Grundlagen der statistischen Datenanalyse

Joachim Behnke · Nathalie Behnke Grundlagen der statistischen Datenanalyse

Grundwissen Politik Band 41 Begründet von Ulrich von Alemann Herausgegeben von Arthur Benz Susanne Lütz Georg Simonis

Joachim Behnke Nathalie Behnke

Grundlagen der statistischen Datenanalyse Eine Einführung für Politikwissenschaftler

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage Mai 2006 Alle Rechte vorbehalten © VS Verlag für Sozialwissenschaften | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Lektorat: Frank Schindler Der VS Verlag für Sozialwissenschaften ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vs-verlag.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN-10 3-531-14576-2 ISBN-13 978-3-531-14576-1

Inhaltsverzeichnis Vorwort der Reihenherausgeber ..........................................................................9 Über die Autoren..................................................................................................10 Einleitung..............................................................................................................11

Teil A: Wissenschaftstheorie 1

Wissen .......................................................................................................15

2

Wahrheit und Wirklichkeit ....................................................................20

3

Welt und Sprache ....................................................................................25

4

Messen.......................................................................................................31

4.1

Nominalskala .............................................................................................35

4.2

Ordinalskala...............................................................................................36

4.3

Intervallskala..............................................................................................37

4.4

Verhältnis- oder Ratioskala .......................................................................38

4.5

Absolutskala ..............................................................................................39

5

Deduktive Logik.......................................................................................43

5.1

Kurze Einführung in die Aussagenlogik....................................................43

5.2

Venn-Diagramme ......................................................................................49

5.3

Argumente und Argumentformen..............................................................53

6

Beweis, Erklärung und Prognose ...........................................................68

6.1

Beweis........................................................................................................69

6.2

Erklärung ...................................................................................................70

6.3

Prognose ....................................................................................................73

7

Induktive Logik und das Induktionsproblem .......................................76

7.1

Die induktive Logik Bacons und Mills......................................................76

7.2

Humes Formulierung des Induktionsproblems..........................................83

7.3

Beschreiben und Erklären oder das Wesen der Kausalität ........................85

8

Poppers Theorie der Bewährung von wissenschaftlichen Theorien ...88

9

Probabilistische Hypothesen und die Logik eines statistischen Tests.94

10

Erklären und Verstehen........................................................................101

Teil B: Statistik 11

Die Urliste, absolute und relative Häufigkeiten ..................................105

12

Die grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen.....................110

6

Inhaltsverzeichnis

13

Maße zur Beschreibung von Verteilungen.......................................... 123

13.1

Maße der zentralen Tendenz ................................................................... 123

13.2

Streuungsmaße ........................................................................................ 130

13.3

Weitere Verteilungsparameter................................................................. 134

13.4

Lorenzkurve und Gini-Koeffizient.......................................................... 138

14

Bivariate Zusammenhänge................................................................... 144

14.1

Grafische Darstellung bivariater Zusammenhänge ................................. 146

14.2

Zusammenhangsmaße für nominalskalierte Variablen ........................... 150

14.3

Zusammenhangsmaße für ordinalskalierte Variablen............................. 169

14.4

Zusammenhangsmaße für intervallskalierte Variablen........................... 184

15

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie ................................. 195

15.1

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie...................................................................... 196

15.2

Der Frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff ................................... 198

15.3

Die Propensity-Theorie der Wahrscheinlichkeit nach Popper ................ 200

15.4

Der Subjektive Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Ramsey und de Finetti ....................................................................................................... 201

15.5

Pluralistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff.............................................. 202

16

Axiome und grundlegende Theoreme der Wahrscheinlichkeitstheorie ..................................................................................................... 205

16.1

Die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie .......................................... 205

16.2

Allgemeines Additionstheorem............................................................... 207

16.3

Bedingte Wahrscheinlichkeit .................................................................. 209

16.4

Multiplikationstheorem für die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens zweier Ereignisse ................................................................... 210

16.5

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ........................................................ 211

16.6

Statistische Unabhängigkeit .................................................................... 212

16.7

Multiplikationstheorem für die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens zweier statistisch unabhängiger Ereignisse............................ 214

16.8

Das Theorem von Bayes.......................................................................... 214

17

Kombinatorik......................................................................................... 219

17.1

Permutationen.......................................................................................... 220

17.2

Variationen .............................................................................................. 221

17.3

Kombinationen ........................................................................................ 225

18

Die Binomialverteilung ......................................................................... 229

18.1

Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung............................. 235

18.2

Varianz und Standardabweichung von Anteilswerten ............................ 244

19

Die Normalverteilung............................................................................ 248

Inhaltsverzeichnis

19.1

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung .....252

19.2

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und Verteilungsfunktion der Normalverteilung .....................................................................................257

20

Das zentrale Grenzwerttheorem ..........................................................266

21

Stichprobe und Grundgesamtheit ........................................................279

21.1

Schätzung des Mittelwerts einer Grundgesamtheit mit Hilfe von Stichproben ..............................................................................................284

21.2

Schätzung der Varianz einer Grundgesamtheit mit Hilfe von Stichproben ..............................................................................................289

21.3

Standardnormalverteilung und T-Verteilung...........................................294

21.4

Das Konfidenzintervall............................................................................297

22

Wie "normal" ist die Normalverteilung? ............................................302

23

Die Logik eines statistischen Tests .......................................................316

24

Tests auf Unterschiede von Mittelwerten zweier Stichproben ..........326

24.1

Der T-Test für zwei unabhängige Stichproben........................................326

24.2

Der T-Test für zwei abhängige Stichproben............................................338

25

Verteilungen, die von der Standardnormalverteilung abgeleitet werden können .......................................................................................344

25.1

Die F2-Verteilung.....................................................................................344

25.2

Die F-Verteilung......................................................................................349

25.3

Die T-Verteilung......................................................................................354

26

Die einfaktorielle Varianzanalyse ........................................................356

27

Der Chi2-Test..........................................................................................363

28

Die bivariate lineare Regressionsanalyse.............................................367

Anhang A: Ausgewählte Quantile theoretischer Verteilungen .....................381 A1

Z-Verteilung ............................................................................................381

A2

F2-Verteilung ...........................................................................................383

A3

F-Verteilung.............................................................................................384

A4

T-Verteilung ............................................................................................388

Anhang B: SPSS-Syntax zu den Beispielrechnungen .....................................389 B1

SPSS- Programm zur Berechnung des Flächenanteils eines Bereichs einer Binomialverteilung..........................................................................389

B2

SPSS-Programm zur Simulation von Stichproben ..................................392

B3

Berechnung von 'pid' ...............................................................................394

Literaturverzeichnis...........................................................................................395 Index....................................................................................................................399

7

Vorwort der Reihenherausgeber Der vorliegende Band ergänzt die Reihe "Grundwissen" um einen Themenbereich, der dort bislang noch nicht berücksichtigt wurde. Mit einer methodischen Grundlegung statistischer Datenanalyse in der Politikwissenschaft wird hier ein Querschnittsthema aufgegriffen, das auf die allermeisten Teilbereiche der Politikwissenschaft zusehends Anwendung findet. Auch in vielen Bänden dieser Reihe werden Ergebnisse empirischer Forschung in Form von Tabellen, Grafiken oder Kennwerten dargestellt. Mit dieser Art von Information kritisch und kompetent umgehen zu können, ist heute für Politologinnen und Politologen in Forschung und Lehre eine unverzichtbare Voraussetzung. Diese kritische Lesekompetenz wird auch als "Statistical Literacy" bezeichnet. Dieses Buch vermittelt die "Statistical Literacy", indem es das Konzept der "Grundlagen" sehr wörtlich nimmt. Die Leserinnen und Leser werden an ein echtes Verständnis der Annahmen und Vorgehensweisen in der Statistik herangeführt. Zu diesem Zwecke sind große Teile des Buches der Erläuterung und Einübung theoretischer Grundlagen des statistischen empirischen Arbeitens gewidmet, wie der Messtheorie, der Argumentenlogik oder der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Idee hinter diesem didaktischen Konzept ist, dass ein Verständnis dafür, wie und warum bestimmte Ergebnisse zustande kommen, auch die Kritikfähigkeit an diesen Ergebnissen erhöht. Zugleich ermöglicht ein solches Verständnis auch, über die reine Lesefähigkeit hinaus, eigene statistische Auswertungen problemadäquat durchzuführen. Zwar beschränkt sich der Lehrtext auf wenige für die politikwissenschaftliche Forschung zentrale Verfahren; diese werden aber sehr gründlich eingeführt und geübt. Darauf aufbauend sollten die Leser in der Lage sein, sich mit Hilfe weiterführender Literatur eigenständig weitergehende Kenntnisse anzueignen. Die beiden Autoren haben dieses Buch aus ihrer eigenen Lehrerfahrung heraus in mehrjähriger Arbeit geschrieben und das didaktische Konzept gezielt für die Bedürfnisse der Politikwissenschaft entwickelt. Die zum Buch gehörige CD erweitert die Möglichkeiten zur autodidaktischen Aneignung der statistischen Verfahren durch eine praxisorientierte Einführung in die Statistik-Software SPSS. Beispiele und vertiefende Exkurse runden das Buch zu einem fundierten und zugleich praxisnahen Lehr- und Nachschlagewerk ab, das für Studierende und Forschende gleichermaßen geeignet ist. Arthur Benz Susanne Lütz Georg Simonis

Über die Autoren Joachim Behnke, Prof. Dr., geb. 1962; Studium der Kommunikationswissenschaft, Politikwissenschaft und Volkswirtschaftslehre an der Ludwig-Maximilians-Universität München. Zur Zeit Vertretung der Professur 'Empirische Politikforschung und Politikfeldanalyse' an der Ludwig-Maximilians-Universität München. Forschungsschwerpunkte: Rational Choice, Social Choice, Spieltheorie, Wahlsysteme, Wissenschaftstheorie, Empirische und Statistische Methoden Veröffentlichungen u.a.: mit Nina Baur und Nathalie Behnke (2006): Empirische Methoden der Politikwissenschaft. Paderborn: Schöningh (UTB); (2003) Überhangmandate: Ein (behebbarer) Makel im institutionellen Design des Wahlsystems. In: Zeitschrift für Politikwissenschaft, 13; (2002) Colemans Theorie der Moderne. In: Carsten Stark / Christian Lahusen (Hg.): Theorien der Gesellschaft. Einführung in zentrale Paradigmen der soziologischen Gegenwartsanalyse. München, 37-65; (2001) Parteineigung als Fakt oder Parteineigung durch Fakten. Der Einfluss von Issues auf das Wahlverhalten. In: Kölner Zeitschrift für Soziologie und Sozialpsychologie, 53, 521-546; Nathalie Behnke, Dr. phil., geb. 1973; Studium der Politikwissenschaft an den Universitäten Bamberg und Bologna. Wissenschaftliche Mitarbeiterin am Lehrgebiet Politikwissenschaft I der FernUniversität Hagen. Forschungsschwerpunkte: vergleichende Institutionenanalyse, formale Demokratietheorie, Föderalismus, empirische Methoden, Ethik und Korruption Veröffentlichungen u.a.: (2006) Ethik-Maßnahmen für die öffentliche Verwaltung – Modeerscheinung oder Mauerblümchen? In: Jörg Bogumil / Werner Jann / Frank Nullmeier (Hg.): Politik und Verwaltung. PVS-Sonderheft; (2004) Ethik in Politik und Verwaltung. Entstehung und Funktionen ethischer Normen in Deutschland und den USA. Baden-Baden. (2002) A Nolan Committee for the German ethics infrastructure? In: European Journal of Political Research 51 (5), 675-708

Einleitung Grundkenntnisse der statistischen Datenanalyse gehören heute in den Curricula der Politikwissenschaft und anderer Sozialwissenschaften zum Standardprogramm. Dies ist eine logische Konsequenz der Entwicklung dieser Disziplinen in den vergangenen Jahrzehnten, in denen das Instrumentarium der quantitativen Forschung immer weiter ausgefeilt wurde, und in denen daher mit Hilfe der quantitativen empirischen Forschung wichtige Erkenntnisse gewonnen werden konnten. Die Wahl- und Einstellungsforschung, der internationale Vergleich makroökonomischer Größen wie Arbeitslosigkeit, Bruttosozialprodoukt oder Lebensstandard, die Demographie oder Politikfeldanalyse sind nur einige Beispiele für die fruchtbare Anwendung quantitativer Daten und deren statistischer Analyse. Die quantitative empirische Forschung mit Hilfe der Statistik ist somit ein wichtiger und verbreiteter Bestandteil des sozialwissenschaftlichen Instrumentariums geworden, die man zumindest passiv, möglichst aber auch aktiv, beherrschen sollte. Mit dem vorliegenden Buch wollen dieses Grundwissen, aber vor allem ein Grundverständnis vermitteln. Es sollte kein "Kochbuch" werden, nach dem Motto: "Wenn man die Fragestellung XY beantworten will, nehme man 2000 Befragte, 5 Variablen und drei multivariate Analyseverfahren, diese werden gründlich durchgeschüttelt und zwei Stunden lang ausgekocht, dann werden die Ergebnisse mit Salz und Pfeffer gewürzt und dekorativ mit ein paar Basilikumblättchen angeboten." Vielmehr sind wir überzeugt, dass ein echtes Verständnis für die Logik sowohl der generellen Vorgehensweise empirischer Forschung als auch einzelner statistischer Verfahren eine notwendige Voraussetzung ist, um vernünftige Ergebnisse empirischer Forschung zu produzieren und diese aufgeklärt zu diskutieren oder zu kritisieren. Deswegen haben wir hier den wissenschaftstheoretischen Grundlagen, der Herleitung von Verfahren, der Erläuterung gedanklicher und historischer Hintergründe und der praktischen Umsetzung sehr viel Platz eingeräumt. Darüber hinaus hoffen wir, mit dem Buch auch den Einen oder die Andere für die Materie zu interessieren. Auch wer etwas tiefer bohren will, mehr über das 'was', 'wie' und 'warum' wissen möchte, soll hier auf seine Kosten kommen Wir verfolgen mit dem Buch also eine dreifache Zielsetzung – die Vermittlung von Grundwissen, von Verständnis und von Interesse. Zu diesem Zwecke haben wir auch bei den Inhalten andere Schwerpunkte gesetzt, als man sie in den meisten anderen Statistikbüchern findet. Den wissenschaftstheoretischen Grundlagen der empirischen Forschung ist der gesamte erste Teil gewidmet. Auch die umfangreiche Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie, die ausführliche Herleitung von Korrelationskoeffizienten und Verteilungsformen ist eher ungewöhnlich. Dafür stellen wir nur wenige Auswertungs- und Testverfahren dar, da wir auch hier wieder der Meinung sind, wenn man erst einmal die Logik eines statistischen Tests verstanden hat, kann man sich in die unterschiedlichen Verfahren leicht selbst einarbeiten.

12

Einleitung

Die Frage, warum und in welcher Form wir der Statistik eine Einführung in die wissenschaftstheoretischen Grundlagen des empirischen Arbeitens vorangestellt haben, bedarf vielleicht noch einiger Erläuterungen: In der Wissenschaftstheorie wird Forschung, Meta-Reflexion und Theoriebildung über das wissenschaftliche Arbeiten an sich betrieben. Es geht darum, die Prinzipien guten wissenschaftlichen Arbeitens zu beschreiben und zu systematisieren. Dabei verstehen wir wissenschaftliches Arbeiten als die Vorgehensweise, um Erkenntnisse über die Welt zu gewinnen, die in unserer physikalischen, biologischen und sozialen Umwelt besteht. Wie gewinnt man solche Erkenntnisse und wie kann man feststellen, ob sie wahr oder falsch sind? Was bedeutet es überhaupt, wenn man sagt, eine Erkenntnis sei wahr oder falsch? Was sind die Bausteine dieser Erkenntnis und welchen Stellenwert haben sie in der wissenschaftlichen Gemeinschaft? Was versteht man unter Erkenntnisfortschritt? Dies sind Fragen, die im Rahmen der Wissenschaftstheorie beantwortet werden. Auf diese Fragen gibt es natürlich auch eine Menge denkbarer unterschiedlicher Antworten. Dementsprechend gibt es nicht nur die eine Wissenschaftstheorie. Vielmehr reklamieren viele wissenschaftliche Disziplinen, und in diesen Disziplinen auch verschiedene Schulen oder Vertreter verschiedener Theorieansätze, eine eigene Wissenschaftstheorie entwickelt zu haben und zu vertreten. So wird beispielsweise häufig die Meinung geäußert, allein der unterschiedliche Forschungsgegenstand mache es erforderlich, ja geradezu logisch zwingend, dass etwa die Naturwissenschaften, die Geisteswissenschaften und die Sozialwissenschaften unterschiedliche Wissenschaftstheorien verwenden. Diese Sichtweise ist durchaus plausibel und wird durch die Forschungspraxis bestätigt. In der Tat entwickelt etwa ein Historiker andere Vorgehensweisen als ein Atomphysiker. Aber auch innerhalb der empirischen Wissenschaften, und selbst innerhalb der empirisch arbeitenden Politikwissenschaft, gibt es Meinungsverschiedenheiten darüber, was als gutes wissenschaftliches Arbeiten anzusehen sei. Diese Streitigkeiten, so meinen wir, verwechseln aber einen Disput über die Ziele wissenschaftlichen Arbeitens, die Techniken der Erkenntnisgewinnung und die Logik des wissenschaftlichen Argumentierens mit einem Disput über normative Vorentscheidungen und theoretische Standpunkte. In diesem Sinne sind die Ausführungen zur Wissenschaftstheorie in diesem Buch in der Tat als allgemeine Grundlagen einer empirischen Wissenschaftstheorie zu verstehen. Die Auswahl und der Aufbau der hier vorgestellten Themen folgen aber der Zielsetzung, die wissenschaftstheoretischen Grundlagen speziell für die statistische Datenanalyse zu legen. Ziel dieses Buches ist es, die grundlegenden Konzepte und Begriffe empirischen wissenschaftlichen Arbeitens mit Hilfe der Statistik zu vermitteln. Zu diesem Zwecke greifen wir vor allem in der Wissenschaftstheorie häufig auf Beispiele aus der Naturwissenschaft zurück. Dies hat einen einfachen Grund: Der Erkenntnisgegenstand der (klassischen) Naturwissenschaft, typischerweise der Mechanik und der Astronomie, ist wesentlich weniger komplex und veränderlich als der der Politikwissenschaft. Es ist einfacher, monokausale Beziehungen zu finden, ein-

Einleitung

13

zelne Einflussfaktoren experimentell zu isolieren und letztlich zu allgemeingültigen Gesetzen zu kommen, als dies eben möglich ist, wenn man als Forschungsgegenstand politische Akteure, prinzipiell veränderliche Institutionen und Institutionengefüge, Abstimmungsprozesse und individuelle oder komplexe Entscheidungen hat. Im Fall der Politikwissenschaft sind fast alle Gegenstände, die wir untersuchen, multikausal, interdependent und außerdem über die Zeit veränderlich. Zur Illustration und auch zum Verständnis etwa des Konzepts der Messung oder eines logischen Schluss-Schemas ist es daher einfacher, zunächst weniger komplexe Beispiele heranzuziehen, in denen sich wirklich die einzelnen Komponenten isolieren lassen. Wenn Sie also im Text von Spektrometern und Planetenbahnen lesen und sich wundern, was das mit Politikwissenschaft zu tun hat, dann sagen Sie sich, dass Sie sich, wenn Sie das Spektrometer und die Planetenbahn verstanden haben, leichter tun werden, so einen abstrakten Begriff wie Problemlösungskompetenz zu messen oder ein sozialwissenschaftliches Gesetz aufzustellen. Wie die eingeführten Konzepte und Begriffe auf die Politikwissenschaft übertragen werden können, darauf finden Sie im Text immer wieder Hinweise. Zuletzt noch einige "technische" Hinweise: Neben dem Haupttext enthält das Buch einige Ergänzungen, so etwa den "Experten" und die "Beispiele". Die Experten sind in der Randspalte durch das Symbol des kleinen Professors gekennzeichnet, die Beispiele durch die Glühbirne. Hierbei handelt es sich um Ausführungen, die für die interessierten Leser Ausflüge, Illustrationen, Vertiefungen oder Formalisierungen des Stoffes im Haupttext darstellen. Sie können daher nach Belieben gelesen, durchgearbeitet oder auch übersprungen werden. Eine Liste ausgewählter Literatur am Ende des Buches gibt Hinweise für Vertiefungen und Ergänzungen. Das Buch wird durch eine CD ergänzt. Sie enthält eine Einführung in die Statistik-Software SPSS mit einer Illustration des Programmablaufs. Die Einführung in SPSS ist auf die Beispiele im Lehrtext abgestimmt, so dass Sie auf der CD auch ansehen können, wie Ergebnisse von Analysen, die im Text beschrieben werden, tatsächlich zustande kommen. Dieses Buch ist das Ergebnis einer mehrjährigen Arbeit und vieler Verbesserungsrunden. Für inhaltliche Kommentare danken die Autoren Thorsten Faas sowie denjenigen Studierenden an der FernUniversität in Hagen, die zur ersten Version des Lehrtextes kritische Hinweise gegeben haben, für das Korrekturlesen Sarah Kleyer und Malo Kröning. Christa Bast gilt besonderer Dank für die technische Umsetzung der CD. Malo Kröning sei außerdem herzlich gedankt für die vielen Stunden Mühe, die sich hinter den SPSS-Simulationen verstecken.

(Experte)

(Beispiel)

Teil A 1

Wissenschaftstheorie

Wissen

Der Mensch, das "nicht festgestellte Tier", wie Nietzsche sagt, unterscheidet sich von allen anderen Lebewesen in erster Linie durch seine Lernfähigkeit. Der Erwerb von Wissen ist und war schon immer für den einzelnen Menschen überlebensnotwendig, der wegen seiner mangelnden Instinkte ansonsten der Natur schutzlos ausgeliefert wäre. Nicht das Wissen ist dem Menschen angeboren, wohl aber die Fähigkeit und, mehr noch, der Drang, Wissen zu erwerben. So entsteht aus dem Wirken des Einzelnen schließlich ein überindividuelles Kulturwissen, das durch Tradition und Sozialisation den nachfolgenden Generationen übermittelt wird.

Individueller und gesellschaftlicher Wissensdrang

Wissen ist immer Wissen über die Welt, in der wir leben, und Wissenschaft ist ein System, mit dem versucht wird, diesen Wissenserwerb frei und unabhängig zu machen von den Irrtümern und Trugschlüssen, denen der Einzelne unterliegt. Definition: Wissenschaft Wissenschaft ist ein System von Regeln und Konventionen, über die innerhalb der so genannten 'Scientific community' Konsens besteht. Dieses System vermag zu bestimmen, welche Sätze als adäquate Beschreibungen der Wirklichkeit akzeptiert werden können, sowie welche Sätze zweiter Ordnung man aus diesen Sätzen ableiten darf. Was im ersten Augenblick vielleicht kompliziert klingen mag, soll kurz näher erläutert werden. Erstens: "Wissenschaft ist ein System von Regeln und Konventionen", d.h., es gibt nicht die Wissenschaft schlechthin, die wissenschaftliche Vorgehensweise ist lediglich eine scheinbar sinnvolle und plausible, die sich im günstigsten Fall durch ihren Erfolg in der Anwendung der gewonnenen Ergebnisse legitimieren kann. Es ist aber grundsätzlich unmöglich, den Charakter der Wissenschaft per se zu begründen. Das ist unmittelbar einleuchtend, da die Maßstäbe, an denen sich die 'richtige' Wissenschaft messen lassen müsste, ihrerseits wieder wissenschaftlich begründungspflichtig wären. Die Grundlagen der Wissenschaft sind also vorwissenschaftlich, sie beruhen auf Übereinstimmung zwischen Fachleuten in Bezug auf Regeln, die als einleuchtend oder selbstevident empfunden werden.

Experte: Wissenschaftliche Erkenntnis Tatsächlich ist der Prozess, wie er in der Wirklichkeit abläuft, noch etwas komplizierter. Der Begriff der Wissenschaft entwickelt sich auch und gerade erst durch die Praxis, d.h. ein bestimmtes Vorgehen und eine bestimme Methode können in der Regel erst begrün-

Vorwissenschaftliche Grundlagen der Wissenschaft

16

Kapitel 1 Wissen

det werden, nachdem diese Methode schon lange angewendet wurde. Galilei und Newton z.B. gelten zwar als die Begründer der modernen experimentellen Naturwissenschaft, hatten aber von sich selbst keineswegs das Selbstverständnis eines Naturwissenschaftlers. Newton, der mit den 'Principia Mathematica' 1687 das vermutlich einflussreichste naturwissenschaftliche Buch in der Geschichte der Menschheit veröffentlicht hat, war nicht nur der geniale Mathematiker und Physiker, sondern auch der (weniger geniale) Theologe, der Jurist und der Alchemist. Newtons theologische und alchemistische Schriften übertreffen vom Umfang sein mathematisches Werk bei weitem. Man geht davon aus, dass Newton sich tatsächlich nur ungefähr zehn Jahre seines Lebens schwerpunktmäßig mit Mathematik und Physik beschäftigt hat. John Maynard Keynes (1988: 273) sah Newton daher so: "Newton was not the first of the age of reason. He was the last of the magicians, the last of Babylonians and Sumerians, the last great mind which looked out on the visible and intellectual world with the same eyes as those who began to build our intellectual inheritance rather less than 10 000 years ago."

Ende Experte

Korrespondenzproblem

Zweitens: Welche Sätze dürfen als eine 'adäquate Beschreibung der Wirklichkeit' akzeptiert werden? Damit wird das Grundproblem der empirischen Wissenschaft überhaupt berührt, das so genannte Korrespondenzproblem. Wenn sich zwei Sätze auf denselben Aspekt der Wirklichkeit beziehen und diesbezüglich verschiedene Aussagen machen, muss einer falsch sein. Etwas kann nicht der Fall sein und gleichzeitig nicht der Fall sein (Satz vom Widerspruch). Ziel der empirischen Wissenschaft ist es nun, den falschen bzw. den richtigen Satz herauszufinden. Das Credo des Empirikers lautet daher, dass es möglich ist, eine Tatsache, die sich in der Wirklichkeit ereignet, mit einem sprachlichen Satzgebilde treffend zu beschreiben (auch Mathematik ist eine Sprache). Wie könnte nun die elementarste Form eines Satzes lauten, der einen Aspekt der Welt beschreibt? Dabei handelt es sich wohl um die Zuschreibung einer Eigenschaft zu einem Gegenstand. Beispiel: "Dieser Gegenstand ist rot."

Aussagen

Sätze, die Tatsachenbehauptungen aufstellen, die also wahr oder falsch sind, bezeichnet man allgemein als Aussagen. Dies ist sinnvoll, um solche Sätze von anderen Sätzen wie Fragen oder Aufforderungen zu unterscheiden. Wenn wir im Folgenden allgemein von Sätzen sprechen, so meinen wir damit Aussagen. Eine Aussage besteht immer aus einem oder mehreren Subjekten, über die etwas ausgesagt wird, und einem oder mehreren Prädikaten, die eine bestimmte Aussage über die Subjekte machen. Subjekte können durch Eigennamen, aber auch durch Zeigerbegriffe wie 'das da' oder – wie in unserem Beispiel – 'dieser Gegenstand' identifiziert werden. Das Prädikat unseres Beispiels ist 'rot sein'.

Sinneserfahrung als rudi-

Um über den Wahrheitsgehalt des Beispielsatzes "Dieser Gegenstand ist rot." entscheiden zu können, müssen wir über Verfahren verfügen, die uns erlauben zu sagen, ob dieser Gegenstand rot ist oder nicht. Diese Verfahren nennen wir Messoperationen. Die einfachsten Messverfahren bestehen darin, dass wir die uns unmittelbar zur Verfügung stehenden Sinneserfahrungen heranziehen. Da wir mit einer gewissen Plausibilität davon ausgehen können, dass die Welt so ist, wie wir

mentäres Messverfahren

Kapitel 1 Wissen

sie sehen, hören, fühlen, riechen etc., halten wir unsere Sinneserfahrungen auch für eine richtige Beschreibung der realen Welt. In der Regel trifft das zu, d.h., wir können mit gutem Recht davon ausgehen, dass ein Gegenstand, von dem wir selbst sagen, dass er die Farbe Rot hat, auch von anderen Menschen in dieser Farbe gesehen wird. Grundsätzlich gilt für den Empiriker die Annahme: Jede tatsächlich vorhandene Qualität der Wirklichkeit lässt sich zumindest im Prinzip durch geeignete Messverfahren abbilden, d.h. erfassen. Dabei spielt es keine Rolle, dass diese Messverfahren möglicherweise gar nicht existieren, oder (noch) nicht existieren, wichtig ist nur, dass sie zur Messung der betreffenden Eigenschaften eingesetzt werden könnten, wenn es sie gäbe. Anders ausgedrückt: "Die Welt zerfällt in Tatsachen." (Wittgenstein 1984: 11). Das heißt, sie zerfällt in eine zwar unvorstellbar große, aber – zumindest in Hinsicht auf den für uns relevanten Weltausschnitt – endliche Anzahl von messbaren Sachverhalten. Wir können daher sagen, der Begriff 'Welt' ist nichts anderes als der Name der Menge, die alle Sätze enthält, die den Tatsachen in der Welt entsprechen. Ein Satz über eine Tatsache ist demnach genau dann wahr, wenn er in dieser Menge enthalten ist. Sätze, die eine Aussage über eine Tatsache in der Welt darstellen, nennt man auch singuläre Sätze oder Elementarsätze, da sie sich auf einen konkreten, einzelnen Sachverhalt beziehen. Drittens: Aus den durch Beobachtung und Messung gefundenen Sätzen lassen sich neue Sätze ableiten, die sich auf Tatsachen beziehen, die selbst nicht beobachtet worden sind, oder auf allgemeine Gesetze, die so gar nicht beobachtet werden können. Man muss dabei mehrere Arten von Ableitungen unterscheiden. Wenn man unter 'Welt', wie oben ausgeführt, die Menge aller singulären Sätze verstehen will, die die Tatsachen in der Welt beschreiben, dann lässt sich diese Menge unterteilen in die Teilmenge der Sätze, die schon beobachtete Tatsachen beschreiben, und den Rest der noch nicht gemessenen Daten, die aber im Prinzip zu beobachten wären.

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18

Kapitel 1 Wissen

Beispiel: Erdkugel Die Annahme, dass die Erde eine Kugel sei, ist schon in antiken Kulturen weit verbreitet gewesen. Eine der Beobachtungen, die zu dieser Annahme geführt hat, war die, dass man auf dem Meer von einem sich nähernden Schiff zuerst die Spitze des Mastes und nach und nach immer weiter unten liegende Teile des Schiffes gesehen hat. Dies ist aber nur möglich, wenn man sich auf einer gekrümmten Oberfläche befindet. Weiterhin galt dieser Effekt für jede Richtung. Der einzige geometrische Körper, der an jeder Stelle seiner Oberfläche die gleiche Krümmung aufweist, ist aber die Kugel. Die Annahme, dass es sich bei der Erde um eine Kugel handeln müsse, war daher die einzige logische Schlussfolgerung, die dieses Phänomen erklären konnte.1

Ende Beispiel

Es handelt sich also bei dem singulären Satz, "Die Erde ist eine Kugel.", um die Ableitung aus einem singulären Satz, "Auf dem Meer sieht man von einem entgegenkommenden Schiff zuerst die Mastspitze.", sowie einem allgemeinen Satz über die geometrische Eigenschaften eines Kugelkörpers, "Alle Kugeln besitzen an jeder Stelle ihrer Oberfläche die gleiche Krümmung." Diese Art der Ableitung nennt man Deduktion. Allerdings benötigt man für bestimmte Deduktionen häufig, wie man sieht, allgemeine bzw. universale Sätze. Allgemeine Sätze jedoch liegen niemals in der Wirklichkeit selbst vor, sie können daher nie direkt 'beobachtet' werden. Analytische und empirische Sätze

Es gibt zwei Arten von allgemeinen Sätzen, analytische und empirische. Bei empirischen allgemeinen Sätzen, die also eine Aussage über den 'Charakter' der Wirklichkeit machen, spricht man auch von Gesetzen. Analytische universale Sätze kommen in formalen Systemen wie der Mathematik vor. Sätze wie die über die geometrischen Eigenschaften von Kugeln z.B. zählen dazu, aber auch der Satz des Pythagoras. Das Hauptproblem jeder empirischen Wissenschaft aber besteht in der Gewinnung von universalen empirischen Sätzen. Hier spricht man vom Induktionsproblem. Es besteht darin, wie sich eine Vielzahl von einzelnen Beobachtungen zu einem einzigen Satz zusammenfassen lässt, der das 'Wesen' all dieser Einzelbeobachtungen beschreibt.

1

Allerdings war diese Schlussfolgerung mit anderen Widersprüchen verknüpft. Die Frage, warum Menschen oder Objekte am ‘Rand’ der Kugel nicht herunterrutschen oder an ihrer Unterseite herabfallen, konnte sich nur mit einer Relativitätstheorie wie der von Galilei erklären lassen, die damals den Menschen aber noch nicht zur Verfügung stand. Insofern gab es für den gesunden Menschenverstand durchaus gute Gründe, die Kugelhypothese abzulehnen.

Kapitel 1 Wissen

Die Logik des wissenschaftlichen Vorgehens lässt sich also wie folgt zusammenfassen: 1. Die uns empirisch zugängliche Welt lässt sich als eine Menge von singulären Sätzen auffassen, die die Tatsachen in der Welt beschreiben. 2. Die Wahrheit eines einzelnen solchen singulären Satzes lässt sich durch Beobachtung bzw. Messung der Tatsache, auf die sich dieser Satz bezieht, feststellen. 3. Mit Hilfe von Schlüssen lassen sich aus vielen einzelnen singulären Sätzen universale Sätze gewinnen, die eine Aussage über den Gesetzescharakter der Wirklichkeit machen. Diese universalen Sätze selbst sind nicht in der Wirklichkeit enthalten. Sie sind eine von uns gemachte Konstruktion, die wir der Wirklichkeit überstülpen. 4. Die Prüfung des Wahrheitsgehaltes eines Gesetzes kann daher nicht unmittelbar durch Konfrontation mit der Wirklichkeit vollzogen werden, sondern bezieht sich auf die Schlussweise und den Wahrheitsgehalt der abgeleiteten Elementarsätze. 5. Mit Hilfe von universalen Sätzen lassen sich singuläre Sätze ableiten, die Tatsachen der noch nicht beobachteten Welt entsprechen.

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20

Kapitel 2 Wahrheit und Wirklichkeit

2 Korrespondenztheorie der Wahrheit

Wahrheit und Wirklichkeit

Die empirische Vorgehensweise unterstellt einen bestimmten Bezug zwischen wissenschaftlichen Theorien bzw. deren Komponenten – Begriffen, Definitionen, Aussagen und logischen Verknüpfungen – und der Wirklichkeit. Dieser Bezug wurde im vorhergehenden Kapitel als 'Korrespondenz' bezeichnet. Ein empirischer Forscher geht üblicherweise davon aus (und muss das sinnvollerweise auch tun, da er andererseits kein Fundament und keine Kriterien für die Güte seiner Forschungsergebnisse hat), dass sich erstens die Wirklichkeit in Aussagen abbilden lässt, und dass es zweitens möglich ist zu entscheiden, ob eine Aussage die Wirklichkeit adäquat oder inadäquat abbildet, ob sie also wahr oder falsch ist. Diese Grundannahme wird auch als 'Korrespondenztheorie der Wahrheit' bezeichnet und liegt üblicherweise der empirischen Forschung zugrunde. Abbildung 2.1: Wirklichkeit und Sprache Wirklichkeit

Tatsache ȕ Tatsache į

Sprache

Satz a

Satz Nicht-a Satz x

Tatsache ȟ Satz d

…

Satz Nicht-d

…

Tatsachen der Wirklichkeit und ihre sprachlichen Entsprechungen

…

Die Wirklichkeit (die physikalische Welt) lässt sich als die Gesamtheit der Tatsachen verstehen. Um noch einmal Wittgenstein (1984: 11) zu zitieren: "Die Welt ist durch die Tatsachen bestimmt und dadurch, dass es alle Tatsachen sind." Allerdings erkennen wir nicht alle Tatsachen gleichermaßen. Aus der unvorstellbar großen aber zugleich begrenzten Menge der Tatsachen, die zusammen die Wirklichkeit bilden, finden wir einige heraus, betrachten sie wie mit dem Vergrößerungsglas. Mit der Sprache andererseits verfügen wir über eine Form der symbolischen Repräsentation von Dingen und Ereignissen, die sich in der Wirklichkeit abspielen. Tatsachen der Wirklichkeit, die wir entdecken, können wir durch sprachliche Sätze ausdrücken. Zugleich gibt es aber Tatsachen, die keine sprachliche Entsprechung haben (weil noch niemand sie ausgedrückt hat). Und umgekehrt, was noch wichtiger ist, die sprachliche Form ist nicht durch die Form der Wirklichkeit gebunden. Wir sind in der Lage, sprachliche Aussagen zu formulieren, die keine Entsprechung unter den Tatsachen der Wirklichkeit haben oder die diese sogar negieren. Das heißt, anders ausgedrückt, wir können auch Unsinn von uns geben, wir können lügen oder uns auch nur täuschen. Am einfachsten wäre es

Kapitel 2 Wahrheit und Wirklichkeit

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sicherlich, es gäbe eine Vorrichtung, die uns jedes Mal einen Knoten in die Zunge macht, sobald wir etwas sagen wollen, was so nicht den Tatsachen der physikalischen Wirklichkeit entspricht. Der Preis, den wir für eine solche 'Wahrheitsmaschine' zu zahlen hätten, bestünde aber in der Abschaffung jeglicher Art von Kunst, ganz abgesehen von den lebensnotwendigen Flunkereien und Ausreden, wenn wir eine Verabredung verpassen. Die durch die Sprache geschaffene Welt reicht weit über die wirkliche Welt hinaus, die Phantasiewelt des Münchhausen ist allein von ihrer sprachlichen Form her nicht weniger zulässig als die nüchternste Aufstellung des Lagerbestands eines Supermarkts. Während das Gegenteil einer Tatsache nicht gleichzeitig mit seinem Urbild existieren kann, ein Stein nicht fallen und gleichzeitig steigen kann, können in der Welt der Sprache beide 'Tatsachen' ausgedrückt werden, nämlich die richtige und die 'falsche', die aber im eigentlichen Sinn gar keine Tatsache ist, da sie ja in der Wirklichkeit gar nicht auftritt. Es gibt z.B. zur Tatsache G nur einen Satz, der sie adäquat beschreibt, nämlich den Satz d. Obwohl es uns möglich ist, sprachlich auch das Gegenteil von d (Nicht-d) auszudrücken, existiert in der physikalischen Welt eben keine korrespondierende Tatsache, die diesem Satz entsprechen würde. Die Existenz einer solchen Korrespondenzbeziehung aber ist es, was den Satz wahr werden lässt. So einleuchtend die Korrespondenztheorie der Wahrheit auch klingt, so enthält sie doch einige Voraussetzungen, über die kurz einmal nachgedacht werden sollte. So wird erstens eine Annahme über die Wirklichkeit gemacht. Man geht davon aus, dass es eine objektiv existierende Wirklichkeit gibt, die, sofern sie angemessen wahrgenommen und erfasst werden könnte, sich auch jedem Betrachter gleich darstellen müsste. Die Unterstellung einer objektiv existierenden Wirklichkeit ist durchaus nicht trivial und wird von vielen ernstzunehmenden Philosophen und Wissenschaftstheoretikern bestritten. Denn schließlich können wir nicht wissen, ob es diese Wirklichkeit gibt, geschweige denn, wie sie aussieht. Daran hindert uns der unvermeidliche Übersetzungsmechanismus, durch den wir die Wirklichkeit wahrnehmen. Alles, was wir von der Wirklichkeit wissen, ist bereits durch unsere Wahrnehmung, Beobachtung, Messinstrumente oder ähnliches gefiltert, die wiederum durch unser Wissen, unsere Theorien und unseren spezifischen Blickwinkel beeinflusst sind. Wir arbeiten also lediglich mit Abbildern der Wirklichkeit, niemals mit der Wirklichkeit selbst. Die wahrheitsgenerierende Korrespondenz unserer Sätze mit den Tatsachen kann also gar nicht hergestellt werden, das Einzige, was uns möglich ist, ist die Herstellung einer Korrespondenz unserer Sätze mit unseren Sinneseindrücken.

