Grundlagen des Operations Research: Mit Aufgaben und Lösungen (Springer-Lehrbuch)

Springer-Lehrbuch

Brigitte Werners

Grundlagen des Operations Research Mit Aufgaben und Læsungen

Mit 117 Abbildungen und 41 Tabellen

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Professor Dr. Brigitte Werners Ruhr-Universitåt Bochum Fakultåt fçr Wirtschaftswissenschaft Lehrstuhl fçr Betriebswirtschaftslehre, insbes. Unternehmensforschung und Rechnungswesen Universitåtsstraûe 150 44801 Bochum [email protected]

ISBN-10 ISBN-13

3-540-32621-9 Springer Berlin Heidelberg New York 978-3-540-32621-2 Springer Berlin Heidelberg New York

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet çber abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschçtzt. Die dadurch begrçndeten Rechte, insbesondere die der Ûbersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfåltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfåltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulåssig. Sie ist grundsåtzlich vergçtungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de ° Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wåren und daher von jedermann benutzt werden dçrften. Umschlaggestaltung: Design & Production, Heidelberg SPIN 11679189

42/3153-5 4 3 2 1 0 ± Gedruckt auf såurefreiem Papier

Vorwort

Ziel dieses Buches ist die Vermittlung grundlegender Kenntnisse des Operations Research, also der Entwicklung und des Einsatzes quantitativer Modelle und Methoden zur Entscheidungsunterstützung. Damit lassen sich komplexe reale Probleme strukturiert analysieren, erfassen und modellieren, quantitative Ergebnisse werden ermittelt und eine möglichst optimale Lösung bestimmt. Charakteristisch für das Operations Research ist die Interdisziplinarität der Anwendungsbereiche und der eingesetzten Methoden und Theorien, vor allem der Wirtschaftswissenschaft, der Mathematik, der Informatik und der Ingenieurwissenschaften. Gestützt durch die Entwicklungen der Informationstechnologie und aufgrund des zunehmenden Bedarfs an Verbesserung und Optimierung in vielfältigen Bereichen findet Operations Research wachsende Verbreitung und viele Fachdisziplinen integrieren seine Methoden. Das vorliegende Lehrbuch ist begleitend zu einer einführenden Veranstaltung oder auch zum selbstständigen Studium besonders für Studierende der Wirtschaftswissenschaft geeignet. Es wird als ergänzende Lektüre zu der Vorlesung „Grundlagen des Operations Research“ für Studierende der wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Ruhr-Universität Bochum eingesetzt. Auch für andere Leser wie Studierende des Ingenieurwesens, der Informatik und der Mathematik wird es empfohlen, wenn diese sich besonders für die Lösung wirtschaftlicher Problemstellungen interessieren. Die vorgestellten Modelle und Methoden werden mit zahlreichen Anwendungsbeispielen und Übungen veranschaulicht. So finden in einem separaten Kapitel vielfältige Gestaltungs- und Einsatzmöglichkeiten von Optimierungsmodellen in den Bereichen Produktion und Logistik, Investition und Finanzierung, Marketing, Personalplanung, Innovationsmanagement und Krankenhausplanung Berücksichtigung. Graphen werden mit Beispielen der Logistik und besonders der Projektplanung motiviert. Anhand der Anwendungen Anlagenbelegung, Warteschlangen und Risikoanalyse wird die Entscheidungsunterstützung mittels Simulation gezeigt. Die grundlegenden Methoden der Optimierung, Graphentheorie und Simulation werden jeweils nach ausführlichen, einleitenden Beispielen formal mathematisch beschrieben, um die Allgemeinheit der Aussagen zu gewährleisten und die Abstraktionsfähigkeit zu fördern. Über die üblichen schulischen Kenntnisse hinaus werden keine mathematischen Anforderungen gestellt, auf Beweise wird durchgängig verzichtet. Die hier angesprochenen Modelle und Methoden dienen einerseits der Analyse von Problemen, andererseits der Optimierung. Die für die

VI

Vorwort

Lösung der vorgestellten Modelle erforderlichen, grundlegenden algorithmischen Kenntnisse werden ebenfalls vermittelt und auf OR-Software wird hingewiesen. Leser sollen in die Lage versetzt werden, komplexe Problemstellungen der Realität systematisch zu analysieren, selbstständig zu modellieren und zu lösen. Voraussetzung dazu ist eine angemessene Durchdringung des Problems, eine Erfassung der Ziele und relevanten Zusammenhänge, die Ermittlung der Konsequenzen von Entscheidungen über Handlungsalternativen und auf dieser Basis die Auswahl der besten verfügbaren Alternativen. Darüber hinaus soll auch gezeigt werden, dass die Information über Ziele, Strukturen und Konsequenzen dabei hilft, neue Alternativen zu generieren, um eine weitere Verbesserung zu erreichen. Dazu ist Übung und Training anhand vielfältiger Beispiele erforderlich. Dies wird durch die sehr zahlreichen Übungsaufgaben gefördert. Deren detaillierte Lösungen im abschließenden Kapitel des Buches verhelfen zu vertieften Einblicken in Problemstrukturen, algorithmische Vorgehensweisen und Modellierungsmöglichkeiten. Insgesamt fördert die Auseinandersetzung mit den angebotenen Beispielen den strukturierten Umgang mit Problemen und das analytische Denkvermögen, welches durch die vielfältigen Abstraktionsgelegenheiten konsequent trainiert wird. So wird über die Methodenkompetenz hinaus eine besondere Problemlösungskompetenz erreicht. Für die weiterführende Beschäftigung mit dieser Thematik wird das virtuelle Studienfach Operations Research / Management Science VORMS unter www.vorms.org empfohlen, dessen von uns entwickelte multimediale Übungsmodule eine besonders gute Ergänzung darstellen. Allen, die an der Entwicklung dieses Buches Anteil hatten, danke ich sehr herzlich. Dies gilt besonders für meine Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter, die mit vielfältigen Beiträgen unterstützten. Für ihren intensiven Einsatz, mannigfaltige Anregungen, Verbesserungsvorschläge und interessanten Beispiele vornehmlich zu erwähnen sind Dipl.-Ök. Niels Becker, Dipl.-Math. Mathias Einck, Dr. Stephanie Freiwald und Dipl.-Ök. Jens Wiggershaus. Besonders danke ich ebenfalls meiner stets engagiert und umsichtig unterstützenden Sekretärin Frau Inge Spieker. Zu großem Dank verpflichtet bin ich darüber hinaus den studentischen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern Felix Frühauf, Hendrik Hemke, Jens Kanacher, Sonja Kassenböhmer, Ann-Kristin Klas, Jennifer Neuhaus, Stefanie Reinhart, Christine Stockey und Thomas Wülfing, die während der vergangenen Monate mit größtem Engagement die Umsetzung und Verbesserung des Manuskripts realisiert haben. Bochum, im März 2006

Brigitte Werners

Inhaltsverzeichnis

1 Quantitative Entscheidungsunterstützung ....................................................1 1.1

1.2

Operations Research: Strukturierte Problemlösung ..................................1 1.1.1 Modelle, Methoden, Algorithmen.................................................1 1.1.2 Inhalt des Buches........................................................................12 Entscheidungsunterstützung ...................................................................15 1.2.1 Entscheidungstheoretische Grundlagen ......................................15 1.2.2 Aufgaben ....................................................................................30

2 Grundlagen linearer Optimierung ...............................................................33 2.1 2.2

Beispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung ..............................33 Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells ...............................44 2.2.1 Grundmodell der linearen Optimierung......................................44 2.2.2 Lösung des Grundmodells mittels Simplexalgorithmus .............53 2.2.3 Lösungsbesonderheiten...............................................................59 2.2.4 Aufgaben ....................................................................................74

3 Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse ...........................77 3.1

3.2

Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle................................77 3.1.1 Ermittlung einer zulässigen Ausgangslösung .............................77 3.1.2 Modellmodifikationen und Variablentransformation .................89 3.1.3 Aufgaben ....................................................................................96 Interpretation, Dualität und Sensitivität ..................................................97 3.2.1 Modellierung und Interpretation .................................................97 3.2.2 Dualität .....................................................................................101 3.2.3 Sensitivitätsanalyse...................................................................108 3.2.4 Aufgaben ..................................................................................116

4 Anwendungen linearer Optimierung .........................................................119 4.1 4.2

4.3

Rechnereinsatz......................................................................................119 Produktion und Logistik .......................................................................123 4.2.1 Produktionsprogrammplanung..................................................123 4.2.2 Supply Chain Planning .............................................................125 4.2.3 Standortplanung........................................................................129 4.2.4 Aufgaben ..................................................................................133 Investition und Finanzierung ................................................................136

VIII

4.4

Inhaltsverzeichnis

4.3.1 Dynamische Investitionsrechnung............................................ 136 4.3.2 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung.................. 142 4.3.3 Aufgaben .................................................................................. 149 Weitere wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen........................... 152 4.4.1 Revenue Management .............................................................. 152 4.4.2 Sonstige Einsatzbereiche .......................................................... 154 4.4.3 Aufgaben .................................................................................. 162

5 Graphentheorie............................................................................................ 165 5.1

5.2

Strukturmodellierung mittels Graphen ................................................. 165 5.1.1 Einführendes Beispiel Autobahnnetz NRW ............................. 165 5.1.2 Gerichtete und ungerichtete Graphen ....................................... 167 5.1.3 Repräsentationsformen von Graphen........................................ 178 5.1.4 Aufgaben .................................................................................. 183 Bewertete Graphen und kürzeste Wege................................................ 185 5.2.1 Bewertung und Entfernung....................................................... 185 5.2.2 Kürzeste-Wege-Algorithmus von Dijkstra ............................... 189 5.2.3 Aufgaben .................................................................................. 197

6 Projektplanung ............................................................................................ 201 6.1

6.2

6.3

Modellierung der Projektstruktur.......................................................... 201 6.1.1 Grundlagen der Projektplanung................................................ 201 6.1.2 Strukturanalyse ......................................................................... 203 6.1.3 Aufgaben .................................................................................. 210 Zeitliche Planung des Projektablaufs.................................................... 214 6.2.1 Zeitanalyse für Vorgangspfeilnetzpläne ................................... 214 6.2.2 Zeitanalyse für Vorgangsknotennetzpläne................................ 219 6.2.3 Pufferzeiten und Flexibilitätsreserve ........................................ 222 6.2.4 Aufgaben .................................................................................. 233 Kapazitäts- und Kostenplanung ............................................................ 236 6.3.1 Kapazitätsbedarf im Zeitablauf................................................. 236 6.3.2 Projektkostenoptimierung......................................................... 238 6.3.3 Aufgaben .................................................................................. 244

7 Simulation und Warteschlangensysteme ................................................... 247 7.1

7.2

Deterministische Simulation................................................................. 247 7.1.1 Systeme und Modellexperimente.............................................. 247 7.1.2 Anwendungsbeispiel Simulation zur Produktionsplanung ....... 258 7.1.3 Aufgaben .................................................................................. 261 Stochastische Simulation ...................................................................... 265 7.2.1 Modellierung stochastischer Einflüsse ..................................... 265 7.2.2 Zufallszahlen und Verteilungen................................................ 271 7.2.3 Warteschlangensysteme und Risikoanalyse ............................. 285 7.2.4 Aufgaben .................................................................................. 292

Inhaltsverzeichnis

IX

8 Lösungen.......................................................................................................297 8.1 8.2 8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

Quantitative Entscheidungsunterstützung.............................................297 Grundlagen linearer Optimierung .........................................................300 Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse ......................308 8.3.1 Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle..................308 8.3.2 Interpretation, Dualität und Sensitivität ....................................316 Anwendungen linearer Optimierung.....................................................323 8.4.1 Produktion und Logistik ...........................................................323 8.4.2 Investition und Finanzierung ....................................................329 8.4.3 Weitere wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen ...............333 Graphentheorie .....................................................................................336 8.5.1 Strukturmodellierung mittels Graphen .....................................336 8.5.2 Bewertete Graphen und kürzeste Wege ....................................339 Projektplanung......................................................................................343 8.6.1 Modellierung der Projektstruktur..............................................343 8.6.2 Zeitliche Planung des Projektablaufs........................................352 8.6.3 Kapazitäts- und Kostenplanung ................................................358 Simulation.............................................................................................363 8.7.1 Deterministische Simulation.....................................................363 8.7.2 Stochastische Simulation ..........................................................372

Abbildungsverzeichnis ......................................................................................379 Tabellenverzeichnis ...........................................................................................383 Literaturverzeichnis ..........................................................................................385 Sachverzeichnis..................................................................................................393

1 Quantitative Entscheidungsunterstützung

1.1 Operations Research: Strukturierte Problemlösung 1.1.1 Modelle, Methoden, Algorithmen Dieses Buch vermittelt die Grundlagen des Operations Research, d. h. der Entwicklung und des Einsatzes quantitativer Modelle und Methoden zur Entscheidungsunterstützung. Dieser Begriff, wie auch Operational Research oder in Deutschland Unternehmensforschung, wurde Mitte des vorigen Jahrhunderts geprägt, die typischen Vorgehensweisen und Methoden sind teilweise wesentlich älter. Ähnliche Bezeichnungen sind Management Science oder quantitative Betriebswirtschaftslehre, sie beinhalten die Methoden des Operations Research und stellen wirtschaftswissenschaftliche Fragestellungen in den Vordergrund. Die Problemlösungsansätze des Operations Research sind durch ihre Interdisziplinarität gekennzeichnet, wobei vor allem Methoden und Anwendungen der Mathematik, der Wirtschaftswissenschaft, der Informatik und der Ingenieurwissenschaften von Bedeutung sind. Charakteristisch für die Vorgehensweise des Operations Research ist das Bestreben, für komplexe reale Situationen optimale Handlungsvorschläge zu ermitteln. Optimalität wird entscheidungstheoretisch fundiert und die unter den zu berücksichtigenden Bedingungen und gemessen an der Zielanforderung beste Alternative ausgewählt. Auf Schwierigkeiten bei der Ermittlung einer optimalen Lösung, die z. B. auf mangelnden Informationen, Risiko oder zu rechenaufwändigen Methoden basieren, wird reagiert, indem in solchen Situationen eine möglichst gute Lösung oder mehrere effiziente Lösungen bestimmt werden. Operations Research ist hervorragend geeignet, bei der Verfolgung des ökonomischen Prinzips zu unterstützen, welches besonders in den beiden folgenden Formen zum Ausdruck kommt:

y Maximumprinzip: Mit einem gegebenen Einsatz an knappen Gütern ist ein maximales Ergebnis zu erreichen.

y Minimumprinzip: Ein bestimmtes Ergebnis ist mit minimalem Einsatz knapper Güter zu erreichen. Damit erklärt sich auch die besondere Bedeutung des Operations Research im Rahmen einer entscheidungsorientierten Betriebswirtschaftslehre. Hier liegt der anwendungsbezogene Haupteinsatzbereich in der Planung und Entscheidungsvor-

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Quantitative Entscheidungsunterstützung

bereitung, aber auch in der Kontrolle und Steuerung unterschiedlicher Unternehmensbereiche und -aktivitäten sowie übergreifender Projekte und Prozesse. Darüber hinaus nutzen viele andere Disziplinen und Fachgebiete die Methoden des Operations Research und tragen zu deren Weiterentwicklung bei. Die Vielfalt der Möglichkeiten kann entsprechenden Sammelwerken entnommen werden (z. B. Fleuren et al. 2005, Werners u. Gabriel 1994). Entscheidungen sollten durch Planung vorbereitet werden. Mit Planung wird ein vom Planungsträger durchgeführter, systematischer und rationaler Prozess zur Ermittlung von Maßnahmen zur zukünftigen Erreichung von Zielen bezeichnet, auch unter Berücksichtigung von unsicheren Umwelteinflüssen oder rationalen Gegenspielern (vgl. beispielsweise Berens et al. 2004, Domschke u. Scholl 2005). Neben der Ermittlung von Alternativen, die die Erreichung eines angestrebten Ergebnisses ermöglichen, kann auch das Aufzeigen anzustrebender Ergebnisse als Aufgabe der Planung betrachtet werden. Planung wird quantitativ genannt, wenn mathematische Modelle und Methoden zur Anwendung gelangen. Gerade für die Lösung komplexer Fragestellungen sind quantitative Methoden von großer Bedeutung. Durch die damit verbundene strukturierte Herangehensweise an ein Problem und die Entwicklung eines geeigneten Modells ergeben sich bereits wertvolle Einsichten. Diese werden nach der Lösung des Modells noch vergrößert, indem entweder bereits ein optimaler Vorschlag festgestellt wird oder Hinweise auf eine Ergebnisverbesserung abgeleitet werden können.

Verbales Modell Problem Realität

Mathem. Modell spezieller Struktur

Lösungsalgorithmus/ IT-Einsatz

Lösung für reales Problem

Lösung für mathem. Modell

Lösung für verbales Modell Abb. 1.1. Problemlösungsprozess

Operations Research: Strukturierte Problemlösung

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Ein wesentliches Charakteristikum des Operations Research besteht darin, den relevanten Ausschnitt der betrachteten Realität abstrahiert in einem zu entwickelnden quantitativen Modell adäquat abzubilden. Aus dem Modell werden quantifizierte Aussagen gewonnen. Z. B. wird unter Einsatz eines auf die spezielle Modellstruktur abgestimmten Algorithmus und geeigneter Informationsverarbeitungstechnologien eine optimale Lösung des Modells ermittelt. Diese ist zu interpretieren und dient als Entscheidungsgrundlage für die reale Situation. Damit lässt sich die Problemlösung grob wie in Abb. 1.1 darstellen. Es ist zu beachten, dass der dargestellte Prozess nicht nur einmal durchlaufen wird, um die Lösung des realen Problems zu bestimmen. Vielmehr wird durch die Strukturierung, die für die Aufstellung eines Modells erforderlich ist, das reale Problem besser analysiert. Eine erste optimale Modelllösung wird in vielen Fällen für die Umsetzung in der Realität noch nicht geeignet sein. Eine auf sie gestützte Diskussion mit den Anwendern liefert ggf. Hinweise, welche wichtigen realen Zusammenhänge noch nicht ausreichend im Modell berücksichtigt wurden und in einer modifizierten Modellversion abzubilden sind. Auf diese Weise trägt ein wiederholter Modellierungs- und Lösungsprozess zu einer zunehmend besseren Erfassung der Problematik und schließlich zu einer real umsetzbaren, möglichst optimalen Lösung bei. Das Operations Research hat vielfältige Modellstrukturen für verschiedene Anwendungsbereiche mit Algorithmen zur Ermittlung der Lösungen entwickelt, um Planung und Entscheidung in komplexen Situationen zu unterstützen. Zunächst werden einige allgemeine Grundlagen zur Modellierung und zur Beschreibung und Beurteilung von Algorithmen vorgestellt, bevor diese in den folgenden Kapiteln für spezielle Strukturen konkretisiert werden. Modelle

y Ein Modell ist ein zweckorientiertes, ggf. vereinfachtes Abbild eines Ausschnitts der Realität, welches hinsichtlich der interessierenden Zusammenhänge strukturähnlich oder strukturgleich ist. Modelle lassen sich hinsichtlich ihres Zwecks unterscheiden in Beschreibungsmodelle, Erklärungs- oder Prognosemodelle und Entscheidungsmodelle. Beschreibungsmodelle dienen der Abbildung der realen Situation zur Feststellung bestimmter Sachverhalte, wie etwa die systematische Erfassung der Kosten und Erlöse im betrieblichen Rechnungswesen zur Feststellung der Wirtschaftlichkeit vergangener Aktivitäten. Erklärungs- und Prognosemodelle unterstützen bei der Untersuchung von Konsequenzen geplanter Aktivitäten (What-If-Analyse). Entscheidungsmodelle dienen der Ermittlung von Aktivitäten, die unter Berücksichtigung der Möglichkeiten und äußeren Einflüsse und der Bewertung der Ergebnisse zu möglichst optimalen Entscheidungen führen.

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Quantitative Entscheidungsunterstützung

Modell

Beschreibungsmodell

Erklärungsmodell

Entscheidungsmodell

Information über Ausgangssituation

Prognosemodelle Zweck-Mittel-Analyse

Festlegung durchzuführender Aktionen

Kostenerfassung betriebliches Rechnungswesen

Kostenplanung mit kostentheoretischen Modellen

Produktionsprogrammplanung

Abb. 1.2. Modelle strukturiert nach ihrem Zweck

Beispiel Fertigteilelager Modelle können sehr unterschiedliche Ausschnitte der Realität abbilden, wie das Beispiel Fertigteilelager zeigt. Für ein Fertigteilelager kann als spezielles Beschreibungsmodell ein Standortplan gezeichnet werden, der die Warenträger bzw. Regale mit den ihnen zugeordneten Produkten enthält. Entsprechen die räumliche Anordnung und die Entfernungen der Realität, so kann hinsichtlich der zweidimensionalen räumlichen Verhältnisse aufgrund der strukturellen Gleichheit vom Modell auf die Realität geschlossen werden.

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 4

Produkt 2

Produkt 2

Produkt 3

Produkt 5

Abb. 1.3. Beschreibungsmodell Standortplan

Ein anderes Beschreibungsmodell des Fertigteilelagers ist das Inventar, in dem die Produkte mit vorhandener Stückzahl, Wert pro Stück und Gesamtwert erfasst sind. Auch hier ist eine strukturelle Ähnlichkeit zwischen Modell und Realität

Operations Research: Strukturierte Problemlösung

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gegeben, sodass der Wert des Lagers im Modell ermittelt werden kann und in der Realität Gültigkeit besitzt, sofern das Modell aktuell und hinsichtlich der Daten zutreffend ist.

Produkt 1

2,00 €

52 Stück

104,00 €

Produkt 2 12,00 €

16 Stück

192,00 €

400 Stück

480,00 €

Produkt 3

1,20 €

… Abb. 1.4. Beschreibungsmodell Inventar

Wird der Platzbedarf von Produkt 1 mit 0,1 m3 pro Einheit festgestellt, dann erklärt das folgende kleine mathematische Modell den Gesamtplatzbedarf GP in funktionaler Abhängigkeit von der Anzahl der Produkteinheiten und kann zur „Prognose“ hinsichtlich des Platzbedarfs später einzulagernder Mengen verwendet werden. Aus dem Erklärungsmodell Gesamtplatzbedarf GP  a

f (a)

a ˜ 0,1

errechnet man den Platzbedarf z. B. für 100 Stück zu f (100) 10 . Ist der verfügbare Lagerplatz auf 400 m3 begrenzt und soll so viel wie möglich von Produkt 1 eingelagert werden, kann die optimale Lösung mit dem folgenden kleinen Entscheidungsmodell ermittelt werden: max x s.d . 0 ,1 x d 400 wobei x  '  eine Variable ist, die die gesuchte Stückzahl erfasst. Die optimale Lösung ist unmittelbar ersichtlich und lautet x 0 4000 , also können maximal 4000 Stück von Produkt 1 eingelagert werden. Typisch für ein Entscheidungsmodell ist, dass von allen möglichen Alternativen, die in diesem Fall implizit durch die d -Bedingung festgelegt sind, die hinsichtlich des Zielkriteriums, hier größtmögliche Anzahl, die beste Bewertung erreicht. Damit Modellergebnisse auf die Realität zurück übertragen werden können, müssen die Elemente und ebenfalls die Strukturen zwischen Modell und Realität auf eine bestimmte Art ähnlich oder sogar gleich sein. Für quantitative Modelle kommt diese Strukturähnlichkeit bzw. -gleichheit darin zum Ausdruck, dass der Zusammenhang zwischen der Realität und dem Modell bzw. deren Elementen und auch den betrachteten Strukturen, also Relationen oder Rechenvorschriften,

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Quantitative Entscheidungsunterstützung

mittels einer Funktion beschreibbar ist, die spezielle Eigenschaften aufweist. Die Abbildung sollte ein Homomorphismus, d. h. vergröbernd und strukturerhaltend, oder sogar ein Isomorphismus, d. h. eineindeutig und strukturgleich, sein. Ein Homomorphismus ist eine Funktion, die Elemente einer Menge A in eine Menge B abbildet und zwar so, dass strukturelle Eigenschaften und Beziehungen, ggf. vergröbert, erhalten bleiben.

Realität A 3

Modell

2

6

1 4

a 5

7

B b

d

c

Abb. 1.5. Homomorphismus

In der Abbildung werden die Elemente des Ausschnitts der Realität A ^1,..., 7` abgebildet auf das Modell mit B ^a,b,c,d ` . Die Struktur in A sind die existierenden Verbindungen zwischen den Elementen, entsprechend in B. Die Funktion f , die 1 auf a, 2, 3, 4 auf b, 5, 6 auf c und 7 auf d abbildet, ist ein Homomorphismus, der vergröbert. 1 ist mit keinem Element aus A in Verbindung, entsprechendes gilt für a. 6 ist von 2 aus erreichbar, entsprechend ist c f  6 von b f  2 erreichbar. Die Teilmengen, die durch den Homomorphismus auf dasselbe Element in B abgebildet werden, bilden eine so genannte Äquivalenzklasse. Sollen Resultate des Modells auf die Realität zurück übertragen werden, ist das bei Vorliegen eines Homomorphismus möglich. Wenn wie hier b und d miteinander – indirekt – verbunden sind, gilt das auch in der Menge A für jedes Element, das auf b abgebildet wurde, mit jedem Element, das auf d abgebildet wurde. Also sind z. B. 3 und 6 miteinander verbunden. Eine formale Charakterisierung eines Homomorphismus liefert die folgende Definition.

y  A,… ist eine Menge A mit einer Struktur … und  B, † eine Menge B mit einer Struktur † . Eine Abbildung f : A o B ist ein Homomorphismus, falls für alle a1 ,a2  A gilt f  a1 … a2 f  a1 † f  a2 bzw. a1 … a2 Ÿ f  a1 † f  a2 .

Gilt f  A B , dann ist  B, † eine Vergröberung der Menge A mit ähnlicher, vergröberter Struktur, es liegt also eine durch f definierte Strukturähnlichkeit vor. Die beiden Mengen mit ihren Strukturen  A, … und  B, †

Operations Research: Strukturierte Problemlösung

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werden als homomorph bezeichnet. Die Elemente von A, die auf dasselbe b abgebildet werden, bilden eine Äquivalenzklasse. Strukturgleichheit liegt vor, wenn sowohl die beiden Mengen wie auch die beiden Strukturen bis auf ihre Bezeichnungen übereinstimmen. Für quantitative Modelle lässt sich Strukturgleichheit mathematisch mittels eines Isomorphismus beschreiben.

y Eine Funktion f : A o B ist ein Isomorphismus genau dann, wenn gilt

i. f ist bijektiv, d. h. eineindeutig und f  A B , und ii. f ist ein Homomorphismus und iii. die Umkehrfunktion f 1 ist ein Homomorphismus. Falls ein Isomorphismus zwischen zwei Mengen mit ihren Strukturen existiert, heißen diese zueinander isomorph.

Aus der Definition ist unmittelbar ersichtlich, dass ein Isomorphismus ein spezieller Homomorphismus ist. Beispiel Homomorphismus Wir betrachten die reellen Zahlen  mit der darauf definierten Relation d und die ganzen Zahlen ' , ebenfalls mit der d -Relation. Damit entsprechen   , d der Struktur  A, … und  ', d der Struktur  B, † . Die Funktion f ist eine vergröbernde Abbildung, die jeder reellen Zahl eine ganze Zahl zuordnet, die „größte ganze Zahl d x “1: x o

> x@

beispielsweise 1,8 o

1

f :

2,9 o 2 3, 6 o 4

Die Funktion f ist ein Homomorphismus zwischen den Mengen mit ihren Strukturen   , d und  ', d , da für beliebige Zahlen a1 ,a2   gilt a1 d a2 Ÿ Beispiel:

> a1 @ d > a2 @

1,8 d 2 ,9 Ÿ 1 d 2

Umgekehrt lässt sich ableiten, wenn b1 > a1 @ und b2 > a2 @ ist und b2 t b1 ist, dann gilt entweder a2 t a1 oder a1 und a2 sind in derselben Äquivalenzklasse,

> x @ : größte ganze Zahl d x . Diese Vorschrift rundet, indem für nichtnegative Zahlen die Nachkommastellen abgeschnitten werden und für negative Zahlen ebenfalls die ganze Zahl „links“ von x zugeordnet wird. 1

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Quantitative Entscheidungsunterstützung

d. h., sie weichen nur nach dem Komma voneinander ab. Da also 5 d 7 ist, ist auch 5,9 d 7, 2 . Betrachtet man dagegen (, ) und (', ) , also übereinstimmende Mengen mit anderen Strukturen, nämlich jeweils der Addition, und dieselbe Abbildung f : x o > x @ , dann zeigt sich, dass die Mengen mit diesen Strukturen nicht homomorph sind, die Funktion f hier also keinen Homorphismus darstellt. Es gilt: >1,8  2,9@ > 4,7@ 4 z >1,8@  > 2,9@ 1  2 3 . Aus 1  2 3 kann also nicht geschlossen werden, dass auch 1,8 + 2,9 einen Wert besitzt, der in der Äquivalenzklasse zu >3@ , also von 3 bis unter 4 liegt. Damit können Aussagen, die in der vergröberten Struktur  ',  ermittelt werden, nicht in die Struktur   ,  zurück übertragen werden, denn hier ist f kein Homomorphismus. Modelle bilden unterschiedliche Ausschnitte der Realität ab, wie das Beispiel Fertigteilelager zeigt. Quantitative Methoden unterstützen dabei, reale Probleme strukturiert zu erfassen, zu modellieren, quantitative Ergebnisse zu ermitteln und die optimale Lösung zu finden. Damit diese Aussagen, die für die Modelle gewonnen werden, Bedeutung für die Realität haben, ist die Strukturähnlichkeit zu dem betrachteten Teil der Realität einschließlich der wichtigen Zusammenhänge sicherzustellen. So macht es im Beispiel Inventar Sinn, den durchschnittlichen Wert eines Stücks im Lager aus den Produktstückzahlen multipliziert mit den Einzelwerten zu ermitteln. Es ist jedoch nicht sinnvoll, aus den Produktnummern ein durchschnittliches Produkt zu berechnen. Methoden Operations Research befasst sich insbesondere mit Entscheidungsmodellen und der Ermittlung einer optimalen Lösung. Darüber hinaus werden auch quantitative Erklärungsmodelle zur Entscheidungsunterstützung eingesetzt, die zu einer Ergebnisermittlung und Bewertung jeweils einzelner Alternativen beitragen. Unter einer Methode wird in diesem Zusammenhang meist das Vorgehen einschließlich Modellierung und Problemlösung unter Einsatz von Algorithmen verstanden, gelegentlich werden Methode und Algorithmus synonym verwendet. Unter Optimierung versteht man die Ermittlung derjenigen zulässigen Handlungsalternative, die einem vorgegebenen Ziel am besten von allen Alternativen entspricht. Damit setzt eine Optimierung voraus, dass alle zulässigen Handlungsalternativen berücksichtigt werden, die Zielvorstellung muss bekannt sein, die Handlungsalternativen sind bezüglich dieser Zielvorstellung zu bewerten und die Bewertungsergebnisse müssen miteinander vergleichbar sein. Entscheidungstheoretische Anforderungen an die Bestimmung der besten Alternativen werden in Kap. 1.2 ausführlich behandelt. Sind nur wenige Handlungsalternativen zu berücksichtigen, kann eine vollständige Enumeration durchgeführt, d. h. alle Alternativen explizit aufgestellt und bewertet und dann die optimale ausgewählt werden. Bei einer Vielzahl von Alter-

Operations Research: Strukturierte Problemlösung

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nativen ist dieses Vorgehen zu aufwändig. Dann wird angestrebt, alle Handlungsalternativen mittels eines mathematischen Optimierungsmodells implizit zu erfassen und unter Einsatz eines Optimierungsalgorithmus die beste Alternative zu berechnen. Bei einigen Modellstrukturen, etwa wenn alle Zusammenhänge linear sind, stehen sehr effiziente, geeignete Lösungsalgorithmen zur Verfügung. Ist eine Optimierung nicht möglich oder aufgrund der Modellstruktur oder -größe zu aufwändig, können ggf. Heuristiken geeignet sein, eine gute Lösung zu ermitteln. Unter einer Heuristik versteht man eine Vorgehensweise oder einen Algorithmus, mit der durch ein systematisches Vorgehen eine möglichst gute Lösung gefunden wird, wobei die Optimalität jedoch meist nicht erreicht wird und in der Regel nicht beweisbar ist. Typisch für Heuristiken ist, dass nicht alle Alternativen berücksichtigt werden. Mit den klassischen Heuristiken wird unter Verwendung sinnvoller Regelungen teilweise nur eine einzige Alternative entwickelt. Gebräuchliche Regeln zeigen häufig gute Ergebnisse. Moderne Heuristiken entwickeln und bewerten teilweise sehr schnell sehr viele unterschiedliche Alternativen und haben ihre Qualität bei der Lösung vielfältiger, sehr komplexer Probleme bereits gezeigt. Zur Beurteilung der Qualität der Problemlösung steht bei optimierenden Verfahren der Aufwand zur Berechnung bis zur optimalen Lösung im Vordergrund, während für Heuristiken zusätzlich die Abweichung von dem Ergebnis bei optimaler Lösung bzw. der Vergleich der Ergebnisse verschiedener Heuristiken relevant ist. Algorithmus In Entscheidungsmodellen ist die optimale Lösung zu ermitteln, daher spricht man auch von einem Entscheidungsproblem und einer Problemlösung. Dazu werden Algorithmen verwendet, die in Computerprogramme umgesetzt werden.

y Unter einem Algorithmus kann ganz allgemein eine Verarbeitungsvorschrift zur Lösung eines Problems verstanden werden. Eine sehr detaillierte Darstellung der Verarbeitungsvorschrift kann durch ein ablauffähiges Programm in einer Programmiersprache geschehen. Zur Darstellung von Programmabläufen und von Algorithmen stehen als Visualisierungsmöglichkeiten insbesondere der Programmablaufplan und das Struktogramm zur Verfügung (z. B. Balzert 2005, Ernst 2003). Diese werden in unterschiedlichen Detaillierungen verwendet und unterstützen den Programmentwurf und die Kommunikation zwischen verschiedenen Beteiligten, wie beispielsweise Entwickler und Programmierer. Die darzustellenden Kontrollstrukturen sind Sequenz, Auswahl, Wiederholung und Aufruf. Der Programmablaufplan, auch Flussdiagramm oder Ablaufdiagramm genannt, ist in der DIN 66001 genormt. Die Programmablaufplan-Notation verbindet grafische Symbole durch Linien. Sie wird noch eingesetzt, lässt jedoch Sprünge zu und unterstützt damit nicht, im Unterschied zum Struktogramm, die strukturierte Programmierung. Struktogramme, nach ihren Entwicklern auch Nassi-Shneiderman-Diagramme genannt, sind in

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Quantitative Entscheidungsunterstützung

der DIN 66261 normiert. Die wichtigsten Sinnbilder mit ihrer Anwendung für die Darstellung des Programmablaufs sind im Folgenden aufgeführt. Eine Verarbeitung V bzw. Anweisung wird durch ein Rechteck gekennzeichnet. V

Eine Sequenz oder Folge ist eine Aneinanderreihung von Anweisungen, die von oben nach unten durchgeführt werden. V1 V2 V3

Wiederholungen werden danach unterschieden, ob eine Bedingungsprüfung B vorangeht, nachfolgt oder nicht vorhanden ist. B

V V

B

nachfolgende Bedingungsprüfung

vorausgehende Bedingungsprüfung

V

ohne Bedingungsprüfung Einfache oder mehrfache Alternativen werden in Abhängigkeit von Bedingungen durchgeführt.

B1 V2

G G

B2 V1

Ein Abbruch der Bearbeitung wird ebenfalls sinnbildlich dargestellt.

Operations Research: Strukturierte Problemlösung

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N

Beispiel Prüfungstraining Im Rahmen Ihrer Klausurvorbereitung bearbeiten Sie die zwei Kapitel Ihrer Unterlagen nacheinander. Anschließend prüfen Sie mittels Internet-Test, ob Sie ausreichend gut vorbereitet sind. Falls nicht, bearbeiten Sie erneut beide Kapitel. Dies wiederholen Sie solange, bis Ihr Ergebnis ausreichend gut ist. Anschließend unterziehen Sie sich der Prüfung. Sind Sie nicht erfolgreich, bearbeiten Sie noch einmal beide Kapitel und lassen sich nachprüfen. Nach erfolgreicher Prüfung treten Sie Ihren wohlverdienten Urlaub an. Kap. 1 lernen Kap. 2 lernen Testergebnis: gut vorbereitet Prüfung

nicht nicht bestanden bestanden

bestanden

Kap. 1 lernen

Urlaub

Kap. 2 lernen nicht bestanden

bestanden

Urlaub Abb. 1.6. Struktogramm Prüfungstraining

Mit derartigen Struktogrammen lassen sich strukturierte Programme entwickeln, dazu erfolgt die Erfassung sehr detailliert. Eine aggregiertere Darstellung ist geeignet, um Algorithmen oder Vorgehensweisen zu veranschaulichen und wird zur Beschreibung einiger Algorithmen in folgenden Kapiteln verwendet. Effizienz von Algorithmen Eine Beurteilung von Entscheidungsmodellen und zu deren Lösung geeigneten Algorithmen geschieht hinsichtlich ihrer Effizienz. Im Rahmen der Komplexitätstheorie werden allgemeine Aussagen über Laufzeit und Speicherbedarf von Algorithmen getroffen, sodass deren Effizienz verglichen werden kann. Hier unterscheidet man Aussagen über die worst case Komplexität, also das Laufzeitverhalten im denkbar ungünstigsten Fall, von denen hinsichtlich der average case Komplexität, also dem Laufzeitverhalten, welches im Mittel zu beobachten ist. Für den praktischen Einsatz ist letzteres von größerer Bedeutung.

12

Quantitative Entscheidungsunterstützung

Die maximale Laufzeit von Algorithmen in Abhängigkeit von Parametern der Problemgröße wird häufig mittels Landau-Symbol bzw. O-Notation („groß-O“) beschrieben. Die häufig verwendete Angabe f O  g für Funktionen f , g :  o  bedeutet, dass die Funktion f asymptotisch nicht schneller wächst als die Funktion g, d. h. f  n g  n d C für eine Konstante C und für alle n t n0 gilt. Die Schreibweise f O  g ist formal nicht korrekt, da sich sehr viele Funktionen durch eine Funktion g nach oben abschätzen lassen, O  g also eine Menge von Funktionen ist. Dennoch ist obige Schreibweise gebräuchlicher, obwohl zutreffender die Darstellung f  O  g ist mit Og :

^f

es gibt ein C t 0 und ein n0   ,

sodass für alle n t n0 gilt: f  n d C ˜ g  n

`

Beispielsweise wächst die Funktion f1 :  o  mit f1  n 2n 2  n  5 quadratisch, d. h., sie lässt sich bis auf einen Parameter durch eine quadratische Funktion abschätzen. Die Funktion f1 gehört zu O n 2 , da mit g  n n 2 und C = 4 für n t n0 3 gilt:



f1  n

2n 2  n  5 d 2 n 2  n 2  n 2



4n 2

4 ˜ g n

Wie ein beliebiges Polynom 2. Grades zu O n 2 gehört, gehört auch z. B. ein beliebiges Polynom 5. Grades zu O n5 oder ein Polynom k. Grades zu O n k .





Komplexitätsuntersuchungen von Algorithmen und Entscheidungsmodellen sind Gegenstand der Komplexitätstheorie. Für den praktischen Einsatz bedeutend ist neben dem worst case Verhalten besonders das durchschnittliche Laufzeitverhalten (average case), welches sich bei üblichem praktischem Einsatz zeigt und bei einigen Algorithmen sehr viel kürzer sein kann. Bei einigen der später vorzustellenden Algorithmen wird auf das Laufzeitverhalten eingegangen. 1.1.2 Inhalt des Buches Die vorliegenden Ausführungen schaffen die Grundlage dafür, komplexe Problemstellungen der Realität systematisch zu analysieren und zu lösen, indem Handlungsalternativen, äußere Einflüsse und Zielvorstellungen erfasst und voneinander abgegrenzt werden. Dazu gehören die Entwicklung geeigneter quantitativer Modelle zur Repräsentation der Realität und der Einsatz von Algorithmen zu deren möglichst optimaler Lösung. Voraussetzung dazu ist eine angemessene Durchdringung des Problems, eine Erfassung der Ziele und relevanten Zusammenhänge, die Ermittlung der Konsequenzen von Entscheidungen über Handlungsalternativen und auf dieser Basis die Auswahl der besten verfügbaren Möglichkeit. Dazu sind Kenntnisse verschiedener Modellstrukturen und der zur Lösung geeigneten Algorithmen erforderlich, die dargestellt und beispielhaft vertieft werden. Die hier angesprochenen Modelle und Methoden dienen einerseits der

Operations Research: Strukturierte Problemlösung

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Analyse von Problemen, andererseits der Optimierung. Zu den meisten Teilkapiteln wird der Inhalt mit vielen Übungsaufgaben aufgegriffen, zu denen am Ende des Buches die Lösungen mit ausführlichem Lösungsweg angegeben sind. Eine Fülle der Realität angelehnter Beispiele gibt einen Eindruck von der vielfältigen Einsatzbreite der dargestellten Methoden. Im folgenden Teil des ersten Kapitels werden grundlegende Begriffe der Entscheidungstheorie eingeführt, da Operations Research gerade zur Entscheidungsunterstützung Anwendung findet und derartige Basiskenntnisse unbedingt erforderlich sind. Im zweiten Kapitel werden die Grundlagen der linearen Optimierung vorgestellt. Zunächst wird mittels eines Beispiels zur kurzfristigen Produktionsprogrammplanung ein typischer Einsatzbereich linearer Optimierungsmodelle erläutert und mit einem Zahlenbeispiel detailliert die Problemstellung und die Lösung mittels Simplexalgorithmus vermittelt. Ergebnis ist ein deckungsbeitragsoptimales Produktionsprogramm, welches mit verfügbaren, knappen Produktionskapazitäten herstellbar ist. Anschließend wird der Simplexalgorithmus in seiner einfachsten Form zur Lösung des Grundmodells linearer Optimierung theoretisch behandelt. Es wird bewusst eine formale Darstellungsform verwendet, einerseits um den Leser mit einer derartigen mathematischen Beschreibungssprache vertraut zu machen, andererseits um die Aussagen verallgemeinern zu können. Auf Beweise wird durchgängig verzichtet. Manche lineare Optimierungmodelle besitzen genau eine optimale Lösung, während andere keine, mehrere oder sogar unendlich viele optimale Lösungen aufweisen. Beispiele dafür und wie man diese unterschiedlichen Situationen bei Einsatz des Simplexalgorithmus erkennt, werden ebenfalls ausführlich dargestellt. Kapitel drei behandelt die Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle, sodass die Beschränkungen auf das Grundmodell schrittweise aufgehoben werden. So werden Methoden angegeben, mit denen eine zulässige Lösung linearer Gleichungssysteme mittels Simplexalgorithmus ermittelt wird, wenn diese nicht einfach ablesbar ist. Auch Minimierungsprobleme und unbeschränkte Variablen lassen sich im Modell erfassen und entsprechende Probleme lösen. Ausführlich wird die Interpretation der mittels Simplexalgorithmus erzielbaren Lösungen erörtert. Dazu gehört die Umsetzung der Informationen des optimalen Endergebnisses in unterschiedlichen Anwendungssituationen und erste Vorschläge für eine Modellierung. Zu einem linearen Modell lässt sich stets das zugehörige duale Modell angeben. Dessen optimale Lösung liefert weitere Einblicke in die Problematik und erlaubt die Ermittlung von Opportunitätskosten und Schattenpreisen für die optimale Lösung. Weiterführende Betrachtungen werden im Rahmen der Sensitivitätsanalyse durchgeführt. Eine systematische, auf den Simplexalgorithmus gestützte Behandlung liefert zusätzliche Informationen über die optimale Lösung und deren Veränderung, falls bestimmte Angaben hinsichtlich der Ausgangssituation zu modifizieren sind, wie es etwa in Entscheidungssituationen unter Unsicherheit erforderlich ist.

14

Quantitative Entscheidungsunterstützung

Im vierten Kapitel steht der Einsatz der bis dahin behandelten Modelle und Methoden in unterschiedlichen Anwendungssituationen im Mittelpunkt. Zunächst wird auf die Möglichkeit der Rechnerunterstützung eingegangen, um auch große Probleme behandeln zu können. Teilweise sind Studentenversionen verfügbar, auf die hingewiesen wird. Ein Teilkapitel enthält umfangreichere Anwendungsmöglichkeiten der linearen Optimierung im Bereich der Produktion und Logistik. Besonders werden Modelle und Lösungen zum Supply Chain Planning und zur Standortplanung vorgestellt. Bevor im nächsten Teilbereich auf die simultane Investitions- und Finanzierungsplanung eingegangen wird, erfolgt eine kurze Einführung in die Methoden der dynamischen Investitionsrechnung. Weitere wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen wie Revenue Management, FallmixOptimierung im Krankenhaus, Personaleinsatzplanung und Forschungs- und Entwicklungsprogrammauswahl geben einen Eindruck von der Vielfalt der realen Problemstellungen, für die eine wertvolle Unterstützung und Lösung mittels linearer Optimierungsmethoden erfolgt. In den anschließenden Kapiteln wird auf andere, ebenfalls klassische Methoden des Operations Research mit ihren Einsatzmöglichkeiten eingegangen. Kapitel fünf behandelt die Grundlagen der Graphentheorie. Gerade Graphen mit ihren Visualisierungsmöglichkeiten sind hervorragend geeignet, komplexe Sachverhalte strukturiert zu erfassen, zu analysieren und daraus Erkenntnisse über die Realität abzuleiten. Zunächst wird die abstrakte mathematische Struktur eines Graphen, bestehend aus zwei Mengen und deren Zusammenhang, definiert und anhand des einführenden Beispiels Autobahnnetz NRW erläutert. Eine solche mathematische Struktur kann auf spezielle Eigenschaften hin untersucht werden, die Rückschlüsse auf die Realität zulassen. Insbesondere quantifizierbare Sachverhalte sind von Interesse, die etwa in Form von bewerteten Graphen Beachtung finden. Vertieft wird die Behandlung von Entfernungen zwischen verschiedenen Orten, repräsentiert als Knoten, und die daraus ableitbaren Ermittlungen kürzester Wege unter Einsatz des Algorithmus von Dijkstra. Die quantitativen Methoden der Projektplanung basieren auf graphentheoretischen Modellen und werden in Kapitel sechs näher vorgestellt. Zunächst wird auf die Grundlagen der Projektplanung eingegangen und eine Strukturanalyse durchgeführt. Darauf baut die zeitliche Planung des Projektablaufs auf, die getrennt für Vorgangspfeil- und Vorgangsknotennetzpläne behandelt wird. Neben der Projektdauer werden auch Pufferzeiten und Flexibilitätsreserven ermittelt, die von besonderer Bedeutung für die Projektsteuerung sind. Auch hier sind ggf. knappe Kapazitäten zu berücksichtigen, weiter sind die Projektkosten, welche von dem zeitlichen Ablauf des Projektes abhängen, zu beachten und zu optimieren. Die im siebten Kapitel behandelte Simulation basiert auf einem gegenüber den bis dahin vorgestellten Modellen und Methoden unterschiedlichen Konzept. Anstatt ein geschlossenes Modelle zu entwickeln, zu analysieren und ggf. zu optimieren werden hier zwar auch mathematische Modelle verwendet, jedoch bestehen diese meist aus einzelnen Komponenten und werden zur Durchführung von Experimenten eingesetzt. Auch die so erzielten Ergebnisse dienen der Ent-

Entscheidungsunterstützung

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scheidungsunterstützung, jedoch ist nur in Ausnahmensituationen eine optimale Lösung zu ermitteln. Das erste Teilkapitel behandelt die deterministische Simulation und die Grundlagen, die ebenfalls für die stochastische Simulation gelten. Anhand eines umfangreichen Anwendungsbeispiels wird das Potenzial der Simulation zur Produktionsplanung aufgezeigt. Im Rahmen der stochastischen Simulation lassen sich Entscheidungssituationen unter Risiko behandeln. Hierzu werden einige statistische Grundlagen vermittelt und dargestellt, wie sich Zufallszahlen für spätere Experimente generieren lassen. Wie bei der deterministischen Simulation gilt auch für die stochastische Simulation, dass sie im Vergleich zu analytischen Methoden meist wesentlich aufwändiger ist und keine allgemeinen Lösungen liefert. Falls verfügbar und einsetzbar, sind daher stets analytische Ansätze vorzuziehen. Ein bedeutender Einsatzbereich der Simulation umfasst komplizierte Warteschlangensysteme. Um bei einfacheren Systemen analytisch Ergebnisse ermitteln zu können, werden die entsprechenden theoretischen Grundlagen und Resultate kurz vorgestellt. Weiter wird die Einsatzmöglichkeit der Simulation zur Risikoanalyse behandelt. Nach Bearbeitung dieser Unterlagen sollten Leser die grundlegenden Methoden und Algorithmen des Operations Research beherrschen und anhand kleinerer Anwendungen einsetzen können. Über die enthaltenen umfangreichen Übungen mit Lösungen hinaus besteht zusätzlich die Möglichkeit, im Rahmen des virtuellen Studienfachs Operations Research & Management Science VORMS an einem Internet-basierten Übungsbetrieb teilzunehmen oder zusätzliche inhaltliche Aspekte zu vertiefen. VORMS ist ein virtuelles Wissensnetzwerk, bestehend aus interaktiven multimedialen Lernmodulen, nähere Informationen dazu finden Sie über die Internetseiten www.ruhr-uni-bochum.de/or oder www.vorms.org.

1.2 Entscheidungsunterstützung 1.2.1 Entscheidungstheoretische Grundlagen Entscheidungstheoretische Ergebnisse können genutzt werden, das Entscheidungsverhalten von Entscheidungsträgern zu unterstützen und zu verbessern bzw. zu prognostizieren und darauf zu reagieren. Da die Methoden des Operations Research der Entscheidungsunterstützung dienen, werden im Folgenden einige entscheidungstheoretische Grundlagen behandelt. Weiterführende Erkenntnisse sind spezialisierter Literatur zu entnehmen (u. a. Bamberg u. Coenenberg 2004, Dinkelbach u. Kleine 1996, Eisenführ u. Weber 2003, Laux 2005, Rommelfanger u. Eickemeier 2002, Schneider 1995).

y Die Entscheidungstheorie ist mit der logischen und empirischen Analyse des rationalen oder intendiert rationalen Entscheidungsverhaltens befasst. Sie gliedert sich in die vorschreibende, präskriptive und die beschreibende, deskriptive Entscheidungstheorie.

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Quantitative Entscheidungsunterstützung

y Die präskriptive Entscheidungstheorie, auch normative Entscheidungstheorie oder decision analysis bezeichnet, untersucht die Entscheidungslogik. Ihre zentrale Fragestellung lautet: Wie sind Entscheidungen bei gegebenen Entscheidungsprämissen zu treffen, sodass sie dem Postulat subjektiver Formalrationalität entsprechen? Dazu werden Annahmen über ein rationales Entscheidungsverhalten getroffen und daraus Konsequenzen für eine Entscheidung abgeleitet und empfohlen.

y Die deskriptive Entscheidungstheorie, die auch empirisch-kognitive Entscheidungstheorie genannt wird, untersucht das Entscheidungsverhalten. Ihre Hauptfragestellung ist: Wie werden Entscheidungen in der Wirklichkeit getroffen und warum werden sie so und nicht anders getroffen? Auf diese Weise wird versucht, Entscheidungsverhalten zu erklären und Verhaltensannahmen abzuleiten. Die Ergebnisse der präskriptiven und deskriptiven Entscheidungstheorie haben wechselseitigen Einfluss auf die Weiterentwicklungen beider Richtungen, sodass Phänomene der Realität untersucht und beurteilt werden können. Die präskriptive Entscheidungtheorie entwickelt Regeln zur Bewertung von Aktionsresultaten, sodass ein Verhalten als rational bezeichnet werden kann. Es werden Anforderungen gestellt, die bei Rationalität erwartet werden. Dazu gehört die Forderung nach formaler Rationalität, d. h., der Entscheidungsträger verfügt über ein in sich widerspruchsfreies Zielsystem und verhält sich diesem gemäß. Die subjektive Rationalität unterstellt ein subjektiv wahrgenommenes Situationsbild, welches der rationalen Entscheidung zugrunde liegt. Von objektiver Rationalität, bei der das Situationsbild des Entscheidungsträgers mit der Wirklichkeit übereinstimmt, die ein objektiver Beobachter wahrnehmen würde, wird abgesehen, da sie unrealistisch ist. Die präskriptive Entscheidungstheorie analysiert Entscheidungen unter der Voraussetzung subjektiver Formalrationalität. Zur Entwicklung von Entscheidungsmodellen, die für das Operations Research besondere Bedeutung haben, sind die wichtigsten Elemente und ihre Zusammenhänge in der Realität zu erkennen und im Modell abzubilden. Um die Frage zu beantworten, welche Handlungsalternative in einer Situation optimal ist, sind folgende wesentliche Bereiche zu untersuchen: Welche Handlungsalternativen stehen zur Wahl? Die Handlungsalternativen resultieren aus den Möglichkeiten, die dem Entscheidungsträger zur Verfügung stehen. Handlungsalternativen sollten vollständig und überschneidungsfrei ermittelt werden. Die Beschreibung kann explizit durch Auflistung oder implizit durch Anforderungen erfolgen. Beispiel Würfeln Ihnen wird die Beteiligung an einem Würfelspiel angeboten, dazu müssten Sie 1.000 € für die Teilnahme an dem Spiel bezahlen und einen beliebigen Betrag bis zu 1.000 € setzen. Dann wird gewürfelt und für jeden eingesetzten Euro bekommen Sie 6 € bei der Augenzahl 6, 5 € bei 5 und 4 € bei 4.

Entscheidungsunterstützung

17

Fällt eine 1, 2 oder 3, zahlen Sie pro eingesetzten Euro 4 €. Die vollständige Liste der Handlungsalternativen, die hier implizit beschrieben wird, lautet: Sie beteiligen sich nicht oder Sie beteiligen sich mit einem Betrag von x € mit 0 < x ” 1.000. Welche Umweltzustände können eintreten und welche Informationen liegen dem Entscheidungsträger darüber vor? Es ist festzustellen, welche äußeren Einflüsse das Ergebnis der Auswahl einer Handlungsalternative beeinflussen, die – zumindest in der betrachteten Situation – nicht durch den Entscheidungsträger zu beeinflussen sind. Eventuell ist bekannt, mit welcher Wahrscheinlichkeit diese unterschiedlichen Umweltzustände eintreten können. Beispiel Würfeln In diesem Beispiel sind sechs Umweltzustände möglich: Der Würfel kann die Augenzahl 1, 2 usw. bis 6 anzeigen. Alle Zustände sind gleich wahrscheinlich mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 . Welche Ergebnisse werden erreicht? Durch das Zusammentreffen einer Handlungsalternative und eines Umweltzustands resultiert je ein Ergebnis. Jedoch ist bei Auswahl einer Handlungsalternative nicht bekannt, welcher Zustand und damit welches Ergebnis eintreten wird. Ergebnisse können mehrwertig sein, so verfügt ein auszuwählender PKW über viele Eigenschaften wie Benzinverbrauch, Höchstgeschwindigkeit usw. Beispiel Würfeln Die folgende Übersicht enthält alle Handlungsalternativen, Umweltzustände und Ergebnisse des Beispiels. Tabelle 1.1. Ergebnisse des Würfelbeispiels

Umweltzustände Alternativen

x

0

0  x d 1000

1

2

3

4

5

6

1/ 6

1/ 6

1/ 6

1/ 6

1/ 6

1/ 6

0

0

0

0

0

0

-1000 -4x

-1000 -4x

-1000 -4x

-1000 +4x

-1000 +5x

-1000 +6x

Welche Ziele werden verfolgt? Von entscheidender Bedeutung für die Beurteilung von Ergebnissen und Handlungsalternativen ist die Zielvorstellung des Entscheidungsträgers. Rational handelnde Individuen werden bei einem erwünschten Merkmal höhere Ausprägungen gegenüber niedrigeren bevorzugen. So wird ein zu erhaltender Betrag

18

Quantitative Entscheidungsunterstützung

umso besser beurteilt, je höher er ist. Umgekehrt wird ein abzugebender Betrag umso besser beurteilt, je niedriger er ist. Bei einigen Merkmalen kann daher direkt von einer Maximierungszielvorstellung bzw. einer Minimierungszielvorstellung ausgegangen werden. Schwieriger wird die Entscheidungssituation, wenn Unsicherheit, zeitliche Abweichungen oder mehrere Ziele zu berücksichtigen sind. Dann sind zusätzliche Präferenzinformationen erforderlich, aus denen der Nutzen der Ergebnisse abgeleitet werden kann. Derartige Fragestellungen sind Beschäftigungsgegenstand der Entscheidungstheorie, auf die hier kurz eingegangen wird. Beispiel Würfeln Das Ziel des Entscheidungsträgers besteht darin, ein möglichst hohes Ergebnis zu erzielen. So ist der Nutzen von 1000  6 ˜1000 5000 , der bei einem Einsatz von 1000 im günstigsten Fall eintritt, also wenn der Würfel 6 zeigt, höher als 1000  4 ˜1000 3000 bei dem Wurf 4. Dies ist jedoch nicht vom Entscheidungsträger auszuwählen. Er kann nur über seinen Einsatz entscheiden, nicht über den Umweltzustand. Daher sind zusätzliche Informationen über die Vorstellungen des Entscheidungsträgers hinsichtlich seines Verhaltens in Entscheidungssituationen unter Risiko notwendig, um geeignete Bewertungen der Alternativen vornehmen zu können. Ist er risikoneutral, bewertet er die Alternative mit dem jeweiligen Erwartungswert der Ergebnisse bzw. Zielerreichungen und wählt diejenige mit höchstem Erwartungswert aus. Bei einem Einsatz von 0 ist das erwartete Ergebnis 0, welches mit Sicherheit, also unabhängig vom Umweltzustand, eintrifft. Für einen Betrag x mit 0  x  1000 ist das erwartete Ergebnis 1000  12 ˜ 4 x  16 ˜ 4 x  16 ˜ 5 x  16 ˜ 6 x 1000  12 x . Dieses ist selbst für den höchstmöglichen Einsatz x 1000 mit 500 negativ. Daher sollte sich ein risikoneutraler Entscheidungsträger nicht an diesem Spiel beteiligen. Grundmodell der Entscheidungstheorie Vor einer Entscheidung oder für die Aufstellung eines Entscheidungsmodells ist stets detailliert zu analysieren, welche wesentlichen Entscheidungskomponenten zu berücksichtigen sind und in welchem Zusammenhang sie stehen. Das Grundmodell der Entscheidungstheorie bietet eine Hilfestellung zur Strukturierung der Entscheidungssituation. Möglichkeiten, externe Einflüsse und Konsequenzen der realen Situation sollten entsprechend analysiert und den Elementen des Grundmodells zugeordnet werden. Folgende Bezeichnungen werden verwendet:

A

^a1 ,..., am `

Z ^ z1 ,..., zn ` p1 ,..., pn

eij uij

Menge der Handlungsalternativen Menge der Umweltzustände Eintrittswahrscheinlichkeiten (probabilities) der Umweltzustände, falls bekannt Ergebnis, falls Handlungsalternative i gewählt wird und Umweltzustand j eintritt Nutzen (utility) bei Zusammentreffen von Handlungsalternative i und Umweltzustand j

Entscheidungsunterstützung

19

Tabelle 1.2. Grundmodell der Entscheidungstheorie

Ergebnismatrix …

zn

p1

p2

…

pn

a1

e11

e12

…

e1n

a2

e21

…

…

am

em1

…

z2

z1

…

emn

Nutzenfunktion Entscheidungsmatrix

zn

p1

p2

…

pn

a1

u11

u12

…

u1n

a2

u21

am

um1

…

…

…

z2

…

z1

…

umn

Für eine endliche Zahl von Handlungsalternativen und Umweltzuständen lässt sich eine Matrix mit den jeweils resultierenden Ergebnissen aufstellen, die Ergebnismatrix. Unter Angabe des Nutzens zu jedem Ergebnis wird die Entscheidungsmatrix aufgestellt. Diese stellt die Basis für die Auswahl der „besten“ Handlungsalternative dar, für die zusätzliche Präferenzinformationen vorliegen müssen. Eine vergleichbare Strukturierung der Entscheidungssituation wird auch für unendlich viele Handlungsalternativen oder ein Kontinuum von Umweltzuständen vorgenommen, lässt sich dann jedoch nicht explizit in Form einer Matrix, sondern implizit mittels mathematischer Funktionen beschreiben. Beispiel Wochenhändler Der Händler eines Wochenmarktes hat zu entscheiden, wie viele Kilogramm der leicht verderblichen Erdbeeren er auf dem Großmarkt einkaufen und auf dem Wochenmarkt anbieten soll. Aufgrund der festen Gebindegrößen stehen als Alternativen 50 kg, 70 kg oder 90 kg zur Auswahl. Die Nachfrage auf dem Wo-

20

Quantitative Entscheidungsunterstützung

chenmarkt im Laufe des Tages wird, u. a. beeinflusst durch die Wetterlage, entweder 30 kg, 50 kg, 70 kg oder 90 kg betragen. Tagsüber nicht abgesetzte Erdbeeren lassen sich später nicht mehr verkaufen. Der Verkaufspreis V beträgt 3 € pro kg Erdbeeren und wird als nicht beeinflussbar angenommen. Die Einkaufspreise Ei , i 1, 2,3 sind nach Gebinde gestaffelt und betragen für 50 kg 1,60 €/kg, für 70 kg 1,40 €/kg und für 90 kg 1,25 €/kg. Der Händler ist an einem möglichst hohen Gewinn interessiert. Zur Strukturierung der Entscheidungssituation werden zunächst die Handlungsalternativen ai zusammengestellt, wobei die Möglichkeit, nichts einzukaufen, mit berücksichtigt wird. Die vier alternativen Umweltzustände z j sind bekannt, jedoch nicht ihre Eintreffenswahrscheinlichkeiten. In einer Ergebnismatrix können die durch das Zusammentreffen von je einer Handlungsalternative und einem Umweltzustand resultierenden absetzbaren Mengen erfasst werden. Tabelle 1.3. Ergebnismatrix Wochenhändler

Nachfrage z j

30 kg

50 kg

70 kg

90 kg

0 kg

0 kg

0 kg

0 kg

0 kg

50 kg

30 kg

50 kg

50 kg

50 kg

70 kg

30 kg

50 kg

70 kg

70 kg

90 kg

30 kg

50 kg

70 kg

90 kg

Angebot ai

Der zu erzielende Gewinn wird aus dem Erlös für die abgesetzte Menge abzüglich der Einkaufskosten für die beschaffte Menge ermittelt: Gewinn (ai , z j ) = min ^ai , z j ` ˜ V  ai ˜ Ei

Entspricht der Gewinn dem Nutzen des Entscheidungsträgers, wird damit die Entscheidungsmatrix aufgestellt. Tabelle 1.4. Entscheidungsmatrix Wochenhändler

Nachfrage z j

30 kg

50 kg

70 kg

90 kg

0 kg

0€

0€

0€

0€

50 kg

10 €

70 €

70 €

70 €

70 kg

-8 €

52 €

112 €

112 €

90 kg

-22,5 €

37,5 €

97,5 €

157,5 €

Angebot ai

Entscheidungsunterstützung

21

Zur Strukturierung einer Entscheidungssituation mit dem Ziel der Auswahl der besten Alternative sind hinsichtlich der einzelnen Elemente des Entscheidungsmodells detaillierte Sachverhalte und wesentliche Prinzipien zu beachten, um eine rationale Entscheidung treffen zu können, die im Folgenden etwas ausführlicher erörtert werden. Alternativenraum Die in einer Situation zur Wahl stehenden Alternativen sind vollständig zu erfassen und zu berücksichtigen. Sind die Alternativen in realen Situationen nicht vollständig vorab bekannt, sind diese zu generieren, was häufig Kreativität und einen umfangreichen Suchprozess erfordert. Auch eine Entscheidung hinsichtlich des Abbruchs der Suche ist Bestandteil des Entscheidungsproblems. So geht dem Kauf eines gebrauchten Pkws ein relativ umfangreicher Suchprozess voraus. Zur Anlagenkonstruktion, zur Entwicklung von Finanzderivaten und ggf. zur Studienplanung ist ein kreativer Prozess der Alternativengenerierung ratsam. Aufgrund von Zeit- und Budgetrestriktionen muss der Suchprozess geeignet abgebrochen werden. Wenn im zeitlichen Verlauf bisherige Alternativen wegfallen, so sind jeweils Weitersuch- oder Stopp-Entscheidungen zu treffen. Zur Zusammenstellung der Handlungsalternativen ist das Prinzip der vollkommenen Alternativenstellung zu berücksichtigen.

y Prinzip der vollkommenen Alternativenstellung Die Auswahl einer Alternative erfolgt aus der vollständigen Menge sich gegenseitig ausschließender Alternativen. Die Angabe geschieht derart, dass eine der Alternativen ergriffen werden muss und nur eine Alternative realisiert werden kann. Damit sind auch die Unterlassungsalternative und die Gewinnung zusätzlicher Informationen zu berücksichtigen Beispiel Anlagemöglichkeiten Das Guthaben auf Ihrem Sparkonto beträgt 5.000 €. Sie erhalten von Ihrer Bank folgende Angebote auf Beteiligung an Unternehmen, die jeweils genau einmal möglich sind und sich nicht gegenseitig ausschließen: Beteiligung an Unternehmen A mit einem Betrag von 5.000 € Beteiligung an Unternehmen B mit einem Betrag von 3.000 € Beteiligung an Unternehmen C mit einem Betrag von 1.000 € Mit diesen drei Vorschlägen leiten Sie die Menge vollkommener Alternativen ab. Wollen Sie keine zusätzlichen Angebote berücksichtigen, bestehen 5 Alternativen, von denen genau eine gewählt werden muss. Hinsichtlich der Alternativenstellung ist der Zeitbezug mit zu berücksichtigen. Stets ist zu prüfen, welche Alternativen bereits zum Zeitpunkt der Planung festgelegt werden müssen und über welche Teilaspekte erst zu einem späteren Zeitpunkt zu entscheiden ist, wenn

22

Quantitative Entscheidungsunterstützung

evtl. zusätzliche Informationen verfügbar sind. Die Auswirkungen der Teilentscheidungen auf spätere Handlungsmöglichkeiten sind ebenfalls zu beachten. Tabelle 1.5. Vollkommene Alternativenstellung Anlagen

a1

Sparkonto

5.000 €

a2

Beteiligung A

5.000 €

a3

Beteiligung B

3.000 €

Sparkonto

2.000 €

a4

Beteiligung C

1.000 €

Sparkonto

4.000 €

a5

Beteiligung B

3.000 €

Sparkonto

1.000€

Beteiligung C

1.000 €

Zustandsraum Die Umwelt beeinflusst das Ergebnis einer Aktion oder Handlungsalternative und wird – zumindest hinsichtlich des Betrachtungshorizonts – als durch den Entscheidungsträger nicht zu beeinflussend angesehen. Ein Umweltzustand ist eine denkbare Konstellation relevanter Umweltfaktoren. Je nach den möglichen Umweltzuständen und den darüber vorliegenden Informationen lassen sich Entscheidungssituationen klassifizieren. Von einer Entscheidungssituation unter Sicherheit spricht man, wenn nur ein Umweltzustand eintreten wird, der bekannt ist, also sichere Erwartungen hinsichtlich der Zukunft vorliegen, andernfalls spricht man von Unsicherheit. Unsicherheitssituationen werden weiter differenziert nach Entscheidungssituationen unter Risiko, für die die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der verschiedenen Umweltsituationen angenommen werden können, und Entscheidungssituationen unter Ungewissheit, bei denen nur die möglichen Umweltzustände, nicht jedoch deren Eintrittswahrscheinlichkeiten bekannt sind. Zu berücksichtigen ist, dass auch Situationen vorkommen mit unvermuteten Umweltzuständen, die jedoch entscheidungstheoretisch kaum behandelbar sind.

Entscheidungssituation

Unsicherheit

Sicherheit

Risiko Abb. 1.7. Klassifikation von Entscheidungssituationen

Ungewissheit

?

Entscheidungsunterstützung

23

Die in einer Entscheidungssituation relevante Umweltzustandsmenge ist abhängig vom Zielsystem und sollte ebenfalls vollständig und überschneidungsfrei erfasst werden. Handelt es sich um wenige Zustände bzw. Ereignisse, können diese explizit aufgelistet werden. Andernfalls werden sie implizit beschrieben, wozu gerade bei mit Risiko behafteten Umweltzuständen Zufallsvariablen verwendet werden. Beispiel Ausschussanteil Der Ausschussanteil einer Lieferung kann zwischen 0 und 100 % schwanken, sodass alle Zustände dieses Intervalls möglich sind. Hat der konkrete Ausschussanteil Einfluss z. B. auf die Produktionskosten, sind sehr viele Umweltzustände zu erfassen und die Konsequenzen z. B. mittels einer Kostenfunktion k ( z ) abzuleiten. Sind für den Entscheidungsträger nur bestimmte Bereiche von Interesse, kann die Zahl der relevanten Umweltzustände reduziert werden. Wird z. B. die Lieferung zurückgewiesen, falls mehr als 5 % defekt sind, können die vielen Zustände auf zwei relevante Zustände, Ausschussanteil aus [0; 5] oder aus (5; 100], reduziert werden, mit den Konsequenzen Zurückweisung oder Annahme. Gerade für strategische Entscheidungen werden zur besseren Handhabung aus Einzeleinflüssen zusammengesetzte Umweltzustände zu Szenarien zusammengefasst. Die Modellierung der Unsicherheit geschieht dann durch Szenario-Analysen, die auf Hauptszenarien reduziert werden. In Entscheidungssituationen unter Risiko mit einer endlichen Menge von Zuständen ist jedem Zustand zi eine Wahrscheinlichkeit pi mit i=1,...,n zugeordnet. Wahrscheinlichkeiten sind sämtlich größer oder gleich null. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt eins und die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines von mehreren einander ausschließenden Zuständen ist gleich der Summe deren Einzelwahrscheinlichkeiten. Zur Untersuchung von Entscheidungen unter Risiko sind Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich, die hier und in Kap. 7 kurz dargestellt und in einführender Literatur ausführlich behandelt werden (Bamberg u. Baur 2002, Reichardt u. Reichardt 2002). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand x eintritt, wird mit p  x bezeichnet, der (unbedingten) Wahrscheinlichkeit. p  x, y ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, dass Zustand x und y eintreffen. Allgemein gilt die Additionsregel zur Erfassung der Wahrscheinlichkeit, dass x oder y eintreffen p  x oder y p  x  p  y  p  x, y . Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Zustandes y unter der Bedingung, dass Zustand x eingetreten ist, ist für p(x) > 0 definiert mit p  y x

p ( x, y ) . p ( x)

24

Quantitative Entscheidungsunterstützung

Zwei Zustände x, y sind stochastisch unabhängig, wenn p  y x p  y gilt. Äquivalent dazu ist, dass p  x y p  x oder dass für die gemeinsame Wahrscheinlichkeit p  x, y p  x ˜ p  y gilt. Ergebnisraum Ein Ergebnis ist die Konsequenz aus der Kombination einer bestimmten Handlungsalternative mit einem bestimmten Umweltzustand. Zu einer endlichen Alternativenmenge und einer endlichen Umweltzuständemenge lassen sich die Ergebnisse explizit in Matrixform angeben. Diese Ergebnisse können auch mehrwertig sein. Eine auszuwählende berufliche Position ist mit einer bestimmten Vergütung, wöchentlichen Arbeitszeit, Einsatzart und Aufstiegschancen verbunden, die für den Entscheider mehr oder weniger attraktiv sind. Die Ermittlung von Ergebnissen geschieht ggf. durch Wirkungsmodelle. Beispielsweise ist der Umsatz das Produkt aus Preis und abgesetzter Menge, wobei die abgesetzte Menge abhängt von der Nachfrage und der angebotenen Menge ist. Zielsystem Entscheidungstheoretisch bezeichnet ein Ziel eine Eigenschaft mit Angabe der Präferenz bez. dieser Eigenschaft. Andere Bezeichnungen für Eigenschaft sind Attribut, Zielgröße oder Zielvariable. Bestandteile eines Zielsystems sind die Zielgröße oder Zielvariable, das Zielausmaß oder die Zielvorschrift und die Zieldauer. Ziele sind meist nicht gegeben, sondern zu erarbeiten, wobei die inhaltliche Beurteilung der Ziele nicht Gegenstand der Entscheidungstheorie ist, sondern aus dem Kontext, hier zumeist aus dem wirtschaftswissenschaftlichen Zusammenhang heraus, erfolgt. Die Entwicklung von Zielen resultiert beispielsweise aus der Feststellung von Mängeln, dem Vergleich vorliegender Alternativen, aus den Erfordernissen strategischer Ziele heraus oder durch externe Vorgaben. Ohne die Verschaffung von Klarheit über die Ziele ist keine vernünftige Entscheidung möglich (Keeney 1996). Präferenzen sind Einstellungen des Entscheiders zu Konsequenzen bzw. zu Handlungsalternativen. Man unterscheidet a E b strikte Präferenz, a  b Indifferenz und a \ b schwache Präferenz. Im Falle strikter Präferenz wird eine Handlungsalternative a einer anderen b strikt vorgezogen. Indifferenz zwischen zwei Alternativen liegt vor, wenn beide dem Entscheidungsträger gleich lieb sind, er also mit der einen genauso zufrieden bzw. unzufrieden ist wie mit der anderen. Schwache Präferenz ist gegeben, wenn die eine Alternative vorgezogen oder gleich geschätzt wird. Besteht keine derartige Relation zwischen zwei Alternativen, sind diese unvergleichbar. Die normative Entscheidungstheorie setzt voraus, dass ein rationaler Entscheidungsträger in der Lage ist, je zwei Alternativen miteinander zu vergleichen und dass er sich konsistent verhält. Dies führt zu den beiden folgenden Anforderungen an Präferenzrelationen auf einer Alternativenmenge:

Entscheidungsunterstützung

25

y Vollständigkeit, d. h., je zwei Alternativen sind miteinander vergleichbar, also für je zwei Alternativen gilt a \ b oder b \ a . Transitivität der Präferenzrelationen, d. h. a \ b und b \ c Ÿ a \ c. Obwohl Transitivität sehr plausibel klingt, wird sie nicht immer eingehalten. So gibt es durchaus Personen, die zwar einen Apfel gegenüber einer Birne bevorzugen und eine Birne lieber hätten als eine Banane, sich bei der Wahl zwischen Apfel und Banane jedoch für die Banane entscheiden.

y Wird möglichst viel oder möglichst wenig oder ausreichend viel angestrebt, kann dies durch die Höhenpräferenzrelation zum Ausdruck gebracht werden. Weiter sind folgende Präferenzrelationen besonders bedeutsam:

y Artenpräferenzrelation, die sich auf unterschiedliche Ziele bezieht, z. B. Gewinn ist wichtiger als Umsatz oder Marktanteil,

y Zeitpräferenz, die Ergebnisse zu unterschiedlichen Zeitpunkten differenziert beurteilt, z. B. eine Einzahlung sollte lieber früher als später erfolgen,

y Risiko- bzw. Unsicherheitspräferenz, die die Risikoeinstellung eines Entscheidungsträgers zum Ausdruck bringt, z. B. ein sicherer Gewinn wird einer Lotterie vorgezogen. Ein Zielsystem ist charakterisiert durch die Menge der verfolgten Zielgrößen und Präferenzrelationen des Entscheidungsträgers bez. der Merkmalsausprägungen der Aktionsresultate. Folgende Anforderungen werden an ein Zielsystem gestellt: Das Zielsystem sollte vollständig und redundanzfrei sein. Die einzelnen Ziele sollten sich operationalisieren lassen und koordinationsgerecht sein. Eine formale Behandlung setzt häufig Präferenzen voraus, die unabhängig voneinander sind. Zur Unterstützung von Entscheidungen mittels mathematischer Modelle werden Präferenzen durch Funktionen abgebildet. Eine Funktion bzw. Darstellung von Präferenzen wird als Bewertungsfunktion, Entscheidungsregel oder Präferenzfunktional auf den Alternativen bezeichnet, wenn jeder Alternative a  A eine reelle Zahl zugeordnet werden kann, sodass für je zwei Alternativen ai und ak gilt: ak \ ai œ )  ak t )  ai

Präferenz

ak ; ai œ )  ak ! )  ai

strikte Präferenz

ak  ai œ )  ak

Indifferenz

)  ai

Mit einem Präferenzfunktional lässt sich eine optimale Entscheidung a charakterisieren durch )  a max )  a , und ggf. ermitteln. Eine Nutzenfunktion ist im Unterschied zu einer Entscheidungsregel eine Bewertungsfunktion u auf den Ergebnissen und bildet diese jeweils auf eine reelle

26

Quantitative Entscheidungsunterstützung

Zahl ab. Häufig findet man eine Normierung der Nutzenwerte auf das Intervall >0, 1@ . Nicht jede Präferenzrelation ist durch eine numerische Bewertungsfunktion u zu repräsentieren, sondern nur solche Präferenzrelationen, die vollständig und transitiv sind. Es werden zwei Arten von Nutzenfunktionen unterschieden:

y Eine ordinale Nutzenfunktion gibt an, ob ein Ergebnis gegenüber einem anderen präferiert wird, nicht, in welchem Maße dies gilt. Sie ist eindeutig bis auf monoton steigende Transformation.

y Eine kardinale Nutzenfunktion, auch Höhenpräferenzfunktion oder messbare Wertfunktion, gibt an, ob der Präferenzunterschied zwischen zwei Alternativen a und b größer ist als zwischen zwei anderen c und d . Sie ist eindeutig bis auf monoton steigende lineare Transformationen. Wird den Ergebnissen einer Ergebnismatrix ihr Nutzen zugeordnet, erhält man die so genannte Nutzenmatrix oder Entscheidungsmatrix. Zur Unterstützung von Entscheidungen lassen sich stattdessen auch Schadensmatrix, oder Opportunitätskostenmatrix betrachtet. Beispiel Wochenhändler Entspricht der Gewinn dem Nutzen des Wochenhändlers, ist die Nutzenmatrix bereits bekannt. Eine Normierung der Nutzenwerte auf > 0, 1@ liefert folgende Entscheidungsmatrix mit gerundeten Nutzenwerten: Nachfrage

Menge vom Großmarkt

30 kg

50 kg

70 kg

90 kg

0 kg

0,13

0,13

0,13

0,13

50 kg

0,18

0,51

0,51

0,51

70 kg

0,08

0,41

0,75

0,75

90 kg

0

0,33

0,67

1

Zieht der Entscheidungsträger einen höheren Gewinn einem niedrigeren vor, trifft jedoch keine Aussagen über die Stärke der Vorziehungswürdigkeit, sind ordinale Nutzenfunktionen zur Beschreibung seiner Präferenzen geeignet, die in jeder der beiden folgenden Entscheidungsmatrizen gleichermaßen erfasst sind, da sie bis auf monoton steigende Transformation übereinstimmen:

Entscheidungsunterstützung

27

Entscheidungsmatrix (ordinale Nutzenfunktion)

U1

§3 ¨ ¨4 ¨2 ¨¨ ©1

3 7 6 5

3 3· ¸ 7 7¸ 9 9¸ ¸ 8 10 ¸¹

U2

5 · §5 5 5 ¨ ¸ ¨ 6 10 10 10 ¸ ¨ 1 9 50 50 ¸ ¨¨ ¸¸ © 0 7 30 1000 ¹

Mit reellen Zahlen, die eine ordinale Präferenz zum Ausdruck bringen, sind nur wenige Berechnungen sinnvoll. Das liegt daran, dass sie Bewertungsabstände gerade nicht strukturähnlich abbilden. Zulässig sind Minimierung und Maximierung, jedoch nicht z. B. Durchschnittsbildung, was für kardinale Nutzenfunktionen zulässig ist. In Entscheidungssituationen unter Unsicherheit ist eine Handlungsalternative mit mehreren möglichen Ergebnissen je nach eintreffendem Umweltzustand verbunden. Ähnlich können für die Wahl einer Handlungsalternative mehrere Zielkriterien relevant sein, die im Konflikt zueinander stehen. In derartigen Situationen sind zusätzliche Präferenzinformationen durch den Entscheidungsträger hinsichtlich seiner Risikopräferenz bzw. seiner Artenpräferenz zu geben, um eine Unterstützung zu ermöglichen. Unabhängig von der individuellen Präferenz wird von einem rationalen Entscheidungsträger erwartet, dass er sich nicht für eine Alternative entscheidet, wenn er sich noch verbessern kann. Dies wird im Dominanzprinzip formalisiert. Dominanzprinzip y Dominanz (Vergleich mit einer Alternative) Eine Handlungsalternative ai dominiert eine Alternative a j , wenn ai bez. keines Kriteriums schlechter und mindestens bez. eines Kriteriums besser als a j ist. a j wird dann von ai dominiert.

y Effizienz (Vergleich mit allen anderen Alternativen)

Eine Alternative a , die von keiner anderen Alternative aus A dominiert wird, heißt in A undominiert. Eine undominierte Alternative a wird als effizient (vektoroptimal, funktionaleffizient) in A bezeichnet, wenn verschiedene Ziele betrachtet werden; als zeitlich effizient, wenn unterschiedliche Zeiten zu berücksichtigen sind; als pareto-optimal, wenn verschiedene Entscheidungsträger mit unterschiedlichen Präferenzen zu beachten sind und als effizient, wenn verschiedene Umweltzustände auftreten können.

y Das Dominanzprinzip verlangt von einem rationalen Entscheidungsträger, ausschließlich undominierte bzw. effiziente Handlungsalternativen zu wählen. Unter Berücksichtigung des Dominanzprinzips lassen sich Alternativen mit mehrwertigen Ergebnissen daraufhin überprüfen, welche für eine Wahl geeignet sind, nämlich gerade die nicht dominierten, also die effizienten bzw. paretooptimalen in der Menge aller zulässigen Alternativen.

28

Quantitative Entscheidungsunterstützung

Beispiel Investitionsalternativen Es sind vier unterschiedliche Investitionsalternativen durch ihre Zahlungsreihen, also Auszahlungen zu Beginn und Einzahlungen nach dem 1. und dem 2. Jahr, angegeben. Über die Zeitpräferenzen des Entscheidungsträgers liegen keine Informationen vor. Es kann davon ausgegangen werden, dass der Nutzen umso größer ist, je höher eine Einzahlung und je geringer eine Auszahlung ist. Tabelle 1.6. Investitionsalternativen Zahlungen Beginn

1. Jahr

2. Jahr

a1

-10.000

5.000

5.000

a2

-8.000

5.000

6.000

a3

-10.000

6.000

5.000

a4

-8.000

6.000

5.500

Alternativen

Ohne Kenntnisse der Zeitpräferenz können nur Aussagen hinsichtlich der Dominanz getroffen werden. Alternative a1 wird von a2 , a3 und a4 dominiert. Die Alternativen a2 und a4 sind nicht vergleichbar. a4 dominiert a3 . a2 und a3 sind nicht vergleichbar. Damit werden in der Menge aller betrachteten Alternativen a2 und a4 nicht dominiert. Sie sind die einzigen effizienten Alternativen in der Menge der erwogenen Investitionen, ein rationaler Entscheidungsträger sollte sich für eine der beiden entscheiden. Sind zusätzliche Zeitpräferenzen des Entscheidungsträgers bekannt, kann eine weitere Unterstützung bei der Auswahl erfolgen, wie in Kapitel 4 ausführlich beschrieben wird. Beispiel Wochenhändler Aufgrund der bei der Entscheidung noch unbekannten Nachfrage und der fehlenden Risikopräferenzinformation lassen sich die Alternativen nur hinsichtlich ihrer Dominanz untersuchen. Die Alternative, nichts auf dem Großmarkt zu kaufen, wird von der Alternative „50 kg“ dominiert. Diese Aussage ist sowohl auf der Grundlage einer ordinalen als auch einer kardinalen Nutzenfunktion möglich. Die übrigen Alternativen sind nicht miteinander vergleichbar. Ist der Entscheidungsträger risikoneutral und kann davon ausgegangen werden, dass alle Nachfragen gleich wahrscheinlich sind, wählt er diejenige Alternative, die den höchsten Erwartungswert der Ergebnisse, die hier den Nutzen entsprechen, aufweist.

Entscheidungsunterstützung

0 kg : 50 kg : 70 kg : 90 kg :

 4 ˜ 0 1 10  3 ˜ 70 4 1  8  52  112  112 4 1  22,5  37,5  97,5  157,5 4 1

4

29

0€ 55 € 67 € 67,5 €

Damit sollte sich der risikoneutrale Wochenhändler für den Kauf von 90 kg auf dem Großmarkt entscheiden. Ist er sehr risikoavers und will auf jeden Fall einen Verlust vermeiden, kommt nur die Alternative „50 kg“ für ihn in Betracht – „0 kg“ nicht, da diese dominiert wird. Die Ermittlung des Erwartungswerts ist nur für kardinale Nutzenbewertungen sinnvoll. Liegt eine Entscheidungssituation unter Sicherheit vor, dann ist der Umweltzustand bekannt. Damit kann jeder Handlungsalternative das Ergebnis eindeutig zugeordnet werden. Sind außerdem die Präferenzen hinsichtlich der Ergebnisse bekannt, bleibt zur Entscheidungsunterstützung übrig, die Handlungsalternative mit dem besten Ergebnis zu ermitteln. Dies kann aufgrund der Fülle der Möglichkeiten und der zu berücksichtigenden Interdependenzen problematisch sein. Eine Unterstützung durch quantitative Modelle und Methoden ist hier hilfreich. So wurde eine Vielfalt von deterministischen Entscheidungsmodellen entwickelt, die unterschiedliche mathematische Strukturen aufweisen. Weiterhin existieren zu speziellen mathematischen Strukturen zugehörige exakte Algorithmen, die sehr effizient eingesetzt werden können und optimale Lösungen ermitteln. Zur Lösung anderer Modelle sind Heuristiken entwickelt worden, die auf die Optimalität zugunsten eines beschleunigten Problemlösungsprozesses verzichten. Wird die Entscheidungsfindung aufgrund der vorhandenen Unsicherheit über das Eintreffen möglicher Umweltzustände schwieriger, bieten Modelle und Methoden des Operations Research bei der Analyse der Situation und dem Aufzeigen günstiger Alternativen wertvolle Unterstützung. Die Berücksichtigung zusätzlicher Präferenzinformationen wird im Rahmen von Operations Research Methoden ebenfalls unterstützt, hier sind insbesondere stochastische Optimierungsansätze (z. B. Birge u. Louveaux 1999), Robuste Optimierung (z. B. Scholl 2001), Vektoroptimierungsmethoden (z. B. Ehrgott 2005) und Ansätze auf der Grundlage unscharfer Mengen (z. B. Zimmermann 2001) zu nennen, die über den Rahmen einer Einführung hinausgehen. In diesem Buch werden ausgewählte grundlegende Modelle und Methoden zur Entscheidungsunterstützung vorgestellt. Es wird besonderer Wert auf die Anwendung der theoretischen Grundlagen zur Lösung betriebswirtschaftlicher Planungsund Entscheidungsprobleme gelegt, daher werden vielfach anwendungsbezogene Beispiele herangezogen, um über eine Methodenkompetenz hinaus die Anwendungskompetenz zu erreichen.

30

Quantitative Entscheidungsunterstützung

1.2.2 Aufgaben Aufgabe 1.2.1 In einem Auswahlverfahren soll darüber entschieden werden, welcher Schüler der „optimale“ Schüler ist. Die Schüler haben folgende Noten: Schüler

Deutsch

Mathematik

Englisch

a1

3

4

2

a2

1

3

1

a3

5

2

4

a4

3

3

3

Eine Note ist bekanntermaßen umso besser, je kleiner die Zahl ist. Nehmen Sie zur Richtigkeit der folgenden Aussagen Stellung. a) Schüler a2 dominiert Schüler a1 . b) Die Schüler a2 und a3 sind effiziente Schüler. c) Es gibt keinen effizienten Schüler. d) Schüler a4 und a1 sind gleich gut. e) a2 ist der beste Schüler. Aufgabe 1.2.2 In folgender Matrix sind die ordinalen Nutzenwerte der Alternativen a1 bis a4 hinsichtlich der Zielerreichung der Ziele k1 bis k4 angegeben. Sortieren Sie die Alternativen im Hinblick auf ihre Vorziehenswürdigkeit. k1

k2

k3

k4

a1

10

5

8

15

a2

5

5

7

7

a3

7

9

10

12

a4

7

8

9

11

Aufgabe 1.2.3 Ein risikoneutraler Verleger plant die Auflagenhöhe des neuen Romans „Hogwards Geheimnisse“. Je nachdem, ob das Konkurrenzwerk „Der Ring“ vorher,

Entscheidungsunterstützung

31

gleichzeitig oder später erscheinen wird, erwartet er eine unterschiedliche Nachfrage, die in folgender Tabelle angegeben ist. Jede der Situationen sieht er als gleichwahrscheinlich an.

Nachfrage

Ring erscheint vorher

Ring erscheint gleichzeitig

Ring erscheint nachher

100

200

400

Mit dem Druck sind Fixkosten in Höhe von 100 GE und variable Kosten von 1 GE pro Stück verbunden. Der Erlös für jedes abgesetzte Buch beträgt 2 GE. Stellen Sie die Ergebnismatrix für die Auflagenhöhen 0, 100, 200 und 400 auf. Aufgabe 1.2.4 Setzten Sie sich strukturiert mit der Entscheidungssituation „Wahl einer Pauschalreise für den zweiwöchigen Weihnachtsurlaub“ auseinander. Geben Sie jeweils zwei konkrete Beispiele für die folgenden Begriffe an und erläutern Sie diese kurz: Zielvorstellungen, Handlungsalternativen, Umweltzustände und Ergebnisse. Stellen Sie zu den gewählten Konkretisierungen den Ausschnitt einer passenden Ergebnismatrix auf. Aufgabe 1.2.5 Wolfgang Optimax steht vor der Entscheidung, seinen Lottogewinn in Höhe von 10.000 € gewinnbringend anzulegen. Ihm stehen zwei Möglichkeiten zur Verfügung. Er kann die Mittel auf seinem Sparbuch anlegen, bei dem er nach einem Jahr 2 % erhält. Die zweite Möglichkeit ist eine Investition in Staatsanleihen des Staates Optinien, die in beliebiger Höhe getätigt werden kann. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % erbringt diese Anlage nach einem Jahr einen um 10 % erhöhten Auszahlungsbetrag, mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % ist das Geld verloren. Strukturieren Sie das Problem auf Basis des Grundmodells der Entscheidungstheorie. Für welche Handlungsalternative sollte sich Wolfgang Optimax, der risikoneutral ist, entscheiden?

2 Grundlagen linearer Optimierung

2.1 Beispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung Das Unternehmen Optima stellt die Produkte A und B her, die hervorragenden Absatz finden. Die aktuelle Nachfrage ist so hoch, dass die derzeitige Produktionskapazität nicht ausreicht den Bedarf zu decken. Daher ist kurzfristig zu entscheiden, wie viel von welchem Produkt im nächsten Monat produziert werden soll. Dazu sind zunächst einige Informationen zu sammeln. Der Erlös für Produkt A beträgt 8 Geldeinheiten (GE) pro Mengeneinheit (ME), der für Produkt B beträgt 9 GE je ME. Damit wird je ME von Produkt B ein höherer Erlös erzielt als je ME von Produkt A. Jedoch lässt sich den Daten des Rechnungswesens entnehmen, dass die variablen Kosten für die Produktion von Produkt A mit 5 GE/ME niedriger sind als die für Produkt B mit 7 GE/ME. Unter kurzfristigen Wirtschaftlichkeitsgesichtspunkten sollten diejenigen Produkte produziert werden, welche einen positiven Deckungsbeitrag aufweisen. Dieser errechnet sich aus dem Erlös abzüglich der variablen Kosten. Fixe Kosten sind kurzfristig nicht zu beeinflussen, daher hier nicht entscheidungsrelevant und somit nicht zu berücksichtigen. Für Produkt A ergibt sich der Deckungsbeitrag mit 8  5 3, für Produkt B mit 9  7 2. Damit ist kurzfristig die Produktion beider Produkte wirtschaftlich und es sollte soviel wie absetzbar von beiden Produkten produziert werden, falls ausreichende Produktionskapazitäten verfügbar sind. Da Produkt A einen höheren Deckungsbeitrag aufweist, ist zu vermuten, dass in einer Knappheitssituation nur Produkt A produziert wird. Tabelle 2.1. Produktionskoeffizienten Optima Produktionsstufen 1

2

3

Produkt A

2

1

4

Produkt B

1

2

1

Anlagenverfügbarkeit

22 ZE

23 ZE

40 ZE

34

Grundlagen linearer Optimierung

Bei Optima hat sich nun gezeigt, dass die Produktionskapazität nicht ausreicht den Bedarf zu erfüllen. Daher erfolgt eine eingehende Betrachtung der Produktion. Es handelt sich um einen dreistufigen Produktionsprozess, der von beiden Produkten A und B durchlaufen wird. Die jeweiligen Bearbeitungsdauern für die verschiedenen Produkte auf den Anlagen in Zeiteinheiten (ZE) je ME, also die Produktionskoeffizienten, und die Verfügbarkeit der Anlagen der Produktionsstufen 1 bis 3 sind Tabelle 2.1 zu entnehmen. Aufgrund der knappen Anlagenkapazitäten sollten nicht nur die Deckungsbeiträge der beiden Produkte berücksichtigt werden, sondern die Deckungsbeiträge relativiert werden um die Inanspruchnahme der knappen Kapazität. Eine Analyse der ersten Produktionsstufe zeigt, dass die Anlagenverfügbarkeit 22 ZE beträgt, die Inanspruchnahme der Kapazität durch Produkt A 2 ZE/ME, durch Produkt B 1 ZE/ME. Der Deckungsbeitrag pro Einheit Kapazitätsbedarf auf Produktionsstufe 1 ergibt sich für Produkt A: 3 [GE/ME] : 2 [ZE/ME] = 1,5 [GE/ZE] und für Produkt B: 2 [GE/ME] : 1 [ZE/ME] = 2 [GE/ZE].

Wird ausschließlich Produktionsstufe 1 berücksichtigt, lautet das günstigste Produktionsprogramm: Es sollte nichts von Produkt A und so viel wie möglich, also 22 ME, von Produkt B produziert werden. Der Gesamtdeckungsbeitrag beträgt damit 22 [ME] ˜ 2 [GE/ME] = 44 GE.

Der relative Deckungsbeitrag pro Einheit Kapazitätsbedarf der zweiten Produktionsstufe ist für Produkt A: 3 [GE/ME] : 1 [ZE/ME] = 3 [GE/ZE]

und für

Produkt B: 2 [GE/ME] : 2 [ZE/ME] = 1 [GE/ZE].

Bei der Kapazität der Anlage der zweiten Stufe von 23 ZE ist der günstigste Vorschlag unter ausschließlicher Berücksichtigung dieser Stufe, 23 ME von Produkt A und nichts von Produkt B zu produzieren mit einem Gesamtdeckungsbeitrag von 69 GE. Die Betrachtung der dritten Produktionsstufe zeigt, der Deckungsbeitrag je in Anspruch genommene ZE der Anlage beträgt für Produkt A: 3 [GE/ME] : 4 [ZE/ME] = 0, 75 [GE/ZE] Produkt B: 2 [GE/ME] : 1 [ZE/ME] =

und für

2 [GE/ZE].

Hier sollte nichts von Produkt A und 40 ME von Produkt B produziert werden, um mit 80 GE den für diese Stufe günstigsten Gesamtdeckungsbeitrag zu erzielen. Bei genauer Betrachtung zeigt sich, dass die Vorschläge für jeweils eine Produktionsstufe auf den anderen überwiegend nicht durchgeführt werden können, da sie dort unzulässig viel Zeit in Anspruch nehmen. Etwa die 23 ME von Produkt A aus Stufe 2 beanspruchen auf Stufe 3 92 ZE, jedoch steht die Anlage nur 40 ZE

Beispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung

35

zur Verfügung. Die 40 ME von Produkt B auf Stufe 3 benötigen auf Stufe 1 40 ZE, verfügbar sind nur 23 ZE. Um das optimale Produktionsprogramm zu ermitteln, müssen alle Produktionsstufen gleichzeitig betrachtet werden. Der technische Leiter von Optima ist ohnehin der Ansicht, dass ohne Kapazitätserweiterung die bisherige Produktion nicht erhöht werden kann, da mit dem derzeitigen Produktionsprogramm von 9 ME des Produktes A und 4 ME des Produktes B die Anlagenkapazitäten von zwei Produktionsstufen bereits zu 100 % ausgeschöpft sind. Dies zeigt auch die folgende Darstellung der bisherigen Anlagenbelegung und Kapazitätsauslastung. Damit stellt aus seiner Sicht dieses Produktionsprogramm, mit dem ein Gesamtdeckungsbeitrag von 35 GE erzielt wird, eine optimale Ausnutzung der vorhandenen Produktionskapazität dar. 22

23

40

Stufe 1

Stufe 2

Stufe 3

Abb. 2.1. Derzeitige Anlagenbelegung Optima

Der Leiter des Controllings empfiehlt, zunächst eine simultane Berücksichtigung aller drei Produktionsstufen mit allen möglichen Produktionsprogrammalternativen durchzuführen und daraus das optimale Produktionsprogramm auszuwählen. Produktionsprogrammalternativen sind alle Kombinationen von Mengen der Produkte A und B, die mit den verfügbaren Anlagekapazitäten produziert werden können. Bewertet werden die Alternativen mit dem erzielbaren Gesamtdeckungsbeitrag, der möglichst hoch sein sollte. Aufgrund der unendlich vielen möglichen Alternativen erfolgt ihre Erfassung implizit mittels Variablen, deren Ausprägungen durch Restriktionen beschränkt werden. Ihre Bewertung erfolgt durch die Zielfunktion, sodass das folgende Modell die Situation bei Optima mit den kurzfristigen Produktionsprogrammmöglichkeiten erfasst. Einschließlich der Dimension der Koeffizienten lautet die Zielfunktion: max z [GE] = 3 [GE/ME] ˜ x A [ME] + 2 [GE/ME] ˜ xB [ME]

Auch für die Restriktionen sind die Dimensionen stimmig, z. B. gilt für die erste Restriktion: 4 [ZE/ME] ˜ x A [ME] + 1 [ZE/ME] ˜ xB [ME] d 40 [ZE]

36

Grundlagen linearer Optimierung

Insgesamt sind im folgenden linearen Optimierungsmodell alle Anforderungen an das optimale Produktionsprogramm erfasst. Lineares Optimierungsmodell Optima Zunächst werden die Variablen definiert, über deren Ausprägungen zu entscheiden ist. x A : zu produzierende ME von Produkt A xB : zu produzierende ME von Produkt B Die Zielfunktion lautet: Maximiere den Gesamtdeckungsbeitrag max z = 3 x A + 2 xB

Folgende Restriktionen sind zu beachten: Einhaltung der Kapazitätsgrenzen auf allen Produktionsstufen

s.d.

