Genel Matematik

TC. ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ YAYINI NO: 1286 AÇIKÖ⁄RET‹M FAKÜLTES‹ YAYINI NO: 708

GENEL MATEMAT‹K

Yazarlar Prof.Dr. Yalç›n KÜÇÜK (Ünite 1, 2, 3, 4) Doç.Dr. Mehmet ÜREYEN (Ünite 5, 6, 7) Ö¤r.Gör.Dr. Nevin ORHUN (Ünite 8) Prof.Dr. Musa fiENEL (Ünite 9, 10, 14) Prof.Dr. Orhan ÖZER (Ünite 11, 12) Doç.Dr. Hüseyin AZCAN (Ünite 13)

Editör Prof.Dr. Orhan ÖZER

ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹

Bu kitab›n bas›m, yay›m ve sat›fl haklar› Anadolu Üniversitesine aittir. “Uzaktan Ö¤retim” tekni¤ine uygun olarak haz›rlanan bu kitab›n bütün haklar› sakl›d›r. ‹lgili kurulufltan izin almadan kitab›n tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kay›t veya baflka flekillerde ço¤alt›lamaz, bas›lamaz ve da¤›t›lamaz. Copyright © 2001 by Anadolu University All rights reserved No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic, tape or otherwise, without permission in writing from the University.

UZAKTAN Ö⁄RET‹M TASARIM B‹R‹M‹ Genel Koordinatör Prof.Dr. Levend K›l›ç Genel Koordinatör Yard›mc›s› Yard.Doç.Dr. Müjgan Bozkaya Ö¤retim Tasar›mc›s› Yard.Doç.Dr. Melih Zeytino¤lu Grafik Tasar›m Yönetmenleri Prof. T. Fikret Uçar Ö¤r.Gör. Cemalettin Y›ld›z Televizyon Programlar› Yöneticisi Doç.Dr. Feridun Akyürek Dil ve Yaz›m Dan›flmanlar› Yard.Doç.Dr. Hülya Pilanc› Ö¤r.Gör. fiennur Arslan Okt. Ayd›n F›nd›ko¤lu Ölçme De¤erlendirme Sorumlular› Ö¤r.Gör. Ayflegül Tokbudak Ö¤r.Gör. Meryem Akar Kitap Koordinasyon Birimi Yard.Doç.Dr. Feyyaz Bodur Uzm. Nermin Özgür Kapak Düzeni Prof. T. Fikret Uçar Dizgi Aç›kö¤retim Fakültesi Dizgi Ekibi

Genel Matematik ISBN 975 - 06 - 0031 - 2 4. Bask› Bu kitap ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ Web-Ofset Tesislerinde 150.000 adet bas›lm›flt›r. ESK‹fiEH‹R, Haziran 2004

iii

‹çindekiler

‹çindekiler Önsöz ......................................................................................................... vii Kullan›m K›lavuzu ..................................................................................... ix

Kümeler ve Say›lar ................................................................ 1

ÜN‹TE 1

KÜME KAVRAMI VE KÜME GÖSTER‹MLER‹ ........................................... 3 KÜME ‹fiLEMLER‹ ....................................................................................... 4 SAYI KÜMELER‹.......................................................................................... 7 SAYI EKSEN‹ .............................................................................................. 9 GERÇEL SAYILARDA SIRALAMA ÖZELL‹KLER‹........................................ 10 ARALIKLAR ................................................................................................. 10 ÜSLÜ VE KÖKLÜ ÇOKLUKLAR ................................................................ 13 Üslü Çokluklar ......................................................................................... 13 Köklü Çokluklar ......................................................................................... 14 MUTLAK DE⁄ER ........................................................................................ 15 Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 18 Biraz Daha Düflünelim ............................................................................... 19

Özdefllikler, Denklemler ve Eflitsizlikler.............................. 21

ÜN‹TE 2

DE⁄‹fiKEN, SAB‹T, PARAMETRE, ÖZDEfiL‹KLER VE DENKLEMLER...... 23 Efi‹TS‹ZL‹KLER............................................................................................. 27 Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 33 Biraz Daha Düflünelim ............................................................................... 34

Koordinat Düzlemi Do¤ru ve Parabol Denklemi..........35

ÜN‹TE 3

KARTEZYEN ÇARPIM.................................................................................. 37 KOORD‹NAT DÜZLEM‹.............................................................................. 37 GRAF‹KLER.................................................................................................. 38 DO⁄RU........................................................................................................ 43 Do¤runun E¤imi.......................................................................................... 44 Do¤ru Denklemleri.................................................................................... 45 ‹ki Noktas› Bilinen Do¤ru Denklemi......................................................... 45 Bir Noktas› ve E¤imi Bilinen Do¤ru Denklemi..........................................45 ‹ki Do¤runun Birbirlerine Göre Durumlar›............................................... 50 PARABOL..................................................................................................... 52 y = ax2 + bx + c Parabolünün Grafi¤i.................................................... 53 B‹R‹NC‹ VE ‹K‹NC‹ DERECEDEN ‹K‹ B‹L‹NMEYENL‹ Efi‹TS‹ZL‹KLER... 57 Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 60 Biraz Daha Düflünelim ............................................................................... 63

Fonksiyonlar............................................................................ 65 FONKS‹YON KAVRAMI............................................................................... 67 Bir Fonksiyonun Tan›m ve Görüntü Kümesinin Bulunuflu.......................69 Matematiksel Model Oluflturma.................................................................. 72 FONKS‹YONLARIN ÖZELL‹KLER‹............................................................. 74 FONKS‹YONLARLA YAPILAN CEB‹RSEL ‹fiLEMLER................................. 76

ÜN‹TE 4

iv

‹çindekiler

Bileflke Fonksiyon....................................................................................... 77 Ters Fonksiyon............................................................................................ 79 FONKS‹YON TÜRLER‹............................................................................... 82 Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 87 Biraz Daha Düflünelim ............................................................................... 89

ÜN‹TE 5

Limit ve Süreklilik.................................................................. 91 L‹M‹T KAVRAMI.......................................................................................... 93 Limit Özellikleri........................................................................................... 99 Tek Yönlü Limitler...................................................................................... 105 Süreklilik...................................................................................................... 109 Sürekli Fonksiyonlar›n Özellikleri.............................................................. 112 Kendimizi S›nayal›m ................................................................................... 115 Biraz Daha Düflünelim ............................................................................... 116

ÜN‹TE 6

Türev Kavram›........................................................................ 117 TÜREV KAVRAMI...................................................................................... 121 TÜREV KURALLARI.................................................................................... 125 TE⁄ET DENKLEM‹...................................................................................... 135 YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER.......................................................... 139 Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 141 Biraz Daha Düflünelim ............................................................................... 142

ÜN‹TE 7

Türev Uygulamalar›............................................................... 143 ARTAN VE AZALAN FONKS‹YONLAR....................................................... 145 YEREL MAKS‹MUM VE YEREL M‹N‹MUM................................................. 148 Birinci Türev Testi....................................................................................... 150 ‹kinci Türev Testi........................................................................................ 152 BÜKEYL‹K................................................................................................... 154 GRAF‹K Ç‹Z‹M‹........................................................................................... 156 Maksimum ve Minimum Problemleri........................................................ 161 Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 164 Biraz Daha Düflünelim ............................................................................. 164

ÜN‹TE 8

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar........................................ 165 ÜSTEL FONKS‹YONLAR............................................................................. 167 ÜSTEL FONKS‹YONLARIN GRAF‹⁄‹......................................................... 168 Üstel Fonksiyonlar›n Temel Özellikleri ..................................................... 170 LOGAR‹TM‹K FONKS‹YON....................................................................... 171 Logaritmik Fonksiyonun Grafi¤i................................................................. 172 Logaritman›n Temel Özellikleri.................................................................. 174 ÜSTEL VE LOGAR‹TM‹K FONKS‹YONLARIN TÜREVLER‹....................... 177 ÜSTEL VE LOGAR‹TM‹K FONKS‹YONLARIN EKONOM‹DEK‹ UYGULAMALARI......................................................................................... 181 Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 186

ÜN‹TE 9

Belirsiz ‹ntegral ...................................................................... 187 BEL‹RS‹Z ‹NTEGRAL TANIMI..................................................................... 189 TEMEL ‹NTEGRAL KURALLARI ................................................................. 190 BEL‹RS‹Z ‹NTEGRAL ALMA YÖNTEMLER‹ ............................................... 194

v

‹çindekiler

De¤iflken Dönüflümü ‹le ‹ntegral Alma..................................................... K›smi ‹ntegral Alma Yöntemi..................................................................... Basit Kesirlere Ay›rma Yöntemiyle ‹ntegral Alma..................................... Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................

194 198 201 206

Belirli ‹ntegral ve Uygulamalar› .......................................... 209

ÜN‹TE 10

B‹R E⁄R‹ ALTINDAK‹ ALAN VE BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL TANIMI................. 211 BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL‹N BAZI ÖZELL‹KLER‹................................................ 212 BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL‹N ALAN HESAPLARINA UYGULANMASI.................. 219 BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL YARDIMIYLA TÜKET‹C‹ VE ÜRET‹C‹ RANTININ HESAPLANMASI............................................................................................225 Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 229

Do¤rusal Denklem Sistemleri...............................................231

ÜN‹TE 11

‹K‹ B‹L‹NMEYENL‹ DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹..........................233 n-B‹L‹NMEYENL‹ DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹ (n ≥ 3)............. 237 Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler.......................... 240 ARZ - TALEP FONKS‹YONLARI VE DENGE M‹KTARLARI ‹Ç‹N DO⁄RUSAL B‹R MODEL............................................................................ 246 Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 251 Biraz Daha Düflünelim ............................................................................... 252

Matrisler.................................................................................. 253

ÜN‹TE 12

MATR‹S TANIMI, B‹R MATR‹S‹N BOYUTU VE ÖZEL TÜRDEN MATR‹SLER................................................................................................. 255 MATR‹S ‹fiLEMLER‹..................................................................................... 259 Matris Toplam›............................................................................................. 259 Say› ‹le Çarpma........................................................................................... 259 ‹ki Vektörün iç Çarp›m›.............................................................................. 261 Matris Çarp›m›............................................................................................. 261 MATR‹S ‹fiLEMLER‹N‹N ÖZELL‹KLER‹........................................................265 TERS MATR‹S............................................................................................... 271 ‹lkel Sat›r ‹fllemleri ve Ters Matrisin Hesaplanmas›...................................273 DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹N‹N MATR‹SLERLE GÖSTER‹L‹fi‹....279 Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matris Gösterimiyle Çözümlerinin Aranmas›...................................................................................................... 280 Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 285 Biraz Daha Düflünelim ............................................................................... 287

Determinantlar ...................................................................... 289 DETERM‹NANT VE DETERM‹NANT HESAPLANMASI...............................291 KOFAKTÖRLER ‹LE DETERM‹NANT HESAPLANMASI..............................292 Determinant›n Kofaktörlere Göre Aç›l›m›.................................................. 294 Determinantlar›n Özellikleri....................................................................... 296 Ters Matrisin Kofaktörler ve Determinant Yard›m›yla Bulunmas›............ 297 Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri ‹çin Cramer Kural›.............. 299 Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 304 Biraz Daha Düflünelim ............................................................................... 305

ÜN‹TE 13

vi

‹çindekiler

ÜN‹TE 14

Do¤rusal Programlama ........................................................ 307 DO⁄RUSAL PROGRAMLAMA NED‹R?....................................................... 309 B‹R PROBLEM‹N DO⁄RUSAL PROGRAMLAMAYLA ÇÖZÜLEB‹LMES‹ ‹Ç‹N GEREKL‹ KOfiULLAR......................................................................... 309 DO⁄RUSAL PROGRAMLAMA YÖNTEM‹YLE ÇÖZÜLECEK PROBLEM‹N MODEL HAL‹NE GET‹R‹LMES‹ ........................................... 310 Problemin Tan›t›lmas› ................................................................................ 310 Matematiksel Modelin Kurulmas› .............................................................. 310 De¤iflkenlerin Belirlenmesi ........................................................................ 310 Modelin Genel Olarak Gösterilmesi.......................................................... 310 Do¤rusal Programlama Modelinin Çözüm Yöntemleri............................. 312 Do¤rusal Programlama Modelinin Grafik Çözümü................................... 315 Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 318

Yan›t Anahtarlar›................................................................ 323 Yararlan›labilecek Kaynaklar ........................................... 340 Dizin .................................................................................... 341

Önsöz

Önsöz Bu kitap, Anadolu Üniversitesi Aç›kö¤retim Fakültesi’nin ‹ktisat ve ‹flletme Fakültelerinin çeflitli bölümlerinde okutulan Genel Matematik dersinin kapsam›ndaki konular› içerecek flekilde haz›rlanm›flt›r. Esas olarak da, günümüz matemati¤inin uygulamaya yönelik kimi temel konular›n›n ve kavramlar›n›n tan›t›lmas› amaçlanm›flt›r. On dört üniteden oluflan kitab›n, ilk dört ünitesinde kümeler, say›lar, eflitlik, eflitsizlik, fonksiyon, fonksiyon grafi¤i gibi kavramlar tan›t›lm›flt›r. Beflinci ve alt›nc› ünitelerde limit, süreklilik türev kavramlar› anlat›lm›flt›r. Bu kavramlar›n tan›t›lmas›nda basit örneklerden hareket edilerek kesin tan›mlara ulafl›lmaya çal›fl›lm›flt›r. Yedinci ünite türev uygulamalar›na iliflkindir. ‹lk türev testi ve ikinci türev testi ile maksimum minimum problemlerinin çözümüne iliflkin örnekler verilmifltir. Sekizinci ünitede üstel ve logaritmik fonksiyonlar ele al›nm›flt›r; onlar›n grafiklerine, türevlerine ve ekonomik problemlere uygulan›fl›na iliflkin örnekler verilmifltir. Dokuzuncu ünitede, türevin ters ifllemi olarak belirsiz integral tan›mlanm›fl ve de¤iflken de¤ifltirme, basit kesirlere ay›rma, k›smi integrasyon gibi belirsiz integral alma yöntemleri üzerinde durulmufltur. Onuncu ünitede, belirli integral kavram›, alan hesaplamalar›, üretici rant›, tüketici rant›n›n hesaplanmas›na iliflkin örnekler verilmifltir. Onbirinci ünitede do¤rusal denklem, do¤rusal denklem sistemleri, sistemin çözümünün varl›¤›, tekli¤i veya çoklu¤u, çözümsüzlük durumlar› incelenmifltir. Do¤rusal arz ve talep fonksiyonlar›n›n oluflturdu¤u sistemin çözümü, denge fiyat›, denge noktas› tart›fl›lm›flt›r. On ikinci ve on üçüncü ünitelerde matrisler ve determinantlar konusu üzerinde durulmufltur. Matrislerin kullan›l›fl›, uygulamadaki yeri, matris ifllemleri, ters matrisin bulunmas›, determinantlar, determinant hesab›, do¤rusal denklem sistemlerinin matris yöntemiyle çözümlerinin araflt›r›lmas› konular› bu ünitelerde anlat›lm›flt›r. Son ünitede do¤rusal programlama yönteminin ne oldu¤u aç›klanm›fl ve grafik yöntemle çözümün aranmas› örneklerle incelenmifltir. Konular›n iflleniflinde yazarlar, kavramlar› tan›mlamada teorik anlat›mdan kaç›narak daha çok sezgiye dayal› yaklafl›mlar yoluyla ve örneklerle kavram› tan›tmaya çal›flm›fllard›r. Her ünitede konulara iliflkin örneklere yer verilmifltir. Verilen örnekleri iki tür olarak ifade edebiliriz. Birinci türde olanlar, tan›t›lmaya çal›fl›lan matematiksel kavram› aç›klayacak türden cebirsel ifadeler, simgeler veya özellikler olabilir. Örne¤in, matris toplam›n›n de¤iflme özelli¤inin do¤rulanmas›na iliflkin bir örnek olarak, aç›k biçimde ifade edilen toplanabilir iki matrisin de¤iflme özelli¤inin do¤rulanmas›... gibi. ‹kinci türden olanlar ise o kavram›n pratikte uygulan›fl›na iliflkin olan örneklerdir. Söz gelifli, üstel bir fonksiyona örnek için belli bir faiz oran›yla bankaya yat›r›lan bir paran›n bir süre sonraki tutar›n›n zaman›n üstel fonksiyonu ile ifade edilmesi... gibi. Her bir ünitede ö¤rencilerin düflünüp, tart›fl›p çözüm aramas›na yönelik üç tür al›flt›rma grubu bulunmaktad›r. Bu gruplardan birincisi s›ra sizde ad› alt›nda toplanan al›flt›rmalard›r. Burada amaçlanan ilgili ünitedeki kavramlar› pekifltirmek, s›ca¤› s›ca¤›na ö¤rencinin çözüm yapabilmesine olanak sa¤lamakt›r. Bu al›flt›rmalar›n birço¤u konu içindeki çözümlü örneklerin benzerleridir. Bir k›sm› da konu içindeki kavramlar› bütünleyici nitelikte, örnek oluflturabilecek al›flt›rmalard›r. Bu al›flt›rmalar›n çözümleri ka¤›t-kalem kullan›larak yap›lmal›d›r. ‹kinci grup al›flt›rmala-

vii

viii

Önsöz

r›m›z, kendimizi s›nayal›m ad› alt›nda sunulmufl, çoktan seçmeli test türü sorulardan oluflmaktad›r. Ünitenin bütününden ve önceki üniteleri de kapsayacak flekilde seçilmifl sorulardan oluflan al›flt›rmalar›n dikkatle yan›tlanmas› gerekmektedir. Bu türde sorular›n kimileri seçeneklerden bafllayarak yan›tlanabilir. Kimileri ise sorunun çözümü yap›larak do¤ru yan›t bulunabilir. Bir soru için hangi yolun daha uygun oldu¤u sizin sezginize, dolay›s›yla deneyiminize kalm›fl bir durumdur. Çokça test yan›tlarsan›z bu size önemli ölçüde beceri kazand›racakt›r. S›navlar›n›z›n da bu tür sorularla yap›ld›¤›n› unutmay›n›z. Üçüncü grup al›flt›rmalar›m›z, biraz daha düflünelim ad› alt›nda yaz›lan sorulardan oluflmaktad›r. Bu tür sorular ö¤rencinin kendi kendine düflünmesini, yorum yapmas›n›, araflt›rmas›n› sa¤lay›c›, buna yönlerdirici problemlerden oluflmaktad›r. Tüm al›flt›rmalar›n yan›tlar› kitab›n sonunda verilmifltir. Lütfen çözüm için çaba harcamadan yan›tlara bakmay›n›z. Matematik çal›fl›rken daima ka¤›t-kalem kullan›n›z. Kavram›n›z›, örne¤inizi veya sorunuzu aç›klay›c› basit grafikler, flemalar çiziniz. Verilenler ile yan›t› aranan sorular› birbirinden iyi ay›rt ediniz. Bazen verilen soruyu iyi anlamak çözmek kadar önemlidir. Bu uyar›lar› unutmazsan›z baflar›n›z›n artaca¤›n› göreceksiniz. Matemati¤in kendine özgü bir anlat›m biçimi, simgeleri, yaz›l›fl›, k›saca bir dili vard›r. U¤rafl› alan› matematik olmayan birisinin bu dili anlamas›, kullanmas› zor bir olayd›r, sab›r isteyen bir ifltir. Sözü bu kitab›n tasar›m›na, dizgisine getirmek istiyorum. Üniversitemiz Uzaktan Ö¤retim Tasar›m Birimi, Dizgi Birimi, sab›rla kitab›n en iyi biçimde sunulabilmesi için gerekli çabay› fazlas›yla gösterdiler. Baflka bir deyiflle, sizlere ulaflan bu kitap yazarlar›n, tasar›m ve dizgi elemanlar›n›n yo¤un emek ve çabalar› sonucunda ortaya ç›km›flt›r. Yaz›m›nda, tasar›m›nda, çiziminde, elektronik diziminde eme¤i geçen herkese editör ve yazarlar olarak sonsuz teflekkürlerimizi sunar›z. Haziran 2001

Prof.Dr. Orhan ÖZER

Kullan›m K›lavuzu

ix

K

endi kendine ö¤renme ilkelerine göre haz›rlanm›fl olan bu kitab›n ifllevlerini ö¤renmek için haz›rlanan “Kullan›m K›lavuzu”, konular› anlaman›zda ve s›navlara haz›rlanman›zda sizlere fayda sa¤layacakt›r.




Amaçlar›m›z bölümünde, okudu¤unuz ünite sonunda kazanaca¤›n›z bilgi ve beceriler sunulmaktad›r.

Dikkat bölümünde, üniteyi çal›flmaya bafllamadan önce bilgi sahibi olman›z gereken haz›rl›klarla ilgili uyar› yap›lmaktad›r. Bu uyar› ayr›ca, ünite içinde herhangi bir konuya dikkatinizi çekmek ya da ek bilgi vermek içinde sunulmufltur.. S›ra sizde bölümleri, çal›flt›¤›m›z konu ile ilgili, sizi düflündürecek, daha fazla araflt›rma yapmaya yönlendirecek ve konular› yeterince anlay›p anlamad›¤›n›z› s›namaya yard›mc› olacak sorulardan oluflmaktad›r.

Girifl bölümü, ünitede hangi konular›n ifllenece¤ine iliflkin k›sa bilgiler verdi¤i gibi yaflam›m›zda karfl›laflabilece¤imiz sorunlar›n çözümüne yönelik verilerin matematiksel ifadelere dönüfltürme konusunda aç›klamalar yapmak için sunulmufltur..

Kullan›m K›lavuzu

xx

x

Kendimizi S›nayal›m Ünitelerin sonunda, kendi kendinizi test edebilmenizi amaçlayan çoktan seçmeli sorular sunulmufltur. Bu sorular, s›navda karfl›laflt›¤›n›z sorularla ayn› türdendir. Ünitenin içinde yer alan baz› önemli kavram ve bilgilere yönelik tan›m ya da aç›klamalar› sayfan›n yan bofllu¤unda bulabilirsiniz..

Biraz Daha Düflünelim Her ünitenin sonunda, çal›flt›¤›n›z konu ile ilgili kazand›¤›n›z bilgi ve becerileri artt›rmaya yönelik ve kendinizi s›naman›za yard›mc› olacak sorular sunulmufltur.

Örnek Üniteler içinde çal›flt›¤›n›z konuyu daha iyi kavraman›z, bilgi ve beceri kazanman›z› sa¤layacak, çok say›da matematiksel örnek problem ve çözümleri bulabilirsiniz...

S›ra sizdelerde sunulan sorular›n yan›tlar› kitab›n›z›n sonunda yer almaktad›r.

Dizin Kitab›n›z›n içinde yer alan baz› önemli kavram ve bilgilerin sayfa numaralar›n› kolayl›kla bulabilmenizi sa¤layacak alfabetik dizin, kitab›n sonunda sunulmufltur..

Kendimizi s›nayal›m bölümlerinde yan›tlad›¤›n›z çoktan seçmeli sorular›n yan›tlar› kitab›n›z›n sonunda sunulmufltur..

Yararlan›labilecek Kaynaklar Ünitelerde çal›flt›¤›n›z konularla ilgili baflvurabilece¤iniz di¤er kaynaklar kitab›n›z›n sonunda yer almaktad›r.

Biraz daha düflünelim bölümlerinde sunulan sorular›n yan›tlar› kitab›n›z›n sonunda verilmektedir.

Kümeler ve Say›lar

1

Amaçlar Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra; küme kavram›n› tan›yacak, kümeleri alg›lay›p yazabilecek, kümeler üzerindeki ifllemleri yapabilecek, küme ifllemlerine dayal› problemleri çözebileceksiniz, sayma say›lar›, do¤al say›lar, tam say›lar rasyonel say›lar ve irrasyonel say›lar kümelerinin neler oldu¤unu hat›rlay›p, gerçel say›lar›n özel alt kümeleri olan aral›klar› inceleyeceksiniz, bir gerçel say›n›n üssünü kökünü ve bunlar üzerindeki ifllemleri ö¤renecek, mutlak de¤er kavram›na dayal› olarak gerçel eksen üzerindeki iki nokta aras›ndaki uzakl›¤› hesaplamay› ö¤reneceksiniz.









2

Kümeler ve Say›lar

‹çindekiler • • • • • • • • •

Kümeler ve Say›lar Küme Kavram› ve Küme Gösterimleri Küme ‹fllemleri Say› Kümeleri Say› Ekseni Gerçel Say›larda S›ralama Özellikleri Aral›klar Üslü ve Köklü Çokluklar Mutlak De¤er

• Üzerinde düflünülerek tan›mlamalar iyice anlafl›lmal›, • kavramlar örneklerle pekifltirilmeli, • al›flt›rmalar çözülmelidir.

Girifl Belli bir A flehrinden, B flehrine giden yol üzerinde C, D ve F gibi üç konaklama yeri vard›r. Belli bir gün içinde A flehrinden ç›k›p, B flehrine ulaflan otobüs flöförlerine hangi konaklama yerlerinde konaklad›klar› sorulmufl ve flu yan›tlar al›nm›flt›r. 20 si C de konaklad›¤›n›, 15 i D de konaklad›¤›n›, 18 i F de konaklad›¤›n› , 6 s› C ve F de konaklad›¤›n›, 3 ü C ve D de konaklad›¤›n›, 1 i ise C, D ve F de konaklad›¤›n› 2 otobüs flöförüde hiçbir yerde konaklamad›klar›n› ifade etmifllerdir. O gün A flehrinden B flehrine kaç otobüs gelmifltir? Bu tür problemleri kümeleri kullanarak çözece¤iz. Bu ünitemizin ilk bölümünde, ilk ö¤retimin bafllang›c›ndan bu yana göregeldi¤iniz küme kavram›na k›saca de¤inece¤iz. Küme gösterimlerini hat›rlat›p, küme ifllemleri üzerinde duraca¤›z. Ayr›nt›s›na çok inmeyece¤imiz bu inceleme kuflkusuz konuyu hat›rlatma amac› tafl›yacakt›r. ‹kinci bölümde, say› kümeleri, say›lar›n özellikleri, say› ekseni ve aral›klar üzerinde duraca¤›z. Ayr›ca üslü ve köklü çokluklar konusunu ele alaca¤›z ve mutlak de¤er kavram›n› hat›rlayaca¤›z.

Küme Kavram› ve Küme Gösterimleri

3

KÜME KAVRAMI VE KÜME GÖSTER‹MLER‹


AMAÇ

Küme kavram›n› tan›yacak, kümeleri alg›lay›p yazabileceksiniz.

1

Matemati¤in en temel kavram› olan küme, iyi tan›mlanm›fl (kesin ay›rdedilebilir) nesne veya varl›klar›n toplulu¤u olarak tan›mlanabilir. Burada iyi tan›mlanm›fl deyimi, kümeyi oluflturan nesne veya varl›klar›n kesin bir flekilde flüpheye düflmeden saptanabilece¤ini belirtmektedir. Örne¤in, "Anadolu Üniversitesi Aç›kö¤retim Fakültesine kay›tl› ö¤renciler toplulu¤u" bir küme oluflturur. Çünkü bir ö¤rencinin A.Ü.A.Ö.Fakültesine kay›tl› olup olmad›¤› ö¤renci kay›t listesine bak›larak kesin olarak belirlenebilir. Ancak "A.Ü.A.Ö.Fakültesine kay›tl› orta boylu ö¤renciler toplulu¤u" bir küme oluflturmaz. Çünkü orta boylu olman›n ölçüsü aç›k olarak belirlenmedi¤i sürece, kimin bu toplulu¤un üyesi, kimin üyesi olmad›¤› kesin olarak belirlenemez. Bir küme verilsin. Bu kümeye ait nesne veya varl›klara o kümenin elemanlar› ya da üyeleri denir. Kümeler genellikle A, B, C, X, Y gibi büyük harflerle, kümenin elemanlar› ise a, b, c, x, y gibi küçük harflerle gösterilirler. Bir a eleman› A kümesinin eleman› ise a Œ A ile gösterilir ve "a eleman A" veya "a, A kümesine aittir" diye okunur. b, A kümesine ait de¤ilse b œ A ile gösterilir. Hiç eleman› olmayan bir kümeye bofl küme diyece¤iz ve bu kümeyi ∆ simgesiyle gösterece¤iz. Küme cebiri içinde bofl küme, aritmetikteki 0 (s›f›r) rolünü üslenir diyebiliriz. Gerçekten 0 (s›f›r) uzunlu¤u olmad›¤› halde bir say›d›r. Benzer flekilde bofl küme de eleman› olmayan bir kümedir. Bofl kümenin, küme ifllemlerinin formüle edilmesinde önemli bir ifllevi vard›r. Kümeler ya elemanlar› listelenerek listeleme yöntemi ile veya elemanlar›n› belirleyen bir kuralla ortak özellik yöntemi ile belirtilirler. Listeleme yönteminde kümenin elemanlar› { } biçiminde iki ayrac›n içine aralar›na virgül konularak, istenilen s›rada yaz›l›rlar. Bu yaz›m biçimine aç›k yaz›m da denir. Ortak özellik yönteminde ise küme, kümeyi oluflturan elemanlar›n hepsinin sa¤lad›¤› ve kümenin ö¤elerini di¤er nesne ve varl›klardan kesinlikle ay›ran özelli¤i (özelliklerini) veren bir P(x) aç›k önermesi yard›m›yla { x | P (x) } biçiminde yaz›l›r. Bu yaz›l›fl "P(x) önermesini sa¤layan x ö¤elerinin kümesi" biçiminde okunur. Bu yaz›m biçimine bazen kapal› yaz›m da denir. a) a, b, c elemanlar›ndan oluflan A kümesi, listeleme yöntemi ile A = {a, b, c } biçiminde yaz›l›r. Ayn› küme, ortak özellik yöntemi ile A = { x | x alfabe'nin ilk üç harfi} olarak yaz›l›r. b) Kapal› biçimde verilen B = { x | x2 = 36 } kümesinde P (x) : x2 = 36 ¤ x = ± 6 olaca¤›ndan, listeleme yöntemiyle B = {-6, 6} biçiminde de yaz›l›r. c) A = { x | x sonu 2 ile biten tek do¤al say›} kümesi ∆ (bofl) kümedir. Baz› durumlarda, küme elemanlar› dikdörtgen, üçgen, çember, elips veya herhangi bir kapal› düzlemsel e¤ri içine yaz›larak flema ile gösterilebilir. Böyle flemalara Venn flemalar› denir. Örne¤in A = {a, b, c} kümesi flekil 1.1. deki gibi gösterilir.

ÖRNEK 1

a b c

Şekil 1.1

Küme ‹fllemleri

4

KÜME ‹fiLEMLER‹


AMAÇ

2

Kümeler aras›nda iki kümeye yeni bir küme karfl›l›k getirme fleklinde birçok ifllem tan›mlanabilir. Bu bölümde bunlardan baz›lar›n› tan›taca¤›z.

A ve B kümelerinin tüm elemanlar› ayn› ise A ve B kümelerine eflit kümeler denir. Bu durum A = B ile gösterilir. A ve B iki küme olsunlar. B nin her eleman›, A n›n da bir eleman› ise B ye, A n›n bir alt kümesi denir. Bu durum B Õ A ile gösterilir. Sembolik mant›k diliyle B Õ A ¤ x Œ B için x Œ A yaz›l›r. Özel olarak, B Õ A ve A n›n, B de olmayan en az bir ö¤esi varsa B ye, A n›n öz (has) alt kümesi denir. Bu durumda B à A yaz›l›r. B kümesi, A kümesinin bir alt kümesi de¤ilse B À A yaz›l›r.

ÖRNEK 2

a) B = { x | x < 10 ve x tek do¤al say› } = { 1, 3, 5, 7, 9 } ve A = { x | x < 20, x do¤al say› } = { 0, 1, 2, 3, ..., 19 } kümeleri için B à A olur. b) Bir A kümesi için x Œ A fi x Œ A oldu¤undan A Õ A olur. c) Her A kümesi için ∆ Õ A d›r. Özel bir problemle iliflkili tüm kümeleri kapsayan yani sözkonusu problemle iliflkili tüm ögeleri bulunduran kümeye evrensel küme denir ve bu küme E ile gösterilir. Bu bölüm boyunca, aksi söylenmedikçe, tüm kümeleri sabit bir E evrensel kümesinin alt kümesi olarak kabul edece¤iz. E evrensel kümesi ve bunun herhangi bir A alt kümesi verilsin. E ye ait olan A ya ait olmayan bütün elemanlar›n oluflturdu¤u kümeye A kümesinin tümleyeni denir. Bu küme At ile gösterilir. Ayn› küme At = { x | x Œ E ve x œ A } olarak da tan›mlanabilir.

Evrensel kümenin, problemden probleme de¤iflece¤i ak›ldan ç›kar›lmamal›d›r.

ÖRNEK 3 ÇÖZÜM

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ve A = {1, 2, 3, 4} için At hangi kümedir?

At kümesi E ye ait olan A 'n›n elemanlar›n›n d›fl›ndaki elemanlardan oluflaca¤›ndan At = { 5, 6, 7, 8 } olur.

A ve B gibi iki küme verilsin. a) A veya B den en az birine ait olan elemanlar›n oluflturdu¤u kümeye A ile B nin birleflim kümesi denir. Bu küme A » B ile gösterilir ve "A birleflim B" diye okunur. b) A ve B kümelerinin her ikisine birden ait olan elemanlar›n oluflturdu¤u kümeye A ile B nin kesiflim veya arakesit kümesi denir. Bu küme A « B ile gösterilir ve "A kesiflim B" diye okunur. Kesiflimleri bofl olan iki kümeye ayr›k kümeler denir.

Küme ‹fllemleri

5

c) A kümesine ait olan, fakat B kümesine ait olmayan elemanlar kümesine A ve B kümelerinin fark› denir. Bu küme A \ B biçiminde yaz›l›r ve "A fark B" diye okunur. Bu kümeleri k›saca (a) A » B = { x | x Œ A ya da x Œ B } (b) A « B = { x | x Œ A ve x Œ B } (c) A \ B = { x | x Œ A ve x œ B } biçiminde ifade ederiz. Bu ifllemleri flematik olarak da flöyle gösterebiliriz. (a)

B

A

(b)

A«B

A»B

(c)

B

A

B

A

(d) E A

A\B

At Şekil 1.2

Verilen A, B küme çiftleri için A » B, A « B, A \ B ve B \ A kümelerini bulunuz. a) A = { a, b, c } , B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } b) A = { x | x tek do¤al say› } , B = { x | x do¤al say› } • • • A • • •

b)

A, 1. 2. 3. 4. 5. 6.

B ve C kümeleri için afla¤›daki küme eflitlikleri vard›r. (A » B ) » C = A » (B » C ) 1'. (A « B ) « C = A « (B « C ) A»B=B»A 2'. A « B = B « A A»∆=A, A»E=E 3' A « ∆ = ∆ , A « E = A A » (B « C ) = (A » B) « (A »C ) 4'. A « (B » C ) = (A « B) » (A « C ) 5'. (A « B )t = At » Bt (A » B )t = At « Bt AÃA»B, BÃA»B 6'. A « B à A , A « B à B


AMAÇ

3

A » B = { a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } A « B = ∆ oldu¤undan A ve B ayr›k kümelerdir. A \ B = A ve B \ A = B dir. = { 1, 3, 5, 7, ... } , B = { 0, 1, 2, 3, ... } oldu¤undan A Ã B dir. A»B=B A«B=A A \ B = ∆ ve B \ A = { 0, 2, 4, 6, ... } olur.

Küme ifllemlerine dayal› problemleri çözümleyebileceksiniz.

ÇÖZÜM

a)

ÖRNEK 4

Küme ‹fllemleri

6

ÖRNEK 5

ÇÖZÜM

Belli bir A flehrinden, B flehrine giden yol üzerinde C, D ve F gibi üç konak lama yeri vard›r. Belli bir gün içinde A flehrinden ç›k›p, B flehrine ulaflan otobüs flöförlerine hangi konaklama yerlerinde konaklad›klar› sorulmufl ve flu yan›tlar al›nm›flt›r. 20 si C de konaklad›¤›n›, 15 i D de konaklad›¤›n›, 18 i F de konaklad›¤›n›, 6 s› C ve F de konaklad›¤›n›, 3 ü C ve D de konaklad›¤›n›, 1 i ise C, D ve F de konaklad›¤›n›, 2 otobüs flöförü ise hiçbir yerde konaklamad›klar›n› ifade etmifllerdir. O gün A flehrinden B flehrine kaç otobüs gelmifltir? Konumuzla ilgili en genifl küme, A flehrinden ç›k›p B flehrine giden otobüslerin kümesidir. Bu kümeye E diyelim. C konaklama yerinde duran otobüslerin kümesini C , D konaklama yerinde duran otobüslerin kümesini D , F konaklama yerinde duran otobüslerin kümesini F ile gösterelim. Problemle ilgili Venn flemas›nda verilenler yerlefltirilirse, E kümesi E (12)

(12)

(5) (1)

12 + 12 + 12 + 8 + 2 = 46 F

(2)

46 otobüsten oluflmaktad›r.

C (12) D (2)

SIRA S‹ZDE 1

1. A = {1, 2, 3} ve B = {2, 5} olmak üzere

a) A \ B b) B \ A c) A « B d) A » B kümelerini bulunuz. 2. A = { a, b, c } , B = { a, d, e } ve C = { d, e, a, b } kümeleri veriliyor. E = { a, b, c, d, e } evrensel küme olmak üzere b) (A - B ) « C a) At « Bt « C t d) (At » Bt )t c) (At - C t ) » B e) (B » C ) \ C t f) (A - C ) - (B - A ) g) [(B - A ) - (C - A )] » (C - B ) h) (A - C ) » B kümelerini bulunuz. 3. A » B = { a, b, c, d } , A « B = { a, c } ve A \ B = { b } ise A ve B kümelerini bulunuz. 4. Taral› bölgeyi A, B, C kümelerini ve küme B A ifllemlerini kullanarak ifade ediniz. C

Taral› bölgeyi A, B, C kümelerini ve küme ifllemlerini kullanarak ifade ediniz.

5.

E

A

B

C

Say› Kümeleri

SAYI KÜMELER‹


AMAÇ

4

Sayma say›lar›, do¤al say›lar, tam say›lar, rasyonel say›lar ve irrasyonel say›lar kümelerinin neler oldu¤unu hat›rlay›p, gerçel say›lar›n özel alt kümeleri olan aral›klar› inceleyeceksiniz.

Bu kesimde say› kümelerinin yap›lanmalar› üzerinde durmadan uygulamada kullan›ld›klar› biçimiyle ele al›p tan›yaca¤›z. En iyi bildi¤imiz say› kümesi, ögelerini sayma için kulland›¤›m›z sayma say›lar› kümesidir. Bu küme 1,2,3,..., n, n +1, ... say›lar›ndan oluflur ve genellikle N+ ile gösterilir. Bu kümeye 0 (s›f›r) katarak elde etti¤imiz kümeyi N ile gösterip bu kümeye do¤al say›lar kümesi diyece¤iz. Do¤al say›lar tam say›lar kümesi denilen ve elemanlar› ... , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... olan kümenin bir alt kümesidir. Yaz›m›ndan da anlafl›laca¤› gibi Z ile gösterilen tam say›lar kümesi N+ n›n ö¤elerinin önlerine eksi getirilerek oluflturulan Nkümesi de kullan›larak Z = N- » {0} » N+ biçiminde yaz›l›r. Tam say›lar kümesi rasyonel say›lar kümesi ad› verilen daha genifl bir say›lar kümesinin alt kümesidir. Bu küme s›f›rla bölme kural d›fl› b›rak›larak, tam say›lar›n birbirlerine bölümlerinden oluflan say›lar›n kümesidir ve genellikle Q ile gösterilir. Yani, a Q = b a , bŒ Z , b ≠ 0 p d›r. Her p Œ Z say›s› p = 1 Böylece Z à Q olur.

yaz›labilece¤inden p Œ Q dur.

p = y ise p = 0 . y eflitli¤i p ≠ 0 oldu¤unda çeliflki yaratt›0 ¤›ndan s›f›rla bölme tan›ms›zd›r. Ayr›ca s›f›r› s›f›ra bölersek tek bir de¤er bula0 may›z. Bu nedenle 0 belirsizdir deriz. Hesaplamalarda

Çok önceleri teorik olarak her fiziksel büyüklü¤ün bir kesirli say› ile verilece¤ine inan›l›rd›. Ancak M.Ö.5.yy. da bunun do¤ru olmad›¤› geometrik metodla kan›tland›. Daha sonralar› a biçiminde yaz›lamayan sonsuz say›da say›n›n varl›¤› b gösterildi. Siz de dik kenarlar›n›n uzunluklar› 1 birim olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunlu¤u olan 2 say›s›n›n a olarak yaz›lamayaca¤›n› görebilirsiniz. b Bu tür say›lara irrasyonel say›lar diyece¤iz ve irrasyonal say›lar kümesini Ir ile gösterece¤iz. Q » Ir kümesine gerçel say›lar kümesi denir ve bu küme R ile gösterilir. Her x gerçel say›s› a0 Œ N ve an Œ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olmak üzere ± a0 , a1 a2 a3 ... an ... olarak yaz›labilir. Bu yaz›ma x in ondal›k yaz›m› denir. Bu yaz›m kullan›larak rasyonel ve irrasyonel say›lar› birbirinden ay›rman›n baflka bir yolu flöyle verilebilir:

7

8

Say› Kümeleri

4 , , 3 3 = 1 333... (3 tekrar ediyor) 11 = 0,272727... (27 tekrar ediyor) 5 = 0,714285714285... (714285 tekrar ediyor), 7 3 - 5 = -0,7500... (0 tekrar ediyor) Yukar›daki rasyonel say›lar›n ondal›k yaz›mlar›na dikkat edilirse virgülden sonraki k›sm›n bir parças› sonsuz kez tekrarlanmaktad›r. Bu tür say›lara ondal›k k›s›mlar› devirlidir deriz ve bu durumu k›saca 4 = 1,333... = 1,3 , 3 = 0,272727... = 0,27 11 3 5 = 0,714285714285... = 0,714285 , - 3 = -0,7500... = -0,75 5 7 biçiminde yazabiliriz. Böyle devam edilirse a biçiminde yaz›labilen tüm rasyonel say›lar›n ondal›k b k›s›mlar› devirlidir. Bunun tersi de do¤rudur, yani devirli ondal›k aç›l›ma sahip olan say›lar a biçiminde yaz›labilirler. b Örne¤in ondal›k aç›l›m› x = 0,125125... = 0,125 olan x say›s›n› a biçiminde b yazal›m. x say›s›n›n tekrarlanan k›sm›n› virgülün soluna geçirmek için 1000 ile çarp›p, bulunan say›dan x say›s›n› ç›karal›m, 1000 x = 125,125 x = 0,125 999 x = 125 buradan x = 125 rasyonel say›s› bulunur. 999 Bir say›n›n rasyonel olmas› için gerekli ve yeterli koflul bu say›n›n devirli bir ondal›k aç›l›m›n›n olmas›d›r.

Devirli ondal›k aç›l›ma sahip olmayan say›lara da irrasyonel say› deriz. Örne¤in π bir irrasyonel say›d›r, devirli ondal›k yaz›l›fl› yoktur. Ancak bu yaklafl›k olarak 3,14; 3,1415; 3,141592; ... say›lar›ndan biri olarak al›nabilir. Gerçel say›lar›n kareleri negatif olmayaca¤›ndan x2 = -1 denkleminin çözümü gerçel say› de¤ildir. 18. yüzy›l matematikçileri bu çözümsüzlü¤e yeni bir say›y› i = -1 biçiminde tan›mlayarak çözüm getirdiler ve daha sonra gerçel say›lar› da içine alan karmafl›k say›lar diye adland›r›lan bir say› kümesi oluflturdular. Karmafl›k say›lar kümesi genellikle C ile gösterilir.

C = a + ib a, b ΠR , i = -1

Bundan böyle aksi söylenmedikçe say› denilince gerçel say›lar anlafl›lacakt›r.

olmak üzere a Œ R ise a = a + 0i Œ C oldu¤undan R Õ C oldu¤u görülür. Böylece N à Z à Q à R à C oldu¤u afla¤›daki tablo ile özetlenebilir (fiekil 1.3).

Say› Ekseni

9

Özetle

N+ = { 1, 2, 3, ... } • N = { 0, 1, 2, 3, ... } • Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } • Q = { x | x = a /b , a, b Œ Z , b ≠ 0 } •

‹rrasyonel Say›lar

Do¤al Say›lar Tam Say›lar

= { x | x devirli ondal›k yaz›l›fla sahip } •

Ir = R \ Q

Rasyonel Say›lar

R = Q » Ir • C = z | z = a + ib , a, b Œ R , i = -1 dir. •

Gerçel Say›lar Karmafl›k Say›lar Şekil 1.3

1.

a) 3,4

b) 12,25

SIRA S‹ZDE 2

c) 0,13412

devirli ondal›k say›lar›n efliti olan rasyonel say›lar› bulunuz. 2.

a) 146 4

b) 17 3

c) 5 6

rasyonel say›lar›n devirli ondal›k yaz›m›n› bulunuz.

SAYI EKSEN‹ Gerçel say›lar›n geometrik modelini oluflturma fikri pratikte çok yararl› bir fikirdir. Bunu oluflturmak için önce bir do¤ru çizilir. Daha sonra bu do¤ru üzerinde bafllang›ç noktas› diye adland›r›lan bir nokta ile genellikle bu noktan›n sa¤›nda, birim uzunlu¤u ve yönü belirleyecek olan bir baflka nokta iflaretlenir. Son olarak da gerçel say›lar bu eksen üzerine afla¤›daki biçimde yerlefltirilir: a Œ R olsun. 1. a say›s› pozitif ise bafllang›ç noktas›n›n sa¤›nda, bafllang›çtan a birim uzakl›ktaki noktaya, 2. a say›s› negatif ise bafllang›ç noktas›n›n solunda, bafllang›çtan a birim uzakl›ktaki noktaya, 3. a say›s› s›f›r ise bafllang›ç noktas›na (orijine) karfl›l›k getirilir. Bu düflünceyle her bir gerçel say›n›n eksen üzerinde bir yeri vard›r. Eksen üzerindeki herbir noktan›n bafllang›ç noktas›na bir uzakl›¤› oldu¤undan her noktaya bir gerçel say› karfl›l›k gelir. Bu flekilde elde edilen say› eksenine bazen say› do¤rusu da denir.

-5, -2, -1,25, -1, -1/2, 1, 2 , 2, 3, p ve 5 gerçel say›lar›n›n say› ekseni üzerindeki s›ralan›fl› flöyledir: -1,25 -5

-4

-3

Burada yaklafl›k olarak

-2

-1

-1/2

2 0

2 @ 1,41 π @ 3,14

1

π 2

3

4

oldu¤u düflünülebilir.

5

Eksen üzerindeki noktalarla gerçel say›lar kümesi 1-1 efllenir. Bu yaklafl›m modeliyle bu do¤ruya say› ekseni veya gerçel eksen denir. Bu do¤ru üzerindeki her bir noktaya karfl› gelen say›ya, o noktan›n koordinat› denir.

ÖRNEK 6

10

SIRA S‹ZDE 3

Gerçel Say›larda S›ralama Özellikleri-Aral›klar

b) 2,9 c) 0,7 rasyonel say›lar›n› say› ekseni üzerine yerlefltiriniz.

1. a) 0,25

b) 11 15

2. a) 5 3

4

c) - 2

d) -6,4

d) -2p

gerçel say›lar›n› say› ekseni üzerine yerlefltiriniz

GERÇEL SAYILARDA SIRALAMA ÖZELL‹KLER‹ a, b gerçel say›lar› için a ≠ b ve say› ekseni üzerinde b, a n›n sa¤›nda yer al›yorsa, bu durum için "a küçüktür b" denir ve a < b yaz›l›r. E¤er a = b veya a < b ise a ≤ b yaz›l›r ve "a küçük-eflit b" denir. a≤b¤0≤b-a oldu¤u aç›kt›r. Say›lar aras›nda " ≤ " veya " < " simgelerinden birinin kullan›lm›fl oldu¤u bir ifadeye bir eflitsizlik denir. fiimdi say›lar aras›ndaki eflitsizliklerle ilgili özellikleri kan›ts›z olarak s›ralayal›m: a, b, c Œ R olsun. 1) a < b ve b < c ise a < c dir. 2) a < b ve c < d ise a + c < b + d dir. 3) a < b olsun. Her k Œ R say›s› için a + k < b + k d›r. 4) a < b olsun. k > 0 ise ak < bk ve k < 0 ise ak > bk d›r. Özel olarak k = -1 ise -a > -b dir. 5) a > 0 ise 1a > 0 olur. 6) 0 < a < b ise 1 < 1 a b 7) a ≠ b ise a < b veya b < a d›r. Özel olarak a ≠ 0 ise ya a > 0 veya a < 0 d›r.

SIRA S‹ZDE 4

1. a) 3 , 7

5 4

1 , - 3 , - 13 2 4 4

b) -4 , - 1 2

c)

b) -p , 3,14

c) -p , 3,14 , -3,14 , p

verilen say›lar› s›ralay›n›z. 2. a) 2 , 21 , 11 , 4

3 30

15

5

verilen say›lar› s›ralay›n›z.

ARALIKLAR fiimdi R 'nin aral›k ad›n› verece¤imiz özel alt kümeleri üzerinde duraca¤›z. R ye ait a, b (a ≤ b) gibi herhangi iki say› aras›ndaki tüm gerçel say›lardan oluflan, R nin bir alt kümesine bir aral›k denir. Bu a, b say›lar›na aral›¤›n uç noktalar› denir. a say›s›na aral›¤›n alt ucu, b ye de üst ucu ad› verilir. Geometrik olarak aral›k bir do¤ru parças›d›r. Uç noktalar›n oluflturulan kümeye ait olup olmay›fl›na ba¤l› olarak aral›klara çeflitli isimler verilir.

Aral›klar

• • •

Uç noktalar›n›n her ikisini de bulundurmayan aral›k tipine aç›k aral›k denir. Uç noktalar›n›n her ikisini de bulunduran aral›¤a kapal› aral›k denir. Uç noktalar›ndan sadece birini bulunduran aral›k tipine yar›-aç›k aral›k denir. Bunlar iki tiptir. Alt ucunu bulundurmay›p üst ucunu bulundurana soldan aç›k sa¤dan kapal› aral›k veya alttan aç›k üstten kapal› aral›k denir. Üst ucunu bulundurmay›p alt ucunu bulunduran aral›¤a da soldan kapal› sa¤dan aç›k aral›k ya da alttan kapal› üstten aç›k aral›k denir. Aral›klar›n kümesel yaz›mlar› d›fl›nda özel yaz›mlar› vard›r. Bu yaz›mlarda uç noktalar›n, kümeye ait oluflu kapal› parantezle, kümeye ait olmay›fl› da aç›k parantezle gösterilir. Afla¤›daki tabloda aral›klar›n kümesel tan›mlan›fl›, gösterilifli, okunuflu (adland›r›l›fl›) ve geometrik modeli özetlenmifltir. ARALIKLAR

Kümesel Yaz›l›fl›

Gösterilifli

Okunuflu

{ x ΠR I a < x < b}

(a, b)

a, b aç›k aral›¤›

{ x Œ R I a ≤ x ≤ b}

[a, b]

a, b kapal› aral›¤›

{ x Œ R I a < x ≤ b}

(a, b]

Soldan aç›k, sa¤dan kapal› aral›k

{ x Œ R I a ≤ x < b}

[a, b)

Soldan kapal›, sa¤dan aç›k aral›k

Geometrik Modeli a

b

a

b

a

b

a

b

Aral›klar pozitif yönde, negatif yönde veya her iki yönde sembolik ifadelerle geniflletilebilirler. Her pozitif say›dan daha büyük oldu¤u kabul edilen gerçel say› olmayan bir sembolü +µ ile gösterip art› sonsuz diye okuyaca¤›z. Benzer biçimde her negatif say›dan daha küçük oldu¤u kabul edilen sembolü de -• ile gösterip eksi sonsuz diye okuyaca¤›z. Bunlar› kullanarak afla¤›daki aral›klar› tan›mlar›z. SINIRSIZ ARALIKLAR Kümesel Yaz›l›fl›

Gösterilifli

Okunuflu

{xŒRIx≥a}

[a, +∞)

{xŒRIx>a}

(a, +∞)

Soldan a ile s›n›rl› sa¤dan s›n›rs›z aç›k aral›k

{ x ŒR I x< b }

(-∞, b)

Soldan s›n›rs›z sa¤dan b ile s›n›rl› aç›k aral›k

{xŒRIx≤b}

(-∞, b]

Soldan s›n›rs›z sa¤dan b ile s›n›rl› kapal› aral›k

Geometrik Modeli

Soldan a ile s›n›rl› sa¤dan s›n›rs›z kapal› aral›k a

+∞

a

+∞

-∞

b

-∞

b

Aral›klar R nin özel alt kümeleri olduklar› için küme ifllemleri bunlar için de geçerlidir. fiimdi aral›klar›n kesiflimi, birleflimi, fark›na iliflkin örnekler verelim.

11

Aral›klar

12

ÖRNEK 7 ÇÖZÜM

Afla¤›daki ifllemleri sonuçland›r›n›z. a) [3, 8) « (-1, 5) b) (3, 7) » (5, +∞) a)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

b)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

( -1, 5 ) ( 3, 7 ) [ 3, 8 ) ( 5, ∞ ) [ 3, 5 ) ( 3, ∞ )

Her iki aral›¤ada ait ö¤elerin kümesi [3, 5) aral›¤›d›r.

SIRA S‹ZDE 5

(3, 7) » (5, +∞) = { x Œ R | x > 3 } = (3, +∞)

1. a) [-1, 5/2)

b) (3, 7) c) [-2, 2] aral›klar›n› kümesel olarak ifade edip geometrik modellerini say› do¤rusunu kullanarak gösteriniz. 2.

Kümesel Yaz›l›fl›

Gösterilifli

Okunuflu

Geometrik Modeli

{ x Œ R | -2 ≤ x ≤ 0 } -4, -1 kapal› aral›¤› -1/2 0

1

2

verilen tabloyu tan›mlay›n›z. 3.

Kümesel Yaz›l›fl›

Gösterilifli

Okunuflu

Geometrik Modeli

{ x Œ R | - ∞ < x ≤ -3 } Soldan s›n›rs›z sa¤dan 3 ile s›n›rl› aç›k aral›k -5

-4

verilen tabloyu tamamlay›n›z. 4. a) (-∞, 3) « (-1, +∞)

b) (-∞, -1) \ [-5, 3) aral›klar›n› kümesel olarak ifade edip geometrik modellerini say› do¤rusunu kullanarak gösteriniz. 5. Normal koflullarda su 0˚C'den küçük s›cakl›klarda kat› (buz), 0˚ ile 100˚C ara-

s›nda s›v› ve 100˚C'den büyük s›cakl›klarda gaz (buhar) halindedir. Bu durumlar› aral›klar› kullanarak ifade ediniz.

Üslü ve Köklü Çokluklar

13

ÜSLÜ VE KÖKLÜ ÇOKLUKLAR Bu kesimde bir gerçel say›n›n üssünden ve kökünden söz edece¤iz.


AMAÇ

5

Bir gerçel say›n›n üssünü, kökünü ve bunlar üzerindeki ifllemleri ö¤reneceksiniz.

Üslü Çokluklar a Œ R ve n Œ N için n tane a n›n çarp›m› k›saca an ile gösterilip a üssü n diye okunur. Bu durumda an = a. a. a ... a n tane dir. an say›s›na a say›s›n›n n yinci kuvveti denir. Bu gösterimde a say›s›na taban, n ye de üs denir. Üs n a Taban Ayr›ca a0 = 1 ve a -n = 1n olarak tan›mlan›r. a, b Œ R \ { 0 } ve m, n Œ Z a için afla¤›daki özellikler geçerlidir: 1. am . an = am+n n n-m 2. am = a a 3. ( am )n = am.n 4. (a . b)n = an . bn n = an b n -n a 6. = bn b a 7. b, c Œ R olmak üzere

a b

5.

n

8 b) 2 32

a) 28 e)

43 42

3

f)

8 64

b an ± c an = (b ± c) an olur.

c) (27)2 -3

‹leride görece¤imiz denklem ve eflitsizliklerin çözümünde afla¤›daki özellikler kullan›lacakt›r. • a Œ R \ { -1, 0, 1 } olmak üzere am = an ¤ m = n • n Œ N olmak üzere an = bn olsun. n tek ise a = b dir. n çift ise ya a = b veya a = -b dir. • a > 0 ise her n Œ N için an > 0 dir. a < 0 olsun. n tek ise an < 0 , n çift ise an > 0 olur.

ÖRNEK 8

d) (5.33)2

g) 26 . 54

ifllemlerini sonuçland›r›n›z. 28 = 24+4 = 24. 24 = 16. 16 = 256

c)

28 = 28 = 28 - 5 = 23 = 8 32 25 (27)2 = (33)2 = (32)3 = (9)3 = 9. 9. 9 = 729

d)

(5 .33)2 = 52 . (33)2 = 25 . 729 = 18225

b)

ÇÖZÜM

a)

Üslü ve Köklü Çokluklar

14

3 e) 4 2 4

3

f)

-3

8 64

= 43 - 2 3

= 64 8

3

= 43 = 4 . 4 . 4 = 64 2 3

= 8 8

= 83 = 8 . 8 . 8 = 512

g) 26 . 54 = 22 . 24 . 54 = 4 . 104 = 40000

Köklü Çokluklar fiimdi köklü çokluk tan›m›n› verelim ve köklü çokluklara iliflkin temel özellikleri görelim: a ≥ 0 ve n Œ N olsun. bn = a olacak flekilde negatif olmayan tek bir b say›s› vard›r. Bu b gerçel say›s›na a say›s›n›n n. kuvvetten kökü denir ve bu b say›s› n

a veya a1/n biçiminde gösterilir. Simgesel olarak, bn = a ¤ b =

n

a = a1/n

dir. E¤er a < 0 ve n tek do¤al say› ise, n

n

a yine tan›ml›d›r ve bu durumda

n

b= a=-a d›r. Bu b say›s›n›n negatif oldu¤u aç›kt›r. a < 0 ve n çift do¤al say› olma durumunda Ayr›ca a ≠ 0 ve a1/n tan›ml› ise a -1/n =

n

a tan›ml› de¤ildir.

1 a

1/n

dir. Benzer olarak, m, n do¤al say›lar ve n ≠ 0 olmak üzere, a ≥ 0 veya a < 0 olmakla birlikte n tek ise, a m /n =

n

a

m

=

n

am

olur.

ÖRNEK 9

5

ÇÖZÜM

a)

ÖRNEK 10

a)

5

32 = ? 5

32 =

3

b) -8 =

b)

3

-8 = ?

25 = 25/5 = 21 = 2

3

-2

3

= -2

3/3

= -2 1 = -2

ÇÖZÜM

x = -1 eflitli¤ini sa¤layan hiç bir x gerçel say›s› bulunamayaca¤›n› gösteriniz. x2 =

-1

2

= -1 2/2 = -1 1 = -1

olaca¤›ndan x2 = -1 eflitli¤ini sa¤layan x gerçel say›s› olsayd› bu x say›s› ya x < 0 veya x = 0 ya da x > 0 olacakt›. x < 0 fi x . x = x2 > 0 fi x2 ≠ -1 x = 0 fi x . x = 0 . 0 fi 02 = 0 ≠ -1 x > 0 fi x . x = x2 > 0 fi x2 ≠ -1 olur ki böyle bir x Œ R bulunamaz.

Mutlak De¤er

a, b > 0 , c, d ΠR n

a. b = a. b

1. n

2.

3. c

1/n

a = a b b n

a ± d

n

ve

1/n

n ΠN ise 1/n

= a1/n . b

1/n = a = 1/n b

a =

n n n

c±d

=

n

15 Köklü ifadelerin baz› ifllemleri üslü ifadelerden kolayca elde edilir.

a.

n

b

a b a

olur. 1.

a) (-2)2 - 22 -23 - (-2)3 = ? 3

2 5 c) a . b 4 3 a b

2.

6

10 .

4

3.

6

=?

100 .

6

d)

27-6 . - 1 32

SIRA S‹ZDE 6

-8

= ?

b) 3 50 + 128 - 4 242 = ?

1000 = ?

d) 4 3

-3 4 = ?

a)

65 . 14 4 . 15 3 = ? 214 . 10 2 . 12 3

4

a) 108 - 48 + 27 = ? c)

b)

b)

3

7 -2

3

7 +5

4 20 . 2 4 5

3

7 =?

625 = ?

3 3 3 3 c) 4 + 4 + 4 + 4 2 2 2 2 + 2 + 2 + 22

MUTLAK DE⁄ER


AMAÇ

6

Mutlak de¤er kavram›na dayal› olarak gerçel eksen üzerindeki iki nokta aras›ndaki uzakl›¤› hesaplamay› ö¤reneceksiniz.

Mutlak de¤er kavram›, cebirsel olarak kök içeren hesaplamalarda ve geometrik olarak da iki nokta aras›ndaki uzakl›k kavram›n›n belirlenmesinde önemli rol oynar. Bir a Œ R say›s›n›n 0 (s›f›r ) a olan uzakl›¤›na a say›s›n›n mutlak de¤eri veya büyüklü¤ü denir. Bu say› |a| ile gösterilir. Di¤er bir ifadeyle

0 ; a = 0 ise -a ; a < 0 ise

d›r. Afla¤›daki özellikler tan›m kullan›larak kolayca elde edilir. a, b Œ R ve n Œ N için; 1.

a =

a2

4. - a ≤ a ≤ a

a2 = a = a a2

=

-a

ve a < 0 ise 2

= -a = a

2 d›r. a = a eflitli¤i özellikle çift kuvvetten köklü denklemlerde kullan›l›r.

a ; a > 0 ise |a| =

• Her a Œ R için | a | ≥ 0 d›r. • Her a Œ R için a = a2 dir. Çünkü a • 0 ise

2.

a 2 = a2

5.

a = a b b

3. 6.

-a = a an = a

n

Mutlak De¤er

16

7.

a. b = a . b

10.

a - b

8.

≤ a-b

a-b = b-a

9.

a+b ≤ a + b

11. |a | = max { -a, a }

Mutlak de¤er kavram› do¤al olarak uzakl›k kavram›n› gündeme getirir. Say› do¤rusu üzerinde koordinatlar› a ve b olan A ve B noktalar›n› alal›m. Uzakl›¤›n negatif olmay›fl›ndan, A ve B noktalar› aras›ndaki uzakl›¤a d denirse, B, A n›n sa¤›nda oldu¤unda b - a negatif de¤ildir. Bu durumda d = b - a = |b - a| dir. A, B nin sa¤›nda ise a - b negatif de¤ildir. d = a - b = -(b - a) = |b - a| dir. Böylece d = d (A, B) = |b - a| d›r. A

B

B

A

a

b

b

a

b-a

a-b d = d (A, B) = |b - a|

fiimdi ileride mutlak de¤erli denklem ve eflitsizliklerde kullanaca¤›m›z birkaç ifade verelim. Geometrik Anlam›

Gösterilifli

ÖRNEK 11

|x - a|

x ile a aras›ndaki uzakl›k

|x+ a| = |x - (-a)|

x ile -a aras›ndaki uzakl›k

|x| = |x - 0|

x ile 0 (s›f›r) aras›ndaki uzakl›k

Koordinatlar› a ve b olan A ve B noktalar› aras›ndaki uzakl›¤› bulunuz.

ÇÖZÜM

a) a = 3, b = 7

1 2

b) a = - 2 , b =

c) a = 0, b = -7

a) d (A, B) = b - a = 7 - 3 = 4 = 4 b) d - 2 , 1 2

=

1 2

= 1+2 = 2

- 2

3 2

c) d (0, -7) = -7 - 0 = -7 = - -7 = 7

ÖRNEK 12 ÇÖZÜM

a) x - 3 a)

= 2 b) x - 5

< 1 c) x + 3

> 3 çözüm kümelerini bulunuz.

|x - 3| = 2, 3 noktas›na 2 birim uzakl›ktaki x noktalar› 2 3-2

olaca¤›ndan Ç = {1, 5} dir.

2 3

3+2

olaca¤›ndan Ç = { 1, 5} dir.

Mutlak De¤er

b)

17

|x - 5| < 1, 5 noktas›na uzakl›¤› 1 birimden küçük olan x noktalar› 1 5-1

1 5+1

5

olaca¤›ndan Ç = (4, 6) aral›¤›d›r. a)

|x + 3| = |x - (-3) | > 3, -3 noktas›na uzakl›¤› 3 birimden büyük olan x noktalar› 3 -3 + (-3)

3 -3 + 3

-3

olaca¤›ndan Ç = (-∞, -6) » (0, ∞) aral›¤›d›r.

1.

Koordinatlar› a ve b olan A ve B noktalar› aras›ndaki uzakl›¤› bulunuz. a) a = -7, b = 7

b) a = - 1 , b = - 2 2

c) a = - 5 , b = 3 7 7

Mutlak de¤erin geometrik anlam›n› kullanarak afla¤›daki koflullar›n herbirine uyan x’lerin kümelerini bulunuz. 2.

a) x + 2

= 3

b) x - 7

< 4

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 - 1918) Cantor, kümeler kuram›n› kuran ve sonsuz nicelik say›s› kavram›n› ortaya koyan ünlü matematikçidir. "Matematikte bir soru ortaya koyabilme, soruyu çözmekten daha de¤erlidir." Georg CANTOR "Sonsuz ! Baflka hiçbir problem insan zihnini bu kadar kar›flt›rmam›flt›r." David HILBERT

c) x + 5

> 2

SIRA S‹ZDE 7

Kendimizi S›nayal›m

18

Kendimizi S›nayal›m 1. "MATEMAT‹K" ve "‹STAT‹ST‹K" kelimelerinin harflerinin oluflturduklar› kümeler s›ras›yla A ve B olsunlar. A«B kümesi afla¤›dakilerden hangisidir? a. { T, A, K } b. { K, A, T, E } c. { K, A, ‹ } d. { ‹, T, A, K } e. { A, T, S, ‹ } 2. A = {1, 3, 5, 7, 9} , B = {3, 5, 9} ve C = { x | x2 = 9, x Œ N} kümeleri veriliyor. Afla¤›dakilerden hangisi yanl›flt›r? a. C à A b. C à B c. A « B « C = C d. B » C à A e. B « C = B 3.

C

A

B A » B » C = E olmak üzere A, B ve C kümeleri birer dikdörtgen ile gösterilmifltir. Afla¤›dakilerden hangisi taral› olarak verilen küme de¤ildir? a. (A » B ) \ C b. (A « C ) » (B « C ) c. (A » B ) \ C t d. (At « Bt )t « C e. (A » B ) « C 4.

C

A Taral› a. b. c. d. e.

B

E

olarak verilen küme afla¤›dakilerden hangisidir? (A » B ) \ C (A « C ) » (B « C ) (C \ A ) « (C \ B ) (A » B )t \ C t (A » B )t » C

5. N do¤al say›lar kümesi ve a bir do¤al say› olmak üzere a N = {ak |k Œ N} kümesini göstersin. Buna göre 3 N « 7 N kümesi afla¤›dakilerden hangisine eflittir? a. 3 N b. 7 N c. 10 N d. 21 N e. 4 N 6. A ve B herhangi iki küme oldu¤una göre, A \ B kümesi afla¤›dakilerden hangisine eflit de¤ildir? a. A « Bt b. (At » B)t c. Bt \At d. (A » Bt )t e. A « (A « B )t 7. A = { x | x Œ N ve 1 < x ≤ 8 } ve B = { x | x Œ N ve x ≥ 3} ise (A « B)t kümesi afla¤›dakilerden hangisidir? a. { 2, 3 } b. { 3, 4, 5, 6, 7, 8 } c. N \ {2, 3} d. N \ { 3, 4, 5, 6, 7, 8 } e. N \ { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } 8. Afla¤›dakilerden hangisi rasyonel say› de¤ildir? a. 0,232323... b. 3,576 c. 1,267 d. 0,323323332... e. 0,2562 9. Afla¤›dakilerden hangisi bir irrasyonel say›d›r? a.

3

-8

b. 2 3 4 27 c. 3 18 2 6 d. 12 4 1 e. 3 10. a > b > 0 ve c = a + 6b oldu¤una göre, c'nin b alaca¤› tüm de¤erler, afla¤›daki aral›klar›n hangisindedir? a. 6 b. 6 c. 1

6

d. 7 e. 7

Biraz Daha Düflünelim

11. a < b ve ka > kb ise, afla¤›dakilerden hangisi yanl›flt›r? a. k3 < 0 b. -k > 0 c. k > 0 d. a - b < 0 e. k3 < k2 12. a . b > 0 ifadesine denk olan ifade, afla¤›dakilerden hangisidir? a. a > b b. b > 0 c. a > 0 d. a2 - b2 > 0 e. a > 0 b

5. Verilen tabloyu tamamlay›n›z. A

d)

3 7 37 125 127 27 13 133

A«B A\B A » Bt B \ At

[-1, ∞)

(-3, 5)

[3, 11]

[-2, 4]

(0, ∞)

.

-5

-8

0,02

-2

0,04

-2

2

=?

0,125

-2 -2. -4

d.

=?

-5

=?

-4

e) 4 . - 4-1/3

3 3

=?

93 92 f) 2 - 2 = ? 94 2

b)

b = 18 , 19

-5

0,8 3 .

c)

B\A

= ?

4

3,25

A\B

2

22 -1 4

3

5

d= 1 6

4

16 = ? 3

4

4

1 2 =? 2

1,44 -

c) 3

d)

3

0,008 - 4

4

0,0081 = ?

6

9

3 =? 3

c = 37 32

4. A = { x Œ R | -3 ≤ x < 7 } , kümelerini bulunuz? a) b) c) d)

(-∞, 3)

7. a)

3. Verilen say›lar› s›ralay›n›z. a) a = 3 , b = 4 , c = -3 , 2 3 4 b) a = 15 , 17

(2, 7)

32,5

b) 3,913 c) 0, 339 d) 1, 1347 2. Verilen rasyonel say›lar›n devirli ondal›k yaz›l›m›n› bulunuz.

c)

(-∞, 3)

b)

1. Afla¤›daki devirli ondal›k say›lar›n efliti olan rasyonel say›lar› belirleyiniz. a) 6,242424 = 6,24

b)

(-1, 5)

-2

Biraz Daha Düflünelim

a)

(3, 7)

6. a)

A«B

A»B

B

e) x

3/2

= 27 ise x = ?

B={xŒR|x≥4} 8.

4

-16 ’n›n bir gerçel say› olmad›¤›n› görünüz.

19

Özdefllikler Denklemler ve Eflitsizlikler

2

Amaçlar Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra; denklem çözümlerinde kullan›lan temel özdefllikleri ö¤renebilecek, birinci, ikinci ve üçüncü derece denklemleri çözümleyebilecek, birinci ve ikinci derece eflitsizliklerin çözümlerini bulabilecek, köklü ve mutlak de¤erli denklemler ile baz› mutlak de¤erli eflitsizliklerin çözümlerini yapabileceksiniz.







22

Özdefllikler, Denklemler ve Eflitsizlikler

‹çindekiler • De¤iflken, Sabit, Parametre, Özdefllikler ve Denklemler • Eflitsizlikler • Tan›mlar iyi anlafl›lmal›, özdefllikler ö¤renilmeli, • al›flt›rmalar çözülmelidir.

Girifl A ve B gibi iki oto kiralama firmas›ndan, A firmas› bir arabay› günlük 3.200.000 TL ve kilometre bafl› 40.000 TL’ ye, B firmas› ise ayn› marka bir arabay› günlük 4.000.000 TL ve kilometre bafl› 32.000 TL ye kiraya vermektedir. A firmas›ndan bir haftal›¤›na bir araba kiralayan bir kiflinin bu firmaya ödeyece¤i paran›n B firmas›na ödemesi gereken paradan az olmas› için bu kiflinin arabay› en fazla kaç kilometre kullanmas› gerekir? Günlük yaflant›m›zdaki problemlerin pek ço¤u bir ya da birkaç bilinmeyenli denklemler ya da eflitsizliklerle ifade edilebilir. Örne¤in, yukar›daki soru bir eflitsizlik yard›m›yla çözülecektir (bkz. 14. Örnek). ‹ki kesimden oluflacak bu ünitenin ilk kesiminde ön bilgiler, özdefllikler, birinci, ikinci ve yüksek dereceli denklemlerin çözümleri üzerinde duraca¤›z. ‹kinci kesim eflitsizlik çözümleri ile ilgili olacakt›r.

De¤iflken, Sabit, Parametre, Özdefllikler ve Denklemler

23

DE⁄‹fiKEN, SAB‹T, PARAMETRE, ÖZDEfiL‹KLER VE DENKLEMLER


AMAÇ

Denklem çözümlerinde kullan›lan temel özdefllikleri ö¤reneceksiniz.

1

De¤iflebilen, yani farkl› de¤erler alabilen bir büyüklü¤e de¤iflken, her zaman ayn› kalan bir büyüklü¤e sabit ve bazen de¤iflken bazen de sabit olarak ifllem gören bir büyüklü¤e de parametre denir. Örne¤in; ekonomide fiyat, kazanç, gelir, maliyet gibi kavramlar de¤iflkendir. x bir de¤iflken olmak üzere 3x - 5 yaz›l›fl›nda 3, -5 sabitlerdir. ax - 5 ifadesinde a n›n 3 de¤eri olabildi¤i gibi baflka de¤erlerde olabilece¤i düflünülürse a bir parametredir. De¤iflken, parametre, sabit ve bunlar›n farklar›, toplamlar›, çarp›mlar›, bölümleri, kökleri vs. içeren ancak eflitlik, eflitsizlik içermeyen x + a , 2x - 3, x - a + 7, .... gibi ifadelere cebirsel ifade denir. De¤iflkenlerin ald›¤› her de¤er için birbirlerine eflit olan iki cebirsel ifadeye özdefltir denir. Böyle bir eflitli¤e de özdefllik ad› verilir. Her x , y Œ R için

Bir cebirsel ifadede = , ≤ , < , ≥ ve > simgeleri bulunmaz.

Özdefl iki cebirsel ifadeden biri, di¤eri yerine al›nabilir.

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 eflitli¤i do¤ru oldu¤undan (x + y)2 cebirsel ifadesi desi birbirlerine özdefltir. Baz› önemli özdefllikler afla¤›da verilmifltir. a) x2 - y2 = (x - y) (x + y) b) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 = (x + y) (x + y) c) x2 - 2xy + y2 = (x - y)2 = (x - y) (x - y) d) x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2) e) x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)


AMAÇ

2

ile x2 + 2xy + y2 cebirsel ifa-

(iki kare fark›) (tam kare) (tam kare) (iki küp fark›) (iki küp toplam›)

a, b Œ R , a π 0 olmak üzere ax + b = 0 biçimindeki bir denkleme birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Böyle bir denklemin tek çözümü x = - b/a d›r. Denklemin çözüm kümesi Ç = {- b/a} d›r.

Birinci, ikinci ve üçüncü derece denklemleri çözümleyebileceksiniz.

De¤iflken bulunduran ve de¤iflkenin baz› de¤erleri için do¤ru olan eflitliklere denklem denir. Bir denklemde, de¤iflkenin eflitli¤i do¤rulayan de¤erlerine de denklemin kökleri ad› verilir. Verilen bir denklemin çözümlerinin varl›¤› ve bulunabilmesi matematikte önemli bir konudur. Bilindi¤i gibi her tür denklemin çözümünde izlenecek genel bir yol olmad›¤›ndan, denklemler çeflitli biçimlerde s›n›fland›r›larak çözüm yollar› aran›r. Bu s›n›fland›rmalardan ikisi denklemlerin bilinmeyen say›s›na ve bilinmeyenlerin en yüksek derecesine göre s›n›flamad›r. Tek bilinmeyen içeren denklemlere bir bilinmeyenli denklemler, iki bilinmeyen içeren denklemlere iki bilinmeyenli denklemler, benzer flekilde n-bilinmeyen içeren denklemlere de n-bilinmeyenli denklemler denir. Örne¤in ; x + 3 = 7 bir bilinmeyenli, 2xy + y = 1 iki bilinmeyenli ve x + 2y + z = 20 ise üç bilinmeyenli denklemlerdir. Tek bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin derecesi bir olan denkleme, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem (veya k›saca birinci derece denklem), tek bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin derecesi iki olan bir denkleme ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem (veya k›saca ikinci derece denklem), benzer flekilde bir bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin derecesi n - olan bir denkleme

a, b, c Œ R ve a π 0 olmak üzere ax2 + bx + c = 0 tipindeki bir denkleme ikinci derece denklem denir. Böyle bir denklemin D = b2 - 4ac olmak üzere • D < 0 ise gerçel çözümü yoktur. b • D = 0 ise x = 2a -b - D • D > 0 ise x 1 = 2a ve x 2 = -b + D 2a gibi iki farkl› çözümü vard›r. K›saca çözüm kümesi Ç=

dir.

2

-b-

b - 4ac 2a

-b+

b - 4ac 2a

2

,

De¤iflken, Sabit, Parametre, Özdefllikler ve Denklemler

24

n. dereceden bir bilinmeyenli bir denklem (veya k›saca n. derece denklem) denir. Bu kesimde 1. , 2. ve 3. derece denklemlerin çözüm yöntemlerine k›saca de¤inece¤iz.

ÖRNEK 1 ÇÖZÜM

3x + 12 + x - 8 = 10 + 2x + 4 denklemini çözünüz.

3x + x + 12 - 8 = 2x + 10 + 4 4x + 4 = 2x + 14 4x - 2x = 14 - 4 2x = 10 x=5 Böylece Ç = {5} dir.

ÖRNEK 2

ÇÖZÜM

2 x- 1 x = - 1 x- 2 2 6 3

denklemini çözünüz.

x lerin katsay›lar›n›n en küçük ortak kat› 6 oldu¤undan denklemin her iki yan› 6 ile çarp›l›rsa 6 . 2 x- 6 . 1 x = 6 . - 1 x- 6 . 2 3 2 6 4x - 3x x+x 2x x

= -x - 12 = -12 = -12 = -6

olur. Böylece Ç = {-6} d›r.

ÖRNEK 3

ÇÖZÜM

4x2 - 8x - 5 = 0 denklemini çözünüz.

ax2 + bx + c = 4x2 - 8x - 5 = 0 ve a = 4 , b = -8 ve c = -5 oldu¤undan

x 1,2 =

- b±

b 2 - 4ac - (-8) ± = 2a

(-8) 2 - 4 . (4) . (-5) 2 . (4)

=

8 ± 12 8 ± 64 + 80 8 ± 144 = = 8 8 8

=

2±3 2

x1 = 5 , 2

olur ve çözümler x2 = - 1 2

yani

Ç= -1,5 2 2

olur.

De¤iflken, Sabit, Parametre, Özdefllikler ve Denklemler

1 x2 = 2 x - 1 5 2 10

25

ÖRNEK 4

denklemini çözünüz.

ÇÖZÜM

10 . 1 x 2 = 10 . 2 x - 1 2 10 5 x2 = 4x - 5 x2 - 4x + 5 = 0 a = 1 , b = -4 ve c = 5 olmak üzere D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 .(1) . (5) = 16 - 20 = -4 < 0 oldu¤undan gerçel çözüm yoktur. Ç = Ø dir.

ÖRNEK 5

x2 - 10x + 25 = 0 denklemini çözünüz.

b2 - 4ac - (-10) ± = 2a

- b±

x 1,2 = x1 = x2 = 5

(-10) 2 - 4 . (1) . (25) 2 . (1)

= 10 = 5 2

olur. Ç = {5} dir.

a) 2x2 - 7x + 3 = 0

-1

x

-3

-6x - x = -7x Bir çarp›m›n s›f›r olmas› için çarpanlar›ndan en az biri s›f›r olmal›d›r. ,

x1 = 1/2

x-3=0 ,

x2 = 3

d›r. olur. Ç = {1/2, 3} olur.

b) x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0 2+3

d›r.

2.3

Böylece x + 2 = 0 , x + 3 = 0 Ç = {-3, -2} dir.

olaca¤›ndan x1 = -2 , x2 = -3 çözüm olur.

ÇÖZÜM

2x

2x - 1 = 0

ÖRNEK 6

b) x2 + 5x + 6 = 0 denklemlerini çözünüz.

a) 2x2 - 7x + 3 = (2x - 1) (x - 3) = 0 d›r.

Buradan

ÇÖZÜM

a = 1 , b = -10 ve c = 25 dir.

‹kinci derece denklemleri çarpanlar›na ay›rarak çözmede yararl› olacak iki ifadeyi verelim. aπ1 olmak üzere ax2+ bx + c ikinci derece ifadeleri a = p . q ve c = m . n olmak üzere b = p . n + q . m oluyorsa ax2 + bx + c = (px + m) (qx + n) px

m

qx

n

bx = (pn + qm)x olarak yaz›l›r. Özel olarak a = 1 , c = p . q ve b = p + q ise x2 + bx + c = x2 + (p + q) x + p . q = (x + p) (x + q) biçiminde yaz›l›r.

De¤iflken, Sabit, Parametre, Özdefllikler ve Denklemler

26

ÖRNEK 7 ÇÖZÜM

a) 3x2 - x = 0 a)

b)

fi x (ax+b) = 0 fi x=0 ,

x=-

x2 - 9 = 0

1 , x2 = olur. 3

fi x2 = 9

x1 = -3 veya x = 3 Ç = {-3, 3} tür.

b a

denklemlerini çözünüz.

3x2 - x = x (3x - 1) = 0 oldu¤undan x1 = 0 , 3x - 1 = 0 Ç = {0, 1/3} tür.

ax 2 + bx + c = 0 denkleminde • c = 0 ise ax 2 + bx = 0

b) x2 - 9 = 0

fi x= - 9

veya

x= 9

oldu¤undan

olur.

ise ax 2 + c = 0 , c c fi x 2 = - a , - a ≥ 0 olmak kofluluyla c , x2 = - ac x1 = - - a olur.

• b=0

ÖRNEK 8 ÇÖZÜM

a) x3 + x2 = 20x

ÖRNEK 9

b) x3 + 3x2 - x - 3 = 0

denklemlerini çözünüz.

a)

x3 + x2 - 20x = 0

fi fi fi fi fi

x (x2 + x - 20) = 0 x (x + 5) (x - 4) = 0 x=0 , x+5=0 , x-4=0 x1 = 0 , x2 = -5 , x3 = 4 Ç = {-5, 0, 4}

b)

x3 + 3x2 - x - 3 = 0

fi fi fi fi fi

x2 (x + 3) - (x + 3) = 0 (x + 3) (x2 - 1) = 0 (x + 3) (x + 1) (x - 1) = 0 x1 = -3 , x2 = -1 , x3 = 1 Ç = {-3, -1, 1}

ÇÖZÜM

Bir flirket, birim bafl›na maliyeti (iflçilik ve araç gereç) 100 milyon TL olan f›r›n üretmektedir. fiirketin de¤iflmez giderleri bir ayl›k 10 milyar TL dir. Ürünün sat›fl fiyat› 130 milyon TL ise flirketin ayl›k kâr›n›n 11 milyar TL olmas› için satmas› gereken ürün say›s›n› belirleyiniz. Sat›lmas› gereken ürün say›s›n› x ile gösterelim. Bu ürünlerin maliyeti 100x milyon TL dir. ‹flletmenin toplam maliyeti 100 x + 10.000 milyon TL dir. fiirketin toplam geliri ise 130 x milyon TL dir. Kâr 11.000 30 x x

= = = = =

Toplam gelir - Toplam gider 130 x - [(100 x) + (10.000)] 30 x - 10.000 21.000 700 adet ürün satmal›d›r.

Eflitsizlikler

1)

2)

3)

27

SIRA S‹ZDE 1

Verilen denklemleri çözünüz. a) 4 + 5 (2x - 3) = 3 (4x - 1) b) 3x - 4 (2 - x) = 3 (x - 2) - 4 c) 3 [2 - 4 (2x - 1)] = 4x - 10 d) 5 [2 - (2x - 4)] = 2 (5 - 3x) Verilen denklemleri çözünüz. a) 3x2 + x - 2 = 0 b) 2x2 - x - 3 = 0 c) 33x2 + 34x - 35 = 0 d) 8x2 - 22x + 15 = 0 e) 4x (3x - 2) - 7 (3x - 2) = 0 f) 2x (5x - 2) - 3 (2 - 5x) = 0 g) x2 - 81 = 0 h) x2 + 14x + 49 = 0 ›) x2 + 64 = 0 i) 25x2 - 5x = 0 Verilen denklemleri çözünüz. a) 12x3 - 75x = 0 b) x3 + 4x2 + 4x = 0 c) x4 + 2x3 - 35x2 = 0 d) 2x3 + 16x2 + 66x = 0

Efi‹TS‹ZL‹KLER


AMAÇ

Birinci ve ikinci derece eflitsizliklerin çözümlerini bulabileceksiniz.

3

Eflit olmayan ve s›ralanabilen iki cebirsel ifadeden birinin di¤erinden büyük (veya büyük eflit, küçük veya küçük eflit) oldu¤unu belirleyen ba¤›nt›ya eflitsizlik denir. Bu kesimde eflitsizliklerin çözüm kümelerinin bulunuflu üzerinde duraca¤›z. ax + b ≤ 0 , ax + b ≥ 0 , ax + b < 0 veya ax + b > 0 biçiminde yaz›labilen bir eflitsizli¤e birinci dereceden eflitsizlik denir.

ÖRNEK 10

3 + 5x ≤ 3x - 9 eflitsizli¤inin çözüm kümesini bulunuz.

bulunur. -6 ya eflit ve -6 dan küçük x lerin kümesi verilen eflitsizli¤in çözüm kümesidir. Ç = {x | x ≤ -6} = (-• , -6] aral›¤›d›r.

ÇÖZÜM

5x - 3x ≤ -9 - 3 2x ≤ -12 x ≤ -6

Eflitsizlikler

28

ÖRNEK 11 ÇÖZÜM

7 ≤ 2 - 5x < 9 eflitsizli¤ini çözünüz. Verilen eflitsizlik 7 ≤ 2 - 5x ve 2 - 5x < 9 eflitsizliklerinin bir arada yaz›m›d›r. Böyle bir eflitsizli¤in çözüm kümesi, eflitsizliklerin ayr› ayr› çözümlerinden elde edilen çözüm kümelerinin kesiflimidir. Ancak, bu iki eflitsizli¤in birlikte çözümü afla¤›daki biçimde de mümkündür. 7 ≤ 2 - 5x < 9 (-2) + 7 ≤ (-2) + 2 - 5x < (-2) + 9 5 ≤ -5x < 7 -1 .5 ≥ 5

- 1 (-5x ) > 5

-1 .7 5

(eflitsizli¤in her üç yan›n› - 1 5 de¤ifltirdi.)

negatif say›s› ile çarpt›¤›m›zdan eflitsizlikler yön

-1 ≥ x > - 7 5 bulunur. Son ifade Ç =

x Œ R - 7 < x ≤ -1 5

= - 7 , -1 5

oldu¤unu verir.