Voraussetzungen der Korrespondenztheorie: 1. objektiv existierende Wirklichkeit

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Kapitel 2 Wahrheit und Wirklichkeit

Abbildung 2.2: Wirklichkeit, Sinneseindrücke und Sprache Wirklichkeit

Sinneseindrücke

Tatsache ȕ

Tatsache į Tatsache ȟ

Sprache

Satz a Konglomerat von Sinneseindrücken

Satz Nicht-a Satz c Satz x Satz d Satz Nicht-d

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…

Der Tatsache G entspricht also bestenfalls ein Konglomerat von Sinneseindrücken, das wiederum mit dem Satz d korrespondiert. Die Entsprechung unserer Sinneseindrücke mit den Tatsachen ist aber nicht beweisbar, sondern eine pragmatische Annahme, die wir als 'naiven Realismus' bezeichnen könnten. D.h., trotz des unvermeidlichen Filters unserer Wahrnehmung gehen wir davon aus, dass diese Übersetzung nicht systematisch fehlgeleitet ist, da sie es uns ermöglicht, uns im Großen und Ganzen in der Welt einigermaßen störungsfrei zurechtzufinden und über unsere Anschauungen auch mit anderen Menschen zu kommunizieren. Wenn uns das nicht möglich wäre, wäre auf der Welt überhaupt kein intentionales und zielgerichtetes Handeln möglich. Schließlich liegen all unserem Handeln implizite Kausalvermutungen zugrunde, etwa, dass in einem Zimmer das Licht angeht, wenn wir den Lichtschalter betätigen, oder dass unser Magen aufhört zu knurren, wenn wir etwas essen. Dass wir einigermaßen unfallfrei Auto fahren können und ein geübter Dartspieler häufig die Mitte der Scheibe trifft, sind weitere Indizien dafür, dass die Übersetzung zwischen der Wirklichkeit außerhalb unseres Wahrnehmungsapparates und dem, was tatsächlich bei uns ankommt, offensichtlich zielgerichtet ist und nicht rein zufällig oder willkürlich abläuft. Voraussetzungen der Korrespondenztheorie: 2. Sinneswahrnehmungen werden durch sprachliche Konventionen ausgedrückt

Des Weiteren nehmen wir an, dass wir überhaupt in der Lage sind, über die Wirklichkeit, wie wir sie wahrnehmen, auch entsprechende sprachliche Aussagen zu formulieren, die dazu dienen, unsere Wahrnehmungen anderen mitzuteilen. Über die Wahrheit oder Falschheit dieser Aussagen kann dann ein Urteil getroffen werden. Das heißt, dass es möglich ist, sprachliche Konventionen zu bilden, mit deren Hilfe wir untereinander über unsere Wahrnehmung der Wirklichkeit kommunizieren können. Wenn ein Kind lernt, was ein Apfel ist, und daraufhin auf dem Spielplatz auf einen roten Ball zeigt und 'Apfel' sagt, wird die Mutter es korrigieren und ihm erklären, worin der Unterschied zwischen einem Ball und einem Apfel besteht. Ebenso ist es uns möglich, die Richtigkeit der Aussage "Es regnet." zu überprüfen, indem wir aus dem Fenster schauen oder vor die Türe gehen, um zu sehen, ob wir nass werden. Ohne diese Form von 'naiven Realismus', wie wir es genannt haben, könnten wir überhaupt nicht mehr sinnvoll miteinander reden.

Kapitel 2 Wahrheit und Wirklichkeit

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Demgegenüber gibt es eine Form von Skeptizismus, die für die empirische Wissenschaft wie für den realen Alltag schlicht irrelevant ist. Fragen danach, ob ein Baum im Wald auch dann umfällt, wenn keiner dabei ist, der es sieht oder hört, mögen vielen von uns eher ermüdend denn tiefschürfend erscheinen und können als wissenschaftstheoretische Haltung mit Bertrand Russell als 'frivole Unernsthaftigkeit' (Russell 1997: 9) bezeichnet werden. Wenn wir von den erläuterten Grundannahmen ausgehen, stellt sich aber als nächstes die Frage, welche Kriterien angelegt werden können, um zu entscheiden, ob ein Satz, eine Aussage oder schließlich eine Theorie wahr oder falsch ist. Diese Frage der Beurteilung des Wahrheitsgehalts von sprachlichen Äußerungen ist das Grundproblem der Wissenschaft überhaupt. Logisch lassen sich zwei Qualitäten der Wahrheit von sprachlichen Äußerungen unterscheiden: Erstens stellt sich die Frage nach der Wahrheit von Äußerungen im Zusammenhang mit ihrer empirischen Wahrheit, also ob sie mit der Wirklichkeit korrespondiert. Die Aussage "Es regnet." ist eben genau dann wahr, wenn es tatsächlich regnet, und dann falsch, wenn es nicht regnet. Zweitens stellt sich die Frage nach der Wahrheit von Äußerungen aber auch im Hinblick auf ihre logische Konsistenz, also ob sie keine inneren Widersprüche enthält. Der Satz "Das Auto bewegt sich nach vorne und rückwärts zugleich." z.B. ist schon aus rein logischen Gründen falsch. Beide Aspekte, der der empirischen Wahrheit und der logischen Konsistenz, dienen der Prüfung wissenschaftlicher Ergebnisse und stehen miteinander in Wechselbeziehung. Ist eine Aussage logisch falsch, kann sie empirisch nicht wahr sein. Die Untersuchung der logischen Konsistenz von Aussagen folgt logischen Gesetzen, die in Kap. 5 ausführlicher dargestellt werden.

Zwei Kriterien/Begriffe der

Für die Feststellung der empirischen Wahrheit einer sprachlichen Aussage, also für ein Urteil darüber, ob eine sprachliche Aussage mit der Wirklichkeit korrespondiert, gibt es keine wirklich harten Kriterien. Wie Alfred Tarski (1972) zeigte, ist es für die Untersuchung der Wahrheit von Aussagen hilfreich, wenn man zwischen einer so genannten 'Objektsprache' und einer 'Metasprache' unterscheidet. In der Objektsprache bildet man unmittelbar Tatsachen der Wirklichkeit ab. In der Metasprache trifft man Aussagen über die Aussagen der Objektsprache. Objektsprachliche Aussagen können durch Beobachtung der Wirklichkeit (mit den oben genannten Einschränkungen) überprüft werden. Wenn ich etwa die (objektsprachliche) Aussage mache: In diesem Raum ist ein Rhinozeros, dann kann ich die Wahrheit dieser Aussage überprüfen, indem ich nachsehe, ob sich in diesem Raum wirklich ein Rhinozeros befindet. Danach kann ich in der Metasprache eine Aussage darüber treffen, ob die Aussage "In diesem Raum befindet sich ein Rhinozeros" wahr oder falsch ist. Um zwischen Objekt- und Metasprache zu unterscheiden, kann man beispielsweise objektsprachliche Aussagen, über die in der Metasprache gesprochen wird, in Anführungszeichen setzen. Dieser Konvention folgen wir auch in diesem Buch.

Unterscheidung von Ob-

Wahrheit: 1. empirische Wahrheit 2. logische Konsistenz

jektsprache und Metasprache nach Alfred Tarski

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Kapitel 2 Wahrheit und Wirklichkeit

Indem wir Aussagen direkt an der Wirklichkeit überprüfen, können wir einen Eindruck ihrer Wahrheit oder Falschheit gewinnen. Allerdings ist dieser Eindruck aufgrund des Übersetzungsproblems zwischen der Wirklichkeit und unserer Wahrnehmung immer fehlerbehaftet, so dass wir niemals genau wissen können, ob unser Eindruck, ein Satz sei wahr, tatsächlich der Realität entspricht. Wir sind also mit zwei Arten von Problemen konfrontiert, was das Verhältnis von Sätzen und Wirklichkeit angeht. Bei singulären Sätzen können wir nie eindeutig entscheiden, ob dieser Satz genau in dieser Form einer Tatsache entspricht, wie sie sich 'wirklich' abspielt. Und auch bei allgemeinen Sätzen stoßen wir auf eine problematische Beziehung zwischen der Wirklichkeit und den sie repräsentierenden Sätzen. Allerdings kommen allgemeine Sätze niemals als solche direkt in der Wirklichkeit vor. Allgemeine Gesetze sind lediglich eine Beschreibung der Gesetzmäßigkeiten, von denen wir glauben, dass sich die Konstitution der Wirklichkeit nach ihnen vollzieht. Auch hier besteht wieder nur ein indirekter Zugang von den Sätzen zur Wirklichkeit und umgekehrt. Allgemeine Sätze können immer nur auf den Umweg von singulären Sätzen untersucht werden, denn die Brücke zwischen Wirklichkeit und Sprache kann nur mit Hilfe des Rohmaterials der singulären Sätze geschlagen werden. Wissenschaftlicher Fortschritt als Annäherung an die Wahrheit

Im Hinblick auf die Fortentwicklung von Wissen und Wissenschaft ist es uns nach Karl Popper deshalb nie möglich, die absolute Wahrheit zu erfahren, bestenfalls können wir eine Annäherung an die Wahrheit erzielen. Das bedeutet, dass wir zwar Sätze und Theorien an der Wirklichkeit überprüfen und dementsprechend als bewährt ansehen oder verwerfen können, und dass wir über den Prozess des Verwerfens und Verbesserns von Sätzen und Theorien zu relativ 'wahreren' Aussagen kommen, dass wir jedoch niemals wissen können, ob und wann wir die Wirklichkeit in unserer Sprache vollständig wahr abbilden. Mit dieser grundlegenden Skepsis müssen wir bei allem Streben nach wissenschaftlichem Fortschritt leben. Wie dieser Prozess des Prüfens und Verwerfens von Theorien vor sich geht, wird ausführlich in Kap. 8 beschrieben.

Kapitel 3 Welt und Sprache

3

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Welt und Sprache

Aussagen oder Sätze werden hier also als sprachliche Gebilde verstanden, die mit Tatsachen (Sachverhalten) der Welt (Wirklichkeit) korrespondieren. Für jede Tatsache in der Wirklichkeit gibt es einen Satz, der eben diese Tatsache repräsentiert. Sprache ist daher nichts anderes als eine symbolische Repräsentation der Welt in unseren Köpfen. Dies erleichtert uns in vielerlei Hinsicht die Auseinandersetzung mit der Welt. Wir müssen eine Tatsache, um sie uns vor Augen zu führen, nicht als solche in echt reproduzieren, sondern können durch einen Satz auf sie verweisen, also eine Referenz zu ihr herstellen, die stellvertretend für sie stehen kann. Der besondere Vorteil der Sprache gegenüber anderen möglichen symbolischen Repräsentationen besteht darin, dass sie sich besonders gut zur Kommunikation mit anderen Menschen eignet. Erfahrungen über die Welt können so ausgetauscht werden und die Konsequenzen aus diesen Erfahrungen, d.h. das erworbene Wissen, kann so weitergegeben werden, ohne dass diese Erfahrungen selbst von neuem gemacht werden müssen. Es ist daher schlechthin unvorstellbar, dass wir ohne Sprache überhaupt zu einem tieferen Verständnis der Welt gelangen könnten. Auch wenn wir unsere Erfahrungen letztlich nur in der Welt machen können, so können wir Wissen über die Welt im eigentlichen Sinn immer nur in der Form einer symbolischen Repräsentation besitzen.

Sprache als Schlüssel zum

Wegen der fundamentalen Bedeutung der Sprache wollen wir uns kurz etwas eingehender mit ihrer Struktur beschäftigen. Aussagen entsprechen Tatsachen in der Welt. Eine elementare Tatsache ist wiederum die Verbindung eines Objekts mit einer Eigenschaft. Um Sätze überhaupt formulieren zu können, brauchen wir daher eine sprachliche Repräsentation von Objekten, von Eigenschaften und von Beziehungen, Verknüpfungen zwischen Objekten und Eigenschaften im Sinne von Zugehörigkeit usw. Alle diese sprachlichen Repräsentationen in ihrer Gesamtheit wollen wir als Begriffe bezeichnen. Jede sprachliche Repräsentation kann wiederum als ein Komplex von symbolischen Zeichen betrachtet werden. Da der Vorrat an symbolischen Zeichen in den meisten Sprachen begrenzt ist und wesentlich mehr Begriffe benötigt werden als Zeichen vorhanden sind, werden Begriffe meist durch eindeutige geordnete Kombinationen von Zeichen, die wir Wörter nennen, dargestellt. Das, worauf der Begriff verweist, soll Designat oder Vorstellungsinhalt genannt werden. Die Verknüpfung von Begriffen und Designata geschieht mit Hilfe so genannter semantischer Regeln, oder Korrespondenzregeln. Die Bedeutung eines Begriffs liegt in der Möglichkeit seiner Zuordnung zu einem Designat. Die einfachste Form von Begriffen sind so genannte empirische oder deskriptive Begriffe, die einem Objekt oder Gegenstand der Wirklichkeit oder einem seiner Merkmale entsprechen. Beispiele für deskriptive Begriffe wären demnach 'Mond', aber auch 'Trabant', 'Venus', aber auch 'Planet', 'Blume', 'rot' etc. Wir können deskriptive Begriffe daher noch einmal in solche zerlegen, die die Identifikation bestimmter einzelner Objekte ermöglichen, und solche, die die Identifikation einer Gruppe von Objekten ermöglichen. Wir können stattdessen auch von 'Namen' und 'Eigenschaften' sprechen, oder von 'proper names' und 'class names'

Struktur von Sprache

Verständnis der Welt

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Kapitel 3 Welt und Sprache

(Russell 1997: 87ff.). Etwas Ähnliches meint auch Popper mit seiner Unterscheidung zwischen 'Individualien' und 'Universalien' (Popper 1989: 36ff.). Namen sind die Bezeichnungen konkreter einzelner, individueller Objekte, anhand derer diese eindeutig identifizierbar sind, also 'Mars' als Name des Planeten Mars, 'Herr Müller', 'Gerhard Schröder' etc. Da 'Namen' alles umfassen, das eine eindeutige Identifizierung ermöglicht, sind in einem weiten Sinn auch 'Zeiger-Begriffe' wie 'dieser da', 'das Objekt in meiner Hand' etc. als 'Namen' zu verstehen. Eigenschaften oder Prädikate dagegen sind Begriffe, die Objekten zugeordnet werden können. Die Eigenschaft 'Planet' z.B. kann verschiedenen Objekten mit den Namen 'Mars', 'Venus', 'Erde' und so weiter zugeordnet werden. Das Prädikat 'Trabant' kann dem Objekt 'Mond' zugeordnet werden, solange wir diesen Begriff zur Bezeichnung des Objekts Erdenmond verwenden und nicht zur Bezeichnung einer Klasse von Objekten mit der Eigenschaft 'bewegen sich um Planeten'. Der Begriff 'Mond' ist daher zweideutig, da er sowohl in der Namensbedeutung als auch in der Trabantenbedeutung verwendet wird. Genauso können wir den Objekten 'BRD', 'USA' oder 'Frankreich' das Prädikat 'demokratisch' zuordnen. Allerdings ist auch dieser Fall nicht ganz trivial, weil die Bildung der Entität (also der Einheit), die wir z.B. mit dem Eigennamen 'BRD' bezeichnen, auf einer Eigenschaft beruht, die man z.B. 'Nationalstaat' nennen kann. Elementare Sätze bestehen in der Regel aus der Zuordnung eines Prädikats zu einem Objekt, wie "Der Mond (als Objekt) ist eine Kugel" oder "Napoleon war ein Feldherr". Begriff als Menge von Objekten mit gleicher Eigenschaft

Es erleichtert die wissenschaftliche Auseinandersetzung mit Begriffen oft, wenn wir sie uns als Mengen vorstellen. Der Begriff 'Rot' kann dann einfach als die Menge aller roten Objekte definiert werden. Mengen können grundsätzlich auf zweierlei Art und Weise gebildet werden. Zum einen können wir eine Menge bilden, indem wir alle Elemente aufzählen, d.h. die Objekte, die in der Menge enthalten sind. Dies nennen wir die Extension des Begriffs oder der Menge. Zur Bestimmung der Extension eines Begriffs müssen wir auf Namen zurückgreifen, um so die einzelnen Objekte eindeutig zu erfassen. Der Begriff 'Feldherr' entspräche in der extensionalen Mengendarstellung einer Menge 'Feldherr', die wir als {'Alexander der Große', 'Perikles', 'Julius Cäsar', ... 'Moltke', 'Hindenburg', 'Patton' ...} darstellen könnten. Die Extension der Menge der geraden Zahlen wäre {2, 4, 6, 8 ....}. Die vollständige extensionale Darstellung eines Begriffs oder einer Menge ist nur möglich, wenn die Anzahl der Objekte, die dem Prädikat zugeordnet werden, endlich ist. Das Prädikat 'Begründer einer Weltreligion' lässt sich (je nach Kulturverständnis) durchaus vollständig extensional darstellen als {Buddha, Konfuzius, Moses, Christus, Mohammed}. Bei weniger spezifischen Prädikaten wie 'Rot' oder 'Gerade Zahl' jedoch ist die Anzahl der Objekte unendlich und daher durch Aufzählen nicht vollständig darstellbar. Man kann aber im Prinzip unendliche Objektmengen für einen beschränkten Bereich extensional darstellen, z.B. die roten Gegenstände, die sich im Raum x zur Zeit y befinden oder die geraden Zahlen, die kleiner als 100 sind.

Kapitel 3 Welt und Sprache

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Da die Klassennamen in der Regel nicht vollkommen willkürlich sind, sondern ja etwas bedeuten, ist auch die Extension eines Begriffs in der Regel nicht willkürlich. Vielmehr existiert in den meisten Fällen eine Art von Zuordnungsvorschrift, die bestimmt, wann ein bestimmtes Element zu der dem Begriff entsprechenden Menge gehört. Dies nennen wir die Intension eines Begriffs. Die Intension eines Begriffs gibt also die Bedingungen an, denen ein Objekt genügen muss, um zur Menge zu gehören, oder bestimmte Merkmale bzw. Eigenschaften, die das Objekt besitzen muss. Die intensionale Darstellung der Menge der geraden Zahlen sähe z.B. so aus: {x: x ist ohne Rest durch 2 teilbar.}, also die Menge aller Elemente x, für die gilt, dass x durch 2 ohne Rest teilbar ist. Die Intension einer Menge stellt eine Art von Konstruktionsvorschrift ihrer Extension dar. Insbesondere können wir aufgrund der Intension eines Begriffs entscheiden, ob ein bestimmtes Objekt zu seiner Extension gehört oder nicht. Dies ist von Bedeutung, da wir über die Wahrheit eines elementaren Satzes, der ja in der Zuordnung eines Prädikats zu einem Objekt besteht, unter Hinzuziehung der Extension des Prädikats entscheiden. Der Satz "x ist ein A" ist z.B. genau dann wahr, wenn x ein Element der Extension von A ist. Wenn wir die Extension in ihrem gesamten Umfang nicht kennen, können wir für x aber dennoch entscheiden, ob es in ihr enthalten ist, indem wir x den Anforderungen unterziehen, die in der Intension des Begriffs genannt sind. Nehmen wir z.B. an, wir sollen entscheiden, ob der Satz "x ist eine Primzahl" wahr ist. Wenn x '7' oder '11' oder '13' ist, können wir dies unmittelbar bejahen, da wir wissen, dass '7', '11' und '13' zur Extension des Begriffs 'Primzahl' gehören. Allerdings ist uns diese Extension nur partiell bekannt. Wenn wir jetzt entscheiden sollten, ob '12371' eine Primzahl ist, werden dies die meisten von uns nicht mehr durch ihre partielle Kenntnis der Extension von 'Primzahl' entscheiden können. Wir kennen jedoch die Intension von 'Primzahl', die heißt, dass eine Zahl lediglich durch sich selbst und durch 1 ohne Rest teilbar ist. Dies können wir nun für die Zahl '12371' untersuchen. Trifft die Bedingung zu, dann ist x eine Primzahl. Gleichzeitig wissen wir aber, dass x damit zur Extension von 'Primzahl' gehört und erhöhen damit unsere partielle Kenntnis derselben.

Extension und Intension von Begriffen

Die meisten Begriffe lernen wir in der Phase des Spracherwerbs auf natürliche Weise. In der Wissenschaft benötigen wir jedoch häufig neue Begriffe oder es ist notwendig, dass bestimmte Begriffe für den wissenschaftlichen Gebrauch präzisiert werden. In diesem Fall müssen diese neu eingeführten oder mit einer neuen Bedeutung versehenen Begriffe definiert werden. Definitionen sind dabei nichts anderes als Konventionen bezüglich der Verwendung bestimmter sprachlicher Ausdrücke, auf die man sich innerhalb der wissenschaftlichen Gemeinschaft einigt. Damit sind Definitionen aber niemals wahr oder falsch, bestenfalls können sie mehr oder weniger zweckmäßig sein. Wir unterscheiden verschiedene Formen von Definitionen:

Definitionen

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Kapitel 3 Welt und Sprache

Definition: Nominaldefinition Unter Nominaldefinition versteht man die Festsetzung darüber, dass ein bestimmter Ausdruck, das Definiendum, gleichbedeutend sein soll mit einem anderen Ausdruck, dem Definiens, dessen Bedeutung bekannt ist. Nominaldefinition

Bei der Nominaldefinition handelt es sich also um eine Bedeutungsübertragung oder Bedeutungstransformation vom Definiens zum Definiendum. Es werden keine neuen Bedeutungen geschaffen. Die Definition ist daher aus rein ökonomischen Gründen sinnvoll. Im Prinzip könnte man in jedem Satz, in dem das Definiendum vorkommt, dieses genauso gut durch das Definiens ersetzen, ohne den Sinn des Satzes in irgendeiner Weise zu verändern. Die Nominaldefinition von 'Schimmel' beispielsweise lautet 'weißes Pferd'. Jeder Satz, in dem das Wort 'Schimmel' vorkommt, bleibt in seiner Bedeutung unberührt, wenn man 'Schimmel' durch 'weißes Pferd' ersetzt. Die Erfindung von Wörtern wie 'Schimmel' oder 'Rappe' oder 'Stute' dient in erster Linie der Bequemlichkeit, da man so mit insgesamt weniger Wörtern auskommt, um eine bestimmte Aussage zu machen. Allerdings vergrößert sich dadurch der zur Kommunikation benötigte Wortschatz. Sätze, die lediglich eine sprachliche Umformulierung der Definition sind, wie z.B. "Ein Schimmel ist ein weißes Pferd." sind immer wahr und daher tautologisch. Dies ist unmittelbar klar, denn die Bedeutung des Satzes und damit auch sein Wahrheitswert bleiben ja unberührt, wenn man das Definiendum durch das Definiens ersetzt. Der obige Satz ist daher gleichbedeutend mit "Ein weißes Pferd ist ein weißes Pferd.", eine Aussage, die ebenso wahr wie unnötig, da ohne jeglichen Informationsgehalt ist. Da Nominaldefinitionen somit immer nur schon vorhandene Bedeutungen neuen Wörtern zuweisen, kann durch Nominaldefinitionen niemals neues Wissen entstehen. Nominaldefinitionen schlagen keine Brücke zur realen Welt der Objekte. Die Extension von 'Schimmel' ist durch und durch identisch mit der Extension von 'weißes Pferd', es handelt sich lediglich um zwei verschiedene Bezeichnungen derselben Menge. Was uns als Empiriker interessiert, ist ja, wann ein bestimmtes Objekt x mit Recht als 'Schimmel' oder 'weißes Pferd' bezeichnet werden darf, bzw. wann der Satz "x ist ein Schimmel" als wahr bezeichnet werden darf. Da Sätze die sprachlichen Repräsentationen von Sachverhalten sind, können wir Begriffe auch so definieren, dass ein Satz der Form "x ist ein A" immer dann wahr ist, wenn wir in Bezug auf x eine bestimmte Art von Beobachtung bzw. Erfahrung machen. Dies nennen wir die operationale Definition von Begriffen, die von Opp daher auch als "Übersetzung eines Begriffs in beobachtbare Ereignisse" (Opp 1995: 119) bezeichnet wird.

Kapitel 3 Welt und Sprache

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Definition: Operationale Definition Unter der operationalen Definition eines Begriffs A versteht man die präzise Festsetzung bestimmter Operationen an einem Objekt x, deren Ergebnisse eine eindeutige Aussage darüber ermöglichen, ob dem Objekt x der Begriff A zugeordnet werden darf oder nicht. Eine operationale Definition des Begriffs 'Gerade Zahl' haben wir eben schon kennen gelernt. Sie besteht zuerst in der Festsetzung der Operationen, die an einem Objekt vorgenommen werden sollen, in unserem Beispiel entspräche diese Operation der Modulo-Funktion bezüglich der Zahl 2, d.h. der Ermittlung des Rests nach der Division durch 2. Wenn dieser Wert gleich Null ist, dann ist die Zahl gerade.

Operationale Definition

Operationale Definitionen spielen in den empirischen Wissenschaften eine herausragende Rolle. Die entsprechenden Operationen werden dann auch Messungen oder Messverfahren genannt. Da operationale Definitionen einen Bezug zu bestimmten Beobachtungen herstellen, kann mit ihrer Hilfe die Korrespondenz von Beobachtungen und Sätzen hergestellt werden. Die operationale Definition des Begriffs 'Rot' kann man sich z.B. so vorstellen, dass der Begriff dann und nur dann einem Objekt zugeschrieben werden darf, wenn die Wellenlänge des von diesem Objekt reflektierten Lichts einem bestimmten Bereich entspricht, wobei diese Wellenlänge durch eine Apparatur gemessen wird, die wir z.B. Spektrometer nennen. Genauer gesagt besteht die operationale Definition von 'rot' in der Bauanleitung einer solchen Apparatur, dem Aussetzen des Objekts durch die Apparatur und dem Bewerten des Ergebnisses dieser Operationen. In der Regel wird diese Apparatur so konstruiert sein, dass sie eine Art Skala und eine Art Zeiger enthält, an denen die Ergebnisse der Prozedur abgelesen werden können. Bei einfachen Merkmalen wie der Farbe ist es möglich, einen direkten Bezug zwischen einer Beobachtung und der Ausprägung des Merkmals herzustellen. Oft untersuchen wir jedoch gerade in den Sozialwissenschaften Eigenschaften, die nicht direkt mit bestimmten Beobachtungen korrespondieren, sondern für deren Vorliegen bestimmte Beobachtungen lediglich als Indiz dienen können. Beobachtungen, die nur einen indirekten Schluss auf ein Merkmal zulassen, nennen wir Indikatoren. Beispiel: Intelligenzmessung Nehmen wir einmal den Begriff der Intelligenz. Leider (oder zum Glück) gibt es keine direkte Methode, die Intelligenz eines Menschen zu ermitteln, wie sich z.B. die Farbe einer Blume ermitteln lässt. Andererseits haben wir eine bestimmte Vorstellung davon, dass 'intelligente' Menschen sich dadurch auszeichnen, dass sie zu gewissen Dingen in der Lage sind, zu denen weniger 'intelligente' Leute nicht fähig sind, z.B. zum Lösen abstrakter Probleme. Tests, die solche Probleme enthalten, können dann als Indikator für 'Intelligenz' herangezogen werden. Wird aus mehreren Indikatoren ein zusammenfassender Wert berechnet, so wird diese neue Dimension ein Index genannt. Der so genannte Intelligenzquotient ist ein solcher Index, der – je nach Test – die Zusammenfassung ver-

Indikatoren zur indirekten Messung

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Kapitel 3 Welt und Sprache

schiedener Testbatterien darstellt. Die operationale Definition von 'Intelligenz' wäre demnach der Wert, den ein Intelligenztest misst. Eine solche Definition kann aber völlig beliebig und somit noch weniger informationshaltig sein als eine Nominaldefinition. Tatsächlich ist hier der Willkür Tür und Tor geöffnet, und gerade Erfahrungen im Missbrauch des 'Intelligenztests' sollten zur Vorsicht im Umgang mit operationalen Definitionen mahnen (Gould 1999). Das Problem besteht darin, dass wir oft schon vor der Einführung von operationalen Definitionen ein Vorverständnis des zu definierenden Begriffs haben und auch haben müssen, denn sonst könnten wir uns keine Operationen ausdenken, die unserem Verständnis nach in der Lage sind, die dem Begriff entsprechende Eigenschaft zu messen. Dieses Vorverständnis lässt sich auch mit Hilfe von Bedeutungsanalysen untersuchen. Der Begriff Intelligenz hatte auch schon vor der Einführung des Intelligenztests eine Bedeutung, auch wenn der Begriff nicht quantifizierbar war. Eine operationale Definition ist daher nur dann wirklich angemessen, wenn das Messverfahren oder Messinstrument tatsächlich Ergebnisse im Sinne des zu messenden Konzepts liefert. Am Beispiel des oben eingeführten Spektrometers ist der Fall relativ einfach zu erläutern: Man kann ohne größere Schwierigkeiten ein Gerät bauen, dessen Zeiger sich immer in einem bestimmten Bereich einer Skala befindet, wenn ein Gegenstand rot ist (also wenn jeder beliebige Beobachter diesen Gegenstand auch als 'rot' bezeichnen würde). Die Messung einer Farbe ist deswegen so einfach, weil sie an bestimmte physikalische Eigenschaften gekoppelt ist, über die unter einer Vielzahl von Beobachtern in der Regel Konsens zu erzielen ist. Ein 'Intelligenztest' wäre dementsprechend ein guter Test bzw. eine gute operationale Definition des Begriffs Intelligenz, wenn der Test immer dann und nur dann einen hohen Wert bei einer getesteten Person erzielen würde, wenn sich auch alle Beobachter darüber einig wären, dass diese Person tatsächlich intelligent ist (im Falle eines so vagen Konzepts wie 'Intelligenz' mit Sicherheit ein mehr als frommer Wunsch). Der Vorteil eines standardisierten Intelligenztests liegt darin, dass er diese Vagheit beseitigt und ein eindeutiges Ergebnis liefert. Der Nachteil liegt allerdings darin, dass, was immer der Test misst, mit dem, was 'man' gemeinhin unter Intelligenz versteht, unter Umständen wenig gemeinsam hat. Man könnte nun der Genauigkeit halber einen neuen Begriff 'T-Intelligenz' einführen, um klarzumachen, dass es sich hierbei nur um die in einem Test ermittelte Intelligenz handelt. Wenn wir allerdings operationale Definitionen immer als neue Begriffe einführen, verhindern wir zwar damit eine eventuell missverständliche Zuordnung, andererseits sinkt die Verwertbarkeit des Tests bzw. des Messergebnisses. Wenn es keine Möglichkeit mehr gibt, die Testergebnisse in Bezug zu Größen und Begriffen außerhalb des Tests zu setzen, dann wissen wir in keiner Weise, was wir mit einem solchen Testergebnis anfangen sollen. Intelligenztests sind ja nur deshalb interessant, weil sie vorgeben, das, was wir üblicherweise unter Intelligenz verstehen, tatsächlich auch objektiv messen zu können. Wir können über 'Intelligenz' in einem wesentlich weiteren Rahmen sinnvoll sprechen als wir darüber objektive wissenschaftliche Aussagen machen können. Die 'Objektivierung' des Intelligenzbegriffs macht diesen einerseits wissenschaftlich handhabbar, aber möglicherweise unter dem Verlust 'unscharfer' Komponenten, die man zwar im Gespräch mitführen kann, die sich aber nicht quantifizieren, d.h. messen, lassen.

Ende Beispiel Operationale Definitionen sind unsere unverzichtbare Brücke zur empirischen Welt. Sie sind aber nur dann wertvoll, wenn die Ergebnisse der beschriebenen Prozeduren im Sinne von Bedeutungen interpretiert werden können, die der Begriff außerhalb der Prozeduren hat. Denn diese Bedeutungen sind es in der Regel, die den Begriff überhaupt als untersuchenswert erscheinen lassen. Wenn ein Test in diesem Sinn auch tatsächlich misst, was er messen soll, so nennen wir diesen Test valide.

Kapitel 4 Messen

4

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Messen

Unter Messen verstehen wir die Zuschreibung einer Eigenschaft zu einem Objekt. Allerdings ist es nötig, den Begriff 'Eigenschaft' noch etwas zu präzisieren. In der Umgangssprache unterscheiden wir in der Regel nicht genau zwischen der Eigenschaft selbst und der Ausprägung dieser Eigenschaft. Es ist z.B. eine Eigenschaft eines Quaders, eine räumliche Ausdehnung zu besitzen, oder, anders ausgedrückt, eine Länge, eine Höhe und eine Breite. Die konkrete Länge, Höhe und Breite in Metern sind die Ausprägungen der Ausdehnung in den drei Dimensionen des Raums. Jedes Objekt ist durch die Eigenschaften, die es besitzt, charakterisiert. Jedes Objekt liegt also in einem Eigenschaftsraum, und die Koordinaten in diesem Raum entsprechen den Ausprägungen der einzelnen Eigenschaften.

Messen: Zuschreibung ei-

Zwei Einschränkungen sind zu machen. Erstens: Wir können nur die Eigenschaften eines Objektes messen, die wir kennen und für deren Messung wir die geeigneten Verfahren zur Verfügung stehen haben. D.h. es mag beispielsweise sein, dass das Objekt eine vierte Dimension im Raum besitzt, da wir aber keinen Zugang zu dieser Dimension haben, können wir die Ausprägung des Objekts bezüglich dieser Eigenschaft nicht messen. Bei der Messung eines Objekts berücksichtigen wir also nur einen reduzierten Raum von beobachtbaren und für uns relevanten, d.h. uns interessierenden Eigenschaften. Wenn uns die räumliche Ausdehnung eines Quaders interessiert, dann messen wir eben nur Länge, Breite und Höhe und nicht außerdem noch seine Farbe, die Beschaffenheit seiner Oberfläche u.ä.

Nur prinzipiell bekannte Ei-

Zweitens: Der Begriff, den wir uns von den internen Eigenschaften eines Objekts machen, ist von den externen Eigenschaften aller Objekte, die diese interne Eigenschaft besitzen, abgeleitet. Das heißt: Wir wissen, dass ein räumlicher Körper eine Länge besitzt. Dies wissen wir auch dann, wenn wir die exakte Länge des Körpers nicht kennen. Der Begriff der Länge aber entsteht durch die Erfahrungen, die wir gemacht haben, indem wir die konkrete Länge verschiedener Körper gemessen haben. Wir wissen, dass ein Gegenstand eine Farbe haben muss, auch dann, wenn wir die Farbe selbst gar nicht kennen. Der Begriff der 'Farbe' aber, die Vorstellung, die wir uns vom Wesen der Farbe machen, hängt ab von unserer Erfahrung, die wir mit konkreten Farben wie 'Rot', 'Grün', 'Blau' usw. gemacht haben. Die Vorstellung der Eigenschaft, die wir messen wollen, ändert sich also mit dem Verfahren der Messung selbst. Im gleichen Maße, wie wir eine Messmethode verfeinern, verfeinern wir auch unseren Begriff von der zu messenden Eigenschaft.

Vorstellung der zu messenden Eigenschaft ist erfah-

Die Messung eines Objekts ist also in zweierlei Hinsicht beschränkt, zum einen durch die Auswahl der Eigenschaften, zum anderen durch die Form der Messung dieser Eigenschaften. Durch die Messung einer Eigenschaft von Objekten unterteilen wir die Menge aller Objekte in mehrere distinkte Mengen, wobei jede Teilmenge einer Ausprägung der Eigenschaft entspricht. Messen wir z.B. die Farbe aller Gegenstände, dann

ner Eigenschaft zu einem Objekt

genschaften können gemessen werden

rungsgetränkt und daher prinzipiell veränderlich

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Kapitel 4 Messen

können wir unter anderem eine Menge bilden, die wir mit dem Namen 'ROT' versehen, in die alle Dinge gehören, deren Farbe die Ausprägung rot hat. Auf die gleiche Art und Weise bilden wir eine Menge mit dem Namen 'BLAU', eine mit dem Namen 'GRÜN' usw. Symbole zur Bezeichnung der Ausprägung von Eigenschaften: zumeist Zahlen oder Wörter

Reduktion der Dimensionen der Wirklichkeit durch das Messinstrument

Für die Bezeichnung der Ausprägung einer Eigenschaft werden symbolische Zeichen verwendet. Häufig ist es sinnvoll, numerische Zeichen, also Zahlen, zu verwenden, da diese – je nach Art der Verwendung – in der Lage sind, ihrem Wesen nach unterschiedliche Charakteristika der Eigenschaften von Objekten abzubilden. So können wir je nach Kontext entscheiden, auf welche Eigenschaften von Zahlen wir bei der Kennzeichnung bestimmter Objekte mit bestimmten Merkmalsausprägungen zurückgreifen wollen. So kann durch Zahlen etwa unmittelbar eine Rangordnung oder das Verhältnis von Abständen zwischen einzelnen Ausprägungen einer Eigenschaft veranschaulicht werden. Aber wir können Zahlen auch einfach als symbolische Zeichen verwenden. Gerade in den Sozialwissenschaften haben wir es häufig mit Ausprägungen von Merkmalen zu tun, die sich am besten durch verbale Zeichen, also Worte, kennzeichnen lassen. So wie im obigen Beispiel die Ausprägungen der Eigenschaft von Objekten 'eine Farbe haben' mit den Begriffen 'ROT', 'GRÜN' und 'BLAU' gekennzeichnet wurden, werden beispielsweise die Ausprägungen der Eigenschaft 'Wahlsystem' durch die Begriffe 'Proportionalwahlsystem', 'Mehrheitswahlsystem' oder 'Mischwahlsystem' gekennzeichnet. Zahlen können dann im Sinne von Zeichen als ökonomische Abkürzungen der längeren Begriffe verwandt werden. Bei der Messung der Ausprägung einer oder mehrerer Eigenschaften eines Objekts 'stauchen' wir also das reale Objekt, wie es in der Wirklichkeit vorhanden ist, auf wenige Maßzahlen zusammen, die uns interessierende Eigenschaftsausprägungen repräsentieren. Messen ist also nichts anderes als eine Projektion der vielschichtigen, komplexen, nahezu unendlich dimensionalen Wirklichkeit auf wenige Dimensionen ihrer symbolischen Repräsentation. Man spricht daher auch von der Abbildungstheorie der Wirklichkeit durch die Messung. Tatsächlich leben wir natürlich schon immer in einer auf wenige Dimensionen 'gestauchten' Repräsentation der Wirklichkeit. Um es in Kants Terminologie zu sagen, die Welt, wie wir sie wahrnehmen, ist die Welt 'für uns' aber nicht die Welt 'an sich.' Auch unsere Wahrnehmungsorgane transformieren die 'wirkliche' Wirklichkeit in eine Wirklichkeit, deren Aufbau und Erscheinungen lediglich die Struktur unserer Sinnesorgane und die Art unseres Gehirns, Sinneseindrücke zu verarbeiten, widerspiegeln. Sowenig es das symbolische Zeichen 'rot' in der Wirklichkeit gibt, sowenig gibt es in ihr den Sinneseindruck, den wir mit der Farbe Rot verbinden. Alle unsere Sinneseindrücke sind nicht in der Realität vorhanden, sondern entstehen durch komplexe Erregungsmuster in unserem Gehirn. Wir können daher den Vorgang der Messung ganz analog zum Einsatz eines Sinnesorgans betrachten. So wie uns unsere Augen die Projektion der Wirklichkeit auf die optische Ebene vermitteln, so gibt uns die Messung die Abbildung der Wirklichkeit auf die Ebene des Messinstruments wieder.