2 xA + 1 xB d 22 Produktionsstufe 1 1 xA  2 xB d 23 Produktionsstufe 2 4 xA  1 xB d 40 Produktionsstufe 3

Eine negative Produktion ist nicht möglich x A ,xB t 0

Nichtnegativitätsbedingung

Dieses Modell ist in Abb. 2.2 veranschaulicht. Zulässige Lösung: Jedes Produktionsprogramm, welches mit den vorhandenen Kapazitäten produziert werden kann, ist eine zulässige Lösung. Die Gesamtmenge aller zulässigen Lösungen ist in Abb. 2.2 schraffiert dargestellt. Optimale Lösung: Dasjenige von allen zulässigen Produktionsprogrammen mit dem höchsten Gesamtdeckungsbeitrag ist die optimale Lösung. Werden Isozielfunktionslinien wie hier mittels unterbrochener Linien dargestellt, geht in diesem Beispiel diejenige mit dem höchsten Gesamtdeckungsbeitrag gerade durch die äußerste Ecke rechts oben, die hier mit 7 ME von Produkt A und 8 ME von Produkt B dem optimalen Produktionsprogramm mit maximalem Gesamtdeckungsbeitrag von 37 GE entspricht. Die Produktionsstufen 1 und 2 bilden die Engpässe, in der dritten Produktionsstufe besteht noch freie Kapazität von 4 ZE. Auch ohne Erweiterung der Produktionskapazität ist damit eine Erhöhung des Gesamtdeckungsbeitrags gegenüber der bisherigen Produktion möglich.

Beispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung

37

Abb. 2.2. Zulässigkeitsbereich Optima

Für dieses Anwendungsbeispiel wird im Folgenden schrittweise die Lösung unter Einsatz des Simplexalgorithmus ermittelt, bevor im anschließenden Abschnitt der Simplexalgorithmus theoretisch dargestellt wird. Aufgrund der mathematischen Struktur kann eine vorhandene optimale Lösung gefunden werden, wenn man sich auf die Ecken des Zulässigkeitsbereichs beschränkt. Der Simplexalgorithmus startet in einer Ecke und geht so lange wie möglich zu benachbarten Ecken mit höherem Zielfunktionswert über. Kann keine Verbesserung mehr erreicht werden, ist eine optimale Lösung ermittelt. Aufstellung eines äquivalenten Gleichungssystems Zunächst wird zu dem Restriktionensystem mit d -Restriktionen ein äquivalentes Gleichungssystem formuliert, indem die nicht ausgeschöpften Kapazitäten der drei Produktionsstufen jeweils durch eine weitere Variable erfasst werden. Die Variablen x A und xB des Modells, deren Ausprägungen gesucht werden, werden als Strukturvariablen bezeichnet. Schlupfvariablen heißen hingegen diejenigen Variablen, die die nicht ausgeschöpften Kapazitäten der Produktionsstufen aufnehmen. Produktionsstufe 3 :

4 x A  1 xB  s3

40

Das Produktionsprogramm xA 7 und xB 8 beansprucht die Kapazität der dritten Produktionsstufe im Umfang von 36 ZE, damit sind 4 ZE nicht ausgeschöpft und für die Lösung gilt s3 4 . Derartige Schlupfvariablen werden für jede

38

Grundlagen linearer Optimierung

Restriktion hinzugefügt. Da die Kapazität zwar unter-, jedoch nicht überschritten werden darf, müssen diese Variablen größer oder gleich null sein, also ebenfalls die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen. Da die nicht ausgeschöpften Kapazitäten den Gesamtdeckungsbeitrag nicht beeinflussen, wird in der Zielfunktion der zugehörige Koeffizient gleich null gesetzt. Auf diese Weise erhält man die folgende, zu der vorherigen Darstellung äquivalente Formulierung. Äquivalentes lineares Optimierungsmodell max z = 3 xA  2 xB  0 s1  0 s2  0 s3 s.d.

2 x A  1 xB  1 x A  2 xB

s1

22 

4 x A  1 xB

s2

23 

s3

40

x A , xB , s1 , s2 , s3 t 0

Statt dieser ausführlichen Darstellung kann auch die folgende Matrixdarstellung gewählt werden.

max  3 2 0 0

§2 1 1 0 ¨ s.d . ¨ 1 2 0 1 ¨4 1 0 0 © x A , xB , s1 , s2 , s3

§ xA · ¨ ¸ ¨ xB ¸ 0 ¨ s1 ¸ ¨ ¸ ¨ s2 ¸ ¨s ¸ © 3¹ § xA · ¨ ¸ 0 · ¨ xB ¸ ¸ 0 ¸ ¨ s1 ¸ ¨ ¸ 1 ¸¹ ¨ s2 ¸ ¨s ¸ © 3¹ t0

§ 22 · ¨ ¸ ¨ 23 ¸ ¨ 40 ¸ © ¹

Damit sind die zulässigen Produktionsprogramme x A , xB genau den Lösungen des Gleichungssystems zu entnehmen, die zusätzlich die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen. Gesucht wird nun die optimale Lösung dieses linearen Gleichungssystems, d. h. diejenige zulässige Lösung, die von allen zulässigen den maximalen Zielfunktionswert aufweist. Dies kann unter Anwendung des Simplexalgorithmus geschehen.

Beispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung

39

Simplexalgorithmus Aufgrund der mathematischen Struktur eines derartigen linearen Optimierungsmodells ist bekannt: Wenn eine optimale Lösung existiert, ist mindestens eine Ecke des Zulässigkeitsbereichs optimal. Gibt es mehrere optimale Lösungen, ist mindestens eine davon eine Ecke. Folglich reicht es aus, nur die Ecken des Zulässigkeitsbereichs zu untersuchen, um eine optimale Lösung zu finden. Die Ecken in der Grafik entsprechen gerade den Basislösungen des linearen Gleichungssystems, also werden nur Basislösungen untersucht. Basislösungen sind einer Basis zugeordnet und haben die Eigenschaft, dass die Werte der so genannten Nichtbasisvariablen gleich null gesetzt und die zu einer Basis gehörigen Variablen dann aus dem Gleichungssystem ermittelt werden. Das Gleichungssystem wird gegebenenfalls jeweils so transformiert, dass die Lösung für die Basisvariablen direkt ablesbar ist, wenn Nichtbasisvariablen den Wert null annehmen. Beispielsweise entsprechen dem Punkt 10, 0 die Basisvariablen x A 10, s1 2 und s2 3 , die Nichtbasisvariablen sind xB s3 0 . Eine detaillierte Darstellung folgt in Kapitel 2.2. Als Ausgangsbasis wird die Einheitsmatrix mit den zugehörigen Basisvariablen s1 , s1 und s3 gewählt. Die Nichtbasisvariablen x A und xB werden gleich null gesetzt. Dann gilt etwa, dass für die erste Gleichung 2 x A  1 xB  s1 s1

22

22 unmittelbar ablesbar ist.

Zur Strukturierung der Vorgehensweise wird eine Tableaudarstellung benutzt. Dort wird die Information bezüglich jeweils einer Basis aktualisiert dargestellt. Als Ausgangsbasis wird die Einheitsmatrix I gewählt, deren Inverse wieder I ist. In der ersten Spalte sind die aktuellen Basisvariablen mit ihren Zielfunktionskoeffizienten genannt. Werden die Nichtbasisvariablen null gesetzt, sind die Werte der Basisvariablen in der rechten Spalte  RS ablesbar. Die Werte der ' z -Zeile beziehen sich auf die Zielfunktion. Mit  1 multipliziert geben sie die Erhöhung des Zielfunktionswertes an, wenn die zugehörige Variable um eine Einheit erhöht wird. Der rechte Wert in der ' z -Zeile entspricht dem aktuellen Zielfunktionswert.

aktuelle Basisvariablen mit Zielfunktionskoeffizienten

Zielfunktionskoeffizienten Variablen

RS

aktuelle Koeffizientenmatrix

aktuelle rechte Seite

aktuelle Kriteriumswerte

Aktueller Zielfunktionswert

40

Grundlagen linearer Optimierung

Dem folgenden Tableau 1 ist ein erstes zulässiges Produktionsprogramm entnehmbar. Die Strukturvariablen sind nicht in Basis, haben folglich den Wert null. So wird nichts produziert, die freien Kapazitäten der drei Produktionsstufen sind mit s1 22 , s2 23 und s3 40 ablesbar. Der mit diesem zulässigen Produktionsprogramm erzielbare Deckungsbeitrag ist null. Simplextableau 1 3 xA

2 xB

0 s1

0 s2

0 s3

RS

0

s1

2

1

1

0

0

22

0

s2

1

2

0

1

0

23

0

s3

4

1

0

0

1

40

'z

-3

-2

0

0

0

0

In der ' z -Zeile ist ablesbar, welche Verbesserungen des Deckungsbeitrags möglich sind: Wird ausgehend von der vorliegenden Lösung eine zusätzliche Einheit von Produkt A produziert, erhöht sich der Deckungsbeitrag um 3 Einheiten, wird eine zusätzliche Einheit von Produkt B produziert, steigt der Deckungsbeitrag um 2 Einheiten. Da die Erhöhung des Deckungsbeitrags bei zusätzlicher Produktion von Produkt A größer als bei B ist, sollte die Produktion von Produkt A möglichst weit erhöht werden. Daher wird x A neu in die Basis aufgenommen um einen Wert größer als null anzunehmen. Aufnahmekriterium Von allen bisherigen Nichtbasisvariablen, die zu einer Erhöhung der Zielfunktion führen, erkennbar am negativen Wert in der ' z -Zeile, wird jeweils diejenige mit niedrigstem Wert zur Aufnahme in die Basis ausgewählt. Die zugehörige Spalte im Tableau wird Pivotspalte genannt. 3 xA

2 xB

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

0

s1

2

1

1

0

0

22

11

0

s2

1

2

0

1

0

23

23

0

s3

4

1

0

0

1

40

10

'z

-3

-2

0

0

0

0

min

min

Beispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung

41

Von Produkt A wird nun möglichst viel produziert, jedoch sind die Produktionskapazitäten zu berücksichtigen. Wie der Pivotspalte zu entnehmen ist, beansprucht eine Einheit Produkt A in der ersten Produktionsstufe 2 ZE. Hier können folglich maximal 22 : 2 11 Einheiten produziert werden, dann ist diese Kapazität ausgeschöpft. In der zweiten Produktionsstufe können höchstens 23 :1 = 23 und in der dritten Produktionsstufe höchstens 40 : 4 10 Einheiten von Produkt A produziert werden. Also kann x A nun höchstens den Wert min ^11, 23, 10` 10 annehmen. Dann ist die freie Kapazität der dritten Produktionsstufe auf null gesunken, d. h. s3 0 . Damit wird s3 aus der Basis entfernt und ist im nächsten Tableau Nichtbasisvariable mit Wert null. x A wird im nächsten Schritt den Wert 10 annehmen. Eliminationskriterium Diejenige Variable ist aus der Basis zu eliminieren, die bei Erhöhung der aufzunehmenden Variablen als erstes auf den Wert null absinkt, also den kleinsten 4 Wert besitzt. Die zugehörige Zeile im Tableau wird als Pivotzeile bezeichnet. Das Element im Schnittpunkt von Pivotzeile und Pivotspalte ist das Pivotelement. Um die Basistransformation durchzuführen werden erlaubte Transformationen angewandt, sodass die Pivotspalte entsprechende Einheitsspalte mit „1“ an der Stelle des Pivotelements wird, die neue Basislösung ist wieder der rechten Seite zu entnehmen. Simplextableau 2 xA

xB

s1

s2

s3

RS

4

0

s1

0

1/

2

1

0

-1/2

2

4

0

s2

0

7/

4

0

1

-1/4

13

52/

3 xA

1

1/

4

0

0

1/

4

10

40

'z

0

-5/4

0

0

3/

4

30

7

Das nun vorgeschlagene Produktionsprogramm lautet 10 Einheiten von Produkt A und keine Einheit von Produkt B. Die dritte Produktionsstufe ist jetzt Engpass und es bestehen freie Kapazitäten in der ersten Produktionsstufe in Höhe von 2 und in der zweiten Produktionsstufe in Höhe von 13, jeweils erkennbar an den Werten der Schlupfvariablen s1 , s2 und s3 .
Eine weitere Verbesserung des Zielfunktionswertes ist durch zusätzliche Produktion von Produkt B möglich, jedoch muss dazu die Produktion von Produkt A reduziert werden, da die Kapazität der dritten Produktionsstufe ausgeschöpft ist.

42

Grundlagen linearer Optimierung

Wenn eine zusätzliche Einheit von Produkt B produziert wird, müssen 1 4 Einheiten von Produkt A weniger produziert werden, wie der Pivotspalte zu entnehmen ist. Die Konsequenz auf den Gesamtdeckungsbeitrag beträgt also 2 ˜1  3 ˜ 1 4 5 4 , wie auch der ' z -Zeile zu entnehmen ist. Durch Berechnung der 4 -Werte mit 2 : 1 2 4 , 13 : 7 4 52 7 und 10 : 1 4 40 wird das Minimum bei s1 festgestellt. Daher ist s1 aus der Basis zu eliminieren. Die entsprechenden Tableautransformationen führen zu folgendem Tableau. Simplextableau 3

xA

xB

s1

s2

s3

RS

4

2 xB

0

1

2

0

-1

4

-

0 s2

0

0

-7/2

1

3/

2

6

4

3 xA

1

0

-1/2

0

1/

2

9

18

'z

0

0

5/

0

- 1 /2

35

2

Das hier vorgeschlagene Produktionsprogramm lautet x A 9 und xB 4 und erzielt einen Gesamtdeckungsbeitrag von 35 GE. Diese Lösung stimmt mit dem gegenwärtigen Produktionsprogramm überein. Auch die hiermit auftretenden Kapazitätsauslastungen in den Produktionsstufen 1 und 3 sind durch die Schlupfvariablen s1 s3 0 erkennbar. Die Aufnahme von s3 in Basis erlaubt eine weitere Verbesserung des Zielfunktionswertes. Durch Erhöhung von s3 wird xB ebenfalls erhöht, beschränkt folglich nicht die Höhe von s3 und wird bei Ermittlung von 4 unberücksichtigt gelassen. Aus der Basis zu eliminieren ist s2 und die Transformation führt zu folgendem Tableau. Simplextableau 4: Optimales Endtableau

xA

xB

s1

s2

s3

RS

2

xB

0

1

-1/3

2/ 3

0

8

0

s3

0

0

-7/3

2/ 3

1

4

3

xA

1

0

2/

3

-1/3

0

7

'z

0

0

4/

3

1/ 3

0

37

Eine weitere Verbesserung ist nicht möglich, denn für alle Nichtbasisvariablen hat aufgrund der positiven Werte in der ' z-Zeile die Aufnahme in die Basis

Beispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung

43

negative Auswirkungen auf die Zielfunktion. Damit liegen das optimale Endtableau und eine optimale Lösung vor. Optimalitätskriterium Sind alle Werte in der ' z -Zeile nichtnegativ, ist eine optimale Lösung gefunden. Es gibt keine zulässige Lösung, die einen höheren Zielfunktionswert erreicht. Es wird vorgeschlagen, 7 Einheiten von Produkt A und 8 Einheiten von Produkt B zu produzieren. Damit kann der maximale Deckungsbeitrag in Höhe von 37 GE erzielt werden. Engpässe stellen die ersten und zweiten Produktionsstufen dar, da s1 s2 0 . In der dritten Produktionsstufe wird die Kapazität bis auf 4 Einheiten genutzt, sie ist damit zu (40  4) : 40 90 % ausgelastet. Es zeigt sich also, dass trotz ausgelasteter Kapazitäten auf zwei Produktionsstufen das deckungsbeitragsoptimale Produktionsprogramm entgegen der Annahme des technischen Leiters mit der gegenwärtigen Produktion von 9 ME von Produkt A und 4 ME von Produkt B noch nicht erreicht ist, sondern auch ohne Kapazitätserweiterung durch optimale Produktion der Gesamtdeckungsbeitrag um 2 GE auf 37 GE gesteigert werden kann. Die Anlagenbelegung des optimalen Produktionsprogramms zeigt Abb. 2.3. 22

23

40

Stufe 1

Stufe 2

Stufe 3

Abb. 2.3. Optimale Anlagenbelegung Optima

Betrachtet man das Beispiel der kurzfristigen Produktionsprogrammplanung als Entscheidungsproblem, so lässt sich feststellen, dass von einer Entscheidungssituation unter Sicherheit ausgegangen wird. Alle relevanten Parameter und Beziehungen der einzigen zu berücksichtigenden Umweltsituation werden als bekannt angenommen. Konkret wird die Umweltsituation beschrieben durch die Gesamtheit der Angaben: die Deckungsbeiträge in der Zielfunktion, die Produktionskapazitäten der unterschiedlichen Anlagen, die Produktionskoeffizienten und der jeweilige, im Modell erfasste Zusammenhang. Die Handlungsalternativen, zwischen denen der Entscheidungsträger auswählen kann, sind alle zulässigen Produktionsprogramme, also alle produzierbaren Kombinationen von Produktionsmengen der Produkte A und B. Da es unendlich viele Handlungsalternativen gibt,

44

Grundlagen linearer Optimierung

werden diese nicht einzeln aufgelistet, sondern implizit durch die Restriktionen beschrieben. Beispiele sind  0; 0 ,  2,5;1 ,  9; 4 also jede zulässige Ausprägung von x A und xB . Ergebnisse der Handlungsalternativen sind u. a. die erzielbaren Deckungsbeiträge und die Kapazitätsauslastungen der verschiedenen Anlagen. Der Nutzen einer Handlungsalternative wird als umso höher angesehen, je größer der zugeordnete Gesamtdeckungsbeitrag ist. Die Höhe der Kapazitätsauslastung selbst ist dagegen nicht von Bedeutung, wenn sie in dem Zielkriterium nicht berücksichtigt ist. Da es sich um eine Entscheidung unter Sicherheit handelt und nur ein Zielkriterium vorliegt, wird die Präferenz des Entscheidungsträgers durch die Zielfunktion ausreichend erfasst. Durch die Modellformulierung sind somit alle Handlungsalternativen, Anforderungen, Bewertungen und Nutzenvorstellung formuliert und damit steht die optimale Handlungsalternative fest. Durch einen geeigneten Algorithmus, hier der Simplexalgorithmus, wird der Entscheidungsträger im Auffinden der optimalen Alternativen unterstützt. Nachdem nun anhand eines Beispiels der Einsatz des Simplexalgorithmus zur Ermittlung einer optimalen Lösung eines linearen Optimierungsmodells beschrieben wurde, werden im folgenden Abschnitt Voraussetzungen und Grundlagen der linearen Optimierung auch theoretisch behandelt, um beliebige lineare Optimierungsmodelle zu lösen.

2.2 Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells 2.2.1 Grundmodell der linearen Optimierung Der Simplexalgorithmus mit seinen Erweiterungen und Modifikationen ist der bekannteste und am stärksten verbreitete Algorithmus zur Lösung linearer Optimierungsmodelle. Mit linearer Optimierung oder auch linearer Programmierung wird die Aufstellung und Lösung eines linearen Optimierungsmodells bezeichnet, wobei häufig an die Lösung mittels Simplexalgorithmus gedacht ist. Das lineare Optimierungsmodell wird auch als LP-Modell oder kurz LP bezeichnet. Nachdem anhand eines Beispiels die einzelnen Schritte des Simplexalgorithmus zum Auffinden einer optimalen Lösung beschrieben wurden, erfolgt nun die allgemeine Darstellung des Algorithmus. Hierzu wird von dem Grundmodell der linearen Optimierung, hier bezeichnet mit (P), ausgegangen. Modellmodifikationen erlauben Anpassungen an vielfältige reale Situationen. Wie Modellerweiterungen mittels Simplexverfahren behandelt werden, wird in Kapitel 3 erläutert.

y Das Grundmodell der linearen Optimierung ist dadurch charakterisiert, dass eine lineare Zielfunktion unter Einhaltung linearer Restriktionen zu maximieren ist. Es liegen ausschließlich d -Restriktion vor, die rechte Seite b weist ausschließlich Werte größer oder gleich null auf. Für alle Variablen ist die Nichtnegativitätsbedingung einzuhalten. Formal dargestellt:

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

max z s.d .

ct x Ax d b x t 0

45

(P)

c,x   n , b   m , b t 0 , A   mxn

y Die folgenden Bezeichnungen sind üblich: z ct x c, c t A b x Ax d b xt0

Zielfunktion Vektor der Zielfunktionskoeffizienten bzw. seine Transponierte1 Koeffizientenmatrix Kapazitätenvektor (rechte Seite) Strukturvariablen Restriktionen, Nebenbedingungen Nichtnegativitätsbedingungen

Statt mit dieser sehr kompakten Matrixdarstellung kann das gleiche Modell etwas ausführlicher beschrieben werden mit x j , c j , aij , bi  , bi t 0 : n

¦

max z =

cj xj

j 1 n

¦

s.d .

aij x j d bi

i 1,..., m

(P)

j 1

xj t 0

j 1,..., n

Die Indizes j 1,..., n werden meist für die Variablen und zugeordneten Parameter, die Indizes i 1,..., m für die Restriktionen und zugehörigen Parameter verwendet. Die ganz detaillierte folgende Form findet insbesondere dann Verwendung, wenn die Parameter ci , bi und aij mittels Zahlen konkretisiert werden. max z s.d .

c1 x1  c2 x2  ...  cn xn a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn d b1 # am1

#

# # # x1  am 2 x2  ...  amn xn d bm

(P)

x1 ,x2 ,...,xn t 0

y Der Lösungsraum L  P des linearen Programmierungsmodells P, d. h. die Menge der zulässigen Lösungen oder der Zulässigkeitsbereich, ist durch die Restriktionen und die Nichtnegativitätsbedingungen für alle Variablen eindeu-

1

Transponiert bedeutet: Spiegelung einer Matrix an der Hauptdiagonalen bzw. hier Zeilenvektor statt Spaltenvektor. Ein Vektor ohne weitere Angabe ist stets als Spaltenvektor zu verstehen.

46

Grundlagen linearer Optimierung

tig festgelegt. Er ist ein abgeschlossenes2, konvexes3 Polyeder (Vieleck) und beschrieben durch:

L P

^x  

n

| A x d b, x t 0`

X

Jede einzelne Restriktion und jede einzelne Nichtnegativitätsbedingung definieren einen Halbraum des  n . Da alle Restriktionen und Nichtnegativitätsbedingungen des Optimierungsmodells erfüllt sein müssen, ergibt sich der Lösungsraum als Durchschnitt dieser Halbräume. Der Lösungsraum kann unbeschränkt oder beschränkt sein, d. h. in mindestens einer Richtung ist der Bereich bis unendlich ausgedehnt oder eben nicht. Abb. 2.4 stellt im schraffierten Teil einschließlich Rand ein beschränktes bzw. unbeschränktes, jeweils abgeschlossenes, konvexes Polyeder dar. Beide Polyeder können Zulässigkeitsbereichen linearer Optimierungsmodelle entsprechen.

Abb. 2.4. Abgeschlossene, konvexe Polyeder

y Wie bereits bei dem vorangehenden Beispiel gezeigt, wird statt des Ungleichungssystems ein äquivalentes Gleichungssystem betrachtet, indem das System  P geeignet um Schlupfvariablen s1 ,...,sm t 0 erweitert wird. Für die j-te Restriktion wird also statt der d -Restriktion a j1 x1  a j 2 x2  ...  a jn xn d b j

die äquivalente Gleichheitsrestriktion a j1 x1  a j 2 x2  ...  a jn xn  s j 2

bj

Eine Menge ist abgeschlossen genau dann, wenn alle Randpunkte zu dieser Menge gehören. 3 Eine Menge M   n ist konvex genau dann, wenn für je zwei beliebige Elemente aus M auch alle Elemente der verbindenden Strecke zu M gehören. Also  x, y  M gilt: O x  1  O y  M  O  > 0 ,1@ .

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

47

berücksichtigt, wobei sj jeweils den Wert

sj

b j  a j1 x1  a j 2 x2  ...  a jn xn

annimmt. Die Zielfunktionswerte aller Lösungen sollen durch diese Maßnahme unverändert bleiben, daher werden die zu den Schlupfvariablen gehörenden Zielfunktionskoeffizienten null gesetzt. Insgesamt ergibt sich dann das folgende zugehörige lineare Optimierungsmodell mit Gleichheitsrestriktionen. n

max z =

¦ j 1

m

c j x j  ¦ 0 si i 1

n

s.d .

¦

aij x j  si

bi

i 1,..., m

j 1

x j , si t 0

j 1,..., n

i 1,..., m

Wird mit I m die mxm -Einheitsmatrix, mit 0t die Nullzeile und mit A die mxn -Koeffizientenmatrix des Ausgangsmodells bezeichnet, lautet die entsprechende Matrixform max c t x  0t s s.d . A x  I m s

b

x,s t 0 si

Ist für eine Lösung des Gleichungssystems der Wert einer Schlupfvariablen 0 , ist die Restriktion mit Gleichheit erfüllt, d. h., die Restriktion ist bindend.

Beispiel Das folgende lineare Optimierungsmodell weist alle Eigenschaften auf, die das Grundmodell charakterisieren. Zu ermitteln sind die optimalen Werte der drei Strukturvariablen x1 , x2 und x3 . max

x1  2 x2 

s.d .

x1  4 x1 

x3 d 12

x2

x2  2 x3 d 24 x1 ,x2 ,x3 t 0

max

x1  2 x2 

s.d .

x1  4 x1 

x3  s1

x2 x2  2 x3

12  s2

x1 ,x2 ,x3 ,s1 ,s2 t 0

24

48

Grundlagen linearer Optimierung

Das zugehörige äquivalente Modell mit Gleichheitsrestriktionen, wobei die mit null multiplizierten Variablen nicht aufgeführt sind, ergibt sich durch Hinzufügung der beiden Schlupfvariablen s1 und s2 . Die Darstellung in Matrixform lautet:

max

1

§1 s.d . ¨ ©4

§ x1 · § s1 · ¨ ¸ 1 ¨ x2 ¸   0 0 ¨ ¸ © s2 ¹ ¨x ¸ © 3¹ § x1 · 0· ¨ ¸ § 1 0 · § s1 · § 12 · ¸ ¨ x2 ¸  ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ 2¹ ¨ ¸ © 0 1 ¹ © s2 ¹ © 24 ¹ x © 3¹ § x1 · § s1 · ¨ ¸ ¨ x2 ¸ t 0, ¨ s ¸ t 0 © 2¹ ¨x ¸ © 3¹

2

1 1

Grundmodell und zugehöriges lineares Optimierungsmodell mit Gleichheitsrestriktionen sind zwar nicht identisch, jedoch bezüglich des Lösungsraums und der optimalen Lösungen äquivalent, da allgemein gilt: Ist  x 0t , s 0t zulässige bzw. sogar optimale Lösung des Modells mit Gleichheitsrestriktionen, dann ist x 0 zulässige bzw. optimale Lösung von  P . Ist x 0 zulässige bzw. optimale Lösung von  P , dann lässt sich s 0 bestimmen, sodass  x0t , s 0t zulässige bzw. optimale Lösung des Modells mit Gleichheitsrestriktionen ist. Die Zielfunktionswerte stimmen jeweils überein. Im Folgenden werden die Schlupfvariablen nicht immer gesondert hervorgehoben, sondern ebenfalls die anschließende allgemeine Darstellung verwendet, wobei x dann neben den Strukturvariablen auch Schlupfvariablen enthalten kann und die Matrix A gegebenenfalls auch die Einheitsmatrix als Teilmatrix enthält. max z

ct x

s.d . A x b xt0

(1)

Die zulässigen Lösungen dieses Modells sind also gerade alle Lösungen des Gleichungssystems, die zusätzlich die Nichtnegativitätsbedingungen erfüllen. Für das Gleichungssystem x1  x2

 s1

4 x1  x2  2 x3

12  s2

24

x1 ,x2 ,x3 ,s1 ,s2 t 0

ist beispielsweise s1 12 , s2 24 und x1 x2 x3 0 eine solche Lösung, die sich leicht ermitteln lässt, indem x1 , x2 und x3 null gesetzt werden und dann

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

49

aufgrund der vorliegenden Einheitsmatrix s1 und s2 unmittelbar abgelesen werden können. Bezeichnen wir jetzt die gesamte Koeffizientenmatrix mit A , also

§1 A ¨ ©4

1

0

1

1

2

0

0· ¸, 1¹

so besteht A aus der Einheitsmatrix I und dem restlichen Teil N mit

§1 ¨ ©4

N

1

0· ¸. 2¹

1

Eine andere Lösung erhält man, wenn das Gleichungssystem mit erlaubten Transformationen so umgeformt wird, dass die Einheitsmatrix zu den ausgewählten Variablen x3 und s1 gehört und die Variablen x1 , x2 und s2 gleich null gesetzt werden. Erlaubte Transformationen eines Gleichungssystems, wie Multiplikation einer Zeile mit einer reellen Zahl ungleich null oder Addition zweier Zeilen, ändern die Lösungsmenge nicht. Das folgende Ergebnis kann dann abgelesen werden: x1  2 x1 

 s1

x2 1

2

x2  x3

12 

1 2

s2

12

x1 ,x2 ,x3 ,s1 ,s2 t 0

Diese Lösung lautet x3 12 , s1 12 und x1 mierten Matrix und transformierten rechten Seite §1 ¨ ©2

1 1

2

0 1

1

0

0

1 2

x2

s2

0 mit der transfor-

12 · ¸ 12 ¹

Eine Lösung eines Gleichungssystems lässt sich einfach ablesen, falls die Einheitsmatrix I in der Koeffizientenmatrix enthalten ist.

y Ein Gleichungssystem D x b mit x   n , b   m und D   mxn hat kanonische Form, falls die Einheitsmatrix I Teilmatrix von D ist. Ausgehend von dem Grundmodell linearer Optimierung liegt nach Hinzufügung der Schlupfvariablen das äquivalente Gleichungssystem stets in kanonischer Form vor.

y Lösungen des Gleichungssystems lassen sich mittels Basen bzw. deren Inversen darstellen. Jede nichtsinguläre4 mxm -Teilmatrix B von A ist eine Basis des Modells (1). Der Nichtbasisteil von A wird hier mit N bezeichnet.

4

Eine quadratische Matrix D ist nichtsingulär genau dann, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Genau dann existiert die Inverse D 1 der Matrix, sodass gilt D -1D D D 1 I .

50

Grundlagen linearer Optimierung

Da zu jeder Basis B die Inverse B 1 existiert, lässt sich durch Linksmultiplikation mit der Basisinversen das Gleichungssystem in kanonischer Form darstellen. Beispiel Zu dem Gleichungssystem mit

§1 A ¨ ©4

1

0

1

1

2

0

0· ¸, 1¹

B

§0 1 · ¨ ¸ © 2 0¹

§ 12 · ¨ ¸ © 24 ¹

b

kann die Basis

als nichtsinguläre Teilmatrix gewählt werden. Die Spalten sind den Variablen x3 und s1 zugeordnet. Basisinverse zu B ist 1 · 2

§0 ¨ ©1

B 1

¸. 0¹ b von links mit B 1

Durch Multiplikation des Gleichungssystems A x B 1 A x

§2 mit B 1 A ¨ ©1

B 1b

1 2

1

0

1 · 2

1

0

1

¸ 0¹

s2

12

erhält man das Gleichungssystem 2 x1  x1 

1

2 x2

 x3

x2



1

2

 s1

12 ,

welches in kanonischer Form vorliegt. Die Einheitsmatrix I ist den Variablen x3 und s1 , den Basisvariablen, zugeordnet, deren Werte nach Festlegung der Werte von x1 , x2 und s2 ermittelt werden können über

x3

12  2 x1 

s1

12 

x1 

1 2

x2 

1

2

s2

x2

Werden die Nichtbasisvariablen mit Wert null gewählt, sind x3 12 und 12 direkt ablesbar. Wird die Matrix A in die Teile B und N zerlegt mit A  B,N , dann gilt für B 1 A B 1 ( B, N ) ( I , B 1 N ). Damit steht die Basis in der Ausgangsmatrix s1

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

51

immer in den Spalten, in denen sich in dem transformierten Tableau die Einheitsspalten befinden und zwar in übereinstimmender Reihenfolge. Die Transformation des Gleichungssystems mittels erlaubter Transformation von Zeilen und Spalten, bis die zu den Basisvariablen gehörenden Spalten Einheitsspalten sind, liefert das gleiche Ergebnis wie die Multiplikation mit der Basisinversen von links.

y Ist B Basis von (1), so wird sie zulässige Basis von (1) genannt genau dann, wenn B 1 b t 0 ist. Ist B Basis von (1), so werden die Nichtbasisspalten mit N bezeichnet, entsprechend mit xB , xN , cB , cN die aufgeteilten Teilvektoren von x und c . Modell (1) kann dann dargestellt werden als: max z s.d .

§x · cNt ¨ B ¸ © xN ¹ §x ·  B N ¨ B ¸ b © xN ¹ xB , x N t 0

c

t B

Nach Multiplikation mit B 1 erhält man die folgende Form. max z

cBt xB 

cNt xN

s.d .

I x B  B 1 N x N

B 1 b

xB , x N t 0

Diese Gleichungssysteme werden jeweils verkürzt mittels eines Tableaus dargestellt, welches nach geeigneter Spaltenvertauschung folgende Darstellung hat. c Bt

c Nt

x Bt

x Nt

RS

cB xB

B -1 A

B -1 b

ǻz

-c t + c Bt B -1 A

c Bt B -1 b

bzw. c Bt

c Nt

t B

x Nt

RS

B -1 N

B -1 b

x cB

xB ǻz

I

-c t + c Bt B -1 A

c Bt B -1 b

52

Grundlagen linearer Optimierung

Bei dem Grundmodell der linearen Optimierung enthält das erste Gleichungssystem die Einheitsmatrix I , deren Inverse I 1 wieder I ist. Damit ist auch I 1 ˜ A IA A und I 1 ˜ b Ib b, das Ausgangstableau lässt sich folglich einfach angeben. §x ·

y Eine Lösung ¨ B ¸ des Gleichungssystems heißt Basislösung, falls alle Nicht© xN ¹ B 1b und xN

basisvariablen gleich null gesetzt sind. Dann gilt xB

y Eine Basislösung ist zulässig, falls xB

0.

B 1b t 0 gilt.

Eine zulässige Basislösung erfüllt folglich sowohl die Restriktionen als auch die Nichtnegativitätsbedingungen. Eine Basis ist also genau dann zulässig, wenn die zugehörige Basislösung zulässig ist. Beispiel Folgende 2x2 -Teilmatrizen B sind bis auf Spaltenvertauschung die Basen der Matrix A §1 A ¨ ©4 B1 B4 B7

§1 ¨ ©0 §1 ¨ ©4

0· ¸ 1¹ 1· ¸ 0¹ §1 1 · ¨ ¸ ©1 0 ¹

B2 B5 B8

1

0

1

1

2

0

§1 ¨ ©4 §1 ¨ ©4

1· ¸ 1¹ 0· ¸ 1¹ §1 0 · ¨ ¸ ©1 1 ¹

0· ¸ 1¹

B3 B6 B9

§1 ¨ ©4 §1 ¨ ©1

0· ¸ 2¹ 0· ¸ 2¹ §0 1· ¨ ¸ © 2 0¹

§ 0 0· ¨ ¸ ist keine Basis, da die Spalten linear abhängig sind © 2 1¹ und somit die Determinante gleich null ist und keine Inverse existiert. Die Teilmatrix D

Zu den übrigen Matrizen lauten die Inversen wie folgt.

B11

§ 1 0· ¨ ¸ © 0 1¹

B41

§0 ¨ ©1

1

4· ¸ 1  4¹

B21 B51

1 · §  13 3 ¨ 4 1 ¸  3¹ © 3 § 1 0· ¨ ¸ © 4 1 ¹

B31 B61

§ 1 0· ¨ 1 ¸ © 2 2 ¹ § 1 0· ¨ 1 1 ¸ ©  2 2¹

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

B71

§ 0 1· ¨ ¸ © 1 1¹

B81

§ 1 0· ¨ ¸ © 1 1 ¹

B91

§0 ¨ ©1

1

53

2·

¸ 0¹

Werden jeweils die Nichtbasisvariablen gleich null gesetzt, errechnen sich die §12 · Basisvariablenwerte mit B 1 ˜ ¨ ¸ für die unterschiedlichen Basen zu © 24 ¹ §s · B1 : ¨ 1 ¸ © s2 ¹ § x1 · B4 : ¨ ¸ © s1 ¹ §x · B7 : ¨ 2 ¸ © s1 ¹

§x · § x · § 4· §12 · B2 : ¨ 1 ¸ ¨ ¸ B3 : ¨ 1 ¸ ¨ ¸ © 24 ¹ © x2 ¹ © 8 ¹ © x3 ¹ § x1 · § 12 · § x2 · §6· B5 : ¨ ¸ ¨ ¨ ¸ ¸ B6 : ¨ ¸ ©6¹ © s2 ¹ © 24 ¹ © x3 ¹ § x2 · § 12 · § x3 · § 24 · ¨ ¸ B8 : ¨ ¸ ¨ ¸ B9 : ¨ ¸ © 12 ¹ © s2 ¹ © 12 ¹ © s1 ¹

§ 12 · ¨ ¸ © 12 ¹ § 12 · ¨ ¸ © 6¹ § 12 · ¨ ¸ © 12 ¹

Zulässige Basen mit zulässigen Basislösungen sind folglich B1 , B2 , B4 , B6 , B8 und B9 . Die erreichbaren Zielfunktionswerte sind: B1 : 0

B2 : 20

B4 : 6

B6 : 30

B8 : 24

B9 : 12

Die zulässigen Basislösungen sind gerade sämtliche Ecken des Zulässigkeitsbereichs. Die Basislösung mit dem höchsten Zielfunktionswert von 30 ist x2 12 und x3 6 und x1 s1 s2 0 . Die Theorie und Lösung linearer Gleichungssysteme ist Gegenstand der linearen Algebra und wird in Einführungen in die Mathematik behandelt, besonders in solchen, die sich an Wirtschaftswissenschaftler wenden (z. B. Jaeger u. Wäscher 1998, Luderer u. Würker 2005, Ohse 2005, Schwarze 2005, Sydsaeter u. Hammond 2004, Tietze 2005). Entsprechende Kenntnisse werden genutzt, um darauf aufbauend das Vorgehen des Simplexalgorithmus zu erläutern. 2.2.2 Lösung des Grundmodells mittels Simplexalgorithmus Das Simplexverfahren ist das bekannteste und am weitesten verbreitete Verfahren zur Lösung linearer Optimierungsmodelle. Es wurde ab 1947 von George Dantzig entwickelt und propagiert und seitdem fortlaufend verbessert. Die Bezeichnung leitet sich ab von Simplex, einem n -dimensionalen Polytop5 mit n  1 Ecken, z. B. Strecke, Dreieck, Tetraeder, und nimmt Bezug auf das Untersuchen des Lösungsraums eines linearen Modells.

5

Ein Polytop ist die konvexe Hülle einer endlichen Punktmenge, also ein beschränktes Polyeder.

54

Grundlagen linearer Optimierung

Die Erforschung und den frühen Einsatz des Simplexverfahrens zur Entscheidungsunterstützung haben neben Dantzig (1963) insbesondere von Neumann, Kantorovich, Leontief und Koopmans maßgeblich vorangetrieben, wie dem kurzen geschichtlichen Überblick von Dantzig (2002) zu entnehmen ist. Die Untersuchung linearer Ungleichungssysteme ist noch älter und die ersten linearen Optimierungsansätze 1939 von Kantorovich wurden zunächst nicht bekannt (Goldfarb u. Todd 1989). Idee des Simplexalgorithmus Es lässt sich zeigen, dass, wenn genau eine optimale Lösung eines linearen Optimierungsmodells existiert, diese in einer Ecke des zulässigen Polyeders liegt. Existieren mehrere optimale Lösungen, liegt mindestens eine von ihnen in einer zulässigen Ecke. Daher müssen nur Ecken hinsichtlich ihrer Optimalität untersucht werden. Es wird von einer zulässigen Basislösung eines linearen Optimierungsmodells ausgegangen. Diese entspricht einer Ecke des Zulässigkeitsbereichs. Durch Übergang von einer zulässigen zu einer benachbarten zulässigen Basislösung – durch Basistausch – wird schrittweise eine Verbesserung der Lösung bezüglich der Zielfunktion erreicht. In jedem Schritt wird eine aktuelle Basisvariable durch eine bisherige Nichtbasisvariable ersetzt. Die Aufnahmeregel sorgt dafür, dass in jedem Schritt eine Erhöhung des Zielfunktionswertes erreicht wird. Die Eliminationsregel stellt sicher, dass die nächste Basislösung zulässig ist. Mittels Optimalitätskriterium wird geprüft, ob eine weitere Verbesserung möglich ist oder ob eine optimale Lösung gefunden wurde. Aufnahme Ausgehend von einem Simplextableau wird die ' z -Zeile daraufhin überprüft, ob eine Verbesserung der Zielfunktion möglich ist. Im Einzelnen sind die Werte der ' z -Zeile wie folgt bezeichnet: m

ǻzj

c j  ¦ cBi a*ij

Kriteriumswert der Variable x j

i 1

cBi ist der Zielfunktionskoeffizient der i-ten Basisvariablen. a*ij das Element im aktuel-

len Tableau. * bezeichnet die bereits durchgeführte Multiplikation mit der aktuellen Basisinversen bzw. die durchgeführte Transformation. -' z j , also der mit  1 multiplizierte ' z j -Wert, gibt an, um wie viele Einheiten sich der Zielfunktionswert erhöht, wenn die Nichtbasisvariable x j um eine Einheit erhöht wird. Das Ausmaß der möglichen Erhöhung der Nichtbasisvariablen x j ist gemäß Eliminationskriterium begrenzt und kann null betragen. Eine Verbesserung der Zielfunktion ist nur durch Aufnahme solcher Nichtbasisvariablen x j möglich, für die ' z j  0 gilt. Wird das Minimum für mehrere Variablen angenommen, wird eine beliebige davon ausgewählt.

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

55

y Aufnahmekriterium xl wird in Basis aufgenommen, falls gilt

' zl

min ^' z j | j 1,..., n, ' z j  0` .

Kann in einem Schritt keine weitere Verbesserung erreicht werden, ist eine optimale Lösung gefunden.

y Optimalitätskriterium Gilt für alle (Nichtbasis-) Variablen x j

ǻ z j t 0,

 j = 1,..., n ,

dann ist die zulässige Basis optimal und die zugehörige Basislösung ist eine optimale Basislösung bzw. optimale Lösung des Modells. Elimination Wird die Variable xl in Basis aufgenommen, muss eine bisherige Basisvariable aus der Basis eliminiert werden. xl beansprucht ebenfalls Anteile der knappen „Kapazitäten“, und zwar ail* Einheiten der i-ten Kapazität, von der aktuell bi* Einheiten verfügbar sind. xl wird gegen diejenige Basisvariable xk ausgetauscht, deren „Kapazität“ als erstes ausgeschöpft ist. xl wird im nächsten Schritt dann den Wert

bk* annehmen. akl*

Achtung: Ist a*il d 0 , wird keine Kapazität verbraucht, sondern eventuell sogar freigesetzt. In diesem Fall könnte xl beliebig erhöht werden, ohne dass es hier zu einem Engpass kommt. Die zugehörige Basisvariable sinkt nicht auf null ab und kann somit nicht aus der Basis entfernt werden.

y Eliminationskriterium xk wird aus der Basis eliminiert, falls gilt bk* a*kl

­ b* ½ min ® i* | i 1,...,m,a*il ! 0 ¾ . ¯ ail ¿

Wird das Minimum für mehrere Basisvariablen angenommen, wird davon eine beliebige als Nichtbasisvariable gewählt. Die übrigen sind dann mit Wert null in Basis. Nimmt mindestens eine der Basisvariablen den Wert null an, spricht man von primaler Entartung. Ein Austausch gegen eine Nichtbasisvariable würde zu einer neuen Basis und gegebenenfalls einem anderen Tableau, aber der gleichen Lösung führen.

56

Grundlagen linearer Optimierung

Basistausch Durch Aufnahme- und Eliminationskriterium ist die neue Basis bestimmt. Die lSpalte wird neu in die Basis aufgenommen an der Position, an der die zu eliminierende Spalte steht. Es bleibt, den Basistausch im Gleichungssystem zu realisieren. Das bedeutet, dass eine Transformation des Gleichungssystems so vorgenommen wird, dass die l-te Spalte Einheitsspalte wird mit der Eins in der k-ten Zeile. Dies geschieht zweckmäßig durch Pivotisierung im Simplextableau, wie im Folgenden beschrieben wird. Pivot bezeichnet einen Drehpunkt bzw. „sich drehen“. Bezeichnungen: a*ij

Element der i-ten Zeile und j-ten Spalte

a*il

i-tes Element der Pivotspalte l

* kj

j-tes Element der Pivotzeile k

* kl

Pivotelement

* i

i-tes Element der rechten Seite

a a

b

Die entsprechenden Elemente des nächsten Tableaus werden jeweils durch gekennzeichnet, z. B. a*ij neu .

c1

x1

#

#

ci

xi

#

#

ck

xk

#

#

cm

xm

'z

c1 ! ci ! ck ! cm ! cm+1 ! cj ! cl

!

x1 ! xi ! xk ! xm ! xm+1 ! xj ! x l

!

RS

al*,m +1 ! al*, j ! al*,l

!

bl*

1 %

#

#

ai*,m +1 ! ai*, j ! ai*,l

1

#

%

#

#

% 1

!

#

!

* am ,l

bk* #

#

* am , j!

bi* #

#

ak* ,m +1 ! ak* , j ! ak* ,l

1

#

#

"

* bm

' zm+1 ! ' zj " ' zl "

z*

* am , m +1 !

Pivotspalte

Pivotzeile

neu

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

57

y Transformation akl ist Pivotelement.

Die Pivotspalte wird Einheitsspalte:

i

­1 ® ¯0

a*il neu

k

i 1,...,m

sonst

'zineu

0

bk*neu

bk* akl*

Die Pivotzeile wird durch das Pivotelement dividiert: akj*

akj*neu

j 1,..., n

akl*

 4k

Die Kreisregel gilt für alle übrigen Transformationen: a*kj ˜ a*il

i 1,...,m

izk

a

j 1,...,n

jzl

bk* ˜ a*il a*kl

i 1,...,m

izk

j 1,...,n

j z1

a*ij neu

a*ij 

bi* neu

bi* 

' z neu j

' zj 

z* neu

z* 

* kl

a*kj ˜ ' zl a*kl

bk* ˜ ' zl a*kl

Beispiel Nach Hinzufügung der Schlupfvariablen enthält A eine Einheitsmatrix und wegen I 1 ˜ A A und I 1 ˜ b b kann das erste Simplextableau direkt aufgestellt werden: 1 x1

2 x2

1 x3

0 s1

0 s2

RS

4

0

s1

1

1

0

1

0

12

12

0

s2

4

1

2

0

1

24

24

'z

-1

-2

-1

0

0

0

Basisvariablen sind s1 und s2 mit den aktuellen Werten 12 bzw. 24. Die Nichtbasisvariablen sind gleich null. Der aktuelle Zielfunktionswert ist 0 ˜12  0 ˜ 24 0 und die ' z -Werte bestimmen sich mit

58

Grundlagen linearer Optimierung

' zj

c j  cBt B 1a j

c j  cBt ˜ a j

und wegen cBi 0 für die beiden Basisvariablen jeweils zu c j für die Strukturvariablen bzw. 0 für die Schlupfvariablen. n

min ^' z j | z j  0` j 1

min ^1, 2, 1`

2

Damit wird x2 in die Basis aufgenommen, die zugehörige Spalte ist Pivotspalte. So wird sichergestellt, dass die nächste Lösung einen höheren Zielfunktionswert aufweist als die vorliegende. Aufgrund des Eliminationskriteriums mit m ­ b ½ min ® i ,ai 2 ! 0 ¾ i 1 ¯ ai 2 ¿

­12 24 ½ min ® , ¾ 12 ¯1 1 ¿

wird s1 aus der Basis eliminiert. Die erste Zeile ist Pivotzeile und a12 ist Pivotelement. Mittels Pivotisieren erhält man das transformierte Tableau mit der aktuellen Lösung x2 12 und s2 12 sowie dem Zielfunktionswert 24. Die aktuelle Basis §1 0 · ¨ ¸ , die ©1 1 ¹ zugehörige aktuelle Basisinverse steht im aktuellen Tableau dort, wo im Aus§ 1 0· gangstableau die Einheitsspalte stand, also unter s1 und s2 mit B81 ¨ ¸. © 1 1 ¹

findet sich im Ausgangstableau unter den Basisvariablen mit B8

x1

x2

x3

s1

s2

RS

4

2 x2

1

1

0

1

0

12

-

s2

3

0

2

-1

1

12

6

'z

1

0

-1

2

0

24

0

Nur die Aufnahme von x3 führt zu einer weiteren Verbesserung der Zielfunktion, daher wird x3 in Basis aufgenommen. x3 beansprucht keine Kapazität hinsichtlich der ersten Restriktion, wohl jedoch 2 Einheiten je Einheit von der aktuellen rechten Seite der zweiten Restriktion. Damit können maximal 6 Einheiten von x3 in Lösung sein, s2 nimmt dann genau den Wert null an und wird Nichtbasisvariable.

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

x1

x2

x3

s1

s2

RS

2 x2

1

1

0

1

0

12

1 x3

1,5

0

1

-0,5

0,5

6

'z

2,5

0

0

1,5

0,5

30

59

Da alle ' z -Werte größer oder gleich null sind, ist das Optimalitätskriterium erfüllt und die vorliegende Basislösung ist optimal. Also wird der optimale Zielfunktionswert 30 erreicht mit x2 12 , x3 6 und x1 s1 s2 0 . Für die optimale Lösung sind alle Restriktionen mit Gleichheit erfüllt, da die Schlupfvariablen sämtlich den Wert null annehmen. Damit sind alle Restriktionen bindend. Eine andere optimale Lösung gibt es für dieses Beispiel nicht, da die Erhöhung eines Wertes einer anderen, d.h. einer Nichtbasisvariablen, jeweils zu einer Verringerung des Zielfunktionswertes führt. Die optimale Basis ist also unter x2 , x3 im Ausgangstableau abzulesen und §1 0 · 1 ¨ ¸ . Die Basisinverse B6 1 2 © ¹ Endtableau zu entnehmen.

lautet B6

0 · § 1 ¨ ¸ ist dem optimalen © 0,5 0 ,5 ¹

Der ' z -Zeile des optimalen Endtableaus sind weitere Informationen zu entnehmen. Würde etwa eine Einheit von x1 produziert, könnte aufgrund der knappen Kapazitäten eine Einheit weniger von x2 und 1,5 Einheiten weniger von x3 produziert werden. Der Gesamtdeckungsbeitrag würde folglich um 2,5 Einheiten, dem ' z -Wert von x1 , sinken, den Opportunitätskosten von Produkt 1. Eine Aufnahme einer Einheit von s1 ließe den Deckungsbeitrag um 1,5 Einheiten, dem ' z -Wert von s1 , sinken. Würde die zugehörige Kapazität um eine Einheit erhöht, könnte der Gesamtdeckungsbeitrag entsprechend um 1,5 Einheiten steigen. Die ' z -Werte der Schlupfvariablen im Grundmodell der linearen Optimierung entsprechen den Schattenpreisen der Restriktionen. Detailliertere Ausführungen zu den Opportunitätskosten und Schattenpreisen erfolgen im Zusammenhang mit den Dualitätsbetrachtungen und Sensitivitätsanalysen in Kapitel 3.

2.2.3 Lösungsbesonderheiten Bei den bisher behandelten Beispielen war stets die Situation gegeben, dass genau eine optimale Lösung existierte, die dann mittels Simplexalgorithmus ermittelt wurde. Dies ist jedoch nicht immer so, wie im Folgenden gezeigt wird.

60

Grundlagen linearer Optimierung

Zulässige, keine optimale Lösung Es kann der Fall auftreten, dass es zwar zulässige Lösungen gibt, jedoch keine optimale Lösung existiert, da zu jeder zulässigen Lösung noch eine bessere gefunden werden kann. Diese Situation ist dadurch charakterisiert, dass der Zulässigkeitsbereich in Richtung steigender Zielfunktionswerte unbeschränkt ist. Beispiel max z s.d .

2 x1



4 x2

2 x1



3 x2

d 12

 x1



3 x2

d 18

x1 , x2 t 0

In diesem Beispiel können x1 und x2 unter Einhaltung der Restriktionen beliebig hohe Werte annehmen. Damit kann auch der Zielfunktionswert unendlich groß werden. Der unbeschränkte Zulässigkeitsbereich ist in Abb. 2.5 zu erkennen. Ausgehend von der Ecke im Nullpunkt ist durch schrittweisen Übergang zu einer t benachbarten Ecke eine Erhöhung der Zielfunktion möglich bis zur Ecke  6, 8 . Darüber hinaus ist eine beliebige Erhöhung des Zielfunktionswerts möglich, z. B. t durch Wahl geeigneter Punkte auf der Geraden R2 . Etwa  9 , 9 erzielt den Zielfunktionswert 54.

Abb. 2.5. Unbeschränkter Zulässigkeitsbereich

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

61

Bei Anwendung des Simplexalgorithmus lässt sich dieser Fall daran erkennen, dass die Optimalitätsbedingung nicht erfüllt werden kann: In einem Tableau tritt mindestens ein ' zl  0 auf, jedoch ist die Elimination einer bisherigen Basisvariablen nicht möglich, da ail d 0 für alle i 1,..., m gilt. Der Simplexalgorithmus bricht ab mit der Information, dass zulässige, jedoch keine optimalen Lösungen existieren.

Beispiel Das Modell wird um die Schlupfvariablen erweitert, das Ausgangstableau aufgestellt und der Simplexalgorithmus angewandt. 2 x1

4 x2

0 s1

0 s2

RS

4

0

s1

-2

3

1

0

12

4

0

s2

-1

3

0

1

18

6

'z

-2

-4

0

0

0

x1

x2

s1

s2

RS

4

- 2 /3

1

1/

3

0

4

-

s2

1

0

-1

1

6

6

'z

-14/3

0

4/

0

16

4 x2 0

3

x1

x2

s1

s2

RS

4

4 x2

0

1

-1/3

2/ 3

8

-

2 x1

1

0

-1

1

6

-

'z

0

0

-10/ 3

14/ 3

44

Keine Pivotzeile bestimmbar

s1 sollte in die Basis aufgenommen werden, da jede zusätzliche Einheit von s1 den Zielfunktionswert um 10 3 Einheiten erhöht. Dies führt jedoch nicht zu einer Verringerung von x1 oder x2 , sondern vielmehr zu deren Erhöhung. Die Gleichungen lauten x2 x1

 1 3 s1  2 3 s2  s1  s2

8 6

62

Grundlagen linearer Optimierung

Mit der Nichtbasisvariablen s2 s1 auch x1 und x2 steigen.

0 zeigt sich unmittelbar, dass bei steigendem

x2 x1

8  1 3 s1 s1 6 

Keine der beiden Variablen nimmt bei wachsendem s1 den Wert null an. Der Zielfunktionswert kann also beliebig hoch steigen. Ist es in einem Simplextableau möglich, eine Pivotspalte l zu bestimmen, jedoch keine Pivotzeile, da alle ail d 0 sind, so zeigt dies, dass der Lösungsraum in Richtung Zielfunktionsverbesserung unbeschränkt ist und keine optimale Lösung existiert. Das Aufnahmekriterium zeigt hier an, welche Variable zusätzlich zu den Basisvariablen beliebige positive Werte annehmen und so die Zielfunktion unendlich verbessern kann. Da in der Praxis unendlich hohe Zielfunktionswerte üblicherweise nicht zu erreichen sind, ist ein derartiges Ergebnis meist ein Zeichen dafür, dass begrenzende Bedingungen der Realität in dem Modell noch nicht ausreichend berücksichtigt sind.

Mehrere Lösungen sind optimal Gelegentlich gibt es nicht nur eine, sondern mehrere optimale Lösungen, die dann denselben Zielfunktionswert besitzen. Aufgrund der mathematischen Struktur des linearen Optimierungsmodells liegen die optimalen Lösungen auf dem Rand des Zulässigkeitsbereichs. Daher sind bei mehreren optimalen Lösungen in einem beschränkten Zulässigkeitsbereich mindestens zwei Ecken, d. h. Basislösungen, optimal und alle Punkte auf ihrer Verbindung. Ist der Zulässigkeitsbereich unbeschränkt, können mehrere optimale Lösungen auch bei nur einer optimalen Basislösung vorkommen. Beispiel Optima Bei Optima hat sich herausgestellt, dass der Deckungsbeitrag für Produkt B nur 1,5 statt 2 GE pro Stück beträgt. Optima modifiziert daher die Zielfunktion aus dem ersten Beispiel. Lineares Optimierungssystem Optima II max z

3 x A  1,5 xB

Modifizierte Zielfunktion

s.d .

2 xA 

xB d 22

Produktionsstufe 1

xA 

2 xB d 23

Produktionsstufe 2

4 xA 

xB d 40

Produktionsstufe 3

x A ,xB t 0

NNB

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

63

Abb. 2.6. Optima II: mehrere optimale Lösungen

Abb. 2.6 zeigt, dass die Isozielfunktionslinien nun parallel zu Restriktion R1 verlaufen. Es gibt nun unendlich viele optimale Lösungen, und zwar die zwei Eckpunkte und alle Punkte auf der Strecke dazwischen. Die Anwendung des Simplexalgorithmus liefert nach zwei Iterationen ein optimales Endtableau.

3 xA

3/

xB

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

2

0

s1

2

1

1

0

0

22

11

0

s2

1

2

0

1

0

23

23

0

s3

4

1

0

0

1

40

10

'z

-3

- 3 /2

0

0

0

0

xA

xB

s1

s2

s3

RS

4

0

s1

0

1/

2

1

0

- 1 /2

2

4

0

s2

0

7/

4

0

1

- 1 /4

13

52/

xA

1

1/

4

0

0

1/

4

10

40

'z

0

-3 /4

0

0

3/

4

30

3

7

64

Grundlagen linearer Optimierung

Optimales Endtableau:

xA

xB

s1

s2

s3

RS

0

1

2

0

-1

4

s2

0

0

- 7 /2

1

3/

2

6

3 xA

1

0

- 1 /2

0

1/

2

9

'z

0

0

3/

0

0

3/ x 2 B

0

2

33

Die optimale Lösung ist ablesbar mit x A 9, xB 4, s2 6 für die Basisvariablen und s1 s2 0 für die Nichtbasisvariablen. Der erreichte Zielfunktionswert ist mit 33 aufgrund des verringerten Deckungsbeitrags von xB nun geringer als der optimale Wert von 37 in dem Ausgangsbeispiel. Eine genaue Betrachtung des Tableaus zeigt, dass ein ' z -Wert von null auch bei der Nichtbasisvariablen s3 auftritt, diese also in Basis aufgenommen werden kann, ohne den Zielfunktionswert zu verändern. Für die Aufnahme von s3 ist s2 zu eliminieren und das neue Tableau zu berechnen. Weiteres optimales Endtableau:

xA

xB

s1

s2

s3

RS

0

1

- 1 /3

2/

3

0

8

s3

0

0

- 7 /3

2/

3

1

4

3 xA

1

0

2/

3

- 1 /3

0

7

'z

0

0

3/

2

0

0

33

3/ x 2 B

0

Dieses zweite optimale Endtableau zeigt die zweite optimale Basislösung mit x A 7, xB 8, s3 4 und s1 s2 0, auch diese wieder mit dem Zielfunktionswert 33. Außerdem sind alle Punkte dazwischen optimal, sodass die Menge der optimalen Lösungen für dieses Modell lautet

L

­§ x A · °¨ ¸ °¨ xB ¸ °¨ ¸ ® s1 °¨ s ¸ °¨ 2 ¸ °¯¨© s3 ¸¹

§ xA · ¨ ¸ ¨ xB ¸ ¨ s1 ¸ ¨ ¸ ¨ s2 ¸ ¨s ¸ © 3 ¹

½ §9· §7· ° ¨ ¸ ¨ ¸ ° ¨ 4¸ ¨8 ¸ ° O ¨ 0 ¸  1  O ¨ 0 ¸ , O  > 0, 1@¾ ¨ ¸ ¨ ¸ ° ¨6¸ ¨0¸ ° ¨0¸ ¨ 4¸ °¿ © ¹ © ¹

Mit O 12 ist z. B. auch x A 8, xB 6, s1 0, s2 3 und s3 2 eine optimale Lösung, die keine Basislösung ist. Da diese keine der Kapazitäten der 2.

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

65

und 3. Produktionsstufen vollständig ausschöpft, wird sie in der Praxis möglicherweise den extremen Ausprägungen vorzuziehen sein. Es gibt unendlich viele optimale Produktionsprogramme, von denen eines auszuwählen ist. Die Existenz mehrerer optimaler Lösungen eines linearen Optimierungsmodells ist dem optimalen Endtableau zu entnehmen. Ist der zu einer Nichtbasisvariablen gehörende ' z -Wert gleich null, kann diese in Basis aufgenommen werden und der Austausch führt ebenfalls zu einer optimalen Lösung. Außer für den Sonderfall, dass der neue Wert der Variablen nach Aufnahme in die Basis null bleibt, erhält man eine andere optimale Basislösung. In diesem Fall existieren unendlich viele optimale Lösungen. Sind x1 ,..., x k optimale Basislösungen, dann sind auch alle Konvexkombinationen optimale Lösungen des Modells

L

k

­ n ®x   | x ¯

¦ O x , O  >0, 1@ i

i

i

k

mit

i 1

¦O

i

i 1

½ 1¾ ¿

Ist in einem optimalen Endtableau der ' z -Wert mindestens einer Nichtbasisvariablen gleich null, bezeichnet man dies als duale Entartung. Diese ist notwendige Voraussetzung für die Existenz mehrerer optimaler Lösungen. Damit ist eine optimale Lösung x 0   n , für die im optimalen Tableau keine Nichtbasisvariablen ' z -Werte gleich null aufweisen, einzige optimale Lösung, also L ^ x 0 ` .

Mehr als die erforderlichen Restriktionen bestimmen eine Ecke Im  2 bestimmen zwei unterschiedliche Geraden eindeutig den Schnittpunkt, im  3 drei unterschiedliche Flächen usw. Möglicherweise ist eine Ecke durch mehr als die jeweils notwendige Anzahl Restriktionen bestimmt. Dies ist bei Anwendung des Simplexalgorithmus daran erkennbar, dass das Eliminationskriterium die Elimination mehrerer Basislösungen gleichermaßen erlaubt, da das Minimum der 4 -Werte nicht eindeutig ist. Meist wird im Laufe der nächsten Iterationen diese Ecke des Zulässigkeitsbereichs wieder verlassen, wenn sie noch nicht optimal ist. Beispiel Optima III Ergänzend wird eine weitere Restriktion zu dem Ausgangstableau Optima I hinzugefügt, die den Zulässigkeitsbereich im Punkt  9, 4 berührt. max z s.d .

3 xA



2 xB

2 xA



1 xB

d

22

Produktionsstufe 1

1 xA



2 xB

d

23

Produktionsstufe 2

4 xA



1 xB

d

40

Produktionsstufe 3

d

21

zusätzliche Restriktion 1

2 xA



3

4 xB

x A ,xB t 0

NNB

66

Grundlagen linearer Optimierung

Abb. 2.7. Zulässigkeitsbereich Optima III

Die Berechnung führt zunächst zu folgenden zwei Tableaus:

3 xA

2 xB

0 s1

0 s2

0 s3

0 s4

RS

4

0

s1

2

1

1

0

0

0

22

11

0

s2

1

2

0

1

0

0

23

23

0

s3

4

1

0

0

1

0

40

10

0

s4

2

3/

4

0

0

0

1

21

21/

'z

-3

-2

0

0

0

0

0

xA

xB

s1

s2

s3

s4

RS

4

2

0

s1

0

1/

2

1

0

- 1 /2

0

2

4

0

s2

0

7/

4

0

1

- 1 /4

0

13

52/

3

xA

1

1/

4

0

0

1/

4

0

10

40

0

s4

0

1/

4

0

0

- 1 /2

1

1

4

'z

0

- 5 /4

0

0

3/

0

30

4

7

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

67

Aufzunehmen ist die Variable xB , das Eliminationskriterium ist für mehrere Basisvariablen erfüllt. Bei Aufnahme von xB mit 4 Einheiten nehmen sowohl s1 als auch s4 den Wert null an. Eine beliebige der beiden Variablen, hier s1 , wird aus der Basis eliminiert. Die andere bleibt dann in Basis mit Wert null, wie das nächste Tableau zeigt. In einem weiteren Simplexschritt erhält man das optimale Endtableau. xA

xB

s1

s2

s3

s4

RS

4

2

xB

0

1

2

0

-1

0

4

-

0

s2

0

0

-7/2

1

0

6

4

3

xA

1

0

-1/2

0

0

9

18

0

s4

0

0

-1/2

0

1

0

-

'z

0

0

5/ 2

0

3/ 2 1/ 2 1 - /4 -1/2

0

35

xA

xB

s1

s2

s3

s4

RS

2 xB

0

1

-1/3

0

0

8

0

s3

0

0

1

0

4

3

xA

1

0

0

0

7

0

s4

0

0

0

1

1

'z

0

0

0

0

37

2/ 3 7 2 - /3 /3 2/ -1/3 3 -13/12 1/6 4/ 1/ 3 3

Ist eine Ecke des Lösungsraums durch Restriktionen überbestimmt, existieren für dieselbe Ecke unterschiedliche Basisdarstellungen. Da die Basislösungen jedoch übereinstimmen, bedeutet dies, dass jeweils mindestens eine der Basisvariablen den Wert null besitzt. Ist mindestens eine Variable mit Wert null in Basis, spricht man von primaler Entartung. Bei der Lösung von Modellen realer Probleme mittels Simplexalgorithmus kann u. U. aufgrund des Eliminationskriteriums die Ecke nicht verlassen werden, da nur zwischen verschiedenen Basen gewechselt wird. Standardprogramme zur linearen Optimierung verhindern ein solches Kreisen in einer Ecke und gehen zu einer besseren benachbarten Ecke weiter.

68

Grundlagen linearer Optimierung

Mehr als die erforderlichen Restriktionen bestimmen eine optimale Ecke Tritt die Situation auf, dass nicht eine beliebige, sondern die optimale Ecke des Lösungsraums durch mehr als die erforderlichen Restriktionen bestimmt ist, können unterschiedliche Basisdarstellungen dennoch für dieselbe, einzige optimale Lösung stehen. Beispiel Optima IV Ausgehend von dem Grundmodell wird eine andere zusätzliche Restriktion 2 hinzugefügt, die den Lösungsraum in der optimalen Ecke schneidet. max z s.d .

3 xA



2 xB

2 xA



1 xB

d

22

Produktionsstufe 1

1 xA



2 xB

d

23

Produktionsstufe 2

4 xA



1 xB

d

40

Produktionsstufe 3

3 xA



3,5 xB

d

49

zusätzliche Restriktion 2

x A ,xB t 0

Abb. 2.8. Zulässigkeitsbereich Optima IV

NNB

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

Es ergeben sich folgende Berechnungen:

3 xA

2 xB

0 s1

0 s2

0 s3

0 s4

RS

4

0

s1

2

1

1

0

0

0

22

11

0

s2

1

2

0

1

0

0

23

23

0

s3

4

1

0

0

1

0

40

10

0

s4

3

7/

2

0

0

0

1

49

49/

'z

-3

-2

0

0

0

0

0

xA

xB

s1

s2

s3

s4

RS

4

3

0

s1

0

1/

2

1

0

- 1 /2

0

2

4

0

s2

0

7/

4

0

1

- 1 /4

0

13

52/

3

xA

1

1/

4

0

0

1/

4

0

10

40

0

s4

0

0

0

- 3 /4

1

19

0

11/ 4 5 - /4

0

0

3/

4

0

30

xA

xB

s1

s2

s3

s4

RS

4

'z

76/

11

2

xB

0

1

2

0

-1

0

4

-

0

s2

0

0

- 7 /2

1

3/

2

0

6

4

3

xA

1

0

- 1 /2

0

1/

2

0

9

18

0

s4

0

0

-11/2

0

2

1

8

4

'z

0

0

5/

0

- 1 /2

0

35

2

7

69

70

Grundlagen linearer Optimierung

Eines der optimalen Endtableaus:

xA

xB

s1

s2

s3

s4

RS

2

xB

0

1

-1/3

2/

3

0

0

8

0

s3

0

0

-7/3

2/

3

1

0

4

3

xA

1

0

2/

3

- 1 /3

0

0

7

0

s4

0

0

-5/6

- 4 /3

0

1

0

'z

0

0

4/

1/

0

0

37

3

3

Wäre im vorherigen Schritt an Stelle von s2 die Schlupfvariable s4 aus der Basis eliminiert worden, hätte man das folgende optimale Endtableau erhalten.

xA

xB

s1

s2

s3

s4

RS

1/ 2 3 - /4 -1/4 1/ 2 1/ 4

8

2

xB

0

1

-3/4

0

0

0

s2

0

0

1

0

3

xA

1

0

0

0

0

s3

0

0

0

1

'z

0

0

5/ 8 7/ 8 11 - /4 9/ 8

0

0

0 7 4 37

Beide optimale Endtableaus zeigen die primale Entartung der optimalen Lösung, d. h. dass eine andere Basisdarstellung dieser Ecke möglich ist. Da in beiden Fällen für alle Nichtbasisvariablen die ' z -Werte ungleich null sind, wird auch angezeigt, dass die ermittelte optimale Lösung die einzige ist. Die Menge aller Lösungen besteht nur aus einem Element. L

^ 7, 8, 0, 0, 4 ` t

Nachdem nun die verschiedenen Situationen bei Lösung des Grundmodells linearer Optimierung vorgestellt sind, fasst das Struktogramm in vergröberter Form den Ablauf des Simplexalgorithmus zusammen. Da von dem Grundmodell ausgegangen wird, ist die Existenz mindestens einer zulässigen Lösung, nämlich x 0 , s b , sichergestellt.

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

71

Struktogramm des Simplexalgorithmus für das Grundmodell

Initialisierung: Ausgangsgleichungssystem Ax = b, x t 0 Zielfunktion ct x, j = 1,…,n Variablenindizes Wähle eine zulässige Ausgangsbasislösung (Strukturvariablen = 0) Bestimme ' zj für alle Nichtbasisvariablen Existiert mindestens ein ' zj < 0?

Ja Aufnahmeregel: Bestimme Index l

Aktuelle Basislösung ist optimal

n

mit ' zl

Nein

min ^' z j ` j 1

l-te Spalte: Pivotspalte Gibt es ail* > 0? Ja Eliminationsregel: Bestimme m ­ b* ½ Ĭk = min ® i* ,a*il > 0¾ i=1 ¯ ail ¿

k-te Zeile: Pivotzeile

Nein Es existiert keine optimale Basislösung, der Lösungsraum ist in Richtung der Zielfunktion unbeschränkt

Pivotisieren: Bestimme neues Tableau

Ein weiteres Beispiel behandelt die Aufstellung und Lösung eines Modells zur Entscheidungsunterstützung im primären Wirtschaftssektor, in Kapitel 4 werden vielfältige weitere Einsatzgebiete linearer Optimierungsmodelle vorgestellt.

Beispiel Landwirtschaft Ein Landwirt beabsichtigt, seinen 1 ha = 10.000 qm großen Acker teils mit Blumen und teils mit Gemüse zu bestellen. Er erwartet, pro qm Blumen einen Deckungsbeitrag von 2,5 GE zu erzielen, pro qm Gemüse 1 GE. Die Beschaffung des

72

Grundlagen linearer Optimierung

Saatguts erfordert Mittel in Höhe von 1 GE pro zu bepflanzendem qm Blumen und 0,5 GE pro qm Gemüse, wofür insgesamt maximal 8000 GE verwendet werden sollen. Wie viel Acker soll mit Blumen und wie viel mit Gemüse bepflanzt werden, um ein optimales Ergebnis zu erreichen? Entscheidungsvariablen sind x1 für die mit Blumen zu bestellenden qm und x2 für die mit Gemüse zu bepflanzenden qm. Unter ökonomischen Gesichtspunkten ist der erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag zu maximieren. 2 ,5 x1 

max

1 x2

Zu beachten ist die Maximalgröße des Ackers, der verfügbar ist. 1 x1 

1 x2 d 10.000

Weiterhin muss das Budget eingehalten werden. 1 x1  0,5 x2 d

8.000

Natürlicherweise sind die Nichtnegativitätsbedingungen einzuhalten. x1 ,x2 t 0

Die Lösung des linearen Optimierungsmodells erfolgt in einer Iteration, wie den beiden Tableaus zu entnehmen ist. 2,5 x1

1 x2

0 s1

0 s2

RS

4

0

s1

1

1

1

0

10000

10000

0

s2

1

0,5

0

1

8000

8000

'z

-2,5

-1

0

0

0

x1

x2

s1

s2

RS

s1

0

0,5

1

-1

2000

2,5 x1

1

0,5

0

1

8000

'z

0

0,25

0

2,5

20000

0

Der optimale erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag beträgt 20.000 GE. Es werden nur Blumen und kein Gemüse angebaut. Die Schlupfvariable s1 mit Wert 2.000 in Basis zeigt, dass nicht die gesamte Fläche bepflanzt wird, vielmehr 2.000 qm brach liegen werden. Den Engpass stellt das knappe Budget dar. Könnte dieses

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

73

erhöht werden, würde ein weiterer Teil der verfügbaren Fläche mit Blumen bepflanzt und pro Einheit ein zusätzlicher Deckungsbeitrag von 2,5 erzielt werden.

Abb. 2.9. Zulässigkeitsbereich Beispiel Landwirtschaft

Wird verlangt, dass die gesamte Fläche bepflanzt wird, reduziert sich der Zut t lässigkeitsbereich erheblich auf die Linie von  6000, 4000 bis  0, 10000 . Die optimale Bepflanzung besteht dann aus 6.000 qm Blumen und 4.000 qm Gemüse. Das zugehörige lineare Optimierungsmodell lautet: max z s.d .

2,5 x1 

x2

x1 

x2

x1  0 ,5 x2

10.000 d

8.000

x1 ,x2 t 0

Da hier das Grundmodell der linearen Optimierung aufgrund der -Restriktion nicht vorliegt, ist mit dem bisher beschriebenen Algorithmus eine Lösung nicht möglich, da nicht direkt eine zulässige Ausgangsbasislösung angegeben werden kann. Die sonst übliche Nullalternative, d. h. weder Gemüse noch Blumen anzubauen, ist hier nicht zulässig, da die Gesamtfläche bepflanzt werden muss. Im Folgenden werden Erweiterungen und Modellmodifikationen vorgestellt, mit denen beliebige lineare Optimierungsmodelle mittels Simplexalgorithmus gelöst werden können bzw. der Nachweis geführt wird, dass keine Lösung bzw. keine optimale Lösung existiert.

74

Grundlagen linearer Optimierung

2.2.4 Aufgaben

Aufgabe 2.2.1 Bei der Krümelmonster GmbH soll für die beiden Produkte klassische Butterkekse, Variable x1, und Butterkekse mit Schokoladenüberzug, Variable x2, das deckungsbeitragsmaximale Produktionsprogramm ermittelt werden. Das zugehörige lineare Programm ist bereits formuliert: max z = 8 x1  28 x2 s.d .

x1  2 x2 d 54 d 21

x1

x2 d 33 x1 , x2 t 0 Ermitteln Sie die Menge aller optimalen Lösungen mit Hilfe des Simplexalgorithmus. Wie hoch ist der erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag? Ist es vorteilhaft, die Kapazität der ersten Produktionsstufe zu erhöhen? Welche Konsequenzen hat die Produktion einer weiteren Einheit klassischer Butterkekse?

Aufgabe 2.2.2 Der Betreiber eines mobilen Heißgetränkeverkaufs beabsichtigt vor der Mensa einer Universität Kaffee und Espresso anzubieten. Da sein Mini Cooper nur über begrenzte Kapazität verfügt und sehr viele Studierende die Mensa täglich aufsuchen, kann er davon ausgehen, dass seine Absatzzahlen nur von seinen Vorräten an Wasser, Bechern und Plätzchen begrenzt werden. a) Lohnt sich der Verkauf, wenn das folgende Modell seine tägliche Situation beschreibt und gleichzeitig die Universität 20 € Standgebühr pro Tag erhebt? Wie viel Kaffee x1 und Espresso x2 sollte pro Tag verkauft werden, um den Deckungsbeitrag zu maximieren? max z = 0, 2 x1  0, 4 x2 s.d .

0, 2 x1  0,1 x2 d x1 

Deckungbeitrag 50

Wasser

x2 d 300

Becher

x2 d 100

Plätzchen

x1 , x2 t 0

b) Wie lautet das beste Angebot, falls Wasser, Becher und Plätzchen in beliebiger Kombination bis zur Erreichung der Mini Cooper-Kapazität mitgenommen werden, wobei der Platzbedarf für 1 Liter Wasser dem von 10 Bechern bzw. 20 Plätzchen entspricht?

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

75

Aufgabe 2.2.3 Ein Unternehmen bietet vier Produkte an, die sämtlich drei Produktionsstufen durchlaufen. Aufgrund knapper Produktionskapazitäten ist zu entscheiden, wie viel von welchem Produkt in der nächsten Periode zur Erzielung eines möglichst hohen Gesamtdeckungsbeitrags zu fertigen ist. Ermitteln Sie alle optimalen Lösungen des folgenden Modells: max z = 20 x1  40 x2  35 x3  80 x4 s.d .

x1  4 x2  2 x3 

5 x4 d 60

3 x1  6 x2  3 x3 

3 x4 d 72

3 x1 

2 x4 d 76

x2  2 x3 

x1 , x2 , x3 , x4 t 

Aufgabe 2.2.4 Lösen Sie die folgenden linearen Optimierungsmodelle mittels Simplexalgorithmus, geben Sie alle Lösungen an und erläutern Sie die Lösungen. Gehen Sie auf Besonderheiten ein. Sollte der Simplexalgorithmus keine optimale Lösung ermitteln, geben Sie die beste festgestellte Lösung an. a)

max z =

x1  2 x2

s.d .

x1  2 x2 d 10 x1  4 x2 d 16 d

x1

5

x1 , x2 t 0

b)

x1  2 x2

max z =

2 x1 

s.d .

0,5 x1 

x2 d

15

x2 d 2,5 x2 d

5

x1 , x2 t 0

c)

x1  2 x2

max z =

x2 d 10

s.d .  2 x1  2

5

x1 

x2 d

5

x2 d

8

x1 , x2 t 0

d)

max z = s.d .

x1 

x2

2 x1  2 x2 d x1 , x2 t 0

4

3 Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

3.1 Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle 3.1.1 Ermittlung einer zulässigen Ausgangslösung Nicht immer weist das lineare Optimierungsmodell, welches eine reale Entscheidungssituation adäquat abbildet, die für das Grundmodell charakteristischen Eigenschaften auf. Damit ist der bisher vorgestellte Simplexalgorithmus zur Lösung nicht unmittelbar einsetzbar. Mittels welcher Maßnahmen dennoch effizient eine optimale Lösung ermittelt werden kann, wird im Folgenden behandelt. Beispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung Optima Bei Optima hat sich ergeben, dass bei der Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms zusätzliche Anforderungen zu berücksichtigen sind. Dem Kundendienst wurde zugesagt, dass mindestens 5 Einheiten produziert werden, wobei die Kombination der Produkte A und B beliebig ist. Aufgrund technischer Gegebenheiten ist zusätzlich folgender Produktionszusammenhang zwischen den Produkten A und B zu gewährleisten:

xA

6 

1 3

xB

Damit ist das ursprüngliche lineare Optimierungsmodell um eine t -Restriktion und eine -Restriktion zu ergänzen. Das neue Modell ist nicht in Standardform und die Alternative, nichts zu produzieren, erfüllt die beiden zusätzlichen Anforderungen nicht. Abb. 3.1 veranschaulicht den resultierenden Zulässigkeitsbereich. Die Schraffuren deuten für jede d - und t -Restriktion den zulässigen Halbraum an. Da die Gleichheitsrestriktion R5 nur durch die auf der entsprechenden Geraden liegenden Punkte erfüllt ist, ist der Zulässigkeitsbereich stark eingeschränkt und umfasst nur noch den fettgezeichneten Teil dieser Geraden.

78

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

Lineares Optimierungsmodell Optima V max z = 3 x A  2 xB s.d.

2 xA 

1 xB

d 22

R1 : Produktionsstufe1

1 x A  2 xB

d 23

R2 : Produktionsstufe 2

4 xA 

d 40

R3 : Produktionsstufe 3

t 5

R4 : Kundendienst

1 xB

1 xA 

1 xB 1 x A  13 xB

6

R5 : Produktionsbedingung

xA , xB t 0

NNB

Abb. 3.1. Zulässigkeitsbereich Optima V

Zur Ermittlung einer optimalen Lösung wird auch für dieses Modell zunächst durch Hinzufügung von Schlupfvariablen ein äquivalentes Gleichungssystem aufgestellt. Alle Schlupfvariablen müssen die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen, daher ist die Kundendienst-Schlupfvariable s4 mit negativem Vorzeichen einzufügen und erfasst die Produktionsmenge, die über die Mindestanforderung des Kundendienstes von 5 ME hinausgeht. x A  xB  s4

5

Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle

79

Die fünfte Restriktion ist bereits als Gleichung formuliert, sodass das resultierende äquivalente Gleichungssystem lautet: 2 xA 1

x A  2 xB

4 xA 1 1

 1 xB  s1  1 xB

x A  1 xB xA 

1 3

22

 s2

23

 s3

40

 s4

xB

5 6

x A , xB , s1 , s2 , s3 , s4 t 0

Da dieses Gleichungssystem nicht in kanonischer Form vorliegt, d. h. keine Einheitsmatrix enthalten ist, kann nicht unmittelbar eine zulässige Ausgangslösung abgelesen werden. Der Simplexalgorithmus ist somit nicht direkt anwendbar, vielmehr ist zunächst eine zulässige Basislösung zu ermitteln, von der aus dann, wie bekannt, durch schrittweise Verbesserung bei Übergang zu einer benachbarten Basislösung die optimale Lösung bestimmt wird. Groß-M-Methode Auch für das Auffinden einer ersten zulässigen Lösung lässt sich der Simplexalgorithmus einsetzen. Zunächst wird ein Hilfsmodell formuliert, zu welchem eine Ausgangslösung einfach angegeben werden kann. Zu diesem wird eine optimale Lösung durch Einsatz des Simplexalgorithmus ermittelt. Falls diese zulässig bezüglich des Ausgangsmodells ist, ist sie auch optimale Lösung des ursprünglichen Modells. Das Hilfsmodell wird aufgestellt, indem der Zulässigkeitsbereich durch das Hinzufügen von Hilfsvariablen zunächst künstlich vergrößert wird, sodass im Nullpunkt gestartet werden kann. Diese Hilfsvariablen werden in der Zielfunktion mit sehr hohen Strafkosten (Groß-M) versehen, da diese Variablen unbedingt sämtlich den Wert null annehmen sollen. Durch schrittweise Verbesserung der Zielfunktion bei Anwendung des Simplexalgorithmus wird erreicht, dass die Hilfsvariablen aus der Basis entfernt werden, d. h. den Wert null annehmen, und damit der Zulässigkeitsbereich wieder reduziert wird. Lässt sich die Entfernung der Hilfsvariablen aus der Basis auf diese Weise nicht erreichen, dann ist sie überhaupt nicht möglich. Das bedeutet dann, dass zu dem ursprünglichen Modell keine zulässige Lösung existiert, die Anforderungen folglich nicht alle gleichzeitig erfüllbar sind. Im Beispiel wird nun für die vierte und fünfte Gleichung jeweils eine Hilfsvariable eingefügt, die ebenfalls die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen müssen. Die Strafkosten je Einheit der Hilfsvariablen werden mit –M in die Zielfunktion aufgenommen. M steht für eine sehr große reelle Zahl, die ggf. problemabhängig zu konkretisieren ist.

80

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

max z

3 x A  2 xB  0 s1  0 s2  0 s3  0 s4  M h4  M h5

s.d .

2 x A  1 xB  1 x A  2 xB 4 x A  1 xB

s1

22 

s2

23 

s3

1 x A  1 xB 1 xA 

1

3

xB

40 

s4 

h4

5 

h5

6

x A , xB , s1 , s2 , s3 , s4 , h4 , h5 t 0

Die Hinzufügung der Hilfsvariablen h4 hat denselben Effekt wie eine Verschiebung der t -Restriktion. Beispielsweise für h4 5 lautet die resultierende Anforderung an die Strukturvariablen x A  xB t 0 und lässt damit den Nullpunkt zu. Positive Werte von h5 lassen entsprechende Unterschreitungen der rechten Seite zu. Damit wird der Zulässigkeitsbereich der fünften Restriktion künstlich auf einen Halbraum, also wie bei einer d -Restriktion, ausgedehnt. Abb. 3.2 zeigt den gegenüber dem Ausgangsmodell wesentlich vergrößerten Zulässigkeitsbereich des Hilfsmodells.

Abb. 3.2. Zulässigkeitsbereich Hilfsmodell Optima V

Zu beachten ist, dass nicht alle Lösungen des Hilfsmodells zulässig für das Ausgangsmodell, jedoch alle Lösungen des Ausgangsmodells zulässig bezüglich

Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle

81

des Hilfsmodells sind. Der ursprüngliche Zulässigkeitsbereich stellt also eine Teilmenge des Zulässigkeitsbereichs des Hilfsmodells dar. Dieses Hilfsmodell besitzt kanonische Form, sodass die erste zulässige Basislösung unmittelbar ablesbar ist. Sie lautet x A xB s4 0 , s1 22 , s2 23 , s3 40 , h4 5 , h5 6 . Diese positiven Werte der Hilfsvariablen weisen auf das Ausmaß der Verletzung der ursprünglichen Restriktionen hin. 3 xA

2 xB

0 s1

0 s2

0 s3

0 s4

-M h4

-M h5

RS

4

0

s1

2

1

1

0

0

0

0

0

22

11

0

s2

1

2

0

1

0

0

0

0

23

23

0

s3

4

1

0

0

1

0

0

0

40

10

-M h4

1

1

0

0

0

-1

1

0

5

5

-M h5

1

- 1/ 3

0

0

0

0

0

1

6

6

0

0

0

M

0

0

-11M

'z

-2M-3 -2/3M-2

Der Zielfunktionswert mit -11M zeigt ebenso wie die in der Basis enthaltenen Hilfsvariablen an, dass diese Lösung bezüglich des ursprünglichen Modells nicht zulässig ist. Aufgrund des Aufnahmekriteriums wird x A in die Basis aufgenommen. Das Eliminationskriterium bestimmt als zu eliminierende Variable h4 . xA

xB

s1

s2

s3

s4

h4

h5

RS

4

0

s1

0

-1

1

0

0

2

-2

0

12

6

0

s2

0

1

0

1

0

1

-1

0

18

18

0

s3

0

-3

0

0

1

4

-4

0

20

5

3

xA

1

1

0

0

0

-1

1

0

5

-

-M h5

0

-4 /3

0

0

0

1

-1

1

1

1

'z

0

4/ M+1 3

0

0

0

-M-3 2M+3 0

-M+15

Die Hilfsvariable h4 wurde aus der Basis eliminiert und hat als Nichtbasisvariable den Wert null. Die Mindestanforderung des Absatzbereichs wird nun mit der Produktion von 5 Einheiten Produkt A erfüllt. Damit ist die Ausweitung des Lösungsraums durch „Verschiebung von Restriktion 4“ nicht mehr notwendig und wird auch später nicht wieder vorgenommen. Folglich wird die Hilfsvariable h4 nie mehr aufgenommen und die Spalte könnte aus dem Tableau gestrichen wer-

82

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

den. Dies wird deshalb hier nicht vorgenommen, um auch weiterhin die aktuelle Basisinverse ablesen zu können. Diese ist dort zu entnehmen, wo im Ausgangstableau die Einheitsmatrix steht, was für die Hilfsvariablen gerade gilt. Da weiterhin h5 mit einem Wert 1, also größer als null, in Basis ist, ist die Zulässigkeit noch nicht erreicht. Dies belegt auch der Zielfunktionswert, der noch mit Strafkosten von M den Gesamtdeckungsbeitrag von 15 GE schmälert, der bei dieser Lösung mit Produkt A erzielt wird. Eine Verbesserung der Zielfunktion wird durch Aufnahme von s4 in Basis erreicht, zu eliminieren ist h5 . xA

xB

s1

s2

s3

s4

h4

h5

RS

4

0

s1

0

5/

3

1

0

0

0

0

-2

10

6

0

s2

0

7/

3

0

1

0

0

0

-1

17

51/

7

0

s3

0

7/

3

0

0

1

0

0

-4

16

48/

7

3

xA

1

-1 /

3

0

0

0

0

0

1

6

-

0

s4

0

-4 /3

0

0

0

1

-1

1

1

-

'z

0

-3

0

0

0

0

M M+3

18

Sämtliche Hilfsvariablen sind aus der Basis entfernt. Sie sind nun überflüssig, da die erste zulässige Basislösung für das Ausgangsmodell gefunden wurde und der Zulässigkeitsbereich des Ausgangsmodells nicht mehr verlassen wird. Die Hilfsvariablen werden, auch aufgrund ihres hohen negativen Zielkoeffizienten, im Rahmen des Aufnahmekriteriums nicht wieder aufgenommen. Die erste ermittelte zulässige Lösung des Ausgangsmodells lautet somit x A 6 , xB 0 , s1 10 , s2 17 , s3 16 und s4 1 mit Zielfunktionswert 18. Der aktuelle Zielfunktionswert enthält keine Strafkosten mehr, jedoch ist durch Aufnahme von xB in Basis eine Verbesserung möglich. xA

xB

s1

s2

s3

s4

h4

h5

RS

2

xB

0

1

3/

5

0

0

0

0

-6 /5

6

0

s2

0

0

-7 /5

1

0

0

0

9/

5

3

0

s3

0

0

-7 /5

0

1

0

0

-6 /5

2

3

xA

1

0

1/

5

0

0

0

0

3/

5

8

0

s4

0

0

4/

5

0

0

1

-1

-3 /5

9

'z

0

0

9/

5

0

0

0

M

M-3/5

36

Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle

83

Die optimale Lösung für das Hilfsmodell ist gefunden. Da diese für das ursprüngliche Modell ebenfalls zulässig ist, liegt somit auch die optimale Lösung für das ursprüngliche Modell vor. Es sind 8 Einheiten von Produkt A und 6 Einheiten von Produkt B zu produzieren, der erzielbare Deckungsbeitrag beträgt 36 GE. Diese Reduktion des Zielfunktionswertes erklärt sich aus den zusätzlichen Anforderungen, welche zu einer Verkleinerung des Zulässigkeitsbereichs führen. Insbesondere der Produktionszusammenhang, modelliert mittels -Restriktion, wirkt hier einschränkend. Freie Kapazitäten sind in der zweiten und dritten Produktionsstufe vorhanden, während die erste Produktionsstufe vollständig ausgelastet ist. Mit s4 9 wird die Forderung des Kundendienstes um 9 Einheiten überschritten.

t -Restriktionen Zur Lösung eines linearen Optimierungsmodells, welches nicht in Standardform vorliegt, da t -Restriktionen zu berücksichtigen sind, führt das folgende Vorgehen zu einer optimalen Lösung, falls diese existiert. Ausgehend von dem Modell max z s.d .

ct x A x tb x t0

mit b t 0 wird durch Hinzufügen von Schlupfvariablen s t 0 ein äquivalentes System mit Gleichheitsrestriktionen aufgestellt. Da die Schlupfvariablen die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen sollen, ist die entsprechende Koeffizientenmatrix nicht die Einheitsmatrix I , sondern  I . Das äquivalente Modell mit Gleichheitsrestriktion lautet max z

ct x  0t s

s.d .

 A,

§ x· I ¨ ¸ b ©s¹ x, s t 0

Um als Ausgangsbasis die Einheitsmatrix zu erhalten, werden zusätzliche Hilfsvariablen eingefügt und ein Hilfsmodell formuliert, in welchem die Hilfsvariablen mit sehr hohen negativen Werten in der Zielfunktion berücksichtigt werden. Das zugehörige Hilfsmodell liegt in kanonischer Form vor. M bezeichnet den geeignet dimensionierten Vektor, dessen Komponenten sämtlich gleich M sind. max z s.d .

c t x  0t s  M t h § x· ¸  A,  I , I ¨¨ s ¸ b ¨ h¸ © ¹ x, s , h t 0

84

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

Anschließend wird der Simplexalgorithmus auf das Hilfsmodell zur Optimierung der Hilfszielfunktion bis zur Erreichung des optimalen Endtableaus angewandt. Sind in der optimalen Lösung Hilfsvariablen mit Wert echt größer als null in Basis, existiert keine zulässige Lösung des ursprünglichen Modells. Dessen Zulässigkeitsbereich ist leer. Andernfalls ist die optimale Lösung des Hilfsmodells – reduziert um die Hilfsvariablen – optimale Lösung des ursprünglichen Modells. Diese Vorgehensweise wird als Groß-M-Methode bezeichnet, nach den sehr hohen Strafkosten M für die Hilfsvariablen. -Restriktionen Bei Gleichheitsrestriktionen sind keine Schlupfvariablen erforderlich, da Gleichungen bereits vorhanden sind. Es werden nur entsprechende Hilfsvariablen zur Formulierung des Hilfsmodells eingeführt, um eine Einheitsmatrix als Ausgangsbasis wählen zu können. Diese werden wie bei t -Restriktionen mittels Groß-MMethode berücksichtigt und durch den Simplexalgorithmus eliminiert, falls das möglich ist, d. h. mindestens eine zulässige Lösung des Ausgangsmodells existiert. 2-Phasen-Methode Eine vergleichbare Vorgehensweise zum Auffinden zunächst einer zulässigen Basislösung und dann einer optimalen Lösung sowohl für t - wie für Restriktionen ist die 2-Phasen-Methode. Hier wird gleichermaßen der durch Hilfsvariablen vergrößerte Zulässigkeitsbereich behandelt, das Vorgehen gliedert sich jedoch in zwei Phasen. In der ersten Phase wird eine Hilfszielfunktion maximiert, die nur auf die Elimination der Hilfsvariablen aus der Basis abstellt. m

max z h

¦ h

i

i 1

Die erste Phase endet mit Erreichen der optimalen Lösung bezüglich der Hilfszielfunktion. Ist der erreichte Zielfunktionswert gleich null, enthält die Basis keine Hilfsvariablen mit Wert größer als null mehr und die erste zulässige Lösung des Ausgangsmodells ist gefunden. Andernfalls können die Hilfsvariablen nicht eliminiert werden und folglich existiert keine einzige zulässige Lösung des Ausgangsmodells. Dessen Zulässigkeitsbereich ist also leer, da nicht alle Anforderungen erfüllbar sind. Wurde die erste Phase mit Auffinden einer zulässigen Basislösung des Ausgangsmodells abgeschlossen, werden in der zweiten Phase die Hilfsvariablen nicht mehr beachtet und die ursprüngliche Zielfunktion wird zugrunde gelegt. Konkret werden die aktuellen ' z -Werte ermittelt und der Simplexalgorithmus weiter angewandt bis zum Auffinden einer optimalen Lösung. Die Groß-M-Methode und die Zwei-Phasen-Methode stimmen nicht nur hinsichtlich der ermittelten Lösung überein. Vielmehr sind in der Regel auch sämtli-

Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle

85

che Schritte und sämtliche Tableaus bis auf die ' z - bzw. ' zh -Zeile gleich. Unterschiedliche Iterationen können dann vorkommen, wenn in der ersten Phase der 2-Phasen-Methode die aufzunehmende Variable nicht eindeutig festgelegt ist. Beispiel Optima V mit 2-Phasen-Methode Bei Lösung des Modells Optima V mit der 2-Phasen-Methode stimmt das Gleichungssystem mit dem der Groß-M-Methode überein. In der ersten Phase wird die Hilfszielfunktion  h4  h5

max z H

für die Optimierung verwendet und das entsprechende Ausgangstableau lautet für die erste Phase 0 xA

0 xB

0 s1

0 s2

0 s3

0 s4

-1 h4

-1 h5

RS

4

0

s1

2

1

1

0

0

0

0

0

22

11

0

s2

1

2

0

1

0

0

0

0

23

23

0

s3

4

1

0

0

1

0

0

0

40

10

-1 h4

1

1

0

0

0

-1

1

0

5

5

-1 h5

1

-1 /3

0

0

0

0

0

1

6

6

' zH

-2

- 2 /3

0

0

0

1

0

0

-11

Unter Anwendung des Simplexalgorithmus werden Iterationen durchgeführt, bis die optimale Lösung bezüglich der Hilfszielfunktion erreicht ist. Dies ist im Beispiel in zwei Schritten der Fall, die Hilfsvariablen konnten eliminiert werden, wie dem folgenden Endtableau der ersten Phase zu entnehmen ist. xA

xB

s1

s2

s3

s4

h4

h5

RS

4

0

s1

0

5/

3

1

0

0

0

0

-2

10

6

0

s2

0

7/

3

0

1

0

0

0

-1

17

51/

0

s3

0

7/

3

0

0

1

0

0

-4

16

48/

0

xA

1

-1/

3

0

0

0

0

0

1

6

-

0

s4

0

-4 /3

0

0

0

1

-1

1

1

-

' zH

0

0

0

0

0

0

1

1

0

7 7

86

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

Die erste zulässige Lösung des Ausgangsmodells ist gefunden und es wird mit der zweiten Phase begonnen. Nun wird die ursprüngliche Zielfunktion verwendet. Dazu werden die aktuellen ' z -Werte ermittelt, z. B. ' z xB  2  3 ˜ ( 13 )  3 und in das Tableau aufgenommen. Anschließend wird der Simplexalgorithmus angewandt. Die Hilfsvariablen können gestrichen werden, ihre Aufnahme würde zu Unzulässigkeit führen. Sie werden nur noch mitgeführt, um Informationen bezüglich der Basis zu erhalten.

