Die Blasenfeldlänge ist nur in erster Näherung ein Maß für das Volumen der implodierenden Dampfblasen. In zweiter Näherung wäre die – meßtechnisch schwer erfaßbare – Blasenfelddicke zu berücksichtigen. Im allgemeinen kann die Erosion keine alleinige Funktion der Blasenfeldlänge sein: so werden Blasenvolumen und Abtragsrate bei gegebener Blasenfeldlänge z.B. vom Anstellwinkel abhängen. Zudem lassen die in Kap. 6.8.2.1 besprochenen unterschiedlichen Kavitationsformen Unterschiede in der örtlichen hydrodynamischen Kavitationsintensität erwarten, die durch die Blasenfeldlänge nicht zu erfassen sind. 3. Die Druckdifferenz in der Implosionszone ist nur in erster Näherung proportional zum NPSHA-Wert. Zur genauen Erfassung dieser Druckdifferenz müßte man die 3D-Strömung am Blasenfeldende berechnen, wo eine starke Verzögerung mit entsprechendem Druckanstieg stattfindet. Die implodierenden Blasen beeinflussen sich zudem gegenseitig. Infolge zunehmender Schaufelarbeit steigt die treibende Druckdifferenz mit der Blasenfeldlänge, was ein Grund für den hohen Exponenten von Lcav sein dürfte. 4. Wie nahe an der Schaufeloberfläche die Blasen implodieren, läßt sich schwer quantitativ beobachten, da es hierbei auf wenige Zehntelmillimeter ankommt. Hiervon hängt die hydrodynamische Kavitationsintensität aber wesentlich ab: so sind z.B. Fälle bekannt, wo keine Erosion beobachtet wurde, obwohl aufgrund der Korrelation ein erheblicher Schaden zu erwarten wäre. In solchen Fällen ist die Vorhersage nach Gl. (T6.1.2) also pessimistisch. 5. Die Korrelation für saugseitigen Abtrag gilt im wesentlichen für anliegende, großflächige Blasenfelder. Durch Wirbel verursachte Kavitationsformen (große örtliche Konzentration implodierender Blasen) werden besser durch die Schadenskorrelation für die Schaufeldruckfläche erfaßt. Da beide Kavitationsarten gleichzeitig auftreten können und fließend ineinander übergehen, ist ihre Unterscheidung manchmal schwierig. 6. Im Ähnlichkeitsparameter nach Gl. (T6.1.1) mußten einige Annahmen hinsichtlich der Exponenten von (p1 - pv), der thermodynamischen Flüssigkeitseigenschaften und des Gasgehaltes gemacht werden. Diese basieren zwar auf

316

6 Saugverhalten und Kavitation

Versuchen, sind aber mit Unsicherheiten behaftet. Solche Exponenten können nur im Bereich ausgebildeter Erosion in etwa konstant sein; bei Annäherung an den Erosionsschwellwert steigen sie stark (Kap. 6.6.7). 7. Die Reaktion des Materials auf eine gegebene hydrodynamische Kavitationsintensität läßt sich nur unvollkommen durch UR quantifizieren. Aufgrund obiger Unsicherheiten beträgt die Standardabweichung von Gl. (T6.1.1) etwa ± 120 %. Die Tiefe des Angriffs (meist nur visuell geschätzt), die Betriebsdauer bei verschiedenen Arbeitspunkten, während der Material abgetragen wurde, die wirklichen, örtlichen Werkstoffeigenschaften (Gußgefüge) sowie Flüssigkeitseigenschaften und Gasgehalt sind ebenfalls mit erheblichen Fehlern behaftet, welche die große Streuung erklären. Bereits unter Laborbedingungen können die Streubänder recht breit sein: bei Schwingversuchen mit gleichem Werkstoff bei gleichen Versuchsparametern z.B. ± 90 % [6.11]; bei den Venturi-Versuchen in [6.1] ± 50 %; Piltz berichtet von Variationen von 1:5, [6.12]. 6.6.4 Abschätzung der Erosion aufgrund des Flüssigkeitsschalls Schadenskorrelation. Wie in Kap. 6.5 besprochen, entstehen bei der Blasenimplosion Schallwellen, die als Maß für die hydrodynamische Kavitationsintensität gelten können. Trägt man die spezifische Erosionsleistung PER über der akustischen Intensität auf, Abb. 6.30, erhält man eine Korrelation, die zur Vorausberechnung von Kavitationsschäden dienen kann, Gl. (T6.1.4 bis T6.1.6). Der Flüssigkeitsschall entspricht einem Effektivwert (RMS) im Bereich von 1 bis 180 kHz. Der Unterschied zwischen dem Signal bei einem bestimmten Zulaufdruck und dem Grundschalldruck entspricht dem durch die Kavitation verursachten Anteil des gemessenen Schalls, der aus Gl. (T6.1.4) bestimmt wird. Gleichzeitig wird auf eine Bezugs-Schaufelzahl normiert, weil die Anzahl der Schallquellen – also die Laufschaufelzahl – das gemessene Signal beeinflußt (bei doppelflutigen Laufrädern ist die doppelte Schaufelzahl einzusetzen, da beide Eintritte Kavitationsfelder aufweisen). In Abb. 6.30 lassen sich Saug- und Druckflächenkavitation durch die gleiche Korrelation beschreiben: die Schallmessung erfaßt somit den Sachverhalt richtig, daß der Implosionsdruck auf der Druckfläche der Schaufeln höher ist als auf der Saugfläche (größere treibende Druckdifferenz). Die Korrelation nach Gl. (T6.1.6) gibt einen Geschwindigkeitsexponenten von 5,85; sie bestätigt also recht gut den Exponenten von 6, der implizit in Gl. (T6.1.1 und 2) verwendet wurde. Durch Gleichsetzen von Gl. (T6.1.2 und 6) kann man auch die Blasenfeldlänge aus dem gemessenen Kavitationsschall abschätzen, Gl. (T6.1.14). Grenzen der Korrelation. Wie Gl. (T6.1.2) gilt auch Gl. (T6.1.6) nur für ausgebildete Erosion; der Erosionsschwellwert läßt sich aufgrund der vorliegenden Daten nicht extrapolieren. Da der Grundschalldruck (z.B. Maschinen- und Kreislaufgeräusche) abgezogen wird, ist das gemessene Signal ein Maß für die hydrodynamische Kavitationsintensität: das effektive Dampfvolumen, die treibende Druckdifferenz in der Implosionszone, Flüssigkeitseigenschaften und Gasge-

6.6 Kavitationserosion

10-2

317

F PER Mat Fcor W m2

10-3

10-4 [6.4] 10-5 Anlagemessungen

aus Körperschall

Literatur [6.4]

10-6

Literatur [6.16]

Iac 10-7 101

2

4

6 8 102

2

4

6 8 103

2

W m2

4 6 8 104

Abb. 6.30. Abschätzung der Erosionsrate aufgrund des Kavitationsschalls [6.5] [6.20]

halt werden durch diese Messung in erster Näherung erfaßt. Die Abschätzung des Kavitationsrisikos aufgrund von Gl. (T6.1.6) ergänzt somit die Beurteilung nach Gl. (T6.1.2), da die Unsicherheiten 2, 3 und 6 teilweise entfallen. Die akustischen Eigenschaften unterschiedlicher Versuchsanordnungen bringen aber zusätzliche Unwägbarkeiten. Aufgrund der Schallsignale läßt sich nicht erkennen, wo die Blasen implodieren. Geschieht dies in der freien Flüssigkeit, sind die Blasen unschädlich und die Korrelation gibt pessimistische Vorhersagen. Ebensowenig läßt sich beurteilen, ob die Blasen lokal konzentriert oder über größere Bereiche des Schaufeleintritts verteilt sind, was große Unterschiede im örtlichen Abtrag bedeuten kann (z.B. Wirbelkavitation). Die Berechnungen werden auch verfälscht, wenn Kavitation an verschiedenen Orten auftritt, z.B. gleichzeitig auf der Saug- und Druckfläche der Schaufeln, in Labyrinthen, im Eintrittsgehäuse oder im Kreislauf, in dem die Pumpe arbeitet. Unterscheidet sich der gemessene Schall nur wenig vom Grundschall, wird die Aussage unsicher (dann liegt auch keine ausgebildete Erosion vor). Vorzugsweise wird Gl. (T6.1.6) nur für NL > 1,25 NLo verwendet. Über den Einfluß der Temperatur auf den Flüssigkeitsschall ist nicht genügend bekannt. Tendenziell sinkt der Schall mit zunehmender Temperatur und zunehmendem Gasgehalt. Allgemeingültige Aussagen zur Vorausberechnung lassen sich noch nicht machen. Auch Schallmessungen bei u1 < 20 m/s scheinen (wegen der geringen HKI) problematisch im Hinblick auf die Übertragung auf hohe Umfangsgeschwindigkeiten.

318

6 Saugverhalten und Kavitation

6.6.5 Körperschallmessungen zur Kavitationsdiagnose Während Flüssigkeitsschallmessungen bei Modellversuchen mit einfachen Mitteln durchführbar sind, bieten Körperschallmessungen außen am Gehäuse oft den einzigen praktikablen Weg, um in Anlagen Aufschluß über die hydrodynamische Kavitationsintensität zu erhalten. Mißt man am Gehäuse einer Pumpe den Körperschall mit einem Beschleunigungsaufnehmer, hängt das Signal bei gegebenem Flüssigkeitsschall von Gehäusegeometrie und -material ab. Aufgrund der statistischen Energieanalyse kann man diese Einflüsse annähernd erfassen und auf diese Weise den Flüssigkeitsschall aus dem gemessenen Körperschall nach Gl. (T6.1.7) berechnen, [6.5]. Die verfügbaren Daten wurden ebenfalls in Abb. 6.30 eingetragen; sie sind gekennzeichnet als Körperschalldaten, aus denen der Flüssigkeitsschall berechnet wurde. Beide Gruppen von Daten lassen sich durch dieselbe Korrelation darstellen. Auch der verwendete Körperschall stellt einen Effektivwert dar. Um Resonanz mit dem Meßwertgeber zu vermeiden, wurde im Bereich von 1 bis 47 kHz gemessen. Abbildung 6.30 enthält auch Messungen an Tragflügeln aus [6.16]. Der Zusammenhang zwischen Erosion und Körperschall bietet eine meßtechnisch sehr einfache Möglichkeit zur Kavitationsdiagnose. Dabei gelten dieselben Einschränkungen wie für Flüssigkeitsschall. In Anlagen ist es aber oft schwierig, den lastabhängigen Grundschall zu bestimmen, ohne dessen Kenntnis keine zuverlässigen Aussagen möglich sind. 6.6.6 Farberosionsversuche zur Bestimmung des Implosionsortes Wie oben gezeigt, ist die Kavitationsbeurteilung insofern pessimistisch als sich weder aufgrund der Blasenfeldbeobachtung noch aufgrund von Schallmessungen entscheiden läßt, ob die Blasen – unschädlich – in der Flüssigkeit oder aber in Wandnähe implodieren und so das Risiko eines Materialabtrages in sich bergen. Farberosionsversuche können hier weiterhelfen. Solche Versuche sind nur dann aussagefähig, wenn die Versuchszeit so gewählt wird, daß bei der gegebenen Versuchsanordnung, d.h. der eingestellten hydrodynamischen Kavitationsintensität, ein in etwa stationäres Farberosionsbild erlangt wird. Um dies zu erreichen, muß das Verfahren – wie in [6.4] beschrieben – kalibriert werden. Zur Kalibrierung wurden mit einer gegebenen Farbe (Zinkstaubfarbe) Versuche bei verschiedenen Kavitationszuständen (Blasenfeldlängen) und Drehzahlen gefahren und nach bestimmten Betriebsintervallen das Erosionsbild aufgenommen. Dieses erreicht nach einer gewissen Versuchszeit asymptotisch eine etwa stationäre Form. Die so ermittelte erforderliche Versuchsdauer tv wurde über dem Flüssigkeitsschall CNLRef nach Gl. (T6.1.4) in Abb. 6.31 dargestellt; wegen unterschiedlicher Schalldurchlässigkeit gelten für Pumpen mit Stahldeckel und Modellpumpen mit Plexiglasdeckel verschiedene Kurven. (Statt des Flüssigkeitsschalls kann man auch den Körperschall messen, nach Gl. (T6.1.7) umrechnen und so die erforderliche Versuchsdauer ermitteln.)

6.6 Kavitationserosion

319

Abbildung 6.32 zeigt das Farberosionsbild aus einem solchen Versuch bei 3000 min-1 nach 8 h im Vergleich mit dem Erosionsbild eines Stahl-Laufrades bei gleichem Kavitations- und Strömungszustand nach 160 h bei 9000 min-1, [6.4]. Das Farberosionsbild ist tatsächlich repräsentativ für das Schadensbild – vorausgesetzt, daß die Versuchsdauer ausreichend lang eingestellt wird. Dies gelingt jedoch nur, wenn man die hydrodynamische Kavitationsintensität mittels Schallmessung quantifizieren kann: hätte man den Farberosionsversuch in Abb. 6.32 wesentlich kürzer als 8 h gefahren, wäre offensichtlich ein geringerer oder gar kein Farbabtrag festgestellt und das Schadenspotential zu optimistisch beurteilt worden. Der Farberosionsversuch liefert die echte Schadenslänge – auch auf der nicht beobachtbaren Druckfläche der Schaufeln.

-2

CNLR (Nm )

104 9 8 7 6

1 Plexiglasdeckel 2 Stahldeckel

5 4 2 3 1

2

103

2

3

4

5

6 7 8 9 10

15

20

30

40

tv [h]

Abb. 6.31. Erforderliche Versuchsdauer für Farberosionsversuch (Zinkstaubfarbe) [6.4]

σA = 0,5 q* = 0,8

Stahllaufrad, 9000 min-1 / 160 h

Farberosion, 3000 min-1 / 8 h

Abb. 6.32. Vergleich der Erosionsbilder bei Stahllaufrad und Farberosion [6.4]

320

6 Saugverhalten und Kavitation

6.6.7 Erosionsschwellwert und Materialverhalten bei verschiedenen hydrodynamischen Kavitationsintensitäten Für jeden Werkstoff gibt es einen Schwellwert der hydrodynamischen Kavitationsintensität, unter dem kein Kavitationsabtrag erfolgt. So werden z.B. Grenzwerte für die Umfangsgeschwindigkeit u1 für Grauguß mit 12 m/s und für austenitischen Stahl mit 22 m/s für den Betrieb im Bestpunkt angegeben, [6.17]. Derartige Angaben können nur für eine bestimmte Wasserqualität gelten – in diesem Fall für kaltes, etwa luftgesättigtes Wasser oder, wie aus Gl. (T6.1.2) folgt, für entgastes Speisewasser mit einer Temperatur oberhalb etwa 140 °C. Stellt man die Erosionsrate aus einem beliebigen Versuch über der hydraulischen Kavitationsintensität (oder wie in Abb. 6.33 über σ) doppelt logarithmisch dar, läuft die spezifische Erosionsleistung asymptotisch auf einen Grenzwert zu und wird dort null. Während man im Bereich „ausgebildeter Erosion“ mit einem in etwa konstanten Exponenten x in der Relation ER ~ σx rechnen kann, geht der Exponent bei Annäherung an die Asymptote gegen unendlich. Folglich kann im Bereich des Erosionsschwellwertes fast jeder beliebige Zusammenhang zwischen Abtragsrate und den unabhängigen Versuchsvariablen wie Geschwindigkeit, Schall, Gasgehalt, Temperatur, Kavitationsbeiwert oder Blasenfeldlänge gemessen werden. Dies ist auch der Grund dafür, daß für den Geschwindigkeitsexponenten – etwas kritiklos – Werte zwischen 1 und 20 publiziert wurden. Außerhalb des Bereiches ausgebildeter Erosion ist es sinnlos, eine Werkstoffrangfolge aufgrund gemessener Abtragsraten zu verwenden, weil das Verhältnis der Erosionsraten zweier Materialien in der Nähe des Erosionsschwellwertes jeden beliebigen Wert annehmen kann und unterhalb des Schwellwertes unendlich wird, Abb. 6.33. Dieser Sachverhalt wurde in vielen Veröffentlichungen nicht gebührend beachtet. Werkstoffrangfolgen sind nur aussagefähig, wenn sie aus Versuchen im Bereich ausgebildeter Erosion stammen. Das Verhältnis der Abtragsraten von zwei Materialien mit stark unterschiedlichem Kavitationswiderstand ist dabei immer mit erheblicher Unsicherheit behaftet. Es zeigt sich deshalb oft, daß in der Praxis bei Werkstoffänderung nicht die erhoffte Reduktion des Kavitationsschadens erreicht wird, die aufgrund der Werkstoffrangfolge aus Laborversuchen zu erwarten wäre. Aus Gl. (T6.1.2) läßt sich eine derartige Rangliste für beliebige Werkstoffe und Kavitationsintensitäten berechnen; Abb. 6.34 zeigt ein Beispiel, das für luftgesättigtes Wasser von 20 °C mit NPSHA = 37 m und einer Blasenfeldlänge von 20 mm berechnet wurde. Diese Parameter wurden so gewählt, daß sich für ferritischen Chromstahl mit 13 % Cr und 4 % Ni ein Kavitationsabtrag von 1mm nach 40‘000 Stunden Betrieb ergibt. Die in Abb. 6.34 angeschriebenen Abtragsraten stellen demnach gleichzeitig das Verhältnis eines jeden Werkstoffes zu diesem Chromstahl dar. Die sich so ergebende Rangliste gibt sehr ähnliche Relationen, wie sie in anderen Arbeiten publiziert wurden; z.B. [6.30]. Während sich Grauguß und Kohlenstoffstahl als wenig kavitationsresistent zeigen, weisen Sonderlegierungen mit Kobalt und Mangan (wie 17Cr9Co6Mn) wegen ihrer hohen Kaltverfestigung den besten (z.Zt. bekannten) Kavitationswiderstand auf, [6.30 bis 34].

6.6 Kavitationserosion

321

102 8 6

PER FMat x 104 (W m-2)

4

1

3

PER FMat

PER 1

2

2

PER FMat ausgebildete Erosion PER ~ σ-1.1

PER 2

101 8 6 4 3 2

Schwellwert 1

Schwellwert 2

1 2,0

1,0 0,8

0,6 0,5 0,4

0,3

0,2

σ

0,1

Abb. 6.33. Kavitationsabtrag von zwei verschiedenen Stählen [6.20]

Stellit 6 17Cr9Co6Mn

0.068 0.11

Duplex

1.0

13Cr4Ni

1.0

CuAl10Ni 18Cr10Ni

1.8 1.5 4.7

GS-C25

10.4

GG-25 0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

Kavitationsabtrag [mm pro 40'000 h]

Abb. 6.34. Kavitationsabtrag verschiedener Werkstoffe

Um den Erosionsschwellwert zu bestimmen, benötigt man eine Beziehung zwischen der absoluten hydrodynamischen Kavitationsintensität (z.B. dem „Implosionsdruck“) und der Ermüdungsfestigkeit unter Kavitation. Da sich der Implosionsdruck nicht messen läßt, muß man ihn indirekt bestimmen. Hierzu wird zunächst die Stärke der Schallquelle aus dem gemessenen Flüssigkeitsschall mit Hilfe raumakustischer Gesetze berechnet. Mittels des akustischen Umsetzungsgrades läßt sich sodann auf die mechanische Leistung schließen, die den Schall abstrahlt, [6.2]. Diese Überlegungen führten zu Gl. (T6.1.11 und 12). Die Versuchsdaten aus Abb. 6.30 wurden auf diese Weise ausgewertet und in Abb. 6.35 dargestellt: man erhält eine Korrelation zwischen spezifischer Erosionsleistung und Implosionsdruck, Gl. (T6.1.13). Wegen der Unsicherheit der not-

322

6 Saugverhalten und Kavitation

wendigen Annahmen hat auch diese Gleichung stark empirischen Charakter. Der breite Bereich der vorliegenden Daten und die Anzahl Versuchspunkte aus verschiedenen Pumpen lassen die Korrelation aber als statistisch relevant erscheinen. Abtragsmessungen in verschiedenen Kavitationsapparaten und Maschinen lassen sich erst sinnvoll miteinander vergleichen, wenn es gelingt, ein absolutes Maß für die hydrodynamische Kavitationsintensität zu definieren. Der hier berechnete Implosionsdruck ist ein solches Maß. Deshalb konnten in Abb. 6.35 Messungen mit Tropfenschlaggerät, magnetostriktivem Schwinger, Venturidüsen und Strahlkavitationsapparaten aufgenommen werden (Daten aus [6.1]). Beim Tropfenschlaggerät kann man den Implosionsdruck nach pi = ρ a w abschätzen: für die Daten in Abb. 6.35 ergibt sich pi = 610 N/mm2. Der Vergleich mit der Ausgleichsgeraden nach Gl. (T6.1.16) liefert einen Wert von ähnlicher Größe: 930 N/mm2. In einem Strahlkavitationsapparat wurden Flüssigkeitsschall und Kavitationsabtrag an verschiedenen Stählen gemessen [6.13], wobei der Implosionsdruck mittels Gl. (T6.1.4, 11 und 12) berechnet wurde; die Resultate sind ebenfalls in Abb. 6.35 eingetragen; sie stimmen mit den Erosionsraten in Pumpen gut überein, obwohl die geometrische Anordnung und die Strömungsverhältnisse völlig verschieden sind. Auch die Abschätzungen von Implosionsdrücken, die man in der Literatur (zitiert in [6.2]) findet, liegen im Bereich der Daten in Abb. 6.35. Die Korrelation von Versuchsdaten aus völlig verschiedenen Apparaten und Maschinen läßt den Schluß zu, daß Gl. (T6.1.12) einen brauchbaren Anhaltspunkt für die absolute hydrodynamische Kavitationsintensität liefert. Der so geschätzte 100 FMat PER Fcor ªW º « 2» ¬m ¼

V V V

Tropfenschlag (410 m/s) 10-1 V = Schwingversuche 20 KHz 10-2

±25 μm ±15 μm ±10 μm

10-3 Venturi 110 m s-1

Pumpe Strahlkavitation [13] 10-4

Venturi 80 m s-1 Venturi 60 m s-1

10-5

ª N º Pi « 2» ¬ mm ¼

4

6

101

2

4

6

102

2

4

6

103

2

4

Abb. 6.35. Spezifische Erosionsleistung als Funktion des Implosionsdruckes [6.2] [6.13]

6.6 Kavitationserosion

323

Wert von pi läßt sich mit der Ermüdungsfestigkeit unter Kavitation vergleichen, die für ferritische Stähle in Süßwasser oder Deionat in der Größe von Fs = (0,054 bis 0,15) Rm liegen dürfte, [6.2]. Bei pi < Fs wird der Erosionsschwellwert nicht erreicht; es tritt kein Schaden auf. Liegt pi deutlich über der Brinellhärte, ist mit ausgebildeter Erosion zu rechnen. Setzt man Gl. (T6.1.2 und 13) gleich, läßt sich der Implosionsdruck auch dann abschätzen, wenn nur Blasenfeldlänge oder Schadenslänge bekannt sind, Gl. (T6.1.15). Durch Vergleich mit Gl. (T6.1.17) kann man so den Erosionsschwellwert ebenfalls beurteilen. 6.6.8 Zusammenfassende Beurteilung Die stroboskopische Beobachtung der Kavitationsausbreitung am Laufradeintritt ist nicht nur ein unentbehrliches Hilfsmittel bei der Entwicklung kavitationsgefährdeter Laufräder, sondern sie ermöglicht auch eine quantitative Beurteilung der Erosionsrate und sogar des Erosionsschwellwertes, Gl. (T6.1.15 u.T6.1.17). Der Vergleich von Modellversuchen mit Anlageerfahrungen und Versuche mit Wassertemperaturen bis 180°C [6.4] haben gezeigt, daß bei kaltem und heißem Wasser näherungsweise die gleichen Blasenfeldlängen zu erwarten sind. Die im Versuch beobachteten Blasenfelder umfassen implizit alle geometrischen Parameter von Zulauf und Laufrad sowie den Förderstrom und NPSHA bzw. σA. Die Aussagefähigkeit stroboskopischer Blasenbeobachtungen läßt sich durch Kavitationsschallmessungen und Farberosionsversuche erheblich verbessern. Flüssigkeits- oder Körperschallmessungen sind ein Maß für die hydrodynamische Kavitationsintensität, das sowohl die örtlichen Druckdifferenzen im Bereich der Implosionszone als auch die Wirkung der Flüssigkeitseigenschaften und des Gasgehaltes erfaßt. Die Schalldrücke und die Beschleunigungen können in erster Näherung proportional zu u12 auf andere Betriebsbedingungen umgerechnet werden. Um festzustellen, ob die Blasen in Schaufelnähe implodieren, sind Farberosionsversuche aufschlußreich, wenn sie unter kontrollierten Bedingungen durchgeführt werden. Die Versuchszeit, die nötig ist, um ein etwa stationäres Abtragsbild zu erhalten, kann aus Abb. 6.31 aufgrund des Flüssigkeitsschalls ermittelt werden. Nicht kavitationsbedingte Fremdgeräusche werden als Grundschalldruck abgezogen. Kavitationsgeräusche an anderen Stellen im Kreislauf – z.B. in Ventilen – können allerdings eine Fehlerquelle bilden. Mit den Methoden der statistischen Energieanalyse kann man den Flüssigkeitsschall aus einer Körperschallmessung berechnen. Körperschallsignale können daher sehr einfach für die Kavitationsdiagnose verwendet werden. Die Verfahren der Raumakustik ermöglichen eine Abschätzung des Implosionsdruckes aus dem Flüssigkeits- bzw. Körperschall. Somit kann man auch den Erosionsschwellwert beurteilen und Abtragsmessungen aus verschiedenen Versuchseinrichtungen und Maschinen korrelieren, Abb. 6.35. Jede der hier diskutierten Methoden hat ihre Schwächen und Grenzen. Mißt man Blasenfelder, Farberosion, Flüssigkeits- und Körperschall für einen gegebe-

324

6 Saugverhalten und Kavitation

nen Anwendungsfall, läßt sich jedoch das Schadensrisiko mit verhältnismäßig geringem Aufwand recht umfassend beurteilen. Bei flachen Druckverteilungen am Laufradeintritt erhält man z.B. dünne, durchscheinende Blasenfelder und entsprechend niedrige Schallsignale. Dann liefert Gl. (T6.1.6) aus dem Flüssigkeitsschall einen geringeren Abtrag als Gl. (T6.1.2) aufgrund der Blasenfeldlänge, die in einem solchen Fall zu pessimistischen Prognosen führt – vorausgesetzt die Schallmessung ist aussagefähig. (Dies ist bei kleinen Umfangsgeschwindigkeiten und/oder gashaltigem Wasser manchmal fraglich.) Wenn andererseits Blasenfeldlänge, Schallmessung und Farberosion übereinstimmend einen erheblichen Abtrag prognostizieren, ist mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Schaden zu erwarten. Mißt man sowohl den Flüssigkeits- als auch den Körperschall, lassen sich die Unsicherheiten und damit das Schadensrisiko besser beurteilen. Für ausgebildete Erosion (oberhalb des Schwellwertes) sind die Zusammenhänge zwischen Abtragsrate und Blasenfeldlänge, Geschwindigkeit und Zugfestigkeit oder Härte durch viele Versuche bestätigt, wenn auch, wie erwähnt, mit erheblicher Streuung zu rechnen ist. So wächst z.B. gemäß [6.36] ebenfalls das unter Kavitation verformte Materialvolumen (pitting volume) gemäß ER ∝ wx Rm-y mit x = 5,2 bis 6,7 und y = 2,2, was mit den in obigen Korrelationen verwendeten Exponenten gut übereinstimmt. Damit ein Kavitationsabtrag auftritt, sind drei Bedingungen notwendig: 1. Kavitationsblasen entstehen, was durch visuelle oder akustische Beobachtung (Flüssigkeits- oder Körperschall) nachweisbar ist. 2. Die Blasen müssen in Wandnähe implodieren, was durch Farberosionsversuche unter kontrollierten Bedingungen überprüft werden kann. 3. Die absolute hydrodynamische Kavitationsintensität muß den Kavitationswiderstand Fs übersteigen: der Implosionsdruck pi muß größer als die Ermüdungsfestigkeit unter Kavitation sein. Gl. (T6.1.12) und (T6.1.15 bis 6.1.17) erlauben in erster Näherung eine quantitative Beurteilung der Verhältnisse: * für pi << Fs ist keine Gefährdung anzunehmen. * für pi > Rm muß mit einem sehr intensiven Angriff gerechnet werden. * für pi > BHN (Brinellhärte) sind erhebliche Schäden zu erwarten. Abschließend sei nochmals betont, daß alle hier gegebenen Formeln nur grobe Anhaltswerte liefern können, die mit großen Unsicherheiten behaftet sind. Wegen der außerordentlichen Komplexität der an der Kavitationserosion beteiligten Prozesse ist dies kaum anders zu erwarten. Für die ingenieurmäßige Beurteilung von Kavitationsproblemen stellen die Formeln in Tafel 6.1 aber heute das einzige bekannte Verfahren dar, das die Zusammenhänge in einem breiten Rahmen in konsistenter Weise beschreibt und mit geringem Aufwand in der Praxis gehandhabt werden kann. Eine sorgfältige Analyse und Interpretation der Beobachtungen in der Anlage und der Messungen ist dabei – wie bei allen komplexen Anlageproblemen – unerläßlich, um Fehlschlüssen vorzubeugen.

6.6 Kavitationserosion

325

Tafel 6.1 (1): Abschätzung des Risikos von Kavitationsschäden Spezifische Erosionsleistung Werkstoffarbeit bei Sprödbruch (ultimate resilience)

PER = E R U R

R2 UR = m 2E

FMat

Süßwasser

Meerwasser

Ferritische Stähle

1,0

1,0

1,5

Austenitische Stähle

1,6

1,0

1,3

Aluminium Bronzen

2,0 (?) 1,0

1,1

Δp = p1 − p v = ρ g NPSH A −

Erosionsrate aus Blasenfeldlänge

§ p θ u = PER ¨¨ Re f © p1 − p v

§ Δp PER = C1 ¨¨ © pRe f

3

· a Re f ¸ ¸ a ¹

3

· Fcor ¸ ¸ F ¹ Mat

2

ρ 2 c 2 1

§ Lcav ¨ ¨L © Re f

· ¸ ¸ ¹

x2

Flüssigkeitsschall NL aus Körperschall CV [m/s2]

0,75 e 3600 Σ (τ E R )

Wahrscheinlichkeit

W = 1,17 − 0,53

• •

L erf L erw

6.1.1

§ ρ"Re f ¨¨ © ρ"

0,44

· ¸¸ ¹

2

6.1.2

2,83

Druckfläche/Wirbel

2,5·10

-22

2,6

· ¸ ¸ ¹

1, 463

x2

für σA < σi

Iac =

6.1.3

CNL2Re f ρa

C 2 = 8,8 ⋅10 −8

6.1.4 6.1.5

W

6.1.6

m2

Gehäuse idealisiert als Zylinder mit Radius R, Wandstärke h, Länge L, Dichte ρp, Deckelwandstärke hD

6.1.7

2

zLa,Ref = 7 IRef = 1 W/m

tv = f (CNLRef) aus Abb. 6.31 für Zinkstaubfarbe L erw =

0,36

-24

ρp a L § R hD · NL = CV ρ h ¨1 + ¸ L h ¹ πρa 3 ©

Erwartete Laufradlebensdauer in Stunden

•

0,36

a

· ¸ ¸ ¹

5,4·10

NL ist RMS im Bereich 1÷180 kHz Farbabtragsversuch

§ α ¨ ¨α © Re f

§ αRe f · ¸ ¨ a Re f © α ¹

z La ,Re f ­ NL20 ½ ®1 − 2 ¾ NL ¿ z La ¯ § I ac ¨ ¨I © Re f

FMat Fcor

Saugfläche

0,33 ½ πd ­° ª σ − σ 3 º ° L cav = 1 ®1 − « A ¾ » z La ° ¬ σ i − σ 3 ¼ °¿ ¯

Fcor FMat

0, 44

C1(W/m )

Abschätzung der Blasenfeldlänge

PER = C 2

· ¸ ¸ ¹

Erosion

aRef = 1490 m/s 3 ρ”Ref = 0,0173 kg/m

CNL Re f = NL

Gl.

§ ρ" ¨ ¨ ρ" © Re f

pRef = 1 N/m LRef = 10 mm αRef = 24 ppm

Erosionsrate aus Flüssigkeitsschall (Messung von NL oder CV und Gl. 6.1.7)

Fcor

Material

6.1.8

ER = PER/UR in m/s (Erosionsrate) e = Schaufelstärke in m τ = auf gesamte Lebensdauer bezogene 6.1.9 Betriebsdauer bei verschiedenen Betriebsbedingungen („Lastspektrum“) L für 0,4 ≤ erf ≤ 1,5 Lerf = geforderte 6.1.10 L erw Lebensdauer

W ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Lerf erreicht wird. Verwendbar für Gl. (6.1.2), (6.1.6), (6.1.13) Alle Einheiten im SI-System Bei doppelflutigen Laufrädern ist 2×zLa einzusetzen (wenn zLa pro Seite gilt)

326

6 Saugverhalten und Kavitation

Gl.

Tafel 6.1 (2): Abschätzung des Risikos von Kavitationsschäden rH =

S αT 8 π (1 - α T )

pi =

Deckelmaterial αT

C5 rH a CNL Ref r 2

u1 1 + rH 2 x

Plexiglas

0,23

Stahl

0,16

6.1.11 6.1.12

Erosionsrate -1 aus Implosions- C5 = 2500 m ; S = schallabsorbierende Flächen rx = Abstand zwischen Laufrad und Meßaufnehmer, rH = Hallradius druck pi 3 2 -28 W F § p · für pi >70 N/mm 6.1.13 PER = C3 cor ¨¨ i ¸¸ C3 = 8,5 ⋅10 2 bei rostfreiem Stahl m FMat © p Re f ¹ Saugfläche Blasenfeldlänge aus Kavitationsschall Druckfläche

0,52

§ I Lcav = 5,4 ⋅105 ¨¨ ac LRe f © IRe f

· ¸ ¸ ¹

§ I Lcav = 3,9 ⋅ 105 ¨¨ ac LRe f © IRe f

· ¸ ¸ ¹

§ ΔpRe f ¨¨ © Δp

0,56

§ ΔpRe f ¨¨ © Δp

1,06

· ¸¸ ¹

§ a Re f · ¨ ¸ © a ¹

1,15

· ¸¸ ¹

0,35

§ α ¨ ¨α © Re f

0,38

§ a Re f · ¨ ¸ © a ¹

§ α ¨ ¨α © Re f

· ¸ ¸ ¹

0,13

· ¸ ¸ ¹

§ ρ" ¨ ¨ ρ" © Re f

0,14

§ ρ" ¨ ¨ ρ" © Re f

· ¸ ¸ ¹

0,15

6.1.14a 0,17

· ¸ ¸ ¹

0,33 0,91 Implosionsdruck 0,15 0,12 §L · § a · § ρ"Re f · § α Re f · ¸ ¨¨ ¸¸ ¨ aus Blasenfeld- pi = C 4 (p1 − p v ) ¨¨ cav ¸¸ ¨¨ ¸ ¸ © ρ" ¹ © α ¹ © L Re f ¹ © a Re f ¹ länge 0 , 333 Erosion Implosionsdruck C4 · §P F aus Erosionsp i = 1,1 ⋅10 9 ¨¨ ER Mat ¸¸ p Re f Saugfläche 18 © I Re f Fcor ¹ messung Druckfläche 67 ErosionsFür ferritische Stähle in pi,ES = FS = (0,054 bis 0,15) Rm schwellwert Süßwasser oder Deionat

Relative Erosionsrate

ε=

E R ,2

§ NL 2 =¨ E R ,1 ¨© NL1

· ¸ ¸ ¹

2,92

§ CV2 = ¨¨ © CV1

· ¸ ¸ ¹

6.1.14b

6.1.15

6.1.16 6.1.17

2,92

6.1.18

6.7 Die Wahl des Zulaufdruckes in der Anlage (NPSHA) Wie ausführlich dargelegt (s. auch Abb. 6.9, 6.10 und 6.14), erscheinen ausgedehnte Blasenfelder lange bevor ein meßbarer Förderhöhenabfall, wie z.B. NPSH3, wahrzunehmen ist. Um Lärm, Schwingungen und Erosionsschäden vorzubeugen, wird daher der Zulaufdruck in der Anlage – der NPSHA-Wert – in den meisten Anwendungen deutlich über dem NPSH3-Wert eingestellt (eine Ausnahme bildet die in Kap. 11.2 besprochene Kavitationsregelung). Wesentliche Gesichtspunkte für die Festlegung des NPSHA-Wertes sind:

• • • • •

die Umfangsgeschwindigkeit u1 am Laufradeintritt das Laufradmaterial das Fördermedium sowie dessen Temperatur und Gasgehalt der verlangte Betriebsbereich (z.B. bei Teillastrezirkulation oder bei Q > QSF) die Eigenschaften der Pumpe, die Güte des Sauglaufrades und die Zulaufbedingungen.

Betrachtet man eine gegebene Pumpe, deren erforderliche NPSH-Werte gemäß den verschiedenen Kavitationskriterien als Funktion der Drehzahl und des Förder-

6.7 Die Wahl des Zulaufdruckes in der Anlage (NPSHA)

327

stromes bekannt sind, ist in der Anlage ein NPSHA-Wert bereitzustellen, der den sicheren Betrieb der Pumpe gestattet (s. Tafel 2.2). Um den NPSHA-Wert zu vergrößern, gibt es verschiedene Möglichkeiten: 1. 2. 3. 4.

Pumpe tiefer oder Saugbehälter höher aufstellen Verringerung der Druckverluste in der Saugleitung Einbau einer Vorpumpe Druck im Gaspolster über Saugwasserspiegel erhöhen.

Geht man umgekehrt von einem gegebenen NPSHA-Wert aus, ist die einzusetzende Pumpe so auszuwählen, daß ein störungsfreies Arbeiten der Pumpe im ganzen Lastbereich gewährleistet ist. Die Kriterien für störungs- und schadensfreien Betrieb sind: K1: Erfüllung des geforderten Betriebsbereiches, z.B.: kann der maximal verlangte Förderstrom gefahren werden? (Kap. 11). K2: Vermeidung unzulässiger Schwingungen, Pulsationen und Geräusche. K3: Begrenzung des Kavitationsabtrages, bzw. Erreichen der geforderten Lebensdauer des Laufrades. Tafel 6.2 zeigt, wie man den NPSHA-Wert für verschiedene Anwendungsfälle festlegen kann. Betont sei, daß derartige Angaben nur grobe Empfehlungen darstellen können, die häufig konservativ sein mögen, anderseits in Problemfällen keine Schadensfreiheit garantieren können. Erläuterungen zu Tafel 6.2:

• Ein ungeeignetes Laufrad, ungünstige Zulaufbedingungen oder Eintrittsgehäuse, ausgedehnter Teillast- oder Überlastbetrieb erfordern einen höheren NPSHA-Wert. • Je nach Fluid können ggf. kleinere NPSHA ausreichend sein. • KWS bezeichnen Kohlenwasserstoffgemische mit verschiedenen Siedekurven oder andere Flüssigkeiten, die schwache Implosionsenergien freisetzen, bei denen also gemäß Gl. (6.24) etwa ΔTu > 5°C gilt. • Kriterium K1 ist selbstverständlich in allen Anwendungen zu erfüllen. • Voraussetzung für die Anwendung von Tafel 6.2 ist der Einsatz eines geeigneten Werkstoffes. Die Angabe „Cr-Ni-Stahl“ bedeutet, daß ein gleich- oder höherwertiger Werkstoff als 1.4317 (G-X5 Cr Ni 13 4) einzusetzen ist. • Bei korrosiven Medien sind Zuschläge zum berechneten NPSHA-Wert nötig. • Bei Umfangsgeschwindigkeiten über 50 m/s steigt das Risiko von Kavitationsschäden rasch an – auch wenn man hochvergütete Chrom-Nickel-Stähle einsetzt. Nur begrenzte Blasenfeldlängen können dann zugelassen werden. Ab u1 = 75 bis 80 m/s muß die Pumpe praktisch blasenfrei betrieben werden. Die Erosionsgefahr läßt sich anhand der in Kap. 6.6.3 bis 6.6.8 besprochenen Methoden beurteilen. Dies erfordert stroboskopische Blasenbeobachtungen, Kavitationsschallmessungen oder zuverlässige Vorausberechnung der Blasenfeldlänge oder des NPSHi-Wertes.

328

6 Saugverhalten und Kavitation

• Für den Chrom-Nickelstahl 1.4317 wurde nach Tafel 6.1 die Blasenfeldlänge ermittelt, die maximal zulässig ist, wenn eine Laufradlebensdauer von 40'000 h erreicht werden soll. Für die Berechnung wurde ein Metallabtrag von 6 mm in 40’000 Stunden angenommen. Das Ergebnis ist in Abb. 6.36 dargestellt; für andere Verhältnisse kann nach Gl. (6.31) umgerechnet werden, wenn man nicht die Berechnung nach Tafel 6.1 vorzieht. 0.7

­° R m ½° Lca ,al = Lcav,graph ® ¾ °¯ R m, Re f °¿

0.35

­ I L, Re f Δe ½ ® ¾ ¯ IL ΔeRe f ¿

Rm,Ref = 800 N/mm2 IL,Ref = 40’000 h ΔeRef = 6 mm.

(6.31)

• Bei Pumpen mit ungünstigen Zuströmverhältnissen und großen schallabstrahlenden Gehäuseflächen (ggf. mit geringer Wandstärke) kann der Lärmpegel infolge Kavitation kräftig ansteigen. Sind Lärmgarantien einzuhalten, sollte man den NPSHA-Wert so wählen, daß die Pumpe genügend weit oberhalb NPSHo arbeitet, weil gemäß Kap. 6.5.2 das Maximum des Kavitationslärmes nahe bei NPSHo zu erwarten ist. • Bei besonders kritischen Fällen sind genauere Analysen und weitere Zuschläge angezeigt. • Günstige Betriebserfahrungen mit einer gegebenen Pumpe bei gleicher Anwendung (u1, Lastbereich, Fluid) können kleinere NPSHA rechtfertigen. Mitunter ist es zweckmäßig, das Verhältnis des NPSHA- zum NPSH3Wert als Sicherheitszuschlag FNPSH auszudrücken. Dieser Wert läßt sich leicht ermitteln, wenn man NPSHA aufgrund von Tafel 6.2 festgelegt hat. 200

Kaltwasser Gasgehalt 24 pp m oder Kesselwasser über 140 °C Kaltwasser Gasgehalt 0.05 ppm

Lcav,zul [mm]

150

100

50

0 0

50

100

150

NPSHA [m] Abb. 6.36. Zulässige Blasenfeldlänge als Funktion des NPSHA-Wertes für Stahl 1.4317

6.7 Die Wahl des Zulaufdruckes in der Anlage (NPSHA)

329

Tafel 6.2 Festlegung des NPSHA-Wertes u1 (m/s) < 10

< 20

Fluid Alle

Kriterien Festlegung des NPSHA-Wertes NPSHA ≥ 1,25 NPSH3 mindestens: NPSHA = NPSH3 + 0,5 m K1 (K2) Ziel: Betriebsbereich sichern; Toleranzen und Kohlenwasserstoffe Unsicherheiten abdecken (außer Benzin u. ähnl.)

σA ≥ σ3 + FR FF {0,05 + 2 (u1/uRef)3} uRef = 100 m/s. Nur sinnvoll für σA < σi

10 ÷ 50

Wasser K2, K3

20 ÷ 60

KWS

Wasser

K3

Cr-Ni-Stahl

K1

> 60

KWS Cr-Ni-Stahl

K1 K2

> 75

Wasser T < 200 °C Cr-Ni-Stahl

K1 K3

50 ÷ 75

10÷25 > 25

Entgastes Wasser K2 α < 5 ppm, T < 100 °C Cr-Ni-Stahl K3

Fluidfaktoren FF 1,0 Wasser α > 5 ppm; t < 200 °C Meerwasser, korrosive Medien ≥ 1,15 0,75 KWS ΔTu > 5 °C Risikofaktoren FR Betrieb bei 0,8 < q* < 1,1 1,0 Betrieb bei Teillastrezirkulation oder 1,2 Druckflächenkavitation bei Q > QSF Ungünstige Zulaufverhältnisse ≥ 1,1 Blasenfeldlänge, Kavitationsschall oder Betriebserfahrungen unter gleichen Bedingungen müssen bekannt sein, um auf ausreichende Laufradlebensdauer überprüfen zu können, Tafel 6.1 Blasenvolumen ist zu begrenzen, um unzulässige Schwingungen, Pulsationen und Lärm zu vermeiden NPSHA ≥ NPSHi Praktisch blasenfreier Betrieb ist notwendig, sonst in kurzer Zeit Schäden. 3 σA ≥ σ3 + FR FF {0,05 + 2 (u1/uRef) } uRef = 100 m/s Sehr erosiv; Blasenvolumen oder ggf. Kavitationsschall begrenzen, Tafel 6.1

KWS = Kohlenwasserstoffe Der Sicherheitszuschlag auf NPSH3 ist definiert als FNPSH =

NPSH A σA = NPSH 3 σ3

Der nach Tafel 6.2 bestimmte Wert für NPSHA ist nur dann ausreichend, wenn folgendes beachtet wird: 1. Das Laufrad ist im Bestpunkt für einen Anstellwinkel von i < 3° (bis 5°) ausgelegt. 2. Die Zuströmung ist einigermaßen gleichmäßig (Kriterien werden in Kap. 11.7.3 gegeben) 3. Keine übermäßigen Wirbelzöpfe im Eintrittsgehäuse. Achtung: Das obige Verfahren ist rein empirisch. Es kann keine Schadensfreiheit garantieren. In anderen Fällen kann es konservativ sein.

Gemäß Abb. 6.14 ist - je nach Laufradauslegung - bei einem gewählten Wert von FNPSH mit ganz unterschiedlichen Blasenfeldlängen zu rechen. Das bedeutet entsprechend auch unterschiedliche Risiken bezüglich Lärm, Schwingungen und Erosion.

330

6 Saugverhalten und Kavitation

6. 8 Kavitationsschäden: Analyse und Abhilfe 6.8.1 Aufnahme des Schadens und der Betriebsparameter Um geeignete Maßnahmen zur Lösung von Kavitationsproblemen definieren zu können, ist eine sorgfältige Analyse der Betriebsbedingungen angezeigt; sie umfaßt folgende Elemente (als „Checkliste“ zu benutzen):

• Schadensbild und Ort: Laufradeintritt, Saugfläche, Druckfläche, Einlauf, Leitvorrichtung • Stärke des Angriffs: ΔEMax, LSchaden von Eintrittskante, LBeginn, Skizze, Photo • Betriebsparameter: Q, H, n, NPSHA = f(Q) • Systemkennlinie und maximaler Förderstrom • Betriebsdauer für verschiedene Betriebszustände (ggf. Histogramm) • Auslegungsdaten der Pumpe: Qopt, Hopt mit zugehöriger Drehzahl; Kennlinie mit NPSH-Kurven (Abnahmeversuch): NPSH3-Anstieg bei Teillast ? (könnte auf zu großen Laufradeintrittsdurchmesser hindeuten) • Material der Komponente: Zugfestigkeit; Materialbezeichnung (ggf. chemische Analyse) • Fördermedium: Art, Wasseranalyse; korrosive Agenzien, Temperatur, Gasgehalt • Geometrische Daten (hier für Laufrad): d2,eff, d1, dn, ß1B (außen, Mitte, Nabe), a1,a, a1m, a1i, A1q (Kartonlehre), Schaufeleintrittsprofil (Kartonlehre, Taster) • Verzögerungsverhältnisse: w1q/w1m und c3q/c2 bei Qopt, Qmax und im Betriebspunkt. • Sind die Schaufeleintrittswinkel nicht bekannt, kann man sie beurteilen nach ßA1 = arc sin (a1/t1). • Saugstutzen- oder Durchmesser der Einlauftrompete • Laufradkorrektur d2* = d2,eff/d2,nom (effektiver, nominaler Laufraddurchmesser) • Regelung der Pumpe, transiente Zustände, Störfälle (Art, Häufigkeit, Dauer) • Erhöhung der Wassertemperatur am Laufradeintritt durch Zufuhr von Spaltstrom und Entlastungswasser vor dem Laufrad; entsprechender Anstieg des Sättigungsdruckes. • Kavitationsdiagnose mit Körper- oder Flüssigkeitsschall nach Kap. 6.6.5. Zulaufbedingungen:

• Trockenaufstellung: Bögen, Abzweigstücke, Armaturen erzeugen ungleichförmige Geschwindigkeitsprofile, wenn nicht eine genügend lange Ausgleichsstrecke vorhanden ist. Zwei und mehr Bögen in verschiedenen Ebenen erzeugen Vordrall. (Abhilfe: z.B. durch Gleichrichter). • Naßaufstellung: Beobachtung der Zulaufströmung auf Oberflächenwirbel, Rotation, Bodenwirbel, luftziehende Wirbel

6. 8 Kavitationsschäden: Analyse und Abhilfe

331

• Einlaufgehäuse von Pumpen mit durchgehender Welle: Rippe dort vorhanden, wo die beiden die Welle umströmenden Teilströme zusammentreffen ? Rippen zu dick oder ungünstig profiliert ? Durch den Einlauf erzeugte Störungen steigen mit wachsendem Förderstrom. Eine ungünstige Gestaltung des Einlaufgehäuses kann Wirbelzöpfe hervorrufen oder die Laufradanströmung in unzulässigem Maße stören. Zur Analyse des Einlaufgehäuses muß man Kriterien wie Flächenverlauf und Nabenversperrung heranziehen, Kap. 7.13. 6.8.2 Kavitationsformen und typische Arten von Kavitationsschäden Kavitation kann am Laufschaufeleintritt, im Laufradkanal, an Einlaufrippen, in der Leitvorrichtung sowie im Bereich von Dichtspalten der Laufräder oder der Entlastungseinrichtung auftreten. Je nach den geometrischen Verhältnissen von Laufrad, Einlauf und Leitvorrichtung, dem Förderstrom der Pumpe und dem vorhandenen Zulaufdruck bilden sich unterschiedliche Kavitationsformen aus. 6.8.2.1 Kavitationsschäden am Laufradeintritt Am häufigsten werden Kavitationsschäden am Laufradeintritt beobachtet, weil hier die niedrigste Drücke in der Pumpe auftreten. Das Erosionsbild läßt oft Rückschlüsse auf die Schadensursache zu; typische Arten von Kavitationsformen und schäden am Laufradeintritt seien anhand Tafel 6.3 besprochen. Der Förderstrom stoßfreien Eintritts QSF und der mit dem NPSHA-Wert gebildete Kavitationsbeiwert σA sind nach den Angaben aus Kap. 6.8.1 zu berechnen, da diese Größen für die Beurteilung wesentlich sein können. • An den Schaufeln anliegende Blasenfelder, gemäß Abb. 6.5 und Abb. 6.37 (die Blasen implodieren nahe der Wand). Anliegende Blasenfelder können bei Q > QSF Schäden auf der Druckfläche und bei Q < QSF auf der Saugfläche erzeugen. Im Bereich Q ≈ QSF (oder bei wechselnden Betriebsbedingungen) können Schäden gleichzeitig auf Saug- und Druckfläche der Schaufel auftreten. • Die Schadenszone beginnt oft dicht hinter der Schaufeleintrittskante und entspricht grob der visuell beobachteten Blasenfeldlänge; sie kann aber auch länger ausfallen, wenn sich Blasen vom Blasenfeldende ablösen und stromabwärts transportiert werden. Je nach Schaufelverwindung und Anströmung können anliegende Blasenfelder Schäden über die ganze Schaufelbreite, nur außen oder nur innen erzeugen. • Bei höheren Anstellwinkeln lösen sich die Blasenfelder mehr und mehr von den Schaufeln ab, größere, wirbelartige Blasenansammlungen werden vom Blasenfeldende abgerissen und stromabwärts gespült, wo sie wegen zunehmender Druckgradienten ein hohes Schadenspotential erreichen. (Die Verzögerung am Blasenfeldende ist um so größer, je dicker das Blasenfeld ist.)

332

6 Saugverhalten und Kavitation

Tafel 6.3 Kavitationsschäden Schadensbild

Mechanismus

c Schaufelsaugfläche, Beginn nahe der Eintrittskante

i1

Anliegendes Blasenfeld auf der Saugfläche Q < QSF Schaden nahe Deckscheibe Schaden nahe Nabe

d Im Laufradkanal auf der Saugfläche

evtl. auch Druckfläche, Nabe oder Deckscheibe

i1

Kavitierende Wirbel, die sich von langen, dicken Blasenfeldern ablösen bei Q << QSF

e Schaufeldruckfläche, äußere Schaufelhälfte, Beginn nahe Eintrittskante

f Schaufeldruckfläche, äußere Schaufelhälfte, Beginn nahe Eintrittskante

i1

Anliegendes Blasenfeld an Druckfläche, Q > QSF Blasenwolken im Kanal infolge Rückströmung

g Schaufeldruckfläche nahe Nabe Lcav

Mögliche Ursachen Zu großer Anstellwinkel. Ungünstiges Eintrittsprofil. Ungünstige Strömungsverteilung vor Laufrad. β1B,a zu groß β1B,i zu groß Großer Anstellwinkel bei tiefem σA σA < 0.15 bis 0.3 NPSHA zu niedrig Ungeeignetes Material

Negativer Anstellwinkel Ungünstiges Eintrittsprofil Zu großer Förderstrom

Mögliche Abhilfe

Betrieb bei größerem Förderstrom Eintrittswinkel verkleinern. Schaufel saugseitig profilieren. Anstellwinkel durch Einlaufring verkleinern. LA-Eintrittsdurchmesser verkleinern. Mitdrall vergrößern. Verkleinern des LAEintrittsdurchmessers. Verkleinerung der Eintrittswinkel. Vergrößerung von NPSHA. Besseres Material. Ggf. Bohrungen in Schaufel Reduktion des Förderstromes Schaufeln zurückschneiden und druckseitig profilieren Eintrittsprofil verbessern

Intensive Rückströmung infolge zu starker Verzögerung (d1, A1q, β1B zu groß) q* zu klein Negativer Anstellwinkel an Nabe infolge Rezirkulation

Vergrößerung des Förderstromes Neues Laufrad mit verkleinertem d1, A1q, β1B Einlaufring: Abb. 6.39 Rezirkulation reduzieren Rezirkulation reduzieren Eintrittsprofil nachschleifen Vorrotation verringern

Eintrittswinkel falsch Übergangsradien zu groß Gestörte Zulaufströmung

Eintrittswinkel anpassen, evtl. Zurückschneiden, profilieren Übergangsradien nachschleifen

com

h Abtrag auf Nabe, Deckscheibe oder in den Übergangsradien Eckenwirbel infolge Falschanströmung

i Spaltkavitation an offenen Laufrädern

ω

ω

Schaufelkante druckseitig abrunden

6. 8 Kavitationsschäden: Analyse und Abhilfe

333

• Flache Druckverteilungen führen zu durchscheinenden Blasenfeldern geringer Dicke und somit geringer hydraulischer Kavitationsintensität, weil die Blasenvolumina klein und die Druckgradienten am Blasenfeldende schwach sind. • Die Blasen können an der Wand, in der freien Strömung oder auf der gegenüberliegenden Schaufel implodieren. Geschieht dies hinter dem Profil (z.B. bei Propellerpumpen), spricht man von „Super-Kavitation“. • Wirbelkavitation: im Zentrum eines Wirbels sinkt der Druck infolge Zentrifugalkräften; wird der Dampfdruck erreicht, bilden sich Blasen, die mit der Strömung weiter transportiert werden. Solche Wirbel entstehen in Scherschichten, als Eckenwirbel oder infolge Falschanströmung im Nabenbereich, aber auch stromabwärts anliegender oder abgelöster Blasenfelder. Solche 3-dimensionalen Effekte in den Übergangsradien zur Trag- oder Deckscheibe sind schwer abschätzbar. In diesem Bereich werden deshalb relativ häufig Schäden beobachtet, die besonders im Nabenbereich gravierend sein können (bis hin zu Anfressungen an der Welle). Mitunter ist das Gußgefüge im Übergangsbereich zwischen Schaufel und Nabe porös, so daß Lunker durch Kavitationsabtrag freigelegt werden, die zusätzlich zu Wirbelbildung und verstärkter Kavitationsblasenbildung führen. • Im Einlaufgehäuse einer Pumpe können sich lange, dampf- und gaserfüllte Wirbelzöpfe bilden, die beim Einströmen in das Laufrad von den Schaufeln geschnitten werden, Abb. 6.38, und wegen der großen Blasenvolumina ein hohes Potential für einen örtlich eng begrenzten Materialabtrag auf der Druckfläche der Schaufeln aufweisen. Dieses Problem ist primär durch Änderungen am Einlauf zu beheben. • Ablösungen hinter Rippen im Einlaufgehäuse erzeugen Wirbelstraßen, die gleichfalls zu Kavitation führen, wenn der Sättigungsdruck erreicht wird. Die Wirbelintensität steigt mit wachsendem Förderstrom. • Einzelblasen, die wie Perlen auf dem Profil erscheinen, sind in Pumpen selten. • Der Randwirbel von Propellern kann als kavitierender Wirbel auftreten, der spiralförmig von den Schaufeln abschwimmt und ggf. über eine Umdrehung stabil ist. • Spaltkavitation an offenen Laufrädern (z.B. an Propellerpumpen oder halbaxialen Laufrädern) oder dem angrenzenden Gehäuseteil, das häufig – zu unrecht aus weniger kavitationsfestem Material gefertigt wird als das Laufrad. • Teillastrückströmung erzeugt meist Schäden auf der Schaufeldruckfläche. Oft handelt es sich um relativ scharf begrenzte Zonen in der äußeren Hälfte der Schaufelbreite. Mitunter ist es aber schwierig, aus dem Schadensbild abzuleiten, ob es sich um Teillastrezirkulation oder Überlastkavitation handelt. Da auf der Druckfläche der Schaufel der örtliche statische Druck größer ist als auf der Saugfläche, und weil bei Rezirkulation oft große Blasengebilde entstehen, können rückströmungsbedingte Kavitationsschäden sehr gravierend sein. • Intensive Rückströmung bei kleinem q* kann auch Schäden auf der Schaufeldruckfläche in Nähe der Nabe verursachen: die starke Vorrotation an der Nabe

334

6 Saugverhalten und Kavitation

führt zu großen Strömungswinkeln und erzeugt eine Ablösung auf der Druckfläche, Tafel 6.3, Punkt 5. • Beim Betrieb mit sehr niedrigen Kavitationsbeiwerten (z.B. Kondensatpumpen, Vorsatzlaufräder) entstehen sehr lange Blasenfelder. Stromabwärts von ihnen lösen sich wirbelartige Blasengebilde ab, die weit in die Laufradkanäle transportiert werden und dort zu Schäden auf Saug- oder Druckfläche und an Tragoder Deckscheibe führen können. Mitunter konnten die Schäden in solchen Fällen gemildert werden, indem Bohrungen durch die Schaufelfläche im Bereich zwischen Schaufeleintrittskante und engstem Querschnittangebracht wurden. Durch solche Bohrungen strömt etwas Wasser von der Druck- zur Saugfläche, was dazu führt, daß die Blasen nicht mehr in Schaufelnähe implodieren. (In [6.43] wird über Entlastungsschlitze nahe der Eintrittskante berichtet.)

Abb. 6.37. Anliegende Blasenfelder Sulzer Pumpen AG

Abb. 6.38. Wirbelzopf aus Einlauf von Schaufel geschnitten, Sulzer Pumpen AG

Wie in Kap. 6.1.2 besprochen, sind nur die Blasen schadenswirksam, die nahe an der Materialoberfläche implodieren. Daher können bereits kleine Änderungen in der Strömungsform, als deren Folge sich der Abstand des Implosionsortes vom Werkstoff ändert, einen großen Einfluß auf das Schadensausmaß ausüben. So bestätigt die Erfahrung, daß das Erosionsbild von Schaufel zu Schaufel stark variieren kann, auch wenn die geometrischen Toleranzen der Schaufelgeometrie mitunter kaum erfaßbar sind. Dies gilt besonders für den Kavitationsbeginn. 6.8.2.2 Kavitationsschäden am Laufradaustritt, in der Leitvorrichtung oder im Eintrittsgehäuse Wenn auch Kavitationsschäden am häufigsten am Laufradeintritt beobachtet werden, treten Erosionen mitunter auch an anderen Orten auf:

• Lokal begrenzte Schäden am Laufradaustritt treten in seltenen Fällen bei Hochdruckpumpen an den Schaufelaustrittskanten und/oder auf den angrenzenden

6. 8 Kavitationsschäden: Analyse und Abhilfe

•

•

•

•

335

Radscheiben auf. Sie werden durch instationäre Übergeschwindigkeiten erzeugt, die entstehen, wenn die Laufschaufeln an den Leitschaufeln (oder der Spiralenzunge) vorbeilaufen (Kap. 10.1). Als Abhilfe kommen die druckseitige Profilierung oder eine Vergrößerung des Abstandes zwischen Laufschaufeln und Leitapparat in Frage. Bei der Abstandsvergrößerung ist Vorsicht geraten, weil sie den Bestpunkt verschieben und die Kennlinie instabil machen kann. Ist das Problem auf diese Weise nicht zu lösen, wäre eine Neuauslegung des Laufrades mit niedrigerer Schaufelbelastung am Austritt in Betracht zu ziehen. Lokal begrenzte Schäden an den Leitschaufeleintrittskanten oder am Spiralensporn sind meist (wie beim Laufradaustritt) auf instationäre Übergeschwindigkeiten aus der Laufradabströmung zurückzuführen. Derartige Schäden treten meist bei Teillastbetrieb auf. Neben druckseitiger Profilierung der Laufschaufelaustrittskanten und Abstandsvergrößerung wäre der Leitschaufeleintritt oder der Spiralensporn strömungsgünstiger zu profilieren, wenn die Schäden nahe der Eintrittskante auftreten (z.B. elliptische Profile). Ansonsten wäre ein besseres Material zu wählen, Kap. 14. Großflächige Schäden im Austrittsbereich der Laufradkanäle und im Leitrad lassen auf Betrieb mit Vollkavitation schließen. Bei hohen Umfangsgeschwindigkeiten können Materialanfressungen bei Vollkavitation bereits nach kurzer Dauer auftreten (z.B. infolge von Fehlmanipulationen oder transienten Zuständen). Eine drehzahlgeregelte Pumpe kann auch in Vollkavitation geraten, wenn sie beim Auslegungsförderstrom mit reduzierter Förderhöhe arbeiten soll (Pumpe überdimensioniert bzw. Anlagenbedarf überschätzt oder geändert): die Drehzahl wird entsprechend dem Enddruck reduziert; die NPSH3-Kurve verschiebt sich folglich zu kleinerem Förderstrom (s. Abb. 11.5); Q/QSF steigt und die NPSHA- und NPSHvk-Kurven schneiden sich im Betriebspunkt. Bei einer überdimensionierten mehrstufigen Pumpe ist die dadurch bedingte Förderhöheneinbuße der ersten Stufe im Betrieb kaum bemerkbar. Zur Abhilfe sind Betriebsweise und Regelung der Pumpe einschl. Transienten zu analysieren. Danach ist zu entscheiden, ob die Betriebsführung geändert werden kann oder ein neues Laufrad für entsprechend größeres QSF auszulegen ist. Kavitationsschäden im Einlaufgehäuse werden meist durch Teillastrückströmung verursacht. Im Dichtspaltbereich kann Spaltkavitation hinzutreten. Die durch die Rezirkulation erzeugten Blasen können Materialabtrag an Rippen oder am Gehäusemantel vor dem Saugmund hervorrufen. Sind die beschädigten Teile aus Grau- oder Sphäroguß, schafft ein kavitationsfesteres Material Abhilfe. Mitunter genügt es, die Rippen zurückzuschneiden und zu profilieren. Ist das Laufrad falsch ausgelegt bzw. für die effektiven Betriebsbedingungen ungeeignet, kommen die im Kap. 6.8.3 besprochenen Maßnahmen in Betracht (s. auch Tafel 6.3). Daneben läßt sich mitunter eine Verbesserung durch einen Einlaufring oder Eintrittsdiffusor nach Abb. 6.39 erreichen. Bei offenen Laufrädern kann Spaltkavitation Schäden am gegenüberliegenden Gehäuseteil verursachen, besonders, wenn Grauguß oder Sphäroguß eingesetzt wurde. Zur Abhilfe ist ein besseres Material einzusetzen (ganzes Teil auswech-

336

6 Saugverhalten und Kavitation

seln, Einsatzring oder Auftragsschweißung, wenn schweißbares Material eingesetzt wurde). • Spaltkavitation in Dichtspalten am Laufrad oder Entlastungsorganen. a)

b)

c)

d)

ϑ

dR

Abb. 6.39. Verbesserung des Teillastverhaltens bei überdimensioniertem Laufradeintritt, [6.17]. a mit Laufrad rotierender Ring; b Blende; c Eintrittsdiffusor; d Rezirkulationsbremse, [6.35]

6.8.3 Behebung von Kavitationsschäden Tafel 6.3 gibt eine Übersicht über Schadensbilder, mögliche Schadensmechanismen, Ursachen und Abhilfemaßnahmen. Neben den aufgeführten Maßnahmen lassen sich alle Arten von Kavitationsschäden verringern durch: 1. Erhöhung des NPSHA-Wertes, um das Blasenvolumen zu verringern. Diese Maßnahme ist stets günstig, obwohl die treibende Druckdifferenz mit zunehmendem NPSHA steigt. 2. Einsatz eines kavitationsfesteren Materials. Wurde das beschädigte Bauteil aus Grauguß, Sphäroguß oder Bronze hergestellt, ist es in den meisten Fällen angezeigt, ein besseres Material einzusetzen, weil es selten möglich sein dürfte, das Blasenvolumen durch Änderung der strömungsführenden Komponenten genügend zu verringern. 3. Wurden bereits hochfeste Chrom-Nickel-Stähle eingesetzt, sind Verbesserungen durch ein anderes Material nur begrenzt möglich. Durch Vergütung auf höhere Zugfestigkeit, Wahl einer anderen Legierung oder durch Sonderwerkstoffe läßt sich der Kavitationswiderstand etwas erhöhen. Entsprechende Verbesserungen können anhand von Tafel 6.1 quantitativ beurteilt werden. 4. Überprüfung und ggf. Optimierung der Laufradauslegung, d.h. Optimierung von Eintrittsdurchmesser, Eintrittswinkel und Winkelverlauf, Meridianschnitt, Schaufelprofil, Verzögerungsverhältnis. 5. Liefert der Einlauf eine nichtrotationssymmetrische Zuströmung, führt eine Optimierung des Laufrades nicht unbedingt zum Ziel. 6. Beim Betrieb mit großen Blasenvolumina, d.h. bei σA < 0,3 bis 0,35 besteht die Abhilfe häufig in einem kavitationsfesteren Material, weil das Blasenvolumen nicht genügend reduziert werden kann – es sei denn, der Anstellwinkel wurde wesentlich zu groß gewählt. Das Schaufeleintrittsprofil übt bei großen Blasenfeldlängen nur einen geringen Einfluß aus.

6.9 Ungenügende Saugfähigkeit: Analyse und Abhilfe

337

7. Wurde Teillastrezirkulation als Ursache ermittelt, sind folgende Maßnahmen zu erwägen: A. Reduktion des Laufradeintrittsdurchmessers (aber maximal verlangten Förderstrom beachten) B. Verringerung des Laufradeintrittsdurchmessers durch Einbau eines rotierenden Ringes, einer Blende oder eines Einlaufringes mit Diffusor (Abb. 6.39). Aus [6.23] und [6.17] lassen sich folgende Empfehlungen für die Dimensionierung ableiten: dR/d1 = 0.93 bis 0.96 für ν = dn/d1 > 0,35 dR/d1 = 0.90 bis 0.95 für axialen Zulauf mit ν = 0 ϑ = 5 bis 10° dR ist der kleinste Durchmesser des Einlaufringes, ϑ ist der halbe Öffnungswinkel des Diffusors, Abb. 1.13. Bei Spaltkavitation an offenen Laufrädern läßt sich die Übergeschwindigkeit im Spalt (d.h. die Strahleinschnürung) verringern, wenn man die Schaufelkante nach Tafel 6.3 druckseitig abrundet, [6.25].

6.9 Ungenügende Saugfähigkeit: Analyse und Abhilfe Stimmt die gemessene Saugkurve NPSH3 = f(Q) nicht mit dem Sollwert überein, oder will man versuchen, die Saugfähigkeit zu verbessern, kann das Problem anhand von Tafel 6.4 analysiert werden. Bevor man Korrekturen am Laufrad ausführt, sollten folgende Überprüfungen vorgenommen werden: 1. Wie bei der Analyse von Leistungsdefiziten sind die Messungen zu prüfen und der Laufradeintritt auszumessen; hierzu gibt Kap. 4.6 Hinweise. 2. Bei allen NPSH-Versuchen ist sorgfältig darauf zu achten, daß die Messungen nicht durch Luftausscheidung verfälscht werden. 3. Pumpenzulauf nach Kap. 11.7 überprüfen.

338

6 Saugverhalten und Kavitation

Tafel 6.4 Analyse von NPSH-Problemen Problem/Befund

Mögliche Ursachen

1. Luftausscheidung, wenn saug1. NPSH bei q* > 1 zu groß (bei q* < 1 seitig zu stark gedrosselt korrekt) 2. A1q zu klein, β1B zu klein 3. Kavitation im Leitapparat 4. Vordrall 5. Zuviel Leckage (Qsp, QE) Eintrittsdurchmesser d1 oder A1q 2. NPSH3 steigt bei Teillast (NPSH3 zu groß bei q* >> 1 zu tief)

Mögliche Abhilfen

1. Versuchsdrehzahl erhöhen, Unterwasserventil, Entgasen 2. Schaufeleintritt zurückschneiden und druckseitig profilieren 3. A3q vergrößern (Bestpunktverschiebung!) 4. Zuströmung prüfen Evtl. Einlaufring, Abb. 6.39 Zuströmwinkel β1 analysieren, vgl. Tafel 7.1 Ggf. neues Laufrad

3. NPSH3 bei allen q* 1. A1q zu klein, β1B zu klein zu hoch (Schaufel zu lang) 2. Bearbeitungszugabe nicht genügend entfernt, falsch angebracht

1. Schaufeleintritt zurückschneiden und druckseitig profilieren 2. Laufrad sorgfältig vermessen, ggf. korrigieren

3. Eintrittsverluste zu groß 4. Kavitationslärm bei Teillast

Zu starke Eintrittsrezirkulation (Eintrittsdurchmesser d1 oder A1q zu groß)

Evtl. Einlaufring nach Abb. 6.39

5. Kavitationslärm bei q* > 1

1. Pumpe läuft zu weit rechts vom Bestpunktförderstrom

1. Betriebspunkte messen

2. Ungünstiger Einlauf mit über den Umfang variierender Eintrittsgeschwindigkeit

2. Evtl. Einlaufring nach Abb. 6.39

3. Rippen im Einlauf zu dick (Wir- 3. Profilieren nach Tafel 10.13 belablösung von Rippe) 4. Gestaltung des Einlaufes oder 4. Wirbelbildung im Sumpf Pumpensumpfes analysieren 6. NPSH3 bei Teillast zu hoch (axialer Zulauf)

1. Saugdruck-Falschmessung infolge Vordrall 2. Übergroßer LAEintrittsdurchmesser 3. Zu hohe Schaufelbelastung am Eintritt bei Laufrad mit hohem nq

7. NPSH3-Kurve weist bei Teillast eine Spitze auf

Strömungsumschlag im Laufradkanal, der durch Kavitationsblasenfeld beeinflußt wird

1. Vor Gleichrichter oder Kreuz messen, Kap. 5.2.4 u. Abb. 5.16 2. Eintrittsring nach Abb. 6.39 3. Neues Laufrad Kap. 5 Lit. [6.26] Ggf. neues Laufrad

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

7.1 Methoden und Randbedingungen 7.1.1 Methoden zur Entwicklung hydraulischer Komponenten In diesem Kapitel werden eindimensionale Berechnungsverfahren und Entwurfsmethoden für Laufräder, Spiralgehäuse, Leiträder und Einlaufgehäuse behandelt. Bei der Entwicklung dieser Komponenten berechnet man zunächst die Hauptabmessungen und Schaufelwinkel und konstruiert dann die hydraulischen Konturen aufgrund bestimmter Regeln und Methoden. Bei vielen Pumpenherstellern werden für diese Arbeiten Rechenprogramme eingesetzt und die Zeichnungen auf 2DCAD-Systemen erstellt. Doch auch diese Verfahren werden mehr und mehr durch 3D-CAD-Systeme verdrängt, mit denen sich voll dreidimensionale Geometriemodelle eines Bauteils erstellen lassen (Abb. 2.2a, u. 7.45). Mittels solcher Modelle können die komplexen hydraulischen Kanäle weit besser beurteilt werden als mit der herkömmlichen zweidimensionalen Darstellung in verschiedenen Schnitten und Ansichten. Noch wichtiger ist indes die Möglichkeit, die so entworfenen hydraulischen Komponenten oder deren Gußmodelle durch NC-Fräsen, Stereolithographie und andere „fast prototyping“-Verfahren herstellen zu können, [7.1]. Die Vorteile solcher Verfahren hinsichtlich Geometrietreue und Durchlaufzeiten (z.B. auch für Modellversuche mit gefrästen oder stereolithographierten Bauteilen) liegen auf der Hand. Da Entwürfe am Zeichenbrett eher die Ausnahme bilden, kann bei der Besprechung der Konstruktionsmethoden auf eine detaillierte Beschreibung geometrischer Operationen verzichtet werden. Vielmehr sei das Grundsätzliche der Entwurfsverfahren betont, das auch zum Verständnis der Arbeitsweise von Rechenprogrammen dienlich ist. Die Entwicklung hydraulischer Komponenten umfaßt im allgemeinen folgende Schritte: 1. Berechnung der Hauptabmessungen und Schaufelwinkel nach eindimensionalen Methoden aufgrund empirischer Korrelationen für Abströmbeiwerte und hydraulische Wirkungsgrade, (basierend auf Datenbanken und Erfahrung). 2. Erstellung eines ersten Entwurfes. 3. Bei Laufrädern eventuell: Voroptimierung des Entwurfes mittels Quasi-3DVerfahren („Q-3D“, s. Kap. 8.2). 4. Überprüfung oder Optimierung mittels 3D-Navier-Stokes-Programmen, wobei nötigenfalls die Geometrie solange geändert wird, bis man ein befriedigendes Ergebnis erzielt.

340

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

5. Werks- oder Modellversuche zur Überprüfung und – soweit nötig – Nachoptimierung. Man kann auch Schritt (3) überspringen, weil Q-3D-Verfahren mit Geschwindigkeits- und Druckverteilungen arbeiten, die erheblich von der Realität abweichen können (Kap. 8.2). Wirkungsgrad, Förderhöhe, Teillastverhalten und Kavitation hängen von den örtlichen Geschwindigkeitsverteilungen ab, die in einfachen Berechnungs- und Entwurfsverfahren nicht erfaßt werden. Deshalb sind alle eindimensionalen Auslegungsverfahren und Gestaltungsregeln mit Unsicherheiten behaftet – auch wenn sie aus einer großen Zahl von Versuchen abgeleitet wurden. Letztlich macht die Kombination der verschiedenen Geometrieparameter und die Formgebung der Kanäle und Schaufeln eine gute Hydraulik aus, und derartige Effekte lassen sich nicht in eindeutige Regeln pressen. Die „Erfahrung“ spielt beim hydraulischen Entwurf noch immer eine maßgebliche Rolle: empirische Korrelationen, statistische Datensammlungen oder „Auslegungs-Systematiken“ bilden die Grundlage der überwiegenden Mehrzahl aller auf dem Markt erhältlichen Pumpen. Die veröffentlichten Auslegungsempfehlungen weisen zum Teil erhebliche Unterschiede auf; die nach unterschiedlichen Methoden entworfenen hydraulischen Komponenten können dennoch zu durchaus gleichwertigen Ergebnissen führen. So können für eine spezifische Förderaufgabe Laufräder mit sehr verschiedenen Auslegungsparametern (z.B. Schaufelwinkel, Schaufelzahl, Austrittsbreite, Schaufelverwindung usw.) ausgeführt werden, die den gleichen Wirkungsgrad und die gleiche Druckzahl erreichen. 7.1.2 Hydraulische Anforderungen Je nach Pumpentyp und Einsatzbereich sind beim Entwurf hydraulischer Komponenten eine Reihe von Anforderungen und Randbedingungen zu erfüllen, über die man sich tunlichst vor Beginn der Arbeit gründlich Rechenschaft gibt (selbstverständlich sind nicht alle im folgenden aufgelisteten Punkte in jedem Anwendungsfall besonders zu beachten): 7.1.2.1 Die Berechnung erfolgt grundsätzlich für den Wirkungsgrad-Bestpunkt, definiert durch: Qopt, Hopt bei einer spezifizierten Drehzahl n. Fallen die geplanten Hauptbetriebspunkte QB in der Anlage nicht mit dem Bestpunkt zusammen, ist Qopt so zu wählen, daß möglichst die Bedingung 0,8 < QB/Qopt < 1,1 erfüllt wird. 7.1.2.2 Der maximale Förderstrom Qmax ist im Hinblick auf das Kavitationsverhalten zu definieren. Hierzu muß die geplante Betriebsweise bekannt sein (wichtig z.B. bei Parallelbetrieb, Kap. 11.1) 7.1.2.3 In vielen Fällen bestimmen die vorhandenen Zulaufverhältnisse (NPSHA) die Auslegung entscheidend, vGl. hierzu auch Kap. 15. 7.1.2.4 In den meisten Anwendungen wird eine mit abnehmendem Förderstrom stetig steigende („stabile“) Kennlinie verlangt.

7.1 Methoden und Randbedingungen

341

7.1.2.5 Die Nullförderhöhe Ho wird häufig mit Rücksicht auf die Rohrleitungskosten begrenzt. Bei nq < 40 wird oft ein Anstieg 1,2 < Ho/Hopt < 1,25 gewünscht (möglichst nahe bei – aber nicht tiefer als – 1,2). 7.1.2.6 Bei halbaxialen und axialen Pumpen nq > 100 sind sowohl der Nulldruck als auch die Leistungsaufnahme Po bei Q = 0 möglichst tief zu halten (bei Po > Popt bestimmt Po die Motorgröße). 7.1.2.7 Das Kavitationsverhalten muß nach Kap. 6.7 drei Kriterien erfüllen: (1) Der geplante Betriebsbereich muß gefahren werden können. (2) Kavitationslärm und Schwingungen sind zu begrenzen. (3) Es sollen keine Kavitationsschäden auftreten. 7.1.2.8 Um die Pumpengröße und die Kosten zu reduzieren, wählt man die Druckzahl häufig eher an der oberen Grenze – außer in Fällen, wo explizit eine steile Kennlinie verlangt wird. 7.1.2.9 Mit Rücksicht auf die Energiekosten (und zur Schonung der Ressourcen) ist ein möglichst hoher Wirkungsgrad anzustreben (häufig werden die Energiekosten kapitalisiert und mit 2000 bis 4000 € pro kW Pumpenleistung bewertet). 7.1.2.10 Die hydraulische Gestaltung wird – mitunter tiefgreifend – durch konstruktive Erfordernisse beeinflußt: das Konstruktionskonzept, wie es im Längsschnitt durch die Pumpe zum Ausdruck kommt, den Wellendurchmesser (Kriterien: Drehmoment, Durchbiegung infolge Schwerkraft oder Radialschub, kritische Drehzahl), die Laufradbefestigung (aufgeschoben, geschrumpft, Wellenschutzhülsen), die Spaltspiele, die Axialschubentlastung (Leckage), und die Fertigungskosten. 7.1.2.11 Hydraulische Erregerkräfte und Druckpulsationen sind auf ein zulässiges/minimales Maß zu begrenzen. Eine Pumpe ist also keinesfalls nur für den Bestpunkt zu optimieren, sondern der ganze Betriebsbereich von Q = 0 bis Qmax muß bei der Auslegung implizit berücksichtigt werden. Da es keine umfassende Theorie gibt, die allen aufgelisteten Anforderungen gerecht wird, basieren die hydraulische Auslegung und der erste Entwurf wohl in den meisten Fällen – explizit oder implizit – auf Erfahrung, Datenbanken, empirischen Ansätzen und ähnlichen, bereits ausgeführten Hydrauliken. Auch wenn im Laufe der Optimierung numerische Verfahren eingesetzt werden, erfolgen Auslegung und Erstentwurf tunlichst nach derartigen Grundlagen, weil Teillast- und Kavitationsverhalten in einem breiten Betriebsbereich mittels Numerik noch unzureichend beherrscht werden. 7.1.3 Rechenmodelle Im Zuge der eindimensionalen Auslegung werden Hauptabmessungen und Schaufelwinkel von Laufrad und Leitapparat so ausgelegt, daß die oben aufgelisteten Anforderungen möglichst gut erfüllt werden. Bei dieser Berechnung kann man Laufrad und Leitrad entweder als „Schaufelgitter“ oder als „Strömungskanäle“

342

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

idealisieren. Beide Modellvorstellungen haben ihre Berechtigung und sollen daher kurz skizziert werden: Gittermodell: Laufrad und Leitrad werden als Schaufelgitter betrachtet; die Berechnung konzentriert sich folglich darauf, die geometrischen Schaufelwinkel und die Strömungswinkel optimal aufeinander abzustimmen. Die Auslegung basiert entsprechend auf den Geschwindigkeitsvektoren, Anstellwinkeln und dem Abströmbeiwert. Bei Teillast und Überlast werden Verluste infolge Falschanströmung („Stoßverluste“) als maßgebend angesehen. Auch der Ansatz nach Gl. (6.10) geht von der Vorstellung umströmter Profile aus. C. Pfleiderer kann als Repräsentant dieser Betrachtungsweise gelten, [B.1]. Kanalmodell: Laufrad und Leitrad bestehen aus Kanälen, deren Querschnitte sich entlang der Strömungsrichtung verändern. Verzögerungs- oder Beschleunigungsverhältnisse sind demnach die maßgeblichen physikalischen Größen (anstelle der Anstell- und Deviationswinkel). Im Gegensatz zum Gittermodell arbeitet man nicht ausschließlich mit Geschwindigkeitsvektoren sondern mit den Geschwindigkeiten, die sich nach der Kontinuitätsgleichung mit dem jeweils betrachteten Querschnitt als Q/A ergeben. Ein vollständiges Berechnungsverfahren nach dem Kanalmodell ist nicht bekannt – am Laufradeintritt wäre es auch kaum sinnvoll, den Anstellwinkel zu ignorieren – aber H.H. Andersons Berechnungsverfahren („area ratio method“) geht in diese Richtung, [B.4][B.11]. Statt Förderhöhe und Laufradaustrittswinkel über Abströmbeiwerte zu bestimmen, erfolgt die Auslegung nach dem Flächenverhältnis Av, das den Querschnitt A2q = a2 b2 zwischen den Schaufeln am Laufradaustritt zu dem Eintrittsquerschnitt der Leitvorrichtung A3q = a3 b3 in Relation setzt. Für einflutige Laufräder gelten die Beziehungen: • das Flächenverhältnis ist definiert als:

Av = zLa A2q/zLe A3q

• Querschnitt am Laufradaustritt:

zLa a2 b2 ≈ 0,95 π d2 b2 sinβ2B

• Querschnitt am Leitradeintritt:

zLe a3 b3

Die Hauptabmessungen werden wie folgt bestimmt: 1. Man wählt einen Wert für das Flächenverhältnis AV basierend auf einer Analyse ausgeführter Pumpen: Av = (42 bis 53)/nq. 2. Empirische Funktionen liefern ψth und c3q/u2. Diese lauten: ψth = Av0.23 und c3q/u2 = 0.31×Av0.45. 3. Der hydraulische Wirkungsgrad läßt sich aus Tafel 3.9 ermitteln. Man erhält so die Druckzahl ψ = h×ψth und mittels Gl. (T7.1.3) den Laufraddurchmesser d2. Man berechne u2 und c3q = u2×(c3q/u2). 4. Man wählt die Anzahl der Leitrad- oder Spiralgehäusekanäle zLe und berechnet den engsten Querschnitt des Leitapparates aus A3q = Qopt/(zLe×c3q). 5. Aus Abb. 7.2 erhält man b2*. Mit der gewählten Laufschaufelzahl erhält man sodann A2q = Av×zLe×A3q/zLa. 6. Der Abstand a2 zwischen den Laufschaufeln ergibt sich aus a2 = A2q/b2. Schließlich wird der Schaufelaustrittswinkel so bestimmt, daß man den berechneten Wert von a2 erreicht.