Kapitel 4 Messen

33

Natürlich wollen wir, dass bei dieser Abbildung die Struktur der Wirklichkeit, zumindest in den uns interessierenden Aspekten, möglichst erhalten bleibt. Diese Struktur besteht in den Beziehungen zwischen den Objekten bzw. deren Eigenschaften. Die Eigenschaften eines Objekts können immer nur insoweit wahrgenommen werden, wie sie sich von den Eigenschaften eines anderen Objekts unterscheiden. Es gibt keine 'absoluten' Ausprägungen der Eigenschaften eines Objekts, sondern immer nur Ausprägungen dieser Eigenschaften in Relation zu anderen Ausprägungen, wie sie bei anderen Objekten vorkommen. Dieses Differenzprinzip ist es, was uns überhaupt erst Eigenschaften von Objekten wahrnehmen lässt. Die Aussage, dass ein bestimmter Gegenstand rot ist, hat nur dann einen Sinn, wenn es auch nicht-rote Gegenstände gibt, so dass wir den roten Gegenstand von den nicht-roten Gegenständen abgrenzen können. Gäbe es nur die Farbe Rot, dann würden wir niemals die Eigenschaft 'Farbe eines Gegenstands' entdecken. Die Messung einer Eigenschaft eines bestimmten Objekts ist daher im eigentlichen Sinn immer die Angabe der Relation der gemessenen Ausprägung zu den gemessenen Ausprägungen anderer Objekte. Ein solches System von Beziehungen bezeichnen wir auch als Relativ.

Differenzprinzip: Eigenschaften von Objekten wer-

Da die Struktur des empirischen Relativs somit das ist, was uns eigentlich interessiert, muss gewährleistet sein, dass diese Struktur auch in der Messung wiedergegeben wird. D.h., den Beziehungen zwischen den Objekten, wie sie in der Wirklichkeit bestehen, sollen Beziehungen zwischen den symbolischen Repräsentationen dieser Objekte entsprechen. Die Messverfahren sind also so zu konstruieren, dass diese Beziehungen nicht verloren gehen, wenn wir statt der Gegenstände selbst nur noch ihre symbolische Repräsentation in Zahlen besitzen. Eine Abbildung, die die Struktur des Abgebildeten erhält, wird ein Morphismus genannt. Die ideale und hundertprozentig strukturtreue Messung wäre dem ersten Augenschein nach eine, die jeden Unterschied im empirischen Relativ auf einen Unterschied im numerischen bzw. symbolischen Relativ abbildet, d.h. für jede Ausprägung einer Eigenschaft in der Wirklichkeit müsste eine entsprechende Messzahl existieren. Eine solche Abbildung wäre eineindeutig, da nicht nur jeder Ausprägung einer Eigenschaft ein symbolischer Wert zugeordnet werden könnte, sondern umgekehrt auch jedem symbolischen Wert genau die ursprüngliche Ausprägung der Eigenschaft. In einem solchen Fall sprechen wir von einem Isomorphismus. Bei einer isomorphen Abbildung kann das Original also vollkommen fehlerfrei aus seiner Abbildung rekonstruiert werden. Man denke dabei an die nette Idee einiger Science fiction Autoren, den 'Inhalt' eines menschlichen Gehirns auf einer Art Festplatte zu speichern, so dass im Falle der Zerstörung des Gehirns dieses aus der 'Sicherungsdatei' wiederhergestellt werden kann. Aber auch analoge Verfahren der Tonaufnahme entsprechen einer isomorphen Abbildung. Allerdings ist eine solche Eins-zu-Eins Abbildung in den meisten Fällen nicht nur vollkommen unmöglich, sondern auch gar nicht wünschenswert. Die Feinheit des Messinstruments soll meistens gar nicht der Feinheit des gemessenen Objekts entsprechen, eine gewisse 'Vergröberung' durch die Messung ist aus praktischen Gründen durchaus erwünscht. Wenn es um die Körpergröße eines Menschen geht, so wol-

Beziehung zwischen zwei

den im Unterschied zu Eigenschaften anderer Objekte wahrgenommen

Objekten: Relativ

Abbildung durch Messung: Morphismus

Eineindeutige Abbildung: Isomorphismus

34

Kapitel 4 Messen

Eindeutige Abbildung: Homomorphismus

len wir diese nicht auf ein Atom genau bestimmen, sondern eine Angabe in Zentimetern reicht uns in den meisten Fällen durchaus. Um homomorphe oder eindeutige Abbildungen handelt es sich, wenn zwar jeder Eigenschaftsausprägung des realen Objekts eindeutig ein Messwert zugeordnet wird, umgekehrt aus dem Messwert jedoch nicht mehr der exakte Originalwert rekonstruiert werden kann, also mehrere Originalwerte auf denselben Wert abgebildet werden. Bei einer Messung der Körpergröße in Zentimetern mit Rundung wird z.B. allen Personen mit einer Körpergröße im Intervall von 177,5 cm bis 178,5 cm eine Körpergröße von 178 cm zugeordnet, d.h. in Wirklichkeit verschiedene Körpergrößen wie 177,645343 cm und 178,00005 cm bekommen denselben Wert. Die Struktur des empirischen Relativs wird im numerischen Relativ nur vergröbert wiedergegeben, aber die Verzerrungen fallen so klein aus, dass für uns relevante Unterschiede erhalten bleiben. Wenn wir über Körpergrößen reden, macht es eben in den wenigsten Fällen Sinn, zu behaupten, die Person A sei größer als die Person B, weil sie diese in der Körpergröße um 0,0000045 cm übertrifft. Nach diesen Ausführungen ist nun eine etwas genauere Definition des Messvorgangs möglich, als es am Anfang des Kapitels möglich war. Definition: Messung Unter Messung verstehen wir die homomorphe Abbildung eines empirischen Relativs auf ein numerisches Relativ.

Messung durch Paarvergleich oder durch Vergleich mit Normgrößen

Beziehungen zwischen den Objekten lassen sich durch den paarweisen Vergleich von Objekten, d.h. durch die Untersuchung auf Unterschiede bezüglich der relevanten Eigenschaft, erfassen. Die Struktur der Beziehungen ist also hinreichend beschrieben, wenn für jedes Paar von Objekten das Verhältnis ihrer Eigenschaftsausprägungen genau und eindeutig angegeben werden kann. Um die Beziehungen zwischen allen Objekten zu erfassen, müssen wir allerdings nicht alle diese Objekte jeweils paarweise miteinander vergleichen, ein Unterfangen, das mehr als herkulisch zu nennen wäre, sondern wir können die Beziehungen zwischen jeweils zwei beliebigen Objekten indirekt erschließen, indem wir die jeweiligen Beziehungen der beiden Objekte zu einem dritten Objekt miteinander vergleichen. Dieses dritte Objekt können wir dann das 'typische' Objekt, oder Normobjekt oder Eichobjekt nennen. Um zu ermitteln, ob eine Person größer als eine andere ist, müssen wir nicht diese beiden Personen nebeneinander stellen, sondern es genügt, wenn wir ein genormtes Metermaß zur Verfügung haben. Die Normung des Metermaßes – wie fast alle modernen Maße – stellt eine Folgeerscheinung der Französischen Revolution dar und geht auf den so genannten 'Urmeter' zurück, der 1795 in Paris aus einer Metall-Legierung angefertigt wurde. Anhand dieses Metermaßes kann man nun vergleichen, ob eine Person größer oder kleiner als eine andere ist, ohne dass man sie nebeneinander stellen muss. Wir können also auch Vergleiche der Körpergröße auf Distanz durchführen, solange nur an jedem Ort

Kapitel 4 Messen

35

der Messung derselbe Maßstab vorhanden ist. Vergleiche anhand von Norm- oder Eichobjekten sind immer dann möglich, wenn für jedes Objekt tatsächlich ein konkreter Messwert besteht und dieser Wert eindeutig bestimmt ist. Je nachdem, welche Art von Beziehung zwischen den realen Objekten, genauer, zwischen den Ausprägungen der im Blickpunkt stehenden Eigenschaft der Objekte, besteht, die sich in der Beziehung zwischen den Messzahlen widerspiegeln soll, sprechen wir von verschiedenen Mess-Skalen. Es wird unterschieden zwischen Nominal-, Ordinal-, Intervall-, Verhältnis- und Absolutskala.

4.1

Unterscheidung der Skalenniveaus

Nominalskala

Eine Nominalskala wird dann zur Messung einer Eigenschaft eingesetzt, wenn zwei Objekte hinsichtlich ihrer Eigenschaftsausprägungen nur daraufhin verglichen werden, ob sie beide dieselbe Ausprägung dieser Eigenschaft besitzen oder eine unterschiedliche. Anders ausgedrückt: Beide Gegenstände besitzen im Eigenschaftsraum entweder die gleiche Argumentstelle bzw. Koordinate, zumindest in Bezug auf das Raster unserer Messung, oder eine unterschiedliche. Wir können dementsprechend für jedes einzelne Objekt angeben, ob es eine bestimmte Eigenschaftsausprägung besitzt oder nicht. Eine Nominalskala wird z.B. bei der Messung der Farbe eines Gegenstandes benutzt. Für jedes einzelne Ding ist es möglich anzugeben, ob es rot ist oder nicht. Ebenso kann für jedes Paar von Objekten angegeben werden, ob sie dieselbe Farbe haben oder nicht. Die Form der Messung bestimmt dabei, welche Farbwerte überhaupt möglich sind, bzw. welches Farbspektrum wir sozusagen bei der Messung einsetzen. Das minimal mögliche Farbspektrum wäre ein dichotomes, bei dem es nur zwei Ausprägungen gibt, z.B. 'rot' und 'nicht rot'. Vergeben wir numerische Werte für die Ausprägungen einer Eigenschaft, so könnte die Mess-Skala für Farbe z.B. folgendermaßen aussehen. Tabelle 4.1: Mess-Skala 1 rot 2 blau 3 gelb 4 grün 5 braun 6 andere Farbe

Die Restkategorie '6' ist notwendig, da es möglich sein muss, jedem Objekt aufgrund des Messergebnisses eine Ausprägung der Eigenschaft Farbe zuzuordnen, d.h. die Mess-Skala muss erschöpfend sein. Darüber hinaus muss das Kategorien-

Nominalskala: Gleichheit oder Ungleichheit von Eigenschaften

36

Kapitel 4 Messen

system trennscharf sein, d.h. die einzelnen Kategorien dürfen sich nicht überschneiden, da es sonst keine eindeutige Zuordnung des Messergebnisses zu einem Messwert mehr geben würde. In unserem Beispiel erhält ein Objekt den Messwert '1', wenn es die Farbe rot besitzt, den Wert '2', wenn es blau ist usw. Wichtig ist es hier, sich zu verdeutlichen, mit welchem Verständnis man in diesem Zusammenhang die Zahlen benutzt. Obwohl die verwendeten Zahlen diejenigen sind, die der natürlichen Menge entsprechen, verwenden wir sie hier nicht als natürliche Zahlen, sondern ausschließlich in ihrer Funktion als Zeichen. Die einzige Eigenschaft der Zahlen, die uns in diesem Zusammenhang interessiert, ist die ihrer Unterscheidbarkeit oder Identität in Hinsicht auf ihren Zeichencharakter, '1' ist eine andere Zahl als '2' oder '3'. Die Zahl '1' unterscheidet sich aber von der Zahl '2' nicht anders, als sie sich von der Zahl '3' unterscheidet. Das Ergebnis des Vergleichs von '1' mit '2' ist also äquivalent zum Ergebnis des Vergleichs von '1' mit '3'.

4.2 Ordinalskala: Rangplatzvergleich

Ordinalskala

Ordinalskalen werden für die Messung von Eigenschaften eingesetzt, wenn beim Vergleich zweier Objekte festgestellt werden soll, ob das eine Objekt diese Eigenschaft in einem stärkeren oder schwächeren Maß besitzt als das andere oder ob beide diese Eigenschaft im genau gleichen Ausmaß haben. Es existiert also in der 'realen' Welt, im empirischen Relativ, eine Rangordnung zwischen den Objekten bezüglich ihrer Ausprägungen der kritischen Eigenschaft. Die Messdaten müssen nun so beschaffen sein, dass sie ihrerseits eine solche Rangordnung darstellen können. Wenn also das Objekt A bezüglich der Eigenschaft X eine stärkere Ausprägung besitzt als das Objekt B, d.h. in der Rangordnung 'vor' ihm steht, dann muss auch der Messwert xA in der Rangordnung aller Messwerte vor dem Messwert xB stehen. Die Rangordnung der zur Verwendung freigegebenen Messwerte muss also schon wohldefiniert sein. Genau dieses Kriterium erfüllen z.B. wieder die natürlichen Zahlen, die sich daher hier aus gutem Grund als Grundmenge der möglichen Messwerte eignen. Wir greifen in diesem Fall auf die Eigenschaft der natürlichen Zahlen zurück, dass die Reihenfolge ihres Auftretens eindeutig definiert ist, 1 kommt vor 2, bzw. 123 kommt vor 10145 usw. Wir verzichten aber darauf, weitergehende Eigenschaften (wie z.B. Messung der Abstände) zu verwenden. Wir nutzen die natürlichen Zahlen also lediglich im Sinne einer geordneten Indexmenge. Beispiele für Ordinalskalen sind Schulnoten oder jegliche Form von Ranglisten. So gibt der Korruptionsindex von 'Transparency International' eine Rangliste der untersuchten Länder nach dem Ausmaß ihrer Korruption. Daran lässt sich ablesen, dass Schweden weniger korrupt ist als Deutschland und Japan weniger korrupt als Russland. Genauso zeigt die Rangliste im ATP-Tennis an, dass der Spieler Nummer 1 besser ist als der Spieler Nummer 2, bzw. der Spieler Nummer 23 besser ist als die Nummer 87 der Weltrangliste. Allerdings gibt es in der Wirklichkeit keine Tatsache 'Rangplatz der Weltrangliste im Tennis', die so unmittelbar gemessen

Kapitel 4 Messen

37

werden könnte. Gemessen werden können nur die Ergebnisse eines einzelnen Spielers bei allen Turnieren, die ATP-Punkte vergeben dürfen. Für jeden Spieler existiert also ein n-Tupel aller ATP-Turniere, der alle seine Ergebnisse dieser Turniere enthält. Aufgrund eines bestimmten Punktesystems ist es nun möglich, diese verschiedenen n-Tupel der Spieler Sampras, Agassi, Becker und aller anderen in eine bestimmte Reihenfolge zu bringen, oder, anders ausgedrückt, zu indizieren. Der Rangplatz eines Spielers ist dann nichts anderes als seine Indexnummer. Der Wert eines Objekts, den dieses bei einer Messung mit einer Ordinalskala erhält, gibt also nicht die tatsächliche Ausprägung des Objekts an, sondern den Rangplatz dieser Ausprägung in der geordneten Reihenfolge aller möglichen Ausprägungen.

4.3

Intervallskala

Eine Intervallskala wird dann zur Messung einer Eigenschaft eingesetzt, wenn beim Vergleich zweier Objekte hinsichtlich dieser Eigenschaft nicht nur festgestellt werden soll, welches der Objekte diese Eigenschaft in höherem oder niedrigerem Grade besitzt, sondern auch das Ausmaß dieses Unterschieds im Vergleich zum Unterschied eines anderen Paares von Objekten angegeben werden soll. Auch hier kann wieder ausschließlich auf die Menge der natürlichen Zahlen als Grundmenge der möglichen Messwerte zurückgegriffen werden.2 Zusätzlich zu den Eigenschaften der Menge der möglichen Messwerte, wie sie für die Ordinalskala gelten, kann man mit Messwerten, die auf Intervallskalenniveau erhoben wurden, das Verhältnis der Differenzen der Messwerte zweier Paare angeben. Bezieht man sich immer auf die Differenz eines bestimmten Referenzpaares und normiert diese Differenz als die Einheit der Messskala, dann heißt das nichts anderes, als dass man auf Intervallskalen die absolute Differenz zwischen einem Paar von Messwerten angeben kann. So gilt für die Zahlengerade üblicherweise, dass die Einheit der Messskala der 'Abstand' von einer Zahl zur darauf folgenden ist, der für alle aufeinander folgenden Paare von Zahlen als gleich angenommen wird. So ist es möglich, für den Unterschied der Messwerte '8' und '6' angeben zu können, dem Wievielfachen des Unterschiedes zwischen '2' und '1' er entspricht.

2

Wie später noch zu sehen sein wird, reicht die Menge der natürlichen Zahlen prinzipiell für jede Art des Messens als Menge für die möglichen Messwerte aus, da jede Messung immer diskret ist, d.h. als ganz bestimmte Anzahl von Einheiten zu verstehen ist. Bestenfalls tauchen Brüche auf, doch sind diese immer als rationale Zahlen zu verstehen, d.h. also als Zahlen, die sich als Verhältnis von ganzen natürlichen Zahlen darstellen lassen. Auch die Länge 1,34 m z.B. lässt sich mit Hilfe natürlicher Zahlen darstellen, wenn man auf die Einheit cm zurückgreift. Es gibt in der Messung keine irrationalen Werte wie z.B. die Zahl ʌ oder die Eulersche Zahl e. Solche Zahlen können nur analytisch gewonnen und behandelt werden. Als Ergebnis konkreter Messungen kann man nur Annäherungen, allerdings beliebig genaue, an die tatsächlichen Werte erreichen. Die Zahl ʌ beispielsweise lässt sich durch Messung empirisch ermitteln, indem man untersucht, das Wievielfache der Fläche eines Quadrats die Fläche eines Kreises enthält, dessen Radius der Kantenlänge des Quadrats entspricht. Dieses Problem ist eine Reformulierung der berühmten 'Quadratur des Kreises', die bekanntermaßen nicht exakt lösbar ist. Nichtsdestoweniger kann aber ʌ auf diese Weise empirisch beliebig genau, d.h. auf beliebig viele Kommastellen, geschätzt werden.

Intervallskala: Verhältnis der Differenzen zweier Messwerte

38

Kapitel 4 Messen

Dazu können wir die arithmetischen Operationen der Differenzbildung auf ein Paar von Messwerten, also Subtraktion (bzw. Addition), sowie die Multiplikation bzw. Division in Bezug auf den Vergleich zweier Differenzen von Messwerten anwenden. Der Unterschied von '8' und '6' entspricht der Differenz von '8-6', der Unterschied von '2' und '1' der Differenz von '2-1', erstere ist 2, zweite 1, damit ist auch die Differenz von '8' und '6' zweimal so groß wie die Differenz von '2' und '1'. Eigenschaften, die mit Intervallskalen gemessen werden, sind z.B. die Temperatur oder die Intelligenz. Im ersten Fall benutzt man dabei die °Celsius oder °Fahrenheit-Skala, im zweiten Fall den Intelligenzquotienten. Vergleicht man z.B. die Temperaturen von 10° Celsius und 5° Celsius, so kann man nicht nur sagen, dass 10° wärmer ist als 5°, diese Aussage wäre auch mit einer Ordinalskala erlaubt, sondern dass die Temperaturdifferenz 5° Celsius beträgt. Man kann auch sagen, dass diese Differenz fünfmal so groß ist wie die Temperaturdifferenz zwischen 6° Celsius und 5° Celsius oder auch die zwischen 32° Celsius und 31° Celsius. Allerdings darf man nicht schließen, dass 10° Celsius doppelt so warm ist wie 5° Celsius. Verhältnisse zwischen Ausprägungen einer Variablen darf man nur bilden, wenn sie auf dem nächsthöheren Skalenniveau erhoben worden sind.

4.4 Ratioskala: Verhältnis der absoluten Eigenschaftsausprägungen

Verhältnis- oder Ratioskala

Will man bei dem Vergleich zweier Objekte hinsichtlich der Ausprägungen einer Eigenschaft nicht nur eine Aussage über die Größe des Unterschiedes, also die Differenz, machen, sondern die Ausprägungen selbst zueinander in Verhältnis setzen, so bedarf es dazu eines absoluten Bezugspunktes, des Nullpunktes. Einen Nullpunkt benötigt man also dann, wenn man eine Aussage über das Größenverhältnis zweier Eigenschaftsausprägungen machen will, etwa der Art: "Objekt A besitzt die Eigenschaft X doppelt so sehr wie Objekt B". Eine Ratioskala verfügt über eine Art von 'natürlichem' Nullpunkt. Ratioskalen werden typischerweise eingesetzt beim Messen von Eigenschaften wie Körpergröße, Gewicht oder dem Bruttosozialprodukt eines Landes. Tatsächlich kann man jetzt zum ersten Mal von einer Übereinstimmung der Eigenschaften der Menge der möglichen Messwerte mit den Eigenschaften der Menge der natürlichen Zahlen, die wir für deren Darstellung benutzen, sprechen. Denn jetzt sind auch die Operationen der Multiplikation und der Division mit den Messwerten selbst erlaubt. Der Messwert '8' entspricht also jetzt der 'doppelten' Ausprägung des Messwertes '4' hinsichtlich der gemessenen Eigenschaft.3

3

Ebenso wie die Menge der natürlichen Zahlen enthält die Menge der möglichen Messwerte einer Verhältnisskala allerdings nicht selbst den Wert 0. Dieser ist lediglich als Bezugspunkt zu verstehen, ist aber selbst kein Element dieser Menge. Das leuchtet auch unmittelbar ein. Es gibt keine Körpergröße 0, die man messen könnte. Es gibt keine räumlichen Körper ohne Ausdehnung in den drei Dimensionen. Aber es ist möglich, unter Bezug auf die imaginäre

Kapitel 4 Messen

4.5

39

Absolutskala

Wie zu sehen war, nahm mit steigendem Skalenniveau die Anzahl der Eigenschaften der Menge der möglichen Messwerte zu, so dass sie bei der Intervallskala schließlich der der Menge der natürlichen Zahlen entsprach, die wir auch zur Darstellung unserer Messwerte benutzen. Tatsächlich wurde aber bisher immer noch nicht auf die umfassendste und zugleich ursprünglichste Eigenschaft der natürlichen Zahlen zurückgegriffen, diejenige Eigenschaft nämlich, dass eine natürliche Zahl eine eindeutig bestimmte Anzahl von unterscheidbaren Quantitäten bezeichnet. Die ursprünglichste Eigenschaft deswegen, weil die natürlichen Zahlen 'erfunden' wurden, um einen Vergleich zwischen verschiedenen Mengen von Gegenständen hinsichtlich ihrer Anzahl zu ermöglichen.

Absolutskala: abzählbare Menge von Einheiten

Absolutskalen sind daher einzusetzen, wenn es um die Bezifferung der tatsächlichen Anzahl von Einheiten geht, und nicht nur um Größenordnungen, Differenzen oder Größenverhältnisse. Die Anzahl der Personen in einem Raum, die Anzahl der Gasmoleküle in einem Kubikmeter Luft sind demnach Eigenschaften, die mit einer Absolutskala gemessen werden können. Der Wert der Messung ist hier insofern absolut, als er kein anderer Wert sein kann. Nicht nur die Beziehungen zwischen den verschiedenen Messwerten müssen stimmen, sondern auch die Beziehung zwischen dem Gemessenen und dem Messwert ist eindeutig, die Messung hat nur einen einzigen möglichen Wert. Wenn drei Personen in einem Raum sind, dann sind es nicht vier, auch nicht zwei, sondern eben genau drei, und keine andere Zahl gibt diesen Sachverhalt wirklichkeitsgetreu wieder. Der Aufbau der hier kurz vorgestellten Skalenniveaus war folgendermaßen, dass jeweils beim folgenden Skalenniveau eine zusätzliche Eigenschaft der Menge der möglichen Messwerte aufgetreten ist, die beim vorherigen Skalenniveau noch nicht gefordert war. Messungen auf Nominalskalenniveau können nur etwas über die Unterschiedlichkeit bzw. Identität der Messwerte aussagen, Messungen auf Ordinalskalenniveau lassen sich in eine geordnete Reihenfolge bringen, zwischen Messwerten, die auf einer Intervallskala erhoben wurden, lassen sich Differenzen angeben, für Messwerte einer Verhältnisskala die Verhältnisse, und die Mess-

Körpergröße 0 die Aussage zu machen: 'Jemand, der 1,80 m groß ist, ist doppelt so groß, wie jemand, der 90 cm groß ist.' Ebensowenig wie die Null als realer Messwert existiert, gibt es bei Verhältnisskalen negative Messgrößen. Es gibt keinen Körper, der die Länge -30 cm besitzt. Es ist zwar möglich, je nach Skala, die ursprünglichen Messwerte so zu transformieren, dass auch negative Werte bzw. die 0 als Messwerte auftauchen; die transformierten Zahlen sind vollkommen äquivalent zu den ursprünglichen Zahlen und aus Darstellungsgründen in dem einen oder anderen Fall sicherlich sinnvoll. Diese Transformationen sind allerdings nicht nötig, da die Menge der natürlichen Zahlen für die Darstellung der möglichen Messwerte vollkommen ausreicht. Transformiert man eine Verhältnisskala auf eine neue Skala, die auch negative Werte enthält, so geht damit die Eigenschaft verloren, Aussagen über Verhältnisse von Messwerten machen zu können. Die absolute °-Kelvin-Skala z.B. ist eine Verhältnisskala, da sie sich auf den absoluten Temperaturnullpunkt bezieht. °-Celsius und °-Fahrenheit hingegen sind Transformationen dieser Skala mit einem neuen Nullpunkt und dem Vorkommen negativer Werte, die aber deswegen auch keine Verhältnisskalen, sondern nur noch Intervallskalen darstellen.

Je höher das Skalenniveau, desto genauer die Information

40

Kapitel 4 Messen

werte einer Absolutskala entsprechen unmittelbar dem betreffenden Sachverhalt. Wegen der Zunahme der Eigenschaften sprechen wir von einer Zunahme des Skalenniveaus von der Nominal- bis zur Absolutskala. Dabei gilt, dass alle Eigenschaften eines niedrigeren Skalenniveaus auch beim höheren noch vorhanden sind, d.h. eine Absolutskala ist auch immer eine Ratioskala, eine Ratioskala immer auch eine Intervallskala, diese immer ebenfalls eine Ordinalskala und die Ordinalskala ist immer auch eine Nominalskala. Verwendet man Messwerte auf einem niedrigeren Skalenniveau als dem, auf dem sie gemessen worden sind, geht demnach Information verloren. Wenn ich Messwerte, die auf einer Ordinalskala erhoben worden sind, nur auf ihre Identität oder Nicht-Identität hin untersuche, also als Nominalskala, dann verzichte ich darauf, mir ihre Eigenschaft zunutze zu machen, dass ihr Wert etwas über ihren Rang in der geordneten Folge der möglichen Messwerte aussagt. Typischerweise wird etwa in der Umfrageforschung der Bildungsabschluss erfragt, der nach der Höhe des Abschlusses (kein Abschluss, Hauptschule, Realschule, Abitur, Universitätsabschluss) ordinal geordnet werden kann. Diese Information verschenke ich, wenn ich für eine Untersuchung nur unterscheide, ob der Befragte einen Abschluss hat oder nicht. Oft ist es allerdings aus pragmatischen Gründen sinnvoll oder gar notwendig, einen solchen Informationsverlust hinzunehmen. Die gängigen statistischen Auswertungsmethoden beziehen sich in der Sozialwissenschaft in erster Linie auf Messwerte, die auf dem Nominal- oder auf dem Intervallskalenniveau erhoben worden sind. Statistische Verfahren für Ordinalskalen oder Verhältnisskalen hingegen sind wenig verbreitet.

Experte: Information und Restriktion Je höher das Messniveau, desto höher der Informationswert, den mir der Messwert liefert, d.h. desto genauere Aussagen über die Struktur, genauer gesagt über die Form der Struktur der Tatsachen in der Wirklichkeit kann ich mit Hilfe der Messungen machen. Je höher das Messniveau, desto mehr Eigenschaften der Menge der Messwerte kann ich mir zunutze machen, um damit Beziehungen zwischen den Messwerten zu modellieren, die den Beziehungen zwischen den Eigenschaftsausprägungen der Objekte in der Wirklichkeit strukturähnlich sind. Der Informationswert eines Zeichens oder einer Zahl ist aber immer abhängig von den Restriktionen, d.h. den Beschränkungen, die bei der Verwendung dieses Zeichens oder dieser Zahl beachtet werden müssen. D.h., je informativer ein Zeichen ist, desto weniger beliebig ist seine Verwendung, oder, anders ausgedrückt, je informativer ein Zeichensystem (oder Zahlensystem), desto geringer ist der Spielraum für mögliche Variationen bzw. Transformationen des Zeichen- oder Zahlensystems. Die Anzahl der zulässigen Transformationen nimmt daher mit steigendem Skalenniveau ab. Die natürlichen Zahlen in ihrer wohldefinierten Reihenfolge sind in der Regel nicht das einzige Zeichensystem, das wir für unsere Messwerte verwenden dürfen, sie sind aber ein Zeichensystem, das für alle Skalenniveaus verwendet werden kann. Wir können daher auch sagen, die geordnete Folge der natürlichen Zahlen ist eine mögliche Transformation aller möglichen Zeichensysteme, die wir für die Messung benutzen können, und zwar gilt das für alle Skalenniveaus. Wir können daher die Darstellung der Messwerte mit natürlichen Zahlen als eine Indexmenge begreifen, bei der der einzelne Messwert der Index-

Kapitel 4 Messen

41

nummer eines n-Tupels entspricht, der die n Werte von n anderen, für die Messung äquivalenten Zeichensystemen, enthält. Um ein Beispiel zu geben: Für die Messung der Parteizugehörigkeit zur SPD, zur CDU und zur FDP können wir die Zahlen '1', '2' und '3' verwenden, wir könnten aber auch das Zeichensystem mit den Wörtern 'SPD', 'CDU' und 'FDP' anwenden, oder eines mit den Wörtern 'rot', 'schwarz' und 'gelb', ja sogar eines mit 'weiblich', 'männlich' und 'zwittrig', wenn wir uns darauf verständigen wollten, die SPD als 'weiblich', die CDU als 'männlich' und die FDP als 'zwittrig' zu bezeichnen. Die einzige Eigenschaft, die unser Zeichensystem haben muss, ist die der Unterscheidbarkeit verschiedener Zeichen, die verschiedene Ausprägungen der Eigenschaft darstellen sollen. Keines der oben verwendeten Zeichensysteme ist also in seiner Messfunktion besser oder schlechter, nur würde das eine zu mehr, das andere zu weniger Sprachverwirrung führen. Tabelle E 1: Zulässige Transformationen auf Nominalskalenniveau f(xo)

f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7(x0)= -2+3xo

f8(x0)= -3-4xo

f9(x0)= 19xo

f10(x0)=x o

1

SPD

rot

weibl b

87

-4

1

-7

19

1

2

CDU

schwarz männl e

111

-2

4

-11

38

2

3

FDP

2045

3

7

-15

57

3

xo

gelb

zwittr f

Alle Zeichensysteme in der Tabelle, die eine willkürliche Auswahl aus allen möglichen Zeichensystemen darstellen, sind äquivalent zu dem der natürlichen Zahlen, d.h. sie sind gültige Transformationen, wobei die transformierten Werte aus den 'Original-Werten', die den natürlichen Zahlen entstammen, durch die Transformationsfunktionen fi gewonnen werden. Bei Ordinalskalen sind nur solche Transformationen zulässig, bei denen die Größer- bzw. Kleiner-Relation zwischen einem Paar von Objekten erhalten bleibt. Dabei darf sich diese Relation durchaus auch umkehren, nur muss dann diese Umkehrung für alle Paare gewährleistet sein. In diesem Fall ändert sich lediglich die inhaltliche Interpretation des Messwertes insofern, als jetzt die gegenteilige Eigenschaft gemessen wird. Jedes Zeichensystem ist erlaubt, bei dem eine eindeutige Reihenfolge der Zeichen definiert ist. Das trifft auf die Zahlen zu, aber zum Beispiel auch auf die Buchstaben des Alphabets. Aus der Auswahl von Zeichensystemen in Tabelle 2 bleiben nur diejenigen übrig, die diese Eigenschaft erfüllen. Tabelle E 2: Zulässige Transformationen auf Ordinalskalenniveau f(xo) f4

f4

f6 f7(x0)=-2+3x0 f8(x0)=-3-4x0 f9(x0)=19x0 f10(x0)=x0

x0

1

b

87

-4

1

-7

19

1

2

e

111

-2

4

-11

38

2

3

f

2045

3

7

-15

57

3

Bei Intervallskalen sind alle Transformationen erlaubt, bei denen das Verhältnis zwischen den einzelnen Abständen, die zwischen zwei Messwerten bestehen, gleich bleibt. Da die Berechnung von Differenzen und Verhältnissen arithmetische Operationen benötigt, sind

42

Kapitel 4 Messen

für Intervallskalen nur Zeichensysteme zulässig, die Zahlencharakter haben, denn nur für Zahlen sind diese arithmetischen Operationen definiert. Die Konstanz der Verhältnisse von Abständen ist gewährleistet, wenn die Ausgangsmesswerte mit einer linearen Gleichung der Form f(x0)=a+bx0 transformiert werden. Tabelle E 3: Zulässige Transformationen auf Intervallskalenniveau f(x0) f7(x0)=-2+3x0 f8(x0)=-3-4x0 f9(x0)=19x0 f10(x0)=x 0

x0 1

1

-7

19

1

2

4

-11

38

2

3

7

-15

57

3

Für Ratioskalen sind nur solche Transformationen zulässig, bei denen das Verhältnis zweier Messwerte konstant bleibt. Dies trifft für jede lineare Transformation zu, bei der die Konstante gleich Null ist, also die Form xt=bxo hat. Tabelle E 4: Zulässige Transformationen auf Ratioskalenniveau

f(x0) f9(x0)=19 f10(x0)=x x0 0 x0 1

19

1

2

38

2

3

57

3

Die einzige gültige Transformation für eine Absolutskala ist die identische Abbildung auf sich selbst, also xt=xo. Tabelle E 5: Zulässige Transformationen auf Absolutskalenniveau f(x0) f10(x0)=x 0

x0 1

1

2

2

3

3

Wie man sieht, sind für ein bestimmtes Skalenniveau sämtliche Transformationen, die für ein höheres Skalenniveau erlaubt sind, ebenfalls erlaubt. Nur umgekehrt gilt dies natürlich nicht.

Ende Experte

Kapitel 5 Deduktive Logik

43

"Die Logik hat wie jede Wissenschaft die Aufgabe, der Wahrheit nachzujagen. Was wahr ist, sind gewisse Sätze; und der Wahrheit nachjagen heißt sich bemühen, die wahren Sätze von den anderen, die falsch sind, zu sondern. Wahres ist so zahlreich wie Falsches; denn zu jedem Falschen gibt es eine Negation, die wahr ist. Aber wissenschaftliche Arbeit besteht nicht in blindem Anhäufen von Wahrem; Wissenschaft ist selektiv und sucht nach dem Wahren, das am meisten zählt - entweder gemäß seinem eigenen Gewicht oder als Werkzeug, um es mit der Welt aufzunehmen." Willard V.O. Quine (1974: 17)

5

Deduktive Logik

Im ersten Kapitel war von zwei Arten von Sätzen die Rede, von empirischen und von analytischen Sätzen. Dementsprechend begegnet uns das Wahrheitsproblem in zwei verschiedenen Zusammenhängen. Zum ersten, inwiefern wir den Wahrheitsgehalt von Sätzen durch den Vergleich mit der Realität ermitteln können, und zum zweiten, wie wir die Wahrheit von Sätzen durch den Vergleich mit anderen Sätzen, deren Wahrheitsgehalt schon feststeht oder vorausgesetzt wird, beurteilen können. Das Wahrheitsproblem der ersten Art bezieht sich auf unseren Zugang zur Welt mit Hilfe unserer Wahrnehmung und des Vermessens dieser Welt, das zweite bezieht sich auf die Problematik des Schließens.

Logisches Wahrheitsproblem: Ermitteln der Wahrheit

Zwei Arten des Schließens sind zu unterscheiden, deduktives und induktives Schließen. In vielen Einführungen oder Nachschlagewerken wird dieser Unterschied oft kurz auf folgenden Nenner gebracht: Deduktion sei der Schluss vom Allgemeinen auf das Besondere und Induktion umgekehrt der Schluss vom Besonderen auf das Allgemeine. Diese Unterscheidung ist allerdings mit Vorsicht zu genießen, da damit zum einen ein Eindruck der Symmetrie der beiden Schlussverfahren erweckt wird, der nicht angemessen ist, zum anderen das charakteristische Merkmal der jeweiligen Schlussweise nicht hinreichend erfasst wird.

Unterschied zwischen De-

Unter deduktivem Schließen ist diejenige Art des Schließens zu verstehen, die sich ausschließlich der Regeln der Logik bedient, induktives Schließen hingegen schließt psychologische und pragmatische Aspekte mit ein. Logik, genauer, formale Logik, kann man als die "Lehre von der Folgerichtigkeit" (Menne 1991: 1) bezeichnen, es geht hierbei ausschließlich um die formalen Beziehungen zwischen Sätzen und nicht um deren inhaltliche Komponenten.

Deduktives Schließen: Schließen mit Hilfe der Re-

5.1

von Sätzen durch Vergleich mit anderen Sätzen Æ logisches Schließen

duktion und Induktion liegt nicht nur in der Richtung des Schlusses zwischen Allgemeinem und Besonderem

geln der formalen Logik

Kurze Einführung in die Aussagenlogik

In der Aussagenlogik geht es um die Verknüpfung einfacher Sätze. Diese werden in der Regel symbolisch mit kleinen Buchstaben dargestellt. In der Logik interessiert weder der spezifische Inhalt des Satzes noch seine mehr oder weniger komplexe Struktur, entscheidend ist lediglich, dass jeder Aussage ein Wahrheitswert

Zuordnung von Wahrheitswerten zu Sätzen und deren Verknüpfungen

Kapitel 5 Deduktive Logik

43

"Die Logik hat wie jede Wissenschaft die Aufgabe, der Wahrheit nachzujagen. Was wahr ist, sind gewisse Sätze; und der Wahrheit nachjagen heißt sich bemühen, die wahren Sätze von den anderen, die falsch sind, zu sondern. Wahres ist so zahlreich wie Falsches; denn zu jedem Falschen gibt es eine Negation, die wahr ist. Aber wissenschaftliche Arbeit besteht nicht in blindem Anhäufen von Wahrem; Wissenschaft ist selektiv und sucht nach dem Wahren, das am meisten zählt - entweder gemäß seinem eigenen Gewicht oder als Werkzeug, um es mit der Welt aufzunehmen." Willard V.O. Quine (1974: 17)

5

Deduktive Logik

Im ersten Kapitel war von zwei Arten von Sätzen die Rede, von empirischen und von analytischen Sätzen. Dementsprechend begegnet uns das Wahrheitsproblem in zwei verschiedenen Zusammenhängen. Zum ersten, inwiefern wir den Wahrheitsgehalt von Sätzen durch den Vergleich mit der Realität ermitteln können, und zum zweiten, wie wir die Wahrheit von Sätzen durch den Vergleich mit anderen Sätzen, deren Wahrheitsgehalt schon feststeht oder vorausgesetzt wird, beurteilen können. Das Wahrheitsproblem der ersten Art bezieht sich auf unseren Zugang zur Welt mit Hilfe unserer Wahrnehmung und des Vermessens dieser Welt, das zweite bezieht sich auf die Problematik des Schließens.

Logisches Wahrheitsproblem: Ermitteln der Wahrheit

Zwei Arten des Schließens sind zu unterscheiden, deduktives und induktives Schließen. In vielen Einführungen oder Nachschlagewerken wird dieser Unterschied oft kurz auf folgenden Nenner gebracht: Deduktion sei der Schluss vom Allgemeinen auf das Besondere und Induktion umgekehrt der Schluss vom Besonderen auf das Allgemeine. Diese Unterscheidung ist allerdings mit Vorsicht zu genießen, da damit zum einen ein Eindruck der Symmetrie der beiden Schlussverfahren erweckt wird, der nicht angemessen ist, zum anderen das charakteristische Merkmal der jeweiligen Schlussweise nicht hinreichend erfasst wird.