3 xA

2 xB

0 s1

0 s2

0 s3

0 s4

0 h4

0 h5

RS

4

0

s1

0

5/

3

1

0

0

0

0

-2

10

6

0

s2

0

7/

3

0

1

0

0

0

-1

17

51/

7

0

s3

0

7/

3

0

0

1

0

0

-4

16

48/

7

3

xA

1

-1/

3

0

0

0

0

0

1

6

-

0

s4

0

- 4 /3

0

0

0

1

-1

1

1

-

'z

0

-3

0

0

0

0

0

3

18

xA

xB

s1

s2

s3

s4

h4

h5

RS

2

xB

0

1

3/

5

0

0

0

0

- 6 /5

6

0

s2

0

0

- 7 /5

1

0

0

0

9/

5

3

0

s3

0

0

- 7 /5

0

1

0

0

- 6 /5

2

3

xA

1

0

1/

5

0

0

0

0

3/

5

8

0

s4

0

0

4/

5

0

0

1

-1

- 3 /5

9

'z

0

0

9/

5

0

0

0

0

- 3 /5

36

Das optimale Endtableau stimmt mit dem der Groß-M-Methode bis auf die ' z -Werte der Hilfsvariablen überein, die jetzt lauten ' zh 0 und ' zh  35 . Für die Optimalität der Lösung ist dieser negative Wert ohne Bedeutung, da die Hilfsvariable nicht mehr aufgenommen werden darf. Er liefert jedoch eine Information über die zugehörige Dualvariable, wie im Abschnitt über die Dualität gezeigt wird. 4

5

Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle

87

Beispiel Landwirtschaft Mit einer der beiden vorgestellten Vorgehensweisen kann das Landwirtschaftsbeispiel gelöst werden, wobei im Modell zu gewährleisten ist, dass die Gesamtfläche bestellt wird, d. h. die erste Restriktion mit Gleichheit zu erfüllen ist. Hier wird die Groß-M-Methode eingesetzt. max z

2,5 x1 

x2

x1 

s.d .

x1 

x2 1

2

10.000

x2 d 8.000

x1 , x2 t 0

2,5 x1

1 x2

-M h1

0 s2

RS

4

-M

h1

1

1

1

0

10000

10000

0

s2

1

0,5

0

1

8000

8000

'z

-M-2,5

-M-1

0

0

-10000M

x1

x2

h1

s2

RS

4

-M

h1

0

0,5

1

-1

2000

4000

2,5

x1

1

0,5

0

1

8000

16000

'z

0

-0,5M+0,25

0

M+2,5

-2000M +20000

x1

x2

h1

s2

RS

1

x2

0

1

2

-2

4000

2,5

x1

1

0

-1

2

6000

'z

0

0

M-0,5

3

19000

Optimal ist es 6.000 qm mit Blumen und 4.000 qm mit Gemüse zu bepflanzen. Ist eine Brachfläche aus landwirtschaftlichen Gründen nicht zulässig, sinkt der andernfalls erzielbare Deckungsbeitrag um 1.000 GE, also um 5 %. Hinweis: Bei der Abbildung der Realität in einem Modell wirkt die Formulierung von -Restriktionen stark einschränkend auf den Zulässigkeitsbereich. Da-

88

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

durch verringert sich unter Umständen der andernfalls erreichbare Zielfunktionswert beträchtlich oder es existiert möglicherweise keine zulässige Lösung. Daher sollte stets geprüft werden, ob zwingend die Gleichheit verlangt werden muss. Wird im Beispiel die Brachfläche nur deshalb nicht zugelassen, weil deren Pflege Kosten verursacht, die 0,1 Einheiten pro qm Brache betragen, sollte dies im Modell durch Aufnahme einer Variablen x3 mit negativem Deckungsbeitrag abgebildet werden. So lautet das modifizierte Modell 2,5 x1 

max z

x2  0,1 x3

x1 

s.d .

x1 

x2  1

2

x3

10.000 d 8.000

x2

x1 , x2 , x3 t 0

Trotz dieser Gleichheitsrestriktion ist der Zulässigkeitsbereich für die Variablen x1 und x2 nun größer als bei dem vorherigen Modell. Zudem ist bei der Aufstellung des Ausgangstableaus hier die Hinzufügung einer Hilfsvariablen nicht erforderlich, da bereits eine Einheitsmatrix vorhanden ist und x3 mit Wert 10.000 und s2 8.000 als Basisvariablen eine zulässige Ausgangsbasislösung bilden.

2,5 x1

1 x2

-0,1 x3

0 s2

RS

4

-0,1

x3

1

1

1

0

10000

10000

0

s2

1

0,5

0

1

8000

8000

'z

-2,6

-1,1

0

0

-1000

x1

x2

x3

s2

RS

-0,1

x3

0

0,5

1

-1

2000

2,5

x1

1

0,5

0

1

8000

'z

0

0,2

0

2,6

19800

Die optimale Lösung besteht darin, 2.000 qm als Brachfläche vorzusehen und 8.000 qm mit Blumen zu bestellen. Der Gesamtdeckungsbeitrag beträgt 19.800 Einheiten, also 800 Einheiten mehr als bei Verzicht auf die Brache. Beachtenswert ist, dass es trotz des negativen Deckungsbeitrags optimal ist, 2.000 qm Brache vorzusehen. Durch die gesamten simultan zu beachtenden Anforderungen ermöglichen positive Ausprägungen von x3 hier höhere Werte von x1 .

Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle

89

3.1.2 Modellmodifikationen und Variablentransformation Das Grundmodell der linearen Optimierung besitzt einige weitere Eigenschaften, die für den vorgestellten Simplexalgorithmus vorausgesetzt werden. Für reale Problemstellungen können durchaus auch abweichende Modellformulierungen sinnvoll sein. Zur Lösung sind grundsätzlich zwei Wege möglich. Zum einen kann der Simplexalgorithmus jeweils geeignet modifiziert und dann Modelltyp spezifisch angewandt werden. Zum anderen können die unterschiedlichen Modelle auf Grundmodelltyp umformuliert, dann mit dem Simplexalgorithmus gelöst und anschließend die Lösung für das Ausgangsmodell abgeleitet werden. Die zweite Vorgehensweise wird für zwei Voraussetzungen des Grundmodells näher erläutert. Negative rechte Seite Ist mindestens einer der Koeffizienten der rechten Seite echt kleiner als null, ist die Anwendung des Simplexalgorithmus nicht unmittelbar möglich, da die Ausgangsbasislösung die Nichtnegativitätsbedingung nicht erfüllt, also nicht zulässig ist. In diesem Fall werden die entsprechenden Restriktionen mit  1 multipliziert und dann wie bekannt weiter berücksichtigt. Da die Multiplikation mit  1 eine erlaubte Transformation ist, ändert sich nur die Darstellung der Ungleichung, ein Einfluss auf die Lösungsmenge ist nicht gegeben. Beispielsweise wird statt einer Restriktion x1  2 x2 d 2

die äquivalente Restriktion  x1  2 x2 t 2

in das Restriktionensystem übernommen und so eine nichtnegative rechte Seite erreicht. Minimierungszielfunktion In realen Problemstellungen kann die Situation eintreten, dass bestimmte Anforderungen mit minimalen Kosten zu erfüllen sind, beispielsweise wenn die vorhandene Nachfrage mit minimalen Beschaffungs- und Produktionskosten zu erfüllen ist. Ein entsprechendes Modell wird mit Minimierungs- statt der bisher betrachteten Maximierungszielfunktion formuliert und der Simplexalgorithmus ist nicht unmittelbar anwendbar. Jedoch lässt sich der bekannte Zusammenhang zwischen Minimierung und Maximierung ausnutzen, ein modifiziertes Modell anzugeben, dieses mit dem Standardsimplexalgorithmus zu lösen und das optimale Ergebnis für das Minimierungsproblem davon abzuleiten.

90

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

Für eine beliebige Funktion f : X   n o  gilt die folgende Übereinstimmung:

min f  x x X

 max  f  x x X

Wird das Minimum von f über X für x 0  X angenommen, wird auch das Maximum von  f für x 0 angenommen. Der umgekehrte Zusammenhang gilt ebenfalls. Statt ein Minimierungsmodell min z s.d .

ct x A x

b

xt0

zu lösen, wird ein entsprechend formuliertes Maximierungsmodell gelöst und der damit erreichte optimale Zielfunktionswert anschließend mit (-1) multipliziert: max  z s.d .

 ct x Ax

b

xt0

Ist x 0 optimale Lösung des Maximierungsmodells mit Zielfunktionswert ct x 0 , dann ist x 0 ebenfalls optimale Lösung des Minimierungsmodells und der Zielfunktionswert ist (ct x 0 ) ct x 0 . Beispiel 3.1 Gelöst werden soll das Minimierungsmodell min z

2 x1  3 x2

s.d

 x1 

x2 d 1

x1 

x2 d 8 x1 , x2 t 0

Die Lösung erfolgt nicht direkt, stattdessen wird die Zielfunktion mit multipliziert und das entsprechende Maximierungsmodell gelöst. max  z

2 x1  3 x2

s.d

 x1  x1 

 1

x2 d 1 x2 d 8 x1 , x2 t 0

Der Simplexalgorithmus wird auf das Ausgangstableau für das Maximierungsmodell angewandt, bis die optimale Lösung erreicht ist.

Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle

-2 x1

3 x2

0 s1

0 s2

RS

4

0

s1

-1

1

1

0

1

1

0

s2

1

1

0

1

8

8

'z

2

-3

0

0

0

x1

x2

s1

s2

RS

4

3

x2

-1

1

1

0

1

-

0

s2

2

0

-1

1

7

3,5

'z

-1

0

3

0

3

x1

x2

s1

s2

RS

3

x2

0

1

0,5

0,5

4,5

-2

x1

1

0

-0,5

0,5

3,5

'z

0

0

2,5

0,5

6,5

91

Die einzige optimale Lösung des Maximierungsmodells ist dem Tableau zu entnehmen mit  x10 , x20 , s10 , s20  3,5; 4,5; 0; 0 , die den maximalen Zielfunktionswert  z 0 6,5 erreicht. Diese Lösung ist auch die optimale Lösung des ursprünglichen Modells, also des Minimierungsmodells, und erzielt dort den minimalen Zielfunktionswert z 0 6,5 . Vorzeichenunbeschränkte Variable Wird von einer bestehenden Situation ausgegangen und beispielsweise eine Erhöhung oder eine Reduktion der gegenwärtigen Produktion erwogen, können Variablen sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Die im Standardmodell vorausgesetzte Nichtnegativitätsbedingung x t 0 für alle Variablen ist aus algorithmischen Gründen notwendig. Auf ihr basiert das Eliminationskriterium des Simplexalgorithmus. Um den Simplexalgorithmus zur Lösung auch derartiger Modelle einsetzen zu können, wird ein geeignet modifiziertes Modell entwickelt, welches nur Variablen enthält, die die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen. Dies gelingt, indem eine Va-

92

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

riablensubstitution durchgeführt wird. Alle unbeschränkten Variablen xi werden in ihren positiven Teil xi und ihren negativen Teil xi wie folgt zerlegt: xi

xi  xi

mit xi x

 i

max ^ xi , 0` t 0 max ^ xi , 0` t 0

Zerlegt man reelle Zahlen entsprechend, erhält man beispielsweise für xi 5 die Substitution xi  xi mit xi 5 und xi 0 , für xi 3 entsprechend mit xi 0 und xi 3 . Von den beiden Variablen xi und xi kann jeweils höchstens eine in Basis sein, da die beiden zugehörigen Spalten linear abhängig sind. Das Modell max z s.d .

ct x A x db

x

unbeschränkt

wird dann durch das folgende Standardmodell ersetzt max z

ct x   ct x 

s.d .

A x  A x d b x , x t 0

Beispiel 3.2 Gelöst werden soll ein lineares Optimierungsmodell, für welches die Variable x1 unbeschränkt ist, also die Nichtnegativitätsbedingung nicht erfüllen muss. max z s.d .

 x1  x2 x1  x2 d 4 0,5 x1  x2 d 2  x1

d 2 x2 t 0

Abb. 3.3 zeigt den Zulässigkeitsbereich und diejenige Isozielfunktion, die die optimale Ecke (2; 1) berührt.

Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle

93

Abb. 3.3. Zulässigkeitsbereich Beispiel 3.2

Zur Anwendung des Simplexalgorithmus wird die Variable x1 im Modell durch die Differenz der beiden nichtnegativen Variablen x1 und x1 substituiert, sodass das resultierende Modell in Standardform ist und mittels Simplexalgorithmus gelöst werden kann.  x1 

max z

 1

s.d .

x

x1  x2



x1  x2 d 4

0,5 x1  0,5 x1  x2 d 2  x1 

d 2

x1

x1 , x1 , x2 t 0

Mit folgenden Iterationen wird die optimale Lösung ermittelt.

-1 x1 +

1 x1 -

1 x2

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

0

s1

1

-1

1

1

0

0

4

-

0

s2

-0,5

0,5

1

0

1

0

2

4

0

s3

-1

1

0

0

0

1

2

2

'z

1

-1

-1

0

0

0

0

94

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

x1 +

x1 -

x2

s1

s2

s3

RS

4

0

s1

0

0

1

1

0

1

6

6

0

s2

0

0

1

0

1

-0,5

1

1

1 x1 -

-1

1

0

0

0

1

2

-

'z

0

0

-1

0

0

1

2

x1 +

x1 -

x2

s1

s2

s3

RS

0

s1

0

0

0

1

-1

1,5

5

1

x2

0

0

1

0

1

-0,5

1

1 x1 -

-1

1

0

0

0

1

2

'z

0

0

0

0

1

0,5

3

Die optimale Lösung lautet x10 x10   x10  0  2 2 , x20 1 , s1 5 , s2 s3 0 mit dem optimalen Zielfunktionswert z 0 3 . Damit ist tatsächlich der optimale Wert der Variablen x1 negativ. Das optimale Endtableau zeigt bei x1 einen ' z -Wert von null an, sodass es möglich erscheint, x1 in der Basis durch x1 zu ersetzen. Ein entsprechender Versuch scheitert jedoch aufgrund des Eliminationskriteriums, welches wegen der nicht positiven Werte der zugehörigen Spalte keine Elimination einer Basisvariablen zulässt. Damit ist die ermittelte optimale Lösung die einzige optimale. Wie die bisherigen Ausführungen gezeigt haben, lassen sich beliebige lineare Optimierungsmodelle geeignet umformulieren oder erweitern, sodass ein Grundmodell linearer Optimierung vorliegt, auf welches der Simplexalgorithmus in der vorgestellten Standardversion zur Ermittlung einer optimalen Lösung angewandt werden kann. Diese Modifikationen des Modells sind in Tabelle 3.1 übersichtlich zusammengefasst. Eigenschaften, die für das Grundmodell gelten, sind entsprechend gekennzeichnet. Bei Verwendung von Software zur Lösung linearer Optimierungsmodelle sollte stets geprüft werden, welche Modellformen zugelassen sind. Es ist zu beachten, dass bei Standardsoftware häufig standardmäßig vorausgesetzt wird, dass alle Variablen die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen sollen. Wenn dies aufgrund der Anwendung nicht gewünscht ist, muss dann eine explizite Angabe, z. B. der Unbeschränktheit, erfolgen. Meist fehlen bei der Lösungsausgabe Hinweise auf weitere optimale Lösungen, selbst wenn solche existieren. Daher sollte man die ' z -Werte auf entsprechende Hinweise hin untersuchen.

Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle

95

Tabelle 3.1. Maßnahmen zur Modellmodifikation

Modellstruktur

Maßnahmen

Zielfunktion max ct x

Grundmodell

t

max  c t x

min c x

rechte Seite bi t 0

Grundmodell

bi  0

Multiplikation der Zeile mit (-1)

Restriktionen d

Schlupfvariable, Grundmodell

t

Schlupf- und Hilfsvariable Hilfsvariable Hilfsvariablen müssen entfernt werden!

Variablen xi t 0

Grundmodell

xi d 0 xi unbeschränkt

xi xi

 xi , xi t 0

xi  xi , xi , xi t 0

Darstellungen des Simplexalgorithmus zur Lösung linearer Optimierungsmodelle sind in jeder Operations Research Einführung enthalten (z. B. Corsten et al. 2005, Domschke und Drexl 2005, Ellinger et al. 2003, Kistner 2003, Neumann und Morlock 2002, Suhl und Mellouli 2005, Zimmermann 2005). Weitere Übungen findet man dort ebenfalls oder z. B. bei Dinkelbach (1992), Domschke et al. (2005). Die Vorgehensweise ist ziemlich einheitlich, jedoch findet man gelegentlich eine Tableaudarstellung, in der die ' z -Zeile der ersten Zeile zu entnehmen ist. Gelegentlich sind alle ' z -Werte mit  1 multipliziert ausgewiesen, in diesem Fall führt die Aufnahme von Variablen mit positiven ' z -Werten zu Erhöhungen der Zielfunktion. Das Aufnahmekriterium ist dann entsprechend modifiziert.

96

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

3.1.3 Aufgaben Aufgabe 3.1.1 Ermitteln Sie alle optimalen Lösungen der folgenden linearen Optimierungsmodelle. Geben Sie jeweils an, in welchem Tableau eine erste zulässige Lösung des Ausgangsproblems erreicht ist. Weisen Sie auf Besonderheiten hin. a)

min z = 3 x1  4 x2 s.d .

 6 x3

2 x1 

x2

 4 x3

d 120

x1 

x2



t

2 x1 

x2

 3 x3

x3

20 48

x1 , x2 , x3 t 0

b)

max z = s.d .

2 x1  3 x2  4 x3 x1  2 x2  2 x3

d 45

2 x2 

x3

t 20

x2 

x3

30

 x1 

x1   ,

c)

x2 , x3 t 0

max z =

x1 

x2

s.d .

x1 

x2

t 15

x1  3 x2

d 25

2 x1 

x2

d 20

x1 , x2 t 0

d)

max z =

x1 

x2

s.d .

x1 

x2

t 12

x1  3 x2

d 25

2 x1 

x2

d 20

x1 , x2 t 0

Aufgabe 3.1.2 Die Chemo AG stellt die Produkte A, B und C her, wobei A und B Kuppelprodukte sind, die auf der ersten Anlage durch Aufspaltung im Verhältnis 2:1 entstehen. Alle Produkte durchlaufen zwei Anlagen. Das entsprechende lineare Optimierungsmodell zur Ermittlung des deckungsbeitragsoptimalen Produktionsprogramms liegt vor, wobei die Variablen x A , xB und xC die jeweils zu produzierenden Mengen bezeichnen. Ermitteln Sie alle optimalen Lösungen und geben Sie

Interpretation, Dualität und Sensitivität

97

die Schattenpreise der beiden Anlagen an. Ist auch eine andere Modellformulierung möglich, die effizienter zu berechnen ist? max z = 5 x A  8 xB  4 xC s.d .

2 xA 

xB 

xC d 20

x A  2 xB  2 xC d 25 x A  2 xB

0

x A , xB , xC t 0

3.2 Interpretation, Dualität und Sensitivität 3.2.1 Modellierung und Interpretation Typisch für Optimierungsmodelle ist, dass sehr konsequent die Maximierung bzw. Minimierung der Zielfunktion angestrebt wird. Das Optimum wird stets in einer Ecke des Lösungsraums angenommen, das bedeutet, dass stets einige der Restriktionen bis an die Grenze ausgeschöpft werden. Aufgrund der speziellen Struktur werden nur Basislösungen ermittelt. Damit ist die Anzahl derjenigen Variablen, die Werte ungleich null annehmen, durch die Zahl der Restriktionen beschränkt. Dies ist bei der Modellierung zu berücksichtigen. Sobald das Modell formuliert ist, steht die optimale Lösung fest, auch wenn sie noch nicht bekannt ist und erst durch Anwendung eines Algorithmus zu ermitteln ist. Beispiel Opti-Shop Ein Einzelhändler kauft Blusen und Hosen für seinen Jeans Shop. Unterschiedliche Ausführungen werden ihm zu verschiedenen Preisen angeboten. Er kennt seine Kunden gut und entwickelt unmittelbar Preisvorstellungen, zu denen er problemlos die eingekaufte Ware absetzen kann. Die entsprechenden Daten sind übersichtlich zusammengestellt. Blusen Preis

Bw

Br

Bb

Bg

Bs

Bk

weiß

rot

blau

grün

gestreift

kariert

Einkaufspreis

20

22

22

22

24

24

Verkaufspreis

42

45

45

45

49

49

98

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

Jeans Preis

Js

Jb

Jw

schwarz

blau

weiß

Einkaufspreis

32

30

32

Verkaufspreis

67

62

65

Außerdem möchte er nicht mehr Hosen als Blusen einkaufen, sein Budget von 8.000 € nicht überschreiten und einen optimalen Einkauf tätigen. Der Einzelhändler strebt die Maximierung seines Deckungsbeitrags an und formuliert ein lineares Optimierungsmodell, wobei die Variablen Bw die Anzahl zu beschaffender weißer Blusen, J s die Anzahl zu beschaffender schwarzer Jeans usw. bezeichnen. Alle Variablen genügen der Nichtnegativitätsbedingung. Da die sonstigen variablen Kosten für Beschaffung und Verkauf von Blusen und Jeans übereinstimmen, wählt der Einzelhändler die Differenz zwischen Verkaufs- und Einkaufspreis als entscheidungsrelevante Parameter der Zielfunktion. Eine Ganzzahligkeitsbedingung wird bei den folgenden Betrachtungen nicht berücksichtigt. Das lineare Optimierungsmodell für Opti-Shop lautet damit max 22 Bw  23 Br  23 Bb  23 Bg  25 Bs  25 Bk  35 J s  32 J b  33 J w s.d . 20 Bw  22 Br  22 Bb  22 Bg  24 Bs  24 Bk  32 J s  30 J b  32 J w d 8000 Bw 

Br 

Bb 

Bg 

Bs 

Bk 

Js 

Jb 

Jw t

0

Bw , Br , Bb , Bg , Bs , Bk , J s , J b , J w t 0

Da die rechte Seite der t -Restriktion null beträgt, vereinfacht hier die Multiplikation dieser Zeile mit  1 das Modell, für das folgendes Ausgangstableau aufgestellt wird.

22 23 23 Bw Br Bb

23 Bg

25 Bs

25 Bk

35 32 33 0 0 Js Jb Jw s1 s2

RS

4

0

8000

250

0

1

0

0

-22 -23 -23 -23 -25 -25 -35 -32 -33 0

0

0

0

s1

20 22

22

22

24

24

32 30 32 1

0

s2

-1 -1

-1

-1

-1

-1

1

'z

1

1

Nach vier Iterationen – 1. Aufnahme von J s mit Wert null, 2. Aufnahme von Bs , 3. Aufnahme von Bw , Elimination von Bs , 4. Elimination von J s , Aufnahme s2 – erhält man das folgende optimale Endtableau.

Interpretation, Dualität und Sensitivität

s1 s2

RS

22 Bw

1 1,1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,6 1,5 1,6 0,05 0

400

0 s2

0 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 2,6 2,5 2,6 0,05 1

400

'z

0 1,2 1,2 1,2 1,4 1,4 0,2 1,0 2,2 1,1 0

8800

Bw Br

Bb

Bg

Bs

Bk

Js

Jb

Jw

99

Die optimale Lösung besteht für den Einzelhändler darin, trotz des geringen Deckungsbeitrags von nur 22 € pro Stück 400 weiße Blusen zu verkaufen. Dies ist darin begründet, dass der relative Deckungsbeitrag in Bezug auf die knappe Kapazität Budget bei den Blusen mit 22 : 20 1,1 pro Einheit Budget am höchsten ist. Jeans werden nicht eingekauft. Der Händler kann so einen maximalen Gesamtdeckungsbeitrag von 8.800 € erzielen. Die zweite Restriktion ist nicht bindend. Dieses Beispiel demonstriert überspitzt die extreme Lösung, die bei Optimierung eines Zielkriteriums insbesondere in Verbindung mit einer geringen Anzahl weiterer Anforderungen zwangsläufig resultiert. Diese Tatsache ist unabhängig von dem verwendeten Lösungsalgorithmus und gilt allgemein bei linear beschreibbaren Zusammenhängen. Dies sollte daher stets berücksichtigt werden, wenn ein Ziel zur Verhaltenssteuerung vorgegeben wird, das mit knappem finanziellem und zeitlichem Budget zu erreichen ist. Dann zeichnet sich effizientes Verhalten durch den ausschließlichen Fokus auf die Engpassfaktoren aus. Bei einem linearen Optimierungsmodell ist zu beachten, dass die Anzahl der Variablen und damit insbesondere auch die der Strukturvariablen in Basis, also mit Wert größer oder gleich null, höchstens gleich der Zahl der Restriktionen sein kann. Aus dem optimalen Endtableau ist weiterhin ersichtlich, welchen zusätzlichen Deckungsbeitrag der Händler erwirtschaften könnte, wenn er sein Budget marginal erhöhen würde. Der ' z -Wert in der s1 -Spalte beträgt 1,1. Dies bedeutet, dass eine Erhöhung seines Budgets um 1 € eine Erhöhung des Deckungsbeitrags um 1,1 € nach sich zieht. Dies gilt jedoch in der Regel nicht unbegrenzt, d. h. für beliebige Budgeterhöhungen, da möglicherweise andere Beschränkungen relevant werden, die im Rahmen einer Sensitivitätsanalyse festgestellt werden, auf die später näher eingegangen wird. Ein Anstieg des Verkaufspreises der weißen Blusen hat keine Auswirkung auf die optimale Einkaufsmenge, jedoch erhöht sich der Deckungsbeitrag entsprechend. Sinkt hingegen der Verkaufspreis der weißen Blusen, so kann direkt keine Aussage über die Konsequenzen getroffen werden. Auch hierzu ist eine Sensitivitätsanalyse durchzuführen. Würde der Einzelhändler eine rote Bluse einkaufen, verringerte sich wegen der notwendigen Reduktion weißer Blusen sein Deckungsbeitrag um 1,2 €, den zu Br gehörenden Opportunitätskosten. Die Beschaffung einer schwarzen Jeans ist mit Opportunitätskosten von 0,2 € verbunden.

100

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

Beispiel Opti-Shop II Da das gesamtdeckungsbeitragsoptimale Sortiment dem Einzelhändler zu einförmig ist, stellt er die zusätzliche Anforderung, dass mindestens zwanzig farbige Blusen und mindestens zehn Jeans zu beschaffen sind. Dies wird mittels zweier zusätzlicher Restriktionen abgebildet. Die eine lautet etwa J s  J b  J w t 10 . Das neue Modell wird unter Anwendung des Simplexalgorithmus gelöst. Da zusätzliche Anforderungen den Zulässigkeitsbereich im Allgemeinen einschränken, jedoch auf keinen Fall vergrößern, wird das optimale Ergebnis im günstigsten Fall gleich gut, vermutlich jedoch geringer als das ohne diese zusätzlichen Anforderungen erzielbare Ergebnis ausfallen. Das optimale Endtableau für das Modell mit zusätzlichen Restriktionen wird ermittelt zu

22 23 23 23 25 25 35 32 33 0 0 0 -M 0 -M Bw Br Bb Bg Bs Bk Js Jb Jw s1 s2 s3 h3 s4 h4

RS

22 Bw

1 0 0 0 0,1 0,1 0 -0,1 0 0,05 0 1,1 -1,1 1,6 -1,6

362

35 Js

0 0 0 0

10

0 s2

0 0 0 0 0,1 0,1 0 -0,1 0 0,05 1 0,1 -0,1 2,6 -2,6

23 Br

0 1 1 1

'z

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

-1

0 0 0 0 0,2 0,2 0 0,8 2 1,1 0 1,2

0

1

-1

0

1

0

MM0,2 1,2 0,2

372 20 8774

Die optimale Lösung besteht in der Beschaffung von 362 weißen Blusen, 20 roten Blusen und 10 schwarzen Jeans. Es wird wiederum eine optimale Lösung ermittelt, die konsequent den Gesamtdeckungsbeitrag unter strikter Einhaltung der Restriktionen maximiert und jetzt 8.774 € erreicht. Beide zusätzlichen Restriktionen sind bindend. Dem Tableau ist in der ' z -Zeile beispielsweise zusätzlich zu entnehmen, dass eine Aufnahme von s3 in Basis den Zielfunktionswert um 1,2 reduziert. Das bedeutet, eine Lockerung der zugehörigen Restriktion, mindestens 20 farbige Blusen zu beschaffen, um eine Einheit auf die Forderung nach 19 farbigen Blusen erhöht den Gesamtdeckungsbeitrag um 1,2 €. Die Reduktion des Gesamtdeckungsbeitrags gegenüber dem vorherigen Modell beträgt gerade 10 ˜ 0, 2  20 ˜1, 2 26 und ist aufgrund der Opportunitätskosten im optimalen Endtableau Opti Shop I auch ohne Neuberechnung bereits ableitbar. Dies gilt jedoch nur in diesem Beispiel Opti Shop I aufgrund der Tatsache, dass nur die Kapazitätsrestriktion bindend ist. In der ' z -Zeile finden sich Nullelemente bei den Nichtbasisvariablen Bb und Bg . Das bedeutet, dass diese Variablen alternativ in Basis aufgenommen werden können und ebenfalls zu einer optimalen Lösung führen. Der entsprechende Basis-

Interpretation, Dualität und Sensitivität

101

tausch ist hier unmittelbar ersichtlich. Die Gesamtmenge optimaler Lösungen lautet

L

­§ Bw · °¨ ¸ °¨ Br ¸ °¨ Bb ¸ °¨ ¸ °¨ Bg ¸ °¨ ¸ ®¨ Bs ¸ °¨ B ¸ °¨ k ¸ °¨ J s ¸ °¨ ¸ °¨ J b ¸ °¨¨ J ¸¸ ¯°© w ¹

§ 362 · § 362 · § 362 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 20 0 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨ 20 ¸ ¨0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨ 20 ¸ O1 ¨ 0 ¸  O2 ¨ 0 ¸  O3 ¨ 0 ¸ mit O1 , O2 , O3  > 0,1@ , O1  O2  O3 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨ 10 ¸ ¨10 ¸ ¨ 10 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ©0 ¹ ©0 ¹ ©0 ¹

½ ° ° ° ° ° ° 1¾ ° ° ° ° ° ° ¿°

Damit ist neben den 362 weißen Blusen und 10 schwarzen Jeans jede Kombination von 20 farbigen Blusen außer gestreift und kariert ebenfalls optimale Lösung. Aus diesem Spektrum kann nun eine gewünschte Zusammenstellung gewählt werden. 3.2.2 Dualität Über die optimale Lösung eines Modells hinaus können dem optimalen Endtableau des Simplexalgorithmus weitere Informationen wie Opportunitätskosten und Schattenpreise entnommen werden. Dies ist durch die Dualitätstheorie begründet, die hier kurz angesprochen wird. Zu einem linearen Optimierungsmodell kann stets ein zugehöriges duales lineares Optimierungsmodell angegeben werden. x Das zu dem primalen linearen Optimierungsmodell max z = ct x s.d .

A x d b xt0 n

mit x, c   und A mxn  Matrix, b   m

zugehörige duale lineare Optimierungsmodell lautet min Z = bt y s.d .

At y t c yt0 m

mit y   und c, b, A wie oben

102

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

Die Variablen x werden als Primalvariablen, die Variablen y als Dualvariablen bezeichnet. Zur besseren Unterscheidung wird der duale Zielfunktionswert mit Z bezeichnet. Die Dualisierung eines derartigen Modells, welches bis auf den Verzicht auf die Nichtnegativität von b mit dem Grundmodell linearer Optimierung übereinstimmt, geschieht mittels der folgenden Dualisierungsregeln vom primalen zum dualen Modell: 1. Einem primalen Maximierungsmodell ist ein duales Minimierungsmodell zugeordnet. 2. Zu jeder primalen Restriktion gehört eine duale Strukturvariable. Für eine d -Restriktion gilt die Nichtnegativität der dualen Variablen. 3. Jeder Variablen im primalen ist eine Restriktion im dualen Modell zugeordnet. Gilt für die Variable die Nichtnegativitätsbedingung, handelt es sich um eine t -Restriktion. 4. Der Matrix A im primalen ist die transponierte Matrix At im dualen Modell zugeordnet. 5. Der Zielfunktionsvektor des primalen Modells wird die rechte Seite im dualen Modell. 6. Der Kapazitätenvektor des primalen Modells wird Zielfunktionsvektor im dualen Modell. Andere lineare Modelltypen werden zunächst auf die Grundform gebracht und anschließend unter Anwendung der Regeln dualisiert. Beispiel Optima Das Produktionsplanungsprogramm Optima wird als primales Modell aufgefasst. Es liegt in Grundform vor. max z = 3 x A  2 xB s.d.

2 x A  1 xB d 22 1 x A  2 xB d 23 4 x A  1 xB d 40 x A , xB t 0

Das zu diesem Modell zugehörige duale Modell lautet min Z = 22 y1  23 y2  40 y3 s.d .

2 y1  1 y2  4 y3 t 3 1 y1  2 y2  1 y3 t 2 y1 , y2 , y3 t 0

Interpretation, Dualität und Sensitivität

103

Zur Lösung wird das Modell umformuliert und mit dem bereits behandelten Simplexalgorithmus, dem primalen Simplexalgorithmus, gelöst. Alternativ könnte der duale Simplexalgorithmus zur Lösung verwendet werden, der an anderer Stelle beschrieben wird (z. B. Zimmermann 2005). -max 22 y1  23 y2  40 y3 2 y1 

s.d .

1 y2  4 y3 t 3

1 y1  2 y2  1 y3 t 2 y1 , y2 , y3 t 0

Zu diesem Modell ermittelt man das optimale Endtableau, dessen Lösung bis auf den Zielfunktionswert, der mit  1 zu multiplizieren ist, mit der Lösung des dualen Modells übereinstimmt.

y1

y2

y3

s1

h1

s2

h2

RS

y1

1

0

7/

- 2 /3

2/

1/

- 1 /3

4/

3

y2

0

1

- 2 /3

1/

- 1 /3

- 2 /3

2/

1/

3

'Z

0

0

4

7

M-7

8

M-8

3

3

3

3

3

-37

Die optimale Lösung ist folglich y1 4 3 , y2 13 und y3 s1 s2 0 mit optimalem Zielfunktionswert 37. Vergleicht man dieses Tableau mit dem optimalen Endtableau des primalen Modells, erkennt man einige Zusammenhänge. Optimales Endtableau des primalen Modells:

xA

xB

s1

s2

s3

RS

2

xB

0

1

-1/3

2/ 3

0

8

0

s3

0

0

-7/3

2/ 3

1

4

3

xA

1

0

2/ 3

-1/3

0

7

'z

0

0

4/ 3

1/ 3

0

37

Die optimalen Werte der Strukturvariablen des primalen Modells, x A 7 und xB 8 , stimmen mit den ' Z -Werten der dualen Schlupfvariablen, ' Z s1 7 und ' Z s2 8 , überein. Die optimalen Werte der primalen Schlupfvariablen, s1 s2 0 , s3 4 , stimmen mit den ' Z -Werten der dualen Strukturvariablen, ' Z y1 ' Z y2 0 , ' Z y3 4 überein. Entsprechend lassen sich die ' z -Werte des

104

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

primalen optimalen Endtableaus im optimalen dualen Endtableau wiederfinden: die optimalen Werte y1 4 3 , y2 13 und y3 0 entsprechen den ' z -Werten der primalen Schlupfvariablen und die optimalen dualen Schlupfvariablenwerte s1 s2 0 stimmen mit den ' z -Werten der primalen Strukturvariablen überein. Damit lassen sich sowohl die optimalen Lösungen des primalen wie des dualen Modells jedem der beiden optimalen Endtableaus entnehmen. Die optimalen Variablen des dualen Modells geben Auskunft über die Knappheit im primalen Modell. Die dualen Strukturvariablen sind den primalen Restriktionen zugeordnet. Ihr optimaler Wert ist der Schattenpreis der Restriktion und zeigt die Erhöhung des primalen Zielfunktionswertes an, wenn die Restriktion um eine Einheit erhöht werden kann und keine andere Restriktion bindend wird. Die dualen Schlupfvariablen sind den primalen Strukturvariablen zugeordnet und ihre optimalen Werte geben die Opportunitätskosten bei Aufnahme einer Einheit dieser Variablen in Basis an, wenn dadurch nur Basisvariablen reduziert werden, jedoch kein Basistausch erforderlich ist. Diese Interpretation korrespondiert mit den Dimensionen der Variablen im dualen Modell, wie beispielhaft gezeigt wird. Die Ermittlung allgemeiner Opportunitätskosten behandeln Domschke u. Klein (2004) ausführlicher. Beispiel Optima Im primalen Modell haben die Zielfunktionskoeffizienten die Dimension Deckungsbeitrag pro Stück, diese bilden im dualen Modell die rechte Seite. Die Koeffizienten der Matrix A sind mit Zeit pro Stück dimensioniert. Damit eine duale Restriktion, z. B. 2 y1  1 y2  4 y3 t 3 inhaltlich sinnvoll ist, müssen die Variablen yi die Dimension Deckungsbeitrag pro Zeiteinheit der knappen Kapazität besitzen 2[ZE/St] ˜ y1 [DB/ZE]+1[ZE/St] y 2 [DB/ZE]+ 4[ZE/St] y3 [DB/ZE] t 3[DB/St]

Die Schlupfvariablen haben, um geeignet in die Restriktion eingefügt werden zu können, die Dimension Deckungsbeitrag pro Stück, wobei die Dimension Stück sich auf das entsprechend zugeordnete Produkt bezieht. Damit gibt y1 4 3 an, dass eine Zeiteinheit der Kapazität der Produktionsstufe 1 aufgrund des bestehenden Engpasses einen „Wert“ von 4 3 € hat, während mit y3 0 für die optimale Situation eine Zeiteinheit von Produktionsstufe 3 einen Schattenpreis von 0 aufweist, d. h. eine Erhöhung keinen Wert bezüglich des optimalen Produktionsprogramms besitzt. Zwischen einem primalen und dem zugehörigen dualen linearen Optimierungsmodell bestehen allgemein die folgenden Zusammenhänge: x Das duale des dualen Modells ist das primale Modell. Da das duale des dualen Modells das primale Modell ist, kann beispielsweise bei der Dualisierung eines Minimierungsmodells mit t -Restriktionen und Nicht-

Interpretation, Dualität und Sensitivität

105

negativitätsbedingung für alle Variablen dieses als das duale eines Maximierungsmodells mit d -Restriktionen und Nichtnegativitätsbedingung für alle Variablen, also dem primalen Modell, aufgefasst werden. So ist eine schrittweise Vereinfachung nicht erforderlich und das duale Modell direkt angebbar. x Für optimale Lösungen x 0 des primalen und y 0 des dualen Modells gilt ct x 0 bt y 0 . Damit stimmen die optimalen Zielfunktionswerte überein. x Komplementaritätsbedingung: Sind x eine zulässige Lösung des primalen und y eine zulässige Lösung des dualen Modells und xs und ys die zugehörigen Schlupfvariablen, dann gilt: x und y sind jeweils optimal, genau dann wenn gilt x j ˜ ys j

0 für alle j 1,..., n und

yi ˜ xsi

0 für alle i 1,..., m

Ist der optimale Wert einer Strukturvariablen positiv, die Variable folglich in Basis, dann ist die zugehörige duale Schlupfvariable, die den Opportunitätskosten entspricht, gleich null. Ist eine Strukturvariable nicht in der optimalen Basis und besitzt somit den optimalen Wert null, kann der zugehörige optimale Wert der Dualvariablen positiv sein. Damit wäre in einem Produktionsprogramm die Produktion dieses Produkts mit Opportunitätskosten verbunden. Ist eine primale Schlupfvariable mit positivem Wert in Basis, die Restriktion folglich nicht bindend, muss die zugehörige duale Strukturvariable gleich null sein, die dem Schattenpreis für die Kapazität entspricht. Positive Schattenpreise für Restriktionen können nur dann auftreten, wenn die zugehörige Schlupfvariable gleich null ist, die Restriktion also einen Engpass für die optimale Lösung darstellt. x Ist das primale Modell in Richtung der Zielfunktion unbeschränkt, besitzt das duale keine zulässige Lösung. Besitzt das primale Modell keine zulässige Lösung, ist das duale in Richtung der Zielfunktion unbeschränkt. Liegt das primale Modell in Grundform vor, dann gelten weiterhin die folgenden Zusammenhänge, die bei Abweichungen vom Grundmodell entsprechend zu modifizieren sind. x Ist x eine beliebige zulässige Lösung des primalen Modells und y beliebig zulässig für das duale, dann gilt c t x d bt y .

Folglich ist der Zielfunktionswert einer beliebigen zulässigen Lösung des dualen Modells eine obere Schranke für die Zielfunktionswerte aller primal zulässigen Lösungen. x Die optimale Lösung des dualen Modells ist dem optimalen Endtableau des primalen Modells zu entnehmen. Die dualen Strukturvariablenwerte sind die

106

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

' z -Werte der primalen Schlupfvariablen, die dualen Schlupfvariablenwerte sind die ' z -Werte der primalen Strukturvariablen. Da die optimale Lösung des dualen Modells im optimalen primalen Endtableau enthalten ist und umgekehrt, reicht die Optimierung eines der beiden Modelle zur Ermittlung beider optimaler Lösungen aus. Es kann folglich das einfacher zu lösende Modell ausgewählt werden, auch wenn man an dessen Lösung selbst nicht interessiert ist. Zu einem beliebigen linearen Optimierungsmodell lässt sich das zugehörige duale Modell ermitteln, indem das primale zunächst auf Grundform gebracht wird, anschließend dualisiert und dann umgeformt wird, bis die Matrix At vorliegt. Beispiel Das primale Modell aus Beispiel 3.2 soll dualisiert und die optimale Lösung des dualen Modells angegeben werden. max z s.d .

 x1  x2 x1  x2 d 4 0,5 x1  x2 d 2  x1

d 2 x2 t 0

Da x1 unbeschränkt ist, ist zunächst durch geeignete Transformation die Nichtnegativitätsbedingung für alle Variablen sicherzustellen max z s.d .

 x1  x1 

x1  x2 x1  x2 d 4

0,5 x  0,5 x1  x2 d 2  1

 x1 

d 2

x1

x , x , x2 t 0  1

 1

Nun kann unter Anwendung der Regeln hinsichtlich des Grundmodells dieses primale Modell dualisiert werden: min Z = 4 y1  s.d .

2 y2  2 y3

y1  0,5 y2 

y3 t 1

 y1  0,5 y2 

y3 t 1

y1 

y2

t 1 y1 , y2 , y3 t 0

Die zweite Restriktion wird mit  1 multipliziert: y1  0,5 y2  y3 d  1

Interpretation, Dualität und Sensitivität

107

Da weiterhin die 1. Restriktion gilt y1  0,5 y2  y3 t  1

folgt daraus insgesamt y1  0,5 y2  y3  1

Das duale Modell lautet also: min Z = 4 y1  s.d .

2 y2  2 y3

y1  0,5 y2  y1 

1

y3

t 1

y2

y1 , y2 , y3 t 0

Für dieses Bespiel und auch allgemein gilt, dass zu einer unbeschränkten Variablen im primalen Modell eine Gleichheitsrestriktion im dualen Modell gehört. Die optimale Lösung dieses dualen Modells ist dem optimalen Endtableau in Beispiel 3.2 zu entnehmen: y1 0 , y2 1 und y3 0,5 . Der optimale Schlupfvariablenwert ist s2 0 . Ein positiver Schlupf ist für die Gleichheitsrestriktion nicht zulässig, eine Schlupfvariable wird nicht eingeführt. Die ' z -Werte zu x1 und x1 im primalen Endtableau sind entsprechend jeweils gleich null. Beispiel Optima V Zu dem linearen Optimierungsmodell Optima V, welches gegenüber dem Grundmodell um eine t -Restriktion und eine -Restriktion erweitert ist, wird das duale Modell ermittelt und gelöst. Dazu wird ein äquivalentes Modell in Grundform aufgestellt. max z = 3 x A  2 xB s.d.

2 xA 

1 xB

d 22

1 x A  2 xB

d 23

4 xA 

1 xB

d 40

1 x A 

1 xB

d 5

1 x A  13 xB 1 x A  13 xB

d

6

d 6

xA , xB t 0

Dieses Modell wird dualisiert zu dem folgenden dualen Modell, wobei zunächst die Variablen mit yic bezeichnet werden, um später ein passendes Modell zu formulieren.

108

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

min Z s.d .

22 y1c  23 y2c  40 y3c  5 y4c  6 y5c  6 y6c 2 y1c  1 y2c  4 y3c  1 y4c  1 y5c  1 y6c t 3 1 y1c  2 y2c 

1 y3c  1 y4c  13

y5c  13 y6c t 2

y1c, y2c , y3c , y4c , y5c , y6c t 0

Mittels entsprechender Variablenumbenennung bzw. -transformation y1 y1c , y2 y2c , y3 y3c , y4  y4c , y5 y5c  y6c erhält man das duale des Ausgangsmodells, für das die Matrix A und die Vektoren c und b übereinstimmen. y4 ist kleiner oder gleich null, da y4c größer oder gleich null ist. y5 ist unbeschränkt, da y5 sich aus der Differenz von y5c a y5 und y6c a y5 ergibt. min Z s.d .

22 y1  23 y2  40 y3  5 y4  6 y5 2 y1  1 y2  4 y3  1 y4  1 y5 t 3 1 y1  2 y2  1 y3  1 y4  13 y5 t 2 y1 , y2 , y3 t 0 y4 d 0 y5 unbeschränkt

Die optimale Lösung des dualen Modells lautet y1 9 5 , y2 y3 y4 0 , y5  35 und s1 s2 0 . Sie kann durch Lösung des obigen Modells oder direkt aus dem optimalen Endtableau des primalen Modells abgeleitet werden, wobei y5 dem ' z -Wert der Hilfsvariablen h5 abzüglich M zu entnehmen ist. Damit führt eine Erhöhung der rechten Seite der Gleichheitsrestriktion im primalen Modell zu einer Erhöhung des Zielfunktionswertes um  35 , d. h. zu einer Verringerung um 3 . Der „Schattenpreis“ der Gleichheitsrestriktion ist hier negativ, damit ist eine 5 Verringerung der rechten Seite in diesem Fall günstig. 3.2.3 Sensitivitätsanalyse Zum Zeitpunkt der Planung ist nicht immer genau bekannt, welche exakten Daten zukünftig eintreten werden. Lineare Optimierungsmodelle setzen eine Entscheidungssituation unter Sicherheit voraus, bei der der eintretende Umweltzustand und die daraus resultierenden Zusammenhänge, die Werte für die Zielkoeffizienten, die Aktivitätenmatrix und die rechte Seite exakt angegeben werden können. Die so resultierenden Festlegungen zulässiger Lösungen werden im Rahmen der Optimierung teilweise extrem ausgeschöpft. Daher ist es häufig sinnvoll zu untersuchen, ob geringfügige Änderungen einzelner Parameter zu anderen als den vorgeschlagenen optimalen Lösungen führen. Wichtige Hinweise hierzu liefert die Sensitivitätsanalyse, mittels derer festgestellt wird, welche Parameteränderungen ohne Einfluss auf die Optimalität einer ermittelten Basis bleiben. Ausgehend von den Informationen im optimalen Endtableau eines linearen Optimierungsmodells ist

Interpretation, Dualität und Sensitivität

109

die Sensitivität der Ergebnisse auf Abweichungen der Modellparameter ableitbar, wie im Folgenden zunächst beispielhaft, dann allgemein demonstriert wird. Die Optimierung des kurzfristigen Produktionsprogramms bei Optima lieferte den Vorschlag, 7 Einheiten von Produkt A und 8 Einheiten von Produkt B herzustellen, womit der Gesamtdeckungsbeitrag von 37 GE erzielbar ist. Das optimale Endtableau lautet

xA

xB

s1

s2

s3

RS

2

xB

0

1

-1/3

2/ 3

0

8

0

s3

0

0

-7/3

2/ 3

1

4

3

xA

1

0

2/ 3

-1/3

0

7

'z

0

0

4/ 3

1/ 3

0

37

In der Produktionsbesprechung stellt sich heraus, dass die Daten der Verkaufsabteilung hinsichtlich des erzielbaren Preises von Produkt B möglicherweise nicht zutreffen. Es ist nicht ausgeschlossen, dass der erzielbare Preis etwas niedriger, aber eventuell auch etwas höher festgelegt wird als 2 GE, was direkte Auswirkungen auf den Stückdeckungsbeitrag hat. Ist das vorgeschlagene Produktionsprogramm auch bei Preisänderungen noch optimal? Wie wird der Gesamtdeckungsbeitrag beeinflusst? Angenommen, der Stückdeckungsbeitrag weicht um den noch unbekannten Wert O   vom bisher berücksichtigten Wert 2 ab, d. h. c cxB 2  O . Diese Änderung hat bezüglich des optimalen Endtableaus zunächst nur Auswirkungen auf die linke Spalte, die Basisvariablen-Zielkoeffizienten, und auf die ' z -Zeile. Die sonstigen Parameter, wie die rechte Seite des optimalen Endtableaus, bleiben durch diese Modifikation unverändert. Die neuen ' z c -Werte errechnen sich gemäß Definition zu ' z c c ct  cBct B 1 A und der neue Zielfunktionswert zu z c cBc t B 1b . Um die Werte der ' z - bzw. ' z c -Zeile einzeln benennen zu können, wird folgende Schreibweise vereinbart: ' z ( x A ) bzw. ' zc( x A ) entsprechen dem Wert von ' z bzw. ' z c in der zu x A gehörenden Spalte. Nach Änderung von c xB in c cxB 2  O berechnen sich die neuen Werte wie folgt: Für die Basisvariablen ergibt sich keine Änderung, die Werte lauten weiterhin ' z c( x A ) ' z c( x B ) ' z c( s3 ) 0 . Für die übrigen Werte gilt:

110

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

' z c( s1 )

 0  (2  O ) ˜ ( 13)  0 ˜ ( 7 3)  3 ˜ 2 3  0  2 ˜ (  1 3)  0 ˜ (  7 3)  3 ˜ 2 3  O ˜ (  1 3)

' z ( s1 )  O ˜ ( 13) ' z c( s2 )

' z ( s2 )  O ˜ 2 3

1

4

3

O˜

1

3

2 3 O ˜ 3

Damit die Optimalität erhalten bleibt, muss weiterhin ' z c t 0 gelten, also 4 1

3

O˜

0

œ

Od4

und

3

 O ˜ 23 t 0

œ

O t  12

,

1

3t

also O  ª¬  1 2 ; 4 º¼ und damit c cxB  >1,5; 6@ . Der Deckungsbeitrag von Produkt B kann also um bis zu 0,5 GE abnehmen oder um bis zu 4 GE steigen, ohne die Optimalität der vorgeschlagenen Lösung zu beeinträchtigen. Also sind auch bei abweichenden Preisen für Produkt B, die von 1,5 GE bis 6 GE reichen, die vorgeschlagenen Produktionsmengen optimal. Der mit der optimalen Lösung erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag ändert sich jedoch proportional zur Preisänderung. Das Ausmaß der Änderung ist dem optimalen Endtableau zu entnehmen und beträgt 37  O ˜ 8 . Steigt der erzielbare Preis für Produkt B bspw. um 2 GE, bleibt das vorgeschlagene Produktionsprogramm optimal und der Deckungsbeitrag erhöht sich um 16 GE. Ein anderes Problem beschäftigt die Produktionsplaner ebenfalls. Es ist nicht sichergestellt, dass die Anlagen auf Produktionsstufe 1 zuverlässig einsetzbar sind. Möglicherweise ergeben sich während der Produktion Probleme, die zu einer Reduktion der verfügbaren Kapazität auf dieser Stufe führen. Es stellt sich daher die Frage, welche Auswirkungen Abweichungen auf die optimale Lösung haben. Beträgt die Kapazität der ersten Produktionsstufe nicht 22, sondern 22  O ZE mit O   , hätte im Ausgangstableau die rechte Seite gelautet (22  O , 23, 40)t . Diese rechte Seite läge dann im vorliegenden Endtableau mit der optimalen Basisinversen von links multipliziert vor. Die aktuelle rechte Seite lautet folglich § 22  O · ¸ 1 ¨ B ¨ 23 ¸ ¨ ¸ © 40 ¹

§O· 1 1 ¨ ¸ B b  B ¨0 ¸ ¨ ¸ ©0 ¹

§ 8 · §  13 2 3 0 · § O · ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 7 2 ¨ 4 ¸  ¨  3 3 1¸ ¨ 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ © 7 ¹ © 2 3  13 0 ¹ © 0 ¹

§ 8 · §  13 O · ¨ ¸ ¨ 7 ¸ ¨ 4¸  ¨  3 O ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © 7 ¹ © 23 O ¹

B 1 ist die aktuelle, also optimale Basisinverse. Sie ist im optimalen Tableau an der Position ablesbar, an der im Ausgangstableau die Einheitsmatrix steht, also hier unter den Schlupfvariablen. Weiterhin ändert sich der Gesamtdeckungsbeitrag zu 2 ˜ (8  13 O )  0 ˜ (4  7 3 O )  3 ˜ (7  2 3 O ) 37  4 3 O . Es bleibt zu prüfen, für welche Werte für O die rechte Seite größer oder gleich null bleibt, d. h. die vorgeschlagene Lösung zulässig ist. Da die ' z -Zeile durch die Modifikation der rechten Seite nicht beeinflusst ist, bleibt dann auch für die ermittelten Lösungen die Optimalität erhalten.

Interpretation, Dualität und Sensitivität

111

Die rechte Seite ist größer oder gleich null, falls die drei folgenden Bedingungen sämtlich erfüllt sind. 8  13 O t 0 œ 4  73 O t 0 œ

O d 12 7 und

7  23 O t 0 œ

O t  21 2

O d 24

und

Für alle O mit  21 2 d O d 12 7 und folglich 11,5 d b1c d 23 5 7 bleibt die Optimalität der Basis erhalten, d. h., es ist weiterhin optimal, gerade die vorgeschlagenen Produkte und keine anderen zu produzieren. Die Mengen müssen jedoch der verringerten bzw. erweiterten Kapazität angepasst werden und lauten 7  2 3 O von Produkt A und 8  13 O von Produkt B, mit dem Gesamtdeckungsbeitrag von 37  4 3 O . Eine Reduktion der Kapazität auf der ersten Produktionsstufe um 3 ZE, also O 3 , führt folglich zu dem neuen optimalen Produktionsprogramm 5 Einheiten von Produkt A und 9 Einheiten von Produkt B mit einem Gesamtdeckungsbeitrag von 33 GE. Ist die Reduktion höher als 10,5 Einheiten, also O  10,5 , kann die Konsequenz nicht aus dem vorliegenden Tableau abgeleitet werden, da zunächst eine andere, für die geänderte Situation optimale Basis zu ermitteln ist. Sensitivität der optimalen Lösung eines LP-Modells Bei einer Sensitivitätsanalyse im Rahmen der linearen Optimierung wird untersucht, welche Auswirkungen eine Parametermodifikation auf die optimale Lösung hat. Dazu wird zunächst die Optimalität der Basis analysiert. Für die Bereiche, für die die Basis optimal bleibt, bleiben wesentliche Teile des optimalen Endtableaus unverändert und daraus sind Aussagen über die Sensitivität der optimalen Lösung ableitbar. Daher werden stets zunächst die Bereiche für mögliche Abweichungen der Parameter ermittelt, innerhalb derer die bisher optimale Basis optimal bleibt. Ist ein Basiswechsel erforderlich, um die Optimalität bei Parametervariation wieder herzustellen, sind Aussagen über Konsequenzen nur nach Neuberechnung möglich. Derartige systematische Untersuchungen werden im Rahmen einer parametrischen Optimierung durchgeführt, auf die hier nicht näher eingegangen wird. Weiterführende Behandlungen sind etwa Gal und Greenberg (1997) zu entnehmen. Mit Bezug auf die Dualitätstheorie lässt sich die Optimalität einer Lösung bzw. einer Basis eines linearen Optimierungsmodells modifiziert definieren.

y Eine Lösung ist optimal, wenn sie zulässig ist (primale Zulässigkeit), d. h. xB (0) B 1b t 0 und wenn die ' z -Zeile nichtnegativ ist (duale Zulässigkeit)

' zj

cBt B 1a j  c j t 0

j 1,..., n .

Genau dann ist auch die Basis B optimal.

112

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

Sensitivitätsanalysen können sich auf die Änderung eines oder mehrerer Parameter eines linearen Optimierungsmodells beziehen. Hier werden nur die Variation eines Zielfunktionskoeffizienten bzw. eines Parameters der rechten Seite in ihren Auswirkungen untersucht. In einem ersten Schritt wird geprüft, welches der beiden Kriterien, Zulässigkeit oder nichtnegative ' z -Zeile, eventuell durch die Modifikation betroffen ist. Dieses wird anschließend detaillierter betrachtet. Variation eines Zielfunktionskoeffizienten Eine Veränderung von Koeffizienten der Zielfunktion hat keine Auswirkung auf die rechte Seite und damit auf die primale Zulässigkeit. Die Nichtnegativität der ' z -Zeile, also die duale Zulässigkeit, muss geprüft werden. Eine Änderung der Komponente ck im Umfang von O zu ckc ck  O verletzt die Nichtnegativität der ' z -Zeile der ermittelten Lösung nicht, solange ' z cj t 0 für j 1,..., n erhalten bleibt mit ' z cj cBct B 1a j  ccj . Ist die zugehörige Variable xk nicht in Basis, ist nur eine eventuelle Aufnahme dieser Variablen in Basis zu prüfen, also ob gilt cBt B 1ak  ck'

' zk'

cBt B 1ak  ck  O

' zk  O t 0 d. h. O d ' zk

Solange also die Änderung des Zielfunktionskoeffizienten einer Nichtbasisvariablen geringer als der zugehörige Wert von ' z ist, bleibt der optimale Wert der Nichtbasisvariablen xk null. Damit ist eine Aufnahme dieser Variablen in die Basis erst vorteilhaft, wenn O den Wert ' zk überschreitet. Ist xk in Basis, sind die ' z cj aller Nichtbasisvariablen zu prüfen, d. h. für alle Nichtbasisvariablen zu untersuchen, wann eine Aufnahme in die Basis vorteilhaft wird. Für alle Basisvariablen gilt weiterhin ' z cj 0 . ' z 'j

c 'tB B 1a j  c j

cBt B 1a j  O a*kj  c j

' z j  O a*kj t 0

Also bleibt das Optimalitätskriterium erfüllt, solange °­ ' z j °½

j 1,..., n, für akj ! 0 ¾ und °¯ akj °¿

O t max ® j

­° ' z j ½°

j 1,..., n, für akj  0 ¾ gelten. ¯° akj ¿°

O d min ® j

Interpretation, Dualität und Sensitivität

113

Beispiel Opti-Shop Ausgehend von dem Endtableau Opti-Shop 1 lassen sich gewünschte Sensitivitätsuntersuchungen durchführen.

22 23

23

23

25

25

35 32 33

Bw Br

Bb

Bg

Bs

Bk

Js

0

0

s1 s2

RS

22 Bw

1 1,1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,6 1,5 1,6 0,05 0

400

0 s2

0 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 2,6 2,5 2,6 0,05 1

400

'z

0 1,2 1,2 1,2 1,4 1,4 0,2 1,0 2,2 1,1 0

8800

Jb

Jw

Der Einzelhändler interessiert sich dafür, welchen Preis für schwarze Jeans die Kunden mindestens akzeptieren müssten, damit er aufgrund des Deckungsbeitrags auch schwarze Jeans beschaffen sollte. Der Deckungsbeitrag für schwarze Jeans beträgt 35 GE, eine Aufnahme in die Basis ist nur optimal, wenn der Deckungsbeitrag um mindestens O ' z ( J schw ) 0, 20 , die Opportunitätskosten, steigt, der Verkaufspreis also mindestens 67,20 € beträgt. Außerdem möchte der Einzelhändler wissen, ab welcher Änderung des Verkaufspreises weißer Blusen besser andere Teile beschafft werden sollten. Sinken der Verkaufspreis und damit der Deckungsbeitrag der weißen Blusen um O , ändern sich ggf. die ' z -Werte der Nichtbasisvariablen. ' z c( Br ) 1, 2  O ˜1,1 t 0 œ O d 1, 09

' z c( Bb )

' z c( Bg )

' z c( Bs ) 1, 4  O ˜1, 2 t 0 œ O d 1,17 ' z c( Bk ) ' z c( J s ) 0, 2  O ˜1, 6 t 0 œ O d 0,125 ' z c( J b ) 1, 0  O ˜1,5 t 0 œ O d 0, 67 ' z c( J w )

2, 2  O ˜1, 6 t 0 œ O d 1,375

Solange O d 0,125 gilt, sind nur weiße Blusen optimal. Sinkt der Verkaufspreis unter 42  0,125 | 41,87 €, sollten stattdessen schwarze Jeans eingekauft werden. Jedoch werden nicht ausschließlich schwarze Jeans zur Beschaffung vorgeschlagen, da zu berücksichtigen ist, dass mindestens so viele Blusen wie Jeans einzukaufen sind, also dann auch die zweite Restriktion relevant wird. Zur Ermittlung einer neuen optimalen Lösung sind weitere Simplexschritte erforderlich. Wie bereits dargestellt, führt die Erhöhung des Budgets pro € zu einer Erhöhung des Gesamtdeckungsbeitrags um 1,1 €. Bis zu welcher Erhöhung gilt diese Tatsache? Unter der Annahme, dass das Modell die Realität zutreffend beschreibt und keine weiteren Restriktionen, wie beispielsweise Absatzrestriktionen, zu berück-

114

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

sichtigen sind, kann dies mittels Sensitivitätsanalyse festgestellt werden. Die aktuelle Basis bleibt optimal, solange die aktualisierte rechte Seite größer oder gleich null ist.

§ 400 · § 0, 05 0 ·§ O · ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ © 400 ¹ © 0, 05 1 ¹© 0 ¹

§ 400  0, 05 ˜ O · ¨ ¸ t 0 für O t 0 © 400  0, 05 ˜ O ¹

Da für beliebig große positive Werte von O die Zulässigkeit nicht verletzt ist, gilt in diesem Fall die entsprechende Erhöhung des Gesamtdeckungsbeitrags bei Erhöhung des Budgets unbegrenzt, was hier auf das etwas konstruierte Beispiel zurückzuführen ist, da nur ein geringer Teil der realen Bedingungen im Modell Berücksichtigung findet. Variation der rechten Seite Der Einfluss von Änderungen der k-ten Komponente der ursprünglichen rechten Seite zu bkc bk  O , O   auf die optimale Lösung wird im Folgenden dargestellt. Die ' z -Zeile, also die duale Zulässigkeit, ist durch diese Änderung nicht berührt, alle Werte bleiben nichtnegativ, jedoch ist die primale Zulässigkeit zu prüfen. Daher wird zunächst die modifizierte, mit der optimalen Basisinversen B 1 aktualisierte rechte Seite des Modells ermittelt und geprüft, für welche Werte von O sie zulässig bleibt, also

B 1bc

§ §0 ·· ¨ ¨ ¸¸ ¨ ¨# ¸ ¸ 1 ¨ B b  ¨O ¸¸ ¨ ¨ ¸¸ ¨ ¨# ¸ ¸ ¨ ¨0 ¸¸ © © ¹¹

B 1b  O ˜  B 1 t 0 k

gilt, wobei ( B 1 ) k die k-te Spalte der Inversen von B 1 bezeichnet. Ist bi die i-te Komponente der rechten Seite im optimalen Endtableau und bik1 die i-te Komponente der k-ten Spalte der Inversen von B , dann muss gelten: bi  O ˜ bik1 t 0

für alle

1d i d m

und damit ­ bi ½ i 1,..., m, bik1 ! 0 ¾ 1 ¯ bik ¿

­ b ½ O d min ® i 1 i 1,..., m, bik1  0 ¾ . b ¯ ik ¿

O t max ®

Interpretation, Dualität und Sensitivität

115

Für alle O   , die diese Bedingungen erfüllen, bleibt die Basis B optimal. Die optimale Lösung ist anzupassen und lautet

b*  O ˜ ( B 1 ) k

xBc (0)

xic

bzw.

bi  O bik1 .

Auch der optimale Zielfunktionswert ändert sich entsprechend zu

cBt (b  O ( B 1 ) k )

z ( xBc )

z ( xB )  O cBt ( B 1 ) k .

Beispiel Optima Ändert sich das optimale Produktionsprogramm von Optima, falls die Kapazität der zweiten Produktionsstufe von 23 ZE abweicht? Die ursprüngliche rechte Seite ist gleich (22, 23, 40)t . Die optimale rechte Seite b ist (8, 4, 7)t mit der optimalen Lösung xA 7 , xB 8 und s3 4 .

Mit der aktuellen Basisinversen B

1

§  13 ¨ 7 ¨ 3 ¨ 2 © 3

O ˜ ( B 1 ) 2

2

0· ¸ 1 ¸ ist 0 ¸¹

3

2

3 1  3

§ 23 · ¨ ¸ O ˜ ¨ 23 ¸ . ¨ 1 ¸ © 3¹

Zu untersuchen bleibt b1  b121 ˜ O

2

1 22

3

1 32

b  b ˜O b  b ˜O

8  23 O t 0 œ O t  43

und

4  23 O t 0 œ O t  23

und

7

1 O 3

7

t0œOd 3

.

Ergebnis: Die Optimalität der Basis bleibt für alle Modifikationen O auf der zweiten Produktionsstufe mit  2 3 d O d 7 3 und 21 2 3 d b2c d 25 13 erhalten. Die optimale Lösung ist dann § xB · ¨ ¸ ¨ s3 ¸ ¨x ¸ © A¹

§8  23 O · ¨ ¸ 2 ¨ 4  3 O ¸ und s1 ¨7  1 O ¸ 3 ¹ ©

s2

0

mit dem Zielfunktionswert 37  13 O . Führt man eine entsprechende Sensitivitätsuntersuchung bezüglich der Veränderung der dritten Produktionsstufe durch, zeigt sich, dass für alle O t 4 die Lösung zulässig und die Basis folglich optimal bleiben.

116

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

§0 · ¨ ¸ B b  B ¨0 ¸ ¨O¸ © ¹ 1

1

§8 · § 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 4¸  ¨ O ¸ t 0 ¨7¸ ¨0 ¸ © ¹ © ¹

Somit bleibt das optimale Produktionsprogramm mit 7 Einheiten Produkt A und 8 Einheiten Produkt B unverändert, nur die nicht ausgeschöpfte Kapazität der dritten Produktionsstufe erhöht sich. Dieses Ergebnis ist unmittelbar dem optimalen Endtableau zu entnehmen, da s3 mit Wert 4 in Basis ist. Diese Produktionsstufe stellt folglich keinen Engpass dar und eine Erhöhung dieser Kapazität kann keine positive Wirkung haben. Auch die Reduktion der Kapazität um bis zu 4 Einheiten ändert nur die zugehörige Schlupfvariable, erst größere Reduktionen beeinflussen das optimale Produktionsprogramm. Die ausführliche Berechnung wäre folglich hier zur Sensitivitätsanalyse nicht erforderlich gewesen. Wenn mehrere Parameter gleichzeitig schwanken, sind umfangreichere Sensitivitätsanalysen möglich, auf die Darstellung wird hier verzichtet. Für die Ermittlung von Konsequenzen bei größeren Abweichungen ist etwa mittels dualem Simplexalgorithmus, der unter Beibehaltung der dualen Zulässigkeit zusätzlich die primale Zulässigkeit und damit die Optimalität anstrebt, eine neue optimale Lösung zu ermitteln. Eine Beschreibung des dualen Simplexalgorithmus geben beispielsweise Hadley (1980), Zimmermann (2005). 3.2.4 Aufgaben Aufgabe 3.2.1 Ermitteln Sie zu folgenden linearen Optimierungsmodellen jeweils das zugehörige duale Modell. a)

max z = s.d .

x1  2 x2 2 x1 

x2

10

x1  3 x2 d 12 x1 ,x2 t 0

b)

min z = s.d .

x1  2 x2  2 x3  6 x4 4 x1  7 x2  x1  4 x2 

x3 

x4

2

x3  3 x4 t

3

x3 

5

x4 t

x1 , x2 , x3 , x4 t 0

Interpretation, Dualität und Sensitivität

117

Aufgabe 3.2.2 Die Garibaldi GmbH stellt Schnellkochtöpfe aus Edelstahl in den drei unterschiedlichen Varianten „Single“, „Standard“ und „Silberpfeil“ her. Da der Stahlpreis derzeit auf hohem Niveau schwankt, möchte die Geschäftsleitung gerne wissen, in welchem Preisintervall das aktuelle Produktionsprogramm optimal bleibt. Die relevanten Rahmenbedingungen sind durch ein lineares Optimierungsmodell zur Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrags beschrieben: x1 ~ Produktionsmenge der Variante „Single“ x2 ~ Produktionsmenge der Variante „Standard“ x3 ~ Produktionsmenge der Variante „Silberpfeil“ max z = 18 x1  20 x2  25 x3 s.d .

4 x1  5 x2 

Gesamt-Deckungsbeitrag

8 x3

d 900

Rohstoffrestriktion

x2 

x3

d 220

Produktion

x1  2 x2 

2 x3

d 280

Nachbearbeitung

3 x1  2 x2 

x3

d 675

Endmontage

x1 

x1 , x2 , x3 t 0

Der Geschäftsleitung liegt das folgende optimale Endtableau der Planungsabteilung vor, dem die Daten zur aktuell realisierten Produktion entnommen werden können: x1

x2

x3

s1

s2

s3

s4

RS

x2

0

1

4

1

-4

0

0

20

x1

1

0

-3

-1

5

0

0

200

s3

0

0

-3

-1

3

1

0

40

s4

0

0

2

1

-7

0

1

35

'z

0

0

1

2

10

0

0

4000

a) In welchem Bereich darf der Deckungsbeitrag des „Standard“-Kochtopfs schwanken, ohne dass das aktuelle Programm seine Optimalität verliert? Wie ändert sich der jeweils erreichbare Deckungsbeitrag? b) Wie ändert sich die optimale Lösung (einschließlich Deckungsbeitrag), wenn aufgrund plötzlicher Lieferengpässe 20 Einheiten Rohmaterial weniger zur Verfügung stehen? c) Formulieren Sie das zugehörige duale Modell und geben Sie seine optimale Lösung an – möglichst ohne zu rechnen.

118

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

d) Zeigen Sie für dieses Beispiel das Vorliegen der Komplementaritätsbedingung. Aufgabe 3.2.3 Für den kommenden Monat liegen für die drei Produkte A, B und C Aufträge in Höhe von 100 Einheiten, 50 Einheiten und 70 Einheiten vor, die mit minimalen Kosten zu erfüllen sind. Die Produktion erfolgt auf einer Produktionsstufe, auf der 200 Einheiten pro Monat hergestellt werden können. Durch Überstunden sind weitere Einheiten zu realisieren, die zusätzliche Kosten in Höhe von 150 Geldeinheiten pro Produkteinheit erfordern. Alternativ können Produkte gleicher Qualität kurzfristig zugekauft werden, dafür entstehen Kosten in Höhe von 150 Geldeinheiten für A, 170 Geldeinheiten für B und 165 Geldeinheiten für C. Die Einsatzfaktoren für A, B und C kosten 20, 25 bzw. 30 Geldeinheiten, die variablen Produktionskosten betragen jeweils 5 Geldeinheiten. Schlagen Sie vor, welche Produkte in welchem Umfang selbst gefertigt bzw. fremdbezogen werden sollen und ermitteln Sie das optimale Ergebnis. Wie weit sind die zusätzlichen Überstundenkosten pro Produkteinheit zu reduzieren, damit aus Kostengründen ausschließlich selbst gefertigt werden sollte? Welche Kostenreduktion ist mit einer Erweiterung der monatlichen Kapazität um eine Einheit verbunden?

4 Anwendungen linearer Optimierung

4.1 Rechnereinsatz Für die bisherigen Beispiele war eine manuelle Ermittlung der optimalen Lösung möglich. Selbstverständlich ist bei realistischen Problemgrößen eine Rechnerunterstützung notwendig. Vielfältige Entwicklungen von Hard- und Software und von Algorithmen haben dazu beigetragen, dass heute sehr effiziente LP-Standardsoftware-Systeme zur Lösung linearer Optimierungsmodelle selbst für den PC verfügbar sind. Diese sind teilweise mit für den Anwender komfortablen Benutzeroberflächen versehen. Die in den vorherigen beiden Kapiteln behandelten Problemstellungen verlangten stets, dass die Variablen unter Berücksichtigung der Restriktionen und ggf. Nichtnegativitätsbedingungen beliebige reelle Werte annehmen können. Dann führt der Simplexalgorithmus zu einer optimalen Lösung, sofern diese existiert. Dürfen Variablen nur ganzzahlige, natürliche oder binäre Werte annehmen, z. B. wenn über die Beschaffung von zwei, drei oder vier zusätzlichen Maschinen entschieden werden soll, müssen im Allgemeinen andere Algorithmen zur Lösung eingesetzt werden, auf die hier nicht näher eingegangen wird. Sind Zielfunktion und alle Restriktionen linear, spricht man dann von (rein-) ganzzahliger oder gemischt-ganzzahliger linearer Programmierung (mixed-integer linear programming, MILP). Solche Probleme sind wesentlich aufwändiger zu lösen und kommen in der Praxis sehr häufig vor. Moderne Standardsoftware zur linearen Programmierung umfasst meist die Berücksichtigung von gemischt-ganzzahligen Optimierungsmodellen und auch einige nichtlineare Modellstrukturen, wie quadratische Optimierungsmodelle, deren Lösung sich auf die Verwendung spezieller linearer Optimierungsmodelle stützt. Sind die Variablen kontinuierlich wie in den bisherigen Beispielen, sind fast beliebig große Probleme lösbar. Jedoch auch Problemstellungen mit mehreren hundert ganzzahligen Variablen sind häufig selbst mittels PC optimierbar. Methoden und Software zur linearen und gemischt-ganzzahligen Optimierung und die eingesetzte Hardware werden ständig weiterentwickelt und verbessert. Die Steigerung der Geschwindigkeit der gemischt-ganzzahligen linearen Optimierung ist teilweise auf eine Beschleunigung der Rechner zurückzuführen. Zusätzlichen Anteil hat die Verbesserung der Lösungsalgorithmen, von denen einige erst aufgrund der gestiegenen Speicherkapazität realisierbar sind. Über die Entwicklung

120

Anwendungen linearer Optimierung

der Lösungsgeschwindigkeiten gibt Bixby (2002) einen detaillierten Überblick. Er zeigt, dass die Steigerung der Rechengeschwindigkeit den Simplexalgorithmus in den letzten 20 Jahren um einen Faktor zwischen 500 und 1000 beschleunigt hat; Weiterentwicklungen der Lösungsalgorithmen führen problemabhängig zu zusätzlichen Verbesserungen um Faktoren bis über 1000. Beide Faktoren zusammen erlauben heute das Lösen realistischer Modelle mit mehreren zehntausend Zeilen und Spalten unter Einsatz von Standardsoftware auf einem PC innerhalb weniger Minuten. Der Rechenaufwand zur Lösung eines linearen Optimierungsmodells hängt einerseits von der Anzahl der bis zum optimalen Ergebnis erforderlichen Iterationen, zum anderen von der Zahl der Berechnungen für eine Iteration ab. Zur Durchführung eines Simplexschritts sind nicht alle Daten eines Tableaus erforderlich, vielmehr reicht die Kenntnis jeweils der aktuellen Basisinversen, der rechten Seite, der ' z -Zeile einschließlich Zielfunktionswert und der aufzunehmenden Spalte aus, um mit den Daten des Ausgangstableaus die für den Simplexalgorithmus erforderlichen Informationen bei Bedarf zu ermitteln. Der entsprechende Algorithmus wird als revidierter Simplexalgorithmus bezeichnet und ist meist in Standardsoftware implementiert. Der Rechenaufwand für eine Iteration ist stark reduziert und insbesondere von der Größe der Basis abhängig. Zusätzlich wird meist die Basisinverse als Produkt von Elementarmatrizen dargestellt, was weitere rechentechnische und Stabilitätsvorteile bringt. Ansatzpunkte zur weiteren Verbesserung des Laufzeitverhaltens bestehen durch Reduktion der Größe der Basis. Diese ist abhängig vom Minimum der Gesamtzahl der Variablen und der Restriktionen. Gelingt die Vermeidung von Restriktionen bei der Modellierung, sind ggf. in jeder Iteration die Basis und damit der Rechenaufwand reduziert. Eine derartige Maßnahme besteht in der separaten Berücksichtigung von unteren und oberen Schranken einzelner Variablen, welche nicht als reguläre Restriktion formuliert, sondern mit einem modifizierten Vorgehen behandelt werden. Soll beispielsweise für die Variable x1 die Restriktion x1 t 5 gelten, besteht also eine untere Schranke, wird diese Variable durch x1c x1  5 substituiert, sodass die äquivalente Restriktion für x1c lautet: x1c t 0 . Dies entspricht gerade der Nichtnegativitätsbedingung, welche ohne Vergrößerung der Basis stets implizit berücksichtigt wird. Der zusätzliche Aufwand besteht in der einmaligen Modellmodifikation zu Beginn und der Rücktransformation am Ende der Berechnungen. Auch die Berücksichtigung einer oberen Schranke einer Variablen kann ohne Vergrößerung der Basis erfolgen. Das algorithmische Vorgehen ist jedoch etwas komplizierter, daher wird auf die Darstellung verzichtet (vgl. etwa Hadley 1980). Spezialisierte Software zur linearen Optimierung sieht daher üblicherweise die Möglichkeit der Angabe von unteren und oberen Schranken (lower, upper bound LB, UB) für die Variablen vor, die vorteilhafterweise anstelle einer expliziten Restriktion xi t LB oder xi d UB verwendet werden sollte.

Rechnereinsatz

121

Aus dem Internet frei herunterladbar ist die Studentenversion von ClipMOPS£, ein von Suhl, FU Berlin, entwickeltes System zur Lösung linearer und gemischtganzzahliger Optimierungsmodelle, welches ein Add-In zu Excel£ ist (Suhl 2000). Mit dieser Version lassen sich Probleme mit maximal 50 stetigen Variablen und 30 Restriktionen lösen. Eine Kurzeinführung dazu ist verfügbar (Werners 2004). Beispiel Optima Die folgenden Abbildungen zeigen Eingabe und Ergebnisausgabe in Anlehnung an die ClipMOPS£–Bildschirme am Beispiel der Produktionsprogrammplanung von Optima. Ein derartiges MPS-Format ist weitgehend für Optimierungssoftware standardisiert. Die Variablen sind kontinuierlich (Typ: CON) und nicht nach oben beschränkt (UB: INF), d. h., die obere Schranke ist unendlich. Die Nichtnegativitätsbedingungen gelten (LB: ), d. h., die unteren Schranken sind null. Standardmäßig wird Nichtnegativität unterstellt, sodass die Einträge leer bleiben können und als 0 interpretiert werden.

Optima

xA

MAX

xB 3

TYP

RHS

2

LB UB

INF

INF

TYP

CON

CON

Stufe 1

2

1 <=

22

Stufe 2

1

2 <=

23

Stufe 3

4

1 <=

40

Abb. 4.1. Eingabemaske Optima Produktionsprogramm

Nach Durchführung der Optimierung werden die Eingabedaten erneut angezeigt, erweitert um die Zeile „Activity“, die die optimalen Werte der Strukturvariablen und den erreichten optimalen Zielfunktionswert enthält. Wird die Option „erweiterte Ergebnisanzeige“ gewählt, erscheinen zusätzliche Angaben.

122

Anwendungen linearer Optimierung

xA

Optima MAX

xB 3

TYP

RHS

2

LB UB

INF

INF

TYP

CON

CON

Stufe 1

2

1 <=

22

Stufe 2

1

2 <=

23

Stufe 3

4

1 <=

40

Activity

7,00

8,00

Name

xA

xB

Status

BS

Reduced Cost

Activity

37,00

BS 0

0

Name Status Reduced Cost

22

Stufe 1 UB

1,3333

23

Stufe 2 UB

0,3333

36

Stufe 3 BS

0

Abb. 4.2. Erweiterte Ergebnisanzeige

In einem erweiterten Ergebnisreport sind unter den Bezeichnungen Status und Reduced Cost zusätzliche Informationen entnehmbar. Bei den Strukturvariablen gibt der Status an, ob sich die optimale Variable in Basis BS, an der unteren Grenze LB oder der oberen Grenze UB befindet. Die Reduced Cost, die den Strukturvariablen im Ergebnisbericht zugeordnet sind, geben für die Nichtbasisvariablen die Veränderung der Zielfunktion pro Einheit Erhöhung der Variablen bei entsprechender Reduktion der Basisvariablen an. Sie entsprechen damit den mit (-1) multiplizierten ' z -Werten der Strukturvariablen. Die Reduced Cost, die den Restriktionen zugeordnet sind, stehen im Unterschied zu Abb. 4.2 am Bildschirm neben den Restriktionen. Sie sind die optimalen dualen Strukturvariablen. Der den Restriktionen zugeordnete Status signalisiert, ob die Restriktion bindend UB, nicht bindend BS oder mit Gleichheit FX erfüllt ist. Wie in Kapitel 3 beschrieben, las-

Produktion und Logistik

123

sen sich aus den Reduced Cost die Opportunitätskosten und Schattenpreise für die Variablen bzw. Kapazitäten ableiten. Auch mittels des standardmäßig in Excel£ verfügbaren Solvers lassen sich lineare Optimierungsmodelle geringerer Größe lösen. Er ist jedoch hinsichtlich des Laufzeitverhaltens, der Lösungsermittlung, der Ergebnisgenauigkeit und der Benutzerunterstützung mit spezialisierten Solvern wie MOPS£, CPLEX£, XPRESSMP£, LINDO£ oder anderen nicht vergleichbar. Für verschiedene dieser Systeme sind ebenfalls Kurzeinführungen verfügbar (z. B. Werners 2006), teilweise sind Studentenversionen erhältlich z. B. für XPRESS-Ive£. Zu den weiterentwickelten Programmen sind häufig integrierte oder zusätzliche Modellierungssprachen vorhanden. Sie erlaubt beispielsweise Daten und Modell zu trennen. Dies ermöglicht die Formulierung eines an die Belange eines Unternehmens angepassten Modells etwa zur Produktionsplanung, für das die Daten, wie Deckungsbeiträge und Anlagenverfügbarkeit, über Schnittstellen nach Bedarf aktuell eingelesen werden. Zu erwähnen sind besonders AMPL£, GAMS£, MPL£ und die integrierten Sprachen Mosel£ in XPRESS-Ive£ und OPL£ in ILOG OPL Studio£ mit CPLEX. Für vielfältige Anwendungsbereiche sind lineare oder gemischt-ganzzahlige Modelle im Einsatz, über die umfangreiche Literatur verfügbar ist. In den folgenden Abschnitten werden einige Gebiete beispielhaft angesprochen. Bei der Modellierung größerer Problemstellungen empfiehlt es sich, sich an bekannten Modellen für ähnliche Fragestellungen zu orientieren und dann situationsbezogene Anpassungen und Ergänzungen vorzunehmen.

4.2 Produktion und Logistik 4.2.1 Produktionsprogrammplanung In Produktion und Logistik werden Modelle und Methoden des Operations Research vielfältig eingesetzt. Klassisch ist die Produktionsprogrammplanung, die bereits am Beispiel Optima vorgestellt wurde. Bei dieser operativen Problemstellung sind die Art und Menge der innerhalb einer bzw. mehrerer Betrachtungsperioden zu fertigenden Güter unter Beachtung der Produktionskapazitäten, der Nachfrage und ggf. der Beschaffungsmöglichkeiten zu ermitteln, die den Gesamtdeckungsbeitrag maximieren. Optimierungsmodelle zur Planung des aktuellen Produktionsprogramms lassen sich hinsichtlich des Planungshorizonts in ein- oder mehrperiodige Modelle und hinsichtlich der Stufigkeit der Produktion in ein- oder mehrstufige Modelle unterscheiden. Einstufig bedeutet, dass Vor- und Zwischenprodukte in dem Modell nicht explizit aufgeführt werden, aber durchaus mehrere Produktionsanlagen mit ihren Kapazitäten berücksichtigt werden. Mittels algebraischer Modelle werden die strukturellen Beziehungen zwischen wesentlichen Modellkomponenten beschrieben, welche in der realen Situation konkretisiert werden.

124

Anwendungen linearer Optimierung

Einperiodiges, einstufiges Modell Die Produktionsmengen x j von n Produkten j = 1,..., n sind so festzulegen, dass der gesamte Deckungsbeitrag DB der betrachteten Periode maximiert wird. Die Deckungsbeiträge d j je Einheit der verschiedenen Produkte sind bekannt oder aus der Differenz von Erlös p j und variablen Kosten k j zu ermitteln. Die Produktion erfolgt auf m verschiedenen Anlagen i 1,...m und ist durch deren Kapazität K i beschränkt. Die Produktion einer Einheit von Produkt j auf Anlage i beansprucht aij Kapazitätseinheiten, aij sind die Produktionskoeffizienten. Zusätzlich werden Absatzhöchstmengen Aj je Produkt berücksichtigt. Das entsprechende lineare Optimierungsmodell lautet: n

max DB  x = ¦ d j x j

(4.2.1)

j 1 n

s.d .

¦

aij x j d Ki

i 1,..., m

j 1

(4.2.3)

x j d Aj xj t 0

(4.2.2)

j 1,..., n

(4.2.4)

Im Unterschied zum Beispiel Optima liegen hier zusätzlich Absatzrestriktionen vor, also obere Schranken der Variablen x j . Eine Erweiterung auf mehrere Perioden, Berücksichtigung von Zwischenprodukten oder Einbeziehung von Lagerhaltung führt zu detaillierteren Modellen (siehe z. B. Domschke u. Scholl 2005, Dyckhoff u. Spengler 2005, Günther u. Tempelmeier 2005, Kistner u. Steven 2001, Schneeweiß 2002). Ein umfassenderes Modell wird im Folgenden dargestellt. Mehrperiodiges, einstufiges Modell Werden mehrere Perioden t 1,..., T betrachtet, ist zusätzlich die Lagerhaltung, also Produktion auf Lager und Entnahme in einer späteren Periode, im Modell zu erfassen, um das Produktionsprogramm vom Absatzprogramm zeitlich zu entkoppeln. Die Variable x jt bezeichnet die Menge von Produkt j , j 1,..., n , die in Periode t produziert wird. Mit l jt wird die Lagermenge erfasst, die sich von Produkt j am Ende von Periode t im Lager befindet. Anfangs- und Endlagerbestände der Produkte werden mit l aj und l ej modelliert. y jt erfasst die abgesetzte Menge von Produkt j in Periode t . Es wird davon ausgegangen, dass die Produktionsmenge bereits in der Produktionsperiode verfügbar ist. Weitere Parameter sind die Kapazität des Lagers L , der Lagerkapazitätsbedarf a j von Produkt j , die Lagerkosten k ljt für die Lagerung und die Produktionskosten k jtp für die Produktion von einer Einheit Produkt j in Periode t und die Nachfrage b jt nach Produkt j in Periode t .

Produktion und Logistik

125

Das lineare Optimierungsmodell zur Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrags lässt sich wie folgt formulieren: T

max DB ( x, y , l )

n

¦¦ ( p

jt

˜ y jt  k jtp ˜ x jt  k ljt ˜ l jt )

(4.2.5)

t 1 j 1

s.d .

l j ,t 1  x jt  y jt

l jt für j 1,..., n; t

1,..., T (4.2.6)

˜ x jt d K it

für i 1,..., m; t

1,..., T (4.2.7)

˜ l jt d L

für t

1,..., T

für j

1,..., n; t

n

¦a

ij

j 1 n

¦a

j

(4.2.8)

j 1

y jt d A jt x jt , l jt , y jt t 0 l j0

l aj , l jT

1,..., T (4.2.9)

(4.3.10) l ej

für j 1,..., n

(4.2.11)

Die Zielfunktion (4.2.5) maximiert den Gesamtdeckungsbeitrag über alle Perioden t und über alle Produkte j, der sich aus dem Erlös p jt für die abgesetzten Mengen y jt der Periode ergibt, abzüglich der variablen Produktionskosten k jtp für die in der Periode produzierten Mengen x jt und den variablen Kosten für die in der Periode gelagerten Mengen l jt . Mit den Lagerbilanzgleichungen (4.2.6) wird sichergestellt, dass Lagerzugänge durch Produktion und Lagerabgänge durch Absatz im Lagerbestand der Perioden korrekt berücksichtigt sind. Aufgrund der Nichtnegativität aller Variablen (4.2.10) wird so ebenfalls gewährleistet, dass nur soviel abgesetzt werden kann, wie auch verfügbar ist. Die Kapazitätsrestriktionen (4.2.7) bzw. (4.2.8) sorgen dafür, dass die Kapazitäten der Anlagen und des Lagers nicht überschritten werden. Durch die Restriktionen (4.2.9) werden die Absatzhöchstgrenzen eingehalten. Restriktionen (4.2.11) legen Anfangs- und Endbestand des Lagers fest. Vielfältige Erweiterungen derartiger Modelle sind möglich. So können Veränderungen der Anlagenkapazitäten oder des Personalbestands Berücksichtigung finden und Fehlmengen einer Periode lassen sich explizit erfassen und bspw. unter zusätzlichen Kosten in einer späteren Periode absetzen. 4.2.2 Supply Chain Planning

Zunehmend wird die Produktion nicht separat für einen Standort betrachtet, sondern das gesamte Produktions- und Logistiknetzwerk vom Einsatzmaterial über mehrere Produktionsstufen bis zum Endkunden wird simultan berücksichtigt. Dies führt zu komplexen Informationsverarbeitungs-, Planungs- und Koordinationsaufgaben, die im Rahmen des Supply Chain Managements zu erfüllen sind. Quantitative Methoden kommen vielfältig zur Entscheidungsunterstützung zum Einsatz, wie zahlreiche Veröffentlichungen belegen (u. a. Corsten u. Gössinger 2001,

126

Anwendungen linearer Optimierung

Freiwald 2005, Günther et al. 2005, Knolmayer et al. 2000, Stadtler u. Kilger 2005, Steven 2004, Thorn 2002, Werners et al. 2003a, Werners u. Thorn 2003, Werners u. Thorn 2002). Beispielhaft wird eine kleine Problemstellung des Supply Chain Plannings behandelt, die von einer zentralen Entscheidungsinstanz ausgeht. Beispiel OptiMasch AG Die OptiMasch AG möchte eine standortübergreifende Planung für Produktion und Logistik ihrer beiden Werke, ihrer beiden Distributionslager und ihrer beiden Kundengebiete durchführen. Es wird eine Periode und eine Produktart betrachtet, wobei das Produkt zunächst in einem der beiden Werke hergestellt und anschließend über eines der beiden Lager zu dem Kundengebiet transportiert werden soll. Zusätzlich wird gefordert, dass jedes Kundengebiet nur von je einem Lager aus beliefert wird und die Nachfrage vollständig zu erfüllen ist. Die Kosten für Produktion, Lagerumschlag sowie Transport pro Einheit des betrachteten Produkts sind in der nachfolgenden Abbildung dargestellt. i

j

k

Werk 1

Lager 1

Kundengebiet 1

1

4

2,5

2

1 2,3

2,1 Lager 2

Werk 2

1,1 5

2,3

Kundengebiet 2

3

1,2

Abb. 4.3. Kosten für OptiMasch AG

Die Transportkapazitäten sind unbeschränkt, die der Werke und Lager sind angegeben, auch die Nachfrage wird als bekannt vorausgesetzt:

Produktion und Logistik

127

Tabelle 4.1. Kapazität der Werke und Lager

Kapazität

Werk 1

Werk 2

Lager 1

Lager 2

300

350

300

275

Tabelle 4.2. Nachfrage in den Kundengebieten Kundengebiet 1

Kundengebiet 2

235

275

Nachfrage

Zur Ermittlung des optimalen Produktions-, Lager- und Transportplans wird ein gemischt-ganzzahliges lineares Optimierungsmodell formuliert, welches die Kosten für die betrachtete Periode minimiert. Eine derartige Zielfunktion kann gewählt werden, da die Kundennachfragen sämtlich zu erfüllen sind, was durch Restriktionen sichergestellt wird.

Entscheidungsvariablen: xijk Menge, die im Werk i hergestellt und über Lager j zum Kundengebiet k transportiert wird, i, j , k 1, 2 y jk Binärvariable, die den Wert 1 annimmt, wenn Kundengebiet k von Lager j aus beliefert wird, j , k 1, 2 Parameter: ai Kosten je Einheit für die Herstellung in Werk i , i 1, 2 bij Kosten je Einheit für den Transport von Werk i zu Lager j , i, j 1, 2 cj Kosten je Einheit für den Lagerumschlag in Lager j , j 1, 2 d jk Kosten je Einheit für den Transport von Lager j zum Kundengebiet k , j , k 1, 2 Ki Lj Ak

Kapazität Werk i , i 1, 2 Kapazität Lager j , j 1, 2 Nachfrage im Kundengebiet k , k

1, 2

In der Zielfunktion werden die mit einer Menge xijk verbundenen Kosten für Herstellung, Transport und Lagerumschlag berücksichtigt und die Minimierung angestrebt. 2

min z

2

2

¦¦¦  ai  bij  c j  d jk ˜ xijk i 1 j 1k 1

(4.2.12)

128

Anwendungen linearer Optimierung

Die Produktionskapazitätsrestriktionen (4.2.13) stellen sicher, dass die Summe aller im Werk i zu produzierenden Mengen für beide Kundengebiete über beide Lager die Kapazitäten K i nicht übersteigt. 2

2

¦¦ xijk d Ki

i 1, 2

(4.2.13)

j 1k 1

Die Lagerkapazitätsrestriktionen sorgen dafür, dass für die gesamten zu berücksichtigenden Lagermengen die Lagerkapazitäten eingehalten werden. 2

2

¦¦ xijk d L j

j 1, 2

(4.2.14)

i 1k 1

Die Kundenbedarfsrestriktionen stellen sicher, dass der Bedarf jedes Kundengebiets genau erfüllt und unter Berücksichtigung der Zuordnungsrestriktionen dazu nur jeweils ein Lager genutzt wird. 2

¦ xijk

Ak ˜ y jk

j, k

1, 2

(4.2.15)

i 1

Durch die Zuordnungsrestriktionen wird erreicht, dass jeweils nur ein y jk = 1 ist und somit die eindeutige Zuordnung eines Kundengebiets zu einem Lager erfolgt. 2

¦ y jk

1

k

1, 2

(4.2.16)

j 1

Außerdem sind die Variablen entsprechend zu vereinbaren. xijk t 0

i, j , k

y jk  ^0,1`

j, k

1, 2 1, 2

(4.2.17) (4.2.18)

Die Lösung des Beispiels ist mit ClipMOPS£ möglich. Die konkrete Modellformulierung, die Variablenvereinbarungen und die optimale Lösung sind ablesbar. Insgesamt entstehen für die Erfüllung der Nachfrage minimale Kosten von insgesamt 4.631 Geldeinheiten. Kundengebiet 1 wird von Lager 1 aus beliefert, die Produktion dafür erfolgt mit 235 Einheiten in Werk 1. Kundengebiet 2 wird aus Lager 2 beliefert, die Produktion erfolgt mit 65 Einheiten in Werk 1 und 210 Einheiten in Werk 2.

Produktion und Logistik

MIN

x111

x112

x121

x122

x211 x212

x221 x222

8,5

9,8 11,3 9,5 10,6 11,9 11,4 9,6

129

y11 y12 y21 y22 TYPRHS

LB UB

INF INF INF INF INF INF INF INF 1

1

1

1

TYP CONCON CONCONCONCONCONCON BIN BIN BIN BIN

PC1

1

1

1

1

PC2 LC1

1

1

LC2 KB11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

<= 350 <= 300

1

1

1

KB21 KB12

<= 300

<= 275 -235

1

1

1 1

1 1

KL2 0

65

0

0

0

=

0

-275 =

0

=

1

=

1

1 1

0

=

-275

KL1

Activity 235

0

-235

1

KB22

=

0

210

1

0

1 0

1

4631

Abb. 4.4. Ergebnisausgabe Supply Chain Management

4.2.3 Standortplanung

Bei der Ermittlung möglichst günstiger Standorte für Produktionsstätten, Lager oder sonstige Einrichtungen sind vielfältige quantitative und qualitative Kriterien zu berücksichtigen. Auch hier kann auf umfangreiche Literatur zurückgegriffen werden (u. a. Domschke u. Scholl 2005; Domschke u. Drexl 1996; Drezner 1995). Zur Unterstützung der Bochumer Feuerwehr, die neben dem Brandschutz auch für das Rettungswesen verantwortlich ist, sind quantitative Modelle zum Einsatz gekommen, mit denen verschiedene Fragestellungen untersucht wurden (Werners et al. 2001 und 2003b). So wurde beispielsweise optimiert, wie viele Rettungswachen zur vollständigen Sicherstellung der Versorgungsanforderungen notwendig sind und wo diese stationiert sein sollen. Auch welche Standorte bei einer reduzierten Anzahl von Wachen gewählt werden müssen, um eine höchstmögliche Versorgung der Bevölkerung zu erzielen, wurde untersucht. Im Folgenden wird beispielhaft eine Version des Set Covering Location Problems (SCLP) vorgestellt,

130

Anwendungen linearer Optimierung

welches die minimal erforderliche Anzahl von Standorten zur Bedarfsdeckung an allen Nachfrageknoten bestimmt.