7.2 Radiale Laufräder

343

Beide Modellvorstellungen sind unvollkommene Idealisierungen der komplexen Strömungsvorgänge in einer Pumpe. Den Laufradaustrittswinkel – wie oben skizziert – nach dem Kanalmodell zu bestimmen, erscheint weder zweckmäßig noch anschaulich, weil das Vorgehen rein empirisch ist. Das Kanalmodell stellt jedoch eine sinnvolle Ergänzung zum Gittermodell dar, da es einige Sachverhalte besser erklärt und zusätzliche Kontrollen der Auslegung erlaubt: • Die Q-H-Kurve fällt steil, wenn das Fluid bei q* >> 1 vom Laufradaustritt zum engsten Querschnitt des Leitapparates beschleunigt wird, weil dann der im Laufrad aufgebaute statische Druck zunächst in kinetische Energie zurückverwandelt wird, die nur mit vergrößerten Verlusten im Enddiffusor rekuperiert wird, Abb. 5.18. Im Falle eines Leitrades könnte man die durch einen vergrößerten Anstellwinkel entstandenen „Stoßverluste“ als Ursache für den steileren Kennliniengradienten vermuten; im Fall einer Spirale oder eines Ringraumes sticht dieses Argument aber nur begrenzt. • Eine Verkleinerung des Eintrittsquerschnitts der Leitvorrichtung vergrößert die Förderhöhe bei Teillast, weil c3q/c2 steigt und so die Strömung der aufgeprägten Verzögerung besser folgen kann und später ablöst, Abb. 5.18. Dieses Phänomen wird durch den Zungen- oder Leitschaufeleintrittswinkel nur wenig beeinflußt und durch das Gittermodell schlecht erklärt. • Die NPSH3-Kurve steigt steil, wenn der Strömungsvektor w1 vor dem Laufradeintritt zum engsten Laufradquerschnitt hin stark beschleunigt wird, Abb. 5.13 (w1q >> w1). • Wie in Kap. 4.1.3, 5.2.4 und 5.3.1 dargelegt, löst die Strömung in Laufrad und Leitapparat vorwiegend wegen Überschreitens einer zulässigen Verzögerung und weniger infolge von Falschanströmung ab. • Wenn Winkel- und Querschnittsverlauf nicht eng aufeinander abgestimmt sind, ist es sinnvoll und notwendig, die Schaufelabstände a1 und a2 (bzw. A1q) neben den Schaufelwinkeln als Auslegungsparameter zu verwenden. Da Schaufelwinkel und Kanalquerschnitte zur beabsichtigten Strömung passen müssen, werden im folgenden Gitter- und Kanalmodell gemeinsam verwendet. Tragflügelmodell: Bei weit auseinander stehenden Schaufeln kann man auch von der Vorstellung umströmter Tragflügel ausgehen, wobei die Auftriebsbeiwerte des Einzelflügels ggf. mittels geeigneter Korrekturen hinsichtlich des Einflusses benachbarter Schaufeln korrigiert werden, (Kap. 7.6).

7.2 Radiale Laufräder In diesem Abschnitt werden die weitgehend allgemein gültigen Verfahren für die Berechnung und den Entwurf von Laufrädern besprochen. Radialräder für reine Flüssigkeiten können aufgrund dieser Methoden ohne Zusatzinformationen entwickelt werden. Halbaxiale Laufräder werden grundsätzlich ähnlich behandelt; es sind aber einige Besonderheiten zu beachten, die in Kap. 7.5 erläutert werden. Methoden für Axialräder finden sich in Kap. 7.6.

344

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Offene Laufräder werden gleich ausgelegt wie geschlossene; bei großen Spaltweiten ist die Leistungseinbuße gemäß Kap. 3.6.5 zu beachten. 7.2.1 Bestimmung der Hauptabmessungen Um ein Laufrad konstruieren zu können, müssen einige Abmessungen und Schaufelwinkel ermittelt oder festgelegt werden. Die entsprechende Berechnung wird im folgenden Schritt für Schritt erläutert; die notwendigen Formeln sind in Tafel 7.1 zusammengestellt. 1. Gegebene Größen: n, Qopt, Hopt, und die Randbedingungen nach Kap. 7.1.2. Somit ist die spezifische Drehzahl nq bekannt, ohne deren Kenntnis kaum eine sinnvolle Auslegung möglich wäre. Sodann müssen die Zuströmbedingungen definiert werden; meist rechnet man mit α1 = 90° und einer über den Zuströmquerschnitt konstanten cm-Verteilung. 2. Wirkungsgrade: Für die Berechnung der Förderhöhe muß der hydraulische Wirkungsgrad angenommen werden, hierzu können die Formeln und Diagramme (Abb. 3.27 bis 3.29) in Kap. 3.9 herangezogen werden. Um nicht ein Manko an Förderhöhe zu riskieren, wird man den hydraulischen Wirkungsgrad in der Regel nicht zu optimistisch annehmen. Der Volumenstrom durch das Laufrad ist um die Dichtspaltverluste und den Entlastungswasserstrom größer als der Nutzförderstrom, Gl. (T7.1.1). Diese volumetrischen Verluste müssen für die Laufradberechnung zunächst geschätzt werden; Kap. 3.6, Gl. (T3.5.9 u. 10). Der Entlastungswasserstrom kann berechnet werden, wenn die Entlastungseinrichtung bereits dimensioniert wurde. 3. Wellendurchmesser dw: Neben den Kriterien in 7.1.2.10 muß primär das Drehmoment übertragen werden. Hat man den Werkstoff und die zulässige Schubspannung τzul gewählt, kann der erforderliche Wellendurchmesser nach Gl. (T7.1.2) berechnet werden. Um alle Kriterien in Kap. 7.1.2.10 zu erfüllen, ist der Wellendurchmesser ggf. über das berechnete Maß zu vergrößern. 4. Laufradaustrittsdurchmesser d2: Zur Bestimmung des Laufradaußendurchmessers wählt man nach Abb. 3.21 eine Druckzahl und errechnet d2 aus Gl. (T7.1.3). Um eine stabile Kennlinie und gutes Teillastverhalten zu erreichen, ist die Druckzahl ψopt zu begrenzen. In Abb. 3.21 ist der Bereich üblicher Druckzahlen als Funktion der spezifischen Drehzahl dargestellt. Wählt man ψopt im oberen Bereich des Bandes, erhält man flachere Kennlinien, kleinere Laufraddurchmesser, aber das Risiko einer Kennlinieninstabilität wächst. Entsprechend geben Druckzahlen nahe der unteren Grenzkurve steilere Kennlinien mit wenig Risiko einer Instabilität. Werden ausgesprochen steile Kennlinien verlangt, kann man selbstverständlich ψopt auch unterhalb des Bereiches in Abb. 3.21 wählen – die Pumpe wird aber entsprechend größer und teurer. Bei kleinen spezifischen Drehzahlen (unter nq = 20 bis 25) erhält man mit hohen Druckzahlen tendenziell bessere Wirkungsgrade, weil der Radreibungsverlust mit der 5. Potenz des Laufraddurchmessers sinkt, Gl. (T3.6.2). Je kleiner nq, desto größer ist dieser Einfluß. Bei nq > 50 sind die Radreibungsverluste unbedeutend, Verwirbelungsverluste infolge ungleichförmiger Geschwindigkeitsverteilungen

7.2 Radiale Laufräder

345

bestimmen weitgehend den Wirkungsgrad; in diesem Fall ist eine hohe Druckzahl tendenziell eher ungünstig. 5. Laufschaufelzahl zLa: Die Wahl der Schaufelzahl zLa hängt von verschiedenen Kriterien ab: A. Um Druckpulsationen und hydraulische Erregerkräfte zu vermeiden, müssen Lauf- und Leitschaufelzahl nach Kap. 10.7.1 aufeinander abgestimmt werden: zLa und zLe sind so zu wählen, daß für den Parameter m = ⏐ν2 zLa - ν3 zLe⏐ die Werte m = 0 und m = 1 bis zur dritten Ordnung vermieden werden (also bis ν2, ν3 = 3). B. Die hydrodynamische Schaufelbelastung soll in einem optimalen Bereich liegen: bei zu schwacher Belastung sind unnötig hohe Reibungsverluste zu erwarten. Bei zu hoher Belastung steigen hingegen die Verwirbelungsverluste infolge ungleichförmiger Strömungsverteilung. Die Schaufelbelastung kann erst nach Beendigung des Laufradentwurfes kontrolliert werden. Dies erfolgt anhand von Erfahrungswerten für die Schaufelbelastung in Schritt 14. C. Acht und mehr Schaufeln sind im Hinblick auf die Kennlinienstabilität meist nicht zu empfehlen. D. Weniger als 5 Schaufeln sind ungünstig bei Förderhöhen über etwa 100 m, weil die Abströmung über dem Laufradumfang infolge der großen Schaufelteilung zu ungleichförmig wird. Die Folge wären unnötig hohe Druckpulsationen und Schwingungen. Aufgrund obiger Kriterien werden die meisten radialen und halbaxialen Laufräder in einem Bereich von etwa 10 < nq < 120 mit 5 bis 7 Schaufeln ausgeführt. Ist keine stabile Kennlinie erforderlich, weil die Anlage nur einen engen Betriebsbereich in Bestpunktnähe verlangt, werden auch 9 Schaufeln ausgeführt (der radiale Schaufelstern wird in Kap. 7.3.3 behandelt). Bei hohen spezifischen Drehzahlen gewinnt auch das Verhältnis Schaufellänge zu Schaufelteilung als Auslegungskriterium an Bedeutung. Beachtet man die obigen Kriterien A bis D und verwendet Korrelationen für die günstige hydrodynamische Schaufelbelastung, erübrigen sich Faustformeln für Schaufelzahlen, wie sie mitunter publiziert wurden. 6. Laufradeintrittsdurchmesser d1: Die Wahl des Eintrittsdurchmessers hängt ab von den Anforderungen, die hinsichtlich Kavitationsverhalten gestellt werden. Drei Fälle lassen sich unterscheiden: A. Dimensionierung für minimale Relativgeschwindigkeit am Laufradeintritt: Mit dieser Auslegung werden Reibungs- und Stoßverluste tendenziell minimiert. Sie ist dann zu empfehlen, wenn das vorhandene NPSHA so groß ist, daß keine nennenswerten Kavitationsblasen entstehen. Dies trifft z.B. für die zweite (u. ff.) Stufe einer mehrstufigen Pumpe zu („Normal-Laufräder“). Der Eintrittsdurchmesser wird dabei leicht über dem Wert gewählt, der dem Minimum der Relativgeschwindigkeit w1 entspricht. Dieses Minimum ergibt sich aus w12 = c1m2 + (u1 - c1m/tanα1)2 mit c1m = 4 Q/(π (d12 - dn2) und u1 = π d1 n/60 durch Differenzieren von ∂w1/∂d1. Nach Nullsetzen des erhaltenen Ausdrucks löst man nach dem Eintrittsdurchmesser d1,min auf und erhält Gl. (T7.1.4), wobei ein ggf. vorhandener Vordrall durch die Drallziffer δr erfaßt wird.

346

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Der ausgeführte Eintrittsdurchmesser d1 = fd1 d1,min wird einige Prozent über dem Minimalwert gewählt, um Sekundäreinflüsse wie Grenzschichtversperrung und ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilung am Eintritt zu berücksichtigen. B. Auslegung für eine gewählte Saugzahl: Bei Sauglaufrädern wählt man – z.B. nach Tabelle 6.1 – eine für den geplanten Einsatz des Laufrades geeignete Saugzahl. Der Eintrittsdurchmesser errechnet sich aus Gl. (T7.1.5), wofür aus Abb. 6.21 der Zuströmwinkel β1a entsprechend der geforderten Saugzahl bestimmt wird. Etwas summarisch kann der Eintrittsdurchmesser auch nach Gl. (T7.1.4) mit einem entsprechend größeren Zuschlagsfaktor fd1 (Tafel 7.1) bestimmt werden. C. Auslegung für gewählte Unterdruckbeiwerte (s. hierzu Kap. 6.3.2): Gleichung (T7.1.6) bietet einen alternativen Weg, um d1 zu berechnen, wenn die Beiwerte λc und λw gewählt werden. Auch hier ist Tabelle 6.1 zu beachten: bei hoher Umfangsgeschwindigkeit u1 soll der Eintrittsdurchmesser bzw. die Saugzahl nicht zu hoch gewählt werden. Gemäß Kap. 6.3.2 liefert Gl. (T7.1.6) den Eintrittsdurchmesser, bei dem das erforderliche NPSHR bei gegebenen Unterdruckbeiwerten seinen Minimalwert für die spezifizierten Werte von Förderstrom und Drehzahl erreicht. Wie in Kap. 6.3.2 besprochen, sind diese Unterdruckbeiwerte nicht genau bekannt, weil sie von der Laufradgeometrie und dem Zulauf abhängen. Demzufolge ist auch der nach Gl. (T7.1.6) berechnete optimale Eintrittsdurchmesser unsicher. Um die Empfindlichkeit des erforderlichen NPSHR auf Änderungen der Unterdruckbeiwerte und des Laufradeintrittsdurchmessers beurteilen zu können, ist es zweckmäßig, NPSHR = f(d1) für verschiedene Werte von λw nach Gl. (6.10) zu berechnen und in einem Diagramm darzustellen. Abbildung 7.1 zeigt ein Beispiel für eine solche Rechnung: je kleiner der Wert von λw, desto größer wird der Eintrittsdurchmesser, bei dem das NPSHR sein Minimum erreicht, desto flacher wird aber auch dieses Minimum, so daß der Eintrittsdurchmesser ohne nennenswerte Einbuße an Saugfähigkeit etwas unterhalb des mathematischen Minimums gewählt werden kann. D. Auslegung für minimales NPSHi: Sauglaufräder von Hochdruckpumpen mit u1 > 50 m/s sind für kurze Blasenfeldlängen auszulegen, um Kavitationsschäden zu vermeiden; ab u1 > 75 m/s muß das Laufrad praktisch kavitationsblasenfrei betrieben werden. Der Eintrittsdurchmesser errechnet sich aus Gl. (T7.1.6), wobei

NPSH [m]

15

1 0.7

10

0.3 5 0.2 0.1

0 0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34 0.36 d1 [m]

Abb. 7.1. Optimierung des Laufradeintrittsdurchmessers, Parameter: λw.

7.2 Radiale Laufräder

347

aber die Unterdruckbeiwerte für Blasenbeginn λw,i einzusetzen sind (Tabelle 6.3). Da diese Werte empfindlich von Schaufelprofil, Anstellwinkel und Ungleichförmigkeiten der Zuströmung abhängen, sind Berechnungen der Druckverteilung zur Überprüfung des Entwurfes zu empfehlen (Kap. 8). Wie aus den Abb. 6.19 bis 6.20 hervorgeht und in Kap. 6.3 dargelegt, streuen die Unterdruckbeiwerte und Saugzahlen stark, weil viele Einflußfaktoren nicht allgemeingültig quantifiziert werden können. Die Auslegung aufgrund obiger Angaben ist entsprechend unsicher. Das Risiko von Kavitationsproblemen (Schwingungen, Lärm, Erosion) ist bei der Festlegung der Laufradeintrittsgeometrie entsprechend Kap. 6 zu beurteilen, wobei Tafel 6.2 helfen kann. 7. Eintrittsdurchmesser an der inneren Stromlinie d1i: Eine untere Grenze für d1i wird meist durch die beabsichtigte Laufradbesfestigung gegeben. Bei nq < 25 bis 30 und durchgehender Welle wählt man d1i meist möglichst nahe der unteren Grenze, um die Kennlinienstabilität zu verbessern. Bei überhängendem Laufrad und hoher spezifischer Drehzahl sollte d1i nicht zu klein ausgeführt werden, weil sich sonst an der inneren Stromlinie sehr große Schaufeleintrittswinkel ergäben, die bei Teillastbetrieb zu starke Ablösungen in Nabennähe hervorrufen würden. 8. Laufschaufeleintrittswinkel: Ist der Laufradeintrittsdurchmesser nach Schritt (6) festgelegt, lassen sich alle Größen im Eintrittsdreieck nach Tafel 3.1 berechnen. Den Schaufeleintrittswinkel erhält man, indem man nach Gl. (T7.1.7) den Anstellwinkel i1 zum Strömungswinkel β1’ (mit Schaufelversperrung) addiert: β1B = β1’ + i1. Den Anstellwinkel wählt man zwischen 0 und 4° - und zwar umso kleiner, je größer u1 ist, um die Blasenfelddicke und damit das Risiko von Kavitationsschäden zu reduzieren. Der Förderstrom stoßfreien Eintritts nach Gl. (T.3.1.10) liegt somit leicht über dem Bestpunkt. Anstelle des Anstellwinkels kann man auch mit einer Winkelübertreibung arbeiten; sie stellt das Verhältnis des Tangens des Schaufelwinkels zum Tangens des Strömungswinkels mit Versperrung dar und ist definiert als Wü = tanβ1B/tanβ1’. Für radiale Räder wählt man Wü = 1,1 bis 1,2. Wenn man das Laufrad für niedriges NPSHi auslegen will, auch Wü = 0,95 bis 1,05. Für halbaxiale Laufräder ist Wü = 1,05 bis 1,1 sinnvoll. Obige Berechnung der Strömungs- und Schaufelwinkel erfolgt für äußere, mittlere und innere Stromlinie (bei hohem nq auch für 5 und mehr Stromlinien), wobei man die Meridiangeschwindigkeit vor der Eintrittskante cm meist als konstant über den Zuströmquerschnitt annimmt. Entsprechend der örtlichen Nabenversperrung ist ggf. für jede Stromlinie mit einem anderen Wert von cm zu rechnen, Tafel 3.1. Muß die Pumpe sehr weit rechts vom Bestpunkt betrieben werden (Qmax >> Qopt), sind Eintrittsdurchmesser und Anstellwinkel entsprechend zu vergrößern. Das Kavitationsverhalten im Bestpunkt und bei Teillast verschlechtert sich dabei allerdings, so daß man bei derartigen Anforderungen die Auslegungsoptionen und Risiken sorgfältig beurteilen sollte. 9. Austrittsbreite b2: Schaufelzahl, -austrittswinkel und Austrittsbreite lassen sich nicht unabhängig voneinander wählen. Sie sind so aufeinander abzustimmen, daß die verlangte Druckzahl bei stabiler Kennlinie erreicht wird. Eine Betrachtung des Austrittsdreiecks in Tafel 3.2 zeigt: Mit zunehmender Austrittsbreite fällt c2m, während c2u steigt – solange die Strömung nicht ablöst. Bei gegebenen Werten

348

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

von Austrittswinkel und Schaufelzahl nimmt folglich die Förderhöhe mit der Austrittsbreite zu, und die Kennlinie wird entsprechend flacher. Wie in Kap. 5 besprochen, steigt die Austrittsrezirkulation ebenfalls mit zunehmendem b2/d2, und damit wachsen auch Nulldruck und Leistungsaufnahme beim Betrieb gegen geschlossenen Schieber. Eine genügend große Austrittsbreite ist daher nötig, um eine stabile Kennlinie zu erreichen. Andererseits wird die Laufradabströmung umso ungleichförmiger, je breiter das Laufrad ist, wodurch sich die Verwirbelungsverluste im Leitapparat sowie Druckpulsationen und Erregerkräfte erhöhen. Schließlich ist darauf zu achten, daß b2 < b1 bleibt. Da sich obige Effekte nicht theoretisch berechnen lassen, wird die relative Austrittsbreite b2* = b2/d2a meist aus Erfahrungsangaben gewählt. Um die Laufradabströmung im Bestpunktbereich möglichst gleichförmig zu machen und unnötige Verwirbelungsverluste zu vermeiden, ist es zweckmäßig, b2* gerade so niedrig zu wählen, wie das mit Rücksicht auf die Kennlinienstabilität zulässig ist. Abbildung 7.2 enthält ein Band für b2* = f(nq), das die Angaben in [B.8], [B.18] und [3.15] in etwa einschließt. Für Axialräder gilt in diesem Diagramm: b2* = ½ (1 - ν). b 2 * = 0,017 + 0,262

nq

§ nq − 0,08¨ ¨ n q, Re f n q, Re f ©

2

· § nq ¸ + 0,0093¨ ¸ ¨ n q, Re f ¹ ©

· ¸ ¸ ¹

3

(nq,Ref = 100)

(7.1)

b2*

1

A

0.1

0.01 10

100

nq

1000

Abb. 7.2. Laufradaustrittsbreite; radial und halbaxial: b2* = b2/d2a; axial: b2* = ½ (1 - ν) Kurven Bereich A: Abwasserpumpen

10. Austrittswinkel β2B: Der Schaufelaustrittswinkel ist so zu bestimmen, daß die verlangte Förderhöhe – bzw. die in Schritt (4) gewählte Druckzahl – mit den oben festgelegten Größen d2, zLa, und b2 erreicht wird. Um dies zu gewährleisten, nimmt man für β2B verschiedene Werte an und berechnet hierzu jeweils den Abströmbeiwert nach Gl. (T7.1.8) und die Förderhöhe nach Gl. (T7.1.9), siehe hierzu auch Tafel 3.2 und 3.3. Der hydraulische Wirkungsgrad, den man zu erreichen hofft, muß nach Kap. 3.9 angenommen werden. Übliche Austrittswinkel für Radi-

7.2 Radiale Laufräder

349

alräder mit 5 bis 7 Schaufeln liegen im Bereich von 15 bis 45°; in vielen Fällen werden Winkel zwischen 20 und 27° ausgeführt. Austrittswinkel und Austrittsbreite aufeinander abzustimmen, ist eine Optimierungsaufgabe, bei der die Erfordernisse hinsichtlich Wirkungsgrad und Kennlinienstabilität (Nulldruck und Sattel) zu berücksichtigen sind. Ein mögliches Kriterium ist, den Deviationswinkel δ2 = β2B - β2 zu minimieren; er sollte 10 bis 14° nicht überschreiten, um die Verwirbelungsverluste infolge ungleichförmiger Strömungsverteilung zu begrenzen. Eine bestimmte Förderhöhe bzw. ein bestimmter Kennlinienverlauf läßt sich nach Gl. (T7.1.9) mit ganz verschiedenen Kombinationen von b2, zLa und β2B erreichen; daher gibt es keine strikten Regeln für die Wahl des Austrittswinkels. Die Schaufellänge, die sich aus dem Entwurf ergibt, hängt von Ein- und Austrittswinkel ab; dies gilt folglich auch für die resultierende hydraulische Schaufelbelastung. Alle diese Parameter müssen zusammen optimiert werden und lassen sich nicht unabhängig voneinander bestimmen (s.a. Schritt 4). Bei spezifischen Drehzahlen oberhalb nq ≈ 70 wird der Schaufelaustrittswinkel über der Laufradaustrittsbreite nicht mehr konstant gehalten: er wird an der äußeren Stromlinie kleiner und an der inneren Stromlinie größer als der mittlere Winkel β2B,m ausgeführt, mit dem die Förderhöhe berechnet wird. Auf diese Weise lassen sich die Längen aller Stromlinien aufeinander abstimmen; insbesondere erreicht man, daß die äußere Stromlinie genügend lang wird. Hat man den Austrittswinkel bestimmt, lassen sich alle Parameter des Austrittsdreiecks nach Tafel 3.2 ermitteln. Zur Überprüfung der Auslegung berechne man auch w2/w1a. Um vorzeitige Ablösungen und Wirkungsgradeinbußen zu vermeiden, soll das Verzögerungsverhältnis w2/w1a den Wert 0,7 nicht unterschreiten („de Haller-Kriterium“). 11. Schaufeldicke e: Anforderungen der Gießbarkeit und der Festigkeit bestimmen die Schaufeldicke. Erfahrungsgemäß werden diese Anforderungen erfüllt, wenn man e/d2 = 0,016 bis 0,022 ausführt. Der obere Bereich gilt für Hochdruckräder mit über 600 m Förderhöhe pro Stufe. Der untere Bereich gilt für niedrige Umfangsgeschwindigkeiten und spezifische Drehzahlen. Mit zunehmender Schaufelbreite (also auch mit steigender spezifischer Drehzahl) wachsen die Spannungen bei gegebener Förderhöhe und die Schaufel muß tendenziell dicker ausgeführt werden. Bei gegossenen Rädern ist die minimale Gußwandstärke zu beachten; sie liegt bei 4 ÷ 5 mm. 12. Schaufelprofil am Eintritt (Abb. 7.3): Eine ungünstige Eintrittsprofilierung erzeugt lokale Übergeschwindigkeiten und eine entsprechend kräftige Unterdruckspitze, was nicht nur das Kavitationsverhalten verschlechtert, sondern auch tendenziell eine Wirkungsgradeinbuße bedeutet. Die Schaufeleintrittskante mit einem Halbrundprofil zu versehen, ist in dieser Hinsicht ungünstig und nur für Kleinpumpen oder Einsatzgebiete mit geringen Anforderungen vertretbar. Elliptische Eintrittsprofile liefern hingegen recht gute Druckverteilungen; wird die elliptische Profilierung nur über eine kurze Strecke ausgeführt, reagieren die Schaufeln auf eine Falschanströmung weniger empfindlich. Lange, spitz zulaufende Profile erzeugen zwar bei stoßfreiem Eintritt (i1 = 0) geringe Unterdruckspitzen, bei Falschanströmung werden hingegen große Übergeschwindigkeiten hervorgerufen. Auch gießtechnisch (Ausfließen des Metalls in dünne Profile) und festigkeitsmäßig sind

350

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

e halbkreisförmig

Lp

elliptisch

keilförmig

Abb. 7.3. Profilierung der Laufschaufeleintrittskanten

solche Profilierungen ungünstig. Nach Berechnungen an Einzelprofilen, [7.36] zitiert in [B.1], beträgt die maximale Druckabsenkung cp,min,SF bei Umströmung des Profils mit dem Anstellwinkel null (stoßfreier Eintritt): Δp = c p,min

ρ 2 w 2 1

c p,min,SF = 0,373

e Lp

§ ¨ 2 + 0,373 e ¨ Lp ©

· ¸ ¸ ¹

(7.1a)

Dabei bedeutet Lp die Länge der Profilierung von der Eintrittskante bis zum Übergang auf volle Schaufeldicke e. Gleichung (7.1a) ergibt für den Halbrundkopf (e/Lp = 2,0) cp,min,SF = 2,05, während ein elliptisches Profil mit z.B. e/Lp = 0,2 cp,min,SF = 0,155 ergibt. Wie in Kap. 6.3.2 erörtert (Abb. 6.19), sind diese Ergebnisse nicht direkt auf Laufräder übertragbar, weil λw vom absoluten Wert des Schaufelwinkels und anderen Geometrieparametern von Laufrad und Einlauf abhängt; eine erste Beurteilung des Profiles läßt sich aber anhand von Gl. (7.1a) vornehmen. Bei der Profilwahl genügt es allerdings nicht, nur den Punkt stoßfreier Anströmung zu beachten, sondern man braucht ein Profil, das auch möglichst unempfindlich auf Falschanströmung reagiert; weshalb (wie bereits erwähnt) lange und spitze Profile ungünstig sind. 13. Schaufelprofile am Austritt: In der Praxis werden zwei Auslegungsphilosophien propagiert: A. Die Schaufeln werden nach Abb. 3.6 zur Austrittskante hin auf etwa die halbe Schaufelstärke nach e2 = ½ e verjüngt, um die Nachlaufdelle, Verwirbelungsverluste und Druckpulsationen zu verringern. B. Man führt bis zur Austrittskante die volle Schaufelstärke aus, um bei einem etwaigen Förderhöhendefizit genügend Möglichkeit zur Zuschärfung zu haben, Kap. 4.5.2. Auch aus Kostengründen wird mitunter auf eine Austrittsprofilierung verzichtet. Nach Schritt 13 liegen alle Parameter fest, die für einen ersten Entwurf des Laufrades nach Kap. 7.2.2 benötigt werden. Wenn der Erstentwurf vorliegt, sind die Schaufellängen und Kanalquerschnitte bekannt und Schaufelbelastung sowie Verzögerungsverhältnisse bzw. Querschnitte können überprüft werden: 14. Schaufelbelastung: Für die optimale Schaufellänge wurden keine zuverlässigen Kriterien bekannt. Dagegen wurden verschiedene Grenzen für die hydrodynamische Schaufelbelastung vorgeschlagen. Anhand solcher Belastungsbeiwerte lassen sich die gewählte Schaufellänge und Schaufelzahl überprüfen. Eine systematische Bewertung dieser Belastungsgrenzen für Kreiselpumpen steht noch aus. A. Die Auswertung einer Anzahl bewährter Radialpumpen ergab eine Korrelation für die Schaufelbelastung nach [7.2], die man zur Überprüfung der Schaufellänge verwenden kann. Danach sind Schaufelzahl und -länge dann zweckmäßig gewählt,

7.2 Radiale Laufräder

351

Tafel 7.1 Laufradberechnung Gegebene Größen n, Qopt, Hopt, α1; somit ist auch die spezifische Drehzahl bekannt Volumenstrom Q = Qopt + Qsp + QE = Qopt/ηv durch das Laufrad La 1

§ 16 Pmax · 3 § P ·3 ¸ = 3,65 ¨ max ¸ d w = ¨¨ ¸ ¨n τ ¸ π ω τ zul ¹ zul ¹ © ©

Laufradaustrittsdurchmesser

d2 =

2g H opt

Laufradeintrittsdurchmesser für minimale Relativ- Anwendung geschwindigkeit Normal-Laufräder

Abströmbeiwert

Förderhöhe (A2 = π d2b b2)

n q1,33 (ηv δ r )0,67

c1m u 1m tan α 1 7.1.4

1,15 bis 1,05 fallend von nq =15 bis 40 1,25 bis 1,15 7.1.5

2

d1,opt =

δr = 1−

§ Q La tanβ1 · ¨1 + ¸ f q n k n tanβ1 ¨© tanα1 ¸¹

d 2n

§ Q ·3§ λ + λ w + 10.6 ¨ La ¸ ¨¨ c ¨ fq n ¸ © λ w © ¹

β1B = β'1 + i1 = arc tan

c1m τ1 u1 − c1u

+ i1

1

·3 ¸ ¸ ¹

7.1.6

Bei konstantem c1m und τ1: tan β1B(r) =

§ d∗ - ε · ­ 8.16 sin β2B ½ εlim = exp ®− ¾ k w = 1 − ¨¨ 1m Lim ¸¸ z 1 ε La Lim ¹ ¯ ¿ ©

ra tan β1B, a r

7.1.7

3

7.1.8 für d*1m ≤ ε1m kw = 1 Radial: f1 = 0,98 Halbaxial: f1 = 1,02 + 1,2 10-3(nq - 50) ª η u 2 ­° Q La A d∗ tan β 2B º ½° H = h 2 ®γ − «τ 2 + 2 1m »¾ 7.1.9 g ° f q A 2 u 2 tan β 2B ¬« A1 tan α1 ¼» ° ¯ ¿

§ sin β 2B ·¸ γ = f1 ¨1 − kw ¨ z La 0.7 ¸¹ ©

Effektive Schaufelbelastung nach [7.2]

ξ eff =

Zulässige Schaufelbelastung [7.2]

§ 40 · ¸ ξ zul = ¨ ¨ nq ¸ © ¹

Auftriebsbeiwert nach [7.33]

7.1.3

ψ opt

fd1

Sauglaufräder d1 = 2.9 3

7.1.2

H opt

84,6 n

=

ψ opt

d1 * = f d1 d*n 2 + 1,5 ⋅10−3 ψ opt

Laufradeintrittsdurchmesser für gewähltes β1 Laufradeintrittsdurchmesser für gewählte Unterdruckbeiwerte Schaufelwinkel für gewählten Anstellwinkel i1

7.1.1

1

Wellendurchmesser

60 πn

Gl.

ζa =

2π ψ opt

7.1.10

ηh z La L*sch ( w1* + w *2 ) 0,77

7.1.11

Bandbreite ± 15 % π ψ th

§ ψ z La L*sch ϕ 22 + ¨1 − th ¨ 4 ©

­ sin ε MS ½ · ®1 − ¾¸ z La ¿ ¸¹ ¯

2

Zulässig: ζa < 0,9

7.1.12

352

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

wenn die effektive Schaufelbelastung ξeff nach Gl. (T7.1.10) etwa im Bereich der zulässigen Belastung ξzul nach Gl. (T7.1.11) liegt. B. Eine andere Möglichkeit, die Schaufelbelastung zu prüfen, wurde in [7.33] angegeben: der nach Gl. (T7.1.12) berechnete Auftriebsbeiwert ζa soll den Wert 0,9 nicht überschreiten. Ob dieses Kriterium sich in der Praxis bewährt hat, ist nicht bekannt. Für axiale Laufräder mit εMS = 0 führt Gl. (T7.1.12) auf die für Propellerpumpen gültige Beziehung Gl. (T7.5.8b). 15. Engster Eintrittsquerschnitt A1q: Wie in Kap. 7.1.3 besprochen, müssen Schaufelwinkel und Kanalquerschnitte die beabsichtigte Strömung ermöglichen. Im Auslegungspunkt darf die Verzögerung des Relativgeschwindigkeitsvektors w1 auf die mittlere Durchflußgeschwindigkeit im engsten Querschnitt w1q nicht zu groß sein, um vorzeitige Eintrittsrezirkulation zu vermeiden; mit Rücksicht auf Überlastkavitation, darf aber auch keine zu große Beschleunigung zugelassen werden. Gemäß Auswertungen an ausgeführten Pumpen ist der engste Querschnitt so zu wählen, daß das Verhältnis w1q/w1m im Bestpunkt bei axialem Zulauf im Bereich 0,75 bis 0,85 und bei radialen Einlaufbögen von Laufrädern mit durchgehender Welle zwischen 0,65 und 0,75 liegt. Beim geplanten maximalen Förderstrom sollte w1q/w1m den Wert eins nicht wesentlich überschreiten. Der Vektor der Relativgeschwindigkeit w1m wird auf der mittleren Stromlinie d1m (nicht d1b) berechnet. 16. Austrittsweite zwischen den Schaufeln a2: Die Austrittsweite a2 muß zum Austrittswinkel β2B passen, damit der Abströmbeiwert und somit die Förderhöhe richtig berechnet werden. Hierzu kann man einen Winkel βa2 = arc sin a2/t2 definieren und mit β2B vergleichen; erfahrungsgemäß soll das Verhältnis sinβa2/sinβ2B im Bereich von 0,7 bis 0,9 liegen, Kap. 3.3 und Gl. (3.8). Da die Laufradauslegung weitgehend empirisch erfolgt, empfiehlt es sich, einen Satz von Regeln und Methoden anzueignen, von dem man nur in begründeten Fällen abweicht. Mit einem systematischen Vorgehen gelingt es, schneller eine Datenbasis zu entwickeln und die Treffsicherheit der Berechnung zu erhöhen. 7.2.2 Der Laufradentwurf 7.2.2.1 Entwurf des Meridianschnitts Ein Achsschnitt durch das Laufrad wird als „Meridianschnitt“ bezeichnet. In dieser Darstellung werden die Schaufelein- und -austrittskanten durch „Zirkularprojektion“ in die Zeichenebene projiziert, Abb. 7.4. Um den Meridianschnitt entwerfen zu können, benötigt man neben den oben bestimmten Abmessungen (d2, b2, d1, d1i, dn) noch Angaben für die Lage der Eintrittskante. Anhaltspunkte für die axiale Ausdehnung zE und den Krümmungsradius RDs der Deckscheibe werden in [3.15] gegeben: 1,07

§ nq · z E = (d 2a − d1)¨¨ ¸¸ © 74 ¹

RDs = (0,6 bis 0,8) b1

mit b1 = ½ (d1 - dn)

(7.2)

7.2 Radiale Laufräder

353

Es ist strömungstechnisch günstig, die Eintrittskante in den Saugmund vorzuziehen, wodurch sich kleine Schaufelbelastungen und entsprechend kleine Unterdruckspitzen und somit günstige Kavitationsverhältnisse erreichen lassen. Die Eintrittskante an der äußeren Stromlinie soll nicht im Bereich starker Krümmung, sondern möglichst vor Beginn der Deckscheibenkrümmung, liegen. Es ist nicht unbedingt zweckmäßig, den Krümmungsradius RDs bei zE anzusetzen, ein Teilstück g1 = (0,2 bis 0,3) b1 mit nur geringer Zunahme im Radius ermöglicht flachere Druckverteilungen. Bei Kleinpumpen, oder wenn die Baulänge Vorrang hat, werden kleinere Werte für zE und RDs als nach Gl. (7.2) ausgeführt. Der Winkel εDs, den die äußere Stromlinie mit einer Senkrechten zur Pumpenachse bildet, ist entsprechend der spezifischen Drehzahl festzulegen; mit ihm läßt sich das Abströmprofil beeinflussen. Für nq < 20 wählt man oft εDs = 0; bei Radialrädern mit höheren spezifischen Drehzahlen steigt εDs auf etwa 15 bis 20°. εDS ZE

εTS

b2 ZE

g1

RDS b2 d2a b1

RTS εMS d2i

εEK

d1 d1b dn

d2b d1i

d1 d1b dn

d1i

Abb. 7.4. Entwurfsgrößen für den Meridianschnitt des Laufrades. Links: Radiales Laufrad, rechts: Halbaxiales Laufrad

Mit d2, b2, zE, d1, g1, εDs und RDs läßt sich nun die äußere Stromlinie konstruieren. Man kann einen freien Kurvenverlauf zeichnen oder die Deckscheibe aus Geraden und Kreisbögen zusammensetzen. Ein optimales Gesetz läßt sich nicht allgemein definieren; vielmehr sind Meridiankontur und Schaufelverlauf optimal aufeinander abzustimmen. Der Winkel εTs, den die innere Stromlinie mit der Senkrechten durch die Achse bildet, kann positiv oder negativ gewählt werden. Bei nq < 30 wird oft εTs = 0 ausgeführt (manche Hersteller arbeiten auch mit negativen Werten). Bei hohen spezifischen Drehzahlen ist εTs stets positiv, und es gilt εTs < εDs. Die innere Stromlinie ist nun so zu legen, daß sich ein kontinuierlicher Verlauf der Querschnitte A = 2π r b entlang der mittleren Stromlinie ergibt. Hierzu kann

354

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

man sich ein Entwicklungsgesetz vorgeben, das den Strömungsquerschnitt oder die Kanalbreite im Meridianschnitt von b1 bis b2 als Funktion der abgewickelten Länge der äußeren Stromlinie beschreibt, Abb. 7.5. Neben einem linearen oder parabolischen Verlauf könnte auch ein kubischer Querschnittsverlauf gewählt werden, um schwache Querschnittsänderungen im Bereich von Ein- und Austritt zu erhalten. Wurde auf diese Weise der gewünschte Verlauf b = f(L) definiert, trägt man die Breite mit dem Zirkel an einer Anzahl Stützpunkten auf der äußeren Stromlinie ab und zeichnet die innere Stromlinie als Umhüllende. Diese Konstruktion kann auch in Teilschritten mit mehreren Stromlinien durchgeführt werden. Die Schaufeleintrittskante ergibt sich zunächst aus den gewählten Parametern d1, zE, d1i und der entworfenen inneren Stromlinie. Die Lage der Eintrittskante beeinflußt das Teillastverhalten gemäß Kap. 5 wesentlich. Folgende Kriterien dienen zur Gestaltung der Eintrittskante: Bei mehrstufigen Pumpen mit nq < 25 muß der Winkel εEK möglichst groß ausgeführt werden, um zu vermeiden, daß die Kennlinie gegen Q = 0 abfällt. Bei axialem Zulauf ist εEK = 30 bis 40° nach [3.15] in et1

kubisch

0.8 y

0.6 parabolisch

0.4

linear

0.2 0 0

0.2

0.4

Lsch

0.6

0.8

1

Abb. 7.5. Entwicklungsgesetz für den Querschnittsverlauf

wa optimal: zu kleine εEK können zu Problemen mit Nabenkavitation und Kennlinieninstabilität führen, während große εEK zu kleinen Werten von d1i und zu großen Schaufelwinkeln β1B,i an der Nabe führen. Wie in Kap. 5 besprochen, bestimmt der Meridianschnitt weitgehend die Strömungsverteilung über die Schaufelbreite und damit die Verwirbelungsverluste und das Teillastverhalten bzw. die Kennlinienstabilität. Kriterien für die Meridianschnittgestaltung: • Kontinuierliche Verläufe für die Krümmung der äußeren und inneren Stromlinie und den Querschnitt A = 2π r b als Funktion der Länge der mittleren Stromlinie. • Die Eintrittskante soll mit möglichst großem Winkel an die äußere Stromlinie anschließen, um die örtliche Versperrung bei verwundenen Schaufeln zu verringern. 7.2.2.2 Entwurf der Schaufeln Der Schaufelentwurf hat zum Ziel, den Schaufelverlauf entlang der äußeren, inneren und (ggf. mehreren mittleren) Stromlinien so zu definieren, daß die in

7.2 Radiale Laufräder

355

Kap. 7.2.1 festgelegten Ein- und Austrittswinkel verwirklicht werden. Die Schaufel beschreibt entlang jeder Rotationsfläche – so z.B. entlang der durch den Meridianschnitt definierten äußeren Stromlinie – eine räumlich gekrümmte Kurve, die sich durch ihre Projektionen in den Meridianschnitt und den Grundriß („Draufsicht“) beschreiben läßt. Jeder Punkt dieser Kurve im Raum wird durch die Koordinaten r, z und ε eindeutig definiert. Wir betrachten in Abb. 7.7a ein beliebiges Element der äußeren Stromlinie, das zwischen den Punkten 5 und 6 auf den Radien r5 und r6 liege; im Meridianschnitt hat es (näherungsweise) die Länge: Δm = Δr 2 + Δz 2

(7.3)

Im Grundriß, Abb. 7.7b und e, ist die Lage der Punkte 5 und 6 wieder durch die Radien sowie durch den Winkel Δε definiert; die Strecke zwischen Punkt 5 und 6 beträgt: Δg = Δr 2 + Δu 2

(7.4)

Die Länge des Stromlinienelementes im Raum ergibt sich aus der Länge im Grundriß Δg und der Erstreckung in Achsrichtung Δz (senkrecht zum Grundriß): ΔL = Δg 2 + Δz 2

(7.5)

Mit Hilfe von Gl. (7.3) und (7.4) erhält man eine Beziehung zwischen der wahren Länge ΔL des Stromlinienelementes und seiner Projektion Δm in den Meridianschnitt sowie der Projektion Δu in den Grundriß: ΔL = Δg 2 + Δz 2 = Δr 2 + Δu 2 + Δz 2 = Δm 2 + Δu 2

(7.6)

Die Strecken ΔL, Δu und Δm stellen gemäß Abb. 7.7c ein rechtwinkliges Dreieck dar, das den wahren Winkel β zwischen dem Stromlinienelement ΔL und der Strecke in Umfangsrichtung Δu einschließt. Wickelt man eine Stromlinie stückweise nach dem beschriebenen Vorgehen in die Zeichenebene ab, erhält man folglich deren wahre Länge und den wahren Winkelverlauf zur Umfangsrichtung. Dieses Verfahren verwendet man, um aus einem definierten Meridianschnitt und einer vorzugebenden Schaufelabwicklung, die Schaufelkoordinaten im Grundriß zu konstruieren. Bei obiger Betrachtung wurden die krummlinigen Dreiecke durch geradlinige ersetzt. Je kleiner man die Elemente wählt, desto besser wird diese Näherung. Von den verschiedenen Verfahren für den Schaufelentwurf sei die Kaplan’sche Methode beschrieben, [B.2]; sie umfaßt folgende Schritte: 1. Je nach Radbreite zeichnet man in den Meridianschnitt zusätzlich zur äußeren und inneren Stromlinie ein bis fünf weitere Rotationsflächen ein, die man als Stromlinien gleicher Teilströme konstruieren kann. Hierzu werden (geschätzte) Normalen zu den Stromlinien eingezeichnet. Die Breite zwischen zwei Stromlinien wird dabei so bestimmt, daß durch jeden Teilkanal der gleiche Durchsatz ΔQ = 2 π r Δb cm strömt (oft mit der Annahme cm = konstant).

356

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

2. Alle Rotationsflächen oder Stromlinien werden nach Abb. 7.7a in n Elemente gleicher Länge Δm (z.B. Δm = 8 mm) unterteilt, so daß sich die Punkte a1 bis an, b1 bis bn usw. ergeben. 3. In der Abwicklung nach Abb. 7.7d werden n parallele Geraden im Abstand Δm gezeichnet. Es ergeben sich die Längen La,m, Lb,m, Lc,m usw. der abgewickelten Meridianschnittkonturen, (die die Projektion der Stromlinien in den Meridianschnitt darstellen). 4. Unbekannt ist noch die Länge La,u der Stromlinien in Umfangsrichtung, die in gewissen Grenzen frei wählbar ist. Ein mögliches Vorgehen besteht darin, ein Entwicklungsgesetz nach Abb. 7.6 zu definieren. Beginnend mit β(j=0) = β2B bei Punkt A in Abb. 7.7d, berechnet man für jeden Schritt j die Umfangslänge Δu auf dem Element Δm: Δm j

Δu j =

(7.7)

tan β j

und erhält so die Lage des nächsten Punktes. Die Winkel für jeden Schritt ergeben sich aus dem gewählten Gesetz, nach dem sich der Winkel als Funktion der Schaufellänge von β2B zu β1B entwickeln soll. Allgemein kann man schreiben: β j = β 2B − y( x ) (β 2B − β1B )

(7.8)

1 0 .8 y

1

0 .6

2

3

0 .4 0 .2 0 0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2

1 .4

1 .6

1 .8

2

Abb. 7.6. Entwicklungsgesetz für die Schaufelabwicklung (die Zahlen auf der Abszisse haben keine Bedeutung).

Für y(x) läßt sich jede beliebige Funktion einsetzen, die die Bedingungen y(0) = 0 und y(1) = 1 erfüllt. Soll sich der Winkel linear von β2B auf β1B entwickeln, ist die Funktion y(x) anzusetzen als: y( x ) =

1

j

¦ Δm j

L a ,m 0

(7.9)

Das Verfahren kann auch so gehandhabt werden, daß der Winkel am Schaufelaustritt über na Abschnitte konstant (βj = β2B für j < na) gehalten wird und/oder daß der Winkel am Schaufeleintritt über ne Abschnitte konstant (βj = β1B für j > n –ne) gehalten wird; Gl. (7.9) wird dann entsprechend nur für den mittleren Schaufelteil formuliert, in dem der Winkel sich von β2B auf β1B ändert.

7.2 Radiale Laufräder

357

5. Eine Alternative, die Schaufelabwicklung festzulegen, arbeitet wie folgt: man zeichnet einen Strahl S1 im Punkt A mit einem Winkel β2B ein, Abb. 7.7d. Sodann wählt man einen Punkt E im Abstand La,m dergestalt, daß ein unter dem Winkel β1B angesetzter Strahl S2 den Strahl S1 in einem Punkt P schneidet. Das Verhältnis Lp/La,m beeinflußt die Schaufellänge und die Kanalquerschnitte. Es muß so gewählt werden, daß die angestrebten Lichtweiten a1 und a2 sowie annehmbare Schaufelbelastungen nach den Kriterien in Gl. (T7.1.10 bis 13) erreicht werden. Man schmiegt sodann eine kontinuierliche Kurve in die durch die Punkte A und E sowie die Strahlen S1 und S2 gegebene Geometrie ein. Diese Kurve bildet die gewählte Schaufelabwicklung. Die Schaufelgeometrie ist sodann im Grundriß so darzustellen, daß sich das Laufrad herstellen läßt: 6. Die Schaufelpunkte 1 bis 13 in der Abwicklung (Abb. 7.7d) definieren Dreiecke mit den Seiten ΔL, Δu und Δm. Diese Punkte liegen auf den Radien r1 bis r13 (siehe den Meridianschnitt in Abb. 7.7a). Beginnend am Außenradius überträgt man die Punkte mit Δu und Δr auf den Radien r1, r2 usw. entsprechend Abb. 7.7e. Dies ergibt die Punkte 1, 2, 3, usf. im Grundriß, die sich zur Projektion der Stromlinie in die Draufsicht verbinden lassen. 7. Der Umschlingungswinkel εsch, den die Schaufel im Grundriß beschreibt, hängt von den Schaufelwinkeln β1B und β2B, dem Radienverhältnis d1/d2 und der Stromlinienlänge im Meridianschnitt ab; er liegt bei Radialrädern etwa in folgenden Bereichen: bei zLa = 5: εsch = 130 bis 160°; bei zLa = 6: εsch = 120 bis 140° und bei zLa = 7: εsch = 100 bis 130°. 8. Die Schritte 4 bis 6 werden für alle Rotationsflächen (Stromlinien) ausgeführt. 9. Um für die Herstellung genügend Stützpunkte zu erzeugen, legt man Radialschnitte (A bis Q in Abb. 7.8) in den Grundriß und überträgt deren Schnittpunkte mit den Rotationsflächen oder Stromlinien in den Meridianschnitt (in Abb. 7.8 dargestellt anhand von Schnitt K). Die Radialschnitte im Meridianschnitt sollen stetige Kurven darstellen, um Welligkeiten in der Schaufelfläche zu vermeiden. Sie müssen nicht immer gekrümmt sein, sondern können auch als Geraden ausgeführt werden. Bei kleinen spezifischen Drehzahlen genügt es, ohne die mittlere Stromlinie zu arbeiten; die Radialschnitte ergeben sich dann im Meridianschnitt als Geraden. 10. Für die Herstellung können auch Höhenlinien („Brettschnitte“ oder „Schreinerschnitte“) verwendet werden. Das sind (äquidistante) Schnitte senkrecht zur Achse, Nr. 0 bis 12 in Abb. 7.8, die man in den Meridianschnitt legt. Ihre Schnittpunkte mit den Stromlinien und Radialschnitten werden in den Grundriß übertragen und zu Höhenkurven verbunden. Auch die Höhenlinien müssen stetige Kurven darstellen, damit die Schaufelfläche keine Welligkeiten aufweist. 11. Die so konstruierte Schaufelfläche stellt die Skelettfläche, die Schaufelsaugfläche oder die Druckfläche dar – je nachdem, welche Winkel (Skelett, Saug- oder Druckfläche) für die Abwicklung verwendet wurden. Man kann das gewählte Schaufelprofil in die Abwicklung als Schnitt senkrecht zur Schaufelfläche einzeichnen, um dessen Einfluß auf die Anströmung besser beurteilen zu können. 12. Das Schaufelprofil wird auf die Skelettlinie abgewickelt und dort als Dikke = f(L) vermaßt (in Abb. 7.8 ist die Vermaßung nicht dargestellt).

d

13

0 1 2

r2a

A

Δm

r1i

Δz

β2B

a2

a1

r6

b1 b2

0

LP

S1

c1 c2

r5

Δr

P

La,u

Δu

Δε

S2

Δm

Δg

Δu

6

r6

ΔL

Δr

b

Δu

β

5

Abb. 7.7. Entwurf der Beschaufelung nach der Kaplan’schen Methode

r1

13

a

β1B

Δm

c

1

E

La,m

2 3 4

εsch

5

r6

6

Δu 7 8

Δr

9

13

12

11

10

e

358 7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

1

12

A

b

Abb. 7.8. Darstellung der Laufradkoordinaten durch Höhenlinien 0 bis 12 und Radialschnitte A bis Q. a) Meridianschnitt, b) Grundriß (Draufsicht), c) Schaufelprofil

c

K

a

K

Q

7.2 Radiale Laufräder 359

360

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

2 3 1

4

ε

5

Abb. 7.9. Verschiedene Formen der Laufschaufeleintrittskante

7.2.3 Kriterien für die Schaufelgestaltung Wie oben besprochen, hat der Konstrukteur bei der Gestaltung der Abwicklung Freiheiten, die es zu nutzen gilt, um bestimmte hydraulische Eigenschaften zu erhalten. Bei Laufrädern, die für hohes NPSHA ausgelegt werden, also keine besonderen Anforderungen hinsichtlich Kavitationseigenschaften zu erfüllen haben, wird man primär versuchen, die Strömungsverluste zu minimieren. Hierzu sind möglichst glatte Verläufe in der Abwicklung anzustreben, indem man z.B. den Schaufelwinkel linear vom Eintritt zum Austritt variieren läßt (∂β/∂L = konstant). An der äußeren Stromlinie ist der Austrittswinkel β2B meist um einige Grad größer als der Eintrittswinkel β1B, und es ergibt sich eine Abwicklung ähnlich wie Kurve 2 in Abb. 7.6. An der inneren Stromlinie eines Laufrades ohne durchgehende Welle ist hingegen meist β1B wesentlich größer als β2B , so daß sich eine Abwicklung ähnlich Kurve 3 in Abb. 7.6 ergibt. Man kann auch ein Gesetz für Yth = u cu als Funktion der Schaufellänge vorschreiben; z.B. mit schwacher Schaufelarbeit am Eintritt wegen Kavitation, mit der stärksten Schaufelbelastung im mittleren Teil, wo sich die Schaufeln überdekken, und mäßiger Schaufelbelastung am Austritt mit Rücksicht auf eine gleichförmige Abströmung zur Minimierung von Verwirbelungsverlusten und Druckpulsationen. Die Abwicklungen aller Stromlinien müssen ferner so aufeinander abgestimmt werden, daß sich die gewünschte Eintrittskante ergibt. Da die Zuströmwinkel meist klein sind (zwischen 12 und 18°), läßt sich die Anströmung der Schaufelvorderkante anhand ihrer Lage im Grundriß qualitativ beurteilen: Liegt die Eintrittskante radial (Nr. 1 in Abb. 7.9), wird sie in etwa senkrecht angeströmt; weicht ihre Lage um den Winkel ε von der Radialen ab (Nr. 2), wird sie schräg angeströmt, was tendenziell kleinere Übergeschwindigkeiten und Verluste erzeugt (man vergleiche hierzu einen senkrecht bzw. schräg angeströmten Zylinder). Eine Eintrittskantenform nach Nr. 2, 3 oder 4 in Abb. 7.9 entspricht einer „Rückwärtssichelung“ („sweep back“), wie sie bei Axialpumpen und -verdichtern sowie Vorsatzlaufrädern eingesetzt wird. Sie verdrängt Fluid von der Nabe nach außen. Auch Sonderformen wie Nr. 5 in Abb. 7.9 werden mitunter verwendet, um die äu-

7.2 Radiale Laufräder

361

ßere Stromlinie zu verlängern bzw. zu entlasten (s. Kap. 5). Wie in Kap. 5 besprochen, beeinflußt die Eintrittskante auch das Teillastverhalten – besonders Formen wie 4 und 5 in Abb. 7.9. Während die Schaufelverwindung am Eintritt sich gemäß Gl. (T7.1.7) aus den Winkeln ergibt, die bei d1i << d1a große Winkeländerungen β1B,i >> β1B,a über die Schaufelhöhe notwendig machen, kann die Austrittsverwindung frei gewählt werden. Radialräder kleiner spezifischer Drehzahl werden häufig am Austritt nicht verwunden; je höher nq, desto eher wird eine Austrittsverwindung nötig, um die Stromlinienlängen optimal aufeinander abzustimmen. Mit dem Ziel, die Druckpulsationen zu verringern, können die Schaufeln indessen bei allen spezifischen Drehzahlen am Austritt verwunden werden. Diese Maßnahme ist um so wirksamer, je größer die Austrittsbreite im Verhältnis zur Schaufelteilung (bzw. je höher die spezifische Drehzahl) ist. Die Schaufeln können bewußt so verwölbt werden, daß sich der engste Querschnitt A1q vergrößert; die Radialschnitte erscheinen dann im Meridianschnitt als ausgeprägte Kurven. Diese Konstruktion ist besonders bei Radialrädern hoher spezifischer Drehzahl gebräuchlich (vGl. auch Francisturbinen). Allgemein sollen alle Stromlinien, Abwicklungen, Radialschnitte, Höhenlinien und Kanalquerschnitte möglichst kontinuierlich verlaufen, um unnötige Beschleunigungen, Verzögerungen und Geschwindigkeitsunterschiede über die Kanalquerschnitte zu vermeiden und so die Verwirbelungsverluste infolge ungleichförmiger Geschwindigkeitsverteilungen zu minimieren. 7.2.4 Gestaltungskriterien für Sauglaufräder Seit Kesselspeisepumpen mit Förderhöhen um 600 bis 800 m pro Stufe – bzw. mit u1 bis 80 m/s – gebaut werden (in Einzelfällen wurden sogar 1200 m pro Stufe ausgeführt), hat sich die Auslegungsphilosophie der Sauglaufräder gewandelt. Früher – bei niedrigen Umfangsgeschwindigkeiten am Laufradeintritt – wählte man große Eintrittswinkel und Winkelübertreibungen und entwarf häufig Schaufeln mit langen, spitz zulaufenden Eintrittsprofilen, um genügend tiefe Werte NPSH3 zu erhalten, Konzept „H“ in Abb. 7.10c. Bereits bei geringer Falschanströmung ergeben solche Laufräder ausgeprägte Unterdruckspitzen und großvolumige, abgelöste Blasenfelder, die bei u1 > 50 m/s zu starker Kavitationserosion führen können. Fast alle Hersteller von Hochdruckpumpen sahen sich angesichts derartiger Schäden seit den 70er Jahren genötigt, mittels stroboskopischer Beobachtung der Blasenfelder am Laufradeintritt neue Schaufelformen zu entwickeln. Diese sind gekennzeichnet durch: (1) Kleine Anstellwinkel bzw. kleine Winkelübertreibung. (2) Relativ kleine absolute Schaufel- bzw. Zuströmwinkel, die dann auch bei Teillast niedrigere Anstellwinkel erzeugen (bei β1B = 20° ergibt sich bei Q/QSF = 0,5 ein Anstellwinkel von 10°, während dieser bei β1B = 10° nur i1 = 5° beträgt). (3) Dicke, kurze Profile, die möglichst unempfindlich gegenüber Falschanströmung reagieren. (4) Geringe Schaufelbelastungen im Eintrittsbereich bis etwa zum engsten Querschnitt, Konzept „L“ in Abb. 7.10d.

362

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Aufgrund dieser Merkmale ergeben sich flache Druckverteilungen, die dadurch begünstigt werden, daß im ersten Teil der Schaufel über eine Länge von etwa t1 = π d1/zLa nur kleine Radien- und Winkelanstiege zugelassen werden (d.h. kleiner Anstieg in u cu). Es ergeben sich dann niedrige Beiwerte σi für den Kavitationsbeginn und dünne, durchscheinende Blasenfelder, mit wenig Dampfvolumen und entsprechend geringer hydraulischer Kavitationsintensität. Abbildung 7.10a zeigt schematisch, wie sich die Schaufelarbeit über die Länge entwickeln soll, um flache Druckverteilungen nach Abb. 7.10b zu erhalten. Trotz des flachen Schaufelwinkelverlaufes im Eintrittsbereich über eine Länge von t1 muß der engste Querschnitt zwischen den Schaufeln genügend groß sein, damit der maximal vera)

u cu u 2 c 2u

b)

pstat ps

0,8 0,6 ungünstig

0,4 0,2 0

Elliptisches Profil

günstig

0

0,2

0,4

0,6

ss Halbrundprofil 0,8

1 Lsch

c) Konzept „H“

Lsch

d) Konzept „L“

i = Anstellwinkel β1B

β1B w1

w1

w1

w1 dickes, abgelöstes Blasenfeld

Schichtkavitation

Abb. 7.10. Auslegung von Sauglaufrädern. a Arbeitsumsatz ; b Druckverteilung; c Auslegung mit großem Anstellwinkel und spitzem Profil; d Auslegung für flache Druckverteilung.

7.2 Radiale Laufräder

363

langte Förderstrom gefahren werden kann, Kap. 7.2.1(14). Dies kann dann zu Sförmigen Abwicklungen der Skelettlinie gemäß Abb. 7.6, Kurve 1, führen. Vor der Auslegung von Sauglaufrädern sollte man sich Rechenschaft über das Risiko von Kavitationsschäden geben (Kap. 6 und insbesondere Kap. 6.7). Bei vielen Anwendungen ist das Schadensrisiko gering, und es geht darum, ein möglichst niedriges NPSH3 bzw. eine möglichst hohe Saugzahl zu erreichen; bei Hochdruckpumpen mit erheblichem Schadenspotential ist das Saugrad hingegen so auszulegen, daß ein tiefes NPSHi und kleine Blasenfeldvolumina erzielt werden. Typische Parameter dieser beiden Extremfälle sind in Tabelle 7.1 gegenübergestellt. Dazwischen liegende Anwendungen lassen sich interpolieren. Tabelle 7.1 Saugradauslegung Erosionsrisiko Umfangsgeschwindigkeit Fluid Saugzahl Zuströmwinkel Kavitationsbeginn bei q* = 1 Anstellwinkel bei q* = 1 Winkelübertreibung bei q* = 1 Resultierende Druckverteilung

gering u1 < 35 m/s Wasser über 220 °C Kohlenwasserstoffe nss = 220 bis 260 β1a = 10 bis 15° σi = 1,2 bis 2 i1 = 3 bis 5° Wü = 1,1 bis 1,2 spitz

hoch u1 > 50 m/s Wasser unter 220 °C nss = 160 bis 180 β1a = 14 bis 18° σi = 0,5 bis 0,8 i1 = < 2° Wü = 0,95 bis 1,05 flach

Gutes Kavitationsverhalten von Hochdruckpumpen läßt sich zudem nur erreichen, wenn das Einlaufgehäuse so optimiert wird, daß keine Wirbel entstehen und die Zuströmung zum Laufrad möglichst gleichförmig ist, dergestalt, daß der Anstellwinkel über dem Umfang höchstens um ± 1° variiert. Das Teillastverhalten läßt sich durch einen Diffusor stromaufwärts des Laufrades verbessern, [7.3]. Die hier besprochenen Auslegungskriterien für Sauglaufräder wurden vorwiegend empirisch aufgrund stroboskopischer Kavitationsbeobachtungen entwickelt, teils unterstützt durch numerische Berechnung der reibungsfreien Strömung. Dies folgt aus Literaturstellen wie [3.15], [6.9 u. 10], [6.17], und [7.3 bis 6]. In Zukunft wird man mit Vorteil vermehrt auf numerische Verfahren zurückgreifen, [8.39]. 7.2.5 Ausnützung dreidimensionaler Effekte Wie in Kap. 5 ausgeführt, werden die Strömungsumlenkung (Minderleistung) und die Verluste durch Sekundärströmungen beeinflußt, die in der eindimensionalen Theorie nur in Form empirisch-statistischer Beiwerte berücksichtigt werden können; den Einzelheiten der Geometrie eines bestimmten Laufrades werden solche statistischen Werte nicht gerecht. Mit Hilfe numerischer Methoden lassen sich hingegen alle geometrischen Eigenschaften hinsichtlich ihrer Wirkung auf die Strömung untersuchen. Dadurch eröffnen sich der Optimierung neue Möglichkeiten, indem man versucht, die Strömung durch neuartige geometrische Effekte und

364

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Formen zu beeinflussen. Dabei geht es nicht nur um die Minimierung der Strömungsverluste im Auslegungspunkt, sondern vor allen auch um die Kennlinienstabilität und Kavitation. Die Wirkung von 3D-Effekten steigt mit wachsender Schaufelhöhe, also mit der spezifischen Drehzahl. Beispiele für 3D-Effekte sind: • Vorwärtssichelung: Eine gemäß Abb. 7.9, Form 5, vorgezogene Eintrittskante verbessert tendenziell die Kennlinienstabilität halbaxialer Pumpen, Kap. 5.5 und 5.6. • Rückwärtssichelung verringert bei Vorsatzläufern und axialen Laufrädern die Kavitationsblasenausbreitung. • Eine an der Nabe vorgezogene Eintrittskante gemäß Form 4 in Abb. 7.9 soll nach [7.4] das Kavitationsblasenfeld in Nabennähe bei Teillast reduzieren. • Axiale Schaufeln können auch in ihrer ganzen Fläche gegenüber einem Radialstrahl geneigt werden („lean“). Numerische Untersuchungen hierzu in [7.43]. • Mittels Schaufelverwindung läßt sich die Energieverteilung über die Schaufelhöhe beeinflussen. • Die an sich übliche Praxis, bei hohen spezifischen Drehzahlen den Austrittswinkel über die Schaufelhöhe variieren zu lassen, kann mit Hilfe der Numerik gezielter eingesetzt werden. • Die Tragscheibe braucht nicht unbedingt als Rotationsfläche ausgeführt zu werden, wodurch sich u.U. die Strömung verbessern läßt, [7.7]. Für die Modellherstellung mittels NC-Fräsen oder Stereolithographie würde eine Freiformnabe keine nennenswerte Verteuerung bedeuten; über den Nutzen derartiger Maßnahmen liegen aber noch keine Angaben vor.

7.3 Radiale Laufräder für kleine spezifische Drehzahlen 7.3.1 Einfach gekrümmte Schaufeln (Zylinderschaufeln) Bei unverwundenen (zylindrischen) Schaufeln liegen äußere und innere Stromlinie im Grundriß übereinander. Bei spezifischen Drehzahlen unter nq < 16 bis 18 kann man solche einfach gekrümmten Schaufeln ausführen, z.B. als Folgestufen einer mehrstufigen Pumpe. Da der Anteil der Laufradverluste generell klein ist (s. Abb. 3.30) und auch die Stoßverluste am Laufradeintritt wegen des geringen d1* niedrig sind, bedeuten die zylindrischen Schaufeln praktisch keine Wirkungsgradeinbuße. Kommt es hingegen auf gutes Kavitationsverhalten an, sind doppelt gekrümmte Schaufeln einzusetzen. Laufräder mit einfach gekrümmten Schaufeln werden analog zu Kap. 7.2.1 berechnet und entworfen. Statt die Abwicklung nach Kap. 7.2.2.2 zu entwerfen, kann man – bei Pumpen für untergeordnete Zwecke – auch Kreisbogenschaufeln verwenden. Diese lassen sich im Grundriß so konstruieren, daß Ein- und Austrittswinkel durch einen einzigen Kreisbogen erfaßt werden. Die Konstruktion sei anhand von Abb. 7.11 erläutert: (1) Man zeichnet Kreise mit den Ein- und Austrittsradien des Laufrades oder der betrachteten Stromlinie. (2) An einem beliebi-

7.3 Radiale Laufräder für kleine spezifische Drehzahlen

365

gen Punkt A am Austritt wird der Schaufelwinkel β2B angetragen und in A die Senkrechte Aa errichtet (Drehrichtung beachten). (3) Vom Wellenmittelpunkt W wird in Drehrichtung über der Strecke WA der Winkel (β1B + β2B) angetragen. Der sich ergebende Strahl schneidet den Kreis mit r1 in einem Punkt B. (4) Eine Linie durch A und B ergibt einen zweiten Schnittpunkt E mit dem Kreis r1, der den Schaufeleintritt markiert. (5) Die Mittelsenkrechte auf der Strecke AE schneidet den Strahl Aa in einem Punkt M, der den gesuchten Mittelpunkt des Kreisbogens darstellt. Man zeichnet diesen mit dem Radius rsch = MA = ME. (6) Der so erhaltene Kreisbogen stellt die Skelettlinie der Schaufel dar. Saug- und Druckfläche der Schaufeln erhält man aus Kreisbögen mit r = rsch ± 0,5 e um Punkt M. β2B

A

β2B a B

β1B+β2B

rsch M

E W

r1

r2

Abb. 7.11. Konstruktion von Kreisbogenschaufeln

Der Radius rsch der Kreisbogenschaufel läßt sich auch aus Gl. (7.10) berechnen: rsch =

r22 − r12 2 (r2 cos β2B − r1 cos β1B )

(7.10)

Kreisbogenschaufeln dieser Art geben einen ungünstigen Verlauf der Relativgeschwindigkeit, die vor dem Laufradaustritt auf einen Wert w < w2 verzögert wird. Um die Kennlinienstabilität nicht zu gefährden, darf die Eintrittskante nicht achsparallel ausgeführt werden, sondern sie muß auf einen möglichst kleinen Durchmesser d1i vorgezogen werden, der allerdings von der Laufradbefestigung beeinflußt wird. Radialräder mit zylindrischen Schaufeln werden vorwiegend im Bereich 8 < nq < 18 eingesetzt, für Kleinpumpen und untergeordnete Zwecke auch bis etwa nq = 25. Je kleiner die spezifische Drehzahl, desto kleiner wird die relative Laufradaustrittsbreite b2*, was wegen der engen Kanäle gießtechnische Probleme aufwirft. Die im folgenden besprochenen Optionen, Lochscheiben und radialer Schaufelstern, umgehen derartige Schwierigkeiten.

366

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

7.3.2 Lochscheiben Bei Radialrädern kleiner spezifischer Drehzahl – also kleinem Verhältnis d1* – beruht die Umlenkung bzw. die Förderung weitgehend auf Zentrifugalkräften. Wie Abb. 3.30 zeigt, wird der hydraulische Wirkungsgrad in diesem Fall weitgehend durch die Verluste im Leitapparat bestimmt; die Laufradverluste sind anteilmäßig gering. Folglich können die Laufradkanäle ohne allzu große Wirkungsgradeinbuße relativ einfach gestaltet werden. Eine Möglichkeit hierzu bieten gelochte Scheiben nach Abb. 7.12, wie sie z.B. in [7.9] beschrieben sind. Die Bohrungen können rein radial – mit β2B = β1B = 90°– oder in Umfangsrichtung geneigt mit β2B = β1B < 90° ausgeführt werden, wobei man eine geringere Strömungsumlenkung und entsprechend niedrigere Druckzahlen und steilere Kennlinien erreicht. Als Leitapparat wird eine Spirale oder (meist bevorzugt) ein Ringgehäuse eingesetzt, aus dem das Fluid über einen Diffusor abgeführt wird. Der Eintrittsquerschnitt des Diffusors bestimmt weitgehend den Bestpunktförderstrom, weil, wie eingangs erwähnt, die Strömungsverluste im Diffusor die Laufradverluste überwiegen. Wenn das Fluid vom Laufradaustritt in den Diffusoreintritt beschleunigt wird (also c3q > c2 gilt), steigen die Diffusorverluste; folglich sinken Förderhöhe sowie Wirkungsgrad. Bei entsprechend großer Beschleunigung kavitiert die Strömung im engsten Querschnitt und Förderhöhe und Wirkungsgrad fallen senkrecht ab. Die Auslegung des Ringraumes erfolgt nach Kap. 7.12; der Diffusor wird nach Kap. 1.6 berechnet; der Bestpunktförderstrom stellt sich nach Kap. 4.2 ein. Um hohe Druckzahlen und geringe Laufradverluste zu erreichen, ist die Geschwindigkeit in den Bohrungen niedrig zu wählen. In den Bohrungen mit Durchmesser dB herrscht die Durchflußgeschwindigkeit cB, die im wesentlichen auch der Relativgeschwindigkeit w entspricht: cB =

4Q π d 2B z La

c ϕB = B u2

(7.11)

Nach Kap. 5.2 hat die Coriolisbeschleunigung den Betrag bc = 2 ω w; sie ist im Fall radial durchströmter Bohrungen im wesentlichen für die Minderumlenkung verantwortlich, die folglich mit zunehmendem Förderstrom, bzw. w = cB, steigt. Aus Messungen läßt sich ableiten, daß die Durchflußzahl im Auslegepunkt ϕB = 0,06 bis 0,08 nicht übersteigen sollte, wenn eine möglichst hohe Druckzahl angestrebt wird. Auch die Laufradverluste liegen dann im Bereich weniger Prozent. Soll eine möglichst große Druckzahl erreicht werden, sind folglich Anzahl und Größe der Bohrungen so zu wählen, daß sich im Auslegungspunkt Durchflußbeiwerte von ϕB < 0,08 ergeben. Dann werden Druckzahlen im Bereich von 1,1 bis 1,25 erreicht; die Kennlinien werden aber flach, und die Förderhöhe fällt leicht gegen Q = 0. Wird eine steilere Kennlinie benötigt, ist für eine höhere Durchflußzahl auszulegen; ggf. sind auch rückwärtsgeneigte Bohrungen zu wählen. Die Laufradverluste steigen allerdings und der Wirkungsgrad sinkt. Da das Ringgehäuse nach Kap. 7.12 einen größeren Querschnitt aufweist als der Laufradaustrittsgeschwindigkeit c2u entspricht, wird die Strömung stoßartig verzögert, und es entsteht eine intensive Sekundärströmung. Gemäß Kap. 5 läßt

7.3 Radiale Laufräder für kleine spezifische Drehzahlen

367

Abb. 7.12. Verwendung einer Scheibe mit Bohrungen als Laufrad

sich die Förderhöhe vergrößern, wenn man den Impulsaustausch zwischen dem Laufrad und der Strömung im Leitapparat fördert (ähnlich wie in einer Seitenkanalpumpe). Dadurch erhöht sich die kinetische Energie am Eintritt in den Diffusor, dessen Druckrückgewinn entsprechend steigt. Der Impulsaustausch wächst mit abnehmendem ϕB; er läßt sich gezielt fördern, indem man am Laufradaußendurchmesser Materialausnehmungen anbringt, die eine „Mitnehmerfunktion“ auf das im Ringraum zirkulierende Fluid ausüben. In [7.9] wurden z.B. hierfür Blindbohrungen verwendet. Auf diese Weise lassen sich Druckzahl und Wirkungsgrad deutlich erhöhen: im Bestpunkt erhält man ψopt = 1,3 bis 1,4, während die Maximalwerte bei Teillast knapp ψmax = 1,5 erreichen. Die Kennlinie links vom Bestpunkt wird sehr flach und fällt leicht gegen Q = 0. Zwischen Laufrad und Gehäuse können relativ große axiale Spalte (bis etwa sax = 0,01 d2) zugelassen werden, weil die Radseitenwand wie eine Reibungspumpe arbeitet. Die Förderhöhe wird sogar leicht verbessert, da die Radseitenwandgrenzschicht mit hoher Umfangsgeschwindigkeit in den Ringraum eintritt und so die kinetische Energie des dort zirkulierenden Fluids erhöht. Dem steht eine leichte Einbuße an Wirkungsgrad gegenüber, weil die Leistungsaufnahme stärker wächst als die Förderhöhe. Abb. 7.13 zeigt die dimensionslosen Kennlinien einer rotierenden Scheibe mit 12 Bohrungen und Ausnehmungen am Laufradaustritt zur Erhöhung des Impulsaustausches zwischen Ringraum und Laufrad. Die Durchflußzahl wurde nach Gl. (7.11) berechnet; alle Druckzahlen entsprechen den Definitionen in Kap. 3 bis 5. Die Kennlinie ist unterhalb des Bestpunktes sehr flach und fällt bei ϕB ≈ 0,073 1,5

2,0

ψ

ψ

1,5

1,0

ψ3-4

0,5

ψp

1,0

ζLe

0,0

0,5 0

ψ

-0,5

η

ζLa

ψ2-3

-1,0 0

0,02

0,04

0,06

0,08 ϕB

0

0,02

Abb. 7.13. Versuche an einer Lochscheibe, Sulzer Pumpen AG

0,04

0,06 ϕB

0,08

368

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

senkrecht ab, was durch Kavitation im Diffusor bedingt ist. Bemerkenswert ist auch der flache Verlauf der statischen Druckerhöhung im Laufrad ψp, der zeigt, daß sich Abströmbeiwert und Laufradverluste mit steigendem Förderstrom nur mäßig ändern. Bei Q = 0 erreicht ψp fast den theoretischen Wert der verlustlosen Strömung, der nach Kap. 4.1.4 einem hydraulischen Laufradwirkungsgrad von 0,96 entspricht. Der Druckrückgewinn im Diffusor ψ3-4 steigt in etwa quadratisch mit dem Förderstrom. Der Druckanstieg ψ2-3 zwischen dem Laufradaustritt und dem Diffusoreintrittsquerschnitt ist unter ϕB ≈ 0,03 bedeutend; oberhalb ϕB ≈ 0,044 wird hier hingegen statischer Druck abgebaut, weil die Strömung vom Laufradaustritt zum engsten Diffusorquerschnitt beschleunigt wird (es gilt: c3q > c2). Die Laufradverluste sind klein gegenüber den Verlusten im Leitapparat. 7.3.3 Radialer Schaufelstern In hochtourigen Kleinpumpen mit Drehzahlen bis 25’000 min-1 im Bereich spezifischer Drehzahlen von etwa 6 bis 12 werden mitunter Laufräder mit rein radial stehenden Schaufeln mit β2B = β1B = 90° nach Abb. 7.14 eingesetzt, die auch als „Barske-Laufräder“ bezeichnet werden, [7.10] bis [7.12]. Wie bei den oben besprochenen Lochscheiben sind derartige Pumpen oft mit einem Ringgehäuse ausgerüstet, aus dem das Fluid über einen Diffusor abgeführt wird. Man findet aber ebenso Leiträder und Doppelspiralen. Das Laufrad wird halboffen oder offen ausgeführt, um Radreibungs- und Spaltverluste zu reduzieren. Diese Konstruktion verlangt enge Axialspalte von sax/b2 = 0,01 bis 0,02 zwischen Schaufeln und Gehäusewänden, um akzeptable Wirkungsgrade zu erhalten. Die Laufradaustrittsbreite wird relativ groß ausgeführt – ähnlich wie bei Abwasserpumpen gemäß Abb. 7.2. Man wählt 16 bis 24 (32) Schaufeln, wobei nur ein Teil der Schaufeln bis auf den Eintrittsdurchmesser hereingezogen wird, damit die Versperrung am Eintritt nicht übermäßig wird. Die große Laufradaustrittsbreite und die Schaufelzahl erhöhen den Abströmbeiwert und bewirken einen kräftigen Impulsaustausch mit der Strömung im Ringraum. Wie bei den Lochscheiben werden infolgedessen hohe Druckzahlen erreicht: ψopt = 1,2 bis 1,5. Die Kennlinie wird entsprechend flach und meist leicht instabil, ähnlich wie in Abb. 7.13. Schaufelzahlen über 16 erhöhen die Druckzahl im Bestpunkt nur unbedeutend, bringen aber infolge verbesserten Impulsautausches eine größere Nullförderhöhe und verringern so die Kennlinieninstabilität.

Abb. 7.14. Radialer Schaufelstern

7.3 Radiale Laufräder für kleine spezifische Drehzahlen

369

Die hydraulischen Eigenschaften und Kennwerte radialer Schaufelsterne sind sehr ähnlich wie bei den Lochscheiben nach Kap. 7.3.2. Wirkungsgrade bis etwa 45 % sind zu erreichen – je nach spezifischer Drehzahl, Pumpengröße und mechanischen Verlusten – entsprechend Abb. 3.23. Hochtourige Pumpen werden oft mit einem Vorsatzlaufrad ausgerüstet, um NPSH3 abzusenken; die dabei ausgeführten Saugzahlen liegen typischerweise zwischen nss = 350 und 450. Abbildung 7.15 zeigt die dimensionslosen Kennlinien eines radialen Schaufelsternes, der mit zwei verschieden großen Diffusoreinsätzen gemessen wurde, deren Eintrittsdurchmesser 71 bzw. 39 % der Laufradaustrittsbreite betrug. Mit dem großen Diffusoreinsatz ergab sich eine spezifische Drehzahl von nq = 12, eine Druckzahl von ψopt = 1,48 und ein Wirkungsgrad von 42,5 %. Durch Verkleinern des Diffusoreintrittsquerschnittes reduzierte sich die spezifische Drehzahl auf nq = 7, während der Wirkungsgrad auf 22,5 % sank. Die Leistungsaufnahme war bei beiden Versuchen praktisch gleich groß, die Bestpunktverschiebung wurde also nur durch Drosselung im Diffusor erreicht. Daß Kavitation im Diffusor dabei eine wesentliche Rolle spielt, beweisen die Kurven für den Kavitationsbeiwert, die sich – bei gleichem Laufrad – drastisch verändert haben. 2,0

ψ

0,5

η 0,4

nq = 11

1,6 1,2

0,3

0,8

0,2

σ

nq = 7

0,4 0

η nq = 7

0,1

0,005

0,010

ϕ2

0,015

0,020

σ3

σ3

0 0

nq = 11

0

0,005

0,010

0,015

0,020

ϕ2

Abb. 7.15. Messungen an einem radialen Schaufelstern mit zwei verschiedenen Austrittsdiffusoren, Sulzer Pumpen AG

7.3.4 Doppeltwirkende Laufräder mit radialen Schaufeln Abbildung 7.16 zeigt ein doppeltwirkendes Laufrad mit radialen Schaufeln im Meridianschnitt und als Ansicht von der Eintrittsseite. Dieses Laufrad wird in einstufigen Prozeßpumpen mit axialem Zulauf eingesetzt (ähnlich Abb. 2.1). Das Laufrad erzeugt Förderhöhen von über 300 m, [7.44], [7.45]. Die Laufschaufeln auf beiden Seiten der Mittelrippe (bzw. Tragscheibe) fördern in etwa den gleichen Volumenstrom (daher die Bezeichnung „doppeltwirkend“). Dabei gelangt das Fluid durch 5 große Öffnungen von der Vorderseite auf die Rückseite der Tragscheibe. Auf jeder Seite der Tragscheibe sind 5 lange und 20 kurze radiale Schaufeln angeordnet. Als Leitapparat dient ein konzentrisches Gehäuse, dessen letzter Teil als Spirale gestaltet ist. Der Druckstutzen ist als Diffusor ausgebildet. Die Pumpen werden im Bereich von 1 < nq < 10 eingesetzt. Abbildung 7.16-c zeigt die dimensionslosen Kennlinien für nq = 2, nq = 5 und nq = 9. Während bei

370

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

nq = 9 Wirkungsgrade von über 50% erreicht werden, sinkt der Wirkungsgrad bei kleineren spezifischen Drehzahlen markant ab.1 Die Druckzahlen im Bestpunkt liegen oberhalb 1,4. Bei sehr kleinen spezifischen Drehzahlen sinken sie infolge zunehmender Verluste im Leitapparat. Die QH-Kurven sind stabil, aber wegen der hohen Druckzahl recht flach. Da auf beiden Seiten der Tragscheibe sehr ähnliche Strömungszustände herrschen, ist der Axialschub weitgehend ausgeglichen. Die Spalte zwischen dem Gehäuse und den Schaufeln können recht groß ausgeführt werden, ohne daß der Wirkungsgrad merklich beeinträchtigt wird. Der relativ hohe Wirkungsgrad erklärt sich dadurch, daß keine Radreibungsverluste auftreten. Der Betrieb rechts vom Bestpunkt ist infolge Kavitation im Leitapparat stark eingeschränkt, wie das für alle Kreiselpumpen mit kleinem nq charakteristisch ist. Wegen der geringen Schaufelbelastung ist die Schwingungsanregung schwach. b)

ψ, η

c)

1.8

0.016

1.6 1.4

0.014

1.2 1.0 0.8

nq = 9 nq = 5 nq = 2

0.012

ψ

0.01 0.008 λ

0.6

0.006 0.004

0.4 η

0.2 0.0 1.E-05

λD

a)

0.002 0

1.E-04

1.E-03 flow coefficient

1.E-02

Abb. 7.16. Einstufige Pumpe mit doppeltwirkendem Laufrad und axialem Zulauf; a) Meridianschnitt; b) Ansicht vom Eintritt; c) dimensionslose Kennlinien; D gemäß Gl. (T3.4.10) 1

Um die Kurven für nq = 2 bis nq = 9 in demselben Diagramm auftragen zu können, wurde eine logarithmische Skalierung für den Förderstrom gewählt. Die Wirkungsgradkurven haben daher scheinbar einen ungewöhnlichen Verlauf.