Unterschied zwischen De-

Unter deduktivem Schließen ist diejenige Art des Schließens zu verstehen, die sich ausschließlich der Regeln der Logik bedient, induktives Schließen hingegen schließt psychologische und pragmatische Aspekte mit ein. Logik, genauer, formale Logik, kann man als die "Lehre von der Folgerichtigkeit" (Menne 1991: 1) bezeichnen, es geht hierbei ausschließlich um die formalen Beziehungen zwischen Sätzen und nicht um deren inhaltliche Komponenten.

Deduktives Schließen: Schließen mit Hilfe der Re-

5.1

von Sätzen durch Vergleich mit anderen Sätzen Æ logisches Schließen

duktion und Induktion liegt nicht nur in der Richtung des Schlusses zwischen Allgemeinem und Besonderem

geln der formalen Logik

Kurze Einführung in die Aussagenlogik

In der Aussagenlogik geht es um die Verknüpfung einfacher Sätze. Diese werden in der Regel symbolisch mit kleinen Buchstaben dargestellt. In der Logik interessiert weder der spezifische Inhalt des Satzes noch seine mehr oder weniger komplexe Struktur, entscheidend ist lediglich, dass jeder Aussage ein Wahrheitswert

Zuordnung von Wahrheitswerten zu Sätzen und deren Verknüpfungen

44

Kapitel 5 Deduktive Logik

zugeordnet werden kann. Die Aussage a ist entweder wahr, dann erhält sie den Wahrheitswert w, oder sie ist falsch, dann erhält sie den Wahrheitswert f. Elementare Aussagen

Komplexe Aussagen

Elementare Aussagen sind solche, die nicht weiter zerlegt werden können, der Wahrheitswert einer elementaren Aussage bezieht sich direkt auf diese selbst und kann nicht weiter begründet werden. Komplexe Aussagen, die auch verknüpfte Aussagen genannt werden, setzen sich aus mehreren elementaren Aussagen zusammen. Der Wahrheitswert einer verknüpften Aussage ist abhängig von den Wahrheitswerten der verknüpften elementaren Aussagen und kann aus diesen eindeutig abgeleitet werden. Quine spricht daher in diesem Zusammenhang von der Wahrheitsfunktion der Verknüpfung. "Allgemein wird ein zusammengesetzter Satz eine Wahrheitsfunktion von seinen Bestandteilen genannt, wenn sein Wahrheitswert in jedem Fall durch den Wahrheitswert der Bestandteile bestimmt ist" (Quine 1974: 33). Die Wahrheitsfunktion sagt also nichts darüber aus, ob der entsprechende Satz tatsächlich wahr oder falsch ist, er gibt lediglich an, unter welchen Umständen der Satz wahr oder falsch ist.

Wahrheitsfunktionen

Es gibt drei elementare Verknüpfungen bzw. Wahrheitsfunktionen: Negation, Konjunktion und Disjunktion. Sie werden meistens symbolisch durch die Zeichen bzw. Schlüsselwörter, '™' ('NICHT', 'NOT'), 'š' ('UND', 'AND') und '›' ('ODER', 'OR') dargestellt, die man auch Junktoren oder wahrheitsfunktionale Verknüpfungszeichen nennt. Junktoren sind formale Begriffe.

Wahrheitswerttabelle zur

Am übersichtlichsten gestaltet sich die Illustration einer solchen Wahrheitsfunktion mit Hilfe einer so genannten Wahrheitswerttabelle, in der die Wahrheitswerte der elementaren Sätze sowie des verknüpften Satzes in verschiedenen Spalten dargestellt werden.

Darstellung von Wahrheitswerten

5.1.1 Negation Die Negation eines Satzes a ist genau dann wahr, wenn dieser Satz falsch ist, und genau dann falsch, wenn dieser Satz wahr ist. a

™a

w

f

f

w

Wenn der Satz "Der Mond ist eine Kugel." wahr ist, dann ist der Satz "Der Mond ist keine Kugel." falsch und umgekehrt. 5.1.2 Konjunktion Die Konjunktion zweier Sätze a und b ist nur dann wahr, wenn jeder einzelne der Sätze auch wahr ist.

Kapitel 5 Deduktive Logik

45

a

b

ašb

w

w

w

w

f

f

f

w

f

f

f

f

Quine bemerkt, dass sich der Wahrheitswert 'w' bei einer Konjunktion ähnlich verhält wie ein rezessives Merkmal bei der Vererbung. D.h., der Wahrheitswert 'w' kann nur 'vererbt' werden, wenn beide 'Eltern' ihn ebenfalls besitzen. Der Satz "Der Mond ist eine Kugel und kreist um die Erde." ist nur dann wahr, wenn sowohl die Behauptung "Der Mond ist eine Kugel." als auch die Aussage "Der Mond kreist um die Erde." wahr sind. 5.1.3 Disjunktion Die Disjunktion ist in formaler Hinsicht so etwas wie die Umkehrung der Konjunktion. Die Disjunktion zweier Sätze ist nur dann falsch, wenn beide Sätze falsch sind, oder, anders ausgedrückt, die Disjunktion ist dann wahr, wenn mindestens einer der beiden Sätze wahr ist. Das logische 'ODER' entspricht nicht dem 'ENTWEDER ODER' des allgemeinen Sprachgebrauchs, (lateinisch 'autem'), sondern das 'ODER' der Disjunktion ist als 'ODER AUCH', manchmal auch etwas missverständlich als 'ODER UND' bezeichnet, zu interpretieren und entspricht dem lateinischen 'vel' (von diesem leitet sich auch das Zeichen des Junktors ab). Um beim vorherigen Beispiel zu bleiben: Die Behauptung "Der Mond ist eine Kugel oder er kreist um die Erde." klingt zwar erst einmal ziemlich komisch. Aussagenlogisch ist er aber genau dann wahr, wenn mindestens einer seiner Teilsätze wahr ist, wenn es also entweder wahr ist, dass der Mond eine Kugel ist oder dass er um die Erde kreist oder wenn beides wahr ist. a

b

a›b

w

w

w

w

f

w

f

w

w

f

f

f

Greift man die Analogie von vorhin wieder auf, so verhält sich der Wahrheitswert 'w' bei der Disjunktion wie ein dominantes Merkmal in der Vererbungslehre. Bei der Disjunktion setzt sich das 'stärkere' 'w' immer gegen das 'schwächere' 'f' durch.

Analogie von Wahrheitsfunktionen und Vererbungslehre

46

Kapitel 5 Deduktive Logik Zerlegung von Verknüpfungen

Verknüpfungen von mehr als zwei Sätzen können zerlegt werden in mehrere Schritte von dyadischen Verknüpfungen. Dabei muss lediglich durch Klammern angegeben werden, in welcher Reihenfolge die Sätze bzw. deren Verknüpfungen miteinander verbunden werden sollen. So lässt sich etwa der Ausdruck '(ašb) › (™b)' disjunktiv zerlegen in die beiden Bestandteile '(ašb)' und '(™b)', deren Wahrheitswerte unmittelbar bestimmt werden können. Der 'Gesamtwahrheitswert' des Ausdrucks ist dann der, der sich durch die Kombination der Wahrheitswerte der Teilausdrücke ergibt. a

b

ašb

™b

(ašb) › (™b)

w

w

w

f

w

w

f

f

w

w

f

w

f

f

f

f

f

f

w

w

Grundsätzlich genügen diese drei Verknüpfungsarten, um jede weitere mögliche Verknüpfungsart darzustellen. Aus Gründen der leichteren Handhabbarkeit logischer Verknüpfungen ist es aber sinnvoll, zumindest noch zwei weitere Wahrheitsfunktionen vorzustellen. 5.1.4 Implikation oder (materiales) Konditional oder Subjunktion Das symbolische Zeichen für die Darstellung der Implikation ist der nach rechts gerichtete Pfeil 'o' (manchmal auch 'Š'). Sprachlich wird sie durch 'WENN ... DANN' oder 'IF' ausgedrückt. Im Gegensatz zu Konjunktion und Disjunktion ist die Implikation nicht kommutativ, d.h. sie ist abhängig von der Reihenfolge der zusammengesetzten Sätze. Der Satz 'WENN a DANN b' oder 'aob' ist etwas anderes als der Satz 'WENN b DANN a' bzw. 'boa'. Den Teil einer Implikation, der vor dem Pfeil steht, nennt man Antezedens, Vordersatz oder Vorderglied, den Teil rechts davon Konsequens, Hintersatz oder Hinterglied. Eine Implikation ist dann und nur dann falsch, wenn aus einem wahren Antezedens ein falsches Konsequens gefolgert wird. a

b

aob

w

w

w

w

f

f

f

w

w

f

f

w

Kapitel 5 Deduktive Logik

47

Die Implikation ist diejenige Verknüpfung, die von der spontanen Intuition her wahrscheinlich am schwersten nachzuvollziehen ist. Insbesondere die dritte und die vierte Zeile der Tabelle dürften dabei Schwierigkeiten bereiten. Am einfachsten ist es vielleicht, sich vorzustellen, dass aus einer falschen Annahme alles Beliebige abgeleitet werden kann. 'Wenn der Mond ein Quadrat ist, dann ist die Sonne grün.' ist daher ein wahrer Satz, da sowohl das Antezedens als auch das Konsequens falsch sind, und dies ist auch nicht so unsinnig, wie es auf den ersten Blick scheinen mag, denn in einer Welt, in der der Mond ein Quadrat ist, ist alles möglich. Allgemeiner ausgedrückt heißt dies: Aus einer Kontradiktion, d.h. einem Satz, der immer falsch ist, lässt sich jede beliebige Schlussfolgerung ziehen. Der relevante Anwendungsbereich der Implikation liegt aber bei den ersten beiden Zeilen der Tabelle, und das sind diejenigen, die auch mit der Intuition nicht so leicht in Konflikt geraten sollten. Wie oben erwähnt, ließe sich die Implikation durch die schon bekannten Verknüpfungsarten gleichwertig ersetzen. Der Ausdruck 'aob' erhält für jede Kombination der Wahrheitswerte von a und b das gleiche Ergebnis wie der Ausdruck'(™a)›b', wie sich leicht überprüfen lässt.

Implikation als logische Verknüpfung entspricht nicht umgangssprachlichem Verständnis!

5.1.5 Äquivalenz oder (materiales) Bikonditional oder Bisubjunktion Zwei Sätze sind genau dann äquivalent, wenn entweder beide Sätze wahr oder beide Sätze falsch sind, einfacher gesagt, wenn beide Sätze denselben Wahrheitswert besitzen. Das symbolische Zeichen für die Äquivalenzverknüpfung zweier Sätze ist 'l' (manchmal auch '{'). a

b

alb

w

w

w

w

f

f

f

w

f

f

f

w

Sprachlich wird die Äquivalenz mit 'GENAU DANN WENN' oder 'WENN UND NUR DANN WENN' oder auch 'IFF' ausgedrückt. Die Äquivalenz elementarer Sätze ist trivial. Interessanter und aufschlussreicher hingegen ist die Äquivalenz komplexer Sätze Wie z.B. schon gezeigt ist die Implikation 'aob' äquivalent zum Ausdruck '(™a)›b'. Genauso ist das Bikonditional 'alb' äquivalent zum Ausdruck '(ašb)›((™a)š(™b))'. 5.1.6 Vorfahrtsregeln Um sich unnötige Arbeit beim Setzen von Klammern zu sparen, existieren in der Logik genau wie in der Algebra 'Vorfahrtsregeln' hinsichtlich der Verwendung von Verknüpfungszeichen. So gilt der Vorrang des Negationszeichens gegenüber der Konjunktion und der Disjunktion. Die Konjunktion genießt wiederum Prioriät gegenüber der Disjunktion. Der Ausdruck ašb›c ist also eindeutig insofern, als erst der Wahrheitswert der Verknüpfung von a und b berechnet werden muss und

Prioritäten analog zur Algebra, aber Klammersetzung ist sicherer

48

Kapitel 5 Deduktive Logik

anschließend der Wahrheitswert der Oder-Verknüpfung dieses Wertes mit dem Wahrheitswert von c. Der in der Äquivalenz verwendete Ausdruck (ašb)›((™a)š(™b)) ist demnach gleichbedeutend mit ašb›™aš™b und hätte sich ganz ohne Klammern schreiben lassen. Es ist jedoch empfehlenswert, im praktischen Umgang mit logischen Operationen dennoch Klammern zu setzen, da man so leichter den Überblick behält.

Experte: Analogie zu Multiplikation und Addition Manchmal werden die Wahrheitswerte statt mit 'w' und 'f' auch mit den Zahlen '1' und '0' dargestellt, wobei '1' dem Wahrheitswert 'wahr' entspricht und '0' dem Wahrheitswert 'falsch'. Wenn man Zahlen für die Wahrheitswerte verwendet, dann kann man auch die Verknüpfung von mehreren Wahrheitswerten als einen Rechenvorgang verstehen. Tatsächlich lassen sich die Verknüpfungen 'UND' und 'ODER' durch zwei Rechenregeln für 'Multiplikation' und 'Addition' ersetzen, die wir in Analogie zur Algebra mit den Zeichen '*' und '+' durchführen, und die den algebraischen Rechenregeln für Multiplikation und Addition sehr ähnlich sind. Wie in der Algebra kann bei der 'Mulitplikation' von Wahrheitswerten das Zeichen '*' ausgelassen werden, 'a*b' kann daher auch als 'ab' geschrieben werden (und bedeutet immer noch dasselbe wie 'ašb').

a

b

a*b

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Wie wir sehen, entsprechen die Wahrheitswerte der verknüpften Aussage 'a*b' oder 'ab' tatsächlich genau den Werten, die wir durch algebraische Multiplikation erzielen. Das ist darauf zurückzuführen, dass wir nur mit den Werten '0' und '1' rechnen. Dabei ist '1' bezüglich der Multiplikation ein neutrales, d.h. werterhaltendes Element. Daher kann von den vier möglichen Kombinationen von '0' und '1' sich '1' sich nur dann als das 'Produkt' ergeben, wenn beide 'Faktoren' auch den Wert '1' hatten.

a

b

a+b

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Bezüglich der Addition von Wahrheitswerten, wenn wir diese als Zahlen '0' oder '1' darstellen, gelten die algebraischen Regeln unmittelbar, solange mindestens einer der beiden Werte '0' ist. Eine Abweichung ergibt sich bezüglich der 'Addition' von '1' und '1', die wiederum '1' ergibt.

Kapitel 5 Deduktive Logik

a

-a

1

0

0

1

49

Da der Zahlenraum nur die '0' und '1' enthält, entspricht die Negation eines Wertes immer dem anderen Wert. Auch dies stellt eine größere Abweichung von den echten algebraischen Rechenregeln dar. Am klarsten lässt sich dies erkennen am Ausdruck a+(-a), der nach dem rein algebraischen Sinn '0' ergeben müsste, in den hier abgeänderten 'Rechenregeln für Wahrheitswerte' jedoch den Wert '1' erhält. Ein noch etwas komplexeres Beispiel ist in der folgenden Tabelle aufgeführt.

a

b

a*b

™b

(a*b)+(™b)

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

Besonders Mathematiker neigen häufiger zur Verwendung der 'Multiplikation' und der 'Addition' für die logische Verknüpfung von Sätzen und, wie wir später sehen werden, auch für die Bildung von Schnitt- und Vereinigungsmengen. Da daher nicht ausgeschlossen werden kann, dass man in manchen Texten dieser Zeichenwahl begegnet, wurde sie hier dargestellt. Im Prinzip stellt die Verwendung mathematischer Zeichen in logischen Operationen kein Problem dar, solange der Verwendungskontext eindeutig ist. Ist man im Umgang mit diesen Zeichen jedoch wenig geübt, treten leicht Verwechslungen auf. Deshalb sind gerade für Anfänger die logischen Zeichen den mathematischen vorzuziehen.

Ende Experte

5.2

Venn-Diagramme

Wie schon in Kapitel 2 angesprochen wurde, lassen sich Begriffe, d.h. Prädikate, als Mengen darstellen. Die Menge 'Rot' z.B. enthält alle Objekte, die die Eigenschaft 'rot' besitzen, bzw. alle Objekte x, für die der Satz "x ist rot" wahr ist. Mengen können daher auch als Repräsentation von Aussagen betrachtet werden, genauer als die Repräsentation all der Objekte, die eine Aussage wahr machen. Mengen lassen sich graphisch auch als so genannte Venn-Diagramme darstellen. In Abbildung 5.1 ist beispielsweise die Menge A aller roten Gegenstände abgebildet. Die Menge selbst wird meist als Kreis dargestellt, der sich in einem Rechteck befindet. Das Rechteck stellt die so genannte Grundmenge dar, von der die entsprechende Menge eine Teilmenge ist. In unserem Fall wäre die Grundmenge einfach die Menge aller Objekte. In der Regel jedoch wird durch die Grundmenge der für eine bestimmte Fragestellung relevante Objektbereich bestimmt, z.B. die Gegenstände, die sich im Raum x zur Zeit y befinden. Die entsprechende Menge A, bezogen auf diese Grundmenge, wäre dann eben die Menge aller roten Objekte im Raum x zum Zeitpunkt y.

50

Kapitel 5 Deduktive Logik

Abbildung 5.1: Menge A der roten Gegenstände

Analogie von Wahrheitsfunktionen und bestimmten Typen von Mengen

Logische Verknüpfungen von Aussagen lassen sich ebenfalls mengentheoretisch in Form von Venn-Diagrammen abbilden. Sie entsprechen dann bestimmten Operationen, die man auf Mengen anwenden kann. Wenn die Menge A der Menge aller Objekte x entspricht, die die Aussage a "x ist rot" wahr machen, dann ist es einfach, die Menge aller x zu finden, die die Negation der Aussage, ™a, "x ist nicht rot" wahr machen. Dies ist logischerweise die Menge all der Objekte in der Grundmenge, die nicht in A enthalten sind. Diese Menge nennt man die komplementäre Menge von A und schreibt sie als CA. Abbildung 5.2: Komplementärmenge von A

Aussagen sind durch kleine, Mengen durch große Buchstaben gekennzeichnet

Manchmal wird die Komplementärmenge auch als ™A dargestellt. Wegen der Analogie zur Aussagenlogik ist dies zwar unproblematisch; um Verwechslungen auszuschließen, sollten für mengentheoretische Operationen aber spezifische Zeichen für die Operatoren verwendet werden. Im weiteren Text folgen wir der Konvention, Aussagen durch kleine römische Buchstaben zu kennzeichnen und Mengen durch große. Die Menge der roten Gegenstände wird daher als A bezeichnet und die ihr entsprechende Aussage "x ist rot" als a. Die mengentheoretische Entsprechung der UND-Verknüpfung ist die Schnittmenge zweier Mengen. Die Konjunktion "Dieses Objekt ist rot und eine Kugel." ist dann wahr, wenn das Objekt sowohl rot als auch eine Kugel ist. Die Menge,

Kapitel 5 Deduktive Logik

die das gleichzeitige Gelten beider Eigenschaften realisiert, ist demnach die Menge der roten Kugeln, bzw. die Schnittmenge der Menge aller roten Objekte mit der Menge aller kugelförmigen Objekte. Die Schnittmenge zweier Mengen wird mit dem Symbol 'ˆ' dargestellt, die Schnittmenge von A und B ist demnach AˆB. Abbildung 5.3: Schnittmenge von A und B

Für die ODER-Verknüpfung zweier Aussagen gilt, dass sie wahr ist, wenn wenigstens eine der beiden Aussagen wahr ist. In der Mengentheorie entspricht das der Vereinigungsmenge zweier Mengen, die mit Hilfe des Symbols '‰' dargestellt wird. Die Menge A‰B ist demnach die Menge aller Objekte, die entweder in A oder in B oder in beiden zugleich enthalten sind. Abbildung 5.4: Vereinigungsmenge von A und B

Die mengentheoretische Darstellung entspricht immer den x, für die eine Aussage wahr ist. Da es für die UND-Verknüpfung, die ODER-Verknüpfung und die NEGATION einer Aussage entsprechende mengentheoretische Operatoren über Mengen gibt, gilt dies natürlich auch für jede andere logische Verknüpfungsart von Sätzen, da diese immer auf diese Grundoperationen zurückgeführt werden können.

51

52

Kapitel 5 Deduktive Logik

Experte: Aussagenlogik und Schaltalgebra Logische Ausdrücke lassen sich nicht nur als Venn-Diagramme darstellen, sondern auch als Schaltungen. Die Übersetzung logischer Ausdrücke in entsprechende Schaltungen stellt den Kern der so genannten Schaltalgebra dar, die ihrerseits wiederum die 'technische' Grundlage aller Computer verkörpert. Die Wahrheitswerte logischer Ausdrücke entsprechen in Schaltungen dem Fließen bzw. Nicht-Fließen des Stroms. Ein geschlossener Stromkreis entspricht dem Wahrheitswert 'w' bzw. '1', und ein unterbrochener bzw. offener Stromkreis entspricht dem Wahrheitswert 'f' bzw. '0'. Der Wahrheitswert einer elementaren Aussage kann daher durch einen geschlossenen bzw. offenen Schalter dargestellt werden. Eine logische UND-Verknüpfung zweier Aussagen entspricht in der Schaltalgebra einer Reihenschaltung zweier Schalter, da der (Gesamt-)Stromkreis nur dann geschlossen ist, wenn beide Schalter geschlossen sind. Ist nur einer der beiden Schalter geöffnet, ist der Stromkreis unterbrochen. In Abbildung E 1 wird die UNDVerknüpfung illustriert. Abbildung E 1: Reihenschaltung

Eine logische ODER-Verknüpfung wird in der Schaltalgebra durch eine Parallelschaltung abgebildet. Der Strom kann fließen, wenn nur einer der beiden Schalter geschlossen ist. Abbildung E 2 entspricht der ODER-Verknüpfung einer falschen mit einer wahren Aussage. So wie die Wahrheit nur einer einzigen Aussage in einer ODER-Verknüpfung die Wahrheit des gesamten Ausdrucks garantiert, genügt in einer Parallelschaltung ein einziger geschlossener Schalter, um den Stromfluss zu gewährleisten. Abbildung E 2: Parallelschaltung

Die Negation einer Aussage wird in der Schaltalgebra durch die Änderung der Schalterstellung umgesetzt, ein geschlossener Schalter wird ein geöffneter, ein offener Schalter wird geschlossen. Da sich jeder komplexe logische Ausdruck auf die elementaren Ver-

Kapitel 5 Deduktive Logik

53

knüpfungen elementarer Ausdrücke zurückführen lässt, kann dementsprechend auch jeder noch so komplexe logische Ausdruck durch eine entsprechende Schaltung realisiert werden.

Ende Experte

5.3

Argumente und Argumentformen

Empirische Wissenschaft ist nichts anderes als eine Systematisierung des AusErfahrung-Lernens. "Science is organized knowledge" – ein Ausspruch, der übrigens sowohl Immanuel Kant als auch Herbert Spencer nachgesagt wird. Aber natürlich lernen wir ebenso außerhalb der Wissenschaft. Für die meisten Menschen übertrifft der Teil des Wissens, den sie auf alltägliche Weise gelernt haben, den auf wissenschaftliche Weise erworbenen bei weitem, insbesondere, wenn wir komplexe, unbewusst verlaufende Lernprozesse wie den Spracherwerb in der Kindheit berücksichtigen. Allen Formen des Lernens und Wissenserwerbs ist gemeinsam, dass sie unsere Erwartungshaltungen verändern. Diese Erwartungen können sich auf das Eintreten von Ereignissen oder auf den Erfolg von Handlungen zur Erreichung bestimmter Ziele beziehen. Wenn sich der Himmel bewölkt, ist dies ein Anzeichen dafür, dass es möglicherweise bald regnen wird, und wenn wir im Schach gewinnen wollen, so sollten wir zumindest offensichtlich schlechte Züge vermeiden, wie die Dame schutzlos dem Gegner auszuliefern.4 Wenn wir dazu aufgefordert würden zu verbalisieren, warum wir bestimmte Handlungen in einem bestimmten Kontext ergriffen haben oder warum wir das Auftreten bestimmter Ereignisse erwartet haben, so würden wir dafür Gründe anführen, die aus unserem Hintergrundwissen stammen. In der Umgangssprache werden solche Begründungen oft mit Worten wie 'weil', 'da' oder 'deshalb' explizit gemacht. "Ich habe den Regenschirm mit ins Büro genommen, weil es heute früh bewölkt war." Sprachliche Strukturen, die einen derartigen Aufbau haben, werden Argumente genannt. Jedes Argument besteht aus begründenden Sätzen und einem begründeten Satz. Erstere nennen wir die Prämissen des Arguments, letztere die Folgerung oder Konklusion des Arguments. Den spezifischen Aufbau des Arguments nennen wir seine Form, bestimmte Typen von Argumenten werden daher als Argumentformen oder auch Schlussschemata bezeichnet. Schematisch stellen wir ein Argument dar, indem wir die Prämissen nacheinander auflisten und unter die Prämissen die Konklusion schreiben. Zusätzlich heben wir die Konklusion auf eindeutige Weise von den Prämissen ab. Dies kann geschehen, indem wir sie durch einen Querstrich oder einen Doppelpfeil voneinander trennen, oder die Prämissen und die Konklusion oder auch die Konklusion allein durch ein bestimmtes Zeichen kennzeichnen. Folgende Darstellungsformen des Arguments sind gleichwertig und werden alle in Texten über Logik verwendet.

4

Dies gilt zumindest für Amateur-Spieler. Legendär ist ein berühmtes Damenopfer oder Damengambit des Schachgenies Bobby Fisher.

Logische Argumente als Systematisierung der Denkschemata des Alltagsverstandes

54

Kapitel 5 Deduktive Logik

Unterschiedliche Darstellungsformen für Argumente

Heute früh war es bewölkt. _________________________________________________ Ich habe heute den Regenschirm mit ins Büro genommen.

Heute früh war es bewölkt. Ÿ Ich habe heute den Regenschirm mit ins Büro genommen.

P: Heute früh war es bewölkt.

K: Ich habe heute den Regenschirm mit ins Büro genommen.

Heute früh war es bewölkt. ? Ich habe heute den Regenschirm mit ins Büro genommen.

Diese verschiedenen Möglichkeiten der Darstellung wurden hier aufgezeigt, da sie in unterschiedlichen Lehrbüchern so verwendet werden. Wir werden uns im Folgenden jedoch lediglich der ersten beiden Darstellungsformen bedienen. Vollständige und unvollständige Argumente

Argumente beantworten 'Warum-Fragen', sie geben also in den Prämissen die Gründe an, warum wir die Folgerung für wahr halten sollten. Diese Argumentstruktur ist uns aus dem Alltag so vertraut, dass wir oft einzelne Bestandteile gar nicht explizit äußern müssen, da sie aus dem Zusammenhang erschlossen werden können. Lassen wir einige der Prämissen implizit, so sprechen wir von einem unvollständigen Argument. Beispiel für ein unvollständiges Argument: Wenn ich die Dame auf E1 gestellt hätte, dann hätte sie vom gegnerischen Bauern geschlagen werden können. Offensichtlich handelt es sich hierbei um eine Begründung, warum ich die Dame nicht auf E1 gestellt habe, die aber nicht extra verbalisiert werden muss, genauso wenig wie die weiteren unausgesprochenen Prämissen, die sich auf den Zusam-

Kapitel 5 Deduktive Logik

55

menhang zwischen Spielzügen und meinen Gewinnchancen und auf meine Motivation beziehen. Beispiel für ein vollständiges Argument: Wenn ich die Dame auf E1 stelle, dann kann sie vom gegnerischen Bauern geschlagen werden. Wenn ich meine Dame verliere, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit dramatisch, dass ich auch das Spiel verliere. Ich möchte das Spiel gewinnen. _________________________________________________________________ Ich sollte meine Dame nicht auf E1 stellen. Auch das Regenschirmbeispiel war nicht vollständig und müsste eigentlich so aussehen: Heute früh war es bewölkt. Wenn es bewölkt ist, folgt häufig Regen. Ich möchte nicht gerne nass werden. Ein Regenschirm schützt bei Regen davor, nass zu werden. _____________________________________________________ Ich habe heute den Regenschirm mit ins Büro genommen. Wie man sieht, macht die Aufführung aller impliziten Prämissen ein Argument oft unelegant und bläht es unnötig auf. Man hätte im obigen Beispiel noch weitere Prämissen einfügen können, wie die, dass ein Regenschirm nur vor Regen schützt, wenn man ihn aufspannt usw. Implizite Prämissen können daher weggelassen werden, solange man ihre Kenntnis allgemein voraussetzen kann. Das obige Argument ist ein so genannter praktischer Syllogismus. Praktische Syllogismen enthalten als Konklusion eine Handlung und als Prämissen bestimmte Ziele sowie die Beschreibung, welche Mittel zur Erreichung dieser Ziele geeignet sind. Praktische Syllogismen sind nicht ganz unproblematisch, da sie des Weiteren implizit voraussetzen, dass man tatsächlich die Handlungen ergreift, die zur Erreichung unserer Ziele führen. Dies ist zwar eine plausible Annahme, aber nicht

Praktischer Syllogismus

56

Kapitel 5 Deduktive Logik

logisch zwingend5. Eine andere Möglichkeit, das unvollständige Argument zu einem vollständigen zu ergänzen, wäre folgende: Heute früh war es bewölkt. Immer wenn es morgens bewölkt ist, nehme ich den Regenschirm mit in das Büro. _________________________________________________________________ Ich habe heute den Regenschirm mit ins Büro genommen. Dieses Argument ist vollständig, da die Schlussfolgerung aus den Prämissen eindeutig abgeleitet werden kann, ohne dass weitere implizite Annahmen getroffen werden müssen. Als Quintessenz halten wir fest, dass die impliziten Annahmen, die ein unvollständiges Argument zu einem vollständigen Argument ergänzen, nicht immer eindeutig sind. Gültigkeit eines Arguments ist nicht gleich der Wahrheit seiner Bestandteile

Hintergrundwissen, um unvollständige Argumente "richtig" interpretieren zu können

Ein (deduktives) Argument wird als gültig bezeichnet, wenn wir aus der Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion ableiten können. Die Gültigkeit des Arguments bezieht sich nur auf seine Struktur, bzw. auf seine Form. Ein gültiges Argument sagt lediglich "Wenn die Prämissen wahr sind, dann muss auch die Konklusion wahr sein.", es sagt nichts über den Wahrheitsgehalt der Prämissen oder der Konklusion aus. Wird mit einem gültigen Argument eine falsche Folgerung abgeleitet, so gilt umgekehrt, dass die Prämissen nicht wahr gewesen sein können. Es ist allerdings nicht immer ganz einfach, zu entscheiden, welche der Prämissen denn genau zurückgewiesen werden muss. (Wir werden auf dieses Problem später noch einmal in Kapitel 8 als Duhem-Quine-Problem stoßen.) Oft benötigen wir für die Auswahl der unzutreffenden Prämisse zusätzliches Hintergrundwissen. Beispiel: Schachspiel Wir wollen dazu noch einmal auf unser Schachbeispiel zurückgreifen, das wir zu diesem Zweck leicht umformulieren. Um die einzelnen Prämissen eindeutig identifizieren zu können, nummerieren wir sie durch. Das Argument war folgendermaßen aufgebaut:

5

So selbstverständlich diese Annahme auf den ersten Blick zu sein scheint, so ist sie auch empirisch nicht unproblematisch, wie man am Problem der Willensschwäche erkennen kann. Jeder, der sich einmal vorgenommen hat, frühmorgens aufzustehen, um eine wichtige Sache zu erledigen und sich trotzdem quälen muss, um aus den Federn zu kommen, wird der Annahme mit gewisser Skepsis gegenüberstehen, dass wir automatisch immer die Handlungen ergreifen, die der Erreichung unserer Ziele am dienlichsten sind. Von den Heerscharen von Leuten, die abnehmen wollen und trotzdem an keinem Stück Schokolade vorbeikommen, ohne diesem Gewalt anzutun, wollen wir hier gar nicht sprechen.

Kapitel 5 Deduktive Logik

57

P1: Wenn ein Schachspieler in einer bestimmten Konstellation die Dame auf E1 stelle, dann kann sie vom gegnerischen Bauern geschlagen werden. P2: Wenn man die Dame verliert, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit dramatisch, dass man auch das Spiel verliert. P3: Jeder Spieler möchte das Spiel gewinnen. _________________________________________________________________ Der betreffende Spieler sollte seine Dame nicht auf E1 stellen. Beobachten wir nun, wie jemand etwas scheinbar Dummes tut, wie seine Dame zu opfern, dann muss eine unserer Prämissen falsch sein. Handelt es sich bei dem Spieler um einen Schachgroßmeister, verfügt dieser vermutlich über Wissen, das ich nicht habe. Offensichtlich kann man manchmal seine Gewinnchancen durch ein Damenopfer sogar erhöhen. Das bedeutet, dass unsere Prämisse P2 falsch war, dass man durch den Verlust der Dame seine Gewinnchancen verringert. An der Prämisse, dass der Spieler das Spiel gewinnen will, halten wir dabei fest. Handelt es sich bei dem Spieler um den Bekannten, von dem wir uns schon immer gefragt haben, wie er eigentlich das Abitur geschafft hat, dann vermuten wir eher, dass der Zusammenhang elementarer Züge im Schach mit den Gewinnchancen lediglich einen kleinen weiteren Baustein in dem schillernden Mosaik seiner Ignoranz darstellt. Formal ausgedrückt, er verfügt über weniger Wissen als ich und kennt offensichtlich die Prämisse P1 nicht, sie ist somit in der Anwendung auf diesen Bekannten falsch. Beobachten wir den Fehler schließlich bei einem Erwachsenen, der mit einem Kind spielt, so würden wir wahrscheinlich vermuten, dass der Erwachsene den Fehler mit Absicht begeht, um das Kind gewinnen zu lassen. In diesem Fall wäre die Prämisse P3 falsch.

Ende Beispiel Die Gültigkeit eines Arguments besagt nur, dass die Konklusion wahr ist, wenn die Prämissen stimmen. Damit ist aber nicht ausgeschlossen, dass die Konklusion auch wahr sein kann, wenn die Prämissen falsch sind. Das Argument "Wenn es regnet, wird die Straße nass. Heute früh hat es geregnet. Deshalb ist die Straße nass." ist gültig. Allerdings kann die Straße auch nass sein, wenn es nicht geregnet hat, z.B. wenn jemand die Straße mit einem Wasserschlauch bespritzt hat. Ein gültiges Argument erlaubt uns das Ziehen der Schlussfolgerung, wenn die Bedingungen der Prämissen erfüllt sind, aber es ist gut möglich, dass die gleiche Schlussfolgerung in anderen Argumenten aus anderen Prämissen gezogen werden kann. Die Wahrheit der Prämissen ist somit eine hinreichende Bedingung, um die Wahrheit der Konklusion behaupten zu können, aber keine notwendige Bedingung. Von einer hinreichenden Bedingung des Auftretens eines Ereignisses sprechen wir, wenn das Vorliegen der Bedingung das Ereignis in jedem Fall nach sich zieht. Von einer notwendigen Bedingung hingegen sprechen wir, wenn ein Ereignis ohne, dass diese Bedingung erfüllt ist, gar nicht auftreten kann. Es ist z.B. eine hinreichende Bedingung für eine Partei, um nach einer Bundestagswahl an der Sitzverteilung nach den Zweitstimmenanteilen teilzunehmen, mehr als fünf Prozent der abgegebenen gültigen Zweitstimmen erzielt zu haben. Dies ist aber keine notwendige Bedingung, denn nach der Grundmandatsklausel kann die Partei auch an dem Verteilungsverfahren teilnehmen, wenn sie mindestens drei Direktmandate errungen hat. Es ist aber z.B. eine notwendige Bedingung, um überhaupt

Notwendige und hinreichende Bedingungen

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Kapitel 5 Deduktive Logik

wählen zu dürfen, mindestens 18 Jahre alt zu sein. Dies ist aber wiederum keine hinreichende Bedingung, denn wenn jemand schwere Straftaten begangen hat oder in klinischer, psychiatrischer Behandlung ist, kann ihm das Wahlrecht auch entzogen werden. Überprüfung der Gültigkeit eines Arguments mit Hilfe von Wahrheitstafeln

Es ist wichtig, die Gültigkeit des Arguments von der Wahrheit der in ihm enthaltenen Sätze zu unterscheiden. Die Beurteilung der Gültigkeit eines Arguments ist eine Sache der deduktiven Logik, die Beurteilung der Wahrheit der Prämissen und Konklusion hingegen ist oft eine empirisch abzuhandelnde Angelegenheit. Die Gültigkeit eines deduktiven Arguments lässt sich am besten illustrieren, indem man das Argument auf seine formale logische Struktur zurückführt und dann mit einem Vergleich der Werte von Wahrheitstafeln arbeitet. Dazu wählen wir folgendes Beispiel: (aš™b)›(™ašb) a ™b

Die erste Prämisse des Arguments besagt, dass entweder a oder b wahr ist, das 'oder' ist hier ausschließend gemeint. Die zweite Prämisse besagt, dass a wahr ist. Daraus kann gefolgert werden, dass nicht auch b wahr sein kann. Ein Argument ist gültig, wenn die Konklusion wahr ist und wenn alle Prämissen wahr sind. Dies lässt sich leicht mit einer Wahrheitstafel überprüfen. 1. Prämisse

2. Prämisse

Konklusion

a

b

(aš™b)›(™ašb)

a

™b

w

w

f

w

f

w

f

w

w

w

f

w

w

f

f

f

f

f

f

w

Nur in der zweiten Zeile sind beide Prämissen wahr. Da auch die Konklusion in dieser Zeile wahr ist, ist das Argument damit gültig.

