Matema - Stora formelsamlingen i matematik

Matema Stora formelsamlingen i matematik Teknologens guide till den h o¨ gre matematiken

Nu med fysik!

Reimond Emanuelsson

M˚angfaldigande av inneh˚allet i denna bok, helt eller delvis, a¨ r enligt lagen om uppc. hovsr¨att f¨orbjudet utan medgivande av Mathema F¨orbjudet g¨aller varje form av m˚angfaldigande genom tryckning, kopiering etc. Ansvarig utgivare Reimond Emanuelsson, universitetsadjunkt vid Chalmers Lindholmen, G¨oteborg. Av samma f¨orfattare:

   

2

Algebra f¨or naturvetenskapligt och tekniskt bas˚ar Trigonometri och komplexa tal f¨or naturvetenskapligt och tekniskt bas˚ar Analys f¨or naturvetenskapligt och tekniskt bas˚ar Introduktion till Statistik och Sannolikhetsl¨ara

Matema R. Emanuelsson

Inneh˚all I

Grundl¨aggande m¨angdl¨ara, algebra och geometri

1 M¨angdl¨ara 1.1 Grundl¨aggande begrepp . . . 1.2 Operationer mellan m¨angder 1.2.1 Produktm¨angder . . 1.3 H¨arledda identiteter . . . . . 1.4 Talm¨angder . . . . . . . . . 1.5 Kardinalitet . . . . . . . . .

5 . . . . . .

7 7 8 9 9 10 12

2 Element¨ar algebra 2.1 Grundl¨aggande begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 R¨aknelagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Grundl¨aggande lagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 H¨arledda lagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Binomialteoremet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Multinomialteoremet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Rationella uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Utveckling av rationella uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Olikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Absolutbelopp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 L¨osning av ekvation inneh˚allande absolutbelopp . . . . . . . 2.7 Komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 R¨aknelagar f¨or komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 L¨osning av andragradsekvation med komplexa koefficienter . 2.7.3 Komplexa tal p˚a pol¨ar form . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Potenser och logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 14 14 15 15 16 17 20 20 22 23 24 25 27 28 28 30 30 31

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

3 Geometri och trigonometri 3.1 Vinkel . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Likformighet och kongruens . . . 3.2.1 Spegling i punkt och linje 3.3 Polygoner . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

33 . . . . 33 . . . . 34 . . . . 34 . . . . 36

˚ INNEHALL

˚ INNEHALL

3.3.1 Olika typer av trianglar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 H¨ojd, median och bisektris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 N˚agra satser i geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Regelbundna polygoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Cirkel och ellips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Rymdgeometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 N˚agra kroppar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 N˚agra regelbundna polyedrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Koordinatsystem (R2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Definition av trigonometriska funktioner . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Element¨ara samband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Grundl¨aggande satser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Identiteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.1 Additionsformler f¨or sinus och cosinus . . . . . . . . . . . . 3.9.2 Additionsformler f¨or tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.3 N˚agra exakta v¨arden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Trigonometriska ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Triangelsolvering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Identiteter i sf¨arisk trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 37 38 39 42 43 43 45 45 46 47 47 48 48 48 49 50 50 51 52

4 Vektoralgebra 4.1 Grundl¨aggande begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Vektorer i koordinatsystem (R2) . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Linjen i R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Vektorer i R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Vektorprodukt och trippelskal¨arprodukt . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Avst˚and mellan n˚agra objekt i R3 . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Sk¨arning, projektion och spegling av linjer och punkter och plan

53 53 56 58 59 60 63 63 64

5 Linj¨ar algebra 5.1 Linj¨ara ekvationssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 L¨osning av ekvationssystem med matris . . . . . . . . . . . . 5.1.2 R¨aknelagar f¨or matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Invers matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Kvadratisk form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Minsta kvadratmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.7 Egenv¨arden och egenvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.8 Diagonalisering av matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.9 Ortogonal matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 5.2 Andligtdimensionella skal¨arproduktrum . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Bas- och koordinatbyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Kvaternioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 67 69 72 73 74 74 76 77 77 79 80 81 83 84

4

Matema R. Emanuelsson

˚ INNEHALL

5.4

˚ INNEHALL

5.3.1 Uppdelning av q i reell och vektoriell del . . . . . . . . . . . 84 5.3.2 Matrisrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Bas och dualbas i R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6 Algebraiska strukturer 6.1 Grupper . . . . . . . . . . . 6.1.1 Exempel p˚a grupper 6.2 Ringar . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Exempel p˚a ringar .

. . . .

87 87 90 91 93

7 Diskret matematik 7.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Summa och produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Fakulteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Permutationer och kombinationer . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Induktionsbevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Generaliserad induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Relationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Posets och gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Satslogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Tautologi och kontradiktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Predikatlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Boolsk algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Grafteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1 Tr¨ad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Differensekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 Talteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10.1 Inledande begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10.2 N˚agra resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10.3 RSA-kryptering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 95 95 95 96 97 97 98 98 103 108 108 112 113 115 118 118 120 120 125 127

II

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Analys i en dimension

8 Grundl¨aggande analys 8.1 Element¨ar topologi p˚a R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Reella funktioner (R ! R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Injektiv, surjektiv och bijektiv funktion . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Symmetri; j¨amn och udda funktion (I) . . . . . . . . . . . . . 8.3 De element¨ara funktionerna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Algebraiska funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Transcendenta funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Potensfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4 Exponentialfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.5 Logaritmfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.6 Trigonometriska funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matema R. Emanuelsson

129 131 131 132 133 135 135 135 136 136 136 139 139 5

˚ INNEHALL

8.4

8.5

˚ INNEHALL

8.3.7 Arcusfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 8.3.8 Element¨ara funktioner, sammanfattning . . . . . . . . . . . . 142 8.3.9 Olika klasser av funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.3.10 Tv˚a speciella grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Gr¨ansv¨arde och kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8.4.1 Definition av gr¨ansv¨arde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8.4.2 R¨akneregler f¨or gr¨ansv¨arden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 8.4.3 F¨oljdsats till inst¨angningslagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8.4.4 Storleksordning mellan exp-, potens- och logaritmfunktioner . 146 8.4.5 Gr¨ansv¨arde f¨or trigonometriska funktioner . . . . . . . . . . 146 8.4.6 N˚agra speciella gr¨ansv¨arden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.5.1 Definition av kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.5.2 R¨akneregler f¨or kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.5.3 N˚agra satser om kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9 Derivata 9.1 Riktningskoefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 En - och tv˚apunktsformeln . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Kontinuitet och deriverbarhet . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Tangent, normal och asymptot . . . . . . . . . . . . . 9.2 Deriveringsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Derivata av de element¨ara funktionerna . . . . . . . . 9.3 Till¨ampningar av derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Newton-Raphsons iterationsmetod . . . . . . . . . . . 9.3.2 L’Hospitals regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Lagranges medelv¨ardessats och f¨oljdsatser . . . . . . 9.3.4 Derivata av invers och implicit derivering . . . . . . 9.3.5 Konvex och konkav funktionskurva . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151 151 152 154 155 156 158 159 159 159 160 162 163

10 Integraler 10.1 Definitioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Under- och o¨ versummor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Primitiv funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Integralkalkylens huvudsats . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 N˚agra resultat och satser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Formelsamling f¨or primitiva funktioner . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Obest¨amda integraler forts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Rekursionsformler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4 N˚agra best¨amda integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.5 N˚agra best¨amda icke-element¨ara integraler . . . . . . . . . . 10.3.6 Elliptiska integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.7 R¨akneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.8 Area mellan funktionskurvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.9 Integralkalkylens medelv¨ardessats . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.10 Triangelolikheten f¨or integraler . . . . . . . . . . . . . . . .

165 165 165 169 170 172 172 173 175 175 176 176 177 178 178 178

6

Matema R. Emanuelsson

˚ INNEHALL

˚ INNEHALL

10.4 Integrationsmetoder . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Symmetri; j¨amn och udda funktion (II) 10.4.2 Partiell integration . . . . . . . . . . . 10.4.3 Variabelsubstitution . . . . . . . . . . 10.4.4 tan x2 ;substitutionen . . . . . . . . . . 10.4.5 Generaliserad integral . . . . . . . . . 10.4.6 Numerisk integration . . . . . . . . . . 10.5 Funktioner definierade med integraler . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

179 179 179 180 181 182 183 183

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

187 187 188 188 189 189 190

12 F¨oljder och serier 12.1 Allm¨an teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 N˚agra speciella summor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.2 N˚agra speciella serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Funktionsf¨oljder och funktionsserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Funktionf¨oljder och funktionsserier, allm¨an teori . . . . . . . 12.2.2 Potensserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.3 Taylorutvecklingar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.4 Fourierserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.5 Ytterligare n˚agra funktionsummor och serier . . . . . . . . . 12.2.6 N˚agra speciella ortogonala funktionsklasser . . . . . . . . . . 12.2.7 Generering av de vanligaste polynomklasserna . . . . . . . . 12.2.8 Hypergeometriska funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . .

193 193 196 198 199 199 201 203 204 209 211 214 214

13 Differentialekvationer 13.1 N˚agra speciella typer av DE . . . . . . . . . . . 13.2 Linj¨ara DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Linj¨ar DE av f¨orsta ordningen . . . . . . 13.2.2 Karakteristisk ekvation . . . . . . . . . . 13.3 Linj¨ar DE med konstanta koeff. . . . . . . . . . . 13.3.1 L¨osning av linj¨ar DE . . . . . . . . . . . 13.4 Linj¨ar DE med kontinuerliga koeff. . . . . . . . . 13.5 2:a ordningens linj¨ara DE . . . . . . . . . . . . . 13.5.1 N˚agra speciella DE av 2:a ordn. . . . . . 13.5.2 Linj¨ara system med differentialekvationer 13.6 Existens och entydighet av l¨osning . . . . . . . .

217 217 218 218 218 219 219 221 222 224 225 226

11 Differentialgeometri 11.1 Kurvor . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Kurvor och ytor i R2 . . 11.2 Volym av rotationskroppar . . . 11.2.1 Rotation kring x;axeln 11.2.2 Rotation kring y;axeln 11.2.3 Guldins regler . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Matema R. Emanuelsson

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

˚ INNEHALL

˚ INNEHALL

14 Transformteori 14.1 Fouriertransform . . . . . . . . 14.1.1 Diskret fouriertransform 14.2 Laplacetranform . . . . . . . . . 14.3 z ;transform . . . . . . . . . . .

III

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Flerdimensionell analys

227 227 230 231 234

237

15 Flerdimensionell analys 15.1 Topologi p˚a Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.1 Delm¨angder av Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.2 Sammanh¨angande m¨angder m.m. . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Funktioner Rn 7! R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 N˚agra ytor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.2 Niv˚akurva och niv˚ayta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.3 Sammansatt funktion och dess derivator . . . . . . . . . . . . 15.2.4 Koordinattransformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.5 N˚agra speciella varianter av kedjeregeln . . . . . . . . . . . . 15.3 Taylors formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.1 Taylors formel f¨or f : R2 7! R . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Max. och minv¨arde av funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.1 Max- och min med bivillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.1 Optimering av linj¨ar funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.2 Konvex optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6 Integralkalkyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.1 Variabelsubstitution i multipelintegral . . . . . . . . . . . . .

239 239 239 241 242 246 248 248 249 250 252 252 253 255 257 257 258 260 262

16 Analytiska funktioner 16.1 Egenskaper . . . . . . . . . . 16.1.1 Element¨ara funktioner 16.2 Laurentserier, Residuesatsen . 16.3 M¨obiustransformer . . . . . . 16.4 Harmoniska funktioner . . . .

265 265 266 269 270 272

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

17 Vektoranalys 275 17.1 Differentialkalkyl p˚a Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 17.2 Olika typer av differentialekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 18 Allm¨an topologi 18.1 Definitioner och satser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.1 En j¨amf¨orelse mellan tv˚a topologier . . . . . . . . . . 18.2 Supremumaxiomet med till¨ampningar . . . . . . . . . . . . . 18.2.1 Supremumaxiomet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.2 Kompakt intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.3 Tre satser om kontinuitet p˚a kompakt intervall . . . . . 8

Matema R. Emanuelsson

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

285 285 290 290 291 292 292

˚ INNEHALL

˚ INNEHALL

19 Integrationsteori 19.1 Riemannintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Under - och oversummor ¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.2 Definition av Riemannintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.3 Integrerbarhet av kontinuerlig funktion . . . . . . . . . . . . 19.1.4 Kommentarer om Riemannintegralen . . . . . . . . . . . . . 19.2 Lebesgueintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Allm¨an teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.2 Lebesgueintegralen p˚a Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

295 295 295 296 296 296 298 298 303

20 Funktionalanalys 20.1 Topologiska vektorrum . . . . . . . . . . . 20.1.1 Exempel p˚a topologiska vektorrum 20.1.2 Hilbertrum . . . . . . . . . . . . . 20.1.3 Hilbertrum och fourierserie . . . . . 20.1.4 Ett kriterium f¨or Banachrum . . . . 20.1.5 Fouriertransformen . . . . . . . . .

. . . . . .

305 305 306 307 308 309 309

21 Matematisk statistik 21.1 Grundl¨aggande sannolikhetsl¨ara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Utfall och h¨andelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Beskrivande statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Klassindelat stickprov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Enkel regressionsanalys (MK-metoden) . . . . . . . . . . . . 21.3 F¨ordelningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.1 Diskreta f¨ordelningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.2 Kontinuerliga f¨ordelningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.3 N˚agra vanliga f¨ordelningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.4 Approximationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 L¨ages- och spridningsm˚att . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Multivariata f¨ordelningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5.1 Diskreta f¨ordelningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5.2 Bivariat kontinuerlig f¨ordelning . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 Linj¨arkomb. av stok. variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6.1 Genererande funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6.2 N˚agra olikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.7 Konvergens av stokastiska variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.8 Punktskattning av parametrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.8.1 V¨antev¨ardesriktighet och effektivitet . . . . . . . . . . . . . . 21.9 Intervallskattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.9.1 Konfidensintervall f¨or  i normalf¨ordelningen . . . . . . . . . 21.9.2 Konfidensintervall f¨or  2 i normalf¨ordelningen . . . . . . . . 21.9.3 Stickprov i par och tv˚a stickprov . . . . . . . . . . . . . . . 21.10Hypotestest f¨or  i normalf¨ord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.10.1  k¨and . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311 311 311 311 314 315 316 317 317 317 319 323 325 328 328 329 330 333 335 335 338 338 340 340 340 341 342 343

Matema R. Emanuelsson

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

9

˚ INNEHALL

˚ INNEHALL

21.10.2  ok¨and . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 21.11Markovkedjor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

IV

Fysik

347

22 Fysik 349 22.1 Storheter, enheter och konstanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 22.1.1 Grundl¨aggande storheter och enheter . . . . . . . . . . . . . 349 22.2 Mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 22.2.1 H¨arledda storheter och SI-enheter . . . . . . . . . . . . . . . 350 22.2.2 N˚agra samband mellan SI-enheter och andra enheter . . . . . 350 22.2.3 Konstanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 22.2.4 Definitioner och matematiska samband . . . . . . . . . . . . 352 22.2.5 Grundl¨aggande lagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 22.2.6 R¨orelsem¨angd och st¨ot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 22.2.7 Impulsmoment och tr¨oghetsmoment . . . . . . . . . . . . . . 355 22.2.8 N˚agra matematiska modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 22.2.9 Centralr¨orelse och centralkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 22.2.10 Keplers lagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 22.2.11 N˚agra vanliga situationer med krafter . . . . . . . . . . . . . 359 22.2.12 Volym, tyngdpunkt och tr¨oghetsmoment f¨or n˚agra kroppar . . 362 22.3 Relativistik mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 22.3.1 L¨age och hastighet i S och S 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 22.4 Termodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 22.4.1 Beteckningar och begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 22.4.2 Termodynamikens lagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 22.4.3 Samband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 22.4.4 Carnots kretsprocess och Ottos kretsprocess . . . . . . . . . . 374 22.4.5 Svartkroppsstr˚alning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 22.4.6 Kalorimetri, tryck i v¨atska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 22.5 Ell¨ara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 22.5.1 Beteckningar och begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 22.5.2 Samband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 22.5.3 Maxwells ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 22.6 V˚agr¨orelsel¨ara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 22.6.1 V˚agtyper och superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 22.6.2 Brytning reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 22.6.3 Ljudets hastighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 22.6.4 Frekvensomr˚aden f¨or elektromagnetiska v˚agor . . . . . . . . 385 22.6.5 Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 22.6.6 Decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 22.6.7 Fotometri och optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 22.7 Atom- och k¨arnfysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 22.7.1 Vanliga reaktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 22.8 Astronomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 10

Matema R. Emanuelsson

˚ INNEHALL

˚ INNEHALL

22.8.1 Solsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 22.8.2 De 20 ljusstarkaste stj¨arnorna . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 22.8.3 De 20 n¨armaste stj¨arnorna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

V

Tabeller, index m.m.

395

23 Tabeller 23.1 N˚agra matematiska konstanter . . . . . . . 23.2 Tabell o¨ ver standardnormalf¨ordelningens f¨ordelningsfunktion . . . . . . . . . . . . . 23.3 Tabell o¨ ver n˚agra av t-f¨ordelningens f¨ordelningsfunktioner . . . . . . . . . . . 23.4 Tabell o¨ ver 2 ;f¨ordelningen . . . . . . . . 23.5 Grekiska alfabetet . . . . . . . . . . . . . . 23.6 Grund¨amnena . . . . . . . . . . . . . . . . 23.6.1 Grund¨amnena i bokstavsordning . . 23.6.2 Periodiska systemet . . . . . . . . . 23.6.3 Grund¨amnen och deras egenskaper 23.6.4 Elektronkonfiguration . . . . . . . 23.6.5 Stabila isotoper . . . . . . . . . . . 23.6.6 Elementarpartiklar . . . . . . . . . 24 Referenser

397 . . . . . . . . . . . . . . 397 . . . . . . . . . . . . . . 398 . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

400 401 404 405 405 406 406 412 418 420 421

25 Ordlista Engelsk-svensk-engelsk 423 25.1 Engelsk-svensk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 25.2 Svensk-engelsk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 26 Index

425

Matema R. Emanuelsson

11

˚ INNEHALL

˚ INNEHALL

F¨orord Denna bok a¨ r speciellt utformad och anpassad f¨or att p˚a b¨asta s¨att t¨acka de matematiska begrepp som en teknolog kan t¨ankas anv¨anda eller komma i kontakt med vid universitet och tekniska h¨ogskolor. De allra flesta centrala och grundl¨aggande begrepp finns representerade och boken a¨ r f¨orsedd med, f¨orutom inneh˚allsregister och index, en svensk-engelsk och engelsk-svensk ordlista f¨or en del av de fackuttryck som anv¨ands inom matematik. Nytt f¨or andra upplagan a¨ r ett omfattande fysikavsnitt. Boken a¨ r skriven i typs¨attningsprogrammet LATEX 2" som g¨or texten l¨attl¨ast. F¨or kontakt med f¨orfattare/f¨orlag: e-mail: [email protected],

tel: 031 486563, 0708 948456

I Spegellandet tr¨affar Alice Vite Riddaren som ber¨attar att han skrivit en s˚ang och“ : : : antingen f˚ar de t˚arar av den, eller ”, svarar riddaren. “Eller vad?” fr˚agar Alice. “Eller f˚ar de det inte”, svarar riddaren. ur “Alice i Spegellandet” av Charles Dodgson, (1832 - 1898) under pseudonymen Lewis Carroll. F¨orfattaren Reimond Emanuelsson i augusti 2003

12

Matema R. Emanuelsson

Del I

Grundl¨aggande m¨angdl¨ara, algebra och geometri

13

1

M¨angdl¨ara 1.1

Grundl¨aggande begrepp

1. En m¨angd a¨ r en samling av s.k. element p ex.vis f1; 3; 7=4; I detta fall a¨ r elementen 1, 3, 7/4 och 2.

p

2g.

2. Paranteserna “f“ och “g” anv¨ands f¨or att b¨orja respektive avsluta en presentation av en m¨angds element.

3. Elementens inb¨ordes ordning liksom upprepningar av element spelar ingen roll f¨or en m¨angd. Ex.vis s˚a a¨ r f;1; 3; 6; 3g = f;1; 3; 6g = f3; ;1; 6g. 4. En m¨angd som inte inneh˚aller n˚agra element kallas tom och betecknas ;.

5. En delm¨angd A av B a¨ r s˚adan att alla element i A a˚ terfinns i B . Ex.vis a¨ r f;1; 3g en delm¨angd av f3; ;1; 6g. f;1; 3g a¨ r en a¨kta delm¨angd till f3; ;1; 6g eftersom f;1; 3g = 6 f3; ;1; 6g. Att A a¨r delm¨angd respektive a¨ kta delm¨angd till B skrivs

A  B eller B  A respektive A  B eller B  A

(1.1)

6. Med en grundm¨angd X menas en m¨angd, vilken inneh˚aller alla m¨angder som beaktas. Grundm¨angden symboliseras av den yttre rektangeln i ett venndiagram s˚asom i figur 1.1. 7.

) ( ,

l¨ases “medf¨or” och kallas implikation, d.v.s. likheterna i v¨anster led medf¨or likheten i h¨ogerledet. betyder att h¨oger led medf¨or v¨anster led. l¨ases “ekvivalent med” och inneb¨ar dels ) och dels (. 15

¨ 1.2. OPERATIONER MELLAN MANGDER

¨ ¨ 1. MANGDL ARA

A B X Figur 1.1: Den markerade delen illustrerar snittet A

1.2

\ B.

Operationer mellan m¨angder

Definition 1.1 Med unionen av tv˚a m¨angder A och B menas den m¨angd som best˚ar av dels elementen i A och dels elementen i B .

Unionen skrivs

A[B

(1.2)

Med snittet mellan tv˚a m¨angder A och B menas den m¨angd som best˚ar av de element vilka ligger i b˚ada m¨angderna.

A\B

Snittet skrivs F¨or en klass fAi;

(1.3)

i 2 I g g¨aller att

[i2I Ai = fx; x 2 Ai f¨or n˚agot i 2 I g

(1.4)

\i2I Ai = fx; x 2 Ai f¨or alla i 2 I g

(1.5)

och

AB

Definition 1.2

En partition av en m¨angd

s˚adan att 1. 2.

(1.6)

X a¨ r en klass av m¨angder fA i ; i 2 I g

[i2I Ai = X och Ai \ Aj = ;, om i 6= j .

3. Unionen given av 1. och 2. kallas disjunkt union och skrivs t i2I Ai. 1. Med A ; B (“A men inte B ”) menas m¨angden av de element, vilka ligger i A men inte i B . 16

Matema R. Emanuelsson

¨ ¨ 1. MANGDL ARA

¨ 1.3. HARLEDDA IDENTITETER

2. Med komplementet m.a.p. ocks˚a Ac .

X menas m¨angden X ; A.

Komplementet skrivs

3. F¨or inklusion och likhet mellan m¨angder g¨aller f¨oljande: (a) En likhet mellan tv˚a m¨angder a¨ r detsamma som att b˚ade A  B g¨aller. (b) (c) (d)

1.2.1

AB

och

A  B a¨ r ekvivalent med att Ac  B c . A  B a¨r ocks˚a ekvivalent med x 2 A ) x 2 B , d.v.s. att varje x i A ocks˚a finns i B . x 2= B ) x 2= A a¨r s˚aledes, enligt de tv˚a f¨oreg˚aende punkterna, ekvivalent med att A  B .

Produktm¨angder

Definition 1.3

Givet tv˚a m¨angder A och B s˚a a¨ r

A  B = f(x; y) : x 2 A; y 2 B g Om Ak ;

(1.7)

k = 1; 2; : : : a¨r en uppr¨aknelig klass av m¨angder,s˚a a¨r produktm¨angden 1 Y k=1

Ak = A1  A2  = f(x1; x2; : : :); xk 2 Ak g

(1.8)

Varje m¨angd Ak kallas en faktorm¨angd. Speciellt om produkten best˚ar av a¨ ndligt antal faktorm¨angder och alla Ak = A, s˚a skrivs

A  A {z: : :  A} = An |

(1.9)

n m¨angder/faktorer

1.3

H¨arledda identiteter

Sats 1 .1

Ac \ B c = (A [ B)c ;

Ac [ B c = (A \ B)c

A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C); A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) (1.10) De tv˚a f¨orsta lagarna kallas de Morgans lagar och kan generaliseras till

\iAci = ([iAi )c respektive [i Aci = (\i Ai )c Matema R. Emanuelsson

(1.11)

17

¨ 1.4. TALMANGDER

Definition 1.4

¨ ¨ 1. MANGDL ARA

F¨or en f¨oljd av m¨angder A m ;

n = 1; 2; : : : , bilda Bn = [1 m=n Am

och Cn = \1 m=n Am . D˚a definieras 1) [1 sup An n=1Bn = nlim !1 Bn =: lim n!1 respektive

2) \1 inf A n=1Cn = nlim !1 Cn =: lim n!1 n Sats 1 .2 L˚at fAn ; n = som i (1.12). D˚a g¨aller att

1; 2; : : : g var en klass av m¨angder och bilda Bn och Cn

lim supn!1 An = fx : x 2 Am f¨or o¨andligt m˚anga mg lim infn!1 An = fx : x 2 Am f¨or alla m, utom a¨ ndligt m˚anga mg 1.4

(1.12)

(1.13)

Talm¨angder

Definition 1.5

1. De naturliga talen utg¨ors av

0; 1; 2; 3; : : :

och betecknas

N = f0; 1; 2; : :: g

(1.14)

2. M¨angden av alla heltal, (s˚av¨al negativa, positiva och noll) betecknas med Z:

Z= f: : : ; ;2; ;1; 0; 1; 2;3; : : : g

(1.15)

3. M¨angden av de positiva heltalen betecknas Z+, d.v.s.

Z+ = f1; 2; 3; :: : g

(1.16)

4. De positiva heltal  2, vilka endast har 1 och sig sj¨alvt som heltalsfaktor (divisor) kallas primtal. Ett rationellt tal a¨ r kvoten av tv˚a heltal (d¨ar givetvis n¨amnaren 6= 0). 5. M¨angden av de rationella talen betecknas Q. M¨angden av de positiva rationella talen betecknas Q+.

18

Matema R. Emanuelsson

¨ ¨ 1. MANGDL ARA

¨ 1.4. TALMANGDER

6. Decimalutveckingen f¨or ett tal x  0 ges av

x = a0 + a1
10;1 + a2
10;2 + : : :

(1.17)

 0 a¨ r heltal s˚adana att 0  ai  9 f¨or i = 1; 2; : : : . Mer allm¨ant s˚a a¨ r f¨or varje positivt heltal b > 1, b;utvecklingen av x x = a0 + a1
b;1 + a2
b;2 + : : : d¨ar ai  0 a¨ r heltal s˚adana att 0  ai  b ; 1 f¨or i = 1; 2; : : : . d¨ar ai

7.

(1.18)

Sats 1 .3

x a¨r ett rationellt tal

,

x har (f¨orr eller senare) en periodisk decimalutveckling

(1.19)

Varje reellt tal har en entydig decimalutveckling. Kommentarer: Ex.vis a¨ r talet x =

1441733 i decimalform x = 43:2563156315631 5631 : : : . | {z } 33330

period Talet x har (f¨orr eller senare) en periodisk decimalutveckling. Periodens l¨angd a¨ r 4. En bin¨ar utveckling har basen b = 2 och anv¨ander enbart siffrorna Ex.vis s˚a a¨ r x = 23 = 101112, d¨ar indexet 2 st˚ar f¨or basen b.

0 och 1.

101112 = 1
24 + 0
23 + 1
22 + 1
21 + 1
20 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 Hexadecimal utveckling har b = 16 som bas och beh¨over s˚aledes 16 siffror, ex.vis kan man symbolisera talen 10 ; 15 med bokst¨averna A ; F : 0; 1; 2; 3; 4; 5;6;7;8; 9; A;B; C;D; E; F , d¨ar A = 10, B = 11 etc. Ex.vis a¨ r 44  4410 = 2C16. D.v.s.

2C16 = 2
161 + C
160 = 32 + 12 = 44 Decimalutvecklingen a¨ r entydig s˚an¨ar som p˚a att om talet slutar med o¨andligt med 9 :or s˚asom x = 1:99999 : : : , s˚a a¨ r detta samma tal som 2:0000 : : : etc.

Matema R. Emanuelsson

19

¨ ¨ 1. MANGDL ARA

1.5. KARDINALITET

Ett icke-rationellt (irrationellt) tal k¨annetecknas av att dess decimalutveckling ej a¨ r periodisk. M¨angden av de reella talen utg¨or unionen av de rationella och de icke rationella talen. Denna m¨angd betecknas R. M¨angden av (x1; x2; : : : ; xn) xi 2 R betecknas Rn.

Definition 1.6

1.5

Kardinalitet

Definition 1.7

1.

(a) F¨or en m¨angd A med a¨ ndligt antal element definieras jAj som antalet element i A.

(b) F¨or Z+ definieras jZ+ j = @0 (“alef noll”). (c) F¨or R+ definieras jR+j = c.

(d) Talen jAj kallas kardinaliten f¨or m¨angden A. 2. Tv˚a m¨angder A och B har samma samma kardinalitet om det finns en bijektiv avbildning f : A 7! B . Man definierar olikheten jAj < jB j om det finns en injektion f : A 7! B men ingen injektion i andra riktningen.

3. Med P (A) menas klassen av delm¨angder till A.

4. En m¨angd med kardinalitet @ 0 kallas uppr¨aknelig.

5. En m¨angd med o¨andlig kardinalitet 6= @ 0 kallas o¨ veruppr¨aknelig. 6.

c = 2@

0

Sats 1 .4 1. 2.

@0 = jZ+j = jZj = jQj c = jRj = jRnj = jC j

3. (Schr¨oder-Bernsteins sats) Om det finns injektiva (eller surjektiva) avbildningar f : A 7! B och g : B 7! A s˚a a¨r jAj = jB j. 4. 5. 6. 7.

20

@0 a¨ r den minsta o¨andligheten. jAj = 2n, om jAj = n < 1. jAj < jP (A)j. Speciellt a¨ r c = jP (Z+)j > @0 . jA  B j = jAj
jB j om b˚ada m¨angderna har a¨ ndlig kardinalitet.

Matema R. Emanuelsson

2

Element¨ar algebra 2.1

Grundl¨aggande begrepp Ett matematiskt uttryck skrivs med tal (som kan representeras av bokst¨aver) med mellanliggande operationer +; ;;
; = m.fl. . I en likheten a = b kallas a v¨anster led (VL) och avseende den ordning i vilken de skrivs.

b kallas h¨oger led (HL)

En ekvation a¨ r en likhet (=) mellan tv˚a uttryck. En identitet a¨ r en likhet mellan tv˚a uttryck som g¨aller f¨or alla (t¨ankbara) v¨arden p˚a de inblandade variablerna. En identitetslikhet kan skrivas med “”. En likhet a = b kallas en ekvation om det inte a¨ r en identitet. F¨or en likhet a = b kallas a f¨or v¨anster led, f¨orkortat VL, emedan b kallas h¨oger led, f¨orkortat HL avseende den ordning i vilken de st˚ar i. F¨or likhetstecknet g¨aller att

a = a; a = b , b = a; a = b och b = c ) a = c

21

(2.1)

¨ 2.2. RAKNELAGAR

2.2 2.2.1

¨ ALGEBRA 2. ELEMENT AR

R¨aknelagar Grundl¨aggande lagar

AXIOM

a+b =b+a

a + (b + c) = (a + b) + c

(2.2)

Dessa kallas kommutativa respektive associativa lagen f¨or addition. Motsvarande lagar g¨aller f¨or multiplikation:

a
b =b
a a
(b
c) = (a
b)
c a(b + c) = ab + ac (Distributiva lagen)

(2.3) (2.4)

Kommentarer: R¨aknelagarna ovan g¨aller a¨ ven f¨or komplexa tal. D˚a en av faktorerna a¨ r en bokstav skrivs multiplikationsoperatorn”
” i allm¨anhet inte ut. (2.3) kan allts˚a skrivas ab = ba och a(bc) = (ab)c. Ex.vis skrivs 
2, som 2.

! utveckling (a + b)(c + d)

faktorisering

=

ac + ad + bc + bd

Detta kallas utveckling (av paranteser) respektive faktorisering (i paranteser).

22

Matema R. Emanuelsson

¨ ALGEBRA 2. ELEMENTAR

2.2.2

¨ 2.2. RAKNELAGAR

H¨arledda lagar

Sats 2 .1 a)

a2 ; b2 = (a ; b)(a + b)

Konjugatregeln

b)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

1:a kvadreringsregeln

c)

(a ; b)2 = a2 ; 2ab + b2

2:a kvadreringsregeln

d)

a3 ; b3 = (a ; b)(a2 + ab + b2 )

Konjugatregel

e)

a3 + b3 = (a + b)(a2 ; ab + b2 )

Konjugatregel

f)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

1:a kuberingsregeln

g)

(a ; b)3 = a3 ; 3a2b + 3ab2 ; b3

2:a kuberingsregeln

h)

an ; bn;=
(a ; b) an;1 + an;2b + ::: + abn;2 + bn;1 (Allm¨anna konjugatregeln) (2.5)

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

(2.6)

Reducering av dubbelbr˚ak:

a ad huvudbr˚akstreck ! bc = bc d

(2.7)

Huvudbr˚akstrecket skall st˚a p˚a samma h¨ojd som likhetstecknet. 2.2.3

Binomialteoremet

Sats 2 .2 Binomialteoremet

(a + b)n  

d¨ar

=

n n X k=0

k n;k k ab ;

n = 0; 1; 2; : ::

(2.8)

n = n(n ; 1)
: : :
(n ; k + 1) a¨ r binomialkoefficienter. k 1
2
:::
k Matema R. Emanuelsson

23

¨ 2.2. RAKNELAGAR

¨ ALGEBRA 2. ELEMENT AR

Kommentarer: Att g˚a fr˚an VL till HL i (2.8) kallas binomialutvecklingen av (a + b) n . Koefficienterna i binomialutvecklingen av (a + b) n f¨or n = 0; 1; 2; : :: kan rekursivt f˚as m.h.a. Pascals triangel (J¨amf¨or identitet (7.7) sidan (97).

n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 2.2.4

1 1 1 1

3

1

4

1

1 2

5

1 3

6 10

1 4

10

1 5

1

Multinomialteoremet

Definition 2.1

1. 2.

n! l¨ases “n-fakultet” och definieras som n! = 1
2
: : :
n och 0! = 1. L˚at k1; k2; : : : ; kr vara heltal  0 s˚adana att k1 + k2 + : : : + kr = n.

En

multinomialkoefficient definieras som

  n! n (k1 + k2 + : : : + kr )! =: k1!k2!
: : :
kr ! k1 k2 : : : kr = k1!k2!
: : :
kr !

(2.9)

Sats 2 .3 Multinomialkoefficienten kan skrivas m.h.a. binomialkoefficienter: 

    n n ; k n ; k ; k : : : ; k 1 1 2 r ; 1 k1 k2 : : : kr = k1 k2
: : :
kr Multinomialutvecklingen av (a 1 + a2 + : : : + ar )n :   X n n (a1 + a2 + : : : + ar ) = ak1 ak2
: : :
akr r k k : : : k 1 2 r k ;k ;::: ;kr

n





1

1

24

2

Matema R. Emanuelsson

2

(2.10)

(2.11)

¨ ALGEBRA 2. ELEMENTAR

2.3

2.3. POLYNOM

Polynom i en variabel

Definition 2.2

1. Ett monom i x a¨ r

xn = x|
x
{z: : :
x} n faktorer

d¨ar n a¨ r ett heltal  1 eller

x0 = 1

(2.12)

2. Ett f¨orstagrads- respektive andragradspolynom (i variabeln x) ges av

ax + b

respektive

ax2 + bx + c d¨ar a 6= 0

(2.13)

3.

f(x) = anxn + an;1xn;1 + : : : + a1 x + a0 =

n X k=0

ak xk ; an 6= 0

(2.14)

a¨ r polynom av grad n, n = 0; 1; 2; : : : i variabeln x. Talen a1 ; a2; : : : ; an kallas koefficienter. 4. En f¨orstagrads- respektive andragradsekvation (i variabeln x) a¨ r en ekvation som kan skrivas

ax + b = 0 respektive ax2 + bx + c = 0; a 6= 0

(2.15)

En n;gradsekvation (eller polynonomekvation av grad n) a¨ r en ekvation som kan skrivas

an xn + an;1xn;1 + : : : + a1x + a0 = 0; an 6= 0

(2.16)

5. Ett polynom av grad n i variablerna x och y har formen

n X

X

m=0 k+l=m;k;l0

ak;l xk yl

(2.17)

d¨ar ak;n;k 6= 0 f¨or n˚agot k.

Matema R. Emanuelsson

25

¨ ALGEBRA 2. ELEMENTAR

2.3. POLYNOM

Sats 2 .4 1. L¨osning av andragradsekvation (p och q reella) 8 > > > > <

x = ; 2p 

> > > :

 2  2 x = ; p2  i q ; p2 , om p2 ; q < 0

x2 + px + q = 0 , >

r  p 2 r

 p 2 ; q , om 2 2 ;q0

(2.18)

d¨ar i a¨ r den imagin¨ara enheten. 2. L¨osning av tredjegradsekvation (a) En allm¨an tredjegradsekvation (efter f¨orkortning med h¨ogstagradskoefficienten) kan skrivas

x3 + x2 + x + = 0

(2.19)

(b) B¨orja med att ”eliminera” andragradstermen i genom att s¨atta x ; =3 = t, varvid

(c)

2 3  t3 + 3 ;3  t + 2 27 ; 3 + = 0: Kalla de nya koefficienterna f¨or a respektive b:

t3 + at + b = 0 (d) Denna ekvation har f¨oljande l¨osningsformel f¨or en av r¨otterna: s

r

s

r

3 2 3 2 x ; 3 = t = ; 2b + a27 + b4 ; 2b + a27 + b4 3

3

(2.20)

Kommentarer: Man kan i princip l¨osa fj¨ardegradsekvationer med formel inneh˚allande rotuttryck liknande p ; q formeln men det finns inga “algebraiska” l¨osningar f¨or ekvationer av grad a¨ n 5 och h¨ogre, ett resultat bevisat av Abel, Galois och Ruffini. F¨or att l¨osa rotekvationer m˚aste man kvadrera (om r¨otterna a¨ r kvadratr¨otter). Dessutom f˚ar man ibland falska r¨otter. Med en “rot” till ekvation x : f(x) =pa menar ett x ekvationen p som uppfyller ekvationen. Med “roten ur x” menas x eller mer allm¨ant n x := x1=n. 26

Matema R. Emanuelsson

¨ ALGEBRA 2. ELEMENTAR

2.3. POLYNOM

Sats 2 .5 (Satsen om rationella r¨otter) Om polynomet i (8.6) samtliga koefficienter a0; : : : ; an a¨r heltal och om polynomet har ett rationellt nollst¨alle x = st , f¨orkortat s˚a l˚angt som m¨ojligt, s˚a a¨ r s en divisor till a 0 och t en divisor till a n .

Sats 2 .6 Faktorsatsen F¨oljande ekvivalens h˚aller generellt f¨or polynom f(x):

x = a a¨r en rot till polynomet f(x) = 0 d.v.s. f(a) = 0

,

(2.21)

(x ; a) a¨ r en faktor till f(x) .

Sats 2 .7 Varje polynom q(x) av grad n med reella koefficienter kan faktoriseras som

q(x) = A

n1 Y

n2 Y

i=1

j =1

(x ; ai )ki


(x2 + bj x + cj )lj

(2.22)

d¨ar alla ai a¨ r reella och olika f¨or i = 1; 2; : : : ; n 1 och alla par (bj ; cj ) a¨ r reella och olika f¨or j = 1; 2; : : : ; n 2 samt d¨ar alla x2 + bj x + cj a¨ r irreducibla, d.v.s. kan inte faktoriseras i reella f¨orstagradsfaktorer och d¨ar k i och lj a¨ r positiva heltal s˚adana att

k1 + k2 + : : : + kn + 2(l1 + l2 + : : : + ln ) = n 1

Matema R. Emanuelsson

2

27

¨ ALGEBRA 2. ELEMENT AR

2.4. RATIONELLA UTTRYCK

2.4

Rationella uttryck

Definition 2.3

1. Ett rationellt uttryck r a¨ r en kvot av tv˚a polynom, d.v.s.

r(x) = p(x) q(x)

2.

(2.23)

d¨ar p(x) och q(x) 6= 0 a¨ r polynom. Uttrycket a¨ r giltigt (eller definierat) f¨or de x s˚adana att q(x) 6= 0. (a) Ett polynom q(x) a¨ r en faktor till polynomet p(x) om kvoten (2.23) a¨ r ett polynom (Se polynomdivisionen nedan.). Detta skrivs q(x)jp(x). (b) Om

(x ; a)k jp(x) men (x ; a)k+1 6 jp(x) a¨ r x = a ett nollst¨alle av multiplicitet k till polynomet p(x). 2.4.1

Utveckling av rationella uttryck

Om t¨aljarens grad  n¨amnarens grad i (2.23) kan man g¨ora en polynomdivision (exempel 2.1).

Exempel 2.1

Ber¨akna/utf¨or divisionen

2 x3 ; x2 ; 6 x + 14 . x2 + x ; 2

L¨osning: Man anv¨ander liggande stolen

2x ; 3 (kvot) 2 x3 ; x2 ; 6 x + 14 ;(2x3 + 2x2 ; 4x) ;3x2 ; 2x + 14 ;(;3x2 ; 3x + 6) x + 8 (restterm)

x + 8 a¨ r restterm.

x2 + x ; 2

T¨aljare/N¨amnare Produkten 2x (x 2 + x


; 2) Produkten ;3
(x 2 + x ; 2)

Subtraktion av de b˚ada leden Subtraktion av de b˚ada leden

Eftersom gradtalet p˚a resttermen x + 8 a¨ r (= 2) stoppar algoritmen vid detta steg.. Divisionen inneb¨ar att

= 1, d.v.s.

l¨agre a¨ n n¨amnarens gradtal

2 x3 ; x2 ; 6 x + 14 x+8 = 2x ; 3 + 2 x2 + x ; 2 x +x;2

Om n¨amnarens gradtal a¨ r > t¨aljarens, (som a¨ r fallet med en eventuell restterm efter polynomdivision) kan man g¨ora en partialbr˚aksuppdelning (PBU) . F¨oljande exempel, vilken a¨ r en forts¨attning av det f¨orra, belyser vad detta inneb¨ar: 28

Matema R. Emanuelsson

¨ ALGEBRA 2. ELEMENTAR

Exempel 2.2

PBU av

2.4. RATIONELLA UTTRYCK

x+8 x2 + x ; 2

L¨osning: Man g¨or en ans¨attning:

x+8 A + B = (x ; 1)(x + 2) x ; 1 x + 2

d¨ar A och B a¨ r konstanter, vilka nu skall best¨ammas. Genom att g¨ora likn¨amnigt erh˚alls likheterna

x+8 A(x + 2) + B (x ; 1) = (x ; 1)(x + 2) (x ; 1)(x + 2)

F¨or att likhet skall g¨alla, s˚a m˚aste t¨aljarna var lika d.v.s.

x + 8 = (A + B )x + 2A ; B F¨or att likheten skall g¨alla f¨or alla x (i definitionsm¨angden), s˚a m˚aste respektive koefficienter vara lika.

VL

x: 1

HL

= A+B = 2A ; B

1: 8 som har l¨osningen A = 3 och B = ;2. Tillsammans med resultatet i exempel 2.1 a¨ r 3 2 2 x3 ; x2 ; 6 x + 14 = 2x ; 3 + x2 + x ; 2 x;1 ; x+2

Matema R. Emanuelsson

29

¨ ALGEBRA 2. ELEMENTAR

2.5. OLIKHETER

Sats 2 .8 (Utveckling av rationellt uttryck) Antag att p(x) och q(x) a¨ r tv˚a reella polynom d¨ar grad p kan q(x) faktoriseras som

q(x) = A

n1 Y

n2 Y

i=1

j =1

(x ; ai )ki


= m och grad q = n.

(x2 + bj x + cj )lj

D˚a

(2.24)

enligt (2.22). Kvoten p(x)=q(x) kan utvecklas som

lj n X ki n X p(x) = k(x) + X Aij + X Bij x + Cij j 2 q(x) (x ; a ) (x + bi x + ci )j i i=1 j =1 i=1 j =1 | {z } 1

2

(2.25)

Partialbr˚aksuppdelning d¨ar k(x) a¨ r ett polynom av grad m ; n, om m  n eller k(x)  0, om m < n.

2.5

Olikheter

Definition 2.4

1. 2. 3.

a  b (a > b) l¨ases a a¨ r (str¨angt) st¨orre a¨ n b. a  b (a < b) l¨ases a a¨ r (str¨angt) mindre a¨ n b. a  b och b  c ) a  c.

Sats 2 .9 F¨or reella tal a, b, c och d g¨aller

a < b , a + c < b + c;

a < b , ad < bd, om d > 0

p

0  a < b , pa < b;

a > b > 0 , 0 < 1=a < 1=b

(2.26)

a < 0 < b , 1=a < 0 < 1=b; 0 < a < b , 0 < ac < bc , om c > 0 Speciellt a¨ r a  b eller a > b f¨or varje par av reella tal a och b. I figuren a¨ r a < b men ocks˚a a  b. a

30

b

Matema R. Emanuelsson

¨ ALGEBRA 2. ELEMENTAR

2.6. ABSOLUTBELOPP

Sats 2 .10 Geometrisk-aritmetiska olikheten Antag att ai > 0 f¨or i = 1; 2; : : : ; n, och att i

n X i=1

i = 1. D˚a a¨ r n X i=1

2.6

> 0 f¨or i = 1; 2; : : : ; n samt att

i ai 

n Y i=1

ai i

(2.27)

Absolutbelopp

Definition 2.5

menas

L˚at

x vara ett reellt tal (d.v.s. x 2 8 <

jxj = :

R). Med absolutbeloppet av

x

om x  0

;x

om x < 0

x

(2.28)

jaj = a jbj b

jaj
jbj = ja
bj; 8 <

ja ; bj = jb ; aj = :

b ; a ; om b  a a ; b ; om b  a

ja + bj  jaj + jbj;

jjaj ; jbjj  ja ; bj (2.29)

Kommentarer:

jx1 ; x2 j a¨r avst˚andet mellan punkterna x1 och x2 p˚a x;axeln ( d.v.s. p˚a tallinjen). p2 a = jaj f¨or varje reellt tal a. fx : jx ; x0j = rg a¨ r m¨angden av x som har avst˚andet r  0 till x0. Dessa x a¨ r x = x0 ; r och x = x0 + r. fx : jx ; x0j  rg a¨ r m¨angden av x som har avst˚andet d < r till x0. Denna m¨angd skrivs a¨ ven [x0 ; r; x0 + r]. F¨or jx ; aj, d¨ar x a¨ r en reell variabel, kallas x = a f¨or brytpunkt. Matema R. Emanuelsson

31

¨ ALGEBRA 2. ELEMENT AR

2.6. ABSOLUTBELOPP

2.6.1

L¨osning av ekvation inneh˚allande absolutbelopp

Sats 2 .11 Ekvationen 8 <

jf(x)j = a :

, f(x) = a; om a  0

I

Exempel 2.3

L¨os ekvationen

(2.30)

saknar l¨osning om a < 0

j1 ; xj ; j3x + 2j = x.

II -2/3

III 1

x

L¨osning:

; j ; j j ; j

Vi l¨oser f¨orst 1 x = 0 och 3x + 2 = 0, d.v.s. s¨oker nollst¨allena till respektive term med absolutbelopp och finner att dessa a¨ r x = 2=3 och x = 1. Samtidigt iakttar vi att 1 x = x 1 . Nu a¨ r 8 I < (x 1) + (3x + 2) = x om x < 2=3 x 1 3x + 2 = : (x 1) (3x + 2) = x om 2=3 x < 1 II (x 1) (3x + 2) = x om 1 x III

j ; j;j

;

j

; ; ; ; ; ; ;

;



; 

d¨ar I;II; III a¨ r de tre intervallen a˚ sk˚adliggjorda i figuren. Dessa tre ekvationer har l¨osningarna

I : x = ;3; II : x = ;1=5; III : x = ;1 De tv˚a f¨orsta r¨otterna x ligger i respektive intervall men inte den tredje, d.v.s. x = 1 2 = [1; 1). L¨osningarna a¨ r allts˚a x = ;3 och x = ;1=5. x = ;1 a¨ r en falsk l¨osning eller falsk rot. Talen x = ;2=3 och x = 1 som delar in x;axeln i tre intervall kallas brytpunkter.

;

L¨osningarna erh˚alls grafiskt,som sk¨arningspunkternas x koordinater mellan y = x 1 3x + 2 och y = x.

j ; j;j

j

y

x y=x

32

y = |x - 1| - |3x+2|

Matema R. Emanuelsson

¨ ALGEBRA 2. ELEMENTAR

2.7

2.7. KOMPLEXA TAL

Komplexa tal

Utifr˚an figuren 2.1 definieras nu ett antal grundl¨aggande begrepp.

Definition 2.6

Ett komplext tal a¨ r ett tal som kan skrivas

z = x + i
y = x + iy d¨ar x och y a¨r reella tal

(2.31)

1. Talet i kallas den imagin¨ara enheten och i
i = i2 = ;1 (Inom ell¨aran anv¨ands j f¨or den imagin¨ara enheten eftersom i anv¨ands f¨or momentan str¨om.). 2. Formen x + iy kallas kartesisk form av det komplexa talet. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

x avl¨ases p˚a den v˚agr¨ata axeln, real-axeln. iy avl¨ases p˚a den lodr¨ata axeln, imagin¨ar-axeln. x kallas realdelen av z och betecknas Re (z). y kallas imagin¨ardelen av z och betecknas Im (z). Om realdelen a¨ r noll (x = 0) s˚a a¨ r z = iy och kallas d˚a imagin¨art. Om imagin¨ardelen a¨ r noll (y = 0) s˚a a¨ r z = x och kallas d˚a reellt. Komplexkonjugatet z till ett komplext tal z = x+iy a¨ r det komplexa talet x ; iy. p Absolutbeloppet a¨ r jz j = x2 + y2 och kallas l¨angden av z . arg z (argumentet) a¨ r den vinkel som det komplexa talet bildar med positiva x; axeln.

12.

jz ; wj a¨ r avst˚andet mellan z och w.

Matema R. Emanuelsson

33

¨ ALGEBRA 2. ELEMENT AR

2.7. KOMPLEXA TAL

Figur 2.1: z = 3 + 2i och argumentet f¨or z = 3 + 2i och arg z a¨ r vinkeln mellan positiva realaxeln och de komplexa talets visare r¨aknat positivt moturs.

zw Im

Im α

w z

z+w

w α

Re

z Re

Figur 2.2: Addition av komplexa tal som visare/vektorer. Produkten av z och w ger en vektor med argument arg(zw) = arg z + arg w och l¨angd z w = zw .

j jj j j j

34

Matema R. Emanuelsson

¨ ALGEBRA 2. ELEMENTAR

2.7.1

2.7. KOMPLEXA TAL

R¨aknelagar f¨or komplexa tal

Sats 2 .12 Komplexa tal f¨oljer r¨aknelagarna (2.2) - (2.5) sidan 14. F¨or absolutbelopp och konjugat g¨aller f¨oljande r¨akneregler

jz j jwj

jzwj = jz jjwj;

z =

jz j2 = z
z;

z +w =z +w

w

z w =w

z

zw = z w; 2jz j2 + z 2 + z 2 = 4(Re z)2

(2.32)

jz + wj2 = jz j2 + jwj2 + 2Re (zw) z + z = Re z; z ; z = Im z

2 2i jz + wj  jz j + jwj (triangelolikheten) L˚at z1 ; z2 ; : : : ; zn vara komplexa tal. D˚a finns en delm¨angd S att

j

X

k2S

 f1; 2; : : : ; ng s˚adan

n X zk j  16 jzk j k=1

(2.33)

Sats 2 .13 (Talalgebrans fundamentalsats) Varje polynom

anxn + an;1xn;1 + : : : + a1 x + a0 ; an 6= 0

(2.14)

med komplexa koefficienter ak har minst ett nollst¨alle och d¨armed n nollst¨allen r¨aknat med multiplicitet och kan d¨arf¨or skrivas som en produkt:

an xn + an;1xn;1 + : : : + a1x + a0 = an

m Y

(x ; xr )kr ; an 6= 0

r=1

(2.34)

alla xr olika och k1; k2; : : : ; km positiva heltal med summan n. Matema R. Emanuelsson

35

¨ ALGEBRA 2. ELEMENT AR

2.7. KOMPLEXA TAL

2.7.2

L¨osning av andragradsekvation med komplexa koefficienter

F¨or reella koefficienter, se sidan 18.

+ (1 + i) z ; 4 + 8 i = 0

L¨os ekvationen z 2

Exempel 2.4 L¨osning:

Vi b¨orjar med att kvadratkomplettera.

z2 + (1 + i) z ; 4 +8 i =    1+i 1+i 2 1+i 2 = z2 + 2
z + ; ; 4 + 8i = 2  2  2  1+i 2 1+i 2 = z+ ; ; 4 + 8i = 0 ,

2  2 1+i 2 1+i 2 15 i z+ 2 = + 4 ; 8i = 4 ; 2 2 15 i 2 Man ans¨atter som i f¨oreg˚aende exempel HL med 4 ; = (a + ib) , d¨ar de reella talen a och b skall 2 

best¨ammas. Detta ger allts˚a upphov till tre ekvationer:

a ; b = 4; 2ab = ; 15 ; a2 + b2 = 2 2

s

2

42 +



; 152

2

=

17 2

Ledvis addition av f¨orsta och sista ekvationen:

17 25 5 a2 ; b2 + a2 + b2 = 17 + 4 , a2 = 2 + = , a =  2 4 4 2

a s¨attes nu in i den andra ekvationen a = 25 , b = ; 32 a = ; 52 , b = 23 Vi har allts˚a att



z + 1 +2 i

2

=



; 52 + 32i

2

Detta a¨ r ekvivalent med att

z + 1 +2 i = ; 52 + 32i ; z + 1 +2 i = 25 ; 32i Det f¨orsta sambandet ger att z = ;3 + i och det andra ger att z = 2 ; 2i. Detta a¨ r allts˚a de tv˚a r¨otterna.

Enligt faktorsatsen f˚ar vi samtidigt faktoriseringen av polynomet:

z2 + (1 + i) z ; 4 + 8 i = (z + 3 ; i)(z ; 2 + 2i)

2.7.3

Komplexa tal p˚a pol¨ar form

Definition 2.7

1.

cos  + i sin  =: ei

(2.35)

2. Den pol¨ara koordinaterna f¨or ett komplext tal a¨ r (r; ) d¨ar jz j = r a¨ r dess l¨angd och  = arg z dess vinkel mot den positiva realaxeln. (Se figurerna 2.1 och 2.2 sidan 26.)

36

Matema R. Emanuelsson

¨ ALGEBRA 2. ELEMENTAR

2.7. KOMPLEXA TAL

Sats 2 .14

x + iy = z = r(cos  + i sin ) = rei

(2.36)

De tv˚a sista uttrycken kallas pol¨ar form. Varje tal p˚a kartesisk form kan skrivas p˚a pol¨ar form och vice versa. Samband mellan dessa tv˚a koordinatformer ges av (2.37):

x = r cos ; y = r sin 

och

x2 + y 2 = r 2

(2.37)

arg(z
w) = arg z + arg w + 2n

(2.38)

(cos  + i sin )n = cos(n) + i sin(n); n 2 Z

(2.39)

f¨or n˚agot heltal n. De Moivres formel

Uttryckt med (2.35) blir detta
ei n = ein

;

(2.40)

Eulers formler

i ;i i ;i 2i 1 cos  = e +2 e ; sin = e ;2ie ; tan  = i
ee2i ; +1

(2.41)

Sats 2 .15

z n = w = rei a¨r en binomisk ekvation och har l¨osningarna z

= r1=nei(+k2)=n;

k = 0; 1; 2; 3; : : : ; n ; 1

(2.42)

Sats 2 .16 Satsen om komplexkonjugerade r¨otter Om f(x) = an xn +an;1 xn;1 +: : :+a1 x+a0 a¨ r ett polynom enbart med reella eller enbart imagin¨ara koefficienter ak och om x = a + ib a¨ r ett nollst¨alle d¨ar a; b a¨ r reella, s˚a a¨ r a¨ ven x = a ; ib ett nollst¨alle till f(x). Detta betyder i sin tur att, om b 6= 0 s˚a a¨ r

(x ; (a + ib))(x ; (a ; ib)) = x2 ; 2 a x + a2 + b2 en faktor till polynomet f(x). Matema R. Emanuelsson

37

¨ ALGEBRA 2. ELEMENT AR

2.8. POTENSER OCH LOGARITMER

2.8 2.8.1

Potenser och logaritmer Potenser

Definition 2.8

1. En potens a¨ r ett uttryck p˚a formen

ab;

d¨ar a kallas bas och b kallas exponent.

(2.43)

2. Potenser a¨ r definierade i f¨oljande fall: i) ii) iii)

b a¨ r ett heltal eller b = n1 , d¨ar n a¨r ett udda heltal och a ett godtyckligt reellt tal, undantaget a = 0 och b < 0. a > 0 och b a¨ r ett godtyckligt reellt tal. Speciellt definieras 0 0 = 1.

3. F¨or positiva heltal definieras

a|
a
{z: : :
a} = an n faktorer

a1=n 4. Speciellt anv¨ands basen exp(x).

38

= pn a

9 > > = > > ;

;

n = 1; 2; : : :

e  2:71728 i matematisk analys. ex

Matema R. Emanuelsson

(2.44)

skrivs a¨ ven

¨ ALGEBRA 2. ELEMENTAR

2.8. POTENSER OCH LOGARITMER

Sats 2 .17

ax+y = ax
ay ; (ax)y = ax
y (ab)x = ax bx; Speciellt a¨ r a0

2.8.1.1

 a x

b

x

= abx

= 1;

a1 = a;

Namn

Beteckning

(2.45)

a;x = a1x :

Prefix

Vard. namn En triljon Ett tusen biljoner En biljon En miljard En miljon Ett tusen Ett hundra Tio

Betydelse

1018 1015 1012 109 106 103 102 101

eta peta tera giga mega kilo hekto deka

E P T G M k h da

Betydelse

10;18 10;15 10;12 10;9 10;6 10;3 10;2 10;1

Namn

atto femto piko nano mikro milli centi deci

Beteckning

a f p n  m c d

(2.46) 2.8.2

Logaritmer

Definition 2.9

1. Antag att b > 0 och b 6= 1. D˚a definieras b;logaritmen f¨or ett positivt tal a som den exponent x = logb a s˚adant att bx = a, d.v.s. blogb a = a. 2. 3.

log10 a =: lg a (10-logaritmen) n loge a =: ln a (e-logaritmen), d¨ar e = nlim !1 (1 + 1=n)  2:71828.

Sats 2 .18 Logaritmlagarna med 10-bas; Om a > 0, b > 0 samt x godtyckligt s˚a a¨ r

lg(ab) = lg a + lg b lg ax = x lga

(2.47)

lg(a=b) = lg a ; lg b Reglerna (2.47) g¨aller a¨ ven f¨or godtycklig bas, allts˚a a¨ ven f¨or basen e. Matema R. Emanuelsson

39

2.8. POTENSER OCH LOGARITMER

¨ ALGEBRA 2. ELEMENT AR

Kommentarer:

ln kallas den naturliga logaritmen med e som bas. Den naturliga logaritmen, liksom 10-logaritmen, finns p˚a minir¨aknaren. Sambandet mellan dessa tv˚a logaritmer ges av

x = eln x = 10lg x = eln 10
lg x , ln x = ln 10
lg x

Sats 2 .19

lgx = ln x = loga x lg y ln y loga y a > 0; a 6= 1 samt x > 0; y > 0 Om a; b; c; d > 0 och samtliga 6= 1 s˚a g¨aller ln a = log a b ln b loga b = logd c ; 1 = log a b logc d logb a loga b loga b = log x b (x 6= 0); alogb c = clogb a a x

40

Matema R. Emanuelsson

(2.48)

(2.49)

3

Geometri och trigonometri 3.1

Vinkel

Definition 3.1

1. En vinkel definieras m.h.a. tv˚a vinkelben som i figur a). 2. Periferivinkel v och medelpunktsvinkel w definieras som i b). a)

b)

w v

v

Givet en cirkel med radie 1 och tv˚a radier betraktade som vinkelben. Dessa begr¨ansar med cirkeln en cirkelsektor. Vinkeln  radianer a¨ r b˚agl¨angden (l¨angden p˚a b˚agscirkeln) f¨or cirkelsektorn.

Definition 3.2

Kommentarer: Medelpunktvinkeln w a¨ r dubbelt s˚a stor som motsvarande periferivinkel v (samma figur), d.v.s. 2v = w. – Radianer har ingen enhet. – D˚a man omvandlar fr˚an grader till radianer multiplicerar man med dividerar med 180 . 41

 och

3.2. LIKFORMIGHET OCH KONGRUENS

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

– D˚a man f¨orvandlar fr˚an radianer till grader multiplicerar man med 180  och dividerar med . – Begreppet vinkel utvidgas i matematisk analys till vinklar med godtyckligt v¨arde och anges d˚a i radiander.

r=1 Cirkelbågens längd =1, d.v.s. vinkeln är 1 radian.

Cirkelsektor r=1

Figur 3.1: T.v. Cirkelsektor. T.h. Definition av 1 radian

3.2

Likformighet och kongruens

Tv˚a f¨orem˚al som a¨ r lika till formen men n¨odv¨andigtvis inte lika stora kallas likformiga. Om de dessutom a¨ r lika stora kallas de kongruenta. Det finns dessutom r¨attv¨and och spegelv¨and kongruens.

A

B

C

D

Figur 3.2: Figur A och B a¨ r spegelv¨ant kongruenta. Figur A och C a¨ r r¨attv¨ant kongruenta. Figur A och D a¨ r likformiga men inte kongruenta.

3.2.1

Spegling i punkt och linje

F¨or figurer i planet g¨aller att spegelbilden blir r¨attv¨and n¨ar den speglas i en punkt och spegelv¨and n¨ar den speglas i en linje. a)

b) Speglingslinje

Speglingspunkt

Spegling i punkt 42

Spegling i linje

Matema R. Emanuelsson

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

3.2. LIKFORMIGHET OCH KONGRUENS

Sats 3 .1 Om en linje med riktningskoefficient k i reflekteras i en spegellinje med riktningskoefficient k s, f˚ar den reflekterade linjen riktningskoefficienten k r given av

2 s ; ki kr = k1s;ki k+2 2k + 2k k

s

(3.1)

s i

kr

y

e

nj

li el

eg

Sp

ki

ks x

Matema R. Emanuelsson

43

3.3. POLYGONER

3.3

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

Polygoner

Definition 3.3

1. F¨or en “allm¨an” triangel anv¨ands beteckningarna som i triangeln t.v. figur 3.3 f¨or sidor och vinklar. 2. Vinkeln A st˚ar mot sidan a och vice versa. Vinkeln B st˚ar mot sidan b och vice versa. Vinkeln C st˚ar mot sidan c och vice versa. 3. Vinkeln A a¨ r mellanliggande till sidorna b och c etc. Vinkeln A a¨ r n¨arliggande till sidan b respektive till sidan c etc. Sidan a a¨ r mellanliggande till vinklarna B och C etc. Sidan a a¨ r n¨arliggande till vinkeln B respektive till vinkeln C etc. 4. En spetsig vinkel i en triangel a¨ r en vinkel mellan 0 och 90 . En trubbig vinkel i en triangel a¨ r en vinkel mellan 90  och 180. Vinkeln 90 kallas r¨at vinkel.

A

c

b

h

C

B

b

a

Figur 3.3: Beteckningar i en triangel. Triangel med bas och h¨ojd.

Sats 3 .2 1. Vinkelsumman i en triangel a¨ r 180 , d.v.s. bara finnas en trubbig vinkel.

A + B + C = 180 . Allts˚a kan det

2. Summan av tv˚a av sidol¨angderna m˚aste vara l¨angre a¨ n den tredje sidan. Med beteckningar som ovan g¨aller allts˚a a + b > c, b + c > a och c + a > b. 3. En viktig princip f¨or trianglar a¨ r att en stor (liten) sida st˚ar mot en stor (liten) vinkel och vice versa. Speciellt g¨aller allts˚a ekvivalensen a  b  c , A  B  C.

44

Matema R. Emanuelsson

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

3.3.1

3.3. POLYGONER

Olika typer av trianglar

Definition 3.4

1. I en r¨atvinklig triangel a¨ r en vinkel r¨at. De tv˚a sidorna som a¨ r vinkelr¨ata kallas kateter och den tredje sidan hypotenusa. 2. En likbent triangel har (minst) tv˚a lika l˚anga sidor och d¨armed (minst) tv˚a lika vinklar. 3. I en liksidig triangel a¨ r samtliga sidor lika och s˚aledes a¨ r alla vinklar lika med 60.

H¨ojd, median och bisektris

A A

n

b) höjd

me

dia

a)

a/2

a/2

A

A/2

ekt

ris

A/2 c)

bis

3.3.2

Figur 3.4: H¨ojd, median och bisektris

medianer b/2

b/2

c/2

c/2

a/2

a/2

Figur 3.5: De tre medianerna sk¨ar varann i en punkt

Matema R. Emanuelsson

45

3.3. POLYGONER

Definition 3.5

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

Den linje i en tiangel som dras mellan ett h¨orn

a) och vinkelr¨at mot motst˚aende sida kallas h¨ojd (figur 3.4 a). b) och mittpunkten p˚a motst˚aende sida kallas median (figur 3.4 b). c) och motst˚aende sida s˚a att vinkeln delas i tv˚a lika vinklar kallas bisektris (figur 3.4 c).

3.3.3

N˚agra satser i geometri

Sats 3 .3 Cevas sats: Ett ekvivalent villkor f¨or att de tre linjerna fr˚an respektive h¨orn har en gemensam sk¨arningspunkt a¨ r

a1 b1c1 = a2 b2c2 a1

c2 c1

a2 b1

(3.2)

b2

Menelaos sats: Punkterna P , Q och R ligger p˚a gemensam linje

j
jRAj = 1 , jjPP BC jj
jjQC QAj jRB j

(3.3)

Ptolemaios sats:

mn = ac + bd;

m = ad + bc n ab + cd

(3.4)

A d m a

Q R

P B

b C

Menelaos och Ptolemaios satser.

46

n

Matema R. Emanuelsson

c

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

3.3. POLYGONER

Kommentarer: Samtliga tre h¨ojder sk¨ar varann i en punkt (som f¨or vissa trianglar kan ligga utanf¨or triangeln.). Detsamma g¨aller f¨or medianerna (figur 3.5) och bisektriserna. Medianerna sk¨ar varann i triangelns tyngdpunkt. Med detta menas triangelns fysiska tyngdpunkt om den a¨ r gjord i ett homogent material med konstant tjocklek. Sk¨arningspunkten f¨or bisektriserna a¨ r den punkt i triangeln som ligger l¨angst i fr˚an triangelns samtliga sidor. 3.3.4

Regelbundna polygoner

Definition 3.6

1. F¨or en regelbunden polygon i planet a¨ r samtliga sidor lika l˚anga och samtliga h¨ornvinklar lika stora. 2. Mosaiska regelbundna polygoner a¨ r regelbundna polygoner vilka helt kan fylla ut ett plan.

Det finns i princip bara (liksidiga) trianglar, kvadrater och hexagoner som har denna egenskap. Ex.vis s˚a kan regelbundna penta- septa- eller oktagoner1 inte t¨acka ett plan fullst¨andigt (figur 3.6).

Figur 3.6: T.v. exempel p˚a polygon. T.h. n˚agra regelbundna polygoner

1 fem-

sju och a˚ ttah¨orningar Matema R. Emanuelsson

47

3.3. POLYGONER

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

Sats 3 .4 1. En n;polygon (ej n¨odv¨andigtvis regelbunden) har vinkelsumman

(n ; 2)
180 2.

(3.5)

(a) Vinkeln mellan tv˚a intilliggande sidor/kanter i en regelbunden n;polygon a¨ r

n ; 2
180 n

(3.6)

(b) Arean A av en regelbunden n;polygon med sida d ges av 

2  A = nd4
tan 180 n



(3.7)

Sats 3 .5 1. Pythagoras sats s¨ager att om vinkeln C

= 90  , s˚a a¨ r

c2 = a2 + b2

(3.8)

2. Herons formel ger arean T uttryckt i de tre sidorna a; b; c av en triangel. p

T = (a + b ; c) (;a + b + 4c) (a ; b + c) (a + b + c)

(3.9)

3. (Figur 3.7) a) c2 +d2 = 2(a2 +b2 ), d¨ar a och b a¨ r sidol¨angderna i en parallellogram och c och d a¨r dess diagonaler, b) Diagonalerna i en romb sk¨ar varann under r¨at vinkel. 4. Arean av en parallelltrapets, som ej a¨ r en parallellogram a¨ r

b

p

2(b ; d) (a ; b + c + d) (a + b ; c ; d) (;a + b + c ; d) (a + b + c ; d) (3.10)

d¨ar b > d och dessa sidor a¨ r parallella (Se figur 3.7).

48

Matema R. Emanuelsson

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

3.3. POLYGONER

Kommentarer: Observera att f¨oruts¨attningen i Pythagoras sats a¨ r att en vinkel i triangeln a¨ r r¨at. Omv¨andningen till Pythagoras sats a¨ r f¨oljande: Om c 2 ¨ Aven omv¨andningen a¨ r sann.

= a2 +b2, s˚a a¨ r C = 90 .

En Pythagoreisk heltalstrippel a¨ r tre positiva heltal (a; b; c) som uppfyller (3.8). Samtliga pythagoreiska heltal kan genereras genom 8 < :

a = x2 ; y2 b = 2xy c = x2 + y2

(3.11)

d¨ar x > y a¨ r positiva heltal. P.s.s. genereras alla trianglar med heltalskanter/heltalssidor f¨or 60 ; och 120 ;vinklar av 8 > > > > > > < > > > > > > :

a = 14 (x + y)2 ; y2 b = xy x > y > 0; x; y udda ;
c = 41 x2 + 3y2

respektive 8 > > > > > > < > > > > > > :

(3.12)

a = 14 (x ; y)2 ; y2 b = xy 3x > y > 0; x; y udda ;
c = 14 x2 + 3y2

b

c

b

a

c a

Matema R. Emanuelsson

49

3.4. CIRKEL OCH ELLIPS

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

N˚agra trianglars sidor d¨ar vinkeln mellan a och b a¨ r 60 , 90 eller 120 :

a 1 7 16

60 b 1 15 21

c 1 13 19

90 b 4 12 21

a 3 5 20

c 5 13 29

a 3 7 11

120 b 5 8 24

c 7 13 31

(3.13)

a d

b

b

a

a

c

a

a

b

Figur 3.7: T.v. tv˚a parallellogram. Parallelogrammen i mitten a¨ r en romb (med sida a), vilket betyder att samtliga fyra sidor a¨ r lika l˚anga. T.h. en (parallell-)trapets

3.4

Cirkel och ellips

r

b

c a

Figur 3.8: T.v. cirkel. En cirkel a¨ r ett specialfall av en ellips. T.h. ellips.

Kommentarer:

a och b kallas ellipsens halvaxlar. En ellips har tv˚a br¨annpunkter (Prickarna i h¨oger figur 3.8). Om avst˚andet mellan dessa a¨ r 2c och a2 = b2 + c2 , d¨ar a a¨ r den l¨angre halvaxeln (storaxeln) och b a¨ r den mindre (lillaxeln). En ellips area ges av ab.

Det finns inget enkelt uttryck f¨or en ellips omkrets O men om a  b, s˚a a¨ r O  (a + b). Ett exakt uttryck kan ges med en elliptisk integral:

A=

50

Z 2 p

0

a2 + (b2 ; a2) cos2 t dt

Matema R. Emanuelsson

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

3.5

3.5. RYMDGEOMETRI

Rymdgeometri

H¨ar ges en kortfattat beskrivning de viktigaste kropparna.

3.5.1

N˚agra kroppar och deras volymer

Kropparna finns a˚ tergivna i figur 3.9.

1)

h

3)

r

5)

h

r r

2)

6) c

4)

a

b h

h

A A

7)

8) kalott

r θ r

h

r

R

Figur 3.9: N˚agra kroppar Matema R. Emanuelsson

51

3.5. RYMDGEOMETRI

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

Kropparnas ben¨amning och volym framg˚ar av f¨oljande tabell: Kropp

Volym

1)

Rak cirkul¨ar cylinder

r 2 h

2)

Generaliserad cylinder

Ah

3)

Rak cirkul¨ar kon

4)

Generaliserad kon

5)

Sf¨ar

6)

Ellipsoid

7)

Torus

8)

Sf¨arisk kalott

r2h 3 Ah 3 4r3 3 4abc 3 2R(r)2 = (2R)
(r2 ) rh2 (3r ; h) 3

En cirkul¨ar cylinders mantelytas area a¨ r 2rh. En cirkul¨ar kons mantelytas area a¨ r 2r

p

r2 + h2 .

En sf¨ars area a¨ r 4r2 .

a, b och c kallas ellipsoidens halvaxlar. Det finns inget enkelt uttryck f¨or en ellipsoids area A. Kalottens volym kan ocks˚a skrivas V

a¨ r A = 2rh = 2r2(1 ; cos ).

3 = r3 (1 ; cos )2 (2 + cos ). Dess area

Parallellepiped

52

Matema R. Emanuelsson

Tetraeder

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

3.5.2

3.6. KOORDINATSYSTEM (

R) 2

N˚agra regelbundna polyedrar

Dodekaeder

Ikosaeder Kant

Hörn

Sida

Oktaeder Kub

Polyeder Antal kanter Antal sidor Volym med kantl¨angd d

Oktaeder

6 12 12

4 6 8

Dodekaeder

30

12

Ikosaeder

30

20

Tetraeder Kub

3.6

Koordinatsystem (R2)

p1 d3 6 23 pd 2 d3 3p 15 + 7 5 d3 ; 4p


(3.14)

5 3+ 5 3 12 d

Koordinatsystem a¨ r grundl¨aggande f¨or att geometriskt illustrera och f¨orst˚a funktioner, derivata och integraler. Ett koordinatsystem (i tv˚a dimensioner) utg¨ors av en plan yta och tv˚a vinkelr¨ata talaxlar (koordinataxlar). 1. Ett endimensionellt koordinatsystem a¨ r v¨asentligen en tallinje, ex.vis kallad x;axel. En punkt p˚a tallinjen kallas d˚a koordinat. 2. Ett tv˚adimensionellt koordinatsystem “sp¨anns upp” av tv˚a vinkelr¨ata koordinataxlar; tv˚a tallinjer, vilka vi kan kalla x; respektive y;axel.

3. En punkt P = (x; y) i ett s˚adant koordinatsystem har en x;koordinat, som l¨ases av fr˚an punkten vinkelr¨at p˚a x;axeln se figur 3.10. P.s.s. avl¨ases y;koordinaten vinkelr¨at p˚a y;axeln. Matema R. Emanuelsson

53

3.7. TRIGONOMETRI

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

y

.

P = (x,y)

y

1 x x -1

1 -1

; och y;axel

Figur 3.10: Koordinatsystem med x

4. Punkten (0; 0) kallas (koordinatsystemets) origo. 5. Avst˚andet d mellan tv˚a punkter definieras som

d =

P 1 = (x1 ; y1) och P2 = (x2 ; y2) i talplanet

p

(x1 ; x2)2 + (y1 ; y2 )2

(3.15)

6. Ellipsens ekvation p˚a normalform och cirkelns ekvation a¨ r 

x ; x0 2 +  y ; y0 2 = 1; a b

respektive

(x ; x0 )2 + (y ; y0 )2 = r2 (3.16)

d¨ar ellipsens och cirkelns centrum a¨ r (x 0; y0 ) och ellipsens halvaxlar a¨ r a och b. r a¨ r cirkelns radie. Om a = b = r erh˚alls cirkelns normalform.