7.4 Radiale Laufräder für Pumpen mit Verstopfungsgefahr

371

7.4 Radiale Laufräder für Pumpen mit Verstopfungsgefahr In verschiedenen Anlagen sind grobe Feststoffe oder faserförmige Verunreinigungen in der Förderflüssigkeit vorhanden, die Sonderkonstruktionen erfordern, um Verstopfungen und Beschädigungen zu vermeiden. Typische Anwendungen sind: • Abwasserpumpen, deren Betrieb vor allem durch Verstopfung mit Textilen, Gras, Laub, Kunststoffteile und -folien gefährdet ist • Baggerpumpen, bei denen das Baggergut grobe Steine und alle Arten von Abfall enthalten kann • Rüben- oder Fischpumpen, die mit Einkanalrädern ausgerüstet werden, um das Fördergut nicht zu beschädigen. • Papierstoffpumpen (Kap. 13.5) Abwasserpumpen sind in der Regel einstufig. Pumpen mit radialen oder halbaxialen Laufrädern werden mit Spiralgehäusen ausgeführt; Leiträder kommen wegen Verstopfungsgefahr nicht in Frage. Für große Förderströme bei kleinen Förderhöhen werden Axialpumpen mit Leiträdern eingesetzt. Die Leitschaufeln haben dann dicke, faserabweisende Profile. Für die Auslegung von Abwasserpumpen sind zwei Arten von Verstopfung zu betrachten: 1. Verstopfung durch grobe Feststoffe wie Kunststoffteile oder Holz. Um zu vermeiden, daß derartige Verunreinigungen in der Pumpe stecken bleiben, müssen die Durchtrittsquerschnitte in Laufrad und Gehäuse möglichst groß sein. Hierzu wird der Durchmesser dk einer Kugel spezifiziert, die ungehindert durch die Pumpe gehen muß (im folgenden als „Kugeldurchgang“ bezeichnet). 2. Verstopfung durch faser- oder blattförmige Verunreinigungen wie Textilien, Plastiksäcke, Gras oder Laub. Diese Art von Verstopfung ist im wesentlichen unabhängig vom Kugeldurchgang; sie ist daher schwieriger zu beherrschen als die Verstopfung durch grobe Feststoffe. Der Grund liegt darin, daß Fasern, Lappen und Ähnliches bevorzugt an den Schaufeleintrittskanten hängen bleiben – und zwar unabhängig vom Kugeldurchgang. Fasern, Textilien usw. können sich auch im Laufradeintritt und in den Radseitenräumen ansammeln. Zudem können sich im Saugstutzen Zöpfe bilden („Verzopfung“), die den Querschnitt vollständig versperren, so daß die Leitung zur Reinigung geöffnet werden muß. Rückströmung spielt bei der Verzopfung vermutlich eine wesentliche Rolle. In die Radseitenräume eindringende Stoffe können den Rotor blockieren. Um diese Gefahr zu verringern, werden Rückenschaufeln auf den Radscheiben eingesetzt, Kap. 9.2.7. Mitunter laufen die Radscheiben auch in einem Gehäuserücksprung (mit definiertem Spalt A nach Tafel 0.2). Verschiedene Schneideinrichtungen werden eingesetzt, um lange Fasern und Textilien zu zerkleinern und so das Verstopfungsrisiko zu verringern. In kleinen Pumpen kann dies ein Schneidrad mit (z.B.) drei Messern sein. In anderen Ausführungen werden Schneidkanten am Laufrad und Schneidnuten im Gehäuse integriert. Für Fördergut mit verstopfenden oder ausgasenden Beimengungen wurden Laufrad-Sonderbauarten entwickelt, von denen Abb. 7.17 eine Auswahl zeigt.

372

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Zweikanalrad mit sehr großem Durchgang zur Förderung verunreinigter Flüssigkeiten.

Dreikanalrad mit großem Durchgang zur Förderung verunreinigter und viskoser Flüssigkeiten.

Zweikanalrad mit freiem Durchgang zum Saugstutzen zur Förderung von Spinn- und Faserstoffen sowie Feststoffen großer Abmessungen.

Einkanalrad mit freiem Durchgang zum Saugstutzen zur Förderung von Spinn- und Faserstoffen, sowie Festteilen großer Abmessungen.

Offenes Radialrad mit drei oder vier Schaufeln zur Förderung gashaltiger und breiiger Medien.

Offenes Spezialrad mit S-förmigem Schaufelverlauf, für Fördergut mit Spinn- und Faserstoffen sowie Festteilen kleinerer Abmessungen.

Offenes, halbaxiales Schraubenrad zur Förderung großer Mengen reiner und leicht verschmutzter Flüssigkeiten.

Offenes mehrschaufliges Radialrad mit unterschiedlicher Kanalbreite zur Förderung von stark luft- und gashaltigen Flüssigkeiten, wie z.B. Papierstoff. Offenes Zweikanalrad mit weit vorgezogenen Schaufeln zur Förderung von stark verunreinigten, zähen und ausgasenden Flüssigkeiten (Dickstoffe, Säfte und Papierstoff bis zu höchster Stoffkonzentration). Abb. 7.17. Laufradformen für die Förderung von Schmutzwasser oder gashaltigen Flüssigkeiten, Sulzer Pumpen AG

7.4 Radiale Laufräder für Pumpen mit Verstopfungsgefahr

373

Grundsätzlich werden derartige Laufräder nach Kap. 7.2 berechnet und entworfen; einige Besonderheiten werden im folgenden besprochen. Veröffentlichungen mit präzisen Angaben zur Auslegung der Hydrauliken sind aber selten. Um Daten zu erhalten, wurden daher die Verkaufskennlinien von vier namhaften Herstellern von Abwasserpumpen analysiert. Die auf diesem Weg gewonnen Druckzahlen opt wurden in Abb. 7.18 für Pumpen mit 1-, 2- und 3-schaufligen Laufrädern sowie für Freistrompumpen dargestellt (Werte für 0 in Tafel 7.2). Die Kurven stellen im wesentlichen die Obergrenze ausgeführter Pumpen dar, obwohl einige Pumpen mit höheren Druckzahlen angeboten werden. Viele Pumpen wurden indes für kleinere Druckzahlen ausgelegt, um größere Kugeldurchgänge zu erhalten. Die in den Verkaufskennlinien angegebenen Wirkungsgrade wurden in Beziehung gesetzt zu den Wirkungsgraden von Reinwasserpumpen gemäß Tafel 3.9. Dabei wurde für jede Abwasserpumpe mit gegebenen Werten Qopt und nq der entsprechende Wirkungsgrad opt,R aus Gl. (T3.9.1) berechnet. Ein Korrekturfaktor für den Wirkungsgrad läßt sich sodann als Verhältnis f = opt/ opt,R bilden, wenn opt der Wirkungsgrad der Abwasserpumpe ist. Als Ergebnis dieser Untersuchung liefert Tafel 7.2 die Korrekturfaktoren für den Wirkungsgrad der verschiedenen Pumpentypen. Während der absolute Wirkungsgrad gemäß Tafel 3.9 von der spezifischen Drehzahl und der Pumpengröße (beschrieben durch Qopt) abhängt, weisen die Korrekturfaktoren keine solche Abhängigkeit mehr auf. Dieser Befund zeigt, daß die mittels f vorgenommene Normalisierung zu sinnvollen Ergebnissen führt und daher für die Vorausberechnung verwendet werden kann. Neben den Mittelwerten für f liefert Tafel 7.2 auch den Streubereich, in dem sich die Mehrzahl der Pumpen befand. Die Auslegung von Abwasserpumpen wird wesentlich durch die Größe der Fremdkörper bestimmt, die ungehindert die Pumpe passieren müssen, ohne sie zu verstopfen. Meist wird der Durchmesser dk einer Kugel spezifiziert, die weder in Laufrad noch Spirale hängen bleiben darf. Der engste Spiralquerschnitt A3q bzw. der Durchmesser d3q, die Lichtweite a1 zwischen den Schaufeln und die Austrittsbreite b2 müssen folglich größer als dk gewählt werden. Werden diese Parameter deutlich größer als bei Reinwasserpumpen ausgeführt, ist mit einer Wirkungsgradeinbuße zu rechnen. Um genügende Lichtweiten zu erhalten, wird die Schaufelzahl zwischen eins und vier gewählt und die Schaufelabwicklung nötigenfalls S-förmig gestaltet. Der Kugeldurchgang steigt mit der spezifischen Drehzahl. Typische Werte für den Kugeldurchgang sind in Tafel 7.2 und Abb. 7.19 aufgeführt. Bei Freistrompumpen ist der Kugeldurchgang in der Regel gleich dem Druckstutzendurchmesser; dies ist auch bei Einschaufelrädern anzustreben, wird aber in der Praxis bei weitem nicht immer erreicht, wie aus Abb. 7.20 hervorgeht. Um den notwendigen Kugeldurchgang zu erhalten, wird die Laufradaustrittsbreite bei kleinen und mittleren spezifischen Drehzahlen wesentlich größer ausgeführt als bei Pumpen zur Förderung reiner Flüssigkeiten. Die obere Kurve in Abb. 7.2 gibt einen Hinweis für Laufräder mit zLa = 2 bis 4. Einschaufelräder sind meist noch wesentlich breiter; die Daten in Abb. 7.19 sind repräsentativ für b2/d2, weil b2 dk gilt. Die große relative Austrittsbreite führt tendenziell zu hohen Druckzahlen; infolge der kleinen Schaufelzahl sinkt andererseits der Abströmbei-

374

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

wert γ, was die Förderarbeit reduziert (Kap. 3.3, Tafel 3.2 und 3.3). Angaben für die Abströmbeiwerte finden sich in Tafel 7.2; sie hängen ab von b2/d2, d1/d2, sch und 2B. Die Strömung in Einschaufelrädern mit großer Austrittsbreite b2 ist in hohem Maße dreidimensional und instationär. Dies bedingt Wirkungsgradeinbußen und erhöhte hydraulische Erregerkräfte. Um diesen Sachverhalt zu bewerten, betrachte man eine Pumpe, die nach dem Kriterium dk = dd ausgelegt wird. Folglich gilt d1 = b2 = d3q = dd als Minimalforderung. Diese Auslegung wirkt sich auf den Wirkungsgrad in dreifacher Hinsicht aus: (1) Wenn man d3q = dd ausführt, kann die Strömung im Druckstutzen nicht verzögert werden. Demzufolge wird die Strömung beim Übergang von der Spirale auf den Druckstutzen stoßartig von c2 auf c3q verzögert, was mit hohen Verlusten verbunden ist. (2) Die große Laufradbreite führt zu einer ungleichförmigen Abströmung aus dem Laufrad; dabei entstehen Mischungsverluste im Spiralgehäuse. (3) Wenn der Laufradeintrittsdurchmesser größer ist als dem Optimum entspricht, bedingt dies ebenfalls erhöhte Verluste. Die Wirkungsgradeinbuße von Pumpen mit 2- oder 3-Schaufelrädern ist wesentlich geringer als bei Einkanalrädern; Angaben hierzu findet man in Tafel 7.2. Die zusätzlichen Verluste werden im wesentlichen durch die großen Laufradbreiten und die dadurch bedingte Ungleichförmigkeit der Strömung verursacht. 1.1

zLa = 3 zLa = 2 zLa = 1 Vortex Gl. (3.26)

Druckzahl

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 20

40 opt

nq

80

100

von Abwasserpumpen

0.6

1.0

0.4

0.8

d k/d d

d k/d2

Abb. 7.18. Druckzahlen

60

0.2

0.6

0.0

0.4

20

40

60

80

nq

100

Abb. 7.19. Kugeldurchgang dk bezogen auf den Laufraddurchmesser d2 für Pumpen mit Einschaufelrädern

20

40

60

80

nq

100

Abb. 7.20. Kugeldurchgang dk bezogen auf den Druckstutzendurchmesser dd für Pumpen mit Einschaufelrädern

7.4 Radiale Laufräder für Pumpen mit Verstopfungsgefahr

375

Tafel 7.2 Auslegungsdaten für Abwasserpumpen mit nqRef = 1 nq* = nq/nqRef Wirkungsgrad von Reinwasserpumpen gemäß Tafel 3.9 Wirkungsgrad von Abwasserpumpen Pumpentyp

zLa = 1 zLa = 2 zLa = 3

Q f · m = 0,1 a §¨ Re ¸ © Q ¹

§Q ηopt = 1 − 0,095 ¨¨ Ref © Q

Mittelwert 0,82

Bereich 0,65 bis 0,95

0,91

0,8 bis 0,98

0,94

0,9 bis 0,99

0,6

0,45 bis 0,8 Freistrom

Druckzahl bei Q = 0

Abströmbeiwerte für nq < 60 nach Gl. (T3.2.9) Umfangsgeschwindigkeit, Minimum: u2,min = 12 m/s (wegen Verstopfungsgefahr)

§ 45 · ¨n ¸ © q¹

0,06

Q ≤ 1 m3/s

a=1

3

Q > 1 m /s

m

n q ½° ­° · ¸¸ − 0,3 ®0,35 − log ¾ 23 °¿ °¯ ¹

2

a = 0,5

§ Q Ref ¨¨ © Q

· ¸¸ ¹

0,05

ηopt = ηopt, R f η

Wirkungsgradfaktor f

Freistrom

0,15

zLa = 1 zLa = 2 zLa = 3 zLa = 1 zLa = 2 zLa = 3 Freistrom

zLa = 1 zLa = 2 zLa = 3

UmschlinKugeldurchgang gungswinkel sch

[°]

dk/d2

280 bis 350 0,2 bis 0,5 (Abb. 7.19) 220 bis 270 dk/d2 = 0,13Ln(nq*) - 0,26 170 bis 220 dk/d2 = 0,08Ln(nq*) - 0,11 § Q opt · f η = (0.7 bis 0.8) ¨ ¸ © Q Re f ¹

0.06

QRef = 1 m3/s

= 1,38 - 0,0112 nq/nqRef 0 = 1,45 - 0,0046 nq/nqRef 0 = 1,36 - 0,0035 nq/nqRef 0 = 1,39 - 0,002 nq/nqRef opt = 0,48 bis 0,6 opt = 0,53 bis 0,65 opt = 0,67 bis 0,75 u2,max [m/s] = 45 - 0,42 nq/nqRef u2,max = 30 bis 34 m/s bis nq = 60 u2,max [m/s] = 38 - 0,15 nq/nqRef u2,max [m/s] = 42 - 0,15 nq/nqRef 0

Über Untersuchungen zur Optimierung von Einkanalrädern wird in [7.56] und [7.57] berichtet. Dabei wurde der Umschlingungswinkel der Schaufel im Bereich sch = 289° bis 420° variiert. Der maximale Wirkungsgrad (64%) wurde bei sch = 370° gemessen; bei 289° betrug er 50% und noch 61% bei 420°. Eine experimentelle Parameterstudie über hydraulische Kräfte an Einschaufelrädern wurde in [9.29] durchgeführt. Die Hauptdaten waren: nq = 45, 1B = 5°, 2B = 30°, sch = 325°. Über die Ergebnisse der Radialkraftmessungen wird in Kap. 9.3.9 berichtet. Die gemessenen Drehmomentschwankungen betrugen: bei q* = 1: ± 3%, bei q* = 0.28: ± 20% und bei q* = 1.4: ± 8%. Die größte Schwankung tritt auf, wenn die Schaufelaustrittskante an der Spiralgehäusezunge vorbeiläuft. Ursache der Drehmomentschwankungen ist die Wechselwirkung der Strömung im Gehäuse mit dem Laufrad. Je nach q* macht der Anteil der Drehfrequenz 70 bis 90% der Amplitude der Drehmomentschwankung aus; der Rest er-

376

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

folgt bei 2fn und 3fn. Die Axialkraftschwankungen weisen einen ähnlichen Charakter und eine ähnliche Größe auf wie die Drehmomentschwankungen. Die Laufradbreite wurde in [9.27] im Bereich von b2/d2 = 0.29 bis 0.69 variiert, wobei die Gehäusebreite b3 der Laufradbreite angepaßt wurde. Das Verhältnis d1/d2 = 0.48 blieb konstant. Die nach Gl. (9.7) definierten Radialkraftbeiwerte kRu änderten sich nur unbedeutend bei diesen Versuchen. Bei Vergrößerung der Spaltweite zwischen Gehäuse und Laufschaufel beim offenen Laufrad von s/b2 = 0.005 auf 0.053 reduzierte sich der Bestpunktförderstrom um etwa 30%, die Druckzahl fiel um 12% und der Wirkungsgrad verringerte sich von 52% auf 39%. Während die statische Radialkraft kaum durch die Spaltweite beeinflußt wurde, verringerte sich die hydraulische Unwucht bei Q = 0 um 20%; sie stieg bei großen Förderströmen aber um rund 25%. Ein geschlossenes Laufrad erzielte bessere Leistungsdaten als das offene Laufrad mit einem Spalt von s/b2 = 0.0057. Der Bestpunkt verschob sich leicht nach rechts; die Nullförderhöhe blieb konstant, aber der Förderhöhengewinn stieg linear mit dem Durchsatz und erreichte bei q* = 1.5 etwa 35%. Der Wirkungsgrad im Bestpunkt stieg um 1%; aber – entsprechend der größeren Förderhöhe – erreichte das geschlossene Rad bei q* = 1.5 einen Wirkungsgrad von 44% verglichen mit nur 35% beim offenen Laufrad. Die Radialkräfte des offenen und des geschlossenen Laufrads waren praktisch gleich groß. Hingegen betrug das Verhältnis der Axialkräfte des geschlossenen zum offenen Laufrad etwa 0.5 bei Q = 0 und nur 0.3 in Bestpunktnähe. Geschlossene Einkanalräder haben also deutlich bessere Leistungsdaten und geringere Axialkräfte als offene Räder. Die Umfangsgeschwindigkeit von Einschaufellaufrädern ist mit Rücksicht auf die hydraulische Unwucht zu begrenzen (Kap. 9.3.9). Tafel 7.2 gibt Grenzwerte, wie sie ausgeführten Maschinen mit ein, zwei, oder drei Schaufeln entsprechen. Eine minimale Umfangsgeschwindigkeit u2 von etwa 12 m/s sollte nicht unterschritten werden, um Ablagerungen im Gehäuse zu vermeiden. Da die Schaufeln von Freistrompumpen der Einströmung nicht gut angepaßt sind, neigen diese Laufräder zu Lärm und Kavitation; letztere nimmt mit wachsendem Förderstrom zu. Auch dieser Sachverhalt bedingt eine Begrenzung der zulässigen Umfangsgeschwindigkeit, die mit zunehmender spezifischer Drehzahl abnimmt, Tafel 7.2. Die Schaufeln müssen am Eintritt verdickt und gut profiliert werden, um zu verhindern, daß Textilien oder Kunststofffolien an den Eintrittskanten hängen bleiben. Bei zwei oder mehr Schaufeln beträgt die maximale Dicke etwa emax/d2 = 0,05. Bei Einschaufelrädern werden oft noch dickere Profile gewählt, um die hydraulische Unwucht teilweise auszugleichen: in [7.56] wurde emax/d2 = 0.1 ausgeführt. Tafel 7.2 liefert auch Anhaltswerte für die Umschlingungswinkel der Schaufeln. Abbildung 7.21 zeigt eine Abwasserpumpe, ausgelegt für Qopt = 1,1 m3/s, Hopt = 18 m bei einer Drehzahl von 590 min-1. Das Laufrad hat 3 Schaufeln; auf der Tragscheibe sind Rückenschaufeln angegossen, um den Axialschub zu verringern und den Radseitenraum frei von Feststoffen zu halten. Gegenüber Trag- und Deckscheibe sind Schleißwände eingebaut, um das Gehäuse vor Verschleiß zu schützen.

7.5 Halbaxiale Laufräder

377

Abb. 7.21. Abwasserpumpe, Sulzer Pumpen AG

7.5 Halbaxiale Laufräder Wie in Kap. 2 besprochen, werden halbaxiale Pumpen mit spezifischen Drehzahlen von nq = 30 bis 200 ausgeführt. Dieser große Bereich ist indessen eher konstruktiv als hydraulisch bedingt. Strömungstechnisch optimal ist die halbaxiale Bauart etwa zwischen nq = 40 und 160. Hinsichtlich der Laufradgestaltung erfolgt der Übergang von radialen zu halbaxialen und axialen Pumpen kontinuierlich (Abb. 3.8). Radiale und halbaxiale Leiträder unterscheiden sich dagegen in ihrer Konstruktion. Halbaxiale Laufräder mit spezifischen Drehzahlen unter nq = 50 unterscheiden sich im hydraulischen Verhalten wenig von Radialpumpen; sie werden daher praktisch nach den gleichen Grundlagen mit Abströmbeiwerten entworfen. Optimale Auslegung vorausgesetzt, sind halbaxiale Pumpen der radialen Bauart ab etwa nq > 60 überlegen, weil die Abströmung aus radialen Laufrädern mit zunehmender spezifischer Drehzahl infolge der Strömungsumlenkung im Meridianschnitt und wachsender Schaufelbreite ungleichförmiger wird. Oberhalb spezifischer Drehzahlen von nq = 150 verhalten sich halbaxiale Pumpen ähnlich wie Propellerpumpen und die Berechnung nach der Minderleistungsmethodik wird infolge der weit auseinander stehenden Schaufeln unsicher. Die Auslegung halbaxialer Laufräder erfolgt grundsätzlich nach Kap. 7.2; allerdings sind eine Reihe von Besonderheiten zu beachten, die sich aus dem Radienverhältnis d2a/d2i am Laufradaustritt ergeben (die geometrischen Verhältnisse einer Stufe sind in Abb. 7.22 und 7.4 dargestellt).

378

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

1. Aus Abb. 3.21 wird die Druckzahl ψ = ψ2a gewählt und der Schaufeldurchmesser d2a an der äußeren Stromlinie aus Gl. (T7.1.3) berechnet. 2. Die Form des Laufrades im Meridianschnitt wird wesentlich durch den Winkel εs beeinflußt, den die äußere Stromlinie mit der Achsnormalen bildet. Dieser Winkel steigt mit der spezifischen Drehzahl etwa nach: § nq · ¸ ε s = 90 o ¨ ¨ 200 ¸ © ¹

0,74

(7.12)

und wird für axiale Laufräder definitionsgemäß 90°. Ausgeführte Pumpen liegen etwa im Bereich von ± 5° der Winkel nach Gl. (7.12), [B.2], [B.18], [3.15]. LLe εs b3

d4a

d4i

d3i

d3b

d3a

Abb. 7.22. Entwurfsgrößen einer halbaxialen Stufe

3. Der mittlere Laufradaustrittsdurchmesser kann angesetzt werden zu: d 2m =e d 2a

§ nq · −0,04¨¨ − 1¸¸ © 30 ¹

(7.13)

Der Durchmesser an der inneren Stromlinie ergibt sich mit der Definitionsgleichung für d2m aus: §d d 2i = 2 ¨¨ 2m d 2a © d 2a

2

· ¸ −1 ¸ ¹

(7.14)

Die Gln. (7.13 u. 7.14) ergeben für nq = 200 ein Nabenverhältnis ν = d2i/d2a = 0,52, was nach Abb. 7.24 recht genau dem Nabenverhältnis einer Axialpumpe dieser spezifischen Drehzahl entspricht. Die empirische Korrelation nach Gl. (7.13) ergibt folglich einen glatten Übergang von halbaxialen auf axiale Laufräder. 4. Der Laufradeintritt wird wie in Kap. 7.2.1 und Tafel 7.1 entsprechend der geforderten Saugzahl berechnet. Die Zuströmwinkel liegen im allgemeinen in einem

7.5 Halbaxiale Laufräder

379

Bereich von 12 bis 18°. Bei spezifischen Drehzahlen über nq = 150 sind auch die Ausführungen in Kap. 7.6 über Axialpumpen zu beachten. Nach [B.18] kann der Durchflußbeiwert im Auslegungspunkt wie folgt gewählt werden: § 200 · ¸ ϕ1 = (0,18 bis 0,27) ¨ ¨ nq ¸ © ¹

0,3

(7.15)

Für optimalen Wirkungsgrad ist die obere Grenze, für hohe Saugzahlen die untere Grenze zu wählen. 5. Schaufelzahl: Für spezifische Drehzahlen unter nq = 140 gelten die Kriterien in Kap. 7.2: Im unteren Bereich sind 7 Schaufeln eine gute Wahl; aber im ganzen Bereich bis nq = 140 können 5 bis 7 Schaufeln ausgeführt werden. Tabelle 7.3 (Kap. 7.6.2) gibt einen Anhaltspunkt für die Schaufelzahl für nq > 140. Das Teilungsverhältnis ist aber letztlich entscheidend. Nach [B.18] kann man für die äußere Stromlinie etwa setzen: § 200 · §L· ¸ ¨ ¸ = 0,64 ¨ ¨ nq ¸ © t ¹a © ¹

0,74

(7.16)

Als weiterer Hinweis für die notwendige Schaufellänge an der äußeren Stromlinie läßt sich aus [B.18] folgende Beziehung ableiten: § L ¨ ¨d © 2

· §β ¸ ≥ 1,1 ¨ 2a ¨ o ¸ © 25 ¹a

· §¨ n q ¸ ¸ ¨ 200 ¹©

· ¸ ¸ ¹

0, 4

(7.17)

Diese Schaufellänge soll mindestens ausgeführt werden, um einer Kennlinieninstabilität vorzubeugen. 6. Die Laufradaustrittsbreite kann nach Abb. 7.2 festgelegt werden. 7. Der Laufradaustrittswinkel an der äußeren Stromlinie β2B,a wird wie in Kap. 7.2 bestimmt. In [B.18] finden sich folgende Hinweise für die Schaufelwinkel: • Beste Wirkungsgrade werden erreicht, wenn der Schaufelaustrittswinkel auf der mittleren Stromlinie zu β2B,m =20 bis 26° gewählt wird. • Auf der Stromlinie mit den Durchmessern d1b und d2b sollen Ein- und Austrittswinkel innerhalb ± 2° gleich sein. In der Schaufelabwicklung ergibt die mittlere Stromlinie dann nahezu eine Gerade. • Ferner gilt für die äußere Stromlinie: β1B,a < β2B,a und für die innere Stromlinie: β1B,i > β2B,i. Um die Verteilung des Laufschaufelaustrittswinkels über die Schaufelhöhe festzulegen, muß eine Annahme bezüglich der Energieübertragung auf den verschiedenen Stromlinien getroffen werden. Grundsätzlich könnte diese Energieverteilung beliebig gewählt werden. Um reproduzierbare Ergebnisse zu erhalten, gibt man sich aber meist eine bestimmte Verteilung des Impulsmoments (bzw. des „Dralls“) am Laufradaustritt vor, gemäß: u cu = f(r) bzw. cu = cu,a (ra/r)m. Drei Möglichkeiten sollen im folgenden gegenübergestellt werden, Tabelle 7.2:

380

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

A. Bei der „Wirbelflußmaschine“ mit m = 1, also u cu = ua cu,a = konstant, wird auf jeder Stromlinie die gleiche Schaufelarbeit übertragen. Die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit wächst von außen nach innen gemäß: cu(r) = cu,a ra/r. B. Beim Exponenten m = 0 wird die Absolutgeschwindigkeit über die Schaufelhöhe konstant: cu (r) = cu,a. C. Das Fluid rotiert wie ein Festkörper mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (m = -1): cu(r) = cu,a r/ra. Diese drei „Drallgesetze“ ergeben am Laufradaustritt unterschiedliche Verteilungen der Schaufelarbeit, des statischen Druckes, des Totaldruckes und der Strömungswinkel in Relativ- und Absolutsystem. Die entsprechenden Gleichungen, die unter Annahme konstanter Meridiangeschwindigkeit und drallfreier Zuströmung abgeleitet wurden, finden sich in Tabelle 7.2. Wird die Beschaufelung – als Wirbelflußmaschine – nach dem Gesetz des freien Wirbels ausgelegt, ist das radiale Gleichgewicht inhärent erfüllt; das bedeutet auch, daß die Axialgeschwindigkeit (abgesehen von Grenzschichteffekten) in etwa gleichförmig bleibt, weil keine Kräfte senkrecht zur Hauptströmungsrichtung eine Umverteilung des Fluids bewirken. Allerdings erfordert die starke Umlenkung der Strömung an der Nabe eine entsprechende Schaufelverwindung. Der Nabendurchmesser darf nicht zu klein gewählt werden, um die Verwindung zu begrenzen und Ablösungen zu vermeiden, s. Kap. 7.6. Der statische Druck sinkt kräftig von außen nach innen, während der Totaldruck über die Schaufelhöhe konstant bleibt. Die kinetische Energie hat an der Nabe ihren maximalen Betrag, der um den Faktor (ra/r)2 größer ist als an der äußeren Stromlinie. Der Leitradanströmwinkel ist an der Nabe kleiner als außen. Demzufolge ist die im Leitrad notwendige Strömungsumlenkung an der Nabe größer als an der äußeren Stromlinie, was Ablösungen im Nabenbereich hervorrufen kann. Andererseits müßte an der Nabe eine große kinetische Energie in statischen Druck umgewandelt werden, um Verluste infolge Sekundärströmungen und Verwirbelung zu vermeiden. Aus diesen Strömungsverteilungen folgt, daß das Leitrad bei Wirbelflußmaschinen ein kritisches Element darstellt, weil die Schaufeln an der Nabe extrem belastet werden. Je größer die spezifische Drehzahl, desto kleiner ist allerdings der Anteil der rekuperierbaren kinetischen Energie am Leitradeintritt, weil die Umfangskomponente am Laufradaustritt weniger gegenüber der Axialgeschwindigkeit ins Gewicht fällt. Bei konstanter Absolutgeschwindigkeit am Laufradaustritt sinkt die Schaufelarbeit von der äußeren zur inneren Stromlinie proportional zum Radius. Radiales Gleichgewicht ist durch die Strömungsverteilung nicht mehr gewährleistet, so daß radiale Ausgleichsströmungen induziert werden und nicht mehr mit konstanter Meridiangeschwindigkeit zu rechnen ist. Statischer Druck und Totaldruck nehmen zur Nabe hin leicht ab – aber in wesentlich geringerem Maße als bei der Wirbelflußbeschaufelung. Der Anströmwinkel der Leitschaufeln ist über die Schaufelhöhe konstant: die Leitschaufeln brauchen nicht verwunden zu werden. Die Strömungsbedingungen im Leitrad scheinen also gesamthaft günstiger als bei der Wirbelflußbeschaufelung.

c 2u,a

0

1 − ψ th / 2 r ra ψ th − ra r 2

c u2 , a

cu 2

tan β 1 − ψ th / 2 = r c ψ tan β a − u th ra c u , a 2

+1−

Relativer Abströmwinkel

ρ 2 c 2 u,a

pa − p

−1

r ra

=

r

2

ra

2

tan α c u , a = tan α a cu

ρ 2 c 2 u,a

p tot , a − p tot

ρ 2

pa − p

1

ra r

Drallsatz: m = 1

c2m = konstant

Absoluter Abströmwinkel

Totaldruck

Statischer Druck

H th r cu = H th , a ra c ua

Schaufelarbeit

m

c u § ra · =¨ ¸ cu a © r ¹

Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit

Tabelle 7.2 Drallverteilung am Laufradaustritt

1

1

2

2

0,5 1

1

3

0

α1 = 90o

ra r

1 − ψ th / 2 r ψ th − ra 2

1

2 ln

r ra

1

1

1,39

0,5

1

1

0

ra 2

r

2

ra r

§ r2 · 2 ¨1 − 2 ¸ ¨ r ¸ a ¹ ©

1−

ra 2

r2

r ra

1

2

1,5

0,75

0,25 0

0,5 1

1

Die Zahlenwerte an den Skizzen gelten für ν = 0,5 Konstante UmfangsFestkörperrotation komponente m = 0 m = -1

0

7.5 Halbaxiale Laufräder 381

382

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Bei der Beschaufelung nach dem erzwungenen Wirbel ist das radiale Gleichgewicht am stärksten gestört. Die Laufschaufeln sind am wenigsten verwunden. Energieübertragung und Totaldruckerhöhung an der Nabe sind am schwächsten. Nach [B.18] soll die für den erzwungenen Wirbel ausgelegte Beschaufelung Vorteile beim Abdrehen der Laufräder haben, weil die Wirkungsgradeinbuße geringer ausfällt. Wie in Kap. 5 ausführlich besprochen, hängen Kennlinienstabilität, Leistungsaufnahme und Druckerzeugung bei Nullförderung stark von Meridianschnitt sowie der Lage der Ein- und Austrittskanten ab; die Ausführungen in Kap. 5.6 sind daher bei der Wahl der Auslegungsparameter zu beachten. Bei hohen spezifischen Drehzahlen ist es wichtig, die Laufräder mit geringer Rauhigkeit auszuführen und die Laufschaufeln am Austritt saugseitig zuzuschärfen, [B.18].

7.6 Axiale Laufräder und Leitapparate 7.6.1 Eigenschaften Axial- oder Propellerpumpen werden für große Volumenströme bei kleinen Förderhöhen eingesetzt; typische Anwendungen sind Bewässerung, Kläranlagen, Kühlwasserpumpen und Entwässerungsanlagen. In der Regel entnehmen die Pumpen das Wasser aus einem Pumpensumpf oder einem Oberflächengewässer. Vertikale Pumpen sind eingetaucht oder saugen in Trockenaufstellung über einen Krümmer aus dem Zulaufbauwerk an; kleinere Einheiten werden auch mit Unterwassermotor ausgerüstet. Aus dieser Anordnung ergibt sich, daß die vorhandene Zulaufenergie durch den Atmosphärendruck und die notwendige Wasserspiegelüberdeckung der Saugtrompete gegeben ist, so daß in der überwiegenden Zahl der Anwendungen NPSHA zwischen 10 und 14 m liegt; dieser Umstand beeinflußt die Laufradauslegung wesentlich. Die Schaufeln hochwertiger Propellerpumpen werden als schlanke Tragflügelprofile ausgebildet. Die Schaufeln können einzeln an der Nabe befestigt werden; aber häufig werden die Laufräder in einem Stück gegossen. Aus mechanischen Gründen und wegen des gegebenen NPSHA sind die Umfangsgeschwindigkeiten am Laufradaußendurchmesser – abgesehen von Sonderkonstruktionen – auf etwa u2 = 25 bis 28 m/s begrenzt. Propellerpumpen werden vorwiegend im Bereich oberhalb nq > 150 eingesetzt. Kleinere spezifische Drehzahlen sind zwar durchaus ausführbar, halbaxiale Pumpen sind aber im Bereich bis etwa nq = 170 den Propellerpumpen überlegen, wenn nicht anlagentechnische oder konstruktive Gründe für eine rein axiale Bauart sprechen. Der Einsatzschwerpunkt von Axialpumpen liegt im Bereich 180 < nq < 300; es handelt sich praktisch ausschließlich um einstufige Maschinen mit axialer, drallfreier Zuströmung im Auslegepunkt. Infolge Strömungsablösung bei zu starker Verzögerung und Falschanströmung weisen die Kennlinien von Propellerpumpen im Regelfall eine ausgeprägte sattel-

7.6 Axiale Laufräder und Leitapparate

383

förmige Kennlinieninstabilität auf, die den zulässigen Fahrbereich in der Anlage einschränkt (Bilder 4.10 und 5.25, sowie Kap. 11). Da Laufradein- und -austrittsdurchmesser bei einer Axialpumpe definitionsgemäß gleich sind, wird die Energie nur durch Umlenkung der Absolutströmung und Verzögerung der Relativgeschwindigkeit übertragen, verGl. Formel für Ysch in Gl. (T3.3.2). Im Bestpunktbereich ist keine Zentrifugalwirkung vorhanden (wie in Kap. 5 besprochen, wird diese erst bei ausgeprägter Teillastrezirkulation wirksam). Die erreichbaren Druckzahlen sind deshalb gering, s. Abb. 3.21. Die Umlenkung der Strömung ist entsprechend klein. Betrachten wir als Beispiel eine Propellerpumpe der spezifischen Drehzahl nq = 230 mit axialer Zuströmung, einer Druckzahl von ψopt = 0,22 und einem hydraulischen Wirkungsgrad von 88 %. Nach Gl. (T3.3.9) sowie Gl. (T3.2.11 und 15) läßt sich die erforderliche Strömungsumlenkung berechnen: Δβ = β 2 − β1 = arc tan

tan β1 ψ

1 − 2η h

− β1

(7.18)

Für β1 = 12° beträgt sie in diesem Fall an der äußeren Stromlinie nur 1,7°. Axialpumpen reagieren folglich sehr empfindlich auf geringe Winkelfehler, die sich bei einem radialen Laufrad kaum bemerkbar machen würden. Daher ist es sinnvoll, die Schaufelbefestigung an der Nabe so zu gestalten, daß die Schaufeln verdreht werden können, wenn die geforderten Leistungsdaten nicht genau erreicht werden. Diese Maßnahme erlaubt auch Anpassungen in der Anlage, wenn der Betriebsbereich dauernd verändert werden soll. (Mit im Betrieb verstellbaren Schaufeln, wie sie zur Regelung der Pumpe eingesetzt werden, umgeht man dieses Problem; Kap. 11). Wegen der Empfindlichkeit gegenüber kleinen Geometriefehlern und weil die Schaufeln infolge mangelnder Überdeckung keine eigentlichen Kanäle bilden, eignen sich Berechnungsmethoden nach dem Minderleistungskonzept wenig für axiale Laufräder. Propeller werden deshalb nach der Tragflügeltheorie ausgelegt, soweit nicht numerische Verfahren eingesetzt werden, die sich für diese Anwendung insofern besonders anbieten, als die Strömung starken Radialkräften ausgesetzt ist: Zentrifugal- und Corioliskraft wirken senkrecht zur Durchströmrichtung; die Schaufelhöhe ist groß im Vergleich zum Strömungsweg durch das Laufrad; die Stromfadentheorie ist daher a priori wenig geeignet. Dennoch kann im ersten Schritt kaum auf die Auslegung nach Stromfadentheorie verzichtet werden, da vor etwaigen numerischen Optimierungen ein Schaufelentwurf nach sinnvollen physikalischen Kriterien erzeugt werden muß. Wie oben erwähnt, begrenzt Kavitation die Umfangsgeschwindigkeit und damit die Drehzahl der Pumpe für einen gegebenen Satz Leistungsdaten. Um im Auslegungsstadium zuverlässige Aussagen über das Kavitationsverhalten machen zu können, müssen die Druckverteilungen an den Schaufeln berechnet werden, was wiederum für numerische Verfahren spricht, wenn hochwertige Pumpen auszulegen sind. Für derartige Rechnungen sind nicht nur Navier-Stokes-Programme sondern auch einfachere – und wesentlich schnellere – Methoden (z.B. Singularitäten-Verfahren) anwendbar. Bei der häufig verwendeten Wirbelflußbeschaufelung bieten einfache Methoden gute Erfolgsaussichten, weil das radiale Gleich-

384

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

gewicht a priori annähernd erfüllt ist. Legt man die Schaufeln für eine andere Drallverteilung aus, sind 3D-Programme in Betracht zu ziehen, Kap. 7.5. 7.6.2 Berechnung und Wahl der Hauptabmessungen Im Gegensatz zu radialen oder halbaxialen Laufrädern können die Bedingungen an Laufradeintritt und -austritt bei Propellerpumpen nicht unabhängig voneinander behandelt werden. Selbst die Drehzahl muß nicht unbedingt gegeben sein, wenn eine Förderaufgabe spezifiziert wird. Im folgenden sei daher der allgemeine Fall betrachtet, daß zu Beginn der Auslegung nur Förderstrom Qopt, Förderhöhe Hopt und die Zulaufverhältnisse in der Anlage NPSHA spezifiziert sind (wird die Drehzahl zusätzlich vorgeschrieben, erleichtert sich die Auslegung entsprechend). Da die Förderhöhe gering ist, fallen Verluste in Einlauf, Steigrohr, Austrittskrümmer und ggf. Armaturen prozentual stark ins Gewicht. Diese Zusatzverluste sollten deshalb bei der Festlegung der Berechnungsförderhöhe berücksichtigt werden, da sie die Optimierung der Hydraulik beeinflussen, [3.15]. Gesucht sind: Drehzahl n, Laufradaußendurchmesser d2, Nabenverhältnis ν = dn/d2 (oder Nabendurchmesser dn), spezifische Drehzahl nq, Druckzahl ψ, Durchflußzahl ϕ und Kavitationsbeiwert σ. Die Aufgabe besteht nun darin, diese sieben Unbekannten so zu wählen, daß die spezifizierte Förderhöhe erreicht wird und die Pumpe mit dem vorhandenen NPSHA-Wert sicher betrieben werden kann. Für die Bestimmung dieser Größen stehen gemäß Tafel 7.3 sieben Gleichungen zur Verfügung.1 Erläuterungen zu Tafel 7.3: • Vorausgesetzt wird rein axiale Zuströmung α1 = 90° und eine Beschaufelung nach cu r = konstant (Kap. 7.5). • Für die Auslegung muß der hydraulische Wirkungsgrad (z.B. nach Abb. 3.22) angenommen und nach Auslegung der Beschaufelung überprüft werden. • Entsprechend dem gegeben NPSHA der Anlage ist zunächst ein Kavitationskriterium bzw. das erforderliche NPSHR der Pumpe festzulegen. Hierzu kann entweder nach Tafel 6.2 ein Sicherheitszuschlag FNPSH bestimmt und NPSHR = NPSHA/FNPSH angesetzt werden; oder man kann zulassen, daß die Pumpe in der Anlage bei dem Ausmaß an Kavitation arbeitet, das gerade noch keinen Wirkungsgradabfall bedeutet, also NPSHA = NPSH(η=0) setzen. Die zweite Annahme erlaubt es, das NPSH(η=0) nach Gl. (T7.3.6) zu berechnen; die Beziehung stammt aus [7.20], allerdings ist nichts über die Streuung der Versuchsdaten gegenüber dieser Korrelation bekannt. • Gleichung (T7.3.2) liefert in etwa die maximalen Druckzahlen, die zweckmäßigerweise ausgeführt werden. Sie stellt mit fψ = 1 näherungsweise die obere Begrenzung der ψopt-Kurve in Abb. 3.21 dar, die ihrerseits die Daten verschie1

Man könnte auch durch Einsetzen von Gl. (T7.3.1) und (T7.3.2) in (T7.3.3) eine Gleichung d2 = f(n) formulieren und weiter ν = f(n) sowie NPSH = f(n,d2) schreiben und hätte dann drei komplizierte Gleichungen zur Bestimmung der drei Größen n, d2 und ν.

7.6 Axiale Laufräder und Leitapparate

385

Tafel 7.3 Hauptabmessungen axialer Laufräder Voraussetzungen

axiale Zuströmung: α1 = 90o Wirbelflußmaschine: cu r = c2u,a r2

Gegebene/gewählte Größen

Qopt, Hopt, NPSHA, FNPSH, ηh

Erforderliches NPSHR

NPSHR = NPSHA/FNPSH

Gesuchte Größen

n, d2, ν, nq, ψ, ϕ, σ

Spezifische Drehzahl

nq = n

Druckzahl (fψ = 1 ergibt etwa Maximalwert)

ψ≡

Laufradaußendurchmesser

d2 =

Durchflußzahl

c a ϕ≡ m = + u 2a 2

Nabenverhältnis

ν=

Kavitationsbeiwert Achtung: λw = f(ϕ) Erforderliches NPSHR

Gl.

FNPSH nach Tafel 6.2

Qopt

n q = 158

0,75 H opt

ϕ (1 - ν 2 ) ψ 0.75

1, 44

§ 180 · ¸ = 0,29 f ψ ¨ 2 ¨ nq ¸ u 2a © ¹

2gH

60 πn

7.3.1

2 g H 84,6 = ψ n

7.3.2 H ψ

a2 § ψ +¨ 4 ¨© 2 ηh

· ¸ ¸ ¹

7.3.3 2

2

§ n q · 1,5 ¸ ψ a = ¨¨ ¸ © 158 ¹

ψ 2 ηh ϕ

7.3.5

σ(η= 0) = 0,14 + 1,14 ϕ2 + 2ϕ3 2

σ = (λ c + λ w ) ϕ + λ w u2 NPSH R = σ 2 2g

7.3.4

7.3.6a 7.3.6b

(es gilt: u2 = u1)

7.3.7

−2

½ 3 4 ­ § n ·2 Berechnung der Druckzahl für ψ ° 3 °ϕ¨ q ¸ + ψ = ϕ ¾ ® ¨ gewählten Durchflußbeiwert ¸ 4 η2h ° °¯ © 158 ¹ ¿ In Diagramm als Funktion der Drehzahl auftragen: NPSHR, u2, und β1 = arctan ϕ Bei Direktantrieb durch Elektromotor: Normdrehzahlen verwenden

7.3.8

dener Veröffentlichungen wiedergibt, u.a. [B.22] [3.15]. Werden kleinere Druckzahlen benötigt, weil der Laufraddurchmesser mit Rücksicht auf die Kavitation größer gewählt werden muß, ist die Konstante fψ entsprechend zu reduzieren (z.B. fψ = 0,9). Die Druckzahlen nach Gl. (T7.3.2) können in Fällen merklich überschritten werden, in denen eine möglichst große Druckerhöhung im Laufrad den Vorrang gegenüber Kavitations- und Teillastverhalten hat. • Nabenverhältnis: Das Verhältnis ν = dn/d2 ist – ähnlich wie die relative Austrittsbreite b2* radialer Laufräder – ein sehr wichtiger Auslegungsparameter, der unter anderem den Wirkungsgrad und die Schaufelverwindung an Laufradeintritt und -austritt beeinflußt. Verschiedene Kriterien können hier herangezogen werden: (1) Der Schaufelaustrittswinkel an der Nabe β2B,i soll unter 90° sein. (2) Das Verzögerungsverhältnis der Relativgeschwindigkeit an der Nabe soll ein zulässiges Maß nicht unterschreiten: w2i/w1i ≥ 0,6. (3) In einer drallbe-

386

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

hafteten Strömung bildet sich ein Kerntotwasser, wenn ein bestimmter Durchmesser unterschritten wird. Die entsprechende Bedingung lautet cm/c2u,i ≥ 1. Für eine Beschaufelung nach cu r = konstant führt dies auf die Bedingung gemäß Gl. (T7.3.5), die hier verwendet wird. (4) Der Nabendurchmesser kann auch nach den Werten für ψi aus Abb. 3.21 berechnet werden. Für die Beschaufelung nach cu r = konstant ergibt dies ein Nabenverhältnis von: ν = (ψa/ψi)0,5. Die erreichbare Druckzahl wird durch das Nabenverhältnis bestimmt. Durch ein großes ν lassen sich auch bei Axialrädern höhere Druckzahlen erreichen. • Die Durchflußzahl berechnet sich aus Gl. (T7.3.4), wenn man Gl. (T7.3.5) in Gl. (T7.3.1) einsetzt und die resultierende quadratische Gleichung für ϕ auflöst. • Statt NPSH(η=0) nach Gl. (T7.3.6a) zu berechnen, kann man auch mit den Unterdruckbeiwerten λc und λw nach Gl. (6.10) bzw. Gl. (T7.3.6.b) arbeiten, wobei die λ-Werte entsprechend dem gewählten Kavitationskriterium anzusetzen sind. Auch die Abhängigkeit der λ-Werte von der Durchflußzahl und der Geometrie ist zu beachten. Die Gleichungen von Tafel 7.3 liefern für gegebene Werte von Qopt, Hopt und NPSHA eine einzige Lösung, die man iterativ finden kann. Zweckdienlicher und anschaulicher als die Iteration ist es hingegen, die Drehzahl als unabhängige Variable zu behandeln und NPSHR sowie Umfangsgeschwindigkeit und Anströmwinkel über der Drehzahl aufzutragen. Wird der Drehzahlbereich genügend groß gewählt, ergibt sich – wie aus Abb. 7.23 ersichtlich – ein Minimum in der Kurve NPSHR = f(n). Geht man bei dem vorgegebenen NPSH-Wert (z.B. bei NPSHA/FNPSH) in das Diagramm, erhält man genau die Drehzahl, mit der sich die spezifizierte Förderaufgabe bewältigen läßt, bzw. bei der die sieben Gleichungen erfüllt sind und der gewählte NPSH-Zuschlag eingehalten wird. Wurde die Drehzahl auf diese Weise festgelegt, lassen sich alle anderen Größen (d2, ν, ϕ, ψ) bestimmen. Ist ein Elektromotor als Direktantrieb vorgesehen, sind die Normdrehzahlen entsprechend der Netzfrequenz f zu verwenden. Die Synchrondrehzahl berechnet sich mit den natürlichen Zahlen ν = 1, 2, 3, usf. aus: n syn =

60f ν

(7.19)

35 β1 [°]

30

u2 [m/s]

25 20 15 10 5

NPSHR [m]

0 0

100

200

300 -1 n [min ]

400

500

600

Abb. 7.23. Wahl der Drehzahl einer Axialpumpe für einen gegebenen NPSH-Wert

7.6 Axiale Laufräder und Leitapparate

387

Der Schlupf beträgt bei Asynchronmotoren 1 bis 1,5 %. Die nach obiger Gleichung berechnete Synchrondrehzahl ist also mit dem Faktor 0,985 bis 0,99 zu multiplizieren, um die Drehzahl der Asynchronmotoren zu erhalten. Bei der Wahl der Drehzahl sind indes noch weitere Kriterien zu beachten: • Der Zuströmwinkel β1 darf nicht zu groß gewählt werden. Nach [3.15] werden die besten Kavitationseigenschaften bei β1 = 10 bis 12° erreicht. Je größer der Zuströmwinkel, bei desto höherem Förderstrom wird die Kennlinie instabil. Daher ist auch mit Rücksicht auf die Breite des Betriebsbereiches ein kleiner Zuströmwinkel sinnvoll, so daß man im allgemeinen kaum über β1 = 15° gehen wird. Sind gute Kavitationseigenschaften wichtig, empfiehlt sich β1 = 10 bis 12°. Dies bedingt bei nq < 250 kleinere Druckzahlen als nach Gl. (T7.3.2) und eine entsprechend größere Pumpe. Bei Optimierungsrechnungen nach Tafel 7.3 ist dann der Faktor fψ < 1 einzusetzen. Man kann auch den Zuströmwinkel bzw. die Durchflußzahl wählen und aus Gl. (T7.3.8) die Druckzahl iterativ bestimmen, wobei wieder das Nabenverhältnis gemäß der Bedingung Gl. (T7.3.5) eingehalten wird. • Der hydraulische Wirkungsgrad sinkt mit wachsender spezifischer Drehzahl; will man einen möglichst hohen Wirkungsgrad erzielen, ist die Drehzahl ggf. tiefer anzusetzen als bezüglich der Kavitation zulässig wäre, damit nq nicht zu groß wird. • Wie oben erwähnt, ist die Umfangsgeschwindigkeit auch aus mechanischen Gründen zu begrenzen. Mit den Gleichungen in Tafel 7.3 können die dimensionslosen Kennzahlen ψ, ϕ, ν und σ berechnet und über der spezifischen Drehzahl aufgetragen werden. Abb. 7.24 zeigt die Kenngrößen, die sich aufgrund der Druckzahlen nach Gl. (T7.3.2) ergeben, während Abb. 7.25 die Parameter liefert, wenn man eine Durchflußzahl von ϕ = 0,22 bzw. β1 = 12,4° vorschreibt.1 0,6 0,5 0,4

ζa

ν

0,3

ϕ, σ(η=0)

0,2

ψ

0,1 0 150

200

250

300

nq

350

400

Abb. 7.24. Dimensionslose Kennzahlen von Axialpumpen. (Die Kurven von ϕ und σ(η=0) fallen praktisch zusammen.)

1

Optimierungsrechnungen in [7.39] ergeben ähnliche (bei hohem nq bis zu 10 % höhere) Nabenverhältnisse wie Abb. 7.24 und 7.25

388

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Nimmt man eine maximale Umfangsgeschwindigkeit an, läßt sich nach Abb. 7.26 auch die erreichbare Förderhöhe und das erforderliche NPSHR über nq auftragen. Diese Diagramme erlauben einen raschen Überblick, wobei die Voraussetzungen der Berechnung zu beachten sind. Die Kurven hängen insbesondere von den gewählten Druckzahlen gemäß Gl. (T7.3.2) ab. Laufschaufelzahl zLa: Mit zunehmender spezifischer Drehzahl nimmt die optimale Schaufelzahl zLa ab; Tabelle 7.3 gibt einen Anhaltspunkt. Maßgebend für die optimale Schaufelzahl ist die Schaufelbelastung, so daß die endgültige Festlegung bei der Schaufelauslegung überprüft werden muß. Tabelle 7.3 Schaufelzahlen für Laufräder mit nq > 140 140 bis 170 160 bis 230 220 bis 290 nq 5 6 7 4 3 zLa 7 8 9

zLe

8 11 13

9 10 11,12

7 9 11

5 7 10

> 290 2 5 7 9

0,8 0,7 0,6 0,5

ν

0,4 0,3 0,2

ζa ψ

0,1 0 100

150

200

250

300

nq

450

400

Abb. 7.25. Auftriebsbeiwerte, Druckzahlen und Nabenverhältnisse von Axialpumpen berechnet für ϕ = 0,22 15 H, NPSH [m]

28 m/s 10

5

NPSH

25 m/s

H

0 150

200

250

300

nq

350

400

Abb. 7.26. Ungefähre Werte für Förderhöhe und NPSH (η = 0) von Axialpumpen bei u2,max = 28 und 25 m/s

7.6 Axiale Laufräder und Leitapparate

389

7.6.3 Einige Eigenschaften von Tragflügeln Profilgeometrie: Wie erwähnt, werden die Schaufeln von Axialpumpen (sofern es sich nicht um kleine Maschinen von untergeordneter Bedeutung handelt) mit Tragflügelprofilen entworfen, deren geometrische Eigenschaften anhand von Tafel 7.4 erläutert seien. Man kann sich jedes Profil vorstellen als eine Skelettlinie mit der Wölbung f, auf die ein symmetrisches Profil entsprechend einer bestimmten Dickenverteilung aufgetragen ist. Die resultierenden Koordinaten der Profilober- bzw. Saugfläche yo(x) und Unter- bzw. Druckfläche yu(x) beschreiben den Tragflügel, wobei die Sehne an die Skelettlinie (NACA-Profile) oder die Profiltangente (Göttinger Profile) als Bezugsachse bzw. x-Achse dient. Alle Abmessungen werden auf die Profillänge L bezogen. Folgende Geometrieparameter beeinflussen das Strömungsverhalten (s. Abb. in Tafel 7.4): • • • • •

die maximale Dicke d/L die Dickenrücklage xd/L die Wölbungshöhe f/L und ihre Position xf/L auf der Profilsehne der Kopfradius rk/L Form der Skelettlinie (z.B. S-förmig)

Profilumströmung. Wird ein Profil mit der ungestörten Anströmgeschwindigkeit w∞ unter dem Anstellwinkel δA angeströmt, bildet sich im Bereich der Vorderkante ein Staupunkt, Abb. 7.27, der sich um so weiter von der Vorderkante entfernt, je stärker das Profil angestellt wird (die Vorderkante wird bei δA ≠ 0 umströmt). Auf der Oberseite (Saugseite) wird die Strömung beschleunigt und der statische Druck sinkt entsprechend. Etwa ab dem Bereich nach der größten Profildicke, wo sich das Profil verjüngt, wird die Strömung verzögert und der statische Druck steigt wieder an. Die Grenzschicht ist im vorderen Bereich laminar; sie wird nach einer gewissen Lauflänge turbulent. Dieser Umschlag hängt ab von der Reynolds-Zahl, der Vorturbulenz und der Rauhigkeit. Wird die Grenzschicht zu dick bzw. die Verzögerung zu groß, löst die Strömung ab. Grenzschicht und abgelöstes Fluid bilden den Nachlauf. Aus den örtlichen Geschwindigkeiten resultiert unmittelbar die Druckverteilung, die für die Kraftwirkung auf das Profil bedeutsam ist. Wie in Kap. 6 besprochen, bestimmt die Druckverteilung zudem Beginn und Ausmaß der Kavitation. Gemäß der Bernoulli’schen Gleichung ergibt sich die auf den Staudruck bezogene Verteilung des statischen Druckes zu cp = 1 - (w/w∞)2. Je größer der Anstellwinkel, desto höher werden die Unterdruckspitzen, desto mehr wird die Profilnase umströmt und desto näher rückt der Ort des Druckminimums nach vorn, Abb. 7.28. Der Betrag von cp,min wächst mit zunehmendem Dicken- und Wölbungsverhältnis des Profils. In der abgelösten Strömung bleibt der Druck konstant. Auftrieb und Widerstand. Das anströmende Fluid übt eine Kraft F auf den Tragflügel aus, die sich im wesentlichen aus dem Integral über die Druck- und Schubspannungsverteilung am Profil ergibt. Diese Kraft zerlegt man in eine Komponente Fa senkrecht zur Anströmrichtung, den „Auftrieb“, und eine Kraft Fw in Richtung der Anströmung, den „Widerstand“. Der Widerstand setzt sich zusam-

390

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Geometrie

Tafel 7.4 Tragflügelprofile Afl b βs d f L rk xd xf yo yu

Fläche: Afl = L b, b=konst. Breite (Spannweite) Staffelungswinkel maximale Dicke Wölbung Länge Kopfradius Dickenrücklage Wölbungsrücklage Koordinaten: Oberseite Koordinaten: Unterseite

Strömungsgrößen

Auftriebsbeiwert

xd

NA δNA

y

-δ S

+δ

δA

L

Bezugslinie: Profilsehne S NA = Nullauftriebsrichtung Winkel sind vorzeichenbehaftet Fa ζa = ρ 2 w A 2 ∞ fl

F ε = w = tan λ Fa

Druckbeiwert

cp =

ρ 2

7.4.2

2 w∞ A fl

7.4.3

p − p∞

§ w = 1 − ¨¨ ρ 2 w © w∞ 2 ∞ w L Re = ∞ ν

Fa Auftrieb Fw Widerstand β∞ Winkel der ungestörten Anströmung δA Anstellwinkel, bezogen auf Profilsehne δA,o Anstellwinkel, bezogen auf Nullauftriebsrichtung δNA Winkel der Nullauftriebsrichtung λ Gleitwinkel, λ= arc tan ε w∞ Anströmgeschwindigkeit

7.4.1

Fw

Gleitzahl

Vorzeichen beachten!

yu xf

w∞

ζw =

Nullauftriebsrichtung in Grad Bezugsrichtung: Profilsehne

yo

f

x

Widerstandsbeiwert

Reynolds-Zahl

w

d

· ¸ ¸ ¹

2

7.4.4

βs

Fw w∞ β∞

F

δA δNA

δA,0

Fa

NA

λ

u

2½

­ § xf · ° ¨ L ¸ f ° δ NA = −100 ®0,82 + © ¹ L° 1+ 5 d L °¯

Auftriebsbeiwert

ζ a = 2π ηP sin(δ A − δ NA )

Profilwirkungsgrad: ηP = 0,85 bis 0,92

ζa =

Minimalwert der Gleitzahl

ε min ≈ 0,012 + 0,02 d + 0,08 f

7.4.5

7.4.6

dζ a (δ A − δ NA ) dδ A L

° ° ¾ ° °¿

L

7.4.7

7.6 Axiale Laufräder und Leitapparate

Abb. 7.27. Strömung um einen Tragflügel nach [7.26] 1,0 0,8

cp

0,6 0,4

1

0,2 0 -0,2

2

-0,8

1,0 X L

3 4

-0,4 -0,6

0,8

4

5

Druckfläche

3

Saugfläche

2

-1,0 -1,2 -1,4 -1,6 -1,8

1

ζa Kurve 1 1,25 2 0,75 3 0,5 4 5

0,25 0

δA 10° 4° 2° 0° -3°

-2,0

w∞

δA

Abb. 7.28. Druckverteilung am Profil NACA 652-415 nach [7.25]

391

392

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

men aus Reibungs- und Form- oder Druckwiderstand; der Reibungswiderstand ändert sich praktisch nicht mit dem Anstellwinkel, während der Formwiderstand mit dem Anstellwinkel steigt und bei Ablösung stark anwächst. Die strömungstechnischen Eigenschaften eines Profils werden beschrieben durch die Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte sowie die auf den Staudruck bezogene Druckverteilung bzw. den Beiwert des minimalen örtlichen Druckes cp,min. Bei gegebenem Profil hängen diese Werte primär vom Anstellwinkel δA ab, der den Winkel zwischen der Richtung der ungestörten Anströmgeschwindigkeit w∞ und der Profilsehne oder der Profiltangente darstellt. Vom Anstellwinkel δA zwischen w∞ und der Profilsehne zu unterscheiden ist der Anstellwinkel i1 = β1B - β1 zwischen dem Geschwindigkeitsvektor am Profilkopf und dem Skelettwinkel; denn i1 ist maßgebend für die Druckverteilung im Bereich der Eintrittskante und damit für die Kavitation. Der Anstellwinkel stoßfreien Eintritts (i1 = 0) sei als δSF bezeichnet; er entspricht dem „Entwurfswinkel“ des Profils. Der Winkel zwischen dem Auftrieb und der resultierenden Kraft F wird als Gleitwinkel λ und das Verhältnis ε = Fw/Fa = tan λ als Gleitzahl bezeichnet. Die Gleitzahl gebräuchlicher Profile liegt je nach Anstellwinkel im Bereich von 0,01 bis 0,04; sie kann als Gütegrad des Profils betrachtet werden. Bei einem bestimmten Anströmwinkel – der „Nullauftriebsrichtung“ – erfährt das Profil keinen Auftrieb. Profilkoordinaten und strömungstechnische Kennzahlen von Tragflügeln wurden aufgrund von Messungen und Rechnungen in Profilkatalogen und Handbüchern veröffentlicht, z.B. [7.25 bis 27]. Die Auftriebsbeiwerte werden oft in „Profilpolaren“ gemäß Abb. 7.29 als Funktion des Widerstandsbeiwertes dargestellt. Ein Strahl vom Koordinatenursprung an einen beliebigen Kurvenpunkt stellt die dimensionslose resultierende Kraft auf das Profil dar mit den Komponenten von Auftrieb und Widerstand. Man erkennt den maximalen Auftriebsbeiwert, der erreicht wird, bevor es zu ausgedehnten Ablösegebieten kommt. Die Tangente vom Nullpunkt an die Polare definiert den Betriebspunkt mit dem optimalen Gleitwinkel bzw. dem minimalen Verlust. In diesem Punkt oder seiner Nähe werden vorzugsweise die Profile für die Auslegung gewählt. Für die Anwendung im Pumpenbau, wo der Widerstand eine geringere Bedeutung als bei Flugzeugen hat, ist die Darstellung der Auftriebsbeiwerte als Funktion des Anstellwinkels gemäß Abb. 7.30 zweckmäßiger. Aus ihr läßt sich für einen ζa

ζa 1

1

NACA65-209

0,5

0,5 NACA65,2-415

0

NACA65-209

0 -0,5

-0,5 -1

NACA65,2-415

0

0,01

ζw

0,02

Abb. 7.29. Polardiagramm für NACA65,2-415 und NACA65-209, Re = 6x106

-1 -10

-5

0

5

10

δA [°]

Abb. 7.30. Auftriebsbeiwerte als Funktion des Anstellwinkels, Re = 6x106

7.6 Axiale Laufräder und Leitapparate

393

gewünschten Auftriebsbeiwert der notwendige Anstellwinkel ablesen. Im Bereich kleiner Anstellwinkel wächst der Auftriebsbeiwert praktisch linear mit δA. Die Steigung liegt meist im Bereich von dζa/dδA = 0,09 bis 0,11. Mit dem Nullauftriebswinkel δNA gilt dann für den Auftriebsbeiwert: ζa =

dζ a (δ A − δ NA ) dδ A

(7.20)

Einfluß der Profilparameter auf die aerodynamischen Beiwerte: (1) Die maximale örtliche Geschwindigkeit steigt mit dem Dickenverhältnis etwa nach: wmax/w∞ = 1 + fp d/L

mit fp = 1,3 bis 1,8

(7.21)

(2) Mit zunehmendem Dickenverhältnis d/L steigt folglich der Betrag von cp,min, entsprechend: §w cp,min = 1 − ¨¨ max © w∞

2

· d d ¸ = −f p ­®2 + f p ½¾ ¸ L L ¯ ¿ ¹

(7.21a)

Dabei bleibt das Druckminimum am gleichen Ort. Die Geschwindigkeitsverhältnisse wurden für viele Profile tabelliert, so daß sich für ein gewähltes Profil die Druckverteilung berechnen läßt, [7.27]. Der Auftriebsbeiwert eines angestellten Profils steigt leicht mit wachsendem Dickenverhältnis, weil sich die Stromlinienkrümmung auf der Saugfläche verstärkt. Auf den Gradienten dζa/dδA hat das Dikkenverhältnis nur geringen Einfluß. (3) Mit wachsender Dickenrücklage xd/L verschieben sich der Ort minimalen Druckes und der Umschlag laminar/turbulent nach hinten. (4) Vergrößert man die Wölbung, steigen der Auftrieb sowie der Betrag von cp,min. (5) Das Minimum des Widerstandsbeiwertes wird etwa bei Anströmung in der Nullauftriebsrichtung erreicht. Sein Wert steigt mit dem Dickenverhältnis. (6) Der Kraftangriffspunkt der Resultierenden (der „Neutralpunkt“) liegt meist im Bereich von xN/L = 0,25 bis 0,28. Der lineare Zusammenhang zwischen Auftriebsbeiwert und Anstellwinkel ermöglicht eine Näherungsformel der Form: ζa = a

d + b δA L

(7.22)

Die Steigung b ist bei vielen Profilen ähnlich und liegt im oben erwähnten Bereich von b = 0,09 bis 0,11. Die Eigenschaft der Profile gemäß Gl. (7.22) ermöglicht es, die y-Koordinaten der Profilgeometrie mit einem konstanten Faktor zu multiplizieren und den Auftriebsbeiwert des verdickten (oder schlankeren) Profiles nach Gl. (7.22) zu berechnen. Auf diese Weise lassen sich die Schaufeln von außen zur Nabe hin verdicken, ohne daß verschiedene Profile ausgewählt zu werden brauchen. Hat man sich für ein Profil entschieden, kann man die zugehörige Konstante a für Gl. (7.22) leicht aus der Kurve ζa = f(δA) zurückrechnen, für die ebenfalls die Steigung b bekannt ist.

394

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Die Nullauftriebsrichtung hängt ab von den Wölbungsparametern und der Dikke des Profils; sie kann für beliebige Profile näherungsweise nach Gl. (T7.4.5) abgeschätzt werden. Sie läßt sich auch graphisch annähernd bestimmen, indem man eine Linie vom Profilende durch den Wölbungsmittelpunkt zieht (s. obere Abb. in Tafel 7.4: Linie NA durch Punkt W). Wenn der Anstellwinkel δA,o auf die Nullauftriebsrichtung bezogen wird, beträgt der theoretische Auftriebsbeiwert einer angestellten Platte ζa = 2π sin δA,o. Nach der Abb. in Tafel 7.4 gilt δA,o = δA - δNA, wobei die Winkel vorzeichenbehaftet zu behandeln sind. Die Erfahrung lehrt, daß der Auftriebsbeiwert beliebiger Profile nach der obigen theoretischen Beziehung abgeschätzt werden kann, wenn man einen Profilwirkungsgrad ηP einführt, was die Näherungsformel Gl. (T7.4.6) ergibt. Auch die Widerstandsbeiwerte lassen sich aufgrund einer empirischen Beziehung, Gl. (T7.4.7), ermitteln (diese drei Näherungsformeln stammen aus [B.1]). Die Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte hängen von der Reynolds-Zahl ab; dies vor allem im Bereich unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl Re = w∞ L/ν, die bei 105 liegt. Der Auftriebsbeiwert steigt mit der Reynolds-Zahl. Der Umschlag laminar/turbulent verschiebt sich mit zunehmendem Re nach vorn, wobei der Widerstand sinkt. Pumpen arbeiten – außer bei Ölen und ähnlich viskosen Medien –im überkritischen Bereich. Rauhe Oberflächen vermindern den Auftriebsbeiwert, besonders bei hohen Reynolds-Zahlen. 7.6.4 Schaufelauslegung Grundsätzlich kann ein axiales Laufrad für eine beliebige Drallverteilung am Laufradaustritt ausgelegt werden (drei mögliche Verteilungen wurden in Kap. 7.5 besprochen). Im folgenden wird primär die Auslegung der Beschaufelung für Wirbelflußmaschinen mit cu r = c2u,a r2 dargelegt, bei der auf allen Stromlinien die gleiche Schaufelarbeit Ysch = g Hth übertragen wird und die Axialgeschwindigkeit über dem Radius konstant ist. Bei anderen Drallverteilungen müßte die cmVerteilung aus dem radialen Gleichgewicht iterativ berechnet werden. Abgesehen von der Variation der Axialgeschwindigkeit sind die Formeln in Tafel 7.5 so geschrieben, daß sie für beliebige Drallverteilungen verwendet werden können. Die Auslegung der Beschaufelung kann anhand von Tafel 7.5 vorgenommen werden, in der auch die Geschwindigkeitsdreiecke für axiale Zuströmung dargestellt sind: 1. Gegeben sind die Leistungsdaten; der hydraulische Wirkungsgrad kann nach Tafel 3.9 geschätzt werden. 2. Man definiert mehrere Stromlinien (Zylinderschnitte), auf denen die Berechnung nach Gl. (T7.5.4 bis 7.5.8) durchgeführt wird. Die Meridiangeschwindigkeit wird auf allen Schnitten als gleich angenommen. 3. Der Eintrittswinkel der Relativströmung steigt von außen nach innen entsprechend dem Radienverhältnis, Gl. (T7.5.2). 4. Man definiert die Form der Nabe als rein axial oder leicht halbaxial. Der Nabendurchmesser am Laufradaustritt wird aus Gl. (T7.3.5) bestimmt.

7.6 Axiale Laufräder und Leitapparate

395

5. Gleichung (T.7.5.3) liefert die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit an der äußeren Stromlinie, die erforderlich ist, um die spezifizierte Förderhöhe zu erreichen. 6. Am Laufradaustritt nehmen Umfangskomponente und Abströmwinkel von außen nach innen zu, Gl. (T7.5.4 und 7.5.5). Gleichung (T7.5.5) liefert den Abströmwinkel, für den die Beschaufelung auszulegen ist. 7. Für die Auslegung als Tragflügel müssen Anströmgeschwindigkeit w∞ und Anströmwinkel β∞ berechnet werden, Gl. (T7.5.6 u.7.5.7). 8. Nach Gl. (T7.5.8) kann nun die für jede Stromlinie geforderte Umlenkziffer ζaL/t ermittelt werden. Hierin bedeutet ζa den Auftriebsbeiwert, L die Sehnenlänge des Profils und t = 2 π r/zLa die Schaufelteilung auf dem betrachteten Zylinderschnitt (Definitionen für Tragflügel s. Tafel 7.4). Gleichung (T7.5.8) läßt sich aus der Erhaltung des Drehimpulses, Kap. 3.2, ableiten, wenn man das äußere Moment mit den Kräften am Tragflügel nach Tafel 7.4 ansetzt. Der Term cosλ im Zähler von Gl. (T7.5.8a) wird häufig nicht angeschrieben sondern, wie im rechten Ausdruck von Gl. (T7.5.8a), gleich eins gesetzt, da der Gleitwinkel gängiger Profile unter 5° liegt. Man kann auch sin(β∞+λ) ≅ sinβ∞ setzen, wodurch sich Gl. (T7.5.8b) ergibt. Diese Näherung führt zu einer etwas größeren Förderhöhe, so daß die Auslegung dann eine kleine Marge enthält. 9. Die Geschwindigkeitsdreiecke an Ein- und Austritt können nun nach Tafel 3.1 und 3.2 berechnet werden. Als Ergebnis liegen die Geschwindigkeiten und Strömungswinkel vor, für die die Beschaufelung auszulegen ist, damit die Förderdaten erreicht werden. 10. Schaufellänge und -teilung sind nun so zu wählen, daß die im jeweiligen Zylinderschnitt berechnete Umlenkziffer erreicht wird. Man kennt zunächst nur das Produkt aus ζa und L/t, das die erforderliche Umlenkziffer darstellt. Eine dieser beiden Größen muß gewählt werden, damit die zweite berechnet werden kann. Man kann entweder aus Abb. 7.31 einen Anhaltspunkt1 für (L/t)a an der äußeren Stromlinie als Funktion der spezifischen Drehzahl ablesen oder nach Abb. 7.24 und 7.25 den Auftriebsbeiwert ζa bestimmen. Ausführbare Werte liegen leicht über der Druckzahl, so daß auch ζa = (1,2 bis 1,35)ψa,opt als Ausgangsbasis für die äußere Stromlinie dienen kann. Die Schaufellänge an der äußeren Stromlinie ist kritisch bezüglich Ablösung bei Teillast und somit für den fahrbaren Betriebsbereich der Pumpe. Eine schwache Schaufelbelastung ist auch günstig hinsichtlich Kavitation. 11. Nach den in Kap. 7.6.5 erörterten Kriterien wird ein Tragflügelprofil gewählt. 12. Um die Schaufelwinkel zu ermitteln, die notwendig sind, um die unter Schritt 8 berechnete Strömungsumlenkung zu bewirken, muß der Wölbungswinkel = 2B - 1B des Profils bestimmt werden. Hierzu kann das in [7.49] beschriebene Verfahren verwendet werden, das in Tafel 7.5(2) im einzelnen dargelegt wird. Anstellwinkel, Deviationswinkel und Schaufelwinkel ergeben sich aus Gln. (T7.5.21) bis (T7.5.35). Das Verfahren, das aufgrund von Versuchen an Axialkompressoren entwickelt wurde, liefert an der äußeren Stromlinie negati1

Abgeleitet aus Angaben in [B.22].

396

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

ve Anstellwinkel. Für Axialpumpen müssen die Schaufeln aber für i = 0 an der äußeren Stromlinie entworfen werden, damit der geforderte Bestpunkt erreicht wird. Werden negative Anstellwinkel ausgeführt, verschiebt sich der Bestpunkt zu kleineren Förderströmen, wie aus Versuchen in [7.50] hervorgeht. 13. Der nach [7.49] berechnete Deviationswinkel ist vermutlich etwas zu klein. Dies folgt aus Versuchen in [7.54] und [7.55], weil dort die spezifizierte Druckerhöhung nicht erreicht wurde. Um diesen Mangel zu beheben, wurde in Gl. (T7.5.31) ein Korrekturfaktor Kexp eingeführt, der zunächst zu Kexp = 1.25 angenommen sei. 14. Somit liegen die Schaufelwinkel an Ein- und Austritt vor, Gl. (T7.5.34 und 7.5.35). 15. Der Auftrieb des Profils wird durch dessen Wölbung bestimmt. Demzufolge wird eine geeignete Skelettlinie entsprechend dem erforderlichen Auftriebsbeiwert ζa bestimmt, der für den betrachteten Profilschnitt unter Schritt 10 berechnet wurde. 16. Die erforderlichen Werte für den Anströmwinkel δA und den Staffelungswinkel folgen aus dem Auftriebsbeiwert ζa gemäß Gln. (T7.5.37) bis (T7.5.39). 17. Ein symmetrisches Grundprofil nahe bei dem erforderlichen Dickenverhältnis wird gewählt, z.B. NACA 65-006 für d/L = 0.06. Die tabellierten Daten des symmetrischen Profils sind somit bekannt, z.B. aus [7.27]. 18. Die an jedem Profilschnitt erforderliche Dicke erhält man durch Multiplikation der Dickenkoordinaten des Grundprofils mit dem Faktor fd. Dadurch ändern sich die Profileigenschaften zwar geringfügig; aber dieser Einfluß kann vernachlässigt werden: fd = (d/L)erforderlich/(d/L)Grundprofil 19. Aus Gründen der Herstellung ist die Schaufelhinterkante mit endlicher Dicke auszuführen, z.B. eTE/d2a = 0.001. Die entsprechende Dickenkorrektur ist zu den Schaufelkoordinaten zu addieren. Dabei muß die Dickenkorrektur stetig in das Grundprofil übergehen. Dieser Übergang erfolgt über eine Länge xTE/L, zum Beispiel xTE/L = 0.2. Mit einer linearen Übergangsfunktion ergibt sich dann Gl. (T7.5.43). 20. Die Koordinaten des symmetrischen Profils werden nun aus Gl. (T7.5.45) errechnet. 21. Anschließend erhält man die Koordinaten von Saug- und Druckfläche durch Überlagerung der Dickenverteilung des symmetrischen Profils auf die Skelettlinie, Gln. (T7.5.46) und (T7.5.47). 22. Alle geometrischen Größen müssen kontinuierlich über die Schaufelhöhe variieren. Das in Tafel 7.5 angegebene Verfahren stellt sicher, daß diese Forderung erfüllt wird, Gln. (T7.5.18) bis (T7.5.20). Zur Wahl dieser Parameter finden sich in der Literatur verschiedene Empfehlungen; diese wurden jedoch vorwiegend aus Versuchen an Kompressoren abgeleitet, deren Beschaufelungen wesentlich anders sind als bei Propellerpumpen. Wie gut diese Empfehlungen auf Pumpen übertragbar sind, ist daher unsicher. Dennoch wird das Verfahren in [7.49] häufig auch für die Auslegung von Axialpumpen verwendet. Einige Diagramme aus[7.49] wurden in Tafel 7.5 durch Näherungsformeln ersetzt.

7.6 Axiale Laufräder und Leitapparate

397

Tafel 7.5(1) Schaufelauslegung axialer Laufräder A. Berechnung der Geschwindigkeitsdreiecke und Auftriebsbeiwerte Voraussetzungen Definitionen

Wirbelflußmaschine: Festkörperrotation: konstante Geschwindigkeit:

* cm = konstant * x ≡ (r2/r)m

Gegebene/gewählte Größen

m=1 m = -1 m=0

cu = c2u,a r2/r cu = c2u,a r/r2 cu = konst.

Gl.