Birinci derece bir bilinmeyenli eflitsizlikler tablo ile de çözülür. Bunun için ax + b cebirsel ifadesinin iflareti incelenmelidir. Bu ifade x = - ab için 0 (s›f›r) oldu¤undan tablo afla¤›daki gibi düzenlenir. x ax + b

ÖRNEK 12

b a

-∞ a n›n iflaretinin tersi

0

+∞ a n›n iflaretinin ayn›s›

ÇÖZÜM

5 (x - 2) > 9x - 3 (2x - 4) eflitsizli¤ini çözünüz. 1. Yol 5x - 10 > 9x - 6x + 12 5x - 10 > 3x + 12 5x - 3x > 10 + 12 2x > 22 x > 11 Ç = (11, +•) 2. Yol 5x - 10 > 9x - 3 (2x - 4) 2x - 22 > 0 2x - 22 = 0 fi x = 11 x 2x - 22

11

-∞

-

Ç = (11, +•) olur.

0

+∞ +

Eflitsizlikler

29

ÖRNEK 13

Bir mal›n al›fl fiyat› x lira ve sat›fl fiyat› y lirad›r. Sat›fl için iki durum söz konusudur. I. Durum : y = 3x + 1300 II. Durum : y = 7x - 1100 II. Durum I. Durum'dan daha kârl› ise x tam say› olarak en az kaç lira olmal›d›r? ÇÖZÜM

3x + 1300 < 7x - 1100 2400 < 4x 600 < x olur. x = 601 lira olmal›d›r.

ÖRNEK 14

A ve B gibi iki oto kiralama firmas›ndan A firmas› bir arabay› günlük 3.200.000 TL. ve kilometre bafl› 40.000 TL ye, B firmas› ise ayn› marka bir arabay› günlük 4.000.000 TL ve kilometre bafl› 32.000 TL ye kiraya veriyor. A firmas›ndan bir haftal›¤›na araba kiralayan bir kiflinin bu firmaya ödeyece¤i paran›n, B firmas›na ödemesi gereken paradan az olmas› için bu kiflinin arabay› en fazla kaç km. kullanmas› gerekti¤ini bulunuz. ÇÖZÜM

7 (3.200.000) + x (40.000) < 7 (4.000.000) + x 32.000 x (8.000) < 7 (800.000) x < 700 kullanaca¤› maksimum kilometre 699 km. olmal›d›r. ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c ≥ 0 , ax2 + bx + c < 0 veya ax2 + bx + c ≤ 0 biçiminde bir eflitsizli¤e ikinci derece eflitsizlik denir. Bu tür bir eflitsizli¤in çözümü için ax2 + bx + c üç terimlisinin iflareti incelenmelidir. Bunun için üç durum söz konusudur. 1. DURUM : ∆ = b2 - 4ac > 0 ise ax2 + bx + c = 0 denkleminin iki farkl› çözümü vard›r. x1 < x2 olmak üzere kökler x1 , x2 olur. -∞

x ax 2 + bx + c

x

a n›n iflaretinin ayn›s›

x

1

a n›n iflaretinin tersi

0

+∞

2

0

a n›n iflaretinin ayn›s›

b 2 2. DURUM : D = 0 ise ax + bx + c = 0 ›n eflit iki kökü var ve x 1 = x 2 = 2a x ax2 + bx + c

-∞ a n›n iflaretinin ayn›s›

-

b 2a 0

+∞ a n›n iflaretinin ayn›s›

Eflitsizlikler

30

3. DURUM : ∆ < 0 ise ax2 + bx + c = 0 '›n kökü yoktur. Bu durumda (i) a > 0 ise daima ax2 + bx + c > 0 (iflareti daima pozitif) (iflareti daima negatif) olur. (ii) a < 0 ise daima ax2 + bx + c < 0

ÖRNEK 15

ÇÖZÜM

b) x2 ≤ 5x - 4 a) x2 - 3x > 4 eflitsizliklerini çözünüz.

c) x2 + 6x + 9 ≤ 0

d) 3x2+ x + 4 ≥ 0

a) x2 - 3x - 4 > 0 eflitsizli¤ini çözmek için •

Önce x2 - 3x - 4 = 0 denklemi çözülür. x 1,2 = x1 = -1

•

- b± ,

b2 - 4ac - (-3) ± 9 + 4 . 4 3 ± 25 3±5 = = = 2a 2 2 2

x2 = 4 bulunur.

Sonra x2 - 3x - 4 ün iflareti incelenir. -∞

x 2

x - 3x - 4

•

-1

+

-

0

+∞

4

+

0

Pozitif iflaretli yerler çözüm olaca¤›ndan çözüm kümesi taral› k›s›m olan Ç = (- ∞ , -1) » (4 , + ∞ ) kümesi olur.

b) x2 - 5x + 4 ≤ 0 •

x 2 - 5x + 4 = 0 fi x 1, 2 = x

•

1

-∞

2

+

x - 5x + 4

•

5 ± 25 - 16 5±3 = 2 2

0

fi x1 = 1 , x2 = 4 +∞

4

-

+

0

Ç = [1 , 4]

c) x2 - 6x + 9 ≤ 0 • •

x 2 + 6x + 9 = 0 x x2 + 6 x+ 9

•

fi

x 1, 2 =

-6 ± 36 - 36 = -3 2 -3

-∞ +

0

olur.

+∞ +

ifade -3 de s›f›rd›r ve di¤er hiçbir noktada negatif olmaz. Bu nedenle Ç = {-3}

Eflitsizlikler

31

d) 3x2 + x + 4 ≥ 0 3x2 + x + 4 = 0 , ∆ = b2 - 4ac = 1 - 4 . 4 . 3 = -47 < 0 oldu¤undan gerçel kök yoktur ve a = 3 > 0 oldu¤undan 3x2 + x + 4 daima pozitiftir. Ç = R olur.

•

P (x ) = Q (x )

Eflitsizlikler kullan›larak çözülebilirler.

P (x ) ≥ 0

P (x ) = Q (x ) ¤

biçimindeki köklü deklemler

ve P (x ) = Q (x )2

Q (x ) ≥ 0 Uygulamada P (x) = (Q(x))2 denklemi çözülür ve ç›kan çözümlerden orijinal denklemi sa¤layanlar al›n›r.

3x + 4 - x = 2

ÖRNEK 16

denklemini çözünüz. fi

3x + 4

2

= x+ 2 2

fi

3x + 4 = x 2 + 4x + 4

fi

x2 + x = 0

fi

x1 = 0 ,

Bunlar verilen denklemi sa¤lar.

ÇÖZÜM

3x + 4 = x + 2

x 2 = -1

Ç = {-1 , 0} d›r.

Afla¤›daki bilgiler ve eflitsizlikler kullan›larak verilen mutlak de¤erli denklem ve eflitsizliklerin çözümleri bulunur. • • •

| P (x) | = a | P (x) | < a | P (x) | > a

¤ ¤ ¤

P (x) = ± a olan x ler -a < P (x) < a olan x ler P (x) < - a veya P (x) > a olan x ler

çözüm olur. a) | 2x - 5 | = 3

b)

1 <3 ¤ x- 3

¤

1 <3 x- 3

2x - 5 = ± 3

1 <3 x- 3 x- 3 > 1 3

¤ x =

5±3 2

¤ Ç = {1 , 4}

¤

x- 3 ≠ 0

¤

x - 3 < - 1 veya x - 3 > 1 3 3

olmak üzere

¤ Ç = -• , 3 - 1 » 3 + 1 , +• 3 3 =

ÖRNEK 17

c) | 2x + 3 | ≤ 1

-• , 8 » 10 , +• 3 3

ÇÖZÜM

a) | 2x - 5 | = 3

b)

Eflitsizlikler

32

c) | 2x + 3 | ≤ 1

SIRA S‹ZDE 2

¤

-1 ≤ 2x + 3 ≤ 1

¤ ¤ ¤

-4 ≤ 2x ≤ -2 -2 ≤ x ≤ -1 Ç = [-2 , -1]

1. Afla¤›daki eflitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz.

a) 2 (5x - 8) ≤ 7 (x - 3) b) 3x - 2 (3x - 5) > 4 (2x - 1) c) 4 + 2 (3 - 2x) ≤ 4 (3x - 5) - 6x 2. Afla¤›daki eflitliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a) x - 2 - 5 = 0 3

b)

x+ 2 + 3 = 0

c)

2x - 1 + x = 2

d)

x- 1 + x+ 4 = 5

x+ 1 = 3 2x - 1 3. Afla¤›daki eflitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a) || 2x - 3 | - 1 | < 10 2 >1 b) x- 3 5 e)

c)

| 4x - 7 | ≥ 4

Cahit Arf (1910 - 1997) Cebir konusundaki çal›flmalar›yla dünyaca ünlü matematikçimiz. Sentetik geometri problemlerinin cetvel ve pergel yard›m›yla çözülebilirli¤i konusunda yapt›¤› çal›flmalar, cisimlerin kuadratik formlar›n›n s›n›fland›r›lmas›nda ortaya ç›kan de¤iflmezlere iliflkin "Arf de¤iflmezi" ve "Arf halkalar" gibi literatürde ad›yla an›lan çal›flmalar› matematik dünyas›n›n ünlü matematikçileri ars›nda yer almas›n› sa¤lad›. Matemati¤i bir meslek dal› olarak de¤il bir yaflam tarz› olarak görmüfltür. Ö¤rencilerine her zaman "Matemati¤i ezberlemeyin kendiniz yap›n ve anlay›n" demifltir. Hakk›nda yaz›lm›fl bir yaz›da flöyle denilmifltir: "... Bir zamanlar integrali bilen kimselerin matematikçi, üstel fonksiyonu bilenlerin ise büyük matematikçi say›ld›¤› ülkemizde derin matematik konular›n›n tart›fl›laca¤› hayal bile edilemezdi. Cahit Arf ,Türkiye’ de matemati¤in o günlerden bu günlere gelmesinde en büyük rolü oynam›flt›r."

Kendimizi S›nayal›m

Kendimizi S›nayal›m 1. 3x - (1 - 2x) = 9 denkleminin kökü kaçt›r? a. -3 b. -2 c. 2 d. 3 e. 5 2. 1 -

2 1- 4 3x

= 9 denkleminin kökü kaçt›r?

a. 4 3 b. 16 15 c. 1 d. 15 16 e. 3 4 3. a + 1 = 8 3 1-x x +2

denkleminin bir kökü 2 ise a

afla¤›dakilerden hangisidir? a. -9 b. -6 c. 5 d. 6 e. 9 2 4. 3x - 2x - 1 = 0 x2 - 1

denkleminin çözüm kümesi afla¤›-

dakilerden hangisidir? a. b. c. d. e.

{-1/3 , 1} {-1 , 1} {-1/3} {-1} {-1 , 1 , 1/3}

5. 4x + 5 = x - 1 + x denkleminin çözüm kümesi afla5 5 ¤›dakilerden hangisidir? a. b. c. d. e.

{3} {5} {7}

R ø

33

6. 3xy + y - 6x - 2 = 0 ise y say›s› afla¤›dakilerden hangisidir? a. -2 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 7. x2 (2x - 1) - 3x (2x - 1) + 2 (2x - 1) = 0 denkleminin çözüm kümesi afla¤›dakilerden hangisidir? a. {1/2} b. {1 , 2} c. {1/2 , 1 , 2} d. ø e. {-1 , -2} 8. 2 (3x - 1) > 3x + 4 eflitsizli¤inin çözüm kümesi afla¤›dakilerden hangisidir? a. (-• , 2) b. (-• , 2] c. (2 , •) d. [2 , •) e. ø 9. 15 - 5 (3 - 2x) ≤ 4 (x - 3) afla¤›dakilerden hangisidir? a. {-•,•} b. (-• , -2] c. [-2 , •) d. [-2 , •) e. [-• ,2) 10. 13 - 4x - x = 4 - 2x den hangisidir? a. {1} b. {1,3} c. {-1,3} d. {1,-3} e. {-1,-3} 11.

-10 -9 -8 -7

çözüm kümesi afla¤›dakiler-

-6 -5 -4

-3 -2

Çözüm kümesi say› do¤rusu üzerinde koyu olarak verilen eflitsizlik afla¤›dakilerden hangisidir? a. -9 ≤ x < -3 b. -9 < x ≤ -3 c. -9 ≤ x ≤ -3 d. |x - 6| < 3 e. |x + 6| < 3

Biraz Daha Düflünelim

34

12.

3

7

kümesi afla¤›dakilerden hangisi ile ifade edilir? a. (-• , -3) » (7, +•) b. (-• , 3) » [7, +•) c. (-• , 3] » [7, +•) d. (-• , 3) » (7,+•) e. (3,7)

Biraz Daha Düflünelim 1. P (x) = 0 ¤ P (x) = 0 Q (x)

ve

b) 10 - 13(2-x ) < 5(3x -2) Q (x) ≠ 0

"pay› s›f›r yapan payday› s›f›r yapmayan x ler" bilgisini kullanarak verilen denklemleri çözünüz. x 2 + x - 12 = 0 a) x 2 - 6x + 3 b)

x 2 + 5x + 6 = 0 x 2 + 8x + 15 3

2

c) 2x + 2x - 4x = 0 x 3 + 2x 2 - 3x d)

3x 3 - 12x 6x 3 - 2x 2 + 24x

=0

2. x liraya mal edilen bir mal›n sat›fl fiyat› y lira olsun. Bu mal›n sat›fl fiyat›n›n hesaplanmas›nda iki yol önerilmektedir: 1. YOL : y = x + 100 2. YOL : y = 4x - 200 Üretilen mal›n tümü sat›labildi¤ine ve sat›fl fiyat›n›n hesaplanmas›nda 2. YOL u kullanmak daha kârl› oldu¤una göre x maliyeti en az kaç lirad›r? 3. Afla¤›daki eflitsizlikleri çözünüz. a) 3 + 2(x +5) ≥ x + 5(x +1) + 1

c) -3 ≤ 7x - 14 ≤ 3 4. Afla¤›daki eflitlikleri çözünüz. a) |2x - 8| + 10 = 2 b) 6 - |2x + 4| = 1 5. Afla¤›da verilen eflitlikleri çözünüz. a) x + 1 + x = 5 b) x - 4 + x = 6

Koordinat Düzlemi Do¤ru ve Parabol Denklemleri

3

Amaçlar Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra; R2 nin noktalar›n› düzleme yerlefltirmeyi ve buna dayal› olarak x ve y ye ba¤l› bir denklemin (varsa) grafi¤ini çizmeyi ö¤renecek, do¤ru ve parabol denklemlerini ç›karabilecek ve çizebilecek, do¤rular› karfl›laflt›rabilecek, baz› iki de¤iflkenli eflitsizliklerin çözüm kümesini bulabilecek, do¤ru ve parabollerle s›n›rl› düzlemsel bölgeleri eflitsizliklerle ifade edebileceksiniz.






36

Koordinat Düzlemi Do¤ru ve Parabol Denklemleri

‹çindekiler • • • • • •

Kartezyen Çarp›m Koordinat Düzlemi Grafikler Do¤ru Parabol Birinci ve ‹kinci Dereceden ‹ki Bilinmeyenli Eflitsizlikler

• Kümeler ve say›lar konusu tekrar edilmeli, • koordinat düzlemi ve bir denklemin grafi¤inin ne anlama geldi¤i üzerinde düflünülmeli, • do¤ru ve parabol denklemleri ve grafik çizimleri ö¤renilmelidir.

Girifl Bir üretim firmas› yeni bir elektrik süpürgesi üretmeyi düflünmektedir. Firman›n piyasa araflt›rma bölümü afla¤›daki fiyat-talep bilgilerine eriflmifltir. Fiyat (TL) 41 milyon 66 milyon 88 milyon 108 milyon

Tahmini Talep (kifli) 8040 5040 2400 0

Fiyat ile talep aras›nda bir do¤rusal ba¤›nt›n›n oldu¤unu görünüz ve bu ba¤›nt›y› bulunuz (bkz. 8. örnek). Yukar›daki soruda, görüldü¤ü gibi fiyat ile talep aras›nda bir iliflkilendirme kurulmufltur. Bu iki büyüklük aras›ndaki matematiksel iliflkiyi bulabilmek için düzlemin noktalar› kullan›labilir. Düzlemde bir noktan›n yeri dik kesiflen iki do¤ru yard›m›yla verilebilir. Bu ünitenin ilk iki kesiminde kartezyen çarp›m ve koordinat düzlemini hat›rlataca¤›z. Üçüncü kesimde genel grafik çizimleri üzerinde duraca¤›z. Dördüncü kesimde do¤ru, parabol ve çemberin analitik olarak incelenmesine k›saca de¤inece¤iz. Son kesimde de do¤ru ve parabol grafikleri kullan›larak oluflturulan iki de¤iflkenli eflitsizlikler üzerinde durulacakt›r.

Kartezyen Çarp›m - Koordinat Düzlemi

37

KARTEZYEN ÇARPIM R Gerçel say›lar kümesi olmak üzere a) R x R = { (x, y ) | x, y Œ R } kümesine R nin kendisiyle kartezyen çarp›m› veya dik çarp›m› ya da k›saca çarp›m› denir. R x R genellikle R2 biçiminde yaz›l›r. R2 kümesinin ö¤eleri (x, y) biçimindedir. Bunlara s›ral› ikiler denir. b) R2 'nin herhangi bir alt kümesine R den, R ye bir ba¤›nt› denir.

KOORD‹NAT DÜZLEM‹


AMAÇ

1

R2 nin noktalar›n› düzleme yerlefltirmeyi ve buna dayal› olarak x ve y ye ba¤l› bir denklemin (varsa) grafi¤ini çizmeyi ö¤reneceksiniz.

Bir do¤ru üzerindeki her noktaya bir gerçel say› ve her gerçel say›ya da bu do¤ru üzerindeki bir nokta karfl›l›k getirilerek, R gerçel say›lar kümesinin bir geometrik modeli oluflturulur. fiimdi R2 = R x R için bir geometrik model kural›m. Bunun için aday›m›z düzlemdir. Düzlemin noktalar› ile R2 = R x R nin elemanlar› olan s›ral› ikililer bire bir efllenirler. Bu gözlemimiz cebirsel denklemlerin, geometrik e¤riler olarak görünmesi ve geometrik e¤rilerin, cebirsel denklemlerle verilmesini sa¤lar. Önce düzleme dik koordinat sistemini yerlefltirelim, sonra da R2 nin ö¤elerinin düzlemdeki noktalarla nas›l efllenece¤ini aç›klayal›m. Düzlemde dik olarak kesiflen iki do¤ru alal›m. Düzlemdeki bir noktan›n yeri bu noktan›n bu do¤rulara dik uzakl›klar›yla belirlenir. ‹flaretleriyle birlikte bu uzakl›klar o noktan›n koordinatlar› olarak adland›r›l›r. Uzakl›k ölçümüne yarayan bu do¤rulara koordinat eksenleri veya k›saca eksenler denir. Bu do¤rular›n kesiflim noktas›na koordinat bafllang›c› veya k›saca bafllang›ç noktas› denir. Bu eksenler düzlemi, dörtlük diye adland›r›lan 4 bölgeye ay›r›r. Bunlar saatin dönme yönüne z›t numaraland›r›l›r. Genel olarak bu eksenlerden yatay olan›na x - ekseni, düfley olan›na da y ekseni denir. Ancak, amaca göre, bu eksenlere de¤iflik isimler de verilebilir. y y

•

P (x , y ) 2. BÖLGE

3

I. BÖLGE

2

y birim

1

x birim

x

1

-3 -2 -1

2

3 x

-1 -2

3. BÖLGE

-3

Bafllang›ç noktas› (I)

4. BÖLGE

(2) Şekil 3.1

Grafikler

38

ÖRNEK 1

ÇÖZÜM

A (4, 3), B (-1 , 3), C (3 , -2), D (-2 , -3) ve E (0, 4) noktalar›n› koordinat düzlemine yerlefltiriniz. y 5 4 B (-1, 3)

•3

•

E (0, 4)

• A (4, 3)

2 1

-2 -5 -4 -3

1

3 4

5 x

-1

-1 -2

D (-2, -3)

2

•

-3

• C (3, -2)

-4 -5 Şekil 3.2

GRAF‹KLER Günlük hayatta, iki büyüklü¤ün birbirlerine nas›l ba¤land›¤›n› grafikle göstermek yayg›nd›r. Gazete ve dergilerde, haftan›n günlerine göre borsan›n durumunu, y›llara göre iflsizlik oran›n› veya kifli bafl›na düflen milli geliri gösteren grafiklerle s›k s›k karfl›lafl›r›z. Bu tür grafikler birbirine ba¤l› iki büyüklükten birinin di¤erine göre de¤ifliminin geometrik gösteriminden baflka birfley de¤ildir. ‹ki büyüklük aras›ndaki ba¤›nt› genellikle bir denklemle verilir. Örne¤in, s›cakl›k ölçümü birimleri olan Fahrenheit ile Santigrad aras›ndaki ba¤›nt› F = 9 C + 32 veya 5

C = 5 F - 32 9

ba¤›nt›lar›ndan biri ile verilebilir. Bu kesimde R den R ye bir ba¤›nt› veren bu tür denklemlerin grafiklerinin çizimi hakk›ndaki temel bilgileri verece¤iz. ‹ki de¤iflkenli x + 2y = 7 denklemini gözönüne alal›m. x yerine 1 yaz›l›rsa 1 + 2y = 7, 2y = 6, y = 3 olur. (x, y) = (1, 3) s›ral› ikilisi bu denklemin bir çözümü olur. Benzer flekilde (-3, 5), (3, 2), (0, 7/2), (-2, 9/2), (-1, 4), (6, 1/2) ve (7, 0) da ayn› denklemin çözümü olan s›ral› ikililerdir. Gerçekte, bu denklemin çözüm kümesi sonsuz say›da ikililerden oluflur. x ve y de¤iflkenlerine ba¤l› bir denklem verilsin. xy - düzleminin, bu denklemin çözüm kümesinin elemanlar›ndan oluflan alt kümesine verilen denklemin grafi¤i denir.

x + 2y = 7 denkleminin grafi¤i

• • •

yandaki flekil olur. Sonsuz say›da çözüme sahip olan

39

y (-1, 4)

(-3, 5)

Bu tan›ma göre yukar›da verilen

(-2, 9/2)

Grafikler

x + 2y = 7 denkleminin tüm çözümlerini

5 9/2 4 3

• (1, 3)

(3, 2)

•

2

bulmak imkans›zd›r. Asl›nda bu çözümlerin

1

tamam›n› bulmak ço¤u zaman gereksizdir. Bir denklemin grafi¤ini do¤ru bir flekilde çi-

-3 -2

-1

(6, 1/2)

• 1

3

6

x 7

zebilmek, denklemin sa¤lad›¤› birtak›m özellikleri kontrol edip yeterli say›da nokta

Şekil 3.3

elde etmekle mümkün olabilir. Grafik çizerken afla¤›dakileri araflt›rmak yararl› olur. 1) Grafi¤in x ve y eksenlerini kesti¤i noktalar›n belirlenmesi: • Grafi¤in x - eksenini kesti¤i noktay› bulmak için denklemde y = 0 yaz›l›r. • Grafi¤in y - eksenini kesti¤i noktay› bulmak için denklemde x = 0 yaz›l›r. 2) Grafi¤in simetrilerinin belirlenmesi: Düzlemdeki simetrilerin

y

y

y

(-x, y)

•

•

(x, y)

y

y

x

x -y

y- eksenine göre simetri

• (x, y)

•

x -x

y

(x, y)

•

(x, -y)

x- eksenine göre simetri

-x

x

(-x, -y)

•

x -y

orijine göre simetri Şekil 3.4

olduklar› hat›rlan›rsa; • • •

Verilen denklemde x yerine -x yaz›ld›¤›nda denklem de¤iflmezse grafik yeksenine göre simetriktir. Verilen denklemde y yerine -y yaz›ld›¤›nda denklem de¤iflmezse grafik xeksenine göre simetriktir. Verilen denklemde x yerine -x , y yerine -y yaz›ld›¤›nda denklem de¤ifl-

mezse grafik orijine göre simetriktir. Grafik, hem x - eksenine, hem de y - eksenine göre simetrik ise orijine göre simetrik olur. Tersi do¤ru de¤ildir.

Grafikler

40

ÖRNEK 2 ÇÖZÜM

y = 2x + 1 denkleminin grafi¤ini çiziniz. Bu denklemde x ve y nin derecesi 1 oldu¤undan böyle bir denklemin grafi¤inin do¤ru oldu¤u bilinmektedir. Ayr›ca iki noktadan bir do¤ru geçti¤i de bilinmektedir. Böyle bir grafi¤i çizmek için sadece bu denklemi sa¤layan iki nokta bulup bunlardan geçen do¤runun grafi¤ini çizmek yeterlidir. Bu noktalar grafi¤in x - ve y - eksenlerini kesti¤i noktalar olarak seçilebilir. x= 0

için

y = 2 . 0 + 1 fi 0, 1

y = 0 için 0 = 2x + 1

fi x = - 1 fi -1 , 0 2 2

x

y = 2x + 1

(x,y)

0

1

( 0,1 )

-1/2

0

( -1/2 , 0 )

y

• (0, 1) -1

•(-1/2, 0)

x

Şekil 3.5

Grafikler

41

ÖRNEK 3

y = x 2 + 1 denkleminin grafi¤ini çiziniz.

x=0 y=0

için için

y = 02 + 1 = 1 0 = x2 + 1

fi fi

ÇÖZÜM

y nin derecesi 1 ve x in derecesi 2 oldu¤undan grafik ileride ayr›nt›l› incelenecek olan bir paraboldür. Grafi¤in (varsa) eksenleri kesti¤i noktalar› bulal›m. (0, 1) x 2 ≠ -1

oldu¤undan grafik x - eksenini kesmez. x yerine -x yaz›l›rsa y = (-x)2 + 1 = x 2 + 1 oldu¤undan denklem de¤iflmez. Grafik y - eksenine göre simetriktir. Grafi¤in y - ekseninin sa¤›ndaki k›sm›n› çizip y - eksenine göre simetri¤ini almak grafi¤in tamam›n› verecektir. Denklemi sa¤layan yard›mc› birkaç nokta daha bulal›m. x=1 x=2

için için

y = 12 + 1 = 2 y = 22 + 1 = 5

fi fi

(1, 2) (2, 5)

x

y = x2 + 1

(x,y)

0

1

( 0 , 1)

1

2

(1,2)

2

5

(2,5)

y

y

y

• (2, 5)

5 4

5 y- eksenine göre simetri¤i

•

5 4

3

3

2 1

•

•

2

(1, 2) (0, 1) x 1

2

•1

• 1

2 1 2

x

x 1

2

y = x2 + 1 in grafi¤i Şekil 3.6

Grafikler

42

ÖRNEK 4

x y = 1 denkleminin grafi¤ini çiziniz. ÇÖZÜM

x=0 fi0.y≠1 y=0 fix.0≠1 oldu¤undan grafik x ve y eksenlerini kesmez. x yerine -x

ve y

yerine -y

yaz›l›rsa ( -x ) ( -y ) = x y = 1 olur ki denklem de¤iflmez. O halde x y = 1 fi y = 1x

in grafi¤i orijine ((0, 0) a) göre simetriktir.

Denklemi sa¤layan yard›mc› birkaç nokta bulal›m. x= 1

için

y = 1x = 1 = 1 1

fi

1, 1

x= 2

için

y=1 2

fi

2, 1 2

x= 3

için

y=1 3

fi

3, 1 3

x= 1 2

için

y=2

fi

1 , 2 2

x

y = 1x

(x , y)

1

1

(1 , 1)

2

1 2

2, 1 2

3

1 3

3, 1 3

1 2

2

1 ,2 2

y

y 3 2 1

y

3

•

2

• • •

1 1 2

2

3

1 x

•

• • •

1 1 2

2

3

x

1

2

3

1 = xy 'nin grafi¤i Şekil 3.7

x

Do¤ru

1) Verilen noktalar›n verilen denklemlerin grafi¤i üzerinde olup olmad›klar›n›

belirleyiniz. Noktalar a) A (3, 2) , B (8, 3)

Denklem y = x+ 1

b) A (0, 2) , B (1, 5)

y = x 2 + 3x + 2

c) A (0, 0) , B (1, 5)

y=

43

SIRA S‹ZDE 1

x x +4 2

2) Verilen denklemlerin grafiklerinin, varsa koordinat eksenlerini kesti¤i noktala-

r› belirleyiniz. a) y = 2x - 1 b) y = x 2 + x - 2 c) y = (x - 3) (x + 1) d) x 2y - x 2 + 2y = 0 e) x = 4 - y 2 3) Verilen simetrikli¤i kullanarak grafi¤i tamamlay›n›z. b) y = x 3 - x (orijin) a) y = x 2 - 4 (y - ekseni) y

y

1

2

1

x

x

-1 -2 -3 -4

DO⁄RU Bu kesimde orta ö¤renim y›llar›nda geometrik ve analitik olarak incelemifl oldu¤umuz do¤ru denklemlerini ve grafiklerini hat›rlataca¤›z. Geometrik olarak düzlemde düz bir çizgiye do¤ru denildi¤ini biliyoruz. y

y

x

y

x

y

x

x

Şekil 3.8

fiimdi do¤runun analitik olarak elde ediliflini hat›rlatal›m.

44

Do¤ru

Do¤runun E¤imi x - eksenini kesen bir do¤runun e¤im aç›s› do¤runun x - eksenini kesti¤i nokta civar›nda saatin dönme yönünün ters yönünde ölçülen aç›d›r. x - eksenine paralel olan bir do¤ru için bu aç› 0° d›r. Bir do¤ru üzerindeki herhangi iki noktan›n ordinatlar› aras›ndaki fark›n apsisleri aras›ndaki farka oran› sabittir. Bu sabit orana do¤runun e¤imi denir ve m ile gösterilir.

y

•

y2' y2

P2 (x2 , y2)

P1 (x1 , y1)

y1

•

•

P2' (x2' , x2' )

∆y1 = y2 - y1 ∆y' = y2' - y1'

∆x1 = x2 - x1

x1'

q x1

P1' (x1' , y1' )

•

x2

x

x2'

y2' ∆x' = x2' - x1' Şekil 3.9

x - eksenine dik olan bir do¤ru için x - ekseni yönünde de¤iflim söz konusu olmad›¤›ndan ∆x = 0 d›r ve m tan›ms›zd›r.

m=

Grafikteki yükselme = düfley de¤iflim x - ek. üzerindeki hareket yatay de¤iflim

= y 2 - y 1 = ∆y 1 = y'2 - y'1 x2 - x1 ∆x 1 x'2 - x'1 = ∆y' = Tan q Dx' Bir do¤runun e¤imi, do¤runun üzerindeki herhangi iki nokta ile belirlenir ve e¤im nokta çiftlerinin seçiminden ba¤›ms›zd›r.

90°, m = tan›ms›z 120°, m = - 3 135°, m = -1 150°, m = -1

3

180°, m = 0

60°, m = 3 45°, m = 1 30°, m = 1

3

0°, m = 0

Şekil 3.10

Do¤ru

Do¤ru Denklemleri Bir denklem, bir do¤ru üzerindeki tüm noktalar› ve sadece bu noktalar› sa¤l›yorsa, denkleme bu do¤runun denklemi denir. Verilen bir do¤runun denklemini bulmak için üzerindeki iki noktan›n koordinatlar›n› veya üzerindeki bir noktay› ve e¤imini bilmemiz yeterlidir.

‹ki Noktas› Bilinen Do¤ru Denklemi Bir do¤ru üzerindeki iki nokta P1 (x1 , y1) , P2 (x2 , y2) olsun. Do¤ru üzerinde hareket eden bir P (x , y) noktas› alal›m. Bu do¤runun e¤imi de¤iflmeyece¤inden m PP 1 , PP1 do¤ru parças›n›n e¤imini göstermek üzere m = m pp = m p 1

1p 2

dir. Buradan

y- y x- x1 y- y1 y2- y1 = ¤ y y1 = x- x1 x2 - x1 2- 1 x2 - x1 bulunur. Böylece P1, P2 noktalar›ndan geçen do¤ru denklemi y- y1 x- x1 = y 2 - y 1 x2 - x1 olur. • Özel olarak bu noktalar do¤runun x - ve y - eksenlerini kesti¤i noktalar olarak al›n›rsa denklem P1 (x1 , y1) = P1 (p , 0) , P2 (x2 , y2) = P2 (0 , q) ise y y - 0 x- p = fiq=- x+1 p q- 0 0- p y fi x+ =1 p q bulunur. Burada y x + =1 grafi¤in x - eksenini kesti¤i grafi¤in y - eksenini kesti¤i noktan›n y koordinat› noktan›n x koordinat› y oldu¤undan, x + = 1 denklemine eksenlerden ay›rd›¤› parçalara göre p q do¤ru denklemi denir.

Bir Noktas› ve E¤imi Bilinen Do¤ru Denklemi Bir do¤ru üzerindeki bir nokta P1 (x1 , y1) ve e¤imi m olsun. Do¤ru üzerinde hareketli bir P (x , y) noktas› alal›m. Yine e¤imi kullanaca¤›z. m p p , P1P parças›1 n›n e¤imini göstermek üzere m = m p p dir. Böylece 1

45

Do¤ru

46

m=

y- y1 ¤ y - y 1 = m x - x1 x - x1

oldu¤undan, bir noktas› ve e¤imi bilinen do¤ru denklemi y - y1 = m ( x - x1) olur. E¤imi ve bir noktas› bilinen do¤ru denkleminde P1 (x1 , y1) noktas› do¤runun y - eksenini kesti¤i nokta olarak al›n›rsa, yani P1 (x1 , y1) = P1 (0, b) al›n›rsa, y - b = m (x - 0) fi y = mx + b bulunur. Burada m do¤runun e¤imi ve b grafi¤in y - eksenini kesti¤i nokta oldu¤undan bu denkleme do¤runun e¤im - kesim denklemi denir. Yukar›daki dört durumda da denklem x ve y bilinmeyenlerine göre düzenlenirse Ax + By + C = 0 biçiminde bir denklem elde edilir. Bu denkleme de do¤runun genel denklemi denir.

ÖRNEK 5

ÇÖZÜM

Verilenlere göre do¤ru denklemlerini belirleyiniz. b) P1 (3, 0), P2 (0, 5) a) P1 (-2, -1), P2 (3, 4) c) P1 (0, 0), P2 (1, 3) d) m = -1, P1 (3, 1) a) y - (-1) = x - (-2) ¤ y + 1 = x + 2 5 5 4 - (-1) 3 - (-2) ¤ y + 1 = x+ 2 ¤ y = x+ 1

olur.

b) P1 (3, 0), P2 (0, 5) noktalar›ndan birincisi x - ekseni, ikincisi y - ekseni üzerinde oldu¤undan grafi¤in eksenleri kesti¤i noktalard›r. Eksen parçalar›na göre do¤ru denklemi kullan›l›rsa y x + = 1, grafi¤in x - eksenini kesti¤i grafi¤in y - eksenini kesti¤i noktan›n y koordinat› noktan›n x koordinat› x +y=1 ¤ y=1-x ¤ y=5 1- x 3 5 5 3 3

olur.

c) P1 (0, 0) , P2 (1, 3) noktalar›ndan biri orijindir. y = mx + b de bu noktalar yerine yaz›l›rsa P1 (0, 0) P2 (1, 3)

0=m 0+b fib=0 3 = m (1) + 0 fi m = 3 bulunur.

Do¤ru

47

Böylece y = mx + b = 3x + 0 = 3x y = 3x olur. d) m = -1, P1 (3, 1) y - y1 = m (x - x1) ¤ y - 1 = (-1) (x - 3) ¤ y = -x + 4 olur.

ÖRNEK 6

Verilen do¤rular›n grafiklerini çiziniz. a) 2x + 3y = 6

y b) x + = 1 2 -1

c) y = -3

d) x = 2

y

y

2 1

3 -1

x

2 x

-1

2x + 3y = 6 (b)

(a)

x+ y = 1 2 -1 Şekil 3.11

y b) x + = 1 de grafi¤in x ve y - eksenlerini kesti¤i noktalar haz›r bir biçim2 -1 de verilmifltir (fiekil 3.11 (b)). Bunlar s›ras›yla 2 ve -1 dir. Gerçekten y = 0 fi x + 0 = 1 fi x = 2 fi (2, 0) 2 -1 y x = 0 fi 0 + = 1 fi y = -1 fi (0, -1) 2 -1

olur.

c) y = -3 denkleminde x de¤iflkeni olmad›¤›ndan x serbestçe de¤ifliyor demektir, yani (x, -3) tipindeki tüm noktalar bu do¤ru üzerindedir. Özel olarak (-1, -3) ve (1, -3) noktalar› da bu do¤ru üzerindedir. Bu noktalar› birlefltiren do¤ru parças›n› üzerinde bulunduran do¤ru istenen do¤rudur. Ya da k›saca bu do¤runun e¤imi s›f›rd›r. Dolay›s›yla x - eksenine paraleldir. y - ekseni üzerinde -3 noktas›ndan geçen x eksenine paralel do¤ru istenen do¤ru olur (fiekil 3.12 (a)).

ÇÖZÜM

a) Grafi¤in y - eksenini kesti¤i noktay› bulmak için x = 0 yaz›l›r. 2.0 + 3.y = 6 fi y = 2 fi (0, 2) bulunur. Benzer flekilde grafi¤in x - eksenini kesti¤i noktay› bulmak için ise y = 0 yaz›l›r ve 2.x + 3.0 = 6 fi x = 3 fi (3, 0) bulunur. (0, 2) ve (3, 0) noktalar›n› birlefltiren do¤ru parças›n› içine alan do¤ru istenen do¤rudur (fiekil 3.11 (b)).

Do¤ru

48

y y 1 -1

1 x

-1

x

2

-2 y = -3

-3

x=2 (b)

(a)

Şekil 3.12

d) Ayn› düflünceyle x = 2 do¤rusunun grafi¤i yukar›daki gibidir (fiekil 3.12 (b)).

ÖRNEK 7

Grafikleri verilen do¤rular›n denklemlerini bulunuz. a)

b)

y

y

3 2 1 -2 -1

x

1

x

ÇÖZÜM

Şekil 3.13

Verilen do¤rular›n denklemleri birkaç yolla bulunabilir. Afla¤›da en kolay yolla bu denklemlerin elde ediliflleri verilecektir. a) Grafik x eksenini (p , 0) = (-2, 0) ve y - eksenini (0, q) = (0, 3) noktas›nda kesti¤inden x+y=1fi x +y=1 -2 3 p q fi 2y - 3x - 6 = 0

olur.

b) Grafik y - eksenini (0, n) = (0, 2) noktas›nda kesti¤inden, e¤im-kesim denklemi kullan›l›rsa y = mx + n = mx + 2 olur. Grafik üzerindeki di¤er nokta kullan›l›rsa 1 = m 1 + 2 fi m = -1 bulunur. Böylece denklem y = mx + n = -x + 2 olur.

Do¤ru

49

ÖRNEK 8

Bir üretim firmas› yeni bir elektrikli süpürge üretmeyi düflünmektedir. Firman›n piyasa araflt›rma bölümü afla¤›daki fiyat-talep bilgilerini elde etmifltir. Fiyat (milyon TL)

Tahmini Talep (kifli)

41 66 88 108

8 040 5 040 2 400 0

Fiyat ile talep aras›nda do¤rusal bir ba¤›nt› oldu¤unu görünüz ve (108, 0) için ba¤›nt›y› kurunuz.

qd - 0 = -120 (F - 108) = -120 F + 12 960

veya

ÇÖZÜM

m = 0 - 2400 = 2400 - 5040 = 5040 - 8040 = -120 oldu¤undan qd = Talep, 108 - 88 88 - 66 66 - 41 qd - 0 formülünden F = Fiyat denilirse, m = F - 108 qd = 12 960 - 120 F bulunur.

ÖRNEK 9

Ayakkab› üreten bir firman›n günlük sabit giderleri 165 000 000 TL. dir. Günlük 100 adet ayakkab› için 2 365 000 000 TL. harcama yap›lmaktad›r. Firman›n üretimi ile maliyeti aras›nda do¤rusal bir ba¤›nt›n›n var oldu¤unu kabul edelim. Bu ba¤›nt›y› bulunuz. x = Üretim ise istenen ba¤›nt›

(x1, C1) = (0, 165 000 000) ve (x2 , C2) = (100, 2 365 000 000) noktalar›n› birlefltiren do¤runun denklemi olacakt›r. ‹ki noktadan geçen do¤ru denkleminin C - C 1 = x- x1 C 2 - C 1 x2 - x1 oldu¤u hat›rlan›rsa C - 165 000 000 = x-0 2 365 000 000 165 000 000 100 - 0 olur. Buradan maliyet C = 22 000 000 x + 165 000 000 olarak elde edilir.

ÇÖZÜM

C = Maliyet ,

50

Do¤ru

‹ki Do¤runun Birbirlerine Göre Durumlar› Verilmifl iki do¤ru için üç durum söz konusudur. Bu do¤rular ya çak›fl›kt›r ya paraleldir ya da kesiflirler. fiimdi bu durumlar›n hangi flartlarda gerçekleflti¤ini görelim. A) Do¤rular l 1 : y1 = m 1 x+ b1 denklemleriyle verilsin. l 2 : y2 = m 2 x+ b2

l1

l1

l1

l2

l2

•P l2 çak›fl›k do¤rular

kesiflen do¤rular

paralel do¤rular

l1 = l2 ¤ m1 = m2 ve b1 = b2

l1 // l2 ¤ m1 = m2 ve b1 ≠ b2

l1 « l2 = {P} ≠ f ¤ m1 = m2 Şekil 3.14

B) Do¤rular l1 : A1 x+ B1 y + C1 = 0 denklemleriyle verilsin. l2 : A2 x+ B2 y + C2 = 0 l1 = l 2 ¤ A1 = B1 = C1 A2 B2 C2 A1 = B1 π C1 l 1 // l 2 ¤ A2 B2 C2 l1 « l 2 = P

ve

¤ A1 π B1 A2 B2

olur.

Kesiflen do¤rular›n kesim noktalar›n› bulmak için birkaç yol vard›r. Burada bunlar›n iki tanesini örnek içinde aç›klayal›m.

ÖRNEK 10

Verilen do¤ru çiftlerinin birbirlerine göre durumlar›n› inceleyiniz. Kesiflme durumuna uyanlar›n kesim noktas›n› bulunuz. 3x + 5y = 1

x- y = 3 b)

a) -6x - 10y = -2 x + 3y = 12 c) x- y = 4

3x - 3y = 1

Do¤ru

b) 1 = -1 ≠ -3 3 -3 -1

ÇÖZÜM

a) 3 = 5 = -1 -6 -10 2

51

oldu¤undan bu iki do¤ru çak›fl›kt›r.

oldu¤undan verilen iki do¤ru paraleldir.

(Çizerek görünüz). c) 1 ≠ 3 1 -1

oldu¤undan do¤rular kefliflir. Kesim noktalar›n› yok etme metodu

ad› verilen metodla bulal›m. ‹kinci denklemin her iki yan›n› 3 ile çarp›p 1. denkleme eklersek 3/

x + 3y = 12 x- y = 4 x + 3y = 12 3 x - 3y = 12 4x = 24 x = 24 = 6 4

fi

Bulunan x = 6 de¤erini ikinci denklemde (veya birinci denklemde) x gördü¤ümüz yere yazarsak

x= 6

bulunur.

y

x + 3y = 12 4

x-y=6-y=4 fi y=6-4=2

• • (6, 2)

2

•

1 2 3 4 5 6

bulunur. Böylece kesim noktas›

-1 -2 -3 -4

(x, y) = (6, 2) olur.

12

x

•

x-y=4

Şekil 3.15

1) Verilen nokta çiftlerinden geçen do¤rular›n e¤imlerini ve denklemlerini

bulunuz. a) A (0, 0); B (3, -2) b) A (-1, 3); c) A (3, 0); B (-1, -1) d) A (3, 5); 2) x - eksenini 5, y - eksenini 3 noktas›nda 3) Verilen do¤rular›n e¤imlerini bulunuz. a) 2x + y - 3 = 0 b) 3x - 2y +

B (4, 0) B (-1, 3) kesen do¤runun denklemini bulunuz. 1=0

c) y = 3

SIRA S‹ZDE 2

52

Parabol

4) Verilen do¤ru çiftlerinin çak›fl›k, paralel veya kesiflen olup olmad›klar›n› araflt›r›n›z. Varsa kesiflim noktalar›n› bulunuz.

x+y=1

x+y=3

a)

b) x+ y= 4

x- y = 0

x - 3y = 3

2x + y = 3 d)

c) y = 3x - 5

2y = x + 2

3y = x - 2

x+y=5 f)

e) 3x + y = -1

x- y = 5

5) y = 3x - 1 do¤rusuna paralel olan ve A (2, 3) noktas›ndan geçen do¤runun denklemini bulunuz.

PARABOL Burada sadece simetri ekseni x - eksenine paralel veya y - eksenine paralel olan parabolleri inceleyece¤iz. Geometrik olarak, düzlemde verilen bir noktaya ve verilen bir do¤ruya eflit uzakl›ktaki noktalar›n kümesine parabol denir. Bu noktaya parabolün oda¤›, do¤ruya da parabolün do¤rultman› ad› verilir. E¤er parabolün do¤rultman› y - eksenine dik ve oda¤› do¤rultman›n üst bölgesinde seçilirse flekildeki parabol elde edilir. y

• P (odak) d

yT

T

• (Tepe) xT

(do¤rultman) x

simetri ekseni Şekil 3.16

Parabolün grafi¤i, oda¤›ndan geçen ve do¤rultman›na dik olan bir do¤ruya göre simetriktir. Bu do¤ruya simetri ekseni ve parabolü kesti¤i noktaya da tepe noktas› denir. Ax 2 + Bx + C + Dy = 0 denklemi A ≠ 0 ≠ C oldu¤unda simetri ekseni y - eksenine paralel olan bir parabolün genel denklemidir. Buradan y çekilirse y = - A x2- B x- C D D D bulunur. a = - A , b = - B ve c = - C D D D

denirse

Parabol

y = ax 2 + bx + c denklemi bulunur. Benzer flekilde Ay 2 + By + C + Dx = 0 denklemi simetri ekseni x - eksenine paralel olan bir parabol gösterir. Bu denklemden x çekilirse x = ay 2 + by + c bulunur.

y = ax2 + bx + c Parabolünün Grafi¤i Bu tür bir denklem a > 0 ise kollar› yukar› aç›lan, a < 0 ise kollar› afla¤› aç›lan bir parabol verir. Grafi¤i kolayca çizebilmek için afla¤›daki yol izlenir. ‹lk olarak; parabolün tepe noktas›n›n koordinatlar› bulunur. y = ax 2 + bx + c de ilk iki terim a parantezine al›n›p parantez içindeki x in kat say›s›n›n yar›s›n›n karesi bir eklenir bir ç›kar›l›rsa eflitlik y = a x2 + b x + b a 2a = a x+ b 2a

2

2

- b 2a

2

+c

2 - b +c 4a 2

= a x+ b 2a

2

2 + 4ac - b 4a

= a x- xT

2

+ yT

b biçimine dönüflür. Burada x T = parabolün tepe noktas›n›n x koordinat› 2a 2 ve y = 4ac - b ise parabolün tepe noktas›n›n y koordinat› olur. T 4a Tepe noktas›: T

2 x T , y T = T - b , 4ac - b 2a 4a

olur.

‹kinci olarak; parabol üzerinde tepe noktas›n›n iki yan›nda en az iki nokta belirlenir. Özel olarak bu iki nokta parabolün x - eksenini kesti¤i noktalar olarak seçilebilir. Son olarak; a > 0 ise parabolün kollar›n›n yukar› do¤ru, a < 0 ise parabolün kollar›n›n afla¤› do¤ru aç›ld›¤› gözönüne alarak çizim gerçeklefltirilir. •

•

y = ax 2 + bx + c parabolünün tepe noktas› flu flekilde de bulunabilir. Önce; x = - b bulunur. T 2a Sonra; xT , y = ax 2 + bx + c de x yerine yaz›larak yT elde edilir. ve T (xT , yT ) tepe noktas› bulunmufl olur. Tepe noktas› , a > 0 ise grafi¤in en alt (minimum), a < 0 ise grafi¤in en üst (maksimum) noktas› olur. Benzer inceleme x = ay 2 + by + c parabolü için de yap›labilir. Grafikler izleyen sayfada özetlenmifltir.

53

Parabol

54

y

y

T 2 T - b , 4ac - b 2a 4a x simetri ekseni

x

y = ax 2 + bx + c , a > 0 kollar yukar›

y = ax 2 + bx + c , a < 0 kollar afla¤› Şekil 3.17a

y

y

2 T 4ac - b , - b 2a 4a

simetri ekseni

T x

x

x = ay 2 + by + c , a < 0 kollar sola

x = ay 2 + by + c , a > 0 kollar sa¤a

Şekil 3.17b

ÖRNEK 11

2 b) y = 1 - x 4 parabollerinin grafiklerini çiziniz.

ÇÖZÜM

a) y = 4x 2 - 4x + 2

a) y = 4x 2 - 4x + 2 parabolünün tepe noktas›n›n koordinatlar›n› belirlemek için eflitli¤in sa¤ yan›n› kareye tamamlayal›m. 2 2 y = 4 x2 - x + 2 = 4 x 2 - x + - 1 - - 1 +2 2 2

= 4

2 x-1 -1 +2=4 x- 1 2 2 4

2

+1

olur. y = (x - xT )2 + yT 'den T xT , y T = T

1 ,1 2

elde edilir.

x=0

için

y = 4 . 02 - 4 . 0 + 2 = 2

x=1

için

y = 4 . 12 - 4 . 1 + 2 = 2

oldu¤undan parabol üzerindeki (0, 2) ve (1, 2) noktalar› bulunur.

Parabol

x

y = 4x2 - 4x + 2

(x,y)

1 2

1

1,1 2

0

2

(0,2)

1

2

(1,2)

55

a = 4 > 0 oldu¤undan parabolün kollar› yukar› do¤rudur. Grafik afla¤›daki gibidir. (fiekil 3.18 (a)) y y 2

1

1 1 1 2

0

-2

x

x

-1

1

2

(b)

(a)

Şekil 3.18 2 0 b) y = 1 - x , xT = - b = 4 2a 2 -1 4

=0 fi T (0, 1) olur.

2 yT = 1 - 0 = 1 4 2 y = 0 için 1 - x = 0 fi x 2 = 4 fi x = ± 2 dir. 4

a=-1 <0 4

oldu¤undan kollar afla¤› do¤rudur. (fiekil 3.18 (b))

2

a) x = -4 y - 3 2

+1

ÖRNEK 12

b) x = y + 2 2 - 4

parabollerini çiziniz.

T xT , yT = T 1 , 3 2

dir.

2

+ xT

ve

a=-4<0

oldu¤undan

Parabolün y - eksenini kesti¤i noktay› bulal›m.

ÇÖZÜM

2

a) x = -4 y - 3 + 1 = a y - yT 2 kollar sola do¤ru aç›l›r.

Parabol

56

x= 0

için

-4 y - 3 2

2

2

fi 4 y- 3 2

+1=0

y- 3 2

fi

=1

2

=1 4

y- 3 2

fi

2

= y- 3 2

y- 3 = ± 1 2 2

fi

fi y1 = 2 ,

y2 = 1

bulunur. Böylece x= - 4 y- 3 2

2

+1

y

(x,y)

1 2 3/2

(0 , 1) (0 , 2) (1 , 3/2)

y

y

2

0 0 1

3/2 1

• -4 -3 -2 -1 1

x

•

olur. Grafik yandaki gibidir (fiekil 3.19 (a)).

x

-1 -2

• -4 (b)

(a)

Şekil 3.19

b) x = (y + 2)2 - 4 = a (y - yT )2 + xT , a = 1 > 0 oldu¤undan kollar sa¤a do¤ru aç›l›r ve T (-4, -2) dir. Parabolün y - eksenini kesti¤i noktalar› bulal›m. x= 0

için

(y + 2)2 - 4 = 0

fi (y + 2)2 = 4 fi

y+2

=2

y+22= y+2

fi y+2=±2 fi y1 = 0 , x = ( y + 2 )2 - 4

y

(x,y)

-4

-2

(-4 , -2)

0

0

(0 , 0)

0

-4

(0 , -4)

olur. Grafi¤i yukar›daki gibidir (fiekil 3.19 (b)).

y 2 = -4

Birinci ve ‹kinci Dereceden ‹ki Bilinmeyenli Eflitsizlikler

SIRA S‹ZDE 3

1) Denklemleri verilen parabolleri çiziniz.

a) y = 2x 2 - 5x

b) y = - 3x 2 + 2x

c) y = 3 - 5x 2

d) y = 1 x 2 + 3 2

2 e) y = - 7 x + 3 9

f) y = 1 x - 1 2

g) y = x 2 - x - 6

h) y = - 5 x 2 - 20 x - 5 3 3

2

+2

2) Verilen parabollerin minimum noktalar›n› bulunuz.

a) y = 3 (x - 1)2 + 3

b) y = x 2 - 4x - 5

c) y = 3x 2 - 4x + 1

d) y = 2x 2 + x + 1

3) Verilen parabollerin maksimum noktalar›n› bulunuz.

a) y = - 2x 2 + x

b) y = 1 - 3x 2

B‹R‹NC‹ VE ‹K‹NC‹ DERECEDEN ‹K‹ B‹L‹NMEYENL‹ Efi‹TS‹ZL‹KLER Bu k›s›mda, y > mx + n (y ≥ mx + n ) ; y < mx + n (y ≤ mx + n ) , y > ax 2 + bx + c (x > ay 2 + by + c ) ; y < ax 2 + bx + c (x < ay 2 + by + c ) biçimindeki (di¤er bir deyiflle do¤ru ya da parabol denklemleriyle oluflturulan) eflitsizliklerin çözümü olan (x, y) ikililerinin oluflturduklar› kümenin nas›l belirlendi¤ini inceleyece¤iz. Verilen bir do¤ru (ya da parabol) düzlemi üç bölgeye ay›r›r ve düzlemdeki bir (x, y) noktas› bu bölgelerden sadece biri içindedir. y y > mx + n (Do¤runun üst bölgesi)

y

y = mx + n (Do¤runun kendisi)

y > ax2 + bx + c (Parabolün üst bölgesi) y < ax2 + bx + c

x y < mx + n (Do¤runun alt bölgesi)

57

y = ax2 + bx + c (Parabolün kendisi)

x

(Parabolün alt bölgesi) Şekil 3.20

Bu, verilen bir (x, y) için y > mx + n , y = mx + n , y < mx + n ... (*) (y > ax 2 + bx + c , y = ax 2 + bx + c , y < ax 2 + bx + c) ba¤›nt›lar›ndan sadece birinin sa¤lanmas› demektir. Tersine (*) ba¤›nt›lar›ndan birini sa¤layan bir nokta ya do¤ru (parabol) üzerindedir ya da bu do¤runun (parabolün) düzlemden ay›rd›¤› iki bölgeden sadece birisi içindedir.

Birinci ve ‹kinci Dereceden ‹ki Bilinmeyenli Eflitsizlikler

58

Böyle bir eflitsizli¤in grafi¤ini çizmek için ad›m ad›m afla¤›daki yol izlenir. Önce; y = mx + n do¤rusunun (y = ax 2 + bx + c ) parabolünün grafi¤i nokta nokta çizilir. Sonra; do¤ru (parabol) üzerinde olmayan herhangi bir nokta al›n›r ve al›nan noktan›n koordinatlar› verilen eflitsizlikte yerine yaz›l›r. Koordinatlar eflitsizli¤i sa¤l›yorsa noktan›n bulundu¤u bölge aranan grafiktir, sa¤lam›yorsa di¤er bölge aranan grafiktir. Son olarak, verilen eflitsizlik ≥ ya da ≤ biçimindeyse do¤runun (parabolün) kendisi de çözüme dahil edilir.

ÖRNEK 13 ÇÖZÜM

a) y ≤ 2x + 4 b) y - x 2 + 3x > 0 eflitsizliklerinin çözüm kümeleri olan bölgeleri çiziniz. a) y = 2x + 4 do¤rusunu çizelim. (0, 0) do¤ru üzerinde de¤ildir. Bu noktay› y ≤ 2x + 4 de yerine yazal›m. 0 ≤ 2 . 0 + 4 = 4 eflitsizli¤i do¤ru oldu¤undan istenen çözüm bölgesi (0, 0) › da içine alan do¤runun alt bölgesi olur. y 4 Çözüm kümesi

•(0, 0)

-2 -1

x

y ≤ 2x + 4 y y = x2 - 3x Çözüm kümesi

0

1

2

y - x2 + 3x > 0

3

x

Şekil 3.21

b) y = x 2 - 3x parabolünün grafi¤ini nokta nokta çizelim (neden?). Parabol üzerinde olmayan (0, -1) noktas›n›n koordinatlar›n› verilen eflitsizlikte yazal›m. y - x 2 + 3x = 0 - (-1)2 + 3 (-1) = -4 > 0 olur ve eflitsizlik sa¤lanmaz. Bu durumda bu eflitsizli¤in çözüm bölgesi (0, -1) noktas›n›n oldu¤u bölge de¤il, parabolün düzlemde ay›rd›¤› di¤er bölgedir. Bir eflitsizlik sistemi verilmiflse her bir eflitsizlik ayr› ayr› çözülür. Ortak çözüm bölgesi verilen sistemin çözüm bölgesi olur.

Birinci ve ‹kinci Dereceden ‹ki Bilinmeyenli Eflitsizlikler

59

ÖRNEK 14

y + x2 ≥ 0

2x - y ≤ 1 a)

b) y- x< 2

x+ y≥ 2

eflitsizlik sistemlerini çözünüz.

y

ÇÖZÜM

Eflitsizliklerin çözüm kümesi afla¤›daki grafiklerde görülen ortak taral› bölgelerdir.

y Ortak çözüm kümesi

2

y = x2 y + x2 ≥ 0

1

-1

y - x< 2

1 2

1

x

2

x

y=x+2

2x - y ≤ 1 y = 2x - 1

(0, 0)

-2 -1

x+ y ≥ 2 (a)

(b) Şekil 3.22

1) Verilen eflitsizliklerin çözüm kümelerini düzlemde çizerek gösteriniz.

a) y - 3x > 0

b) 2x - y < 1

1)2

c) x - 3y ≤ 0

x2

≥0 e) y - 4x - 5 ≤ 0 d) y - (x 2) Verilen eflitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini düzlemde çizerek gösteriniz. x≥ 0 x+ y- 3 ≥ 0 a)

x≥ 1 b)

y>0

x- y < 0

y - 2x < 0 x- y < 2

y - 3x 2 + 1 > 0 d)

y + x2 + 1 ≤ 0

f) 1 < x + y < 3

c)

y - 2x - 3 ≤ 0 e)

2 1 - 3x + y > 0

g) 2 < y - x 2 ≤ 5

SIRA S‹ZDE 4

60

Kendimizi S›nayal›m

Kendimizi S›nayal›m

3. Afla¤›dakilerden hangisi bir do¤ru denklemi de¤ildir?

1.

a. x - 3y = 1

y

b. 3x + 2y = 1 c. y = 3x - 1

5/2

d. x - y 2 = 1 2 e.

1

4. d1 : A1x + B1y + C1 = 0 ; d2 : A2x + B2y + C2 = 0

x -2

3 x + y = -1

-1

do¤rular› en az iki ortak noktaya sahipseler afla¤›dakilerden hangisi kesin olarak do¤rudur? a. d 1 ve d 2

Grafi¤i verilen do¤runun denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?

paraleldir.

b. d 1 , d 2 ye diktir.

a. 4y - 5x = -10

c.

b. 4y + 5x = 10

A1 B1 C1 = = d›r. B 2 C A2 2

c. 4y - 5x = 10

d. A 1 = A 2 , B 1 = B 2 , C 1 π C 2

d. 5y - 4x = 10

e.

e. 10y + 2x = 2

A1 C1 ≠ A2 C2

5. 2.

d›r.

d›r.

y

d1

y 3 d2 3 2

a

a

1

a

-2 x 1

2

3

-3/2

Grafi¤i verilen do¤ruya dik olan do¤ru afla¤›dakilerden hangisidir? a. x + y = -1 b. x + y = 3 c. x + y = -3 d. x - y = 3 e. -3x + y = 1

Yukar›daki flekle göre a kaçt›r? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

x

Kendimizi S›nayal›m

61

8.

6.

y

y

3

3 2

3

x

x

-1

Taral› bölge afla¤›daki eflitsizlik sistemlerinden hangisinin çözüm kümesidir? parabolün denklemi afla¤›dakilerden hangisidir? a. y = (x + 2)2 - 1 b. y = -(x + 2)2 - 1 c. y = (x + 1)2 + 2 d. y = (x - 1)2 + 2 e. y = (x - 1)2 7. Grafi¤i verilen x + y > 3 eflitsizli¤inin çözüm kümesi afla¤›dakilerden hangisidir?

x≥ 0 a.

y≤0 x+ y ≥ 3 x≥ 0

b.

y≥0 x+ y ≥ 3

y II

x≤ 0 c. I

3

III

x+ y ≥ 3

V

IV

y≥0

x≥ 0

3

x VII

d.

VI

y≥0 x+ y < 3 x≥ 0

a. b. c. d. e.

I, II ve III. bölgelerin bileflimi I ve V. bölgelerin bileflimi I, II ve VII. bölgelerin bileflimi II, III, IV, V ve VI. bölgelerin bileflimi IV, VI ve VII. bölgelerin bileflimi

e.

y≥0 x+ y ≤ 3

Kendimizi S›nayal›m

62

9. Taral› bölge afla¤›daki eflitsizlik sistemlerinden hangisinin çözüm bölgesidir?

y=

x- 2 2

10. d2 do¤rusu d1 e dik ise d1 do¤rusunun denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?

y

2

y

4

2 l

-2

2

x d1

y> x - 2 2 a. y - x> 2

x

3 d2

a. y = 3x b. y = 2 x 3 c. y = 2x

(x - 2)2 y≥ 2 b. y > x+ 2

y<

(x - 2)2 2

c. y< x+ 2

y≥

(x - 2)2 2

d. y - x< 2

y>

(x - 2) 2 2

e. y≤ x+ 2

d. y = 1 x + 1 3 3 e. y = 3 x 4 11. d1 : 2x - y = 3 ; d2 : y - 4x = 0 d1 ve d2 do¤rular›n›n kesiflim noktas› afla¤›dakilerden hangisidir? a. 1 , 2 2 b. - 3 , 6 2 c.

- 1 , -2 2

d. - 3 , -6 2 e.

1,4

Biraz Daha Düflünelim

12. Afla¤›daki flekle göre P noktas›n›n koordinatlar› için afla¤›dakilerden hangisi do¤rudur? y

3. x + y = 3 do¤rusuna dik olan A (-1, -2) den geçen do¤runun denklemini bulunuz. 4. y = x + n ve y = mx - 5 do¤rular›n›n A (3, 1) nok-

y = x2

•

tas›nda kesifltikleri biliniyorsa n ve m nedir?

P (x, y) 5. a. x = - 4 y - 3 2

x

b. x = y + 2

2

2

+1

-4

parabollerini çiziniz.

a. x 2 > y b. x 2 < y c. x 2 = y d. x 2 ≥ y e. x 2 . y = 3

Biraz Daha Düflünelim 1. Verilen grafiklerin belirtilen simetriklerini bulunuz. y

a.

y

b.

1 1 -1

0

-1

x

x- eksenine göre

1

x

y- eksenine göre

y

c.

0

y

d.

1

1 -1 0

1

0 1 -1

x

(y=x do¤rusuna göre)

x

y- eksenine göre

2. x üretilen ürün say›s› ve y fiyat olmak üzere bir üretici

firman›n

günlük üretim

fiyat› (y milyon TL)

y = 10.000 - 90x + 0.045x 2 olarak belirlenmifltir. Firma fiyat› minimum yapabilmesi için günde kaç adet üretim yapmal›d›r?

63

64

René Descartes (1596-1650) "Descartes’ ›n ad›n› ölümsüzlefltiren onun felsefi ve teorik fikirlerinden daha çok analitik geometri konusundaki çal›flmalar›d›r. Analitik geometri pozitif bilimlerin ilerlemesi yolunda bu güne kadar at›lm›fl olan en büyük ad›md›r." John Stuart Mill

Fonksiyonlar

4

Amaçlar Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra, fonksiyon kavram›n› ö¤renecek, bir fonksiyon verildi¤inde tan›m ve görüntü kümesinin bulunuflunu ö¤renecek, bir fonksiyonun grafi¤ini çizebilecek, matematiksel model oluflturabilecek, fonksiyonlar›n temel özelliklerini ö¤renecek, bunlar› grafik çiziminde kullanabilecek, fonksiyonlar üzerindeki ifllemleri yapabilecek, bir fonksiyonun tersini bulabilecek, fonksiyonlar›n s›n›fland›rmas›n› ö¤reneceksiniz.











66

Fonksiyonlar

‹çindekiler • • • • • • • •

Fonksiyon Kavram› Bir Fonksiyonun Tan›m ve Görüntü Kümelerinin Bulunuflu Matematiksel Model Oluflturma Fonksiyonlar›n Özellikleri Fonksiyonlarla Yap›lan Cebirsel ‹fllemler Bileflke Fonksiyon Ters Fonksiyon Fonksiyon Türleri

• fonksiyon tan›m› iyi ö¤renilmeli, • matemetiksel model oluflturmak için çaba sarf edilmeli, • fonsiyonlar›n özellikleri ö¤renilerek grafik çizimlerinde nas›l kullan›ld›¤› üzerinde durulmal›, • fonksiyonlarla ifllem yapabilmek için verilen al›flt›rmalar çözülmelidir.

Girifl Bir firma üretti¤i her bir ürünü a TL. den sat›yor. Her bir ürün için b TL. lik hammadde gideri ve c TL. lik iflçi ücreti ödeniyor. Firman›n y›ll›k sabit giderleri d TL. dir. x sat›lan ürün say›s›n› göstermek üzere y›ll›k kâr fonksiyonunu x cinsinden bulunuz. Fen ve mühendislik alan›nda oldu¤u kadar ekonomi alan›nda da birçok probleme çözüm aran›rken matemati¤in yol gösterilicili¤inden yararlan›l›r. Bunun için önce verilen problem matematiksel biçimde ifade edilmelidir. Buna problemin matematiksel modelinin kurulmas› denir. Bir problemin matematiksel çözümü için önce onun matematiksel modelinin kurulmas› gerekir. Matematiksel modelin kurulmas› genelde veriler aras›ndaki iliflkiyi düzenleyen bir ba¤›nt›n›n oluflturulmas› biçiminde olur. Sözel ifade edilen bir problemin matematiksel modeli ve bu modelin kuruluflu, çözümü cebirsel, nümerik ya da geometrik yollardan biriyle yap›l›r. Cebirsel yol, problemin analitik olarak ifade edilebilmesidir. Yani bir formül, bir fonksiyon veya bir denklem olarak yaz›labilmesidir. Nümerik yol, verilerden uygun flekilde nümerik sonuçlar›n ç›kar›lmas›d›r. Geometrik yol ise, problemin veya çözümünün bir flema, bir çizim veya bir grafik yard›m›yla gösterilebilmesidir. Elbette bu yollar›n kimi zaman biri, kimi zamanda birkaç› birlikte kullan›labilir. Uygun yolun hangisinin olac›¤›n›n seçimi, matematik bilgisi ve problem çözme becerisine ba¤l›d›r. Fakat flunu da unutmamak gerekir; günlük yaflam›n çeflitli alanlar›nda karfl›lafl›lan problemlerin matematiksel çözümleri teorik sonuçlard›r. Her zaman gerçek yaflamdaki sonuçlar olmayabilir. Ancak problemin matematiksel modeli iyi kurulmuflsa, modelin çözümü gerçek çözüm olmasa da onun iyi bir yaklafl›m›d›r. Fonksiyon kavram› matemati¤in en temel kavramlar›ndan biridir. Bir de¤iflkene baflka bir de¤iflkeni karfl›l›k getirme olarak tan›mlanabilecek bu kavram iyi kavran›lmadan matematiksel model kurma ve ona çözüm aramadan söz edilemez. Bu ünitede fonksiyon kavram› verilecek ve özellikleri incelenecektir. Ayr›ca fonksiyonlar›n grafiklerle gösterimlerinin öneminden söz edilecek ve baz› temel fonksiyonlar›n grafiklerinin çizimleri yap›lacakt›r.

Fonksiyon Kavram›

FONKS‹YON KAVRAMI


AMAÇ

1

Fonksiyonun ne oldu¤unu anlayacaks›n›z.

Fonksiyonu, bir girdiye bir ve yaln›z bir ç›kt› veren girdi-ç›kt› makinesi olarak da düflünebiliriz. y = f (x) x

Girdiler Kümesi

Ç›kt›lar Kümesi

Şekil 4.1

Bunu bir örnekle aç›klayal›m. Bugün birçok hesap makinesinde 1x , ax , logx , yx gibi tufllar vard›r. Bir say› yaz›p bu tufllardan birine, örne¤in; 1 e bas›l›rsa ekranda, verilen say›s›n›n çarp›msal tersi görülür. Hex sap makinesinin 1 tuflu (0 hariç) her bir say›y›, çarp›msal tersine tafl›d›¤›ndan x bir fonksiyon tan›mlar. Benzer flekilde bir say› yaz›p x2 tufluna bas›l›rsa ekranda, verilen say›n›n karesi görülecektir. Böylece x2 tuflu da baflka bir fonksiyon tan›mlayacakt›r. Bu nedenle bu tufllara fonksiyon tufllar› denir. Ancak bu tufllardan

yx

tuflu di¤erlerinden farkl›d›r. Bir say› yaz›p yx e basarsan›z sonuç alamazs›n›z. Fakat önce 2 ye, sonra yx e, daha sonra 3 e basar yani iki girdi verirseniz eflite bas›ld›¤›nda ekranda 8 belirecektir. Bu durumda iki de¤iflkenli bir fonksiyon ortaya ç›kacakt›r. y = f (x) = x3 - x denklemini göz önüne alal›m. Bir x de¤eri girdi olarak al›n›rsa buna bir tek y ç›kt›s› karfl› gelecektir. Gerçekten; y = f (x) x

x ler kümesi

y = f (x) = x3 - x

y ler kümesi

Şekil 4.2

67

68

Fonksiyon Kavram›

ile gösterirsek, bu makine önce x girdisinin kübünü al›yor, x i bundan ç›kar›yor ve bunu y ç›kt›s› olarak veriyor diyebiliriz. Örne¤in; y = ç›kt› x = girdi x=1 y = f (1) = 13 - 1 = 0 x=2 y = f (2) = 23 - 2 = 6 x=3 y = f (3) = 33 - 3 = 24 olur. "x in kübünü al x i bundan ç›kar" komutunu gerçeklefltiren bu makinede y = x3 - x denklemi makinenin yapaca¤› ifli tan›mlayan bir matematiksel kural vermektedir. Bu kural bir x girdisine bir ve yaln›z bir y ç›kt›s› karfl›l›k getirmektedir. Her bir x girdisine, bir ve yaln›z bir y ç›kt›s› karfl› getiren bir y = f (x) matematiksel kural›na fonksiyon denir. Fonksiyonu veren y = f (x) kural›nda x de¤ifltikçe, y de buna ba¤l› olarak de¤iflecektir. Bu nedenle x e ba¤›ms›z de¤iflken, y ye de x e ba¤l› ya da k›saca ba¤›ml› de¤iflken denir. y = f (x) denklemini anlaml› yapan tüm x girdilerinin kümesine f fonksiyonunun tan›m kümesi, tüm y lerin kümesine de f fonksiyonunun görüntü kümesi denir. Bu kümeler s›ras›yla Df ve Rf ile gösterilirler. Df ve Rf , s›ras›yla X ve Y gibi iki kümenin alt kümeleri ise f yi simgesel olarak f : Df à X Æ Y biçiminde gösteririz. • Fonksiyon y = f (x) kural›yla verilmiflse Df = { x Œ X | y = f (x) } ve Rf = { y Œ Y | x Œ Df için y = f (x) } olur. • Genel olarak, Df ve Rf , R gerçel say›lar kümesinin bir alt kümesi olarak al›nacakt›r. y = f (x) x

Df

X

Rf

Y

Şekil 4.3

Fonksiyon Kavram›

69

Bir Fonksiyonun Tan›m ve Görüntü Kümesinin Bulunuflu


AMAÇ

2

Bir fonksiyon verildi¤inde tan›m ve görüntü kümesini bulabileceksiniz.

Baz› durumlarda fonksiyonu tan›mlayan kifli tan›m ve görüntü kümelerini kendisi verebilir. Bu durumda yapacak bir fley yoktur. Ço¤u zaman f fonksiyonu y = f (x) eflitli¤i ile verilir. O zaman eflitli¤i anlaml› yapan x lerin kümesi Df yi ve en az bir x için y = f (x) eflitli¤ini sa¤layan y lerin kümesi de Rf yi oluflturacakt›r. f, bir problemde sözel olarak ifade edilmiflse önce f nin kural› bulunur, daha sonra f nin tan›m ve de¤er kümeleri probleme göre belirlenir.

ÖRNEK 1

Verilen fonksiyonlar›n tan›m ve görüntü kümelerini bulunuz. a) f (x) = x - 1 b) f x = x - 3 c) f x = x - 2 x 2 - 7x x+ 2 d) f x =

1 x2 + 1

e)

2 f x = x -1 x- 1 ÇÖZÜM

Verilen bütün fonksiyonlar y = f (x) biçiminde verildi¤inden tan›m kümesi için y = f (x) i sa¤layan x leri, görüntü kümesi için de ayn› eflitli¤i anlaml› yapan y leri araflt›raca¤›z. a) Negatif say›lar›n kareköklerinin olmad›¤›n› biliyoruz. y = x - 1 eflitli¤inde x - 1 < 0 olamaz, olursa eflitlik anlams›z olur. Bu nedenle Df = { x Œ R| x - 1 ≥ 0 } ={xŒR| x ≥1} = [1, ∞) olur. fiimdi de görüntü kümesini bulal›m. x - 1 önüne eksi iflareti gelmedikçe negatif olamaz. x ≥ 1 için y = x - 1 ≥ 0 olur ki bu Rf = {y Œ R | y ≥ 0 } = [0, ∞) demektir. b) Aranan tan›m kümesi y = x - 3 eflitli¤ini anlaml› yapan x lerin kümesidir. x 2 - 7x A = • ve sonsuzun bir gerçel say› olmad›¤›n› biliyoruz. 0 Bu eflitlikte payday› 0 yapan x ler için eflitlik anlams›z olaca¤›ndan Df = = = =

{ x Œ R | x2 - 7x ≠ 0 } { x Œ R | x (x - 7) ≠ 0 } { x Œ R | x ≠ 0 ve x ≠ 7 } R \ {0, 7} = (-∞, 0) » (0, 7) » (7, +∞)

olur. Görüntü kümesi kolayca bulunamaz. c) y = x - 2 fonksiyonunun tan›m kümesinin Df = R \ { -2 } oldu¤u kolayca göx+ 2 rülebilir. fiimdi bu eflitli¤i anlaml› yapan y lerin kümesini bulal›m. y = x - 2 x+ 2 eflitli¤inden x i çekersek

Ço¤u zaman görüntü kümesini analitik yoldan elde etmek kolay de¤ildir. Ancak grafi¤i çizilerek kolayca belirlenebilir.

70

Fonksiyon Kavram›

(x + 2) y = x - 2

fi

xy + 2y = x - 2

fi

xy - x = -2y - 2

fi

x (y - 1) = -2 (y + 1)

fi

x=

2 (1 + y ) 1- y

2 (1 + y ) eflitli¤i anlaml› olaca¤›ndan 1- y Rf = { y Œ R | y ≠ 1 } = R \ {1}

olur. y ≠ 1 için x = olur.

1 her x Œ R için anlamx +1 l›d›r. Df = R olur. Di¤er taraftan "x Œ R için x2 + 1 ≥ 1 > 0 oldu¤undan

d) Her x Œ R için x2 + 1 ≠ 0 oldu¤undan y =

0
1 ≤1 x2 + 1

2

olur. Rf = (0, 1] dir.

e) x = 1 için 2 0 belirsiz oldu¤undan, x = 1 de y = x 2 - 1 , taf (1) = 1 - 1 = 0 olur ve 0 x- 1 1-1 0 n›ms›zd›r. Yani x ≠ 1 olan tüm x ler eflitli¤i anlaml› yapar. Df = R \ { 1 } dir.

f (x) i tekrar yazarsak x ≠ 1 için 2 (x - 1) (x + 1) = x + 1 dir. Böylece x ≠ 1 için f (x) = x + 1 f (x ) = x - 1 = x- 1 x- 1 olur. y = f (1) = 1 + 1 = 2 oldu¤undan 1 e karfl› gelen y = 2 yi R ‘den ç›ka-

r›rsak de¤er kümesini buluruz. Rf = R \ { 2 } dir.

Bir f : Df à R Æ R fonksiyonunun grafi¤i genellikle düzlemde bir e¤ridir.

Günlük hayat›m›zda bir de¤iflkenin di¤er bir de¤iflkene ba¤l› olarak de¤iflti¤i durumlarla s›k s›k karfl›lafl›r›z. Örne¤in; taksi ücreti, kat edilen km ye ba¤l› olarak, al›m sat›m vergisi al›nan ya da sat›lan mal›n fiyat›na ba¤l› olarak, dairenin alan› yar›çap uzunlu¤una ba¤l› olarak, vs. ... de¤iflir. Genel olarak bir y de¤iflkeninin bir x de¤iflkenine ba¤l› olarak de¤iflti¤i her durum, kural› y = f (x) olan bir fonksiyon tan›mlar. Böylece fonksiyonlar ya bir tablo ile veya grafik ile ya da y = f (x) denklemi ile verilebilir. Biz daha çok son durum ile ilgilenece¤iz. Bir fonksiyonun grafi¤i y = f (x) eflitli¤ini sa¤layan (x , y) ikililerinin kümesi olarak tan›mlan›r.


AMAÇ

3

Bir fonksiyonun grafi¤ini çizebileceksiniz.

Fonksiyon Kavram›

f x =

xŒR

ÖRNEK 2

fonksiyonunun grafi¤ini çiziniz.

için

x2 + 2 ≠ 0

olur ve Df = R dir. Her

x Œ R için

3 ≤ 3 oldu¤undan Rf = (0, 3/2] dür. f (- x) = f (x) oldu¤undan 2 + x2 2 grafik y - eksenine göre simetriktir. Grafi¤i [0, + ∞) aral›¤›ndaki de¤erler için 0
ÇÖZÜM

Her

3 2 + x2

71

çizelim.

y

x f (x) 3/2 0 1 1 3/4 2 3/2 12/7 3 3/11

3/2 1 12/7 3/4 3/11 1

3/2

2

3

x

Şekil 4.4

olur. fiimdi do¤al olarak flu soru akla gelir: Düzlemdeki her e¤ri bir fonksiyonun grafi¤i midir? Bu sorunun yan›t› olumsuzdur. Düzlemdeki bir e¤rinin, bir fonksiyonun grafi¤i olup olmad›¤› flöyle belirlenir: f nin tan›m kümesindeki her noktadan y-eksenine paralel çizilen her do¤ru, verilen e¤riyi en fazla bir noktada kesiyorsa bu e¤ri bir fonksiyonun grafi¤idir. y-eksenine paralel çizilen bu do¤rulardan en az biri grafi¤i iki ya da daha fazla noktada kesiyorsa, bu e¤ri bir y = f (x) fonksiyonunun grafi¤i olamaz.

ÖRNEK 3 y y

x

x

Şekil 4.5

y-eksenine paralel çizilen her do¤ru grafi¤i en fazla bir noktada keser. E¤ri bir y = f (x) fonksiyonunun grafi¤idir.

y-eksenine paralel çizilen do¤rulardan baz›lar› grafi¤i bir ya da iki noktada keser. E¤ri bir y = f (x) fonksiyonunun grafi¤i de¤ildir.

Fonksiyon Kavram›

72

Matematiksel Model Oluflturma


AMAÇ

4

Matematiksel model oluflturabileceksiniz.

fiimdi verilen bir problemin matematiksel modelini ç›karma ifllemi üzerinde dural›m.

ÖRNEK 4

ÇÖZÜM

Kenar uzunlu¤u 10 cm olan karenin dört köflesinden x cm lik kareler ç›kar›larak oluflturulan fleklin alan›n› y ile gösterelim. a) y yi x in bir fonksiyonu olarak yaz›n›z. b) Oluflturulan y = f (x) fonksiyonunun tan›m ve görüntü kümelerini bulunuz. a) x

x

x

x

x

x

10 cm

x

x

Şekil 4.6

kenar uzunlu¤u Kenar uzunlu¤u y = 10 cm olan - 4 . x cm olan karenin alan› karenin alan› = 100 - 4 . x2 oldu¤undan y = f (x ) = 100 - 4x

2

olur.

b) Probleme göre x uzunluk oldu¤undan s›f›rdan büyüktür ve x karenin kenar uzunlu¤unun yar›s› olan 5 cm den büyük olamaz. Bu durum x i, (0,5] aral›¤›na k›s›tlar. Oluflan fleklin alan› 0 dan büyük ve 100 cm2 den küçük olaca¤› için (neden?) y ler de [0,100) aras›ndad›r. Bu nedenle fonksiyon f : (0,5] Æ [0,100) , y = f (x) = 100 - 4x2 ile verilmek zorundad›r. O halde f nin tan›m kümesi görüntü kümesi Rf = [0,100) al›nmal›d›r.

Df = (0,5]

ve

Fonksiyon Kavram›

73

Bir firma A mal›n› üretmek istiyor. Firman›n piyasa ar›flt›rma bölümünce yap›lan araflt›rmalar sonucu, qd = talep, F= fiyat olmak üzere, talep ile fiyat aras›nda qd = 500 000 - 50 F formülü ç›kar›l›yor. Gelir fonksiyonunu talep cinsinden ifade ediniz. dersek, R = Fiyat x Talep = F. qd olur.

qd = 500 000 - 50 F verilmiflti, buradan F çekilirse, F=

ÇÖZÜM

R = Gelir

ÖRNEK 5

500 000 - qd q = 10 000 - d 50 50

bulunur. Böylece R qd = qd . 10 000 -

qd 50 2

= 10 000qd -

qd 50

q bulunur. Burada fiyat ve talep negatif olamayaca¤›ndan qd ≥ 0 ve 10 000 - d ≥ 0 50 yani 0 ≤ qd ≤ 500 000 olur. Sonuç olarak 2 R : 0, 500 000 Æ [0, •) ; R = 10 000 qd - 1 qd dir. 50

ÖRNEK 6

Bir firma üretti¤i her bir ürünü bir y›l boyunca a TL. den sat›yor. Her bir ürün için bir y›l boyunca b TL. lik hammadde gideri ve c TL. lik iflçi ücreti ödeniyor. Firman›n y›ll›k sabit giderleri d TL. dir. x sat›lan ürün say›s›n› göstermek üzere y›ll›k kâr fonksiyonunu x cinsinden bulunuz. ÇÖZÜM

R = Gelir C = Maliyet (Y›ll›k) K = Kâr (Y›ll›k) olmak üzere; Gelir = (sat›fl fiyat›) . (sat›lan ürün say›s›) = ax Maliyet = (hammadde + iflçilik) (ürün say›s›) + Sabit giderler = (b+c) x +d Kâr = Gelir - Maliyet oldu¤unu düflünürsek K (x) = R (x) - C (x) = ax - [ (b+c) x +d ] = (a-b-c) x - d istenen kâr fonksiyonu olur.

1.

Boyutlar› 30 ve 20 olan dikdörtgen biçimli bir kartonun dört köflesinden kareler kesilerek üstü aç›k bir kutu oluflturulmak isteniyor. Bu kutunun hacmini veren bir fonksiyon bulunuz.

2.

C

Yandaki dik üçgende f (x) "BC kenar›n›n uzunlu¤u" ise f (x) i x cinsinden ifade ediniz.

9

A

x

B

SIRA S‹ZDE 1

74

Fonksiyonlar›n Özellikleri

D

3.

C

x

x

x

A 4.

Yandaki karede a) f (x) "karenin çevresi"; b) f (x) "karenin köflegeni" c) f (x) "karenin alan›" ise f (x) leri x cinsinden ifade ediniz.

B

x

Verilen fonksiyonlar›n en genifl tan›m kümelerini bulunuz. x- 1 x+ 1

a) f x = 3

d) f x = x 2 - 2x

b) f x =

x2 - x +

1 x+ 3

c) f x =

x- 2 x2-4

e) f x = x2 - 2x

FONKS‹YONLARIN ÖZELL‹KLER‹


AMAÇ

5

Fonksiyonlar›n temel özelliklerini ö¤renecek, bunlar› grafik çizimlerinde kullanabiliceksiniz.

Bu kesimde verilen fonksiyonlar›n temel özellikleri tan›mlan›p örneklerle aç›klanacakt›r. A, B Õ R olmak üzere, f : A Æ B, y = f (x) fonksiyonu verilsin. (i) Her x1, x2 Œ A için x1 ≠ x2 fi f (x1) ≠ f (x2) veya denk olarak f (x1) = f (x2) ise x1 = x2 oluyorsa f ye bire-bir (1-1) fonksiyon denir. (ii) Her y Œ B için y = f (x) olacak flekilde en az bir x Œ A varsa f ye örten fonksiyon denir. Bu durumda f (A) = { f (a) | a Œ A } = B olur. (iii) f (A) à B ise f ye içine fonksiyon denir. (iv) • Her x1 , x2 Œ A ve x1 < x2 için f (x1) ≤ f (x2) ( f (x1) < f (x2) ) oluyorsa f ye azalmayan (artan) fonksiyon denir. • x1 < x2 için f (x2) ≤ f (x1) ( f (x2) < f (x1) ) oluyorsa f ye artmayan (azalan) fonksiyon denir. • Bu koflullardan birini gerçekleyen bir fonksiyona monoton fonksiyon denir. (v) Her x Œ A için -x Œ A ve • f (-x) = f (x) oluyorsa f ye çift fonksiyon denir. • f (-x) = - f (x) oluyorsa f ye tek fonksiyon denir. (vi) Bir T > 0 say›s› ve her x Œ A için x + T Œ A ve f (x + T ) = f (x) oluyorsa f ye periyodik fonksiyon denir. T ye de bir periyot denir. f : A Æ B, y = f (x) fonksiyonu verilsin. Grafi¤ini çizebildi¤imiz bir fonksiyonun 1-1, örten, artan, azalan, çift, tek ve/veya periyodikli¤i afla¤›daki biçimde araflt›r›labilir. A, B Õ R ve • Her y Œ B noktas›ndan x- eksenine paralel olarak çizilen bir do¤ru fonksiyonun grafi¤ini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire-bir dir. • Her y Œ B noktas›ndan x- eksenine paralel olarak çizilen bir do¤ru fonksiyonun grafi¤ini en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir. • x- ekseni üzerinde A n›n en solundan bafllayarak sa¤a do¤ru hareket edildi¤inde fonksiyonun grafi¤i daima yukar› do¤ru (afla¤› do¤ru) hareket ediyorsa fonksiyon artan (azalan) d›r. Bir afla¤› bir yukar› hareket ediyorsa grafik ne artan ne de azaland›r.