3.7

Trigonometri

Trigonometrin kommer troligen fr˚an det forntida Mesopotamien eller Egypten, men det var de grekiska vetenskapsm¨annen s˚asom Hipparchos and Ptolemaios som utvecklade det fullt ut som ett matematiskt verktyg f¨or astronomi. Matematiker i Indien och Persien utvecklade trigonometrin ytterligare och den f¨orsta systematiska behandlingen i Europa av a¨ mnet gjordes av den tyska astronomen Regiomontanus p˚a 1400-talet 2. 2 K¨ alla:

54

Groliers’ lexikon Matema R. Emanuelsson

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

3.7.1

3.7. TRIGONOMETRI

Definition av trigonometriska funktioner

Definition 3.7

1. Enhetscirkeln a¨ r en cirkeln med radien koordinatsystem. y

1 och centrum i (0; 0) i ett kartesiskt 1

(x,y) v -1

1

x

-1

2. En visare a¨ r en radie mellan (0; 0) och (x; y). Vinkeln v a¨ r vinkeln mellan positiva x;axeln och visaren. Denna r¨aknas positiv moturs och negativ medurs. 3. Med beteckningar som i figuren a¨ r

cos v = x; sin v = y; tan v = xy ; cot v = xy

(3.17)

4. Tv˚a vinklar vars summa a¨ r 90 kallas varandras komplementvinklar.

5. Tv˚a vinklar a¨ r varandras supplementvinklar om deras summa a¨ r 180.

3.7.2

Element¨ara samband

Sats 3 .6

sin v = cos(90 ; v);

tan v = cot(90 ; v)

cos v = sin(90 ; v);

cot v = tan(90 ; v)

sin v ; tan v = cos v

1 cot v = tanv

sin2 v + cos2 v = 1

(Trigonometriska ettan)

sin(180 ; v) = sinv;

cos(180 ; v) = ; cos v

(3.18)

tan(180 ; v) = ; tan v; cot(180 ; v) = ; cot v Matema R. Emanuelsson

55

¨ 3.8. GRUNDLAGGANDE SATSER

3.8

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

Grundl¨aggande satser A

c

b C

B

a

Figur 3.11: Triangel

Sats 3 .7 Med beteckningar som i figur 3.11 och d¨ar g¨aller Areasatsen: Sinussatsen: Cosinussatsen:

3.9 3.9.1

T

st˚ar f¨or triangelns area, s˚a

C T = ab sin 2 sin A = sin B = sin C a b c a2 + b2 ; 2ab cos C = c2

(3.19) (3.20) (3.21)

Identiteter Additionsformler f¨or sinus och cosinus

Sats 3 .8 Identiteterna (3.22) - (3.27) a¨ r sanna f¨or alla vinklar , och x.

cos( ; ) = cos  cos + sin sin sin( + ) = sin cos + cos sin sin( ; ) = sin cos ; cos sin

(3.22)

cos( + ) = cos  cos ; sin sin sin( + ) + sin( ; ) = 2 sin  cos sin( + ) ; sin( ; ) = 2 cos  sin cos( ; ) + cos( + ) = 2 cos  cos cos( ; ) ; cos( + ) = 2 sin  sin 56

Matema R. Emanuelsson

(3.23)

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

3.9.1.1

3.9. IDENTITETER

Fas-amplitudform

a sin x + b cos x = A sin(x + ) p b d¨ar A = a2 + b2; tan  = a 3.9.1.2

(3.24)

Identiteter f¨or dubbla och halva vinkeln

sin 2 = 2 sin  cos  cos 2 = cos2  ; sin2  = 2 cos2  ; 1 =

(3.25)

= 1 ; 2 sin2  = cos4  ; sin4    cos2 x2 = 1 + 2cos x   sin2 x2 = 1 ; 2cos x

3.9.2

(3.26)

Additionsformler f¨or tangens

 + tan tan( + ) = 1tan ; tan tan 2 tan  tan2 = 1 ; tan2   ; tan tan( ; ) = 1tan + tan tan

(3.27)

Kommentarer: Man skall i (3.24) observera att  skall v¨aljas i andra kvadrant om

a < 0.

b > 0 och

HL i omskrivningen kallas “fas-amplitudform”. A(> 0) a¨ r amplituden och fasf¨orskjutningen a¨ r ;. Det viktiga f¨or VL a¨ r att argumentet f¨or sinus och cosinus a¨ r lika, i detta fall x. I ell¨ara anv¨ands denna omskrivning och d˚a betecknas argumentet !t. Matema R. Emanuelsson

57

3.10. TRIGONOMETRISKA EKVATIONER

3.9.3

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

N˚agra exakta v¨arden

x (grader) x (rad)

sin px 3 =3 2 p1 =4 2 p 1 + 5 =5 4 p 3 =6 2 p p 2 + 2 =8 s 2 p 5+ 5 =10 8

60 45 36 30 22:5 18

cos x 1 2 p1 2 s p 5; 5 8 p

12

p

2; 2 2 p 5;1 4

tan x

cot x p1 3 1

p

3

1 q

p

5;2 5

s

1 + p2 5

p

p1

3 p 2+1

s

1 ; p2 5

3

p

2;1

q

p

5+2 5 (3.28)

3.10 1. 2. 3.

4.

Trigonometriska ekvationer

cos  = cos ,  =  + 2n sin  = sin ,  = + 2n eller  =  ; + 2n, n 2 Z. tan  = tan ,  = + n, n 2 Z. Observera att f¨or tan +tan = 0 flyttar man over ¨ ena termen till andra sidan: tan  = ; tan = tan(; ) sin  = cos : Skriv om ex.vis till enbart cosinus: sin  = cos(=2 ; ) = cos De tv˚a sista uttrycken a¨ r lika om

=2 ;  = + 2n eller eftersom cos(;x) = cos x;  ; =2 = + 2n. F¨or ekvationer s˚asom ; cos 3x = sin x kan man f¨orst flytta minustecknet och (a) (b)

5.

g¨ora omskrivningen

; sin x = sin(;x) = cos(=2 ; (;x)) = cos(=2 + x) sin2 x = 2 cos x kan g¨oras om till andragradsuttryck via 2 1 ; cos x, varefter man s¨atter cos x = t. Detta ger en andragrad-

6. Ekvationer s˚asom

sin2 x

=

sekvation i t. Observera att villkoret p˚a t a¨ r jtj  1.

7. Ekvationer d¨ar tv˚a “linj¨ara” termer i sinus och cosinus finns i endera ledet med samma vinkelhastighet s˚asom a cos t + b sin t kan skrivas om som A sin( t + ) som i (3.24). 58

Matema R. Emanuelsson

3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

3.11

3.11. TRIANGELSOLVERING

Triangelsolvering

Triangelsolvering inneb¨ar att givet n˚agra storheter f¨or triangeln skall samtliga sidor och vinklar best¨ammas. best¨ammas.

Kongruensfall Antag att triangelns vinklar ligger i intervallet sidol¨angder a¨ r l¨angre a¨ n den tredje sidan. K¨anda storheter

a; A; B; A + B < 180 a; b; A a; b; C a; b; c

Antal kongruensfall

1 0; 1; eller 2 1 1

(0; 180 )

och att summan av tv˚a

B¨orja med att best¨amma

b med sinussatsen B med sinussatsen c med cosinussatsen C med cosinussatsen

(3.29)

Nedan har uttryck f¨or sidorna givits. M.h.a. av cosinussatsen ((3.21) p˚a sidan 48) kan i sin tur vinklarna best¨ammas.

Sats 3 .9 Solvering av tiangel givet 1. triangelns omkrets O, en sida a och en n¨arliggande vinkel B . D˚a ges de andra sidorna c och b ges av

; 2 a) O c = 2 (O(;O a(1 + cos B))

(3.30)

; 2 a) O b = O ; a ; 2 (O(;O a(1 + cos B))

2. triangelns omkrets O samt en sida a och dess motst˚aende vinkel A. D˚a a¨ r p

2 2 2 b; c = O ; a  a + (2a2O ; O ) tan (A=2) 3. tv˚a vinklar och arean T . D˚a a¨ r

c =

p

2T(cot A + cot B)

(3.31)

(3.32)

4. triangelns omkrets O en sida c och arean T . D˚a a¨ r s

2 2 ; 2 c) a; b = 12 O ; c  ;16 T O+(Oc ;O 2(O c)

Matema R. Emanuelsson

!

(3.33)

59

¨ 3.12. IDENTITETER I SFARISK TRIGONOMETRI 3. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI

3.12

Identiteter i sf¨arisk trigonometri

Givet en sf¨ar i R3 med radie r = 1 och centrum (0; 0; 0), Dess ekvation a¨ r d˚a x 2 + y2 + z 2 = r2 = 12 = 1, d¨ar (x; y; z) a¨ r kartesiska koordinater. Ett medelpunktsplan a¨ r ett plan som inneh˚aller sf¨arens centrum. Planets sk¨arning med sf¨aren kallas en storcirkel. Om planet inte inneh˚aller sf¨arens centrum kallas sk¨arningen med sf¨aren f¨or parallell- eller lillcirkel. En sf¨arisk triangel a¨ r ett omr˚ade p˚a sf¨aren som begr¨anas av tre storcirklar. De begr¨ansande storcirkelb˚agarna tilldelas vinkelm˚atten a; b; c och vinklarna i triangelns h¨orn tilldelas vinkelm˚atten A; B; C (Se figur).

Definition 3.8

z

y

x

Sats 3 .10 F¨or dessa g¨aller sambanden

sin A = sin B = sin C sin a sin b sin c cos a = cos b cos c + sinb sin c cos A sin a cos B = cos b sin c ; sin b cos c cos A

60

Matema R. Emanuelsson

(Sinusteoremet) (Cosinusteoremet) (“tredje formeln”)

(3.34)

4

Vektoralgebra 4.1

Grundl¨aggande begrepp

Definition 4.1

1. En geometrisk vektor representera av en pil (Figur 1). Vektorerna a¨ r presenterade som tv˚adimensionella men begreppet kan generaliseras till Rn.

B A Parallella och antiparallella vektorer

T.v. Vektor. T.h. vektor med startpunkt A och slutpunkt B .

a

2. Vektorer betecknas med antingen a eller . Om start- och slutpunkt a¨ r ;! spektive B kan vektorn skrivas AB .

a

b

a

b

A re-

a b

3. Tv˚a vektorer och a¨ r parallella om de a¨ r lika riktade. Detta betecknas k . Om de a¨ r parallella (som str¨ackor betraktade) och motsatt riktade, kallas de antiparallella.

a b

4. Tv˚a vektorer och a¨ r lika d.v.s. = , om de a¨ r lika l˚anga och riktade a˚ t samma h˚all. Man skall allts˚a kunna parallellf¨orflytta den ena s˚a att den sammanfaller helt med den andra. S˚aledes a¨ r vektorerna i figuren ovan t.v. lika.

61

¨ 4.1. GRUNDLAGGANDE BEGREPP

4. VEKTORALGEBRA

Definition 4.2

a

1. L¨angd av vektor. En vektor :s l¨angd definieras som pilens l¨angd i n˚agon l¨amplig l¨angdenhet och betecknas j j = a, d.v.s. antingen med absolutbeloppstecken eller enbart med ett vanligt a. Om en vektor multipliceras med ett reellt tal, en s.k. skal¨ar erh˚alles en vektor k
med samma riktning eller motsatt riktad (om k < 0) och med l¨angden jk j = jkjj j = jkja.

a

a

a

a

a

ka a

a θ b

Multiplikation med skal¨ar (k, d¨ar 0 < k < 1) av vektorn a

Vinkel mellan vektorer

2. Vinkel mellan vektorer. Genom att f¨orena tv˚a vektorers startpunkter och betrakta vektorerna som vinkelben erh˚alls vinkeln mellan vektorerna. Denna vinkel kallas mellanliggande vinkel till och . Om mallanliggande vinkel a¨ r 90 s˚a a¨ r vektorerna vinkelr¨ata. Detta betecknas ? .

a

a

b

och a¨ r 3. Tv˚a vektorer vinkelr¨ata mot varann.

b

a b

a¨ r varandras normalvektorer, om vektorerna a¨ r

4. Addition/summa av vektorer. F¨or att addera tv˚a vektorer parallellf¨orflyttas dessa s˚a att den enas slutpunkt (vektorn ) sammanfaller med den andras startpunkt (vektor , se figur 4.1 a).). Summan av vektorerna (figur 4.1 b)) + a¨ r den vektor som har samma startpunkt som den f¨orra ( ) och samma slutpunkt som den senare ( ). Speciellt a¨ r summan av och ; nollvektorn .

a

b

b

a

Summan av tv˚a vektorer kallas komposanter.

a

a

a b

0

a och b kallas resultant och de tv˚a vektorerna a och b

a och b definieras som a
b =: jaj
jbj cos = ab cos 

5. Skal¨arprodukten mellan

(4.1)

Kommentarer: Om tv˚a vektorer a¨ r (anti-)parallella och lika (motsatt) riktade a¨ r mellanliggande vinkel 0 (180). Speciellt g¨aller att 62

a
b = 0 om a ? b eftersom mellanliggande vinkel a¨ r 90  Matema R. Emanuelsson

¨ 4.1. GRUNDL AGGANDE BEGREPP

4. VEKTORALGEBRA

a)

b)

b

b a+b

a

a

Figur 4.1: Addition av vektorer

Figur 4.2:

och cos 90

a+b= b+a

= 0.

a och b s˚adana att a k b och lika riktade s˚a a¨r a
b = jajjbj Speciellt a¨ r a
a = jaj
jaj cos 0 = jaj2. F¨or tv˚a vektorer

Additionen a¨ r kommutativ (figur 4.2). Skal¨ar produkt a¨ r ett m˚att p˚a tv˚a vektorers samverkan.

Matema R. Emanuelsson

63

¨ 4.1. GRUNDLAGGANDE BEGREPP

4. VEKTORALGEBRA

Sats 4 .1 R¨aknelagar f¨or addition och skal¨ar produkt.

4.1.1

a + b = b + a; a + (b + c) = (a + b) + c

(4.2)

a
b = b
a; a
(b + c) = a
b + a
c

(4.3)

Vektorer i koordinatsystem (R2)

Definition 4.3

1. Den representant f¨or en vektor vars startpunkt a¨ r i koordinatsystemets origo d.v.s. i punkten (0; 0) kallas ortsvektor betecknad = (x; y).

r

y (x, y)

y

x

x

Vektor i koordinatsystem (i

R) 2

2. En vektor framst¨alls med de koordinater som utg¨or vektorns slutpunkt. H¨ar f¨oruts¨atts ett koordinatsystem med en ortonormerad bas. 3. Vektorns l¨angd ges av j

p

4. Avst˚andet mellan tv˚a punkter P

= (x1; y1) och Q = (x2 ; y2) definieras som

rj = r = x2 + y2 .

p jP ; Qj = j;! QP j = (x1 ; x2)2 + (y1 ; y2 )2

(4.4)

5. En enhetsvektor a¨ r en vektor som har l¨angden 1.

Kommentarer: Vektorerna (1; 0) koordinataxel:

=: ex och (0; 1) =: ey a¨r enhetsvektorer l¨angs respektive

ex
ex = jexjjexj = jexj2 = 1 Dessutom a¨ r ex
ey = 0 eftersom dessa a¨ r vinkelr¨ata. 64

Matema R. Emanuelsson

¨ 4.1. GRUNDL AGGANDE BEGREPP

4. VEKTORALGEBRA

u

Varje vektor = (x; y) (i ett koordinatsystem) kan uttryckas med dessa vektorer, som = (x; y) = x(1; 0) + y(0; 1) = x x + y y .

u

e

e

Sats 4 .2 1. Addition av tv˚a vektorer sker koordinatvist. Det finns i princip ingen skillnad mellan en punkts och en ortsvektors koordinater.

a

b

2. L˚at och vara tv˚a vektorer i R2, som varken a¨ r parallella eller antiparallella. D˚a kan varje annan vektor 2 R2 entydigt uttryckas som en linj¨arkombination av de tv˚a vektorerna, n¨armare best¨amt s˚a finns skal¨arer x och y s˚adana att = x +y .

v

v

a b

3. Skal¨ar produkt i koordinatform:

a = (x1; y1) och b = (x2; y2) s˚a a¨ r a
b = x1x2 + y1y2 y

(4.5)

y P r=(x,y)

tv

d ro=(xo ,yo)

Q

x

Linje p˚a parameterform

x

Avst˚and mellan linje och punkt

Matema R. Emanuelsson

65

¨ 4.1. GRUNDLAGGANDE BEGREPP

4.1.2

4. VEKTORALGEBRA

Linjen i R2

Sats 4 .3 1. Linjens allm¨anna form:

(x; y) : ax + by + c = 0; d¨ar a2 + b2 6= 0

(4.6)

r

2. Linjens ekvation p˚a parameterform (figur 4.1.1): L˚at = (x; y) beteckna en godtycklig punkt/ortsvektor och 0 = (x0; y0) beteckna speciell punkt/ortsvektor p˚a linjen. Vektorn = (; ) i figur 4.1.1 kallas riktningsvektor. Den godtycklig punkten = (x; y) kan d˚a skrivas

r

8 <

t + x0 = x

:

t + y0 = y

eller

v

r

(x; y) = t(; ) + (x0; y0 )

eller

r = tv + r0

d¨ar t 2 R (4.7) 3. Sambandet mellan linjens ekvation p˚a parameterform och linjens ekvation ax+ by + c = 0 ges av 8 < :

;bt + x0 = x at + y0

= y

d¨ar

8 <

ax + by + c

:

ay0 + bx0 + c = 0

x+y =1 a b

= 0 (4.8)

(4.9)

a¨ r linjens normalform, som g¨aller f¨or en linje som ej g˚ar genom origo och ej a¨ r parallell med n˚agon av axlarna. (a; 0) och (0; b) a¨ r sk¨arningspunkter med respektive axel.

66

Matema R. Emanuelsson

4. VEKTORALGEBRA

4.2. VEKTORER I

R

3

Sats 4 .4 1. Avst˚and mellan punkt och linje: Givet en punkt P given av ekvation (4.6). Avst˚andet d kan skrivas

= (x 1 ; y1) och en linje

cj d = jaxp1 +2 by1 + a + b2

(4.10)

2. Arean T av en triangel ges av

T = 12 jx2 y1 ; x1 y2 j om triangelns h¨orn a¨ r (0; 0), (x 1 ; y1) och (x2; y2 ).

4.2

(4.11)

Vektorer i R3

Vektorer i rymden (R3) f¨oljer i princip samma r¨akneregler som f¨or vektorer i planet (R2). Addition och multiplikation sker geometriskt p˚a samma s¨att. I koordinatform inneb¨ar additionen att koordinaterna adderas. En v¨asentlig skillnad a¨ r att i rymden kan man dessutom definiera vektorprodukt.

z P=(x,y,z)

z

0P=(x,y,z) y y ez

ey ex

c b

x x

;! Koordinatsystem med ortsvektor OP = (x; y; z ) i R

3

Matema R. Emanuelsson

a

Tetraeder uppsp¨and av vektorer

67

4.2. VEKTORER I

R

3

4. VEKTORALGEBRA

Enhetsvektorerna l¨angs axlarna i a¨ r

ex = (1; 0; 0); ey = (0; 1; 0); ez = (0; 0; 1) (4.12) se figur. En vektor kan i koordinatform skrivas a = (x; y; z) = xe x + yey + z ez . Skal¨arprodukten i koordinatform blir i R 3 p.s.s. som i R2. Med a = (x1 ; y1; z1 ) och b = (x2; y2; z2), s˚a a¨ r a
b = (x1; y1; z1)
(x2; y2; z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2 (4.13) Likas˚a beskrivs en linje p˚a parameterform som

(x; y; z) = t(; ; ) + (x0; y0 ; z0) d¨ar

eller

v = (; ; ) eller alternativt 8 > > > > < > > > > :

r = t
+r0

(4.14)

t + x0 = x t + y0 = y

t2R

t + z0 = z

e e e e e e

Tre vektorer s˚asom ( x ; y ; z ) utg¨or ett en ONH-bas (Ortonormerad h¨ogerbas) i den ordningen enligt figuren. ( x ; z ; y ) utg¨or en ONV-bas (Ortonormerad v¨ansterbas). 4.2.1

Vektorprodukt och trippelskal¨arprodukt

Definition 4.4

a b a b abn

1. I R3 definieras vektorprodukten av tv˚a vektorer och och a¨ r en vektor, betecknad  , som den vektor som har l¨angden j j
j j
sin och s˚a att ( ; ;  ) bildar ett h¨ogerorienterat system (som figur 4.3 illustrerar). Mer exakt s˚a a¨ r  = j j
j j
sin, d¨ar j j = 1 och ; ; bildar ett h¨ogerorienterat system.

a b a b na b

n

aba b

a b och c definieras som [a; b; c] = (a  b)
c

2. Trippel skal¨ar produkt mellan tre vektorer ,

68

Matema R. Emanuelsson

(4.15)

4. VEKTORALGEBRA

4.2.1.1

4.2. VEKTORER I

R

3

R¨aknelagar f¨or skal¨ar- och vektorprodukt

Sats 4 .5

a
b a
(b + c) ab a  (b + c) ( a  b)
c [a; b; c] [a; b; c + d] a  (b  c) (a  b)  (c  d) (a  b)
(c  d)

= = = = = = = = = =

b
a (kommutativitet) a
b + a
c (distributivitet) ;b  a (antikommutativitet) a  b + a  c (distributivitet) a
(b  c) ; [b; a; c] [a; b; c] + [a; b; d] (a
c)b [a; c; d] b ; [b; c; d] a (a
c)(b
d) ; (a
d)(b
c)

(4.16)

ax b

n

b θ a

Figur 4.3: Vektorprodukten a

njaj
jbj
sin 

 b. n a¨ r en vektor av l¨angd 1.

Matema R. Emanuelsson

Vektorprodukten a

 b :=

69

4.2. VEKTORER I

R

3

4. VEKTORALGEBRA

c b

a Figur 4.4: Parallellepiped upps¨and av tre vektorer

Sats 4 .6

j [a; b; c] j a¨ r volymen av den parallellepiped som sp¨anns upp av vektorerna a; b; c. 1 2. j [a; b; c] j a¨ r volymen av den tetraeder som sp¨anns upp av vektorerna a; b; c. 6 1.

Sats 4 .7 S¨att = a1 x + a2 y + a3 z , = b1 x + b2 y + b3 z och d¨ar f x ; y ; z g a¨ r en ONH-bas. D˚a a¨ r

a e e e e

(a  b)
c

e

e b

2

e

a1 a2 a3 = det 4 b1 b2 b3 c1 c2 c3

e

e

3

5=

c = c1ex + c2ey + c3ez ,

a1b2 c3 + a2 b3c1 + a3 b1c2 +

;(a1 b3 c2 + a2 b1c3 + a3 b2c1 )

(4.17)

70

Matema R. Emanuelsson

4. VEKTORALGEBRA

4.2.2

4.2. VEKTORER I

R

3

Planet

n

r

L˚at vara en normalvektor till planet och 0 = (x0; y0 ; z0) en ortsvektor s˚adan att den som punkt betraktad ligger i planet. L˚at = (x; y; z) vara en godtycklig ortsvektor och som punkt betraktad ocks˚a ligger i planet. D˚a kan planets ekvation skrivas

Definition 4.5

r

n
(r ; r0) = 0

(4.18)

Planet utg¨ors av punktm¨angden

fr : n
(r ; r0 ) = 0g I koordinatform kan den skrivas

f(x; y; z) : Ax + By + Cz + D = 0g (4.19) d¨ar (A; B; C) = n, r = (x; y; z), r0 = (x0; y0; z0 ) och ;D = Ax0 + By0 + Cz0 . Avst˚and mellan tv˚a objekt ex.vis plan och punkt avser det kortaste avst˚andet och inneb¨ar det “vinkelr¨ata” avst˚andet mellan de tv˚a objekten. Tv˚a linjer i R3 a¨ r parallella om de (anti-)parallella riktningsvektorer. Tv˚a plan i R3 a¨ r parallella om de (anti-)parallella normalvektorer. 4.2.3

Avst˚and mellan n˚agra objekt i R3 n r1 d

r0 0 = (0,0,0) Avst˚and mellan plan och punkt

Matema R. Emanuelsson

71

4.2. VEKTORER I

R

3

4. VEKTORALGEBRA

Sats 4 .8 1. Avst˚and mellan plan och punkt Avst˚andet d mellan plan och punkt (x 1; y1 ; z1) a¨ r

Dj = jn
(r1 ; r0)j d = jAx1p+ 2By1 +2 Cz1 + 2 jnj A +B +C

r

d¨ar 0 a¨ r en punkt i planet och

(4.20)

n a¨ r normalvektor till planet.

2. Avst˚and mellan linje och punkt Avst˚andet d mellan linje given av punkt/vektor (x 1 ; y1; z1 ) = 1 ges av

r

r = tv + r 0, d¨ar r0 = (x0; y0; z0) och

d = jv  (rjv1 j; r0 )j

(4.21)

3. Avst˚and mellan tv˚a linjer L˚at 0 och 1 vara deras riktningsvektorer och antag att de g˚ar genom punkterna 0 respektive 1 (givna som vektorer).

r

v

v

r

(a) Om linjerna a¨ r parallella f˚as avst˚andet d med (4.21), d¨ar 0 eller 1 .

v

v

v kan v¨aljas som

(b) Om linjerna inte a¨ r parallella, s˚a ges avst˚andet d av

d = j(v0 jvv1 )
(vr1j ; r0)j 0

4.2.4

(4.22)

1

Sk¨arning, projektion och spegling av linjer och punkter och plan

p

r r

v

Givet en punkt , en linje = 0 + t och ett plan p˚a linjen och 1 a¨ r en punkt i planet.

r

n(r ; r1) = 0, d¨ar r0 a¨ r en punkt r1

n

u

plan

plan

linje

speglingslinje

n

projektionspunkt

v projektionslinje

r speglingspunkt

Figur 4.5: Projektion och spegling

72

Matema R. Emanuelsson

4. VEKTORALGEBRA

4.2. VEKTORER I

Sk¨arningspunkt mellan linje och plan: Projektion av punkt i linje:

Projektion av punkt i plan:

R

3

r = r 0 + n
(nr1
;v r0) v

r = r 0 + v
(jpvj;2 r0) v r = p + n
(jrn1j2; p) n

Projektion av linje i plan:

r =

Spegling av punkt i linje:

r =

Spegling av punkt i plan:

r =

Spegling av linje i plan:

r =

 v n n
(r 1 ; r0) jnj2 ; nv t + r0+ + n
(nr1
;v r0) v; t 2 R; r0 6= r1 2r 0 ; p + 2
n
(jrn1j2; p) n p + 2 n
(jrn1j2; p) n   n
v v ; 2 jnj2 t+ +r0 + n
(nr1
;v r0) v 

(4.23)

Matema R. Emanuelsson

73

4.2. VEKTORER I

74

R

3

4. VEKTORALGEBRA

Matema R. Emanuelsson

5

Linj¨ar algebra 5.1

Linj¨ara ekvationssystem

Definition 5.1

a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn = y2 ..

.

(5.1)

am1 x1 + am2 x2 + : : : + amn xn = ym a¨ r ett linj¨art ekvationssystem (h¨ar f¨orkortat ES) med m ekvationer i de n variablerna x1; x2; : : : ; xn.

75

¨ 5.1. LINJARA EKVATIONSSYSTEM

¨ ALGEBRA 5. LINJ AR

Definition 5.2

1. En matris av typ m  n ges av 2 6

A = 664

3

a11 a12 : : : a1n a21 a22 : : : a2n ..

7 7 7 5

.

am1 am2 : : : amn

(5.2)

2. P˚a matrisform skrivs (5.1) 2 6 6 6 4 | |

a11 a12 : : : a1n a21 a22 : : : a2n ..

y1 y2

{z

7 7

.. 7 . 5

.

am1 am2 : : : amn

3

}

(5.3)

ym

Koefficientmatris {z

}

Totalmatris

Transponatet av matrisen A a¨ r matrisen

Definition 5.3

2 6

AT = 664

a11 a21 : : : am1 a12 a22 : : : am2 ..

.

a1n a2n : : : amn

3 7 7 7 5

(5.4)

Kommentarer:

AT a¨r av typen n  m, om A a¨ r av typen m  n. Totalmatrisen i (5.3) a¨ r av typen m  (n + 1). Matrisen

A skrivs ocks˚a (aij )mn. 2



ai1 ai2 : : : ain



6 6 4

kallas i:e raden och 6

a1 j a2 j .. .

amj

3 7 7 7 kallas 5

j : e kolonnen.

Dessa tv˚a kan ocks˚a betraktas vektorer och kallas d˚a rad- respektive kolonnvektor. 76

Matema R. Emanuelsson

¨ ALGEBRA 5. LINJAR

¨ 5.1. LINJARA EKVATIONSSYSTEM

Om matrisen a¨ r av typ n  n, d.v.s. har lika m˚anga rader som kolonner s¨ags matrisen vara kvadratisk. Man s¨ager d˚a att matrisen a¨ r av ordning n. I en kvadratisk matris kallas raden av element aii ; diagonal.

i = 1; 2; : : : ; n f¨or huvud-

Definition 5.4

1. En triangulerad matris a¨ r kvadratisk och har formen 2 6

A = 664

2. 3.

a11 a12 : : : a1n 0 a22 : : : a2n ..

0

.

3 7 7 7 5

(5.5)

0 : : : ann d.v.s. elementen under huvuddiagonalen = 0 mer exakt uttryckts s˚a a¨ r a ij = 0, om i > j . En diagonalmatris a¨ r en kvadratisk matris d¨ar a ij = 0 f¨or alla i 6= j . Enhetsmatrisen E = En definieras som den kvadratiska matris (av ordning n) s˚adan att aij = 0, om i 6= j och aii = 1 f¨or i; j = 1; 2; : : : ; n. Explicit uttryckt s˚a a¨ r



2



E1 = 1; E2 = 10 01 ; E3 = 4 2 6

En = 664

5.1.1

1 0 ::: 0 0 1 ::: 0 ..

.

0 0 ::: 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

3 5

3 7 7 7 5

(5.6)

L¨osning av ekvationssystem med matris

F¨or att l¨osa ett linj¨art ekvationssystemet (5.1) med matris utg¨or radeliminatinon (eller Gausselimination) en enkel algoritm. Exempel 5.1

L¨os ekvationssystemet

5x + 2y ; 4z = 1 x ; 2y + z = 0 2x ; y ; z = 1 H¨ar a¨ r antal rader = antal kolonner = 3. Matema R. Emanuelsson

77

¨ 5.1. LINJARA EKVATIONSSYSTEM

¨ ALGEBRA 5. LINJ AR

1. Omskrivning p˚a matrisform med koefficient- och totalmatris. 3 2 4

2. Radbyte. Byte av ex.vis 1:a och 2:a rad 2 4

5 1 2

2 ;4 1 ;2 1 0 ;1 ;1 1

1 5 2

;2 1 0 2 ;4 1 ;1 ;1 1

5

3 5

;5 och ;2 och d¨arefter addition till rad 2 respektive 3. 2 3 (;5) (;2) 1 ;2 1 0 4 5 2 ;4 1 5 2 ;1 ;1 1

3. Multiplikation av 1:a rad med

4. Resultatet fr˚an f¨orra punkten blir 2

1 0 0

4

3

;2

1 0 12 ;9 1 3 ;3 1

5

5. Radbyte av de tv˚a sista raderna a˚ tf¨oljt att den andra raden multipliceras med sista raden : : : 2 3

(;4)

6.

: :: som blir

2

4

;2

1 0

;3 1 ;9 1

3 12

;2

1 0 0

4

1 0 0

1 3 ;3 0 3

0 1 ;3

;4 och adderas till

5

3 5

Denna matris a¨ r en triangulerad matris. 7. Man kan nu g˚a vidare och dividera andrar och sista raden med 3. 3 2 4

;2

1 0 0

0

1

;1 1=3 1 ;1

1 0

5

8. Sista raden multipliceras med 1 och adderas till andra raden. 3 2 4

;2 1

1 0 0

1 0 0 1

0

;2=3 ;1

5

;

9. Sista raden multipliceras med 1 och adderas till f¨orsta raden. Andra raden multipliceras med och adderas till f¨orsta raden. Resultatet blir 3 2 4

Det betyder att x

1 0 0 0 1 0 0 0 1

= ;1=3, y = ;2=3 och y = ;1.

;1=3 ;2=3 ;1

5

F¨or att l¨osa ekvationssystemen

a) 78

3x + 2y ; 5z = x ; 2y + z = 2x ; y ; z =

3

;7 ;5

b)

3x + 2y ; 5z = x ; 2y + z = 2x ; y ; z =

Matema R. Emanuelsson

;5 ;7 ;5

2

¨ ALGEBRA 5. LINJAR

¨ 5.1. LINJARA EKVATIONSSYSTEM

skriver man allts˚a p˚a matrisform. a) Efter radelmination erh˚alls

2 4

1 0 0

;2

1 1 ;1 0 0

;7

3 0

3 5

= z ; 1; y = 3 + z, d.v.s. o¨andligt med l¨osningar. b) Efter radelmination erh˚alls 2 3 1 ;2 1 ;7 4 0 3 5 1 ;1 0 0 0 ;1 Sista ekvationen s¨ager att 0x + 0y + 0z = ;1. L¨osning saknas allts˚a. Man f˚ar l¨osningarna x

5.1.1.1

Olika fall av l¨osning

Efter radelimination av en matris trisen :

B

2

1 b12 : : :b1k 6 : : :: : :: : : 60 6 60 : : :: : :: : : 6 6 B = 666 0 : : :: : :: : : : : :: : :: : : 60 60 : : :: : :: : : 6

1

6 . 4 ..

.. .

0

: : :: : :: : :

A kan man erh˚alla den till (5.2) radekvivalenta ma-

0 b1;(k +2) : : :b1k 1 b2;(k +2) : : :b2k 0 0 : : :: : :: : :0 0 0 : : :: : :: : :0 0 0 : : :: : :: : :0 0 0 : : :: : :: : :0 .. .

0

1

2

1

2

.. .

0 : : :: : :: : :0

0 0 1 0 0 0

3

::: ::: ..

.

::: :::

1 0

0 :::

0

.. .

.. .

.. .

7 7 7 7 7 7 7 7 brkr : : :brn 77 0 : : :: : : 0 77 7 .. 5 .

0 : : :: : :0

(5.7) F¨or denna matris g¨aller 1.

B a¨ r av samma typ som A (d.v.s. m  n).

2. Den radreducerade matrisens inrutade 1:or a¨ r s.k. pivotelement. Dess antal a¨ r = r och per definition a¨ r detta Rang , d.v.s. antalet icke-nollrader.

A 3. Beteckna koefficientmatrisen med A och totalmatrisen med Ajb. D˚a g¨aller Rang A  Rang (Ajb); Rang A  n Rang A < Rang (Ajb) , ES saknar l¨osning. Rang A = Rang (Ajb) = n , ES har exakt en l¨osning. Rang A = Rang (Ajb) < n , ES har o¨andlig med l¨osningar.

(5.8) 4. Dimensionen p˚a l¨osningsrummet (rummet av alla l¨osningar) a¨ r Rang .

A

Matema R. Emanuelsson

n;r = n; 79

¨ 5.1. LINJARA EKVATIONSSYSTEM

5.1.2

¨ ALGEBRA 5. LINJ AR

R¨aknelagar f¨or matriser

Definition 5.5 Addition Endast matriser av samma typ kan adderas (s.k. elementvis addition). L˚at

A = (aij )mn och B = (bij )mn D˚a a¨ r

A + B = (aij + bij )mn

(5.9)

Multiplikation med skal¨ar (reellt tal) k sker ocks˚a elementvist.

kA = k(aij )mn = (kaij )mn

Definition 5.6 Multiplikation Multiplikation mellan tv˚a matriser och a¨ r av typ m  n och a¨ r av typ n  p.

A

B

(5.10)

B a¨r endast m¨ojlig (i den ordningen) d˚a A

A
B = C = (cij )mp

(5.11)

d¨ar cij = ai1b1j + ai2b2j + : : : + ainbnj , i = 1; 2; : : : ; m och j = 1; 2; : : : ; p. Kort uttryckt tar man i:e raden i och j :e kolonnen i f¨or att erh˚alla element c ij i .

B

i:e raden i A .

j:e kolonnen i B

A

=

AB

Element på plats ij i C

Figur 5.1: Matrismultiplikation

80

Matema R. Emanuelsson

¨ ALGEBRA 5. LINJAR

¨ 5.1. LINJARA EKVATIONSSYSTEM

Sats 5 .1

(A + B) + C = A + (B + C); (AB)C = A(BC)

A+B= B+A (A + B)C = AC + BC

(5.12)

Ekvationssystemet (5.1) kan skrivas m.h.a. matrismultiplikation som 2 6 6 6 4

a11 a12 : : : a1n a21 a22 : : : a2n ..

.

am1 am2 : : : amn

3 2 7 7 7 5

6


664

x1 x2

3

2

7 7

6 6

y1 y2

.. 7 = 6 .. . 5 4 .

xn

ym

3 7 7 7 5

(5.13)

Kommentarer: Matrismultiplikation a¨ r associativ och distributiv. I (5.12) a¨ r den h¨ogerdistributiva lagen uppskriven men a¨ ven den v¨ansterdistributiva lagen a¨ r sann. Matriserna och a¨ r i allm¨anhet inte m˚aste vara av “r¨att sort” i (5.12). Matriserna lika, d.v.s. multiplikationen a¨ r ej kommutativ.

AB

BA

Ett n¨odv¨andigt villkor f¨or att tv˚a matriser skall kommutera d.v.s. a¨ r att och a¨ r kvadratiska av samma ordning.

A

B

AB = BA

Sats 5 .2

EA = A och AE = A

(5.14)

(AB)T = BT AT

(5.15)

F¨or transponat g¨aller

5.1.3

Invers matris

A a¨ r en kvadratisk matris och det finns en matris A;1 s˚adan att A;1A = A;1A = E (5.16) s˚a kallas A;1 f¨or inversen till A. Man s¨ager att A a¨ r inverterbar.

Definition 5.7

Om

Matema R. Emanuelsson

81

¨ 5.1. LINJARA EKVATIONSSYSTEM

¨ ALGEBRA 5. LINJ AR

A och B a¨r inverterbara av samma typ. D˚a g¨aller (AB);1 = B;1 A;1; (AT );1 = (A;1 )T AX = C , X = A;1C

Sats 5 .3 Antag att

(5.17)

Kommentar

AX = E (samtliga matriser av ordning n) med X A ;1. Detta kallas Jakobis metod.

Genom att l¨osa ekvationssystemet radelelimination blir l¨osningen = 5.1.4

Kvadratisk form

Antag att A a¨ r en symmetrisk kvadratisk matris ( d.v.s. a ij = aji) x a¨ r en matris av typ n  1. xT Ax =: q(x) (5.18)

Definition 5.8

och

kallas en kvadratisk form.

1) q(x) > 0; x 6= 0 q a¨r positivt definit. 2) q(x) < 0; x 6= 0 q a¨ r negativt definit. 3) q(x) < 0; och q(x) > 0 q a¨ r indefinit. f¨or olika

x

(5.19)

Om i 1) (2)) > 0 byts mot  0 ( 0) a¨ r q positivt (negativt) semidefinit. 5.1.5

Determinant

Vi definierar f¨orst antalet inversioner av en permutation av Betrakta en permutation (k1; k2; : : :kn) av (1; 2; : : : ; n). Antalet inversioner, betecknat j(k1; k2; : : :kn)j a¨ r antalet g˚anger som det finns ett k i > kj d¨ar i < j . Om matrisen a¨ r kvadratisk, s˚a definieras Definition 5.9

(1; 2; : : : ; n).

A

det A =

X

(;1)j(k ;k ;:::kn )j (aik
aik



aikn ) 1

2

(k1;k2 ;:::kn )

1

2

d¨ar summan a¨ r tagen over ¨ alla permutationer (k1 ; k2; : : :kn) av (1; 2; : : : ; n). 82

Matema R. Emanuelsson

(5.20)

¨ ALGEBRA 5. LINJAR

¨ 5.1. LINJARA EKVATIONSSYSTEM

Speciellt a¨ r 







det ac db =: ac db = ad ; bc 2

och

3

a11 a12 a13 det 4a21 a22 a23 5 = a;11(aa22aa33a+ a+12aa23aa31a+ a+13aa21aa32a+ ) 11 23 32 12 21 33 13 22 31 a31 a32 a33

(5.21)

Sats 5 .4 F¨or determinanter och existens av invers matris g¨aller

det A 6= 0 ,

A;1 existerar

(5.22)

det(AB) = det A
det B det A = det(AT )

(5.23)

det(A;1) = (det A);1 Determinanten av en diagonalmatris a¨ r produkten av elementen i huvuddiagonalen. Speciellt a¨ r det = 1. Man kan l¨att best¨amma inversen till matrisen av ordning 2 (om den existerar). Inversen existerar precis d˚a ad ; bc 6= 0 enligt (5.21). D˚a a¨ r inversen

E



a b c d

;1





= ad ; bc ;dc ;ab 1

(5.24)

¨ Aven en matris av ordning 3 kan man hyggligt l¨att invertera med p˚a liknande s¨att. Inversen existerar om och endast om det 6= 0. Determinanten, som nu betecknas D ges av (5.21). Underdeterminanten dij till

A

2

3

a11 a12 a13 A = 4a21 a22 a235 a31 a32 a33 a¨ r determinanten av den matris, som erh˚alls om man tar bort rad j och kolonn i i D˚a a¨ r 2

A.

3

d11 ;d12 d13 A;1 = D1 4;d21 d22 ;d235 d31 ;d32 d33 Matema R. Emanuelsson

83

¨ 5.1. LINJARA EKVATIONSSYSTEM

5.1.5.1

¨ ALGEBRA 5. LINJ AR

Ber¨akning av determinant m.h.a. underdeterminanter

Determinanten f¨or 2 6 6 6 4

3

a11 a12 : : : a1n a21 a22 : : : a2n ..

7 7 7 5

.

an1 an2 : : : ann kan ber¨aknas genom utveckling av rad i n X

det A = d¨ar

=: A

j

(;1)i+j aij det Aij

(5.25)

Aij a¨ r den matris som erh˚alls om rad i och kolonn j stryks i A.

5.1.5.2

Cramers regel

Om man i ekvationssystemet (5.26) p˚a sidan 76 s¨atter m = n s˚a f˚ar vi 2 6 6 6 4 |

A

a11 a12 : : : a1n a21 a22 : : : a2n ..

.

an1 an2 : : : ann {z

=A

3 2 7 7 7 5

6


664

}

x1 x2 .. .

xn

3

2

3

7 7 7= 5

6 7 6 7 6 . 7 4 .. 5

y1 y2

(5.26)

yn

A

Antag att det 6= 0. Med (j ) betecknas h¨ar den matris som erh˚alls om kolonn j i bys mot HL = (y1 ; y2; : : : ; yn )T . D˚a a¨ r

A

A xj = det det A

(j )

5.1.6

(5.27)

Minsta kvadratmetoden

Sats 5 .5 Betrakta det linj¨ara ekvationssystemet (5.1) sidan 67

A
x = y x

(5.28) p

x = x21 + x22 + : : : + x2n . x x A x ; yk. Vidare g¨aller att kA
x ; yk minimal , AT Ax = AT y (5.29)

Normen av definieras som k k = k(x1 ; x2; : : : ; xn)k Det finns minst en l¨osning = 0, som minimerar k


En s˚adan l¨osning till (5.29) a¨ r den b¨asta approximativa l¨osningen i minsta kvadratmening. 84

Matema R. Emanuelsson

¨ ALGEBRA 5. LINJAR

5.1.7

¨ 5.1. LINJARA EKVATIONSSYSTEM

Egenv¨arden och egenvektorer

Definition 5.10

A har egenvektor x om ekvationen Ax = x

En kvadratisk matris

har l¨osning f¨or n˚agon skal¨ar .

(5.30)

 kallas egenv¨arde.

Sats 5 .6 1. L¨osningar av egenv¨arden  ges av sekularekvationen

s() := det(A ; E) = 0

(5.31)

2. Egenv¨ardena till en symmetrisk (reell) matris a¨ r reella. 3. F¨or tv˚a olika egenv¨arden a¨ r motsvarande egenvektorer ortogonala.

Ber¨akningsg˚ang av egenv¨arden och egenvektorer 1. F¨orst l¨oser man ekvationen (5.31) m.a.p. .

x

2. F¨or dessa  l¨oser man ekvationen (5.30) m.a.p. . Dessa

x kallas egenvektorer.

3. Ett  av multplicitet k i polynomet (5.31) ger ett antal oberoende egenvektorer, som sp¨anner upp det egenrummet E.

5.1.8

Diagonalisering av matris

Definition 5.11

P, s˚adan att d¨ar

Med diagonalisering av en matris

P;1AP = D

A menas att det finns en matris (5.32)

D a¨ r en diagonalmatris, d.v.s. dij = 0 f¨or alla i 6= j. Matema R. Emanuelsson

85

¨ 5.1. LINJARA EKVATIONSSYSTEM

¨ ALGEBRA 5. LINJ AR

Sats 5 .7 1. En diagonaliserbar matris

A a¨ r kvadratisk. Vi antar att den a¨ r av typ n  n.

A a¨ r diagonaliserbar , Dess n egenvektorer a¨r linj¨art oberoende. 3. Om A a¨ r diagonaliserbar, s˚a utg¨ors kolonnerna i P av dess egenvektorer och dii a¨ r motsvarande egenv¨arden. Mer exakt, om fv1 ; v2; : : : ; vng a¨ r linj¨art

2.

oberoende egenvektorer och a¨ r

f1; 2 ; : : : ; n g a¨r motsvarande egenv¨arden, s˚a 3

2

1 0 0 : : : 0 6 0 2 0 : : : 0 77 6

P = v1 v2 : : : vn ; och D = 64 .. .

0

4. F¨or en diagonaliserbar matris

d¨ar

86

A a¨ r An = PDnP;1

.. .

..

.

.. 7 . 5

(5.33)

0 0 : : : n

(5.34)

Dn:s element ges av dij = 0, om i 6= j och dii = ni, n = 0; 1; 2; : :: .

Matema R. Emanuelsson

¨ ALGEBRA 5. LINJAR

5.1.9

¨ 5.1. LINJARA EKVATIONSSYSTEM

Ortogonal matris

Definition 5.12

ij kallas Kroneckers delta och definieras som 8 <

ij = : En matris 1.

0

om

i 6= j

1

om

i=j

(5.35)

P a¨r ortogonal om

P a¨ r kvadratisk (av ordning n) och

2. Kolonnerna a¨ r ortonormala, d.v.s.

PiT
Pj = ij ; i; j = 1; 2; : : : ; n

P. p 3. Normen (l¨angden) av u a¨ r kuk = u21 + u22 + : : : + u2n. d¨ar Pi a¨ r kolonnerna i

Sats 5 .8 1. Antag att

2. Om

P a¨r en kvadratisk matris. D˚a a¨ r f¨oljande villkor ekvivalenta. 1: P a¨ r ortogonal, d.v.s. PiT
Pj = ij 2: PT = P;1: 3: P
u
P
v = u
v f¨or alla vektorer u och v 2 Rn. 4: kPuk = kuk f¨or alla vektorer u 2 Rn.

(5.36)

P och R ortogonala av ordning n s˚a a¨ r P ;1 och PR ortogonala.

3. Egenv¨ardena  till en ortogonal matris har beloppet 1, d.v.s.

Matema R. Emanuelsson

jj = 1.

87

¨ ¨ 5.2. ANDLIGTDIMENSIONELLA SKALARPRODUKTRUM

¨ ALGEBRA 5. LINJAR

Sats 5 .9 1. En ortogonalt diagonaliserbar matris

A a¨ r symmetrisk.

2. (Spektralsatsen) F¨oljande tv˚a p˚ast˚aenden a¨ r ekvivalenta f¨or en (reell) matris

A a¨r symmetrisk. (b) A a¨ r ortogonalt diagonaliserbar.

A.

(a)

¨ 5.2 Andligtdimensionella skal¨arproduktrum

Definition 5.13

Ett linj¨art rum a¨ r en m¨angd M vars element kallas vektorer, s˚adant

att 1.

x; y 2 M ) x + y 2 M , d¨ar + a¨ r en kommutativ och associativ bin¨ar

operation.

0 x + 0 = x. F¨or varje x finns ett ;x, s˚adant x 0 3. k 2 K och x 2 M ) kx 2 M , d¨ar K a¨ r en talkropp, ex.vis R eller C . k kallas 2. Vidare finns ett element , s˚adant att att + (; ) = .

x

skal¨ar.

4.

fv1; v2; : : : ; vk g  M kallas oberoende, om a1v1 + a2v2 + : : : + ak vk = 0 ) a1 = a2 = : : : = ak = 0 annars a¨ r de beroende.

5.

v v

v

x

f 1; 2; : : : ; ng  M sp¨anner upp M om varje vektor i M kan skrivas som en s.k. linj¨arkombination av f 1 ; 2; : : : ; ng, n¨armare best¨amt om det finns skal¨arer a1 ; a2; : : : ; an s˚adana att

v v

v

x = a1v1 + a2v2 + : : : + anvn Om dessutom v1; v2 ; : : : ; vn a¨ r linj¨art oberoende s˚a utg¨or dessa en bas. M har d˚a dimensionen n: dimM

88

= n.

Matema R. Emanuelsson

¨ ALGEBRA 5. LINJAR

5.2.1

¨ ¨ 5.2. ANDLIGTDIMENSIONELLA SKALARPRODUKTRUM

Bas

e

En a¨ ndlig klass av vektorer ( i ; i = 1; 2; : : : ; n) a¨ r en bas om varje annan vektor entydigt kan skrivas som en linj¨arkombination av i. N¨armare best¨amt att det finns skal¨arer ai s˚adana att

Definition 5.14

a

e

a = a1e1 + : : : + anen

a

(5.37)

M¨angden av f g som kan skrivas som (5.37) a¨ r d˚a n;dimensionellt. Vektorrummet har d˚a dimensionen n.

Definition 5.15

uv

1. Skal¨ar produkt < ; > eller inre produkt a¨ r en bin¨ar funktion/operation f p˚a ett linj¨art rum L, s˚adan att f : L  L ! C . Operationen skrivs a¨ ven
. L˚at k vara en skal¨ar.

u v

u
v = v
u (komplexkonjugat) u
(v + w ) = u
v + u
w med likhet endast om u = 0 u
u  0 (5.38) pu
u = kuk k(u
v) = (ku)
v 2. Tv˚a vektorer u och v a¨ r ortogonala om u
v = 0. Basen a¨ r ortonormerad om ei
ej = ij ; i; j = 1; 2; : : : ; n (5.39)

Sats 5 .10

ju
vj  kuk
kvk

(Schwarzs olikhet)

ku + vk  kuk + kvk

(

Triangelolikheten, som ) f¨oljer av Schwarzs olikhet

a = a1e1 + a2e2 + : : : + anen ) ai = a
ei (5.40)

e

, om f k ; k = 1; 2; : : : ; ng a¨ r en ortonormerad bas. Matema R. Emanuelsson

89

¨ ¨ 5.2. ANDLIGTDIMENSIONELLA SKALARPRODUKTRUM

¨ ALGEBRA 5. LINJAR

Sats 5 .11 1. Antag att dimM i M.

= n f¨or ett vektorrum M . L˚at u 1; u2; : : : ; um vara vektorer

(a) Om a¨ r linj¨art oberoende, s˚a a¨ r m  n.

u u

u 2. M.h.a. en bas v1 ; v2; : : : ; vn kan man skapa en ortonormal bas e1; e2; : : : ; en (b) Om a¨ r linj¨art oberoende och m = n, s˚a utg¨or 1; 2; : : : ; n en bas i M .

d.v.s. som uppfyller

ei
ej = ij ; i; j = 1; 2; : : : ; n genom att f¨orst skapa en ortogonal bas (Gram-Schmidts metod)

u1 = v1

u2 = v2 ; uv12
uu11 .. .

.. .

un = vn ;

n X

vn
uj j =1 uj
uj

e = kuujj k ; j = 1; 2; : : : ; n.

och d¨arefter bilda j

90

Matema R. Emanuelsson

(5.41)

¨ ALGEBRA 5. LINJAR

5.2.2

¨ ¨ 5.2. ANDLIGTDIMENSIONELLA SKALARPRODUKTRUM

Bas- och koordinatbyte

e

f

Sats 5 .12 L˚at f i; i = 1; 2; : : : ; ng och f j ; j = samma linj¨ara rum. D˚a finns skal¨arer bij , s˚adana att

fj =

n X i

1; 2; : : : ; ng vara tv˚a baser f¨or

bjiei

(5.42)

eller p˚a matrisform

f1

2 3 6 4

2

.. 7 = 6 4 .5

fn

|

b11 b12 : : : b1n ..

.

bn1 bn2 : : : bnn {z

3 7 5 }

2

e1 3


64 ... 75

en

(5.43)

Transformationsmatris BT

L˚at

v vara en godtycklig vektor. D˚a finns skal¨arer xi och yj s˚adana att v=

n X i

xiei =

n X j

yj fj

F¨or dessa g¨aller att koordinatbytet ges av 2

x1

3

6 . 7 4 .. 5 =

xn

2

3

y1

B 64 ... 75

(5.44)

yn

Sats 5 .13 Om b˚ada baserna a¨ r ortogonala, s˚a a¨ r 2

y1

B en ortogonalmatris och d˚a a¨r

3

2

x1

3

BT = B;1 och d¨armed 64 ... 75 = BT 64 ... 75 yn

Matema R. Emanuelsson

xn

(5.45)

91

¨ ALGEBRA 5. LINJAR

5.3. KVATERNIONER

5.3

Kvaternioner

Kvaternionerna a¨ r en fyrdimensionell algebraisk struktur.

i; j; k uppfyller f¨oljande i2 = j2 = k2 = ijk = ;1 och (5.46) ij = ;ji; jk = ;kj; ki = ;ik Tal p˚a formen x + yi + z j + tk = q, d¨ar x; y; z; t 2 R kallas kvaternioner. M¨angden

Definition 5.16

Talen

av kvaternioner kallas kvaternion- eller Hamiltonringen och betecknas H .

Sats 5 .14 Allm¨anna egenskaper

(q1 + q2 ) + q3 = q1 + (q2 + q3); q1 + q2 = q2 + q1 q1(q2 + q3) = q1q2 + q1q3 (5.47) (q1
q2)
q3 = q1
(q2
q3); (q1 + q2)q3 = q1q3 + q2q3 Multiplikationen a¨ r inte kommutativ d.v.s. q 1
q2 och q2
q1 a¨ r i allm¨anhet inte lika. F¨or varje q

6= 0 finns multiplikativ invers q ;1 s˚adan att q
q;1 = q;1
q = 1

Definition 5.17

5.3.1

i + zj + tk konjugat och norm definieras q = x ; (yi + z j + tk) respektive jqj = qq: (5.49)

En kvaternions q = x + y

Uppdelning av q i reell och vektoriell del

Man kan dela upp

q=

x |{z} reell del

Den vektoriella delen betecknas h¨ar med 92

(5.48)

+ y| i + z{zj + tk} vektoriell del

u eller v.

Matema R. Emanuelsson

¨ ALGEBRA 5. LINJAR

5.3. KVATERNIONER

Sats 5 .15

jqj = x2 + v2 = x2 + y2 + z 2 + t2, d¨ar v = yi + z j + tk

(5.50)

q1
q2 = q2
q1

u och v a¨ r tv˚a vektoriella kvaternioner ( d.v.s. realdelarna = 0), s˚a a¨ r uv = ;u
v + u  v (5.51) d¨ar uv a¨ r vanlig multiplikation i H ,
a¨ r skal¨ar produkt och  a¨ r vektoriell produkt. Om

5.3.2

Matrisrepresentation

Sats 5 .16 Med matriserna 















E = 10 01 ; I = 0i 01 ; J = ;01 10 ; K = 0i 0i :

(5.52)

s˚a a¨ r 

it Q := xE + yI + zJ + tK = ;xz++iyit xz ;+ iy en komplex matrirepresentation av en kvaternion. Med x + iy a¨ r

(5.53)

= u och z + it = v, s˚a

det Q = juj2 + jvj2 = x2 + y2 + z 2 + t2

Matema R. Emanuelsson



(5.54)

93

5.4. BAS OCH DUALBAS I

5.4

R

3

¨ ALGEBRA 5. LINJAR

Bas och dualbas i R3

Sats 5 .17

e1 e2 och e3 i R3, s˚adana att deras trippelskal¨arprodukt

1. Givet tre vektorer ,

[e1 ; e2 ; e3 ] = e1
(e2  e3 ) 6= 0 2.

(5.55)

fe1; e2 ; e3 g utg¨or d¨armed en bas.

3. Den duala basen definieras som

ee ee ee e1 = [e2; e; 3e] ; e2 = [e3; e; 1e] ; e3 = [e1; e; 2e] 1 2 3

Speciellt a¨ r [

1 2 3

(5.56)

1 2 3

e1; e2 ; e3] = [e; e1; e] och ei
ej = ij .

1 2 3 3 4. Varje vektor i R kan d˚a entydigt skrivas

v = v1e1 + v2 e2 + v3 e3 = v1e1 + v2e2 + v3e3 (5.57) j [v; ek ; el ] d¨ar vj = v
e = [e1; e2 ; e3 ] f¨or i = 1; 2; 3, a¨ r de kontravarianta komponenterna

och

k l

vj = v
ej = [v1 ; e2 ; 3e] a¨r de kovarianta komponenterna. [e; e; e] (j; k; l) = (1; 2; 3); (2; 3; 1); (3; 1; 2). 5. Skal¨ar produkt mellan

u och v kan skrivas

u
v = 6. Med gij

94

3 X

i;j =1

ui vj (ei
ej ) =

= ei
ej och med gij = ei
ej a¨ r vi =

Matema R. Emanuelsson

3 X

i;j =1 3 X

j =1

uivj (ei
ej )

vj gij och vj =

(5.58)

3 X

i=1

vi gij .

6

Algebraiska strukturer 6.1

Grupper

Definition 6.1

1. En grupp best˚ar av en m¨angd  G, s˚adan att G  G 7! (a) (b) (c) (d)

G 6= ; och en bin¨ar operation  p˚a m¨angden

a; b 2 G ) a  b 2 G, d.v.s. sluten under operationen . F¨or a; b; c 2 G, s˚a a¨ r (a  b)  c = a  (b  c) (associativitet). Det finns ett element e 2 G (enhetselementet), s˚adant att a  e = e  a = a. F¨or varje a 2 G, s˚a finns ett a;1 2 G, s˚adant att a  a;1 = a;1  a = e.

2. En grupp a¨ r kommutativ eller abelsk, om a  b = b  a. 3. Gruppen a¨ r a¨ ndlig, om G endast inneh˚aller a¨ ndligt med element, d.v.s.

jGj 2 N.

4. En grupp som genereras av ett element a 2 G, kallas cyklisk. Med detta menas att



a; a2; a3; : : : ;  = G

5. En delm¨angd H av G a¨ r en delgrupp till G, om H uppfyller kriterierna f¨or en grupp.

95

6.1. GRUPPER

6. ALGEBRAISKA STRUKTURER

6. F¨or en delm¨angd H  G definieras aH = fah; h 2 H g och p.s.s. h 2 H g, som kallas v¨anster- respektive h¨ogersidoklass. 7. Om H a¨ ren delgrupp till G, definieras relationen a  b Detta kan ekvivalent skrivas a 2 Hb.

Ha = fha :

mod H om ab ;1 2 H .

8. F¨or ett element a 2 G definieras perioden av a, som det minsta positiva heltal m s˚adant att am = e. Om inget s˚adant a finns s¨ags a period vara o¨andlig. Vi skriver m =: o(a) (ordningen av a).

Kommentarer: Oftast skrivs inte operationen  ut. Man skriver allts˚a endast ab. Om gruppen a¨ r abelsk, skriver man ibland a + b. En grupp skrivs egentligen bara G.

hG; i men f¨or enkelhets skull skriver man oftast

Sats 6 .1

6 ; till en grupp G a¨ r en delgrupp om och endast om = a; b 2 H ) ab 2 H a 2 H ) a ;1 2 H

1. En delm¨angd H (a) (b)

eller alternativt om och endast om

a; b 2 H ) ab;1 2 H 2. Om H a¨ r en a¨ ndlig delm¨angd r¨acker det med att H a¨ r sluten under multiplikation f¨or att vara en delgrupp. 3.

a  b mod H a¨ r en ekvivalensrelation p˚a G och ger d¨armed upphov till en partition av G. Speciellt har alla sidoklasser samma kardinalitet.

4. (Lagranges sats) Fr˚an f¨oreg˚aende punkt f¨oljer att om G a¨ r a¨ ndlig, s˚a a¨ r antalet element i H en divisor till antalet element G, d.v.s.

96

Matema R. Emanuelsson

jGj jH j a¨ r ett heltal.

6. ALGEBRAISKA STRUKTURER

6.1. GRUPPER

Sats 6 .2 1. Antag att perioden av ett element a a¨ r (m) och att G a¨ r a¨ ndlig. D˚a a¨ r



a; a2; a3; : : : ; am ;  =: H

en delgrupp till G och m a¨ r en divisor till G.

2. Antag att G a¨ ndlig. D˚a a¨ r a jGj

= e.

3. Antag att jGj = p a¨ r ett primtal. D˚a a¨ r G cyklisk. 4. Antag att H och K a¨ r delgrupper till G. (a) (b)

H \ K en delgrupp till G (och till H och K ). S¨att HK = fhk : h 2 H; k 2 K g. D˚a a¨ r HK en delgrupp till G om och endast om HK = KH .

Definition 6.2

1. En delgrupp N till G a¨ r normal, om aN = Na f¨or varje a 2 G, d.v.s. om varje h¨oger- och v¨anstersidoklass a¨ r lika. att N a¨ r normal skriv ibland N C G. 2. 3.

G=N = faN; a 2 Gg a¨ r kvotgruppen d¨ar N a¨ r en normal delgrupp av G. En avbildning  : G 7! G 0 mellan tv˚a grupper a¨ r en homomorfism om (ab) = (a)(b). (a) ker  = fx 2 G : (x) = e0 g, d¨ar e0 a¨ r det neutrala elementet i G0. (b) En injektiv homomorfism kallas monomorfism. (c) En inverterbar avbildning  kallas isomorfism.

(d) En isomorfism  : G ! G kallas automorfism.

Matema R. Emanuelsson

97

6.1. GRUPPER

6. ALGEBRAISKA STRUKTURER

Sats 6 .3 1. Antag att N C G. D˚a definierar G=N en grupp (kvotgrupp) med gruppoperationen aN  bN =: fan1 bn2 : n1 ; n2 2 N g. 2. Antag att  : G ! G0 a¨ r en grupphomomorfism. D˚a a¨ r (a) (b) (c) (d)

(e) = e0 , (a;1 ) = ((a));1 . (G) a¨ r en delgrupp till G 0. ker  C G. ker  = fe0 g ,  a¨r en monomorfism.

Sats 6 .4 L˚at p beteckna ett primtal och G en a¨ ndlig grupp. 1. Om jGj = p2 , s˚a a¨ r G abelsk.

2. (Sylows sats) Om p a¨ r en divisor till jGj, s˚a har jH j = p, d.v.s. H a¨ r en delgrupp av ordning p .

6.1.1

G en delgrupp H s˚adan att

Exempel p˚a grupper

8 Z;+ > > > > <

i ; ha 2 Zn : SGD(a; n) = 1;
i ; n = 1; 2; : : :

h

Kommutativa

hZn; +i ; n = 1; 2; : : : ; hR+;
i ; hC ; f0g;
i

> > > > :

R+ ; f1g; x  y

8 > > > > <

Icke-kommutativa

> > > > :



:= xloga y ; a 2 R+ ; f1g

hA : det A 6= 0;
i hA : det A = 1;
i hf : A 7! A; f bijektion; i (6.1)

98

Matema R. Emanuelsson

6. ALGEBRAISKA STRUKTURER

6.2

6.2. RINGAR

Ringar

Definition 6.3

1. En m¨angd R med tv˚a operatorer + och  skriven hR; +; i kallas en ring, om (a)

hR; +i a¨ r en abelsk grupp och

(b) om R a¨ r sluten under den associativa operationen  samt (c)

a  (b + c) = a  b + a  c, (b + c)  a = b  a + c  a (v¨anster- respektive

h¨ogerdistributiva lagen). 2.

S  R a¨ r en delring till R, om S sj¨alvt a¨r en ring.

Definition 6.4

1. 2. 3.

L˚at R vara en ring. (Operationen  skrivs
eller utel¨amnas helt.)

R a¨ r kommutativ, om ab = ba f¨or alla a; b 2 R. R a¨r en ring med enhetselement (e eller 1), om 1
a = a
1 = a f¨or alla a 2 R. En ring R med enhetselement e som uppfyller f¨orkortningslagen ab = ac ) b = c; om a 6= 0 kallas integralomr˚ade.

4. En enhet u har egenskapen att det finns ett v s˚adant att uv = vu = 1. Detta skrivs uj1, d.v.s. u har multiplikativ invers. Ett element p a¨ r irreducibelt, om p = ab ) a eller b a¨ r en enhet. 5. En ring a¨ r en ett entydigt integralomr˚ade (UFD), om varje element som inte a¨ r en enhet kan entydigt faktoriseras i irreducibla element. 6. Om hR ; f0g;
i a¨ r en grupp, s˚a kallas R en divisionsring. Om denna ring a¨ r kommutativ kallas ringen en kropp (eng: field).

Matema R. Emanuelsson

99

6.2. RINGAR

6. ALGEBRAISKA STRUKTURER

Definition 6.5

1.

ak = a|
a
{z: : :
a} k faktorer

2. Ett element a kallas nilpotent, om a k 3. 4.

= 0 f¨or n˚agot heltal k. Ett element a kallas idempotent, om a2 = a. En nolldivisor a¨ r ett element a 6= 0 s˚adant att det finns ett element b 6= 0 och ab = 0 eller ba = 0.

Definition 6.6

2 R a¨ r en delring s˚adan att om r 2 R och i 2 I , s˚a a¨ r ri; ir 2 I . I + r = fi + r : i 2 I g a¨ r en (h¨oger-)sidoklass till R. 6 R och det finns inget ideal J med Ett ideal I till R a¨ r maximal, om I  R, I =

1. Ett ideal I 2. 3.

dessa tv˚a egenskaper, som a¨ kta inneh˚aller I . Annorlunda uttryckt: F¨or ett ideal

J s˚adant att

IJR s˚a a¨ r antingen I

4.

= J eller J = R.

 : R 7! S a¨ r en ringhomorfism, om R och S a¨ r ringar samt om (a + b) = (a) + (b) och (ab) = (a)(b), f¨or alla a; b 2 R. (a)  kallas monomorfism, om  a¨ r injektiv. (b)  kallas isomorfism, om  a¨ r bijektiv. Ringarna R och S kallas d˚a isomorfa.

Definition 6.7

1. En kommutativ ring a¨ r ett integralomr˚ade, om det saknar nolldivisorer. 2. En euklidisk ring a¨ r ett integralomr˚ade, om det finns en avbildning d s˚adan att

: a 7! N

(a) f¨or varje a; b 2 R ; f0g s˚a a¨ r d(a)  d(ab) och

(b) det finns s; t 2 R s˚adana att a = tb + r, d¨ar r = 0 eller d(r) < d(b). 3. En principalideal-ring (PID, principal ideal domain) a¨ r ett integralomr˚ade, s˚adant att varje ideal genereras av endast ett element. 100

Matema R. Emanuelsson

6. ALGEBRAISKA STRUKTURER

6.2. RINGAR

Sats 6 .5 1. Om det finns ett heltal k kommutativ.

> 1, s˚adant att ak = a f¨or alla a 2 R, s˚a a¨ r ringen

2. Ett a¨ ndligt integralomr˚ade a¨ r en kropp. 3. En euklidisk ring a¨ r en principalidealring. 4. En euklidisk ring har enhetselement 1. 6.2.1

Exempel p˚a ringar

Ring hZ; +;
i

Kommentar UFD, PID, Eukl. ring

hA = (aij )nn ; +;
i

Ring med enhetselement

hC ; +;
i

kropp

hR; +;
i hH ; +;
i

(6.2)

kropp divisionsring eller skevkropp

hZp; +;
i ; p primtal F¨or varje kvadratfritt heltal d a¨ r ring.

kropp E p fx + y d; x; y 2 Qg;+;
en kommutativ

D

– De enda d < 0 f¨or vilken ringen har entydig primtalsfaktorisering a¨ r

d = ;1; ;2; ;3; ;7; ;11; ;19; ;43; ;67; ;163 – De enda d f¨or vilken ringen a¨ r euklidisk a¨ r

d = ;11; ;7; ;3; ;2; ;1; 2; 3; 5; 6; 7; 11; 13; 17; 19; 21; 29; 33; 37; 41; 57; 73:

Matema R. Emanuelsson

101

6.2. RINGAR

102

6. ALGEBRAISKA STRUKTURER

Matema R. Emanuelsson

7

Diskret matematik 7.1 7.1.1

Kombinatorik Summa och produkt

Definition 7.1

Summan a1 + a2 + : : : + an och produkten a 1
a2
: : :
an skrivs

n X k=1

P

ak respektive

Q

n Y k=1

ak

(7.1)

kallas summasymbolen och kallas produktsymbolen. Summationen och produkten kan b¨orja och sluta p˚a andra index a¨ n 1 och n. k kallas l¨opande index och kan bytas mot vilken annan symbol som inte finns med i uttrycket med n˚agon annan betydelse.

7.1.2

Fakulteter

Exempel 7.1 Produkten 1
2
3
4 skrivs allts˚a ocks˚a 4! (l¨ases ”fyra -fakultet”)

4 Y

k=1

k.

Denna produkt av konsekutiva heltal skrivs

Man har f¨oljande tre definitioner om n  0 a¨ r ett heltal: 103

7.1. KOMBINATORIK

7. DISKRET MATEMATIK

Definition 7.2

1
2
:::
n

= n!

n;fakultet

1
3
5
: : :
(2n ; 1) = (2n ; 1)!! 2n ; 1-semifakultet 2
4
6
: : :
(2n) Speciellt definieras 0! = 1.

= (2n)!!

(7.2)

2n-semifakultet

Sats 7 .1

(2n)!! = 2n
n!; 2n n!(2n ; 1)!! = (2n)!  n p n!  ne 2n; med asymptotisk ekvivalens (Sterlings formel) 7.1.3 7.1.3.1

(7.3)

Permutationer och kombinationer Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen, vilken s¨ager att vid n st val d¨ar varje val har r k olika alternativ k = 1; 2; :::; n, s˚a a¨ r antalet olika s¨att som de n st valen sammantaget kan g¨oras p˚a

r1
r2
: : :
rn =

n Y k=1

rk

(7.4)

1. Antalet olika s¨att p˚a vilket n st element kan ordnas a¨ r n!. 2. L˚at A vara en m¨angd med n st element. (a) Antalet olika m¨ojligheter att v¨alja ut k st av dessa a¨ r med h¨ansyn till inb¨ordes ordning n(n ; 1)(n ; 2) : : :(n ; k + 1),som a¨ r antalet permutationer, som skrivs (n) k .

(b) Antalet olika m¨ojligheter att v¨alja ut k st av dessa a¨ r utan h¨ansyn till inb¨ordes ordning n(n ;1)(n  ; 2) : : :(n ; k + 1)=k!, som a¨ r antalet kombinationer, som skrivs

n k

.

 

n = n(n ; 1)(n ; 2) : : :(n ; k + 1) = n! k k! k!(n ; k)!

104

Matema R. Emanuelsson

(7.5)

7. DISKRET MATEMATIK

7.2. INDUKTION

Detta tal kallas allts˚a binomialkoefficent. Binomialkoefficienten a¨ r s˚alunda antal delm¨angder med k st element till en m¨angd med n st element.

Sats 7 .2 Med denna sista tolkning f¨oljer att  





n = n ; k = 0; 1; : : : ; n n = 0; 1; : : : k n ; k      n + n = n + 1 ; k = 1; : : : ; n n = 1; : : : k ; 1  k  k n = n = 1; n = 0; 1; : : : 0 n

(7.6) (7.7) (7.8)

Dragning k g˚anger ur en m¨angd med n element Med h¨ansyn till inb¨ordes ordning Med a˚ terl¨aggning Utan a˚ terl¨aggning

7.2

nk

n! (n ; k)! =: (n)k

Utan h¨ansyn till inb¨ ordes ordning 

n+k;1 k  n k

(7.9)

Induktion

AXIOM Varje icke-tom delm¨angd av N har ett minsta tal 1 .

7.3

Induktionsbevis

F¨or att avg¨ora om en given formel (f¨or heltal) verkligen st¨ammer kan man anv¨anda induktion:

1. Visa att P(n0) sann

2. Visa att om P(n) s˚a a¨ r ) P(n + 1) sann. 3. Med h¨anvisning till punkt 1 och 2 drar man slutsatsen att P(n) a¨ r sann f¨or alla n = n0; n0 + 1; : : : enligt induktionsprincipen.

1 Man kan ocks˚a konstruera de

naturliga talen induktivt (Peanos axiomsystem.). Matema R. Emanuelsson

105

7.4. RELATIONER

7.3.1

7. DISKRET MATEMATIK

Generaliserad induktion

I generaliserad induktion ser det andra steget lite annorlunda ut:

1. Visa P (n0 ) sann 2. Visa P (k) sann f¨or alla n0

 k  n ) P(n + 1) sann.

3. Med h¨anvisning till punkt 1 och 2 drar man slutsatsen att P(n) a¨ r sann f¨or alla n = n0; n0 + 1; : : : enligt induktionsprincipen.

7.4

Relationer

Definition 7.3

A1; A2 ; : : : ; An vara n m¨angder. En n;relation R p˚a A1 ; A2; : : : ; An a¨ r n Y en delm¨angd till Ak = A1  A2  : : :  An. Att (x1; x2; : : : ; xn) 2 R k=1 skrivs x1 R x2R : : :Rxn Om alla Ak a¨ r lika (= A) s¨ager man att R a¨ r en relation p˚a A. En relation p˚a A  B kallas bin¨ar relation och skrivs x R y och betyder allts˚a att (x; y) 2 R.

1. L˚at

2. 3.

106

Matema R. Emanuelsson

7. DISKRET MATEMATIK

Definition 7.4

1. 2. 3. 4.

7.4. RELATIONER

N˚agra olika typer av bin¨ara relationer xRy

R a¨ r reflexiv om x R x f¨or alla x 2 R. R a¨ r symmetrisk om xRy ) y Rx f¨or alla x; y 2 R R a¨ r antisymmetrisk om xRy och y Rx ) x R x R a¨ r transitiv om xRy och y Rz ) xRz

5. En bin¨ar relation p˚a A a¨ r en ekvivalensrelation om den a¨ r reflexiv, symmetrisk och transitiv. 6. En partiellt ordnad relation R a¨ r en bin¨ar relation p˚a en m¨angd flexiv, antisymmetrisk och transitiv. xRy skrivs x  y.

A, som a¨r re-

7. Sammans¨attning av tv˚a relationer F¨or tv˚a bin¨ara relationer R p˚a A  B och S p˚a B  C definieras den bin¨ara relationen S  R : A  C , som xS  Rz om det finns y 2 B s˚adant att xRy och y S z .

Definition 7.5

1. Antag att och

x = (x1; : : : ; xm) 2 A1  A2  : : :  Am y = (y1; : : : ; yn) 2 B1  B2  : : :  Bn

En relation R p˚a A1  A2  : : : Am  B1  B2  : : : Bn kallas en funktion om f¨or varje

n Y j =1

x2

m Y

i=1

Ai finns exakt ett y 2

Bj och x R y eller R(x) = y.

n Y

j =1

Bj . Man skriver d˚a R :

m Y

i=1

Ai 7!

Speciellt a¨ r en bin¨ar relation xRy en funktion p˚a A  B om f¨or varje x finns ett entydigt y 2 B , s˚adant att xRy.

2A

2. Inversrelationen R;1 till R definieras som

x R;1 y , y Rx Matema R. Emanuelsson

107

7.4. RELATIONER

7. DISKRET MATEMATIK

Kommentarer: L˚at [i Ai = A vara en partition av en m¨angd A. Relationen xRy p˚a A definierad som xRy , x; y 2 Ai kallas en ekvivalensrelation. Detta utg¨or en alternativ definition av ekvivalensrelation.

x

x y y

x

x

F¨or en funktion R skrivs R , definierad p˚a betecknad med f : f( ) = . En funktion a¨ r

X Y

som

R(x) =

y eller

x = x2

– injektiv, om f( 1 ) = f( 2 ) ) 1 – surjektiv, om f¨or varje

y det finns ett x, s˚adant att f(x) = y.

– bijektiv, om f a¨ r b˚ade injektiv och surjektiv. – Om och endast om f a¨ r bijektiv f : X 7! Y , s˚a a¨ r inversrelationen f ;1 en funktion. Den kallas inversfunktionen f ;1 : Y 7! X och definieras genom

f(x) = y , f ;1 (y) = x f¨or varje (x; y) 2 X  Y En ekvivalensrelation p˚a A medf¨or en partition av A och vice versa: x och y tillh¨or samma Ai , xRy.

Antag att f : X delm¨angd av Y . D˚a definieras

Definition 7.6

7! Y

a¨ r en funktion, A en delm¨angd av X och B en

X = Df respektive f(X) = f(Df ) = Vf f(A) := ff(x) : x 2 Ag; f ;1 (B) = fx : f(x) 2 B g Df kallas definitionsm¨angden och V f v¨ardem¨angden. 108

Matema R. Emanuelsson

(7.10)

7. DISKRET MATEMATIK

7.4. RELATIONER

Sats 7 .3 Med samma f¨oruts¨attningar som i f¨oeg˚aende definition (A i

Y ), s˚a a¨ r

 X och Bi 

f(\i Ai )  \if(Ai ); f([i Ai ) = [i f(Ai )

(7.11)

f ;1 (\iBi ) = \if ;1 (Bi ); f ;1 ([iBi ) = [i f ;1 (Bi ) f ;1 (Y ; B) = X ; f ;1 (B) f(f ;1 (B))  B; A  f ;1 (f(A))

()

f(A) = ; , A = ; B = ; ) f ;1 (B) = ; A1  A2 ) f(A1 )  f(A2 ) B1  B2 ) f ;1 (B1 )  f ;1 (B2 )

() (  )

1. Inklusionen i (7.11) a¨ r en likhet f¨or varje klass A i , f a¨ r injektiv. 2. Den f¨orsta inklusionen i () a¨ r en likhet f¨or varje B

3. 4. 5.

, f a¨ r surjektiv. Den andra inklusionen i () a¨ r en likhet f¨or alla A , f a¨ r injektiv. () a¨ r en ekvivalens om f a¨ r surjektiv. Den f¨orsta (andra) implikationen i (  ) a¨ r en ekvivalens, om f a¨ r injektiv

(surjektiv).

Det reflexiva, symmetriska och transitiva h¨oljet av en relation R a¨ r den minsta relation r(R), s(R) och t(R), som omfattar R och a¨ r reflexiv, symmetrisk repektive transitiv.

Definition 7.7

Matema R. Emanuelsson

109

7.4. RELATIONER

7. DISKRET MATEMATIK

Sats 7 .4 1.

R  R  R , R a¨r transitiv.

2. Kompositionsregler f¨or bin¨ara relationer. (a)

 a¨ r associativ.

(b)

(R  T) [ (S  T) = (R [ S)  T ) (T [ R)  (T [ S) = T  (R [ S) (R \ S)  T  (R  T ) \ (S  T)

(7.12)

T  (R \ S)  (T  R) \ (T  S)

E (A) vara m¨angden av ekvivalensrelationer p˚a A. R; S 2 E (A). D˚a a¨r

3. L˚at

Antag dessutom att

R = R;1 R  S 2 E (A) , R  S = S  R

(7.13)

4. Regler f¨or h¨oljen:

R reflexiv ) s(R) och t(R) reflexiva. (b) R symmetrisk ) s(R) och t(R) symmetriska. (c) R transitiv ) r(R) transitiv. Om R har egenskaperna reflexivitet, symmetri eller transitivitet, s˚a har R 2 := R  R ocks˚a dessa egenskaper. (a)

5.