Qopt, Hopt, ηh, n, d2, ν, nq, ψ, ϕ, ri = ν r2 4Q cm = 2 π d 2 (1 − ν 2 )

Meridiangeschwindigkeit

7.5.1

r tan β1 = 2 tan β1a r gH c 2u ,a = + c1u ηh u 2,a

Strömungswinkel am Laufradeintritt als Funktion des Radius Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit an der äußeren Stromlinie Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit

7.5.2 7.5.3

c 2u = c 2u ,a x

7.5.4

cm Abströmwinkel der Relativgeschwin- tan β = 2 u − x c2u ,a digkeit

7.5.5

cm

Anströmwinkel des Profils

β∞ = arc tan

Anströmgeschwindigkeit des Profils

2 w∞ = c 2m + u − 1 (c 2u + c1u )

[

Umlenkziffer

7.5.6

u − 12 (c 2u + c1u )

]2

2

7.5.7

ζa

L 2g H th c m cosλ 2 Δc u sin β∞ = = 2 t u w ∞ sin(β∞ + λ) w ∞ sin(β∞ + λ)

ζa

L ≈ t

ψ th 2

ϕ + (1 − 0,25ψ th )

2

≈

2 Δc u w∞

Schaufelwirkungsgrad oder mit εres hydr. Wirkungsgrad

Z w∞ ε ηsch ≡ 1 − sch = 1 − H th u sin (β∞ + λ)

Gleitzahl maßgebend für Pumpe

0,008 1− ν 0,02 t ε res = ε + + 0,018 ζ a ζ a ra (1 − ν )

7.5.8b 7.5.9

ε res = 0,02 +

Diffusionszahl Außen: maximal Dfz,a = 0,45 Nabe: maximal Dfz,i = 0,6

D fz = 1 −

c2u 2

c2u 2

w1 β1

β∞

c2

β2

w2u

c1 α2

c2u u = ωr

7.5.11

w 2 1 w1u − w 2u t + ⋅ ⋅ w1 2 w1 L

7.5.12

7.5.13

d2

w∞

w2

7.5.10

(Lt )a = 3,2 ψ a

Teilungsverhältnis [7.19][B.22]

7.5.8a

βS dn

L t

β1B

β 2B

398

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Tafel 7.5 (2) Schaufelauslegung axialer Laufräder gemäß [7.49] B. Bestimmung von Anstell-, Abström- und Schaufelwinkel Die vollständigen Geschwindigkeitsdreiecke und w , Wahl der Schaufelzahlen Spaltspiel an den Schaufelspitzen Wahl von L/t an der äußeren Stromlinie aus Abb. 7.31. Gl. (7.5.15) liefert größere Längen zur Reduktion der Schaufelbelastung, Wahl von Teilungsverhältnis oder Schaufellänge an der inneren Stromlinie Li/La = 0,7 bis 0,9 Relative Schaufelhöhe, gemessen ab Nabe

sind bekannt aus Tafel 7.5 (1) Gl.

zLa, zLe aus Tabelle 7.3 D/d2 = 0,004 § n q, Re f §L· σa = ¨ ¸ = 0,7¨ ¨ nq © t ¹a ©

7.5.14 · ¸ ¸ ¹

0, 46

nq,Ref = 200

§L· σi = ¨ ¸ © t ¹i

h=

r − ri ra − ri

Berechnung der Schaufellängen so, L L = i + f1 h + f 2 h 2 + f3 h 3 daß glatte Verläufe für Ein- und Aus- L L a a trittskante erreicht werden. Die FakL toren f2 und f3 können gewählt werf1 = 1 − i − f 2 − f 3 La den; f1 folgt aus Gl. (7.5.19) Wahl des Profils und des Dickenver- d § d · = ¨ ¸ − a 1 h + b1 h 2 hältnisses d/L an Außen- und Naben- L © L ¹ i schnitt. Dickenverteilung über d § · §d· Schaufelhöhe nach Gl. (7.5.20), b1 = ¨ ¸ − ¨ ¸ © L ¹i © L ¹a wenn linear. Tangente an Schaufeldicke an der Spitze ist null. ª d d º Alternativ können a1 und b1 gewählt a1 = −2 «§¨ ·¸ − §¨ ·¸ » L L werden. ¬«© ¹i © ¹a ¼» Faktor für Anstellwinkel als Funkti2 3 on des Dickenverhältnisses d/L, §d· §d· §d· K i = 18,88¨ ¸ − 118¨ ¸ + 292¨ ¸ [7.49], Abb. 186, p. 236 ©L¹ ©L¹ ©L¹ (Ki = 1,0 für d/L = 0,1) Auslegungs-Anstellwinkel des un§ β − 20° · gewölbten Profils mit d/L = 0,1. io = 5 σ¨1 − 1 ¸ Vereinfachte Korrelation, [7.49], 70° ¹ © Abb. 187, p. 237 Anstellwinkelkorrektur für 3DEffekte im Vergleich zu ebenen Git- (i c − i 2D ) = 2,16 − 7,24h + 2,277 h 2 tern; [7.49], Abb. 201, p. 247 Deviationswinkelkorrektur für 3DEffekte im Vergleich zu ebenen GitFor h < 0,355: (δc − δ 2D ) = 1,55 − 5,5h tern; [7.49], Abb. 202, p. 247 Gemäß Versuchen in [7.54] und For h > 0,355: (δc − δ 2D ) = − 0,4 [7.55] sollten 2° zu den Werten aus Gl. (7.5.24) addiert werden. [7.49], Abb. 195, p. 242 m = 3,488×10-5 12 - 5,777×10-3 1 + 0,4107 [7.49], Abb. 196, p. 243 b = -9,435×10-5 12 + 0,01594 1 + 0,2812 Korrekturfaktor für den Deviationswinkel aufgrund von Versuchen an Kexp = 1,25 Schätzung Axialpumpen

7.5.15

7.5.16 7.5.17 7.5.18 7.5.19

7.5.20

7.5.21

7.5.22

7.5.23

7.5.24

7.5.25 7.5.26

7.6 Axiale Laufräder und Leitapparate

399

Tafel 7.5 (3) Schaufelauslegung axialer Laufräder gemäß [7.49] Korrekturfaktor für den Deviationswinkel zur Berücksichtigung des Dickenverhältnisses d/L, [7.49], Abb. 193, p. 241 Kį = 1,0 für d/L = 0,1

§d· §d· K δ = 6,6¨ ¸ + 34¨ ¸ ©L¹ ©L¹

δo = a δ σ y Deviationswinkel für ungewölbtes aį = 4,4103-0,1075 Profil mit d/L = 0,1. Vereinfachte Korrelation, [7.49], Abb. 194, p. 242 y = 0,0000006258

2

+0,000706 1 + 0,0001034 0,006011 12+0,137 1-0,1438 1 4

7.5.27

2

1

3

1

n = -0,68 + 0,007 1 - 2(-0,0000191 12+0,00152 1 +0,0179)- (-0,1305-0,0103 +0,0002124 1 2-0,0000009543 1 3) dδ = a i e biβ1 1 − 1.4075σ + 0.6419σ 2 − 0.0885σ 3 di und bi = 0,0047 2-0,0322 ai = 1+0,58 +0,1273 2 Erforderlicher Wölbungswinkel (m aus GL. 7.5.25): °­ § dδ · ½° β 2 − β1 + K exp K δ δ o − K i i o + (δ c − δ 2D ) − (i c − i 2D )®1 − ¨ ¸ ¾ °¯ © di ¹ 2D °¿ γ= m 1− +n σb ic = K iio + n γ + (ic − i 2D ) Anstellwinkel

{

Deviationswinkel įc = 2B - 2

}

§ dδ · δc = K exp K δδo + b γ + (δc − δ2D ) + (ic − i 2D )¨ ¸ © di ¹2D σ m

Schaufeleintrittswinkel β1B = β1 + ic Schaufelaustrittswinkel β2B = β2 + įc Der Staffelungswinkel wird nach Auswahl des Profils ermittelt: Man berechne įNA aus Gl. (T7.4.5) Nullauftriebswinkel bezogen auf die Zum Vergleich berechne man įNA aus: § f · Profilsehne ¸ δ NA = −atan¨¨ ¸ © 1 − xf ¹

Anstellwinkel aus dem erforderlichen · § ζa ¸ Auftriebsbeiwert und dem gewählten δ A = δ NA + ¨¨ ¸ ζ δ d / d a A ¹ © Gradienten d a/dįA Staffelungswinkel Man kann den Mittelwert von įA aus βs = β + įA Gl. (T7.4.5) und (T7.5.38) einsetzen ζ Skelettlinie, [7.27], p. 74, Gl. (4.26) y c = − a {(1 − x ) ln(1 − x ) + x ln x} für gleichförmige Schaufelbelastung 4π Berechnung der Wölbung für den erζa forderlichen Auftrieb a aufgrund ei- y = y c c,base nes bekannten Profils ausgelegt für ζ a ,base

7.5.28

1

7.5.29 7.5.30

7.5.31

7.5.32 7.5.33 7.5.34 7.5.35 7.5.36 7.5.37

7.5.38 7.5.39 7.5.40

7.5.41

a,base

Gradient dyc/dx der Skelettlinie, be- § dy · § dy c, base · ζa ¸ = ¨¨ rechnet aus den tabellierten Daten des ¨ c ¸ ¸ dx dx ζ © ¹ a , base © ¹ actual base Grundprofils („base“)

7.5.42

400

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Tafel 7.5 (4) Schaufelauslegung axialer Laufräder Übergangsfunktion für endliche Hinterkantendicke, xBL = 1-xTE Dickenverteilung des symmetrischen Profils ohne Hinterkantenkorrektur Dickenverteilung des symmetrischen Profils mit Hinterkantenkorrektur

e x − x BL Δy = TE 2 L 1 − x BL (d / L) actual ysp = ysp, base (d / L) base y sp =

(d / L) actual e x − x BL y sp, base + TE (d / L) base 2L 1 − x BL

x SS = x − y sp sin Θ

Schaufelkoordinaten, Saugfläche

y SS = y c + y sp cos Θ

x PS = x + y sp sin Θ

Schaufelkoordinaten, Druckfläche

y PS = y c − ysp cos Θ

7.5.43 7.5.44 7.5.45

§ dy · Θ = atan¨¨ c ¸¸ © dx ¹

7.5.46

aus Gl. (7.5.42)

7.5.47

= L/t Teilungsverhältnis Dimensionslose Darstellung x = X/L, y = Y/L, wobei X und Y die absoluten Koordinaten sind

Kräfte, Spannungen und Eigenfrequenz Kräfte auf ein Schaufelelement ǻr Mittlere Höhe des Schaufelelements r = 0,5( ra + ri) Mittlerer Radius r = 0,5(ra + ri) -0,5 r Auftrieb am Schaufelelement Fa = 0,5 w 2 a L r Axialkraft am Schaufelelement Fax = Fa cos Tangentialkraft am Schaufelelement Fu = Fa sin Biegemomentanteil am Schaufelfuß MB = Fa (r - ri,m) Die Gesamtkräfte und das gesamte Biegemoment ergeben sich als Summe über alle Elemente: Fa = Fa usw. Mittlere Biegespannung am Schaufelfuß M (W = Widerstandsmoment am Schaufel- σ = B W fuß) Masse pro Längeneinheit A = Querschnitt des Schaufelelements μ = ρmatA + fam ρ A fam = 1,5 berücksichtigt den Effekt der Zusatzmasse durch das Wasser Erste Schaufeleigenfrequenz I = Trägheitsmoment am Schaufelfuß

fn =

3.52 2π

EI

2,0 1,5 1,0

0 100

La/d2 (L/t)a 150

200

250

300

nq

350

7.5.54

7.5.55

7.5.56

μ L4

0,5

7.5.48 7.5.49 7.5.50 7.5.51 7.5.52 7.5.53

400

Abb. 7.31. Zur Wahl der Schaufellänge an der äußeren Stromlinie bei Axialpumpen

7.6 Axiale Laufräder und Leitapparate

401

Für ζa und L/t lassen sich aus der Literatur die als Gl. (T7.5.13) gegebenen Beziehungen ableiten. Faßt man die verschiedenen Angaben zusammen, ergibt sich etwa folgendes: • Der Auftriebsbeiwert ist im Auslegepunkt im Bereich des niedrigsten Gleitwinkels zu wählen: ζa = 0,2 bis 0,8 aber nicht größer als: ζa = (1,2 bis 1,35)ψa,opt • maximaler Auftriebsbeiwert (gilt eher für die innere Stromlinie): ζa,max = 1,25 • Teilungsverhältnis L/t = 0,4 bis 1,2 • maximale Umlenkziffer (gilt eher für die innere Stromlinie): (ζaL/t)max ≈ 1,5 • An der Nabe ist auch ψi gemäß Abb. 3.21 zu prüfen. Diese Hinweise sind primär im Bereich der äußeren bis unter die mittlere Stromlinie zu beachten; in Nabennähe sind u.U. Kompromisse erforderlich. Je größer die erforderliche Umlenkung Δβ = β2 - β1, desto größer ist L/t zu wählen. Die Profilbeiwerte in der Literatur gelten für Einzelflügel endlicher Spannweite b (häufig für L/b = 5). Beim Flügel endlicher Spannweite verringert die Umströmung des freien Flügelendes den Auftrieb. In der Axialpumpe ist dies wegen des engen Spaltes zwischen Gehäuse und Schaufel praktisch nicht der Fall, so daß das Profil in der Pumpe tendenziell einen etwas höheren Auftrieb liefert. Im Gitterverband beeinflussen sich die Schaufeln außerdem gegenseitig. Beim Übergang vom Einzelprofil auf das Laufrad einer Axialpumpe wären daher prinzipiell eine Gitterund eine Spannweitenkorrektur anzubringen. Allgemeingültige Regeln für die Gitterkorrektur sind indessen nicht bekannt. Es scheint daher gängiger Praxis zu entsprechen, bei t/L ≥ 1 keine Gitterkorrektur anzubringen, [B.1][3.15]. Auch auf eine Spannweitenkorrektur verzichtet man in der Regel, da ihre Wirkung gering ist und in Teilbereichen den Einfluß der Nachbarschaufeln kompensiert. Die hydraulischen Verluste setzen sich zusammen aus den eigentlichen Schaufelverlusten, die sich aus den Tragflügeldaten ermitteln lassen, und Reibungsverlusten an Gehäuse, Nabe, Eintritt und Leitrad. Die eigentlichen Schaufelverluste ergeben sich aus Gl. (T7.5.9), wenn die Gleitzahl des Profils eingesetzt wird. Auch der hydraulische Wirkungsgrad der ganzen Pumpe kann mit Hilfe von Gl. (T7.5.9) abgeschätzt werden, wenn man die resultierende Gleitzahl εres nach den Korrelationen (T7.5.10 oder 7.5.11) einsetzt, [B.1]. Diese Rechnung wird ausgeführt für den mittleren Durchmesser dm der Beschaufelung: d1m = d 2 0,5(1 − ν 2 )

(7.22a)

Die zulässige Verzögerung der Relativgeschwindigkeit auf den verschiedenen Zylinderschnitten kann mittels der Diffusionszahl Dfz von Lieblein [7.21] überprüft werden, Gl. (T7.5.12). Nach [7.22] und [7.23] soll an der äußeren Stromlinie ein Wert von Dfz,a = 0,45 und an der Nabe der Wert Dfz,i = 0,6 nicht überschritten werden; in [B.3] wird empfohlen, den Wert an der äußeren Stromlinie auf Dfz,a = 0,35 zu begrenzen. Die Kräfte auf die Schaufeln und die Momente auf den Schaufelfuß können aus den Auftriebs- und Widerstandskräften nach Tafel 7.5 für verschiedene Zylinderschnitte berechnet und über die Schaufelhöhe aufsummiert werden, um die Festigkeitsrechnung durchführen zu können (in diese gehen auch die auf die Schaufel

402

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

wirkenden Zentrifugalkräfte ein). Auch der Axialschub kann durch Integration der axialen Kraftkomponente über die Schaufelhöhe ermittelt werden, wenn man sich nicht mit Faustformeln nach Kap. 9.2 begnügen kann. Die niedrigste Eigenfrequenz der Schaufel kann nach Gl. (T7.5.56) abgeschätzt werden, um sicherzustellen, daß sie über der Erregerfrequenz zLe n/60 liegt, Kap. 10.7.1; s. Tafel A7-5. Annahmen für die Berechnung der Kräfte und Eigenfrequenzen: • Für die Überprüfung der Schaufelfestigkeit sollte die maximale Förderhöhe bei Teillast eingesetzt werden. Hierzu können die im Bestpunkt berechneten Spannungen mit dem Verhältnis Hmax/Hopt multipliziert werden. Man kann z.B: Hmax/Hopt = 1,6 bis 2,0 einsetzen. • Mittel- und Wechselspannungen sind zu betrachten. Bei Teillast nahe dem Abreißpunkt und Rezirkulationsbeginn kann man z.B. annehmen, daß die Wechselkräfte 35% der stationären Kräfte betragen. • Widerstandsmoment und Trägheitsmoment am Schaufelfuß werden ohne Berücksichtigung der Wölbung berechnet. Die Berechnung der Spannungen und Eigenfrequenzen liegt dann auf der sicheren Seite. • Die Dickenabnahme der Schaufel von der Nabe nach außen wird vernachlässigt. Die Eigenfrequenzen werden dabei um etwa 2 bis 4% zu niedrig berechnet, liegen also auf der sicheren Seite. • Bei geometrisch ähnlichen Laufrädern folgen die Eigenfrequenzen der Proportionalität f ~ 1/d2. 7.6.5 Profilauswahl Die Wölbung bestimmt den Auftrieb eines Profils. Gemäß der Theorie dünner Tragflügelprofile ist der Auftrieb direkt proportional zur Wölbung. Demzufolge kann die Wölbung yc, die an einem bestimmten Schaufelelement benötigt wird, um einen gewünschten Auftriebsbeiwert a zu erhalten, mittels Gl. (T7.5.41) für ein bekanntes Grundprofil berechnet werden. Die Skelettlinie des Grundprofils yc,base = f(x) und dessen Auslegungsauftrieb a,base wird Profilkatalogen entnommen, z.B. [7.27]. Kriterien für die Auswahl der Profile: 1. Dickenverteilung und Skelettlinie bestimmen die Druckverteilung am Profil. Das Profil soll kavitationsunempfindlich sein, was dann erreicht wird, wenn die Unterdruckspitze wenig ausgeprägt bzw. der Betrag des Unterdruckbeiwertes cp,min klein ist. Dies läßt sich anhand berechneter Druckverteilungen oder aus den Angaben in Profilkatalogen beurteilen. Kavitationsunempfindliche Profile weisen eine genügend große Dickenrücklage xd von etwa 50 % auf (z.B. NACA 65-Reihe). Eine größere Dickenrücklage ist nicht zu empfehlen, weil dann die Gefahr von Strömungsablösungen gegen das Profilende zunimmt. Je dicker und gewölbter ein Profil, desto größer werden Auftriebsbeiwert (Schaufelbelastung), Unterdruckbeiwert cp,min und Kavitationsempfindlichkeit. 2. Die Skelettlinie als Kreisbogen auszubilden ist ungünstig, weil derartige Profile empfindlich gegen Falschanströmung sind. Eine parabelförmige Skelettlinie ist

7.6 Axiale Laufräder und Leitapparate

3.

4. 5.

6.

403

hinsichtlich Kavitation überlegen, weil der Schaufelanfang so gestaltet werden kann, daß sich eine flachere Druckverteilung ergibt. Ein spitzes Profil verspricht zwar bei stoßfreier Anströmung minimale Verluste – und wäre so für den Wirkungsgrad im Bestpunkt günstig; es ist aber empfindlich gegen Falschanströmung und hinsichtlich Teillast- und Kavitationsverhalten ungeeignet. Die Unterdruckspitze (cp,min) – und damit die Kavitationsempfindlichkeit – wächst mit steigender Profildicke d/L. Deshalb wird die Profildicke meist nicht über d/L = 0,15 bis 0,18 gewählt. Ein schräg angeströmter Pfeiler verursacht geringere Unterdruckspitzen als eine senkrecht angeströmte Struktur. Im Grundriß radial erscheinende Eintrittskanten sind folglich nicht optimal. Häufig wird daher eine Rückwärtssichelung analog zu Abb. 7.32 (s. z.B. [7.38]) ausgeführt. Dadurch wird die Nabenstromlinie entlastet und die Sekundärströmung verringert. Dies kann nicht nur die Kennlinienstabilität und das Kavitationsverhalten deutlich verbessern (typisch um 10 bis 30 % NPSHR-Reduktion) sondern auch den Wirkungsgrad erhöhen, s. Abb. 5.43 und [5.48]. Zudem verhindert die Rückwärtssichelung, daß Textilien, Kunststofffolien und Fasern aller Art an den Schaufeleintrittskanten hängen bleiben. Dies ist bei Abwasseranwendungen unabdingbar; Verunreinigungen dieser Art kommen jedoch auch bei Be- und Entwässerungsanlagen vor. Eingehende Untersuchungen von Axialrädern mit Rückwärtssichelung finden sich in [7.50] bis [7.53]. Aus mechanischen und hydraulischen Gründen muß die Profildicke von außen nach innen zunehmen. Die Dickenkoordinaten eines Profils dürfen mit einem konstanten Faktor multipliziert werden, um dies zu erreichen.

Abb. 7.32. Axialrad mit Rückwärtssichelung ähnlich [7.38]

Für Axialpumpen kommen aufgrund obiger Kriterien die Profile der NACA 6er Reihe in Betracht, deren Skelettlinien für eine gleichförmige hydraulische Belastung von der Eintrittskante bis zu einem Punkt a/L ausgelegt sind. Aus der Bezeichnung der Profile sind deren strömungstechnische Eigenschaften zu erkennen, was anhand des Profils „NACA 65,2-415, a = 0,7“ erläutert sei: a) Die erste Ziffer (6) bezeichnet die Profilreihe und damit deren Auslegungsprinzipien. b) Die zweite Ziffer (5) gibt die Lage des Druckminimums für das symmetrische Grundprofil bei Nullauftrieb als 10 xcp,min/L an; im vorliegenden Fall liegt also die Stelle tiefsten Druckes unter den vorstehenden Bedingungen bei 50 % der Profillänge. c)

404

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Die dritte Ziffer gibt den Bereich der Auftriebsbeiwerte um den Auslegungswert, in dem auf Profilober- und -unterseite günstige Druckgradienten herrschen. d) Die Ziffer nach dem Bindestrich bedeutet den Auslegungs-Auftriebsbeiwert in Form von 10ζa; im vorliegenden Beispiel ist das Profil also für ζa = 0,4 ausgelegt. e) Die letzten beiden Ziffern bedeuten die maximale Profildicke in Prozent; hier ist also d/L = 0,15. f) Die Zusatzgröße a beschreibt die hydraulische Belastung der Skelettlinie; im vorliegenden Fall ist die hydraulische Belastung von der Vorderkante bis zu 70 % der Profillänge gleichförmig und nimmt dann linear bis zur Hinterkante auf null ab. Die Eigenschaften der Profile NACA 65-209 und NACA 652-415 sind in Abb. 7.28 bis 7.30 dargestellt. Die Druckverteilung (nach [7.25]) für verschiedene Auftriebsbeiwerte wird in Abb. 7.28 gezeigt, wobei zur Verdeutlichung der ungefähre Anstellwinkel eingetragen wurde, der benötigt wird, um den entsprechenden Auftriebsbeiwert zu erreichen. Auf der Saugfläche liegt das Druckminimum (entwurfsgemäß) bei 50 % der Profillänge. Die Druckverteilung bleibt flach bis zu einem Anstellwinkel von 2°, bereits ab 4° Anstellung erscheint aber eine deutliche Unterdruckspitze auf der Saugfläche. Abbildung 7.29 zeigt die Profilpolaren ζa = f(ζw) für beide Profile, die sich durch die Profildicke und den EntwurfsAuftriebsbeiwert unterscheiden. Beide Polaren sind indes sehr ähnlich; das Minimum des Widerstandsbeiwertes liegt etwa beim Entwurfsauftrieb. Abbildung 7.30 zeigt die Auftriebsbeiwerte als Funktion des Anstellwinkels nach Daten in [7.27]. Beide Kurven bestätigen den erwähnten linearen Anstieg des Auftriebes mit dem Anstellwinkel bis zu einem Maximum, das bei dem dickeren, stärker gewölbten Profil „415“ höher liegt als bei Profil „209“. Beide Profile erreichen im linearen Bereich den gleichen Auftrieb, wenn das dünnere Profil etwa ein Grad stärker angestellt wird. 7.6.6 Leitradauslegung Die auf u2 bezogene Absolutgeschwindigkeit am Laufradaustritt beträgt: (c2/u2)2 = (c2u/u2)2 + (cm/u2)2 = ¼ψth2 + ϕ2. Wird dem Laufrad ein Leitrad nachgeschaltet, verzögert sich die Strömung dort auf die Austrittsgeschwindigkeit c4 = cm/AR (AR sei das Verhältnis der Ringquerschnitte von Leitradaustritt zu Leitradeintritt). Das Leitrad hat zudem die Aufgabe, die Umfangskomponente der Geschwindigkeit auf einen Wert möglichst nahe null zu reduzieren; denn jeglicher Drall am Austritt der Pumpe würde einen zusätzlichen Verlust bedeuten. Ist ζLe der Druckverlustbeiwert des Leitrades, erhält man aus der BernoulliGleichung für den Druckrückgewinn im Leitrad: 2

2

§c · §c · 1 ψ2 Δψ Le = ¨¨ 2 ¸¸ (1 − ζ Le ) − ¨¨ 4 ¸¸ = th (1 − ζ Le ) + ϕ2 (1 − ζ Le − 2 ) 4 AR © u2 ¹ © u2 ¹

(7.23)

Häufig wird mit Rücksicht auf das Bauvolumen auf eine Kanalerweiterung verzichtet, dann gilt also AR =1. Je niedriger nun die Druckzahl ist, desto geringer wird – wegen der unvermeidlichen Strömungsverluste – der mögliche Druckrück-

7.6 Axiale Laufräder und Leitapparate

405

gewinn: ist z.B. β1 = 12,4°, also ϕ = 0,22, der Rohrreibungskoeffizient λ = 0,04 und die Kanallänge L/Dh = 3 (ζLe = λ L/Dh = 0,12), läßt sich bei einer Druckzahl von ψth = 0,15 nach Gl. (7.23) (bei AR = 1) kein Druckrückgewinn im Leitrad erzielen. Bei spezifischen Drehzahlen oberhalb etwa 270 ist also sorgfältig zu prüfen, ob ein Leitrad überhaupt noch einen merklichen Druckrückgewinn bringen kann – oder gar eine Einbuße an Wirkungsgrad bedeuten würde. Ist ein Leitrad nicht sinnvoll, kann ein konischer Diffusor eingesetzt werden, der in Richtung Nabe und/oder nach außen öffnet (Auslegung nach Kap. 1.6). Ist ein Leitrad notwendig, um einen guten Wirkungsgrad zu erreichen, können die Schaufeln als Tragflügel ausgelegt werden, wobei die Gleichungen in Tafel 7.5 sinngemäß abzuwandeln wären. Ob der Aufwand für die Herstellung profilierter Schaufeln wirklich gerechtfertigt ist, wäre im Einzelfall zu prüfen. Geschwindigkeits- und Strömungswinkelverteilung am Leitradeintritt sind zudem mit einigen Unsicherheiten behaftet; dies gilt besonders an der Nabe, wo bereits im Laufrad sehr komplizierte Strömungsverhältnisse herrschen und mitunter bei der Auslegung Abweichungen von der idealen Geometrie in Kauf genommen werden müssen. Dies führt oft zu Ablösungen im Leitrad im Nabenbereich, die nur durch sorgfältige Analysen und Optimierungsschritte zu vermeiden sind. Auch an der äußeren Stromlinie weicht die Strömungsverteilung infolge Grenzschichtund Spaltstromeffekten von der reibungsfreien Berechnung ab. Wird das Leitrad mit unprofilierten Schaufeln ausgeführt, erfolgt die Berechnung nach dem Kanalmodell: 1. Bekannt sind die Geschwindigkeiten und Strömungswinkel am Laufradaustritt, die den Werten am Leitradeintritt entsprechen, da keine Radien- oder Querschnittsdifferenzen vorhanden sind: c3m = cm, c3u = c2u, α3 = α2; alle Größen sind Funktionen des Radius. 2. Die Schaufelzahl liegt meist zwischen 5 und 8, wobei die Kriterien nach Kap. 7.2.1 bzw. 10.7.1 zu beachten sind. Axiale Länge des Leitrades und Schaufelzahl sind so aufeinander abzustimmen, daß das Verhältnis Schaufellänge L zu Teilung genügend groß wird, damit die beabsichtigte Strömungsumlenkung auch tatsächlich stattfindet. Das bedeutet etwa L/t = 1 bis 1,5. 3. Um dynamische Schaufelbelastungen und Druckpulsationen zu begrenzen, ist zwischen Lauf- und Leitschaufeln ein Abstand a von a/L = 0,05 bis 0,15 erforderlich (L = Sehnenlänge der Laufschaufeln). Bezüglich Wirkungsgrad und Druckzahl gibt es vermutlich einen optimalen Abstand, für den sich allerdings keine allgemeingültigen Regeln angeben lassen. Zu große Abstände ergeben unnötige Reibungsverluste und verringern so Wirkungsgrad und Druckziffer. Bei Abständen a/L < 0,05 sinkt der Wirkungsgrad gemäß den Versuchen von [7.24] wieder, vermutlich weil sich die Ungleichförmigkeiten in der Laufradabströmung am Leitradeintritt nicht genügend ausgleichen können und so infolge instationärer Falschanströmung der Leitschaufeln größere Verluste hervorrufen. 4. Die Schaufelwinkel am Leitradeintritt können nach Gl. (3.18) und (3.19) berechnet werden; die Schaufelversperrung ist in der Regel gering, kann aber in c3m' berücksichtigt werden.

406

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

5. Um die Druckverluste in Steigrohr und Austrittskrümmer zu begrenzen, sollte die Strömungsgeschwindigkeit im Steigrohr 5 m/s nicht überschreiten. Der Ringquerschnitt am Leitradaustritt ist entsprechend zu dimensionieren. 6. Da am Austritt eine drallfreie Abströmung mit α4 = 90° anzustreben ist und die Strömung im Leitrad nicht schaufelkongruent sein kann, wird der Schaufelwinkel zu α4B = 94 bis 96° gewählt. 7. Die Schaufeln können als Kreisbogen ausgeführt werden. Am Eintritt werden sie abgerundet oder elliptisch profiliert. Die Austrittskante wird stumpf ausgeführt (Abrunden am Austritt wäre ungünstig wegen der Bildung von Wirbelstraßen, Tafel 10.13).

7.7 Vorsatzläufer Um den erforderlichen NPSH-Wert einer Pumpe herabzusetzen, kann ein – im wesentlichen axiales – Vorsatzlaufrad („V-Rad“, „Inducer“) vor dem eigentlichen Laufrad eingebaut werden. Abbildung 2.1 zeigt einen Schnitt einer einstufigen Prozeßpumpe mit radialem Laufrad, vor dem ein solches V-Rad installiert ist. Mit einem V-Rad kann der erforderliche NPSHR-Wert einer Pumpe typischerweise auf die Hälfte des Bedarfs ohne V-Rad herabgesetzt werden. Der Vorsatzläufer erhöht den statischen Druck vor dem Laufrad und reduziert oder unterdrückt so die Kavitationsblasenentwicklung im Laufrad, so daß die Pumpe bei höherer Drehzahl oder tieferem NPSHA betrieben werden kann als ohne V-Rad. Voraussetzung ist natürlich, daß das V-Rad wesentlich kleinere NPSHR-Werte verlangt als das Laufrad. Vorsatzläufer für industrielle Anwendung erreichen Saugzahlen von nss = 400 bis 700, Kap. 6.2.4. Diese hohen Saugzahlen werden erzielt durch kleine Zuströmwinkel β1 (verGl. hierzu Abb. 6.21), schlanke Eintrittsprofile mit geringer Schaufelversperrung und durch lange Kanäle, in denen die im V-Rad entstehenden Kavitationsblasen zumindest teilweise implodieren, bevor das Fluid in das eigentliche Laufrad eintritt. Der kleine Zuströmwinkel bzw. die kleine Durchflußzahl ϕ1 am V-Rad-Eintritt bedingen einen gegenüber dem Laufrad merklich vergrößerten Eintrittsquerschnitt, der einerseits durch Reduktion des Nabenverhältnisses und andererseits durch eine Vergrößerung des Eintrittsdurchmessers erreicht wird. Die im folgenden diskutierten Empfehlungen und Zahlenwerte für die V-RadAuslegung stammen weitgehend aus Arbeiten der NASA, die u.a. in [7.29] bis [7.32 ] und in [B. 16], [B.24] publiziert wurden; die Angaben sind auf industrielle Anwendungen mit Saugzahlen bis etwa nss = 600 zugeschnitten. In der Raketentechnik werden Vorsatzläufer mit weit höheren Saugzahlen eingesetzt (mitunter sogar zweistufige V-Räder); die besprochenen Auslegungsmethoden unterscheiden sich indessen nicht grundsätzlich von denen der Hochleistungs-Vorsatzläufer. Wie aus dem Beispiel in Abb. 2.1 ersichtlich, wird das V-Rad im wesentlichen axial durchströmt. Oft ist der Eintrittsdurchmesser leicht größer als der des nachgeschalteten Laufrades. Der Nabendurchmesser am V-Rad-Eintritt wird möglichst klein ausgeführt, so daß die Nabenkontur in der Regel einen Radienzuwachs zum Laufradeintritt hin aufweist. Wie bei Axialrädern wird der statische Druck im V-

7.7 Vorsatzläufer

407

Rad vorwiegend dadurch erhöht, daß die Relativgeschwindigkeit verzögert wird, Gl. (T3.3.8). Dies ist zu beachten, wenn man sich für ein Beschaufelungskonzept entscheidet. Es gibt deren zwei: • Schaufeln mit konstanter Steigung, die als Schraubenflächen mit auf Zylinderschnitten konstanten Schaufelwinkeln mit β1B = β(L) = β2B ausgebildet werden. Diese Schaufeln erzeugen nur Druck, wenn der Anstellwinkel i1 = β1B - β1 größer null ist bzw. solange die Strömung im Schaufelkanal gemäß w1q < w1 verzögert wird. Der Vorteil dieser Beschaufelung liegt in der einfachen Herstellbarkeit. • Schaufeln mit variabler Steigung, bei denen auf Zylinderschnitten der Winkel vom Eintritt zu Austritt wie bei einer Propellerpumpe wächst: β2B > β1B. 7.7.1 Berechnung der Vorsatzläufer Bestimmung der Hauptabmessungen und der Verhältnisse am Eintritt: 1. Ausgangsbasis: Bekannt sind die für den entsprechenden Anwendungsfall ausgewählte Pumpe, deren Drehzahl n, Förderstrom Qopt, NPSHR-Kurve und die Abmessungen des Laufrades. Weiter ist die vom V-Rad zu erreichende Saugzahl oder sein NPSHR spezifiziert. Sodann müssen die konstruktiven Einbau- und Zuströmbedingungen festgelegt werden; meist rechnet man mit α1 = 90° und einer über den Zuströmquerschnitt konstanten Axialgeschwindigkeit. 2. Auslegungsförderstrom: V-Räder haben aufgrund ihrer Bauart als (im wesentlichen) axiales Laufrad eine steile Kennlinie; die Druckerhöhung geht daher (je nach Bauart) oberhalb des stoßfreien Eintritts rasch gegen null. Deshalb muß der maximal verlangte Förderstrom der Pumpe bei der Festlegung des Auslegungsförderstromes des V-Rades berücksichtigt werden, indem man z.B. Qind = (1,1 bis 1,15) Qopt wählt. 3. Schaufelzahl zVLa: V-Räder haben meist 2 bis 4 Schaufeln. 4. V-Rad-Eintrittsdurchmesser d1: Der Eintritt wird für die gewählte Saugzahl ausgelegt. Nach Kap. 6.3.2 erhält man für gegebene Unterdruckbeiwerte λw und λc Optimalwerte für Durchflußbeiwert und Eintrittsdurchmesser. Aus Gl. (T7.6.3) läßt sich der optimale Durchflußbeiwert für die verlangte Saugzahl berechnen, aus dem man sodann den zugehörigen Durchmesser ermitteln kann. Der optimale Eintrittsdurchmesser kann auch für gewählte Unterdruckbeiwerte λw und λc aus Gl. (T7.6.1) berechnet werden, wobei die Saugzahl nach Gl. (T7.6.4) überprüft wird. Schließlich kann auch ϕ1,opt aus Gl. (T7.6.2) berechnet werden. Alle Wege führen zum gleichen Ziel. Für V-Räder mit axialem Zulauf ist λc =1 bis 1,1 zu setzen, während λw = 0,03 bis 0,08 beträgt. Der Eintrittsdurchmesser muß zudem auf das nachgeschaltete Laufrad und den Eintrittsstutzen abgestimmt werden, was bei Standardpumpen die Ausführungsmöglichkeiten wesentlich einschränken kann. Bei dieser Rechnung ist ggf. über das Nabenverhältnis zu iterieren. Zwei wesentliche Unsicherheiten sind bei der obigen Berechnung zu beachten: a) Wie in Kap. 6.3.2 besprochen, hängen die Unterdruckbeiwerte von der Geometrie ab; die in die Rechnung eingesetzten Werte werden im Versuch nur erreicht, wenn die

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

408

Schaufelauslegung gleich gut ist wie in den Messungen, aus denen die Unterdruckbeiwerte zurückgerechnet wurden. b) Für das NPSHR der Pumpe ist nicht allein das V-Rad sondern auch das nachgeschaltete Saugrad maßgebend. Wenn das Laufrad nicht speziell für die Zusammenarbeit mit dem Vorsatzläufer ausgelegt wurde, wird die Auslegungssaugzahl des V-Rades u.U. nicht erreicht, Kap. 7.7.3. Diese Gefahr besteht besonders im Bereich großer Förderströme (q* > 1); sie wächst mit zunehmender Saugzahl des V-Rades. 5. Eintrittsdurchmesser an der inneren Stromlinie d1i: Die untere Grenze für d1i ergibt sich aus einem minimalen Nabenverhältnis von etwa ν1,min ≈ 0,15; kleinere Werte von d1i sind ungünstig, weil sich sonst an der inneren Stromlinie zu große Schaufeleintrittswinkel ergeben. 6. Schaufeleintrittswinkel β1B: Ist der Laufradeintrittsdurchmesser nach Schritt (3) festgelegt, lassen sich alle Größen im Eintrittsdreieck nach Tafel 3.1 berechnen. Der Schaufelanfang der V-Räder wird nach Abb. 7.33 ausgeführt. Als Berechnungswinkel gilt der Schaufelwinkel der Druckfläche β1B = β1B,DS. Er ergibt sich aus dem Strömungswinkel zuzüglich einem Anstellwinkel von i1 = 2 bis 4° aus Gl. (T7.6.5 bis 7). Diese Berechnung der Strömungs- und Schaufelwinkel erfolgt für äußere, mittlere und innere Stromlinie. Bei der Festlegung des Eintrittswinkels ist zu beachten, daß der Steilanstieg der NPSH-Kurve – je nach Schaufelgestaltung – nahe dem Förderstrom stoßfreien Eintritts erfolgt. Neben dem Auslegungspunkt ist daher auch der maximal verlangte Förderstrom zu beachten, bei dem der Anstellwinkel nicht unter ein Grad fallen sollte, um Druckflächenkavitation zu vermeiden, Gl. (T7.6.7). 7. Engster Eintrittsquerschnitt A1q: Wie bei Laufrädern (s. Kap. 7.2.1, Punkt 16) darf die Verzögerung des Relativgeschwindigkeitsvektors w1 auf die mittlere Durchflußgeschwindigkeit im engsten Querschnitt w1q nicht zu groß ausgeführt werden, um vorzeitige Eintrittsrezirkulation zu vermeiden; mit Rücksicht auf Überlastkavitation, darf zudem beim maximalen Förderstrom keine Beschleunigung zugelassen werden. Der engste Querschnitt am V-Rad-Eintritt ist daher so zu wählen, daß das Verhältnis w1q/w1 im Auslegungspunkt im Bereich 0,6 bis 0,75 liegt, beim geplanten maximalen Förderstrom aber den Wert w1q/w1 =1 nicht überschreitet.

e ϑK β1B,DS

e1 rk

a1

(0,5 ÷ 0,8) t

β1 w1

i1

Abb. 7.33. Zur Wahl der Schaufelgeometrie am Eintritt eines Vorsatzläufers

7.7 Vorsatzläufer

Tafel 7.6 Berechnung der Vorsatzläufer, α1 = 90° (Abb. 7.33) Optimaler Eintrittsdurchmesser für gegebenes λw Optimaler Durchflußbeiwert für gegebenes λw Optimaler Durchflußbeiwert für gegebene Saugzahl

λc = 1,1

1

λw = 0,02 bis 0,08

§Q d1,opt = 3,25 ¨¨ La © n kn

ϕ1,opt = 0,1 bis 0,18

ϕ1,opt =

§ 400 · ¸ ϕ1,opt = 0,15 ¨¨ ¸ © n ss ¹

0,93

409 Gl.

· 3 § λc + λ w ¸ ¨ ¸ ¨ λ w ¹ ©

1

·6 ¸ ¸ ¹

7.6.1

λw 2 (λ c + λ w )

7.6.2 1

§ Qopt · 3 ¸ d1,opt = 2,9¨¨ ¸ © k n n tan β1 ¹

0.93

7.6.3 0,5

­ 52 ½ Saugzahl ϕ = nss = 350 bis 700 1 ® n ss ¾ ¿ ¯ Strömungswinkel an äußerer β1,a,opt = arc tan ϕ1,opt Stromlinie Kriterium: optimaler AnDruckseitiger stellwinkel: Schaufelwinkel i1,opt=(0,35 ÷ 0,45)β1B,DS an äußerer Kriterium: Anstellwinkel Stromlinie bei maximalem Fördero i1 = 2 bis 4 strom: i1,Qmax = 1° Schaufelwinkel über Schaufelhöhe bei gleichem Anstellwinkel für alle Stromlinien

β1B,a,DS = (1,5 ÷ 1,8) β1,a,opt

r tan β1B, DS (r ) = a tan β1B,a , DS r

7.6.8

Schaufeleintrittsprofil (s. Abb. 7.33)

ϑk = (0,35 bis 0,5) β1B,a,DS

7.6.9

Ebenfalls zu prüfen: i1 ≥ ϑk + 0,5o Kavitationsbeiwert für i1 > 0 k3 = 0,22÷0,65 Einfluß des Spaltspiels auf die Saugzahl Schaufellänge

n ss =

§ kn ¨ 0, 25 ¨ λ (λ c + λ w ) © w

β1,a,opt = arc tan

· ¸ ¸ ¹

7.6.4

240 Qopt π2 d13,opt n k n

β1B,a , DS − 1° ≥ β1, max = arc tan

7.6.5

7.6.6 240 Q max

7.6.7 π 2 d13 n k n

Lk = (0,4 bis 0,8) t rk = (0,03 bis 0,05) e

­ ϕ12 ° ϕ σ3 = k 3 k n ® 1 − tan β1B °¯ k n n ss s = 1 − k4 n ss,s =0 b1

98

§ ¨1 − 0,36 ¨ ©

kn τ1

½ · 3,18 ⋅ 10 − 3 ° ¸+ ¾ 7.6.10 ¸ τ β − ϕ τ tan k ¹ 1 1B 1 1 n ° ¿

(

)

7.6.11

k4 = 0,5 bis 0,65 (L/t)a = 1 bis 2,5

7.6.12

Hydraulischer Wirkungsgrad

ηh = 1 - 0,11 L/t

7.6.13

Deviationswinkel δ2 Strömungswinkel β2 = β2B - δ2

β − β ·§ t · § δ2 = ¨ 2 + 2B 1B ¸¨ ¸ 3 © ¹© L ¹

1/ 3

7.6.14

Statische Druckerhöhung im V-Rad. ª ­° ½°º A12 ψ p = ηh «1 − ϕ12 ® − 1¾» 7.6.15 Die Berechnung erfolgt an der mittleren 2 2 « °¯ A 2 sin (β 2B − δ 2 ) °¿»¼ ¬ Stromlinie. Zur Beachtung: bei V-Rädern wird der druckseitige Schaufelwinkel β1B,DS (nicht der Skelettwinkel) verwendet. Rückwärtssichelung gemäß Abb. 7.37 mit εsb = 65 bis 90°.

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

410

8. V-Rad-Austrittsdurchmesser d2,a und d2,i: Die Durchmesser an der äußeren Stromlinie wie an der Nabe ergeben sich aus den Abmessungen des nachgeschalteten Laufrades. Eine konische Nabe des V-Rades mit d2i > d1i ist günstig, weil die Förderwirkung durch Zentrifugalkräfte gesteigert wird und weil die Strömung an der Nabe mit zunehmendem d2i weniger stark umgelenkt werden muß (geringere Ablöseneigung). Ist der V-Rad-Durchmesser am Austritt kleiner als am Eintritt, d2,a < d1, ist der erste zylindrische Teil, Maß L1 in Abb. 7.34, mindestens so lang auszuführen, daß er bis zum engsten Querschnitt des V-Rades reicht. L1

Abb. 7.34. Anordnung eines Vorsatzläufers im Meridianschnitt

Verhältnisse am Austritt des Vorsatzläufers: Der Schaufelaustrittswinkel ist so zu bestimmen, daß der statische Druck vor dem Laufrad im verlangten Betriebsbereich genügend ansteigt, um den NPSH-Bedarf des Laufrades zu decken. Wie sich die Erhöhung des statischen Druckes im V-Rad auf den NPSH-Bedarf des Systems V-Rad/Laufrad auswirkt, sei anhand Abb. 7.35 erläutert, die aufgrund von Messungen an einer Prozeßpumpe berechnet wurde. Über dem Förderstrom wurde zunächst das (gemessene) NPSH3,La des Laufrades allein nach Kurve 1 aufgetragen. Die statische Druckerhöhung Hp im V-Rad ist als Kurve 3 eingetragen. Sie geht bei QB durch null; bei Q < QB arbeitet das V-Rad 5 4 Pumpe

H, NPSH [m]

4

3 Hp

3 5 NPSHLa-Hp 2 1 0 0,8

1 NPSHLa

2 NPSHV-rad QB

Qu 1

Abb. 7.35. Vorsatzläufer Charakteristik

1,2

1,4

q*

1,6

7.7 Vorsatzläufer

411

als Pumpe, bei Q > QB hingegen als Bremse (Kap. 12). Zieht man vom NPSH3,La des Laufrades (Kurve 1: ohne V-Rad) die statische Druckerhöhung im V-Rad (Kurve 3) ab, ergibt sich Kurve 5, die bei Qu durch null geht. Im Bereich mit Q < Qu, also mit Hp > NPSH3,La, liegt Kurve 5 unterhalb der Förderstromachse. Hier wird das NPSHR des Systems V-Rad/Laufrad weitgehend durch das NPSH3,VLa des Vorsatzläufers bestimmt. Im Bereich Qu < Q < QB geht die Kontrolle des NPSHR der Pumpe vom V-Rad auf das Laufrad über, das nun zu wenig Vordruck erhält. Die Betriebsgrenze liegt links von der Kurve 5 und links von dem Punkt, in dem sich Kurve 1 und 2 schneiden. Den Steilanstieg von Kurve 2 und 5 genau vorauszuberechnen, ist allerdings nicht einfach. Im Bremsbetrieb Q > QB liegt Kurve 5 über Kurve 1. Hier kann die Pumpe unter keinen Umständen betrieben werden, weil das Laufrad einen geringeren Vordruck erhält als ohne VRad. Der berechnete NPSH-Bedarf NPSH3,VLa des Vorsatzläufers ist als Kurve 2 aufgetragen, während Kurve 4 das gemessene NPSH3 des Systems V-Rad plus Laufrad darstellt. Aus diesen Zusammenhängen ergibt sich das Vorgehen für die Berechnung des V-Rad-Austritts wie folgt: 9. Das gemessene oder berechnete NPSH3,La des Laufrades (ohne V-Rad) wird über dem Förderstrom aufgetragen, Kurve 1. 10. Der Verlauf des erforderlichen NPSH3,VLa des Vorsatzläufers wird nach Gl. (T7.6.10) abgeschätzt, [7.31]. Diese Beziehung hat gegenüber anderen Korrelationen den Vorteil, daß sie mit zunehmendem Volumenstrom einen steilen Anstieg der Kurve ergibt, wenn der Anstellwinkel gegen null geht (der Nenner des rechten Terms in dieser Gleichung strebt dann gegen null). 11. Man wählt einen Schaufelaustrittswinkel β2B an der äußeren Stromlinie und berechnet die statische Druckerhöhung im V-Rad. Hierzu dient Gl. (T7.6.15), die sich aus Tafel 3.3 ableiten läßt. Dabei wird die Druckzahl auf der mittleren Stromlinie berechnet. Die Strömungsumlenkung wird über den Deviationswinkel mittels Gl. (T7.6.14) erfaßt. Der hydraulische Wirkungsgrad des V-Rades kann nach Gl. (T7.6.13) abgeschätzt werden. Je nach Fördergrad und Geometrie liegt er im Bereich von ηh = 0,7 bis 0,9. Für diese Berechnung können auch Korrelationen für die Druckzahl aus der Literatur herangezogen werden. Dabei ist allerdings zu bedenken, daß sich einzelne Geometrieparameter wie die Nabendurchmesser am Ein- und Austritt des V-Rades in ihrer Auswirkung auf die Druckerhöhung nicht erfassen lassen und die Geometrie der in der Literatur untersuchten V-Räder nicht ausreichend bekannt ist. Zudem ist die statische Druckerhöhung (nicht die Förderhöhe oder Totaldruckerhöhung) einzusetzen, weil nur diese für die NPSHVerbesserung maßgebend ist. 12. Die Erhöhung des statischen Druckes im V-Rad ist zu berechnen für den Förderstrombereich zwischen stoßfreiem Eintritt bzw. Hp = 0 und dem Förderstrom Qu, bei dem Hp > NPSH3,La des Laufrades allein wird. Bei Teillast wird die Berechnung infolge wachsender Eintrittsrezirkulation unsicher, weil Hp infolge Zentrifugalwirkung (Stromlinienverschiebung) steigt, so daß sich etwa lineare Kennlinien Hp = f(Q) ergeben, die ungefähr auf den Punkt ψp(Q=0) = 1,0 zulaufen.

412

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

13. Die Differenz zwischen NPSH3, La (Kurve 1) und der statischen Druckerhöhung HP (Kurve 3) liefert einen Anhaltspunkt für den maximalen Förderstrom, der mit Sicherheit links der resultierenden Kurve 5 liegt. 14. Um diese Grenze besser beurteilen zu können, wird auch der NPSH3,VLaVerlauf des V-Rades (Kurve 2) herangezogen. 15. Entspricht der maximale Förderstrom nicht den Erfordernissen, ist die Rechnung nach Schritt (10) bis (13) mit einem anderen Austrittswinkel zu wiederholen, wobei auch eine Überdimensionierung vermieden werden sollte. 16. Nach der Bestimmung des Austrittswinkels lassen sich alle Parameter des Austrittsdreieckes nach Tafel 3.2 ermitteln. Zur Überprüfung der Auslegung berechne man auch w2/w1a. Um vorzeitige Ablösungen und Wirkungsgradeinbußen zu vermeiden, soll das Verzögerungsverhältnis w2/w1a den Wert 0,7 nicht unterschreiten („de Haller-Kriterium“). Der Auftriebsbeiwert nach Gl. (T7.5.8) soll an der äußeren Stromlinie den Wert ζa,a = 0,5 nicht überschreiten. 17. Die Schaufelwinkel an der mittleren und inneren Stromlinie wählt man nach u cu = konstant, wobei man an der Nabe ggf. einen Kompromiß eingeht, um allzu große Schaufelwinkel zu vermeiden, Kap. 7.5 und 7.6. Je größer der Nabendurchmesser, desto einfacher läßt sich diese Wirbelflußbeschaufelung auslegen. Die Berechnung der Druckerhöhung im V-Rad ist sehr unsicher, weil Strömungsumlenkung und hydraulische Verluste durch intensive Sekundärströmungen beeinflußt werden, die infolge dicker Grenzschichten und Zentrifugalkräften entstehen. 7.7.2 Entwurf und Gestaltung der Vorsatzläufer Nachdem Schaufelwinkel sowie Ein- und Austrittsdurchmesser festgelegt wurden, kann der Vorsatzläufer entworfen werden. Grundsätzlich erfolgt der Entwurf nach Kap. 7.2.2. Bei der Gestaltung können folgende Hinweise helfen: • Schaufelprofil am Eintritt: Der Schaufelanfang wird meist keilförmig mit so dünner Schaufelspitze ausgeführt, wie mit Rücksicht auf Festigkeit und Schaufeleigenfrequenzen zugelassen werden kann. Die Länge der keilförmigen Zuspitzung liegt zwischen 50 und 80 % der Teilung, Abb. 7.33. Der Keilwinkel ϑk, der die saugseitige Profilierung ausmacht, wird zu ϑk = (0,3 bis 0,5)β1B,a,DS gewählt. Das dünne Eintrittsprofil ist wichtig, um gute Saugfähigkeit zu erreichen. Es bedeutet auch niedrige Kavitationsbeiwerte für den Blasenbeginn (σi ≈ 0,2 bis 0,3) bei stoßfreier Anströmung. Wie Abb. 7.36 zeigt, steigt σi allerdings bereits bei kleiner Anstellung rasch an. • Der Schaufelwinkel β1B wird über den ersten Bereich der Schaufellänge – etwa bis x/L = 0,25 – am besten konstant gehalten, um die Strömung wenig umzulenken und folglich in der Zone, wo Kavitationsblasen entstehen, wenig Druck aufzubauen. • Wird die Druckverteilung berechnet, ist anzustreben, im engsten Querschnitt an der Schaufelsaugfläche einen Druck zu erreichen, der oberhalb des Dampfdruckes liegt: pss(x=t) > pv.

7.7 Vorsatzläufer

413

1,2

σi

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -4

-3

-2

-1

i1 [°]

0

1

Abb. 7.36. Visueller Kavitationsbeginn eines Vorsatzläufers als Funktion des Anstellwinkels

• Eine konische Nabe fördert infolge Zentrifugalkräften den Druckaufbau im VRad. Gleichzeitig sinkt die Neigung zu Ablösungen, je stärker die Nabe konisch ausgeführt werden kann. • Die Schaufellängen wurden in relativ großem Bereich L/t = 1 bis 3 ausgeführt. Wenn der Überhang des V-Rades dies zuläßt, sind Werte im Bereich 1,4 bis 1,8 anzustreben. Werden die Schaufeln zu kurz ausgeführt, sinkt die Druckerhöhung im V-Rad, weil der Deviationswinkel steigt; zudem leidet die Saugfähigkeit und die Neigung zu Pulsationen wächst. Schaufeln mit L/t > 2,5 bringen keine Vorteile. • Die Schaufelaustrittswinkel an der äußeren Stromlinie liegen in der Regel unter 20°. Gegen den Austritt hin werden die Schaufeln leicht verjüngt. • Leistungsfähige Vorsatzläufer sind fast immer mit einer Rückwärtssichelung („sweep-back“) nach Abb. 7.37a ausgeführt; dadurch wird nicht nur die Saugzahl erhöht, sondern auch die Neigung zu Pulsationen gemildert. Bei den Versuchen in [7.40] lag der optimale Umschlingungswinkel εsb (definiert gemäß Abb. 7.37a) zwischen 65 bis 90°an der äußeren Stromlinie. Auf halber Schaufelhöhe ist εsb etwa halb so groß wie außen zu wählen. Gegenüber einem Basisversuch mit εsb = 29° ergab sich bei optimaler Rückwärtssichelung eine Saugzahlsteigerung von nss = 280 auf nss = 510, die beobachteten Kavitationsfelder waren entsprechend kleiner und auch die Druckpulsationen waren geringer. Man beachte in Abb. 7.37a, daß die Schaufeleintrittskante bereits an der Nabe stark gegen einen Radialstrahl geneigt ist, also keineswegs senkrecht an die Nabe anschließt. b)

a)

εsb

Abb. 7.37. Rückwärtssichelung der Schaufeleintrittskanten

414

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

• Die Außenkontur des V-Rades wird oft konisch ausgeführt, wobei eine Art „Förderschnecke“ mit entsprechend großem Spalt zwischen den Schaufeln und dem Gehäuse entsteht, Abb. 7.37b. Auch diese Ausführung verringert die Pulsationen bei tiefer Teillast und niedrigem NPSHA. 7.7.3 Abstimmung von Vorsatzläufer und Laufrad Bei vielen Anwendungen wird der Vorsatzläufer dem Laufrad einer Standardpumpe vorgeschaltet, wenn deren NPSHR den spezifischen Erfordernissen des Projektes nicht zu genügen vermag. Wird ein Laufrad mäßigen Saugverhaltens mit einem V-Rad hoher Saugzahl kombiniert, ist indes nicht garantiert, daß man die erwartete Verringerung des NPSHR auch tatsächlich erreicht. Insbesondere der maximale Förderstrom kann durch Falschanströmung des nachgeschalteten Laufrades begrenzt werden, wenn dort Kavitation auf den Schaufeldruckseiten entsteht. Um dies zu prüfen, wird der Abströmwinkel β2 am V-Rad-Austritt aus β2 = β2B - δ2 mit δ2 aus Gl. (T7.6.4) (oder nach Tafel 3.2) berechnet; ist er größer als der Schaufeleintrittswinkel β1B des folgenden Laufrades, können dessen Schaufeleintrittskanten u.U. durch Zurückschneiden und druckseitiges Profilieren angepaßt werden. Um den Abströmwinkel möglichst klein zu halten, sollte die Druckerhöhung im V-Rad nicht unnötig groß gewählt werden. Messungen von Geschwindigkeitsprofilen hinter dem V-Rad-Austritt zeigen qualitativ eine Verteilung der Strömungsgrößen gemäß Abb. 7.38, die dadurch gekennzeichnet ist, daß an der äußeren Stromlinie die Meridiangeschwindigkeit weit unter dem Mittelwert und die Umfangsschwindigkeit über dem Mittelwert liegt. Demzufolge sind die Abströmwinkel außen deutlich kleiner und an der inneren Stromlinie weitaus größer als der Rechnung entspricht. Diese dreidimensionalen Effekte sind bereits im Auslegungspunkt ausgeprägt und verstärken sich bei Teillast (s. hierzu auch Kap. 5.2 und Abb. 5.7). Das Defizit in der Meridiangeschwindigkeit nahe der äußeren Stromlinie wird zudem durch die Spaltströmung und die Grenzschichtdicke hervorgerufen; mit zunehmender Spaltweite wächst der Deviationswinkel bzw. die Differenz zwischen Schaufelaustritts- und Abströmwinkel. Aufgrund dieser verzerrten Strömungsverteilungen wird die Berechnung der Abströmwinkel aus dem V-Rad recht unsicher. Eine Beschleunigung des Fluids vom V-Rad-Austritt zum Laufradeintritt bewirkt eine entsprechende Absenkung des statischen Druckes und somit erhöhte Kavitationsneigung. Das Verhältnis der Geschwindigkeit w1q im engsten Laufradquerschnitt zur Anströmgeschwindigkeit w1 (die gleich der Relativgeschwindigkeit w2 am V-Rad-Austritt ist) sollte daher ebenfalls überprüft werden, Kap. 7.2.1 Punkt (15): beim maximalen Förderstrom soll w1q/w2 = 1 nicht wesentlich überschritten werden.

7.7 Vorsatzläufer 60

10

50

8

30 20

4

10

2

0

0

-10

c2u

6 c [m/s]

β2 [°]

40

0

Nabe

0,2

0,4

0,6

0,8

1 außen

415

-2

c2m

0

0,2

0,4

Nabe

0,6

0,8

1 außen

Abb. 7.38. Abströmwinkel und Absolutgeschwindigkeiten am Austritt eines Vorsatzläufers, Sulzer Pumpen AG

7.7.4 Hinweise für die Anwendung der Vorsatzläufer Das große Radienverhältnis d1/d1i führt dazu, daß die Teillastrückströmung schon nahe beim Auslegepunkt einsetzt und mit abnehmendem Förderstrom sehr intensiv wird. Der (meist) axiale Zulauf erlaubt bei geringem Volumenstrom eine wenig gehinderte Rotation des Fluids in der Saugleitung, was eine parabelförmige Verteilung des statischen Druckes über dem Radius bedeutet. Bei entsprechend niedrigem Zulaufdruck kann sich im Zentrum der Saugleitung ein dampferfüllter Wirbelzopf bilden, der starke Pulsationen verursachen kann (Kap. 6.5.1). Durch geeignete Gestaltung des V-Rades können derartige Pulsationen weitgehend vermieden werden: lange Kanäle, variable Steigung, Rückwärtssichelung und konische Außenkontur scheinen günstig zu sein. Allgemeingültige Auslegungskriterien für die Beherrschung dieser stark dreidimensionalen Zweiphasenströmung lassen sich indes noch nicht angeben. Man muß daher experimentell nachweisen, daß im verlangten Betriebsbereich keine unzulässigen Pulsationen und Erregerkräfte auftreten. Hierzu muß das Wasser im Versuchskreislauf weitgehend entgast werden, da die Pulsationen in luftgesättigtem Wasser stark gedämpft werden. Auch sollte der Nachweis, wenn irgend möglich, mit der gleichen Umfangsgeschwindigkeit wie in der Anlage erbracht werden. Pumpen für die industrielle Anwendung müssen im Regelfall auch bei tiefer Teillast arbeiten können. Um diese Forderungen ohne unzulässig starke Rezirkulation erfüllen zu können, begrenzt man die Saugzahlen industrieller Vorsatzläufer auf etwa nss = 500 bis 700. Wird dieser Bereich merklich überschritten, steigt der NPSH3 bei Teillast an, so daß das V-Rad seinen eigentlichen Zweck – NPSH3 im gesamten Betriebsbereich abzusenken – u.U. nicht mehr erfüllt. Selbstverständlich ist anzustreben, den Teillastbetrieb möglichst einzuschränken und den Bereich q* < 0,3 (außer beim Anfahren) gänzlich zu vermeiden. Im V-Rad entstehen bei den meisten Anwendungen große Kavitationszonen. Trotz des niedrigen NPSHA – d.h. tiefen Implosionsdruckes – kann die Implosionsenergie daher erheblich sein. Während beim Fördern von Kohlenwasserstoffen

416

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

kaum Kavitationsschäden zu erwarten sind, sind die Umfangsgeschwindigkeiten der V-Räder beim Pumpen von Wasser zu begrenzen, um das Risiko von Kavitationsschäden zu verringern (besonders bei entgastem Wasser). Für Wasserförderung sind deshalb auch hochlegierte Stähle mit entsprechendem Kavitationswiderstand zu empfehlen. Die Grenze für die Umfangsgeschwindigkeit kann nicht allgemeingültig festgelegt werden; sie liegt im Bereich von 30 bis 35 m/s bei Wasserförderung und bis zu 45 m/s bei Kohlenwasserstoffen, wie sich aus veröffentlichten Anwendungen zurückrechnen läßt, z.B. [7.28]. Die ersten Kavitationsblasen (entsprechend NPSHi) entstehen im Spalt zwischen Gehäuse und V-Rad. Vorsatzläufer fördern auch gasbeladene Flüssigkeiten; nach [7.28] sollen sich Gasanteile bis etwa 40 % des Volumenstromes am V-Rad-Eintritt verarbeiten lassen (nach Kap. 13.2 sind solche Angaben kaum allgemeingültig). Baut man einen Vorsatzläufer ein, ändern sich Kennlinie und Wirkungsgrad im Bestpunktbereich praktisch nicht: infolge der Energieübertragung im V-Rad erhöht sich die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit am V-RadAustritt; das nachgeschaltete Laufrad hat aber gemäß der Euler’schen Gleichung entsprechend weniger Arbeit zu leisten, Gl. (T3.3.1). Tendenziell sinkt der Wirkungsgrad der Pumpe, weil die hydraulischen Verluste im V-Rad anteilmäßig etwas größer als im Laufrad sind; dieser Effekt ist mitunter kaum meßbar. Ein VRad erhöht hingegen die Nullförderhöhe infolge der kräftigen Eintrittsrezirkulation und der mit ihr verbundenen Verstärkung des zentrifugalen Förderhöhenanteils meist um einige Prozent, Kap. 5.4.1. Im Überlastbereich sinkt die Förderhöhe leicht gegenüber der Pumpe ohne V-Rad; dies dürfte aber erst merklich werden, wenn das V-Rad im Bereich Hp < 0 arbeitet (Q > QB), Abb. 7.35. V-Räder weisen relative dünne Schaufeln mit großer Schaufelhöhe auf. Werden die V-Räder gegossen, ist auf möglichen Schaufelverzug zu achten und beispielsweise zu prüfen, ob die gewünschten Schaufelaustrittswinkel erreicht werden (bei zu kleinem β2B wird die notwendige Druckerhöhung nicht erreicht und der Steilanstieg des NPSH erfolgt bei zu kleinem Förderstrom). Die schlanke Schaufelform erfordert auch eine – u .U. nur qualitative – Überprüfung der Eigenfrequenzen und Spannungen, um Schaufelbrüchen vorzubeugen. Durch Einbau eines V-Rades in eine Pumpe mit überhängendem Laufrad vergrößert sich offensichtlich der Überhang, was bei der Beurteilung der Wellendurchbiegung und ggf. der kritischen Drehzahl zu würdigen ist. Gewisse zusätzliche Erregerkräfte in radialer Richtung sind ebenfalls zu erwarten. So können radial gerichtete Erregerkräfte z.B. durch die Spaltströmung angeregt werden oder dadurch, daß sich in den Kanälen des V-Rades infolge unterschiedlicher Blasenfeldentwicklung periodisch variable Strömungszustände ausbilden, [10.30].

7.8 Spiralgehäuse

417

7.8 Spiralgehäuse 7.8.1 Berechnung und Wahl der Hauptabmessungen Im Spiralgehäuse soll die am Laufradaustritt vorhandene kinetische Energie möglichst verlustarm in statischen Druck umgewandelt werden. Das Spiralgehäuse führt sodann das Fluid in den Druckstutzen oder – bei mehrstufigen Pumpen – in die Folgestufe. Vor der Auslegung sind die konstruktiven Randbedingungen für den Gehäuseentwurf festzuschreiben. Vor allen gilt es zu entscheiden, ob eine Einfachspirale genügt oder eine Mehrfachspirale benötigt wird, Abb. 7.39. Die Auswahlkriterien sind: • Einfachspiralen sind bezüglich Herstellkosten meist die günstigste Lösung; sie sind für das Verputzen der gegossenen Kanäle am besten zugänglich. Ihr Nachteil besteht in beträchtlichen Radialkräften, die beim Betrieb außerhalb des Bestpunktbereiches nach Kap. 9.3 durch Störungen der Umfangssymmetrie der Strömung im Gehäuse entstehen. Solche Radialschübe führen zu entsprechenden Biegespannungen in der Welle, Lagerbelastungen und Wellendurchbiegungen, die die Zuverlässigkeit der Maschine gefährden können. Bis zu welchen Förderdrücken Einfachspiralen sinnvoll eingesetzt werden können, hängt von der Konstruktion der Pumpe, insbesondere des Lagerträgers, der Wellendicke und des Lagerabstandes ab. Bei Wasserförderung liegt die Grenze etwa bei Hopt = 80 bis 120 m bei nq < 40, während bei hohen spezifischen Drehzahlen. evtl. schon ab Hopt = 60 bis 80 m, eine Doppelspirale angezeigt sein kann. Bei Fördermedien mit wesentlich geringerer Dichte liegt die Grenze entsprechend höher, weil es allein auf die Kräfte ankommt. • Doppelspiralen sind dann einzusetzen, wenn Wellenspannungen oder -durchbiegung ohne Maßnahmen zur Radialschubverringerung unzulässig groß würden, so daß zu deren Beherrschung ein unverhältnismäßig hoher konstruktiver Aufwand notwendig wäre. Die Rippe reduziert auch die Gehäuseaufweitung unter Innendruck, was bei hoher spezifischer Drehzahl die Dimensionierung erleichtert (der Abpreßdruck ist ebenfalls zu beachten). • Zwillingsspiralen unterscheiden sich von Doppelspiralen im wesentlichen dadurch, daß beide Teilspiralen in getrennte Kanäle – und nicht, wie bei Doppelspiralen, in einen gemeinsamen Druckstutzen – münden. Abgesehen von Sonderkonstruktionen, begegnet man ihnen bei mehrstufigen Spiralgehäusepumpen oder vertikalen Pumpen, bei denen die Teilspiralen in ein zentrales Steigrohr münden. • Drei- oder Vierfachspiralen werden mitunter bei Bohrlochpumpen anstelle von halbaxialen Leiträdern eingesetzt. Liegen Spiralentyp und konstruktive Randbedingungen fest, sind die Hauptabmessungen zu wählen bzw. nach Tafel 7.7 in Kap. 7.92 zu berechnen: 1. Umschlingungswinkel der Teilspiralen: Bei Doppel- oder Zwillingsspiralen beträgt der Umschlingungswinkel der Teilspiralen in der Regel εsp = 180°. In diesem Fall soll das Laufrad keine gerade Schaufelzahl haben, um die Druckpulsatio-

418

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten Einfachspirale

Doppelspirale

Umführungskanal

Zwillingsspirale

innere Spirale

Abb. 7.39. Spiralgehäuse

nen zu reduzieren, Kap. 10.7.1. Soll dennoch z.B. ein 6-schaufliges Laufrad eingesetzt werden, empfiehlt es sich, den Umschlingungswinkel der inneren Teilspirale εi auf 165 bis 170° zu verringern, damit nie zwei Schaufeln gleichzeitig an den Zungen vorbeilaufen. Bei Mehrfachspiralen ist entsprechend vorzugehen. Bei mittengeteilten Pumpen wählt man mitunter Umschlingungswinkel von weniger als 180°, um zu vermeiden, daß die Mittelrippe durch die Gehäuseteilungsebene geht (Anpassung schwierig wegen Gußungenauigkeit). Der Radialschub steigt entsprechend gemäß Kap. 9.3 und Tafel 9.4. Doppelspiralen mit Umschlingungswinkeln unter 90° sind nicht sinnvoll (bzw. schädlich), da sie keine Radialkraftreduktion bewirken. Umschlingungswinkel über 180° sollten grundsätzlich vermieden werden, weil der lange Umführungskanal zusätzliche Strömungsverluste hervorruft und bei q* > 1 hohe Radialschübe zu erwarten sind (s. hierzu Kap. 9.3.4). 2. Berechnungsförderstrom QLe: Damit das Wirkungsgradmaximum bei dem gewünschten Volumenstrom liegt, muß die Spirale grundsätzlich für Qopt ausgelegt werden (würde man für einen anderen Durchsatz dimensionieren, verschöbe sich der Bestpunkt gemäß Kap. 3.7 und 4.2). Der Berechnungsförderstrom ist um eventuelle Spaltströme, die durch die Spirale fließen, zu vergrößern, Gl. (T7.7.1). Die Spaltverluste des Laufrades strömen nicht durch die Spirale und sind somit nicht zu berücksichtigen. 3. Eintrittsgeschwindigkeit: Die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit am Laufradaustritt berechnet sich nach Gl. (T7.7.2) oder Tafel 3.2. Stromabwärts des Laufrades entwickelt sie sich nach dem Drallsatz gemäß c3u = c2u r2/r3, Kap. 3.7. Bei manchen Pumpenbauarten wird zwischen Laufrad und Spirale ein Leitrad oder ein Stützschaufelring nach Kap. 7.11 angeordnet. In diesem Fall ist die Umfangsgeschwindigkeit c4u am Austritt dieser Komponenten als Eintrittsgeschwindigkeit in die Spirale anzusetzen. 4. Berührungskreis des Sporns dz*: Zwischen Laufrad und Sporn (oder Zunge) ist ein Abstand einzuhalten, um Druckpulsationen und Strömungswechselkräfte auf ein zulässiges Maß zu begrenzen, Kap. 10. Das Verhältnis von Sporn- Berührungsdurchmesser dz* = dz/d2 wird nach den Formeln in Tafel 10.2 berechnet. 5. Querschnittsform: Die Form der Spiralquerschnitte ist entsprechend dem Pumpentyp und ggf. mit Rücksicht auf Gehäusespannungen und -verformungen zu wählen; Abb. 7.40 zeigt hierzu einige Möglichkeiten. Bei der Gehäusekonstruktion sind auch die Erfordernisse einer wirtschaftlichen Herstellung von Modell und

7.8 Spiralgehäuse

419

Abguß zu berücksichtigen. So sind bei den rechteckigen und trapezförmigen Grundformen alle Ecken aus gußtechnischen Gründen gut auszurunden, und ebene Flächen werden entsprechend der Modellteilung mit einer Aushebeschräge von 2 bis 3° konstruiert. Betonspiralen erhalten spezielle Formen, die sich gut einschalen lassen, Abb. 7.40 f bis h. Rechteck- und Trapezform bieten den Vorteil, sich auf Rotationsflächen zu entwickeln, was Entwurf und Herstellung erleichtert. Spiralgehäuse mit Kreisquerschnitten, die sich nicht auf Rotationsflächen anordnen lassen, werden z.B. eingesetzt, wenn die Spirale aus Segmenten zusammengeschweißt wird. Bei halbaxialen Laufrädern findet man auch asymmetrische Querschnitte nach Abb. 7.40d. Bei Doppelspiralen nach Abb. 7.40e sind die Querschnitte der Spirale und des Umführungskanals so aufeinander abzustimmen, daß die Gehäuseaußenwand eine leicht herstellbare Form erhält und ein zwangloser Übergang auf den kreisförmigen Druckstutzen erreicht wird.

δ

δ

a) Rechteckspirale

b) Trapez

c) kreisförmig

d) Asymmetrisch (halbaxiale La)

g) Betonspirale 2

h) Betonspirale 3

δ

e) Doppelspirale

f) Betonspirale 1

Abb. 7.40. Querschnittformen von Spiralgehäusen

Grundsätzlich hat man in der Gestaltung des Querschnitts relativ große Freiheit, ohne wesentliche Wirkungsgradeinbußen zu riskieren. Tendenziell ist zu erwarten, daß flache Querschnitte (wie flache Krümmer oder Diffusoren) eine weniger intensive Sekundärströmung hervorrufen als Kreisquerschnitte und folglich weniger Verluste erzeugen. Aus diesem Grund sind hochkant liegende Querschnitte zu vermeiden. Bei flachen Querschnitten ist das Verhältnis Breite zu Höhe etwa im Bereich B/H = 2 bis 3 als optimal anzusehen.

420

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

6. Eintrittsbreite b3: Die Eintrittsbreite ergibt sich aus der Laufradaustrittsbreite b2 und konstruktiven Forderungen der Gehäusegestaltung. Insbesondere soll die Spirale zwanglos auf den Druckstutzen übergehen. Diese Forderung bedeutet bei Einfachspiralen ein relativ großes b3, damit das Verhältnis h/b am Spiralenendquerschnitt nahe bei 1 zu liegen kommt (bei Doppelspiralen liegt es dann eher bei 0,5). Das Verhältnis b3/b2 kann ohne wesentliche Nachteile für den Wirkungsgrad in relativ weiten Grenzen gewählt werden. Offene Radseitenräume nach Abb. 7.40a sind günstig bezüglich Wirkungsgrad und Radialschub; sie führen bei kleinen spezifischen Drehzahlen auf Werte bis b3/b2 = 2,0. Bei hohen spezifischen Drehzahlen und relativ breiten Laufrädern verbieten sich hingegen große Werte von b3/b2 aus konstruktiven Gründen, so daß b3/b2 = 1,05 bis 1,2 gewählt wird. Ein großes Verhältnis b3/b2 wäre bei hohem nq auch strömungstechnisch ungünstig, weil sich intensive Sekundärströmungen und Verwirbelungsverluste ergeben würden. 7. Spiralenzunge (Sporn): Die Zunge ist am Eintritt elliptisch zu profilieren, um sie gegen Änderungen der Anströmrichtung bei wechselnden Betriebspunkten möglichst unempfindlich zu gestalten. Die Dicke e3 der Zunge im vordersten Teil ist bei kurzer Profilierung mitunter nicht scharf definierbar. Zeichnet man einen Kreis in die Profilspitze, sollte dessen Durchmesser etwa 0,02 d2 betragen (bei Abwasserpumpen oder Abrasionsverschleiß, ist mindestens die doppelte Zungendicke auszuführen). Bei Doppelspiralen ergibt sich die erforderliche Dicke der Mittelrippe aus der Festigkeitsrechnung (und ggf. der minimal erforderlichen Gußwandstärke). Der Sporn bildet mit der Umfangsrichtung einen Skelettwinkel α3B, der entsprechend dem Anströmwinkel nach Gl. (T7.7.3. bis 6) auszuführen ist. Den Anstellwinkel wählt man im Bereich i3 = ± 3°. 8. Spiralenendquerschnitt A3q: Wie in Kap.3.7 und 4.2 ausgeführt, werden Spiralgehäuse vorwiegend nach dem Drallsatz ausgelegt. Modifizierte Ansätze für die Spiralenauslegung brachten keine meßbaren Verbesserungen im Wirkungsgrad, [7.8]. Eine Teilspirale mit dem Umschlingungswinkel εsp ist für den Strom QLe εsp/2π auszulegen. Für die Einfachspirale (zLe = 1) gilt εsp = 2π, für Zwillingsspiralen oder Doppelspiralen (zLe = 2) mit 2-mal 180° ist εsp = π und für eine Dreifachspirale (zLe = 3) ist εsp = 2/3 π. Haben alle Teilspiralen den gleichen Umschlingungswinkel bzw. die gleiche Teilung, gilt offensichtlich εsp/2π = 1/zLe. Der Endquerschnitt jeder Teilspirale muß Gl. (3.14) erfüllen; er ergibt sich aus: rA

εsp Q Le b dr = r 2 π c 2u r2 rz'

³

(7.24)

Die Dicke der Spiralenzunge verursacht zwar örtliche Beschleunigungen und Übergeschwindigkeiten, wirkt sich aber nur schwach auf die Größe des Bestpunktförderstromes aus (man kann sich diesen Sachverhalt durch den Vergleich mit einer Venturidüse veranschaulichen, die den Volumenstrom durch ein langes Rohr nur wenig beeinflußt). Die Integration erfolgt deshalb vom Staupunktradius rz’ ≈ rz + e3/2 bis zur äußeren Begrenzung des Spiralquerschnittes auf dem Radius ra, ohne daß die Zungendicke berücksichtigt wird, [7.34]. Das Integral nach Gl. (7.24) läßt sich für Rechteckquerschnitte konstanter Breite b = b3 analytisch

7.8 Spiralgehäuse

421

lösen: man erhält dann aus Gl. (T7.7.8) den äußeren Begrenzungsradius ra und aus Gl. (T7.7.9) die Höhe des Endquerschnittes a3 = ra - rz’. Auch für Spiralen mit Kreisquerschnitt läßt sich eine analytische Lösung angeben, die oft zur raschen Beurteilung beliebiger Querschnittsformen als Näherung dienlich ist. Der Durchmesser eines (äquivalenten) kreisförmigen Endquerschnittes ergibt sich aus Gl. (T7.7.7). Wie in Kap. 4.2 besprochen, verschieben große Strömungsverluste, die stromabwärts der Spirale im Diffusor auftreten, den Bestpunkt zu kleineren Förderströmen als sich nach der Drallsatzauslegung ergeben würde. Bei Doppel- und Zwillingsspiralen kleiner spezifischer Drehzahl ist die Spirale daher ggf. für einen etwas größeren Förderstrom auszulegen, indem man z.B. QLe = (1,05 bis 1,25) Qopt in Gl. (T7.7.1) einsetzt. 7.8.2 Entwurf und Gestaltung der Spiralgehäuse Hat man die Hauptabmessungen festgelegt und die Entscheide bezüglich Typ und Grundform der Spirale aufgrund von Kap. 7.8.1 getroffen, sind die Spirale und deren Anschlußkanäle zu entwerfen: 1. Flächenverlauf der nach Drallsatz ausgelegten Spiralen: Den Flächenverlauf der Teilspiralen entwickelt man am besten auf Rotationsflächen, die um einen Winkel δ zu einem Schnitt senkrecht zur Rotorachse geneigt sind, Abb. 7.40b. Wie in 7.8.1 Schritt (5) erwähnt, sind die Begrenzungswände aus gußtechnischen Gründen aus Geraden und Kreisbögen gebildet, die sich nicht leicht analytisch beschreiben lassen. Daher ist es im allgemeinen zweckmäßig, die Querschnitte so zu konstruieren, daß sie sich in die gewünschte Gehäuseform optimal einfügen und den Umfangswinkel auszurechnen, bei dem der betrachtete Querschnitt den Drallsatz erfüllt, Abb. 7.41. Wird diese Konstruktion von Hand ausgeführt, wird das Integral nach Gl. (7.24) durch eine Summierung endlicher Flächenelemente ΔA = b Δr ersetzt, wobei b und Δr der Zeichnung zu entnehmen sind. Der Umfangswinkel, auf dem der betrachtete Querschnitt anzuordnen ist, ergibt sich gemäß Gl. (3.14) aus: c r rA b c r rA b ε = 360o 2u 2 ³ dr = 360o 2u 2 ¦ Δr Q Le r ' r Q Le r ' r z

(7.25)

z

Schrittweise geht man so vor (Abb. 7.41): 1. Mit b3, rz’ und δ werden die beiden Rotationsflächen konstruiert, auf denen die Spiralquerschnitte entwickelt werden sollen. 2. Man konstruiert die äußere Begrenzung für verschiedene Querschnitte: AF1 bis AF3 in Abb. 7.41. Aus dem nach Gl. (T7.7.7) berechneten äquivalenten Kreisquerschnitt läßt sich etwa abschätzen, bis zu welcher Höhe diese Querschnitte benötigt werden. 3. Die Querschnitte werden in Elemente der Höhe Δr eingeteilt, die auf den Radien r liegen; die Breite b dieser Flächenelemente läßt sich somit herausmessen.