Abb. 4.5. Beispiel Feuerwehrwachen

Zur Datenerhebung wird das Stadtgebiet in Teilbereiche eingeteilt, die durch ihre Mittelpunkte als Knoten repräsentiert werden. Die durchschnittlichen Fahrzeiten zwischen den Knoten werden ermittelt. Die Teilbereiche, die den Park abdecken, sollen nicht weiter berücksichtigt werden, da die Einsatzzahlen zu gering sind und auch Standorte von Rettungswachen dort nicht möglich sind. Es ist sicherzustellen, dass jeder Einsatzort (Knoten) bei einem Notfall innerhalb von acht Minuten erreicht wird. Die Wachen können an jedem Knoten positioniert werden. Als Entscheidungsvariablen werden xj

­1 ® ¯0

falls Knoten j Standort einer Wache ist sonst

gewählt mit j  ^1,...,8` J . Mit i  ^1,...8` I werden die Knoten bezeichnet, an denen die Notfälle eintreten können. In dieser Anwendung stimmen I und J überein. Mit N i wird die Menge aller Knoten j bezeichnet, von denen aus die Entfernung d ji zu i so gering ist, dass Knoten i innerhalb der Frist s von 8 Minuten

Produktion und Logistik

erreicht werden kann. Für diese Anwendung gilt d ji Richtungen gleich lange dauern.

131

dij , da Fahrten in beiden

Tabelle 4.3. Standorte, von denen aus i innerhalb der Frist erreichbar ist

i

N i (8 Minuten)

1

1, 2

2

1, 2, 4, 5

3

3, 6

4

2, 4, 5, 7, 8

5

2, 4, 5, 6, 7, 8

6

3, 5, 6

7

4, 5, 7, 8

8

4, 5, 7, 8

Das Set Covering Location Problem (SCLP) zur Ermittlung einer minimalen Anzahl von Standorten lautet: min z

¦ xj jJ

s.d .

¦ xj

t 1

i  I

x j  ^0; 1`

j  J

(4.2.19)

jNi

Die Zielfunktion verlangt, dass die minimale Anzahl an Wachen eingerichtet wird. Andere SCLP Ansätze berücksichtigen differenzierte fixe und variable Kosten für die Errichtung von Wachen an unterschiedlichen Standorten. Die Restriktionen gewährleisten, dass Wachen so platziert werden, dass jeder Standort i von mindestens einer Wache aus in höchstens 8 Minuten erreichbar ist. Dazu sind die geeigneten Standorte in der Menge N i erfasst. Das binäre lineare Optimierungsmodell lässt sich mittels Standardsoftware lösen. Es lautet hier ausformuliert:

132

Anwendungen linearer Optimierung

min z

x1  x2  x3  x4  x5  x6  x7  x8

s.d .

x1  x2

t1

x1  x2

 x4  x5

t1  x6

x3

t1

x2

 x4  x5

x2

 x4  x5  x6  x7  x8 t 1 x3

 x7  x8 t 1

 x5  x6

(4.2.20)

t1

x4  x5

 x7  x8 t 1

x4  x5

 x7  x8 t 1

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8  ^0;1`

Es existieren mehrere optimale Lösungen mit gleichem minimalem Zielfunktionswert 3. Folglich sind mindestens drei Wachen im Stadtgebiet notwendig, um jeden Einsatzort innerhalb von 8 Minuten zu erreichen. Eine der optimalen Verteilungen der Wachen ist Abbildung 4.6 zu entnehmen. Bei ganzzahligen Optimierungsproblemen sind jedoch im Unterschied zu solchen mit ausschließlich stetigen Variablen die weiteren optimalen Lösungen nicht unmittelbar aus einem Endtableau ersichtlich. Sie lassen sich nur mittels zusätzlicher Eingriffe in das Modell, z. B. Unzulässigkeit der gefundenen Lösung, feststellen.

Abb. 4.6. Optimale Verteilung der Feuerwehrwachen

Produktion und Logistik

133

Für praktische Anwendungen ist zu beachten, dass die ausgewiesene optimale Lösung häufig am Rand des Plangebiets Wachen vorschlägt, obwohl für die Versorgung der Bevölkerung eine zentralere Lage vorzuziehen ist. Weiterführende Modelle berücksichtigen die unterschiedlichen Einsatzzahlen der Teilgebiete und sehen z. B. eine Doppelabdeckung bedarfsstarker Bereiche vor. Aktuell diskutiert werden Modelle, bei denen die Kapazität der Wachen und zeitlich schwankende Bedarfe berücksichtigt werden (siehe etwa Brotcorne et al. 2003). Ähnliche Ansätze sind für viele Anwendungsbereiche geeignet, wenn Standorte so zu ermitteln sind, dass Kunden innerhalb einer vorgegebenen Frist bedient werden sollen. Auch die Planung von Versorgungseinrichtungen, die von ihren Kunden innerhalb einer bestimmten Zeit oder durch Zurücklegen einer maximalen Strecke erreicht werden sollen, kann mit einem derartigen Ansatz unterstützt werden. 4.2.4 Aufgaben Aufgabe 4.2.1 Die OptiWasch AG stellt das Waschpulver Megaclean Color in Paketen mit 2,5 kg und Paketen mit 5 kg Waschpulver her. Das Waschpulver wird ausschließlich auf Paletten mit je 100 Paketen produziert und verkauft. Die Abfüllanlage steht in der kommenden Planungsperiode maximal 60 Stunden für das Produkt Megaclean Color zur Verfügung. Die Abfüllung von 100 Paketen mit 2,5 kg Inhalt beansprucht die Abfüllanlage 30 Minuten, die Abfüllung von 100 Paketen mit 5 kg Inhalt 40 Minuten. Von dem abzufüllenden Waschpulver können maximal 35 Tonnen (=35.000 kg) bereitgestellt werden. Es ist davon auszugehen, dass von Paketen mit 5 kg Inhalt maximal 50 Paletten abgesetzt werden können. Der Deckungsbeitrag beträgt 0,25 € je 2,5 kg Paket und 0,40 € je 5 kg Paket. Formulieren Sie ein geeignetes LP-Modell, welches den Gesamtdeckungsbeitrag der Planungsperiode maximiert. Wie viele und welche Pakete mit Megaclean Color sollte die OptiWasch AG unter den beschriebenen Voraussetzungen herstellen? Welcher Gesamtdeckungsbeitrag kann maximal erreicht werden? Stellen Sie Zulässigkeitsbereich und optimale Lösung grafisch dar. Aufgabe 4.2.2 Die OptiTech AG hat im Rahmen eines Forschungsprojektes den neuen Nahrungsmittelzusatzstoff Vitatech entwickelt. Vitatech kann aus einem Vorprodukt entweder in dem Werk in Kanada oder in Polen gefertigt werden. Für die Herstellung einer Tonne des Produktes wird eine Tonne des Vorproduktes benötigt. Für die Vorprodukte stehen zwei Lieferanten A und B zur Verfügung. Die OptiTech wird im kommenden Jahr mit der Produktion beginnen und möchte zunächst die Märkte in Asien, Nordamerika und Europa versorgen. Die Einkaufspreise je Tonne des Vorproduktes, die Transportkosten sowie die Produktionskosten je Tonne sind in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

134

Anwendungen linearer Optimierung

Asien Kanada

Zulieferer A

1.400 € 3.800 €

Polen

3.200 €

3.30 0€

Zulieferer B

2.50 0

€

0€ 2.50

0€ 2.90

13.000 €

3.100 € 1. 90 0 €

0 20 2.

Nordamerika

€

Europa

1.400 € 4.100 €

16.000 €

Die Transportkapazitäten sind unbeschränkt. Die bereitgestellten Kapazitäten der Zulieferer und Werke werden für das kommende Jahr wie folgt angenommen:

Kapazität

Kanada

Polen

Zulieferer A Zulieferer B

40 t

65 t

50 t

40 t

Ein von OptiTech beauftragtes Marktforschungsinstitut hat folgende Nachfragemengen des Produktes Vitatech für das kommende Jahr auf den einzelnen Absatzmärkten ermittelt:

Nachfrage

Asien

Nordamerika Europa

23 t

33 t

29 t

Stellen Sie zur Ermittlung des optimalen Einkaufs-, Produktions- und Transportplans ein mathematisches Optimierungsmodell auf, welches für die betrachtete

Produktion und Logistik

135

Periode die gesamten Kosten minimiert unter der Voraussetzung, dass die Nachfrage erfüllt wird. Aufgabe 4.2.3 Die MaschBau AG möchte eine Standort übergreifende Produktionsplanung über ihre beiden Werke und ihre beiden Distributionslager bis zu ihren vier Kunden durchführen. Es wird eine Periode und eine Produktart betrachtet, wobei die Produkte zunächst in einem der beiden Werke hergestellt und anschließend über eines der beiden Lager zu den Kunden transportiert werden. Jeder Kunde wird jeweils nur von einem Lager aus bedient und die Nachfragemengen der Kunden sind vollständig zu erfüllen. Die Kosten für Produktion, Lagerhalten sowie Transport pro Einheit des betrachteten Produktes sind in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

Kunde 1 Werk 1

Lager 1 1€ 1€ 1,2 €

2,5 € 4€

Kunde 2

2,3 € 2€

2,7 €

Kunde 3

2,1 € Werk 2

Lager 2

3€ 2,7 € 1,2 €

1,1 € 5€

2,3 €

1€

Kunde 4

Die Transportkapazitäten können als unbeschränkt angesehen werden, hinsichtlich der Produktions- und Lagerkapazitäten und der Kundennachfragen liegen folgende Daten vor:

136

Anwendungen linearer Optimierung

Kapazität in Produkteinheiten

Nachfragemenge in Produkteinheiten

Werk 1

300

Kunde 1

115

Werk 2

350

Kunde 2

120

Lager 1

300

Kunde 3

100

Lager 2

275

Kunde 4

175

Formulieren Sie ein gemischt-ganzzahliges lineares Optimierungsproblem zur Ermittlung eines Produktions- und Transportplans mit minimalen Kosten für die betrachtete Periode, sodass alle Anforderungen erfüllt werden.

4.3 Investition und Finanzierung 4.3.1 Dynamische Investitionsrechnung

Entscheidungen über Beschaffung von Anlagen, Unternehmensbeteiligungen oder Durchführung von Projekten sollten wirtschaftlich fundiert werden, wozu die Investitionstheorie geeignete Verfahren entwickelt hat. Diese sind in ihren Grundzügen Gegenstand betriebswirtschaftlicher Einführungen (z. B. Neus 2005, Kistner u. Steven 2002) bzw. werden weiterführend vorgestellt (z. B. Schneider 1997, Busse von Colbe u. Laßmann 1990, Busse von Colbe u. Pellens 1998). Eine Investition (i. e. S.) ist eine gegenwärtige Bindung von Ressourcen mit dem Zweck, zukünftige Ergebnisse zu erzielen. Typische Beispiele sind die Beschaffung von Maschinen, Anlagen, Gebäuden, aber auch eine Kreditvergabe als Finanzinvestition. Zur wirtschaftlichen Beurteilung von Investitionen sind die mit ihnen verbundenen Zahlungen zt bzw. die Differenz von Einzahlungen et und Auszahlungen at während der Laufzeit, also die Zahlungsreihe von 0 bis T, zu berücksichtigen. Zahlungsreihe: z0 , z1 , z2 ,..., zT 1 , zT

mit zt

et  at

Typischerweise ist eine Investition im engeren Sinne mit einer Anfangsauszahlung und späteren Einzahlungsüberschüssen verbunden. Als Investition im weiteren Sinne werden Vorhaben mit beliebigen Zahlungsreihen bezeichnet, sodass auch Kreditaufnahmen mit späteren Rückzahlungen als Investition (i. w. S.) in einem einheitlichen Rahmen quantitativ behandelt werden können. Vorteilhaftigkeit einer Einzelinvestition Die Verfahren der dynamischen Investitionsrechnung ermitteln Kennzahlen zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen. Charakteristisch für dynami-

Investition und Finanzierung

137

sche Investitionsrechnungsmethoden ist, dass die Zahlungen der unterschiedlichen Zeitpunkte auf einen Vergleichszeitpunkt ab- bzw. aufgezinst werden. Dazu werden ein vollkommener Kapitalmarkt und sichere Erwartungen unterstellt. Am bekanntesten ist die Kapitalwertmethode. x Der Kapitalwert einer Zahlungsreihe ist der Wert, der sich durch Abzinsung aller Zahlungen auf den Zeitpunkt 0 ergibt. Wird von einem konstanten, periodenbezogenen, einheitlichen Kalkulationszinssatz i ausgegangen, errechnet sich der Kapitalwert einer Zahlungsreihe zu T

C0

¦ zt 1  i

t

.

(4.3.1)

t 0

Es wird unterstellt, dass Überschüsse zum Zinssatz i angelegt bzw. Kredite zum selben Zinssatz aufgenommen werden können. Eine einzelne Investition ist vorteilhaft, genau dann wenn der Kapitalwert positiv ist. Beispiel Investition I1 Es besteht die Möglichkeit, eine Maschine zum Preis von 2.100 GE zu beschaffen. Diese kann drei Jahre zur Produktion eingesetzt werden, um Einzahlungsüberschüsse von jeweils 1.000 GE pro Jahr zu erzielen. Am Ende des dritten Jahres wird die Maschine zum Preis von 30 GE abgegeben. Ist diese Investition vorteilhaft? Die Zahlungsreihe dieser Investition lautet: Investition I1

t=0

t=1

t=2

t=3

Zahlungsreihe

-2.100

1.000

1.000

1.030

Der Kapitalwert beträgt bei einem Kalkulationszinssatz von 10 %: C0  I1

1

2.100  1.000 ˜ 1,1  1.000 ˜ 1,1

2

 1.030 ˜ 1,1

3

409,39

Damit ist die Investition vorteilhaft, die Maschine sollte also beschafft werden. Der Kapitalwert entspricht dem Vermögenszuwachs zum Zeitpunkt null, der durch die Ergänzungsinvestitionen und Finanzierungen, die in beliebiger Höhe zum Kalkulationszinssatz durchführbar sind, aufgrund der zu beurteilenden Investition erreicht werden kann. Beispiel Kapitalwert von I1 Wenn in einem Jahr ein Mittelzufluss von 1.000 GE erfolgt, kann heute ein Kredit in Höhe von 1.000 ˜1,11 909, 09 GE aufgenommen werden, der dann einschließlich Zinsen von 10 % in einem Jahr zurückgezahlt werden kann. Entsprechend

138

Anwendungen linearer Optimierung

lassen sich auch für die späteren Einzahlungen heute Finanzierungsmaßnahmen durchführen. Tabelle 4.4. Ergänzungsinvestitionen I1 Investition I1

t

0

t 1

t

Zahlungsreihe

-2.100

1.000

1.000

Ergänzungsinvestition

909,09

-1.000

Ergänzungsinvestition

826,45

Ergänzungsinvestition

773,83 409,39

2

3

t

1.030

-1.000 -1.030 0

0

0

x Ähnlich wird der Barwert Ct einer Investition zu einem beliebigen Zeitpunkt t ermittelt, indem alle Zahlungen auf diesen Zeitpunkt auf- bzw. abgezinst werden. Der Kapitalwert ist der Barwert zum Zeitpunkt t 0 . Eine Einzelinvestition ist vorteilhaft, wenn ihr Barwert positiv ist. x Hervorzuheben ist auch der Endwert CT , also der Barwert zum Zeitpunkt t T , dem Ende des Planungszeitraums. T

T t

¦ zt 1  i

CT

(4.3.2)

t 0

Der Endwert des gerade beschriebenen Investitionsprojektes beträgt 544,90 GE. Der Barwert zum Zeitpunkt t 0 kann aufgefasst werden als Vermögenszuwachs zum Zeitpunkt t 0 , der Kapitalwert also als Vermögenszuwachs zum Beginn des Investitionsprojektes, der Endwert zum Ende des Projektes. x Eine weitere bekannte Kennzahl ist die Annuität, bei der ein über die Projektlaufzeit gleichmäßiger Vermögenszuwachs als Zahlungsreihe abgebildet wird, deren Kapitalwert mit dem des Projektes übereinstimmt. Für die Annuität g gilt also T

¦ g 1  i t 1

t

T

¦ zt 1  i

t

C0 .

(4.3.3)

t 0

Eine Einzelinvestition ist vorteilhaft, falls die Annuität positiv ist. Errechnet werden kann die Annuität bei einheitlichem Kalkulationszinssatz durch Multiplikation des Kapitalwerts mit dem Wiedergewinnungs- oder Annuitätenfaktor:

Investition und Finanzierung

g

C0 ˜

1  i T ˜ i . 1  i T  1

139

(4.3.4)

Die Annuität der Investition I1 beträgt 164,62 GE. Kann von einem einheitlichen Kalkulationszins ausgegangen werden, lassen sich Kapitalwert, Endwert und Annuität durch Multiplikation mit positiven Faktoren auseinander berechnen. T

C0 ˜ 1  i

(4.3.5)

CT

Damit führt bei einheitlichem Kalkulationszins jede der drei Kennzahlen zu derselben Entscheidung hinsichtlich der Vorteilhaftigkeit einer Investition. Vergleich einander ausschließender Investitionsprojekte Werden mehrere einander ausschließende Investitionsprojekte miteinander verglichen, ist darauf zu achten, dass jeweils die gleiche Laufzeit der Berechnung zu Grunde gelegt wird, also ggf. von der längsten Projektlaufzeit ausgegangen wird. Auch hier wird zunächst ein einheitlicher Kalkulationszins vorausgesetzt. Ein Investitionsprojekt A ist dem Projekt B vorzuziehen, falls der Kapitalwert von A größer ist als der von B bzw. gleiches für den Barwert oder die Annuität gilt. Bei einheitlichem Kalkulationszinssatz führen auch hier Kapitalwert, Endwert, Barwert zu einem beliebigen Zeitpunkt t und Annuität stets zu derselben Vorteilhaftigkeitsaussage. Beispiel Investition I 2 Eine alternative Investitionsmöglichkeit I 2 besteht in der Beschaffung der Maschine M2 mit gleichem Preis von 2.100 GE, die wesentlich mehr pro Zeiteinheit produzieren kann, jedoch sehr schnell verschleißt. Nach einem Jahr werden Einzahlungsüberschüsse von 3.000 GE erzielt, jedoch fallen aufgrund umfangreicher Reparaturmaßnahmen am Ende des zweiten Jahres Auszahlungsüberschüsse von 960 GE an, im dritten Jahr betragen die Einzahlungsüberschüsse 800 GE. Ist Investition I 2 gegenüber der vorherigen Investition I1 vorzuziehen? Investition I 2

t

0

t 1

t

2

Zahlungsreihe

-2.100

3.000

-960

t

3

800

Die Kennzahlen zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von I 2 lauten:

140

Anwendungen linearer Optimierung

Kapitalwert C0  I 2

434,94

C3  I 2

578,90

Endwert Annuität

g  I 2 174,90

Da jede der Kennzahlen der Investition I 2 besser ist als die der Investition I1 , ist Alternative I2 vorzuziehen. Wie erwartet, ist das Ergebnis unabhängig von der gewählten Kennzahl. Stimmen Soll- und Habenzins nicht überein, wird also von einem unvollkommenen Kapitalmarkt ausgegangen, können aufgrund der dann notwendigen fein abzustimmenden Ergänzungsinvestitionen und Finanzierungen die verschiedenen Kennzahlen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. Dann muss der Entscheidungsträger zunächst seine Präferenz hinsichtlich der Entnahmezeitpunkte ermitteln, bevor er sich für eine Investitionsalternative entscheiden kann. Beispiel Investitionen mit abweichendem Soll- und Habenzins Es wird nun davon ausgegangen, dass für den Entscheidungsträger ein Sollzinssatz von 10 % und ein Habenzinssatz von 5 % relevant sind. Ergänzungsinvestitionen und Finanzierungen zur Ermittlung des Kapitalwerts, d. h. des Vermögenszuwachses zum Zeitpunkt t = 0, bei Durchführung der Investition I 2 sind dann wie folgt zu gestalten: Tabelle 4.5. Ergänzungsinvestitionen I 2 Investition I 2

t

0

t 1

Zahlungsreihe

-2.100,00

3.000,00

2

-960,00 800,00 ˜ 1,1

-1

Ergänzungsfinanzierung

t

3

800,00 -800,00

= 727,27 -232,73 ˜ 1,05

Ergänzungsinvestition Ergänzungsfinanzierung

t

-1

+232,73

= -221,65 2.778,35 ˜ 1,1

-1

-2.778,35

= 2.525,78 425,78

0,00

0,00

0,00

Damit weicht der unter den geänderten Voraussetzungen ermittelte Kapitalwert von dem früheren Ergebnis ab. Entsprechend wird der Endwert ermittelt. Die Bestimmung der Annuität ist durch Lösung geeigneter Gleichungssysteme möglich. Zusätzlich wird noch eine Investition im weiteren Sinne I 3 betrachtet, die

Investition und Finanzierung

141

mit einer Einzahlung beginnt. Diese Zahlungsreihe kann aus dem Einsatz einer geleasten Maschinen resultieren, für die neben regelmäßigen Zahlungen eine höhere Abschlusszahlung erfolgt und die während ihrer produktiven Nutzung zu Einzahlungsüberschüssen führt. Das Beispiel zeigt, dass je nach Wahl der Kennzahl jede der drei Alternativen gegenüber den anderen beiden vorzuziehen ist. Tabelle 4.6. Zahlungsreihen der Investitionen I1 bis I 3 Zahlungsreihen

t

0

t 1

t

2

t

3

Investition I1

-2.100

1.000

1.000

1.030

Investition I 2

-2.100

3.000

-960

800

Investition I 3

1.000

1.000

1.000

-2.800

Die Kennzahlen zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit sind in Tabelle 4.7 zusammengestellt. Tabelle 4.7. Kennzahlen bei unterschiedlichem Soll- und Habenzins Investitionen

Kapitalwert C0

Endwert C3

Annuität g

I1

409,39

544,90

164,62

I2

425,78

540,95

166,19

I3

440,67

510,13

161,82

Dieses Beispiel zeigt, dass bei voneinander abweichendem Soll- und Habenzins die Vorteilhaftigkeit verschiedener Investitionsalternativen von der gewählten Kennzahl abhängt, zwischen denen ein Zielkonflikt auftritt. Daher ist es erforderlich, zur Ermittlung der optimalen Alternative zusätzlich Präferenzinformationen des Entscheidungsträgers zu berücksichtigen. Ist er in diesem Fall an einer regelmäßigen Ausschüttung interessiert, entspricht die Annuität seinen Zielvorstellungen. Die optimale Alternative mit der höchsten Annuität ist I2. Strebt der Entscheidungsträger eine maximale Endausschüttung an, ist die für ihn optimale Alternative I1 mit maximalem Endwert. Auch die Vorteilhaftigkeit einer einzelnen Investition kann bei differierendem Soll- und Habenzins von dem gewählten Kriterium, also der Zeitpräferenz, abhängig sein. Unternehmen umgehen bei der Beurteilung ihrer Investitionsvorhaben dieses Problem häufig dadurch, dass sie davon ausgehen, dass innerhalb eines Unternehmens eine bestimmte Rentabilität erzielt wird, die den Kalkulationszins bestimmt und damit Soll- und Habenzins ggf. über Opportunitätsbetrachtungen übereinstimmen. Ist über konkrete Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten

142

Anwendungen linearer Optimierung

mit unterschiedlichen Konditionen zu entscheiden, ist eine differenzierte Betrachtung erforderlich, die die Zeitpräferenz berücksichtigen sollte. 4.3.2 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung

Soll nicht nur über einzelne, einander ausschließende Investitionsalternativen entschieden werden, sondern sind Kombinationen möglich, stehen verschiedene Finanzierungsalternativen zur Verfügung, sind unterschiedliche Investitionsbeträge zu beachten und ist ein knappes Budget gegeben, dann ist das gesamte Programm zu optimieren und die Abhängigkeitsbeziehungen sind simultan zu berücksichtigen. In derartigen Situationen ist häufig eine Modellierung mittels eines linearen Optimierungsansatzes möglich, die die vollständige Alternativenmenge implizit erfasst, sodass die optimale Alternative mit Rechnerunterstützung effizient ermittelt werden kann. Beispiel Investitions- und Finanzierungsoptimierung Sie verfügen über 5.000 € auf Ihrem Girokonto. Dort erhalten Sie keine Zinsen, können jedoch Sparbriefe mit einer Verzinsung von 2 % mit jährlicher Laufzeit oder mit einer jährlichen Verzinsung von 3 % bei einer zweijährigen Laufzeit erwerben. Außerdem steht Ihnen in jedem Jahr ein Kredit mit Tilgung und Zinszahlung nach einem Jahr zu einem Zinssatz von 3 % zur Verfügung, jedoch höchstens über jeweils 2.500 €. Außerdem bekommen Sie in zwei Jahren 2.000 € von Ihren Großeltern. Sie erwägen, in zwei Jahren eine große Reise zu unternehmen und wollen dann einen möglichst hohen Betrag zur Verfügung haben. Welches Investitions- und Finanzierungsprogramm sollten Sie durchführen um Ihre Reisemittel zu optimieren? Tabelle 4.8. Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten Variablen Zeitpunkte

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

Bar 1. Jahr

Bar 2. Jahr

Spar 1. Jahr

Spar 2. Jahr

Spar 2 Jahre

Kredit 1. Jahr

Kredit 2. Jahr

-1

1

-1

0,03

-1,03

1,02

1,03

t=0

-1

t=1

1

t=2

-1 -1 1

1,02

1 -1,03

In einem ersten Schritt werden sämtliche Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten wie in Tabelle 4.8 zusammengestellt und die Zahlungsreihen angegeben. Die hier betrachteten Investitionen sind sämtlich Finanzinvestitionen. Für jede Möglichkeit wird eine Variable gewählt, die die dort festzulegenden Mittel

Investition und Finanzierung

143

erfasst. Im Beispiel wurde jeweils als Einheit ein Euro gewählt, sodass z. B. die 5. Spalte die Zahlungsreihe für die Anlage eines Euro im zweijährigen Sparbrief mit einer Zinseinzahlung von 3 Cent zum Zeitpunkt 1 und Rückzahlung mit Zins von 1,03 Euro beschreibt. Aufgrund des geplanten Urlaubs ist Ihr Ziel die Endvermögensmaximierung. Für jedes Jahr ist das finanzielle Gleichgewicht sicherzustellen, d. h., es kann nur so viel investiert werden, wie unter Berücksichtigung von verfügbaren Mitteln und aufgenommenem Kredit vorhanden ist. Außerdem ist die Kreditaufnahme begrenzt. In diesem Beispiel ist offensichtlich, dass die einzige interessante Anlagemöglichkeit der Sparbrief mit einer zweijährigen Laufzeit ist. Daher wird der Gesamtbetrag von 5.000 € entsprechend investiert: x5 5.000 . Die Variablen x1 , x3 und x6 werden gleich null gewählt. Dann ist im Zeitpunkt null das finanzielle Gleichgewicht sichergestellt: 1 ˜ 0  1 ˜ 0  1 ˜ 5.000  1 ˜ 0  5.000 t 0 œ 1 ˜ 0  1 ˜ 0  1 ˜ 5.000  1 ˜ 0 d 5.000 als Konkretisierung von: 1 ˜ x1  1 ˜ x3  1 ˜ x5  1 ˜ x6 d 5.000

Nach einem Jahr werden Zinsen in Höhe von 0, 03 ˜ 5.000 150 ausgeschüttet. Diese werden möglichst günstig, d. h. in einem einjährigen Sparbrief, angelegt. Das finanzielle Gleichgewicht zum Zeitpunkt 1 ist dann ebenfalls sichergestellt: 1 ˜ 0  1 ˜ 0  1, 02 ˜ 0  1 ˜150  0, 03 ˜ 5.000  1, 03 ˜ 0  1 ˜ 0 d 0 als Konkretisierung von: 1 ˜ x1  1 ˜ x2  1, 02 ˜ x3  1 ˜ x4  0, 03 ˜ x5  1, 03 ˜ x6  1 ˜ x7 d 0

Zum Zeitpunkt 3 werden dann beide Sparbriefe ausgezahlt, der Gesamtbetrag kann entnommen werden und das finanzielle Gleichgewicht bleibt gewahrt. 1 ˜ 0  1, 02 ˜150  1, 03 ˜ 5.000  1, 03 ˜ 0  5.303 d 0 Zusätzlich stehen im Zeitpunkt t 3 noch die 2.000 € der Großeltern zur Verfügung, sodass die Restriktion für das finanzielle Gleichgewicht lautet: 1 ˜ 0  1, 02 ˜150  1, 03 ˜ 5.000  1, 03 ˜ 0  7.303 d 2.000

Mit Variable x8 als zu entnehmendes Vermögen in Zeitpunkt t mein:

3 also allge-

1 ˜ x2  1, 02 ˜ x4  1, 03 ˜ x5  1, 03 ˜ x7  x8 d 2.000

Damit ist das optimale Endvermögen 7.303 €, welches für die Reise nach 2 Jahren zur Verfügung steht. Diese Lösung erhalten Sie ebenfalls, wenn Sie das folgende lineare Optimierungsmodell lösen:

144

Anwendungen linearer Optimierung

max x8 

s.d . x1



x3

 x1  x2  1, 02 x3   x2

x5 

d 5.000

x6

x4  0, 03 x5  1, 03 x6 

1, 02 x4  1, 03 x5

d

x7

0

 1, 03 x7  x8 d 2.000

(4.3.6)

d 2.500

x6

d 2.500

x7

xi t 0 i 1,...,8

Die Zielfunktion maximiert den Endwert, der zum Zeitpunkt 3 entnommen wird. Die ersten drei Restriktionen sichern das finanzielle Gleichgewicht zu jedem Betrachtungszeitpunkt. Die nächsten beiden Restriktionen sind die oberen Schranken der Kreditaufnahmemöglichkeit. Die Eingabe des Modells in ClipMOPS® einschließlich optimaler Lösung ist Abb. 4.7 zu entnehmen, wobei die oberen Schranken der Variablen x6 und x7 in Zeile UB festgelegt und nicht als zusätzliche Restriktionen formuliert werden.

Optima MAX

x1

x2 0

x3 0

x4 0

x5 0

x6 0

x7 0

x8 TYP RHS 0

1

LB UB

INF INF INF INF INF 2500 2500 INF

TYP

CON CON CON CON CON CON CON CON

Zeitpunkt 1

1

Zeitpunkt 2

-1

Zeitpunkt 3

0

Activity

0

1

1 -1,02 -1

0

1

-1

0

0<=

5000

1 -0,03 1,03

-1

0<=

0

0 1,03

1<=

2000

0 -1,02 -1,03

5000

150 7303

7303

Abb. 4.7. Optimales Investitions- und Finanzierungsprogramm

Für Sie könnte auch interessant sein, nach dem 1. und nach dem 2. Jahr eine Reise zu unternehmen, für die Sie jeweils gleich viele Mittel einsetzen möchten. Wie sollten Ihre Investitions- und Finanzierungsmaßnahmen dann optimal gestaltet werden?

Investition und Finanzierung

145

Zur Beantwortung dieser Frage stellen Sie ein modifiziertes lineares Optimierungsmodell auf. Die Variablen entsprechen den jeweiligen anzulegenden bzw. aufzunehmenden Beträgen, die Variable x8 wird für den gleich hohen, nach einem bzw. nach 2 Jahren zu entnehmenden Betrag verwendet, der zu maximieren ist. Für jeden Zeitpunkt ist das finanzielle Gleichgewicht sicherzustellen. max x8 

s.d . x1



x3

 x1  x2 1, 02 x3   x2

x5 

d 5.000

x6

x4  0, 03 x5 1, 03 x6 

 1, 02 x4 1, 03 x5

x7  x8 d

0

 1, 03 x7  x8 d 2.000

(4.3.7)

d 2.500

x6 x7

d 2.500

xi t 0 i 1,...,8

Die optimale Lösung dieses Modells ergibt: Wenn Sie heute 952,97 € in den einjährigen Sparbrief und 4.047,03 GE in den zweijährigen Sparbrief investieren und außerdem nach einem Jahr einen Kredit von 2.500 € aufnehmen, können Sie nach einem und nach zwei Jahren über jeweils 3.593,44 € verfügen. Hinweis: Im Beispiel tritt die Situation ein, dass die Alternative Barbestände zu halten, modelliert mit x1 und x2 , nicht im Modell berücksichtigt werden muss, da stets eine bessere Möglichkeit der Übertragung von Mitteln von einer in die nächste Periode, nämlich der einjährige Sparbrief, existiert. Andernfalls sind derartige Variablen für die etwaige Übertragung von Kassenbeständen aufzunehmen um eine angemessene Modellierung sicherzustellen. Beispiel Optima Investitions- und Finanzierungsprogramm Die Unternehmung Optima kennt ihre zu- und abfließenden finanziellen Mittel und strebt eine möglichst vorteilhafte, sichere Anlage an. Aufgrund der spezifischen Situation soll das zum Ende des zweijährigen Planungszeitraums verfügbare Vermögen möglichst hoch sein. Das finanzielle Gleichgewicht ist für jeden Zeitpunkt sicherzustellen. Es kann davon ausgegangen werden, dass Mittelzu- und -abflüsse nur zu Beginn eines Jahres auftreten und Investitions- und Finanzierungsmaßnahmen nur zu diesen Zeitpunkten durchgeführt werden. Der aktuelle Kassenbestand beträgt 10 GE. Für eine neue Maschine sind direkt 60 GE zu zahlen. Aus Verkäufen resultiert zu Beginn des 2. Jahres eine Einzahlung von 60 GE und zu Beginn des 3. Jahres von weiteren 20 GE. Optima kann in jedem Jahr Finanzinvestitionen über ein Jahr in beliebiger Höhe tätigen, für die ein Zinssatz von 3 % gezahlt wird. Weiter besteht die Möglichkeit, einen Kredit mit einer Laufzeit von einem Jahr und Zinsen von 10 % sofort oder später aufzunehmen. Außerdem kann ein Kredit mit zweijähriger Laufzeit vereinbart werden, für den nach einem Jahr Zinsen von 5 % fällig werden und nach zwei Jahren die Rückzahlung zuzüglich 5 % Zinsen erfolgen muss. Empfeh-

146

Anwendungen linearer Optimierung

len Sie Optima eine optimale Kombination von Investitions- und Finanzierungsmaßnahmen. Zur Lösung dieses Entscheidungsproblems sind zunächst die vorhandenen Informationen sowie die Entscheidungssituation zu strukturieren. Die zu den drei Zeitpunkten verfügbaren Mittel sind in Tabelle 4.9 zusammen gestellt. Tabelle 4.9. Verfügbare Mittel Optima t

0

Zahlungsein-/-ausgang

-60

Barvermögen

10 -50

t

1

t

2

60

20

60

20

Zur Aufstellung des linearen Optimierungsmodells sind zunächst Variablen, Ziel und Restriktionen festzulegen. Zielvorstellung: Restriktionen:

Handlungsalternativen: Entscheidungsvariablen:

Maximierung des Endvermögens Einhaltung des finanziellen Gleichgewichts in jedem Zeitpunkt unter simultaner Berücksichtigung aller Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten Kombination von Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten INV1, INV2, FIN1, FIN2, FIN3 müssen alle die Nichnegativitätsbedingung erfüllen

Für jede Investitions- und Finanzierungsalternative wird bezogen auf die gewählte Einheit, hier ein Euro, die Zahlungsreihe erfasst. Tabelle 4.10. Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten Optima Alternativen

INV1

INV2

FIN1

FIN2

FIN3

Zeitpunkte t

0

-1

t

1

1,03

t

2

1 -1 1,03

-1,10

1 1

-0,05

-1,10

-1,05

Für jeden der drei Zeitpunkte ist das finanzielle Gleichgewicht sicherzustellen, z. B. mit

Investition und Finanzierung

147

 INV1  FIN1  FIN 3  50 t 0 œ INV1  FIN1  FIN3 d 50

Das lineare Optimierungsmodell kann dann entsprechend aufgestellt werden. Aus Gründen der Systematik wird hier bei der ersten Modellformulierung auf der rechten Seite immer der verfügbare Betrag angegeben, Zahlungsverpflichtungen besitzen daher negatives Vorzeichen. Auf der linken Seite werden stets die Auszahlungen mit positivem Vorzeichen erfasst, sodass eine einfache Restriktion stets zu interpretieren ist als: Die Auszahlungen müssen kleiner oder gleich dem verfügbaren Budget sein. Einzahlungen erhalten konsequenterweise ein negatives Vorzeichen, da sie die Auszahlungen reduzieren. Die „Produktionskoeffizienten“ entsprechen damit den mit (-1) multiplizierten Werten der Zahlungsreihen. (4.3.8)

max ENDV s.d . INV1



 1, 03 INV1 

FIN 3

d 50

FIN 2  0, 05 FIN 3



d 60

FIN1

INV2  1,10 FIN1 

1, 03INV2

1,10 FIN 2 1, 05 FIN 3  ENDV d 20 INV1 , INV2 , FIN1 , FIN 2 , FIN 3 , ENDV t 0

Um eine kanonische Ausgangsform zu erhalten, wird durch Multiplikation der ersten Restriktion mit (-1) und Ergänzung um Schlupf- und Hilfsvariablen das zugehörige Hilfsmodell formuliert. M kann in diesem Beispiel gleich 1.000 gesetzt werden, da 1.000 hier ausreichend groß ist. max ENDV  1.000 h s.d .

(4.3.9) 

INV1

 1, 03 INV1 



FIN1

INV2  1,10 FIN1 

 1, 03 INV2

 s1  h

FIN3

FIN 2  0,05FIN3

50  s2

 1,10 FIN 2  1, 05 FIN3  ENDV

60  s3

20

INV1 , INV2 , FIN1 , FIN 2 , FIN3 , ENDV , h, s1 , s2 , s3 t 0

Die Anwendung des Simplexalgorithmus liefert das folgende optimale Endtableau. 0

0

0

0

0

1

0

-1000

0

0

INV1

INV2

FIN1

FIN2

FIN3

ENDV

s1

h

s2

s3

RS

0

FIN3

-1

0

1

0

1

0

-1

1

0

0

50

0

INV2

-0,98

1

1,05

-1

0

0

0,05

-0,05

1

0

57,5

1

ENDV

0,04

0

0,03

0,07

0

1

1,10

-1,10

1,03

1

26,73

'z

0,04

0

0,03

0,07

0

0

1,10

998,90

1,03

1

26,73

Abb. 4.8. Optimales Endtableau Investition und Finanzierung (gerundet)

148

Anwendungen linearer Optimierung

Die optimale Lösung kann diesem Endtableau entnommen werden. Optimal sollte folglich zum Zeitpunkt 0 ein Kredit über 50 GE mit zweijähriger Laufzeit aufgenommen werden. Zum Zeitpunkt 1 werden für diesen Kredit Zinsen in Höhe von 2,5 GE gezahlt und 57,5 GE verzinslich für ein Jahr angelegt. Nach 2 Jahren stehen dann 26,73 GE zur Verfügung. Mittels Sensitivitätsanalyse lassen sich weitere Aussagen ableiten: Welche Auswirkungen haben Änderungen des Zahlungseingangs zum Zeitpunkt 1 auf die Lösung? 0 0 ·§ 50 · § 1 ¨ ¸¨ ¸ B bc ¨ 0, 05 1 0 ¸¨ 60  O ¸ ¨ ¸¨ ¸ © 1,10 1, 03 1 ¹© 20 ¹ 1

§ 50 · § 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 57,5 ¸  ¨ O ¸ ¨ 26,8 ¸ ¨ 1, 03O ¸ © ¹ © ¹

Die Abweichung in der manuellen Berechnung des Wertes 26,8 von dem Wert 26,73 im Tableau ist auf das Runden zurückzuführen. In einer Realsituation ist möglichst genau zu rechnen. Zum Zeitpunkt 0 ändert sich nichts. Zum Zeitpunkt 1 sollte entsprechend der Mehr- bzw. Mindereinnahmen mehr oder weniger festverzinslich angelegt werden. Zum Zeitpunkt 2 erhöht bzw. verringert sich der verfügbare Endbetrag bei positivem O um 1, 03 O . Dies gilt für alle O , für die B 1b ' t 0 ist, also O t 57,5 und insbesondere Ot

26,8 | 26, 02 . 1, 03

Solange die Einzahlungen zum Zeitpunkt 1 also mindestens den Betrag von 33,98 (= 60 – 26,02) GE erreichen, ändert sich die Anlagestrategie nicht. Einführungen in die Investition und Finanzierung enthalten i. d. R. Darstellungen von Kapitalwert, Barwert und Annuität wie beispielsweise Breuer (2002); Busse von Colbe/Laßmann (1990); Schmidt/Terberger (2003). Auf die Ansätze der linearen Programmierung wird häufig kurz eingegangen (z. B. Breuer 2002). Da effiziente Software zur Lösung linearer Optimierungsmodellen verfügbar ist, sind derartige Modelle besonders für die kurzfristige Finanzplanung im Einsatz, wo regelmäßig, etwa täglich, große Beträge anhand aktueller Daten zu disponieren sind. Bei längerfristigen Betrachtungen liegt dagegen meist keine ausreichende Sicherheit über zukünftige Entwicklungen vor, sodass dort andere Optimierungsmodelle eingesetzt werden, die die Unsicherheit angemessen berücksichtigen (z. B. Blohm et al. 2006).

Investition und Finanzierung

149

4.3.3 Aufgaben Aufgabe 4.3.1 Aus einer Ausbildungsversicherung, die Ihre Eltern für Sie abgeschlossen haben, verfügen Sie über 7.500 € auf Ihrem Girokonto, für das Sie keine Zinsen erhalten. Beliebige Beträge können Sie bei Ihrer Hausbank fest anlegen. Mit einer Laufzeit von einem Jahr erzielen Sie eine Verzinsung von 2 %, mit einer Laufzeit von zwei Jahren eine am Jahresende ausgezahlte, jährliche Verzinsung von 3 %. Auf Grund eines regelmäßigen Einkommens aus Ihrer Tätigkeit als studentische Hilfskraft an der Universität ist Ihre Hausbank bereit, Ihnen in jedem Jahr einen Kredit mit Tilgung und Zinszahlung nach einem Jahr in Höhe von maximal 2.500 € zu gewähren. Der Zinssatz für diesen Kredit beträgt 4,5 %. a) Stellen Sie die Zahlungsreihen für den zweijährigen Planungshorizont tabellarisch auf. b) Sie planen, nach zwei Jahren einen Sprachkurs in New York mit anschließendem Urlaub durchzuführen. Wie lautet ein lineares Modell, welches Ihr Endvermögen unter Berücksichtigung obiger Möglichkeiten nach zwei Jahren maximiert? c) Sie überlegen abweichend von Teilaufgabe b) den Sprachkurs bereits nach einem Jahr zu besuchen und veranschlagen dafür 4000 €. In zwei Jahren möchten Sie von zu Hause ausziehen und zu diesem Termin über möglichst hohe finanzielle Mittel verfügen. Wie ist das Modell aus Teilaufgabe b) geeignet zu modifizieren? d) Wie ändert sich das Modell aus Teilaufgabe b), wenn Sie für Ihre neue Wohnung nach zwei Jahren doppelt so viel Geld zur Verfügung haben möchten wie für einen ggf. kleineren Sprachkurs, den Sie nach einem Jahr durchführen wollen? Aufgabe 4.3.2 Zum Beginn Ihres Studiums schenkt Ihnen Ihre Tante 7.500 €. Da Sie das Geld zurzeit nicht benötigen, denken Sie über eine Anlage bis zum geplanten Abschluss in drei Jahren nach. Als Anlagemöglichkeit steht eine Unternehmensanleihe zur Verfügung. Diese wird im ersten Jahr mit acht Prozent und im zweiten und dritten Jahr mit je vier Prozent verzinst. Außerdem bietet Ihre Hausbank ein Festgeldkonto mit einjähriger Laufzeit und drei Prozent Zinsen an. Kredite mit einjähriger Laufzeit werden Ihnen mit fünf Prozent Zinsen bis zu einer Höhe von 10.000 € angeboten. Zudem vertraut ein Verwandter auf Ihre Sachkenntnis in Sachen Geldanlage und stellt Ihnen maximal 3.000 € zur Verfügung, die er in drei Jahren mit einmalig zehn Prozent Zinsen zurückfordert. Zur Maximierung Ihres Vermögens in drei Jahren stellen Sie das folgende lineare Optimierungsmodell auf:

150

Anwendungen linearer Optimierung

max x9 x1 

s.d .



x2

 0, 08 x1 1, 03 x2   0, 04 x1

1, 03 x3 

 1, 04 x1



x5

1, 05 x5 

x3 1, 03 x4

d 7500 d

0

d

0

1, 05 x7 1,1 x8  x9 d

0

1, 05 x6 

x4

x8

x6 x7

d 10000

x5

d 10000

x6

d 10000

x7 x8

d 3000

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 t 0

Nach Lösung des Modells mit ClipMOPS£ erhalten Sie folgenden Report: Lösung ZF Wert

ZF Richtung

9112,85 MAX Variablen Name x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

Typ CV CV CV CV CV CV CV CV CV

Cost

Status 0 0 0 0 0 0 0 0 1

BS LB LB LB UB BS BS UB BS

Activity

lower Bound

upper Bound

reduced Cost

20500 0 0 0 10000 8860 8483 3000 9112,85

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1E+20 1E+20 1E+20 1E+20 10000 10000 10000 3000 1E+20

0 -0,034625 -0,021 -0,02 0,012575 0 0 0,0702 0

Restriktionen Name Zeitpunkt 0 Zeitpunkt 1 Zeitpunkt 2 Zeitpunkt 3

Status UB UB UB UB

Activity

lower Bound

upper Bound

reduced Cost

7500 0 0 0

-1E+20 -1E+20 -1E+20 -1E+20

7500 0 0 0

1,1702 1,1025 1,05 1

Wie lautet die optimale Lösung? Wie hoch ist das Vermögen nach drei Jahren? Beschreiben Sie ausführlich alle optimalen Transaktionen und die mit jedem Jahr verbundenen Zinszahlungen. Welche Konsequenzen hat eine Reduktion des Geldgeschenks um 1 € auf das Endvermögen? Wäre es für Sie vorteilhaft, einen höheren Betrag für Ihren Verwandten anzulegen? Aufgabe 4.3.3 Als Finanzverantwortlicher der CashFloh AG sind Sie für die Investitionen verantwortlich. Zur Auswahl stehen derzeit drei Projekte unterschiedlicher Laufzeit, deren auf 1 € normierte Zahlungsreihen in der Tabelle dargestellt werden. Da die Durchführung der Projekte von einem Konsortium übernommen wird, können Sie beliebige Summen investieren.

Investition und Finanzierung

t

Projekt A

Projekt B

151

Projekt C

0

-1

-1

-

1

+0,6

-0,225

-

2

+0,75

+0,6

-1

3

+0,75

+0,4

4

+0,375

+0,7

Zahlungsüberschüsse können jederzeit bei der Hausbank auf dem Girokonto angelegt werden, wo sie mit 1 % verzinst werden. Ihrem Unternehmen stehen aktuell liquide Mittel in Höhe von 28 T€ zur Verfügung. Fehlende Finanzmittel können in t 0 mit vierjähriger Laufzeit und jährlicher Zinszahlung zu 5 % bis zu einem Volumen von 10 T€ beschafft werden. Zusätzlich steht in Periode 3 ein einjähriger Kreditrahmen in Höhe von 3 T€ zu 8 % zur Verfügung. Nachdem Sie das Problem geeignet formuliert haben, liefert ClipMOPS£ folgenden Report:

a) Geben Sie die absoluten Zahlungsreihen der drei Projekte aus Sicht Ihres Unternehmens an. Zu welchen Zeitpunkten weist das Girokonto ein Guthaben auf und wie hoch ist das zum Zeitpunkt 4 verfügbare Endvermögen? b) Welchen Effekt hat eine Erhöhung des langfristigen Kreditrahmens auf das Endvermögen? Um wie viel steigt es, wenn stattdessen zum Zeitpunkt 2 weitere Eigenmittel aus anderen Projekten zur Verfügung stehen? Gelten diese Aussagen für zusätzliche Investitionen in beliebiger Höhe?

152

Anwendungen linearer Optimierung

4.4 Weitere wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen 4.4.1 Revenue Management

Methoden des Operations Research werden sehr vielfältig im Bereich Revenue Management insbesondere von Fluggesellschaften eingesetzt. Ziel des Revenue Managements ist die systematische Ausschöpfung der Kenntnis über die unterschiedliche Zahlungsbereitschaft der Kunden zur Erreichung möglichst hoher Erlöse, wobei die Unsicherheit hinsichtlich zukünftiger Nachfragen besondere Beachtung erfährt. Typische Einsatzbereiche sind Leistungserstellungen mit hohem Fixkosten- und niedrigem variablen Kostenanteil. Dies ist charakteristisch für das Angebot eines Fluges, für den die einzelnen Passagiere nur geringe variable Kosten verursachen und eine „Lagerung“ von Fluggelegenheiten nicht möglich ist. Dann wird eine Erlösmaximierung durch Preisdifferenzierung – tatsächlich Produktdifferenzierung – angestrebt. Eine Produktdifferenzierung erfolgt durch eine Beschränkung der Abflugzeiten oder der Umbuchungsmöglichkeiten oder durch die Festlegung von Vorausbuchungsfristen. Sind die verschiedenen Produkte und Preise festgelegt, ist jeweils vorab zu entscheiden, welches Sitzplatzkontingent für welches der Produkte bereitgestellt wird. Voraussetzung für derartige Planungen sind umfangreiche Informationen und sehr detaillierte Prognosemodelle, über die viele Fluggesellschaften verfügen. Besonders anspruchsvoll wird diese Fragestellung, wenn nicht nur einzelne Verbindungen, sondern auch Kombinationen von Flügen aufgrund von Umstiegsmöglichkeiten und dann ein gesamtes Streckennetz berücksichtigt werden. Beispiel AirOpt AG

Abb. 4.9. Flugpreis und Nachfrage

Weitere wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen

153

Für die AirOpt AG ist eine Ermittlung des optimalen Kontingents von Sitzplatzkapazitäten auf dem Flug Düsseldorf über München nach Rom durchzuführen. Es stehen 320 Plätze zur Verfügung und auf Überbuchung wird verzichtet. Abb. 4.9 zeigt die Preis-Absatzfunktion für den Teilabschnitt Düsseldorf-München mit Erlösen bei Preisdifferenzierung in zwei Preisklassen. Weiter zu berücksichtigen sind die Sitzplatzkapazität, die zu einem reduzierten realisierbaren Erlös führt, und die Nachfrage nach Flügen Düsseldorf-Rom über München. Folgende Informationen liegen vor, die in diesem Anschauungsbeispiel als sicher angenommen werden. Flüge der Klasse E sind variabel und kurzfristig buchbar, während besondere Bedingungen für Flüge der Klasse K zu beachten sind. Tabelle 4.11. Preise und Nachfragen Flüge Düsseldorf – München

München – Rom

Düsseldorf – Rom (über München)

Klasse

Preis

Nachfrage

Preis

Nachfrage

Preis

Nachfrage

E

400

200

630

50

640

100

K

250

300

420

200

450

200

Eine Maximierung des Umsatzes und bei hier zu vernachlässigenden variablen Kosten auch des Gewinns auf diesem Flug erhält man durch optimale Ermittlung der anzubietenden Kontingente für die Teilstrecken nach Klassen. Für die Klasse E werden die Variablen ED-M, EM-R und ED-R und für die Klasse K die Variablen KD-M, KM-R und KD-R für die Anzahl Sitzplätze je Teilflug festgelegt. Das Modell muss sicherstellen, dass der Gesamtumsatz unter Berücksichtigung der vorhandenen Sitzplatzkapazität und der jeweiligen Nachfrage auf den beiden Teilstrecken maximiert wird. Das resultierende Modell kann wie folgt aufgestellt werden: max 400 ED  M  630 EM  R  640 ED  R  250 K D  M  420 K M  R  450 K D  R s.d .



ED  R 

EM  R 

ED  R 

ED  M

(4.4.1)



K D  R d 320 Kapazität

KM R 

K D  R d 320 Kapazität

KDM

d 200 Nachfrage

ED  M

d 50

EM  R

d 100

ED  R

d 300

KDM KM R

d 200 K D  R d 200

ED  M , EM  R , ED  R , K D  M , K M  R , K D  R t 0, ganzzahlig

154

Anwendungen linearer Optimierung

Die Zielfunktion maximiert den Gesamtumsatz, der durch die verkauften Flugscheine erreicht wird. Die erste Restriktion stellt sicher, dass das Sitzplatzkontingent von 320 Plätzen auf der Teilstrecke Düsseldorf-München von den Passagieren von Düsseldorf nach München und denen von Düsseldorf nach Rom nicht überschritten wird. Entsprechend modelliert die zweite Restriktion die Einhaltung der Sitzplatzkapazität auf dem Teilstück von München nach Rom. Die weiteren Restriktionen sind obere Schranken für die Variablen und erfassen die jeweilige Nachfrage. Dieses Modell lässt sich mit MILP-Software lösen. Die Studentenversion von ClipMOPS£ erlaubt keine Forderung nach Ganzzahligkeit der Variablen, sodass diese Version nur ausreicht, wenn die optimale Lösung für stetige Variablen bereits die Ganzzahligkeitsbedingung erfüllt. Die Studentenversion von XPRESSIve£ berücksichtigt auch ganzzahlige und binäre Variablen. Eine optimale Lösung, mit der der maximale Umsatz von 252.800 € erreicht wird, besteht darin, folgende Sitzplatzkontingente anzubieten: Tabelle 4.12. Optimale Sitzplatzkontingente Flüge Düsseldorf – München

München – Rom

Düsseldorf – Rom (über München)

Klasse

Angebot

Nachfrage

Angebot

Nachfrage

Angebot

Nachfrage

Klasse E

200

200

50

50

70

100

Klasse K

50

300

200

200

0

200

In der optimalen Lösung wird die Nachfrage nach Flügen der Klasse E möglichst erfüllt, jedoch reichen die Sitzplätze nicht aus, sodass 30 Interessenten kein Ticket Düsseldorf-Rom erhalten. Flugscheine für diesen Flug werden gar nicht an Interessenten der Klasse K abgegeben. Jedoch werden alle Interessenten von München nach Rom befördert, außerdem fliegen 50 Passagiere der Klasse K von Düsseldorf nach München. Weiterführende Ansätze berücksichtigen auch Nachfrageunsicherheit und lassen bspw. Überbuchungen in geplantem Umfang zu. Sie werden dynamisch der Nachfrageentwicklung angepasst. Quantitative Modelle des Revenue Managements findet man beispielsweise bei Corsten u. Gössinger (2005), De Boer et al. (2002), Kimms u. Klein (2005), Klein (2001), Klophaus (1998). 4.4.2 Sonstige Einsatzbereiche

Aus den vielfältigen Möglichkeiten des Einsatzes gemischt-ganzzahliger linearer Optimierungsmodelle werden einzelne weitere im Folgenden kurz angesprochen.

Weitere wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen

155

Personaleinsatzplanung Auch im Bereich der Personalplanung gibt es verschiedene Möglichkeiten der Unterstützung durch quantitative Modelle. So lassen sich umfangreiche, schwierige Personaleinsatzpläne unter Einsatz gemischt-ganzzahliger linearer Optimierungsmodelle erstellen, bei denen für Personal unterschiedlicher Qualifikation unter Berücksichtigung ausreichender Ruheperioden und individueller Anforderungen geeignete Schichtpläne erstellt werden. Zur Illustration wird ein vereinfachtes Beispiel näher betrachtet. Beispiel Warenverteilzentrum Aufgrund der im Wochenverlauf schwankenden Bestellungen ist der Personalbedarf im Warenverteilzentrum an den verschiedenen Wochentagen sehr unterschiedlich. Wochentag

Mo

Di

Mi

Do

Fr

Sa

So

Personalbedarf

12

10

9

12

14

9

6

Die Arbeitskräfte verfügen alle über eine vergleichbare Qualifikation, arbeiten jeweils fünf Tage hintereinander und haben anschließend zwei Tage frei. Wie viel Personal muss im Warenverteilzentrum mindestens beschäftigt werden um den tägliche Bedarf zu erfüllen? Wie viele Personen sollten an den unterschiedlichen Wochentagen ihre Arbeitswoche beginnen? Mit der Variablen xi , i 1,..., 7 wird die Zahl der Arbeitskräfte bezeichnet, die ihre Arbeitswoche am Wochentag i aufnehmen. i 1 entspricht dem Montag. Zielkriterium ist die Minimierung der Gesamtpersonenzahl. Zielfunktion:

min x1  x2  x3  x4  x5  x6  x7

Für jeden Wochentag ist sicherzustellen, dass ausreichendes Personal anwesend ist. Montags sind alle diejenigen im Einsatz, die ihren Zyklus montags beginnen. Auch diejenigen, die sonntags ihre Tätigkeit aufnehmen, sind montags im Einsatz. Nur die, die dienstags oder mittwochs mit ihrem Arbeitseinsatz starten, haben montags frei. So ergibt sich die folgende Restriktion für montags: Mo :

x1

 x4  x5  x6  x7 t 12

Entsprechend werden die Bedarfe der folgenden Wochentage sichergestellt.

156

Anwendungen linearer Optimierung

Di :

x1  x2

Mi :

x1  x2  x3

Do :

x1  x2  x3  x4

Fr :

x1  x2  x3  x4  x5

Sa :

 x5  x6  x7 t 10  x6  x7 t 9  x7 t 12 t 14

x2  x3  x4  x5  x6

t 9

x3  x4  x5  x6  x7 t 6

So :

xi t 0,

i 1,..., 7

Eine Lösung dieses Modells liefert den folgenden optimalen Personaleinsatzplan: Dienstbeginn

Mo

Di

Mi

Do

Fr

Sa

Personen

5 23

2 23

0

4 23

1

2

3

So 0

Insgesamt werden mindestens 14 2 3 Stellen benötigt, von denen 12 mit Vollzeitkräften und 2 2 3 mit 4 Teilzeitkräften mit einem auf 2 3 reduzierten Arbeitsumfang besetzt werden. Stehen ausschließlich Vollzeitkräfte zur Verfügung, muss die Lösung modifiziert werden. Eine entsprechende Aufrundung führt zu insgesamt 16 Arbeitskräften. Damit kann der Bedarf erfüllt werden, jedoch existiert möglicherweise eine bessere Lösung, die weniger Arbeitskräfte benötigt und mittels eines ganzzahligen linearen Optimierungsmodells bestimmt werden kann. Eine Lösung dieses Modells, welche um die Forderung nach Ganzzahligkeit aller Variablen erweitert wird, lautet: Dienstbeginn Personen

Mo

Di

Mi

Do

Fr

Sa

So

5

3

0

4

2

1

0

Damit sind insgesamt mindestens 15 Personen notwendig um den Anforderungen zu genügen. Dienstags, samstags und sonntags ist jeweils eine Person über Bedarf im Einsatz. Dies ist nicht die einzige optimale Lösung. Auch die folgende Schichteinteilung benötigt 15 Personen und ist somit ebenfalls optimal. Dienstbeginn Personen

Mo

Di

Mi

Do

Fr

Sa

So

6

3

0

5

1

0

0

Weitere wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen

157

Beide Einteilungen erscheinen unbefriedigend, wenn eine Person immer am Wochenende arbeiten muss, während eine andere dann immer frei hat. Eine gerechte Personaleinsatzplanung kann durch einen Wechsel der Arbeitszyklen erreicht werden. Hinsichtlich der ersten Lösung kann eine Person 5 Wochen lang montags, anschließend 3 Wochen dienstags, 4-mal donnerstags, 2-mal freitags und einmal samstags mit ihrer Arbeitswoche beginnen. Die zweite Person beginnt 4 Wochen lang montags, die dritte 3 Wochen lang usw. Dieser Einsatzplan über 15 Wochen gleicht die Belastung sämtlicher Betroffener aus. Auch für die zweite optimale Lösung kann ein entsprechender Plan aufgestellt werden. Eine Anpassung des Modells für beliebige Bedarfe ist unmittelbar möglich. Für reale Personaleinsatzpläne und Schichtpläne sind weitere Anforderungen zu integrieren, die etwa unterschiedliche Qualifikation, andere Schichteinteilungen, Urlaubsregelungen u. ä. berücksichtigen. Je nach Größe der Problemstellung werden auch andere Algorithmen zur Lösung verwendet (Blockliger 2004, Dodin et al. 1998, Ernst et al. 2004) Fallmix-Optimierung im Krankenhaus In Deutschland wird, ähnlich wie bereits in anderen Ländern, ein FallpauschalenSystem zur Vergütung der Krankenhausbehandlung eingeführt. Dazu werden Patienten gemäß ihrer Krankheit einer Diagnosis Related Group (DRG) zugeordnet. Die Krankenhäuser erhalten von den Krankenkassen bei Behandlung eines Patienten einen Festpreis, der von der Gruppenzugehörigkeit des Patienten zu einer DRG abhängt und unabhängig von den im Einzelfall erforderlichen Behandlungsmaßnahmen oder den dem Krankenhaus für die einzelne Behandlung entstehenden Kosten ist. Das bei einer derartigen, DRG-basierten Vergütung von einem Krankenhaus erzielbare wirtschaftliche Ergebnis hängt wesentlich von den Kosten des Krankenhauses für die Behandlung von Patienten der unterschiedlichen DRGs ab, die möglichst zu reduzieren sind. Sind die variablen Kosten für die Behandlung in den verschiedenen Fallgruppen ermittelt, lassen sich mit den Festpreisen für jede Gruppe die durchschnittlichen Deckungsbeiträge pro Patient errechnen. Da ein Krankenhaus über begrenzte Ressourcen und eine spezifische Ausstattung verfügt, kann es wirtschaftlich sinnvoll sein, sich auf die Behandlung bestimmter Patientengruppen zu fokussieren, um so eine Maximierung des Deckungsbeitrags zu erreichen. Dazu ist zunächst der aus Sicht des Krankenhauses optimale FallMix zu ermitteln, was grob betrachtet entsprechend einer Produktionsprogrammplanung geschehen kann. Die vereinfachte Modellformulierung für ein Fall-MixOptimierungsmodell lautet mit den verwendeten Indizes und Variablen Indizes :

j i

1,..., n Fallgruppen 1,..., m Kapazität (Betten, Operationszeit o.ä.)

158

Anwendungen linearer Optimierung

Variablen: x j : Anzahl aufzunehmender Patienten Fallgruppe j , j 1,..., n d j : erzielbarer Deckungsbeitrag je Patient Fallgruppe j aij : Kapazitätsinanspruchnahme der i -ten Kapazität durch einen Patienten der Fallgruppe j K i : Ressourcenbeschränkung der i -ten Kapazität e j : Budgetbedarf für einen Patienten der Fallgruppe j B : Budget n

max ¦ d j ˜ x j j 1 n

¦ aij ˜ x j d K i

s.d .

i 1,..., m

i 1 n

¦ ej ˜ xj d B j 1

xj t 0

Das folgende Beispiel ist eng angelehnt an die Ausführungen von Vera (2005). In der konkreten Anwendungssituation wird davon ausgegangen, dass in dem Krankenhaus Patienten dreier unterschiedlicher DRGs behandelt werden können. Die Krankenkassen zahlen für jeden Patienten einer DRG einen festgelegten Preis, außerdem kennt das Krankenhaus die pro Patient einer DRG durchschnittlich anfallenden Kosten, sodass die Deckungsbeiträge ermittelt werden können. DRG 1

DRG 2

DRG 3

Preisj

3000

2000

2500

dj

1200

800

1100

Das Krankenhaus verfügt über eine Bettenkapazität, die für den Betrachtungszeitraum 3000 Pflegetage umfasst. Außerdem ist die Operationszeit auf maximal 1800 Stunden beschränkt. Die Inanspruchnahme der Kapazitäten ist für die verschiedenen Fallgruppen folgender Zusammenstellung zu entnehmen. DRG 1

DRG 2

DRG 3

Pflegetage

10

4

4

OP-Stunden

5

4

6

Werden die Variablen x1 , x2 , x3 für die Anzahl aufzunehmender Patienten der Fallgruppe DRG 1, 2 und 3 gewählt, kann zur Ermittlung der deckungsbeitrags-

Weitere wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen

159

maximalen Patientenzahlen das folgende lineare Optimierungsmodell gelöst werden. max s.d .

1200 x1  800 x2  1100 x3 10 x1 

4 x2 

4 x3 d 3000

Pflegetage

5 x1 

4 x2 

6 x3 d 1800

OP-Stunden

x1 , x2 , x3 t 0

Auf die Modellierung einer Ganzzahligkeitsbedingung kann verzichtet werden, da Patienten auch während des Übergangs auf den nächsten Betrachtungszeitraum behandelt werden können. Damit bedeutet 0,5 Patient, dass nur die Hälfte der Behandlung im aktuellen Betrachtungszeitraum erfolgt. Das optimale Endtableau lautet: 1200 x1

800 x2

1100 x3

0 s1

0 s2

RS

1200 x1

1

0

-0,4

0,2

-0,2

240

800 x2

0

1

2

-0,25 0,5

150

'z

0

0

20

40

160

408000

Könnte das Krankenhaus also frei über die aufzunehmenden Patienten entscheiden, wäre es optimal, 240 Patienten der DRG 1, 150 Patienten der DRG 2 und niemanden der DRG 3 aufzunehmen. Damit beträgt der maximal erzielbare Deckungsbeitrag 408.000 und sowohl die Betten- wie auch die OP-Kapazität sind vollständig ausgeschöpft. Die Behandlung eines DRG 3-Patienten verschlechtert den Gesamtdeckungsbeitrag um 20, wie die Opportunitätskosten zeigen. Ließe sich die OP-Zeit um eine Stunde erhöhen, hätte dies die Steigerung des Gesamtdeckungsbeitrags um 160 zur Folge, dem Schattenpreis der zweiten Restriktion. Die Krankenkasse müsste 240 ˜ 3000  150 ˜ 2000 1.020.000 zahlen. Üblicherweise wird zwischen Krankenkasse und Krankenhaus ein Budget vereinbart, welches auf den bisherigen Fallzahlen basiert. In diesem Beispiel wurde auf Grundlage von 135 Patienten der DRG 1, 122 Patienten der DRG 2 und 102 Patienten der DRG 3 ein Budget von 904.000 festgelegt. Das bedeutet, das Krankenhaus erhält keine über dieses Budget hinausgehenden Zahlungen von der Krankenkasse, auch wenn höhere Leistungen erbracht werden. Auf dieser Grundlage würde das Krankenhaus einen Deckungsbeitrag von 371.800 erzielen. Eine neuerliche Optimierung mit der zusätzlichen Budgetrestriktion 3000 x1  2000 x2  2500 x3 d 904.000

160

Anwendungen linearer Optimierung

liefert ein wesentlich geändertes Ergebnis. Nun ist es optimal, 168 Patienten der DRG 1 und 160 Patienten der DRG 3 und keinen Patienten der DRG 2 aufzunehmen. Der erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag ist auf 377.600 reduziert, jedoch um 1,56 % höher als für die bisherigen Fallzahlen. Engpässe sind nun die OP-Zeit und das Budget, nicht mehr die Bettenkapazität. Das Krankenhaus erhält eine Zahlung in Höhe des Budgets. Da Krankenhäuser verpflichtet sind, Patienten zu behandeln, können sie nicht aus Wirtschaftlichkeitsaspekten Patienten zurückweisen. Außerdem wird die Zahl der Patienten einer bestimmten Fallgruppe beschränkt sein. Mit einer weiteren Differenzierung des Modells und Ergänzung beispielsweise realistischer unterer und oberer Schranken für Patientenzahlen in den einzelnen DRGs kann ein Krankenhaus jedoch zusätzliche Kenntnisse über seine wirtschaftliche Struktur gewinnen und seine besonderen Stärken im Vergleich zu anderen Häusern besser identifizieren und auch zum Wohl der Patienten nutzen. Generell zeigt sich, dass bei optimaler Verwendung knapper Ressourcen eine Spezialisierung auf eine geringe Zahl unterschiedlicher DRGs bei gleichzeitiger Erhöhung der Patientenzahl für diese ausgewählten Fallgruppen erstrebenswert ist (Meyer u. Harfner 1999). Forschungs- und Entwicklungsprojektauswahl Bei der Auswahl einer Kombination durchzuführender Forschungs- und Entwicklungsprojekte, die für ein Unternehmen am vorteilhaftesten sind, kann die lineare gemischt-ganzzahlige Optimierung unterstützen. Es wird die Situation betrachtet, dass mehrere Projekte zur Auswahl stehen, deren Kapitalwerte bekannt sind. Diese Projekte sind alle oder einzeln in beliebigen Kombinationen durchführbar, jedoch jeweils nur ganz oder gar nicht. Sie konkurrieren um das knappe Budget. Die optimale Projektkombination lässt sich dann durch Maximierung des Gesamtkapitalwertes unter Einhaltung der Budgetrestriktion ermitteln. n

max

¦K

i

˜ xi

i 1 n

s.d .

¦B ˜x i

i

d B

i 1

xi  ^0, 1`

Die Binärvariable xi nimmt den Wert 1 an, wenn das i -te Projekt durchgeführt wird, und 0 sonst, für i 1,..., n . Bi ist der Budgetbedarf des i -ten Projektes, B das verfügbare Budget. K i ist der Kapitalwert des i -ten Projektes. Beispiel Forschungs- und Entwicklungsprojektauswahl Es ist über die Durchführung von fünf Forschungs- und Entwicklungsprojekten zu entscheiden, für die das erforderliche Budget und der erzielbare Kapitalwert angegeben sind. Das verfügbare Budget beträgt 1400 und ist einzuhalten.

Weitere wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen

P1

P2

P3

P4

P5

Ki

20

25

40

20

50

Bi

200

400

500

300

600

161

Mit diesem Budget und den wählbaren Projekten lässt sich ein maximaler Gesamtkapitalwert von 110 erzielen, wenn die Projekte P1 , P3 und P5 durchgeführt werden. Aufgrund der Ganzzahligkeit der Variablen wird das Budget nicht ausgeschöpft, sondern um 100 Einheiten unterschritten. Etwas komplexer ist der Sachverhalt, wenn nicht einzelne Projekte, sondern nur komplette Programme, die jeweils aus mehreren Projekten bestehen, zur Erzielung eines Kapitalwertes führen. Sind etwa die Projekte P1 , P2 und P3 für das Programm 1 erforderlich und wird die Durchführung des Programms mit der Binärvariablen y1 beschrieben, dann wird durch eine zusätzliche Restriktion dieser technische Zusammenhang abgebildet. x1  x2  x3 t 3 y1 x1 , x2 , x3 , y1  ^0, 1`

Nur wenn alle drei Variablen x1 , x2 , x3 den Wert 1 annehmen, kann auch y1 den Wert 1 erhalten. Somit ist das Programm 1 nur durchführbar, wenn alle zugehörigen Projekte durchgeführt werden. In Fortsetzung des Beispiels wird nun davon ausgegangen, dass über drei Forschungs- und Entwicklungsprogramme entschieden wird, einschließlich der dafür erforderlichen Projekte, welche wie in Abb. 4.10 dargestellt zusammenhängen. Programm 1 K10

Programm 2 K 20

45

Programm 3 K30

85

70

P1

P2

P3

P4

P5

B1=200

B2=400

B3=500

B4=300

B5=600

Abb. 4.10. Projekt-Programm Struktur

Das zu lösende binäre lineare Optimierungsmodell lautet:

162

Anwendungen linearer Optimierung

max 45 y1  85 y2  70 y3 

s.d . 2 y1

x1 

d0

x2



3 y2

x2 

x3  

2 y3

d0

x4 x4 

x5 d 0

200 x1  400 x2  500 x3  300 x4  600 x5 d 1.400 xi  ^0, 1` i 1,...,5 y1 , y2 , y3  ^0, 1`

Die hier erreichte optimale Lösung erzielt einen Kapitalwert von 130 über die Durchführung der Programme 1 und 2 mit den Projekten 1, 2, 3 und 4. Das Budget wird vollständig in Anspruch genommen. Wie in einem derartigen Ansatz ein Ausgleich zwischen der Budgethöhe und dem erzielbaren Kapitalwert erreicht werden kann, beschreiben Weber et al. (1990). Nachdem auf vielfältige Möglichkeiten linearer Optimierungsmodelle hingewiesen wurde, werden in den folgenden beiden Kapiteln graphentheoretische Modelle und Methoden mit ihren Einsatzmöglichkeiten vorgestellt, die ebenfalls große Verbreitung besitzen. 4.4.3 Aufgaben Aufgabe 4.4.1 Die Deutsche FlussHansa AG verkehrt regelmäßig auf der Strecke Hamburg – Copenhagen mit Zwischenhalt in Kiel. Auf dem Schiff stehen 456 Sitzplätze für die Passagiere zur Verfügung, die entweder die Gesamtstrecke oder auch nur eines der beiden Teilstücke buchen können. Neben normalen Tickets (N) mit hoher Flexibilität bietet die Gesellschaft auch besonders günstige Angebote für Urlauber und Ausflügler (U) an. Diese müssen für einen festen Termin gebucht und im Voraus bezahlt werden. Eine Befragung der Zielgruppen hat folgendes Nachfrageverhalten ergeben: Strecke Hamburg – Kiel Typ

Kiel – Copenhagen

Hamburg – Copenhagen (über Kiel)

Preis (€)

Nachfrage

Preis (€)

Nachfrage

Preis (€)

Nachfrage

N

40

20

80

440

100

70

U

10

360

60

280

75

210

Weitere wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen

163

Um die Kartenverkäufer entsprechend anweisen zu können, sollen den einzelnen Kategorien (= Kombinationen aus Route und Buchungsklasse) Kontingente zugewiesen werden. Stellen Sie das mathematische Modell auf, welches diese Kontingente ermittelt um den Umsatz zu maximieren. Formulieren Sie zunächst die Variablen. Lösen Sie das Problem ggf. unter Einsatz von ClipMOPS£. Aufgabe 4.4.2 Die Animal Event GmbH organisiert Feiern und Promotionaktionen. Auf dem nächsten Unifest sollen einige „Tiere“ für Stimmung sorgen. Angeboten werden “Der lustige Glückshase“ (1 Person) und „Das schielende Zebra“ (2 Personen). Für jeden Glückshasen zahlt die Uni 125 €, für jedes Zebra 250 €. Jedes der „Tiere“ soll mit einem Werbeschild der Animal Event GmbH ausgestattet werden, wovon zurzeit 7 Stück im Lager liegen. Um die Mitarbeiter zu versorgen, steht eine Kiste Wasser mit 12 Flaschen zur Verfügung. Jeder Hase bekommt pro Veranstaltung eine und jedes Zebra 3 Flaschen Wasser. Zusätzlich erhält jedes Zebra eine von drei Tuben Salbe gegen Rückenschmerzen. Es stehen 8 Mitarbeiter zur Verfügung. Wenn diese eingesetzt werden, erhalten sie für die Arbeit auf dem Unifest jeweils 80 €. Das zugehörige lineare Modell zur Personaleinsatzplanung ( x1 für die Anzahl auftretender Glückshasen, x2 für die Anzahl auftretender Zebras), welches den Gesamtdeckungsbeitrags maximiert, lautet: max 45 x1  90 x2 s.d .

x1 

x2

d

x1  3

x2

d 12

x2

d

3

x2

d

8

x1  2 x1 , x2

7

t0

Wie viele Glückshasen und Zebras sollte die Animal Event GmbH einsetzen, um ihren Gesamtdeckungsbeitrag zu maximieren? Ermitteln Sie die Lösung mit Hilfe des Simplexalgorithmus und geben Sie alle optimalen Lösungen an, wenn die Variablen als stetig angenommen werden. Welche optimalen Lösungen sind in der Realität möglich (Ganzzahligkeit)?

5 Graphentheorie

5.1 Strukturmodellierung mittels Graphen Graphentheoretische Modelle und Algorithmen werden in unterschiedlichen Bereichen zur Entscheidungsunterstützung eingesetzt. Dies liegt einerseits daran, dass vielfältige effiziente Algorithmen entwickelt wurden um graphentheoretische Problemstellungen zu lösen. Andererseits, und dies ist für den praktischen Einsatz von besonderer Bedeutung, ist die Visualisierung mittels Graphen sehr anschaulich, was die Strukturierung komplexer Problemstellungen und die Ergebnisinterpretation unterstützt. Orte mit ihren Verbindungen lassen sich als Graphen darstellen. Dies können Städte mit Straßenverbindungen sein, aber auch Kunden, die über ein Rohrleitungssystem mit dem Wasserwerk verbunden sind oder Abnehmer eines Elektrizitätswerks, einschließlich Stromnetz. Auch Beziehungen zwischen Personen oder Sachverhalten sind graphentheoretisch modellierbar. So ist etwa ein Stammbaum ein spezieller Graph oder auch die hierarchische Struktur eines Unternehmens. Selbst Abhängigkeitsbeziehungen zwischen Aufgaben, z. B. „die eine Tätigkeit muss beendet sein, bevor die nächste beginnen kann“, oder „erst wird Auftrag 1, anschließend Auftrag 2 auf einer Maschine bearbeitet“, lassen sich graphentheoretisch modellieren und auf dieser Grundlage umfangreiche und komplexe reale Gegebenheiten systematisch planen und optimieren. Im Folgenden wird zusätzlich zu den Grundlagen beispielhaft der Einsatz von Graphen zur Unterstützung bei logistischen Fragestellungen und im Projektmanagement vorgestellt. 5.1.1 Einführendes Beispiel Autobahnnetz NRW Jede Straßenkarte ist ein Modell eines Ausschnitts der Realität, in welchem interessierende Sachverhalte wie Orte, Straßen, Gewässer, Bebauungsgebiete und ihre geografische Lage abgebildet sind und die zur Entscheidungsunterstützung, z. B. für die Auswahl von Routen, herangezogen werden können. Eine automatisierte Entscheidungsunterstützung setzt eine höhere Abstraktionsebene voraus, die beispielsweise in Abb. 5.1 mit der Hervorhebung des Autobahnnetzes zwischen den angegebenen Städten erfolgt.

166

Graphentheorie

Ham

He C

Bo

E

W D

Abb. 5.1. Beispiel Autobahnnetz NRW

Dieser Ausschnitt der Realität, die ausgewählten Städte mit ihren Autobahnverbindungen, ist als Graph modelliert, der Knoten und die verbindenden Kanten enthält. Die Knoten repräsentieren die Orte CentrO, Herne, Hamm, Essen, Bochum, Düsseldorf und Wuppertal. Kanten zwischen den Knoten entsprechen den direkten Verbindungen und sind bezeichnet mit e1 ^C , He` , e2 ^C , E` , e3 ^ Ham, He` , e4 ^ Bo, He` , e5 ^ D, E` , e6 ^ D, W ` , e7 ^ Bo, W ` , e8 ^ Ham,W ` , e9 ^ Bo, Ham` und e10 ^ Bo, E` . So sind jeder Kante zwei Knoten zugeordnet. Über diese Gleichungen ist eine Abbildung, die Inzidenzabbildung des Graphen, definiert, die jeder Kante eine Menge mit zwei Knoten zuordnet. Die Struktur des realen Autobahnnetzes wird mittels eines Graphen abgebildet, wobei dieser Graph durch die entsprechende grafische Darstellung, aber genauso auch durch die Angabe der Knoten- und der Kantenmengen mit der Inzidenzabbildung beschrieben werden kann. In diesem Modell lassen sich strukturelle Eigenschaften untersuchen und die Modellergebnisse auf die Realität übertragen. Beispielsweise ist zu entnehmen, dass vier Städte Nachbarn von Bochum sind in dem Sinn, dass Bochum mit vier der Städte direkt über Autobahnen verbunden ist. Zu beachten ist, dass ein solcher Graph zunächst keine Informationen hinsichtlich der Entfernungen der Städte voneinander repräsentiert, d. h., die Länge der Kanten und die Positionierung der Knoten hat keine Bedeutung. Derselbe Graph kann also auch wie in Abb. 5.2 dargestellt gezeichnet werden.

Strukturmodellierung mittels Graphen

167

W D

Ham Bo

E

He C

Abb. 5.2. Alternative Darstellung des Beispiels Autobahnnetz NRW

Die Modellierung von Entfernungen erfolgt abstrakt durch die Zuordnung reeller Zahlen zu den Kanten. Bewertet man die Kanten mit Entfernungen in Kilometern oder Fahrzeiten, lassen sich kürzeste Verbindungen zwischen je zwei Orten feststellen. Ebenfalls ermittelbar ist, welche Orte etwa von Bochum aus innerhalb einer vorgegebenen Zeit erreicht werden können oder von welchen Orten aus Bochum innerhalb vorgegebener Zeit erreichbar ist. Zur Ermittlung kürzester Entfernungen auch für sehr umfangreiche Graphen stehen leistungsfähige Algorithmen zur Verfügung, der bekannteste wird im weiteren Verlauf vorgestellt. Zur systematischen Behandlung graphentheoretischer Modelle und Algorithmen werden zunächst grundlegende Begriffe formal definiert. 5.1.2 Gerichtete und ungerichtete Graphen

y Ein (ungerichteter) Graph G V , E besteht aus einer nichtleeren Menge von Knoten (Ecken, vertice, node) V ^1,..., n` , einer Menge von Kanten (edge) E ^e1 ,..., em ` und einer Inzidenzabbildung ĭ , die jeder Kante e  E eine Menge mit ein oder zwei Knoten i, j  V zuordnet, e 6 ^i` bzw. e 6 ^i, j` .

Die in einer Menge enthaltenen Elemente sind nicht angeordnet, d. h. es gilt

^i, j` ^ j, i` , da eine Reihenfolge in Mengen nicht definiert ist. Die zugehörige Kante e besitzt keine Richtung, sie verbindet die beiden Knoten miteinander. Beispiel ungerichteter Graph G1 Durch die Knotenmenge V1 ^1, 2,3, 4,5, 6` und die Kantenmenge E1 ^e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 `

168

Graphentheorie

mit der Inzidenzabbildung )1 : e1

6

e2

6

e3

6

^1, 2` ^1, 4` ^1,3`

e4

6

e5

6

e6

6

e7

6

^2, 4` ^4,5` ^4,5` ^5`

ist der ungerichtete Graph G1 V1 , E1 definiert, dessen Visualisierung in Abb. 5.3 erfolgt. Hier ist deutlich sichtbar, dass Knoten 6 nicht mit anderen Knoten verbunden ist, 3 nur in direkter Verbindung mit 1 steht und zwei unterschiedliche direkte Verbindungen zwischen Knoten 4 und 5 bestehen. Knoten 5 ist zusätzlich mit sich selbst verbunden. e7 2

5

e1

e4

e6

e2

1

e5 4

e3 3

6

Abb. 5.3. Ungerichteter Graph G1

y Ein gerichteter Graph G V , E besteht aus einer nichtleeren Menge von

Knoten V ^1,..., n` , einer Menge gerichteter Kanten bzw. Pfeile E ^e1 ,..., em ` und einer Inzidenzabbildung ) , die jedem Pfeil e  E ein Knotenpaar  i, j  V u V zuordnet, e 6  i, j .

Ein Paar  i, j ist im Unterschied zu einer Menge ^i, j` stets geordnet. Mit dem Paar  i, j wird eine Anordnung mit i als erstem und j als zweitem Element festgelegt. Dadurch verfügt die zugehörige Kante über die Richtung von i nach j und wird grafisch als Pfeil dargestellt. Aufgrund des graphentheoretischen Zusammenhangs ist keine Verwechslung mit einem offenen Intervall  a, b   , also den reellen Zahlen, die echt größer als a und echt kleiner als b sind, zu erwarten. Beispiel gerichteter Graph G2 Mit der Knotenmenge V2

^1, 2,3, 4,5, 6` ,

Strukturmodellierung mittels Graphen

der Kantenmenge E2

169

^e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 ` ,

die hier gerichtet, also Pfeilmenge ist, und der Inzidenzabbildung )  : e1

6

e2

6

e3

6

e4

6

1, 2  2, 4 1,3  3,1

e5

6

e6

6

e7

6

e8

6

1, 4  4,5  5,5  4,5

ist der gerichtete Graph G2 (V2 , E2 ) definiert. Seine Struktur ist wiederum gut in der folgenden Abbildung zu erkennen. e7 2 e1

5 e2

e5

1

e6 e8 4

e3 e4

3

6

Abb. 5.4. Gerichteter Graph G2

Werden für ungerichtete und gerichtete Kanten die Bezeichnungen e

e i

)  e

j

^i, j`

i

) e

j

 i, j

verwendet, werden zur Charakterisierung der Eigenschaften von Graphen die folgenden Begriffe eingeführt, die gleichermaßen für gerichtete wie ungerichtete Graphen gelten.

y Kante e verbindet die Knoten i und j. y Kante e ist mit den Knoten i und j inzident. y i heißt Nachbar von j und j heißt Nachbar von i. y i und j sind benachbart oder adjazent.

170

Graphentheorie

y Die Menge aller Nachbarn von i wird mit N  i bezeichnet. y Besitzt ein Knoten keine Nachbarn, heißt er isoliert. y Der Grad g  k eines Knotens k ist die Zahl der mit k inzidenten Kanten. y Eine Schlinge ist eine Kante bzw. ein Pfeil mit )  e ^i` bzw. )  e  i, i . y Ein Graph heißt endlich, wenn sowohl die Knoten- wie die Kantenmenge endlich viele Elemente enthalten. Beispiel G1 und G2 Für beide vorherigen Graphen G1 und G2 ist die Menge aller Nachbarn von Knoten 2 N  2 ^1, 4` und von Knoten 4 N  4 ^1, 2,5` . Knoten 6 besitzt keine Nachbarn, N  6 ‡ , und ist daher isoliert. Kante bzw. Pfeil e1 verbindet 1 und 2. e7 verbindet Knoten 5 mit sich selbst und ist eine Schlinge. Einige Eigenschaften sind nur für gerichtete Graphen sinnvoll angebbar. So sind für Pfeile weiterhin die folgenden Begriffe definiert:

y i ist Anfangsknoten von e. y e ist mit Knoten i positiv inzident. y j ist Endknoten von e. y e ist mit Knoten j negativ inzident. y e geht von i aus und mündet in j ein. y i heißt (unmittelbarer, direkter) Vorgänger von j (predecessor). y Die Menge der direkten Vorgänger eines Knotens j ist P  j . y j heißt (unmittelbarer, direkter) Nachfolger von i (successor). y Die Menge der direkten Nachfolger eines Knotens i ist S  i . y Der Ausgangsgrad g   k eines Knotens k ist die Zahl der mit k positiv inzidenten Pfeile.

y Der Eingangsgrad g   k eines Knotens k ist die Zahl der mit k negativ inzidenten Pfeile. Manche Knoten weisen besondere Eigenschaften auf.

y Ein Knoten eines gerichteten Graphen mit mindestens einem Nachfolger, jedoch ohne Vorgänger heißt Quelle von G, ein Knoten ohne Nachfolger, jedoch mit mindestens einem Vorgänger heißt Senke von G. Zwischen zwei Kanten kann eine besondere Beziehung bestehen, die aus algorithmischen Gründen später ausgeschlossen wird.

Strukturmodellierung mittels Graphen

171

y Zwei Kanten bzw. Pfeile e1 und e2 sind parallel, wenn )  e1 )  e2 gilt, sie also dieselben beiden Knoten verbinden, bei Pfeilen gilt dies nur im Falle übereinstimmender Richtung, wie in Abb. 5.5 gezeigt wird. i

j

parallele Kanten

i

j

parallele Pfeile

i

j nicht parallel

Abb. 5.5. Parallelität

Beispiel gerichteter Graph G2 Knoten 4 ist Anfangsknoten von e6 und von e8, außerdem Endknoten von e2 und e5. Der Graph besitzt keine Quelle und keine Senke. Beispielhafte Vorgängermengen sind P  3 ^1` , P  6 ‡ , P  4 ^1, 2` , beispielhafte Nachfolgermengen sind S  3 ^1` , S  4 ^5` , S 1 ^2,3, 4` . e6 und e8 sind parallel, e3 und e4 jedoch nicht. Im Folgenden wird stets vorausgesetzt, dass die gerichteten und ungerichteten Graphen endlich sind und keine parallelen Kanten bzw. Pfeile und keine Schlingen besitzen.

y Ein Graph, der weder Schlingen noch parallele Pfeile besitzt, wird als schlicht bezeichnet. Liegt keine Parallelität von Kanten bzw. Pfeilen vor, dann sind die Kanten bzw. Pfeile eindeutig beschreibbar durch die inzidenten Knoten mit )  e ^i, j` bzw. )  e  i, j . In diesem Fall kann auf die explizite Aufführung der Inzidenzabbildung ) verzichtet werden, da sie implizit gegeben ist. Ist ein derartiger Graph gerichtet, wird er als Digraph bezeichnet.

y Ein Digraph ist also ein gerichteter, endlicher, schlingenfreier Graph ohne parallele Pfeile. Die Terminologie in der graphentheoretischen Literatur ist nicht einheitlich, so bezeichnen etwa einige Autoren jeden gerichteten Graphen als Digraphen, wie auch andere Begriffe geringfügig variieren. Beispiel G3 Der in Abb. 5.6 dargestellte ungerichtete Graph G3 V3 , E3 ist endlich, schlingenfrei und ohne parallele Kanten. Auf die explizite Angabe der Inzidenzabbildung kann verzichtet werden, da die Kanten mittels der zugehörigen Knoten bezeichnet sind. V3

^1, 2,3, 4,5, 6, 7,8`

172

Graphentheorie

^^1, 2` ,^1,3` ,^2, 4` ,^3, 4` , ^4,5` , ^5, 6` , ^5, 7` , ^5,8` , ^6, 7` , ^6,8` , ^7,8``

E3

2

6

1

4

5

8

3

7

Abb. 5.6. Graph G3 als Modell von Kommunikationsbeziehungen

Dieser Graph könnte das Modell der Kommunikationsbeziehungen zwischen den Personen P1 bis P8 sein, die als Knoten dargestellt werden. Tauschen sich zwei Personen regelmäßig aus, wird dieser Sachverhalt durch die verbindende Kante modelliert. Deutlich erkennbar ist, dass der Kontakt zwischen den beiden Abteilungen mit den Personen P1 bis P4 bzw. P5 bis P8 nur über einen Austausch von P4 und P5 erfolgt. Die Kommunikation im ersten Bereich ist gestört, da P1 und P4 bzw. P2 und P3 nicht miteinander kommunizieren. Z. B. die Nachbarn N  5 ^4, 6, 7,8` zeigen, mit wem P5 in Kontakt steht. Keine Person ist isoliert, vielmehr hängen alle über Kommunikationsbeziehungen zusammen, zumindest indirekt über andere Personen. Beispiel Eigentümer und Beteiligungsstruktur In Anlehnung an eine reale Situation wird die Eigentümer- und Beteiligungsstruktur der Bankgesellschaft Zentral im Jahr 2005 mit dem in Abb. 5.7 dargestellten gerichteten Graphen anschaulich modelliert. Die Knoten repräsentieren die verschiedenen betroffenen Parteien. Ein Pfeil zeigt an, dass eine Partei, der Anfangsknoten, einen Anteil an der anderen Partei, dem Endknoten des Pfeils, besitzt. Zusätzlich sind hier die Pfeile bewertet: Die Zahlen entsprechen den Besitzanteilen in Bezug auf den Endknoten des Pfeils. Südland 81 %

Nord-Bank 10 %

FinanzHolding AG

Streubesitz

2%

7%

BANK GESELLSCHAFT ZENTRAL 100 % Landesbank Süd Süd Sparkasse Süd Bank Abb. 5.7. Eigentümerstruktur der Bankgesellschaft Zentral

89,9 % Zentral Hyp

Strukturmodellierung mittels Graphen

173

In derartigen Abbildungen sind üblicherweise keine Pfeile, sondern Kanten gezeichnet, die jedoch aufgrund der Positionierung von oben nach unten als gerichtet zu verstehen sind. Hier handelt es sich um einen Digraphen mit vier Quellen und zwei Senken. Die direkten Vorgänger des Knotens Bankgesellschaft halten Anteile, während die Bankgesellschaft zumindest Miteignerin aller direkten Nachfolger ist. Mit diesem Graphen wird ein spezieller Ausschnitt der komplexen Realität modelliert. Wesentlich umfangreicher würde der Graph, wenn ein größerer Ausschnitt der Realität, z. B. auch die übrigen Beteiligungen der Partner wie Nord-Bank, erfasst werden sollte.

y Ein Graph wird vollständig genannt, wenn für zwei beliebige, verschiedene Knoten die verbindende Kante zum Graphen gehört. In einem vollständigen Graphen ist also jeder Knoten mit jedem anderen durch eine Kante verbunden.

1

3

2

4

Abb. 5.8. Beispiel eines vollständigen Graphen mit 4 Knoten

y Ein gerichteter Graph heißt symmetrisch, wenn zu jedem Pfeil  i, j der Pfeilmenge E auch der Umkehrpfeil  j , i zu der Pfeilmenge gehört. 2 4 1 5 3 Abb. 5.9. Beispiel eines symmetrischen Graphen mit 5 Knoten

Jedem ungerichteten Graphen Gu Vu , Eu kann ein äquivalenter symmetrischer gerichteter Graph Gs Vu , Es zugeordnet werden, wobei die Knotenmenge gleich bleibt und jeder Kante ^i, j`  Eu die beiden Pfeile  i, j  Es und  j, i  Es entsprechen.

174

Graphentheorie

Beispiel Autobahnnetz NRW Dem ungerichteten Graphen des Autobahnnetzes NRW lässt sich der in Abb. 5.10 dargestellte äquivalente symmetrische gerichtete Graph zuordnen. He

C

E

Ham

Bo

D

W

Abb. 5.10. Symmetrischer gerichteter Graph Autobahnnetz NRW

Werden nicht nur einzelne Knoten und ihre direkten Verbindungen betrachtet, lassen sich weitere Eigenschaften von Graphen angeben, wozu eine entsprechende Terminologie einzuführen ist.

y Eine Kantenfolge ist eine Folge von Knoten und Kanten  i0 , e0 , i1 , e1 ,..., es 1 , is mit ) (ek ) ^ik , ik 1` . Verkürzt kann diese Kantenfolge beschrieben werden durch die alleinige Angabe der Knoten  i0 , i1 ,..., is . Gilt i0 z is , heißt die Kantenfolge offen. Gilt i0 is , handelt es sich um eine geschlossene Kantenfolge.

y Eine Kette ist eine offene Kantenfolge mit sämtlich verschiedenen Knoten. 1

2

3

Kette

y Ein Kreis ist eine geschlossene Kantenfolge mit sämtlich verschiedenen Knoten. Ein Graph wird als kreisfrei bezeichnet, wenn er keinen Kreis enthält. 1

2 Kreis 3

Strukturmodellierung mittels Graphen

175

Beispiel ungerichteter Graph G4 Durch Abb. 5.11 ist der ungerichtete Graph G4 definiert.

1

2

4

3

5

Abb. 5.11. Ungerichteter Graph G4 mit Kreis

Die folgenden verkürzt aufgeführten Kantenfolgen 1, 2, 4 ,  5,3, 2, 4 und sind Ketten.  2,3,5, 4, 2 ist ein Kreis, damit ist der Graph G4 nicht kreisfrei. Eine offene Kantenfolge, die keine Kette ist, ist 1, 2,3,5, 4, 2 .

 2,3,5, 4

y Eine Pfeilfolge (Semipfeilfolge) ist eine Folge von Knoten und Pfeilen  io , eo , i1 , e1 ,..., es 1 , is mit ) (ek )  ik , ik 1 (bzw. bei einer Semipfeilfolge )  ek  ik , ik 1 oder ) (ek )  ik 1 , ik ). Die Kurzbezeichnung erfolgt ebenfalls über die Knoten. Gilt i0 z is , heißt die Pfeilfolge (Semipfeilfolge) offen, für i0 is wird die Pfeilfolge geschlossen genannt.

y Ein Weg (Semiweg) ist eine offene Pfeilfolge (Semipfeilfolge) mit sämtlich verschiedenen Knoten. 1

2

3

Weg

1

2

3

Semiweg

y Ein Zyklus ist eine geschlossene Pfeilfolge mit sämtlich verschiedenen Knoten. Ein Graph wird als zyklenfrei bezeichnet, wenn er keinen Zyklus enthält. 1

2

3 Zyklus

4

y Ein Semikreis ist eine geschlossene Semipfeilfolge mit sämtlich verschiedenen Knoten.