110

Matema R. Emanuelsson

7. DISKRET MATEMATIK

7.4.1

7.4. RELATIONER

Posets och gitter

Definition 7.8

Partiellt ordnad m¨angd

1. En transitiv och antisymmetrisk bin¨ar relation p˚a en m¨angd A kallas en partiellt ordnad relation R eller oftare “partiellt ordnad m¨angd” (A) som skrivs “poset”. Antisymmetrin och transitiviteten inneb¨ar allts˚a

x  y och y  x ) x = y; x  y och y  z ) x  z (a) Relationen xRy skrivs x x  y.

 y eller y  x. Att x  y men x 6= y skrivs

(b) Om x  y, s˚a a¨ r x en “f¨oreg˚angare” till y och y a¨ r en “efterf¨oljare” till x.

(c) Om x  y och det inte finns n˚agot annat element z , s˚adant att x  z  y, s˚a kallas x den “omedelbara” eller “direkta” f¨oreg˚angaren till y. P˚a analogt s¨att definieras “omedelbar” eller “direkt” efterf¨oljare.

2. 3.

x och y a¨ r j¨amf¨orbara, om x  y eller x  y. Om alla par x och y f¨or en poset a¨ r j¨amf¨orbara, s¨ags den vara fullst¨andigt ordnad.

4. Man s¨ager att om x  y och x 6= y att x a¨ r mindre a¨ n y och skriver detta x  y. Vi kallar

: : :  xn : : :  x1  x0 en avtagande kedja. 5. En poset s˚adan att varje avtagande kedja har ett minsta element kallas en v¨alordnad m¨angd. 6. En element x 2 A i en poset a¨ r maximal (minimal) om inget annat element y 2 A a¨ r s˚adant att x  y (y  x). 7.

x a¨r ett st¨orsta (minsta) element av en poset A om x  y (x  y) f¨or alla y 2 A. Det a¨ r klart att ett st¨orsta (minsta) element a¨ r unikt och maximalt (minimalt).

8. L˚at B  A. Ett element m 2 A s˚adant att b  m ( b  M ) f¨or varje b 2 B kallas en majorant (minorant) till B . En majorant (minorant) m 0 till B , s˚adan att m0  m (m0  m) f¨or varje majorant (minorant) till B kallas “supremum av B” (“infimum”), betecknad sup B (inf B ).

Matema R. Emanuelsson

111

7.4. RELATIONER

7. DISKRET MATEMATIK

 definierad p˚a positiva heltal a  b , ajb g¨or f1; 2; 3;: : : g till en partiellt ordnad m¨angd. I det s.k. Hassediagrammet betraktas relationen p˚a f1; 2; 3;: : : ; 23; 24g. Exempel 7.2 Relationen

24

" 8 12 18 " % - " 4 6 " % " 2 3 % 1

Hasse-diagram: Maximala element a¨ r 18 och 24. Det minimala elementet och samtidigt det minsta a¨ r 0.

Definition 7.9

Ett gitter L a¨ r en m¨angd sluten under de bin¨ara operationerna _ och

^, f¨or vilka g¨aller att

Kommutativa lagar

a _ b = b _ a; a ^ b = b ^ a

Associativa lagar:

(a _ b) _ c = a _ (b _ c); a(a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)

(7.14)

Absorptionslagar:

a _ (a ^ b) = a; a ^ (a _ b) = a

f¨or alla a; b; c 2 L. Dualen till ett p˚ast˚aende P f¨or ett gitter L inneh˚allande _ och ^ a¨ r det uttryck P 0 som erh˚alls genom att i P byta _ mot ^ och ^ mot _.

112

Matema R. Emanuelsson

7. DISKRET MATEMATIK

7.4. RELATIONER

Sats 7 .5 1. Varje a¨ ndlig poset A kan konsistent numreras, i den meningen att det finns en funktion f : A 7! f1; 2; 3; :: : g, s˚adan att x  y ) f(a)  f(b). 2. F¨or ett gitter g¨aller (a)

P sann , P 0 sann.

(b) (Idempotenta lagarna) a _ a = a och (s˚aledes enligt ovan) a ^ a = a.

a^b= a ,a_b= b (d) Relationen a  b definierad som a ^ b = a a¨ r en partiell ordning p˚a L. Antag att P a¨ r en poset s˚adan att inf(x; y) och sup(x; y) existerar f¨or varje par x; y 2 P . Definiera inf(x; y) = a ^ b och sup(x; y) = a _ b. (a) D˚a a¨ r (P; ^; _) ett gitter. (b) Den partiella ordningen p˚a P given av ett gitter a¨ r den samma som f¨or den ursprungliga partiella ordningen p˚a P . (Hausdorffs maximalitetssats) Varje poset A inneh˚aller en maximal fullst¨andig ordnad delm¨angd B . Med det menas B ej a¨ r en a¨ kta delm¨angd av en fullst¨andigt ordnad m¨angd B 0  A. (c)

3.

4.

Kommentarer: 3(a) i f¨oreg˚aende sats kan uttryckas som att ett gitter a¨ r en poset, s˚adan att x ^ y inf(a; b) och x _ y  sup(x; y) existerar f¨or varje par x; y.

Matema R. Emanuelsson



113

7.4. RELATIONER

7. DISKRET MATEMATIK

Definition 7.10

1.

(a) Ett gitter L har en nedre gr¨ans 0, om 0  x f¨or varje x 2 L.

(b) Ett gitter L har en ovre ¨ gr¨ans I , om x  I f¨or varje x 2 L.

(c) Ett gitter a¨ r upp˚at (ned˚at) begr¨ansad om det finns en o¨ vre (undre) gr¨ans. Ett gitter a¨ r begr¨ansad om den a¨ r b˚ade upp˚at och ned˚at begr¨ansad. 2. Ett gitter a¨ r distributiv, om

a ^ (b _ c) = (a^) _ (a ^ c) och a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ (a ^ c)

(7.15)

3. Ett element x 2 L med nedre gr¨ans 0 a¨ r irreducibelt, om

a = x ^ y ) x = a eller y = a

(7.16)

4. De irreducibla element vilka direkt f¨oreg˚ar 0 kallas atomer eller primelement. 5. Ett element y a¨ r ett komplement av ett element x, om

x _ y = I och x ^ y = 0 6. Ett begr¨ansat gitter, d¨ar varje element har ett komplement, kallas komplementgitter.

114

Matema R. Emanuelsson

7. DISKRET MATEMATIK

7.4. RELATIONER

Sats 7 .6 1. Ett gitter a¨ r ickedistributivt om och endast om den inneh˚aller n˚agot av f¨oljande delgitter (i) eller ii)) i figuren t.h.. 2.

x har en unik direkt f¨oreg˚angare , x a¨r irreducibel.

3. Antag att L a¨ r ett a¨ ndligt och distributivt gitter. D˚a finns f¨or varje element x entydiga ai ; i = 1; 2; :::;n, av irreducibla element, s˚a att

x = a1 _ a2 _ : : : _ an

i)

5. F¨or ett komplement-gitter med entydiga komplement a¨ r de irreducibla elementen, f¨orutom 0, dess atomer.

I

c

(7.17)

4. Antag att L a¨ r ett begr¨ansat distributivt gitter. D˚a har varje x h¨ogst ett komplement.

ii) I

a

b

0

a

b

c

0

6. Antag att L a¨ r ett a¨ ndligt och distributivt komplement-gitter. D˚a kan varje element x skrivas entydigt som i (7.17), d¨ar a i a¨ r atomer.

Matema R. Emanuelsson

115

7.5. SATSLOGIK

7.5

7. DISKRET MATEMATIK

Satslogik

Definition 7.11

Logiska symboler

1. SANN (s) och FALSK (f ) 2. Logiska konnektiv (a) Sanningssymboler sann och falsk. (b) (c) (d) (e) (f)

^ skrivs ocks˚a AND samt l¨ases “och”. _ skrivs ocks˚a OR samt l¨ases “eller”. : l¨ases “icke”. ! l¨ases “medf¨or”. $ l¨ases “ekvivalent med” och inneb¨ar b˚ade ! och

.

(g) F¨or (p˚ast˚aende-)variabler anv¨ands versaler P; Q; R; S .

Ordningen p˚a de logiska konnektiven a¨ r den samma f¨or prioritet. Ex.vis betyder

:P _ Q (:P) _ Q och P _ Q ^ R betyder P _ (Q ^ R).

3. Ett p˚ast˚aende uppbyggt av logiska konnektiv kallas en v¨alformulering. 4. Om tv˚a v¨alformuleringar V och W a¨ r ekvivalenta (s˚asom P ^ Q och Q ^ P ) skrivs V  W . Man skriver W(P; Q; R) om (exakt) dessa variabler ing˚ar. 5. En utsaga a¨ r (a) en tautologi, om den a¨ r sann f¨or alla v¨arden p˚a dess variabler och (b) en kontradiktion om den a¨ r falsk f¨or alla v¨arden p˚a dess variabler.

7.5.1

Tautologi och kontradiktion

F¨or att avg¨ora om en utsaga a¨ r en tautologi eller ej kan man antingen g¨ora en sanningsv¨ardestabell (eller bara “sanningstabell”) eller anv¨anda mots¨agelse.

Exempel 7.3

Sanningstabellerna f¨or P

P Q P !Q s s s s f f f s s f f s

116

! Q och P $ Q a¨ r P s respektive s f f

Matema R. Emanuelsson

Q P $Q s s f f s f f s

(7.18)

7. DISKRET MATEMATIK

7.5. SATSLOGIK

Exempel 7.4 Sanningstabellerna f¨or P

P s s f f

Q P _Q s s f s s s f f

_ Q och P ^ Q a¨ r

respektive

$

^

Q P ^Q s s f f s f f f

P s s f f

(7.19)

!

Exempel 7.5 F¨or att avg¨ora om ((P Q) Q) P a¨ r en tautologi eller ej kan en sanningstabell anv¨andas. H¨ar a¨ r samtliga steg utskrivna (Tabellen l¨ases fr˚an v¨anster till h¨oger.). Sanningstabell

$ s s s f f f f s

(P

steg

1

2

Q) s f s f 1

^ s f f f 3

Q) s f s f 1

! s s s s 4

P s s f f 1

Alternativt kan man genom mots¨agelse avg¨ora om den a¨ r en tautologi eller ej. Enligt (7.18) a¨ r en implikation P Q falsk endast om P och Q har v¨ardena s respektive f .

!

Argumentation med mots¨agelse steg

1 2 3 4 5

(P

f f

$ Q) ^ Q) ! P f s f s s s f

s p˚a rad 2 avser hela uttrycket (P $ Q) ^ Q). Mots¨agelsen a¨ r s och f i samma kolonn (inrutade). D¨armed a¨ r ((P $ Q) ^ Q) ! P en tautologi.

Matema R. Emanuelsson

117

7.5. SATSLOGIK

7. DISKRET MATEMATIK

Exempel 7.6 Betrakta utsagan W

= (P

! :Q) ! ((P _ Q) ! Q)

Vi f¨ors¨oker med sanningstabell avg¨ora om den a¨ r en tautologi eller ej.

(P

! : Q) f f s s s f s s

s s f f

(1)

! [(P s s s s f f s f

_ Q) s s s f s s f f

! s s f s

Q] s s f f

(2) I sanningstabellen a¨ r kolonnerna numrerade (1) och (2) gjorda s˚a att alla varianter (P; Q) a˚ terfinns. ovan

ser vi i tredje rad fj¨arde kolumn (inrutat) att vi erh˚allit ett f . S˚aledes a¨ r utsagan inte en tautologi. Alternativt kan man, liksom i det f¨orra exemplet, genom mots¨agelse avg¨ora om den a¨ r en tautologi eller ej. Man utg˚ar d˚a ifr˚an att V L a¨ r sant och HL a¨ r falskt, d.v.s.

! : Q) ! [(P _ Q) ! Q] s f Eftersom nu HL inneh˚aller en implikation a¨ r allts˚a enligt (7.18) P _ Q sann och Q falsk och d¨armed :Q sann. S˚aledes a¨ r P sann. Nu st˚ar det allts˚a P ! (:Q) i V L, som a¨ r sant. Detta leder allts˚a inte till en s (P

s

kontradiktion 2 och utsagan a¨ r d¨armed inte en tautologi.

7.5.1.1

Quines metod

F¨or att avg¨ora om ett p˚ast˚aende a¨ r en tautologi eller inte kan man i en v¨alformulering W(P; P1; P2; : : :) byta P mot s och f och avg¨ora om man d˚a f˚ar en tautologi. Mer exakt

Sats 7 .7

W(P; P1; P2; : : :) a¨ r en tautologi , 118



W (s; P1 ; P2; : : :) W (f; P1 ; P2; : : :)

Matema R. Emanuelsson

a¨ r tautologier (7.20)

7. DISKRET MATEMATIK

7.5.1.2

7.5. SATSLOGIK

Normala former

Definition 7.12

Uttrycken

n _ j =1

(^nmjj =1  Pmj );

n ^

(_nmjj =1  Pmj );

j =1

(7.21)

d¨ar  st˚ar f¨or : eller ingenting, kallas en disjunktiv (DNF) respektive en konjunktiv (CNF) normal form. En DNF eller en CNF kallas komplett eller fullst¨andig, om f¨or i n n varje ^mjj =1  Pmj respektive varje _mjj =1  Pmj a˚ terfinns samma variabler eventuellt med  framf¨or. Sats 7 .8 1. Varje v¨alformulering a¨ r ekvivalent med en CNF och en DNF och vice versa. 2. Varje v¨alformulering som inte a¨ r en mots¨agelse a¨ r ekvivalent med en komplett DNF. 3. Varje v¨alformulering som inte a¨ r en tautologi a¨ r ekvivalent med en komplett CNF.

Matema R. Emanuelsson

119

7.6. PREDIKATLOGIK

7.5.1.3

7. DISKRET MATEMATIK

Bevismetoder

Sats 7 .9 F¨or att bevisa ett p˚ast˚aende V 1. Direkt bevis: V

!W

! W finns f¨oljande tre metoder:

2. Indirekt bevis (Bevis med negation): valenta) kontrapositiva utsagan. 3. Mots¨agelsebevis: (V

:W ! :V ,

d.v.s. att bevisa den (ekvi-

^ :W) ! f (reductio ad absurdum)

Kommentar Betrakta ekvationen f(x) = 0 (i allm¨anhet g˚ar en reell/komplex ekvation att skriva s˚a) m.a.p. x. N¨ar man l¨oser en ekvation f(x) = 0 erh˚aller man ibland ett antal x;v¨arden, s¨ag x1; x2; : : : ; xn. D˚a g¨aller 1. Implikationen

f(x) = 0 ) x = x1 ; x = x2 ; : : : ; x = xn inneb¨ar att de x som l¨oser f(x) = 0 a˚ terfinns bland x 1; x2; : : : ; xn men utesluter inte att n˚agra av dessa kan vara falska l¨osningar f(x) = 0. 2. Implikationen

f(x) = 0 ( x = x1 ; x = x2 ; : : : ; x = xn inneb¨ar att x = x1 ; x = x2; : : : ; x = xn l¨oser f(x) det kan finnas fler l¨osningar till f(x) = 0.

7.6

Predikatlogik

Definition 7.13

1. 2.

120

9 a¨ r existenskvantifikatorn och l¨ases “det finns”. 8 a¨ r allkvantifikatorn och l¨ases “f¨or varje”. Matema R. Emanuelsson

= 0 men utesluter inte att

7. DISKRET MATEMATIK

Definition 7.14

7.7. BOOLSK ALGEBRA

F¨or f¨orsta ordningens predikatlogik anv¨ands

1. Individuella variabler x; y; z 2. Individuella konstanter a; b; c 3. Funktionskonstanter f; g; h 4. Predikatkonstanter p; q; r

5. Konnektiva symboler :; !; _; ^ 6. Kvantifikatorer 9; 8 7. Paranteser ()

I uttrycket 9xW d¨ar W a¨ r en v¨alformulering, s¨ags W vara ramen f¨or kvantorn 9x. Om W inneh˚aller x, s˚a a¨ r x bunden av W annars a¨ r x fri.

7.7

Boolsk algebra

Antag att B , inneh˚aller (˚atminstone) tv˚a element, betecknade 0 och 1. B kallas en boolsk algebra, om det finns tv˚a bin¨ara operationer + och , s˚adana att x + y 2 B och x  y 2 B f¨or alla par x; y 2 B . Dessutom skall + och  uppfylla Definition 7.15

(x + y) + z = x + (y + z);

(x  y)  z = x  (y  z)

x + y = y + x;

xy = yx

x + (y  z) = (x + y)  (x + z); x  (y + z) = x  y + x  z x + 0 = 0;

x1= x

x + x0 = 0;

x  x0 = 1

(7.22)

De tv˚a sista uttrycken s¨ager att det finns ett komplement x 0 f¨or varje x. F¨or varje p˚ast˚aende inneh˚allande element ur B , +,  samt 0 och 1, definieras det duala p˚ast˚aendet, som erh˚alls om + och  byts mot varann samt om 0 och 1 byts mot varann. (Ex.vis (1 + x)  (y + 0) = y har dualen (0  x) + (y  1) = y.) Matema R. Emanuelsson

121

7.7. BOOLSK ALGEBRA

7. DISKRET MATEMATIK

Sats 7 .10 F¨oljande samband a¨ r h¨arledda identiteter fr˚an (7.22).

x + x = x;

xx= x

x + 1 = 1;

x0= 0

x + (x  y) = x;

x  (x + y) = x

(x + y) + z = x + (y + z); (x  y)  z = x  (y  z)

122

Matema R. Emanuelsson

(7.23)

7. DISKRET MATEMATIK

7.8

7.8. GRAFTEORI

Grafteori

Definition 7.16 En multigraf best˚ar av ett antal noder/punkter (vertices) kanter (edges) e i (figur 7.1).

f g

fv i g och ett antal

1. Tv˚a noder u och v a¨ r (direkt) f¨orbundna om det finns en kant e mellan dessa. Man skriver d˚a e = (u; v). 2. F¨or en graf finns h¨ogst en kant mellan tv˚a olika noder och det finns ingen kant e = (u; u) (en s.k. loop).

3. En multigraf a¨ r sammanh¨angande, om det finns en v¨ag mellan varje par av noder i grafen. 4. En sammanh¨angande graf a¨ r fullst¨andig om varje par av noder u och v det finns en kant (u; v).

5. En v¨ag mellan u = e 0 och v = en a¨ r en sekvens av direkt f¨orbundna noder;

u; e1 ; v2 ; e2 : : : ; en;1 ; v d¨ar ek

= (vk ; vk+1 ).

6. V¨agens l¨angd a¨ r n

; 1 med beteckningar som i den f¨orra punkten.

7. En nod a¨ r isolerad, om det ej finns en kant till en annan nod. (Nod nr 1 i figur 7.1 a¨ r isolerad.). 8. En v¨ag i en multigraf a¨ r (a) ett sp˚ar (trail) om alla dess kanter a¨ r olika. (b) en bana (path) om alla noder a¨ r olika. (c) en cykel, om alla noder a¨ r olika utom f¨orsta och sista (som a¨ r lika). En cykel a¨ r en k cykel, om cykelns l¨angd a¨r k.

;

9. En minimal f¨orbindelse mellan tv˚a noder a¨ r den kortaste v¨agen mellan dessa. 10. Avst˚andet mellan tv˚a noder a¨ r l¨angden av den kortaste banan mellan dessa. 11. Graden (grad ) f¨or en nod a¨ r antalet kanter som noden har (nod nr 4 i figur 7.1 har grad 4.). 12. Diametern f¨or en graf a¨ r maximala l¨angden av de minimala f¨orbindelserna. 13. En mulitgraf a¨ r framkomlig (traversable), om det finns en v¨ag som anv¨ander varje kant exakt en g˚ang (ett framkomligt sp˚ar). 14. En eulersk graf a¨ r en framkomlig multigraf. 15. En multigraf a¨ r plan (Planar graph), om den kan ritas s˚a att inga kanter korsar varann.

(Inom parantes st˚ar motsvarande ord p˚a engelska. Varning! Beteckningarna varierar mellan olika f¨orfattare.) Matema R. Emanuelsson

123

7.8. GRAFTEORI

7. DISKRET MATEMATIK

Sats 7 .11 1. Varje bana a¨ r ett sp˚ar. 2. Det finns en v¨ag mellan tv˚a noder , det finns en bana mellan dessa. 3. Relationen u och v a¨ r f¨orbundna med en v¨ag a¨ r en ekvivalensrelation. Motsvarande ekvivalensklass fug a¨ r den st¨orsta sammanh¨angande delgrafen, som inneh˚aller u.

4. (Euler) En multigraf a¨ r framkomlig , h¨ogst tv˚a av dess noder har udda grad.

5. (Euler) I en sammanh¨angande multigraf a¨ r V ; E + R = 2, d¨ar V a¨ r antal noder, E antal kanter och R a¨ r antal omr˚aden. (F¨or omr˚aden se figur 7.3.) 6. (Fyrf¨argsproblemet) F¨or en sammanh¨angande graf kan de olika omr˚adena f¨argl¨aggas med fyra f¨arger, s˚a att tv˚a omr˚aden med gemensam kant f˚ar olika f¨arger. 7. (Kuratowskis sats) En graf a¨ r plan (i planet) om och endast den inte inneh˚aller n˚agon av delgraferna i figur 7.4.

1 3

2

4

Figur 7.1: T.v. En graf med 8 noder. T.h. en fullst¨andig graf.

124

Matema R. Emanuelsson

7. DISKRET MATEMATIK

7.8. GRAFTEORI

Loop Träd

Multigraf

Figur 7.2: T.v. en multigraf, som inte a¨ r en graf. T.h. ett tr¨ad

r1 Sammanhängande multigraf,som r3 delar in planet i tre områden.

Figur 7.3: T.v.

r2

R = 3, V = 4 och E = 5. T.h. Multigraf f¨arglagd med fyra f¨arger.

Figur 7.4: Delgrafer som inte a¨ r plana.

Matema R. Emanuelsson

125

7.9. DIFFERENSEKVATIONER

7.8.1

7. DISKRET MATEMATIK

Tr¨ad

Definition 7.17

Ett tr¨ad a¨ r en cykelfri sammanh¨angande graf.

Sats 7 .12 L˚at G vara en graf med mer a¨ n en nod. D˚a a¨ r i)-iv) ekvivalent. i)

G a¨ r ett tr¨ad.

ii) Varje par av noder a¨ r f¨orbunden med exakt en kant. iii)

G a¨ r sammanh¨angande men om en kant tas bort s˚a a¨r den resulterande grafen icke-sammanh¨angande.

iv)

G inneh˚aller inga cykler men om en kant l¨aggs till G f˚ar den resulterande grafen exakt en cykel.

Om dessutom G a¨ r a¨ ndlig med n > 1 noder, s˚a a¨ r f¨oljande tre p˚ast˚aenden ekvivalenta. i) ii) iii)

7.9

G a¨ r ett tr¨ad. G a¨ r cykelfri med n ; 1 kanter. G a¨ r sammanh¨angande med n ; 1 kanter.

Differensekvationer

En linj¨ar differensekvation med konstanta koefficienter i en (obekant) talf¨oljd (r n )1 n=1 av ordning n a¨ r en ekvation p˚a formen

Definition 7.18

an rn + an;1rn;1 + : : : + a1r1 + a0 r0 = g(n); an 6= 0

(7.24)

Om g(n) = 0 f¨or alla n kallas ekvationen homogen. Det karakteristiska polynomet f¨or differensekvationen a¨ r

an xn + an;1xn;1 + : : : + a1x + a0 = an

126

m Y

(x ; xr )kr ; an 6= 0

r=1

Matema R. Emanuelsson

(2.34)

7. DISKRET MATEMATIK

7.9. DIFFERENSEKVATIONER

Sats 7 .13 1. L¨osningen (rn )1 n=1 till ekvationen (7.24) ges av r n = rn;h +rn;p , d¨ar h st˚ar f¨or homogenl¨osning och p f¨or en partikul¨arl¨osning motsvarande HL = 0 respektive = g(n). (a) Homogenl¨osningen a¨ r

rn;h =

m X r=1

pr (n)xnr d¨ar pr (n) a¨r polynom med grad pr < kr .

(b) En partikul¨arl¨osning f˚as med en l¨amplig ans¨attning som beror p˚a g(n) men a¨ ven p˚a homogenl¨osningen.

(7.25)

HL =

2. Ans¨attning av partikul¨arl¨osning r n;p f¨or n˚agra olika h¨ogerled g(n). (a) (b)

(c)

g(n) = a
nk ; k = 0; 1; 2; : : : . Ans¨att rn;p som ett polynom av grad k. g(n) = xn. Ans¨att rn;p = axn , om x ej a¨ r en rot till det karakteristiska polynomet. Om x a¨ r en rot av multiplicitet k till detta polynom, s˚a ans¨att med xnp(n), d¨ar p a¨ r ett polynom av grad k. F¨or varje term gj (n), j = 1; 1; 2; : : : ; m i h¨ogerledet g(n), s˚a g¨or man en ans¨attning r n;pj . Partikul¨arl¨osningen a¨ r d˚a summan av de olika partikul¨arl¨osningarna.

3. Begynnelsevillkor f¨or differensekvationen (7.24) brukar vara

rk = bk ; k = 0; 1; 2; 3; :: : ; n ; 1 f¨or godtyckliga reella (¨aven komplexa tal), b 0; b1; : : : ; bn;1. Detta ger en entydig l¨osning.

Matema R. Emanuelsson

127

7.10. TALTEORI

7.10

7. DISKRET MATEMATIK

Talteori

Definition 7.19

Vi antar att a; b; m; n a¨ r positiva heltal.

7.10.1 Inledande begrepp 1. En divisor a till b a¨ r ett tal s˚adant att b=a a¨ r ett heltal. 2. 3. 4. 5. 6.

ajb (“a delar b”) betyder att a a¨ r en divisor till b. MGM(n; m) a¨ r den minsta gemensamma multipeln till m och n. SGD(m; n) a¨ r den st¨orsta gemensamma divisorn till m och n. Tv˚a tal m och n a¨ r relativt primiska, om SGD(m; n) = 1. (a) (n) = a¨ r antalet tal av 1; 2; : : : ; n som a¨ r relativt primiska till n (Euler’s totient function).

(b) M¨obius ;funktion definieras som 8 > > <

0; (;1)k ;

> :

(1) = 1

(n) = > (c)

(n) =

X

djn

d och (n) =

X

djn

om n inneh˚aller en j¨amn kvadrat om n = p1
p2
: : :
pk d¨ar pj a¨ r distinkta primtal

1

7. Ett primtal p a¨ r ett heltal  2, s˚adant att dess enda divisorer a¨ r 1 och p. 8. En primtalstvilling a¨ r ett par av primtal p 1 och p2 med 29; 31. 9. Ett reellt tal x som a¨ r l¨osning till ett polynom kallas algebraiskt. Annars a¨ r talet transcendent. 10. Restklasser

f

med rationella koefficienter

mod n: Antag att a; b; n a¨ r heltal n > 0. D˚a definieras relationen a  b mod n , nja ; b

11. En funktion f definierad p˚a Z+ kallas multiplikativ om f¨or alla m; n som a¨ r relativt primiska.

128

jp1 ; p2 j = 2, ex.vis

Matema R. Emanuelsson

(7.26)

f(mn) = f(m)f(n)

7. DISKRET MATEMATIK

7.10. TALTEORI

F¨or ett reellt tal x definieras [x] som heltalsdelen av x. Ett kedjebr˚ak erh˚alls genom att s¨atta a0 = [x] och om x 6= a0 definiera x1 genom x = a0 + 1=x1. Induktivt defineras x n och an genom xn;1 = an;1 + 1=xn, om an;1 6= xn;1. D¨arefter definieras an som an = [xn].

Definition 7.20

x = a0 +

a1 +

1

1

a2 + . .

(7.27) .

kallas ett kedjebr˚ak. Detta skrivs kortare

x = a0 + a 1+ a 1+ : : : eller x = [a0; a1; : : :]

1 2 2 Ett tal reellt tal x som l¨oser ax + bx + c

= 0, som ej a¨ r rationellt kallas kvadratiskt

irrationellt.

Sats 7 .14 1.

x a¨ r ett rationellt tal, x n kan skrivas x = a0 +

= an f¨or n˚agot n, d.v.s. kedjebr˚aket a¨r a¨ndligt, vilket

a1 +

1 a2 + . .

= [a0; a1; : : : ; an]

1 .

(7.28)

1

an

2. Mer exakt s˚a finns en bijektion mellan alla rationella x och alla [a 0; a1; : : : ; an], d¨ar an  2, n = 1; 2; : : : . 3.

x a¨ r kvadratiskt irrationellt

, x = [a0; a1; : : : ; ak;1; ak ; ak+1; : : : ; ak+m;1] d¨ar ak ; ak+1; : : : ; ak+m;1 betyder att am+n tillr¨ackligt stora n.

= an f¨or n˚agot m > 0 och alla

4. Talen [a0; a1; : : : ; an] konvergerar mot x, d˚a x ! 1. Kommentarer:

p

p

2 och 3 a¨ r algebraiska. Talen ln 2,  och e a¨r transcendenta, liksom talet 1 X p ; k ! 2 . Ex.vis a¨r 2 = [1; 2; 2; 2; : : :] = [1; 2]. Talen

k=1

Matema R. Emanuelsson

129

7.10. TALTEORI

7. DISKRET MATEMATIK

Sats 7 .15 Om a1 ; a2; : : : ; an a¨ r algebraiska tal och om b0; b1; b2; : : : ; bn a¨ r algebraiska tal 6= 0, s˚a g¨aller att

eb
ab1
ab2
: : :
abnn

a¨ r transcendent (Baker).

b1 ln a1 + b2 ln a2 + : : : + bn lnan =: c

a¨ r transcendent, om c 6= 0 (Baker).

b1ea + b2ea + : : : + bnean 6= 0

om dessutom alla ai a¨ r olika (Lindemann).

1

0

1

2

2

(7.29)

De f¨orsta 100 primtalen

2; 31; 73; 127; 179; 233; 283; 353; 419; 467;

3; 37; 79; 131; 181; 239; 293; 359; 421; 479;

5; 41; 83; 137; 191; 241; 307; 367; 431; 487;

7; 43; 89; 139; 193; 251; 311; 373; 433: 491;

11; 47; 97; 149; 197; 257; 313; 379; 439; 499;

13; 53; 101; 151; 199; 263; 317; 383; 443; 503;

17; 59; 103; 157; 211; 269; 331; 389; 449; 509;

19; 61; 107; 163; 223; 271; 337; 397; 457; 521;

Euklides algoritm L˚at a och b vara heltal s˚adana att a k och r d¨ar 0  r < b, s˚adana att

a =k+ r b b

23; 67; 109; 167 227; 277; 347; 401; 461; 523;

29 71 113 173 229 281 349 409 463 541

> b > 0. D˚a finns entydiga (7.30)

=: r 1. S˚aledes finns k1 och r2 , d¨ar 0  r2 < b r 2 r1. r = k1 + r . Eftersom r1 > r2  0 a¨ r heltal tar algoritmen slut inom ett antal 1 1 steg. L˚at rn vara den sista resttermen > 0. D˚a a¨ r rn = SGD(a; b). Om r > 0 till¨ampar vi (7.30) p˚a b och r

130

Matema R. Emanuelsson

7. DISKRET MATEMATIK

7.10. TALTEORI

Sats 7 .16 1. MGM(a; b)
SGD(a; b) = ab 2. Det finns o¨andligt med primtal. 3. Varje heltal exakt s˚a a¨ r

n > 0 kan entydigt framst¨allas som produkten av primtal. n=

k Y j =1

pj j ; p1 < p2 < : : : < pk

Mer

(7.31)

d¨ar pj a¨ r olika primtal och  j positiva heltal. 4. 5.

(n) = n ; 1 , n a¨r ett primtal.

(a) Relationen (7.26) a¨ r en ekvivalensrelation.

(b) Ekvivalensklasserna kan representeras av f0; 1; 2; : : : ; n ; 1g =: Zn.

(c) Dessa utg¨or en ring < Zn; +;
> och a¨ r en kropp precis d˚a n a¨ r ett primtal.

6. Funktionerna ; ;  och  a¨ r multiplikativa funktioner. L˚at primtal och pj den h¨ogsta potens av p, som delar n. D˚a g¨aller

(n) = n

Y

p:pjn

(1 ; 1=p); n =

j +1 (n) = (p p ;;1 1) ; pjn Y

X

djn

(n) =

p beteckna ett

(d) (7.32)

Y

pjn

(j + 1)

7. F¨or en multiplikativ funktion f s˚a a¨ r

f(n) =

k Y j =1

f(pj j ) d¨ar n ges av (7.31).

8. Om f a¨ r multiplikativ, s˚a a¨ r g(n) :=

X

d:djn

f(d) multiplikativ.

9. L˚at fpng1 n=1 vara uppr¨akningen av primtalen i storleksordning. D˚a g¨aller

r ; pn lim pn samt lim inf pn+lnn n!1 lnn n!1

 1; pn+r ; pn < (lnn)8r=(8r+1)

f¨or o¨andligt med index n; r > 0 (7.33)

Matema R. Emanuelsson

131

7.10. TALTEORI

7. DISKRET MATEMATIK

Figur 7.5: Antal primtal mellan n2 och (n + 1)2 , n = 1; 2; : : :

; 400

φ( n) Primtal n

n

Figur 7.6:

n versus (n).

Definition 7.21

1. Ett perfekt tal n a¨ r ett positivt heltal s˚adant att n tagen o¨ ver alla divisorer till n.

= 2(n) d¨ar summationen a¨ r

2. Tv˚a tal m och n a¨ r v¨anskapliga om 2(n) = m och 2(m) = n. 1. Talen 6 och 28 a¨ r perfekta tal, ty 1+3+3+6 2
28. De f¨orsta a˚ tta perfekta talen a¨ r

= 2
6 och 1+2+4+7+14+28 =

6 28 496 8128 33550336 8589869056 137438691328 2305843008139952128 132

Matema R. Emanuelsson

7. DISKRET MATEMATIK

7.10. TALTEORI

2. Talparen (m; n) = (220; 284) a¨ r v¨anskapliga. 7.10.1.1 Riemanns z ;funktion Denna funktion definieras som

(z) =

1 X

1 z n n=1

d¨ar z a¨ r ett komplext tal. Summan a¨ r absolutkonvergent f¨or Re (z) funktion g¨aller att

(z) =

1 Y p:primtal

> 1.

F¨or denna

1 (1 ; 1=pz ) ; om Re (z) > 1

(z) kan analytiskt utvidgas till Z;f1g och har nollst¨allen i punkterna z = ;2; ;4; ;6; : : : . Riemanns hypotes a¨ r att ovriga ¨ nollst¨allen ligger p˚a linjen Re(z) = 1=2. 7.10.2 N˚agra resultat

Sats 7 .17 Antag att n a¨ r ett j¨amnt tal.

n a¨ r perfekt precis d˚a det har formen

n = 2p;1 (2p ; 1)

(7.34)

d¨ar 2p ; 1 a¨ r ett primtal (och d¨armed a¨ r p ocks˚a primtal).

Sats 7 .18 Kinesiska restklassatsen Antag n1 ; n2; : : : ; nk a¨ r parvis relativt primiska tal och c 1 ; c2; : : : ; ck godtyckliga heltal. D˚a finns ett heltal x som l¨oser samtliga ekvationer x  c j mod nj ; j = 1; 2; : : : ; k.

Sats 7 .19 Eulers sats

a(n)  1 mod n Fermats lilla sats s¨ager att om p a¨ r ett primtal, s˚a a¨ r a p;1 sats eftersom (p) = p ; 1. Matema R. Emanuelsson

(7.35)

 1 och f¨oljer av Eulers 133

7.10. TALTEORI

7. DISKRET MATEMATIK

Sats 7 .20 Wilson sats

(p ; 1)!  ;1 mod p , p a¨r ett primtal

(7.36)

3! = 2 mod 4 och (n ; 1)! = 0 mod n

(7.37)

Dessutom g¨aller att

f¨or n  6 och n ej primtal.

Sats 7 .21 Liouvilles sats Om x a¨ r ett alegraiskt tal av grad n > 1, s˚a finns ett c = c(x) s˚adan att p=qj < c=qn h˚aller f¨or alla rationella tal p=q (p och q heltal). F¨or varje  > 2 och x finns en konstant C

jx ;

= C(x; ) s˚adan att

jx ; p=qj < C(x; )=q h˚aller f¨or alla rationella tal p=q (p och q heltal). Sats 7 .22 Fermats stora sats Ekvationen

an + bn = cn saknar triviala heltalsl¨osningar (> 0) om och endast om n a¨ r ett heltal > Wiles 1994).

(7.38)

2 (Andrew

Kommentarer: Med trivial heltalsl¨osning menas att a = 0 eller b = 0. Fallet n = 2 tas upp i kapitlet om geometri. Fermats bidrag till beviset var att visa att a4 + b4 = c2 saknar l¨osning, varf¨or a n + bn = cn saknar l¨osning d¨ar n > 2 a¨ r j¨amnt. 1. Varje heltal  0 kan skrivas som summan av fyra heltalskvadrater (Lagrange). 2. L˚at n vara ett heltal. F¨or varje primtal pjn och n = 3

mod p s˚a a¨ r den h¨ogst exponent  f¨or vilken p jn j¨amn.

,

n kan skrivas som en summa av tv˚a heltalskvadrater. 134

Matema R. Emanuelsson

7. DISKRET MATEMATIK

7.10. TALTEORI

(Fermat, Euler) 3. Det a¨ r ovisst om det finns o¨andligt med primtalstvillingar. 4. Inte heller f¨oljande p˚ast˚aende a¨ r bevisat: Varje positivt j¨amnt tal kan skrivas som summan av tv˚a primtal (GoldBachs f¨ormodan). 5. (a) Det finns o¨andligt med primtal p, s˚adana att p + 2 antingen a¨ r ett primtal eller en produkt av tv˚a primtal (Chen 1974).

(b) Varje tillr¨ackligt stort udda heltal> tre primtal (Vinogradov). 6. Heltalsl¨osningarna till a 2+b2 d¨ar x > y

0 kan skrivas som summan av h¨ogst

= c2 kan genereras av heltal s˚adana att

> 0.

8 < :

a = x2 ; y 2 b = 2xy c = x2 + y2

7. Catalans ekvation

xp ; yq = 1

(7.39)

Vad man s¨oker a¨ r givetvis positiva heltalsl¨osningar x; p; y; q. Den enda funna icke-triviala l¨osningen a¨ r 32 ; 23 = 1. 1844 st¨allde Catalan upp hypotesen att det inte finns n˚agra andra l¨osningar. Speciellt m˚aste pjy och qjx. Tijdman visade 1976 att det i alla fall endast finns a¨ ndligt med l¨osningar men att begr¨ansningen (¨an s˚a l¨ange) a¨ r f¨or stor f¨or att kunna l¨osas med datorer. 7.10.3 RSA-kryptering Principen f¨or RSA-kryptering bygger p˚a att tv˚a olika (och stora) primtal p och q endast a¨ r k¨anda f¨or den som vill h˚alla ett krypterat meddelande hemligt men deras produkt pq a¨r k¨and och s˚aledes att faktoriseringen av pq a¨r sv˚ar att g¨ora. Ett meddelande m i ASCII-format s˚adant att m < pq. Dessutom beh¨ovs tv˚a tal d och e s˚adana att de  1 mod (p ; 1)(q ; 1). Observera att '(pq) = (p ; 1)(q ; 1) 1. Krypteringen av m a¨ r talet m d 2.

mod pq. Dekrypteringen av md a¨ r (md )e mod pq. Nu f¨oljer av Eulers sats (7.35) sidan

125 att

(md )e = mde = mk'(pq)+1 = m mod pq

Matema R. Emanuelsson

135

,

7.10. TALTEORI

136

7. DISKRET MATEMATIK

Matema R. Emanuelsson

Del II

Analys i en dimension

137

8

Grundl¨aggande analys 8.1

Element¨ar topologi p˚a R

M¨angden av de reella tal, vilka ges av olikheten ;1 < x  3 skrives med intervallklamrar: (;1; 3]. Detta a¨ r ett exempel p˚a ett intervall. Dubbelolikheten ovan kan allts˚a uttryckas som att x 2 (;1; 3].

-1

3 x

Figur 8.1: Illustration av intervallet (

Definition 8.1

;1; 3].

F¨oljande fyra typer av intervall definieras genom ekvivalenserna

nedan:

a < x  b , x 2 (a; b] a  x < b , x 2 [a; b) a  x  b , x 2 [a; b] a < x < b , x 2 (a; b) Kommentarer: Punkterna a och b kallas a¨ ndpunkter. Intervall a¨ r allts˚a delm¨angder av R. Intervallet (;1; 3] a¨ r en delm¨angd ( delintervall) av ex.vis (;3; 4). 139

(8.1)

R ! R)

8.2. REELLA FUNKTIONER (

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

De tv˚a sista intervallen i definitionen kallas slutet respektive oppet ¨ intervall. Endast vid s.k. str¨ang olikhet (<) till˚ates att a = ;1 eller b = 1. Ett x som uppfyller a < x < b, ligger i det inre av respektive intervall (8.1). Ett s˚adant x kallas inre punkt till respektive intervall. Ett intervall (a; b) s˚adant att a < x < b kallas en omgivning till x. (Mer allm¨ant definieras en omgivning till en punkt x som en oppen ¨ m¨angd, vilken inneh˚aller x eller a¨ nnu mer allm¨ant: En omgivning O a¨ r en m¨angd s˚adan att det finns ett o¨ ppet intervall (a; b), s˚adant att x 2 (a; b)  O.) En o¨ ppen m¨angd G a¨ r en m¨angd s˚adan att till varje punkt x 2 G, s˚a finns en omgivning (a; b) till x s˚adan att x 2 (a; b)  G. Speciellt a¨ r ett o¨ ppet intervall en oppen ¨ m¨angd. Man kan visa att G a¨ r oppen ¨ , G a¨ r en union av o¨ ppna intervall. Ett intervall d¨ar a ej a¨ r ;1 och b ej a¨ r 1 kallas begr¨ansat.

Ett intervall av formen begr¨ansat.

8.2

[a; b] kallas kompakt intervall och a¨r allts˚a slutet och

Reella funktioner (R ! R)

Definition 8.2

En funktion f bet˚ar av tre delar, dels tv˚a m¨angder X och Y och en regel f , som s¨ager att till varje x 2 X finns precis ett y 2 Y . Det entydigt best¨amda y, som motsvarar ett x skrives f(x), d.v.s.

y = f(x).

M¨angden X skrives Df (l¨ases definitionsm¨angden till f). F¨or en delm¨angd A  Df betyder f(A)

= ff(x); x 2 Ag. Speciellt betecknas f(X) = f(Df ) =: ff(x) : x 2 Df g med Vf

(l¨ases

v¨ardem¨angden till f).

x och y kallas variabler. En funktion f a¨ r begr¨ansad p˚a m¨angden A  D f om det finns ett reellt tal M , s˚adant att jf(x)j  M f¨or alla x 2 A. Funktionsbegreppet finns ocks˚a p˚a sidan 99.

Kommentarer: F¨or en funktion g betecknas definitions- och v¨ardem¨angd D g resp. Vg etc. 140

Matema R. Emanuelsson

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

8.2. REELLA FUNKTIONER (

R ! R)

Man vill med uttrycket “precis ett” undvika flertydighet. Man kan s¨aga att funktioner a¨ r uttryck med entydigt best¨amt v¨arde.

x ben¨amns ibland “oberoende variabel”. Df a¨ r i allm¨ p anhet den st¨orsta m¨ojliga m¨angd f¨or vilket f(x) har betydelse; Om f(x) = 2 ; x, s˚a a¨r Df = fx : x  2g. Av definitionen av funktion f

:X !Y

f¨oljer att D f

= X , emedan Y  Vf .

I detta kapitel behandlas enbart funktioner av en variabel, varmed menas att X och Y a¨ r delm¨angder av R. En funktion kallas ocks˚a f¨or avbildning. De funktioner i en variabel som presenteras (de element¨ara funktionerna) kan a˚ terges i ett koordinatsystem med tv˚a vinkelr¨ata axlar. Punkterna (x; y) = (x; f(x)) a¨r d˚a kartesiska koordinater. 8.2.1

Injektiv, surjektiv och bijektiv funktion

Antag att f a¨ r en funktion f : X ! Y . Av definitionen av funktion f¨oljer, som tidigare p˚apekats, att Df = X , emedan Y  Vf .

Definition 8.3

1. En funktion s˚adan att Y 2.

= V f kallas surjektiv (i anglosaxisk litteratur: “onto”). En funktion s˚adan att f¨or varje y 2 Y finns h¨ogst ett x 2 D f = X , s˚adant att f(x) = y kallas injektiv (i anglosaxisk litteratur: ”one to one”).

3. En funktion kallas bijektiv om den a¨ r b˚ade surjektiv och injektiv. 4. F¨or en bijektiv funktion f definieras inversen f ;1 genom

f(x) = y , f(y) = x f¨or alla (x; y) 2 Df  Vf

Matema R. Emanuelsson

(8.2)

141

R ! R)

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

8.2. REELLA FUNKTIONER (

Figur 8.2: Graferna f (x) = y och f ;1 (x) = y a¨ r spegelbilder i linjen x = y.

Definition 8.4

1. L˚at f och g vara tv˚a funktioner och x 2 D f

\ Dg . D˚a definieras f(x) + g(x) =: (f + g)(x); f(x) ; g(x) = (f ; g)(x) f(x)g(x) =: (fg)(x);

f(x) = f (x) g(x) g

(8.3)

X , Z och Y a¨r (icke-tomma) delm¨angder av R, g : X ! Z samt f : Z ! Y samt Vg  Z , s˚a a¨r f  g : X ! Y (L¨ases ”f ring g”) definierad som f(g(x)) = y, den sammansatta funktionen av f och g. Med f¨oruts¨attningar som ovan kallas z = g(x) den inre funktionen och y = f(z) den yttre funktionen.

2. Antag att

Kommentarer:

Funktionen f(x) = y har invers 142

, f(x) a¨r bijektiv

Matema R. Emanuelsson

(8.4)

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

¨ 8.3. DE ELEMENT ARA FUNKTIONERNA

Sammans¨attning av inverterbar funktion och dess invers:

f(f ;1 (x)) = x; x 2 Vf

och

f ;1 (f(x)) = x; x 2 Df

(8.5)

Av figur 8.2 ser vi att graferna till funktionen och dess invers a¨ r spegelbilder i linjen y = x. 8.2.2

Symmetri; j¨amn och udda funktion (I)

Definition 8.5

1. F¨or en symmetrisk delm¨angd A  R m.a.p.

x = 0 g¨aller att

x 2 A , ;x 2 A 2. Den symmetriska m¨angden [;a; a] a¨ r ett symmetriskt intervall. 3. En funktion a¨ r j¨amn om f(;x) = f(x); 4.

8.3

x 2 A. En funktion a¨ r udda om f(;x) = ;f(x); x 2 A.

De element¨ara funktionerna

De element¨ara funktionerna kan delas in i algebraiska och transcendenta funktioner. 8.3.1

Algebraiska funktioner

Bland algebraiska funktioner a˚ terfinns rotfunktioner (ex,vis g(x) nom och rationella funktioner och sammans¨attningar av dessa 1 . 8.3.1.1

p

= 1 ; x), poly-

Polynomfunktioner

Definition 8.6

Ett polynom av grad n i variabeln x

f(x) = anxn + an;1xn;1 + : : : + a1 x + a0

d¨ar

an 6= 0

(8.6)

a¨ r en funktion av variabeln x. En rationell funktion r en kvot av tv˚a polynom, d.v.s.

p(x) r(x) = q(x)

(8.7)

d¨ar p(x) och q(x) 6= 0 a¨ r polynom. Definitionsm¨angden a¨ r givetvis m¨angden av alla x, s˚adana att q(x) 6= 0. 1 Med en algebraisk funktion menas en funktion y indirekt/implicit given av ett samband f (x;y ) d¨ar f a¨ r ett polynom i x och y .

Matema R. Emanuelsson

= 0, 143

¨ 8.3. DE ELEMENTARA FUNKTIONERNA

8.3.2

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

Transcendenta funktioner

De transcendenta funktionerna omfattar trigononometriska funktioner och exponentialfunktioner 2 inklusive deras inversfunktioner. 8.3.3

Potensfunktioner

Potensfunktioner a¨ r funktioner p˚a formen f(x) funktionen algebraisk.

= C
x a . Om a a¨ r ett rationellt tal a¨ r

Figur 8.3: N˚agra potensfunktioners grafer med C

8.3.4

=1

Exponentialfunktioner

Definition 8.7

1. En exponentialfunktion har konstant bas och variabel exponent.

f(x) = C
ax Varje exponentialfunktion kan skrivas om med formen Cekx = ekx+m .

(8.8)

e som bas, n¨armare best¨amt p˚a

2. Hyperbolicusfunktionerna definieras som

x ;x x ;x cosh x = e +2 e ; sinh x = e ;2 e (8.9) sinh x cosh x tanh x = cosh x ; coth x = sinh x ; cosh utl¨ases “kosinushyperbolicus” och sinh utl¨ases “sinushyperbolicus”. 2 Dessa tv˚ a

144

funktionstyper utg¨ors i komplex analys av en funktionstyp eftersom e Matema R. Emanuelsson

ix = cos x + i sin x.

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

¨ 8.3. DE ELEMENT ARA FUNKTIONERNA

y

4 3 2 1

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

N˚agra exponentialfunktioners grafer

y=cosh x y=sinh x

Kurvorna y

= cosh x och y = sinh x

y=tanh x

Kurvan y

= tanh x

Matema R. Emanuelsson

145

¨ 8.3. DE ELEMENTARA FUNKTIONERNA

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

y=coth x

y=coth x Kurvan y = coth x

Definition 8.8

Hyperbolicusfunktionerna och deras inversfunktioner (hyperbolicus). hyperbolicus

arcushyperbolicus (Inversfunktion)

cosh x; x  0

arccosh x = ln(x +

sinh x

arcsinh x = ln(x +

tanh x

1 1+x arctanh x = ln 2 1;x

coth x

1 x+1 arccoth x = ln 2 x;1

p

p

x2 ; 1)

x2 + 1)









(8.10)

Sats 8 .1

cosh(x  y) = cosh x cosh y  sinh y sinh x sinh(x  y) = sinh x cosh y  sinh y cosh x x  tanh y tanh(x  y) = 1tanh  tanh x tanh y cosh2 x ; sinh2 x = 1;

cosh2 x + sinh2 x = cosh 2x

2 cosh x sinhx = sinh 2x; 1 ; tanh2 x = 146

(8.11)

Matema R. Emanuelsson

1 cosh2 x

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

8.3.5

¨ 8.3. DE ELEMENT ARA FUNKTIONERNA

Logaritmfunktioner

Den naturliga logaritmfunktionen definieras som inversfunktionen till exponentialfunktionen y = e x = exp(x) (se a¨ ven sidan 30 ff):

Definition 8.9

lnx = y , ey = x Funktionen f(x)

(8.12)

= log a x definieras som inversfunktionen till y = a x, loga x = y , ay = x; a > 0; a 6= 1

d.v.s. (8.13)

y 1 0.5 1

2

4

3

x

-0.5 -1 -1.5 -2

Kurvorna y

8.3.6

= lg x och y = ln x.

Trigonometriska funktioner y 1 −2π

π

−π

2π x

-1

Kurvan y

= sin x

y

1 −2π

π

−π

2π x

-1

Kurvan y

= cos x

Matema R. Emanuelsson

147

¨ 8.3. DE ELEMENTARA FUNKTIONERNA

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

y

x

Kurvan y

= tan x j¨amte de lodr¨ata asympoterna x = =2 + n; n = 0; 1; 2; : : :

De trigonometriska uttrycken a¨ r definierade p˚a sidan 47. Dessa kan betraktas som funktioner:

Definition 8.10

x 7! sin x;

x 7! cos x

x 7! tan x;

x 7! cot x

(8.14)

x 7! sin1 x =: csc x; x 7! cos1 x =: sec x

csc l¨ases “kosekanten” och sec l¨ases “sekanten”. 8.3.7

Arcusfunktioner y

y

1.5

3

1

2.5

0.5 -1

-0.5

2 0.5

1

-0.5

1

-1

0.5

-1.5

y = arcsin x och t.h. y = arccos x. y = =2: T.v.

148

1.5

x

-1

Nedan:

-0.5

0.5

1

x

y = arctan x och dess tv˚a asymptoter

Matema R. Emanuelsson

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

¨ 8.3. DE ELEMENT ARA FUNKTIONERNA y

y = π/2 y = arctan x x y = −π/2

Definition 8.11

Arcusfunktionerna

sin x = y , x = arcsin y

om ;=2  x  =2

cos x = y , x = arccos y

om 0  x  

tan x = y , x = arctan y

om ;=2 < x < =2

cot x = y , x = arccot y

om 0 < x < 

Matema R. Emanuelsson

(8.15)

149

¨ 8.3. DE ELEMENTARA FUNKTIONERNA

8.3.8

Element¨ara funktioner, sammanfattning

Funktion

x2 x3 f(x);

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

polynom av udda grad polynom av j¨amn grad

f(x); x1=2n ; n = 1; 2; : : : x1=(2n;1) ; n = 1; 2; : : : ax ; a 6= 1; a > 0 cosh x sinh x tanh x coth x arccosh x arcsinh x arctanh x arccoth x ln x cos x sin x tan x arccos x arcsin x arctan x arccot x8 0 om x < 0 > > > > <

(x) = > 1=2 > > > :

1

om

x=0

om

x>0

Definitionsm¨angd R R

V¨ardem¨angd

fx : x  0g

R

R

R

[fmin ; 1) om an > 0 (;1; fmax ] om an < 0 fx : x  0g

R

fx : x  0g

R R R R R R ; f0g R+ R

R R+ R+ R

(;1; 1) R ; [;1; 1]

R R R R ; f0g R

(;1; 1) R ; [;1; 1]

R+ R R

fx : x 6= (2n ; 1)=2g n2Z [;1; 1] [;1; 1]

[;1; 1] [;1; 1] R

R R

[0; ] [;=2; =2] (;=2; =2) (0; )

R

f0; 1=2; 1g (8.16)

Kommentarer: Funktionen  kallas Heavisides funktion. H¨ar a¨ r mellan 0 och 1. 150

(0) definierad som medelv¨ardet

Matema R. Emanuelsson

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

8.3.9

Olika klasser av funktioner

Beteckning

C0

CC Cn C1 Lp

¨ 8.3. DE ELEMENT ARA FUNKTIONERNA

Beskrivning Kontinuerlig funktion Kontinuerlig funktion med kompakt st¨od Funktion med kontinuerlig derivata av ordning n. Obegr¨ansat deriverbar funktion M¨atbar funktion med jjf jj p < 1

8.3.10 Tv˚a speciella grafer

1. Parabeln (a) Grafen av varje andragradspolynom a¨ r en parabel. (b) Varje parabel har en symmetriaxel. P˚a denna ligger parabelns fokalpunkt. F¨or en linje (str˚ale) parallell med symmetrilinjen och som reflekteras mot parabeln g¨aller att den “reflekterade” linjen g˚ar genom fokalpunkten. Parabeln a¨ r den enda kurva med denna egenskap. (c) En paraboloid f˚as genom att parabeln roterar kring symmetriaxeln. D¨arf¨or a¨ r en paraboloid (parabol) en l¨amplig yta f¨or s¨andning och mottagning av signaler. (d) Med y

x2 = 4F

a¨ r fokalpunkten (x; y) = (0; F ) = f .

F

Symmetriaxel

2. Grafen av en ekvation av typen x2 ; y2 = c kallas hyperbel. I figuren a¨ r c > 0 och asymptoterna (streckade) a¨ r x = y. En hyperbel f˚as a¨ ven genom ekvationen xy = 1. D˚a a¨ r asymptoterna x; och y;axlarna.

Parabel respektive hyperbel

Matema R. Emanuelsson

151

¨ ¨ 8.4. GRANSV ARDE OCH KONTINUITET

8.4 8.4.1

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

Gr¨ansv¨arde och kontinuitet Definition av gr¨ansv¨arde

Definition 8.12

1. Gr¨ansv¨arde d˚a x ! a, d¨ar a 2 R: F¨or varje " > 0 finns ett  > 0 s˚adant att 0 < jx ; aj <  ) jf(x) ; Aj < "

(8.17)

Detta skrivs kortare

lim f(x) = A eller f(x) ! A; d˚a x ! a

x!a

2. Gr¨ansv¨arde d˚a x ! a, d¨ar a = 1: F¨or varje " > 0 finns M > 0 s˚adant att x > M ) jf(x) ; Aj < "

(8.18)

Detta skrivs kortare

lim f(x) = A eller f(x) ! A om x ! 1

x!1

3. Gr¨ansv¨arde d˚a x ! a, d¨ar a = ;1: F¨or varje " > 0 finns M < 0 s˚adant att x < M ) jf(x) ; Aj < "

(8.19)

Detta skrivs kortare

lim f(x) = A eller f(x) ! A om x ! ;1

x!;1

Kommentarer: I definitionen (8.12) f¨oruts¨atter att D f varje  > 0.

\ fx : 0 < jx ; aj <  g a¨ r icketom f¨or

Ett uttryck/funktion f(x), som g˚ar mot ett (entydigt) v¨arde A 2 R, d˚a x g˚ar mot a, s¨ages ha gr¨ansv¨ardet A d˚a x g˚ar mot a. Detta skrivs lim f(x) = A eller f(x) ! A; d˚a x ! a (8.20) x!a Att f(x) 152

! A l¨ases ocks˚a “f(x) konvergerar mot A”. Matema R. Emanuelsson

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

¨ ¨ 8.4. GRANSV ARDE OCH KONTINUITET

A = ;1 eller A = +1 kallas oegentliga gr¨ansv¨arden och d˚a anv¨andes inte skrivs¨attet “lim”. Om A = 1 eller inte a¨ r entydigt s¨ages gr¨ansv¨ardet ej existera. Man s¨ager d˚a att f(x) divergerar. Gr¨ansv¨arde d¨ar x ! a fr˚an v¨anster skrivs x ! a ; och kallas v¨anstergr¨ansv¨arde. Gr¨ansv¨arde d¨ar x ! a fr˚an h¨oger skrivs x ! a + och kallas h¨ogergr¨ansv¨arde. 8.4.2

R¨akneregler f¨or gr¨ansv¨arden

Sats 8 .2 Om k en konstant, f(x) ! A och g(x) ! B , d˚a x ! a, d¨ar a men inte A eller B till˚ats vara = 1, s˚a g¨aller:

f(x) + g(x) ! A + B f(x) ; g(x) ! A ; B

k
f(x) ! k
A f(x)
g(x) ! A
B

f(x) ! A g(x) B f(x)g(x) ! AB

d˚a

(8.22)

6= 0

(8.23)

om A > 0

(8.24)

om B

(8.21) a¨ r linearitetsegenskapen hos gr¨ansv¨arde. Om dessutom h(y) s˚a g¨aller att

h(g(x)) ! C

(8.21)

x!a

! C d˚a y ! B (8.25)

Det sista p˚ast˚aendet betyder, kort uttryckt, att

lim h(g(x)) = C

(8.26)

f(x)B ! AB och Ag(x) ! AB d˚a x ! a

(8.27)

x!a Speciellt a¨ r

Ytterligare en viktig sats a¨ r

Sats 8 .3 Inst¨angningslagen Antag att f(x)  g(x)  h(x) och att f(x) ! B och h(x) ! B d˚a x ! a D˚a g¨aller a¨ ven att

g(x) ! B

d˚a

x!a

Matema R. Emanuelsson

(8.28)

153

¨ ¨ 8.4. GRANSV ARDE OCH KONTINUITET

8.4.3

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

F¨oljdsats till inst¨angningslagen

Sats 8 .4 Antag att h(x) ! 0 och att 0  g(x)  h(x) d˚a x ! a. D˚a g¨aller att

1: g(x) ! 0 2: jh(x)j ! 0 3:

8.4.4

och till sist, antag att f(x) = h(x)
k(x), d¨ar k(x) begr¨ansad, d.v.s. jk(x)j  M . D˚a f¨oljer att a¨ ven f(x) ! 0.

(8.29)

Storleksordning mellan exp-, potens- och logaritmfunktioner

Sats 8 .5 Antag att a > 1 och c > 0. D˚a g¨aller

xb ! 0 ax (ln x)b ! 0 xc

j lnxjb
xc ! 0 8.4.5

d˚a x ! 1

(8.30)

d˚a x ! 1

(8.31)

d˚a x ! 0+

(8.32)

Gr¨ansv¨arde f¨or trigonometriska funktioner

Det grundl¨aggande gr¨ansv¨ardet f¨or trigonometriska funktioner a¨ r

Sats 8 .6

lim sinx x = 1

x!0

(8.33)

Gr¨ansv¨ardet f¨oruts¨atter att x a¨ r i radianer. Detta g¨aller f.¨o. i all reell analys. Gr¨ansv¨ardet g¨aller a¨ ven f¨or komplex variabel x. 154

Matema R. Emanuelsson

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

8.4.6

8.5. KONTINUITET

N˚agra speciella gr¨ansv¨arden

Sats 8 .7

lim (1 + 1=n)n = e; n!1 lim (1 + x=n)n = ex

n!1



;n 1 + n + n2 + : : : + nn = 1 lim e n!1 2! n! 2

xn = 0; lim n!1 n!

lim tan ax = a x!0 x

lim x1=x = 0;

(8.34)

lim x1=x = 1

x!0+

8.5



lim (1 + h)1=h = e; h!0

x!1

Kontinuitet

Kontinuitet a¨ r en egenskap hos funktioner.

8.5.1

Definition av kontinuitet

Vi betraktar reella funktioner, definerade i (en union av) intervall.

y y=f(x)

a Figur 8.4: Funktionen a¨ r diskontinuerlig i tionsm¨angden.

x

x = a men kontinuerlig f¨or o¨ vriga x i defini-

Matema R. Emanuelsson

155

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

8.5. KONTINUITET

Definition 8.13

L˚at f(x) vara en reell funktion.

i) DEFINITION av kontinuitet i en punkt x = a 2 D f En funktion f(x) a¨ r kontinuerlig i en punkt x = a, om F¨or varje

" > 0 finns ett  > 0 s˚adant att

jx ; aj <  ) jf(x) ; f(a)j < "

(8.35)

Detta skrivs

f(x) ! f(a); lim f(x) x!a

om eller

=

ii) DEFINITION av kontinuitet p˚a en m¨angd En funktion f a¨ r kontinuerlig p˚a en m¨angd E varje punkt, x 2 E .

x!a f(a)

(8.36)

 D f , om den a¨ r kontinuerlig i

iii) En funktion som inte a¨ r kontinuerlig kallas diskontinuerlig. Om detta g¨aller f¨or en funktion f(x) f¨or ett specifikt x = a, s¨ages funktionen vara diskontinuerlig i x = a eller ha en diskontinuitet i x = a. iv) Om f¨or varje " > 0, det finns ett 

> 0, s˚adant att

(a)

jx ; x0j <  ) jf(x) ; f(x0 )j < "

(8.37)

x; x0 2 M , s¨ags funktionen vara likformigt kontinuerlig p˚a m¨angden M och (b)

jx ; x0j <  ) jf(x) ; f(x0 )j < "

(8.38)

x; x0 2 M , s¨ags funktionen vara Lipschitzkontinuerlig av ordning (> 0) p˚a m¨angden M .

Kommentarer: Observera att definitionen i) f¨oruts¨atter att tionsm¨angd.

x = a tillh¨or funktionens defini-

Definitionerna kan generaliseras till funktioner 1; 2; : : : . 156

Matema R. Emanuelsson

f : Rm ! Rn, d¨ar m; n =

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

8.5.2

8.5. KONTINUITET

R¨akneregler f¨or kontinuitet

Sats 8 .8 Summan Summan, differensen produkten, kvoten och sammans¨attningen av tv˚a kontinuerliga funktioner a¨ r kontinuerlig. Kvoten f(x)=g(x) f¨oruts¨atter att g(a) 6= 0. 8.5.3

N˚agra satser om kontinuitet

En reell funktion f antar ett st¨orsta v¨arde p˚a en m¨angd A  D f , om det finns ett x0 2 A s˚adant att f(x0 ) =: fmax  f(x) f¨or alla x 2 A. En funktion f antar ett minsta v¨arde f min , om ;f antar ett st¨orsta v¨arde. D˚a a¨ r fmin = ;fmax . Definition 8.14

Sats 8 .9 Antag att f a¨ r en kontinuerlig funktion i ett kompakt intervall [a; b]. 1. (Satsen om st¨orsta och minsta v¨arde) tervallet. 2. (Satsen om mellanliggande v¨arde) minsta v¨arde i intervallet. 3.

f

f antar ett st¨orsta och minsta v¨arde i inantar alla v¨arden mellan sitt st¨orsta och

f([a; b]) av ett kompakt intervall [a; b] a¨ r ett kompakt intervall [fmin ; fmax ], d¨ar min och max avser f i intervallet [a; b]. Om f a¨ r definierad i ett intervall I , s˚a g¨aller att dess bild under f ocks˚a a¨ r

(a) bilden (b)

ett intervall. 4. 5.

f a¨ r likformigt kontinuerlig. f(x) a¨ r inverterbar , f a¨ r str¨angt monoton

6. Om inversen existerar s˚a a¨ r den ocks˚a kontinuerlig.

Matema R. Emanuelsson

157

8.5. KONTINUITET

158

¨ 8. GRUNDLAGGANDE ANALYS

Matema R. Emanuelsson

9

Derivata 9.1

Riktningskoefficient

Kommentarer:

Talet k i linjens ekvation y ett m˚att p˚a linjens lutning.

= kx + m kallas linjens riktningskoefficent och a¨ r

Om vi betecknar linjens vinkel med positiva x;axeln , s˚a a¨ r k = tan .

En linje p˚a formen x = a har ingen riktningskoefficient. Alternativt kan en s˚adan linje s¨agas ha riktningskoefficienten 1.

F¨or en linje p˚a formen y = kx + m kan y ses som en funktion av x; ex.vis f(x) = kx + m. Riktningskoefficienten k a¨r ett specialfall av derivata. 159

9.1. RIKTNINGSKOEFFICIENT

9.1.1

9. DERIVATA

En - och tv˚apunktsformeln

Sats 9 .1 Givet en linje p˚a formen y (Se t.v. i figur 9.1).

= kx+m. d¨ar x 2 R och k samt m a¨ r konstanter

1. Tv˚apunktsformeln ger riktningskoefficienten k:

y1 k = xy2 ; ; 2 x1

(9.1)

; y1 k = xy ; x

(9.2)

k(x ; x1 ) = y ; y1

(9.3)

2. Enpunktsformeln

1

ger linjens ekvation och skrivs

3. Linjen g˚ar genom punkten (0; m), d.v.s. Linjen sk¨ar y;axeln i den punkt som har y;koordinaten m.

y y y = k x+m (x1, y1 )

t

an

k Se

t Tangen

(x , y )

x

2 2

Linje

x

y = f(x)

Figur 9.1: T.v.: Linje p˚a formen y = kx + m. T.h.: Sekant- och tangentlinje till kurva.

160

Matema R. Emanuelsson

9. DERIVATA

Definition 9.1

9.1. RIKTNINGSKOEFFICIENT

Uttrycket

f(x +
x) ; f(x) =
f
x
x

(9.4)

kallas differenskvot1 och a¨ r sekantens riktningskoefficient f¨or linjen genom punkterna (x; f(x)) och (x +
x; f(x +
x)) (figur 9.1). Om gr¨ansv¨ardet

f(x +
x) ; f(x) =: f 0 (x) lim
x!0
x

(9.5)

existerar a¨ r f vara deriverbar i x. Gr¨ansv¨ardet f 0 (x) kallas derivatan av f (i punkten x). Derivatan framst¨alls ocks˚a som en differentialkvot, en kvot mellan tv˚a o¨andligt sm˚a tal betecknade df och dx. H¨ar f¨oljer ett antal s¨att att beteckna derivata p˚a.

df = d f Df(x) = f 0 (x) = dx dx

(9.6)

; f(a) = f 0 (a) lim f(x)x ; a

(9.7)

Derivatan i x; koordinaten a kan skrivas

x!a

F¨oljande tolkningar a¨ r centrala f¨or f¨orst˚aelsen av derivata:

   

Geometriskt a¨ r derivatan tangententens riktningskoefficient i en given punkt (x; f(x)). Analytiskt a¨ r derivatan ett m˚att p˚a funktionens momentana f¨or¨andring i en given punkt (x; f(x)). Med beteckningarna str¨acka s; momentant l¨age och v; momentan hastighet, vid tiden t, s˚a a¨ r

ds = v. dt

Om gr¨ansv¨ardet

f(x +
x) ; f(x) =: f 0 (x) lim H
x!0
x

(9.8)

+

existerar kallas detta h¨ogerderivatan av f . P˚a motsvarande s¨att definieras v¨ansterderivatan betecknad fV0 (x).

0 0  xlim 0 !x f (x) beh¨over inte existera a¨ ven om f (x) existerar.  F¨or att beteckna derivatan av f(x) f¨or ett specifikt x;v¨arde, s¨ag x = 2, skriver man f 0 (2) eller

df . dx x=2

Matema R. Emanuelsson

161

9.1. RIKTNINGSKOEFFICIENT

9.1.2

9. DERIVATA

Kontinuitet och deriverbarhet

Deriverbarhet a¨ r ett tillr¨ackligt villkor f¨or att en funkton skall vara kontinuerlig:

Sats 9 .2 Antag att funktionen f(x) a¨ r deriverbar i x kontinuerlig i denna punkt.

9.1.2.1

= a.

D˚a a¨ r funktionen ocks˚a

Lite om infinitesimaler

H¨ar tar den s.k. infinitesimalkalkylen vid 2 . Att r¨akna med o¨andligt sm˚a och stora tal har l¨ange accepterats bland fysiker men har betraktats med skepcis av matematiker. Dessa infinitesimaler omfattar bl.a. uttryck som dx, dy , vilka som tidigare n¨amnts kallas differentialer. D¨arf¨or kallas entialerna inf¨ordes av Newton och Leibniz 3 . Den samtida George Berkeley

dy f¨or differentialkvot. Differdx 4 skrev

“And what are these same evanescent increments? They are neither finite quantities, nor quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them ghosts of departed quantities?” A.E. Hurd, P.A. Loeb, An introduction to nonstandard real analysis Det tog l˚ang tid innan matematiker kunde ge en tillfredst¨allande f¨orklaring av dessa o¨andligt sm˚a storheter. Inte f¨orr¨an omkring 1960 kom den s.k. Icke-standardanalysen (eng. Nonstandard analysis), vilken ger en logisk och algebraisk f¨orklaring. Man kan se det som att de reella talen kan utvidgas till att a¨ ven omfatta o¨andligt sm˚a och stora tal. Denna utvidgade m¨angd kallas m¨angden av de hyperreella talen.

2 Egentligen b¨ orjar

infinitesimalkalkylen redan i samband med gr¨ansv¨arde. Newton, engelsk fysiker och matematiker 1643-1727 och Gottfried Wilhelm von Leibniz tyskR matematiker, 1646-1716. B˚ada anses ha uppt¨ackt infinitesimalkalkylen oberoende av varann. Tecknet inf¨ordes av L. ett stiliserat s av tyskans S UMME . 4 George Berkeley, 1685 - 1753 3 Isaac

162

Matema R. Emanuelsson

9. DERIVATA

9.1.3

9.1. RIKTNINGSKOEFFICIENT

Tangent, normal och asymptot

Definition 9.2

1. Om funktionen y = f(x) a¨ r deriverbar i x kurva i punkten (a; f(a)) av

= a ges tangentens ekvation till en

y ; f(a) = f 0 (a)(x ; a)

(9.9)

2. Om funktionen f(x) a¨ r definierad i punkten x = a, och

3.

f(x) ; f(a) ! 1 eller ; 1 d˚a x ! a eller d˚a x ! a ; + x;a s˚a ges tangenten av ekvationen x = a, om den existerar. En linje l1 kallas normal till en linje l 2 om l1 sk¨ar l2 under r¨at vinkel.

4. Asymptoter: (a) En sned asymptot till en funktion f(x) som en linje y

= kx + m s˚adan att

f(x) ; (kx + m) ! 0 d˚a x ! ;1 eller x ! +1 (b) En lodr¨at asymptot definieras som en linje p˚a formen x f(x) ! ;1 eller f(x) ! 1 d˚a x ! a; eller x ! a+ .

Sats 9 .3 Om och endast om f¨oljande tv˚a gr¨ansv¨arden existerar har y asymptot (y = kx + m), d˚a x ! 1:

(9.10)

= a s˚adan att

= f(x), en sned

lim f(x) !1 f(x) ; kx = m x = k och xlim Motsvarande p˚ast˚aende g¨aller f¨or x ! ;1. x!1

(9.11)

Sats 9 .4 Om koordinataxlarna har samma skala, s˚a g¨aller ekvivalensen nedan. En linje l1 har riktningskoefficient k d¨ar k 6= 0.

,

Varje normallinje l 2 har riktningskoefficient ;1=k Matema R. Emanuelsson

163

9.2. DERIVERINGSREGLER

9.2

9. DERIVATA

Deriveringsregler

Sats 9 .5 Om funktionerna f(x) och g(x) a¨ r deriverbara s˚a a¨ r

D(af(x) + bg(x)) = aDf(x) + bDg(x); (Linearitetsegenskapen) Df(g(x)) = f 0 (g(x))
g0 (x) D(f(x)g(x)) = f(x)g0 (x) + g(x)f 0 (x) 

D f(x) g(x)



(9.12)

0 ; f(x)g0 (x) = f (x)g(x) [g(x)]2

d¨ar a; b a¨ r konstanter och g terar.

6= 0 f¨or kvoten, samt att sammans¨attningen f(g(x)) exis-

Sats 9 .6 Deivatan av polynomet

f(x) = an xn + an;1xn;1 + : : : + a1 x + a0 a¨ r

f 0 (x) = nan xn;1 + (n ; 1)an;1xn;2 + : : : + a1

(9.13)

Kommentarer: Med f 0 (g(x)) menas derivatan av f m.a.p. z = g(x). Denna derivata kallas yttre derivata emedan g0 (x) a¨ r derivata m.a.p. x och kallas inre derivata. Ett l¨att s¨att att komma ih˚ag formeln p˚a och samtidigt ett exempel p˚a differentialr¨akning a¨ r genom omskrivningarna

df och g0 (x) = dz f 0 (g(x)) = f 0 (z) = dz dx varvid derivatan av den sammansatta funktionen f(g(x)) kan skrivas

df df dz dx = dz
dx ; (kedjeregeln) 164

Matema R. Emanuelsson

(9.14)

9. DERIVATA

Definition 9.3

9.2. DERIVERINGSREGLER

Andraderivatan definieras, i den m˚an den existerar, som 



d df =: d2f dx dx dx2

(9.15)

H¨ogre derivator definieras induktivt: 



d dnf =: dn+1 f dx dxn dxn+1 Sats 9 .7 Om f a¨ r deriverbar och f(x)

0

(9.16)

6= 0, s˚a a¨ r

(x) eller ekvivalent f(x)
D ln jf(x)j = f 0 (x) D ln jf(x)j = ff(x)

(9.17)

Att ber¨akna f 0 (x) m.h.a. den andra identiteten kallas logaritmisk derivering.

f(x) = g(x)h(x) ) f 0 (x) = g(x)h(x)






g0 (x)
h(x) + ln(g(x))
h0(x) g(x)

Matema R. Emanuelsson

(9.18)

165

9.2. DERIVERINGSREGLER

9.2.1

9. DERIVATA

Derivata av de element¨ara funktionerna

Df(kx + m) = kf 0 (kx + m) Dx = 
x;1;  2 R D cos x = ; sin x ; D sin x = cos x Dax = ax ln a ; D ln x = x1

D tan x = cos12 x = 1 + tan2 x D cot x = ; 12 = ;(1 + cot2 x) sin x p D ln jx + x2 + aj = p 21 x +a D cosh x = sinh x ; D sinh x = cosh x 1 ; D coth x = ; 1 2 2 cosh x sinh x D ln j cos xj = ; tan x ; D ln j sinxj = cot x D tanhx =

D arccos x = ; p 1 2 1;x Darccot x = ; 1 +1 x2 Darccosh x = p 21 x ;1 Darccoth x = 1 ;1 x2

166

; D arcsin x = p 1 2 1;x ; D arctan x = 1 +1 x2 ; Darcsinh x = p 21 x +1 ; Darctanh x = 1 ;1 x2

Matema R. Emanuelsson

(9.19)

¨ 9.3. TILLAMPNINGAR AV DERIVATA

9. DERIVATA

9.3 9.3.1

Till¨ampningar av derivata Newton-Raphsons iterationsmetod

Metoden anv¨ands f¨or att (numeriskt) finna r¨otter till ekvationen sionsf¨oljden (x 1 ; x2; : : :) given av

f(x) = 0.

Rekur-

n) xn+1 = xn ; ff(x 0 (xn) anv¨ands f¨or att ge en konvergent f¨oljd x n ! x s˚adant f(x) = 0.

(9.20)

y

f (x1) x2 f (x2)

x1

x

Figur 9.2: Kurvan y = f (x) och punkterna (x 1 ; f (x1 )) och (x2 ; f (x2)) i Newton-Raphsons iterationsmetod,d¨ar n = 1.

9.3.2

L’Hospitals regel

Sats 9 .8 L’Hospitals regel Om f och g a¨ r deriverbara i en punkterad omgivning av x

0 a¨ r av typen ” ” s˚a a¨ r 0

lim f(x) = lim x!x g(x) x!x 0

0

f(x) = x 0 och om xlim !x g(x)

f 0 (x) g0 (x)

om det senare gr¨ansv¨ardet existerar. En punkterad omgivning till x 0

;1 tolkas h¨ar som ett intervall av typen [a; 1) respektive (;1; b]. Matema R. Emanuelsson

0

(9.21)

= 1 och x0 = 167

¨ 9.3. TILLAMPNINGAR AV DERIVATA

9. DERIVATA

y terrasspunkt

lokal maxpunkt (x1,y ) 1

y=f(x)

(x ,y ) 3 3

x

a (x2 ,y2)

lokal minpunkt

b

lokal minpunkt

Figur 9.3: Kurva med lokalt max- och min. Om tangenterna existerar i dessa (inre) punkter a¨ r de v˚agr¨ata. Observera att den h¨ogra a¨ ndpunkten a¨ r ett lokalt maximum. Funktionen har ett minsta v¨arde (globalt minimum) men inget st¨orsta v¨arde.

