B. Segre ( E d.)
Forme differenziali e loro integrali Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Saltino (Firenze), Italy August 23-31, 1960
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected]
ISBN 978-3-642-10951-5 e-ISBN: 978-3-642-10952-2 DOI:10.1007/978-3-642-10952-2 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma 1963 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
INDICE
G. Dr RHAM - La th6orie des formes diff6reutielles extdrienres et l'hornologie des vari6t6a diff6rentiables .
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68
P.. DOLBEAULT - Snr le gronpe de oohomologie entihe de dimension , dens d'une vsri6t4 analytique oomplexe
)>
139
pag.
1
G. F I C R E I ~ ATeoria assiomatioa delle forme armoniohe
W. V. D. H o ~ o r- Differential forms in algebraic geometry D. B. SCOTT- Correspondenoes between algebraic surfaces
. . . .
E. KXHLER- Der innere Differentialkalkul
.
GEORGES D E RHAM 1961 Rendiconti di Matematica (1-2) Vol. 20, pp. 105-146
La th6orie des formes diffdrentielles ext6rieures et l'homologie des vari6t6s diff6rentiablesC) Par GEORGES
DE RHAM (A
Laust~nne)
Dans ces legons, je lne suis prop086 d'exposer quelques points essentiels de la theorie des forlnes diffbrentielles et de l'hornologie des vari6tBs diff6rentiables, en prenaut les cl~osesdks le dkbut, d'nne rnanikre nusei simple qo'il a paru possible sans escamoter les difficult6s des d6monstrations. Lo leoteur dksireux de poursuivre 1'6tnde de ce sujet ponrrit consulter les ouvrages suivants. V. V. D. HODGE. The theory a?cd applications of lbarwonio integrals. Cambridge Uuiversity Press, 1952. G. DE RHAM.Varidtds difdrsntiables. Hermann, Paris, 1960. B. SEGRE. For?~tediferenzinli e loro integrali I e IT. Docet Edizioni Universitarie, Goma 1951. e 1956. H . W H I T N Eaeotttetvic Y. fntegration Theory. Princeton University Press, ,1957.
, ,
U11e fonction f (x) =f (xi ... x,,), d6fiuie daus nn ouvert 8 de R1*,A vitleurs rbelles, est dite Cr dans G', r btaat un entier 2 0, si sea ddriv6es ci'ordre G r existellt et sout coiltillues dnns 6.Elle est dite Cm si elle est Gr pour tout eutier r>O, et Cm si elle est analy tique.
(') Corso di otto leaioni tennto nel ~ i o i odel CINE (Centro lnternaeionale Matematico Estivo) 811 Rorme differenziali e lor0 integ~aliche ebbe lnogo a1 Saltino di Valloubrosa (Firet~ae)dal 23 a1 31 agosto 1960.
2
GEORGES DlC RHAM
[lo61
-
Uue application f : (1 Rna do 170uvert G c Rqz dans Rnz est dite Cr, r e'tant un entier 2 0 oil CXJ on w , si les coordonudes yi ym du point y =f (x) E Rn"ont des fouctions Cr d a m G. Un ko~ndomorphisme h sera dit Cr,si chacuue des applicatious h et k-1 est Cr. Une application Go est simplement ulie application continue. E n g6ndsa1, on supposere 1.21. Pour x E Rw, dksignons par lj, l'espace vectoriel constitu6 par tous les vecteurs d'origine x dans R9*, et par T ( G ) In reunion des Tx ponr x parcourar~t G. E n representant cllaque vecteur de T ( G ) par le couple ( x , E) forink par son origir~ex E G et le vecteur Bqnipolleut 6 d'origine 0, on reprdsente T ( G ) par I'ouvert G x R " c R ~ ~ ~ de R211. Soit f : ff Rn"ne application GI. On appellera oxtetzsiott d e f 26 T(G), et l'on de'signere par fT, l'npplicatiou
, ... ,
+
de'finie en posant
Cette derliibre lilnite existe et est fonctioli contir~~ie de (a, t) pa.rcerlx,, sent les cornposantes du vecteur 5, les que f est Cf.Si dx, cornposantes d o vecteur g sont
,... ,
,
( j = 1,2, ... tn).
I1 est Bvident que si f est Cv, est Cv-1 (on convient que r - 1 = ~ si v = o o ou w). La restriction de . f T A Tx est une application linkaive de Ij, dans Tm,. P a r suite, j'T (T*) est 1111 SOLIS-espacevectoriel de TflX,, La dimension de ce sous-espace est ay1)elee le vtsttg de f e n 2. U7est le nombre des diffe'rentielles dyj qui sont liu6airement ind6peudantes, ou encore le rang cle la mlttsioe
1 21
A ar lignes et 11 oo~onues.uu
poiut x E G oh le raug de j' est inf6rieus au plus petit des deux Rn* nombres wz et 1, est appele tun pobt critique d e f , son imagejV(x)E est appelde une valeur critique de f. Lorsque tn = n, les points critiques sont ceux oh le jacobien
[lo71
La th6orie des formes diff6rentielles etc.
3
dans Em, tel qoe EC G , on a entre les mesures (au sens de Lebesgue) de E et de son image f ( E ) la relation mes f (E)(K mes E,
I
oh K est la plus petite borne supbrieure de I I sur (K est fini parceque I est contiuoe et E compact). 11 en resulte immbdiatement 16s propositions suivantes : (1.1) Si f est une ccpplication Ci d'un o1tvet.t G de R n dnns R N , 17imcrye pap j' d'ujt. enselnble de tneszcre uz~lleest de mestere nulle. Hi f est zcue application C1 d7u7l ouvert G de R" dirlis RNa et si m 92, f (G) est tie mesure tiulle dans Rm.
>
(1.3) T H ~ O B E MDEE SARD.L'elasetwble des valeurs critiques d'une
nppliccttiot~Ci tl'un ouvevt de R" duns Rn est nulle.
14%
ensenzble de lnesure
2. - Yaribtbs et structures diffbrentiables. Cartes et atlas.