176

Graphentheorie

1

2

3 Semikreis

4

Beispiel Digraph G5 Durch Abb. 5.12 wird Digraph G5 definiert. 1

2

4

3

5

Abb. 5.12. Digraph G5 mit Zyklus

Die Pfeilfolge 1, 1, 2 , 2,  2,3 ,3 ist ein Weg, 1, 1, 2 , 2,  3, 2 ,3,  5,3 ,5 ein Semiweg.  2,  2, 4 , 4,  4,5 ,5,  5,3 ,3,  3, 2 , 2 bildet einen Zyklus, daher ist Graph G5 nicht zyklenfrei. 1, 1, 2 , 2,  2,3 ,3,  3, 2 , 2,  2, 4 , 4 ist eine offene Pfeilfolge, die kein Weg ist, da Knoten 2 mehrfach enthalten ist.

y Ein gerichteter Graph ist topologisch sortiert, wenn für alle Pfeile mit  i, j gilt i  j . Jeder zyklenfreie Digraph ist topologisch sortierbar, indem die Knoten geeignet umbenannt werden. Der umnummerierte Graph ist zu dem vorherigen isomorph, das bedeutet, dass er die gleichen strukturellen Eigenschaften besitzt. Digraph G5 lässt sich nicht topologisch sortieren, da er einen Zyklus

 2,  2,3 ,3,  3, 2 , 2 enthält. Obiger Digraph, der einen Weg veranschaulicht, ist

topologisch sortiert. Der Graph, der einen Semiweg zeigt, lässt sich durch Umnummerierung der Knoten topologisch sortieren. Ein isomorpher Graph, der nur Pfeile von Knoten mit niedrigerer zu höherer Knotennummer besitzt, kann angegeben werden mit 1

3

2

y Zwei Knoten i und j sind verbunden, wenn es eine Kantenfolge bzw. Semipfeilfolge mit Endknoten i und j gibt. In einem gerichteten Graphen ist j von i aus erreichbar, wenn eine Pfeilfolge von i nach j existiert.

Strukturmodellierung mittels Graphen

177

y Ein ungerichteter Graph heißt zusammenhängend, wenn je zwei beliebige Knoten verbunden sind. Ein Digraph heißt schwach zusammenhängend, wenn je zwei beliebige Knoten verbunden sind, stark zusammenhängend, wenn für beliebige Knoten i und j gilt, dass j von i aus und i von j aus erreichbar sind. Beispielsweise ist G3 zusammenhängend, G1 jedoch nicht. G2 ist nicht schwach zusammenhängend und damit insbesondere nicht stark zusammenhängend, da ein isolierter Knoten existiert. G5 ist schwach zusammenhängend, da je zwei Knoten verbunden sind, jedoch nicht stark zusammenhängend, da z. B. Knoten 1 nicht von Knoten 2 aus erreichbar ist. Der gerichtete Graph zum Autobahnnetz NRW ist stark zusammenhängend, jeder Knoten ist von jedem anderen aus zu erreichen.

y Ein Graph heißt Baum, wenn er zusammenhängend und kreisfrei bzw. semikreisfrei ist.

y Ein gerichteter Graph heißt Wurzelbaum mit der Wurzel r, wenn r Quelle von G ist und jeder andere Knoten durch genau einen Weg von r aus mit r verbunden ist. Die Senken werden als Endknoten des Wurzelbaums oder als Blätter bezeichnet. In einem Wurzelbaum wird ein Vorgängerknoten auch als Vater, ein Nachfolger als Sohn bezeichnet. Abb. 5.13 zeigt zwei verschiedene Darstellungen desselben Baums, wobei die rechte eher Ähnlichkeit zu Stamm und Verästelung hat und damit den Bezug zur Natur erkennen lässt. 8 6 4

1

5

1

7 2

3

7

6 5

3

2 8 4 Abb. 5.13. Äquivalente Darstellungen desselben Baums

Abb. 5.14 zeigt einen Wurzelbaum mit Wurzel 1 und den Blättern 3, 5, 6, 7, 8 und 9.

178

Graphentheorie

5 2 6 1

3

7

4

8 9

Abb. 5.14. Wurzelbaum mit Wurzel 1

Der Digraph zur Modellierung der Eigentümerstruktur der Bankgesellschaft Zentral ist zusammenhängend und semikreisfrei, also ein Baum. Er besitzt mehrere Quellen und ist daher kein Wurzelbaum. Wurzelbäume finden häufige Anwendung, z. B. als Entscheidungsbäume zur strukturierten Abbildung von Entscheidungsproblemen, zur Untersuchung der Schritte von Algorithmen, zur Klassifikation von Begriffen, bei Konzernstrukturdarstellungen und bei Organigrammen. 5.1.3 Repräsentationsformen von Graphen Ein endlicher, ungerichteter bzw. gerichteter Graph ohne parallele Kanten bzw. Pfeile kann durch seine Adjazenzmatrix beschrieben werden. Die Strukturinformation ist äquivalent zu der der Mengendarstellung bzw. der grafischen Darstellung.

y Ist G V , E ein ungerichteter Graph, dann ist die zugehörige Adjazenzmatrix A

 aij definiert mit

aij

­1 falls ^i, j`  E ® ¯0 sonst

Die Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen ist stets symmetrisch zur Hauptdiagonalen, da mit einem Element ^i, j` wegen ^i, j` ^ j , i` der Kantenmenge auch ^ j , i` zu dieser Kantenmenge gehört. Eigenschaften des Graphen lassen sich ebenfalls der Adjazenzmatrix entnehmen. So sind beispielsweise die Nachbarn N  k eines Knotens k der k-ten Zeile bzw. der k-ten Spalte zu entnehmen. Die Zahl der Nachbarn N  k 1 ist folglich ermittelbar mittels N k

1

n

n

j 1

i 1

¦ akj ¦ aik

Für eine Menge M bezeichnet M die Anzahl der Elemente dieser Menge.

Strukturmodellierung mittels Graphen

179

Für einen schlichten Graphen entspricht die Zahl der Nachbarn der Zahl der inzidenten Kanten und damit dem Grad g  k des Knotens k. Beispiel G3 Die Adjazenzmatrix zu Graph G3, dem Modell der Kommunikationsbeziehungen, lautet §0 ¨ ¨1 ¨1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ©

0· ¸ 0¸ 0¸ ¸ 0¸ 1¸ ¸ 0 0 0 1 0 1 1¸ 0 0 0 1 1 0 1¸ ¸ 0 0 0 1 1 1 0 ¸¹

1 0 0 1 0

1 0 0 1 0

0 1 1 0 1

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 1

Die Nachbarn, etwa von Knoten 5, sind mittels der Einträge in Zeile 5 bzw. aufgrund der Symmetrie mittels der Einträge in Spalte 5 zu ermitteln. Da a54 a56 a57 a58 1 und ebenso a45 a65 a75 a85 1 gilt und die übrigen Zeilen- bzw. Spaltenelemente gleich null sind, lautet N  5 ^4, 6, 7,8` . Die Anzahl der Personen, die mit P5 in einer Kommunikationsbeziehung stehen, ist N  5 4 . Person P1 pflegt dagegen nur mit zwei Personen Kontakt.

y Für einen gerichteten Graphen G V , E ist die Adjazenzmatrix A bestimmt durch aij

 aij

­1 falls  i, j  E ® ¯0 sonst

Den Zeilen der Adjazenzmatrix eines Digraphen sind die Nachfolger eines Knotens zu entnehmen, den Spalten die Vorgänger. So sind z. B. auch Quellen und Senken einfach identifizierbar, da die zugehörigen Spalten bzw. Zeilen nur Nullen enthalten. Die Zahl der Vorgänger P  k eines Knotens k beträgt

P k

n

¦ aik , i 1

die der Nachfolger S  k S k

n

¦ akj . j 1

180

Graphentheorie

Für einen schlichten Graph stimmen diese Zahlen mit dem Eingangsgrad g   k bzw. dem Ausgangsgrad g   k überein.

y Die Adjazenzmatrix eines topologisch sortierten Graphen ist eine obere Dreiecksmatrix, d. h. von null abweichende Einträge befinden sich ausschließlich oberhalb der Hauptdiagonalen. Beispiel Eigentümerstruktur Bankgesellschaft Zentral Die formale Darstellung der Eigentümerstruktur ist Abb. 5.15 zu entnehmen. 1

2

3

4

5

6

7

Abb. 5.15. Eigentümerstruktur als gerichteter Graph

Die zugehörige Adjazenzmatrix lautet §0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ©

0 0 0 1 0 0· ¸ 0 0 0 1 0 0¸ 0 0 0 1 0 0¸ ¸ 0 0 0 1 0 0¸ 0 0 0 0 1 1¸ ¸ 0 0 0 0 0 0¸ 0 0 0 0 0 0 ¸¹

Erkennbar sind die Quellen 1, 2, 3 und 4, die jeweils den Nachfolger 5, aber keinen Vorgänger haben, und die Senken 6 und 7, die jeweils den Vorgänger 5, jedoch keinen Nachfolger besitzen.

y Ein gerichteter Graph kann außerdem als Vorgänger- oder auch als Nachfolgerliste repräsentiert werden, ein ungerichteter Graph als Nachbarnliste. In der Vorgängerliste werden zu jedem Knoten sämtliche direkten Vorgänger angegeben, in der Nachfolgerliste sämtliche direkten Nachfolger, in der Nachbarnliste alle Nachbarn. Grafische Darstellung, Mengendarstellung, Adjazenzmatrix, Vorgänger- und Nachfolgerliste bzw. Nachbarnliste repräsentieren jeweils die gleichen Strukturinformationen eines Digraphen bzw. Graphen unter der Voraussetzung, dass der

Strukturmodellierung mittels Graphen

181

Graph schlicht ist. Welche Form der Darstellung ausgewählt wird, hängt von der jeweiligen Nutzung des Modells ab. Zur Veranschaulichung kleinerer Modelle ist meist die grafische Darstellung am geeignetsten. Zur Behandlung komplexer Probleme insbesondere mittels Rechnereinsatz sind dagegen Matrizen oder Tabellen bzw. Listen vorzuziehen. Beispiele Im Folgenden sind für verschiedene Graphen äquivalente Repräsentationsformen angegeben, aus denen sich jeweils die Struktureigenschaften ableiten lassen. Ungerichteter Graph G6 Mengendarstellung V6

^1, 2,3, 4`

E6

^^1, 2` ,^2,3` , ^2, 4` , ^3, 4``

Da Mengen nicht geordnet sind, könnte E6 auch wie folgt angegeben werden:

E6

^^1, 2` , ^3, 2` , ^4, 2` , ^3, 4``

Grafische Darstellung

Adjazenzmatrix

2

1

4

§0 ¨ ¨1 ¨0 ¨¨ 0 ©

1 0 0· ¸ 0 1 1¸ 1 0 1¸ ¸ 1 1 0 ¸¹

3

Nachbarnliste Knoten

Nachbarn

1

2

2

1, 3, 4

3

2, 4

4

2, 3

Dieser Graph ist zusammenhängend und enthält einen Kreis.

182

Graphentheorie

Gerichteter Graph G7 Mengendarstellung V7

^1, 2,3, 4`

E7

Grafische Darstellung

^1, 2 ,  2,3 ,  2, 4 ,  3, 4 ` Adjazenzmatrix

2

1

§0 ¨ ¨0 ¨0 ¨¨ ©0

4

1 0 0· ¸ 0 1 1¸ 0 0 1¸ ¸ 0 0 0 ¸¹

3

  Vorgängerliste

Nachfolgerliste

Knoten

direkte Vorgänger

Knoten

direkte Nachfolger

1

-

1

2

2

1

2

3, 4

3

2

3

4

4

2, 3

4

-

Dieser Graph ist schwach, jedoch nicht stark zusammenhängend. Knoten 1 ist einzige Quelle, Knoten 4 einzige Senke und der Graph ist topologisch sortiert. Gerichteter Graph G8 Mengendarstellung

^1, 2,3, 4,5`

V8

E7

Grafische Darstellung 2

1

Adjazenzmatrix 5

4

3

^1, 2 ,  2,3 ,  2, 4 ,  3,1 `

§0 ¨ ¨0 ¨1 ¨ ¨0 ¨0 ©

1 0 0 0· ¸ 0 1 1 0¸ 0 0 0 0¸ ¸ 0 0 0 0¸ 0 0 0 0 ¸¹

Strukturmodellierung mittels Graphen

 Vorgängerliste

183

Nachfolgerliste

direkte Vorgänger 1

3

2

1

3

2

4

2

5

-

Knoten

direkte Nachfolger

1

2

2

3, 4

3

1

4

-

5

-

Dieser Graph enthält den isolierten Knoten 5, für den gilt: 5

5

i 1

j 1

¦ ai5 ¦ a5 j

0

Damit ist der Graph nicht schwach zusammenhängend. Der Graph ist nicht topologisch sortiert, da ein Pfeil von Knoten 3 nach Knoten 1 führt. Da Pfad 1, 1, 2 , 2,  2,3 ,3,  3,1 ,1 einen Zyklus bildet, ist eine topologische Sortierung nicht möglich. Graphen werden vielfältig verwendet, um in der Realität beobachtete Zusammenhänge systematisch zu erfassen und einer Analyse zugänglich zu machen. Dabei erleichtert die grafische Darstellung das Verständnis und die Kommunikation verschiedener Beteiligter. Mit zusätzlichen quantitativen Angaben, z. B. Bewertungen von Kanten, sind darauf aufbauend Auswertungen durchführbar und ggf. Entscheidungen zu unterstützen, wie in Teilkapitel 5.2 gezeigt wird. 5.1.4 Aufgaben Aufgabe 5.1.1 Geben Sie zu folgenden Graphen jeweils die Vorgänger- bzw. Nachbarnliste und die Adjazenzmatrix an und beschreiben Sie die Eigenschaften der Graphen. a)

2

1

3

184

Graphentheorie

b)

2

4

3

1

c) 2 4 1

5

3

d) 2

1

3

4 8 5

6

7

9

Aufgabe 5.1.2 Zeichnen Sie die durch folgende Adjazenzmatrizen beschriebenen Graphen und sortieren Sie diese topologisch, sofern dies möglich ist.

a)

§0 ¨ ¨0 ¨1 ¨¨ ©0

1 0 0 0

0 1 0 0

0· ¸ 1¸ 1¸ ¸ 0 ¸¹

b)

§0 ¨ ¨1 ¨0 ¨ ¨1 ¨1 ©

1 0 1 1· ¸ 0 1 0 1¸ 1 0 0 0¸ ¸ 0 0 0 0¸ 1 0 0 0 ¸¹

c)

§0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨1 ¨¨ ©1

0 0 0 0

0 1 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0· ¸ 0¸ 1¸ ¸ 1¸ 0 0 0 0 0¸ ¸ 0 0 0 0 0 ¸¹

Bewertete Graphen und kürzeste Wege

185

Aufgabe 5.1.3 Folgende Darstellung gibt die Unternehmensstruktur der RuhrgebietsUnternehmensBeteiligungsAG an. Modellieren Sie diese Struktur als Graph und geben Sie sowohl die Mengendarstellung als auch eine grafische Darstellung an. Welche Eigenschaften weist der Graph auf? RuhrgebietsUnternehmensBeteiligungsAG (RUB AG)

Inländische Fertigungsunternehmen (IFU)

Bochumer Maschinenwerke AG

Gesellschaft für Energiesystem- und Anlagenbau

Eisenwerke OsnabrückNienburg

Internationale Schiff- und Energiebeteiligungen (ISEB)

Innovative Windkraftanlagen AG

RohölWasserErdgas Handelsgesellschaft

Maritime Transport Union

5.2 Bewertete Graphen und kürzeste Wege 5.2.1 Bewertung und Entfernung Sind Knoten und/oder Kanten bzw. Pfeile von Graphen bewertet, dann spricht man von einem bewerteten Graphen. Ein Beispiel ist das Modell der Eigentümerstruktur der Bankgesellschaft Zentral, welches quantitative Angaben über den Anteil an der jeweiligen Gesellschaft ausweist. Je nach inhaltlichem Zusammenhang können die Bewertungen sehr unterschiedliche Bedeutungen wie Dauer, Entfernung, Kapazität haben, die bei der Interpretation von Modellergebnissen entsprechend zu berücksichtigen sind.

y Ein bewerteter Graph verfügt zusätzlich über eine Bewertungsfunktion, die jedem Knoten bzw. jeder Kante eine reelle Zahl zuweist. Im Folgenden werden nur Kantenbewertungen betrachtet. Diese sind festgelegt über die Bewertungsfunktion c : E o  mit c ^i, j`

cij

c ji bzw. c   i, j

cij .

y Ein Netzwerk ist ein bewerteter Digraph ohne isolierte Knoten. Ein Netzwerk kann als Modell für unterschiedliche Sachverhalte dienen, z. B. können die Knoten (Stand-)Orte und die Bewertungen der Pfeile Entfernungen

186

Graphentheorie

darstellen, welche wiederum räumlich oder zeitlich gemessen werden. Es kann auch ein Rohrleitungssystem, z. B. für Gas oder Wasser, mit den Bewertungen der Rohrkapazitäten abgebildet werden oder voneinander abhängige, durchzuführende Aktivitäten mit ihrer zeitlichen Beanspruchung. Die graphentheoretische Literatur setzt bei der Definition von Netzwerken häufig zusätzlich voraus, dass genau eine Quelle und genau eine Senke existieren und teilweise, dass die Pfeilbewertungen ausschließlich natürliche Zahlen sind. Aufbauend auf der jeweiligen Definition erfolgt dann die Formulierung mathematischer Sätze und Algorithmen. Daher ist stets zu prüfen, welche Voraussetzungen für den Einsatz von Algorithmen insgesamt erforderlich sind und ob diese in einer geplanten Anwendungssituation vorliegen.

y Zu einem bewerteten Graphen G lässt sich die Bewertungsmatrix C  G angeben mit ­0 ° cij : ®cij ° ¯f

falls i

 cij

j

falls ^i, j` bzw.  i, j  E sonst

Anstelle der Bewertung f , die beispielsweise für eine „riesige Entfernung“ dort steht, wo zwei Knoten nicht benachbart sind, können in anderem Kontext auch abweichende Einträge, wie etwa 0, nicht vorhandene Kanten bzw. Pfeile sinnvoll abbilden. Dies ist abhängig von dem mit dem Modell verfolgten Auswertungszweck und dem dazu anzuwendenden Algorithmus. Beispiel Autobahnnetz NRW II Das Straßennetz wird durch den in Abb. 5.16 enthaltenen ungerichteten Graphen bzw. den zugehörigen gerichteten Graphen repräsentiert, deren Bewertungen den Ortsentfernungen in Minuten Fahrtdauer entsprechen. He 20 17 C

14

E

Bo

51

48

26

39

D

22

33

34

W

Abb. 5.16. Bewerteter ungerichteter Graph Autobahnnetz NRW

Ham

Bewertete Graphen und kürzeste Wege

187

Die zugehörige Adjazenzmatrix, erweitert um die Knotenbezeichnungen und tabellarisch dargestellt, lautet C

C 0

E 1

D 0

He 1

Bo 0

W 0

Ham 0

E

1

0

1

0

1

0

0

D

0

1

0

0

0

1

0

He

1

0

0

0

1

0

1

Bo

0

1

0

1

0

1

1

W

0

0

1

0

1

0

1

Ham

0

0

0

1

1

1

0

Die zugehörige Bewertungsmatrix mit Knotenbezeichnungen ist C

C 0

E 14

D

E

14

0

f 39

D

39

0

He

f 20

f

Bo

f

f 22

W

f

f

f 34

Ham

f

f

f

He 20

Bo

W

Ham

f 22

f

f

f

f

f 0

f 17

f 34

f . 33

17

0

f 26

f 33

26

0

48

51

48

0

51

Die Bewertung f modelliert hier, dass keine direkte Autobahnverbindung zwischen den Städten besteht, also aufgrund der im Modell betrachteten unendlich hohen Fahrtdauer diese Verbindung nicht gewählt wird, wenn ein Ausweichen möglich ist.

y Für bewertete Graphen lässt sich die Länge der Kantenfolge F bzw. Pfeilfolge F

cF

 i0 , i1 ,..., is s

¦ c ^ir 1 , ir ` r 1

 i0 , i1 ,..., is

ermitteln zu bzw. c  F

s

¦ c  ir 1 , ir . r 1

y Die Entfernung d ^i, j` bzw. d  i, j der Knoten i und j ist die kürzeste Kanten- bzw. Pfeilfolge mit den Endknoten i und j bzw. von i nach j. Nach Ermittlung der jeweils kürzesten Kanten- bzw. Pfeilfolgen mit den Endknoten i und j kann die Entfernungsmatrix D  G dij angegeben werden mit



für i j ­0 ° dij : ®d ^i, j` falls eine Kantenfolge zwischen i und j existiert °f sonst ¯

188

Graphentheorie

für i j ­0 ° dij : ®d  i, j falls eine Pfeilfolge von i nach j existiert °f sonst ¯

bzw.

Beispiel Netzwerk 1

1 -2

3

3

2 4

2

4

Abb. 5.17. Netzwerk

In diesem Beispielnetzwerk ist die Entfernung nicht symmetrisch, im Unterschied zu einem bewerteten ungerichteten Graphen. Bewertungsmatrix

C

§ 0 2 1 f · ¨ ¸ ¨3 0 f 4¸ ¨f f 0 2 ¸ ¨¨ f f f 0 ¸¸ © ¹

Entfernungsmatrix

D

§ 0 2 1 ¨ ¨3 0 4 ¨f f 0 ¨¨ f f f ©

2· ¸ 4¸ 2¸ ¸ 0 ¸¹

Es existieren verschiedene Algorithmen zur Ermittlung kürzester Wege, die von jeweils unterschiedlichen Voraussetzungen ausgehen. Hier wird beispielhaft der Algorithmus von Dijkstra vorgestellt, der die kürzesten Wege von einem Startknoten zu allen anderen erreichbaren Knoten in einem Netzwerk mit nichtnegativer Bewertung ermittelt. Wie bereits erläutert, ist ein ungerichteter Graph äquivalent zu einem gerichteten Graphen, die Kantenbewertungen werden für beide Pfeile übernommen, so dass Algorithmen für gerichtete Graphen dann auch für ungerichtete Graphen nach entsprechender äquivalenter Modellierung eingesetzt werden können. Beispiel 5

2 1

2

2

5

3

1

2 2

3 5

Bewertete Graphen und kürzeste Wege

189

Für beide Graphen stimmen Adjazenz-, Bewertungs- und Entfernungsmatrix jeweils überein. Adjazenzmatrix

Bewertungsmatrix

Entfernungsmatrix

§ 0 1 0· ¨ ¸ ¨1 0 1¸ ¨ 0 1 0¸ © ¹

§ 0 2 f· ¨ ¸ ¨2 0 5¸ ¨f 5 0 ¸ © ¹

§ 0 2 7· ¨ ¸ ¨ 2 0 5¸ ¨ 7 5 0¸ © ¹

5.2.2 Kürzeste-Wege-Algorithmus von Dijkstra Der Algorithmus von Dijkstra bestimmt in einem bewerteten Digraphen mit nichtnegativen Bewertungen die kürzesten Wege von einem ausgewählten Knoten zu allen übrigen Knoten. Idee: Ausgehend von dem ausgewählten Startknoten werden alle Knoten mit ihrer vorläufig kürzesten bekannten Entfernung vom Startknoten markiert. Grundlage ist die Bewertungsmatrix. Der dem Startknoten nächstgelegene Knoten wird endgültig festgelegt und der Wegknoten angegeben, von dem aus er erreicht wurde. Für die direkten Nachfolger dieses Knotens wird nun geprüft, ob der Weg über den gerade festgelegten Knoten kürzer ist als der kürzeste bisher bekannte Weg. In diesem Fall wird die vorläufige Markierung des Knotens modifiziert. Von allen erreichbaren Knoten wird nun der mit der vom Startknoten kürzesten Entfernung endgültig festgelegt. Dieses Vorgehen wird solange fortgesetzt, bis die Entfernungen zu allen Knoten feststehen. Durch Rückwärtsverfolgung der Markierungen werden die kürzesten Wege vom Startknoten zu jedem anderen Knoten ermittelt. Markierungsalgorithmus: Ein Knoten j wird vorläufig markiert, sobald eine obere Schranke kleiner als unendlich für die Entfernung bestimmt ist. Knoten j wird endgültig markiert, wenn ein kürzester Weg zu j gefunden ist. In jedem Iterationsschritt wird genau einer der vorläufig markierten Knoten endgültig markiert. Das Verfahren bricht ab, sobald alle Knoten endgültig markiert sind oder vorzeitig, wenn eine weitere Markierung nicht möglich ist, da die verbleibenden Knoten nicht erreicht werden können. Bezeichnungen L Menge der endgültig markierten Knoten M Menge der vorläufig markierten Knoten n Anzahl der Knoten, Startknoten a k aktuell betrachteter Knoten kürzeste, bislang bekannte Weglänge von a nach j dj direkter Vorgänger von j auf kürzest bekanntem Weg qj S  j Menge der direkten Nachfolger von j

190

Graphentheorie

Algorithmus von Dijkstra zur Ermittlung der kürzesten Wege Voraussetzung: Es liegt ein bewerteter Digraph mit Knotenmenge ^1,..., n` und nichtnegativen Pfeilbewertungen vor. Initialisierung d j : f, q j : 0, j 1,..., n k : a, L :

^a` , M :

S a

d a : 0, qa : 0

solange M z ‡ für alle j  S  k ˆ M

ja

d k  ckj  d j

nein

d j : d k  ckj

qj : k bestimme k  M mit d k : min d j jM

L : L ‰ ^k ` , M :

 M ‰ S  k \ L

Beispiel Bestimmung kürzester Wege 4 1

2

1

1 1

4

2

5

3 5 Abb. 5.18. Bewerteter Graph G9

Gesucht sind die kürzesten Verbindungen von Knoten 1 zu allen anderen Knoten. Ersichtlich ist, dass die kürzesten Entfernungen von 1 nach 2 über die Knoten 3 und 4 insgesamt 3 E beansprucht. Von 1 nach 3 besteht die direkte Verbindung mit 1 E. Von 1 nach 4 gelangt man in 2 E über Knoten 3 und Knoten 5 ist über 3 und 4 in 4 E erreichbar. Zu dem abgebildeten bewerteten Graphen lässt sich unmittelbar der äquivalente gerichtete Digraph ableiten, dessen Bewertungen sämtlich nichtnegativ sind. Daher ist der Algorithmus von Dijkstra anwendbar.

Bewertete Graphen und kürzeste Wege

191

Es sind n 5 Knoten zu berücksichtigen, deren kürzeste Entfernungen von Knoten a 1 aus zu ermitteln sind. In der Initialisierungsphase werden zunächst alle d j auf f und alle q j auf 0 gesetzt für j 1,...,5 . k wird mit 1 festgesetzt. Die Menge der endgültig markierten Knoten ist somit L : ^1` , die der vorläufig markierten Knoten enthält die Nachfolger von 1 M : S 1 ^2,3,5` . Weiterhin gilt d1 : 0 und q1 : 0 . In der ersten Iteration wird zunächst geprüft, ob in der Menge M der vorläufig markierten Knoten Elemente enthalten sind. Beim ersten Durchgang stimmen M und S 1 überein. Die Bewertungen d 2 d3 d5 sind bislang f , so dass jeweils die Aktualisierung erfolgt zu d 2 : d1  c12

04

d3 : d1  c13

0 1 1

d5 : d1  c15

05 5

4

und q2 q3 q5 1 gesetzt werden. Knoten 4 gehört nicht zu M, seine Markierung wird daher nicht modifiziert. Anschließend wird ein Knoten k aus der Menge M bestimmt, der nun minimale Entfernung zu Knoten 1 aufweist, ablesbar an den d j . Sollten mehrere Knoten diese Bedingung erfüllen, wird ein beliebiger ausgewählt. Hier hat Knoten 3 minimale Entfernung und wird in die Menge L aufgenommen. M wird um Knoten 3 reduziert und um die Nachfolger von 3, die noch nicht zu L gehören, erweitert, so dass nun M ^2, 4,5` gilt. Tabelle 5.1. Iterationen des Algorithmus von Dijkstra für den Graphen G9 Initialisierung Knoten

dj

qj

1

0

0

2

f

3

1

2

3

4

dj

qj

dj

qj

dj

qj

0

4

1

4

1

3

4

f

0

1

1

4

f

0

f

0

2

3

5

f

0

5

1

5

1

4

4

L

{1}

{1, 3}

M

{2, 3, 5}

{2, 4, 5}

{1, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {2, 5}

{5}

dj

qj

4

4

{1, 2, 3, 4, 5}

‡

192

Graphentheorie

Die Festlegungen durch den Algorithmus lassen sich gut mittels einer tabellarischen Darstellung verfolgen, die die Daten in jeder Iteration enthält, wobei auf die Angabe der Initialisierungsspalte üblicherweise verzichtet wird. In der zweiten Iteration wird für die Elemente aus M, die Nachfolger des gerade endgültig markierten Knotens 3 sind, geprüft, ob die Verbindung vom Startknoten über den Knoten 3 kürzer als die bisher bekannte kürzeste Entfernung ist. Dies ist nur für den Knoten 4 mit d3  c34 1  1 2  f der Fall, sodass d 4 : 2 und q4 : 3 gesetzt werden. Die kürzeste Entfernung besteht nun zu Knoten 4, der in L aufgenommen wird, M wird entsprechend angepasst. Die Überprüfung in der dritten Iteration zeigt, dass Knoten 2 von Knoten 4 aus besser zu erreichen ist als von Knoten 1 aus, daher wird die Markierung aktualisiert und wegen der nun minimalen Entfernung endgültig festgelegt. In der vierten Iteration erfolgt keine Modifikation der Bewertung von Knoten 5, da 5 kein direkter Nachfolger von 2 ist. Als letzter Knoten, der nun minimale Entfernung zu Knoten 1 aufweist, wird Knoten 5 endgültig markiert. Da nun M ‡ ist, bricht der Algorithmus ab. Den endgültigen Markierungen sind die kürzesten Entfernungen von Knoten 1 zu den jeweiligen Knoten zu entnehmen. Durch Rückwärtsverfolgung der Marken ermittelt man die kürzesten Wege, die in Tabelle 5.2 dargestellt sind. Tabelle 5.2. Kürzeste Wege und kürzeste Entfernungen j

wj

dj

2

(1, 3, 4, 2)

3

3

(1, 3)

1

4

(1, 3, 4)

2

5

(1, 3, 4, 5)

4

Der Algorithmus von Dijkstra ist ein so genannter Baumalgorithmus. Durch die schrittweise Festlegung von Knoten mit den verbindenden Pfeilen wird ein Teilgraph bestimmt, der möglichst alle Knoten enthält und ein Baum ist. Im Beispiel mit Graph G9 wird dieser Baum schrittweise aufgebaut: 1. Iteration 1

2. Iteration 1

3

4 3

Bewertete Graphen und kürzeste Wege

3. Iteration

4. Iteration

2

2

1

4

1

4

3

193

5

3

Abb. 5.19. Schrittweiser Aufbau eines Baums für Graph G9

Der Rechenaufwand des Algorithmus von Dijkstra steigt im ungünstigsten Fall (worst case) quadratisch mit der Knotenzahl n an: Je Knoten erfolgt eine Iteration, je Iteration Berechnungen und Vergleiche maximal proportional zur Knotenzahl. Formal ausgedrückt ist die Zeitkomplexität dieses Algorithmus O n 2 , d. h., die Maximalzahl elementarer Rechenoperationen verhält sich in Abhängigkeit von der Knotenzahl n proportional zu n 2 . Damit führt der Algorithmus sehr schnell zu einer Lösung.



Beispiel Autobahnnetz NRW III Zur Ermittlung kürzester Wege von Bochum zu allen anderen Orten wird ein entsprechender gerichteter Graph aufgestellt, dessen Bewertungen der aktuellen Stauprognose angepasst sind. Aufgrund einer Teilsperrung zwischen Bochum und Essen ist auf dieser Strecke aktuell von einer Fahrtdauer von 115 Minuten auszugehen. Damit ist dieser Graph nicht symmetrisch.

20

He

33

17

51

115 C

14

E

Bo 48

22 39

D

26

34

W

Abb. 5.20. Autobahnnetz NRW mit Fahrtdauern in Minuten

Ham

194

Graphentheorie

Die Anwendung des Algorithmus von Dijkstra zur Bestimmung der schnellsten Verbindungen von Bochum zu allen übrigen Orten, unter Berücksichtigung der aktuellen Verkehrslage, führt zu folgender Tabelle: Tabelle 5.3. Dijkstra-Iterationen Beispiel Entfernungen NRW 1 Knoten

2

3

4

dj

qj

dj

qj

dj

qj

1C

f

0

37

4

37

4

2E

115

5

115

5

115

3D

f

0

f

0

4 He

17

5

6W

26

5

26

5

7 Ham

51

5

50

4

5

6

dj

qj

dj

qj

5

51

1

51

1

60

6

60

6

60

6

50

4

50

4

dj

qj

60

6

5 Bo

L

{4, 5}

{4, 5, 6}

{1, 4, 5, 6}

{1, 4, 5, 6, 7}

M

{1, 2, 6, 7}

{1, 2, 3, 7}

{2, 3, 7}

{2, 3}

{1, 2, 4, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 5, 6, 7} {3}

‡

Es empfiehlt sich beispielsweise an diesem Tag, aufgrund der Verkehrslage von Bochum über Herne und CentrO nach Essen zu fahren. Tabelle 5.4. Kürzeste Wege und Entfernungen von Bochum aus

wj

dj

(5, 4, 1)

37

(5, 4, 1, 2)

51

(5, 6, 3)

60

Herne

(5, 4)

17

6

Wuppertal

(5, 6)

26

7

Hamm

(5, 4, 7)

50

J

Ort

1

CentrO

2

Essen

3

Düsseldorf

4

Bewertete Graphen und kürzeste Wege

195

Innerhalb von 30 Minuten sind bei der aktuellen Verkehrslage von Bochum aus nur Herne und Wuppertal zu erreichen. Mit dem Algorithmus von Dijkstra werden die kürzesten Entfernungen von einem gewählten Knoten aus zu allen übrigen Knoten ermittelt. Die kürzesten Entfernungen von den verschiedenen Orten aus bis zu dem gewählten Knoten erhält man nur dann direkt, falls der Graph ungerichtet bzw. symmetrisch ist. Da dies in dem Autobahnbeispiel nicht gegeben ist, kann z. B. die kürzeste Entfernung von Essen nach Bochum nicht direkt aus der Tabelle entnommen werden. Sie beträgt nur 22 Minuten im Vergleich zu den ermittelten 51 Minuten in umgekehrter Richtung. Zum gerichteten Graph in Abb. 5.21 sollen die kürzesten Entfernungen und kürzesten Wege aller Knoten zum Knoten 1 ermittelt werden. Beispiel Graph G10

1 1 2

2 1

6

3

5

2 4

2

1

4 2

4

6

Abb. 5.21. Graph G10

Der Algorithmus von Dijkstra ermittelt nur die kürzesten Entfernungen von 1 zu allen übrigen Knoten. Um ihn dennoch ohne Modifikation auch auf dieses Problem anwenden zu können, wird das Modell geeignet modifiziert, sodass der Algorithmus die Ergebnisse nach entsprechender Interpretation liefert. Dazu wird u statt des obigen Graphen G10 ein anderer Graph G10 aufgestellt, indem die Knoten und die Bewertungen übernommen und die Pfeilrichtungen umgekehrt werden. Der neue Graph ist Abb. 5.22 zu entnehmen. 1 1 2

2 1 2

6

3

5

2 4

1

4 4

2

u Abb. 5.22. Modifizierter Graph G10

6

196

Graphentheorie

In diesem Graphen werden nun mittels Dijkstra-Algorithmus die kürzesten Wege von 1 zu allen übrigen Knoten ermittelt. Tabelle 5.5. Dijkstra-Tableau 1 Knoten

2

3

4

dj

qj

3

5

2

8

3

8

f

0

f

5

dj

qj

dj

qj

dj

qj

3

7

4

0

7

4

dj

qj

2

f

0

3

3

3

2

1

4

f

0

6

5

f

0

6

f

0

7

4

L

{1, 3}

{1, 2, 3}

{1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4, 5}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

M

{2, 4, 5}

{4, 5}

{5, 6}

{6}

‡

1

Hierzu lassen sich nun alle kürzesten Wege von 1 zu allen übrigen Knoten im u Graphen G10 ableiten. u Tabelle 5.6. Entfernungen von Knoten 1 aus für Graph G10

j

wj

dj

2

(1, 3, 2)

3

3

(1, 3)

2

4

(1, 3, 2, 4)

5

5

(1, 3, 2, 4, 5)

7

6

(1, 3, 2, 4, 6)

7

Bezüglich Graph G10 sind daraus die kürzesten Wege und Entfernungen von allen Knoten zu Knoten 1 abzuleiten.

Bewertete Graphen und kürzeste Wege

197

Tabelle 5.7. Entfernungen zu Knoten 1 hin für Graph G10 j

wj

dj

2

(2, 3, 1)

3

3

(3, 1)

2

4

(4, 2, 3, 1)

5

5

(5, 4, 2, 3, 1)

7

6

(6, 4, 2, 3, 1)

7

Treten auch negative Pfeilbewertungen auf, kann der Algorithmus von Dijkstra nicht angewendet werden, es sei denn, spezielle Strukturvoraussetzungen sind erfüllt. Für die in der Praxis durchaus vorkommende allgemeine Situation stehen andere Algorithmen, wie etwa der Kürzeste-Wege-Algorithmus von Ford, zur Verfügung, auf die hier nicht weiter eingegangen wird. Die Ermittlung längster Wege in einem Graphen lässt sich auf ein Problem kürzester Wege zurückführen, indem die Pfeilbewertungen jeweils mit (-1) multipliziert werden. Alternativ lassen sich Kürzeste-Wege-Algorithmen entsprechend modifizieren und dann als Längste-Wege-Algorithmen direkt anwenden. Ein Algorithmus zur Ermittlung längster Wege von einem Startknoten aus wird bei der Ermittlung frühester Ereigniszeiten in einem Netzplan eingesetzt und im Kapitel Projektplanung verwendet. Anwendungsbezogene Einführungen in die Graphentheorie sind in vielen Operations Research-Lehrbüchern enthalten und umfassen teilweise sogar einen eigenen Band (z. B. Gal 1992). Werden spezielle graphentheoretische Probleme oder Einsatzbereiche behandelt, so wird häufig auf die Grundlagen eingegangen. So bauen Standort-, Touren- und Transportplanung vielfach auf graphentheoretischen Methoden auf (z. B. Domschke 1995; Domschke 1997; Domschke u. Drexl 1996). Ausführlichere Einführungen in die Graphentheorie, die sich besonders an Informatiker richten und daher algorithmenorientiert sind, geben z. B. Krumke u. Noltemeier (2005) und Turau (2004). Eine detaillierte Behandlung der Komplexität von Algorithmen findet man bspw. bei Wegener (2003). Eher mathematisch orientiert sind die Einführungen von Diestel (2005) und Steger (2002). 5.2.3 Aufgaben Aufgabe 5.2.1 In dem folgenden bewerteten Digraphen ist der kürzeste Weg von Knoten 1 zu allen anderen Knoten zu bestimmen. Verwenden Sie dazu den Algorithmus von Dijkstra.

198

Graphentheorie

3

4 4 2

1

4

1 3

3

3

1

5 2 6

2

3 7

5

Aufgabe 5.2.2 In dem vorliegenden Digraphen sollen die kürzesten Wege von Knoten 1 zu allen anderen Knoten mit Hilfe des Algorithmus von Dijkstra ermittelt werden. Geben Sie die kürzesten Wege bitte explizit an.

3

1

5

11 11

3 2

3 5

2 2 2

3

4

Aufgabe 5.2.3 Das Institut für Sicherheit (IfS) mit Sitz im Technologiepark der Ruhr-Universität Bochum betreut die Flughafengesellschaft des Airport Frankfurt/Main in Sicherheitsfragen. Zur Präsentation hochbrisanter Forschungsergebnisse und der Übergabe vertraulicher Dokumentationen möchte das Projektteam von Bochum (BO) aus im Safety-Car des IfS auf dem kürzesten Weg nach Frankfurt (F) fahren. Auf der Fahrt dorthin könnten die Städte Hagen (HA), Leverkusen (LE), Siegen (SI) sowie Montabaur (MT) potentielle Zwischenstationen sein. Der folgende Graph stellt die möglichen Routen von Bochum nach Frankfurt dar. Geben Sie die Adjazenzmatrix dieses Digraphen an und überprüfen Sie (mit Begründung), ob der Graph topologisch sortierbar ist. Wie lang ist der kürzeste Weg von Bochum (BO) nach Frankfurt (F) und wie lautet er? Verwenden Sie zur Ermittlung den Algorithmus von Dijkstra.

Bewertete Graphen und kürzeste Wege

LE

99

199

MT 82

60 88

BO

F

30

129 HA

SI

72

Aufgabe 5.2.4 Bestimmen Sie in folgendem Digraphen die kürzesten Wege von allen Knoten zu Knoten 1.

2 1

3

2

3

1

2

4

1

4

5

6 5

3

6 Projektplanung

6.1 Modellierung der Projektstruktur 6.1.1 Grundlagen der Projektplanung Zur Unterstützung des Projektmanagements, also der Planung, Steuerung, Koordination und Überwachung von Projekten, werden graphentheoretische Methoden erfolgreich eingesetzt, wobei die Netzplantechnik eine zentrale Rolle spielt.

y Unter einem Projekt wird ein einmaliges, komplexes, häufig neuartiges Vorhaben verstanden, welches einen definierten Anfang und ein definiertes Ende aufweist. Die Einmaligkeit resultiert aus der jeweiligen Kombination von Zielvorgaben, zeitlichen, finanziellen, personellen und anderen Restriktionen der Abgrenzung gegenüber anderen Vorhaben und ggf. der spezifischen Organisation (siehe DINNorm 69901). Projektbeispiele sind im Anlagenbau, bei der Neuproduktentwicklung, bei der Softwareentwicklung oder -einführung, bei Marktstudien, bei Schulungsmaßnahmen und in vielen anderen Bereichen zu finden. Wurde eine methodische Unterstützung des Projektmanagements zunächst insbesondere von Spezialisten für sehr große, langwierige Projekte beispielsweise im Anlagenbau und in der Weltraumforschung eingesetzt, sind die Kenntnis und die Rechnerunterstützung dieser Methoden heute weit verbreitet, sodass auch weniger umfangreiche Vorhaben systematisch geplant und gesteuert werden. Die konfliktären Ziele des Projektmanagements bestehen darin, ein Projekt mit möglichst geringen Kosten in möglichst kurzer Zeit und mit möglichst hoher Qualität durchzuführen, wobei die verfügbaren Ressourcen zu beachten sind. Zur systematischen Unterstützung des Projektmanagements ist die Planung des Projektablaufs von hoher Wichtigkeit, die die verschiedenen durchzuführenden Aktivitäten, deren Dauern und Mittel- und Personalanforderungen berücksichtigen muss. Daher wird das komplexe Projekt zunächst daraufhin untersucht, welches die wesentlichen Projektbestandteile sind und wie diese voneinander abhängen, bevor anschließend eine modellgestützte Gesamtplanung durchgeführt wird. Hinsichtlich der jeweils berücksichtigten Informationen werden die aufeinander aufbauenden Planungsphasen Strukturanalyse und Zeitplanung, Kapazitäts- und

202

Projektplanung

Kostenplanung bzw. -optimierung unterschieden, die im Weiteren vorgestellt werden. Die Zerlegung eines Projektes in einzelne Bestandteile und deren detaillierte Analyse erleichtert die Angabe präziser Informationen hinsichtlich Durchführungsdauer, Ressourcenbedarf und Kosten durch Experten, die über Erfahrungen in den einzelnen Teilgebieten verfügen. Die zu ermittelnden wesentlichen Bestandteile eines Projektes sind wie folgt charakterisiert:

y Ereignis: Eintreten eines definierten Zustands im Projektablauf y Vorgang: Zeiterforderndes Geschehen mit definiertem Anfang und definiertem Ende

y Anordnungsbeziehung: Die quantifizierbare Abhängigkeit zwischen Ereignissen und/oder Vorgängen Diese Bestandteile der Realität werden mittels eines graphentheoretischen Modells abgebildet, dann werden Auswertungen an diesem Modell durchgeführt und die Modellergebnisse auf die Realität übertragen. Das mathematische Modell, welches hier zur Anwendung kommt, weist eine spezielle Struktur auf und wird als Netzplan bezeichnet.

V , E ist ein endlicher, zusammenhängender, zyklenfreier Digraph mit genau einer Quelle und genau einer Senke.

y Ein Netzplan N

2

4

1

6 3

5

Abb. 6.1. Beispielhafter Netzplan

Dieser Digraph besteht aus sechs Knoten und sieben Pfeilen mit der Knotenmenge V und der Pfeilmenge E

^1, 2,3, 4,5, 6` ^1, 2 , 1,3 ,  2, 4 ,  2,5 ,  3,5 ,  4, 6 ,  5, 6 `

Er ist endlich, zusammenhängend und zyklenfrei. Knoten 1 ist die einzige Quelle und Knoten 6 die einzige Senke des Digraphen. Damit erfüllt er alle notwendigen Eigenschaften, die einen Netzplan charakterisieren. Die wesentlichen Bestandteile eines Projektes, Ereignisse, Vorgänge und Anordnungsbeziehungen, werden im Rahmen der Projektplanung ermittelt und somit die Struktur des Projektes erfasst. Die Abbildung im Modell erfolgt, indem diese Bestandteile den Knoten und Pfeilen eines Netzplans zugeordnet werden. Hin-

Modellierung der Projektstruktur

203

sichtlich der Zuordnung der Vorgänge sind grundsätzlich zwei Vorgehensweisen möglich, die bei vorgangsorientierten Netzplantechniken zum Einsatz kommen:

y Vorgangspfeilnetzplan (VPN, activity-on-arc) Die Vorgänge werden den Pfeilen zugeordnet. Knoten entsprechen Ereignissen, Anordnungsbeziehungen bestimmen den Zusammenhang zwischen Knoten und Pfeilen. Diese Art der Modellierung wird bei der klassischen Netzplantechnik CPM (Critical Path Method) angewandt.

y Vorgangsknotennetzplan (VKN, activity-on-node) Die Vorgänge werden den Knoten zugeordnet. Die Pfeile entsprechen den Abhängigkeitsbeziehungen. Ereignisse werden nicht explizit modelliert. Vorgangsknotennetzpläne finden bei der klassischen Methode MPM (Metra Potential Method) Verwendung. Wird das besondere Augenmerk im Projektmanagement auf die Ereignisse und nur implizit auf die Vorgänge gerichtet, findet eine ereignisorientierte Netzplantechnik Anwendung:

y Ereignisknotennetzplan Die Ereignisse werden den Knoten zugeordnet. Die Pfeile entsprechen den Abhängigkeitsbeziehungen zwischen den Ereignissen. Vorgänge bestimmen implizit die Ereignisse und deren Abhängigkeitsbeziehungen. Die klassische Netzplantechnik PERT (Program Evaluation and Review Technique) ist ereignisorientiert. Bei dieser klassischen Technik besteht zusätzlich die Besonderheit, dass risikobehaftete Vorgangsdauern explizit im Modell berücksichtigt werden. Ein besonderer Vorteil der Modellierung mittels Netzplänen ist darin zu sehen, dass eine Planung der Zusammenhänge systematisch von der Detailebene aus erfolgt. Es werden nur die technologisch zwingenden Abhängigkeiten erfasst und simultane Bearbeitung unterstützt. So wird vermutet, dass der Bau der PolarisRakete durch den Einsatz von PERT um etwa zwei Jahre verkürzt werden konnte, da die ca. 11.000 Unterauftragnehmer besser koordiniert wurden und viele Aktivitäten gleichzeitig stattfinden konnten. 6.1.2 Strukturanalyse Die Strukturanalyse beinhaltet zunächst die Ermittlung aller Aktivitäten bzw. Ereignisse, die für die erfolgreiche Durchführung des realen Projektes erforderlich sind, und die bestehenden Abhängigkeitsbeziehungen. Diese werden auf die unmittelbaren, also direkten Abhängigkeitsbeziehungen reduziert und in einer Liste festgehalten, in der entweder zu jedem Vorgang jeweils sämtliche direkten Vorgänger oder alle direkten Nachfolger angegeben werden. Anschließend kann die Modellierung erfolgen, indem die Projektbestandteile den Elementen des Netzplans geeignet zugeordnet werden.

204

Projektplanung

Beispiel Klausurtraining Sie beabsichtigen, vor Ihrem Klausurtraining einige wichtige Literaturstellen in der Bibliothek auszuwählen und diese anschließend zu kopieren. Außerdem besuchen Sie die Fachschaft und holen die dort vorhandenen Skripte ab. Sobald Sie alle Unterlagen gesammelt haben, beginnen Sie Ihr Training. Zur Einstimmung auf alle prüfungsvorbereitenden Aktivitäten gönnen Sie sich zunächst einen Kurzurlaub. Um einen vorgangsorientierten Netzplan zur Modellierung dieses Projektes zu erstellen, sind zunächst Vorgänge und deren Abhängigkeitsbeziehungen festzustellen. Dies geschieht hier mittels einer Vorgangsliste, in der die Vorgänge jeweils mit ihren direkten Vorgängern aufgeführt sind. Tabelle 6.1. Vorgangsliste Klausurtraining Bezeichnung

direkte Vorgänger

Vorgangsbezeichnung

T

Klausurtraining

K, S

A

Auswahl der Literatur

U

K

Kopieren der Literatur

A

S

Skripte

U

U

Kurzurlaub

–

Nach Erfassung der erforderlichen Vorgänge und der Struktur kann die Modellierung des Projektes mittels Netzplan erfolgen. Aufgrund der vorgangsorientierten Betrachtung sind sowohl ein Vorgangspfeil- als auch ein Vorgangsknotennetzplan geeignet. Vorgangspfeilnetzplan Klausurtraining Die Vorgänge werden Pfeilen zugeordnet, die Knoten entsprechen dann Anfangsund Endereignissen. Mit geeigneter Knotennummerierung kann der Netzplan wie folgt grafisch dargestellt werden. 1

U

S

2 A

3

Abb. 6.2. Vorgangspfeilnetzplan 1 Klausurtraining

4 K

T

5

Modellierung der Projektstruktur

205

Die Bezeichnung der Vorgänge als Paare der inzidenten Knoten ergibt dann den Netzplan in grafischer Darstellung in Abb. 6.3. 1

(1, 2)

(2, 4)

2 (2, 3)

4

(4, 5)

5

(3, 4)

3

Abb. 6.3. Vorgangspfeilnetzplan 2 Klausurtraining

Dazu äquivalent sind die Mengendarstellung NVPN VVPN , EVPN mit VVPN ^1, 2,3, 4,5` und EVPN ^1, 2 ,  2,3 ,  2, 4 ,  3, 4 ,  4,5 ` , die zugehörige Adjazenzmatrix und die Vorgänger- bzw. Nachfolgerliste. §0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ©

1 0 0 0· ¸ 0 1 1 0¸ 0 0 1 0¸ ¸ 0 0 0 1¸ 0 0 0 0 ¸¹

Knoten

direkte Vorgänger

Knoten

direkte Nachfolger

1

-

1

2

2

1

2

3, 4

3

2

3

4

4

2, 3

4

5

5

4

5

-

Dieser Digraph ist ein Netzplan, da er endlich, zusammenhängend und zyklenfrei ist und über die einzige Quelle 1 und die einzige Senke 5 verfügt. Er ist topologisch sortiert. Es handelt sich um verschiedene Darstellungsformen eines Netzplans, der ein angemessenes Modell des realen Projektes ist. Vorgangsknotennetzplan Klausurtraining Jeder Vorgang wird einem Knoten zugeordnet und diese gemäß der Abhängigkeiten miteinander verbunden. S U

T A

K

Abb. 6.4. Vorgangsknotennetzplan 1 Klausurtraining

206

Projektplanung

Mit entsprechender Knotennummerierung ergibt sich somit der Netzplan in Abb. 6.5. 2

(1, 2)

(2, 5)

1

5 (1, 3)

3

(3, 4)

(4, 5)

4

Abb. 6.5. Vorgangsknotennetzplan 2 Klausurtraining

Die äquivalente Mengendarstellung ist NVKN VVKN , EVKN mit VVKN ^1, 2, 3, 4 ,5` und EVKN ^1, 2 , 1,3 ,  2,5 ,  3, 4 ,  4,5 ` , zugehörige Adjazenzmatrix oder Vorgänger- bzw. Nachfolgerliste lauten:

§0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ©

1 1 0 0· ¸ 0 0 0 1¸ 0 0 1 0¸ ¸ 0 0 0 1¸ 0 0 0 0 ¸¹

Knoten

direkte Vorgänger

Knoten

direkte Nachfolger

1

-

1

2, 3

2

1

2

5

3

1

3

4

4

3

4

5

5

2, 4

5

-

Auch dieser Digraph ist ein Netzplan, da er ebenfalls die entsprechenden Eigenschaften aufweist. Knoten 1 ist Quelle und Knoten 5 Senke, jedoch entsprechen diese Knoten nun Vorgängen im realen Projekt, während es sich im vorherigen Modell um Ereignisse handelt. Dieser Netzplan, obwohl unterschiedlich, modelliert ebenfalls adäquat dasselbe reale Projekt. Die Interpretation von Modellergebnissen ist entsprechend anzupassen. Modellierung mittels Graphen Zur Ermittlung von Eigenschaften von Projekten werden Algorithmen auf Graphen eingesetzt, die spezielle graphentheoretische Eigenschaften voraussetzen. Daher ist bei der Modellierung der Realität darauf zu achten, dass diese Eigenschaften vorhanden sind. Häufig lassen sich diese Eigenschaften durch geeignete Vorgehensweisen oder Maßnahmen in der Modellierungsphase sicherstellen. Hier wird für weitere Berechnungen vorausgesetzt, dass das Modell ein Netzplan mit den zugehörigen graphentheoretischen Eigenschaften ist. So müssen etwa

Modellierung der Projektstruktur

207

genau eine Quelle und eine Senke vorhanden sein und parallele Pfeile dürfen nicht auftreten. Bei der Modellierung mittels Darstellung von Vorgangspfeilnetzplänen wird ein Vorgang A abgebildet auf einen Pfeil, der mit einem Anfangsknoten i und einem Endknoten j versehen ist. i

A

j

Da ein Digraph keine parallelen Pfeile besitzt, wird Vorgang A durch den Pfeil  i, j eindeutig repräsentiert. Knoten i und j entsprechen Ereignissen im Projektablauf. Ist Vorgang B abhängig von Vorgang A, wird folgende Darstellung verwendet A

1

2

B

3

Ist C abhängig sowohl von A als auch von B, ist folgendes Modell geeignet 1

A 3

C

4

B

2

Dies stellt keinen Netzplan dar, da zwei Quellen existieren. Die Darstellung mit genau einer Quelle und einer Senke ist bei Vorgangspfeilnetzplänen meist durch Zusammenziehung der Knoten möglich. Jedoch ist weiter zu berücksichtigen, dass in einem Netzplan keine parallelen Pfeile auftreten dürfen, da ein Netzplan schlicht ist. Sind zwei Aktivitäten wie hier unabhängig voneinander durchführbar und können jeweils zu einem Ereignis beginnen und enden, ist zur Erstellung eines geeigneten mathematischen Modells, das keine parallelen Pfeile aufweist, ein zusätzlicher Pfeil einzuführen, dem kein realer Vorgang entspricht. Dieser Pfeil wird Scheinvorgang genannt und üblicherweise gestrichelt gezeichnet. Bei späteren Zeit- und Kapazitätsbetrachtungen werden einem Scheinvorgang bezüglich Dauer, Betriebsmittelbeanspruchung und Kosten jeweils null zugewiesen. 1

A S

2

3 B

C

4

208

Projektplanung

Komplizierte Abhängigkeitsbeziehungen lassen sich gelegentlich nur durch Einführung von Scheinvorgängen darstellen. Ist Vorgang C nur von A abhängig, D setzt jedoch sowohl A als auch B voraus, dann ist die Verwendung eines Scheinvorgangs S zur angemessenen Modellierung notwendig. A

2

C S

1 B

3

4 D

Es ist darauf zu achten, dass keine überflüssigen Scheinvorgänge verwendet werden. Weiter ist sicherzustellen, dass der Graph zyklenfrei ist. Dies kann überprüft werden, indem eine topologische Sortierung durchgeführt wird. Bei der Modellierung mittels Vorgangsknotennetzplänen wird „Vorgang B ist abhängig von Vorgang A“ abgebildet durch A

B

Sind sowohl B als auch C abhängig von A, ist die Darstellung B A C

Dies ist kein Netzplan, da B und C Senken sind und somit mehr als eine Senke existiert. Daher wird im Modell ein Knoten für den fiktiven Vorgang Ende eingeführt, der nun die einzige Senke ist und das Projektende modelliert. Auf diese Weise wird gewährleistet, dass das Modell ein Netzplan ist und entsprechende Methoden anwendbar sind. B Ende

A C

Modellierung der Projektstruktur

209

Können mehrere Vorgänge zu Projektbeginn unabhängig voneinander beginnen, wird ein fiktiver Vorgang Anfang als einzige Quelle hinzugefügt. Quelle und Senke, ob fiktiver oder realer Vorgang, entsprechen in der Realität dem Projektanfang und dem Projektende. A C

Anfang B

Die Aufstellung von Vorgangsknotennetzplänen ist meist einfacher als die von Vorgangspfeilnetzplänen und findet sich häufig in Standardsoftware zur Unterstützung der Projektplanung. Beispiel GC-Uni-Party Zur Vorbereitung einer Uni-Party GC-by-night, die jedes Semester von Studierenden veranstaltet wird, sind verschiedene Vorbereitungen zu treffen, die im Folgenden einzeln angegeben sind. Tabelle 6.2. Vorgangsliste GC-Uni-Party Bezeichnung

Vorgangsbezeichnung

direkte Vorgänger

A

Termin in Abstimmung mit anderen Organisationen festlegen

–

B

Versicherung abschließen

A

C

Erlaubnis des Kanzlers einholen

B

D

Angebot für Getränke und Musikanlage einholen

A

E

Plakat entwerfen

–

F

Plakat drucken

G

Plakat aufhängen

H

Auswahl und Vertragsabschluss Getränke und Musikanlage

C, E F C, D

Die Struktur dieses Projektes lässt sich mittels eines Vorgangsknotennetzplans modellieren. Die grafische Darstellung entspricht der Vorgangsliste erweitert um

210

Projektplanung

Anfang und Ende, die für Vorgangsknotennetzpläne typischerweise eine Vorgängerliste für den entsprechenden Graphen ist.

A

D

Anfang

B

H Ende

C

E

F

G

Abb. 6.6. Vorgangsknotennetzplan GC-Uni-Party

Ebenfalls lässt sich die Projektstruktur durch einen geeigneten Vorgangspfeilnetzplan modellieren und visualisieren, wobei hier zwei Scheinvorgänge hinzuzufügen sind. D

2 A 1

5

B E

3

C

4

H

S1

8

S2

G 6

F

7

Abb. 6.7. Vorgangspfeilnetzplan GC-Uni-Party

Aufbauend auf der Strukturanalyse erfolgt die Untersuchung des zeitlichen Ablaufs des Projektes einschließlich der Bestimmung des frühestmöglichen Projektendes und der Planung von Flexibilitätsreserven im Rahmen der Zeitanalyse. Weiterführend lassen sich auch knappe Kapazitäten berücksichtigen, Gesamtkosten optimieren und risikobehaftete Projekte erfolgreich unterstützen. 6.1.3 Aufgaben Aufgabe 6.1.1 Modellieren Sie zu folgenden Vorgangslisten, die alle für ein Projekt erforderlichen Vorgänge mit ihren gegenseitigen Abhängigkeitsbeziehungen aufweisen, die zugehörigen Netzpläne. Verwenden Sie sowohl eine Vorgangspfeil- wie eine Vorgangsknotendarstellung und geben Sie jeweils eine grafische Darstellung, die Vorgänger- und die Nachfolgerliste und die Adjazenzmatrix an. Achten Sie darauf, dass Ihr Modell tatsächlich die erforderlichen Eigenschaften aufweist, die einen Netzplan charakterisieren.

Modellierung der Projektstruktur

a)

b)

Vorgang

direkter Vorgänger

A

-

B

-

C

-

D

B, C

E

A

F

A

G

D, E, F

H

D, E

Vorgang

direkter Vorgänger

A

-

B

A, D

C

B

D

C

211

Aufgabe 6.1.2 Sie planen für die kommenden Semesterferien mit zwei Kommilitonen eine Rundreise mit dem Wohnmobil durch Indien und setzen sich zusammen um zu überlegen, welche Vorbereitungen für die Reise zu treffen sind. Für die Visabeschaffung planen Sie 28 Tage ein, für die Festlegung der endgültigen Reiseroute 21 Tage. Die Buchung der Flüge inklusive der Ticketausstellung beansprucht 14 Tage. Die Anmietung des Wohnmobils über Internet erfordert 2 Tage. Die Planung, welche Ausrüstung Sie mitnehmen, dauert 14 Tage. Die Beschaffung der fehlenden Visa und die Festlegung der Reiseroute können ohne weitere Abstimmung ab sofort erfolgen. Die Buchung der Flüge und die Anmietung des Wohnmobils sind möglich, sobald die endgültige Reiseroute festgelegt ist. Die Überprüfung und Ergänzung der Ausrüstung soll im Anschluss an die Buchung des Wohnmobils geschehen.

212

Projektplanung

a) Erstellen Sie zunächst zu dem beschriebenen Reisevorbereitungsprojekt eine Vorgangsliste mit den direkten Abhängigkeitsbeziehungen. b) Entwickeln Sie einen entsprechenden Vorgangspfeil- und einen Vorgangsknotennetzplan und stellen Sie diese graphisch dar. Geben Sie für beide graphentheoretischen Modelle eine Vorgängerliste an. Aufgabe 6.1.3 Die Studentin Mona Toya möchte in den nächsten Semesterferien ihre Großmutter in Gorleben mit dem Fahrrad besuchen. Als Erstes muss sie dafür ihr Fahrrad gründlich säubern, was einen Tag in Anspruch nimmt. Anschließend sind Defekte zu reparieren, wofür aufgrund des Materialeinkaufs drei Tage eingeplant werden müssen. Nach der Reparatur ist auf jeden Fall eine halbtägige Probefahrt erforderlich. Ebenfalls nach der Reparatur will Monas Vater die Strecke heraussuchen (2 Tage) und Monas Schwester La bei einer Freundin eine Satteltasche leihen (1 Tag). Für die eigentliche Fahrt nach Gorleben hat Mona acht Tage eingeplant. a) Erstellen Sie zu obiger Fahrradtour eine Vorgangsliste mit den direkten Abhängigkeitsbeziehungen und Dauern der Vorgänge. b) Entwickeln Sie einen Vorgangspfeil- und einen Vorgangsknotennetzplan und stellen Sie diese grafisch dar. Aufgabe 6.1.4 Der private Bahnbetreiber Corex plant, einen regelmäßigen Zugverkehr zwischen dem Ruhrgebiet und Berlin in Konkurrenz zur Deutschen Bahn AG mit eigenen Hochgeschwindigkeitszügen einzurichten. Die Produktion der Corex-Züge erfolgt ähnlich wie die des ICE der Deutschen Bahn AG durch ein Konsortium von mehreren Unternehmen. Die Fahrgastzelle wird in Thüringen hergestellt, wobei jedoch der Innenausbau in Augsburg durchgeführt wird. Dort werden ebenso Fahrgestell und Räder gefertigt und zusammengebaut. In München werden Motor und Triebkopf gefertigt und in Erlangen die vollständige Elektronik eingebaut. Nach dem Zusammenbau in Augsburg werden die Corex-Züge auf der Teststrecke in Niedersachsen getestet, abgenommen und bereitgestellt. Corex hat einen Auftrag über drei Züge an das Konsortium erteilt und bittet um Angabe des frühestmöglichen Auslieferungstermins des ersten Zuges. Die einzelnen Produktionsschritte zur Herstellung eines Corex-Zuges vom Eingang der Bestellung bis zur Abnahme des fertigen Zuges sind mit ihren jeweiligen Fertigungsdauern und Abhängigkeitsbeziehungen in der folgenden Tabelle aufgelistet. Kapazitäten sind ausreichend vorhanden, sodass zu keiner Zeit Engpässe auftreten werden.

Modellierung der Projektstruktur

Bezeichnung

Vorgangsbezeichnung

213

Dauer (Tage)

direkte Vorgänger

A

Eingang der Bestellung

1

-

B

Herstellung Fahrgastzelle in Thüringen

60

A

C

Herstellung Fahrgestell und Räder in Augsburg

120

A

D

Herstellung Motor in München

30

A

E

Herstellung Triebkopf in München

60

A

F

Herstellung Elektronik in Erlangen

90

A

G

Überführung Fahrgastzelle nach Augsburg

7

B

H

Innenausbau Fahrgastzelle in Augsburg

120

G

I

Zusammenbau Waggon in Augsburg

30

C, G

K

Überführung Motor und Triebkopf nach Erlangen

2

D, E

L

Einbau Motor und Elektronik in Triebkopf in Erlangen

40

F, K

M

Überführung Triebkopf nach Augsburg

2

L

N

Zusammenbau Corex-Zug in Augsburg

14

H, I, M

P

Überführung Corex-Zug nach Niedersachsen

1

N

Q

Probefahrten auf Teststrecke in Niedersachsen

30

P

R

Abnahme und Bereitstellung Corex-Zug

7

Q

Stellen Sie die Herstellung eines Corex-Zugs grafisch mittels eines Vorgangspfeilnetzplans dar. Begründen Sie die Notwendigkeit der ggf. verwendeten Scheinvorgänge.

214

Projektplanung

6.2 Zeitliche Planung des Projektablaufs 6.2.1 Zeitanalyse für Vorgangspfeilnetzpläne Von besonderer Bedeutung für die Planung und Steuerung von Projekten sind Informationen über den zeitlichen Ablauf und die Gesamtprojektdauer, die sowohl vor Projektbeginn als auch während der Projektdurchführung Voraussetzung für die Ergreifung verschiedener Maßnahmen und die Entscheidungsfindung sind. Grundlage der Zeitanalyse von Projekten ist die Bestimmung der Dauern aller einzelnen Vorgänge. Voraussetzung dafür ist die genaue Beschreibung der zur Ausführung einer Tätigkeit vorgesehenen Verfahren, die Berücksichtigung von Art und Anzahl der einzusetzenden Arbeitskräfte, Produktionsmittel usw. Damit wird die für die Durchführung erforderliche Zeit geplant, wobei meist eine einheitliche Zeitdimension, wie Tag oder Woche, für das Gesamtprojekt empfehlenswert ist, um eine vergleichbare Detaillierung zu erzielen. Die hier behandelte deterministische Planung setzt voraus, dass diese Angaben mit ausreichender Genauigkeit festgestellt werden können. Mit Berücksichtigung der Pfeilbewertungen lassen sich nun die Abhängigkeitsbeziehungen präzisieren. Ist Vorgang B abhängig von Vorgang A, ist dies für einen bewerteten Vorgangspfeilnetzplan zu interpretieren als „Vorgang B kann frühestens beginnen, wenn Vorgang A abgeschlossen ist“. Unter Berücksichtigung der Projektstruktur lassen sich darauf aufbauend wichtige Zeiten des Projektablaufs planen, die mittels graphentheoretischer Algorithmen ermittelt werden. Dazu erfolgt die Bewertung der Pfeile des Netzplans mit den Vorgangsdauern. Durch zunächst eine progressive und anschließend eine retrograde Zeitrechnung werden je zwei charakteristische Zeitpunkte für alle Ereignisse festgestellt:

y FZi: Der frühestmögliche Zeitpunkt, zu dem Ereignis i eintreten kann y SZi: Der spätesterlaubte Zeitpunkt, zu dem Ereignis i stattfinden muss, unter der Voraussetzung, dass ein geplantes Projektende eingehalten wird Üblicherweise wird als geplantes Projektende O der vorher ermittelte frühestmögliche Endtermin gewählt, alternativ kommt z. B. auch ein vertraglich festgelegter Termin in Betracht. Berechnung der Ereigniszeiten Der frühestmögliche Zeitpunkt FZi eines Ereignisses i, welches als Knoten repräsentiert wird, ist graphentheoretisch durch die Dauer des zeitlängsten Weges vom Startknoten zum Knoten i bestimmt. Bei der Berechnung wird auf bereits ermittelte Ergebnisse, die frühestmöglichen Zeitpunkte der direkten Vorgänger, zurückgegriffen. Der frühestmögliche Zeitpunkt von Ereignis n, der Senke, entspricht dem frühestmöglichen Projektende. Ist der Netzplan topologisch sortiert, kann die Be-

Zeitliche Planung des Projektablaufs

215

rechnung in der Reihenfolge der Nummerierung erfolgen, wie es im folgenden Algorithmus geschieht. Algorithmus zur Ermittlung der frühestmöglichen Ereigniszeitpunkte Voraussetzung: Es liegt ein topologisch sortierter, bewerteter Netzplan mit Quelle 1, Senke n und Knotenmenge ^1,..., n` vor. dki bezeichnet die Dauer von Vorgang  k , i , P  i die Menge der direkten Vorgänger von i. FZ1 : 0 for i : 2 to n do

FZ i : max  FZ k  d ki kP  i

Beispiel Projekt 1 Im folgenden topologisch sortierten Netzplan entsprechen die Pfeilbewertungen den Vorgangsdauern und die frühestmöglichen Ereigniszeiten und das frühestmögliche Projektende wurden ermittelt. Wird beispielsweise der frühestmögliche Zeitpunkt von Ereignis 5 bestimmt, sind aufgrund der topologischen Sortierung und des Algorithmus die frühesten Ereigniszeitpunkte der Vorgängerknoten P  5 ^2,3, 4` , die sämtlich eine niedrigere Nummer tragen, bereits bekannt mit FZ 2 5 , FZ 3 12 und FZ 4 14 . Nach diesen Ereigniszeitpunkten müssen jeweils noch die entsprechenden Vorgänge  2,5 ,  3,5 bzw.  4,5 durchgeführt werden. Damit ist der frühestmögliche Zeitpunkt von Ereignis 5 die maximale dieser drei Zeiten. max ^ FZ 2  d 25 , FZ 3  d35 , FZ 4  d 45 `

7 1 0

2

5

3 12

max ^16, 20, 27`

8

11

5 9

4 14

27

5 27

4

i

dij

6 31

13

FZi SZi

Abb. 6.8. Frühestmögliche Ereigniszeitpunkte Projekt 1

j FZj SZj

216

Projektplanung

Der spätesterlaubte Zeitpunkt SZi für jedes Ereignis i wird durch den zeitlängsten Weg vom Zielereignis zurück zum Ereignis i errechnet. Es ist vom gewünschten Projektendtermin auszugehen und die spätesterlaubten Zeitpunkte sind so zu ermitteln, dass dieser Termin eingehalten wird. Für die Planung wird häufig zunächst von dem frühestmöglichen Endtermin ausgegangen. Die Ermittlung geschieht retrograd vom Endereignis aus und kann bei topologischer Sortierung in umgekehrter Reihenfolge der Nummerierung geschehen. Algorithmus zur Ermittlung spätesterlaubter Ereigniszeitpunkte Voraussetzung: Es liegt ein topologisch sortierter, bewerteter Netzplan mit Quelle 1, Senke n und Knotenmenge ^1,..., n` vor. dij bezeichnet die Dauer von Vorgang  i, j , S  i die Menge der direkten Nachfolger von i. Das geplante Projektende ist O mit O t FZ n . SZ n : O for i : n  1 downto 1 do

SZ i :



min SZ j  d ij

jS  i



In diesen Ausführungen wird in der Regel davon ausgegangen, dass O gleich dem vorher bestimmten frühestmöglichen Projektende gewählt wird. Für den im Beispiel angegebenen Netzplan werden die spätesterlaubten Ereigniszeitpunkte ermittelt. Abb. 6.9 enthält die spätesterlaubten Ereigniszeitpunkte, die die Einhaltung des ermittelten frühesten Projektendes O = 31 zulassen. Der spätesterlaubte Zeitpunkt SZ2 muss so festgelegt werden, dass für die Nachfolger von Knoten 2, die Ereignisknoten 3, 4 und 5, die jeweiligen spätesterlaubten Zeitpunkte eingehalten werden und die jeweiligen Aktivitäten durchgeführt werden können. SZ 2

min ^SZ 3  d 23 , SZ 4  d 24 , SZ 5  d 25 `

7 1 0 0

5

2

3 12 19

8 5 27 27

11

5 5 9

4 14 14

Abb. 6.9. Spätesterlaubte Ereigniszeitpunkte Projekt 1

min ^12, 5,16` 5

13

4

6 31 31

Zeitliche Planung des Projektablaufs

217

Aus den charakteristischen Ereigniszeitpunkten lassen sich für jeden Vorgang die folgenden vier charakteristischen Vorgangszeitpunkte ableiten.

y FAij: Frühestmögliche Anfangszeit von Vorgang  i, j FAij

FZ i

y FEij: Frühestmögliches Ende von Vorgang  i, j FEij

FAij  dij

FZ i  dij

y SAij: Spätesterlaubte Anfangszeit von Vorgang  i, j unter Einhaltung des vorgegebenen Projektendtermins SAij SEij  dij SZ j  dij

y SEij: Spätesterlaubtes Ende von Vorgang  i, j unter Einhaltung des vorgegebenen Projektendtermins SEij SZ j Tabelle 6.3 enthält die vier charakteristischen Vorgangszeitpunkte zu dem vorherigen Netzplan. Tabelle 6.3. Charakteristische Vorgangszeiten Projekt 1

 i, j

FAij

FEij

SAij

SEij

1, 2  2,3  2, 4  2,5  3,5  4,5  5, 6

0

5

0

5

5

12

12

19

5

14

5

14

5

16

16

27

12

20

19

27

14

27

14

27

27

31

27

31

Es lässt sich erkennen, dass z. B. Vorgang  2, 4 zum Zeitpunkt 5 beginnen und zum Zeitpunkt 14 beendet sein muss, um das Projekt planmäßig durchführen zu können. Da dieser Vorgang die Dauer 9 hat, ist seine Lage im planmäßigen zeitlichen Verlauf des Projektes festgelegt. Verzögerungen oder Verschiebungen sind kritisch und gefährden das rechtzeitige Projektende. Vorgang  3,5 kann frühestens zum Zeitpunkt 12 und muss spätestens zum Zeitpunkt 19 beginnen, um das Projekt planmäßig abzuschließen. Dieser Vorgang weist eine gewisse Flexibilität hinsichtlich seiner zeitlichen Einplanung auf. Auch für Nichtexperten gut verständlich lässt sich der geplante zeitliche Ablauf des Projektes mittels eines Balkendiagramms, auch Gantt-Diagramm genannt, darstellen. Dazu werden die Vorgänge mit Balken entsprechend ihrer Dauer im

218

Projektplanung

Zeitverlauf angegeben. Werden alle Vorgänge so eingeplant, dass sie jeweils zu ihrem frühestmöglichen Beginn starten, ergibt sich der Plan gemäß Abb. 6.10.

1, 2  2,3  2, 4  2,5  3,5  4,5  5, 6 5

10

15

20

25

30

t

Abb. 6.10. Projekt 1, Gantt-Diagramm, Vorgänge möglichst früh

Alle Vorgänge sind zu ihrem frühestmöglichen Anfangszeitpunkt FAij und damit mit frühestmöglichem Ende FEij geplant. Das Projekt wird zum Zeitpunkt 31 abgeschlossen. Werden alle Vorgänge so geplant, dass sie jeweils zu ihrem spätestmöglichen Anfangszeitpunkt SAij beginnen, d. h. auch zum spätestmöglichen Endzeitpunkt SEij enden, unter Einhaltung der ermittelten kürzesten Projektdauer SZ n FZ n 31 , ist das Planergebnis folgendem Diagramm zu entnehmen.

1, 2  2,3  2, 4  2,5  3,5  4,5  5, 6 5

10

15

20

25

Abb. 6.11. Projekt 1, Gantt-Diagramm, Vorgänge möglichst spät

30

t

Zeitliche Planung des Projektablaufs

219

Einige der Vorgänge, nämlich 1, 2 ,  2, 4 ,  4,5 und  5, 6 , weisen in beiden Planungssituationen die gleiche Lage auf, während bei den anderen eine Verschiebung erfolgte. Neben diesen extremen Positionierungen der Vorgänge zum jeweils frühesten bzw. jeweils spätesten Beginn sind auch andere Einplanungen für die Projektdurchführung geeignet. Diese lassen sich nicht unmittelbar dem Gantt-Diagramm entnehmen, da in einem Gantt-Diagramm keine Abhängigkeitsbeziehungen erfasst sind, können jedoch durch weitere Untersuchungen des zugrunde liegenden Netzplans ermittelt werden. 6.2.2 Zeitanalyse für Vorgangsknotennetzpläne Die Zeitanalyse für Vorgangsknotennetzpläne setzt ebenfalls auf den Dauern der einzelnen Vorgänge auf. Da Ereignisse in Vorgangsknotennetzplänen nicht explizit modelliert werden, werden im Unterschied zu Vorgangspfeilnetzplänen charakteristische Vorgangszeitpunkte verwendet. Die Dauer eines Vorgangs wird als Pfeilbewertung den Pfeilen, die den Vorgangsknoten mit seinen Nachfolgern verbinden, zugewiesen. Zu beachten ist, dass das Projekt erst beendet ist, wenn alle Vorgänge abgeschlossen sind. Selbst wenn bereits ein Vorgangsknoten die einzige Senke des Netzplans ist, sollte dieser noch mit einem fiktiven Endknoten der Dauer null verbunden werden. Den Vorgangsknoten werden im Rahmen der Zeitanalyse frühest- und spätestmögliche Anfangszeitpunkte der Vorgänge zugeordnet. Beispiel Vorgang A dauert 5 Zeiteinheiten, Vorgang B kann erst beginnen, wenn A abgeschlossen ist. A

5

B

Mit einer derartigen Modellierung kann für jedes Projekt die Zeitanalyse, die adäquat mittels eines Vorgangspfeilnetzplans modellierbar und durchführbar ist, auch mittels eines Vorgangsknotennetzplans erfolgen. Beispiel Projekt 1 Zu Projekt 1 ist der entsprechende mit Dauern bewertete Vorgangsknotennetzplan in Abb. 6.12 dargestellt. Die Knoten enthalten neben der Knotennummer die Dauer des Vorgangs. Die positiv inzidenten Pfeile sind mit den Vorgangsdauern bewertet.

220

Projektplanung

2

7

7

5 8 8

5 5

1

3

5

7

11

11

4

4

E 0

13

5 4

9

9

6

i

13

di

Abb. 6.12. Bewerteter Vorgangsknotennetzplan Projekt 1

Die graphentheoretischen Algorithmen selbst, die zur Ermittlung der frühestmöglichen Anfangszeitpunkte der Vorgänge i, FAi , bzw. der spätesterlaubten Anfangszeitpunkte der Vorgänge i, SAi , unter Einhaltung eines vorgegebenen Projektendes angewendet werden, sind identisch, da wiederum längste Wege in einem Netzplan ermittelt werden. Die Interpretation der Knoten und die projektbezogenen Bezeichnungen unterscheiden sich jedoch von denen der Vorgangspfeilnetze. Daher ist auch die Interpretation der Ergebnisse anzupassen. Algorithmus zur Ermittlung frühestmöglicher Anfangszeitpunkte Voraussetzung: Es liegt ein topologisch sortierter, bewerteter Netzplan mit Quelle 1, Senke n und Knotenmenge ^1,..., n` vor. cki bezeichnet den Mindestabstand zwischen dem Anfang von Vorgang k und dem Anfang von Vorgang i, also die Dauer von k. P  i ist die Menge der direkten Vorgänger von i. FA1 : 0 for i : 2 to n do FAi : max  FAk  cki kP  i

Es ist zu beachten, dass der geplante späteste Anfang von Vorgang n FAn, das geplante Projektende folglich FAn  d n ist. Wird ein fiktives Ende mit dn gleich null eingesetzt, ist FAn  0 FAn dann gleich dem frühestmöglichen Projektende.

Zeitliche Planung des Projektablaufs

221

Algorithmus zur Ermittlung spätesterlaubter Anfangszeitpunkte Voraussetzung: Es liegt ein topologisch sortierter, bewerteter Netzplan mit Quelle 1, Senke n und Knotenmenge ^1,..., n` vor. cij bezeichnet den Mindestabstand zwischen dem Anfang von Vorgang i und dem Anfang von Vorgang j, also der Dauer di von i, S  i die Menge der direkten Nachfolger von i. SAn : O for i : n  1 downto 1 do



min SA j  cij

SAi :

jS  i



Die Berechnung für das Beispiel ergibt dann jeweils den frühest- und den spätestmöglichen Anfang der Vorgänge, durch Addition der Dauern lassen sich die übrigen charakteristischen Vorgangszeiten, die frühest- und spätestmöglichen Endtermine, berechnen. Das gewählte O stimmt nicht mit dem geplanten Projektende überein, falls Vorgang n eine positive Dauer besitzt. Da der Vorgangsknotennetzplan in Abb. 6.12 um einen fiktiven Endvorgang erweitert wurde, entspricht der früheste Anfang von E dem frühesten Projektende. Die ermittelten frühesten und spätesten Anfangstermine aller Vorgänge sind Abb. 6.13 zu entnehmen. 2

5

5 12

7

7 12

8 19 8

5 1

0

5

0

5

3

5

7 27

11

11 16

4

4 27

0 31

13

5 4

5

9

5

9

6 14

i FAi

13 14

di SAi

Abb. 6.13. Projekt 1 mit frühestem und spätestem Vorgangsanfang

E 31

222

Projektplanung

6.2.3 Pufferzeiten und Flexibilitätsreserve Kritische Ereignisse und Vorgänge Eine nähere Analyse der Ereigniszeiten lässt erkennen, dass bei einigen Ereignissen frühestmöglicher und spätesterlaubter Zeitpunkt übereinstimmen.

y Ein Ereignis i, für das FZi

SZ i gilt, wird als kritisch bezeichnet.

Treten bei der Projektdurchführung Abweichungen von diesen Zeitpunkten auf, ist das geplante Projektende gefährdet. Aus den Ereigniszeiten lassen sich zusätzliche Informationen für die Vorgangsdurchführung ableiten.

y Die maximal verfügbare Zeitspanne für die Durchführung eines Vorgangs

 i, j ergibt sich aus der Differenz von spätestem Zeitpunkt für das Endereignis j mit dem frühesten Zeitpunkt für das Anfangsereignis i des Vorgangs. Ist diese verfügbare Zeit gleich der Dauer dij des Vorgangs  i, j , wird der Vorgang als kritisch bezeichnet.

Die Verzögerung oder Verschiebung eines kritischen Vorgangs bei der Projektdurchführung hat ohne zusätzliche Maßnahmen eine entsprechende Verspätung des geplanten Projektendes zur Folge. Daher sind kritische Vorgänge und Ereignisse während der Projektdurchführung besonders sorgfältig zu beobachten, um bei auftretenden Abweichungen rechtzeitig eingreifen zu können.

y Eine ununterbrochene Folge von kritischen Vorgängen vom Beginn bis zum Ende eines Projektes wird kritischer Weg bzw. kritischer Pfad genannt. Die Dauer jedes kritischen Weges ist gleich der Dauer des gesamten Projektes. Stimmt der gewählte späteste Zeitpunkt des Endereignisses eines Projektes mit dem ermittelten frühesten Projektende überein, so existiert mindestens ein kritischer Pfad. Für jeden kritischen Vorgang gilt, dass sowohl Anfangs- wie Endereignis des Vorgangs kritisch sind. Die Umkehrung dieser Aussage gilt im Allgemeinen nicht.

7 1 0 0

5

2 5 5

3 12 19

8 5 27 27

11 9

4 14 14

13

Abb. 6.14. Vorgangspfeilnetzplan Projekt 1 mit kritischem Weg

4

6 31 31

Zeitliche Planung des Projektablaufs

223

In Abb. 6.14 sind die kritischen Ereignisse und Vorgänge im Vorgangspfeilnetzplan zu Projekt 1 hervorgehoben. Vorgang  2,5 ist nicht kritisch, obwohl Anfangs- und Endereignis jeweils kritisch sind. Denn die maximale Zeitspanne ist mit SZ 5  FZ 5 27  5 22 echt größer als die Vorgangsdauer d 25 11 . Verzögert sich Vorgang  2, 4 um drei Einheiten, wirkt sich das in vollem Umfang auf die Projektdauer aus, die von 31 auf 34 Zeiteinheiten steigt. Verzögert sich  2,5 um zehn Einheiten, dauert also 21 statt 11 Einheiten, kann dieser Vorgang noch vor dem Zeitpunkt 27 abgeschlossen werden, falls er rechtzeitig, also z. B. zu seinem frühestmöglichen Startzeitpunkt, begonnen hat. Dann kann das Projekt trotz Verzögerung planmäßig abgeschlossen werden. Pufferzeiten Pufferzeiten sind Zeitreserven, um die ein Vorgang unter bestimmten Bedingungen verschoben oder verzögert werden kann, ohne dass der Endtermin des Projektes beeinflusst wird. Sie geben Hinweise auf das Flexibilitätspotenzial in dem Projekt.

y Gesamtpuffer:

GPij

SZ j  FZ i  dij

Der Gesamtpuffer wird als Differenz der maximal verfügbaren Zeit und der Vorgangsdauer ermittelt. Die Verzögerung bzw. Verschiebung eines einzigen Vorgangs im Umfang seines Gesamtpuffers führt nicht zu einer Verlängerung des Projektes. Wenn der Gesamtpuffer eines Vorgangs gleich null ist, handelt es sich um einen kritischen Vorgang. Dieser kann sich nicht ohne Konsequenzen für das Projektende verspäten. Verfügt ein Vorgang über einen positiven Gesamtpuffer und nimmt diesen oder auch Teile davon in Anspruch, steht für die übrigen Vorgänge möglicherweise keine Zeitreserve mehr zur Verfügung. Damit können zwei oder sogar mehrere Vorgänge ihre Gesamtpuffer meist nicht ohne Auswirkungen in Anspruch nehmen.

y Freier Puffer:

FPij

FZ j  FZ i  dij

Der freie Puffer ist die Zeitreserve eines Vorgangs, die zur Verfügung steht, wenn alle nachfolgenden Vorgänge zu ihren frühestmöglichen Anfangsterminen beginnen. Der freie Puffer kann folglich ausgeschöpft werden, ohne die frühestmöglichen Anfangstermine der nachfolgenden Vorgänge zu beeinträchtigen. Nachteilig ist, dass der freie Puffer tendenziell am Ende eines Pfades anfällt, was unter dem Gesichtspunkt einer sinnvollen Projektsteuerung willkürlich erscheint.

224

Projektplanung

y Freier Rückwärtspuffer:

SZ j  SZ i  dij

FRPij

Der freie Rückwärtspuffer ist die Zeitreserve eines Vorgangs, die zur Verfügung steht, wenn alle vorangehenden Vorgänge zu ihren spätesterlaubten Endzeitpunkten abgeschlossen werden. Entsprechend dem freien Puffer kann der freie Rückwärtspuffer ausgeschöpft werden, ohne die spätesten Endtermine der vorangehenden Vorgänge zu beeinträchtigen. Er fällt tendenziell zu Beginn eines Pfades an, also unter Steuerungsgesichtspunkten ebenfalls willkürlich.

y Unabhängiger Puffer:

UPij

^

max 0; FZ j  SZ i  dij

`

Der unabhängige Puffer ist die Zeitreserve, die für einen Vorgang zur Verfügung steht, ohne die zeitliche Flexibilität anderer Vorgänge zu beeinflussen. Da die Differenz FZ j  SZ i  dij häufig negativ wird, also die Beeinflussung anderer Vorgänge nicht vermieden werden kann, wird zur Verhinderung des Ausweises eines negativen Puffers das Maximum mit null gebildet. In einem Projekt verfügen in der Regel nur sehr wenige Vorgänge über einen positiven unabhängigen Puffer. Durch Zuteilung nur der unabhängigen Puffer zu den Vorgängen wird die verfügbare Flexibilitätsreserve nur zu einem geringen Teil auf die Vorgänge verteilt. Abb. 6.15 zeigt die Lage von Vorgang  i, j unter Berücksichtigung seines Vorgängers P und seines Nachfolgers S und die unterschiedlichen Puffer. FZi dP

SZi

FZj

SZj

dij

dS GP

dP

dij

dS FP dP

dij

dS FRP

dP

dij

dS UP

Abb. 6.15. Pufferzeiten und Lage der Vorgänge

Zeitliche Planung des Projektablaufs

225

Zwischen den Pufferzeiten eines Vorgangs  i, j bestehen stets die folgenden Zusammenhänge: GPij t FPij t UPij

und

GPij t FRPij t UPij

Ist ein Vorgang kritisch, sind somit sämtliche Puffer gleich null. Tabelle 6.4. Vorgangspuffer Projekt 1

 i, j

GPij

FPij

FRPij

UPij

1, 2  2,3  2, 4  2,5  3,5  4,5  5, 6

0

0

0

0

7

0

7

0

0

0

0

0

11

11

11

11

7

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Die kritischen Vorgänge 1, 2 ,  2, 4 ,  4,5 und  5, 6 weisen einen Gesamtpuffer von null auf und damit sind auch ihre sämtlichen weiteren Puffer gleich null. Auf dem Teilpfad  2,3,5 wird für jeden der beiden Vorgänge ein Gesamtpuffer von 7 ermittelt, der freie Puffer ist mit 7 nur für den ersten Vorgang positiv, der freie Rückwärtspuffer nur für den zweiten. Ausschließlich Vorgang  2,5 verfügt über einen positiven unabhängigen Puffer.

1, 2  2, 3  2, 4  2, 5  3, 5  4, 5  5, 6 5

10

15

20

Abb. 6.16. Gantt-Diagramm mit Gesamtpuffern zu Projekt 1

25

30

t

226

Projektplanung

In Standardsoftware zum Projektmanagement wie beispielsweise MS-Project® lassen sich Planungsergebnisse als Gantt-Diagramm visualisieren. Gelegentlich werden Gesamtpuffer als Flexibilitätsreserve ausgewiesen und in der Regel werden Vorgänge kommentarlos zu ihrem frühestmöglichen Beginn eingeplant. Aus dem Diagramm in Abb. 6.16 sind nun die Konsequenzen ableitbar, die sich ergeben, wenn ausschließlich

y Vorgang  2,3 um 5 ZE oder y Vorgang  3,5 um 5 ZE oder y Vorgang  2,5 um 5 ZE verzögert wird. In diesen Fällen ergibt sich keine Verlängerung der Projektdauer. Verzögern sich hingegen die Vorgänge  2,3 und  3,5 um jeweils 5 ZE, bleibt die einzelne Verzögerung zwar jeweils unter der Höhe des Gesamtpuffers, zusammen verlängert sich die Projektdauer jedoch um 3 Zeiteinheiten, was durch eine Neuberechnung ermittelt wird. Verlängern sich dagegen die Vorgänge  2,3 und  2,5 um jeweils 5 ZE, hat das keine negativen Auswirkungen auf die Projektdauer. Für die Projektsteuerung besser geeignet als die Zuteilung der Vorgangspuffer ist eine sinnvolle Verteilung der Pfadpuffer.

y Der Pfadpuffer eines Pfades vom Projektbeginn zum Projektende ist die Differenz aus geplantem Projektende – meist FZ n – und Dauer des Pfades, also Summe der Dauern der Vorgänge des Pfades. Damit ist der Pfadpuffer eines kritischen Pfades stets gleich null. Weiter gilt, dass der Pfadpuffer stets gleich der Summe der freien Puffer der Vorgänge auf diesem Pfad ist. Eine zulässige, sinnvolle Verteilung des Pfadpuffers auf die Vorgänge ist für Steuerungszwecke vorzuziehen. Diese kann nach verschiedenen Gesichtspunkten erfolgen, wie etwa Dauer des Vorgangs, Unsicherheit dieser Zeitangabe aufgrund der technischen Beherrschbarkeit oder Lage im Projektverlauf. Entsprechende Methoden zur Ermittlung von Puffern, die berücksichtigen, dass genau die verfügbare Zeitreserve sinnvoll und zulässig zugewiesen wird, sind verfügbar und lassen sich an die vorliegenden Gegebenheiten anpassen (vgl. Werners 2000). Der Pfadpuffer des kritischen Pfades 1, 2, 4,5, 6 in Projekt 1 ist gleich null. Der Pfad 1, 2,5, 6 hat den Pfadpuffer 31  d12  d 25  d56 11 , dies entspricht der Summe der freien Puffer auf dem Pfad. Eine Zuteilung dieser Flexibilitätsreserve kann nur zu dem Vorgang  2,5 erfolgen. Der Pfadpuffer von 1, 2,3,5, 6 ist 7, dies entspricht der Summe der freien Puffer. Eine zulässige Verteilung zur Projektsteuerung erlaubt nur für  2,3 und  3,5 positive Puffer, hier könnten 3 Zeiteinheiten zu  2,3 und 4 zu  3,5 zugewiesen werden. Dann steht für  2,3 die Zeitspanne von 5 bis 15 und für  3,5 die von 15 bis 27 zur Verfügung.

Zeitliche Planung des Projektablaufs

227

Beispiel GC-Uni-Party mit Dauern Die Dauern der Vorgänge, die zur Vorbereitung der Party notwendig sind, werden in Tabelle 6.5 angegeben und gehen als Pfeilbewertung in den Netzplan ein, der in Abb. 6.17 dargestellt ist. Mittels Zeitanalyse lassen sich frühestmögliche und spätesterlaubte Ereigniszeitpunkte sowie die Projektdauer von 44 Arbeitstagen ermitteln. Der kritische Weg ist hervorgehoben, wobei sich zeigt, dass auch Scheinvorgänge auf dem kritischen Weg liegen können. Tabelle 6.5. Vorgangsdauern GC-Uni-Party Bezeichnung

Vorgangsdauer

Vorgangsbezeichnung

A

Termin in Abstimmung mit anderen Organisationen festlegen

8

B

Versicherung abschließen

1

C

Erlaubnis des Kanzlers einholen

14

D

Angebot für Getränke und Musikanlage einholen

6

E

Plakat entwerfen

5

F

Plakat drucken

7

G

Plakat aufhängen

14

H

Auswahl und Vertragsabschluss Getränke und Musikanlage

5

6

2

5 23 39

8 8 8 1 0 0

5

1 3 9 9

14

4 23 23

8 44 44

5

14 6 23 23

Abb. 6.17. Vorgangspfeilnetzplan, GC-Uni-Party

7

7 30 30

228

Dauer

A

8 Tage

B

1 Tag

C

14 Tage

D

6 Tage

E

5 Tage

F

7 Tage

G

14 Tage

H

5 Tage

1. Woche 5. Woche 2. Woche 3. Woche 4. Woche MDMD F S S MDMD F S S MDMD F S SMDMD F S SMDMD F S S M

Projektplanung

Abb. 6.18. Ausschnitt des Gantt-Diagramms GC-Uni-Party

Vorgang

Zeitliche Planung des Projektablaufs

229

Zur Unterstützung der Planung wird in Abb. 6.18 ein Gantt-Diagramm mit Kalendertagen entwickelt, wobei zusätzlich festgelegt wird, dass an Wochenenden nicht gearbeitet wird, jedoch begonnene Vorgänge unterbrochen werden dürfen. Projektbeginn ist Dienstag. Die Darstellung erfolgt in Anlehnung an Projektplanungssoftware, die gelegentlich in Gantt-Diagrammen zusätzlich zu den Balken auch die Abhängigkeitsbeziehungen zwischen den Aktivitäten visualisiert. Der dargestellte Projektausschnitt lässt erkennen, dass hier davon ausgegangen wird, dass Samstag und Sonntag nicht gearbeitet wird, da der achttägige Vorgang A über das Wochenende mit insgesamt 10 Tagen abgebildet wird. Die minimale Gesamtdauer beträgt für dieses Projekt unter Berücksichtigung der Wochenenden 60 Kalendertage. Beispiel Projekt 2 Zu Projekt 2, welches durch den Netzplan in Abb. 6.19 dargestellt ist, sollen die frühesten und spätesten Ereigniszeitpunkte und die charakteristischen Vorgangszeitpunkte ermittelt werden. Das früheste Projektende ist festzustellen, außerdem die durch die Pufferzeiten gegebenen Flexibilitätsreserven. 14

2 5 1

4

3 18

3

5

15

11 7

4 15

6

6

8

10

9 12

8

Abb. 6.19. Netzplan zu Projekt 2

Das Projektende kann frühestens nach 41 Zeiteinheiten erreicht werden. Tabelle 6.6 enthält alle für die Vorgänge mit graphentheoretischen Algorithmen ermittelten charakteristischen Vorgangszeiten. Auch für den Scheinvorgang lassen sich entsprechende Werte bestimmen. Ein Scheinvorgang benötigt keine Flexibilitätsreserve, daher kann mittels weiterer Überlegungen ggf. eine stimmige, sinnvolle Zuteilung zu anderen Vorgängen erfolgen. Dies kommt insbesondere dann in Betracht, wenn ein Scheinvorgang zur Vermeidung der Parallelität zweier Vorgänge eingesetzt wird. In dem hier vorliegenden Fall ist keine Erhöhung von Puffern anderer Vorgänge möglich.

230

Projektplanung

Tabelle 6.6. Charakteristische Vorgangszeiten und Puffer Projekt 2

 i, j

FAij =FZi

FEij

SAij

SEij=SZj

GPij

FPij

FRPij

UPij

(1, 2)

0

5

7

12

7

0

7

0

(1, 3)

0

6

0

6

0

0

0

0

(1, 4)

0

3

17

20

17

2

17

2

(1, 5)

0

18

3

21

3

3

3

3

(2, 6)

5

19

12

26

7

0

0

0

(3, 5)

6

21

6

21

0

0

0

0

(4, 7)

5

16

20

31

15

9

0

0

(5, 7)

21

25

27

31

6

0

6

0

(5, 8)

21

29

21

29

0

0

0

0

(6, 9)

19

34

26

41

7

7

0

0

(7, 9)

25

35

31

41

6

6

0

0

(8, 9)

29

41

29

41

0

0

0

0

S = (2, 4)

5

5

20

20

15

0

8

0

Flexibilitätsreserven in Vorgangsknotennetzplänen Auch in Vorgangsknotennetzplänen lassen sich Flexibilitätsreserven ermitteln.

y Vorgänge, für die frühester und spätester Anfang zusammenfallen, können nicht verschoben oder verzögert werden, ohne dass das Projektende gefährdet wird. Sie sind kritisch. Ein kritischer Pfad bzw. kritischer Weg ist eine Folge kritischer Vorgänge mit den sie verbindenden Kanten von Projektanfang bis Projektende. Im Beispiel ist der einzige kritische Pfad die Vorgangsfolge 1, 4, 6, 7, E . Sie ist in Abb. 6.20 hervorgehoben. Aus der Differenz zwischen spätestem Ende SEi und frühestem Anfang FAi ist die für einen Vorgang i verfügbare maximale Zeitspanne ableitbar. Wird davon die Dauer subtrahiert, erhält man den Gesamtpuffer, der auch direkt aus der Differenz zwischen spätestem und frühestem Anfang resultiert.