422

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten AF3

a

b

AF2 a3 AF1 Δr

b

e3

r b3

δ

δ

rz’

Abb. 7.41. Entwurf der Spiralquerschnitte. a Meridianschnitt; b Zungenpartie

4. Die Werte b, r und Δr aller im betrachteten Querschnitt liegenden Flächenelemente werden in eine Tabelle eingetragen. 5. Nun läßt sich die Summe Σ r Δr/b aller Elemente bilden. 6. Mit dieser Summe liefert Gl. (7.25) den Umfangswinkel ε, auf dem der konstruierte Querschnitt anzuordnen ist. 7. Man erhält gleichzeitig den äußersten Punkt des Querschnitts auf dem Radius ra, so daß man ebenfalls den Aufriß der äußeren Spiralenkontur ra(ε) zeichnen kann. In der Regel wird man diese Arbeit ganz oder teilweise mittels Computer ausführen, wobei die Querschnittskonturen dann (stückweise) analytisch beschrieben werden. 2. Flächenverlauf der mit konstanter Geschwindigkeit ausgelegten Spiralen: In den USA werden Spiralgehäuse häufig mit konstanter Geschwindigkeit in allen Querschnitten über dem Umfang ausgelegt [B.2]. Dabei wird der Spiralenendquerschnitt A3q wiederum entsprechend dem Drallsatz nach Gl. (7.24) bzw. Gl. (T7.7.7 bis 9) berechnet – sonst würde man den spezifizierten Bestpunkt verfehlen. Die Geschwindigkeit im Endquerschnitt beträgt dann: c3q =

Q Le A 3q

mit

rA

A 3q = ³ b dr rz'

(7.26)

Alle anderen Querschnitte der Spirale A(ε) für beliebige Umfangswinkel ε werden nun für diese Geschwindigkeit bemessen: A (ε ) =

Q(ε) Q Le ε ε = = A 3q c3q c3q εsp εsp

(7.27)

7.8 Spiralgehäuse

423

Die Querschnitte entwickeln sich also direkt proportional zum Umfangswinkel. Hinsichtlich Wirkungsgrad sind die für konstante Geschwindigkeit ausgelegten Spiralen den nach Drallsatz ausgelegten mindestens ebenbürtig; man könnte sogar bei kleinen spezifischen Drehzahlen leichte Vorteile vermuten, weil die Strömungsgeschwindigkeit im Anfangsbereich der Spirale geringer ist und somit kleinere Reibungsverluste erwartet werden könnten. Bei hohen spezifischen Drehzahlen könnte man für die nach Drallsatz ausgelegte Spirale etwas geringere Verwirbelungsverluste infolge ungleichförmiger Geschwindigkeitsverteilungen erwarten, weil die Querschnitte optimal passen. (Bei höherem nq wird zudem das Bauvolumen der Drallspirale merklich geringer.) 3. Zungenkorrektur: Der Sporn stört wegen seiner endlichen Dicke die Strömung und verursacht Übergeschwindigkeiten und Abweichungen der Stromlinien vom Drallsatz. Je dicker die Zunge desto stärker diese Störung. Bei dicken Zungen, die bei Abwasser-, Bagger- oder Feststoffpumpen erforderlich sind, ist dieser Einfluß nicht zu vernachlässigen. Das gilt besonders für enge Spiralquerschnitte, wie sie sich bei kleinen spezifischen Drehzahlen ergeben. Bei allen Spiralgehäusen ist so ein Zuschlag zum Endquerschnitt zu machen, der sich nach [7.13] nach Gl. (7.28) abschätzen läßt, Abb. 7.41b: §e · Δa 3 = 0,2 ¨¨ 3 ¸¸ a3 © a3 ¹

2

(7.28)

Die Querschnitte stromaufwärts und stromabwärts des Endquerschnittes sind entsprechend der Zungenkorrektur so anzupassen, daß sich ein kontinuierlicher Verlauf ergibt. Das bedingt zwangsläufig lokale Abweichungen von den nach Drallsatz berechneten Querschnittsflächen. 4. Druckstutzen/Diffusor: Im Regelfall schließt sich ein Diffusor an die Spirale an; bei einstufigen Pumpen bildet dieser gleichzeitig den Druckstutzen. Bei hohen spezifischen Drehzahlen (ab etwa nq > 80) wird das Fluid nach dem Spiralenendquerschnitt nicht weiter verzögert, weil sich sonst unwirtschaftlich große Austrittsstutzen ergeben würden. Bei kleinen spezifischen Drehzahlen ist die Verzögerung im Diffusor hingegen bedeutend und eine sorgfältige Auslegung und Gestaltung ist nötig, um die Verluste so gering wie möglich zu halten. Maximal zulässiger Diffusoröffnungswinkel, Druckrückgewinn und Strömungsverluste werden nach Gl. (1.45) berechnet, wobei man die Diffusorlänge und das Querschnittsverhältnis so aufeinander abstimmt, daß der Druckrückgewinn (bzw. der cp-Wert) maximiert wird. Bei nicht kreisförmigen Querschnitten rechnet man nach Kap. 1.6 auf einen äquivalenten konischen Diffusor um. In der hydraulischen Gestaltung ist man dabei insofern eingeschränkt als genormte Stutzendurchmesser zu verwenden sind und die Länge des Druckstutzens mit Rücksicht auf die Materialkosten sowie die von Rohrleitungskräften induzierten Momente und Spannungen zu begrenzen ist. Erfahrungsgemäß lassen sich die Daten gerader Diffusoren nach Kap. 1.6 ohne Korrektur auf gekrümmte Druckstutzen anwenden, vermutlich weil die Sekundärströmung in der Spirale die Grenzschichten günstig beeinflußt, der-

424

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

gestalt, daß der negative Einfluß einer leichten bis mäßigen Krümmung weitgehend kompensiert wird. Neben dem tangentialen Druckstutzen nach Abb. 7.39 findet man häufig auch radiale Druckstutzen gemäß Abb. 7.42 sowie Zwischenformen mit nur leichter Kröpfung. Der Spiralenanfang soll bei tangentialen Stutzen etwa bei εo = 60° und bei radialen Stutzen etwa bei εo = 20° liegen. Für den mittleren Krümmungsradius radialer Druckstutzen wird nach [3.15] empfohlen: R N ≈ 1,5

4 A 3q π

(7.29)

Beim Übergang von der Spirale in den Druckstutzen ergeben sich oft starke örtliche Krümmungen, wenn man sich streng an den berechneten Querschnittsverlauf hält. Um verzerrte Geschwindigkeitsprofile und lokale Ablösungen zu vermeiden, wird die Spiralenkontur so angepaßt, daß sich möglichst kontinuierliche Krümmungsverläufe ergeben. Die dadurch entstehenden örtlichen Querschnittserweiterungen im Bereich des Spiralenendquerschnittes wirken sich nur bedingt auf die Bestpunktlage aus, wenn der Rest der Spirale richtig bemessen wird. Ebensowenig könnte der Bestpunkt mittels einer örtlichen Verengung zu einem kleineren Förderstrom verschoben werden, ohne daß man den Rest der Spirale entsprechend dd

R N ≈ 1.5 π4 A 3q

RN

a3

ε0 ≈ 20°

ε0 rz Rsp

Abb. 7.42. Spiralgehäuse mit radialem Druckstutzen

anpaßt. (Eine örtliche Verengung wäre vergleichbar mit der Wirkung der Zungendicke, wie in 7.8.1 Punkt (8) besprochen.) 5. Doppelspiralen: Im Umführungskanal der äußeren Spirale wird das Fluid bei kleinen und mittleren spezifischen Drehzahlen nach dem Spiralenendquerschnitt in einem Diffusor verzögert, der wiederum nach Kap. 1.6 zu dimensionieren ist. Da die Strömungswiderstände der beiden Teilspiralen mit ihren unterschiedlichen Austrittskanälen im allgemeinen verschieden sind, stellen sich in beiden Kanälen unterschiedliche Förderströme ein. Die Aufteilung des Gesamtstromes auf die bei-

7.8 Spiralgehäuse

425

den Teilströme läßt sich nach Tafel 1.5 abschätzen. Dazu werden die Druckverlustbeiwerte der Teilspiralen nach Gl. (T3.8.21) und der verschiedenen Diffusoren nach Gl. (T3.8.22) berechnet. Desgleichen bestimmt man die Reibungs- und Umlenkverluste im Umführungskanal (Tafel 1.4 und Kap. 1.5.1). Äußere und innere Spirale stellen zwei parallel geschaltete Strömungswiderstände dar. Nach Kombination aller Widerstände der beiden Kanäle zu einem Gesamtwiderstand gemäß Tafel 1.5 lassen sich die beiden Teilströme unter der Annahme berechnen, daß am Laufradaustritt und bei der Stromvereinigung im Druckstutzen die statischen Drücke für beide Teilströme gleich seien. Auf diese Weise kann man das Ungleichgewicht zwischen beiden Teilspiralen beurteilen und deren Geometrie so optimieren, daß beide Teilspiralen möglichst gleichmäßig beaufschlagt werden. Da das Laufrad in beiden Teilspiralen in unterschiedlichen Betriebspunkten arbeitet (Kap. 9.3.3), gleichen sich die Förderströme durch die Spiralen in Wirklichkeit etwas besser an, als obige Abschätzung ergibt. 6. Betonspiralen werden mitunter für Pumpen mit Förderströmen ab etwa 10 m3/s bei Förderhöhen bis zu 30 m eingesetzt. Werden die Spiralen ohne Stahlauskleidung ausgeführt, ist die maximale örtliche Strömungsgeschwindigkeit auf 10 m/s zu begrenzen, um eine Erosion des Betons zu vermeiden. Bei radialen Laufrädern werden Querschnittsformen nach Abb. 7.40f und g bevorzugt; bei halbaxialen Pumpen eine Form mit flachem Boden gemäß Abb. 7.40h. Form g und h sind weniger aufwendig in der Herstellung als Form f; sie bringen indes bei nq =70 bis 100 eine Wirkungsgradeinbuße von etwa 1 % (bei noch höheren spezifischen Drehzahlen sind die Wirkungsgradunterschiede unbedeutend), [7.17 u. 18]. 7.8.3 Einfluß der Gestaltung auf das hydraulische Verhalten Bei der Formgebung von Spiralgehäuse und Druckstutzen sind konstruktive Erfordernisse zu berücksichtigen, die sich aus dem Gesamtkonzept der Maschine ableiten. Auch die Herstellungsart der Spirale hat einen Einfluß auf die Gestaltung: man denke an die Schwierigkeiten der Kernabstützung bei den langen und engen Kanälen von Doppelspiralen für kleine spezifische Drehzahlen oder an die Besonderheiten von Schweißkonstruktionen oder Betonspiralen von Großpumpen. Aus einer Vielzahl experimenteller Untersuchungen – für die [7.8], [7.35] und [7.14] bis [7.16] als Beispiele genannt seien – ergeben sich folgende Tendenzen, wie sich die wichtigsten Geometrieparameter der Spirale auf das hydraulische Verhalten von Pumpen mit spezifischen Drehzahlen bis etwa nq = 70 auswirken. Die hier angegebenen Zahlenwerte sollen nur die etwaige Größe des Einflusses veranschaulichen, sie stammen aus den erwähnten Messungen und können nicht unbedingt allgemein übertragen werden. • Breite Radseitenräume gemäß Abb. 7.40a (bzw. große b3/b2) fördern den Druckausgleich über den Radumfang und verringern so den Radialschub um bis zu 50 % (Kap. 9.3). Breite Radseitenräume bringen bei Teillast deutlich höhere Wirkungsgrade als enge Spalte zwischen Rad und Gehäuse (typischerwei-

426

• •

•

• • •

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

se bis zu 3%); auch im Bestpunkt ist der Wirkungsgrad leicht höher (etwa 1 %), obwohl nach Gl. (T3.8.24) Stoßverluste infolge plötzlicher Verzögerung der Meridiankomponente c2m entstehen. Breite Radseitenräume bringen geringere Strömungsverluste, weil die energiearme Grenzschicht aus der Spirale nach Abb. 9.2 an der Außenwand in den Radseitenraum abfließen kann. Soweit dieses Fluid nicht als Spaltstrom in den Saugraum zurückströmt, wird es an der rotierenden Radwand wieder beschleunigt. Auf diese Weise gelangt Fluid mit hoher Umfangskomponente aus der Radscheibengrenzschicht in die Spiralenströmung. Der Öffnungswinkel δ der Rotationsflächen (Abb. 7.40b) sollte aus obigem Grund möglichst klein gewählt werden. Spornabstände bis zu 10 % haben bei dünnen Zungen kaum Einfluß auf den Wirkungsgrad; vergrößert man den Abstand von 10 auf 20 % fällt der Wirkungsgrad um etwa 1 %. Bei dicken Zungen sinkt der Wirkungsgrad mit zunehmendem Spornabstand eher kontinuierlich ab. Bei breitem Radseitenraum ist der Einfluß des Spornabstandes auf die Radialkraft gering. Zungendicken bis e3/d3 = 0,04 beeinträchtigen den Wirkungsgrad im Bestpunkt kaum. Bei dicken Zungen steigt der Teillastwirkungsgrad, weil der Sporn gegen Fehlanströmung unempfindlicher wird. Der Radialschub wächst mit zunehmender Zungendicke. Eine Verringerung der Querschnitte im Umführungskanal von Doppelspiralen (bzw. eine Erhöhung des Widerstandes) bringt größere Radialkräfte – besonders bei q* >1. Unterschiedliche Zungenabstände bei den Teilspiralen vergrößern die Unsymmetrien in der Druckverteilung und erhöhen so den Radialschub (Wirkung von Gußtoleranzen beachten). In radialen Druckstutzen würde man wegen der zusätzlichen Umlenkung im allgemeinen höhere Verluste erwarten als in tangentialen Stutzen. So ergaben die Versuche von [7.14] bei nq = 23 eine Wirkungsgradeinbuße von 4 % und Messungen in [7.8] bei nq = 45 einen Verlust von 1 %. Nach anderen Autoren seien bei optimaler Gestaltung der Stutzen keine meßbaren Unterschiede zu erwarten. Die hydraulischen Verhältnisse kann man sich etwa wie folgt vorstellen: Der radiale Druckstutzen bringt gegenüber der Strömung in der Spirale eine Umlenkung in die entgegengesetzte Richtung. Dies bewirkt einen gewissen Ausgleich des Geschwindigkeitsprofils am Spiralenaustritt. Dieser Ausgleich ist aber nur dann effizient, wenn beide Krümmungen richtig aufeinander abgestimmt sind. Bei kleinen spezifischen Drehzahlen ist Rsp/a3 groß, während die Krümmung im Druckstutzen viel schärfer ist; in diesem Fall überwiegen die zusätzlichen Verluste (Rsp sei der Radius des mittleren Stromfadens in der Spirale). Bei hohen spezifischen Drehzahlen liegen die Verhältnisse viel besser: Rsp/a3 sinkt mit wachsendem nq und nähert sich mehr dem Krümmungsverhältnis R/dh im Stutzen; hier wirkt die Gegenkrümmung ausgleichend. Im Lichte dieser Überlegung sind die oben zitierten Meßergebnisse an nq = 23 und 45 plausibel. Es steht somit zu vermuten, daß radialer und tangentialer Druckstutzen bei hohen spezifischen Drehzahlen etwa gleiche Wirkungsgrade bringen; mit fallender spezifischer Drehzahl hingegen ist bei radialem Stutzen mit zu-

7.9 Radiale Leiträder mit und ohne Rückführung

427

nehmenden Verlusten zu rechnen, die eine Einbuße an Wirkungsgrad und Förderhöhe bedeuten.

7.9 Radiale Leiträder mit und ohne Rückführung 7.9.1 Berechnung und Wahl der Hauptabmessungen Im Leitrad soll die am Laufradaustritt vorhandene kinetische Energie möglichst verlustarm in statischen Druck umgewandelt werden. Hierfür gibt es nach Abb. 7.43 verschiedene Anordnungen: Bei einstufigen Pumpen fördert das Leitrad in ein nachgeschaltetes Spiralgehäuse oder in einen Ringraum; das gleiche gilt für die letzte Stufe mehrstufiger Pumpen. Mit Ausnahme der letzten Stufe bilden die Leiträder mehrstufiger Pumpen eine Einheit mit den Rückführkanälen, die das Fluid in die nächste Stufe leiten. Die Leiträder und Rückführkanäle mehrstufiger Pumpen werden in verschiedenen Typen ausgeführt. Während der Leitradeintritt und der anschließende Diffusor bei allen Typen grundsätzlich sehr ähnlich ausgeführt werden, läßt sich die Überströmgeometrie vom Diffusoraustritt zu den Rückführschaufeln recht unterschiedlich gestalten. So können Diffusor- und Rückführkanal gemäß Abb. 7.44 einen einzigen zusammenhängenden Kanal bilden, der einem räumlichen Krümmer ähnelt. Diese Bauart hat tendenziell die geringsten Strömungsverluste, ist aber aufwendig in Konstruktion und Herstellung. Andererseits können Leitrad und Rückführung nach Abb. 7.43c so getrennt werden, daß das Fluid radial aus dem Diffusor austritt, in einem Ringraum um 180° umgelenkt wird, um wieder radial in die Rückführkanäle einzutreten. Schließlich kann man das Fluid seitlich aus den Diffusorkanälen austreten lassen, so daß es mit einer 90°-Umlenkung in die Rückführkanäle eintritt (Abb. 7.43d). Diese Grundformen lassen sich auf recht verschiedene Weisen gestalten (Beispiele in Abb. 7.45). Bei den oben besprochenen Leitradtypen ist der Leitradaußendurchmesser dLe 30 bis 50% größer als der Laufraddurchmesser d2. Kleiner bauende Leiträder wären in vielen Anwendungen erwünscht; z.B. in Bohrlochpumpen. Abbildung 7.46

a) Leitrad mit Spirale

b) Leitrad und Ringraum als letzte Stufe

Abb. 7.43. Leitradanordnungen

c) Überströmung durch schaufelfreien Ringraum

d) Seitliche Überströmung

428

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Abb. 7.44. Leitrad mit geschlossenen Überströmkanälen, Sulzer Pumpen AG

Abb. 7.45. Leiträder mit Rückführschaufeln, modelliert als 3D-Modell, Sulzer Pumpen AG

7.9 Radiale Leiträder mit und ohne Rückführung

429

zeigt ein Kompaktleitrad, das den gleichen Durchmesser wie das zugehörige Laufrad aufweist, also dLe = d2. Dabei strömt das Fluid aus dem radialen Laufrad axial ab. Die Entwicklung derartiger Pumpenstufen wird beschrieben in [7.46] bis [7.48], [7.58] und [7.59]. Nach entsprechender Optimierung betrug die Wirkungsgradeinbuße dieser Leiträder noch etwa 2% gegenüber normalen Leiträdern. Verglichen mit Pumpen mit normalen Leiträdern erzeugen die Laufräder nach Abb. 7.46 geringere Axialkräfte, wodurch sich der Durchmesser des Entlastungskolbens und die zugehörigen Verluste verringern. Das Schwingungsverhalten der Kompaktstufe nach Abb. 7.46 war nicht wesentlich anders als bei Normalstufen, die Kennlinie wies aber eine sattelförmige Instabilität auf, was den Einsatzbereich entsprechend einschränkt.

Abb. 7.46. Kompaktleiträder, Universität Kaiserslautern, [7.46] bis [7.48]

Im folgenden wird die Auslegung von Leiträdern mit Rückführschaufeln besprochen; die Auslegung der Leiträder für einstufige Pumpen erfolgt sinngemäß. Die benötigten Formeln sind in Tafel 7.7 (Kap. 7.9.2) aufgeführt, da es viele Gemeinsamkeiten mit der Auslegung von Spiralen gibt. 1. Berechnungsförderstrom QLe: Damit das Wirkungsgradmaximum bei dem gewünschten Volumenstrom liegt, muß das Leitrad für Qopt ausgelegt werden (würde man für einen anderen Durchsatz dimensionieren, verschöbe sich der Bestpunkt gemäß Kap. 3.7 und 4.2). Der Berechnungsförderstrom beträgt wie bei einer Spirale QLe = Qopt + QE + Qs3 2. Eintrittsdurchmesser d3*: Zwischen Laufrad und Leitschaufeln ist ein Abstand einzuhalten, um Druckpulsationen und Strömungswechselkräfte auf ein zulässiges Maß zu begrenzen, Kap. 10. Das Durchmesserverhältnis d3* = d3/d2 wird nach den Formeln in Tafel 10.2 berechnet. Bei kleinen Laufraddurchmessern wird man kaum unter d3 = d2 + 2 mm gehen, auch wenn dies nach Tafel 10.2 noch zulässig wäre. 3. Eintrittsgeschwindigkeit c2: Die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit am Laufradaustritt berechnet sich nach Gl. (T7.7.2) oder Tafel 3.2.

430

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

4. Eintrittswinkel α3B: Die Leitschaufeln bilden mit der Umfangsrichtung einen Skelettwinkel α3B, der entsprechend dem Anströmwinkel nach Gl. (T7.7.3 bis 6) zu berechnen ist. Den Anstellwinkel wählt man im Bereich i3 = ± 3°. 5. Leitschaufelzahl zLe: Um hydraulische Erregerkräfte und Druckpulsationen zu reduzieren, müssen Leit- und Laufschaufelzahl aufeinander abgestimmt werden. Bei der Wahl der Leitschaufelzahl sind daher unbedingt die Kriterien von Kap. 10.7.1 zu berücksichtigen. Zudem beeinflußt die Zahl der Leitschaufeln, zusammen mit dem Außendurchmesser dLe und der Lichtweite a3 am Eintritt, die Form und die Länge des eigentlichen Diffusors, dessen Verzögerung ausschlaggebend für die Strömungsverluste im Leitrad ist. Mit Rücksicht auf die Gießbarkeit (oder die Bearbeitungskosten, wenn das Leitrad gefräst wird) sind zudem allzu enge Kanäle ungünstig. Die Parameter zLe, a3 und dLe können daher nicht unabhängig voneinander gewählt werden, sondern sind aufeinander abzustimmen. Gebräuchliche Schaufelzahl-Kombinationen sind: zLe = 12 bei zLa = 7 bei spezifischen Drehzahlen von etwa 20 bis 35 und zLe = 8 bei zLa = 5 bei nq < 20. Auch Umfangsgeschwindigkeit u2 und Pumpengröße spielen hierbei eine Rolle. Bei hohen spezifischen Drehzahlen und/oder sehr großen Pumpen werden auch 15 Leitschaufeln ausgeführt. Weitere Kombinationen ergeben sich aus Tabelle 7.4. Tabelle 7.4 Leit- und Laufschaufelzahl-Kombinationen 5 6 7 zLa zLe 7 12 9 12 (15) 8 10 10 11 Die fettgedruckten Leitschaufelzahlen sind bezüglich Schwingungen am günstigsten.

6. Eintrittsbreite b3: Die Eintrittsbreite wird meist etwas größer ausgeführt als die Laufradaustrittsbreite; sie liegt im Bereich b3/b2 = 1,05 bis 1,3. Als Mindestwert sollte b3 = b2 + 1 mm angesetzt werden, um eine Unterschneidung (Stoßverluste) infolge Fertigungs- und Montagetoleranzen zu vermeiden. Auch Wärmedehnungen mehrstufiger Pumpen sind hier zu beachten. Das Verhältnis b3/b2 beeinflußt gemäß Kap. 5 das Teillastverhalten: Ist b3/b2 groß, steigen Rezirkulation und Nullförderhöhe; reduziert man b3/b2 auf Werte nahe bei eins, verringert sich die Gefahr einer sattelförmigen Kennlinieninstabilität. Die Wahl der Eintrittsbreite wirkt sich auch auf die Überdeckung der Deckscheiben von Lauf- und Leitrad aus. Wie in Kap. 5.4.2 und 9.1 besprochen, empfiehlt es sich, die Radseitenräume von der Hauptströmung zu entkoppeln, um Axialschubexkursionen zu vermeiden, wenn rezirkulierendes Fluid in den Radseitenraum eindringt. Nach [B.20] sollte der Spalt a zwischen den Deckscheiben (0,007 bis 0,01) r2 betragen und die Überdeckung ü = (2 bis 3) a ausgeführt werden, Abb. 9.1. 7. Lichtweite am Eintritt a3: Die Lichtweite bestimmt bei gegebener Leitradeintrittsbreite und Schaufelzahl den Bestpunktförderstrom weitgehend, Kap. 4.2. Sie beeinflußt aber auch den Nulldruck und die Form der Kennlinie (Sattelbildung), Kap. 5. Gleichung (3.20) liefert eine Lichtweite a3,th, die der Dimensionierung nach Drallsatz entspricht. Ausgeführt wird eine Lichtweite a3 = fa3 a3,th nach Gl. (T7.7.10). Im Regelfall ist fa3 = 1,1 bis 1,3 anzunehmen; die Strömung wird also stärker verzögert als dem Drallsatz entsprechen würde. Werte fa3 > 1 sind auch im Hinblick auf ein gutes Überlastverhalten bei q* > 1 sinnvoll. Bei sehr breiten

7.9 Radiale Leiträder mit und ohne Rückführung

431

Laufrädern und kleiner spezifischer Drehzahl ist es mitunter allerdings nötig, fa3 < 1 auszuführen, um den spezifizierten Bestpunktförderstrom zu erreichen. Statt von der Drallsatzauslegung auszugehen, kann man die Lichtweite auch aus einem gewählten Verzögerungsverhältnis c3q/c2 gemäß Gl. (T7.7.11) berechnen. Das Verzögerungsverhältnis liegt im Bereich: c3q/c2 = 0,7 bis 0,85. Wegen des Einflusses der Lichtweite auf das Teil- und Überlastverhalten ist die Wahl des Verhältnisses c3q/c2 bzw. des Faktors fa3 eine Optimierungsaufgabe, für die sich noch keine allgemeingültigen Regeln angeben lassen. Wird die Strömung am Leitradeintritt zu stark verzögert, löst die Strömung bei Teillast zu früh ab und die Kennlinie kann instabil werden. Eine zu geringe Verzögerung kann eine Wirkungsgradeinbuße bedeuten; sie kann auch dazu führen, daß die Strömungsablösung bei Teillast zu spät erfolgt, was nach Kap. 5.5 ebenfalls das Risiko eines Kennliniensattels bedeuten kann. Die Wirkung des Verzögerungsverhältnisses c3q/c2 auf die Kennlinienform geht aus den Versuchen in Abb. 4.5, 4.6, und 5.19 hervor. 8. Leitradaußendurchmesser dLe: Mit Rücksicht auf Bauvolumen und Kosten strebt man einen möglichst kleinen Außendurchmesser an. Niedrige Strömungsverluste erfordern andererseits eine optimale Diffusorlänge und genügend Raum für die Strömungsumlenkung, so daß bei der Wahl von dLe ein Kompromiß zwischen diesen gegenläufigen Anforderungen zu schließen ist. Der benötigte Außendurchmesser steigt mit wachsendem Auslegungsförderstrom, also mit der spezifischen Drehzahl; bei mehrstufigen Pumpen dürfte er meist im Bereich von dLe/d2 = (1,05 bis 1,15) + 0,01 nq liegen, wobei die obere Grenze dann zu verwenden ist, wenn der Wirkungsgrad den Vorrang gegenüber dem Bauvolumen hat. Fördert das Leitrad in eine Spirale, kann sein Außendurchmesser kleiner gehalten werden. Man achte aber auf genügende Überdeckung der Leitradkanäle, wenn dem Leitrad die Aufgabe zugedacht ist, den Radialschub auszugleichen. 9. Diffusor: An den engsten Querschnitt A3q schließt sich ein Diffusor an, der sorgfältig ausgelegt und gestaltet werden muß, um die Verluste so gering wie möglich zu halten. Maximal zulässiger Diffusoröffnungswinkel, Druckrückgewinn und Strömungsverluste werden nach Kap. 1.6 berechnet, wobei man Diffusorlänge und Querschnittsverhältnis so aufeinander abstimmt, daß der Druckrückgewinn (bzw. der cp-Wert) maximiert wird. Die Diffusorverluste lassen sich nach Gl.= (T3.8.16 bis 19) abschätzen. Bei nicht kreisförmigen Querschnitten ist auf einen äquivalenten konischen Diffusor umzurechnen, Gl. (1.45). Öffnet der Diffusor auch in axialer Richtung, wählt man ϑb = ϑa mit tanϑa = 0,5 (a4 - a3)/L3-4. Die Diffusoren von Leiträdern werden häufig leicht gekrümmt ausgeführt, weil sich dann bei gegebenem Außendurchmesser dLe eine größere Diffusorlänge und damit ein höherer Druckrückgewinn bzw. geringere Verluste erreichen lassen. Erfahrungsgemäß können die Daten gerader Diffusoren nach Kap. 1.6 ohne Korrektur auf leicht gekrümmte Diffusoren (mit bis zu 25° Umlenkung) angewandt werden – vermutlich weil die instationäre Anströmung des Leitrades dünnere Grenzschichten fördert und so den negativen Einfluß der Kanalkrümmung kompensiert. Diffusorlänge und Austrittsweite a4 ergeben sich endgültig erst nach einem ersten Entwurf, so daß ggf. eine Iteration nötig wird.

432

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

10. Diffusorkriterien: Hat man alle oben besprochenen Parameter festgelegt und liegt der Leitradentwurf vor, läßt sich die Güte der Diffusorauslegung nach folgenden Kriterien überprüfen: A. Der Druckrückgewinn in einem Diffusor gegebener Länge L3-4 wird nach Abb. 1.19 optimal, wenn das Flächenverhältnis AR,opt etwa: L A R ,opt = 1,05 + 0,184 3− 4 R eq

mit

R eq =

a 3 b3 π

(7.30)

beträgt. Der Druckrückgewinnbeiwert ist dann: §L · c p,opt = 0,36 ¨ 3− 4 ¸ ¨ R eq ¸ © ¹

0, 26

(7.31)

B. Verzögerungsverhältnis: c3q/c2 = 0,7 bis 0,85 C. Verhältnis Länge zu Lichtweite: 2,5 < L3-4/a3 < 6 D. Das Verhältnis der Eintrittsbreite zur Lichtweite soll möglichst im Bereich von 0,8 < b3/a3 < 2 liegen; zu flache Querschnitte sind ungünstig, lassen sich aber bei sehr breiten Laufrädern und kleinen spezifischen Drehzahlen manchmal nicht vermeiden. E. Der Diffusoraustrittsquerschnitt sollte bei Leiträdern von mehrstufigen Pumpen so bemessen werden, daß die kinetische Energie am Diffusoraustritt im Bereich c42/(2 g Hopt) = 0,02 bis 0,04 liegt, damit die Verluste in den Überströmkanälen nicht zu hoch ausfallen. Die Austrittsgeschwindigkeit c4 muß aber auch zur Eintrittsgeschwindigkeit c1m ins nachfolgende Laufrad passen: 0,85 < c4/c1m < 1,25. F. Der äquivalente Öffnungswinkel muß nach Gl. (1.45) überprüft werden; er soll den zulässigen Winkel gemäß Gl. (1.44) nicht überschreiten, sofern nicht ein strengeres Kriterium angewendet wird. Ein Überschreiten des zulässigen Öffnungswinkels würde zu vorzeitiger Ablösung und folglich höheren Druckpulsationen und Wechselspannungen führen. Dies trifft in besonderem Maße für das letzte Leitrad einer mehrstufigen Pumpe zu, oder wenn dem Leitrad eine Spirale nachgeschaltet ist, weil durch die ungleichförmige Druckverteilung erhöhte Druckpulsationen erzeugt werden können, Kap. 10.7. Diese Überlegungen gewinnen um so mehr an Bedeutung, je höher die Förderhöhe pro Stufe ist. 11. Rückführschaufeln: Die Austrittsgeschwindigkeit aus den Rückführschaufeln sollte etwas geringer sein als die Eintrittsgeschwindigkeit in das folgende Laufrad, um durch leichte Beschleunigung die Zuströmung etwas zu vergleichmäßigen: c6m = (0,85 bis 0,9) c1m. Entsprechend ergibt sich die Breite b6 aus Gl. (T7.7.12). Der Flächenverlauf zwischen dem Rückführkanal und dem Laufradeintritt ist so zu gestalten, daß die Strömung kontinuierlich beschleunigt wird. Die Breite b5 am Eintritt der Rückführschaufeln kann gleich der Austrittsbreite (oder je nach Gestaltung des Kanals etwas verschieden) gewählt werden. Die Meridiankomponente der Eintrittsgeschwindigkeit ergibt sich aus Gl. (T7.7.13). Die Umfangskomponente c4u der Geschwindigkeit am Austritt aus dem Diffusor resultiert aus dem Entwurf: Mit den konstruierten Abmessungen a4 und b4 erhält man den Betrag der Geschwindigkeit c4; der Vektor c4 wird sodann gemäß

7.9 Radiale Leiträder mit und ohne Rückführung

433

Abb. 7.47 in seine Komponenten in Umfangs- und Radialrichtung zerlegt. Die Umfangskomponente der Geschwindigkeit am Eintritt in die Rückführung berechnet sich nach dem Drallsatz aus Gl. (T7.7.14). Aus c5u und c5m läßt sich sodann der Eintrittswinkel der Rückführschaufeln nach Gl. (T7.7.15) bestimmen. Der Skelettwinkel der Rückführschaufeln kann gleich diesem Strömungswinkel (ggf. zuzüglich Versperrungseinfluß) gewählt werden. Um den gewünschten Strömungswinkel am Austritt der Rückführkanäle zu erhalten, ist eine leichte Winkelübertreibung notwendig. Soll der Abströmwinkel z.B. α6 = 90° betragen, ist der Skelettwinkel der Schaufel 4 bis 6° größer zu wählen, also α6B = 94 bis 96°. Wird das Leitrad für Mitdrall ausgelegt, läßt sich der Abströmwinkel nach der „Sinusregel“ abschätzen: α6 ≈ sin a6/t6. Im Regelfall werden Rückführ- und Leitschaufelzahl gleich groß gewählt. Mitunter werden auch weniger Rückführschaufeln ausgeführt (also zR < zLe); dabei ist das Verhältnis Länge zu Teilung der Schaufeln L/t > 2 auszuführen, damit die Strömung genügend umgelenkt wird. (Bildet zR ein Mehrfaches der Zahl 3, läßt sich das Leitrad beim Drehen leicht in einem Dreibackenfutter spannen.) 7.9.2 Entwurf und Gestaltung radialer Leiträder Der Entwurf radialer Leiträder nach Abb. 7.47 umfaßt folgende Schritte: 1. Im Grundriß werden Kreise mit d3 und d4 bzw. dLe gezeichnet. 2. Entsprechend der Schaufelteilung konstruiert man den Beginn zweier Schaufeln. Die Schaufeldicke am Eintritt ist e3 = (0,01 bis 0,015) d2. Man trägt den Skelettwinkel α3B auf und definiert das Profil am Eintritt. 3. Ein Kreisbogen mit a3 definiert einen Punkt auf der gegenüberliegenden Schaufel, der den Eintrittsquerschnitt bestimmt. Nun läßt sich die konkave Schaufelfläche provisorisch als glatte Kurve (oder aus Kreisbögen zusammengesetzt) bis zum Außendurchmesser d4 zeichnen. Vom Schnittpunkt dieser Kurve mit dem Kreis d4 kann nun a4 als Kreisbogen abgetragen werden. Damit ergibt sich ein Punkt auf der konvexen Schaufelfläche, der – zusammen mit der konkaven Schaufelfläche – die Schaufelstärke am Kanalende liefert. Die resultierende Schaufelstärke muß den Anforderungen bezüglich Festigkeit und Gießbarkeit genügen. Ist dies nicht der Fall, lassen sich die gewählten Werte von d4 und a4 nicht gleichzeitig einhalten. 4. Durch Änderung des oben angenommenen Verlaufes der konkaven Schaufelfläche (falls man d4 nicht anpassen will) läßt sich die Kanalgeometrie so optimieren, daß man die angestrebten Werte für a4, L3-4 und den Druckrückgewinnbeiwert cp möglichst gut erreicht. Dabei ist auf kontinuierliche Flächen- und Krümmungsverläufe zu achten. Der Schaufelanfang kann alternativ als logarithmische Spirale oder auch mit speziellen Profilen gestaltet werden, wie sie z.B. in [5.34] untersucht wurden. 5. Man zeichnet den Meridianschnitt und definiert unter Beachtung von d1 und dn des folgenden Laufrades die Ein- und Austrittsbreiten b5 und b6 der Rückführkanäle sowie die Lage der Ein- und Austrittskanten der Rückführschaufeln auf den

434

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Tafel 7.7 Berechnung des Leitapparates

Gl.

Gegebene Größen

n, Qopt, Hopt

Berechnungsförderstrom Umfangsgeschwindigkeit am Laufradaustritt

QLe = Qopt + Qs3 + QE gH u c c2u = + 1m 1u ηh u 2 u2

Umfangsgeschwindigkeit am Leitapparateintritt

d c c3u = 2 2u d3

Meridiangeschwindigkeit mit Versperrung

c 3m ′ =

Strömungswinkel am Leitapparateintritt mit Versperrung

7.7.2 7.7.3

Q Le τ 3 π d 3 b3 c ′ tan α 3′ = 3m c 3u

Schaufel- oder Zungenwinkel (Skelettwinα3B = α3′ + i3 kel) Endquerschnitt A3q einer Spirale mit Kreisquerschnitt oder äquivalenter Kreisquerschnitt einer beliebigen Spirale

7.7.1

XSp =

7.7.4 7.7.5 Anstellwinkel i3 = ± 3o

Q Le εsp πc2 u r2 2π 2 d 'z

d 3q =X Sp +

X Sp

A 3q =

π d 3q 2

7.7.6

7.7.7

4

Hilfsgröße für Rechteckspiralen und Leiträder

­ ½ Q Le X Le =exp® ¾ ¯ b 3 c 2u r2 z Le ¿

7.7.8a

Äußerer Radius ra des Endquerschnittes einer Rechteckspirale Höhe des Endquerschnittes einer Rechteckspirale Lichtweite am Leitradeintritt fa3 = 1,1 bis 1,3

ra = rz' X Le

7.7.8

a 3 = ra − rz' = rz' {X Le − 1}

7.7.9

d a 3 = f a 3 3 {X Le − 1} 2

7.7.10

Q Le

§ c ¨ 2 ¨ c 3q ©

· ¸ ¸ ¹

Lichtweite am Leitradeintritt mit gewähltem Verhältnis c3q/c2

a3 =

Breite der Rückführschaufeln am Austritt

b6 =

QLe π d 6 c6m

Meridiangeschwindigkeit am Eintritt der Rückführschaufeln

c5m =

Q Le π d 5 b5

7.7.13

Umfangsgeschwindigkeit am Eintritt der Rückführschaufeln

c r c 5u = 4 u 4 m r5m

7.7.14

Strömungswinkel am Eintritt der Rückführ- α = arctan c5m 5 c5 u schaufeln

7.7.15

z Le b 3

c 22 m

+ c 22u

c6m = (0,85 bis 0,9) c1m

εSp ist im Bogenmaß einzusetzen; bei gleicher Teilung gilt: εSp = 2 π/zLe

7.7.11 7.7.12

d3

b2

b3

b5

b6

dn

d6i

d6a

d5

Abb. 7.47. Konstruktion eines radialen Leitrades

d4

d2

a

ü

b4

b3

L3-4

d4

ϑb

b4

d3

a3 α3Β

a4

c4

α4

α 6b

α5b

7.9 Radiale Leiträder mit und ohne Rückführung 435

436

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Durchmessern d5, d6a und d6i. Vor oder parallel zu dieser Arbeit ist der Schnitt durch die Stufe zu entwerfen. 6. Im Grundriß wird nun der Skelettwinkel α5B auf d5 aufgetragen. Die Skelettlinie der Rückführschaufeln kann z.B. als Kreisbogen mit dem Radius rsk: rsk =

r52 − r6 2 2 (r5 cos α5B − r6 cos α 6B )

(7.32)

konstruiert und dann mit einem Profil belegt werden. Diese Konstruktion erfolgt analog zu Kap. 7.3.1 und Abb. 7.11. Ein elliptisches Profil am Eintritt macht die Schaufel unempfindlich gegen Falschanströmung; das ist wichtig, weil sich die Anströmrichtung wegen der komplizierten Geometrie zwischen Diffusoraustritt und Rückführschaufeleintritt nur näherungsweise abschätzen läßt. Am Austritt ist ein dünnes Profil anzustreben, um die Versperrung zu verringern. 7. Für die Lage und Wirkung der Austrittskante der Rückführschaufeln auf die Kennlinienstabilität sei auf Kap. 5.6 verwiesen.

7.10 Halbaxiale Leiträder Bei der Auslegung eines halbaxialen Leitrades sind zunächst die Ein- und Austrittsdurchmesser für die äußere und innere Stromlinie festzulegen. Man beginnt daher mit dem Entwurf des Meridianschnitts, der in seiner Form dem Laufrad (insbesondere d2a und d2i) anzupassen ist. Während der Leitradaustritt bei einstufigen Pumpen an das Steigrohr und ggf. das Wellenschutzrohr angeschlossen wird, muß er bei mehrstufigen Pumpen einen guten Übergang zum Laufradeintritt der Folgestufen schaffen. Vorgehen beim Entwurf (s.a. Abb. 7.22): 1. Die Ein- und Austrittsdurchmesser d3a, d3i, d4a, d4i sind weitgehend unter konstruktiven Gesichtspunkten festzulegen. Der Abstand zwischen Lauf- und Leitschaufeln ist dabei mit Rücksicht auf Druckpulsationen und hydraulische Erregerkräfte entsprechend Tafel 10.2 zu wählen. Nach [B.18] kann er auch zu a = 0,3 b2 angesetzt werden. 2. Die axiale Erstreckung des Leitrades muß so groß sein, daß die Strömungsverluste infolge Umlenkung und Verzögerung in annehmbaren Grenzen bleiben. Der Entwurf erfolgt daher meist iterativ, da sich der zulässige Öffnungswinkel des Diffusors erst kontrollieren läßt, wenn die Länge des Schaufelkanals ermittelt wurde. Ein Richtwert für die minimale axiale Länge LLe läßt sich aus [B.18] bestimmen: § nq · L Le ¸ = 0,72¨ ¨ 200 ¸ D 2m © ¹

0,19

(7.33)

3. Die Leitradbreite am Eintritt ergibt sich aus der Laufradaustrittsbreite mit etwa b3 = (1,02 bis 1,05) b2. Die kleineren Werte gelten dabei für höhere spezifische Drehzahlen. 4. Wurden die Hauptabmessungen auf diese Weise bestimmt, kann der meridiane Flächenverlauf so festgelegt werden, daß sich eine stetige Verzögerung und ein

7.11 Spirale mit Leitrad oder Stützschaufelring

437

gleichmäßiger Krümmungsverlauf ergeben. Der Entwurf erfolgt gemäß den Verfahren in Kap. 7.2.2.1. 5. Bei der Gestaltung des Meridianschnitts sind weitere konstruktive Erfordernisse wie Flansch- und Bolzenabmessungen, Zwischenlager, Wellenschutzhülsen und Dichtspaltanordnungen zu berücksichtigen. 6. Nach Entwurf der äußeren und inneren Stromlinie läßt sich auch die mittlere Stromlinie konstruieren. Alternativ kann man mit der mittleren Stromlinie beginnen; einen Breitenverlauf für den Übergang von b3 auf b4 festlegen und äußere wie innere Stromlinie als Umhüllende bilden, wie in Kap. 7.2.2.1 für das Laufrad beschrieben. 7. Die Schaufelwinkel am Leitradeintritt errechnen sich – für jede Stromlinie – aus Gl. (T7.7.2 bis 6). 8. Die Schaufelwinkel am Leitradaustritt werden meist für drallfreie Abströmung ausgelegt, wobei eine leichte Winkelübertreibung von 4 bis 6° ausgeführt werden kann, da die Strömung den Schaufeln nicht vollständig zu folgen vermag. 9. Die Zahl der Leitschaufeln ist meist größer als die Laufschaufelzahl. Die Regeln von Kap. 7.9.1 sind anzuwenden. Insbesondere sollen Leit- und Laufrad nicht die gleiche Anzahl Schaufeln und auch keine Schaufelzahl-Kombinationen mit gemeinsamen Multiplikatoren aufweisen, um die Druckpulsationen zu verringern. 10. Der Leitradeintrittsquerschnitt läßt sich nach Kap. 7.9.1 und Gl. (T7.7.10) berechnen, die den Umstand berücksichtigt, daß das Fluid im schaufelfreien Raum zwischen Lauf- und Leitrad entsprechend dem Drallsatz strömt. Die Rechnung gilt also auch für große Abstände zwischen Lauf- und Leitrad. Der Faktor fa3 liegt nahe bei eins; er ist bezüglich hydraulischen Verlusten, Kennlinienstabilität und Steilheit der Kennlinie im Überlastbereich zu optimieren. Allgemeingültige Richtlinien zur Beherrschung dieser dreidimensionalen Effekte lassen sich allerdings noch nicht angeben. 11. Die Abwicklung der Schaufeln wird mit den festgelegten Ein- und Austrittswinkeln α3B und α4B für die verschiedenen Stromlinien entworfen. Das Vorgehen ist analog zu Kap. 7.2.2.2. Im Eintrittsbereich der Schaufeln empfiehlt es sich, α3B etwa konstant zu halten, also die Strömung wenig umzulenken. 12. Nach dem Entwurf der Schaufeln sind die Querschnittsverläufe auf eine möglichst stetige Verzögerung zu kontrollieren. Diese Arbeit ist wegen der komplizierten Geometrie recht aufwendig; sie läßt sich am besten mit einem 3D-CADSystem durchführen.

7.11 Spirale mit Leitrad oder Stützschaufelring Bei manchen Pumpenbauarten wird zwischen Laufrad und Einfachspirale ein Leitrad gemäß Abb. 7.48 angeordnet, um den Radialschub auf diese Weise zu reduzieren oder in der Absicht, den Wirkungsgrad zu verbessern (wie weit letzteres wirklich gelingt, wäre im Einzelfall sorgfältig zu untersuchen). Das Leitrad wird nach Kap. 7.9 und die Spirale nach Kap. 7.8 ausgelegt.

438

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

Bei hohen spezifischen Drehzahlen wird bei Großpumpen oft ein Stützschaufelring zwischen Laufrad und Spirale notwendig, um die Aufweitung des Spiralgehäuses unter dem Innendruck und die Gehäusespannungen zu reduzieren. Länge und Stärke der Stützschaufeln sind aufgrund der Festigkeits- und Konstruktionserfordernisse zu bestimmen. Meist werden die Stützschaufeln so gestaltet, daß sie im Auslegungspunkt wirkungsfrei sind, d.h. sie werden nicht als Diffusor konzipiert, sondern sollen dem Fluid erlauben, möglichst ungehindert nach dem Drallsatz abzuströmen. Dazu legt man die Schaufeleintrittswinkel nach Gl. (T7.7.2 bis 6) mit Anstellwinkel null aus und entwirft die Skelettlinie bei b3 = b4 als logarithmische Spirale (oder näherungsweise als Kreisbogen). Derartige Stützschaufeln reduzieren den Radialschub kaum.

Abb. 7.48. Doppelflutige Kesselspeisepumpe mit Spiralgehäuse und Leitrad, Sulzer Pumpen AG

7.12 Ringräume und Leitringe Wegen ihrer geringeren Herstellungskosten werden Ringräume mitunter bei Kleinpumpen dem Spiralgehäuse vorgezogen. Auch für Pumpen mit niedriger spezifischer Drehzahl bieten Ringräume eine Alternative, weil die Wirkungsgrad-

7.13 Einlaufgehäuse für Pumpen mit durchgehender Welle

439

einbuße mit fallendem nq sinkt; für nq < 12 werden nach [B.9] sogar bessere Wirkungsgrade erwartet als bei Spiralen. Das Verhältnis des Wirkungsgrades mit Ringraum ηRR zu einer Spirale ηSp beträgt gemäß einem Diagramm in [B.9] etwa ηRR/ηSp = (12/nq)0,45, gültig für nq < 14. Um die Verluste im Ringraum zu reduzieren, sind der Impulsaustausch zwischen Laufrad und Ringraumströmung zu intensivieren und glatte Oberflächen auszuführen (s. Kap. 7.3.2). Das Verhältnis b3/b2 darf daher nicht zu klein gewählt werden; es beträgt etwa b3/b2 = 1,2 bis 1,4. Eine geringe radiale Erstreckung des Ringraumes ist günstig, um Reibungsverluste und Sekundärströmungen zu verringern. Das Verhältnis Breite zu Höhe dürfte etwa im Bereich 1,5 bis 2,5 optimal sein. Der Ringraumquerschnitt ARR muß deutlich größer sein als der Umfangskomponente c2u entspricht: A RR = (1,5 bis 2)

Q opt c 2u

(7.34)

Das Fluid wird mittels eines Diffusors aus dem Ringraum abgeführt, dessen Eintrittsquerschnitt sinngemäß nach Gl. (T7.7.7) berechnet wird. Der Diffusoreintrittsquerschnitt bestimmt bei kleinen spezifischen Drehzahlen den Bestpunktförderstrom, wie Abb. 7.15 beweist. Die Optimierung des Diffusors erfolgt nach Kap. 1.6 bzw. Gl. (7.30 und 31). Der Diffusor wird tangential angeordnet, weil sich bei radialer Anordnung hohe Umlenkverluste am Diffusoreintritt ergeben würden. Auch die Kombination von Ringraum und Spirale ist möglich, wobei man z.B. über 180° einen Ringraum ausführt und sodann eine Spirale anschließt, die das Fluid in den Druckstutzen führt. Dadurch läßt sich der Wirkungsgrad verbessern, weil sich der Übergang zum Druckstutzen strömungsgünstiger gestalten läßt. Zudem sinkt der Radialschub bei Q = 0 und tiefer Teillast gegenüber der Spirale, Kap. 9.3. Unbeschaufelte Leitringe werden (bei Pumpen) eher selten ausgeführt. Ihre hydraulischen Eigenschaften wurden in Kap. 3.7 besprochen; der Druckanstieg im Leitring berechnet sich nach Gl. (1.28); das Radienverhältnis ergibt sich aus dem verlangten Druckanstieg sowie konstruktiven Erfordernissen. Die Breite b3 wird man in der Regel nur wenig größer als die Laufradbreite b2 ausführen, um die Tendenz zu Ablösungen nicht unnötig zu erhöhen.

7.13 Einlaufgehäuse für Pumpen mit durchgehender Welle Bei Pumpen mit durch das Laufrad gehender Welle wird ein Einlaufgehäuse benötigt, das die Förderflüssigkeit vom – im wesentlichen senkrecht zur Achse angeordneten – Eintrittsstutzen in die axiale Richtung umlenkt. Dabei sind möglichst niedrige Verluste und ein geringes Bauvolumen gefordert. Die wichtigste strö-

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

440

mungstechnische Aufgabe ist indessen, den Einlauf so zu gestalten, daß am Laufradeintritt eine möglichst gleichförmige Geschwindigkeitsverteilung erzielt wird. Entsprechend dem Konstruktionskonzept der Pumpe sind gemäß Abb. 7.49 verschiedene Typen gebräuchlich: In Bezug auf die Pumpenachse symmetrische Einlaufgehäuse, wie sie z.B. für Mantelgehäusepumpen üblich sind, können als Ringraum mit Rotationsflächen (Abb. a) oder spiralförmig mit in Umfangsrichtung abnehmenden Querschnitten gebaut werden (Abb. b). Mittengeteilte Pumpengehäuse erfordern hingegen asymmetrische Einlaufgehäuse, bei denen der Eintrittsstutzen unter der Teilungsebene liegt. Asymmetrische Gehäuse können entweder so konstruiert werden, daß sich der Förderstrom bei Umströmung der Nabe „quasi-symmetrisch“ auf zwei etwa gleiche Ströme aufteilt (Abb. 7.49d) oder daß die untere Hälfte nach Abb. c einen wesentlich größeren Volumenstrom bewältigt. Allen Bauarten ist gemeinsam, daß der radiale Zulauf und die Umströmung der Nabe Umfangskomponenten in der Geschwindigkeitsverteilung am Laufradeintritt erzeugen, die über einem Teil des Laufradumfanges einen Mitdrall darstellen, während sie sich in einem zweiten Bereich als Gegendrall auswirken, Abb. 7.50. R1

C

R1 D

d1 A

B a) Ringraum

C

D

A

b) Spiralförmig symmetrisch D

R1 B

B

B

M

R2

R1

C A

c) asymmetrisch

C

R2 A

d) quasi-symmetrisch

e) Trompete

f) Ring

Abb. 7.49. Einlauftypen

Aber auch diese Bereiche sind nicht gleichmäßig durchströmt, weil sich die Strömung an der – in jedem Einlauf unabdingbaren – Rippe aufstaut, dergestalt daß es im Bereich der Rippe zu den in Abb. 7.50 angedeuteten gegenläufigen Strömungen in Nabennähe kommt. Im Mitdrallbereich steigt der Anströmwinkel gegenüber der Zuströmung mit α1 = 90°, im Gegendrallgebiet sinkt er entsprechend, wie die Geschwindigkeitsdreiecke in Abb. 3.1 zeigen.

7.13 Einlaufgehäuse für Pumpen mit durchgehender Welle

441

Rippe 0 Gegendrall

A90

0 Mittdrall

A90

c1u-Verteilung W1 β1 typische Wirbelpositionen

Auslegung α1 = 90° Mittdrallbereich Gegendrallbereich

Abb. 7.50. Zur Strömungsverteilung in Einlaufgehäusen

Die ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilung am Laufradeintritt hat folgende Nachteile: • Der Anströmwinkel der Laufschaufeln ändert sich über dem Umfang und dem Radius, wodurch sich an den Schaufeln entsprechend unterschiedliche Druckverteilungen und Blasenfeldlängen einstellen. • Lärm und Schwingungen können angeregt werden. • Einbuße an Wirkungsgrad • Nach Kap. 9.3.7, Abb. 9.24 werden Radialkräfte erzeugt. Derartige Störungen aus dem Einlauf wachsen grundsätzlich mit der spezifischen Drehzahl, mit der Umfangsgeschwindigkeit u1 und – infolge zunehmender Trägheitskräfte – dem Fördergrad q*. Die Strömung in Einlaufgehäusen erzeugt 3-dimensionale Grenzschichten, deren Ablösung Wirbelzöpfe verursachen kann. Da der Druck im Kern der Wirbel infolge der durch die Rotation bedingten Zentrifugalkräfte unter den Druck in der umgebenden Flüssigkeit sinkt, kann in solchen Wirbelzöpfen der Dampfdruck unterschritten und so Kavitation hervorgerufen werden, Kap. 6.8.2. Die 3-dimensionale Strömung im Einlaufgehäuse kann zwar mit einfachen Mitteln nicht berechnet werden; es lassen sich aber einige allgemeine Regeln für eine strömungsgünstige Gestaltung angeben: (1) Die Meridiankomponente der Zuströmprofile läßt sich durch eine Beschleunigung und eine längere axiale Erstreckung vor dem Laufrad vergleichmäßigen. Die Beschleunigung soll vorzugsweise im Bereich der Umlenkung des Fluids in die axiale Richtung stattfinden (oder stromabwärts). (2) Auch um über dem Umfang eine möglichst gleichmäßige Beaufschlagung des Laufrades zu erreichen, muß das Fluid zum Laufradeintritt hin beschleunigt

442

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

werden. Der Querschnitt A-B in Abb. 7.49 ist daher so zu wählen, daß ein Beschleunigungsverhältnis c1m/cA-B = 1,5 bis 2,2 erreicht wird, wobei der untere Wert etwa für nq = 15 und der obere für nq > 60 einzusetzen ist. Im Querschnitt C-D (bzw. C-M in Abb. 7.49c) fließt der halbe Volumenstrom wie im Querschnitt A-B; die Querschnitte C-D bzw. C-M sind nun so auszuführen, daß dort etwa dieselbe Geschwindigkeit wie in A-B herrscht bzw. daß von C-D zum Laufradeintritt dasselbe Beschleunigungsverhältnis c1m/cC-D = 1,5 bis 2,2 erreicht wird. (3) Die Umfangskomponente der Zuströmprofile läßt sich verringern, indem man die Nabenversperrung reduziert. Ist das Einlaufgehäuse sehr groß, sorgt eine Trompete nach Abb. 7.49e für eine gute Strömungsverteilung vor dem Laufrad. Wenn das Einlaufgehäuse überdimensioniert ist, kann mittels eines Ringes nach Abb. 7.49f die Strömung vergleichmäßigt werden; in [7.37] wird über die Wirkung eines asymmetrischen Ringes dieser Art berichtet. Auch Einlaufringe nach Abb. 6.39 können helfen. Bei radial weit ausladenden Einlaufkammern ist zu beachten, daß das Fluid seinen Drall gemäß cu r = konstant beibehält, wenn es sich radial einwärts bewegt, wodurch die Umfangsgeschwindigkeiten angefacht werden. Ein Einlaufgehäuse sollte daher möglichst wenig in radialer Richtung sondern vielmehr axial ausgedehnt werden. (4) Starke örtliche Verzögerungen vom Saugstutzen in das Einlaufgehäuse führen zu Ablösungen und Wirbeln. Überdimensionierte Ringraumquerschnitte, die an sich die Strömungsverteilung über den Umfang begünstigen würden, sind daher zu vermeiden. (5) Jeder Einlauf benötigt eine Rippe R1 (Abb. 7.49) an dem Ort, wo die beiden um die Nabe fließenden Teilströme zusammentreffen. Fehlt eine solche Rippe, werden Kavitationsverhalten und Leistungsübertragung (Druckzahl und Wirkungsgrad) empfindlich gestört. Zudem kann ein periodischer Vordrall induziert werden, der zu instationärem Betriebsverhalten führen würde. (6) Die Rippe R2 ist bei symmetrischen Einläufen nicht unbedingt nötig, aus konstruktiven Gründen aber mitunter erwünscht, um die Gehäuseverformung unter dem Innendruck zu begrenzen (ggf. Abpreßdruck beachten). Bei asymmetrischen Einläufen läßt eine Rippe R2 eine gleichmäßigere Strömung erwarten. (7) Alle Rippen sind an der Eintrittskante abzurunden und an der Austrittskante nach Tafel 10.13 zu profilieren, um Wirbelbildung zu reduzieren bzw. die Ausbildung von Wirbelstraßen zu vermeiden. Das Vorgehen beim Entwurf eines Einlaufes für eine einstufige, doppelflutige Pumpe sei anhand von Abb. 7.51 erläutert. Diese Konstruktion eines asymmetrischen Einlaufgehäuses ist besonders komplex, weil das Einlaufgehäuse um die Spirale herum entwickelt werden muß. Die Konstruktionsmethodik folgt in etwa [B.2], [B.9], [B.21], [B.22] und [7.19]. Die Querschnitte entwickeln sich auf den Rotationsflächen RF1 und RF2. Das Vorgehen ist etwa wie folgt: 1. Gegeben sind der Einlauftyp, der Eintrittsstutzendurchmesser ds und der Laufradeintritt: d1, dn und dessen Fläche A1 = π/4 (d12 - dn2); ferner die Position des Eintrittsstutzens (Maße Ls und as).

7.13 Einlaufgehäuse für Pumpen mit durchgehender Welle

443

2. Im Grundriß werden Laufradeintritts- und Nabendurchmesser gezeichnet; die Rippe R1 wird beim Einlauf nach Abb. 7.49c etwa 45° über der Teilungsebene positioniert. 3. Die äußere Kontur von der Rippe bis Punkt C wird durch Radialmaße a1 bis a6 definiert: a1 = (1,5 bis 1,8) r1 a6 = (2,5 bis 2,8) r1 Die Maße a2 bis a5 nehmen entsprechend dem Umfangswinkel ε zu gemäß: ai = a1 + (a6 - a1) ε/180°. a7 = (3 bis 3,5) r1 (A-B) = (1,7 bis 2,2) d1 Die Strecke A-B liegt (etwa im Abstand b1 ≈ d1 von der Wellenachse) senkrecht zur Strömungsrichtung. Mit den Angaben für den Eintrittsstutzen (ds, as, Ls) läßt sich nun die Einlaufkontur im Grundriß als Verbindung der oben definierten Stützpunkte zeichnen. Bei der Teilungsebene mittengeteilter Pumpen (nahe Punkt B) erleichtert eine steile Kontur die Plazierung der Bolzen möglichst nahe an der druckbeaufschlagten Fläche. 4. Man zeichnet den Umriß der Spirale ein, legt einen weiteren Schnitt F-G und definiert die Abstände b1 bis b3 auf den Mitten der entsprechenden Strecken. 5. Nun wird der Meridianschnitt des Laufrades und des Spiralgehäuses gezeichnet, und man konstruiert die Rotationsflächen RF1 und RF2 mit Rücksicht auf die Nabenpartie, in die meist die Wellendichtung teilweise integriert ist. Mit den Strekken b1 bis b3 ergibt sich die Lage des Eintrittsstutzens. 6. Jetzt lassen sich die Strömungsquerschnitte entwerfen, wobei auf kontinuierliche Geschwindigkeitsverläufe zu achten ist. Als wichtiges Element ist der Querschnitt A-B so zu wählen, daß das unter Ziffer (2) definierte Beschleunigungsverhältnis c1m/cA-B erreicht wird. Die Querschnitte bei den Radialmaßen a6 bis a1 werden so bestimmt, daß die Geschwindigkeit etwa gleich wie im Querschnitt AB ist. Dabei wird angenommen, daß der Volumenstrom im Querschnitt M-C (oder D-C) halb so groß wie im Querschnitt A-B ist, und daß er in der Folge mit dem Umfangswinkel linear abnimmt. 7. Der Flächenverlauf zwischen dem Eintrittsstutzen As und dem Querschnitt AA-B muß kontinuierlich gestaltet werden. Wird die Strömung in diesem Bereich verzögert, muß eine Ablösung unter allen Umständen vermieden werden (zu überprüfen nach den Regeln für die Diffusorauslegung in Kap. 1.6), wobei man nicht an die Grenze des Öffnungswinkels gehen sollte, um eventuellen Zulaufstörungen aus der Saugleitung Rechnung zu tragen. 8. Die Rippe R2 im Eintrittsbereich wird entlang der mittleren Stromlinie angeordnet, die den Kreis mit d1 berührt.

7 Berechnung und Entwurf der hydraulischen Komponenten

444

a4

a3

R1

a1

M

a5

D

a2

dn d1

B G

b1 a6

C

a7

as b2

b1

b3 dS

b2

A F

RF2

LS

Spirale

Abb. 7.51. Konstruktion des Einlaufgehäuses

RF1

b3

8 Numerische Strömungsberechnungen

Reale Strömungen werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben, die sich im allgemeinen Fall aber nicht geschlossen lösen lassen. Durch Aufteilung eines beliebig komplexen Rechengebietes in eine Vielzahl kleiner Zellen können diese Gleichungen indessen näherungsweise mit numerischen Verfahren gelöst werden. Wegen ihres breiten Einsatzes bilden numerische Strömungsberechnungen („computational fluid dynamics“, kurz „CFD“) ein eigentliches Spezialgebiet der Strömungsmechanik. In diesem Kapitel werden Zusammenhänge aufgezeigt, die für das Verständnis und die Interpretation numerischer Berechnungen von Kreiselpumpen dienlich sind. Hierbei stehen reibungsbehaftete Methoden im Vordergrund, weil Grenzschichten und Sekundärströmungen in verzögerten Strömungen auf gekrümmten Bahnen, wie sie in radialen und halbaxialen Kreiselpumpen dominieren, letztlich nur auf diese Weise mit Aussicht auf Erfolg realistisch beschrieben werden können. Diese Aussage schließt nicht aus, daß für den ersten Entwurf auch durchaus einfachere Methoden sinnvoll eingesetzt werden können. Bei der Besprechung der Möglichkeiten und Verfahren wird im folgenden ausführlich auf die Grenzen und Unsicherheiten der Modellierung sowie auf Qualitätskriterien eingegangen, Kap. 8.3.2, 8.3.3, 8.8 und 8.10.

8.1 Übersicht Wegen der komplexen Strömungsvorgänge in Kreiselpumpen erfolgt die Entwicklung von Laufrädern, Leiträdern, Spiralgehäusen und Einlaufbögen im Pumpenbau häufig aufgrund empirischer Daten für die Bestimmung der Umlenkung und der hydraulischen Verluste. Die Gestaltung der Strömungskanäle und der Schaufeln stützt sich dabei auf Erfahrung und Koeffizienten, die aus Versuchen stammen (Kap. 3 u. 7). Relativ preisgünstige Computer mit hohen Rechenleistungen förderten die Entwicklung leistungsfähiger Numerik-Programme, mit denen sich die 3-dimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen in komplizierten Bauteilen mit vertretbarem Aufwand lösen lassen. Daher werden auch im Kreiselpumpenbau verbreitet numerische Verfahren angewendet, um die Treffsicherheit der Vorausberechnung zu erhöhen, Versuchskosten zu reduzieren und alle Möglichkeiten zur Komponentenoptimierung auszuschöpfen. Die Strömungsnumerik befindet sich noch in einer Phase rascher Entwicklung.

446

8 Numerische Strömungsberechnungen

Je nach Aufgabenstellung und verfügbaren Mitteln lassen sich Numerikprogramme in verschiedene Gruppen einteilen, s. hierzu auch Kap. 8.10: 1. Entwurfsverfahren für Laufräder oder Leiträder, bei denen Schaufeln und ggf. Meridianschnitt aufgrund vereinfachter Strömungsberechnungen modifiziert werden, bis der Konstrukteur den Entwurf als akzeptabel oder optimal empfindet. Hier werden oft Quasi-3D-Verfahren mit Rechenzeiten von wenigen Minuten eingesetzt. 2. Analysen von Laufrädern, Leiträdern, Spiralgehäusen und Einläufen mit 3DNavier-Stokes-Verfahren („3D-NS“). Ist das Ergebnis der Analyse unbefriedigend, werden die Komponenten geändert, bis man einen optimalen Entwurf erreicht. Der Erfolg hängt ab von der Erfahrung des Anwenders in der Bedienung des Rechenprogramms und in der Beurteilung der Ergebnisse. Der Aufwand für die Geometrieänderung sowie die erheblichen Rechenzeiten erlauben meist nur wenige Geometrieänderungen. 3. Stufenberechnungen, bei denen Einlauf, Laufrad und Leitapparat gleichzeitig analysiert werden, z.B. [8.4]. Dies kann voll instationär erfolgen (große Rechenzeit und Speicherkapazität), oder stationär indem eine Mischungsebene zwischen Lauf- und Leitrad eingeführt wird, [8.28, 8.66]. 4. Berechnung von Strömungskräften. 5. Inverse Verfahren, bei denen die Geometrie aufgrund einer vorgegebenen Druckverteilung bestimmt wird. Solche Methoden werden in Sonderfällen angewendet, so z.B. zur Entwicklung von Schaufeln mit günstigen Kavitationseigenschaften für 2-dimensionale Strömungen, [8.2]. Allgemeinere Verfahren zur Optimierung der Schaufeln im Hinblick auf reduzierte Sekundärströmungen sind in der Entwicklung, [8.67]. 6. Automatische Optimierung von Laufrädern, bei denen das Programm die Geometrie selbsttätig ändert, bis z.B. die Verluste minimal werden und/oder vorgegebene Druckverteilungen und sonstige Zielgrößen erreicht werden. 7. Expertensysteme für Entwurf und Analyse der Komponenten sowie die Interpretation der Rechenergebnisse; sie beruhen auf Methoden nach 1) und 2) (ggf. auch 3) und umfassen ebenfalls Programme zur Geometrieerzeugung sowie für den Entwurf. Auch die Vorbereitung der Werkzeug-Steuerdaten für die Fertigung (NC-Bearbeitung von Modellen oder Komponenten) und die Festigkeitsberechnung können in solche Systeme integriert werden. 8. Berechnung von 2-Phasenströmungen 9. Kavitationsströmungen, bei denen die Rückwirkung der Kavitationszonen auf das Strömungsfeld im Laufrad modelliert wird. Die erwähnten Verfahren gibt es in vielen Abwandlungen. Daneben verwendet man auch andere Methoden für die Berechnung reibungsfreier Strömungen, z.B. 3D-Eulerberechnungen, oder Singularitäten-Verfahren für 2-dimensionale Strömungen – z.B. zur Entwicklung von kavitationsgünstigen Profilen oder Propellerschaufeln. 3D-Eulerprogramme lassen sich durch ein Grenzschichtmodell ergänzen, um Reibungsverluste einzuschließen; die in turbulenten Strömungen oft dominierenden Verluste infolge turbulenten Impulsaustausches werden dabei aber

8.2 Quasi-3D-Verfahren und 3D-Euler-Rechnungen

447

nicht erfaßt. Da zu erwarten ist, daß solche Methoden um so mehr verdrängt werden, je leistungsfähigere 3D-Navier-Stokes-Programme und Computer verfügbar werden, sei auf diese Art Berechnungen nicht im einzelnen eingegangen. Entsprechend den mathematischen Verfahren zur numerischen Behandlung inkompressibler Strömungen sind drei Gruppen zu unterscheiden: 1. Rotations- und reibungsfreie Strömungen bzw. Potentialströmungen werden mit der Laplace-Gleichung behandelt. 2. Rotationsbehaftete, reibungsfreie Strömungen nach den Euler-Gleichungen. 3. Rotations- und reibungsbehaftete Strömungen nach den Navier-StokesGleichungen: laminar mittels der Prandtl’schen Gleichung; turbulent mittels Reynolds-Gleichung und Turbulenzmodell; Modellierung großer Wirbel (LES: „large-eddy-simulation); direkte numerische Modellierung der Turbulenz (DNS: „direct-numerical-simulation). Zum Thema „numerische Strömungsberechnungen“ gibt es eine umfangreiche Literatur, von der nur ein kleiner Teil zitiert werden kann. Einen Überblick über neuere Entwicklungen und Grundsätzliches zu den Lösungsverfahren für NavierStokes-Rechnungen findet man in [8.9-8.14, 8.40-8.43, 8.58-8.60, 8.76-8.77]. Die Turbulenzmodellierung wird vertieft in [8.8], [8.26, 8.33, 8.61, 8.79, 8.80]. In einem Vergleich einiger kommerziell erhältlicher 3D-Navier-StokesProgramme wird u.a. die turbulente Strömung durch einen 180°-Bogen untersucht, [8.27]; dabei wird deutlich, daß die berechneten Sekundärströmungsbilder bereits qualitativ stark vom verwendeten Turbulenzmodell abhängen und die Geschwindigkeitsverteilungen in einem Krümmer nur sehr ungenau vorausberechnet werden. Über die Evaluation von drei 3D-Navier-Stokes-Programmen und Vergleiche zwischen Rechnungen und Lasermessungen an einer Pumpe wird in [8.22 u. 8.23] berichtet. Die mit 3D-Navier-Stokes-Rechnungen erzielbare Genauigkeit und die Empfindlichkeit der Rechenergebnisse gegenüber Netzeinflüssen und numerischen Parametern wird in [8.35] untersucht. Rein technisch betrachtet, sind 3D-Navier-Stokes-Rechnungen grundsätzlich für alle Anwendungen geeignet, weil sie – bei richtiger Verwendung – Aussicht auf die genaueste Lösung bieten. Das bedeutet aber nicht, daß ihr Einsatz in allen Fällen wirtschaftlich und technisch sinnvoll oder vertretbar ist.

8.2 Quasi-3D-Verfahren und 3D-Euler-Rechnungen 8.2.1 Quasi-3D-Verfahren Das Quasi-3D-Verfahren wurde von Wu [8.5] zu einer Zeit entwickelt, als noch keine leistungsstarken Computer verfügbar waren. Bei dieser Methode werden die 2-dimensionalen Euler-Gleichungen in Zylinderkoordinaten gelöst, indem die Strömungen zwischen Deck- und Tragscheibe „S2-Flächen“ und zwischen den Schaufeln „S1-Flächen“ eines Laufrades iterativ überlagert werden. Die Stromflächen S2 im Meridianschnitt werden dabei als rotationssymmetrisch angenommen.

448

8 Numerische Strömungsberechnungen

Bei der Schaufelumströmung wird an der Austrittskante gleicher statischer Druck auf Saug- und Druckfläche vorausgesetzt. Die Kontinuitätsgleichung wird über eine Stromfunktion gelöst. Häufig wird im Meridianschnitt nur eine mittlere, repräsentative Stromfläche berechnet, um die Konvergenz weiter zu beschleunigen. Auf diese Weise lassen sich effiziente Auslegungsverfahren aufstellen, z.B. das in [8.6] beschriebene „Echtzeitverfahren“. In diesem Programmsystem kann ein erster Entwurf eines Laufrades durch interaktives Ändern der Beschaufelung optimiert werden, wobei man fast augenblicklich („in Echtzeit“) die Strömungsantwort auf eine Geometrieänderung in Form von Geschwindigkeits- und Druckverteilungen erhält. Die Strömungsanalyse erfolgt nach dem Q-3D-Verfahren oder als 3D-Eulerberechnung. Quasi-3D-Verfahren liefern weder Verluste noch Sekundärströmungen. Sie sind bedingt geeignet für: • Laufradberechnungen im Bestpunkt, wenn der Sekundärströmungseinfluß gering ist. Weniger geeignet für sehr breite Laufräder und Radialräder hoher spezifischer Drehzahl. • Entwurfssysteme für Laufräder unter den vorstehenden Voraussetzungen. • Bestimmung des Kavitationsbeginns aus den berechneten Druckverteilungen, wenn die Zuströmbedingungen richtig eingegeben werden und das Rechennetz fein genug gewählt wird. • Für den ersten Entwurf eines Laufrades und dessen Voroptimierung sind Quasi-3D-Verfahren (meist in Kombination mit eindimensionalen, empirischen Auslegungsmethoden) weit verbreitet, [8.7]. Das Vorgehen muß aber durch Vergleich zwischen Rechnung und Messung kalibriert werden, um die Rechenparameter zu optimieren und die Resultate richtig interpretieren zu können. Wesentliche Geometrieparameter sind auf Grund erprobter Laufräder festzulegen, bevor man ein solches Programm sinnvoll einsetzen kann. • Quasi-3D-Verfahren können durch ein Grenzschichtmodell erweitert werden, um eine Abschätzung der Reibungsverluste zu erhalten. Quasi-3D-Verfahren sind nicht geeignet für die Berechnung von Diffusoren, Leiträdern, Spiralgehäusen, Einläufen und stark gekrümmten Kanälen. Auch für Teillastberechnungen von Laufrädern sind sie unbrauchbar. Wie in Kap. 5.2 ausführlich besprochen, werden die Sekundärströmungen in gekrümmten und/oder rotierenden Kanälen durch ungleichförmige Geschwindigkeitsverteilungen hervorgerufen, wie sie infolge Grenzschichten oder der Schaufelwirkung entstehen. Ohne Reibung berechnete Geschwindigkeitsverteilungen weichen deshalb immer, mehr oder weniger markant, von gemessenen Profilen ab. Reibungsfreie Berechnungen liefern folglich falsche Anstellwinkel und somit auch verfälschte Druckverteilungen. Bei axialer Zuströmung oder wenn Verluste eine untergeordnete Rolle spielen, können Berechnungen unter Vernachlässigung der Reibung im Auslegungspunkt hinsichtlich der theoretischen Schaufelarbeit, d.h. den globalen Ablenkungseigenschaften, aber brauchbare Ergebnisse liefern. Die Geschwindigkeitsverteilungen über die Schaufelbreite weisen meist einen Trend auf, der den Messungen widerspricht; Beispiele hierzu findet man in [8.45]. Es erscheint daher

8.3 Grundlagen für Navier-Stokes-Berechnungen

449

schwierig, aus solchen Strömungsverteilungen wirklich relevante Folgerungen für die Laufradoptimierung abzuleiten. (Das schließt nicht aus, daß man dennoch zu guten Laufrädern gelangen kann, wie das ja auch ohne Numerik gelingt.) 8.2.2 Dreidimensionale Euler-Verfahren Die Euler’schen Gleichungen stellen den reibungsfreien Sonderfall der NavierStokes-Gleichungen dar (s. Kap. 8.3). 3D-Euler-Verfahren liefern folglich keine Verluste, aber das Gleichgewicht aus Zentrifugal-, Coriolis- und Druckkräften wird mit Ausnahme der Schubspannungen richtig erfaßt. Dort wo Grenzschichten eine wesentliche Rolle spielen, versagt das Euler-Verfahren; dies gilt z.B. für lokale Ablösungen oder Sekundärströmungen, bei denen Grenzschichteffekte dominieren. Die theoretische Förderhöhe eines Pumpenlaufrades wird nur in soweit richtig berechnet, als das Geschwindigkeitsprofil am Laufradaustritt nicht durch turbulenten Impulsaustausch und Grenzschichteffekte so beeinflußt wird, daß das Integral über u cu verfälscht wird. 3D-Euler-Verfahren sind besser geeignet für beschleunigte Strömungen (Turbinen) sowie für die oben für Quasi-3D aufgelisteten Aufgaben. Genauigkeit und Aussagekraft sind deutlich größer als bei Quasi-3D. Bei voll abgelöster Strömung wird die Rezirkulation im Laufrad weitgehend durch Zentrifugal- und Corioliskräfte bestimmt, die voll ausgebildete Rezirkulation (nicht aber der Rezirkulationsbeginn) wird daher durch 3D-Eulerprogramme u.U. recht gut modelliert. Für Diffusoren, Leiträder und Spiralgehäuse sind Euler-Verfahren nicht zu empfehlen. Bezüglich der Geschwindigkeitsverteilungen gelten grundsätzlich ähnliche Einschränkungen wie beim Quasi-3D.

8.3 Grundlagen für Navier-Stokes-Berechnungen 8.3.1 Navier-Stokes-Gleichungen Da 3D-Navier-Stokes-Berechnungen sich weitgehend etabliert haben, soll dieses Thema ausführlicher behandelt werden, um Möglichkeiten und Grenzen numerischer Berechnungen aufzuzeigen und Hinweise für die Beurteilung der Rechenergebnisse zu liefern. Man betrachte eine dreidimensionale, inkompressible Strömung mit den Relativgeschwindigkeiten wx, wy, wz in einem kartesischen x,y,z-Koordinatensystem; die Rotation erfolge um die z-Achse. Da es hier eher um grundsätzliche Aspekte geht, sei der Impulssatz nur für die x-Richtung angeschrieben (vollständige Gleichungen und Ableitungen z.B. in [1.11]):

450

8 Numerische Strömungsberechnungen

∂w x ∂w x ∂w x ∂w x 1 ∂p + wx + wy + wz + − ω2 x + 2ωw y = ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x 2 2 § ∂ 2w x + ∂ wx + ∂ wx ν¨ 2 2 ¨ ∂x ∂y ∂z 2 ©

· § ∂σ' ∂τ'xy ∂τ'xz · 1 x + ¸+¨ ¸ + ¸ ¨© ∂x ∂y ∂z ¸¹ ρ ¹

(8.1)

Auf der linken Seite dieser Gleichung stehen die substantielle Beschleunigung (s. Kap. 1.4.1), die Wirkung des Druckes und die Feldbeschleunigung – im rotierenden System also die Summe von Zentrifugal- und Coriolisbeschleunigung (die Schwerkraft ist hier vernachlässigt). Auf der rechten Seite stehen die Verlustterme, von denen der erste die Auswirkungen der molekularen Zähigkeit beschreibt, während der zweite die Verluste durch turbulenten Impulsaustausch umfaßt. Gleichung (8.1) stellt eine sehr allgemeine Form des Impulssatzes dar, die einige technisch wichtige Sonderfälle einschließt: 1. Gleichung (8.1) kann für die Berechnung der Relativströmung im rotierenden Laufrad oder mit ω = 0 für absolute Strömungen in Leiträdern, Spiralen und Einläufen verwendet werden. 2. Setzt man die rechte Seite Null, ergibt sich die Euler’sche Gleichung für reibungsfreie Strömung, die in Euler-Programmen gelöst wird. 3. Der erste Term auf der rechten Seite beschreibt den Einfluß der Schubspannungen infolge molekularer Zähigkeit als reine Stoffeigenschaft. Wird der zweite Term auf der rechten Seite gleich null gesetzt, erhält man die NavierStokes-Gleichungen für die Berechnung laminarer Strömungen. Zusammen mit der Kontinuitätsbedingung, Gl. (8.2), bilden die drei Komponentengleichungen Gl. (8.1) ein geschlossenes System von vier partiellen Differentialgleichungen für die vier unbekannten Funktionen p, wx, wy, und wz. ∂w x ∂w y ∂w z + + =0 ∂x ∂y ∂z

(8.2)

Faßt man die Geschwindigkeiten in Gl. (8.1) als instationäre Momentanwerte einer turbulenten Strömung auf, würden die Navier-Stokes-Gleichungen ausreichen, um turbulente Vorgänge zu berechnen. Diese direkte numerische Simulation (DNS) turbulenter Strömungen ist indessen für komplizierte Bauteile mit den heutigen Mitteln unmöglich: um alle turbulenten Schwankungsbewegungen exakt zu beschreiben, wären sehr feine Rechennetze und extreme Rechenzeiten erforderlich, die sich nicht bewältigen lassen. Die Anzahl benötigter Rechenelemente ergibt sich annähernd aus N ≈ Re9/4, liegt also für Re = 106 in der Größenordnung von 1013, [8.77]. Daher setzt man nach O. Reynolds für die Momentanwerte der Geschwindigkeiten wm = w + w’(t), wobei w der zeitliche Mittelwert der Geschwindigkeit und w’(t) deren turbulente Schwankung ist. Dann stellt die vollständige Gl. (8.1) die „Reynolds-gemittelten“ Navier-Stokes-Gleichungen (RANS) dar. Auf dieser Basis arbeiten die heutigen Navier-Stokes-Programme. Für die durch turbulenten

8.3 Grundlagen für Navier-Stokes-Berechnungen

451

Impulsaustausch verursachten Spannungen, „Reynolds-Spannungen“, gilt (wenn überstrichene Größen zeitliche Mittelwerte bedeuten): σ'x = −ρ w 'x 2

τ'xy = −ρ w 'x w 'y

τ'xz = −ρ w 'x w 'z

(8.3)

Da die Schwankungswerte wx’,wy’ und wz’ unbekannt sind, ist nun aber das Gleichungssystem nicht mehr lösbar („Schließungsproblem“). Durch ein „Turbulenzmodell“ müssen deshalb zusätzliche, empirische Gleichungen für die Geschwindigkeitsschwankungen gewonnen werden, z.B. dadurch, daß man einen Zusammenhang zwischen den Reynolds-Spannungen und den Mittelwerten der Geschwindigkeitskomponenten herstellt. 8.3.2 Turbulenzmodellierung Generell beschreibt das Turbulenzmodell die Verteilung der Reynoldsspannungen im Strömungsgebiet, die dann in Gl. (8.1) eingehen. Alle bekannten Turbulenzmodelle sind empirischer Natur. Sie enthalten Konstanten und Ansätze, die so gewählt wurden, daß die Versuchsergebnisse der jeweils betrachteten Geometrien und Strömungsarten möglichst gut durch die Berechnung wiedergegeben werden. Wenn ein Turbulenzmodell 5 oder mehr empirische Konstanten enthält, kann ein und dieselbe Messung einer gegebenen Strömung durch verschiedene (für die betrachtete Strömung etwa gleichwertige) Kombinationen von Zahlenwerten für die empirischen Konstanten beschrieben werden. Welche Kombination physikalisch sinnvoll ist oder sich besser für andere Fälle eignen würde, läßt sich aber schwerlich entscheiden (hierzu müßte eine statistisch relevante Anzahl von Messungen untersucht werden, was kaum praktikabel wäre). Hieraus folgt: es gibt kein universell gültiges Turbulenzmodell, das für alle Fälle optimale Ergebnisse erwarten ließe. Vielmehr muß man für den zu berechnenden Fall das am besten geeignete Modell auswählen und anhand von Meßergebnissen sorgfältig validieren, Kap. 8.8.2. In der Wahl des Turbulenzmodells und der zugehörigen Turbulenzparameter liegt denn auch eine der wesentlichen Unsicherheiten der 3D-Navier-StokesBerechnungen von Turbomaschinen. Bezüglich Einzelheiten dieses Forschungsgebietes sei auf die Literatur verwiesen, z.B. [8.8−8.10, 8.26, 8.33, 8.61−8.63, 8.79]. Aus der Vielzahl von Turbulenzmodellen werden hier nur einige erwähnt. Zu jedem der im folgenden vorgestellten Modelle gibt es zudem noch verschiedene Versionen. Dieser Sachverhalt bezeugt unmißverständlich, daß das Problem noch nicht befriedigend gelöst ist. Die meisten Turbulenzmodelle beruhen auf dem Konzept der in Kap. 1.5.1 besprochenen Wirbelviskosität νt, die im Gegensatz zur kinematischen Zähigkeit (Stoffgröße) nur durch die örtliche Strömung bedingt ist. Die Wirbelzähigkeit wird durch einen „Geschwindigkeitsmaßstab“ Vt und „Längenmaßstab“ Lt der Turbulenz beschrieben, wobei νt = Vt Lt gesetzt wird.

452

8 Numerische Strömungsberechnungen

Turbulenzmodelle werden oft gemäß der Anzahl der verwendeten „Transportgleichungen“ klassifiziert; das sind Differentialgleichungen, die den Transport der Turbulenzgrößen im Strömungsgebiet näherungsweise beschreiben. Null-Gleichungsmodelle (oder „algebraische“ Turbulenzmodelle) nehmen an, daß die Wirbelzähigkeit im wesentlichen nur von lokalen Größen wie den Geschwindigkeitsgradienten und einem vorgegebenen Längenmaß für die energietragenden Wirbel abhängt. Diese Abhängigkeit wird durch algebraische Gleichungen beschrieben. Die Modelle sind verwendbar für anliegende Strömungen sowie für Flüssigkeitsstrahlen und Nachlaufströmungen; sie zeichnen sich durch ihren geringen Rechenaufwand aus. Ein-Gleichungs-Turbulenzmodelle berücksichtigen neben lokalen Größen auch die Vorgeschichte – also das Geschehen stromaufwärts des betrachteten Elementes. Dies erfolgt meistens mittels einer Transportgleichung für das Geschwindigkeitsmaß der Turbulenz, z.B. in Form einer Transportgleichung für die kinetische Energie k der Turbulenz. Zwei-Gleichungs-Turbulenzmodelle verwenden zwei Transportgleichungen für die Turbulenzparameter Vt und Lt (oder k und ε). Zu dieser Gruppe gehört auch das bislang häufig verwendete k-ε-Modell, das meistens zusammen mit einer Wandfunktion eingesetzt wird. Es basiert auf der spezifischen kinetischen Energie k und der Dissipationsrate ε der turbulenten Schwankungen. Die Produktion von Turbulenz wird aufgrund der lokalen Geschwindigkeitsgradienten berechnet. Als Turbulenzparameter werden der Turbulenzgrad Tu und das Längenmaß der Turbulenzballen Lt verwendet. Zwischen den Turbulenzgrößen gelten folgende Beziehungen: k=

1 § '2 3 '2 '2 · '2 ¨ wx + w y + wz ¸ ≈ wx 2© ¹ 2

Tu =

w x '2 w Re f

=

1 w Re f

2 k 3

ε=

k3 / 2 Lt

(8.4)

Die turbulente Zähigkeit wird aus den Turbulenzparametern berechnet: ν t = cμ L t

k = cμ

k2 ε

(8.4a)

Im „Standard-k-ε-Modell“ wird die Konstante cμ = 0,09 verwendet. Dazu kommen noch vier weitere empirische Konstanten in den Transportgleichungen für die turbulente kinetische Energie k und die Dissipationsrate ε, mit denen u.a. die Produktion der kinetischen Energie der Turbulenz gesteuert wird. Für zweidimensionale, anliegende Grenzschichten, in denen die Produktions- und Dissipationsrate der turbulenten kinetischen Energie im lokalen Gleichgewicht sind, besteht zwischen der Wandschubspannung τw und den Turbulenzparametern die folgende Beziehung (s.a. Tafel 8.1): wτ ≡

τw = cμ 1 / 4 k ρ

(8.4b)

8.3 Grundlagen für Navier-Stokes-Berechnungen

453

Das Standard k-ε-Modell zeigt Schwächen bei der Modellierung von: • • • • • • •

Strömungen auf gekrümmten Bahnen, verzögerten Strömungen. 3-dimensionalen Grenzschichten, rotierenden Komponenten, da die Feldkräfte die Grenzschichten beeinflussen, drallbehafteten Strömungen, starken Sekundärströmungen. Sekundärströmungen, die allein durch die Turbulenz erzeugt werden, lassen sich nicht erfassen. Solche „Sekundärströmungen zweiter Art“ treten in nicht kreisförmigen Kanälen auf, Abb. 1.6. • An Orten mit starken Geschwindigkeitsgradienten (z.B. in Staupunktnähe) wird die Produktion von turbulenter kinetischer Energie zu hoch berechnet, wodurch Ablösungen nicht oder unzureichend erfaßt werden.