On tbppelle uc~ridtdir, n dimeusions, dans le sens le plus gbn6ra1, tout espace topologique dout chaque point a un voisinage ouvert hombomorphe b uu ouvert de EC". Dans ce q i ~ isuit, uous supposerous toi~jonrsqae cet espace est sbpar6 (c7est-&-dire satisfait A 17axiome de Httusclorf: deux poilrts disti~rctssont toujours contenus dans des ouverts disjoints) et possede une base d6nombrable d'ensembles ouverts. On appelle carte dans utre vari6tb b I L dilnensions V, et 170n dbsigne par (D, c), toute application topologique c d7un ouvert D de R9'sur uu ouvert c (D)de V . L'ouvert D de R" est la sottrce de la ~ ~ r t ec (,L ) ) en est le but. A tout point x E c (D) correspond x,,) E D, c7est-A-direulr systhne de 78 nomi1n point c-l (x) = (xi bres qu' on appelle iles coordo~tndeslocales de x. Toute carte dbfinit a i ~ ~ un s i systeme de coordonnbes locales. Etttut doulr6es deux cnrtes (D, 0,) el, ( D, c,) dans V , dbsignons par D,, l'ensemble des poiuts de U , dout l'imtrge par c, eat dans e, (U,). Cet ensemble Dzi = c;l [ci (D,) tl c, (U,)] est un ouvert contenu dans U , . L7application coe1pos6e c,'oc2=h2, est un home'omorphisme de passaye de la de D,, sur Dig, qu'on appellera 1~1~omdomorp1~isme premiere carte b le seco~rde. I1 est clitir que A*, et Wig sent inverses
,...,
,
,
4
[log1
GEORGES DIG RHAM
,
l'un de l'autre, et si l'on considere une troisihme carte ( D , c3), l'a-pplication compos6e h,, . h,, est Bgale A k,, partopt oh elle est de'finie. Tout ensemble de cartes dans V dont lea buts recouvrent V est appele' un atlas de V. Un atlas de V est dit Cv, si les hom6otrtorphismes de passage relatifs A deux quelconqnes de ses cartes sont Cv. Un atlas (7 serst di t complet Cr,s'il n'est pas contenu dans utl atlas Cr plus graitd, c'est-Mire si on ne peat IS lui adjoindye uue nouvelle carte sans qn'il cesse d'6tre Cv. On v6rifie facilement qne tout atlas Cr est contenu dans un atlas complet Cv, et dalts un seul. Une structure diffe're~ctitrbled'ordre r , 011 s/rctcture Cr, sur utle varie'te' V, n'est pas :hutre cllose qu'un atlas de V complet Q', et uue varie'te' diftfrentiable d'orclre r ou vnrihte' C9' est une viiri6t6 munie d'une structure Cr. D'aprbs la remarque ci-dessus, tout atlas Cr d66nit une structure Cr. Si r s, un atlas Cr est anssi un atlas C8, innis uii atlas complet C'' n7est pas complet CS. On verra que tout atlas co~nplet P ( r ) 1) contieut des atlas complets Cm, et qne ces derniers S O I I ~ , , en un certain sens, tons e'qoivstlents. E n partant d'une variBt6 et d7nn :~tlas, nous avoi~sclA6ni utte famille d~hoin6otnorphismes d'ouvert tle R1',les hoa~Boa~orpbismes de passage. Montrons comlnetlt iuvers6ment, en partatlt d'lu~efamille B qaelques coudid~homBomorp'hismes cl'ouverts cle R", satisfi~isn.i~t; tions, on peut d661~irr t ~ evltri6t6 7 et 1111 atlas dont les hom6omorpl~ismesde passages sotlt lee hom60111orphisaiesdottn6s. Sapposons do1ilt6e une hmille dlouvertjsDi de Rn, i parcou~,ant un certain ensemble d'indices, et pour ch:lyue coeple (i,j) cle deux hy de DV sur indices un ouvert Dij de R" et un hom6otuo~phis111e Dji, de manibre que les co~lditionssnivantes soiet~tv6rifi6es: a) Dii = 1Ii, D i j c Dj ; lhii est l'application identique de JIi sur Dim b) L7application conlpose'e kij o hjk est Bgale A Itil, pa,rtout oil elle est dBfinie. Alors, dans llet~semblede tons les cor~ples(a, i ) tels qlie $EDi, on d6fiuit une relation d'6qaivale11ce = en posw.t~t:
>
(a, i ) = (y, j) si et seulement si y = lhjc(a).
-
Soit V l'ensemble de ces classes d76quivalence, et ci: Di V 17ayplication canonique de Di dans V , qui e~ivoie tout x E Di sur la classe d'e'quivalence cle (s, i ) . Les ioliigea par lea ci des ouverts de
~ 0 9 1
La th6orie des formes diffbrentielles eto.