Fonksiyonlar›n Özellikleri

• •

75

Fonksiyonun grafi¤i y- eksenine (orijine) göre simetrik ise fonksiyon çift (tek)' tir. Fonksiyonun grafi¤i belli aral›klar boyunca aynen tekrarlan›yorsa fonksiyon periyodikdir.

ÖRNEK 7

Verilen fonksiyonlar›n tan›ml› olduklar› aral›kta bire-bir, örten, artan, azalan, tek ve/veya çift olup olmad›klar›n› araflt›r›n›z. 2 a) y = 2x - 1 b) y = x - 2 2 ÇÖZÜM

a) y = 2x - 1 do¤rusunun grafi¤ini hemen çizebiliriz.

y

y

y = 2x - 1

y = 2x - 1 bizim hareketimiz

1 2

1 2

x

x

-1

-1

grafi¤in hareketi

y=k

Şekil 4.7

fiekilde görüldü¤ü gibi x- eksenine paralel çizilen her do¤ru, y = 2x - 1 do¤rusunu bir ve yaln›z bir noktada kesiyor ve x - ekseni üzerinde soldan sa¤a hareket etti¤imizde grafik yukar› do¤ru hareket etti¤inden y = 2x - 1 fonksiyonu bire-bir örten ve artand›r. Grafik y - eksenine ve orijine göre simetrik olmad›¤›ndan tek veya çift olmaz. 2 b) y = x - 2 parabolünün grafi¤ini çizelim 2

y

y y=2

grafi¤in hareketi

grafi¤in hareketi

hareket yönümüz -2 2

2 2

x

-2

2

x

-2

-2 y = -3

Şekil 4.8

Grafikten de görüldü¤ü gibi -∞ < k < -2 olmak üzere x - eksenine paralel olan y = k do¤rular›n›n hiçbiri y = x2 - 2 parabolünü kesmez, fonksiyon R ye örten 2 de¤ildir. Yine -2 < k < +∞ olmak üzere y = k do¤rular› grafi¤i her defas›nda iki 2 noktada keserler. Bu f (x ) = x -2 nin bire-bir olmad›¤›n› gösterir. 2

Fonksiyonlarla Yap›lan Cebirsel ‹fllemler

76

‹kinci flekilde x - ekseni üzerinde soldan sa¤a hareket etti¤imizde (-∞, 0) aral›¤›nda grafik afla¤› do¤ru hareket eder (azaland›r). (0, ∞) aral›¤›nda ise grafik yukar› do¤ru hareket eder (artand›r). O halde R nin bütününde grafik önce azal›yor son2 ra art›yor. y = x - 2 fonksiyonu ne artand›r ne de azaland›r. 2 2 Son olarak grafik y - eksenine göre simetrik oldu¤undan y = x - 2 fonksi2 yonu çift fonksiyondur.

FONKS‹YONLARLA YAPILAN CEB‹RSEL ‹fiLEMLER


AMAÇ

6

Fonksiyonlar üzerinde ifllemler ö¤renip uygulayabileceksiniz.

Bu kesimde, verilen iki (ya da daha fazla) fonksiyondan yararlanarak yeni fonksiyonlar tan›mlaman›n de¤iflik yollar›ndan bahsedece¤iz. f : A Õ R Æ R, g : A Õ R Æ R olmak üzere (f (f (f f g

+ g)(x) = f (x) + g (x) - g)(x) = f (x) - g (x) . g)(x) = f (x) . g (x) f (x ) ( g (x ) ≠ 0) (x ) = g (x )

olarak tan›mlan›r.

ÖRNEK 8

ÇÖZÜM

R 'den R 'ye tan›mlanan f (x) = 2x - 3 verilsin. a) f + g b) f - g c) f . g fonksiyonlar›n› oluflturunuz.

ÖRNEK 9

d)

fonksiyonlar›

f g

a) (f + g) (x) = f (x) + g (x) = 2x - 3 + x2 + 1 = x2 + 2x - 2 b) (f - g) (x) = f (x) - g (x) = 2x - 3 - (x2 + 1) = -x2 + 2x - 4 c) (f . g) (x) = f (x) . g (x) = (2x - 3) . (x2 + 1) = 2x3 - 3x2 + 2x - 3 f (x ) 2x - 3 = d) g (x ) x 2 + 1

f x =

ÇÖZÜM

ve g (x) = x2 + 1

x ise 1 f x + f (-x ) = f (x 2) oldu¤unu gösteriniz. 2 1- x

-x x x 1 f (x ) + f (-x ) = 1 x + = 2 2 1 - x 1 - (-x ) 1-x 1+x (1 + x ) (1 - x ) =

(1 + x ) x - x (1 - x ) 2 (1 -

olur.

x 2)

=

2x 2 = f (x 2) 2 (1 - x 2)

Fonksiyonlarla Yap›lan Cebirsel ‹fllemler

Bileflke Fonksiyon Daha önce bir fonksiyonu bir girdi-ç›kt› makinesi olarak vermifltik. Ço¤u zaman bir fonksiyon, bir baflka fonksiyonun ç›kt›s›n› girdi olarak al›r ve kendi ç›kt›s›n› bunu kullanarak oluflturur. Örne¤in; y = g (x) = 1 - x 2 fonksiyonunda u = f (x) = 1 - x2 fonksiyonunun ç›kt›s› olan 1 - x2 nin karekökü al›nmaktad›r. Bunu flematik olarak gösterirsek f

x

Df g u = f (x) = 1-x2

f (x) = u

Rf

Dg

Rf « Dg g (u) =

g (x) =

u

f (x) =

1 - x2

Şekil 4.9

olacakt›r. Bunu daha iyi kavrayabilmek için fonksiyon tan›mlamam›z›n bafl›ndaki hesap makinesi örne¤ine dönelim. Bir hesap makinesinin üzerindeki fonksiyon tufllar›n›n her biri birer fonksiyon oluflturuyordu. 1 tufluna "ters alma fonksiyonu" ve x tufluna da "karekök alma" fonksix 1 yonu diyebiliriz. Önce 9 a sonra 1x tufluna basarsak ekranda 9 görürüz. Arkax tufluna bas›l›rsa ekranda bu defa 1 yer alacakd›r. s›ndan direkt olarak 3 K›saca önce ters alma fonksiyonu, onun sonucuna da karekök fonksiyonunu uygularsak 9

ters alma

1

9

karekök alma

1 = 0. 3 3

elde edilir. fiimdi iki fonksiyonun bileflkesini formal olarak tan›mlayal›m. f ve g herhangi iki fonksiyon olsunlar. f (x), g nin tan›m kümesi içinde olmak üzere, f nin tan›m kümesindeki her x için (gof) (x) = g ( f (x) ) olarak tan›mlanan gof fonksiyonuna f ile g nin bileflke fonksiyonu denir.

77

Fonksiyonlarla Yap›lan Cebirsel ‹fllemler

78

Bu durumda Dgof = { x ΠDf |

f (x) Œ Dg } olaca¤› aç›kt›r.

Rg Dg f x

Df Dgof

•

Rf

X

g

f(x)

g ( f(x) )

•

Y Z

gof

Şekil 4.10

ÖRNEK 10

ÇÖZÜM

f (x) = 2x - 3 ve g (x) = x2 + 1 fonksiyonlar› için fog ve gof bileflke fonksiyonlar›n› hesaplay›n›z.

ÖRNEK 11

(fog)(x) = f ( g (x) ) eflitli¤inin sa¤ yan› " f fonksiyonunda x gördü¤ün yere g(x) i yaz", demektir. Buradan f ( g (x) ) = 2 ( g (x) ) - 3 = 2 . (x2 + 1) - 3 = 2x2 - 1 elde edilir. Benzer flekilde (gof)(x) = g ( f (x) ) = ( f (x) )2 + 1 = (2x - 3)2 + 1 = 4x2 - 12x + 9 + 1 = 4x2 - 12x + 10 bulunur. Bu örnekte oldu¤u gibi genellikle fog ≠ gof dir.

ÇÖZÜM

3

1 1 + x2

ifadesini üç ayr› fonksiyonun bileflimi olarak gösteriniz.

Girdiye x diyelim ve x in girdisini alal›m. Önce, 1 + x2 ç›kt›s›n› hesaplayal›m, 1 sonra ç›kt›n›n çarp›msal tersini alal›m. Böylece elde edilir. 1 + x2 3 1 Son olarak ç›kan sonucun küp kökünü alal›m. Böylece 1 + x 2 fonksiyonu elde edilir. Buradan; 3 u = f x = 1 + x 2 , v = g (u) = 1 u ve y = h(v ) = v

y = h( g ( f (x) ) ) = olur.

3

1 1 + x2

al›n›rsa

Fonksiyonlarla Yap›lan Cebirsel ‹fllemler

f (x ) = x 3 + 3x + 6 ,

g (x ) =

x 1+x

ÖRNEK 12

olmak üzere g ( f (2) ) = ?

ÇÖZÜM

f (2) = 23 + 3 . 2 + 6 = 8 + 6 + 6 = 20 g ( f (2)) = g (20) = 20 = 20 1 + 20 21 bulunur.

Ters Fonksiyon


AMAÇ

7

Verilen bir fonksiyonun tersinin var olup olmad›¤›n› araflt›racak ve var olanlar›n tersini bulabileceksiniz.

Bir f fonksiyonu bire-bir ise görüntü kümesindeki herhangi bir y say›s›na f nin tan›m kümesinden y = f (x) eflitli¤ini sa¤layan (di¤er bir deyiflle y = f (x) denkleminin çözümü olan) bir tek x karfl›l›k gelir. x , y taraf›ndan tek olarak belirlendi¤inden x, y nin bir fonksiyonudur. Bu durumda x = f -1 (y ) yaz›l›r ve f -1 fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir. Genellikle bir fonksiyonun tan›m kümesinin de¤iflkeni olarak y yerine x tercih edildi¤inden x = f -1 (y ) eflitli¤inde x ile y de¤ifltirilip ters fonksiyon tan›m› flu flekilde verilebilir. f bire-bir ise f -1 ters fonksiyonu vard›r. f -1 (x) in de¤eri f nin tan›m kümesi içinde, f (y) = x eflitli¤ini sa¤layan bir tek y say›s›d›r. Yani y = f -1 (x ) ¤ x = f (y ) dir. Örne¤in; f x = x fonksiyonu [0, +•) dan, [0, +•) a bire -birdir. Tersi vard›r ve bu fonksiyon y = x

de x ile y yer de¤ifltirilip çözülerek

-1

x = y ¤ y = f (x) = x 2 biçiminde bulunur. y = f -1(x ) ¤ f (y ) = x denkli¤inden, bu denklemlerden biri di¤erinin yerine al›nabilir.Böylece bu fonksiyonlar›n grafikleri afla¤›daki flekildeki gibi

y

0

f (x ) = x

x

y

0

f -1(x) = x2

x

Şekil 4.11

olur.

79

Fonksiyonlarla Yap›lan Cebirsel ‹fllemler

80

Bire-bir bir fonksiyonun terside bire-bir olaca¤›ndan, tersinin de tersi vard›r ve bu f ye eflittir. Gerçekten y= f

-1 -1

= f (x )

olur. y = f -1 (x), x = f (y) denklemlerinden biri di¤erinin yerine al›nabilece¤inden her y Œ Df -1 ve her x Œ Df için f (f -1(y ) ) = y , f -1( f (x ) ) = x eflitlikleri elde edilir. Kesin artan (ya da azalan) bir f fonksiyon bire-bir olaca¤›ndan, görüntü kümesinden tan›m kümesine tan›ml› bir f -1 tersi vard›r. • f nin tersi varsa tektir. • f nin tersi bulunurken iki yol izlenir. 1. YOL: y = f(x) den direkt olarak x çekilir. Ç›kan x = g(y) ifadesinde x yerine f -1 (x), y yerine x yaz›l›r. 2. YOL: y = f(x) ifadesinde x ile y nin yeri de¤ifltirilir, yani x = f(y) yaz›l›r ve bu eflitlikten y çekilir, bulunan y, f -1 (x) i verir. • Ters fonksiyonunun grafi¤i iki yolla çizilebilir. 1. YOL: f nin tersi bulunur ve onun grafi¤i çizilir. 2. YOL: f fonksiyonunun grafi¤i çizilir. Çizilen grafi¤inin y = x do¤rusuna göre simetri¤i f -1 in grafi¤i olur.

ÖRNEK 13

ÇÖZÜM

Verilen fonksiyonlar›n bire-bir olduklar›n› saptay›n›z, terslerini bulunuz ve çiziniz. a) f (x) = 2x -1 b) f (x) = 8x3 - 1

a) f (x) = 2x - 1 fonksiyonu monoton artan oldu¤undan tersi vard›r. fiimdi tersini iki yolla bulal›m. 1. YOL: y = 2x - 1 den x i çekersek x = y + 1 bulunur. 2 -1 -1 x yerine f (x) ve y yerine x yaz›l›rsa f x = x + 1 2 olarak bulunur. y

y f(x) = 2x - 1 y=x

y=x 1 2

f -1(x ) = x + 1 2 1 2 1 2 -1

-1

1 2

-1

x

-1

3 x+1 f -1(x ) = 2

(a)

f(x) = 8x3 - 1

x

(b)

Şekil 4.12

Fonksiyonlarla Yap›lan Cebirsel ‹fllemler

2. YOL:

81

y = 2x - 1 de önce x ile y nin yerini de¤ifltirelim. Bu durumda x = 2y - 1 elde edilir. Buradan y yi çekersek y+1 x= 2 -1 f x = x+ 1 2 bulunur (fiekil (4.11 (a)).

b) f (x) = 8x3 - 1 daima artan oldu¤undan tersi vard›r. 3

-1

f (x ) =

1.

x+1 2

olur (fiekil 4.11 (b) ).

Verilen fonksiyonlar›n bire-bir, örten, artan ve/veya azalan olup olmad›klar›n› araflt›r›n›z. b) f (x ) = x + 3 x- 1

a) f (x ) = x 3 - x 2

c) f (x) =

-x 2

;

x< 0

x2

;

0 ≤ x≤ 2

x+ 2 ;

2.

x> 2

(ii) gof

Verilen fonksiyonlar›n terslerini bulunuz. a) f (x ) = x + 3 x- 2

b) f : [1, •) Æ [1, •) ; f (x ) = (x - 1)2 + 1 d) f (x ) =

c) f (x ) = 2x + 1

4.

x+ 1 x- 2

f (x ) = x 2 - 3x , g (x) = x + 3 fonksiyonlar› veriliyor. Afla¤›dakileri x2 hesaplay›n›z. a) f (3) - g (2)

5.

x2 - x

Verilen fonksiyonlar için bileflke fonksiyonlar›n› bulunuz. a) f (x) = 3x2 - 5x , g (x) = 1 - 3x için (i) fog (ii) gof (iii) fof b) f (x) = x3 - x ; g (x) = 2x - 1 (i) fog

3.

d) y =

a)

f (x) =

b)

f (5) 1 + g (3)

c) f (t + 1)

d) g (t )

x ise f (x ) + f (-x ) = 2 f (-x 2) oldu¤unu gösteriniz. 1+x

b) f (x) = x (x + 1) ise f (x + h) - f (x) = h(2x + 1 + h) oldu¤unu gösteriniz.

SIRA S‹ZDE 2

Fonksiyon Türleri

82

FONKS‹YON TÜRLER‹


AMAÇ

8

Fonksiyonlar› s›n›fland›rabileceksiniz.

fiimdi, orta ö¤renim y›llar›nda görmüfl oldu¤unuz belli bafll› fonksiyon türlerini ve bunlar›n grafiklerini verelim. I) an ≠ 0 ve a0 , a1 , ... an-1 , an Œ R olmak üzere f (x) = a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn biçimindeki bir fonksiyona n-inci dereceden bir polinom fonksiyonu denir. Özel olarak • •

• •

ÖRNEK 14

n = 0 ise f (x) = a fonksiyonuna sabit fonksiyon denir. n = 1 ise f (x) = ax + b fonksiyonuna do¤rusal fonksiyon denir. Burada a = 1 , b = 0 ise f (x) = x = I (x) ile gösterilir ve birim fonksiyon ad›n› al›r. n = 2 ise f (x) = ax2 + bx + c fonksiyonuna ikinci derece fonksiyon denir. n = 3 ise f (x) = ax3 + bx2 + cx + d fonksiyonuna kübik fonksiyon denir.

ÇÖZÜM

Verilen fonksiyonlar›n grafiklerini çiziniz. a) y = 3 b) y = 2x + 1 c) y = x2 - x - 2

d) y = x3 - x

a) x - eksenine paralel olan y- eksenini 3 noktas›nda kesen do¤rudur ((fiekil 4.13 (a))

y

y = 2x + 1

y

3

y=3 1

2 1

x

-

(a)

1 2

x (b)

Şekil 4.13

b)

y ve x eksenlerini s›ras›yla x=0

için

y = 2 . 0 + 1 = 1 fi (0, 1)

0 = 2x + 1 fi x = - 1 fi - 1 , 0 2 2 noktalar›nda kesen do¤rudur (fiekil 4.13 (b) ) y=0

için

Fonksiyon Türleri

83

c) y ve x eksenlerini s›ras›yla x = 0 fi y = -2 fi (0, -2) y = 0 fi x2 - x - 2 = (x - 2) (x + 1) = 0 fi x1 = -1 , x2 = 2 fi (-1 , 0) , (2 , 0) noktalar›nda kesen simetri ekseni x = 1 do¤rusu olan bir paraboldür 2 (fiekil 4.14 (a)). +∞

y

+∞

-∞ -1

2

1/2

-1

x

0

x

1

-1

-2 -∞ (a)

(b)

Şekil 4.14

d) y = 0 fi x3 - x = x (x2 - 1) = x (x - 1) (x + 1) = 0 fi x1 = -1 , x2 = 0, x3 = 1 olmak üzere x-eksenini (-1, 0), (0, 0) ve (1, 0) da kesen x Æ-•fiy Æ-• xÆ+•fiy Æ+• olan bir grafi¤i vard›r, ( fiekil 4.14 (b) ).

I) f ve g s›ras›yla n - yinci ve m - yinci dereceden polinomlar olsunlar. h (x ) =

f (x ) g (x )

=

a 0 + a 1x + ... + a nx n b 0 + b 1x + ... + b mx m

biçiminde bir fonksiyona rasyonel fonksiyon denir. a)

f (x ) = x - 2 x+ 2

b)

f (x ) =

x2

1 +1

ÖRNEK 15

rasyonel fonksiyonlar›n›n grafiklerini çiziniz.

x = 0 için

y = 0 - 2 = - 1 fi 0, -1 0+2

d›r. x - eksenini kesti¤i nokta ise

ÇÖZÜM

f (x ) = x - 2 x+ 2 oldu¤unu daha önce görmüfltük. Eksenleri kesti¤i noktalar› bulal›m. Grafi¤in y - eksenini kesti¤i nokta

a) f : R \ { -2 } Æ R \ { 1 } ,

84

Fonksiyon Türleri

x - 2 = 0 fi x = 2 fi 2, 0 x+ 2

y = 0 için

olarak bulunur. Birkaç yard›mc› nokta verirsek grafi¤i kabaca çizebiliriz. x = -3 x= 1

f (-3) = -3 - 2 = 5 -3 + 2

için

f (1) = 1 - 2 = -1/3 1+2

için

bulunur. x Æ -• fi y x Æ +•fi y olur.

Æ 1 Æ 1

x

-∞

-3

0

f (x)

1

5

-1

y

1

2

+∞

-1/3

0

1

y

y=1

1 -3 -2

-1/3

(a)

2

x

x

(b)

Şekil 4.15

b) x Œ R iken 0 < y ≤ 1 idi. Grafik x - ekseni (y = 0 do¤rusu) ile y = 1 do¤rusu aras›ndad›r. xƱ•

iken y Æ 0

olaca¤›ndan grafik yukar›daki gibidir.

III) Parçal› Tan›ml› Fonksiyon Özel olarak veya zorunlu olarak baz› durumlarda fonksiyon, tek bir eflitlikle de¤il, tan›m kümesi parçalara ayr›l›p her bir parçada farkl› bir eflitlikle verilebilir. Bu tür fonksiyonlara parçal› tan›ml› ya da k›saca parçal› fonksiyon denir. Günlük yaflam›m›zda parçal› tan›ml› fonksiyonlar› çok say›da örnek verebiliriz.

Fonksiyon Türleri

85

ÖRNEK 16

T C Posta ‹daresi'nce a¤›rl›¤› 0 ile 2 kg aras›nda de¤iflen mektup veya kolinin Türkiye'den ‹ngiltere'ye gönderilme ücreti afla¤›daki fonksiyonla verilebilir (x gram y Türk Liras› olmak üzere). 200.000 ; 0 < x <20 300.000 ; 20 ≤ x <50 400.000 ; 50 ≤ x <100 y = f (x ) =

900.000 ; 100 ≤ x <250 1.700.000 ; 250 ≤ x <500 3.000.000 ; 500 ≤ x <1000 4.700.000 ; 1000 ≤ x <2000

• •

Bulundu¤unuz flehirdeki taksilerdeki taksimetre tarifini km'ye, TL. karfl›l›k getiren parçal› fonksiyon biçiminde yaz›n›z. Bulundu¤unuz flehrin belediyesi taraf›ndan düzenlenen m 3'e TL. karfl›l›k getiren su fiyatlar› için bir parçal› fonksiyon yaz›n›z.

ÖRNEK 17

x+ 1 ; x≤ 3 f (x ) =

x- 2 ; 3 < x≤ 4

parçal› fonksiyonu için

5 - x ; x> 4 f (2) , f 7 , f (6) de¤erlerini hesaplay›n›z 2 b) Grafi¤ini çiziniz. a)

x = 2 < 3 fi f (2) = 2 + 1 = 3

ÇÖZÜM

a)

3 < x= 7 < 4 fi f 7 = 7 - 2 = 3 2 2 2 2 x = 2 > 4 fi f (6) = 5 - 6 = -1 b) y 5

•

4 f (2) = 3 f 7 =3 2 2

-2

-1 f (6) = -1

2

•

1

6 1

2

3 7 2

5

Şekil 4.16

x

86

Fonksiyon Türleri

lV) Salt (Mutlak) De¤er Fonksiyonu -x ; x < 0 |x | = 0 ; x = 0

Bir x gerçel say›s›n›n mutlak de¤erinin tan›mland›¤›n› biliyoruz.

biçiminde

x ; x >0

-x ; x < 0 s : R Æ [0, ∞) ; s (x) = 0 ; x = 0 biçiminde tan›ml› s fonksiyonuna salt x ; x >0 (mutlak) de¤er fonksiyonu denir. Bu fonksiyonun grafi¤i x Œ (-∞, 0) da s (x) = -x ; x = 0 için s (x) = 0 ; x Œ (0, ∞) için s (x) = x grafikleri çizilerek afla¤›daki gibi oluflturulur. y 2

1

-2

-1

0

2

1

Şekil 4.17

Ömer Hayyam (1048 - 1122) Bir parabol ile bir çemberi kesifltirerek 3. dereceden bir polinom denklemin çözümü için geometrik bir yöntem bulmufltur. Sevgili seninle ben pergel gibiyiz: ‹ki bafl›m›z var, bir tek bedenimiz. Ne kadar dönersem döneyim çevrende: Er geç bafl bafla verecek de¤il miyiz? Ö. HAYYAM "Biraz da flair olmayan bir matematikçi, hiçbir zaman tam bir matematikçi olamaz." Karl WEIERSTRASS

x

Kendimizi S›nayal›m

87

Kendimizi S›nayal›m x2 - x - 6

1. f (x ) =

fonksiyonunun en genifl tan›m

kümesi afla¤›dakilerden hangisidir? a. [-2, 3] b. [-3, 2] c. (-∞, -2] » [3, +∞) d. (-∞, -3] » [3, +∞) e. (-∞, -2) » (3, +∞) 2. f (x ) = x - 3 + x + 1 fonksiyonunun en genifl tan›m kümesi afla¤›dakilerden hangisidir? a. (-∞, -1] » [3, +∞) b. (-∞,3) c. (-∞, -1] d. [-1, +∞) e. [3, +∞) 3. Verilen grafik afla¤›daki fonksiyonlardan hangisine aittir?

4. Afla¤›dakilerden hangisi 1-1 fonksiyondur? y

a.

x

y 3/2 1/2

b.

x

y

y 1

c.

1/2 x

2 f (x) y -1

2

x

d. x

2a. f (x ) =

b. f (x ) =

c. f (x ) =

d. f (x ) =

2x 2

;

x <0

2 - 2x ;

x ≥0

y

2 - 2x 2 ;

x< 0

1

2-x

;

x ≥0

2x 2 - 2 ;

x <0

2 - 2x ;

x ≥0

2x - x 2 ;

x <0

2-x

x ≥0

;

e.

x

1

5. Afla¤›da f (x) fonksiyonunun grafi¤i verilmifltir. Buna göre f -1 (x) afla¤›dakilerden hangisidir? y

2x + 2 ; e. f (x ) =

2-x

x <0 ;

2

x ≥0

2

x f (x)

a. b. c. d. e.

x-y=2 y-x=2 x+y=2 x + y = -2 x - 2y = 2

Kendimizi S›nayal›m

88

6. f (3x + 1) = x - 2 hangisidir?

ise,

y = f (x)

afla¤›dakilerden

8.

y

a. y = 1 (x - 7) 3 b. y = x + 1 3

2 f (x) =

g

+ 2

-1

x- 2 2 2

x

c. y = x - 6 3 Yukar›da f (x) ve g (x) fonksiyonlar›n›n grafikleri verilmifltir. Buna göre y = (gof)(x) bileflke fonksiyonu afla¤›dakilerden hangisidir?

d. y = x - 5 3 e. y - x = 2

7. Afla¤›da grafikleri verilen fonksiyonlardan hangisinin grafi¤i tersinin grafi¤i ile ayn›d›r. y

2 a. y = x 2 (x - 2)2 b. y = + 2 2

c. y =

(x + 2)2 2

d. y =

(x - 2)2 + 2 2

a. 1

x

e. y = (x - 2)2 + 2

-1

3x - 1 |x - 2| - 4 dakilerden hangisidir? 9. f (x ) =

y 1

b. 1

a. R \ 1 3 b. R \ { -2, 2 } c. R \ { -2, 6 } d. R \ { 2 } e. R \ { 4 }

x

y

10. x f (x) + 2 = x + 3f (x) oldu¤una göre, ¤›dakilerden hangisidir?

2

c.

x

a. x - 2 x- 3 b. x+ 2 x- 3

y

c . -3x + 2 -x - 1

2

d. x

d . 3x - 2 x- 1 e . 3x - 2 1-x

y 2 1

e.

fonksiyonun tan›m kümesi afla¤›-

x

f -1 (x) afla-

Biraz Daha Düflünelim

11.

f (x ) =

(x - 3)3 fonksiyonunun 4

f -1 (x)

ters

fonksiyonu afla¤›dakilerden hangisidir?

Biraz Daha Düflünelim 1. Afla¤›daki fonksiyonlar›n tan›m kümelerini bulunuz. a) f (x ) = 4x 2 - 4

3

a.

b) f (x ) =

4x-3 3

b. 3 -

x2 - 1

c) f (x ) =

x - 4+ 3

d) f (x ) =

3

d. 3 +

x -3 3

4x

3

c.

89

x2 +1

x2

4x

3

e.

x- 7

12.

2. Afla¤›daki f ve g fonksiyonlar› için fog ve gof 'i fonksiyonlar›n› bulunuz.

y

y

f

a)

g

f (x ) = x + 1 g (x ) = x2+ 1

2

2 1

b) 1

2

x

-2

x

f (x ) = x g (x ) = x + 3

3. Afla¤›daki fonksiyonlar›n varsa ters fonksiyonlar›n› bulunuz. Yukar›da grafikleri verilen f (gof) (2) say›s› kaçt›r? a. -4 b. -2 c. 0 d. 2 e. 4

ve g fonksiyonlar› için a) f (x ) = x + 2 b) f (2x - 3 )= x + 1 x- 2 c) f (x ) = x + 2 2x - 5 d) f (x ) = 2x 3 - 1

Limit ve Süreklilik

5

Amaçlar Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra; bir fonksiyonun, bir nokta civar›ndaki davran›fl›n› inceleyebilecek yani bu noktadaki limitini bulacak, bir fonksiyonun limitini daha kolay bulabilecek, fonksiyonun bir noktadaki limitini; bu noktaya sa¤dan ve soldan yaklaflan de¤erlerle bulacak, fonksiyonun bir noktadaki limiti ile bu noktadaki de¤eri aras›ndaki iliflkiyi karfl›laflt›racak, fonksiyonun en küçük ve en büyük de¤erinin olup olmad›¤›n› araflt›rabileceksiniz.








92

Limit ve Süreklilik

‹çindekiler • • • • • • • • • •

Girifl Limit Kavram› Limit Özellikleri Tek Yönlü Limitler Süreklilik Sürekli Fonksiyonlar›n Özellikleri Yan›n›zda bir hesap makinesi bulundurunuz. Örneklerde sizin yapman›z› istedi¤imiz ifllemleri mutlaka yap›n›z. Fonksiyonun grafi¤ini çizerek limitin ne anlama geldi¤ini grafikten görmeye çal›fl›n›z. Bir noktada sürekli bir fonksiyonla, süreksiz fonksiyonun davran›fllar› aras›ndaki fark› grafik üzerinde görmeye çal›fl›n›z.

Girifl Matemati¤in, ekonomi ve di¤er uygulamal› bilimlerde en çok kullan›lan kavramlar› olan türev ve integral kavramlar› limit kavram› üzerine infla edilmifllerdir. Matematikte baflka kavramlara da anlam kazand›ran limit kavram›, bu nedenlerden dolay› matemati¤in en temel kavramlar›ndan birisidir. Biz bu ünitede, limit kavram›n› ve onunla çok yak›ndan ilgili bir di¤er önemli kavram›, süreklili¤i inceleyece¤iz. ‹ncelememizde sizler için gereksiz ve s›k›c› ayr›nt›lar içeren kesin matematiksel yaklafl›m yerine sezgisel yaklafl›ma a¤›rl›k verece¤iz. Tan›mlar› ve temel özellikleri belirli bir bütünlük içerisinde örneklerle aç›klayaca¤›z. Daha çok matematikçileri ilgilendiren teorik yaklafl›mlara yer vermeyece¤iz.

Limit Kavram›

93

L‹M‹T KAVRAMI Daha önceki ünitelerde, tan›m kümesi gerçel say›lar kümesinin bir alt kümesi olan bir fonksiyon verildi¤inde, bu fonksiyonun tan›m kümesine ait bir noktadaki de¤erini bulmak için bu say›y› fonksiyon ifadesinde yerine yaz›p gerekli ifllemleri yapmam›z gerekti¤ini görmüfltük. Bu ifllemleri yaparken zaman zaman hesap makinesine ihtiyaç duyman›n ötesinde büyük bir zorlukla karfl›laflmay›z. Ancak fonksiyonlarla çal›fl›rken x ba¤›ms›z de¤iflkeni belirli bir say›ya yaklafl›rken, y = f (x) fonksiyon de¤erlerinin belirli bir say›ya yaklafl›p yaklaflmad›¤›n›, yaklafl›yorsa hangi say›ya yaklaflt›¤›n› bilmek durumuyla da s›k s›k karfl›lafl›r›z. ‹flte bu soruna limit kavram›yla çözüm bulabilmekteyiz. Limit kavram›na geçmeden önce, x ba¤›ms›z de¤iflkeninin verilen bir say›ya yaklaflmas›n›n ne demek oldu¤unu aç›klayal›m. x de¤iflken, a sabit olmak üzere x ve a gerçel say›lar›n› düflünelim. E¤er x de¤iflkeni, a dan farkl› ve a say›s›na istenildi¤i kadar yak›n de¤erler al›yorsa, di¤er bir deyiflle, x ile a aras›ndaki fark x de¤iflti¤inde istenildi¤i kadar küçük bir say›dan daha küçük kal›yorsa, x de¤iflkeni a say›s›na yaklafl›yor denir ve sembolik olarak x Æ a biçiminde gösterilir. E¤er x de¤iflkeni a ya a dan büyük de¤erlerle yaklafl›yorsa, bu tür yaklaflmaya sa¤dan yaklaflma denir ve x Æ a+ biçiminde gösterilir; e¤er x de¤iflkeni a ya a dan küçük de¤erlerle yaklafl›yorsa, bu durumda da x de¤iflkeni a ya soldan yaklafl›yor denir ve x Æ a- biçiminde gösterilir. Afla¤›daki tabloda x de¤iflkeninin 0 say›s›na soldan, sa¤dan ve her iki yönden yaklaflmas›na birer örnek verilmifltir. sa¤dan yaklaflma

soldan yaklaflma

x x

a

x

x

x

-3

4

3

-2

3

1

-1

2

-1

-0,5

1

-0,2

-0,1

0,5

0,1

-0,01

0,2

0,01

-0,001

0,1

-0,01

-0,0001

0,001

0,0001

0,0001

-0,001

0,00001

0,00001

x Æ 0+

xÆ0

.. . x Æ 0-

.. .

.. .

Say› do¤rusu üzerinde, a dan büyük say›lar›n a n›n sa¤›ndaki, a dan küçük say›lar›n ise a n›n solundaki noktalarla temsil edildi¤ini hat›rlay›n›z.

94

Limit Kavram›

Ba¤›ms›z de¤iflkenin sabit bir say›ya yaklaflmas›n› aç›klad›ktan sonra, as›l sorunumuzu ele alabiliriz. Sorunumuz, x ba¤›ms›z de¤iflkeni, tan›m kümesi içinde kalarak belirli bir a say›s›na yaklafl›rken f (x) fonksiyon de¤erlerinin belirli bir L say›s›na yaklafl›p yaklaflmad›¤›n› araflt›rmakt›. ‹ncelememize bafllamadan önce bir noktaya aç›kl›k getirmemiz gerekmektedir. ‹ncelememizde, a say›s›na yaklaflan x de¤erlerine karfl›l›k gelen f (x) de¤erleri söz konusu oldu¤undan, f (x) de¤erlerinin anlaml› olabilmesi için a ya yaklaflan x de¤erlerinin fonksiyonun tan›m kümesine ait olmas› gerekmektedir. Di¤er bir deyiflle a say›s› olarak ancak tan›m kümesindeki elemanlarla istenild¤i kadar yaklafl›labilen say›lar›n al›nmas› zorunludur. fiimdi as›l problemimize dönelim. Önce problemimize örneklerle aç›kl›k getirmeye çal›flal›m. Örnek olarak, f : R Æ R , f (x) = 2x - 3 fonksiyonunu alal›m. Bu fonksiyonda x de¤iflkeni 2 ye yaklafl›rken f (x) fonksiyon de¤erlerinin belirli bir say›ya yaklafl›p yaklaflmad›¤›na bakal›m. Afla¤›daki tabloda 2 ye 2 den küçük ve 2 den büyük de¤erlerle yaklaflan x de¤erlerine karfl›l›k gelen f (x) de¤erleri verilmifltir. x

f (x) = 2x - 3

x

f (x) = 2x - 3

0

-3

4

5

1

-1

3

3

1,5

0

2,5

2

1,7

0,4

2,2

1,4

1,9

0,8

2,1

1,2

1,99

0,98

2,01

1,02

1,999

0,998

2,001

1,002

1,9999

0,9998

2,0001

1,0002

2,00001

1,00002

x Æ2+

f (x) Æ 1

.. .

x Æ 2-

.. .

.. .

f (x) Æ 1

.. .

Tablodaki örne¤imize göre, hem x Æ 2- ve hem de x Æ 2+ için fonksiyon de¤erleri 1 e yaklaflmaktad›r. Siz de x e 2 ye yaklaflan baflka örnek de¤erler vererek fonksiyon de¤erlerinin 1 e yaklaflt›¤›n› görebilirsiniz. Bu örneklerimizi ne kadar ço¤alt›rsak ço¤altal›m fonksiyon de¤erlerinin hep 1 say›s›na yaklaflt›¤›n› görürüz. ‹flte bu say›ya (yani 1 e) f (x) = 2x - 3 fonksiyonunun 2 noktas›ndaki limiti denir ve sembolik olarak lim f x = lim 2x - 3 = 1

xÆ2

xÆ2

biçiminde gösterilir. Bu durum bazen x Æ 2 için f (x) Æ 1 biçiminde de yaz›l›r. Bunun anlam›: x de¤iflkeni 2 ye (2 den farkl› de¤erlerle) yaklafl›rken fonksiyon de¤erleri 1 e yaklafl›r demektir. Ayr›ca; lim 2x - 3 = 1 xÆ2

oldu¤unu f (x) = 2x - 3 görebilmekteyiz.

fonksiyonunun afla¤›daki grafi¤inden de aç›kça

Limit Kavram›

3

y

x Æ 2 iken x in her zaman 2 den farkl› olaca¤›n› unutmay›n›z.

y = 2x - 3

f (x) 2

1 f (x) 0

x

2

x

x

-1

-2

-3

-4

-5

Şekil 5.1

Ayn› problemi f : R Æ R, f (x) = (x + 2)2 fonksiyonu için x in 0 a yaklaflmas› durumunda inceleyelim. x in 0 a soldan ve sa¤dan yaklaflmas›na örnek olarak afla¤›daki tablodaki de¤erleri al›p fonksiyon de¤erlerinin davran›fl›na bakal›m. x

f (x) = (x + 2)2

x

f (x) = (x + 2)2

3

25

-3

1

2

16

-2

0

1

9

-1

1

0,5

6,25

-0,5

2,25

0,1

4,41

-0,1

3,61

0,01

4,0401

-0,01

3,9601

0,001

4,00400

-0,001

3,9960

0,0001

4,00040

-0,0001

3,9996

0,00001

4,00004

x Æ 0+

f (x) Æ 4

x Æ 0-

f (x) Æ 4

.. .

.. .

.. .

95

.. .

x de¤iflkeninin 0 a yaklaflan örnek de¤erlerine karfl›l›k, x ister soldan, isterse sa¤dan yaklafls›n, f (x) de¤erleri 4 e yaklaflmaktad›r.

96

Limit Kavram›

Afla¤›daki grafikten aç›kça görebild¤imiz gibi x de¤iflkeni 0 a nas›l yaklafl›rsa yaklafls›n fonksiyon de¤erleri 4 e yaklaflmaktad›r. O halde lim x + 2 2 = 4

xÆ0

tür diyebiliriz. y

y = (x + 2)2

f (x)

4 f (x)

x

x

x

Şekil 5.2

fiimdi de f : R Æ R , f x =

x + 1 , x ≤ 0 ise, x2 ,

x > 0 ise,

fonksiyonunda x Æ 0 için f (x) de¤erlerinin belirli bir say›ya yaklafl›p yaklaflmad›¤›n› araflt›ral›m. Bu örne¤imizde, x de¤iflkenine 0 a soldan ve sa¤dan yaklaflan de¤erler verip bunlara karfl› gelen f (x) de¤erlerini bulurken biraz daha dikkatli olman›z gerekmektedir. Çünkü x < 0 için f (x) = x + 1 , x > 0 için f (x) = x2 dir. Afla¤›daki tablo, bu durum dikkate al›narak oluflturulmufltur. f ( x) = x2

x

f (x) = x + 1

x

-2

-1

2

4

-1

0

1

1

-0,5

0,5

0,5

0,25

-0,1

0,9

0,1

0,01

-0,01

0,99

0,01

0,0001

-0,001

0,999

0,001

0,000001

-0,0001

0,9999

0,0001

0,00000001

x Æ 0-

f (x) Æ 1

x Æ 0+

f (x) Æ 0

.. .

.. .

.. .

.. .

Limit Kavram›

97

Tabloda gördü¤ünüz gibi, x Æ 0- için f (x) Æ 1 iken x Æ 0+ için f (x) Æ 0 d›r. x in 0 a yaklaflan de¤erlerine karfl›l›k fonksiyon de¤erleri tek bir say›ya yaklaflmamaktad›r. Bu durumda da x Æ 0 için fonksiyonunun limiti yoktur diyoruz: lim f x yoktur. xÆ0

Fonksiyonun afla¤›daki grafi¤inden de limitin yoklu¤u çok aç›k biçimde görülmektedir. y y = x2 x>0

1

-1 x

x

x

y=x+1 x<0

Şekil 5.3

Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olmamas› baflka bir noktada da limitinin olmad›¤› anlam› tafl›mamaktad›r. Örne¤in, yukar›daki f fonksiyonu için lim f x = 0

x Æ -1

yonu için

oldu¤unu grafi¤e bakarak hemen söyleyebiliriz. Yine f fonksi-

lim f x = 1 oldu¤unu görebiliriz.

xÆ1

Yukar›daki örneklerimizde,

lim 2x - 3 = 1 , lim x + 2 2 = 4

xÆ2

xÆ0

oldu¤unu

görmüfltük. Bu iki örne¤i biraz dikkatle incelersek limit dedi¤imiz say›n›n, fonksiyon ifadesinde x yerine x in yaklaflt›¤› say›n›n yaz›lmas›yla bulunabildi¤ini görebiliriz: 2.2 - 3 = 1 ve (0 + 2)2 = 4. Baflka baz› fonksiyonlar için de do¤ru olan bu durum sizi yan›ltmamal›d›r. Limit konusunun bu kadar basit olmad›¤›n› incelememize devam ettikçe göreceksiniz. Örne¤in, yukar›daki son örne¤imizde, fonksiyonun 0 daki de¤eri 1 olmas›na karfl›l›k fonksiyonun x Æ 0 için limiti yoktur.

Yukar›daki örnekte oldu¤u gibi parçal› tan›ml› fonksiyonlarda, x in herhangi bir de¤erine karfl›l›k gelen f(x) de¤erini bulurken fonksiyonu tan›mlayan ifadelerden hangisini kullanman›z gerekti¤ine dikkat ediniz.

Limit Kavram›

98

2 f: R\ -2 Æ R, f x =x -4 x+ 2

ÖRNEK 1

ÇÖZÜM

fonksiyonunun x Æ -2 için limitini araflt›ral›m. Dikkat ederseniz fonksiyon x = -2 noktas›nda tan›ml› olmamas›na karfl›l›k, bu noktadaki limitinden söz etmekteyiz. Çünkü fonksiyonun tan›m kümesi (- ∞, -2 ) » (-2, ∞) dur ve x de¤iflkeni bu kümedeki elemanlarla -2 say›s›na istenildi¤i kadar yak›n de¤erler alabilir. Fonksiyon ifadesinde x yerine -2 yazarsak hem pay›n hem de paydan›n 0 oldu¤unu görmekteyiz. Bu örnekte oldu¤u gibi 0/0 durumu ile karfl›laflt›¤›m›zda, 0/0 anlaml› olmamas›na karfl›l›k fonksiyonun limitinin olmad›¤n› söyleyemeyiz. Bu limiti hesaplamak için fonksiyonun ifadesine biraz daha yak›ndan bakmam›z gerekmektedir. x Æ -2 iken daima x ≠ -2 olaca¤›ndan lim f x =

xÆ - 2

2 lim x - 4 = x Æ - 2 x+ 2

lim

xÆ - 2

x- 2 x+ 2 x+ 2

=

lim

xÆ - 2

x- 2 = - 4

bulunur. Fonksiyon bir noktada tan›ml› olmad›¤› halde o noktada limiti olabilir. Fonksiyonun bir noktada tan›ml› olmas› halinde bu noktadaki de¤eri ile bu noktada limitinin varl›¤› ve varsa limitin de¤eri aras›nda do¤rudan bir iliflki yoktur diyebiliriz.

Fonksiyon bir noktada tan›ml› olmad›¤› halde o noktada limiti olabilir. Fonksiyonun bir noktada tan›ml› olmas› halinde bu noktadaki de¤eri ile bu noktada limitinin varl›¤› ve varsa limitin de¤eri aras›nda do¤rudan bir iliflki yoktur diyebiliriz. Buraya kadar örneklerle aç›klamaya çal›flt›¤›m›z limit kavram›n› flu flekilde tan›mlayabiliriz. A à R olmak üzere, f : A Æ R fonksiyonu verilsin. a Œ R say›s› A kümesine ait elemanlarla istenildi¤i kadar yaklafl›labilen bir nokta olsun. E¤er x ba¤›ms›z de¤iflkeni A kümesine ait fakat a dan farkl› de¤erlerle a ya yaklafl›rken f (x) fonksiyon de¤erleri tek bir L say›s›na yaklafl›yorsa, f fonksiyonunun a noktas›nda limiti L ' dir denir ve bu durum x Æ a iken f (x) Æ L veya lim f x = L biçiminde gösterilir. x Æ a

Buna göre, tan›m› yinelersek

lim f x = L demek, x de¤iflkeni a dan

xÆa

farkl› de¤erlerle a ya yaklafl›rken f (x) fonksiyon de¤erleri L say›s›na yaklafl›yor demektir.

SIRA S‹ZDE 1

- x2 + 1 , x ≤ 0 ise, fonksiyonu veriliyor. lim f x = 1 x > 0 ise, xÆ0 oldu¤unu görünüz. Fonksiyonun grafi¤ini çizerek sonucu do¤rulay›n›z.

1) f : R Æ R

2) g :

, f x = 1 - x,

R Æ R , g (x) = 3x2 - x + 5 fonksiyonu veriliyor.

¤unu gösteriniz.

lim f x = 9 oldu-1

xÆ

x - 1 2 , x < 1 ise, x = 1 ise, fonksiyonu veriliyor. lim f x = 0 3) f: R Æ R , f x = 1 , xÆ1 x - 1, x > 1 ise, oldu¤unu gösteriniz. Fonksiyonun grafi¤ini çizerek sonucu do¤rulay›n›z.

Limit Kavram›

lim x - 2 = ? x+ 5 x- 2 6) lim =? x Æ 2 x- 2 8) lim x - 4 = ? x Æ 4 x- 2 4)

5)

xÆ1

7) 9)

99

lim x 2 - 2x = ?

xÆ3

lim 10 = ?

xÆ0

2 lim x - 3x = ? x Æ 3 x 2- 9

Afla¤›da grafikleri verilen fonksiyonlar›n x Æ 1 için varsa limitlerini bulunuz. 10)

11)

y

y

3 2 0 1 -1

0

1

2

3

x

-1

x

-2

Şekil 5.5

Şekil 5.4

13)

12) y

y

4

2 -1 0

-2

1

2

1

x

-1 -2

Şekil 5.6

Şekil 5.7

Limit Özellikleri Bir önceki kesimde, limit kavram›n›, baz› basit say›labilecek fonksiyonlar›n baz› noktalarda limitini, sezgisel yaklafl›ma a¤›rl›k vererek aç›klamaya çal›flt›k. Sizler taraf›ndan anlafl›lmas› oldukça zor olaca¤› için ve daha çok matematikçileri ilgilendirdi¤ine inand›¤›m›z kesin matematiksel tan›m› vermedik. Ancak, yukar›da aç›klamaya çal›flt›¤›m›z yöntem zaman zaman s›k›c› say›sal ifllemler gerektirmesine ra¤men etkili bir yöntem de de¤ildir. Çünkü, fonksiyonun a noktas›nda limitinin varl›¤›n› görmek için x de¤iflkeni a ya nas›l yaklafl›rsa yaklafls›n (yani sadece seçilen örnek de¤erler için de¤il), fonksiyon de¤erlerinin limit diyece¤imiz tek bir say›ya yaklaflt›¤›n› göstermemiz gerekmektedir. Bu ise san›ld›¤›ndan çok daha zor bir ifltir. Biraz sonra verece¤imiz ve kan›t›n› yine matematikçilere b›rakaca¤›m›z özellikler (teoremler) ve onlar›n sonuçlar› bu zor ifli biraz daha kolay hale getirebilmektedir.

x

Limit Kavram›

100

1. Özellik c bir sabit olmak üzere, f : R Æ R , f (x) = c ise lim f x = lim c = c

y

x Æ a

c

dir. Sabit fonksiyonun herhangi bir noktada limiti vard›r ve fonksiyon de¤eri olan sabit say›ya eflittir. Grafikten bu özelli¤in do¤rulu¤unu çok aç›k biçiminde görüyoruz.

y=c

x

x

x

a

2. Özellik f : R Æ R , f (x) = x

Şekil 5.8

ise f x = lim x = a

lim

Sabit fonksiyonun herhangi bir noktada limiti vard›r ve fonksiyon de¤eri olan sabit say›ya eflittir.

x Æ a

x Æ a

x Æ a

dir. Birim fonksiyonun herhangi bir a noktas›nda limiti vard›r ve a ya eflittir.

Birim fonksiyonun herhangi bir a noktas›nda limiti vard›r ve a ya eflittir.

3. Özellik y

f : A Æ R , g : A Æ R fonksiyonlar› verilsin ve lim f x = L 1 xÆa

y=x f (x)

ve

lim g x = L 2

xÆa

x=a

a

lim

x

a

f x +g x

= lim

f x + lim g x = L

x Æ a

x Æ a

1

+L

2

dir. Toplam›n limiti limitler toplam›na eflittir.

x

x

f + g fonksiyonunun

noktas›nda limiti vard›r ve

x Æ a

f (x)

olsun. Bu durumda

Şekil 5.9 Toplam›n limiti limitler toplam›na eflittir.

f : R Æ R , f (x) = x , g : R Æ R , g (x) = -3 veriliyor. x = 2 noktas›nda f + g fonksiyonunun limitini bulal›m. ÇÖZÜM

ÖRNEK 2

f fonksiyonu birim fonksiyon, g fonksiyonu sabit fonksiyon oldu¤undan her iki fonksiyonun

2

noktas›nda

limiti

vard›r

ve

lim f x = lim x = 2 ,

xÆ2

xÆ2

lim g x = lim - 3 = - 3 tür. 3. özellikten f + g nin 2 noktas›nda limiti var-

xÆ2

xÆ2

d›r ve lim f

xÆ2

x

+g

x

=

lim

xÆ2

x

+ -3

= lim

xÆ2

x

+ lim - 3 = 2 + - 3 = - 1 xÆ2

dir. 3. özellik sonlu tane fonksiyon için de do¤rudur. f1 , f2 , ... , fn fonksiyonlar›n›n a noktas›nda limiti varsa, lim

xÆa

dir.

f 1 x + f 2 x + ... + f n x

= lim f 1 x + xÆa

lim f 2 x + ... + lim f n x

xÆa

xÆa

Limit Kavram›

101

4. Özellik f:AÆR , g:AÆR

aŒR

fonksiyonlar›n›n bir

noktas›nda limitleri

f x = L 1 , lim g x = L 2 ise f . g fonksiyonunun bu noktada livar ve x lim Æa xÆa miti vard›r ve lim

x Æ a

f .g

x = lim

x Æ a

f x .g x

= lim f x . lim g x = L x Æ a

x Æ a

1

.L

2

dir. Çarp›m›n limiti, limitlerin çarp›m›na eflittir.

Çarp›m›n limiti, limitlerin çarp›m›na eflittir.

4. özellikte g (x ) = c al›n›rsa, lim c f x = lim c . lim f x = c lim f x x Æ a

x Æ a

x Æ a

x Æ a

sonucu elde edilir. Buna göre, bir fonksiyonun bir sabitle çarp›m›n›n limiti, fonksiyonun limitinin bu sabitle çarp›m›na eflittir. 3. özellik ile 4. özelli¤in sonucunu birlefltirirsek, lim

x Æ a

f x -g x

Bir fonksiyonun bir sabitle çarp›m›n›n limiti, fonksiyonun limitinin bu sabitle çarp›m›na eflittir.

= lim f x - lim g x x Æ a

x Æ a

diyebiliriz. Fark›n limiti, limitler fark›na eflittir. 5. Özellik Limitlerin varl›¤› durumunda sonlu tane fonksiyonun çarp›m›n›n limiti, limitler çarp›m›na eflittir. lim f 1 x . f2 x ..... fn x = lim f1 x . lim f2 x ..... lim fn x xÆa

xÆa

xÆa

Fark›n limiti, limitler fark›na eflittir.

xÆa

dir. n Œ N olmak üzere

ÖRNEK 3

lim x n limitini bulal›m.

xÆa

xÆa

xÆa

xÆa

n tane

xÆa

n tane

n tane

ÇÖZÜM

lim x n = lim x . x. ... x = lim x . lim x ... lim x = a . a. ... a = a n

xÆa

Buna göre, lim x n = a n x Æ a

dir.

ÖRNEK 4

f : R Æ R , f (x ) = bn xn + bn -1 xn -1 + ... + b0 , n Œ N , bn ≠ 0 , b0 , b1 , ... , bn Œ R polinom fonksiyonunun x = a noktas›nda limitini bulal›m. ÇÖZÜM

Yukar›daki özellikler ve örneklerdeki bilgilerimizi kullanarak, lim

xÆa

f (x ) = lim b n x n + b n -1 x n -1 + ... + b 1 x + b 0 xÆa = lim b n x n + lim b n -1 x n -1 + ... + lim b 1 x + lim b 0 xÆa

xÆa

xÆa

xÆa

= b n lim x n + b n -1 lim x n -1 + ... + b 1 lim x + lim b 0 xÆa

= bn .

an

+ b n -1 .

xÆa

a n -1

xÆa

xÆa

+ ... + b 1 . a + b 0

bulunur. Dikkat ederseniz bu de¤er polinom fonksiyonun a noktas›ndaki de¤eridir.

Polinom fonksiyonunun herhangi bir noktadaki limiti, fonksiyonun bu noktadaki de¤erine eflittir.

Limit Kavram›

102

ÖRNEK 5

lim x 3 - 5x 2 + 8 limitini bulal›m.

ÇÖZÜM

xÆ2

f (x) = x3 - 5x2 + 8 fonksiyonu polinom fonksiyon oldu¤undan, bu limit f (2) de¤erine eflittir. Buna göre, lim x 3 - 5x 2 + 8 = 23 - 5 . 22 + 8 = - 4

xÆ2

dir. x > 0

r Œ R olmak üzere,

ve r

lim x = a

x Æ a

r

dir.

ÖRNEK 6

lim

3

x2

ÇÖZÜM

xÆ8

f x = lim

3

limitini bulal›m.

x 2 = x 2/3 dir. x > 0 ve r Œ R için lim x r = a r oldu¤undan xÆa

3

x 2 = lim x 2/3 = 82/3 = 23

xÆ8

2/3

xÆ8

=4

bulunur.

ÖRNEK 7

lim

x 3x 2 - 7x - 1 limitini bulal›m.

lim

x 3x 2 - 7x - 1 = lim

ÇÖZÜM

xÆ4

xÆ4

xÆ4

x .

lim 3x 2 - 7x - 1

xÆ4

= 4 . 3. 42 - 7 . 4 - 1 = 2. 48 - 28 - 1 = 38 bulunur. 6. Özellik

Bölümün limiti, paydan›n limiti 0 dan farkl› olmak kofluluyla, limitlerin bölümüne eflittir.

f : A Æ R , g : A Æ R fonksiyonlar› verilsin ve g (x) ≠ 0 olsun. E¤er f x lim f x = L 1 , lim g x = L 2 ve L 2 ≠ 0 ise fonksiyonunun a nokxÆa xÆa g x tas›nda limiti vard›r ve

ÖRNEK 8

lim 2

ÇÖZÜM

xÆ8

lim

xÆa

lim f x f x xÆa L = = 1 , g x π 0 , L 2 π 0 dir. g x lim g x L2 xÆa

3

x+ 3 4x + 1

lim 2

3

xÆ8

limitini bulal›m.

x+3 =2.

3

8 + 3 = 7, lim 4x + 1 = 4 . 8 + 1 = 33 xÆ8

oldu¤undan, lim 2

xÆ8

bulunur.

3

x+3 = 4x + 1

lim 2

xÆ8

3

x+3

lim 4x + 1

xÆ8

= 7 33

Limit Kavram›

103

7. Özellik f x = L olsun. f : A Æ R fonksiyonu verilsin ve x lim Æa n Œ N ve n çift iken f (x) ≥ 0 olmak üzere, n

lim

x Æ a

f x

=

n

lim f x

n

=

x Æ a

L

dir. Özel olarak, f (x) ≥ 0 ise lim

x Æ a

f x

=

lim f x

x Æ a

= L

dir. lim

2x 3 - 7x

lim

2x 3 - 7x =

xÆ4

lim 2x 3 - 7x

xÆ4

=

2 . 43 - 7 . 4 = 100 = 10

dur.

ÇÖZÜM

xÆ4

ÖRNEK 9

limitini bulal›m.

8. Özellik f : A Æ R , g : A Æ R , h : A Æ R fonksiyonlar› verilsin ve x in a say›s›na yak›n tüm de¤erleri için lim h x = lim g x = L

xÆa

xÆa

h (x) ≤ f (x) ≤ g (x)

eflitsizli¤i sa¤lans›n. E¤er

oluyorsa, bu durumda f fonksiyonunun a nokta-

s›nda limiti vard›r ve lim f x = lim h x = lim g x = L

xÆa

xÆa

xÆa

dir. fiimdi yukar›da verdi¤imiz özellikleri kullanarak baz› fonksiyonlar›n limitlerinin nas›l bulunaca¤›n› örneklerle aç›klayal›m.

3x - 6

lim

xÆ2

5x 2 - 20

ÖRNEK 10 limitini bulal›m.

lim 5x 2 - 20 = 0

xÆ2

oldu¤undan 6. özelli¤i kullanamay›z.

Bu durumda fonksiyonu biraz daha dikkatli incelememiz gerekir. x, 2 ye yaklaflt›¤›ndan x ≠ 2

dir. Dolay›s›yla 3 x- 2 3 x- 2 3x - 6 = 3 ,x≠2 = = 2 2 5 x- 2 x+ 2 5 x+ 2 5x - 20 5 x - 4

yazabiliriz. Buna göre, lim

xÆ2

bulunur.

3x - 6 = lim 3 = 3 = 3 5 . 4 20 5x 2 - 20 x Æ 2 5 x + 2

ÇÖZÜM

lim 3x - 6 = 0 ve

xÆ2

Limit Kavram›

104

ÖRNEK 11

lim

ÇÖZÜM

xÆ9

x-9 x -3

limitini bulal›m.

lim x - 9 = 0 , lim

xÆ9

xÆ9

x - 3 = 0 d›r. x 9 dan farkl› oldu¤undan

2 2 x-9 = x -3 = x -3 x +3 = x +3 x -3 x -3 x -3 veya x- 9 = x- 9 . x + 3 = x- 9 x + 3 = x- 9 x + 3 x -3 x -3 x +3 x-9 x 2 - 32

= x + 3 , x≠ 9 yaz›labilir. Bu durumda, x - 9 = lim x + 3 = 9 + 3 = 6 lim xÆ9 xÆ9 x -3 bulunur. Bu iki örne¤e dikkat ederseniz her iki örnekte de pay ve payda 0 a yaklafl›rken limit, birincisinde 3/20, ikincisinde 6 bulundu. Bunlardan flu sonucu ç›kar›yoruz: x Æ a için bir kesrin hem pay› hem de paydas› s›f›ra yaklafl›yorsa, kesrin limiti tamamen kesre ba¤l›d›r, genel bir sonuç söylenemez. Bu nedenle bu durumda 0 belirsizli¤i vard›r denir. 0 belirsizli¤i limitin yoklu¤u anlam› tafl›maz, 0 0 sadece limitin varsa de¤erinin kesre ba¤l› oldu¤unu ifade eder.

SIRA S‹ZDE 2

Afla¤›daki limitleri hasaplay›n›z. 1) lim

x 2 + 3x - 1

2) lim

3) lim

x2 - 8 x+ 1

4)

x Æ -1

xÆ 2

5) lim

x Æ 32

7) lim

xÆ1

5

x

2x + 1 x - 3

9) lim x x - 1 , xÆ0

3x + 4

x2 - 2 x+ 1

xÆ0

lim

x

x Æ 81

6) lim

3

xÆ6

8) lim

3

xÆ8

x x + 1 3x - 1

10) lim x - 4 xÆ4

x+1

3

11) lim

x 3 + 2x - 1 x2+1

12) lim

13) lim

x 3 - 4x 2 + 9

14) lim

15) lim

x- 1 x -1

2 16) lim x - 3x + 2

x Æ -1 xÆ0 xÆ1

17) lim

xÆ0

x 3 - 5x2 + 4x x2 + 6x

xÆ1 xÆ1 xÆ2

x 2 + 5x + 2 x+ 1 3x - 2 x2 - 4

Limit Kavram›

105

Tek Yönlü Limitler Yukar›daki incelemizde, a noktas›ndaki limiti incelerken x ba¤›ms›z de¤iflkeni a ya nas›l yaklafl›rsa yaklafls›n f (x) de¤erlerinin belli bir say›ya yaklafl›p yaklaflmad›¤›n› araflt›rd›k. Ancak, baz› durumlarda x in a ya sadece a dan büyük (yani sa¤dan) de¤erlerle yaklaflmas› veya sadece a dan küçük (yani soldan) yaklaflmas› zorunlu olabilir. ‹flte bu durumlarda tek yönlü limit söz konusudur. E¤er x Æ a+ için f fonksiyonunun L gibi bir limiti varsa, bu limite a noktas›ndaki sa¤dan limit denir ve lim f x = L x Æ a+

biçiminde gösterilir. Benzer flekilde, x Æ a- için f fonksiyonunun L gibi bir limiti varsa bu limite de soldan limit denir ve lim - f x = L xÆa

biçiminde gösterilir. lim f x = L ¤ x Æ a

lim

x Æ a-

f x = lim

x Æ a+

a noktas›na her iki yönden yaklafl›labilindi¤i durumlarda, a noktas›nda limitin varolmas› için gerek ve yeter koflul, hem sa¤dan ve hem de soldan limitlerin var ve birbirine eflit olmas›d›r.

f x =L

dir. Yani, sa¤dan ve soldan limitlerin her ikisinin de söz konusu oldu¤u bir noktada limit varsa, hem sa¤dan hem de soldan limit vard›r ve bunlar birbirine eflittir. Karfl›t olarak sa¤dan ve soldan limitler var ve birbirine eflit ise bu noktada limit vard›r. Sa¤dan ve soldan limitlerin birisi yoksa veya bu iki limit eflit de¤ilse limit yoktur.

lim +

xÆ0

x ve x

lim -

xÆ0

x x

ÖRNEK 12 limitlerini bulal›m.

lim

x Æ 0+

x = x

lim

x Æ 0+

y

xÆ0

x = x

lim -x = lim - 1 = - 1 x Æ 0- x x Æ 0-

y=1

1

x = lim 1 = 1 x x Æ 0+

x>0

x Æ 0- iken x < 0 oldu¤undan |x | = -x dir. Buna göre, lim -

ÇÖZÜM

x Æ 0+ iken x > 0 oldu¤undan |x| = x dir. Buna göre

x

0

y = -1

-1

x<0

Şekil 5.10

olur. Bu fonksiyonun hem sa¤dan ve hem de soldan limitleri vard›r ve s›ras›yla 1 ve -1 dir. Bu iki limit birbirine eflit olmad›¤›ndan lim

xÆ0

x yoktur. x

Limit Kavram›

106

ÖRNEK 13

f: RÆ R, f x =

3x - 1 ,

x≤ 2

ise,

x+ 3 ,

x> 2

ise

fonksiyonu veriliyor. lim - f x , lim + f x ÇÖZÜM

xÆ2

ve

xÆ2

lim f x

xÆ2

limitlerini araflt›ral›m.

x Æ 2- için x < 2 dir. Dolay›s›yla bu durumda f (x) = 3x - 1 dir. Buna göre, lim f x = lim 3x - 1 = 3 . 2 - 1 = 5 x Æ 2-

x Æ 2-

dir. x Æ 2+ için x > 2 ve f (x) = x + 3 tür. Bu durumda lim + f x = lim + x + 3 = 2 + 3 = 5

xÆ2

xÆ2

lim f x =

x Æ 2-

lim

x Æ 2+

y

y=x+3

5

x>2

f x =5 -1

oldu¤undan lim f x = 5

1/3

x

2

y = 3x - 1

xÆ2

x≤2

Şekil 5.11

dir.

Baz› durumlarda x Æ a (veya x Æ a - , x Æ a+) için fonksiyon de¤erleri istenildi¤i kadar büyük bir say›dan daha büyük olabilir. Bu durumda limit • dur denir ve lim f x = • veya lim - f x = • , lim + f x = • xÆ a

xÆa

xÆa

biçiminde gösterilir. Benzer flekilde, x Æ a (veya x Æ a - , x Æ a+) için fonksiyon de¤erleri negatif yönde istenildi¤i kadar küçük say›dan daha küçük olabilir. Bu durumda da limit - • dur denir ve lim f x = - •

veya

xÆ a

lim f x = - • , lim f x = - •

x Æ a-

x Æ a+

biçiminde gösterilir.

ÖRNEK 14

lim 1x , lim + 1x ve xÆ0

ÇÖZÜM

x Æ 0-

lim 1x

xÆ0

y

f (x) y = 1/x

x x

x

f (x)

Şekil 5.12

limitlerini araflt›ral›m. Yandaki grafikten gördü¤ümüz gibi, x de¤iflkenine pozitif ve s›f›ra yaklaflan de¤erler verdi¤imizde fonksiyon de¤erleri s›n›rs›z olarak büyümektedir. Benzer flekilde x e negatif ve s›f›ra yaklaflan de¤erler verdi¤imizde fonksiyon de¤erleri negatif yönde s›n›rs›z olarak küçülmektedir. Bu nedenle lim 1 = - • ve lim 1 = • x Æ 0- x x Æ 0+ x dur. Soldan ve sa¤dan limitler farkl› oldu¤undan lim 1x yoktur.

xÆ0

Limit Kavram›

lim

x Æ 1-

1 , lim 1 ve + x- 1 2 x Æ 1 x- 1 2

lim

xÆ1

107

ÖRNEK 15

1 x- 1 2

limitlerini araflt›ral›m.

lim

x Æ 1-

y

y=

ÇÖZÜM

x Æ 1- ve x Æ 1+ yaklaflmalar›na örnekler vererek veya yandaki grafikten görebilece¤imiz gibi,

1 x- 1 2

1 = • , lim + 1 =• 2 x Æ 1 x- 1 2 x- 1

ve dolay›s›yla

lim

xÆ1

1 =• x- 1 2 1

dur.

x

Şekil 5.13

lim 2x - 3 -x

x Æ 0 3x2

ÖRNEK 16

limitini araflt›ral›m. ÇÖZÜM

x ≠ 0 oldu¤undan pay ve payday› x e bölelim. 2- 3 x 2- 3 x 2x - 3 = x = x 3x - 1 3x - 1 3x 2 - x d›r. Buna göre, lim

x Æ 0+

lim

x Æ 0-

2 - 3x 2x - 3 = lim =+• 3x 2 - x x Æ 0+ 3x - 1 2 - 3x 2x - 3 = lim =-• 3x 2 - x x Æ 0- 3x - 1

d›r. O halde lim 2x - 3 x Æ 0 3x 2 - x lim f x = •

xÆa

yoktur. olmas› limitin varl›¤› anlam› tafl›maz. Sadece x Æ a için f (x)

de¤erlerinin s›n›rs›z büyüdü¤ü anlam› tafl›r. Benzer flekilde,

lim f x = - •

xÆa

olmas› da x Æ a için f (x)

de¤erlerinin

negatif yönde s›n›rs›z küçüldü¤ünü ifade eder. Bir fonksiyonun tan›m kümesinde x de¤iflkeni pozitif yönde s›n›rs›z büyüyebilir veya negatif yönde s›n›rs›z küçülebilir, bu durumlar› x Æ • veya x Æ - • biçiminde ifade ederiz. Bu durumlarda da fonksiyonun limitinden söz etmek mümkündür. E¤er x Æ • (veya x Æ - •) için f (x) de¤erleri belirli bir L say›s›na yaklafl›yorsa, bu durumda da limit L dir denir ve lim f x = L

xƕ

veya

biçiminde gösterilir.

lim

xÆ -•

f x =L

Limit Kavram›

108

ÖRNEK 17

lim 1 ,

ÇÖZÜM

x Æ•x

lim

xÆ -•

1 x

limitlerini araflt›ral›m.

Yandaki grafikten gördü¤ümüz gibi x de¤iflkenine pozitif yönde istenildi¤i kadar büyük veya negatif yönde istenildi-

y y=1 x

¤i kadar küçük de¤erler verdi¤imiz de fonksiyon de¤erleri 0’a yaklaflmaktad›r. Bu nedenle hem x Æ - ∞ ve hem de

x

x Æ ∞ için f (x) Æ 0 olmaktad›r. Yani lim 1x = 0 , lim 1x = 0 xÆ • xÆ -• d›r.

ÖRNEK 18

Şekil 5.14

lim

ÇÖZÜM

xÆ -•

3x 2 - 5x + 1 - x 2 + 4x + 7

limitini araflt›ral›m.

Fonksiyonda hem pay› ve hem de payday› x2 ile bölelim. 3x 2

- 5x + 1 = - x 2 + 4x + 7

lim

xÆ •

lim

xÆ •

3- 5 + 1 x x2 = 3-0+0 =-3 4 7 -1+0+0 -1+ + x x2

bulunur. lim

xƕ

a n x n + a n -1 x n -1 + . . . + a 1 x + a 0 b m x m + b m -1 x m -1 + . . . + b 1 x + b 0

=

±• , n > m ise an , m = n ise bm 0, n < m ise

oldu¤u gösterilebilir. Baz› fonksiyonlarda x s›n›rs›z büyürken fonksiyon de¤erleri, s›n›rs›z büyüyebilir veya negatif yönde s›n›rs›z küçülebilir. Bu durumlar› k›saca, lim f x = • , lim f x = - •

xÆ •

xÆ •

biçimlerinde ifade ederiz. Benzer flekilde x Æ - ∞ için f (x) Æ ∞ veya f (x) Æ - ∞ olabilir. Bu durumlar› da lim

xÆ -•

f x =•,

lim

xÆ -•

biçimlerinde ifade ederiz.

f x =-•

Limit Kavram›

lim

xÆ ∞

2x 2 - 4x + 5 = lim x 2 2 - 4 + 5 = ∞ . 2 - 0 + 0 = ∞ x x2 xÆ ∞

109

ÖRNEK 19

bulunur.

lim

xÆ -

x 3 - 4x 2 + x = ∞ 2x - 3

=

x3 lim

xÆ - ∞

1- 4 + 1 x x2 x 2- 3 x

∞. 1-0+0 2

x2 =

lim

xÆ - ∞

1- 4 + 1 x x2 2- 3 x

ÖRNEK 20

=∞

SIRA S‹ZDE 3 x2

- x + 1 , x ≤ 0 ise x > 0 ise x 2 + x,

1) f x =

2)

3) 4)

5)

6)

7)

lim

x Æ -1

lim

x Æ 1-

x+ 1 x+ 1 x- 1 x- 1

lim

xÆ ∞

lim

xÆ - ∞

lim

xÆ ∞

lim f x = ?

xÆ0

=? =?

- x 2 + 1x - 5

lim

xÆ - ∞

oldu¤una göre

=?

x x +5 =? x + 10 4x 2 - 5x = ? 2- x 4x 2 - 5x = ? 2- x

Süreklilik Limit konusunu incelerken, bir fonksiyonun bir noktadaki limiti ile fonksiyonun bu noktadaki de¤eri aras›nda do¤rudan bir iliflki olmad›¤›n› ifade etmifltik. Bununla beraber baz› fonksiyonlar›n a daki limiti ile a daki de¤erinin birbirine eflit olduklar›n› görmüfltük. Bu özel durum fonksiyon davran›fl›n› incelemede önemli bir özellik olarak karfl›m›za ç›kmaktad›r. ‹flte bu durumda fonksiyon a noktas›nda süreklidir diyoruz. Buna göre süreklili¤i flu flekilde tan›mlayabiliriz: f : A Æ R fonksiyonu ve bir a Œ A noktas› verilsin. E¤er lim f x = f a

xÆa

oluyorsa, f fonksiyonuna x = a noktas›nda süreklidir denir. f fonksiyonu A kümesinin her noktas›nda sürekli ise, f fonksiyonu A üzerinde süreklidir denir.

Limit Kavram›

110

Örne¤in f : R Æ R , f (x) = 2x - 3 fonksiyonu x = 2 noktas›nda süreklidir. Çünkü lim 2x - 3 = 1 = f (2) dir. xÆ2

Yine limit konusunda P (x) = bn xn + bn -1 xn -1 + ... + b1 x + b0 polinom fonksiyonunun herhangi bir a noktas›ndaki limitinin P (a) oldu¤unu görmüfltük. Buna göre, flu sonucu ç›karabiliriz. P (x) = bn xn + bn -1 xn -1 + ... + b1 x + b0 polinom fonksiyonu her a Œ R noktas›nda süreklidir. Süreklili¤in tan›m›na göre, f : A Æ R fonksiyonunun bir a noktas›nda sürekli olmas› için flu koflullar›n sa¤lanmas› gerekir: • • •

Fonksiyon a noktas›nda tan›ml› olmal›d›r, Fonksiyonun a noktas›nda limiti olmal›d›r, Fonksiyonun a daki limiti a daki de¤erine eflit olmal›d›r. f fonksiyonu bir noktada sürekli de¤ilse, f bu noktada süreksizdir denir.

ÖRNEK 21

x 2 + 1 , x ≤ 0 ise x, x > 0 ise

f: R Æ R, f x =

ÇÖZÜM

fonksiyonunun inceleyelim.

x = 0 ve x = 1 noktalar›nda sürekli olup olmad›¤›n›

f (0) = 02 + 1 = 1

y

lim f x = 1 , lim + f x = 0

x Æ 0-

oldu¤undan,

xÆ0

lim f x

y = x2 + 1 x≤0

yoktur.

xÆ0

y=x

Buna göre f fonksiyonu x = 0

x>0

noktas›nda sürekli de¤ildir.

1

Buna karfl›l›k bu fonksiyon x = 1 1

noktas›nda süreklidir. Gerçekten f (1) = 1 ,

lim f x = lim x = 1 ,

xÆ1

xÆ1

x

Şekil 5.15

lim f x = f 1 = 1

xÆ1

oldu¤undan fonksiyon x = 1 noktas›nda süreklidir.

f fonksiyonunun grafi¤inin x = 0 ve x = 1 deki durumu aras›nda bir fark görüyor musunuz? Bir fonksiyon bir aral›kta sürekli ise, fonksiyonun grafi¤i olan e¤ri bu aral›kta kalem kald›r›lmadan çizilebilir yani fonksiyon grafi¤inde herhangi bir kopma olmaz.

Yan›t›n›z flöyle olmal›yd›: f fonksiyonunun grafi¤i olan e¤ride x = 1 noktas›nda herhangi bir kopma yoktur. Bir fonksiyon bir aral›kta sürekli ise, fonksiyonun grafi¤i olan e¤ri bu aral›kta kalem kald›r›lmadan çizilebilir yani fonksiyon grafi¤inde herhangi bir kopma olmaz.

Limit Kavram›

111

ÖRNEK 22

f: 0,∞ ÆR, f x = x

y

fonksiyonunun x = 4 noktas›nda 2

y=

sürekli olup olmad›¤›n› araflt›ral›m.

x

Bir fonksiyona bir noktada süreklidir diyebilmek için afla¤›daki üç sorunun yan›t› evet olmal›d›r. • Fonksiyon bu noktada tan›ml› m›? • Fonksiyonun bu noktada limiti var m›? • Fonksiyonun bu noktadaki de¤eri limitine eflit mi?

x

4

Şekil 5.16

lim

ÇÖZÜM

f (4) = 4 = 2 ,

x = 2 = f (4)

xÆ4

oldu¤undan fonksiyon x = 4 noktas›nda süreklidir.

Afla¤›daki flekilde x0 noktas›nda süreksiz olan çeflitli fonksiyon grafikleri görülmektedir.

y

Fonksiyonun tan›m kümesine ait bir noktaya karfl›l›k, grafikte kopma, delinme ve s›çrama varsa bu noktalarda fonksiyonun sürekli olmad›¤›n› unutmay›n›z.

y

y

f (x0 )

f (x0 ) x0

x

f (x0 )

x

x

x0

x0

Şekil 5.17

f : A Æ R , g : A Æ R fonksiyonlar› x0 Œ A noktas›nda sürekli ise, f + g , f - g , f . g , g (x0) ≠ 0 olmak üzere f fonksiyonlar› da x0 Œ A noktas›nda g süreklidir. f : R Æ R , f (x) = 3x3 - 5x2 + 4x , lar› veriliyor

f (x ) g (x )

fonksiyonunun sürekli¤ini inceleyelim.

3 2 f x = 3x - 5x + 4x 2 g x x +1

xŒR

noktas›nda sürekli fonksiyondur.

ÇÖZÜM

f ve g fonksiyonlar› polinom fonksiyon olduklar›ndan her x Œ R noktas›nda süreklidirler. Ayr›ca her x Œ R için x2 + 1 ≠ 0 oldu¤undan

fonksiyonu her

ÖRNEK 23

g : R Æ R , g (x) = x2 + 1 fonksiyon-

Bir fonksiyon bir noktada sürekli ise, bu nokta civar›nda ba¤›ms›z de¤iflkendeki küçük de¤ifliklikler fonksiyon de¤erlerinde "küçük" de¤ifliklikleri do¤urur. Fonksiyon bir noktada sürekli de¤ilse, bu nokta civar›nda ba¤›ms›z de¤iflkendeki küçük de¤iflikliklerin fonksiyon de¤erlerinde afl›r› büyük de¤ifliklikler meydana getirebilece¤ini beklemeliyiz.

112

Limit Kavram›

Sürekli Fonksiyonlar›n Özellikleri f : A Æ R fonksiyon verilsin. E¤er her x Œ A için f (x) ≤ f (x0) olacak flekil-

de en az bir x0 Œ A noktas› varsa, f (x0) say›s›na f fonksiyonunun A üzerinde mutlak maksimum de¤eri, di¤er bir deyiflle en büyük de¤eri denir. Benzer flekilde, her x Œ A için f (x1) ≤ f (x) olacak flekilde en az bir x1 Œ A noktas› varsa, f (x1) say›s›na f fonksiyonunun A üzerinde mutlak minimum de¤eri yani en küçük de¤eri denir.

y M

x1

a x0

b

x

m

Şekil 5.18

fiekilde grafi¤i verilen fonksiyonun mutlak maksimum de¤eri M , mutlak minimum de¤eri ise m dir. Her fonksiyonun mutlak maksimum veya mutlak minimum de¤eri var olmak zorunda de¤ildir. f : (0, 1] Æ R , f (x) = x2 fonksiyonunun, mutlak minimumu yoktur, ancak mutlak maksimum de¤eri 1 dir. Burada 0 ›n tan›m kümesine ait olmad›¤›na dikkat ediniz. [a, b] kapal› aral›¤› üzerinde tan›ml› sürekli fonksiyonlar›n davran›fllar›n› daha kolay inceleyebiliriz. fiimdi bu özelliklerden baz›lar›n› ele alal›m. 1. Özellik f : [a, b] Æ R sürekli fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyon mutlak minimum ve mutlak maksimum de¤erlerini en az birer noktada al›r. Yani her x Œ [a, b] için f (x1) ≤ f (x) ve f (x) ≤ f (x2) olacak flekilde en az birer x1 , x2 Œ [a, b] de¤erleri vard›r. 2. Özellik f : [a, b] Æ R sürekli fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyon mutlak minimum ve mutlak maksimum de¤erleri aras›ndaki her de¤eri en az bir noktada al›r. Yani, fonksiyonunun mutlak minimum de¤eri m, mutlak maksimum de¤eri M olmak üzere, m≤c≤M koflulunu sa¤layan herhangi bir c say›s›na karfl›l›k f (x0) = c olacak flekilde en az bir x0 Œ [a, b] say›s› vard›r.

Limit Kavram›

113

y M

c

x0

x1

a

x

b m

Şekil 5.19

Sürekli fonksiyonlar için bu özellik ara de¤er teoremi olarak bilinir. fiekildeki grafi¤e göre f (x0) = f (x1) = c dir. Sonuç f : [a, b] Æ R sürekli fonksiyonu verilsin. E¤er f (a) . f (b) < 0 ise en az bir c Œ (a, b) için f (c) = 0 d›r. Yani f sürekli fonksiyonu [a, b] aral›¤›n›n uçlar›nda farkl› iflaretli de¤erler al›yorsa, f (x) = 0 denkleminin (a, b) aral›¤›nda en az bir kökü vard›r. y

y

a c

b

x

a

c1

c2

c3

b

x

Şekil 5.20

Yukar›daki grafiklerden aç›kça görüldü¤ü gibi, f (a) ile f (b) de¤erleri farkl› iflaretli oldu¤undan (a, f (a) ), (b, f (b) ) noktalar›ndan birisi x-ekseninin alt›nda iken di¤eri x-ekseninin üstündedir. Fonksiyon sürekli oldu¤undan grafi¤i kalem kald›r›lmadan çizilecektir, dolay›s›yla negatif bölgeden pozitif bölgeye veya pozitif bölgeden negatif bölgeye geçerken grafik en az bir noktada x-eksenini kesmek zorundad›r. Bu noktan›n apsisi ise f (x) = 0 denkleminin köküdür. Bu sonuç yard›m›yla baz› denklemlerin köklerini araflt›rabiliriz.

Limit Kavram›

114

ÖRNEK 24

ÇÖZÜM

3x3 - 4x2 + 2x - 1 = 0 denkleminin [0, 2] aral›¤›nda kökü var m›d›r?

f : [0, 2] Æ R , f (x) = 3x3 - 4x2 + 2x - 1 fonksiyonunu gözönüne alal›m. f polinom fonksiyon oldu¤undan bu aral›kta süreklidir. f (0) = -1 , f (2) = 11 oldu¤undan f (0) . f (2) < 0 d›r, dolay›s›yla en az bir c Œ (0, 2) için f (c) = 0 d›r. Bu nedenle denklemin bu aral›kta en az bir kökü vard›r. Yukar›daki özelliklerde, fonksiyonun tan›m kümesi kapal› aral›k de¤ilse veya fonksiyon sürekli de¤ilse, genel olarak bu özellikler do¤ru de¤ildir.

SIRA S‹ZDE 4

Afla¤›daki fonksiyonlar›n x = 3x - 1 , x < 1 1) f x = 0 , x =1 x+ 1 , x > 1

1 noktas›nda sürekli olup olmad›klar›n› araflt›r›n›z. ise ise ise

x- 1 x+ 1

2)

h x =

3)

k (x ) = x +1

4)

m (x ) = x -1 x

Niels Abel (1802 - 1829) Deha ve Yoksulluk. Abel ,1824 de derecesi beflten büyük polinom denklemler için genel bir çözüm verilemeyece¤ini kan›tlam›flt›r. Yoksul bir hayat yaflam›fl ve yakaland›¤› bir hastal›k sonucunda 27 yafl›nda ölmüfltür. Ünlü analizci Weierstrass ö¤rencilerine Abel’i okuyunuz tavsiyesinde bulunduktan sonra onun için flunlar› söylemifltir: "Me¤er Abel, ne mutlu adamm›fl ki, fikirleri sonsuza kadar yaflayacak ve onlar›n matematik bilimine çok olumlu etkileri olacakt›r." "Tarih gösteriyor ki, bütün pozitif ilimlerin ortak kayna¤› olan matematik kültürünü himaye eden hükümdarlar ayn› zamanda devirleri en parlak olanlar ve zaferleri en uzun sürenlerdir." Michel CHASLES

Kendimizi S›nayal›m

Kendimizi S›nayal›m 2 lim x - 4x de¤eri nedir? xÆ4 x - 4 a. - • b. 0 c. 1 d. 4 e. • 2. lim 2x + 3 de¤eri nedir? x Æ •x2 - 5 a. - 3 5 b. 0 c. 1 2 d. 2 e. Yoktur x x +1 lim de¤eri nedir? 3. xÆ - 1 x+ 1

1.

a. b. c. d. e.

-2 -1 1 2 Yoktur x - x 2 - x 3 de¤eri nedir? lim 4. xÆ -• 3 + x2 a. - • 1 b. 3 c. 0 d. - 1 3 e. • 5. x lim Æ•

x2 + 5 - x

lim

-• -2 0 2

•

3

b.

6

c. -2 d. 0 e. Yoktur 8. Yanda grafi¤i verilen f fonksiyonu için lim f x de¤eri nedir? xÆ2

y 3 1

a. 0 x 2 b. 1 c. 2 y = f (x) d. 3 e. Yoktur 9. f (x) = 2x2 - ax + 4 fonksiyonu x = -1 noktas›nda lim f x = 10 oldu¤una göre a kaçt›r? sürekli ve xÆ - 1

a. b. c. d. e. 10.

-4 -1 0 4 10 lim

xÆ2

x 2 - ax = 2 oldu¤una göre, a kaçt›r? 3 2x + 5

a. 2 b. 1 2 c. 0 d. - 1 2 e. -1 xÆ0

2x

x 3 - x 2 + 4x - 2 de¤eri nedir?

3

11. lim

xÆ1 x - 12

a. b. c. d. e.

3

lim

xÆ - 1

a. -2

de¤eri nedir?

a. - • b. 0 1 c. 5 d. 2 e. • 6.

7.

115

x+ 4 - 2 x

de¤eri nedir?

a. -2 b. 0 c. 1 4 d. 2 e. •

de¤eri nedir? 12.

lim

x+ 3

x Æ 0+ x 2 + 3x

a. b. c. d. e.

-1 0 1 3

•

de¤eri nedir?

116

Biraz Daha Düflünelim

Biraz Daha Düflünelim 1. 2. 3. 4.

x+2 de¤eri nedir? x+ 2

lim

x Æ -2

lim

x Æ -∞

x 2+ 4x -3 + x

de¤eri nedir?

lim

x x + 5 de¤eri nedir?

lim

x 2-4x + 3 de¤eri nedir? (x - 1)2

x Æ ∞ 3x2+ 7 xÆ1

Türev Kavram›

6

Amaçlar Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra; bir fonksiyonun, bir noktadaki de¤iflme h›z›n›n fonksiyonun, o noktadaki türevi oldu¤unu anlayacak, çeflitli tipteki fonksiyonlar›n türevlerini bulabilecek, fonksiyonun bir noktadaki de¤erini, bu noktaya yak›n uygun bir noktadaki te¤eti yard›m›yla bulacak, türev fonksiyonunun da türevlerini bulabileceksiniz.







118

Türev Kavram›

‹çindekiler • • • • •

Girifl Türev Kavram› Türev Kurallar› Te¤et Denklemi Yüksek Mertebeden Türevler

• Önce limit konusunu gözden geçiriniz. • Türev kurallar›n› çok örnek çözerek ö¤renmeye çal›fl›n›z. • Türevin iktisadi uygulamalar›n›n anlamlar›n› anlamaya çal›fl›n›z. • Çözümleri size b›rak›lm›fl sorular› mutlaka çözünüz.