Fast all diese Phänomene treten in Laufrädern, Leiträdern, Spiralen und Einlaufgehäusen auf. Die Schwächen äußern sich u.a. darin, daß die Verlustberechnung unsicher wird, und daß Ablösungszonen als zu klein berechnet oder gar nicht erkannt werden, [8.32]. Ferner werden die Geschwindigkeitsverteilungen in verzögerter oder gekrümmter Strömung nicht richtig berechnet, wie anhand eines Diffusors in [8.48] und von Bögen in [8.27 u. 49] gezeigt wird. Bei der Berechnung einer drallbehafteten Strömung in einem Rohr, wie sie z.B. bei einem Wirbelzopf auftritt, versagte das k-ε-Modell ebenfalls: der Drallabbau infolge Reibung wurde zu groß und die axiale Geschwindigkeitsverteilung falsch berechnet, [8.49]. Zu beachten ist, daß das Standard k-ε-Modell mit logarithmischem Wandgesetz bereits in scheinbar einfachen Geometrien wie Diffusoren oder Rohrbögen versagt. Hieraus folgt letztlich, daß das k-ε-Modell für die Berechnung von Pumpen ungeeignet ist: schließlich treten in Laufrädern, Leiträdern und Spiralgehäusen verzögerte Strömungen auf gekrümmten Bahnen, ausgeprägte Sekundärströmungen und häufig auch Ablösungen auf. Die Unfähigkeit des Standard k-ε-Modells, diese Phänomene zu erfassen, liegt neben der eigentlichen Turbulenzmodellierung vermutlich auch in dem Umstand begründet, daß man mittels logarithmischen Wandgesetzen vorschreibt, was an der Wand zu passieren hat, s. Kap 8.3.3.1 Trotz seiner gravierenden Mängel wird das k-ε-Modell verbreitet eingesetzt, weil die Rechnungen oft besser konvergieren als bei anderen Modellen und weil es eines der ersten industriell einsetzbaren Zweigleichungs-Turbulenzmodelle war und so eine breite Validierungsbasis besitzt. In manchen Programmen wird ein modifiziertes k-ε-Modell verwendet, wobei man den Einfluß der Stromlinienkrümmung zu erfassen sucht. Speziell für die Fluidbewegung gegen starken Druckanstieg in Strömungsrichtung, wurde das k-ω-Modell entwickelt, das eine Transportgleichung für die Frequenz ω der „großen“ Wirbel löst (mit Lt = k1/2/ω). Das k-ω-Modell erfaßt die 1

Es ist daher zu vermuten, daß das k-ε-Modell für die Berechnung von Pumpen und Kompressoren in Zukunft an Bedeutung verlieren wird.

454

8 Numerische Strömungsberechnungen

Vorgänge in Wandnähe genauer als das k-ε-Modell, während letzteres das Geschehen in der freien Strömung besser beschreibt. Daher werden beide Modelle gemeinsam eingesetzt mit einem kontinuierlichen Übergang zwischen wandnaher und Kernströmung, [8.61]. Nahe bei Ablösungen besteht ein Ungleichgewicht zwischen Produktion und Dissipation der Turbulenz. Diese Situation wird durch die im k-ω-und k-ε-Modell verwendete Wirbelviskositätsbeziehung nicht gut wiedergegeben. Ein Schubspannungs-Transport-Modell (SST) bringt hier Verbesserungen, [8.61]. Es verwendet das k-ε-Modell in der freien Strömung und das kω-Modell in Wandnähe sowie eine modifizierte Wirbelviskositätsbeziehung, welche die Schubspannungen bei Druckanstieg begrenzt. Auch das k-ω-Modell benötigt fünf empirische Konstanten. Beim SST-Modell kommen noch empirische Übergangsfunktionen zwischen dem k-ω-und dem k-ε-Modell dazu. Gekrümmte Strömungen lassen sich dennoch schlecht simulieren. Das „Kato-Launder k-ε-Modell“ ist eine Modifikation des Standard k-εModells, bei der die Überproduktion von Turbulenz im Bereich hoher Geschwindigkeitsgradienten durch eine alternative Formulierung des Produktionsterms vermieden wird, [8.81]. Bei dem k-ε-Modell für niedrige Reynolds-Zahlen („Low-Re- k-ε-Modell“) wird die Strömung bis nahe zur Wand berechnet. Dabei werden die Konstanten des Standard k-ε-Modells mit Funktionen multipliziert, die von Reynolds-Zahlen abhängen, welche mit Turbulenzgrößen gebildet werden. Der maximale Randabstand der Zellen ist dabei auf y+ ≤ 2 zu begrenzen. Die erste Zelle in Wandnähe muß in der viskosen Unterschicht liegen. Eine genügende Auflösung in Wandnähe verlangt daher entsprechend viele Gitterpunkte. Mit einem Zwei-Schichtenmodell sucht man ebenfalls die Wandströmung - einschließlich Rauheitseffekten - genauer zu beschreiben, Rechnung und Versuch hierzu in [8.62 u. 8.63]. Auch in diesen Verfahren ist allerdings sehr viel Empirie vorhanden. Die Grenze zwischen wandnaher Schicht und der Kernströmung wird oft bei νt/ν ≈ 20 gewählt. Reynoldsspannungs-Transportmodell: Alle Komponenten der Reynoldsspannungen, Gl. (8.3), werden durch Transportgleichungen beschrieben, ohne von der Vorstellung einer turbulenten Zähigkeit Gebrauch zu machen. Die zusätzlich entstehenden 7 gekoppelten Gleichungen (6 Reynoldsspannungen und 1 Längenmaß) und der Verzicht auf die Wirbelviskositätsannahme gestalten die Rechnung aufwendig und die Konvergenz schwierig. Randbedingungen für alle zusätzlichen Parameter sind ebenfalls zu formulieren. Dieses Modell ist in der Strömungsmaschinenindustrie wenig verbreitet. Bei der Grobstruktursimulation (LES = large eddy simulation) werden die Bewegungen großer Wirbel, die sich mit Hilfe der Mittelwerte der finiten Volumen erfassen lassen, direkt instationär berechnet, während zur Beschreibung der kleinen Wirbel innerhalb der Elemente ein Turbulenzmodell verwendet wird, [8.36 u. 8.37]. Eine große Schwierigkeit bei LES-Modellen ist jedoch die Wandbehandlung, da „große“ und „kleine“ Wirbel in Wandnähe schwer voneinander zu unterscheiden sind und zudem auch Wandgesetze zur Bestimmung der instationä-

8.3 Grundlagen für Navier-Stokes-Berechnungen

455

ren Wandschubspannungen eingesetzt werden müssen. LES-Rechnungen für einen scharfen 90°-Rohrbogen (R/D = 1,0) in [10.52] und für einen Diffusor [8.48] stimmten gut mit den Messungen überein bezüglich Ablösung, Geschwindigkeitsverteilungen und Reibungsbeiwerten. Auch ein einseitig öffnender Diffusor ließ sich mit LES gut berechnen, während parallele Berechnungen mit dem k-ε-Modell zu keinen brauchbaren Resultaten führten, da Ablösung, Geschwindigkeitsverteilungen und Reibungsbeiwerte falsch berechnet wurden. Solche Ergebnisse sollten aber nicht verallgemeinert werden, weil Widersprüche zwischen verschiedenen Untersuchungen bestehen. Für LES-Rechnungen werden sehr feine, möglichst isotrope Rechennetze benötigt. Die Anzahl der erforderlichen Rechenelemente steigt mit der zweiten Potenz der Reynolds-Zahl, so daß eine breite Anwendung im Pumpenbau z.Zt. wegen begrenzter Rechnerkapazität kaum in Frage kommt. Deshalb fehlen auch entsprechende Erfahrungen. Bewältigen lassen sich Strömungen mit Reynolds-Zahlen um 5000 bis vielleicht 20'000 (je nach Rechner und Geometrie). Man steht hier erst am Anfang der Entwicklung. In [8.48] wird ein „v2-f“ Turbulenzmodell (vergleichbar mit dem SST Modell) mit einem linearen Wandgesetz verwendet, das sehr ähnliche Resultate für die Strömung in einem Diffusor liefert, wie das LES-Verfahren. 8.3.3 Behandlung der Strömung in Wandnähe In unmittelbarer Wandnähe verschwinden alle Geschwindigkeitskomponenten, inklusive der Schwankungswerte; hier muß das Rechenverfahren also Randbedingungen setzen, die aus „Wandfunktionen“ nach Tafel 8.1 berechnet werden. Man unterscheidet grundsätzlich: • Eine feine Auflösung des Rechengebietes bis in die viskose Unterschicht, d.h. bis in Wandnähen y+ = 1 (s. Tafel 8.1). Innerhalb der viskosen Unterschicht wird eine lineare Geschwindigkeitsverteilung gemäß Gl. (T8.1.8) angenommen („lineares Wandgesetz“). Diese Modellierung erfordert entsprechend viele Zellen; sie wird verwendet bei: k-ε-Modell für niedrige Reynolds-Zahlen, Zweischichten-Modell, v2-f Turbulenzmodell, SST Modell, ReynoldsspannungsTransportmodell oder bei der Grobstruktursimulation. • Eine gröbere Auflösung des Rechengebietes in Wandnähe, bei der ein logarithmisches Wandgesetz nach Tafel 8.1 gemäß Gl. (T8.1.8-8.1.10) angesetzt wird. Das logarithmische Wandgesetz wird im Standard k-ε-Modell verwendet, weil die Transportgleichungen für k und ε in diesem Modell in Wandnähe keine sinnvollen Resultate liefern. Bei der Berechnung ist die Zellengröße in Wandnähe so zu wählen, daß y+ im Bereich von 30 bis 100 liegt. Die Wandgesetze in Tafel 8.1 gelten für Strömungen ohne wesentliche Druckänderung in Strömungsrichtung, also Platten, Rohre und Kanäle mit hydraulisch glatten oder rauhen Oberflächen. Rauheitseffekte lassen sich auf diese globale Weise aber nur sehr unvollkommen beschreiben. Eine geometrische und strö-

456

8 Numerische Strömungsberechnungen

mungstechnische Modellierung der Strömung über Einzelrauheiten wäre aber absolut unpraktikabel. Bemerkungen zu Tafel 8.1: • Alle Gleichungen sind nur für y > ε verwendbar, weil sich innerhalb der Rauheitserhebungen keine Geschwindigkeitsverteilung definieren läßt. • Gleichung (T8.1.9 u. T8.1.10) sind praktisch bis nahe Rohrmitte verwendbar. Gleichung 8.1.11 ist ebenfalls für y+ > 70 verwendbar. Bei rauhen Rohren ergeben sich aber größere Abweichungen als nach Gl. (T8.1.9 oder 8.1.10). • Gleichung (T8.1.8 u. T8.1.9) liefern für hydraulisch glatt (ε+ = 0) bei y+ = 11.6 denselben Wert w+ = 11.6. • Die Grenze y+ = 11.6 in Gl. (T8.1.9) ist eine Näherung; voll turbulente Reibung tritt erst für y+ > 70 auf. Der Übergangsbereich 5 < y+ < 70 wird oft durch eine Potenzfunktion (dritten Grades) beschrieben. • Die Gln. (T8.1 bis 8.1.10) gelten für Rohre, Kanäle und ebene Platten, während Gl. (T8.1.11 u. 8.1.12) nur für Rohre anzuwenden ist. Sie können zur Berechnung von Vergleichwerten dienen. Die Verwendung eines Wandgesetzes wirft eine Reihe von grundsätzlichen Problemen auf: 1. Schreibt man die Geschwindigkeitsverteilung an der Wand vor, nimmt man u.U. das gesuchte Ergebnis der Rechnung mindestens teilweise vorweg. In Finiten-Volumen-Verfahren wird jedoch nicht die Geschwindigkeitsverteilung an der Wand vorgegeben, sondern es wird die Wandschubspannung an der Zelle mit Hilfe von Wandfunktionen bestimmt. Aus der Flußbilanz ergibt sich dann die Geschwindigkeit im Kontrollvolumen. Wenn die anderen 5 Flüsse oder die Quellterme in der Zelle dominieren, muß der rein durch die Wandfunktion verursachte Fehler nicht groß sein. Deshalb liefern logarithmische Wandfunktionen mitunter brauchbare Ergebnisse in Strömungen, für die sie eigentlich a priori nicht geeignet scheinen. 2. Das Wandgesetz definiert die Wandschubspannung; damit werden die Verluste beeinflußt. Das gilt sowohl für die Wandreibung als auch für den turbulenten Impulsaustausch zwischen wandnahen Schichten und der Hauptströmung. 3. In verzögerter Strömung mit dp/dx > 0 (z.B. in einem Diffusor) sinkt die Wandschubspannung mit zunehmender Rauheit und wird bei einer Ablösung τw ≈ 0. Bei Verwendung eines logarithmischen Wandgesetzes in verzögerter Strömung können Ablösungen folglich nicht richtig erkannt werden oder sie treten bei merklich kleineren Förderströmen auf als in der Messung. Ähnliches gilt auch für die Strömung auf gekrümmten Bahnen (sofern es sich nicht um eine stark beschleunigte Strömung handelt), weil dort gemäß Kap. 1.4.3 (Abb. 1.12) auch Zonen mit Verzögerung auftreten. 4. Daß eine erhöhte Rauheit bei einer Strömung gegen einen Druckanstieg zu vorzeitiger Ablösung führt, zeigen auch Messungen und Rechnungen in [8.63].

8.3 Grundlagen für Navier-Stokes-Berechnungen

Tafel 8.1 Wandgesetz und Geschwindigkeitsverteilung

457

Gl.

Definitionen

Gültig nur für ausgebildete Strömung an Platten, in Rohren (Kanälen); ungültig für Diffusoren, Krümmer, Laufräder, Leiträder, Spiralgehäuse. Achtung: In dieser Tafel ist ε die Wandrauheit, nicht zu verwechseln mit der Wirbeldissipation im k-ε Modell !

wτ =

τw ρ

Dimensionsloser Wandabstand

y+ =

y wτ ν

8.1.2

Dimensionslose Geschwindigkeit

w+ =

w wτ

8.1.3

Rauheitsparameter

ε+ =

wτ = wm

Mittlere Geschwindigkeit y+ < 5

viskos hydraulisch glatt 0<

ε wτ <5 ν

cf = 2

ε = äquivalente Sandrauheit

ε wτ ν

Dicke der viskosen Unν ν δl = 5 =5 terschicht nur für hyw w τ m draulisch glatt

Art der Reibung

λR 8

Schubspannungsgeschwindigkeit

2 cf

Q wmax = Geschwindigkeit in Rohrmitte A 5 < y+ < 70 y+ > 70 laminar – turbulent rein turbulent Übergangsbereich hydraulisch rauh ε wτ < 70 ν

8.1.4 8.1.5

wm =

5<

8.1.1

ε wτ > 70 ν

8.1.6

8.1.7

alle Rauheiten liegen die Rauheiten ragen alle Rauheiten ragen aus innerhalb der viskosen teilweise aus der visko- der viskosen UnterUnterschicht sen Unterschicht schicht heraus cf und λR = f(Re)

hydraulisch glatt Übergangsbereich und rauh

cf und λR = f(Re, ε/Dh) cf und λR = f(ε/Dh) Geschwindigkeitsprofile w + + ist = 2.5 ln y + + 5.5 für y+ < 5 ist w = y+ für y > 11.6 wτ für hydraulisch glatt ist ε+ = 0 zu setzen

Hydraulisch rauh

w y+ = 2.5 ln + 5. 5 wτ 1 + 0. 3 ε +

8.1.8

8.1.9 +

gültig für y > ε und 11.6 < y < 300 bis 500 w y = 2.5 ln + 8.5 wτ ε

8.1.10

+

gültig für y > ε und 11.6 < y < 1500 bis 3000

Mittengesetz, verwendbar etwa ab y+ > 1500 bis 3000

w y = 1 + 2.5 ln w max R

Verhältnis zwischen mittlerer und maximaler Geschwindigkeit; theoretisch Faktor 3.75 statt 4.07

wm = w max

cf w m 2 w max

8.1.11

1 1 + 4.07

wτ wm

8.1.12

458

8 Numerische Strömungsberechnungen

5. Wie in Kap. 3.10.3 ausführlich dargelegt, hängen die Verluste in einer durchströmten Komponente von der Wechselwirkung zwischen Rauheit, wandnaher Strömung, Turbulenz und Geschwindigkeitsverteilung ab. Die Berücksichtigung der Rauheit nach den Gleichungen in Tafel 8.1 in CFD-Rechnungen ist daher nicht befriedigend: Große Abweichungen zwischen berechneten und realen Verlusten sind häufig zu erwarten, wenn man unkritisch zu Werke geht. Zusammenfassend ist festzuhalten: • Ablösungen und Verluste können durch Verwendung eines Wandgesetzes stark beeinflußt werden − dies gilt insbesondere für verzögerte oder gekrümmte Strömungen. • Rauheitseffekte lassen sich in CFD-Rechnungen nur sehr unvollkommen erfassen. Die in Kap. 3.10 besprochenen Unzulänglichkeiten in der Beurteilung der Wirkung von Rauheiten auf Strömungsverteilung und Verluste betreffen die Numerik ebenfalls in vollem Umfang. • Für die Berechnung von Kreiselpumpen sollten folglich ausschließlich Turbulenzmodelle mit linearen Wandgesetzen oder einer Kombination aus logarithmischen und linearen Wandgesetzen verwendet werden, die eine Modellierung der Strömung bis nahe an die Wand (y+ < 2) ermöglichen. 8.3.4 Netzerzeugung Für Pumpenkomponenten lassen sich die oben besprochenen, durch Turbulenzmodelle ergänzten, Grundgleichungen nur numerisch lösen. Hierzu muß das Rechengebiet in eine Vielzahl kleiner Einheiten aufgeteilt („diskretisiert“) werden. Um diese Aufgabe überhaupt angehen zu können, muß zunächst ein Geometriemodell des zu berechnenden Bauteiles erstellt werden; das heißt, daß die Komponente oder das zu berechnende Strömungsgebiet vollständig durch Koordinaten beschrieben werden muß. Man benötigt also leistungsfähige Geometrieprogramme für den Entwurf der Laufräder, Leiträder und Gehäuse. Interaktive Änderungen an der Geometrie sollten möglich sein, um die Komponenten effizient optimieren zu können. Für die Lösung derartiger Aufgaben werden vermehrt kommerzielle 3D-CAD-Programme eingesetzt. Ist die Geometrie des Bauteils oder Rechengebietes auf diese Weise lückenlos beschrieben, werden die Daten an einen „Netzgenerator“ übergeben. Genügend feine Rechennetze von möglichst guter Qualität sind eine der wichtigsten Voraussetzungen für das Gelingen numerischer Strömungsberechnungen; denn grobe Netze oder solche mit ungünstigen Elementen können die Rechenergebnisse bis zur Unbrauchbarkeit verfälschen. Die Netzerzeugung ist daher von hervorragender Bedeutung; sie bildet häufig den schwierigsten und aufwendigsten Schritt einer CFD-Berechnung. Man unterscheidet strukturierte und unstrukturierte Netze, Abb. 8.1 und 8.2. Strukturierte Netze bestehen meist aus quaderförmigen Elementen, die das Rechengebiet regelmäßig ausfüllen; sie bieten wenig Flexibilität, haben aber eine

8.3 Grundlagen für Navier-Stokes-Berechnungen

459

einfache Datenstruktur; ihre Integration in 3D-CAD-Systeme ist schwierig. Unstrukturierte Netze erfüllen das Rechengebiet in beliebiger Weise mit Tetraedern, ohne daß kontinuierliche Netzlinien entstehen; sie sind daher flexibel und leicht in 3D-CAD-Systeme integrierbar; ihre Datenstruktur ist aber aufwendiger und die Rechenzeit deutlich länger als bei rein strukturierten Netzen. Block-strukturierte Netze verbinden die Vorteile beider Systeme; in ihnen werden die verschiedenen Teile des Rechengebietes in strukturierten Blöcken vernetzt, die Blöcke werden aber unstrukturiert zusammengehängt. Eine der Schwierigkeiten besteht darin, die Netze so zu gestalten, daß die Netzlinien möglichst senkrecht an die Wände anschließen, also z.B. bei flachen Schaufelwinkeln, wie sie bei Pumpenlaufrädern am Eintritt vorkommen (bei einem Vorsatzläufer nur 4 bis 8°) oder bei Saugkrümmern. Vor und nach der untersuchten Komponente muß das Rechengebiet durch genügend große Ein- und Austrittsteile ergänzt werden, wie in Abb. 8.1 am Beispiel eines Laufrades gezeigt. In [8.77] wird für die Länge dieser Netzteile etwa die halbe Schaufellänge empfohlen. Gestaltungsrichtlinien für die Netzerzeugung: 1. Die Netzlinien sollen möglichst orthogonal an die Wände anschließen. Auch innerhalb des Rechengebietes sind orthogonale Netzlinien anzustreben. Die Elemente sollen keine Winkel unter 40° oder über 140° aufweisen (im Extremfall werden auch Winkel zwischen 20° und 160° verwendet). Winkel unter 40° beeinträchtigen nicht nur die Genauigkeit der Resultate, sondern verschlechtern im allgemeinen auch die Konvergenz. Eine mögliche Abhilfe bieten blockstrukturierte Netze, in denen ein O-Netz um die Schaufel gelegt wird, vGl. [8.77]. Bei stark verwundenen Schaufeln sind gewisse Netzverzerrungen allerdings unvermeidlich. 2. Bei kreisförmigen Querschnitten werden daher Netze wie in Abb. 8.4 erstellt. 3. An den Rändern des Rechengebietes, an denen Fluid ein- oder ausströmt, sollen die Netzlinien mit nahe 90° anschließen. 4. Netzlinien dürfen sich nicht überschneiden (negative Volumina). 5. Netzlinien sollen, soweit möglich, qualitativ ähnlich wie Stromlinien verlaufen (schwierig bei 3D-Strömungen, unmöglich bei Ablösegebieten mit geschlossenen Stromlinien). 6. Die Elementgröße soll nicht sprunghaft ändern: von einem Element zum nächsten sollen sich die Abmessungen nicht mehr als um den Faktor 1,5 bis 2 vergrößern („Zellvergrößerungsfaktor“). Diese Forderung betrifft besonders auch Bereiche mit hohen Geschwindigkeitsgradienten. (Anweisungen im verwendeten Programm beachten.) 7. Im Bereich großer Geschwindigkeitsgradienten (Schaufeleintritts- und Austrittskante, in Spalten und in Wandnähe) ist das Netz zu verfeinern. Die Grenze zwischen verfeinertem und unverfeinertem Netz soll nicht im Bereich hoher Gradienten liegen. Manche CFD-Programme können die Netze in Zonen mit starken Gradienten automatisch verfeinern.

460

8 Numerische Strömungsberechnungen 115 94

26

1

Abb. 8.1. Strukturiertes Netz für einen Laufradkanal (75000 Knoten)

Abb. 8.2. Unstrukturiertes Netz für das Leitrad einer halbaxialen Pumpe

8.3 Grundlagen für Navier-Stokes-Berechnungen

461

8. Enthält die numerische Lösung Zonen mit hohen Residuen, kann man dort die Netze verfeinern; manche Programme leisten das auch automatisch. 9. An Rändern mit periodischen Randbedingungen ist eine besonders gute Netzqualität notwendig. 10. Die Laufschaufelhinterkante verdient besondere Beachtung, weil die Rechnung auf ihre Modellierung empfindlich reagieren kann. Allgemein gilt als Tendenz: je feiner die Netze, desto größer die Genauigkeit, desto höher aber auch die Rechenzeit und die Konvergenzschwierigkeiten. Für Pumpenkomponenten umfaßt die minimale Netzfeinheit aus heutiger Sicht 70’000 bis 100’000 Knoten pro Lauf- oder Leitschaufelkanal. Falls es die Strömung oder die Geometrie erfordert, werden auch mehr Knoten verwendet. Mit zunehmender Knotenzahl wird die Rechung grundsätzlich genauer. Ist das beim Vergleich mit Messungen scheinbar nicht der Fall, haben sich numerische Fehler mit Modellierungs- oder Anwenderfehlern kompensiert, Kap. 8.8. Laufräder werden im rotierenden, Leiträder und Gehäuse im stationären Bezugssystem berechnet. Bei Lauf- und Leiträdern wird meist nur eine Schaufel bzw. ein Kanal unter Nutzung periodischer Randbedingungen behandelt. Bei der Laufradberechnung im Relativsystem rotieren die im Absolutsystem festen Wände an Eintritt und Austritt mit -ω; dies gilt ebenfalls für die Gehäusewand, wenn offene Laufräder untersucht werden. 8.3.5 Numerische Verfahren und Steuerparameter Zur Berechnung der Strömung werden die partiellen Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen umgewandelt, wobei verschiedene Verfahren − wie finite Elemente, finite Differenzen oder finite Volumen − angewendet werden können. Sodann stehen verschiedene Algorithmen für die Lösung des Gleichungssystems zur Verfügung. Weit verbreitet sind der „SIMPLE“ Algorithmus (SemiImplicit Method for Pressure Linked Equations) und dessen Derivate. Die verschiedenen Algorithmen unterscheiden sich durch Rechenzeit, Konvergenzverhalten und Genauigkeit; hierbei stützt man sich tunlichst auf die Dokumentation des verwendeten Rechenprogramms. Einzelheiten zu den numerischen Verfahren finden sich z.B. in [8.42, 8.43, 8.58−8.60]. Wie die physikalischen Größen − Geschwindigkeit und Druck − innerhalb der Berechnungszellen verlaufen, wird durch algebraische Differenzengleichungen beschrieben. Dabei muß der Anwender den Grad des entsprechenden Polynoms definieren. Hierzu stehen er in der Regel mindestens drei Möglichkeiten zur Auswahl: 1. Abbruchfehler erster Ordnung: innerhalb einer Zelle sind die physikalischen Größen konstant, 2. Abbruchfehler zweiter Ordnung: die Größen variieren linear, 3. Abbruchfehler dritter Ordnung: die Größen variieren quadratisch.

462

8 Numerische Strömungsberechnungen

Rechnungen mit den oben angegebenen Netzgrößen und mit Abbruchfehlern erster Ordnung gelten im Strömungsmaschinenbau als zu ungenau; in [8.52 u. 8.57] wird für CFD-Rechnungen mindestens die zweite Ordnung verlangt. Denn bei Rechnungen erster Ordnung kann die „numerische Diffusion“(Zähigkeit) die Genauigkeit stark beeinträchtigen, [8.59]. Abbildung 8.3 zeigt am Beispiel einer 1-stufigen Spiralgehäusepumpe (nq = 35, aus [8.64]) welch große Unterschiede zwischen Rechnungen 1. und 2. Ordnung auftreten können. Zudem zeigt sich, daß der Einfluß der Netzfeinheit bei der 1. Ordnung wesentlich größer ist als bei der 2. Ordnung. Auch hier ist eine Verallgemeinerung der Ergebnisse schwierig.1 Je höher die Ordnung des Polynoms, desto größer ist die numerische Genauigkeit, desto schlechter allerdings auch die iterative Konvergenz. Treten Konvergenzschwierigkeiten auf, kann man die Rechnung mit der ersten Ordnung starten und die so konvergierte Rechnung anschließend mit höherer Ordnung weiterlaufen lassen. 0.88 1‘500‘00

0.87

Pumpenwirkungsgrad

0.86

2. Ordnung

400‘000

0.85 0.84 0.83 0.82 0.81 0.80 0.79

1‘500‘00 1. Ordnung

800‘00

0.78 0.77 1.00E-04

400‘000 1.00E-03

Residual

1.00E-02

Abb. 8.3. Einfluß der Netzgröße und der Ordnung auf die Ergebnisse, [8.78]

Jedes Programm verfügt zudem über weitere numerische Parameter, mit denen Genauigkeit und Konvergenzverhalten optimiert werden können, z.B. Dämpfungs- und Relaxationsfaktoren und Zeitschritte. Diese Parameter verbessern zwar die Konvergenz, Dämpfungsfaktoren können aber die Ergebnisse beeinflussen. Nur durch Vergleich mit Messungen und durch konsistente Verwendung gleicher Parameter für ähnlich gelagerte Fälle läßt sich die Zuverlässigkeit der Rechnungen verbessern und die Gefahr von Zufallsergebnissen verringern. Eine unzureichend konvergierte Rechnung muß in aller Regel als unbrauchbar klassifiziert werden. Die Konvergenz wird durch die „Residuen“ und den Konvergenzverlauf beurteilt. Die Residuen zeigen an, wie weit eine Lösung von der ex1

Die Abbruchfehlerordnung allein bestimmt noch nicht die Genauigkeit; sie sagt nur aus, daß mit zunehmender Netzdichte die exakte Lösung schneller erreicht wird.

8.3 Grundlagen für Navier-Stokes-Berechnungen

463

akten Erfüllung der diskretisierten Erhaltungssätze für Masse und Impuls entfernt ist. In der Regel sind die Residuen dimensionslose Größen (das Residuum der Erhaltung der Masse ist dabei z.B. bezogen auf den gesamten Massenstrom), Kap. 8.8. 8.3.6 Randbedingungen Für alle Variablen in den Transportgleichungen sind an den Berandungen des Rechengebietes „Randbedingungen“ vorzuschreiben. An festen Wänden, die der Benutzer vorschreibt, setzt das CFD-Programm die Randbedingungen automatisch: Haftbedingung für Geschwindigkeitskomponenten parallel zur Wand, Geschwindigkeit null senkrecht zur Wand. Eine bewährte Möglichkeit, die Randbedingungen für durchströmte Bauteile sinnvoll zu definieren, wird im folgenden besprochen. Randbedingungen am Eintritt: Am Eintritt in das Rechengebiet wird die Geschwindigkeitsverteilung vollständig (in x-, y-,z-Richtung) definiert. Folglich wird der Massenstrom vorgeschrieben. Bei Einphasenströmungen wird der Druck häufig nicht vorgegeben, während man bei Kavitationsberechnungen den Eintrittsdruck und den Massenstrom am Austritt vorschreibt. Auch Turbulenzgrößen, z.B. Turbulenzgrad und Längenmaßstab (oder alternativ das Verhältnis von Wirbelviskosität zu molekularer Viskosität), müssen vor der Berechnung definiert werden. Als Längenmaßstab kann man z.B. 1 bis 10% des hydraulischen Durchmessers oder der Schaufelhöhe (Kanalbreite) einsetzen. Je höher der Längenmaßstab gewählt wird, desto intensiver wird der Impulsaustausch (oder die Vermischung) quer zur Hauptströmungsrichtung und desto schneller gleichen sich folglich Geschwindigkeitsunterschiede aus. Der Turbulenzgrad in Pumpen ist relativ hoch: am Laufradeintritt z.B. 5 % und am Leitradeintritt bis 10 %1. Mit Hilfe einer Empfindlichkeitsanalyse kann man den Einfluß der Turbulenzparameter im Einzelfall beurteilen. Die Strömung in einem Diffusor hängt entscheidend ab von der Geschwindigkeitsverteilung und der Turbulenz am Eintritt, s. Kap. 1.6, 1.3, 5.3.3. Das gleiche gilt für alle Strömungen mit lokaler Verzögerung − also z.B. auch für Bögen. Solche Komponenten ohne Kenntnis und ohne korrekte Modellierung der Eintrittsbedingungen zu berechnen, kann nur Zufallsergebnisse liefern. Die Turbulenzparameter haben einen großen Einfluß auf Diffusorberechnungen. Die Geschwindigkeitsverteilung am Eintritt ergibt sich oft aus der Strömung durch ein kompliziertes Bauteil. Beispiele sind ein radialer Einlauf mit durchgehender Welle stromaufwärts des Laufrades oder die Laufradabströmung als Eingangsverteilung für Leitradberechnungen. In solchen Fällen sind gekoppelte Berechnungen notwendig, oder man muß die Komponenten einzeln berechnen und die resultierenden Geschwindigkeits- und Druckverteilungen an die stromabwärts 1

Bei den Untersuchungen in [8.35] reagierten die Rechenergebnisse wenig empfindlich auf die Turbulenzparameter. Dieser Befund wird durch CFD-Rechnungen in [5.52] bestätigt.

464

8 Numerische Strömungsberechnungen

liegende Komponente als Eintrittsrandbedingung übergeben, wobei aber die Wechselwirkung zwischen den Komponenten verloren geht. Bei der Berechnung geschlossener Laufräder müßte grundsätzlich der Spaltstrom berücksichtigt werden, da er die Geschwindigkeitsverteilung am Laufradeintritt − insbesondere an der äußeren Stromlinie − beeinflußt. Wird statt des Massenstromes die Druckdifferenz zwischen Ein- und Austritt vorgeschrieben (wobei sich der Massenstrom dann als Ergebnis einstellt), können bei flachen Kennlinien im Teillastgebiet Konvergenzschwierigkeiten auftreten. Periodische Randbedingungen: Zur Verringerung der Rechenzeit wird meist nur ein Laufrad- (oder Leitrad-) -kanal berechnet. Dabei führt man in Teilungsmitte zwischen zwei Schaufeln „periodische Randbedingungen“ ein; dadurch wird die Rechnung so gesteuert, daß sich an den entsprechenden Rändern die gleichen Druck- und Geschwindigkeitsverhältnisse ergeben. Nach Kap. 1 stellt sich eine ausgebildete Rohrströmung erst nach einer erheblichen Rohrlänge (asymptotisch) ein. Anstatt ein langes Rohr zu berechnen, um ein ausgebildetes Eintrittsprofil zu erhalten, kann man wie folgt vorgehen: Nach Abb. 8.4 wird in Strömungsrichtung nur eine Zelle benötigt, wenn Ein- und Austritt als periodische Randbedingungen definiert werden. Dies bedeutet, daß das Programm solange iteriert, bis an Ein- und Austritt die gleiche − also voll ausgebildete − Geschwindigkeitsverteilung herrscht. Dabei wird der Druckgradient in Strömungsrichtung variiert, bis der spezifizierte Volumenstrom erreicht wird. Die Ergebnisse dieser Rechnung in Form des ausgebildeten Geschwindigkeits- und Turbulenzfeldes werden anschließend als Eintrittsrandbedingungen für die Berechnung eines Laufrades, Diffusors, Bogens usw. verwendet. Vorteilhaft ist dabei auch, daß die sich ergebenden (meist unbekannten) Turbulenzparameter konsistent mit den Geschwindigkeitsprofilen sind.

Abb. 8.4. Netz zur Berechnung einer ausgebildeten Rohrströmung mittels periodischer Randbedingungen, ANSYS Germany, Otterfing

8.3 Grundlagen für Navier-Stokes-Berechnungen

465

Periodische Randbedingungen kann man sich auch zunutze machen, wenn die Repetierstufe einer mehrstufigen Pumpe analysiert werden soll: am Eintritt und Austritt der Stufe werden dann in der Berechnung (iterativ) identische Druck- und Geschwindigkeitsverteilungen erreicht (wobei der Mittelwert des Druckes am Austritt um die Druckerhöhung in der Stufe höher ist als am Eintritt). Dies ist der einfachste Weg, um die richtigen Eintrittsbedingungen zu erhalten. Symmetriebedingung: Bei einer Komponente mit einer Symmetrieebene kann man – im Prinzip − nur eine Hälfte des durchströmten Gebietes berechnen und so Rechnerkapazität sparen. Begrenzt man das Rechengebiet durch eine Symmetriebedingung, wird diese als reibungsfreie, wirkungslose Wand behandelt. Geometrische Symmetrie der Komponente ist indessen nicht hinreichend, um diese Vereinfachung treffen zu dürfen: auch die Zuströmung muß symmetrisch sein. Für ein Spiralgehäuse, das von einem einflutigen Laufrad angeströmt wird, trifft dies offensichtlich nicht zu. Auch ein Rohrbogen sollte nicht mittels Symmetriebedingung berechnet, sondern vollständig vernetzt werden, vGl. Kap. 10.12. Randbedingungen am Austritt: Da die Verhältnisse am Austritt einer durchströmten Komponente das gesuchte Ergebnis darstellen, sind die Austrittsrandbedingungen so zu wählen, daß das Ergebnis nicht verfälscht wird, daß sich also Druck- und Geschwindigkeitsverteilung frei einstellen können. Hierzu wird der Druck am Austritt des Rechengebietes in einer Zelle vorgeschrieben und am Eintritt kein Druck spezifiziert. Alternativ dazu kann der Totaldruck am Eintritt und der Massenstrom am Austritt spezifiziert werden. Statt den Druck in einer Zelle vorzugeben, kann auch der mittlere Druck am Austritt gegeben werden. In beiden Fällen hat der absolute Druck keine Bedeutung; als Ergebnis relevant sind lediglich die sich einstellenden Druckdifferenzen zwischen Ein- und Austritt und die Druckverteilungen über die Bilanzquerschnitte. In [10.52] wird für die LES-Rechnung eines 90°-Bogens eine „nicht reflektierende“ Austrittsbedingung verwendet. Dadurch sollen Wellenreflexionen vermieden werden, die zu unphysikalischen Lösungen führen können. 8.3.7 Anfangswerte Zu Beginn der Iteration werden in allen Rechenzellen Startwerte benötigt, die vom Programm automatisch (mitunter null) gesetzt werden, wenn der Benutzer keine Startwerte definiert. Um die Konvergenz zu beschleunigen, könnte man die Umfangskomponente c2u der mittleren Abströmgeschwindigkeit aus dem Laufrad mittels Abströmbeiwert nach Tafel 3.3 bestimmen und diese (zusammen mit c2m aus der Kontinuitätsgleichung) als Anfangswerte verwenden. Für die Zellen innerhalb des Laufrades können die Startwerte linear zwischen Ein- und Austritt interpoliert werden. Analog kann der Leitapparat behandelt werden. Der Gewinn ist bei inkompressiblen Strömungen aber vermutlich gering. Allgemein wird man davon ausgehen, daß die konvergierte Lösung unabhängig von den Startwerten ist. Dies ist aber keineswegs immer der Fall: will man z.B. eine Kennlinienhysterese untersuchen, so ist die konvergierte Lösung des vorher-

466

8 Numerische Strömungsberechnungen

gehenden Betriebspunktes als Startlösung für jeden weiteren Förderstrom einzugeben − und zwar erst mit steigenden Förderströmen und in einer zweite Serie von Rechnungen mit fallendem Durchsatz (oder in umgekehrter Reihenfolge). Auf diese Weise gelang es z.B. eine bei der Messung festgestellte Hysterese mit CFD nachzuvollziehen, [8.65]. Für die Berechnung instationärer Strömungen müssen die Startbedingungen eine Lösung der Differentialgleichung darstellen. Für transiente Vorgänge kann dies der Anfangszustand zur Zeit t = 0 sein. Ist keine Lösung der Differentialgleichung bekannt, verwendet man die triviale Lösung „null“. 8.3.8 Möglichkeiten von 3D-Navier-Stokes-Berechnungen Global kann man die Ziele einer Berechnung wie folgt setzen: 1. Minimierung der hydraulischen Verluste 2. Berechnung der Förderhöhe 3. Erreichen bestimmter Laufradabströmprofile, die man hinsichtlich Verlusten in der Leitvorrichtung oder der Kennlinienstabilität als günstig ansieht (Kap. 5.6). 4. Vorausberechnung der Teillastkennlinie (letztlich nur als Stufenberechnungen von Rotor und Stator erfolgversprechend), Kap. 8.6.2. 5. Berechnung von hydraulischen Kräften. 6. Berechnung von Spaltströmungen, Radseitenräumen einschließlich der rotordynamischen Kräfte oder Koeffizienten, [8.71, 8.75]. 7. Sichtbarmachen von Strömungen auf eng begrenztem Raum, die für experimentelle Untersuchungen kaum zugänglich sind; z.B. Spaltwirbel wie in [8.77]. 8. Instationäre Berechnungen zur Bestimmung der Kennlinien sowie der instationären Druck- und Geschwindigkeitsverteilungen am Laufradaustritt sowie der Wechselwirkungskräfte zwischen Laufrad und Leitapparat, Kap. 8.6.3. 9. Berechnung von Kavitationsströmungen zur Ermittlung des Kavitationsbeginns, der Ausdehnung des Blasenfelds als Funktion des NPSHA-Wertes und des kavitationsbedingten Förderhöhen- oder Wirkungsgradabfalls, Kap. 8.7. 10. Berechnung der Bahnen von Feststoffpartikeln zur Beurteilung des hydroabrasiven Verschleißes, [8.68]. Zusätzlich zu den Navier-Stokes Gleichungen werden dabei Bewegungsgleichungen für die Feststoffpartikel gelöst und so die Bahnen von vielen im Fluid verteilten Partikeln berechnet. Daraus ergeben sich Aufprallwinkel und -geschwindigkeiten der Partikel auf Strukturen. Mit einem Verschleißmodell wird der Abrasionsabtrag berechnet. Die Partikelbewegung ist vermutlich weitgehend bestimmt durch Trägheitskräfte und weniger durch Grenzschichteffekte, so daß Wandgesetz und Turbulenzmodell keine dominierende Bedeutung haben, weshalb realistische Partikelverteilungen berechnet werden, vGl. Kap. 8.8.2. 11. Berechnung von Zwei-Phasenströmungen

8.3 Grundlagen für Navier-Stokes-Berechnungen

467

Bei diesen Aufgaben lassen sich jeweils zwei Wege beschreiten: (A) Im Idealfall betrachtet man absolute Werte (z.B. die Druckzahl und den Wirkungsgrad). Allerdings wird im Pumpenbau eine große Genauigkeit verlangt, weil häufig keine Minustoleranzen auf Wirkungsgrad und Förderhöhe akzeptiert werden, und Zuschläge zur Deckung der Unsicherheiten aus Kostengründen nur begrenzt zulässig sind. (B) Wissend oder annehmend, daß die Absolutwerte nicht genügend zuverlässig sind, stützt man die Beurteilung auf Unterschiede zwischen zwei oder mehr Rechnungen; dies in der Annahme, daß das Laufrad mit den rechnerisch kleinsten Verlusten auch in Wirklichkeit und in Kombination mit der Leitvorrichtung und dem Einlaufgehäuse am besten ist. Diese häufig geäußerte Auffassung ist nach Kap. 8.8.2 kritisch zu beurteilen. Grundsätzlich kann man eine Pumpe als Ganzes oder die Komponenten einzeln berechnen, was folgende Berechnungsmöglichkeiten bietet: Einlaufgehäuse: Berechnen lassen sich die Geschwindigkeitsverteilung am Laufradeintritt und die Verluste. Während die Einlaufverluste im Pumpenbau meist eine untergeordnete Rolle spielen, ist die Optimierung komplizierter Einlaufgehäuse bedeutsam im Hinblick auf eine gleichförmige Laufradanströmung. Dies gilt sowohl für den Wirkungsgrad als auch für den zuverlässigen Betrieb bezüglich Kavitation, Lärm und Schwingungsanregung. Mit zunehmender spezifischer Drehzahl und Leistungsdichte steigt die Bedeutung solcher Optimierungen. Selbst wenn die Genauigkeit der Rechnung nur mäßig ist, sind Navier-Stokes-3DVerfahren für diesen Einsatz gut geeignet [8.16] – besonders im Hinblick darauf, daß entsprechende Versuche sehr aufwendig wären. Voraussetzung hierfür ist der Einsatz eines Turbulenzmodells, das Ablösungen zu erkennen und korrekte Geschwindigkeitsverteilungen zu liefern vermag. Laufrad: Die Laufradberechnung liefert die Erhöhung des statischen Druckes ρ g Hp, die theoretische Förderhöhe Hth, die Totaldruckerhöhung ρ g HLa, die Laufradverluste, z.B. ausgedrückt durch den hydraulischen Laufradwirkungsgrad ηh,La = HLa/Hth, sowie das Abströmprofil. Zudem lassen sich hydraulische Kräfte und Momente durch Integration der Druckverteilungen bestimmen. Die Berechnung des Laufrades allein vermag weder die Förderhöhe noch den hydraulischen Wirkungsgrad der Pumpe zu liefern – auch nicht näherungsweise, weil die Verluste in der Leitvorrichtung nicht berücksichtigt werden. Die starke Wechselwirkung zwischen der Strömung im Laufrad mit dem Leitapparat bei Teillastrückströmung schließt eine getrennte Berechnung der einzelnen Komponenten bei Teillast grundsätzlich aus. Abbildung 4.6b beweist dies an Hand von Messungen eines gegebenen Laufrades mit Leitrad und unbeschaufeltem Leitring: sobald Rückströmung am Laufradaustritt auftritt, ist die vom Laufrad erzeugte statische Druckerhöhung mit Leitrad wesentlich höher als mit glattem Leitring. Eine getrennte Berechnung des Laufrades kann dieses Verhalten nicht voraussagen. Eine häufig beobachtete Übereinstimmung gemessener und gerechneter Kennlinien, etwa im Halblastbereich, hat daher eher Zufallscharakter, weil sich berechnete und gemessene Kennlinie in diesem Bereich oft schneiden. Um die Grenzen einer getrennten Berechnung des Laufrades zu erkennen, betrachte man die in Abb. 5.30 dargestellten Messungen, die beweisen, wie emp-

468

8 Numerische Strömungsberechnungen

findlich die Teillastförderhöhe auf das Zusammenwirken von Lauf- und Leitrad reagieren kann. Leitrad: Die Leitradberechnung ergibt die Erhöhung des statischen Druckes sowie die Verluste. Das Laufradabströmprofil wird als Eingangsgröße benötigt. Spiralgehäuse: Die Berechnung liefert Druckrückgewinn, Druckverteilung und Verluste. Wegen fehlender Umfangssymmetrie muß die Spirale über 360° vernetzt werden, was entsprechend viele Rechenelemente erfordert. Wenn die Spirale durch ein doppelflutiges Laufrad gespeist wird, könnte man eine Symmetrie im Schnitt senkrecht zur Achse nutzen, um die Knotenzahl zu halbieren. Das instationäre Verhalten der Sekundärwirbel kann dann jedoch nicht mehr erfaßt werden (Kap. 10.12). Bei Teillast variiert die Druckverteilung in der Spirale über dem Umfang (Kap. 9.3.3); daher variiert auch die Laufradströmung über dem Umfang: das Laufrad arbeitet in jeder Umfangsstellung bei einem anderen Förderstrom1. Diese Wechselwirkung ist bei der Interpretation der Resultate zu beachten, wenn man Spirale und Laufrad getrennt berechnet. Spiralgehäuse sollten für q* ≠ 1 vermutlich instationär berechnet werden, Kap. 8.6.3. Bei der Einzeloptimierung der Komponenten nimmt man stillschweigend an, daß die getrennt optimierten Komponenten auch gut zusammenarbeiten. Wenn für die Beurteilung der Rechenergebnisse geeignete Kriterien angewendet werden, mag diese Annahme hinsichtlich Verlustminimierung häufig erfüllt sein. Druckrückgewinn und Verluste im Leitrad hängen aber stark von der Ungleichförmigkeit des Laufradabströmprofils ab; die so im Leitrad erzeugten Mischungsverluste müßten daher dem Laufrad angelastet werden. Dies gilt einerseits für den Bestpunkt, ganz besonders aber bei Teillast (Kennlinienstabilität). Der Einfluß der Laufradabströmung auf das Verhalten des Leitrades muß daher besonders beachtet werden, siehe hierzu Kap. 5.3.3. Die Ungleichförmigkeit der Laufradabströmung ist folglich als Kriterium zur Beurteilung von Laufradberechnungen heranzuziehen.

8.4 Mittelwertbildung und Datenaufbereitung Bei numerischen Strömungsberechnungen fällt eine Unmenge von Daten an, die wertlos sind, wenn sie nicht auf eine überschaubare Zahl verständlicher physikalischer Größen und interpretierbare Strömungsbilder zurückgeführt werden. Die Datenaufbereitung, („post processing“) schafft erst die Voraussetzungen dafür, daß aus der Berechnung Ideen für die Optimierung der hydraulischen Konturen abgeleitet werden können. Sie umfaßt folgende Schritte: 1. Integral- und Mittelwertbildung von Geschwindigkeiten, Drücken und Impulsgrößen in verschiedenen Bilanzflächen. Diese Mittelwerte ergeben die globalen Leistungsdaten und die hydraulischen Verluste als wesentliches Optimierungskriterium. 1

Diese Aussage wird durch die Messungen in [9.21] bestätigt, vGl. Tabelle 9.1.

8.4 Mittelwertbildung und Datenaufbereitung

469

2. Geschwindigkeitsprofile an definierten Ebenen, besonders an Ein- und Austritt (Beispiel in Kap. 8.5.4, Abb. 8.11 u. 8.12). 3. Mittelwerte von Impulsmoment, Totaldruck und statischem Druck längs des Schaufelkanals (Beispiel in Kap. 8.5.4, Abb. 8.10). 4. Druckverteilungen an verschiedenen Stromlinien längs der Schaufeln oder Kanäle zur Beurteilung der Schaufelbelastung, des Anstellwinkels und der Ablösungsgefahr (Beispiel in Kap. 8.5.4, Abb. 8.9). 5. Verteilung von Verlustgrößen 6. Kontrollgrößen über Konvergenzverhalten („Residuen“), Massen-, Impuls- und Energiebilanzen in verschiedenen Ebenen zur Beurteilung der Qualität der numerischen Lösung 7. Graphische Darstellung von Strömungsbildern, -profilen und Stromlinien mittels spezieller Graphikprogramme. Die Bildung von Integral- und Mittelwerten ist wichtig, um beurteilen zu können, ob die verlangten Leistungsdaten erreicht werden. Hierzu legt man je eine Bilanzfläche am Eintritt und Austritt der berechneten Komponente oder Pumpe und summiert die Strömungsgrößen über alle Rechenelemente in diesen Bilanzflächen. Verschiedene Mittelungsverfahren wurden vorgeschlagen; so kann man z.B. massen- oder flächengemittelte Größen bilden. Physikalisch sinnvoll ist es, die Summierung so vorzunehmen, daß die Erhaltungsgleichungen für Masse, Drehimpuls und Energie (Enthalpie bzw. Totaldruck) erfüllt werden. Um beurteilen zu können, welche Art der Mittelung dieser Forderung genügt, seien zwei verschiedene Laufräder betrachtet, die jeweils konstante Geschwindigkeits- und Druckverteilungen in den Bilanzflächen aufweisen. In diesem Fall können wir offensichtlich die in Kapitel 1 gegebenen Erhaltungsgleichungen für Masse, Drehimpuls und Energie für jedes dieser beiden Laufräder getrennt anschreiben. Denkt man sich nun beide Laufräder auf dem gleichen Rotor montiert, erfüllt die Summe über beide Laufräder die Bilanzgleichungen für den Rotor. Aus dieser Überlegung folgt zweifelsfrei, daß eine Massenmittelung vorzunehmen ist. Folglich werden die Strömungsgrößen der einzelnen Rechenelemente in den Bilanzflächen bei inkompressiblen Strömungen nach Gl. (8.5) bis (8.7) summiert (cn ist die Geschwindigkeitskomponente normal zu jeweiligen Kontrollfläche A): Volumenstrom: Q La = ¦ c n dA

(8.5)

A

Impulsmoment aus Drallsatz: M j = ρ¦ r c u c n dA + ¦ r τ u dA A

A

ρ 2A

Energiestrom (Nutzleistung): Pj = ¦ p Stat c n dA + ¦ c 2 c n dA A

(8.6) (8.7)

Drehimpuls und Leistung werden demnach massengemittelt, während das Flächenmittel den richtigen Volumenstrom liefert. Die Summierung erfolgt über die Austrittsfläche (j = 2) und die Eintrittsfläche (j = 1). Die Differenzen zwischen

470

8 Numerische Strömungsberechnungen

Aus- und Eintritt ergeben das Schaufelmoment Mth = M2 - M1 bzw. die Nutzleistung des Laufrades Pu,La = P2 - P1. Die Gl. (8.5 bis 8.7) gelten auch für Leiträder, Spiralgehäuse oder Einlaufgehäuse. Sofern cu ≠ 0 ist, ergibt sich auch für diese Komponenten aus Gl. (8.6) das hydraulische Moment, das auf die Abstützung wirkt. In Gl. (8.6) bedeutet τu die Schubspannungskomponente in Umfangsrichtung in der betrachteten Bilanzfläche, τu verschwindet nur bei rein radialer Abströmung (d.h. α2 = 90°). Hierbei handelt es sich vorwiegend um Schubspannungen infolge turbulenten Impulsaustausches, die umso größer werden, je stärkere Geschwindigkeitsgradienten das Abströmprofil aufweist. Sie wachsen daher mit der Ungleichförmigkeit des Geschwindigkeitsprofils am Laufradaustritt und treten bei Rückströmung am stärksten in Erscheinung. Wenn in den Bilanzflächen keine Rückströmung auftritt, die Normalgeschwindigkeit in jeder Zelle also cn ≥ 0 ist, ergibt sich aus Gl. (8.6) die theoretische Förderarbeit (bei Mτ = 0) zu: Ysch = g H th =

M th ω ω = u cu2 − ucu1 = ¦ r cu cn dA Q La A ρ Q La

(8.8)

und der Totaldruck wird: p tot =

1 Q La

§ · ρ ¨¨ ¦ pstat c n dA + ¦ c 2 c n dA ¸¸ 2 A ©A ¹

(8.9)

Bei Berechnung des Totaldruckes muß also der statische Druck massengemittel werden, damit die Energiegleichung erfüllt wird. Zur Berechnung der Radialkräfte ist der Impulssatz in radialer Richtung anzuwenden, wobei der statische Druck dann flächengemittelt wird. Man beachte, daß die Laufradberechnung grundsätzlich mit QLa = Q + QE + Qsp erfolgen muß. Würden die Leckagen nicht eingeschlossen, würde man den falschen Betriebspunkt berechnen. In dimensionsloser Form ergeben sich somit die folgenden Ergebnisse einer Laufradberechnung: Statische Druckerhöhung im Laufrad: ψ p =

Theoretische Förderhöhe:

Totaldruckerhöhung:

ψ th =

(

2 p 2stat − p1stat ρ u 22

)

§ (uc ) · ψ u 2 − (u cu )1 ¸ =2¨ 2 2 ¨ ηh u 2 ¸¹ © u2

ψ La =

(

2 p 2 tot − p1tot ρ u 22

)

(8.10)

(8.11)

(8.12)

8.4 Mittelwertbildung und Datenaufbereitung

Laufradverluste: ζ La ≡

2g Z LA u 22

= ψ th − ψ La

Hydraulischer Wirkungsgrad des Laufrades:

ηh , La =

471

(8.13) ψ La ψ th

(8.13a)

Die Gln. (8.5) bis (8.13a) gelten sowohl für radiale als auch für halbaxiale und axiale Laufräder, da sie die Integralwerte des Schaufelmomentes und des Enthalpiestromes erfassen. Bei nicht achsparallelen Ein- oder Austrittskanten ist hingegen bei der Angabe von mittleren Geschwindigkeiten eine repräsentative Stromlinie zu definieren (z.B. als geometrisches Mittel zwischen innerer und äußerer Stromlinie). Die nach Gl. (8.13) definierten Laufradverluste ergeben sich als Differenz zwischen theoretischer Förderarbeit und Totaldruckerhöhung im Laufrad. Diese ist um die Leitapparatverluste größer als die Nutzförderhöhe der Pumpe. Liefert das Laufrad eine etwa gleichförmige Abströmung, ist die Verlustdefinition nach Gl. (8.13) sinnvoll. Bei ungleichförmiger Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt hingegen, entstehen in der Leitvorrichtung Mischungsverluste durch Impulsaustausch, die dem Laufrad anzulasten wären, aber in ζLa nicht erscheinen. Zudem enthält ein ungleichförmiges Strömungsprofil bei gegebenem Durchsatz meist mehr kinetische Energie als ein gleichförmiges. Man erkennt dies, wenn man für einen gegebenen Kanal bei konstantem Durchfluß die kinetische Energie nach Gl. (8.9) und (8.5) für cn = c anschreibt: 2 p dyn 2 ρ c av

3 ³ (c / c av ) dA

=

A

³ (c / c av ) dA

(8.14)

A

cav = Q/A sei die über den Kanal gemittelte Geschwindigkeit; sie bleibt (bei gegebenem Volumenstrom und Kanal) bei allen beliebigen Geschwindigkeitsverteilungen konstant, während das Integral über c3 mit wachsender Ungleichförmigkeit steigt. Bei der Laufradabströmung liefert ein ungleichförmiges Abströmprofil nicht notwendig eine höhere kinetische Energie als ein gleichförmiges, weil es auf die relative Verteilung von c2m und c2u ankommt. Häufig ist jedoch zu beobachten, daß die Totaldruckerhöhung im Laufrad bei gegebener statischer Druckerhöhung ψp mit der Ungleichförmigkeit der Abströmung steigt: man erhält in solchen Fällen zu geringe Laufradverluste, weil dieser Überschuß an kinetischer Energie nicht – oder nur unvollkommen – im Leitapparat zurückgewonnen wird. Bei kleinen spezifischen Drehzahlen kann es im Extremfall sogar vorkommen, daß die Rechnung hydraulische Laufradwirkungsgrade von 1,0 oder leicht darüber ausweist. Beim Vergleich zweier Berechnungen „A“ und „B“ kann man daher mitunter beobachten, daß für Fall „A“ kleinere Verluste und eine kleinere statische Druckerhöhung im Laufrad ausgewiesen werden als für „B“. Ein solches Ergebnis ist ein Widerspruch in sich, weil kleinere Verluste grundsätzlich eine Erhöhung

472

8 Numerische Strömungsberechnungen

des statischen Druckes bewirken sollten. Eine getrennte Optimierung von Laufrad und Leitapparat kann folglich zu Fehlschlüssen führen, wenn die Laufradabströmung ungleichförmig ist und die Leitradverluste einen erheblichen – oder sogar überwiegenden – Anteil an den hydraulischen Verlusten ausmachen. Gemäß obigen Überlegungen stellen die nach Gl. (8.12) und (8.13) berechneten Verluste eine untere Grenze dar. Um eine Unterbewertung der Laufradverluste zu vermeiden, kann man die Verluste für den ausgemischten Zustand ermitteln, indem man Gl. (8.12 u.8.13) für Mittelwerte der Geschwindigkeiten umschreibt: §c ψ La ,min = ψ p + ¨ 2 ¨ u2 ©

2

· § c1 · ¸ −¨ ¸ ¸ ¨ u2 ¸ ¹ © ¹

2

(8.15)

Die mittleren Geschwindigkeiten am Austritt berechnet man aus dem Impulsmoment, Gl. (8.11) und der Kontinuitätsgleichung gemäß c2u/u2 = ψth/2 + d1m* c1u/u2 sowie c2m/u2 = ϕ2La und c22 = c2u2 +c2m2. Es ergibt sich: 2

§ψ §c d* c · ¨ ζ La,max =ψ th −ψ p − ¨ th + 1m 1u ¸ − ϕ 22,La +¨ 1 ¨ u2 u2 ¸ ¨ 2 © ¹ ©

· ¸ ¸ ¹

2

(8.16)

Setzt man auf diese Weise den ausgemischten Zustand ein, werden die Laufradverluste in der Regel überbewertet, weshalb dieser Wert mit ζLa,max bezeichnet sei. Nimmt man an, daß die Hälfte der zusätzlichen, durch die Ungleichförmigkeit bedingten kinetischen Energie im Leitapparat zurückgewonnen wird, erscheint der Mittelwert eine plausible Größe: ζLa = 0,5 (ζLa,min + ζLa,max)

(8.17)

Die Werte ζLa,min und ζLa,max stellen selbstverständlich keine absoluten Maxima oder Minima dar, die etwa numerische Effekte oder Modellierungsunsicherheiten und Fehler erfassen würden; sie beschreiben vielmehr nur den Effekt der Ungleichförmigkeit der Abströmung. Um ihn zu quantifizieren, wird bei der Auswertung numerischer Berechnungen zweckmäßigerweise ein Ungleichförmigkeitsgrad der Strömung am Laufradaustritt ermittelt. Zwei mögliche Definitionen sind in Gl. (8.18 u. 8.19) gegeben (X steht für die untersuchten Geschwindigkeiten oder Drücke): 2

X dA U F1 = ³ X2 A

U F2 =

1 X

(

(8.18)

)

2 1 ³ X − x dA A

(8.19)

Um die Auswirkung ungleichförmiger Profile quantitativ beurteilen zu können, sei eine lineare Geschwindigkeitsverteilung der Form c = cmin + Δc x betrachtet (hierin ist Δc = cmax - cmin; für die mittlere Geschwindigkeit gilt cav = cmin + Δc/2).

8.4 Mittelwertbildung und Datenaufbereitung

473

Integriert man die Gln. (1.37 u. 1.38) für diese Verteilungen, ergeben sich die Beziehungen: §c U F1 = ¨¨ min © c av

§ c U F2 = ¨¨1 − min c av © §§ ¨ c c p = 2 ¨ ¨¨ min ¨ © cav ©

cp

2

· c Δc 1 § Δc ¸ + min + ¨¨ ¸ 2 3 c c av © av ¹ 2

§ Δc · ¸ +1¨ ¸ 3¨c © av ¹

· ¸ ¸ ¹

2

2

§ c · ¸ − ¨1 − min ¨ ¸ c av © ¹

(8.20)

· Δc ¸ ¸c ¹ av

(8.21)

2 2 · · c Δc 1 § Δc · ¸ + min ¨ ¸ − 1¸¸ = 2 U F − 1 + 1 ¸ 2 3¨c ¸ ¸ cav ¹ © av ¹ ¹

(

§c = ¨ min th ¨ c © av

2

c Δc 1 § Δc · ¸ + min + ¨¨ ¸ 2 2 c c av ¹ © av

)

(8.22)

2

· ¸ −1 ¸ ¹

ζ mix = c p th − c p = U 2F2

(8.23)

(8.24)

Setzt man beliebige Zahlenwerte ein, ergibt sich, daß bei linearen Geschwindigkeitsverteilungen 2/3 der kinetischen Energie durch Impulsaustausch in statischen Druck umgesetzt werden, während 1/3 dissipiert wird. Der Verlustbeiwert ist gleich UF22, und der Druckrückgewinn gleich 2(UF1 - 1). Auch bei nicht linearen Geschwindigkeitsverteilungen erleichtern diese Zusammenhänge eine grobe Beurteilung der Auswirkung ungleichförmiger Abströmprofile. Sollen die Mischungsverluste hinter dem Laufrad berücksichtigt werden, integriert man vorzugsweise das Geschwindigkeitsprofil am Laufradaustritt direkt nach Gl. (1.37 u. 1.38). Der so ermittelte Beiwert ζmix stellt den Minimalwert der Verwirbelungsverluste dar, der sich zum Verlustbeiwert nach Gl. (8.13) addiert. Eine weitere Möglichkeit, das Schaufelmoment zu bestimmen, ist die Integration der Druck- und Schubspannungsverteilung an den Schaufeln. r2 § dB r dr ·¸ M = z La ³ ³ ¨ (p DS − pSS ) dB r dr + (τ DS + τSS ) ¨ tanβ B ¸¹ r1 ©

(8.25)

Hinzu kommt noch das Integral über die Umfangskomponente der Schubspannungen an Trag- und Deckscheibe im Laufradkanal. Würde man nur über die Druckverteilung integrieren, erhielte man nicht die theoretische Schaufelarbeit bzw. das wahre Schaufelmoment, sondern einen etwas kleineren Wert, weil die statischen Drücke infolge der Strömungsverluste in der wirklichen Strömung kleiner sind als bei reibungsfreier Berechnung. Werden die Schubspannungen τu in Gl. (8.6) vernachlässigt, errechnet sich das Schaufelmoment zu klein und der hydraulische Laufradwirkungsgrad zu hoch. Nach Gl. (8.25) wäre entsprechend ein etwas höheres Schaufelmoment und ein

474

8 Numerische Strömungsberechnungen

niedrigerer Laufradwirkungsgrad zu erwarten als nach Gl. (8.6). Eine getrennte Auswertung der Integrale über Druckverteilung und Schubspannungen in Gl. (8.25) erlaubt es auch, die Reibungsverluste zu separieren. Teillastbetrieb mit Rückströmung: Betrachten wir ein Laufrad mit Rückströmung nach Abb. 8.5; der Nettodurchfluß sei QLa = Q + QE + Qsp; die Volumenströme rezirkulierenden Fluids ergeben sich aus: Q1 = Q La + Q R1

Q R1 =

Q 2 = Q La + Q R 2

· 1 §¨ ¦ c1n dA - Q La ¸ ¸ 2 ¨© A1 ¹

Q R2 =

(8.26)

· 1 §¨ ¦ c 2n dA - Q La ¸ ¸ 2 ¨© A 2 ¹

(8.27)

Die Erhaltung des Impulsmoments nach Gl. (8.6) wird auch bei Rückströmung erfüllt, wenn man cu und cn mit den Vorzeichen nach Abb. 8.5 einsetzt. Ebenso darf Gl. (8.25) bei Rückströmung ausgewertet werden, wobei die Schubspannungen vorzeichenbehaftet einzusetzen sind. QLA

+cm -cu

+cu

2 Q2

-cm

QR2 1 QR1

Q1 ω

r

QLA Abb. 8.5. Behandlung von Rückströmungen

Bei Berechnung und Beurteilung der Umfangskomponente der Anteile QR des rezirkulierenden Fluids beim Wiedereintritt in das Laufrad sind folgende Überlegungen zu beachten: • Wenn man eine reibungsfreie Bilanzfläche um das Laufrad legt, heben sich alle Anteile des Impulsmomentes auf, die durch die Rezirkulation bedingt sind. Die Umfangskomponenten des wieder in das Laufrad eintretenden Fluids haben dann auch keinen Einfluß auf die Förderhöhe. Das gleiche gilt, wenn die Bilanzfläche so gelegt wird, daß alle Stromlinien des rezirkulierenden Fluids innerhalb des Kontrollraumes liegen. Anders ausgedrückt: der Vordrall bei Eintrittsrezirkulation wird vom Laufrad selbst induziert und beeinflußt dessen Impulsbilanz somit nicht.

8.4 Mittelwertbildung und Datenaufbereitung

475

• Angesichts der durch viele Versuche bestätigten Tatsache, daß die Eintrittsgeometrie vor dem Laufrad einen erheblichen Einfluß auf die Teillastförderhöhe hat, ist die Vorstellung einer reibungsfreien Bilanzfläche offensichtlich nicht hilfreich für die Erklärung der Messungen. Selbstverständlich gelten die Erhaltungssätze auch bei Rezirkulation. Setzt man die Formeln für die Impulserhaltung bei Rezirkulation an, ist daher zu berücksichtigen, daß die Umfangskomponente des wieder in das Laufrad eintretenden Fluids immer kleiner ist als beim Austritt aus dem Laufrad in den Saugraum. Die Ursachen hierfür sind: a) die Wandreibung im Saugrohr; b) die Übertragung des Impulsmoments auf den Nettoförderstrom ist infolge Verwirbelung verlustbehaftet (Mischungsverluste): große Wasservolumina zeigen diesen Mischungseffekt sehr deutlich; c) Rippen, Einbauten, Rückführschaufeln usw. bestimmen die Teillastkennlinie wesentlich, weil sie die Verwirbelung der Umfangskomponente fördern, s.a. Kap. 5.6.4, Ziffer 9 und 10. Im Rückströmgebiet läßt sich folglich cu nur berechnen, wenn die Wirkung der stationären Teile auf das rezirkulierende Fluid korrekt modelliert wird. Am Laufradeintritt sind das Einlaufgehäuse mit Rippen (oder die Rückführschaufeln bei mehrstufigen Pumpen) und am Laufradaustritt die Leitschaufeln oder das Spiralgehäuse und die Radseitenräume in das Rechengebiet einzubeziehen. Bei einem axialen Zulauf ohne Rippen oder Einbauten muß eine genügende Länge des Saugrohres in das Rechengebiet einbezogen werden (L/D = 15 bis 20), weil die Eintrittsrezirkulation sich durchaus bis L/D =15 in das Saugrohr erstrecken kann. Wie erwähnt ist die Umfangskomponente cu,Rez des aus dem Gehäuse in das Laufrad zurückströmenden Fluids infolge Dissipation im Stator immer kleiner als das cu beim Verlassen des Laufrades; die hohe Leistungsaufnahme bei Q = 0 beweist dies. Hieraus folgt, daß der Zähler in Gl. (8.8 u. 8.9) auch bei QLa gegen null endlich bleibt. Die Gln. (8.7 bis 8.9) führen also bei Rückströmung zu keinen sinnvollen Ergebnissen: bei kleinem Durchfluß – insbesondere bei QLa gegen null – steigen theoretische Förderhöhe und Totaldruckhöhe auf Werte über u22/(2g), was bei β2B < 90° unmöglich ist. Teillastbetrieb mit merklicher Rückströmung läßt sich wie folgt berechnen und beurteilen: 1. Nur bei Stufenberechnungen kann das Impulsmoment des rückströmenden Fluids richtig bewertet werden, weil sich dessen Umfangskomponente cu,Rez nur aus der Wechselwirkung zwischen Rotor und Leitvorrichtung bzw. Einlaufgehäuse ermitteln läßt. 2. Die hydraulischen Momente auf Laufrad und Leitapparat sowie die Leistungsaufnahme Phyd ergeben sich aus Gl. (8.6) oder (8.25) (am besten berechnet man beide Werte zum Vergleich). 3. Die Förderhöhe H der Pumpe bestimmt man aus dem flächengemittelten, statischen Druck am Austritt. Selbst wenn die Rechnung im Austrittsquerschnitt noch gewisse Rückströmungen aufweist, spielt das für die Bestimmung flächengemittelter Werte eine untergeordnete Rolle. Für den relevanten Austrittsquerschnitt gilt: Bei einer Spiralgehäusepumpe ist dies der Druckstutzen (Dif-

476

4. 5.

6.

7.

8 Numerische Strömungsberechnungen

fusoraustritt), bei mehrstufigen Pumpen der Austritt aus dem Rückführkanal. Bei Pumpen mit Leitrad und anschließender Spirale (wie in Abb. 7.48) wird die Bilanz am Austritt des Druckstutzens erstellt; denn wegen der bei Teillast ungleichförmigen Druckverteilung in der Spirale ist die Förderhöhe (insbesondere die Kennlinienstabilität) nicht aufgrund der Druckverhältnisse am Leitradaustritt zu beurteilen. Zu der so ermittelten Erhöhung des statischen Druckes ist die Differenz der kinetischen Energien zwischen Druck- und Saugstutzen zu addieren (Tafel 2.2). Da dieser Förderhöhenanteil bei Teillast klein (oft vernachlässigbar) ist, kann man den dynamischen Anteil mit den mittleren Geschwindigkeiten (c = Q/A) berechnen. Die Berechnung der Förderhöhe bei Teillast ist primär für die Beurteilung der Kennlinienstabilität bedeutsam. Der hydraulische Wirkungsgrad und die theoretische Förderhöhe der Pumpe (oder Stufe) haben bei Teillastrückströmung keine praktische Bedeutung, und brauchen daher nicht ermittelt zu werden. Würde man ηh = ρ g H QLa/(M ω) mit M aus Gl. (8.6 o. 8.25) und Hth = H/ηh berechnen, ergäben sich bei tiefer Last (QLa gegen null) zu hohe Werte für die theoretische Förderhöhe, wie man das oft bei CFD-Rechnungen beobachtet. Wie erwähnt liefert die Integration der Gln. (8.7) bis (8.9) keine sinnvollen Ergebnisse. Totaldruck am Laufradaustritt und theoretische Förderhöhe sind bei Rückströmung auch physikalisch nicht relevant. Für wissenschaftliche Untersuchungen (z.B. den Vergleich mit Messungen) wären allenfalls die Volumenströme QR1 und QR2 und die zugehörigen Impulsströme getrennt zu integrieren. In der Praxis interessieren diese Werte kaum. Primär wird das Laufradmoment (z.B. bei Q = 0) benötigt, das sich aus Gl. (8.6 und 8.25) ergibt. Der flächengemittelte statische Druck am Laufradaustritt kann zur Beurteilung des Laufradeinflusses auf die Kennlinienstabilität und zur Berechnung der Radialkräfte dienen.

8.5 Laufradberechnung 8.5.1 Globalwerte im Bestpunkt Um Möglichkeiten und Grenzen sowie die erreichbare Genauigkeit von NavierStokes-Rechnungen zu eruieren, wurden 38 radiale und halbaxiale Laufräder im Bereich nq = 12 bis 160 analysiert, indem Rechenergebnisse im Bestpunkt mit Messungen verglichen wurden, [8.35]. Im Verlauf dieser Untersuchung zeigte sich, daß konsistente, reproduzierbare Ergebnisse und gute Genauigkeit nur zu erreichen waren, wenn strenge Regeln für die Netzerzeugung, Rechnung und Auswertung implementiert werden: 1. Randbedingungen: am Austritt wurde der statische Druck in einer Zelle vorgeschrieben; am Eintritt wurden Massenstrom und Geschwindigkeitsrichtung vorgegeben (je nach Fall drallfrei oder mit Vorrotation).

8.5 Laufradberechnung

477

2. Abbildung 8.1 zeigt ein typisches Netz. Die Anzahl Knoten betrug 48’000 bis 125’000; in Strömungsrichtung: 80 bis 120; über die Schaufelteilung: 20 bis 50 als lineare Funktion der Schaufelzahl; über die Schaufelbreite: 12 bis 30 als lineare Funktion von b2/d2. 3. Verwendet wurde das Standard k-ε-Turbulenzmodell mit Turbulenzgrad 5 % und Turbulenzmaßstab 1- bis 1,5-fache Schaufelstärke. 4. Iterationsfehler: 10-4. Konvergenz wurde nach 70 bis 100 Iterationen erreicht. 5. Dichtspaltleckage und ggf. Entlastungswasser wurden im Laufradvolumenstrom berücksichtigt. Die Spaltstromeinleitung am Laufradeintritt wurde aber nicht nachgebildet. 6. Bei der Mittelwertbildung waren nur dann konsistente Werte zu erhalten, wenn die Relativgeschwindigkeit an den Wänden nicht entsprechend der Haftbedingung null gesetzt wurde. Denn dies bedeutet an der Wand cu = u2, so daß sich beim Übergang vom rotierenden ins Absolutsystem eine Unstetigkeit ergibt, welche die Ergebnisse verfälschen kann. Das Geschwindigkeitsprofil in der Wandzelle mußte vielmehr so formuliert werden, daß das Geschwindigkeitsdefizit in Wandnähe etwa der Verdrängungsdicke entsprach (andernfalls gab es am Laufradaustritt, d.h. beim Übergang vom rotierenden auf das ruhende System, einen Sprung im Verlauf von u cu und ptot), [8.35]. 7. Als Bilanzflächen wurde der erste Knoten am Eintritt ins Rechengebiet und am Laufradaustritt ein Knoten nach der Laufschaufelaustrittskante gewählt. Bei der gewählten Mittelwertbildung hingen die Resultate kaum von der Wahl der Bilanzflächen ab. 8. Ein wichtiger Parameter ist die Größe der Randzellen. Nach Kap. 8.3.4 wurden daher die Netze so aufgebaut, daß das Kriterium y+ = 25 bis 300 in etwa eingehalten wurde. Bei Einhaltung dieser Regeln konnte ψth mit einer Genauigkeit von ungefähr ± 3 % errechnet werden, wie aus Abb. 8.6 hervorgeht. Die Kurven in Abb. 8.6 spiegeln die Unsicherheit der aus den Versuchen nach Gl. (T3.5.8) berechneten hydraulischen Wirkungsgrade wider, Kap. 8.8.3. Die 3D-Navier-Stokes-Berechnung der Förderhöhe war also hier genauer als Berechnungen nach der Minderleistungsmethode. Die hydraulischen Verluste im Laufrad sind in Abb. 8.7 dargestellt. Sie wurden bezogen auf die gesamten hydraulischen Verluste, die für die untersuchten Pumpen mittels Gl. (T3.5.8) bestimmt wurden. Die eingezeichnete Kurve entspricht dem erwarteten Trend. Alle berechneten (absoluten) Verlustbeiwerte ζLa liegen in einem Band von etwa ± 0,02. Nach Gl. (8.13) ergibt sich der Laufradverlust als kleine Differenz zweier etwa gleich großer Zahlen. Kleine Toleranzen auf ψth und ψLa ergeben große relative Fehler des Laufradverlustes: bei ψth = 1,1 ± 0,01und ψLa = 1,06 ± 0,01 liegt der Verlustbeiwert zum Beispiel in einem Bereich von ζLa = 0,04 ± 0,02 (also ± 50 %). Diese Unsicherheit liegt begründet in der Weise, wie die Gesamtverluste des Laufrades ermittelt werden. Um das Problem zu umgehen, müßte man versuchen, die lokale Verlustverteilung im Laufrad zur Beurteilung heranzuziehen.