Zeitliche Planung des Projektablaufs

2

5

5 12

7

7 12

8 19 8

5 1

0

5

0

231

3

5

5

7 27

11

11 16

4

4 27

E 31 0 31

13

5 4

5

9

5

9

6 14 13 14

Abb. 6.20. Kritischer Weg für Projekt 1 im Vorgangsknotennetzplan

y Gesamtpuffer:

GPi

SEi  FAi  di

 SAi  di  FAi  di SAi  FAi

Während die Ermittlung des Gesamtpuffers unmittelbar möglich ist, müssen für den freien, den freien Rückwärts- und den unabhängigen Puffer zunächst geeignete Ereigniszeitpunkte nachgebildet werden. So lautet der früheste Anfangszeitpunkt aller nachfolgenden Vorgänge, den man zur Berechnung des freien Puffers benötigt

min FA j

jS  i

Damit ist der freie Puffer von Vorgang i zu definieren als

y Freier Puffer:

FPi

min FA j  FAi  di

jS  i

Entsprechend müssen zunächst alle vorangehenden Vorgänge zu ihrem spätesten Anfang beginnen und abgeschlossen sein, um den freien Rückwärtspuffer zu ermitteln.

y Freier Rückwärtspuffer: FRPi y Unabhängiger Puffer: UPi



SAi  max SA j  d j jP  i



§ · max ¨ 0; min FA j  max SA j  d j  di ¸ jP  i © jS  i ¹





Im Beispiel sind etwa für Vorgang 2 GP2 FRP2 7 und FP2 UP2 0 , für Vorgang 5 GP5 FP5 7 und FRP5 UP5 0 und für Vorgang 3 GP3 FP3 FRP3 UP3 11 . Die Vorgangspuffer stimmen folglich für die Vorgänge eines

232

Projektplanung

Projektes überein, unabhängig davon, ob im Modell eine Vorgangspfeil- oder Vorgangsknotendarstellung gewählt wird. Jedoch ist zu berücksichtigen, dass bei Vorgangspfeilnetzen für Scheinvorgänge u. U. ein positiver Puffer ermittelt wird, der geeignet „echten“ Vorgängen zugeordnet werden sollte. Beispiel Projekt 2 Der bewertete Vorgangsknotennetzplan zu Projekt 2 ist Abb. 6.21 zu entnehmen, die zusätzlich die ermittelten frühesten und spätesten Anfangszeitpunkte der Vorgänge enthält. Diese und die Pufferzeiten stimmen mit denen aus Tabelle 6.6 überein, der kritische Weg ist hervorgehoben. 1

0

5

7

14 10 19

5

15 26 2

0 0

5

14 12

0

A

6

5

0

7

3

3 17

11 20

11

0 4

0

0

3

0

18

18 3

0

15

5

11 25 10

E 41

10 31

0 41

8 21

12

4 27 12 29 8

15 18 4

0

6

0

5

6

6

15

15 6

12 29

9 21 8 21

Abb. 6.21. Vorgangsknotennetzplan für Projekt 2

Tabelle 6.7 gibt den Zusammenhang zwischen den Bezeichnungen der Vorgänge im Vorgangspfeilnetzplan und im Vorgangsknotennetzplan zu Projekt 2 an. Tabelle 6.7. Zusammenhang der Vorgangsbezeichnungen Projekt 2 Vorgang 1, 2 1,3 1, 4 1,5  2, 6  3,5  4, 7  5, 7  5,8  6,9  7,9 8,9 (VPN) Vorgang (VKN)

1

4

2

3

6

5

7

8

9

10

11

12

Zeitliche Planung des Projektablaufs

233

Bei den bisherigen Betrachtungen wurde stets davon ausgegangen, dass ein Vorgang frühestens beginnen kann, wenn der vorherige Vorgang vollständig abgeschlossen ist. Dies ist der Zusammenhang, der sich sowohl mittels Vorgangspfeil- als auch mittels Vorgangsknotennetzen gut modellieren lässt. Vorgangsknotennetze erlauben darüber hinaus die Abbildung weiterer Abhängigkeitsbeziehungen. So wurde bisher im Netzplan für zwei Vorgänge i und j mit den Dauern di bzw. dj die Abhängigkeit j von i wie folgt dargestellt: i di

cij = di

j dj

Kann Vorgang j bereits 2 Zeiteinheiten nach Vorgang i beginnen, der di 5 Zeiteinheiten dauert, kann im Modell cij 2 gewählt werden. Damit ist eine mögliche Überlappung mehrerer Vorgänge im Modell abbildbar. Ist ein größerer Abstand nach Abschluss von Vorgang i erforderlich, z.B. ein Abstand zum Ende von drei Zeiteinheiten, kann cij di  3 8 gewählt werden. Derartige Abhängigkeitsbeziehungen sind bei Vorgangspfeilnetzplänen durch Teilung von Vorgängen bzw. Hinzufügung von Vorgängen „Warten“ ebenfalls modellierbar. In beiden Modellen erfolgt die Ermittlung charakteristischer Vorgangszeiten ohne Modifikation der entsprechenden Algorithmen. Ein wesentlicher Unterschied zwischen diesen beiden Netzplantypen besteht jedoch darin, dass bei Vorgangsknotennetzplänen nicht nur die bisher beschriebenen Minimalabstände: „Ein Vorgang kann frühestens beginnen, wenn …“ erfasst werden können. Sie erlauben auch die Erfassung einer Abhängigkeitsbeziehung „Ein Vorgang muss spätestens beginnen, nachdem …“, also einen Maximalabstand. Für eine Verwendung von Maximalabständen im Modell ist bei der Zeitanalyse ein modifizierter, etwas aufwändigerer Algorithmus anzuwenden, auf den hier nicht eingegangen wird. 6.2.4 Aufgaben Aufgabe 6.2.1 Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben für Aufgabenstellung 6.1.2. a) Führen Sie jeweils eine Zeitanalyse auf Basis des Vorgangsknoten- bzw. des Vorgangspfeilnetzplans durch und ermitteln Sie sowohl die charakteristischen Vorgangszeiten als auch die Pufferzeiten. Berechnen Sie das früheste Projektende. Wie viele Tage vor Urlaubsbeginn müssen Sie spätestens mit den Vorbereitungen beginnen? b) Welche Vorgänge sind kritisch?

234

Projektplanung

c) Zeichnen Sie zur Unterstützung Ihrer Planung ein geeignetes Gantt-Diagramm und erläutern Sie die Darstellung. d) Geben Sie an, welche Auswirkungen auf die Projektdauer eine Erhöhung der Dauer des Vorgangs Visabeschaffung um 7 Tage hat? Welche Konsequenzen hat die Verlängerung der Ticketbeschaffung um 7 Tage (ausgehend vom Netzplan in Aufg. 6.1.2 b)? Begründen Sie Ihre Ausführungen kurz. Aufgabe 6.2.2 Setzen Sie Aufgabe 6.1.3 mit folgenden Teilaufgaben fort. a) Führen Sie jeweils eine Zeitanalyse auf Basis des Vorgangsknoten- bzw. des Vorgangspfeilnetzplans durch und ermitteln Sie sowohl die charakteristischen Vorgangszeiten als auch die Pufferzeiten. Kann Mona mit ihrer Großmutter zusammen feiern, wenn diese in 12 Tagen Geburtstag hat? b) Zeichnen Sie zur Unterstützung Ihrer Planung ein geeignetes Gantt-Diagramm und erläutern Sie die Darstellung. Aufgabe 6.2.3 Bearbeiten Sie die weiteren Teilaufgaben für die Aufgabe 6.1.4. a) Ermitteln Sie früheste und späteste Ereigniszeitpunkte. b) Nach wie vielen Tagen kann der erste Zug frühestens bereitgestellt werden? Welche Aktivitäten sind kritisch? c) Welche maximale Zeitreserve steht für den Einbau von Motor und Elektronik in den Triebkopf in Erlangen zur Verfügung und welche für die Überführung des Triebkopfs nach Augsburg? Kann ein um 60 Tage verzögerter Start dieses Einbaus durch eine geeignete Verschiebung des Überführungstermins kompensiert werden? Aufgabe 6.2.4 Die Produktion des europäischen Verkehrsflugzeuges AIRTRAIN 007 geschieht dezentral in Deutschland, England und Frankreich. In Schwerin werden Rumpf und Fahrgestell gefertigt und zusammengebaut. In Bremen wird das Cockpit mit allen Instrumenten gefertigt. Alle Antriebskomponenten (Triebwerk) werden bei London produziert. Die Herstellung der Tragflächen und des Hecks geschieht direkt in Toulouse. Dort erfolgt auch der spätere Zusammenbau des gesamten Flugzeugs. Die internationale Fluggesellschaft OR-Line hat einen Auftrag über 20 AIRTRAIN 007 getätigt und bittet um Angabe des frühestmöglichen Auslieferungstermins der ersten Maschine. Die einzelnen Produktionsschritte zur Herstellung eines AIRTRAIN 007 vom Eingang der Bestellung bis zur Abnahme des fertigen Flugzeugs sind mit ihren

Zeitliche Planung des Projektablaufs

235

jeweiligen Fertigungsdauern und Abhängigkeitsbeziehungen in der folgenden Tabelle aufgelistet. Kapazitätsengpässe können nicht auftreten.

Bezeichnung

Vorgangsbezeichnung

Dauer (Tage)

direkte Vorgänger

A

Eingang der Bestellung

1

-

B

Herstellung Rumpf

14

A

C

Herstellung Fahrgestell

10

A

D

Herstellung Cockpit

30

A

E

Herstellung Triebwerk

30

A

F

Herstellung Tragflächen

14

A

G

Herstellung Heck

14

A

H

Zusammenbau Rumpf & Fahrgestell

3

B, C

I

Überführung Rumpf mit Fahrgestell nach Toulouse

3

H

K

Überführung Cockpit nach Toulouse

3

D

L

Überführung Triebwerk nach Toulouse

1

E

M

Zusammenbau Rumpf & Cockpit

14

I, K

N

Zusammenbau Rumpf & Heck

3

G, I

P

Zusammenbau Rumpf & Tragflächen

3

F, M, N

Q

Zusammenbau Tragflächen & Triebwerk

5

L, P

R

Abnahme des Flugzeugs

21

Q

a) Stellen Sie die Herstellung eines AIRTRAIN 007 grafisch mittels eines Vorgangsknotennetzplans dar. b) Ermitteln Sie alle frühesten und spätesten Anfangszeitpunkte der Vorgänge. c) Nach wie vielen Tagen kann die erste Maschine frühestens an den Besteller übergeben werden? Welche Vorgänge sind kritisch?

236

Projektplanung

6.3 Kapazitäts- und Kostenplanung 6.3.1 Kapazitätsbedarf im Zeitablauf Ist die Zeitanalyse abgeschlossen, können daraus Informationen über die Kapazitätsbedarfe im zeitlichen Verlauf abgeleitet werden. Aus der zeitlichen Festlegung der Vorgangsdurchführung und der Bedarfe pro Vorgang, die bei der Vorgangsdauerangabe zugrunde liegen, lassen sich das notwendige Personal, die einzusetzenden Anlagen usw. ermitteln und übersichtlich präsentieren. Dies wird standardmäßig von Projektmanagement-Software unterstützt. Zu berücksichtigen ist, dass die zeitliche Lage der nichtkritischen Vorgänge nicht determiniert ist, sondern im Rahmen der Flexibilitätsreserven darüber entschieden werden kann. Werden die Vorgänge zu ihrem frühestmöglichen Zeitpunkt eingeplant, kann ein möglicher Kapazitätsbedarf im Zeitablauf ermittelt werden. Eine andere Einplanung, z. B. zu den spätestmöglichen Zeitpunkten, führt zu einem abweichenden Kapazitätsbedarfsverlauf. Beispiel Kapazitätsbedarfsanalyse für Projekt 1 Es wird davon ausgegangen, dass für jeden Vorgang eine Person mit der Durchführung zu betrauen ist, alle Vorgänge setzen dieselbe Kompetenz voraus. Wann müssen wie viele Personen zur Verfügung stehen? Erfolgt die Einplanung aller Vorgänge zu ihren frühesten Anfangsterminen, ergibt sich der in Abb. 6.22 dargestellte Kapazitätsbedarf, der unmittelbar aus dem entsprechenden Gantt-Diagramm ableitbar ist. Anzahl der Arbeitskräfte

3 2 1

5

10

15

20

25

Abb. 6.22. Kapazitätsbedarf bei frühestem Beginn der Vorgänge Projekt 1

30

t

Kapazitäts- und Kostenplanung

237

Ein Spitzenbedarf von drei Arbeitskräften ergibt sich für die Zeitspanne von 5 bis 16. Bei spätestem Beginn ist ein abweichender Verlauf des Arbeitskräftebedarfs festzustellen mit dem Spitzenbedarf im Zeitraum von 16 bis 27. Anzahl der Arbeitskräfte

3 2 1

5

10

15

20

25

t

30

Abb. 6.23. Kapazitätsbedarf bei spätestem Beginn der Vorgänge Projekt 1

Durch geschickte Einlastung der Vorgänge kann versucht werden, die benötigte Spitzenkapazität zu minimieren. Nachfolgende Zuordnung reduziert die Anzahl der Zeiteinheiten, zu denen 3 Personen benötigt werden, von 11 auf nur noch 4 Zeiteinheiten. Der Spitzenbedarf von 3 konnte jedoch unter Beibehaltung des frühestmöglichen Projektendes nicht reduziert werden. Selbstverständlich ändert sich durch eine Verschiebung der Vorgänge der insgesamt erforderliche Arbeitsaufwand nicht.

1, 2  2,3  2, 4  2,5  3,5  4,5  5, 6 5

10

15

20

25

Abb. 6.24. Gantt-Diagramm zur Reduzierung der Zeit mit Spitzenbedarf

30

t

238

Projektplanung

Aus obiger Zuordnung resultiert der Kapazitätsbedarf in Abb. 6.25. Anzahl der Arbeitskräfte

3 2 1

5

10

15

20

25

30

t

Abb. 6.25. Kapazitätsbedarf zu Gantt-Diagramm in Abb. 6.24

Stehen nur zwei Arbeitskräfte zur Verfügung, kann das Projekt nicht innerhalb von 31 ZE abgeschlossen werden, sondern die Projektdauer verlängert sich. In diesem Beispiel kann mit zwei Arbeitskräften das Projekt frühestens nach 35 Zeiteinheiten abgeschlossen werden. Mit Methoden des Operations Research lässt sich ein optimaler Ablaufplan ermitteln, der knappe Kapazitäten einhält und dann das frühestmögliche Projektende bestimmt. Diese mathematischen Modelle zum Scheduling entsprechen weitgehend denen, die zur Produktionsablaufplanung bzw. Maschinenbelegungsplanung etwa in Leitständen verwendet werden. Zur Lösung werden sowohl optimierende Ansätze als auch Heuristiken verwendet, wie weiterführender Literatur zu entnehmen ist (bspw. Brucker 2004, Demeulemeester u. Herroelen 2002, Klein 2000, Kolisch 1995). In Projektplanungs-Software sind meist nur einfache Heuristiken implementiert, die üblicherweise nicht bekannt gegeben werden. 6.3.2 Projektkostenoptimierung Im Rahmen der Zeitplanung wurde unterstellt, dass die Dauern der einzelnen Vorgänge feststehen und damit ebenfalls das frühestmögliche Projektende bestimmt ist und nur berechnet werden muss. Durch zusätzliche Maßnahmen, beispielsweise Durchführung von Überstunden, Einsatz zusätzlichen Personals, leistungsfähigere Anlagen, Wechsel von Normal- auf Expresstransport u. a. können Vorgänge teilweise mit kürzerer Dauer durchgeführt werden. Auf diese Weise ist häufig das Projektende beeinflussbar, jedoch ist eine Verkürzung von Vorgängen i. d. R. nur mit zusätzlichen Kosten erreichbar. Eine Verkürzung der Gesamtprojektdauer kann auch positive Kostenwirkungen haben, indem bspw. die

Kapazitäts- und Kostenplanung

239

Projektleitung oder Räumlichkeiten nur während einer kürzeren Zeitspanne verfügbar sein müssen. Ein früherer Markteintritt kann das positive Ergebnis eines beschleunigten Entwicklungsprojektes sein. Konventionalstrafen sind gelegentlich Konsequenzen eines verzögerten Projektendes. Aufgrund der unterschiedlichen Einflüsse der Vorgangsdauern auf die gesamten Projektkosten besteht ein Interesse an der Ermittlung einer kostenminimalen Projektdauer, die wie Abb. 6.26 zeigt, meist zwischen Minimaldauer und Normaldauer des Projektes liegt. Die Kosten K1 sind vorgangsbezogen und steigen mit zunehmender Verkürzung der Vorgangsdauern und daraus resultierendem früherem Projektende, während die Kosten K2 auf das Gesamtprojekt bezogen sind und mit Verlängerung des Projektes steigen.

Kosten K1 + K2 K2

K1 Minimaldauer

Optimale Dauer

Normaldauer

Dauer

Abb. 6.26. Zusammenhang zwischen Projektkosten und Projektdauer

Durch Einsatz graphentheoretischer Methoden lässt sich bei geeigneter Informationsbasis die kostenoptimale Projektdauer ermitteln.

y Die Normaldauer eines Projektes bezeichnet die kürzeste Gesamtprojektdauer, die bei normaler Dauer aller einzelnen Vorgänge erreicht wird.

y Die Minimaldauer eines Projektes ist die kürzeste Gesamtprojektdauer, die bei weitestmöglicher Beschleunigung aller Vorgänge erreichbar ist.

y Die kostenoptimale Projektdauer ist die Dauer, die mit den geringsten Gesamtkosten erreichbar ist. Sie liegt meist zwischen Minimal- und Normaldauer, kann jedoch eines der beiden Extreme annehmen.

240

Projektplanung

Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass das Projekt 3 mit Normaldauer geplant wird. Seine Vorgänge lassen sich in unterschiedlichem Ausmaß unter Einsatz von differierenden Beschleunigungskosten verkürzen, sodass die Minimaldauer ermittelt werden kann. Für die Beschleunigungskosten eines Vorgangs wird ein linearer Zusammenhang mit der Verkürzungsdauer unterstellt. Daher können den weiteren Überlegungen mittlere Beschleunigungskosten zugrunde gelegt werden.

y Mittlere Beschleunigungskosten MBKij eines Vorgangs  i, j geben die Beschleunigungskosten je Einheit Verkürzung der Vorgangsdauer von Normaldauer bis Minimaldauer dieses Vorgangs an. Kann ein Vorgang nicht verkürzt werden, d. h. stimmen seine Normaldauer und Minimaldauer überein, werden die mittleren Beschleunigungskosten auf f gesetzt. 2 3 4

3 1

2 3

6

0 0

6 6

2

4 8 8

Abb. 6.27. Projekt 3 mit Normaldauer

Abb. 6.27 zeigt den Netzplan des Projektes 3 mit Normaldauer. Die folgende Tabelle gibt für jeden Vorgang die Minimaldauer und die mittleren Beschleunigungskosten an. Tabelle 6.8. Minimaldauern und MBK Projekt 3

 i, j

Minimaldauer

MBKij

1, 2 1,3  2,3  3, 4

1

10

3

20

1

30

1

40

Werden alle Vorgänge auf ihre Minimaldauer beschleunigt, resultiert der Netzplan mit Minimaldauer in Abb. 6.28.

Kapazitäts- und Kostenplanung

1 1

2 1 2

241

1 3

3

0 0

1

3 3

4 4 4

Abb. 6.28. Projekt 3 mit Minimaldauer

Die resultierenden Beschleunigungskosten, wenn alle Vorgänge ihre Minimaldauer aufweisen, ergeben sich zu 2 ˜10  3 ˜ 20  1 ˜ 30  1 ˜ 40 150 . Eine schrittweise Verkürzung von der Normaldauer bis zur Minimaldauer des Projektes und entsprechende Ermittlung der jeweils günstigsten Beschleunigungskosten liefert den Verlauf der vorgangsbezogenenen Kosten K1, die in einem weiteren Schritt den projektbezogenen Kosten K2 gegenübergestellt werden können. Dazu werden die Verkürzungen so gewählt, dass jeweils möglichst geringe Beschleunigungskosten resultieren. Ausgehend von der Normaldauer 8 des Projektes 3 führt nur eine Verkürzung des kritischen Weges zu einer Reduktion der Projektdauer. Eine Verkürzung des Vorgangs 1, 2 , der minimale Beschleunigungskosten aufweist, ist daher nicht sinnvoll. Es eignen sich nur die Vorgänge 1,3 oder  3, 4 für eine Verkürzung. Da die mittleren Beschleunigungskosten von Vorgang 1,3 mit 20 geringer sind, erfolgt hier die Verkürzung so weit wie ratsam. Dieser Vorgang kann zwar bis auf seine Minimaldauer 3 beschleunigt werden, jedoch werden bereits bei Verkürzung auf 2 die Vorgänge 1, 2 und  2,3 zusätzlich kritisch, sodass jede über 1 hinausgehende Verkürzung keinen Einfluss mehr auf das Projektende hat. Mit Beschleunigungskosten von 20 lässt sich somit die Projektdauer auf 7 reduzieren, wie Abb. 6.29 zu entnehmen ist.

3 1 0 0

2 3 4 5

2 3 5 5

2

4 7 7

Abb. 6.29. Projekt 3 reduziert auf Dauer 7

Sämtliche Vorgänge sind nun kritisch. Eine weitere Verkürzung ist nur erreichbar, wenn entweder  3, 4 oder 1, 2 und 1,3 oder 1,3 und  2,3 gekürzt werden. Das günstigste Ergebnis wird für die Kombination 1, 2 und 1,3 mit Beschleunigungskosten von 10  20 30 pro Zeiteinheit erreicht, die durchgeführt wird. Da nach einer Kürzung um 2 Einheiten beide Vorgänge ihre Minimaldauer erreicht haben und keine weiteren Vorgänge vorher kritisch werden, erfolgt

242

Projektplanung

eine Reduktion auf 5 Zeiteinheiten. Die dafür insgesamt erforderlichen Beschleunigungskosten betragen 2 ˜ 30  20 80 .

1 1

2 1 1

2 3

3

0 0

2

3 3

4 5 5

Abb. 6.30. Projekt 3 reduziert auf Dauer 5

Eine weitere Verkürzung ist nur noch für Vorgang  3, 4 sinnvoll, und zwar um eine Einheit mit Beschleunigungskosten von 40. So erhält man den Projektplan mit minimaler Dauer in Abb. 6.31, der jedoch hinsichtlich der Dauer von Aktivität  2,3 von dem in Abb. 6.28 abweicht. 2 1 1 0 0

1 1 3

2 3 3 3

1

4 4 4

Abb. 6.31. Projekt 3 reduziert auf Dauer 4

Die für diese Dauer erforderlichen Beschleunigungskosten betragen 80  40 120 und damit weniger als die zu Beginn ermittelten 150. Dies ist darauf zurückzuführen, dass eine Verkürzung von Vorgang  2,3 nicht erforderlich ist und nur unnötige Kosten verursacht. Insgesamt lässt sich nun der Verlauf der Kosten K1 für dieses Projekt darstellen. Betragen die projektbezogenen Verlängerungskosten 25 je Zeiteinheit, ergibt sich der in Abb. 6.32 eingezeichnete Verlauf der Kurven K2 und K1 + K2. Daraus sind die kostenoptimale Projektdauer mit 7 Zeiteinheiten und die dauerabhängigen Gesamtkosten von 95 ableitbar. Zur Ermittlung der günstigsten Verkürzungsmöglichkeiten eines Projektes schrittweise von der Normaldauer bis zur Minimaldauer sind zunächst die Normaldauer und alle kritischen Wege zu ermitteln. Weiterhin müssen für jeden Vorgang  i, j die Minimaldauer mindij und die mittleren Beschleunigungskosten MBK ij vorliegen. Eine Verkürzung des Gesamtprojektes setzt voraus, dass sämtliche kritischen Wege gleichzeitig und gleichermaßen beschleunigt werden können.

Kapazitäts- und Kostenplanung

243

Kosten 120 100

K1 + K2 K1 K2

80

50

10 4 Minimaldauer

5

6

8 7 Optimale NormalDauer dauer

Dauer

Abb. 6.32. Zusammenhang zwischen Projektdauer und Kosten

y Eine Kombination von kritischen Vorgängen, die verkürzbar sind, deren Beschleunigung um eine Einheit zu einer Reduktion der Projektdauer um eine Einheit führt und für die jede echte Teilkombination keine Projektbeschleunigung bewirkt, stellt einen Schnitt dar.

y Ein minimaler Schnitt ist ein Schnitt mit minimaler Summe der mittleren Beschleunigungskosten aller Vorgänge. Zur Ermittlung einer möglichst günstigen Beschleunigung ist daher ein minimaler Schnitt zu ermitteln und die zugehörigen Vorgänge gleichermaßen möglichst stark zu verkürzen. Eine Verkürzung ist nur möglich, bis der erste Vorgang seine Minimaldauer erreicht oder bis mindestens ein weiterer Vorgang kritisch wird. In beiden Fällen ist ein neuer, im Allgemeinen erweiterter und daher mit höherer Kostensumme verbundener minimaler Schnitt zu ermitteln, um eine weitere Projektbeschleunigung zu erreichen. Für die Ermittlung eines minimalen Schnitts in umfangreichen Projekten ist der Algorithmus von Ford-Fulkerson einsetzbar, der einen maximalen Fluss in einem Netzwerk erzeugt und darüber den minimalen Schnitt und seine Kapazität erhält, die den Projektbeschleunigungskosten für eine Einheit Verkürzung entspricht. Die Anwendung einer kostenminimalen Verkürzung der Projektdauer ist auch dann ratsam, wenn sich während der Projektdurchführung zeigt, dass es aufgrund von aufgetretenen Verzögerungen erforderlich ist, die verbleibenden Aktivitäten schneller als ursprünglich geplant durchzuführen, um das vereinbarte Projektende

244

Projektplanung

dennoch einzuhalten. Eine derartige dynamische Projektsteuerung mit Berücksichtigung von unsicheren Vorgangsdauern ist unter Verwendung kostenminimaler Beschleunigungsvorgänge durchführbar (Werners u. Wolf 2004, Wolf 2005). Aufgrund der weiten Verbreitung quantitativer Projektplanungsmethoden finden sich Darstellungen in vielen einführenden Operations Research Büchern (z. B. Domschke u. Drexl 2005; Neumann u. Morlock 2002; Zimmermann 2005). Vertiefendere Einführungen in das Projektmanagement und insbesondere die entsprechenden quantitativen Methoden findet man etwa bei Altrogge (1996), Burghardt (2002), Corsten (2000), Gal (1992) und Schwarze (2001). Eine stärkere Berücksichtigung des Projektmanagements findet man z. B. bei Meredith u. Mantel (2006) und Schelle et al. (2004). Über die hier angesprochenen Grundlagen der Projektplanung hinaus gibt es eine Vielzahl von Möglichkeiten, Projektauswahl, Projektplanung und -steuerung und ggf. Projektabbruch mittels quantitativer Methoden zu unterstützen. Beispielsweise liegt bei Forschungs- und Entwicklungsprojekten die Struktur, also die durchzuführenden Aktivitäten und deren Abhängigkeitsbeziehungen, nicht fest vor, da die weiteren Schritte z. B. von einem erfolgreich abgeschlossenen Versuch abhängen, der bei Misserfolg modifiziert erneut durchgeführt werden muss. In diesen Fällen können stochastische Netzpläne und ihre Untersuchung geeignet sein (Neumann 1990). Neben stochastischen Netzplantechniken könnten auch auf der Fuzzy Sets Theorie basierende Methoden bei der Planung von Projektauswahl und Projektablauf unterstützen (Weber et al. 1990). 6.3.3 Aufgaben Aufgabe 6.3.1 i

2

2/1

1 6

4 3 8 1/2

1/1

1/2

1 0 0

5 2 8

2/2 4/1

1/1

2/1 3 4 4

3/2

6 7 7

7 9 9

dij / bij

j

Kapazitäts- und Kostenplanung

245

Für das mit dem dargestellten Netzplan modellierte Projekt soll der Personalbedarf im zeitlichen Ablauf ermittelt werden. Stellen Sie den Personalbedarf zunächst für die Situation dar, dass alle Vorgänge möglichst früh durchgeführt werden, anschließend für eine möglichst späte Einplanung. Ist eine Planung derart möglich, dass über die drei verfügbaren Personen hinaus niemand zusätzlich angefordert werden muss? Die Dauern dij und die Personalbedarfe bij für die Vorgänge sind in folgendem Netzplan jeweils angegeben. Aufgabe 6.3.2 Für die Vorbereitung der GC Uni-Party werden die Aufgaben auf verschiedene Studierende verteilt. Informieren Sie Iris, Andreas, Björn und Julia, wann sie für die Party-Vorbereitung zur Verfügung stehen müssen. Es ist zu beachten, dass die Beteiligten nicht zwei Aufgaben gleichzeitig übernehmen können. Julia kann aufgrund eines Praktikums erst nach 20 Tagen die ihr zugewiesenen Aufgaben in Angriff nehmen. Können ihre Einsätze so verschoben werden, dass sie diese mit ihrem Praktikum vereinbaren kann? Tabelle 6.9. Vorgangsliste GC-Uni-Party

Bezeichnung

Vorgangsbezeichnung

Eingeteilte Personen

Vorgangsdauer (in Tagen)

A

Termin in Abstimmung mit anderen Organisa- Olga, Marco tionen festlegen

8

B

Versicherung abschließen

Andreas, Violetta

1

C

Erlaubnis des Kanzlers einholen

Björn, Olga

14

D

Angebot für Getränke und Musikanlage einholen

Julia, Patrick

6

E

Plakat entwerfen

Iris, Patrick

5

F

Plakat drucken

Björn, Violetta

7

G

Plakat aufhängen

Andreas, Iris

14

H

Auswahl und Vertragsabschluss Getränke und Musikanlage

Julia, Marco

5

246

Projektplanung

Vorgangspfeilnetzplan GC-Uni-Party D/6

2

5 23 39

8 8 A/8

H/5

B/1 C / 14

3

1

9 9

0 0

4 23 23

8 44 44

E/5

G / 14 6 23 23

F/7

7 30 30

Aufgabe 6.3.3 Verkürzen Sie schrittweise kostenoptimal den folgenden Netzplan und stellen Sie die Abhängigkeit zwischen Beschleunigungskosten und Projektdauer grafisch dar.

4 1 0 0

3

3 7 7

2

5

3 3

3 4 10 10

2

5 12 12

Die Tabelle gibt die Minimaldauern der Vorgänge und die mittleren Beschleunigungskosten an. Da Vorgang (4, 5) nicht gekürzt werden kann, werden seine mittleren Beschleunigungskosten mit unendlich festgesetzt. Welche Projektdauer ist kostenoptimal, wenn jede Verlängerung über die Minimaldauer hinaus 10 Einheiten zusätzlich kostet?

 i, j

Minimaldauer

MBKij

1, 2  2,3  2, 4  3, 4  4,5

1

50

2

30

2

10

1

20

2

f

7 Simulation und Warteschlangensysteme

7.1 Deterministische Simulation 7.1.1 Systeme und Modellexperimente Bekannte Beispiele für den Einsatz einer Simulation sind Flugzeugsimulatoren, mit denen Piloten für spezielle Flugzeugtypen ausgebildet werden, oder Konstruktionsmodelle, anhand derer technische Eigenschaften untersucht werden, wie das Strömungsverhalten im Windkanal. Derartige Simulationen mit einem Modell werden durchgeführt, wenn vergleichbare Untersuchungen oder Anwendungen in der Realität nicht möglich oder, etwa aufgrund wirtschaftlicher Gesichtspunkte, nicht angemessen sind.

Modell

Reales Modell

Natürliches Modell

Künstliches Modell

Abstraktes Modell

Bildlichverbales Modell

Mathematisches Modell

Abb. 7.1. Modellklassifikation

Modelle, die zur Simulation Verwendung finden, lassen sich wie in Abb. 7.1. hinsichtlich des Modellcharakters differenzieren. So sind Flugsimulatoren und Konstruktionsmodelle reale, künstliche Modelle. Im medizinischen Bereich werden aus Untersuchungen an Tieren, den natürlichen Modellen, Ergebnisse hinsichtlich der Verträglichkeiten von Medikamenten für Menschen abgeleitet. Im Unterschied dazu sind abstrakte Modelle entweder nur bildlich oder verbal be-

248

Simulation und Warteschlangensysteme

schrieben oder es werden quantitative Größen und formelbasierte Zusammenhänge im Modell verwendet. Operations Research beschäftigt sich schwerpunktmäßig mit mathematischen Modellen zur Abbildung eines Ausschnitts der Realität, dies gilt ebenfalls für die Simulation. Jedoch unterscheiden sich sowohl Modellstruktur als auch Umgang mit dem Modell von den bisher behandelten mathematischen Optimierungsmodellen. Letztere werden in einer konkreten Anwendungssituation derart entworfen, dass sie in einem geschlossenen Modell alle wesentlichen Informationen und Zusammenhänge integriert erfassen und aufgrund ihrer Struktur einer Lösung zugänglich sind. Im Unterschied dazu beschreibt ein Simulationsmodell, welches ebenfalls mathematisch sehr anspruchsvoll sein kann, die Funktionsweise eines Systems, in dem die einzelnen Bestandteile und ihr Zusammenwirken meist separat modelliert werden. Das Verhalten der einzelnen Komponenten und des Gesamtsystems wird dann empirisch untersucht. So ist für die Simulation neben dem Nachbilden eines realen Sachverhalts in einem Modell die Verwendung dieses Modells zur Durchführung von Experimenten charakteristisch. Dadurch werden Erkenntnisse über das Verhalten, die Abhängigkeiten oder den Umgang mit dem Modell gewonnen, die sich auf die Realität übertragen lassen. Der zu untersuchende Ausschnitt der Realität wird als System aufgefasst, das Realsystem, das strukturadäquat im Modell abgebildet wird. Das Modell ist dann ebenfalls ein System.

y Systeme sind charakterisiert durch ihre Elemente und die Beziehungen (Relationen) zwischen ihren Elementen und zwischen den Systemelementen und der Systemumgebung.

y Der Zustand eines Systems umfasst seine Elemente und Relationen mit ihren jeweiligen Eigenschaften. Hinsichtlich ihrer Eigenschaften lassen sich Systeme unterschiedlich klassifizieren.

y Systeme können offen oder geschlossen sein. Bei einem offenen System bestehen Beziehungen zwischen den Elementen des Systems und seiner Umgebung, während diese bei einem geschlossenen System fehlen.

y Es lassen sich statische und dynamische Systeme unterscheiden. In dynamischen Systemen ändern sich Elemente und/oder Relationen im Zeitablauf, während statische Systeme über die Zeit unverändert bleiben. In einem statischen System bleibt der Zustand konstant, während er sich in einem dynamischen System im Zeitablauf ändert. Realsysteme sind häufig offen und dynamisch. Ein Beispiel eines offenen Systems ist die Warteschlange vor einer Kinokasse, deren Zustand sich im Zeitablauf durch ankommende und bediente Kunden etwa hinsichtlich ihrer Länge ändert. Ein weiteres offenes, dynamisches System ist der Produktionsbereich eines Unternehmens. Material kommt an, Anlagen und Bedienpersonal sind zu bestimmten

Deterministische Simulation

249

Zeiten verfügbar, eine Bearbeitung wird durchgeführt und Fertigteile verlassen den Produktionsbereich. Der Zustand dieses Systems, der u. a. umfasst, welche Aufträge gerade bearbeitet werden oder welche Personen im Einsatz sind, ändert sich im Zeitablauf. Zulieferer und Kunden sind Teil der Umwelt und stehen in Beziehung zum Produktionsbereich. Umwelt Material

Umwelt System: Produktionsbereich

Zulieferer Aufträge

Fertigteile Anlage 1

Anlage 2

Kunden

Kunden

Abb. 7.2. Produktionsbereich als offenes, dynamisches System

Als geschlossenes, statisches System der Realität kann der Produktionsbereich dann aufgefasst werden, wenn nicht der Produktionsablauf, sondern beispielsweise die Einrichtung der Halle mit der Positionierung der beiden Anlagen betrachtet wird, die während des Betrachtungszeitraums unverändert bleibt. Auch die natürlichen Zahlen  mit der Ordnungsrelation d stellen ein geschlossenes, statisches System  , d dar. Die Relation zwischen je zwei Zahlen a und b ist durch a d b bzw. b d a angebbar und ändert sich nicht.

y Aus Sicht des Operations Research wird mit Simulation die Entwicklung und der Einsatz eines mathematischen Modells zur experimentellen Untersuchung eines Systems und seiner Eigenschaften bezeichnet. Wird ein dynamisches System mit seinem Verhalten im Zeitablauf untersucht, spricht man von dynamischer Simulation. Sind alle Einflüsse auf das System bekannt, handelt es sich um eine deterministische Simulation. Werden risikobehaftete Einflüsse im System berücksichtigt, nennt man dies stochastische Simulation. Simulation wird hauptsächlich zur Untersuchung komplexer dynamischer Systeme eingesetzt. Die stochastische Simulation, auf die in Abschnitt 7.2 näher eingegangen wird, findet zusätzliche Anwendung in statischen Systemen, um schwierig analytisch zu behandelnde risikobehaftete Einflüsse auszuwerten. Statische deterministische Systeme werden üblicherweise nicht mittels Simulation behandelt. Die Untersuchung des Verhaltens von Systemen geschieht insbesondere durch die Beobachtung der Zustandsänderungen.

y Die Änderung des Zustands eines dynamischen Systems kann kontinuierlich oder diskret erfolgen, also allmählich oder sprunghaft.

250

Simulation und Warteschlangensysteme

Ein Beispiel kontinuierlicher Änderung ist die zunehmende Geschwindigkeit eines PKW bei Erhöhung des Drucks auf das Gaspedal. Eine diskrete Änderung tritt im Produktionsbereich z. B. ein, wenn ein Produkt eine Anlage verlässt. Diese Unterscheidung in stetige bzw. diskrete Zustandsänderungen ist häufig eine Frage der Perspektive, also der Aggregation der Informationen. Von einem Hubschrauber zur Verkehrsüberwachung aus kann das Fahrzeugaufkommen an einer Straßenkreuzung als kontinuierlicher Fluss mit wechselnder Stärke wahrgenommen werden. Bei einer Beobachtung unmittelbar an dieser Kreuzung werden die diskreten Änderungen bei Zu- und Abfahrt jedes einzelnen Fahrzeugs erkennbar.

y Ändert sich der Systemzustand diskret in Abhängigkeit vom Eintreten eines Sachverhalts, so bezeichnet man diesen Sachverhalt als Ereignis. Es lassen sich hinsichtlich des Systems und seiner Umwelt endogene und exogene Ereignisse unterscheiden.

y In Systemzustandsvariablen werden Informationen über das zeitliche Verhalten der Systemzustände gesammelt. Ändern sich die Zustände stetig, nennt man das Modell kontinuierliches bzw. stetiges Modell, andernfalls handelt es sich um ein diskretes Modell. Die entsprechende Simulation wird dann ebenfalls als stetige bzw. diskrete Simulation bezeichnet. Zur Beschreibung kontinuierlicher Zustandsänderungen finden meist Differentialgleichungen Anwendung. Im wirtschaftswissenschaftlichen Bereich werden zur stetigen Simulation verbreitet System Dynamics Ansätze verwendet. Auf einem derartigen Ansatz basiert das sehr bekannte Weltmodell von Meadows et al. (1994, 2001) zur Bestimmung der „Grenzen des Wachstums“. Für betriebswirtschaftliche Anwendungen wurde Industrial Dynamics von Forrester entwickelt und eingesetzt (Forrester 1999). Neuere Einsatzbereiche sind die Modellierung und Analyse von Entwicklungen in Unternehmen und von Märkten (z. B. Schöneborn 2003, Milling 2002), die mittels entsprechender Software wie DYNAMO® u. a. durchgeführt werden. Eine noch stärkere Verbreitung auch in der Unternehmenspraxis hat die diskrete Simulation gefunden. Auch hier steht vielfältige Simulationssoftware zur Unterstützung zur Verfügung. Seit langem und weit verbreitet eingesetzte Simulationssoftware mit ihren grundlegenden Modellkonzepten wie GPSS® mit dem Prozesskonzept, SIMSCRIPT® mit einem Entity-Relationship Konzept und SIMULA® mit objekt-orientierter Programmierung hatten auch großen Einfluss auf die Entwicklung der Informatik (Nance, Sargent 2002). Die Kombination stetiger und kontinuierlicher Modellierung wurde mit GASP® durch Pritsker realisiert, ein System, welches vielfältige Weiterentwicklungen erfuhr über QGERT®, SLAM® bis zu Awesim® (Pritsker 1994, Pritsker u. O’Reilly 1999). Die heute zur Verfügung stehenden Systeme bieten neben einer Unterstützung der Modellbildung, Ablaufsteuerung, Generierung und Auswertung sowohl deterministischer wie stochastischer Daten umfangreiche weitere Möglichkeiten. Sie sind häufig auf Anwendungsgebiete ausgerichtet und stellen spezialisierte Modellkom-

Deterministische Simulation

251

ponenten bereit, z. B. für Anlagen, Fördermittel, Warteschlangen, Bedienstationen, die zunehmend realitätsnäher visualisiert werden. Bekannte Beispiele für den Produktionsbereich sind etwa die umfangreichen Systeme ARENA®, WITNESS® oder eM-Plant®. Zunehmend werden auch spezialisierte kleinere Simulationstools wie beispielsweise das Excel® Add-In @-risk zur Simulation wirtschaftlicher Problemstellungen angeboten und eingesetzt. Zur näheren Erläuterung der diskreten Simulation wird beispielhaft eine Anlagenbelegungsplanung modelliert. Es handelt sich um ein dynamisches System als Teil eines Produktionsbereichs mit den Elementen Maschinen, Lager und Aufträgen. Die Zustandsänderungen des Systems im Zeitablauf erfolgen diskret. Alle relevanten Daten sind bekannt, sodass diese Situation unter Sicherheit mit einer deterministischen Simulation untersucht werden kann. Beispiel Maschinenbelegung Die Aufträge A1 ,..., A4 sind jeweils nacheinander auf zwei Maschinen M1 und M 2 zu bearbeiten. Vor und hinter den Maschinen befinden sich Eingangs-, Zwischen- bzw. Endlager. Die Bearbeitungsdauern der Aufträge auf den Maschinen differieren und sind Tabelle 7.1 zu entnehmen. Tabelle 7.1. Auftragsbearbeitungsdauern

Aufträge A1

A2

A3

A4

M1

2

1

3

4

M2

4

2

1

2

Maschinen

Es kann jeweils nur ein Auftrag auf einer Maschine bearbeitet werden, Unterbrechungen begonnener Bearbeitungen sind nicht zulässig. Der Ablauf ist in Abb. 7.3 skizziert, Lager und Maschinen sind feste Elemente, die Aufträge durchlaufen diese Elemente der Reihe nach. Eine Lagerung der vorliegenden Aufträge erfolgt vor Beginn im Eingangslager und nach Fertigstellung im Endlager. Aufträge

L1

M1

L2

M2

L3

Abb. 7.3. Auftragsdurchlauf

Untersucht wird das dynamische Verhalten dieses Systems, welches sich jeweils ändert, wenn ein Auftrag eingelastet wird oder die Maschine verlässt. Von besonderem Interesse ist hier die Gesamtdurchlaufzeit aller Aufträge, die Auslas-

252

Simulation und Warteschlangensysteme

tung der Maschinen und die durchschnittliche Wartezeit eines Auftrags vor einer Maschine. Tabelle 7.2 zeigt das dynamische Systemverhalten im Zeitablauf, falls die Aufträge stets in der Reihenfolge ihrer Nummerierung bearbeitet werden. Tabelle 7.2. Simulation der Auftragsbearbeitung

Periode

L1

M1

L2

M2

L3

A1 ,..., A4

1

A2 , A3 , A4

A1

-

-

2

A2 , A3 , A4

A1

-

-

3

A3 , A4

A2

-

A1

-

4

A4

A3

A2

A1

-

5

A4

A3

A2

A1

-

6

A4

A3

A2

A1

-

7

A4

A3

A2

A1

8

A4

A3

A2

A1

9

A4

-

A3

A1 , A2

10

A4

-

-

A1 , A2 , A3

11

-

-

A4

A1 , A2 , A3

12

-

-

A4

A1 , A2 , A3

-

-

-

A1 ,..., A4

10

5

9

13

Dauer

11

Jede Periode t umfasst die Zeitspanne zwischen den Zeitpunkten t  1 und t . Beispielsweise beginnt Periode 2 zum Zeitpunkt 1 und endet zum Zeitpunkt 2. Eine Zustandsänderung des Systems erfolgt jeweils ohne Zeitverzögerung zu

Deterministische Simulation

253

einem Zeitpunkt t , z. B. am Ende der zweiten Periode zum Zeitpunkt 2 ist Auftrag A1 auf M1 fertig gestellt und belegt direkt M2, sodass Auftrag A2 ohne Zeitverzug Maschine M1 belegen kann. Die Auswertung dieser Simulation der Auftragsbearbeitung zeigt, dass die Gesamtdurchlaufzeit 12 Perioden beträgt, zum Zeitpunkt 12 folglich auch die Bearbeitung des letzten Auftrags abgeschlossen ist. Die letzte Zeile gibt die kumulierte Dauer von Aufträgen auf den Maschinen bzw. in den Lagern an. Die Auslastungen der Maschinen M1 und M2 berechnen sich zu 10 9 1 12 83 3 % bzw. 12 75% . Die durchschnittliche Wartezeit pro Auftrag vor Maschine 1 ergibt sich aus der Summe der Wartezeiten aller Aufträge vor M1 dividiert durch die Zahl der Aufträge zu 114 2, 75 Perioden. Zustandsänderungen dieses Systems erfolgen zu den Zeitpunkten 2, 3, 6, 8, 9, 10 und 12. Visualisierungen einiger Ergebnisse im Zeitablauf sind das Balkendiagramm zur Maschinenbelegung und die Lagerbestandskurve im zeitlichen Verlauf, beide für die Reihenfolge gemäß Nummerierung. Auch hier sind jeweils die Zustandsänderungen im Zeitverlauf zu erkennen.

Abb. 7.4. Maschinenbelegung, Reihenfolge gemäß Nummerierung

Lagerbestand 4 3 2 1 0

1

3

5

Lager 1

7

9

Lager 2

11

12

t

Lager 3

Abb. 7.5. Lagerbestand im zeitlichen Ablauf

Es stellt sich die Frage, ob diese Maschinenbelegung optimal ist. Zur Beantwortung ist die Entscheidungssituation zu untersuchen. Dazu ist zu ermitteln,

254

Simulation und Warteschlangensysteme

welche Handlungsalternativen zur Verfügung stehen, welche Umweltzustände zu beachten sind, welche Ergebnisse sich aus dem Zusammentreffen von Handlungsalternativen und Umweltzuständen ergeben und welchen Nutzen der Entscheidungsträger den Ergebnissen beimisst. In diesem Beispiel liegt eine Entscheidungssituation unter Sicherheit vor, d. h. ein bekannter Umweltzustand, der durch die vorhandenen Aufträge und Maschinen und deren technische Daten beschrieben ist. Eine optimale Lösung ist dadurch charakterisiert, dass von allen möglichen, einander ausschließenden Handlungsalternativen keine hinsichtlich der Zielvorstellung des Entscheidungsträgers besser ist. Wird hier als Ziel eine möglichst kurze Gesamtdurchlaufzeit vorgegeben und soll die Bearbeitung in der Reihenfolge der Nummerierung der Aufträge erfolgen, dann ist sicherlich die durchgeführte Einplanung aller Aufträge am günstigsten und die beste Lösung gefunden, da ohne Zeitverzug die Weiterbearbeitung auf der nächsten Maschine bzw. des nächsten Auftrags erfolgt. Kann jedoch über die Reihenfolge, mit der die Aufträge bearbeitet werden, entschieden werden, existieren für das vorliegende Beispiel vielfältige Möglichkeiten. Selbst wenn man sich darauf beschränkt, die Reihenfolge auf der zweiten Anlage gegenüber der auf der ersten nicht zu ändern, ergeben sich für die Auswahl des ersten Auftrags 4, für den zweiten dann noch 3 usw., also insgesamt bereits 4 ˜ 3 ˜ 2 ˜1 4! 24 verschiedene Kombinationen, die hinsichtlich Gesamtdurchlaufzeit und Kapazitätsauslastung überwiegend voneinander abweichen. Jede Reihenfolge mit der entsprechenden Maschinenbelegung stellt eine zulässige Handlungsalternative dar. Die Ergebnisse einer Reihenfolge sind unter anderem die Gesamtdurchlaufzeit und die Maschinenauslastung, wobei hier der Nutzen durch eine möglichst geringe Durchlaufzeit zum Ausdruck kommt. Durch eine deterministische Simulation werden das dynamische Verhalten des Systems beobachtet und Ergebnisse wie Durchlaufzeit und Kapazitätsauslastung für eine feste Auftragsreihenfolge ermittelt. Um eine optimale Entscheidung zu treffen, sind jedoch alle Handlungsalternativen implizit oder explizit zu berücksichtigen. Typischerweise ist das einer Simulation zugrunde liegende Modell kein Entscheidungsmodell, sondern eher ein Analyse- bzw. Erklärungsmodell. Es ist zur Entscheidungsunterstützung insoweit einsetzbar, dass zu einer vorgegebenen spezifischen Handlungsalternative – hier Reihenfolge – in einem meist komplexen Zusammenhang Ergebnisse – z. B. Durchlaufzeit, durchschnittliche Wartezeit und Auslastung – ermittelt werden. Ein Simulationslauf generiert in der Regel keine Alternativen, sondern beschreibt und erzeugt Ergebnisse zu einer vorgegebenen Alternative, was meist hinsichtlich verschiedener Kriterien erfolgt. Für unterschiedliche Alternativen sind dann jeweils separate Simulationen durchzuführen. Um eine optimale Lösung aufzuzeigen ist es erforderlich, die Zielvorstellung anzugeben und sicherzustellen, dass alle Handlungsalternativen bezüglich der Zielerreichung explizit oder implizit beurteilt werden und dann die beste ausgewählt wird. Eine Optimierung wird im Rahmen einer Simulationsstudie erreicht, indem durch zusätzliche Betrachtungen die Anforderungen an die Optimalität gewähr-

Deterministische Simulation

255

leistet werden. Dies ist etwa der Fall, wenn die Zahl der möglichen Alternativen gering ist und für jede Alternative mittels Simulation die Zielausprägung hinsichtlich des einzigen vorliegenden Ziels bestimmt wird. Eine derartige vollständige Enumeration verbietet sich meist aus Aufwandsgründen. Sind mathematische Eigenschaften des Zielkriteriums über dem relevanten Alternativenraum bekannt, wie etwa Monotonie, lässt sich unter Umständen auch aus vielen Alternativen eine optimale mittels Simulation feststellen. Beispiel einer derartigen Optimierung ist die Ermittlung der minimalen Anzahl von Kassen, mit der ein vorgegebenes Serviceniveau, z. B. durchschnittliche Wartezeit höchstens 5 Minuten, erreicht wird. Jede Simulation analysiert eine Alternative, also eine bestimmte Kassenanzahl, hinsichtlich ihrer Erreichung des Servicegrades. Die geringste Zahl von Kassen, die das Kriterium gerade noch erfüllt, ist optimal. Diese kann durch Simulation weniger Alternativen ermittelt werden, die geschickt aufgrund der Monotonie des Zielkriteriums gewählt werden können. Sind viele Handlungsalternativen zulässig, wird Simulation häufig in Verbindung mit Heuristiken eingesetzt, die die zu untersuchenden Alternativen bestimmen. Auf die Optimalität wird zugunsten einer Reduktion des Rechenaufwands verzichtet, wobei durch ein geeignetes Vorgehen möglichst gute Ergebnisse angestrebt werden. Mittels Simulation werden für die durch die Heuristik festgelegten Handlungsalternativen die relevanten Ergebnisse ermittelt. Teilweise lässt sich durch weitere Untersuchungen feststellen, wie groß die Abweichung von einem optimalen Ergebnis höchstens sein kann. Beispiel Maschinenbelegung mit unterschiedlichen Reihenfolgen Ist das Zielkriterium die geringste durchschnittliche Wartezeit vor Maschine M1, liefert die einfache Heuristik: „Der Auftrag mit der kürzesten Operationszeit (Bearbeitungszeit) wird als Nächstes bearbeitet“ (KOZ) gute bzw. hier das optimale Ergebnis für die entsprechende Reihenfolge A2, A1, A3, A4 und der durchschnittlichen Wartezeit 10 4 2,5 . Lautet das Zielkriterium kürzeste Gesamtdurchlaufzeit und wird die Reihenfolge gemäß der kürzesten Bearbeitungszeit auf der ersten Maschine gewählt, resultiert eine Gesamtdurchlaufzeit von 12 Zeiteinheiten.

Abb. 7.6. Maschinenbelegung, „KOZ“-Reihenfolge auf 1. Maschine

256

Simulation und Warteschlangensysteme

Auch wenn die Reihenfolge gemäß dem Kriterium „Kürzeste Gesamtbearbeitungszeit eines Auftrags“ gewählt wird, ist mit A1 6, A2 3, A3 4, A4 6 die resultierende Zielerreichung 12.

Abb. 7.7. Maschinenbelegung „Kürzeste Gesamtbearbeitungszeit“

Für eine derartige Anwendung kann die Qualität des erreichten Ergebnisses abgeschätzt werden. Die Gesamtdurchlaufzeit ist mindestens so lang wie die Summe der Bearbeitungsdauern auf einer Maschine zuzüglich der kürzesten Bearbeitungsdauer eines Auftrags auf der anderen Maschine. Im Beispiel ist die Bearbeitungsdauer auf M 1 10 ZE, zuzüglich 1 ZE von A3 auf M 2 , also mindestens 11 ZE. Für die zweite Maschine ist die Bearbeitungsdauer aller Aufträge 9 ZE, dazu kommt mindestens 1 ZE für A2 auf M1 . Damit sind 11 ZE eine untere Schranke für die Gesamtdurchlaufzeit, die jedoch häufig nicht erreichbar ist. In diesem Beispiel weist die Reihenfolge A2 , A1 , A4 , A3 eine Gesamtdurchlaufzeit von 11 ZE auf. Da aufgrund der Abschätzung mit Sicherheit keine kürzere Gesamtdurchlaufzeit existieren kann, ist diese Maschinenbelegung optimal.

Abb. 7.8. Optimale Maschinenbelegung

Eine untere Schranke, die wie im Beispiel beschrieben ermittelt wird, muss auch durch die optimale Lösung nicht erreichbar sein, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel Auftragseinlastung Vier Aufträge sind auf zwei Maschinen nacheinander zu produzieren. Die Produktionszeiten sind folgender Übersicht zu entnehmen:

Deterministische Simulation

A1

A2

A3

A4

M1

2

1

5

3

M2

2

4

3

3

257

Das Ergebnis einer Simulation der Auftragseinlastung in der Reihenfolge A2 , A1 , A4 , A3 ist in folgendem Balkendiagramm dargestellt.

Abb. 7.9. Auftragseinlastung

Die erreichte Gesamtdurchlaufzeit beträgt 14 Zeiteinheiten. Eine Abschätzung der Güte der erreichten Gesamtdurchlaufzeit ergibt eine untere Schranke von 13, die sich aus der Summe der Bearbeitungsdauern auf Maschine M 2 ergibt zuzüglich der kürzesten Bearbeitungsdauer von 1 Zeiteinheit von A2 auf M 1 . Eine Verbesserung ist also maximal um eine Zeiteinheit möglich, d. h., die gefundene Lösung weicht maximal um 114 von der unbekannten optimalen Lösung ab. Wie die hier mögliche Anwendung eines optimierenden Verfahrens zeigt, auf das an dieser Stelle nicht weiter eingegangen wird, ist die kürzeste Gesamtdurchlaufzeit für diese Aufträge 14 Zeiteinheiten. Damit ist hier die ermittelte untere Schranke nicht erreichbar und die vorgeschlagene Reihenfolge ist optimal. Ohne ein optimierendes Verfahren kann jedoch diese Optimalität der Lösung nicht festgestellt werden. Weitere, ebenfalls optimale Reihenfolgen mit der Gesamtdurchlaufzeit von 14 sind A2 , A4 , A1 , A3 und A2 , A4 , A3 , A1 . Anlagenbelegungsprobleme wie im Beispiel sind spezielle kombinatorische Optimierungsprobleme, welche durch gemischt-ganzzahlige Optimierungsmodelle abbildbar sind. Für diese ist teilweise die optimale Lösung mittels mathematischer Optimierungsalgorithmen ermittelbar, um z. B. die Durchlaufzeit zu minimieren. Falls aufgrund der Modellgröße und -struktur einsetzbar, sind Optimierungsansätze gegenüber einer Simulation vorzuziehen. Für größere und kompliziertere reale Probleme lassen sich häufig ebenfalls Optimierungsmodelle formulieren, deren Lösungen mittels optimierender Algorithmen nicht erreichbar sind. Dann gelangen spezielle Heuristiken zum Einsatz, die besonders zur Lösung kombinatorischer Optimierungsmodelle geeignet sind. Übersichten zu Optimierungsansätzen oder Heuristiken geben etwa Blazewicz et al. (1996), Dempster (1982), Gupta u. Stafford (2006), Leung (2004), Pinedo (2005), Zäpfel u. Braune (2005).

258

Simulation und Warteschlangensysteme

Durch die zeitliche Ablaufplanung, d. h. die Auftragsreihenfolgeplanung und die Anlagenbelegungsplanung, werden die Leerzeiten von Betriebsmitteln und Personal, die Wartezeiten der Aufträge vor den Anlagen und die Einhaltung vereinbarter Liefertermine beeinflusst. Das von Gutenberg definierte Dilemma der Ablaufplanung besteht darin, dass nicht gleichzeitig die Durchlaufzeit und die Leerzeit minimiert bzw. die Einhaltung der Liefertermine maximiert werden kann (z. B. Adam 2001, Kistner u. Steven 2001). Daher ist eine einzige Zielfunktion zur Lösung realer Probleme nicht immer geeignet, vielmehr muss eine Kompromisslösung gesucht werden. Da im Rahmen einer Simulation mehrere Ergebnisse einer Lösung ermittelt und ggf. visualisiert werden, wird eine Kompromissfindung unterstützt. Simulation wird erfolgreich zur Unterstützung der Produktionsplanung eingesetzt um Entscheidungen beispielsweise im Bereich von Anlagenbelegungen, Investitionen und Layout-Planungen zu unterstützen. Dies wird besonders durch die Entwicklung von Software Tools wie z.B. WITNESS®, eM-Plant® und ARENA® gefördert, die produktionsbezogene Modellkomponenten bereitstellen, welche durch den Anwender geeignet zu spezifizieren und zu kombinieren sind. Durch die Verbesserung gerade auch der Visualisierungskomponente lassen sich reale Systeme sehr wirklichkeitsgetreu im Modell abbilden und auch die Ergebnisse dynamischer Änderungen eindrucksvoll vermitteln. Die Visualisierung unterstützt die Validierung des Simulationsmodells. Unter Validierung versteht man die Prüfung, ob das Modell ein ausreichend gutes Abbild des realen Sachverhalts ist, wozu eine Reihe von Untersuchungen erforderlich sind. Ein erfolgreicher Simulationseinsatz wird im Folgenden beispielhaft dargestellt. 7.1.2 Anwendungsbeispiel Simulation zur Produktionsplanung Gerade in der chemischen Industrie sind die Produktionssysteme von hoher Komplexität und Flexibilität. Im Rahmen eines mehrjährigen Projektes mit einem Kunststoff produzierenden Unternehmen wurde zur Unterstützung der operativen Produktionsplanung ein simulationsbasiertes Produktionsplanungssystem entwickelt. Dazu wurde das in den verschiedenen Bereichen der Unternehmung vorhandene Wissen über die Produktion gesammelt und bei der Modellierung in dem System implementiert (Werners et al. 1999). Das Unternehmen produziert ca. 130 Polyethylen- (PE) und Polypropylenprodukte (PP) zur Weiterverarbeitung in der Kunststoffindustrie. Zur Verdeutlichung der Problemkomplexität und der damit verbundenen Schwierigkeiten der Produktionsplanung einschließlich der Anlagenbelegungsplanung wird im Folgenden die Struktur des realen Produktionssystems beschrieben. Das weitgehend automatisierte Produktionssystem umfasst drei Stufen mit jeweils zwei Phasen.

Deterministische Simulation

Polymerisation

Konfektionierung

Reaktor

1. Phase 2. Phase 1. Stufe

Trockner Extruder

3. Phase 4. Phase 2. Stufe

Lager/Verpackung/Versand

Silo

Verpackung Absackbunker

5. Phase

(Absackstraße/Abfüllanlage)

6. Phase 3. Stufe

Abb. 7.10. Produktionssystem eines Unternehmens

Aus Olefinen werden im Reaktor der Polymerisation (erste Produktionsphase) ca. 20 verschiedene pulverförmige Basistypen aus Polyethylen bzw. Polypropylen erzeugt, aus denen in der zweiten Produktionsstufe die späteren 130 Produkte als Granulate gewonnen werden. Für die erste Produktionsphase der Polymerisation stehen sechs Reaktoren mit unterschiedlichen Leistungen zur Verfügung. Jeder Reaktor kann zahlreiche Basistypen erzeugen, wobei die meisten Basistypen wiederum in mehreren Reaktoren produziert werden können. Bei bestimmten Typenwechseln ist eine Umrüstung erforderlich, die mit einer Reinigung des Reaktors von bis zu 24 Stunden Dauer verbunden ist. In der zweiten Produktionsphase ist zur Sicherung eines gleichmäßigen Qualitätsniveaus bei in älteren Reaktoren erzeugten Basistypen eine Durchmischung (Homogenisierung) des polymerisierten Pulvers in Homogenisierungsbunkern erforderlich. Für jeden Reaktor stehen mehrere Homogenisierungsbunker zur Verfügung. Die Kapazität eines Homogenisierungsbunkers ist in der Regel kleiner als die erzeugte Menge eines Basistyps. Aufgrund des Batchbetriebs in der Homogenisierung, eine Gesamtmenge wird während einer Zeitspanne bearbeitet, kann der Produktionsprozess teilkontinuierlich werden. In der zweiten Produktionsstufe erfolgt die Konfektionierung der Pulvertypen zu Granulat auf 19 Extrudern mit sehr unterschiedlichen Leistungen. Aus einem Basistyp werden verschiedene Produkte gewonnen. Bei Produktionswechsel ist eine Reinigung des Extruders reihenfolgeabhängig mit bis zu acht Stunden Dauer erforderlich. Zwischen der Polymerisation und den Extrudern sind in der Abbildung nicht dargestellte Silos zur Zwischenlagerung von Pulver vorhanden, deren Inhalt durch den parallelen Anschluss mehrerer Extruder an die Polymerisationsanlage möglichst gering zu halten ist. Ein Teil der Produkttypen wird zusätzlich

Versand LKW

Homogenisierungsbunker

259

260

Simulation und Warteschlangensysteme

einige Stunden lang getrocknet. Die Teilanlagen der Polymerisation und der Konfektionierung sind vielfältig miteinander verknüpft. In der Stufe Lager/Verpackung/Versand besteht die Möglichkeit, die erzeugten Produkttypen in einem von 56 Silos zu lagern und anschließend direkt aus den Silos an den Kunden per Silo-LKW zu versenden. Wünscht ein Kunde seine Ware dagegen verpackt in Blocksäcken oder Achteckbehältern, wird das Granulat im Anschluss an die Konfektionierung in einen der 26 Absackbunker und danach über eine der drei Absackstraßen für Blocksäcke oder eine der drei Abfüllanlagen für Achteckbehälter geleitet. Die Umstellung der Absackstraßen und der Abfüllanlagen auf einen anderen Produkttyp erfordert eine nur geringe Umrüstzeit. Jedoch können aufgrund technischer und personeller Restriktionen nicht alle Absackstraßen und Abfüllanlagen zeitgleich betrieben werden. Zudem besteht die Möglichkeit, das Granulat zunächst in einem der 56 Silos zu lagern und zu späteren Zeitpunkten in der Absackstraße oder Abfüllanlage zu verpacken. Reichen die Silos kapazitiv oder aufgrund der Produkttypenvielfalt für eine lose Lagerung der Granulate nicht aus, sind diese zu verpacken, zwischenzulagern und vor dem Versand wieder in die Silos zu füllen, was auf Grund der entstehenden Kosten möglichst zu vermeiden ist. Alle Kundenaufträge sollten erfüllt werden, wobei die Kapazitätsauslastung zu maximieren ist und die Lagerbestände und die Terminabweichungen zu minimieren sind. Diese Ziele stehen in Konflikt miteinander, sodass ein geeigneter Kompromiss zu finden ist. Insbesondere aufgrund der Problemkomplexität erwies sich ein optimierender Ansatz als nicht geeignet. Vielmehr wurde ein simulationsbasiertes Produktionsplanungssystem entwickelt, dessen Kern die zeitdynamische Nachbildung des realen Produktionssystems ist. Das Wissen über das reale Produktionssystem mit seiner komplexen Struktur und den erfolgreichen Vorgehensweisen, welches in der Unternehmung in den Köpfen verschiedener Experten verteilt vorhanden ist, wurde in einem iterativen Prozess ermittelt und in einem Simulationsmodell mit Visualisierung zusammengefasst. Mit Hilfe der Visualisierung kann das Modell jederzeit von Anwendungsexperten auf Übereinstimmung mit der Realität nachvollzogen werden und es ergeben sich neue Einblicke in das Produktionssystem und die ablaufenden Produktionsprozesse. Dieses System unterstützt den Disponenten bei der Bestimmung einer guten Anlagenbelegungsplanung über alle Produktionsstufen hinweg, indem Teilbelegungen umgesetzt und regelbasiert Vorschläge für weitere Produktionsstufen entwickelt und hinsichtlich Kapazitätsauslastung, Lagerbeständen und Durchlaufzeit bewertet werden. Die Entwicklung des Simulationsmodells erfolgte unter Verwendung der Simulationssoftware WITNESS®, einem ereignisorientierten Simulationssystem zur Erstellung von diskreten oder kontinuierlichen Modellen, das mit vorgefertigten Modellkomponenten ausgestattet ist, die hauptsächlich auf den Bereich Produktion und Logistik zugeschnitten sind. Diese Modellkomponenten wurden an die vorgegebenen Bedingungen angepasst und geeignet miteinander verbunden. Auf

Deterministische Simulation

261

diese Weise lässt sich auf einem PC der gesamte Produktionsablauf modellieren und untersuchen. Ein Simulationslauf für die Bestimmung eines Produktionsprozessplans für einen Monat benötigt etwa 15 min auf einem PC. Meist sind mehrere Simulationsläufe mit geänderter Auftragsreihenfolge erforderlich, bis hinsichtlich der verschiedenen Zielkriterien ein akzeptabler Kompromiss gefunden wird. Durch den Einsatz dieses Produktionsplanungssystems lassen sich erhebliche Verbesserungen der operativen Planung erzielen, so konnte auf Auslagerungen weitgehend verzichtet und eine Produktionssteigerung erreicht werden. Bei den strategischen Erweiterungsentscheidungen wurde wertvolle Unterstützung geleistet, indem das Zusammenwirken verschiedener Anlagenkonfigurationen untersucht und die Ergebnisse quantifiziert wurden. Selbst Auswirkungen von Absatzstrategien sind mit einem derartigen Simulationssystem ermittelbar. Weiterführende Untersuchungen konnten eindrucksvoll belegen, dass generelle Lagerrestriktionen wie „die maximale Lagermenge darf den zweifachen Monatsabsatz nicht übersteigen“ aufgrund der dadurch bedingten hohen Rüstkosten nicht zu optimalen Gesamtlösungen führen. Eine detaillierte Beschreibung dieses Projekts geben Werners et al. (1999) und Werners (2002), weiterführende Verbesserungen mittels evolutionärer Algorithmen, also speziellen, naturanalogen Heuristiken, führt Garus (2000) aus, während Steude (2003) allgemein den Einsatz von Produktionsplanungssystemen auf Basis von Simulationen behandelt. Die Verbesserung von Optimierungsalgorithmen und fortgeschrittenen Heuristiken führt zu einer zunehmenden Verbreitung quantitativer Methoden auch in der Prozessindustrie. Weitere Anwendungsbeispiele dort beschreiben etwa Grunow et al. (2002), Neumann et al. (2002), Kallrath (2002) und Gracia-Flores u. Wang (2002). 7.1.3 Aufgaben Aufgabe 7.1.1 Der Produktionsunternehmung OptiProd AG liegen derzeit 5 Aufträge vor, denen vom Vertrieb die jeweiligen Kundenprioritäten (1 höchste, 5 niedrigste) zugeordnet wurden. Die Aufträge werden zunächst auf Anlage 1 und dann auf Anlage 2 bearbeitet. Auf jeder Anlage kann zeitgleich nur jeweils ein Auftrag gefertigt werden. Vor und zwischen den Anlagen sind ausreichende Lagerkapazitäten vorhanden. Führen Sie eine zeitorientierte Simulation der Auftragsbearbeitung durch. Verwenden Sie für die Reihenfolgeplanung der Bearbeitung die Kundenprioritätsregel, bei der jeweils derjenige Auftrag mit der höchsten Kundenpriorität als nächstes bearbeitet wird. Geben Sie alle Zeitpunkte an, zu denen sich der Systemzustand ändert. Ermitteln Sie die Gesamtdurchlaufzeit der Aufträge sowie die Auslastung der Anlagen. Die Bearbeitungsdauern sowie die Kundenprioritäten sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:

262

Simulation und Warteschlangensysteme

A1

A2

A3

A4

A5

Anlage 1

3

1

4

1

2

Anlage 2

1

1

1

4

4

Kundenpriorität

1

4

2

3

5

Aufgabe 7.1.2 In einem Stahlwalzwerk liegen vier Aufträge A1 ,..., A4 vor, deren Bearbeitung einzuplanen ist. Zunächst werden die aus dem Stahlwerk kommenden heißen Brammen zu dünnen Blechen gewalzt und anschließend mit einer Zinkschicht legiert. Als besondere Dienstleistung bietet die Unternehmung ihren Kunden an, die verzinkten Bleche mit einem Farblack zu versehen. Die Dauern der Arbeitsvorgänge in der Walzstraße hängen von der Dicke des Bleches ab. Je länger ein Blech gewalzt wird, desto dünner wird es. Die für die Lackierung notwendige Zeit ist von der gewünschten Farbe abhängig. Der Vorgang für die Verzinkung dauert immer eine Zeiteinheit. Die Anforderungen der anstehenden Aufträge enthält die folgende Übersicht: Auftrag

Dicke (mm)

Farbe

A1

3

Weiß

A2

1

Schwarz

A3

2

Grün

A4

3

Rot

Die Bearbeitungsdauern (in Zeiteinheiten) in der Walzstraße und der Lackiererei in Abhängigkeit von Dicke bzw. Farbe sind bekannt. Umrüstvorgänge werden nicht berücksichtigt. Dicke

Bearbeitungsdauer Walzstraße (ZE)

Farbe

Bearbeitungsdauer Lackiererei (ZE)

1

4

Schwarz

2

2

3

Weiß

3

3

2

Rot

1

Grün

1

Deterministische Simulation

263

a) Führen Sie eine zeitorientierte Simulation der Auftragsbearbeitung durch. Benutzen Sie bei der Auftragseinplanung das Kriterium „Kürzeste Operationszeit“ bezogen auf die gesamte Bearbeitungsdauer eines Auftrags. Ermitteln Sie die Gesamtdurchlaufzeit und die Anlagenauslastung. Hier kann auf die Modellierung von Zwischenlagern verzichtet werden. b) Auf Grund der hohen Leerlaufkosten in der Verzinkerei sollen dem Management Vorschläge unterbreitet werden, die es ermöglichen, die anstehenden Aufträge ohne Unterbrechungen in der Verzinkerei zu bearbeiten. Da wegen technischer Anforderungen eine Lagerung nach dem Walzvorgang nicht möglich ist, wird die Installation einer zweiten Walzstraße erwogen. Prüfen Sie, ob die obigen Aufträge ggf. mit einer anderen Einlastungsregel auf zwei Walzstraßen so eingeplant werden können, dass das gewünschte Ziel erreicht wird. Eine Lagerung der verzinkten Bleche vor dem Lackiervorgang ist möglich. Welche Gesamtbearbeitungszeit erreichen Sie nun? Aufgabe 7.1.3 Einer Produktionsunternehmung liegen fünf Aufträge A1 ,..., A5 mit den jeweils vereinbarten Lieferterminen LT vor. Die Bearbeitung der Aufträge erfolgt zunächst auf Maschine M 1 , anschließend auf Maschine M 2 . Die Bearbeitungsdauern sowie die Liefertermine sind der folgenden Übersicht zu entnehmen. Die Auslieferung erfolgt zum Liefertermin oder bei Verzögerung unmittelbar nach Fertigstellung. A1

A2

A3

A4

A5

Maschine M 1

3

4

3

1

1

Maschine M 2

2

2

2

1

2

Liefertermin

8

12

9

7

5

Führen Sie eine zeitorientierte Simulation der Auftragsbearbeitung durch. Verwenden Sie für die Reihenfolgeplanung der Bearbeitung die Schlupfzeit-Regel, bei der jeweils derjenige Auftrag die höchste Priorität erhält, bei dem die Differenz zwischen Liefertermin und der noch anstehenden Bearbeitungsdauer am geringsten ist. Geben Sie die Gesamtdurchlaufzeit an. Ermitteln Sie die Summe der Lieferterminüberschreitungen und die Anzahl der grundsätzlich möglichen Reihenfolgen der 5 Aufträge auf der ersten Maschine. Aufgabe 7.1.4 Der Schreinerei Optisäg liegen vier Aufträge vor. Zur Durchführung der Aufträge ist zunächst die Bereitstellung und Vorbehandlung der Materialien durch den Aus-

264

Simulation und Warteschlangensysteme

zubildenden und anschließend die Fertigstellung und Montage durch den Meister erforderlich. Sowohl Meister als auch Auszubildender wollen jeweils nicht mehrere Aufträge gleichzeitig bearbeiten. Eine Zwischenlagerung der Aufträge zwischen den beiden Arbeitsschritten ist hingegen möglich. Die Dauern der Tätigkeiten sind der folgenden Tabelle zu entnehmen: Auftrag A1

A2

A3

A4

Bereitstellung + Vorbehandlung

3

2

4

1

Fertigstellung + Montage

1

2

2

3

Arbeitsschritte

a) Führen Sie eine zeitorientierte Ablaufsimulation der Auftragsbearbeitung durch. Verwenden Sie zur Bestimmung der Auftragsreihenfolge die Regel „Kürzeste Bearbeitungszeit des ersten Arbeitsschrittes“. Ermitteln Sie die Gesamtdurchlaufzeit der Aufträge und die Auslastungen des Auszubildenden und des Meisters. b) Ist die Gesamtdurchlaufzeit mit der gewählten Reihenfolge minimal bzw. lassen sich geeignete Abschätzungen angeben? Aufgabe 7.1.5. Vorliegende 5 Aufträge A1 ,..., A5 sind jeweils zunächst auf Maschine 1, dann auf Maschine 2 zu fertigen. Folgende Daten stehen zur Verfügung: Bearbeitungszeiten Aufträge

Maschine M 1

Maschine M 2

A1

2

2

A2

3

1

A3

1

3

A4

1

1

A5

3

1

Zwischen den Aufträgen sind auf Maschine 1 Rüstzeiten zu berücksichtigen, die von der jeweiligen Auftragsfolge abhängen. Die Rüstzeiten sind folgender Tabelle zu entnehmen:

Stochastische Simulation

265

dann: A1

A2

A3

A4

A5

A1

-

1

2

3

4

A2

4

-

1

2

3

A3

4

4

-

1

2

A4

4

4

4

-

1

A5

4

4

4

4

-

erst:

Führen Sie je eine zeitorientierte Simulation zum Vergleich der beiden heuristischen Vorgehensweisen durch. Ermitteln Sie daraus die Gesamtdurchlaufzeiten und die gesamten Rüstzeiten im Vergleich. a) Verwenden Sie die Heuristik “kürzeste Operationszeit“ auf der jeweiligen Maschine. Bei gleicher Bearbeitungsdauer wird der Auftrag mit der kleineren Auftragsnummer (z. B. A3 vor A4 ) vorgezogen. b) Bearbeiten Sie, beginnend mit A1 , den Auftrag mit der geringsten Rüstzeit.

7.2 Stochastische Simulation 7.2.1 Modellierung stochastischer Einflüsse Bei den bisherigen Betrachtungen wurde davon ausgegangen, dass sämtliche Einflüsse auf das System bekannt sind, also eine Situation unter Sicherheit vorliegt, die angemessen durch ein deterministisches Modell abgebildet werden kann. Wesentliche Einsatzbereiche der Simulation sind darüber hinaus Situationen unter Risiko, bei denen also einige der Einflüsse zufallsabhängig sind und durch stochastische Modelle besser abgebildet werden können. Eine Simulation, bei der stochastische Einflüsse dadurch berücksichtigt werden, dass viele Zufallsexperimente durchgeführt und ausgewertet werden, wird als stochastische Simulation bzw. Monte-Carlo Simulation bezeichnet. Beispiel Roulette An einem Roulette in Monte Carlo kann die Kugel in eines der 37 Felder fallen, sodass die entsprechende Zahl und die Kombinationen wie gerade, schwarz usw. gewinnen. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Feld ist gleich und beträgt 137 . Jedes Spiel ist ein Zufallsexperiment, bei dem eine Realisation eintritt. Bei vielen

266

Simulation und Warteschlangensysteme

Spielen nähert sich die beobachtete relative Häufigkeit des Eintreffens der jeweiligen Zahl bzw. Kombination zunehmend der theoretischen Wahrscheinlichkeit an. Ausreichend häufige Beobachtungen der zufallsabhängigen Ereignisse lassen Aussagen über die zugrunde liegende Verteilung zu. Im Rahmen einer Simulation werden derartige Experimente am Modell durchgeführt. Beispiel Postschalter Es ist zu untersuchen, ob die durchschnittliche Wartezeit an einem Postschalter ausreichend kundenfreundlich ist. In einer vorhergehenden Untersuchung ist festgestellt worden, dass die Zeit zwischen den ankommenden Kunden zufällig von 1 bis 5 Minuten schwankt, wobei jede der (gerundeten) Zwischenankunftszeiten gleich wahrscheinlich ist. Die Bedienung nimmt im Mittel 2 Minuten in Anspruch, auch hier sind Schwankungen zu beobachten, sodass sich die Kunden mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit 1, 2 oder 3 Minuten am Schalter aufhalten. Ist der Schalter besetzt, warten die neu ankommenden Kunden in einer Warteschlange, aus der der jeweils nächste Kunde aufgerufen wird. Die Bedienung erfolgt also in der Reihenfolge des Eintreffens nach dem FIFO-Prinzip „first in – first out“. Die beschriebene Situation ist ein spezielles Warteschlangensystem und kann durch ein entsprechendes Modell abgebildet werden.

Bedienstation

Abb. 7.11. Warteschlangensystem

y Warteschlangensysteme lassen sich durch die Beschreibung mehrerer Komponenten charakterisieren: - das Ankunftsverhalten der Kunden, - die für die Bedienung erforderliche Servicezeit, - die Anzahl und Art der Serviceeinrichtungen, - die Anzahl und Art der sich ggf. bildenden Warteschlangen und das Warteverhalten der Kunden, dazu gehören Schlangen wechseln, Schlangen verlassen, Auswahl einer von mehreren Warteschlangen usw., - die Auswahlordnung, die die Reihenfolge der Bedienung der Kunden in der Warteschlange beschreibt; z. B. kann der zuerst oder der zuletzt ankommende Kunde zuerst bedient werden oder vorgegebene Prioritäten zu berücksichtigen sein.

Stochastische Simulation

267

Durch eine stochastische Simulation lässt sich ein Warteschlangensystem modellieren, dann werden das zufällige Eintreffen der Kunden und die zufällig schwankende Bediendauer experimentell untersucht. Beispiel Simulation des Postschalters Der Postschalter stellt die einzige Serviceeinrichtung dar, vor der sich eine einzige Warteschlange bildet, die nach dem FIFO-Prinzip abgearbeitet wird. Die Kunden reihen sich in die Schlange ein, springen nicht wieder ab und es ist ausreichend Platz für alle vorhanden. Das zufällige Ankunftsverhalten der Kunden und die zufällige Bediendauer sind hier jeweils durch eine diskrete Gleichverteilung beschreibbar, deren Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen im Folgenden dargestellt sind. Wahrscheinlichkeit f (x)

Verteilung F (X)

1

1

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2 0

1

3

5

Abstand in min

0

3

1

5

Abstand in min

Abb. 7.12. Diskrete Gleichverteilung Zwischenankunftszeit Wahrscheinlichkeit f (x)

Verteilung F (x)

1

1

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2 0

1

3

5

Bediendauer in min

0

1

3

5

Bediendauer in min

Abb. 7.13. Diskrete Gleichverteilung Bediendauer

Um mittels Simulation den Postschalter nachzubilden, werden zufällige Realisationen der entsprechenden Verteilungen generiert und damit die Zustandsänderungen im Modell verfolgt.

268

Simulation und Warteschlangensysteme

Tabelle 7.3. Simulation des Postschalters

Kunde

ai

ti

zufällig

bi zufällig

i

¦b

fi

wi

j

j 1

1

1

1

1

1

2

2

3

4

3

4

7

3

2

6

2

6

9

4

5

11

2

8

13

5

4

15

3

11

18

6

1

16

3

14

21

2

7

3

19

1

15

22

2

8

2

21

3

18

25

1

9

2

23

3

21

28

2

10

5

28

2

23

30

11

4

32

2

25

34

12

1

33

1

26

35

13

3

36

2

28

38

14

3

39

2

30

41

15

1

40

1

31

42

1

16

1

41

1

32

43

1

17

4

45

2

34

47

18

5

50

2

36

52

19

3

53

3

39

56

20

5

58

2

41

60

21

4

62

3

44

65

22

1

63

3

47

68

2

23

2

65

2

49

70

3

24

2

67

1

50

71

3

25

1

68

2

52

73

3

z ges

25

bges

52

t ges

1

1

73

wges

22

Stochastische Simulation

269

Tabelle 7.3 enthält die zufällig erzeugten Daten von zges = 25 Kunden. ai bezeichnet die Zeit, die zwischen dem Eintreffen von Kunden i  1 und Kunden i verstreicht, bi die Bediendauer für Kunden i . Diese Zeiten werden gemäß der abzubildenden Verteilung zufällig generiert, die anderen Daten werden daraus abgeleitet. ti wird errechnet als Zeitpunkt, zu dem Kunde i das System betritt und sich ggf. der Warteschlange anschließt, ti ti 1  ai . Zur späteren Ermittlung der gesamten Bedienzeit bges wird für jeden Kunden i seine Bedienzeit zu der bisherigen Bedienzeitsumme addiert. Der Zeitpunkt, zu dem Kunde i den Postschalter verlässt, wird mit fi max ^ti ; fi 1`  bi angegeben. Nachdem 25 Kunden die Bedienstation verlassen haben, ist f 25 t ges die gesamte beobachtete Zeit. wi gibt die Wartezeit des Kunden i an, wges die summierte Wartezeit. Die durchgeführte Simulation ergibt, dass die beobachtete Auslastung U des Postschalters als Quotient der gesamten Bedienzeit durch die Gesamtzeit bges

U

t ges

gesamte Bedienzeit Gesamtzeit

0, 712

beträgt. Eine Auslastung von hier 71,2 % bedeutet, dass der Postschalter nur während 71,2 % der betrachteten Zeit die 52 Kunden bediente bzw. während 28,8 % der Zeit nicht tätig war. Damit ist die Auslastung relativ gering. Jedoch ist der Servicegrad sehr hoch, denn die meisten Kunden warten nur kurz, wie folgende Ergebnisse zeigen. Die mittlere Wartezeit pro Kunde w und die mittlere Schlangenlänge s ergeben sich zu w

s

wges z ges wges t ges

0,88 > min ./ Pers.@ bzw. | 0,30 > Pers.@

Es ist zu beachten, dass die erzielten durchschnittlichen Ergebnisse stark von den hier zufällig realisierten Zwischenankunftszeiten und Bediendauern abhängen. Ein erneuter Simulationslauf würde zu abweichenden durchschnittlichen Ergebnissen führen. Die Ergebnisse stellen folglich jeweils eine Realisation der vielen zufällig eintretenden Möglichkeiten dar. Mehrere solcher Realisationen bilden eine Stichprobe, mittels derer die tatsächlich zugrunde liegende Verteilung bzw. deren charakteristische Parameter geschätzt werden. Um eine gewünschte Genauigkeit der Schätzung zu erreichen, ist die Stichprobe, also die Simulationsuntersuchung, ausreichend umfangreich zu wählen. Zur Beurteilung sind die entsprechenden statistischen Methoden zu verwenden. Außerdem ist der Schalter zu Beginn frei und keine Schlange vorhanden. Ein stationärer Zustand, der sich im Mittel nicht ändert, wird, wenn überhaupt, erst allmählich erreicht. Im Rahmen der diskreten Simulation, sowohl der deterministischen als auch der stochastischen, werden Zustandsänderungen, also Ereignisse, im zeitlichen Ver-

270

Simulation und Warteschlangensysteme

lauf beobachtet und ihre Konsequenzen festgehalten. Die Dynamik des Modells ist durch die Kette von Ereignissen E1 , E2 ,... und die zwischen diesen liegenden Zeiten beschrieben. Der Ablauf dieser Ereignisse ist für eine Simulation zu steuern. Die Ablaufsteuerung kann zeitorientiert erfolgen, d. h., in festen Zeitabständen wird festgestellt, welche Ereignisse inzwischen eingetreten sind und welche Konsequenzen sich daraus ergeben. E1

E2 E3

E4

E5

E6

Modellzeit T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

Abb. 7.14. Zeitorientierte Ablaufsteuerung

Bei kurzen zeitlichen Abständen ist der Aufwand hoch, bei langen zeitlichen Abständen sinkt die Genauigkeit und evtl. ist die korrekte Abfolge von Ereignissen nicht sichergestellt. Eine weitere Möglichkeit stellt die ereignisorientierte Ablaufsteuerung dar. Hier ist zu prüfen, welches Ereignis als nächstes eintritt, was zu einer aufwändigen Ereignisverwaltung führen kann.

E1

E2 E3

E4

E5

E6 Modellzeit

T1

T2 T3

T4

T5

T6

Abb. 7.15. Ereignisorientierte Ablaufsteuerung

Für die Simulation des Beispiels Auftragsdurchlauf wurde eine zeitorientierte Ablaufsteuerung gewählt und jeweils nach einer Zeiteinheit die Zustandsänderungen bzw. die Ereignisse festgestellt. Die Ablaufsteuerung der PostschalterSimulation erfolgte dagegen ereignisorientiert. Durch spezialisierte Simulations-Software wird insbesondere die Ablaufsteuerung unterstützt. Weitere wesentliche Bestandteile sind die Generierung, Sammlung und Auswertung insbesondere auch der Daten, die zufallsabhängig sind. Für die Modellierung wird häufig auf Modellierungskonzepte zurückgegriffen, die von Standardsoftware zur Simulation in unterschiedlichem Umfang unterstützt werden. Sehr weite Verbreitung hat die Unterscheidung in bewegliche und feste Elemente gefunden. Feste Elemente und ihre Verbindungen bestimmen die Struktur des Modells, die gelegentlich durch einen gerichteten Graphen repräsentiert wird. Die festen Elemente sind selbst aktiv und wirken auf die beweglichen Elemente ein. Die beweglichen Elemente, auch als Transactions bezeichnet, werden durch das System aus festen Elementen geleitet. Sie sind selbst passiv und bestimmen die Modelldynamik.

Stochastische Simulation

271

Beispiel Postschalter Die festen Elemente beschreiben die Struktur des Warteschlangensystems gemäß Abb. 7.16. Ankunft

Warteschlange

Schalter

Abgang

Abb. 7.16. Feste Elemente des Postschalter-Systems

Die Kunden als bewegliche Elemente durchlaufen dieses System. Die festen Elemente wirken auf die Kunden ein, so erzeugt die Ankunft Kunden, die Warteschlange sammelt sie, der Schalter bedient sie und der Abgang entfernt sie aus dem System. Da Ankunft und Bedienzeit zufällig schwanken, sind auch z. B. die Länge der Warteschlange und der Zeitpunkt des Verlassens des Schalters zufällig. Dazu werden jeweils umfangreiche Daten gesammelt. Beispiel Maschinenbelegung Die festen Elemente des Auftragsdurchlaufs sind Abb. 7.3 zu entnehmen. Die beweglichen Elemente sind die Aufträge, die Lager und Maschinen durchlaufen. Hier sind alle Daten bekannt, die Aufträge liegen vor. Bei vorgegebener Reihenfolge stehen alle Ergebnisse, wie die Gesamtdurchlaufzeit, nach der Modellierung bereits fest und müssen nur noch ermittelt und geeignet ausgegeben werden. 7.2.2 Zufallszahlen und Verteilungen Um mittels Simulation das zufällige Eintreten von Ereignissen oder zufällige Bearbeitungsdauern nachbilden zu können, müssen geeignete Realisationen generierbar sein, wobei Simulationssoftware unterstützt. Es werden Folgen von Zahlenwerten benötigt, die die Eigenschaften von Realisationen bestimmter Verteilungen aufweisen. Im Postschalter-Beispiel sind das etwa die Zwischenankunftszeiten und die Bediendauern, die konkreten diskreten Verteilungen entsprechen sollen. Die Erzeugung derartiger Zufallszahlenfolgen geschieht in der Regel so, dass gleichverteilte Zufallszahlen im Intervall [0,1] generiert werden und daraus mit geeigneten Methoden Realisationen anderer Verteilungen abgeleitet werden. Es sind echte Zufallszahlengeneratoren im Einsatz, die mit physikalischen Mitteln arbeiten und echte Zufallszahlenfolgen produzieren. Im wirtschaftswissenschaftlichen Bereich werden überwiegend Pseudozufallszahlengeneratoren eingesetzt, die Pseudozufallszahlenfolgen errechnen, welche hinsichtlich ihrer Eigenschaften von echten Zufallszahlenfolgen kaum zu unterscheiden sind. Der bekannteste (Pseudo-) Zufallszahlengenerator ist der lineare Kongruenzgenerator.

272

Simulation und Warteschlangensysteme

Linearer Kongruenzgenerator y Mit der Berechungsvorschrift xi 1

(a ˜ xi  c) mod m

mit i   , a , m positive ganze Zahlen mit a  m , c nichtnegative ganze Zahl mit c  m , und einem Startwert x0 wird eine Folge von Zahlen der Menge ^0 ,...,m  1` generiert. Nach Division dieser Zahlen durch m  1 erhält man eine Folge von Werten in dem Intervall > 0 ,1@ .1 mod m ist die Funktion, die einer ganzen Zahl ihren Rest bei Teilung durch m zuweist, z. B. gilt 5 mod 3 2 und 22 mod 6 4 . Je größer m ist, in desto feinerem Abstand können die errechneten Zahlen in > 0 ,1@ auftreten. Pseudozufallszahlenfolgen sind stets periodisch, d. h., Teilfolgen wiederholen sich. Sobald eine Zahl zum zweiten Mal ermittelt wird, stimmen alle folgenden Zahlen mit den vorher berechneten überein. Gute (Pseudo-)Zufallszahlenfolgen zeichnen sich beispielsweise durch eine lange Periodenlänge aus, die möglichst länger als die notwendige Anzahl von Zufallszahlen für die Simulationsstudie ist. Außerdem sollten die Realisationen gleichmäßig im Intervall > 0 ,1@ verteilt auftreten und “zufällig“ aufeinander folgen. Dies kann durch geeignete Parameterwahl oder auch andere Generatoren erzielt und mittels Testmethoden geprüft werden.

Beispiel linearer Kongruenzgenerator mit unterschiedlichen Parametern Parameter a 4, c 0, m 5 Startwert x0 4 : x1 (4 ˜ 4) mod 5 1 x2 (4 ˜1) mod 5 4 x3 (4 ˜ 4) mod 5 1... Startwert x0 3 : x1 (4 ˜ 3) mod 5 2 x2 (4 ˜ 2) mod 5 3 Startwert x0 0 : x1 (4 ˜ 0) mod 5 Parameter a

3, c

2, m

Periode der Länge 2

Periode der Länge 1

0

2

3

Periode der Länge 2

8

Startwert x0 4 : x1 (3 ˜ 4  2) mod 8 6 x2 (3 ˜ 6  2) mod 8 4...

1

Eine Division durch m würde dazu führen, dass der Wert 1 nicht angenommen wird.

Stochastische Simulation

Startwert x0 7 : x1 (3 ˜ 7  2) mod 8

273

7...

Bei anderer Wahl der Parameter kann die maximal mögliche Anzahl unterschiedlicher Zahlen, nämlich m , tatsächlich angenommen werden und zwar unabhängig vom Startwert. Parameter a

5, c

3, m

23

8

Startwert x0 = 4: x1

(5 ˜ 4  3) mod 8

7

x2

(5 ˜ 7  3) mod 8

6

x3

(5 ˜ 6  3) mod 8

1

x4

(5 ˜1  3) mod 8

0

x5

(5 ˜ 0  3) mod 8

3

x6

(5 ˜ 3  3) mod 8

2

x7

(5 ˜ 2  3) mod 8

5

x8

(5 ˜ 5  3) mod 8

4

Die Qualität von Zufallszahlengeneratoren wird bestimmt durch die Güte der statistischen Eigenschaften der erzeugten Pseudozufallszahlenfolge und dem mit ihrer Erzeugung verbundenen Aufwand. Wesentliche Anforderungen sind im Folgenden zusammenfassend aufgeführt (siehe z. B. Law, Kelton 2006, Liebl 1995):

y Da die Zufallszahlen einer in > 0, 1@ definierten Gleichverteilung entsprechen sollen, sollte die Folge als Realisation einer Verteilung mit dieser Eigenschaft auffassbar sein. Dies gilt nicht nur für die Folge in ihrer gesamten Länge, sondern auch jeweils einzelne Abschnitte der Folge sollten diese Eigenschaft besitzen.

y Die Zufallszahlenfolge sollte in dem Intervall > 0, 1@ eine möglichst hohe Besetzungsdichte aufweisen. Das bedeutet, dass zwischen den verschiedenen Zahlen nur möglichst geringe Abstände auftreten sollten und zwar sowohl im Durchschnitt als auch maximal.

y Die Folge sollte sich wie zufällig erzeugt verhalten und aufeinanderfolgende Elemente sollten voneinander unabhängig wirken. Insbesondere sollten keine seriellen Autokorrelationen nachweisbar sein.

y Die Periodenlänge der erzeugten Zufallszahlenfolge sollte ausreichend groß sein, dies hat auch Einfluss auf die Besetzungsdichte.

y Der Generator sollte effizient sein, d. h., die Zahlenfolge sollte schnell und mit geringem Speicherbedarf erzeugbar sein.

274

Simulation und Warteschlangensysteme

y Die erzeugte Folge sollte einfach reproduzierbar sein. Dies ist besonders bedeutsam zur Programmverifikation, jedoch auch für den Einsatz einiger varianzreduzierender Methoden zum Vergleich unterschiedlicher Systeme von Interesse. Bei Pseudozufallszahlenfolgen ist die Reproduzierbarkeit bei Kenntnis der Parameter und des Startwertes grundsätzlich gegeben.

y Der Zufallszahlengenerator sollte portabel sein, damit auf verschiedenen Rechnern identische Folgen erzeugt werden können.

y Es sollte die Möglichkeit bestehen, mehrere unterschiedliche Zufallszahlenfolgen zu erzeugen, zwischen denen keine Korrelationen bestehen. Das Vorliegen der geforderten Eigenschaften kann zum Teil durch Anwendung statistischer Tests überprüft werden. Insbesondere Tests auf Vorliegen einer Gleichverteilung und die Tests auf Unabhängigkeit sind von Bedeutung. Außerdem sind der Literatur viele Ergebnisse zu entnehmen, die über die Qualität der Zufallszahlengeneratoren bzw. der verwendeten Algorithmen informieren. Aussagen über die Periodenlänge einer Zufallszahlenfolge lassen sich aus den theoretischen Ergebnissen über die Eigenschaften des verwendeten Generators ableiten. So gilt der folgende Satz (Knuth 1981, Mathar u. Pfeifer 1990).

y Die Periodenlänge der Zufallszahlenfolge eines linearen Kongruenzgenerators xi 1

(a ˜ xi  c ) mod m ist gleich dem Modul m genau dann, wenn gilt

c und m sind teilerfremd, a mod p 1 für alle Primfaktoren2 von p von m und a mod 4 1 , wenn 4 Teiler von m ist. Beispiel Der lineare Kongruenzgenerator mit den Parametern a 5, c 3, m 23 8 erfüllt diese Bedingungen, da 3 und 8 teilerfremd sind, 5 mod 2 1 für den einzigen Primfaktor 2 von 8 ist und 5 mod 4 1 gilt. Letzteres ist zu prüfen, da 4 Teiler von 8 ist. Wie die Berechnungen zeigen, ist die Periodenlänge 8 m . Wählt man a und c gleich und m 2 k für beliebiges k , sind die Eigenschaften ebenfalls erfüllt und eine entsprechend große Periodenlänge ist erreichbar, z. B. für 210 1.024 oder 220 1.048.576 Verteilungen Für die Modellierung von Zufallsphänomenen sind einige Standardverteilungen besonders geeignet, da sie bestimmte Gegebenheiten repräsentieren und nach Ermittlung weniger charakteristischer Parameter angebbar sind. Im Zusammen-

2

Ein Primfaktor von m ist eine Primzahl, die Teiler von m ist.