Girifl Bu ünitede türev kavram›n›, türev kurallar›n› ve türevin baz› uygulamalar›n› inceleyece¤iz. ‹ncelememizde temel özellikleri örneklerle aç›klayacak, ayr›nt›l› kan›tlara girmeyece¤iz. Türev kavram›, fizikte hareketli bir cismin anl›k h›z›n›n bulunmas›yla, matematikte ise bir fonksiyonun grafi¤i olan e¤rinin bir noktadaki te¤etinin e¤iminin bulunmas› problemlerinden do¤mufltur. Bugün ise türev, matematikle beraber fizik, kimya, mühendislik ve ekonomi gibi uygulamal› bilimlerin hepsinde pek çok problemin çözümünü kolaylaflt›ran, bu nedenle büyük önem tafl›yan bir kavramd›r. Örne¤in, bir mal›n toplam maliyet fonksiyonunu biliyorsak hangi üretim miktar›nda maliyetin en düflük düzeyde olaca¤›n› veya herhangi bir üretim miktar›nda maliyetin de¤iflim h›z›n› yani maliyetin hangi h›zla artaca¤›n› veya azalaca¤›n›, benzer flekilde bir mal›n kâr fonksiyonunu bildi¤imizde hangi sat›fl miktar›nda kâr›n en yüksek olaca¤›n›, herhangi bir sat›fl miktar›nda kâr›n hangi h›zla artaca¤›n› veya azalaca¤›n› türev yard›m›yla bulabilmekteyiz. Yukar›daki örnekler ve bunlara benzer problemlerde, birbirine ba¤l› iki de¤iflken vard›r ve bu de¤iflkenlerden birisindeki bir de¤ifliklik nedeniyle, di¤erinde meydana gelen de¤iflme söz konusudur. Bu tür problemlerde, de¤iflme miktar›ndan daha çok, de¤iflmenin h›z› önem tafl›maktad›r. Örne¤in günümüzde benzin fiyat› zamanla de¤iflmektedir ancak, benzin fiyat›n›n bir ayda 100 000 lira artmas› ile bir y›lda 100 000 lira artmas› aras›nda çok büyük fark vard›r. Bu nedenle önemli olan de¤iflikli¤in hangi miktarda oldu¤u de¤il, hangi oranda oldu¤udur. Bu örnekle vurgulamaya çal›flt›¤›m›z kavram, matematik anlamda bir fonksiyonun bir noktadaki anl›k (de¤iflme) h›z›d›r. Bir fonksiyonun anl›k h›z›na geçmeden önce ortalama h›z›n› bir örnekle aç›klayal›m. x mal miktar›n› göstermek üzere bir mal›n, milyon TL cinsinden toplam maliyet fonksiyonu 2

y = C (x ) = 5000 + 100x - x 4

,

0 ≤ x ≤ 300

olsun. Bu toplam maliyet fonksiyonuna göre 100 birim ve 110 birim mal›n maliyeti, C (100) = 5000 + 100 . 100 - 2500 = 12,5 Milyar TL, C (110) = 5000 + 100 . 110 - 3025 = 12,975 Milyar TL dir.

Türev Kavram›

Bu mal›n [100, 110 ] aral›¤›nda ortalama maliyeti, C (110) - C (100) = 47,5 Milyon TL / mal birimi 10 dir. ‹flte bu de¤ere C toplam maliyet fonksiyonunun [100, 110 ] aral›¤›ndaki ortalama h›z› diyoruz. Genel olarak, bir y = f (x) fonksiyonunda x ba¤›ms›z de¤iflkeni bir x1 noktas›ndan x2 noktas›na (x1 < x2 olmak zorunda de¤ildir) de¤iflti¤inde fonksiyon de¤erlerinde meydana gelen de¤ifliklik miktar› f (x2 ) - f (x1 ) dir. Bu durumda f (x 2) - f (x 1) x2 - x1 oran›na fonksiyonun [x1 , x2 ] aral›¤›ndaki ortalama h›z› denir. Burada e¤er x2 < x1 ise [x2 , x1 ] aral›¤›ndaki ortalama h›zdan söz etmeliyiz. fiimdi de anl›k h›z› bir örnekle aç›klayal›m. Anl›k (de¤iflme) h›z›n› yukar›daki toplam maliyet fonksiyonu üzerinde aç›klayabilirdik. Bunun için, uzunlu¤u birim uzunluktan çok daha küçük aral›klar üzerindeki ortalama h›zlar›ndan söz etmemiz gerekmektedir. Bunun matematik aç›s›ndan hiçbir sak›ncas› olmamas›na karfl›l›k çok küçük kesirli miktarda mal miktarlar›ndan söz etmemiz size anlaml› gelmeyebilir. Bunun yerine kavram›, ilk ö¤renenler için daha anlafl›labilir hale getirece¤i inanc›yla, hareketli bir cismin anl›k h›z›n›n bulunmas› problemiyle aç›klamaya çal›flaca¤›z. Bu arada flunu da ifade edelim ki baz› ekonomik problemler tamamen pozitif tam say›larla ilgili olabilir. Dolay›s›yla bu problemlerle ilgili fonksiyonlar da pozitif tam say›lar kümesi üzerinde tan›ml› olur. Bu fonksiyonlar›n özellikleri incelenirken bu fonksiyonlar yerine bunlar›n gerçel say›lar kümesinin uygun bir alt kümesine geniflletilmiflleri al›narak inceleme yap›l›r. fiimdi anl›k h›z konusunu aç›klayal›m. Bir do¤ru üzerinde hareket eden bir cismin ald›¤› yol, zaman›n fonksiyonu olarak, t saniye (sn), s metre (m) olmak üzere, s = s(t) = 2 0 t + 3t 2 olsun. Bu hareketlinin bafllang›çtan (t = 0 an›ndan) itibaren ilk 2 saniyede ald›¤› yol , s(2) = 20 . 2 + 3 . 22 = 52 m, ilk 10 saniyede ald›¤› yol, s(10) = 20 . 10 + 3 . 102 = 500 m. dir. t=0

t=2

t = 10

Bu hareketlinin 2' inci saniye ile 10' ncu saniye aras›nda ald›¤› yol s(10) - s(2) = 500 - 52 = 448 m. dir. Buna göre, s yol fonksiyonunun di¤er bir deyiflle hareketlinin [2, 10 ] aral›¤›ndaki ortalama h›z›, s (10) - s (2) 500 - 52 = = 56 m/sn 10 - 2 8 dir. Ayn› cismin [2, 3 ] aral›¤›ndaki ortalama h›z›, s (3) - s (2) 87 - 52 = = 35 m/sn , 3- 2 1

119

120

Türev Kavram›

[2, 2,5 ] aral›¤›ndaki ortalama h›z› ise, s (2,5) - s (2) 68,75 - 52 = = 33,5 m/sn 2,5 - 2 0,5 dir. fiimdi bu cismin tam 2' inci saniyede radara girdi¤ini düflünelim. Acaba bu anda yani tam 2-inci saniyede cismin h›z› nedir? Bu soruya cevap vermek için

s

ortalama h›zdan yararlanal›m. s(2+h)-s(2)

Zamana t = 2 an›ndan itibaren h ile gösterdi¤imiz (küçük) bir

h

art›fl verelim ve [2, 2 + h] aral›¤›ndaki ortalama h›z› bulal›m.

2 2+h

Şekil 6.1

t=0 t=2

t = 10

s (2 + h) = 20 (2 + h) + 3 (2 + h)2 = 40 + 20 . h + 12 + 12 h + 3 h2 = 52 + 32 . h + 3 h2 s (2) = 52 m oldu¤undan s (2 + h) - s (2) 52 + 32 . h + 3 . h 2 - 52 = = 32 + 3h m/sn h (2 + h) - 2 dir. Buna göre s fonksiyonunun [2, 2 + h] aral›¤›ndaki ortalama h›z› 32 + 3 h m/sn dir. Bu h›z›n h Æ 0 için (varsa) limitini, hareketlinin t =2 an›ndaki h›z› olarak almak oldukça akla yak›n görünmektedir. ‹flte, varl›¤› halinde, bu limit de¤ere cismin t = 2 an›ndaki anl›k (de¤iflme) h›z› veya k›saca anl›k h›z› denir. Bu durumda t = 2 an›ndaki anl›k h›z, lim s (2 + h) - s (2) = lim 32 + 3 . h = 32 m/sn hÆ 0 (2 + h) - 2

hÆ 0

dir. Bu örnekte anl›k h›z olan bu limit de¤er, benzer problemlerde te¤et e¤imi, marjinal maliyet, marjinal gelir gibi anlamlar tafl›r. Bu anl›k (de¤iflme) h›zlar›n›n genel ad› türevdir. Örne¤in yukar›da buldu¤umuz 32 de¤eri s (t) = 20t + 3t 2 fonksiyonunun t = 2 noktas›ndaki türevidir. Türevin kesin tan›m›n› vermeden önce bir konuya aç›kl›k getirelim. Uygulamada karfl›lafl›lan fonksiyonlar›n tan›m kümeleri genellikle bir aral›kt›r. Baz› özel durumlarda da sonlu tane aral›¤›n ayr›k birleflimi biçimindedir. Bu nedenle, tan›m kümesi bir aral›k olan fonksiyonlar›n türevlerini inceleleyece¤iz.

Türev Kavram›

121

TÜREV KAVRAMI f : [a, b ] Æ R fonksiyonu ve mak üzere

x0 Π(a, b) verilsin.

x ≠ x0 ve x Œ [a, b ] ol-

f (x ) - f (x 0) x- x0 oran›na f fonksiyonunun [x0, x ] (veya [x, x0 ] ) aral›¤›nda ortalama h›z›, x Æ x0 için ortalama h›z›n varsa limitine de f fonksiyonunun x0 noktas›ndaki türevi denir ve f ' (x 0) ,

df (x0) dy , dx dx

x = x0

biçiminde gösterilir. Buna göre, f ' (x0) = lim

x Æ x0

f (x) - f (x0) x - x0

dir. E¤er f ' (x0) varsa, f y

y

f

x0

a

fonksiyonuna x0 noktas›nda türevlenebilir fonksi-

x

x b x Æ x0 x > x0

x

x0

x0

x

b x Æ x0 x < x0

f

y

a

x

a

Yandaki flekilde, x in x0 a yaklaflmas› durumunda e¤ri üzerindeki x ve x0 apsisli noktalardan geçen kesenlerin hareketlerini inceleyiniz. Yukar›daki limitin varl›¤› halinde bu kesenlerin belli bir do¤ruya "yaklaflt›¤›n›" görmeye çal›fl›n›z. Bu do¤ruya te¤et dedi¤imizi hat›rlay›n›z.

f

b

x

x Æ x0 Şekil 6.2

yon denir. Türev tan›m›nda x0 noktas›n› [a, b ] aral›¤›n›n bir iç noktas› alm›flt›k. [a, b ] aral›¤›n›n uç noktalar›nda türev flu flekilde tan›mlan›r. E¤er x0 = a ise x ba¤›ms›z de¤iflkeninin a ya, a dan küçük de¤erlerle (soldan) yaklaflmas› mümkün olmad›¤›ndan lim

x Æa+

f (x ) - f (a) x- a

Türev Kavram›

122

sa¤dan limiti varsa, bu limite f fonksiyonun a noktas›ndaki türevi diyece¤iz. Benzer flekilde lim

x Æ b-

f (x ) - f (b ) x- b

soldan limiti varsa, bu limit de¤ere de f fonksiyonunun b noktas›ndaki türevi diyece¤iz. f fonksiyonunun [a, b ] aral›¤›n›n her noktas›nda türevi varsa, bu durumda f fonksiyonuna [a, b ] aral›¤› üzerinde türevlenebilir fonksiyondur veya k›saca türevlenebilir fonksiyondur denir. f : R Æ R , f (x) = x 2 + 3x - 4 fonksiyonunun [2, 5] aral›¤›nda ortalama h›z›n› ve x = 2 noktas›ndaki türevini bulal›m. ÇÖZÜM

ÖRNEK 1

f (2) = 22 + 3 . 2 - 4 = 6 f (5) = 52 + 3 . 5 - 4 = 36

f

y

f (5) - f (2) 36 - 6 = = 10 5- 2 3

f (5) - f (2)

Buna göre fonksiyonun [2, 5] aral›¤›nda ortalama h›z› 10 dur. fiimdi f fonksiyonunun x = 2 noktas›ndaki türevini araflt›ral›m:

2

5

x Şekil 6.3

x 2 + 3x - 4 - 2 2 + 3 . 2 - 4 f (x ) - f (2) = lim xÆ2 xÆ2 x-2 x-2 lim

2 = lim x + 3x - 10 xÆ2 x-2

= lim

xÆ2

(x - 2) (x + 5) x-2

= lim (x + 5) = 7 xÆ2

O halde f ' (2) = 7 dir. Ba¤›ms›z de¤iflken x 0 dan x e de¤iflti¤inde; de¤iflme miktar› x - x 0 d›r. Bu de¤er genellikle ∆x (delta x) ile gösterilir. x > x 0 ise ∆x > 0, x < x 0 ise ∆x < 0 olaca¤› aç›kt›r. Her iki durumda da ∆x e x in artma miktar› denir. x - x 0 = ∆x ise x = x 0 + ∆x ve x Æ x 0 için ∆x Æ 0 olaca¤›ndan varl›¤› halinde f ' (x 0 ) türevi flu flekilde de tan›mlanabilir: f ' x0 = lim

f x 0 + ∆x - f x0

∆x Æ 0

∆x

Burada, f (x) - f (x 0 ) = f (x 0 + ∆x) - f (x 0 ) = ∆y f ' x0 = lim

∆x Æ 0

dersek,

∆y ∆x

olur. Buna göre türev, ba¤›ms›z de¤iflkene verilen bir artmaya karfl›l›k, fonksiyonun ald›¤› artman›n, de¤iflkenin ald›¤› artmaya oran›n›n, ba¤›ms›z de¤iflkene verilen

Türev Kavram›

123

artman›n s›f›ra yaklaflmas› halinde varsa limitidir. Yani türev, x ba¤›ms›z de¤iflkenine verilen ∆x artmas›na karfl›l›k fonksiyonun ald›¤› artma ∆y olmak üzere, ∆y oran›n›n ∆x Æ 0 için varsa limitidir. ∆x

ÖRNEK 2

f : R Æ R , f (x) = c sabit fonksiyonunun bir x0 Œ R noktas›nda türevini araflt›ral›m. y

c>0

c>0 c

c

x0

lim

∆x Æ 0

ÇÖZÜM

y

x

x0 + ∆x ∆x > 0

x

x0 + ∆x x0 ∆x < 0 Şekil 6.4

f x 0 + ∆x - f x 0 = lim c - c = 0 ∆x ∆x Æ 0 ∆x

oldu¤undan f ' (x0) = 0 bulunur. Burada x0 keyfi seçildi¤inden her x Œ R için f ' (x) = 0 d›r diyebiliriz. f (x) = c ise her x Œ R da türevi vard›r ve s›f›rd›r.

için f ' (x) = 0 d›r. Sabit fonksiyonun her nokta-

Sabit fonksiyonun her noktada türevi vard›r ve s›f›rd›r.

f : R Æ R , f (x) = x birim fonksiyonunun bir x0 Œ R noktas›nda varsa türevini bulal›m. ÇÖZÜM

∆y = f (x0 + ∆x) - f (x0) = (x0 + ∆x) - x0 = ∆x oldu¤undan ∆x =1, ∆x

f ' x 0 = lim

∆x Æ 0

ÖRNEK 3

f ' (x0) = 1 bulunur. Burada da x0 keyfi seçildi¤inden her x Œ R için f ' (x) = 1 dir. f (x) = x birim fonksiyonunun her noktada türevi vard›r ve 1 e eflittir.

f (x) = x birim fonksiyonunun her noktada türevi vard›r ve 1 e eflittir. f : R Æ R , f (x) = |x| fonksiyonunun x = 0 noktas›nda varsa türevini bulal›m. 0 + ∆x - 0 ∆x f (x + ∆x ) - f (0) = lim , = lim ∆x Æ 0 ∆x Æ 0 ∆x ∆x ∆x

ÇÖZÜM

lim

∆x Æ 0

burada ∆x > 0 ise |∆x| = ∆x, ∆x < 0 ise |∆x| = - ∆x oldu¤undan lim

∆x Æ 0

+

∆x = ∆x

∆x = ∆x Æ 0- ∆x lim

dir. Buna göre

lim

∆x

∆x Æ 0

lim ∆x Æ

lim

∆x Æ 0

+ ∆x

=1

-∆x = -1 0 ∆x

∆x ∆x

ÖRNEK 4

y

y = |x| x Şekil 6.5

limiti yoktur. Dolay›s›yla f (x) = |x| fonksiyonunun x = 0 noktas›nda türevi yoktur.

Türev Kavram›

124

f : R Æ R, f (x) = |x| fonksiyonunun x = -2 noktas›ndaki türevinin -1, x = 3 noktas›ndaki türevinin 1 oldu¤unu gösteriniz. f (x) = |x| fonksiyonunun sadece x = 0 noktas›nda türevi yoktur. Bunun d›fl›nda her noktada türevi vard›r. Fonksiyonun grafi¤ine dikkat ederseniz (0, 0) noktas› bir "köfle" noktad›r. Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olmas›yla bu noktadaki süreklili¤i aras›nda yak›n bir iliflki vard›r. f : [a, b ] Æ R fonksiyonunun bir x 0 Œ [a, b ] noktas›nda türevi varsa, f fonksiyonu x 0 noktas›nda süreklidir. Ancak bunun karfl›t› her zaman do¤ru de¤ildir. Bir fonksiyon bir noktada sürekli oldu¤u halde bu noktada türevi olmayabilir. Örne¤in f (x) = |x| fonksiyonu x = 0 noktas›nda süreklidir. Yukar›da gördü¤ümüz gibi bu noktada türevi yoktur. Afla¤›daki grafiklerde verilen x 0 noktalar›nda fonksiyonlar›n türevleri yoktur. Bu noktalarda baz› fonksiyonlar›n sürekli olmad›¤›na, baz›lar›nda da grafi¤in çeflitli biçimlerde "uç" veya "köfle" oluflturdu¤una dikkat ediniz. y

y y

x

x0

x

x0

y

x

x0

y y

x0

x

x

x0

x0

x

Şekil 6.6

Bir fonksiyon bir noktada sürekli de¤ilse, bu noktada türevi yoktur.

y

x0

x Şekil 6.7

Türev Kurallar›

f : [0, •) Æ R , f (x ) = x ni bulal›m.

125

ÖRNEK 5

fonksiyonunun x = 0 noktas›nda varsa türevi-

ÇÖZÜM

f (0 + ∆x ) - f (0) ∆x - 0 = lim ∆x Æ 0 ∆x Æ 0 ∆x ∆x lim

= lim

∆x Æ 0

1 =• ∆x

burada ∆x > 0 oldu¤undan limit • olur. Bu limit sonlu bir de¤er olmad›-

y

¤›ndan x = 0 da türev yoktur. Bununla beraber bu limitin • olmas› bu noktada, yandaki grafikte görüldü¤ü gibi, düfley bir te¤etin varl›¤›n› ifade eder.

x Şekil 6.8

1. f :

R Æ R, f (x) = -2x + 3 fonksiyonunun bir x 0 Œ R noktas›ndaki türevini

bulunuz. 2. f : R Æ R, f (x) = x 2 + 4 fonksiyonunun x = 0 revini bulunuz.

ve x = -1 noktalar›nda tü-

TÜREV KURALLARI Yukar›daki örneklerden k›smen de olsa gördü¤ümüz gibi bir fonksiyonun türevini, türevin tan›m›n› kullanarak hesaplamak bazen uzun ve yorucu ifllemler gerektirebilir. Bu konuda türev kurallar› diyebilece¤imiz baz› özellikler, bize yard›mc› olmaktad›r. f : [a, b ] Æ R, g : [a, b ] Æ R fonksiyonlar›n›n bir x0 Œ [a, b ] noktas›nda türevleri olsun. Bu durumda, Kural 1: f + g : [a, b ] Æ R, (f + g) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonunun x0 noktas›nda türevi vard›r ve ( f + g)' (x0) = f ' (x0) + g' (x0) d›r. Türevlenebilir iki fonksiyonun toplam›n›n türevi, fonksiyonlar›n türevlerinin toplam›na eflittir.

SIRA S‹ZDE 1

Türev Kurallar›

126

ÖRNEK 6 ÇÖZÜM

h : R Æ R , h (x) = x + 10 fonksiyonunun bir x Œ R noktas›nda türevini bulal›m. h : R Æ R, h (x) = x + 10 fonksiyonunu f : R Æ R, f (x) = x birim fonksiyonu ile g : R Æ R, g (x) = 10 sabit fonksiyonunun toplam› olarak düflünebiliriz. Birim fonksiyonun ve sabit fonksiyonun her noktada türevi oldu¤undan h fonksiyonunun her noktada türevi vard›r. h (x) = f (x) + g (x)

oldu¤undan

f ' (x 0 ) = (x)' = 1, g' (x 0 ) = (10)' = 0 h' (x 0 ) = 1 + 0 = 1

h' (x 0 ) = f ' (x 0 ) + g' (x 0 )

d›r.

oldu¤undan

dir.

O halde f (x) = x + 10 ise her x Œ R için f ' (x) = 1 dir. Kural 2: f . g : [a, b ] Æ R , (f . g) (x) = f (x ) . g (x) tas›nda türevi vard›r ve

Dikkat ederseniz, çarp›m›n türevi türevler çarp›m›na eflit de¤ildir.

( f . g)' (x0) = f ' (x0) . g (x0) + g' (x0) . f (x0) d›r. h : R Æ R , h (x) = x 2 ni bulal›m.

ÇÖZÜM

ÖRNEK 7

fonksiyonunun x 0 nok-

fonksiyonunun bir x Œ R noktas›nda türevi-

h : R Æ R, f (x) = x 2 fonksiyonu f (x) = x olmak üzere, h (x) = f (x) . f (x) biçiminde düflünülebilir. Buna göre, h' (x0) = f ' (x0) . f (x0) + f (x0) . f ' (x0) d›r. f ' (x0) = 1 oldu¤undan h' (x0) =1 . x0 + x0 . 1 = 2x0 d›r. x 0 keyfi oldu¤undan f (x) = x 2 ise her x Œ R için f ' (x) = 2x tir diyebiliriz. Kural 2 de, özel olarak g (x) = c sabit fonksiyonu al›n›rsa, sabit fonksiyonun türevi s›f›r oldu¤undan (c f )' (x0) = c f ' (x0)

Bir fonksiyonun bir sabit ile çarp›m›n›n türevi, fonksiyonun türevinin bu sabit ile çarp›m›na eflittir.

olur. Yani bir fonksiyonun bir sabit ile çarp›m›n›n türevi, fonksiyonun türevinin bu sabit ile çarp›m›na eflittir. f (x) = 8x + 13 fonksiyonunun türevini türev kurallar› yard›m›yla kolayca bulabiliriz. f (x) = 8x + 13 ise her x Œ R için f ' (x) = (8x)' + (13)' = 8 . (x)' + 0 = 8.1=8 Bu durumda y = f (x) = 8x + 13 dersek

dy = 8 veya dx

y' = 8 yaz›l›r.

Türev Kurallar›

127

ÖRNEK 8

f : R Æ R , f (x) = 3x 2 + 6x - 7 fonksiyonunun bir x Œ R noktas›nda türevini bulal›m. ise

f ' (x) = (3x 2 )' + (6x)' + (-7)' = 3(x 2 )' + 6(x)' + 0 = 3 . 2x + 6 . 1 = 6x + 6 y = 3x 2 + 6x - 7 dersek

dy = 6x + 6 veya dx

ÇÖZÜM

f (x) = 3x 2 + 6x - 7

y ' = 6x + 6 veya

f ' (x) = 6x + 6 yaz›l›r.

Afla¤›daki fonksiyonlar›n türevlerini bulunuz. 1. f (x ) = - 4x + 2

2.

g (x ) = x 2 + 3x - 1

3. k (x ) = 3 x - 1

4.

l (x ) = x - x 2 5

2

Kural 3: c 1 , c 2 ΠR ,

SIRA S‹ZDE 2

olmak üzere

c 1 f + c 2 g : [a, b ] Æ R , (c 1 f + c 2 g) (x) = c 1 f (x) + c 2 g (x) fonksiyonunun x0 noktas›nda türevi vard›r ve (c 1 f + c 2 g)' (x0 ) = c1 f ' (x0 ) + c 2 g' (x0 ) d›r. Burada özel olarak c 0 = 1, c 0 = - 1 al›n›rsa

Fark›n türevi türevler fark›na eflittir.

( f - g)' (x0 ) = f ' (x0 ) - g' (x0 ) sonucu elde edilir. Kural 4: Her x Œ [a, b ] için g (x) ≠ 0 olmak üzere, f g : a, b

Æ R,

f g

x =

f (x ) g (x )

fonksiyonunun x0 noktas›nda türevi vard›r ve f ' x0 g x 0 - g ' x 0 f x 0 f ' g x0 = g 2 x0 d›r. Özel olarak f (x) = 1 sabit fonksiyonu olursa, 1 ' x = - g ' x0 0 g g 2 x0 sonucu elde edilir.

Bölümün türevi türevler bölümüne eflit de¤ildir.

Türev Kurallar›

128

ÖRNEK 9

f : R Æ R , f (x ) = 2x2 + 1 x +3

ÇÖZÜM

fonksiyonunun x Œ R noktas›nda türevini bulal›m. f ' (x) =

=

2x + 1 ' x 2 + 3 - x 2 + 3 ' 2x + 1 x2 + 3

2

2 . x 2 + 3 - 2x 2x + 1 x2 + 3

2

2 2 = 2x + 6 - 4x - 2x 2 x2+3

2 = -2x - 2x + 6 2 x2 + 3

y = 2x + 1 x2 + 3

dersek,

dy -2x 2 - 2x + 6 = 2 dx x2 + 3

olur. Kural 5: f : (0, •) Æ R, f (x) = x r , r Œ R fonksiyonunun bir x Œ (0, •) noktas›ndaki türevi f ' (x) = r x r -1 dir. f (x) = x r

ÖRNEK 10

ise

f ' (x) = rx r -1, x > 0,

ÇÖZÜM

f : (0, •) Æ R , f (x ) =

3

x

ise f ' (x) = ?

f ' x = x 1/3 ' = 1 x 1/3-1 = 1 x -2/3 = 1 1 3 3 3 x 2/3 1

= 3

3

x2

rŒR

Türev Kurallar›

2 f (x ) = 3x + 5 2x + 7

ÖRNEK 11

ise f ' (-1) = ? türevini bulup daha sonra x yerine

6x 2x + 7 - 2 . 3x 2 + 5

ÇÖZÜM

f ' (-1) say›s›n› bulmak için önce f ' (x) -1 yazmak yeterlidir. f ' (x ) =

129

2x + 7 2

2 2 2 = 12x + 42x - 6x - 10 = 6x + 42x - 10 , 2 2x + 7 2x + 7 2

f ' (-1) =

6 -1

2

+ 42 . (-1) - 10

2 (-1) + 7

2

= 6 - 422 - 10 = - 46 25 5

ÖRNEK 12

f (x ) = x (3x - 1) ise f ' (x) = ? f ' (x ) = x ' 3x - 1 + 3x - 1 ' x = x 1/2 ' 3x - 1 + 3 . x = 1 x -1/2 3x - 1 + 3 x 2 = 3 x 1/2 - 1 . x -1/2 + 3 x = 3 + 3 x - 1 . 1 = 9 x - 1 2 2 x 2 2 2 2 x II. YOL f (x ) = x

3x - 1 = 3 x x - x = 3x 3/2 - x 1/2

yazabiliriz. Buna göre, f ' (x ) = 9 x 1/2 - 1 x -1/2 2 2 =9 x -1. 1 2 2 x bulunur. fiimdi ünite giriflinde ele ald›¤›m›z 2

C (x ) = 5000 + 100x - x , 4

0 ≤ x ≤ 300

toplam maliyet fonksiyonunun, çeflitli noktalardaki anl›k h›zlar›n›, di¤er bir deyiflle, türevlerini bulal›m. C ' (x ) = 100 - 2x = 100 - x 2 4 dir.

ÇÖZÜM

I. YOL

Türev Kurallar›

130

C ' (100) = 100 - 100 = 50 Milyon TL/Mal birimi, 2 C ' (250) = 100 - 250 = -25 Milyon TL/Mal birimi 2 Dikkat ederseniz C ' (100) pozitif de¤er iken C ' (250) negatif bir de¤erdir. Bunun anlam›, 100 birimlik üretim miktar› civar›nda maliyet yaklafl›k 50 Milyon TL/Mal Birimi h›zla artarken, 250 birimlik üretim mik-

M 15000 14375 12500

tar› civar›nda maliyet yaklafl›k 25 Milyon TL/Mal Birimi h›zla azalacak demektir. Bu durumu fonksiyonun grafi¤inden de görmek mümkündür.

100

200 250 300 Şekil 6.9

ÖRNEK 13

ÇÖZÜM

Bir firma x milyar TL reklam harcamas› yapt›¤›nda N (x) = -2,8x 3 + 165x 2 - 580x + 1900, 0 ≤ x ≤ 40 birim mal sataca¤›n› hesaplam›flt›r. Buna göre, x = 10 (milyar TL) noktas›nda sat›lacak mal miktar›n›n anl›k de¤iflme h›z›n› bulal›m. x = 10 noktas›ndaki anl›k h›z N ' (10) oldu¤undan N ' (10) say›s›n› bulmam›z gerekmektedir. Bunun için önce N ' (x) i bulal›m.

N ' (x) = - 8,4x 2 + 330x - 580 N ' (10) = - 8,4 . 100 + 330 . 10 - 580 = - 840 + 3300 - 580 = 1880 Buna göre, 10 milyar TL reklam harcamas› yap›ld›¤›nda sat›lacak mal miktar›n›n art›fl h›z› 1880 dir.

9 10 11

x Şekil 6.10

Türev Kurallar›

131

Kural 6: f : [a, b ] Æ R , g : [c, d ] Æ R fonksiyonlar› verilsin ve f ( [a, b ] ) à [c, d ] olsun. f fonksiyonunun x 0 Œ [a, b ] noktas›nda, g fonksiyonunun y0 = f (x 0 ) Œ [c, d ] noktas›nda türevi varsa, bu durumda gof : [a, b ] Æ R, (gof ) (x) = g ( f (x) ) bileflke fonksiyonunun x 0 noktas›nda türevi vard›r ve (gof )' (x0) = g ' (f (x 0 ) ) . f ' (x 0 ) dir. ‹fllem kolayl›¤› bak›m›ndan gof bileflke fonksiyonunda y = (gof ) (x) = g (f (x) ) = g (u) ,

u = f (x)

dersek yukar›daki kural k›saca dy dy du = . dx du dx fleklinde ifade edilebilir. Buna zincir kural› denir.

ÖRNEK 14

h : R Æ R, h (x) = (2x 2 - x + 1)3 fonksiyonunun x0 = 1 noktas›ndaki türevini bulal›m.

u = f (x) = 2x 2 - x + 1

ve

g (u) = u 3

fonksiyonlar›n›n bileflkesi olarak düflünebiliriz. Buna göre, y = h (x) = (gof ) (x) = g (f (x)) = g (u) = u 3 , u = 2x 2 - x + 1 olur. h' (x ) =

dy du . = 3u 2 . (4x - 1) = 3 2x 2 - x + 1 2 4x - 1 du dx

olur. Buradan h' (1) = 3 (2 . 12 - 1 +1)2 (4 . 1 - 1) = 3 . 4 . 3 = 36 bulunur. Zincir kural› yard›m›yla flu sonucu ifade edebiliriz. f : [a, b ] Æ R+ türevi olan bir fonksiyon olmak üzere, h : [a, b ] Æ R ,

h (x) = [ f (x) ] r ,

fonksiyonunun türevi h' (x) = r [ f (x)](r -1) . f ' (x) dir.

rŒR

ÇÖZÜM

h fonksiyonunu, R de tan›ml›

Türev Kurallar›

132

h (x) = [ f (x) ] r fi h' (x) = r [ f (x) ] r-1 . f ' (x) dir.

ÖRNEK 15 ÇÖZÜM

f : R Æ R , f (x ) = 4x 4 - 8x 2 + 8 fonksiyonu verilsin. f ' (-1) = ? f (x) = (4x 4 - 8x 2 + 8)1/2 yaz›labilir. Yukar›da verdi¤imiz kurala göre, f ' (x ) = 1 4x 4 - 8x 2 + 8 2

-1/2

16x 3 - 16x

f ' (-1) = 1 4 - 8 + 8 -1/2 -16 + 16 = 0 2 bulunur. fiimdi buraya kadar verdi¤imiz türev kurallar›n› toplu halde görelim. f (x) = c , c Œ R ise f ' (x) = 0 ( f + g)' (x) = f ' (x) + g ' (x) ( f - g)' (x) = f ' (x) - g ' (x) ( f . g)' (x) = f ' (x) . g (x) + g ' (x) . f (x) ( cf )' (x) = c f ' (x) , c Œ R f ' f (x) ' f ' (x) g (x) - g ' (x) . f (x) (x) = = g g (x) g2 (x) 1 ' (x) = 1 ' (x) = - g ' (x) g g g2 (x) f g (x) ' = f '

( fog)' (x) =

g (x) . g ' (x)

xr ' = r xr - 1 , x > 0 , r ΠR f (x) , f (x) > 0 f (x) ' = ' 2 f (x) n

f ' (x)

f (x) ' =

n

n

f (x)

r

f (x)

' = r f (x)

, n çift ise f (x) > 0 n-1

r-1.

f ' (x) , f (x) > 0 , r ΠR

Türev Kurallar›

f (x ) =

3x x-2

ÖRNEK 16

ise f ' (6) = ? x - 2 ' 3x

( 3x )' x - 2 x-2

2

=

1 . 3x 2 x- 2 x-2

=

6 (x - 2) - 3x = 3x - 12 2 . (x - 2) x - 2 2 . (x - 2) x - 2

ÇÖZÜM

f '(x) =

133

3 x- 2 -

f ' (6) =

f (x ) =

3 . 6 - 12 6 = =3 2 . . 2 8 4 2 . (6 - 2) 6 - 2

x x+ 1

3

x x+ 1

2

=3

x x+ 1

2

f (x ) =

x ' x+ 1 .

1 . (x + 1) - 1 . x (x + 1)2

ÇÖZÜM

f ' (x ) = 3

=

ÖRNEK 17

ise f ' (x) = ?

3x 2 (x + 1)4

3x - 1 2x + 5

ÖRNEK 18

ise f ' (x) = ? 3 (2x + 5) - 2 (3x - 1) (2x + 5)2 2

3x - 1 2x + 5

17 2 17 = (2x + 5) = 3x - 1 2 (2x + 5)3/2 3x - 1 2 2x + 5 f : [a, b ] Æ [c, d ] fonksiyonu bire-bir, örten ve sürekli olsun. x 0 Œ [a, b ] noktas›nda f fonksiyonunun türevi var ve f ' (x 0 ) ≠ 0 olsun. Bu durumda f -1 : [c, d ] Æ [a, b ]

ÇÖZÜM

3x - 1 ' f ' (x ) = 2x + 5 = 3x - 1 2 2x + 5

134

Türev Kurallar›

ters fonksiyonunun y 0 = f (x 0 ) Œ [c, d ] noktas›nda türevi vard›r ve

' f -1 ( y0) =

1 = f ' (x0) f '

1 f

-1

(y0)

d›r. Örne¤in f : (0, •) Æ (0, •) , f (x) = x 2 fonksiyonunun bir x 0 Œ (0, •) noktas›nda türevi vard›r ve f ' (x 0 ) = 2x 0 ≠ 0 d›r. Bu durumda, f -1 : (0, •) Æ (0, •) , f -1 (y ) = y 2

y 0 = f (x 0 ) = x 0 noktas›nda türevi vard›r ve

fonksiyonunun f -1 ' (y0) = =

1 = 1 2x 0 ) ( f ' x0 1 2 y0

d›r. Bu sonucu f -1 (y) = y

SIRA S‹ZDE 3

1- x 1. f (x ) = 1+ x

ise f ' (4) = ?

4

3. f (x ) = (3 - 2x )

5.

f (x ) =

7.

f (x ) =

9.

4

fonksiyonunun türevini alarak da bulabiliriz.

ise f ' (1) = ?

x 3 + 2x + 19

2x x +4 2

k (x ) = x x + 1

ise

ise

ise f ' (-1) = ?

f ' (x ) = ?

k' (x ) = ?

3 2 -3 -2 11. m (x ) = (x - x - 2) (x + x + 2)

ise m ' (x ) = ?

3

x + x1 ise f ' (-1) = ?

2.

f (x ) =

4.

f (x ) =

6.

f (x ) =

8.

g (x ) = x - 1 x 2/3

3

x 2 + 1 ise f ' (x ) = ?

1 1- x

ise f ' (-3) = ?

ise g' (8) = ?

4 7/4 - 5 x -3/5 10. h (x ) = x 7 3 ise h ' 1 = ?

Te¤et Denklemi

TE⁄ET DENKLEM‹ Baz› problemlerde karfl›m›za ç›kan fonksiyonlar›n ifadeleri oldukça karmafl›k olabilir. Bunun sonucu olarak böyle fonksiyonlarla çal›flmak da zorlafl›r. Bu zorlu¤u aflman›n yollar›ndan birisi bu karmafl›k fonksiyon yerine, kabul edilebilir bir hatayla fonksiyona yak›n de¤erler alan bir polinom fonksiyon almakt›r. Böyle bir polinom fonksiyonun varl›¤› ve varl›¤› halinde flekli ile ilgili sorunun genel anlamda cevab› bu kitab›n amac› d›fl›ndad›r. Biz bir özel durumu burada ele alaca¤›z. Bu özel durum, fonksiyonun x 1 gibi bir noktadaki de¤eri olarak, x 1 e yeteri kadar yak›n, uygun bir x 0 noktas›nda e¤rinin te¤et do¤rusu üzerinde x 1 apsisli noktan›n ordinat›n›n al›nmas›d›r. y y = mx + n

x0

x

x1

Şekil 6.11

Biraz sonra görece¤imiz gibi, te¤etin denklemi, birinci dereceden polinom fonksiyon (do¤rusal fonksiyon) oldu¤undan, aranan de¤erin daha kolay bulunaca¤› aç›kt›r. Örne¤in 40 say›s› y = x fonksiyonunun x1 = 40 noktas›ndaki de¤eri demektir. y = x e¤risinin x0 = 36 apsisli noktas›ndaki te¤etinin denklemi (bu denklemi daha sonra bulaca¤›z) y y = 1 x+ 3 12 19/3 40

y= x

36

40

x

Şekil 6.12

y = 1 x + 3 dür. ‹flte 40 say›s›n›n bir yaklafl›k de¤eri olarak 12 y = 1 40 + 3 = 19 = 6,333... 12 3 alabiliriz. 40 @ 6,333...

135

136

Te¤et Denklemi

Bu aç›klama ve örne¤e göre te¤et denklemi oldukça yararl› görünmektedir. Ancak önce te¤et nedir sorusuna cevap vermemiz gerekmektedir. Te¤et deyince ço¤umuz çemberin te¤etini hat›rlar ve e¤riyi yaln›z bir noktada kesen do¤ru olarak düflünürüz. Ancak bu düflünce her zaman do¤ru de¤ildir. Örne¤in; y - ekseni (x = 0 do¤rusu) y = x 2 parabolünü tek noktada kesmesine karfl›l›k, parabolün te¤eti de¤ildir.

T=

x0

( x0

,f

y

y = x2

x Şekil 6.13

)) (x 0

•

P = ( x , f (x) )

x Şekil 6.14

Te¤eti flu flekilde tan›mlayabiliriz. fiekil 6.14'te görüldü¤ü gibi y = f (x) fonksiyonunun grafi¤i olan e¤riyi ve bu e¤ri üzerinde sabit bir T = (x 0 , f (x 0 )) noktas›n› ve bu e¤ri üzerinde T den farkl› P = (x, f (x )) noktas›n› alal›m. Bu durumda TP keseninin e¤imi m TP =

f (x ) - f (x 0) x - x0

olur. P noktas› e¤ri üzerinde T noktas›na yaklafl›rken (di¤er bir deyiflle x Æ x 0 , için) PT kesenleri belli bir limit konumuna yaklaflabilir, e¤er mTP e¤imlerinin x Æ x 0 için limiti varsa, yani lim

x Æ x0

f (x ) - f (x 0) x - x0

limiti varsa, PT kesenleri belirli bir limit konuma yaklafl›r. Bildi¤iniz gibi bu limit f fonksiyonunun x 0 noktas›ndaki türevidir. ‹flte bu limit yani f ' (x 0 ) türevi varsa, f fonksiyonunun x 0 noktas›nda te¤eti vard›r diyece¤iz. Buna göre te¤eti flöyle tan›mlayabiliriz. (x0 , f (x0)) noktas›ndan geçen ve e¤imi f ' (x0) a eflit olan do¤ruya, f fonksiyonunun (x0 , f (x0)) noktas›ndaki te¤eti denir.

Te¤et Denklemi

137

(x 0 , y 0) noktas›ndan geçen ve e¤imi m olan do¤runun denklemi y - y 0 = m (x - x 0 ) idi. Te¤et için bu denklem de y 0 = f (x 0 ) , m = f ' (x0) oldu¤undan te¤etin denklemi, y - f (x0 ) = f ' (x0 ) (x - x0) olur. Örne¤in, f : (0, •) Æ R , f (x ) = x fonksiyonunun grafi¤inin, x 0 = 36 apsisli noktas›ndaki te¤etinin denklemini bulal›m. "Bu te¤etin yukar›da sözünü etti¤imiz te¤et oldu¤una dikkat ediniz". f (x 0) = f (36) = 36 = 6 , f ' (x ) = 1 oldu¤undan 2 x f ' (36) =

1 = 1 dir. Buna göre, 2 36 12

y - 6 = 1 (x - 36) 12 y = 1 x- 3 + 6 12 y = 1 x+ 3 12 bulunur. 1. y =

4 - x 2 e¤risinin x = 3 apsisli noktas›ndaki te¤etinin denklemini

bulunuz. 1 1 apsisli noktas›ndaki te¤etinin denklemini bulunuz. 2. y = x e¤risinin x = 2

Bir ekonomist için belirli bir miktar mal üretildi¤inde bu mal›n toplam maliyetini bilmek kadar; herhangi bir üretim miktar›nda maliyetin de¤iflim h›z›n› bilmek de önemlidir. Örne¤in bir mal›n toplam maliyet fonksiyonu, x mal miktar›, C (x ) Milyon TL olmak üzere C (x ) = 0,2x + 10 x + 1000 , 0 ≤ x ≤ 100 olsun. Bu maldan 16 birim mal üretildikten sonraki 17-inci mal›n maliyeti, C (17) - C (16) = 0,2 . 17 + 10 17 + 1000 - (0,2 . 16 + 10 16 + 1000) @ 0,2 + 10 . 4,123 - 4 . 10 @ 1,43 Milyon TL dir. Buna karfl›l›k, 49 birim mal üretildikten sonraki 50-nci mal›n maliyeti

SIRA S‹ZDE 4

Te¤et Denklemi

138

C (50) - C (49) = 0,2 . 50 + 10 50 + 1000 - (0,2 . 49 + 10 49 + 1000) @ 0,2 + 10 . 7,07 - 10 . 7 @ 0,9 Milyon TL dir. Gördü¤ünüz gibi maliyetin 16 noktas›ndaki ortalama art›fl h›z›yla 49 noktas›ndaki ortalama art›fl h›z› birbirinden farkl›d›r. Do¤al olarak, bu noktalardaki anl›k h›zlar›n da farkl› olmas› beklenir. ‹flte toplam maliyet fonksiyonunun bir x0 noktas›ndaki anl›k (de¤iflim) h›z›na, di¤er bir deyiflle x0 noktas›ndaki türevine, bu mal›n x0 noktas›ndaki marjinal maliyeti denir. Marjinal maliyet, x0 apsisli noktadaki te¤etin e¤imi oldu¤undan (x0 + 1) inci mal›n yaklafl›k maliyetini ifade eder. Bu durumu afla¤›daki flekilden aç›kça görebiliriz. y E P I

A x0

D Q

y = C(x)

B x0 + 1

x Şekil 6.15

Yukar›daki flekle göre, PA = QB = C (x 0 ) , (x 0 birim mal›n maliyeti) DB = C (x 0 + 1) , (x 0 + 1 birim mal›n maliyeti) DQ = DB - QB = C (x 0 + 1) - C ( x 0 ) , (( x 0 + 1) - inci mal›n maliyeti) QP = (x 0 + 1) - x 0 = 1 EQ = C ' (x 0 ) , (x 0 noktas›ndaki marjinal maliyet) C ' (x 0 ) = EQ @ DQ = C (x 0 + 1) - C (x 0 )

ÖRNEK 19

ÇÖZÜM

C (x ) = 0,2x + 10 x + 1000 , 0 ≤ x ≤ 100 toplam maliyet fonksiyonunun x = 16 ve x = 49 noktalar›nda marjinal maliyetini bulal›m. Marjinal maliyet, toplam maliyet fonksiyonunun türevi oldu¤undan C ' (16) ve C ' (49) de¤erlerini bulmam›z gerekiyor. C ' (x ) = 0,2 + 10 = 0,2 + 5 x 2 x C ' (16) = 0,2 + 5 = 0,2 + 5 = 1,45 4 16 C ' (49) = 0,2 + 5 = 0,2 + 5 = 0,91 7 49

Yüksek Mertebeden Türevler

139

Gördü¤ünüz gibi C ' (16) de¤eri yukar›da buldu¤unuz 17 -inci mal›n maliyetine, C ' (49) de¤eri de 50 'inci mal›n maliyetine yak›n bir de¤erdir. Bu nedenle C ' (16) @ 17 ' inci mal›n maliyeti C ' (49) @ 50 ' inci mal›n maliyeti diyebiliriz. Bir mal›n gelir fonksiyonunun bir noktadaki türevine, bu mal›n bu noktadaki marjinal geliri denir. Bir x 0 noktas›ndaki marjinal gelir de (x 0 + 1) -inci mal›n sat›fl›ndan elde edilen gelirin bir yaklafl›k de¤erini ifade eder.

ÖRNEK 20

Bir mal›n gelir fonksiyonu x mal miktar›, R (x) Milyon TL olmak üzere 2 , 0 ≤ x ≤ 5000 R (x ) = 13x - x 800

dir. Bu mal›n x = 1000 noktas›ndaki marjinal gelirini bulal›m. ÇÖZÜM

R ' (x ) = 13 - x 400 R ' (1000) = 13 - 1000 = 10,5 400 dir.

YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER f : [a, b ] Æ R fonksiyonu [a, b ] üzerinde türevlenebilirse, [a, b ] aral›¤› üzerinde tan›mlanan ve her x Œ [a, b ] say›s›n› f fonksiyonunun x noktas›ndaki türevine gönderen fonksiyona f nin türev fonksiyonu denir ve f ' ile gösterilir. Buna göre, f ' : [a, b ] Æ R , x Æ f ' (x) dir. E¤er f ' fonksiyonunun bir x 0 Œ [a, b ] noktas›nda türevi varsa, bu türeve f fonksiyonunun x 0 noktas›nda ikinci mertebeden türevi denir ve f '' (x 0 )

,

d 2y dx

2

, x = x0

d 2 f (x 0) dx 2

biçiminde gösterilir. f fonksiyonunun her x Œ [a, b ] noktas›nda ikinci mertebeden türevi varsa, f " : [a , b ] Æ R , x Æ f " (x ) fonksiyonuna f nin ikinci mertebeden türev fonksiyonu denir. f " fonksiyonunun bir x 0 Œ [a, b ] noktas›ndaki türevine f fonksiyonunun x 0 noktas›ndaki üçüncü mertebeden türevi denir ve

Yüksek Mertebeden Türevler

140

f ''' (x 0 )

d 3 f (x 0)

,

d 3y

,

dx 3

dx

3

x = x0

biçiminde gösterilir. Bu flekilde devam ederek n Œ N olmak üzere f fonksiyonunun n -inci mertebeden türevi tan›mlanabilir. f fonksiyonunun bir x 0 noktas›ndaki n -inci mertebeden türevi n

f

x0

d n f (x 0) dx n

,

d ny dx n x = x0

,

biçiminde gösterilir.

ÖRNEK 21 ÇÖZÜM

f : R Æ R , f (x ) = 1 x 4 - 5x 3 + 6x - 4 ise f v› (x) = ? 2

ÖRNEK 22

f ' (x) = 2x 3 - 15x 2 + 6

f

f '' (x) = 6x 2 - 30x

f v (x) = 0

f ''' (x) = 12x - 30

f

ÇÖZÜM

1 f : R \ {0} Æ R , f (x ) = x f (x ) = 1 = x -1 x

›v

v›

(x) = 12 (x) = 0

ise f ›v (x) = ?

oldu¤undan

f ' (x ) = - x -2 = - 1 x2 f '' (x ) = 2x -3 = 23 x f ''' (x ) = -6x -4 = -6 x4 f

›v (x )

= 24x -5 = 245 x

olur.

SIRA S‹ZDE 5

1. f (x ) = x

ise

f ''' (x ) = ?

2. g (x ) = x 4 - 5x + 6 3. h (x ) =

3

x

ise

g (6)(x ) = ?

ise h''' (8) = ?

2x + 1 ise k (1) = ? 4. k (x ) = '' x+ 2

Kendimizi S›nayal›m

Kendimizi S›nayal›m 1. f (x) = x 2 - 3x fonksiyonun [-1, 3] aral›¤›ndaki ortalama h›z› nedir? a. -1 b. 0 c. 1 2 d. 1 e. 2 2. f (x ) = x

d.

621 4

a. b. c. d. e.

a. 1 5

1- x

3

d. 5 2 ise f ' (4)

de¤eri kaçt›r?

e. 5 7. f (x ) = x a. 11 192

4 3

ise f ' (64) de¤eri kaçt›r?

x

b. 13 192 c. 7 48

e. 162 3. f (x ) =

3x 2 - 7x + 1 ise f ' (2) de¤eri kaçt›r?

c. 1

b. - 27 4 27 4

5

b. 2 5

a. - 243 4

c.

6. f (x ) =

141

x 1-x

2

ise

f '' (2) de¤eri kaçt›r?

-4 -2 2 4 10

x 2 + 3x - 6 4. f (x ) = ise f ' (x) fonksiyonu afla¤›dakix lerden hangisidir? a. 3 x - 3 - 6 2 2 x b. 3 x - 3 - 6 2 2 x x x 2 c. 3x + 3x + 6 2x x

d. 2x + 3 2 x e. 2x + 3 x

d. 7 16 e. 7 12 8. f (x ) =

3

x

e¤risinin x = 8 noktas›ndaki te¤etinin

denklemi afla¤›dakilerden hangisidir? a. 12y - x = 16 b. y - 12x = 16 c. 3x - 4y = 16 d. 3y - x = -2 e. 12y - x = 94 9. f (x ) = 1 ise f ''' (2) türev de¤eri kaçt›r? 1-x a. b. c. d. e.

-6 -2 2 4 6

10. x mal miktar› olmak üzere, bir mal›n milyon TL cinsinden toplam maliyet fonksiyonu,

5. f (x) = (2x - 1)6 (5x - 7) fonksiyonu için f ' (0) de¤eri kaçt›r?

C (x ) = 25x + 240 x + 5000

a. 89

dir. Buna göre 37. mal›n yaklafl›k maliyeti kaç milyon

b. 60

TL'dir? a. b. c. d. e.

c. 47 d. -47 e. -60

43 45 5000 7340 7384

142

Biraz Daha Düflünelim

11. x mal miktar› olmak üzere, bir mal›n milyon TL cinsinden gelir fonksiyonu, 2 R (x ) = 18x - x 1000

verilsin. Buna göre, x = 2500 noktas›nda marjinal gelir kaçt›r? a. 13 b. 12 c. 11 d. 10 e. 5

Biraz Daha Düflünelim 1. f (x ) = x x + 6 3x - 1 2. g (x ) =

4

ise

3x 2 - 7x - 4

3. h ( x ) = x + x

ise

f ' (1) de¤eri kaçt›r?

ise

g ' (4) de¤eri kaçt›r?

h' (2) de¤eri kaçt›r?

Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646 - 1716) Diferansiyel ve integral hesab›n kurucular›ndan biri olan ünlü matematikçi, ayn› zamanda hukuk, siyaset, tarih, mant›k gibi bir çok alanda düflünce üreten evrensel deha. "Bende o kadar fikir var ki, flayet benden daha iyi görmesini bilenler bir gün onlar› derinlefltirecek ve benim zihin eme¤ime kendi kafalar›n›n güzelli¤ini katacak olurlarsa, sonralar› belki bir ifle yarayabilir." G. LEIBNIZ "Do¤an›n bütün olaylar› birkaç de¤iflmeyen kanunun matematik sonuçlar›d›r." P. S. LAPLACE

7

Türev Uygulamalar›

Amaçlar Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra; fonksiyonlar›n artan ve azalan oldu¤u aral›klar› bularak gelirin veya kâr›n yükseldi¤i veya düfltü¤ü aral›klar› belirleyecek, fonksiyonun belirli bölgedeki en büyük ve en küçük de¤erlerini bulabilecek, fonksiyonun grafi¤inin yükselifl biçimini belirleyebilecek, fonksiyonun resmini, yani grafi¤ini, çizecek, en düflük maliyet, en yüksek kâr elde etmek gibi minimum ve maksimum problemlerini çözebileceksiniz.








144

Türev Uygulamalar›

‹çindekiler • • • • • •

Girifl Artan ve Azalan Fonksiyonlar Yerel Maksimum ve Yerel Minimum Bükeylik Grafik Çizimi Maksimum ve Minimum Problemleri

• Türev konusunu gözden geçiriniz. • Birinci ve ikinci mertebelerden türevlerin iflaretlerinin önemine dikkat ediniz, bu amaçla denklem çözümü ve fonksiyonun iflaretinin nas›l incelendi¤ini iyi ö¤reniniz. • Fonksiyonun grafi¤ine bakarak fonksiyonun davran›fl›n› anlamaya çal›fl›n›z.

Girifl Bu ünitede, türevin gerek matematik ve gerekse uygulamal› bilimler aç›s›ndan önemli baz› uygulamalar›n› inceleyece¤iz. Bu amaçla baz› matematiksel kavramlar› aç›klamadan önce flöyle bir problemi ele alal›m: Bir mal›n kâr fonksiyonu, x mal miktar› olmak üzere 0 ≤ x ≤ 200 K(x) = - 2x2 + 496x - 1400 , olsun. fiimdi baz› üretim - sat›fl miktarlar›ndan elde edilecek kârlar› bulal›m. K(110) = 28960 , K(120) = 29320 K(130) = 29280 , K(150) = 28000 Dikkat ederseniz sat›lan mal miktar› 110 birimden 120 birime ç›kt›¤›nda kâr artarken, sat›lan mal miktar› 120' den 130' a ve devam ederek 150' ye ç›kt›¤›nda elde edilen kâr azalmaktad›r. Bu gözleme göre flu sorular akla gelmektedir. • Hangi sat›fl miktarlar›nda sat›fl artt›kça kâr artmaktad›r? • En yüksek kâr hangi sat›fl miktar›nda sa¤lanabilir? Bu ünitede bu ve benzeri sorulara cevap verebilmeye olanak sa¤layacak matematiksel kavramlar› inceleyece¤iz.

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

ARTAN VE AZALAN FONKS‹YONLAR f : A Æ R fonksiyonu verilsin. E¤er her x1 , x2 Œ A ve x1 < x2 için f (x1) ≤ f (x2) oluyorsa, f fonksiyonuna monoton artan (veya azalmayan), x1 < x2 için f (x1) < f (x2) oluyorsa kesin artan fonksiyon denir. y

y

f (x2)

f (x2)

f (x1) x1

x2

x

f (x1)

x1

Monoton artan fonksiyon

x2

x

Şekil 7.1

y

y

f (x2) f (x2) f (x1)

x1 x2

x1

x

f (x1)

x2

x

Kesin artan fonksiyon

Şekil 7.2

Monoton artan (veya kesin artan) fonksiyonun grafi¤ine dikkatli bakt›¤›m›zda, koordinat sisteminde sa¤a do¤ru ilerlerken grafi¤in yükseldi¤ini veya ayn› yükseklikte kald›¤›n› ancak hiçbir zaman düflmedi¤ini görürüz. Benzer flekilde, her x1 , x2 Œ A ve x1 < x2 için f (x1) ≥ f (x2) ise f fonksiyonuna monoton azalan (veya artmayan) fonksiyon, x1 < x2 için f (x1) > f (x2) ise f fonksiyonuna kesin azalan fonksiyon denir. y

y f (x1)

f (x1) x1

f (x2) x2

x

f (x2)

Monoton azalan fonksiyon

x1

x2

x

Şekil 7.3

145

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

146

y

y f (x1)

f (x2)

f (x1) f (x2) x1 x1

x2

x2

x

x Kesin azalan fonksiyon

Şekil 7.4

Monoton azalan (veya kesin azalan) fonksiyonun grafi¤inin de, sa¤a do¤ru ilerledikçe yükselmedi¤ini görürüz. Türevlenebilir bir fonksiyonun artan veya azalan olmas›yla türevinin iflareti aras›nda yak›n bir iliflki vard›r. f : [a, b] Æ R fonksiyonu sürekli ve her x Œ (a, b) için türevi olan bir fonksiyon olsun. a) E¤er her x Œ (a, b) için f ' (x) ≤ 0 ise f fonksiyonu monoton azalan, f ' (x) < 0 ise kesin azalan fonksiyondur. b) E¤er her x Œ (a, b) için f ' (x) ≥ 0 ise f fonksiyonu monoton artan, f ' (x) > 0 ise kesin artan fonksiyondur. Bir aral›kta monoton artan veya kesin artan olan fonksiyona k›saca artan fonksiyon, benzer flekilde monoton azalan veya kesin azalan fonksiyona da azalan fonksiyon diyece¤iz. Buna göre, bir aral›k üzerinde türevlenebilen bir fonksiyonun türevinin iflaretine bakarak fonksiyonun bu aral›k üzerinde artan veya azalan olup olmad›¤›na karar verebiliriz.

ÖRNEK 1

ÇÖZÜM

f : R Æ R , f (x) = x2 fonksiyonunun artan ve azalan oldu¤u aral›klar› bulal›m.

Bir fonksiyonun bir aral›kta türevi pozitif ise fonksiyon artan, türevi negatif ise fonksiyon bu aral›kta azaland›r. Ancak bunun karfl›t› do¤ru de¤ildir. Yani, Bir fonksiyon bir aral›kta kesin artan ise bu aral›kta türevi daima pozitiftir, kesin azalan ise türevi daima negatiftir diyemeyiz. Örne¤in f(x) = x3 fonksiyonu kesin artand›r ancak x = 0 da türevi s›f›rd›r.

f (x) = x2 fonksiyonu her noktada türevlenebilen bir fonksiyon oldu¤undan, bu fonksiyonun türevinin iflaretini incelememiz yeterlidir. f ' (x) = 2x oldu¤undan x > 0 ise f ' (x) > 0 d›r, dolay›s›yla (0, •) aral›¤›nda fonksiyon artand›r, x < 0 ise f ' (x) < 0 d›r, dolay›s›yla (- •, 0) aral›¤›nda fonksiyon azaland›r. Bu bilgileri bir tablo ile afla¤›daki biçimde gösterebiliriz. x f'

-∞

∞

0

-

0

+

f

Tablodan görüldü¤ü gibi fonksiyon (- •, 0) aral›¤›nda kesin azalan, l›¤›nda kesin artand›r.

(0, •) ara-

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

147

ÖRNEK 2

f : R Æ R f (x ) = 1 x 3 - 3x 2 + 8x - 7 3 fonksiyonunun artan ve azalan oldu¤u aral›klar› bulunuz. ÇÖZÜM

f (x ) = 1 x 3 - 3x 2 + 8x - 7 3 f ' (x ) = x 2 - 6x + 8 türevin iflaretini incelemek için köklerini bulal›m. x2 - 6x + 8 = 0 denkleminin kökleri x1 = 2 , x2 = 4 dür. x

-∞

2

+

f'

0

∞

4

-

0

+

f

x Œ (- •, 2) için f ' (x) > 0 ve x Œ (4, •) için f ' (x) > 0 oldu¤undan (- •, 2) ve (4, •) aral›klar›nda fonksiyon artan, x Œ (2, 4) için f ' (x) < 0 oldu¤undan (2, 4) aral›¤›nda fonksiyon azaland›r.

SIRA S‹ZDE 1

f : R Æ R , f (x) = x3 - 3x2 - 9x + 6 fonksiyonunun artan ve azalan oldu¤u aral›klar› bulunuz. fiimdi ünite giriflinde ele ald›¤›m›z problemin çözümünü görelim.

ÖRNEK 3

Bir mal›n toplam maliyet fonksiyonu, x mal miktar›, C(x) Milyon TL olmak üzere, C(x) = 0,5x2 + 4x + 1400 , 0 ≤ x ≤ 200 toplam gelir fonksiyonu, R(x) Milyon TL olmak üzere, R(x) = 500x - 1,5x2 , 0 ≤ x ≤ 200 d›r. Kâr›n artan ve azalan oldu¤u üretim sat›fl aral›klar›n› bulunuz.

- 4x + 496 = 0 x = 4 96 = 124 4 x K' K

0

124

+

0

200

-

ÇÖZÜM

Kâr, gelir ile maliyetin fark› oldu¤undan K kâr fonksiyonu, K (x) = 500x - 1,5x2 - (0,5x2 + 4x + 1400) = -2x2 + 496x - 1400 olur. K fonksiyonunun türevinin iflaretini incelememiz gerekiyor. K' (x ) = - 4x + 4 96

Yerel Maksimum ve Yerel Minimum

148

Bu durumda (0, 124) aral›¤›nda kâr artmakta, (124, 200) aral›¤›nda ise azalmaktad›r. Bunun anlam›, üretilip sat›lan mal miktar› 124 birime kadar artt›kça kâr da artacakt›r. Ancak 124 birimden sonra üretilip sat›lan mal miktar› artt›kça kâr miktar› azalacakt›r. Örne¤in, K (100) = 28200 , K (130) = 29280 ,

K (101) = 28294 , K (150) = 28000 ,

K (124) = 29352 K (151) = 27894

dir. Bu say›lardan da gördü¤ümüz gibi 101 birim mal›n sat›fl›ndan elde edilen kâr 100 birim mal›n sat›fl›ndan elde edilen kârdan fazla iken 151 birim mal›n sat›fl›ndan elde edilen kâr 150 birim mal›n sat›fl›ndan elde edilen kârdan daha azd›r. O zaman, ne kadar mal üretilip sat›l›rsa kâr en yüksek olur, sorusu akla gelmektedir. Bu soruya cevap verebilmek için maksimum ve minimum kavramlar›n› bilmemiz gerekmektedir.

YEREL MAKS‹MUM VE YEREL M‹N‹MUM f : A Æ R fonksiyonu verilsin ve x0 Œ A için x0 noktas›n› içeren uygun bir aral›k I ( I à A) olsun. i) E¤er her x Œ I için f (x) ≤ f (x0) oluyorsa, x0 noktas›na f fonksiyonunun bir yerel maksimum noktas›, f (x0) say›s›na da bir yerel maksimum de¤eri denir. fiekil 7.5'de iki fonksiyonun yerel maksimum noktalar› gösterilmifltir.

y y

f (x0) f (x)

( (

x0

x

)

x0

)

(

x1

)

(

x2

)

x

x

Şekil 7.5

ii) E¤er her x Œ I için f (x0) ≤ f (x) oluyorsa, x0 noktas›na f fonksiyonunun bir yerel minimum noktas›, f (x0) say›s›na da bir yerel minimum de¤eri denir.

Yerel Maksimum ve Yerel Minimum

149

fiekil 7.6 'da iki fonksiyonun baz› yerel minimum noktalar› gösterilmifltir. y

y

f (x) f (x0)

(

x0 x

)

x1 x

)

(

x2

)

(

x3

)

x

Şekil 7.6

Yerel maksimum ve yerel minimum kavramlar› bir noktan›n civar›ndaki fonksiyon de¤erlerinin davran›fl› ile ilgili kavramlard›r. Yerel maksimum noktas›ndaki fonksiyon de¤eri o noktaya yak›n noktalardaki fonksiyon de¤erlerinden daima büyük, yerel minimum noktas›ndaki fonksiyon de¤eri de o noktaya yak›n noktalardaki fonksiyon de¤erlerinden daima küçüktür. Bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalar›na fonksiyonun ekstremum noktalar› denir. f : [a, b] Æ R fonksiyonu sürekli ve y her x Œ (a, b) için türevi olan bir fonksiyon olsun. E¤er bir x0 Œ (a, b) noktas› f fonksiyonunun bir yerel ekstremum noktas› ise f ' (x0) = 0 d›r. Yandaki fiekil 7.7'de görüldü¤ü gibi bir fonksiyonun bir ekstremum noktas›nda türevi varsa bu noktada türev s›f›rd›r, dolay›s›yla bu noktada yatay te¤et vard›r. Ancak türevi olan bir fonksiyonun bir noktada türevinin s›f›r olmas›, bu noktan›n bir yerel ekstremum noktas› olmas› için yeterli y de¤ildir. Örne¤in y = x3 fonksiyonunun x = 0 noktas›nda türevi s›f›r olmas›na karfl›l›k bu nokta bir yerel ekstremum noktas› de¤ildir (fiekil 7.8). Bu nedenle türevi olan bir f fonksiyonu için f ' (x) = 0 koflulunu sa¤layan noktalar ekstremum noktas› olmaya aday noktalard›r. Böyle noktalara f fonksiyonunun kritik noktalar› diyoruz.

f : [a, b] Æ R fonksiyonu sürekli ve her x Œ (a, b) için türevi olan bir fonksiyon olsun. E¤er bir x0 Œ (a, b) noktas› f fonksiyonunun bir yerel ekstremum noktas› ise f ' (x0) = 0 d›r.

x

Şekil 7.7

y = x3

x

Şekil 7.8

Yerel Maksimum ve Yerel Minimum

150

f : R Æ R , f (x) = x3 - 16x2 + 20x - 5 fonksiyonunun kritik noktalar›n› bulunuz. ÇÖZÜM

ÖRNEK 4

f fonksiyonu 3. dereceden polinom fonksiyon oldu¤undan her noktada türevi vard›r. Buna göre, f nin kritik noktalar› türevi s›f›r yapan noktalar oldu¤undan f ' (x) = 3x2 - 32x + 20 = 0 x 1 = 2 , x 2 = 10 3 bulunur. O halde f nin kritik noktalar› 2 ve 10 dur. 3 Bir aral›k üzerinde tan›ml› sürekli bir fonksiyonun ekstremum noktalar›n› bulmak için izlenecek iki yöntem verece¤iz.

Birinci Türev Testi

Fonksiyonun sürekli olup türevinin iflaret de¤ifltirdi¤i noktalar ekstremum noktalar›d›r. Bu noktalar›n yerel maksimum veya yerel minimum noktas› olduklar›na türevin iflareti incelenerek karar verilir.

Bir fonksiyonun ekstremum noktalar›n› bulmak için fonksiyonun öncelikle türevi ve türevin kökleri, yani kritik noktalar›, bulunur. Daha sonra varsa fonksiyonun türevinin olmad›¤› noktalar da belirlenip türevin iflareti incelenir. Fonksiyonun sürekli olup türevinin iflaret de¤ifltirdi¤i noktalar ekstremum noktalar›d›r. Bu noktalar›n yerel maksimum veya yerel minimum noktas› olduklar›na flöyle karar verilir. a) Sürekli fonksiyonun artanl›ktan azalanl›¤a geçti¤i, di¤er bir deyiflle türevin iflaretinin (+) dan (-) ye geçti¤i nokta yerel maksimum noktas›d›r.

f'

+

0

x0

x

x0

x

+

f'

-

-

f sürekli, f '(x0) yok x0 yerel maksimum noktas›

f '(x0) = 0 x0 yerel maksimum noktas› y y

f '(x) < 0

f' (x )

f' (x

>

)>

0

0

f '(x) < 0

x0

x

f '(x0) = 0

f '(x0) yok

x0

x

Şekil 7.9

b) Sürekli fonksiyonun azalanl›ktan artanl›¤a geçti¤i nokta yani türevin iflaretinin (-) den (+) ya de¤iflti¤i nokta yerel minimum noktas›d›r.

f'

-

0

x0

x

x0

x

+

f ' (x0) = 0 x0 yerel minimum noktas›

f'

-

+

f sürekli, f ' (x0) yok x0 yerel minimum noktas›

Yerel Maksimum ve Yerel Minimum

y

151

f '(x) < 0

y f '(x) < 0

f '(x) > 0

f '(x) > 0

x

x0 f '(x0) yok x0 f '(x0) = 0

x

Şekil 7.10

Türevin iflaret de¤ifltirmedi¤i nokta yerel ekstremum noktas› de¤ildir.

+

f'

x0

x

x0

x

-

f'

+

0

-

0

x0 yerel ekstremum

x0 yerel ekstremum

noktas› de¤ildir

noktas› de¤ildir

y

y

f '(x0) = 0

f

> '(x)

x) f '(

0 f '(x) < 0

x0

0

>

x f '(x0) = 0 x0

f '(x0) < 0

x

Şekil 7.11

ÖRNEK 5

f (x ) = 1 x5 - 1 x 4 - x 3 + 6 5 2 fonksiyonunun ekstremum noktalar›n› bulal›m.

x

-∞

-1

f'

+

0

f

3

0

-

0

-

0

∞ +

ÇÖZÜM

f ' (x) = x4 - 2x3 - 3x2 x4 - 2x3 - 3x2 = 0 x2 (x2 - 2x - 3) = 0 x2 (x + 1) (x - 3) = 0 , x1,2 = 0, x3 = -1, x4 = 3 fiimdi de türevin iflaretini inceleyelim.

Yerel Maksimum ve Yerel Minimum

152

x = -1, türev (+) dan (-) ye iflaret de¤ifltirdi¤i için yerel maksimum noktas›d›r. x = 0 türevin kökü olmas›na karfl›l›k bu noktada türev iflaret de¤ifltirmedi¤i için bu nokta yerel ekstremum noktas› de¤ildir. x = 3, türev (-) den (+) ya iflaret de¤ifltirdi¤i için yerel minimum noktas›d›r.

f '' (x0) = 0 olmas› durumunda ikinci türev testi ile karar verilemez. Bu durumda birinci türev testini uygulay›n›z.

ÖRNEK 6

‹kinci Türev Testi f : (a, b) Æ R ikinci mertebeden sürekli türevi olan bir fonksiyon ve x0 Œ (a, b) bu fonksiyonun bir kritik noktas› (f ' (x0) = 0) olsun. a) E¤er f '' (x0) > 0 ise x0 noktas› f fonksiyonunun bir yerel minimum noktas›d›r. b) E¤er f '' (x0) < 0 ise x0 noktas› f fonksiyonunun bir yerel maksimum noktas›d›r.

ÇÖZÜM

f (x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 7 fonksiyonunun ekstremum noktalar› bulal›m.

ÖRNEK 7

f fonksiyonunun her noktada türevi oldu¤undan ekstremum noktalar› sadece türevin s›f›r oldu¤u noktalarda olabilir. f ' (x) = 4x3 - 12x2 + 8x 4x3 - 12x2 + 8x = 0 4x (x2 - 3x +2) = 0 , x1 = 0 , x2 = 1, x3 = 2 0, 1 ve 2 bu fonksiyonun kritik noktalar›d›r. f '' (x) = 12x2 - 24x + 8 f '' (0) = 8 > 0 oldu¤undan x = 0 yerel minimum noktas›d›r. f '' (1) = 12 - 24 + 8 = - 4 < 0 oldu¤undan x = 1 yerel maksimum noktas›d›r. f '' (2) = 12.22 - 24 . 2+ 8= 8 > 0 oldu¤undan x = 2 yerel minimum noktas›d›r.

f x =

x x 2+1

ÇÖZÜM

fonksiyonunun ekstremum noktalar›n› araflt›ral›m. 2 . x 2 + 1 - 2 x. x f ' (x ) = 1 = 1- x 2 2 x2 + 1 x2 + 1

=

1 - x2 x2 + 1

f '' (x ) =

2

= 0 ise x = -1 , x = 1

2 - 2 x . x 2 + 1 - 2 x 2 + 1 .2 x 1-x 2

x2 + 1

4

3 3 3 = -2x - 2x - 4x + 4x = 2x - 6x 3 3 x2 + 1 x2 + 1

f '' -1 = -2 + 6 = 4 = 1 > 0 8 2 23

=

- 2 x . x 2 + 1 - 4x 1-x 2 x2 + 1

3

Yerel Maksimum ve Yerel Minimum

153

oldu¤undan x = -1 yerel minimum noktas›,

f '' (1) = 2 - 6 = -1 < 0 3 2 2 oldu¤undan x = 1 yerel maksimum noktas›d›r.

ÖRNEK 8

f (x ) = x - 10 x + 100 fonksiyonunun yerel ekstremum noktalar›n› araflt›ral›m. ÇÖZÜM

f ' (x ) = 1 - 5 = x - 5 = x - 5 = 0, x = 25 x x x x

0

-

f'

25

∞

0

+

f

Tablodan görüldü¤ü gibi x = 25 yerel minimum noktas›d›r. f (25) = 75 fonksiyonun yerel minimum de¤eridir.

Bir mal›n, x mal cinsinden,

miktar›

türünden

kâr

fonksiyonu,

milyon

ÖRNEK 9

TL

2 K (x) = - x + 4x - 2250, 0 ≤ x ≤ 3000 750

dir. Maksimum kâr›n elde edildi¤i mal miktar›n› bulal›m.

K ' (x ) = - x + 4, - x + 4 = 0, x = 1500 375 375 x K' K

0

+

1500

3000

0

-

750

Bu üründen 1500 birim üretilip sat›ld›¤›nda maksimum kâr olarak 750 milyon TL elde edilir. K (1000) @ 416,7 , K (2000) = 416,7 , K (3000) @ -2250 Dikkat ederseniz 3000 birim mal üretilip sat›ld›¤›nda 2250 milyon TL , zarar edilir.

ÇÖZÜM

2 K (x ) = - x + 4x - 2250, 0 ≤ x ≤ 3000 750

Bükeylik

154

SIRA S‹ZDE 2

f (x) = ax2 + bx + c parabolünün tepe noktas›n›n apsisi nedir? 2. g x = x - 2x + 9 fonksiyonunun maksimum noktas›n›n apsisi kaçt›r? x2 + 40x - 3000 kâr fonksiyonunun maksimum noktas›n› bulunuz. 3. k x = 100 4. h x = x + 9 + 5 fonksiyonunun minimum noktas›n› bulunuz. x 1.

BÜKEYL‹K

y

a

Afla¤›da [a, b] aral›¤› üzerinde tan›ml› bir f fonksiyonunun grafi¤i verilmifltir. Bu grafi¤in (a, c) aral›¤› üzerindeki parças›nda herhangi bir kirifl grafi¤in üstünde kal›rken, grafi¤in (c, b) parças› üzerindeki herhangi bir kirifl grafi¤in alt›nda kalmaktad›r. Bu iki durumu bükeylik kavram› ile birbirinden ay›rmaktay›z. f : [a, b] Æ R fonksiyonu sürekli türevi olan bir fonksiyon olsun. E¤er fonksiyonun grafi¤i üzerinde al›nan herhangi iki noktay› birlefltiren kirifl daima grafi¤in üzerinde kal›yorsa, f fonksiyonuna yukar› bükey veya konveks fonksiyon, e¤er kirifl daima grafi¤in alt›nda kal›yorsa f fonksiyonuna afla¤› bükey veya konkav fonksiyon b denir. c x fiekil 7. 12 deki f fonksiyonu (a, c) aral›¤›nda yukar› bükey, (c, b) aral›¤›nda afla¤› büŞekil 7.12 keydir.

y

y

a

b

a

x

b

x

Yukar› bükey (konveks) fonksiyon

Şekil 7.13

y

y

b a

x a Afla¤› bükey (konkav) fonksiyon

b

Şekil 7.14

x

Bükeylik

155

Bir fonksiyonun bükeyli¤inin de¤iflti¤i noktaya büküm noktas› denir. y

y f ''(x) < 0

y f ''(x) > 0

f ''(x) < 0

f ''(x) > 0

x0

f ''(x0) = 0

x0

f ''(x0) yok

x

x

f ''(x0) = 0 x0

x

f ''(x) < 0 f ''(x) > 0

Şekil 7.15

f : [a, b] Æ R fonksiyonu ikinci mertebeden sürekli türevi olan bir fonksiyon olmak üzere, a) Her x Œ (a, b) için f '' (x) > 0 ise f fonksiyonu [a, b] aral›¤›nda yukar› bükeydir, b) Her x Œ (a, b) için f '' (x) < 0 ise f fonksiyon [a, b] aral›¤›nda afla¤› bükeydir. Buna göre bir fonksiyonun yukar› bükey ve afla¤› bükey oldu¤u aral›klar› bulmak için ikinci türevinin iflaretini incelemek yeterlidir. Sürekli bir fonksiyonun ikinci mertebeden türevinin iflaret de¤ifltirdi¤i bir nokta da fonksiyonun büküm noktas›d›r.

ÖRNEK 10

f (x) = x4 - 24x2 + x + 1 fonksiyonunun yukar› bükey ve afla¤› bükey oldu¤u aral›klarla büküm noktalar›n› bulal›m.

x f '' f

-∞ + Yukar› bükey

-2 0

∞

2

Afla¤› bükey

0

+ Yukar› bükey

Tablodan da gördü¤ümüz gibi f fonksiyonu (- •, -2] ve [2, •) aral›klar›nda yukar› bükey, [-2, 2] aral›¤›nda afla¤› bükeydir. x = -2, x = 2 noktalar›nda fonksiyon sürekli ve bu noktalarda ikinci mertebeden türev iflaret de¤ifltirdi¤inden bu noktalar büküm noktas›d›r.

ÇÖZÜM

f fonksiyonunun her mertebeden türevi oldu¤u için bükeyli¤ini belirlemek için ikinci türevinin iflaretini incelemek yeterlidir. f ' (x) = 4x3 - 48x + 1 f '' (x) = 12x2 - 48 12x2 - 48 = 0, x = -2, x = 2

Grafik Çizimi

156

SIRA S‹ZDE 3

1. f (x ) = 2x + 1 + 2 fonksiyonu hangi aral›kta yukar› bükeydir? 2. g (x) =

x3

2x + 3x - 7 fonksiyonunun büküm noktas›n› bulunuz.

GRAF‹K Ç‹Z‹M‹ Bir fonksiyonun artan veya azalan oldu¤u aral›klar, ekstremum noktalar› gibi temel özellikleri en aç›k biçimde grafi¤inden görülebilir. Bir fonksiyonun grafi¤i onun resmidir. Bu resim en net biçimde türev kullan›larak çekilebilir. Türev sanki foto¤raf makinas›n›n flafl› gibidir. Nas›l ki flafl, resmi çekilecek nesneyi ayd›nlatarak ayr›nt›lar›n kayd›n› sa¤larsa, türev de fonksiyon davran›fllar›n› ayr›nt›l› bir biçimde inceleme olana¤› sa¤lar. Buraya kadar genel hatlar›yla çizdi¤imiz grafikleri, art›k daha ayr›nt›l› ve daha kolay çizebileceksiniz. Bir fonksiyonun grafi¤i çizilirken genellikle afla¤›daki ad›mlar izlenir. i) Fonksiyonun tan›m kümesi aç›kça verilmemiflse öncelikle tan›m kümesi belirlenir. ii) Fonksiyonun tan›m kümesini oluflturan aral›klar›n uç noktalar›nda varsa fonksiyon de¤erleri, yoksa fonksiyonun bu noktalardaki limitleri bulunur. iii) Birinci ve ikinci mertebeden türevler yard›m›yla fonksiyonun artan, azalan oldu¤u aral›klar, ekstremum noktalar› ve bükeyli¤i belirlenir. iv) Grafi¤in koordinat eksenlerini kesti¤i noktalar araflt›r›l›r. v) Elde edilen bilgiler bir tabloda toplan›r. vi) Tabloya uygun grafik çizilir. Bu ve bundan önceki ünitelerde ii-inci ad›m d›fl›ndaki ad›mlarda ifade edilen kavramlar hakk›nda bilgi edinmifl bulunuyorsunuz. Biraz sonra verece¤imiz örneklerle de bu bilgilerinizi hat›rlayacaks›n›z. fiimdi ii-inci maddede bulunmas› gereken limitlerde karfl›m›za ç›kan asimptot kavram›n› aç›klayal›m. f : (a, b) Æ R sürekli

fonksiyonu verilsin. E¤er lim + f x = • (veya - ∞) x Æa

ise x = a do¤rusuna f fonksiyonunun düfley asimptotu denir. Benzer flekilde lim f x = • (veya - ∞) ise x = b do¤rusu da düfley asimptottur.

x Æ by

y

a

b

x

a

y

y

x

b

x

Şekil 7.16

Grafik Çizimi

y

157

y y=b

b

c

y=c

a x

b

x

Şekil 7.17

f : (a, ∞) Æ R sürekli fonksiyonu verilsin. E¤er lim f x = b ise y = b do¤x Æ∞ rusuna f fonksiyonunun yatay asimptotu denir. Benzer flekilde g : (- •, a) Æ R sürekli fonksiyonunda lim g x = c olux Æ-∞ yorsa, y = c do¤rusu yatay asimptottur. Yatay asimptot, ba¤›ms›z de¤iflkenin yeteri kadar büyük veya negatif yönde yeteri kadar küçük de¤erlerinde fonksiyonun sabit fonksiyon gibi davrand›¤›n› ifade eder. fiimdi yukar›daki ad›mlar› izleyerek çeflitli fonksiyonlar›n grafiklerini çizelim.

ÖRNEK 11

2

y = C (x ) = 2000 + 50x - x , 0 ≤ x ≤ 600 16 toplam maliyet fonksiyonunun grafi¤ini çizelim.

2

C : 0, 600 Æ R, C (x ) = 2000 + 50x - x 16 fleklinde düflünebiliriz. Buna göre, i) Tan›m kümesi [0,600] kapal› aral›¤›d›r. ii) Fonksiyon x = 0 ve x = 600 de tan›ml› oldu¤undan C (0) = 2000, C (600) = 9500 iii) C ' (x ) = 50 - x , 50 - x = 0, x = 400, C(400) = 12000 8 8

C '' (x ) = - 1 , C '' (400) = - 1 < 0 oldu¤undan 8 8 x = 400 yerel maksimum noktas›d›r. x

400

0

C'

+

C ''

-

C

2000

0

600

-

12000

9500

ÇÖZÜM

0 ≤ x ≤ 600 verildi¤inden bu fonksiyonu,

Grafik Çizimi

158

Fonksiyon (0, 400) aral›¤nda artan, (fonksiyon de¤erlerinin 2000 den 12000 e artt›¤›na dikkat ediniz), (400, 600) aral›¤›nda azaland›r (bu aral›kta da 12000 den 9500 e azald›¤›na dikkat ediniz). x = 400 yerel maksimum, C (400) = 12000 yerel maksimum (ayn› zamanda mutlak maksimum) de¤eridir. Her x için C'' (x) < 0 oldu¤undan grafik afla¤› bükeydir. Fonksiyonun y-eksenini kesti¤i noktalar› bulmak için x = 0 için y de¤erini bulmam›z gerekiyor. C (0) = 2000 dir. y = 0 yani C (x) = 0 denkleminin varsa kökleri de grafi¤in x eksenini kesti¤i noktalar› verecektir. 2

2000 + 50x - x = 0 16 bu denklemin kökleri olan x 1 = 400 + 80 30 @ 838,2; x 2 = 400 - 80

30 @ -38,2

say›lar› [0,600] aral›¤›nda olmad›¤›ndan grafik x ekseninni kesmez. Fonksiyonun tan›m kümesi yukar›daki x1, x2 say›lar›n› içeren bir aral›k olsayd› grafik x eksenini bu noktalarda kesecekti. Bu bilgilere göre C fonksiyonunun grafi¤i afla¤›daki gibi olacakt›r. y 1200

200 400

600

Şekil 7.18 4

ÖRNEK 12

y = f (x ) = x - x 3 4

ÇÖZÜM

fonksiyonunun grafi¤ini çizelim. Tan›m kümesi R = (-• , •) d›r. 4 lim x - x 3 = + •, 4

x Æ -•

4 lim x - x 3 = • 4

xÆ •

f ' (x) = x 3 - 3x 2 2 x 3 - 3x = 0 , x 1 = x 2 = 0, x 3 = 3,

f (0) = 0, f (3) = - 27 4

x

Grafik Çizimi

x

-∞

0

f'

-

0

∞

f

3

-

∞ +

0

0

∞

- 27 4

x = 0 da türev iflaret de¤ifltirmedi¤inden bu nokta bir yerel ekstremum noktas› de¤ildir. x = 3 te yerel minimum vard›r. f '' (x) = 3x2 - 6x 3x2 - 6x = 0, x = 0, x = 2 0

x f ''

+

0

2

-

+

0

f

x = 0 ve x = 2 noktalar› büküm noktas›d›r. x = 0 için y = 0 4 y = 0, x - x 3 = 0 , 4

x

-∞

x3 x - 4 = 0 , 4 0

-

0

-

f ''

+

0

-

∞

-

0

- 27 4

-4

3

+

+

+

+ 0

y

2

∞

4

+

0

0

x= 4 3

2

f'

f

x= 0 ,

4 x

-27/4

Şekil 7.19

∞

159

Grafik Çizimi

160

ÖRNEK 13

2x x -1 fonksiyonunun grafi¤ini çizelim. ÇÖZÜM

y = f (x ) =

2

Fonksiyon, paydan›n kökleri olan -1 ve 1 de tan›ml› de¤ildir. Bu nedenle tan›m kümesi, R - {-1,1} = (-•, -1) » (-1, 1) » (1, •) d›r. 2x = 0 , lim 2x = 0 , y = 0 yatay asimptottur. lim x Æ -∞ 2 xÆ ∞ 2 x -1 x -1 lim

2x = - ∞ , x2 - 1

lim

2x = - ∞ , -1

x Æ -1-

x -1

kök yok x = 0 için

y=0 ,

x

-∞

f'

-

f

x Æ 1+ x 2

2(x 2 - 1) - 2x . 2x 2

2x = +∞ , x = 1 -1

lim

x Æ 1- x 2

f ' (x) =

2x = +∞ , x = -1 -1

lim

düfley asimptot

x Æ -1+ x 2

2

2 = -2x - 2 = 0 , 2 x2 - 2

y=0

için

-2x 2 - 2 = 0 , x 2 = -1

x=0 1

-1

düfley asimptot

∞

-

-

0

-∞ +∞

-∞

+∞

0

y

-1

1

x

Şekil 7.20

SIRA S‹ZDE 4

1.

f (x ) = 2x + 1 + 5 fonksiyonunun düfley asimptotunu bulunuz. 2x

2.

g (x ) = 3x - 5 fonksiyonunun yatay asimptotunu bulunuz. 1 - 2x

Grafik Çizimi

161

Maksimum ve Minimum Problemleri Bir iflletmeci hangi üretim düzeyinde ortalama maliyetin en düflük, hangi üretimsat›fl miktar›nda en yüksek kâr elde edece¤ini bilmek ister. Bu de¤erleri yaflayarak de¤il hesaplayarak bilmek zorundad›r. Yaflayarak ö¤renmek isteyenlerin büyük olas›l›kla ikinci bir flans› olmayacakt›r. En küçük veya en büyük de¤eri bulma problemlerinde en büyük yard›mc›m›z türev kavram›d›r. Bu kesimde bununla ilgili problemlere iki örnek verece¤iz.