5
Yi (i pstrcoura~lt llensemble de tous les indices) foment une base dlurre topologie iliius V. Muui de cette topologie, V est une vi~rie'te' B 7t dimensions dans le sene le plns gBn6ral du ter~ne. On v6rifie que cet espace est sBpar6 et qu'il a urle base d61lombrable si les deux conditio~~s suivarrtes sont vBrifi6es : c) pour tout comp:wt K C D;, hji (K fl Dii) est ferm6 relativement A Dj; d) V est 6gal A la r6uuion d'un nombre fini ou infini de'nombrable des ci ([Ii). Si les qaatres conditions a), b), c) et d) sout satisfaites, V est dans le sells precis adopt6 ici, et les uue vari6t6 a 7r dimensio~~s (Di, ci) sont les cartes dlnn atlas de V. Nous dirons que V est la vtrvie'te' de'jhtfiltie pay la jiunil le tl11~ome'otnorp kismes (Dii hij). Cette 1n6thocle de d6firrition va nous servir pour introduire l'espace des vectetc9.s tnngejtts T ( V ) d'uue vari6t6 diff6rentiable V. Soit V une vari6tB Or et (Di,, hij) la famille d7hom60morphismes Gr d70uverts de B w associ6e 21 l'atlas complet GP de V. L7extension 1~: de hij A T(Dij) est un 1romBolnorphisme de llouvert T(Di,) de R2" sor T(Dji), et la famille (!!'(LJU), 11;) d6finit une vari6t6 A 2% di~nensio~rsavec u ~ ratlas Gr-1. On vbrifie ilnnl6diatement que les quatres contlitions ci.dessus s o ~ r tbien v6rifiQes. Cette vccrie'te' est appele'e l'espnce des vecteurs tangeuts de V et de'signe'e par T (V). Chaque cart,e (D, c) daus V fournit une carte (T(D),cT) dans l l ( V ) , ell desigr~ant par oT l'application canonique de T ( D ) dans l l ( V ) , qni envoie cbaque Blerneht sur sa classe d16quivalence. Si 6 est uo vecterir dlorigi~le x E D dans Rn, cT(m, E) est un point de T (V) aypel6 vectetm. ta11ge)bttie V en c (3). Pour chaqne point p = c(x) de V, l'euuernble de ces vecteors forme un espece vectoriel de dimensio~rn, que 1'011 d6signe encore par Tp 011 Tc',(,),et la restriction de cT A Ts est u11 isomorphisme de Ij, sur T,(,, Si (mi x,,) sont les coordonr16es locales d6tinies par In carte (L), c) dans V, e t si l'on d6signe cornme plus haut piir dx, ,dm,, lea co~nposantes dlnn vectenr 6 dlorigine 1.E D, les coordonn6es locales de'finies par la carte ( T (D), cT) dans T ( V ) sont (xi , ... x,, dm,, !ax,,). Un ,vectezcv tangef1.t de V ew p est ainsi de'terw&iwe'p a r Ees coordonntfes locales de p et u~ systbme de valeuvs des di.,fe'refttielles de ces coordoncn6es locales. Ces derllieres valeurs sont encore appel6es les composantes dn veoterlr relativement B la carte (D, c). Soient V et W (lea vari6t6s Cr, de dimensions 71 et nt respectivement. Une application f : V W est dite Cr, si les coordonu6es
,
,
, ... ,
.
,...
, ,
-+
...
6
[I101
GHORGES DE R H A M
locales de y =f (x) sont des fonctions Gr des coordonnBes locales de x. D'nne manibre pre'cise, cette coridi tion signifie qne, quelles qlle soient les cartes (D,c) dans V et (A, y) dans W, l'irpplication y-l o.fo c de 170uvert D n c-1 o f-1 o y (A) cle Rn dans Rn' est Cr (a11 sen8 dBfini no. 1). Une telle applicatiou posskde une extension a T ( V ) ,
Bgale A I'application y T o (y-1 o , f o c)T o (cT)-I partout oh cette dernibre est dBfiaie, q~iellesque soient les cartes (D,c) dans V et (A, y) dans W. Les composautes de l'image par f" d7un vecteur tarngent 6 de V en x s'obtiennent en remplapant dx, , ... ,ax,, par les composalrtes de 6 d a m les diffBre11tielles des coordo~~ue'eslocales de Y = f (4. I1 est clair que f applique linbirement Ta (oh .a E V ) dans Ty (oh y =f (x) E W ) ce qui permet de dBfinir colnme a a no. 1 le rang de f e% x, les points critiques et les valetus cvitiques de f. D a r ~ sle ctis particulier oh f est une fonctiou C r stir V , c'estA-dire line application f : V - R, la composante auique (ou i( vttleur algbbrique~) du vecteur image par gT d7nn vecteur l d'origine dx,,) relativeu~etit B un systbme de x E V, de composantes (dx, ,' df coordonnBee locales (xi x,,) est df = 2 -dxi La difhentielle I dxi d'une fonction Cr 8ur V est ainsi une fonction C sur T ( V ), et sa restriction a Tm est line'aire. La notion d7ensemble de niesure nulle s7Btend aux variBte's Cr ( r 2 1): l'ensemble E E:C V eat dit de mesure nulle, si, pour toute carte (D, c) dans V, c-1 (En c (D)) est de. meallre nulle d a m R". Les propositiotls (1.1) et (1.2) se ge'ue'ralisent immhdiatement :
,... ,
,... ,
.
(2.1) Si f : V- W est une applicatiol~Ci et si dim V = dim W, l'image f ( E ) de tout ensemble E de mesure nulle dnns V est de mesure nulle dalzs W. Si dim V < dim W, f ( V ) est de mesure nulle dane W.
-
(2.2) THBOREME DE BARD. Si 4: V W est trne applicafion Ci et si dim V = dim W, l'ensemble des valeurs critiques ds f est de mesure ?tulle dans IT. A. Sard a tnontrt5 que la conclusion subsiste lorsque dim V - dim W = q 0, pourvu que f soit C¶+l, mais la dBmonstration eat beaucoup plus delicate et nous ferona pas usage. Le cas oh dim W = 1 fait l'objet d'un th6orkme de A. P. Morse.
>
[Ill]
La thborie des .forme0 diffbrentielles etc.