9.3.3

Lagranges medelv¨ardessats och f¨oljdsatser

9.3.3.1

Lokala maximi- och minimipunkter

Definition 9.4

1. En funktion a¨ r v¨axande (avtagande) i ett intervall, om

x1 < x2 ) f(x1 )  f(x2 ); (f(x1 )  f(x2 ))

(9.22)

Om str¨ang olikhet “<” eller “>” r˚ader i respektive HL, a¨ r funktionen str¨angt v¨axande respektive str¨angt avtagande. 2. En avtagande eller v¨axande funktion kallas monoton funktion. Str¨angt monoton definieras p˚a motsvarande s¨att. 3. Antag att f a¨ r en reell funktion med definitionsm¨angd D f  R. Antag vidare att det finns ett x 0 2 Df s˚adant att f(x0 )  f(x) f¨or alla x 2 Df \ I , f¨or n˚agon omgivning I = (x 0 ; ; x0 ; ), ( > 0) till x 0. D˚a kallas punkten maximum.

(x0; f(x0 ))

f¨or lokal maximipunkt och

Om (x0 ; ;f(x0 )) a¨ r lokal maximipunkt kallas punkten lokal minimipunkt och f(x 0 ) lokalt minimum.

f(x 0 )

lokalt

(x 0; f(x0 ))

f¨or

4. En punkt x0, s˚adan att f 0 (x0 ) = 0 kallas station¨ar punkt, eller kritisk punkt. 5. Om f antingen a¨ r v¨axande eller avtagande i en omgivning av en station¨ar punkt, kallas punkten terrasspunkt.

168

Matema R. Emanuelsson

¨ 9.3. TILLAMPNINGAR AV DERIVATA

9. DERIVATA

Kommentarer: Ibland n¨amns enbart x;koordinaten; “f(x) har (lokalt) maximum i punkten x 0.” Man anv¨ander i allm¨anhet f¨orkortningarna ”lok. max” och ”lok. min” f¨or lokalt maximum respektiva lokalt minimum. En punkt som a¨ r lokal max- eller minpunkt kallas lokal extrempunkt. Motsvarande funktionsv¨arden kallas extremv¨arde.

Sats 9 .9 Lagranges medelv¨ardessats Om funktionen y = f(x) a¨ r deriverbar i intervallet (x 1 ; x2) och kontinuerlig i det slutna invervallet [x 1; x2], s˚a finns ett x0 i det inre av intervallet s˚adant att

f(x2 ) ; f(x1 ) = f 0 (x ) 0 x2 ; x1

(9.23)

y f (a) Sekant

y = f (x) x

0

a

b f (b)

x

Tangent

Figur 9.4: Illustration av Lagranges medelv¨ardessats med x 1

= a och x2 = b

Sats 9 .10 En funktion, med samma f¨oruts¨attningar som i medelv¨ardessatsen att

f 0 (x)  0 x 2 I ) f a¨ r v¨axande p˚a I f 0 (x)  0 x 2 I ) f a¨ r avtagande p˚a I

(9.24)

Kommentarer: Av satsen ovan f¨oljer omedelbart att f 0 (x) att f 0 (x) < 0 medf¨or f str¨angt avtagande.

> 0 medf¨or f str¨angt v¨axande och

Om f 0 (x) = 0 i enstaka punkter men i ovrigt ¨ a¨ r > 0, s˚a a¨ r f a¨ nd˚a str¨angt v¨axande. Dessa tv˚a egenskaper ben¨amns kollektivt monoton eller str¨angt monoton. Matema R. Emanuelsson

169

¨ 9.3. TILLAMPNINGAR AV DERIVATA

9.3.4

9. DERIVATA

Derivata av invers och implicit derivering

9.3.4.1

Derivata av invers

Sats 9 .11 Antag att f 0 (x) 6= 0 i ett oppet ¨ intervall I 1. 2.

3.

f har invers f ;1 .

= (a; b). D˚a g¨aller f¨oljande:

d f ;1 (y) = 1 , f ;1 a¨r deriverbar med derivata dy f 0 (x) ; 1 d¨ar f (y) = x. Antingen a¨ r f 0 > 0 eller f 0 < 0 och s˚aledes a¨ r f och f ;1 antingen str¨angt v¨axande respektive str¨angt avtagande.

Kommentarer: Vi kan skriva

f 0 (x) = (f ;11(y))0

(f¨oruts¨attningar som ovan)

(9.25)

Uttryckt med differentialer inneb¨ar (9.25) att

dy 1 dx = dx dy 9.3.4.2

eller ekvivalent

dx
dy = 1 dy dx

(9.26)

Andraderivatan av invers funktion

Sats 9 .12 Antag att y

= y(x) och x = x(y), att de inblandade derivatorna existerar

dx = 6 0. D˚a a¨r och att x0(y) = dy

d2y dx2

170

d2 x 2 = ;  dy 3 dx dy

Matema R. Emanuelsson

(9.27)

¨ 9.3. TILLAMPNINGAR AV DERIVATA

9. DERIVATA

9.3.4.3

Implicit derivering

Sats 9 .13 1. Om F (x; y) = 0 (implicit) definierar en funktion y

2. Om

9.3.5

= f(x), s˚a a¨r

dF = dF
dy dx dy dx

(9.28)

dF dy = dx dx dF dy

(9.29)

dF 6= 0 s˚a a¨ r dessutom dy

Konvex och konkav funktionskurva

En funktion f a¨ r konvex p˚a ett intervall I , om f¨or alla x 1; och f¨or varje  : 0    1, g¨aller att Definition 9.5

f(x1 + (1 ; )x2 )  f(x1 ) + (1 ; )f(x2 )

x2 2 I (9.30)

En funktion a¨ r konkav, om ;f a¨ r konvex. Sats 9 .14 Om I = (a; b) a¨ r ett oppet ¨ intervall och f konvex (eller konkav), s˚a a¨ r f kontinuerlig. Annorlunda uttryckt: f a¨ r kontinuerlig p˚a varje o¨ ppet delintervall till D f .

y

y y=f (x) sekant

y=f (x)

sekant x

x

Figur 9.5: Konvex kurva med sekant, respektive konkav kurva med sekant

Matema R. Emanuelsson

171

¨ 9.3. TILLAMPNINGAR AV DERIVATA

9. DERIVATA

y y inflexionspunkt

y=f (x)

y=f (x) x x

Figur 9.6: T.V. Funktionskurvan a¨ r konkav t.v. respektive konvex t.h. om inflexionspunkten. T.h. V¨axande derivata

Sats 9 .15 Antag att funktionen f(x) a¨ r tv˚a g˚anger deriverbar i ett intervall, d.v.s. att f 00 (x) existerar. D˚a g¨aller 1.

f 00(x) > 0 ) f 0 (x) v¨axande ) kurvan y = f(x) konvex

(9.31)

f 00 (x) < 0 ) f 0 (x) avtagande ) kurvan y = f(x) konkav

(9.32)

samt

2. Om endera av villkoren (a) eller (b) a¨ r uppfyllda, s˚a har (maximum) d˚a x = x0.

(a)

(b)

f ett lokalt minimum

8 <

f 0 (x0) = 0

:

f 00(x)  0 (f 00 (x)  0) i en omgivning av x = x 0 .

8 <

f 0 (x0) = 0

:

f 00(x0 ) > 0 (f 00 (x0) < 0)

3. En punkt (x; f(x)) a¨ r inflexionspunkt ) f 00(x) = 0

4. En punkt (x; f(x)) a¨ r terrasspunkt ) Punkten a¨ r inflexionspunkt.

172

Matema R. Emanuelsson

(9.33)

10

Integraler 10.1

Definitioner

10.1.1 Under- och o¨ versummor y

y

x a

y=f(x)

a b

b

Figur 10.1: Undersumma (t.v.) och o¨ versumma (t.h.)

173

x

10.1. DEFINITIONER

10. INTEGRALER

Definition av under- och oversumma ¨ Antag att f a¨ r en begr¨ansad funktion p˚a ett intervall [a; b]. Genom att dela in x;axeln i ett a¨ ndligt antal delintervall

Definition 10.1

a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b if;k = inf ff(x); x 2 [xk;1; xk ]g

och s¨atta och

sf;k = supff(x); x 2 [xk;1; xk]g

erh˚alls en undersumma u respektive en o¨ versumma o givna av

u: = o: =

n X k=1 n X k=1

if;k (xk ; xk;1)

(10.1)

sf;k (xk ; xk;1)

(10.2)

Kommentarer: Genom att skriva xk ; xk;1 =
xk f˚ar man

u=

n X k=1

if;k
xk

resp.

o=

n X k=1

sf;k
xk

(10.3)

Definitionen f¨oruts¨atter givetvis inte att under- och o¨ versumma ges av samma intervallindelning.

Sats 10 .1 F¨or alla undersummor och o¨ versummor till en given funktion g¨aller att

u  o 174

Matema R. Emanuelsson

(10.4)

10. INTEGRALER

10.1. DEFINITIONER

En funktion a¨ r integrerbar (i Riemanns mening), om det finns precis ett tal I , mellan alla under- och o¨ versummor. Detta tal I kallas integralen av f(x) o¨ ver intervallet [a; b] och betecknas som v¨anster ekvations HL.

Definition 10.2

I=

Z

b a

f(x)dx ;

Z

a b

f(x)dx = ;

Z

a

b

f(x)dx

(10.5)

Kommentarer: Funktionen f kallas integrand. a och b kallas undre respektive ovre ¨ gr¨ans. Den sista identiteten i (10.5) s¨ager att integralen byter tecken vid omkastning av undre och o¨ vre gr¨ans. Alternativt kan detta uttryckas som att, om o¨ vre gr¨ans a¨ r mindre a¨ n undre gr¨ans, s˚a a˚ terf¨ors denna integral genom omkastning av gr¨anserna till den ursprungliga definitionen genom tecken¨andring. Speciellt inneb¨ar definitionen att

u  I  o f¨or alla u och o och att

8 " > 0 9 u; o ) o ; u <  Z

a a

f(x)dx = 0.

dx a¨ r en differential, vilken f¨orekommer i dy=dx. f(x)dx skall uppfattas som en produkt; f(x)
dx. x kallas integrationsvariabel, och kan bytas mot ex.vis t utan att integralens v¨arde a¨ ndras. Eftersom definitionen av over¨ och undersummor inneh˚aller termer f(x)

x, erh˚alles negativa termer/bidrag i oversumma ¨ och undersumma d¨ar funktionen a¨ r negativ (om delntervallen tillr¨ackligt sm˚a). Integralen ger allts˚a area men med minustecken, d¨ar f(x) < 0. Integral ger “area med tecken” Pn

En summa k=1 f(k )
xk av rektangelareor, d¨ar k a¨ r en godtycklig punkt i intervallet [x k;1; xk] som d¨armed approximerar en integral, kallas f¨or Riemannsumma. Monotonitet f¨or integraler:

a  b och f(x)  g(x) )

Z

a

b

f(x)dx 

Matema R. Emanuelsson

Z

a

b

g(x)dx

(10.6)

175

10.1. DEFINITIONER

10. INTEGRALER

Om ex.vis y; axeln har storheten hastighet ( momentanhastighet v) och x; axeln har storheten tid t, s˚a har arean storhet v
t = s, d.v.s. storheten str¨acka. Denna och liknande tolkningar a¨ r av stor vikt vid till¨ampningar.

Z

2

Figur 10.2: Integralen 1

f (x)dx ger arean s˚an¨ar som p˚a tecken.

y

y = f (x)

a

b

x

c

Figur 10.3: Integral mellan a, b och c, en illustration av (10.7).

Sats 10 .2 Om f(x) a¨ r kontinuerlig i intervallet samt s˚a g¨aller att Z

b a

176

f(x)dx +

Z

b

c

[a; b], s˚a a¨ r funktionen integrerbar

f(x)dx =

Matema R. Emanuelsson

Z

a

c

f(x)dx

(10.7)

10. INTEGRALER

10.2

10.2. PRIMITIV FUNKTION

Primitiv funktion

Definition 10.3

F¨or x s˚adant att a  x  b, definieras funktionen F(x) som Z

x

a

f(t)dt =: F(x)

(10.8)

d¨ar f(x) f¨oruts¨attes vara en kontinuerlig funktion.

y

x a

x

Figur 10.4: Integralen F (x) som funktion av sin o¨ vre gr¨ans x.

Kommentarer: Man a¨ r tvungen att kalla integrationsvariabeln f¨or kunna anv¨anda x som ovre ¨ gr¨ans. Speciellt f¨oljer, att med

F(a) = 0.

x = b, s˚a a¨ r F(b) =

Z

a

b

t eller n˚agot annat, f¨or att

f(x)dx och med x = a att

Sats 10 .3

F 0(x) = f(x)

Definition 10.4

f(x).

(10.9)

En funktion F (x), vars derivata a¨ r f(x) kallas primitiv funktion till

Matema R. Emanuelsson

177

10.2. PRIMITIV FUNKTION

10. INTEGRALER

Sats 10 .4 Antag att F 1 och F2 a¨ r definierade p˚a ett gemensamt intervall.

F1(x) = F2 (x) + C f¨or en kontant C .

,

F10 (x) = F20 (x)

(10.10)

Speciellt a¨ r skillnaden mellan tv˚a primitiva funktioner F 1 och F2 till samma funktion

f en konstant (C ).

10.2.1 Integralkalkylens huvudsats

Sats 10 .5 Integralkalkylens huvudsats Om f(x) a¨ r en kontinuerlig funktion i intervallet funktion till f(x), s˚a g¨aller:

F(b) ; F(a) =

Definition 10.5

Z

b a

[a; b] och F (x)

f(x)dx

a¨ r en primitiv

(10.11)

Ins¨atttningformeln definieras som

[F (x)]ba := F(b) ; F(a)

(10.12)

Kommentarer: I ins¨atttningformeln (10.12) a¨ r VL och utg¨or ett l¨ampligt mellanled d˚a man ber¨aknar en integral.

Integralkalkylens huvudsats och ins¨attningsformeln fungerar a¨ ven om o¨ vre gr¨ans a¨ r mindre a¨ n undre gr¨ans p.g.a. (10.5) (D.v.s. med beteckningar som ovan a > b.). 178

Matema R. Emanuelsson

10. INTEGRALER

10.2. PRIMITIV FUNKTION

Definition 10.6

Z

b a

f(x)dx

kallas best¨amd integral

(10.13)

kallas obest¨amd integral

(10.14)

emedan beteckningen Z

f(x)dx

Obest¨amd integral betyder alla primitiva funktioner till f(x). En best¨amd integral a¨ r ett tal emedan obest¨amd integral a¨ r en funktion, eller r¨attare, en funktion best¨amd s˚an¨ar om p˚a en additiv konstant. Kommentarer: (i) Integralen

Z

sin xdx = ; cos x + C . F¨or att integrera sin(kx + m); k 6= 0,

s˚a a¨ r kx + m en inre funktion. D˚a a¨ r Z

sin(kx + m)dx = ; k1
cos(kx + m) + C

Detta s¨att att “kompensera” f¨or den inre funktionens derivata k a¨ r endast m¨ojlig d˚a den inre funktionen a¨ r p˚a formen kx + m. (ii) Av (i) f¨oljer att Z

f(kx + m)dx = k1
F(kx + m) + C

(10.15)

om F a¨ r en primitiv funktion till f .

Matema R. Emanuelsson

179

˚ 10.3. NAGRA RESULTAT OCH SATSER

10.3

10. INTEGRALER

N˚agra resultat och satser

10.3.1 Formelsamling f¨or primitiva funktioner Funktionen i h¨oger spalt a¨ r primitiva funktioner till motsvarande funktion i v¨anster spalt.

f(x)

Z

f(x)dx =: F (x) + C

n+1 xn nx + 1 + C; (n 6= ;1) cos x sin x + C

sin x ; cos x + C 1 tan x + C cos2 x tan x ; ln j cos xj + C kx ekx ek + C; (k 6= 0) 1 x ln jxj + C 1 1 a2 + x2 a
arctan(x=a) + C p p 21 ln jx + x2 + aj + C x +a 1 ln tan x + C sin x 2 p 21 2 arcsin(x=a) + C; a > 0 a ;x sinh x cosh x + C

cosh x sinh x + C tanh x ln(cosh(x)) + C coth x ln j sinh xj + C 180

Matema R. Emanuelsson

(10.16)

˚ 10.3. NAGRA RESULTAT OCH SATSER

10. INTEGRALER

10.3.2 Obest¨amda integraler forts Z

Z

Z

Z

Z Z

Z Z Z Z





1 ln ax + b + C dx = (ax + b)(cx + d) ad ; bc cx + d ln(ax)dx = x ln(ax) ; x + C 8 > <

1 n x (ln jxj) dx = > :

ln j lnxj + C

om

n = ;1

1 n+1 n + 1 (ln jxj) + C om n 6= ;1  n+1  xn lnxdx = nx + 1 ln x ; n +1 1 + C; n 6= ;1

p

p

p

arctan xdx = (x + 1) arctan x ; x + C x 1 dx (1 + x2)2 = 2(1 + x2) + 2 arctan x + C p

(10.17)

arcsin xdx = 1 ; x2 + x arcsin x + C dx cosh x = 2 arctan(tanh(x=2)) + C dx = ln tanh( x ) + C sinh x 2

p

(a x + b) cx + d dx =

p





b c ; 2 a d) + 2 (5 b c + a d) x + 2 a x2 + C = c x + d 2 d (5 15 c2 15 c 5 Z

Z

p

pacxx++bd dx = 2 c x + d (a c3xc2+ 3 b c ; 2 a d) + C p

p

a2 ; x2dx = pa2 ; x2 ; a ln j a + a2 ; x2 j + C x x

Matema R. Emanuelsson

181

˚ 10.3. NAGRA RESULTAT OCH SATSER

Z

= Z

10. INTEGRALER

p

(a x + b) c ; x2dx = p

c ; x2





a x2 + b x ; a c + 1 b c arctan( p x ) + C 3 2 3 2 c ; x2

2 x+p ax + b dx = (2 b ; a p)parctan( p4 q;p ) + x2 + px + q 4 q ; p2 2

2 + a ln(x +2 p x + q) + C , om 4 q ; p2 > 0 Z ax + b a 2 x2 + px + q dx = 2 ln jx + px + qj+ 2x + p ; 2c (2b ; ap) + 4c ln 2x + p + 2c + C , om c2 = p2 ; 4 q > 0 Z ax eax sin bxdx = a2e+ b2 (a sinbx ; b cos bx) + C Z ax eax cos bxdx = a2e+ b2 (b sin bx + a cos bx) + C

182

Matema R. Emanuelsson

(10.18)

˚ 10.3. NAGRA RESULTAT OCH SATSER

10. INTEGRALER

10.3.3 Rekursionsformler

Z

(2n + 1) (x2 + px + q)n dx = (x + p=2)(x2 + px + q)n + (n 6= ;1) Z

+2n(q ; (p=2)2 ) (x2 + px + q)n;1 dx Z

m 6= ;1 :

xm+1 (ln x)n ; n Z xm (ln x)n;1 dx xm (ln x)n dx = m +1 m+1 Z Z n;1 xn eax dx = x2a
eax ; n 2;a 1 xn;2 eax dx 2

(n ; 1) (n + 1)

1  sin x n

Z

x

0

1  sin x n

Z

x

0

Z

2

dx = n

sin xdx = n

1

Z 0

2

 n;1 cos x sinx x dx; n = 1; 2; : : :

1 " sin x n

Z

x

0

# n;1 sin x 1 ; cos x + x dx x 

Z

n tann+1 xdx = tann x ; tann;1 xdx; n 6= 0

(10.19)

10.3.4 N˚agra best¨amda integraler

F¨or n = 0; 1; 2; : : : g¨aller

Z

=2 0

sin2n;1 xdx

Z

=2 0

1

Z

0

Z

=

=2

cos2n;1 xdx = (2n(2n)!! ; 1)!!

=2

; 1)!!
 cos2n xdx = (2n(2n)!! 2

0

sin2n xdx =

Z

0

(10.20)

xne;x dx = n! Matema R. Emanuelsson

183

˚ 10.3. NAGRA RESULTAT OCH SATSER

10. INTEGRALER

10.3.5 N˚agra best¨amda icke-element¨ara integraler

1 xdx

Z

0

ex ; 1 = 2

Z

1 xdx

ex + 1 =

0

Z 1 x2ex dx = 2 = 14 6 ;1 (ex ; 1)2

1 x3dx

Z

0 0

1

x2e;x =2 dx =

=2 0

Z

 0

x dx = 2

;1 Z

4 = 15

1 sin x

Z

Z

ex ; 1

ln(sin x)dx =

1  sin x 2

Z

0 Z

x

1

;1 Z

p

(10.21)

e;x =2 dx = 2

=2 0

dx = =2

2

ln(cos x)dx = ; 2 ln 2

2 x ln(sin x)dx = ;  2ln 2

1 ln xdx

Z

0

1 + x2 = 0

10.3.6 Elliptiska integraler

Z

' 0

Z

' 0

Z

' 0

(1 ; m sin2 );1=2 d

Elliptisk integral av 1:a ordn.

(1 ; m sin2 )1=2 d

Elliptisk integral av 2:a ordn.

(1 ; n sin2 );1 (1 ; m sin2 );1=2 d

Elliptisk integral av 3:e ordn. (10.22)

Med ' = =2 erh˚alls motsvarande fullst¨andiga elliptiska integraler. 184

Matema R. Emanuelsson

˚ 10.3. NAGRA RESULTAT OCH SATSER

10. INTEGRALER

10.3.7 R¨akneregler

Sats 10 .6 Z

D D

Z

x

a

f(t)dt = f(x)

f(x)dx



= f(x)

9 > > > > = > > > > ;

om f(x) a¨ r kontinuerlig.

d Z x f(x; t)dt = f(x; x) + Z x @ f(x; t)dt dx a a @x Z Z

f(x)dx = F (x) + C , f(x) = F 0(x) om f 0 (x) a¨ r kontinuerlig.

D(f(x))dx = f(x) + C

(10.23)

(10.24) (10.25)

(10.26) (10.27)

Sats 10 .7 Om f(x) och g(x) a¨ r kontinuerliga funktioner i intervallet [a,b] och k a¨ r en konstant, s˚a g¨aller

k Z

b a

f(x)dx +

Z

b a

Z

a

b

f(x)dx = g(x)dx =

Z

b a

Z

a

b

kf(x)dx

(10.28)

[f(x) + g(x)]dx

(10.29)

Motsvarande samband f¨or obest¨amda integraler a¨ r

Sats 10 .8 Z

k f(x)dx =

Z

k
f(x)dx

(10.30)

och Z

Z

f(x)dx + g(x)dx =

Z

(f(x) + g(x))dx

Matema R. Emanuelsson

(10.31)

185

˚ 10.3. NAGRA RESULTAT OCH SATSER

10. INTEGRALER

10.3.8 Area mellan funktionskurvor

Definition 10.7

Arean mellan tv˚a funktionskurvor s˚an¨ar som p˚a tecken ges av Z

b a

(f(x) ; g(x))dx

(10.32)

om kurvorna inte sk¨ar varann i intervallet (a; b) (se figur).

Formeln g¨aller a¨ ven om n˚agon av kurvorna ligger under x; axeln. 10.3.9 Integralkalkylens medelv¨ardessats

Sats 10 .9 Om funktionerna f(x) och g(x) a¨ r kontinuerliga i intervallet [a; b] och funktionen g(x) ej v¨axlar tecken i intervallet s˚a g¨aller att det finns ett x 0 i intervallet s˚adant att Z

b a

f(x)g(x)dx = f(x0 )

Z

b a

g(x)dx

(10.33)

10.3.10 Triangelolikheten f¨or integraler

Sats 10 .10 Den s.k. triangelolikheten f¨or en integral inneb¨ar att om a  b s˚a g¨aller olikheten Z b f(x)dx a

186



Z

a

b

jf(x)j dx

Matema R. Emanuelsson

(10.34)

10. INTEGRALER

10.4

10.4. INTEGRATIONSMETODER

Integrationsmetoder

10.4.1 Symmetri; j¨amn och udda funktion (II) Om n˚agon form av symmetri f¨oreligger mellan funktion och integrationsintervall, kan ber¨akningen av integralen underl¨attas.

Sats 10 .11 Om f(x) a¨ r kontinuerlig i intervallet [;a; a] s˚a g¨aller att

f(x) udda ) f(x) j¨amn )

Z

a

;a Z a

;a

f(x)dx = 0 f(x)dx = 2

(10.35) Z

a 0

f(x)dx

(10.36)

10.4.2 Partiell integration

Sats 10 .12 Om f a¨ r en kontinuerlig funktion, F en primitiv funktion till f och g a¨ r en kontinuerligt deriverbar funktion s˚a g¨aller Z

Z

f(x)g(x)dx = F (x)g(x) ; F (x)g0(x)dx

a) Z

b)

a

b

f(x)g(x)dx =

[F (x)g(x)]ba ;

Z

b a

F (x)g0(x)dx

(10.37)

Kommentarer: Partiell integration utg¨ors av identiteterna (10.37).

b

Termen F(x)g(x) respektive [F(x)g(x)]a i (10.37) kallas utintegrerad term. Den senare a¨ r lika med F(b)g(b) ; F (a)g(a). Man kan formulera motsvarande sats f¨or best¨amd integral. L˚at p(x) beteckna ett polynom. Det a¨ r d˚a l¨ampligt att v¨alja

 f(x) = p(x) och 8 <

ln q(x) g(x) = : arcsin q(x) arctan q(x) d¨ar q(x) a¨ r ett polynom. Matema R. Emanuelsson

187

10.4. INTEGRATIONSMETODER



10. INTEGRALER

respektive som p(x) = g(x) och 8 <

f(x) = :

ekx+m sin(kx + m) cos(kx + m)

med beteckningar som i (10.37). 10.4.3 Variabelsubstitution

Sats 10 .13 Om x = x(t) a¨ r en kontinuerligt deriverbar funktion av kontinuerlig funktion, s˚a a¨ r Z

f(x)dx =

Z

t och f a¨r en

f(x(t)) dx dt dt

(10.38)

Kommentarer:

(x) a¨ r en funktion av den “nya” dx variabeln (t) och att x 0(t) = dt a¨r kontinuerlig. 1 Om ex.vis t = lnx, s˚a inneb¨ar differentiering dt = dx, vilket a¨ r ekvivalent x

Det a¨ r tillr¨ackligt att den “gamla” variabeln

med derivering.

Sats 10 .14 Om funktionen f(x) a¨ r kontinuerlig i intervallet [a; b], och kontinuerligt deriverbar funktion av t och x() = a; x( ) = b, s˚a a¨ r Z

b a

f(x)dx =

Z



f(x(t)) dx dt dt

x(t) a¨r en (10.39)

Kommentarer: Antag att det finns tv˚a olika t 1 = 1 och t2 = 2 s˚adana att x(1) = x(2) = Man kan l¨att visa att integralens v¨arde blir densamma oberoende av vilken av 1 och 2 som v¨aljs som gr¨ans.

a.

x(t) m˚aste ocks˚a vara definierad i ett intervall s˚adant att dess bild x([; ]) = [a; b]1. 1 Observera att bilden av ett kompakt intervall a ¨ r a˚ nyo ett kompakt intervall eftersom vi f¨orutsatt att x(t) a¨ r kontinuerlig.

188

Matema R. Emanuelsson

10. INTEGRALER

10.4. INTEGRATIONSMETODER

Antag att variabelsubstitutionen g˚ar fr˚an x till t. Som tidigare p˚apekats a¨ r det viktigt att x = x(t) i intervallet [; ], d.v.s. att x a¨ r en funktion av t. Om man g¨or en substitution fr˚an x till t genom ett samband t = t(x) a¨ r det allts˚a viktigt att sambandet har invers (x(t)) i det aktuella integrationsintervallet.

Sats 10 .15 Om integranden fr˚an b¨orjan har en inre derivata som faktor, d.v.s. a¨ r av formen f(t(x))t0 (x), s˚a a¨ r R

f(t(x))t0 (x)dx = Z

10.4.4

f(t)dt

f 0 (x) dx = ln jf(x)j + C f(x)

Sats 10 .16 Om en funktion y Z

R

Speciellt a¨ r

(10.40)

= f(x) a¨r deriverbar och inverterbar g¨aller formeln

Z

ydx = xy ; xdy

(d¨ar y

= f(x); x = f ;1 (y))

(10.41)

tan x2 ;substitutionen

Integration av funktioner av typen f(cos x; sin x): t = tan x , vilket medf¨or att

2

; t2 ; dx = 2dt sin x = 1 +2tt2 ; cos x = 11 + t2 1 + t2 Matema R. Emanuelsson

(10.42)

189

10.4. INTEGRATIONSMETODER

10. INTEGRALER

10.4.5 Generaliserad integral

Definition 10.8

1. Antag att f(x) a¨ r kontinuerlig i [a; 1)

lim b!1

Z

b a

f(x)dx =

1

Z

a

f(x)dx

(10.43)

Integralen given av sambandet ovan kallas generalierad integral. Integralen i (10.43) kallas generaliserad i 1. P˚a motsvarande s¨att definieras en generaliserad integral i ;1.

2. Antag att jf j ! 1, d˚a x = b ! c; . D˚a a¨ r

lim b!c

Z

; a

b

f(x)dx =

Z

c

a

f(x)dx

(10.44)

en generaliserad integral i ovre ¨ gr¨ans x = c. P˚a motsvarande s¨att definieras en generaliserad integral i undre gr¨ans x = a. 3. Integralerna i 1. och 2. s¨ags vara konvergenta, om respektive gr¨ansv¨arde existerar, annars divergenta. 4. F¨or en betingat generaliserad integral a¨ r den generaliserade integralen av f konvergent men den generaliserade integralen av jf j divergent.

Kommentarer: De tv˚a definitionerna kan sammantaget uttryckas, som att generaliserad integral a¨ r detsamma som integration o¨ ver ett yta (omr˚ade) med obegr¨ansad utstr¨ackning2. En integral over ¨ hela tallinjen (;1; 1) eller over ¨ den positiva tallinjen (0; 1) kan skrivas Z

Z

R respektive R +

2 Man kan utvidga definitionen men denna formulering a ¨r

190

a¨ ndam˚alsenlig.

Matema R. Emanuelsson

10. INTEGRALER

10.5. FUNKTIONER DEFINIERADE MED INTEGRALER

10.4.6 Numerisk integration

Sats 10 .17 Simpson formel Om f a¨ r fyra g˚anger kontinuerligt deriverbar, a < b och a = x0 < x0 +
x < : : : < b = x2n = x0 + 2n
x, s˚a a¨r

!

nX ;1
x f(x)dx = 3 f(a) + f(b) + 4f(x2k+1 ) + 2f(x2k ) + R a k=1

Z

b

d¨ar R =

10.5

(10.45)

a ; b (
x)4f (4) () f¨or n˚agon punkt  2 (a; b). 180

Funktioner definierade med integraler

Definition 10.9

Z x 2 ;t erf(x) = p  0 e dt 2

Si(x)

=

Ci(x)

=

Ei(x)

=

;(x) = ln x =

Definition 10.10

Z

x sin tdt

0 Z

t

1 cos tdt

x

t

x

t

(10.46)

1 e;t dt

Z

Z

1

0 Z

tx;1 e;t dt;

Re x > 0

x dt

1

t ; x>0

Faltningen mellan tv˚a funktioner f och g definieras som

(f  g)(x) :=

1

Z

;1

f(x ; y)g(y)dy

(10.47)

n¨ar integralen existerar. Matema R. Emanuelsson

191

10.5. FUNKTIONER DEFINIERADE MED INTEGRALER

10. INTEGRALER

Kommentarer: 1.

;(x), “gammafunktionen” definieras f¨or komplext x, d¨ar Re x a¨ r ;(x) = (x ; 1)! f¨or heltal x = 1; 2; 3; : :: .

2. Genom att definiera

lnx =

Z

x dt

t

> 0.

Speciellt

kan man bevisa logaritmlagarna, definiera

1 en allm¨an potens ay samt bevisa potenslagarna.

(a) Ex.vis f¨oljer ln(ab) = lna + ln b genom variabelsubstitution: Z

Z a dt + Z ab dt = 1 t 1 t a t I den sista integralen s¨att t = as. D˚a a¨ r a  t = as  ab (Antag att b  1. Om b < 1 f¨oljer resultatet p˚a liknande s¨att.) och ads = dt, varf¨or

ab dt

Z

(b)

Z b ads = lnb = a t 1 as Om a = 1, s˚a f¨oljer att lna = 0. antag att a > 0 och a 6= 1. Definiera lnx . Allts˚a a¨ r D log x = 1 6= 0, d.v.s. “a-logaritmen” loga x := a x ln a ln a loga x = y a¨ r inverterbar. Definiera nu potensen ay som inversen till

ab dt

denna funktion.

loga x = y , x = ay Speciellt f¨oljer att

y

x ln a loga x = ln lna = ln a = y

d.v.s.

ln ay = y ln a

3. F¨or faltning g¨aller att (a)

(f  g)(x) = (g  f)(x).

10.5.0.1 Dirac-funktionen Diracs deltafunktion (x) a¨ r ingen funktion i vanlig mening. Den tillh¨or en st¨orre klass av s.k. generaliserade funktioner eller distributioner. Man kan a¨ nd˚a intuitivt definiera 8 0 om x < 0 > > den. S¨att f"

> > <

= > 1=" > > > :

Definition 10.11

192

0

om

0x"

om

x>"

1

Z

. D˚a a¨ r givetvis

(x) definieras som "lim !0 f" (x)dx =: Matema R. Emanuelsson

0

1

Z

0

f" (x)dx = 1.

(x)dx.

10. INTEGRALER

Sats 10 .18

10.5. FUNKTIONER DEFINIERADE MED INTEGRALER

(x) har f¨oljande egenskap. Z

0

1

(x ; a)g(x)dx = g(a); om g a¨r kontinuerlig.

Matema R. Emanuelsson

(10.48)

193

10.5. FUNKTIONER DEFINIERADE MED INTEGRALER

194

Matema R. Emanuelsson

10. INTEGRALER

11

Differentialgeometri 11.1

Kurvor

En kurva a¨ r en avbildning : [a; b] ! Rn, s˚adan att 0 (t) a¨ r kontinuerlig i alla punkter utom i ett (h¨ogst) a¨ ndligt antal t 1; t2; : : : ; tm . D¨ar existerar 0 (t) och 0 (t). Bilden av betecknas h¨ar (t): v¨anster och h¨ogerderivatan L H

Definition 11.1

r

t! r(t) = (x1(t); x2(t); : : : ; xn(t))

Definition 11.2

(11.1)

L¨anden L( ) av en kurva definieras som

L( ) =

Z

b a

s 

dx1 dt

Kurvans tangentvektor i punkten

2



2 + dx dt

r(t) a¨r

2



2 + : : : + dxdtn dt

dr (t) = dx1 ; dx2 ; : : : ; dxn dt dt dt dt i den m˚an derivatorna existerar och inte alla = 0. 





(11.3)

Kommentarer: Man kan utvidga definitionsm¨angden till godtyckligt intervall I L¨angden L( ) av kurvan a¨ r oberoende av parametriseringen.

195

(11.2)

 R.

11.2. VOLYM AV ROTATIONSKROPPAR

11. DIFFERENTIALGEOMETRI

11.1.1 Kurvor och ytor i R2 Sats 11 .1 H¨ar F¨oruts¨atts att respektive integral existerar och att t 1 samt x1  x2 .

 t2 , 1  2

Kurvas l¨angd L( )

Parametrisering

Z

(x; y) = (x(t); y(t))

t2

s 

t1 Z

(x; y) = (r cos ; r sin )

2

s

dx1 dt

2





2 + dx dt

2



dr 2 d r2 + d

(11.4)

1 Z x2 p

(x; y) = (x; f(x))

x1

1 + (f 0 (x))2dx

Kommentarer: I den pol¨ara parametriseringen a¨ r r

Definition 11.3

Arean

(r cos ; r sin ) ges av

= r(),

d.v.s.

r a¨ r en funktion av .

A av ett omr˚ade som enkelt omslutes av kurvan () = Z

2 r2d

(11.5) 2 ; 1  2 Arean av en rotationsyta d¨ar kurvan (t) = (x(t); y(t)) roterar kring x;axeln ges av

A=

Z

t2 t1

1

2jy(t)j

s 

dx1 dt

2





2 2 dt + dx dt

(11.6)

(t) = (x(t); y(t); z(t)) definierar ddtr (t) dr (t) 6= 0. en normalvektor till ett normalplan i punkten r(t), om dt Definition 11.4

11.2

F¨or en kurva i R3, d.v.s.

Volym av rotationskroppar

Vi betraktar endast funktionskurvor i f¨orsta kvadrant, d.v.s. f(x)  0 f¨or 0  a  b. Betrakta omr˚adet som begr¨ansas av a; b; y = f(x) och y = 0 (figur 11.1). Vi betraktar 196

Matema R. Emanuelsson

11. DIFFERENTIALGEOMETRI

11.2. VOLYM AV ROTATIONSKROPPAR

vidare en remsa med area f(x)dx (samma figur).

y

dx y=f (x)

f (x) x b

a x, x+dx Figur 11.1: Omr˚ade som begr¨ansas av y = 0; y

= f (x), samt av x = a; x = b.

11.2.1 Rotation kring x;axeln

Genom att rotera omr˚adet i figur 11.1 runt x;axeln erh˚aller man cirkelskivor/cylindrar med tjocklek dx. Volymen av en s˚adan infinitesimal cylinder a¨ r dx
(f(x)) 2 = dV . D¨arav f¨oljer att fr˚an a till b

dV = (f(x))2 . Den totala volymen V dx V=

Z

b

a

(f(x))2 dx y

erh˚alles genom att integrera

Skivmetoden

(11.7)

dx y=f (x)

f (x) x a

b x, x+dx

Figur 11.2: Rotation kring x-axeln

11.2.2 Rotation kring y;axeln

Genom att rotera den infinitesimala rektangeln med area jf(x)jdx beskrivet i figur 11.1 runt y;axeln erh˚aller man ett ”cylinderskal” med tjocklek dx och med mantelyta given av den cylinder vars radie a¨ r x och h¨ojd a¨ r f(x). Mantelytans infinitesimala volym dV ges d˚a av

dV = 
2x
jf(x)j
dx Matema R. Emanuelsson

197

11.2. VOLYM AV ROTATIONSKROPPAR

11. DIFFERENTIALGEOMETRI

y

-b

-a

dx

a

b x, x+dx

Figur 11.3: Cylinderskalet har den infinitesimala volymen dV

x

= 2xjf (x)jdx.

dV

D¨arav f¨oljer att dx = 2xjf(x)j. F¨or att f˚a hela volymen integrerar man 2ixjf(x)j m.a.p. x och s¨atter dit ovre ¨ och undre gr¨ans. Hela volymen blir

V=

Z

b a

2

x
jf(x)jdx

Skalmetoden

(11.8)

[a; b] 7! (u) 2

R3 och f¨or varje

u en yta (s; t) 7!

11.2.3 Guldins regler 1. Givet en kurva u 2 Y (s; t; u), s˚adana att

Y (s; t; u) ? (t) och ii) (u) ligger i ytans geometriska tyngdpunkt f¨or varje u, samt att Y inte antar samma v¨arde f¨or olika (s; t; u). D˚a genererar Y (s; t; u) och (u) volymen i)

V=

ZZZ

Y (s; t; u)j 0(u)jdsdtdu

W

(11.9)

d¨ar W a¨ r defnitionsm¨angden f¨or Y . 2. Om Y byts mot en kurva 

= (t; u) som uppfyller i) och ii) generereas arean

A=

ZZ

W

(t; u)j 0(u)jdtdu

(11.10)

d¨ar W a¨ r definitionsm¨angden f¨or  .

3. Speciellt om Y a¨ r en “fix yta” med konstant area A s˚a a¨ r volymen

V = A
L( )

(11.90)

d.v.s. arean g˚anger kurvans l¨angd. P.s.s. f¨or 2. med “fix kurva”  , s˚a blir arean

A i (11.10)

A = L()
L( ) Dessa kallas Guldins regler. 198

Matema R. Emanuelsson

(11.100)

11. DIFFERENTIALGEOMETRI

11.2. VOLYM AV ROTATIONSKROPPAR

Illustration av (11.9 0): En torus kan erh˚allas genom rotation av en cirkelskiva. Volymen av en torus a¨ r V = 2 2r2 R och erh˚alls med Guldins (1:a) regel som area A
L( ) = r2
2R, som allts˚a erh˚alls genom att den “fixa cirkelskivan” (Y ) med area A = r2 och cirkelkurvan ( ) med l¨angd L = 2R genererar torusen.

γ (0,0)

δ

b a

Illustration av (11.10 0): T.v. a¨ r kurvan en cirkel och kurvan  ett linjestycke. g˚ar genom  :s tyngdpunkt. T.h. a¨ r den genererade ytan, en s.k. annulus. Om inre radien a¨ r a och yttre a¨ r b, s˚a a+b b ligger  :s tyngdpunkt i a+ 2 . Allts˚a a¨ r L( ) = 2 2 . L¨angden av  a¨ r L() = b ; a, varf¨or arean av annulusen a¨ r

A = L( )L() = 2 a +2 b
(b ; a) = (b2 ; a2 )

Matema R. Emanuelsson

199

11.2. VOLYM AV ROTATIONSKROPPAR

200

Matema R. Emanuelsson

11. DIFFERENTIALGEOMETRI

12

F¨oljder och serier 12.1

Allm¨an teori

Definition 12.1

1. En (¨andlig) summa definieras som

a1 + a2 + : : : + an =

n X k=1

ak

(12.1)

2. En f¨oljd definieras som (an)1 n=1 = fa1; a2; : : : ; an; : : : g d¨ar an utg¨or reella (eller mer generellt komplexa tal eller a n 2 C n ). F¨oljden a¨ r konvergent om lim an existerar. Annars a¨ r den divergent.

n!1

1 3. Tv˚a f¨oljder (an )1 n=1 och (bn)n=1 a¨r asymptotiskt ekvivalenta, om

an ! 1; d˚a n ! 1 bn

4. En serie skrivs formellt

lim n!1

n X k=1

1 X k=1

ak = a1 + a2 + : : : + an + : : :

ak , om gr¨ansv¨ardet existerar.

(12.2)

och betyder

Serien kallas d˚a konvergent. Annars

a¨ r serien divergent.

(a n )n=1 s¨att bn = sup(an ; an+1; : : :). lim sup an (“limes n!1 superior”) definieras som lim bn (¨aven om bn ! ;1 eller +1.). “Limes n!1 inferior” definieras som lim inf an := ; lim sup(;an ).

5. F¨or en reell f¨oljd

201

¨ 12. FOLJDER OCH SERIER

¨ TEORI 12.1. ALLMAN

Sats 12 .1 Abels partiella summationsformel L˚at An

=

n X

k=1

ak . D˚a a¨r n X k=1

ak bk = An bn ;

nX ;1 k=1

Ak (bk+1 ; bk )

(12.3)

Sats 12 .2

1 1. Om (an )1 n=1 och (bn)n=1 a¨ r konvergenta f¨oljder och A och B konstanter. s˚a a¨ r

lim (Aan + Bbn ) = A nlim !1 an + B nlim !1 bn

n!1

(12.4)

och d¨armed a¨ r (Aan + Bbn )1 n=1 ocks˚a konvergent. 2. Om

1 X

k=1

ak och

1 X

k=1

bk a¨r konvergenta och A och B konstanter, s˚a a¨ r

1 X

1 X

k=1

k=1

(Aak + Bbk ) = A

och d¨armed a¨ r

202

1 X k=1

ak + B

(Aak + Bbk ) ocks˚a konvergent.

Matema R. Emanuelsson

1 X k=1

bk

(12.5)

¨ 12. FOLJDER OCH SERIER

¨ TEORI 12.1. ALLM AN

Sats 12 .3 Kriterier f¨or konvergens av serie Serien

1.

1 X

k=1

1 X

k=1

ak a¨r konvergent, om n˚agot av f¨oljande villkor a¨ r uppfyllda.

jak j a¨ r konvergent. Serien

1 X k=1

ak s¨ags d˚a vara absolutkonvergent. 1 X

2.

jakj  Mbk , k = 1; 2; : : : f¨or n˚agon konstant M och

3.

1 jak j < 1 och X jbk j konvergent (J¨amf¨orelsekriteriet). 0  klim !1 jb j

4.

ak = (;1)k bk , d¨ar bk  bk+1 och bk ! 0, d˚a k ! 1 (Leibnizs kriterium).

5.

6.

k

k=1

bk a¨ r konvergent.

k=1

n X

n X

ak = bk ck , ck a¨ r begr¨ansad (oberoende av n), d.v.s. j ck j  C och k=1 k=1 bk  bk+1 och bk ! 0, d˚a k ! 1 (Dirichlets kriterium). n X

ak = bk ck ,

k=1

bk konvergent och (ck )1 k=1 monoton (v¨axande eller avtagande)

och konvergent (Abels kriterium). 7. 8.

 > 1 och B a¨ r en konstant (oberoende av k) samt jakj  kB ak+1 (a) Om lim k!1 a

teriet). Z

(c) Om

k

1

1

p

< 1 (kvotkriteriet). (b) Om lim sup k jak j < 1 (rotkrik!1

f(x)dx a¨ r konvergent, f(x)  0 avtagande och jak j = f(k)

(Integralkriteriet). 9.

1 Y k=1

ln(1 + ak ) a¨ r konvergent och ak  0.

Kommentarer:

Om





k ja j > 1 s˚a a¨ r serien divergent. lim ak+1 > 1 eller klim k k!1 ak !1 p

Matema R. Emanuelsson

203

¨ 12. FOLJDER OCH SERIER

¨ TEORI 12.1. ALLMAN

Om





ak+1 existerar, s˚a a¨ r lim k!1 a

k

ak+1 = lim k!1 a

k

p

p

k ja j lim sup k jak j = klim k !1

k!1

En serie som uppfyller 4. uppfyller ju a¨ ven 3. En serie som uppfyller 4. men d¨ar

1 X

k=1

jak j = 1 s¨ags vara betingat konvergent. 1 X

Omv¨ant till 9. g¨aller att om

k=1

konvergent.

a¨ r konvergent och ak

 0, s˚a a¨ r

1 Y k=1

ln(1 + ak )

12.1.1 N˚agra speciella summor

n X

2 k = n(n2+ 1) = n2 + n2 k=1

n X

(2k ; 1) = n2

k=1

n X k=1 n X k=1

3 2 k2 = n (n + 1)6 (2 n + 1) = n3 + n2 + n6

k3 = (1 + 2 + : : : + n)2 = =

n2 (n + 1)2 4

n4

n3

n2

= 4 + 2 + 4

nX ;1

n xk = 11;;xx ; x 6= 1 (Geometrisk summa) k=0

n X

n 1 = n+ k (1 + k) 1 k=1 n X k=1 204

lnn  n ln n ; n + 21 ln(2n) Matema R. Emanuelsson

(12.6)

¨ 12. FOLJDER OCH SERIER

¨ TEORI 12.1. ALLM AN

Kommentarer: F¨or  = 1; 2; : : : a¨ r

n X k=1

n X k=1

k ett polynom i n av grad  + 1:

k = b;+1n+1 + b;n + : : :b;1n1

(12.7)

b := (b;1; : : : ; b;; b;+1)T uppfyller matrisekvationen

Konstanterna 

A
b = c

(12.8)

d¨ar 2;1
6

A = 664 d.v.s. elementen aij i

;2
;02


0

0

1

0

::: ::: ..

.

0 :::

;+1
3 0
;+1 7 1 7 7 5 ;+1




A ges av 8  > > <

j



; aij = > i ; 1 > : 0;

om

i<j

om

ij

och

c = Speciellt a¨ r b;+1

   ;  ;::: ;  T 0 1 

   

=  +1 1 och b; = 21 .

Den sista likheten i (12.6) erh˚alls genom logaritmering av Sterlings formel. VL och HL a¨ r asymptotiskt ekvivalenta. Matema R. Emanuelsson

205

¨ 12. FOLJDER OCH SERIER

¨ TEORI 12.1. ALLMAN

12.1.2 N˚agra speciella serier

1 1 4 X 1 1 1 = 2 ; X 6 ; = = 2 6 k=1 k4 90 k=1 k6 945 k=1 k 1 X 1 X

1 1 (;1)k = ln 2; X =e k=1 k k=0 k! 1 X

1 1 2;1 = 2 4k k=1 1 X k=1

(12.9)

xk = 1 ;1 x ; om jxj < 1

(Konvergent geometrisk serie)

1 X

 coth  ; 1 1 2+1 = k 2 k=1

Definition 12.2

Ett l p ;rum best˚ar av de f¨oljder

kxk =

206

1 X n=1

jxnjp

!1=p

=

x = (xn)1n=1 s˚adana att

v u 1 u X p t

n=1

Matema R. Emanuelsson

jxnjp

!

<1

(12.10)

¨ 12. FOLJDER OCH SERIER

12.2

¨ 12.2. FUNKTIONSF OLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

Funktionsf¨oljder och funktionsserier

H¨ar behandlas endast funktionsf¨oljder och funktionsserier av en variabel, a¨ ven om en del resultat a¨ ven g¨aller f¨or funktionsf¨oljder och funktionsserier av fler variabler. 12.2.1 Funktionf¨oljder och funktionsserier, allm¨an teori

Definition 12.3

Antag att f k (x) a¨ r funktioner i variabeln x, k

= 1; 2; : : : .

(fk (x))1 k=1 = (f1 (x); f2(x); : : : ; fn(x); : : :)

(12.11)

kallas en funktionsf¨oljd.

f(x) =

1 X k=1

uk (x)

(12.12)

kallas en funktionsserie.

Definition 12.4

1. En f¨oljd a¨ r punktvist konvergent p˚a M om (f k (x))1 k=1 a¨ r konvergent f¨or varje x 2 M . Gr¨ansv¨ardet a¨r en funktion f(x) och kallas gr¨ansfunktion.

2. En f¨oljd a¨ r likformigt konvergent, om den a¨ r konvergent p˚a en m¨angd M  R mot en gr¨ansfunktion f och om det f¨or varje " > 0 finns ett N s˚adant att n > N ) jf(x) ; fn (x)j < " f¨or alla x 2 M .

3. En serie a¨ r punktvis respektive likformigt konvergent om

n X

k=1

uk (x) =: fn (x)

a¨ r en punktvis respektive likformigt konvergent f¨oljd p˚a M .

¨ intervallet I , om 4. En f¨oljd a¨ r ortogonal med viktfunktion (x) over Z

I

fk (x)fl (x)(x)dx =



0 om k 6= l 1 om k = l

(12.13)

Kommentarer: Likformighet hos en f¨oljd kan uttryckas som att

n ! 1.

Man skriver detta

lim f n!1 n

sup jf(x) ; fn(x)j ! 0, d˚a

x2M

! f.

likf.

Matema R. Emanuelsson

207

¨ 12.2. FUNKTIONSFOLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

¨ 12. F OLJDER OCH SERIER

Sats 12 .4 1. Om f¨oljden (fk (x))1 k=1 a¨r likformigt konvergent och f k kontinuerliga p˚a en m¨angd M , s˚a a¨ r gr¨ansfunktionen ocks˚a kontinuerlig.

1 X

uk (x) =: f(x) a¨ r likformigt konvergent och u k (x) kontinuerliga p˚a en m¨angd M , s˚a a¨ r gr¨ansfunktionen ocks˚a kontinuerlig.

2. Om serien

k=1

3. Med samma villkor som ovan p˚a fk och

lim k!1

Z

b

a 1Zb X k=1 a

fk (x)dx = uk (x)dx =

Z

a Z

Sats 12 .5 Likformig konvergens f¨or ret a¨ r uppfyllt. 1.

2.

juk(x)j  ak och

1 X k=1

b

1 X

k=1

uk (x) och om M = [a; b] s˚a a¨ r

lim f (x)dx = k!1 k och

1 bX

a k=1

1 X k=1

uk (x)dx =

Z

Z

a

b

a b

f(x)dx (12.14)

f(x)dx

uk (x) =: f(x) f¨oreligger om endera villko-

ak a¨r konvergent n X

uk (x) = ak (x)bk (x) och ak (x)  ak+1 (x)  0, ak likf. ! 0 samt j bk (x)j  k=1 B , d¨ar B a¨ r en konstant oberoende av x och n.

Sats 12 .6 1. Om fn ! f punktvis och (f n0 )1 k=1 a¨ r kontinuerliga som konvergerar likformigt (mot. s¨ag g). s˚a a¨ r g = f 0 . 2. Av 1. f¨oljer att, om

g = f 0. 208

X

k=1

uk (x) ! f(x) punktvist och

Matema R. Emanuelsson

X

k=1

u0k (x) likf. ! g(x), s˚a a¨ r

¨ 12. FOLJDER OCH SERIER

¨ 12.2. FUNKTIONSF OLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

Sats 12 .7 1. Cauchys kriterium f¨or likformig konvergens L˚at (f1 (x); f2(x); : : :) vara en funktionsf¨oljd s˚adan att f¨or varje " > 0 och alla heltal k > 0, finns ett heltalt n " , s˚adant att

n > n" ) jfn+k (x) ; fn (x)j < "

(12.15)

D˚a finns en funktion f(x), s˚adan att f n (x) ! f(x) likformigt. 2. Abels test f¨or likformig konvergens Antag att (u1 (x; t); u2(x; t); : : :) a¨ r en f¨oljd av funktioner d¨ar (x; t) 2  R2. Antag vidare att u k (t; x) = Tk (t)Xk (x), d¨ar Tk a¨ r en monoton och begr¨ansad f¨oljd, d.v.s.

Tk (t)  Tk+1 (t) eller

Tk (t)  Tk+1 (t) samt att

1 X k=1

; f¨or k = 1; 2; : : : resp. jTk (t)j  K

Xk (x) a¨ r en likformigt konvergent serie. D˚a konvergerar serien 1 X k=1

uk (x; t) likformigt p˚a .

(12.16)

12.2.2 Potensserier

Definition 12.5

En potensserie a¨ r en funktionsserie p˚a formen

1 X k=0

ak (x ; x0)k =: f(x);

d.v.s. uk (x) = ak (x ; x0)k

(12.17)

Konvergensradien R f¨or potensserien definieras som

1 sup jak j1=k R = lim k!1 Matema R. Emanuelsson

(12.18)

209

¨ 12.2. FUNKTIONSFOLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

¨ 12. F OLJDER OCH SERIER

Sats 12 .8 1. F¨or varje x, s˚adant att jx ; x0j < R konvergerar potensserien punktvist mot en funktion f(x). 2. F¨or varje r s˚adant att 0  r p˚a fx : jx ; x0j  rg.

< R konvergerar potensserien likformigt mot f(x)

3. F¨or varje x s˚adant att jx ; x0 j < R a¨ r ak

(k) = f k!(x0 ) .

Sats 12 .9 Antag att en potensserie given av (12.17) har konvegrensradie R > 0. D˚a a¨ r

1 1 X dX k a (x ; x ) = kak (x ; x0)k;1 0 dx k=1 k k=1

(12.19)

om jx ; x0 j < R, samt Z

1 bX a k=1

ak (x ; x0)k

om x0 ; R < a  b < x0 + R.

=

1 Z X k=1 a

b

ak (x ; x0)k dx

(12.20)

Sats 12 .10 Om koefficienterna ak uppfyller differensekvationen

ak+2 + ak+1 + ak = 0; k = 0; 1; 2; : : : s˚a a¨ r

1 X k=1 210

0 )x ak (x ; x0 )k = a01++(ax1 ++ a x2

Matema R. Emanuelsson

(12.21)

¨ 12. FOLJDER OCH SERIER

¨ 12.2. FUNKTIONSF OLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

12.2.3 Taylorutvecklingar

Sats 12 .11 Om f a¨ r kontinuerligt deriverbar n g˚anger i en omgivning till x 0, s˚a kan funktionen taylorutvecklas kring x 0 med konvergensradie min(ja ; x0 j; jb ; x0j). Taylorutvecklingen a¨r d˚a

f(x) =

n X

(x ; x0 )k f (k) (x ) +R (x) 0 n k! k=0 {z

|

(a; b) R =

(12.22)

}

Taylorpolynom d¨ar resttermen kan skrivas

Rn(x) =

Z

x (t ; x0)n

x0

n!

) f (n+1) (t)dt = f (n+1) () (x(n; +x01)!

n+1

och d¨ar den sista likheten g¨aller f¨or n˚agot  mellan x 0 och x. MacLaurinutvecklingen a¨ r specialfallet av Taylorutvecklingen d˚a x 0

(12.23)

= 0.

Kommentarer: Resttermen brukar skrivas p˚a s.k. ordo-form. Med O((x ; x0 )n) (“Stora ordo (x ; x0)n”) menas (klassen av) funktioner g s˚adana att g=(x ; x0)n a¨ r begr¨ansad i en omgivning till x = x 0. Resttermen Rn(x) i taylorutvecklingen a¨ r O((x ; x0)n+1 ). Taylorutvecklingen har en motsvarande taylorserie:

f(x) =

1 f (k) (x )(x X 0 k=1

k!

; x0)k

(12.24)

a¨ r taylorserien f¨or f .

Matema R. Emanuelsson

211

¨ 12.2. FUNKTIONSFOLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

¨ 12. F OLJDER OCH SERIER

MacLaurinutvecklingen f¨or n˚agra funktioner med resttermen p˚a ordo-form

Funktion

MacLaurinutvecklng

5 3 x2n;1 + O(x2n+1 ) sinx = x ; x3! + x5! + : : : + (;1)n;1 (2n ; 1)! 2 4 6 x2n + O(x2n+2) cos x = 1 ; x2! + x4! ; x6! + : : : + (;1)n (2n)! 2 3 4 n ex = 1 + x + x2! + x3! + x4! + : : : xn! + O(xn+1 ) 2 3 4 n ln(x + 1) = x ; x2 + x3 ; x4 + : : : + (;1)n;1 xn + O(xn+1) 3 5 x2n;1 + O(x2n+1) sinhx = x + x3! + x5! + : : : + (2n ; 1)! 4 6 2 x2n + O(x2n+2 ) cosh x = 1 + x2! + x4! + x6! + : : : + (2n)! 3 5 x2n;1 + O(x2n+1 ) arctan x = x ; x3 + x5 + : : : + (;1)n;1 2n ;1     (1 + x) = 1 + x + 2 x2 + : : : + n xn + O(xn+1 )    = ( ; 1)
: : :
( ; n + 1) d¨ar n n!

12.2.4 Fourierserier

F¨or en periodisk funktion f : R ! R med perioden T finns ett minsta tal > 0 s˚adan att f(t + T) = f(t) f¨or alla t 2 R. En funktions fourierkoefficienter definieras som

Definition 12.6

Z T Z T 2 2 an = T f(t) cos(n t)dt; bn = T f(t) sin(n t)dt 0 0

212

Matema R. Emanuelsson

(12.25)

¨ 12. FOLJDER OCH SERIER

¨ 12.2. FUNKTIONSF OLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

Kommentarer: Integration o¨ ver varje intervall av typen [a; a + T] ger samma resultat. H¨ar a¨ r

T eller [;T=2; T=2] valt f¨or att underl¨atta framst¨allningen, d¨ar = 2

[0; T]

och kallas

grundvinkelfrekvensen . Funktionens fourierserie definieras som

1 a0 + X 2 n=1 an sin(n t) + bn cos(n t)

(12.26)

V¨anster- och h¨ogerkontinuitet f¨or funktionen f i t = t 0 definieras som

lim f(t) =: fL (t0) och tlim !t f(t) =: fH (t0 )

t!t0

0

och v¨anster- och h¨ogerderivatan av en funktion f definieras som

f(t0 +
t) ; fL (t0 ) fV0 (t0 ) =
t!lim 0;
t<0
x f(t0 +
t) ; fH (t0 ) fH0 (t0 ) =
x!lim 0;
t>0
x i den m˚an de existerar.

f i t = t 0 existerar s˚a konvergerar 1 fourierserien mot (fL (t0 ) + fH (t0)). 2 Speciellt om f dessutom a¨ r kontinuerligt deriverbar i t = t 0 s˚a a¨ r

Sats 12 .12 Om v¨anster- och h¨ogerdeivatan av

f(t) = a20 +

1 X n=1

an sin(n t) + bn cos(n t)

Matema R. Emanuelsson

(12.27)

213

¨ 12.2. FUNKTIONSFOLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

¨ 12. F OLJDER OCH SERIER

Sats 12 .13 Fourierserien (12.26) kan skrivas som

1 Z T=2 a0 + 2 X 2 T n=1 ;T=2 cos(n (s ; t))ds

A0 + T2 d¨ar A0

1 X n=1

An sin(n t + n)

(12.28) (Fas-amplitudform)

p

= a0 =2, An = a2n + b2n samt sin n = an=An och cos n = bn =An. 1 X n=;1

d¨ar cn

(Integralform)

cn ein t (komplex form)

(12.29)

= a ; ibn (i = j a¨ r den imagin¨ara enheten.) och c;n = cn.

12.2.4.1 Ortogonalitet hos (sin n t; cos n t)

Sats 12 .14 Klassen av funktioner

fsin n t; cosn tg1 n=1 a¨ r ortogonal i f¨oljande mening:

2 Z T cos m t sin n tdt = 0 T 0 2 Z T cos m t cos n tdt = 2 Z T sin m t sin n tdt =  mn T 0 T 0

214

Matema R. Emanuelsson

(12.30)

¨ 12. FOLJDER OCH SERIER

¨ 12.2. FUNKTIONSF OLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

12.2.4.2 J¨amna och udda funktions fourierserie

Sats 12 .15 Om f a¨ r j¨amn, s˚a a¨ r bn

= 0 f¨or alla n = 1; 2; : : : och

Z T=2 an = T4 f(t) cos n tdt

0

Om f a¨ r udda, s˚a a¨ r an

(12.31)

= 0 f¨or alla n = 0; 1; 2; : :: och Z T=2 4 f(t) sin n tdt bn = T 0

(12.32)

Sats 12 .16 Parsevals formler L˚at f och g vara tv˚a funktioner med period T och med de komplexa fourierserierna

1 X n=;1

cn(f)ein t och

1 X n=;1

cn(g)ein t

(12.33)

D˚a a¨ r

1 1 Z T f(t)g(t)dt = X cn (f)cn (g) =< f
g > T 0 n=;1 och speciellt om f


(12.34)

= g och med cn (f) = cn (g) = cn s˚a a¨ r

>=: kf k22

Z T 1 X 1 = T (f(t))2 dt = jc0j2 + 2 jcnj2 0 n=1

(12.35)

Kommentarer:

< f; g > skrivs i ibland i ell¨aran som f
g.

kf k2 a¨r L2;normen av funktionen f med (inskr¨ankt definitionsm¨angd) ett intervall med l¨angd T , ex.vis [;T=2; T=2]. Matema R. Emanuelsson

215

¨ 12.2. FUNKTIONSFOLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

¨ 12. F OLJDER OCH SERIER

12.2.4.3 N˚agra funktioners fourierserier Funktionerna f(t) t.v. a¨ r till v¨anster a¨ r angivna i ett symmetriskt intervall [;T=2; T=2]

och antas ha perioden T . observera att med g¨angse beteckningar s˚a a¨ r = Funktion

Fourierserie

1 X

2(;1)n;1 sin (n t) n

k=1

f(t) = t

1 1; 4 X 1 2 m=1 (2m ; 1)2  cos ( (2m ; 1)t)

f(t) = jtj 

1 (;1)n 12 X

3 n=1 n3 sin (n t)

2

f(t) = t t2 ; T4 f(t) =

2 . T



0; ;T=2  t < 0 t; 0  t < T=2

1  ; 2 X 1 4  m=1 (2m ; 1)2 cos ((2m ; 1) t) + 1 n;1 X + 1 (;1)n sin (n t) n=1

(12.36)

Kommentarer: Den periodiska funktionen f(t), f(t) = t, d˚a t 2 [;T=2; T=2] har en diskontinuitet i t = T=2 + lT; l 2 Z. Detta avspeglar sig i att fourierkoefficienterna a¨ r av storleksordning 1=n. Fourierserien konvergerar punktvist mot f(t) utom i dessa punkter, d¨ar serien konvergerar mot

f(T=2 + lT+ ) + f(T=2 + lT; ) . 2

Funktionen f(t) = jtj a¨ r kontinuerlig men inte deriverbar i alla punkter. Fourierkoefficienterna a¨ r av storleksordningen 1=n 2. Konvergensen av serien mot f a¨ r likformig. Allts˚a a¨ r gr¨ansfunktionen kontinuerlig, vilket ju st¨ammer. 

t2 ;

T2 4



f(t) = t a¨ r deriverbar. Fourierkoefficienterna a¨ r av storleksordningen 1=n 3. Konvergensen av serien mot f a¨ r likformig. Dessutom Funktionen

a¨ r termvis derivering till˚aten i alla punkter. Den sista funktionen i (12.36) finns a˚ tergiven i figur 12.1. 216

Matema R. Emanuelsson

¨ 12. FOLJDER OCH SERIER

¨ 12.2. FUNKTIONSF OLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

12.2.5 Ytterligare n˚agra funktionsummor och serier

n X k=1

sin kx =

sin n2x sin (1+2n) x = sin x2

  = sin n2x cos n2x + cot x2 sin n2x

n sin(n + 1=2) x 1 +X 2 k=1 cos kx = 2 sin(x=2) ; x=(2) 2= Z(Dirichletk¨arnan)

1 X

z k = 1 ;1 z ; jz j < 1 och z komplext k=0 1 X

r cos  ; jrj < 1 rk cos(k) = 1 ;12r; cos  + r2 k=1 1 X

 rk sin(k) = 1 ; 2rr sin cos  + r 2 ; jr j < 1 k=1 1 X

cos(k)  p 2 2 ; 2 cos  k=1 1 X

sin(k)  p 2 2 ; 2 cos  k=1 1 cos(2kx) 2;4X   k=1 4k2 ; 1 = j sin xj

Matema R. Emanuelsson

(12.37)

217

¨ 12.2. FUNKTIONSFOLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

¨ 12. F OLJDER OCH SERIER

y

t Figur 12.1: Fourierserien med 7 cosinus- och 7 sinustermer medtagna. funktionen i (12.36). Den tjocka linjen a¨ r f :s graf.

T = 2 f¨or den sista

y

x Figur 12.2: Grafen av fourierserien med 7 cosinus- och 7 sinustermer medtagna o¨ ver intervallet [ 3; 3] i figur 12.1.

;

218

Matema R. Emanuelsson

¨ 12. FOLJDER OCH SERIER

¨ 12.2. FUNKTIONSF OLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

12.2.6 N˚agra speciella ortogonala funktionsklasser

Definition 12.7

1. Hermitepolynomen utg¨ors av

dn e;x y = Hn(x) = (;1)n ex dx n

2

2



(12.38)

2. Legendrepolynomen utg¨ors av

[n=2]

 

X pn (x) = 2;n (;1)k n

k

k=0

2(n ; k)xn;2k; n = 0; 1; 2; : : : n

(12.39)

3. De associerade legendrefunktionerna definieras av ;

Plm (x) := (;1)m 1 ; x2


m 2

dm P (x) dxm l

(12.40)

4. Laguerrepolynomen utg¨ors av

Ln (x) =

n X k=0

(;1)k

 

n xk k k!

(12.41)

5. Chebyshevpolynomen av f¨orsta och andra ordningen definieras som

(n + 1) Tn(cos ) = cos n respektive Un (cos ) = sinsin n

(12.42)

6. Jacobipolynomen utg¨ors av

n dn (1 ; x)a+n (1 + x)b+n  Pna;b(x) = (2;n1)n! (1 ; x);a (1 + x);b dx n

(12.43)

7. Besselfunktionerna (av f¨orsta slaget) utg¨ors av

Jn(x) =

1 X

(;1)k (x=2)2k+n ; J (x) = (;1)n J (x) ;n n k k=0 2 k!(n + k)! n = 0; 1; 2; : : : Matema R. Emanuelsson

(12.44)

219

¨ 12.2. FUNKTIONSFOLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

¨ 12. F OLJDER OCH SERIER

8. Klotytefunktionerna definieras som

Ylm (; ) =

p

ei m  1 + 2 l

q

(l;m)! P m (cos )

p(l+m)! 2 

l

; f¨or heltal jmj  l

(12.45)

d¨ar Plm (x) a¨ r de associerade legendrefunktionerna. 9. Neumannfunktioner eller Besselfunktioner av andra slaget definieras som

Y (x) = J (x) cossinxx; J; (x) ;  ej heltal och med 

= n heltal:

 n n ;1 (n ; k ; 1)!  x 2k 2 X Yn (x) = ; 1 x2 k! 2 +  ln(x=2)Jn(x)+ k=0

1  x n X  2k 1 [ (k + 1) + (n + k + 1)] k!(n 1+ k)!
; x2 ; 2 k=0

(12.46)

d¨ar

220

(x) a¨ r digammafunktionen definierad som Z 1 0 (x) d ; (x) := dx ln ;(x) = ;(x) och ;(x) = tx;1 e;tdt 0

Matema R. Emanuelsson

(12.47)

¨ 12. FOLJDER OCH SERIER

¨ 12.2. FUNKTIONSF OLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

12.2.6.1 N˚agra egenskaper hos funktionsklasserna

Sats 12 .17 1. Legendrepolynomen a¨ r ortogonala med vikfunktion 1 i intervallet [;1; 1]. Mer exakt s˚a a¨ r p

Z 1

Pm (x)Pn (x) (2m + 21)(2n + 1) dx = mn ;1

2. Chebyshevpolynomen uppfyller Z 1

respektive

Tm (x)Tn (x)
p 1 2 dx = 2
mn 1;x ;1 Z 1

p Um (x)Un (x) 1 ; x2dx = 2
mn ;1

3. Laguerrepolynomen Ln(x) uppfyller

1

Z

0

Lm (x)Ln (x)e;x dx = mn

4. Besselfunktionerna J n (x) uppfyller

0 Jn;1(x) + Jn+1 (x) = 2n x Jn(x); Jn;1(x) ; Jn+1 (x) = 2Jn(x)

(12.48)

5. Jacobipolynomen kan skrivas

n n + a n + b  X n;k k Pn(a;b)(x) = 21n k n ; k (x ; 1) (x + 1) k=0

(12.49)

och har ortogonalitetsegenskapen Z 1

;1

Pm(a;b)Pn(a;b)(1 ; x)a (1 + x)bdx = 0; m 6= n; a; b > ;1

(12.50)

Kommentarer: Legendre-, Gegenbauer- och Chebyshevpolynom a¨ r specialfall av Jacobipolynomen. Med a = b erh˚alls de ultrasf¨ariska eller Gegenbauerpolynomen. Genom normaliserinMatema R. Emanuelsson

221

¨ 12.2. FUNKTIONSFOLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

¨ 12. F OLJDER OCH SERIER

gen

+ n + 1) (a;1=2;a;1=2)(x) Pn(a) := ;(a;(2a + 1=2 + n + 1) Pn

(12.51)

Pn(0)(x) a¨r Chebyshevpolynomen och Pn(1=2)(x) Legendrepolynomen av grad n. 12.2.7 Generering av de vanligaste polynomklasserna L˚at p vara ett polynom som uppfyller differensekvationen

pn+1(x) = (Anx + Bn )pn (x) + Cn pn;1(x) Polynom Legendre Chebyshev Gegenbauer Hermite

An

Bn

Cn

2n + 1 n+1 2

0

; n +n 1

0

;1 1 ; n ; 2

2n +  n+1 2

0

(12.53)

n+1 ;2n

0

+1 ; n +1 1 2n n+1

Laguerre

(12.52)

; n +n 1

Integralrepresentationen av Neumannfunktioner ges av Z  Y (x) = 1 sin(x sin  ; )d; 0

1 Z 1 [et + e;t(;1) ]e;x sinh t dt =  0

(12.54)

 Z 1 cos xt dt 2(2=x) = ; p;(1=2 ; ) 1 (t2 ; 1) +1=2 12.2.8 Hypergeometriska funktioner

Denna klass av funktioner har i sin allm¨anna form endast en framst¨allning som en serie.

2

x ( + 1) ( + 1) x + : : : = F(; ; ; x) := 1 + 

1! +

( + 1) 2! = 1+ 222

1 Y n X n=1 k=1





( + k ; 1)( + k ; 1) xn ( + k ; 1) n!

Matema R. Emanuelsson

(12.55)

¨ 12. FOLJDER OCH SERIER

¨ 12.2. FUNKTIONSF OLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

Ex.vi s˚a a¨ r

F(; ; ; x) = (1 ; x); xF(1=2; 1=2; 3=2; x2) = arcsin x F (1; 1; 2; ;x) = ln(x + 1)

Matema R. Emanuelsson

223

¨ 12.2. FUNKTIONSFOLJDER OCH FUNKTIONSSERIER

224

Matema R. Emanuelsson

¨ 12. F OLJDER OCH SERIER

13

Differentialekvationer “Differentialekvation” f¨orkortas DE.

13.1

N˚agra speciella typer av DE

f(y)g(x) = y0 l¨oses genom variabelseparation f¨or de y s˚adana att f(y)

dy , g(x)dx = f(y) |

{z

}

Z

g(x)dx =

(13.1)

6= 0:

Z

dy f(y)

(13.2)

variabelseparation

Ekvationen

f(y)g(y0 ) = y00 l¨oses genom att s¨atta p(y) =

dy varvid ekvationen kan skrivas dx dp f(y)g(p) = p dy

och kan sedan separeras och integreras som i (13.2).

225

(13.3)

(13.4)

¨ 13.2. LINJARA DE

13.2

13. DIFFERENTIALEKVATIONER

Linj¨ara DE

13.2.1 Linj¨ar DE av f¨orsta ordningen

Definition 13.1

En linj¨ar differentialekvation av f¨orsta ordningen ser ut som f¨oljer.

y0 + f(x)y = g(x)

(13.5)

Sats 13 .1 L¨osningen till (13.5) ges av Z

y = e;F (x) eF (x) g(x)dx + Ce;F (x)

(13.6)

d¨ar F a¨ r en primitiv funktion till f . Kommentarer:

eF (x) kallas integrerande faktor. Observera att integralen i h¨ogerledet i (13.6) a¨ r en obest¨amd integral och betyder alla primitiva funktioner. Detta inneb¨ar att integralen sj¨alv ”inneh˚aller” konstant C . Man brukar a¨nd˚a skriva ut en konstant C innan man l¨ost integralen. Detta f¨or att inte gl¨omma termen Ce ;F (x) . Ibland skriver man y(x) f¨or att betona att underf¨orst˚att skriver man enbart y.

En differentialekvation som inneh˚aller f¨orsta ordningen. En differentialekvation som inneh˚aller andra ordningen.

y0

y a¨r en funktion av x.

N¨ar detta a¨ r

som h¨ogsta derivata s¨ages vara av

y 00 som h¨ogsta derivata s¨ages vara av

En differentialekvation av typ y 0 +f(x)y = g(x) kallas en linj¨ar differentialekvation av f¨orsta ordningen, ex.vis y 0 + ay = 0, d¨ar a a¨ r en konstant. Den kallas dessutom homogen (p.g.a. att HL = 0), med konstanta koefficienter. 13.2.2 Karakteristisk ekvation F¨or att l¨osa linj¨ara differentialekvationer med konstanta koefficienter anv¨ander man med f¨ordel karakteristisk ekvation. l¨osa motsvarande homogena ekvation vars l¨osning betecknas y h samt finna en s.k. partikul¨arl¨osning som betecknas y p . 226

Matema R. Emanuelsson

13. DIFFERENTIALEKVATIONER

13.3

¨ DE MED KONSTANTA KOEFF. 13.3. LINJ AR

Linj¨ar DE med konstanta koeff.

Definition 13.2

anyn + an;1y(n;1) + : : : + a1 y0 + a0 y = g(x)

(13.7)

a¨ r en linj¨ar differentialekvation (i variabeln x). Vi antar att a i a¨ r (komplexa) konstanter och att an

6= 0.

VL skrivs med differentialoperatorn D

d och allm¨ant Dk := := dx

dk , k = 0; 1; 2; : : : : dxk P(D)y = g(x); d¨ar P(D) = anDn + an;1D(n;1) + : : : + a1D + a0

(13.8)

L˚at  vara ett komplext tal. Det karakteristiska polynomet f¨or (13.8) a¨ r d˚a

P() = ann + an;1(n;1) + : : : + a1  + a0 och motsvarande karakteristisk ekvation a¨ r

P() = 0 (13.9)

13.3.0.1 Heavisides f¨orskjutningsregel

Sats 13 .2

P(D)(y
ex ) = ex P(D + )y

(13.10)

13.3.1 L¨osning av linj¨ar DE Liksom f¨or andra ordningens differentialekvaioner best˚ar l¨osningen av en homogenl¨osning yh och en partikul¨arl¨osning y p .

Matema R. Emanuelsson

227

¨ DE MED KONSTANTA KOEFF. 13.3. LINJAR

13. DIFFERENTIALEKVATIONER

Sats 13 .3 L¨osningen y av (13.8) a¨ r summan av yh och yp d¨ar

1. yh a¨ r l¨osningen till (13.8) med g(x)  0. Betrakta polynomet P(). L˚at r ; r = 1; 2; : : : ; k vara dess k olika komplexa nollst¨allen av multiplicitet nr , d.v.s.

P() = an

k Y

( ; r )nr : (n1 + n2 + : : : + nr = n)

r=1

yh kan d˚a skrivas yh =

k X r=1

d¨ar pr (x) a¨ r polynom av grad h¨ogst n r

pr (x)er x

(13.11)

; 1.

2. yp a¨ r en l¨osning som l¨oser (13.8).

13.3.1.1 Ans¨attningar f¨or att best¨amma y p 1. Om g(x) = polynom.

p(x)ex, d¨ar p a¨ r ett polynom, ans¨att yp (x) = q(x)ex d¨ar q a¨ r ett

(a) Om  inte a¨ r en rot till P () = 0 s˚a skall q ha samma grad som p.