ÖRNEK 14

Kare prizma biçiminde 800 cm3 lük kapal› bir kutu yap›lacakt›r. Kutunun alt ve üst tabanlar›n›n birim maliyeti yan yüzlerinin birim maliyetinin 2 kat› oldu¤una göre, en ucuza malolacak kutunun boyutlar›n› bulunuz.

Kutunun hacmi

: V = x2 y dir.

Taban alanlar›

: x2 + x2 = 2x2

y

Yanal yüz alanlar› : 4xy

Toplam alan : 2x2 + 4xy x dir. x Yan yüzün birim maliyetine 1 dersek, tabanlar›n birim maliyeti 2 olur. Bu durumda C = 2x2 . 2 + 4xy .1 = 4x2 + 4xy olur. Dikkat ederseniz maliyet x ve y de¤iflkenlerine ba¤l›d›r. Burada hacimden yararlanarak y yi x türünden ifade edebiliriz. V = x 2y = 800 oldu¤undan y = 800 x2 C (x) = 4x 2 + 4x . 800 = 4x 2 + 3200 x x2 bulunur. fiimdi C fonksiyonunun minimum noktas›n› bulmal›y›z. 3 C ' (x) = 8x - 3200 = 8x - 3200 x2 x2

8x 3 - 3200 = 0 , 8 (x 3 - 400) = 0 x2

x=

Buradan x C'

0

3

400 @ 7,37 cm ∞

7,37

-

0

+

C

Tablodan görüldü¤ü gibi x = 7,37 bir minimum noktas›d›r. x in bu de¤erine karfl›l›k gelen y de¤erini bulal›m. y = 800 @ 800 @ 14,74 cm 54,29 x2 Buna göre, taban kenarlar› 7,37 cm, yüksekli¤i 14,74 cm olan kutu en ucuza malolacakt›r.

ÇÖZÜM

Problemi çözmek için önce matematiksel ifadesini bulmam›z gerekir. Bunun için kutunun taban kenar uzunluklar›na x cm, yüksekli¤ine y cm diyelim.

Grafik Çizimi

162

ÖRNEK 15

ÇÖZÜM

Bir turistik otel iflletmesi bir seyahat acentas›yla flu flekilde anlaflma yapm›flt›r. 150 turiste kadar kifli bafl›na konaklama ücreti günlük 8 milyon TL, 150 kifliden sonra, 150 ile 300 aras›ndaki her bir kifliye karfl›l›k her müflteriden 20.000 TL indirim yap›lacakt›r. Otelin bir kifli için masraf› 4.000.000 TL oldu¤una göre, a) otele maksimum geliri sa¤layacak, b) otele maksimum kâr› sa¤layacak turist say›s›n› bulunuz. Önce otelin gelirini ve kâr›n› matematik dille ifade etmemiz gerekiyor. x . 8 000 000 , 0 ≤ x ≤ 150 R (x ) = 8 000 000 - (x - 150) . 20.000 x , 150 < x ≤ 300 veya 8 000 000 . x , 0 ≤ x ≤ 150 R (x ) =

-20 000x 2 + 11 000 000 x , 150 < x ≤ 300

R fonksiyonunun maksimum noktas›n› bulmak için türevini alal›m. 8 000 000 , 0 ≤ x < 150

R ' (x ) =

-40 000 x + 11 000 000 , 150 < x ≤ 300

R' (x) = 0 , - 40 000x + 11 000 000 = 0 , x = 275 x R'

0

275

150

+

+

0

300

-

R Buna göre gelirin en yüksek oldu¤u turist say›s› 275 tir. b) fiimdi de kâr fonksiyonunu ele alal›m.

y 6,125.108

150 175

300

Şekil 7.21

x

Grafik Çizimi

163

R (x ) = R (x ) - C (x ) 8 000 000 x - 4 000 000 x , 0 ≤ x ≤ 150 =

-20 000 x 2 + 11 000 000 x - 4 000 000 x , 150 ≤ x ≤ 300 4 000 000 x , 0 ≤ x ≤ 150

=

-20 000 x 2 + 7000 000 x , 150 ≤ x ≤ 300 4 000 000

K ' (x ) =

, 0 ≤ x < 150

-40 000 x + 7 000 000 , 150 < x ≤ 300

K' (x) = 0 ise x = 175 x K'

0

175

150

+

+

0

300

-

K

Tablodan da gördü¤ünüz gibi en yüksek kâr 175 turistten elde edilmektedir. Buradan da gördü¤ünüz gibi en yüksek gelirin elde edildi¤i nokta ile en yüksek kâr›n elde edildi¤i nokta farkl› olabilmektedir.

Dairesel dik silindir biçiminde 162 p cm3 hacimli kapal› bir kutu yap›lacakt›r. Kutunun 1 cm2 nin maliyeti 5000 TL oldu¤una göre en ucuza mal olacak kutunun maliyetini bulunuz.

SIRA S‹ZDE 5

164

Kendimizi S›nayal›m - Biraz Daha Düflünelim

Kendimizi S›nayal›m x2

1. f (x) = + 1 fonksiyonu hangi aral›kta artand›r? a. (- •, 1) b. (- •, 0) c. (- 1, 1) d. (0 , •) e. (1 , •) x fonksiyonu afla¤›daki aral›klar›n hangix 2+ 1 sinde azaland›r? a. (- •, 0) b. (0, 1) c. (- 1, •) d. (1, •) e. (- •, •) 3. f (x) = x 3 - 2x2 -4x + 6 fonksiyonunun yerel minimum noktas› afla¤›dakilerden hangisidir? a. (0 , 6) b. (1 , 1) c. - 1 , 1 3 d. - 2 , 202 3 27 e. (2 , -2) 2. f (x ) =

4. f (x) = x 3 - 2x2 -4x + 6 fonksiyonunun yerel maksimum de¤eri kaçt›r? a. -2 b. 1 c. 202 27 d. 2 e. 6

7. x mal miktar› olmak üzere bir mal›n milyon TL cinsinden kâr fonksiyonu, K (x) = 800x - 2x2 verilsin. Buna göre, bu maldan elde edilecek en yüksek kâr kaç TL dir? a. 640 Milyar b. 160 Milyar c. 80 Milyar d. 40 Milyar e. 800 Milyon 8. x mal miktar› olmak üzere, bir mal›n gelir fonksiyonu, 2 verilsin. Buna göre, gelirin azalmaya R (x ) = 15x - x 600 bafllad›¤› mal miktar› kaçt›r? a. 4500 b. 3000 c. 600 d. 300 e. 15

9. x mal miktar› olmak üzere, bir mal›n toplam maliyet 2 fonksiyonu, C (x ) = 3000 + 60x - x dur. Buna göre, ma10 liyetin en yüksek oldu¤u üretim miktar› kaçt›r? a. 30 b. 60 c. 250 d. 300 e. 450 10. f (x) = 2x 3 + 9x2 + 12x - 13 fonksiyonu hangi aral›kta afla¤› bükeydir? a. b.

2

5. f (x ) = x + 7x -1 fonksiyonunun düfley asimptotux+ 3 nun denklemi afla¤›dakilerden hangisidir? a. x = -3 b. x = 3 c. y = -3 d. y = 3 e. x = - 1

3

2 6. f (x ) = 2x - 3x fonksiyonunun yatay asimptotux 2 + 6x + 5 nun denklemi afla¤›dakilerden hangisidir? a. x = 2 b. y = 2 c. y = -3

d. x = - 1

3

e. x = -1

- •,-3 2 3 - , • 2

c. d.

- •,-2 - 2, - 1

e.

-1,•

11. Karesi ile toplam› en küçük olan gerçel say› kaçt›r? a. - 1 b. - 1 2 c. 0 d. 1 2 e. 1

Biraz Daha Düflünelim 1. f (x ) = 2x + 5 fonksiyonunun grafi¤ini çiziniz. x- 3 2.g (x ) = 1 x 3 + x 2 - 8x fonksiyonunun grafi¤ini çiziniz 3

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

8

Amaçlar Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra; y = ax fleklindeki üstel fonksiyon kavram›n› ve üstel fonksiyonlar›n özelliklerini ö¤renecek, grafiklerini çizecek, y = ax üstel fonksiyonun ters fonksiyonu olan y = logax logaritmik fonksiyon kavram›n› ve logaritmik fonksiyonlar›n özelliklerini ö¤renecek, grafiklerini çizecek, logaritman›n temel özelliklerini ö¤renecek, üstel ve logaritmik fonksiyonlar›n türevlerini ö¤renecek, üstel ve logaritmik fonksiyonlar›n uygulamalar› olarak bileflik faiz, nüfus art›fl›, ekonomik büyüme hesaplar› yapabileceksiniz.








166

Üstel ve Logaritmatik Fonksiyonlar

‹çindekiler • • • • • • •

Üstel Fonksiyon Üstel Fonksiyonlar›n Grafikleri Logaritmik Fonksiyon Logaritmik Fonksiyonlar›n Grafikleri Logaritman›n Temel Özellikleri Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Türevleri Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Ekonomideki Uygulamalar›

• 1. ünitede verilen üslü say›lar, 4. ünitede verilen fonksiyon ve ters fonksiyon, 6. ünitede verilen türev kurallar› konular› tekrar gözden geçirilmelidir. • Örnekler iyice incelenmelidir. • Al›flt›rmalar çözülmelidir.

Girifl 500 milyon TL %62 y›ll›k faiz oran›yla 1 er ayl›k zaman dilimleriyle bankaya yat›r›ld›¤›nda, y›l sonundaki banka hesap tutar› ne olur? Türkiyenin nüfusu 2000 y›l›nda yaklafl›k 65 milyon ve ortalama y›ll›k nüfus art›fl yüzdesi %2 olarak belirlenmiflse 2025 y›l›nda Türkiye'nin nüfusu ne kadar olacakt›r? Daha önceleri, bu türden problemlerle karfl›laflm›fls›n›zd›r. Yukar›da örnekleri verilen, faiz problemlerini çözmek için uygun biçimde oluflturulan formüllerden yararlanm›fl olmal›s›n›z. fiimdi ise, bunlar› çözmek için üstel fonksiyon kavram›ndan yararlanaca¤›z. Üstel fonksiyonlar, matematikte oldu¤u kadar bileflik faiz, nüfus art›fl›, ekonomik büyüme konular›ndaki uygulamalar›yla önem kazan›r.

Üstel Fonksiyonlar

167

ÜSTEL FONKS‹YONLAR Burada, üstel fonksiyonlar› tan›mlayarak özelliklerini ö¤renecek ve grafiklerini çizece¤iz. y = ax fonksiyonunun grafi¤ini a >1 ve 0 < a < 1 olmak üzere iki durumda inceleyece¤iz. 1 3 4. Ünitede f (x) = x2, g (x) = x3, h(x) = x = x 3 gibi kuvvet fonksiyonlar›n› inceledik. x Bu fonksiyonlarda taban de¤iflken üs sabittir. Bu ünitede de 2x , 3x , 1 gibi 3 taban› sabit üssü de¤iflken fonksiyonlar› inceleyece¤iz. a > 0 , a ≠ 1 bir gerçel say› olmak üzere f : R Æ R+ ,

f (x) = ax

fonksiyonuna bir üstel fonksiyon ve a say›s›na da bu üstel fonksiyonun taban› denir. y = ax üstel fonksiyonunda a taban› pozitiftir. Çünkü fonksiyon, f (x) = (-2)x gibi bir kural ile tan›mlan›rsa x = 1 için fonksiyonun de¤eri, 2 f 1 = -2 1/2 = -2 tan›ms›z olur. Bu nedenle üstel fonksiyonlarda taban 2 daima pozitiftir. II) y = ax üstel fonksiyonunda a ≠ 1 d›r. Çünkü a = 1 al›n›rsa her x gerçel say›s› için 1x = 1 oldu¤undan fonksiyon sabit fonksiyon olur. Bu yüzden a taban› a > 0 , a ≠ 1 olarak al›nm›flt›r. Örne¤in: I)

f x = 2x ,

x g (x ) = 1 , h(x ) = 1000 3

x

a > 0, a π 1 bir gerçel say› olmak üzere R den R+ ya tan›mlanan f(x) = ax fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.

x , u (x ) = 1 25

birer üstel fonksiyondur. III) a , b pozitif say›lar x , y gerçel say›lar olmak üzere, üslü çokluklar›n özelliklerinde oldu¤u gibi üstel fonksiyonlar içinde afla¤›daki özellikler s›ralanabilir: • a0 = 1

• a x . a y = a x +y

• a x y = a xy

• ab

x

= a xb x

x • a = ax -y ay

• a b

x

x = ax b

• a -x = 1x a fleklinde tan›mlan›r.

ÖRNEK 1

1 f (x) = 5x üstel fonksiyonunun x = -1 , x = 0 , x = , x = 2 için ald›¤› 2 de¤erleri bulal›m:

0 f (0) = 5 = 1

f f

1 = 51/2 = 5 @ 2,236 2 2 = 5

2

@ 9,672

ÇÖZÜM

f (-1) = 5-1 = 1 5

Üstel Fonksiyonlar›n Grafi¤i

168

ÜSTEL FONKS‹YONLARIN GRAF‹⁄‹ Bir fonksiyonun grafi¤i çizilirken, tan›m kümesindeki bir x de¤eri fonksiyonda yerine konularak karfl›l›k gelen y de¤eri bulunur. Sonra, (x, y) noktas› düzlemde belirlenir. Düzlemdeki bu tür noktalar birlefltirilerek fonksiyonun grafi¤i elde edilir. • fiimdi üstel fonksiyonun özelliklerini elde etmek için baz› fonksiyonlar›n grafiklerini, noktasal olarak çizelim. Fonksiyonun noktasal grafi¤ini çizmek için x’e baz› de¤erler vererek bu de¤erlerin fonksiyon alt›ndaki görüntülerini yani y de¤erlerini bulal›m. Daha sonrada bulunan (x, y) ikililerine düzlemde karfl›l›k gelen noktalar› belirleyelim.

ÖRNEK 2

ÇÖZÜM

y = f (x) = 3x fonksiyonunun grafi¤ini çizelim.

x

-3

f(x) = 3

x

3

-3

-2

= 1 27

3

-2

-1

=1 9

0

3 -1 = 1 3

1

30 = 1

2 32 = 9

3

3 3 = 27

Buna göre, -3 , 1 , -2 , 1 , -1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 3 , 2 , 9 , 3 , 27 27 9 3 ikilileri düzlemde belirtilerek y = 3x fonksiyonunun grafi¤i elde edilir. y y = 3x

3

1 1/3 1/9 1/27

x -3

-2

-1

0

1

2

3

Şekil 8.1

ÖRNEK 3

ÇÖZÜM

x fiimdi de y = 1 fonksiyonunun grafi¤ini çizelim: 3

x f(x) = 1 3

-2

-3 x

1 3

-3

= 27

1 3

-2

=9

-1 1 3

-1

0 =3

1 3

0

1 =1

1 3

2 1 2 1 = 9 3

3 1 3 1 = 3 27

Üstel Fonksiyonlar›n Grafikleri

Buna göre, -3 , 27 , -2 , 9 , -1 , 3 , 0 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 3 9 27 x

ikilileri düzlemde belirtilerek y = 1 3

fonksiyonunun grafi¤i elde edilir.

y y=

1 3

x

9

3

1

-3

-2

-1

1

0

2

x

3

Şekil 8.2

Bu iki örne¤e göre, y = 3x fonksiyonunun grafi¤i y = ax , a > 1 fonksiyonux nun grafi¤inin ve y = 1 fonksiyonunun grafi¤i de y = ax , 0 < a < 1 fonksiyo3 nunun grafi¤inin tipik birer örne¤idir. Buna göre, (i) a > 1 oldu¤unda y = ax fonksiyonunun grafi¤i: y = ax a>1

y

a 1

x

1

0

Şekil 8.3

(ii) 0 < a < 1

oldu¤unda

y = ax

fonksiyonunun grafi¤i: y

y = ax 0
x

1

Şekil 8.4

169

Üstel Fonksiyonlar›n Grafikleri

170

x y = 2x ve y = 1 2

SIRA S‹ZDE 1

fonksiyonlar›n›n grafiklerini de siz çiziniz.

Üstel Fonksiyonlar›n Temel Özellikleri y = ax üstel fonksiyonu her x de¤eri için ax > 0 d›r. Yani fonksiyonun tan›m kümesi (-•, •) için de¤er kümesi (0 , •) dur. Böylece fonksiyonun grafi¤i daima x - ekseninin üst bölgesinde kal›r. II) y = ax üstel fonksiyonunda; I)

x = 0 için a0 = 1 olur. Bu nedenle fonksiyonun grafi¤i daima (0, 1) noktas›ndan geçer. III) y = ax üstel fonksiyonunda; Bir fonksiyonda x1 < x2 için f(x1) > f(x2) ise fonksiyon azalan x1 < x2 için f(x1) < f(x2) ise fonksiyon artand›r.

0 < a < 1 iken x1 < x2 için ax1 > ax2 oldu¤undan fonksiyon daima azaland›r. a > 1 iken x1 < x2 için ax1 < ax2 oldu¤undan fonksiyon daima artand›r. Buna göre, y = ax üstel fonksiyonu x1 π x2 için ax1 ≠ ax2 oldu¤undan bire-birdir. IV) y = ax üstel fonksiyonunda; a=e

al›n›rsa y = ex

üstel fonksiyonu elde edilir. Buradaki e say›s› irrasyonel bir say› olup yaklafl›k de¤eri e @ 2,71828... dir. Bu say›n›n taban olarak al›nmas› matematiksel aç›dan anlaml›d›r. Bu fonksiyona eksponansiyel fonksiyon da denir ve exp (x) = ex ile gösterilir.

ÖRNEK 4

ÇÖZÜM

y = ex fonksiyonunun grafi¤ini çizelim. x

-1 x

f(x) = e

-1 e = 1 e

@

-1/2 0.37

-1/2

e

= 1 e

@

1

1/2

0 0.61 e0 = 1

e1/2 = e

@

1.65

e

@ 2.71

Buna göre, (-1 , 0.37) , - 1 , 0.61 , (0 , 1) , 1 , 1.65 , (1 , 2.71) ikilileri düzlem2 2 de belirtilerek y = ex fonksiyonunun grafi¤i elde edilir. y y = ex

2.71 1.65 1 0.61 0.37 -1

-1/2

0

1

x

Şekil 8.5

Logaritmik Fonksiyon

171

LOGAR‹TM‹K FONKS‹YON Burada, logaritma fonksiyonunu tan›mlayarak, üslü ve logaritmik ifadeler aras›ndaki iliflkiyi ö¤renece¤iz. f : R Æ R+ , f (x) = ax , a > 0 , a ≠ 1 üstel fonksiyonu bire-bir ve örten oldu¤undan ters fonksiyonu vard›r. Bu ters fonksiyona logaritma fonksiyonu denir. Buna göre logaritma fonksiyonu, loga : R+ Æ R , f(x) = logax

veya

y = logax

olarak gösterilir ve "a taban›na göre logaritma x" olarak okunur. Logaritma fonksiyonunun tan›m›na göre, y = logax ¤ x =ay olur. Burada pozitif bir x say›s›n›n a taban›na göre logaritmas›, x 'i bulmak için a say›s›n›n yükseltilmesi gereken kuvvetini ifade eder. Örne¤in, log39 say›s›, 9 say›s›n› bulmak için 3 say›s›n›n yükseltilmesi gereken kuvvetini ifade eder. Bu say› da 2 dir.

ÖRNEK 5

Afla¤›daki üslü ifadeleri logaritma biçiminde yazal›m.

24 = 16

için

log216 = 4

(ii)

34

için

log381 = 4

= 81

4 (iii) 1 = 1 81 3

için

log1 1 = 4 3 81

-4 (iv) 1 = 16 2

için

log1 16 = - 4

ÇÖZÜM

(i)

2

ÖRNEK 6

Afla¤›da verilen logaritmik ifadeleri üslü biçimde yazal›m:

1 2

(iv) log14 = -2 ise 2

(v) log100,1 = -1

ise

ÇÖZÜM

(i) log28 = 3 ise 23 = 8 (ii) log39 = 2 ise 32 = 9 (iii) log101000 = 3 ise 103 = 1000 -2

=4 10-1 = 0,1

ÖRNEK 7

Afla¤›da tan›mlanan fonksiyonlar›n ters fonksiyonlar›n› bulal›m:

üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu logaritma

y = 3x ¤ x = log3y Son eflitlikte x yerine y , y yerine x yazarak y = log3x ters fonksiyon bulunur.

ÇÖZÜM

(i) f : R Æ R+ , f (x) = y = 3x fonksiyonudur.

172

Logaritmik Fonksiyon

(ii) f : R Æ R+ , f (x ) = y = 1 3 ritma fonksiyonudur. y= 1 3

x

¤

x

üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu loga-

x = log1 y 3

buradan, y = log1 x ters fonksiyonu bulunur. 3

Logaritmik Fonksiyonun Grafi¤i Burada y = logax fonksiyonunun grafi¤ini a > 1 ve 0 < a < 1 iken çizece¤iz. Bir fonksiyon ile ters fonksiyonun grafiklerinin y = x do¤rusuna göre simetrik oldu¤unu biliyoruz. y = logax fonksiyonu y = ax üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu oldu¤undan y = ax fonksiyonunun grafi¤inin y = x do¤rusuna göre simetri¤i y = logax fonksiyonunun grafi¤ini verir. Buna göre, (i) a > 1 oldu¤unda y = logax

in grafi¤i y

y=x

y = ax

a

y = logax

1

y = ax ve y = logax fonksiyonlar›n›n grafikleri y = x do¤rusuna göre simetriktir.

0

1

x

a

Şekil 8.6

(ii) 0 < a < 1 oldu¤unda y = logax in grafi¤i y

y=x

y = ax 1

y = ax in grafi¤i biliniyorken, y = logax in grafi¤ini bulmak için y = ax in grafi¤inin y = x do¤rusuna göre simetri¤ini al›r›z.

a x 0

a

1

y = logax

Şekil 8.7

Logaritmik Fonksiyon

y = 2x

ve y = log2x

fonksiyonlar›n›n grafiklerini çiziniz.

173

SIRA S‹ZDE 2

fiimdi bu grafiklerden yararlanarak y = logax fonksiyonunun özelliklerini ifade edelim: I) Grafiklerden görüldü¤ü gibi y = logax fonksiyonu (0 , •) aral›¤›nda tan›ml› oldu¤undan sadece pozitif say›lar›n logaritmalar› vard›r. Negatif say›lar›n ve s›f›r›n logaritmas› tan›ml› de¤ildir. II) a > 0 , a ≠ 1 olan her a say›s› için a1 = a oldu¤undan logaa = 1 dir. Yani her pozitif a say›s›n›n kendi taban›na göre logaritmas› 1 dir. Örne¤in; log55 = 1 , log100100 = 1 , log1 1 = 1 7 7 III) a > 0 , a ≠ 1

olan her a say›s› için a0 = 1 oldu¤undan loga1 = 0.

Yani her tabana göre 1 say›s›n›n logaritmas› 0 d›r. Buna göre logaritma fonksiyonunun grafi¤i (1 , 0) noktas›ndan geçer. IV) a > 1 ise 1 den büyük say›lar›n logaritmalar› pozitif, 1 den küçük say›lar›n logaritmalar› negatiftir. 0 < a < 1 ise 1 den büyük say›lar›n logaritmalar› negatif, 1 den küçük say›lar›n logaritmalar› pozitiftir (Grafikten kontrol ediniz). V) Üstel fonksiyon bire-bir oldu¤undan bunun ters fonksiyonu olan logaritma fonksiyonu da bire-bir dir. Yani x1 ≠ x2 için logax1 ≠ logax2 dir. Logaritma ifllemlerine geçmeden önce logaritma için uygun bir taban seçme problemine de¤inelim: Logaritma, say›sal hesaplamalarda büyük kolayl›k sa¤lar. Çünkü üslü ve köklü çokluklarda, say›lar›n kesirli veya irrasyonel olmas› durumunda ifllem yapmak kolay de¤ildir. Böyle ifllemlerin h›zl› ve do¤ru yap›lmas›nda logaritma önem tafl›r. Toplama iflleminin çarpmaya göre ve çarpma iflleminin üs alma ifllemine göre daha kolay oldu¤u bilinir. Logaritmada temel ilke budur. Günümüzde say›lar›n logaritmalar›n›n hesaplanmas›nda 10 taban›na göre haz›rlanm›fl hesap cetvelleri veya elektronik hesap makinalar› kullan›l›r. Asl›nda 1 den farkl› her pozitif say› logaritmada taban olabilir. Taban› 10 olan logaritmaya baya¤› logaritma denir ve k›saca log10 = log ile gösterilir. Kulland›¤›m›z say› sisteminin 10 luk sistem olmas› nedeniyle 10 taban›na göre logaritma kullan›lmas› yap›lan ifllemleri kolaylaflt›r›r. 10 taban›na göre logaritman›n kullan›fll› olmas›na karfl›n yaklafl›k de¤eri 2,71828... olan ve e ile gösterilen say›n›n taban olarak kullan›lmas› matematiksel olarak daha anlaml›d›r. Do¤al say› olmayan bu e say›s›n› taban alan logaritmaya do¤al logaritma denir ve loge = ln ile gösterilir. Buna göre do¤al logaritma fonksiyonu: ln : R+ Æ R ,

f (x) = lnx

dir. Bu fonksiyon y = ex üstel fonksiyonunun tersidir. y = lnx

Logaritma, say›sal hesaplarda kolayl›k sa¤lar. Toplama çarpmaya göre, çarpma üs alma ifllemine göre daha kolay olmas› nedeniyle, logaritma hesaplamalarda kolayl›k sa¤lar.

¤ x = ey

O halde, y = lnx fonksiyonunun grafi¤i y = ex fonksiyonunun y = x do¤rusuna göre simetri¤idir. y = ex ve y = lnx fonksiyonlar›n›n grafikleri afla¤›daki gibidir.

y = ex fonksiyonunun ters fonksiyonu y = lnx dir.

174

Logaritmik Fonksiyon

y y = ex y=x e y = lnx 1

0

1

x

e

Şekil 8.8

Logaritman›n Temel Özellikleri Burada logaritman›n temel özelliklerini ve bu özelliklerle ilgili problem çözümlerini ö¤renece¤iz. x , y , a Œ R+ , a ≠ 1

olmak üzere

I) Bir çarp›m›n logaritmas›, çarpanlar›n logaritmalar›n›n toplam›na eflittir. loga(xy) = logax + logay Bu eflitli¤i kan›tlayal›m. Bunun için logax = u , logay = v olsun. x = au , y = av olur. logaritman›n tan›m›ndan x . y = au . av = au + v loga(x . y) = u + v loga(x . y) = logax + logay elde edilir. II) Bir bölümünün logaritmas›, pay›n logaritmas› ile paydan›n logaritmas›n›n fark›na eflittir. loga x y = loga x - loga y logax = u , logay = v olsun. x = au , y = av olur. x = au = au-v , y av log a x y = u- v ,

logaritman›n tan›m›ndan

loga x y = loga x - loga y elde edilir.

Logaritmik Fonksiyon

III) Bir kuvvetin logaritmas›, say›n›n logaritmas› ile kuvvetin çarp›m›na eflittir. (n Œ N). loga x n = n loga x loga x n = loga (x . x ... x ) n tane = loga x + loga x + ... + loga x n tane = n loga x elde edilir. Özel olarak

n = -1

ve

n =1 r

için s›ras›yla (r , pozitif tamsay›)

log a x -1 = loga 1x = - log a x olur. loga x

1 r

= log a

r

x = 1r loga x

elde edilir. IV) Logaritmada taban de¤ifltirme: Bir say›n›n bir tabana göre logaritmas› biliniyorsa, bu say›n›n herhangi bir tabana göre logaritmas› bulunabilir: Her a , b , c Œ R+ , a ≠ 1 , b ≠ 1 , c ≠ 1 için logab . logbc = logac

dir.

logab = u , logbc = v olsun. au = b , bv = c olur. (au)v = bv = c logaritman›n tan›m›ndan auv = c , logac = u . v logac = logab . logbc

(1)

bulunur. Buradan, loga b ≠ 0 oldu¤undan logbc =

loga c loga b

elde edilir. Bu eflitli¤e taban de¤ifltirme kural› denir. (1) eflitli¤inde c = a al›n›rsa logaa = logab . logba 1 = logab . logba loga b = 1 logba elde edilir.

175

Logaritmik Fonksiyon

176

ÖRNEK 8 ÇÖZÜM

log2781 ifadesinin de¤eri nedir?

ÖRNEK 9

log2781 =

ÇÖZÜM

3 . a 3 b2 5 3 c

log 381 log334 = = 4 3 3 log 327 log33

ifadesinin logaritmas›n› yaz›n›z.

3 2 log 3 . a b 5 3 c

3 2 = log 3 a b 3 5 c

logaritma kurallar›n› uygulayarak = log3 + 3 loga + 2 logb - log5 - 1 logc 3 elde edilir.

ÖRNEK 10

ÇÖZÜM

3 logx + 1 logy - 2 loga + 3 logb 4 mas› biçiminde yaz›n›z.

ifadesini çarp›m ve bölümün logarit-

Logaritman›n temel özellikleri gere¤ince log

x3

4

y

a 2 . b3

elde edilir.

ÖRNEK 11

ÇÖZÜM

f (x) = log3x oldu¤una göre f

ÖRNEK 12

f

3

9 = log3

3

3

9

say›s› nedir?

2

9 = log3 33 = 2 3

ÇÖZÜM

log32 = a ise log248 ifadesinin a cinsinden de¤eri nedir?

log248 =

log3 24 . 3 log348 = log32 log 32

= 4a a+ 1

=

4 log32 + log33 log 32

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Türevleri

log 25 + log 9 + log 1 - log 3 3 5 8 4

177

ÖRNEK 13

ifadesinin de¤eri nedir?

ÇÖZÜM

25 . 9 . 1 3 5 4 log = log 25 . 9 . 1 . 8 = log10 = 1 3 5 4 3 3 8

ÜSTEL VE LOGAR‹TM‹K FONKS‹YONLARIN TÜREVLER‹ Burada üstel ve logaritmik fonksiyonlar›n türevlerini ö¤renecek ve bunlarla ilgili örnekler göreceksiniz. I) y = f (x) = ex

için

y ' = f ' (x) = ex dir.

ÖRNEK 14

y = (3x + 1) . ex fonksiyonunun türevini bulal›m.

ÇÖZÜM

y ' = (3x + 1)' . ex + (3x + 1) . (ex)' y ' = 3 . ex + (3x + 1) . ex = (3x + 4) ex

II) g türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere y = f (x) = eg (x)

y = ex

3

için

y ' = f ' (x) = g ' (x) . eg (x)

dir.

ÖRNEK 15

fonksiyonunun türevini bulunuz. ÇÖZÜM

3 3 y ' = x 3 ' ex = 3x 2 ex

ÖRNEK 16

y = 12e 3x fonksiyonunun x = 0 noktas›ndaki te¤etinin e¤imini hesaplay›n›z.

y ' = f ' (x) = 12 . 3 . e3x = 36 e3x f ' (0) = 36 e0 = 36 bulunur.

ÇÖZÜM

Bir fonksiyonun verilen bir noktadaki te¤etinin e¤imi, fonksiyonun o noktadaki türevinin de¤erine eflit olaca¤›ndan,

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Türevleri

178

III) a > 0 , a ≠ 1 , x Œ R y = f (x) = ax

ÖRNEK 17

için

olmak üzere

y ' = f ' (x) = ax . lna

d›r.

ÇÖZÜM

y = 3x fonksiyonunun x = 0 noktas›ndaki türevini bulunuz. y ' = f ' (x) = 3x ln3 f ' (0) = 30 ln3 = ln3 @ 1,0986

IV) g türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere y = f (x) = a g (x) için y ' = f ' (x) = a g (x) g ' (x) lna d›r.

ÖRNEK 18

2 - 3x

ÇÖZÜM

y = f (x ) = 3x

ÖRNEK 19

fonksiyonunun türevini bulunuz.

2 - 3x

y ' = f ' (x ) = 3x

2 - 3x

= 2x - 3 . 3x

y = f (x) = x2 . 23x ÇÖZÜM

2 . x 2 - 3x ' . ln 3 = 3x - 3x . 2x - 3 . ln 3

. ln 3

fonksiyonu için f ' (1) say›s›n› bulunuz.

y ' = f ' (x) = (x2) ' . 23x + x2 . (23x) ' f ' (x) = 2x . 23x + x2 . 3 . 23x . ln 2 f ' (1) = 2 . 23 + 1 . 3 . 23 . ln 2 = 16 + 24 ln 2 V) a > 0 , a ≠ 1 , x > 0 olmak üzere y = f (x ) = log a x için

ÖRNEK 20

y ' = f ' (x ) = 1x . loga e olur.

ÇÖZÜM

y = f (x)= log3x 'in türevi bulunuz.

y ' = f ' (x ) = 1x . log3e olur.

VI) g türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere y = f (x ) = log a g (x ) için

y ' = f ' (x ) =

(g (x ))' g (x )

. loga e d›r.

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Türevleri

179

ÖRNEK 21

y = f (x)= loga(2x2 + 1) fonksiyonunun türevini bulunuz. 2x 2 + 1 ' 2x 2 + 1

. loga e =

ÇÖZÜM

y' =

4x . log e a 2x 2 + 1

ÖRNEK 22

y = f (x) = log3(x2 + 1) fonksiyonunun türevini bulunuz. x2 + 1 ' . log3e = 22x . log3e x2 + 1 x +1

ÇÖZÜM

y ' = f ' (x ) =

ÖRNEK 23

y = f (x) = log48x2 fonksiyonunun türevini bulunuz. 8x 2 ' 8x 2

. log4e = 16x . log4e = 2x log4e 8x 2

ÇÖZÜM

y ' = f ' (x ) =

VII) y = f (x) = lnx , x > 0 için y ' = f ' (x ) = 1x dir.

ÖRNEK 24

y = f (x) = x 2lnx , x > 0 fonksiyonu için f ' (1) say›s›n› bulunuz.

f ' (1) = 2 . 1 . ln1 + 1 = 2 . 0 + 1 = 1

y = f (x ) =

lnx 2 x +1

lnx

2

' . x + 1 - x + 1 ' . lnx x+ 1 2

2 . lnx . 1x . x + 1 - 1 . ln x

f ' (1) = 0 = 0 4

x+ 1 2

2

2

ÇÖZÜM

f ' (x ) =

ÖRNEK 25

, x > 0 olmak üzere f ' (1) say›s›n› bulunuz.

Bölümün türev kural›na göre, y ' = f ' (x ) =

ÇÖZÜM

y ' = f ' (x ) = x 2 ' . lnx + x 2 . lnx ' = 2x lnx + x 2 . 1x = 2x lnx + x

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Türevleri

180

VIII) g türevlenebilir pozitif bir fonksiyon olmak üzere y = f (x) = ln(g (x)) fonksiyonu için y ' = f ' (x ) =

ÖRNEK 26

g' (x ) dir. g (x )

ÇÖZÜM

y = f (x) = ln (x + 5)3 fonksiyonu için f ' (1) say›s›n› bulunuz.

y ' = f ' (x ) =

x+5

3

x+5

3

' =

2

3 x+5 x+5

3

=

3 x+5

f ' (1) = 3 = 1 2 6 bulunur. Burada ln (x + 5)3 ≠ (ln (x + 5))3 oldu¤una dikkat ediniz.

ÖRNEK 27

ÇÖZÜM

y = f (x) = ln3 (4x2 + 1) fonksiyonunun türevini bulunuz.

y ' = f ' (x ) = 3 ln2 4x 2 + 1 .

=

ÖRNEK 28

24x . ln2 4x 2 + 1 4x 2 + 1

8x +1

4x 2

olur.

ÇÖZÜM

y = f (x) = 3 e2x+1 fonksiyonunun ikinci türevini bulunuz.

ÖRNEK 29

y ' = f ' (x) = 3 . (2x + 1)' . e2x+1 y ' = f ' (x) = 3 . 2 . e2x+1 = 6 e2x+1 y '' = f '' (x) = 6 . (2x + 1)' . e2x+1 f '' (x) = 6 . 2 . e2x+1 = 12 . e2x+1

ÇÖZÜM

y = f (x) = a10x fonksiyonunun ikinci türevini bulunuz.

y ' = f ' (x) = (10x)' . a10x . lna = 10 . a10x . lna lna sabit oldu¤u için y '' = f '' (x) = 10 . 10 . a10x . lna . lna f '' (x) = 100 . a10x . (lna)2

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Ekonomideki Uygulamalar›

181

ÖRNEK 30

y = f (x) = log36x 'in ikinci türevini bulunuz.

log3e

6x ' 6x

. log e = 1 log e 3 x 3

ÇÖZÜM

y ' = f ' (x ) =

sabit oldu¤undan

' y '' = f '' (x ) = x1 . log3e = - 1 . log3e = -1 x2 x 2ln3 ÖRNEK 31

y = f (x) = x lnx in ikinci türevini bulunuz.

y ' = f ' (x ) = 1 . lnx + x . 1x = lnx + 1

ÇÖZÜM

y ' = f ' (x ) = x ' . lnx + x . lnx '

y '' = f '' (x ) = 1x

Afla¤›daki fonksiyonlar›n türevlerini bulunuz. 1. y = x e-x 6. y = lnx 2. 3. 4. 5.

y = x 2 + 3 ex x3

+ x2

y=e

y = 32x

2

-x 2

y=e

.

3 3x

5

7.

y = ln (x2 + x + 1)

8.

y = a x . lnx

9.

y = ln3 (x2 + 1)

10.

2

2

y = e-x lnx 2

ÜSTEL VE LOGAR‹TM‹K FONKS‹YONLARIN EKONOM‹DEK‹ UYGULAMALARI fiimdi, üstel ve logaritmik fonksiyonlar›n ekonomideki uygulamalar›na örnekler verece¤iz. Üstel ve logaritmik fonksiyonlarla bileflik faiz, nüfus art›fl›, ekonomik büyüme gibi hesaplamalarda karfl›lafl›r›z. Bileflik faiz, belli zaman aral›¤›nda gerçekleflen faizin, ana paraya eklenmesiyle bulunan tutar›n faizidir. P0 i t Pt

= = = =

ana para, faiz oran› zaman (gün, ay veya y›l olarak) ana para + faiz (t zaman süresinde)

SIRA S‹ZDE 3

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Ekonomideki Uygulamalar›

182

Pt yi P0 , i , t cinsinden bulal›m. 1. zaman dilimi sonunda gerçekleflen faiz P0i olacakt›r. Böylece, 1. zaman dilimi sonunda banka hesap tutar› P1 = P0 + P0i = P0 (1+i ) olur. 2. zaman dilimi sonunda gerçekleflen faiz P1i olacakt›r. Böylece 2. zaman dilimi sonunda banka hesap tutar› P2 = P1 + P1i = P1 (1+i ) = P0 (1+i ) (1+i ) = P0 (1+i )2 olur. 3. zaman dilimi sonunda gerçekleflen faiz P2i dir. Böylece 3. zaman dilimi sonunda, banka hesap tutar› P3 = P2 + P2i = P2 (1+i ) = P0 (1+i )2 (1+i ) = P0 (1+i )3 olur. Bu flekilde devam edilerek t zaman dilimi sonunda banka hesap tutar› Pt = P0 (1+i )t olur. Buna bileflik faiz (efektif faiz) formülü denir. Burada, f:N Æ R ,

f (t ) = P0 (1+i )t

fonksiyonu ortaya ç›kar. 1 + i = a ile gösterirsek f (t ) = at P0 buradaki at terimi, t zaman dilimi sonunda banka hesap tutar›n›n, ana paran›n kaç kat› oldu¤unu ifade eder.

ÖRNEK 32

ÇÖZÜM

50 milyon TL %80 y›ll›k faiz oran›yla 3 er ayl›k zaman dilimleriyle bankaya yat›r›ls›n. 5 y›l sonundaki banka hesap tutar›n› bulunuz. 5 y›l sonunda kazan›lan toplam faizi hesaplay›n›z.

t zaman dilimi sonunda banka hesap tutar› Pt = P0 (1+i )t dir. Bankaya yat›r›lan para P0 ve bir zaman diliminde gerçekleflen faiz oran› i s›ras›yla; P0 = 50 . 106 i =

TL

Y›ll›k faiz oran› 0,80 = = 0,20 4 Bir y›ldaki zaman dilimi say›s›

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Ekonomideki Uygulamalar›

183

olur. Burada %80 y›ll›k faiz oran›n›n 0,80 fleklinde yaz›lmas› gerekti¤ine dikkat ediniz. Bir y›lda 3 er ayl›k 4 zaman dilimi oldu¤una göre, 5 y›ldaki zaman dilimi say›s› t = 4 . 5 = 20 dir. Bu durumda 5 y›l sonunda yani, 20 tane 3 er ayl›k zaman dilimi sonunda bankadaki hesap tutar›: P20 = 50 . 106 (1 + 0,20)20 = 50 . 106 (1,2)20 = 5 . 107 . (38,337) = 1916 . 106 TL Kazan›lan toplam faiz: P20 - P0 = 1916 . 106 - 50 . 106 = 1866 . 106 TL olur.

ÖRNEK 33

Bankaya yat›r›lan 25 .106 TL, 5 y›lda bileflik faiz uygulanarak 800. 106 TL ye ulafl›yor. Bankan›n uygulad›¤› y›ll›k faiz oran› nedir?

Pt = P0 (1+i )t

ÇÖZÜM

Bileflik faiz formülüne göre, t zaman dilimi sonunda banka hesap tutar›

dir. Burada, P0 = 25 . 106 , t = 5 y›l , Pt = 800 . 106 Buna göre, yukar›daki eflitlikte verilenler yerine konursa, 800 . 106 32 25 2 i

= 25 . 106 (1+i )5 = (1+i )5 = (1+i )5 = 1+i =1

bulunur. Bu ise y›ll›k faiz oran›n›n %100 oldu¤unu gösterir.

ÖRNEK 34

Y›ll›k %60 faiz oran›yla 20 . 106 TL, bileflik faizle bankaya yat›r›l›yor. Kaç y›l sonra bankadaki hesap tutar› 209 . 106 TL ye ulafl›r.

de¤erlerini Pt = P0 (1+i )t ifadesinde yerine koyal›m.

ÇÖZÜM

Pt = 209 . 106 , P0 = 20 . 106 , i = 0.60

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Ekonomideki Uygulamalar›

184

209 . 10 6 = 20 . 10 6 1+0,6 t 209 = 20 1,6 t 209 = 1,6 t 20 bulunur. Buradan n y›l say›s›n› bulmak için basit bir logaritma ifllemi yeterli olacakt›r. t =

ÖRNEK 35

log 209 - log 20 2,3201 - 1,3010 = @ 5 y›l log 1,6 0,2041

ÇÖZÜM

Bir bankaya y›ll›k %80 faizle yat›r›lan bir miktar para bileflik faiz ile 10 y›l sonra 320 . 109 TL ye ulafl›yor. Bankaya yat›r›lan paray› hesaplay›n›z.

Pt = P0 (1+i )t ifadesinde verilenleri yerine koyarak, 320 . 10 9 = P 0 1 + 0,8

10

320 . 10 9 = P 0 1,8 10 10 @ 896 . 10 6 TL P 0 = 32 . 10 10 1,8

bulunur. 10 y›l önce bankaya yat›r›lan para yaklafl›k 896 milyon TL dir.

ÖRNEK 36

ÇÖZÜM

Bir miktar para bankaya y›ll›k %80 faiz oran›yla birer ayl›k zaman dilimleri ile yat›r›l›rsa, y›l sonunda gerçekleflecek bileflik faiz oran› nedir?

t = 12 ay olmak üzere i =

0,8 dir. 12

Bileflik faiz formülüne göre, Pt = P 0 1 + i P 12 = P 0 1 +

t

0,8 12

12

P 12 = P 0 2,17 bulunur. Y›l sonunda banka hesap tutar›, yat›r›lan paran›n 2,17 kat›na ulaflm›flt›r. O halde yat›r›lan paran›n 1,17 kat› (%117) bileflik faiz oran›d›r.

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar›n Ekonomideki Uygulamalar›

185

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar›n di¤er bir uygulamas› da nüfus art›fl›n›n hesab›d›r. Bununda bileflik faiz hesab›ndan bir fark› yoktur. Belli bir zaman bafllang›c›nda nüfus N0 , nüfus art›fl yüzdesi i olsun. t zaman dilimi sonunda ulafl›lan nüfus yani, bafllang›çtaki nüfus + nüfus art›fl›, N (t ) olsun. Bileflik faiz hesab›ndaki formülü yeni duruma dönüfltürürsek N (t ) = N0 (1+i )t olur.

ÖRNEK 37

Dünya nüfusu 1975 y›l›nda yaklafl›k 4 milyar ve ortalama y›ll›k nüfus art›fl yüzdesi %2 ise 2010 y›l›nda dünya nüfusu ne kadar olacakt›r?

ÇÖZÜM

N (t ) = N0 (1+i )t ba¤›nt›s›nda N0 = 4 . 109 , i = 0,02

t = 2010 - 1975 = 35 y›l

olup, buna göre N (t ) = 4 . 109 (1+0,02)35 N (t ) = 4 . 109 (1,02)35 @ 4 . 109 . 2 = 8 . 109 olur. Yani 2010 y›l›nda dünya nüfusu yaklafl›k 8 milyara ulaflacakt›r.

ÖRNEK 38

Türkiye'nin nüfusu 1998'de 60 . 106 olarak al›n›rsa kaç y›l sonra nüfus iki kat›na ç›kacakt›r? Ortalama nüfus art›fl yüzdesini 0,02 olarak al›n›z.

ba¤›nt›s›nda N (t ) = 120 . 106 , N0 = 60 . 106 , i = 0,02 de¤erlerini yerine koyarak, 120 . 106 = 60 . 106 (1+0,02)t 2 = (1,02)t olur. Her iki taraf›n logaritmas› al›n›rsa, log 2 = t . log 1,02 t =

log 2 log 1,02

@ 35 y›l

O halde Türkiyenin nüfusu 35 y›l sonra 2033 y›l›nda 120 milyon olacakt›r.

ÇÖZÜM

N (t ) = N0 (1+i )t

186

Kendimizi S›nayal›m

Kendimizi3 S›nayal›m

ise f ' (1) de¤eri nedir? 1. f (x ) = e -x a. 3e b. 3e-1 c. 1 3e d. -3 e e. -3 2. f (x) = x ex ise f ' (0) de¤eri nedir? a. -1 b. 0 c. 1 d. e e. e2 3. f (x) = (x2 + 1)e-x ise f ' (0) de¤eri nedir? a. -1 b. 0 c. 1 d. e e. 1 + e 4. f (x ) = e x ise f ' (4 ) de¤eri nedir? a. -1 e2 6 2 b. e 4 3 c. e 4 -1 d. 4 e. e3 5. f (x) = x lnx fonksiyonun x = e noktas›ndaki te¤etinin e¤imi afla¤›dakilerden hangisidir? a. 1 + e b. 2 c. 1 d. 0 e. -e 2 6. f (x ) = 5 ex + x fonksiyonunun ikinci türevi afla¤›dakilerden hangisidir? 2

a. 5 ex + x 2 b. 5 ex + x 4x 2 + 4x + 3 c. ex

2+x .

2

4x 2 + 2x + 1

2 ex + x

. 2x + 1

d. e e. 5

2x + 1

x2+ x

2

7. f (x) = ex +lnx ise f '' (1) de¤eri nedir? a. e + 1 b. e c. e - 1 d. 0 e. -1

8. f (x ) = e x ise f ' (0 ) de¤eri nedir? a. 0 b. 1/2 c. 1 d. 2 e. e 9. f (x) = ax . ex ise f ' (0) de¤eri nedir? a. lna b. ex lna c. lna + ex d. 1 + lna e. e 10. 75 milyon TL %75 y›ll›k faiz oran›yla 3'er ayl›k zaman dilimleriyle bankaya yat›r›l›yor.Buna göre 1. y›l sonundaki banka hesap tutar› kaç milyon TL'dir. a. 200 b. 158 c. 149 d. 140 e. 138 11.Bileflik faiz oran›yla bankaya yat›r›lan 49 milyon TL 2 y›l sonunda 81 milyon TL ye ulaflt›¤›na göre bankan›n uygulad›¤› y›ll›k faiz oran› yaklafl›k olarak nedir? a. 15 b. 10 c. 28 d. 300 e. 375 12. %95 bileflik faiz oran›yla bankaya yat›r›lan bir miktar para 5 y›l sonunda 400 milyon TL'ye ulaflt›¤›na göre yat›r›lan para kaç milyon TL'dir. a. 10 b. 12 c. 14 d. 20 e. 45 13. Türkiye'nin nüfusu 1995 y›l›nda yaklafl›k 60 milyon ve ortalama y›ll›k nüfus art›fl yüzdesi % 2 ise, 2025 y›l›nda Türkiye'nin nüfusu yaklafl›k kaç milyon olur? a. 250 b. 108 c. 100 d. 97 e. 85

Belirsiz ‹ntegral

Amaçlar Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra; belirsiz integralin al›n›fl›n›, belirsiz integralinin ekonomik uygulamalar›n›, belirsiz integral alma yöntemlerini ö¤reneceksiniz.






9

188

Belirsiz ‹ntegral

‹çindekiler • Belirsiz integral tan›m› • Belirsiz integral hesaplama yöntemleri • Belirsiz integral ünitesine bafllamadan önce türev ile ilgili üniteleri bir kere daha gözden geçirmelisiniz. • Belirsiz integral kavram›n› ve türevle iliflkisini iyice kavraman›z gerekir. • ‹ntegral alma kurallar› için örnekleri iyi incelemeniz ve bir kere de sizin çözmeniz daha uygun olacakt›r.

Girifl Bir iflletmenin, x üretim miktar›n› göstermek üzere, marjinal maliyet fonksiyonunun, MC = x2 + 2x olarak belirledi¤ini varsayal›m. Firman›n toplam maliyet fonksiyonu nas›l bulunur? Yukar›da vermifl oldu¤umuz probleme benzer bir çok iflletme ve ekonomi probleminin çözümünde integral alma kullan›lacakt›r. Bu kitapta verilmemesine ra¤men, olaylar›n zaman içindeki de¤iflimini gösteren dinamik modellerin çözümünde kullan›lan Diferansiyel Denklemlerin çözümünde de integralden yararlan›l›r.

Belirsiz ‹ntegral Tan›m›

189

BEL‹RS‹Z ‹NTEGRAL TANIMI Belirsiz integral konusuna girmeden önce bir ekonomi problemini ele alarak, çözümünü inceleyelim.

ÖRNEK 1

Bir iflletme, x de¤iflkeni üretim miktar›n› göstermek üzere, marjinal maliyet fonksiyonunu, MC = f (x) = 4x + 4 olarak belirlemifltir. Verilen marjinal maliyet fonksiyonunundan yararlanarak bu iflletmenin, sabit maliyetler 50 000 TL. olmak üzere, 100 birimlik üretiminin toplam maliyetini bulunuz.

dF (x ) = F ' (x ) = f (x ) dx olur. Bu iliflki örnekte verilen verilere uygunal›rsa, dF (x ) = 4x + 4 dx eflitli¤i bulunur. Türevle ilgili verilerden, türevi f (x) = 4x + 4 olan bir F (x) fonksiyonu, sabit fark›yla, F (x) = 2x2 + 4x olarak bulunur. Türevi 4x + 4 olan fonksiyonlardan baz›lar›, sabitin türevinin s›f›r oldu¤u gözönüne al›narak, afla¤›daki flekilde yaz›labilir. F 1(x) = 2x2 + 4x + 5 , F 2(x) = 2x2 + 4x - 100 ,

F F

'1 (x) = 4x + 4 '2 (x) = 4x + 4

Yukar›daki örneklerde oldu¤u gibi, türevi 4x + 4 olan fonksiyonlar biribirinden sabitlerle ayr›lmaktad›r. Fonksiyonlardaki sabit yerine genel bir sabit olan c koyulursa, F (x) = 2x2 + 4x + c olur. Toplam maliyet fonksiyonundaki c sabiti, üretimin olmad›¤› durumdaki sabit maliyeti göstermektedir. Örne¤imizdeki toplam maliyet fonksiyonu olan F (x) de x = 0 olarak al›nd›¤›nda, F (0) = c = 50 000 olarak bulunur. Buradan x = 100 birimlik üretim için toplam maliyet, F (100) = 2 (100)2 + 4.100 + 50 000 = 70 400 olacakt›r. Vermifl oldu¤umuz örnekteki yöntem genellefltirilerek belirsiz integral tan›m› afla¤›daki flekilde yap›labilir.

ÇÖZÜM

Türevle ilgili ünitelerde marjinal maliyet fonksiyonunun, toplam maliyet fonksiyonunun üretim miktar› olarak olan x de¤iflkenine göre birinci türevi oldu¤u aç›klanm›flt›. Toplam maliyet fonksiyonu F (x) ise, F (x) in türevi marjinal maliyet fonksiyonu olan f (x) olacakt›r. Böylece,

Belirsiz integral ile maliyet fonksiyonlar› aras›nda iliflkiler vard›r. Bu iliflkiler, bizi belirsiz integral tan›m›na götürecektir.

190

Temel ‹ntegral Kurallar›

Bir f (x) fonksiyonu için, dF (x ) = f (x ) dx olacak flekilde bir F (x) fonksiyonu varsa, F (x) + c fonksiyonlar›na, f (x) in ters türevleri veya belirsiz integrali denir ve bu durum, f (x ) dx = F (x ) + c

Belirsiz integral, türevi verilen fonksiyonlar› bulma ifllemidir. Bu iflleme ters türev de denir. Türevi eflit fonksiyonlar birbirinden integral sabiti denilen c sabitiyle ayr›l›rlar.

‹ntegral tan›m›ndaki dx diferansiyeli, integralin hangi de¤iflkene göre al›naca¤›n› göstermektedir.

fleklinde ifade edilir. Bu eflitlik "f (x) fonksiyonunun belirsiz integralinin F (x) + c" oldu¤unu gösterir. Burada simgesine integral iflareti, f (x) fonksiyonuna integrant veya integral alt› denilir. Bu ifadeye belirsiz integral denilmesinin nedeni F (x) + c fonksiyonlar›n›n kesin tan›ml› olmay›fl›, bir fonksiyon ailesini göstermesindendir. F (x) fonksiyonlar›n› biribirinden ay›ran c sabitine integral sabiti denir. ‹ntegral tan›m›ndaki dx diferansiyeli integralin hangi de¤iflkene göre al›nd›¤›n› göstermektedir. Bununla ilgili olarak afla¤›daki örnekleri inceleyiniz. 3x dx integrali, 3x fonksiyonunun x e göre integralinin al›naca¤›n› göstermektedir. 4y 2x dx integrali, 4y 2x fonksiyonunun x e göre integralinin al›naca¤›n› göstermektedir. 4y 2x dy integrali, 4y 2x fonksiyonunun y ye göre integralinin al›naca¤›n› göstermektedir. 2t 2y + t + 1 dt integrali, 2t 2y + t + 1 fonksiyonunun t ye göre integralinin al›naca¤›n› göstermektedir.

TEMEL ‹NTEGRAL KURALLARI Temel integral alma kurallar›n› anlayabilmeniz için türev konusuna yeniden bakman›z yararl› olacakt›r.

Bu k›s›mda türev alma kurallar›ndan yararlanarak integral alma kurallar›n› aç›klayaca¤›z. 1)

adx = ax + c

2) n ≠ -1 için 3) n = -1 için

n+1 +c x ndx = x n+1

x -1dx =

4)

e xdx = e x + c

5)

x a xdx = a + c , a > 0 lna

1 dx = ln x + c , x ≠ 0 x

Yukar›da verilen temel integral formülleri, integral alma sonucu bulunan fonksiyonun türevinin integrali al›nacak fonksiyonu verip vermedi¤ine bak›larak do¤rulanabilir. fiöyle ki:

Temel ‹ntegral Kurallar›

191

1) F (x ) = ax + c ise F ' (x ) = a olur. n + 1 xn + 1 - 1 = x n olur. n+1

n+1

+ c ise F ' (x ) = 2) F (x ) = x n+1

3) F (x ) = ln x + c ise F ' (x ) = 1x

Yandaki do¤rulamalar integralin ters türev oldu¤unu göstermektedir.

olur. x ≠ 0

4) F (x ) = e x + c ise F ' (x ) = e x olur. x 5) F (x ) = a + c , ise lna

x F ' (x ) = a . lna = a x olur. lna

fiimdi yukar›da vermifl oldu¤umuz kurallar için birer örnek verelim. Siz de ikinci taraftaki fonksiyonlar›n türevlerini alarak integrali al›nan fonksiyonlar› verip vermedi¤ini kontrol ediniz. x dx = 2 x x + c 3

3dx = 3x + c 3 x 2dx = x + c 3

Türev yard›m› ile do¤rulamalar› siz de yap›n›z.

dx = - 1 + c x3 2x 2 dy

4 x 3dx = x + c 4

=- 1 +c y y 2

x 5 xdx = 5 + c ln5

2ydy = y 2 + c

Yukar›da verilen temel integral kurallar› türev ile ilgili ünitelerde verilen türev alma kurallar› yard›m›yle daha da gelifltirilebilir. Buna göre, f (x) ve g(x) fonksiyonlar›, s›ras›yle F (x) ve G (x) in türevleri olan fonksiyonlar ise, d F (x ) + G (x ) = d F (x ) + d G (x ) = f (x ) + g (x ) dx dx dx oldu¤undan,

Birden fazla fonksiyonun toplamlar›n›n türevi, bu fonksiyonlar›n ayr› ayr› bulunan türevleri toplam›na eflittir. Bu kural›n sonucu olarak da, birden çok fonksiyonun toplamlar›n›n integralini fonksiyonlar›n ayr› ayr› bulanan integralin taplam›na eflit oldu¤u bulunur.

f (x ) + g (x ) dx = d F (x ) + G (x ) = F (x ) + G (x ) + c = f (x )dx + g (x )dx olur. O halde kural olarak, iki fonksiyonunun toplamlar›n›n integrali, bunlar›n ayr› ayr› bulunan integralleri toplam›na eflit olaca¤›n› söyleyebiliriz. f (x ) + g (x ) dx =

f (x ) dx +

g (x ) dx

Sabitle bir fonksiyonun çarp›m›n›n integrali de, türev kurallar› yard›miyle, fonksiyonun integrali ile sabitin çarp›m›na eflittir. k f (x ) dx = k f (x ) dx fleklinde gösterilir.

Bir sabitle bir fonksiyonun çarp›m›n›n türevi, fonksiyonun türevi ile sabitinin çarp›m›na eflit oldu¤unu hat›rlay›n›z. Verdi¤imiz kural da türev kural›n›n bir sonucudur.

Temel ‹ntegral Kurallar›

192

SIRA S‹ZDE 1

Yukar›da verilen kurallar yard›m›yla afla¤›daki integrallerin nas›l al›nd›¤›n› inceleyiniz.

Örnekteki integralleri al›rken, integral iflleminden önce basitlefltirme ifllemlerini yapmak problemlerin çözümünü kolaylaflt›racakt›r.

1)

3 2 2 2x - 4x + 6 dx = 2 x 2dx - 4 xdx + 6 dx = 2x - 2x + 6x + c 3

2)

6x - 2x + 8 dx = 6 x 2dx - 2 xdx + 8 dx = 2x - x 2 + 8x + c

3)

e y + y 2 dy = e ydy + y 2dy = e y +

4)

3t 3 + 2t 2 + 3 dt = 3

5) 6)

2

3

2 1 dx = 2 x

y3 +c 3

4 3 t 3dt + 2 t 2dt + 3 dt = 3t + 2t + 3t + c 3 4

1 = 2ln x + c = lnx 2 + c x dx

x 4 + x - 1 dx = x =

x 4 dx + x

x x dx

x 3dx + dx -

1 x dx

4 1 = x + x - ln x + c x dx 4

Temel integral alma kurallar› yard›m›yla afla¤›daki integrallerin nas›l al›nd›¤›n› inceleyiniz. Bu integrallerde, üstel ve köklü ifadelerin bulundu¤u integrallerin nas›l al›naca¤› gösterilmifltir. Bu örneklerde köklerin kuvvet fleklinde yaz›lmalar› çok önemlidir. ‹ntegralleri önce al›n›z ve sonra cevapla karfl›laflt›r›n›z.

x 2 6.5x - 2e x + x - 1 dx = 6. 5 - 2e x + x - x + c 2 ln5 4/3 + 2x 1/2 + c = 3 x 3 x + 2 x + c x 1/3 + x -1/2 dx = 3x 4 4

3

x+ 1 x

4

x 3 + x + 2 dx = 3 x

dx =

x 3/4 dx + x 2/3 dx + 2 dx

7/4 5/3 = 4x + 3x + 2x + c 7 5

= 4x

ÖRNEK 2

4

3 x 3 + 3 x x 2 + 2x + c 5

ÇÖZÜM

Bir iflletmede x üretim miktar›na ba¤l› olarak marjinal maliyet fonksiyonu, MC(x) = x + 50ex ve sabit maliyet 250 000 birim ise, toplam maliyet fonksiyonunu bulunuz.

Önce verilen 1. Örnek incelenirse marjinal maliyet fonksiyonunun integralinin toplam maliyet fonksiyonunu verece¤i görülür. Baflka bir ifadeyle, TC (x ) =

x + 50 e x dx =

2 xdx + 50 e xdx = x + 50 e x + c 2

Temel ‹ntegral Kurallar›

193

olur. Üretim miktar›n›n s›f›r oldu¤u noktadaki maliyetin sabit maliyeti gösterece¤ini biliyorsunuz. Buradan, TC (0) = 50.e0 + c = 250 000 ve c = 250 000 - 50 = 249 950

olur. Böylece toplam maliyet fonksiyonu,

2

TC (x ) = x + 50 e x + 249 950 2 olur. Ekonomide, marjinal maliyet fonksiyonu verildi¤inde toplam maliyet fonksiyonunu bulmada kullan›lan yöntemden, üretim miktar›na ba¤l› olarak verilen marjinal kâr fonksiyonundan toplam kâr fonksiyonu bulunabilir. Bunun için afla¤›daki örne¤i inceleyiniz.

Ekonomide marjinal maliyet fonksiyonu verildi¤inde toplam maliyet fonksiyonunu, marjinal kâr fonksiyonu verildi¤inde de toplam kâr fonksiyonu bulunabilir. Bu hesaplama yöntemi integral almad›r.

ÖRNEK 3

Bir iflletmede x üretim miktar›na ba¤l› olarak marjinal kâr fonksiyonu, K ' (x) = 100x - 5000 olarak belirlenmifltir. ‹flletmede üretim yap›lmad›¤›nda zarar 25000 birim ise, toplam kâr fonksiyonunu bulunuz.

K (x ) =

100x - 5000 dx = 50x 2 - 5000x + c

ÇÖZÜM

Marjinal kâr fonksiyonunun integrali toplam kâr fonksiyonunu verece¤inden, toplam kâr fonksiyonunu,

olur. Üretim yap›lmad›¤›nda, x = 0 olaca¤›ndan, K (0) = c = -25000 birim olarak bulunur. Böylece toplam kâr fonksiyonu, K (x) = 50x2 - 5000x - 25000 olacakt›r. Bir iflletmede talep miktar› x birim, üretilen mal›n sat›fl fiyat› p olmak üzere, talep fonksiyonu,

Bu örne¤in çözümünde Gelir = Fiyat . Miktar oldu¤u unutulmamal›d›r.

p = f (x) olacakt›r. Baflka bir deyimle, bir iflletmenin üretti¤i mallar›n tamam›n› satt›¤› durumda, talep miktar› üretim miktar›na eflit ve mal›n fiyat› da üretim miktar›n›n bir fonksiyonu olmaktad›r. Bu fonksiyona, yukar›da fonksiyon fleklinde ifade edildi¤i gibi, talep fonksiyonu denir. ‹flletmenin toplam gelir fonksiyonu, R (x) = x.p = x f (x) olur. Toplam gelir fonksiyonunun türevi marjinal gelir fonksiyonunu verecektir. R ' (x) = f (x) + x. f ' (x) E¤er iflletmenin, x üretim miktar›na ba¤l› olarak, marjinal gelir fonksiyonu biliniyorsa, toplam gelir fonksiyonu, R (x ) = R ' (x ) dx

Toplam gelir fonksiyonunun türevinin marjinal gelir fonksiyonu oldu¤unu unutmay›n›z. Bu sonuç bir çok ekonomik problemin çözülmesinde kullan›l›r.

Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri

194

olarak bulunur. Böylece toplam gelir fonksiyonu, c sabit geliri göstermek üzere, R ' (x ) dx = R (x ) + c olarak bulunur. Yukar›da yap›lan aç›klamalar ile afla¤›daki örnek aras›ndaki iliflkiyi kurunuz.

ÖRNEK 4

ÇÖZÜM

Bir iflletmenin, x üretim miktar›n› göstermek üzere, marjinal gelir fonksiyonu, R ' (x) = 10 - 2x - x2 ise toplam gelir fonksiyonu ne olur?

R (x ) = MRdx =

2 3 3 10 - 2x - x 2 dx = 10x - 2x - x + c = 10x - x 2 - x + c 2 3 3

Üretim yap›lmad›¤›nda, gelir s›f›r olaca¤› için burada c = 0 olacak ve dolay›s›yle bu iflletme için toplam gelir fonksiyonu, 3 R (x ) = 10x - x 2 - x 3

olur.

ÖRNEK 5

Bir kentin nüfusunun, t y›l olarak zaman› göstermek üzere, p ' (t ) = 6000 + 9000 t

ÇÖZÜM

ba¤›nt›s›yle büyüdü¤ü belirlenmifltir. Kentin flu andaki nüfusu 500 000 kifli ise, 4 y›l sonraki nüfusu ne olur? Kent nüfusunun büyümesini gösteren, p ' (t ) = 6000 + 9000 t fonksiyonunun integrali al›narak, t y›l sonraki nüfusu, p (t ) = p ' (t ) dt = 6000t + 6000t t + 500 000 fonksiyonu ile belirlenir. t = 4 için, p (4) = 6000.4 + 6000.4 4 + 500 000 = 572 000 olacakt›r.

BEL‹RS‹Z ‹NTEGRAL ALMA YÖNTEMLER‹ Bu kesimde, belirsiz integral hesaplar›nda en çok kullan›lan üç yöntemi tan›taca¤›z. Bu yöntemler de¤iflken dönüflümü, k›smi integrasyon ve basit kesirlere ay›rma teknikleri olarak adland›r›l›r.

De¤iflken Dönüflümü ‹le ‹ntegral Alma De¤iflken dönüflümü ile integral alma yöntemini bir örnek üzerinde aç›klayarak genellefltirece¤iz.

Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri

20

x 2 - 1 xdx

195

ÖRNEK 6

integralini hesaplay›n›z. ÇÖZÜM

‹ntegrali al›nacak fonksiyondaki (x2 - 1)20 ifadesinin aç›larak integralin al›nmas› çok uzun ifllemler gerektirmektedir. Bu uzun ifllemleri ortadan kald›rarak integrali al›nacak fonksiyonu basitlefltirmek için de¤iflkeni dönüfltürece¤iz. ‹ntegrali al›nacak fonksiyonda (x2 - 1) yerine yeni bir de¤iflken olarak, u = x2 - 1 de¤iflkenini koyal›m. Dönüflümle verilen fonksiyonunun x e göre türevini alal›m ve buradan da dx diferansiyelini bulal›m. du = 2x fi du = dx 2x dx Buldu¤umuz bu de¤erleri integrali al›nacak fonksiyonda yerine koyal›m. 20

x 2 - 1 xdx =

u 20. x . du = 1 u 20du 2x 2

21 21 = 1 .u + c = 1 u 21 + c = 1 x 2 - 1 + c 2 21 42 42

Bu örnekte uygulanan de¤iflken dönüflümü ile integral alma yöntemi için afla¤›daki genel ilke verilecektir.

Çözümde buldu¤unuz integralin U' ya ba¤l› olarak al›naca¤›n› du diferansiyeli göstermektedir.

•

u de¤iflkeni u = g(x) fleklinde seçiniz. Genelde, integrali al›nacak fonksiyondaki parantez içerisi, kök içerisi veya bir üs u olarak al›n›r.

•

du = g ' (x ) ve buradan du = dx diferansiyeli bulunur. dx g ' (x ) u = g (x ) ve du = dx de¤erleri integral al›nacak fonksiyonda yerlerine g ' (x ) konulursa, içerisinde x de¤iflkeni yerine u de¤iflkenine ba¤l› integrali al›nacak bir fonksiyon bulunur. E¤er, yap›lan dönüflüm sonucunda içerisinde x de¤iflkeni bulunan bir fonksiyon bulunursa baflka bir dönüflüm uygulan›r. Dönüflüm sonucunda u ya ba¤l› olarak bulunan fonksiyonun integrali u ya göre al›nacakt›r. Al›nan integralde u yerine u = g (x) de¤eri konulur.

Kural incelendi¤inde de¤iflkenin ve buna ba¤l› olarak diferansiyelin nas›l dönüfltürüldü¤ünü görmek çok önemlidir Genelde integrali al›nacak fonksiyondaki parantez içerisi, kök içerisi veya bir üs u olarak al›n›r.

•

•

Vermifl oldu¤umuz de¤iflken dönüflümü yöntemi ile al›nacak integral örnekleri verece¤iz. 10

x 3 + 1 x 2dx

ÖRNEK 7

integralini al›n›z.

u = x3 + 1 ,

du = 3x 2 fi dx = du dx 3x 2

de¤erleri bulunur. konulursa,

Bulunan

de¤erler

integraldeki

fonksiyonda yerlerine

ÇÖZÜM

‹ntegrali al›nacak fonksiyonda (x3 + 1) ifadesi yerine u de¤iflkeni al›n›rsa,

Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri

196

10

x 3 + 1 x 2dx =

11 u 10. x 2. du = 1 u10 . du = 1 . u + c 3 3 11 3x 2

11 = 1 x2 + 1 + c 33

sonucu bulunur.

ÖRNEK 8

xdx 4 x +2

integralini al›n›z.

ÇÖZÜM

2

‹ntegrali al›nacak fonksiyonda parantezin içerisindeki (x2 + 2) ifadesi u olarak al›nacakt›r. du = dx u = x 2 + 2 , du = 2x fi dx 2x Bulunan de¤erler integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine konulursa, xdx 2

x +2

=

4

x . du = 1 u -4.du 2 u 4 2x

-3 1 = 1. u +c = -1. +c 2 -3 6 x2 + 2 3

bulunur.

ÖRNEK 9

ÇÖZÜM

xdx x2 + 3

integralini hesaplay›n›z..

u = x2 + 3 olarak al›nd›¤›nda, du = 2x dx

fi

dx = du 2x

olur. Bu de¤erler integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine konulursa, Bu örnekteki integralin al›nmas›nda logaritmik fonksiyonun türevinden yararlan›ld›¤›n› görünüz.

ÖRNEK 10

sonucu bulunur. e 3x + 6. dx

ÇÖZÜM

x . du = 1 du = 1 ln u + c = 1 ln x 2 + 3 + c u 2x 2 u 2 2

xdx = x2 + 3

integralini hesaplay›n›z.

u = 3x + 6 olarak al›n›rsa, du = 3 dx

fi du = dx 3

de¤erleri bulunur. Bulunan de¤erler integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine konulursa, e 3x+6 dx = sonucu bulunur.

e u . du = 1 e u + c = 1 e 3x+6 + c 3 3 3

Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri

x . x 2 + 2 dx

197

ÖRNEK 11

integralini hesaplay›n›z.

du = 2x fi du = dx 2x dx

ÇÖZÜM

‹ntegrali al›nacak fonksiyonda u = x2 + 2 olarak al›n›rsa,

de¤erleri bulunur. Bulunan de¤erler integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine konulursa, 3/2 + c = 1 u u +c x. x 2 + 2 dx = x . u 1/2 . du = 1 u 1/2 du = 1 u 2x 2 2 3 3 2 = 1 x2 + 2 x2 + 2 + c 3

sonucu bulunur.

ex

2+1

. xdx

ÖRNEK 12

integralini hesaplay›n›z.

du = 2x fi du = dx 2x dx

ÇÖZÜM

u = x2 + 1 al›n›rsa,

de¤erleri bulunur. Bulunanlar integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine konulursa, ex

2+ 1

. xdx =

2 e u . x . du = 1 e u du = 1 e u + c = 1 e x + 1 + c 2x 2 2 2

sonucu bulunur.

e 2x dx 2 + e 2x

ÖRNEK 13 integralini hesaplay›n›z.

du = 2e 2x dx

fi dx = du 2e 2x

de¤erleri bulunur. Bulunan de¤erler integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine konulursa, e 2x dx = 2 + e 2x sonucu bulunur.

e 2x . du = 1 ln u + c = 1 ln 2 + e 2x + c u 2e 2x 2 2

ÇÖZÜM

‹ntegrali al›nacak fonksiyonda u = 2 + e2x olarak al›n›rsa,

Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri

198

SIRA S‹ZDE 2 Örneklerdeki integralleri al›rken önce de¤iflkenin nas›l dönüfltürüldü¤üne dikkat ediniz.

Afla¤›daki integralleri alarak ikinci tarafla karfl›laflt›r›n›z. 1)

2 3 5x + 3 dx = 1 5x + 3 + c , 15

2)

1 - 2x

3)

3x + 5 dx = 2 3x + 5 9

5

dx = - 1 1 - 2x 12

6

u = 5x + 3

+ c,

u = 1 - 2x

3x + 5 + c ,

u = 3x + 5

4)

2x dx = ln x 2 + 5 + c , x2 +5

u = x2 + 5

5)

e 8xdx = 1 e 8x + c , 8

u = 8x

6)

2x . e x

2 - 1

dx = e x

2x + 1 dx

7)

2

x +x

4

= -

2 - 1

u = x2 - 1

+ c,

1 3 x +x 2

3

ln x + 1 dx = 1 ln x + 1 x +1 2

8)

u = x2 + x

+ c,

2

+ c,

u = ln x + 1

K›smi ‹ntegral Alma Yöntemi u ve v , x de¤iflkenine ba¤l› ve bu de¤iflkene göre türevlenebilir iki fonksiyon olsun. Bu iki fonksiyonun çarp›mlar›n›n x e göre türevleri al›n›rsa, d u . v = u . dv + v . du dx dx dx bulunur. Diferansiyelleri kullanarak, d (uv) = udv + vdu eflitli¤i bulunur. Bu eflitli¤in her iki taraf›ndaki ifadelerin integralleri al›n›rsa, d uv = u.v fleklinde x e ba¤l› iki fonksiyonun çarp›mlar›n›n türevinden yararlan›larak udv = uv -

vdu

fleklinde belirlenen k›smi integral formülü bulunur.

udv + vdu

veya uv = udv + vdu eflitli¤i bulunur. Son eflitlikteki

udv terimi yaln›z b›rak›l›rsa, k›smi integral alma

yönteminde kullan›lacak formül bulunur. K›smi integral yöntem uyguanmas› için dv integrali en kolay al›nabilen ve ayn› zamanda, vdu integralinin kolayca al›nmas›n› sa¤layan fonksiyon olarak seçilmelidir.

udv = uv - vdu Formülde çarp›m fleklinde verilen udv ifadesindeki çarpanlardan dv olarak integrali en kolay al›nabilen ve ayn› zamanda vdu integralinin kolayca al›nmas›n› sa¤layan fonksiyon seçilmelidir. E¤er, dv olarak seçilen fonksiyon ikinci taraftaki integralin al›nmas›n› kolaylaflt›rm›yorsa, dv olarak di¤er çarpan seçilir.

Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri

199

Afla¤›da verece¤imiz örnekleri dikkatle incelerseniz bu seçimi kolayca yapar ve integrali hesaplayabilirsiniz.

x e xdx

ÖRNEK 14

integralini k›smi integral alma yöntemiyle hesaplay›n›z. ÇÖZÜM

K›smi integral alma yöntemiyle bu integrali almak için önce x.exdx çarp›m›nda hangi çarpan›n u, hangi çarpan›n dv olarak seçilmesi gerekti¤i belirlenmelidir. Burada dv = exdx , u = x olarak al›n›rsa, dv = exdx fi v = ex x = u fi dx = du olarak bulunur. Bulunan de¤erler k›smi integral alma formülünde yerlerine koyulursa, x e xdx = x e x -

e xdx

Ø Ø

Ø Ø

Ø Ø

u dv = u . v -

v du

= xex - ex + c bulunur.

x lnx dx

2 dv = xdx fi v = x 2 1 u = lnx fi du = x dx

dv = xdx fi

de¤erleri bulunur. Bulunan de¤erler k›smi integral alma formülünde yerlerine konulursa, 2 2 2 2 2 x lnx dx = x lnx - x . 1 dx = x lnx - 1 xdx = x lnx - 1 . x + c x 2 2 2 2 2 2 2 2 = x lnx - 1 x 2 + c 2 4

ÇÖZÜM

‹ntegrali al›nacak fonksiyonun çarpanlar›ndan biri olan lnx fonksiyonunun integrali kolayl›kla al›namaz. O halde dv olarak xdx çarpan› seçilirse,

bulunur.

ÖRNEK 15

integralini k›smi integral alma yöntemiyle hesaplay›n›z.

Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri

200

ÖRNEK 16

ÇÖZÜM

lnx dx

integralini k›smi integral alma yöntemiyle hesaplay›n›z.

‹ntegrali al›nacak fonksiyonun çarpanlar›ndan lnx fonksiyonunu u, dx ise dv olarak al›nacakt›r. u = lnx fi du = 1 dx x dv = dx fi v = x Bulunan de¤erler yerlerine konulursa, lnx dx = x lnx - x . 1x dx = x lnx - dx = x lnx - x + c sonucu bulunur.

ÖRNEK 17

ÇÖZÜM

lnx

2

dx

u = lnx dv = dx lnx

lnx dx

integralini k›smi integral alma yöntemiyle hesaplay›n›z.

2

fi

v=x

= x lnx

1 lnx dx x2 ÇÖZÜM

fi du = 2 lnx . 1x dx

dx = x lnx

integralinin bir önceki örnekte hesapland›¤›na dikkat ediniz.

ÖRNEK 18

2

2

- 2. ln x . 1x x dx

2

- 2 lnx dx = x lnx

2

- 2 x lnx - x + c

integralini k›smi integral alma yöntemiyle hesaplay›n›z.

dv = 12 dx fi v = - 1x x u = lnx

olur.

fi du = 1x dx

Bu de¤erler integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine konulursa, 1 lnx dx = - 1 lnx x x2

- x1 . 1x dx

= - 1x lnx + 12 dx x = - 1x lnx - 1x + c sonucu bulunur.

Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri

ln x +1 dx

201

ÖRNEK 19

integralini k›smi integral alma yöntemiyle hesaplay›n›z. fi v=x

u = ln x + 1

fi du =

1 dx x+ 1

ÇÖZÜM

dv = dx

Bu de¤erler integrali al›nacak fonksiyonda yerlerine konulursa, ln x +1 dx = x ln x + 1 = x ln x + 1 -

x dx x+ 1 1-

1 dx x +1

= x ln x + 1 - x + ln x + 1 + c sonucu bulunur.

x 4 ln10x dx

ÖRNEK 20

integralini hesaplay›n›z.

5 dv = x 4dx fi v = x 5

ÇÖZÜM

‹ntegrali al›nacak fonksiyonunun çarpanlar›ndan ln10x ifadesi u , x4dx ifadesi de dv olarak al›n›rsa,

u = ln10x fi du = 1x dx Bulunan de¤erler yerlerine konulursa, 5 5 x 4 ln10x dx = x ln10x - x . 1 dx 5 5 x 5 5 = x ln10x - x + c 5 25

bulunur.

Basit Kesirlere Ay›rma Yöntemiyle ‹ntegral Alma a lar sabit ve n ≥ 0 tamsay› olmak üzere, a 0x n + a 1x n -1 + .... a n -1x + a n fleklinde x in kuvvetlerine göre düzenlenmifl bir ifadeye polinom denildi¤ini biliyorsunuz. Bir polinomun ax + b fleklinde birinci dereceden ax2 + bx + c fleklinde ikinci dereceden çarpanlar› olabilir. f (x) ve g (x) birer polinom ve g (x) ≠ 0 olmak üzere, F (x ) = f (x ) g (x )

x in pozitif tamsay› olan kuvvetlerine göre düzenlenmifl ifadelere polinom denir. f (x) ve g (x) birer polinom ve g (x) ≠ 0 olmak üzere F (x ) =

f (x ) g (x )

fleklindeki fonksiyona rasyonel fonksiyon denir. Burada bir rasyonel fonksiyonun basit kesirler fleklinde nas›l ifade edilece¤i aç›klanacakt›r.

Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri

202

fleklindeki fonksiyona rasyonel fonksiyon denir. Rasyonel fonksiyonda paydaki fonksiyonunun derecesi paydadaki polinomun derecesinden küçük ise bu kesir basit kesirdir. E¤er paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden büyük veya eflit ise, verilen kesirin pay›ndaki polinom paydas›ndaki polinoma bölünerek verilen fonksiyon bir polinom ile bir basit kesirin toplam› fleklinde ifade edilebilir. Örnek olarak x

x 2 fonksiyonunu ele alal›m. x- 1

2

x-1 - 2+ +x - x x + 1 x +- x +- 1 1 x2 = x + 1 + 1 x -1 x -1

Böylece

olur.

Bu rasyonel fonksiyonun integralini alal›m. x + 1+

1 dx = x 2 + x + ln x - 1 + c 2 x -1

Bir rasyonel fonksiyonun paydas›ndaki polinomun biribirinden farkl› ax + b fleklinde birinci dereceden çarpanlar› varsa, çarpanlar›n her biri için, A ax + b fleklinde basit kesirler yaz›l›r ve bu kesirler toplanarak rasyonel fonksiyona özdefl k›l›n›r.

ÖRNEK 21

ÇÖZÜM

dx x2 -1

integralini hesaplay›n›z.

Paydadaki polinom,

(x2 - 1) = (x - 1) (x + 1) fleklinde çarpanlar›na ayr›l›r.

1 ∫ A + B x -1 x +1 x2 - 1 ‹kinci taraftaki kesirlerin paydalar› eflitlenirse ve gerekli düzenlemeler yap›l›rsa, 1 ∫ A (x + 1) + B (x - 1) 1 ∫ (A + B )x + A - B özdefllikleri bulunur. Özdeflli¤in ikinci taraf› x li terimin katsay›s› birinci taraftaki x li terim olmad›¤› için katsay› s›f›r olacakt›r. A+B=0 A-B=1 Bu iki denklem ortak çözülürse A = 1 ve B = - 1 olarak bulunur. Böylece 2 2 1 1 = 1 1 - 1 2 x -1 2 x +1 x2 - 1

Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri

203

olur. ‹ntegral al›n›rsa, dx = 1 dx - 1 dx 2 x -1 2 x +1 x2 -1 = 1 ln x - 1 2 = ln

- 1 ln x + 1 + c 2

x -1 +c x +1

bulunur.

dx x + 7x + 6 2

ÖRNEK 22

integralini al›n›z.

1 = A + B x +1 x +6 x 2 + 7x + 6

ÇÖZÜM

‹ntegrali al›nacak rasyonel fonksiyonun paydas›ndaki polinom çarpanlar›na ayr›l›rsa, x2 + 7x + 6 = (x + 1) (x + 6) bulunur.

Eflitli¤in ikinci taraf›ndaki kesirlerin paydalar› eflitlenir ve gerekli düzenlemeler yap›l›rsa, 1 ∫ A (x + 6) + B (x + 1) 1 ∫ (A + B )x + 6A + B fi

A + B = 0 , 6A + B = 1

denklem sistemi bulunur. Bu iki denklemin ortak çözümünden A =1 , B =- 1 5 5

bulunur.

1 1 - 1 1 = 1 5 x +1 5 x +6 x 2 + 7x + 6 ‹ntegral al›n›rsa 1 = 1 dx - 1 dx 5 x +1 5 x +6 x 2 + 7x + 6 5

= ln

x+ 1 + c x +6

olur.

x 2dx x2 - 4

ÖRNEK 23

integralini al›n›z.

ÇÖZÜM

‹ntegrali al›nacak rasyonel fonksiyonun pay›ndaki polinomun derecesi paydas›ndaki polinomun derecesinden büyük veya eflit ise; pay paydaya bölünerek verilen fonksiyon bir polinom ile bir basit kesirin toplam› fleklinde ifade edilir.

Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri

204

x

2

- 2 + x +- 4 4

x 2- 4 1

x2 ∫ 1 + 4 x2 - 4 x2 - 4 Özdefllikteki

4 fonksiyonu yukar›da aç›kland›¤› gibi basit kesirlere ayr›labilir. x2 - 4

4 ∫ A + B x- 2 x+ 2 x -4 2

‹kinci taraftaki kesirlerin paydalar› eflitlenip gerekli düzenlemeler yap›l›rsa, 4 ∫ (A + B)x + 2A - 2B özdeflli¤i bulunur. Özdeflli¤in iki taraf›ndaki benzer terimlerin katsay›lar›n›n eflitli¤inden, A+B=0 2A - 2B = 4 denklem sistemi bulunur. Bulunan iki denklem iki bilinmeyenden oluflan denklem sisteminin ortak çözümünden A = 1, B = -1 bulunur. Verilen rasyonel fonksiyonunun integrali al›n›rsa, x 2dx = dx + dx - dx x- 2 x+ 2 x2 - 4 = x + ln x - 2 - ln x + 2 + c = x + ln x - 2 + c x+ 2 bulunur.

‹ntegrali al›nacak rasyonel ifadelerin paydas›ndaki çarpanlar›n biçimi önemlidir.

‹ntegrali al›nacak rasyonel fonksiyonun paydas›ndaki polinomun ax + b fleklinde birinci derece ifadelerin tekrarlanm›fl çarpanlar› varsa, A lar bulunmas› gereken sabitler olmak üzere (n) kere tekrarlanm›fl bir çarpan için, A2 An A1 + + ... ax + b ax + b 2 ax + b n fleklinde n tane basit kesirin toplam› yaz›l›r.

ÖRNEK 24

x + 1 dx

ÇÖZÜM

x -1

2

integralini al›n›z.

‹ntegrali al›nacak rasyonel fonksiyonunun paydas›ndaki (x - 1) çarpan› iki kere tekrarlanm›flt›r. Bu nedenle, B x +1 ∫ A + x -1 x -1 x -12

2

Belirsiz ‹ntegral Alma Yöntemleri

205

özdeflli¤i yaz›l›p, ikinci taraf›n paydalar› eflitlenirse, x + 1 ∫ A (x - 1) + B özdeflli¤i ve buradan da, x + 1 ∫ Ax - A + B özdeflli¤i bulunur. Özdeflli¤in her iki taraf›ndaki benzer terimlerin katsay›lar› eflitlenirse, A=1 -A + B = 1 denklem sistemi bulunur. Bulunan sistemin çözümünden A = 1, B = 2 de¤erleri bulunur. 1 x +1 ∫ 1 +2. 2 x 1 x -1 x -1

2

‹ntegral al›n›rsa, (x + 1) dx x -1

2

=

dx + 2 x -1

= ln x - 1 -

dx x -1

2

2 +c (x - 1)

bulunur.