Experte: Implikation und Argument Offenkundig besteht eine gewisse Ähnlichkeit zwischen der Form eines gültigen Arguments und einer Implikation. Dies zeigt sich auch daran, dass man das Symbol 'Ÿ' für das Ziehen eines Schlusses in einem Argument verwendet, das dem Symbol 'o' einer Implikation nicht nur zufällig ähnlich ist. Inwiefern unterscheidet sich dann das logische Ar-

Kapitel 5 Deduktive Logik

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gument '(aš™b)›(™ašb), aŸ ™b' von der Implikation '((aš™b)›(™ašb)ša)o™b'. Tatsächlich ist das Argument gültig, wenn die Implikation eine Tautologie, also immer wahr ist. Dies trifft zu, wie man an der folgenden Wahrheitstafel zeigen kann. Unabhängig von den Kombinationen der Wahrheitswerte der elementaren Aussagen a und b, ist die Implikation immer wahr. 1. Prämisse

2. Prämisse

Konjunktion der Prämissen

Konklusion

Implikation der Konklusion aus der Konjunktion der Prämissen

(aš™b)›(™ašb)

a

(aš™b)›(™ašb) ša

™b

((aš™b)›(™ašb)ša)o™b

f

w

f

f

w

w

w

w

w

w

w

f

f

f

w

f

f

f

w

w

Wenn wir wissen, dass die Implikation eine Tautotologie ist, dann können wir auch daraus folgern, dass das Konsequens der Implikation wahr sein muss, wenn das Antezedens wahr ist. Da das Konsequens der Implikation der Konklusion des Arguments entspricht und das Antezedens der Konjunktion der Prämissen des Arguments, heißt das auch, das die Konklusion wahr sein muss, wenn die Prämissen wahr sind, was ja genau unserer Definition der Gültigkeit eines Arguments entspricht. Wenn wir wollen, können wir die tautologische Implikation auch als ein logisches Gesetz bezeichnen. Trotz der großen Ähnlichkeit zwischen der Struktur des Arguments und der Implikation, müssen beide streng voneinander unterschieden werden und damit auch die Verwendung der Zeichen 'Ÿ' und 'o'. Betrachten wir die Implikation, dann entscheiden wir über den Wahrheitsgehalt des Satzes, indem wir – sozusagen simultan – sowohl den Wahrheitsgehalt des Antezedens als auch den des Konsequens untersuchen. Beim Argument jeodch gehen wir in gewisser Weise sequentiell vor, indem wir die Konklusion aus den Prämissen ableiten. Über den Wahrheitsgehalt einer Implikation können wir nur entscheiden, wenn sämtliche Bestandteile vorliegen. Bei dem Argument hingegen gehen wir schrittweise vor und es kann sein, dass wir nach gewissen Schritten erst einmal 'innehalten', um uns über unsere weitere Vorgehensweise Gedanken zu machen. Argumente können daher abgebrochen und später fortgesetzt werden, eine 'unvollständige' Implikation hingegen ist nicht unvollendet, sondern existiert schlichtweg einfach nicht. Nicht nur die Implikation gewährleistet, dass, wenn sie selbst wahr ist und einer ihrer beiden Bestandteile, nämlich der erste, auch der zweite Bestandteil wahr sein muss. Diese Bedingung wird auch von der Äquivalenz erfüllt. Die rechte Seite einer wahren Äquivalenzbeziehung ist immer wahr, wenn die linke Seite wahr ist. Darüber hinaus gilt sogar, dass die rechte Seite nur dann wahr ist, wenn auch die linke Seite wahr ist. Entspricht ein Argument daher einer Äquivalenzbeziehung zwischen der Konjunktion der Prämissen und der Konklusion, dann stellt die Konklusion eine Schlussfolgerung dar, die nur aus genau diesen Prämissen gezogen werden darf. Die Prämissen sind in diesem Fall sowohl eine hinreichende als auch notwendige Bedingungen für das Vorliegen der Konklusion. Das Argument "Ich war auf dem Gipfel des höchsten Bergs der Welt, da ich auf dem Gipfel des Mount Everest war." ist sicherlich gültig, denn, wenn ich auf dem Gipfel des Mount Everest war, diese Aussage also wahr ist, dann war ich auch auf dem Gipfel des höchsten Berges der Welt, da der Mount Everest ebendieser Berg ist. Umgekehrt kann ich nur dann auf dem Gipfel des höchsten Berges der Welt gewesen sein, wenn ich tatsächlich auf dem Mount Everest gewesen bin. Die Prämisse 'Auf dem Gipfel des Mount Everest' ist sowohl hinreichend als auch notwendig für die Konklusion 'auf dem Gipfel des höchsten Berges der Welt'. Bei Argumenten, die einer Äquivalenzbeziehung zwischen der Konjunktion der Prämissen und der Konklusion entsprechen, können wir für die Ableitung des Schlusses das Symbol 'œ' verwenden. Wir wollen den Unterschied zwischen

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Kapitel 5 Deduktive Logik

Argument und tautologischem Gesetz an einem einfachen Beispiel aus der Mathematik aufzeigen. Die arithmetische Reihe der natürlichen Zahlen von 1 bis n werde sn genannt. sn = 1+2+3+4+ ... + (n-1)+n Eine einfache Formel zur Berechnung dieser Summe sieht folgendermaßen aus: sn =

n(n  1) 2

Die Behauptung lautet also, dass wir jede Summe natürlicher Zahlen von 1 bis n durch diese Formel schnell und elegant berechnen können. Anders ausgedrückt, behaupten wir, dass beide Ausdrücke äquivalent sind, wobei die Äquivalenz zweier arithmetischer Ausdrücke in der Mathematik mit dem '=' Zeichen ausgedrückt wird. Behauptung: 1+2+3+4+ ... + (n-1)+n =

n(n  1) 2

So einfach das Beispiel auch sein mag, so lassen sich grundlegende Problem hiermit gut erkennen. Die Äquivalenz zweier Ausdrücke ist häufig nicht unmittelbar zu erkennen. Ein erster Schritt der Überprüfung der Behauptung besteht vielleicht darin, sie für einzelne Fälle nachzuprüfen, indem wir für n einmal 2, 5 oder beliebige andere Zahlen einsetzen. Trifft die Behauptung für einen Einzelfall nicht zu, dann haben wir sie schon erfolgreich widerlegt. Tatsächlich aber sehen wir, dass sie für alle diese Einzelfälle gilt. Dies erhöht zwar unseren Glauben daran, dass die Formel stimmen könnte, von einem Beweis, dass sie für alle beliebigen Werte gilt, sind wir aber immer noch weit entfernt. Ein einfacher Beweis sieht nun folgendermaßen aus: Beweis: In einem ersten Schritt gruppieren wir die Summanden so um, dass wir sie zu Gruppen aus dem ersten und dem letzten Wert, dem zweiten und dem vorletzten usw. zusammenfassen. Der Einfachheit halber beweisen wir die Formel nur für gerade n. Der Beweis für ungerade n kann fast identisch mit einer trivialen Abänderung geführt werden. 1+2+3+ ... +(n-2)+(n-1)+n = (1+n) + (2+ (n-1)) + (3+(n-2)) + (

n 2

+(

n 2

+1))

Jedes dieser Paare von zwei Summanden ergibt die Teilsumme n+1. Außerdem erhalten n n wir offensichtlich genau solcher Paare, also ist die Summe aller Paare gleich (n+1). 2 2 Wir wollen die Argumentationsstruktur im Einzelnen aufzeigen: sn = 1+2+3+ ... +(n-2)+(n-1)+n œ sn = (1+n) + (2+ (n-1)) + (3+(n-2)) + (

n 2

œ sn = (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) œ sn =

n 2

(n+1)

+(

n 2

+1))

Kapitel 5 Deduktive Logik

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Jede einzelne der Umformungen des arithmetischen Ausdrucks in einen äquivalenten entspricht einem Argument. Diese Argumente sind wiederum erlaubt, weil die Äquivalenz des umgeformten Ausdrucks mit dem ursprünglichen Ausdruck auf der Anwendung bestimmter Rechengesetze wie dem Kommutativ- und dem Assoziativgesetz beruht, die wiederum per definitionem gelten. Das Gleichheitszeichen in der Arithmetik wird von uns, ohne dies ausdrücklich zu erwähnen, auf zweierlei Weise benutzt. Zum einen, um die Äquivalenz bestimmter Ausdrücke festzulegen, zum anderen aber, um zu zeigen, dass bestimmte rechnerische Umformungen im Zuge eines Beweises erlaubt sind, weil sie einen bestimmten Ausdruck durch einen äquivalenten ersetzen. Der Beweis besteht darin, die Äquivalenz des ersten Ausdrucks in der Beweiskette mit dem letzten Ausdruck zu zeigen, indem wir eine Brücke von Zwischengliedern bilden, die jeweils alle untereinander äquivalent sind. Dabei machen wir uns die Eigenschaft der Äquivalenzrelation zunutze, dass sie, genau wie die Implikation, transitiven Charakter hat. Das heißt, wenn a äquivalent zu b und b äquivalent zu c ist, dann ist auch a äquivalent zu c, bzw. wenn a b impliziert und b c impliziert, dann impliziert a auch c. Das Gesamtargument ist also eine Abfolge von mehreren Teilargumenten, der Beweis zerfällt in mehrere Etappenbeweise. Die Kreativität desjenigen, der einen solchen Beweis führt, besteht darin, dass er den richtigen Weg des Beweises über die notwendigen Etappen erkennt. Jede einzelne Umformung ist trivial, trotzdem wäre es wohl den meisten von n uns schwer gefallen, die Äquivalenz der Ausdrücke 1+2+3+...+n und (n+1) unmittelbar 2 zu erkennen. Die einfachen Beispiele mit Wahrheitstafeln erwecken den Eindruck, deduktive Argumente könnten stur nach einem bestimmten Schema untersucht werden. Dies ist bei aussagenlogischen Ausdrücken in der Tat der Fall, da wir nach einem bestimmten Verfahren den Wahrheitswert jedes noch so komplexen Ausdrucks ermitteln und ihn mit dem Wahrheitswert jedes beliebigen anderen komplexen Audrucks vergleichen können, um so zu überprüfen, ob beide Ausdrücke äquivalent sind. Wie das einfache Beispiel der arithmetischen Reihe gezeigt hat, ist die Untersuchung der Äquivalenz z.B. von arithmetischen Ausdrücken schon wesentlich schwieriger. Wir müssen bestimmte 'Tricks', wie die Paarbildung aus dem ersten und dem letzten Glied, dem zweiten und dem vorletzten ..., anwenden, um zum gewünschten Ergebnis zu gelangen. Kennen wir den Trick, ist es ein Leichtes, den Beweis nachzuvollziehen, ohne den Trick ist es schwierig, wenn nicht nahezu unmöglich. Das Genie von Mathematikern liegt darin, dass sie diese Tricks 'sehen'. So soll das mathematische Wunderkind Carl Friedrich Gauss eben die erwähnte Formel der arithmetischen Reihe genau auf dem beschriebenen Weg als sechsjähriges Schulkind gefunden haben. Fast alle von uns können ein Motiv aus einer Beethovensymphonie nachsummen, einige von uns können seine Sonaten auf dem Klavier spielen, aber die allerwenigsten unter uns hätten diese Stücke komponieren können. Genauso verhält es sich mit mathematischen Beweisen. So einfach sie mitunter nachzuvollziehen sind, so schwer sind sie oft zu finden. Genauso wie der Komponist aus bestimmten Gründen 'weiß', welchen Ton er als nächsten setzen muss, und genau dieses Wissen macht sein Genie aus, genauso wie der Legende nach Michelangelo seinen David in einem Steinblock 'gesehen' hat, genauso erkennen mathematische Genies, auf welchem Weg sie ihren Beweis zu suchen haben, und weder künstlerische noch mathematische Genies sind auch nur annähernd in der Lage, die Gründe zu nennen, warum sie über dieses Wissen verfügen.

Ende Experte

Argumente sind sprachliche Figuren, bei denen Gründe angegeben werden, warum wir bestimmte Aussagen für wahr halten sollen. Wenn uns das Argument nicht überzeugt und wir die Richtigkeit der Schlussfolgerung bezweifeln, so können wir wiederum unsere Ablehnung der Konklusion auf zweierlei Weise begründen. Die eine Möglichkeit, unseren Zweifel mit guten Gründen zu untermauern,

Zwei Möglichkeiten für Ablehnung einer Konklusion:

1. Ablehnung der Prämissen

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Kapitel 5 Deduktive Logik

besteht darin, zwar die Gültigkeit des Arguments zuzugestehen, aber die Prämissen nicht zu akzeptieren. Zwar muss ein gültiges Argument mit falschen Prämissen keineswegs zu einer falschen Konklusion führen, aber die Wahrheit der Konklusion kann nicht mehr durch die Prämissen gestützt werden. Alle Menschen mit drei Augen haben zwei Beine. Gerhard Schröder hat drei Augen. _________________________________________ Gerhard Schröder hat zwei Beine. Das Argument ist ohne Zweifel gültig und die Konklusion ist wahr, aber die zweite Prämisse ist eindeutig falsch. Wenn wir die Konklusion eines gültigen Arguments, das auf falschen Prämissen beruht, für nicht gerechtfertigt halten, dann sagen wir nicht, dass sie notwendig falsch sein muss, sondern dass die Prämissen nicht hinreichend für die Annahme der Wahrheit der Konklusion sind. In einem gültigen Argument sind nur wahre Prämissen hinreichend für die Wahrheit der Konklusion, falsche Prämissen sind aber keine hinreichender Grund, auf die Falschheit der Konklusion zu schließen. 2. Gültigkeit des Arguments selbst bezweifeln

Die zweite Möglichkeit, die Schlussfolgerung eines Arguments in Frage zu ziehen, bezweifelt die Gültigkeit des Arguments selbst. In diesem Fall können die Prämissen sogar durchaus wahr sein, sie stellen aber keine hinreichende Bedingung für die Wahrheit der Schlussfolgerung dar. Kanzlerkandidat A wird in Umfragen eine geringere wirtschaftliche Kompetenz zugestanden als Kanzlerkandidat B. _________________________________________________________________ Kanzlerkandidat A wird nicht zum Bundeskanzler gewählt werden.

Das Argument ist ungültig, da die Konklusion nicht zwingend durch die Prämisse gestützt wird. Auch jemand, dem die geringere wirtschaftliche Kompetenz zugestanden wird, kann durchaus zum Kanzler gewählt werden, d.h. größere wirtschaftliche Kompetenz ist keine notwendige Bedingung, um Kanzler zu werden. Schlussfolgerungen, die auf wahren Prämissen beruhen, aber ein ungültiges Argument benutzen, werden als Fehlschlüsse (oder auch 'non sequitur') bezeichnet. Typische Argumentformen: Modus Ponens und Modus Tollens

Das Erkennen eines ungültigen Arguments ist neben dem Erkennen falscher Prämissen die schärfste Waffe des Kritikers. Umgekehrt kann der Verfechter einer bestimmten Schlussfolgerung einen gewissen Teilerfolg erzielen, wenn er uns zumindest von der Gültigkeit eines Arguments überzeugen kann. In einem zwei-

Kapitel 5 Deduktive Logik

ten Schritt hat er dann 'nur' noch die Wahrheit der Prämissen zu zeigen. Unter den praktisch unendlich vielen Formen eines Arguments gibt es gewisse Standardformen gültiger und ungültiger Argumente. Wir wollen die wichtigsten dieser Argumentformen kurz vorstellen. 5.3.1 Der Modus Ponens Der Modus Ponens, auch 'Bejahung des Antezedens' genannt, ist wohl die bekannteste Argumentform. Er ist unserem 'Alltagsschließen' so immanent, dass wir ihn ständig verwenden, ohne uns darüber im Besonderen noch bewusst zu sein. Die Prämissen des Modus Ponens bestehen erstens aus einer Implikation sowie zweitens aus dem Antezedens der Implikation. Die Folgerung ist das Konsequens der Implikation. Formal lässt sich der Modus Ponens daher wie folgt darstellen. aob a b

Wenn 'b' aus 'a' gefolgert werden kann, außerdem bekannt ist, dass 'a' wahr ist, dann kann gefolgert werden, dass auch 'b' wahr sein muss. Der Modus Ponens wird intuitiv noch verständlicher, wenn man sich die Implikation im Sinne einer Kausalverknüpfung, einer Ursache-Wirkungs-Beziehung, vorstellt. Dann entspricht das Antezedens der Ursache, das Konsequens der Wirkung, und der Satz 'aob' bedeutet, dass die Ursache a die Wirkung b nach sich zieht. So betrachtet leuchtet das Schlussschema des Modus Ponens unmittelbar ein. Wenn die Ursache a die Wirkung b nach sich zieht (1. Prämisse) und außerdem bekannt ist, dass die Ursache a vorliegt (2.Prämisse), dann muss zwangsläufig das Auftreten der Wirkung b beobachtet werden können (Folgerung). Es ist jedoch Vorsicht geboten, Implikationen grundsätzlich als Kausalrelationen zu interpretieren, wie es oft fälschlich getan wird. Die Implikation sagt nur etwas aus über das gleichzeitige Vorliegen zweier Bedingungen, d.h. wenn a gilt, muss auch b gelten. Sie sagt nichts aus über den inneren Zusammenhang zwischen diesen beiden Bedingungen. Kausalrelationen können zwar immer vollkommen unproblematisch als Implikationen dargestellt werden, das heißt aber noch lange nicht, dass jede Implikation auch einer Kausalrelation entspricht. Dies wird sofort klar, wenn man Implikationen betrachtet, die lediglich Umformungen von Nominaldefinitionen sind. Die Implikation "Wenn etwas ein weißes Pferd ist, dann ist es ein Schimmel." ist eine Tautologie, und aus der Prämisse 'weißes Pferd' kann korrekt auf die Konklusion 'Schimmel' geschlossen werden, aber offensichtlich handelt es sich hier um keinen kausalen Zusammenhang. Tatsächlich werden wir im Zusammenhang mit der Problematik der Erklärung sehen, dass die Frage, ob

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Kapitel 5 Deduktive Logik

einer bestimmten Implikation ein kausaler Charakter zugeschrieben werden darf, grundlegend für den Wert wissenschaftlicher Theorien ist. 5.3.2 Der Modus Tollens Wie der Name dem kundigen Lateiner schon verrät, handelt es sich beim Modus Tollens um eine Art von 'Umkehrschluss'. Er wird auch 'Verneinung des Konsequens' genannt. Seine formale Darstellung sieht so aus: aob ™b ™a

Auch im Modus Tollens ist die Implikation aob als Prämisse enthalten. Gleichzeitig wird jedoch hier vorausgesetzt, dass das Konsequens der Implikation nicht zutrifft. Daraus kann aber auf das Nicht-Vorliegen des Antezedens geschlossen werden, denn wenn dieses tatsächlich wahr wäre, dann müsste ja auch das Konsequens der Implikation wahr sein, was ja aber bekanntermaßen nicht der Fall ist. Aus dem Vorliegen der Implikation "Wenn es geregnet hat, dann ist hinterher die Straße nass." und der Feststellung der Tatsache, dass die Straße nicht nass ist, kann gefolgert werden, dass es nicht gerade geregnet haben kann. 5.3.3 Der Fehlschluss der Bejahung des Konsequens Modus Ponens und Modus Tollens bestehen in den Prämissen jeweils aus einer Implikation und aus dem Antezedens der Implikation, bzw. der Negation des Konsequens. Rein kombinatorisch ergeben sich zwei weitere Argumentformen, die berühmten Fehlschlüssen entsprechen. Die erste wird der Fehlschluss der Bejahung des Konsequens genannt. aob b a

Aus der Wahrheit der Implikation und dem Vorliegen des Konsequens wird auf das Vorliegen des Antezedens geschlossen. Aus dem Vorliegen der Implikation "Wenn es geregnet hat, dann ist hinterher die Straße nass." und der Feststellung der Tatsache, dass die Straße nass ist, wird fälschlicherweise gefolgert, dass es geregnet haben muss. Beim Fehlschluss der Bejahung des Konsequens wird eine hinreichende Bedingung unkorrekt für eine notwendige Bedingung gehalten. Die Bedingung 'Regen' ist zwar hinreichend für 'Straße nass', aber nicht notwendig, da auch andere Gründe dazu geführt haben können, dass die Straße nass ist.

Kapitel 5 Deduktive Logik

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5.3.4 Der Fehlschluss der Verneinung des Antezedens Der Fehlschluss der Verneinung des Antezedens besteht aus der bekannten Implikation und der Negation des Antezedens als Prämissen und folgert daraus die Negation des Konsequens. aob ™a ™b

Der Fehlschluss der Verneinung des Antezedens beruht im Prinzip auf demselben Fehler wie der Fehlschluss der Bejahung des Konsequens. Eine hinreichende Bedingung wird für eine notwendige gehalten. Liegt diese Bedingung nicht vor, dann kann auch die Wirkung nicht vorliegen, von der man fälschlicherweise unterstellt, dass sie eben nur durch genau diese Bedingung hervorgerufen werden kann. "Wenn es regnet, wird die Straße nass. Es hat nicht geregnet. Also kann die Straße nicht nass sein." Man kann den Fehler auch so beschreiben, dass die Implikation für eine Äquivalenz gehalten wird, denn in einer Äquivalenzrelation ist der eine Bestandteil immer sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für den anderen. 5.3.5 Quantoren Quantoren sind formale Begriffe, die den Geltungsbereich bestimmter Aussagen festlegen. In der Logik von fundamentaler Bedeutung sind der All-Quantor, der symbolisch durch das Zeichen '' dargestellt wird, und der Existenz-Quantor, dessen symbolische Darstellung in einem seitenverkehrten großen E, also '', besteht. Sprachlich werden Quantoren durch 'Alle ...' bzw. 'Es gibt ...' ausgedrückt. So genannte kategoriale Sätze sind Aussagen, die Quantoren enthalten. Man unterscheidet dementsprechend zwischen Allaussagen, wie z.B. "Alle Pilze kann man essen.", und Existenzaussagen, wie z.B. "Es gibt lila Schwäne." Beide Aussageformen können negiert werden, dabei gilt, dass die Verneinung einer Allaussage eine Existenzaussage und die Verneinung einer Existenzaussage eine Allaussage ist. Die Verneinung der obigen Allaussage wäre demnach "Nicht alle Pilze kann man essen." oder "Es gibt Pilze, die man nicht essen kann.", die Verneinung der obigen Existenzaussage "Es gibt keine lila Schwäne." bzw. "Alle Schwäne sind nicht-lila." 5.3.6 Syllogismen Ein Syllogismus im klassischen Sinn ist eine Argumentform, bei der alle Prämissen und die Folgerung aus kategorialen Sätzen bestehen.

Existenz-Quantor und AllQuantor: formale Begriffe für den Geltungsbereich von Aussagen

Syllogismus: Spezialfall einer Argumentform

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Kapitel 5 Deduktive Logik

Alle Katzen sind Säugetiere. Alle Säugetiere sind Wirbeltiere. ______________________________ Alle Katzen sind Wirbeltiere. Der bekannteste aller 'Syllogismen' enthält allerdings nicht nur kategoriale sondern auch singuläre Sätze. Alle Menschen sind sterblich. (Formal: x(Wenn x ein Mensch ist, dann ist x sterblich.) Sokrates ist ein Mensch. _______________________________________________

Sokrates ist sterblich. Hempel-OppenheimSchema

Streng genommen handelt es sich deshalb um einen 'Quasi-Syllogismus'. Wir werden im Weiteren jedoch auch Quasi-Syllogismen als Syllogismen bezeichnen. Die obige Argumentform kann man als syllogistische Form eines Modus Ponens verstehen. Handelt es sich bei dem All-Satz in den Prämissen um ein empirisches Gesetz, dann bezeichnen wir diese Argumentform auch als Hempel-OppenheimSchema. Analog sieht die syllogistische Form des Modus Tollens wie folgt aus: Alle Menschen sind sterblich. Apollo ist unsterblich. ________________________ Apollo ist kein Mensch.

Deduktives Vorgehen nicht zur Erschließung neuen, sondern zur Verfügbarmachung vorhanden Wissens

Syllogismen sind die wohl wichtigste deduktive Methode zur Begründung bestimmter Aussagen. Schlussfolgerungen, die aus gültigen Syllogismen und Argumentformen gewonnen werden, können wir als risikofrei bezeichnen, da sie notwendig wahr sein müssen. Allen deduktiven Verfahren ist gemeinsam, dass durch sie kein neues Wissen dem schon vorhandenen zugefügt wird, lediglich werden die Implikationen des vorhandenen Wissens explizit gemacht. Deduktion ist also eine Methode zur Entdeckung und Offenlegung 'versteckter', bzw. 'verborgener' Information, aber keine Methode zur Generierung von neuer Information. Hans

Kapitel 5 Deduktive Logik

Albert spricht in diesem Zusammenhang sehr bildlich vom 'Melken' einer Aussagenmenge (Albert 1991:13).

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Kapitel 6 Beweis, Erklärung und Prognose

6 Unterscheidungsmerkmale zur Verwendung von Argumenten

1. Typen von Sätzen im Argument: analytische oder synthetische Sätze

Beweis, Erklärung und Prognose

Argumente dienen der Begründung bestimmter Aussagen. Wir verwenden Argumente jedoch in verschiedenen Zusammenhängen. Wir greifen auf Argumentformen zurück, wenn wir in der Mathematik oder Logik einen Beweis führen, wir verwenden Argumente aber auch, um die Beobachtung bestimmter Ereignisse z.B. in den Naturwissenschaften zu erklären oder vorauszusagen. Wir können die verschiedenen Verwendungszusammhänge von Argumenten anhand von zwei Dimensionen mit jeweils zwei Ausprägungen darstellen. Das erste Unterscheidungsmerkmal bezieht sich auf die Sätze, die als Prämissen im Argument enthalten sind. Diese können entweder analytischer oder synthetischer Natur sein. Die Wahrheit analytischer Sätze ergibt sich entweder per definitionem oder aufgrund logischer Regeln. Der Satz "Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten (im euklidischen Raum) ist eine Gerade." ist ein analytischer Satz aufgrund bestimmter definitorischer Festlegungen. Jeder Satz, der mit Hilfe eines gültigen Arguments aus analytischen Sätzen abgeleitet werden kann, ist ebenfalls wieder ein analytischer Satz, so z.B. der Satz "Jede Verbindung zwischen zwei Punkten, die keine Gerade darstellt, ist nicht die kürzestmögliche Verbindung zwischen diesen zwei Punkten." Analytische Sätze beziehen sich auf eine symbolische Welt. Wenn wir uns mit Phänomenen der realen Welt befassen, können wir daher nicht mit analytischen Sätzen arbeiten. Zur Beschreibung von in der Wirklichkeit vorhandenen Phänomenen brauchen wir so genannte synthetische Sätze. Synthetische Sätze sind niemals allein aufgrund ihrer Struktur wahr oder falsch, sondern können im Prinzip beides sein – wenn auch nicht gleichzeitig. Unter rein logischen Gesichtspunkten ist – im Gegensatz zu analytischen Sätzen – sowohl ihre Wahrheit als auch ihre Falschheit möglich. In der Regel beziehen sich synthetische Sätze auf Tatsachen, die sich in der realen Welt ereignen. Sätze wie "Der Ball fällt.", "Das Haus ist rot." sind synthetischer Natur. Es ist nicht möglich, durch die Betrachtung des Satzes an sich, eine Aussage über seinen Wahrheitsgehalt zu machen. Vielmehr bedarf es dazu gewisser Regeln, die eine Zuordnung bestimmter Beobachtungen zu den Wahrheitswerten bestimmter Sätze erlauben. Diese Zuordnungsregeln werden auch als Korrespondenzregeln bezeichnet. Im Sinne eines naiven Sensualismus bezeichnen wir einen Satz dann als wahr, wenn er den von uns gemachten Beobachtungen entspricht. Synthetische Sätze können aber nicht nur besondere sondern auch allgemeine Sätze sein, d.h. sie können außer Tatsachenaussagen auch Gesetzesaussagen sein, aber auch Tendenzaussagen oder probabilistische Aussagen. Auch über die Wahrheit eines allgemeinen synthetischen Satzes wird aufgrund bestimmter gemachter Beobachtungen und bestimmter Regeln, die diese Beobachtungen mit dem Satz in Beziehung setzen, entschieden. Es kann aber durchaus sein, dass wir nicht in der Lage sind, ein abschließendes Urteil über den Wahrheitsgehalt eines synthetischen Satzes zu fällen.

Kapitel 6 Beweis, Erklärung und Prognose

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Das zweite Unterscheidungskriterium bezieht sich auf die zeitliche Ausrichtung der Konklusion des Arguments. Die Konklusion kann sich auf die Gegenwart oder die Vergangenheit beziehen, oder sie kann eine Aussage über die Zukunft machen. Besteht ein Argument nur aus analytischen Sätzen, dann ergibt die Zeitdimension keinen Sinn, da logische Argumente 'ewig' und unvergänglich sind. Das zweite Unterscheidungskriterium gelangt daher nur zu Anwendung, wenn es sich um ein Argument handelt, das als Prämissen synthetische Sätze enthält. Aufgrund der zwei Dimensionen kann jetzt ein Klassifizierungsschema für Argumente entworfen werden.

2. Zeitliche Ausrichtung der Konklusion: auf Gegenwart bzw. Vergangenheit oder auf Zukunft

Tabelle 6.1: Klassifikation von Argumenten Bezug der Konklusion auf Gegenwart oder Vergangenheit Art der Prämissen analytische Sätze synthetische Sätze

6.1

Zukunft

Beweis Erklärung

Prognose

Beweis

Mathematische oder logische Gleichungen sind nichts anderes als die Umformung wohldefinierter Ausdrücke durch ebenso wohldefinierte zulässige Operationen. Sie sind tautologische bzw. analytische Sätze. Sie sind immer wahr, und ihre Wahrheit ergibt sich daraus, dass die Umformungen, die sie vornehmen, durch Regeln bestimmt sind. Diese Regeln sind auf so genannte Axiome zurückzuführen. Axiome sind 'letzte', nicht weiter begründbare Sätze, die entweder schlicht festgelegt werden oder auf so genannten selbstevidenten Erkenntnissen beruhen, die durch den Gebrauch der Vernunft unmittelbar erkannt werden können. Man spricht daher oft auch vom so genannten Offenbarungsmodell der Erkenntnis. Die Axiome müssen, da sie ja nicht bewiesen werden können, über jeden Zweifel erhaben sein. Eine in sich geschlossene Theorie, die sich nur deduktiver Beweisverfahren bedient, ist daher in der Regel axiomatisch begründet6.

6

Die wohl berühmteste und weiterhin vielleicht auch eleganteste und bestechendste axiomatische Darstellung eines Teilgebiets der Mathematik sind Euklids opus magnum der Geometrie in den 'Elementen'. Zwei Seiten von Definitionen, Postulaten und Axiomen genügen, um auf weiteren dreißig Seiten des ersten Buches 48 Beweise zu liefern, deren zwei letzte dem Satz des Pythagoras entsprechen. Die Information des Satzes des Pythagoras ist allerdings schon allein in den ersten zwei Seiten der Axiome und Definitionen enthalten, nur ist sie nicht direkt sichtbar, zumindest nicht für uns mit unseren beschränkten kognitiven Fähigkeiten. Ein 'ma-

Mathematische Beweise beruhen auf Axiomen

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Kapitel 6 Beweis, Erklärung und Prognose

Axiomatisches Vorgehen in den Sozialwissenschaften

Unstrittig ist die axiomatische deduktive Methode als Vorgehensweise in den formalen Wissenschaften wie Logik und Mathematik. Aber auch in den Sozialwissenschaften findet die axiomatische Herangehensweise vielfältige Anwendungen. Zumeist gehen diese von der Ökonomie aus, wurden aber in den vergangenen Jahrzehnten in zunehmendem Maße auch in der Politikwissenschaft mit großem Erfolg eingesetzt. Beispiele hierfür sind die formale Entscheidungstheorie, wie sie etwa in den Axiomen von Kenneth Arrow Anwendung findet, die Spieltheorie, die vor allem hilft, Möglichkeiten kooperativen Handelns systematisch zu erforschen, oder die axiomatische Gerechtigkeitstheorie, für die John Rawls ein prominenter Vertreter ist. Auch hier geht man so vor, dass man möglichst evidente und schwache Prämissen sucht, aus denen mit Hilfe formal-logischer Schlüsse normativ bedeutende Konsequenzen abgeleitet werden können. Von Beweisen sprechen wir im Zusammenhang mit gültigen Argumenten, deren Prämissen ausschließlich aus analytischen Sätzen oder Festlegungen in Form von Definitionen und Axiomen bestehen.

6.2 Hempel-OppenheimSchema

Erklärung

Ein Schlussschema, das als Prämisse eine gesetzesartige Aussage enthält sowie mindestens eine Tatsachenaussage, wird als nomologisch-deduktive Erklärung bezeichnet, oder auch als Hempel-Oppenheim-Schema. Erklärt wird hierbei die Konklusion unter Bezug auf die Gültigkeit der Prämissen. Eine wissenschaftliche Erklärung ist somit eine Begründung durch die Prämissen, warum wir eine bestimmte Beobachtung gemacht haben. Alle (schweren) Gegenstände fliegen nach unten, wenn sie nicht festoder aufgehalten werden. ____________________________________________________________ Das Kreidestück, das ich eben losgelassen habe, ist nach unten gefallen. Die Prämisse im obigen Argument können wir grob umgangssprachlich als Schwerkraft bezeichnen. Die Schwerkraft ist somit die Erklärung dafür, warum die Kreide nach unten gefallen ist.

Münchhausen-Trilemma und seine drei möglichen "Lösungen"

In Zusammenhang mit empirischen Theorien stellt uns das deduktive Vorgehen jedoch vor ein Problem, wollten wir den All-Satz, der im Beispiel die Prämisse darstellt, selbst begründen. Da durch Deduktion nicht neue Erkenntnis gewonnen werden kann, sondern nur die in den Prämissen wohnende Erkenntnis öffentlich gemacht werden kann, gelangt jeder Versuch, wissenschaftliche Theorien selbst durch Deduktion zu begründen, unweigerlich in das so genannte Münchhausen-

thematischer Gott' müsste lediglich diese zwei Seiten lesen und würde schlagartig alle Information, die in den 48 Konstruktionen und Lehrsätzen enthalten ist, kennen.

Kapitel 6 Beweis, Erklärung und Prognose

71

Trilemma (Albert 1991: 13ff.). D.h. die deduktive Methode führt bei der Begründung einer Theorie bzw. eines All-Satzes unausweichlich zu einer von drei gleichermaßen unattraktiven Konsequenzen: Die erste Möglichkeit besteht darin, dass wir die Wahrheit der zu begründenden Sätze auf die Wahrheit noch 'tieferer', d.h. allgemeinerer Sätze zurückführen, die wiederum durch noch grundlegendere Prämissen begründet werden können und so fort. Dieser infinite Regress führt offensichtlich in eine Sackgasse und kann daher nicht zu einer echten letzten Fundierung wissenschaftlicher Erkenntnis herangezogen werden.

1. "Lösung": infiniter Re-

Die zweite mögliche Sackgasse, in die die deduktive Methode führen kann, ist der logische Zirkelschluss. Er tritt dann auf, wenn wir die Wahrheit einer der Prämissen ihrerseits mit der Konklusion begründen. Zirkelschlüsse sind zumeist die Konsequenz unpräziser Definitionen und führen dadurch selbst wiederum häufig zu banalen Tautologien. Der Satz "Menschen mit einer internalisierten Wahlnorm beteiligen sich besonders häufig an Wahlen." scheint im ersten Augenblick nicht automatisch sinnlos zu sein. Wenn wir aber des weiteren davon ausgehen, dass Normen, die ein bestimmtes Verhalten als erwünscht darstellen, dann als internalisiert gelten, wenn sie dieses erwünschte Verhalten tatsächlich hervorrufen, dann ist die häufige Teilnahme an Wahlen eine notwendige Bedingung dafür, dass wir überhaupt von einer internalisierten Norm sprechen können. Wenn sich bestimmte Leute nicht an Wahlen beteiligen, dann gehen wir davon aus, dass diese Leute eben keine internalisierte Wahlnorm besitzen. Der ursprüngliche Satz reduziert sich also auf die triviale Tautologie "Leute, die sich besonders häufig an Wahlen beteiligen, beteiligen sich besonders häufig an Wahlen." Nur dann, wenn wir das Konzept der Wahlnorm auf eine Weise sinnvoll definieren könnten, ohne dass ihre Internalisierung notwendig auch eine Tendenz zu ihrer Umsetzung beinhaltet, nur dann wäre der obige Satz synthetisch und damit empirisch sinnvoll.

2. "Lösung": logischer Zirkel

Experte: Definition und Zirkelschluss Trotz seiner so offensichtlichen Unangemessenheit ist der Zirkelschluss in der wissenschaftlichen Forschung verbreiteter ist, als man vermuten möchte. Dies ist deshalb der Fall, da die Zirkularität nicht immer ohne weiteres erkannt werden kann. Dies soll an einem Beispiel illustriert werden: Alle Planeten bewegen sich auf ellipsenförmigen Bahnen um die Sonne. Mars ist ein Planet. ___________________________________________________________ Mars bewegt sich auf einer ellipsenförmigen Bahn um die Sonne.

Die Prämissen bestehen aus einer gesetzesmäßigen Aussage, dem so genannten 'ersten Kepler'schen Gesetz', und einer Tatsachenaussage über Mars, einer Randbedingung. Daraus können wir die Form der Umlaufbahn von Mars ableiten. Durch diese Ableitung, d.h.

gress

72

Kapitel 6 Beweis, Erklärung und Prognose

unsere Erkenntnis, dass es sich bei der Form der Umlaufbahn von Mars um einen Spezialfall eines allgemeingültigen Gesetzes handelt, 'vertieft' sich unser Bewusstsein der abgeleiteten Aussage. Das ist es unter anderem, was wir damit meinen, wenn wir die abgeleitete Aussage durch das Gesetz als 'erklärt' betrachten. Doch inwiefern ist dies tatsächlich der Fall? Das Problem wird schnell offensichtlich, wenn wir uns klarzumachen versuchen, was wir unter dem Begriff 'Planet' verstehen wollen. Am einfachsten ist es, den Begriff extensional zu definieren, indem wir einer Klasse, die aus den Elementen 'Merkur', 'Venus', 'Erde', 'Mars', 'Jupiter', 'Saturn', 'Uranus', 'Neptun' und 'Pluto' besteht, den Namen 'Planeten' geben. Dann besagt das Gesetz, dass die Elemente der Klasse alle eine bestimmte Eigenschaft teilen. Das gilt natürlich auch für ein spezifisches Element der Klasse wie Mars. Es handelt sich bei dieser Ableitung zwar um keinen Zirkelschluss, aber um eine doch sehr banale Angelegenheit, die kaum ein weitergehendes Interesse verdient. Die Extension eines Begriffs wird jedoch üblicherweise durch seine Intension erst gebildet. Als Definition von Planeten im Lexikon werden wir daher vor einer reinen Aufzählung in der Regel eine Aussage ungefähr der Art 'Himmelskörper, die sich nach dem ersten Keplerschen Gesetz in einer ellipsenförmigen Umlaufbahn um die Sonne bewegen' finden. Wenn der Begriff 'Planet' aufgrund des Umlaufbahnkriteriums erst gebildet wird, dann handelt es sich bei dem Gesetz natürlich um eine Tautologie und bei der Schlussfolgerung jetzt tatsächlich um einen Zirkelschluss, da aus der Konklusion "Mars bewegt sich auf einer ellipsenförmigen Bahn um die Sonne" überhaupt erst die Gültigkeit der Randbedingung "Mars ist ein Planet" folgt. Doch mit Sicherheit handelt es sich beim ersten Keplerschen Gesetz um alles andere als eine Banalität, sondern um eine im Wortsinn welterschütternde Erkenntnis. Wodurch kommt dieser scheinbare Widerspruch zustande? Die Lösung besteht darin, dass es eine intensionale Bedeutung des Begriffs 'Planeten' gab, die 'vorkeplerisch', 'vorkopernikanisch', ja sogar 'vorptolemäisch' war. Selbst für die Frühmenschen müssen die Himmelskörper zuerst einmal in die – zumindest in Kinderliedern auch heute noch übliche – Trias 'Sonne, Mond und Sterne' zerfallen sein. Sonne und Mond unterscheiden sich aufgrund von Helligkeit und Größe so eindeutig von allen anderen Himmelskörpern, dass ihnen eine individuelle Bedeutung, d.h. in der Regel als Gottheit, zugeschrieben wurde. Alle anderen Himmelskörper waren in erster Linie Lichtpunkte, die wir der Einfachheit halber als 'Sterne' bezeichnen wollen. Zumindest aber schon den Babyloniern war klar, dass es unter diesen Sternen eine Mehrheit gab, deren relative Position zueinander gleich blieb, die 'Fixsterne', aber auch einige wenige, deren relative Position sich am sonst so stetigen 'Firmament' ständig änderte. Der Begriff 'Planeten' stammt aus dem Griechischen und bedeutet 'die Umherschweifenden', womit dieses seltsame Phänomen bestimmter Himmelskörper treffend beschrieben wurde. Auf die gleiche Eigenschaft bezieht sich der im Deutschen übliche historische Begriff für Planeten, 'Wandelsterne'. So wirr diese Bewegungen zuerst auch scheinen mochten, weshalb sie als Willkürakte bestimmter Gottheiten gedeutet wurden, sobald mehrjährige Aufzeichnungen über ihre Bahn vorlagen, offenbarte sich eine überraschende Regelmäßigkeit und Periodizität der Vorgänge. Insofern handelte es sich bei den Planetenbahnen um ein Phänomen, das der täglichen Wiederkehr der Sonne ähnlich war. Die nahe liegende Lösung bestand darin, diese wiederkehrende Erscheinung durch eine kreisförmige Bewegung um die Erde zu erklären. Ebenso nahe liegend war es, die Erde als Fixpunkt anzunehmen, da dies ja der unmittelbaren Wahrnehmung entsprach. Geozentrisches Weltbild sowie kreisförmige Umlaufbahnen müssen als der 'natürliche' Ausgangspunkt jeglicher Astronomie betrachtet werden. Von Aristoteles wurde diese Anschauung mit Argumenten, die auf seiner Metaphysik beruhten, philosophisch untermauert. Das ptolemäische Modell ging darüber schon weit hinaus, da es bestimmte Beobachtungen, die mit diesem Basismodell nicht zu erklären waren, durch Modifikationen des Modells aufzufangen versuchte, nämlich durch die Einführung des Exzenters und der sogenannten Epizykeln. Um 'die Phänomene zu retten' – im speziellen Fall unterschiedliche Bewegungsgeschwindigkeiten und Helligkeit der Planeten – war Ptolemäus gezwungen, als Zentrum der Bewegungen eben nicht die Erde, sondern einen davon abweichenden Punkt anzunehmen. Bei Epizykeln handelt es sich um in Kreisbahnen eingeschriebene Kreisbahnen, wie sie z.B. auch durch Spirographen erzeugt werden, die wiederum die

Kapitel 6 Beweis, Erklärung und Prognose

73

Beobachtungen erklären sollten, dass sich manche Planeten in gewissen Abschnitten ihrer Umlaufbahn vor und zurück bewegten. Entscheidend ist, dass es im Sinne dieser 'umherschweifenden' Bewegungen eine historische Begründung des Begriffs der Klasse der Planeten gab, die nicht auf die Umlaufbahnen bezogen war, so dass das Keplersche Gesetz in diesem Sinn tatsächlich als eine neue Erkenntnis gedeutet werden kann. Allerdings kann dieser historische Planetenbegriff streng genommen nur auf die fünf in der Antike bekannten Planeten, Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn angewandt werden und – wesentlich gravierender –nicht auf die Erde. Die Einbeziehung der Erde zur Klasse der Planeten setzt einerseits schon ein heliozentrisches Weltbild voraus und gleichzeitig eine Definition des Begriffs 'Planet' aufgrund der Umlaufbahn. Im gleichen Maße, wie sich die Definition von 'Planet' aus ihrem historischen Umfeld löste und der modernen Erkenntnis von Kepler näherte, wandelte sich das Keplersche Gesetz von einer substantiellen Erkenntnis zu einer Tautologie. Es gibt sogar Wissenschaftstheoretiker wie Poincaré, die der Ansicht sind, dass Naturgesetze immer Tautologien darstellen. Wichtig ist, dass zum Zeitpunkt der Formulierung des Gesetzes eine Definition der Klasse der Objekte, auf die sich die Aussage bezieht, unabhängig von der gesetzesmäßigen Aussage selbst existiert. Diese 'unabhängige' Definition kann dabei oft in einer unzulänglichen oder sogar falschen Annahme über das Wesen der Objekte bestehen.