478

8 Numerische Strömungsberechnungen

[ψth (CFD)/ψth (Test)-1]

0,06 Messunsicherheit Halbaxiale Laufräder Radialräder

0,04 0,02 0 -0,02 -0,04 -0,06 0

50

100

150

nq

200

Abb. 8.6. Spezifische Förderarbeit bei Qopt: Vergleich zwischen Rechnung und Messung 0.9 ζLa (CFD) / ζtot (Test) 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40

60

nq

80

100

120

140

160

Abb. 8.7. Laufradverluste

Wie in Kap. 8.3.4 besprochen, ist das Rechennetz so zu gestalten, daß sich in Wandnähe etwa eine Geschwindigkeitsverteilung ergibt, die den Meßdaten turbulenter Strömungen entspricht – widrigenfalls die Verlustberechnung verfälscht wird. Wie stark die berechneten Verluste von der Randzellengröße abhängen, geht aus Abb. 8.8 hervor, wo die Verlustbeiwerte verschiedener Laufräder über der Wandzellenbreite aufgetragen wurden. Die inhärente Unsicherheit der Verlustberechnung ist bei Optimierungen zu beachten, da die berechneten Trends meist im Band obiger Unsicherheiten liegen. Eine gesicherte Aussage ist dann kaum möglich. Wie Abb. 8.8 beweist, ist bei solchen Berechnungen streng darauf zu achten, daß das Netz von einem Optimie-

8.5 Laufradberechnung 0.10 0.08

479

ζLa

0.06

nq = 68

0.05 0.04

nq = 32

0.03

nq = 15

nq = 19

nq = 12

0.02

nq = 25 2Δ b w b2

0.01 0.01

0.02

0.03

0.04 0.05 0.06

0.08

0.10

Abb. 8.8. Einfluß der Randzellengröße Δbw auf die Laufradverluste

rungsschritt zu andern möglichst wenig verändert wird, um Netzeinflüsse auf die Verluste zu minimieren. Auch die berechneten Geschwindigkeitsprofile hängen empfindlich vom Rechennetz ab. Dennoch lassen solche Optimierungsrechungen in vielen Fällen Schwachstellen erkennen wie z.B. schlechte Abströmung infolge zu groß gewählter Laufradaustrittsbreite oder Stoßverluste am Eintritt infolge schlechter Zuströmung oder ungünstiger Wahl der Schaufelwinkel. 8.5.2 Geschwindigkeitsprofile Am Laufradeintritt stimmen berechnete und gemessene Geschwindigkeitsprofile im Bestpunkt und darüber bei axialer Zuströmung recht gut überein – mit Ausnahme der Deckscheiben-Nähe, wo die Axialgeschwindigkeit zu tief berechnet wird. Es entsteht der Eindruck, daß die Reibungseinflüsse von der Rechnung überbewertet werden, Kap. 8.3.3. Die Teillastprofile und der Rückströmbeginn werden anscheinend nur dann in etwa richtig vorausberechnet, wenn der Einfluß der Dichtspaltleckage berücksichtigt wird, [8.1]. Der Netztyp (C- oder H-Netz) kann bei labilen Strömungszuständen – in Nähe des Rückströmbeginns – einen Einfluß auf die Profile ausüben. Zu den stabilen Strömungszuständen gehört auch die voll ausgebildete Rückströmung am Laufradeintritt: sie ist im wesentlichen durch das Kräftegleichgewicht zwischen den auf unterschiedlichen Radien gelegenen Stromlinien und wenig durch Reibungseinflüsse bestimmt. Voll ausgebildete Eintrittsrückströmung wird daher durch 3D-Navier-Stokes-Rechnungen – wie auch durch 3D-Eulerverfahren – meist recht gut wiedergegeben. Die Analyse zahlreicher Messungen von Geschwindigkeitsprofilen am Laufradaustritt ergab keine allgemeingültigen Tendenzen, wie sich die Profile als

480

8 Numerische Strömungsberechnungen

Funktion des Förderstromes und der geometrischen Eigenschaften entwickeln. Neben Beispielen, wo Rechnung und Messung gut übereinstimmen, findet man Fälle, wo quantitativ und sogar qualitativ große Diskrepanzen auftreten. Aus dem oben Gesagten kann man allenfalls vermuten, daß derartige Diskrepanzen vor allem bei wenig stabilen Strömungszuständen zu erwarten sind. Dabei ist „instabil“ nicht mit „ungleichförmig“ gleichzusetzen, weil gerade Zustände mit starken Geschwindigkeitsgradienten sehr stabil sein können. 8.5.3 Einflußparameter Wie oben ausgeführt, ergeben sich die globalen Leistungsdaten aus Integrationen der Geschwindigkeitsprofile an Laufradein- und -austritt. Alle Größen, die diese Profile beeinflussen, haben somit potentiell einen Einfluß auf theoretische Förderhöhe und Verluste. Entsprechende Empfindlichkeitsanalysen ergaben: • Das Rechennetz kann einen großen Einfluß auf die Globalwerte und die Geschwindigkeitsverteilungen haben. Dabei kommt es nicht nur auf die absolute Anzahl Knoten an, sondern auch darauf, wie die Knoten in Strömungs-, Axialund Umfangsrichtung verteilt sind. Bei unglücklicher Wahl der Netzparameter kann der Einfluß auf die Globalwerte durchaus ± 5 % betragen. In anderen Fällen ergaben sich Unterschiede von unter 0,5 %, wenn die Knotenanzahl pro Laufradkanal zwischen 45’000 und 110’000 variiert wurde. • 3D-Navier-Stokes-Rechnungen modellieren im Prinzip den Einfluß von Drehzahl, Zähigkeit und Laufradgröße – also der Reynolds-Zahl – ähnlich wie Aufwertungsformeln nach Kap. 3.10, [8.35 u. 8.45]. • Rechnungen mit erhöhter Rauheit ergaben, wie erwartet, einen Anstieg der Verluste, aber auch eine größere Strömungsumlenkung, also eine größere theoretische Förderhöhe. Das liegt vermutlich daran, daß das Programm mit dickeren Grenzschichten rechnet, in denen cu gegen u2 geht. Bei der Summation des Impulsmomentes nach Gl. (8.8) ergeben sich entsprechend größere Werte. Wie in Kap. 3.10 ausgeführt, können Messungen mit rauhen Laufrädern ebenfalls leicht größere Förderhöhen ergeben. • Vergrößert man Turbulenzmaßstab oder -intensität, steigen die Verluste, weil mehr turbulente Energie dissipiert wird. Stärkere Turbulenz bedeutet einen intensiveren Impulsaustausch quer zur Strömungsrichtung. Die Turbulenzparameter beeinflussen deshalb auch die Geschwindigkeitsverteilungen und somit auch – in geringem Maße – die theoretische Förderhöhe, [8.35 u. 8.45]. • Die Lage der Bilanzflächen war praktisch ohne Einfluß; das muß aber keineswegs immer so sein. 8.5.4 Berechnungsbeispiel Als Beispiel sei ein Laufrad nq = 31 einer mehrstufigen Pumpe betrachtet, dessen Netz etwa Abb. 8.1 entspricht. Der Netzteil von 1 bis 26 modelliert den Zulauf,

8.5 Laufradberechnung

481

zwischen 26 und 94 befindet sich der Laufradkanal, und 94 bis 115 stellt einen nachgeschalteten Ringraum dar. Abbildung 8.9 zeigt den Verlauf des statischen Druckes über der Schaufellänge an äußerer und innerer Stromlinie. An der äußeren Stromlinie ergibt sich auf der Druckfläche kurz hinter der Eintrittskante eine ungünstige Beschleunigung sowie eine Unterdruckspitze an der Saugfläche; diese Effekte deuten auf eine ungleichförmige Anströmung, die durch die scharfe Umlenkung vom Rückführkanal in den Laufradeintritt bedingt ist. Ansonsten ist die Schaufelbelastung recht gleichmäßig. 0,7 cp 0,5

Druckfläche

0,3 Saugfläche 0,1 Deckscheibe Tragscheibe

-0,1 -0,3 0

0,2

0,4

0,6

0,8

s/Lref

Abb. 8.9. Druckverteilung über der Schaufellänge in einem Radialrad bei q* = 1

In Abb. 8.10 sind die dimensionslosen Werte des übertragenen Impulsmomentes als ψth, der Totaldruckerhöhung ψLa und des statischen Druckes ψp gemäß Gl. (8.10) bis (8.12) aufgetragen. Im Zulauf von Knoten 1 bis 26, welcher der Kontur des Rückführkanals entspricht, sinkt der Totaldruck leicht infolge von Verlusten, während der statische Druck infolge Beschleunigung stärker abfällt. Im ersten Teil des Laufradkanals (Knoten 26 bis 45) ist der Arbeitsumsatz schwächer, im Mittelteil am stärksten, gegen den Laufradaustritt nimmt er infolge der Minderumlenkung nach dem Querschnitt bei a2 wieder ab (Kap. 3.3, Abb. 3.4). Hinter der Schaufelaustrittskante nehmen Impulsmoment und Totaldruck infolge Verlusten im Ringraum ab, während der statische Druck (in erster Näherung nach Gl. (1.28)) zunimmt. Abbildung 8.11 zeigt die umfangsgemittelten Geschwindigkeitsprofile am Laufradeintritt: die Meridiankomponente in Abb. 8.11 läßt auf einen Beginn der Rückströmung zwischen q* = 0,3 bis 0,35 schließen (im Versuch setzte Rückströmung bei q* = 0,5 bis 0,6 ein). Bei q* = 0,12 ist die Rückströmung voll ausgeprägt, sie erfaßt nahezu die halbe Kanalhöhe. Sobald die Meridiangeschwindigkeit im äußeren Bereich des Zuströmkanals deutlich gegenüber dem Mittelwert absinkt, sind auch hohe Umfangskomponenten nahe der Deckscheibe zu beobachten, und zwar bevor eine eigentliche Rückströmung registriert wird (Abb. 8.11).

482

8 Numerische Strömungsberechnungen

1,25 ψth

ψ 1

ψLa ψp

0,75 0,5

AK EK

0,25

EK: Schaufeleintrittskante AK: Schaufelaustrittskante

0 -0,25 0

20

40

60

100

80

120

Index in Strömungsrichtung

Abb. 8.10. Impulsmoment, Totaldruck und statischer Druck im Rechengebiet eines radialen Laufrades bei q* = 1

0.3

0.4

0.2

0.3

0.1

0.2

100% 50%

c 1u/u2

c 1m/u2

35% 100% 0.0

75% 50%

-0.1

0.0

35% 12%

-0.2 0.0

0.2

0.4

0.1

-0.1 0.6

0.8

1.0

0.0

Abstand von Nabe

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Abstand von Nabe

Abb. 8.11. Geschwindigkeitsverteilung am Laufradeintritt

Die umfangsgemittelten Geschwindigkeitsprofile am Laufradaustritt sind in Abb. 8.12 für verschiedene Förderströme aufgezeichnet; die Abströmung bei Teillast ist nahezu symmetrisch mit etwa gleich großen Rückströmzonen an Trag- und Deckscheibe. Gemäß Kap. 5.5.2 wäre dies als ein etwas labiler Strömungszustand zu beurteilen (die gemessene Stufenkennlinie ist auch leicht instabil). Im Bereich von q* = 0,65 sind die Abströmprofile bei diesem Laufrad am wenigsten verzerrt (vGl. hierzu Kap. 5.2). Die berechnete theoretische Kennlinie stimmt gemäß Abb. 8.13 mit der Messung im Bereich ohne ausgeprägte Rezirkulation gut überein; nur bei q* = 0,12 ergibt die Rechnung einen zu großen Wert, weil die Rezirkulationsleistung nicht

0.20

0.9

0.15

0.8 c 2u/u2

c 2m/u2

8.5 Laufradberechnung

0.10 0.05

100%

0.00

483

0.7 0.6

75% 0.5

65%

-0.05

100%

58% 35%

-0.15 0.0

0.2

0.4

75%

0.4

50%

-0.10

50% 35%

0.3 0.6

0.8

0.0

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Abstand von Tragscheibe

Abstand von Tragscheibe

Abb. 8.12. Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt

2,2 2,0 ψ

CFD

1,8 1,6 1,4

Versuch

1,2

Versuch

1,0 0,8

ψth

CFD

0,6 0,4

ψp

0,2 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8 q*

Abb. 8.13. Theoretische Schaufelarbeit ψth und statische Druckerhöhung im Laufrad ψp; Vergleich zwischen Rechnung und Messung

berücksichtigt ist. Die Totaldruckerhöhung nach Gl. (8.12) verläuft etwa parallel zu ψth. Sie wurde nicht dargestellt, weil sie keine praktische Bedeutung hat und insbesondere eine Instabilität nur in Extremfällen aufzuzeigen vermag. Zwischen berechnetem und gemessenem statischem Druck treten bei q* > 1 große Abweichungen auf. Verschiedene Ursachen können hierfür verantwortlich sein: mit zunehmendem Durchfluß wachsen Strömungsverluste und Druckabsenkung zwischen der Druckmeßstelle und dem eigentlichen Laufradeintritt, die Druckmessung zwischen Laufrad und Leitrad ist diffizil und die Verlustberechnung ist – wie oben besprochen – unzuverlässig. Unterhalb q* < 0,5 sind die be-

484

8 Numerische Strömungsberechnungen

rechneten statischen Drücke falsch – vermutlich, weil die Rückwirkung des Leitrades nicht modelliert wurde (man vergleiche hierzu Abb. 4.6b).

8.6 Berechnung von Leitvorrichtungen und Stufen 8.6.1 Getrennte Berechnung der Leitvorrichtung Bei Pumpen aller spezifischen Drehzahlen sind Spitzenwirkungsgrade nur zu erreichen, wenn in der Leitvorrichtung ein optimaler Druckrückgewinn erzielt wird. Wie bei einem Diffusor spielt die Geschwindigkeitsverteilung am Eintritt in den Leitapparat eine entscheidende Rolle. Sie zu ignorieren, bildet den Schwachpunkt sowohl aller eindimensionalen Berechnungen als auch der Einzelbetrachtung von Laufrad und Leitvorrichtung bei numerischen Berechnungen. Den Leitapparat getrennt vom Laufrad zu berechnen, bedeutet daher grundsätzlich eine schwerwiegende Einbuße an Genauigkeit. Wird dieser Weg dennoch beschritten, muß zunächst das Laufrad berechnet werden. Die anschließende Leitapparatberechnung erfolgt wie in Kap. 8.6.2 beschrieben. Als Beispiel sei eine Rechnung gezeigt, bei der die gerechnete, umfangsgemittelte Geschwindigkeits- und Totaldruckverteilung am Leitradeintritt sowie konstanter Druck am Leitradaustritt als Randbedingungen gegeben wurden, [8.32]. Das verwendete H-Netz hatte 62’000 Knoten, die so gelegt wurden, daß sie mit den in Abb. 8.14 angedeuteten Druckmeßstellen zusammenfallen. Abbildung 8.14 zeigt die Ergebnisse und deren Vergleich mit Meßwerten in Form des Druckrückgewinns im Leitrad, der mit ½ ρ u22 dimensionslos gemacht wurde. Dargestellt ist die Druckverteilung an der Deckscheibe bei q* = 1,0 für drei verschiedene Geschwindigkeitsprofile am Laufradaustritt: Kurve 1 für eine konstante Verteilung, Kurve 2 enthält die berechnete Laufradabströmung, während Kurve 3 die Ergebnisse der Lasermessung wiedergibt. Wie mehrfach betont, hängt der Druckrückgewinn im Leitrad stark von der Eintrittsrandbedingung ab. Die Rechnungen erfassen gut den Druckanstieg vom Laufradaustritt bis zum engsten Leitradquerschnitt, wie er aus vielen Messungen belegt ist, Abb. 4.5, 4.6, Kap. 5.3. Abbildung 8.15 zeigt die Berechnung der Stromlinien in den Rückführkanälen des Leitrads einer mehrstufigen Pumpe. 8.6.2 Stationäre Berechnung von Stufen oder kompletten Maschinen Mit genügender Kapazität des Rechners lassen sich Laufrad, Leitrad und Einlauf gemeinsam berechnen; derartige − stationäre und sogar instationäre − Berechnungen bilden im Jahr 2004 den Stand der Technik. Wie in Kap. 5 behandelt, gibt es bei Teillastrückströmung sowohl am Laufradeintritt wie am -austritt einen intensiven Impulsaustausch zwischen Laufrad und Gehäuse bzw. Leitapparat. Die Förderhöhe bei niedriger Teillast, insbesondere die Nullförderhöhe, hängt davon ab, ob die Eintrittsrezirkulation an Rippen, Rück-

8.6 Berechnung von Leitvorrichtungen und Stufen 0.25

S

4D

5D 0.20

485

5D

2D

0.15

3D

ψ Le 0.10 q* = 1 0.05

Messung Rechnung 1

0.00

Rechnung 2

2D

Rechnung 3 -0.05 0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

s [m]

Abb. 8.14. Druckerhöhung im Leitrad an der Deckscheibe bei q* = 1. Geschwindigkeitsverteilung am Leitradeintritt: Rechnung 1: konstant; Rechnung 2: aus Laufradberechnung; Rechnung 3: gemessen. Sulzer Innotec AG, [8.32]

Abb. 8.15. Stromlinienberechnung in den Rückführkanälen eines Leitrades

führschaufeln oder in einem großen Fluidvolumen abgebremst wird. Zur Berechnung der Teillastkennlinie müssen deshalb Saugleitung oder Eintrittsgehäuse, Laufrad, Radseitenräume und Leitapparat vollständig modelliert werden. Etwaige Rippen im Eintrittsgehäuse dürfen nicht vernachlässigt werden, weil sie die Umfangskomponenten des rückströmenden Fluids bremsen und so die Förderhöhe er-

486

8 Numerische Strömungsberechnungen

heblich beeinflussen. Mit der numerischen Berechnung in [8.66] einer halbaxialen Pumpe (nq = 155) konnte dieser Einfluß erfaßt werden (unterhalb q* < 0,25 konvergierte die Rechnung allerdings nicht mehr). Die Radseitenräume sind zu berücksichtigen, weil gemäß Kap. 9.1 und Kap. 5.4.3 ein Impulsaustausch zwischen Haupt- und Radseitenraumströmung stattfindet, der u.a. den Nulldruck beeinflußt. Bei mehrstufigen Pumpen muß die Strömung am Austritt aus den Rückführkanälen korrekt erfaßt werden, damit die Eintrittsrandbedingungen für das Laufrad richtig sind. Um das zu erreichen verwendet man mit Vorteil periodische Randbedingungen wie in Kap. 8.3.4 beschrieben (sonst müßten zwei Stufen berechnet werden, wobei nur die zweite als relevant zu betrachten wäre). Die geringen Abstände zwischen Lauf- und Leitschaufeln erfordern bei Leitradpumpen eine sehr feine Vernetzung am Laufradaustritt, da hier hohe Geschwindigkeitsgradienten auftreten. Da die vollständige, instationäre 3D-Navier-Stokes-Berechnung von Einlauf, Laufrad und Leitrad zusammen sehr aufwendig ist, wird die Stufenberechnung oft stationär durchgeführt, wobei ein Modell zur Beschreibung der Rotor-StatorWechselwirkung zwischen den einzelnen Komponenten eingeführt wird. Auch werden selten alle Kanäle von Lauf- und Leitrad modelliert. Bei unterschiedlichen Schaufelzahlen in Lauf- und Leitrad wird dabei folglich die Schaufelteilung verfälscht. Zwei Modelle sind verfügbar: 1. Zwischen Laufrad und Leitrad wird eine Mischungsebene eingeführt. Dabei werden aus der Laufradberechnung die umfangsgemittelten Geschwindigkeiten und Drücke an die Leitradberechnung übergeben. Die Ungleichförmigkeiten in Achsrichtung zwischen Trag- und Deckscheiben werden somit in der Rechnung berücksichtigt, was gemäß Kap. 5 für Untersuchungen der Kennlinienstabilität unerläßlich ist. Die Rechnung mit Mischungsebene ist daher für Leitradpumpen anzustreben, weil die Bedeutung der Geschwindigkeitsverteilung über die Schaufelteilung für stationäre Effekte geringer ist als die Verteilung über die Laufradaustrittsbreite. 2. Das dreidimensionale Geschwindigkeitsprofil am Laufradaustritt wird dem Leitapparat in einer bestimmten Winkelstellung bei stillstehendem Rotor übergeben („frozen rotor“). Problematisch ist dabei, daß die Resultate der Berechnung von der gewählten Stellung des Laufrads gegenüber dem Leitapparat abhängen. Um keine Zufallsergebnisse zu produzieren, müssen folglich mehrere Rotorstellungen untersucht und die Ergebnisse gemittelt werden. Unsicherheiten bleiben dabei bestehen. Bei Spiralgehäusepumpen variiert die Druckverteilung über dem Umfang bei Teillast so stark, daß Mischungsebene und „frozen rotor“ gleichermaßen problematisch sind. Für Stufenberechnungen werden 250’000 bis 1’000’000 Knoten benötigt. Die Berechnung mit Mischungsebene gemäß (1) ist in der Regel vorzuziehen, sie konvergiert aber oft schlechter als mit „frozen rotor“ nach (2). Mittels des letzten Verfahrens wurden z.B. Einlauf, Laufrad und Doppelspirale einer Speisepumpe mit

8.6 Berechnung von Leitvorrichtungen und Stufen

487

nq = 34 mit 280’000 Knoten modelliert und die Kennlinie von q* = 0 bis 1,4 berechnet, [8.44]. Während Rechnung und Messung in Bestpunktnähe gut übereinstimmten, ergaben sich bei Teillast und Überlast Abweichungen bis zu 10 % (ähnliche Abweichungen ergaben sich auch bei den Stufenberechnungen in [8.66]). Bei Unsicherheiten von ± 10 % in der Teillastförderhöhe werden Untersuchungen zur Kennlinienstabilität allerdings fraglich. Die Sekundärströmung im Spiralgehäuse und Ablösungen am Sporn wurden gut durch die Rechnung modelliert, woraus sich Verbesserungen für die Gestaltung ableiten ließen. 8.6.3 Instationäre Berechnungen Da die Strömung in einer Pumpe wegen der Wechselwirkung zwischen Rotor und Stator grundsätzlich instationär ist (wie im Prinzip jede turbulente Strömung), besteht ein großes Interesse an der instationären Berechnung kompletter Maschinen. Wegen der großen Anzahl der hierfür erforderlichen Knoten und der Zeit als zusätzlichem Parameter sind solche Rechnungen sehr aufwendig. Die hohen Rechenzeiten verhindern den breiten Einsatz, der von der Sache her wünschbar wäre. Instationäre Berechnungen werden mit gleitenden Gittern (“sliding meshes”) zwischen Rotor und Stator ausgeführt. Meist müssen 5 bis 8 Laufradumdrehungen gerechnet werden bis Konvergenz erreicht wird. Je instationärer die Strömung, desto mehr Umdrehungen müssen berechnet werden bis die Rechnung genügend konvergiert. Die zeitlichen Mittelwerte der Leistungsdaten werden durch Mittelung einer voll konvergierten (periodischen) Lösung bestimmt. Über instationäre Berechnungen zur Bestimmung der instationären Druck- und Geschwindigkeitsverteilungen am Laufradaustritt sowie der Wechselwirkungskräfte zwischen Laufrad und Leitapparat wird in [8.46, 8.47, 8.76] berichtet, wobei auch Versuchsresultate zum Vergleich herangezogen werden. In [8.66] wurde ein Teillastpunkt einer Pumpe nq = 155 hinsichtlich Förderhöhe, Druckerhöhung im Leitrad und Druckschwankungen untersucht. Wie zu erwarten, treten die Druckschwankungen bei der Frequenz des Schaufeldrehklangs deutlich hervor. Ein Vergleich mit Messungen ist aber u.a. wegen der Systemeinflüsse schwierig (Kap. 10). In [8.64] werden zwei Spiralgehäusepumpen (nq = 35 und nq = 18) untersucht. Die Rechnungen nach dem „frozen rotor“ Modell ergaben über dem Laufradumfang zu hohe Variationen von Förderhöhe und konvergierten schlecht. Instationäre Berechnungen von Laufrad, Spirale und Radseitenraum (mit 160'000 und 900'000 Knoten) lieferten hingegen plausible Resultate bei guter Konvergenz. Nach dem Einschwingvorgang, der nach etwa 2 Umdrehungen abklang, ergaben sich für Förderhöhe, Wirkungsgrad und andere Strömungsgrößen grundsätzlich periodische Lösungen mit der Frequenz des Schaufeldrehklanges. Beachtenswert ist der Befund, daß das Programm keine stationäre Lösung finden konnte, weil die Strömung im Spiralgehäuse in Realität instationär ist, s. Kap. 8.8.2.

488

8 Numerische Strömungsberechnungen

In einer weiteren Untersuchung in [8.64] wurde die vollständige Kennlinie instationär in einem Zug mit variierendem Volumenstrom berechnet, wobei sich infolge Trägheitseffekten mit fallendem Durchsatz (Verzögerung) höhere Drücke ergaben als mit steigendem Durchsatz (Beschleunigung). Umfangreiche instationäre Berechnungen wurden auch in [5.52] ausgeführt.

8.7 Zwei-Phasen- und Kavitationsströmungen Die Berechnung von Kavitationsströmungen hat zum Ziel, den Kavitationsbeginn NPSHi, die Entwicklung der Blasenfeldlänge und den kavitationsbedingten Förderhöhenabfall vorauszusagen (Kap. 6.2 und 6.3). Kavitationsbeginn und Blasenfeldlängen von geringer Ausdehnung (also wenn σA nur wenig kleiner als σi ist) reagieren empfindlich auf kleine Unregelmäßigkeiten in der Geometrie (ja sogar Rauheiten). Die Eintrittskantengeometrie muß daher im Geometrieprogramm sehr genau beschrieben werden; zudem muß das Netz im Bereich der Eintrittskante entsprechend fein sein. Die lokale Geschwindigkeitsverteilung vor dem Laufrad beeinflußt den Kavitationsbeginn ebenfalls, so daß die Eintrittsbedingungen wirklichkeitsgetreu formuliert oder berechnet werden müssen. Einlaufgehäuse mit durchgehender Welle, die eine dreidimensionale Geschwindigkeitsverteilung erzeugen, und die Einleitung der Dichtspaltleckage verlangen hier entsprechenden Aufwand, weil Kavitationsbeginn und Blasenfeldlänge über dem Umfang variieren. Alle verwendeten Programme basieren auf Modellvorstellungen, welche die komplizierten Wechselwirkungen zwischen gasförmiger und flüssiger Phase grob vereinfachen, Kap. 6 und Kap. 13.2. Berechnung des Blasenfeldes ohne Kopplung zur Hauptströmung: Die Grenzfläche zwischen Blasenfeld und Flüssigkeit wird aufgrund der Druckverteilung in der Flüssigkeitsströmung berechnet. Dabei wird angenommen, daß keine Wechselwirkung zwischen Blasenfeld und Flüssigkeit auftritt und das Blasenfeld nicht durchströmt wird. Nach [8.39] umfaßt die Berechnung folgende Schritte: 1. 3D-Navier-Stokes-Berechnung des Eintrittsgehäuses zur Ermittlung des Geschwindigkeitsprofils vor dem Laufradeintritt, dessen Ungleichförmigkeit die Kavitation erheblich beeinflussen kann. 2. Mit den so definierten Eintrittsrandbedingungen wird der Kavitationsbeginn (NPSHi) aus einer 3D-Navier-Stokes-Berechnung der Einphasenströmung (also ohne jegliche Kavitation) bestimmt, indem man σi = cp,min annimmt (Kap. 6.1.1 und 6.2.1). 3. Blasenwachstum und -implosion werden nach der Rayleigh-Plesset-Gleichung berechnet, die das dynamische Verhalten einer kugelförmigen dampf- und gasgefüllten Einzelblase als Funktion der örtlichen Druckverteilung an der Schaufel beschreibt, [6.19]: In der Unterdruckzone wächst so der Blasenradius bis zu einem Maximum beim niedrigsten örtlichen Druck pmin und geht dann entsprechend dem Druckanstieg wieder zurück, um bei p > pv zu verschwinden. Die

8.7 Zwei-Phasen- und Kavitationsströmungen

489

Umhüllende dieser Blasenradien liefert einen Anfangswert für die Blasenfeldlänge, Abb. 8.16. 4. Die Blasenfeldberandung wird anschließend iterativ entsprechend der Druckverteilung geändert, bis die Blasenfeldkontur der Isobaren p = pv entspricht. Bei jedem Iterationsschritt wird das Netz der Blasenfeldkontur angepaßt. 5. Die spezifische Förderarbeit und die vom Laufrad bewirkte Totaldruckerhöhung werden grundsätzlich entsprechend Kap. 8.4 bestimmt. Bei entsprechend großer Blasenausbreitung sinken diese Werte gegenüber dem kavitationsfreien Zustand, woraus sich der Förderhöhenabfall beurteilen läßt. Diese aufwendige Berechnung läßt sich umgehen, wenn man den Förderhöhenabfall aufgrund eines empirischen Kriteriums abschätzt; z.B. indem man annimmt, daß der Förderhöhenabfall entsprechend NPSH3 dann eintritt, wenn die Blasenfeldlänge die Teilung am Laufradeintritt (t1 = π d1/zLa) erreicht.

Abb. 8.16. Anfangslösung zur Berechnung der Blasenfeldlänge [8.39]

Die Abb. 6.6 und 6.7 zeigen Druckverteilungen, die nach diesem Verfahren berechnet wurden. Die beschriebene Berechnung ohne Kopplung zwischen Kavitationsströmung und Hauptströmungen ist gut geeignet für die Voraussage des Kavitationsbeginns und von Blasenfeldlängen bis mindestens Lcav = ½ t1 [8.69]. Berechnungen von NPSH3 nach empirischen Kriterien sind dagegen weniger zuverlässig, da sich (besonders bei Kavitation auf der Schaufeldruckfläche) die Wirkung der Blasenausbreitung auf Hauptströmung, Arbeitsumsatz und Verluste nicht allgemeingültig durch empirische Kriterien beschreiben läßt. Verdampfung bei konstanter Enthalpie: Wenn Wasser gegebener Temperatur T bzw. der Enthalpie h(T) entspannt wird, verdampft ein Bruchteil x, sobald der Sättigungsdruck unterschritten wird, vGl. Abb. 6.1 bzw. Kap. 6.1.1. Dieser Anteil berechnet sich zu x = fg (h – h’(p))/hv (h = Enthalpie des Fluids vor dem Laufrad, hv = Verdampfungsenthalpie, h’(p) = Enthalpie des gesättigten Fluids beim örtlichen Druck p). Somit kann in Zonen, in denen der Druck unter den Sättigungsdruck sinkt, das erzeugte Dampfvolumen berechnet werden. Dabei ist fg ein empirischen Faktor, der beschreibt, wie schnell oder wie weit sich das thermodynamische Gleichgewicht einstellt: bei fg = 1 wird Dampf entsprechend diesem Gleichgewicht produziert, während bei fg = 0 jegliche Dampfbildung unterdrückt wird. Über eine Anwendung dieses Verfahrens wird in [8.72] berichtet. Mischung aus Gas- und Flüssigkeitsphase: Das Fluid wird als eine homogene Mischung zweier Medien mit unterschiedlicher Dichte behandelt. Die Dichte in

490

8 Numerische Strömungsberechnungen

jedem Rechenelement ergibt sich dabei aus ρhom = (1-α)ρ’ + αρ’’, Gl. (T13.3.5) (α ist der volumetrische Dampfraumanteil, ρ’ die Dichte der flüssigen und ρ’’ der gasförmigen Phase, s. Kap. 13.2). Verdampfung oder Kondensation bei Unterbzw. Überschreiten des Dampfdruckes in jedem Rechenelement wird über die vereinfachte Rayleigh-Plesset-Gleichung als Quellterm ermittelt. Mit empirischen Faktoren, die für Verdampfung und Kondensation unterschiedlich sein können, werden diese Vorgänge gesteuert. Obwohl keine freien Oberflächen oder Einzelblasen betrachtet werden, lassen sich auf diese Weise anliegende Blasenfelder und Blasenwolken in der freien Strömung erfassen. So z.B. auch die stromabwärts eines Blasenfeldes ablösenden Wirbel, die nach Kap. 6 besonders aggressiv hinsichtlich Kavitationserosion sind. Über Berechnungen mit diesem Modell wird in [8.69, 8.73 u. 8.74] berichtet. Die Zweiphasenströmung in einem helico-axialen Laufrad (wie in Abb. 13.21 gezeigt) wurde in [8.70] für einen volumetrischen Gasgehalt von 20 % berechnet. Dabei entwickelte sich beim optimalen Anstellwinkel eine dünne Gasschicht auf der Schaufeldruckfläche, was mit den Beobachtungen im Versuch in Einklang stand. In der Entwicklung befinden sich zudem Zweiphasenmodelle, die keine homogene Dichte verwenden, sondern die Wechselwirkung von Gas und Flüssigkeit zu erfassen suchen. Nach den Veröffentlichungen zu urteilen, liefern alle oben beschriebenen Verfahren im Vergleich zu Messungen etwa ähnliche Ergebnisse. Das ist kein Zufall: bei allen Methoden werden dampf- oder gaserfüllte Bereiche im wesentlichen aufgrund der Druckverteilung berechnet, während die Wechselwirkung zwischen den Phasen und thermodynamische Effekte unberücksichtigt blieben. Die Druckverteilung wird nun aber weitgehend durch wandferne Bereiche der Hauptströmung beeinflußt; sie ist in homogenen Gemischen zudem unabhängig von der Dichte − und diese Berechnung unterscheidet sich in den verschiedenen Verfahren kaum, s. hierzu auch Kap. 8.10. Alle Methoden verwenden aber auch empirische Faktoren, mit denen die Rechnung den Versuchsergebnissen angepaßt wird. Dies birgt die Gefahr in sich, daß die für bestimmte Konfigurationen optimierten Faktoren bei neuen Anwendungsfällen versagen. Im weiteren müssen Annahmen über das Keimspektrum gemacht werden, die ebenfalls sehr unsicher sind. Eine weitere Anwendung im Bereich der 2-Phasenströmungen ist die Berechnung des Verhaltens von „Partikeln“ in einer Strömung. Dabei kann es sich um Feststoffpartikel, Tropfen in einer Gasströmung oder Gasblasen in einer Flüssigkeitsströmung handeln. Die Berechnung liefert die örtliche Verteilung (Konzentration) und die Strombahnen der Partikel. Einige Grundlagen hierzu finden sich in [8.60].

8.8 Berechnungsstrategien, Unsicherheiten, Qualität

491

8.8 Berechnungsstrategien, Unsicherheiten, Qualität Die kommerziell eingesetzten Navier-Stokes Programme sind extrem komplex. Die Mehrzahl der Programmanwender dürfte daher bestenfalls ein eher oberflächliches Verständnis von den Prozessen haben, die bei Netzerzeugung, numerischer Lösung und Datenaufbereitung ablaufen. Die verfügbaren Programmoptionen zur physikalischen Modellierung, Netzerzeugung, numerischen Lösung und Datenaufbereitung lassen dem Anwender einen breiten Spielraum, die für sein spezifisches Problem geeigneten Modelle und Parameter auszuwählen und so die CFD-Ergebnisse den Messungen anzupassen. Gegen eine solche Optimierung der Rechenparameter ist nichts einzuwenden − sie ist beim heutigen Stand der Technik sogar unumgänglich − wenn es gelingt, eine große Anzahl ähnlich gelagerter Anwendungsfälle, z.B. eine Reihe von Pumpen in einem breiten Bereich spezifischer Drehzahlen, mit dem gewählten Parametersatz in konsistenter Weise zu lösen. Müssen hingegen in jedem Fall neue Anpassungen gemacht werden, sind die gewählten Modellparameter offensichtlich ungeeignet; die Ergebnisse sind dann eher als zufallsbedingt zu betrachten. Physikalische Modellierung, Netzerzeugung, numerische Lösung und Datenaufbereitung bergen eine Reihe von Unsicherheiten in sich, und die breite Palette der Programmoptionen lassen dem Anwender die Freiheit, gravierende (ggf. kostspielige) Fehler zu machen und Fehlschlüsse zu ziehen. Hierfür zeugt eine eigentliche „Spezialliteratur“ über Unsicherheit und Qualität numerischer Berechnungen, [8.50 bis 8.56] sowie die Entwicklung von CFD-Qualitätsrichtlinien durch verschiedene Organisationen, [8.56, 8.57]. 8.8.1 Unsicherheiten, Fehlerquellen, Fehlerreduktion „Unsicherheiten“ beruhen auf einem Mangel an Wissen; daher sind sie nicht quantifizierbar. „Fehler“ entstehen hingegen durch vermeidbare Vereinfachungen oder ungenügende Sorgfalt; mit entsprechendem Aufwand sind sie quantifizierbar. Die vielfältigen Unsicherheiten und Fehlerquellen einer numerischen Berechnung sind teils durch das Programm, teils durch den Anwender bedingt. Sie umfassen: 1. Modellierungsfehler: Unsicherheiten bei den physikalischen Modellen, Annahmen und Daten: man kennt z.B. weder das reale Turbulenzverhalten noch die wirkliche Geometrie und Rauheit eines gegossenen Laufrades; man weiß nicht, wie genau die Reynolds’schen Gleichungen eine turbulente Strömung wirklich zu beschreiben vermögen; die physikalischen Modelle zur Beschreibung von 2-Phasenströmungen und Kavitation, aber auch von Rauheitseffekten sind rudimentär und enthalten grobe Vereinfachungen. 2. Vereinfachungen gehören ebenfalls zur Gruppe der Modellierungsfehler. Bedeutende Unsicherheiten entstehen so durch Vereinfachungen der Geometrie, die aufgrund beschränkter Ressourcen getroffen werden. Auch solche Unsi-

492

8 Numerische Strömungsberechnungen

cherheiten lassen sich nicht quantifizieren. Man betrachte hierzu z.B. eine Pumpe gemäß Abb. 7.48, deren Bedeutung für den Betrieb eines Kraftwerkes und deren Daten (u1 ≈ 80 m/s, P ≈ 10'000 kW in einer Stufe) den Einsatz von CFD bei der Entwicklung sehr wohl rechtfertigen würden: der Einlauf ähnlich Abb. 7.50 erzeugt eine dreidimensionale Geschwindigkeitsverteilung, die über 360° variiert und die dem Leitrad nachgeschaltete Spirale erfordert bei Teillast ebenfalls eine Modellierung über den ganzen Umfang. Um eine solche Pumpe richtig zu modellieren, müßte also das gesamte Fluidvolumen zwischen Saugund Druckstutzen (einschließlich Radseitenräumen und Dichtspalten) vernetzt werden, was die Möglichkeiten der meisten Anwender überschreiten dürfte. 3. Numerische Fehler [8.59]: Der numerische Fehler einer CFD-Rechnung ist die Differenz zwischen der exakten Lösung der Differentialgleichung und der tatsächlich berechneten Lösung. Er setzt sich zusammen aus dem Diskretisierungsfehler und dem Lösungsfehler. Der Diskretisierungsfehler ist die Differenz zwischen der exakten Lösung der Differentialgleichung und der exakten Lösung der diskretisierten Gleichung; er wird bestimmt durch die Ordnung der gewählten Lösung, Kap. 8.3.5. Der Lösungsfehler hingegen ist die Differenz zwischen der exakten Lösung der diskretisierten Gleichung und der tatsächlich berechneten Lösung; er umfaßt den Konvergenzfehler (Residuen) und Rundungsfehler. 4. Rundungsfehler mögen oft vernachlässigbar sein. Vorsicht ist geboten bei der Berechnung von Verlusten; denn diese bilden meist eine kleine Differenz von zwei vergleichsweise großen Zahlen; hier fallen Rundungsfehler ins Gewicht. 5. Anwenderfehler infolge Nachlässigkeit, mangelnden Kenntnissen der komplexen Programme und der Vorgänge in der Pumpe oder unzulässigen Vereinfachungen, im Bestreben, mit minimalen Mitteln eine CFD-Rechnung durchzuführen. In Tafel 8.2 sind Unsicherheiten und Fehlerquellen, die für die Berechnung von Kreiselpumpen bedeutsam sind, zusammengestellt. Einzelheiten zu Bedeutung und Problematik der korrekten Behandlung der Zuströmbedingungen, der Rauheit und der Turbulenzmodellierung wurden bereits oben besprochen. Diskretisierungsfehler: Netzbedingte Fehler sind zufallsbedingt; man kann also nicht voraussagen, ob ein grobes Netz im einem spezifischen Fall höhere oder tiefere Verluste, Förderhöhen, usw. liefern wird als ein feineres Netz. Solche Diskretisierungsfehler bei der Netzgestaltung können gravierend sein. Durch Netzverfeinerung, Rechnen mit verschiedenen Netzen und Auffinden von „netz-unabhängigen“ Lösungen lassen sie sich bis zu einem gewissen Grade quantifizieren und reduzieren. Zur Illustration des Gesagten zeigt Abb. 8.17 nach [8.64] den hydraulischen Wirkungsgrad eines Laufrades als Funktion des Fördergrades aus Rechnungen mit 11'000 und 32'000 Rechenelementen: in zwei Bereichen liefert das feinere Netz höhere Wirkungsgrade als das grobe Netz; für 0,86
ηh,La

8.8 Berechnungsstrategien, Unsicherheiten, Qualität

0.98 0.96 0.94 0.92 0.9 0.88

493

11'000 Elemente 32'000 Elemente 0.6

0.8

1

1.2

q*

1.4

Abb. 8.17. Einfluß der Anzahl Rechenelemente auf den hydraulischen Laufradwirkungsgrad, [8.64]

Der Befund von Abb. 8.17 ist typisch für CFD-Berechnungen von Pumpen: trotz einer Vielzahl von Untersuchungen lassen sich keinerlei allgemeingültige Tendenzen angeben, wie sich die Abweichungen zwischen CFD und Versuch qualitativ und quantitativ verhalten. Numerische Fehler lassen sich quantifizieren, [8.59]. Dazu berechnet man das Problem mit verschiedenen Gitterweiten h, 2h, 4h, die sich also jeweils um den Faktor 2 verändern, und erhält die zugehörigen Lösungen (z.B. Förderhöhen) Hh, H2h, H4h. Aus Gl. (8.28) wird sodann die Ordnung p der Lösung berechnet (auch wenn ein Diskretisierungsschema 2. Ordnung verwendet wurde, ist bei kleiner Zellenzahl nicht sicher, daß auch die Lösung von 2. Ordnung ist): p≈

§ H − H 4h 1 log¨¨ 2h log 2 © H h − H 2h

· ¸ ¸ ¹

(8.28)

Schätzwerte für den Diskretisierungsfehler eh und die netzunabhängige Förderhöhe Hnu berechnen sich aus Gl. (8.29): eh ≈

H h − H 2h 2p − 1

H nu ≈ H h +

H h − H 2h 2p − 1

(8.29)

Wie Abb. 8.17 zeigt, ist diese Methode („Richardson Extrapolation“) aber nicht immer aussagefähig (bei q* = 0,86 und 1,05 in Abb. 8.17 würde sie versagen). Für komplexe Probleme, wie die Berechnung einer ganzen Pumpe, wäre der Aufwand für diese Fehlerabschätzung allerdings oft prohibitiv. Man muß sich dann damit begnügen, Rechnungen mit verschiedenen Netzen und Diskretisierungen (1. bis 3. Ordnung) zur Beurteilung von Netzeinflüssen durchzuführen, vgl. hierzu Abb. 8.3. Rundungsfehler wachsen mit der Anzahl Knoten, bei hohem Verhältnis von Zellhöhe zu Zellbreite und wenn die Variablen (Drücke und Geschwindigkeiten) große Bereiche überdecken. Ein Vergleich der mit „single-precision“ und „double-precision“ berechneten Förderdaten erlaubt die Beurteilung möglicher Rundungsfehler.

494

8 Numerische Strömungsberechnungen

Programm

Tafel 8.2 Unsicherheit von CFD-Rechnungen bei Pumpen (1) Physikalische Modellierung Annahmen und Fehlerquellen

Anwendereinfluß

Grundgleichungen (Navier-Stokes)

(Auswahl) richtige Auswahl erfolgsentscheidend diese Modelle sind eher rudimentär; der Anwender muß empirische Koeffizienten optimieren

Turbulenzmodell, Wandbehandlung, Kap. 8.3.2, 8.3.3 physikalische Modelle für: • Rauheiten, Kap. 3.10, 8.3.3 • Kavitationsströmungen, Kap. 8.7 • 2-Phasenströmungen Wahl des Rechengebietes, problematisch bei: • Einlaufgehäusen (durchgehende Welle) • Spiralgehäusen (Teillast-Druckverteilung 360°) • Stufenberechnungen zLa ≠ zLe Vereinfachung, Idealisierung der Geometrie Randbedingung am Eintritt, problematisch bei: • Laufrad hinter Einlaufgehäuse mit ungleichförmiger Abströmung • Spiralgehäuse, Leiträder: Abströmung aus Laufrad Randbedingung am Austritt

Anwendung bei Pumpen

Modellierung des Überganges vom Laufrad zum Stator: Turbulenzmodell und Wandbehandlung ! Modellierung der Laufschaufelaustrittskanten Rechnung ohne Radseitenraum: Pumpwirkung der Radscheiben fehlt Rauheitseinfluß, Kap. 3.10 Dichtspaltleckage nur approximativ bekannt (genaues Spiel, Rauheit; Reibungsbeiwerte und effektive Druckdifferenz über den Spalt). Toleranz der angenommenen Leckage bedeutet Fehler bei Berechnung von ηh und eine unerkannte Betriebspunktverschiebung, die bei nq < 20 ins Gewicht fallen kann. Behandlung von Dichtspaltleckagen: • im Förderstrom berücksichtigt: wirklicher Betriebspunkt des Laufrades ! • Einfluß der Spaltstromeinleitung auf Grenzschicht an Deckscheibe und induzierte Vorrotation werden modelliert • Vernetzung von Radseitenraum und Dichtspalt Lage der Bilanzebenen zur Bestimmung der Leistungsdaten Stufenberechnung mit „frozen rotor“: alle Größen (H, η, usw.) hängen von der Rotorstellung ab. Diese Variation hängt von q* ab. Methoden der Mittelwertbildung

wegen Rechnerkapazität werden oft fragliche Vereinfachungen getroffen korrekte Spezifikation der Zuströmbedingungen bei verzögerter und/oder gekrümmter Strömung erfolgsentscheidend mitunter „Artefakt“ zur Vermeidung von Rückströmung bei kleinem nq erfolgsentscheidend mitunter empfindlich bei kleinem nq nicht vernachlässigbar, Kap. 3.10 schwer quantifizierbar nur in Sonderfällen zu beeinflussen ggf. Empfindlichkeitsanalyse

• absolut notwendig, einfach • aufwendig • sehr aufwendig durch Analyse in verschiedenen Ebenen zu beurteilen Rechnung bei verschiedenen Rotorstellungen, Mittelung Alternative: Mischungsebene Kap. 8.4

8.8 Berechnungsstrategien, Unsicherheiten, Qualität

495

Daten

Tafel 8.2 Unsicherheit von CFD-Rechnungen bei Pumpen (2) Physikalische Modellierung (Daten) Unsicherheiten in der Geometrie; z.B. Fertigungstoleranzen: die Rechnung erfolgt mit der Sollgeometrie nach Zeichnung, die Messung u.U. mit gegossenen Laufrädern, die erhebliche Toleranzen aufweisen

durch NC gefräste Komponenten vermeidbar

Physikalische Eigenschaften des Mediums

bei Wasser mit niedriger Temperatur kaum relevant

Tafel 8.2 Unsicherheit von CFD-Rechnungen bei Pumpen (3) Numerische Modellierung Annahmen und Fehlerquellen Programm

Numerische Lösungsverfahren Numerische Fehler Rundungsfehler

Anwendung

Art, Feinheit, Qualität des Rechennetzes

Konvergenzverhalten

Anwendereinfluß Wahl der Ordnung (mindestens 2. Ordnung wählen) quantifizierbar nach Gl. (8.28, 8.29) zu beachten bei der Berechnung von Strömungsverlusten; 64-bit oder bei 32 bit „double precision“ wählen erfolgsentscheidend, Kap. 8.3.4 • fragliche Kompromisse zum Erzwingen der Konvergenz vermeiden; • einwandfreie Netze verbessern die Konvergenz Abbruchkriterien: -4 maximale Residuen kleiner als 10 -5 RMS Residuen kleiner als 10

Alle Numerik- und Modellierungsfehler und Unsicherheiten sind im wesentlichen voneinander unabhängig und daher statistisch verteilt. Sie können sich addieren oder kompensieren, je nach Anwendungsfall und Förderstrom oder Eingabeparametern. Insbesondere gilt dies für: • numerische Fehler • Einfluß Rauheit, Pumpwirkung der Radscheiben, Dichtspaltstrom, alle Arten von Vereinfachungen

8.8.2 Qualitätssicherung bei CFD-Rechnungen Um Vertrauen in die Ergebnisse numerischer Berechnungen aufzubauen, sind erhebliche Anstrengungen zur Qualitätssicherung notwendig; hierzu gehören: 1. Die numerische Überprüfung (Verifizierung): „werden die Gleichungen richtig gelöst?“ Diese Aufgabe fällt primär dem Programmentwickler zu. Versuchsdaten werden hierzu nicht benötigt. 2. Die Überprüfung (Validierung) der physikalischen Annahmen und Modelle: „werden die richtigen Gleichungen gelöst?“ Diese Validierung erfolgt durch Vergleich zwischen Rechnung und Messung. Dabei gilt die Messung als „Wirklichkeit“; sie muß also genügend zuverlässig sein, und die Fehlergrenzen

496

3. 4. 5. 6.

8 Numerische Strömungsberechnungen

müssen beurteilt werden können (Kap. 8.8.3). Validiert wird zum einen anhand allgemeiner Testfälle („benchmark tests“), die öffentlich zugänglich sind z.B. [8.27, 8.48], zum anderen durch den Anwender anhand seiner spezifischer Maschinen oder Bauteile wie z.B. Pumpen, Turbinen oder verfahrenstechnische Apparate. Beim gegenwärtigen Stand der Turbulenzmodellierung ist eine umfassende Validierung dieser Art durch den Anwender anhand von Messungen an ähnlichen Pumpen unerläßlich. Dies gilt besonders auch für die Berechnung von Verlusten in Bauteilen mit rauhen Oberflächen sowie für Kavitations- oder 2-Phasenströmungen. Vor der Validierung müssen numerische Fehler und Netzprobleme beseitigt werden, Kap. 8.8.1, Gl (8.29). Rechnungen der gleichen Geometrie mit verschiedenen Netztypen und verschiedener Netzfeinheit, um Netzeinflüsse beurteilen zu können und eine netzunabhängige Lösung zu erhalten. Rechnungen mit verschiedenen Turbulenzmodellen und Vergleich mit Messungen an gut dokumentierten Fällen wie Rohrbögen oder Diffusoren sind ebenfalls Teil einer umfassenden Validierung. Empfindlichkeitsanalysen bezüglich der getroffenen Vereinfachungen, der gewählten Bilanzflächen und der numerischen Parameter, vGl. Tafel 8.2.

Bei systematischem industriellem Einsatz von CFD stellt die Validierung eine Daueraufgabe dar, solange Programme und Anwendungsbereich sich weiter entwickeln. Die Validierung beschränkt sich nicht auf ausgesuchte Vergleiche zwischen Rechnung und Messung, sondern umfaßt auch umfangreiche Empfindlichkeitsanalysen bezüglich Netzfeinheit, Netzaufbau, lokale Netzverfeinerung, numerische Parameter, Turbulenzmodell und Wandbehandlung. Eine umfassende Validierung für einen systematischen CFD-Einsatz könnte nach obigen Ausführungen etwa wie folgt angegangen werden: 1. Man definiert den Bereich der Reynolds-Zahlen und Pumpengrößen für die geplante Anwendung. 2. Mit dem gewählten Turbulenzmodell und Wandgesetz ergibt sich mit Hilfe von Tafel 8.1 der Abstand der ersten Zelle von der Wand: für ein lineares Wandgesetz z.B. aus der Forderung y+ = 1, für ein logarithmisches Wandgesetz z.B. aus der Forderung y+ = 30. 3. Mit dem Zellvergrößerungsfaktor aus Kap. 8.3.4 Punkt 6 läßt sich nun die Netzfeinheit in Wandnähe bestimmen, die in etwa nötig ist, um die Pumpe zu berechnen. 4. Mit der so definierten Netzfeinheit werden Verluste und Strömungsverteilungen in glatten und rauhen Rohren, einem 90°-Bogen, einem geraden Diffusor und einem gekrümmten Diffusor berechnet und mit Versuchresultaten verglichen. 5. Wurde Schritt 4 mit einem Satz konsistenter Annahmen und Numerikparameter erfolgreich abgeschlossen, bilden die so erprobte wandnahe Netztopologie sowie dieselben numerischen Einstellungen eine gute Ausgangsbasis für die Berechnung der Pumpe.

8.8 Berechnungsstrategien, Unsicherheiten, Qualität

497

6. Für die Validierung der Berechnung der Pumpenkomponenten werden globale Messungen der Förderdaten und gemessene Geschwindigkeitsverteilungen (insbesondere am Laufradaustritt) verwendet. Ein grundsätzliches Problem bei der Validierung − wie bei allen CFD-Rechnungen − besteht darin, daß sich numerische Fehler und Unzulänglichkeiten der physikalischen Modellierung nach den Gesetzen der Statistik kompensieren oder addieren können, weil beide Fehlerkategorien von einander völlig unabhängig (also rein statistisch verteilt) sind. So kann es z.B. vorkommen, daß im Einzelfall mit einem groben Netz und einer Lösung erster Ordnung die berechnete theoretische Förderhöhe gut mit der Messung übereinstimmt (und so eine erfolgreiche Validierung vortäuscht). In anderen Anwendungsfällen würden die gewählten Einstellungen hingegen zu falschen Ergebnissen führen. Man vergleiche hierzu den Einsatz von Numerikprogrammen in der Meteorologie, die zwar häufig brauchbare Prognosen liefern, in anderen Fällen aber ohne erkennbaren Grund versagen. Die Validierung der Turbulenzmodelle muß an relativ einfachen Geometrien vorgenommen werden, die meßtechnisch gut zugänglich sind (Rohr, frei angeströmte Platte, Diffusor, Rohrbogen, Freistrahlen). In einem Laufrad oder Leitrad können sich verschiedene Effekte überlagern, was die Anwendung des Turbulenzmodells trotz an sich erfolgreicher Validierung unsicher macht. Selbst der Umstand, mit Hilfe von CFD in Einzelfällen ein gutes Laufrad entwickelt zu haben, erlaubt nicht den unqualifizierten Schluß, die eingesetzten Modelle, der eingeschlagene Weg und die getroffenen Annahmen seien richtig und brauchbar für zukünftige Anwendungen: Pumpen mit Spitzenwirkungsgraden wurden schon vor 50 Jahren gebaut, wozu neben Erfahrung und experimentellen Daten wohl auch immer eine „glückliche Hand“ nötig war. Das gilt beim derzeitigen Stand der Kenntnis vermutlich auch für die CFD-Anwendung. Das Risiko, Zufallsergebnisse zu produzieren, läßt sich (nur) durch strikte Beachtung einiger grundlegender CFD-Qualitätskriterien verringern: 1. Genaue Formulierung der Aufgabenstellung: • Was soll berechnet werden? • Wozu dienen die Resultate? • Nach welchen Kriterien sollen die Resultate beurteilt werden? Beispiel: In einer Anlage erzeugt die Saugleitung infolge Formstücken eine ungleichmäßige Zuströmung zum Laufrad. Mit großer Sorgfalt (Rohrbögen!) läßt sich das Geschwindigkeitsprofil am Laufradeintritt zwar berechnen, offen bleibt aber die (allein interessierende) Frage, ob die Zuströmprofile unzulässigen Lärm oder Schwingungen an der spezifischen Pumpe hervorrufen, ob Kavitationsprobleme zu erwarten sind oder ob Wirkungsgrad und Förderhöhe meßbar beeinträchtigt werden. Hat man sich indessen nur zur Aufgabe gestellt, die Geometrie zu verbessern, um gleichmäßigere Geschwindigkeitsverteilungen zu erreichen, muß das gewählte Turbulenzmodell dies auch leisten können – und das ist nach Kap. 8.3.2 keineswegs immer garantiert.

498

8 Numerische Strömungsberechnungen

• Wie genau müssen die Ergebnisse sein, damit der angestrebte Zweck erreicht werden kann? Kann CFD die verlangte Genauigkeit liefern? Beispiel: Pumpen mit kleiner spezifischer Drehzahl haben flache Kennlinien; der Unterschied zwischen stabiler und unstabiler Kennlinie liegt bei wenigen Prozent der Förderhöhe; ein Förderhöhenunterschied von ± 2 % kann entscheidend dafür sein, ob die Kennlinie akzeptabel ist. 2. Wahl des Rechengebietes: mit Rücksicht auf die begrenzte Rechnerkapazität werden meist erhebliche Vereinfachungen getroffen. Sollen Fehlschlüsse vermieden werden, muß man sich Rechenschaft darüber geben, welche Effekte nicht berücksichtigt werden, und was die geplante Rechnung dann zu leisten vermag. Tafel 8.3 gibt hierzu einige Hinweise. Besonders problematisch sind hier: • Die Strömungsverteilung am Laufradeintritt, wenn das Einlaufgehäuse nicht modelliert wird. • Die Vernachlässigung des Radseitenraumes: bei kleiner spezifischer Drehzahl üben die Radscheiben eine beträchtliche Pumpwirkung aus (Kap. 3.10); die Spaltstromeinleitung beeinflußt den Anströmwinkel an der äußeren Stromlinie und damit Kavitationsbeginn, Stabilität der Kennlinie und Verluste; der Impulsaustausch am Laufradaustritt zwischen der Hauptströmung und dem Radseitenraum beeinflußt die Kennlinie und die Verluste, Kap. 5 und 9.1 • Bei Stufenberechnungen mit einem oder wenigen Kanälen, wenn ν2 zLa ≠ ν3 zLe ist, ist die Wahl des Rechengebietes etwas willkürlich. Am Eintritt muß eine genügende Anzahl Zellen vor dem interessierenden Gebiet angeordnet werden, damit die Bedingungen am Eintrittsrand die Ergebnisse nicht verfälschen, s. Kap. 8.3.4 Der Austritt aus dem Rechengebiet darf nicht in Bereichen liegen, wo sich Geometrie und/oder Strömung stark ändern. 3. Netzerzeugung: Wie mehrfach betont, hängt die Zuverlässigkeit der Rechnung maßgeblich von der Qualität der Netze ab, Richtlinien hierzu in Kap. 8.3.4. Einwandfreie Netze erleichtern auch die Konvergenz. Der Aufwand für die Erzeugung guter Netze macht sich folglich doppelt bezahlt. Das 3D-Geometriemodell, das vernetzt werden soll, darf keine Lücken, Fehler oder Ungenauigkeiten aufweisen. Verrundungsradien zwischen Schaufeln und Wänden bereiten hier oft Schwierigkeiten. Selbstverständlich müssen die lokalen Zellgrößen kleiner sein als die kleinsten geometrischen Einzelheiten, die in der CFD-Rechnung berücksichtigt werden sollen (z.B. Spalte bei offenen Laufrädern, Laufschaufeleintrittskanten mit kleinen Eintrittsradien). Nach der Rechnung ist zu prüfen, ob das Netz in Gebieten mit starken Geschwindigkeitsgradienten genügend fein ist. Netzparameter wie die Winkel zwischen den Elementen lassen sich mit Hilfe von Histogrammen prüfen. Rechnungen mit verschiedenen Netzgrößen oder -typen zeigen, wie weit eine netzunabhängige Lösung erreicht wurde, Kap. 8.8.1. 4. Randbedingungen: Die Turbulenzparameter am Eintritt in das Rechengebiet sind meist nicht bekannt; man ist auf Annahmen angewiesen (Kap. 8.3.6). Mit ei-

8.8 Berechnungsstrategien, Unsicherheiten, Qualität

499

ner Empfindlichkeitsanalyse kann der Einfluß der Turbulenzparameter im Einzelfall beurteilt werden. Baut man mehr Zellen ein zwischen dem Eintritt ins Rechengebiet und dem Eintritt in die interessierende Komponente, klingt die Bedeutung der Turbulenzparameter am Eintrittsrand ab. Die Bilanzfläche muß aber genügend weit vom Eintrittsrand entfernt sein. Am Austritt aus dem Rechengebiet dürfen keine Rückströmungen auftreten. 5. Anfangsbedingungen können die Lösung beeinflussen; z.B. bei Strömungszuständen mit Hysterese. Bei instationären Vorgängen müssen die Anfangsbedingungen einen physikalisch möglichen Zustand darstellen; bei transienten Vorgängen ist dies meist der stationäre Zustand zur Zeit t = 0. 6. Fluideigenschaften sind korrekt zu spezifizieren. Hat das Programm eine sehr allgemeine Datenstruktur, ist entsprechende Sorgfalt nötig. 7. Turbulenzmodellierung: Aus der Literatur geht eindeutig hervor, daß es bislang kein universell einsetzbares Turbulenzmodell gibt und daß das Standard k-ε/Modell mit logarithmischen Wandgesetzen für verzögerte und/oder gekrümmte Strömungen nicht befriedigt. Es sollte daher für Laufräder, Leiträder, Spiralen, Einlaufgehäuse, Rohrbögen und Diffusoren nicht verwendet werden. Im Pumpenbau sind vielmehr Turbulenzmodelle einzusetzen, die mit linearen oder linear/logarithmischen Wandgesetzen arbeiten. Als Alternativen stehen zur Verfügung: (1) SST-Modell; (2) Zwei-Schichtenmodell; (3) Andere Modelle mit linearen oder linear/logarithmischen Wandgesetzen wie z.B. in [8.48 u. 8.49]. Allerdings müssen bei Verwendung linearer Wandgesetze ausreichend feine Rechennetze erstellt werden, damit die wandnahen Gitterpunkte in der viskosen Unterschicht liegen. Ansonsten können ähnliche Ungenauigkeiten wie bei der Verwendung logarithmischer Wandgesetze auftreten. Die Definition geeigneter Eintrittsrandbedingungen für die Turbulenz bereitet große Schwierigkeiten und birgt entsprechende Unsicherheiten in sich. Das − an sich ungeeignete − k-ε-Modell mit Wandgesetz wird dennoch verbreitet eingesetzt, weil höhere Turbulenzmodelle häufig schlechter konvergieren. Treten beim Einsatz höherer Turbulenzmodelle Konvergenzschwierigkeiten auf, sollten zunächst alle Möglichkeiten zur Erzeugung einwandfreier Netze ausgeschöpft werden, bevor man ein Netz fraglicher Güte mit einem ungeeigneten Turbulenzmodell laufen läßt, um Konvergenz zu erzwingen. Häufig ist auch bei Pumpen eine scheinbar brauchbare Übereinstimmung zwischen Messung und Rechnung mit dem Standard k-ε-Modell zu beobachten. Daneben gibt es wiederum Rechnungen an ähnlichen Pumpen, die in unerklärlicher Weise von den Messungen abweichen. Diese Beobachtung läßt sich dadurch erklären, daß sich die verschiedenen Fehler in der physikalischen Modellierung und in der Numerik mitunter kompensieren, in anderen Fällen hingegen addieren, wie das bei statistisch verteilten Größen der Fall ist. Mitunter werden die Reynoldsspannungen auch durch andere Terme in den Transportgleichungen dominiert, z.B. durch den Druckgradienten oder die Coriolis- und Zentrifugalbeschleunigung. In diesen Fällen machen sich Schwächen des Turbulenzmodells weniger stark bemerkbar – auch Euler-Verfahren würden hier brauchbare Lösungen liefern.

500

8 Numerische Strömungsberechnungen

Tafel 8.3 (1) CFD-Berechnung von Komponenten und Stufen Komponente

Art und Ziel der Rechnung

Hinweise und Grenzen

Um mögliche Ablösungen und Wirbelzöpfe zu entdecken, müssen ein sehr leistungsfähiges Turbulenzmodell mit linearen oder linear/logarithmischen Wandgesetzen und ausreichend feine Netze verwendet werden. Die Laufradrückwirkung fehlt. Überprüfung der SchaufelarTeillastberechnung im Gebiet mit ReLaufrad, allein zirkulation grundsätzlich nur als Stubeit Hth im Bereich ohne fenberechnung sinnvoll. Rückströmung. Qualitative Optimierung der Die Ungleichförmigkeit der AbströStrömung durch Abbau von mung (Mischungsverluste im LeitappaGeschwindigkeitsunterschierat) sind bei der Optimierung zu berückden und Vermeidung von Absichtigen. lösungen. Die Wirkung der Spaltstromeinleitung Optimierung der Abströmproauf die Strömung im Laufrad kann in file hinsichtlich Stabilität und Einzelfällen groß sein (z.B. bezüglich Erregerkräften. Kennlinienstabilität oder Kavitation). Kavitationsbeginn Wann das der Fall ist, läßt sich nicht Beginn der Rezirkulation am voraussagen. Die Untersuchung eines Eintritt. spezifischen Falles läßt kaum allgemeine Schlüsse zu. Radseitenraum Radscheiben-Pumpwirkung Aus der einfachen Geometrie darf nicht auf eine einfache Strömung geschlossen Druckverteilung zur Axialwerden. Spaltstrom und Geschwindigkraftermittlung. keitsverteilung am Eintritt in den RadRotordynamische Beiwerte. seitenraum müssen bekannt sein. Leitrad, allein Für das Diffusorverhalten ist die Geschwindigkeitsverteilung am Eintritt entscheidend. Turbulenzmodell mit linearen oder linear/logarithmischen Wandgesetzen und ausreichend feine Netze verwenden. Instationäre Effekte der LaufradabströDruckrückgewinn mung, die den Diffusor beeinflussen, Qualitative Optimierung der lassen sich nicht erfassen. Strömung durch Abbau von wie Leitrad Spiralgehäuse Geschwindigkeitsunterschieden und Austrittsund Vermeidung von Ablösun- Grundsätzlich über 360° rechnen; Laufdiffusor rad arbeitet am Umfang in verschiedegen. (Druckstutzen) nen Betriebspunkten. Keine Symmetrieebene in Spiralenmitte verwenden. Der Drall aus der Sekundärströmung in der Spirale beeinflußt den nachgeschalteten Diffusor. Für Auslegungsrechnungen können ggf. gröbere Netze als für die Analyse des endgültigen Entwurfs verwendet werden. Eintrittsgehäuse für Pumpen mit durchgehender Welle

Optimierung von Flächenverlauf, Umlenkung und Gestaltung, um ein möglichst gleichförmiges Abströmprofil zu erhalten Vermeidung von Wirbelzöpfen

8.8 Berechnungsstrategien, Unsicherheiten, Qualität

501

Tafel 8.3 (2) Stufenberechnung Komponente

Art und Ziel der Rechnung

Hinweise und Grenzen

Stufenberechnung

Wechselwirkung zwischen Rotor und Stator an Ein- und Austritt. Teillastberechnung im Gebiet mit Rezirkulation

Vorzugsweise mit Mischungsebene zwischen Rotor und Stator (außer bei Spiralgehäusen), weil bei Berechnung mit verschiedenen Rotorstellungen die Förderhöhe von der Rotorstellung ab hängt. Da in der Regel zLa ≠ zLe ist, begeht man schwer abschätzbare Fehler, wenn nicht alle Kanäle berechnet werden. Spiralgehäuse bei Teillast am besten instationär (noch zu entwickeln)

Nicht selten wird argumentiert, die CFD-Ergebnisse (vor allem Verluste) seien zwar nicht absolut genau, aber als Vergleichswerte zwischen verschiedenen Auslegungsvarianten relevant und daher für die Komponentenoptimierung verwendbar. Da das k-ε-Modell Ablösungen nicht sicher erkennt und durch das Wandgesetz die Wandreibung sowie die Vermischung der wandnahen Schichten mit der freien Strömung vorgeschrieben bzw. beeinflußt werden, sind derartige Vergleichs- und Optimierungsrechnungen indessen keineswegs über alle Zweifel erhaben. Auch die rein qualitative Beurteilung berechneter Strömungsformen in Laufrad, Leitvorrichtung oder Einlauf bleibt fraglich, wenn die verwendeten Modelle die Strömungsverteilung in einfachen Komponenten wie Diffusor oder Rohrbogen nicht einmal qualitativ richtig zu beschreiben vermögen. Ist die Strömung bereichsweise laminar, versagen Standard-Turbulenzmodelle, die für Strömungen bei hohen Reynoldszahlen ausgelegt sind, per definitionem. Die Turbulenzmodelle für niedrige Reynolds-Zahlen können aber befriedigende Ergebnisse liefern. 8. Wandgesetz: wie erwähnt, lassen Rechnungen mit rein logarithmischen Wandgesetzen keine zuverlässigen Ergebnisse für verzögerte und/oder gekrümmte Strömungen erhoffen. Wie Abb. 8.8 zeigt, beeinflußt ein Wandgesetz die Verlustberechnung erheblich. In Fällen, wo die Verwendung eines logarithmischen Wandgesetzes zulässig ist, sind die Zellen in Wandnähe so zu wählen, daß 30 < y+ < 100 erreicht wird; in keinem Fall sollte y+ < 11 zugelassen werden. Bei Rauheiten ist das Wandgesetz nach Tafel 8.1 anzupassen. Diese Empfehlungen für y+ gelten nur für Rechnungen mit logarithmischen Wandgesetzen. Beim ZweiSchichtenmodell, beim SST-Modell und bei anderen Low-Re-Turbulenzmodellen soll z.B. y+ < 1 in den Zellen an der Wand eingehalten werden. Zwischen der Wand und y+ = 20 sollen dann mindestens 10 Zellen liegen. Mittels eines Histogramms der y+-Werte in allen Zellen, läßt sich die Einhaltung dieser Kriterien prüfen. 9. Die Modellierung der Schaufelhinterkanten hat einen Einfluß auf Druckverteilung, Strömungsumlenkung und Verluste, der mitunter ausgeprägt ist und eine Optimierung für die jeweiligen Verhältnisse erfordert.

502

8 Numerische Strömungsberechnungen

10. Übergänge zwischen Rotor und Stator: Im Laufrad erfolgt die Rechnung im Relativsystem; Gehäuseteile haben folglich im Relativsystem die Winkelgeschwindigkeit -ω. Wegen der Haftbedingung haben Fluidpartikel an der Laufradwand im Relativsystem die Umfangskomponente wu = 0 und entsprechend cu = u2 im Absolutsystem; unmittelbar nach dem Laufradaustritt haben die Fluidpartikel an der Gehäusewand dagegen wegen der Haftbedingung im ruhenden System cu = 0. Diese sprunghafte Änderung von cu = u2 auf cu = 0 kann vor allem bei flachem Abströmwinkel α2 (kleinen spezifischen Drehzahlen) Schwierigkeiten bereiten, weil eine große Reibung vorgetäuscht wird. Wenn die Gehäusewände als Symmetriebedingung (anstelle einer festen Wand mit -ω) formuliert werden, umgeht man dieses Problem; aber auch diese Lösung befriedigt nicht vollständig. Da der „sprunghafte“ Übergang vom Rotor auf den Stator der Realität entspricht, sollte er von einem CFD-Programm verkraftet werden. Hierzu muß ein Turbulenzmodell verwendet werden, in dem die Produktion von Turbulenz bei starken Geschwindigkeitsänderungen begrenzt wird (k-ε-Modell von Kato/Launder oder SST-Modell). 11. Mittelwertbildung: Die Lage der Bilanzflächen, in denen Förderhöhen, Leistungen, Verluste und Geschwindigkeitsprofile integriert werden, hat einen Einfluß auf das Ergebnis. Bilanzflächen im Saug- oder Druckstutzen bergen kaum Unsicherheiten, weil die Geschwindigkeiten dort klein und die Gradienten schwach sind; eine Ausnahme bilden Axialpumpen. Im Bereich hoher Gradienten, insbesondere beim Übergang vom Laufradaustritt ins Absolutsystem hängen Förderhöhe, Drehmoment und Verluste indessen von der Bilanzfläche ab: bei kleinem nq und Simulierung des Gehäuses als feste Wand müssen die Mittelwerte dicht hinter dem Laufradaustritt (z.B. im Abstand von 1 % von r2) bestimmt werden, damit man die Laufradverluste nicht überbewertet. Werden die Gehäusewände durch Symmetriebedingungen ersetzt, kann es vorteilhaft sein, die Bilanzfläche bei etwas größeren Durchmessern zu wählen. Die Strömung kann sich dann etwas ausgleichen, ohne daß die Ergebnisse durch Reibung an der Gehäusewand verfälscht werden. Wie in Kap. 8.4 erläutert, sind bei Teillast mit ausgeprägter Rückströmung besondere Verfahren anzuwenden. 12. Überprüfung des Konvergenzverhaltens: Grundsatz: eine nicht korrekt konvergierte Lösung ist zu verwerfen. Residuen der lokalen Größen sollen < 10-4 und der RMS-Werte < 10-5 liegen, wobei jeweils auf die Definition und Normierung dieser Residuen zu achten ist. • Zielgrößen wie Förderhöhe, Moment oder Wirkungsgrad, aufgetragen über den entsprechenden Residuen, müssen asymptotischen Werten zulaufen. Dieser Verlauf soll monoton sein; anfängliche Schwingungen müssen vor Erreichen des Endniveaus abklingen. Dies gilt auch für Residuen, die über dem Iterationsschritt (oder der Zeit) aufgetragen werden. • Massenstrom über Residuen an verschiedenen Bilanzflächen auftragen (Eintritt und Austritt des Rechengebietes und der verschieden Komponenten).

8.8 Berechnungsstrategien, Unsicherheiten, Qualität

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Bei Konvergenzschwierigkeiten: • Netz überprüfen ggf. verbessern, Kap. 8.3.4 • Grad der Ordnung schrittweise erhöhen, Kap. 8.3.5 (Beginn mit 1. Ordnung) • die Randbedingungen müssen physikalisch sinnvoll sein, damit das Programm überhaupt eine Lösung finden kann • Bereiche mit örtlich hohen Residuen analysieren • instationäre Rechnung versuchen: eine Strömung, die in Wirklichkeit instationär ist, konvergiert nicht als stationäre Rechnung! Kap. 8.6.3 und [8.64]. • bessere Anfangslösung, Kap. 8.3.7 • Relaxationsparameter oder Zeitschritt ändern. 13. Numerische Fehler: • Nach Kap. 8.3.5 sollte ein Interpolationsschema mit mindestens 2. Ordnung für die Variation der physikalischen Größen innerhalb der Zellen verwendet werden. • Wird dennoch ein Schema 1. Ordnung gewählt, muß das Netz extrem fein sein, vgl. Abb. 8.3. • Die Größe der numerischen Fehler läßt sich nach Kap. 8.8.1 schätzen. • Der gewählte Zeitschritt darf keinen Einfluß auf die Lösung ausüben. Zeitschritte werden am besten als Bruchteile oder Vielfache eines typischen physikalischen Zeitmaßes bestimmt. Ein typisches Zeitmaß kann als Quotient aus „Längenmaß/Geschwindigkeitsmaß“ ermittelt werden. Im allgemeinen kann man dafür die gleichen Maße ansetzen, die auch zur Berechnung der jeweiligen Reynolds-Zahl verwendet werden. Für eine Laufradberechnung ist der Laufradradius ein typisches Längenmaß und die Umfangsgeschwindigkeit ω r2 ein typisches Geschwindigkeitsmaß. Das Zeitmaß ergibt sich dann als proportional zu „Faktor“/ω. Wie groß der optimale „Faktor“ ist, hängt vom jeweiligen Lösungsverfahren ab. Bei sequentiellen Lösungsverfahren, wie zum Beispiel dem oben erwähnten SIMPLE-Algorithmus, sind im allgemeinen kleinere Werte notwendig als bei gekoppelten Lösungsalgorithmen, wo Faktor ≈ 1 gilt. Der optimale Faktor kann durch einige Rechnungen auf relativ groben Rechengittern ermittelt werden. 14. Verlustberechnung: • In großen Pumpen betragen die hydraulischen Verluste nur einen Bruchteil der Förderarbeit. Will man CFD-Rechnungen für die Optimierung einsetzen, müßte man in der Lage sein, die Verluste mit einer Genauigkeit von deutlich besser als ± 10 % zu berechnen. Betrachten wir hierzu eine Pumpe mit einem hydraulischen Wirkungsgrad von ηh = 0,9 und nehmen wir eine Unsicherheit der CFD-Verlustberechnung von ± 10 % an, bedeutet dies, daß aufgrund der Berechnung der Bereich ηh = 0,89−0,91 zu erwarten wäre. Diese Bandbreite bedeutet aber im konkreten Anwendungsfall den Unterschied zwischen einer „guten“ und einer „schlechten“ Hydraulik.

504

8 Numerische Strömungsberechnungen

• Bei Verwendung des k-ε-Modells mit Wandgesetz werden die Reibungsverluste in verzögerter Strömung (also Laufrad, Leitrad und Spirale) überbewertet, während die Mischungsverluste vermutlich häufig zu niedrig berechnet werden. Läßt man sich von diesen Resultaten leiten, entwirft man kurze Schaufeln und Kanäle, da diese geringe Reibungsverluste erzeugen. Die Folge davon sind: hohe Schaufelbelastungen, ungleichförmige Abströmprofile, hohe hydraulische Erregerkräfte (Schwingungen und Lärm), erhöhte Mischungsverluste und u.U. Kennlinieninstabilitäten infolge plötzlichen Strömungsumschlags. • Allgemein muß die Verlustberechnung z.Zt. noch als recht unsicher gelten. Das gilt sowohl für die absoluten Werte als auch für den Vergleich zwischen verschiedenen Auslegungsvarianten: man denke an die Auswirkung der oben erwähnten statistischen Verteilung der Fehler aus physikalischer Modellierung und Numerik.1 • Der Einfluß der Rauheit läßt sich noch kaum bewerten, weil zwischen Rauheit, Geschwindigkeitsprofil und Turbulenz eine enge Wechselwirkung herrscht, deren Gesetzmäßigkeiten weitgehend unbekannt sind und sich in der Numerik daher kaum erfassen lassen, s. Kap. 3.10. 15. Kennlinieninstabilitäten: Instabilitäten in der Q-H-Kurve können häufig mittels CFD vorausberechnet werden. Der Förderstrom, bei dem die Instabilität bzw. die Strömungsablösung einsetzt, wird aber oft nicht richtig erfaßt. Dabei tritt die mit CFD berechnete Instabilität bei kleineren Förderströmen auf als im Versuch beobachtet wird. Als Beispiel mögen die Untersuchungen in [5.52] herangezogen werden, die an einer Pumpe mit doppelflutigem Laufrad, Leitrad und Spiralgehäuse durchgeführt wurden. Abbildung 8.18 zeigt den Vergleich zwischen Rechnung und Messung. Es handelt sich um die gleiche Pumpe wie in Abb. 5.42. Da die QH-Kurve eine Hysterese aufwies, erfolgte die Rechnung einmal mit steigendem Förderstrom (Kurve „CFD-up“) und mit fallendem Förderstrom (Kurve „CFDdown“). Insbesondere bei der Berechnung mit fallendem Förderstrom wird das Einsetzen der Instabilität massiv unterschätzt. Die Einbuße an Förderhöhe (etwa 4%) wird hingegen mit CFD gut erfaßt. Bei dieser Untersuchung wurde die komplette Pumpe mit 2,5×106 Knoten vernetzt. Die Rechnung erfolgte instationär. Berechnungen einer Pumpturbine mit axialem Zulauf, verstellbaren Leitschaufeln, Stützschaufeln und Spiralgehäuse ergaben ähnliche Ergebnisse: während im Versuch die Instabilität bei q* = 0.95 gemessen wurde, setzte die mit CFD berechnete Instabilität mit einem groben Gitter bei q* = 0.86 ein, mit einem mittelfeinen Gitter bei q* = 0.84 und mit einem feinen Gitter bei q* = 0.83, [5.52].

1

So betrugen z.B. die in [9.10] mit CFD berechneten Radreibungsverluste glatter Scheiben nur etwa 10 % der nach Gl. (T3.6.11) zu erwartenden Werte, die durch verschiedene Messungen bestätigt wurden.

8.8 Berechnungsstrategien, Unsicherheiten, Qualität

505

1.15

h*

1.10 1.05 1.00

Test CFD-up CFD-down

0.95 0.90 0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 q* 1.1

1.2

Abb. 8.18. CFD-Untersuchung einer Pumpe mit instabiler Q-H-Kurve, h* = H/Hopt, [5.52]

16. Geschwindigkeitsverteilungen: Wie Untersuchungen an Rohrbögen und Diffusoren zeigen, erhält man quantitativ und – oft gravierender − qualitativ falsche Verteilungen, wenn ein auf der k-ε-Gleichung basierendes Turbulenzmodell mit logarithmischem Wandgesetz für Strömungen gegen einen Druckanstieg verwendet wird. Für die Leiträder von Pumpen sind keine besseren Ergebnisse zu erwarten. In Laufrädern wird die Geschwindigkeitsverteilung hingegen durch zwei grundsätzlich verschiedene Effekte bestimmt: (1) Zentrifugal-, Coriolis- und Schaufelkräfte und (2) Grenzschichteffekte. Die Kräfte wirken in reibungsfreier wie in reibungsbehafteter Strömung und werden deshalb auch durch eine EulerRechnung erfaßt. Soweit die Strömungsverteilung „kraftbestimmt“ ist, wird sie durch die Wahl von Wandgesetz und Turbulenzmodell nur indirekt beeinflußt. Grenzschichteffekte, wie sie in einem Diffusor herrschen, werden hingegen weitgehend durch Wandgesetz und Turbulenzmodell bestimmt. In Fällen, wo die Geschwindigkeitsverteilung im Laufrad „kraftbestimmt“ ist, wäre eine brauchbare (mindestens qualitative) Übereinstimmung zwischen Rechnung und Messung zu erwarten. Dort wo die Verteilung „grenzschichtbestimmt“ ist, kommt es auf die Wahl von Wandgesetz und Turbulenzmodell an. Dieser Sachverhalt erklärt, warum gerechnete und gemessene Profile manchmal übereinstimmen und in anderen Fällen selbst qualitativ falsch sind (z.B. bei einem gegebenen Laufrad bei verschiedenen Förderströmen). Sucht man ein Laufrad so auszulegen, daß es bei Teillast zu keinem plötzlichen Umschlag der Strömungsform kommt (Kap. 5), muß man sich zuvor anhand von Messungen davon überzeugen, daß das gewählte Turbulenzmodell für die zu untersuchenden Komponenten mindestens qualitativ richtige Geschwindigkeitsverteilungen zu liefern vermag. Diese Einschränkungen gelten grundsätzlich auch für die Beurteilung von Strömungsbildern, aufgrund derer man versucht, den Entwurf durch Verringerung von Ungleichförmigkeiten in den Geschwindigkeits- und Druckverteilungen zu verbessern. 17. Empfindlichkeitsanalysen bieten sich an, um zu untersuchen, wie die Zielgrößen (z.B. Förderhöhe, Wirkungsgrad, Kennlinienstabilität, Kavitationsbeginn) von den getroffenen Vereinfachungen und Annahmen abhängen.

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8 Numerische Strömungsberechnungen

8.8.3 Vergleich zwischen Rechnung und Messung Der Vergleich der Rechenergebnisse mit Messungen gilt mit Recht als Prüfstein für die Verwendbarkeit und Zuverlässigkeit eines Rechenprogramms. Um solche Vergleiche beurteilen zu können, muß man sich auch über die Unsicherheiten des Experimentes Klarheit verschaffen. 8.8.3.1 Auswertung gemessener Geschwindigkeitsverteilungen Wie oben ausgeführt, können Hp, Hth, HLa und ζLa aus einer Laufradberechnung durch Integration über die Laufradaustrittsfläche nach Gl. (8.10) bis (8.13) ermittelt werden. Das gilt nicht nur für die Ergebnisse der Navier-Stokes-Rechnung, sondern in gleicher Weise für Laser- oder Sondenmessungen, die ja auch nur punktweise erfolgen können. Die globalen Leistungsdaten sind somit nach denselben Formeln auszuwerten. Alle Größen in diesen Gleichungen stellen räumliche und zeitliche Mittelwerte aus einer endlichen Zahl von Meßpunkten dar, für die man z.B. etwa folgende Meßunsicherheiten annehmen kann: a) Statischer Druck am Laufradaustritt als Mittelwert einer Anzahl von Meßpunkten: ±5 %. Die Messung einzelner Drücke kann zwar genauer als auf ±5 % erfolgen; die Bildung eines repräsentativen Mittelwertes über den Laufradaustritt ist aber mit einer größeren Unsicherheit behaftet. b) Geschwindigkeit am Laufradaustritt: ±5 %. Aus diesen Einzelfehlern für Druck- und Geschwindigkeits-Mittelwerte erhält man für Hp, Hth, und HLa Unsicherheiten von ±5 %. Da HLa und Hth mit derselben Unsicherheit bezüglich der Geschwindigkeitsmessung behaftet sind, können sich diese Fehler bei der Berechnung von ηh,La weitgehend kompensieren. Sind die Geschwindigkeitsprofile am Laufradaustritt ungleichförmig, treten die oben besprochenen Schwierigkeiten der Verlustinterpretation auf, Kap. 8.4. Die Erfahrung zeigt, daß die Globalwerte recht gut mit den Mittelwerten aus der Messung übereinstimmen können, auch wenn gerechnete und gemessene Geschwindigkeitsprofile weder qualitativ noch quantitativ übereinstimmen. Dies ist kein Widerspruch, weil ein gegebener Mittelwert aus unendlich vielen verschiedenen Integrationen hervorgehen kann, und weil die Erfüllung der Kontinuitätsgleichung bei einer konvergierten Lösung dazu führt, daß die mittlere Geschwindigkeit richtig ist. Weiter zeigt sich, daß die berechneten Geschwindigkeitsprofile am Laufradeintritt im ganzen Förderstrombereich in der Regel recht gut mit der Messung übereinstimmen – auch bei Teillastrezirkulation. Die Geschwindigkeits- und Druckverteilungen am Laufradaustritt weisen hingegen häufig große Abweichungen zwischen Rechnung und Versuch auf (z.B. [5.37]), weil das gewählte Turbulenzund Wandmodell für verzögerte, gekrümmte Strömung ungeeignet ist und weil die Rückwirkung des Leitapparates nicht berücksichtigt wird. Ein weiterer Grund solcher Abweichungen liegt in dem empfindlichen Gleichgewicht, in dem sich die Strömung in Laufrädern mit rückwärtsgekrümmten Schaufeln befindet (Kap. 5.2). Wie in Kap. 5.3 gezeigt, beeinflußt der Druckrückgewinn im Leitapparat die Kennlinienstabilität wesentlich. Die Berechnung oder Messung des Totaldruckes

8.8 Berechnungsstrategien, Unsicherheiten, Qualität

507

am Laufradaustritt läßt daher nur sehr bedingt auf den Kennlinienverlauf schließen: der am Laufradaustritt gemessene Totaldruck kann eine stabile Kennlinie darstellen, auch wenn die Kennlinie der Pumpe instabil ist. Derartige Untersuchungen sind deshalb mit Vorsicht zu interpretieren. 8.8.3.2 Auswertung industriell durchgeführter Versuche Ein anderer Weg, Rechnung und Messung zu vergleichen, läßt sich beschreiten, wenn nur Leistungs- und Kennlinienmessungen vorhanden sind. Man berechnet aus Tafel 3.5, Gl. (T3.5.8), den hydraulischen Wirkungsgrad und erhält ψth = ψ/ηh und aus Gl. (T3.2.8) einen Mittelwert für c2u; somit können alle Geschwindigkeitskomponenten am Austritt als Mittelwerte bestimmt werden, (Tafel 3.2). Die Unsicherheit des so berechneten hydraulischen Wirkungsgrades ergibt sich aus den Einzelfehlern nach Fehlerfortpflanzungsgesetz, wobei folgende Toleranzen angenommen seien: • • • • • •

mechanische Verluste Radreibung Leckagen über Dichtspalte Meßtoleranz des Kupplungswirkungsgrades Meßtoleranz der Förderhöhe Meßtoleranz des Entlastungsstromes

± 20 % ± 25 % ± 30 % ± 1% ± 0,5 % ± 2%

Mit sinkender spezifischer Drehzahl steigt die Unsicherheit des aus Gl. (T3.5.8) bestimmten hydraulischen Wirkungsgrades an, weil Radreibung, Leckagen und mechanische Verluste mehr Gewicht erhalten. Je nach Ausführung der gemessenen Pumpe beträgt die Unsicherheit des hydraulischen Wirkungsgrades etwa ±3,5 % bei nq = 15; etwa ±2,4 % bei nq = 20; und etwa ±1,2 % ab nq > 40. Dieselbe Unsicherheit ist für Hth und c2 anzunehmen. Die Unsicherheit der Spaltströme am Laufrad und ggf. der Entlastungseinrichtung bedeuten auch eine Unsicherheit des Laufrad- oder Leitradvolumenstromes, für den die CFD Rechnung anzusetzen ist. Wenn der statische Druck am Laufradaustritt gemessen wird, lassen sich nach Kap. 4.1.3 auch die Verluste in Laufrad und Leitvorrichtung ermitteln. Die Unsicherheit kann aber bei ungünstiger Wahl der Meßstellen recht groß werden, weil die Druckverteilung über dem Laufradumfang auch im Bestpunkt nicht konstant ist: Eine Fehlmessung von wenigen Prozent kann dazu führen, daß man negative Laufrad- oder Leitradverluste errechnet.