2x 2 - 1 dx x 3 + x2

ÖRNEK 25 integralini al›n›z.

2x 2 - 1 ∫ A + B2 + C x x x +1 x3 + x2 ‹kinci taraf›n paydalar› eflitlenirse, 2x2 - 1 ∫ x (x + 1)A + (x + 1)B + x2 C ∫ (A + C )x2 + (A + B )x + B özdeflli¤i bulunur. Özdeflli¤in iki taraf›ndaki benzer terimlerin katsay›lar› eflitlenirse, A+C=2 A+B=0 B = -1 denklem sistemi bulunur. Sistemin ortak çözümünden, A = 1, B = -1, C = 1 de¤erleri bulunur. ‹ntegrali al›n›rsa, 2x 2 - 1 dx = x 3 + x2

dx + dx x +1 x2 = ln x + 1 + ln x + 1 + c x = ln x x + 1 + 1 + c x

sonucu bulunur.

dx x

ÇÖZÜM

Verilen rasyonel fonksiyonun paydas›ndaki polinom, x3 + x2 ∫ x2(x + 1) fleklinde çarpanlar›na ayr›l›r. Burada x çarpan› iki kere tekrarlanm›flt›r.

Kendimizi S›nayal›m

206

Kendimizi S›nayal›m 1.

6xdx 3x 2- 10

afla¤›dakilerden hangisine eflittir?

5.

a. 1 e -2x + c 2

a. ln 3x 2 - 10 + c b. ln x 2 - 10 + c

b. 1 e -2x + c 3

c. ln 3x 2 + 10 + c

2.

e -2x dx afla¤›dakilerden hangisine eflittir?

d. 6ln x 2 - 2 + c

c. - 1 e -2x + c 2

e. 1 ln x 3 + 3 2

d. - 1 e -2x + c 3

+ c

3

e 3x . x 2dx afla¤›dakilerden hangisine eflittir?

e. 1 e -2x + c 4

3

a. e 3x + c

6.

1 e 3x 3 + c b. 3

2 a. 1 e x + c 2 2 1 b. - e x + c 2

3 c. 1 e 3x + c 2

d.

1 e 3x 3 + c 9

2

c. e x + c

3

e. e x + c

d. e x

eflittir? a. b. c. d. e. 4.

e.

5

x 2 + 2x . x + 1 dx afla¤›dakilerden hangisine

3.

x2

2

e x . xdx afla¤›dakilerden hangisine eflittir?

+ 2x 12

5

x2

6

x2

6

dx afla¤›dakilerden hangisine eflittir?

1

1

c. 2e x + c

+c

d. e

+c

e.

x 2 lnxdx afla¤›dakilerden hangisine eflittir?

a.

3 3 b. x lnx + x + c 3 3

b.

3 3 c. x lnx - x + c 3 18

x 3 lnx + x 3 + c 3 9

3 3 e. x lnx + x + c 9 3

-1

x+

c

1 + c ex lnx 5dx afla¤›dakilerden hangisine eflittir? x

8.

3 3 a. x lnx - x + c 3 9

d.

1 x2

b. -e x + c +c

4

+ 2x 18

1

ex .

1 a. 1 e x + c 2

+c

x 2 + 2x 4

+ c

1 ex2 + c 8

+c

x 2 + 2x 10 + 2x 6

7.

6

2- 1

c. d. e.

lnx 5 +c 5 lnx 6 +c 6 lnx 2 +c 3 lnx 4 +c 4 lnx + c 6

Baflvurabilece¤imiz Kaynaklar

9. x üretim miktar›n› göstermek üzere, bir firman›n marjinal gelir fonksiyonu, R ' (x) = 40 000 - 2x olarak belirlenmifltir. Buna göre, bu firman›n toplam gelir fonksiyonu afla¤›dakilerden hangisidir?

a. ln

a. 40 000 - x2

b. ln

b. 40 000x - x2 c. 40 000x + x2

c. ln

d. 40 000x -3x e. x2

d. ln

10. x üretim miktar›n› göstermek üzere, bir firman›n marjinal maliyet fonksiyonu, C ' (x) = 8x + 100 olarak be80 bin birim ise, toplam maliyet fonksiyonu afla¤›dakilerden hangisidir?

a. b. c. d. e.

+ 100x + 69.600

c. 4x2 + 10x + 69.000 d. 4x2 + 100x + 70.000 e. 4x2 + 100x 11. x üretim miktar›n› göstermek üzere, bir firmada marjinal kâr fonksiyonu, P ' (x) = 2x + 500 olarak belirlenmifltir. Firmada 100 birimlik üretim için toplam kâr 20 bin birim ise, toplam kâr fonksiyonu afla¤›dakilerden hangisidir? a. -x2 + 500x - 20 000 b. -x2 + 500x + 20 000 c. x2 + 500 d. x2 + 500x - 30 000 e. -x2 - 500x + 20 000

x- 3 + c x+3

4

x- 3 + c x+3

6

x- 3 + c x+3

12

x- 3 + c x+3

x 13. e dx afla¤›dakilerden hangisine eflittir? ex- 1

a. 4x2 + 100x + 60.000 b.

3

e. ln x - 3 + c x+3

lirlenmifltir. Firman›n 40 birim üretim için toplam maliyet

4x2

dx afla¤›dakilerden hangisine eflittir? x2 - 9

12.

ln ln ln ln ex

(ex + 1) + c |ex - 1| + c ex + c |1 - ex| + c +c

ln x dx afla¤›dakilerden hangisine eflittir? x

14.

a. ln2 x

+ c

2 b. ln x 2

+c

c. ln2x + c 3 d. ln x 3

+c

2 e. ln x 3

+c

Bernhard Riemann (1826 - 1866) Riemann’ ›n uzay geometri konusundaki çal›flmalar›, modern kuramsal fizi¤in geliflmesine önemli etkileri olmufltur. Bu gün Riemann integrali olarak bilinen belirli integral kavram›n› ortaya koymufltur. "Riemann gibi bir geometrici gerçek dünyan›n en önemli çizgilerinin hemen hemen hepsini herkesten önce sezmifl olabilirdi." A. S. EDDINGTON

207

10

Belirli ‹ntegral ve Uygulamalar›

Amaçlar Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra; belirli integralin tan›m›n›, belirli integralin al›n›fl›n›, belirli integralin iflletme ve ekonomik uygulamalar›n› ö¤reneceksiniz.






210

Belirli ‹ntegral ve Uygulamalar›

‹çindekiler • Belirli ‹ntegral Tan›m› • Belirli ‹ntegralin Uygulamalar› • •

Üniteyi çal›fl›rken görece¤iniz gibi, bu üniteye bafllamadan önce belirsiz integral kurallar›n› bir kere daha gözden geçirmeniz gerekmektedir. Belirli integralin uygulamalar› için de, türevle ilgili üniteleri ve belirsiz integral uygulamalar›n› da gözden geçirmeniz gerekmektedir.

Girifl Bir iflletmenin, x de¤iflkeni üretim miktar›n› göstermek üzere marjinal maliyet fonksiyonunu, MC(x) = 2x + 3 olarak belirledi¤ini varsayal›m. Verilen marjinal maliyet fonksiyonundan yararlanarak 200 birimlik üretim için firman›n toplam maliyeti ne olur? Vermifl oldu¤umuz problem ile 9. ünite giriflinde verdi¤imiz problem aras›ndaki fark› görmektesiniz. Önceki problemde marjinal maliyet fonksiyonu verilerek, toplam maliyet fonksiyonu istenmektedir. Bu problemde ise toplam maliyet fonksiyonu veriliyor, 200 birimlik üretim için toplam maliyetin ne olaca¤› soruluyor. Bu karfl›laflt›rma sonucunda, belirli integral sözkonusu problemlerin çözümü için uygun bir yöntem olmaktad›r. Belirli integral, üniteyi çal›fl›rken görece¤iniz gibi, fonksiyonu verilen bir e¤ri ile x ve y eksenleri aras›nda kalan alanlar›n da hesaplanmas›nda kullan›lmaktad›r.

Bir E¤ri Alt›ndaki Alan ve Belirli ‹ntegral Tan›m›

211

B‹R E⁄R‹ ALTINDAK‹ ALAN VE BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL TANIMI [a, b ] kapal› aral›¤›nda tan›ml› ve sürekli f (x) fonksiyonunun gösterdi¤i e¤rinin, f (x) ≥ 0 olmak üzere, fiekil 10.1'de görüldü¤ü gibi oldu¤unu varsayal›m. y f (x )

f (tn)

f (tn)

a = x0 t1 x1 t2 x2 t3 x3 ....

xn -1 tn xn = b

x

Şekil 10.1

[a, b ] aral›¤›n› a = x0 < x1 < x2 < x3 ..... xn -1 < xn = b fleklinde uzunlu¤u biribirine eflit n tane alt aral›¤a bölelim ve herbir alt aral›¤›n uzunlu¤unu ∆x ile gösterelim. ∆x = b -na dir. Alt aral›klar üzerinde keyfi olarak al›nm›fl t1, t2 ..... tn noktalar› için fonksiyonun ald›¤› de¤erler f (t1), f (t2), f (t3) ..... f (tn) olacakt›r. f (x) fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri, x = a, x = b do¤rular› ve x ekseni aras›nda kalan alan, yaklafl›k olarak taban uzunluklar› ∆x ve yükseklikleri f (t1), f (t2), ..... f (tn) olan dikdörtgenlerin alanlar› toplam› olarak yaz›labilir. S @ f (t1) ∆x + f (t2) ∆x + ..... f (tn) ∆x Bu toplam, toplam sembolü yard›miyle, n

S @

∑

f t k ∆x

k =1

fleklinde ifade edilebilir. Aral›k say›s›n› gösteren n de¤eri n Æ ∞ iken ∆x Æ 0 olacakt›r. Verilen toplam›n limiti, f (x) fonksiyonu sürekli bir fonksiyon oldu¤undan, vard›r. Toplam›n bu limitine belirli integral denir ve n

b

S = lim ∑ f t k ∆x = k Æ∞k =1

a

f (x ) dx

b

biçiminde gösterilir.

a

f (x ) dx yaz›l›fl›, f (x) fonksiyonunun a ile b aras›nda-

ki integrali diye okunur. Burada a ya integralin alt s›n›r›, b ye integralin üst s›n›r› denir.

Belirli integral fonksiyonu f (x) olarak verilen e¤ri ile [a, b] kapal› aral›¤›nda x ekseni aras›nda kalan alan›n bulunmas› ile tan›mlanmaktad›r. Bu alan bulunurken verilen aral›k n tane alt aral›¤a ayr›lmakta, aral›klar›n taban oldu¤u dikdörtgenlerin alanlar›n›n toplam›n›n limiti al›nmaktad›r.

212

Belirli ‹ntegralin Baz› Özellikleri

f (x) fonksiyonu [a, b ] aral›¤› üzerinde pozitif, negatif ve s›f›r de¤erleri de alabilir. Bu durumda, yukar›da oldu¤u gibi keyfi x0, x1 ... xn noktalar› a = x0 < x1 < x2 ... < xn-1 < xn = b koflulunu sa¤layacak flekilde al›narak [a, b ] aral›¤› [xi-1 , xi ]

alt aral›klar›na bölünür. i = 1, 2, .... n için ∆xi = [xi-1 , xi ] n

ve ti Œ [xi-1 , xi ] olmak üzere

∑ f ti ∆xi

toplam›na, Rieamann topla-

i =1

m› ad› verilir. Bu toplam pozitif, negatif veya s›f›r olabilen bir say›d›r. n Æ ∞ ve ∆xi Æ 0 için Rieamann toplam›n›n limitine f (x) fonksiyonunun [a, b ] aral›¤›ndaki belirli integrali denir ve bu limit, n

b a

f (x ) dx = nlim Æ•

Dx i Æ0

∑ f ti ∆xi

i =1

fleklinde ifade edilir. y f (t1) f (t2) f (t3)

xi -1

ti

xi

x xn -1 tn xn = b

a = x0 t1 x1 t2 x2 f (ti )

Şekil 10.2

BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL‹N BAZI ÖZELL‹KLER‹ Bu kesimde, belirli ve belirsiz integral tan›mlar›ndan elde edilebilecek kimi önemli özellikler verilecektir. Bu özellikler yard›miyle, limit hesaplamas›na girmeden belirli integrallerin hesaplamalar›n› yapaca¤›z. a

a)

a

f (x ) dx = 0

b

b)

a

b

c)

a

a

f (x ) dx = -

b

f (x ) dx

f (x ) ± g (x ) dx =

b a

b

f (x ) dx ±

b

d) a ≤ c ≤ b için

a

a

g (x ) dx

c

f (x ) dx =

a

b

f (x ) dx +

c

f (x ) dx

Belirli ‹ntegralin Baz› Özellikleri

e) ‹ntegral hesab›n birinci temel teoremi: f (x ), [a, b ] aral›¤› üzerinde sürekli bir fonksiyon ve a < x < b ise, x

F (x ) =

a

f (t ) dt

olarak tan›mlanan F (x ) fonksiyonu türevlenebilir ve F ' (x ) = f (x ) dir. f) ‹ntegral hesab›n ikinci temel teoremi: F (x ), [a, b ] aral›¤› üzerinde sürekli bir fonksiyon ve F (x ) de türevi f (x ) olan bir fonksiyon (yani F ' (x ) = f (x )) ise, b a

f (x ) dx = F (b ) - F (a )

dir. Bu özelliklerden son ikisi üzerinde k›saca dural›m: f (x), [a, b ] aral›¤› üzerinde sürekli bir fonksiyon, x Œ (a, b ) ve h > 0 olsun. Kolayl›k için f (x) in grafi¤ini flekilde oldu¤u gibi kabul edelim.

y M (h ) f (x) m (h)

x a

x

x+h

b Şekil 10.3

[x, x + h] aral›¤› içinde f (x) in ald›¤› en büyük de¤er M (h), en küçük de¤er m (h) olsun. Taban› h ve yüksekli¤i M (h) olan büyük dikdörtgenin alan› h . M (h), taban› h ve yüksekli¤i m (h) olan küçük dikdörtgenin alan› h . m (h), f (x) in grafi¤i alt›nda ve [x, x + h] aral›¤› üstünde kalan bölgenin alan›

x +h x

f (t ) dt oldu¤undan, bu alanlar aras›nda x +h

hm h ≤

x

f (t ) dt ≤ hM h

(1)

eflitsizli¤i yaz›labilir. Di¤er taraftan x ≤ c ≤ x + h olmak üzere, F (x) fonksiyonunun tan›mlan›fl›na göre,

213

214

Belirli ‹ntegralin Baz› Özellikleri

x +h x

x +h

f (t ) dt =

c

c

f (t ) dt +

x +h

f (t ) dt =

x

c

x

f (t ) dt -

c

f (t ) dt = F (x + h ) - F (x )

oldu¤undan (1) eflitsizli¤inden m h ≤

F x +h -F x h

≤ M h

eflitsizli¤i elde edilir. h Æ 0 iken m (h) Æ f (x) ve M (h) Æ f (x) oldu¤undan F x +h -F x hÆ0 h

f (x ) ≤ lim

≤ f (x )

veya buradan F ' (x) = f (x) elde edilir. Böylece integral hesab›n birinci temel teoremi, yani (e) özelli¤i kan›tlanm›fl olur. Bu teorem, integral ile türev aras›ndaki önemli iliflkiyi verir. Bu iliflki say›lar için "kare alma" ile "karekök alma" aras›ndaki iliflkiye benzemektedir. E¤er pozitif bir say›n›n karesini al›rsan›z, elde edilen say›n›n karekökü bafllang›çtaki say›x

d›r. Benzer olarak, sürekli bir f (x) fonksiyonunun

a

f (t ) dt

ile tan›mlanan

ilkeli (belirsiz integrali) olan F (x) fonksiyonunun türevi f (x) dir. ‹ntegral hesab›n ikinci temel teoremine gelince: f (x), [a, b] aral›¤› üzerinde sürekli bir fonksiyon ve F (x) de F ' (x) = f (x) olacak flekilde bir fonksiyon olsun. a ≤ x ≤ b için birinci temel teoreme göre, x

A (x ) =

a

f (t ) dt

olarak tan›mlanan A (x) fonksiyonunun türevi f (x) dir. Böylece F ' (x) = f (x) ve A ' (x) = f (x) oldu¤undan F (x) ile A (x) fonksiyonlar› birbirlerinden bir sabit kadar farkl›d›rlar, yani öyle bir c sabiti vard›r ki, A (x) - F (x) = c

veya

A (x) = F (x) + c

dir. Bu eflitlikte s›ras›yla x = a, x = b yazal›m. x = a için a

A (a ) =

a

f (t ) dt = 0 , yani A (a ) = F (a ) + c = 0 veya c = - F (a )

olur. Buradan, x = b için b

A (b ) =

a

f (t ) dt = F (b ) + c = F (b ) - F (a )

veya k›saca b a

f (t ) dt = F (b ) - F (a )

Belirli ‹ntegralin Baz› Özellikleri

215

x =b sonucuna ulafl›l›r. Bazen F (b) - F (a) fark› yerine kullan›l›r; Baflka bir ifadeyle,

x= a

gösterimi de

x =b

b a

F (x )

f (t ) dt = F (x )

x= a

olur. Bu formül bize ilkeli bilinen bir fonksiyonun belirli integralinin kolayca hesaplanabilece¤ini gösterir. 2

3 2x + x 2 dx = x 2 + x 3

-2

ÖRNEK 1

2 -2

= 4+8 - 4- 8 3 3 = 16 3

e

ln x

2

1

12 x dx = ln x

2 1

2

ln3 x . 1 dx = x 3

2 - 2x

ex

0

4

x dx = 1

0

1

1

= 1 3

1

3x dx

ÖRNEK 3

= ln2 - ln1 = ln2

2 x - 1 dx = 1 ex - 2x 2

4

8

2

ÖRNEK 2

e

2 0

x 1/2 dx = 2 x x 3

ÖRNEK 4

= 1-1 =0 2 2

4 1

ÖRNEK 5

= 2 . 4 . 2 - 2 . 1 . 1 = 14 3 3 3

ÖRNEK 6 integralini hesaplay›n›z.

1 + 3 x2

u = 1 + 3x 2 fi du = 6x dx dx = du 6x Burada belirli integralin limitleri de yeni de¤iflkene göre belirlenecektir. x =0

için

u = 1 + 3x 2 = 1 + 3 . 0 = 1

x = 8

için

u =1+3.

8

2

= 1 + 3 . 8 = 25

ÇÖZÜM

De¤iflken dönüflümü yöntemi uygulanacakt›r.

Verilen kural›n uygulamalar› örneklerle verilmifltir. De¤iflkeni dönüfltürürken ne flekilde bir ifllem yap›laca¤› belirsiz integral ünitesinde aç›klanm›flt›r.

Belirli ‹ntegralin Baz› Özellikleri

216 Belirli integral hesaplan›rken de¤iflken dönüfltürülürse, integralin limitlerinin de yeni de¤iflkene göre dönüfltürülmesi gerekir..

8 0

3x dx 1 + 3 x2

e

ÇÖZÜM

1

lnx dx x

1

25

=1 2

ÖRNEK 7

25

= 1 2

1

du u

-1 u2

1 25 2

du =

1.u 2 1 2

25

=

u

= 5-1 =4

1

1

belirli integralini hesaplay›n›z.

Bu integralin hesaplanabilmesi için de¤iflken dönüflümü yöntemi uygulanacakt›r. u = lnx

du = 1x dx

fi

x du = dx x =1

için

u = ln1 = 0

x =e

için

u = lne = 1

e 1

ÖRNEK 8

1

lnx dx = x

0

2 u du = u 2

1 0

= 1 2

1

ÇÖZÜM

-3

1 - x dx

belirli integralini hesaplay›n›z.

Bu integralin hesaplanabilmesi için de de¤iflken dönüflümü yöntemi uygulanacakt›r. u= 1 -x

fi

du = - dx

x = - 3 için

u= 1 -x = 1 + 3 = 4

x =1

u= 1 - x = 1 - 1 = 0

için

1 -3

0

1 - x dx = -

4

4

u du =

0

u du = 2 u u 3

4 0

= 16 3

Afla¤›daki örneklerde belirli integalin iflletme ve ekonomideki uygulamalar›n› bulacaks›n›z.

Belirli ‹ntegralin Baz› Özellikleri

217

ÖRNEK 9

Türkiye’de yay›nlanan bir gazetenin, t de¤iflkeni y›llar› göstermek üzere, sat›fllar›n›n art›fl›, S (t ) = 100 et fonksiyonu ile belirlenmifltir. ‹lk 10 y›l içinde bu gazetenin toplam sat›fl› ne olur?

10 0

100 et dt = 100

10 0

et dt = 100 et

10 0

ÇÖZÜM

Gazetenin ilk 10 y›ldaki toplam sat›fl›n› bulmak için t1 = 0, t2 = 10 limitleri aras›nda verilen fonksiyonunun belirli integral al›nmal›d›r. = 100 e10 - 1 @ 2202546

olur (e10 @ 22026,46 olarak al›nm›flt›r).

ÖRNEK 10

t de¤iflkeni ay olarak zaman› göstermek üzere, bir iflletmenin aylar itibariyle sat›fllar›, S t = 30 t + 100 fonksiyonu ile belirlenmifltir. Bu iflletmenin ilk 4 aydaki sat›fllar› toplam› nedir?

0 4

=

0

ÇÖZÜM

4

Sat›fllar toplam› =

30 t + 100 dt 30 t 1/2 + 100 dt = 20 t

4

t + 100 t

0

= 20 . 4 . 4 + 400

= 160 + 400 = 560

ÖRNEK 11

Bir firmada, x sat›fl miktar›n› göstermek üzere, marjinal gelir fonksiyonu, R ' (x) = - 0,02x + 100 olarak belirlenmifltir. Buna göre; a) 100 birimlik sat›fl için toplam gelir ne olur? b) 10 ile 50 birim aras›nda yap›lan sat›fllar için toplam gelir ne olur?

0

ÇÖZÜM

100

a) R (x ) =

- 0,02x + 100 dx

= - 0,01x 2 + 100x

100 0

= - 0,01 . 100 2 + 100 . 100

= - 100 + 10.000 = 9900 birim 50

b) R (x ) =

10

- 0,02x + 100 dx = - 0,01x 2 + 100x

50 10

= 3976 birim

Belirli ‹ntegralin Baz› Özellikleri

218

ÖRNEK 12

Bir firman›n, x üretim miktar› olmak üzere, marjinal gelir fonksiyonu, MG = f (x) = 20

ÇÖZÜM

olarak belirlenmifltir. Buna göre; a) 500 birimlik üretim için toplam gelir ne olur? b) 200 ve 1000 birimlik aras›nda üretim için toplam gelir ne olur?

500

500

a)

20 dx = 20x

0

1000

1000

b)

SIRA S‹ZDE 1 Bu sorulara kolayca yan›t verebilmeniz için belirsiz integral kurallar›n› yeniden gözden geçiriniz.

200

= 20 . 500 = 10 000 birim

0

20 dx = 20x

200

= 16 000 birim

Afla¤›da verilen belirli integralleri hesaplay›n›z. 1

1. 0 3

2.

0 2

3.

0

e x dx 3x 2 - 4x dx 4x 3 - 9x 2 dx

2 2

4. 0

5.

e 1

6.

3 0

7.

3 0

8.

ln x dx x x 3 + 3x

1/2

3x 2 + 9

1/2

x 2 + 1 dx

. x dx

2 1

9.

x 2 + 1 . x dx

0 -1

x + x -1

dx

2x - 1 3 dx

10. Bir firmada, x üretim miktar›n› göstermek üzere, marjinal gelir fonksiyonu,

MG = 10x olarak belirlenmifltir. Bu firman›n 20 birim üretim yapt›¤›nda toplam geliri kaç birim olur? 11. Bir firman›n, x de¤iflkeni y›llar› göstermek üzere, sat›fllar›n›n art›fl›, S (x) = 9x2 fonksiyonu ile belirlenmifltir. ‹lk 3 y›l içinde bu firman›n sat›fllar› kaç birim olur? 12. Bir ülkede, t de¤iflkeni y›llar› göstermek üzere, nüfus S (t) = e2t fonksiyonu ile verilmifltir. Bu ülkede ilk 10 y›l içinde nüfus kaç birim artar?

Belirli ‹ntegralin Alan Hesaplar›na Uygulanmas›

219

BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL‹N ALAN HESAPLARINA UYGULANMASI Belirli integrali tan›mlarken bir f (x) ≥ 0 fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri x = a, x = b do¤rulariyle x ekseni aras›nda kalan alan›n,

Bir f(x) ≥ 0 fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile x = a, x = b do¤rular› ve x ekseni aras›ndaki alan,

ve

b

S=

a

S=

f (x ) dx

y

S=-

f (x)

0

x=a

x=b

x

Şekil 10.4

E¤er f (x) fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile x = a, x = b do¤rular› aras›nda kalan alan afla¤›da fiekil 10.5 (a)'da görüldü¤ü gibi bütünüyle x ekseninin alt›nda kal›yorsa, alan, b

f (x ) dx

belirli integrali ile bulunur. E¤er f (x) fonksiyonu [a, b ] aral›¤›nda hem pozitif hem de negatif de¤erler al›yorsa, istenilen alan c

S=

a

b

f (x ) dx -

c

f (x ) dx

integraliyle hesaplan›r [fiekil 10.5 (b)].

y

y

f (x)

f (x) x=b

x=a 0

S

(a)

x

x=a

f x dx

0

x=c

b a

f x dx

belirli integrali ile hesaplan›r.

S

a

a

belirli integrali ile bulunur. E¤er f(x) ≤ 0 ise, fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile x ekseni aras›ndaki alan

belirli integraliyle ifade edilebilece¤i aç›klanm›flt›.

S=-

b

x=b

(b) Şekil 10.5

x

Belirli ‹ntegralin Alan Hesaplar›na Uygulanmas›

220

ÖRNEK 13

ÇÖZÜM

f (x) = 1 - x2 fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile x ekseni aras›ndaki kalan alan› hesaplay›n›z. Verilen fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri afla¤›da fiekil 10.6'da gösterilmifltir. y

Bu gibi örnekleri çözerken, önce verilen fonksiyonun grafi¤ini çizmemiz gerekir. Bu gibi çizimlerin ne flekilde yap›laca¤› türevle ilgili ünitelerde aç›klanm›flt›r.

1 S -1

x

1

Şekil 10.6

fiekilde taral› olarak gösterilen alan› belirli integral yard›miyle bulaca¤›z. 1

S=

-1

3 1

1 - x 2 dx = x - x 3

-1

= 1- 1 - -1+ 1 =1-1 +1-1 3 3 3 3

= 2 - 2 = 4 br2 3 3

ÖRNEK 14

ÇÖZÜM

f (x) = x2 + 1 fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri x = 0, x = 1 do¤rular› ve x ekseni aras›nda kalan alan› bulunuz. Alan bulma problemlerinde önce verilen fonksiyonun grafi¤inin çizilmesi uygun olur. f (x) = x2 + 1 fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile istenilen alan taral› olarak afla¤›da fiekil 10.7 de gösterilmifltir. y

x = 0 do¤rusunun y ekseni oldu¤unu hat›rlay›n›z.

1

0

x

1 Şekil 10.7

1

S=

0

3 x 2 + 1 dx = x + x 3

1 0

= 1 + 1 = 4 br2 3 3

Belirli ‹ntegralin Alan Hesaplar›na Uygulanmas›

221

ÖRNEK 15

f (x) = x2 - 4x + 3 fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile x1 = 1, x2 = 3 noktalar› ve x ekseni aras›nda kalan alan› hesaplay›n›z. ÇÖZÜM

Bildi¤iniz gibi f (x) = x2 - 4x + 3 fonksiyonu çizildi¤inde bir parabol belirtir. Bu parabolün tepe noktas› T (2, - 1) dir. f (x) fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile bulunmas› istenen alan afla¤›da fiekil 10.8 de gösterilmifltir. y

3 1

2

3

x

0 -1 Şekil 10.8

fiekilden görüldü¤ü gibi istenilen alan x ekseninin alt›nda kalmaktad›r. 3

S=-

1

3 x 2 - 4x + 3 dx = - x - 2x 2 + 3x 3

3 1

= - 9 - 18 + 9 - 1 - 2 + 3 3

= 1 + 1 = 4 br2 3 3

ÖRNEK 16

1 f (x) = lnx fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri x 1 = , x 2 = e do¤rular› ve x 2 ekseni aras›nda kalan alan› bulunuz.

y f (x) = lnx

1/2 1

x

e

Şekil 10.9

fiekilde görüldü¤ü gibi, bulunmas› istenilen alan›n bir k›sm› x-ekseni alt›nda, bir k›sm› ise x ekseninin üstünde kalmaktad›r. O halde bulunmas› istenilen alan iki belirli integralin toplanmasiyle bulunacakt›r.

ÇÖZÜM

f (x) = lnx fonksiyonunun gösterdi¤i e¤ri ile s›n›rlanan bulunmas› istenilen alan taral› olarak afla¤›daki gösterilmifltir.

Belirli ‹ntegralin Alan Hesaplar›na Uygulanmas›

222

1

S=-

e

1/2

lnx dx +

1

lnx dx

Bu integralin al›nmas› k›smi integrasyon yöntemi ile yap›lacakt›r. 1

S = - x lnx - x

e

1/2

+ x lnx - x

= - 1 . ln1 - 1 - 1 ln 1 - 1 2 2 2

1

+

e lne - e - 1 . ln1 - 1

= - - 1 - 1 ln 1 + 1 = 1 (3 - ln2) br2 2 2 2 2

Belirli integral iki e¤ri aras›ndaki alan›n bulunmas› için de kullan›l›r. fiimdi f (x) ve g (x) fleklinde verilmifl iki fonksiyonun gösterdi¤i e¤riler ile x = a, x = b do¤rular› aras›nda kalan alan afla¤›daki fiekil 10.10 da görüldü¤ü gibi olsun. y

f (x)

g (x)

0

x=a

x=b

x

Şekil 10.10 f (x) ve g (x) gibi verilen herhangi iki fonksiyonun gösterdi¤i e¤riler ile x=a, x=b do¤rular› aras›nda kalan alan, b a

fiekilde görüldü¤ü gibi f (x) ≥ g (x) olarak verilmifltir. Taral› alan, b

S=

a

f (x ) - g (x ) dx

f (x ) - g (x ) dx

belirli integralinin hesaplanacakt›r.

yard›m›yla

ÖRNEK 17

belirli integrali yard›miyle bulunur.

ÇÖZÜM

f (x) = x2 ve g (x) = x fonksiyonlar›n›n gösterdikleri e¤riler aras›nda kalan alan nedir?

Önce verilen fonksiyonlar›n grafiklerini çizelim. f (x) = x 2 fonksiyonu tepesi bafllang›ç noktas›nda olan bir paraboldür. g (x) = x ise birinci aç›ortay›n› göstermektedir.

Belirli ‹ntegralin Alan Hesaplar›na Uygulanmas›

f (x) = x2

y

223

g (x) = x A (1, 1)

x 0 Şekil 10.11

Bu iki fonksiyonun grafikleri 0(0,0) ve A (1, 1) noktalar›nda kesiflirler. Burada flekilde görülen taral› alan›n hesaplanmas› istenmektedir. 1

S=

0

2 3 x - x 2 dx = x - x 2 3

= 1 - 1 = 1 br2 2 3 6

ÖRNEK 18

f (x) = x2 ve g (x) = -x2 - 2 fonksiyonlar›n›n gösterdikleri e¤riler ile x = - 1, x = 3 do¤rular› aras›nda kalan alan nedir?

y

-1

f (x) = x2

3

x

-2 g (x) = - x2 - 2 Şekil 10.12 3

S=

-1 3

=

-1 3

=

-1

x 2 - -x 2 - 2 dx x 2 + x 2 + 2 dx 2x 2 + 2 dx

3 = 2x + 2x 3

3

= -1

18 + 6 - - 2 - 2 = 80 br2 3 3

ÇÖZÜM

f (x) ve g (x) fonksiyonlar›n›n grafikleri ile istenilen alan afla¤›daki fiekil 10.12 de gösterilmifltir.

Belirli ‹ntegralin Alan Hesaplar›na Uygulanmas›

224

ÖRNEK 19

ÇÖZÜM

Örneklerde görüldü¤ü gibi, verilen fonksiyonlar›n çizimlerini yapmadan alan hesaplamas› yapmay›z.

f (x) = x2 - 2x ve g (x) = -x - 4 fonksiyonlar›n›n gösterdikleri e¤riler ile x = 0, x = 3 do¤rular› aras›nda kalan alan› bulunuz.

f (x) ve g (x) fonksiyonlar›n›n grafikleri, x = 0, x = 3 do¤rular› aras›ndaki alan afla¤›daki flekilde gösterilmifltir. y

f (x)

g (x)

1 3

-4

x

-1

-4 Şekil 10.13 3

S=

0 3

=

0

x 2 - 2x - -x - 4 dx x 2 - x + 4 dx

3 2 = x - x + 4x 3 2

ÖRNEK 20

3 0

2 = 33 br 2

ÇÖZÜM

f (x) = x2 - 10x ve g (x) = - x2 + 10x fonksiyonlar›n›n gösterdi¤i e¤riler aras›ndaki alan nedir?

Örnekte verilen f(x) ve g(x) fonksiyonlar›n›n gösterdikleri e¤rilerin kesim noktalar›n› bulmak gerekmektedir. Kesim noktalar› iki e¤rinin denklemlerinin ortak çözümü ile bulunur.

f (x) ve g (x) fonksiyonlar›n›n kesim noktalar›n› bulmak için ortak çözümün yap›lmas› gerekir. x2 - 10x = - x2 + 10x 2x2 - 20x = 0 x1 = 0 , x2 = 10 f (x) ve g (x) fonksiyonlar›n›n gösterdikleri e¤riler ile hesaplanmas› istenilen alan afla¤›daki flekilde taral› olarak gösterilmifltir.

Belirli integral Yard›m›yla Tüketici ve Üretici Rant›n›n Hesaplanmas›

225

y 25 f (x) = x2 - 10x

5

10

x

g (x) = - x2 + 10x -25 Şekil 10.14 10

S=

0

- x 2 + 10x - x 2 - 10x

10

dx = 0

3 - 2x 2 + 20x dx = - 2x + 10x 2 3

10 0

= - 2000 + 1000 = 1000 br2 3 3

BEL‹RL‹ ‹NTEGRAL YARDIMIYLA TÜKET‹C‹ VE ÜRET‹C‹ RANTININ HESAPLANMASI Bir tüketici, almak istedi¤i bir tüketim mal› için uygun gördü¤ü bir fiyat› ödemeye haz›rd›r. Tüketici bu mal› al›rken ödeyece¤i fiyat ödemeye haz›r oldu¤u fiyattan daha düflük ise aradaki farka tüketici rant› denir. Baflka bir deyimle, tüketici ödemeye haz›r oldu¤u fiyattan daha düflük fiyattan bir mal ald›¤› için kazançl› ç›kacakt›r. Tüketici rant›n› talep fonksiyonu yard›m›yla belirleyece¤iz. Bildi¤iniz gibi, bir mal›n talep edilen miktarlar›yla bu mal›n fiyatlar› aras›nda talep fonksiyonu dedi¤imiz bir fonksiyonel iliflki vard›r. Talep ile fiyat aras›ndaki iliflki ters yönlü oldu¤u için talep fonksiyonu azalan bir fonksiyondur. Afla¤›da bir mal›n fiyat› p, talep edilen miktarlar x ve (x0 , p0) denge noktas› olmak üzere p = f (x) ile talep fonksiyonunun grafi¤i fiekil 10.15'de gösterilmifltir.

Ekonomi derslerinde tan›mlar›n› bildi¤imiz üretici ve tüketici rantlar›n›n belirli integral yard›m›yle nas›l bulunaca¤› aç›klanacakt›r.

Tüketici rant›n›n bulunmas› için firman›n talep fonksiyonunu belirlemesi gerekmektedir. x0 fiyat düzeyinde tüketici rant›,

p

TR =

x0

f (x) dx - p 0 x 0

0

fleklinde hesaplan›r.

p0

(x0 , p0) p = f (x) x0

x Şekil 10.15

Belirli integral Yard›m›yla Tüketici ve Üretici Rant›n›n Hesaplanmas›

226

fiekilde taral› olarak gösterilen alan tüketicinin ödemeye haz›r oldu¤u ve daha düflük fiyattan mal ald›¤› için ödemedi¤i tutar› göstermektedir. Bu alan verilen tan›ma göre tüketici rant›n› verecektir. x0

TR =

ÖRNEK 21

0

f (x ) dx - p 0x 0

ÇÖZÜM

Talep fonksiyonu p = 50 - 3x olan bir mal için talep miktar› 10 birim oldu¤unda tüketici rant›n› bulunuz.

x0 = 10 için p0 = 50 - 3 . 10 = 20 oldu¤undan

10

TR =

0

50 - 3x dx - 10 . 20

= 50x - 3x 2

2 10

- 200

0

= 500 - 150 - 200 = 150 birim olacakt›r.

ÖRNEK 22

ÇÖZÜM

Talep fonksiyonu p = 60 3+x ketici rant›n› bulunuz.

olan bir mal için fiyat p0 = 5 oldu¤unda tü-

p0 = 5 için talep fonksiyonu yard›m›yla talep miktar› olan x0 de¤erini bulal›m. 5=

60 3 + x0 9

TR =

0

fi

x0 = 9

60 dx - p 0 . x 0 3+x

= 60 ln x + 3

9 0

- 9 . 5 = 60 . ln 12 - ln 3 - 45

= 60 ln 4 - 45 = 120 ln 2 - 45 birim

ÖRNEK 23

ÇÖZÜM

Talep fonksiyonu p = - x2 + 9 olan bir mal için x0 = 2 de¤erindeki tüketici rant›n› bulunuz.

x0 = 2 ye karfl› gelen p0 de¤eri, talep fonksiyonundan, p0 = - (2)2 + 9 = 5 olarak bulunur.

Belirli integral Yard›m›yla Tüketici ve Üretici Rant›n›n Hesaplanmas›

2

TR =

0

227

- x 2 + 9 dx - 5 . 2 2

3

= - x + 9x 3

0

- 10 = 16 3

birim

Bir mal›n arz fonksiyonu, bu mal›n fiyatlar›yla bu fiyatlarda arz edilen miktarlar› aras›ndaki fonksiyonel iliflkiyi göstermektedir. Bir mal›n arz edilen miktarlar› x de¤iflkeniyle, fiyatlar› ise p de¤iflkeni ile gösterilirse, talep fonksiyonuna benzer flekilde arz fonksiyonu, p = f (x) olacakt›r. Arz fonksiyonu, iktisat derslerinden bildi¤iniz gibi, artan bir fonksiyondur. Arz fonksiyonu ile (x0 , p0) denge noktas› afla¤›da fiekil 10.16 da genel olarak gösterilmifltir. p

p0

p = f (x)

(x0 , p0)

x0

x Şekil 10.16

Bir üretici üretti¤i mallar› piyasada satmaya haz›r oldu¤u fiyattan daha yüksek bir fiyattan satarsa daha fazla bir kazanç elde eder. ‹flte bu kazanca üretici rant› denir. fiekilde bu rant taral› alan olarak gösterilmifltir. Tüketici rant› belirli integralin alan bulma uygulamas› yard›m›yla, ÜR = p 0 x 0 -

x0

Ekonomi derslerinde gördü¤ümüz gibi, arz fonksiyonu verildi¤inde üretici rant›n›n nas›l bulunaca¤› aç›klanacakt›r. E¤er f(x) = p arz fonksiyonu ise üretici rant›, (x0 , p0) noktas›nda, ÜR = p 0x 0 -

f (x ) dx

0

x0

f (x) dx

0

formülüyle bulunur.

formülüyle bulunur.

x de¤iflkeni üretim miktarlar›n› p de¤iflkeni fiyatlar› göstermek üzere, bir mal için arz fonksiyonu, p= x+ 9 olarak belirlenmifltir . Talep miktar› x0 = 7 oldu¤unda üretici rant›n› bulunuz.

ÖRNEK 24

Belirli integral Yard›m›yla Tüketici ve Üretici Rant›n›n Hesaplanmas›

ÇÖZÜM

228

p0 = 7 + 9 = 4

oldu¤undan

7

ÜR = 4 . 7 -

x + 9 dx 0

= 28 - 2 x + 9 3

7

x +9 0

= 28 - 2 . 16 . 4 - 2 . 9 . 3 = 10 birim 3 3 3 bulunur.

ÖRNEK 25

Bir mal için x de¤iflkeni miktar›, p de¤iflkeni fiyat› göstermek üzere arz ve talep fonksiyonlar› afla¤›daki flekilde belirlenmifltir. p = 20 - 3x2 p = 2x2

Talep fonksiyonu Arz fonksiyonu

ÇÖZÜM

Bu fonksiyonlardan yararlanarak denge noktas›ndaki tüketici ve üretici rantlar›n› bulunuz. Denge noktas› arz ve talep fonksiyonlar›n›n kesim noktas›d›r. Denge noktas›ndaki fiyat ve miktar› bulmak için verilen fonksiyonlar› ortak çözelim. 20 - 3x2 = 2x2 20 = 5x2 4 = x2 fi x = ± 2 , x0 = - 2 olamayaca¤›ndan x0 = 2 , p0 = 8 olur. 2

TR =

0

20 - 3x 2 dx - 2 . 8 = 20x - x 3

2 0

- 16 = 16 br

bulunur. Benzer olarak, 2

ÜR = 2 . 8 -

0

3 2x 2 dx = 16 - 2 x 3

2 0

= 32 br 3

bulunur.

SIRA S‹ZDE 2

Afla¤›da verilen arz ve talep fonksiyonlar›ndan yararlanarak yanlar›nda gösterilen fiyat düzeylerindeki üretici ve tüketici rantlar›n› bulunuz. 1. Talep fonksiyonu p = -2x + 3 ise x0 = 1 noktas›ndaki tüketici rant› nedir? 2. Arz fonksiyonu p = 4x + 7 ise x0 = 1 noktas›ndaki üretici rant›n› bulunuz.

Kendimizi S›nayal›m

Kendimizi S›nayal›m 1. f (x) = x2 parabolü, x = 1, x = 2 do¤rular› ve x ekseni aras›nda kalan alan nedir? a. 13 3 b. 11 3 c. 10 3 d. 7 3 e. 1 13 2. f (x) = 9 - x2 parabolü x = -2 , x = 3 do¤rular› ve x ekseni ile s›n›rlanan bölgenin alan› kaç birim karedir? a. 87 5 b. 89

5

c. 100 3 d. 101 3 e. 103 3 3. f (x) = 2x - x2 parabolü x = -1 , x = 2 do¤rular› ve x ekseni aras›nda kalan bölgenin alan› kaç birim karedir? a. 7 3 b. 8

3

c. 10 3 d. 11 3 e. 13 3

229

4. f (x) = 2x2 ve g (x) = 27 - x2 parabolleri ile s›n›rlanan bölgenin alan› kaç birim karedir? a. 108 b. 107 c. 106 d. 105 e. 100 5. f (x) = x2 parabolü ve g (x) = -x do¤rusu aras›nda kalan bölgenin alan› kaç birim karedir? a. 3 2 b. 1 c. 1 5 d. 1 6 e. 1 8 6. x talep miktar ve p de fiyat olmak üzere, bir mal için talep fonksiyonu, p = -x + 3 olarak belirlenmifltir. Buna göre, x0 = 2 için tüketici rant› nedir? a. 4 b. 3 c. 2 d. 1 e. 1

2

7. x üretim miktar› ve p fiyat olmak üzere, bir mal için arz fonksiyonu, p = 16 + x olarak belirlenmifltir. Buna göre, x0 = 6 için üretici rant› nedir? a. 12 b. 13 c. 15 d. 18 e. 20

230

Sir Isaac Newton (1643 - 1727) Günümüz diferansiyel ve integral hesab›n kurucular›ndan olan Newton, optik ve yerçekimi konular›ndaki çal›flmalar› onun dünyan›n en büyük bilim adamlar›ndan biri olarak bilinmesine neden olmufltur. "Diferansiyel ve integral hesap her kilidi açan öyle bir anahtard›r ki, onun sayesinde matematikçiler geometrinin ve onun sonucu olarak da do¤an›n s›rlar›n› keflfederler" P. BERKELEY "Modern matematik gittikçe hesap yerine düflünceye yöneliyor. Buna ra¤men matemati¤in baz› dallar› vard›r ki, hesaplama her zaman önemini koruyacakt›r." P. G. LEJEUNE - DIRICHLET

11

Do¤rusal Denklem Sistemleri

Amaçlar Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra; ‹ki bilinmeyenli do¤rusal denklem sistemlerinin grafik çözümlerini yapabilecek, n-bilinmeyenli do¤rusal denklem sistemlerinin çözüm yöntemlerini ö¤renecek, Ekonomide arz ve talep aras›ndaki iliflkinin matematiksel olarak ifade edilmesine bir örnek olarak, do¤rusal arz-talep fonksiyonlar›n› inceleyecek, denge fiyat› ve denge miktar›n›n bulunmas›n› ö¤reneceksiniz.






232

Do¤rusal Denklem Sistemleri

‹çindekiler • • • • • • •

‹ki Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri n ≥ 3 için n - Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s›n› m Olan Sistemlerin Çözümleri Arz-Talep Fonksiyonlar› ve Denge Miktarlar› ‹çin Do¤rusal Bir Model Ünite içinde geçen size yeni olan kavramlar üzerinde düflünmelisiniz, örnekleri dikkatlice incelemelisiniz. Verilenlerin ve bulunmas› istenilenlerin neler oldu¤unu öncelikle belirlemelisiniz. Size b›rak›lan al›flt›rmalar› ka¤› ve kalem kullanarak çözmelisiniz.

Girifl Bir g›da pazar›, fiyatlar› 1,5 milyon TL/kg ve 2 milyon TL/kg olan iki çeflit çay› kar›flt›rmak suretiyle 100 kg karma çay haz›rlam›flt›r. Bu karma çay›n fiyat› 1,8 milyon TL/kg olarak belirlenmiflse, 100 kg karma çay içindeki ucuz ve pahal› çay miktarlar› ne olur? Ortaö¤retim y›llar›nda yukar›daki türden problemlerin çözümleriyle u¤raflm›fl olmal›s›n›z. Bu türden bir problemi çözmek için, ad›na iki bilinmeyenli denklemler dedi¤imiz denklemlerden yararland›n›z. Çeflitli havuz problemlerinin, faiz problemlerinin uygun biçimde oluflturulan denklemler yard›m›yla kolayca çözülebildi¤ini an›ms›yor olmal›s›n›z. fiimdi ise, daha çok bilinmeyen ve daha çok denklemden oluflan sistemlerin çözümleri üzerinde duraca¤›z. Ad›na do¤rusal denklem sistemi diyece¤imiz bu tür denklem sistemlerinin çözümlerinin varl›¤› ve tekli¤i konular›n› araflt›raca¤›z. Matematikte oldu¤u kadar istatistik, fizik, biyoloji, mühendislik, ekonomi gibi alanlar için de birçok problem bir do¤rusal denklem ya da do¤rusal denklem sistemi biçiminde ifade edilir ve çözümü aran›r. Bazen do¤rusal denklem sistemi olarak ifade edilemeyen problemler de do¤rusal denklem sistemine dönüfltürülerek yaklafl›k çözümler bulunmaya çal›fl›l›r. Bu nedenle do¤rusal denklem sistemleri do¤rusal cebirin önemli bir konusunu oluflturur. Bu ünitede, genel do¤rusal denklem sistemlerinin ifade edilifli, homojen ve homojen olmayan sistemlerin çözümlerinin varl›¤› ve tekli¤inin araflt›r›lmas›, yok etme yöntemiyle çözümün bulunmas› konular› üzerinde duraca¤›z. Daha sonra, matrisler konusunun ifllendi¤i ünite içinde de matris yöntemleriyle do¤rusal denklem sistemlerinin çözümlerinin bulunmas›n› yeniden ele alaca¤›z.

‹ki Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri

‹K‹ B‹L‹NMEYENL‹ DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹


AMAÇ

1

‹ki bilinmeyenli bir do¤rusal denklem sisteminin grafik ve analitik çözümünün bulunmas›d›r.

a, b gerçel say›lar, a ≠ 0 ve x bir bilinmeyen olmak üzere ax + b = 0 biçiminde bir eflitli¤e bir bilinmeyenli bir do¤rusal (lineer) denklem denildi¤ini biliyoruz. Böyle bir denklemi sa¤layan tek bir say› vard›r; bu say› x = - b d›r. Bu say›ya a ax + b = 0 do¤rusal denkleminin çözümü denir. Örne¤in, 3x +2 = 0 do¤rusal denklemin çözümü x = - 2 dür. 3 a, b, c gerçel say›lar ve a ≠ 0 , b ≠ 0 olmak üzere, x, y bilinmeyenleri için ax + by + c = 0 biçimindeki bir eflitli¤e iki bilinmeyenli bir do¤rusal denklem denir. Böyle bir denklemin koordinat düzlemde bir do¤ruyu temsil etti¤ini biliyoruz. Dolay›s›yla bu do¤ru üzerindeki herhangi bir noktay› temsil eden (x , y) s›ral› ikilisi ax + by + c = 0 denklemini sa¤lar, yani denklemin bir çözümüdür. Bu nedenle böyle bir denklemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r. y bilinmeyenini x e ba¤l› olarak çözersek, y = - 1 ax + c bulunur. x in alaca¤› her farkl› de¤ere karfl›b l›k y nin farkl› bir de¤eri bulunur. O halde (x , y) çözümlerinin her birisi do¤ru üzerinde bir noktay› gösterir (fiekil 11.1). Sözgelifli, 2x - 3y + 1 = 0 do¤rusal denkleminin (0 , 1/3), (1 , 1), (2, 5/3) çözümleri 2x - 3y + 1 = 0 do¤rusu üzerinde birer noktan›n koordinatlar›d›r.

y

fiimdi iki bilinmeyenli iki do¤-

ax + by + c = 0

rusal denklemin birlikte verildikle-

(0 , - bc )

ri durumu ele alal›m. Bu denklemler, genel halde a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0

(x , y)

y

x

x

0

olsunlar. Bu denklemlere iki bilinmeyenli iki denklemden oluflan bir do¤rusal denklem sistemi denir.

Şekil 11.1

Denklemleri birlikte sa¤layan bir (x0, y0) ikilisi sistemin bir çözümüdür. Böyle bir do¤rusal denklem sisteminin çözümünü aramak, geometrik olarak, düzlemde bu denklemlerin temsil etti¤i do¤rular›n kesim noktas›n› aramak demektir. Do¤rular›n paralel olmas› durumunda hiçbir ortak çözüm olmayacakt›r [fiekil 11.2 (a)]; çak›fl›k olmalar› durumunda sonsuz çözüm [fiekil 11.2 (b)], kesifliyor olmalar› durumunda ise tek çözüm olacakt›r [fiekil 11.2 (c)].

233

‹ki Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri

234 y

y

y

a 1x + b 1y + c1 = 0

a 1x + b 1y + c1 = 0 a 2x + b 2y + c2 = 0

a 2x + b 2y + c2 = 0

x

a1 x + b1 y + c1 = 0 y0

l

( x 0 , y0)

x

x0

x

a 2 x + b 2y + c2 = 0

(a)

(b)

(c)

Do¤rular paralel Sistemin çözümü yok

Do¤rular çak›fl›k Sistemin sonsuz çözümü var

Do¤rular kesifliyor Sistemin tek çözümü var Şekil 11.2

ÖRNEK 1

ÇÖZÜM

2x + 3y = 10 - 8x + y = 25 do¤rusal denklem sistemini çözünüz.

Bu denklem sistemindeki denklemlerden her biri bir do¤ru denklemidir. do¤rusunun e¤imi - 2 ve - 8x + y = 25 do¤rusunun e¤imi 8 3 oldu¤undan bu do¤rular kesiflirler. Dolay›s›yla verilen denklem sisteminin tek bir çözümü vard›r. fiimdi bu çözümü yok etme yöntemiyle bulal›m. Bu yönteme göre, önce her iki denklemde bilinmeyenlerden birinin katsay›lar›n› eflitleyerek, bilinmeyenlerden birini yok edip ikincisini hesaplayal›m. Bunun için birinci denklemi 4 ile çarp›p ikincisi üzerinde toplayal›m; 2x + 3y = 10

4 /2x + 3y = 108 -8x + y = 25

x + 12y = 40 -8x + y = 25 13y = 65

Æy=5

bulunur. y = 5 de¤erini birinci denklemde yerine yazal›m: 2x + 3(5) = 10

y

(2 ) -5 ,5

2x = 10 - 15 10 3

-8x + y =olur. 25

- 25 8

2x = -5 x= - 5 2

2x + 3y = 10

0

5

Şekil 11.3

x

olur. Böylece sistemin tek çözümü x = - 5 , y = 5 olarak bulunmufl 2 olur. Do¤rular›n kesim noktas› - 5 , 5 dir. 2

‹ki Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri

235

ÖRNEK 2

3x - 2y = 7 -21x + 14y = -49 denklem sistemini çözünüz. ÇÖZÜM

Bu denklem sisteminin denklemlerinin temsil etti¤i do¤rular›n e¤imleri eflittir; m = 3/2 dir. Dolay›siyle bu do¤rular ya çak›fl›kt›r ya da birbirlerine paraleldir. y - eksenini kesim noktalar› da ayn›, - 7 oldu¤undan bu do¤rular çak›fl›kt›r. O 2 halde bu do¤ru üzerindeki her bir nokta sistemin bir çözümüdür; yani verilen sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r. fiimdi cebirsel olarak bu sonucu do¤rulayal›m. 7 / 3x - 2y = 7 -21x + 14y = 49

Æ 21x - 14y = 49 -21x + 14y = -49 0=0

Bu sonuç sistemin iki denkleminin eflde¤er oldu¤unu gösterir. Bu nedenle bu denklemlerden birisi, diyelim ki 3x - 2y = 7 denklemi, al›narak çözüm yap›l›r. 3x - 2y = 7 denkleminin x e ba¤›ml› çözümü, y = 1 3x - 7 2

y

olur. x de¤iflkeninin alaca¤› her bir 3x - 2y = 7

de¤ere karfl›l›k y nin bir de¤eri bulunur. Bu nedenle verilen sistemin

- 21x + 14y = - 49 0

x

7 3

-7 2

sonsuz çoklukta çözümü vard›r. Baz› özel çözümleri yazabiliriz: x= 0

için

y= - 7 2

x= 1

için

y=-2

x = -1

için

y=-5

Şekil 11.4

ÖRNEK 3

-4x + 3y = 9 12x - 9y = 15 denklem sistemini çözünüz.

çözümü yoktur. fiimdi bu sonucu cebirsel olarak do¤rulayal›m.

ÇÖZÜM

Önce geometrik olarak çözümün var olup olmad›¤›n› görelim. Denklemlerin her birinin gösterdi¤i do¤runun e¤imi m = 4 dir. Fakat bu do¤rulardan birincisinin 3 y-ekseninin kesim noktas› 3, ikincisinin - 5 oldu¤undan bunlar farkl› paralel 3 do¤rulard›r. Bu nedenle de ortak bir noktalar› yoktur. O halde verilen sistemin bir

‹ki Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri

236

y

3/ -4x + 3y = 9 12x - 9y = 15

3 - 4x + 3y = 9

Æ

-12x + 9y = 27 12x - 9y = 15 0 = 42

12x - 9y = 15

-9 4

0

5 4

x

Böyle bir eflitlik olamayaca¤›na göre, verilen denklem sisteminin bir çözümü yoktur.

-5 3

Şekil 11.5

ÖRNEK 4

ÇÖZÜM

Bir g›da pazar›, fiyatlar› 1,5 milyon TL/kg ve 2 milyon TL/kg olan iki tür çaydan 100 kg karma çay haz›rlam›flt›r. Karma çay›n fiyat› 1,8 milyon TL/kg oldu¤una göre, her bir çaydan ne miktar kar›flt›r›lm›flt›r?

x1 = 100 kg karma çay içindeki 1,5 milyon TL/kg l›k çay miktar›, x2 = 100 kg karma çay içindeki 2 milyon TL/kg l›k çay miktar› olsun. O zaman, x1 + x2 = 100

(1)

eflitli¤i yaz›l›r. Di¤er taraftan karma çay›n fiyat› 1,8 milyon TL/kg oldu¤una göre 1,5x1 + 2x2 = 1,8 . 100

(2)

olmal›d›r. Böylece (1) ve (2) denklemlerinden x1 + x2 = 100 1,5x1 + 2x2 = 180 do¤rusal denklem sistemi elde edilir. Sistemi çözelim: -2/ x1 + x2 = 100 1,5x1 + 2x2 = 180

Æ

-2x1 - 2x2 = -200 1,5x1 + 2x2 = 180 -0,5x1 = -20

x1 = 40 ve böylece x2 = 60 bulunur. O halde, 100 kg karma çay içinde 40 kg ucuz çay, 60 kg pahal› çay olmal›d›r.

SIRA S‹ZDE 1

1.

Afla¤›da verilen do¤rusal denklem sistemlerinin çözümlerini önce geometrik olarak (grafik yoluyla), sonra da cebirsel olarak araflt›r›n›z. a) 2x + y = -1 -2x + y = 1

b) 3x - y = 2 -18x + 6y = -12

d) x =3 x+y=5

e) -2x + y = -3 y=1

c) 2x + y = 3 4x + 2y = 1

n - Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri (n≥3)

2.

237

Afla¤›da verilen do¤rusal denklem sistemlerinin her birinin çözümünün var olup olmad›¤›n›, varsa çözümün tek mi sonsuz çoklukta m› oldu¤unu belirleyiniz ve çözümü bulunuz. a) x - y = 0 b) -2x + 4y = 36 c) 2x - y = 4 2x + 2y = 0 x - 2y = 20 x + 2y = 7 d)

2x =y-3 -6x + 3y = 9

e)

-x + 3y = 0 2x - 6y = 8

f)

3x - 2y = 5 -2x + 3y = 4

n-B‹L‹NMEYENL‹ DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹ (n ≥ 3)


AMAÇ

2

Çok bilinmeyenli çok denklemden oluflan do¤rusal denklem sisteminin çözümlerinin Gauss yok etme yöntemiyle bulunmas›.

Önce iki bilinmeyenli iki denklemden oluflan bir do¤rusal denklem sisteminin çözümünün araflt›r›lmas›nda izlenen yok etme yöntemini, 3-bilinmeyenli üç denklemden oluflan bir do¤rusal denklem sisteminin çözümünün araflt›r›lmas›na yönelik olarak genellefltirelim. Sonra da n-bilinmeyenli m say›da do¤rusal denklemden oluflan sistemlerin çözümlerinin bulunmas› konusu üzerinde dural›m. Bilinmeyen say›s› ve denklem say›s› üç olarak al›n›rsa, a1x + b1y + c1z + d1 = 0 a2x + b2y + c2z + d2 = 0 a3x + b3y + c3z + d3 = 0 biçiminde üç bilinmeyenli üç denklemden oluflan bir do¤rusal denklem sistemi elde edilir. Her üç denklemi birlikte sa¤layan bir (x0, y0, z0) s›ral› üçlüsüne sistemin bir çözümü denir. Geometrik olarak, bu denklemlerin her biri koordinat uzay› içinde bir düzlemi temsil eder. Dolay›s›yla sistemin ortak çözümü olmayabilir (üç düzlemden en az ikisinin birbirlerine paralel olmas› veya farkl› do¤rular boyunca kesiflmeleri durumu [fiekil 11.6 (a), (b) ve (c)]), sonsuz çoklukta çözüm olabilir (üç düzlemin bir do¤ru boyunca kesiflmeleri veya çak›fl›k olmalar› durumu, [fiekil 11.7(a)]) ya da tek bir çözüm olabilir (üç düzlemin tek ortak noktalar› olmas› durumu, [fiekil 11.7(b)]).

p1 p1 p2 p

p

2

1

p

2

p3

p3 p3 (a) Düzlemler paralel Sistemin çözümü yok

(b) ‹ki paralel düzlem üçüncüsü taraf›ndan kesiliyor Sistemin çözümü yok

(c) Üç düzlem farkl› do¤rular boyunca kesifliyorlar Sistemin ortak çözümü yok

Şekil 11.6

n - Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri (n≥3)

238

p2 p1 p2

p1

p

3

p3 (a)

(b)

Üç düzlem bir do¤ru boyunca kesifliyorlar Sistemin sonsuz çoklukta çözümü var

Üç düzlemin tek bir ortak noktas› var Sistemin tek çözümü var

Şekil 11.7

fiimdi farkl› durumlar için birer örnek verelim.

ÖRNEK 5

ÇÖZÜM

7x - 3y + 3z = 28 -x - 3y + z = 12 5x + 3y + z = 0 do¤rusal denklem sisteminin çözümünü bulunuz. Üçüncü denklemi -3 ile çarp›p birinci denklemle ve -1 ile çarp›p ikinci denklemle toplarsak, birinci ve ikinci denklemden z bilinmeyeni yok olur. Böylece verilen sistem, -8x - 12y = 28 -6x - 6y = 12 5x + 3y + z = 0 do¤rusal denklem sistemine dönüflür. Bu sistemin ikinci denklemini -2 ile çarp›p birinci denklem üzerinde toplayal›m; 4x =4 -6x - 6y = 12 5x + 3y + z = 0 sistemi elde edilir. Bu sistemin birinci denkleminden x = 1 bulunur. ‹kinci denklemde x = 1 yaz›l›nca y = -3 olur. Üçüncü denklemde x = 1 , y = -3 yaz›l›nca 5(1) + 3 (-3) + z = 0 veya z = 4 elde edilir. Böylece son sistemin tek çözümü x = 1 , y = -3 , z = 4 olur. Bu çözüm ayn› zamanda verilen denklem sisteminin de tek çözümüdür. Bunu do¤rulamak için bulunan bu de¤erleri verilen sistemde yerine yazal›m, 7(1) - 3(-3) + 3(4) = 28 - (1) - 3(-3) + 4 = 12 5(1) + 3(-3) + 4 =0

veya

olarak istenilen do¤rulanm›fl olur.

28 = 28 12 = 12 0=0

n - Bilinmeyenli Do¤rusal Denklem Sistemleri (n≥3)

239

x1 + 2x2 - x3 = 4 2x1 + 3x2 - x3 = 1 3x1 - x2 + 4x3 = -37 do¤rusal denklem sisteminin çözümünü bulunuz.

R1 : x1 + 2x2 - x3 = 4 R2 : 2x1 + 3x2 - x3 = 1 R3 : 3x1 - x2 + 4x3 = -37 Æ

R1 : x1 + 2x2 - x3 = 4 R'2 = -2R1 + R2 : -x2 + x3 = -7 R'3 = -3R1 + R3 : -7x2 + 7x3 = -49

Æ

R1 : x1+ 2x2 - x3 = 4 -x2 + x3 = -7 R' 2 : 0=0 -7 R'2 + R'3 :

ÇÖZÜM

Kolayl›k ve k›sal›k için verilen sistemin birinci denklemini R1, ikinci denklemini R2 , üçüncü denklemini R3 ile gösterelim. k s›f›rdan farkl› bir say› olmak üzere, kRi + Rj (i , j = 1 , 2 , 3 ve i ≠ j ) simgesiyle i-yinci denklemin iki taraf›n›n k ile çarp›l›p j-yinci denklem üzerinde toplanmas›n›, kRi ile de i-yinci denklemin k ile çarp›lmas›n› gösterelim. fiimdi bu gösterimleri kullanarak verilen sistemin çözümünü araflt›ral›m.

ÖRNEK 6

Æ

R1 : x1 + 2x2 - x3 = 4 R'2 : -x2 + x3 = -7

Elde edilen son denklem sistemi üç bilinmeyenli iki denklemden oluflan bir sistemdir. Bu sistemde x3 ü ba¤›ms›z de¤iflken olarak düflünüp x1 ve x2 bilinmeyenlerini x3 e ba¤l› olarak çözebiliriz. x3 = t diyelim. R'2 den x2 = x3 + 7 = t + 7 ve R1 den x1 = -2x2 + x3 + 4 = -2 (t + 7) + t + 4 = - t - 10 olur. Böylece sistemin çözümü, t parametresine ba¤l› olarak x1 = - t - 10 x2 = t + 7 (t Œ R) x3 = t olur. Her t gerçel say›s› için (-t -10, t + 7, t ) s›ral› üçlüsü verilen sistemin bir çözümü olur. Bu nedenle verilen sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r. Bu sonucu geometrik olarak flöyle yorumlayabiliriz: Verilen denklem sisteminin denklemlerinin temsil etti¤i düzlemler, parametrik denklemleri yukar›daki flekilde olan do¤ru boyunca kesiflirler.

ÖRNEK 7

x1 + 3x2 - 6x3 = -4 -2x1 + x2 + 4x3 = 0 -2x1 - 6x2 + 12x3 = 5 do¤rusal denklem sistemini çözünüz.

Æ

R1 : x1 + 3x2 - 6x3 = -4 R'2 = 2R1 + R2 : 7x2 - 8x3 = -8 R3 = 2R1 + R3 : 0 = -3

Dönüfltürülen sistemin üçüncü denklemi R'3 geçersiz bir eflitlik oldu¤undan verilen sistemin bir çözümü olamaz.

ÇÖZÜM

R1 : x1 + 3x2 - 6x3 = -4 R2 : -2x1 + x2 + 4x3 = 0 R3 : -2x1 - 6x2 + 12x3 = 5

240

Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler

Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler fiimdi genel bir do¤rusal denklem sistemi tan›mlayal›m ve 2 veya 3 bilinmeyenli sistemlerin çözümleri için verilen yöntemi genellefltirelim. Genel olarak, x1 , x2 , ... , xn ler bilinmeyenler aij ve bi ler gerçel say›lar olmak üzere, a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm biçiminde olan bir denklem sistemine, n bilinmeyenli m denklemden oluflan bir do¤rusal denklem sistemi denir. E¤er bi lerin hepsi s›f›r ise sisteme homojen, en az bir bi ≠ 0 ise sisteme homojen olmayan do¤rusal denklem sistemi denir. n bilinmeyenli bir do¤rusal denklem sisteminin bir çözümü her bir denklemi sa¤layan bir (k1 , k2 , ... , kn) n-s›ral›s›d›r. Böyle bir do¤rusal denklem sisteminin tek çözümü olabilir, sonsuz çoklukta çözümü olabilir ya da hiçbir çözümü olmayabilir. E¤er sistem homojen, yani b1 = b2 = ... = bn = 0 ise (0 , 0 , ... , 0) n-s›ral›s› bir çözümdür. Bu tür çözüme homojen sistemin s›f›r çözümü (aflikâr çözümü) denir. O halde, homojen bir sistemin daima bir çözümü (en az s›f›r çözümü) vard›r. Homojen olmayan bir sistemin çözümünün varl›¤›, tekli¤i konusu sistemin bilinmeyen say›s›, denklem say›s›, aij katsay›lar› ve bi sabitleri ile iliflkilendirilerek k›saca irdelenecektir. Bunun için önce basamak biçiminde do¤rusal denklem sistemi tan›m›na de¤inelim. Bir do¤rusal denklem sistemi, genel olarak, dikdörtgen biçimindedir. E¤er bilinmeyen say›s› denklem say›s›na eflit ise sisteme kare sistem denir. Denklem sisteminin ilk denkleminden ve ilk bilinmeyenden bafllayarak, afla¤›ya do¤ru bilinmeyen say›s› giderek azal›yorsa bu tür bir sisteme basamak biçimindedir denir. Örne¤in; 3x1 - 5x2 - 10x3 + x4 x2 + 7x3 x 3 + x4 5x4

= = = =

-35 5 0 3

x1 + 3x2 + x3 - x4 = 0 -x2 + x3 + 5x4 = 0 3x3 - x4 = 0

denklem sistemlerinden ilki basamak biçiminde homojen olmayan do¤rusal denklem sistemi, ikincisi basamak biçiminde homojen olan bir do¤rusal denklem sistemidir. Basamak biçimindeki bir sistemin avantaj›, sistemin çözümünün var olup olmad›¤›n›n daha kolay belirlenmesi, çözüm varsa çözümün kolayca bulunabilmesinden gelmektedir.Örne¤in, yukar›da verilen homojen olmayan basamak biçi3 3 mindeki sistemin son denkleminden x 4 = , üçüncü denkleminden x 3 = , 5 5 22 46 x = x = ikinci denkleminden 2 , birinci denkleminden 1 olarak sistemin 15 5 çözümü kolayca bulunabilir. E¤er verilen do¤rusal denklem sistemi basamak biçiminde de¤ilse, sistem afla¤›da tan›mlanan üç tür temel sat›r ifllemleriyle çözümü de¤ifltirilmeden basamak biçimine dönüfltürülebilir. Temel sat›r ifllemleri; I. sistemin herhangi iki denklemin s›ras›n›n de¤ifltirilmesi, II. sistemin bir denklemin her iki yan›n›n s›f›r olmayan bir say› ile çarp›lmas›, III. sistemin bir denkleminin s›f›r olmayan bir kat›n›n bir baflka denkleme eklenmesi.

Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler

241

Bir do¤rusal denklem sistemine sonlu say›da temel sat›r ifllemi uygulan›rsa, sonuçta elde edilen yeni do¤rusal denklem sistemine bafllang›çtaki sisteme eflde¤er denklem sistemi denir. Eflde¤er denklem sistemlerinin çözümleri varsa, ayn›d›r. Bu nedenle verilen bir do¤rusal denklem sisteminin çözümünü bulmak için sistem temel sat›r ifllemleriyle basamak biçiminde eflde¤er bir sisteme dönüfltürülebilir ve çözüm aran›r. Bu biçimde çözüm aramaya Gauss yok etme yöntemi denir. Homojen olmayan bir do¤rusal denklem sistemi basamak biçimine dönüfltürüldü¤ünde, e¤er denklemlerden birinin birinci taraf› s›f›r iken ikinci taraf s›f›rdan farkl› bir say› ise, verilen sistemin çözümü yoktur. Bu durumda sistem tutars›zd›r denir. E¤er sistem tutars›z de¤il ve bilinmeyen say›s› denklem say›s›na eflit ise, sistemin tek bir çözümü vard›r (Bu çözüm yukar›daki örnekte oldu¤u gibi kolayca bulunur). Denklem say›s› m, bilinmeyen say›s› n den daha az oldu¤u durumda (n-m) tane bilinmeyen bilinen kabul edilerek, sistemin çözümü aran›r. Bu durumda sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r. E¤er do¤rusal denklem sistemi homojen ise, daima s›f›r çözümü oldu¤u aç›kt›r; yani homojen bir sistemin çözümsüzlü¤ü (tutars›zl›¤›) söz konusu de¤ildir. Böyle bir sistemin ya tek ya da sonsuz çoklukta çözümü vard›r. Sistem basamak biçime dönüfltürüldü¤ünde denklem say›s› bilinmeyen say›s›na eflit ise tek çözüm s›f›r çözümdür; denklem say›s› bilinmeyen say›s›ndan az ise homojen sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r, (n-m) tane bilinmeyen bilinen kabul edilerek çözüm yap›l›r Özetlersek; m tane denklemden ve n tane bilinmeyenden oluflan homojen olmayan bir do¤rusal denklem sistemi için m < n ise, sistemin hiçbir çözümü olmayabilir ya da sonsuz çoklukta çözümü olabilir. E¤er m ≥ n ise, hiçbir çözüm olmayabilir, tek çözüm olabilir ya da sonsuz çoklukta çözüm olabilir. Homojen sistemlerde ise, ya s›f›r çözüm ya da sonsuz çoklukta çözüm vard›r. fiimdi bu farkl› durumlar için örnekler verelim:

ÖRNEK 8

3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = -1 - x3 + 2x4 = -3 x1 x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2 x4 = 5 -x1 - 4x2 do¤rusal denklem sisteminin çözümünü bulunuz.

- x3 + 2x4 = -3 x1 3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = -1 x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2 x4 = 5 -x1 - 4x2 Bu sistemin birinci sat›r›n›, s›ras›yla -3 ile çarp›p ikinci sat›r üzerinde, -1 ile çarp›p üçüncü sat›r üzerinde, 1 ile çarp›p dördüncü sat›r üzerinde toplayal›m:

ÇÖZÜM

Dört bilinmeyenli dört denklemden oluflan homojen olmayan bir do¤rusal denklem sistemi. Bu sistemi sat›r ifllemleriyle basamak biçime dönüfltürelim. Bunun için ilk denklemde birinci bilinmeyen x1 in katsay›s› 1 olacak flekilde bir ifllem yapabiliriz. Fakat ilk denklemin tüm terimlerini 3 e bölmek uygun olmaz, çünkü kesirli say›larla ifllem yapmak durumunda kal›r›z. Bu nedenle ilk ifllem olarak birinci sat›r ile ikinci sat›r›n yerlerini de¤ifltirelim:

Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler

242

x1

2x2 + 2x2 + -4x2 -

x3 + 2x4 5x3 - 5x4 2x3 - x4 x3 + x4

= = = =

-3 8 5 2

fiimdi de ikinci sat›r›, s›ras›yla, -1 ile çarp›p üçüncü sat›r ve 2 ile çarp›p dördüncü sat›r üzerinde toplayal›m: x1

- x3 + 2x4 2x2 + 5x3 - 5x4 -3x3 + 4x4 9x3 - 9x4

= = = =

-3 8 -3 18

Üçüncü sat›r›n üç kat›n› dördüncü sat›r üzerinde toplayal›m: x1

- x3 + 2x4 2x2 + 5x3 - 5x4 -3x3 + 4x4 3x4

= = = =

-3 8 -3 9

Bu sistem basamak biçiminde bir do¤rusal denklem sistemidir. Dördüncü denklemden x4 = 3 bulunur. Bu de¤er üçüncü denklemde yerine yaz›l›nca -3x3 + 4.3 = -3

veya

-3x3 = -3 - 12 ,

x3 = 5

olur. x3 ve x4 ün bulunan de¤erleri ikinci denklemde yerlerine yaz›l›nca x2 = -1 ve birinci denklemde yaz›l›nca x1 = -4 bulunur. O halde, verilen denklem sisteminin tek çözümü var ve bu çözüm x1 = -4 , x2 = -1 , x3 = 5 , x4 = 3 ; yani (-4 , -1 , 5 , 3) s›ral› dörtlüsüdür.

ÖRNEK 9

ÇÖZÜM

x+ y - z =0 -2x + 5y + 7z = 9 3x + y + z = -8 x + 2y - 3z = 4 do¤rusal denklem sisteminin çözümünü bulunuz. Verilen sistemde üç bilinmeyen dört tane denklem var. Bu denklemlerden herhangi üçünü al›p, üç bilinmeyenli üç denklemden oluflan sistemin çözümünü araflt›r›r›z. E¤er çözüm varsa ve bu çözüm d›flar›da kalan denklemi de sa¤l›yorsa, verilen sistemin çözümü olur; sa¤lam›yorsa, sistem tutars›zd›r. ‹lk üç denklemden oluflan sistemin çözümünü araflt›ral›m. x+ y- z =0 R1 : R2 : -2x + 5y + 7z = 9 R3 : 3x + y + z = -8

Æ

R1 : x + y - z = 0 R'2 = 2R1 + R2 : 7y + 5z = 9 R'3 = -3R1 + R3 : -2y + 4z = -8

R1 : x + y - z = 0 7y + 5z = 9 R'2 : R" = 1 R' : 3 2 3

-y + 2z = -4

Æ

Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler

R1 : R''3 : R' 2 : R1 : R''3 : 7R''3 + R'2 :

x+ y - z =0 - y + 2z = 9 7y + 5z = 9

‹kinci denklem ile üçüncü denklemin yerlerini de¤ifltirdik.

x+ y - z =0 - y + 2z = -4 19z = -19

‹kinci denklemi 7 ile çarp›p üçüncü denklem üzerinde toplad›k.

243

Üçüncü denklemden z = -1, ikinci denklemden y = 2, birinci denklemden x = -3 bulunur. fiimdi bu çözümün verilen sistemin dördüncü denklemini sa¤lay›p sa¤lamad›¤›na bakal›m: x + 2y - 3z = 4 -3 + 2.2 - 3(-1) = 4 4 =4 oldu¤undan verilen denklem sistemi tutarl›d›r ve sistemin çözümü (-3, 2, -1) s›ral› üçlüsüdür.

ÖRNEK 10

= -1 x1 + x2 + x3 x4 = -3 x1 + 2x2 + 3x4 = 4 x2 + denklem sisteminin çözümünü bulunuz.

= -1 x1 + x2 + x3 x2 - x3 + x4 = -2 3x4 = 4 x2 + Bu sistemin üçüncü denklemini -1 ile çarp›p üçüncü denklem üzerinde toplayal›m. = -1 x1 + x2 + x3 x2 - x3 + x4 = -2 x3 + 2x4 = 6 Bu sistemin denklem say›s› bilinmeyen say›s›ndan az oldu¤undan aradaki fark kadar bilinmeyeni bilinen kabul ederek sistemin çözümünü araflt›ral›m. Aradaki fark 4 - 3 = 1 oldu¤undan bilinmeyenlerden birini, diyelim ki x4 ü bilinen kabul edelim. x4 = t olsun. O zaman, x1 + x2 + x3 = -1 x2 - x3 = -2 - t x3 = 6 - 2t sistemini elde ederiz. Böylece sistemin t ye ba¤l› olarak elde edilen çözümü, (bu çözüme parametrik çözüm denir) x4 = t,

x3 = 6 - 2t,

x2 = x3 - 2 - t = 6 - 2t - 2 - t = 4 - 3t

x1 = -1 - x2 - x3 = -1 - 4 + 3t - 6 + 2t = -11 + 5t

ÇÖZÜM

Sistemi basamak biçimine dönüfltürelim: Birinci denklemi -1 ile çarp›p ikinci denklem üzerinde toplayal›m.

Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler

244

olur. t gerçel say›s›n›n alaca¤› her de¤er için sistemin bir özel çözümü bulunur. Bu nedenle verilen sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r. Sistemin parametrik çözümü (-11 + 5t, 4 - 3t, 6 - 2t, t) s›ral› dörtlüsüdür. ‹ki özel çözümü t=0 t=1

için için

x1 = -11 , x1 = -6 ,

x2 = 4 , x2 = 1 ,

x3 = 6 , x3 = 4 ,

x4 = 0 x4 = 1

olarak verilebilir.

ÖRNEK 11

ÇÖZÜM

x + y - z = -1 3x - y + z = 5 2x + 2y - 2z = 3 denklem sistemini çözünüz. Sistemi basamak biçimine dönüfltürelim: Birinci denklemi -3 ile çarp›p ikinci denklem, -2 ile çarp›p üçüncü denklem üzerinde toplayal›m. x + y - z = -1 - 4y + 4z = 8 0 =5 basamak biçimine dönüflür. Bu sistemin üçüncü denkleminde görülen 0 = 5 eflitli¤i olamayaca¤›na göre, verilen sistemin denklemleri tutars›zd›r; bir baflka deyiflle, sistemin çözümü yoktur.

ÖRNEK 12

ÇÖZÜM

R1 : x1 - 2x2 + 3x3 - 2x4 = 0 x4 = 0 R2 : 3x1 - 7x2 R3 : 4x1 - 7x2 + 9x3 + 2x4 = 0 2x3 - 3x4 = 0 R 4 : x1 + homojen sistemin çözümünü bulunuz. Sistemi basamak biçimine dönüfltürelim: R1 R' 2 = -3R1 + R2 R'3 = -4R1 + R3 R'4 = -R1 + R4

: : : :

x1 - 2x2 + 3x3 - 2x4 = -x2 - 9x3 + 5x4 = x2 - 3x3 + 10x4 = 2x2 - x3 - x4 =

0 0 0 0

R1 R' 2 R''3 = R'2 + R'3 R''4 = 2R'2 + R4

: : : :

x1 - 2x2 + 3x3 -x2 - 9x3 + -12x3 + -19x3 +

0 0 0 0

R1 R' 2

: :

R"' = - 1 R" 3 12 3 R''4

:

x1 - 2x2 + 3x3 - 2x4 = 0 -x2 - 9x3 + 5x4 = 0 x3 - 5 x 4 = 0 4

:

2x4 5x4 15x4 9x4

= = = =

-19x3 + 9x4 = 0

Bilinmeyen Say›s› n, Denklem Say›s› m Olan Sistemler

R1 R' 2

: :

R"'

:

R'''4 = 19R'''3 + R''4

:

3

x1 - 2x2 + 3x3 -x2 - 9x3 +

245

2x4 = 0 5x4 = 0

x3 - 5 x 4 = 0 4 59 x - 4 4 =0

Sistemin bu basamak biçimi dört bilinmeyen ve dört denklemden olufltu¤undan verilen sistemin tek çözümü s›f›r çözümdür.

ÖRNEK 13

R1 : -x + y + z = 0 R2 : x + 2y + 8z = 0 R3 : x - 3y - 7z = 0 homojen do¤rusal denklem sisteminin çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM

Sistemi basamak biçime dönüfltürelim: R1

: -x + y + z = 0

R'2 = R1 + R2

:

3y + 9z = 0

R'3 = R1 + R3

:

- 2y - 6z = 0

R1 R''2

: -x + y + z = 0 : y + 3z = 0

Æ

R1

: -x + y + z = 0

R" = 1 R' 2 3 2 1 R" = R' 3 2 3

:

y + 3z = 0

:

y + 3z = 0

Æ

olur. fiimdi bu homojen sistemin bilinmeyen say›s› 3 denklem say›s› 2 oldu¤undan bir bilinmeyeni, diyelim ki z yi, bilinen kabul ederek çözüm aran›r. z = t için sistemin parametrik çözümü, z=t

,

y = -3z = -3t

,

x = y + z = - 3t + t = - 2t

olur. Verilen sistemin t ye ba¤l› sonsuz çoklukta çözümü vard›r. t = -1 ve t = 5 için iki özel çözümünü yazal›m: t = -1 t=5

için için

x=2 x = -10

, ,

y=3 y = -15

, ,

z = -1 z=5

olur. Afla¤›daki do¤rusal denklem sistemlerinin varsa, çözüm kümelerini bulunuz. 1. 3x1 - 5x2 = -30 2. x1 + x2 + x3 = 0 5x1 - x2 + 4x3 = 16 x1 + x2 = -2 10x1 + 3x2 - x3 = -1 3.

5x + 7y - 10z = 20 10x + 12y - 21z = -5 -15x - 21y + 32z = -50

4.

2x1 + x2 - 3x3 = 12 6x1 + 4x2 + x3 = 48 -2x1 - x2 + 3x3 = -18

5.

5x1 - 4x2 + 6x3 = 24 3x1 - 3x2 + x3 = 54 -2x1 + x2 - 5x3 = 30

6.

-2x1 + 4x2 - x3 = 6 x1 - x2 + 5x3 = -2

SIRA S‹ZDE 2

246

Arz - Talep Fonksiyonlar› ve Denge Miktarlar› ‹çin Do¤rusal Bir Model

7.

x1 + x2 + x3 + x4 3x4 2x1 - x2 + x2 + 3x3 - x4 x1 - x2 + x3

= = = =

0 0 0 0

8.

x1 2x1 x1 x1

+ + +

x2 2x2 7x2 3x2

+ + + +

2x3 5x3 4x3 3x3

= = = =

0 0 0 0

100 kiflilik bir grupta bulunan bayanlar›n say›s› baylar›n say›s›n›n yar›s›ndan 1 fazlad›r. Bu gruptaki bayan ve baylar›n say›s› nedir? 10. 50 milyar paras› olan bir yat›r›mc› paras›n›n taman›n› y›ll›k getirisi %25, %30 ve %35 olan üç tür yat›r›m arac›nda de¤erlendiriyor. Y›l sonunda %25 ve %30 ile yatan miktarlar›n toplam getirisi 8,4 milyar, %35 ile yatan miktar›n ana para ile birlikte dönüflü 27 milyar ise, her bir yat›r›m arac›na yatan miktar nedir? 9.

ARZ - TALEP FONKS‹YONLARI VE DENGE M‹KTARLARI ‹Ç‹N DO⁄RUSAL B‹R MODEL


AMAÇ

3

Ekonomide arz ve talep aras›ndaki iliflkinin bir do¤rusal denklem sistemiyle ifade edebilece¤ini görmek ve bu iliflkiyi matematiksel olarak irdelemektir.