7
Voici encore quelques propositio~lstrbs g6u6rales qui sont d'un emploi constal~ten Topologie diff6rentielle. 011appellera bozcle Cr ou simplelnent bozr.le, dans une vari6t6 C v a n dimensiolls, llirnage c (B), par tune carte (Dl c ) de 17atlas coinplet O r de la vari6t6: d'luile boule euclidienne R de En (int6rieur d7une sphere euclidienue) conteuue avec sa frontibre dans D, BC D. Vest uu o~ivertdolit la frontihre est Cr-home'omorphe A la sphere Sn-1 fronbibre de B dalis Rn. (2.3) Etatlt do~l~ct! uth recouvretnerzt ouvert % d e l a varikte' V , i l eaiste u t ~ vecoufreiuellt .jini o u ddnombrable d e V forvne' d e boules est codelitte d n n s un des ensemB, ( i = 1, 2 , ...), dottt 1'adhe't.ettce bles de % (vtrriable avec i), qui est localenzent $ni, c'est-&-dire que K c V n e relicotttre qzc'un nomb1.e jini d e ces boules. t o ~ compact t Pour Btablir ce thBoreme, partant d'iine suite de compacts K % (= i I , 2, ...) dout chacull est colltellu dm18 1'intBrieur du suivant,
Ki c K ~ + , et~ dont la r6tiuio1l est Bgale 11 V , V = U lTi1 on ve dBfinir uue suite croissa.nte d7entiers positifv
981,
(h = 1,2, ...) et une
nh
suite de boules B i , de lnauibre que Kh c U B ~Eh , fI Bi = 0 pour &l
>
i nh , E i c uu ensemble de 36. o n commence par recouvrir g1 par des boules B, , B,, ... B,, , dolit chacnne est contenue avec $011 adhBreuce dalis un ensemble de %, ce qui est Bvidemment possible. Ellsuite, proce'da~~tpar rBcorrence, supposons d6finis nj
,
pour j l; A et Bi pour i
< hh . Le
compact
(11
E = Kh+l n C U Bi
,
6taut collteliu d a l ~ sI1onvert CKh on peut le recouvl.ir par uh hom1, nh+l) dont les adhBrellces bre 611i rle boules Bj ( j= tth sont coatenties d a l ~ scet ouvert et dans nu ensemble de %(variable avec j), car chaqne point de K est dans une telle boule. Alors on e
+ ... ,
Kh+l
c K U .UBi
)
"h.+l
C U Bi, i-1
Kk
fl Bi = 0 pour i
> nh,
et la
suite qu'on obtiellt satisbit A toutes les conditiolls requises. (2.4) Etmtt doi~nt!un reoowvren,ent localemet~t$fid d e V p a r des boules Bi (i = 1 , 2, ...), oll peut trouver, p o u r cltaque i, u n e fonotion qi qui est C ', 0 d a m Bi et = 0 hors d e Bi d e ?)oattiire que
>
,
8
[112]
UEOK(iES 1)E K H A M
I1 sufflt en effet de prendre une foilction yi qui soit V , dans Bi et = 0 hors de Bi,et de poser
>0
('2.5) Si G' et H sont deux ouverts recozcvrlrnt V , i l eziste deum fonctions C r , p et X, 2 0, b supports cojtlenzcs respective~~ientnu718 G et dans H, telles qtie 1 = p X.
+
Ragpelons que le support d'une fo~~ctiolr o o l ~ t i ~ ~est t i e 17adh6rence de 17ensemble des points ou elle eat =+ 0. Ce derliier thCorbme est u i ~corollaire immddiat du prdcddent. On pr endra un reconvrement localement fini de V par des boules B, dont lpadh6rence est c o n t e n ~ ~ e soit dtlns G, soit dans H (le recouvrelnent % de (2.3) dttlnt form6 par Irs deux ensemble G et H), de sorte que le support des foections pi de (2.4) sera toujours contenu dalls G ou dans H. Ensuite, on prend cp = 1;) somme des (pi tels qne Bit G, = la solnlne des autres p,, pour lesquels a101.s &C 8.Ces fonctionv satisfont alors A toutes les conditions requises. Les formules qui apparaissent dims (2.4) et dans (2.5) sont appelbes des partitions de l'zcnite'.
x
3. - Plongement d'une vari6t6 dalis u n espace num6rique. Th6orhmes de Whitney.
Une application f : V -- RN, qui est partout de rang 7~ = dim 15 injective (ou biunivoque, c'est-Mire qlie f ( 3 ) f ( y ) pour x f y) et Cr, eat appelCe un plongemest Cr de V dans RN.
+
(3.1). Tozcte applicatio~c.Cr (2 < r 5 w) d'u~re varibte' ?I n dimecsions V duns R2*+1 peut &re approche'e d7awssi p r i s qzi'ojc veut par z t n plongentent Cr de V dnns en+l. On verra plus loin que la conclusioll subsiste si r = 1 , mais la ddmonstration eat moins facile. Nous commencerons par Otablir deux lemmes.
LEMME1. 8i f : V - RN est u n plongement Cr de In v a r i i t i b n dintezcsiotts V dairs RN, et si 2 5 r < co et N 2n 1, il existe des directions d duns RN, atcssi voisitzes qu'on veut de n'imnporte qwelle direction donne'e, telles que, n designant la projection de RN
> +
L;&tl~corieiles for~nesclifft?re~~tieIIes etc.
11131
9
stir u~ plna RN-1 ci N - 1 di~nethsio~is ftrite pczrn1ldlet)ient ic d , 17npplicntion n o f : V RN-I soit 2112 plonge?tie,~tde V duns RN-I. Ulle direction dwns R N peut 8tre reprCselrt6e par line droite l~assnntpar 170rigine de R y et 17ensentble de toutes les tlirections forrne ulle vari6tB P N - l , I1espace ~brojectif reel de dimension N-1. Dirol~s qu'une direction est bonne, si n o f eut 1111 plongeme~~t, ~nal~vaise dnns le crls ool~trt~ire. Pour Ctablir le lelnme, il suffira de montrer que I7elrsenlble des n~anvaises directions est de mesore iinlle. Si la direction d est maavaise, on bien n o f nlest pas injective, on Lie11 n o f it 1111 poi~lt critique. ])HIIS le jmemier cas, i l y :I cleux poiuts c!istillcts x et y de V tels que n o./'(x) = n o f (y), c'est-&dire qne d est pal.allble A la oorde pi~sstlnt ptlr f ( x ) e t .f (y). DHIISle second cas, n 0 .f a tin point critiqne x et d est parall8le A nne t ~ u g e ~ ~A tfe( V )en x. Les nlrtnvaises directions nont clone les directions des cortles et des tangentes de f (V). Soit 1 5 la vari6te' A 211 ciimensions form6e par les couples (a.,y) de points distincts x + y de V, et P, I7applic:~tio~~ de 1Y, dans PN-1 qui envoie (x, y) sur la direction de Is corde passaut par f ( x ) e t f (y). L a variBt6 NT, est Cr, conlme V, et El, est Cr, de sorte que, en vertn de (2.1), Pi (lIr,) est de mesure nulle, car dim 1% = 211 N. Soit TA I'ei~semble des directions dans T*, espnce des vecteurs tnngents a V en x, et TV2 la ~ i l r i e t 6etlgendr6e par TL lorsque n deerit V. C7est rille variete ti 211 - 1 dimeusions, inunie couline T ( V ) d1nne structure CY-l. L1apl)lication Fz : W2 I'*-l, qui euvoie tout 6 E T; snr Iw direction des images par .f l' des vecteurs e de de T% parall&les A 6, Btaut Cr-1 cotnnle f T , i l ~ e s ~ l l teacore (2.1) que E; (IV,) est de mesure unlle, car dim W2 N e t r--121. Ainsi, 17ensemble Fi(lFTi) IJF2 (FV2) tles directioas des cordes et des taugentes de f ( V ) est de mesure nolle. c.q.f.d.