Ende Experte Der dritte Weg im Münchhausen-Trilemma, das Begründungsproblem zu lösen, besteht im Abbruch des Verfahrens durch Bezugnahme auf ein Dogma. Die Prämissen werden dann als nicht weiter begründungsbedürftig dargestellt, oder die Gültigkeit der Prämissen wird auf eine andere Form der Begründung als durch Deduktion zurückgeführt. Ein Beispiel für den Abbruch des Begründungsproblems durch Rekurs auf selbstevidente Axiome haben wir schon im Zusammenhang mit dem formalen Beweis kennen gelernt. Im Fall von empirischen Erklärungsschemata treten zwei Arten des Abbruchs auf, je nachdem, ob sich die Evidenz des nicht weiter begründeten Satzes auf einen besonderen oder allgemeinen Satz bezieht. Zur Letztbegründung von Beobachtungsaussagen (besonderen Sätzen) wird oft die Erfahrung selbst herangezogen. Dies ist die Position von klassischen Empiristen wie Bacon, Hume oder Locke bis hin zu den Positivisten aus dem Umfeld des Wiener Kreises um Rudolf Carnap oder auch eines Realisten wie Bertrand Russell. Problematisch jedoch auch aus der Sicht der Empiristen bleibt die Begründung von gesetzesartigen Aussagen (allgemeinen Sätzen). Dies stellt das so genannte Induktionsproblem dar, das im nächsten Kapitel eingehender erläutert wird.

6.3

3. "Lösung": dogmatischer Abbruch

Prognose

Der Wert einer wissenschaftlichen Theorie wird an ihrer Erklärungskraft gemessen, d.h. an dem Umfang der beobachtbaren Phänomene, die aus der Theorie abgeleitet und somit aus dieser erklärt werden können. Die Beobachtung der periodischen Wiederkehr bestimmter Himmelskörper z.B. kann mit einer Theorie, in der sich die Planeten auf einer elliptischen Umlaufbahn befinden, erklärt werden. Aber genauso ist dies mit einer Theorie kreisförmiger Planetenbahnen möglich. Diese – wörtlich zu nehmende – Vieldeutigkeit der Phänomene zieht eine entspre-

Prognosefähigkeit als Gütekriterium einer wissenschaftlichen Theorie

74

Kapitel 6 Beweis, Erklärung und Prognose

chende Vielzahl möglicher – d.h. mit den Beobachtungen zu vereinbarender – Theorien nach sich. Da Theorien in der Regel ex post zur Erklärung schon beobachteter Tatsachen gebildet werden, und sich umgekehrt zu jeder Beobachtung immer eine Theorie finden lässt, mit der diese erklärt werden kann, ist allein die Fähigkeit einer Theorie, bestimmte Phänomene erklären zu können, offensichtlich noch kein besonders gutes Indiz für ihren wissenschaftlichen Wert. Ein weiteres wichtiges Kriterium zur Beurteilung der Güte einer Theorie stellt daher ihre Fähigkeit dar, die Formulierung von Prognosen zu erlauben. Die formale Struktur der Prognose entspricht der schon vom Beweis und der Erklärung her bekannten des allgemeinen Schlussschemas. Während bei der Erklärung die Konklusion eine schon gemachte Beobachtung ist, zu deren Erklärung die Prämissen herangezogen werden, stellt die Konklusion bei der Prognose eine zukünftige, noch zu machende Beobachtung dar, die aufgrund der in den Prämissen festgelegten Randbedingungen und Gesetze zu erwarten ist. So konnten z.B. Adams und Le Verrier aufgrund der Beobachtung bestimmter 'Störungen' in den Planetenbahnen von Jupiter, Saturn und Uranus und der Annahme der Gültigkeit des Newtonschen Gravitationsgesetzes voraussagen, dass diese Abweichungen durch einen noch unbekannten Planeten verursacht sein mussten. Darüber hinaus konnten sie sogar Angaben machen, an welcher Stelle sich dieser Planet ungefähr befinden müsste. Diese Prognose wurde am 23. September 1846 von Galle und d'Arrest durch die Entdeckung des Neptun bestätigt. Da Prognosen durch ihre Zukunftsbezogenheit nie mit dem Makel der Ex-Post-Rationalisierung belegt sind, gelten sie als besonders gewichtige Argumente für die Akzeptanz einer Theorie. Schwierigkeit der Formulierung von Prognosen in den Sozialwissenschaften

Allerdings ist es gerade in den Sozialwissenschaften sehr schwierig, auf der Basis bekannter Kausalzusammenhänge eindeutige deterministische Prognosen zu formulieren. Dies liegt zum einen daran, dass der Forschungsgegenstand der Sozialwissenschaften – Gesellschaft, Staat und soziale Interaktion – wesentlich kurzfristigeren Veränderungen unterliegt als etwa der Forschungsgegenstand der klassischen Physik. Zum anderen sind die meisten sozialen Phänomene in ihren Wirkungszusammenhängen sehr komplex, multikausal und interdependent. Daher ist es selten möglich, soziale Gesetze desselben Allgemeinheitsgrades zu formulieren, wie dies etwa für die Gesetze der Mechanik oder der Astronomie der Fall ist. Die Schwierigkeiten der Wahlforscher und Umfrageinstitute, Wahlergebnisse einigermaßen präzise vorauszusagen, illustrieren die Veränderungsanfälligkeit sozialwissenschaftlicher Prognosen nachdrücklich. So gelten Regelmäßigkeiten wie die sozialstrukturelle Prägung der Wahlentscheidung, die in den 40er-Jahren von Wahlforschern an der University of Columbia entdeckt wurden, heute nur noch eingeschränkt, da sich die Sozialstruktur der Gesellschaft stark verändert hat. Und die Komplexität und Multikausalität sozialer Phänomene zeigt sich beispielsweise an der Unfähigkeit aller Revolutionsforscher, die 'Revolution' des Volkes in der DDR vorherzusagen, die letztlich zur Wiedervereinigung des geteilten Deutschlands führte. Selbst diejenigen 'Gesetze' der Politikwissenschaft, die als weitgehend bestätigt gelten, wie die auf Kant zurückgehende Theorie, dass Demokratien gegeneinander keine Kriege führen oder die 'Cleavage-Theorie' von Lipset und

Kapitel 6 Beweis, Erklärung und Prognose

75

Rokkan (Lipset / Rokkan 1967) erlauben es allenfalls, Ereignisse, Zustände und Entwicklungen der Gegenwart und Vergangenheit zu erklären. So zeigt sich im Rückblick, dass in der Tat die meisten Länder, die heute als Demokratien westlicher Prägung eingeordnet werden, keine Angriffskriege gegeneinander führen. Ähnlich erscheint die Entstehung der Partei der 'GRÜNEN' als eine Bestätigung der Cleavage-Theorie, da sie als Reaktion auf eine neue Konfliktlinie in der Gesellschaft interpretiert werden kann, die sich zwischen Materialisten und Postmaterialisten ergeben hat. Eindeutige Prognosen über Kriegsentscheidungen demokratischer Staaten oder die Entstehung neuer Parteien erlauben diese Theorien jedoch nicht. Da sozialwissenschaftliche Gesetze und Theorien selten deterministische Aussagen erlauben, ist die übliche Form der sozialwissenschaftlichen Prognose die probabilistische Prognose, die vorhersagt, dass bestimmte Ereignisse mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit eintreffen werden. Solche Prognosen können durch die Realität nicht direkt bewiesen oder widerlegt werden, die relative Häufigkeit des Eintreffens bestimmter Ereignisse erlaubt aber in der langfristigen Betrachtung, solche probabilistischen Theorien und Gesetze als mehr oder minder gut bestätigt anzusehen. Der Umgang mit probabilistischen Hypothesen wird ausführlich in Kapitel 9 vorgestellt.

Daher Übergang von deterministischen zu probabilistischen Prognosen

76

Kapitel 7 Induktive Logik und das Induktionsproblem

7 Induktionsproblem als zentrales Problem der empirischen Wissenschaft

Das Hauptproblem der empirischen Wissenschaft besteht im Finden allgemeiner Sätze, gesetzesähnlicher Aussagen, die nur aufgrund der Beobachtungen von einzelnen Tatsachen ermittelt werden können. Ein Verfahren, das diesen 'Schluss' von besonderen Sätzen auf einen allgemeinen Satz beschreibt, wird als Induktionsprinzip bezeichnet, der Schluss selbst als Induktion. Die Regeln des Schließens sind Gegenstand der induktiven Logik.

7.1 Das wissenschaftliche Programm Francis Bacons

Induktionsverfahren nach Bacon

Induktive Logik und das Induktionsproblem

Die induktive Logik Bacons und Mills

Francis Bacon7 muss das Verdienst zugeschrieben werden, als erster das Induktionsprinzip in einer modernen Fassung formuliert zu haben. Auch wenn eines der Hauptwerke Bacons in Anlehnung an Aristoteles 'Novum Organon' heißt, sein Anliegen war nicht die Entwicklung einer neuen (deduktiven) Logik, sondern einer (induktiven) 'Logik' der wissenschaftlichen Entdeckung. Bacons Programm war nicht philosophischer Art, sondern ein gesellschaftspolitisches. Es ging darum, die von Gott in der Bibel in Aussicht gestellte Herrschaft des Menschen über die Natur Wirklichkeit werden zu lassen. Es geht um den Einsatz wissenschaftlicher Erkenntnis zu ihrer technischen Anwendung zur Mehrung des Fortschritts zum Wohle der Menschheit. In dieser Sichtweise liegt das Moderne und Bahnbrechende Bacons8. Das geeignete Mittel, dieses hehre Prinzip zu erreichen, sah Bacon in seinem Verfahren der Induktion. Nach diesem Verfahren werden zunächst Beobachtungsdaten gesammelt, die auf 'Tafeln' festgehalten werden. Die Beobachtungen auf den Tafeln werden dann in drei Gruppen unterteilt: Die erste Tafel enthält alle Beobachtungen, bei denen das Phänomen, das erklärt werden soll, tatsächlich auftritt, sowie die dabei auftretenden Bedingungen. Die zweite Tafel enthält die Fälle, in denen ähnliche oder gleiche Bedingungen vorliegen, das Phänomen aber nicht

7

Bacon lebte von 1561 bis 1626. Er stammte aus einer politisch einflussreichen Familie, sein Vater war Großsiegelbewahrer. Im Alter von 23 wurde er Berater von Essex, dem Günstling der Königin. Als Essex des Hochverrats beschuldigt wurde, wechselte er allerdings die Partei. 1617, zur Zeit Jacobs I, wurde Bacon selbst Großsiegelbewahrer, 1618 sogar Lordkanzler. Schon zwei Jahre später wurde er der Bestechung angeklagt und verurteilt und "war gezwungen, sich aus dem öffentlichen Leben zurückzuziehen und den Rest seiner Tage damit zu verbringen, bedeutende Bücher zu schreiben" (Russell 1988: 551). Ironischerweise wurde Bacon ein Opfer seiner eigenen Experimentierlust: Er starb bei einem Kälteexperiment mit einem Huhn, das er mit Eis ausstopfte. Dabei holte er sich eine für ihn tödlich verlaufende Erkältung.

8

Die erste formale Wissenschaftsorganisation der westlichen Zivilisation, die 1660 gegründete Royal Society, war bei ihrer Gründung stark von Bacon beeinflusst. Ganz im Sinne seines wissenschaftlichen Programms hatte sie sich dem Ziel des systematischen Wissenserwerbs verschrieben. War ihr Name in der ihr 1662 von Charles II verliehenen "Charter of incorporation" noch einfach "The Royal Society", so erweiterte sie den Namen in ihrer zweiten Charter von 1663 zu "The Royal Society of London for promoting Natural Knowledge". Durch die Charter von 1662 war die Royal Society die erste verfasste Körperschaft in der Geschichte, deren Aufgabe explizit in der Forschung lag.

Kapitel 7 Induktive Logik und das Induktionsproblem

77

auftritt. Die dritte Tafel wiederum enthält die Fälle, in denen das Phänomen und die Bedingungen in verschiedenen Graden vorliegen. Da es sehr aufwendig und zeitraubend ist, lediglich solche Beobachtungsdaten zu sammeln, die einem sozusagen auf 'natürliche' Weise in den Schoß fallen, müssen die Beobachtungen darüber hinaus künstlich erzeugt werden. Bacon ist vermutlich der erste neuzeitliche Denker, der ein ausgeklügeltes experimentelles Design beschreibt. Induktion und Experiment sind für Bacon im Grunde nur zwei verschiedene Seiten derselben Medaille9. Aus den durch das Experiment gewonnenen Daten soll nun durch die eigentliche Induktion die Beziehung zwischen dem Phänomen, der interessierenden 'Eigenschaft', und den vorliegenden Bedingungen, den 'Bestimmungen', herausdestilliert werden. "Erstes Anliegen der wahren Induktion zur Erforschung der Formen ist, alle Bestimmungen zurückzuweisen oder auszuschließen, die in den Fällen fehlen, wo die betreffende Eigenschaft vorhanden ist, oder die noch da sind, obwohl die Eigenschaft fehlt. Dahin gehören auch die Fälle, wo die Bestimmung zunimmt, während die gegebene Eigenschaft abnimmt oder umgekehrt. Ist so das Zurückweisen und Ausschließen Schritt für Schritt geschehen, wird an zweiter Stelle, gleichsam als fester Grund, die bejahende, wahre und scharf umrissene Form zurückbleiben, während die flüchtigen Meinungen in Rauch aufgegangen sind." (Bacon 1990: 351). Wir können uns das Prinzip folgendermaßen veranschaulichen. Tabelle 7.1: Induktionsprinzip nach Bacon Bestimmungen

interessierende Eigenschaft

B1:

a

b

c

d

B2:

a

™b

c

d

B3:

™a

™b

c

™d

a

d

Die Beobachtung B1 sagt aus, dass die Eigenschaft d auftritt und gleichzeitig die 'Bestimmungen' a, b und c vorliegen. Da die Eigenschaft d auch in der zweiten Beobachtung festzustellen ist, obwohl die Bedingung b dort nicht vorliegt, kann b nicht die Ursache von d sein. Ebenfalls wird durch die dritte Beobachtung ausgeschlossen, dass c die Ursache von d sein kann, da c zwar vorliegt, aber d nicht.

9

Da sich Bacon bei der Beschreibung seines Designs – aus heutiger Sicht unglücklicherweise – auf chemische, um nicht zu sagen alchemistische, Vorgänge bezieht, sind seine Beispiele nicht nur umständlicher und weniger überzeugend, als es Beispiele aus der Astronomie und der Mechanik wären, sondern sie schließen damit leider genau diejenigen Wissensgebiete aus, auf denen die wichtigsten Entdeckungen seiner Zeit gemacht wurden.

78

Kapitel 7 Induktive Logik und das Induktionsproblem

Daraus wäre nach Bacon nun zu schließen, dass nur a die Ursache von d sein kann, ja, dass a die Ursache von d sein muss. Induktionsverfahren nach Mill

Methode der Übereinstimmung bei Vorliegen einer Bedingung

Bacons einfaches Design wurde wesentlich verfeinert und präzisiert durch John Stuart Mill. In seinem 'System of Logic' (1995) stellt Mill ebenfalls mehrere experimentelle Anordnungen vor, die einen induktiven Schluss erlauben sollen. Insbesondere drei davon sollen hier herausgegriffen und kurz erläutert werden, die so genannte 'Methode der Übereinstimmung', die 'Umgekehrte Methode der Übereinstimmung' und die 'Methode der Differenz'. Die 'Methode der Übereinstimmung' behauptet, dass wenn ein bestimmtes Phänomen unter mehreren Bündeln von Bedingungen auftritt, aber nur eine Bedingung in jedem dieser Bündel vorhanden ist, dann diese Bedingung die Ursache des beobachteten Phänomens darstellen muss. Tabelle 7.2: Methode der Übereinstimmung (Vorliegen einer Bedingung) Bestimmungen

interessierende Eigenschaft

B1:

a

b

c

d

B2:

a

™b

™c

d

a

d

Durch die Methode der Übereinstimmung können notwendige Bedingungen ausgeschlossen werden. Wenn d der Fall sein kann, ohne dass b und c vorliegen, wie in der zweiten Beobachtung in Tabelle 7.2, dann können beide keine notwendige Bedingung des Vorliegens von d sein. Jede Bedingung, die in irgendwelchen Beobachtungen nicht vorliegt, obwohl d vorliegt, kann als notwendige Bedingung von d ausgeschlossen werden. Beispiel: Meisterdetektiv (I) Man kann sich die Methode der Übereinstimmung am Vorgehen eines Meisterdetektivs veranschaulichen, der auf ähnliche Weise den Kreis der Verdächtigen in einem Mordfall einengt. Nach der Erfahrung unseres Meisterdetektivs sind Motiv und Gelegenheit notwendige Bedingungen, dieses Verbrechen zu verüben. Wenn für bestimmte Personen definitiv ausgeschlossen werden kann, dass sie sowohl Motiv als auch Gelegenheit hatten, also wenn bei ihnen nur eine der beiden Bedingungen nicht gegeben ist, dann kommen sie als Täter nicht mehr in Frage. Auf diese Weise kann der Kreis der Verdächtigen eingeschränkt werden. Da häufig mehrere Personen übrig bleiben, die sowohl ein Motiv als auch eine Gelegenheit gehabt hätten, führt diese Methode zwar nicht zu einem eindeutigen Ergebnis, sie hilft aber, die Anzahl der Verdächtigen zu reduzieren.

Ende Beispiel

Kapitel 7 Induktive Logik und das Induktionsproblem

79

Ein Mangel der originalen Mill'schen Analyse besteht darin, dass er sich nur auf die 'positive' Ausprägung von Eigenschaften bezieht. Tatsächlich aber kann die Abwesenheit einer Bedingung genauso für das Eintreten eines Ereignisses notwendig oder hinreichend sein. Es ist zum Beispiel eine notwendige Bedingung, um Präsident der Vereinigten Staaten zu werden, dass man nicht während des Wahlkampfs ermordet wird. Ähnlich ist es eine hinreichende Bedingung, um zu vermeiden, jemals Opfer eines Flugzeugabsturzes zu werden, einfach nie ein Flugzeug zu besteigen. Dies wird im folgenden Beispiel in Tabelle 7.3 deutlich. Möglicherweise ist ™f eine notwendige Bedingung für das Zustandekommen von d. Damit wäre dann f eine hinreichende Bedingung für das Nicht-Vorhandensein von d. Indirekt lässt sich in unserem Beispiel auf diese Weise erschließen, dass auch f und ™a keine notwendigen Bedingungen von d sein können.

Methode der Übereinstimmung bei Fehlen einer Bedingung

Tabelle 7.3: Methode der Übereinstimmung (Fehlen einer Bedingung) Bestimmungen

interessierende Eigenschaft

B1:

a

b

™f

d

B2:

a

™b

™f

d

™f

d

a

Beispiel: Meisterdetektiv (II) Wir wollen dies näher erläutern, indem wir noch einmal auf unser Bild des Meisterdetektivs zurückkommen. Wenn der Meisterdetektiv nicht gerade zuviel Oscar Wilde gelesen hat, dann geht er davon aus, dass man niemanden tötet, den man liebt. Die Liebe zu einem Menschen wird allgemein als hinreichender Grund angesehen, seinen Tod nicht zu wünschen. Die Menschen, die das Opfer geliebt haben, können somit aus dem Kreis der Verdächtigen gestrichen werden. Der Mörder kann das Opfer nicht geliebt haben, da er es sonst nicht umgebracht hätte, die Abwesenheit von Liebe zum Opfer ist eine notwendige Bedingung, um einen Mord zu begehen. (Literaturkenner merken, dass wir hier mehr der konventionellen englischen Tradition des Kriminalromans folgen. Komplexere psychologische Konstellationen, wie sie bei dem Mord aus Leidenschaft oder Verzweiflung auftreten, wollen wir hier beiseite lassen.)

Ende Beispiel Auf analoge Weise, wie bei der Methode der Übereinstimmung notwendige Bedingungen ausgeschlossen werden, können mit der umgekehrten Methode der Übereinstimmung hinreichende Bedingungen ausgeschlossen werden.

Umgekehrte Methode der Übereinstimmung

80

Kapitel 7 Induktive Logik und das Induktionsproblem

Tabelle 7.4: Umgekehrte Methode der Übereinstimmung Bestimmungen

interessierende Eigenschaft

B1:

™a

™b

™c

™d

B2:

a

™b

™c

™d

B3:

™a

™b

c

™d

b

d

Jede Bedingung, die vorliegt, obwohl d nicht eintritt, kann keine hinreichende Bedingung für d sein. Durch die zweite Beobachtung in Tabelle 7.4 fällt damit a, durch die dritte Beobachtung fällt c als potenziell hinreichender Grund für das Eintreten von d aus. Ebenfalls fallen durch die erste Beobachtung ™a und ™c als hinreichende Bedingung für d aus. Durch alle drei Beobachtungen wird zudem ™b als möglicher hinreichender Grund für das Eintreten von d eliminiert. Als einziger womöglich hinreichender Grund verbleibt demnach b. Methode der Differenz

Die wichtigste, weil aufschlussreichste, Methode bestand für Mill in der 'Methode der Differenz'. In ihr geht es um den Vergleich zweier Beobachtungen, bei denen jeweils nahezu identische Bündel von Bedingungen vorliegen, die sich nur in einer einzigen Bedingung unterscheiden. Tritt das kritische Phänomen in der einen Beobachtung auf und nicht in der anderen, so muss die Bedingung, die sich als einzige ändert, auch für den Wechsel des Zustands der kritischen Eigenschaft verantwortlich sein. Tabelle 7.5. Methode der Differenz Bestimmungen

interessierende Eigenschaft

B1:

a

b

c

d

B2:

™a

b

c

™d

a

d

Mit der Methode der Differenz kann in unserem Beispiel allerdings nicht zuverlässig ausgeschlossen werden, dass b oder (auch) c durchaus notwendige Bedingungen für d sein können. Ebenfalls möglich ist darüber hinaus, dass ™b oder ™c hinreichende Bedingungen für d sein könnten. Nehmen wir an, d kennzeichne die Entscheidung, an einer Wahl teilzunehmen. a sei schönes Wetter, b sei die Abwesenheit attraktiver Kandidaten und c die Abwesenheit eines attraktiven Programms. Danach behauptet die Beobachtung B1, dass eine Person bei schönem

Kapitel 7 Induktive Logik und das Induktionsproblem

81

Wetter wählen geht, auch wenn Kandidaten und Programm der Parteien schlecht sind. Ist allerdings auch noch das Wetter schlecht (B2), sinkt die Bereitschaft des potenziellen Wählers, sich überhaupt noch die Mühe zu machen, zum Wahllokal zu gehen, und er bleibt zu Hause. Wären aber z.B. attraktive Kandidaten aufgestellt (™b), dann würde dies allein den Wähler schon genügend motivieren, unabhängig von Wetter und Programm der Parteien, zur Wahl zu gehen und seine Stimme abzugeben. Die von Bacon und Mill beschriebenen Designs entsprechen vermutlich im Wesentlichen vielen historischen experimentellen oder 'quasi-experimentellen' Anordnungen, aber die gezogenen Schlüsse sind in keinem Fall zwingend. Die beschriebenen Anordnungen haben schwerwiegende logische Mängel. Sowohl Bacon als auch Mill gehen bei ihrer Methode der Induktion davon aus, dass es möglich ist, alle Bestimmungsfaktoren, die eventuell für das Auftreten des Phänomens bedeutend sein könnten, zu erfassen. D.h., es wird suggeriert, dass die von Bacon aufgestellten Tabellen vollständig sind in dem Sinn, dass sie zumindest alle Daten enthalten, die für einen Schluss notwendig sind. Daher sind beide Verfahren auch Ausschlussverfahren, die die richtige Lösung durch den Ausschluss logisch nicht möglicher Lösungen finden. Diese Vollständigkeit kann aber nur konstatiert und nie bewiesen werden.

Logische Mängel der Ver-

Des Weiteren wird davon ausgegangen, dass diese verschiedenen potenziellen oder tatsächlichen Ursachen voneinander unabhängig ihre Wirkung auf das Phänomen ausüben, der Einfluss jeder Ursache lässt sich vom Einfluss anderer Faktoren isolieren und für sich allein beschreiben. Welche falschen Schlüsse daraus entstehen, lässt sich leicht zeigen, wenn man an das ursprüngliche Schema, das Bacons Induktionsprinzip veranschaulichen sollte, eine vierte Beobachtung hinzufügt.

Nicht zulässige Annahme

Tabelle 7.6: Erweitertes Beobachtungsschema Bestimmungen

interessierende Eigenschaft

B1:

a

b

c

d

B2:

a

™b

c

d

B3:

™a

™b

c

™d

B4:

a

™b

™c

™d d

Durch die vierte Beobachtungsaussage wird deutlich, dass unser zuerst gefasster Schluss nicht richtig sein kann, da a in der vierten Beobachtung vorliegt, ohne dass d eintritt. Entweder gibt es eine weitere Bedingung, die d verursacht, die wir

fahren:

Keine vollständige Erfassung aller möglichen Bestimmungsfaktoren

der Unabhängigkeit der einzelnen Faktoren

82

Kapitel 7 Induktive Logik und das Induktionsproblem

in unser Beobachtungsschema aber nicht aufgenommen haben, oder d wird durch eine komplexe Beziehung von Bedingungen hervorgerufen. Für keinen einzelnen Bestimmungsfaktor können wir nach der Methode der Differenz ein Muster der Veränderungen erkennen, das sich gleichsinnig zum Muster der Veränderungen von d verhält. Nach den vorliegenden Beobachtungsdaten ist es allerdings möglich, dass a und c zusammen, d.h. wenn sie gemeinsam vorliegen, d verursachen können. Kausalprinzip

Die wichtigste und stillschweigende Voraussetzung dafür, notwendige oder hinreichende Bedingungen für d erkennen zu wollen, ist jedoch die, dass d überhaupt verursacht sein muss, eine Annahme, die man als Kausalprinzip bezeichnen kann. Diese Annahme behauptet, dass nichts geschieht, ohne dass es Gründe dafür gibt. Wenn d tatsächlich gilt, so muss es Ursachen dafür geben, warum dies der Fall ist und nicht das Gegenteil ™d. Ohne Annahme dieses Kausalprinzips wäre die 'Methode der Übereinstimmung' ohne jeglichen Aussagewert, denn d könnte dann ja 'grundlos' vorliegen.

Verfahren sind zwar

Das Bacon'sche und das Mill'sche Induktionsprinzip sollten jedoch nicht über Maßen kritisch begutachtet werden. Auch wenn sie unvollständig, also nur unter bestimmten zusätzlichen Bedingungen anzuwenden sind, so ist es doch auch Tatsache, dass diese Bedingungen in vielen klassischen Experimenten vorgelegen haben, auch wenn es den Experimentatoren selbst nicht bewusst war. Dies liegt an der besonders 'einfachen' Struktur vieler naturwissenschaftlicher Gesetze, insbesondere der Mechanik. Je komplexer jedoch die Struktur der relevanten Zusammenhänge wird, und das ist üblicherweise in den Sozialwissenschaften der Fall, desto schwerwiegender werden die Mängel des Designs. Das Design ist aber sehr wohl in der Lage, zwischen alternativen Theorien zu entscheiden, wenn eine von ihnen wahr sein muss und nur eine von ihnen wahr sein kann. Solange es um den Ausschluss notwendiger und hinreichender Bedingungen geht, ist auch die 'induktive' Logik vom Wesen her deduktiv. Dies ist jedoch nur ein Bestandteil des induktiven Vorgehens bei Bacon und Mill. Wesentlicher ist für sie der zweite Bestandteil der induktiven Logik, bei dem es darum geht, aus einer Menge potenzieller Ursache-Kandidaten die 'wahren' Ursachen herauszufinden. Diesen wird unterstellt, dass sie die kausale Ursache des Auftretens der Eigenschaft seien. Wenn durch systematische Modifikation einer Ausgangsbedingung eine Modifikation einer Beobachtungsgröße hervorgerufen wird, dann muss die erste auf die zweite ursächlich gewirkt haben. Vor allem bei Bacon geht die Sammlung der Daten allem anderen voraus. Die Hypothesen entsteigen den Daten dann gewissermaßen zwangsläufig, wenn man die Methode der Induktion in seinem Sinne anwendet. Bacons Methodismus führt zu Annahmen, Hypothesen, über die Natur, die das Resultat der Forschung darstellen. Die Hypothesen folgen der Forschung zeitlich nach, sie gehen ihr nicht voraus.

unvollständig, aber dennoch nützlich

Kapitel 7 Induktive Logik und das Induktionsproblem

Bacons Induktionsprinzip ist in der Lage, gewisse Faktoren als Ursachen auszuschließen. Die Hypothese über die verbleibende Ursache jedoch beruht immer nur auf einer endlichen Zahl von Beobachtungen. Wenn tatsächlich nur eine endliche Zahl von Hypothesen zur Erklärung der Wirkung zur Verfügung stände und eine nach der anderen ausgeschaltet werden könnte, müsste die letzte verbleibende Hypothese die wahre sein. In Wirklichkeit aber gibt es immer unendlich viele mögliche Hypothesen, die vielleicht nicht sehr plausibel sein mögen, die aber dennoch logisch möglich sind. Die allgemeine Hypothese gründet sich daher bei Bacon nicht wirklich auf den Ausschluss aller anderen Hypothesen, sondern auf die Verallgemeinerung einzelner Beobachtungen. Wenn ein Ereignis der Klasse a in allen beobachteten Fällen ein Ereignis der Klasse b nach sich zieht, ein Ereignis der Klasse c aber nicht, dann kann zwar nur überhaupt ein Ereignis der Klasse a und nicht der Klasse c die Ursache eines Ereignisses der Klasse b sein, aber dies muss nicht der Fall sein. Wir nennen a nur dann eine Ursache von b, wenn jedes Ereignis der Klasse a ein Ereignis der Klasse b nach sich zieht. Diese Induktion ist aber logisch nicht zwingend. Dieser Sachverhalt wird das Induktionsproblem genannt.

7.2

83 Schwierigkeiten des Bacon'schen Verfahrens liegen letztlich im Induktionsproblem begründet

Humes Formulierung des Induktionsproblems

Die scharfsinnigste Formulierung des Induktionsproblems stammt von David Hume (1711-1776), dessen Fassung mehr oder weniger unverändert auch heute noch gilt. Hume ist ein Empiriker reinsten Wassers, alle Vorstellungen ('ideas') können seiner Meinung nach nur aus den Erfahrungen gewonnen werden. Die inhaltliche Verknüpfung solcher Vorstellungen erfolgt bei Hume mit Hilfe von 'Assoziationen', die bewirken, dass bei der Erinnerung der einen Vorstellung auch die Erinnerung der anderen ins Bewusstsein gerufen wird. Diese Assoziationen sind daher ein Mittel, die Konsistenz bzw. innere Kohärenz eines Textes zu gewährleisten. Ohne sie wäre es nicht möglich, auch nur in irgendeiner Weise zusammenhängend zu argumentieren. Drei solcher Assoziationen nennt Hume: Ähnlichkeit, Berührung in Raum und Zeit und die Verknüpfung von Ursache und Wirkung, die Kausalität.

Assoziationen bei David

Nach Hume gibt es keinen inneren Zusammenhang zwischen Ursache und Wirkung. Lediglich ist es möglich, eine regelmäßig auf die gleiche Weise auftretende zeitliche Abfolge des einen Ereignisses nach dem anderen zu konstatieren. Stößt z.B. eine Kugel auf eine zweite ruhende Kugel, so setzt sich diese in Bewegung. Dadurch, dass diese Beobachtung immer wieder und wieder gemacht werden kann, wird diese Wahrnehmung zur Gewohnheit, und wir bilden Erwartungen dahingehend, dass sich diese Abfolge der zwei Ereignisse beim nächsten Mal wieder auf die gleiche Weise ereignen wird. Da wir bisher jeden Tag von neuem beobachten konnten, dass am Morgen die Sonne aufgeht und es hell wird, erwarten wir, dass es auch am nächsten Tag so sein wird. Diese Erwartungshaltung gerinnt schließlich zum Glauben an das Auftreten des zweiten Ereignisses, wenn das erste schon eingetreten ist.

Keine Möglichkeit, Kausalität zu beweisen

Hume

84

Kapitel 7 Induktive Logik und das Induktionsproblem

Die Wirkung ist also nach Hume etwas von ihrer Ursache vollkommen verschiedenes. "Sie kann daher in der Ursache nicht entdeckt werden, und was man sich zuerst a priori von ihr erfindet oder vorstellt, muss gänzlich willkürlich sein." (Hume 1973: 40). Humes Philosophie kann daher leicht als Bankrotterklärung jeglicher systematischer empirischer Wissenschaft verstanden werden und wurde genau so auch häufig verstanden. "Gibt die Ursache an sich keinen Hinweis auf die Wirkung, so dass jedes Aussinnen derselben völlig willkürlich sein muss, dann folgt daraus unmittelbar, dass Wissenschaft unmöglich ist, es sei denn, sie stelle völlig willkürliche Zusammenhänge her, die durch nichts im inneren Wesen der Ursache oder der Wirkung belegt sind. Irgendeine Spielart der Hume'schen Philosophie hat sich bei den Wissenschaftlern im allgemeinen immer durchgesetzt. Aber der wissenschaftliche Glaube war der Situation gewachsen und hat den philosophischen Berg stillschweigend versetzt." (Whitehead 1988: 14) Zwei Interpretationen des Induktionsproblems nach Hume

Es gibt zwei grundsätzliche Interpretationsarten des Hume'schen Problems. Die erste sähe so aus: Der Schluss von besonderen Sätzen, in denen ein Ereignis der Klasse a einem Ereignis der Klasse b vorausging, auf einen allgemeinen Satz, dass jedes Ereignis der Klasse a ein Ereignis der Klasse nach sich zieht, ist nicht möglich, da a nicht wirklich die Ursache sein muss, sondern diese auch ein anderes Ereignis c sein kann, das wir nicht in unsere Beobachtungsdaten aufgenommen haben. In dieser Interpretation gibt es Naturgesetze, aber aufgrund des unvollständigen Beobachtungsdatensatzes lässt sich nicht eindeutig und ein für allemal erkennen, welche Beobachtungsbestandteile die Ursachen der beobachteten Wirkungen sind. Der zweiten Interpretation zufolge gibt es möglicherweise überhaupt keine Gesetze, oder, was gestern noch wie ein Gesetz gewirkt haben mag, kann morgen schon keines mehr sein. Diese Interpretation sagt aus, dass wir aus logischen Gründen die Konstanz und zeitliche Gleichförmigkeit von Naturgesetzen nicht voraussetzen dürfen. Die zweite Interpretation scheint auf den ersten Blick zwar radikaler, ist tatsächlich aber wesentlich unbedeutender. Wenn es keine konstanten Naturgesetze gibt, wenn sich die Natur jeden Tag nach neuen Gestaltungsregeln offenbart, dann besteht überhaupt keine Möglichkeit des Lernens aus unseren Erfahrungen und Wissenschaft im Speziellen ist von vorneherein ein nutzloses Unterfangen, das niemals zu verwertbaren Ergebnissen gelangen kann. Die Annahme der Uniformität der Natur, dass die Zukunft der Vergangenheit ähnlich ist, ist grundlegend für jede noch so primitive Form intentionalen Handelns. Der abweichenden Haltung eines fundamentalen Skeptizismus, der behauptet, dass sicheres Wissen überhaupt unmöglich ist, ist zwar mit logischen Argumenten nicht beizukommen, doch sollte man sich hier einfach auf den gesunden Menschenverstand berufen und – noch einmal ganz im Sinne Bertrand Russells – eine solche Haltung als 'frivol' betrachten.

Kapitel 7 Induktive Logik und das Induktionsproblem

85

Die eigentliche harte Nuss, die Hume der empirischen Wissenschaft zu knacken gegeben hat, ist daher die erste Interpretationsart. Es gibt Naturgesetze und sie führen zu regulären Erscheinungen. Aber nicht jede Beobachtung von Regularitäten ist auf ein Naturgesetz zurückzuführen und es ist logisch nicht möglich, zwischen 'echten' Regularitäten, die auf kausalen Gesetzen beruhen, und zufälligen oder artifiziellen mit hundertprozentiger Sicherheit zu unterscheiden.