Bir ticari mal›n piyasas›nda mal›n fiyat›, mal›n piyasadaki talebi ve piyasaya arz› aras›nda karmafl›k bir iliflki vard›r. Bu iliflkiyi çeflitli matematiksel modellerle yaklafl›k ifade etmek mümkündür. Mal›n fiyat›n› ba¤›ms›z de¤iflken olarak kabul edersek, arz ve talep miktarlar›n› fiyat›n fonksiyonlar› olarak ifade edebiliriz. Bu fonksiyonlara arz-talep fonksiyonlar› denir. Arz-talep fonksiyonlar› do¤rusal olabilece¤i gibi, ikinci dereceden veya daha yüksek dereceden polinom türünde fonksiyonlar da olabilir. Biz burada bir mal›n pazar› için basit bir matematiksel model oluflturmak istiyoruz. Bunun için de arz-talep fonksiyonlar›n› ba¤›ms›z de¤iflken fiyat›n do¤rusal fonksiyonlar› olarak kabul edece¤iz. Modelimizde arz ve talep miktarlar›n›n eflit oldu¤u andaki fiyata denge fiyat›, denge fiyat›na karfl›l›k gelen arz-talep miktar›na da denge miktarlar› diyece¤iz; ya da k›saca, denge fiyat›denge miktarlar› ikilisine modelimizin denge noktas› (denge durumu) ad›n› verece¤iz. Böylece arz fonksiyonu, talep fonksiyonu ve denge durum aras›ndaki iliflkiyi bir do¤rusal denklem sistemiyle ifade edebilece¤iz. fiimdi böyle bir matematiksel modeli ayr›nt›lara girerek olufltural›m. Bir ticari mal›n (ürünün) bir zaman aral›¤› içinde pazara sunum (arz) miktar›n› qs, pazar›n talep miktar›n› qd ve fiyat›n› p ile gösterelim. fiimdi arz-talep ve fiyat aras›nda basit dengeli bir matematiksel model oluflturmak istiyoruz. Modelimizin basitli¤i için p yi ba¤›ms›z de¤iflken, qs ve qd yi de p nin do¤rusal fonksiyonlar› olarak düflünelim. Fiyat artt›kça sunum artaca¤›ndan ve talep de azalaca¤›ndan, qs yi p nin artan bir fonksiyonu, qd yi de p nin azalan bir fonksiyonu olarak düflünebiliriz. Böylece a1, a2, b1, b2 pozitif katsay›lar olmak üzere, qs ve qd fonksiyonlar› qs = -a1 + b1 p qd = a2 - b2 p biçiminde yaz›labilir. Modelimizin dengeli olmas› için bu sisteme bir de denge koflulu eklemeliyiz. Bu denge koflulu p nin belli bir de¤eri için talebin arza eflit olmas›, yani qd = qs durumunda ortaya ç›kar. Böylece modelimizin matematiksel ifadesi, a1 , b1 , a2 , b2 > 0 olmak üzere,

Arz - Talep Fonksiyonlar› ve Denge Miktarlar› ‹çin Do¤rusal Bir Model

qs = -a1 + b1 p qd = a2 - b2 p qd = qs

(1)

biçiminde üç bilinmeyenli üç denklemden oluflan bir do¤rusal denklem sistemi olur. fiimdi bu sistemin bir çözümünü analitik olarak aramaya giriflmeden önce, geometrik olarak görmeye çal›flal›m. Bu nedenle, arz-talep analizinde oldu¤u gibi; yatay ekseni p, düfley ekseni qs , qd olan bir dik koordinat sisteminde arz fonksiyonu qs nin ve talep fonksiyonu qd nin grafiklerini çizelim: Arz fonksiyonu qs artan oldu¤undan e¤imi pozitif b1 say›s›d›r ve düfley ekseni kesim noktas› -a1 dir. Ancak fiyat›n belirli bir p1 (p1 = a1 / b1) de¤erinden sonra sunum söz konusu olaca¤›ndan, qs nin grafi¤inin bafllang›ç noktas› p1 olacakt›r [fiekil 11.8(a)]. Talep fonsiyonu qd azalan oldu¤undan e¤imi negatif -b2 say›s›d›r ve düfley ekseni kesim noktas› a2 dir [(fiekil 11.8(b)]. Sistemin denge koflulu için qs = qd = q yaz›p, arz-talep fonksiyonlar›n›n grafiklerini, düfley ekseni q olan ayn› koordinat sisteminde çizersek, qs ve qd nin grafiklerinin kesim noktas› denge fiyat› p0 'a karfl›l›k gelen q0 için (p0, q0) denge noktas› olur [fiekil 11.9]. qd

qs a2

q s = -a 1 + b 1 p

0

q d = a 2 - b 2p

p 1 = a 1 /b 1

0

p

p

a 2 /b 2

- a1 (a) Do¤rusal arz fonksiyonun grafi¤i

(b) Do¤rusal talep fonksiyonun grafi¤i Şekil 11.8

q a2 q s = -a 1 + b 1 p arz fonksiyonu

qd = a 2 - b 2 p talep fonksiyonu

q0 = qs = qd

0

(p 0 , q 0 ) denge noktas›

a 1 /b 1

p0

a 2 /b 2

p

-a 1 p fiyat› için ürünün arz miktar› talep miktar›na eflittir. 0

Şekil 11.9

247

Arz - Talep Fonksiyonlar› ve Denge Miktarlar› ‹çin Do¤rusal Bir Model

248

fiimdi (1) denklem sisteminin çözümünü analitik olarak bulal›m. Denge koflulu qs = qd oldu¤undan, qs = qd = q dersek, (1) sistemi q = - a1 + b1 p q = a2 - b2 p

(2)

do¤rusal denklem sistemine dönüflür. ‹ki bilinmeyenli iki denklemden oluflan bu sistemin çözümü için q yu yok edersek, -a1 + b1 p = a2 - b2 p veya (b1 + b2)p = a1 + a2 olur. b1 + b2 ≠ 0 oldu¤undan p ye göre çözüm, denge fiyat› p yi verir. p = a1 + a2 b1 + b2 olur. p nin bu de¤eri (2) sisteminin birinci denkleminde yerine yaz›l›nca, denge miktar› q = - a 1 + b 1 a 1 + a 2 = - a 1b 1 - a 1b 2 + b 1a 1 + b 1a 2 b1 + b2 b1 + b2 = a 2b 1 - a 1b 2 b1 + b2 bulunur. b1 + b2 > 0 oldu¤undan denge miktar› q nun pozitif olmas› için a2b1 -a1b2 > 0 olmal›d›r. Dolay›s›yla, (1) sisteminin ekonomik olarak anlaml› olabilmesi için, sistemin a2b1 - a1b2 > 0 koflulunu sa¤lamas› gerekir. Bu örnekteki (1) denklem sistemiyle verilen pazar modeline do¤rusal model ad› verilir. fiimdi konuya iliflkin baz› örnekler verelim:

ÖRNEK 14

ÇÖZÜM

Arz-talep fonksiyonlar› afla¤›daki denklem sistemleriyle verilen pazar modellerinin denge noktas› (p , q) yu bulunuz. b) qs - 15p + 125 = 0 a) qs = -3 + 7p qd + 3p - 37 = 0 qd = 15 - 2p

Her bir pazar modeli için qs = qd oldu¤unda denge söz konusu olacakt›r. Bu nedenle verilen her bir sistem için qs = qd = q yaz›p, denge fiyat› p ve denge miktar› q yu bulal›m: a)

qs = qd = q

yaz›nca

-3 + 7p = q 15 - 2p = q denklem sistemi elde edilir. Bu sistemden q yok edilirse, -18 + 9p = 0 ve böylece p = 2 bulunur. p nin bu de¤eri q = -3 + 7p denkleminde yerine yaz›l›nca q = 11 bulunur. Denge noktas› (2 , 11) olur.

Arz - Talep Fonksiyonlar› ve Denge Miktarlar› ‹çin Do¤rusal Bir Model

249

b) Benzer olarak, q - 15p + 125 = 0 q + 3p - 37 = 0 sisteminden q yok edilince 18p - 162 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemden p = 162 = 9 bulunur. 18 Bu de¤er q - 15p + 125 = 0 denkleminde yerine yaz›l›nca, q - 15(9) + 125 = 0 veya q = 10 bulunur. Denge noktas› (9 , 10) olur.

Yukar›daki örneklerde sadece bir tür ticari mal›n pazar› için do¤rusal bir model verildi. Asl›nda birbirleriyle iliflkili birden çok ticari mal birlikte düflünüldü¤ünde de bir do¤rusal model yaz›labilir. Basitlik için, diyelim ki, birbirleriyle iliflkili iki ticari mal için do¤rusal bir model yazmak istiyoruz. Birinci mal›n fiyat› p1, ikincisinin p2 olsun. Bu mallar›n arz-talep fonksiyonlar›n› da s›ras›yla qs1 , q d 1 , q s2 , q d 2 ile gösterelim. Parametrik olarak bu do¤rusal modelleri, denge koflullar›n› da ekleyerek flöyle yazabiliriz: qs1 - q d 1 = 0 qs1 = a 0 + a 1p 1 + a 2p 2 qd 1 = b 0 + b 1p 1 + b 2p 2

ve

qs2 - q d 2 = 0 qs2 = c 0 + c 1p 1 + c 2p 2 qd 2 = d 0 + d 1p 1 + d 2p 2

fiimdi bu duruma bir örnek olarak, iliflkili iki ticari mal›n pazar› için verilen do¤rusal modellerin denge çözümlerini bulal›m.

ÖRNEK 15

Birbirleriyle iliflkili iki ticari mal için arz ve talep fonksiyonlar afla¤›daki denklemlerle veriliyor. Bu mallar için denge fiyatlar›n› ve denge miktarlar›n› bulunuz. 2) qd 2 = 18 + p1 - p2 1) qd 1 = 12 - 2p1 + p2 qs1 = -8 + 3p1 qs2 = -6 + 2p2

qd 1 = qs1 = q1

ve

qd 2 = qs2 = q2

yaz›nca, verilen (1) ve (2) denklem sistemleri q1 = 12 - 2p1 + p2 q1 = -8 + 3p1

q2 = 18 + p1 - p2 q2 = -6 + 2p2

sistemlerine dönüflür. Birinci sistemden q1 ve ikinci sistemden q2 yok edilince, 5p1 - p2 = 20

ve

-p1 + 3p2 = 24

denklemleri elde edilir. Bu denklemleri ortak çözelim: 5p1 - p2 = 20 -p1 + 3p2 = 24

ÇÖZÜM

Bir ticari mal›n pazar› için denge koflulu qs = qd olmas›d›r. Bu nedenle

250

Arz - Talep Fonksiyonlar› ve Denge Miktarlar› ‹çin Do¤rusal Bir Model

‹ki bilinmeyenli iki denklemden oluflan bu sistemin çözümü için birinci denklemi 3 ile çarp›p ikinci denklem üzerinde toplarsak, 14p1 = 84

veya

p1 = 6

bulunur. Böylece 3p2 = 24 + p1 = 24 + 6 = 30 , p2 = 10 olur. fiimdi bu denge fiyatlar›n› her bir sistemin arz ya da talep fonksiyonlar›nda yerine yaz›nca, her bir mal›n arz miktar› talep miktar›na eflit olacakt›r. Yani, q1 = 12 - 2p1 + p2 = 12 - 2(6) + 10 = 10 q2 = 18 + p1 - p2 = 18 + 6 - 10 = 14 olacakt›r. Böylece denge fiyatlar p1 = 6, p2 = 10 ve denge miktarlar› q1 = 10, q2 = 14 olarak bulunur.

SIRA S‹ZDE 3

Bir mal›n talep fonksiyonu qd = 75 - 2p ve arz fonksiyonu qs = -15 + 4p olarak veriliyor. Bu mal için, a) talebin s›f›r oldu¤u, b) arz›n s›f›r oldu¤u, c) arz ve talebin eflit oldu¤u fiyatlar› belirleyiniz. 2. Arz ve talep fonksiyonlar›, qs = -5 + 3p qd = 35 - p olarak verilen bir mal›n hangi fiyat› için arz ve talep miktarlar› eflit olur? Denge miktar›n› belirleyiniz. 3. Arz-talep do¤rular›, qs = -13 + 12p qd = 27 - 4p 1.

olarak verilen bir modelin denge noktas› nedir? 4. Birbirleriyle iliflkili iki mal›n arz ve talep fonksiyonlar›, qd 1 = 54 - 2p1 + p2 qd 2 = 68 + 3p1 - 2p2 qs1 = 11p1 - 16 qs2 = 11p2 - 18 olarak veriliyor. Her bir mal›n arz ve talebinin eflit miktarlarda olaca¤› denge fiyatlar var m›d›r? Varsa denge de¤erleri nelerdir?

Kendimizi S›nayal›m

251

Kendimizi S›nayal›m 1. 2x + 3y = 1 ve -3x + 2y = -8 do¤rular›n›n kesim noktas› afla¤›dakilerden hangisidir? a. (-1 , 2) b. (2 , -1) c. (1 , -1) d. (-1 , 1) e. (2 , 1) 2. 2x - 5y = 16

6. x + y - 2z = -2 2x - y - z = 5 x - 3y + 2z = 10 do¤rusal denklem sisteminde yer alan düzlemlerin arakesit do¤rusunun parametrik denklemleri afla¤›dakilerden hangisidir? a. x = t y = -4 + t z = -1 + t (t Œ R)

-x + 7y = -17 do¤rusal denklem sisteminin (x, y) çözümü afla¤›dakilerden hangisidir? a. (18, 4) b. (23, 6) c. (-4, -3) d. (3, 2) e. (3, -2) 3. 3x + 6y = 8

kx + 2y = 6 do¤rusal denklem sisteminin çözümsüz olmas› için k ne olmal›d›r? a. -2 b. -1 c. 1 d. 2 e. 3 4. -5x + ky = -2 15x + y = 6 do¤rusal denklem sisteminin sonsuz çözümü oldu¤una göre, k kaçt›r? a. -1 b. -1/3 c. 1/3 d. 1 e. 3 5. 2x + 3y - z - 1 = 0

,

-x + 5y + z - 14 = 0

ve

3x + y + 2z - 5 = 0 düzlemleri verilsin. Bu düzlemlerin kesim noktas› afla¤›dakilerden hangisidir?

a. (1 , 2 , 3) b. (-1 , 2 , 3) c. (-2 , 1 , 3) d. (2 , 3 , 1) e. (2 , 3 , -1)

b. x = -1 + t y = -3 + t z=t

(t ΠR)

c. x = -1 + t y = 2t z=t

(t ΠR)

d. x = 1 + t y = -1 + t z=t

(t ΠR)

e. x = 1 + t y=t z=1-t

(t ΠR)

7. 2x1 + 3x2 - x3 + x4 = 0 3x4 = 0 x1 - x2 + x4 = 0 3x2 do¤rusal denklem sisteminin çözümü ile ilgili afla¤›daki ifadelerden hangisi do¤rudur? a. Sistemin tek çözümü x1 = x2 = x3 = x4 = 0 d›r. b. Sistemin tek çözümü x1 = -8 , x2 = 1, x3 = -10, x4 = 3 tür. c. Sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r ve bu çözüm, x 1 = - 8 t , x 2 = 1 t , x 3 = - 10 t , x 4 = t (t Œ R) 3 3 3 d. Sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard›r ve bu çözüm, x1 = -8t , x2 = t , x3 = -10t , x4 = t (t Œ R) e. Sistemin çözümü yoktur. 8.

x1 + 7x2 - 3x3 = -40 2x1 - x2 + x3 = 9 x1 - 3x2 + 2x3 = 20 do¤rusal denklem sisteminin (x1, x2, x3) çözümü afla¤›dakilerden hangisidir? a. (3 , -7 , -2) b. (1 , 3 , 2) c.. (1 , -5 , 2) d. (-1 , 5 , 4) e. (-5 , 2 , 3)

252

Biraz Daha Düflünelim

9. Arz-talep fonksiyonlar›, qs = -14 + 8p qd = 105 - 9p denklemleriyle verilen bir mal›n denge fiyat› ve denge miktar› afla¤›dakilerden hangisidir? a. p = 3 , q = 10 b. p = 10 , q = 15 c. p = 11 , q = 74 d. p = 11 , q = 6 e. p = 7 , q = 42

Biraz Daha Düflünelim 1. a) 3x - 4y = 6

b) 5x + 2y = 11

x + 2y = 2

4x + 3y = 6

do¤rusal denklem sistemlerini grafik olarak çözünüz. 2. 3x + y = 2 5x - y = 4

- 3x + 2y = y ,

8x

=6

do¤rusal denklem sistemlerinin eflde¤er oldu¤unu gösteriniz. 3.

x - 2y - z = 2 x - y + 2z = 9

10. Arz-talep fonksiyonlar›, qd 1 = 3 - p1 + p2 , qs1 = -4 + 5p1 qd 2 = 14 + p1 - 3p2 , qs2 = -9 + 2p2 denklemleriyle verilen iki ticari mal için denge fiyat› ve denge miktarlar› afla¤›dakilerden hangisidir? a. p1 = 2 , p2 = 5 , q1 = 6 , q2 = 1 b. p1 = 2 , p2 = 6 , q1 = 6 , q2 = 3 c. p1 = 3 , p2 = 5 , q1 = 11 , q2 = 1 d. p1 = 3 , p2 = 7 , q1 = 11 , q2 = 5 e. p1 = p2 = 5 , q1 = 21 , q2 = 1

2x + y + z = 3 sisteminin çözümünü bulunuz. 4. ‹ki kapda bulunan %4 lük ve %9 luk tuz çözeltilerinden 50 litre %6 l›k bir çözelti elde etmek için her bir kapdan ne kadar çözelti al›narak kar›flt›r›lmal›d›r? 5. Bir nehirde seyreden bir bot, önce nehirin ak›fl›na ters yönde 6 saat yukar› do¤ru seyrettikden sonra geriye dönüyor ve 2 saatte hareket etti¤i noktaya ulafl›yor. Sonra afla¤› do¤ru 3 saat seyredip, tekrar yukar› do¤ru 8 saat seyretti¤i halde bafllang›ç noktas›na 4 km yaklafl›yor. Bu nehirin ak›fl h›z› nedir?

Pierre Fermat (1601 - 1665) Avukat ve devlet adam› olan Fermat’ ›n bilinen en önemli çal›flmas› Fermat’ ›n son teoremi olarak bilinen " xn+yn=zn (n >2) denkleminin pozitif tam say›lar için çözümü yoktur" biçiminde ifade edilen teoremdir. Bu teorem için Fermat, okudu¤u bir kitab›n kenar›na flu notu yazm›flt›r: "Ben bu teoremin gerçekten çok güzel bir kan›t›n› yapt›m, fakat bu sayfan›n dar kenar›na s›¤maz." Oysa bu teoremin kan›t› matematikçileri yaklafl›k 350 y›l u¤raflt›rm›flt›r.

Matrisler

12

Amaçlar Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra; matris kavram›n› tan›yacak ve bir tablonun bir matris biçiminde gösteriliflini yazabileceksiniz, bir matrisin boyutunu tan›y›p, matrislerin adland›r›l›fl›n› ö¤reneceksiniz, uygun matrisler aras›nda toplama, çarpma ve bir say› ile çarpma ifllemleri yapabileceksiniz, ters matris kavram›n› tan›y›p, ilkel sat›r-sütun ifllemleri yoluyla ters matrisin hesaplan›fl›n› ö¤reneceksiniz, do¤rusal denklem sistemlerinin çözümlerini matris yöntemiyle bulabileceksiniz, çeflitli ekonomi problemlerinin matrislerle temsil ediliflini yazabilecek ve çözümlerini matris yöntemiyle araflt›rabileceksiniz.









254

Matrisler

‹çindekiler • • • • •

Matris Tan›m›, Bir Matrisin Boyutu ve Özel Türden Matrisler Matris ‹fllemleri Matris ‹fllemlerinin Özellikleri Ters Matris Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matrislerle Gösterilifli

• Tan›mlar ve yeni kavramlar üzerinde iyi düflünülmeli ve do¤ru alg›lamaya çal›fl›lmal›d›r. • Örnekler iyi incelenmelidir. • Ö¤renciye b›rak›lan sorularda verilenlerin ve bulunmas› istenilenlerin neler oldu¤u iyi ay›rt edilmelidir. • Çal›fl›rken mutlaka ka¤›t ve kalem kullan›lmal›d›r ve al›flt›rma sonuçlar› çözülerek bulunmal›d›r.

Girifl Bu ünitenin konusu matrisler cebiri ve uygulamalar›d›r. Daha aç›k ifade edecek olursak; bu ünitede matrislerin özellikleri, tipi ya da boyutu, matrisler aras›nda cebirsel ifllemler, bu ifllemlerin sa¤lad›¤› özellikler, sat›r ve sütun ifllemleri gibi konular ele al›nacakt›r. Uygulamada önemli yeri olan ters matrisin varl›¤› ve hesaplanmas›na iliflkin baz› yöntemler üzerinde durulacakt›r. Bütün bu gerekli kavramlar›n verilmesinden sonra, matrislerin uygulama alan›nda önemini gösteren türden örnekler verilecektir. Bu tür örneklerin bafl›nda, do¤rusal denklem sistemlerinin matris gösterimleriyle ifade ediliflleri ve çözümlerinin irdelenmesi gelir. Matris gösterimleriyle verilen bir do¤rusal denklem sisteminin çözümü yap›lmadan, çözümün varl›¤›, varsa tekli¤i belirlenebilir; çözüm varsa, çözümün bulunmas›n› kolaylaflt›ran matris yöntemler verilebilir. Birçok ekonomik iliflkiler bir do¤rusal denklem sistemiyle ifade edilebildi¤inden, ekonomik iliflkilerin matematiksel olarak modellenmesinde matrislerin önemli bir yeri vard›r. ‹leride verece¤imiz örnekler bu önemi daha iyi aç›klayacakt›r.

Matrisin Tan›m›, Bir Matrisin Boyutu ve Özel Türden Matrisler

MATR‹S TANIMI, B‹R MATR‹S‹N BOYUTU VE ÖZEL TÜRDEN MATR‹SLER


AMAÇ

1

Bu kesimde amaçlanan, tablolar›n matris olarak gösterilifli, matris terminolojisinin tan›t›lmas›; kare, sat›r, sütun, birim matrisler, bir matrisin devri¤i, matris eflitli¤i kavramlar›n›n aç›klanmas›d›r.

Önce "matris nedir?" sorusuna yan›t arayal›m. Günlük yaflant›m›zda say›lar›n, de¤iflkenlerin veya parametrelerin oluflturdu¤u çeflitli tablolar yapmaya ihtiyaç duyar›z. Örne¤in, bir fabrikan›n üretti¤i, diyelim ki befl tür mal›n ilk alt› ayl›k üretim miktarlar›n›n aylara göre dökümünün verilmesi istenirse, bunu göstermenin bir yolu befl sat›r ve alt› sütundan oluflan bir tablo haz›rlamakt›r. Sat›rlar›n karfl›s›na mal çeflitlerini, sütunlar›n tepesine de aylar yaz›l›rsa, bir sat›r ile bir sütun kesiflti¤i yere de o ay içinde üretilen o mal›n miktar› yaz›labilir. Bu tabloya fabrikan›n ilk alt ayl›k üretim tablosu denildi¤i gibi üretim matrisi de denir. Afla¤›daki örne¤i inceleyiniz. Bir giyim atölyesinde üretilen mallar›n y›l›n ilk ay› içindeki üretim miktarlar› afla¤›daki tablo ile verilmifltir. Ocak

fiubat

Mart

Nisan

May›s Haziran

Ceket

250

200

150

300

200

100

Pantolon

300

250

175

300

250

200

Yelek

100

75

75

50

25

0

Gömlek

350

400

350

300

325

350

Kravat

500

450

400

375

250

150

Befl sat›r, alt› sütundan oluflan bu tablo, hangi mal›n hangi ay ne miktarda üretildi¤ini göstermektedir. K›sa bir ifadeyle, atölyenin ilk alt ayl›k üretim tablosu veya üretim matrisidir. Say›lar›n, de¤iflkenlerin veya parametrelerin oluflturdu¤u dikdörtgen biçiminde bir tabloya bir matris denir. Bir matrisi oluflturan nesnelere o matrisin elemanlar› ya da ö¤eleri ad› verilir. Yatay çizgiler üzerinde yer alan matris elemanlar›na matrisin sat›rlar›, düfley çizgiler üzerinde yer alan matris elemanlar›na matrisin sütunlar› denir. Bir matris, sat›r say›s› ve sütun say›s› ile ifade edilir. m say›da sat›r›, n say›da sütunu olan bir matris için mxn ye matrisin boyutu ya da mertebesi denir. Bir matrisin boyutu yaz›l›rken daima önce sat›r say›s› sonra da sütun say›s› yaz›l›r. E¤er sat›r say›s› sütun say›s›na eflit ise, bu tür bir matrise kare matris denir. Boyutu nxn olan bir matris, k›saca n- yinci mertebeden kare matris diye de ifade edilebilir. Bir matrisin m say›da sat›r› ve bir tek sütuna varsa, yani matrisin boyutu mx1 ise, böyle bir matrise sütun matris ya da bir sütun vektör denir. Bir tek sat›r› ve n say›da sütunu, yani mertebesi 1xn olan bir matrise de sat›r matris ya da bir sat›r vektör denir. Bir matrisin sat›rlar› ve sütunlar› normal parantez ( ) veya köfleli parantez [ ] biçiminde çizgiler aras›na yaz›l›r ve matrisin boyutu da parantezin sa¤ alt köflesine yaz›larak gösterilir. Bu kitapta matrisler için ( ) gösterimini kullanaca¤›z.

255

Matrisin Tan›m›, Bir Matrisin Boyutu ve Özel Türden Matrisler

256

Afla¤›da çeflitli boyutlardaki matrisler için birer örnek verilmifltir.

ÖRNEK 1

-3

7

4

0

0,5

2

-8

1

9

11

-5

3

2x2

1

3/2

-7

2 x 4 boyutunda bir matris 2x4

2 nci mertebeden kare matris

3

Sat›r matris (sat›r vektör)

1x4

3 -1 4

Sütun matris (sütun vektör) 3x1

Matrisler, A, B, C, ... , X, Y gibi büyük harfler ile onlar›n ö¤eleri de küçük harfler ile gösterilirler. Boyutu mxn olan genel bir matrisin i -yinci sat›r› ile j -yinci sütunun kesiflti¤i yerdeki eleman› aij olarak yaz›l›r. Böylece A matrisi A = (aij )mxn biçiminde temsil edilebilir (Bu tür yaz›l›fllarda, yani bir matrisin boyutunun yaz›l›fl›nda olsun veya bir eleman›n konumunun gösteriliflinde olsun, daima sat›r say›s› ya da numaras› sütun say›s›ndan ya da numaras›ndan önce yaz›l›r). Gösterilifli A = (aij )mxn olan m sat›r, n sütundan oluflan genel bir A matrisi, elamanlar›n›n konumlar› aç›k gösterilecek flekilde afla¤›daki biçimde yaz›labilir: a 11 a 21 ... ai 1 ... am 1

A=

≠ 1. sütun

a 12 a 22 ... ai 2 ... am 2

. . . . . .

. . . . . .

. a 1j . a 2j . ... . a ij . ... . a mj

≠ 2. sütun

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

a 1n a 2n ... a in ... a mn

¨ 1. sat›r ¨ 2. sat›r ¨ i -inci sat›r

≠ j -yinci sütun

‹ki matrisin boyutlar› ve ayn› konumdaki tüm elemanlar› eflit ise bu iki matrise eflit matrisler denir. O halde, A = (aij )mxn ve B = (bij )rxs matrislerinin eflit olmas› için gerekli ve yeterli koflul m = r, n = s ve her i, j için aij = bij olmas›d›r.

ÖRNEK 2

A=

1

3

8

0

-1

x

matrisinin

B=

1

y

z

0

-1

5

matrisine eflit

ÇÖZÜM

olmas› için x, y, z ne olmal›d›r? A matris ile B matrisinin boyutlar› ayn› oldu¤undan, A = B olmas› için x = 5, y = 3, z = 8 olmal›d›r.

Matrisin Tan›m›, Bir Matrisin Boyutu ve Özel Türden Matrisler

-3 A=

5

7

0

0

1

-1

8

2

4

-5

5

D= 2 3 0 -1 ,

1 ,

B=

3

5

2

7

8

9

-1

0

257

ÖRNEK 3

-1 ,

C=

3 6

E= -4

matrisleri veriliyor. Bu matrislerin boyutlar›n›, eleman say›lar›n› ve a24 , b32 , c31 , d14 , e11 elemanlar›n› bulunuz.

B matrisinin boyutu 3x3 dür; yani üçüncü mertebeden bir kare matristir. Elemanlar› say›s› 3x3 = 9 dur. b32 = - 1 dir. C matrisinin boyutu 3x1 dir. Bu matris bir sütun matristir; elemanlar› say›s› 3 ve c31 = 6 d›r. D matrisinin boyutu 1x4 dür. Bu matris bir sat›r matristir; elemanlar› say›s› 4 ve d14 = - 1 dir. E matrisi boyutu 1x1 olan hem sat›r hem de sütun matristir. E nin tek eleman› e11 = - 4 dür. n- yinci mertebeden bir A = (aij ) kare matrisinde a11 , a22 , a33 , ... , ann elemanlar›na k›saca matrisin köflegen elemanlar› denir. E¤er bir kare matrisin köflegen elemanlar›n›n hepsi 1 ve di¤er tüm elemanlar› 0 ise, böyle bir matrise bir birim matris denir. n- yinci merteben bir birim matris için a ij =

1

i=j

0

iπj

i, j = 1,2,...,n

dir. Her mertebeden birim matris vard›r ve mertebesi n olan birim matris, genel olarak, In simgesiyle gösterilir. Örne¤in,

I2 =

1

0

0

1

, I3 =

1

0

0

0

1

0

0

0

1

matrislerinden birincisi 2 ci mertebeden, ikincisi de 3 cü mertebeden birim matrislerdir. Bir A = (aij )mxn matrisi için A n›n devri¤i (transpozesi) diye adland›r›lan ve AT = (a'ij )nxm ile gösterilen matris, boyutu nxm olan ve a'ij = aji olarak tan›mlanan matristir. Bir baflka ifade ile, A n›n sat›rlar›n› sütun, sütunlar›n› da sat›r yaparak elde edilen matrise A n›n devri¤i denir ve bu yeni matris AT ile gösterilir. Örne¤in,

ÇÖZÜM

Her bir matrisi tek tek ele al›p sorular› yan›tlayal›m. A matrisinin boyutu 3x4 dür; özel bir adland›r›l›fl› yoktur. Elemanlar› say›s› 3x4 = 12 dir. a24, ikinci sat›r dördüncü sütunda bulunan eleman oldu¤undan a24 = 8 dir.

Matrisin Tan›m›, Bir Matrisin Boyutu ve Özel Türden Matrisler

258

a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34

A=

3x4

matrisinin devri¤i, boyutu 4x3 olan ve A n›n sat›rlar›n› sütun kabul eden matristir. a' 11 a' 12 a' 13 a' 21 a' 22 a' 23

T

A =

a 11 a 12 a 13 a 14

=

a' 31 a' 32 a' 33 a' 41 a' 42 a' 34

ÖRNEK 4 A=

-1

3

0

2

0

5

a 21 a 22 a 23 a 24

a 31 a 32 a 33 a 34

4x3

3 , B= 2x3

, C=

2 2

3x1

3

0

0

0

-5

0

0

0

1

3x3

ÇÖZÜM

matrislerinin devriklerini bulunuz.

AT =

T

C =

SIRA S‹ZDE 1

1. A =

-1

2

3

0

0

5

, BT =

2

2

1x3

,

3x2

3

0

0

0

-5

0

0

0

1

-3

2 1 x

y z 0 ne olmal›d›r?

=C 3x3

0

3 1 sonucunu bulunuz. 2. A =

3

5

matrisinin ö¤eleri için 2a13 - 3a212 - 4a23 iflleminin

- 3/2

, B=

2 1 4

matrislerinin eflit olmalar› için x, y, z de¤erleri

9 z z

3. Ö¤eleri a11 = a22 = a33 = 1, a12 = a21 = -1, a13 = a31 = 2 ve a23 = a32 = 3 olan kare matrisi yaz›n›z.

1 x y 4. A =

-2 1 z

matrisi için A = AT ise, A matrisinin bilinmeyen ö¤elerini

3 4 5 bulunuz ve A matrisini yeniden yaz›n›z.

Matris ‹fllemleri

259

MATR‹S ‹fiLEMLER‹ Bu kesimde matris toplamas›, ç›karmas›, say› ile çarp›m› ve matris çarp›m› ifllemlerini tan›yacak ve bu ifllemlerin kimi özelliklerini ö¤reneceksiniz.

Matris Toplam› A = (aij )mxn ve B = (bij )mxn ayn› tipten iki matris olsunlar. Ö¤eleri cij = aij + bij (i = 1,2,...m ; j = 1,2,...,n) olan C = (cij )mxn matrisine A ve B matrislerinin toplam› denir ve bu matris C = A + B fleklinde gösterilir. Bu durumda A ve B matrislerine toplanabilir matrisler ad› verilir. Aç›kt›r ki,

A+B=

a 11

a 12

. . . a 1n

a 21

a 22

. . . a 2n

+

b 11

b 12

. . . b 1n

b 21

b 22

. . . b 2n

...

...

a m1 a m2 . . . a mn

=

b m1 b m2 . . . b mn

a 11+b 11

a 12+b 12

...

a 1n+b 1n

a 21+b 21

a 22+b 22

...

a 2n+b 2n

... a m1+b m1

a m2+b m2

...

a mn+b mn

dir. A ve B matrislerinin A - B fark› da benzer flekilde tan›mlan›r.

A=

3 2 -1

,

B=

-1 7 4

0 4 5 bulunuz.

A-B=

matrisleri için A + B , A - B matrislerini

3 -2 0

3+ -1

2+7

-1+4

0+3

4+ -2

=

5+0

3- -1

2-7

-1-4

0-3

4- -2

5-0

=

2

9

3

3

2

5

4

-5

-5

- 3

6

5

ÇÖZÜM

A+B=

ÖRNEK 5

Say› ‹le Çarpma Bir matrisin bir say› ile çarp›m›, o matrisin elemanlar›n›n konumlar›n› bozmadan, tüm elemanlar›n verilen say› ile çarp›m›yla oluflturulan matristir. Yani k bir say› ve A = (aij )mxn verilen bir matris ise, k ile A n›n kA ile gösterilen say› ile çarp›m› kA = (kaij )mxn olarak tan›mlanan matristir.

k = 5 ve A =

4

-2

3

0

1

5

ÖRNEK 6 için kA matrisini bulunuz.

Matris ‹fllemleri

ÇÖZÜM

260

ÖRNEK 7

kA = 5

4

-2

3

0

1

5

=

5.4

5. - 2

5.3

5.0

5.1

5.5

=

20

- 10

15

0

5

25

1 Ocak 1999 tarihinde peynir, et, fleker fiyatlar› milyon TL/kg olarak F matrisiyle veriliyor.

F=

1,5

Peynir

2,5

Et

0,4

fieker

ÇÖZÜM

Enflasyonun her y›l %30 oran›nda artaca¤›n› varsayarak, 3 y›l sonra 1 Ocak 2002 tarihindeki peynir, et, fleker fiyatlar›n› temsil eden sütun matrisi bulunuz. 1. y›l sonunda F1 = F + 0,30 F = 1,30 F 2. y›l sonunda F2 = F1 + 0,30 F1 = 1,30 F1 = 1,30 (1,30 F) = (1,30)2 F 3. y›l sonunda F3 = F2 + 0,30 F2 = 1,30 F2 = 1,30 (1,30)2 F = (1,30)3 F olur. Böylece aran›lan matris, yani 3 y›l sonraki fiyat matrisi 1,5 3

F 3 = 1,30 F = 2,197

2,197.1,5 =

2,5

2,197.2,5

0,4

3,2955 =

2,197.0,4

5,4925 0,8788

olarak bulunur. Bir A matrisi için (- 1) A = - A olarak gösterilir. Sözgelifli, 6. Örnekteki A matrisi için

-A=

-4

2

-3

0

-1

-5

dir.

ÖRNEK 8

2

5

1 7 -1 A + kB matrisini bulunuz.

3

ÇÖZÜM

A=

3

- 4

, B=

A + kB = A + - 1 B =

=

3

-4

1

7

+

3

-4

1

7 -2

-5

1

-3

matrisleri ve k = -1 say›s› veriliyor.

+ -1

=

olur. O halde, A + (- 1) B = A - B dir.

2

5

-1

3

3-2

-4-5

1+1

7-3

=A-B

Matris ‹fllemleri

261

Tüm elemanlar› s›f›r olan bir matrise s›f›r matris denir. Her mertebeden s›f›r matris vard›r ve genel olarak s›f›r matris O simgesiyle gösterilir. Aç›kt›r ki, her A matrisi için A - A = O d›r.

ÖRNEK 9

Bir A matrisi için A = - A ise, A n›n s›f›r matris oldu¤unu gösteriniz. ÇÖZÜM

A herhangi bir matris olsun. A = - A ise, bu eflitli¤in her iki yan›n› A matrisi ile toplarsak A + A = A + (- A) 2A = A - A = O 2A = O A=O olur. O halde, A s›f›r matristir. (Burada O, A ile ayn› mertebeden olan s›f›r matrisi göstermektedir).

‹ki Vektörün ‹ç Çarp›m› A bir sat›r vektör, B de bir sütun vektör olsun. E¤er A ile B nin elemanlar› say›s› eflit ise, A n›n her bir eleman›n›n B nin karfl›l›k gelen eleman› ile çarp›l›p toplanmas›yla elde edilen say›ya A sat›r vektörüyle B sütun vektörünün iç çarp›m› denir ve bu say› A . B ile gösterilir. K›saca b 11 A = a 11 a 12 . . . a 1n ve B =

b 21

b n1 ise, A . B = a11 b11 + a12 b21 + ... + a1n bn1 olur.

ÖRNEK 10

-1 A= 2

3

-4

ve

B=

7 5

vektörleri için A . B iç çarp›m›n› hesaplay›n›z.

A. B =

2

3

-4

7

=2. -1 +3.7+ -4 .5

5 = - 2 + 21 - 20 = - 1 bulunur.

Matris Çarp›m› fiimdi iki matrisin çarp›m›n› tan›mlamak istiyoruz. ‹ki matrisin toplam›n›n veya fark›n›n tan›mlanabilmesi için bunlar›n boyutlar›n›n eflit olmas› gerekti¤ini biliyoruz. ‹ki matrisin çarp›m›n›n tan›mlanabilmesi için de bunlar›n boyutlar› aras›nda bir iliflki olmas› gerekmektedir. Bu iliflki fludur: Matrislerin birincisinin sütun say›s›

ÇÖZÜM

-1

Matris ‹fllemleri

262

ikincisinin sat›r say›s›na eflit olmal›d›r. Bu koflul alt›nda iki matrisin çarp›m›n› afla¤›daki flekilde tan›mlayabiliriz: A = (aij )mxn matrisi ile B = (bij )nxr matrisinin AB ile gösterilen çarp›m› öyle bir C = (cij ) matrisidir ki, C nin boyutu mxr dir ve cij eleman› A n›n i- yinci sat›r vektörü ile B nin j- yinci sütun vektörünün iç çarp›m›d›r; yani her i = 1, 2, ... , m ve j = 1, 2, ... r için b 1j c ij =

a i2

a i1

b 2j

a in

= a i1 b 1j + a i2 b 2j +

+ a in b nj

bnj veya k›saca n

c ij =

∑

a ik b kj

k=1

dir. AB = C çarp›m›n›n daha iyi anlafl›lmas› için tan›m› biraz görsellefltirelim: A

B

C

b 1j i - yinci sat›r vektörü

ai 1 ai 2

b 2j

.

ai n

=

bnj

mxn

nxr

2

A=

4

-1

7

5

,B=

9

2x3

sat›r

mxr

≠

j - yinci sütun vektörü

ÖRNEK 11

¨ i - yinci

ci j

j - yinci sütun

1

0

-2

8

3

-1

6

4

2

,C=

3

2

0

5

2x2

3x3

ÇÖZÜM

matrisleri için tan›ml› olan çarp›mlar› belirleyiniz ve çarp›m matrisleri bulunuz. Sadece AB ve CA çarp›mlar› tan›ml›d›r. (Nedenini siz aç›klay›n›z) AB =

=

2

4

7

-1

5

9

. 2x3

2.1 + 4.8 + 7.6 - 1.1 + 5.8 + 9.6

=

76

40

6

93

51

15

2x3

1

0

-2

8

3

-1

6

4

2

3x3

2.0 + 4.3 + 7.4

2. - 2 + 4 . - 1 + 7.2

- 1.0 + 5.3 + 9.4

- 1 - 2 + 5 - 1 + 9.2

Matris ‹fllemleri

CA =

3 2 0 5

=

2

4

7

-1

5

9

. 2x2

2x3

3.2 + 2. - 1

3.4 + 2.5

3.7 + 2.9

0.2 + 5. - 1

0.4 + 5.5

0.7 + 5.9

4

22

39

-5

25

45

=

263

2x3

ÖRNEK 12

Bir konfeksiyon atölyesinde sat›fla haz›rlanan dört parti giyim eflyas›n›n miktarlar› E matrisi, bu eflyan›n birim fiyatlar› da milyon TL olarak F matrisi ile veriliyor. Her bir parti mal›n de¤erini gösteren sütun matris D yi bulunuz. Ceket Pantolon Gömlek Kravat 100

150

250

200

1. parti

75

100

175

175

2. parti

125

125

100

100

3. parti

140

160

300

250

4. parti

E=

F=

80

Ceket

20

Pantolon

15

Gömlek

10

Kravat

D = EF =

100 150 250 200

80

75 100 175 175

20

125 125 100 100

15

140 160 300 250

10

8000 + 3000 + 3750 + 2000 =

6000 + 2000 + 2625 + 1750 10000 + 2500 + 1500 + 1000 11200 + 3200 + 4500 + 2500

=

16750

1. parti mal›n de¤eri

12375

2. parti

"

"

15000

3. parti

"

"

21400

4. parti

"

"

ÇÖZÜM

Her bir parti mal›n de¤erini gösteren matris D = EF dir. O halde,

Matris ‹fllemleri

264

ÖRNEK 13

Alt› ö¤rencinin devam etti¤i bir dersin iki ara s›nav ve bir genel s›nav notlar›n›n dökümü S matrisi ile veriliyor. Ara s›navlar %20 ve genel s›nav %60 a¤›rl›kl› oldu¤una göre, dönem sonunda bu ö¤rencilerin baflar› notlar› listesini (matrisini) bulunuz.

ÇÖZÜM

S=

1.ara s›nav

2. ara s›nav

Genel s›nav

42

65

70

1. ö¤renci

55

40

65

2. ö¤renci

30

50

60

3. ö¤renci

76

82

85

4. ö¤renci

30

40

43

5. ö¤renci

70

83

92

6. ö¤renci

Ara s›navlar›n ve genel s›nav›n a¤›rl›klar› matrisini A ile gösterecek olursak, A matrisini 0,20 A=

0,20 0,60

sütun matrisi olarak alabiliriz. (A y› neden sat›r matris de¤ilde sütun matris olarak ald›¤›m›z› siz düflününüz). O zaman, ö¤rencilerin baflar› notlar› matrisine B diyecek olursak, B = SA olur. Böylece

B = SA =

42

65

70

8,4 + 13 + 42

55

40

65

30

50

60

76

82

85

15,2 + 16,4 + 51

82,6

30

40

43

6 + 8 + 25,8

39,8

70

83

92

14 + 16,6 + 55,2

85,8

0,20

63,4

11 + 8 + 39 =

0,20

0,60

6 + 10 + 36

58 =

52

elde edilir.

SIRA S‹ZDE 2

1. A =

-2 3 0 5

, B=

1 -3

matrisleri için A - 2B + AB matrisini bulunuz.

2 4 9

2. A = (2 3 7) sat›r vektörü ile B = 2 bulunuz. -1

sütun vektörünün iç çarp›m› olan say›y›

Matris ‹fllemlerinin Özellikleri

3. A =

2 0

, B=

1 -2 a) AB d) A2

1 1

, C=

2 1 b) BA e) A (B+C )

-1 2

matrisleri veriliyor.

0 2 c) (AB) C

matrislerini bulunuz.

MATR‹S ‹fiLEMLER‹N‹N ÖZELL‹KLER‹


AMAÇ

Matris ifllemlerinin sa¤lad›¤› kimi özelliklerin tan›t›lmas›.

2

Matris toplamas›, ç›karmas›, say› ile çarp›m› ve matris çarp›m›na iliflkin kimi özellikler afla¤›da dört grup olarak s›ralanm›flt›r. Bu gruplarda geçen ifllemler için verilen matrislerin uyumlu olduklar›, yani iki matrisin toplam› söz konusu ise bu matrislerin toplanabilir olduklar›, çarp›mlar› söz konusu ise çarp›labilir olduklar› kabul edilmifltir. Özelliklerin kan›tlar›na girilmeyecek, baz›lar›n›n örneklerle do¤rulanmas›yla yetinilecektir. I. i) A + B = B + A Matris toplamas›n›n de¤iflme özelli¤i vard›r. ii) (A + B) + C = A + (B + C ) Matris toplamas›n›n birleflme veya parantez kayd›rma özelli¤i vard›r. iii) A + O = O + A = A

S›f›r matris, matris toplamas›n›n etkisiz eleman›d›r.

iv) A + (- A) = O II. k, k1 , k2 say›lar i) kA = Ak ii) (k1 + k2) A = k1 A + k2 A ii) k (A + B) = kA + kB iii) k1 (k2 A) = (k1 k2) A iv) k (AB) = (kA) B = A (kB)

- A , A matrisinin toplamsal tersidir.

III. i)

A (BC ) = (AB) C

Matris çarp›m›n›n birleflme veya parantez kayd›rma özelli¤i vard›r.

ii) A (B + C ) = AB + AC

Matris çarp›m›n›n toplama üzerine da¤›lma özelli¤i vard›r.

iii) IA = AI = A

(Burada A kare matris de¤ilse, soldaki birim matris ile sa¤daki birim matrisin mertebeleri farkl›d›r.)

IV. i) ii) iii) iv)

(A + B)T = AT + BT (AT )T = A (kA)T = kAT (AB)T = BT AT

fiimdi yukar›daki kimi özellikleri örneklerle do¤rulayal›m ve önemlerine de¤inelim.

265

Matris ‹fllemlerinin Özellikleri

266

ÖRNEK 14

A=

2

3x

5

-4

, B=

y

-x

3

7

, C=

2y

- 4x

1

0

ÇÖZÜM

matrisleri veriliyor. Bu matrisler için matris toplam›n›n birleflme özelli¤i I (ii) yi do¤rulay›n›z. A+B =

2

3x

5

-4 2 + y 2x

A+B +C=

8

B+C =

+

-x

3

7

+

3

y

-x

3

7

A+ B+C =

y

+

2

3x

5

-4

- 4x

1

0

- 4x

1

0

2 + y 2x 8

2y

2y

+

=

=

3y

- 5x

4

7

3 2+3y - 2x

=

9

3

3y

- 5x

4

7

=

2 + 3y

- 2x

9

3

O halde, (A + B) + C = A + (B + C) dir. Matris toplamas›n›n birleflme özelli¤inin önemi fludur: Sonlu say›da toplanabilir matris için parantez kullanmadan bunlar aras›na + iflareti konularak toplamlar› yaz›labilir. Örne¤in, A + B + C, A + B + C + D yaz›l›fllar› anlaml›d›r. Çünkü bu toplamlar ikili nas›l gruplan›rsa gruplans›n sonuç de¤iflmeyecektir. Genel olarak, matris çarp›m›n›n de¤iflme özelli¤i yoktur; yani AB ≠ BA d›r. Çünkü AB çarp›m› tan›ml› iken BA tan›ml› olmayabilir veya tersi (sözgelifli, A n›n boyutu 2x3 ve B nin boyutu 3x4 ise AB çarp›m› tan›ml› BA çarp›m› tan›ml› de¤ildir). Asl›nda AB ve BA çarp›mlar›n›n her ikisi de tan›ml› olsa bile, genelde eflitlik yoktur. Afla¤›daki örnek bu durumu aç›klamaktad›r.

ÖRNEK 15

A=

1

2

, B=

-1

5

ÇÖZÜM

3 4 2 7 matrisler için AB ≠ BA oldu¤unu görünüz.

AB =

BA =

1

2

-1

5

3

4

2

7

-1

5

1

2

2

7

3

4

oldu¤undan AB ≠ BA d›r.

=

-1+4

5 + 14

=

- 3 + 8 15 + 28 =

- 1 + 15 - 2 + 20 2 + 21 4 + 28

=

3

19

5

43

14

18

23

32

Matris ‹fllemlerinin Özellikleri

267

A ve B çarp›labilir matrisler ve bu matrislerden biri s›f›r matris ise AB çarp›m›n›n s›f›r matris olaca¤› aç›kt›r. Fakat bunun tersi do¤ru de¤ildir; yani A ≠ O ve B ≠ O oldu¤u halde AB = O olabilir. Afla¤›daki örne¤i inceleyiniz.

A=

3

9

1

3

, B=

-3

9

1

-3

ÖRNEK 16

matrisleri veriliyor. AB çarp›m›n›n s›f›r matris oldu¤unu gösteriniz. 3

9

-3

9

1

3

1

-3

=

-9+9

27 - 27

-3+3

=

9-9

0

0

0

0

ÇÖZÜM

AB =

Bu örnek flunu göstermektedir: A ve B gibi iki matris için AB = O ise A = O veya B = O olmak zorunda de¤ildir. Oysa a, b gerçel say›lar› için ab = 0 ise a = 0 veya b = 0 olmak zorunda oldu¤unu an›msay›n›z. Yine a, b, c say›lar› için ab = ac (a ≠ 0) ise, b = c dir. Gerçel say›lar için çarpman›n k›saltma özelli¤i olarak bilinen bu özellik de matris çarp›m› için genel olarak geçerli de¤ildir. Afla¤›daki örne¤i inceleyiniz.

A=

2

3

6

9

, B=

-2

1

3

2

, C=

1

1

1

2

ÖRNEK 17

matrisleri veriliyor. Bu matrisler için k›saltma kural›n›n geçerli olmad›¤›n› gösteriniz.

AC =

2

3

-2

1

6

9

3

2

2

3

1

1

6

9

1

2

=

=

-4+9

2+6

- 12 + 27

6 + 18

2+3

2+6

6+9

6 + 18

=

=

5

8

15

24

5

8

15

24

ÇÖZÜM

AB =

O halde, AB = AC dir; fakat k›saltma kural› geçerli de¤ildir. Çünkü B ≠ C dir.

Matris çarp›m›n›n birleflme özelli¤i III(i) nedeniyle çarp›labilir matrisler için ABC, ABCD gibi yaz›l›fllar› anlaml› olur. Afla¤›daki örnek, matris çarp›m›n›n birleflme özelli¤ini do¤rulayan bir örnektir.

A=

1

0

2

-3

, B=

4 1 0 0 1 2

1 , C=

0 5

matrisleri için (AB) C = A (BC) = ABC eflitli¤ini do¤rulay›n›z.

ÖRNEK 18

Matris ‹fllemlerinin Özellikleri

ÇÖZÜM

268

AB =

1

0

4

1

0

2

-3

0

1

2

AB AB C =

BC =

C

4

1

0

8

-1

-6

0

0 1 2

A BC =

=

0

1

0

8

-1

-6

4 - 22

5 4

=

10

5

A

4

ABC 1

1

4 1 0

=

BC

ABC

1

0

4

2

-3

10

=

4 - 22

Böylece çarp›labilir A, B ve C matrisleri için (AB) C = A (BC ) = ABC eflitli¤i do¤rulanm›fl olur. Matris çarp›m›n birleflme özelli¤i, kare bir matrisin pozitif bir kuvvetinin tan›mlanmas›n› da sa¤lar. A bir kare matris ve n de pozitif bir tam say› ise, A n›n n- yinci kuvveti A = A . A . A .... A n tane olarak tan›mlan›r. Özel olarak, A bir köflegen matris

A =

a 11

0

0

0

a 22

0

0

0

a mm

ise,

An =

olur.

n a 11

0

0

0

n a 22

0

0

0

a nmm

Matris ‹fllemlerinin Özellikleri

A=

0

0

0

-1

0

0

0

3

25

0 -1

0 0

A=

1

5

2

köflegen matrisinin beflinci kuvvetini bulunuz.

0 5

32

0

0

0

-1

0

0

0

243

=

0 5

0

3

ÖRNEK 19

3

, B=

-2

0

1

2

ÇÖZÜM

A5 =

2

269

ÖRNEK 20

matrisleri için (A + B)T = AT + BT ve (AB)T = BT AT eflitliklerini do¤rulay›n›z.

A+B

AB

T

3

5

1

2

T

=

=

1

1

6

4

-5

2

-8

4

T T A +B =

T T B A =

, BT =

1

4

-5

-8

2

4

0

2

=

=

6

1

T

T

1

-2

1

6

1

4

-5

-8

2

4

ÇÖZÜM

AT =

oldu¤undan (A + B)T = AT + BT ve (AB)T = BT AT eflitlikleri sa¤lanm›fl olur.

1. A =

2

-1

0

3

4

5

, B=

1

0

0

0

-3

2

, C=

0

3

1

5

4

-2

matrisleri veriliyor. Afla¤›daki matrisleri hesaplay›n›z. E¤er matris ifllemi tan›ml› de¤ilse, neden tan›ml› olmad›¤›n› aç›klay›n›z. a) A + B, b) A - B, c) B + C, d) 3A, e) B + CT, f) 4A - 2B + 3CT, g) AB, h) AC, i) (A + B) C, m) A + X = B olacak flekildeki X matrisini bulunuz. n) A + Y = O olacak flekildeki Y matrisini bulunuz.

j) AT CT,

SIRA S‹ZDE 3

270

Matris ‹fllemlerinin Özellikleri

5 2. A =

2

3

4

, B=

matrisleri veriliyor.

6

7 a) AB matrisini bulunuz. b) Bu vektörlerin iç çarp›m› olan A . B say›s›n› hesaplay›n›z. 3. A =

3

1

0

2

, B=

1/3

- 1/6

0

1/2

matrisleri veriliyor.

AB = BA = I eflitli¤ini do¤rulay›n›z. 4. A =

1 12

, I=

0 3

1

0

0

1

matrisleri veriliyor.

AX = XA = I eflitli¤ini sa¤layacak flekilde bir X matrisi bulunuz. 5. Bir giyim ma¤azas›n›n üç ambar›nda bulunan dört kalem mallar›n›n de¤erleri, milyon TL olarak, afla¤›daki D matrisi ile veriliyor. E¤er bu ma¤aza, mallar›na %20 zam yaparsa ambarlar›ndaki mallar›n de¤erlerini temsil eden matris ne olur? 500 750 900 D=

650 525 830 420 640 835 340 590 610

6. A ve B boyutlar› ayn› olan kare matrisler ise,

(A + B)2 = A2 + AB + BA + B2 eflitli¤ini gösteriniz. 7. A =

1

0

0

0

2

0

0

0

-5

matrisi veriliyor.

a) A4 matrisini bulunuz. b) AB = BA = I olacak flekildeki B matrisinin

B=

1

0

0

0

1/ 2

0

0

0

- 1/5

oldu¤unu gösteriniz.

Ters Matris

271

8. Bir flirket sat›n almak iste¤i 90 adet televizyon, 110 adet buzdolab›, 70 adet çamafl›r makinas› için dört ayr› firmadan fiyat teklifleri al›yor. Firmalar›n bu mallar için verdikleri birim fiyatlar, milyon TL olarak, A matrisi ile temsil edilmektedir.

Tv

A=

Bd

Çm

130 180 170

1. firma

150 175 165

2. firma

120 190 150

3. firma

140 200 160

4. firma

E¤er flirket bu mallar›n hepsini ayn› firmadan almak isterse, minimum toplam fiyat› hangi firma vermifltir?


AMAÇ

3

TERS MATR‹S Tersi olan kare matrislerin terslerinin bulunmas›.

A bir kare matris olsun. A ile sa¤dan ve soldan çarp›ld›¤›nda ayn› birim matrisi veren bir matris varsa, bu matrise A n›n tersi denir ve bu matris A-1 ile gösterilir. O halde, A n›n tersi A-1 varsa, AA-1 = A-1 A = I d›r. fiimdi ters matrise iliflkin do¤rudan tan›mdan elde edilebilecek baz› uyar›lar ve sonuçlar s›ralayal›m: i) Ancak kare matrislerin tersleri olabilir. Her kare matrisin de tersi yoktur. ii) A matrisinin tersi varsa, bu ters matris de kare matristir ve boyutu A n›n boyutu ile ayn›d›r. iii) A n›n tersi varsa bu ters matris tektir. iv) A n›n tersi A-1 varsa, A da A-1 ›n tersidir; yani (A-1)-1 = A d›r.

A=

3

11

, B=

1 4 gösteriniz.

BA =

- 11

-1

3

11

4

- 11

1

4

-1

3

4

- 11

3

11

-1

3

1

4

oldu¤undan A-1 = B dir.

ÖRNEK 21

matrisleri veriliyor. A-1 = B oldu¤unu

3

=

=

1

0

0

1

1

0

0

1

= I

=I

ÇÖZÜM

AB =

4

Ters Matris

272

ÖRNEK 22

ÇÖZÜM

A=

2

0

5

0

matrisinin tersinin olmad›¤›n› gösteriniz.

A matrisinin tersinin varl›¤›n› kabul edelim. Bu matris A ile ayn› boyutta bir matris olacakt›r; diyelim ki B=

b 11

b 12

b 21

b 22

olsun ve AB = BA = I eflitliklerini sa¤las›n. AB =

2

0

b 11

b 12

5

0

b 21

b 22

=

2b 11 2b 12

=

5b 11 5b 12

1

0

0

1

Sa¤ yandaki son iki matrisin eflitli¤inden 2b11 = 1 5b11 = 0

2b12 = 0 5b12 = 1

denklemleri elde edilir. Ayn› zamanda b11 = 1/2 ve b11 = 0 (benzer olarak b12 = 0 ve b12 = 1/5) olamayaca¤›ndan, AB = I eflitli¤ini sa¤layan bir B matrisi bulunamaz. Öyleyse A matrisinin ters matrisi yoktur.

ÖRNEK 23 ÇÖZÜM

A matrisinin tersi varsa, tek oldu¤unu gösteriniz. A matrisinin iki tane tersinin varl›¤›n› kabul edelim. Bunlar B ve C olsunlar. O zaman AB = BA = I AC = CA = I eflitlikleri vard›r. fiimdi bu eflitlikleri ve çarp›m›n birleflme özelli¤ini kullan›rsak B = BI = B (AC ) = (BA) C = IC = C olur.

ÖRNEK 24

ÇÖZÜM

A ve B ayn› boyutlu tersleri olan matrisler ise, AB çarp›m matrisinin de tersinin var oldu¤unu ve (AB)-1 = B -1 A-1 oldu¤unu gösteriniz. A ve B ayn› boyutlu tersleri olan matrisler ise, AB ve B -1 A-1 çarp›mlar› da tan›ml›d›r. AB = C diyelim. CD = DC = I olacak flekilde bir D matrisi var m›? E¤er D = B -1 A-1 al›rsak aran›lan koflullar sa¤lan›r. Gerçekten, CD = (AB) (B -1A-1) = A (BB -1) A-1 = A (I ) A-1 = (A I ) A-1 = AA-1 = I DC = (B -1 A-1) (AB) = B -1 (A-1 A) B = B -1 (I ) B = B -1 (IB) = B -1 B = I oldu¤undan C -1 = D; yani (AB)-1 = B -1 A-1 dir.

Ters Matris

A=

1

3

2

0

ÖRNEK 25 matrisinin tersini bulunuz. y

z

t

biçiminde bir matris olacakt›r ve

AB = BA = I koflulunu sa¤layacakt›r. Buna göre, 1

3

x

y

2

0

z

t

=

x + 3z y + 3t 2x

2y

=

1

0

0

1

matris eflitli¤inden x 2x

+ 3z

= = + 3t = =

y 2y

1 0 0 1

do¤rusal denklem sistemi elde edilir. Sistem yeterince basit oldu¤undan çözümünü hemen yazabiliriz: x = 0, y = 1/2, z = 1/3, t = - 1/6 bulunur. fiimdi 0

1/2

1/3

- 1/6

B=

matrisinin A n›n tersi, yani B = A-1 oldu¤unu kolayca do¤rulayabiliriz: AB =

BA =

1

3

0

1/2

2

0

1/3

- 1/6

0

1/2

1

3

1/3

- 1/6

2

0

=

=

1

0

0

1

1

0

0

1

oldu¤undan A-1 =

0

1/2

1/3

- 1/6

bulunur.

‹lkel Sat›r ‹fllemleri ve Ters Matrisin Hesaplanmas› Bir kare matrisin tersini hesaplaman›n birçok yöntemi vard›r. 25. Örnekte 2 nci mertebeden bir kare matrisin tersinin nas›l bulunabilece¤ini gördük. Ancak, bu yol üç ve daha yukar› mertebeden matrislerin terslerinin bulunmas›nda uygun bir yol de¤ildir. Örne¤in, üçüncü mertebeden bir matrisin tersini bulmak için dokuz bilinmeyenli dokuz denklemden oluflan bir do¤rusal denklem sistemini çözmek durumunda kal›r›z. Bu nedenle, ters matrisi hesaplaman›n daha uygun yöntemlerini ö¤renmeliyiz. Bu yöntemlerden biri de Gauss Yöntemidir. Gauss Yönteminin

ÇÖZÜM

x

A matrisinin tersi varsa, B =

AB =

273

274

Ters Matris

ne oldu¤una girmeden önce bir matrisin sat›rlar› aras›nda tan›mlanan ilkel sat›r ifllemlerinden söz edelim: Do¤rusal denklem sistemlerinin çözümlerini araflt›r›rken (11. Ünite) üç tür temel sat›r iflleminden söz etmifltik. Ayn› tür ifllemler bir matrisin sat›rlar›na uyguland›¤›nda bu ifllemlere ilkel sat›r ifllemleri, elde edilen matrise de verilen matrise sat›r eflde¤er matris denir. fiimdi ilkel sat›r ifllemlerini görelim: Üç tip ilkel sat›r ifllemi vard›r: I. Matrisin iki sat›r›n›n yerlerinin de¤ifltirilmesi II. Bir sat›r›n s›f›r olmayan bir say› ile çarp›lmas› III. Bir sat›r›n bir say› ile çarp›l›p baflka bir sat›r üzerinde toplanmas› Sat›r ifllemleri do¤rusal cebirin en önemli araçlar›ndan birisidir. Do¤rusal denklem sistemlerinin çözümlerinin belirlenmesinde ve daha kimi konularda hem kuramsal hem de uygulama aç›s›ndan neredeyse kaç›n›lmazd›r. Bu nedenlerden dolay› sat›r ifllemlerinin mekanik bir biçime getirilmesi oldukça yararl›d›r. Öncelikle bir matrise sat›r ifllemleri uygulamaktan beklentimizin ne oldu¤una aç›kl›k getirelim. Amaç yap›lan ifllere göre de¤iflmekle birlikte genelde verilen matrisi basamak biçimine getirmek ço¤u problem için yeterlidir. fiimdi basamak matrisin ne oldu¤unu tan›mlayal›m. E¤er verilen bir matriste her sat›r›n s›f›rdan farkl› ilk ö¤esi bir ve bu birin oldu¤u sütunda birden sonra gelen ö¤eler s›f›r ise böyle bir matrise basamak biçiminde (ya da eflolon biçimde) bir matris denir. Afla¤›da örnek olarak gösterilen matrisler basamak biçimdedir. 1 -2 3 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

1 0 1

0 0 1 -1 ,

0 0 1 0 0 0

,

1 -3 4 0 0 1

,

0 0 1 1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 1

Yukar›daki örneklerden kolayca anlafl›laca¤› gibi öncelikle her sat›r›n ilk ö¤esine bak›yoruz, e¤er bu ö¤e bir ise birin alt›ndaki ö¤enin s›f›r olup olmad›¤›n› denetliyoruz. fiimdi verilen bir matrisin sistematik bir flekilde bu biçime nas›l getirilece¤ini görelim. Basamak biçimin tan›m›ndan da anlafl›laca¤› gibi öncelikle, e¤er birinci sat›r›n birinci ö¤esi s›f›rdan farkl› ise bu ö¤eyle birinci sat›r bölünür. E¤er birinci sat›r›n birinci ö¤esi s›f›r ise, birinci sat›r, birinci ö¤esi s›f›rdan farkl› olan herhangi bir sat›r ile de¤ifltirilip yukar›daki ifllem uygulan›r. Daha sonra birinci sat›r i ≥ 2 için i- yinci sat›r›n ilk ö¤esi a n›n toplamsal tersi - a ile çarp›l›p i- yinci sat›r üzerine toplan›p, birin alt›nda kalan ö¤eler s›f›r yap›l›r. Bu sayede basamak biçim için birinci sat›r›n gerçekleflmesi gereken koflul sa¤lanm›fl olur. Daha sonra ayn› ifllem ikinci ve daha sonraki sat›rlara uygulan›r. Böylece verilen matrisin basamak biçimine getirmifl oluruz. fiimdi bir örnekle uygulamay› görelim:

ÖRNEK 26

1 3 -1 A=

0 1 4 -2 1 1

matrisini basamak biçimine getiriniz.

Ters Matris

a11 = 1 oldu¤undan ikinci ve üçüncü sat›r›n birinci ö¤elerini s›f›r yapmal›y›z. ‹kinci sat›r›n ilk ö¤esi s›f›rd›r. Üçüncü sat›r›n ilk ö¤esini s›f›r yapmak için birinci sat›r 2 ile çarp›l›p üçüncü sat›ra eklenir.

0 1 4 -2 1 1 1

3

-1

0

1

4

-2 + 1.2

1 + 3.2

1 + (-1).2

~

1 3 -1

0 7 -1 1

3

-1

0

1

4

0

7 +1. (-7)

-1 + 4.(-7)

1 3 -1 ~

3

-1

0

1

4

0

7

-1

‹kinci sat›r›n ikinci ö¤esi 1 oldu¤undan, üçüncü sat›r›n ikinci ö¤esi s›f›r yap›lmal›d›r. Bunun için ikinci sat›r -7 ile çarp›l›p üçüncü sat›ra eklenir.

0 1 4

~

=

1

ÇÖZÜM

1 3 -1

275

0 1 4

=

1

3

-1

0

1

4

0

0

-29

Üçüncü sat›r›n üçüncü ö¤esini bir yapmak için üçüncü sat›r›n her ö¤esini üçüncü sat›r›n üçüncü ö¤esi olan -29 say›s›na böldük.

0 0 1 Apaç›k olarak bu son elde etti¤imiz matris basamak biçimindedir.

ÖRNEK 27

4 1 -2

A=

matrisini basamak biçimine getirelim.

3 -1 0

3 -1 0 ~

1

1/4 -2/4

3

-1

0

1

~

0 1

1/4 -1/2

0

-7/4 3/2

‹kinci sat›r›n birinci ö¤esini s›f›r yapmak için birinci sat›r›n - 3 kat›n› ikinci sat›ra ekleyelim. 1/4

-1/2

-1 + 1 .(-3) 0 + - 1 .(-3) 2 4

=

1

1/4 -1/2

0

-7/4 3/2

‹kinci sat›r›n ikinci ö¤esini 1 yapmak için ikinci sat›r›n her ö¤esini - 4/7 ile çarpal›m.

ÇÖZÜM

‹lk sat›r›n ilk eleman› 1 olmad›¤› için bu sat›r›n her eleman›n› 4 e bölelim.

4 1 -2

Ters Matris

276

~

ÖRNEK 28

0

1/4

-1/2

0

1

3. -4 7 2

Son bir örnek daha A =

=

0 0

0 1

1/4 -1/2 1

-6 7

matrisini basamak biçimine getirelim.

ÇÖZÜM

-2 1 Birinci sat›r›n birinci ö¤esi s›f›r oldu¤u için bu sat›r›n ilk ö¤esini s›f›rdan farkl› olan ikinci sat›r ile yer de¤ifltirelim.

0 1 -2 1 ~

-2 1

‹lk sat›r›n ilk ö¤esini 1 yapmak için birinci sat›r› -2 ye bölelim.

0 1 ~

1

-1/2

0

1

elde edilir. E¤er bir A kare matrisi A n›n sat›rlar›na uygulanan ilkel sat›r ifllemleri sonucunda birim matrise dönüfltürülebiliyorsa, bir baflka ifadeyle A matrisi birim matris I ya sat›r eflde¤er ise, A matrisinin tersi vard›r. Bunun için, A ile I afla¤›da oldu¤u gibi yan yana yaz›l›r ve elde edilen (A : I ) blok matrisine ilkel sat›r ifllemleri uygulan›rsa, A n›n yerinde birim matris oluflturuldu¤unda, I n›n yerinde oluflan matris A-1 olur. K›saca (A:I ) blok matrisi bir (I:B) matrisine dönüfltürülebildi¤inde B = A-1 dir. Bu yolla A-1 matrisinin bulunmas›na Gauss Yöntemi denir.

ÖRNEK 29

ÇÖZÜM

A=

1

3

2

-4

matrisinin varsa, tersini bulunuz.

Gauss Yöntemini uygulayal›m: A: I =

~

1

3

1

0

2

-4

0

1

1

3

1

0

0

- 10

-2

1

Birinci sat›r› - 2 ile çarp›p ikinci sat›r üzerinde toplayal›m.

‹kinci sat›r› - 1 ile çarpal›m. 10

Ters Matris

~

~

1

3

1

0

0

1

1/5

- 1/10

1

0

2/5

3/10

0

1

1/5

- 1/10

277

‹kinci sat›r› - 3 ile çarp›p birinci sat›r üzerinde toplayal›m.

olur. A n›n yerinde birim matris olufltu¤u için A-1 vard›r ve A

-1

=B=

2/5

3/10

1/5

- 1/10

= 1 10

4

3

2

-1

dir. -3

0

1

1

2

3

0

0

5

A=

ÖRNEK 30 matrisinin varsa, tersini bulunuz.

-3

0

1

1

0

0

1

2

3

0

1

0

0

0

5

0

0

1

1

2

3

0

1

0

-3

0

1

1

0

0

0

0

5

0

0

1

A: I =

~

~

~

~

~

1

2

3

0

1

0

0

6

10

1

3

0

0

0

1

0

0

1/5

1

2

3

0

1

0

0

1

5/3

1/6

1/2

0

0

0

1

0

0

1/5

1

0

- 1/3

- 1/3

0

0

0

1

5/3

1/6

1/2

0

0

0

1

0

0

1/5

1

0

0

- 1/3

0

1/15

0

1

0

1/6

0

0

1

0

1/2 - 1/3 0

1/5

Birinci sat›r ile ikinci sat›r› yer de¤ifltirelim.

Birinci sat›r› 3 ile çarp›p ikinci sat›r üzerinde toplayal›m; üçüncü sat›r› 1/5 ile çarpal›m. ‹kinci sat›r› çarpal›m.

1/6

ile

‹kinci sat›r› - 2 ile çarp›p birinci sat›r üzerinde toplayal›m. Üçüncü sat›r› 1/3 ile çarp›p birinci sat›r üzerinde; - 5/3 ile çarp›p ikinci sat›r üzerinde toplayal›m.

= I: B

ÇÖZÜM

Gauss Yöntemini uygulayal›m:

Ters Matris

278

oldu¤undan, A matrisinin tersi vard›r ve A-1 = B dir; yani - 1/3 A

-1

0

1/15

1 1/6 1/2 - 1/3 = 30 0 0 1/5

=

- 10

0

2

5

15

- 10

0

0

6

olur.

ÖRNEK 31

1

2

-3

-6

ÇÖZÜM

A=

matrisinin varsa, tersini bulunuz.

Gauss Yöntemini kullanal›m: 1

2

1

0

-3

-6

0

1

A: I =

~

1 2

1 0

0 0

3 1

Birinci sat›r›n 3 kat›n› ikinci sat›ra ekleyelim.

Birinci blokun ikinci sat›r› bütünüyle s›f›r oldu¤undan art›k burada birim matris oluflturulamaz. O halde, A matrisinin tersi yoktur.

SIRA S‹ZDE 4

1

1. A =

1

-2

, B=

1

, C=

-2

1

matrisleri

3 2 3 1 3 -1 veriliyor. Bu matrislerden hangileri birbirlerinin tersidir? 2 2. A =

0

0

0

3

0

0

0

1/4

matrisi için A -1 =

1/2

0

0

0

1/3

0

0

0

4

oldu¤unu do¤rulay›n›z. 3. A

-1

=

0

1

1

2

ise, A matrisi nedir?

4. Sat›r ifllemleri uygulayarak

A=

1

0

0

-3

0

2

1

2

0

matrisini birim matrise dönüfltürünüz. A-1 var m›, varsa hangi matris?

Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matrislerle Gösterilifli

5. Afla¤›daki matrislerin terslerini Gauss yöntemiyle bulunuz.

A=

1

2

3

4

, B=

5

-1

10

2

, C=

2

6

10

0

1

-3

0

0

4

DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹N‹N MATR‹SLERLE GÖSTER‹L‹fi‹


AMAÇ

4

Verilen bir do¤rusal denklem sisteminin matris gösterimiyle yaz›l›fl›n› ve çözümünün matris ifllemleriyle nas›l yap›labilece¤ini örneklerle görmek.

n bilinmeyen ve m tane denklemden oluflan a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm do¤rusal denklem sistemi AX = B biçiminde bir matris eflitli¤i ile gösterilebilir. Bu yaz›l›flta

A=

a 11 a 12

a 1n

a 21 a 22

a 2n

am 1 am 2

amn

katsay›lar matrisi, x1 X=

x2

xn bilinmeyenler matrisi ve b1 B=

b2

bm sabitler matrisi ad›n› al›r. E¤er do¤rusal denklem sistemi homojen sistem ise, yani sabitler matrisi B s›f›r matris ise, verilen do¤rusal denklem sisteminin matris gösterimi

279

Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matrislerle Gösterilifli

280

AX = O fleklinde olur. Afla¤›daki örnekleri inceleyiniz.

ÖRNEK 32

+ x4 = 5 x1 – 3x2 – x3 + 3x4 = – 1 2x1 x2 + 4x3 – x4 = 7

ÇÖZÜM

do¤rusal denklem sisteminin matris gösterimini yaz›n›z. Sistemin katsay›lar matrisi, bilinmeyenler matrisi ve sabitler matrisi, s›ras›yla,

A=

1

-3

0

1

2

0

-1

3

0

1

4

-1

x1 x ,X= 2 x3 x4

5 , B=

-1 7

olmak üzere, verilen sistemin AX = B biçimindeki matris gösterimi 1

-3

0

1

2

0

-1

3

0

1

4

-1

x1 x2 = x3 x4

5 -1 7

olur.

Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matris Gösterimiyle Çözümlerinin Aranmas› Verilen bir do¤rusal denklem sisteminin matris gösterimi sistemin çözümünün aranmas›nda kolayl›k sa¤lar. fiöyle ki; matris gösterimi AX = B olan bir do¤rusal denklem sistemi için, katsay›lar matrisi A ile sabitler matrisi B yi yan yana yaz›p elde etti¤imiz (A : B) blok matrisine verilen sistemin geniflletilmifl matrisi denir. Bu geniflletilmifl matris üzerine uygulanan her ilkel sat›r ifllemiyle elde edilen yeni matris, bafllang›çta verilen do¤rusal denklem sistemine eflde¤er bir denklem sisteminin geniflletilmifl matrisdir. Baflka bir ifadeyle, (A : B) geniflletilmifl matris üzerine uygulanan ilkel sat›r ifllemleri verilen sistemin çözümünü etkilemeyecektir. Çünkü (A : B) üzerindeki ilkel sat›r ifllemleri asl›nda verilen do¤rusal denklem sistemi için sat›r ifllemleridir. ‹flte bu kural sistemin çözümünün aranmas›nda uygulanan Gauss yok etme yönteminin geniflletilmifl matris üzerinde uygulanabilirli¤ini sa¤lar. Örneklerle görelim:

Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matrislerle Gösterilifli

281

ÖRNEK 33

x1 + 2x2 – x3 = 6 – x1 + x2 + 2x3 = – 1 3x1 – x2 + x3 = 0 do¤rusal denklem sistemini çözünüz. 2

-1

6

-1

1

2

-1

3

-1

1

0

ÇÖZÜM

A: B =

1

Geniflletilmifl matrisi, basamak biçiminde bir do¤rusal denklem sisteminin geniflletilmifl matrisine dönüfltürmek için ilkel sat›r ifllemleri uygulayal›m.

A: B =

~

~

~

1

2

-1

6

-1

1

2

-1

3

-1

1

0

1

2

-1

6

0

3

1

5

0

-7

4

- 18

1

2

-1

6

0

3

1

5

0

0

19 3

- 19 3

1

2

-1

6

0

3

1

5

0

0

1

-1

‹lk sat›r› ikinci sat›r üzerinde toplayal›m; ilk sat›r› - 3 ile çarp›p üçüncü sat›r üzerinde toplayal›m.

‹kinci sat›r› 7 ile çarp›p üçüncü 3 sat›r üzerinde toplayal›m.

Üçüncü sat›r› 3 ile çarpal›m. 19

Son yaz›lan blok matris basamak biçimindeki x1 + 2x2 - x3 = 6 3x2 + x3 = 5 x3 = - 1 do¤rusal denklem sisteminin geniflletilmifl matrisidir. Bu sistemin üçüncü denkleminden x3 = - 1, ikinci denkleminden x2 = 2, birinci denkleminden x1 = 1 bulunur. Bu çözüm ayn› zamanda verilen do¤rusal denklem sisteminin bir çözümüdür.

Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matrislerle Gösterilifli

282

ÖRNEK 34

2x1 – x2 = 1 – 6x1 + 3x2 = 5

ÇÖZÜM

do¤rusal denklem sisteminin çözümünü araflt›r›n›z. Geniflletilmifl matrisi yaz›p, sat›r ifllemleri uygulayal›m:

A: B =

~

2

- 1

1

-6

3

5

2

- 1

1

0

0

8

‹lk sat›r› 3 ile çarp›p ikinci sat›r üzerinde toplayal›m.

Bu blok matris hiçbir do¤rusal denklem sisteminin geniflletilmifl matrisi olamaz. (Nedenini siz aç›klay›n›z.) O halde, verilen do¤rusal denklem sisteminin bir çözümü yoktur; bir baflka ifade ile sistem tutars›zd›r.

ÖRNEK 35

x1 + 2x3 = – 7 3x1 – x3 = 14

ÇÖZÜM

do¤rusal denklem sistemini çözünüz. Katsay›lar matrisi A=

1

2

3

-1

A -1 = 1 7

için

1

2

3

-1

oldu¤undan, sistemin matris gösteriliflinden bilinmeyenler matrisi X i çözebiliriz: AX A-1 (AX) IX X

= = = =

B A-1B A-1B A-1B

Böylece X=

x1 x2

=1 7

1

2

-7

3

-1

14

= 1 7

- 7 + 28 - 21 - 14

=

3 -5

olur. O halde, sistemin çözümü x1 = 3 ve x2 = - 5 dir. Bu son örnek bize flunu göstermektedir: n bilinmeyenli n tane denklemden oluflan bir do¤rusal denklem sisteminin katsay›lar matrisi A n›n tersi A-1 varsa, bilinmeyenler matrisi X = A-1B dir.

Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matrislerle Gösterilifli

283

ÖRNEK 36

x1 + 2x2 + 2x3 = 3 = 0 3x1 + x2 = 2 x1 + x2 + x3 do¤rusal denklem sistemini çözünüz. ÇÖZÜM

Katsay›lar matrisi A=

1

2

2

3

1

0

1

1

1

n›n tersi A-1 Gauss yöntemiyle hesaplan›rsa A

-1

=

-1

0

2

3

1

-6

-2

-1

5

bulunur. O halde, x1 X = x 2 = A -1B = x3

-1

0

2

3

3

1

-6

0

-2

-1

5

2

-3+4 =

1 =

9 - 12 - 6 + 10

-3 4

ve verilen sistemin çözümü x1 = 1, x2 = - 3, x3 = 4 olur.

1. Afla¤›daki do¤rusal denklem sistemlerinin matris gösterimlerini yaz›n›z.

a) x - 2y = - 3 3x + y = 5

b)

c) x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x2 - x3 + x4 = 0 + x4 = 0 x1 - x2

d) 3x1 + x2 + 5x3 - x4 = 3

- x1

x1 + 2x3 = 4 5x1 - 3x2 + x3 = 2

+ x3 + x4 = 0

2. Afla¤›da matris gösterimleri verilen do¤rusal denklem sistemlerini yaz›n›z.

a)

3

-2

1

5

3 1 2 c)

2 1 3 1 1 1

-2

x1 = x2

x1 x2 = x3

56

1

0

2

-1

1

0

b)

0 0 0

d) ( 1

2

-1

x1 1 x2 = 2 x3 x1 x 2 3) = 7 x3 x4

SIRA S‹ZDE 5

284

Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Matrislerle Gösterilifli

3. Afla¤›da verilen do¤rusal denklem sistemlerinin matris gösterimlerini yaz›n›z ve Gauss yöntemiyle çözümlerini bulunuz. b) x1 + x2 = 9 a) 3x1 - 2x2 = - 2 x2 + x3 = 11 x1 + 5x2 = 56 + x3 = 10 x1

c)

x1 + x2 + x3 - x4 = 2 x1 + x2 - x3 + x4 = 2 x1 - x2 + x3 + x4 = 4 - x1 + x2 + x3 + x4 = 0

4.

x1 + 2x3 = - 1 2x1 - x2 + 3x3 = - 8 4x1 + x2 + 8x3 = 1

do¤rusal denklem sistemi veriliyor. Önce A-1 matrisini bulunuz sonra da denklem sistemini çözünüz.

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) Cebirin temel teoremini ilk kez kan›tlayan matematikçidir. Kuramsal ve uygulamal› matematik alanlar›nda bir çok konuya öncülük etmifltir. "Matematik tüm bilimlerin kraliçesi, say›lar kuram› ise matemati¤in kraliçesidir." Carl Friedrich GAUSS "Evrenin hakimi say›d›r." Pisagorcular "Daha sonraki devirlerdeki sistematik aritmeti¤in oluflumu ve geliflmesinin oldu¤u gibi, yüzy›l›m›zdaki (19.) matemati¤in özgün bilimsel fikirler sahas›nda meydana getirdi¤i hemen hemen herfleyin Gauss ile ba¤lant›s› vard›r." Lêopold KRONECKER

Kendimizi S›nayal›m

Kendimizi S›nayal›m 1. 2x1 - 3x2 + x3 = 2 x1 + 2x3 =-1 = 0 4x1 + 5x2 do¤rusal denklem sisteminin katsay›lar matrisi afla¤›dakilerden hangisidir? a.

c.

e.

2 1 4

-3 0 5

1 2 0

b.

2 1 4

-3 0 5

2 -1 0

d.

2 2 -1

-1 2 1

0 -3 0

2 -3 1

1 0 2

4 5 0

2 -1 0

2 1 4

-3 0 5

-1

5

2

p

x

1 5

0,3

y

0

4

-1

2

matrisinin a24

c.

e.

matrisinin devri¤i (transpozesi)

a.

0 -3 4

1 5 -2

b.

1 5 -2

0 -3 4

c.

4 -3 0

-2 5 1

d.

0 1

-3 5

e.

4 -2

-3 5

4 -2

0 1

1 0 0

-5 2 0

0 4 1

2 0 0 0 1 0 1 -1 4

0 1 5

b.

3 0 0 0

d.

1 0 3 2

0 1 0 0

0 0 -2 0

0 0 0 x

0 0 1

6. Afla¤›daki matrislerden hangisi basamak biçiminde bir matristir? a.

1 - 34 10 1 0 0 0 0 1 0 2 0

a.

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

b.

1 0 0 0 1 0

c.

c.

1 0 0 1

d.

0 0 1 0 1 0 1 0 0

e.

1 0 0 0 1 0 0 0 1

-2 4

5. Afla¤›dakilerden hangisi bir köflegen matristir?

eleman› afla¤›dakilerden hangisidir? a. x b. π c. y d. 2 e. - 1 3. Afla¤›dakilerden hangisi üçüncü mertebeden bir birim matristir?

e.

5 -3

afla¤›dakilerden hangisidir?

a.

2. A =

1 0

4. A =

285

2 0 0

0 5 2

3 0 -1

0 0 3

b.

d.

0 1 0

0 0 0

5 0 1 0 5 1 0 5 0 1 0 0 0

5 1 0 0

7 0 1 0

9 0 2 0

286

Kendimizi S›nayal›m

-1

2

3

3 4

7. A =

B=

C=

D=

1 0 -2 4 0 5 matrislerinin AB çarp›m matrisi afla¤›dakilerden hangisidir?

0 , 1

0 -7 8

3 2 3

5 1 2

1 0 -1

3

1

0

11

0

-3

5

4

x

-1

0

1 -3 0

0 7 5

5 2 5

c. - 2

28

e. O s›f›r matris

-3

1 -1 0 32

d.

1 5

, 11.

0

B=

0 -6

-1 32

b.

3 7 3 0 0

ve

e. 0 -1 0

0 0 2

0 -6

c.

1 32

0 6

-1 0

matrisinin tersi afla¤›dakilerden

hangisidir? a.

b. 23

0

a. ,

matrisleri için aralar›nda toplama iflleminin yap›labildi¤i matrisler afla¤›dakilerden hangisidir? a. A ve B b. A ve C c. A ve D d. B ve C e. B ve D 8. 7. soruda verilen matrisler için afla¤›daki matris çarp›mlar›ndan hangisi tan›ml›d›r? a. BA b. BD c. CA d. DA e. AD -2 0 9. A = (1 4 7 - 3) sat›r matrisi ile B = sütun 4 1 matrisinin AB çarp›m› hangi matristir? a. 25

2 1 -1 0 3 4

10. A =

d.

-2 0 28 -3

c.

e.

1 -3 0 0 3 1 0 0 1 1/3 0 0

0 -1 0

0 0 1/2

b.

2 0 1 0 1 0 3 0 1

d.

-1/3 0 0

0 1 0

0 0 -1/2

5 2 -1

olan

0 0 2 0 -1 0 3 0 0

12. Geniflletilmifl matrisi

1 -3 0 2 0 4 -1 3 2 -3 7 0

do¤rusal denklem sistemi afla¤›dakilerden hangisidir? a. x1 - 3x2 + 2x4 - 5 = 0 4x2 - x3 +3x4 - 2 = 0 2x1 - 3x2 +7x3 +1=0 b. x1 - 3x2 +2x4 + 5 = 0 -x3 +3x4 + 2 = 0 4x2 2x1 - 3x2 + 7x3 -1 = 0 c. x1 - 3x2 + 2x3 - 5 = 0 4x1 - x2 + 3x3 - 2 = 0 2x1 - 3x2 + 7x3 + 1 = 0 d. x1 - 3x2 + 2x4 + 5x5 = 0 4x2 - x3 + 3x4 + 2x5 = 0 2x1 - 3x2 + 7x3 - x5 = 0 e. x1+ 2x3 -5=0 -3x1 + 4x2 - 3x3 - 2 = 0 -x2 + 7x3 +1 = 0 2x1 + 3x2 =0

Biraz Daha Düflünelim

Biraz Daha Düflünelim 1. Bir üretici A, B, C, D, E ham maddelerini kullanarak üç çeflit mal üretmektedir. Her mal›n birim üretimi için gerekli hammadde miktarlar› kg olarak afla¤›daki tablo ile verilmektedir. Hammadde çeflitleri Ürün türleri

A

B

C

D

E

I

3

2

1

0

1

II

1

0

2

3

2

III

2

1

2

1

0

E¤er bu üretici 70 adet birinci tür, 80 adet ikinci tür ve 110 adet üçüncü türden mal üretimi siparifli al›rsa, bu mallar›n üretimi için gerekli ham madde miktarlar› nas›l bir matrisle temsil edilebilir? Ayr›ca hammaddelerin fiyatlar› milyon TL/kg olarak, afla¤›daki tablo ile verilmifl ise, siparifl edilen mallar için gerekli toplam ham madde bedeli ne olur?

Hammadde birim fiyatlar›

A

B

C

D

E

3

1

5

4

2

287

13

Determinantlar

Amaçlar Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra; determinant kavram›n› tan›yacak, determinantlar›n özelliklerini ö¤renecek ve bir kare matrisin determinant›n› hesaplayabileceksiniz, bir kare matrisin tersinin var olup olmad›¤›na karar verebileceksiniz, tersi olan matrisin tersini, determinant› yard›m›yla bulabileceksiniz, bilinmeyen say›s›, denklem say›s›na eflit olan do¤rusal denklem sistemlerinin çözümünü Cramer Yöntemiyle yapabileceksiniz.







290

Determinantlar

‹çindekiler • • • •

Determinant ve Determinant Hesaplamas›, Saruss Kural› Kofaktörler ile Determinant Hesaplamas› Ters Matrisin Kofaktörler ve Determinant Yard›m›yla Bulunmas› Cramer Kural›

• • • •

Kare matrisler ile determinantlar aras›ndaki iliflki iyi anlafl›lmal›d›r. Determinantlar›n özellikleri dikkatle incelenmelidir. Determinant hesaplamalar›nda pratik kurallar iyi ö¤renilmelidir. Çözüm için b›rak›lan al›flt›rmalar k⤛t ve kalem kullan›larak çözülmelidir.