-
<
-
<
IJEMME 2. ~Yoient fi u n otivert dnns In utrrie'tk ci 11 di~nensions V , B une botcle dmts V et j': V - - 1{2"+1 une (rpplicafiow C1(2< I - ( C O ) dotrt l a restt.iction ic 1) est ttn plo1tgemettt tie I ) dtrtzs RZ"+l; nlors il exiute ittie applictrtion Cr, g : V R2'*l, tlo~lt lcc restricttoll il 11 U B est u t ~plongetttent de f i U I3 dnns R2"+l, qui ne clifdre de f quc dnas B et d'(russi pet1 pa70tb vezct. Soit I t , 1111 bomComorpl~isme C r dlune boule H' contenwnt B s u r uue boule euclidieune cl'tur plarl A n dimensions de Ru+l .ne psssat~t pas par 170rigine 0 de El1+], et soit 9 uue fol~ctiollCr dnnu 7, > 0
-
GIGORGES DE RHAM
10
[ll41
dans B et = 0 hors de B. Nous d6signons par q~ (x) h, (x), pour x E B', le point de RU+l oblel~uen multipliiint chaque coordon1l6e . 8 : V-- RN+I, de'til~ieen posant de h, (x) par ~ ( x ) L'itppliciition 11 (x) =
si
x$B
est Cr, sa restriction A B est un plolrgeine~~t de B dalls Rfl+l et de plus, si S E B et x $ yE V, h(x) h(y). Consid6ro11s alors l'espace prodnit R2*1+1x Rj1+l= R3"+2 et irleritifio~~s R2'*+1 avec le sous-espace RZu+1x 0. Avec 17application doltne'e f : V- R"++' dans l~e11011~6 du lemme 2 et 17application k ci-dessns, on obieut une application y, = (f, k ) : V - R3n+2, qui ne diffhre de f qlie dims B, pliisque W (x) = 0 pour x $ B ; elle est Cr, car f et h le sent ; elle est de rang n dans D U B, car f est de rang n dans D et h de rang n dans B, ellfin, si x et y sont deux poir~tsdistints de D U B, on R g, (a) gi (y), car f (x) f (y) si les deux poiuts sont daus D et 16 (8) h (y) si I'UII est dalis B. Ainsi, g , est une application Cr de V dans R3f3+2, qui ne diffhre de f que dans B et dont la restriction k D U B est un plol~gerr~ellt de D U B dans R3n*. E n appliquant n 1 fois le lemme 1, on obtient alors une projection parallhle n sur R2nt1, aussi voisine qu'on veut de la projectio~~ orthogonale, telle que g = n o g, soit un plongement C*' de V dans R2'lfl satisfaisant B toutes les conditions requises. Nous ponvons mainteuant d6montrer (3.1). Partant d7un recouvrement locale~nent fill1 de V par des boules Bi ( i = 1,2, ...), le lemlrie 2 permet de construire une suite d'applications Cr, fi: V- R2"+l (i = 0, 1: 2, ...), oh f, est l'application doun6e f, telle que, pour chaque k > 1 , fk ne diff'hre de fk-l que dnns Bk et d'aussi peu qo'on
+
+
+
+
+
k
veut, et que sa restriction A U Bi soit un plongement. Si V est i=l
compacte, la suite est finie et le dernier terme fournit le plongement d6sirB. Si V n'est pas corripacte, la suite est infinie converdBsir6; en effet, k Btaut geate et g = lim f k fonruit le plollgeme~~t k==oo
donub, pour h aesez graud, Bh ne renoontre pas
k
L)k
= U B i , par
suite g =f h dans D k 7 de sorte que la restriction de g
A DI, est un
m
i=l
ploogement, et comme V = U Dk, il s7ewuit que g est bien uu plongement de V
k=I
dtllls
R2"+I,
11151
La thgorie des formee diff6rentielles etc.
11
Uette d6monstratjion ire s7applique pas si I . = 1, car ditirs le lernme 1 il est esseutiel qae I . > 2. Mitis 011 peut la modifier ldghrelnent et obteliir 1111 rest~lttbtplus precis encore valtible pour r = 1. Supyosolis que f : V - RN soit Ci et de rang n = dim V au point y. I1 existe nlors Iln ouvert U c V conte~irr~nt y, tel que pour x 6 U les coordonn6es de f (3) dalrs RN soient des fonctions Ci de n d'entre elles, colrve~rablement choisies (il suffit d7en choisir n dont les diff6re11tielles sout li~~eairementind6pendantes et de prendre ensliite U assez petit). Si ces .foncfinns sont C", on dira pie f ( V ) est Gm at&poist f (y). Remarquons que si une fo~rctioncontinue f ddfinie dans u n o~lvertG de Ria est Cm aux points de G, c G et si y est un poi~rt de G n7appertenitirt pas A G, , on pent approclrer f par uile foliction g, qui ne d i g h e de f que dans un voisinage de y et qui soit Cw daus un ouvert G, contenant C , eb y. On prend d7abord illie fonctiolr g, qui soit Cm daus CS et qai ilpproche f, puis ulle fonction p, B support deus un voisi~ragede y, =1 daus lul voisii~ageplus Btroit cle y, partout Cm et 2 0 ; alors la fonction g = p, g, (1- p,) f r6pond B In question. I1 r6snlte de 1s qne si f : V -- RN est de rang n en toils lea points d'un compact K c V, il existe une application g : V RN qui ne diffhre de f que dans un voisinage de K et d'anssi peu qn70n veut, telle que g ( V ) soit Cm en tous les points de K et en tous les points oh f ( V ) est Om. On peut alors Btltblir la veriante snivitnte du lemme 2.