 =  = r s˚adant att P(r ) = 0 s˚a skall q ha gradtalet grad q = nr + grad p, d¨ar nr a¨r multipliciteten f¨or  r .

(b) Om

Man kan (tekniskt) eliminera e x med Heavisides f¨orskjutningsregel. S¨att y p zex . D˚a ger (13.10) att

=

P(D)(y) = ex P (D + )z = p(x)ex vilket a¨ r ekvivalent med att

P (D + )z = p(x): 2. Om g(x) = p(x) cos x eller p(x) sin x, byter man h¨ogerledet mot p(x)ei x och byter y i VL mot w. D˚a a¨ r Re w = yp respektive Im w = yp . S¨att d¨arefter zei x = w. Nu kan detta fall a˚ terf¨oras p˚a 1. Anv¨and nu (13.10) som i f¨oreg˚aende punkt. 228

Matema R. Emanuelsson

¨ DE MED KONTINUERLIGA KOEFF. 13. DIFFERENTIALEKVATIONER 13.4. LINJ AR

13.4

Linj¨ar DE med kontinuerliga koeff.

Sats 13 .4 Givet differentialekvationen

L[y] := y(n) + an;1(x)y(n;1) + : : : + a1 (x)y0 + a0 (x)y = g(x) d¨ar a0 (x); a1(x); : : : ; an;1(x) a¨ r kontinuerliga funktioner i ett intervall I .

n X

k=0

ak (x)y(k) kallas differentialoperator. Om x0 2 I och

(13.12)

L[y] =

y(x0 ) = y0 ; y0 (x0 ) = y1 ; : : : ; y(n;1)(x0 ) = yn;1 f¨or n˚agra (komplexa) tal y 0 ; y1; : : : ; yn;1, s˚a a¨ r y = y(x) entydigt best¨amt. Speciellt om alla ak a¨ r konstanta (som i (13.7)), s˚a kan de n konstanterna i l¨osningen best¨ammas entydigt.

Sats 13 .5 Eulers differentialekvation ges av

anxn y(n) (x) + an;1xn;1y(n;1)(x) + : : : + a1 xy0 (x) + a0y(x) = g(x)

(13.13)

, d¨ar ak a¨ r konstanter, o¨ verg˚ar i en linj¨ar differentialekvation med konstanta koefficenter genom substitutionen x = e t , om x > 0 eller x = ;et , om x < 0. N¨armare best¨amt med Dk

dk och T k = dk , s˚a a¨r = dx k dtk

xk
Dk = T(T ; 1) : : :(T ; k ; 1) =

kY ;1 j =0

(T ; j); k = 1; 2; : : :

D¨armed a¨ r (13.13) ekvivalent med

an

nY ;1

nY ;2

j =0

j =0

(T ; j)y + an;1

(T ; j)y + : : : + a1Ty + a0y =



g(et ); om x > 0 g(;et ); om x < 0 (13.14)

Matema R. Emanuelsson

229

¨ 13.5. 2:A ORDNINGENS LINJARA DE

13.5

13. DIFFERENTIALEKVATIONER

2:a ordningens linj¨ara DE

Definition 13.3

L[y] := p0 (x)y00 (x) + p1(x)y0 (x) + p2 (x)y(x) = p3 (x)

(13.15)

a¨ r en andra ordningens linj¨ar differentialekvation. Om p 3(x)  0 a¨ r den homogen.

L[y] = p0 (x)y00 (x) + p1(x)y0 (x) + p2(x)y(x) kallas differentialoperator och a¨ r exakt om f¨or alla y

2 C2

d (A(x)y0 (x) + B(x)y(x)) p0(x)y00(x) + p1 (x)y0 (x) + p2(x)y(x) = dx

(13.16)

f¨or n˚agra funktioner A; B 2 C 1 . En integrerande faktor v = v(x) a¨ r en funktion s˚adan att vL[y] a¨ r exakt.

Sats 13 .6 En funktion v 2 C 2 a¨ r en integrerande faktor om och endast om v l¨oser den s.k. till (13.15) adjungerade ekvationen

d2 (p (x)v(x)) ; d (p (x)v(x)) + p (x)v(x) = 0 M[y] := dx 2 2 0 dx 1

(13.17)

En differentialekvation s˚adan att L(y)  M(y) kallas sj¨alvadjungerad. (13.15) a¨ r sj¨alvadjungerad om och endast om 



d dy dx p(x) dx + q(x)y(x) = 0 l¨osningar till (13.15) med p 3(x)  0

f och g vara (x0; g0 (x0)) a¨ r linj¨art oberoende (som vektorer). D˚a kan af(x) + bg(x),d¨ar a; b a¨ r konstanter. Wronskianen f¨or tv˚a l¨osningar f; g till (13.15) definieras som L˚at

f(x)g0 (x) ; f 0 (x)g(x) := W(f; g; x)

(13.18) och (x0; f 0 (x0)) och varje l¨osning skrivas

(13.19)

W f¨or (13.15) uppfyller W 0(x) + p(x)W(x) = 0 Om W a¨ r given av tv˚a linj¨art oberoende l¨osningar s˚a a¨ r W 6= given av tv˚a linj¨art beroende l¨osningar s˚a a¨ r W  0 f¨or alla x. 230

Matema R. Emanuelsson

(13.20)

0 f¨or alla x. Om W a¨ r

¨ 13.5. 2:A ORDNINGENS LINJ ARA DE

13. DIFFERENTIALEKVATIONER

1. Om man dividerar i (13.15) med p0 erh˚alls normalformen

y00 + p(x)y0 + q(x)y = r(x) d¨ar p = p1=p0 ; q = p2=p0 ; r = p3=p0 :

(13.21)

2. Om p och q a¨ r konstanter s˚a har differentialekvationen

L[y] = y00 + py0 + qy = 0 karakteristisk ekvation k: k 2 + pk + q = 0 (13.22) (a) Generellt g¨aller ju att r¨otterna a¨ r komplexkonjugerade om vi har reella koefficienter i den ursprungliga differentialekvationen och d¨armed i den karakteristiska ekvationen. (b) Om allts˚a r¨otterna a¨ r k = i d¨ar  och

6= 0 a¨ r reella tal blir l¨osningen

y = ex(A cos x + B sin x) D˚a den karakteristiska ekvationen har en reell dubbelrot k blir l¨osningen y = ekx (Ax + B). 3. Om p

= p(x) och q = q(x) och a¨r kontinuerliga funktioner av x i (13.21) och r(x) = 0, s˚a kan differentialekvationen reduceras till f¨orsta ordningen genom att s¨atta v(x) = u0 (x)=u(x) varvid man f˚ar v0 + v2 + p(x)v + q(x) = 0; (Riccatis ekvation) Observera att d¨armed a¨ r y

(13.23)

R = y(x) = Ce v(x)dx.

4. L˚at f och g vara tv˚a linj¨art oberoende homogenl¨osningar till differentialekvationen (13.21) (d.v.s. med r(x) = 0). D˚a a¨ r den allm¨anna l¨osningen av (13.21) med y(a) = y0 (a) = 0

y(x) =

Z

x

f(x) g(t) ; f(t) g(x)
r(t) dt a g(t) f 0 (t) ; f(t) g0 (t)

Matema R. Emanuelsson

(13.24)

231

¨ 13.5. 2:A ORDNINGENS LINJARA DE

13. DIFFERENTIALEKVATIONER

13.5.1 N˚agra speciella DE av 2:a ordn.

Definition 13.4

y00 ; 2xy0 + 2ny = 0 

Hermites DE



d 2 dy dx (1 ; x ) dx + y = 0

Legendres DE 



2
1 ; x2 y00 ; 2 x y0 + n (n + 1) ; 1 m ; x2 y = 0

;

Associerad Legendres DE

xy00 + (1 ; x)y0 + y = 0

Laguerres DE

;


1 ; x2 y00 ; x y0 +  y = 0 

Chebyshevs DE

 2

0 y00 + yx + 1 ; nx2 y = 0 n = 0; 1; 2; 3 : : : '00 + 2m [E ; V (x)] ' = 0

Bessels DE

~

Schr¨odingers DE (Endimen-

2

xy00 + (k + 1 ; x)y0 + (n ; k)y = 0

sionell och tidsober.) Associerad Laguerres DE

(1 ; x2 )y00 + [a ; b ; (a + b + 2)x]y0 + +n(n + a + b + 1)y = 0

Jacobis DE

x(1 ; x)y00 + [ ; ( + + 1)x]y0 ;  y = 0

Hypergeometrisk DE (13.25)

I Schr¨odingers DE a¨ r den obekanta funktionen symboliserad med '. E a¨ r en energiparameter, 2 Plancks konstant, V (x) = E p (x) a¨ r potentiell energi. ' 'dx = ' 2dx a¨ r sannolikheten att partikeln med massa m befinner sig i intervallet [x; x + dx].

~

232




Matema R. Emanuelsson

j j

¨ 13.5. 2:A ORDNINGENS LINJ ARA DE

13. DIFFERENTIALEKVATIONER

Sats 13 .7 1. Hermites DE l¨oses av Hermitepolynomen (12.38) sidan211 f¨or n = 0; 1; 2; : :: . 2. Legendres DE l¨oses av Legendrepolynomen (12.39) sidan211, om  1); n = 0; 1; 2; : :: . 3. Laguerres DE l¨oses av Laguerrepolynomen (12.41) n¨ar heltal.

= n(n +

 = n a¨r ett positivt

4. Chebyshevs DE l¨oses av Chebyshevpolynomen T n (cos ) = cos n d˚a  = n2 . 5. Bessels DE l¨oses av A Jn (x) + B Yn (x) (Se 12.44 och 12.46). (Polynomen och Besselfunktionerna a˚ terfinns p˚a sidan 211 ff.)

13.5.2 Linj¨ara system med differentialekvationer

Definition 13.5 8 1 > > > > <

Ett linj¨art system av differentialekvationer utg¨ors av

dy = a (x)y (x) + a (x)y (x) + : : : + a (x)y (x) 11 1 12 2 1n n dx.

> > > > :

..

..

.

dyn = a (x)y (x) + a (x)y (x) + : : : + a (x)y (x) n1 1 n2 2 nn n dx

(13.26)

eller p˚a matrisform:

A0 = Ay Normen av y defineras som

jyj = Normen av matrisen

p

yT


y =

n X k=1

y2

!1=2

k

A definieras som j kAk = sup jAy y6=0 jyj 2

ex
A := E + xA + x2! A2 + : : : = Matema R. Emanuelsson

1 X

xn An n=0 n!

(13.27)

233

¨ 13.6. EXISTENS OCH ENTYDIGHET AV L OSNING 13. DIFFERENTIALEKVATIONER

Varje system av linj¨ara differentialekvationer kan reduceras till denna form. Ex.vis f¨or

an y(n) + an;1y(n;1) + : : : + a1y0 + a0y = 0 kan man skriva yk 8 > > > > < > > > > :

13.6

=: yk och ekvationssystemet blir y(n) = ;(yn + aan;;n1 yn;1 + : : : + aa1 y1 + aa0 y0 ) n n y(n;1) = yn;1 .. .

.. .

.. .

y(0)  y = y0

Existens och entydighet av l¨osning

H¨ar beaktas en differentialekvation i variabeln x skriven p˚a formen

F(y(x); x) = y0(x) y

(13.28)

Fy

L˚at 2 M  Rm+1 och ( ; x) 2 Rn vara en funktion definierad p˚a M . Funktionen uppfyller ett Lipschitzvillkor p˚a m¨angden M i variabeln , om det finns en konstant K s˚adan att

Definition 13.6

y

jF(y; x) ; F(y0; x)j  K jy ; y0j

(13.29)

y; x) och (y0; x) i M .

f¨or alla (

Sats 13 .8

Fy

1. Entydighet: Om funktionen ( ; x) i (13.28) uppfyller (13.29) har differentialekvationen i (13.28) genom en given punkt ( 0 ; x0) 2 M h¨ogst en l¨osning.

y

Fy

2. Existens: Antag att ( ; x) a¨ r kontinuerlig p˚a M och uppfyller (13.29) i ett intervall (x 0 ; ; x0 + ) =: I f¨or alla och att ( 0 ; x0) 2 M . D˚a existerar en l¨osning (x) f¨or alla x 2 I s˚adan att (x 0) = 0 .

y

234

y

y

Matema R. Emanuelsson

y

y

14

Transformteori 14.1

Fouriertransform

Definition 14.1

Fouriertransformen av en funktion f : R ! R definieras som Z

^ := f(!)

1

;1

f(t)e;i!t dt

(14.1)

i den m˚an integralen existerar. Man skriver ocks˚a f^ = F (f). Definitionen av faltning av tv˚a funktioner a¨ r

(f  g)(t) :=

Z

1

;1

f(t ; x)g(x)dx

235

(14.2)

14.1. FOURIERTRANSFORM

14. TRANSFORMTEORI

Sats 14 .1 Linearitet hos fouriertransformen

^ + b^g(!) af(t) + bg(t) har fouriertransformen af(!) eller alternativt

F (af(t) + bg(t)) = aF (f(t)) + bF (g(t)) Om g(t)

^ ; ) = f(t)eit s˚a a¨ r g^(!) = f(!

Om g(t)

^ ;i! = f(t ; ) s˚a a¨ r g^(!) = f(!)e

Om g(t)

^ = f(;t) s˚a a¨ r g^(!) = f(!)

^ Om g(t) = f(t=) och  > 0 s˚a a¨ r g^(!) = f(!)

(14.3)

(14.4)

= ;itf(t) s˚a a¨r f deriverbar och g^(!) = f^0 (!)

Om g(t)

^
g^(!) (f\  g)(t) = f(!)

Sats 14 .2 Invers fouriertransform Z 1 ^ it! d! f(!)e f(t) = p1 2 ;1

(14.5)

Sats 14 .3 Plancherels identiteter

1

1 Z 1 f(!)^ ^ g (!)d! f(t)g(t)dt = 2 ;1 ;1

Z

1

Z

;1

jf(t)j2 dt

1 Z 1 jf(!) ^ j2 d! = 2 ;1

(14.6)

Den f¨orsta identiteten g¨aller om b˚ada integralerna a¨ r absolutkonvergenta. Den andra identiteten f¨oljer av den f¨orsta. 236

Matema R. Emanuelsson

14. TRANSFORMTEORI

14.1. FOURIERTRANSFORM

N˚agra vanliga Fouriertransformer Funktion

Fouriertranform

(t)e;at

1 ; a>0 a + i!

8 <

f(t) = : e;ajtj (t)

t

om

jtj  1

0

om

jtj > 1

2 i cos(!) ; 2 i sin(!) ! !2 2a a2 + !2 ; a > 0 (!) + i!1

sin t t 1

(! + ) ; (! ; )

e;pt =(4a) 4a

e;a! ; a > 0

2

(14.7)

2(!) 2

Matema R. Emanuelsson

237

14.1. FOURIERTRANSFORM

14. TRANSFORMTEORI

14.1.1 Diskret fouriertransform

Den diskreta fouriertransformen av (u 1; u2; : : : ; un) ges av

Definition 14.2

vm = na(b;2)=2

n X k=1 n X

uk e2i(k;1)(m;1)=n

och den inversa fouriertransformen ges av

uk = nb(a;2)=2

m=1

(14.8)

vm e;2i(k;1)(m;1)=n

d¨ar (a; b) = (0; 1); (1; 0) eller (1; 1). D.v.s. faktorn na(b;2)=2 och framf¨or respektive summa i (14.8) ges av

Fouriertransform Invers Fouriertransform

(a; b) = (0; 1) (a; b) = (1; 0) (a; b) = (1; p 1) n0 = 1 n;1 = 1=n n;1=2 = 1=pn n;1 = 1=n n0 = 1 n;1=2 = 1= n

Den diskreta cosinustransformen av a1 ; a2; : : : ; an+1 ges av r

nb(a;2)=2

"

 n m;1 X ; 1)  a bm = n2 a21 + (;1)2 an+1 + cos (k ; 1)(m k n k=2 m = 1; 2; : : : ; n + 1 Den diskreta sinustransformen av a 1 ; a2; : : : ; an;1 ges av

#

(14.9)

r

nX ;1  km  2 bm = n sin n ak ; m = 1; 2; : : : ; n ; 1 k=1

(14.10)

Kommentarer: Grundv¨ardena f¨or (a; b) a¨ r (1; 1), d.v.s. na(b;2)=2 = nb(a;2)=2 = n;1=2. I dataanalys anv¨ands faktorn 1=n f¨or transformen och f¨or signalbehandling anv¨ands faktorn 1. Med detta s¨att att skriva cos- och sin- transformerna p˚a i (14.9) och (14.10), a¨ r de sina egna inverser. F¨or dessa finns a¨ ven varianterna ovan med olika exponenter na(b;2)=2.

238

Matema R. Emanuelsson

14. TRANSFORMTEORI

14.2

14.2. LAPLACETRANFORM

Laplacetranform

Antag att s en funktion f definieras som

Definition 14.3

2 C.

(Den ensidiga Laplacetransformen

L(f)(s) =

Z

0

1

L(f) = F av

e;st f(t)dt

(14.11)

i den m˚an gr¨ansv¨ardet existerar.

Kommentarer: F¨or generaliserade funktioner (distributioner) beh¨ovs generaliseringen att undre gr¨ans ers¨atts av 0; , d.v.s.

L(f)(s) =

1

Z

0;

e;stf(t)dt

(14.12)

Detta skrivs ut endast d˚a det har signifkant betydelse.

L(af(t) + bg(t)) = aL(f(t)) + bL(g(t)) (Linearitet) L(e;atf(t)) = F(s + a) (d¨ampning) L(f(t=a)) = aF(as) (tidsskalning) L(f (n) (t)) = sn F (s) ;

nX ;1 k=0

f (k) (0)

n = 1; 2 : : : Z t L( f(x)dx) = F s(s) 0 Z

t

L( f(x)g(t ; x)dx)  L((f  g)(t)) = F(s)G(s) 0

(14.13)

Matema R. Emanuelsson

239

14.2. LAPLACETRANFORM

14. TRANSFORMTEORI

Sats 14 .4

dn F(s) = dsn d.v.s.

L(tn f(t))

Z

1

0;

e;st(;t)n f(t)dt

dn F (s); n = 0; 1; 2; : : : = (;1)n ds n

Lf(t)=t =

Z

s

1

(14.14)

F (s)ds

Lf(t) = 1 ; 1e;iT

Z

0

T

e;st f(t)dt

(Periodisk funktion)

240

Matema R. Emanuelsson

14. TRANSFORMTEORI

14.2. LAPLACETRANFORM

Laplacetransformen av n˚agra element¨ara funktioner

f(t)

F (s) = L(f(t))

1

1; s > 0 s

tn n!

s;(n+1) ; s > 0

eat cos bt sin bt cosh bt sinh bt  (n) (t)

1 ; s>a s;a s s2 + b2 ; s > 0 b ; s>0 2 s + b2 s s2 ; b2 ; s > jbj b ; s > jbj 2 s + b2 sn ; s > 0

(14.15)

(t ; a) e;as Den inversa laplacetransformen L;1

1 L;1(F(s)) = Rlim !1 2i

Z c+i1

c;i1

F(s)est dt =

Z c+i1

c;i1

F (s)est ds

(14.16)

d¨ar c 2 R a¨ r vald s˚a att alla singulariteter till F(s) ligger t.v. om linjen Re (z) det komplexa talplanet.

=ci

Kommentarer: I princip a¨ r integralen en kurvintegral i det komplexa talplanet: Z

1 st L;1 (F(s)) = Rlim !1 2i F (s)e ds

(14.17)

d¨ar a¨ r kurvan mellan c ; iy och c + iy som i figur 14.1 och ; a¨ r cirkelkurvan. Den slutna kurvan + ; a¨ r orienterad moturs. Ber¨akningen av (14.17) kan d˚a g¨oras som Matema R. Emanuelsson

241

14.3.

Z ;TRANSFORM

14. TRANSFORMTEORI

Im c+iy Γ

c

-R

Re

γ

c-iy

Figur 14.1: Kurvorna och ;

gr¨ansv¨ardet

 1 I F (s)est ds ; 1 Z F(s)est ds lim R!1 2i ;+ 2i

14.3

(14.18)

z ;transform

L˚at (x0; x1; x2; : : :) z ;transformen av f¨oljden definieras som Definition 14.4

= (xk )1 k=0

X(z) = x0 + x1z ;1 + x2z ;2 + : : : = 1

vara en reell talf¨oljd.

1 X k=0

xk z ;k

(14.19)

Man skriver f¨oljden (x k )k=0 som (: : : ; x;2; x;1; x0; x1; x2; : : :), d¨ar x;1 = x;2 = : : : = 0. Understrykningen av x0 anger att x0 a¨r p˚a “plats 0”. Vi skriver (xk )1 k=0 kortare som (xk ) 242

Matema R. Emanuelsson

14. TRANSFORMTEORI

Definition 14.5

14.3.

Z ;TRANSFORM

Tre viktiga f¨oljder

(: : : ; 0; 0; 0; 1; 1; 1; : : :) = (k )

(enhetssteget)

(: : : ; 0; 0; 0; 1; 0; 0; : ::) = (k )

(enhetspulsen)

(: : : ; 0; 0; 0; 0; 1; 2; 3; : ::) = (rk )

(14.20)

(rampfunktionen)

Definition 14.6

1. Betrakta f¨oljden (x k )1 k=0 . F¨oljden a; jaj < 1.

;


xk ak 1 k=0 kallas d¨ampad med d¨ampningen

1

1

2. Faltningen av tv˚a f¨oljder (x k )k=0 och (yk )k=0 a¨ r a˚ nyo en f¨oljd d¨ar element k a¨ r

(xk )  (yk ) =

m X k=0

xm;k
yk

Matema R. Emanuelsson

!

(14.21)

243

14.3.

Z ;TRANSFORM

14. TRANSFORMTEORI

Sats 14 .5 Med f¨oruts¨attningar som ovan, s˚a a¨ r

(xk ) X (z)

a (xk ) + b (yk ) a(Z ((xk ))) + bZ ((xk )) 

ak xk



X (z=a)

;zX 0 (z) (xk )  (yk ) X (z)
Y (z) (kxk )

(14.22)

(xk k;m ) z;m X (z); m  0 (xk k+m ) zm X (z) ;

mX ;1 r=0

xr zm;r

(xk ) X(z) (k ) z ;z 1 (k ) 1 (rk ) (z ;z 1)2 (ak ) z ;z a za sin  (ak sin k) z 2 ; 2za cos  + a2 ; a cos ) (ak cos k) z 2 z(z ; 2za cos  + a2

244

Matema R. Emanuelsson

(14.23)

Del III

Flerdimensionell analys

245

15

Flerdim. analys 15.1

Topologi p˚a Rn

15.1.1 Delm¨angder av Rn Ett element i Rn skrivs

x = (x1; x2; : : : ; xn) men a¨ ven (x1; x2; : : : ; xn) = r.

Definition 15.1

1. L¨angden av (x1; x2; : : : ; xn) definieras som q

j(x1; x2; : : : ; xn )j = jrj = r = x21 + x22 + : : : + x2n 2. Avst˚andet mellan tv˚a punkter p

(15.1)

x och y skrivs jx ; yj och definieras som

jx ; yj = (x1 ; y1 )2 + (x2 ; y2 )2 + : : : + (xn ; yn )2

(15.2)

x ; yj; x; y 2 M g.

3. L˚at G  Rn. Diametern av en m¨angd G a¨ r d(G) := supfj Om d(G) < 1 a¨ r m¨angden begr¨ansad, annars obegr¨ansad.

x fx : jx ; x0 j < rg =: Sr (x0 ) 5. En delm¨angd G till Rn a¨ r o¨ ppen om till varje x 0 2 G, s˚a finns en radie r > 0, s˚adan att sr (x0 )  G. 4. Ett oppet ¨ klot i Rn med centrum i 0 och radie R a¨ r m¨angden

6. En delm¨angd F a¨ r sluten i Rn, om F c

247

= Rn ; F a¨ r oppen. ¨

˚ 15.1. TOPOLOGI PA

RN

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

Sats 15 .1 1.

2.

¨ s˚a a¨ r (a) Unionen av oppna ¨ m¨angder a¨ r o¨ ppen: Om G i; i 2 I a¨ r oppna, [i2I Gi o¨ ppen. Speciellt a¨ r ; o¨ ppen. ¨ (b) Andliga snitt av oppna ¨ m¨angder a¨ r oppen: ¨ Om G 1; G2; : : : ; Gm a¨ r oppna, ¨ n s˚a a¨ r \m i21 Gi o¨ ppen. Speciellt a¨ r R o¨ ppen.

(a) Snittet av slutna m¨angder a¨ r sluten: Om F i; i 2 I a¨ r slutna, s˚a a¨ r \i2I Fi slutn. Speciellt a¨ r Rn sluten. ¨ (b) Andliga unioner av slutna m¨angder a¨ r sluten: Om F 1; F2; : : : ; Fm a¨ r slutna, s˚a a¨ r [m i21 Fi sluten. Speciellt a¨ r ; sluten.

Definition 15.2

1. Det inre till A  Rn a¨ r unionen av alla oppna ¨ m¨angder G  betecknas int(A). Enligt f¨oreg˚aende sats a¨ r int(A) o¨ ppen.

A. Det inre till A

2. Det slutna h¨oljet till A  Rn a¨ r snittet av alla slutna m¨angder F , s˚adana att F  A. Det slutna h¨oljet betecknas A. Enligt f¨oreg˚aende sats a¨ r A sluten. 3. Randen till A a¨ r m¨angden A \ A c

248

=: @A.

Matema R. Emanuelsson

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

˚ 15.1. TOPOLOGI P A

RN

15.1.2 Sammanh¨angande m¨angder m.m.

Definition 15.3

1. En m¨angd a¨ r M sammanh¨angande, om det inte finns tv˚a oppna ¨ disjunkta icketomma m¨angder G1 och G2 s˚adana att M  G1 t G2, d.v.s. M a¨ r inte inneh˚allen i en disjunkt union av tv˚a icketomma oppna ¨ m¨angder. ¨ m¨angd p˚a Rn. 2. Med ett “omr˚ade” D menas en sammanh¨angande oppen

x

y 2 Rn. M¨angden fx +(1 ; )y; 0    1g =: L(x; y) x och y. 4. En delm¨angd G till Rn a¨ r konvex om f¨or varje par x och y av punkter i G och f¨or varje  : 0    1, s˚a a¨ r x + (1 ; )y 2 G. Annorunda uttryckt s˚a a¨ r G 3. Antag att  och a¨ r str¨ackan mellan

konvex om den inneh˚aller alla str¨ackor mellan sina punkter.

x

k = 1; 2; : : : ; mm vara punkter Rn. L˚at mvidare k ; k = 1; 2; : : : ; n X X vara reella tal   0 och k = 1. D˚a a¨ r x = k xk en komvexkombinak=1 k=1 tion av punkterna x k ; k = 1; 2; : : : ; m. L˚at A  Rn. Det konvexa h¨oljet till A a¨ r konv((A)) och best˚ar av alla konvexkombinationer av punkter x k 2 A; k = 1; 2; : : : ; m, d¨ar m = 1; 2; : : : En delm¨angd A av Rn a¨ r stj¨arnformad, om det finns en punkt x 0 2 A, s˚adan att L(x; x0) 2 A f¨or varje x 2 A. Antag att a; x 2 Rn (h¨ar betraktade som kolonnmatriser). M¨angden fx : a T
x  cg a¨ r ett halvrum och m¨angden fx : aT
x = cg a¨ r ett hyperplan i Rn.

5. L˚at k ;

6. 7. 8.

Sats 15 .2 1. Antag att

a; x 2

a
x  c konvex.

Rn (h¨ar betraktade som kolonnmatriser). D˚a a¨ r m¨angden

2. Snittet av konvexa m¨angder a¨ r konvext. 3. L˚at

A vara en reell m  n;matris. M¨angden fx 2 Rn : Ax  cg =: M

(15.3)

a¨ r snittet av m halvrum i Rn och a¨ r s˚aledes en konvex m¨angd.

Matema R. Emanuelsson

249

15.2. FUNKTIONER

RN 7! R

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

Funktioner Rn 7! R

15.2

en funktion f fr˚an D f  Rn, d¨ar vi f¨oruts¨atter att int(D) f R a¨ r kontinuerlig i 0 om f¨or varje " > 0 det finns ett  > 0 s˚adant att Definition 15.4

x

6= ; till

jx ; x0j <  ) jf(x) ; f(x0 )j < " (15.4) En funktion a¨ r kontinuerlig p˚a M  D f om den a¨ r kontinuerlig i varje punkt x 0 2 M . Sats 15 .3 Antag att f a¨ r given som i (15.4).

D a¨ r kompakt, s˚a a¨ r f : D 7! R likformigt kontinuerlig, d.v.s. " > 0 finns det ett  > 0 s˚adant att

1. Om

jx ; yj <  ) jf(x) ; f(y)j < " 2.

f¨or varje (15.5)

f antar ett st¨orsta och minsta v¨arde p˚a D, och om D a¨ r sammanh¨angande antar f alla mellanliggande v¨arden.

Definition 15.5

Funktionen f a¨ r deriverbar i koordinaten x i , om

n) ; f(x1 ; x2; : : : ; xi; : : : ; xn) lim f(x1 ; x2; : : : ; xi +
x; : : : ; x
x


x!0

(15.6)

Gr¨ansv¨ardet a¨ r den partiella derivatan i koordinaten x i och skrivs

@f @xi

(15.7)

H¨ogre derivator m.a.p. variabeln xi definieras induktivt 



@ m f := @ @ m;1 f ; m = 0; 1; 2; : : : (15.8) @xmi @xi @xmi ;1 Den blandade andraderivatan m.a.p. xi och xj (i den ordningen), d¨ar i 6= j , definieras

som

@  @f  = @ 2 f @xj @xi @xj @xi i den m˚an v¨ansterled existerar. 250

Matema R. Emanuelsson

(15.9)

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

15.2. FUNKTIONER

RN 7! R

F¨or  = (a1; a2; : : : ; an) definieras jj = 1 +2 +: : :+n , d¨ar i a¨ r icke-negativa heltal och den partiella derivatan skrivs 





@f @  @  ( : : : @ n f : : : ) ) =:  @x1 @x2 @xn @x1 @x1 : : :@xnn

(15.10)

i den m˚an alla derivator existerar och kommuterar (Se villkor i sats 15.4.). Om alla partiella derivator a¨ r kontinuerliga givna av (15.10) f¨or alla (a1; a2; : : : ; an) f¨or n˚agot fixt jj, skrivs detta

 =

1

2

2

2

f 2 C jj (Rn)

(15.11)

Om funktionen f :s samtliga partiella derivator existerar, s˚a a¨ r f obegr¨ansat deriverbar. Detta skrivs

f 2 C 1 (Rn)

(15.12)

Kommentarer:

@f skrivs i bland f 0 . i @xi @ skrivs a¨ ven kortare @ och h¨ogre derivator skrivs @ n = @ n. x @x @xn x

Andraderivator skrivs p˚a liknande s¨att:

@ 2 f = f 00 @xi @xj ji n = 3, s˚a kan man beteckna de tre variablerna xi; i = 1; 2; 3 som (x; y; z). Man skriver d˚a @f = f 0 ; @f = f 0 och @f = f 0 @x x @x x @z z Om

Om variablerna a¨ r (x; y) skrivs de blandade andraderivatorna som 



@ @f = @ 2 f = f 00 = f 00 @x @y @x@y 21 yx Nedan f¨oljer en sats med ett tillr¨ackligt villkor f¨or att tv˚a blandade derivator a¨ r lika i specialfallet n = 2. Satserna nedan ges f¨or R2 men kan generaliseras till Rn; Matema R. Emanuelsson

n = 2; 3; : : : . 251

15.2. FUNKTIONER

RN 7! R

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

00 och fyx 00 existerar i en omgivning av (x; y) och a¨ r kontinuerliga i Sats 15 .4 Om fxy (x; y), s˚a a¨ r de lika. Definition 15.6

En funktion s¨ags vara differentierbar i (x; y), om

@f (x; y) + ph2 + k2"(h; k) (x; y) + k f(x + h; y + k) ; f(x; y) = h @f @x @y

(15.13)

d¨ar "(h; k) ! 0, d˚a (h; k) ! 0. Sats 15 .5 Antag att f a¨ r definierad i en omgivning till (x; y). Antag vidare att det finns tv˚a tal A och B s˚adana att p

f(x + h; y + k) ; f(x; y) = hA + kB + h2 + k2"(h; k) d¨ar "(h; k)

(15.14)

! 0, d˚a (h; k) ! 0. D˚a a¨r f deriverbar i (x; y) och A = @f @x (x; y) och

B = @f @y (x; y). Sats 15 .6

1. Om f a¨ r differentierbar i (x; y), s˚a a¨ r f kontinuerlig i (x; y). 2. Om f a¨ r deriverbar i en omgivning till (x; y) och att

kontinuerliga i (x; y), s˚a a¨ r f differentierbar i (x; y).

@f (x; y) och @f (x; y) a¨ r @x @y

Definition 15.7 Antag att f a¨ r definierad i en omgivning till (x; y) och att v = (; ). Riktningsderivatan av f i riktningen v definieras som lim f(x + t; y +t t) ; f(x; y) =: fv0 (x; y) (15.15) t!0

om gr¨ansv¨ardet existerar. Sats 15 .7 Antag att f a¨ r differentierbar i (x; y). D˚a existerar riktningsderivatan i en godtycklig riktning och a¨ r

v

@f (x; y) fv0 (x; y) =  @f (x; y) + @x @y 252

Matema R. Emanuelsson

(15.16)

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

Definition 15.8

15.2. FUNKTIONER

Gradienten av f definieras som 

RN 7! R



@f rf  grad f = @f (15.17) @x ; @y Tangentplanet f¨or x = a; y = b, d.v.s. i punkten (a; b; f(a; b)) definieras som @f z ; c = @f (15.18) @x (a; b)(x ; a) + @y (a; b)(y ; b)

Funktionsyta

Figur 15.1: Tangentplan till funktionsyta med normalvektorn n

Kommentarer:

(fx0 (a; b); fy0 (a; b); ;1) = n a¨ r normalvektor till tangentplanet. @f . rf kan skrivas med enhetsvektorer och blir d˚a rf = e x @f + e y @x @y I Rn kan planet tolkas som ett hyperplan av dimension n ; 1. Matema R. Emanuelsson

253

15.2. FUNKTIONER

RN 7! R

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

Sats 15 .8 1. 2. 3. 4.

fv0 (x; y) = v
rf . I riktningen rf a¨ r f v0 (x; y) a¨ r maximal och d˚a g¨aller likheten f v0 (x; y) = jrf j. fv0 (x; y) = v
rf . I riktningen rf a¨ r f v0 (x; y) a¨ r minimal och d˚a g¨aller likheten f v0 (x; y) = ;jrf j.

15.2.1 N˚agra ytor En funktion (x; y) y f(x; y), ger under hyggliga krav p˚a f (s˚asom kontinuitet) en yta i R3 best˚aende av punkterna (x; y; f(x; y)). En paraboloid a¨ r en s˚adan yta. Ex.vi s˚a ger f(x; y) = k(x2 + y2 ) en parabolisk yta (k 6= 0). En enmantlad och tv˚amantlad hyperboloid a¨ r ex.vis z 2 = x2 + y2 + 1 respektive z 2 = x2 + y2 ; 1. F¨or dessa a¨ r allts˚a inte z en funktion av (x; y).

En paraboloid

254

Matema R. Emanuelsson

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

15.2. FUNKTIONER

RN 7! R

En enmantlad hyperboloid

En tvåmantlad hyperboloid

Matema R. Emanuelsson

255

15.2. FUNKTIONER

RN 7! R

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

15.2.2 Niv˚akurva och niv˚ayta

Definition 15.9

1. F¨or en funktion f av tv˚a variabler definieras f(x; y) a¨ r en konstant som en niv˚akurva.

: f(x; y) = C g, d¨ar C

2. F¨or en funktion f av tre variabler definieras f(x; y; z) : C a¨ r en konstant som en niv˚ayta.

f(x; y; z) = C g, d¨ar

15.2.3 Sammansatt funktion och dess derivator De utvecklingar av derivata av sammansatt funktion kan alla kallas “kedjeregler” i likhet med det endimensionella fallet.

Sats 15 .9 L˚at t 7! (x(t); y(t)) och betrakta den sammansatta funktionen f(x; y) = f(x(t); y(t)). Om x(t) och y(t) a¨r deriverbara och f(x; y) a¨ r kontinuerligt deriverbar, s˚a a¨ r den sammansatta funktionen t 7! f(x(t); y(t)) deriverbar i variabeln t och

df = @f dx + @f dy dt @x dt @y dt Om x = x(u; v) och y = y(u; v) a¨ r deriverbara i u och v s˚a a¨ r @f = @f @x + @f @y @u @x @u @y @u och @f = @f @x + @f @y @v @x @v @y @v

256

Matema R. Emanuelsson

(15.19)

(15.20)

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

15.2. FUNKTIONER

RN 7! R

Sats 15 .10

@2f = @u2



@x 2 @ 2 f +  @y 2 @ 2 f + @ 2 x @f + @ 2 y @f + @u @x2 @u @y2 @u2 @x @u2 @y

@y @ 2 f +2 @x @u @u @x@y 



@ 2 f = @x @x @ 2 f + @y @y @ 2 f + @ 2 f @x @y + @x @y + @u@v @u @v @x2 @u @v @y2 @x@y @u @v @v @u

(15.21)

@ 2 x + @f @ 2y + @f @x @u@v @y @u@v 15.2.4 Koordinattransformer 15.2.4.1 Pol¨ara och cylindriska koordinater i R2 och R3

Definition 15.10

Pol¨ara koordinater eller sf¨ariska koordinater

R2 :

R3 :

8 <

x = r cos 

:

y = r sin 

8 > > > > <

x = r sin ' cos 

> > > > :

(15.22)

y = r sin ' sin 

z = r cos ' d¨ar 0   < 2, 0  ' <  och r > 0. Cylindriska koordinater i R 3: 8 > > > > < > > > > :

d¨ar 0   0.

x =  cos  y =  sin 

(15.23)

z=z p

< 2 (samma vinkel som f¨or  i pol¨ara koordinater) och  = x2 + y2 > Matema R. Emanuelsson

257

15.2. FUNKTIONER

RN 7! R

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

z r

z y y

x,y,zz

r y ϕ

r θ x

y

x

θ

x

x Pol¨ara koordinater i R2 och R3. 15.2.5 N˚agra speciella varianter av kedjeregeln

Sats 15 .11 Med pol¨ara koordinater

8 <

x = r cos 

:

y = r sin 

a¨ r

@f = @f cos  + @f sin  @r @x @y @f = @f (;r sin) + @f r cos  @ @x @y

Definition 15.11

Laplaceoperatorn
i tv˚a dimensioner definieras som

2 2
f = @@xf2 + @@yf2

och i Rn:

2 2 @2f
f = @@xf2 + @@xf2 + : : : + @x 2n 1 2

Laplaceoperatorn kan uttryckas med r, som r2 258

(15.24)

=
.

Matema R. Emanuelsson

(15.25)

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

15.2. FUNKTIONER

RN 7! R

Sats 15 .12 Laplaceoperatorn i pol¨ara koordinater i R2:

2 2
f = @@rf2 + r12 @@f2 + 1r @f @r

(15.26)

Laplaceoperatorn i pol¨ara koordinater i R3: 









@ r2 @f + 1 @ sin ' @f + 1 @ 2 f
f = r12 @r @r sin ' @' @' sin2 ' @2



(15.27)

Laplaceoperatorn i cylindriska koordinater i R3: 



@ r @f + 1 @ 2 f + @ 2 f
f = r1 @r @r r2 @2 @z 2 Med r

(15.28)

p

= (x21 + x22 + : : : + x2n kan Laplaceoperatorn i Rn skrivas df + d2f
f = n ;r 1
dr dr2

Matema R. Emanuelsson

(15.29)

259

15.3. TAYLORS FORMEL

15.3

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

Taylors formel

15.3.1 Taylors formel f¨or f : R2 7! R

Sats 15 .13 Antag att i)

f a¨ r en funktion f : D 7! R, d¨ar D a¨ r en o¨ ppen icketom delm¨angd av R2, som inneh˚aller str¨ackan mellan (x0 ; y0) och (x0 +
x; y0 +
y) f¨or n˚agra h; k 6= 0, samt

ii)

f 2 C m+1 (D),

f :s partiella derivator upp t.o.m.

d.v.s.

ordning

m + 1 a¨ r

kontinuerliga.

D˚a g¨aller Taylors formel

@f (x ; y )
y+ f(x0 +
x; y0 +
y) = f(x0 ; y0) + @f (x 0 ; y0)
x + @x @y 0 0  2  2f 2f @ f @ @ 1 2 2 + 2 @x2 (x0 ; y0)
x + 2 @x@y (x0 ; y0)
x
y + @y2 (x0 ; y0)
y + : : :+

m m @ m f 1 X k m;k + m! k @xk @ym;k (x0; y0 )
x
y (x0; y0 )+ k=0

mX +1 m + 1 @ m+1 f (x + 
x; y + 
y)
xk
ym+1;k + (m +1 1)! 0 k @xk @ym+1;k 0 k=0 



{z

|

Lagranges restterm=Rm (
x;
y)

}

(15.30) f¨or n˚agot  s˚adant att 0 < 

< 1.

Sats 15 .14 Med samma f¨oruts¨attningar som i f¨oreg˚aende sats men med och S¨att
= (
x1;
x2; : : : ;
xn), 0 = (x01; x02; : : : ; x0n), s˚a a¨ r

x

f(x +
x) =

x

D  Rn

m X

1 (
x
r)k f(x ) + 1 (
x
r)(m+1) f(x + 
x) 0 0 (m + 1)! k=0 k!

(15.31)

f¨or n˚agot  s˚adant att 0 <  260

< 1. Matema R. Emanuelsson

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

15.4

¨ 15.4. MAX. OCH MINVARDE AV FUNKTION

Max. och minv¨arde av funktion

: D f 7! R,d¨ar Df  Rn. Funktionen har ett lokalt maximum i en punkt x 0 2 Df om det finns en omgivning fx 2 Rn : jx ; x0 j <  g =: G, s˚adan att Betrakta en funktion f

Definition 15.12

1.

f(x)  f(x0 ) ,om x 2 Df \ G:

2. 3.

(15.32)

f har ett lokalt minimum i x 0. om ;f har ett lokalt maximum d¨ar. Om f(x0 )  ()f(x) f¨or alla x 2 Df s˚a a¨ r f(x0 ) funktionens st¨orsta (minsta)

v¨arde.

x @f x

4. Om Df a¨ r definierad och deriverbar i en o¨ ppen omgivning till 0 , @xi ( 0 ) = 0 f¨or i = 1; 2; : : : ; n, s¨ager man att f har en station¨ar (eller kritisk) punkt i 0 .

x

x

5. Om 0 a¨ r en station¨ar punkt och ej har ett lokalt maximum eller minimum d¨ar s¨ags punkten vara en sadelpunkt. 6. “Maximi”- och “minimipunkter” kallas kollektivt “extrempunkter”. Motsvarande funktionsv¨arde kallas “maximum” (kortare: max) eller “minimum” (kortare: min) eller kollektivt “extremv¨arden”. En station¨ar punkt a¨ r av formen ( 0 ; f( 0 )), d.v.s. egentligen skall b˚ade 0 och f( 0 ) anges och inte enbart 0.

x

x

x

x

x

x

7. Den kvadratiska formen till f i 0 definieras som

Q(x0; h) = Q(h) = d¨ar

X

xi ;xj

fx00i xj (x0 )hi hj

(15.33)

2

f = f 00 anv¨ands. h = (h1; h2; : : : ; hn) och d¨ar beteckningen @x@j @x xi xj i

Matema R. Emanuelsson

261

¨ 15.4. MAX. OCH MINVARDE AV FUNKTION

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

Maxpunkter

z

y

x z Sadelpunkt

y

x

Sats 15 .15

x

1. Antag att f har en extrempunkt i 0 som dessutom a¨ r en inre punkt till D f och

2.

@f a¨ r deriverbar i punkten. D˚a a¨ r @xi (x0 ) = 0 f¨or i = 1; 2; : : : ; n. @f (x ) = 0 och att f har kontinuerliga andraderivator i en omgvning Antag att @xi 0

x

till 0 . D˚a g¨aller

Q(h) > 0 ) har lokalt minimum i x 0 . ii) Q(h) < 0 ) har lokalt maximum i x 0 . iii) Q(h) antar b˚ade positiva och negativa v¨arden i varje omgivning till x 0 ) f har en sadelpunkt i x0 . Om Q(h)  0 i en omgivning till x 0 kan man inte utttala sig om den station¨ara i)

punktens natur.

F¨or funktioner f definierade p˚a D f punkter. 262

 R2 finns f¨oljande enkla kriterier f¨or station¨ara

Matema R. Emanuelsson

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

¨ 15.4. MAX. OCH MINVARDE AV FUNKTION

Sats 15 .16

00 f 00 ; (f 00 )2 vara ber¨aknade i punkten (x0 ; y0). Antag att f 0 = 1. Antag att fxx yy xy x 0 fy = 0 i (x0; y0 ) och att de partiella andraderivatorna a¨r kontinuerliga i (x 0; y0 ). D˚a g¨aller 00 fyy 00 ; (fxy 00 )2 i) Om fxx ii) iii)

> 0 och fxx > 0, s˚a har f lokalt minimum i (x0; y0 ).

00 fyy 00 ; (fxy 00 )2 > 0 och fxx < 0, s˚a har f lokalt maximum i (x0; y0 ). Om fxx 00 fyy 00 ; (fxy 00 )2 < 0, s˚a har f en sadelpunkt i (x0; y0). Om f xx

Kommentarer: F¨or ett “hyfsat” omr˚ade i (x; y) a¨r

M  R2 a˚ terfinns lokala max- och minpunkter, d¨ar

i) en inre deriverbar punkt, d¨ar allts˚a f x0

= fy0 = 0,

ii) randpunkter, d¨ar “randfunktionen” a¨ r deriverbar och d¨ar dess derivata = 0 eller iii) i punkter d¨ar f ej a¨ r deriverbar och i “h¨ornpunkter”. 15.4.1 Max- och min med bivillkor

: Df 7! R, d¨ar Df  Rn. Ett bivillkor a¨ r en funktion g(x) = 0, d¨ar x 2 D f . Att f har ett lokalt minimum i x 0 2 Df under bivillkoren g i (x) = 0, i = 1; 2; : : : ; k. inneb¨ar att (a) gi(x0 ) = 0 f¨or alla i = 1; 2; : : : ; k, d.v.s. att x0 uppfyller bivillkoren och (b) att det finns en omgivning V till x 0 s˚adan att

Definition 15.13

1. 2.

L˚at f

f(x0 )  f(x) f¨or alla x 2 V \ki=1 fx : gi (x) = 0g:

(c)

f har lokalt maximum om ;f har lokalt minimum. Matema R. Emanuelsson

263

¨ 15.4. MAX. OCH MINVARDE AV FUNKTION

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

15.4.1.1 Ett n¨odv¨andigt villkor f¨or extrempunkt

Definition 15.14

Funktionaldeterminanten f¨or en avbildning

(u1; u2; : : : ; un) och x = (x1; x2 ; : : : ; xn) ges av @x1 @u @x1 2 @u1 @xn

@u1

@x1 @u2 @x2 @u2 @xn @u2

::: ::: ..

.

@x1 @un @x2 @un

=: @xn

: : : @un

u 7! x, d¨ar u =

d(x1 ; x2 ; : : : ; xn) d(u1 ; u2 ; : : : ; un)

(15.34)

Sats 15 .17 Antag att f har en lokal extrempunkt under bivillkoren givna i definitionen, d¨ar k < n och att f och gi har kontinuerliga gradienter i en omgivning till 0 . D˚a a¨ r samtliga funktionaldeterminanter

x

d(f; g1; g2; : : : ; gk ) = 0 d(xi ; xi ; : : : ; xik ) 1

2

(15.35)

+1

f¨or varje delm¨angd fi 1 ; i2; : : : ; ik+1g  f1; 2; : : : ; ng med k + 1 element. 15.4.1.2 Lagranges multiplikatormetod F¨oreg˚aende metod kan formuleras p˚a f¨oljande s¨att:

Sats 15 .18 (Lagranges multiplikatormetod) Antag att f har en lokal extrempunkt i 0 . Antingen finns det tal  i ; s˚adana att

x

i = 1; 2; : : : ; n

@ (15.36) @xi [f + 1 g1 + 2 g2 + : : : + n gn ] = 0 f¨or i = 1; 2; : : : ; n i punkten x 0 eller s˚a a¨ r samtliga funktionaldeterminanter d(g1; g2; : : : ; gk ) d(x ; dx ; : : : ; x ) = 0. i1

264

i2

ik

Matema R. Emanuelsson

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

15.5

15.5. OPTIMERING

Optimering

H¨ar f¨oruts¨atts optimeringen (Max eller min) ske under bivillkor av linj¨ar eller konvex funktion. 15.5.1 Optimering av linj¨ar funktion

Definition 15.15

1. 8 > > > > > > > > > <

max(b1x1 + b2 x2 + : : : + bn xn)

> > > > > > > > > :

a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn  c1

x1  0; x2  0; : : : ; xn  0 ..

(15.37)

.

am1 x1 + am2 x2 + : : : + amn xn  cm

Detta ekvationssystem a¨ r ett linj¨art program (LP) p˚a standardmaximiform. 2. Med definitionen 2

a11 6 a21 6

A = 64

x  y , xk  yk f¨or alla index k och beteckningarna

a12 : :: a12 : ::

a1n 3 a2n 77

2

x1 3 6 x2 7 6 7

2

y1 3 6 y2 7 6 7

2

b1 3 6 b2 7 6 7

2

c1 3 6 c2 7 6 7

; x = 64 .. 75 ; y = 64 .. 75 ; b = 64 .. 75 ; c = 64 .. 75 . . . . : :: amn xn ym bn cm ..

am1 am2

7 5

.

skrivs (15.37) som 8 > > > > < > > > > :

max(bT x)

x0 Ax  c

LP p˚a standardmaximiform

(15.38)

3. Det till (15.38) duala programmet definieras som 8 > > > > < > > > > :

4.

min(cT y)

y0 Ay  b

LP p˚a standardminimiform

(15.39)

cT y kallas m˚alfunktion och olikheterna Ay  b etc kallas bivillkor. Ett y som

uppfyller bivillkoret kallas en till˚aten punkt.

Matema R. Emanuelsson

265

15.5. OPTIMERING

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

Sats 15 .19 Dualitetssatsen: F¨or de duala programmen (15.38) och (15.39) g¨aller 1. (15.38) saknar till˚atna punkter ) (15.39) saknar optimal l¨osning.

2. (15.39) saknar till˚atna punkter ) (15.38) saknar optimal l¨osning. 3. Om b˚ada programmen har till˚atna punkter, s˚a har b˚ade (15.38) och (15.39) optimala l¨osningar och de har samma optimala v¨arde. 15.5.2 Konvex optimering

Definition 15.16

Hessianen av f betecknad 2

@f @x1 @x1 6 @f 6 @x2 @x1 6 6 4

@f @x1@x2 @f @x2@x2 .. .

.. .

3

: : : @x@f@xn : : : @x@f@xn 777 =: H(f)(x) 1

..

2

.

.. .

(15.40)

7 5

: : : @xn@f@xn En funktion f definierad p˚a en konvex m¨angd M a¨ r konvex, om

xy

@f @xn @x2

H(f) a¨r

@f @xn @x1

f(x + (1 ; )y)  f(x) + (1 ; )f(y)

f¨or alla ; 2 M och alla funktionen str¨angt konvex.

 2 [0; 1].

Om olikheten a¨ r str¨ang f¨or

(15.41)

0 <  < 1 a¨ r

Sats 15 .20 1. L˚at M beteckna en konvex m¨angd. Antag att f a¨ r en konvex funktion f R. D˚a a¨ r m¨angden f 2 M : f( )  ag en konvex delm¨angd av M .

x

x

: M 7!

2. L˚at M vara en o¨ ppen och konvex m¨angd. (a) Antag att f a¨ r differentierbar p˚a M . D˚a g¨aller ekvivalensen

f konvex , f(x +
x) ; f(x)  rf(x)

x (b) Antag att f a¨ r tv˚a g˚anger differentierbar p˚a M . D˚a g¨aller ekvivalensen

f konvex , hT H(f)(x)h  0 f¨or alla h = (h1 ; h2; : : : ; hn)T

h H(f)(x)h a¨ r en positivt semidefinit kvadratisk form.

d.v.s. T

266

Matema R. Emanuelsson

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

15.5. OPTIMERING

Sats 15 .21 Betrakta 8 <

min(f(x))

:

x2M

(15.42)

d¨ar f a¨ r en konvex funktion. Antag att (15.43) har en optimal l¨osning. i) Om f a¨ r str¨angt konvex, s˚a a¨ r den optimala l¨osningen optimal.

x och0 x0 b˚ada a¨r optimala l¨osningar, s˚a a¨r alla vektorer i m¨angden fx + (1 ; )x : 0    1g optimala.

ii) Om

Konvexa Kuhn-Tuckersatsen: Antag att f; g1 ; g2; : : : ; gm a¨ r konvexa funktioner p˚a M . Betrakta

x

8 <

min(f(x))

:

gk (x)  ck ; k = 1; 2; : : : ; m

(15.43)

x

Antag att uppfyller bivillkoren g k ( )  ck ; k = 1; 2; : : : ; m och att det finns en vektor 2 Rm,  0 s˚a att f¨oljande villkor a¨ r uppfyllda:

y

y

yk (gk (x) ; ck ) = 0; k = 1; 2; : : : ; m

@g1 @gm @f @xl + y1 @xk + : : : + ym @xm = 0; l = 1; 2; : : : ; n

och

(15.44)

x

x en optimal l¨osning till (15.43). Speciellt f¨or (15.38) och (15.39) g¨aller att om x och y a¨ r till˚atna l¨osningar till d¨ar derivatorna a¨ r tagna i . D˚a a¨ r

respektive program sam att

yT (Ax ; c) = xT (b ; AT y) = 0

s˚a a¨ r

(15.45)

x och y optimala till respektive program.

Matema R. Emanuelsson

267

15.6. INTEGRALKALKYL

15.6

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

Integralkalkyl

Antag att f(x; y) a¨ r en begr¨ansad funktion p˚a M = [a; b]  [c; d] = f(x; y) : a  x  b; c  y  dg. Dela in [a; b] i m delintervall [x i;1; xi) =
xi

Definition 15.17

i = 1; 2; : : : ; m, d¨ar a = x0 < x1 < : : : < xm = b och p.s.s. med [c,d]: [yj ;1; yj ) =
yj j = 1; 2; : : : ; n, d¨ar c = y0 < y1 < : : : < yn = d. m;n X

s: =

i=1;j =1 m;n X

S: =

i=1;j =1

sij
xi
yj (15.46)

Sij
xi
yj

a¨ r en undersumma respektive o¨ versumma till f p˚a D, d¨ar sij
xi 
yj och Sij = sup f p˚a m¨angden
xi 
yj .

= inf f

p˚a m¨angden

f a¨ r integrerbar (i Riemanns mening) om sup s = inf S taget o¨ ver alla under- respektive o¨ versummor. ¨ D och skrivs Det gemensamma v¨ardet kallas (dubbel-)integralen av f over ZZ

D

En multipelintegral definierad p˚a D s¨att och skrivs ZZ

:::

Z

D

Sats 15 .22 (Fubinis sats) Om f a¨ r kontinuerlig p˚a D = utf¨oras itererat: ZZ

D

f(x; y)dxdy =

Z

(15.47)

 Rn, d¨ar D a¨ r kompakt, defineras p˚a liknande

f(x1 ; x2; : : : ; xn)dx1dx2 : : :dxn

(15.48)

[a; b]  [c; d], s˚a a¨ r f integrerbar och integrationen kan d

c

f(x; y)dxdy

Z

a

b

!

f(x; y)dx dy =

Z

b a

Z

d c

!

f(x; y)dy dx (15.49)

Kommentarer: Att integralen kan ber¨aknas som (15.49) inneb¨ar att integralen ber¨aknas iterativt. Fubinis sats kan generaliseras till riemannintegrerbara funktioner som 268

Matema R. Emanuelsson

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

15.6. INTEGRALKALKYL

n¨odv¨andigtvis inte a¨ r kontinuerliga och till multipelintegraler, d.v.s. integraler definierade p˚a D  Rn. Intervallet [a; b] kan ers¨attas med [(y); (y)] om dessa funktioner a¨ r kontinuerliga i y 2 [c; d]. P.s.s. kan [c; d] ers¨attas med [(x); (x)], d¨ar   a¨ r kontinuerliga funktioner. Arean A av ett omr˚ade givet av D ges per definition av

= f(x; y) : (y)  x  (y); c  y  dg

A(D) =

ZZ

D

dxdy

d.v.s. integranden = 1. Definition och satser a¨ r analoga i Rn. Volymen avD = f(x; y) : 1(y; z)  x  1 (y; z); 2 (z)  y  2(z); c  z  dg ges per definition av

V (D) =

ZZZ

D

dxdydz

F¨or tv˚a integrerbara funktioner f och f g¨aller Z Z

D

f(x; y)g(x; y)dxdy

2



ZZ

D

f(x; y)2 dxdy

ZZ

D

f(x; y)2 dxdy (15.50)

och kallas Schwarzs olikhet (f¨or integraler). Den kan enkelt generaliseras till Rn. Om D

=

Z

b1 a1

n Y

[ak ; bk] i (15.48) kan integralen ber¨aknas iterativt:

k=1 Z

b2

a2

:::

Z bn

an

!

!

f(x1 ; x2; : : : ; xn )dxn : : : dx2 dx1

Matema R. Emanuelsson

(15.51)

269

15.6. INTEGRALKALKYL

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

15.6.1 Variabelsubstitution i multipelintegral

Sats 15 .23 Variabelsubstitution i Dubbelintegral L˚at x och y vara tv˚a reellv¨arda funktioner av (u; v), d.v.s. Om (x; y) : D

! E (surjektivt) och

@x @u @x @v

8 <

x = x(u; v)

:

y = y(u; v)

.



@y d(x; y) @u @y =: d(u; v) @v

a¨ r kontinuerlig, s˚a a¨ r ZZ

D

f(x; y)dxdy =

ZZ

E

y) f(x(u; v); y(u; v))j d(x; d(u; v) jdudv

(15.52)

Kommentarer: Uttrycket (15.52)

d(x; y) kallas funktionaldeterminant. d(u; v)

Dubbelintegralen a¨ r “icke-orienterad” i den meningen att man alltid vid uppdelRd Rb ning av den i tv˚a enkelintegraler ( c ( a : : :dx)dy) s˚a a¨ r a  b och c  d.

r

Det r¨acker att avbildningen (u; v) 7! (x; y) existerar, d.v.s. med = (x; y), r¨acker det att (D) = E . Man beh¨over allts˚a inte ha en bijektion mellan omr˚adena D och E .

r

Mer allm¨ant kan man i en multipelintegral g¨ora en variabelsubstitution. Funktionaldeterminanten a¨ r

d(x1; x2; : : : ; xn) d(u1; u2; : : : ; uk )

(15.53)

Sats 15 .24 De pol¨ara och den cylindriska koordinattransformerna kan anv¨andas f¨or variabelsubstitution. Funktionaldeterminanterna a¨ r Pol¨ar subst. i R2 Pol¨ar subst. i R3 Cylindrisk subst. i R3

r

270

r2 sin '

Matema R. Emanuelsson

2

(15.54)

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

15.6. INTEGRALKALKYL

15.6.1.1 Generaliserad dubbelintegral

Definition 15.18

1. L˚at D  Rn vara en begr¨ansad och m¨atbar m¨angd (i Riemanns mening). En utt¨ommande f¨oljd (D k )1 k=1 av delm¨angder till D uppfyller

Dk  Dk+1 f¨or k = 1; 2; : : : , (b) [1 k=1Dk = D samt (c) f¨or varje begr¨ansad m¨angd D 0  D, s˚a finns ett Dk s˚adant att D 0  Dk . Om f¨or en funktion f  0, s˚adant att f a¨ r riemannintegrerbar p˚a varje m¨angd Dk och (a)

2.

lim k!1

ZZ

Dk

f(x; y)dxdy

(15.55)

existerar f¨or varje utt¨ommande f¨oljd (D k )1 k=1, s˚a kallas detta gr¨ansv¨arde f¨or den generaliserade integralen av f o¨ ver D.

Sats 15 .25 Det r¨acker att det finns en utt¨ommande f¨oljd (D k )1 k=1 , s˚adant att gr¨ansv¨ardet (15.55) existerar s˚a existerar den generaliserade dubbelintegralen. Kommentarer: Begreppet generaliserad dubbelintegral kan enkelt generaliseras till multipelintegral.

Matema R. Emanuelsson

271

15.6. INTEGRALKALKYL

272

15. FLERDIMENSIONELL ANALYS

Matema R. Emanuelsson

16

Analytiska funktioner Analytiska funktioner kallas a¨ ven holomorfa funktioner.

16.1

Egenskaper

Definition 16.1

1. Kurva

: [a; b] ! C En kurva a¨ r regul¨ar om den a¨ r en avbildning : [a; b] ! C , som a¨ r kontinuerligt deriverbar och 0 (t) 6= 0 i alla punkter i [a; b]. En kurva som med derivata = 0 i (h¨ogst) ett a¨ ndligt antal punkter ft 1 < t2 < : : : < tng i [a; b] kalla styckvis regul¨ar. En kurva a¨ r sluten om (a) = (b). Tv˚a kurvor 0 och 1 a¨ r homotopa, om det finns en funktion f(s; t), s˚adan att f : [0; 1]  [a; b] a¨ r kontinuerlig i variabeln s samt f(0; t) = 0 (t) och f(1; t) = 1 (t). En kurva omsluter enkelt en punkt z , om a¨ r homotop med en cirkel definierad som c(t) = z + reit ; t 2 [0; 2] f¨or n˚agot r > 0.

(a) En kontinuerlig kurva a¨ r en kontinuerlig avbildning (b)

(c) (d)

(e)

273

16.1. EGENSKAPER

16. ANALYTISKA FUNKTIONER

2. Omr˚ade (a) (b)

D(z0 ; r) = fz : jz ; z0 j < rg  C a¨r en oppen ¨ cirkelskiva i C . En m¨angd a¨ r en o¨ ppen delm¨angd i C , om f¨or varje z 0 2 det finns ett r > 0 s˚adant att z0 2 D(z0 ; r) = fz : jz ; z0 j < rg  :

(c) En oppen ¨ m¨angd  C kallas ett omr˚ade.

(d) Omr˚adet kallas sammanh¨angande om det f¨or varje par av punkter z 1 och z2 finns en kontinuerlig kurva s˚adan att (a) = z 1 och (b) = z2 . (e) Omr˚adet kallas enkelt sammanh¨angande om varje sluten kurva i omr˚adet ( d.v.s. [a; b]  ) a¨ r homotop med en punkt i .

En funktion f : ! C kallas analytisk i omr˚adet deriverbar i , d.v.s. om f¨oljande gr¨ansv¨arde existerar:

Definition 16.2

f(z +
z) ; f(z) =: f 0 (z)
z En funktion kallas hel funktion om dessutom = C .

, om f

a¨ r

(16.1)

Sats 16 .1 L˚at f(z) = u(z) + iv(z) = u(x; y) + iv(x; y), d¨ar u och v a¨ r realrespektive imagin¨ardelen av f och x och y a¨ r real- respektive imagin¨ardelen av z . D˚a g¨aller att f a¨ r analytisk , u och v uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer

@u = @v ; @u = ; @v @x @y @y @x

(16.2)

16.1.1 Element¨ara funktioner Det som v¨asentligen skiljer dessa funktioner fr˚an de presenterade i kapitel 8 a¨ r att den oberoende variabeln nu a¨ r komplex. Polynom och mer allm¨ant rationella funktioner definieras p˚a ett uppenbart s¨att. F¨or de transcendenta funktionerna g¨aller att 274

Matema R. Emanuelsson

16. ANALYTISKA FUNKTIONER

16.1. EGENSKAPER

ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y); log z = ln jz j + i arg z iz ;iz sin z = e ;2ie ; sin z ; tan z = cos z

iz ;iz cos z = e +2 e z cot z = cos sin z

(16.3)

Kommentarer: 1. De element¨ara funktioner presenterade i (16.3) a¨ r analytiska f¨orutom logaritmfunktionen, som a¨ r analytisk i ex.vis C ; fz : Re (z)  0g, den s.k. principalgrenen av logaritmfunktionen. En potensfunktion blir, d˚a exponenten inte a¨ r ett heltal, beroende av definitionen av logaritmfunktionen.

f(z) = z  = e(ln jzj+i arg z)

(16.4)

2. Man observerar att ex.vis sin z antar v¨arden utanf¨or intervallet [;1; 1], till skillnad fr˚an n¨ar z a¨ r reellt.

3. Derivatan av summa, produkt, kvot och sammans¨attning av tv˚a analytiska f(z) och g(z) f¨oljer samma r¨akneregler som presenteras i (9.12) sidan 156. De element¨ara funktionerna definieras som p˚a sidan 158.

Definition 16.3

Integralen over ¨ den regul¨ara kurvan definieras som Z

f(z)dz :=

Z

b

a

f( (t)) 0 (t)dt

Matema R. Emanuelsson

(16.5)

275

16.1. EGENSKAPER

16. ANALYTISKA FUNKTIONER

Sats 16 .2 1. Om f a¨ r analytisk i och 1 och 2 a¨ r tv˚a homotopa regul¨ara kurvor, s˚a a¨ r Z

1

f(z)dz =

Z

2

f(z)dz

(16.6)

2. Om a¨ r enkelt sammanh¨angande och en regul¨ar kurva, s˚a a¨ r Z

f(z)dz = 0

(16.7)

f¨or varje sluten kurva. Speciellt a¨ r integralen oberoende Z Z av kurvan/v¨agen mellan tv˚a punkter. D¨arf¨or skrivs integralen a¨ r kurvans start- respektive slutpunkt.

f(z)dz =

z2

z1

f(z)dz , d¨ar z1 och z2

3. Om a¨ r enkelt sammanh¨angande, s˚a har f en primitiv F funktion, d.v.s. Z

4.

f(z)dz =

Z

z2 z1

f(z)dz = F (z2 ) ; F(z1)

(16.8)

(a) Antag att f a¨ r analytisk i och att enkelt omsluter z 0 . D˚a a¨ r Z 1 dz; och allm¨ant f(z0 ) = 2i zf(z)

; z0

f(z) dz @ n f (z )  f (n) (z ) = n! Z 0 0 n @z 2i (z ; z0 )n+1

(16.9)

Den senare identiteten a¨ r Cauchys allm¨anna integralformel. (b)

f kan utvecklas i en potensserie kring z 0 , f(z) =

1 X

(n) an (z ; z0 )n; an = f n!(z0 ) ; n = 0; 1; 2; : : : n=0

med konvergensradie

D(z0 ; R)  .

276

R

(16.10)

given av den st¨orsta cirkelskiva s˚adan att

Matema R. Emanuelsson

16. ANALYTISKA FUNKTIONER

16.2. LAURENTSERIER, RESIDUESATSEN

Sats 16 .3 Antag att f a¨ r analytisk i ett sammanh¨angande omr˚ade . 1. (Liouvilles sats) Om f a¨ r en hel funktion ( d.v.s. a¨ r f konstant.

D f = C ) och begr¨ansad, s˚a

2. Om (zn )1 n=1 a¨r en konvergent f¨oljd av olika punkter med gr¨ansv¨arde z 0 , samt om f(zn ) = A a¨ r lika f¨or n = 0; 1; 2; : : : , s˚a a¨ r f(z)  A f¨or alla z 2 . 3. (Maximumprincipen) Antag att jf(z)j har ett maximum i . D˚a a¨ r f konstant i .

Sats 16 .4 1. (Schwarzs lemma) Antag att f(z) a¨ r analytisk i D(0; 1) = uppfyller a)

fz : jz j < 1g att f

f(0) = 0;

b)

jf(z)j  1; z< 1

(16.11)

jf 0 (0)j  1;

b)

jf(z)j  jz j; z< 1

(16.12)

D˚a a¨ r a)

2. (Rouches sats) Antag att K  a¨ r en kompakt m¨angd och att @K a¨ r en styckvis regul¨ar kurva kurva och att f¨or tv˚a analytiska funktioner f och g p˚a

, s˚a a¨ r jf(z)j > jg(z)j f¨or alla z 2 , s˚a har funktionerna f , g och f + g R samma antal nollst¨allen innanf¨or kurvan, d.v.s. i omr˚adet K .

16.2

Laurentserier, Residuesatsen

Definition 16.4

1. En serie

1 X n=;1

an (z ; z0 )n =: S(z; z0 )

(16.13)

a¨ r en Laurentserie kring z0.

Matema R. Emanuelsson

277

¨ 16.3. MOBIUSTRANSFORMER

16. ANALYTISKA FUNKTIONER

Sats 16 .5 1. Med p

p

lim sup n janj =: R1 och lim sup n janj =: R2 n!;1

n!1

s˚a a¨ r S(z; z0 ) konvergent f¨or R 1 < jz ; z0 j < R2.

2. Varje analytisk funktion i cirkelringen fz som en Laurentserie.

: R 1 < jz ;z0 j < R2g kan framst¨allas

3. Antag att enkelt omsluter z 0 . D˚a a¨ r Z

f(z)dz = 2i
a;1

(16.14)

4. (Residuesatsen) Om enkelt omsluter fz1 ; z2 ; : : : ; zk g, s˚a a¨ r Z

d¨ar Reszr f(z)

16.3

f(z)dz = 2i

k X r=1

Reszr f(z)

(16.15)

:= a;1 i Laurentserien kring zr .

M¨obiustransformer

Sats 16 .6 Linjens och cirkelns ekvation i C ges av

az + az + b = 0;

a 6= 0

Linjens ekvation

zz + z + z + = 0; jj2 ;  0

(16.16) Cirkelns ekvation

N

p

z - planet

278

Matema R. Emanuelsson

z

¨ 16.3. MOBIUSTRANSFORMER

16. ANALYTISKA FUNKTIONER

Kommentarer: En linje kan betraktas som en cirkel med o¨andlig radie. En linje eller cirkel betecknas ‘cirkel’. Cirkeln radie i (16.16) a¨ r r vara reellt.

p

= jj2 ; och dess radie ;. Speciellt m˚aste

Om a och b a¨ r tv˚a olika punkter p˚a en linje, s˚a a¨ r linjens ekvation

z(a ; b) ; z(a ; b) + ab ; ab = 0

(16.17)

Riemannsf¨aren 1. Riemannsf¨aren S definieras som sf¨aren i C  [0; 1] (0; 0; 1=2) och radie 1=2. Punkten N = (0; 0; 1).



R3 med centrum i

2. Varje tal z 2 C motsvaras entydigt en punkt p˚a S ; fN g. L˚at C  e a¨r ett idealt element som motsvarar N p˚a S .

= C [ e , d¨ar

3. Transformationen mellan C och S ; fN g ges av

p1 = 1 + xx2 + y2 p2 = 1 + xy2 + y2

(16.18)

2 2 p3 = 1 +x x+2 +y y2 d¨ar z

= x + iy och P = (p1 ; p2; p3) 2 S .

Matema R. Emanuelsson

279

16.4. HARMONISKA FUNKTIONER

16. ANALYTISKA FUNKTIONER

M¨obiustransform 1. En m¨obiustransform T(z) a¨ r en avbildning C  8 > < > :

d¨ar z

+ b ; z 6= ;d=c T(z) = az cz + d T (;d=c) = e

7! C  , given av om

ad ; bc 6= 0

= ;d=c avbildas

2. M¨obiustransformen a¨ r bijektiv p˚a C  . m¨obiustransform, given av 8 > < > :

Inversfunktionen

T ;1

T ;1 (z) = bcz;;dza ; z 6= a=c T ;1 (a=c) = e

(16.19)

a¨ r ocks˚a en

(16.20)

3. Klassen av m¨obiustransformer utg¨or en grupp under komposition. 4. Om T har (minst) tv˚a fixpunkter (En fixpunkt uppfyller T(z) = z ), s˚a a¨ r T (z) = z f¨or alla z 2 C  .

5. Givet tre olika punkter z 1 ; z2; z3 och tre olika punkter w 1; w2; w3, alla i C  . En m¨obiusavbildning T s˚adan att T(z k ) = wk ; k = 1; 2; 3 a¨ r entydigt best¨amd. 6. En m¨obiustransform avbildar ‘cirklar’ p˚a ‘cirklar’.

16.4

Harmoniska funktioner

Definition 16.5

En funktion u

= u(x; y) a¨ r harmonisk om den uppfyller Laplaces

ekvation.

@2u + @2u = 0
u = @x 2 @y2

(16.21)

En funktion reell v a¨ r konjugerat harmonisk till u, om u a¨ r reell och harmonisk samt om f := u + iv a¨ r analytisk. Speciellt a¨ r real- och imagin¨ardelen av en analytisk funktion harmonisk. 280

Matema R. Emanuelsson

16. ANALYTISKA FUNKTIONER

16.4. HARMONISKA FUNKTIONER

Sats 16 .7 1. En analytisk funktion f uppfyller


jf(z)j2 = 4jf 0 (z)j2

(16.22)

2. (Poissons formel) Om u(x; y) a¨ r harmonisk i ett (¨oppet) omr˚ade , som inneh˚aller fz : jz j  Rg och z = rei a¨ r den pol¨ara framst¨allningen av z , d˚a a¨ r

R2 ; r2 1 Z 2 u(R; ')d' u = u(r; ) = 2 2 0 R ; 2Rr cos( ; ') + r2 f¨or 0  r < R.

Matema R. Emanuelsson

(16.23)

281

16.4. HARMONISKA FUNKTIONER

282

16. ANALYTISKA FUNKTIONER

Matema R. Emanuelsson

17

Vektoranalys 17.1

Differentialkalkyl p˚a R n

Definition 17.1

f

1. Ett vektorf¨alt a¨ r en funktion : D 7! R m, d¨ar D  Rn. 0, om till varje " > 0 det finns ett  > 0, s˚adant att

x

2. Om

f har gr¨ansv¨ardet A i

jx ; x0 j <  ) jf (x) ; Aj < "

(17.1)

A = f (x0), s˚a a¨ r f kontinuerlig i x 0.

3. Nablaoperatorn definieras som

r = e1 @x@ + e2 @x@ + : : : + en @x@ 1 2 n

(17.2)

4. Laplaceoperatorn definieras som

2

2

2

1

2

n

@ + @ +:::+ @ r
r = r2 =
= @x 2 @x2 @x2

f x matrisform a¨r

(17.3)

Totalderivatan av i

2 @f

1

@x 6 @f21 6 @x1 6 6 .. 4 .

@fm @x1

@f1 @x @f22 @x2

.. . @fm

@x2

::: ::: ..

.

:::

i den m˚an varje enskild derivata existerar. 283

@f1 3 @x @fn2 7 @xn 7 7

.. 7 =: . 5 @fm @xn

f 0(x)

(17.4)

˚ 17.1. DIFFERENTIALKALKYL P A

RN

17. VEKTORANALYS

I tre dimensioner skriver man nablaoperatorn som

@ +e @ +e @ r = ex @x y @y z @z

(17.5)

Sats 17 .1

(f + g)0(x) = f 0(x) + g0(x) (kf )0(x) = kf 0(x)

(17.6)

(f  g)0(x) = f 0(g(x))g0(x)

f

Funktionaldeterminanten av a¨ r determinanten av totalderivatan.

Sats 17 .2 Implicita funktionssatsen S¨att ( 2 Rm; 2 Rn och l˚at : M

x

y

F

7 Rn, d¨ar ! (x0 ; y0 ) 2 M  Rm+n;

M har icketomt inre. Antag att F 0 a¨ r kontinuerlig en omgivning U  M och F(x0 ; y0) = 0 samt att det F(x0; y0) 6= 0. D˚a existerar en omgivning U0 till (x0 ; y0), s˚adan att d¨ar att

F(x; y) = 0; (x; y) 2 U0

fx

implicit (indirekt) definierar en funktion f fr˚an en delm¨angd av R m till Rn, d¨ar ( ) = . Funktionen a¨ r definierad i en omgivning till 0 och differentierbar i 0, samt

y

f

Definition 17.2

x

f 0(x0) = ;[F0y(x0; y0)];1F0x(x0; y0)

@f = rf = @x

@f n e 1 + : : : + @x en, om f : R 7! R 1 n

@Fn 1 n n F = r
F = @F @x1 + : : : + @xn , om F : R 7! R

(divergensen av F ) rot = r  , om (rotationen av f )

F

Om div 284

(17.7)

Med nablaoperatorn definieras differentialoperatorerna

grad f div

x

F

F : R3 7! R3

F = 0, s˚a a¨ r F k¨allfritt. Om rot F = 0, s˚a a¨r F virvelfritt. Matema R. Emanuelsson

(17.8)

˚ 17.1. DIFFERENTIALKALKYL P A

17. VEKTORANALYS

RN

Definition 17.3

3 1. p Pol¨ara enhetsvektorer i R p uttryckta i kartesiska koordinater (x; y; z), d¨ar r 2 2 2 x + y + z och  = x2 + y2 : 2 2 er = (x; ry; z) ; e = (;y; x) ; e' = (xz; yz; ;r(x + y )) 3 2. Cylindriska p enhetsvektorer i R uttryckta i kartesiska koordinater 2 2 d¨ar  = x + y :

e = (x; y; 0) ; e = (;y;x; 0) ; ez = (0; 0; 1)

=

(17.9)

(x; y; z), (17.10)

Sats 17 .3 I pol¨ara koordinater i R3 blir rotationen er re' (r sin ')e 1 @ r  F = r2 sin ' @r@ @'@ @ F r rF' (r sin ')F



(17.11)

Sats 17 .4 I cylindriska koordinater blir operatorerna i (17.8)

1 @f @f rf = @f @ e +  @ e + @z  + 1 @F + @Fz r
F = 1 @F @  @ @z

r  F = 1

(17.12)

e e@  e

 @ @ F

@

F

Matema R. Emanuelsson

z @ @z Fz

285

˚ 17.1. DIFFERENTIALKALKYL P A

RN

17. VEKTORANALYS

Definition 17.4

1. En kurva i Rn a¨ r en avbildning (t) = (x 1(t); x2(t); : : : ; xn(t)) d¨ar t 2 [a; b] och d¨ar a¨ r kontinuerligt deriverbar i samtliga utom ett a¨ ndligt antal punkter t1; : : : ; tm . D¨ar f¨oruts¨atts att h¨oger- och v¨ansterderivata existerar, d.v.s. L0 (tj ) 0 (tj ) existerar. och H (a) Ett omr˚ade/delm¨angd av Rn a¨ r (v¨agvist) sammanh¨angande, om det f¨or varje par av punkter och i Rn finns en kurva : [a; b] s˚adan att (a) = och (b) = .

x

y

x

y

(b) En kurva a¨ r sluten om (a) = (b).