7.3

Beschreiben und Erklären oder das Wesen der Kausalität

Welcher Art sind nun die Zusammenhänge zwischen Ursache und Wirkung, wenn die zweite nach Hume nicht aus der ersten hervorgeht, und inwiefern ist dann die Ursache noch eine Erklärung des Auftretens der Wirkung? Beschränkt sich die Aufgabe des Wissenschaftlers dann nicht nur auf die Beschreibung der äußeren, sichtbaren Form des Zusammenhangs, der beobachteten Regularität oder kann man dennoch von einer kausalen Erklärung sprechen? Ich möchte das Problem der Induktion anhand des klassischen Beispiels für induktives Vorgehen überhaupt, der Entdeckung der Planetenbahnen, näher erläutern. Kopernikus' Hauptwerk De Revolutionibus Orbium Coelestium, in dem erstmals in der Neuzeit10 die heliozentrische Idee vertreten wurde, erschien 1543 (Kopernikus ahnte die weitreichenden theologischen Konsequenzen seines Werkes und ließ es daher erst posthum veröffentlichen). Kepler veröffentlichte seine Gesetze über die Planetenbahnen 1609 und 1619, Newton schließlich seine Principia Mathematica 1687. Kopernikus ging noch fälschlich von Kreisbahnen aus, in denen sich die Planeten um die Sonne bewegen, wofür er auf die Annahme von Epizykeln zurückgreifen musste, wie sie auch Ptolemäus verwendet hatte. Da die Anzahl der Kopernikanischen Epizykeln die des Ptolemäischen Weltbildes sogar noch übertraf, ist die Überlegenheit des neuen Weltbildes in der Tat schwer zu erkennen gewesen. Für die Gegner des heliozentrischen Weltbildes gab es keinen logisch zwingend notwendigen Grund, das neue Weltbild anzuerkennen, denn innerhalb ihrer eigenen Argumentation des geozentrischen, ptolemäischen Systems gab es keinen logischen Widerspruch , der sie zur Annahme der neuen Theorie hätte bewegen können. Auch gab es keine objektive Möglichkeit, die eine der beiden Sichtweisen als der anderen überlegen zu erweisen, sie stehen mehr oder weniger gleichberechtigt nebeneinander. Die Annahme der neuen Theorie konnte sich nicht als ein Schritt von der alten weg vollziehen, sondern nur als ein mutiger Sprung.11

10 Heliozentrische Theorien gab es sowohl schon bei den Ägyptern als auch bei den Griechen in der Antike. 11 Kuhn (1976) spricht daher in solchen Zusammenhängen von einem "Paradigmenwechsel".

Beispiel für induktives Vorgehen: Entdeckung der Planetenbahnen

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Kapitel 7 Induktive Logik und das Induktionsproblem

1609 publizierte Kepler sein erstes Gesetz über die Planetenbahnen, das sich auf die immensen Aufzeichnungen des Tycho von Brahe stützt, und das besagt, dass sich alle Planeten auf einer elliptischen Umlaufbahn um die Sonne bewegen, wobei die Sonne die Position eines der beiden Brennpunkte einnimmt.12 Diese durch die bekannte Theorie geprägte Wahrnehmung ist uns so selbstverständlich geworden, dass es uns daher geradezu absurd erscheint, dass Kepler tatsächlich erst 22 andere Hypothesen über die Form der Planetenbahnen ausprobierte, bevor auf die scheinbar so offensichtliche richtige stieß.13 Der immense Vorteil der Keplerschen Planetenbahnen gegenüber der Epizykelntheorie der Ptolemäer, aber auch des Kopernikus, lag offensichtlich darin, dass damit alle Planetenbahnen mit demselben Typ einer geometrischen Kurve beschrieben werden konnten, sein Sonnensystem war einheitlicher als jedes zuvor konzipierte und daher überschaubarer und ästhetisch ansprechender. Allerdings konnte Kepler keine Erklärung angeben, warum die Bahnen genau dieser geometrischen Funktion entsprachen. Alle Planeten gehorchten der gleichen mathematischen Beziehung, aber über diesen Status der Beschreibung konnte Kepler nicht hinausgelangen. Keplers insgesamt drei Gesetze sind daher rein deskriptiv, sie geben keinen Kausalzusammenhang wieder. Erst 70 Jahre später konnte dieser Zusammenhang – zumindest scheinbar – hergestellt werden. In Newtons Principia Mathematica wurde die Kraft der Massenanziehung zwischen zwei Körpern beschrieben, die man als Gravitation bezeichnet, und die in der Lage ist, die elliptischen Bahnen Keplers zu 'erklären.' Denn, wenn die Anziehungskraft zwischen zwei Körpern genau so wirkt, wie von Newton beschrieben, dann, und nur genau dann wirkt sich die permanente Beschleunigung eines Trabanten, der sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit durch das Weltall bewegt, zu seinem Gravitationszentrum so aus, dass er auf eine Umlaufbahn gezwungen wird, die genau einer elliptischen Kurve entspricht. Kausalität als gedankliche Brücke

Inwiefern aber ist die Gravitation tatsächlich eine kausale Ursache der Planetenbahnen, oder, anders ausgedrückt, was meint man damit, wenn man sagt, dass die Kraft der Gravitation auf die Planeten wirkt? Ist durch die bekannte Formel etwas ausgesagt über das Wesen dieser Kraft? Newton selbst hätte dies strikt verneint.14

12 Die Leistung Keplers ist in ihrer Einschätzung oft etwas herablassend behandelt worden. So sagt Russell "Kepler ist ein höchst bemerkenswertes Beispiel dafür, wieviel man allein durch Geduld und ohne besondere Genialität erreichen kann" (Russell 1988: S.539). 13 Charles Sanders Peirce, der früher diesen Suchprozess noch als ein "unbegreifliches Herumtapsen" von einer "irrationalen Hypothese" zur nächsten bezeichnet hatte, sprach später nur noch hochachtungsvoll von dieser Leistung Keplers. "Es ist nun meine wohlbedachte Meinung, dass es das wunderbarste Beispiel induktiven Denkens ist, das ich je gefunden habe" (Peirce 1975: S.86). 14 "Die Benennung: Anziehung, Stoss oder Hinneigung gegen den Mittelpunkt nehme ich ohne Unterschied und unter einander vermischt an, indem ich diese Kräfte nicht im physischen, sondern nur im mathematischen Sinne betrachte (Hervorhebung hinzugefügt). Der Leser möge daher aus Bemerkungen dieser Art nicht schließen, dass ich die Art und Weise der Wirkung oder die physische Ursache erkläre, oder auch dass ich den Mittelpunkten (welche geometrische Punkte sind) wirkliche und physische Kräfte beilege, indem ich sage: die Mittelpunkte ziehen an, oder es finden Mittelpunktskräfte statt" (Newton 1963: 25).

Kapitel 7 Induktive Logik und das Induktionsproblem

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Auch Newton beschreibt, genau wie Kepler, lediglich mathematische Beziehungen zwischen verschiedenen Größen wie Massen und Entfernungen. Was aber ist dann die Gravitationskraft? Sie ist in gewisser Weise nichts anderes als eine Metapher, eine Art Bild, das benötigt wird, um das zu beschreiben, was die mathematischen Beziehungen bewirkt bzw. hervorruft, sie kann aber selbst nicht direkt erfasst werden. Begriffe wie 'Kraft' sind sozusagen die animistischen kognitiven Atavismen unseres Gehirns, die wir benötigen, um uns eine Vorstellung von der Welt zu machen. Das Beispiel Newtons veranschaulicht die grundsätzliche Beschränkung jeglicher empirischer Kenntnis: Das einzig mögliche Ergebnis empirischer Forschung ist die Beschreibung der äußerlich erfassbaren Beziehungen zwischen Objekten oder Größen. Es ist nur möglich, die Form dieser Beziehungen zu beschreiben, im Idealfall in mathematischen Termini, niemals aber kann der innere Wirkungszusammenhang bis ins Letzte aufgeklärt werden. Allerdings, und das ist das eigentliche Ziel einer auf Gesetzen aufbauenden Wissenschaft, können solche Beschreibungen von Beziehungen auf ein immer allgemeineres Niveau gehoben werden. Keplers Gesetze beschreiben die Beziehung vieler einzelner Messwerte zueinander, indem dadurch alle Messwerte als Punkte auf einer einzigen bestimmten geometrischen Kurve angeordnet werden. Das heißt nichts anderes, als dass jeder einzelne Punkt, ist die Kurve einmal bekannt, daraus 'abgeleitet' werden kann. Damit haben wir das ureigenste Wesen der Induktion erfasst: Eine Vielzahl von einzelnen empirischen Daten wird zu einer allgemeinen abstrakten Form 'verdichtet', aus der theoretisch alle einzelnen Daten 'entstanden' sein könnten, wenn die abstrakte Form sich extern realisiert, bzw. von der sie 'logisch' abgeleitet werden könnten. In diesem Sinne beschreibt Newtons Gravitationsgesetz einen allgemeinen Zusammenhang zwischen den Massen verschiedener Körper, aus dem, zusammen mit dem Trägheitsgesetz, die Kepler'schen Gesetze abgeleitet werden könnten. Das Induktionsproblem könnte also ganz einfach folgendermaßen definiert werden: Finde für eine Anzahl von singulären Sätzen einen allgemeinen Satz, aus dem alle singulären Sätze deduktiv abgeleitet werden können.

Grundsätzliche Beschränkung empirischer Erkenntnis: nur Form, aber nicht Wesen von Beziehungen kann erforscht werden

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Kapitel 8 Poppers Theorie der Bewährung von wissenschaftlichen Theorien

"Soweit es sich um Wissen handelt, können wir für die Gesamtheit unserer Behauptungen nicht mehr beanspruchen, als dass sie ein umwegreiches aber bequemes System ist, um Erfahrungen mit Erfahrungen zu verknüpfen. Das System als ganzes ist bezüglich Erfahrung unterbestimmt; aber es liefert zu gewissen, gegebenen Erfahrungen gewisse andere als zu erwartende Folgen. Wenn sich solche Voraussagen über Erfahrungen als falsch herausstellen, muß das System irgendwie geändert werden. Aber es bleibt uns große Freiheit in der Wahl, welche Sätze des Systems erhalten bleiben und welche verändert werden sollen." Willard V. O. Quine (1974: 19) "There is a tradition of opposition between adherents of induction and of deduction. In my view it would be just as sensible for the two ends of a worm to quarrel." Alfred North Whitehead15

8 Deduktion oder Induktion? – Ein alter Streit

Poppers Theorie der Bewährung von wissenschaftlichen Theorien

Wie ein erkenntnistheoretisches Schisma zieht sich die Trennung zweier philosophischer Ansätze durch die Jahrhunderte, hier die kontinentaleuropäische Tradition eines Descartes und eines Leibniz, dort die angelsächsische eines Locke und Hume, hier Deduktion, dort Induktion, hier Erkenntnis a priori, dort a posteriori, hier der Rationalismus eines reinen Geistes, dort der ausschließlich auf Sinneswahrnehmungen fußende Empirismus. Beide philosophischen Traditionen lassen sich in ihren unterschiedlichen Konsequenzen in viele Bereiche hinein verfolgen16. In der Praxis war diese Unterscheidung allerdings nie so streng vorhanden, wie man vermuten könnte und wie das Zitat von Whitehead untermauert. Ein Rationalist wie Descartes verfolgte mit regem Interesse die Ergebnisse seiner empirisch und experimentell forschenden Kollegen, ein 'Induktionist' wie Kepler verhielt sich bei der Ablehnung seiner falschen Hypothesen intuitiv wie ein 'Deduktionist'. Vermutlich lässt sich überhaupt keine bedeutende empirische Theorie aufstellen ohne dabei sowohl auf deduktive als auch auf induktive Methoden zurückzugreifen.

15 Zitiert nach Newman (1988: 1319). 16 Dies zeigt sich beispielsweise auch an dem Unterschied zwischen einem positiven Recht, das analytisch begründet wird und auf festen unverrückbaren Rechtsgrundsätzen basiert einerseits und dem angelsächsischen Typus des Common Law andererseits.

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Kapitel 8 Poppers Theorie der Bewährung von wissenschaftlichen Theorien

"Soweit es sich um Wissen handelt, können wir für die Gesamtheit unserer Behauptungen nicht mehr beanspruchen, als dass sie ein umwegreiches aber bequemes System ist, um Erfahrungen mit Erfahrungen zu verknüpfen. Das System als ganzes ist bezüglich Erfahrung unterbestimmt; aber es liefert zu gewissen, gegebenen Erfahrungen gewisse andere als zu erwartende Folgen. Wenn sich solche Voraussagen über Erfahrungen als falsch herausstellen, muß das System irgendwie geändert werden. Aber es bleibt uns große Freiheit in der Wahl, welche Sätze des Systems erhalten bleiben und welche verändert werden sollen." Willard V. O. Quine (1974: 19) "There is a tradition of opposition between adherents of induction and of deduction. In my view it would be just as sensible for the two ends of a worm to quarrel." Alfred North Whitehead15

8 Deduktion oder Induktion? – Ein alter Streit

Poppers Theorie der Bewährung von wissenschaftlichen Theorien

Wie ein erkenntnistheoretisches Schisma zieht sich die Trennung zweier philosophischer Ansätze durch die Jahrhunderte, hier die kontinentaleuropäische Tradition eines Descartes und eines Leibniz, dort die angelsächsische eines Locke und Hume, hier Deduktion, dort Induktion, hier Erkenntnis a priori, dort a posteriori, hier der Rationalismus eines reinen Geistes, dort der ausschließlich auf Sinneswahrnehmungen fußende Empirismus. Beide philosophischen Traditionen lassen sich in ihren unterschiedlichen Konsequenzen in viele Bereiche hinein verfolgen16. In der Praxis war diese Unterscheidung allerdings nie so streng vorhanden, wie man vermuten könnte und wie das Zitat von Whitehead untermauert. Ein Rationalist wie Descartes verfolgte mit regem Interesse die Ergebnisse seiner empirisch und experimentell forschenden Kollegen, ein 'Induktionist' wie Kepler verhielt sich bei der Ablehnung seiner falschen Hypothesen intuitiv wie ein 'Deduktionist'. Vermutlich lässt sich überhaupt keine bedeutende empirische Theorie aufstellen ohne dabei sowohl auf deduktive als auch auf induktive Methoden zurückzugreifen.

15 Zitiert nach Newman (1988: 1319). 16 Dies zeigt sich beispielsweise auch an dem Unterschied zwischen einem positiven Recht, das analytisch begründet wird und auf festen unverrückbaren Rechtsgrundsätzen basiert einerseits und dem angelsächsischen Typus des Common Law andererseits.

Kapitel 8 Poppers Theorie der Bewährung von wissenschaftlichen Theorien

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Das erkenntnistheoretische Grundproblem, wie wir Wissen über die reale Welt erlangen können, bleibt jedoch bestehen. Die Deduktion ist ein Verfahren, das nicht zum Erkenntnisgewinn taugt. Sie kann lediglich etwas darüber aussagen, ob ein bestimmter Satz aus anderen Sätzen abgeleitet werden darf, sie kann aber keine Aussagen über die Wirklichkeit selbst machen. Letzteres, darüber besteht heutzutage ein allgemeiner 'empiristischer' Konsens, ist nur mit Hilfe von Sinnesdaten möglich. Sinneswahrnehmungen sind aber immer nur in singulären Sätzen beschreibbar, d.h. sie beziehen sich auf eine bestimmte Tatsache, die zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort stattgefunden hat. Der induktive 'Schluss' von solchen singulären Sätzen auf einen allgemeinen, gesetzesmäßigen Satz, der diese gleichsam 'verdichtet', ist aber nicht logisch begründbar und immer mit einem Rest von Willkür behaftet. Die Brisanz des Induktionsproblems liegt daher nicht darin, dass es einfach irgendein erkenntnistheoretisches Problem darstellt, nein, die Formulierung des Induktionsproblems stellt die Frage nach der Legitimation von Wissenschaft schlechthin.

Zentrale Bedeutung des Induktionsproblems

Gerade auf diese Frage versucht Karl Popper mit seiner Theorie der Falsifikation von wissenschaftlichen empirischen Theorien eine Antwort zu geben. Der Kern der gesamten Popper'schen Argumentation liegt darin, dass er den Schwerpunkt bei der Beurteilung einer Theorie nicht auf die Begründung dieser Theorie sondern auf ihre Prüfung legt. Popper geht es nicht um eine systematische Anleitung zur Gewinnung von wissenschaftlichen Theorien über die Welt, wie es noch das Bestreben Bacons war, sondern um ein Kriterium, das die Beurteilung und den Vergleich schon formulierter und aufgestellter Theorien ermöglicht. Die ganze Induktionsproblematik entsteht nämlich nach Popper nur in dieser unzulässigen Vermischung von psychologischen (Wie gelangt ein Wissenschaftler zu seinen Theorien?) und logischen (Wie überprüft man eine Theorie?) Aspekten. Die Popper'sche 'Lösung' des Induktionsproblems besteht also schlicht in dieser 'Ausschaltung des Psychologismus', d.h. in der gänzlichen Missachtung des Entstehungsprozesses von Theorien. "Das Aufstellen der Theorien scheint uns einer logischen Analyse weder fähig noch bedürftig zu sein: An der Frage, wie es vor sich geht, dass jemandem etwas Neues einfällt– sei es nun ein musikalisches Thema, ein dramatischer Konflikt oder eine wissenschaftliche Theorie –, hat wohl die empirische Psychologie Interesse, nicht aber die Erkenntnislogik" (Popper 1989: 6). Es ist für Popper also vollkommen unerheblich, wie eine Theorie zustande gekommen ist, wichtig ist einzig und allein, dass sie der Prüfung standhält. Selbst wenn eine Theorie auf vollkommen aberwitzigen Annahmen über das Wirken von Luftgeistern, Hexen oder anderen Fabelgestalten fußen würde, so wäre das nach Popper allein kein Grund, diese Theorie abzulehnen, solange sie durch Überprüfung bestätigt werden kann. Vermutlich aber wird sie einer Prüfung anhand der Realität nicht lange standhalten und so bald verworfen werden müssen.17

Poppers Theorie der Falsifikation: Prüfung statt Be-

17 Dies ist ein, vielleicht der entscheidende Unterschied in der Popper'schen Argumentation zu einem modernen Positivisten wie z.B. Rudolf Carnap. Carnap würde Hypothesen, in denen

gründung

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Kapitel 8 Poppers Theorie der Bewährung von wissenschaftlichen Theorien

Falsifizierung mit Hilfe des Modus Tollens

Dieses Popper'sche Prüfkriterium ist die Falsifizierbarkeit einer Theorie. Eine Theorie gilt dann als falsifiziert, wenn aus ihr (singuläre) Sätze abgeleitet werden können, die in Widerspruch zu anderen (singulären) Sätzen stehen, die durch die unmittelbare Beobachtung der Wirklichkeit gewonnen wurden. Das logische Schlussschema, dessen sich Popper bedient, ist also dasjenige des Modus Tollens. To S1 š S2 š S3 š S4 š … Skš … Sn ™Sk [™Sko ™ (S1 š S2 š S3 š S4 š … Skš … Sn)] ________________________________________ ™T Aus einer Theorie T können n singuläre Sätze abgeleitet werden. Anders ausgedrückt: Ist die Theorie T gültig, dann sind die Sätze S1 bis Sn wahr. Ist ein einziger dieser Sätze falsch, dann muss die Theorie verworfen werden. Die Theorie besteht aus allgemeinen, gesetzmäßigen (nomothetischen) Aussagen über die Welt. Diese Gesetze bestehen nur in den Theorien, sie kommen nicht in der Welt vor, im (für die Theorie) besten Fall gestaltet sich aber die Welt in ihren Tatsachen nach diesen Gesetzen. Aus den Gesetzen können singuläre Sätze abgeleitet werden, die nichts anderes sind als Aussagen über das Eintreffen oder NichtEintreffen von Tatsachen. Steht eine Tatsache im Widerspruch zu einer solchen abgeleiteten singulären Aussage, dann ist das Gesetz, aus dem diese Aussage abgeleitet wurde, falsch.

Verifikation, Falsifikation und Bewährung

Gesetze können somit zwar nicht induktiv bewiesen bzw. verifiziert werden, sie können aber auf deduktivem Wege widerlegt, d.h. falsifiziert werden. Widersetzt sich eine Theorie solchen Prüfungen durch die Konfrontation mit den Tatsachen erfolgreich, so gilt sie zumindest als bewährt in dem Sinne, dass es bisher nicht gelungen ist, sie zu widerlegen. Die Gültigkeit eines Gesetzes bzw. einer Theorie kann daher immer nur eine vorläufige sein, d.h. Gesetze verlieren im Popper'schen Sinne ihren ewigen, unverrückbaren Charakter. Dass dies für die praktische Forschung schon immer gegolten hat, belegt ein Zitat des wohl bedeutendsten Naturwissenschaftlers aller Zeiten. "In der Experimentalphysik muss man die, aus den Erscheinungen durch Induction geschlossenen Sätze, wenn nicht entgegengesetzte Voraussetzungen vorhanden sind, entweder genau oder sehr nahe für wahr halten,

Luftgeister vorkommen, von vorneherein nicht zulassen, da sie keine "sinnvollen" Sätze darstellen, weil in ihnen "sinnlose" Begriffe wie "Luftgeister" auftauchen. Der "Sinn" eines Satzes besteht nach Carnap in der Möglichkeit seiner Verifizierbarkeit, d.h. darin, dass es möglich ist, Kriterien anzugeben, unter welchen Umständen ein Satz als bestätigt, d.h. wahr angesehen werden soll.

Kapitel 8 Poppers Theorie der Bewährung von wissenschaftlichen Theorien

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bis andere Erscheinungen eintreten, durch welche sie entweder grössere Genauigkeit erlangen, oder Ausnahmen unterworfen werden" (Newton 1963: 381). Die Annäherung an die Wahrheit im Sinne einer adäquaten Beschreibung der Wirklichkeit kann bei Popper also nur 'negativ' erreicht werden. Es werden nicht immer mehr 'wahre' Aussagen über die Welt gewonnen, sondern es werden immer mehr 'unwahre' Aussagen ausgesondert. Die Ähnlichkeit zu Induktionslogikern wie Bacon und Mill ist dabei nicht zu übersehen. Der entscheidende Unterschied zwischen diesen Induktionisten und Popper besteht darin, dass erstere glauben, durch den Prozess des Aussonderns mit einer gewissen Zwangsläufigkeit auf die 'wahren', nämlich verbleibenden Theorien zu stoßen, während Popper betont, dass jede Theorie immer nur vorläufig sein kann. Gehen Bacon und Mill von einer endlichen Menge an Theorie-Kandidaten aus, von denen nur einige die entsprechenden Methoden der Überprüfung überstehen, so setzt Popper immer eine einzelne Theorie der Bewährungsprobe aus, die als aktueller Kandidat gehandhabt wird. Während das Vorgehen von Bacon und Mill eher eine simultane Prüfung mehrerer Theorien und somit ein statisches ist, findet bei Popper eine sukzessive Abfolge von Theorienprüfungen statt. Dabei sind neue Kandidaten oft erst im Prozess der Prüfung älterer Kandidaten entstanden, die den Kriterien nicht standgehalten haben. Dies ist der dynamische Aspekt des Popper'schen Vorgehens.

Negative Annäherung an die Wirklichkeit durch sukzessiven Ausschluss falscher Theorien

Durch die sukzessive Ausschaltung falscher Theorien existiert auch bei Popper ein Fortschritt des Wissens, man spricht oft in diesem Zusammenhang von einer linearen Annäherung an die Wahrheit. Es gibt die Wahrheit, nur nicht die Sicherheit ihres Besitzes. Popper zufolge gibt es die absolute, objektive Wahrheit in dem Sinne, dass es eine absolute, objektive Wirklichkeit gibt, d.h. die Sätze, die diese Wirklichkeit adäquat abbilden, sind damit auch absolut wahr. Nur gibt es unglückseligerweise keine sichere Methode, diese Sätze zweifelsfrei zu erkennen. Allerdings werden sich diese absolut wahren Sätze sämtlichen Prüfungen durch die Wirklichkeit erfolgreich widersetzen, sie sind prüfungsresistent, sie sind 'immun' gegen die Tatsachen, da sie ja selbst die sprachliche Repräsentation dieser Tatsachen sind. Der Wissenschaftler bei Popper verhält sich nicht anders als Aschenputtel ('Die guten ins Töpfchen, die schlechten ins Kröpfchen.'), er verwirft die widerlegten Theorien und behält die bewährten. Man könnte auch sagen, die 'Wahrheitsdichte' aller verbleibenden Theorien steigt somit ständig an. Folgt man der Logik des Falsifikationismus, wie sie von Popper entwickelt wurde, so hat das große Auswirkungen auch für das eigene wissenschaftliche Vorgehen. Getreu dem Credo, dass man zwar die Wahrheit suchen, aber niemals Sicherheit darüber haben kann, und dass umgekehrt, wer Sicherheit sucht, niemals die Wahrheit finden kann, sollte man eigene wie fremde Forschungsergebnisse konsequent und kritisch hinterfragen. Das wissenschaftliche Vorgehen sollte nicht darauf gerichtet sein, die eigenen Vermutungen zu bestätigen. Vielmehr sollte man sich die größte Mühe geben, Tatsachen zu finden, die im Widerspruch zu den eigenen Vermutungen stehen, da man nur so eine Chance hat, sich der Wahrheit

Konsequenzen des Falsifikationismus für wissenschaftliches Arbeiten

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Kapitel 8 Poppers Theorie der Bewährung von wissenschaftlichen Theorien

anzunähern. Auch die Betrachtung jeder wissenschaftlichen Erkenntnis als dezidiert vorläufig ist keine intellektuelle Spielerei, sondern Grundlage jeder soliden empirischen Forschung. Auch wenn Forschungsergebnisse, Theorien und Gesetze noch so gut bestätigt scheinen, können sie doch immer nur eine augenblicklich denkbar gute Repräsentation unseres Wissens über die Wirklichkeit sein, sie sind jedoch jederzeit der Herausforderung durch neue und bessere Erklärungen ausgesetzt.

Experte: Theorieentwicklung Nach Popper können Theorien an Beobachtungen scheitern. Die Sätze, mit denen wir unsere Beobachtungen beschreiben, nennt Popper Basissätze. Wenn aus der Falschheit eines Basissatzes demnach die Falschheit der Theorie folgen soll, aus der er abgeleitet ist, so muss die Falschheit oder Wahrheit des Basissatzes eindeutig feststehen. Basissätze können aber nach Popper nicht durch unsere Erfahrungen unmittelbar begründet werden, wie es z.B. die Positivisten des Wiener Kreises um Carnap annehmen. Hier nimmt Popper eine 'konventionalistische' Wendung, indem er fordert, dass die Basissätze, an denen unsere Theorien scheitern können, durch Beschluss festgesetzt werden sollen. Dies hat weitreichende Konsequenzen. "Logisch betrachtet geht die Prüfung der Theorie auf Basissätze zurück, und diese werden durch Festsetzung anerkannt. Festsetzungen sind es somit, die über das Schicksal der Theorie entscheiden" (Hervorhebung im Original; Popper 1989: 73). Der Unterschied zum normalen Konventionalismus, wie ihn z.B. Poincaré vertritt, besteht darin, dass dieser allgemeine Sätze zu Konventionen erklärt, während es bei Popper nur die besonderen Sätze sind. Kritiker des Popper'schen Ansatzes gehen so weit, damit das falsifikationistische Programm als undurchführbar zu erklären. "Popper's view of evidence statements seems to pull the rug from under falsificationism: it implies that no theory can really be falsified by evidence. The nearest thing to a refutation would occur when 'conventionally accepted' evidence was inconsistent with a theory, which could then, at best, be described as 'conventionally' rejected." (Howson/Urbach 1993: 132). Genauso wenig wie der Konventionalismus aber beseitigt ein naiver Sensualismus, der davon ausgeht, dass wir unsere Sinneswahrnehmungen korrekt in Sätzen beschreiben können, dieses grundsätzliche Basissatzproblem. Denn Wahrnehmungen können fehlerhaft sein. Eine zu rigide Anwendung des Falsifikationskriteriums würde daher dazu führen, dass wir mitunter eine wahre Theorie fälschlicherweise aufgrund fehlinterpretierter Beobachtungen zurückweisen. Aber selbst wenn wir die Falschheit eines Basissatzes als sicher annehmen können, stehen wir vor einem Problem. Die wenigsten Theorien sind so aufgebaut, dass durch den entstehenden Widerspruch unmittelbar klar ist, welcher Bestandteil der Theorie zurückgewiesen werden muss. Wie in dem Zitat von Quine am Anfang des Kapitels schon gesagt wurde, bleibt uns auch hier eine gewisse Freiheit, welchen Teil der Theorie wir als widerlegt betrachten wollen. Dieses Problem wird als Duhem- oder Duhem/Quine-Problem bezeichnet. Der Teil der Theorie, der als widerlegt betrachtet werden soll, ist gleichzeitig der Teil, der abgeändert werden muss. Unter Umständen müssen auch zusätzliche Hypothesen in die Theorie aufgenommen werden, um die Theorie nicht in Widerspruch zur Wirklichkeit gelangen zu lassen. Hilfsannahmen sollen nach Popper natürlich nicht dazu dienen, die Theorie zu immunisieren, sondern er betrachtet sie nur als zulässig, "wenn durch deren Einführung der 'Falsifizierbarkeitsgrad' des Systems … gesteigert wird; in diesem Fall bedeutet die Einführung der Hypothese eine Verbesserung: Das System verbietet mehr als vorher" (Popper 1989: 51). Der empirische Gehalt einer Theorie ist für Popper gleichbedeutend mit der Anzahl ihrer potenziellen Falsifikatoren. Je mehr die Theorie verbietet, desto präzisere Aussagen macht sie über die Wirklichkeit. Theorien mit hohem empiri-

Kapitel 8 Poppers Theorie der Bewährung von wissenschaftlichen Theorien

schem Gehalt sind insofern 'unwahrscheinlich', als ihr Überleben langfristig bei wiederholter Konfrontation mit der Realität äußerst unwahrscheinlich wäre, wenn sie nicht wahr wären. Eine gute und wertvolle Theorie zeichnet sich somit dadurch aus, dass sie 'riskante' Aussagen macht. Lässt man zu, dass eine Theorie durch die Hinzunahme weiterer Hilfsannahmen ad hoc passend gemacht wird, falls sie in Widerspruch zur Wirklichkeit gelangt, dann sinkt damit ihr empirischer Gehalt auf Null. Deshalb lehnt Popper die Rettung einer Theorie durch Ad-hoc Hypothesen ab. Natürlich kann jede neue Theorie unabhängig von alten Theorien der Prüfung an der Wirklichkeit ausgesetzt werden. Die Erweiterung der alten Theorie durch Hilfsannahmen ist also dann erlaubt, wenn durch die Hilfsannahmen neue Möglichkeiten der Überprüfung der Theorie entstehen. Es soll aber noch einmal betont werden, dass es nicht die alte Theorie ist, die durch die zusätzlichen Annahmen überlebt, sondern es ist die neue, aus der alten entstandene Theorie, die sich wieder ganz von vorne im Prozess der Prüfung zu bewähren hat. Ein naiver Falsifikationismus, der eine Theorie durch eine ihr widersprechende Beobachtung schon als widerlegt betrachtet und sie damit auf den Schrotthaufen unbrauchbarer Theorien wirft, führt nicht nur zu inneren Widersprüchen, sondern seine rigide Anwendung hätte darüber hinaus die Entwicklung jeder bedeutenden Theorie von vornherein unterbunden. Wie Theorien daher durch zulässige Ad-hoc-Modifikationen erhalten werden können und wie man solche zulässigen Modifikationen von nicht zulässigen unterscheiden kann, ist Gegenstand eines raffinierten Falsifikationismus, wie er von Imre Lakatos (1974) formuliert worden ist. Nach Lakatos bestehen viele Theorien, und gerade die bedeutendsten, meist aus einem 'harten Kern' und einem 'Schutzgürtel' von Hilfsannahmen. Die 'Rettung' der Theorie kann durch ein Passendmachen des Kerns oder einer oder mehrerer der Hilfsannahmen an die Beobachtungen ermöglicht werden. Diese dynamische Fortentwicklung der Ausgangstheorie wird von Lakatos als Forschungsprogramm bezeichnet. Bei den Modifikationen, die der Forscher an der Theorie vornimmt, um sie in Einklang mit Beobachtungen zu bringen, die der bisherigen Theorie widersprechen, wird der Forscher von einer Heuristik geleitet, die ihm die Schritte vorgibt, nach denen er vorzugehen hat. Eine der Regeln dieser Heuristik besteht zum Beispiel darin, nie den harten Kern der Theorie, sondern nur den Schutzgürtel abzuändern. Lässt sich eine Theorie nicht mehr aufrechterhalten, ohne auch den harten Kern anzugreifen, so kann man dies als den Beginn eines neuen Forschungsprogramms verstehen. Es bleibt allerdings ein Moment der Willkür in der Festsetzung, was denn zum Kern der Theorie und was 'nur' zu den Hilfsannahmen gehört, und somit, ob die Theorie durch die ihr widersprechenden Beobachtungen im Mark getroffen oder nur an der sie umgebenden Schutzhülle angekratzt ist.

Ende Experte

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Kapitel 9 Probabilistische Hypothesen und die Logik eines statistischen Tests

9 Stichproben und probabilistische Schlüsse

Epistemischer und frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Probabilistische Hypothesen und die Logik eines statistischen Tests

Schlüsse, die aus einem gültigen deduktiven Argument abgeleitet worden sind, dessen Prämissen wahr sind, sind notwendig wahr, das Ziehen der Schlussfolgerung ist daher risikofrei. Anders verhält es sich mit Schlüssen, die wir aus induktiven Argumenten ziehen. Sie können bestenfalls als sehr wahrscheinlich betrachtet werden, wenn die Prämissen als wahr angenommen werden. Sie sind 'riskante' Schlüsse, da sie immer mit dem Risiko behaftet sind, falsch zu sein. Dies liegt daran, dass die Menge der von uns gemachten Beobachtungen immer nur eine Teilmenge aller möglichen Beobachtungen darstellt. Diese Teilmenge nennen wir Stichprobe. Die Menge, auf die wir hin verallgemeinern wollen, nennen wir die Grundgesamtheit. Wahrscheinlichkeiten kommen auf zweierlei Weise ins Spiel. Zum einen können sie sich auf die Wahrscheinlichkeit beziehen, mit der unser Schluss berechtigt ist, zum anderen aber können Wahrscheinlichkeitsaussagen selbst der Inhalt der Konklusion sein. Im ersten Fall sagt uns die Wahrscheinlichkeit etwas darüber aus, wie gerechtfertigt es ist, einen bestimmten Satz für wahr zu halten, wir nennen diese Wahrscheinlichkeit daher auch epistemisch. Im zweiten Fall wird mit der Angabe der Wahrscheinlichkeit eine Aussage über die relative Häufigkeit des Vorkommens eines Ereignisses getroffen, wir sprechen hier von einem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff. Wir wollen uns dies an einigen Beispielen enumerativer induktiver Schlüsse klarmachen. Alle Kaffeebohnen aus einer Stichprobe, die wir einem Sack mit Kaffeebohnen entnommen und untersucht haben, haben die Güteklasse A. _________________________________________________________________ Alle Kaffeebohnen im Sack haben Güteklasse A.

Sicherheit des Schlusses hängt von Größe der Stichprobe ab

Die Wahrscheinlichkeit, mit der wir den Schluss für gerechtfertigt halten, hängt von dem Umfang der Stichprobe ab. Besteht die Stichprobe nur aus einem einzigen Fall, so würden wir die Schlussfolgerung als hochriskant ansehen, besteht die Stichprobe hingegen aus 1000 untersuchten Kaffeebohnen, so nimmt unser Glaube an die Wahrheit der Konklusion annähernd den Grad einer Gewissheit an. Im obigen Beispiel macht die Konklusion eine Aussage für alle Fälle der Grundgesamtheit. Solche Aussagen sind unter anderem in den Naturwissenschaften weit verbreitet. Da wir uns im Zusammenhang mit verallgemeinerten Aussagen bisher nur auf solche Allaussagen bezogen haben, stammten auch unsere Beispiele der vorhergehenden Kapitel überwiegend aus den Naturwissenschaften, insbesondere aus dem Bereich der klassischen Mechanik. Allaussagen sind in den Sozialwissenschaften hingegen ausgesprochen selten. Sozialwissenschaftliche Aussagen,

Kapitel 9 Probabilistische Hypothesen und die Logik eines statistischen Tests

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die sich auf beobachtete Zusammenhänge beziehen, sind typischerweise probabilistisch, und zwar im frequentistischen Sinn. Allaussagen der Form "Alle F sind G" sind deterministisch, da sie für jedes Objekt, das ein F ist, festlegen, dass dieses Objekt auch ein G sein muss. Die FKomponente der Aussage enthält alle notwendigen Bedingungen für das Auftreten von G und mindestens eine hinreichende Bedingung. Bestimmte Komplexe solcher Bedingungen lassen sich in den Naturwissenschaften mit der Methode der Differenz erkennen. Dabei können einzelne Faktoren aus einer Versuchsanleitung herausgefiltert werden, deren Variationen in der Lage sind, Variationen der uns interessierenden Eigenschaft hervorzurufen, während alle anderen Faktoren konstant gehalten werden. Dies scheint für uns in der Regel ein starkes Argument zu sein, den Faktor als Bestandteil einer kausalen Verknüpfung zwischen sich und der interessierenden Eigenschaft zu betrachten. In den klassischen Experimenten der Mechanik stellte es kein Problem dar, alle Einflussfaktoren bis auf einen konstant zu halten, um so seine 'isolierte' Wirkung auf die interessierende Eigenschaft zu erfassen und in der Formulierung eines gesetzesartigen Zusammenhangs festzuhalten. Die Einfachheit der klassischen Experimente beruht unter anderem darauf, dass die Natur selbst gewisse wesentliche Faktoren kontrolliert, d.h. konstant hält, die dann als die berühmten Naturkonstanten in die Gesetze eingehen. Das Galileische Gesetz des freien Falls z.B. besagt, dass die im freien Fall zurückgelegte Strecke eines Gegenstands eine (quadratische) Funktion seiner Fallzeit und seiner als konstant angenommenen Beschleunigung ist. Galilei musste also nur die zwei Größen Zeit und Strecke erfassen, um sein Gesetz zu formulieren.

Deterministische Allaussa-

In den Sozialwissenschaften haben wir es hingegen mit komplexen Gefügen von Einflussfaktoren auf die interessierende Eigenschaft zu tun. Einzelne Faktoren lassen sich nicht isolieren, d.h. es ist unmöglich, alle anderen möglichen Einflussfaktoren unter Kontrolle zu halten. Daher kann die Variation eines einzelnen Faktors nur grob und unpräzise mit den Ausprägungen der interessierenden Eigenschaft variieren, da der Zusammenhang zwischen diesen beiden Variablen durch viele andere Zusammenhänge zwischen den nicht kontrollierten Einflussfaktoren und der abhängigen Variablen überlagert wird. So wie der Nebel als 'Störfaktor' die Umrisse des Hauses vor uns verwischt, so verwischen die nicht kontrollierten anderen Einflussfaktoren die klare Struktur des Zusammenhangs zwischen dem isolierten Einflussfaktor und der abhängigen Variablen. Allerdings bleiben auch durch den Nebel die Konturen des Gebäudes erhalten.

Komplexe Zusammen-

Auch probabilistische Aussagen werden durch Induktion gewonnen. Ein klassisches Anwendungsbeispiel für diese Art von Argumenten sind Prognosen, die sich auf Umfrageergebnisse beziehen.

gen in der Mechanik

hänge in den Sozialwissenschaften, deshalb probabilistische Aussagen

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Kapitel 9 Probabilistische Hypothesen und die Logik eines statistischen Tests

45 Prozent der befragten Personen in unserer Stichprobe wollen bei der nächsten Bundestagswahl SPD wählen. _________________________________________________________________ 45 Prozent aller wahlberechtigten Bundesbürger wollen bei der nächsten Bundestagswahl SPD wählen. Die allgemeine Form des induktiven Arguments ist: Z Prozent der F in der Stichprobe sind G. ____________________________________ Z Prozent aller F sind G.