Stochastische Simulation

275

hang mit Simulationsstudien kommen allgemeine diskrete Zufallsvariablen, Gleichverteilung, Normalverteilung, Exponentialverteilung und Poissonverteilung häufig zur Anwendung. Sie werden im Folgenden kurz vorgestellt, wobei jeweils Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion f ( x ) , ggf. Verteilungsfunktion F( x ) und Erwartungswert P E( X ) und Varianz V 2 V ( X ) angegeben werden. Für eine detailliertere Darstellung der statistischen Grundlagen wird auf entsprechende Literatur verwiesen (beispielsweise Bamberg u. Baur 2002, Reichardt u. Reichardt 2002, Sachs 2004). Diskrete Zufallsvariable Eine diskrete Zufallsvariable X liegt dann vor, wenn X nur endlich oder abzählbar unendlich viele Werte {x1 ,..., xn ,..} annehmen kann, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit pi , i = 1,...,n,..., wobei die Summe aller pi gleich 1 ist. Man nennt X dann auch diskret verteilt. Die zugehörige Verteilungsfunktion weist an den Stellen xi Sprünge der Höhe pi auf und ist dazwischen konstant, sie wird gelegentlich auch als Treppenfunktion bezeichnet. Die Funktion f :  o [0,1] mit f ( x)

P( X

x)

­ pi falls x ® ¯0 sonst

xi

bezeichnet man als Wahrscheinlichkeitsfunktion von X. Für die Verteilungsfunktion F einer diskreten Zufallsvariable gilt F(x)

P( X d x)

¦ f (x ) ¦ p i

i xi d x

i

.

i xi d x

Beispiel Beim Würfeln mit einem gleichmäßigen Würfel kann jede der Augenzahlen von 1 bis 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/6 eintreffen. Dies lässt sich durch eine diskrete Zufallsvariable X abbilden, die durch folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion charakterisiert ist:

f ( x)

P( X

x)

­° 1 ® 6 °¯0

falls x  {1, 2,..., 6} sonst

Abb. 7.17 zeigt die graphische Darstellung der zugehörigen Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion.

276

Simulation und Warteschlangensysteme

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

0 1

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

Abb. 7.17. Diskrete Gleichverteilung Würfeln

Beispiel unregelmäßige diskrete Zufallsvariable Die möglichen Ergebnisse müssen nicht alle gleichwahrscheinlich sein oder positive Werte annehmen. So ist auch durch folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung eine diskrete Zufallsvariable beschrieben:

f ( x)

­1 ° 4 °1 ° 12 ° ®1 ° 2 °1 ° 6 °¯0

x

1,5

x

0, 25 F ( x)

x 1,3 x

x  1,5 ­0 °1 ° 4 1,5 d x  0, 25 °° ® 1 3 0, 25 d x  1,3 ° ° 5 6 1,3 d x  2,5 ° 2,5 d x °¯1

2,5

sonst

Die zugehörigen graphischen Darstellungen sind Abb. 7.18 zu entnehmen. f (x)

F (x)

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 -2

-1

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0

1

2

3

-2

-1

0

1

2

3

Abb. 7.18. Unregelmäßige diskrete Zufallsvariable

Die Eigenschaften von Zufallsvariablen werden durch bestimmte Angaben näher charakterisiert. Von besonderer Bedeutung sind der Lageparameter Erwartungswert und die Streuungsparameter Varianz und Standardabweichung, die wichtige Angaben zu der Lage und Abweichungen einer Zufallsvariablen ermöglichen.

Stochastische Simulation

277

y Der Erwartungswert E ( X ) einer diskreten Zufallsvariablen X ist definiert3 durch f

f

¦x

E( X )

¦x

f ( xi )

i

pi

i

i 1

i 1

y Die Varianz V ( X ) einer diskreten Zufallsvariable misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert und ist definiert3 durch f

V (X )

2

¦ > x  E ( x) @ i

f

2

¦ > x  E ( x) @

f ( xi )

i

i 1

pi .

i 1

y Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel aus der Varianz V ( X ) , sie wird üblicherweise mit V bezeichnet. Direkte Transformation Durch direkte Transformation lässt sich eine endliche, diskrete Verteilung, für die die Ausprägungen xi , i 1,...,k jeweils mit Wahrscheinlichkeit pi angenommen werden, aus einer in > 0, 1@ gleichverteilten Zufallszahlenfolge generieren. Der funktionale Zusammenhang wird hier durch die folgende, stückweise definierte Funktion g hergestellt:

g (u )

­ x1 °x ° 2 ° ® ° ° ° xk ¯

d u  p1

für

0

für

p1 d u  p1  p2

. . .

k 1

für

¦p

i

i 1

k

d u d

¦p

i

1.

i 1

Diese Methode lässt sich graphisch veranschaulichen. Das Einheitsintervall wird in Abschnitte jeweils der Länge pi , i 1,..., k aufgeteilt. Aufgrund der Gleichverteilung treffen die Realisationen u mit Wahrscheinlichkeiten, die der jeweiligen Länge entsprechen, in die entsprechenden Abschnitte. Dadurch sind die zugeordneten Realisationen gemäß der geforderten diskreten Zufallsvariablen verteilt. Für die Realisation u wird geprüft, in welchen Abschnitt sie trifft. Dann wird die dem Abschnitt zugeordnete Ausprägung xi als Zufallsrealisation x festgehalten. Beispiel Die Schulnoten 1 bis 5 werden in einer Klausur erfahrungsgemäß mit folgenden Wahrscheinlichkeiten erreicht: 3

Betrachtet wird hier nicht die Ausnahmesituation, dass die Summenfolge nicht konvergiert.

278

Simulation und Warteschlangensysteme

Note Wahrscheinlichkeit

1

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

Es sollen Zufallszahlen gemäß dieser empirisch ermittelten, diskreten Verteilung erzeugt werden. Eine geeignete Transformationsfunktion für Standardzufallszahlen lautet dann:

g (u )

d u  0,1 für 0,1 d u  0,3 für 0,3 d u  0, 6 für 0, 6 d u  0,9

­1 °2 °° ®3 °4 ° °¯5

für

0

für 0,9 d u d

1.

In Abb. 7.19 ist die Aufteilung des Intervalls > 0 ,1@ in entsprechende Abschnitte dargestellt. Für jede Standardzufallszahl u ist eine Schulnote entsprechend der zugrunde liegenden diskreten Verteilung zuordenbar. x=4 xi:

1

2

3

4

5

pi:

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

0

0,1

0,3

0,6

0,9

1

u = 0,67 Abb. 7.19. Direkte Transformation von Zufallszahlen

Stetige Gleichverteilung in dem Intervall [a, b] Die Gleichverteilung modelliert die Situation, bei der gleichermaßen alle Werte von a bis b auftreten können. Die Dichtefunktion f ( x ) und Verteilungsfunktion F ( x ) der Gleichverteilung lauten:

f ( x)

­ 1 ° ®b  a °¯0

ad xdb F ( x)

sonst

­0 °xa ° ® °b  a °¯1

xa ad xdb sonst

Stochastische Simulation

f (x)

F (x)

1

1

279

0,8 0,6 1 b-a

0,4 0,2 x 0

a

x 0

b

a

b

Abb. 7.20. Gleichverteilung in [a, b]

Erwartungswert P und Varianz V 2 werden mit den Parametern a und b berechnet zu:

P

ba 2

und

V2

(b  a) 2 12

Aus einer im Intervall > 0 ,1@ gleichverteilten Zufallszahlenfolge lassen sich mittels einer speziellen Transformationsfunktion Zahlen errechnen, die wie eine Folge im Intervall > a,b @ gleichverteilter Realisationen wirkt. Diese Transformationsfunktion g lautet g( u ) a  ( b  a ) ˜ u , die angewendet wird auf die Elemente u der in > 0 ,1@ gleichverteilten Zufallszahlenfolge. Beispiel Die Kunden treffen gleichverteilt alle 1 bis 5 Minuten an einer Bedienstation ein. Die „zufällige“ Ankunftszeit der nächsten 6 Kunden ist zu generieren. Mittels des linearen Kongruenzgenerators mit den Parametern a 5 , c 3 , m 8 werden die Zahlen 6, 1, 0, 3, 2, 5 erzeugt. Division durch 7 ergibt die Pseudozufallszahlenfolge 6 7 , 17 , 0, 37 , 2 7 , 5 7 im Intervall > 0 ,1@ . Die Zuordnungsvorschrift g (u ) 1  (5  1) ˜ u liefert die auf eine Nachkommastelle gerundeten Zwischenankunftszeiten a1 4 , 4 , a2 1, 6 , a3 1 , a4 2 ,7 , a5 2,1 , a6 3,9 . Daraus ergeben sich die „zufälligen“ Ankunftstermine t1 4, 4 , t2 6 , t3 7 , t4 9, 7 , t5 11,8 und t6 15, 7 . Normalverteilung N ( P , V 2 ) Die Normalverteilung modelliert Situationen, in denen geringe Abweichungen von einem Erwartungswert häufig und große Abweichungen selten sind. Sie ist durch die beiden Parameter P und V eindeutig bestimmt, die Erwartungswert bzw. Standardabweichung der Normalverteilung sind. Die Dichtefunktion lautet

280

Simulation und Warteschlangensysteme

f ( x)

1

V 2S

e

1 § xP ·  ¨ ¸ 2© V ¹

2

für alle x   .

Die Dichtefunktionen lassen sich in Form von so genannten Glockenkurven darstellen, die für unterschiedliche Erwartungswerte und Standardabweichungen durch Lage und „Breite“ voneinander abweichen. Abb. 7.21 zeigt die Dichtefunktion der Normalverteilungen N (1,1) , N (1,22 ) und N (1,23 ) im Vergleich.

0.5

N (1, 1) N (1, 22) N (1, 32)

-7

-5

-3

-1

1

3

5

7

Abb. 7.21. Dichtefunktionen von Normalverteilungen

11

1

1

0.5 0, 5

N(0, 1)

0

0,5 0.5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4

4

-3

-2 -1

0

1

2

3

4

Abb. 7.22. Standardnormalverteilung

Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wird üblicherweise mit dem Buchstaben ) bezeichnet, also x

) ( x)

³

f

1 2S

e



t2 2

dt

Werte der Verteilungsfunktion ) der Standardnormalverteilung N (0,1) sind häufig tabelliert, da sich daraus die Werte der Verteilungsfunktionen beliebiger Normalverteilungen ermitteln lassen mittels der Transformation

Stochastische Simulation

FN ( P ,V 2 ) ( x)

§ xP · )¨ ¸. © V ¹

Tabelle 7.4. Verteilungsfunktion ) der Standardnormalverteilung 0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

.5000 .5398 .5792 .6179 .6554

.5079 .5477 .5870 .6255 .6627

.5159 .5556 .5948 .6330 .6700

.5239 .5635 .6025 .6405 .6772

.5318 .5714 .6102 .6480 .6843

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

.6914 .7257 .7580 .7881 .8159

.6984 .7323 .7642 .7938 .8212

.7054 .7389 .7703 .7995 .8263

.7122 .7453 .7763 .8051 .8314

.7190 .7517 .7823 .8105 .8364

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

.8413 .8643 .8849 .9031 .9192

.8461 .8686 .8887 .9065 .9221

.8508 .8728 .8925 .9098 .9250

.8554 .8769 .8961 .9130 .9278

.8599 .8810 .8997 .9162 .9305

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

.9331 .9452 .9554 .9640 .9712

.9357 .9473 .9572 .9656 .9725

.9382 .9494 .9590 .9671 .9738

.9406 .9515 .9607 .9685 .9750

.9429 .9535 .9624 .9699 .9761

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

.9772 .9821 .9860 .9892 .9918

.9783 .9829 .9867 .9898 .9922

.9793 .9838 .9874 .9903 .9926

.9803 .9846 .9880 .9908 .9930

.9812 .9853 .9886 .9913 .9934

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

.9937 .9953 .9965 .9974 .9981

.9941 .9956 .9967 .9975 .9982

.9944 .9958 .9969 .9977 .9983

.9947 .9960 .9971 .9978 .9984

.9950 .9963 .9972 .9980 .9989

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4

.9986 .9990 .9993 .9995 .9996

.9987 .9990 .9993 .9995 .9996

.9988 .9991 .9994 .9995 .9997

.9988 .9992 .9994 .9996 .9997

.9989 .9992 .9994 .9996 .9997

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

.9997 .9998 .9998 .9999 .9999

.9997 .9998 .9999 .9999 .9999

.9998 .9998 .9999 .9999 .9999

.9998 .9998 .9999 .9999 .9999

.9998 .9998 .9999 .9999 .9999

281

282

Simulation und Warteschlangensysteme

Tabelle 7.4 enthält die Werte der Verteilungsfunktion ) , die mittels Mathematica 3.01® ermittelt wurden. Beispielhaft wird das Ablesen eines Wertes erläutert. Soll die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass die Realisation einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen kleiner oder gleich dem Wert 1,42 ist, also der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle 1,42, wird dieser als Schnittpunkt der Zeile 1,4 mit der Spalte 0,02 abgelesen: ) 1, 42 0, 9221 . Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert 1,42 unterschritten wird, ist demnach 92,21 %. Umgekehrt lässt sich der Wert ermitteln, der durch eine Realisation der Standardnormalverteilung mit Wahrscheinlichkeit 0,9515 unterschritten wird. 0,9515 steht im Schnittpunkt von 1,6 und 0,06, also ist )(1,66)=0,9515. Der Wert, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,15 % unterschritten wird, ist folglich 1,66. Auf Grundlage einer Normalverteilung lassen sich Ergebnisse von Simulationsstudien bei Vorliegen entsprechender Voraussetzungen hinsichtlich ihrer Genauigkeit abschätzen. Exponentialverteilung Ex(O) Mit der Exponentialverteilung kann häufig die Wartezeit zwischen je zwei Ereignissen oder eine technische Lebensdauer beschrieben werden. Sie ist eindeutig durch ihren Erwartungswert bestimmt. Die Dichte- und die Verteilungsfunktion lauten f ( x)

­O ˜ e  O x ® ¯0

xt0 sonst

Erwartungswert und Varianz sind P 6 5 4 3 2 1 0

F ( x)

bzw. 1

O

bzw. V 2

1

Ex(6)

­1  e  O x ® ¯0 1 . 2

xt0 sonst

O

O =6

0,8 0,6 0,4

Ex(3)

O =3

0,2 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Abb. 7.23. Exponentialverteilungen mit O

0 3 bzw. O

0,2

0,4

0,6

0,8

1

6

Poissonverteilung P(O) Die Poissonverteilung ist eine diskrete Verteilung und zur Beschreibung des Auftretens seltener Ereignisse geeignet. Sie ist ebenfalls eindeutig durch ihren Erwartungswert bestimmt.

Stochastische Simulation

283

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet

f ( x)

­O x ° e O ® x! °0 ¯

für x {0,1,..., n,...} und O > 0 sonst

Der Erwartungswert ist P O und die Varianz V 2 O . Zwischen Poissonverteilung und Exponentialverteilung besteht der folgende wichtige Zusammenhang: Beschreibt P (O ) das Ankunftsverhalten seltener Ereignisse, d. h. im Mittel treffen O Ereignisse pro ZE ein, dann beschreibt Ex  O die Zwischenankunftszeit zwischen diesen Ereignissen und umgekehrt. Dann ist der Abstand zwischen zwei Ereignissen im Mittel 1O . Exponential- und Poissonverteilung werden häufig verwendet, um realitätsnah das Ankunftsverhalten und die Bedienzeit in Warteschlangensystemen zu modellieren. Zentraler Grenzwertsatz und Konfidenzintervall Führt man eine stochastische Simulation durch, erhält man bei jedem Simulationslauf ein Ergebnis, welches als Realisation einer noch unbekannten Zufallsvariablen aufgefasst werden kann. Die Ergebnisse von n Simulationsläufen lassen sich als Stichprobe des Umfangs n aus einer Grundgesamtheit auffassen. Diese Stichprobe kann nun verwendet werden, um die unbekannten Parameter der Grundgesamtheit zu schätzen. Beispielsweise kann der Mittelwert der Beobachtungen verwendet werden, um den unbekannten Erwartungswert der Grundgesamtheit, aus der die Realisationen stammen, zu schätzen. Aufgrund des Gesetzes der großen Zahl gilt, dass der Mittelwert voneinander unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen X 1 ,..., X n stochastisch gegen deren gemeinsamen Erwartungswert P konvergiert, d. h. sich mit wachsendem n immer stärker dem Erwartungswert annähert. Der zentrale Grenzwertsatz gibt zusätzlich die Verteilungsfunktion der Mittelwerte unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen X 1 ,..., X n mit Erwartungswert P und Standardabweichung V an: Die Verteilungsfunktion des Mittelwertes kann mit zunehmendem n immer 2 besser durch die Normalverteilung N ( P , V n ) , also mit Erwartungswert P und V Standardabweichung , angenähert werden. n Intervallschätzung Da ein unbekannter Parameter einer Grundgesamtheit aufgrund einer Stichprobenerhebung nicht exakt ermittelbar ist, was entsprechend auch für die Ergebnisse einer Simulationsstudie gilt, soll mittels einer Intervallschätzung ein Intervall bestimmt werden, in dem der unbekannte Parameter der Grundgesamtheit mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit liegt. Ein derartiges Intervall wird als Konfidenzintervall bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Wert in

284

Simulation und Warteschlangensysteme

diesem Konfidenzintervall liegt, nennt man Konfidenzniveau oder Vertrauenswahrscheinlichkeit. Will man Aussagen über den Erwartungswert einer Normalverteilung mit bekannter Varianz V 2 treffen, kann man in folgenden Schritten vorgehen (etwa Bamberg, Baur 2002): -

Festlegen des Konfidenzniveaus 1  D Bestimmung des 1  D 2 - Fraktils c der Standardnormalverteilung, also Bestimmung von c mit ) (c) 1  D 2

-

Ermittlung des Stichprobenmittelwertes x : x

-

Ermittlung von c ˜ V

-

Bestimmung des Konfidenzintervalls zu

1 n ¦ xi ni1

n

ªx  c ˜V ¬

n

,

x  c ˜V

º.

n¼

Man kann dann davon ausgehen, dass der unbekannte Erwartungswert mit Wahrscheinlichkeit 1  D in diesem Intervall liegt. Eine Verschärfung des Intervalls bei gegebenem Vertrauensniveau ist durch eine geeignete Erhöhung des Stichprobenumfangs n möglich. Soll die Länge des Intervalls oder die Abweichung vom Erwartungswert einen bestimmten vorgegebenen Wert L bzw. A nicht überschreiten, kann der hierzu erforderliche Stichprobenumfang ermittelt werden mit § 2 cV · n t ¨ ¸ © L ¹

2

2

§ cV · n t ¨ ¸ . © A ¹

bzw.

Direkt ableitbar ist, dass eine Halbierung der Länge des Konfidenzintervalls, damit folglich eine Verdoppelung der Genauigkeit des Ergebnisses, mit dem vierfachen Stichprobenumfang erreichbar ist. Soll ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert ermittelt werden, wenn die Grundgesamtheit normalverteilt, die Varianz jedoch nicht bekannt, sondern ebenfalls aus der Stichprobe zu schätzen ist, ist obiges Vorgehen zu modifizieren, indem im zweiten Schritt das 1  D 2 -Fraktil der Student-t-Verteilung mit n  1 Freiheitsgraden zu ermitteln ist. Weiterhin wird die unbekannte Standardabweichung V der Grundgesamtheit durch die Schätzung s der Standardabweichung aus der Stichprobe in allen betroffenen Formeln V ersetzt mit s

1 n 1

n

¦ (x

i

 x )2 .

i 1

Da die Dichtefunktion der Student-t-Verteilung für wachsendes n gegen die der Normalverteilung konvergiert, können für n ! 30 auch bei unbekannter Varianz die Fraktile der Normalverteilung verwendet werden (vgl. beispielsweise Bam-

Stochastische Simulation

285

berg, Baur 2002). Daher wird hier auf die Student-t-Verteilung nicht weiter eingegangen. Ist die Verteilung der Grundgesamtheit nicht bekannt, erhält man für n ! 30 bei obigem Vorgehen für praktische Fälle meist ausreichend genaue Ergebnisse, da aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes dann mit ausreichender Genauigkeit angenommen werden kann, dass der Mittelwert entsprechend normalverteilt ist. Solche allgemeinen statistischen Aussagen werden zur Auswertung von Simulationsstudien eingesetzt. Realisationen entsprechen Zufallsstichproben, sodass Schätzungen und Tests damit durchgeführt werden können. Sollen mittels einer Simulationsstudie Aussagen über einen unbekannten Erwartungswert abgeleitet werden, kann dieser durch den Mittelwert der Ergebnisse der Realisationen geschätzt und die Genauigkeit über das Konfidenzintervall angegeben bzw. gezielt durch weitere Simulationsläufe gesteigert werden. Sollen zwei Alternativen, z. B. drei oder vier Kassen, miteinander verglichen werden, ist die Abweichung der beobachteten Ergebnisse, wie z. B. durchschnittliche Wartezeit der Kunden, zum einen durch die unterschiedliche Kassenzahl und zum anderen durch die Zufälligkeit der generierten Realisationen bedingt. Um aussagekräftige Ergebnisse mit möglichst geringem Simulationsaufwand zu erzielen, sollten die für die Simulation geeigneten Methoden zum Simulationsdesign und zur Auswertung eingesetzt werden (u. a. Banks 1998, Bratley et al. 1987, Fishman 2001, Kleijnen 1987, Law u. Kelton 2006, Liebl 1995, Pidd 2004 und Watson u. Blackstone 1989) 7.2.3 Warteschlangensysteme und Risikoanalyse Die stochastische Simulation lässt sich sehr vielfältig in den verschiedenen Anwendungsbereichen einsetzen. So kann die Untersuchung eines Produktionsprozesses zusätzlich stochastische Einflüsse berücksichtigen. Die vorgestellte Anwendung in der Kunststoff verarbeitenden Industrie ließe sich etwa um zufällig eintretende Störungen der Anlagen erweitern, für die dann Konsequenzen für den Produktionsablauf ermittelt werden könnten, um den Kapazitätsreduktionen begegnen zu können. Geschäftsprozesse lassen sich mittels stochastischer Simulation untersuchen und verbessern (Völkner 1998, Völkner u. Werners 2000). Die Projektsteuerung kann in risikobehafteten Situationen durch simulationsbasierte Ansätze untersucht werden (Werners u. Wolf 2004, Wolf 2005). Eine Fülle weiterer Anwendungen ist der Simulationsliteratur zu entnehmen. Die Simulation wird häufig zur Untersuchung des Verhaltens von Warteschlangensystemen verwendet, die in verschiedensten Anwendungssituationen zu finden sind, wie etwa bei Callcentern, in der Produktion, in Service-Einrichtungen oder im Gesundheitswesen. Zwischenankunft der Kunden und Bedienung durch die Station in realen Warteschlangensystemen lassen sich oft durch Exponentialverteilungen angemessen modellieren. Für solche und weitere Systeme wurden im Rahmen der Warteschlangentheorie umfangreiche analytische Ergebnisse entwickelt, von denen im Folgenden einige grundlegende vorgestellt werden. Vor Durchfüh-

286

Simulation und Warteschlangensysteme

rung einer Simulationsstudie sollte stets geprüft werden, ob analytische Methoden verfügbar sind, die eine geschlossene, exakte Untersuchung erlauben. Diese sind dann vorzuziehen, da Simulationsuntersuchungen sehr aufwändig sind, besonders wenn präzise Ergebnisse mit ausreichender Genauigkeit gewünscht werden. Nur wenn die Realität sich als so komplex erweist, dass analytische Modelle nicht geeignet sind, sollte Simulation eingesetzt werden. Selbst dann sind Abschätzungen aus analytischen Untersuchungen gröberer Modelle häufig wertvoll, um sinnvolle Alternativen auszuwählen und durchzuführende Simulationsstudien festzulegen. Warteschlangensysteme Warteschlangenmodelle werden in der Literatur klassifiziert, indem die jeweiligen Eigenschaften in der Reihenfolge Ankunftsprozess, Bedienprozess, Anzahl der Kanäle, Größe des Warteraums und Abfertigungsregel angegeben werden. Häufig wird von einem beliebig großen Warteraum und der Abfertigungsregel FIFO ausgegangen, dies wird nicht extra angegeben, sondern die verbleibenden drei Merkmale reichen zur Klassifikation aus. Praxisrelevant sind besonders (M, M, s) Systeme, wobei M für Markov-Prozess steht und s die Anzahl der Bedieneinheiten darstellt. Ein Markov-Prozess ist durch diskrete Zustände charakterisiert, deren Änderungen in exponentialverteilten Zeitdauern erfolgen, die unabhängig von früheren Änderungen sind. Damit ist die Zahl der Zustandsänderungen pro Zeiteinheit poissonverteilt. Im Folgenden werden die Ergebnisse für s 1 angegeben. Analytische Aussagen beziehen sich auf den stationären Zustand des Systems, d. h. auf ein langfristig gleichmäßiges Verhalten. Die Warteschlange vor einem Postschalter ist bei Eintreffen des ersten Kunden leer und wird sich erst allmählich aufbauen. Nach einiger Zeit wird die übliche Warteschlangenlänge zu beobachten sein, vorausgesetzt, die Bedienung erfolgt ausreichend zügig. Nur dieses durchschnittliche Verhalten ist analytisch erfasst. Mittels Simulation kann auch das Einschwingverhalten beobachtet werden, jedoch ist ebenso zu beachten, dass diese erste Phase die durchschnittlichen Ergebnisse beeinflusst. Mit

U

Ankunftsrate Abfertigungsrate

O P

lässt sich die durchschnittliche Verkehrsdichte U , also die durchschnittliche Auslastung der Bedieneinheit ermitteln, wenn die Ankunftsrate O , also die durchschnittliche Anzahl zugehender Einheiten pro Zeiteinheit und die Abfertigungsrate P , also die durchschnittliche Anzahl abzufertigender Einheiten pro Zeiteinheit bekannt sind.

Stochastische Simulation

287

Die durchschnittliche Leerzeit W einer Bedienstation je Zeiteinheit ist

W

P O P

1 U

Leerzeiten können nur auftreten, wenn U  1 ist. Nur in diesem Fall kann das Warteschlangensystem (M, M, 1) einen stationären Zustand erreichen, anderenfalls wird die Schlange immer länger. Für den stationären Zustand lassen sich u. a. folgende Ergebnisse ermitteln. Die mittlere Zahl der Elemente im System ist

U

n

O P O

1 U

Die durchschnittliche Länge der Warteschlange (ohne Bedienung) ist nq

U2 1 U

U ˜n

Die durchschnittliche Anzahl nb der in Bedienung befindlichen Einheiten ist n  nq

nb

U

Die mittlere Zeit im System t beträgt n

t

O

1 P O

Die mittlere Wartezeit in der Schlange ist tq

U P 1  U

O P P  O

U ˜t

Mit zunehmender Auslastung U steigt die Wartezeit extrem an. Die durchschnittliche Zeit tb in der Bedienstation ist erwartungsgemäß tb

t  tq

1 O  P  O P ˜( P  O )

1

P

Beispiel Postschalter (M, M, 1) Die Zahl der ankommenden bzw. pro Zeiteinheit bedienten Kunden des Postschalters werden nun mit einer Poissonverteilung, d. h. die Dauern mit einer Exponentialverteilung, beschrieben, im Unterschied dazu wurde im früheren Simulationsbeispiel Gleichverteilung unterstellt. Die mittlere Zwischenankunftszeit beträgt 3 Minuten, damit kommen pro halbe Stunde im Mittel 10 Kunden an, also O 10 . Damit wird hier als betrachtete Zeiteinheit eine halbe Stunde gewählt. Diese wird konsequent bei den folgenden Berechnungen zugrunde gelegt. Auch für jede

288

Simulation und Warteschlangensysteme

andere Wahl stimmen die interpretierten Endergebnisse überein. Die Abfertigung dauert im Mittel 2 Minuten, also werden P 15 Kunden im Mittel pro halbe Stunde bedient. Die durchschnittliche Verkehrsdichte, also die durchschnittliche Auslastung des Schalters, beträgt somit

U

10

66 , 66%

15

und damit die durchschnittliche Leerzeit des Schalters

W

1

1 U

33,33% .

3

Die durchschnittliche Länge der Warteschlange (ohne Bedienung) ist

 23

nq

U

2

1  23

4

1,33 .

3

Da die durchschnittliche Anzahl der in Bedienung befindlichen Kunden 2 ist, ist die durchschnittliche Anzahl der Kunden im System also 2. 3 Die mittlere Wartezeit in der Schlange beträgt

O P P  O

tq

2

15

> ZE @

Da in diesem Beispiel von 1 ZE = 30 min ausgegangen wurde, beträgt die mittlere Wartezeit in der Schlange also 2

15 ˜ 30

min

4 min .

Obwohl also der Postschalter nur zu ca. 67% ausgelastet ist, müssen die Kunden recht lange warten. Hinsichtlich weiterer analytischer Ergebnisse der Warteschlangentheorie wird auf die Literatur verwiesen (z. B. Chen und Yao 2001, Hillier und Lieberman 1997, Zimmermann und Stache 2001). Risikoanalyse Weit verbreitet ist die Simulation bei Untersuchungen im Rahmen des Risikomanagements. Bekannt ist die von Hertz (1964) vorgeschlagene Risikoanalyse, für die die Simulation zur Ermittlung des Risikoprofils eines Investitionsvorhabens eingesetzt wird. Dazu werden die zufälligen Einflüsse, die die zukünftigen Einund Auszahlungen des Investitionsprojekts beeinflussen, durch Expertenbefragungen ermittelt und dann entsprechende zufällige Realisationen generiert. Daraus werden jeweils die Zahlungsreihen und daraus die Realisationen der Kapitalwerte berechnet und die Ergebnisse mittels des Risikoprofils der Investitionsalternativen grafisch dargestellt. Das Risikoprofil entspricht 1  F ( x) , wenn F ( x) die Verteilungsfunktion des unsicheren Kapitalwertes ist, und ist für Nichtexperten anschaulicher als die Verteilungsfunktion.

Stochastische Simulation

289

1-F (x) 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Kapitalwert 0

1000

2000

3000

4000

Abb. 7.24. Risikoprofil eines Investitionsvorhabens

Die Werte des Risikoprofils geben jeweils die Wahrscheinlichkeit an, einen bestimmten Kapitelwert mindestens zu erreichen. So ist das Projekt, zu dem obiges Risikoprofil ermittelt wurde, mit Sicherheit erfolgreich, da mit Wahrscheinlichkeit 1 der Kapitalwert größer oder gleich null ist. Mit 50%iger Wahrscheinlichkeit liegt der Kapitalwert über 2.100. Zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit mehrerer mit Risiko behafteter Investitionsalternativen im Vergleich sind weiterführende, entscheidungstheoretisch fundierte Ansätze zu berücksichtigen. Beispiel Risikoprofil I1 Die Anlageninvestition I1 ist mit einer Zahlungsreihe beschreibbar, jedoch sind die Einzahlungsüberschüsse zu den Zeitpunkten 1 bis 3 mit Unsicherheit behaftet. Es kann davon ausgegangen werden, dass sie unabhängig voneinander gleichverteilt in den angegebenen Intervallen schwanken, sodass die Zahlungen Z1 , Z 2 und Z 3 in den angegebenen Intervallen gleichverteilte Zufallsvariablen sind. Zeitpunkt Zahlungen

t

0

-2.100

t 1 [900, 1100]

t

2

[850, 1150]

t

3

[830, 1230]

Unter Einsatz der Simulation soll das Risikoprofil für diese Investition ermittelt werden. Zur Illustration wird das Vorgehen wieder manuell mit sehr wenigen Werten durchgeführt. Zunächst werden 30 Zufallszahlen in > 0 ,1@ generiert mit dem linearen Kongruenzgenerator xi

(5 ˜ xi 1  3) mod 64 .

290

Simulation und Warteschlangensysteme

Mit dem Startpunkt x0 x0

4, x1

23, x2

4 erhält man die Folge 54, 17, 24, 59, 42, 21, 44, 31, 30, 25, 0, 3, 18, 29,

20, 39, 6, 33, 40, 11, 58, 37, 60, 47, 46, 41, 16, 19.

Diese Folge wirkt wie zufällig auf den Zahlen von 0 bis 63 gleichmäßig verteilt. Nach Division durch 63 resultiert eine gleichverteilte Pseudozufallszahlenfolge in > 0 ,1@ . Alle folgenden Angaben sind auf 2 Stellen gerundet, die Berechnungen wurden sämtlich mit den exakten Werten durchgeführt: 0, 06; 0, 37; 0,86; 0, 27; 0,38; 0, 94; 0, 67; 0, 33; 0, 70; 0, 49;...

Mittels der geeigneten Transformationsfunktionen werden daraus gleichverteilte Zufallszahlen in den gewünschten Intervallen errechnet; für die Berechung wurden die ungerundeten Werte verwendet. Die ersten zehn Zufallszahlen werden zur Ermittlung der zehn Zahlungen zum Zeitpunkt 1 unter Einsatz der Transformationsfunktion g1 (u ) ermittelt:

>900;1100@ : g1 ( u )

900  200 u.

Entsprechend werden zur Erzeugung der Zahlungen der Zeitpunkte 2 und 3 die folgenden Transformationsfunktionen eingesetzt:

>850;1150@ : g 2 ( u )

850  300 u.

>830;1230@ : g3 ( u )

830  400 u

Tabelle 7.5. Generierte Zahlungsfolgen und Kapitalwerte

Realisation

Z3

K 01

Z1

Z2

1

912,70

992,86

1083,97

364,67

2

973,02

969,05

899,84

261,49

3

1071,43

850,00

1198,25

476,77

4

953,97

864,29

1064,92

281,62

5

976,19

935,71

1210,95

470,57

6

1087,30

988,10

1128,41

552,86

7

1033,33

945,24

1122,06

463,61

8

966,67

1035,71

1090,32

453,92

9

1039,68

878,57

931,59

271,17

10

998,41

1007,14

950,63

354,22

Stochastische Simulation

291

Für jeweils eine Kombination von Ausprägungen zu den drei Zeitpunkten wird nun der Kapitalwert mit einem Kalkulationszins von 10 % ermittelt. Eine Übersicht ist in Tabelle 7.5 zu finden: K 01

2.100  912, 70 ˜ (1,1) 1  992,86 ˜ (1,1) 2  1083,97 ˜ (1,1) 3

364, 67.

Die zweite Realisation des Kapitalwertes wird bestimmt zu K 01

2.100  973, 02 ˜ (1,1) 1  969, 05 ˜ (1,1) 2  899,84 ˜ (1,1) 3

261, 49.

Mit diesen Daten wird das Risikoprofil dieser Investitionsalternative approximiert. Dazu werden die Werte der Größe nach sortiert und jeweils von einer Wahrscheinlichkeitssteigerung von 0 ,1 ausgegangen. Verteilung F (x)

1 0,8 0,6 0,4 0,2

100

200

300

400

500

Kapitalwert

Abb. 7.25. Risikoprofil I1 nach 10 Simulationsläufen

Da die Annäherung aufgrund der geringen Zahl der Simulationsläufe noch sehr grob ist, werden die tatsächlichen Werte nicht unbeträchtlich von diesen abweichen. Der mittels Simulation bestimmte durchschnittliche Kapitalwert für dieses Vorhaben beträgt 395,09, die geschätzte Standardabweichung 56,96. Eine sehr grobe Abschätzung des Konfidenzintervalls zeigt, dass der beobachtete mittlere Wert von 395,09 mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 35,30 vom tatsächlichen Erwartungswert des Kapitalwertes abweicht. Dazu wurde eine bekannte Standardabweichung vorausgesetzt, die tatsächlich geschätzt wurde, was die mögliche Abweichung noch vergrößert. Eine Fülle weiterer Einsatzgebiete der Simulation findet man in unterschiedlichsten Anwendungsbereichen. So wird die Risikoanalyse auch in anderen Einsatzgebieten häufig simulationsbasiert durchgeführt. Simulation wird auch zur

292

Simulation und Warteschlangensysteme

Nachbildung der zeitlichen Entwicklung von ggf. korrelierten Aktienkursen verwendet, um darauf aufbauend das Marktrisiko der Haltung von Wertpapierhandelsbeständen schätzen zu können. Die Ermittlung des Value at Risk eines Portfolios, ein Maß für die Verlustobergrenze, geschieht häufig simulationsbasiert. 7.2.4 Aufgaben Aufgabe 7.2.1 Der Pharmakonzern NitroBey beabsichtigt die Einführung eines neuartigen Medikamentes zur Blutdrucksenkung. Die Forschungs- und Entwicklungsvorhaben im Bereich der Pharmaindustrie unterliegen jedoch einem hohen Risiko, da sowohl die technische Realisierung als auch die spätere Markteinführung sowie die Akzeptanz des Produktes mit Unsicherheit behaftet sind. Daher verfolgt das Management ein dreistufiges Vorgehen. Sobald eine Stufe nicht zufrieden stellend abgeschlossen wurde, wird das gesamte Projekt abgebrochen. Die erreichten Erkenntnisse sind dennoch von Wert für das Unternehmen. Die erste Stufe stellt das Ende der Forschungstätigkeit dar und wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % positiv beendet. Daraus resultiert eine Wertsteigerung von 60.000 € ± 10 %. Mit dem Ende der zweiten Stufe ist die Entwicklung des Medikamentes abgeschlossen. Hierbei kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % zu einem positiven Ergebnis und einer weiteren Wertsteigerung von 80.000 € ± 25 %. Nach positiver Forschungs- und Entwicklungstätigkeit werden als dritte Stufe die Markteinführung und der Absatz des Medikamentes während des ersten Jahres betrachtet. Ein zufrieden stellendes Ergebnis wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % erwartet, welches zu zusätzlichen Wertsteigerungen in Höhe von 450.000 € ± 25 % führen wird. Die voraussichtlichen Wertsteigerungen sind mit Unsicherheit behaftet und liegen jeweils zwischen den Minimal- und Maximalwerten. Sie sind durch eine stetige Gleichverteilung beschreibbar. a) Geben Sie analytisch die Wahrscheinlichkeit für eine erfolgreiche Markteinführung an. b) Führen Sie manuell mehrere Simulationsläufe durch. Geben Sie zunächst die zu verwendenden Transformationsfunktionen an. Verwenden Sie zur Bestimmung der Eintrittswahrscheinlichkeiten bzw. Ergebnisverbesserungen der Reihe nach sämtliche folgende in [0; 1] gleichverteilte, gerundete Pseudozufallszahlen: 0,3; 0, 7; 0, 6; 0,1; 0, 4; 0,8; 0,5; 0, 2; 0,9; 0,8; 0,3; 0, 7

Aufgabe 7.2.2 Der Student Felix Vorms beginnt mit der Literaturrecherche für seine Diplomarbeit im Fach Operations Research. Er wählt sich von zu Hause über das Internet in den Katalog der Universitätsbibliothek ein und gibt die Daten der benötigten Bücher ein. In 80 % der Fälle findet das System das gesuchte Buch und Felix

Stochastische Simulation

293

erhält die Information, wo das Buch verfügbar ist. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % befindet sich das Buch in der Fakultätsbibliothek, zu 10 % in der Universitätsbibliothek und zu 50 % in einer Universität einer anderen Stadt. Als nächstes prüft er die Verfügbarkeit der angezeigten Bücher an den jeweiligen Standorten. Dabei stellt sich heraus, dass er 60 % der Bücher sofort ausleihen bzw. einsehen kann, 35 % der Bücher bereits ausgeliehen sind und 5 % der Bücher nicht aufzufinden und daher mit einem Vermisst-Vermerk versehen sind. Erzeugen Sie sechs unterschiedliche, in dem Intervall > 0, 1@ gleichverteilte (Pseudo-) Zufallszahlen unter Anwendung eines linearen Kongruenzgenerators. Geben Sie für die drei Stufen des Suchprozesses eines Buches je eine geeignete Transformationsfunktion an und setzen Sie die erzeugten Zufallszahlen ein, um Realisationen der Literaturrecherche zu bestimmen. Führen Sie hierbei zwei Simulationsläufe durch und geben Sie die Ergebnisse explizit an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Felix Vorms das gesuchte Buch in der Fakultätsbibliothek findet und dort einsehen kann? Vergleichen Sie das analytisch ermittelte Ergebnis mit dem der Simulation. Aufgabe 7.2.3 Die Landesregierung in NRW plant, für ca. 3,5 Mrd. € auf der Strecke DortmundDüsseldorf den Metrorapid zu bauen. Dadurch soll die Reisezeit zwischen Dortmund und Düsseldorf von 57 Minuten mit bisherigen Zügen auf 39 Minuten verkürzt werden. Gleichzeitig sollen jedoch die Regionalexpress-Linien RE 1 und RE 11 Bielefeld-Düsseldorf sowie die Interregio-Linie IR 20 Erfurt-Düsseldorf statt bis Düsseldorf nur noch bis Dortmund geführt werden. Kritiker bemängeln, dass Zeitgewinne für diejenigen Fahrgäste, die aus der Richtung Bielefeld bzw. Erfurt nach Düsseldorf reisen, aufgrund erforderlicher Umsteigezeiten in Dortmund nur marginal sind und daher eine derartige Investition nicht zu rechtfertigen ist. Für Vorabüberlegungen zur Beratung politischer Gremien über die Reisezeiten betrachten Sie den Zeitraum zwischen 12.00 h und 13.00 h eines beliebigen Wochentags. Die Zahl der Fahrgäste, die pro Zug, RE 1, RE 11 oder IR 20, in Dortmund ankommen und nach Düsseldorf weiterfahren, kann als diskret gleichverteilt im Intervall >50, 54@ angesehen werden. Aussteiger für andere Städte, die der Metrorapid bedienen soll, und Einsteiger in Dortmund werden nicht berücksichtigt. Bielefeld g ur i sb u D

n se Es

um ch o B

d un tm r Do

RE 1 RE 11

Metrorapid bisheriger Endbahnhof für RE 1, RE 11, IR 20

Düsseldorf

geplanter Endbahnhof für RE 1, RE 11, IR 20

IR 20 Erfurt

294

Simulation und Warteschlangensysteme

Erzeugen Sie eine Folge von sechs unterschiedlichen, im Intervall [0,1] gleichverteilten Pseudozufallszahlen. Benutzen Sie diese sechs Zahlen zur Bestimmung von sechs Realisationen der Fahrgastzahlen, die pro Zug in Dortmund ankommen und nach Düsseldorf weiterfahren möchten. Ermitteln Sie auf Basis der sechs Realisationen für zwei Simulationsdurchläufe den durchschnittlichen Zeitgewinn pro Fahrgast mit Fahrtziel Düsseldorf für den Abschnitt Dortmund-Düsseldorf im Vergleich zur bisherigen Fahrzeit bei durchgehenden Zügen. Beginnen Sie mit der Ankunftszeit in Dortmund. Beziehen Sie bei Ihrer Berechnung die Wartezeit in Dortmund und den Zeitgewinn durch den Metrorapid ein.

Ankunft in Dortmund

Anschluss durch Metrorapid zur Weiterfahrt nach Düsseldorf

Linie

12.13 h

RE 1 aus Bielefeld

12.20 h

12.19 h

IR 20 aus Erfurt

12.30 h

12.45 h

RE 11 aus Bielefeld

12.50 h

Aufgabe 7.2.4 Die Simulation des folgenden Netzplans mit stochastischen, in den angegebenen Intervallen gleichverteilten Dauern soll durchgeführt werden.

> 2,3@

>3, 4@

>5, 6@ Geben Sie die minimal bzw. maximal mögliche Dauer des zugrunde liegenden Projektes an. Ermitteln Sie ausgehend von den auf > 0,1@ gleichverteilten Zufallszahlen: 0,4; 0,7; 0,5; 0,2; 0,3; 0,1; 0,9; eine Realisation des Projektes und die zugehörige Dauer. Nach der Durchführung von 100 Simulationsläufen erhalten Sie für die Projektdauer den beobachteten Mittelwert 6,12 und die beobachtete Standardabweichung 0,2. Wie genau ist der beobachtete Mittelwert? Sie wollen mit 95%iger Sicherheit eine maximale Abweichung des unbekannten Erwartungswertes der Projektdauer von Ihrem Simulationsergebnis von 0,01 erreichen. Geben Sie an, wie viele Simulationsläufe dazu durchzuführen sind.

Stochastische Simulation

295

Aufgabe 7.2.5 Das Bahnbetriebswerk in Dortmund ist für die Wartung kompletter Hochgeschwindigkeitszüge verantwortlich. Da teilweise sehr lange Wartezeiten bei der Wartung entstehen, obwohl das Betriebswerk durchgehend arbeitet, werden Untersuchungen zur Ermittlung möglicher Verbesserungsmaßnahmen durchgeführt. Das Ankunftsverhalten der Züge kann durch eine Exponentialverteilung mit einem Erwartungswert von 15 Stunden für die Zwischenankunftszeiten beschrieben werden. Die Wartung je eines kompletten Zuges wird als exponentialverteilt mit einer erwarteten Dauer von 12 Stunden angesehen. Es kann zeitgleich nur ein Zug gewartet werden. Die Opportunitätskosten für einen Zug, der außer Betrieb ist, betragen 250 GE je Stunde. Ermitteln Sie mit Hilfe warteschlangentheoretischer Untersuchungen, wie hoch die mittlere Schlangenlänge und die mittlere Wartezeit ist. Wie hoch sind die durchschnittlichen Opportunitätskosten pro Zug, die allein aufgrund der Wartezeit anfallen? Aufgabe 7.2.6 Beim Einwohnermeldeamt einer Kleinstadt im Sauerland bildet sich regelmäßig eine Schlange vor der Personalausweisbearbeitungsstelle. Die Öffnungszeiten sind vormittags von 10.00 Uhr bis 12.00 Uhr. Eine erste Untersuchung zeigt, dass das Ankunftsverhalten der Kunden durch eine Poissonverteilung mit einer mittleren Ankunftsrate von 1,5 Bürgern je 10 Minuten annähernd beschrieben werden kann. Die Antragsbearbeitungsdauer durch den einzigen Sachbearbeiter kann als exponential verteilt angenommen werden mit einem Mittelwert von 5 Minuten. Geben Sie auf Grund warteschlangentheoretischer Überlegungen an, wie hoch die Auslastung der Halbtagskraft ist, wie viele Bürger im Mittel warten müssen und wie lang die mittlere Wartezeit ist. Aufgabe 7.2.7 Der Supermarkt OptiSpar möchte die Servicefreundlichkeit an der Wursttheke weiter erhöhen. Untersuchungen haben ergeben, dass das Ankunftsverhalten der Kunden an der Wursttheke durch eine Poissonverteilung mit einer mittleren Ankunftsrate von 3 Kunden je 15 Minuten annähernd beschrieben werden kann. Der gesamte Bedienvorgang durch die einzige Fleischfachverkäuferin kann als exponential verteilt angenommen werden mit einem Mittelwert von 3 Minuten. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der Zeit, in der die Verkäuferin unbeschäftigt ist. Geben Sie die durchschnittliche Länge der Warteschlange vor der Wursttheke und die durchschnittliche Wartezeit der Kunden an. Aufgabe 7.2.8 Für ein Investitionsvorhaben wurde mittels Risikoanalyse in 400 Simulationsläufen ein durchschnittlicher Kapitalwert von 350 GE beobachtet, die Standardab-

296

Simulation und Warteschlangensysteme

weichung der beobachteten Kapitalwerte beträgt 45. In welchem Bereich wird der Erwartungswert des Kapitalwertes mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit liegen? In welchem mit 99 %iger Wahrscheinlichkeit? Müssen zur Sicherstellung einer maximalen Abweichung von 1 % weitere Simulationsläufe durchgeführt werden?

8 Lösungen

8.1 Quantitative Entscheidungsunterstützung 1.2.1 a) Schüler a2 dominiert Schüler a1 , da a2 in allen Fächern eine bessere Note als a1 hat. b) Eine so allgemeine Effizienzaussage ist nicht sinnvoll, da es sicher Schüler gibt, die hinsichtlich aller aufgeführten Noten besser sind. Die Aussage ist wahr in Bezug auf die betrachtete Schülermenge. Die Schüler a2 und a3 werden von keinem anderen Schüler dominiert, sie sind demnach effizient bez. a1 ,..., a4 . c) Da die Schüler a2 und a3 effiziente Schüler sind (vgl. 2), ist diese Aussage falsch. d) Diese Aussage ist falsch. Schüler a4 ist im Fach Mathematik besser und in Englisch schlechter als Schüler a1 . Damit ist ein Vergleich nicht möglich, ohne zusätzliche Präferenzkriterien zu kennen, auch keine Aussage über die Indifferenz. e) Schüler a2 und a3 sind nicht miteinander vergleichbar, daher kann a2 nicht bester Schüler sind. Da er nicht dominiert wird, also effizient ist, gehört er jedoch zur Menge der besten Schüler, ebenso wie a3 . 1.2.2 a2 [ a1 , a2 [ a4 , a2 [ a3 , a4 [ a3 , d. h. die Alternative a2 wird von allen anderen dominiert. Alternative a4 wird von a3 dominiert. Alternative a1 ist weder mit a3 noch mit a4 vergleichbar. a1 und a3 sind undominiert, also effizient bez. der betrachteten Menge von vier Alternativen, und kommen für eine Auswahl in Betracht. Dennoch kann nicht argumentiert werden, dass a1 besser sei als a4 . 1.2.3 Als Ergebnis wird jeweils der Erlös abzüglich der fixen und variablen Kosten bestimmt.

298

Lösungen

Nachfrage

100

200

400

0

0

0

0

100

0

0

0

200

-100

100

100

400

-300

-100

300

Auflage

Die Alternative, nicht zu produzieren oder eine Auflagenhöhe von 100 festzulegen, sind vergleichbar und führen mit Sicherheit weder zu einem Gewinn noch zu einem Verlust. Beide Alternativen sind mit den anderen beiden und diese auch gegenseitig zunächst jeweils unvergleichbar. Da bekannt ist, dass der Verleger risikoneutral ist, kann der Erwartungswert der Ergebnisse als Kriterium zur Beurteilung der Handlungsalternative herangezogen werden. Der erwartete Gewinn des Verlegers beträgt bei einer Wahrscheinlichkeit von 1 für jeden Umweltzustand für die Handlungsalternative: 3 E (0)

0, E (100)

0, E (200)

33, 3, E (400)

33, 3

Damit sollte der risikoneutrale Verleger als Auflagenhöhe 200 wählen mit einem erwarteten Gewinn von 33, 3 GE. Es ist jedoch zu beachten, dass später trotz guter Planung die ungünstige Situation eintreten kann, dass „Der Ring“ vorher erscheint und der Verleger einen Verlust von 100 GE hinnehmen muss. 1.2.4 Zielvorstellungen beschreiben die Präferenzen bez. der mit der Wahl des Urlaubsziels verbundenen Handlungskonsequenzen. Beispielsweise kann ein minimaler Reisepreis und eine maximale Urlaubsbräune angestrebt werden. Alle konkret buchbaren bzw. organisierbaren Urlaubsreisen während der Weihnachtszeit, wie z. B. achttägiger Aufenthalt auf Mallorca oder Gran Canaria mit Flug und konkretem Hotel, stellen die zu wählenden Handlungsalternativen dar. Umweltzustände haben einen Einfluss auf das Ergebnis, allerdings hat der Entscheidungsträger keinen Einfluss auf die Umweltzustände. Mögliche Umweltzustände sind in dieser Entscheidungssituation beispielsweise gutes bzw. schlechtes Wetter auf Mallorca bzw. Gran Canaria und Verfügbarkeit günstiger Last-MinuteAngebote. Ergebnisse in der Entscheidungssituation sind die Konsequenzen je einer Handlungsalternative bei Eintreten je eines Umweltzustands. Im Folgenden wird ein Ausschnitt der Ergebnismatrix dargestellt. Da das Wetter auf Mallorca und Gran Canaria voneinander abweichen kann, sind alle möglichen Kombinationen zu berücksichtigen, also vier Umweltzustände. Die Preise für die Last-MinuteAngebote werden als abhängig von der Nachfrage, die auch von den Wetterbedin-

Quantitative Entscheidungsunterstützung

299

gungen beeinflusst wird, angenommen. Als Ergebnisse werden die Wettersituation und der Reisepreis angegeben.

Wetter auf Mallorca gut

Wetter auf Mallorca schlecht

Wetter auf Mallorca gut

Wetter auf Mallorca schlecht

Wetter auf Gran Canaria gut

Wetter auf Gran Canaria schlecht

Wetter auf Gran Canaria schlecht

Wetter auf Gran Canaria gut

Mallorca

Gut / 300

Schlecht / 250

Gut / 350

Schlecht / 250

Gran Canaria

Gut / 500

Schlecht / 600

Schlecht / 450

Gut / 450

Um eine gute Entscheidung treffen zu können, müssen der Nutzen der Ergebnisse, die Artenpräferenz hinsichtlich der beiden Zielvorstellungen niedriger Reisepreis und tiefe Bräune und die Unsicherheitspräferenz des Entscheidungsträgers bekannt sein. 1.2.5 Wolfgang Optimax kann einen Betrag von x auf sein Sparbuch legen mit 0 d x d 10.000 . Den restlichen Betrag investiert er in optinische Staatsanleihen mit 0 d y d 10.000 . Da ihm keine weiteren Alternativen zur Verfügung stehen, muss gelten x  y 10.000 bzw. x 10.000  y . Es sind zwei Umweltzustände zu berücksichtigen: Optinische Staatsanleihen behalten ihren Wert mit 90 %iger Wahrscheinlichkeit oder haben einen Wert von 0 mit 10 %iger Wahrscheinlichkeit. Die „Ergebnismatrix“ lautet für die möglichen Handlungsalternativen x  > 0;10.000@ : Opt. Staatsanleihen behalten Wert

Opt. Staatsanleihen verlieren Wert

pi

0,9

0,1

x  > 0;10.000@

x ˜1, 02  10.000  x ˜1,1

x ˜1, 02

Ist der Entscheidungsträger risikoneutral und strebt er einen möglichst hohen Betrag zum Ende des Jahres an, sollte er den Erwartungswert der Auszahlungen maximieren und seine Alternative x entsprechend wählen. max

x> 0, 10.000@

^0,9 ˜  x ˜1, 02  10.000  x ˜1,1  0,1˜  x ˜1, 02 `

300

Lösungen

max

^ x ˜1, 02  0,9 ˜1,1˜ 10.000  x `

max

^ x 1, 02  0,99  9.900`

x> 0, 10.000@

x> 0, 10.000@

Das Maximum wird für x 10.000 angenommen, d. h., der gesamte Betrag sollte auf das Sparbuch eingezahlt werden.

8.2 Grundlagen linearer Optimierung Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells 2.2.1 Die Anwendung des Simplexalgorithmus führt zu folgenden Tableaus: 8 x1

28 x2

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

0

s1

1

2

1

0

0

54

27

0

s2

1

0

0

1

0

21

-

0

s3

0

1

0

0

1

33

33

'z

-8

-28

0

0

0

0

x1

x2

s1

s2

s3

RS

0,5

1

0,5

0

0

27

28 x2 0

s2

1

0

0

1

0

21

0

s3

-0,5

0

-0,5

0

1

6

'z

6

0

14

0

0

756

Alle Werte der ' z-Zeile im Endtableau sind nichtnegativ, das Endtableau liefert also für dieses Modell eine optimale Lösung. Da alle Nichtbasisvariablen echt positive Werte aufweisen, ist diese Lösung die einzige optimale. Der erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag von 756 Geldeinheiten wird erreicht, wenn 27 Einheiten des Produkts Butterkekse mit Schokoladenüberzug hergestellt werden. Klassische Butterkekse werden nicht hergestellt.

Grundlagen linearer Optimierung

301

Die erste Produktionsstufe stellt einen Engpass dar, da s1 0 gilt. Eine Kapazitätserhöhung der ersten Produktionsstufe ist sinnvoll, da so die Produktionsmenge vergrößert und der Gesamtdeckungsbeitrag um 14 Geldeinheiten pro Einheit Kapazitätserhöhung gesteigert werden kann, wie der zu s1 gehörige Schattenpreis zeigt. Die Produktion einer weiteren, d. h. hier überhaupt einer Einheit klassischer Butterkekse reduziert den Gesamtdeckungsbeitrag um 6 Geldeinheiten, den Opportunitätskosten, entnehmbar der ' z-Zeile unter x1. Wie in Kapitel 3 ausführlicher dargestellt wird, gelten diese Aussagen nur für marginale Erhöhungen und unter der hier vorliegenden Voraussetzung, dass das Ausgangsmodell die Grundmodellstruktur aufweist. 2.2.2 a) Die Anwendung des Simplexalgorithmus liefert folgende Tableaus: 0,2 x1

0,4 x2

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

0

s1

0,2

0,1

1

0

0

50

500

0

s2

1

1

0

1

0

300

300

0

s3

0

1

0

0

1

100

100

0

0

0

0

'z

-0,2 -0,4 x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

0

s1

0,2

0

1

0

-0,1

40

200

0

s2

1

0

0

1

-1

200

200

0,4 x2

0

1

0

0

1

100

-

-0,2

0

0

0

0,4

40

x1

x2

s1

s2

s3

RS

0,2 x1

1

0

5

0

-0,5

200

s2

0

0

-5

1

-0,5

0

0,4 x2

0

1

0

0

1

100

'z

0

0

1

0

0,3

80

'z

0

302

Lösungen

Die ' z-Zeile weist nur positive Werte auf, daher ist die gefundene Lösung optimal. Der maximale Deckungsbeitrag von 80 Geldeinheiten lässt sich erzielen, wenn täglich 200 Becher Kaffee und 100 Becher Espresso verkauft werden. Der Stand lohnt sich eventuell, da der Deckungsbeitrag auch nach Abzug der fixen Kosten von 20 Geldeinheiten mit 60 Geldeinheiten noch positiv ist. Zu berücksichtigen sind jedoch noch weitere Kosten wie kalkulatorischer Unternehmerlohn, Kosten für die Bereitstellung und Betrieb des Mini Coopers u. a., bevor eine nicht nur auf das kurzfristige Produktionsprogramm abstellenden Wirtschaftlichkeitsaussage getroffen werden kann. Da s2 mit Wert null in Basis ist, also eine primale Entartung vorliegt, existiert eine weiteres optimales Endtableau. Dieses wäre nach Elimination von s2 im vorherigen Tableau erzielt worden. Die zugehörigen Basisvariablen sind s1 , x1 und x2 , wobei s1 mit Wert null in Basis ist. Die beiden Lösungen stimmen überein. b) Zunächst ist aus den vorherigen Angaben die Kapazität des Mini Coopers zu ermitteln: 50 l Wasser + 300 Becher + 100 Plätzchen: 50 l + 30 l +5l = 85 l

Als nächstes wird der Platzbedarf in Litern für eine Einheit Kaffee bzw. Espresso bestimmt: Kaffee: Espresso:

0,2 l + 0,1 l = 0,3 l 0,1 l + 0,1 l + 0,05 l = 0,25 l

Das neue Optimierungsmodell lautet dann: max z = 0, 2 x1  0, 4 x2 0,3 x1  0, 25 x2 d 85

s.d .

x1 , x2 t 0 Da nur ein Engpass besteht, ist es optimal, möglichst viel Espresso, also 340 Tassen, zu verkaufen, da Espresso mit 0,4/0,25 = 1,6 gegenüber Kaffee mit 0,2/0,3 = 0,67 den höheren relativen Deckungsbeitrag aufweist. Der Simplexalgorithmus liefert dieselbe optimale Lösung mit dem optimalen Endtableau: x1

x2

s3

RS

0,4 x2

1,2

1

4

340

'z

0,28

0

1,6

136

2.2.3 Unter Anwendung des Simplexalgorithmus ergeben sich folgende Tableaus:

Grundlagen linearer Optimierung

303

20 x1

40 x2

35 x3

80 x4

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

0

s1

1

4

2

5

1

0

0

60

12

0

s2

3

6

3

3

0

1

0

72

24

0

s3

3

1

2

2

0

0

1

76

38

'z

-20

-40

-35

-80

0

0

0

0

x1

x2

x3

x4

s1

s2

s3

RS

4

80 x4

1/

5

4/

5

2/

5

1

1/

0

0

12

60

0 s2

12/

5

18/

5

9/

5

0

-3/

5

1

0

36

15

0 s3

13/

5

-3/

5

6/

5

0

-2/

5

0

1

52

20

'z

-4

24

-3

0

16

0

0

960

x1

x2

x3

x4

s1

s2

s3

RS

4

80 x4

0

1/

2

1/

4

1

1/

-1/

0

9

36

20 x1

1

3/

2

3/

4

0

-1/

0

15

20

0 s3

0

-9/

0

1/

1

13

-

'z

0

30

0

15

0

1020

2

-3/

4

0

5

4 4

4

12

5/

12 -13/ 12 5/ 3

Im optimalen Endtableau ist x3 Nichtbasisvariable, der Wert von x3 in der ' zZeile ist jedoch gleich null, es liegt also eine duale Entartung vor. Zur Ermittlung der vollständigen Lösung ist noch ein Basiswechsel erforderlich, der x3 an Stelle von x1 in die Basis aufnimmt. Damit kommt man zu folgendem weiteren optimalen Endtableau: x1

x2

x3

x4

s1

s2

s3

RS

80 x4

-1/ 3

0

0

1

1/ 3

-2/ 9

0

4

35 x3

4/ 3

2

1

0

-1/ 3

0

20

0 s3

1

-3

0

0

0

1

28

'z

0

30

0

0

15

5/ 9 -2/ 3 5/ 3

0

1020

304

Lösungen

Die Menge aller optimalen Lösungen ist folglich:

L

­§ x1 · § x1 · ½ § 15 · §0 · °¨ ¸ ¨ ¸ ° ¨ ¸ ¨ ¸ x x 0 0 °¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ° ¨ ¸ ¨ ¸ °¨ x3 ¸ ¨ x3 ¸ ° ¨0¸ ¨ 20 ¸ °¨ ¸ ¨ ¸ ° ¨ ¸ ¨ ¸ ®¨ x4 ¸ | ¨ x4 ¸ O ¨ 9 ¸  1  O ¨ 4 ¸ , O  > 0, 1@¾ °¨ s ¸ ¨ s ¸ ° ¨0¸ ¨0 ¸ °¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ ° ¨ ¸ ¨ ¸ °¨ s2 ¸ ¨ s2 ¸ ° ¨0¸ ¨0 ¸ °¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ° ¨ ¸ ¨ ¸ 13 28 s s © ¹ © ¹ ¯°© 3 ¹ © 3 ¹ ¿°

Mit jeder der optimalen Lösungen wird der Gesamtdeckungsbeitrag von 1020 erzielt. Damit sind die optimalen Produktionsprogramme alle obigen Kombinationen der Produktionsmengen von x1 , x3 und x4 . 2.2.4 a) Anwendung des Simplexalgorithmus: 1 2 0 0 x1 x2 s1 s2

0 s3

RS

4

0 s1

1

2

1

0

0

10

5

0 s2

1

4

0

1

0

16

4

0 s3

1

0

0

0

1

5

-

'z

-1

-2

0

0

0

0

x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

0 s1

0,5

0

1

-0,5

0

2

4

2 x2

0,25

1

0

0,25

0

4

16

0 s3

1

0

0

0

1

5

5

-0,5

0

0

0,5

0

8

x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

1 x1

1

0

2

-1

0

4

-

2 x2

0

1

-0,5

0,5

0

3

6

0 s3

0

0

-2

1

1

1

1

'z

0

0

1

0

0

10

'z

Grundlagen linearer Optimierung

305

Alle Werte der ' z-Zeile sind nichtnegativ, d. h., das optimale Endtableau ist erreicht. Da jedoch s2 in die Basis aufgenommen werden kann, ohne dass sich der Zielfunktionswert ändert, existiert eine zweite optimale Basislösung: x1

x2

s1

s2

s3

RS

1 x1

1

0

0

0

1

5

2 x2

0

1

0,5

0

-0,5

2,5

0 s2

0

0

-2

1

1

1

'z

0

0

1

0

0

10

­§ x1 · § x1 · § 4· § °¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ x x 3 °¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ ¸ ¨ ° ®¨ s1 ¸ | ¨ s1 ¸ O ¨ 0 ¸  1  O ¨ ¨ ¸ ¨ °¨ s ¸ ¨ s ¸ ¨ 0¸ ¨ °¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¨1¸ ¨ °¯¨© s3 ¸¹ ¨© s3 ¸¹ © ¹ ©

L

½ 5 · ° ¸ 2,5 ¸ ° ° 0 ¸ , O  > 0, 1@¾ ¸ ° 1 ¸ ° 0 ¸¹ ¿°

Der optimale Zielfunktionswert ist jeweils 10. b) Anwendung des Simplexalgorithmus: 1 x1

2 x2

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

0

s1

2

1

1

0

0

15

15

0

s2

-0,5

1

0

1

0

2,5

2,5

0

s3

0

1

0

0

1

5

5

'z

-1

-2

0

0

0

0

x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

0

s1

2,5

0

1

-1

0

12,5

5

2

x2

-0,5

1

0

1

0

2,5

-

0

s3

0,5

0

0

-1

1

2,5

5

'z

-2

0

0

2

0

5

306

Lösungen

x1

x2

s1

s2

s3

RS

1

x1

1

0

0,4

-0,4

0

5

2

x2

0

1

0,2

0,8

0

5

0

s3

0

0

-0,2

-0,8

1

0

'z

0

0

0,8

1,2

0

15

Es liegt eine primale Entartung vor, da s3 sich mit Wert null in Basis befindet, in der optimalen Basis sind alle drei Restriktionen bindend. Weitere optimale Basen sind möglich und führen z. B. zu folgendem Tableau, welches mittels dualem Simplexalgorithmus ermittelt werden kann, auf den hier nicht eingegangen wird (siehe dazu z. B. Hadley 1980, Zimmermann 2005). x1

x2

s1

s2

s3

RS

1

x1

1

0

0,5

0

-0,5

5

2

x2

0

1

0

0

1

5

0

s2

0

0

0,25

1

-1,25

0

'z

0

0

0,5

0

1,5

15

Die einzige optimale Lösung ist x1 tionswert 15.

5 und s1

x2

s2

s3

0 mit Zielfunk-

c) Anwendung des Simplexalgorithmus: 1 x1

2 x2

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

0

s1

0

1

1

0

0

10

10

0

s2

-2

1

0

1

0

5

5

0

s3

- 2/5

1

0

0

1

8

8

'z

-1

-2

0

0

0

0

Grundlagen linearer Optimierung

x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

0

s1

2

0

1

-1

0

5

5/2

2

x2

-2

1

0

1

0

5

-

0

s3

8/ 5

0

0

-1

1

3

15/8

'z

-5

0

0

2

0

10

x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

- 5/4

5/

4

5

0

s1

0

0

1

1/

2

x2

0

1

0

- 1 /4

5/

4

35/ 4

-

1

x1

1

0

0

- 5 /8

5/

8

15/ 8

-

'z

0

0

0

- 9 /8

25/ 8

155/ 8

x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

4

0

s2

0

0

4

1

-5

5

-

2

x2

0

1

1

0

0

10

-

1

x1

1

0

5/

2

0

- 5 /2

5

-

'z

0

0

9/

2

0

- 5 /2

25

307

Im letzten Tableau sind nicht alle Werte der ' z-Zeile nichtnegativ, d. h., eine optimale Lösung ist noch nicht erreicht. Der Simplexalgorithmus bricht hier ab, da s3 nicht in die Basis aufgenommen werden kann. Eine beliebige Erhöhung von s3 ist möglich, führt zu einer Erhöhung von x1 und verbessert den Zielfunktionswert. Es gilt:

x2

5  5 2 s3 10

z

25  5 2 s3

x1

Folglich ist der Lösungsraum in Richtung einer Zielfunktionsverbesserung unbeschränkt und es gibt unendlich viele zulässige, jedoch keine optimale Lösung. Die beste im Tableau festgestellte Lösung ist x1 = 5, x2 = 10, s2 = 5 und s1 = s3 = 0

308

Lösungen

mit dem Zielfunktionswert 25, zu der jedoch unendlich viele bessere Lösungen angegeben werden können. d) Die Anwendung des Simplexalgorithmus liefert: 1 x1

-1 x2

0 s1

RS

4

0 s1

2

-2

1

4

4

'z

-1

1

0

0

x1

x2

s1

RS

x1

1

-1

0,5

2

'z

0

0

0,5

2

Eine optimale Basislösung ist x1 2 , x2 s1 0 mit Zielfunktionswert 2. Das optimale Endtableau zeigt mit ' z2 0 an, dass mit Aufnahme von x2 weitere optimale Lösungen existieren können. Wegen a12* 1 kann x2 Werte unbeschränkter Höhe annehmen, ohne dass die Zulässigkeit verletzt wird, wenn x1 entsprechend erhöht wird. Der Zielfunktionswert bleibt jeweils 2, z. B. für 10, 8 , 100, 98 usw. Hier ist ein unbeschränkter Lösungsraum mit ausnahmsweise unendlich vielen optimalen Lösungen zu beobachten!

8.3 Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse 8.3.1 Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle 3.1.1 a) Die Minimierungszielfunktion wird umformuliert zu der äquivalenten Form  max  z = 3 x1  4 x2  6 x3

Anschließend wird das Ausgangstableau zu dem Hilfsmodell aufgestellt, in das zwei Hilfsvariablen aufgenommen werden. Die Anwendung des Simplexalgorithmus führt zu folgenden Tableaus:

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

309

3 x1

-4 x2

6 x3

0 s1

0 s2

-M h2

-M h3

RS

4

0 s1

2

1

4

1

0

0

0

120

30

-M h2

1

1

1

0

-1

1

0

20

20

-M h3

2

1

3

0

0

0

1

48

16

-3M -3

-2M +4

-4M -6

0

M

0

0

-68M

'z

x1

x2

x3

s1

s2

h2

h3

RS

4

0 s1

-2/3

-1/3

0

1

0

0

-4/3

56

-

-M h2

1/

3

2/

3

0

0

-1

1

-1/3

4

6

6 x3

2/

3

1/

3

1

0

0

0

1/

16

48

0

0

M

0

4/ M 3

'z

-1/3M -2/3M +1 +6

3

+2

-4M +96

h3

RS

4

2

- 3 /2

58

-

2

- 1 /2

6

12

- 1 /2

1/

14

28

M-9

M+5

60

s2

h2

h3

RS

1

-2

2

-2

64

0

0

-3

3

-1

12

-1

1

0

2

-2

1

8

4

0

0

3

x1

x2

x3

s1

s2

h2

0 s1

- 1 /2

0

0

1

- 1 /2

1/

-4 x2

1/

2

1

0

0

- 3 /2

3/

6 x3

1/

2

0

1

0

1/

'z

-2

0

0

0

9

x1

x2

x3

s1

0 s1

0

1

0

3 x1

1

2

6 x3

0

'z

0

2

2

M-3 M+3

84

Im dritten Tableau sind die Hilfsvariablen erstmalig aus der Basis entfernt und damit ist die erste zulässige Lösung gefunden. Durch Aufnahme von x2 in die

310

Lösungen

Basis anstelle von x1 ist jedoch noch eine weitere Verbesserung des Zielfunktionswertes möglich. Im Endtableau sind alle Werte der ' z -Zeile, die zu Nichtbasisvariablen gehören, echt positiv, d. h., es liefert die einzige optimale Lösung mit x1 12 , x3 8 , s1 64 und x2 s2 0 . Der maximale Zielfunktionswert lautet 84. b) Da die Variable x1 unbeschränkt ist, ist sie im Modell durch x1  x1 zu substituieren. Für das Hilfsmodell sind zwei Hilfsvariablen in das Ausgangstableau aufzunehmen. Der Simplexalgorithmus liefert folgende Tableaus:

2 x1 +

-2 x1-

3 x2

4 x3

0 s1

0 s2

-M h2

-M h3

RS

4

0 s1

1

-1

2

2

1

0

0

0

45

45/

-M h2

0

0

2

1

0

-1

1

0

20

10

-M h3

-1

1

1

1

0

0

0

1

30

30

'z

M -2

-M +2

0

M

0

0

-50M

x1 +

x1 -

x2

x3

s1

s2

h2

h3

RS

4

0 s1

1

-1

0

1

1

1

-1

0

25

-

3 x2

0

0

1

0

10

-

-M h3

-1

1

0

1

20

20

'z

M -2

-M +2

0

0

-20M +30

x1+

x1-

x2

x3

s1

s2

h2

h3

RS

4

0 s1

0

0

0

3/ 2

1

3/ 2

- 3/2

1

45

30

3 x2

0

0

1

0

- 1/2 1/2

0

10

20

-2 x1-

-1

1

0

1/ 2 1/ 2

0

1/ 2

- 1/2

1

20

40

0

0

0

- 7/2

0

- 5/2

M

M

'z

-3M -2M -4 -3

1/ 2 0 1/ 2 0 -1/2M 0 -5/2

-1/2

1/ 2 1/ -1/2 2 -1/2M 3/2M -3/2 +3/2

+ 5/2 -2

-10

2

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

311

x 1+

x 1-

x2

x3

s1

s2

h2

h3

RS

4

s1

0

0

-3

0

1

3

-3

1

15

5

4 x3

0

0

2

1

0

-1

1

0

20

-

-2 x1-

-1

1

-1

0

0

1

-1

1

10

10

'z

0

0

7

0

0

-6

x1+

x1-

x2

x3

s1

s2

h2

h3

s2

0

0

-1

0

1/ 3

1

-1

1/ 3

5

4 x3

0

0

1

1

0

0

-1

1

0

0

0

0

1/ 3 2/ 3

25

-2 x1-

1/ 3 1 - /3

0

0

1

0

2

0

M

M

90

0

0

'z

M+6 M-2

60

RS

5

Die erste zulässige Lösung ist nach Entfernung der Hilfsvariablen aus der Basis im dritten Tableau erreicht. Da im dritten Tableau aber noch mehrere Werte der ' z -Zeile negativ sind, ist eine weitere Verbesserung des Zielfunktionswertes möglich. Im Endtableau ist die optimale Lösung erreicht, da alle Werte der ' z Zeile echt positiv sind. Der maximale Zielfunktionswert von 90 wird erreicht, wenn x3 25 , s2 5 und x1 5 folglich x1 5 sind. Zwar ist auch für die Nichtbasisvariable x1 der ' z -Wert gleich null, jedoch ist die Aufnahme in Basis nicht möglich. Daher existiert nur eine optimale Lösung. c) Zur Aufstellung des Modells ist eine Hilfsvariable aufzunehmen.

1 x1

1 x2

0 s1

0 s2

0 -M s3 h1

RS

4

-M h1

1

1

-1

0

0

1

15

15

0 s2

1

3

0

1

0

0

25

25

0 s3

2

1

0

0

1

0

20

10

M

0

0

0

-15M

' z -M-1 -M-1

312

Lösungen

x1

x2

s1

s2

s3

h1

RS

4

-M h1

0

0,5

-1

0

-0,5

1

5

10

0 s2

0

2,5

0

1

-0,5

0

15

6

1 x1

1

0,5

0

0

0,5

0

10

20

'z

0

-0,5M -0,5

M

0

0,5M M +0,5

-5M+10

x1

x2

s1

s2

s3

h1

RS

-M h1

0

0

-1

-0,2

-0,4

1

2

1 x2

0

1

0

0,4

-0,2

0

6

1 x1

1

0

0

-0,2

0,6

0

7

'z

0

0

M

0

-2M+13

0,2M 0,4M +0,2 +0,4

Im letzten Tableau sind alle Werte der ' z -Zeile nichtnegativ, also kann keine weitere Verbesserung des Zielfunktionswertes erreicht werden und das Hilfstableau ist optimal gelöst. h1 ist in Basis mit Wert echt größer als null und kann nicht eliminiert werden. Daher existiert für das ursprüngliche Problem keine zulässige Lösung, d. h., die mit den Restriktionen modellierten Anforderungen an eine Lösung sind nicht erfüllbar. d) Nach Hinzufügen einer Hilfsvariablen liefert der Simplexalgorithmus die folgenden Tableaus.

1 x1

1 x2

0 s1

0 s2

0 s3

-M h1

RS

4

-M h1

1

1

-1

0

0

1

12

12

0 s2

1

3

0

1

0

0

25

25

0 s3

2

1

0

0

1

0

20

10

' z -M-1 -M-1

M

0

0

0

-12M

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

x1

x2

s1

s2

s3

h1

RS

4

-M h1

0

0,5

-1

0

-0,5

1

2

4

0 s2

0

2,5

0

1

-0,5

0

15

6

1 x1

1

0,5

0

0

0,5

0

10

20

'z

0

-0,5M -0,5

M

0

0,5M +0,5

0

-2M+10

x1

x2

s1

s2

s3

h1

RS

4

1

x2

0

1

-2

0

-1

2

4

-

0

s2

0

0

5

1

2

-5

5

1

1

x1

1

0

1

0

1

-1

8

8

'z

0

0

-1

0

0 M+1

313

12

Diesem Tableau ist die erste für das ursprüngliche Modell zulässige Lösung zu entnehmen, die noch nicht optimal ist. x1

x2

s1

s2

s3

h1

RS

1 x2

0

1

0

0,4

-0,2

0

6

0 s1

0

0

1

0,2

0,4

-1

1

1 x1

1

0

0

-0,2

0,6

0

7

'z

0

0

0

0,2

0,4

M

13

Das letzte Tableau liefert die einzige optimale Lösung mit x1 s1 1 und x3 s2 0 . Der maximale Zielfunktionswert lautet 13.

7 , x2

6,

3.1.2 Nach Einfügung einer Hilfsvariablen kann mittels Simplexalgorithmus die Lösung ermittelt werden.

314

Lösungen

5 xA

8 xB

4 xC

0 s1

0 s2

-M h3

RS

4

0

s1

2

1

1

1

0

0

20

10

0

s2

1

2

2

0

1

0

25

25

-M h3

1

-2

0

0

0

1

0

0

-4

0

0

0

0

'z

-M-5 2M-8

xA

xB

xC

s1

s2

h3

RS

4

0

s1

0

5

1

1

0

-2

20

4

0

s2

0

4

2

0

1

-1

25

61/4

5 xA

1

-2

0

0

0

1

0

-

'z

0

-18

-4

0

0

M+5

0

xA

xB

xC

s1

s2

h3

RS

4

8 xB

0

1

1/

1/

5

0

-2/5

4

20

0 s2

0

0

1 1 /5

-4/5

1

3/

9

7 1 /2

5 xA

1

0

2/

2/

5

0

1/

8

20

'z

0

0

-2/5

33/5

0

5 M-21/

xA

xB

xC

s1

s2

h3

RS

8 xB

0

1

0

1/ 3

-1/6

-1/2

21/2

4 xC

0

0

1

-2/ 3

5/ 6

1/ 2

71/2

5 xA

1

0

0

-1/3

0

5

'z

0

0

0

2/ 3 31/3

1/ 3

M-2

75

5

5

5

5

72

Es ist optimal, von Produkt A 5 und von Produkt B 2,5 Einheiten zu produzieren, außerdem von Produkt C 7,5 Einheiten. Der erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag beträgt 75 Einheiten. Da s1 s2 0 ist, sind beide Anlagen vollständig

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

315

ausgelastet. Die Schattenpreise sind der ' z -Zeile zu entnehmen und betragen 3 13 für Anlage 1, 13 für Anlage 2. Ein kleineres Modell für die vorliegende Entscheidungssituation lässt sich aufstellen, indem mit dem festen Zusammenhang x A 2 xB eine Variablensubstitution durchgeführt wird und auf die Gleichheitsrestriktion verzichtet wird. max

5 ˜ 2 xB  8 xB  4 xC

s.d .

2 ˜ 2 xB 

xB 

xC d 20

1 ˜ 2 xB  2 xB  2 xC d 25 xB , xC t 0 18 xB  4 xC

max

5 xB 

s.d .

xC d 20

4 xB  2 xC d 25 xB , xC t 0

Das optimale Endtableau erhält man bereits nach zwei Iterationen. 18 xB

4 xC

0 s1

0 s2

RS

4

0 s1

5

1

1

0

20

4

0 s2

4

2

0

1

25

61/4

-18

-4

0

0

0

xB

xC

s1

s2

RS

4

18 xB

1

1/ 5

1/ 5

0

4

20

0 s2

0

11/5

-4/5

1

9

71/2

'z

0

-2/5

33/5

0

72

xB

xC

s1

s2

RS

xB

1

0

1/ 3

-1/6

21/2

xC

0

1

-2/3

5/ 6

71/2

'z

0

0

31/3

1/ 3

75

'z

316

Lösungen

Die optimale Lösung mit xB , xC und s1 , s2 und dem Zielfunktionswert 75 ist dem Tableau zu entnehmen. Mit x A 2 xB lässt sich daraus die optimale Produktionsmenge von Produkt A x A 5 ableiten. Die Schattenpreise der Anlagen sind ebenfalls zu entnehmen und auch der Zielfunktionswert stimmt mit dem vorherigen überein. 8.3.2 Interpretation, Dualität und Sensitivität 3.2.1 a) Das Modell ist zunächst auf die Form des Grundmodells zu bringen. max z = s.d .

x1  2 x2 2 x1 

x2 d

 2 x1 

10

x2 d 10

x1  3 x2 d

12

x1 ,x2 t 0

Anschließend wird entsprechend der Regeln die Dualisierung durchgeführt. min Z = 10 y1c  10 y2c  12 y3c s.d .

2 y1c 

2 y2c 

y3c

t 1

y1c 

y2c 

3 y3c

t 2

y1c , y2c , y3c t 0

Dann erfolgen die Variablentransformationen y1 y1c  y2c und y2 y3c , sodass die Matrix A und die Vektoren b und c des primalen Modells erkennbar sind. Der Gleichheitsrestriktion im primalen Modell ist eine unbeschränkte Variable im dualen Modell zugeordnet. min Z = 10 y1

 12 y2

s.d .

2 y1



y2 t 1

y1



3 y2 t 2

y1  , y2 t 0

b) Das Modell ist zunächst auf die Form des Grundmodells zu bringen.

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

317

-max z =  x1  2 x2  2 x3  6 x4 s.d .

4 x1  7 x2 

x3 

x4

d 2

 4 x1  7 x2 

x3 

x4

d 2

 x1  4 x2 

x3  3 x4

d 3

x3 

d 5



x4

x1 , x2 , x3 , x4 t 0

Anschließend wird das zum Grundmodell duale Modell ermittelt und der Zielfunktion  1 vorangestellt: -min Z =

2 y1c 

2 y2c  3 y3c  5 y4c

s.d .

4 y1c 

4 y2c 

 7 y1c   y1c  y1c 

y3c

t 1

7 y2c  4 y3c y2c 

t

2

y3c 

y4c t 2

y2c  3 y3c 

y4c t 6

y1c , y2c , y3c , y4c t 0

Dann wird zunächst die Zielfunktion angemessen transformiert. max Z =  2 y1c  2 y2c s.d .

4 y1c  4 y2c

 3 y3c 

 5 y4c

y3c

t 1

 7 y1c  7 y2c

 4 y3c

 y1c 

y2c



y3c



y4c

t 2

y1c 

y2c

 3 y3c



y4c

t 6

t

2

y1c , y2c , y3c , y4c t 0

Im nächsten Schritt erfolgt die Variablensubstitution derart, dass die Zielfunktionskoeffizienten mit der rechten Seite des Ausgangsmodells übereinstimmen. Es wird gesetzt y1  y1c  y2c , y2 y3c , y3 y4c . max Z = 2 s.d .

4 7

y1  3 y2  5 y3 y1 

y1  4 y2 y1 



y2

t 1 t 2

y2 

y3 t 2

y1  3 y2 

y3 t 6

y1  

y2 , y3 t 0

318

Lösungen

Durch Multiplikation einiger Zeilen mit  1 erhält man die „passende“ rechte Seite. Dadurch „passen“ auch die Koeffizienten von A t und das duale Modell liegt in der angestrebten Form vor. max Z = 2 y1  3 y2  5 y3 4 y1 

s.d .

y2

 7 y1  4 y2 

y1 

d

1

d 2

y2 

y3 d

2

y1  3 y2 

y3 d

6

y1   y2 , y3 t 0

Der folgende alternative Lösungsweg ist ggf. effizienter. Da bekannt ist, dass das duale des dualen Modells wieder das primale Modell ergibt, besteht stets die Möglichkeit, ein Modell als duales Modell aufzufassen und das dazu primale Modell als sein duales anzugeben. In diesem Beispiel ist nur eine Transformation notwendig, um das duale Grundmodell zu erreichen. Im Modell der Aufgabenstellung ist die erste Restriktion in zwei t -Restriktionen zu zerlegen. min z =

x1 

2 x2  2 x3  6 x4

4 x1 

7 x2 

x3 

x4 t

 4 x1 

7 x2 

x3 

x4 t 2

x1 

4 x2 

s.d .

2

x3  3 x4 t

3

x3 

5

x4 t

x1 , x2 , x3 , x4 t 0

Das zu diesem Modell duale ist sein primales Modell, das im Folgenden angegeben und dessen Variablen hier mit yi bezeichnet werden. max Z = 2 y1c  2 y2c  3 y3c  5 y4c 4 y1c  4 y2c 

s.d .

y3c

 7 y1c  7 y2c  4 y3c 

d

1

d 2

y1c 

y2c  y3c 

y4c d

2

y1c 

y2c  3 y3c 

y4c d

6

y1c , y2c , y3c , y4c t 0

Mittels Variablentransformation y1 y1c  y2c , y2 y3c und y3 y4c erhält man genau das gewünschte, auch mit dem anderen Vorgehen bestimmte, duale Modell des Ausgangsmodells.

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

319

3.2.2 a) Es ist optimal, 20 Einheiten des Topfes Modell „Standard“ zu produzieren. Da x2 im optimalen Endtableau in Basis ist, sind zur Beantwortung der Frage alle ' z -Werte der Nichtbasisvariablen hinsichtlich der Nichtnegativität zu untersuchen, da es sein könnte, dass bei Preisschwankungen alternative Produkte produziert werden sollten. x3 : 1

 4 O t 0  !

s1 : 2 

O t  0, 25

O t 0  ! O t 2

s2 : 10  4 O t 0  !

O d

2 5

Die ' z -Werte bleiben somit größer oder gleich null für O  > 0, 25;2,5@ . Das aktuelle Produktionsprogramm muss nicht geändert werden, solange der Deckungsbeitrag des „Standard“-Kochtopfes zwischen 19,75 und 22,5, jeweils einschließlich, schwankt. Der Gesamtdeckungsbeitrag schwankt dann entsprechend zwischen 4000  0, 25 ˜ 20

3995 und

4000 + 2,5 ˜ 20 = 4050

b)

§ 20 · ¨ ¸ ¨ 200 ¸  ¨ 40 ¸ ¨¨ 35 ¸¸ © ¹

§ 1 4 0 ¨ ¨ 1 5 0 ¨ 1 3 1 ¨¨ 1 7 0 ©

0· ¸ 0¸ 0¸ ¸ 1 ¸¹

§ 20 · ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ 0¸ ¨¨ 0 ¸¸ © ¹

§ 0· ¨ ¸ ¨ 220 ¸ ¨ 60 ¸ ¨¨ 15 ¸¸ © ¹

Eine Reduktion der Rohmaterialmenge um 20 Einheiten führt dazu, dass nur noch der Kochtopf „Single“ hergestellt wird und dessen Produktionsmenge um 20 Kochtöpfe gesteigert wird. Die Basis bleibt optimal, jedoch liegt eine primale Entartung vor. c) Das zugehörige duale Modell ist unmittelbar angebbar, da das primale Modell bereits in der Grundform vorliegt. min Z s.d .

900 y1  220 y2  280 y3  675 y4 4 y1 

y2 

y3 

3 y4 t 18

5 y1 

y2 

2 y3 

2 y4 t

20

8 y1 

y2 

2 y3 

y4 t

25

y1 , y2 , y3  y4 t 0

Die optimale Lösung ist dem optimalen primalen Endtableau zu entnehmen: y1 2 , y2 10 , y3 y4 0 mit Zielfunktionswert 4000 und Schlupfvariablen ys1 ys2 0 und ys3 1 .

320

Lösungen

d) Die Komplementaritätsbedingung besagt für die optimalen Lösungen des primalen und dualen Problems, dass jeweils das Produkt der einander zugeordneten optimalen Variablen den Wert null ergibt. Dies ist im Beispiel erfüllt. x1 ˜ ys1

200 ˜ 0

0

s1 ˜ y1

0˜ 2

0

x2 ˜ ys2

20 ˜ 0

0

s2 ˜ y 2

0 ˜10

0

x3 ˜ ys3

0˜1

0

s3 ˜ y3

40 ˜ 0

0

s4 ˜ y 4

35 ˜ 0

0

3.2.3 Zunächst ist das Problem zu modellieren und das lineare Optimierungsmodell aufzustellen. Dazu werden folgende Variablen verwendet: x1s ~ x2s ~ x3s ~ x1 f x2f x3f xü

~ ~ ~ ~

selbsterstellte Menge von Produkt A selbsterstellte Menge von Produkt B selbsterstellte Menge von Produkt C fremdbezogene Menge von Produkt A fremdbezogene Menge von Produkt B fremdbezogene Menge von Produkt C Anzahl notwendiger Überstunden

Für die Eigenfertigung sind in der zu minimierenden Zielfunktion die Kosten der Einsatzfaktoren und die variablen Produktionskosten zu berücksichtigen, für den Fremdbezug die Kosten für die Beschaffung. Etwaige Überstunden erhöhen die Produktionskapazität auf 200  xü , sind jedoch mit Kosten von 150 pro Stunde verbunden, die ebenfalls in der Zielfunktion erfasst werden. Die erste Restriktion modelliert die Einhaltung der um etwaige Überstunden erweiterten Kapazität. Die weiteren Restriktionen sichern die Erfüllbarkeit der Nachfrage. Die Nichtnegativitätsbedingungen sind einzuhalten. min z = 25 x1s  150 x1 f  30 x2 s  170 x2 f  35 x3s  165 x3 f  150 xü s.d .

x1s  x1s 

x2s 

x3s 

xü d 200 t 100

x1 f x2s 

t 50

x2f x3s 

x3f

t 70

x1s , x1 f , x2s , x2f , x3s , x3f , xü t 0

Mit zu maximierender Zielfunktion und nach Einfügen der Hilfsvariablen ergeben sich folgende Tableaus.

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

-25 -150 -30 -170 -35 -165 -150 0 0 0 0 -M -M -M x1s x1f x2s x2f x3s x3f xü s1 s2 s3 s4 h2 h3 h4

321

RS

4

0

s1

1

0

1

0

1

0

-1 1 0 0 0 0 0 0

200

200

-M

h2

1

1

0

0

0

0

0 0 -1 0 0 1 0 0

100

100

-M

h3

0

0

1

1

0

0

0 0 0 -1 0 0 1 0

50

-

-M

h4

0

0

0

0

1

1

0 0 0 0 -1 0 0 1

70

-

'z

-M -M -M -M -M -M 150 0 M M M 0 0 0 -220M +25 +150 +30 +170 +35 +165

x1s 0

x1f x2s x2f x3s x3f xü s1 s2 s3 s4 h2 h3 h4

RS

4

s1

0

-1

1

0

1

0

-1 1 1 0 0 -1 0 0

100

100

-25 x1s

1

1

0

0

0

0

0

0 -1 0 0 1 0 0

100

-

-M h3

0

0

1

1

0

0

0

0 0 -1 0 0 1 0

50

50

-M h4

0

0

0

0

1

1

0

0 0 0 -1 0 0 1

70

-

'z

0

125

x1s x1f

-M -M -M -M M -120M 150 0 25 M M 0 0 +30 +170 +35 +165 -25 -2500

x2s

x2f x3s x3f xü s1 s2 s3 s4 h2 h3 h4

RS

4

s1

0

-1

0

-1

1

0

-1 1 1 1 0 -1 -1 0

50

50

-25 x1s

1

1

0

0

0

0

0

0 -1 0 0 1

0 0

100

-

-30 x2s

0

0

1

1

0

0

0

0 0 -1 0 0

1 0

50

-

-M h4

0

0

0

0

1

1

0

0 0 0 -1 0

0 1

70

70

0

140

'z

0 125

-M -M M M -70M 150 0 25 30 M 0 +35 +165 -25 -30 -4000

322

Lösungen

x1s x1f x2s x2f x3s x3f

xü

s1 s2 s3 s4 h2 h3 h4

RS

4

-35 x3s

0

-1

0

-1

1

0

-1

1 1 1 0 -1 -1 0

50

-

-25 x1s

1

1

0

0

0

0

0

0 -1 0 0 1 0 0

100

100

-30 x2s

0

0

1

1

0

0

0

0 0 -1 0 0 1 0

50

-

-M h4

0

1

0

1

0

1

1

-1 -1 -1 -1 1 1 1

20

20

'z

0

-M -M -M -M M M M -20M 0 0 M 10 5 0 +160 +175 +165 +185 -35 -10 -5 -5750

x1s x1f x2s x2f x3s x3f xü s1 s2 s3 s4 h2 h3

h4

RS

-35 x3s

0

0

0

1 0 0

0

0 -1

0

0

1

70

-25 x1s

1

0

0 -1 0 -1 -1 1

0

1

1

0

-1

-1

80

-30 x2s

0

0

1

1

0

0 0 0

0 -1 0

0

1

0

50

-150 x1f

0

1

0

1

0

1 1 -1 -1 -1 -1

1

1

1

20

0

0

0 15 0

'z

0

1

5 25 125 150 155160

M M M -8950 -150 -155 -160

Unter den gegebenen Voraussetzungen ist es optimal, von Produkt A 80 Einheiten selbst zu fertigen und 20 Einheiten zuzukaufen. Produkt B und Produkt C werden in Höhe der vorliegenden Aufträge selbst gefertigt, d. h. 50 Einheiten von Produkt B und 70 Einheiten von Produkt C. Um aus Kostengründen ausschließlich selbst zu fertigen, wäre eine Reduktion der zusätzlichen Überstundenkosten pro Produkteinheit um mindestens 25 Geldeinheiten nötig, erkennbar an ' z xü 25 . Eine Erweiterung der monatlichen Kapazität um eine Einheit, also eine Erhöhung der rechten Seite der ersten Restriktion um eins, führt zu einer Erhöhung der dem berechneten Modell zugrunde liegenden Maximierungszielfunktion um 125. Für das Ausgangsmodell mit Minimierungszielfunktion ist die „Erhöhung“ mit  1 zu multiplizieren. Folglich führt die Erweiterung der monatlichen Kapazität zu einer Senkung der Produktionskosten um 125 Geldeinheiten. Dies ist plausibel, da von der Einsparung der Kosten des Fremdbezugs von 150 die Kosten der Eigenfertigung von 25 zu subtrahieren sind.

Anwendungen linearer Optimierung

323

8.4 Anwendungen linearer Optimierung 8.4.1 Produktion und Logistik 4.2.1 Als Variablen werden x1 und x2 gewählt in den Bedeutungen x1 : Menge an 2,5-kg-Paketen in Einheiten von 100 Stück, x2 : Menge an 5-kg-Paketen in Einheiten von 100 Stück.

Das entsprechende lineare Optimierungsmodell lautet max

25 x1 

40

x2

s.d .

0,5 x1 

2

3

x2

d 60

250 x1  500

x2

d 35.000

x2

d 50

x1 , x2 t 0

Die Anwendung des Simplexalgorithmus führt zu folgenden Tableaus 25 x1

40 x2

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

2/

3

1

0

0

60

90

0

s1

1/

0

s2

250

500

0

1

0

35.000

70

0

s3

0

1

0

0

1

50

50

'z

-25

-40

0

0

0

0

x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

2

0

s1

1/ 2

0

1

0

- 2/3

80/ 3

160/ 3

0

s2

250

0

0

1

-500

10.000

40

0

1

0

0

1

50

-

-25

0

0

0

40

2.000

40 x2

'z

324

Lösungen

20/

20

s1

s1

0

0

1

25 x1

1

0

0

4/ 1000

-2

40

-

40 x2

0

1

0

0

1

50

50

'z

0

0

0

-10

3.000

x1

x2

s1

s2

s3

RS

s3

0

0

3

- 6/1000

1

20

25 x1

1

0

6

- 8/1000

0

80

40 x2

0

1

-3

6/

1000

0

30

'z

0

0

30

4/ 100

0

3.200

0

s3

4

x2

0

s2

RS

x1

- 2/1000 1/3

1/

10

3

Es sollten 8000 2,5 kg-Pakete und 3000 5 kg-Pakete MegaClean hergestellt werden, um den maximalen Deckungsbeitrag von 3200 € zu erzielen. Abb. 9.1 sind der schattierte Zulässigkeitsbereich und die optimale Lösung zu entnehmen.