(c) Tv˚a kurvor 0 och 1 i Rn a¨ r homotopa , om det finns en avbildning

f(s; t) : [0; 1]  [a; b] 7! Rn s˚adan att f(0; t) = 0 (t) och f(1; t) variabeln s f¨or varje t.

(17.13)

= 1 (t) och f(s; t) a¨ r kontinuerlig i

R

(d) Ett omr˚ade/delm¨angd av n a¨ r enkelt sammanh¨angande om varje sluten kurva a¨ r homotop med en punkt.

F

L˚at (t) = (x1(t); x2(t); : : : ; xn(t)) vara en kurva d¨ar t 2 [a; b]. L˚at : M y Rn, d¨ar M  Rn. Antag att M  ([a; b]). D˚a definieras kurvintegralen Z

F
dr =

Z

b a

F
ddtr dt

(17.14)

2. En kurva i R2 omsluter enkelt ett omr˚ade D, om (bilden av) kurvan a¨ r @A och avbildningen : [a; b) 7! @D a¨ r bijektiv, samt om (a) = (b). 3.

D  R2 a¨ r enkel x;led, om D = f(x; y) : (y) < x < (y); a < x < bg och  och a¨ r kontinuerliga p˚a [c; d].

4. Potential- och potentialf¨alt (a) En funktion f s˚adan att rf gradientf¨alt. (b) En funktion

= F kallas potential och motsvarande F kallas

A s˚adan att rot A = F kallas vektorpotential.

Kommentarer: Ex.vis i

R3 skriver man Z

286

F
dr =

Z

a

b

Z b dy + F dz  dt F
ddtr dt = Fx dx + F dt y dt z dt

a

Matema R. Emanuelsson

˚ 17.1. DIFFERENTIALKALKYL P A

17. VEKTORANALYS

RN

Sats 17 .5

F

1. Om a¨ r kontinuerlig p˚a ([a; b]) och a¨ r kontinuerligt deriverbar p˚a [a; b], s˚a a¨ r v¨ardet av kurvintegralen oberoende av parameterframst¨allningen av ([a; b]).

F har kontinuerliga partiella derivator av andra ordningen, s˚a a¨r (17.15) rot (grad f) = 0 respektive div (rot F) = 0 3. Antag att D a¨ r ett o¨ ppet enkelt sammanh¨angande omr˚ade i R3 och att F har 2. Om f och

kontinuerliga partiella derivator. D˚a g¨aller ekvivalensen

9f : rf = F , rot F = 0

(17.16)

Sats 17 .6 Greens formel 1. Om kurvan enkelt omsluter ett enkelt sammanh¨angande omr˚ade M  R2 och a¨ r moturs orienterad och D = t pk=1 Dk [pk=1 k d¨ar k = @Dk och Dk a¨ r enkla i x; eller y;led och D a¨ r kompakt,

: [a; b] 7! @D a¨ r moturs orienterad och y @Fx Fx; Fy ; @F @x ; @y a¨r kontinuerliga p˚a D, s˚a a¨ r

2. kurvan 3.

I

Definition 17.5

Fx dx + Fy dy =

ZZ





@Fy ; @Fx dxdy @y D @x

(17.17)

Fx dx+ Fy dy a¨ r en exakt differential a¨ r en exakt differential om det

finns en funktion G, s˚adan att

@G = F ; och @G = F x y @x @y Matema R. Emanuelsson

(17.18)

287

˚ 17.1. DIFFERENTIALKALKYL P A

RN

17. VEKTORANALYS

Sats 17 .7 Antag att F x och Fy har kontinuerliga partiella derivator p˚a ett enkelt sammanh¨angande omr˚ade D  R2 och  D. D˚a a¨ r f¨oljande tre utsagor ekvivalenta. 1. 2.

Fxdx + Fy dy a¨ r en exakt differential. @Fy ; @Fx = 0 p˚a D. @x @y

Z

3.

Fxdx+Fy dy a¨ r oberoende av integrationsv¨agen, d.v.s. beror endast p˚a start-

och slutpunkt.

n

Positivt orienterad yta

Vektorf¨altet (x; y)

288

y F = (x ; y )

Matema R. Emanuelsson

3

3

˚ 17.1. DIFFERENTIALKALKYL P A

17. VEKTORANALYS

RN

Definition 17.6

S

1. En yta i R3 a¨ r en (styckvist) kontinuerligt deriverbar funktion fr˚an en kompakt m¨angd D  R2 till R3. Bilden av betecknas S .

S

x x

2. En sluten yta a¨ r h¨ar f¨or enkelhets skull en yta som a¨ r homotop med f : j ; 0j = rg f¨or n˚agot 0 och n˚agot r > 0. En ut˚atriktad enhetsnormal f¨or den

x

x x ; x0 senare ytan a¨ r n = jx ; x0 j ; jx ; x0 j 6= 0.

r

En parameterframst¨allning kan skrivas (u; v) y (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) = (u; v). Speciellt om (x; y) y f(x; y) har man en funktionsyta och avbildningen blir d˚a

(x; y) y (x; y; f(x; y)) Normalvektorn till ytan

S ges av

ru  rv =: n Tangentplanet till ytan S i punkten r 0 = (x0 ; y0; z0 ) ges av determinanten

(17.19)



x x0 @x @u @x

;

y ; y0 z ; z0 @y @z @u @u = 0 (17.20) @y @z @v @v @v d¨ar det f¨oruts¨atts att derivatorna a¨ r tagna i (x 0 ; y0; z0) och existerar d¨ar, samt att

ru  rv 6= 0 Arean av ytan S a¨ r

A(S) =

Z

M

(17.21)

r  @r dudv

@ @u

r) ges av

Ytintegralen av F(x; y; z) = F( ZZ

S

F (x; y; z)dS =

ZZ

r  @r dudv

@ F (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) @u

@v

(17.23)

@ r  @ r dudv F(r)
ndS = F(r)
dS = F(r)
@u @v S S D

(17.24)

D

Normalyteintegralen av ett vektorf¨alt Z

d¨ar

(17.22)

@v

Z

F definieras som Z





n a¨ r en enhetsnormal till den orienterade ytan S. Matema R. Emanuelsson

289

17.2. OLIKA TYPER AV DIFFERENTIALEKVATIONER

17. VEKTORANALYS

Sats 17 .8 Stokes och Gauss sats Antag att enkelt omsluter ytan S som a¨ r en positivt orienterad yta med enhetsnormal . D˚a g¨aller

n

I

ZZ

S

rot

F  ndS = F
dr; (Stokes sats)



Antag att S a¨ r en sluten yta inneslutande omr˚adet V och mal till ytan S . D˚a a¨ r ZZZ

V

17.2

div

Fdxdydz =

ZZ

S

(17.25)

n a¨r en ut˚atriktad enhetsnor-

F
ndS; (Gauss sats, eller divergenssatsen) (17.26)

Olika typer av differentialekvationer

Definition 17.7

n @2f X

r2f =
f =

k=1 @xk 2

=0

Laplace ekvation

@f ; r2f = 0 @t @ 2 f ; r2 f = 0 @t2

8 > > > < > > > :

V¨armeledningsekvationen V˚agekvationen

2

~ r2 = E V (x) ; 2m

Schr¨odingerekvationen

~2 2 V (x) ; 2m r = i~ @@t

Tidsberoende schr¨odingerekvationen

(17.27)

Kommentarer: En ekvation som inneh˚aller partiella derivator kallas partiell differentialekvation (pde). I Schr¨odingerekvationerna a¨ r

2

2

2

@ + @ + @ ,  r = @x 2 @y2 @z 2 290

Matema R. Emanuelsson

17. VEKTORANALYS

17.2. OLIKA TYPER AV DIFFERENTIALEKVATIONER

 ~ Plancks konstant dividerad med 2. ~ = 1:0545727
10;34 Js,  m den betraktade partikelns massa,  E en energistorhet och  V f¨or en energipotential.

Matema R. Emanuelsson

291

17.2. OLIKA TYPER AV DIFFERENTIALEKVATIONER

292

Matema R. Emanuelsson

17. VEKTORANALYS

18

Allm¨an topologi 18.1

Definitioner och satser

L˚at X vara en m¨angd och T vara en klass av delm¨angder till X . Elementen G i T kallas o¨ ppna m¨angder. (X; T ) a¨ r en topologi (alt. T a¨ r en topologi p˚a X ), om

Definition 18.1

1.

Gi 2 T ) [i Gi 2 T , d¨ar fGig a¨ r en godtycklig klass av element i T ,

d.v.s.

av oppna ¨ m¨angder. 2. 3.

Gi 2 T ) \i Gi 2 T , d¨ar fGi g a¨ r en a¨ ndlig klass av oppna ¨ m¨angder. L˚at A  X . Den relativa topologin p˚a A utg¨ors av klassen alla fH ig =: TA d¨ar det f¨or varje Hi finns det ett Gi s˚adant att Hi = Gi \ A.

Sats 18 .1 1.

; och X a¨ r o¨ ppna.

2. Den relativa topologin T A p˚a en delm¨angd (delrum) A a¨ r en topologi p˚a A.

293

¨ TOPOLOGI 18. ALLM AN

18.1. DEFINITIONER OCH SATSER

Definition 18.2

1. Antag att A  X . (a) Det inre av A a¨ r int(A) A.

= [G d¨ar unionen a¨r tagen over ¨ alla o¨ ppna G 

(b) Slutna h¨oljet av A a¨ r A = \F d¨ar snittet a¨ r taget over ¨ alla slutna F (c)

 A.

i. En m¨angd A a¨ r (allest¨ades) t¨at i X , om A = X . ii. En m¨angd A a¨ r ingenst¨ades t¨at i X , om int(A) = ;. iii. Om det finns en uppr¨aknelig t¨at m¨angd kallas rummet separabelt.

2. En o¨ ppen m¨angd G som inneh˚aller x kallas omgivning till x (I en del litteratur betyder omgivning till x en m¨angd H , s˚adan att x 2 G  H , d¨ar G a¨ r o¨ ppen.). 3. Separationsaxiomen (Die Trennungsaxiomen) (a) Om det f¨or varje par av olika element x och y finns omgivningar G x och Gy till x respektive y, s˚adana att x 2= Gy och y 2= Gx, s˚a kallas X ett T1 ;rum.

(b) Om Gx och Gy kan v¨aljas disjunkta f¨or varje par av x och y kallas rummet ett T2 ;rum eller vanligare ett Hausdorffrum.

(c) Om varje sluten m¨angd F och varje element x 2 = F det finns disjunkta o¨ ppna m¨andger: G1  F och G2 3 x. s˚a kallas X ett T3 ;rum. Om X dessutom a¨ r ett T1;rum. s˚a kallas rummet regulj¨art.

(d) Om f¨or varje par av disjunkta slutna m¨angder F 1 och F2 det finns tv˚a disjunkta oppna ¨ m¨angder G 1 och G2 som inneh˚aller F1 respektive F2 (ett s.k. T4 ;rum) och X a¨ r ett T1 ;rum s˚a kallas rummet normalt. 4.

¨ omgivningar (a) En (lokal) bas f¨or ett element x 2 X a¨ r en klass av oppna Bx = fBx;i g, s˚adana att f¨or varje o¨ ppen m¨angd G inneh˚allande x,s˚a finns en basm¨angd s˚adan att x 2 Bx;i  G. Om det till varje x finns en uppr¨aknelig lokal bas s¨ags rummet X vara f¨orstauppr¨akneligt.

(b) En (¨oppen) bas f¨or X a¨ r en klass av o¨ ppna omgivningar B = fB i g, s˚adana att varje oppen ¨ m¨angd G kan skrivas som en bas B med uppr¨akneligt antal basm¨angder s¨ags rummet X vara andrauppr¨akneligt. (c) En delbas a¨ r en klass av (¨oppna) m¨angder s˚a att klassen av deras a¨ ndliga snitt utg¨or en bas.

294

Matema R. Emanuelsson

¨ TOPOLOGI 18. ALLMAN

18.1. DEFINITIONER OCH SATSER

5. En oppen ¨ overt¨ ¨ ackning av en m¨angd E s˚adana att [iGI  E .

 X a¨ r en klass av o¨ ppna m¨angder G i ,

(a) Om varje oppen ¨ o¨ vert¨ackning av E kan reduceras till en a¨ ndlig o¨ vert¨ackning av E s¨ags E vara kompakt. Om E = X har denna egenskap, s¨ags X vara ett kompakt rum.

(b) Om till varje x 2 X det finns en omgivning G s˚adan att kompakt, s¨ags X vara lokalkompakt.

G  E och E

6. Om det finns en avst˚andsfunktion (metrik) d p˚a en m¨angd X s˚adan att d : X X 7! [0; 1) s˚adan att



d(x; y) = 0 , x = y; d(x; y) = d(y; x); d(x; z)  d(x; y) + d(y; z) s˚a genererar a¨ r B = fy : d(x; y) <  g;  > 0; x 2 X en topologi p˚a X . Rummet kallas d˚a metriskt. Omv¨ant om topologin X kan genereras av d, s¨ags topologin vara metriserbar. 7. Om (X; T ) och (Y; U ) a¨ r tv˚a topologiska rum, s˚a genereras produkttopologin p˚a X  Y s˚a att fG  H : G 2 T ; H 2 Ug utg¨or en bas.

Sats 18 .2 1. Varje “singleton-”m¨angd fxg a¨ r sluten , X a¨ r ett T 1 ;rum. 2. Ett andrauppr¨akneligt regulj¨art rum a¨ r metriskt (metriserbart). 3. Ett metriskt rum a¨ r f¨orstauppr¨akneligt och normalt. 4. Ett lokalkompakt hausdorffrum a¨ r regulj¨art. 5. Ett kompakt hausdorffrum a¨ r normalt. 6. Antag att X a¨ r ett kompakt hausdorffrum. D˚a g¨aller X metriskt , X a¨ r andrauppr¨akneligt. 7. Om X a¨ r andrauppr¨akneligt, s˚a kan varje o¨ ppen o¨ vert¨ackning av till en uppr¨aknelig orvert¨ ¨ ackning (Lindel¨ofs sats). 8. 9.

X reduceras

X a¨ r ett T1 ;rum ) Varje kompakt m¨angd a¨ r sluten. Om X och Y a¨ r tv˚a kompakta rum, s˚a a¨ r X  Y kompakt (Tychnoffs sats). Matema R. Emanuelsson

295

¨ TOPOLOGI 18. ALLM AN

18.1. DEFINITIONER OCH SATSER

Definition 18.3

1. Atag att f f.

: X 7! Rn.

x : jf(x)j 6= 0g =: suppf kallas st¨odet f¨or

M¨angden f

2. En funktion f : X 7! Y , d¨ar X och Y a¨ r topologiska rum a¨ r kontinuerlig, om f ;1 (G) a¨ r o¨ ppen (i X ) f¨or varje oppen ¨ m¨angd G i Y . 3. En klass fEig =: E ,inte n¨odv¨andigt o¨ ppna, kallas lokalfinit, om f¨or varje x 2 X det finns en omgivning G till x s˚adan att endast ett a¨ ndligt antal E i sk¨ar G. 4. Antag att o¨ ppen overt¨ ¨ ackning fBj g, om

G = fG i g av X .

En lokalfinit f¨orfining

B=

B a¨ r lokal¨andlig, vilket inneb¨ar att f¨or varje x 2 X , s˚a finns en omgivning G till x som endast sk¨ar ett a¨ ndligt antal B i 2 B. (b) B a¨ r en f¨orfining av G , vilket betyder att varje B j a¨ r helt inkluderad i en Gi. ¨ ackning G = fG ig Ett hausdorffrum X a¨ r parakompakt om f¨or varje o¨ ppen overt¨ av X , det finns en lokalfinit f¨orfining. En partition av enheten a¨ r en klass (m¨angd) av kontinerliga funktioner f k : X 7! [0; 1], s˚adan att f¨or varje x 2 X , s˚a finns en omgivning B till x s˚a att alla fk  0 utom f¨or ett a¨ ndligt antal f k . (a)

5. 6.

X

k

fk (x)  1 f¨or varje x 2 X:

(18.1)

Partitionen a¨ r underordnad B, om varje m¨angd (varje st¨od) fx : f k (x) 6= 0g helt ligger i n˚agon av B:s m¨angder.

296

Matema R. Emanuelsson

¨ TOPOLOGI 18. ALLMAN

18.1. DEFINITIONER OCH SATSER

Sats 18 .3 1. Antag att X a¨ r ett normalt rum. (a) (Urysohns lemma) Antag att F0 och F1 a¨ r tv˚a slutna icke-tomma disjunkta m¨angder. D˚a finns en kontinuerlig funktion f : X y [0; 1], s˚adan att f(F0 ) = 0 och f(F1 ) = 1.

(b) (Tietzes utvidgningssats) Antag att f : F y [a; b] a¨ r en kontinuerlig funktion d¨ar F a¨ r sluten i X . D˚a kan f utvidgas till en kontinuerlig funktion f : X y [a; b].

2. Om X a¨ r ett lokalkompakt hausdorffrum och K och F vara tv˚a disjunkta m¨angder, som a¨ r kompakt rspektive sluten, s˚a finns o¨ ppna disjunkta m¨angder G och H s˚adana att K  G och F  H . 3. F¨or ett lokalkompakt hausdorffrum finns f¨oljande variant av Urysohns lemma: ¨ G s˚adana att K  G finns en kontinuerlig funktion F¨or kompakt K och oppan f : X y [0; 1] och f(K) = 1 samt f(x) = 0 utanf¨or G. 4. Ett rum a¨ r metriskt (metriserbart) , f a¨ r regulj¨art och har en lokalfinit bas.

5. Antag att X a¨ r ett hausdorffrum X parakompakt , Varje oppen ¨ o¨ vert¨ackning B har en underordnad partition av enheten. 6. Ett metriskt rum a¨ r parakompakt (Stone). Speciellt a¨ r Rn parakompakta. 7. Varje parakompakt hausdorffrum a¨ r normalt.

Definition 18.4

1. En f¨oljd (x n )1 n=1 a¨ r konvergent om det finns ett x 2 X s˚adant att f¨or varje omgivning V till x det finns ett index n 0 s˚adant att n  n0 ) xn 2 V . I ett metriskt rum (X; d) kan detta uttryckas som att f¨or varje " > 0 s˚a finns ett n 0 s˚adant att n  n0 ) d(x; xn) < ". 2. En f¨oljd (x n)1 n=1 kallas Cauchyf¨oljd om det till varje " > 0 finns ett n 0 s˚adant att m; n  n0 ) d(xm ; xn) < ". Metriken a¨ r fullst¨andig om varje Cauchyf¨oljd a¨ r konvergent.

Matema R. Emanuelsson

297

¨ 18.2. SUPREMUMAXIOMET MED TILLAMPNINGAR

¨ TOPOLOGI 18. ALLMAN

Sats 18 .4 1. Varje metriskt rum X = X 0.

X kan utvidgas till ett fullst¨andigt metriskt rum X 0 s˚a att

2. (Baires kategorisats) Antag att det finns en fullst¨andig metrik p˚a X och att X = [1 k=1Ak . D˚a a¨ r minst en av m¨angderna Ak inte ingenst¨ades t¨at, d.v.s. int(Ak ) 6= ; f¨or minst ett A k .

18.1.1 En j¨amf¨orelse mellan tv˚a topologier F¨or att j¨amf¨ora begreppen presenterade ovan kan vi betrakta vanlig topologi T p˚a R genererad av metriken d(x; y) = jx ; yj eller alternativt intervallen (a; b); a; b 2 R och den s.k. h¨ogertopologin T h genererad av de i denna topologin o¨ ppna m¨angderna (a; b]; a; b 2 R.

Hausdorff Kompakt Lokalkompakt Regulj¨art Normalt Metriskt Lindel¨of Andrauppr¨akneligt F¨orstauppr¨akneligt Parakompakt Varje oppen ¨ union kan skrivas som en disjunkt union av intervall.

(R; T ) (R; Th) (R2; T ) (R2; Th ) ja nej ja ja ja ja ja ja ja ja

ja nej nej ja ja nej ja nej ja nej

ja nej ja ja ja ja ja ja ja ja

ja nej nej nej nej nej ja nej ja nej

ja

ja

nej

nej

 ) Intervall i R2 f˚ar tolkas som (a; b)  (c; d) respektive (a; b]  (c; d]. 18.2

Supremumaxiomet med till¨ampningar

Ett axiom a¨ r ett p˚ast˚aende, vilket inte kan bevisas. Inom matematiken finns ett antal axiom, varav supremumaxiomet a¨ r ett. Med supremumaxiomet bevisar vi ett antal satser. 298

Matema R. Emanuelsson

¨ TOPOLOGI 18. ALLMAN

¨ 18.2. SUPREMUMAXIOMET MED TILLAMPNINGAR

18.2.1 Supremumaxiomet

Definition 18.5

En icke-tom delm¨angd A, av R s¨ages vara

upp˚at begr¨ansad om det finns ett reellt tal x, s˚adant att x  a f¨or alla a 2 A. ned˚at begr¨ansad om det finns ett reellt tal x, s˚adant att x  a f¨or alla a 2 A. begr¨ansad, om den b˚ade upp˚at och ned˚at begr¨ansad. Dessa begrepp sammanfaller med definitionen av begr¨ansade intervall i kapitel 1.

Supremumaxiomet Varje upp˚at begr¨ansad icke-tom m¨angd A har en minsta majorant

Definition 18.6

sup A.

Den minsta majoranten kallas supremum f¨or A och betecknas

Sats 18 .5 1. Varje ned˚at begr¨ansad m¨angd har en st¨orsta minorant. Detta tal kallas infimum av A och betecknas inf A. 2. L˚at A vara en icke-tom upp˚at begr¨ansad m¨angd.

x0 = sup A a¨ r d˚a ekvivalent med att f¨oljande tv˚a villkor g¨aller:x 0  x f¨or alla x 2 A och x  y f¨or alla x 2 A medf¨or att x0  y.

3. Supremumaxomet a¨ r ekvivalent med Dedekindegenskapen. Dedekindegenskapen kan allts˚a alternativt vara det axiom, som man utg˚ar ifr˚an. Den s¨ager att f¨or tv˚a icke-tomma delm¨angder A och B av R s˚adana att a  b f¨or alla a 2 A och b 2 B s˚a g¨aller att det finns (minst) ett tal x s˚adant att a  x  b. Supremumaxiomet

,

Dedekindegenskapen

Matema R. Emanuelsson

(18.2)

299

¨ 18.2. SUPREMUMAXIOMET MED TILLAMPNINGAR

¨ TOPOLOGI 18. ALLMAN

18.2.2 Kompakt intervall

Definition 18.7

intervall V j

En o¨ ppen o¨ vert¨ackning av en delm¨angd A till R a¨ r en union av o¨ ppna

= (cj ; dj ), s˚adan att

[

j 2J

Vj  A

Indiceringen inneb¨ar att “antalet” m¨angder kan vara o¨andligt stort. Utan att f¨odjupa oss i detta, antar vi att detta o¨andliga antal a¨ r uppr¨akneligt, d.v.s. [

j 2J

Vj =

1 [ j =1

Vj = V1

[

V2 [ : : :

Ett intervall (eller mer allm¨ant en delm¨angd av R) s¨ages vara kompakt om varje o¨ ppen o¨ vert¨ackning kan reduceras till en a¨ ndlig overt¨ ¨ ackning.

Sats 18 .6 Varje intervall [a; b] a¨ r kompakt. 18.2.3 Tre satser om kontinuitet p˚a kompakt intervall I detta avsnitt f¨oruts¨attes [a; b].

f(x) vara en kontinuerlig funktion i ett kompakt intervall

18.2.3.1 Likformig kontinuitet

Definition 18.8 En funktion f s¨ages vara likformigt kontinuerlig p˚a en m¨angd A  Df , om f¨or varje " > 0 det finns ett  > 0 s˚adant att

) jf(x) ; f(x0 )j < "; f¨or alla x och x0 2 A; s˚adana att jx ; x0 j <  Likformig kontinuitet skiljer sig fr˚an ”vanlig” kontinuitet genom att valet av  kan g¨oras oberoende av i vilken punkt x som funktionen betraktas. Generellt g¨aller givetvis att likf. kontinurlig ) kontinuerlig men inte omv¨ant. Men om A = [a; b], ett kompakt intervall s˚a g¨aller att

Sats 18 .7 300

f(x) kontinuerlig ) f(x) likformigt kontinuerlig Matema R. Emanuelsson

¨ TOPOLOGI 18. ALLMAN

¨ 18.2. SUPREMUMAXIOMET MED TILLAMPNINGAR

18.2.3.2 Satsen om st¨orsta och minsta v¨arde

Sats 18 .8 En kontinuerlig funktion f p˚a ett kompakt intervall [a; b] har ett st¨orsta och ett minsta v¨arde. 18.2.3.3 Satsen om mellanliggande v¨arde

Sats 18 .9 En kontinuerlig funktion f i ett kompakt intervall antar alla v¨arden mellan sitt st¨orsta och minsta v¨arde.

Matema R. Emanuelsson

301

¨ 18.2. SUPREMUMAXIOMET MED TILLAMPNINGAR

302

Matema R. Emanuelsson

¨ TOPOLOGI 18. ALLMAN

19

Integrationsteori 19.1

Riemannintegralen

F¨oruts¨attningen f¨or att definiera Riemannintegralen a¨ r, till att b¨orja med att integranden/funktionen f a¨ r begr¨ansad i ett kompakt intervall. Riemanns mening. 19.1.1 Under - och oversummor ¨

Antag att funktionen Betrakta en indelning av intervallet

Definition 19.1

f

a¨ r begr¨ansad i ett kompakt intervall [a; b].

a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b Eftersom vi endast vet att funktionen a¨ r begr¨ansad kan vi inte definiera en undersumma m.h.a. minf(x). I st¨allet anv¨ander vi

fk = inf ff(x); x 2 [xk;1; xk)g och p.s.s. Fk = supff(x); x 2 [xk;1; xk)g En undersumma u och en oversumma ¨ o till funktionen f(x) definieras av

u=

n X k=1

fk
(xk ; xk;1) respektive o =

n X k=1

Fk
(xk ; xk;1)

Som tidigare g¨aller att u  o f¨or alla under- och oversummor. ¨ Med dessa begrepp definieras nu under- och o¨ verintegralen:

I := supfug I := inf fog

Infimum tagen o¨ ver alla undersummor u Supremum tagen over ¨ alla oversummor ¨ o

303

(19.1) (19.2)

19.1. RIEMANNINTEGRALEN

19. INTEGRATIONSTEORI

19.1.2 Definition av Riemannintegralen

En begr¨ansad funktion p˚a ett kompakt intervall ([a; b]) a¨ r integrerbar i Riemanns1 mening om

Definition 19.2

I = I

(19.3)

Detta gemensamma v¨arde kallas integralen av f (¨over intervallet [a; b]) och betecknas som f¨orut med Z

b a

f(x)dx

Definitionen a¨ r ekvivalent med att till varje respektive o, s˚adana att o ; u < ".

" > 0, finns under- och o¨ versumma u

19.1.3 Integrerbarhet av kontinuerlig funktion

Sats 19 .1 En kontinuerlig funktion f i ett kompakt intervall [a; b] a¨ r integrerbar (i Riemanns mening). 19.1.4 Kommentarer om Riemannintegralen R

ex.vis s˚a kan inte e;x dx uttryckas element¨ara funktioner (en icke-element¨ar integral). Funktionen a¨ r dock kontinuerlig och d¨armed integrerbar (i Riemanns mening) o¨ ver varje kompakt intervall [a; b]. 2

En funktion beh¨over inte ens vara kontinuerlig f¨or att den skall vara integrerbar. D.v.s. kontinuitet a¨ r ett tillr¨ackligt men ej n¨odv¨andigt kriterium f¨or integrerbarhet. Man kan visa linearitetsegenskaperna Z Z

b a

b a

kf(x)dx = k

(f(x) + g(x))dx =

Z

Z

b

a b a

f(x)dx

f(x)dx +

(19.4) Z

a

b

g(x)dx

(19.5)

direkt fr˚an definitionen, om f och g a¨ r integrerbara. En generaliserad Riemannintegral ing˚ar inte i definitionen 19.3, utan a¨ r en “p˚abyggnad” av den. 304

Matema R. Emanuelsson

19. INTEGRATIONSTEORI

19.1. RIEMANNINTEGRALEN

Alla funktioner a¨ r inte Riemannintegrerbara, inte ens om de a¨ r begr¨ansade. Som ett exempel kan vi ta 8 <

f(x) = :

0

om

x a¨ r rationellt

1

om

x a¨ r irrationellt

Om man f¨ors¨oker integrera f o¨ ver [0; 1] s˚a f˚ar vi att I

Matema R. Emanuelsson

= 0 och I = 1.

305

19.2. LEBESGUEINTEGRALEN

19.2

19. INTEGRATIONSTEORI

Lebesgueintegralen

Ett b¨attre integralbegrepp utvecklades i b¨orjan av 1900-talet av Henri Lebesgue, (1875 - 1941). Lebesgue - integralen bygger p˚a bl.a. m˚atteori. 19.2.1 Allm¨an teori

Definition 19.3

1. En ;algebra best˚ar av en m¨angd s˚adan att

X och en klass av delm¨angder M till X ,

X 2M ii) E 2 M ) E c = X ; E 2 M iii) E n 2 M; n = 1; 2; 3; : : : ) [1 n=1En 2 M  Ett positivt m˚att  a¨ r en funktion s˚adan att M 7;! [0; 1] och i)

2.

 ([1 k=1Ek ) =

1 X k=1

(Ek )

d¨ar Ek a¨ r parvis disjunkta. Vi antar vidare att (E) < 1 f¨or minst ett E 3. En funktion f : m¨angd G  R.

X 7!

C a¨ r m¨atbar, om

(19.6)

2 M.

f ;1 (G) a¨ r m¨atbar f¨or varje o¨ ppen

Den karakteristiska funktionen X E f¨or en (m¨atbar) m¨angd E definieras som 8 <

XE = :

1

om

x2E

0

om

x 2 Ec

(19.7)

En enkel ickenegativ enkel funktion s definieras som

s(x) =

n X k=1

ak XEk (x) d¨ar ak  0

(19.8)

Lebesgueintegralen m.a.p. m˚attet  av en enkel funktion s(x) definieras som Z

X

s(x)d(x) =

n X k=1

ak (Ek )

d¨ar Ek a¨ r m¨atbara.

306

Matema R. Emanuelsson

(19.9)

19. INTEGRATIONSTEORI

19.2. LEBESGUEINTEGRALEN

Definition 19.4

max(f(x); 0) =: f+ (x); ; max(;f(x); 0) =: f; (x) Observera att f = f+ ; f; och jf j = f+ + f; samt att f+  0 och f; Lebesgueintegralen av en icke-negativ m¨atbar funktion f som

sup

Z

X

s(x)d =:

Z

X

(19.10)

 0.

f(x)d

(19.11)

d¨ar supremum a¨ r tagen o¨ ver alla enkla funktioner s s˚adana att 0  s  f . Supremum f˚ar anta Z alla v¨arden i [0; 1]. En funktion f a¨ r integrerbar i Lebesgues mening, om inte R

f+ (x)d och X f; (x)d antar v¨ardet b˚ade X som Z

X

R

f(x)d :=

Z

X

1.

f+ (x)d ;

Z

X

Lebesgueintegralen definieras

f; (x)d

Om dessutom jf(x)jd < 1 s¨ags funktionen f vara en L1 funktion, som skrivs f 2 L1 (). F¨or en m¨atbar m¨angd E definieras integralen over ¨ E som Z

X

XE
f(x)d =:

Z

E

f(x)d

(19.12)

Sats 19 .2 1. F¨or en m¨atbar funktion f f(x).

 0, finns det en f¨oljd av enkla funktioner s k (x) %

2. F¨or varje klass S av delm¨angder till en m¨angd X finns en minsta M. Den betecknas (S) och kallas borelalgebran m.a.p. S .

;algebra

3. Lebesgueintegralen uppfyller lineratietsegenskaperna Z

X

af(x) + bg(x)d = a

Z

X

f(x)d + b

Z

X

g(x)d

(19.13)

om f och g a¨ r L1 ;funktioner samt om a och b a¨ r konstanter.

Matema R. Emanuelsson

307

19.2. LEBESGUEINTEGRALEN

19. INTEGRATIONSTEORI

En m¨atbar funktion f s˚adan att

Definition 19.5

Z

a¨ r en Lp ;funktion. som skrivs f

X

jf(x)jp d < 1

(19.14)

2 L p ().

jjf jjp :=

1=p

Z

X

Normen jjf jj1 definieras som

jf(x)jp d

(19.15)

inf fa : fx : jf(x)j  ag = 0g =: jjf jj1

(19.16)

Sats 19 .3 1. (Lebesques sats om monoton konvergens) Om fn a¨ r m¨atbara och 0  fn  fn+1 s˚a har (fn )1 n=1 en gr¨ansfunktion f (d¨ar f f˚ar anta v¨ardet 1.). Vidare g¨aller att f a¨ r m¨atbar och

lim n!1

Z

X

fn (x)d =

2. (Fatous lemma) Om fn Z

Z

X

Z

lim f (x)d = n!1 n

X

f(x)d

(19.17)

: X 7! [0; 1] a¨ r m¨atbara n = 1; 2; : : : , s˚a a¨ r Z

lim inf fn (x)d  lim inf fn (x)d n!1 X n!1 X

(19.18)

3. (Lebesques sats om dominerad konvergens) Om fn a¨ r m¨atbara med punktvis konvergent mot f och det finns en funktion g 2 L 1 (), s˚adan att jfn j  g s˚a a¨ r gr¨ansfunktionen f 2 L 1 () och

nlim !1

Z Z

X

fn (x)d =

Z

X

nlim !1 fn (x)d =

lim jf (x) ; f(x)jd = 0 n!1 X n 308

Matema R. Emanuelsson

Z

X

f(x)d och

(19.19)

19. INTEGRATIONSTEORI

19.2. LEBESGUEINTEGRALEN

Sats 19 .4 1. (Triangelolkheten f¨or Lebesgueintegralen)

j 2. 3.

Z

X

f(x)dj 

Z

X

jf(x)jd; om f 2 L1 ()

(19.20)

jjf jjp uppfyller egenskaperna f¨or metrik d(f; g) d¨ar d(f; g) = jjf ; gjjj p f¨or 1  p  1. (Jensens olikhet) Om (X) = 1 och ' a¨ r en konvex reell funktion p˚a (a; b)  Vf , d¨ar f : X 7! Vf a¨ r en m¨atbar funktion, s˚a a¨r Z

' 4. Antag att



X

f(x)d 

Z

X

'(f(x))d

(19.21)

1 + 1 = 1; p; q > 1 och f och g a¨ r m¨atbara. D˚a a¨r p q

R

X jf(x)g(x)j d 

;R

X jf(x)j

p d
1=p
;R jg(x)jq d
1=q X

som kallas H¨olders olikhet och kan skrivas

kfgk  kf kp kgkq

p
1=p  ;R jf(x)jp d
1=p + ;R jg(x)jp d
1=p X jf(x) + g(x)j d X X

;R

som kallas Minkowskis olikhet och kan skrivas

kf + gkp  kf kp + kgkp kf  gk1  kf kq kgkp (Youngs olikhet)

kf  gkr  kf kq kgkp

(Den generaliserade Youngs olikhet d¨ar 1=p + 1=q = 1=r + 1) (19.22)

Kommentarer: 1. En nollm¨angd E a¨ r en m¨atbar m¨angd s˚adan att (E) = 0. 2. Tv˚a m¨atbara funktioner f och g s˚adana att f = g utom p˚a en nollm¨angd s¨ags vara lika n¨astan overallt ¨ (n.¨o.). Om f = g n.¨o. och en av de a¨ r integrerbar s˚a f¨oljer det att Z

X

f(x)d =

Z

X

g(x)d

Matema R. Emanuelsson

309

19.2. LEBESGUEINTEGRALEN

3.

19. INTEGRATIONSTEORI

f = g n.¨o. a¨ r en ekvivalensrelation  p˚a klassen av m¨atbara funktioner. Med m¨angden Lp () avses klassen av ekvivalensklasser av f s˚adana att f(x) = g(x) n.¨o. , f  g och jjf jjp < 1 = g n.¨o. medf¨or att jjf jjp = jjgjjp.) F¨or Lebesguem˚attet p˚a R a¨ r ex.vis E m¨angden av rationella punkter en nollm¨angd. (F¨orfattaren 1993) Om (X; T ) a¨ r ett andrauppr¨akneligt topologiskt rum och M = (T ) f¨orsett med ett positivt m˚att , s˚a definieras det “essentiella” st¨odet av f som (Observera att f

4. 5.

essuppf

:= \isuppfi

d¨ar snittet a¨ r taget o¨ ver alla f i punktvist definierade s˚adana att f D˚a g¨aller att (a) Det finns en funktion f 0 suppf0.

(19.23)

= fi n.¨o..

= f n.¨o. (punktvis definierad) s˚adan att essuppf =

(b) Om (G) > 0 f¨or varje icketom oppen ¨ m¨angd och g a¨ r kontinuerlig, s˚a a¨ r suppg

= essuppg

(19.24)

1. Ett komplext m˚att  p˚a en ;algebra antar v¨arden i C . 2. Den totala variationen jj av  definieras som

jj(E) := sup

1 X k=1

j(Ek )j

d¨ar supremum a¨ r tagen over ¨ alla disjunkta unioner av E . 3.

jj a¨ r ett positivt a¨ndligt m˚att.

4. Om  a¨ r ett positivt a¨ ndligt m˚att, s˚a a¨ r

Lp  Lq ; om p  q 5. Om jjf jjp 6.

310

< 1 f¨or n˚agot p, s˚a g¨aller att jjf jj p ! jjf jj1, d˚a p ! 1. Om 1  r < p < s, s˚a a¨ r Lr \ Ls  Lp .

Matema R. Emanuelsson

(19.25)

19. INTEGRATIONSTEORI

19.2. LEBESGUEINTEGRALEN

19.2.2 Lebesgueintegralen p˚a Rn Den allm¨anna teorin f¨oruts¨atter inte att X p˚a denna m¨angd p˚a ett naturligt s¨att.

= Rn men Lebesgueintegralen kan definieras

Definition 19.6

Q

:= nk=1 Ik d¨ar Ik a¨r intervall p˚a R med a¨ ndpunkter i a k och bk , ak  bk ; k = 1; 2; : : : ; n. M˚attet  skrivs m och definieras

1. S¨att B

m(B) = 2.

(a) (b)

n Y

(bk ; ak )

k=1

(19.26)

F a¨ r klassen av m¨angder som a¨ r uppr¨akneliga unioner av slutna m¨angder. G a¨ r klassen av m¨angder som a¨r uppr¨akneliga snitt av oppna ¨ m¨angder.

3. Man skriver i allm¨anhet L p (Rn) i st¨allet f¨or L p ().

4. En funktion a¨ r lokalt integrerbar om X K f 2 L1 (Rn) f¨or varje kompakt m¨angd K 2 X . Klassen av lokalt integrerbara betecknas L1lok (Rn).

Sats 19 .5 1. 2.

m givet av (19.26) kan utvidgas till ett positivt m˚att p˚a en ;algebra M p˚a R n omfattande den vanliga topologin  . M best˚ar av precis de m¨angder E s˚adana att det finns A 2 F och B 2 G , s˚adana att A  E  B och m(B ; A) = 0.

Sats 19 .6 Antag att f a¨ r begr¨ansad p˚a intervallet [a; b] och integrerbar i Riemanns mening. D˚a a¨ r f ocks˚a integrerbar Lebesgues mening samt Z

b a

f(x)dx =

Z

[a;b]

f(x)dm

(19.27)

Kommentarer: Eftersom integralerna sammanfaller skriver man a¨ ven Lebesgueintegralen som VL i (19.27). Finns det Riemannintegrerbara funktioner som inte a¨ r Lebesgueintegrerbara p˚a Rn? En generaliserad betingat konvergent integral i Riemanns mening a¨ r inte Lebesgueintegrerbar, men d¨aremot m¨atbar i Lebesgues mening. Matema R. Emanuelsson

311

19.2. LEBESGUEINTEGRALEN

312

19. INTEGRATIONSTEORI

Matema R. Emanuelsson

20

Funktionalanalys 20.1

Topologiska vektorrum

Definition 20.1

Ett vektorrum X over ¨ R eller C a¨ r s˚adant att

x; y 2 X ) x+y 2 X , d¨ar + a¨ r en kommutativ och associativ bin¨ar operation. 2. Vidare finns ett element 0, s˚adant att x + 0 = x. F¨or varje x finns ett ;x, s˚adant att x + (;x) = 0. 3. a 2 K och x 2 X ) kx 2 X , d¨ar K a¨ r en talkropp, ex.vis R eller C . k kallas 1.

skal¨ar.

4. Ett topologiskt vektorrum X har en topologi s˚adan att avbildningarna (x; y) y x + y och (a; x) y ax a¨r kontinuerliga avbildningar samt att X a¨ r ett T 1 ;rum. d.v.s. varje element a¨ r sluten som m¨angd betraktad. 5.

X a¨ r ett metriskt (eller metriserbart) topologiskt vektorrum, om topologin ges av en metrik d.

6. En norm k
k p˚a ett vektorrum uppfyller i)

kxk = 0 , x = 0

ii)

X a¨ r en avbildning k
k : X :7! [0; 1) och

kaxk = jajkxk

iii)

kx + yk  kxk + kyk

(20.1)

f¨or varje x och y i X och varje skal¨ar a. 7.

X a¨r ett normerbart (topologiskt) vektorrum, om topologin genereras av metriken d(x; y) = kx ; yk.

8. Om X a¨ r som i f¨oreg˚aende punkt och rummet a¨ r fullst¨andigt m.a.p. kallas rummet ett Banachrum.

313

k
k s˚a

20.1. TOPOLOGISKA VEKTORRUM

20. FUNKTIONALANALYS

9. Om k
k uppfyller ii) och iii) kallas k
k halvnorm. 10. Ett Hausdorffrum X a¨ r ett Fr´echet-rum givet av metriken

d(x; y) :=

1 X

1 kx ; ykn n 2 n=1 1 + kx ; ykn

d¨ar fk
kn g utg¨or en uppr¨aknelig klass av halvnormer, s˚adan att f¨or vare par av olika x och y s˚a finns en halvnorm med kx ; ykn > 0. Dessutom skall metriken d vara fullst¨andig. 11. En linj¨ar avbildning  : X tion. 12.

7! Y mellan tv˚a vektorrum kallas linj¨ar transforma-

 a¨ r begr¨ansad om X och Y a¨ r normerbara och  uppfyller j(x)j  kkxk f¨or varje x 2 X och varje konstant k  0. Normen f¨or  definieras d˚a som j kk := sup j(x) k x k x2X

13. Om  : X

! R (eller C )  a¨ r linj¨ar s˚a kallas den en linj¨ar funktional.

Sats 20 .1 ¨ , G + x a¨r o¨ ppen. 1. Ett topologiskt rum a¨ r ett Hausdorffrum och G oppen 2. Med beteckningar som ovan s˚a a¨ r f¨oljand tre utsagor ekvivalenta. (a) (b) (c)

 a¨ r begr¨ansad.  a¨ r kontinuerlig.  a¨ r kontinuerlig i en punkt x.

20.1.1 Exempel p˚a topologiska vektorrum 1. Exempel p˚a Banachrum (a)

Lp ;rummen (p 2 [1; 1]), d.v.s. klassen av m¨atbara funktioner f C med jjf jjp < 1.

(b) lp ;rummen (sidan 198.) (c)

314

: X 7!

C [a; b], klassen av kontinuerliga funktioner f : [a; b] 7! R med norm kf k = maxfjf(x)j : a  x  bg Matema R. Emanuelsson

20. FUNKTIONALANALYS

20.1. TOPOLOGISKA VEKTORRUM

2. Ett exempel p˚a ett Fr´echetrum: (Schwarzklassen) best˚ar av ' 2 C1 (Rn) obegr¨ansat deriverbara funktioner med kompakt st¨od. Metriken d definieras som

d('; ) :=

1 X

1 k' ; kk k 2 k=1 1 + k' ; kk

d¨ar halvnormerna definieras som

;::: ;kn (x)j k'kk = max j'kx ;kx :::x n Maximum a¨ r tagen over ¨ alla x = (x1 ; x2; : : : ; xn) 2 Rn och o¨ ver alla partiella 1 2 1 2

derivator av ordning k, d.v.s. k 1 + k2 + : : : + kn

= k.

20.1.2 Hilbertrum

Definition 20.2

och a 2 C skal¨ar

Ett vektorrum X a¨ r ett skal¨arproduktrum om f¨or alla x, y och z i X

1: (x; y) = y; x

2: (x + y; z) = (x; z) + (y; z)

3: a(x; y) = (ax; y)

4: (x; x)  0

5: (x; x) = 0 , x = 0 6:

(20.2)

p

(x; x) =: kxk

Sats 20 .2 Ur 1-6 f¨oljer att

kxk = 0 , x = 0 kaxk = jajkxk j(x; y)j  kxkkyk

f¨or varje a 2 C

(20.3)

(Schwarzs olikhet)

kx + yk  kxk + kyk (Triangelolikheten) kx ; yk definierar en metrik d p˚a X , kx ; yk = d(x; y) och s˚aledes en topologi. Definition 20.3

(a) Metriken d p˚a formen kx ; yk = d(x; y) med kaxk = jajkxk kallas norm.

(b) Om X a¨ r fullst¨andigt m.a.p.

k
k, kallas rummet Hilbertrum.

Matema R. Emanuelsson

315

20.1. TOPOLOGISKA VEKTORRUM

20. FUNKTIONALANALYS

Definition 20.4

(a) Tv˚a element x och y kallas ortogonala (eller ett ortogonalt par), om (x; y) Vi antar att b˚ada 6= 0.

= 0.

(b) En delm¨angd fx g a¨ r en ortonormal m¨angd, om 8 <

(x ; x ) = :

0

om

 6=

1

om

=

(c) Ett separabelt Hilbertrum har en uppr¨aknelig t¨at m¨angd.

Sats 20 .3 (a) Ett Hilbertrum har en uppr¨aknelig ortonormal bas meningen att varje element x 2 H , s˚a a¨ r

x = nlim !1

n X

fe n; n = 1; 2; 3 : : : g i den

(en ; x)en

(20.4)

k=1

Konvergensen a¨ r givetvis i Hilbertnormen k
k. Vidare g¨aller i.

(x; x) =

1 X

k=1

j(en ; x)j2 (Parsevals formel).

ii. (20.4) a¨ r (per definition) Fourierserien f¨or x.

(b) Antag att X a¨ r ett Hilbertrum med den inducerade normen (x; x) g¨aller  a¨ r en begr¨ansad linj¨ar funktional p˚a X , Det finns ett entydigt y att (x) = (y; x).

= kxk.

2 X s˚adant

20.1.3 Hilbertrum och fourierserie

L2 ([;T=2; T=2]) a¨ r ett Hilbertrum, d¨ar = 2 T . Klassen (

r

r

p1 ; T2 cos n t; T2 sin n t T

)

(20.5)

a¨ r en ortonormal bas f¨or L 2 ([;T=2; T=2]), d¨ar skal¨arprodukten (eller inre produkten) ges av Z T=2 (f; g) = T2 f(x)g(x)dx

;T=2

316

Matema R. Emanuelsson

D˚a

20. FUNKTIONALANALYS

20.1. TOPOLOGISKA VEKTORRUM

Det betyder att dess fourierserie konvergerar mot f i L 2 ;normen. Vi antar att f a¨ r en reell funktion och definierar Fourierkoefficienterna till Z T=2 a0 := T2 f(t)dt ;T=2 Z T=2 2 an := T f(t) cos n tdt ;T=2

(20.6)

Z T=2 2 bn := T f(t) sin n tdt ;T=2

Fourierserien av f definieras till

F (f) := a20 +

1 X

(an cos n t + bn sin n t)

n=1

(20.7)

Sats 20 .4

L2 ;norm (a) Fourierserien F (f) ;! f . n.¨o. (b) Om F (f) ! f och partialsummorna a¨ r begr¨ansade av en integrabel funktion, s˚a a¨ r f 2 L1 ([;t=2; T=2]).

20.1.4 Ett kriterium f¨or Banachrum Ett normerat vektorrum (X; k
k) a¨ r ett Banachrum (med samma norm) om och endast om f¨or varje f¨oljd (a k ; k = 1; 2; : : :) g¨aller att

1 X

k=1

kak k < 1 )

1 X

k=1

ak a¨r konvergent m.a.p. normen k
k

(20.8)

20.1.5 Fouriertransformen

t = (t1 ; t2; : : : ; tn) och x = (x1 ; x2; : : : ; xn) 2 Rn. < t; x >= t1x1 + t2 x2 + : : : + tn xn. L˚at

Skal¨arprodukten skrivs

Fouriertransformen definieras som den avbildning F

F (f)(x) :=

Z

;i dt

Rn f(t)e

(20.9)

Fouriertransformen a¨ r en kontinuerlig linj¨ar avbildning

F : Lp 7;! Lq ; d¨ar 1p + 1q = 1; 1  p  2

Om f

(20.10)

2 L1 , s˚a a¨ r F (f) kontinuerlig.

Matema R. Emanuelsson

317

20.1. TOPOLOGISKA VEKTORRUM

318

Matema R. Emanuelsson

20. FUNKTIONALANALYS

21

Matematisk statistik 21.1

Grundl¨aggande sannolikhetsl¨ara

21.1.1 Utfall och h¨andelser En h¨andelse a¨ r i princip detsamma som en m¨angd. Ett utfallsrum a¨ r d˚a en grundm¨angd. De lagar som g¨aller f¨or m¨angder g¨aller ocks˚a f¨or h¨andelser. 21.1.2 Sannolikhet

(Klassiska sannolikhetsdefinitionen) Antag att a¨ r ett a¨ ndlligt utfallsrum sannolikheten f¨or alla utfall i utfallsrummet a¨ r lika stora. D˚a a¨ r sannolikheten f¨or h¨andelsen A

Definition 21.1

j g p = jjA

j som ofta skrivs m :

d¨ar g

(21.1)

= jAj a¨r antalet gynnsamma och m = j j m¨ojliga utfall.

Definition 21.2

1. L˚at vara ett rum med en ;algebra M med en ett positivt m˚att P . D˚a a¨ r f ; ;P g ett sannolikhetsrum. De m¨atbara delm¨angderna A  kallas h¨andelser. P kallas ett sannolikhetsm˚att. 2. En funktion  s˚adan att  : ! R och varje x 2 R kallas stokastisk variabel.

3.

f! 2 : X(!)  xg a¨r m¨atbar f¨or

f! : (!)  xg a¨ r en h¨andelse uttryckt med en stokastisk variabel. 319

¨ ¨ 21.1. GRUNDLAGGANDE SANNOLIKHETSL ARA

21. MATEMATISK STATISTIK

Sats 21 .1 F¨or ett sannolikhetsm˚att P g¨aller

0  P(A)  P ( ) = 1

samt

P(A) + P(Ac ) = 1

P(A [ B) = P(A) + P(B) ; P(A \ B)

(21.2)

(21.3)

d¨ar st˚ar f¨or hela utfallsrummet och A; B a¨ r h¨andelser detta utfallsrum.

Sats 21 .2 Borel-Cantellis lemma: L˚at fAn; n = 1; 2; : : : g vara en klass av h¨andelser och definition av lim sup sidan 10). D˚a g¨aller

1 X n=1

1 X n=1

A = lim supn!1 An (Se

P(An) < 1 ) P (A) = 0 och

(21.4)

P(An) = 1 ) P (A) = 1, om Ak ; k = 1; 2; : : : oberoende.

21.1.2.1 Betingad sannolikhet

Definition 21.3

8 > > <

P (B jA) = > > :

320

P(A \ B) P(A)

om

0

om

P(A) > 0 (21.5)

Matema R. Emanuelsson

P(A) = 0

¨ ¨ 21.1. GRUNDLAGGANDE SANNOLIKHETSL ARA

21. MATEMATISK STATISTIK

Sats 21 .3

P(AjB)P (B) = P(B jA)P(A) = P (A \ B) P(Ac jB) + P (AjB) = 1

och

(21.6)

P(A) = P (AjB)P (B) + P(AjB c )P (B c )

(21.7)

Om fBi ; i 2 I g a¨ r en klass av parvis disjunkta h¨andelser vars union a¨ r hela utfallsrummet (en partition), d.v.s. [n i=1 Bi = och Bi \ Bj = ;, s˚a a¨ r

P(A) =

n X i=1

P(AjBi )P(Bi )

(21.8)

21.1.2.2 Oberoende h¨andelser

Definition 21.4

1. L˚at fAi ;

i 2 I g vara en klass av h¨andelser. Klassen s¨ags vara oberoende om P(\iJ Ai ) =

f¨or varje a¨ ndlig delklass oberoende om

J  I.

Y

i2J

P(Ai )

Speciellt f¨or tv˚a h¨andelser

(21.9)

A och B

P(A \ B) = P (A)P (B)

g¨aller

(21.10)

2. Om

P(1  x1 och 2  x2 ) = P (1  x1)P(2  x2) f¨or alla tal x 1 och x2 s˚a a¨ r 1 och 2 oberoende stokastiska variabler. (21.11)

Sats 21 .4 Tv˚a h¨andelser A och B a¨ r oberoende , A och B c a¨ r oberoende. Matema R. Emanuelsson

321

21.2. BESKRIVANDE STATISTIK

21.2

21. MATEMATISK STATISTIK

Beskrivande statistik

Antag att man g¨or n observationer och att observationerna kan tilldelas v¨arden i en m¨angd Y . Man erh˚aller d˚a ett stickprov av storlek n. Ett observerat v¨arde a¨ r ett v¨arde i Y (s˚adant att n˚agon observation antar detta v¨arde). De observerade v¨ardena betecknas h¨ar yi ; i = 1; : : : ; k. Antalet observationer som antar ett givet v¨arde y i kallas frekvens f = fi . Den relativa frekvensen a¨ r fi =n. Den kumulativa frekvensen a¨ r summan av frekvenserna upp till n˚agot index m : 1  m  k. Den kumulativa relativa frekvensen a¨ r kumulativa frekvensen dividerad med n.

Relativ frekvens

fi n

322

Kumulativ relativ frekvens

m f X i=1

i

n

Medelv¨arde

n 1X

x= n

k X xi = yinfi i=1 i=1

Matema R. Emanuelsson

Varians

1

n X

2 n ; 1 i=1 (x ; xi ) =

k X = n ;1 1 (x ; yi )2 fi i=1

21. MATEMATISK STATISTIK

21.2. BESKRIVANDE STATISTIK

21.2.1 Klassindelat stickprov N¨ar man har ett st¨orre antal observationer a¨ r det l¨ampligt att sortera dessa i klasser.

Exempel 21.1

10  x < 15 15  x < 20 20  x < 25 1 5 11 Klass 25  x < 30 30  x < 35 35  x < 40 frekvens 23 17 3 Klassmitterna a¨ r d˚a 12:5, 17:5, : :: 37:5. Man kan nu rita detta i ett histogram (se figur). Klass frekvens

Utifr˚an ett histogram kan man r¨akna ut den p : e percentilen. Med detta avser att man har p procent t.v. om denna punkt p˚a den v˚agr¨ata axeln. Ber¨akning av den 80:e percentilen p 80 .

L¨osning:




Eftersom vi har 60 observationer, s˚a a¨ r 0:80 60 = 48 observationer t.v. om p 80 . Vi inser att p80 m˚aste uppfylla 30 p 80 < 35 eftersom 1 + 5 + 11 + 23 = 40 < 48 och 40 + 17 = 57 > 48. T.h. om x = 30 8 skall vi ta ytterligare 8 st fr˚an stapeln med frekvens 17. Allts˚a f˚ar vi tillskottet 17 5 till talet 30.






8 p80 = 30 + 17
5  32:4

Matema R. Emanuelsson

323

21.2. BESKRIVANDE STATISTIK

21. MATEMATISK STATISTIK

Sammanfattning av begreppet histogram i) F¨or att g¨ora ett histogram av ett stickprov av storlek n delar man in det i klasser (intervall) [k i; ki+1); i = 0; 1; : : : ; m. Klassgr¨anser a¨ r ki ; i = 0; 1; : : : ; m. k +k Klassmitterna a¨ r i+12 i . Frekvensen f¨or klass i a¨ r antalet observationer som ligger i klass i d.v.s. de observationer som ligger i [k i; ki+1). ii) Ber¨akning av percentil p  . L˚at i0 vara det index s˚adant att

+1  < iX fi fi  n
100

i0 X

0

i=0

i=0 D˚a a¨ r

i  ;X n
100 fi 0

p = ki +

i=0

fi +1

0

0


(ki +1 ; ki ) 0

0

(21.12)

21.2.2 Enkel regressionsanalys (MK-metoden)

Sxx =

P

(xi ; x)2 =

P 2 x

; n1 (P xi)2

Syy =

P

(yi ; y)2 =

P 2 y

; n1 (P yi )2

Sxy =

P

(xi ; x)(yi ; y) =

i

i

P

(21.13) P

P

xiyi ; n1 ( xi )( yi )

Den linje, vilken, enligt minsta kvadratmetoden, a¨ r b¨ast anpassad till punkterna (x i; yi ),

i = 2; 3; :::;n ges av

y = a + bx

d¨ar

a = y ; bx

Korrelationskoefficienten ges av

rxy =

324

p

Sxy

Sxx
Syy

Matema R. Emanuelsson

b = SSxy

xx

(21.14)

(21.15)

¨ 21.3. FORDELNINGAR

21. MATEMATISK STATISTIK

21.3

F¨ordelningar

en f¨ordelning med uppr¨akneligt (¨andligt eller o¨andligt) antal utfall kallas diskret. En f¨ordelning d¨ar den stokastiska variabeln  kan anta alla v¨arden i ett intervall (a; b) kallas kontinuerlig. 21.3.1 Diskreta f¨ordelningar

L˚at  vara en diskret stokastisk variabel, som antar v¨ardena x 1 < x2 < x3 < : : : < xk < xk+1 < : : : . Med sannolikhetsfunktionen p till  menas

Definition 21.5

p(xk ) = P ( = xk )( 0)

(21.16)

Med f¨ordelningsfunktionen F till  menas

F(xk ) = P(  xk ) =

k X i=1

P( = xi)

(21.17)

L˚at x1; x2; x3; : : : vara alla t¨ankbara utfall (¨andligt eller upprr¨akneligt o¨andligt). F¨or summation o¨ ver dessa g¨aller att X

i

P( = xi) = 1

(21.18)

21.3.2 Kontinuerliga f¨ordelningar

y

F(x) 1-F(x)

x

Figur 21.1: Kurvan ges av frekvensfunktionen y

Matema R. Emanuelsson

t

= f (x).

325

¨ 21.3. FORDELNINGAR

Definition 21.6

21. MATEMATISK STATISTIK

Om det finns en funktion f s˚adan att f(x)  0 f¨or alla x och

1

Z

;1

f(t)dt = 1 :

(21.19)

s˚a a¨ r f en sannolikhets- eller frekvensfunktion. F¨ordelningsfunktionen definieras som

F (x) := P(  x) =

Z

x

;1

f(t)dt:

Sats 21 .5 L˚at  vara en kontinuerlig stokastisk variabel med frekvensfunktion f¨ordelningsfunktion F . D˚a g¨aller f¨oljande

(21.20)

f

och

a) F 0(x) = f(x) (utom m¨ojligen i vissa skarvpunkter) b) P(a <   b) = c) P( > x) =

Z

Z

1

x

b a

f(x)dx = F (b) ; F (a)

f(t)dt = 1 ; F(x)

d) P( = x) = 0 f¨or alla x

Figur 21.2: Illustration av (21.21 b) med a = 1 och b = 2:2

326

Matema R. Emanuelsson

(21.21)

¨ 21.3. FORDELNINGAR

21. MATEMATISK STATISTIK

21.3.3 N˚agra vanliga f¨ordelningar 21.3.3.1 Diskreta f¨ordelningar Med beteckning f¨or en stokastisk variabel menas klassen av stokastiska variabler som har den f¨ordelningen, d.v.s.  2 Po() etc. F¨ordelning Beteckning Likformig U(N ) Binomial Bin(n; p) Hypergeometrisk Hyp(N; n; p) Geometrisk Neg(1; p) Negativ binomial Neg(k; p) Poisson Po()

Sannolikhet P (

1

!

= x)

N

n px (1 ; p)n;x x ;Np
;N (1;p)


n;x n (1 ; p)x;1 p x

!

;N


x ; 1 (1 ; p)x;k
pk k;1 e; x x!

V¨antev¨arde

Varians

N +1

N2 ; 1

2

np

12 np(1 ; p)

Parametrar

N n; p N; n; p

p k p

N ; n np(1 ; p) N ;1 1;p p2 k(1 ; p) p2







np 1

p k; p

Kommentarer: F¨or hypergeometrisk f¨ordelning anges i vissa b¨ocker antalet av ett visst slag, d.v.s. Np som ist¨allet f¨or p. F¨or geometrisk och negativ binomialf¨ordelning finns ingen beteckning angiven. Om j ; j = 1; 2; : : : ; k a¨ r oberoende geometriska stokastiska variabler, s˚a a¨ r 1 + 2 + : : :+ k 2 Negk; p, d.v.s. negativt binomialf¨ordelad med parametrar k och p.

Matema R. Emanuelsson

327

¨ 21.3. FORDELNINGAR

21. MATEMATISK STATISTIK

21.3.3.2 Kontinuerliga f¨ordelningar Med beteckning f¨or en stokastisk variabel menas klassen av stokastiska variabler som har den f¨ordelningen, d.v.s.  2 exp() etc. F¨ordelning Beteckning

Rektangel U(a; b)

Exponential

exp()

Beta B(; )

Gamma

;(; ) Weibull W(a;b)

; 2n;1 2

Normal N (;  ) t-

tn;1

328

Sannolikhetsfunktion eller frekvensfunktion f 8 om x < a 0 > > > > > < f (x) = > b 1 a om a x b > > > > : om x > b 8 0 om x < 0 < 0

 

;

f (x) = : 8 > > > > <

e;x

0

om

x0

f (x) = > k; x;1 (1 ; x) ;1 > > > : 8 > > <

1 0

f (x) = > x ;1  e;x > : ;( ) 8 <

f (x) = : 8 > > <

0

Parametrar

a0

om

x<0

om

0x1

om

x>1

om

x<0

om

x0 om

 > 0; > 0 x0

x a (a=b) (x=b)a;1 e;( b ) om x  0 0 om x < 0

f (x) = > ; x
(n;2)=2 e;x=2 > 2 : om x  0 2;(n=2) 2 ( x ;  ) f (x) = p1 e; 22 ; ;1 < x < 1  2 2 ;n=2 f (x) = kn 1 + nx; 1 ; ;1 < x < 1

Matema R. Emanuelsson

 > 0; > 0

 > 0;  1 n = 1; 2;: : :

;1 <  < 1;  > 0 n = 2; 3;: : :

¨ 21.3. FORDELNINGAR

21. MATEMATISK STATISTIK

F¨ordelning

Rektangel

Exponential

F¨ordelningsfunktion F (x) 8 0 om x < a > > > > > < x a F (x) = > b a om a x > > > > : 1 om x > b 8 om x < < 0

; ;

F (x) = :

8 > > > > > <

F (x) = >

Beta

> > > > : 8 > > <

Gamma

Weibull

;

F (x) = >

t-

 b 0

1 ; e;x om x  0 0 Z x k; t;1 (1 ; t) ;1 dt 0

1 0

om

x<0

om

0x1

x>1 x<0

om om

0

x 1 (t=2)(n;2)=2e;t=2 dt 2;(Zn=2) 0 x ; (t;)2 dt e 22 F (x) = p1  2 ;1 Z x  t2 ;n=2 dt F (x) = kn 1+ n;1 ;1 > :

Normal

 = b +2 a 2 2 = (b ;12a)

om

x<0

om

x0

Z

 = 1 2 = 12  =  + 2 = =



( + )2 (1 +  + )

 =  2 =  2

F (x) = >  Z x ;1 ;t > t e dt om x  0 : ;( ) 0 8 om x < 0 < 0 F (x) = : a 1 ; e;(x=b) om x  0 8 > > <

2

V¨antev¨arde  och varians  2

 = b ;(1 + a1 ) 2 = b2 ;(1 + 2a )+ ;b2 ;2 (1 + a1 )  = n; 2 = 2n  2 =0 ;1 2 = nn ; 3

Kommentarer: Likformig f¨ordelningen a¨ r beskriven endast d˚a utfallen a¨ r 1; 2; : : : ; N . Hypergeometrisk f¨ordelning inneb¨ar att man v¨aljer a˚ terl¨aggning), d¨ar Np a¨ r av ett visst slag.

n bland N

stycken (utan

Np

N(1-p) n -x

x

Villkoren p˚a dess parametrar a¨ r x a¨ r heltal s˚adant att 0  x  Np , 0  n ; x 

N ; Np:

F¨ordelningsfunktion f¨or de diskreta f¨ordelningarna a¨ r inte medtagen. Matema R. Emanuelsson

329

¨ 21.3. FORDELNINGAR

21. MATEMATISK STATISTIK

F¨or Betaf¨ordelningen a¨ r normeringskonstanten k ;

;( + ) . = ;();( )

F¨or Weibullf¨ordelningen a¨ r a > 0 och b > 0. F¨or denna f¨ordelning varierar parametriseringen. Ex.vis f¨orekommer parametriseringen F(x) = 1 ; e;x = ; (x  0). Detsamma g¨aller f¨or ;;f¨ordelningen d¨ar ibland =  och 1= = . F¨or t;f¨ordelningen a¨ r normeringskonstanten k n Att  har f¨ordelningen N (; ) menas att P(

=

;( n2 ) p . n ; 1 ;( )p n ; 1 2

 x) = F(x) f¨or denna f¨ordelning.

2;f¨ordelningen a¨ r ett specialfall av gammaf¨ordelningen med  = 1=2 och

= n=2. Standardnormalf¨ordelningen a¨ r den normalf¨ordelning som har  = 0 och  = 1, d.v.s. N (0; 1). Med n = 2 i t;f¨ordelningen erh˚alls Cauchyf¨ordelningen, d.v.s. f(x) = 1 (1 + x2) . F¨ordelningen saknar v¨antev¨arde.

Figur 21.3: Tv˚a av normalf¨ordelningens frekvensfunktioner med samma v¨antev¨arde  = 10 och med  1 = 1 och 2 = 2. Den kurva som a¨ r mest koncentrerad kring v¨antev¨ardet 10 har minst standardavvikelse.

21.3.3.3 Samband mellan allm¨an normalf¨ordelning och standardnormalf¨ordelningen 



F (x) = P (  x) =  x ;  d¨ar F a¨ r f¨ordelningsfunktionen f¨or  . N (; ) till N (0; 1), den s.k.

(21.22)

standardiserade normalf¨ordelningen (Se nedan). D¨armed kan man anv¨anda tabellen f¨or N (0; 1) f¨or 330

Matema R. Emanuelsson

¨ 21.3. FORDELNINGAR

21. MATEMATISK STATISTIK

Figur 21.4: Frekvensfunktionen f¨or Weibullf¨ordelningen med  = 3 och

x2 = 2, y = 23x e; 3 .

alla normalf¨ordelningar. F¨ordelningsfunktionen f¨or N (0; 1), betecknas . Motsvarande frekvensfunktion betecknas '.

(b) =

Z

b

;1

p1 e;x =2dx 2 2

(21.23)

21.3.4 Approximationer Approximationer mellan f¨ordelningar med dito tumregler

Hyp(N,n,p) (N - n) np(1 - p) N-1

> 10

n / N < 0.1 N(µ,σ)

p+n / N < 0.1 n > 10

λ > 15

np(1 - p) > 10 Bin(n,p)

Po(λ) p < 0.1 n > 10

Matema R. Emanuelsson

331

¨ 21.3. FORDELNINGAR

21. MATEMATISK STATISTIK

Sats 21 .6 Antag att  = np. D˚a g¨aller att  

n px(1 ; p)n;x ! e; x d˚a n ! 1 lim n!1 x x! 



Np x

(21.24)



   N(1 ; p) n N ;n   n ; x = x  Np; x ! n px (1 ; p)n;x; d˚a N ! 1   N N x n Np

(21.25)

Kommentarer: Det f¨orsta gr¨ansv¨ardet s¨ager att binomialf¨ordelningen Bin(n; p) kan approximeras med poissonf¨ordelningen Po(n
p), d˚a n stort/p litet. Det andra gr¨ansv¨ardet s¨ager att den hypergeometriska f¨ordelningen kan approximeras med binomialf¨ordelningen Bin(n; p), d˚a N stort.

332

Matema R. Emanuelsson

¨ ˚ 21.4. LAGESOCH SPRIDNINGSMATT

21. MATEMATISK STATISTIK

21.4

L¨ages- och spridningsm˚att

Definition 21.7

1. L˚at  vara en diskret stokastisk variabel som kan anta v¨ardena x1; x2; x3; : : : . (a) V¨antev¨ardet f¨or  a¨ r

E() =

X

i

xi P( = xi):

(21.26)

(b) Variansen f¨or  , definieras som

V () =

X

i

(xi ; )2 P ( = xi)

d¨ar  = E().

(c) Standardavvikelsen f¨or  definieras som

(21.27)

p

V ().

2. L˚at  vara en kontinuerlig stokastisk variabel med frekvensfunktionen f . (a) V¨antev¨ardet f¨or  och allm¨annare f¨or g() definieras som

1

Z

E() =

;1 Z 1

respektive

E(g()) =

;1

xf(x)dx (21.28)

g(x)f(x)dx

(b) Medianen definieras som det x;v¨arde , betecknat md, s˚adant att Z md

;1

f(x)dx = 1=2:

(21.29)

(c) Variansen definieras som

V () = E(( ; )2 ) =

Z

1 ;1

(x ; )2 f(x)dx

(d) Standardavvikelsen f¨or  definieras som  = (e)

(21.30)

p

V (). Med en kvantil k  f¨or en f¨ordelning menas det “x;”v¨arde s˚adant att P(  k) = 1 ; ;

d.v.s.

Matema R. Emanuelsson

P( > k) = 

(21.31)

333

¨ ˚ 21.4. LAGESOCH SPRIDNINGSMATT

21. MATEMATISK STATISTIK

Sats 21 .7 1. Om   0 s˚a kan v¨antev¨ardet ber¨aknas m.h.a. f¨ordelningsfunktion:

E() =

1

Z

0

[1 ; F(x)] dx =

Z

0

1

av motsvarande

P( > x)dx

(21.32)

om  a¨ r kontinuerlig. 2. Variansen kan ber¨aknas med f¨oljande alternativa formler:

V () = E( 2 ) ; 2 d¨ar E( 2 ) =

8 Z 1 > > x2 f(x)dx > > < ;1

om  a¨ r kontinuerlig

X > > > x2i P( > :

om  a¨ r diskret

i

= xi)

(21.33)

och  = E() :

Kommentarer: i) V¨antev¨ardet a¨ r tyngdpunkten f¨or kurvans graf i x;led. ii) F¨or en symmetrisk f¨ordelning sammanfaller v¨antev¨ardet (om det existerar) med medianen. iii) Tv˚a stokastiska variabler  och  som a¨ r likaf¨ordelade, d.v.s. P (  x) f¨or alla x har samma v¨antev¨arde och varians.

Figur 21.5: Normalf¨ordelningen N (0; 1)

; (streckad) och t ; f¨ordelningen

Ist¨allet f¨or beteckningen k  anv¨ander man 334

P(  x) =

Matema R. Emanuelsson

3

¨ ˚ 21.4. LAGESOCH SPRIDNINGSMATT

21. MATEMATISK STATISTIK

Figur 21.6: Medianen delar ytan i tv˚a delar med 50% av arean p˚a vardera sidan.

95 % 5%

k 0.05

;

Figur 21.7: k0:05 kvantil

Matema R. Emanuelsson

335

¨ 21.5. MULTIVARIATA FORDELNINGAR

i)

21. MATEMATISK STATISTIK

 f¨or N (0; 1) ;f¨ordelningen.

ii) tn; f¨or t;f¨ordelningen. 1

21.5

Multivariata f¨ordelningar

Kovariansen och korrelationskoefficententen f¨or tv˚a stokastiska variabler  och  definieras som

Definition 21.8

E[ ; E()]E[ ; E()] =: cov(; ) (; ) = p

cov()

respektive

(21.34)

var()var()

Kovariansen kan skrivas cov(; ) = E() ; E()E(). 21.5.1 Diskreta f¨ordelningar En diskret multivariat f¨ordelning beror p˚a fler a¨ n en diskret stokastisk variabel. Ist¨allet f¨or en formell definition presenteras ett par vanliga f¨ordelningar.

Definition 21.9

1. Den gemensamma f¨ordelnings- och frekvensfunktionen f¨or tv˚a diskreta stokastiska variabler  och  a¨ r

P( = x;  = y) =: f(x; y) respektive P(  x;   y) =: F(x; y)

(21.35)

2. Multinomialf¨ordelningens frekvensfunktion definieras som 

P(1 = x1 ; 2 = x2 ; : : : ; r = xr ) = x 1 d¨ar

Pr

j =1 pj



n x x xr x2 : : :xr p1 p2
: : :
pr 1

2

(21.36)

P = 1, pj > 0 och rj=1 xj = n, xj  0.

1 “Kvantil” k brukar st˚ a f¨or att arean t.v. om detta v¨arde a¨ r  men i denna bok betecknar den allts˚a att  arean t.h. a¨ r .

336

Matema R. Emanuelsson

¨ 21.5. MULTIVARIATA FORDELNINGAR

21. MATEMATISK STATISTIK

Sats 21 .8 Om  och  a¨ r oberoende s˚a a¨ r deras gemensamma frekvensfunktion

f(x; y) = f (x)f (y)

(21.37)

Bivariat poissonf¨ordelning. Antag att ;  2 Po() respektive Po() och a¨ r oberoende. D˚a a¨ r deras gemensamma frekvensfunktion

x y
e;(+) f(x; y) = P( = x;  = y) = x!y!

(21.38)

21.5.2 Bivariat kontinuerlig f¨ordelning

Definition 21.10

1. L˚at  och  vara tv˚a kontinuerliga stokastiska variabler. Deras gemansamma f¨ordelningsfunktion definieras som

P(  x;   y) := F(x; y)

(21.39)

Om det finns en funktion f(x; y) s˚adan att

F(x; y) =

Z

Z

y

x

;1 ;1

f(u; v)dudv

(21.40)

s˚a kallas denna funktion f¨or den gemensamma frekvens- eller sannolikhetsfunktionen. Sannolikheten

P(a    b; c    d) = 2. Marginalfrekvensfunktionen m.a.p.

f (x) =

Z

c

dZ b a

f(u; v)dudv

(21.41)

 a¨r

1

Z

;1

f(x; y)dy

Matema R. Emanuelsson

(21.42)

337

¨ 21.6. LINJARKOMB. AV STOK. VARIABLER

21. MATEMATISK STATISTIK

Definition 21.11

1. Den betingade frekvensfunktionen och f¨ordelningsfunktionen av  m.a.p. a¨ r

y) fj (yjx) = f(x; f (x)  Z y

respektive

f(x; v)dv Fj (yjx) = ;1 f (x) f¨or de x s˚adana att f (x) > 0. 2. Det betingade v¨antev¨ardet av , m.a.p. E(j) a¨ r en stokastisk variabel.

=x

(21.43)

 definieras som E(j). Observera att

Sats 21 .9

E(E(j)) = E() 21.6

(21.44)

Linj¨arkomb. av stok. variabler

Definition 21.12

En linj¨arkombination av tv˚a stokastiska variabler  1 och 2 skrivs

a1 + b2 , d¨ar a och b a¨ r konstanter.

Sats 21 .10 L˚at 1 och 2 a¨ r tv˚a stokastiska variabler med gemensam frekvensfunktion f . S¨att  1 + 2 =  . D˚a a¨ r

1 och 2 diskreta

8 > > > > > <

P( = z) =

> > > > > :

P( = z) =

8 > > > > > > < > > > > > > :

338

f (z) = f (z) =

X

x X

x

f(x; z ; x) f (x)f (z ; x) 1

2

om de a¨ r oberoende

1

Z

;1 1

Z

;1

f(x; z ; x)dx f (x)f (z ; x)dx 1

2

om de a¨ r oberoende

Matema R. Emanuelsson

(21.45)

¨ 21.6. LINJARKOMB. AV STOK. VARIABLER

21. MATEMATISK STATISTIK

Sats 21 .11 L˚at a och b vara konstanter samt  , 1 och 2 stokastiska variabler. D˚a g¨aller:

i)

E(a + b) = aE() + b;

ii)

V (a + b) = a2V (); (a + b) = jaj()

iii) E(1 + 2 ) = E(1 ) + E(2 );

(21.46)

iv) V (1 + 2 ) = V (1 ) + V (2 ); om 1 och 2 a¨r oberoende. Sats 21 .12 L˚at c1 ; c2; : : : ; cn vara konstanter och 1; 2 ; : : :n stokastiska variabler. D˚a g¨aller:

E(c1 1 + c2 2 + : : : + cnn ) = c1 E(1 ) + c2E(2 ) + : : : + cnE(n ); V (c11 + c22 + : : : + cn n) =

(21.47)

= c21 V (1 ) + c22V (2 ) + : : : + c2nV (n ); om 1 ; 2; : : : ; n oberoende.