Die logische Form eines enumerativen induktiven Arguments, bei dem die Konklusion eine Allaussage darstellt, unterscheidet sich nicht von einem Argument, bei dem die Konklusion eine probabilistische Aussage ist. Wenn Z den Wert 100 annimmt, so ist dies nur ein Spezialfall der allgemeinen Form des Arguments. Während also Z für verschiedene Argumente verschiedene Werte annehmen kann, und damit die frequentistische Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges F ein G ist, ist das Problem der epistemischen Wahrscheinlichkeit für alle Argumente sehr ähnlich. Der epistemische Gewissheitsgrad kann für ein Argument, das eine Allaussage als Konklusion besitzt, genau so hoch sein wie für ein Argument, das als Schlussfolgerung eine Wahrscheinlichkeitsaussage beinhaltet. Statistischer Syllogismus

Der Zweck induktiver Argumente besteht in der Begründung ihrer Konklusion, so dass diese wiederum in anderen Argumenten als Prämisse verwendet werden kann. Eine Argumentform, bei der eine Prämisse eine probabilistische Aussage enthält, heißt statistischer Syllogismus. Z Prozent aller F sind G. a ist ein F. _______________________ a ist ein G. Man kann sich die Angabe des Anteils oder der Prozentzahl auch als eine spezielle Art von Quantor vorstellen, der einer Implikation vorsteht. Die erste Prämisse könnte dann so formuliert werden: "Für Z Prozent der Fälle gilt: Wenn ein Element x die Eigenschaft F besitzt, dann besitzt es auch die Eigenschaft G." Die Umformulierung macht uns auf einen wichtigen Aspekt aufmerksam. Die Aussage "Mit einer Wahrscheinlichkeit von Z Prozent ist ein F auch ein G." ist nicht äquivalent zur Aussage "Jedes F ist mit einer Wahrscheinlichkeit von Z Prozent

Kapitel 9 Probabilistische Hypothesen und die Logik eines statistischen Tests

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ein G." Ein F kann nur ein G sein oder nicht. Ein bestimmtes Objekt kann eine Eigenschaft nur besitzen oder nicht besitzen, es kann sie aber nicht mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit besitzen. Aber aus einer bestimmten Menge von Objekten können wir mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit zufällig ein bestimmtes Objekt herausziehen, das diese Eigenschaft besitzt. Dies ist der Grund, warum in der obigen allgemeinen Form des statistischen Syllogismus die Konklusion "a ist ein G." heißt und nicht – wie mancher vielleicht erwartet hat – "a ist mit einer Wahrscheinlichkeit von Z Prozent ein G." Die Konklusion eines Arguments muss eindeutig entscheidbar wahr oder falsch sein, sie kann daher keine Wahrscheinlichkeitsaussage sein. Die Wahrscheinlichkeit, mit der die Implikation der Prämisse zutrifft, taucht daher im Argument nicht in der Konklusion auf, sondern bezieht sich auf das Argument selbst, d.h. auf die Wahrscheinlichkeit, mit der uns das Argument eine wahre Konklusion liefert. Man könnte diese Argumentform in der Darstellung von der üblichen z.B. auf folgende Weise abheben. Z Prozent aller F sind G a ist ein F

ª Z Prozent a ist ein G In diesem Argument wird von der ersten Prämisse "a ist ein F.", die die Randbedingung darstellt, mit Hilfe der zweiten Prämisse, der probabilistischen 'Gesetzesaussage' "Z Prozent aller F sind G.", in Z Prozent der Anwendungsfälle des Arguments korrekt auf die Konklusion "a ist ein G." geschlossen. Offensichtlich kann das Popper'sche Falsifikationskriterium nicht zur Prüfung probabilistischer Aussagen angewandt werden. Da die Konklusion nicht notwendig aus den Prämissen gefolgert werden kann, können umgekehrt die Prämissen nicht in jedem Fall abgelehnt werden, wenn die Konklusion nicht zutrifft. Popper führt das Falsifikationskriterium in Bezug auf Allaussagen ja ein, weil diese zwar nicht verifiziert, aber immerhin falsifiziert werden können. Existenzaussagen hingegen können immer verifiziert aber niemals falsifiziert werden. Probabilistische Aussagen können nun weder verifiziert noch falsifiziert werden. Da nach Popper der empirische Gehalt einer Aussage dem Umfang der Menge ihrer Falsifikationsmöglichkeiten entspricht, müssten seiner Meinung nach Wahrscheinlichkeitsaussagen als empirisch gehaltlos und damit nicht sinnvoll abzulehnen sein. Dem widerspricht jedoch der große prognostische Erfolg, den Wahrscheinlichkeitsaussagen insbesondere in der Physik haben. Popper spricht in diesem Zusammenhang davon, dass im Rahmen der Theorie sehr unwahrscheinliche Ereignisse so behandelt werden sollten als würden sie durch die Theorie verboten. Popper nennt diese Art des Vorgehens 'praktische Falsifikation' (Popper 1989: 146). Diese Vorgehensweise entspricht weitgehend der Logik eines statistischen Tests, wie sie von R.A. Fisher entwickelt wurde. Nach Fisher sollte eine statistische Hypothese, die

Praktische Falsifikation

98

Kapitel 9 Probabilistische Hypothesen und die Logik eines statistischen Tests

üblicherweise als Nullhypothese H0 bezeichnet wird, dann abgelehnt werden, wenn Beobachtungen gemacht werden, die nach der Hypothese relativ zu anderen Beobachtungen nur mit geringer Wahrscheinlichkeit auftreten dürften. Man kann die Argumentform eines statistischen Tests demnach folgendermaßen skizzieren. Wenn H0 wahr ist, dann tritt ein Ereignis e nur mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit ein. Das Ereignis e wird beobachtet. _________________________________________________________________ Die Nullhypothese ist nicht wahr. Tritt ein solches unwahrscheinliches Ereignis e auf, so wird sein Vorkommen als signifikant bezeichnet und die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens als das Signifikanzniveau, auf dem der Test zur Ablehnung der Nullhypothese geführt hat. Beispiel: Probabilistische Wahrscheinlichkeit Um eine statistische Hypothese gezielt zu überprüfen, wird für eine vorab ausgezeichnete Klasse von Ereignissen e, die man die Teststatistik nennt, die Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet. Doch oft ist es alles andere als eindeutig, wie eine solche Teststatistik zu konstruieren ist. Betrachten wir das folgende Beispiel: Wenn ein Ziegel vom Dach fällt und in 1000 Splitter zerspringt, dann ist unter Zufallsbedingungen eine bestimmte Verteilung der Splittergröße und –form und ihrer Lage der und der Art nur mit einer äußerst geringen Wahrscheinlichkeit, die als nahezu Null betrachtet werden muss, zu erwarten. Das tatsächlich aufgetretene Muster beim Zerspringen des Ziegels muss als ein nahezu unmögliches Ereignis angesehen werden, d.h. bevor das Ereignis eingetreten ist, war die Wahrscheinlichkeit, dass es genau so eintreten würde, praktisch gleich Null. Die Verteilung der Größe, der Form und der Lage der Splitter entspricht gerade der und der Form. _______________________________________________________________________ Das Muster, in das der Ziegel zerfallen ist, kann nicht durch Zufall zustande gekommen sein. Wir würden daher möglicherweise daraus folgern, dass die Anordnung der Splitter, da sie nicht durch Zufall zustande gekommen sein kann, kausal verursacht sein muss. Ein 'naiver' Betrachter könnte dann weiter vermuten, dass eine Art von 'Ziegelgott' geben muss, der dieses Ereignis bewusst herbeigeführt hat. Er könnte annehmen, dass der Ziegelgott zwar möglicherweise unter den übrigen Göttern eine eher untergeordnete Rolle einnimmt, aber seine Aufgabe bei der bewussten Anordnung von einzelnen Splittern eines Ziegels doch sehr effektiv und vor allem mit großem Arbeitseinsatz bewältigt. Davon aufs Äußerste beeindruckt, würde er sich möglicherweise sogar hinreißen lassen, einen Tempel zu bauen, um diesem Ziegelgott auf die angemessene Weise seine Ehrerbietung zu zeigen. Die obige Argumentform könnten wir auch als teleologischen Fehlschluss bezeichnen, und wir würden in der Geschichte der Menschheit schnell fündig werden, wenn wir nach Fällen suchten, in der sie angewandt wurde. Die schiere 'Unwahrscheinlichkeit' bestimmter historischer Entwicklungen etwa verleitet uns oft fälschlicherweise dazu, diese

Kapitel 9 Probabilistische Hypothesen und die Logik eines statistischen Tests

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als verursacht anzunehmen. Doch das Ziegelbeispiel zeigt, wie unangemessen dieser Schluss ist. Jede Anordnung der Ziegelsplitter wäre nahezu unmöglich gewesen und hätte daher zur Ablehnung der Zufallshypothese führen müssen. Es kann also nicht damit getan sein, eine Hypothese allein deswegen abzulehnen, weil ein beobachtetes Ereignis im Lichte der Hypothese als unwahrscheinlich einzustufen ist. Die Wahrscheinlichkeit, mit der wir auf ein derartiges 'unwahrscheinliches' Ereignis treffen würden, wäre in unserem Beispiel nämlich sehr hoch, um genau zu sein, wäre sie 1, d.h. das Eintreffen eines unwahrscheinlichen Ereignisses, das mit der Hypothese in Widerspruch gerät, wäre nicht nur äußerst wahrscheinlich, sondern sicher. Wir müssen unsere Teststatistik daher so anlegen, dass wir eine Klasse aller unwahrscheinlichen Ereignisse bilden, durch die wir die Hypothese als abgelehnt betrachten, und nur dann, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines beliebigen Ereignisses aus dieser Klasse als sehr gering einzustufen ist und wir tatsächlich eines der Ereignisse aus dieser Klasse beobachten, nur dann wollen wir die Hypothese als widerlegt betrachten. Leider wird diese Regel in der empirischen Praxis oft missachtet. Nichts ist einfacher als so genannte signifikante Ergebnisse in einem statistischen Test zu erzielen. Dabei sind diese Ergebnisse häufig alles andere als signifikant im Sinne inhaltlicher Relevanz, und sie sind es auch nicht im Sinne eines korrekt durchgeführten statistischen Tests.

Ende Beispiel

Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des unwahrscheinlichen Ereignisses e ist gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit, mit der wir die Nullhypothese aufgrund von e ablehnen, obwohl sie zutrifft, denn genau in dem durch die Wahrscheinlichkeit genannten Umfang tritt e ja ein, wenn die Nullhypothese zutrifft. Daher nennen wir diese Wahrscheinlichkeit auch Irrtumswahrscheinlichkeit.

Irrtumswahrscheinlichkeit

Die Unwahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter Annahme der Nullhypothese wird als Grund für ihre Zurückweisung betrachtet, da implizit angenommen wird, dass dieses Ereignis unter einer anderen Hypothese mit einer wesentlich höheren Wahrscheinlichkeit auftreten würde und dass daher die Ursache, die in der anderen Hypothese auftritt, eher die wahre Ursache des Ereignisses ist als die in der Nullhypothese genannte. Ähnlich argumentiert Popper, wenn er umgekehrt die Fähigkeit einer Theorie, riskante d.h. 'unwahrscheinliche' Prognosen hervorzubringen, als besonders starkes Bewährungskriterium wertet. Denn 'unwahrscheinlich' und gewagt sind diese Prognosen natürlich nur dann, wenn die besagte Theorie nicht zutrifft. In einem solchen Fall wäre auch das Überleben der Theorie unwahrscheinlich. Trifft die Theorie jedoch tatsächlich zu, dann sind diese Prognosen keineswegs unwahrscheinlich, sondern treten zwangsläufig, d.h. mit Sicherheit, ein.

Formulierung einer Null-

Die Logik des statistischen Tests unterscheidet sich allerdings in einem wichtigen Punkt vom ursprünglichen Programm des Falsifikationismus. Es ist bei statistischen Tests üblicherweise nicht die in den Prämissen enthaltene Nullhypothese, die sich bewähren soll, sondern die Gegenthese zu ihr, die üblicherweise als H1 bezeichnet wird. Wenn wir z.B. mit einem statistischen Test belegen wollen, dass ein Zusammenhang zwischen zwei Variablen besteht, dann gehen wir üblicherweise so vor, dass wir zu widerlegen versuchen, dass kein Zusammenhang zwi-

Logik eines statistischen Tests verwendet quasi

hypothese

spiegelverkehrte Vorgehensweise zum Popperschen Falsifikationskriterium

100

Kapitel 9 Probabilistische Hypothesen und die Logik eines statistischen Tests

schen den Variablen zu erkennen ist. Nehmen wir an, wir haben die Hypothesen "Männer wählen häufiger konservative und rechte Parteien als Frauen." Zur Untersuchung dieser Hypothese wird ein statistischer Test unternommen. Allerdings prüft der statistische Test nicht die These selbst, die in diesem Fall H1 wäre, sondern die Nullhypothese H0 "Männer wählen genau so häufig konservative und rechte Parteien wie Frauen." Wird durch den Test die Nullhypothese zurückgewiesen, wird im Umkehrschluss H1 als bewährt angesehen. Es wird oft übersehen, dass dieses Vorgehen eben nicht eine einfache Ausweitung der Popper'schen Theorie auf probabilistische Hypothesen ist, sondern in gewisser Weise eine spiegelverkehrte Version derselben darstellt. Die Vorgehensweise bei einem statistischen Test erinnert an die Struktur eines indirekten formalen Beweises. Dieser geht davon aus, dass der Satz, der bewiesen werden soll, falsch ist und leitet daraus einen logischen Widerspruch ab. Nullhypothese ermöglicht Verwendung einer Teststatistik

Der Grund, warum wir uns bei statistischen Tests meistens auf die Prüfung der Nullhypothese beziehen, ist einfach anzugeben. Die Nullhypothese verkörpert die Annahme, dass beobachtete Unterschiede auf zufälligen Schwankungen beruhen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Größen dieser Schwankungen lässt sich mit stochastischen Methoden berechnen. Daher können wir diese Abweichungen als Teststatistiken einsetzen, denn die wichtigste Eigenschaft einer Teststatistik besteht darin, dass ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt ist. Es ist jedoch häufig wesentlich schwieriger, die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Teststatistik entsprechend der H1-Hypothese zu berechnen. Nehmen wir an, unsere Nullhypothese lautet, dass Männer und Frauen gleich groß sind. Wir können nun ohne weiteres eine Teststatistik berechnen, die angibt, wie unwahrscheinlich die tatsächlich beobachteten Größenunterschiede zwischen zwei zufällig gebildeten Gruppen von Männern und Frauen sind. Aufgrund dieses Ergebnisses würden wir die Nullhypothese, Männer seien gleich groß wie Frauen, ablehnen. Wir haben aber keine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit bestimmter Beobachtungen unter der Annahme zu berechnen, Männer und Frauen seien verschieden groß, solange wir diese H1-Hypothese nicht in einer Weise explizit machen, die es uns erlauben würde, eine bezüglich der H1-Hypothese bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung von Beobachtungen zu berechnen. Dies wäre z.B. möglich, wenn wir als H1Hypothese formulieren würden, Männer seien im Mittel 10 cm größer als Frauen, und sowohl innerhalb der Gruppe der Männer und der Gruppe der Frauen gäbe es ansonsten zufällige Schwankungen der Körpergröße. Um die Popper'sche Methode des Falsifikationismus auch auf probabilistische Hypothesen korrekt zu übertragen, sollten wir daher immer anstreben, auch die Test-Statistik im Sinne der H1-Hypothese zu berechnen, wenn dazu eine Möglichkeit gegeben ist. Einen Schritt in diese Richtung geht die Weiterentwicklung der Logik eines Signifikanztests durch Neyman und Pearson und so genannte bayesianische Methoden der Hypothesenprüfung.

Kapitel 10 Erklären und Verstehen

101

10 Erklären und Verstehen Wenn wir bisher allgemein von Erklärungen gesprochen haben, so verstanden wir dabei meist kausale Erklärungen, ohne dies explizit hervorzuheben. Kausale Erklärungen verknüpfen eine Ursache mit einer Wirkung. Dabei geht die Ursache der Wirkung zeitlich voraus und die Wirkung ist eine notwendige Folge der Ursache. Naturwissenschaftliche Erklärungen fußen ausschließlich auf kausalen Erklärungen. Wie in dem Kapitel über Induktion angesprochen, gibt es keine logische Verknüpfung zwischen Ursache und Wirkung, beide sind logisch voneinander unabhängig. Der Glaube an die Notwendigkeit der Abfolge der beiden Ereignisse beruht, wie Hume gezeigt hat, auf Gewohnheit. Wir sind, da wir nur unsere Beobachtungen zur Interpretation der Ereignisse heranziehen können, darauf beschränkt, lediglich eine äußere Koinzidenz zweier Klassen von Ereignissen festzustellen. Obwohl wir immer nur diesen äußeren Zusammenhang erfassen können, so haben wir intuitiv doch oft das Gefühl, dass es auch einen inneren Zusammenhang zwischen Ursache und Wirkung geben muss. Man kann wohl sogar sagen, dass es die Vorstellung eines inneren Zusammenhangs ist, die das Konzept der Kausalität ursprünglich überhaupt erst entstehen ließ. Die Vorstellung, dass etwas verursacht ist, setzte in den Anfängen menschlichen philosophischen Denkens einen Willensakt voraus. Die ersten Erklärungen von Naturphänomenen wie Stürmen, Gewittern, aber auch den Bewegungen der Planeten griffen immer auf Willkürakte bestimmter Gottheiten zurück. Dies sind Vorstellungen, die sich in alten Mythen, seien es babylonische, indische, ägyptische oder griechische, wieder finden lassen, genauso wie in der Naturphilosophie des Aristoteles, der jede Bewegung als verursacht ansah und als letzten Grund des Kosmos daher folgerichtig die Existenz eines ersten Bewegers ableitete. Auch Kleinkinder entwickeln ihr Kausalitätsschema im frühen Alter durch die Entdeckung, dass sie selbst in der Lage sind, manipulativ in ihre Umwelt einzugreifen (Piaget 1988). Ebenso gehen so genannte emergenzphilosophische Anschauungen davon aus, dass ein innerer Zusammenhang zwischen Ursache und Wirkung besteht. Die Wirkung ist dabei immer schon in der Ursache enthalten als deren Potenzial, sich zu verwirklichen. Die Wirkung schlummert dieser Sichtweise entsprechend sozusagen in der Ursache, um sich dann aus ihr heraus zu entfalten.

Annahme kausaler Zusammenhänge ist urmenschliches Bedürfnis

Charakteristisch für die neuzeitliche Naturphilosophie hingegen ist die Reduktion des Kausalzusammenhangs auf seinen äußeren Aspekt. Unter anderem als Folge davon entwickelt sie sich erst zur Naturwissenschaft. Allerdings behielten gewisse Konzepte auch der neuzeitlichen Wissenschaft oft einen animistischen Zug, so wie der ominöse Begriff der Kraft, die sich zuweilen bis ins 20. Jahrhundert als Atavismen einer von Geistern und Dämonen beherrschten Naturauffassung hinüberretten konnten. Die 'Entzauberung der Welt', der Verzicht auf den inneren Zusammenhang zwischen Ereignissen, der durch göttliche Willkürakte hergestellt wurde, ist gleichzeitig notwendige wie hinreichende Bedingung für die Entwicklung einer Wissenschaft, die ihr primäres Ziel darin sieht, die Grundlage zur Entwicklung bestimm-

Verzicht auf Verständnis des inneren Zusammenhangs: Entzauberung der Welt

102

Kapitel 10 Erklären und Verstehen

ter technischer Verfahren zu stellen, die ihrerseits der Förderung des allgemeinen Wohlstands dienen sollen. Es genügt, den äußeren Zusammenhang zwischen bestimmten Ereignissen zu erfassen, um Maschinen oder Institutionen zu bauen, bei denen eine bestimmte Ursache bewusst manipulativ eingesetzt wird, um eine bestimmte Wirkung hervorzurufen. Für die Effizienz der Maschine ist es unerheblich, wie der innere Zusammenhang zwischen den Ereignissen aussieht oder ob es einen solchen überhaupt gibt. Für unser Verständnis eines beobachteten Zusammenhangs jedoch ist der innere Aspekt bedeutend, der zu erklären vermag, warum dieser Zusammenhang überhaupt besteht. Dies kann dadurch geschehen, dass wir einen bestimmten gesetzesähnlichen Zusammenhang auf einen allgemeineren gesetzesähnlichen Zusammenhang zurückführen. Dadurch gewinnt unsere Erklärung an Tiefe, und wir gewinnen ein weitergehendes Verständnis für das Wirken des kausalen Mechanismus. Keine natürliche letzte Ebene in der Begründung in den Naturwissenschaften

Natürliche letzte Ebene der Begründung in den Sozialwissenschaften: sinnhaftes menschliches Handeln

Teleologische Erklärung und praktischer Syllogismus

In den Naturwissenschaften erhöht sich so das Verständnis für ein Phänomen der höheren Ebene, wenn es durch Rückgriff auf tiefer liegende Ebenen erklärt werden kann. Gewisse thermodynamische Zusammenhänge, die nur auf der Makroebene beobachtet werden können, z.B. die Volumenveränderungen von Gasen durch Erwärmung, können durch die Rückführung auf eine allgemeinere und tiefere Ebene, in diesem Fall die der Brown'schen Molekularbewegung, besser verstanden werden. Der Prozess der Rückführung auf tiefere Ebenen findet jedoch kein logisches Ende. Das derzeitige Ende ist immer das des aktuellen Forschungsstandes. Auf der letzten, derzeit zur Verfügung stehenden Erklärungsebene, müssen die beobachteten Zusammenhänge schlicht akzeptiert werden; sie selbst können nicht mehr erklärt werden. In den Sozial- und Humanwissenschaften hingegen gibt es eine 'natürliche' logisch letzte Ebene der Erklärung, die sich aus der Selbstdefinition des Fachs ergibt. Dies ist diejenige des sinnhaften menschlichen Handelns, wie es z.B. Max Weber verstanden hat (Weber 1988). Im Unterschied zur Naturwissenschaft müssen wir Zusammenhänge auf dieser letzten Ebene nicht einfach akzeptieren, sondern können sie, indem wir ihnen einen Sinn unterstellen, "deutend verstehen" (Weber 1988: 542). Wir vertiefen z.B. unser Verständnis des Verhaltens eines sozialen Systems, wenn es mit Hilfe von individuellen Handlungen erklärt werden kann, die wir wiederum verstehen können. Wir können Handlungen erklären, indem wir auf den Zweck verweisen, der mit der Handlung offensichtlich oder vermutlich verfolgt werden sollte. Solche Erklärungen, die sich auf intentionale Akte beziehen, nennen wir teleologische Erklärungen. Eine Schlüsselrolle für diese Art von Erklärungen spielt der so genannte praktische Syllogismus.

Kapitel 10 Erklären und Verstehen

103

Die Person A beabsichtigt, den Zustand e herbeizuführen. A weiß, dass der Zustand e nur dann eintreten kann, wenn A die Handlung p vollzieht. _________________________________________________________________ A vollzieht die Handlung p. Der praktische Syllogismus ist keine logische Argumentform. Mit Hilfe des praktischen Syllogismus können wir aus den Absichten einer Person auf ihre Handlungen schließen. Wenn wir wissen, dass eine bestimmte Person gewisse Ziele verfolgt und dass diese Person glaubt, dass nur ein bestimmtes Mittel dieses Ziel verwirklichen kann, dann vermuten wir, dass die Person dieses Mittel einsetzen wird. Um das konkrete Mittel, die konkrete Handlung korrekt vorauszusagen, muss die Handlung die einzige sein, die zur Erreichung des Ziels geeignet ist. In den meisten Fällen ist es jedoch so, dass mehrere Handlungen zur Erreichung eines Ziels eingesetzt werden können. Wir können uns in solchen Fällen eine Handlung auch dann erklären, wenn das eingesetzte Mittel eines von mehreren ist, die alle gleichermaßen geeignet sind, das Ziel zu verwirklichen. Erklärungen in Argumentform werden auf zweierlei Weise angewandt. Der Sinn, in dem wir sie bisher erläutert haben, war der folgende: Wenn die Konklusion vorliegt und die Prämissen vorliegen, dann können wir das Vorliegen der Konklusion durch das Vorliegen der Prämissen hinreichend erklären. Häufig ist es jedoch der Fall, dass nur die Konklusion vorliegt und wir nach Erklärungen für das Vorliegen der Konklusion suchen. Denken wir wieder an das Beispiel der nassen Straße. Wenn wir wissen, dass es geregnet hat oder dass die Straßenreinigung heute früh unterwegs war, dann können wir uns damit erklären, dass die Straße nass ist. Wenn wir nur feststellen, dass die Straße nass ist, können wir nur Vermutungen anstellen, warum dies der Fall ist, wir suchen nach plausiblen Erklärungen. Eine plausible Erklärung könnte sein, dass es heute Nacht geregnet hat. Wenn es allerdings gestern ein schöner Abend war, dann kommt uns diese Vermutung nicht sehr nahe liegend vor. Wenn wir uns jetzt erinnern, dass heute Dienstag ist und jeden Dienstag früh die Straßenreinigung kommt, dann werden wir dies für die plausiblere und wahrscheinlichere Erklärung halten. Diese Ableitung der plausibelsten Erklärung für das Auftreten eines beobachteten Ereignisses ist eine neue Art der Ableitung und wurde von dem Philosophen Charles Sanders Peirce daher mit einem eigenen Namen, Abduktion, bedacht. Wie wir am Beispiel der nassen Straße gesehen haben, hängt, was wir für die plausibelste Erklärung einer Beobachtung halten, vom Hintergrundwissen ab, über das wir verfügen. Gerade bei Handlungen suchen wir häufig nach der plausibelsten Erklärung. Die schon früher angeführte Metapher des Detektivs kann auch hier wieder weiterhelfen. Meist steht ja der Detektiv vor der Aufgabe, die Gründe für eine schon verübte Handlung, das Verbrechen, zu finden. Ein Mord z.B. kann aus vielerlei

Zwei Möglichkeiten der Verwendung von Argumenten: 1. Erklärung der Konklusion aus Vorliegen der Prämissen 2. Keine eindeutigen Prämissen vorhanden – Suche nach plausibler Erklärung ("Abduktion")

104

Kapitel 10 Erklären und Verstehen

Gründen begangen werden, Habgier, Eifersucht, Neid usw. Die Suche nach dem Motiv ist gleichzusetzen mit der Suche nach der plausibelsten Erklärung. Wenn der Ermordete ein alter und armer Mann ist, dann schließen wir Habgier als Motiv aus, weil niemand finanziell von seinem Tod profitiert. (Anders verhält es sich natürlich, wenn wir erfahren, dass der Sohn kurz zuvor eine Lebensversicherung für das Opfer abgeschlossen hat, die ihn begünstigt.) Ist das Opfer eine schöne, junge Frau, von der wir zudem erfahren, dass sie ein bewegtes Liebesleben hatte, dann können wir uns gut vorstellen, dass Eifersucht ein Motiv gewesen sein könnte. Das Verstehen von Motiven hilft uns bei der Suche nach der Erklärung der Tat. Was bei naturwissenschaftlichen Gesetzen die geniale Intuition des Wissenschaftlers bewirkt, die ihn befähigt, die Form der Zusammenhänge zu erahnen, das bewirkt in den Sozialwissenschaften bei der Erklärung von menschlichen Handlungen das Einfühlungsvermögen, aufgrund dessen wir die Handlungen verstehen und somit auch erklären können.

Teil B

Statistik

11 Die Urliste, absolute und relative Häufigkeiten Eine der Hauptaufgaben der Statistik besteht darin, den ansonsten unübersichtlichen Datenwust in einer Form zu präsentieren, die übersichtlich ist, Komplexität reduziert und somit eine intuitive Erfassung des Wesens der Daten ermöglicht. Mit Hilfe der deskriptiven Statistik können – wie der Name schon sagt – mit sparsamen Mitteln Daten beschrieben werden. Sie hat den Vorteil, dass die wichtigen und charakteristischen Eigenschaften einer Menge von Daten so abgebildet werden, dass wir auf einen Blick die Struktur der Daten erkennen können. Die deskriptive Statistik vermittelt uns ein Gefühl der Vertrautheit mit den Daten, weil wir sehen können "was Sache ist". Außerdem stößt sie oft in den Bereich der so genannten explorativen Datenanalyse vor, indem sie uns zu Vermutungen über Zusammenhänge zwischen den Daten bringt, die uns auf Grund der deskriptiven Aufbereitung der Daten ins Auge fallen. Die Anwendung der Methoden der deskriptiven Statistik ist in diesem Fall der erste Schritt zur Bildung neuer Hypothesen, die wir dann mit den geeigneten Methoden der inferenziellen oder induktiven Statistik näher untersuchen können. Das Wesen jeder wissenschaftlichen Untersuchung besteht darin, von Einzelaussagen zu abstrahieren und zu Aussagen über Gesamtheiten bzw. Gruppen zu gelangen, wobei diese wiederum auf singuläre Aussagen zurückzuführen sind. Die einfachste mögliche Aussage, die man auch als elementar oder atomar bezeichnen kann, beruht auf der Zuweisung eines Merkmals zu einem Objekt, das wir deshalb auch einen Merkmalsträger nennen. Der Satz 'Johannes hat blaue Augen.' lässt sich z.B. kürzer formal in der Schreibweise der Prädikatenlogik mit 'Pa' darstellen, wobei das Prädikat P für 'Hat blaue Augen' stehen würde und das Objekt a für 'Johannes'. Genau die gleiche Information könnten wir auch tabellarisch in folgender Form darstellen. Tabelle 11.1: Einfache Urliste Name

Augenfarbe

Johannes

blau

Diese Darstellung mag für einen einzelnen Satz etwas übertrieben aufwendig scheinen, aber ihre Zweckmäßigkeit offenbart sich schnell, wenn es um die Darstellung einer großen Menge von elementaren Aussagen geht, die alle dasselbe Prädikat enthalten, also sich alle auf dieselbe Eigenschaft beziehen. Anstelle von 'Johannes hat blaue Augen', 'Nathalie hat grüne Augen', 'Peter hat braune Augen' usw. können wir auch tabellarisch schreiben:

Einfachste Aussage: Zuweisung eines Merkmals zu einem Objekt

106

Kapitel 11 Die Urliste, absolute und relative Häufigkeiten

Tabelle 11.2: Erweiterte Urliste

Urliste

Name

Augenfarbe

Johannes

blau

Nathalie

grün

Peter

braun

Michael

blau

Matthias

blau

Joachim

braun

Sabine

grau

Angelika

grün

Thomas

blau

Heike

braun

Udo

blau

Christian

blau

Die erste Spalte der Tabelle enthält die Namen, die der Identifizierung der Objekte bzw. der Merkmalsträger dienen. Die zweite Spalte der Tabelle enthält die beobachteten Merkmale bzw. Eigenschaften selbst. Eigenschaften nennen wir in der Statistik auch Variablen. Die Datenmenge, die die Ausprägungen von einer Variablen für eine Menge von Objekten enthält, nennen wir die Urliste, die Rohdaten oder Primärdaten. Die Urliste ist nie nur eine Sammlung von Werten einer Variablen, sondern enthält immer eine Verknüpfung der Werte mit den Objekten, an denen sie erhoben wurden. Diese Verknüpfung kann explizit sprachlich ausgedrückt sein wie in 'Johannes hat blaue Augen' oder durch die Definition der Tabellenstruktur, dass Zeilen immer Fällen (= Objekten) und Spalten immer Variablen (= Eigenschaften) entsprechen. Die Urliste ist daher nichts anderes als ein systematisch angelegtes Protokoll unserer empirischen Erfahrungen mit der realen Welt. Die Rohdaten sind gewissermaßen die Rückbindung unserer Aussagen an die Wirklichkeit und gewährleisten auf diese Weise die 'Bodenhaftung' unserer Forschung. Wissenschaftliche Aussagen jedoch, um deren Gewinnung es uns schließlich geht, zeichnen sich durch einen mehr oder weniger großen Grad von Abstraktheit und Allgemeinheit aus. Wissenschaftliche Aussagen lösen sich somit sukzessive von der Objektebene und gelangen im Idealfall zu Sätzen, die nur noch von Eigenschaften oder – genauer gesagt – von Beziehungen zwischen verschiedenen Eigenschaften handeln. Während besondere Sätze immer aus Verknüpfungen von Individualien und Universalien bestehen, enthalten allgemeine Sätze nur noch Universalien.

Kapitel 11 Die Urliste, absolute und relative Häufigkeiten

107

Die erste Stufe der Verallgemeinerung ist die Zusammenfassung der einzelnen Absolute und relative Häufigkeitsverteilung Beobachtungen zu einem Gesamteindruck. Dazu bilden wir die absoluten und relativen Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen in einer Gruppe. Obwohl unsere Beispielgruppe aus zwölf Personen besteht und es demnach zwölf Werte der Variablen 'Augenfarbe' gibt, treten doch nur vier verschiedene Augenfarben auf. Als absolute Häufigkeit einer Ausprägung bezeichnen wir die Anzahl des Vorkommens der Variablenwerte mit dieser Ausprägung. Die Darstellung aller absoluten Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen aller Merkmalsträger einer Gruppe nennen wir die absolute Häufigkeitsverteilung. Als relative Häufigkeit einer Ausprägung wird der Anteil der Werte mit dieser Ausprägung an allen Werten bezeichnet. Die relative Häufigkeitsverteilung ist die Gesamtdarstellung aller relativen Häufigkeiten aller vorkommenden Ausprägungen. Relative Häufigkeiten können auch in Prozent angegeben werden. Den entsprechenden Wert erhält man durch Multiplikation der relativen Häufigkeit mit 100. Die absolute und relative Häufigkeitsverteilung für unser Beispiel sind in der folgenden Tabelle zu sehen. Tabelle 11.3: Absolute und relative Häufigkeiten relative Häufigkeit*

Augenfarbe

absolute Häufigkeit

relative Häufigkeit (in Prozent)

blau

6

0,5

50

grün

2

0,17

17

braun

3

0,25

25

grau

1

0,08

8

(*auf zwei Kommastellen gerundet)

Oft werden in wissenschaftlichen Texten nur die relativen Häufigkeiten angegeben, da in der Regel nur die Verhältnisse des Auftretens verschiedener Werte interessieren und diese mit den relativen Häufigkeiten am schnellsten erfasst werden können. In diesem Fall muss aber unbedingt die Fallzahl, auf die sich die relativen Häufigkeiten beziehen, mit angegeben werden. Üblicherweise wird die Fallzahl mit n bezeichnet. Streng genommen ist die Häufigkeitsverteilung der Merkmalsausprägungen der Aggregation von individuellen MerkmalsausMitglieder einer Gruppe keine echte Verallgemeinerung, sondern lediglich eine prägungen aggregierte Darstellung der individuellen Sachverhalte. Dabei wird zwar vom Einzelindividuum abstrahiert, aber die Häufigkeitsaussagen beziehen sich immer auf eine spezifische Gruppe, die dadurch definiert ist, dass sie sich genau aus den betreffenden Einzelfällen zusammensetzt. Wenn wir von Variablen in einem ganz allgemeinen Sinn sprechen, d.h. wenn wir Formale Darstellung von Variablen z.B. über Eigenschaften einer bestimmten Sorte von Variablen sprechen (etwa über Variablen eines bestimmten Skalenniveaus) bietet es sich an, als Variablennamen kurze und semantisch sinnlose Zeichen oder Zeichenketten zu verwenden. Es hat sich daher eingebürgert, für die allgemeine Darstellung von Variablen, ins-

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Kapitel 11 Die Urliste, absolute und relative Häufigkeiten

besondere in Formeln, große Buchstaben wie z.B. X oder Y zu verwenden. Werte oder Ausprägungen einer Variablen werden mit kleinen Buchstaben dargestellt. Um die Zuordnung eines Variablenwertes zu einem bestimmten Objekt zu zeigen, werden die Objekte einfach durchnummeriert und die Werte mit der Zahl, die dem entsprechenden Objekt zugeordnet ist, als Index versehen. Der Variablenwert xi ist demnach die Ausprägung der Variablen X des i-ten von insgesamt n Objekten. In unserem Beispiel von oben ist Peter die dritte Person in der Urliste. Peter hat braune Augen. Wenn X die Variable 'Augenfarbe' ist, hätte das Symbol x3 hier die Ausprägung des dritten Objekts (braun). Die verschiedenen logisch möglichen Ausprägungen einer Variablen werden mit dem kleinen Buchstaben a gekennzeichnet. Auch die Ausprägungen werden indiziert, wobei der Index j besagt, dass es sich bei der Ausprägung aj um die j-te Ausprägung aller möglichen Ausprägungen handelt. In unserem Beispiel hat die Variable 'Augenfarbe' vier mögliche Ausprägungen, nämlich 'blau', 'grau', 'grün' und 'grau'. Diese ließen sich darstellen als a1 (blau), a2 (grau), a3 (grün) und a4 (grau). Die Anzahl aller vorkommenden Ausprägungen wird mit k bezeichnet. Sowohl die absolute wie auch die relative Häufigkeit können als Funktionen der Ausprägungen aufgefasst werden, da sie jedem Wert der Menge aller möglichen Ausprägungen einen bestimmten Funktionswert eindeutig zuordnen. Üblicherweise wird die absolute Häufigkeit der Ausprägung aj als h(aj) geschrieben, und die relative Häufigkeit wird als f(aj) notiert. Die formale Definition der absoluten Häufigkeit sieht folgendermaßen aus:

hj

n

¦ V(x ,a ) i

j

i 1

mit ª¬ V(xi ,a j ) 1º¼ œ (xi a j ) und ª¬ V(xi ,a j ) 0 º¼ œ (xi z a j )

(11.1)

Hierbei ist V eine Vergleichsfunktion. Sie vergleicht die Werte xi und aj und nimmt den Wert 1 an, wenn sie gleich, den Wert 0, wenn sie verschieden sind. Im folgenden Kasten sind alle eingeführten formalen Notationen noch einmal zusammenfassend dargestellt.

Kapitel 11 Die Urliste, absolute und relative Häufigkeiten

Kasten 11.1: Sammlung formaler Notationen X

Variablenname

1, 2, 3 ... i ... n = {i | i  N, i d n}

Indexmenge der Objekte

xi

Wert der Variablen des i-ten Objekts

x1, x2, … xi … xn = {xi| i  N, i d n} Urliste, Rohdaten, Primärdaten 1, 2, 3 ... j ... k = {j| j  N, j d k}

Indexmenge der Merkmalsausprägungen

aj

j-te Merkmalsausprägung

h(aj) = hj

absolute Häufigkeit der Ausprägung aj

f(aj) = fj =

hj n

relative Häufigkeit der Ausprägung aj

h1, h2 ... hj ... hk

absolute Häufigkeitsverteilung

f1, f2 ... fj ... fk

relative Häufigkeitsverteilung

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Kapitel 12 Die grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen

12 Die grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen Häufigkeitsverteilungen lassen sich auch grafisch darstellen. Die Verwendung von Diagrammen hat den Vorteil, dass sich die Form einer Verteilung auf einen einzigen Blick erschließt und einem Besonderheiten einer Verteilung auffallen, die beim bloßen Durchsehen der tabellarischen Notation vielleicht übersehen worden wären. Die elementarste grafische Darstellung ist das so genannte Stabdiagramm. Den Ausprägungen der Variablen wird dabei auf einer horizontalen Achse ein bestimmter Ort zugewiesen, und die Häufigkeit der entsprechenden Ausprägung wird durch die Länge eines senkrechten "Stabes" wiedergegeben, dessen unteres Ende sich auf der horizontalen Achse befindet. Die Verteilung der Augenfarbe im obigen Beispiel sieht in einem Stabdiagramm dargestellt folgendermaßen aus: Stabdiagramm

Säulendiagramm

Abbildung 12.1: Stabdiagramm – Häufigkeitsverteilung der Augenfarbe

Säulendiagramme sind vollkommen analog zu Stabdiagrammen aufgebaut, lediglich wird hier die Häufigkeit durch die Höhe einer Säule dargestellt. Säulendiagramme (englisch: Bar Charts) sind die wohl am weitesten verbreitete Form von Diagrammen.

Kapitel 12 Die grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen

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Abbildung 12.2: Säulendiagramm 7 6 5 4 3 2 1 0 blau

grün

braun

grau

Balkendiagramme sind Säulendiagramme, bei denen die Achsen vertauscht sind, Balkendiagramm also die Ausprägungen auf der vertikalen Achse abgetragen werden und die Häufigkeiten durch die Länge horizontaler Balken abgebildet werden. Abbildung 12.3: Balkendiagramm grau braun grün blau 0

2

4

6

8

Auch wenn üblicherweise in Stab-, Säulen- oder