Abb. 8.1. Optimale Waschpulverproduktion

Anwendungen linearer Optimierung

325

4.2.2 Als Entscheidungsvariablen werden xijk mit folgender Bedeutung und Indizierung gewählt: xijk Menge des Vorproduktes, die von Zulieferer i beschafft, in Werk j weiterverarbeitet und an Markt k geliefert wird 2 : Zulieferer B, i 1: Zulieferer A, i j 1: Kanada, j 2 : Polen, k 1: Asien, k 2 : Nordamerika, k = 3: Europa

Die Parameter sind wie folgt angegeben: ai Kosten je Einheit Vorprodukt von Zulieferer i (13.000; 16.000) bij Kosten je Einheit für den Transport von Zulieferer i zu Werk j j 1

cj d jk

pi qj dk

j

2

i 1

1.400

2.900

i

2.500

3.200

2

Kosten je Einheit für die Weiterverarbeitung Vorprodukt zu Endprodukt in Werk j (3.800; 4.100) Kosten je Einheit Transport von Werk j zu Kunden k

k 1

k

j 1

3.100

1.900

2.500

j

3.300

2.200

1.400

2

2

k

3

Kapazität Zulieferer i (50; 40) Kapazität Werk j (40; 65) Nachfrage Kundengebiet k (23; 33; 29)

Die Zielfunktion wird für die Anwendung konkretisiert: 2

Min z

2

3

¦¦¦

(ai  bij  c j  d jk ) xijk

i 1 j 1 k 1

also Min z

21.300 x111  20.100 x112  20.700 x113 23.300 x121  22.200 x122  21.400 x123 25.400 x211  24.200 x212  24.800 x213 26.600 x221  25.500 x222  24.700 x223

326

Lösungen

Die Restriktionen berücksichtigen die vorliegenden Anforderungen. 1) Kapazität der Zulieferer Die Menge, die von einem Zulieferer versandt wird, muss kleiner oder gleich der Kapazität des Zulieferers sein. 2

3

¦¦

xijk d pi

i 1, 2

j 1 k 1

für i 1 : x111  x112  x113  x121  x122  x123 d 50 2) Kapazität der Werke Die Menge, die in einem Werk verarbeitet wird, muss kleiner oder gleich der Kapazität des Werkes sein. 2

3

¦¦

xijk d q j

j 1, 2

i 1 k 1

3) Befriedigung der Nachfrage Die nachgefragte Menge eines jeden Kunden muss befriedigt werden. 2

2

¦¦

xijk

dk

k

1, 2, 3

i 1 j 1

4) Nichtnegativitätsbedingung xijk t 0

i 1, 2

j 1, 2

k

1, 2, 3

Die Lösung dieses Modells mittels ClipMops ergibt folgende Bildschirmausgabe:

SCM

x111 x112 x113 x121 x122 x123 x211 x212 x213 x221 x222 x223

MAX

21300 20100 20700 23300 22200 21400 25400 24200 24800 26600 25500 24700

TYP RHS

LB UB

INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF

TYP KapZul1

CON CON CON CON CON CON CON CON CON CON CON CON 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 <=

50

KapZul2

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1 <=

40

KapWerk1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0 <=

40

KapWerk2

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1 <=

65

Nachfrage1

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0=

23

Nachfrage2

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0=

33

Nachfrage3

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1=

29

Activity

7,00 33,00

10,00

16,00

19,00 1921300

Anwendungen linearer Optimierung

327

Demnach sollten 7 Einheiten des Vorproduktes von Zulieferer A produziert, in Kanada weiterverarbeitet und in Asien abgesetzt werden, 33 Einheiten des Vorproduktes sollten von Zulieferer A produziert, in Kanada weiterverarbeitet und in Nordamerika abgesetzt werden, 10 Einheiten des Vorproduktes sollten von Zulieferer A produziert, in Polen weiterverarbeitet und nach Europa abgesetzt werden, 16 Einheiten des Vorproduktes sollten von Zulieferer B produziert, in Polen weiterverarbeitet und in Asien abgesetzt werden und 19 Einheiten des Vorproduktes sollten von Zulieferer B produziert, in Polen weiterverarbeitet und in Europa abgesetzt werden. Die minimalen Kosten, die mit dieser Lösung erreicht werden, betragen 1.921.300 €. 4.2.3 Wählt man für das Modell zweifach indizierte Entscheidungsvariablen zur Erfassung der zu transportierenden Mengen, muss durch eine zusätzliche Restriktion sichergestellt werden, dass alles, was am Produktionsort ankommt, von dort weitertransportiert wird.

Entscheidungsvariablen: xij1 x

Transportmenge von Werk i nach Lager j Transportmenge von Lager j zu Kunden k Entscheidungsvariable für die Belieferung des Kunden k von Lager j ausgehend

2 jk

y jk

Parameter: a1i a1j bij1 , b 2jk Pi Pj Dk

Produktionskosten in Werk i Lagerkosten in Lager j entsprechende Transportkosten Produktionskapazität in Werk i Lagerkapazität in Lager j Bedarf des Kunden k

Optimierungsmodell: I

min z

J

¦¦  a

1 i

i 1 j 1

 bij1  a 2j ˜ xij1 

J

K

¦¦ b

2 jk

˜ x 2jk

j 1 k 1

J

¦x

1 ij

s.d .

d Pi

i

d Pj

 j

0

 j

j 1 I

¦x

1 ij

i 1

I

¦ xij1  i 1

K

¦x k 1

2 jk

328

Lösungen

x 2jk

Dk ˜ y jk

 j, k

1

k

J

¦y

jk

j 1

xij1 , x 2jk t 0

 i, j , k

y jk  ^0,1`

 j, k

Nach Konkretisierung mit den angegebenen Daten wird die Lösung beispielsweise mittels XPress-Ive® ermittelt. Der optimale Zielfunktionswert z 4620 liefert die minimalen Kosten. Die optimal zu transportierenden Mengen und die Zuordnung der Kunden zu den Lagern sind der folgenden Aufstellung zu entnehmen. 1 x11 235 x112 115 y11 1 1 x12 65 x122 120 y12 1 1 2 x21 0 x13 0 y13 0 1 2 x22 210 x14 0 y14 0 2 x21 0 y21 0 2 x22 0 y22 0 2 x23 100 y23 1 2 x24 175 y24 1 Ein anderes Modell kann mit dreifach indizierten Entscheidungsvariablen, wie im zugehörigen Kapitel beschrieben, formuliert werden, indem gewählt wird Entscheidungsvariablen: xijk y jk

Transportmenge von Werk i über Lager j zu Kunden k Liefermenge für Kunden k von Lager j ausgehend

Das Optimierungmodell weist etwas mehr Variablen auf, besitzt jedoch eine Restriktion je Lager weniger. K

min z

¦ ª¬ a

 bij1  a 2j  b 2jk ˜ xijk º¼

1 i

k 1

s.d .

J

K

j 1

k 1

I

K

i 1

k 1

¦ ¦x

ijk

¦ ¦x

ijk

 d Pi

i

 d Pj

 j

I

¦x

ijk

Dk ˜ y jk

 j, k

i 1 J

¦y j 1

jk

 1

k

Anwendungen linearer Optimierung

xijk t 0

329

 i, j , k

y jk   ^0, 1`

 j, k

Nach Konkretisierung ermittelt XPress-Ive® die folgende optimale Lösung mit dem gleichen Zielfunktionswert z 4620 . Die Entscheidungsvariablen lauten: 115 120 0 0 0 0 0 65

x111 x112 x113 x114 x121 x122 x123 x124

0 0 0 0 0 0 100 110

x211 x212 x213 x214 x221 x222 x223 x224

y11 y12 y13 y14 y21 y22 y23 y24

1 1 0 0 0 0 1 1

8.4.2 Investition und Finanzierung 4.3.1 a) Die Variablen x1 ,..., x5 modellieren den jeweils anzulegenden oder aufzunehmenden Betrag. Dazu werden die Zahlungsreihen, hier bezogen auf je 1 €, aufgestellt. Da zu jedem Zeitpunkt Mittel beliebiger Höhe für eine Periode angelegt werden können, müssen keine Variablen für die Übertragung von Mitteln in die nächste Periode als Barbestand berücksichtigt werden. x1

x2

x3

x4

x5

Spar 1. Jahr

Spar 2. Jahr

Spar 2 Jahre

Kredit 1. Jahr

Kredit 2. Jahr

Alternativen Zeitpunkte

t=0

-1

t=1

1,02

t=2

-1

1

-1

0,03

-1,045

1,02

1,03

1 -1,045

b) Das lineare Optimierungsmodell mit der Variablen x6 für das zu maximierende Endvermögen lautet: max x6 s.d .



x1  1, 02 x1 

x3 

d 7.500

x4

x2  0, 03 x3  1, 045 x4 

 1, 02 x2  1, 03 x3

d 0

x5

 1, 045 x5  x6

d 0

x4 , x5 d 2.500 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 t 0

330

Lösungen

Wird das obige Modell mittels ClipMops gelöst, erhält man folgende Lösungsübersicht:

x1

x2 0

MAX

x3 0

x4 0

x5

x6

0

0

TYP

RHS

1

LB UB

INF

INF

INF

2500

2500

INF

TYP CON CON CON CON CON CON Zeitpunkt 0 1 0 1 -1 0 0<=

7500

Zeitpunkt 1

-1,02

1

-0,03

1,045

-1

0<=

0

Zeitpunkt 2

0

-1,02

-1,03

0

1,045

1<=

0

Activity

0

Name

x1

225,00 7500,00

x2

x3

Status

LB

BS

BS

0

0

-0,0053 -0,025

Name

Status

reduced Cost

7500Zeitpunkt 0

UB

1,0606

0Zeitpunkt 1

UB

1,02

0Zeitpunkt 2

UB

1

reduced Cost -0,0202 Activity

0

0 7954,50

x4

x5

x6

LB

LB

BS

7954,50

0

Daraus lässt sich die optimale Lösung ableiten. Zu Beginn des ersten Jahres sollten Sie 7.500 € für zwei Jahre bei Ihrer Hausbank anlegen. Im zweiten Jahr erhalten Sie aus dieser Anlage Zinsen in Höhe von 225 €, die Sie unmittelbar in der einjährigen Anlage investieren. Als maximales Endvermögen nach zwei Jahren erzielen Sie so 7.954,50 €. c) Zur Berücksichtigung der 4000 € für den Sprachkurs reduzieren Sie das zum Zeitpunkt 1 verfügbare Budget um 4000. Die zweite Restriktion ist folglich zu ändern zu  1, 02 x1  x2  0, 03 x3  1, 045 x4  x5 d 4.000 Unter diesen Voraussetzungen erzielen Sie das maximale Endvermögen von 3797,47 €, wenn Sie zu Beginn des ersten Jahres 3686,87 € bei Ihrer Hausbank für 2 Jahre anlegen und eine einjährige Anlage von 3813,13 € vornehmen.

Anwendungen linearer Optimierung

331

d) Sie berücksichtigen die Entnahme zum Zeitpunkt 1 durch die Variable x6 . Zum Zeitpunkt 2 entnehmen Sie doppelt so viel, also 2 ˜ x6 . Insgesamt entnehmen Sie einen Betrag von 3 ˜ x6 , den Sie mittels Optimierung bestimmen.

Die zweite und die dritte Restriktion ändern sich zu  1, 02 x1 

x2  0, 03 x3  1, 045 x4 

 1, 02 x2  1, 03 x3

x5 

x6 d 0

 1, 045 x5  2 x6 d 0

Ob Sie die Zielfunktion 3x6 oder x6 maximieren, bringt zwar für die Interpretation des Ergebnisses, nicht jedoch für die optimale Lösung einen Unterschied. Sie sollten 5083,06 € zu Beginn des ersten Jahres bei Ihrer Hausbank und 2416,94 € in der einjährigen Anlage anlegen. Das maximale Endvermögen beträgt dann 5.235,54 €, nachdem Sie zum Ende des ersten Jahres 2.617,77€ entnommen haben. 4.3.2 Die optimale Lösung ist abzulesen unter „Activity“ bei den „Variablen“ und lautet: x1

20.500, 00

x6

8.860, 00

x2

0, 00

x7

8.483, 00

x3

0, 00

x8

3.000, 00

x4

0, 00

x9

9.112,85

x5

10.000, 00

Es werden also 20.500 € in die Unternehmensanleihe investiert. Dafür werden im ersten Jahr ein einjähriger Kredit in Höhe von 10.000 €, im zweiten Jahr ein einjähriger Kredit in Höhe von 8.860 € und im dritten Jahr ein einjähriger Kredit in Höhe von 8.483 € aufgenommen. Zusätzlich werden von dem Verwandten 3.000 € angenommen. Das Endvermögen nach drei Jahren beträgt dann 9.112,85 €. Eine Reduktion des Geldgeschenkes um 1 € würde das Endvermögen um 1,17 € vermindern (abzulesen in der Spalte „reduced cost“ der ersten Restriktion). Es wäre sinnvoll einen höheren Betrag für den Verwandten anzulegen, da die optimale Ausprägung der Variablen x8 die obere Grenze erreicht und die reduced cost den Wert 0,0702 anzeigen. Bis zu einer noch durch Sensitivitätsanalyse zu ermittelnden Grenze führt jeder zusätzliche Euro Ihres Verwandten bei Ihnen zu einem Endwertzuwachs von 0,07 €. Die ausführliche Darstellung der optimalen Transaktionen lautet:

332

Lösungen

t=0

Geldgeschenk

7.500,00 €

Einzahlung Anleihe

- 20.500,00 €

Aufnahme Kredit

10.000,00 €

Geld des Verwandten

3.000,00 € 0,00 €

t=1

Zinsen Anleihe

1.640,00 €

Rückzahlung + Zinsen Kredit

-10.500,00 €

Aufnahme neuer Kredit

8.860,00 € 0,00 €

t=2

Zinsen Anleihe

820,00 €

Rückzahlung + Zinsen Kredit

-9.303,00 €

Aufnahme neuer Kredit

8.483,00 € 0,00 €

t=3

Zinsen + Rückzahlung Anleihe

21.320,00 €

Rückzahlung + Zinsen Kredit

-8.907,15 €

Rückzahlung + Zinsen Geld des Verwandten

-3.300,00 € 9.112,85 €

4.3.3 a) Die Zahlungsreihen werden aus der Investitionssumme des optimalen Tableaus, multipliziert mit dem normierten Zahlungsstrom, berechnet.

t

Projekt A

Projekt B

Projekt C

0

- 10.969,70

- 27.030,30

-

1

+ 6.581,82

- 6081,82

-

2

+ 8.227,27

+ 16.218,18

- 26.945,45

3

+ 20.272,73

+ 10.778,18

4

+ 10.136,36

+ 18,861,82

Anwendungen linearer Optimierung

333

Das Girokonto weist nur in Periode 3 ein Guthaben auf, sonst ist der Saldo gleich null. Das optimale verfügbare Endvermögen beträgt 46.082,20 €. b) Bei einer Erhöhung des langfristigen Kreditrahmens erhöht sich das Endvermögen für jeden marginalen Euro um 0,3196 €. Weitere Eigenmittel in Periode 2 erhöhen das Endvermögen um 1,104 € pro Einheit. Diese Aussagen gelten nur für solche Änderungen, die die Optimalität der Basis nicht verletzen, dies kann mittels Sensitivitätsanalyse untersucht werden. 8.4.3 Weitere wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen 4.4.1 Die Variablen werden nach Klassen N und U definiert, Start- und Endpunkt stellen die Indizes dar. N H  C bezeichnet folglich das Kontingent für Buchungsklasse (Typ) N auf der Strecke Hamburg – Copenhagen. Das Modell lautet somit: max 40 N H  K  80 N K C  100 N H C  10 U H  K  60 U K  C  75 U H  C s.d .

NH K 



N H C 

U H K 



U H  C d 456



N K C 

N H C 



U K C 

U H  C d 456 d 20

NH K

d 440

N K C

d 70

N H C

d 360

U H K U K C

d 280 U H  C d 210

N H  K , N K C , N H  C , U H  K , U K C , U H C t 0, ganzzahlig

Dieses Modell kann mittels ClipMops gelöst werden. In der Studentenversion ist zunächst auf die Ganzzahligkeitsbedingung zu verzichten, in der allgemeinen Version wird die Ganzzahligkeit im Typ mit INT für Integer gefordert. Der Status IV zeigt an, dass die Ganzzahligkeitsbedingung jeweils erfüllt ist. Auch die optimale Lösung des stetigen Modells ist ganzzahlig und somit auch optimal für das Modell mit der Ganzzahligkeitsforderung. Es sollten also 20 normale Tickets für die Strecke Hamburg-Kiel, 386 normale Tickets für die Strecke Kiel-Copenhagen und 70 normale Tickets für die Strecke HamburgCopenhagen angeboten werden. An preisgünstigen Tickets sollten nur Tickets für die Strecke Hamburg-Kiel bereitgestellt werden, und zwar 360 Stück. Für das Teilstück Kiel-Copenhagen sowie für die Gesamtstrecke werden keine preisgünstigen Tickets vorgesehen. Der maximal erzielbare Umsatz beträgt dann 42.280,00 €.

334

Lösungen

NH K

N K  C N H  C U H  K U K  C U H  C TYP

40

MAX

80

100

10

60

RHS

75

LB UB

20

440

70

360

280

210

TYP

INT

INT

INT

INT

INT

INT

Kapazität 1

1

0

1

1

0

1<=

456

Kapazität 2

0

1

1

0

1

1<=

456

0

0

20

Activity

386

70

360

Name

NH K

Status

IV

IV

IV

IV

IV

IV

reduced Cost

40

0

20

10

-20

-5

Activity

42280,00

N K C N H C U H  K U K C U H C

Name

Status reduced Cost

450Kapazität 1

BS

0

456Kapazität 2

UB

80

4.4.2 Die Lösung wird mittels Simplexalgorithmus ermittelt.

45 x1

90 x2

0 s1

0 s2

0 s3

0 s4

RS

4

0

s1

1

1

1

0

0

0

7

7

0

s2

1

3

0

1

0

0

12

4

0

s3

0

1

0

0

1

0

3

3

0

s4

1

2

0

0

0

1

8

4

'z

-45

-90

0

0

0

0

0

Anwendungen linearer Optimierung

335

x1

x2

s1

s2

s3

s4

RS

4

0

s1

1

0

1

0

-1

0

4

4

0

s2

1

0

0

1

-3

0

3

3

90 x2

0

1

0

0

1

0

3

-

0

s4

1

0

0

0

-2

1

2

2

'z

-45

0

0

0

90

0

270

x1

x2

s1

s2

s3

s4

RS

4

0

s1

0

0

1

0

1

-1

2

2

0

s2

0

0

0

1

-1

-1

1

-

90 x2

0

1

0

0

1

0

3

3

45 x1

1

0

0

0

-2

1

2

-

'z

0

0

0

0

0

45

360

Ein optimales Endtableau ist erreicht, für das eine duale Entartung vorliegt. Folglich kann ein weiteres optimales Endtableau ermittelt werden mit einer anderen Basislösung: x1

x2

s1

s2

s3

s4

RS

0

s3

0

0

1

0

1

-1

2

0

s2

0

0

1

1

0

-2

3

90 x2

0

1

-1

0

0

1

1

45 x1

1

0

2

0

0

-1

6

'z

0

0

0

0

0

45

360

Der optimale Deckungsbeitrag beträgt bei beiden optimalen Lösungen 360 €. Sind alle Variablen stetig, ergeben sich folgende optimale Lösungen:

336

Lösungen

L

­§ x1 · °¨ ¸ °¨ x2 ¸ °°¨ s1 ¸ ®¨ ¸ ~ O °¨ s2 ¸ °¨ s3 ¸ °¨¨ ¸¸ ¯°© s4 ¹

½ § 2· §6· ° ¨ ¸ ¨ ¸ ° ¨3¸ ¨1 ¸ °° ¨ 2¸ ¨0¸ opt ¨ ¸  1  O ¨ ¸ , O  > 0;1@¾ , z ¨1 ¸ ¨3¸ ° ¨0¸ ¨ 2¸ ° ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ° ©0¹ ©0¹ ¿°

360

In der Realität sind nur ganzzahlige Lösungen möglich, man sollte also entweder 2 Hasen und 3 Zebras, 4 Hasen und 2 Zebras oder 6 Hasen und 1 Zebra einsetzen. Alle drei Lösungen sind umsetzbar und optimal.

8.5 Graphentheorie 8.5.1 Strukturmodellierung mittels Graphen 5.1.1 a) Nachbarnliste

§0 1 1· ¨ ¸ ¨1 0 1¸ ¨1 1 0¸ © ¹

Knoten

Nachbarn

1

2, 3

2

1, 3

3

1, 2

Der vorliegende ungerichtete Graph ist ein Kreis und damit nicht kreisfrei. Da je zwei Knoten benachbart sind, ist der Graph vollständig, also insbesondere zusammenhängend. b) Nachbarnliste

§0 ¨ ¨1 ¨0 ¨¨ ©0

1 0 0· ¸ 0 1 0¸ 1 0 0¸ ¸ 0 0 0 ¸¹

Knoten

Nachbarn

1

2

2

1, 3

3

2

4

-

Graphentheorie

337

Dieser ungerichtete Graph ist nicht kreisfrei, da er einen Kreis mit den Knoten 1 und 2 enthält. Die beiden Kanten, die Knoten 1 und 2 verbinden, sind parallel. Ferner ist Knoten 4 isoliert, der Graph ist also nicht zusammenhängend. c) Vorgängerliste

§0 ¨ ¨0 ¨1 ¨ ¨0 ¨0 ©

1 0 0 0· ¸ 0 1 0 0¸ 0 0 0 0¸ ¸ 0 0 0 0¸ 0 0 1 0 ¸¹

Knoten

Vorgänger

1

3

2

1

3

2

4

5

5

-

Der Graph ist gerichtet und nicht schwach zusammenhängend. Da er mit 1-2-31 nicht zyklenfrei ist, kann er nicht topologisch sortiert werden. Er besitzt eine Quelle, nämlich Knoten 5, und eine Senke, das ist Knoten 4. d) Vorgängerliste

§0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨1 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ©

0 0 0 0 0 0 0 0· ¸ 0 0 0 0 0 0 0 0¸ 0 0 0 0 0 0 0 0¸ ¸ 1 1 0 1 1 1 0 0¸ 0 0 0 0 0 0 1 1¸ ¸ 0 0 0 0 0 0 0 0¸ 0 0 0 0 0 0 0 0¸ ¸ 0 0 0 0 0 0 0 0¸ 0 0 0 0 0 0 0 0 ¸¹

Knoten

Vorgänger

1

4

2

4

3

4

4

-

5

4

6

4

7

4

8

5

9

5

Dieser gerichtete Graph ist nicht topologisch sortiert. Da er zyklenfrei ist, ist eine topologische Sortierung möglich. Er ist semikreisfrei und zusammenhängend und daher Baum. Knoten 4 ist die einzige Quelle, also ist dieser Baum ein Wur-

338

Lösungen

zelbaum mit Wurzel 4. Die Blätter sind die Senken, nämlich Knoten 1, 2, 3, 6, 7, 8 und 9. 5.1.2 a)

2

3

1

4

Der zugrunde liegende Graph ist wegen des vorhandenen Zyklus nicht topologisch sortierbar.

2

1

b)

4

5

3

Da dieser Graph nicht gerichtet ist, ist eine topologische Sortierung nicht definiert.

4

c)

5

1

2

3

6

Dieser gerichtete Graph ist topologisch sortierbar, da er keine Zyklen enthält. Durch Umnummerierung der Knoten erhält man beispielsweise folgenden isomorphen, topologisch sortierten Graphen. Da eine topologische Sortierung nicht eindeutig ist, sind auch andere Möglichkeiten richtig, z. B. die Vertauschung der Nummern 2 und 3.

Graphentheorie

2

339

4

6

1

3

5

5.1.3 Es ist davon auszugehen, dass die hierarchische Darstellung eine Richtung ausdrückt, als Modell folglich ein gerichteter Graph geeignet ist. Die Zuordnung der Knotennummern erfolgt von oben nach unten, auf einer Stufe von links nach rechts. Damit erhält man die folgende Mengendarstellung.

Knotenmenge V Kantenmenge E

^1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9` , ^(1, 2);(1,3);(2, 4);(2,5);(2, 6); (2, 7);(3,8);(3,9)`

Da der gerichtete Graph schlicht ist, muss die Inzidenzabbildung nicht explizit angegeben werden. Grafische Darstellung: 4 5 2 1

6 7

3

8 9

Der Graph ist zusammenhängend und semikreisfrei und daher ein Baum. Da er gerichtet ist und nur eine Quelle aufweist, ist er ein Wurzelbaum mit der Wurzel 1 und den Blättern 4, 5, 6, 7, 8 und 9. 8.5.2 Bewertete Graphen und kürzeste Wege 5.2.1 Die Anwendung des Algorithmus von Dijkstra führt zu folgender Übersicht:

340

Lösungen

1

2

3

4

dj

qj

dj

qj

dj

qj

2

4

1

4

1

4

1

3

2

1

4

4

1

3

3

5

f

0

f

0

6

6

f

0

f

0

7

f

0

f

0

Knoten

5

6

dj

qj

dj

qj

4

6

4

6

4

6

4

5

2

f

0

9

2

8

6

dj

qj

8

6

1

L

{1, 3}

{1, 3, 4}

{1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

M

{4, 2}

{2, 5, 6}

{5, 6, 7}

{5, 7}

{7}

‡

Kürzeste Wege von Knoten 1 zu allen anderen Knoten:

Knoten j

Kürzester Weg von 1 nach j

Weglänge

2

(1, 2)

4

3

(1, 3)

2

4

(1, 3, 4)

3

5

(1, 3, 4, 5)

6

6

(1, 2, 6)

5

7

(1, 2, 6, 7)

8

5.2.2 Der Algorithmus von Dijkstra liefert folgendes Tableau:

Graphentheorie

1 Knoten

2

3

341

4

dj

qj

dj

qj

dj

qj

2

11

1

11

1

8

3

3

11

1

6

5

4

f

0

f

0

11

3

5

3

1

L

{1, 5}

{1, 3, 5}

M

{2, 3}

{2, 4}

dj

qj

11

3

1

{1, 2, 3, {1, 2, 3, 4, 5} 5} {4}

‡

Kürzeste Wege von Knoten 1 zu allen anderen Knoten:

Knoten j

Kürzester Weg von 1 nach j

Entfernung

2

(1, 5, 3, 2)

8

3

(1, 5, 3)

6

4

(1, 5, 3, 4)

11

5

(1, 5)

3

Knoten 4 kann auch über (1, 5, 3, 2, 4) von 1 aus mit Entfernung 11 erreicht werden. Der Algorithmus liefert nur eine optimale Alternative, auch wenn mehrere existieren. 5.2.3 Adjazenzmatrix: Bo § 0 ¨ Le ¨ 0 Ha ¨ 0 ¨ Mt ¨ 0 Si ¨ 0 ¨ F ¨© 0

1 1 0 0 0· ¸ 0 0 1 1 0¸ 0 0 0 1 0¸ ¸ 0 0 0 0 1¸ 0 0 0 0 1¸ ¸ 0 0 0 0 0 ¸¹

342

Lösungen

Die Adjazenzmatrix ist eine obere Dreiecksmatrix, somit ist der Graph topologisch sortiert. Sollten Sie eine andere Reihenfolge der Knoten gewählt haben, lässt sich die obere Dreiecksmatrix durch Umsortierung erreichen. Ergebnisse des Algorithmus von Dijkstra: 1

Knoten

2

3

dj

qj

dj

qj

60

1

4

5

dj

qj

dj

qj

159

2

231

5

BO

1

LE

2

60

1

HA

3

30

1

MT

4

f

0

f

0

159

2

SI

5

f

0

102

3

102

3

F

6

f

0

f

0

f

0

dj

qj

231

5

L

{1, 3}

{1, 2, 3}

{1, 2, 3, 5}

{1, 2, 3, 4, 5}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

M

{2, 5}

{4, 5}

{4, 6}

{6}

‡

Der kürzeste Weg ist 1-3-5-6 mit der Länge 231, man muss also von Bochum über Hagen und Siegen nach Frankfurt fahren, wenn man den kürzesten Weg wählt. 5.2.4 Zur Anwendung des Algorithmus von Dijkstra ist zunächst ein neues Modell zu formulieren, in welchem die kürzesten Wege zu allen Knoten bestimmt werden. Dazu wird für sämtliche Pfeile die Orientierung geändert und man erhält Gu .

2 1

3

2

3

1

2

4

1

4

5

6 5

3

Auf Gu wird der Algorithmus von Dijkstra angewendet.

Projektplanung

1 Knoten

2

3

dj

qj

dj

qj

2

2

1

2

1

3

1

1

4

f

0

f

5

f

0

6

f

0

4

343

5

dj

qj

dj

qj

0

5

2

5

2

6

3

4

2

f

0

f

0

7

5

dj

qj

6

4

1

L

{1, 3}

{1, 2, 3}

{1, 2, 3, 5}

{1, 2, 3, 4, 5}

M

{2, 5}

{4, 5}

{4, 6}

{6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

‡

Das Ergebnis kann nun bez. G uminterpretiert werden und man erhält folgende kürzeste Entfernungen von allen Knoten zu Knoten 1.

Knoten j

Kürzester Weg von j nach 1

Entfernung

2

(2, 1)

2

3

(3, 1)

1

4

(4, 2, 1)

5

5

(5, 2, 1)

4

6

(6, 4, 2, 1)

6

8.6 Projektplanung 8.6.1 Modellierung der Projektstruktur 6.1.1 a) Vorgangspfeilnetzplan:

344

Lösungen

F

2

6 G

A C

1

E

3

S2

7

S1 B 4

D

H 5

Der Scheinvorgang S1 ist notwendig, um die Parallelität der Pfeile B und C zu verhindern. Ohne Scheinvorgang S2 ist die Abhängigkeit von G bzw. H von ihren Vorgängern in einem Vorgangspfeilnetzplan nicht abbildbar. Knoten 1 ist einzige Quelle, Knoten 7 einzige Senke, der gerichtete, schlichte Graph ist endlich, zusammenhängend und zyklenfrei. Es liegt eine topologische Sortierung vor. Die zugehörige Vorgänger- und Nachfolgerliste lauten: Knoten (Ereignis)

direkte Vorgänger

Knoten (Ereignis)

direkte Nachfolger

1

-

1

2, 3, 4

2

1

2

5, 6

3

1

3

4

4

1, 3

4

5

5

2, 4

5

6, 7

6

2, 5

6

7

7

5, 6

7

-

Adjazenzmatrix: §0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ©

1 1 1 0 0 0· ¸ 0 0 0 1 1 0¸ 0 0 1 0 0 0¸ ¸ 0 0 0 1 0 0¸ 0 0 0 0 1 1¸ ¸ 0 0 0 0 0 1¸ 0 0 0 0 0 0 ¸¹

Projektplanung

345

Da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt, ist der Netzplan topologisch sortiert und daher zyklenfrei. Vorgangsknotennetzplan: A/2

F/7 G/8

Anfang/1

E/6

B/3

Ende/10 H/9

D/5

C/4

Die Vorgängerliste entspricht direkt der Vorgangsliste nach Umbenennung in Zahlen statt Buchstaben, die Nachfolgerliste lautet: Knoten (Vorgang)

direkte Nachfolger

Anfang

1

2, 3, 4

A

2

6, 7

B

3

5

C

4

5

D

5

8, 9

E

6

8, 9

F

7

8

G

8

10

H

9

10

Ende

10

-

346

Lösungen

Adjazenzmatrix: §0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨ ¨0 ¨¨ 0 ©

1 1 1 0 0 0 0 0 0· ¸ 0 0 0 0 1 1 0 0 0¸ 0 0 0 1 0 0 0 0 0¸ ¸ 0 0 0 1 0 0 0 0 0¸ 0 0 0 0 0 0 1 1 0¸ ¸ 0 0 0 0 0 0 1 1 0¸ 0 0 0 0 0 0 1 0 0¸ ¸ 0 0 0 0 0 0 0 0 1¸ ¸ 0 0 0 0 0 0 0 0 1¸ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¸¸¹

Da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt, ist der Netzplan topologisch sortiert und daher zyklenfrei. b) Vorgangspfeildarstellung:

A 1

B 3

2

C

D 4

Dieser Digraph ist kein Netzplan, da er nicht zyklenfrei ist. Eine topologische Sortierung ist nicht möglich. Außerdem besitzt dieser Graph keine Senke. Eine Hinzufügung im Modell ist aufgrund des Zyklus nicht sinnvoll. Würde so ein reales Projekt erfasst, könnte dieses niemals abgeschlossen werden. Die zugehörige Vorgänger- bzw. Nachfolgerliste lauten: Knoten (Ereignis)

direkte Vorgänger

Knoten (Ereignis)

direkte Nachfolger

1

-

1

2

2

1, 4

2

3

3

2

3

4

4

3

4

2

Projektplanung

347

Adjazenzmatrix: §0 ¨ ¨0 ¨0 ¨¨ ©0

1 0 0· ¸ 0 1 0¸ 0 0 1¸ ¸ 1 0 0 ¸¹

Vorgangsknotendarstellung: A/1

B/2

C/3

D/4

Adjazenzmatrix und Nachfolgerliste:

§0 ¨ ¨0 ¨0 ¨¨ ©0

1 0 0· ¸ 0 1 0¸ 0 0 1¸ ¸ 1 0 0 ¸¹

Knoten (Vorgang)

direkte Nachfolger

A

1

2

B

2

3

C

3

4

D

4

2

Aufgrund der Struktur des speziellen Graphen und der gewählten Nummerierung stimmen die beiden Graphen zufällig überein, weichen jedoch hinsichtlich der Interpretation voneinander ab. 6.1.2 a) Mittels der Vorgangsliste werden alle einzelnen Aktivitäten des realen Projektes auf dem gewählten Abstraktionsniveau identifiziert und die direkten Abhängigkeitsbeziehungen zwischen ihnen ausgewiesen.

Vorgangsliste mit Dauern zur Vorbereitung der Indienrundreise:

348

Lösungen

Vorgang

direkte Vorgänger

Dauer

V

Visabeschaffung

-

28

R

Reiseroute festlegen

-

21

F

Flüge buchen

R

14

W

Wohnmobil buchen

R

2

A

Ausrüstung planen

W

14

b) Die Vorgangsliste dient als Grundlage für die Erstellung eines Netzplans, also eines geeigneten graphentheoretischen Modells. Für einen Vorgangspfeilnetzplan werden den Vorgängen Pfeile zugeordnet.

Vorgangspfeilnetzplan:

V

1 R

4 F

2

A W 3

V - Visabeschaffung: R - Reiseroute festlegen: W - Wohnmobil buchen: F - Flüge buchen: A – Ausrüstung planen:

(1, 4) (1, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 4)

Dieser Netzplan kann auch in Mengendarstellung angegeben werden und lautet dann Graph

G V E

V , E mit ^1, 2,3, 4` und ^1, 2 , 1, 4 ,  2,3 ,  2, 4 ,  3, 4 `

Die Vorgängerliste bezieht sich auf den Netzplan bzw. ist der Netzplan in anderer Darstellung und beschreibt die Abhängigkeitsbeziehungen zwischen den Knoten.

Projektplanung

349

Vorgängerliste: Knoten/ Ereignisse

direkte Vorgänger

1

-

2

1

3

2

4

1, 2, 3

Für einen Vorgangsknotennetzplan werden die Vorgänge des realen Projektes den Knoten eines Netzplans zugeordnet. Vorgangsknotennetzplan:

V/1

Anfang

Ende F/3 R/2 W/4

Vorgang 1

Visabeschaffung

2

Reiseroute festlegen

3

Flüge buchen

4

Wohnmobil buchen

5

Ausrüstung planen

A/5

350

Lösungen

Zur Festlegung eines eindeutigen Anfangs und Endes sind zusätzliche Knoten in das Modell zu integrieren. Die Vorgängerliste gibt wiederum die Abhängigkeitsbeziehungen zwischen den Knoten des Netzplans an, die nun den Vorgängen entsprechen. Vorgangsliste: Knoten/ Vorgang

direkter Vorgänger

Anfang

-

1

Anfang

2

Anfang

3

2

4

2

5

4

Ende

1, 3, 5

6.1.3 a) Vorgangsliste: Nr.

Vorgang

Vorgänger

Dauer

A

1

Fahrrad säubern

-

1

B

2

Fahrrad reparieren

A

3

C

3

Probefahrt

B

0,5

D

4

Strecke planen

B

2

E

5

Satteltasche ausleihen

B

1

F

6

Fahrt zur Oma

C, D, E

8

Projektplanung

351

b) Vorgangspfeilnetzplan:

4 C A 1

D

B 2

F 6

3

7

E 5 Die Scheinvorgänge sind erforderlich, um die Parallelität der zu C, D und E gehörenden Pfeile zu vermeiden. Sie könnten alternativ auch an anderer Stelle hinzugefügt werden, z. B. statt nach C nach D oder auch vor D. Vorgangsknotennetzplan:

C/3

A/1

B/2

D/4

F/6

E/5

6.1.4 Scheinvorgang S1 wird aufgrund einer technischen Abhängigkeit eingeführt, denn H ist unabhängig von C. I hängt dagegen von C und G ab. Da die Vorgänge D und E parallel durchgeführt werden können und parallele Pfeile in einem Netzplan nicht zulässig sind, muss ein weiterer Scheinvorgang S2 eingefügt werden.

352

Lösungen

G

3

H

7 S1

B

I

N

8

11

C

1

A

D

2

10

P

4

12 M S2

E

Q

5

F

K

9

13 R

L

6

14

8.6.2 Zeitliche Planung des Projektablaufs 6.2.1 a) Das Ergebnis der Zeitanalyse im Vorgangspfeilnetz nach der Ermittlung aller frühesten und spätesten Ereigniszeiten ist den Knoten zu entnehmen.

V/28

1

4 37 37

0 0 F/14

R/21

A/14 2 21 21

W/2

3 23 23

Die Ereigniszeiten wurden ermittelt, daraus lassen sich die charakteristischen Vorgangszeiten ableiten. Weiterhin werden die folgenden Puffer berechnet.

Projektplanung

353

Vorgang

d

FA

FE

SA

SE

GP

FP

FRP

UP

V

28

0

28

9

37

9

9

9

9

R

21

0

21

0

21

0

0

0

0

F

14

21

35

23

37

2

2

2

2

W

2

21

23

21

23

0

0

0

0

A

14

23

37

23

37

0

0

0

0

Die Zeitanalyse auf Basis des Vorgangsknotennetzplans führt zu folgendem Ergebnis für die frühesten und spätesten Anfangstermine der Vorgänge, nachdem die Pfeile jeweils mit den Dauern des Anfangsknotens bewertet wurden.

1 0

0

0

0

0

0 28

28 9

21 0

2

6 37

14

3 21

0 37

14 23

0

14

21 0 21

4 21 2 21

2

5 23

i FAi

14 23

di SAi

Die charakteristischen Vorgangszeiten stimmen mit denen der Tabelle überein, die Puffer ebenfalls, jedoch ist nur die Ermittlung der Gesamtpuffer unmittelbar abzuleiten. Das früheste Projektende ist 37, d. h., die Vorbereitungen müssen spätestens 37 Tage vor Urlaubsbeginn starten. b) Der kritische Weg ist in der Vorgangknotendarstellung hervorgehoben. Er enthält die kritischen Vorgänge 2, 4 und 5, d. h. die Aktivitäten „Reiseroute festlegen“, „Wohnmobil buchen“ und „Ausrüstung planen“ sind kritisch, da sie einen Gesamtpuffer von null besitzen.

354

Lösungen

1

0

28 9 0

0

0

0

6 37

3 21

0 37

14 23 2

0

21 0 4 21

5 23

2 21

14 23

c) Das Gantt-Diagramm wird hier bezogen auf die frühestmöglichen Anfangszeiten dargestellt, eine andere Lage ist für die nicht kritischen Vorgänge, also Visabeschaffung und Flüge buchen, möglich.

Visabeschaffung Reiseroute festlegen Flüge buchen Wohnmobil buchen Ausrüstung planen 5

10

15

20

25

30

35

t

Die Länge der zu den einzelnen Vorgängen gehörenden Balken entspricht den Dauern der jeweiligen Vorgänge. d) Verlängert sich die Ausstellung der Visa um 7 Tage auf insgesamt 35 Tage, so hat dies keine Auswirkungen auf die Projektdauer, da der Vorgang Visabeschaffung in der ursprünglichen Planung einen Gesamtpuffer von 9 Tagen hatte. Dieser Puffer kann die Verlängerung kompensieren, schrumpft durch die neuen Annahmen jedoch auf 2 Tage. Verlängert sich die Buchung der Flüge von 14 auf 21, also um 7 Tage, so verschiebt sich das Projektende um 5 Tage nach hinten. Zwar ist der Vorgang „Buchung der Flüge“ nicht kritisch, jedoch kann der Gesamtpuffer von 2 die Verlängerung nicht in vollem Maße auffangen, sodass eine Verlängerung um 5 Tage resultiert.

Projektplanung

355

6.2.2 a) Zeitanalyse des Vorgangspfeilnetzplans: 4 4,5 6 C/0,5 1 0 0

2 1 1

A/1

S1

3 4 4

B/3

6 6 6

D/2

E/1

F/8

7 14 14

S2 5 5 6

Dieses Projekt kann frühestens innerhalb von 14 Tagen beendet werden, d. h., die gemeinsame Feier in 12 Tagen kann so nicht stattfinden. Zeitanalyse des Vorgangsknotennetzplans:

3

4

0,5 5,5

0,5

3 1

0

1

0

1

2

1

3

1

3

4

4

2

4

3

2

6

6

8

6

8

Ende 14 0

14

1 5

4

1

5

Dieses Projekt kann innerhalb von 14 Tagen beendet werden. Da Mona mindestens 14 Tage für ihr Projekt benötigt, schafft sie es so nicht, rechtzeitig zu dem Geburtstag ihrer Großmutter in 12 Tagen anzukommen. Aufgrund der Notwendigkeit der Hinzufügung von Scheinvorgängen errechnet man für die Vorgänge C und D freie bzw. unabhängige Puffer von 0, obwohl beide Vorgänge über Flexibilitätsreserven verfügen. Diese wird bei den Scheinvorgängen ausgewiesen. Hier ist eine anschließende Zurechnung der freien Puffer z. B. von S1 zu C sinnvoll. Die für den Vorgangspfeilnetzplan ermittelten charakteristischen Zeiten und Pufferzeiten sind folgender Tabelle zu entnehmen:

356

Lösungen

Vorgang

d

FA

FE

SA

SE

GP

FP

FRP

UP

A

1

0

1

0

1

0

0

0

0

B

3

1

4

1

4

0

0

0

0

C

0,5

4

4,5

5,5

6

1,5

0

1,5

0

D

2

4

6

4

6

0

0

0

0

E

1

4

5

5

6

1

0

1

0

F

8

6

14

6

14

0

0

0

0

S1

0

4,5

4,5

6

6

1,5

1,5

0

0

S2

0

5

5

6

6

1

1

0

0

b) Gantt-Diagramm, bezogen auf die frühestmöglichen Anfangszeiten: Fahrrad säubern Fahrrad reparieren Probefahrt machen Strecke planen Satteltasche ausleihen Fahrt zur Oma 5

10

15

t

In dem obigen Diagramm wurde jeder Vorgang zu seinem frühestmöglichen Zeitpunkt eingetragen. 6.2.3 a) Früheste und späteste Ereigniszeitpunkte sind der Grafik zu entnehmen.

Projektplanung

Legende:

357

i FZi SZi

G 7

3 61 61

B

60

68 68

H 120

S1 0

I

7

10 188188

N 14 30

8

11

121158

202202

C 120

P 1 M

1 0 0

A 1

2 1 1

4

2

12

D 30

31 144

203203

E

S2 0

Q 30

60

5

9

13

61 144

131186

233233

F 90

K 2

L

R 7 40

6

14

91 146

240240

b) Der erste Zug kann frühestens nach 240 Tagen bereitgestellt werden. Der einzige kritische Weg ist fett hervorgehoben, kritische Aktivitäten sind A, B, G, H, N, P, Q und R. c) Die maximale Zeitreserve entspricht dem Gesamtpuffer, der für Vorgang L GPL SZ 9  FZ 5  d L 186  91  40 55 und für Vorgang M GPM SZ10  FZ 9  d M 188  131  2 55 beträgt. Gemäß Definition des Gesamtpuffers wird bereits der spätestmögliche Beginn aller nachfolgenden Vorgänge unterstellt, daher ist eine weitere Verschiebung des Starts von Vorgang M um mehr als 55 Tage nicht möglich, ohne das Projektende zu gefährden. Eine Kompensation ist also nicht vollständig möglich, vielmehr verzögert sich der Projektabschluss aufgrund des verzögerten Starts in Erlangen um 5 Tage auf 245 Tage.

358

Lösungen

6.2.4 a) i FAi

R

di SAi

21 56

56

21 Ende 77 0

77

5 E

1

30

30 20 1

G

1

A

0

1

0

1 1

31

1

50

1

5

14 3

1

14 14

3

14

1

N

21

3

45

51

3 3

I

18

P

48

3

31

3

48

3

H 15 3

C

Q 51

1

14 31 B

1

L

28

M 34

14

14 34

10

10 18 3

1

D

1

30

1

F

1

14 34

30

K

31

3

31

14

b) Die frühesten und spätesten Anfangszeitpunkte sind der Grafik zu entnehmen. c) Nach frühestens 77 Tagen kann der erste AIRTRAIN 007 an den Besteller übergeben werden. Die Vorgänge A, D, K, M, P, Q und R sind dabei kritisch. 8.6.3 Kapazitäts- und Kostenplanung 6.3.1 Folgendes Balkendiagramm zeigt die Lage aller Vorgänge, wenn sie zum jeweils frühesten Anfangstermin beginnen, und dahinter den Kapazitätsbedarf der einzelnen Vorgänge.

Projektplanung

(6,7)

359

1

(5,7)

1

(4,7)

2

(3,6)

2

(2,5)

2

(2,4)

1

(1,5)

2

(1,3)

1

(1,2)

1 5

10

Abb. 8.2. Balkendiagramm, früheste Anfangstermine

Daraus lässt sich unter Beachtung des Kapazitätsbedarfs je Vorgang der Kapazitätsbedarf je Zeiteinheit bei frühesten Anfangsterminen ableiten:

6 5 4 3 2 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Abb. 8.3. Kapazitätsbedarf Aufg. 6.3.1 bei frühesten Zeitpunkten

Entsprechend wird der Kapazitätsbedarf bei spätesten Anfangsterminen ermittelt:

360

Lösungen

(6,7)

1

(5,7)

1

(4,7)

2

(3,6)

2

(2,5)

2

(2,4)

1

(1,5)

2

(1,3)

1

(1,2)

1 5

10

Abb. 8.4. Balkendiagramm, späteste Anfangstermine

6 5 4 3 2 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Abb. 8.5. Kapazitätsbedarf Aufg. 6.3.1 bei spätesten Zeitpunkten

Sind nur drei Personen verfügbar, lassen sich die Vorgänge zeitlich so planen, dass das Projekt mit drei Personen rechtzeitig nach neun Zeiteinheiten abgeschlossen werden kann. 3 2 1 1

2

3

4

5

6

Abb. 8.6. Kapazitätsbedarf Aufg. 6.3.1 bei drei Personen

7

8

9

Projektplanung

361

Das korrespondierende Balkendiagramm bei Beschränkung auf drei verfügbare Personen zeigt die Lage der entsprechenden Aktivitäten. (6,7)

1

(5,7)

1

(4,7)

2

(3,6)

2

(2,5)

2

(2,4)

1

(1,5)

2

(1,3) (1,2)

1 1 5

10

Abb. 8.7. Balkendiagramm bei Beschränkung auf drei Personen

6.3.2 Das folgende Balkendiagramm veranschaulicht die Einsatzzeiten für die eingeteilten Personen, wenn alle Vorgänge zum frühestmöglichen Zeitpunkt beginnen. Andreas

B

G

Björn Iris

C

G

Julia

D

Marco

H

A

Olga Patrick

F

E

H

A

C

E

D

Violetta

B 5

F 10

15

20

25

30

35

40

Abb. 8.8. Balkendiagramm mit Personalzuordnung

Julia kommt erst nach 20 Tagen von ihrem Praktikum zurück und kann daher nicht wie geplant mit Vorgang D zum Zeitpunkt 8 beginnen. Eine Verschiebung der Aktivität ist ohne Verzögerung des frühesten Projektendes auf den Beginn 20 möglich, jedoch sind von der Verschiebung weitere Vorgänge und damit Studierende betroffen, sodass insgesamt ein neues Balkendiagramm resultiert. Da Julia nur eine Aufgabe übernehmen kann, muss dann auch H verschoben werden und beginnt zum Zeitpunkt 26. Marco ist dann ebenfalls verfügbar und die Verschiebung von H ist unter Einhaltung des geplanten Projektendes möglich.

362

Lösungen

Andreas

B

G

Björn

C

Iris

F

E

G

Julia

D

Marco

A

Olga

H

A

Patrick

H

C

E

D

Violetta

B 5

F 10

15

20

25

30

35

40

Abb. 8.9. Personalzuordnung unter Berücksichtigung des Praktikums

6.3.3 Der kritische Weg führt über 1, 2, 3, 4 und 5, nur die Beschleunigung von Vorgängen auf dem kritischen Weg reduziert die Projektdauer. Die günstigsten mittleren Beschleunigungskosten der kritischen Vorgänge liegen bei (3, 4) mit 20 vor, daher wird (3, 4) um 2 Einheiten auf 1 Einheit gekürzt. Dann hat (3, 4) Minimaldauer erreicht, d. h. die weiteren Verkürzungskosten werden auf f gesetzt. Vorgang (2, 4) wird zusätzlich kritisch. Die Projektverkürzung auf 10 ist mit Beschleunigungskosten von insgesamt 2 * 20 40 verbunden. 3 4 1

3

0 0

2

7 7

1

5

4 8 8

3 3

2

5 10 10

Vor einer weiteren Verkürzung muss der minimale Schnitt ermittelt werden, der hier durch die Kombination (2, 3) und (2, 4) mit mittleren Beschleunigungskosten von 30  10 40 pro Zeiteinheit gegeben ist. Mit 2 Einheiten Verkürzung erreicht (2, 3) seine Minimaldauer und die Projektdauer kann mit Beschleunigungskosten von 40  2 * 20 120 auf 8 Zeiteinheiten reduziert werden. 3 2 1 0 0

3

2 3 3

5 5 3

1 4 6 6

2

5 8 8

Simulation

363

Im nächsten Schritt kann Vorgang (1, 2) auf 1 Zeiteinheit mit 2 * 50 100 Kosteneinheiten reduziert werden. Damit ist die minimale Projektdauer von 6 Zeiteinheiten erreicht.

200

150

K1 + K2 100 K1

50 K2

6 7 Minimaldauer

8

9

10

11 12 Normaldauer = optimale Dauer

Aufgrund der verhältnismäßig geringen Verlängerungskosten K2 ist es in diesem Fall optimal, das Projekt in Normaldauer durchzuführen, d. h. innerhalb von 12 Zeiteinheiten.

8.7 Simulation 8.7.1 Deterministische Simulation 7.1.1 Die Einlastungsreihenfolge ist durch die Kundenprioritäten vorgegeben. Die Systemzustandsänderungen werden zeitorientiert verfolgt. Die Zustände in den Zeitperioden zwischen den Ereignissen sind der Übersicht zu entnehmen.

364

Lösungen

Periode

Lager 1

Anlage 1

Lager 2

Anlage 2

Endlager

A1 ,..., A5 1

A2 ,..., A5

A1

-

-

-

2

A2 ,..., A5

A1

-

-

-

3

A2 ,..., A5

A1

-

-

-

4

A2 , A4 , A5

A3

-

A1

-

5

A2 , A4 , A5

A3

-

-

A1

6

A2 , A4 , A5

A3

-

-

A1

7

A2 , A4 , A5

A3

-

-

A1

8

A2 , A5

A4

-

A3

A1

9

A5

A2

-

A4

A1 , A3

10

-

A5

A2

A4

A1 , A3

11

-

A5

A2

A4

A1 , A3

12

-

-

A2 , A5

A4

A1 , A3

13

-

-

A5

A2

A1 , A3 , A4

14

-

-

-

A5

A1 ,..., A4

15

-

-

-

A5

A1 ,..., A4

16

-

-

-

A5

A1 ,..., A4

17

-

-

-

A5

A1 ,..., A4

-

-

-

-

A1 ,..., A5

Die Gesamtdurchlaufzeit beträgt 17 Zeiteinheiten. Die Auslastung sowohl in Werk 1 wie auch in Werk 2 ist 1117 64, 7 % . Der Systemzustand ändert sich zu den Zeitpunkten 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13 und 17. 7.1.2 a) Zunächst ist die Auftragsreihenfolge gemäß Kriterium „kürzeste Operationszeit“ aus den gegebenen Daten abzuleiten.

Anschließend erfolgen die Einlastung und die zeitorientierte Simulation mit Beschreibung der Zustände.

Simulation

365

Bearbeitungsdauern Auftrag

Walzstraße

Verzinkerei

Lackiererei

Summe

Reihenfolge

A1

2

1

3

6

3

A2

4

1

2

7

4

A3

3

1

1

5

2

A4

2

1

1

4

1

Walzstraße

Verzinkerei

Lackiererei

Endlager

Periode

Eingangslager A1 ,..., A4

1

A1 , A2 , A3

A4

-

-

-

2

A1 , A2 , A3

A4

-

-

-

3

A1 , A2

A3

A4

-

-

4

A1 , A2

A3

-

A4

-

5

A1 , A2

A3

-

-

A4

6

A2

A1

A3

-

A4

7

-

A1

-

A3

A4

8

-

A2

A1

-

A3 , A4

9

-

A2

-

A1

A3 , A4

10

-

A2

-

A1

A3 , A4

11

-

A2

-

A1

A3 , A4

12

-

-

A2

-

A1 , A3 , A4

13

-

-

-

A2

A1 , A3 , A4

14

-

-

-

A2

A1 , A3 , A4

-

-

-

A1 ,..., A4

366

Lösungen

Die Gesamtdurchlaufzeit beträgt 14 ZE. Die Walzstraße ist zu 1114 | 78, 6 % ausgelastet, die Verzinkerei zu 414 | 28, 6 % und die Lackiererei zu 714 50 % . b) Wählt man eine geschickte Reihenfolge, erst A2 , dann A1 auf der ersten Walzstrasse und zunächst A3 , dann A4 auf der zweiten, lassen sich die Aufträge ohne Unterbrechung in der Verzinkerei bearbeiten. Ein Lager vor der Lackiererei wird modelliert, was bei den Daten in Teil a) nicht erforderlich war.

Periode

Eingangslager

Walz I

Walz II

Verzinkerei

Lager

Lackirerei

Endlager

A1 ,..., A4 1

A1 , A4

A2

A3

-

-

-

-

2

A1 , A4

A2

A3

-

-

-

-

3

A1 , A4

A2

A3

-

-

-

-

4

A1

A2

A4

A3

-

-

-

5

-

A1

A4

A2

-

A3

-

6

-

A1

-

A4

-

A2

A3

7

-

-

-

A1

A4

A2

A3

8

-

-

-

-

A1

A4

A2 , A3

9

-

-

-

-

-

A1

A2 , A3 , A4

10

-

-

-

-

-

A1

A2 , A3 , A4

11

-

-

-

-

-

A1

A2 , A3 , A4 A1 ,..., A4

Die Gesamtdurchlaufzeit verkürzt sich auf 11 Zeiteinheiten, jedoch sind die Walzstraßen nur zu 611 bzw. 511 , also insgesamt nur zu 50% ausgelastet. In einem größeren Kontext mit vielen Aufträgen können diese parallelen Walzstraßen zu einer Verbesserung der Auslastung führen. 7.1.3 Aus den verfügbaren Daten wird zunächst die Bearbeitungsreihenfolge abgeleitet.

Simulation

Auftrag

A1

A2

A3

A4

A5

Bearbeitungsdauer

5

6

5

2

3

Liefertermin

8

12

9

7

5

Differenz

3

6

4

5

2

367

Für die zeitorientierte Ablaufsimulation werden das Eingangslager L1 , ein Zwischenlager L2 und das Endlager L3 berücksichtigt. Periode

L1

M1

L2

M2

L3

Ausgeliefert/ Verspätung

A1 ,..., A5 1

A1 ,..., A4

A5

-

-

-

2

A2 , A3 , A4

A1

-

A5

-

3

A2 , A3 , A4

A1

-

A5

-

4

A2 , A3 , A4

A1

-

-

A5

5

A2 , A4

A3

-

A1

A5

6

A2 , A4

A3

-

A1

7

A2 , A4

A3

-

-

A1

8

A2

A4

-

A3

A1

9

-

A2

A4

A3

A1 / 0

10

-

A2

-

A4

A3 / 0

11

-

A2

-

-

A4 / 3

12

-

A2

-

-

13

-

-

-

A2

14

-

-

-

A2

-

-

-

-

A5 / 0

A2 / 2

Die Gesamtdurchlaufzeit beträgt 14 Zeiteinheiten. Die folgende Übersicht zeigt die vereinbarten im Vergleich zu den erreichten Lieferterminen und die jeweiligen Überschreitungen.

368

Lösungen

Auftrag

A1

A2

A3

A4

A5

Erreichter Liefertermin

6

14

9

10

3

Vereinbarter Liefertermin

8

12

9

7

5

Lieferterminüberschreitung

-

2

-

3

-

Die Summe der Lieferterminüberschreitungen beträgt 5 Zeiteinheiten. Für die erste Maschine gibt es 5 ˜ 4 ˜ 3 ˜ 2 ˜1 120 Reihenfolgen. Dies sind die Handlungsalternativen, die für eine optimale Entscheidung hinsichtlich einer Einlastung mit minimaler Summe der Lieferterminüberschreitungen zu untersuchen wären. 7.1.4 a) Periode

Lager 1

Auszubildender

Lager 2

Meister

Endlager

A1 ,..., A4 1

A1 , A2 , A3

A4

-

-

-

2

A1 , A3

A2

-

A4

-

3

A1 , A3

A2

-

A4

-

4

A3

A1

A2

A4

-

5

A3

A1

-

A2

A4

6

A3

A1

-

A2

A4

7

-

A3

-

A1

A2 , A4

8

-

A3

-

-

A1 , A2 , A4

9

-

A3

-

-

A1 , A2 , A4

10

-

A3

-

-

A1 , A2 , A4

11

-

-

-

A3

A1 , A2 , A4

12

-

-

-

A3

A1 , A2 , A4

-

-

-

-

A1 ,.., A4

Simulation

369

Die Gesamtdurchlaufzeit beträgt 12 Zeiteinheiten. Die Auslastung des Auszubildenden ist 1012 | 83,3% , die des Meisters 812 | 66, 7 % . b) Wenn die Aufträge in derselben Reihenfolge durch den Meister wie durch den Auszubildenden bearbeitet werden sollen, gibt es 4 ˜ 3 ˜ 2 ˜1 24 unterschiedliche Bearbeitungsreihenfolgen für die Aufträge. Diese müssten sämtlich explizit oder implizit hinsichtlich der Gesamtdurchlaufzeit bewertet werden, um die minimale Gesamtdurchlaufzeit zu ermitteln. Eine Abschätzung der mindestens erforderlichen Durchlaufzeit ist möglich. So stellt die Summe der Bearbeitungsdauern für jeden der beiden Akteure je eine untere Schranke dar. Die Bearbeitungszeiten des Auszubildenden betragen 10 Zeiteinheiten, die des Meisters 8 Zeiteinheiten. Eine untere Schranke für die Gesamtdurchlaufzeit ist folglich das Maximum der beiden Werte, also 10 Zeiteinheiten. Diese untere Schranke kann noch erhöht werden. Nach Abschluss der Bearbeitung durch den Auszubildenden muss mindestens der letzte Auftrag noch durch den Meister fertig gestellt werden. Im günstigsten Fall ist das derjenige Auftrag mit der kürzesten Bearbeitungsdauer auf Stufe 2, also A1 mit Dauer 1. Diese Zeit kommt mindestens noch zu den 10 Zeiteinheiten der Stufe 1 hinzu. Somit kann die Gesamtdurchlaufzeit nicht unter 11 Zeiteinheiten betragen. Bevor der Meister seine Arbeit beginnen kann, muss zumindest der Auftrag mit kürzester Bearbeitungsdauer auf Stufe 1 durch den Auszubildenden bearbeitet worden sein, also A4 mit einer Zeiteinheit. Damit ist eine untere Schranke 8 ZE plus 1 ZE, also 9 ZE, die jedoch niedriger ist als die bereits festgestellten 11 ZE. Damit kann die mittels Heuristik ermittelte Reihenfolge mit 12 Zeiteinheiten günstigstenfalls noch um 1 Zeiteinheit verkürzt werden. Ob dies in diesem Beispiel möglich ist, kann in diesem Fall aufgrund der geringen Größe des Problems ermittelt werden. Eine weitere Analyse der Alternativen ergibt, dass die kürzeste Gesamtdurchlaufzeit 11 Zeiteinheiten beträgt und z. B. mit der Reihenfolge A4 , A3 , A2 , A1 erreicht wird. 7.1.5 a) Folgende Tabelle beschreibt die Systemzustände bei Einlastung gemäß der kürzesten Operationszeit, Rüstvorgänge werden mit R bezeichnet.

Die Gesamtdurchlaufzeit beträgt 20 Zeiteinheiten, die Rüstzeit auf Maschine 1 9 Zeiteinheiten.

370

Lösungen

Periode

Lager

Maschine 1

Lager 2

Maschine 2

Endlager

A1 ,..., A5 1

A1 , A2 , A4 , A5

A3

-

-

-

2

A1 , A2 , A4 , A5

R

-

A3

-

3

A1 , A2 , A5

A4

-

A3

-

4

A1 , A2 , A5

R

A4

A3

-

5

A1 , A2 , A5

R

-

A4

A3

6

A1 , A2 , A5

R

-

-

A3 , A4

7

A1 , A2 , A5

R

-

-

A3 , A4

8

A2 , A5

A1

-

-

A3 , A4

9

A2 , A5

A1

-

-

A3 , A4

10

A2 , A5

R

-

A1

A3 , A4

11

A5

A2

-

A1

A3 , A4

12

A5

A2

-

-

A1 , A3 , A4

13

A5

A2

-

-

A1 , A3 , A4

14

A5

R

-

A2

A1 , A3 , A4

15

A5

R

-

-

A1 , A2 , A3 , A4

16

A5

R

-

-

-

A5

-

-

A1 , A2 , A3 , A4 A1 , A2 , A3 , A4

-

A5

-

-

A1 , A2 , A3 , A4

-

A5

-

-

A1 , A2 , A3 , A4

-

-

-

A5

A1 , A2 , A3 , A4

-

-

-

-

A1 ,..., A5

17 18 19 20

b) Wird jeweils der Auftrag mit kürzester Rüstzeit als nächstes eingeplant, resultiert der folgende Ablauf.

Simulation

Periode

Lager

Maschine 1

Lager 2

Maschine 2

Endlager

371

A1 ,..., A5 1

A2 , A3 , A4 , A5

A1

-

-

-

2

A2 , A3 , A4 , A5

A1

-

-

-

3

A2 , A3 , A4 , A5

R

-

A1

-

4

A3 , A4 , A5

A2

-

A1

-

5

A3 , A4 , A5

A2

-

-

A1

6

A3 , A4 , A5

A2

-

-

A1

7

A3 , A4 , A5

R

-

A2

A1

8

A4 , A5

A3

-

-

A1 , A2

9

A4 , A5

R

-

A3

A1 , A2

10

A5

A4

-

A3

A1 , A2

11

A5

R

A4

A3

A1 , A2

12

-

A5

-

A4

A1 , A2 , A3

13

-

A5

-

-

A1 , A2 , A3 , A4

14

-

-

-

-

A5 -

-

A5

A1 , A2 , A3 , A4 A1 , A2 , A3 , A4

-

-

-

-

A1 ,..., A5

15

Die Gesamtdurchlaufzeit beträgt 15 Zeiteinheiten, die Rüstzeit auf Maschine 1 4 Zeiteinheiten. Eine Gegenüberstellung der beiden Ergebnisse ist in der folgenden Tabelle zu finden. Die Verkürzung der Durchlaufzeit ist hier auf die Einsparung von Rüstzeit zurückzuführen, ggf. sind zusätzlich notwendige Rüstvorgänge zu Beginn der Produktion zu beachten. Heuristik

Gesamte Durchlaufzeit

Rüstzeit

Kürzeste Bearbeitungszeit

20 ZE

9 ZE

Geringste Rüstzeit

15 ZE

4 ZE

372

Lösungen

8.7.2 Stochastische Simulation 7.2.1 Das Problem lässt sich mittels Zustandsbaum, dieser entspricht einem Entscheidungsbaum ohne Handlungsalternative, strukturieren. 1.Stufe 1

0,5 2.Stufe 2

0,75 Erfolg

0,6 3.Stufe 3

4 M lg fo

lg

lg fo

fo er

er iss

iss

er iss

M

M

25 0,

5

4 0,

0,

a) Die Wahrscheinlichkeit einer erfolgreichen Markteinführung errechnet sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten für den erfolgreichen Abschluss aller 22, 5% Stufen, also: 0, 5 ˜ 0, 6 ˜ 0, 75 0, 225 b) Die Transformationsfunktionen lauten wie folgt: T1 (u )

­Stufe1positiv für 0 d u d 0,5 ® ¯Stufe1negativ für 0,5  u d1

T2 (u ) 54.000  12.000 u T3 (u )

­Stufe 2 positiv ® ¯Stufe 2 negativ

für 0 d u d 0, 6 für 0, 6  u d 1

T4 (u ) 60.000  40.000 u T5 (u )

­Stufe 3erfolgreich für 0 d u d 0, 75 ® für 0, 75  u d 1 ¯Stufe 3negativ

T6 (u ) 337.500  225.000 u

Unter Verwendung der vorgegebenen Zufallszahlen werden die Transformationen einzeln durchgeführt und liefern folgende Teilergebnisse für zwei Simulationsläufe: T1 (0,3) Stufe1positiv

T1 (0,5) Stufe1positiv

T2 (0, 7) 62.400 €

T2 (0, 2) 56.400 €

T3 (0, 6) Stufe 2 positiv

T3 (0,9) Stufe 2 negativ Ÿ Abbruch

T4 (0,1) 64.000 € T5 (0, 4) Stufe 3positiv T6 (0,8) 517.500 €

Simulation

373

Im ersten Fall resultiert eine Wertsteigerung von insgesamt 643.900 €, im zweiten von 56.400 €. Durch viele derartige Simulationsläufe ließe sich die Verteilungsfunktion für die Wertsteigerung ermitteln. 7.2.2 Der folgende lineare Kongruenzgenerator wird hier beispielhaft gewählt:

xi 1 (5 ˜ xi  3) mod 16 Mit Startwert x0 4 errechnet man folgende Pseudozufallszahlenfolge: x1

( 5 ˜ 4  3) mod 16

7

x2

( 5 ˜ 7  3) mod 16

6

x3

( 5 ˜ 6  3) mod 16 1

x4

( 5 ˜1  3) mod 16

x5

( 5 ˜ 8  3) mod 16 11

x6

( 5 ˜11  3) mod 16 10

8

Nach Division durch 15 erhält man die Pseudozufallszahlen in > 0;1@ :

1 ; 8 ; 11 ; 10 . 15 15 15 15

7 ; 6 ; 15 15

Folgende Transformationsfunktionen sind zur Erzeugung von Realisationen gemäß den gewünschten Verteilungen geeignet: für 0 d u d 0,8

T1 (u )

­Treffer im Katalog ® ¯kein Treffer

T2 (u )

­Buch in Fakultätsbibliothek ° ®Buch in Universitätsbibliothek °Buch auswärts ¯

T3 (u )

­Buch verfügbar ° ®Buch entliehen °Buch vermisst ¯

für 0,8  u d 1

für 0,5  u d1

für 0,6  u d 0,95 für 0,95  u d 1

Treffer im Katalog

T2 ( 615)

Buch in Fakultätsbibliothek

T3 ( 115)

Buch verfügbar

T1 ( 815) T2 (1115) T3 (1015)

Treffer im Katalog

Buch entliehen

für 0,4  u d 0,5

für 0 d u d 0, 6

T1 (715)

Buch auswärts

für 0 d u d 0, 4

374

Lösungen

Aufgrund der zwei Simulationsläufe ergibt sich eine mittlere Wahrscheinlichkeit von 0,5, das Buch in der Fakultätsbibliothek zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Buch in der Fakultätsbibliothek verfügbar ist, ergibt sich analytisch aus dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten zu 0,8 ˜ 0, 4 ˜ 0, 6 0,192 19, 2  . Dieser Wert ist richtig und schnell zu ermitteln, während die Simulation für ein relativ präzises Ergebnis aufwändig wird. Sie ist für komplexere Situationen besser geeignet, für die die analytische Berechnung nicht so einfach möglich ist. 7.2.3 Entsprechend der Aufgabe 7.2.2 werden die sechs Zufallszahlen 715 ; 615 ; 8 ; 11 ; 10 15 15 ermittelt. 15 Die Transformationsfunktion zur Ermittlung der Fahrgastzahlen lautet:

T (u )

1 ; 15

bzw. T (u ) 50  5u mit entsprechender Rundung.

­50 für 0 d u d 0, 2 °51 für 0, 2  u d 0, 4 °° ®52 für 0, 4  u d 0, 6 °53 für 0, 6  u d 0,8 ° °¯54 für 0,8  u d 1

Für die Zufallszahlenfolge resultieren die Werte T (715) 52 , T (615) 51 , T ( 115) 50 , T (815) 52 , T (1115) 53 , T (1015) 53 . Um 12.13 h treffen Fahrgäste mit dem RE 1 aus Bielefeld ein. Sie sparen durch den Metrorapid 57 - 39 = 18 Minuten Fahrzeit, müssen jedoch umsteigen und benötigen zusätzlich 7 Minuten bis zur Abfahrt des Metrorapid. Die tatsächliche Zeitersparnis beträgt somit 11 Minuten. Für Fahrgäste des IR 20 aus Erfurt ergibt sich eine Zeitersparnis von 18 Minuten Fahrzeit minus 11 Minuten Wartezeit, also 7 Minuten. Fahrgäste des RE 11 aus Bielefeld sparen 18 Minuten abzüglich 5 Minuten, also 13 Minuten. Der Zeitgewinn pro Tag wird durch 2 Simulationsläufe mit den Realisationen der Kundenzahlen ermittelt: 1. Lauf

2. Lauf

Kunden

Ersparnis

Kunden

Ersparnis

RE 1

52

572

52

572

IR 20

51

357

53

371

RE 11

50

650

53

689

Die untersuchte Anzahl an Fahrgästen beträgt 311, insgesamt wurde ein Zeitgewinn von 3211 Minuten beobachtet. Dies ergibt einen durchschnittlichen Zeitgewinn je Fahrgast von 10,32 Minuten.

Simulation

375

7.2.4

Die minimale Dauer wird erreicht, wenn sämtliche Vorgänge minimale Vorgangsdauern aufweisen. Sie beträgt 5 = min ^2  3, 5` . Die maximale Dauer ist 7 = max ^3  4, 6` Zeiteinheiten. Sie wird angenommen, wenn alle Vorgänge ihre maximale Vorgangsdauer benötigen. Mit den entsprechenden Transformationsfunktionen für

> a, b @: g  u

a  b  a ˜ u

und der angegebenen Zufallszahlenfolge erhält man für die erste Simulation der Projektdauer d1 2, 4 , d 2 3, 7 und d3 5,5 . Die Projektdauer ist hierfür 6,1.

d1 > 2,3@

d 2 >3, 4 @

d 3 >5, 6 @

Mit einem beobachteten Mittelwert von 6,12 und einer Standardabweichung von 0,2 kann das Konfidenzintervall für das Vertrauensniveau von 95 % angenähert angegeben werden durch die Grenzen 6,12 r 1,96 ˜ 0,2

100

 6,12 r 0, 04

Da die maximale Abweichung nur 0,01 betragen soll, ist die Zahl der Simulationsläufe zu ermitteln, für die gilt 1,96 ˜ 0,2

n





d 0, 01 œ n t 1,96 ˜ 0,2 0,01

2

| 1.537

Damit sind zur Einhaltung der vorgegebenen Genauigkeit 1.537 Simulationsläufe durchzuführen, also weitere 1.437. 7.2.5 Zunächst ist ein geeignetes Zeitintervall festzulegen, welches konsequent einzuhalten ist. Unabhängig von dieser Wahl erhält man dann die zutreffenden Ergebnisse. Die Verkehrsdichte wird hier bezogen auf einen Tag:

U

mittlere Anzahl ankommender Züge Anzahl von Zügen, die im Mittel abgefertigt werden können 24 15 24 12

1, 6 2

0,8

O P

376

Lösungen

Die mittlere Wartezeit ergibt sich zu tw

U P (1  U )

0,8 2 ˜ 0, 2

2

>Tag / Zug @

Die mittlere Schlangenlänge ist

U2 1 U

ns

0,82 0, 2

0, 64 0, 2

3, 2

Im Mittel wartet jeder Zug zwei Tage, dazu bildet sich eine Warteschlange mit im Durchschnitt 3,2 Zügen. Die Kosten pro Zug, die aufgrund der Wartezeit anfallen, betragen 250 GE pro Stunde. Da die mittlere Wartezeit 2 Tage bzw. 48 Stunden beträgt, sind die Opportunitätskosten der durchschnittlichen Wartezeit 48 ˜ 250 12.000 GE pro Zug. 7.2.6 Die Auslastung entspricht der Verkehrsdichte und beträgt bezogen auf je 10 Minuten:

U

O P

1,5 2

0, 75

75%

Die mittlere Schlangenlänge ist ns

U2 1 U

0, 752 0, 25

2, 25

Die durchschnittliche Wartezeit errechnet sich zu tw

U P (1  U )

0, 75 1,5 2 ˜ 0, 25

ª10Minuten Person º ¬ ¼ ª¬ Minuten Person º¼

15

Der Schalter ist zu 75 % ausgelastet. Im Mittel stehen 2,25 Bürger in der Schlange vor dem Schalter. Die durchschnittliche Wartezeit pro Bürger beträgt 15 Minuten. 7.2.7 Die Verkehrsdichte und damit die Auslastung der Fleischfachverkäuferin wird auf Basis der durchschnittlichen Ankünfte und Bedienung je Stunde ermittelt:

U

O P

12 20

0, 6

60%

Simulation

Die Verkäuferin ist 1  0, 6

0, 4

377

40% der Zeit unbeschäftigt.

Die mittlere Schlangenlänge errechnet sich zu ns

U2 1 U

0, 62 0, 4

0,9

Die mittlere Wartezeit beträgt tw

U P (1  U )

0, 6 20 ˜ 0, 4

0,075 ª¬Std.Person º¼ 4,5

ª¬ Min.Person º¼

Im Mittel stehen 0,9 Kunden in der Schlange und warten dort durchschnittlich 4,5 Minuten. 7.2.8 Der Mittelwert der beobachteten Kapitalwerte kann aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes als annähernd normalverteilt NV 350, 452 angenommen werden. Da die Stichprobe mit 400 ausreichend groß ist, kann das Konfidenzintervall mit der geschätzten Standardabweichung und dem Fraktil der Normalverteilung bestimmt werden. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt der Erwartungswert in dem Konfidenzintervall





ª V V º , P  )  0,975 ˜ « P  )  0,975 ˜ » n n¼ ¬

Für die konkreten Werte und mit )  0,975 1,96 ergibt sich mit 45 45 º ª , 350  1,96 ˜ «350  1,96 ˜ » 400 400 ¼ ¬ das Konfidenzintervall zu >345,59; 354, 41@ . In diesem Bereich wird der Erwartungswert des Kapitalwertes mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit liegen. Die Abweichung von 350 beträgt somit 4,41, also etwa 1,2 %. Daher sind weitere Simulationsläufe erforderlich um eine Abweichung unter 1 %, d. h. 3,5, zu erzielen. Für deren Anzahl n muss gelten 1,96 ˜

2

§ 1,96 ˜ 45 · d 3,5 œ n t ¨ ¸ | 635 n © 3,5 ¹

45

Also sind zusätzlich zu den bisherigen 400 noch weitere 235 Simulationsläufe durchzuführen.

378

Lösungen

Das Konfidenzintervall, in dem mit Wahrscheinlichkeit 99 % der Erwartungswert des Kapitalwertes liegt, wird über )  0,995 2,58 ermittelt zu >344,195; 355,805@ . Also beträgt die Abweichung von 350 jetzt 5,8, also 1,66 %. Um auch mit 99 %iger Wahrscheinlichkeit eine Abweichung vom erwarteten Kapitalwert von 1 % zu ermitteln, sind insgesamt 1100, also 700 weitere Simulationsläufe notwendig, wie der folgende Zusammenhang zeigt: 2

§ 2,58 ˜ 45 · nt¨ ¸ | 1100 . © 3,5 ¹

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1.1. Abb. 1.2. Abb. 1.3. Abb. 1.4. Abb. 1.5. Abb. 1.6. Abb. 1.7.

Problemlösungsprozess ........................................................................2 Modelle strukturiert nach ihrem Zweck ...............................................4 Beschreibungsmodell Standortplan ......................................................4 Beschreibungsmodell Inventar .............................................................5 Homomorphismus ................................................................................6 Struktogramm Prüfungstraining .........................................................11 Klassifikation von Entscheidungssituationen.....................................22

Abb. 2.1. Abb. 2.2. Abb. 2.3. Abb. 2.4. Abb. 2.5. Abb. 2.6. Abb. 2.7. Abb. 2.8. Abb. 2.9.

Derzeitige Anlagenbelegung Optima .................................................35 Zulässigkeitsbereich Optima ..............................................................37 Optimale Anlagenbelegung Optima ...................................................43 Abgeschlossene, konvexe Polyeder....................................................46 Unbeschränkter Zulässigkeitsbereich.................................................60 Optima II: mehrere optimale Lösungen..............................................63 Zulässigkeitsbereich Optima III .........................................................66 Zulässigkeitsbereich Optima IV .........................................................68 Zulässigkeitsbereich Beispiel Landwirtschaft ....................................73

Abb. 3.1. Zulässigkeitsbereich Optima V ..........................................................78 Abb. 3.2. Zulässigkeitsbereich Hilfsmodell Optima V ......................................80 Abb. 3.3. Zulässigkeitsbereich Beispiel 3.2 .......................................................93 Abb. 4.1. Abb. 4.2. Abb. 4.3. Abb. 4.4. Abb. 4.5. Abb. 4.6. Abb. 4.7. Abb. 4.8. Abb. 4.9. Abb. 4.10.

Eingabemaske Optima Produktionsprogramm .................................121 Erweiterte Ergebnisanzeige..............................................................122 Kosten für OptiMasch AG ...............................................................126 Ergebnisausgabe Supply Chain Management ..................................129 Beispiel Feuerwehrwachen...............................................................130 Optimale Verteilung der Feuerwehrwachen.....................................132 Optimales Investitions- und Finanzierungsprogramm......................144 Optimales Endtableau Investition und Finanzierung (gerundet) ......147 Flugpreis und Nachfrage ..................................................................152 Projekt-Programm Struktur ..............................................................161

Abb. 5.1. Abb. 5.2. Abb. 5.3. Abb. 5.4.

Beispiel Autobahnnetz NRW ...........................................................166 Alternative Darstellung des Beispiels Autobahnnetz NRW .............167 Ungerichteter Graph G1 ....................................................................168 Gerichteter Graph G2 ........................................................................169

380

Abbildungsverzeichnis

Abb. 5.5. Abb. 5.6. Abb. 5.7. Abb. 5.8. Abb. 5.9. Abb. 5.10. Abb. 5.11. Abb. 5.12. Abb. 5.13. Abb. 5.14. Abb. 5.15. Abb. 5.16. Abb. 5.17. Abb. 5.18. Abb. 5.19. Abb. 5.20. Abb. 5.21. Abb. 5.22.

Parallelität ........................................................................................171 Graph G3 als Modell von Kommunikationsbeziehungen .................172 Eigentümerstruktur der Bankgesellschaft Zentral ............................172 Beispiel eines vollständigen Graphen mit 4 Knoten ........................173 Beispiel eines symmetrischen Graphen mit 5 Knoten......................173 Symmetrischer gerichteter Graph Autobahnnetz NRW ...................174 Ungerichteter Graph G4 mit Kreis....................................................175 Digraph G5 mit Zyklus .....................................................................176 Äquivalente Darstellungen desselben Baums ..................................177 Wurzelbaum mit Wurzel 1 ...............................................................178 Eigentümerstruktur als gerichteter Graph ........................................180 Bewerteter ungerichteter Graph Autobahnnetz NRW......................186 Netzwerk ..........................................................................................188 Bewerteter Graph G9 ........................................................................190 Schrittweiser Aufbau eines Baums für Graph G9 .............................193 Autobahnnetz NRW mit Fahrtdauern in Minuten ............................193 Graph G10 .........................................................................................195 u Modifizierter Graph G10 ..................................................................195

Abb. 6.1. Abb. 6.2. Abb. 6.3. Abb. 6.4. Abb. 6.5. Abb. 6.6. Abb. 6.7. Abb. 6.8. Abb. 6.9. Abb. 6.10. Abb. 6.11. Abb. 6.12. Abb. 6.13. Abb. 6.14. Abb. 6.15. Abb. 6.16. Abb. 6.17. Abb. 6.18. Abb. 6.19. Abb. 6.20. Abb. 6.21. Abb. 6.22. Abb. 6.23. Abb. 6.24. Abb. 6.25.

Beispielhafter Netzplan ....................................................................202 Vorgangspfeilnetzplan 1 Klausurtraining.........................................204 Vorgangspfeilnetzplan 2 Klausurtraining.........................................205 Vorgangsknotennetzplan 1 Klausurtraining .....................................205 Vorgangsknotennetzplan 2 Klausurtraining .....................................206 Vorgangsknotennetzplan GC-Uni-Party ..........................................210 Vorgangspfeilnetzplan GC-Uni-Party..............................................210 Frühestmögliche Ereigniszeitpunkte Projekt 1.................................215 Spätesterlaubte Ereigniszeitpunkte Projekt 1 ...................................216 Projekt 1, Gantt-Diagramm, Vorgänge möglichst früh ....................218 Projekt 1, Gantt-Diagramm, Vorgänge möglichst spät ....................218 Bewerteter Vorgangsknotennetzplan Projekt 1 ................................220 Projekt 1 mit frühestem und spätestem Vorgangsanfang .................221 Vorgangspfeilnetzplan Projekt 1 mit kritischem Weg .....................222 Pufferzeiten und Lage der Vorgänge................................................224 Gantt-Diagramm mit Gesamtpuffern zu Projekt 1 ...........................225 Vorgangspfeilnetzplan, GC-Uni-Party.............................................227 Ausschnitt des Gantt-Diagramms GC-Uni-Party .............................228 Netzplan zu Projekt 2 .......................................................................229 Kritischer Weg für Projekt 1 im Vorgangsknotennetzplan ..............231 Vorgangsknotennetzplan für Projekt 2.............................................232 Kapazitätsbedarf bei frühestem Beginn der Vorgänge Projekt 1 .....236 Kapazitätsbedarf bei spätestem Beginn der Vorgänge Projekt 1......237 Gantt-Diagramm zur Reduzierung der Zeit mit Spitzenbedarf ........237 Kapazitätsbedarf zu Gantt-Diagramm in Abb. 6.24 .........................238

Abbildungsverzeichnis

381

Abb. 6.26. Abb. 6.27. Abb. 6.28. Abb. 6.29. Abb. 6.30. Abb. 6.31. Abb. 6.32.

Zusammenhang zwischen Projektkosten und Projektdauer..............239 Projekt 3 mit Normaldauer ...............................................................240 Projekt 3 mit Minimaldauer .............................................................241 Projekt 3 reduziert auf Dauer 7 ........................................................241 Projekt 3 reduziert auf Dauer 5 ........................................................242 Projekt 3 reduziert auf Dauer 4 ........................................................242 Zusammenhang zwischen Projektdauer und Kosten ........................243

Abb. 7.1. Abb. 7.2. Abb. 7.3. Abb. 7.4. Abb. 7.5. Abb. 7.6. Abb. 7.7. Abb. 7.8. Abb. 7.9. Abb. 7.10. Abb. 7.11. Abb. 7.12. Abb. 7.13. Abb. 7.14. Abb. 7.15. Abb. 7.16. Abb. 7.17. Abb. 7.18. Abb. 7.19. Abb. 7.20. Abb. 7.21. Abb. 7.22. Abb. 7.23. Abb. 7.24. Abb. 7.25.

Modellklassifikation.........................................................................247 Produktionsbereich als offenes, dynamisches System......................249 Auftragsdurchlauf.............................................................................251 Maschinenbelegung, Reihenfolge gemäß Nummerierung................253 Lagerbestand im zeitlichen Ablauf...................................................253 Maschinenbelegung, „KOZ“-Reihenfolge auf 1. Maschine.............255 Maschinenbelegung „Kürzeste Gesamtbearbeitungszeit“ ................256 Optimale Maschinenbelegung ..........................................................256 Auftragseinlastung ...........................................................................257 Produktionssystem eines Unternehmens ..........................................259 Warteschlangensystem .....................................................................266 Diskrete Gleichverteilung Zwischenankunftszeit.............................267 Diskrete Gleichverteilung Bediendauer............................................267 Zeitorientierte Ablaufsteuerung........................................................270 Ereignisorientierte Ablaufsteuerung.................................................270 Feste Elemente des Postschalter-Systems ........................................271 Diskrete Gleichverteilung Würfeln ..................................................276 Unregelmäßige diskrete Zufallsvariable...........................................276 Direkte Transformation von Zufallszahlen.......................................278 Gleichverteilung in [a, b] .................................................................279 Dichtefunktionen von Normalverteilungen ......................................280 Standardnormalverteilung ................................................................280 Exponentialverteilungen mit O 3 bzw. O 6 ..................................282 Risikoprofil eines Investitionsvorhabens..........................................289 Risikoprofil I1 nach 10 Simulationsläufen........................................291

Abb. 8.1. Abb. 8.2. Abb. 8.3. Abb. 8.4. Abb. 8.5. Abb. 8.6. Abb. 8.7. Abb. 8.8. Abb. 8.9.

Optimale Waschpulverproduktion....................................................324 Balkendiagramm, früheste Anfangstermine .....................................359 Kapazitätsbedarf Aufg. 6.3.1 bei frühesten Zeitpunkten ..................359 Balkendiagramm, späteste Anfangstermine .....................................360 Kapazitätsbedarf Aufg. 6.3.1 bei spätesten Zeitpunkten ..................360 Kapazitätsbedarf Aufg. 6.3.1 bei drei Personen ...............................360 Balkendiagramm bei Beschränkung auf drei Personen ....................361 Balkendiagramm mit Personalzuordnung ........................................361 Personalzuordnung unter Berücksichtigung des Praktikums............362

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1.1. Tabelle 1.2. Tabelle 1.3. Tabelle 1.4. Tabelle 1.5. Tabelle 1.6.

Ergebnisse des Würfelbeispiels .....................................................17 Grundmodell der Entscheidungstheorie.........................................19 Ergebnismatrix Wochenhändler.....................................................20 Entscheidungsmatrix Wochenhändler............................................20 Vollkommene Alternativenstellung Anlagen.................................22 Investitionsalternativen..................................................................28

Tabelle 2.1.

Produktionskoeffizienten Optima ..................................................33

Tabelle 3.1.

Maßnahmen zur Modellmodifikation ............................................95

Tabelle 4.1. Tabelle 4.2. Tabelle 4.3. Tabelle 4.4. Tabelle 4.5. Tabelle 4.6. Tabelle 4.7. Tabelle 4.8. Tabelle 4.9. Tabelle 4.10. Tabelle 4.11. Tabelle 4.12. Tabelle 5.1.

Kapazität der Werke und Lager ...................................................127 Nachfrage in den Kundengebieten...............................................127 Standorte, von denen aus i innerhalb der Frist erreichbar ist .......131 Ergänzungsinvestitionen I1 .........................................................138 Ergänzungsinvestitionen I 2 .........................................................140 Zahlungsreihen der Investitionen I1 bis I 3 .................................141 Kennzahlen bei unterschiedlichem Soll- und Habenzins.............141 Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten ............................142 Verfügbare Mittel Optima............................................................146 Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten Optima ...............146 Preise und Nachfragen .................................................................153 Optimale Sitzplatzkontingente.....................................................154 Iterationen des Algorithmus von Dijkstra für den Graphen G9 ....191

Tabelle 5.2. Tabelle 5.3. Tabelle 5.4. Tabelle 5.5. Tabelle 5.6. Tabelle 5.7.

Kürzeste Wege und kürzeste Entfernungen .................................192 Dijkstra-Iterationen Beispiel Entfernungen NRW .......................194 Kürzeste Wege und Entfernungen von Bochum aus....................194 Dijkstra-Tableau ..........................................................................196 u Entfernungen von Knoten 1 aus für Graph G10 ..........................196 Entfernungen zu Knoten 1 hin für Graph G10 ..............................197

Tabelle 6.1. Tabelle 6.2. Tabelle 6.3. Tabelle 6.4. Tabelle 6.5. Tabelle 6.6.

Vorgangsliste Klausurtraining .....................................................204 Vorgangsliste GC-Uni-Party........................................................209 Charakteristische Vorgangszeiten Projekt 1 ................................217 Vorgangspuffer Projekt 1.............................................................225 Vorgangsdauern GC-Uni-Party ...................................................227 Charakteristische Vorgangszeiten und Puffer Projekt 2 ..............230

384

Tabellenverzeichnis

Tabelle 6.7. Tabelle 6.8. Tabelle 6.9.

Zusammenhang der Vorgangsbezeichnungen Projekt 2 ..............232 Minimaldauern und MBK Projekt 3 ............................................240 Vorgangsliste GC-Uni-Party .......................................................245

Tabelle 7.1. Tabelle 7.2. Tabelle 7.3. Tabelle 7.4. Tabelle 7.5.

Auftragsbearbeitungsdauern ........................................................251 Simulation der Auftragsbearbeitung............................................252 Simulation des Postschalters........................................................268 Verteilungsfunktion ) der Standardnormalverteilung ...............281 Generierte Zahlungsfolgen und Kapitalwerte ..............................290

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Sachverzeichnis

A Abbruch 10 Abfertigungsrate 286 Ablaufplan 238 Ablaufsteuerung 270 ereignisorientierte 270 zeitorientierte 270 Absatzrestriktion 124 adjazent 169 Adjazenzmatrix 178 Algorithmus 9 Alternative 10, 21 Anfang 209 Anfangsknoten 170 Anfangszeit frühestmögliche 217 spätesterlaubte 217 Ankunftsrate 286 Ankunftsverhalten 266 Anlagenbelegungsplanung 251, 258 Annuität 138 Annuitätenfaktor 138 Anordnungsbeziehung 202 Äquivalenzklasse 6, 7 Artenpräferenz 25 Attribut 24 Aufnahmekriterium 40, 55 Ausgangsgrad 170 Ausgangslösung zulässige 77 Auslastung 269 Auswahlordnung 266 B Balkendiagramm 217 Barwert 138 Basis 49 zulässige 51 Basisdarstellung 67 Basislösung 52

optimale 55 zulässige 52, 54 Basistausch 56 Baum 177 Beschleunigungskosten mittlere 240 Beschreibungsmodell 3 Bewertungsfunktion 25, 185 Bewertungsmatrix 186 Blatt 177 C ClipMOPS£ 121 D Deckungsbeitrag 99, 123, 133, 157 Digraph 171 Dijkstra 189 Dominanz 27 Dominanzprinzip 27 dominiert 27 Dualität 102 Dualvariable 103 E Effizienz 11, 27 Eingabedaten 121 Eingangsgrad 170 Elemente bewegliche 270 feste 270 Eliminationskriterium 41, 55 Ende 210 frühestmögliches 217 spätesterlaubtes 217 Endknoten 170, 177 Endvermögen 149 Endwert 138, 144 Entartung

394

Sachverzeichnis

duale 65 primale 55, 67 Entfernung 187 Entscheidungslogik 16 Entscheidungsmatrix 19, 26 Entscheidungsmodell 3 Entscheidungsregel 25 Entscheidungssituation 22, 254 Entscheidungstheorie 15, 16, 18 Entscheidungsverhalten 16 Enumeration vollständige 8 Ereignis 202, 250 kritisches 222 Ereignisknotennetzplan 203 Ergebnis 17, 24 Ergebnisanzeige 121 Ergebnismatrix 19 Erklärungsmodell 3 Erreichbarkeit 176 Erwartungswert 277 Experiment 248 Exponentialverteilung 282, 285 F Fallmix-Optimierung 157 Flussdiagramm 9 Folge 10 Form kanonische 49 G Gantt-Diagramm 217 Gesamtdurchlaufzeit 251 Gleichgewicht finanzielles 143 Gleichungssystem äquivalentes 46 Grad 170 Graph bewerteter 185 endlicher 170 gerichteter 168 kreisfreier 174 schlichter 171 symmetrischer 173 ungerichteter 167 vollständiger 173 zusammenhängender 177 zyklenfreier 175

Grenzwertsatz zentraler 283 Grundmodell 18, 44 H Habenzins 140 Handlungsalternative 16 Hilfsvariable 79 Höhenpräferenz 25 Höhenpräferenzfunktion 26 homomorph 7 Homomorphismus 6 I Indifferenz 24 Information 17 Investition 136 Investitionsrechnung dynamische 136 inzident 169 negativ 170 positiv 170 Inzidenzabbildung 167 isoliert 170 isomorph 7 Isomorphismus 6, 7 K Kalkulationszinssatz 137 Kante 167 gerichtete 168 parallele 171 Kantenfolge 174 geschlossene 174 Länge 187 offene 174 Kapazitätenvektor 45 Kapazitätsplanung 236 Kapazitätsrestriktion 125 Kapitalwert 137, 160 kardinal 26 Kette 174 Knoten 130, 167 verbundene 176 Koeffizientenmatrix 45 Komplementaritätsbedingung 106 Konfidenzintervall 283 Kosten 127, 152, 157 Kreis 174

Sachverzeichnis Kreisregel 57 Kürzeste-Wege-Algorithmus 189 L Lagerbilanzgleichung 125 Lagerhaltung 124 Landau-Symbol 12 Laufzeit 12 maximale 12 Leerzeit 287 lineare Optimierung 44 lineare Programmierung 44 ganzzahlige 119 gemischt-ganzzahlige 119 linearer Kongruenzgenerator 272 Lösung optimale 8, 36, 55 zulässige 36 Lösungsraum 45 M Markierungsalgorithmus 189 Maximumprinzip 1 Methode 2-Phasen- 84 Groß-M- 79 Minimaldauer 239 Minimierung 90 Minimumprinzip 1 Modell 3, 247 N Nachbar 169 Nachfolger 170 Nachfolgerliste 180 Nebenbedingung 45 Netzplan 202 Netzwerk 185 Nichtbasisteil 49 Nichtnegativitätsbedingung 44, 45, 89, 121 Normaldauer 239 Normalverteilung 279 Nutzenfunktion 25 Nutzenmatrix 26 O ökonomisches Prinzip 1

395

O-Notation 12 Opportunitätskosten 59, 102, 123 Optimalität 1 Optimalitätskriterium 43, 55 Optimierung 8, 254 Optimierungsmodell duales lineares 102 primales lineares 102 quadratisches 119 ordinal 26 P pareto-optimal 27 Personaleinsatzplanung 155, 163 Pfad kritischer 222, 230 Pfeil paralleler 171 Pfeilfolge 175, 187 Pivotelement 57 Pivotisierung 56 Pivotspalte 40, 57 Pivotzeile 57 Planung 2 Poissonverteilung 282 Präferenz 24 schwache 24 strikte 24 Präferenzfunktional 25 Primalvariable 103 Problemlösung 3 Produktionsplanung 135, 258 Produktionsprogrammplanung 33, 121, 123 Prognosemodell 3 Programm 9 Programmablaufplan 9 Projekt 201 Projektauswahl 160 Projektdauer kostenoptimale 239 Projektkostenoptimierung 238 Projektplanung 201 Puffer freier 223, 231 freier Rückwärts- 224, 231 Gesamt- 223, 231 Pfad- 226 unabhängiger 224, 231 Pufferzeiten 222

396

Sachverzeichnis

Q quantitativ 2 Quelle 170 R rational 16 Realisation 285 Rechenaufwand 120, 193 reduced cost 122 Restriktion 44, 45 Risiko 22 Risikoanalyse 288 Risikopräferenz 25 Risikoprofil 289, 291

Strukturanalyse 203 strukturgleich 3 Strukturvariable 37, 45, 122 duale 122 Supply Chain Management 125 System 248 dynamisches 248 Szenario 23 T topologisch sortieren 176 Transformation 277 Transformationsfunktion 279 Transitivität 25 Transportplan 127

S

U

Schattenpreis 59, 102, 123 Scheinvorgang 207 Schlinge 170 Schlupfvariable 37, 46 Schranke 120 obere 120 untere 120 Semikreis 175 Semipfeilfolge 175 Senke 170 Sensitivitätsanalyse 109, 112 Sequenz 10 Serviceeinrichtung 266 Servicezeit 266 Sicherheit 22 Simplexalgorithmus 39, 53, 71 primaler 104 Simulation 249 diskrete 250 dynamische 249 Monte-Carlo 265 stetige 250 stochastische 249, 265 Software 119 Sollzins 140 Standardabweichung 277 Standardnormalverteilung 281 Standardverteilung 274 Standortplanung 129 Status 122 stochastisch 24 Struktogramm 9, 11, 71 strukturähnlich 3

Umweltzustand 17, 22 unabhängig 24 undominiert 27 Ungewissheit 22 Unsicherheit 22 Unsicherheitspräferenz 25 Unternehmensforschung 1 V Variable vorzeichenunbeschränkte 92 Varianz 277 Verarbeitung 10 Verkehrsdichte 286 Vollständigkeit 25 Vorgang 202 kritischer 222 Vorgänger 170 Vorgängerliste 180 Vorgangsknotennetzplan 203 Vorgangspfeilnetzplan 203 W Wahrscheinlichkeit 23 bedingte 23 gemeinsame 23 Warteschlange 266 Warteschlangensystem 266, 285 Weg kritischer 222, 230 kürzester 185

Sachverzeichnis Wertfunktion 26 Wiederholung 10 Wurzel 177 Wurzelbaum 177 Z Zahlungsreihe 136, 149 Zeitanalyse 214, 219 Zeitpräferenz 25 Zeitpunkt frühestmöglicher 214 spätesterlaubter 214 Ziel 17, 24 Zielfunktion 45 Zielfunktionskoeffizient 45 Zielgröße 24 Zielsystem 24, 25

Zielvariable 24 Zufallsstichprobe 285 Zufallsvariable diskrete 275 Zufallszahl 271 Zulässigkeit duale 112 primale 112 Zulässigkeitsbereich 45 zusammenhängend schwach 177 stark 177 Zustand 248 stationärer 269, 286, 287 Zwischenankunftszeit 267 Zyklus 175

397