Sats 21 .13 L˚at 1; 2 ; : : : ; n vara oberoende stokastiska variabler, d¨ar alla har v¨antev¨arde E(i ) varians V (i ) = 2 , i = 1; 2; : : : ; n. S¨att

n X  = n1 (1 + 2 + : : :n ) = n1 i i=1

D˚a g¨aller

2

E() =  och V () = n :

(21.48)

Kommentarer: Observera att i (21.46 ii)), s˚a blir p

p

p

(a + b) = V (a + b) = a2 V () = a2() = jaj() Den sista likheten f¨oljer av att

p

a2 = jaj.

Matema R. Emanuelsson

339

¨ 21.6. LINJARKOMB. AV STOK. VARIABLER

21. MATEMATISK STATISTIK

F¨or varianserna g¨aller att V ( 1 + 2 ) = V (1 ) + V (2). S¨att V (1 ) V (2 ) = 22. S¨att standardavvikelsen f¨or summan till . D˚a a¨ r

12 + 22 = 2

= 12 och (21.49)

Det a¨ r inte l¨att att best¨amma f¨ordelningen f¨or en summa av tv˚a f¨ordelningar. I vissa fall g˚ar det dock om de a¨ r oberoende. Vi formulerar n˚agra resultat nedan. Om man k¨anner f¨ordelningen f¨or  a¨ r det ibland m¨ojligt att finna f¨ordelningen f¨or a .

Sats 21 .14 Antag att  och  a¨ r oberoende stokastiska variabler. 1. Om b˚ade  och  a¨ r normalf¨ordelade eller poissonf¨ordelade, s˚a a¨ r deras summa ¨ det. Aven a (a 6= 0) a¨ r normalf¨ordelad om  a¨r det. 2. Om b˚ade  och  a¨ r binomialf¨ordelade med samma p, s˚a a¨ r summan ocks˚a binomialf¨ordelad. Speciellt om  1 ; 2; : : : ; n a¨ r oberoende Bernoullif¨ordelade, s˚a a¨ r (per definition)  i 2 Bin(1; p) och d¨armed a¨ r

1 + 2 + : : : + n 2 Bin(n; p) 3. Antag att b˚ade  och  a¨ r exponentialf¨ordelade med samma . (a)

 +  a¨r ;(2);f¨ordelad och har frekvensfunktionen 8 <

f(x) = : (b) (c)

om

x<0

2 xe;x

om

x0

1. min(; ) a¨r exponentialf¨ordelad med v¨antev¨arde 2 = har frekvensfunktionen 8 > <

f(x) = > :

340

0

0

om

x<0

1 (1 + x)2

om

x0

Matema R. Emanuelsson

(21.50)

¨ 21.6. LINJARKOMB. AV STOK. VARIABLER

21. MATEMATISK STATISTIK

Sats 21 .15 Antag att  1 ; 2; : : : ; n a¨ r oberoende och N (; ). 1. S¨att 

= 1 + 2 +n : : : + n . D˚a a¨ r  och 



n X

(k ; )2 oberoende och

k=1 n X

1 ( ; )2 2 2 n;1 2 k=1 k

 2 N ; pn ;

(21.51)

2. Den stokastiska variabeln definierad som p

n(n ; 1)( ; ) (n) := v u n uX t (k ; )2

(21.52)

k=1

a¨ r t;f¨ordelad med n ; 1 frihetsgrader, d.v.s.

(n) 2 tn;1.

21.6.1 Genererande funktioner

Definition 21.13

Antag att  och  a¨ r tv˚a stokastiska variabler. D˚a definieras

Momentgenerande funktion:

M  (t) := E(et ) : R 7! [0; 1)

Karakt¨aristisk funktion:

  (t) := E(eit ) : R 7! C

Tv˚a dimensionell gemensam karakt¨aristisk funktion:

; (s; t) := E(eis eit ) : R2 7! C

Sannolikhetsgenererande funktion:

G (s) := E(s )

Tv˚adimensionell sannolikhetsgenererande funktion

G; (s; t) := E(s t )

Matema R. Emanuelsson

(21.53)

341

¨ 21.6. LINJARKOMB. AV STOK. VARIABLER

Sats 21 .16 Om 

21. MATEMATISK STATISTIK

= a + b  (t) = eitb (at)

(21.54)

Om  och  a¨ r oberoende. s˚a a¨ r

+ (t) =  (t) (t)

(21.55)

; (s; t) =  (s) (t)  (t) = (1 + p(eit ; 1))n ,  2 Bin(n; p) 



 (t) =  ; it



,  2 ;(; )

(21.56)

 (t) = eit; t =2 ,  2 N (; ) 2 2

Sats 21 .17 L˚at  vara en stokastisk variabel och G  (s) genererande funktion. D˚a g¨aller G(0) = P ( = 0) och

= E(s ) dess sannolikhets-

k G(s) E[( ; 1) : : :( ; k + 1)] = d ds k f¨or s = 1; k = 0; 1; 2; : : :

(21.57)

Antag att  och  a¨ r oberoende stokastiska variabler. D˚a a¨ r

G+ (s) = G (s)G (s) G; (s; t) = G (s)G (t)

(21.58)

Om ; 1; 2; : : : ; N a¨ r en f¨oljd av oberoende och likaf¨ordelade stokastiska variabler och N 2 f1; 2; 3; : : : g a¨ r en stokastisk variabel, s˚a a¨ r

G ; ;::: ;N (s) = GN (G (s)) 1

342

2

Matema R. Emanuelsson

(21.59)

21. MATEMATISK STATISTIK 21.7. KONVERGENS AV STOKASTISKA VARIABLER

21.6.2 N˚agra olikheter

Sats 21 .18 Antag att f a¨ r en ickenegativ m¨atbar funktion och a en positiv kontstant. D˚a a¨ r

P(f() > a)  E(f()) a

(21.60)

Av denna olikhet f¨oljer Markovs olikhet: Chebyshevs olikhet:

21.7

P(j j  a)  E(aj j) 2) P (j j  a)  E( a2

(21.61)

Konvergens av stokastiska variabler

L˚at 1 ; 2; 3 ; : : : och  vara stokastiska variabler p˚a n˚agot utfallsrum . Det finns f¨oljande fyra typer av konvergens.

Definition 21.14

!  n¨astan s¨akert, som skrivs n n.s. !  och betyder att P(f! 2 : n (!) ! (!)g) = 1 d˚a n ! 1. n !  i r;medel d¨ar r  1, som skrivs n !r  och betyder att E(jn ;  jr ) ! 0 d˚a n ! 1. P  och betyder att n !  i sannolikhet, som skrivs  n ! P(jn ;  j > ") ! 0 f¨or varje " > 0, d˚a n ! 1.

1. n

2.

3.

4. n

!  i f¨ordelning, som skrivs  n !F  och betyder att P(n  x)  Fn (x) ! P(  x)  F (x)

f¨or de x d¨ar F(x) a¨ r kontinuerlig.

Matema R. Emanuelsson

343

21.7. KONVERGENS AV STOKASTISKA VARIABLER 21. MATEMATISK STATISTIK

Kommentarer: Konvergens i f¨ordelning a¨ r det samma som att F n (x) ! F(x) d¨ar Fn och F a¨ r f¨ordelningarna f¨or  n respektive  . Om dessa stokastiska variabler a¨ r kontinuerliga kan detta skrivas Z

x

;1 om Fn0

fn (t)dt !

Z

x

;1

f(t)dt

= fn och F 0 = f .

Sats 21 .19

n n.s. ! n

!r 

9 > =

eller

> ;

P ) ! F ) n ! n 

(21.62)

Sats 21 .20

P c om c a¨ r en konstant. F ! c ) n ! P Om n !  och att det finns en konstant k s˚adan att P (j nj  k) = 1 f¨or alla n r s˚a a¨ r n !  f¨or alla r  1. X ! . P (jn ;  j > ") < 1, s˚a a¨r n n.s. Om f¨or alla " > 0 g¨aller att

1. n 2.

3.

n

Sats 21 .21 Antag att  1 ; 2; 3 ; : : : a¨ r oberoende och likaf¨ordelade samt att E(i ) =:  < 1. D˚a g¨aller f¨oljande lagar Stora talen lag:

1 + 2 + : : : + n ;! F ; d˚a n ! 1 n

Centrala gr¨ansv¨ardessatsen:

1 + 2 + : p : : + n ; n ;! F N (0; 1); d˚a n ! 1; om E( 2 ) < 1  n

344

Matema R. Emanuelsson

(21.63)

21. MATEMATISK STATISTIK 21.7. KONVERGENS AV STOKASTISKA VARIABLER

Sats 21 .22 Antag att  1 ; 2 ; 3 ; : : : a¨ r oberoende och likaf¨ordelade och 1. D˚a g¨aller att

E( 2 ) <

1 + 2 + : : : + n ;! n.s. ; d˚a n ! 1 n 1 + 2 + : : : + n ;! r=2 ; d˚a n ! 1 n

(21.64)

Stora talens starka lag Antag som ovan att 1; 2 ; 3; : : : a¨ r oberoende och likaf¨ordelade. D˚a g¨aller ekvivalensen

1 + 2 + : : : + n ;! n.s.  , E(ji j) < 1 n Om konvergens f¨oreligger, s˚a a¨ r  = E(i ).

(21.65)

Sats 21 .23 F 1. Antag att n !  eller uttryckt med motsvarande f¨ordelningar: F n ! 1 (n(t))n=1 vara motsvarande karakteristiska funktioner. D˚a g¨aller att

n(t) ! (t); d˚a n ! 1

F . L˚at (21.66)

2. Omv¨ant, om gr¨ansv¨ardet (21.66) f¨or karakteristisksa funktioner existerar f¨or F alla t och (t) a¨ r kontinuerlig i t = 0, s˚a g¨aller att F n ! F , d.v.s. n !  . Kommentarer: Praktiskt inneb¨ar Centrala gr¨ansv¨ardessatsen att

P

 Pn

i ; n i=1 p  n



 x  (x); d˚a n a¨r stort.

d.v.s. att

n X i=1

p i a¨ r approximativt N (n;  n), d˚a n a¨ r stort.

F¨or  g¨aller att

  ;  P =pn  x  (x); d˚a n a¨ r stort.

(21.67)



r=2

(21.68)

Konvergensen “ ! ” i (21.64) inneb¨ar konvergens i “L 2 -norm” k
kL2 (k
k2 E(j
j2 )). Matema R. Emanuelsson

=

345

21.8. PUNKTSKATTNING AV PARAMETRAR

21. MATEMATISK STATISTIK

Sats 21 .24 Antag att  1 ; 2 ; 3 ; : : : och 1 ; 2 ; 3 ; : : : a¨ r tv˚a f¨oljder av stokastiska variabler.

n n.s. !  och n n.s. !  ) n + n n.s. ! +

21.8

r r  och  ! n ! n 

) n + n !r  + 

P P  och  ! n ! n 

P + )  n + n !

(21.69)

Punktskattning av parametrar

F¨or ett stickprov av storlek n kan man skatta f¨ordelningens v¨antev¨arde

n X  = 1 + 2 +n : : : + n = n1 i i=1

(21.70)

Motsvarade observerade punktskattning a¨ r

n X obs = x1 + x2 +n : : : + xn = n1 xi i=1

(21.71)

Definition 21.15

1 Ett stickprov av storek n a¨ r en f¨oljd  1 ; 2; : : : ; n av n oberoende likaf¨ordelade stokastiska variabler. Ett observerat stickprov a¨ r motsvarande observerade v¨arden x1; x2; : : : ; xn. 2 L˚at  vara en parameter f¨or i samt l˚at vara utfallsrummet f¨or  i . 3 En skattningsfunktion E ges av E i) ii)

: n y R.

E (1; 2 ; : : : ; n ) =  kallas en punktskattning av .  kallas en observerad punktskattning av . E (x1; x2; : : : ; xn ) = obs

21.8.1 V¨antev¨ardesriktighet och effektivitet

L˚at 1 ; 2; : : : ; n vara likaf¨ordelade oberoende stokastiska variabler och E (1; 2; : : : ; n) =  vara en punktskattning av en parameter  f¨or  i .  a¨ r v¨antev¨ardesriktig om Definition 21.16

E(E (1; 2 ; : : : ; n )) = E( ) =  Om E( ) 6=  s˚a s¨ager vi att ett systematiskt fel f¨oreligger. 346

Matema R. Emanuelsson

(21.72)

21. MATEMATISK STATISTIK

21.8. PUNKTSKATTNING AV PARAMETRAR

Definition 21.17

L˚at 1 och 2 vara tv˚a v¨antev¨ardesriktiga skattningar av en parameter . Om V ( 1 ) < V (2 ) s¨ager vi att 1 a¨ r effektivare a¨ n 2 . L˚at 1; 2 ; : : : ; n vara ett stickprov och x 1; x2; : : :xn motsvarande observerade stickprov p˚a en stokastisk variabel  med E() =  och V () =  2. “obs” st˚ar f¨or “observerat”. Anv¨andbara punktskattningar och observerade skattningar a¨ r, oberoende av f¨ordelning,

 =  2 

; obs = x

n n X X 1 1  2 2 2 = n ; 1 (i ; ) ; obs = s = n ; 1 (xi ; x)2 i=1 i=1

p

 = 2 

(21.73)

p

 = s2 ; obs

Kommentarer:



1. Man kan l¨att visapatt E() = . Lite sv˚arare a¨ r det att visa att  2 a¨ r v¨antev¨ardesriktig. D¨aremot a¨ r inte 2  v¨antev¨ardesriktig. 2. F¨or variansen  2 a¨ r skattningsfunktionen allts˚a

E (1; 2; : : : ; n) = n ;1 1

n X i=1

Matema R. Emanuelsson

(i ; )2 :

347

21.9. INTERVALLSKATTNING

21.9

21. MATEMATISK STATISTIK

Intervallskattning

21.9.1 Konfidensintervall f¨or  i normalf¨ordelningen

Symmetriska konfidensintervall: 



x ; =2 pn ; x + =2 pn   x ; tn;1;=2 psn ; x + tn;1;=2 psn

 k¨ant:  ok¨ant:

(21.74) (21.75)

B˚ada ger ett 1 ;  symmetriskt konfidensintervall f¨or . r

Den skattade standardavvikelsen s ges av s =

1

n;1

X

(xi ; x)2

 = n ; 1 a¨ r antalet frihetsgrader.

Ensidiga upp˚at begr¨ansade respektive ned˚at begr¨ansade konfidensintervall:

 k¨ant:  ok¨ant:





;1; x +  pn ;



 

;1; x + tn;1; psn ;



x ;  pn ; 1 

x ; tn;1; psn ; 1

(21.76) 

(21.77)

21.9.2 Konfidensintervall f¨or  2 i normalf¨ordelningen

h

0; (nn;;1); ;s  2

2



i

Ensidigt konf. intervall av konf.grad 1 ;  f¨or  2

1 1

(n;1)s2 (n;1)s2 2n;1;=2 ; 2n;1;1;=2



Tv˚asidigt konf. intervall av konf.grad 1 ;  f¨or  2 (21.78)

348

Matema R. Emanuelsson

21. MATEMATISK STATISTIK

21.9. INTERVALLSKATTNING

21.9.3 Stickprov i par och tv˚a stickprov Vid stickprov i par antas att vi har parvisa observationer ( i ; i) , i = 1; 2; : : : ; n, d¨ar

i 2 N (i ; 1) och i 2 N (i +
; 2)

(21.79)

och att paren (1; 1), (2 ; 2), : : : , (n; n) a¨ r oberoende. Vid tv˚a stickprov antas att

1 ; 2 ; : : : ; n

1

a¨ r ett stickprov p˚a N ( 1 ; )

1; 2; : : : ; n

a¨ r ett stickprov p˚a N ( 2 ; )

2

(21.80)

och att stickproven a¨ r oberoende. 21.9.3.1 Stickprov i par Ett konfidensintervall f¨or
 bildas f¨or att uppt¨acka signifikant skillnad mellan  i och i. Intervallskattningen g¨ors d˚a f¨or
 och   n q 1X 2 2 n k=1(k ; k ) =  ;  2 N
; 1 + 2

(21.81)

Konfidensintervall bildas p.s.s. som i (21.75).

Matema R. Emanuelsson

349

¨  I NORMALFORD. ¨ 21.10. HYPOTESTEST F OR

21. MATEMATISK STATISTIK

21.9.3.2 Tv˚a stickprov

Sats 21 .25 Om man har tv˚a observerade stickprov av olika storlek, x 1; x2; : : : ; xn1 fr˚an N (1; ) och y1 ; y2 ; : : : ; yn2 fr˚an N (2 ; ), dvs fr˚an normalf¨ordelningar med samma , s˚a a¨ r den b¨asta (mest effektiva) observerade skattningen av 2

2 2 2 = (n1 ; 1)s1 + (n2 ; 1)s2 ; obs n1 ; 1 + n2 ; 1

(21.82)

d¨ar

n n X X s21 = n 1; 1 (xi ; x)2 och s22 = n 1; 1 (y i ; y)2 : 1 1 i=1 i=1 1

2

 ; q; (1 ; 2) 2 t(n ; 1 + n ; 1): 1 2  n1 + n1 1

(21.83)

2

En intervallskattning f¨or  1 ; 2 med konfidensgrad 1 ;  a¨ r 

 ;  ; t=2(n1 +n2 ; 2) r12;  ;  + t=2(n1 +n2 ; 2) r12



Ett konfidensintervall f¨or  1 ; 2 med konfidensgrad 1 ; , blir allts˚a 

 r12; x ; y + t=2(n1 +n2 ; 2) r12 x ; y ; t=2 (n1 +n2 ; 2)obs obs

d¨ar r12

21.10

(21.84)



(21.85)

r

= n1 + n1 . 1 2 Hypotestest f¨or  i normalf¨ord.

En sammansatt hypotes inneh˚aller obest¨amda parametrar. H¨ar behandlas endast hypotestest f¨or  2 N (; ) med nollhypotes  =  0 mot en sammansatt mothypotes.

350

Matema R. Emanuelsson

21. MATEMATISK STATISTIK

21.10.1

¨  I NORMALFORD. ¨ 21.10. HYPOTESTEST F OR

 k¨and

Definition 21.18

1.

H0 st˚ar f¨or nollhypotesen och p.s.s. st˚ar H 1 f¨or etthypotesen eller mothypotesen. L˚at 1 ; 2; : : : ; n vara ett stickrov av N (; ) och x motsvarande observerade medelv¨arde.

2. Styrkefunktionen definieras som

P (F¨orkasta H0jH1 sann.)

(21.86)

V¨ardet av styrkefunktionen f¨or ett givet v¨arde p˚a H 1 kallas styrka. 3. Ensidiga hypotestest 8 > > > > > < > > > > > : 8 > > > > > < > > > > > :

H0 :  = 0 ; H1 :  > 0 H0 f¨orkastas p˚a signifikansniv˚a  , x >  0 +  pn Styrkefunktion: S()

(21.87)

;
:=  pn
; ;  0

H0 :  = 0 ; H1 :  < 0 H0 f¨orkastas p˚a signifikansniv˚a  , x <  0 ;  pn Styrkefunktion: S()

(21.88)


; :=  pn
 ; ;  0

4. Tv˚asidigt test 8 > > > > > > > > > > > <

H0 :  = 0; H1 :  6= 0 H0 f¨orkastas p˚a signifikansniv˚a  x < 0 ; =2 pn eller x > 0 + =2 pn

,

> > > > > > > > > > Styrkefunktion: > ; :

(21.89)


;
S() =  pn
; ; =2 +  pn
 ; ; =2 0

Matema R. Emanuelsson

0

351

¨  I NORMALFORD. ¨ 21.10. HYPOTESTEST F OR

21.10.2

 ok¨and

F¨or  ok¨and byts  mot

1

v u n uX t (xi

s = n;1 k=1

21. MATEMATISK STATISTIK

; x)2 i (21.87-21.89). Dessutom byts

 mot tn;1;. Motsvarande styrkefunktioner a¨r dock sv˚arare att ber¨akna. Definition 21.19

1. Ensidiga test 8 <

H0 :  = 0 ; H1 :  < 0

:

H0 f¨orkastas p˚a signifikansniv˚a  , x <  0 ; tn;1; psn

8 <

H0 :  = 0 ; H1 :  > 0

:

H0 f¨orkastas p˚a signifikansniv˚a  , x >  0 + tn;1; psn

(21.90)

(21.91)

2. Tv˚asidigt test

352

8 > > > > <

H0 :  = 0; H1 :  6= 0

> > > > :

,

H0 f¨orkastas p˚a signifikansniv˚a  x < 0 ; tn;1;=2 psn eller x > 0 + tn;1;=2 psn

Matema R. Emanuelsson

(21.92)

21. MATEMATISK STATISTIK

21.11

21.11. MARKOVKEDJOR

Markovkedjor

Definition 21.20

1. L˚at 1 ; 2 ; 3 ; : : : vara en f¨oljd av stokastiska variabler,som antar v¨arden i ett utfallsrum S . Om

P(n = sj0; 1 ; : : : ; n;1) = P(n = sjn;1)

(21.93)

s˚a kallas 1; 2 ; 3; : : : en diskret Markovkedja. 2. Antag att S

= f1; 2; : : : g = Z+. Markovkedjan a¨ r homogen, om

P(m+n = j jn = i) = P (m = j j0 = i); m; n; = 1; 2; : : :

(21.94)

D˚a definieras

pij = P(m+1 = j jm = i);

Transitionssannolikheterna

P = (pij )jSjjSj;

Transitionsmatrisen (21.95)

pij (n) = P(m+n = j jm = i);

Pn = (pij (n))jSjjSj 3. Ett tillst˚and i a¨ r rekurrent om

P(n = i f¨or n˚agot n  1j0 = i) = 1

(21.96)

Annars kallas tillst˚andet transient.

Sats 21 .26 1.

P a¨ r en stokastisk matris p.g.a. egenskaperna pij  0 och

X

i

pij = 1

(21.97)

2. Chapman-Kolmogorovs ekvationer

Pn = Pn Matema R. Emanuelsson

(21.98)

353

21.11. MARKOVKEDJOR

21. MATEMATISK STATISTIK

En kontinuerlig Markovkedja f(t) : t  0g definieras som

Definition 21.21

P(n = j j(t1 ); (t2); : : : ; (tn;1)) = P((tn) = j j(tn;1)) f¨or varje sekvens t1

(21.99)

< t2 < : : : < tn av tider och f¨or varje j 2 Z+.

Kommentarer: Villkoret (21.93) s¨ager att  n endast beror p˚a den direkt f¨oreg˚aende stokastiska variabelns utfall i f¨oljden  1 ; 2; 3 ; : : : .

S “the state space” kan i definitionerna genomg˚aende vara o¨ veruppr¨akneligt.

(21.98) h˚aller a¨ ven f¨or en kontinuerlig Markovkedja. Transitionsmatrisens element a¨ r

pij (s; t) = P ((t) = j j(s) = i); s  t (21.100) F¨or en homogen kedja g¨aller (per definition) att p ij (s; t) = pij (0; t ; s). H¨ar behandlas endast homogena Markovkedjor. Matrisen inneh˚allande elementen pij (t) definieras som t . D˚a g¨aller

P

Speciellt a¨ r

P0 = E.

Ps+t = PsPt

(21.101)

I till¨ampningar a¨ r parametern t en tidsstorhet.

P : t  0g kallas standard, om lim P = E, t#0 t

Markovkedjan f t

d.v.s. man har

h¨ogerkontinuitet i t = 0.

Gr¨ansv¨ardena

pij (t) =: g lim ij t#0 t

menten i generator(-matrisen)

G.

f¨or en standardkedja existerar och utg¨or ele-

Sats 21 .27 1. Kolmogorovs ekvationer:

d dt (Pt ) = PtG; (fram˚atekvationen) d dt (Pt ) = GPt; (bak˚atekvationen) 2. Med begynnelsevillkoret

P 0 = E, s˚a a¨r

Pt = etG = E + t1!G + (tG2!) + : : : 2

354

(21.102)

Matema R. Emanuelsson

(21.103)

Del IV

Fysik

355

22

Fysik 22.1

Storheter, enheter och konstanter

I matematisk och fysikalisk litteratur skrivs storheter med kursiv, s˚asom m (massa) och F (kraft) och enheter skrivs med vanlig normal text, ex.vis kg och N (newton). m avser skal¨ar storhet och F f¨or vektoriell storhet. 22.1.1 Grundl¨aggande storheter och enheter 22.1.1.1 Str¨acka

Storhet

s

SI-enhet

m (meter)

Andra enheter Nautisk mil, 1 nm = 1852 m Engelsk mil, 1609 m Verktum, 2:47
10;2 m Londontum, 2:54
10;2 m Svensk aln, 0:504 m (Rysk) Verst, 1:067
103 m Famn, 1:7814m Engelsk fot, 0:30479 m ˚ Angstr¨ om, 10;10 m

(22.1)

Andra enheter timma, 1 h = 60min = 3600 s

(22.2)

22.1.1.2 Tid

Storhet

t

SI-enhet

s (sekund)

357

22.2. MEKANIK

22. FYSIK

22.1.1.3 Massa Storhet

m

SI-enhet

kg; (kilogram)

Andra enheter Nyl¨ast, 5409 kg Sv˚ar l¨ast, 2443:47kg (Metriskt) ton, 1000kg

(22.3)

22.1.1.4 Temperatur Storhet SI-enhet Andra enheter K, Kelvin Celsius, 0  C = 273:16 K

T

 9t + 32  F Fahrenheit, t  C = 5 

22.2

(22.4)

Mekanik

22.2.1 H¨arledda storheter och SI-enheter Namn Fart, hastighet Acceleration Kraft Impuls, r¨orelsem¨angd Impulsmoment Energi, arbete Kraftmoment Effekt Tryck Densitet Tr¨oghetsmoment

Storhet Grundstorhet SI-enhet

Enhet

v st;1 m=s a st;2 m=s2 N=kg F mst;2 kg
m=s2 N P mst;1 kg
m=s L ms2 t;1 kg
m2=s (22.5) W ; E ms2 t;2 kg
m2=s2 J M ms2 t;2 kg
m2=s2 Nm 2 ; 3 P ms t kg
m2=s3 W ; 1 ; 2 p ms t kg=(m
s2 ) Pa ; 3  ms kg=m3 2 J ms kg
m2 N st˚ar f¨or “newton”, J st˚ar f¨or “joule”, W st˚ar f¨or “watt” och Pa st˚ar f¨or

“Pascal”. De storheter som a¨ r skrivna med vanlig stil betraktas som skal¨arer och de med fet stil brukar betraktas som vektorer. 22.2.2 N˚agra samband mellan SI-enheter och andra enheter Namn Knop Kilopund Torr Atmosf¨ar Bar H¨astkraft 358

Beteckning och v¨arde

1 knop = 1852 m=h 1 kp = 9:806665 kg
m=s 2 1 torr = 1:33322
102 Pa 1 atm = 1:01325
105 Pa 1 bar = 105 Pa 1 hk = 735:5 W Matema R. Emanuelsson

Storhet

v F P (tryck) P effekt

(22.6)

22. FYSIK

22.2. MEKANIK

22.2.3 Konstanter Namn Allm¨anna gaskonstanten Avogadros konstant Boltzmanns konstant Wiens f¨orskjutningskonstant Bohrradien Coloumbs konstant Faradays konstant Gravitationskonstanten Ljusets hastighet i vakuum Molarvolymen Plancks konstant Plancks massa Rydbergs konstant Solarkonstanten Stefan-Boltzmanns konstant Boltzmanns konstant

Tyngdacceleration a¨ r ber¨aknas som

Numeriskt v¨arde

8:31447 J=(K
mol) 6:02214
1023 mol 1:38065
10;23 J=K 2:8978
10 ;3 mK 5:29177
10;11 m 1:60218 10;19 C 96485:3 C=mol 6:6720
10 ;11 Nm2=kg2 2:99792
108 m=s 0:022414 m3=mol 6:62607
10;34 Js 2:1767
10;8 kg 1:09737
107 m 1373:0 W=m2 5:6704
10;8 W=(m2
T4 ) 1:3806503
10 ;23

g = 9:82 p˚a latitud 57  .

Beteckning

R NA kB b a0 e

F

c0 V0 h

(22.7)

R1  a

Den kan med god approximation

  g = 9:806 ; 0:026 cos 90x m=s2 ;

p˚a latitud x grader

(22.8)

22.2.3.1 N˚agra kommentarer ang˚aende konstanterna Avogadros konstant kallas ocks˚a Loschmidts konstant (1865). Boltzmanns konstant k

R. =N

Gravitationskonstanten, se sidan 354. Molarvolymen a¨ r den volym som en mol av en ideal gas upptar vid NTP, vilket inneb¨ar t = 0 C och P = 1 atm. Solarkonstanten a¨ r den intensitet (effekt per ytenhet) av solstr˚alningen p˚a Jorden. Plancks konstant delat med 2, d.v.s.

h skrivs ~. 2

Matema R. Emanuelsson

359

22.2. MEKANIK

22. FYSIK

Stefan-Boltzmanns konstant  erh˚alls genom integralen

P = 4~2 c2

Z

~

1 e !=kT ; 1

0

!3 d!

4

= 42kc2 ~2

Z

1 x3 dx


T 0 ex ; 1

4=

2 k4 T 4 2 2 |60c{z~ } =

d¨ar P st˚ar f¨or emittansen fr˚an en absolut svart kropp. 22.2.4 Definitioner och matematiska samband En vinkel(-variabel) betecknas '. Vinkelhastigheten ! av ett f¨orem˚al definieras vinkelns tidsderivata multiplicerat med en enhetsvektor e ' i samma riktning som vinkeln f¨or¨andras, d.v.s.

! = d' dt e'

(22.9)

F¨or vinkelhastighet ! och r f¨or ett roterande f¨orem˚als f¨orflyttning g¨aller att

r_ = !  r r = !  (!  r)

(22.10) (F¨or cirkul¨ar r¨orelse)

F¨orsta och andra tidsderivatan betecknas som ovan med prickar. Definition 22.1

P = mv

Impuls/r¨orelsem¨angd

F = P_ = dP dt = mv_ = ma L = r  P = mr  v

Kraft Impulsmoment Vrid- eller kraftmoment

(22.11)

M = dL dt = r  F

En kraft som p˚averkar en kropp ritas som om den utg˚ar fr˚an f¨orem˚alet. F

1. masscentrum (tyngdpunkten) f¨or en kropp definieras som Z rT = m1 rdm

D

(22.12)

d¨ar m a¨ r f¨orem˚alets massa och r = (x; y; z). M˚attet dm kan tolkas som dm = (r)dV , d¨ar dV a¨r Lebesguem˚attet i Rn. 360

Matema R. Emanuelsson

22. FYSIK

22.2. MEKANIK

2. Tr¨oghetsmomentet , m.a.p. en linje l (axel) f¨or en kropp a¨ r

Jl =

Z

D

r2dm

(22.13)

d¨ar r a¨ r det vinkelr¨ata avst˚andet mellan linjen och dm. Masscentrum och tyngdpunkt a¨ r synonyma. Tyngdpunkten av tre kroppar ligger i det plan som deras respektive tyngdpunkter sp¨anner upp. Mer generellt ligger tyngdpunkten av n kroppar i det komplexa h¨olje av deras tyngdpunkter och definieras som

2 r2 + : : : + mn r n r := m1 r1m+ m + m + : : :m 1

2

d¨ar ri a¨ r avst˚andet mellan origo och massan mi

n

(22.14)

: s masscentrum.

r

T

r1

r3 r2

O Vid rotation a¨ r rotationsenergin (r¨orelesenergi vid rotation)

Ek = J!2

2

(22.15)

22.2.5 Grundl¨aggande lagar 22.2.5.1 Konstanslagar F¨or ett slutet system av partiklar g¨aller att 1. summan av r¨orelsem¨angderna a¨ r konstant. 2. summan av impulsmomenten a¨ r konstant. 3. totala energin a¨ r konstant.

0

4. 1. och 2. inneb¨ar att deras tidsderivator = , d.v.s.

P_ = F = 0; L_ = M = 0 Matema R. Emanuelsson

(22.16) 361

22.2. MEKANIK

22. FYSIK

22.2.5.2 Newtons lagar 1 Newtons f¨orsta lag (Tr¨oghetslagen). En kropp som r¨or sig med en konstant (vektoriell) hastighet och som ej p˚averkas av krafter, bibeh˚aller sin hastighet. 3 Newtons tredje lag (Lagen om kraft och motkraft). Tv˚a kroppar p˚averkar varandra med lika stora men motsatt riktade krafter. 4 Newtons fj¨arde lag (Superpositionsprincipen). Antag att krafterna som verkar p˚a en kropp a¨ r

F 1 ; F 2; : : : ; F n Den resulterande/totala kraften a¨ r den vektoriella summan

F = F 1 + F +2 : : : + F n F

F

Newtons tredje lag F 1 F +F 1 2

F 2

Vektoriell addition av tv˚a krafter

Newtons andra lag (kraftekvationen)

F = ma

Newtons gravitationslag

2 F = ; m1rm 2 e

(22.17)

F e

22.2.6 R¨orelsem¨angd och st¨ot L˚at u1 och u2 beteckna deras hastigheter vid en tidpunkt hastigheter vid tiden t 0 (> t). D˚a g¨aller att

m1 u1 + m2 u2 = m1 v1 + m2 v2

t och v 1

och v2 deras (22.18)

Detta kallas r¨orelsem¨angdens bevarande och kan generaliseras till n kroppar. Speciellt brukar man betrakta detta samband vid st¨ot (kollision) mellan tv˚a kroppar med massor m1 och m2 . Om dessutom

m1 u21 + m2 u22 = m1 v12 + m2 v22

(22.19)

kallas st¨oten elastisk. Vid en central st¨ot ligger alla hastighetsvektorer l¨angs samma linje och de skrivs inte med fet stil. Vid en fullst¨andigt oelastisk central st¨ot av tv˚a 362

Matema R. Emanuelsson

22. FYSIK

22.2. MEKANIK

u

u

2

1

Före stöt m

m2

1

v

v

1

2

Efter stöt m

m

2

1

Figur 22.1: Kollision mellan tv˚a kroppar

f¨orem˚al f˚ar de samma hastighet (= v) efter st¨oten (De “fastnar” i varandra.). D˚a g¨aller allts˚a att

m1 u1 + m2 u2 = (m1 + m2 )v

(22.20)

D˚a blir energinf¨orlusten

2

2 (u1 ; u2) = (u1 ; u2 ) Ef¨ore ; Eefter 
E = m12m(m +m ) 2 1

d¨ar  =

2

2

(22.21)

m1 m2 a¨ r den s.k. reducerade massan. m1 + m2

Experimentellt g¨aller att vid en central st¨ot s˚a a¨ r

v2 ; v1 = ;e(u2 ; u1)

(22.22)

d¨ar e a¨ r den s.k. st¨otkoefficienten, 0  e  1. Med e = 1 a¨ r st¨oten elastisk och med e = 0 a¨ r den fullst¨andigt oelastisk. 22.2.7 Impulsmoment och tr¨oghetsmoment Definition 22.2

L = r  p f¨or en partikel L = L = =

n X k=1 Z Z

D D

rk  pk f¨or n partiklar

r  dp =

Z

D

r  vdm =

r  (!  r)dm =

Z

D

(22.23)

(!r2 ; r(!
r))dm

f¨or en kropp, d¨ar integrationen utstr¨acks o¨ ver hela kroppen. Matema R. Emanuelsson

363

22.2. MEKANIK

22. FYSIK

Med L = (Lx ; Ly ; Lz ), och R

R

Jxx = (y2 + z 2 )dm

Jxx = (y2 + z 2 )dm

R

R

Jxx = (y2 + z 2 )dm

R

R

Jxy = Jyx = ; xydm Jzx = Jxz = ; xzdm Jzy = Jyz = ; zydm kan L uttryckas med tr¨oghetsensorn J, som 2

3

2

32

3

Lx Jxx Jxy Jxz !x 4Ly 5 = 4Jyx Jyy Jyz 5 4!y 5 ; eller L = J! Lz Jzx Jzy Jzz !z

(22.24)

Rotationsenergin f¨or en stel kropp kan skrivas

Ek = 12
(!
L)

(22.25)

22.2.7.0.1 Addition av tr¨oghetsmoment och Steiners sats Tr¨oghetsmoment a¨ r additivt (Ekvation (22.26)).

J = J1 + J2 (Additivitet) J = J  + ma2 (Steiners sats)

(22.26)

(22.260)

I Steiners sats (??0 ) a¨ r J  tr¨oghetsmomentet m.a.p. tyngdpunkten och a det vinkelr¨ata avst˚andet mellan rotationsaxeln och tyngdpunkten. J 1

J 2

a

Figur 22.2: Addition av tr¨oghetsmoment och Steiners sats

22.2.8 N˚agra matematiska modeller 1. Konstant acceleration a (likformigt accelerad r¨orelse) d¨ar begynnelsehastigheten a¨ r v0 och begynnelsel¨aget a¨ r s0

2

v = at; s = at2 + v0 t + s0 ; v2 ; v02 = 2a(s ; s0 )

(22.27)

Med fritt fall en kort str¨acka i jordens tyngdkraftf¨alt a¨ r den h¨ar modellen l¨amplig. D˚a a¨ r a = g  9:8 m=s2 1 , se a¨ ven sidan 351. 1

g beror p˚a breddgraden och beror d˚a p˚a dels centrifugalkraften och jordens avplattning.

364

Matema R. Emanuelsson

22. FYSIK

22.2. MEKANIK

2. I fritt fall i jordens tyngdkraftf¨alt med luftmotst˚andet proportionelltmot kvadraten av hastigheten erh˚alls differentialekvationen

v_ = g ; mk
v2 ; v(0) = 0; v(0) _ =g

(22.28)

d¨ar k a¨ r en positiv konstant. Hastigheten v n˚ar en (maximal) gr¨anshastighet v 1 d¨ar det teoretiskt g¨aller att v(t) ! v 1 , d˚a t ! 1. Denna konstant best¨ammer k:

k g m = v12 L¨osningen ges av 8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > :



 gt v = v1 tanh v och d¨armed a¨r 1 g  v_ = a = 2 cosh vgt 1

(22.29)

  2 v 1 s = g lncosh vgt om s(0) = 0 1

3. Den totala mekaniska energin Wtot f¨or ett f¨orem˚al kan delas in i dess potentiella energi och r¨orelse- (kinetiska) energi.

2 2 W = Wtot = Wp + Wk ; d¨ar Wk = mv2 + J!2

(22.30)

R¨orelseenergin a¨ r summan av translations- och rotationsenergi. I jordens tyngdkraftf¨alt a¨ r dessutom W p = mgh, d¨ar h utg¨or h¨ojden relativt en referenspunkt. 22.2.9 Centralr¨orelse och centralkraft En centralkraft a¨ r en kraft som a¨ r beroende p˚a avst˚andet mellan tv˚a kroppar, ex.vis Newtons gravitationslag eller Coloumbs lag. En kropp som p˚averkas av en centralkraft har konstant impulsmoment. 22.2.9.1 Centralkraften F

= ;k=r2

Newtons gravitationslag a¨ r av denna typ. Avst˚andet r mellan tv˚a kroppar med denna attraherande kraft ges av

L2 r = k(e cos  + 1)

(22.31)

Matema R. Emanuelsson

365

22.2. MEKANIK

22. FYSIK

= r cos ; y = r sin . L = jLj och  = mm1+
mm2 a¨ r 1 2 kropparnas reducerade massa. e  0 st˚ar f¨or excentriciteten. Den radiella energiekva-

i planpol¨ara koordinater x tionen ges av

k2 (e2 ; 1) E = 2L 2

(22.32)

Excentricitet e

Typ av bana

e=0

cirkel

0<e<1

ellips med excentricitet e

e=1

Parabel

e>1

Hyperbel

(22.33)

22.2.10 Keplers lagar Uppt¨ackten av Keplers lagar var rent empirisk och f¨oljer av konstanslagarna. Dessa s¨ager att 1. Keplers f¨orsta lag: Planetbanorna a¨ r ellipser med solen i ena br¨annpunkten. 2. Keplers andra lag: Radius vektor sveper over ¨ samma yta p˚a samma tid, d.v.s.

dA a¨ r konstant. dt

3. Keplers tredje lag: F¨orh˚allandet

r3 T2

a¨ r konstant, d¨ar

)avst˚and till solen och T dess omloppstid.

r a¨ r planetens (medel-

Mer exakt kan de tre lagarna uttryckas som

L2 r = k(e cos  + 1) ; 0 < e < 1: Jmfr (22:33) dA = L dt 2m r3 = (m1 + m2 ) T2 42 Keplers andra lag inneb¨ar att (se figur 22.3)

t1 ; t2 = t3 ; t4 , A12 = A34 366

Matema R. Emanuelsson

(22.34)

22. FYSIK

22.2. MEKANIK

t

t

2

3

t

1

A

12

A

34

t

Solen

4

Planetbana

Figur 22.3: Elliptisk planetbana med solen i ellipsens ena br¨annpunkt

22.2.11 N˚agra vanliga situationer med krafter 22.2.11.1 kraft och friktion p˚a kloss H¨ar f¨oruts¨atts att det r˚ader kraftj¨amvikt mellan kloss och underlag. I figurerna s¨atts krafterna ut som vektorer men i ekvationerna betraktas deras absolutbelopp. Normalkraft

F n;

Friktionskraft

F fr

Friktionskoefficient

;

Tyngdkraft

mg

(Drag-)kraft

F;

Vinkel



(22.35)

Experimentellt a¨ r friktionskraften

F fr  F n och F fr;max = F n

(22.36)

Vid j¨amvikt i lodr¨at led och v˚agr¨at led g¨aller att

Fn + F sin  = mg; respektive Ffr = Ffr;max  F cos 

(22.37)

Dessutom g¨aller att

 = tan 

Om kraftj¨amvikt i v˚agr¨at led ej r˚ader, s˚a erh˚alls en acceleration a a˚ t h¨oger:

ma = F cos  ; Fn

Kraftsituationen f¨or klossen p˚a ett lutande plan. H¨ar normalkraften F n F¨or krafterna l¨angs det lutande planet g¨aller: Vid kraftj¨amvikt

mg sin  = F fr  Fn

Vid icke-kraftj¨amvikt

mg sin  > F fr;max = Fn

varvid kroppen f˚ar accelerationen

a = g(sin  ;  cos )

Matema R. Emanuelsson

= mg cos .

(22.38)

367

22.2. MEKANIK

22. FYSIK

Fn

F θ

Ffr mg Fn

Ffr

F mg

θ

22.2.11.2 Exempel p˚a kraftj¨amvikt 1.

β

α

F1

F

F

l1

2

1

T

l2

F

2

F F Med kraftj¨amvikt i figurerna g¨aller att

F sin ; F = F sin  F1 = sin( 2 + ) sin( + )

(22.39)

F1 = l l2+Fl ; F2 = l l1+Fl

(22.40)

respektive

1

2

1

2

2. F¨or en sf¨ar med radiellt beroende av densitet ((r)) g¨aller att totala kraftverkan av massan utanf¨or radien r (mellan radien r och R, se figur) ej p˚averkar ett f¨orem˚al som ligger p˚a ett avst˚and < r fr˚an centrum. 368

Matema R. Emanuelsson

22. FYSIK

22.2. MEKANIK

m(r) m(R)

R r

22.2.11.3 Exempel p˚a icke-kraftj¨amvikt 2r l

θ x

1. Antag att trissan (t.v.) a¨ r en homogen cirkelskiva och att ! a¨ r vinkelhastigheten i periferin. D˚a a¨ r

F = 2m 3
!_

(22.41)

2. Om fj¨adern (i mitten) s¨atts i lodr¨at gungning med belastningen m i lodr¨at led kring j¨amviktsl¨aget y = 0 och den s˚a uppkomna sv¨angningen a¨ r od¨ampad, s˚a g¨aller att r

2 2 y = A sin !t; ! = mk ; E = A 2! 3. F¨or en matematisk pendel (t.h.) a¨ r utslaget beskrivs av DE

v

(22.42)

per definition litet. R¨orelsen

00 (t) + gl sin  = 0 , (0 )2 = 2gl (cos 0 ; cos )

(22.43)

d¨ar 0 a¨ r maxutslaget. Utslaget  d˚a 0 a¨ r litet, ges av r

x = A sin !t; d¨ar ! = gl

Matema R. Emanuelsson

(22.44)

369

22.2. MEKANIK

22. FYSIK

22.2.12 Volym, tyngdpunkt och tr¨oghetsmoment f¨or n˚agra kroppar H¨ar f¨oruts¨atts att kroppen har massan m och konstant densitet . Tr¨oghetsmomentet a¨ r ber¨aknat m.a.p. den utritade axeln. l, A och V st˚ar f¨or l¨angd, area respektive volym. Vidare betecknar m massa och  (konstant) densitet. T st˚ar f¨or tyngdpunkt och J f¨or tr¨oghetsmoment m.a.p. p˚a utritad axel. Denna axel g˚ar genom kroppens (geometriska) tyngdpunkt. 22.2.12.0.1 Smal st˚ang

r

r a =2r

L = a = 2r T

st˚angens mittpunkt

a3

(22.45)

ma2

J = 12 = 12 22.2.12.0.2 Cirkelb˚age r

båge θ

h

T

L = 2r r

 = h (2 r ; h) T = r sin   J = 2 r (1 ; cos ) =  (1 ; cos )

370

Matema R. Emanuelsson

(22.46)

22. FYSIK

22.2. MEKANIK

22.2.12.0.3 Cirkelsegment

r h

θ

T



 ; sin22 

A =

r2

T =

2 r sin3 
3  ; sin22 

J =



;

(12  ; 8 sin 2  + sin 4 ) = 48 2  ; 8 sin(2 ) + sin(4 )) = m r (12 24 (2 ; sin 2) r4

(22.47)

22.2.12.0.4 Cirkelsektor

θ T

A = 2r2 sin  T = 2r 3   2 2 4 sin 1 4 sin  2 4 J = r  2 ; 9  = m r 2 ; 92

Matema R. Emanuelsson

(22.48)

371

22.2. MEKANIK

22. FYSIK

22.2.12.0.5 Rektangel

y a

x b

A = ab T

i mitten

m 2 2 2 2 Jx = ab 12 (a + b ) = 12 (a + b ) 3 m
a2 Jy = a12b = 12

(22.49)

22.2.12.0.6 R¨atblock

x a b c

V = abc T =

i centrum

2 + b2) = m (a2 + b2) Jx = abc (a 12 12

372

Matema R. Emanuelsson

(22.50)

22. FYSIK

22.2. MEKANIK

22.2.12.0.7 Cirkul¨ar cylinder

T

x

r h

V = r2 h T = h2 2 4 J = r2 h = mr2

(22.51)

22.2.12.0.8 Mantelyta till cirkul¨ar cylinder

T

x

r h

A = 2rh T = h2 J = 2 h  r3 = mr2

(22.52)

22.2.12.1 Rak cirkul¨ar kon 22.2.12.1.1 Kon y T

2r h

Matema R. Emanuelsson

x

373

22.2. MEKANIK

22. FYSIK

2 V = r3 h T = h4 4 2 Jx = h 10r  = 3 m10 r

(22.53)

22.2.12.1.2 Stympad kon

T R

x

r

h ;




h  r 2 + r R + R2 V = 3 ; 2 2
h 3 r + 2 r R + R T = 4 (r2 + r R + R2) ;




h  4 r 5 ; 5 r 4 R + R5  Jx = = 10 R ;
3 m  4 r5 ; 5 r4 R + R5 = 10 R3

(22.54)

22.2.12.1.3 Mantelytan till kon y T

2r h

x

p

A =  r h2 + r2 T = h3 3 ph2 + r2  m r2  r Jx = = 2 2 374

Matema R. Emanuelsson

(22.55)

22. FYSIK

22.2. MEKANIK

22.2.12.1.4 Mantelytan till stympad kon

T R

x

r

h s

2 ;

A =  1 + (r ;h2R) 2 r2 + h R ; h r 




2 2 T = Rr; r + h 23 + 3 (h ; 2 r)r r ; 3 h R q



(22.56)

 h2 + (R ; r)2 (R ; r)3  = 2 2 = m (R2; r)

Jx =

22.2.12.1.5 Sf¨ar

T x

3 V = 4r 3 T i sf¨arens centrum

(22.57)

2 5 J = 8 15r  = 2 m5 r 22.2.12.1.6 Sf¨ariskt skal

T x

Matema R. Emanuelsson

375

22.2. MEKANIK

22. FYSIK

A = 4r2 T =

i det sf¨ariska skalets centrum

(22.58)

4 2 J = 8 3r  = 2 m3 r 22.2.12.1.7 Kalott

r θ

h T

3 (1 ; cos )2 = (3r ; h)h2 V =  r (2 + cos ) 3 3

r (1 + cos )2 = 3(2r ; h)2 T = 3 4(2 + cos ) 4(3r ; h) ;




3 5 2 J =  r (1 ; cos ) 830+ 9 cos  + 3 cos  = 3 2 2 = h (20r ;3015rh + 3h ) = ;
m r2 (1 ; cos ) 8 + 9 cos  + 3 cos2  = = 10 ;
mh 3 h2 ; 15 h r + 20 r2 = 10 (3 r ; h) 22.2.12.1.8 Skal av kalott

r θ

h T

376

Matema R. Emanuelsson

(22.59)

22. FYSIK

22.2. MEKANIK

A = 2r2(1 ; cos ) = 2rh T = r (1 +2cos ) = r ; h2 4 2 2 ; h) J = 2r (1 ; cos3) (2 + cos ) = 2h (3r = 3 

2 = mr (1 ; cos3)(2 + cos ) = mh r ; h3

(22.60)



22.2.12.1.9 Cirkelskiva

y

r

x

2 4 Jy =  r4  = m4r

(22.61)

22.2.12.1.10 Ellips

z b

y a

x

A = ab T

Ellipsens mittpunkt

3 mb2 Jx = ab 4 = 4 3 2 Jy = a4 b = ma 4 ; 2 2
m ; 2 2
Jz = ab 4 a +b = 4 a +b Matema R. Emanuelsson

(22.62)

377

22.2. MEKANIK

22. FYSIK

22.2.12.1.11 Ellipsoid

z c

y b a

x

V = 4abc 3 Ellipsoidens mittpunkt T ;

(22.63)




;

4 a b c a2 + b2   m a2 + b2 Jz = = 15 5




22.2.12.1.12 Torus

r R

V = 22r2 R T

Torusens mittpunkt

;
J = m4 4R2 + 3r2

378

Matema R. Emanuelsson

(22.64)

22. FYSIK

22.3

22.3. RELATIVISTIK MEKANIK

Relativistik mekanik

22.3.1 L¨age och hastighet i S och S 0

L¨aget och hastigheten a¨ r r = (x; y; z) respektive (x0 ; y0; z 0 ) respektive u0 = (u0x ; u0y ; u0z ) i S 0 .

u = (ux ; uy ; uz ) i S

och

r0 =

2 x0 = p x ; vt 2 ; y0 = y; z 0 = z; t0 = pt ; vx=c 2 1 ; (v=c) 1 ; (v=c) p

p

2 1 ; (v=c)2 0 = uz
u ux0 = 1 ;uxvu; v=c2 ; uy0 = uy
1 1;;vu(v=c) z 2 1 ; vux =c2 x x =c

(22.65)

z´

z

v y

y´

x´

x Figur 22.4: Tv˚a referenssystem; S och S 0

m0 1 ; (v=c)2

Relativistisk massa

m

=

Tidsdilatation

t

Relativistisk impuls

p

= t 0 1 ; (v=c)2 = mv = p m0 2
v 1 ; (v=c)

Total energi

E

Total energy f¨or en foton

p

p

q

= mc2 = m0 c2 + Wk = c p2 + m20 c2

h = cp (22.66)

Matema R. Emanuelsson

379

22.4. TERMODYNAMIK

22.4

22. FYSIK

Termodynamik

22.4.1 Beteckningar och begrepp F¨or en gas anv¨ands f¨oljande storheter Volym V¨arme Arbete Antal kmol

V Q W n

Temperatur Inre energi Entalpi Entropi

T U H = U + W = U + pV S

(22.67)

Definition 22.3

1. V¨armekapacitans a¨ r den v¨armem¨angd som kr¨avs f¨or att h¨oja en kropps temperatur 1 K (kelvin). Enhet (J/K). 2. V¨armekapacitansen f¨or ett kg kallas v¨armekapacivitet (specifik v¨arme). Isokor och isobar v¨armekapacitet betecknas cV respektive cp . 3. V¨armekapacitansen f¨or ett kmol kallas mol¨ar v¨armekapacivitet. Isokor och isobar mol¨ar v¨armekapacitet betecknas CV respektive Cp . 4. En process (ungef¨ar “succesiv tillst˚andsf¨or¨andring”) a¨ r (a) Isoterm, om temperaturen T a¨ r konstant, dT

(b) Isokor, om volymen V a¨ r konstant, dV

(c) isobar om trycket p a¨ r konstant, dp = 0

=0

= 0,

(d) reversibel, om den kan g˚a a˚ t b˚ada h˚all, (e) irreversibel, om den inte kan g˚a a˚ t b˚ada h˚all, (f) adiabatisk process, om v¨armen Q a¨ r konstant, Q = 0.

380

Matema R. Emanuelsson

22. FYSIK

22.4. TERMODYNAMIK

22.4.2 Termodynamikens lagar

Sats 22 .1 0. Termodynamikens nollte huvudsats: Om tv˚a system A och B a¨ r i termodynamisk j¨amvikt med ett tredje system C , s˚a a¨ r a¨ ven A och B i termodynamisk j¨amvikt med varandra. 1. Termodynamikens f¨orsta huvudsats: Energi kan varken f¨orintas eller skapas, endast omvandlas till andra energiformer.

Q = dU + pdV

(22.68)

2. Termodynamikens andra huvudsats: Det a¨ r om¨ojligt att finna en process vars enda resultat a¨ r att v¨arme overf¨ ¨ ors fr˚an en kallare till en varmare kropp (Clausius). Z 2

1

Q = S ; S  0 1 2 T

(22.69)

3. Termodynamikens tredje huvudsats:

lim S = S0

T !0+

(22.70)

d.v.s. entropin konvergerar mot ett konstant v¨arde S 0 , d˚a temperaturen n¨armar sig absoluta nollpunkten. Detta oberoende av systemets inre parametrar.

22.4.2.1 Gaslagar

pV = nRT 

(Ideal gas, Avogadros lag)



2 p + an V 2 (V ; nb) = nRT d¨ar a och b a¨ r konstanter.

(Real gas, Van der Waals lag)

(22.71)

Matema R. Emanuelsson

381

22.4. TERMODYNAMIK

22. FYSIK

22.4.3 Samband

Q = W + dU 

CV =



Cp =

dQ  =  dU  =  @H  dT V dT V @T V 

Z 2

S1 ; S2 =

1

Z

W =





dQ = @U dT p @T V

(22.72)

Q (Entropi¨andring) T

p dV

(Reversibel process)

Ideal gas

U = 32
nRT

(Inre energi f¨or n kmol) (22.73)



E = 12
m v2 = 32 knT

(R¨orelseenergi)

Cp = CV + nR 

W = nRT ln VV2 1 T
p(1; )= =

konstant

T
V ;1 =

konstant



(Isoterm process)

De tv˚a sista sambanden g¨aller f¨or en reversibel adiabatisk process, d¨ar

(22.74)

= Cp =CV .

22.4.4 Carnots kretsprocess och Ottos kretsprocess Carnots kretsprocess best˚ar av tv˚a adiabatiska och tv˚a isotermiska processer. Det utr¨attade arbetet W utg¨ors av den mellan kurvorna inst¨angda arean. F¨or en ideal gas ges arbetet av

W = nR(T1 ; T2 ) ln VV2 = (T1 ; T2 )(S1 ; S2 ) 1

382

Matema R. Emanuelsson

(22.75)

22. FYSIK

22.4. TERMODYNAMIK

Verkingsgraden  definieras av

 = QW

(22.76)

1

d¨ar Q1 a¨ r tillf¨ord v¨arme. F¨or Carnotprocessen kan verkningsgraden tecknas

 = Q1Q; Q2 = T1 T; T2 1

(22.77)

1

Ottos process best˚ar av tv˚a isokorer och tv˚a adiabater. p

1

2 W 4

3

Isotermer Adiabater V

Figur 22.5: Carnotprocess i pV

;diagram

22.4.5 Svartkroppsstr˚alning

E = aT 4

(Stefan-Boltzmanns str˚alningslag)

I = T 4 m T = b

(Wiens f¨orskjutningslag)

3 1 E() = 8 3 h= ( kT );1 = c e 1 = E() = 8hc 5 ehc=(kT ) ; 1

(22.78) (Plancks str˚alningslag)

Matema R. Emanuelsson

383

22.4. TERMODYNAMIK

22. FYSIK

p

1 Isokor Adiabat 4 W 2 Adiabat

Isokor 3 V

Figur 22.6: Ottoprocess i pV

;diagram

I

T

λ λm

E a¨ r energi och a = 51:950k4=(hc)3 = 7:5643
10;16 J m;3 K;4 . I a¨ r emittansen (eller intensiteten), effekt per area. b = 2:8978
10;3 mK (Wiens f¨orskjutningskonstant). E() a¨ r energin vid en given frekvens  eller E() vid v˚agl¨angden  = c= . 384

Matema R. Emanuelsson

22. FYSIK

22.4. TERMODYNAMIK

22.4.6 Kalorimetri, tryck i v¨atska Tillf¨ord v¨arme
Q: Temperatur¨andring ¨ Andring av aggregationstillst˚and


Q = cm
T
Q = lm

(22.79)

Tryck i v¨atska:

P = gh

(22.80)

d¨ar  a¨ r v¨atskans densitet och h djupet i v¨atskan. Data om H2 O:s egenskaper Densitet vid 290 K (vatten) Densitet vid 269 K (is) V¨armekapacivitet (Spec. v¨arme) is V¨armekapacivitet (Spec. v¨arme) vatten Sm¨altpunkt Kokpunkt Sm¨altbildningsentalpi ˚ Angbildningsentalpi

 = 0:997
10 3 kg=m3  = 0:917
10 3 kg=m3 c = 2:2 kJ=(kg
K) c = 4:19 kJ=(kg
K) 273:15 K 373:15 K l s = 333 kJ=kg l a˚ = 2260 kJ=kg

Matema R. Emanuelsson

(22.81)

385

¨ 22.5. ELLARA

22.5

22. FYSIK

Ell¨ara

22.5.1 Beteckningar och begrepp

Storhet Laddning Elektrisk f¨altstyrka Str¨om Sp¨anning Resistans Reaktans Impedans Kapacitans Induktans Magnetiskt fl¨odest¨athet Magnetiskt fl¨ode

Beteckning SI-enhet

Q

C = As V=m = N=C A V



F = C=V H = Vs=A = s T; Vs=m 2 Vs; Wb

E

I; i U; u R X Z C L B 

Permeabilitet

0 = 4
10;7 Vs=Am

Permitivitet

 0 =  1c 2 As=Vm 0 0

Namn Ampere Ampere Volt Ohm Ohm Ohm Farad Henry Tesla Weber

(22.82)

(22.83)

22.5.2 Samband

F = 4"1 0
Qr12Q2
e (Coloumbs lag)

(22.84)

22.5.3 Maxwells ekvationer

r  E; r  H = J + @@tD ; r
D = ; r
B = 0

F = Qv  B; F = I
l  B

(22.85)

(22.86)

Krafterna a¨ r riktade som i bilden om laddningarna Q 1 och Q2 a¨ r olika. Om de a¨ r lika a¨ r b˚ada krafterna riktade a˚ t motsatt h˚all.

e F

-F r

386

Matema R. Emanuelsson

¨ 22.5. ELL ARA

22. FYSIK

(22.87) QE = F; dQ dt = i; H¨ar anv¨ands j som imagin¨ar enhet eftersom i betyder (momentan) str¨om. F¨or serie-

och parallellkoppling av tv˚a resistorer g¨aller seriekoppling

1= 1 + 1 R R1 R2 R = RR1+RR2 1 2

R = R1 + R2

Resistor

Kondensator

Spole

parallellkoppling

1= 1 + 1 C C1 C2 R = CC1+CC2 1 2

C = C1 + C2

(22.88)

eller

1 1 1 L = L1 + L2 L = LL1+LL2 1 2

L = L1 + L2

Resistor

eller

Kapacitator

eller

Spole

Serie- och parallellkoppling

Figur 22.7:

22.5.3.1 Kirchoffs lagar 1. Summan av alla str¨ommar i en nod = 0:

n X k=1

Ik = 0.

2. Summan av alla sp¨anningar i en sluten krets (slinga) = 0:

Matema R. Emanuelsson

n X k=1

Uk = 0 387

¨ 22.5. ELLARA

22. FYSIK

I4 -I 3

U3

I1 I2

U1

U2

Lenzs lag: Riktningen av den inducerade str¨ommen ger upphov till ett magnetiskt f¨alt som motarbetar a¨ ndringen av det magnetiska fl¨odet.

Elektromotorisk sp¨annning (kraft):  ems

B ems = ; d dt B ems = ;N d dt di ems = ;L dt 2 W = L2i NB = LI

Faradays lag i spole med N varv sj¨alvinduktion

(22.89)

Energi i spolens magnetf¨alt

2

L = 0 N l A A

l

388

Matema R. Emanuelsson

¨ 22.5. ELL ARA

22. FYSIK

22.5.3.2 Effektivv¨arde av periodisk str¨om och sp¨anning

!1=2

Z T 1 i(t)2 dt Ieff = T 0

!1=2

Z T 1 ; Ueff = T u(t)2 dt 0

(22.90)

d¨ar i(t) och u(t) st˚ar f¨or momentan str¨om respektive sp¨anning. Speciellt f¨or sinusformad str¨om och sp¨anning

i(t) = ^i sin !t och u(t) = u^ sin !t s˚a a¨ r

p p Ieff = ^i= 2 respektive Ueff = u^= 2

(22.91)

Antag att i(t) och u(t) har samma period T f¨or en tv˚apolskrets. D˚a a¨ r medeleffekten Z T 1 P=T i(t) u(t) dt 0

(22.92)

Med fourierserieutvecklingarna

u(t) ' U0 +

1 X n=1

u^n cos(n t + n) och i(t) ' I0 +

1 X n=1

^in cos(n t + n ) (22.93)

s˚a a¨ r

P = U| {z 0 I0} + =P0 =PDC

1. 2.

1 X

1 u^ ^i cos( ; ) nn n n {z } n=1 |2 |

=Pn {z =PAC

(22.94)

}

cos(n ; n ) kallas effektfaktorer. Rippelfaktorn r och klirrfakorn k defnieras som r

r

r

P0 respektive k = P ; P0 ; P1 r = PPAC = P ; P0 P1 DC 3. F¨or en krets med enbart resistans a¨ r P

(22.95)

2 ; r = IAC . = RIeff IDC

Matema R. Emanuelsson

389

¨ ¨ ˚ 22.6. VAGR ORELSEL ARA

22.5.3.3

22. FYSIK

Impedans med i = i(t) = ^i sin !t

, s˚a a¨ r

u = u(t) = u^ sin(!t + ')

(22.96)

Impedans och fasf¨orskjutning f¨or resistor och spole serie parallellt med kondensator

1 ); ' = arctan !2 LC ; 1 Z = R + j(!L ; !C !RC Impedans och fasf¨orskjutning f¨or resistor och spole serie parallellt med kondensator

+ j!L ! L ; ! C R2 ; !3 C L2 Z = 1 ; !R2 LC ; ' = arctan + j!RC R med komplex str¨om och sp¨anning I respektive U a¨ r

U = ZI

(22.97)

Resonansvinkelfrekvensen f¨or kretsarna nedan ges av !0

= p1 . LC

R U C L

C

L

R

U

¨ Overst: Resistor och spole serie parallellt med kondensator. Underst: Resistor, spole och kondensator i serie. Resistansen a¨ r i allm¨anhet spolens resistans.

22.6

V˚agr¨orelsel¨ara

Hastigheten p˚a en signal skrivs c, frekvensen  och v˚agl¨angden . 390

Matema R. Emanuelsson

c = .

¨ ¨ ˚ 22.6. VAGR ORELSEL ARA

22. FYSIK

22.6.1 V˚agtyper och superposition 1. En longitudinell utg¨ors av periodiska f¨ortunningar och f¨ort¨atningar l¨angs med v˚agens utbredningsriktning. 2. En transversell v˚ag utg¨ors av periodiska sv¨angningar vinkelr¨at mot v˚agens utbredningsriktning. 1.

2.

3.

3. Tv˚a v˚agor (eller mer allm¨ant tv˚a pulsers) utslag kan adderas (superposition). F¨or transversella v˚agor inneb¨ar det att deras momentana utslag (y) adderas. ex.vis om y1 = A sin x och y2 = B sin2x erh˚alls superpositionen y = y 1 + y2 . (Se i figuren d¨ar 2. a¨ r summan av de tv˚a v˚agorna i 3.). 22.6.2 Brytning reflexion 22.6.2.1 Spalt och gitter

d

ϕ

d

ϕ

Enkel- och dubbelspalt Utsl¨ackning med enkelspalt Ljusmaxima med dubbelspalt och gitter 22.6.2.2

d sin ' = n d sin ' = n

(22.98)

Brytning och reflexion mellan tunnare och t¨atare medium

n1 st˚ar f¨or det tunnare (¨ovre) mediets brytningsindex och n 2 f¨or det t¨atare (undre).

Brytningsindices a¨ r beroende av v˚agl¨angd. Dessutom g¨aller att

ck a¨ r ljusets hastighet i respektive medium. Matema R. Emanuelsson

n1 = c2 , d¨ar n2 c1 391

¨ ¨ ˚ 22.6. VAGR ORELSEL ARA

22. FYSIK

Brytning och reflexion kan f¨orklaras med Huyghens princip men a¨ ven med Fermats princip: V˚agorna utbreder sig med minimal (mer allm¨ant optimal) tid mellan tv˚a punkter A och B . Tunnare medium b

A

i

b I

I II

B

i Tätare medium

b

II

i

III

n1 sin i = n2 sin b n1 sin i = n2 sin b, om nn sin i < 1 2 1

(22.99)

n1 sin i = n2 sin b, om nn sin i  1 I III f¨oljer dessutom att i = b Sambandet I n1 sin i = n2 sin b kan skrivas med hastigheterna i respektive medium: sin i = sin b c1 c2 Deviationen  f¨or en str˚ale definieras som i figuren. N¨ar str˚alg˚angen a¨ r symmetrisk a¨ r  = m som minst (minimideviationen). D˚a uppfyller  m    +  m sin = nn2 sin 2 (22.100) 2 1 2 1

III

Tunnare medium α

δ

Prisma Tätare medium 392

Matema R. Emanuelsson

¨ ¨ ˚ 22.6. VAGR ORELSEL ARA

22. FYSIK

22.6.3 Ljudets hastighet ¨ Amne vatten is luft j¨arn

hastighet i

m=s 1500 3280 333 5100

(22.101)

22.6.4 Frekvensomraden ˚ f¨or elektromagnetiska v˚agor Gr¨anserna mellan de olika frekvensomr˚adena a¨ r givna approximativt.

Namn Radiov˚agor Mikrov˚agor Infrar¨ott Synligt ljus Ultraviolett R¨ongenstr˚alning (X-rays) Gammastr˚alning

Frekvens  i Hz

 < 109 10 9   < 1011 10 11   < 1014 3:8
10 14 <  < 7:7
1014 10 15   < 1017 10 17   < 1019 1018  

(22.102)

22.6.5 Dopplereffekt Samband mellan frekvenser (Icke-relativistiskt fall). Frekvensen  O registreras av obeservat¨oren och S a¨ r signalk¨allans frekvens.

Observat¨or i vila

Signalk¨alla i vila

1 O = S
1 ; (v=c) cos  O = S (1 ; (v=c) cos ) O

S

θ

θ S

(22.103)

v

O

v

d¨ar v a¨ r k¨allans respektive observat¨orens hastighet och c f¨or signalens hastighet. Matema R. Emanuelsson

393

¨ ¨ ˚ 22.6. VAGR ORELSEL ARA

22. FYSIK

Relativistisk dopplereffekt

0 = q 1 + v cos  ;
 1 ; vc 2

(22.104)

d¨ar Ljusk¨allan befinner sig i i vila i S 0 i punkten O 0 och 0 och  a¨ r iakttagen v˚agl¨angd i S 0 respektive S .

z' z z0 O

O' r

v

x'

θ

x Figur 22.8: Relativistisk dopplereffekt

22.6.6 Decibel

Decibel a¨ r en logaritmisk enhet. Ljudintensitet I har storheten effekt/area, d.v.s. SI-enhet itmiska enhet, decibel (dB) definieras som

W=m 2. Motsvarande logar-

L = 10 lg II = 120 + 10 lg I dB; (I0 = 10;12 W=m2) 0

(22.105)

22.6.7 Fotometri och optik

Storhet Beteckning Ljusstyrka I Ljusfl¨ode  Belysning E Rymdvinkel

394

lm cd lm cd=m2 sr

Matema R. Emanuelsson

Namn candela lumen lux steradian

(22.106)

¨ ¨ ˚ 22.6. VAGR ORELSEL ARA

22. FYSIK

r Ljuskälla

θ A

Samband

 =
 ;  = 4I E = I cos 2 r
A 1 1 1 a1 + a2 = f

Gauss linsformel

x1
x2 = f 2 y2 = a2 y1 a1 1 n 2 1 a1 + a2 = r = f x2 y = 4f y

1

(22.107)

Newtons linsformel Lateralf¨orstoringen

(22.108)

Reflexion i sf¨arisk yta

Parabolisk yta

f

f x2

x

1

a

y

a2

1

2

Gauss’ och Newtons linsformler

r r a

2

f

a

1

Reflexion i sf¨arisk spegel Kommentarer: Reflexionen av parallellt inkommande (utg˚aende) st˚alar i en sf¨arisk yta har endast approximativt ett gemensamt fokus f . Matema R. Emanuelsson

395

¨ ¨ ˚ 22.6. VAGR ORELSEL ARA

22. FYSIK

Endast f¨or en cirkul¨art parabolisk (i genomsk¨arning en parabel) yta har ett exakt fokus f = (0; F ). Se a¨ ven sidan 143. Differentialekvationen som har l¨osningen y

1=f =: D kallas dioptritalet.

396

x2 = 4F

Matema R. Emanuelsson

a¨ r [(y0 )2 ; 1]x = 2(y ; F)y0 .

¨ 22.7. ATOM- OCH KARNFYSIK

22. FYSIK

22.7

Atom- och k¨arnfysik

F¨or enelektroniska atomer och joner g¨aller

2 En = ; 13:06 n2
Z eV

(22.109)

Samband p

E = c p2 + 2m0 c = Ek + m0 c2 ;

Vilomassa m0

E = cp = h;

f¨or foton med frekvens 

(22.110)

Radioaktivt s¨onderfall f¨oljer ekvationen

N(t) = N0 e;t ;  = tln2 1=2

(22.111)

d¨ar t1=2 a¨ r a¨ mnets halveringstid och N(t) a¨ r antalet partiklar vid tiden t och N0 = N(0). Typer av s¨onderfall (fission). I beteckningen A Z X betyder Z atmoslaget (Grund¨amnet), A antal nukleoner. d.v.s. antal neutroner + protoner. X a¨ r grund¨amnets f¨orkortning (Beteckning).

A X ;! A;4X +4 He 2 ZA ZA;2 ; ZA X ;! ZA+1X + e+ Z X ;! Z ;1X + e

: ; : + : Reaktionen A Z1 X1 + s1

(22.112)

;! AZ X2 + s2 skrivs kortare 2 2

A X1 (s1 ; s2)A2 X2 Z1 Z2

(22.113)

;s¨onderfall inneb¨ar att elektromagnetisk str˚alning erh˚alls i ;omr˚adet (Se sidan 385).

Matema R. Emanuelsson

397

¨ 22.7. ATOM- OCH KARNFYSIK

22. FYSIK

22.7.1 Vanliga reaktioner

n ;! p + e; +  n ;! p + e+ +  p + e; ;! p + e; +  238 92

4 U ;! 234 90 Th +2 He

232 92

4 U ;! 228 90 Th +2 He

(22.114)

(22.115)

N˚agra vanliga s¨onderfall: Grund¨amne

U Th Pa U Th Ra Rn Po

238 92 234 90 234 91 234 92 230 90 226 88 222 86 218 84

S¨onderfall

     ;

Halveringstid 4:51 109 a˚ r 2:41 dygn 1:18 min 2:48 105 a˚ r 8:0 104 a˚ r 1260 a˚ r 3:82 dygn 3:05 min








(22.116)

N˚agra vanliga fusionsprocesser (fusion=sammanslagning):

1) 11 H + n ;! 21 H + 2:226 MeV 2) 11 H +11 H ;! 21 H + e+ +  + 1:35 MeV 3) 11 H +21 H ;! 31 H + e+ +  + 4:6 MeV 4) 11 H +21 H ;! 32 He 5) 21 H +31 H ;! 42 He + n + 17:6 MeV 6) 32 He +32 He ;! 42 He +11 H +11 H 7) 42 He +42 He ;! 84 Be 8) 42 He +84 Be ;! 12 6 C 9) 4 11 H ;! 42 He + 2 e+ + 2 + 26:7 MeV Kommentarer: 2), 4) och 6) utg¨or proton-protoncykeln. 7) och 8) utg¨or trippel ;processen. Kolcykeln2 har kol som katalysator. Nettoresultatet ges av 9).

2H kallas deuterium och 3 H kallas tritium. 1 1 2 Kol-kv¨ ave-syrecykeln

398

Matema R. Emanuelsson

(22.117)

22. FYSIK

22.8

22.8. ASTRONOMI

Astronomi

Inom astronomi anv¨ands den logaritmiska enheten magnitud (Introducerat av N. Pogson 1856.). Relationen mellan intensitet i och magnitud m a¨ r

i1 = 100:4(m ;m ) i2 2

1

(22.118)

F¨or en given stj¨arna (eller annat himmelsobjekt) st˚ar gemener f¨or skenbar intensitet respektive skenbar magnitud. Det avst˚and r under vilken jordbanans radie upptar en b˚agsekund (= 1=3600) kallas en parallax sekund (f¨orkortat parsec eller bara pc).

1 00 =

1 pc = 3:08572
1018 m Absolut magnitud M a¨ r den magnitud som en stj¨arna skulle ha om den l˚ag p˚a avst˚andet 10 pc. Sambandet mellan skenbar och absolut magnitud samt

pc a¨r

5 ; 5 lg r = m ; M; r i pc

(22.119)

Med Mv menas den magnitud som mostvarar ljusstyrkan i det visuella omr˚adet.

22.8.1 Solsystemet Solen:

Massa medeldensitet effektiv temperatur bolometrisk magnitud

1:989
1030 kg 1:409
103 kg=m3 5785 K 4:62

radie luminositet spektralklass absolut visuell magnitud

6:960
108 m 3:90
1026 W G2 V

4:79

(22.120)

M˚anen:

Massa medeldensitet

7:13
1022 kg 3:350
103 kg=m3

radie

Matema R. Emanuelsson

1:738
106 m

(22.121)

399

22.8. ASTRONOMI

22. FYSIK

Merkurius Venus Jorden Mars Jupiter Saturnus uranus Neptunus Pluto

57:9 88 dygn 108:2 224:7 dygn 149:6 365:26 dygn 227:9 687:0 dygn 778:3 11:86 a˚ r 1:427:0 29:46 a˚ r 2875:0 84:01 a˚ r 4497:0 164:8 a˚ r 5900:0 248:4 a˚ r

58:6 dygn 243 dygn 23h,56min,4s 24h,37min,23s 9h,50min,30s 10h,14min 23h,15min 16h,3min 6d,9h

2440 6052 6378 3397 71400 60300 51:100 24750 1142

0:054 0:815 1:00 0:107 317:9 95:14 14:58 17:22 0:0026

kg=m 2) Densite t(

Massa j a¨ m med Jor fo¨ rt den

radie (k m) Ekvator s

nstid Rotatio

Omlopp stid

Avsta˚ nd ti Solen (1 6ll 0 k

Planet

m)

22.8.1.1 Planeterna

5:4 5:2 5:51 3:9 1:32 0:69 1:2 1:67 2:1 (22.122)

22.8.2 De 20 ljusstarkaste stj¨arnorna stj¨arna  CMa (Sirius)  Cen  Boo (Arcturus)  Aur (Capella)  Eri  Aql (Altair)  Ori (Betelguese)  Vir (Spica) Gem (Pollux) Cru

Mv r (pc) stj¨arna +1:4 2:7  Car (Canopus) +4:2 1:3  Lyr (Vega) ;0:2 11:0 Ori (Rigel) ;0:6 14:0  CMi(procyon) ;2:2 35 Cen +2:3 4:9  Cru ;5:9 180  Tau (Aldebaran) ;3:1 65  Sco (Antares) +1:0 11  PsA (Fomalhaut) ;4:6 150  Cyg (Deneb)

Mv r (pc) 60:0 +0:5 8:1 ;7:0 270:0 +2:6 3:5 ;5:0 130 ;3:7 80 ;0:8 21 ;4:7 130 +1:9 7:0 ;7:2 500

;4:6

(22.123)

400

Matema R. Emanuelsson

22. FYSIK

22.8. ASTRONOMI

22.8.3 De 20 n¨armaste stj¨arnorna Stj¨arna Solen  Cen A Barnards stj¨arna Lalande 21185  CMa (Sirius) B Luyten 726-8 B Ross 248 Ross 128 61 Cyg A  CMi (Procyon) A

Mv r (pc) Stj¨arna 4:8  Cen C (Proxima) 4:4 1:32  Cen B 13:2 1:83 Wolf 359 10:4 2:49  CMa (Sirius) A 11:5 2:67 Luyten 726-8 A 15:9 2:67 Ross 154 14:8 3:16 " Eri 13:5 3:37 Luyten 789-6 7:5 3:40 61 Cyg B 2:6 3:47  CMi (Procyon) B

Mv r (pc) 15:1 1:31 5:8 1:32 16:8 2:35 1:4 2:67 15:3 2:67 13:3 2:94 6:1 3:30 14:9 3:37 8:4 3:40 13:1 3:47 (22.124)

Matema R. Emanuelsson

401

22.8. ASTRONOMI

402

22. FYSIK

Matema R. Emanuelsson

Del V

Tabeller, index m.m.