+
-
LEMME3. Soient, dcrns In varidti V it 71 di~ensiolbs,D U I Lonvevt ic adhdreuce oompacte, B une botile et B' tcne autre boule contenant 2, et soit f: V RZn+l tine trpplicatioj, Or ( 1 < r m), dent l a vestriction 2c 3 est injective et telle qzie f ( V ) soit Gm num poiftts de f (5);alors i l existe une application C*', g : V R211+1, dont la r e s t ~ i -
-
<
-
ction A 8 U 3 est injective et telle que g ( V ) soit Cm aux points de g ( S U B), et qui ne d i p r e de f que dans H', d7aussi peu gu'on vezct. E n proc6dnut comme pour le lemlne 2, on obtiendra une application: g, : V -+ R3IE+2, qui lie diffkre de f que dans B, qiii est C", de rang 12 aux points de 3 U B et dont le restriction B BU B est injective ; en utilisant la remarque faite ci-dessus, on peut la nrodifier dans B', anssi peu qn'on veut, de mniiihre A obtenir tine app11c:atiou g, qui satisfasse en plus B la conditioli que g, ( V ) soit Cm aux points de g2 (BUB). Oela permet alors d'l~tiliser le lemme 1 et la dt5mo1lstratiorr s'achbve comme pour le lenrme 2, 1n6me si r = 1.
12
rll6i
GKoRGrB DIG RHAM
Un raisonne~neuttout a h i t a,nalogne A celui fwit pour Btablir (3.1) conduit alors an th6orb1l1e plus ge'ne'ral et plns precis : (3.2). l'oute applicatiolz Cr ( 1 < r < co) d'tcne vrrrie'tL d 9, dimetisiotts V dane RZ1'fl peut &re approcl~e'e d7arcssi p1.d~ qzc'oa veut par U I plongement ~ 6" de V daws R2"f1, g, tel que g ( V ) soit Cw. Une applici~tiol~ on tin plongelnenh f est rlit propre, si l'image rBciproqne f -l (K) de tout compact, E est un compact. II est facile ile trouver une i~pplicatioiipropre de V darls R2"+l, m6me daus R i : si 1= 2 yi est la partition de 17ullitBde (2.4), la fonction g, = 2 ; yi i
i
d6611it line applicatior~ propre. D7wutre part, toilte application qui approche une apl~licationpropre est prope. I1 el1 rBsulte: (3.3). Toute aarie'ttf Cr b n di~r/e?zsw,bsV ( I 5 r < x)admet tilt plotagement g duns Rzn+1, propye et Cr, tel que g ( 7 ) soit Cw. I1 re'sulte de I& que tonte structure Gr ( r fini 2 1) peut 6tre prhise'e en une structure Ow7 c'est-il-dire qne tout atlas complet Gr contient des atlas Cw. Whitney a montrB qu'il existe des plongemer~tsg eels que g ( V ) soit nou seulement Ow, mais Om, c7est-a-dire wnalytique. RQcemment, Morrey (pour le cas compact) et Grauert (pour le cas g6uBrnl) ont de'montrB que toute varitStB C" & 11 dimensions admet un plongement 0" dans R2"+l. Le sens pr6cis des expressions u approche'e d7aussi prbs qu70rl veut o on 6 diffBre d'iuussi yeu qu'on veut B, dans les BnoncBs (3.1) et (3.2) ttinsi que dans les lemmes 2 et 3, ressort clairement des dBmonstraf;ions. Ou peut 17espliciter en dBfinissaut, dalrs 17espace & de toutes les applications de P dans R N , une topologie, appele'e la Cr - topologie, qu70n clefinit wiusi (pour r fini). & possBde u ~ ~ e structure dlespace vectoriel, comlne RN; la C1'-topologie ast cornpatible avec cette strnctnre, et un systbme foudame~italde voisinages de I1origine de & est form6 par les eilsembles V obteuus de Itd mauibre snivaute : on prend un atlas ((Di ci)) locilerr~eut fini, c'est-A-dire qne tont compact E ne reucoutre qn7un liombre fini de ci (Di)) on choisit pour cllibqlle indice i UII c o ~ n l ~ a cKi t c Di et tun ~ ~ o m b rei)e 0 ; et I1orr forme 17ensemble V des ayplicatiol~sf : V R N telles que, pour chaque i , chaqne coordon~iBede f o cc et chacune de ses de'rivBes d70rdre < r soit ell valeur absolue < ei dans Ki. Pour r Bui, 17a~pproximatio~u qui intervient dans (3.1) et (3.2) doit Btre euteudue au sene 116 la 0" - topologie. Pour r = co, elle
,
-
Lit theorie des formee diffbrentielles etc.
-
[117!