Girifl Elemanlar› say›lar olan bir kare matrise, o matrisin determinant› denilen bir say› karfl›l›k getirilir. Bu say›, matrisin elemanlar› aras›nda belli kurallara göre yap›lan hesaplamalar sonucu elde edilir. Bir kare matrisin determinant› olan say›n›n hesaplanmas›na k›saca determinant›n aç›l›m› veya hesaplanmas› denir.

Determinant ve Determinant Hesaplanmas›

DETERM‹NANT VE DETERM‹NANT HESAPLANMASI Determinant, matrisler cebirinin önemli bir kavram›d›r. Kare matrisler için tan›ml› olan bu kavram, matemati¤in bir çok alan›nda, özellikle de do¤rusal denklem sistemlerinin çözümlerinin araflt›r›lmas›nda oldukça yararl› araç niteli¤indedir. Bir matrisin determinant› belli bir kurala göre onun elemanlar› türünden tan›mlanan bir say›d›r. Bir A kare matrisi için A n›n determinant› olan bu say› det (A) veya |A| simgelerinden biriyle gösterilir. Bazen A matrisinin elemanlar› do¤rudan iki çizgi içine al›narak da A n›n determinant› gösterilebilir. Söz gelifli, A=

3

2

-1

0

matrisi için A n›n determinant› 3

2

-1

0

A=

olarak gösterilir. fiimdi bir kare matris için bu say›n›n nas›l tan›mland›¤›n› önce boyutu 1 x 1, 2 x 2, 3 x 3 olan matrisler için, sonra da genel n x n-li bir matris için ifade edelim. Boyutu 1 x 1 olan bir matrisin determinant›, matrisin tek eleman› olan o say›d›r. Örne¤in, A = (- 3) matrisi için |A| = - 3, B = (7) matrisi için |B| = 7; genel olarak bir M = (m11)1x1 matrisi için |M|= m11 dir. Boyutu 2 x 2 olan bir a 11 a 12 a 21 a 22

A=

matrisi için A n›n determinant› köflegenleri üzerindeki elemanlar›n›n çarp›mlar› fark›d›r; yani A = a 11 a 12 = a 11a 22 - a 12a 21 a 21 a 22 -

+

formülüyle tan›mlan›r. Örne¤in, A=

1

5

7

8

matrisinin determinant›n› det (A) = 1.8 - 5.7 = 8 - 35 = - 27 olarak bulunur. Boyutu 3 x 3 olan bir A =

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

matrisinin determinant› afla¤›daki flekilde hesaplan›r: (i) A n›n ilk iki sütunu, üçüncü sütunun yan›na, parantezin d›fl›na yaz›l›r; (ii) Bu yaz›l›fltan sonra afla¤›da oldu¤u gibi A n›n esas köflegenine paralel kö flegenler ve ikinci köflegenine paralel köflegenler çizilir;

291

Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›

292

(iii) Esas köflegenler üzerindeki ö¤elerin ayr› ayr› çarp›mlar› toplam› ile ikinci köflegenler üzerindeki ö¤elerin ayr› ayr› çarp›mlar› toplam› fark› olan say› A n›n determinant›d›r. 3. mertebeden bir kare matrisin determinant›n› bu flekilde hesaplamaya Sarrus Kural› denir. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

A =

-

-

a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32

-

+

+

+

det (A) = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) - (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33) formülüyle hesaplan›r.

ÖRNEK 1

ÇÖZÜM

A=

1

-2

3

2

4

-1

3

5

2

|A| =

-

1

-2

3

1

-2

2

4

-1

2

4

3

5

2

3

5

-

|A| = = = =

matrisinin determinant›n› hesaplay›n›z.

-

+

+

+

[1.4.2 + (- 2). (- 1). 3 + 3.2.5] - [3.4.3 + 1. (- 1).5 + (- 2) . 2.2] (8 + 6 + 30) - (36 - 5 - 8) 44 - 23 21

KOFAKTÖRLER ‹LE DETERM‹NANT HESAPLANMASI Boyutu 4 x 4 veya daha büyük olan matrislerin determinantlar›n›n hesaplanmas› için geçerli olan pratik bir kural yoktur. fiimdi herhangi bir kare matrisin determinant›n›n hesaplanmas› için geçerli olan genel bir kural verece¤iz. Bu kural, kofaktörler yoluyla determinant hesaplanmas› olarak bilinen yöntemdir. Önce bir matrisin bir eleman›n kofaktörünü ve matrisin kofaktörler matrisini tan›mlayal›m:

A=

a 11

a 12

a 1n

a 21

a 22

a 2n

a n1

a n2

a nn

matrisi verilsin. aij eleman›n›n minörü diye, bu matrisin i -yinci sat›r› ve j -yinci sütunu at›ld›ktan sonra geriye kalan (n - 1) boyutlu matrisin determinant›na denir. aij eleman›n›n kofaktörü ise, aij nin minörü olan determinant›n iflaretli de¤erine denir; yani aij nin kofaktörünü a'ij ile gösterecek olursak,

Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›

a 11

a' ij = - 1

i+ j

a1

a1

j -1

a 1n

j +1

a

i- 1 1

a

i- 1

j- 1

a

i- 1

j+ 1

a

i- 1 n

a

i+ 1 1

a

i+ 1 j - 1

a

i+ 1 j+ 1

a

i+ 1 n

a n1

an

an

j- 1

293

ann

j+ 1

olur. A matrisinin kofaktörler matrisi de, A n›n elemanlar›n›n kofaktörlerinin oluflturdu¤u matrise denir; yani bu matrisi Ak ile gösterirsek

Ak =

a' 11

a' 12

a' 1n

a' 21

a' 22

a' 2n

a' n 1

a' n 2

a' nn

olur. fiimdi bir örnekle bu tan›mlar› aç›kl›¤a kavufltural›m.

A=

1

0

-3

2

1

4

5

-2

3

ÖRNEK 2 matrisinde her eleman›n kofaktörlerini hesapla-

y›n›z ve A n›n kofaktörler matrisi Ak y› yaz›n›z.

için

a' 11 = - 1

1

0

-3

2

1

4

5

-2

3

= -1

1+1

1

4

-2

3

= 1 . 3 + 8 = 11 Benzer olarak, a 12 = 0

için

a 13 = - 3 için

a 21 = 2

a 22 = 1

için

için

a' 12 = - 1

1+2

a' 13 = - 1

a' 21 = - 1

a' 22 = - 1

2

4

5

3 2

1

5

-2

1+3

2+1

2+2

= - 1 . 6 - 20 = 14 ,

0

-3

-2

3

1

-3

5

3

= 1. -4-5 =-9,

= -1. 0-6 =6,

= 1 . 3 + 15 = 18 ,

ÇÖZÜM

a 11 = 1

1+1

Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›

294

a 23 = 4 için a' 23 = - 1

a 31 = 5 için a' 31 = - 1

2+3

3+1

a 32 = - 2 için a' 32 = - 1

a 33 = 3 için a' 22 = - 1

1

0

5

-2

0

-3

1

4

3+2

3+3

=

=1. 0+3 =3,

1

-3

2

4

1

0

2

1

-1 -2-0 =2,

= - 1 . 4 + 6 = - 10 ,

=1. 1-0 =1

bulunur. Böylece A n›n kofaktörler matrisi 11

14

-9

6

18

2

3

- 10

1

Ak =

olur.

Determinant›n Kofaktörlere Göre Aç›l›m› n x n- li bir A matrisinin determinant›n› hesaplamak için A n›n keyfi bir sat›r› veya bir sütunu seçilerek, o sat›rdaki veya sütundaki tüm elemanlar kofaktörleriyle çarp›l›p topland›¤›nda A matrisinin determinant› elde edilir. Formül olarak, i -yinci sat›r seçildi¤inde det (A) = ai 1 a'

i1

+ ai 2 a'

i2

+ ... + ai n a'

in

toplam› ile ifade edilir. Bu yaz›l›fla A n›n determinant›n›n i -yinci sat›r›n kofaktörlerine göre aç›l›m› denir. E¤er A n›n j -yinci sütunu al›n›rsa, det (A) n›n j -yinci sütunun kofaktörlerine göre aç›l›m› det (A) = a1j a'

1j

+ a2j a'

2j

+ ... + anj a'

nj

olur. A matrisinin determinant›n› kofaktörlere göre hesaplamak için herhangi bir sat›r veya sütun seçilebilece¤ine göre, en fazla s›f›r› olan sat›r veya sütunun seçilmesinin hesaplamay› kolaylaflt›raca¤› aç›kt›r.

ÖRNEK 3

ÇÖZÜM

A=

1

2

-1

3

matrisinin determinant›n› hesaplay›n›z.

A n›n determinant›n› ikinci sat›r›n kofaktörlerine göre açal›m. a21 = - 1 için a'

21

= (- 1)1+2 . 2 = - 2 ve a22 = 3 için a'

22

oldu¤undan det (A) = a21 a' bulunur.

21

+ a22 a'

22

= (- 1) (- 2) + 3 . 1 = 2 + 3 = 5

= (- 1)2+2 . 1 = 1

Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›

-6

3

1

0

2

4

1

-1

5

A=

ÖRNEK 4 matrisinin determinant›n› hesaplay›n›z.

ÇÖZÜM

‹kinci sat›r›n kofaktörlerine göre açal›m:

det A

=

295

-6

3

1

0

2

4

1

-1

5

= 0. -1

+2. -1

2+1

2+2

3

1

-1

5

-6

1

1

5

+ 4 . - 1 2+3

-6

3

1

-1

= 0 + 2 - 31 - 4 3 = - 74

D =

1

2

-3

5

0

-1

0

3

7

3

5

0

0

8

0

0

ÖRNEK 5 determinant›n› hesaplay›n›z.

( ∆ bir grek harfi olup delta diye okunur.)

∆=

1

2

-3

5

0

-1

0

3

7

3

5

0

0

8

0

0

= 8. -1

4+2

1

-3

5

0

0

3

7

5

0

1

-3

7

5

= 8.1.3. -1

2+3

= 8 . 3 . - 1 5 + 21 = -24 . 26 = - 624

ÇÖZÜM

Verilen determinant›, en çok s›f›r bulunan dördüncü sat›r›n kofaktörlerine göre açal›m. Sadece a42 = 8 ≠ 0 oldu¤undan ∆ = a42 . a' 42 olacakt›r. O halde,

Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›

296

Determinantlar›n Özellikleri Matrislerin baz› özelliklerinden determinantlar için önemli özellikler ç›kart›labilir. fiimdi bu özelliklerin nas›l ç›kart›labildi¤i konusu üzerinde durmadan, do¤rudan determinantlar için kimi özellikler s›ralayal›m. Determinant özellikleri: I. Bir determinant›n bir sat›r› veya bir sütunu tümüyle s›f›r ise determinant›n de¤eri s›f›rd›r. II. Bir determinant›n iki sat›r (veya iki sütunu) yer de¤ifltirirse, determinant›n iflareti de¤iflir. III. Bir determinant›n bir sat›r› veya bir sütununu sabit bir k say›s› ile çarp›ld›¤›nda elde edilen determinant›n de¤eri, bafllang›çtaki determinant›n de¤eri ile k say›s›n›n çarp›m›na eflittir. IV. Bir determinant›n bir sat›r› (veya sütunu) baflka bir sat›r›n (veya sütunun) bir kat› ise, determinant›n de¤eri s›f›rd›r. V. Bir determinant›n bir sat›r› (veya sütunu) sabit bir say› ile çarp›l›p baflka bir sat›r (veya sütun) üzerinde toplan›rsa, determinant›n de¤eri de¤iflmez. Bu özellikler bir determinant›n de¤erini hesaplamak için oldukça yararl› olabilirler. Örne¤in, III ve V. özellikler kullan›larak dördüncü mertebeden bir determinant›n de¤erinin nas›l hesapland›¤›na iliflkin afla¤›daki örne¤i dikkatle inceleyiniz.

ÖRNEK 6

ÇÖZÜM

∆=

2

6

4

12

3

0

1

20

1

5

3

0

4

3

2

26

∆=

determinant›n› hesaplay›n›z.

2

6

4

12

1

3

2

6

3

0

1

20

3

0

1

20

1

5

3

0

1

5

3

0

4

3

2

26

4

3

2

26

1

3

2

6

0

-9

-5

2

0

2

1

-6

0

-9

-6

2

-9

-5

2

2

1

-6

0

-1

0

=2

=2

= 2

=2.1

=2. -1

3+2

= 2 . - 1 54 - 4 = - 2 . 50 = - 100 bulunur.

-9

-5

2

2

1

-6

-9

-6

2

-9

2

2

-6

Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›

297

[Yap›lan hesaplamada flu s›ra izlenmifltir: Önce birinci sat›r›n ortak çarpan› 2 say›s› determinant d›fl›na al›nm›flt›r (III. özellik). Sonra, s›ras›yla, birinci sat›r - 3, - 1, - 4 ile çarp›l›r ikinci sat›r, üçüncü sat›r, dördüncü sat›r üzerinde toplanm›flt›r (V. özellik). Sonra da üç s›f›r bulunan birinci sütunun kofaktörlerine göre 3 x 3- lü bir determinanta indirgenmifltir. Üçlü determinant›n birinci sat›r› - 1 ile çarp›l›p üçüncü sat›r üzerinde toplanm›flt›r.]

∆=

1

-2

3

0

4

7

5

1

-3

6

-9

0

8

9

0

2

ÖRNEK 7 determinant›n› hesaplay›n›z.

∆=

1

-2

3

0

4

7

5

1

0

0

0

0

8

9

0

2

= 0

olur. Çünkü determinant›n bir sat›r› tümüyle s›f›rd›r. Bu nedenle, bu sat›rdaki elemanlar›n kofaktörlerine göre aç›l›m s›f›r olur.

Ters Matrisin Kofaktörler ve Determinant Yard›m›yla Bulunmas› Bir A matrisinin tersi A-1 in var olmas› için gerekli ve yeterli koflulun A n›n birim matrise sat›r eflde¤er olmas› oldu¤unu biliyoruz. Di¤er taraftan birim matrisin determinant› s›f›rdan farkl› oldu¤undan, birim matrise sat›r eflde¤er olan her matrisin determinant› da s›f›rdan farkl›d›r. Dolay›s›yla, bir A matrisinin tersi A-1 in var olmas› için gerekli ve yeterli koflul A n›n determinant›n›n s›f›rdan farkl› olmas›d›r. Verilen A kare matrisi için A-1 matrisini bulman›n birçok yolu vard›r. Bunlardan baz›lar›n› daha önce görmüfltük. fiimdi de kofaktörler matrisi ve det (A) y› kullanarak A-1 matrisini hesaplaman›n bir formülünü verelim. Bir A kare matris için det (A) ≠ 0 ise, A-1 matrisi vard›r ve AkT , A n›n kofaktörler matrisinin transpozesi olmak üzere, A -1 =

dir.

1 . AT k det A

ÇÖZÜM

Birinci sat›r› 3 ile çarp›p üçüncü sat›r üzerinde toplayal›m:

Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›

298

ÖRNEK 8

ÇÖZÜM

A=

-2

1

5

4

det A

=

matrisinin tersi A-1 i bulunuz.

-2

1

5

4

=

- 2 . 4 - 1.5 = - 8 - 5 = - 13 ≠ 0

oldu¤undan A-1 vard›r. Önce kofatörler matrisi Ak y› bulal›m. 4

-5

-1

-2

Ak =

4

-1

-5

-2

T

ve

Ak=

olur. Böylece A

-1

4

-1

-5

-2

1

0

2

3

-1

5

0

4

1

= - 1 13

bulunur.

ÖRNEK 9

ÇÖZÜM

A=

det A =

-

matrislerinin tersi A-1 i bulunuz.

1

0

2

1

0

3

-1

5

3

-1

0

4

1

0

4

-

-

+

= - 1 + 24 - 20 = 3 ≠ 0

+

+

oldu¤undan A-1 vard›r. Tüm elemanlar›n kofaktörlerini hesaplayal›m. a'11 = - 1

1+1

a '12 = - 1

1+2

a '13 = - 1

1+3

a '21 = - 1

2+1

-1

5

4

1

3

5

0

1

3

-1

0

4

0

2

4

1

= 1 - 1 - 20 = - 21

=-1 3 =-3

= 1 12 = 12

=-1 -8 =8

Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›

2+2

a'23 = - 1

2+3

a'31 = - 1

3+1

a'32 = - 1

3+2

a'33 = - 1

3+3

- 21 Ak =

-3

1

2

0

1

1

0

0

4

0

2

-1

5

1

2

3

5

=1 1 =1

=-1 4 =-4

=1 2 =2

=-1 5-6 =1

1

0

3

-1

=1 -1 =-1

12 ve

8

1

-4

2

1

-1

ÇÖZÜM

a'22 = - 1

A Tk =

- 21

8

2

-3

1

1

12

-4

-1

oldu¤undan

A

-1

= 1 3

- 21

8

2

-3

1

1

12

-4

-1

bulunur.

Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri ‹çin Cramer Kural› Bilinmeyen say›s› denklem say›s›na eflit olan bir do¤rusal denklem sistemi AX = B biçiminde verilmifl olsun. Sistemin çözümü için flu durumlar söz konusudur: A = (aij )nxn katsay›lar matrisi olmak üzere, I. det (A) ≠ 0 ise, sistemin tek çözümü vard›r. Bu çözüm xj =

∆j det A

299

j = 1 , 2, . . . n

biçimindedir. Burada ∆j , A matrisinde j -yinci sütun yerine B matrisi yaz›larak elde edilen matrisin determinant›d›r. Bu flekilde AX = B sisteminin çözümünün verilmesine Cramer Yöntemi denir. II. det (A) = 0 ve ∆j = 0, j = 1, 2, ... n ise, AX = B sisteminin sonsuz çoklukta çözümü vard›r. III. det (A) = 0 ve en az bir j için ∆j ≠ 0 ise, AX = B sisteminin hiç bir çözümü yoktur.

Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›

300

ÖRNEK 10

ÇÖZÜM

2x1 - 3x2 = 40 5x1 + x2 = 15 do¤rusal denklem sistemini Cramer Yöntemiyle çözünüz.

Sistemi AX = B biçiminde yazarsak, 2

-3

5

1

x1 x2

40

=

15

olur. Böylece det A =

2

-3

5

1

= 2 + 15 = 17 ≠ 0

oldu¤undan Cramer Yöntemine göre 40 x1 =

-3

2 x2 =

= 40 + 45 = 85 = 5 17 17

15 1 det A 40

= 30 - 200 = - 170 = - 10 17 17

5 15 det A

bulunur.

ÖRNEK 11

3x1 - 4x2 + x3 = 1 x1 + 3x2 - x3 = - 9 =-4 2x1 - x2

ÇÖZÜM

do¤rusal denklem sistemini Cramer Yöntemiyle çözünüz.

det A =

3

-4

1

1

3

-1

2

-1

0

=-2≠0

oldu¤undan Cramer Yöntemiyle sistemin çözümü

x1 =

1

-4

1

-9

3

-1

-4

-1 0 det (A )

=

4 =-2 -2

Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›

3

1

1

1

-9

-1

2

x2 =

3

-4

1

1

3

-9

2

x3 =

-4 0 det (A )

-1 -4 det (A )

=

301

0 =0 -2

= - 14 = 7 -2

olarak bulunur.

ÖRNEK 12

Bir firma X, Y, Z ham maddelerini çeflitli oranlarda kullanarak A, B, C mallar›n› üretiyor. Bu mallar›n her birinin birim üretimi için gerekli ham madde miktarlar› (birim olarak) afla¤›daki tablo ile verilmektedir. Ham madde X Y Z

A ürünü 4 6 0

B ürünü 0 5 2

C ürünü 9 1 8

E¤er 112 birim X ham maddesi, 93 birim Y ham maddesi ve 74 birim Z ham maddesi bütünüyle kullan›l›rsa, elde edilecek ürün say›lar› ne olur?

olsun. O zaman, + 9x3 = 112 4x1 6x1 + 5x2 + x3 = 93 2x2 + 8x3 = 74 do¤rusal denklem sistemi elde edilir. fiimdi bu sistemi Cramer Yöntemiyle çözelim. Katsay›lar matrisinin determinant›

∆=

4

0

9

6

5

1

0

2

8

= 160 + 108 - 8 = 260

oldu¤una göre

x1 =

112

0

9

93

5

1

74

2 ∆

8

= 2600 = 10 260

ÇÖZÜM

x1 = elde edilecek A ürünü say›s› " B " " x2 = " " C " " x3 = "

302

Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›

x2 =

x3 =

4

112

9

6

93

1

0

74 ∆

8

4

0

112

6

5

93

0

2 ∆

74

= 1300 = 5 260

= 2080 = 8 260

bulunur.

SIRA S‹ZDE 1

Afla¤›da verilen matrislerin determinantlar›n› hesaplay›n›z. 1.

A = (-3) ,

2. B =

3. C =

4. D =

5. E =

-2

-3

5

7

1

-2

8

4

0

-2

3

2

-3

,

1

7

-3

0

2

5

4

9

-3

2

5

0

1

1

0

0

,

0

3

0

0

0

2

-1

0

0

5

0

3

0

1

4

1

5

7

-2

0

0

0

0

3

2

,

Afla¤›da verilen determinantlar› hesaplay›n›z.

6.

7.

∆=

∆=

1

2

3

3

6

9

-2

1

5

1

0

-1

5

2

3

4

7

-1

0

3

4

-2

0

0

1

,

,

Kofaktörler ‹le Determinant Hesaplanmas›

8. A =

9.

3

2

1

-4

-1

5

0

0

-2

matrisinin kofaktörler matrisi A k y› bulunuz.

Sekizinci örnekteki A matrisinin tersini bulunuz.

10. 3x1 + 5x2 + 2x3 = -2

= -3 4x1 + x2 x3 = 7 -9x1 + denklem sisteminin çözümünü Cramer Yöntemiyle bulunuz. 11. AX = B biçimindeki bir do¤rusal denklem sisteminin çözümü, matris çarp›m› biçiminde

X=

1

0

-1

2

2

-1

0

3

1

1

3

4

ise, bu do¤rusal denklem sisteminin aç›k yaz›l›fl› nedir? Sistemin çözümünü bulunuz. 12. A ve B olarak adland›r›lan iki tür mal›n üretildi¤i bir atölyede her bir mal›n bir adet üretimi için gerekli para ve ifl saati afla¤›daki tablo ile verilmektedir.

Para (milyon TL) Zaman (saat)

A 7 4

B 5 3

E¤er bu atölyede 11.3 milyar TL ve 6600 ifl saati tümüyle bu mallar›n üretimi için harcan›rsa, her bir maldan kaç adet üretilmifl olur?

303

Kendimizi S›nayal›m

304

Kendimizi S›nayal›m Afla¤›daki sorular›n yan›tlar›n› verilen seçenekler aras›ndan bularak iflaretleyiniz. 1. A =

10 3 1

3 -2 2

-2 7 -3

matrisinin kofaktörler matrisi afla¤›dakilerden hangisidir? a.

8 -18 17

16 2 -76

8 -22 -29

b.

8 16 8

-18 2 -76

17 -22 -29

c.

17 -76 -29

-18 2 -22

-8 16 8

d.

-29 -22 8

-76 2 16

17 -18 -8

e.

-8 5 17

16 -28 -76

8 -17 -29

3.

2. A =

-5 2 -3

a.

b.

d.

0 3 2

matrisinin determinant› afla¤›daki say›lardan hangisidir? a. -39 b. -23 c. 0 d. 19 e. 23

3 4 3

1 2 1

matrisinin tersi afla¤›dakilerden hangisidir?

c.

2 4 7

1 2 0

e.

1

1

-3

0

- 1 2

-3 2

-1

0

1

1

0

-1

1

-1 2

0

-3

3 2

1

1

0

1

1

- 1 2

0

-3

3

1

1

0

-1

2

-1

0

-3

3 2

1

1 1 -3

0 -1 3

-1 0 1

4. Afla¤›daki matrislerden hagisinin tersi yoktur? a.

1 0 4 3

b.

-2 1 6 3

c.

0 2 -1 5

d.

-3 -6 2 4

e.

2 0 0 0 -3 0 1 0 -1

Biraz Daha Düflünelim

1 5.

x

x

2

1

y

y

2

1

z

z

2

3. A =

determinant› afla¤›dakilerden hangisidir? a. (x - y) (x - z) (z - y) b. 0 c. (x +y) (x +z) (z +y) d. x2 y2 z2 e. xyz

2 3 3 2 0

a)

1 0 4 0 1 1 0 0 0

-3 1 0

b)

1 0 0 0 1 0 0 0 1

-2 0 3

c)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

a)

0 1 0 1

1 0 1 1

1 0 0 1

b)

1 1 0 1

0 1 0 1

0 0 1 0

1 0 1 1

Evrak çantas›


El çantas›


Cüzdan

1 0 0 0 0

-4 3 9 -6 0

K e s m e  2  1  0,5

D i k m e  2  1  1

C i l a l a m a  1  1  1

Bu imalâthane bir günde 125 ifl saati kesme, 150 ifl saati dikme ve 120 ifl saati cilâlama kapasitesine sahip ise, tam kapasite ile kullan›ld›¤›nda bir günde üretilen ürün say›lar› ne olur? 5 4 3 2

2. Afla¤›daki matrislerden hangisinin tersi vard›r? Ters matrisi bulunuz. 1 0 1 1

12 4 2 -2 8

matrisinin determinant›n› hesaplay›n›z. 4. Bir deri çanta üreticisinin imalâthanesinde, evrak çantas›, el çantas› ve cüzdan üretilmektedir. Her bir ürünün birim üretimi için gerekli olan zaman ifl saati olarak afla¤›daki tablo ile verilmektedir.

Biraz Daha Düflünelim 1. Afla¤›da geniflletilmifl matrisleri verilen denklem sistemlerinden çözümü olanlar›n çözümlerini bulunuz.

3 -3 0 6 0

305

14

Do¤rusal Programlama

Amaçlar Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra: Uygulamada çok kullan›lan bir eniyileme tekni¤i olan do¤rusal programlama yönteminin ne oldu¤unu, ‹flletme yönetiminde çok karfl›lafl›lan maliyet ve kâr problemlerinin do¤rusal denklemlerle nas›l ifade edilece¤ini Basit grafik yöntemle do¤rusal programlama modellerinin nas›l çözülebilece¤ini göreceksiniz.






308

Do¤rusal Programlama

‹çindekiler • Do¤rusal Programlaman›n Tan›m› • Bir Maliyet veya Kâr Probleminin Do¤rusal Programlama Yöntemi ile Çözülmesi ‹çin Gerekli Olan Koflullar • Verilen Problemin Denklemlerle Belirlenen Bir Model Haline Getirilmesi • Do¤rusal Programlama Modelinin Basit Grafik Yöntemle Çözülmesi • Do¤rusal programlama ünitesine bafllamadan önce do¤rusal denklem sistemleri ve matris ile ilgili üniteleri yeniden gözden geçiriniz. • Verilen problemlerde nelerin de¤iflken olarak al›naca¤›n› belirleyiniz. • Belirlenen de¤iflkenler aras›ndaki iliflkileri kurarken nelerin de¤iflkenlerin katsay›lar› olaca¤›n› belirleyiniz. • De¤iflkenler aras›ndaki iliflkilerin eflitlik veya eflitsizlik fleklinde olmas› halinde çözüm yöntemi de¤iflmektedir. Bu bak›mdan iliflkinin fleklinin ne olaca¤›n› iyice belirleyiniz.

Girifl Bu günün iflletme yöneticileri karar verirken ifl deneyimlerinin ve kuramsal bilgilerini yan›s›ra matematiksel yöntemlerden de yararlanmaktad›rlar. Bilgisayar teknolojisindeki geliflmeler, kurulan matematiksel modellerin çözümünü kolaylaflt›rmaktad›r. Bu bak›mdan da sözkonusu yöntemler çok daha fazla kullan›lmaktad›r. Örne¤in, bir pamuklu dokuma fabrikas›nda, pamuktan dokumaya kadar olan süreçte bütün üretim noktalar›nda devaml›l›¤› sa¤lamak isteyen bir yönetici bunu ancak matematiksel yöntemlerle sa¤layabilir. Do¤rusal programlama da yukar›da belirtti¤imiz konularda karar vermeyi kolaylaflt›ran matematiksel yöntemlerden biridir. Bu ünitede do¤rusal programlama yöntemi tan›t›lacak ve basit çözüm yöntemleri tan›t›lacak ve basit çözüm yöntemleri verilecektir. Burada önemli olan verilen problemin bileflenlerine ayr›lmas› ve modelin kurulmas›d›r. Model kurulduktan sonra çözümü bilgisayarda kolayca yap›lmaktad›r.

Do¤rusal Programlama Nedir? Bir Problemin Do¤rusal Programlamayla Çözülebilmesi ‹çin Gerekli Koflullar

309

DO⁄RUSAL PROGRAMLAMA NED‹R?


AMAÇ

1

Uygulamada çok kullan›lan bir eniyileme olan do¤rusal programlama yönteminin ne oldu¤unu ö¤renebilmektir.

Bir matematikçiye do¤rusal programlaman›n ne oldu¤u sorulursa al›nacak yan›t "Do¤rusal baz› s›n›rland›rmalar alt›nda do¤rusal bir fonksiyonu maksimum veya minimum yapan de¤erleri bulma yöntemidir." olacakt›r. Ayn› soru bir iktisatç›ya sorulursa "S›n›rl› olanaklar›n optimal da¤›l›m›nda kullan›lan bir tekniktir." olacakt›r. ‹flletme biliminde do¤rusal programlama nedir diye sorulursa "Önceden belirlenmifl bir amac›n, örne¤in minimum masraf veya maksimum kâr›, gerçeklefltirmeye yarayan bir tekniktir." olacakt›r.

B‹R PROBLEM‹N DO⁄RUSAL PROGRAMLAMAYLA ÇÖZÜLEB‹LMES‹ ‹Ç‹N GEREKL‹ KOfiULLAR Bir problemin do¤rusal programlama yöntemiyle çözülebilmesi için, problemde afla¤›daki koflullar›n bulunmas› gerekir: • Problemi meydana getiren unsurlar›n rakamla ifade edilebilmesi gerekir. Bu özellik rakamla ifade edilemeyen unsurlar› içeren problemler bu yöntemle çözülemeyece¤ini göstermektedir. Örne¤in, fayda optimizasyonu gibi. • De¤iflkenler aras›nda alternatif seçim olabilmelidir. Maksimum veya minimum yap›lacak fonksiyondaki de¤iflkenler aras›nda bir seçim yap›labilmelidir. Örne¤in, sadece bir makinaya veya insan eme¤ine ihtiyaç duyan bir üretim probleminde seçim sözkonusu olmad›¤› için böyle bir problem, do¤rusal programlama yöntemiyle çözülemez. • Problemde öngörülen de¤iflkenler aras›nda kurulan ba¤›nt›lar do¤rusal olmal›d›r. Do¤rusal denilince, problemde de¤iflkenler aras›nda bulunan eflitlik ve eflitsizliklerin birinci dereceden iliflkileri olmal›d›r. Bu durum bir üretim problemi üzerinde aç›klanacakt›r. Bir iflletmede bir A mal›n›n bir biriminin üretilmesi için 4 dakikal›k bir zamana gerek varsa, bu maldan 100 birim üretmek için 400 dakika zamana ihtiyaç olacakt›r. Burada zaman ile üretilen miktar aras›ndaki iliflki do¤rusald›r. 4A = 400 Bu iflletmede A mal› ile birlikte bir B mal›n›n da üretildi¤ini varsayal›m. B mal›n›n üretiminin bir birimi için 3 dakikal›k zamana gerek oldu¤unu ve bu iki mal›n üretimi için 400 dakikal›k zamana ihtiyaç varsa aradaki iliflki, 4A + 3B = 400 olacakt›r. Yukar›daki örnekten herhangi bir mal›n bir biriminin üretimi için kullan›lacak zaman di¤er birimlerin üretiminden az veya çok ise buradaki iliflki do¤rusal bir iliflki olmayacakt›r.

De¤iflkenlerin hangi özellikleri sa¤lamas› halinde do¤rusal programlama yöntemi uygulanabilir?

ÖRNEK 1

310

Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi

DO⁄RUSAL PROGRAMLAMA YÖNTEM‹YLE ÇÖZÜLECEK PROBLEM‹N B‹R MODEL HAL‹NE GET‹R‹LMES‹ Verilen bir problemin do¤rusal programlama tekni¤iyle çözülebilmesi için afla¤›daki yol izlenir.

Problemin Tan›t›lmas› ‹flletme ve iktisat problemlerinde standartlar (zaman, hammadde, kâr ve birim maliyetler) tan›t›l›r. Üretimin yap›labilmesi için üretim teknikleri ve bu tekniklerin her birinin uygulanmas›yla üretilebilecek mamullerin birim maliyetleri (veya her birimin sat›fl›ndan elde edilecek kâr) hesaplan›r.

Matematiksel Modelin Kurulmas› Bu aflamada afla¤›daki ifllemler uygulan›r: De¤iflkenlerin Belirlenmesi ‹flletme problemlerine uygulanan do¤rusal programlama modellerinde, genellikle, üretim hacmi, makinalar›n çal›flma süreleri, üretimde kullan›lan hammadde miktarlar› ve üretim için yap›lan giderler de¤iflken olarak al›n›r.

Modelin Genel Olarak Gösterilmesi Genel olarak modele girecek de¤iflkenler x1 , x2 , ... , xn ile, bu de¤iflkenler aras›ndaki ba¤lant›lar› kuran parametreler ise a11 , a12 , ... , a1n , ... amn fleklinde gösterilir. Ayr›ca, verilmifl sabit de¤erler (makina kapasiteleri, eldeki hammadde miktarlar› ve ifl gücü gibi) b1 , b2 , ... , bm ile gösterilir. De¤iflkenler aras›ndaki iliflkiler genel olarak afla¤›daki flekilde gösterilir. a11 x1 + a12 x2 + ... a1j xj + ... + a1n xn ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 + ... a2j xj + ... + a2n xn ≤ b2 . . . am 1 x1 + am 2 x2 + ... am j xj + ... amn xn ≤ bm Buradaki de¤iflkenler pozitif ve s›f›r de¤eri al›rlar. Ancak, bu de¤iflkenler negatif de¤er alamazlar. Ayr›ca, modelde amaç fonksiyonu denilen, modeldeki bütün de¤iflkenleri içinde bulunduran, de¤iflkenlerin katsay›lar› birim kârlar veya maliyetler olan, maksimum veya minimum yap›lmas› istenen bir fonksiyon da vard›r. Z = c1x1 + c2x2 + ... cnxn Bu fonksiyona, amaç fonksiyonu denir. Afla¤›daki örnekte verilen veriler yard›m›yla modelin nas›l kurulaca¤› aç›klanacakt›r.

ÖRNEK 2

Bir iflletme A ve B olmak üzere iki çeflit mal üretmektedir. A ve B mallar›n›n üretimi için izlenebilir iki üretim tekni¤i vard›r. Afla¤›daki tabloda sözkonusu iki mal›n üretim teknikleri ile birer birimlerinin sat›fl›ndan elde edilebilecek kârlar gösterilmifltir.

Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi

A Mal› I. Teknik II. Teknik

B Mal› I. Teknik II. Teknik

Kapasite

‹flgücü (saat)

40

40

40

40

600

Hammadde X

8

6

4

3

140

Hammadde Y

4

5

11

16

120

6 TL

5,5 TL

9 TL

8 TL

x1

x2

x3

x4

Birim kâr De¤iflkenler

311

Yukar›daki verilerden hangi maldan hangi üretim tekni¤iyle ne kadar mal üretelim ki bu firman›n kâr› maksimum olsun?

40x1 + 40x2 8x1 + 6x2 4x1 + 5x2

+ + +

40x3 4x3 11x3

+ + +

40x4 3x4 16x4

≤ ≤ ≤

600 140 120

ÇÖZÜM

Verilen problemdeki de¤iflkenler aras›ndaki iliflkiler afla¤›da verilmifltir.

Ayr›ca, bütün de¤iflkenleri içinde bulunduran ve katsay›lar› bu problemde birim kârlar olan amaç fonksiyonu da yaz›lmal›d›r. Z = 6x1 + 5,5x2 + 9x3 + 8x4 Yukar›da verilen problemde de¤iflkenler aras›ndaki iliflkilerde kurulan eflitsizlik sisteminde eflitsizlikler belirli bir de¤erden küçük eflitsizlikler olarak verilmifltir. Baz› iflletme problemlerinde,

Baz› problemlerde de¤iflkenler aras›ndaki iliflkiler eflitlik veya büyük eflitsizlik fleklinde olabilir.

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn ≥ b2 gibi eflitlik ve eflitsizlikler de bulunabilir. Afla¤›da bu gibi iliflkileri de içeren bir problem verilecektir. Bir iflletme A mal›ndan 200 birim ve B mal›ndan 300 birim üretmek istemektedir. Sözkonusu iki mal›n üretimi iki üretim departman›ndan geçerek yap›labilmektedir. Birinci departmanda A ve B mallar› bir makina kullan›larak üretilmektedir. Bu makinada bir birim A mal› 2 saatte, bir birim B mal› ise 4 saatte üretilmektedir. Sözkonusu makinan›n bu mallar›n üretiminde kullan›lacak 1700 saat zaman› vard›r. ‹kinci departmanda A ve B mallar›n›n üretimi için iki makina kullan›lmaktad›r. Birinci makinan›n kullan›lmas› halinde A mal›n›n bir biriminin üretimi 4 saat, B mal›n›n bir biriminin üretimi 7 saat almaktad›r. Bu departmandaki ikinci makinan›n kullan›lmas› halinde bir birim A mal›n›n üretiminin 10 saat, bir birim B mal›n›n üretiminin 12 saat ald›¤› bilinmektedir. Birinci makinan›n bu mallar›n üretiminde kullan›labilecek 1000 saati, ikinci makinan›n da 3000 saati vard›r. Ayr›ca birinci makinan›n 500 saat fazla çal›flma olarak kullan›labilir zaman› vard›r. Birinci departmanda kullan›lacak makinan›n bir saatlik maliyeti 3000 TL d›r. ‹kinci departmanda birinci makinan›n bir saatlik maliyeti 3000 TL, ikinci makinan›n ise 2000 TL s›d›r.

ÖRNEK 3

Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi

312

ÇÖZÜM

E¤er makinalar fazla mesaili çal›flt›r›l›rsa saat bafl›na 450 TL l›k art›fl olmaktad›r. Fazla mesai uygulamas› ikinci departmandaki birinci makinada uygulanmaktad›r. Bütün giderlerin minimum olaca¤› üretim miktarlar›n›n bulunmas› istenmektedir. Önce bu problemde kullan›lacak de¤iflkenler tan›mlanacakt›r: x1 : Birinci departmandan ve ikinci departmanda normal zamanda birinci makina kullan›larak üretilecek A mal› miktar› x2 : Birinci departmandan ve ikinci departmandaki birinci makina kullan›larak fazla mesai kullan›larak üretilecek A mal› miktar› x3 : Birinci departmandan ve ikinci departmandaki ikinci makinada üretilecek A mal› miktar› x4 : Birinci departmandan ve ikinci departmanda birinci makinada normal zamanda üretilen B mal› miktar› x5 : Birinci departmandan ve ikinci departmanda birinci makinada fazla mesai yap›larak üretilecek B mal› miktar› x6 : Birinci departmandan ve ikinci departmandaki ikinci makinadan geçerek üretilecek B mal› miktar› Bu de¤iflkenler için birim maliyetler, 18000 TL x1 için 19800 TL x2 için 26000 TL x3 için 33000 TL x4 için x5 için 36150 TL 36000 TL x6 için olarak bulunur. Yukar›da belirlenen de¤iflkenler aras›ndaki iliflkiler afla¤›da gösterilmifltir. Birinci departman

2x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 + 4x5 + 4x6 ≤ 1700

‹kinci departman birinci makina (normal zaman)

4x1 + 7x4 ≤ 1000

‹kinci departman birinci makina (fazla mesai)

4x2 + 7x5 ≤ 500

‹kinci departman ikinci makina

10x3 + 12x6 ≤ 3000

Planlanan A mamulü miktar›

x1 + x2 + x3 = 200

Planlanan B mamulü miktar›

x4 + x5 + x6 = 300

Amaç Fonksiyonu Z = 18000 x1 + 19800 x2 + 26000 x3 + 33000 x4 + 36150 x5 + 36000 x6 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0

Do¤rusal Programlama Modelinin Çözüm Yöntemleri Do¤rusal programlama modelleri üç yöntemle çözülebilmektedir. Bu yöntemler: a) Grafik Yöntemi b) Simpleks Yöntemi c) Matris Yöntemi olmaktad›r.

Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi

313

Bu ünitede do¤rusal programlama modellerinin grafik yöntemle nas›l çözülebilece¤ini örneklerle aç›klayaca¤›z.

ÖRNEK 4

Bir firma A ve B olmak üzere iki çeflit mal üretmektedir. Bu iki çeflit mal bir üretim departman›ndaki bir makinadan geçerek üretilmektedir. A mal›n›n bir biriminin üretimi için 5 saat, B mal›n›n bir birimi için 2 saat zaman harcanmaktad›r. Sözkonusu departmandaki makinan›n A ve B mallar›n›n üretiminde kullan›labilecek 60 saat zaman› vard›r. De¤iflkenler ile aralar›ndaki iliflkileri belirleyin.

5x1 + 2x2 ≤ 60 olacakt›r. Bulunan bu iliflkinin grafi¤i ve çözüm alan› afla¤›da fiekil 14.1'de gösterilmifltir. x2

30 5x1 + 2x2 ≤ 60 x1 , x2 ≥ 0 12

x1 Şekil 14.1

Yukar›da vermifl oldu¤umuz örnekte A ve B mallar›n›n üretimi için, ikinci bir departmandaki makinalar›nda kullan›lmas› gerekti¤ini varsayal›m. Bu departmanda bir birim A mal› üretmek için 5 saat, bir birim B mal› üretmek için ise 4 saat zamana ihtiyaç vard›r. ‹kinci departmanda bu üretim için kullan›labilecek 80 saat zaman oldu¤unu varsayarsak, x1 , x2 de¤iflkenleri aras›nda ikinci departmandaki k›s›tlamay› gösteren iliflki, 5x1 + 4x2 ≤ 80 olacakt›r. Bu problemle ilgili k›s›tlay›c›lar topluca, 5x1 + 2x2 ≤ 60 5x1 + 4x2 ≤ 80 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 olarak gösterilir. Bu eflitsizlik sistemi ile, eflitsizliklerin çözüm alanlar›n›n kesiflimi afla¤›da fiekil 14.2 de flekilde gösterilmifltir.

ÇÖZÜM

Bu problemde A mal›n›n üretim miktar› x1 , B mal›n›n üretim miktar› x2 ile gösterilirse, x1 ve x2 de¤iflkenleri aras›ndaki iliflki,

Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi

314

x2 De¤iflkenler aras›ndaki iliflkileri gösteren do¤rusal denklemlerin grafikleri çizildi¤inde, flekilde görülen uygun çözüm alan› belirlenir.

5x1 + 2x2 = 60 30 20

5x1 + 4x2 = 80

12

16

x1 Şekil 14.2

fiekilde görülen taral› alan yukar›daki bütün eflitsizliklerin ortak çözüm alan›d›r. Bu alana uygun çözüm alan› denir. Baz› problemlerde de¤iflkenler aras›nda kurulan iliflkinin belirli bir de¤erden büyük veya eflit fleklinde bir eflitsizlik biçiminde olabilece¤i önceki kesimde aç›klanm›flt›. Bu flekilde bir eflitsizli¤in bulundu¤u durumda çözümün ne flekilde yap›laca¤› afla¤›da verilen bir örnek üzerinde aç›klanacakt›r.

ÖRNEK 5

ÇÖZÜM

3x1 + 5x2 ≤ 30 2x1 + 4x2 ≥ 60 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 sistemini grafik üzerinde gösterip, uygun çözüm alan›n› belirleyiniz.

x2 15 2x1 + 4x2 ≥ 60

6 3x1 + 5x2 ≤ 30 10

30

x1 Şekil 14.3

E¤er, de¤iflkenler aras›ndaki iliflkileri gösteren denklemlerin gösterdi¤i do¤rular kesiflmiyorsa, uygun çözüm alan› yoktur.

fiekilde sistemdeki iki eflitsizli¤in çözüm alanlar› taral› olarak gösterilmifltir. Görüldü¤ü gibi sistemdeki eflitsizliklerin ikisini de sa¤layan ortak bir çözüm alan› yoktur. Önceki kesimlerde do¤rusal programlama modelinde verilen k›s›tlay›c›lar alt›nda maksimum veya minimum yap›lacak bir fonksiyona amaç fonksiyonu denildi¤ini biliyorsunuz. Afla¤›daki problemlerde k›s›tlay›c›larla birlikte amaç fonksiyonunun da verildi¤i bir do¤rusal programlama modelinin grafik yöntemle nas›l çözülece¤i aç›klanacakt›r.

Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi

315

Do¤rusal Programlama Modelinin Grafik Çözümü Grafik yöntemle do¤rusal programlama modelinin çözümünde önce verilen eflitsizliklerin koordinat sisteminde grafikleri çizilerek uygun çözüm alan› bulunur. Optimum çözümün bulunmas› için uygun çözüm alan›n› gösteren çokgenin, bir konveks çokgen olmas› gerekir. Bulunan uygun çözüm alan›n› gösteren çokgenin köflelerinin koordinatlar› bu köflelerden geçen do¤rular›n denklemlerinin ortak çözümü ile bulunur. Bulunan köflelerin koordinatlar› amaç fonksiyonunda yerlerine koyulur. Problem minimum yapma problemi ise amaç fonksiyonunun alaca¤› en küçük de¤erin, maksimum yapma problemi ise amaç fonksiyonunun alaca¤› en büyük de¤erin bulundu¤u noktan›n koordinatlar› optimum çözümü verecektir.

Optimum çözüm bulunabilmesi için çözüm alan›n› gösteren s›n›rl› bölgenin, konveks çokgen fleklinde olmas› gerekir.

ÖRNEK 6

2x1 + 4x2 ≤ 40 4x1 + 3x2 ≤ 60 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Amaç fonksiyonu Zmak = 20x1 + 15x2 ÇÖZÜM

x2 20

4x1 + 3x2 = 60 A

10

O

B

2x1 + 4x2 = 40

15 C

l

x1

20 Şekil 14.4

fiekil 14.4 de görüldü¤ü gibi uygun çözüm alan› AOBC dörtgenidir. Dörtgenin B köflesinin koordinatlar›, 2x1 + 4x2 = 40 4x1 + 3x2 = 60 denklem sisteminin ortak çözümünden (12 , 4) = (x1 , x2) bulunur. Dörtgenin köflelerinin koordinatlar›yla, amaç fonksiyonunun bu noktalarda ald›¤› de¤erler afla¤›daki tabloda gösterilmifltir. Nokta

(x1 , x2)

Z = 20x1 + 15x2

A B C

(0 , 10) (12 , 4) (15 , 0)

Z = 20.0 + 15.10 = 150 Z = 20.12 + 15.4 = 300 Z = 20.15 + 15.0 = 300

Tabloda görüldü¤ü gibi, amaç fonksiyonu en büyük de¤erini B noktas›nda almaktad›r. O halde x1 = 12 , x2 = 4 oldu¤unda amaç fonksiyonunun maksimum olma koflulu sa¤lanmaktad›r.

Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi

316

ÖRNEK 7

ÇÖZÜM

6x1 + 2x2 ≥ 30 3x1 + 2x2 ≥ 24 5x1 + 10x2 ≥ 60 x1 , x2 ≥ 0 Zmin = 30x1 + 50x2 Yukar›da verilen do¤rusal programlama probleminin uygun çözüm alan›n› belirleyerek, optimum çözümü bulunuz.

Verilen k›s›tlay›c›lar ile uygun çözüm alan›, afla¤›daki grafikte gösterilmifltir. x2 6x1 + 2x2 = 30

15 A

3x1 + 2x2 = 24

12

6

B

5x1 + 10x2 = 60

C 5

8

D 12

x1 Şekil 14.5

fiekil 14.5 de görüldü¤ü gibi optimum çözüm A , B , C ve D noktalar›n›n birisinde olacakt›r. B noktas›n›n koordinatlar›, 6x1 + 2x2 = 30 3x1 + 2x2 = 24 denklemlerinin ortak çözümüyle (2, 9) olarak bulunur. C noktas›n›n koordinatlar›, 5x1 + 10x2 = 60 3x1 + 2x2 = 24 denklemlerinin ortak çözümüyle (6 , 3) olarak bulunur. Afla¤›daki tabloda A , B , C , D noktalar›nda amaç fonksiyonunun alaca¤› de¤erler verilmifltir. Nokta

(x1 , x2)

Z = 30x1 + 50x2

A B C D

(0 , 15) (2 , 9) (6 , 3) (12 , 0)

Z Z Z Z

= = = =

30.0 + 15.50 = 750 30.2 + 9.50 = 510 30.6 + 3.50 = 330 30.12 + 0.50 = 360

Tabloda görüldü¤ü gibi, amaç fonksiyonu en küçük de¤erini C noktas›nda almakta ve dolay›s›yla optimum çözüm x1 = 6 , x2 = 3 tür.

Do¤rusal Programlama Yöntemiyle Çözülecek Problemin Bir Model Haline Getirilmesi

317

ÖRNEK 8

4x1 + 2x2 ≥ 28 2x1 + 3x2 ≥ 30 x2 ≥ 4 x1 , x2 ≥ 0 Zmin = 4x1 + 5x2 do¤rusal programlama modelinin uygun çözüm alan›n› bularak, optimum çözümü bulunuz.

x2 4x1 + 2x2 = 28 14

A 2x1 + 3x2 = 30

10 B 4

x≥4

C 7

15

x1 Şekil 14.6

fiekil 14.6 da görüldü¤ü gibi amaç fonksiyonunu minimum yapacak de¤erler A , B , C noktalar›ndan birinin koordinatlar› olacakt›r. B noktas›n›n koordinatlar›, 4x1 + 2x2 = 28 2x1 + 3x2 = 30 denklemlerinin ortak çözümüyle (3 , 8) olarak bulunur. C noktas›n›n koordinatlar›, 2x1 + 3x2 = 30 x2 = 4 denklemlerinin ortak çözümüyle (9 , 4) olarak bulunur. A , B , C noktalar›nda amaç fonksiyonunun ald›¤› de¤erler, afla¤›daki tabloda gösterilmifltir. Nokta

(x1 , x2)

Z = 4x1 + 5x2

A B C

(0 , 14) (3 , 8) (9 , 4)

Z = 4.0 + 5.14 = 70 Z = 4.3 + 5.8 = 52 Z = 9.4 + 4.5 = 56

O halde amaç fonksiyonunu minimum yapan çözüm x1 = 3 , x2 = 8 olmaktad›r.

ÇÖZÜM

Verilen k›s›tlay›c›lar›n grafikleri ile uygun çözüm alan›, taral› olarak afla¤›daki flekilde gösterilmifltir.

Kendimizi S›nayal›m

318

Kendimizi S›nayal›m 1. Bir üretici her biri iki ayr› tezgahta ifllenmesi gereken bisikletler ve motorsiklet gövdeleri üretmektedir. Birinci tezgah›n kapasitesi 120, ikinci tezgah›n kapasitesi 180 saattir. Bisiklet üretimi 6 saat 1. tezgahta, 4 saat 2. tezgahta ifllenerek, motorsiklet gövdesi üretimi 3 saat 1. tezgahta, 10 saat 2. tezgahta ifllenerek gerçeklefltirilmektedir. Bisikletten elde edilen kâr 45 birim, motor gövdesinden elde edilen kâr 55 birim ise,iflletmenin kâr›n›n maksimum de¤eri nedir? Model: x2 Zmax = 45x1 + 55x2 (0, 40) 6x1 + 3x2 = 120 K›s›tlar: 6x1 + 3x2 ≤ 120 (0, 18) 4x1 + 10x2 ≤ 180 x1 , x2 ≥ 0 4x + 10x = 180 1

(0, 0)

(20, 0)

3. Bir üretici elindeki üç ayr› tezgâh› kullanarak iki farkl› ürün üretmektedir. Bir birim (I ) üretmek için A tezgâh›nda 2, B tezgâh›nda 1, C tezgâh›nda 6, bir birim (II ) üretmek için A tezgâh›nda 2, B tezgâh›nda 5, C tezgâh›nda 2 saat ifllem görmektedir. Planlama döneminde tezgâh kapasiteleri s›ras›yla 24, 44 ve 60 saattir. Parça bafl›na I ürününden 6, II ürününden 9 birim kâr edilmektedir. ‹flletmenin maksimum kâr› ne olur? x2 (0, 12)

2x1 + 2x2 = 24

6x1 + 2x2 = 60

(4, 8)

(0, 8.8)

Model: Zmax = 6x1 + 9x2 K›s›tlar: 2x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + 5x2 ≤ 44 6x1 + 2x2 ≤ 60 x1 , x2 ≥ 0

x1 + 5x2 = 44

(9, 3)

2

(45, 0)

x1

(0, 0)

(10, 0) (12, 0)

x1

fiekil 14.9

fiekil 14.7 a. 900 b. 990 c. 1306,25 d. 1650 e. 2700 2. Bir üretici elektrikli el testereleri ve matkaplar üretmektedir. Testerenin maliyeti 6 birim, matkab›n ise 4 birimdir. Tafl›ma maliyeti testere için 0,20 birim, matkap için 0,30 birim. dir. Testere 9 birimden matkap ise 5,5 birimden sat›labilmektedir. ‹flletmenin üretim maliyetleri için ay›rd›¤› bütçe 2400 tafl›ma maliyetleri için ay›rd›¤› bütçe 120 birim oldu¤una göre, iflletme kâr›n› maksimum yapmak için her bir üründen ne kadar üretmelidir? x2

Model: Zmax = 9x1 + 5,5x2 K›s›tlar: 6x1 + 4x2 ≤ 2400 0,2x1 + 0,3x2 ≤ 120 x1 , x2 ≥ 0

(0, 600) (0, 400) (240, 240)

(0, 0)

(400, 0)

(600, 0)

x1

a. 60 b. 81 c. 72 d. 96 e. 79,2 4. ‹ki tür mal üretmekte olan bir firma haftal›k talebi karfl›layacak üretim program› yapmak istemektedir. Yap›lan araflt›rmaya göre toplam talebin 6 birim oldu¤u anlafl›lm›flt›r. Yönetim, birinci maldan haftada en az 3 birim, ikinci maldan en az 2 birim üretmek istemektedir. Mallar›n birim maliyetleri s›ras›yla 4 ve 5 birim oldu¤una göre üretim maliyetini minimum yapacak haftal›k üretim program›n› bulunuz. x2 6

(3, 3) 2

(3, 2) (4, 2)

(0, 0)

3

fiekil 14.10

fiekil 14.8 a. b. c. d. e.

(0,400) (240,240) (600,0) (0,600) (400,0)

Model: Zmin = 4x1 + 5x2 K›s›tlar: x1 + x2 ≤ 6 x1 ≥ 3 x2 ≥ 2 x1 , x2 ≥ 0

a. b. c. d. e.

(3,2) (4,2) (6,0) (3,5) (7,2)

6

x1

Kendimizi S›nayal›m

5. Bir iflletme 2 tür ürün üretmektedir. Ürünlerin birim sat›fl›nda elde edilen kârlar s›ras›yla 2 TL ve 1 TL . dir. Birinci maldan 1 br üretmek için 1 br malzeme, 1 saat makine ve 2 saat emek, ikinci maldan 1 bir ürütmek için 5 br malzeme, 3 saat makine ve 2 saat emek kullan›lmaktad›r. ‹flletmenin elinde 10 br malzeme, 6 saatlik makine kapasitesi ve 8 saatlik emek bulundu¤una göre, iflletmenin kâr›n› maksimum yapacak üretim program› ne olmal›d›r?

6. Afla¤›da verilen modelin optimum çözümünü araflt›r›n›z. x2 900

400 350

x2 = 350

300

x2 (0, 4)

2x1 + 2x2 = 8

x2 = 100

100

x1 + 3x2 = 6

(0, 2)

50

x1 + 5x2 = 10

(3, 1)

800

300 fiekil 14.12

x1

(0, 0)

(4, 0)

(6, 0)

fiekil 14.11 Model: Zmax = 2x1 + x2 K›s›tlar: x1 + 5x2 ≤ 10 x1 + 3x2 ≤ 6 2x1 + 2x2 ≤ 8 x1 , x2 ≥ 0 a. b. c. d. e.

319

(10,0) (0,2) (4,0) (6,0) (3,1)

(10, 0)

Model: Zmax = 2x1 + 6x2 K›s›tlar: 2x1 + 4x2 ≤ 1600 6x1 + 2x2 ≤ 1800 x2 ≤ 350 x1 ≥ 50 x2 ≥ 100 x1 + x2 ≥ 300 x1 , x2 ≥ 0 a. b. c. d. e.

1000 1600 2200 2300 3000

x1

Kendimizi S›nayal›m

320

7. Bir iflletmenin üretti¤i P1 ve P2 ürünleri M1, M2 ve M3 makinelerinde ifllenmektedir. P1 ürünü M1 'de 11, M2 'de 7 ve M3 'de 6 dakika, P2 ürünü ise M1 'de 9, M2 'de 12, M3 'de 16 dakika ifllem zaman› gerektirmektedir. M1, M2 ve M3 makinelerinin planlama, dönemindeki kapasiteleri s›ras›yla 165, 140 ve 160 saattir. P1 'den birim bafl›na 900, P2 'den ise 1000 TL. kâr edildi¤ine göre, iflletmenin maksimum kâr› ne olur?

x2

x2 1100 1000 800 700 600

11x1 + 9x2 = 9900 7x1 + 12x2 = 8400 6x1 + 16x2 = 9600 900 1200

fiekil 14.13 Model: Zmax = 900x1 + 1000x2 K›s›tlar: 11x1 + 9x2 ≤ 9900 7x1 + 12x2 ≤ 8400 6x1 + 16x2 ≤ 9600 x1 , x2 ≥ 0 a. b. c. d. e.

8. Bir çiftlikte yaflayan hayvanlar›n beslenmesinde kullan›lan iki farkl› tür yem bulunmaktad›r. M yemi kg bafl›na 0.1 kg A, 0.1 kg C, 0.2 kg D, N yemi 0.1 kg B, 0.2 kg C, 0.1 kg D içermektedir. Her bir hayvan›n günlük 0.4 kg A, 0.6 kg B, 2 kg C ve 1.7 kg D ihtiyac› vard›r. 1 kg M 10 TL, 1 kg N 4 TL. oldu¤una göre hayvanlar›n besin ihtiyac›n› karfl›layacak ve maliyeti minimum yapacak besleme program›n› bulunuz.

600000 810000 852000 898261 1080000

x 1600 1

17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

x1 = 4

x2 = 6

2x1 + x2 = 17

x1 + 2x2 = 20 x1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

fiekil 14.14 Model: Zmin = 10x1 + 4x2 K›s›tlar: 0,1x1 ≥ 0,4 0,1x2 ≥ 0,6 0,1x1 + 0,2x2 ≥ 2 0,2x1 + 0,1x2 ≥ 1,7 x1 , x2 ≥ 0 a. b. c. d. e.

(0, 17) (4, 9) (4.6, 7.67) (8, 6) (20, 0)

x1 ≥ 4 x2 ≥ 6 x1 + 2x2 ≥ 20 2x1 + x2 ≥ 17

Kendimizi S›nayal›m

9. Afla¤›da verilen modelin uygun çözümü afla¤›dakilerden hangisidir? x2

Model: Zmax = 11x1 + 4x2 K›s›tlar: 7x1 + 6x2 ≤ 84 4x1 + 2x2 ≤ 32 x1 , x2 ≥ 0

16 15

4x1 + 2x2 = 32

14 13 12 11

10. Afla¤›da verilen modelin uygun çözümünü araflt›r›n›z. x2

Model: Zmin = 4x1 - x2 K›s›tlar: 3x1 + x2 ≥ 6 x1 + 4x2 ≥ 4 x1 , x2 ≥ 0

6 5 4 3 2 1

10 9

1

8 7

2

3

4

fiekil 14.16

6 5

a. 1 b. 74 11 c. 16 d. 0 e. -6

7x1 + 6x2 = 84

4 3 2 1

x1 1

2

3

4

5

6

7

8

fiekil 14.15 a. b. c. d. e.

(0, 14) (2.4, 11.2) (8, 0) (12, 0) (16, 0)

9 10

11 12

321

x1

323

Yan›t Anahtarlar›

1

S›ra Sizde Yan›t Anahtar› SIRA S‹ZDE 1

1. a) {1, 3}

b) {5}

c) {2}

d) {1, 2, 3, 5}

2. a) Ø e) {a, b, d, e }

b) {b } f) {c }

c) {a, d, e } g) {b }

d) {a } h) {a, c, d, e }

3. A = {a, b, c }

ve

B = {a, c, d }

4. B \ [A » C ] 5. C \ [A » B ] SIRA S‹ZDE 2

1. a) 31 9

b) 1213 99

c) 13399 99900

2. a) 36,5

b) 5,6

c) 0,83 SIRA S‹ZDE 5

4. a) (-1, 3)

b) (- ∞, -5) SIRA S‹ZDE 6

1. a) 0

b) 30

3 c) a

d) 3-2

2. a) 5 3

b) -21 2

c) 10

d) 7 7

3. a) 3

b)

1. a) 14

b) 1

b4

3

6

5 2

c)16 SIRA S‹ZDE 7

c) 8 7

2 2. a) {-5, 1}

c) (∞, -7) » (-3, +∞)

b) (3, 11)

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› 1. d 6. d 11. c

2. e 7. d 12. e

3. e 8. d

4. b 9. c

5. d 10. e

Biraz Daha Düflünelim Yan›t Anahtar› 1. a) 206 33

b) 3910

2. a) 0,428571

b) 0,296

3. a) c < d < b < a

b) c < a < b

999

c) 113 333

d) 3782 3333

ÜN‹TE

324

Yan›t Anahtarlar›

4. a) [4, 7)

b) [-3, 4)

c) (- ∞, 7)

d) [4, 7)

6. a) 2-6 e) 1

b) 4.105 f) 1/4

c) 8.10-3

d) -1

c) -0,2

d)

7. a)

ÜN‹TE

2

15

2

b)

24

213

3

e) 9

3

S›ra Sizde Yan›t Anahtar› SIRA S‹ZDE 1

1. a) {-4}

b) {-1/2}

c) {1}

d) {5}

2. a) {-1, 2/3} e) {2/3, 7/4} ›) Ø

b) {-1, 3/2} f) {-3/2, 2/5} i) {0, 1/5}

c) {-5/3, 7/11} g) {-9, 9}

d) {5/4, 3/2} h) {-7}

3. a) {-5/2, 0, 5/2}

b) {-2, 0}

c) {-7, 0, 5}

d) {0}

1. a) {-∞, -5/3]

b) (-∞, 14/11)

c) [3, ∞)

2. a) {27}

b) {-29}

c) {1}

3. a) (-4, 7)

b) (-7, 13)\{3}

c) (-∞, 3/4] » [11/4, ∞)

SIRA S‹ZDE 2

d) {5}

e) {2/7, 4/5}

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› 1. c 6. c 11. e

2. b 7. c 12. d

3. e 8. c

4. c 9. b

5. e 10. a

Biraz Daha Düflünelim Yan›t Anahtar›

ÜN‹TE

3

1. a) {-4, 3}

b) {-2}

c) {-2}

3. a) (-∞, 7/4]

b) (-3, ∞)

c) [11/7, 17/7]

4. a) Ø

b) {-9/2, 1/2}

5. a) {3}

b) {5}

S›ra Sizde Yan›t Anahtar› SIRA S‹ZDE 1

1. a) A ve B nin her ikisi de grafi¤in üstündedir. b) A grafi¤in üstünde fakat B de¤ildir. c) A grafi¤in üstünde fakat B de¤ildir.

d) {-2, 2}

Yan›t Anahtarlar›

2. a) Grafik b) Grafik keser. c) Grafik keser. d) Grafik e) Grafik

x - eksenini (1/2, 0), y - eksenini (0, -1) noktas›nda keser. x - eksenini (1, 0), ve (-2, 0) noktalar›nda, y - eksenini ise (0, -2) noktas›nda x - eksenini (-1, 0), ve (3, 0) noktalar›nda, y - eksenini ise (0, -3) noktas›nda x ve y - eksenini (0, 0) da keser. x - eksenini (4, 0) da, y - eksenini (0, -2) ve (0, 2) noktalar›nda keser.

3. a)

b)

y

-2

2

y

-1

x

1

x

-4

SIRA S‹ZDE 2

1. a) mAB = - 2 ; y = - 2 x 3 3

c) mAB = 1 ; y = x - 3 4 4 4

b) mAB = - 3 ; y = - 3 x + 12

5 5 5 1 1 7 ; y= x + d) mAB = 2 2 2

2. y = - 3 x + 3 5 3. a) m = -2

b) m = 3/2

4. a) paralel b) kesiflen, kesiflim noktas› (3/2, 3/2) c) kesiflen kesiflim noktas› (3/2, -1/2) d) kesiflen kesiflim noktas› (4/5, 7/5) e) kesiflen kesiflim noktas› (-1/10, -7/10) f) kesiflen kesiflim noktas› (5, 0) 5. a) y = 3x -3

c) m = 0

325

326

Yan›t Anahtarlar›

SIRA S‹ZDE 3

1. a)

y

b)

y

1/3 5/4

2/3 5/2

c)

d)

y

x

1/3

x

-25/8

y

3

- 3/5

3

x

3/5

x

y

e)

y

f) 5/2 -3

2

x

1 1

x

-7 y

y

g)

h) 5/3

3 -2

x -25/4

2. a) Tepe noktas› minimum noktad›r T (1, 3) b) T (2, -9) c) T (2/3, -1/3) d) T (-1/4, 7/8) 3. a) Tepe noktas› maksimum noktad›r T (1/4, 1/8) b) T (0, 1)

-5

-2

1

x

Yan›t Anahtarlar›

SIRA S‹ZDE 4

1. a)

b)

y

y

y > 2x-1

y > 3x

x

1/2 x

c)

-1

d)

y

y y ≥ (x-1)2

y ≥ x/3 1 1

x

e)

x

y

y

2. a)

b)

y

3

3

x x

2 -2

c)

d) y

y Ç=Ø

x 1

x

327

328

Yan›t Anahtarlar›

e)

f) y

y

x

g)

x

y 5

x

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› 1. c 6. c 11. d

2. d 7. c 12. b

3. d 8. e

4. c 9. d

5. a 10. e

Biraz Daha Düflünelim Yan›t Anahtar› 1. a)

y

b)

y

1 -1

x x + y = -1

d) y=

y

x2

x

x

y =- x3

2. 1000 3. y = x - 1 4. m = 2, n = -2

x

y = 1- x2

c) y

1

-1

-1

329

Yan›t Anahtarlar›

5. a)

b)

y -2

y

3/2

-4 x 1

-2 x -4

4 S›ra Sizde Yan›t Anahtar›

SIRA S‹ZDE 1

1. V (x) = x (30 - 2x) (20 - 2x) 2. f x = 9 - x2 3. a) f (x ) = 4x

b) f x = 2x2

c) f (x ) = x 2

4. a) (-∞, -1] » [1, ∞)

b) (-3, 0] » [1, +∞) e) R

c) R \ {-2, 2}

d) R

SIRA S‹ZDE 2

1. a) f 1-1 de¤il, örten, artan veya azalan de¤il b) f 1-1, örten ve artand›r c) R \ {1} Æ R \ {1} 1-1 örten ve azalan d) (-∞, 0] » [1, ∞) 2. a) (i) ( fog )(x ) = 27x2 - 3x - 2 (ii) ( gof )(x ) = -9x2 + 15x + 1

b) (i) fog

x =

2x - 2

(ii) fog

x =

2x2 - 2x - 2

3. a) f

-1

c) f

-1

2x - 1

x = 2x - 3 x- 1

b) f

-1

2 x = x -1 2

d) f

-1

4. a) f (3) - g (2) = -5/4

c) f (t + 1) = t2 - t - 2

b)

x =1+ x- 1 2 x = 2x + 1 2 x -1

f 5 1+ g 3

=6

t +3 d) g t = 2 t

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› 1. a 6. a 11. d

2. e 7. e 12. d

3. b 8. a

4. b 9. c

5. c 10. d

ÜN‹TE

330

Yan›t Anahtarlar›

Biraz Daha Düflünelim Yan›t Anahtar› b) (-∞, -3] » [3, +∞)

1. a) R

c) R

d) R

2. a) (i) fog

x = x2 + 2

(ii) ( gof )(x ) = x + 2

b) (i) ( fog )(x ) = |x + 3| 3. a) f -1(x) = x - 2

ÜN‹TE

5

x = 5x + 2 2x - 1

-1

c) f

(ii) ( gof )(x ) = |x | + 3

b) f

-1

x = x+ 5 x- 1

d) f

-1

x =

3

x+ 1 2

S›ra Sizde Yan›t Anahtar› 1. 4) - 1 6 1 9) 2 2. 1) -3 3

6)

6

5) 3

6) Yoktur

7) 10

8) 4

10) 3

11) Yoktur

12) Yoktur

13) 0

2) 1

3) -1

4) 9

5) 2

7) -6

8) 69

9) - 1

10) 0

11) -2

12) 2

16) 1

17) 2

4

3. 1) Yoktur

5) ∞ 4. 1) Sürekli de¤il

13) 3

4 14) 2

15) 2

3

2) Yoktur

3) -1

6) ∞

7) - ∞

2) Sürekli

3) Sürekli

4) - ∞

4) Sürekli

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› 1. d 6. e 11. c

2. b 7. a 12. e

3. d 8. d

Biraz Daha Düflünelim Yan›t Anahtar› 1. 2. 3. 4.

Yoktur -2 0 Yoktur

4. e 9. d

5. b 10. e

331

Yan›t Anahtarlar›

6

ÜN‹TE

7

ÜN‹TE

S›ra Sizde Yan›t Anahtar› 1. 1)

f ' (x 0 ) = -2

2)

2. 1) f '(x ) = -4

f ' (0) = 0, f '(-1) = -2

g' (x) = 2x + 3 1 l 4) ' (x ) = -2x 5 2) - 2 3 2)

3) k ' (x ) = 3 3. 1) - 1 18 3) -8

2x

4) 3

5) 5 32 2 7) 8 - 2x 2 x2 + 4 9) 3x + 2

3

6)

1 16

8)

5 48

x2 + 1

2

10) 2

2 x+ 1 11) -6x 2 - 4x - 1 - x -2 + 4x -3 - 6x -4 4. 1) y = - 3 x + 4

2) y = -4x + 4

5. 1) 3 x -5/2 8

2) 0,

3)

5 3456

4) - 2 9

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› 1. a 6. c 11. a

2. a 7. b

3. e 8. a

4. c 9. e

5. a 10. b

Biraz Daha Düflünelim Yan›t Anahtar› 1. 1. - 9 2 2. 17 32 3.

2 2 +1 4 2

2+ 2

S›ra Sizde Yan›t Anahtar› 1. (- ∞, -1) ve (3, ∞) aral›klar›nda artan, (-1, 3) aral›¤›nda azalan. 2. a) x = - b 2a

b) x = 1 16

c) (2000, 37000) 3. a) (0, ∞)

d) (3, 11) b) (0, -7)

4. a) x = 0

3 b) y = 2

5. 1764390 TL.

332

Yan›t Anahtarlar›

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› 1. b 6. c 11. b

2. d 7. c

3. e 8. a

4. c 9. d

5. a 10. a

Biraz Daha Düflünelim Yan›t Anahtar› 1.

2.

y

y

4

80/3

2

26/3 ~6,6 3

-5/3

ÜN‹TE

2 -1

-4

-5/2 x

~3,6

-28/3

8 S›ra Sizde Yan›t Anahtar› SIRA S‹ZDE 1

1.

x y = 1 in grafi¤i 2

y = 2x in grafi¤i

y

y 1

2

1/2 1 1

x

SIRA S‹ZDE 2

y = 2x

ve y = log2x in grafi¤i y y=x 2 y = 2x

1 1

2

y = log2 x

x

x

x

333

Yan›t Anahtarlar›

SIRA S‹ZDE 3

1. y ' = e -x 1- x

2. y ' = ex

2

3

5x 6 + 15x 4 + 2x

2 4. y ' = 4x . 32x . ln3

3

3. y ' = x 3x ex + 2 x 5. y ' = x e -x 3

5

-2 + 3x ln3

1

6. y ' =

2x lnx 2 ax 8. y ' = 2x . a x . lna . lnx + x

2x + 1 x2 + x + 1 6x . ln2 x2+ 1 9. y ' = x2+ 1 7. y ' =

2

2 10. y ' = 2x . e -x 1-x 2 . lnx 2

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› 1. d 6. b 11. c

2. c 7. c 12. c

3. a 8. b 13. b

4. b 9. d

5. b 10. c

9

ÜN‹TE

10

ÜN‹TE

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› 1. a 6. a 11. d

2. d 7. b 12. c

3. a 8. b 13. b

4. a 9. b 14. b

5. c 10. b

S›ra Sizde Yan›t Anahtar› SIRA S‹ZDE 1

1. e -1

2. 9

3. -8

4. 26/3

5. 1/2

6. 48

7. 21

8.

9. -10

10. 2000

11. 81

12.

4 2 3 1 e 20 - 1 2

SIRA S‹ZDE 1

1. 1 2. 2

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› 1. d 6. c

2. c 7. d

3. b

4. a

5. d

334

Yan›t Anahtarlar›

ÜN‹TE

11 S›ra Sizde Yan›t Anahtar› SIRA S‹ZDE 1

1. a) x = -1/2 , y = 0 b) Sonsuz çoklukta çözüm var; t Œ R, x = t, y = 3t -2 c) Çözüm yok d) x = 3, y = 2 e) x = 2, y = 1 2. a) S›f›r çözüm; x = 0, y = 0 b) Çözüm yok c) x = 3, y = 2 d) Sonsuz çoklukta çözüm var; x = t, y = 2t + 3, t Œ R e) Çözüm yok f) x = 23 , y = 22 5 5 SIRA S‹ZDE 2

1. 2. 3. 4. 5.

x1 = -5 , x2 = 3 x1 = 1 , x2 = -3 , x3 = 2 x = -14 , y = 20 , z = 5 Çözüm yok Sonsuz çoklukta çözüm var. t Œ R için x 1 = - 14 t - 48 , x 2 = - 13 t - 66 , x 3 = t 3 3 19 x3 , x 2 = 1 - 9 x3 6. x 1 = - 1 2 2 7. Tek çözüm s›f›r çözüm. 8. Sonsuz çoklukta çözümü var. x1 = - 9 x3 , x 2 = - 1 x3 4 4 9. Baylar›n say›s› 66 Bayanlar›n say›s› 34 10. %25 ile yatan miktar 12 milyar %30 ile yatan miktar 18 milyar %35 ile yatan miktar 20 milyar SIRA S‹ZDE 3

75 1. a) p = 2

b) p = 15 4

c) p = 15 2. p = 10 , q = 25 3.

5 , 17 2

4. p1 = 6 , p2 = 8 , q1 = 50 , q2 = 70

335

Yan›t Anahtarlar›

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› 1. b 6. a

2. e 7. c

3. c 8. c

4. b 9. e

5. b 10. a

Biraz Daha Düflünelim Yan›t Anahtar› y

1. a)

y 11 2

b) 3x - 4y = 6

1

5x + 2y = 11 4x + 3y = 6

2

11 2

2 -3 2

x + 2y = 2

-2

3

3 2

x

3. (1, -2, 3) 4. %4 lük çözeltiden 30 litre, %9 luk çözeltiden 20 litre kar›flt›r›lmal›d›r. 5. Botun h›z› 8, nehirin h›z› 4 dür.

12

S›ra Sizde Yan›t Anahtar› SIRA S‹ZDE 1

1. 7 2. x = 4 , y = 9 , z = 0 3.

1 -1 2 -1 1 3 2 3 1

1 -2 3 4. A= -2 1 4 3 4 5 1.

SIRA S‹ZDE 2

0 27 6 17

2. 17 3.

2 2 -3 -1

b)

3 -2 5 -2

c) -2 8 3 -8

d)

4 0 0 4

a)

e)

0 6 -4 -3

ÜN‹TE

336

Yan›t Anahtarlar›

SIRA S‹ZDE 3

1. a)

3 -1 0 3 1 7

b)

1 -1 0 3 7 3

e)

1 1 4 3 2 0

c) B + C tan›ml› de¤il d)

6 -3 0 9 12 15 6 -1 12 21 37 10

f)

g) AB tan›ml› de¤il

h) -1 1 24 19

j)

9 12 15

i) -1 4 29 0 17 19 25

2 -12 -10

m) -1 1 0 -3 -7 -3

n) -2 1 0 -3 -4 -5

2. a) (56) b) 56 1 -4 4. 0 1 3 5.

1,20 D =

7. a)

1 0 0

8. 3. firma SIRA S‹ZDE 4

1. A ile C 2.

600 780 504 408

-2 1 1 0

0 4 0

900 1080 630 996 768 1002 708 732

0 0 625

Yan›t Anahtarlar›

4. 1

0

0

-1 2

0

1 2

3 2

1 2

0

-1 5. A =

-2

1

3 2

-1 2

B -1=

C -1=

1 10

1 20

- 1 2

1 4

1 2

-3

- 7 2

0

1

3 4

0

0

1 4 SIRA S‹ZDE 5

1. a)

b)

1 1 -1 0

1 -1 0 1

= -3 5 x1 x2 = x3

1 0 2 5 -3 1

1 c) 0 1 -1 d)

x y

1 -2 3 1

x1 x2 = x3 x4

1 1 1 1

2. a) 3x1 - 2x2 = -2 x1 + 5x2 = 56

b) x1 + 2x3 = 1 -x1 + x2 = 2

c) 3x1 + x2 + 2x3 = 0 2x1 + x2 + 3x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 0 3. a) (6, 10) -11 -4 6

0 0 0 0

x1 x2 = 3 x3 x4

3 1 5 -1

4. A -1 =

4 2

d) x1 + 2x2 - x3 + 3x3 = 7

b) (4, 5, 6) 2 0 -1

2 1 -1

c) (2, 0, 1, 1)

,

x1 x2 = x3

-3 5 1

337

338

Yan›t Anahtarlar›

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› 1. a 6. d 11. c

2. c 7. d 12. a

3. e 8. e

Biraz Daha Düflünelim Yan›t Anahtar› 1. Hammadde miktarlar› matrisi : A B 510 250

C 450

D E 350 230

Toplam hammadde bedeli : 5 890 milyon TL.

ÜN‹TE

13 S›ra Sizde Yan›t Anahtar› 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

|A| = -3 |B| = 1 |C| = 56 |D| = 405 |E| = -420 D=0 D = 120 2 4 11

8. A k =

-8 -6 -19

- 1 5 9. A -1 =

0 0 5

- 2 - 11 5 10

4 5

3 5

19 10

0

0

- 1 2

10. x1 = -1 ,

x2 = 1 , x3 = -2 1 2

11. A -1 =

1 -1 2

1 6 -2 3

1 6 1 3

1 6

1 6

3x1 + x2 + x3 = 12 3x1 - 2x2 + x3 = 9 -3x1 + x2 + x3 = 24 x=

x1 x2 x3

=

-2 1 17

12. A türünden 900 adet, B türünden 1000 adet.

4. b 9. b

5. b 10. b

339

Yan›t Anahtarlar›

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› 1. e

2. a

3. b

4. d

5. a

Biraz Daha Düflünelim Yan›t Anahtar› 1. a) x1 = -3 - 4t , x2 = 1 - t , x3 = t b) x1 = -2, x2 = 0, x3 = 3 c) Çözüm yok. 2. a) Tersi yok 1 b) -1 0 0

1 0 1 -1

0 0 1 0

(t ΠR )

-1 1 -1 1

3. -1728 4. Bir günde üretilen evrak çantas›, el çantas› ve cüzdan say›lar›, s›ras›yla, x , y , z olmak üzere x = 30 , y = 40, z = 50.

14 Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› 1. c 6. d

2. e 7. d

3. d 8. b

4. a 9. c

5. c 10. e

ÜN‹TE

340

Yararlan›labilecek Kaynaklar

Yararlan›labilecek Kaynaklar Caferov, V.; Editör: Üreyen, M.; Analiz, T.C. A.Ü.Aç›kö¤retim Fakültesi Yay›nlar›, No: 600, Eskiflehir, 1999. Çoker, D; Özer, O; Tafl, K.; Genel Matematik, Ad›m Yay›nc›l›k, Ankara, 1994. Frank S. Budnick; Applied Mathematics for Business and the Social Sciences; Mc Graw-Hell, 1993. Gö¤üfl, M.; Koçak, fi.; Tayfur, C.; Üreyen, M; Matematik I (Diferansiyel Hesap), Bizim Büro, Ankara, 1984, Gö¤üfl, M.; Koçak, fi.; Üreyen, M.; Matematik I ‹ktisadi Uygulamal›, Birlik Ofset, Eskiflehir, 1993. Hegarty, J.; Calculus for the Management and Social Sciences, Allyn and Bacon, Inc. Boston, 1980. ‹nönü, Ö.; Akova, C.; ‹flmen, ‹.; Demirgüç, Z.; Büyük Matematikçiler I, II, Milli E¤itim Bas›mevi, ‹stanbul 1945, 1947. Koçak, fi.; Üreyen, M.; Gö¤üfl, M.; Olgun, fi., Görgülü, A.; Editör: Kaya, R.; I. Fasikül, T.C.A.Ü. Aç›kö¤retim Fakültesi Yay›nlar› No: 115. Musa fienel; Do¤rusal Programlama Metodu ile Üretim Planlamas›, E‹T‹A Yay›m 1974. Paul, R.S.; Haeussler, E.F.Jr. Introductory Mathematical Analysis for Students of Business and Economics, Reston Publishing Company 1973. Protter, M.H.; Morrey, C.B. A First Course in Real Analysis, Springer Verlag 1977. Sherman K. Stein, Anthony Barcellos; (Türkçesi Beno Kuryel); Calculus ve Analitik Geometri, Mc GrawHell, 1997.

Dizin

Do¤al logaritma 173

Dizin

Do¤al say›lar 7

A

Do¤ru Denklemi 45, 46 Aç›k aral›k 11, 12

Do¤rusal Denklem 233

Alt küme 4, 7, 10, 11, 37

Do¤rusal Denklem Sistemleri 233, 237, 240

Amaç fonksiyonu 310, 311, 312

Do¤rusal fonksiyon 135

Anl›k h›z 119, 120

Do¤rusal model 248

Ara de¤er teoremi 113

Do¤rusal programlama 309, 310

Arakesit 4, 251 Aral›k 10, 11, 12 Artan fonksiyon 145, 146

E E¤im 44, 46

Arz-talep fonksiyonlar› 246, 247, 248

E¤im-kesim denklemi 46

Azalan Fonksiyon 145, 146

E¤ri alt›ndaki alan 211 Ekstremum noktas› 149, 151

B

Eflde¤er denklem sistemi 241 Ba¤›ml› de¤iflken 68

Eflitsizlik 10

Ba¤›ms›z de¤iflken 68

Evrensel küme 4

Basamak biçimi 240, 241, 242, 243, 274, 275, 276, 281 Basit kesirler 202 Basit kesirlere ay›rma 201

F Faiz oran› 182

Baya¤› logaritma 173

Fonksiyon 67

Belirli integral 211, 212, 216

Fonksiyon grafi¤i 70

Belirsiz integral 190, 194 Bileflik faiz 181, 182 Bileflke Fonksiyon 77, 78

G Gauss yok etme yöntemi 241, 280

Birim matris 257, 265, 271

Geniflletilmifl matris 280

Birinci Türev Testi 150

Gerçel say› 7

Blok matris 276, 280, 282

Görüntü kümesi 68, 69

Bofl küme 3

Grafik çözüm 315

Bükeylik 154 Büküm noktas› 155, 156, 159

I-‹ ‹ç Çarp›m 261

C-Ç

‹kinci Türev Testi 152

Cebirsel ifade 23

‹lkel sat›r ifllemleri 274

Cramer Kural› 299

‹ntegral 189, 211

Cramer Yöntemi 299

‹ntegral alma 194, 198, 201

Çift fonksiyon 74

‹ntegral sabiti 190

Çözüm kümesi 23, 27, 28, 30

‹ntegralin s›n›rlar› 211 ‹rrasyonel say›lar 7

D De¤iflken 23 De¤iflken dönüflümü 194, 195, 215, 216 De¤iflme özelli¤i 265, 266 Denge fiyat› 246, 247, 248 Denge Miktarlar› 246, 249 Denge noktas› 246 Determinant 291, 292 Determinant aç›l›m› 294 Determinant hesaplamas› 291 Dik koordinat sistemi 37, 247

K Kapal› aral›k 11 Kare matris 255 Kare sistem 240 Karmafl›k say›lar 8, 9 Katsay›lar matrisi 279 Kesin artan fonksiyon 145 Kesin azalan fonksiyon 145 K›s›tlay›c›lar 313 K›smi integral alma yöntemi 198

341

342

Dizin

Kofaktör 292

Soldan limit 105

Koordinat Düzlemi 37

Sonsuz çoklukta çözüm 235, 237, 238, 240

Köflegen matris 268, 269

Sürekli Fonksiyon 109, 111

Kritik nokta 149, 150, 152

Süreklilik 109

Küme 3

Süreksizlik 110 Sütun matris 255

L

Sütun vektör 255 limit 93, 94 Logaritma 171

T

Logaritmik fonksiyon 171

Talep fonksiyonu 193

Logaritmik fonksiyonun grafi¤i 172

Tam say›lar kümesi 7 Te¤et 121

M

Te¤et Denklemi 136 Maliyet fonksiyonu 119, 129

Te¤et do¤rusu 135

Marjinal gelir 139

Tek fonksiyon 74

Marjinal maliyet fonksiyonu 189, 192

Ters fonksiyon 79

Matematiksel model 72, 246

Ters matris 271, 272

Matris 255

Ters türev 190, 191

Matrisin basamak biçimi 240

Tüketici rant› 225

Matris çarp›m› 261

Türev 120, 121

Minör 292

Türev fonksiyonu 139

Monoton fonksiyon 74

Türevlenebilir fonksiyon 121

Mutlak maksimum 112 Mutlak minimum 112

U-Ü Uygun çözüm alan› 314

O-Ö

Üretici rant› 227

Ondal›k say› 9, 19

Üstel fonksiyon 167

Ortalama h›z 119, 120 Örten fonksiyon 74

Y

Özdefllik 23

Yatay asimptot 157 Yerel Maksimum 148, 149

P

Yerel Minimum 148, 149 Parametre 23 Periyodik fonksiyon 74 Polinom 201 Polinom fonksiyon 82

R Rasyonel fonksiyon 83, 201 Rasyonel say› 7, 8, 9

S Sabit fonksiyon 82, 100 Sa¤dan limit 105 Sarrus Kural› 292 Sat›r matris 255 Sat›r vektör 255 Sayma say›lar› 7 S›f›r çözüm 240 S›f›r matris 261

Z Zincir kural› 131