403

23

Tabeller 23.1

N˚agra matematiska konstanter

Konstant

Beteckn.

Numeriskt v¨arde

Exakt v¨arde

Talet e

e

2:7182818284590452354

nlim !1 (1 + 1=n)

Euler

n X

Gyllene snittet

1:6180339887498948482

Katalan

0:91596559417721901505

Khinchin

2:6854520010653064453

Talet pi



1 ; ln n

0:57721566490153286061 nlim !1 k=1 k 1:2824271291006226369

Glaisher

n

3:1415926535897932385

405

!

p

1+ 5 2

1 X

1 (;1)k (2k + 1)2

k=0

1  Y k=1

4

1 + k(k 1+ 2)

log 2 k

1 X

(;1)k k=0 2k + 1

(23.1)

¨ ¨ 23.2. TABELL OVER STANDARDNORMALF ORDELNINGENS ¨ FORDELNINGSFUNKTION

23.2

Tabell o¨ ver standardnormalf¨ordelningens f¨ordelningsfunktion

x Z x 1 (;x) = 1 ; (x) d¨ar (x) = p e;t =2 dt 2 ;1 2

406

Matema R. Emanuelsson

23. TABELLER

23. TABELLER

x 0:00 0:5 0:5398 0:5793 0:6179 0:6554 0:6915 0:7257 0:758 0:7881 0:8159 0:8413 0:8643 0:8849 0:9032 0:9192 0:9332 0:9452 0:9554 0:9641 0:9713 0:9772 0:9821 0:9861 0:9893 0:9918 0:9938 0:9953 0:9965 0:9974 0:9981

0:0 0:1 0:2 0:3 0:4 0:5 0:6 0:7 0:8 0:9 1:0 1:1 1:2 1:3 1:4 1:5 1:6 1:7 1:8 1:9 2:0 2:1 2:2 2:3 2:4 2:5 2:6 2:7 2:8 2:9

0:01 0:504 0:5438 0:5832 0:6217 0:6591 0:695 0:7291 0:7611 0:791 0:8186 0:8438 0:8665 0:8869 0:9049 0:9207 0:9345 0:9463 0:9564 0:9649 0:9719 0:9778 0:9826 0:9864 0:9896 0:992 0:994 0:9955 0:9966 0:9975 0:9982

¨ ¨ 23.2. TABELL OVER STANDARDNORMALF ORDELNINGENS ¨ FORDELNINGSFUNKTION

0:02 0:508 0:5478 0:5871 0:6255 0:6628 0:6985 0:7324 0:7642 0:7939 0:8212 0:8461 0:8686 0:8888 0:9066 0:9222 0:9357 0:9474 0:9573 0:9656 0:9726 0:9783 0:983 0:9868 0:9898 0:9922 0:9941 0:9956 0:9967 0:9976 0:9982

0:03 0:512 0:5517 0:591 0:6293 0:6664 0:7019 0:7357 0:7673 0:7967 0:8238 0:8485 0:8708 0:8907 0:9082 0:9236 0:937 0:9484 0:9582 0:9664 0:9732 0:9788 0:9834 0:9871 0:9901 0:9925 0:9943 0:9957 0:9968 0:9977 0:9983

0:04 0:516 0:5557 0:5948 0:6331 0:67 0:7054 0:7389 0:7704 0:7995 0:8264 0:8508 0:8729 0:8925 0:9099 0:9251 0:9382 0:9495 0:9591 0:9671 0:9738 0:9793 0:9838 0:9875 0:9904 0:9927 0:9945 0:9959 0:9969 0:9977 0:9984

0:05 0:5199 0:5596 0:5987 0:6368 0:6736 0:7088 0:7422 0:7734 0:8023 0:8289 0:8531 0:8749 0:8944 0:9115 0:9265 0:9394 0:9505 0:9599 0:9678 0:9744 0:9798 0:9842 0:9878 0:9906 0:9929 0:9946 0:996 0:997 0:9978 0:9984

0:06 0:5239 0:5636 0:6026 0:6406 0:6772 0:7123 0:7454 0:7764 0:8051 0:8315 0:8554 0:877 0:8962 0:9131 0:9279 0:9406 0:9515 0:9608 0:9686 0:975 0:9803 0:9846 0:9881 0:9909 0:9931 0:9948 0:9961 0:9971 0:9979 0:9985

0:07 0:5279 0:5675 0:6064 0:6443 0:6808 0:7157 0:7486 0:7794 0:8078 0:834 0:8577 0:879 0:898 0:9147 0:9292 0:9418 0:9525 0:9616 0:9693 0:9756 0:9808 0:985 0:9884 0:9911 0:9932 0:9949 0:9962 0:9972 0:9979 0:9985

0:08 0:5319 0:5714 0:6103 0:648 0:6844 0:719 0:7517 0:7823 0:8106 0:8365 0:8599 0:881 0:8997 0:9162 0:9306 0:9429 0:9535 0:9625 0:9699 0:9761 0:9812 0:9854 0:9887 0:9913 0:9934 0:9951 0:9963 0:9973 0:998 0:9986

0:09 0:5359 0:5753 0:6141 0:6517 0:6879 0:7224 0:7549 0:7852 0:8133 0:8389 0:8621 0:883 0:9015 0:9177 0:9319 0:9441 0:9545 0:9633 0:9706 0:9767 0:9817 0:9857 0:989 0:9916 0:9936 0:9952 0:9964 0:9974 0:9981 0:9986

Tabell 23.1: Standardnormalf¨ordelningens f¨ordelningsfunktion. Sannolikheterna st˚ar inuti tabellen och x i (x) st˚ar l¨angs kanterna.

Matema R. Emanuelsson

407

¨ ¨ ˚ 23.3. TABELL OVER NAGRA AV T-FORDELNINGENS ¨ FORDELNINGSFUNKTIONER

23.3

23. TABELLER

Tabell o¨ ver n˚agra av t-f¨ordelningens f¨ordelningsfunktioner

t

V¨ardena q anger arean t.v. om t

 #; q 0:750 3 0:7649 4 0:7407 5 0:7267 6 0:7176 7 0:7111 8 0:7064 9 0:7027 0:6998 10 11 0:6974 12 0:6955 13 0:6938 14 0:6924 0:6912 15 16 0:6901 0:6892 17 0:6884 18 19 0:6876 0:687 20 21 0:6864 0:6858 22 23 0:6853 0:6848 24 25 0:6844 26 0:684 0:6837 27 0:6834 28 29 0:683 0:6828 30 31 0:6825 0:6822 32 33 0:682 34 0:6818 0:6816 35 36 0:6814 37 0:6812 38 0:681 0:6808 39 40 0:6807 44 0:6801 49 0:6795 59 0:6787 69 0:6781 79 0:6776 0:6773 89 99 0:677 408

0:800

0:850 0:900 0:925 0:950 0:975 0:990 0:995 0:999 0:9995

0:9785 0:941 0:9195 0:9057 0:896 0:8889 0:8834 0:8791 0:8755 0:8726 0:8702 0:8681 0:8662 0:8647 0:8633 0:862 0:861 0:86 0:8591 0:8583 0:8575 0:8569 0:8562 0:8557 0:8551 0:8546 0:8542 0:8538 0:8534 0:853 0:8526 0:8523 0:852 0:8517 0:8514 0:8512 0:8509 0:8507 0:8499 0:849 0:8478 0:8469 0:8462 0:8457 0:8453

1:25 1:19 1:156 1:134 1:119 1:108 1:1 1:093 1:088 1:083 1:079 1:076 1:074 1:071 1:069 1:067 1:066 1:064 1:063 1:061 1:06 1:059 1:058 1:058 1:057 1:056 1:055 1:055 1:054 1:054 1:053 1:052 1:052 1:052 1:051 1:051 1:05 1:05 1:049 1:048 1:046 1:044 1:043 1:043 1:042

1:638 1:533 1:476 1:44 1:415 1:397 1:383 1:372 1:363 1:356 1:35 1:345 1:341 1:337 1:333 1:33 1:328 1:325 1:323 1:321 1:319 1:318 1:316 1:315 1:314 1:313 1:311 1:31 1:309 1:309 1:308 1:307 1:306 1:306 1:305 1:304 1:304 1:303 1:301 1:299 1:296 1:294 1:292 1:291 1:29

1:924 1:778 1:699 1:65 1:617 1:592 1:574 1:559 1:548 1:538 1:53 1:523 1:517 1:512 1:508 1:504 1:5 1:497 1:494 1:492 1:489 1:487 1:485 1:483 1:482 1:48 1:479 1:477 1:476 1:475 1:474 1:473 1:472 1:471 1:47 1:469 1:468 1:468 1:465 1:462 1:459 1:456 1:454 1:452 1:451

2:353 2:132 2:015 1:943 1:895 1:86 1:833 1:812 1:796 1:782 1:771 1:761 1:753 1:746 1:74 1:734 1:729 1:725 1:721 1:717 1:714 1:711 1:708 1:706 1:703 1:701 1:699 1:697 1:696 1:694 1:692 1:691 1:69 1:688 1:687 1:686 1:685 1:684 1:68 1:677 1:671 1:667 1:664 1:662 1:66

3:182 2:776 2:571 2:447 2:365 2:306 2:262 2:228 2:201 2:179 2:16 2:145 2:131 2:12 2:11 2:101 2:093 2:086 2:08 2:074 2:069 2:064 2:06 2:056 2:052 2:048 2:045 2:042 2:04 2:037 2:035 2:032 2:03 2:028 2:026 2:024 2:023 2:021 2:015 2:01 2:001 1:995 1:99 1:987 1:984

Matema R. Emanuelsson

4:541 3:747 3:365 3:143 2:998 2:896 2:821 2:764 2:718 2:681 2:65 2:624 2:602 2:583 2:567 2:552 2:539 2:528 2:518 2:508 2 :5 2:492 2:485 2:479 2:473 2:467 2:462 2:457 2:453 2:449 2:445 2:441 2:438 2:434 2:431 2:429 2:426 2:423 2:414 2:405 2:391 2:382 2:374 2:369 2:365

5:841 4:604 4:032 3:707 3:499 3:355 3:25 3:169 3:106 3:055 3:012 2:977 2:947 2:921 2:898 2:878 2:861 2:845 2:831 2:819 2:807 2:797 2:787 2:779 2:771 2:763 2:756 2:75 2:744 2:738 2:733 2:728 2:724 2:719 2:715 2:712 2:708 2:704 2:692 2:68 2:662 2:649 2:64 2:632 2:626

10:21 7:173 5:893 5:208 4:785 4:501 4:297 4:144 4:025 3:93 3:852 3:787 3:733 3:686 3:646 3:61 3:579 3:552 3:527 3:505 3:485 3:467 3:45 3:435 3:421 3:408 3:396 3:385 3:375 3:365 3:356 3:348 3:34 3:333 3:326 3:319 3:313 3:307 3:286 3:265 3:234 3:213 3:197 3:184 3:175

12:92 8:61 6:869 5:959 5:408 5:041 4:781 4:587 4:437 4:318 4:221 4:14 4:073 4:015 3:965 3:922 3:883 3:850 3:819 3:792 3:768 3:745 3:725 3:707 3:69 3:674 3:659 3:646 3:633 3:622 3:611 3:601 3:591 3:582 3:574 3:566 3:558 3:551 3:526 3:5 3:463 3:437 3:418 3:403 3:392

¨ ¨ 23.4. TABELL OVER 2 ;FORDELNINGEN

23. TABELLER

23.4

Tabell o¨ ver 2;f¨ordelningen

q st˚ar f¨or arean till v¨anster om  2;q . y

χ

q!  = 11 # q!  =1 #

2

ν,q

x

0:0005 0:0010 0:005 0:010 0:025 ; 4 9:82
10 0:00393 0:0158 0:0642 0:102 0:05 0:10 0:20 0:25 ; 7 ; 6 ; 5 3:93
10 1:57
10 3:93
10 1:57
10;4

Matema R. Emanuelsson

409

¨ ¨ 23.4. TABELL OVER 2 ;FORDELNINGEN

q! #

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 60 70 80 90 100

410

23. TABELLER

0:0005 0:0010 0:005 0:010 0:025 0:05 0:10 0:20 0:25 0:00100 0:00200 0:0100 0:0201 0:0506 0:103 0:211 0:446 0:575 0:0153 0:0243 0:0717 0:115 0:216 0:352 0:584 1:01 1:21 0:0639 0:0908 0:207 0:297 0:484 0:711 1:06 1:65 1:92 0:158 0:210 0:412 0:554 0:831 1:15 1:61 2:34 2:67 0:299 0:381 0:676 0:872 1:24 1:64 2:20 3:07 3:45 0:485 0:598 0:989 1:24 1:69 2:17 2:83 3:82 4:25 0:710 0:857 1:34 1:65 2:18 2:73 3:49 4:59 5:07 0:972 1:15 1:73 2:09 2:70 3:33 4:17 5:38 5:90 1:26 1:48 2:16 2:56 3:25 3:94 4:87 6:18 6:74 1:59 1:83 2:60 3:05 3:82 4:57 5:58 6:99 7:58 1:93 2:21 3:07 3:57 4:40 5:23 6:30 7:81 8:44 2:31 2:62 3:57 4:11 5:01 5:89 7:04 8:63 9:30 2:70 3:04 4:07 4:66 5:63 6:57 7:79 9:47 10:2 3:11 3:48 4:60 5:23 6:26 7:26 8:55 10:3 11:0 3:54 3:94 5:14 5:81 6:91 7:96 9:31 11:2 11:9 3:98 4:42 5:70 6:41 7:56 8:67 10:1 12:0 12:8 4:44 4:90 6:26 7:01 8:23 9:39 10:9 12:9 13:7 4:91 5:41 6:84 7:63 8:91 10:1 11:7 13:7 14:6 5:40 5:92 7:43 8:26 9:59 10:9 12:4 14:6 15:5 5:90 6:45 8:03 8:90 10:3 11:6 13:2 15:4 16:3 6:40 6:98 8:64 9:54 11:0 12:3 14:0 16:3 17:2 6:92 7:53 9:26 10:2 11:7 13:1 14:8 17:2 18:1 7:45 8:08 9:89 10:9 12:4 13:8 15:7 18:1 19:0 7:99 8:65 10:5 11:5 13:1 14:6 16:5 18:9 19:9 8:54 9:22 11:2 12:2 13:8 15:4 17:3 19:8 20:8 9:09 9:80 11:8 12:9 14:6 16:2 18:1 20:7 21:7 9:66 10:4 12:5 13:6 15:3 16:9 18:9 21:6 22:7 10:2 11:0 13:1 14:3 16:0 17:7 19:8 22:5 23:6 10:8 11:6 13:8 15:0 16:8 18:5 20:6 23:4 24:5 11:4 12:2 14:5 15:7 17:5 19:3 21:4 24:3 25:4 12:0 12:8 15:1 16:4 18:3 20:1 22:3 25:1 26:3 12:6 13:4 15:8 17:1 19:0 20:9 23:1 26:0 27:2 13:2 14:1 16:5 17:8 19:8 21:7 24:0 26:9 28:1 13:8 14:7 17:2 18:5 20:6 22:5 24:8 27:8 29:1 14:4 15:3 17:9 19:2 21:3 23:3 25:6 28:7 30:0 15:0 16:0 18:6 20:0 22:1 24:1 26:5 29:6 30:9 15:6 16:6 19:3 20:7 22:9 24:9 27:3 30:5 31:8 16:3 17:3 20:0 21:4 23:7 25:7 28:2 31:4 32:7 16:9 17:9 20:7 22:2 24:4 26:5 29:1 32:3 33:7 20:1 21:3 24:3 25:9 28:4 30:6 33:4 36:9 38:3 23:5 24:7 28:0 29:7 32:4 34:8 37:7 41:4 42:9 30:3 31:7 35:5 37:5 40:5 43:2 46:5 50:6 52:3 37:5 39:0 43:3 45:4 48:8 51:7 55:3 59:9 61:7 44:8 46:5 51:2 53:5 57:2 60:4 64:3 69:2 71:1 52:3 54:2 59:2 61:8 65:6 69:1 73:3 78:6 80:6 59:9 61:9 67:3 70:1 74:2 77:9 82:4 87:9 90:1

Matema R. Emanuelsson

¨ ¨ 23.4. TABELL OVER 2 ;FORDELNINGEN

23. TABELLER

q! #

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 60 70 80 90 100

0:500 0:455 1:39 2:37 3:36 4:35 5:35 6:35 7:34 8:34 9:34 10:3 11:3 12:3 13:3 14:3 15:3 16:3 17:3 18:3 19:3 20:3 21:3 22:3 23:3 24:3 25:3 26:3 27:3 28:3 29:3 30:3 31:3 32:3 33:3 34:3 35:3 36:3 37:3 38:3 39:3 44:34 49:33 59:33 69:33 79:33 89:33 99:33

0:750 1:32 2:77 4:11 5:39 6:63 7:84 9:04 10:2 11:4 12:5 13:7 14:8 16:0 17:1 18:2 19:4 20:5 21:6 22:7 23:8 24:9 26:0 27:1 28:2 29:3 30:4 31:5 32:6 33:7 34:8 35:9 37:0 38:1 39:1 40:2 41:3 42:4 43:5 44:5 45:6 50:98 56:33 66:98 77:58 88:13 98:65 109:1

0:800 1:64 3:22 4:64 5:99 7:29 8:56 9:80 11:0 12:2 13:4 14:6 15:8 17:0 18:2 19:3 20:5 21:6 22:8 23:9 25:0 26:2 27:3 28:4 29:6 30:7 31:8 32:9 34:0 35:1 36:3 37:4 38:5 39:6 40:7 41:8 42:9 44:0 45:1 46:2 47:3 52:73 58:16 68:97 79:71 90:41 101:1 111:7

0:900 2:71 4:61 6:25 7:78 9:24 10:6 12:0 13:4 14:7 16:0 17:3 18:5 19:8 21:1 22:3 23:5 24:8 26:0 27:2 28:4 29:6 30:8 32:0 33:2 34:4 35:6 36:7 37:9 39:1 40:3 41:4 42:6 43:7 44:9 46:1 47:2 48:4 49:5 50:7 51:8 57:51 63:17 74:40 85:53 96:58 107:6 118:5

0:925 3:17 5:18 6:90 8:50 10:0 11:5 12:9 14:3 15:6 17:0 18:3 19:6 20:9 22:2 23:5 24:7 26:0 27:2 28:5 29:7 30:9 32:1 33:4 34:6 35:8 37:0 38:2 39:4 40:6 41:8 42:9 44:1 45:3 46:5 47:7 48:8 50:0 51:2 52:3 53:5 59:29 65:03 76:41 87:68 98:86 110:0 121:0

0:950 3:84 5:99 7:81 9:49 11:1 12:6 14:1 15:5 16:9 18:3 19:7 21:0 22:4 23:7 25:0 26:3 27:6 28:9 30:1 31:4 32:7 33:9 35:2 36:4 37:7 38:9 40:1 41:3 42:6 43:8 45:0 46:2 47:4 48:6 49:8 51:0 52:2 53:4 54:6 55:8 61:66 67:50 79:08 90:53 101:9 113:1 124:3

Matema R. Emanuelsson

0:975 5:02 7:38 9:35 11:1 12:8 14:4 16:0 17:5 19:0 20:5 21:9 23:3 24:7 26:1 27:5 28:8 30:2 31:5 32:9 34:2 35:5 36:8 38:1 39:4 40:6 41:9 43:2 44:5 45:7 47:0 48:2 49:5 50:7 52:0 53:2 54:4 55:7 56:9 58:1 59:3 65:41 71:42 83:30 95:02 106:6 118:1 129:6

0:995 7:88 10:6 12:8 14:9 16:7 18:5 20:3 22:0 23:6 25:2 26:8 28:3 29:8 31:3 32:8 34:3 35:7 37:2 38:6 40:0 41:4 42:8 44:2 45:6 46:9 48:3 49:6 51:0 52:3 53:7 55:0 56:3 57:6 59:0 60:3 61:6 62:9 64:2 65:5 66:8 73:17 79:49 91:95 104:2 116:3 128:3 140:2

0:999 0:9995 10:8 12:1 13:8 15:2 16:3 17:7 18:5 20:0 20:5 22:1 22:5 24:1 24:3 26:0 26:1 27:9 27:9 29:7 29:6 31:4 31:3 33:1 32:9 34:8 34:5 36:5 36:1 38:1 37:7 39:7 39:3 41:3 40:8 42:9 42:3 44:4 43:8 46:0 45:3 47:5 46:8 49:0 48:3 50:5 49:7 52:0 51:2 53:5 52:6 54:9 54:1 56:4 55:5 57:9 56:9 59:3 58:3 60:7 59:7 62:2 61:1 63:6 62:5 65:0 63:9 66:4 65:2 67:8 66:6 69:2 68:0 70:6 69:3 72:0 70:7 73:4 72:1 74:7 73:4 76:1 80:08 82:88 86:66 89:56 99:61 102:7 112:3 115:6 124:8 128:3 137:2 140:8 149:4 153:2

411

23.5. GREKISKA ALFABETET

23.5

23. TABELLER

Grekiska alfabetet

Versaler A E I N R

Alfa Epsilon Iota Ny Ro Fi



B

Z

K

  X

Beta Zeta Kappa Xi Sigma Chi

; H

 O T



Gamma Eta Lambda Omikron Tau Psi


 M  

gamma eta lambda omikron tau psi

     !

Delta Theta My Pi Ypsilon Omega

Gemener

 "    '

412

alfa epsilon iota ny ro fi

    

beta zeta kappa xi sigma chi

  o 

Matema R. Emanuelsson

delta theta my pi ypsilon omega

¨ 23.6. GRUND AMNENA

23. TABELLER

23.6

Grund¨amnena

23.6.1 Grund¨amnena i bokstavsordning med atomnummer Aktinium, 89 Antimon, 51 Astat, 85 Beryllium, 4 Bohrium, 107 Cesium, 55 Curium, 96 Einsteinium, 99 Fermium, 100 Francium, 87 Germanium, 32 Hassium, 108 Indium, 49 Jod, 53 Kisel, 14 Kol, 6 Krypton, 36 Lantan, 57 Lutetium, 71 Meitnerium, 109 Neodym, 60 Nickel, 28 Osmium, 76 Plutonium, 94 Praseodymium, 59 Radium, 88 Rhodium, 45 Rutherfordium, 104 Seaborgium, 106 Sodium, 11 Syre, 8 Tellur, 52 Thallium, 81 Titan, 22 Vanadium, 23 Ytterbium, 70 Zirkonium, 40

Aluminium, 13 Argon, 18 Barium, 56 Bismut, 83 Bor, 5 Californium, 98 Dubnium, 105 Erbium, 68 Fluor, 9 Gadolinium, 64 Guld, 79 Helium, 2 Iridium, 77 Kadmium, 48 Klor, 17 Koppar, 29 Kvicksilver, 80 Lawrencium, 103 Magnesium, 12 Mendelevium, 101 Neon, 10 Niob, 41 Palladium, 46 Polonium, 84 Promethium, 61 Radon, 86 Rubidium, 37 Samarium, 62 Selenium, 34 Strontium, 38 Tantalum, 73 Tenn, 50 Thorium, 90 Tungsten, 74 V¨ate, 1 Yttrium, 39

Americium 95 Arsenik, 33 Berkelium, 97 Bly, 82 Brom, 35 Cerium, 58 Dysprosium, 66 Europium, 63 Fosfor, 15 Gallium, 31 Hafnium, 72 Holmium, 67 J¨arn, 26 Kalcium, 20 Kobolt, 27 Krom, 24 Kv¨ave, 7 Lithium, 3 Mangan, 25 Molybden, 42 Neptunium, 93 Nobelium, 102 Platinum, 78 Potassium, 19 Protaktinium, 91 Rhenium, 75 Ruthenium, 44 Scandium, 21 Silver, 47 Svavel, 16 Teknetium, 43 Terbium, 65 Thulium, 69 Uran, 92 Xenon, 54 Zink, 30

Matema R. Emanuelsson

413

¨ 23.6. GRUNDAMNENA

23. TABELLER

23.6.2 Periodiska systemet H 1 Li 3 Na 11 K 19 Rb 37 Cs 55

Be 4 Mg 12 Ca 20 Sr 38 Ba 56

Sc 21 Y 39

Ti 22 Zr 40 Hf 72

V 23 Nb 41 Ta 73

Cr 24 Mo 42 W 74

Mn 25 Tc 43 Re 75

Fe 26 Ru 44 Os 76

Co 27 Rh 45 Ir 77

Rf 104

Db 105

Sg 106

Bh 107

Hs 108

Mt 109

La 57 Ac 89

Ce 58 Th 90

Pr 59 Pa 91

Nd 60 U 92

Pm 61 Np 93

Sm 62 Pu 94

Ni 28 Pd 46 Pt 78

Cu 29 Ag 47 Au 79

Zn 30 Cd 48 Hg 80

B 5 Al 13 Ga 31 In 49 Tl 81

Eu 63 Am 95

Gd 64 Cm 96

Tb 65 Bk 97

Dy 66 Cf 98

C 6 Si 14 Ge 32 Sn 50 Pb 82

N 7 P 15 As 33 Sb 51 Bi 83

O 8 S 16 Se 34 Te 52 Po 84

F 9 Cl 17 Br 35 I 53 At 85

Ho 67 Es 99

Er 68 Fm 100

Tm 69 Md 101

Yb 70 No 102

23.6.3 Grund¨amnen och deras egenskaper

414

76: 14:01 20:28 124:8 0:95 4:216 534: 453:69 1620: 1847:7 1551: 3243: 2340: 2573: 3931: 3513: 3820: 5100: 1026: 63:29 77:4 2000: 54:8 90:19 1516: 53:53 85:01 1444: 24:48 27:1 971: 370:96 1156:1 1738: 922: 1363: 2698: 933:5 2740: 2329: 1683: 2628: 1820: 317:3 553: 2070: 386: 717:824 2030: 172:2 239:6 1656: 83:8 87:3 862: 336:8 1047: 1550: 1112: 1757: 2989: 1814: 3104: 4540: 1933: 3560: 6110: 2160: 3650: 7190: 2130: 2945: 7440: 1517: 2235: 7874: 1808: 3023:

Matema R. Emanuelsson

Joni s pote ationsntia l (eV )

) t (K unk Kok p

K) Sma¨

ltpu

nkt(

(kg/ sitet

kt mvi

1:00794 4:0026 6:941 9:01218 10:81 12:0107 14:0067 15:9994 18:9984 20:1797 22:9898 24:305 26:9815 28:0855 30:9738 32:066 35:4527 39:948 39:0983 40:078 44:9559 47:867 50:9415 51:9961 54:938 55:845

Den

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Ato

H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si P S Cl Ar K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe

Ato

V¨ate Helium Litium Beryllium Bor Kol Kv¨ave Syre Fluor Neon Natrium Magnesium Aluminium Kisel Fosfor Svavel Klor Argon Kalium Kalcium Scandium Titan Vanadin Krom Mangan J¨arn

mnr

ng Bete

ckni

Gru

nda¨ m

ne

m 3)

Densiteten a¨ r given vid 300 K.

13:598 24:587 5:392 9:323 8:298 11:26 14:534 13:618 17:423 21:565 5:139 7:646 5:986 8:152 10:487 10:36 12:968 15:76 4:341 6:113 6:561 6:828 6:746 6:767 7:434 7:902

He 2 Ne 10 Ar 18 K3 36 Xe 54 Rn 86

Lu 71 Lr 103 (23.2)

Y

Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe Cs Ba La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm

8900: 1768: 3143: 8902: 1726: 3005: 8960: 1356:6 2840 7133: 692:73 1180: 5907: 302:93 2676: 5323: 1210:6 3103: 5780: 83:78 889 4790: 490: 958:1 4050: 265:9 331:9 2823: 116:6 120:85 1532: 312:2 961: 2540: 1042: 1657 4469: 1795: 3611: 6506: 2125: 4650: 8570: 2741: 5015: 10220: 2890: 4885: 11500: 2445: 5150: 12370: 2583: 4173: 12410: 2239: 4000: 12020: 1825: 3413: 10500: 1235:08 2485: 8650: 594:1 1038: 7310: 429:32 2353: 7310: 505:118 2543: 6691: 903:89 1908: 6240: 722:7 1263: 4930: 386:7 457:5 3540: 161:3 166:1 1873: 301:55 951:6 3594: 1002: 1910: 6145: 1194: 3730: 8240: 1072: 3699: 6773: 1204: 3785: 7007: 1294: 3341: 7220: 1441: 3000: 7520: 1350: 2064: 5243: 1095: 1870: 7900:4 1586: 3539: 8229: 1629: 3396: 8550: 1685: 2835: 8795: 1747: 2968: 9066: 1802: 3136: 9321: 1818: 2220:

Matema R. Emanuelsson

Joni s pote ationsntia l (eV )

Kok pun kt (K

(kg/ 3 m )

Sma¨ ltpu nkt( K)

58:9332 58:6934 63:546 65:39 69:723 72:61 74:9216 78:96 79:904 83:8 85:4678 87:62 88:9059 91:224 92:9064 95:94 98 101:07 102:906 106:42 107:868 112:411 114:818 118:71 121:76 127:6 126:904 131:29 132:905 137:327 138:906 140:116 140:908 144:24 145 150:36 151:964 157:25 158:925 162:5 164:93 167:26 168:934

Den sitet

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

Ato mvi kt

Bete ckni ng Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr Rb Sr

Ato mnr

Gru nda¨ m ne Kobolt Nickel Koppar Zink Gallium Germanium Arsenik Selen Brom Krypton Rubidium Strontium Yttrium Zirconium Niobium Molybdenum Teknetium Ruthenium Rhodium Palladium Silver Cadmium Indium Tenn Antimon Tellurium Jod Xenon Cesium Barium Lantan Cerium Praseodymium Neodymium Promethium Samarium Europium Gadolinium Terbium Dysprosium Holmium Erbium Thulium

)

¨ 23.6. GRUND AMNENA

23. TABELLER

7:881 7:64 7:726 9:394 5:999 7:9 9:815 9:752 11:814 14 4:177 5:695 6:217 6:634 6:759 7:092 7:28 7:361 7:459 8:337 7:576 8:994 5:786 7:344 8:64 9:01 10:451 12:13 3:894 5:212 5:577 5:539 5:464 5:525 5:55 5:644 5:67 6:15 5:864 5:939 6:022 6:108 6:184

415

416

Lr

Rf Db Sg Bh Hs Mt

6965: 1097: 1466: 9840: 1936: 3668: 13310: 2503: 5470: 16654: 3269: 5698: 19300: 3680: 5930: 21020: 3453: 5900: 22590: 3327: 5300: 22420: 2683: 4403: 21450: 2045: 4100: 19320: 1337:58 3080: 13546: 234:28 629:73 11850: 576:6 1730: 11350: 600:65 2013: 9747: 544:5 1883: 9320: 527: 1235: Ok¨ant 575: 610: 4400: 202: 211:4 Ok¨ant 300: 950: 5000: 973: 1413: 10060: 1320: 3470: 11720: 2023: 5060: 15370: 2113: 4300: 18950: 1405:5 4018: 20250: 913: 4175: 19840: 914: 3505: 13670: 1267: 2880: 13300: 1610: Ok¨ant 14790: Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant

Matema R. Emanuelsson

Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant

Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant

Joni s pote ationsntia l (eV )

)

(kg/ 3 m )

Kok pun kt (K

173:04 174:967 178:49 180:948 183:84 186:207 190:23 192:217 195:078 196:967 200:59 204:383 207:2 208:98 209 210 222 223 226 227 232:038 231:036 238:029 237 244 243 247 247 251 252 257 258 259 262 261 262 263 262 265 266

Sma¨ ltpu nkt( K)

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109

Den sitet

Yb Lu Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No

Ato mvi kt

Bete ckni ng

Ytterbium Lutetium Hafnium Tantal Wolfram Rhenium Osmium Iridium Platina Guld Kvicksilver Thallium Bly Bismuth Polonium Astat Radon Francium Radium Aktinium horium P rotaktinium Uran Neptunium Plutonium Americium Curium Berkelium Californium Einsteinium Fermium Mendelevium Nobelium Lawrencium Rutherfordium Dubnium Seaborgium Bohrium Hassium Meitnerium

23. TABELLER

Ato mnr

Gru nda¨ m ne

¨ 23.6. GRUNDAMNENA

6:254 5:426 6:825 7:89 7:98 7:88 8:7 9:1 9: 9:226 10:438 6:108 7:417 7:289 8:417 Ok¨ant

10:749 Ok¨ant

5:279 5:17 6:08 5:89 6:194 6:266 6:06 5:993 6:02 6:23 6:3 6:42 6:5 6:58 6:65

Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant Ok¨ant

¨ 23.6. GRUND AMNENA

23. TABELLER

H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si P S Cl Ar K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr

14:304 5:193 3:582 1:825 1:026 0:709 1:04 0:918 0:824 1:03 1:228 1:026 0:897 0:705 0:769 0:71 0:479 0:52 0:757 0:647 0:568 0:523 0:489 0:449 0:479 0:449 0:421 0:444 0:385 0:388 0:371 0:32 0:329 0:321 0:226 0:248

0:1815 0:152 84:7 200: 27: 1960: 0:02598 0:02674 0:0279 0:0493 141: 156: 237: 148 0:235 0:269 0:0089 0:01772 102:4 200: 15:8 21:9 30:7 93:7 7:82 80:2 100: 90:7 401: 116: 40:6 59:9 50: 2:04 0:122 0:00949

0:12 0:021 4:6 9:8 22:2 105: 0:72 0:444 1:02 0:324 2:64 9:04 10:67 39:6 2:51 1:23 6:41 1:21 2:4 9:33 15:9 20:9 17:6 15:3 14:4 14:9 15:2 17:6 13: 6:67 5:59 34:7 27:7 5:1 10:8 1:64

Matema R. Emanuelsson

A˚ ng

kg kJbildn.enta =kmo lpi l

Sm

kg ka¨Jltentalpi =kmo l

=(m K )

Va¨ r m fo¨ rm eledni n a˚ ga W gs-

Spe c kapa ifik va¨ r m citet kJ e-

Gru nda¨ m ne

=(kg

K)

V¨armeledningsf¨orm˚agan a¨ r given vid 300 K.

0:46 0:082 147:7 308:8 504:5 710:9 5:577 6:82 3:26 1:736 99:2 127:6 290:8 383:3 51:9 9:62 20:4033 6:53 79:1 150:6 376:1 425:5 459:7 341:8 220:5 340:2 382:4 374:8 306:7 114:2 270:3 327:6 31:9 90: 30:5 9:05

(23.3)

417

Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe Cs Ba La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu Hf

418

0:363 0:301 0:298 0:278 0:265 0:251 ok¨ant

0:238 0:243 0:244 0:235 0:232 0:233 0:228 0:207 0:202 0:145 0:158 0:242 0:204 0:195 0:192 0:193 0:19 ok¨ant

0:197 0:182 0:236 0:182 0:173 0:165 0:168 0:16 0:155 0:154 0:144

58:2 35:3 17:2 22:7 53:7 138: 50:6 117: 150: 71:8 429: 96:8 81:6 66:6 243: 2:35 0:449 0:00569 35:9 18:4 13:5 11:4 12:5 16:5 17:9 13:3 13:9 10:6 11:1 10:7 16:2 14:3 16:8 34:9 16:4 23:

2:2 9:16 17:2 23: 27:2 27:6 23:81 23:7 21:55 17:2 11:3 6:11 3:27 7:2 20:9 13:5 15:27 3:1 2:09 7:66 10:04 8:87 11:3 7:113 12:6 10:9 10:5 15:5 16:3 17:2 17:2 17:2 18:4 9:2 19:2 25:5

Matema R. Emanuelsson

A˚ ng

kg kJbildn.enta =kmo lpi l

Sma

kg k¨Jltentalpi =kmo l

=(m K )

23. TABELLER

Va¨ r m fo¨ rm elednin a˚ ga W gs-

Spe c kapa ifik va¨ r m citet kJ e-

Gru nda¨ m ne

=(kg

K)

¨ 23.6. GRUNDAMNENA

75:7 154:4 367:4 566:7 680:19 589:9 585:22 567: 494:34 361:5 257:7 100: 231:8 296:2 165:8 104:6 41:67 12:65 66:5 150:9 402:1 398: 357: 328: ok¨ant

164:8 176: 301: 391: 293: 303: 280: 247: 159: 428: 570:7

¨ 23.6. GRUND AMNENA

Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr Rf Db Sg Bh Hs Mt

0:14 0:132 0:137 0:13 0:131 0:133 0:129 0:14 0:129 0:129 0:122 ok¨ant ok¨ant

0:094 ok¨ant ok¨ant

0:12 0:113 ok¨ant

0:116 ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant

57:5 174: 47:9 87:6 147: 71:6 317: 8:34 46:1 35:3 7:87 20: 1:7 0:00364 15: 18:6 12: 54: 47: 27:6 6:3 6:74 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant

A˚ ng

kg kJbildn.enta =kmo lpi l

Sma

kg k¨Jltentalpi =kmo l

=(m K )

Va¨ r m fo¨ rm elednin a˚ ga W gs-

Spe c kapa ifik va¨ r m citet kJ e-

Gru nda¨ m ne

=(kg K

)

23. TABELLER

31:4 35:2 33:1 29:3 26:4 19:7 12:7 2:331 4:31 5:121 10:48 10: 23:8 2:7

758:22 824:2 704:25 738:06 612:1 469: 343:1 59:11 166:1 177:8 179:1 100:8

7:15 14:2 19:2 16:7 15:5 9:46 2:8 14:4

136:7 293 513:67 481: 417:1 336:6 343:5 238:5

ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant

ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant ok¨ant

ok¨ant

Matema R. Emanuelsson

ok¨ant

18:1

ok¨ant

419

¨ 23.6. GRUNDAMNENA

23. TABELLER

23.6.4 Elektronkonfiguration

H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si P

S Cl Ar K Ca

420

(1) 1s1 (2) 1s2 (2); (1) 1s2 2s1 (2); (2) 1s2 2s2 (2); (2; 1) 1s2 2s2 2p1 (2); (2; 2) 1s2 2s2 2p2 (2); (2; 3) 1s2 2s2 2p3 (2); (2; 4) 1s2 2s2 2p4 (2); (2; 5) 1s2 2s2 2p5 (2); (2; 6) 1s2 2s2 2p6 ((2); (2; 6); (1) 1s2 2s2 2p63s1 (2); (2; 6); (2) 1s2 2s2 2p63s2 (2); (2; 6); (2; 1) 1s2 2s2 2p63s2 3p1 (2); (2; 6); (2; 2) 1s2 2s2 2p63s2 3p2 (2); (2; 6); (2; 3) 1s2 2s2 2p63s2 3p3 (2); (2; 6); (2; 4) 1s2 2s2 2p63s2 3p4 (2); (2; 6); (2; 5) 1s2 2s2 2p63s2 3p5 (2); (2; 6); (2; 6) 1s2 2s2 2p63s2 3p6 (2); (2; 6); (2; 6); (1) 1s2 2s2 2p63s2 3p64s1 (2); (2; 6); (2; 6); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p64s2

Matema R. Emanuelsson

(23.4)

¨ 23.6. GRUND AMNENA

23. TABELLER

Sc Ti

V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr Rb Sr Y Zr Nb

(2); (2; 6); (2; 6; 1); (2) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d14s2 (2); (2; 6); (2; 6;2); (2) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d24s2 (2); (2; 6); (2; 6; 3); (2) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d34s2 (2); (2; 6); (2; 6;5); (1) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d54s1 (2); (2; 6); (2; 6;5); (2) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d54s2 (2); (2; 6); (2; 6; 6); (2) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d64s2 (2); (2; 6); (2; 6;7); (2) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d74s2 (2); (2; 6); (2; 6;8); (2) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d84s2 (2); (2; 6); (2; 6;10);(1) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d104s1 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d104s2 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 1) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d104s2 4p1 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 2) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d104s2 4p2 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 3) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d104s2 4p3 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 4) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d104s2 4p4 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 5) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d104s2 4p5 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d104s2 4p6 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6); (1) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d104s2 4p65s1 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6); (2) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d104s2 4p65s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 1);(2) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d104s2 4p64d15s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 2);(2) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d104s2 4p64d25s2 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6; 4); (1) 1s22s2 2p63s2 3p6 3d104s2 4p64d45s1

Matema R. Emanuelsson

(23.5)

421

¨ 23.6. GRUNDAMNENA

Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe Cs Ba La Ce Pr Nd Pm Sm

422

23. TABELLER

(2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6;5); (1) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d55s1 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6;5); (2) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d55s2 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6; 7);(1) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d75s1 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6; 8);(1) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d85s1 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6;10) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d10 (2); (2; 6); (2; 6;10); (2; 6;10);(1) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d105s1 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6; 10);(2) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d105s2 (2); (2; 6); (2; 6;10); (2; 6; 10); (2;1) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d105s2 5p1 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6;10);(2; 2) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d105s2 5p2 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6;10);(2; 3) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d105s2 5p3 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6;10);(2;4) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d105s2 5p4 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6;10);(2; 5) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d105s2 5p5 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10);(2; 6) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d105s2 5p6 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6;10);(2; 6); (1) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d105s2 5p66s1 (2); (2; 6); (2; 6;10); (2; 6; 10); (2;6); (2) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d105s2 5p66s2 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6;10);(2;6; 1); (2) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d105s2 5p65d16s2 (2); (2; 6); (2; 6;10); (2; 6; 10;2); (2; 6); (2) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d104f 2 5s2 5p66s2 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6; 10;3); (2; 6); (2) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d104f 3 5s2 5p66s2 (2); (2; 6); (2; 6;10); (2; 6;10;4); (2; 6); (2) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d104f 4 5s2 5p66s2 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6;10; 5);(2; 6); (2) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d104f 5 5s2 5p66s2 (2); (2; 6); (2; 6;10);(2; 6;10; 6);(2; 6); (2) 1s22s2 2p6 3s23p6 3d104s2 4p64d104f 6 5s2 5p66s2 Matema R. Emanuelsson

(23.6)

¨ 23.6. GRUND AMNENA

23. TABELLER

Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi

(2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 7); (2;6); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 7 5s25p6 6s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 7); (2; 6; 1); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 7 5s25p6 5d16s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 9); (2;6); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 9 5s25p6 6s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 10); (2; 6);(2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 10 5s2 5p66s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 11); (2; 6);(2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 11 5s2 5p66s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2;6; 10; 12); (2; 6);(2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 12 5s2 5p66s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2;6; 10; 13); (2;6);(2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 13 5s2 5p66s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 14); (2; 6);(2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 14 5s2 5p66s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2; 6; 1); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 14 5s2 5p65d16s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2;6; 2); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 14 5s2 5p65d26s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2;6; 10; 14); (2;6; 3); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 14 5s2 5p65d36s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2;6; 10; 14); (2; 6; 4); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 14 5s2 5p65d46s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2; 6; 5); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 14 5s2 5p65d56s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2; 6; 6); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 14 5s2 5p65d66s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2; 6;7); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 14 5s2 5p65d76s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2;6; 9); (1) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 14 5s2 5p65d96s1 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 14); (2; 6;10);(1) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 14 5s2 5p65d106s1 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 14); (2; 6;10);(2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 14 5s2 5p65d106s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2;6; 10; 14); (2;6;10);(2; 1) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 14 5s2 5p65d106s2 6p1 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2;6; 10; 14); (2;6; 10);(2; 2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 14 5s2 5p65d106s2 6p2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2;6; 10; 14); (2; 6;10); (2; 3) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 14 5s2 5p65d106s2 6p3

Matema R. Emanuelsson

(23.7)

423

¨ 23.6. GRUNDAMNENA

Po At Rn Fr Ra Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr

23. TABELLER

(2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2;6; 10); (2; 4) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d106s2 6p4 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2; 6;10); (2; 5) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d106s2 6p5 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2;6;10); (2; 6) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d106s2 6p6 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 14); (2;6;10); (2; 6);(1) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d106s2 6p67s1 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 14); (2;6;10); (2; 6);(2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d106s2 6p67s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2; 6;10); (2; 6;1); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d106s2 6p66d17s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 14); (2;6;10); (2; 6; 2);(2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d106s2 6p66d27s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 14); (2;6;10;2); (2;6;1); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d105f 2 6s2 6p66d17s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2;6;10; 3); (2;6; 1); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d105f 3 6s2 6p66d17s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 14); (2;6; 10; 4); (2;6;1); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d105f 4 6s2 6p66d17s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2;6; 10;6); (2;6);(2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d105f 6 6s2 6p67s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 14); (2;6; 10;7); (2; 6); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d105f 7 6s2 6p67s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2;6;10;7); (2;6; 1); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d105f 7 6s2 6p66d17s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2;6;10;9); (2;6); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d105f 9 6s2 6p67s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2; 6;10;10); (2; 6);(2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d105f 10 6s2 6p67s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 14); (2;6;10; 11); (2; 6); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d105f 11 6s2 6p67s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2;6; 10;12); (2; 6);(2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d105f 12 6s2 6p67s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10);(2; 6; 10; 14); (2;6; 10; 13); (2; 6);(2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d105f 13 6s2 6p67s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 14); (2;6; 10; 14); (2; 6); (2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d105f 14 6s2 6p67s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10; 14); (2;6; 10;14); (2; 6;1);(2) 1s2 2s2 2p63s2 3p63d104s2 4p64d104f 145s2 5p65d105f 14 6s2 6p66d17s2 (23.8)

424

Matema R. Emanuelsson

¨ 23.6. GRUND AMNENA

23. TABELLER

Rf Db Sg Bh Hs Mt

(2); (2; 6); (2; 6;10); (2; 6; 10;14); (2; 6; 10; 14); (2; 6;2); (2) 1s2 2s22p6 3s23p6 3d104s2 4p64d104f 14 5s25p6 5d105f 14 6s2 6p66d27s2 (2); (2; 6); (2; 6;10); (2; 6; 10;14);(2;6; 10; 14); (2;6; 3); (2) 1s2 2s22p6 3s23p6 3d104s2 4p64d104f 14 5s25p6 5d105f 14 6s2 6p66d37s2 (2); (2; 6); (2; 6; 10); (2; 6; 10;14);(2;6; 10; 14); (2;6;4); (2) 1s2 2s22p6 3s23p6 3d104s2 4p64d104f 14 5s25p6 5d105f 14 6s2 6p66d47s2 (2); (2; 6); (2; 6;10); (2; 6;10;14);(2;6; 10; 14); (2; 6;5); (2) 1s2 2s22p6 3s23p6 3d104s2 4p64d104f 14 5s25p6 5d105f 14 6s2 6p66d57s2 (2); (2; 6); (2; 6;10); (2; 6; 10;14);(2;6; 10; 14); (2;6;6); (2) 1s2 2s22p6 3s23p6 3d104s2 4p64d104f 14 5s25p6 5d105f 14 6s2 6p66d67s2 (2); (2; 6); (2; 6;10); (2; 6;10;14);(2;6; 10; 14); (2; 6;7); (2) 1s2 2s22p6 3s23p6 3d104s2 4p64d104f 14 5s25p6 5d105f 14 6s2 6p66d77s2 (23.9)

Matema R. Emanuelsson

425

¨ 23.6. GRUNDAMNENA

23. TABELLER

23.6.5 Stabila isotoper V¨ate ; 1; 2 Litium ; 6; 7 Bor 10; 11 Kv¨ave ; 14; 15; Fluor ; 19; Natrium; 23; Aluminium; 27; Fosfor; 31 Klor; 35; 37; Kalium ; 39; 41; Scandium; 45; Vanadium; 51; Mangan ; 55 Kobolt ; 59 Koppar ; 63; 65 Gallium ; 69; 71 Arsenik ; 75 Brom ; 79; 81 Rubidium ; 85 Yttrium ; 89 Niob; 93 Teknetium Rhodium ; 103 Silver ; 107; 109 Indium; 113 Antimon; 121; 123 Jod ; 127 Cesium ; 133 Lantan ; 138 Praseodym ; 141 Promethium Europium ; 151; 153 Terbium ; 159 Holmium ; 165 Thulium ; 169; Lutetium ; 175; Tantalum; 181 Rhenium; 185 Iridium; 191; 193

426

Helium ; 3; 4 Beryllium ; 9 Kol ; 12; 13 Syre ; 16; 17; 18 Neon ; 20; 21; 22 Magnesium; 24; 25; 26 Kisel ; 28; 29; 30 Svavel ; 32; 33; 34; 36 Argon; 36; 38; 40 Kalcium; 40; 42; 43; 44; 46; 48 Titan ; 46; 47; 48; 49; 50 Krom ; 50; 52; 53; 54 J¨arn ; 54; 56; 57; 58 Nickel ; 58; 60; 61; 62; 64 Zink; 66; 67; 68; 70 Germanium ; 70; 72; 73; 74; 76 Selen ; 74; 76; 77; 78; 80; 82 Krypton ; 78; 80; 82; 83; 84; 86 Strontium ; 84; 86; 87; 88 Zirkonium ; 90; 91; 92; 94 Molybden ; 92; 94; 95; 96; 97; 98; 100 Ruthenium ; 96; 98; 99; 100; 101; 102; 104 Palladium ; 102; 104; 105; 106; 108; 110 Kadmium ; 106; 108; 110; 111; 112; 113; 114; 116 Tenn ; 112; 114; 115; 116; 117; 118; 119; 120; 122; 124 Tellur ; 120; 122; 124; 125; 126; 128; 130 Xenon ; 129; 130; 131; 132; 134; 136 Barium ; 130; 132; 134; 135; 136; 137; 138 Cerium ; 136; 138; 140; 142 Neodym ; 142; 143; 145; 146; 148; 150 Samarium ; 144; 150; 152; 154 Gadolinium ; 154; 155; 156; 157; 158; 160 Dysprosium ; 156; 158; 160; 161; 162; 163; 164 Erbium; 162; 164; 166; 167; 168; 170 Ytterbium ; 168; 170; 171; 172; 173; 174; 176 Hafnium ; 176; 177; 178; 179; 180 Wolfram ; 180; 182; 183; 184; 186 Osmium ; 184; 186; 187; 188; 189; 190; 192 Platina ; 194; 195; 196; 198

Matema R. Emanuelsson

(23.10)

¨ 23.6. GRUND AMNENA

23. TABELLER

Guld ; 197 Tallium ; 203; 205 Bismut ; 209 Astat ; Francium ; Aktinium Protaktinium Neptunium ; Americium Berkelium ; Einsteinium; Mendelevium ; Lawrencium ; Seaborgium Hassium;

Kvicksilver ; 196; 198; 199; 200; 201; 202; 204 Bly ; 204; 206; 207; 208 Polonium Radon ; Radium ; Torium ; Uran ; Plutonium; Curium; Californium; Fermium ; Nobelium ; Rutherfordium ; Bohrium ; Meitnerium ;

Matema R. Emanuelsson

427

¨ 23.6. GRUNDAMNENA

23. TABELLER

23.6.6 Elementarpartiklar Partikel Massl¨osa bosoner Foton Leptoner Neutrino Elektron Myon Mesoner Pion Kaon

;meson Baryoner Nukleoner Proton Neutron Hyperoner Lambda Sigma

Xi Omega

Symbol

Vilomassa

Vilo energi

Laddn.

Spinn

Antipartikel

0

0

0

1

 e; ;

0 1 206:8

0 0:511 105:7

;1 ;1

0

1=2 1=2 1=2

 e+ +

+ 0 K+ K0 0

273:9 264:2 966:7 974:6 1074

140 135 494 498 549

+1 0 +1 0 0

0 0 0 0 0

; 0 K; K 0

p+ n0

1836:2 1838:7

938:3 939:6

+1 0

1=2 1=2

p; n0

0 + 0 ; 0 ;

;

2184 2327 2333 2342 2573 2585 3276

1116 1189 1192 1197 1315 1321 1674

0 +1 0 ;1 0 ;1 ;1

1=2 1=2 1=2 v 1=2 1=2 3=2

0 ; 0 + 0 +

+

(23.11)

Kommentarer: Massa och laddning ges med elektronen (eller snarare positronen) som grundenhet. Spinn ges i enheter av h=2. Viloenergin a¨ r given i MeV . Elektronens antipartikel heter positron.

428

Matema R. Emanuelsson

24

Referenser I. Brinck, A. Persson, Element¨ar teori f¨or Analytiska Funktioner, Studentlitteratur, 1967. H. Lennerstad, Serier och transformer, Studentlitteratur, 1999. V. Churchill, J. Brown, Fourier Series and : : : , Mc-Grawhill, 1985. I. stewart, Galois Theory, Chapman and Hall, 1973. J. L. Hein, Discrete Structures, logic, : : : , Jones and Bartlett Publishers International, 1994. G.F. Simmons, introduction to topology : : : , Mc-Grawhill, 1963. K. V¨annman, Matematisk statistik, Studentlitteratur, 1990. L. Shapiro, Introduction to abstract algebra, Mc-Grawhill, 1975. Birkhoff, Rota, Ordinary differential equations, John Wiley & Sons, Inc, 1978. H. F. Davis, A.D. Snider, Introduction to Vectoranalysis, Allyn & Bacon, Inc, 1975. I. N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Co, 1964. W. Rudin, Real and complex analysis, Mcgraw-Hill, 1979. J. Peterson, Matematisk analys, utdrag, , . K. J¨anich, Toplogie, Springer-Verlag, 1980. T. Domar m.fl., Analys II, Gleerups, 1971. F. Eriksson, Flerdimensionell analys, Studentlitteratur, 1976. G. Nakos, D. Joyner, Linear algebra, Thomson Publishing Inc, 1998. 429

24. REFERENSER

E. R. Phillips, An introduction to analysis and integration theory, Dover Publications, Inc., 1984. G. R. Grimmett, D.R. Stirzaker, Probability and random processes, Oxford Science Publications, 1983. A. Baker, A concise introduction to the theory of numbers, Cambridge University Press, 1984. G. Larsson-Leander, Astronomi och Astrofysik, Gleerups, 1971. Introduktion till serier, J. Olsson, Matematik G¨oteborgs univ., 1997. M. R. Spiegel, Laplace transforms, McGraw-Hill, 1965. J. Bergh, J. L¨ofstr¨om, Interpolation Spaces, An Introduction, Springer-Verlag, 1976. Alonso, Finn, University Physics volym III, Addison-Wesley, 1968. U. Ringstr¨om, V˚agr¨orelsel¨ara, Almqvist-Wiksell, 1970. T. Eriksson, T. Lagerwall, Klassisk mekanik : : : , Almqvist-Wiksell, 1970. O. Beckman, V¨armel¨ara, Almqvist-Wiksell, 1970.

430

Matema R. Emanuelsson

25

Ordlista Engelsk-svensk-engelsk 25.1

Engelsk-svensk

poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . poset1 probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sannolikhet probability density angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vinkel function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . frekvensfunktion bounded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . begr¨ansad proper subset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a¨ kta delm¨angd conditional range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v¨ardem¨angd probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . betingad sannolikhet set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m¨angd cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kon sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sinus connected . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sammanh¨angande square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kvadrat continued fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kedjebr˚ak subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . delgrupp continuous. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kontinuerlig subset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . delm¨angd countable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uppr¨aknelig thermal conductivity . . . . . . . . spec. v¨arme kapacitet cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kub uncountable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o¨ veruppr¨aknelig cumulative density wellfounded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v¨alordnad function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f¨ordelningsfunktion propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . satslogik decreasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . avtagande one to one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . injektiv dense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t¨at derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . derivata Svensk-engelsk discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . diskret 25.2 distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f¨ordelning avtagande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . decreasing domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . definitionsm¨angd begr¨ansad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bounded eigenvalue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . egenv¨arde br˚ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fraction empty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tom definitionsm¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . domain estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . skattning delgrupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . subgroup expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v¨antev¨arde delm¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . subset fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . br˚ak derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . derivative function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion diskret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . discrete group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . grupp egenv¨arde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eigenvalue heat of fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sm¨altentalpi f¨ordelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . distribution heat of vaporization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a˚ ngentalpi kedjebr˚ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . continued fraction increasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v¨axande f¨ordelningsfunktion . . . cumulative density function integration by parts . . . . . . . . . . . . partiell integration frekvensfunktion . . . . . . density function probability lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gitter funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . function limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gr¨ansv¨arde gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lattice number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tal gr¨ansv¨arde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . limit onto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . surjektiv ordered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ordnad 1 L˚ ane¨oversatt: F¨orkortning av partially ordered partial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . partiell perpendicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vinkelr¨at set

431

25.2. SVENSK-ENGELSK

25. ORDLISTA ENGELSK-SVENSK-ENGELSK

grupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . group injektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . one to one kon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cone kontinuerlig. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . continuous kub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cube kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . square m¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . set ordnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ordered partiell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . partial integration partiell . . . . . . . . . . . . by integration parts poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . poset sammanh¨angande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . connected sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . probability betingad sannolikhet . . . . . . . conditional probability satslogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . propositional logic sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sine skattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . estimation sm¨altentalpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . heat of fusion spec. v¨arme kapacitet . . . . . . . . thermal conductivity surjektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . onto tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . number naturligt tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . natural number t¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dense tom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . empty uppr¨aknelig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . countable v¨alordnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . wellfounded v¨antev¨arde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . expectation v¨ardem¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . range v¨axande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . increasing vinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . angle vinkelr¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . perpendicular a˚ ngentalpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . heat of vaporization a¨ kta delm¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . proper subset o¨ veruppr¨aknelig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uncountable

432

Matema R. Emanuelsson

26

Index A abelsk grupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Abels partiella summationsformel . . . 194 Abels test f¨or likformig konvergens . 201 absolutbelopp av - komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 - reella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 addition av - komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 - reella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 adiabatisk process . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 analytisk funktion . . . . . . . . . . . . . . . 265 ff ans¨attning - vid partialbr˚aksuppdelning . . . . . . . . . 21 algebraisk funktion . . . . . . . . . . . . . . 135 ff allkvantifikatorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 andraderivata - av reell funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 andragradspolynom . . . . . . . . . . . . . . . . 17 andragradsekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 andragradsekvation med icke-reella koefficienter, ett exempel . . . . . . . . . . . 28 andrauppr¨akneligt . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 approximation mellan f¨ordelningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 arcusfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 areasatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 aritmetisk-geometriska olikheten . . . . 23 associativa lagen f¨or

-reella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 astronomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 asymptot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 asymptotisk ekvivalens . . . . . . . . . . . . . 193 automorfism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 avbildning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 avst˚and - i talplanet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 - i det komplexa talplanet . . . . . . . . . . . 25 - i Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 - mellan punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 - mellan punkt och linje . . . . . . . . . . . . . 59 - mellan punkt och plan . . . . . . . . . . . . . 64 avtagande funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 161 - p˚a tallinjen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

B basbyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 bas f¨or potens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 bas - f¨or talsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 - i triangel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 - i kon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 - i vektorrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Bayes formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 begr¨ansad funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 132 begr¨ansad m¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Bernoullif¨ordelning . . . . . . . . . . . . . . . . 332 beskrivande statistik . . . . . . . . . . . . . . . 314 Besselfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Bessels DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 best¨amd integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 betaf¨ordelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

433

26. INDEX

betingad sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . 312 bevis genom negation . . . . . . . . . . . . . 112 bevismetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 bijektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100, 133 binomialapproximation . . . . . . . . . . . . 323 binomialf¨ordelning . . . . . . . . . . . . . . . . 319 binomialkoefficient . . . . . . . . . . . . . 15, 97 binomialteoremet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 binomisk ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 bin¨ar relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 bin¨ar utveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 bisektris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 bivillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Boltzmanns konstant . . . . . . . . . . . . . . . 351 boolsk algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Borelalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Borel-Cantellis lemma . . . . . . . . . . . . . 312 brytning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 brytpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 br˚ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

C Carnotprocess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Cauchyf¨ordelning . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Cauchy-Riemmanns ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Cauchys integralformel . . . . . . . . . . . . 268 Cauchys kriterium f¨or likformig konvergens . . . . . . . . . . . 201 Cauchys sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 centrala gr¨ansv¨ardessatsen (CGS) . . . 336 Cevas sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 47 cirkelsektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 cosinussatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 cosinussatsen i sf¨arisk trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Cramers regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 cyklisk grupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 cylindriska koordinater - definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 434

- enhetsvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

D DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 decimalutveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 delgrupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 definitionsm¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 delm¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 derivata - av h¨ogre ordning . . . . . . . . . . . . . . . . 157 - av polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 - av potensfktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 - av sammansatt funktion . . . . . . . . . . 156 - definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 - exp.funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 - logaritmisk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 - regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 - tabell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 - partiell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 - totalderivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 diagonalisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 differensekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 differenskvot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 differentialekvation . . . . . . . . . 217 ff, 282 differentialkvot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 differentiering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 direkt bevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Dirichletk¨arnan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 diskontinuerlig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 diskret fouriertransform . . . . . . . . . . . . 230 diskret f¨ordelning. . . . . . . . . . . . . . . . . .317 diskret stokastisk variabel . . . . . . . . . . 317 diskret utfallsrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 distributiva lagen f¨or - matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 - reella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 - vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 divergenssatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 dragning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 dubbelbr˚ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 dubbelintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 dubbelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Matema R. Emanuelsson

26. INDEX

E

F

e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28, 30, 147, 397 effektivv¨arde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 egenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 egenv¨arde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 ekvation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 ekvivalens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ekvivalensrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 elektromotorisk sp¨anning . . . . . . . . . . . 380 elementarpartiklar . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 element¨ara funktioner . . . . . . . . . . . . . 135 - derivata av. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 - integral av . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 element¨ar integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 ellips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 elliptisk integral . . . . . . . . . . . . . . 42, 10.22 ell¨ara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 enhetscirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 enhetsmatris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 enhetspulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 enhetssteget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 enhetsvektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 enkelt sammanh¨angande m¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 enkelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 enpunktsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 ensidigt konfidensintervall - f¨or varians  2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 - f¨or v¨antev¨arde  . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 ensidigt test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 euklides algoritm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 euklidisk ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Eulers DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Eulers konstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 existenskvantifikatorn . . . . . . . . . . . . . . 113 exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 exponentialfunktion . . . . . . 136, 158, 172 - imagin¨ar exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 exponentialf¨ordelning . . . . . . . . . . . . . . 320 extrempunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 extremv¨arde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 - under bivillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 ff

faktorsatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 fakultet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Faradays lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 fas-amplitudform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 fasf¨orskjutning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 fotometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 frekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 frekvensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 friktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 funktion 131 ff - definierad fr˚an begreppet relation . . . 99 funktionsf¨oljd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 funktionsserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 fyrf¨argssatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 f¨oljd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 f¨ordelningar - definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 - exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 ff - diskreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 ff - kontinuerliga . . . . . . . . . . . . . . . . 318, 320 f¨ordelningsfunktion . . . . . . . 317, 318, 321

G gammaf¨ordelning (;) . . . . . . . . . . . . . . 319 gaslagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Gausselemination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Gegenbauerpolynom . . . . . . . . . . . . . . . 214 generaliserad kon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 generaliserad integral . . . . . . . . . . 182, 263 genererande funktion . . . . . . . . . . . . . . 333 geometrisk f¨ordelning . . . . . . . . . . . . . . 319 geometrisk serie . . . . . . . . . . . . . . 198, 209 geometrisk summa . . . . . . . . . . . . . . . . 196 gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 ff gitter (fysik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 Glaishers konstant . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 gradientf¨alt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 graf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 ff Gram-Schmidts metod . . . . . . . . . . . . . . 82 grekiska alfabetet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 grundm¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Matema R. Emanuelsson

435

26. INDEX

grund¨amnena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 grupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 gr¨ansv¨arde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 ff -”" ;  ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 -r¨akneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 - i trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Guldins regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 gyllene snittet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 gynnsamma utfall . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

H halvaxlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 harmonisk funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Hassediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Hausdorffrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Hausdorffs maximalitetssats . . . . . . . 105 Heavisidefunktionen . . . . . . . . . . . . . . 142 Heavisides f¨orskjutningsregel . . . . . . . 379 heltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Hermitepolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Hermites DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 hexadeicmal utv.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 homomorfism - f¨or grupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 - f¨or ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 homotop kurva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 huvudbr˚akstreck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 huvuddiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 hyperbolisk funktion . . . . . . . . . . . . . . . 136 hyperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 hypergeometrisk funktion . . . . . . . . . . 214 hypergeometrisk f¨ordelning . . . . . . . . 319 hypotenusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 hypotestest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 h¨andelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 - operationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 h¨ogerderivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 h¨ogergr¨ansv¨arde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 h¨ogersidoklass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 h¨ojd i triangel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36,37 h¨olje (relationer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

436

I ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 identitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 imagin¨ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 impedans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378, 381 implicita funktionssatsen impulsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 implikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Induktans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378, 379 induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 ff infinitesimaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 inflexionspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 injektiv - avbildning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 - funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 - homomorfism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 inklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 inre derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 inre funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 inst¨angningslagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 ff - best¨amd integral . . . . . . . . . . . . 167, 171 - definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167, 296 - generaliserad . . . . . . . . . . . . . . . . 182, 263 - huvudsats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 - i Lebesques mening . . . . . . . . . . . . 298 ff - i Riemanns mening . . . . . . 165, 260, 296 - obest¨amd integral . . . . . . . . . . . . . . . . 171 - r¨aknelagar . . . . . . . . . . . . . . 170, 177,177 integralkalkylens huvudsats. . . . . . . . .170 integralomr˚ade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 integrerande faktor . . . . . . . . . . . . . . . . 218 intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Intervallskattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 invers funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 invers matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 irrationellt tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 isobar process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 isokor process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 Isomorfism f¨or - grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 - ringar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 isoterm process. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

Matema R. Emanuelsson

26. INDEX

J Jacobipolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Jacobis metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 j¨amn funktion . . . . . . . . . . . 135, 179, 207

K

- standardavvikelse . . . . . . . . . . . . . . . . 340 konfidensintervall f¨or normalf¨ordelningens - v¨antev¨arde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340 - standardavvikelse . . . . . . . . . . . . . . . . 340 norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 kongruens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 kongruensfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 konjugatregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 konkav funktion f : R 7! R . . . . . . . . 163 konnektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 kontinuerlig stokastisk variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318, 320 kontinuitet - av f : R 7! R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Kontravarianta komponenter . . . . . . . . . 86 konvex - funktion f : R 7! R . . . . . . . . . . . . . . 163 - m¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 koordinatbyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 korrelationskoefficient . . . . . . . . . . . . . 316 Kovarians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Kovarianta komponenter . . . . . . . . . . . . 86 krafter, n˚agra exempel . . . . . . . . . . . . . 359 kraft och kraftmoment . . . . . . . . . . . . . 352 kropp i R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 kropp (Gruppteori). . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 kuberingsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 kumulativ relativ frekvens . . . . . . . . . . 314 kurva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 kurvintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 kvadratisk form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 kvadratisk matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 kvadratkomplettering . . . . . . . . . . . . . . . 28 kvadreringsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 kvantifikator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 kvantil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 kvaternion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 ff kvotgrupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

kapacitans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378, 382 kardinalitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 katet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 kejdebr˚ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 kedjeregeln - f¨or f : R 7!: R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 - f¨or f : Rn 7!: R . . . . . . . . . . . . . 248, 250 Keplers agar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 Khinchins konstant . . . . . . . . . . . . . . . . 397 kinetisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Kirchoffs lagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 klassiska sannolikhetsdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 koefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 koefficientmatris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 kombinationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95ff kommutativ grupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 kompakt intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 kommutativa lagen f¨or . . . . . . . . . . . . . . 14 kommutativ grupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 kommutativ ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 komplementm¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 komplementvinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 komplex andragradsekvation och andragradspolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 komplexa tal - definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 - kartesisk form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 - n˚agra identiteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 - pol¨ar form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 komplexkonjugat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 komplexkonjugerade r¨otter . . . . . . . . . . 29 kon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 L konfidensgrad f¨or normalf¨ordelningens laddning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 - v¨antev¨arde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Lagranges medelv¨ardessats . . . . . . . . . 161 Matema R. Emanuelsson

437

26. INDEX

Lagranges sats (gruppteori) . . . . . . . . . . 88 Laurentserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Laguerres DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Laguerrepolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Legendres DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Legendrepolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Lenzs lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 L’Hospitals regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 liggande stol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 likformig acceleration . . . . . . . . . . . . . . 356 likformig f¨ordelning . . . . . . . . . . . . . . . 319 likformighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 likhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 likn¨amningt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 limes inferior och limes superior . . . . 193 linearitsegenskap f¨or - derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 - gr¨ansv¨arde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 - integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 - kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 linj¨ara ekvationssystem - allm¨an l¨osning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 - antal l¨osningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 - med invers matris . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 linje - i planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 - allm¨an form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 - parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 - normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 linj¨art ekvationssystem - definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 linj¨art ekvationssyem . . . . . . . . . . . . . . . 71 Liouvilles sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Lipschitzkontinuitet . . . . . . . . . . . 148, 226 ljudets hast. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 ljusfl¨ode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 ljusstyrka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 logaritmer - allm. logaritm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 - definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 184 - med 10-bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - med e-bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - r¨akneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31,32

logiska konnektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 lokalkompakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 lokalkompakt hausdorffrum . . . . . . . . 287 lokalt maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 lokalt minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 l¨angd - av komplext tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 - av vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

M

MacLaurinutveckling . . . . . . . . . . . . . . 204 magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 Markovkedja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 ff masscentrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 matris - definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 - l¨osning av ekv.system . . . . . . . . . . . . 69 ff - l¨osning med invers matris . . . . . . . . . 379 - r¨aknelagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ff - transponat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 maximalideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 maximipunkt/v¨arde . . . . . . . . . . . . . . . 160 maximumprincipen . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Maxwells ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . 378 medelv¨arde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 medelv¨ardessatsen - f¨or funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161 - f¨or integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 median i triangel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 mellanliggande v¨arde . . . . . . . . . . . . . . 149 Menelaos sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 minideviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 minimipukt/v¨arde . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 minsta kvadratmetoden . . . . . . . . . 76, 316 minsta v¨arde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 monom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 monomorfism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 monoton funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 monoton konvergens . . . . . . . . . . . . . . . 300 mothypotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 mots¨agelsebevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 ff multigraf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 multinomialkoeff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 438

Matema R. Emanuelsson

26. INDEX

multinomialutveckling . . . . . . . . . . . . . . 16 multiplikationsprincipen. . . . . . . . . . . . .96 m˚att . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 m¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 m¨atbar funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 m¨atbar m¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 M¨obiusavbildning . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 m¨ojliga utfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

N naturliga tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ned˚at begr¨ansad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 negativ binomial f¨ordelning . . . . . . . . 319 Neumannfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Newtons lagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 niv˚akurva och niv˚ayta . . . . . . . . . . . . . . 248 nod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 normalapproximation . . . . . . . . . . . . . . 323 normalf¨ordelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 normalgrupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 normal(-linje) 155 normalt rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 normalvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

O oberoende h¨andelser . . . . . . . . . . . . . . . 313 oberoende stokastiska variabler . . . . . 313 obest¨amd integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 observation, observerat v¨arde . . . . . . . 338 olikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 omgivning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 ONH-bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 ortogonal funktionsf¨oljd . . . . . . . . . . . . 199 ortogonal matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 ortonormerad bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 ortsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Ottoprocess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

P parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 parallella - plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 - linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 - vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 parallax sekund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 parallellepiped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 parallellkoppling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 parallellogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 parallelltrapets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 parameter f¨or stokastisk variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 partialbr˚aksuppdelning . . . . . . . . . . . . . 20 partiell derivata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 partiell integration . . . . . . . . . . . . . . . . 179 partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 partiellt ordnad m¨angd . . . . . . . . . . . . . 103 periodisk decimalutveckling . . . . . . . . . 11 permutationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 pivotelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 planets ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 plan (multi-)graf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Poissonapproximation . . . . . . . . . . . . . 323 Poissonf¨ordelning . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 positiva heltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 polyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 polynomekvation av - andra graden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 - tredje graden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 positiva heltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 pol¨ara koordinater. . . . . 28, 249, 262, 277 pol¨ar form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ff - lagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - definition av . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 potensfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 potenslagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 potentiell energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 “p-q formel” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 predikatlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 prefix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Matema R. Emanuelsson

439

26. INDEX

primitiv funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 169 ff - formelsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 primtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 principalidealring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 produktm¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 produktsymbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 - inre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 - p˚a linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 - i planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Ptolemaios sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 punktskattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Pythagoras sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

R radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 radelimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 rampfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 rationellt tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 rationellt uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 reellt tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 reflektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 reflexiv relation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 regulj¨art rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 rektangelf¨ordelning . . . . . . . . . . . . . . . . 320 relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 ff relativ frekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Relativistisk mekanik . . . . . . . . . . . . . . 371 residuesatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Resistans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378, 379 Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 restterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 relativ frekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Riccatis ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Riemannintegral . . . . . . . . . . . . . . 167, 295 Riemannsumma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 ringar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 ff romb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 rot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 rotekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Rydbergs konstant . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 r¨orelseenergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 440

S sammanh¨angande m¨angd . . . . . . . . . . . 266 sammansatt funktion . . . . . . . . . . . . . . 134 sannolikhet f¨or en h¨andelse . . . . . . . . . 311 sannolikhetsfunktion . . . . . . . . . . . . . 317 ff sannolikhetsf¨ordelning . . . . . . . . . . . . . 317 sannolikhetsm˚att . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 satsen om rationella r¨otter . . . . . . . . . . . 19 satslogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 ff Schr¨oder-Bernsteins sats . . . . . . . . . . . . 12 Schwarzs sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 sekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 sekularekvationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 semifakultet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 - exempel p˚a serie . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 seriekoppling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 sf¨ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 sf¨arisk trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 SI-enheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 signifikansniv˚a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Simpsons formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 sinussatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 sinussatsen i sj¨alvinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 skalmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 skal¨ar produkt - i R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 - definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 - i koordinatform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 - R¨aknelagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 skattning av parameter . . . . . . . . . . . 338 ff skattningsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 skivmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 slutet intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 snitt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Solarkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 Solsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 spec. v¨armekapacitet . . . . . . . . . . . . . . . 372 spegling i linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Spole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 spridningsm˚att f¨or - sannolikhetsf¨ordelning. . .325, 319, 321 - statistiskt material . . . . . . . . . . . . . . . . 314 standardavvikelse f¨or

Matema R. Emanuelsson

26. INDEX

- statistikt material . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 - stokastisk variabel . . . . . . . . . . . 317, 321 standardnormalf¨ordelningen . . . . . . . . 322 - samband med normalf¨ordelning . . . 322 station¨ar punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Stefan-Boltzmanns konstant . . . . . . . . 351 Steiners sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Sterlings formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 stickprov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 stickprov i par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 stokastisk variabel . . . . . . . . 311, 317, 318 - och h¨andelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Stokes sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 stora talens lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 storheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 ff styrka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 styrkefunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 st¨orsta v¨arde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 st¨ot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 summa . . . . . . . . . . . . . . .P . . . . . . . . 95, 193 - summationssymbolen . . . . . . . . . . 95 supplementvinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 surjektiv - avbildning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 - funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 - homomorfism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Sylows sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 symmetrisk relation . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 symmetrisk relation . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 systematiskt fel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 S¨onderfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

tidsderivata (fysik) . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 Tjebysjevs olikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 tomma m¨angden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 totalmatris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 transcendent tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 transcendent funktion . . . . . . . . . . . . . 136 transitiv relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 transponatmatris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 trapets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 tredje formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 tredjegradsekvation - l¨osningsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 triangel - allm¨an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 - area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 - beteckningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 - olika typer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 triangelolikheten f¨or komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 triangelsolvering . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ff triangulerad matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 trigonometri - definition av sin, cos, tan och cot . . . 47 - samband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ff - trigonometriska funktioner . . . . . . . 46 ff trigonometriska identiteter . . . . . . . . . 47 ff trippelskal¨arprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . 60 tr¨ad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 tr¨oghetsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 tr¨oghetsmoment f¨or n˚agra kroppar 362 ff tv˚apunktsfomeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 tv˚asidigt test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 T Tv˚a stickprov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 tyngdacceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 Talalgebrans fundamentalsats . . . . . . . . 27 tyngdpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 tallinje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 talm¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 U tangent(-linje) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 tangentplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 undersumma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 taylorpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 taylorserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 uppr¨aknelig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 taylorutv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 utfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Termodynamikens huvudsatser . . . . . 373 utfallsrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 terrasspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 utveckling Matema R. Emanuelsson

441

26. INDEX

- av determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 v¨antev¨ardesriktig metod . . . . . . . . . . . . 338 - av paranteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 v¨antev¨ardesriktig punktskattning . . . . 338 - av rationellt uttryck . . . . . . . . . . . . . . . 22 v¨ardem¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 v¨armekapacitans . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 v¨armekapacivitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 V, W v¨axande funktion . . . . . . . . . . . . . ,160 161 Weibullf¨ordelning . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 variabelseparation . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 variabelsubstitution . . . . . . . . . . . 180, 262 varians f¨or statistiskt material . . . . . . . 314 Y varians f¨or sannolikhetsf¨ordelning . . . . . . . . . . . . . 325 yttre derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 - f¨or n˚agra f¨ordelningar . . . . . . . . . . . . 321 yttre funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 vektorer - definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 o - i koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  A , A, O - r¨aknelagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ˚ - skal¨arprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Angstr¨ om . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 - vinkel mellan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 a¨ kta delm¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 a¨ ndpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 - koordinatform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 oppet ¨ intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 oversumma ¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Venndiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 overuppr¨ ¨ aknelig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 verkningsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 vinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 - generering av 60, 90 och 120 . . . . 41 - motst˚aende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 - n¨arliggande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 - r¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 - spetsig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 - trubbig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 vinkelfrekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 vinkelhastighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 vinkelr¨ata vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 vinkelsumma - triangel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 - polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 v˚agr¨orelsel¨ara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 ff v¨alordnad m¨angd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 v¨anskapliga tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 v¨ansterderivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 v¨anstergr¨ansv¨arde . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 v¨anstersidoklass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 v¨antev¨arde f¨or sannolikhetsf¨ordelning . . . . . . . . . . . . . 325 - f¨or n˚agra f¨ordelningar . . . . . . . . . . . . 321 442

Matema R. Emanuelsson