13
sera entendue au sells de la C q topologie, s 6taut un entier fini choisi aussi grand qu70n veut. (3.4) floient V, et V , deux vavitftbs Cw et f : V, -- 7, une appliccction C p (0 (Y < m) ; i l exiate une application Om, g : V, -- Vz, qui approche f d7aussi prds qu'on veut au sens de la Cr-topologie. 8i f eat un hombomorphisme Cr et v 2 1, i l exiete ztn l~ombomorphisme Cw, g, q~ciappl oche f au sen8 de lu Cr - topologie. I1 r6sultera de Id que si deztx vvnitftbs CC" sont C" - Itomtfomorphes ( ~ 2 1 elles ) ~ sont Cw - homknaovpl~es.07est en ee sen8 que toutes les structures Cw qui prkeiseut une n16me structure Cr(r 2 1)penvent Btre consid6r6es collime Bquivalentes. Par contre, Milllor a 1rrontr.6 qu711 existe des vari6t6s Cw qni sout ho1116omorphessans Btre Ci-hom6omorphes, et Kervaire ti trouv6 une variBt6 qui d a d met pa de structure diffhrentiable. La d6monstration cle (3.4) lrtilise la notion de voisinage tubulaire, qae nous allons d6fiuir. Soit V une vari6t6 Cw A n dimensions, proprement ploug6e dsus RZtt+1,et soit x E V ; il existe un nombre Q (x) 0 tel sue, pour tout point y situ6 sur une droite de R"u-t-1 normale A V en m et A tune distance < Q (x) de x, le point r est plus rappoch6 de y que tout autre point de V, et il est loisible de suppoaer que Q (x) tast tule fonetion Ow Bur V. L'ensemble de tons les points y de R2"+1 situ6s sur ulle uorlnale it V en u11 point x A une distance Q (4 de x, qu7011obtient eu, preni~~nt t o u t ~ slee norulales en m et ensaite tous lee j)oi:lts x i V , eest un ouvert 2 de R2t1+1 appel8 uoisit~age tubtclnive de V. L7applioation p : 2 - V qui y E 2 sur le point x de V qui ell est le plus envoie c l ~ n q i ~ yoillt e rtcppoch6 est u ~ l e~.&tr(cotio~a de 2 sur V. Your Qlitblir (3.4), on suppose V , et V, p r o p r e ~ r ~ eplongQes l~t clans R2"+1 et 1'011 ell considere des voisit~agestubulailes 2,et tlvec lea r6tractions correspondal~tes p i et p, L7application f : V, V2 s78tend ell uue spplication P = f o p , : 2, V, c R2i~+l. D'apr6s des tl16orb111esc o ~ ~ l l usur s 17aj)proxin~atioi~ des fonctiolls d6finies d i n s un 011vert dlun espace num6rique, 011 peut approcher P par une sppliciltioll Cw, G :2, R2"+l, et pourvu que 17approximation soit suffisa~~te, O I I aura G (Ti)C T$. La restriction de p, o Cf A V , est alors ulle application g : V , -- V2 qui satisfait aux conditions requises. Si f eat uu hom6omorphisme Cr ( r 2 1) et si g approche suffisemment f ao sens de la Or- topologie, le jacobien de f ne s'annulnnt pas, celui de g ne s7annulera pas non plus et il en r6sulte que g est anssi nn hom6omorphisme.
4
>
<
.
-
-
c,,
-
14
Les r6sultats qu'on ne restreint diffhrentiables que C'est ce que nous
4.
l1181
GEORGES DIG R H A M
- Pormes
obtenus concerliant les structures Or montrent pas la g6nBrtllit6 en supposant yile les varie'te's 1,011 consid&re sont muuies d7une structure Cw. ferons claus la suite.
diffhrentielles.
,... ,
Ep tangeuts L7ensemblode toutes Ies suites de p vecteors E, en un m6me p o i ~ ~x t d7nne vari6te' V forme, pour z donn6, la vnri6t6 T$ produit de p exemplaires de Tz.La re'union de tous les Tz fonlie, pour x decrivant V, une vari6te' T(p)(V). A line strncture CS de V correspond cauoniqFemeut uue structure C8-1 de T(p)(V), colume dans le cas p = 1 oh 1'(l)( V )= T ( V ) . Un point de T(p)( V ) est cl6terrrliue' par IIIL point x de V et p vecter~rsE,, Ep t a ~ l g e l ~ tLs V en x ; ou le d6siguera par ( 8 ; 6, tP). 011 appelle i~lorsp;forfne s2cr V (ou forme diffdrentielle ext6rieure de degre' p sur V j toute fo?tction a (x ; 5, tp) de$nie sur I1(p)( V ) p i , pour x fixe, est linhaive p a r mpport ic chaoun des vecteztrs Ei, et altertte'e, c7est-Mireqn'elle ohauge de signe lorsqu'on permute deux de ces vecteurs. On dit que la p-forme a sur T est O r , si lit fonction a (x ; 5, ip;cl6tinie silr T(p)( V ) est Cr On dit que a est ?&ullea n , Q ) = 0 quels que soielit les vecteurs poiut x E V, si a (x ; E, E, Q On appelle support de a 17adh6rence de 17ensemble des poiuts de V oh a ue s'aunule pas. Pour p = 0, on oonvieut qu7une 0-forme est silnplemel~tune fonctiou de'finie sur V. Le produit uxtdrirur a A p d7une p-forme a et d'eue q forme est, par de'finitioll, la (p q)-fonne
...,
,... ,
,... ,
,... , , ... , .
.
, ...
+
aA
p (x; 5, ,...,&,+,)
=
i
...i
j
2 ~,!,,5;/""q it<...
'
a ax; 5il
,.-,E5) p (s;
Ej, 7.-,
[jq)
ji<...<jq
. .
oil d""." est le sya~bole de Kronecker iisuel. On ve'rifie que ce l...ll produit est distributif, associittif et satisfait L la loi d7a~itico~nmuti~tivit6p A a = (- 1)PQ a A 16. Si 1'un des degr6s p ou q est nul, ce produit se re'duit nu produit ordinaire t17ane forule par uue fonction e t le sigue A peut 6tre supprime'. Soil p : V -- W uu applictttion Cr( r 2 1) de la vari6t6 V dans la vi~~i6Le 7V. Son extension ,uT B T ( V ) applique un vecteur E tan-
La thborie des formes diffbrentielles eco.