508

8 Numerische Strömungsberechnungen

8.9 Kriterien für die Beurteilung numerischer Berechnungen 8.9.1 Allgemeine Hinweise Die häufig zu beobachtende Tendenz zu einer gewissen „Computer-Gläubigkeit“ wächst mit der Komplexität des angewandten Programms und der Datenmenge, die es produziert. Beim gegenwärtigen Stand numerischer Strömungsberechnungen von Turbomaschinen ist jedoch eine kritische Analyse der Resultate unerläßlich, um Fehlschlägen vorzubeugen. Nur aus einer sorgfältigen Beurteilung der Rechnungen und aus Vergleichen mit Versuchen und Erfahrungen lassen sich Kriterien und Strategien für die Optimierung ableiten. Der Vergleich zwischen Rechnung und Messung ist als Daueraufgabe zu verstehen. Um Zufallsergebnissen vorzubeugen, sind solche Vergleiche in statistisch relevanter Anzahl über ein möglichst breites Spektrum untersuchter Geometrien auszuführen. 3D-Navier-Stokes-Verfahren sind primär ein Werkzeug, um einen vorhandenen Entwurf zu analysieren und ggf. zu verbessern. Der Ausgangsentwurf sollte von möglichst hoher Qualität sein: wenn der erste Entwurf grundsätzliche Fehler aufweist, führt eine Optimierung mit einem Navier-Stokes-3D-Programm u.U. nicht zu einem befriedigenden Ergebnis. Vor der Rechnung empfiehlt sich eine sorgfältige Kontrolle des Rechennetzes nach den in Kap. 8.3.4 aufgeführten Kriterien. Zweckmäßigerweise entwickelt man aufgrund von Empfindlichkeitsanalysen und Vergleichen zwischen Rechnung und Messung einen Satz konsistenter „Rechenregeln“, die auf das verwendete Programm und die zu berechnenden Komponenten zugeschnitten sind. So verringert man das Risiko, die Vergleichbarkeit der Rechnungen durch ungewollte Einflüsse zu gefährden: Netztyp, Netzgröße, Verteilung der Knoten, Randbedingungen, Lage der Bilanzflächen für die Mittelwertbildung, Turbulenzgrößen und Numerikparameter des gewählten Programms haben einen Einfluß auf die Ergebnisse. Wenn man die meist kleinen Unterschiede zwischen zwei Rechnungen als Grundlage für die Optimierung heranzieht, ist es unbedingt notwendig, derartige Einflüsse auszuschließen. 8.9.2 Konsistenz und Plausibilität der Rechnung Vor der detaillierten Beurteilung einer Rechnung oder gar Geometrieänderungen sollte man die Berechnung auf Konsistenz und Plausibilität prüfen. Da die Kriterien vom Programm und vom Anwendungsfall abhängen, mögen einige Hinweise genügen: • Hat die Rechnung einwandfrei konvergiert? Eine nicht konvergierte Rechnung ist im Regelfall als unbrauchbar zu betrachten, u.a. weil dann sogar die Kontinuitätsgleichung verletzt sein kann (Integralwerte verfälscht).

8.9 Kriterien für die Beurteilung numerischer Berechnungen

509

• Stimmen die Massenbilanzen an Eintritt, Austritt und in relevanten Rechenebenen dazwischen? • Sind die Veränderungen des Impulsmomentes in Rechengebieten ohne Schaufeln (ohne Energieübertragung) genügend nahe null? • Sind Globalwerte wie ψth oder ηh,La, deren Größe mit recht guter Näherung von vornherein bekannt ist, plausibel? • Sind die Mittelwerte von Geschwindigkeiten und Drücken glaubwürdig (Impulssatz, Kontinuität)? Wird zuviel Vorrotation induziert? • Treten am Austritt aus dem Rechengebiet Rückströmungen auf? Obwohl solche Rückströmungen sich durch konisches Verschmälern des Rechengebietes gegen den Austritt hin vermeiden lassen, sollte man den Ursachen nachgehen. 8.9.3 Werden die verlangten Leistungsdaten erreicht? Bei der Laufradberechnung ist meist die zu erreichende Druckzahl vorgegeben; mit dem – angenommenen – hydraulischen Wirkungsgrad erhält man dann einen Wert für Yth, der als Sollwert für die 3D-Navier-Stokes-Berechnung gelten kann; er läßt sich durch Variation der bekannten Hauptparameter des Laufrades ohne weiteres erreichen. Deuten die Rechenergebnisse darauf hin, daß man den geschätzten hydraulischen Wirkungsgrad nicht erreichen wird, ist der Sollwert für Yth entsprechend anzupassen. 8.9.4 Maximierung des hydraulischen Wirkungsgrades Die Minimierung der hydraulischen Verluste in Laufrad und Leitvorrichtung ist eine zentrale Aufgabe der Navier-Stokes-Berechnung im Bestpunkt; hierzu gilt es, geeignete Kriterien zu entwickeln. Dabei ist zu bedenken, daß die hydraulischen Verluste in den meisten Fällen zwischen 7 und 15 % der Kupplungsleistung liegen und daß im Laufrad nur ein Teil dieser Verluste entsteht. Mögliche Verbesserungen sind also meist im Bereich von 1 bis 3 % der Kupplungsleistung zu suchen. Das bedeutet, daß man sehr sorgfältig rechnen und analysieren muß, um derartig kleine Unterschiede zuverlässig zu erfassen. Zur Beurteilung der Verluste betrachten wir Gl. (8.1): Da das Geschwindigkeitsniveau durch die Kontinuität und die Kinematik bestimmt ist, äußern sich Verluste grundsätzlich in einer Reduktion des statischen Druckes. Ferner sind bei voll turbulenter Strömung die Verluste infolge viskoser Reibung klein gegen die durch turbulenten Impulsaustausch verursachten Verluste. Demnach wäre zu erwarten, daß die Verluste stark durch das verwendete Turbulenzmodell und die Wandbehandlung bestimmt werden und daß der statische Druck entsprechend verfälscht wird, wenn die Verluste nicht richtig erfaßt werden. Man findet daher mitunter, daß die Navier-Stokes-Rechnung die theoretische Schaufelarbeit recht genau voraussagt, während die statische Druckerhöhung (somit auch Totaldruckerhöhung und Verluste) weit stärker von der Realität abweichen.

510

8 Numerische Strömungsberechnungen

In radialen und halbaxialen Laufrädern bildet sich infolge der Meridianschnittkrümmung und der Druckverteilung zwischen den Schaufeln eine Zone niedriger Energieübertragung („wake“), die häufig (aber nicht immer) in der Ecke zwischen Deckscheibe und Schaufelsaugfläche liegt. Die cm- und cu- oder w-Verteilung sowie graphische Darstellungen der Verteilung des mit örtlichen Größen analog zu Gl. (8.13) gebildeten Verlustbeiwertes zeigen solche Zonen auf. Zur Beurteilung der Verluste sind folgende Kriterien dienlich: 1. Geometrische Parameter und Strömungsgrößen sollten sich möglichst kontinuierlich über Schaufelbreite und -länge verändern [8.14]. Starke Gradienten führen zu Sekundärströmungen d.h. zusätzlichen Verlusten. 2. Geschwindigkeits- und Druckverteilungen längs der Laufradschaufeln werden für mehrere Stromlinien graphisch dargestellt. Hierzu kann man die Erhöhung des statischen Druckes oder den reduzierten Druck pred = p - ½ ρ u2 verwenden. Folgende Kriterien sind zu beachten: • Scharfe Druckspitzen am Eintritt deuten auf Falschanströmung, ungünstige Schaufeleintrittsprofile oder Winkelverläufe. • Örtliche Übergeschwindigkeiten, unnötige Beschleunigung oder Verzögerung, zu hohe Gradienten führen zu erhöhten Verlusten und sind durch Änderungen im Winkelverlauf der Schaufeln zu reduzieren; evtl. ist auch der Meridianschnitt anzupassen. • Die bekannten Schaufelbelastungskriterien (de Haller, Lieblein, oder ähnl.) sollten nicht überschritten werden, um Ablösungen und Verluste zu vermeiden [8.14] – es sei denn, Versuche mit ähnlichen Laufrädern hätten erwiesen, daß eine höhere Belastung toleriert werden kann. 3. Zusätzliche Verluste werden durch Sekundärströmungen erzeugt, die man durch Sichtbarmachen der Stromlinien mit geeigneten Graphik-Programmen erkennen kann. Auch merkliche Druckgradienten quer zur Strömungsrichtung sind ein Indiz für Sekundärströmungen und können zu deren Quantifizierung herangezogen werden [8.23]. 4. Ungleichförmigkeiten in der Geschwindigkeitsverteilung, die am Laufradeintritt entstehen, werden im Laufrad verstärkt: sie gleichen sich nicht aus, wenn die Strömung verzögert und umgelenkt wird. 5. Strömungsablösungen sind mit Rücksicht auf Mischungsverluste, Druckpulsationen und hydraulische Erregerkräfte ungünstig. 6. Rückströmungen oder stark verzerrte Geschwindigkeitsprofile am Laufradaustritt sollten im Bestpunkt vermieden werden; sie deuten darauf hin, daß die Laufradaustrittsbreite zu groß gewählt wurde. Auch am Laufradeintritt sollte man im Bestpunkt (von seltenen Ausnahmen abgesehen) keine Rückströmung zulassen. 7. Selbstverständlich sind auch die reibungserzeugenden überströmten Flächen zu optimieren; doch ist der Spielraum bei Pumpen hierfür nicht sehr groß, wenn beim ersten Entwurf die Hauptparameter des Laufrades aufgrund von Erfahrungswerten richtig gewählt wurden. Der Einfluß der Reibung ist bei Laufrä-

8.9 Kriterien für die Beurteilung numerischer Berechnungen

511

dern generell als gering einzuschätzen: bei kleinem nq dominieren die Leitradverluste; bei großem nq die Mischungs- bzw. Ungleichförmigkeitsverluste. 8. Wesentlich ist der Vergleich der berechneten Druck- und Geschwindigkeitsverteilungen mit denen von ausgeführten Laufrädern (gute und schlechte Beispiele sind hier in ähnlicher Weise lehrreich). Obwohl bei Radialrädern nur etwa 25 % der Druckumsetzung in der Leitvorrichtung stattfinden, entstehen dort etwa 40 bis 70 % der hydraulischen Verluste. Die Abströmung des Laufrades hat einen wesentlichen Einfluß auf diese Verluste. Numerische Verfahren, mit denen sich das Abströmprofil einigermaßen zuverlässig berechnen läßt, ermöglichen es, diesen Einfluß auf die Verluste bei der Laufradauslegung zu berücksichtigen. Die folgenden Kriterien werden für Leiträder formuliert; sie gelten sämtlich auch für Spiralgehäuse, wenn auch in abgeschwächtem Maße wegen des größeren Zungenabstandes und weil Verluste infolge Falschanströmung kleiner sind (nur eine oder zwei Spiralzungen). 1. Jede Ungleichförmigkeit in der Laufradabströmung erzeugt im anschließenden Leitapparat Mischungsverluste: Der Druckrückgewinn im Leitrad wird durch ungleichförmige Anströmung infolge örtlicher Falschanströmung (evtl. Ablösung) und lokalen Übergeschwindigkeiten beeinträchtigt, und die Leitradverluste steigen entsprechend, s. Kap. 5.3.3. 2. Ungleichförmigkeiten in Geschwindigkeits- oder Druckverteilung, die am Leitradeintritt entstehen, werden im Leitrad verstärkt (sie gleichen sich nicht aus), weil die Strömung verzögert und ggf. umgelenkt wird. 3. Wegen ihres geringen Betrages mag die c2m-Verteilung bei oberflächlicher Betrachtung als unbedeutend erscheinen. Tatsächlich ist sie aber der empfindlichste Indikator für Rückströmungen; dies zeigt z.B. eine Betrachtung der c2m- und c2u-Verteilungen in Abb. 5.30. Auch die energiearme Zone („wake“) ist oft an einem c2m-Defizit besser als am c2u-Profil zu erkennen, weil die Umlenkung dort ähnlich groß wie im Rest des Kanals sein kann. Da die Energieübertragung aber proportional dem Produkt cmcu ist, ist das Manko dennoch vorhanden. Eine ungleichförmige c2m-Verteilung bedeutet meist auch ungleichförmige Abströmwinkel α2, d.h. über die Leitschaufelbreite variierende Stoßverluste. Eine möglichst gleichförmige c2m-Verteilung ist also bei der Laufradauslegung anzustreben. 4. Eine gleichmäßige c2u- oder w2u-Verteilung ist notwendig, um auf allen Stromlinien die gleiche Energie zu übertragen. Wird dieses Kriterium verletzt, so variiert auch der statische Druck über die Laufradbreite. Große statische Druckunterschiede quer zur Hauptströmung können bei achsparalleler Austrittskante aber nicht aufrechterhalten werden; sie werden durch (verlustreiche) Sekundärströmungen abgebaut. Gekrümmte oder spiralförmige Stromlinien im Laufradaustritt deuten ebenfalls auf solche Sekundärströmungen und sind daher möglichst zu vermeiden. Andererseits reduziert die Sekundärströmung im Laufrad die Geschwindigkeitsunterschiede zwischen Saug- und Druckfläche der Schaufeln; daher existiert vermutlich ein optimales Ausmaß an Sekundärströmung.

512

8 Numerische Strömungsberechnungen

8.9.5 Kennlinienstabilität Wie in Kapitel 5.3 ausführlich besprochen, erfolgt bei Teillast der überwiegende Anteil des Leitrad-Druckanstieges im Schrägabschnitt des Leitradeintritts – diese Beobachtung wurde nicht nur an Pumpen mit kleiner spezifischer Drehzahl sondern auch an halbaxialen Pumpen mit nq = 160 gemacht. Weiter wurde gezeigt, daß die Anströmung einen wesentlichen Einfluß auf den Druckrückgewinn im Leitrad ausübt. Diese beiden Effekte sind demzufolge für die Teillastförderhöhe – und damit die Kennlinienstabilität – von ausschlaggebender Bedeutung. Da Rückströmung bei ungünstiger Auslegung schon im Bestpunkt auftreten kann, ist die Analyse der Abströmprofile für den ganzen Lastbereich wichtig. Um stabile Kennlinien zu erreichen, muß man deshalb das Laufradabströmprofil als Funktion des Förderstromes bewußt gestalten. Eine solche Aufgabe kann nur mit numerischen Methoden effizient gelöst werden, mit denen die Geschwindigkeitsprofile genügend genau vorausgesagt werden können. Es ist zu vermuten, daß für den Wirkungsgrad optimale Strömungsprofile nicht unbedingt günstig für die Kennlinienstabilität sind. Für die Berechnung des Teillastverhaltens sind primär Stufenberechnungen einzusetzen. Die zur Zeit eingesetzten Methoden müssen aber noch verbessert werden.

8.10 Grundsätzliches zu CFD-Rechnungen Wie oben ausgeführt, werfen numerische Berechnungen eine Reihe schwieriger Fragen auf, die fast als verwirrend empfunden werden könnten. Das Grundsätzliche dieser Probleme sei deshalb hier noch einmal zusammenfassend herausgestellt. Trotz des breiten Einsatzes von Numerikprogrammen ist die Methodenentwicklung noch in keiner Weise abgeschlossen. Die Unzulänglichkeiten der Verlustberechnung (Problematik von Turbulenzmodell, Wandgesetz und Rauheit) bilden dabei z.Zt. die wohl gravierendste Einschränkung; denn die korrekte Erfassung der Verluste ist Voraussetzung für eine wirkliche Optimierung der Komponenten. Auch über die Frage, welche Methode für welche Anwendung am sinnvollsten einzusetzen ist, gibt es keinen generellen Konsens: Neben einer Unzahl von Veröffentlichungen, die Navier-Stokes-Berechnungen das Wort reden, finden sich Arbeiten, die zeigen, daß − in der betrachteten Anwendung − reibungsfreie Verfahren ähnliche Ergebnisse liefern. Dieser scheinbare Widerspruch hat physikalische Gründe: 1. Nach Kap. 1.4 entstehen bei der Strömung auf gekrümmten Bahnen Druckgradienten, die auf den momentanen Krümmungsmittelpunkt der Strombahn gerichtet sind: der Druckaufbau in einem Laufrad wird folglich primär durch die kinematischen Verhältnisse bestimmt. Reibungseffekte spielen hier oft eine durchaus untergeordnete Rolle.

8.10 Grundsätzliches zu CFD-Rechnungen

513

2. Nach Kap. 5.2 wird das Kräftegleichgewicht im Laufrad primär durch Feldkräfte (Zentrifugal- und Corioliskräfte) bestimmt. Auch hier haben Reibungskräfte nur eine indirekte (eher geringe) Bedeutung, indem sie Grenzschichten und Sekundärströmungen beeinflussen. 3. Kinematik der Schaufelumströmung und Feldkräfte werden durch reibungsfreie Verfahren und Navier-Stokes-Berechnungen auf die gleiche Weise erfaßt. In allen Fällen, wo diese Effekte das Geschehen weitgehend bestimmen, liefern beide Methoden folglich ähnliche Schaufeldruckverteilungen, globale Strömungsumlenkungen und Schaufelarbeiten Yth. 4. Die hydraulischen Laufradwirkungsgrade im Bestpunkt liegen bei nq = 10 im Bereich von ηh,La = 0,97 ± 0,02 und bei einer Axialpumpe von nq = 250 bei etwa ηh,La = 0,95 ± 0,02. Bereits eine (richtige) reibungsfreie Rechnung liegt somit recht nahe an einer korrekt ausgewerteten Messung. Das gleiche gilt dann auch für eine Navier-Stokes-Berechnung − und zwar unabhängig von Turbulenzmodell und Wandgesetz (sofern die Rechnung nicht durch grobe Fehler verfälscht wird). 5. Reibungsfreie Verfahren bilden folglich für eine Laufradauslegung nach den Kriterien „Kräftegleichgewicht und Druckverteilung“ eine durchaus sinnvolle Option; zumal sich der hydraulische Laufradwirkungsgrad gemäß Punkt 4 mit genügender Genauigkeit abschätzen läßt. Dies vor allem dann, wenn der Ausgangsentwurf frei von Ablösungen ist bzw. keine gravierende Schwachstellen aufweist. 6. Angesichts der Dominanz von Feldkräften und Schaufelkinematik, der Höhe des hydraulischen Laufradwirkungsgrades sowie angesichts der in Kap. 8.8.2 besprochenen Kompensation der zahlreichen Fehler aus Numerik, physikalischer Modellierung und Vereinfachung wird verständlich, warum Rechenergebnisse und Messungen meist in einem Band von etwa ± 5 % (bis 10 %) liegen, so daß man in Publikationen entsprechend von „guter Übereinstimmung“ liest.1 7. Während die Strömung im Laufrad im Absolutsystem (auch beim radialen Schaufelstern nach Abb. 7.14) immer auf stark gekrümmten Bahnen erfolgt, liegen die Verhältnisse im Leitrad anders: Feldkräfte wie im Laufrad fehlen und in vielen Fällen sind die Kanäle nicht oder nur leicht gekrümmt, so daß die Stromlinien nahezu geradlinig verlaufen. Bei der Auslegung von Leiträdern sind zwei Extreme zu unterscheiden: a) Bei geraden oder schwach gekrümmten Diffusoren ist die Strömung ausschließlich grenzschichtgesteuert, weshalb reibungsfreie Verfahren versagen. b) Bei stark gekrümmten Leiträdern, wie sie zur Strömungsumlenkung bei halbaxialen und axialen Pumpen verwendet werden ist die Schaufeldruckverteilung zu einem großen Teil durch kinematische Bedingungen bestimmt, so daß reibungsfreie Verfahren für die

1

Mitunter wird in Publikationen nicht streng zwischen Begriffen wie der „Förderhöhe der Pumpe“ und dem „Totaldruck des Laufrades“ (oder den entsprechenden Wirkungsgraden) unterschieden, was entsprechende Vergleiche an sich gegenstandslos macht.

514

8 Numerische Strömungsberechnungen

Schaufelauslegung in Betracht kommen (dabei sind die unten diskutierten Einschränkungen zu beachten). 8. Grundsätzlich unterliegen Leitradberechnungen ohne eine korrekte Modellierung der Geschwindigkeitsverteilung am Eintritt und ohne Verlustmodell gravierenden Einschränkungen, deren man sich bei Vernachlässigung dieser wesentlichen Bestimmungsgrößen stets bewußt sein sollte. 9. Definitionsgemäß können Strömungsverluste nur erfaßt werden, wenn die Reibung berücksichtigt wird. Wie ausführlich besprochen, ist die Verlustmodellierung in Navier-Stokes-Berechnungen sehr unsicher. Aus diesem Grund bieten Euler-Verfahren kombiniert mit Grenzschichtmodellen, die sich auf eine umfangreiche Grenzschichtforschung stützen, eine weitere Möglichkeit für Auslegungsrechnungen oder Analysen in Bestpunktnähe. Mit diesen Methoden können auch Ablösungen erkannt werden. Sie kommen für Laufräder sowie Leiträder mit mehr als 30° Umlenkung, nicht aber für gerade oder schwach gekrümmte Diffusoren, in Betracht. 10. Die Geschwindigkeitsverteilung (in Wandnähe), Ablösungen und Sekundärströmungen können mit reibungsfreien Verfahren ebenso wenig erfaßt werden, wie die Verluste. Wie in Kap. 5 behandelt, werden sattelförmige Kennlinieninstabilitäten durch labile Geschwindigkeitsverteilungen beeinflußt. Für Teillastberechnungen und Untersuchungen labiler Strömungszustände sind reibungsfreie Methoden daher unbrauchbar. 11. Da Schaufeldruckverteilung, globale Strömungsumlenkung und Schaufelarbeit unabhängig von der Dichte sind, gelten obige Aussagen auch für Kavitationsund 2-Phasenstömungen, soweit die Methoden im wesentlichen auf Berechnungen der Druckverteilung beruhen − also die Wechselwirkungen zwischen den Phasen vernachlässigen.

9 Hydraulische Kräfte

Die Druckerhöhung im Laufrad führt zu hydraulischen Kräften und Momenten, die auf den Rotor wirken. Für die Dimensionierung von Lagern und Welle sind vor allem die Kräfte in axialer und radialer Richtung bedeutsam. Während die Radialkraft von der Druckverteilung über den Laufradumfang abhängt, wird die Axialkraft von der Strömung im Radseitenraum und der aus ihr resultierenden Druckverteilung auf die Radscheiben bestimmt. Wegen ihrer großen Bedeutung für die Axialkräfte in Turbomaschinen gibt es zum Thema „Radseitenraumströmung“ eine sehr umfangreiche Literatur; eine ausführliche Sammlung entsprechender Zitate findet sich in [3.29].

9.1 Die Strömung im Radseitenraum Zwischen Laufrad und Gehäuse befindet sich aus konstruktiven Gründen ein Spalt, der den „Radseitenraum“ bildet. Breite und Gestalt der Räume zwischen den Radscheiben eines geschlossenen Laufrades und den Gehäusewänden werden weitgehend durch konstruktive Gesichtspunkte bestimmt. Das Fluid kann im Radseitenraum nicht in Ruhe sein, wenn das Laufrad rotiert: unmittelbar an der Radscheibe hat es − wegen der Haftbedingung − die Geschwindigkeit cu = ω R, und es entsteht eine Grenzschicht, in der die Umfangsgeschwindigkeit mit zunehmendem Wandabstand sinkt. An der Gehäusewand ist die Geschwindigkeit infolge der Haftbedingung cu = 0 und steigt innerhalb der Grenzschicht an, Abb. 9.1. Bei engem Spalt oder kleiner Reynolds-Zahl gehen beide Grenzschichten ineinander über; bei weiten Spalten sind sie getrennt, und es bildet sich eine Kernströmung aus. Die Strömung im Radseitenraum kann laminar oder turbulent sein. In den meisten Anwendungsfällen mit Wasserförderung ist die Strömung turbulent und die Grenzschichten sind getrennt (Abb. 9.1); dieser Fall wird im folgenden ausschließlich behandelt. Die Zentrifugalkräfte in der rotierenden Grenzschicht bewirken einen Fluidtransport radial nach außen: die Radseitenwand wirkt wie eine Reibungspumpe (Kap. 3.10). Aus Kontinuitätsgründen fließt Fluid an der Gehäusewand radial nach innen zurück, so daß sich im Radseitenraum im Meridianschnitt eine Zirkulationsströmung einstellt. Abbildung 9.1 zeigt die entsprechenden Geschwindigkeitsverteilungen in Radial- und Umfangsrichtung. Die radialen Geschwindigkeiten sind dabei stets klein gegen die Umfangsgeschwindigkeit der Kernströmung.

516

9 Hydraulische Kräfte kz

cr

kE

z

0

x ov Q SP

Q S3 gap A rw

r2

cu 1 u 0 .5

tax δ

cr

0

sax

0 δW

sax rw

δR cu 1 u 0.5

Q SP

r2

rsp

0

gap F d sp

gap E

Q S3 s ax

d s3

Abb. 9.1. Geschwindigkeitsverteilung im Radseitenraum

Abb. 9.2. Definitionen

Der durch die Rotation erzeugten Radseitenraumströmung kann sich eine Durchflußströmung infolge Leckagen überlagern. Auf der Deckscheibenseite ist diese Leckage praktisch immer vorhanden; sie strömt hier entlang der Gehäusewand radial von außen nach innen, bringt den Drehimpuls ρ Qsp c2u,Ds r2 in den Radseitenraum ein und facht somit die Rotation an (c2u,Ds ist die lokale Laufradaustrittsgeschwindigkeit an der Deckscheibe). Bei Reibungsfreiheit würde die Leckage gemäß cu r = konstant nach innen strömen. Bei reibungsbehafteter Strömung ist die Rotation kleiner, sie nimmt aber dennoch infolge des eingebrachten Dralles von außen nach innen zu. Auf der Tragscheibenseite sind drei Fälle zu unterscheiden: 1. Werden ein Dichtspalt und Entlastungsbohrungen angebracht (Abb. 9.12 in Tafel 9.1), sind die Verhältnisse sehr ähnlich wie an der Deckscheibe; das gleiche gilt für die letzte Stufe mehrstufiger Pumpen mit Axialkraftentlastung (Abb. 9.15). 2. Bei Pumpen ohne Entlastungsbohrungen (Abb. 9.3) verhindert die Wellendichtung eine Durchströmung des Radseitenraumes, und es stellt sich nur die oben beschriebene Zirkulationsströmung ein. 3. Bei mehrstufigen Pumpen mit Gesamtentlastung strömt die Leckage der Zwischenstufendichtung Qs3 durch den Radseitenraum entlang der Laufradtragscheibe radial von innen nach außen (Abb. 9.1). Diese Leckage hat am Eintritt nur einen geringen Drall; sie wird durch die Radseitenreibung in Umfangsrichtung beschleunigt und bremst die Rotation im Radseitenraum. Der Spaltstrom stellt sich so ein, daß die Druckabsenkung im Radseitenraum und die Druckdifferenz über den Spalt dem Druckanstieg im Leitrad entsprechen, daß also Gl. (T3.7.4 u. 3.7.6) erfüllt sind.

9.1 Die Strömung im Radseitenraum

DS

TS

DS

517

TS

c 2m QSP

kE =0.2 0.4 Abb. 9.3. Einfluß der Sekundärströmung im Spiralgehäuse auf den Radseitenraum

kE =0.7

0.2

Abb. 9.4. Einfluß der Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt auf die Radseitenraumeintrittsbedingung

Je nach gewählter Konstruktion sind die Hauptströmung am Laufradaustritt und die Radseitenraumströmung mehr oder weniger stark gekoppelt. Führt man den Spalt A zwischen Laufrad- und Leitraddeckscheiben nach Abb. 9.1 eng aus und macht die Überdeckung xov groß, sind beide Strömungen weitgehend entkoppelt. Dies gilt besonders für radial nach außen durchströmte Radseitenräume. Strömt die Leckage hingegen radial einwärts, bringt der Spaltstrom auf der Deckscheibe auch bei relativ engem Spalt A noch einen Drall entsprechend c2u,Ds in den Radseitenraum, der die Rotation anfacht. Die Rotation ändert sich im Spalt A infolge Reibung am stehenden Teil und an der rotierenden Deckscheibe von kE auf kz, Abb. 9.1. Dieser Reibungseffekt läßt sich nach Gl. (T9.1.17) abschätzen; die maßgebliche Länge ist xov. Bei Spiralgehäusen wird der Leckagestrom aus der Grenzschichtströmung der Gehäuseaußenwand gespeist, Abb. 9.3; die Umfangskomponente der Geschwindigkeit ist entsprechend kleiner als bei Leiträdern. Bei Teillastrückströmung im Leitapparat verringert sich die Umfangskomponente, oder sie geht gar gegen null, wodurch die Rotation im Radseitenraum gebremst wird (s. Kap. 5.4.3). Abbildung 9.4 veranschaulicht die Wirkung der Geschwindigkeitsverteilung am Laufradaustritt auf die Eintrittsrandbedingung kE = c2u,lokal/u2 in den Radseitenraum. Ist der Radseitenraum gegenüber der Hauptströmung weitgehend offen (großer Spalt A, oder wie in Abb. 9.3), sind Radseitenraum- und Hauptströmung durch einen (turbulenten) Impulsaustausch gekoppelt, der die Rotation anfacht oder bremst − je nach der Größe von c2u,Ds. Die Rotationsgeschwindigkeit stellt sich als Gleichgewicht aller Momente ein, die an dem im Radseitenraum eingeschlossenen Fluid angreifen. Diese Momente und ihre Einflußparameter sind: • Die Fluidreibung (Schubspannungen) an der rotierenden Radscheibe wirkt als antreibendes Moment; sie fällt mit steigender Reynolds-Zahl und steigt mit der Rauheit.

518

9 Hydraulische Kräfte

• Die Fluidreibung (Schubspannungen) an der Gehäusewand erzeugt ein bremsendes Moment, das mit zunehmender Oberfläche des Radseitenraumes wächst. Wiederum sinken die Schubspannungen mit wachsender ReynoldsZahl, während sie mit der Rauheit steigen. • Bremsend wirkt auch die turbulente Dissipation im Radseitenraum; sie steigt mit zunehmender Radseitenraumbreite bzw. dem Fluidvolumen, das an der Rotation teilnimmt. • Der turbulente Impulsaustausch mit der Hauptströmung steigt mit zunehmender Geschwindigkeitsdifferenz zwischen Radseitenraum- und Hauptströmung, die bei Teillastrezirkulation ein Maximum erreicht, weil aus dem Leitapparat Fluid mit kleiner Umfangsgeschwindigkeit zurückströmt. Durch konstruktive Maßnahmen kann der Impulsaustausch zwischen Haupt- und Radseitenraumströmung teilweise entkoppelt werden, wenn der Spalt A eng und die Überdeckung xov lang ausgeführt werden. • Betrag, radiale Richtung und Anfangsdrall der Leckage – in der Regel der Spaltstrom Qsp – durch den Radseitenraum können, wie oben ausgeführt, sowohl bremsend als auch antreibend wirken. Bei radial einwärts gerichteter Lekkage hängt der Anfangsdrall ab vom Förderstrom, der Laufradauslegung (Abströmprofil) und der Leitvorrichtung. Der „Radreibungsverlust“ stellt sich ebenfalls gemäß diesem Momentengleichgewicht ein; er ist somit keine universelle Größe – nicht einmal für eine gegebene Pumpe, da er von der Leckage und von c2u (d.h. auch von q*) abhängt. Die Berechnung der Rotation aus diesem Momentengleichgewicht ist im allgemeinen Fall durchströmter Radseitenräume streng nicht möglich – allenfalls mittels Numerik, wobei man die Strömung in Radseitenraum, Laufrad und Leitrad oder Spiralgehäuse gekoppelt rechnen müßte, um die Randbedingungen für den Radseitenraum richtig zu erfassen (gilt besonders auch für Teillastrückströmung und Spiralgehäuse, Abb. 9.3). In der Praxis verwendet man empirische Koeffizienten und Verfahren, bei denen die Kernströmung durch Rotationsfaktoren k beschrieben wird. k ist nach Gl. (9.1) definiert als das Verhältnis der Fluidgeschwindigkeit cu = β r zur Umfangsgeschwindigkeit u = ω r (β ist die Winkelgeschwindigkeit des Fluids in der Kernströmung): c β k= u = u ω

(9.1)

Während der Rotationsfaktor k beim durchströmten Radseitenraum eine Funktion des Radius ist, kann beim nicht-durchströmten Radseitenraum mit einem konstanten Wert ko gerechnet werden, der nach Gl. (T9.1.3) oder Gl. (9.1a) zu berechnen ist (leicht abgewandelt nach [9.1]). Gleichung (T9.1.3) entsteht durch Vereinfachung von Gl. (9.1a). Eine Strömung mit ko = konstant entspricht einem erzwungenen Wirbel, bzw. einer Festkörperrotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit β des Fluids, nach Gl. (1.27).

9.1 Die Strömung im Radseitenraum

519

1

ko =

1+

5 5½ 4 ­ 1 °§ rw · § ri · ° t ax § rw · ¨ ¸ ®¨¨ ¸¸ − ¨¨ ¸¸ ¾ + 5 ¨ ¸ cos δ w °© r2 ¹ © r2 ¹ ° r2 © r2 ¹ § cf , w · ¯ ¿ ¨c ¸ 4 ­ § ·5 ½ r2 − ri ½° © f , R ¹ ri ° t ax § ri · ­° rw − ri 1 ° ¨ ¸ ¨ ¸ − + + δ − δ tan w tan R ¾ ®1 ¾ 5 ®1 r2 ¨© r2 ¸¹ °¯ t ax t ax cos δ R ° ¨© r2 ¸¹ ° °¿ ¯ ¿

(9.1a)

In Gl. (9.1a) ist įR der Neigungswinkel der Radscheibe, įw der Neigungswinkel der Gehäusewand (Fig. 9.1) und ri ist der innere Radius (z.B. r1, rsp oder rn). Die turbulente Kernströmung weist gemäß Abb. 9.1 weder in Umfangs- noch in Radialgeschwindigkeit Gradienten auf; sie ist folglich frei von Schubspannungen. In der Kernströmung ist die Radialgeschwindigkeit cr = 0, und zwar auch dann, wenn eine Leckage vorhanden ist. Bei radial einwärts gerichtetem Spaltstrom ist dann cr an der Gehäusewand größer als am Rad, während cr bei auswärts strömender Leckage an der Radscheibe größer als am Gehäuse ist. Die Umfangsgeschwindigkeit in der Kernströmung steigt bei radial einwärts gerichtetem Spaltstrom mit dem Eintrittsdrall (Qsp × c2u), so daß sich dann oft k > 0,5 einstellt, während sie bei Auswärtsströmung mit dem Spaltstrom Qs3 sinkt und k < 0,5 wird. Diese in Abb. 9.1 qualitativ gezeigten Verhältnisse ergeben sich auch aus numerischen Berechnungen, wie z.B. in [9.19]. Axialer Wandabstand und Reynolds-Zahl haben praktisch keinen Einfluß auf die Kernströmung; deshalb sind Korrelationen, bei denen die Reynolds-Zahl mit sax gebildet wird, wenig aussagekräftig. Nur das Verhältnis der Rauheiten an Wand und Radscheibe – nicht aber deren absolute Größe – beeinflußt die Kernströmung; diese Zusammenhänge gehen auch aus Gl. (T9.1.3) hervor. In der Grenzschicht an der rotierenden Scheibe stellen sich spiralförmige Stromlinienbilder ein. Die Strömungswinkel an der Scheibe hängen von der örtlichen Reynolds-Zahl ab; sie betragen bei Re < 2×105 etwa 40 bis 45° und fallen oberhalb dieser Grenze kontinuierlich auf etwa 10 bis 15° bei Re < 107, [3.29]. Eine eindeutige Beziehung zwischen Rotation in der Kernströmung und Strömungswinkel ließ sich nicht aufstellen, [3.29]. Wenn, wie in Abb. 9.3, eine zylindrische Gehäusewand fehlt, ist in Gl. (T9.1.3) rw = r2 und tax = 0 zu setzen. Aus Gl. (T9.1.3) ist zu erkennen, daß ko bei cf,w = cf,R maximal den Wert 0,5 annehmen kann, was häufig als erste Näherung verwendet wird. Mit zunehmender Länge des zylindrischen Teils tax sinkt ko; dies trifft auch zu, wenn der Reibungsbeiwert am Gehäuse (cf,w) größer als an der Radscheibe (cf,R) ist. Wie erwähnt, ist k bei durchströmtem Radseitenraum abhängig vom Radius. Da direkte Messungen der Geschwindigkeitsverteilung aufwendig wären, wurde die Rotation meist aus Druckmessungen ermittelt, wobei für k ein Mittelwert zwischen zwei Druckmeßbohrungen errechnet wird. Hierzu wird Gl. (1.26) mit c = β r = k ω r integriert, woraus sich die Druckverteilung für k = konst. ergibt:

520

9 Hydraulische Kräfte

p = p2 −

ρ 2 2 §¨ u2 k 1− ¨ 2 ©

r 2 ·¸ r22 ¸¹

(9.2)

Aus dieser Beziehung läßt sich der mittlere Rotationsfaktor zwischen den Radien r und r2 aus der gemessenen Druckdifferenz Δp = °p - p2° berechnen gemäß Gl. (T9.1.8). Ein so bestimmter Mittelwert ergibt zwar die erwartete Druckabsenkung im Radseitenraum, er liefert aber nicht den richtigen Betrag der auf die Radseitenwand wirkenden Axialkraft, die sich aus der Integration der Druckverteilung ergibt (Kap. 9.2.1). Im folgenden wird ein dimensionsloser Beiwert cp verwendet, der die Druckabsenkung im Radseitenraum gegenüber dem statischen Druck p2 am Laufradaustritt beschreibt. Er ist in Gl. (T9.1.5) definiert (negatives Vorzeichen beachten). Aufgrund von Messungen der Druckdifferenz zwischen Laufradaustritt und Dichtspalteintritt an verschiedenen mehrstufigen Pumpen sind in Abb. 9.5 mittlere

Leiträder

0,6

0,6

0,5

0,5

0,4

0,4 D

0,3

0,1

0,5

Spiralen

0,2 0,1

Tragscheibe 0

D

0,3

Spiralen

0,2

0

Leiträder

kDs

kTs

1,0

q*

0

Deckscheibe 0

0,5

1,0

q*

Abb. 9.5. Rotation des Fluids im Radseitenraum [5.26]. Kurve D aus Messungen an mehrstufigen Leitradpumpen [9.5]

Rotationsfaktoren k für die Deckscheibenseite (Leckage strömt radial einwärts) und die Tragscheibenseite mit radial nach außen strömender Leckage als Funktion von q* dargestellt, [5.26]. Bei Leiträdern liegt der Rotationsfaktor auf der Deckscheibe infolge der radial einwärts strömenden Leckage im Bereich k = 0,55 bis 0,72; an der Tragscheibe dagegen wegen der Bremswirkung der radial auswärts gerichteten Leckage nur bei k = 0,4 bis 0,45. Bei radial einwärts gerichteter Lekkage ergibt sich bei Leitradpumpen eine deutlich größere Rotation als bei Spiralgehäusen, weil die Umfangskomponente der Leckage am Eintritt in den Radseitenraum größer ist, wie oben anhand von Abb. 9.3 erläutert. Mit abnehmendem Förderstrom steigt die Rotation zunächst an, weil c2u wächst. Für q* < 0,5 fällt k wegen Rezirkulation am Laufradaustritt leicht ab. Bei intensiver Rückströmung werden auch tiefere Werte (bis k = 0,2) beobachtet: Abb. 5.30 zeigt eindrücklich, wie stark die Hauptströmung auf den Rotationsfaktor wirken kann, [5.15], B.20].

9.1 Die Strömung im Radseitenraum

521

Zahlreiche Berechungsverfahren für die Radseitenreibung oder die Rotation im Radseitenraum wurden aufgrund von Versuchen entwickelt. Wie entsprechende Vergleiche in [9.3] zeigen, weisen frühere Verfahren erhebliche Unsicherheiten und Mängel auf, die u.a. darauf beruhen, daß Radreibung, Rotation und Rauheitseinflüsse eng verkoppelt sind und kein Modell vorhanden war, mit dem sich diese Phänomene gemeinsam behandeln ließen. Diese Lücke wird durch die Berechnung nach Tafel 9.1 geschlossen. Eine einfache Schätzformel für die Rotation wurde aus den Daten in Abb. 9.8 und 9.10 abgeleitet; sie wurde als Gl. (T9.1.4) in Tafel 9.1 aufgeführt1. Für radial einwärts gerichtete Leckage ist Qsp positiv, für radial nach außen gerichtete Leckage negativ einzusetzen. Die Radreibung und der Verlauf des Rotationsfaktors über dem Radius lassen sich nach Tafel 9.1 bei großem Dichtspaltstrom durch den Radseitenraum schrittweise berechnen, wobei auch die Effekte der absoluten Rauheit sowie unterschiedlicher Rauheiten auf Rotor und Stator berücksichtigt werden. Das Verfahren ist einfach zu handhaben und gibt die veröffentlichten Versuche (z.B. von [9.6]) im Durchschnitt am besten wieder, [3.30]. Bei geringem Programmieraufwand handelt es sich z.Zt. wohl um die genaueste Methode, deren Unsicherheit vorwiegend in der Definition der Rauheit und der Randbedingung kE am Radseitenraumeintritt liegt. Der Berechnungsgang gemäß Tafel 9.1 umfaßt folgende Schritte2: 1. Nach der Berechnung des durch den Radseitenraum fließenden Spaltstromes gemäß Tafel 3.7(1) werden Durchflußbeiwert ϕsp und Reynolds-Zahl bestimmt, Gl. (T9.1.1). 2. Der Rotationsfaktor ko für ϕsp = 0 ergibt sich aufgrund der geometrischen Verhältnisse aus Gl. (T9.1.3). 3. Bei Qsp > 0 wird nun Rotationsfaktor k(x) schrittweise nach Gl. (T9.1.9 und 10) berechnet (x = r/r2 ist das Radienverhältnis). Entsprechend der Richtung des Spaltstromes im Radseitenraum sind zwei Fälle zu unterscheiden: A. Bei radial einwärts gerichtetem Spaltstrom erfolgt die Berechnung von außen nach innen, weil die Umfangsgeschwindigkeit c2u bzw. der lokale Wert cu(r2) des in den Radseitenraum eintretenden Fluids als Anfangsbedingung einzusetzen ist. Der Spaltstrom (ϕsp) ist positiv einzusetzen. B. Bei radial auswärts gerichtetem Spaltstrom erfolgt die Berechnung des Rotationsfaktors von innen nach außen, weil wiederum die Umfangsgeschwindigkeit cu(rs3) des in den Radseitenraum eintretenden Fluids als Anfangsbedingung einzusetzen ist. Der Spaltstrom (bzw. ϕsp) ist negativ einzusetzen. Man berechnet nun zunächst nur den Verlauf k(x) von innen nach außen. 4. Wie erwähnt, wird die Rotation im Radseitenraum maßgeblich durch die Umfangskomponente cu,E am Eintritt in den Radseitenraum beeinflußt; kE = cu,E/u2 muß daher zweckmäßig gewählt werden: 1 2

Aus einem Diagramm in [3.15] ergeben sich ähnliche Werte wie aus Gl. (T9.1.4) Die Berechnung der Fluidrotation in Tafel 9.1 geht auf [9.4] zurück; das Vorgehen weicht aber von der Originalarbeit ab (Behandlung von Rauheit, Radseitenvorraum, einfachere Handhabung, Konvergenzverbesserung).

522

9 Hydraulische Kräfte

A. Bei radial einwärts gerichtetem Spaltstrom sind zwei Fälle zu unterscheiden: (1) Ist der Radseitenraum zum Gehäuse hin offen – ähnlich wie in Abb. 9.3 – wird man in der Regel kE(x=1) = c2u/u2 annehmen (es sei denn, man wolle den Effekt rezirkulierenden Fluids oder der örtlichen Geschwindigkeitsverteilung abschätzen). (2) Zwischen den Laufrad- und Leitraddeckscheiben (oder Gehäuse) befindet sich gemäß Abb. 9.1 ein definierter Spalt der Spaltweite A mit einer Länge (Überdeckung) xov; diese Verhältnisse findet man häufig bei Leitradpumpen. Die Umfangsgeschwindigkeit am Spaltaustritt entspricht dem Wert kz, der als Anfangsbedingung für die Radseitenraumintegration einzusetzen ist. Je größer die Überdeckung xov und je kleiner die Spaltweite A (Abb. 9.1), um so mehr nähert sich die Umfangsgeschwindigkeit am Spaltaustritt dem Wert cu = ½ u2 an. Die Fluidrotation im Spalt wird angefacht durch die Reibung an der rotierenden Laufradscheibe und gebremst durch die ihr gegenüberliegende Leitradscheibe oder einen zylindrischen Gehäuseteil. Besteht eine Differenz zwischen der Umfangsgeschwindigkeit c2u der Hauptströmung und der Rotation im Radseitenraum tritt zudem ein Impulsaustausch infolge turbulenzbedingter Schubspannungen auf, der durch die turbulente Austauschgröße ετ beschrieben sei. Aus der Momentenbilanz der reibenden Flächen und dem Impulsaustausch läßt sich die Änderung der Umfangskomponente im Spalt A schrittweise nach Gl. (T9.1.17) berechnen. Die turbulente Austauschgröße ist schwer zu erfassen; aus [9.18] läßt sich ετ = 0.01 m2/s ableiten, was als Anhaltspunkt dienen mag. Gleichung (T9.1.17) behandelt nur den Effekt des Spaltes; der zylindrische Gehäuseteil tax wurde nicht in diese Rechnung eingeschlossen, da er bereits durch Gl. (T9.1.3) erfaßt wird: Gl. (T9.1.3) berücksichtigt die Reibung an den Flächen 2πrw tax und π(rw2 – r22) in ihrer Wirkung auf ko. B. Bei radial auswärts gerichtetem Spaltstrom tritt das Fluid aus der Zwischenstufendichtung in den tragscheibenseitigen Radseitenraum ein. Der Eintrittsdrall in diese Dichtung entspricht etwa c1u (entsprechend α6); die Umfangsgeschwindigkeit am Spaltaustritt ergibt sich dann aus Gl. (3.11a). Numerische Berechnungen in [9.19] ergaben ähnliche Verhältnisse, wie durch Gl. (3.11a) berechnet. 5. Die Druckabsenkung cp(x) im Radseitenraum für jeden Teilschritt ergibt sich aus Gl. (T9.1.11) und die in Kap. 9.2 eingeführte Axialkraftabsenkung cA(x) aus Gl. (T9.1.12). Diese Berechnung wird zweckmäßigerweise stets von außen nach innen durchgeführt; d.h. man beginnt bei x = 1, wo cp = cA = 0 als Anfangsbedingung bekannt ist. Dieses Vorgehen empfiehlt sich auch bei radial auswärts gerichtetem Spaltstrom, bei dem man zuvor den Rotationsfaktor k(x) gemäß Schritt 4B von innen nach außen berechnet hat. Gleichung (T9.1.9) wurde aus dem oben besprochenen Gleichgewicht aller an einem Fluidelement im Radseitenraum angreifenden Momente bestimmt. Der Term 2k/x entspricht einer reibungsfreien Strömung gemäß dem Drallsatz r cu = konstant. Das erste Glied auf der rechten Seite beschreibt (empirisch) den Effekt der Reibung; für k < ko wirkt die Reibung anfachend auf die Rotation, für

9.1 Die Strömung im Radseitenraum

523

k > ko bremsend. Bei großem Spaltstrom wird der erste Term auf der rechten Seite von Gl. (T9.1.9) klein gegenüber 2k/x. Die Gleichung liefert also für Qsp oder Reu gegen unendlich den physikalisch richtigen Verlauf. Geht der Spaltstrom gegen null, strebt der Rotationsfaktor k gegen ko und dk/dx strebt gegen null; Gl. (T9.1.9) wird dann unbestimmt. Für kE > ko ergäben sich aus Gl. (T9.1.9) dann sehr hohe Gradienten dk/dx und die Lösung würde numerisch unstabil. Daher ist Gl. (T9.1.9) nur oberhalb von ⏐ϕsp Reu0.2⏐> 0,002 zu verwenden; unter dieser Grenze ist k = ko anzunehmen. Die Berechnung reagiert relativ empfindlich auf den eingesetzten Wert von ko, der u.a. vom Verhältnis der Rauheiten von Radscheibe zum Gehäuse abhängt. Die Rotation im Radseitenraum hängt stark ab von den Randbedingungen am Eintritt in den Radseitenraum: werden Spaltstrom Qsp und Umfangsgeschwindigkeit cu am Eintritt nicht richtig erfaßt, können weder die Näherungsrechnung nach Tafel 9.1 noch numerische Berechnungen brauchbare Ergebnisse liefern. Abbildung 9.6 zeigt Messungen von [5.31] zum Einfluß der Leckage auf die Rotation im Vergleich zu Berechnungen nach Gl. (T9.1.9). Aufgetragen ist der örtliche Wert von k über dem Radienverhältnis x. Wie zu erkennen, kann die örtliche Strömungsgeschwindigkeit im Radseitenraum auf kleinen Radien bei großer Leckage höher als die Umfangsgeschwindigkeit werden; dies bedeutet, daß bei k > 1 auch die örtliche Radreibung negativ wird (das Fluid „treibt das Rad an“). Der Radius, bei dem cu = ω r (also k = 1,0) wird, läßt sich nach Daten in [3.29] grob abschätzen aus der Korrelation: 3.5 M

3 2.5 2

ϕsp = 8 x 10-4

M

k 1.5 1

ϕsp = 21 x 10-4

R

R M R

0.5 ϕsp = 3,8 x 10-4

0 0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

Abb. 9.6. Rotation des Fluids im Radseitenraum. Vergleich der Rechnung nach Tafel 9.1 mit Messungen aus [5.31]. R = Rechnung, M = Messung, x = r/r2

524

9 Hydraulische Kräfte

r( k =1) r2

0, 44 = 9 ϕsp

mit ϕsp nach Gl. (T9.1.1)

(9.2a)

Gleichung (9.2a) ergibt ähnliche Radienverhältnisse wie man aus Abb. 9.6 für k = 1,0 abliest. Der große Einfluß des Spaltstromes ϕsp durch den Radseitenraum und dessen Umfangsgeschwindigkeit kE beim Eintritt in den Radseitenraum wird aus Abb. 9.7 bis d deutlich, die nach Tafel 9.1 (2) mit d2 = 400 mm, sax/r2 = 0,065, n = 3000 1/min, den Rauheiten εR = εw = 4 μm und ν = 10-6 m2/s berechnet wurden. Diese Diagramme zeigen: Strömung radial einwärts: • kE > ko: Tritt der Spaltstrom mit hoher Umfangsgeschwindigkeit in den Radseitenraum ein, steigt die Rotation und die Radreibung sinkt mit zunehmendem Spaltstrom, Abb. 9.7. Wie Rechnung und Versuch [5.31] zeigen, kann die Radreibung bei großer Leckage auf einen Bruchteil des Wertes ohne Durchströmung absinken. Bei Spaltspielen, die in etwa nach Gl. (3.12) ausgeführt werden, liegt ϕsp in der Nähe von 5×10-4; die Abweichungen gegenüber der Berechnung für den nicht durchströmten Radseitenraum bleiben dann unter etwa 25 %. Erweitern sich die Spaltspiele im Betrieb infolge Abnützung auf den doppelten Wert des Neuspieles, werden Werte um ϕsp = 15×10-4 erreicht. • kE < ko: Tritt der Spaltstrom hingegen mit niedriger Umfangsgeschwindigkeit in den Radseitenraum ein, sinkt die Rotation und die Radreibung steigt mit zunehmender Leckage, weil die entsprechende Fluidmasse auf die ko entsprechende Umfangsgeschwindigkeit beschleunigt werden muß. Solche Verhältnisse können z.B. bei Teillastrückströmung auftreten, wie in Abb. 9.7 angedeutet und durch Versuche in [5.31] bestätigt. Die Versuche in [3.17] und [9.4] wurden an Rotationskörpern bei kE < ko ausgeführt, weshalb die Radreibung − anders als bei Pumpen − mit zunehmendem Strom durch den Radseitenraum leicht anstieg, [3.30]. Strömung radial auswärts: • Bei radial auswärts durchströmtem Radseitenraum steigen die Radreibungsverluste grundsätzlich mit zunehmender Leckage. Bei großem Spaltstrom (erweiterten Spaltspielen) kann der Radreibungsverlust erheblich zunehmen. In mehrstufigen Pumpen nach Abb. 9.1 kompensieren sich allerdings die Effekte auf Trag- und Deckscheibe weitgehend, wenn sich das Spiel auf beiden Seiten vergrößert. (Bei der Axialkraft aber addieren sich diese Effekte!) Da der Spaltstrom auf kleinem Durchmesser in den Radseitenraum einströmt, ist der Einfluß des Eintrittsdralles kE weitaus weniger stark als bei der Strömung von außen nach innen. Abbildung 9.8 zeigt den Einfluß von ϕsp und kE auf die Fluidrotation im Radseitenraum, wobei kcp den Mittelwert für k darstellt, der auf die korrekte Druckabsenkung nach Gl. (T.9.1.5) führt. Auch dieses Diagramm macht deutlich, daß eine Radseitenraumberechnung ohne korrekte Berücksichtigung von Spaltstrom und

9.1 Die Strömung im Radseitenraum

525

Eintrittsrandbedingung kE im allgemeinen Fall keine zuverlässigen Ergebnisse erwarten läßt. Die in Abb. 9.7 und 9.8 dargestellten Faktoren fL und kcp/ko hängen ab von der radialen Erstreckung des Radseitenraumes d.h. vom Verhältnis des Dichtspaltdurchmessers zum Laufraddurchmesser: dsp* = dsp/d2; denn bei dsp* = 1,0 müssen diese Faktoren eins werden. Der Einfluß von dsp* geht aus Abb. 9.9 und 9.10 hervor, die für kE = 0,5 berechnet wurden, was also ψth = 1,0 entspricht. Radseitenraumströmung und damit Radreibungsverluste sowie Axialkraft sind Funktionen gemäß k, PRR, Fax = f(kE, ϕsp, dsp*, Re, εR, εw), die sich nicht in einfache Formeln fassen lassen. Dabei ist kE mit der lokalen Umfangskomponente am Radseitenraumeintritt zu bilden (kE = c2u/u2 = ½ ψ/ηh ist nur eine Schätzung). Die Berechnung gemäß Tafel 9.1 (2) liefert eine erste Näherung für diese Zusammenhänge. Bei numerischen Berechnungen sind die Randbedingungen – insbesondere kE – richtig zu setzen, damit eine sinnvolle Lösung ermöglicht wird. Die Abbildungen 9.7 bis 9.10 erlauben aber eine gute qualitative und quantitative Beurteilung, wie wichtig diese Effekte im Einzelfall sein mögen. Wegen der engen Wechselwirkung zwischen der Hauptströmung am Laufradaustritt und dem Fluid im Radseitenraum ist es schwierig, die wirklichen Radreibungsverluste zu messen. Im Bestreben, die Wirkung des Spiralgehäuses auf die Radreibung zu erfassen, wurden mitunter Versuche gefahren, bei denen eine rotierende Scheibe in einem Spiralgehäuse untersucht wurde. Dabei werden aber die von der Scheibe abgeschleuderten Grenzschichten an der großen benetzten Gehäuseoberfläche stark abgebremst, so daß das Fluid gemäß Abb. 9.3 mit entsprechend kleiner Umfangskomponente in den Radseitenraum eintritt. Als Folge davon wurden Radreibungsbeiwerte gemessen, welche die mit engen Gehäusen ermittelten um etwa 40 bis 70 % überschreiten. In den verwendeten Gehäusen lag rw/r2 etwa bei 1,3 bis 1,4; Gln. (T9.1.3 u. 15) liefern dann tatsächlich Reibungsbeiwerte in der gemessenen Größe. Solche Werte für die Verlustberechnung von Pumpen einzusetzen wäre indessen falsch, weil die Strömungsverhältnisse im Spiralgehäuse infolge der großen Umfangsgeschwindigkeit dort völlig anders sind (kE ist entsprechend hoch). Bei Messungen in [3.23] wurde eine rotierende Scheibe in einem Spiralgehäuse gemessen, wobei wahlweise der Strömungsaustausch zwischen Radseitenraum und Spirale durch eine zylindrische Abdeckung teilweise entkoppelt wurde. Je stärker die Entkopplung desto geringer war die Radreibungsleistung, was den oben geschilderten Sachverhalt bestätigt. In anderen Arbeiten wurde versucht, durch stationäre Schaufeln der Strömung am Außendurchmesser der Scheibe einen Drall aufzuprägen; auch diese Maßnahme blieb erfolglos, da es sehr schwierig ist, einen Drallstrom zu erzeugen, der die Größe der Hauptströmung nach einem Laufrad erreicht. Als Folge wurden wiederum Radreibungsbeiwerte gemessen, die 50 bis 80 % über den Werten liegen, die für die Berechnung von Pumpen zugrunde zu legen sind, [3.17]. Einzig die in [5.31] und [9.23] verwendeten Meßanordnungen, bei der Laufrad und Scheibe unabhängig voneinander angetrieben wurden, können als wirklich repräsentativ für die Verhältnisse in einer Pumpe angesehen werden.

526

9 Hydraulische Kräfte

2.5 erw eitertes Spiel

fL =

2.0

PRR (Qsp) PRR (Qsp=0)

1.5 fL

Teillastrückströmung 1.0

kE = 0.7 kE = 0.5 erw eitertes Spiel

kE = 0.3 kE = 0

0.5

Lit. [5.31] q* = 1 Lit. [5.31] q* = 0.3 0.0 -0.002

-0.001

0.000

ϕsp

radial ausw ärts (dsp* = 0.35)

0.001

0.002

radial einw ärts (dsp* = 0.5)

Abb. 9.7. Einfluß des Spaltstromes und der Eintrittsgeschwindigkeit auf die Radreibungsverluste mittlerer Rotationsfaktor (ko = 0.45) 2.0 1.8 1.6

k(cp)/ko

1.4

k (cp) =

1.2 1.0

2 ( p 2 − p) 2 § ρ u 22 ¨¨1 − r 2 r2 ©

· ¸¸ ¹

0.8

kE = 0.7

0.6

kE = 0.5

0.4

kE = 0.3

0.2 0.0 -0.0020

kE = 0 -0.0010 radial ausw ärts (dsp*=0.35)

0.0000

ϕsp

0.0010

0.0020

radial einw ärts (dsp*=0.5)

Abb. 9.8. Einfluß des Spaltstromes und der Eintrittsgeschwindigkeit auf die Rotation im Radseitenraum

9.1 Die Strömung im Radseitenraum

Einfluss von dsp* (kE =0.5)

2.0

phisp=-0.002

1.8

-0.0015

1.6

-0.001

1.4

-0.0005 0.002

1.2 fL

527

0.0015

1.0

0.001

0.8

0.0005

0.6 0.4 0.2 0.0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

dsp*

Abb. 9.9. Einfluß des Spaltstromes und des Dichtspaltdurchmessers auf die Radreibungsverluste bei kE = c2u/u2 = 0,5 Einfluss von dsp* (kE = 0.5) 2.4

phisp=-0.002 -0.0015 -0.001 -0.0005 0.002 0.0015 0.001 0.0005

2.2 2.0 1.8 1.6 kcp/ko

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0

0.2

0.4

0.6

0.8 dsp*

1

Abb. 9.10. Einfluß des Spaltstromes und des Dichtspaltdurchmessers auf die Rotation im Radseitenraum bei kE = c2u/u2 = 0,5

528

9 Hydraulische Kräfte

Richtlinien für die Gestaltung von Radseitenräumen: 1. Axialer Wandabstand: sax/d2 = 0,015 bis 0,04. Konstruktives Minimum: 3 bis 5 mm je nach Pumpengröße. Zur Beachtung: Enge Radseitenräume setzen die Laufradeigenfrequenz herab und verstärken die Wechselwirkung zwischen Struktur und Strömung, Kap. 10.7.3. 2. Große Radseitenraumvolumina vermeiden, um Leistungsverlust durch Radreibung nicht unnötig zu erhöhen (turbulente Dissipation). In Hochdruckpumpen können sich weite Radseitenräume bezüglich Schwingungen besonders schädlich verhalten, wenn Spalt A groß und die Überlappung x klein ist, Kap. 10.7.3. 3. Keine Rippen und zerklüftete Konturen der Gehäusewand, welche die Fluidrotation im Radseitenraum bremsen und die Radreibungsverluste erhöhen. 4. Bei Spiralgehäusen sind weite Radseitenräume oft unvermeidlich; es empfiehlt sich dann eine Gestaltung ähnlich Abb. 9.3, in der Fluid mit niedriger Umfangsgeschwindigkeit aus der wandnahen Spiralgehäuseströmung die Pumpwirkung der Radseitenwände wenig behindert, so daß das von den Radscheiben beschleunigte Fluid seine Energie an die Hauptströmung übertragen kann (Versuchsdaten wurden in Kap. 3.10.3 erwähnt). Der Wirkungsgrad verschlechtert sich nicht durch diese Art der Gehäusegestaltung. 5. Weite, zur Spirale offene Radseitenräume in Hochdruckpumpen können bei Teillastrückströmung die Axialkraft erhöhen und Schwingungen hervorrufen. In diesem Fall kann das Gehäuse so ausgelegt werden, daß ein definierter Spalt A mit ausreichender Überlappung entsteht. Haupt- und Radseitenraumströmung werden auf diese Weise entkoppelt, [10.66]. Eine gewisse Einbuße an Förderhöhe und Wirkungsgrad ist bei dieser Maßnahme nicht auszuschließen. 6. Bei Leitradpumpen sollten Haupt- und Radseitenraumströmung weitgehend entkoppelt werden, um Strömungsumschläge im Radseitenraum infolge Teillastrezirkulation zu vermeiden (Axialkraftexkursionen), [5.15], [B.20]: Der Spalt A zwischen den Seitenscheiben von Laufrad und Leitrad ist dabei relativ eng zu wählen: 2A/d2 = 0,007 bis 0,01; die Überdeckung soll xov/A = 2 bis 4 sein, Abb. 9.1. Durch Hilfsschaufeln auf den Radscheiben kann die Rotation des Fluids erhöht werden (näheres dazu in Kap. 9.2.7).

9.2 Axialkräfte 9.2.1 Axialkraftberechnung allgemein Zur Dimensionierung des Axiallagers der Pumpe und eines eventuell vorgesehenen Axialkraftausgleichs muß die resultierende Axialkraft (häufig auch als „Axialschub“ bezeichnet) auf den Pumpenrotor bekannt sein. Sie setzt sich aus folgenden Anteilen zusammen (Abb. 9.11): Kräfte aus der Druckverteilung, die auf

9.2 Axialkräfte

529

beide Radseitenwände wirken FTs und FDs, Impuls FI und unausgeglichene Wellenschübe Fw; bei Vertikalpumpen tritt noch das Rotorgewicht hinzu. Als Randbedingung für die Druckverteilung wird der statische Druck p2 am Laufradaustritt benötigt; er berechnet sich aus der statischen Druckerhöhung im Laufrad, die bei drallfreier Zuströmung durch Gl. (T9.2.1) gegeben ist, Tafel 3.7(1). Bei der Berechnung der Axialkräfte auf die Radscheiben kommt es nur auf Druckdifferenzen gegenüber dem Druck p1 am Laufradeintritt an. Da der Unterschied zwischen c1m und c2m in Gl. (T9.2.1) unbedeutend ist, läßt sich der Druck am Laufradaustritt auch näherungsweise aus Gl. (T9.2.2) ermitteln, ohne daß die Geschwindigkeiten in Gl. (T9.2.1) berechnet zu werden brauchen. Oft wird in dieser Gleichung auch ηh,La/ηh = 1 gesetzt, wodurch p2 einige Prozent zu tief veranschlagt wird.

p2

p1 F Ds

p (r)

p2

F Ts p (r)

Q Sp

FI

d Sp p1

dD

Fw p am b

Abb. 9.11. Druckverteilungen und Axialkräfte am Laufrad einer einstufigen Pumpe

Die Axialkräfte auf die Radscheiben ergeben sich aus dem Integral über die durch Gl. (9.2) gegebene Druckverteilung zu F = 2 π ³ p r dr. Dabei erstreckt sich die Integration von rsp oder rD bis r2. Im allgemeinen ist die Integration für Tragund Deckscheibe getrennt durchzuführen. Hierzu stehen zwei Möglichkeiten offen: A. Man setzt für den Rotationsfaktor einen Mittelwert ein, der aus Gl. (T9.1.3 und ggf. 4) oder aus Abb. 9.5 bestimmt wird und erhält die Kraft auf eine Radscheibe zu:

(

)

(

)

2½ 2 ρ ­ F = π r22 ® 1 − x 2 ΔpLa − u 22 k 1 − x 2 ¾ 4 ¯ ¿

(9.3)

Für die Deckscheibe gilt x = xsp = dsp/d2 und für die Tragscheibe x = xD = dD/d2. Diese Rechnung mit einem Mittelwert k ist dann zweckmäßig, wenn die Leckage null oder sehr gering ist.

530

9 Hydraulische Kräfte

B. Sucht man den Einfluß der Leckage genauer zu erfassen, wird zunächst Gl. (T9.1.9) wie oben beschrieben integriert; daraus kann sodann nach Tafel 9.1 der Axialkraftsenkungsbeiwert cA errechnet werden. Dieser Beiwert erfaßt die durch die Rotation des Fluids hervorgerufene Verringerung ΔF der Axialkraft gegenüber dem Fall mit p = p2 = konstant (gleichbedeutend mit k = 0). Die Reduktion wird auf eine Kraft FRef bezogen, die einer Druckverteilung mit k = 1 entspricht und auf die Fläche π r22 wirkt. Der Beiwert cA ist somit definiert als: r

8 ³ Δp r dr

cA =

4 ΔF ΔF r = = 2 FRe f π ρ u 22 r22 ρ u 22 r22

x

= 4 ³ cp x dx

(9.4)

1

Mit seiner Hilfe errechnet sich die Kraft auf eine Radscheibe zu:

(

)

ρ ­ ½ F = π r22 ® 1 − x 2 ΔpLa − u 22 cA ¾ 4 ¯ ¿

(9.5)

Aus cA läßt sich ebenfalls ein Mittelwert k A bestimmen, der mit Gl. (9.3) auf die gleiche Axialkraft führt wie Gl. (9.5); er berechnet sich aus Gl. (T9.1.8a). Wegen der aufwendigeren Berechnung der Rotation nach Gl. (T9.1.9) und der ohnehin vorhandenen Unsicherheiten empfiehlt sich in vielen Fällen die Berechnung mit Mittelwerten von k gemäß A. Für eine Empfindlichkeitsanalyse des Leckageeinflusses hingegen wäre auf Methode B zurückzugreifen. Die Resultierende der Kräfte auf Trag- und Deckscheibe FHY = FTs - FDs errechnet sich im allgemeinen Fall kTs ≠ kDs aus Gl. (T9.2.8). Werden die Rotationsfaktoren auf Trag- und Deckscheibe hingegen als gleich angenommen, vereinfacht sich die Berechnung auf Gl. (T9.2.7). Grundsätzlich wären in Gl. (T9.2.3, 9.2.7 und 9.2.8) Mittelwerte für kA entsprechend Gl. (9.1.8a) einzusetzen. Berechnet man die Axialkraft mit dem Mittelwert k nach Gl. (T9.1.8) anstatt mit kA aus Gl. (T9.1.8a), ergeben sich höhere Kräfte; die Rechnung liegt daher meist auf der sicheren Seite. Die Unterschiede dürften bei kleinen Leckagen und nicht allzu kleinen Radienverhältnissen meist unbedeutend sein. Nach dem Impulssatz (Kap. 1.2.3) wirkt als weitere Axialkraft der Impuls des Förderstromes auf das Laufrad; er beträgt FI = ρ Q (c1m - c2m cos ε2), wenn ε2 der Winkel zwischen der mittleren Stromlinie am Laufradaustritt und der Rotorachse ist (ε2 = 90° bei Radialrädern). Unausgeglichene Wellenschübe Fw sind für jeden Pumpentyp gesondert zu analysieren. Bei der einstufigen Pumpe mit überhängendem Laufrad nach Abb. 9.11 ist: Fw = π/4 dD2 (pamb - p1). Die Axialkraft auf den Rotor ist die Resultierende der oben besprochenen Kräfte: Fax = FHY - FI + Fw + FKupl (bei mehrstufigen Pumpen sind diese Kräfte für jede Stufe zu analysieren und für den Rotor zu summieren). Wenn die verwendete Kupplung Axialkräfte übertragen kann, ist die Kupplungskraft FKupl zu berücksichtigen.

9.2 Axialkräfte

531

Eine in Richtung Saugseite wirkende Kraft wird positiv gezählt. Liegt der Zulaufdruck über dem Atmosphärendruck, wird der Anteil Fw negativ; er entlastet das Axiallager entsprechend. Die hier besprochenen Zusammenhänge gelten grundsätzlich für geschlossene radiale oder halbaxiale Laufräder. Ist die statische Druckerhöhung im Laufrad an Deck- und Tragscheibe verschieden, sind Gln. (T9.2.3 u. 4) für Trag- und Deckscheibe mit ΔpLa,Ts, kTs und ΔpLa,Ds, kDs getrennt auszuwerten. Die Axialkraftberechnung ist mit Unsicherheiten behaftet, weil folgende Größen nicht genau bekannt sind: a) Laufradverluste und damit p2; b) die Rotationsfaktoren kTs und kDs bzw. der Betrag der Leckagen; c) eventuelle Unterschiede zwischen p2,Ts und p2,Ds (besonders bei Teillast), bei Radialrädern mit hoher spezifischer Drehzahl und bei halbaxialen Pumpen; d) geometrische Toleranzen wie Spaltspiele, axiale Rotorstellung und Gußtoleranzen des Laufrades. Wegen dieser Berechnungsunsicherheiten sind Sicherheitszuschläge bei der Auslegung der Axiallager angezeigt. Da die Rechnung ohnehin ungenau ist, werden zur Axialkraftabschätzung auch Faustformeln verwendet, für radiale und halbaxiale geschlossene Laufräder z.B. Gl. (T9.2.12). Solche Formeln zu verwenden, ist sinnvoll, wenn das Axiallager aus konstruktiven Gründen überdimensioniert ist oder man über entsprechende Erfahrung verfügt, daß die so gewählten Axiallager zweckmäßig bemessen sind. Die Formeln in Tafel 9.1 und 9.2 sind für genauere Untersuchungen und Empfindlichkeitsanalysen geeignet, um die Wirkung einzelner Parameter – z.B. des Spaltspieles – auf die Axialkraft abzuschätzen. 9.2.2 Einstufige Pumpen mit einflutigem, überhängendem Laufrad Wird das Laufrad nicht entlastet (Abb. 9.11), erfolgt die Berechnung nach 9.2.1. Der Anteil des Impulses ist meist gering. Betrag und Richtung (Vorzeichen) des Wellenschubes können aber in Sonderfällen zu Problemen führen und sind entsprechend zu analysieren. So kann es bei hohen Zulaufdrücken (z.B. Kesselumwälzpumpen) zur Schubumkehr kommen: die resultierende Kraft wirkt in Richtung Druckseite, was bei der Lagerauswahl zu berücksichtigen ist. Für Anwendungen mit reinen Flüssigkeiten werden die Laufräder nach Abb. 9.12 (Tafel 9.1) häufig mit einem zweiten Dichtspalt auf der Tragscheibe und Entlastungsbohrungen ausgeführt. Gleiche Dichtspaltdurchmesser, gleiche Drücke p2, gleiche Leckagen und gleiche Radseitenraumgeometrie vorausgesetzt, sind die Kräfte auf beide Seiten zwischen dsp und d2 ausgeglichen. Im entlasteten Raum auf der Tragscheibe stellt sich auf dem Durchmesser der Entlastungsbohrungen – bei richtiger Dimensionierung – im wesentlichen der Zulaufdruck ein; die Rotation in diesem Raum führt auf eine Druckverteilung, die mit einem Rotationsfaktor gemäß Tafel 9.1 berechnet werden kann. Da in Realität keine vollständige Symmetrie herrscht, empfiehlt es sich, die Axialkraft eines nicht entlasteten Rades nach Gl. (T9.2.7) zu berechnen und für das entlastete Rad 10 bis 20 % dieses Wertes als Restschub anzunehmen. Hinzu kommen noch unausgeglichene Wellenschübe Fw und der Impuls FI sowie die Anteile aus etwaigen Unterschieden

532

9 Hydraulische Kräfte

Tafel 9.1 (1) Rotation des Fluids im Radseitenraum Definitionen

QSp

ϕSp =

Indizes: w: Gehäuse; R: Laufrad

x=

π r22 u 2

Gl.

r r2

u r Re u = 2 2 ν

9.1.1

c c β k= u = u = u ωr ω

Rotation des Fluids Abschätzung der Leckage bei normalen Spaltspielen (nach Gl. 3.12) Rotation des Fluids bei nicht durchströmtem Radseitenraum (ϕsp = 0). Offene Radseitenräume: rw = r2 und tax = 0 setzen! Für tax ist der zylindrische Gehäuseteil mit rw (Abb. 9.2) zu setzen. Schätzwert für mittleren Rotationsfaktor; für rsp/r2 > 0.3 und kE ≈ 0.5 Leckage: einwärts: ϕsp positiv; b = 1.0; auswärts: ϕsp negativ; b = 0.65 Druckabsenkungsbeiwert Δp ≡ p – p2 cp ist negativ

9.1.2

­ .5 ° n q ϕsp = 5.5 × 10− 4 ψ1opt ® °¯ n q,Re f ko =

½° ¾ °¿

0.4

nq,Ref = 20

9.1.2a

1 §r 1 + ¨¨ w © r2

· ¸ ¸ ¹

2

§ rw t ax ¨ ¨ r +5 r 2 2 ©

· c f ,w ¸ ¸ c f ,R ¹

9.1.3

­ § ª º b ·½ ¨ r ¸° ° = exp®300 ϕsp ¨ « 2 » − 1¸¾ ko ¨ «¬ rsp »¼ ¸° ° © ¹¿ ¯

k cp

x Δp cp ≡ ρ = −2 ³ k 2 x dx 2 u2 1

9.1.4

cp = − k o2 (1 − x 2 )

9.1.5

2

r

8 ³ Δp r dr Axialkraftabsenkung infolge der Flui2 x 9.1.6 c = ko2 1 − x 2 r drotation; cA ist positiv cA ≡ 2 = 4 ³ cp x dx A ρ u2 r2

)

(

2 2

Druckverlauf im Radseitenraum

p = p2 −

Berechnung des mittleren Rotationsfaktors aus Messung einer Druckdifferenz im Radseitenraum

k=

Berechnung des mittleren Rotationsfaktors aus dem Axialkraftbeiwert

kE

kA =

9.1.8

cA

9.1.8a

1− x2

kz

r2

9.1.7

2 ( p 2 − p) 2 · § ρ u 22 ¨¨1 − r 2 ¸¸ © r2 ¹

setze tax = sax

kE

kz

rsp

ρ 2 2 §¨ r 2 ·¸ ρ u 2 k 1 − 2 = p 2 + u 22 cp ¨ r ¸ 2 2 2 ¹ ©

tax

sax

1

xov sax

rw rsp

rw r2

9.2 Axialkräfte

533

Tafel 9.1 (2) Rotation des Fluids im Radseitenraum Radseitenraumintegration Schrittweise Berechnung von Rotation, Druckabsenkung und Axialkraftabsenkung: 0.2 Nur für ⏐ϕsp Reu ⏐> 0,002 1. Spaltstrom radial einwärts: ϕsp ist positiv. Berechnung von k von außen nach innen. Die Rechnung beginnt mit kE = c2u/u2 oder kz aus Gl. (T9.1.17), wenn xov > 0. 2. Spaltstrom radial auswärts: ϕsp ist negativ. Berechnung von k von innen nach außen. Die Rechnung beginnt mit kaus = cu/usp aus Gl. (3.11a) Reibungsmoment an einem Ringelement der Radscheibe (dimensionslos)

dk 0.079 x1,6 = dx ϕSp Re0u,2 k n +1 = k n +

1,75 ­§ ½ k °¨ 1 − k 0 ·¸ 1,75 ° ⋅ k − 1− k ®¨ ¾−2 ¸ k x ¹ °¯© 0 °¿

dk ( x n +1 − x n ) dx

9.1.9

9.1.10

(

)

c p,n +1 = c p,n + x n k 2n + x n +1k 2n +1 ( x n +1 − x n )

(

9.1.11

)

cA, n +1 = cA, n + 2 x n cp, n + x n +1cp, n +1 (x n +1 − x n )

dM* ≡

dM ρ ω2 r25

Radreibungsbeiwert aus Summation k RR = über alle Elemente

0.287 x3,6 1 − k

=

1,75

Re0u,2

9.1.12

dx cf,R sign(1- k) cf,glatt

9.1.13

¦ dM * n

1 − d *sp

9.1.14

4.6

Radreibungsbeiwert aus Integral πR 0,0625 + ⋅ (1 - k o )1,75 f R f L von Gl. (T9.1.13) zuzüglich lamina- k RR = 0,2 2Re s ax Re rem Anteil für k = ko = konstant

9.1.15

Rotationsfaktor kz am Austritt aus Spalt A, [9.18]

k z = 0,33 + 0,28k E + 126ϕsp (k E − 0,31)

9.1.16

Radseitenvorraum: Änderung des Rotationsfaktors längs der Überdekkung xov an den Radscheiben (Abb. 9.1); z* = z/r2 ist die Koordinate in Achsrichtung. Die schrittweise Berechnung erfolgt von z* = 0 bis z*max = xov/r2

dk *

dz

=

*2 cf,R (1- k)2 − rw cf ,W FForm k2

(r* − 1) ε + w 2 τ 2 ω r2

ϕSp

9.1.17

FForm ist ein Formfaktor, der meist gleich 1 zu setzen ist. Fehlt die Leitraddeckscheibe (Radseitenraum in radialer Richtung offen), ist kz = kE zu setzen

ε2

p

sax

p ΔF

dsp

ds2

rw

dD

Abb. 9.12. Laufrad mit Entlastungsbohrungen

dsp Abb. 9.13. Doppelflutiges Laufrad

ds2

534

9 Hydraulische Kräfte

Tafel 9.2 Axialkraftberechnung Druckerhöhung im Laufrad (gegenüber Laufradeintritt) bei α1 = 90° Kraft auf eine Radscheibe (a) FTs und FDs

(

Gl.

)

ρ Δp La = p2 − p1 = ηh ,La u 22 − w 22 + c12 = ρ g H p = ρ g H R G 2

§ ψ Δp La ≈ ρ g H ¨¨1 4 ηh © Deckscheibe: x = xsp = dsp/d2

· ηh ,La ¸ ¸ η ¹ h

9.2.2

( ) ­ F = π r ®(1 − x ) Δp ¯

(

)

2½ 2 ρ ­ F = π r22 ® 1 − x 2 Δp La − u 22 k 1 − x 2 ¾ 4 ¯ ¿

Tragscheibe: x = xD = dD/d2

2 2

9.2.1

2

La

−

9.2.3

ρ 2 ½ u 2 cA ¾ 4 ¿

9.2.4

Dimensionslose Kraft k2 c f = ψ p (1 − x 2 ) − (1 − x 2 )2 = ψ p (1 − x 2 ) − A auf Radscheibe 2 2

9.2.5

FTs = Kraft auf Tragscheibe FDs = Kraft auf Deckscheibe

9.2.6

Axialkraft auf Laufrad

FHy = FTs – FDs

Axialkraft auf Laufrad bei k = kDs = kTs

FHy =

Axialkraft auf Laufrad kDs ≠ kTs

2 ­ 2 ρ ª 2 2 2 2 º½ FHy = π r22 ®Δp La x sp − x 2D − u 22 «k Ts 1 − x 2D − k Ds 1 − x sp »¾ 9.2.8 4 ¬ ¼¿ ¯

(b)

Impulskraft Unausgeglichener Wellenschub Resultierende Kraft auf Rotor Faustformel (radial und halbaxiale LA) Unterschiedliche Dichtspaltdurchmesser, Abb. 9.6 Resultierende Kraft bei Laufrad mit Entlastungsbohrungen Doppelflutige Laufräder

2 ­ § d sp + d 2D ·¸½° π 2 ρ 2 ° d sp − d 2D ®Δp La − k u 22 ¨¨1 − ¾ 4 2 ¨ 2 d 22 ¸¸¹° °¯ © ¿

)

(

(

)

(

)

9.2.9

2

9.2.10

Fw = π/4 dD (pamb - p1) Fax = FHY - FI + Fw + FKupl

FKupl = Axialkraft der Kupplung

Fax = (0.7 bis 0.9) ρ g H tot A ne

A ne =

FHy =

(

π 2 dsp − d 2D 4

)

­ § d2 + d2 π 2 ρ 2 sp s2 ° d sp − d s22 ®Δp La − k u 22 ¨¨1 − 2 4 2 ¨ 2 d2 °¯ ©

)

(

(

ρ 2 Fax = f ax 2 u 22 d 22 − d sp

( π (d =ρgHf 4 π = (1 bis 1.1) (d 4

)

Fax

ha

·½ ¸° ¾ ¸¸° ¹¿

Stationär fax,stat = 0,01 ÷ 0,02 Instationär fax,dyn = 0,02 ÷ 0,06

(

)

f ha = n q / 220 0,17

) f = (