[I191
15
gent 11 V en x sur le vecteur p T ( t ) tangent A W en ,u (x). A toute p-forme a snr W correspo~ldalors une p-forme p C a sur V dkfinie en posat~t
Cette forme p " a est appel6e 17image t~anspose'e de a p a r p. E n particuliel; pour, une follctio~lp,, on a p* p, (x) = p, (p(3)).On v6rifie que cette operation p* est line'aire, e t qn'elle est permutable avec la multiplication ext6rieore : p" (a A p) = p" a A ,uA4. De plus, si a est C8 (s < r - I), p" a est aussi Q On a d6jA reinarqu6 an no. 2 qae la differentielle d7unefonction sur V est une fot~ctionsur P ( V ) , dont la restriction A 1; est liu6aire, c'est-A-dire que c'est une l-fonne. En y:~rticulier, dans Rn avec les coordonn6es d x n , la iiiff6rentielle dxi est la l-forme uomposaute de 5. On v6rifie alors que, sur telle que dxi (5) = ieme un ouvert L) c R n , toute p-forme peut Atre reprbsente'e, d7une manihre unique, par w e expression de la forme
.
, ... ,
. , ~ des fonctiol~sdkfinies dans D. La foroh les coefficients ~ i ~ . .sont lrle est Cr si, e t seulement si, ces fouctions sout CT. Si n ~ a i ~ ~ t e na~ uest t une p-foru~esur une variBt6 V e t (D, c) une carte dans 7,c7est c" a yui est Bgale 11 u11e expressiot~ telle que (I), expression qn70n appellertl reprbetttatio?b de a dlrns In carte (D, 4. La diffkrent,ielle, envisagee comlrle urie ope'ration qui fait correspor~dreA toute 0 - forme p, la l-forme dq~,se g6n6ralise colr~me I'indique In proposition suivante. I 1 existe une ope'ratiox qzci -fitit cor~.espondreic toute p-forme a (szcppose'e Cr 1. 2 I ) szcr tcrle ecarie'td V, utle (p l)tlbrme da suv V, se re'duisarrt it la iiife't.eqbtielle poicr p = 0, el, jouissant des proprie'te's suiva~ites:
+
,
C2
+
+
d (a, a2)= da, da2 2O) d (a A = da A 1 (- l)p a A dp, oh p=degr6 de a. 3O) d2 a = 0 pour toute Io~qnea (suppose'e O2). 40) Si p : V - - Rr est ufce appliotrtiojb C2 et si ,d est unefornie X U W, ~ dpC/?= pCdB. Oette ope'ration est zbfbiqzce. 10)
+
16
GEORGNS DE RHAM
[I201
Sails insister sur li~,d6moustratio11, qu'on trouve sous une forme ou une illitre dans tous les traite's, il suffira de remarquer que n d dalia R7\ l'op6ration d = 2 d x i A - qni change la p-forme (1) en 1 axi
jonit de toutes ces proprie't6s, et qu'elle est 121 seule. La d61nonstration s96tend ensuite A une vitri6t6 en erllployant des cartes e t en tenat~tcompte de 4O). L70y6raLiot~d a i ~ l s idbfinie est encore appel6e d(ftft.eutielle (ou tliE6rentielle ext6rieure). Nous allons ellcore ktablir une wutre formale, l i b jbrclula tl'lbomotopie pour les formes. Soit p,: V - - W une applicatio~ld6pe11dimt d'an parametre rGel t, telle que I'application
dbfinie en posant p (3, t) = pt (x) soit C T . Noiis dirons qu.e pt est une hol)totopie Cr Dans ce qni suit, uous utiliserolis cles coordor~ne'es locales x1 , xn e t y' ... yln, d6finies par des cartes dans V e t dans IF; t, xi xq1sent :tlors des coordonnBes loci~lesdaus V x Ii. Pour simplifier l'Qcritare, on co~~vie~ldrit d7ideutifier les formes nvec leurs repr6sent;rLions dans ces cartes. Si a eut une p-forme sur W, ,u"a est utle p forme stir V X R e t ,ufa uue p-fonne sur V , dont les coefficients d6pendent de t. Mais p:a perlt aussi &re consid6r6e comlue tlne forme sur V x R, d'un type particulier en ce qii7elle 11'a pas de t e r ~ n e contenant dt. On obtieut les exl~ressiousde ,ura e t de p f a A pertir de I'expression de a au tnoyen des coordoi~neslocales yi, ...,ym de y=p(z,t)ElB en re111plilgi111tces coordo11116espar lel~rs expressions en fonction sn ; lrlais pour !L: z on (1e~l.i~ coilsid6rer t comnle uue de t, xi, co~latic~~te. Oelib 111ontreque p:a eat la somlne des terrnes cle 14" a qui Ile contietllleut pits dt, et en mettaut (It en 4videlrce ditt~s les sutres terrnes, on peut Bcrire
.
... ,
, ... ,
, ,
...,
oh T u est tine (p - 1)-forme n'ayi111t par de terme co~iteuautdt. (:ettJe formi~lrd6fiuit l'op6rateiir 'MI.
r1211
La thborie des formes diffirentielles eto.
17
EII (liffd~.et~tiant,et remarquant que la di86rentielle de ,u:a d co11sid6ri.e comnle ulte p-forme dans R X V est ,ufda dt A -,u:a,
+
il vient
Maio cette (p
dt
+ 1)-forme est 6gale A /c"
da = dt /\
9lZ da + ,uf du,
On pent diviser par dt, c:ir lee formes en fitcteor ne contiennent par dt, d'oh
et en intBgrant par rapport A t de 0 A 1 et posant
(4.1)
il vient
O'est lit formule d7hotnotopie que 11011s voulions Btablir. L7op6r:tteur li~t6aire111" d6fini ci-dessus sera appelh 170pe'~atez~r associe' ic Z'hotnotovie pt (0 5 t < 1). Relnarquons qne cet op6rllteur diminue le degr6 d'une unit& Si S eat le support de a, les supports de %a et ,u: a, co~isiderees comme des formes sur V , sont coutenus ditlls l'image rdciproque ,utl(A') de A' par ,ut. Le support de hi'" a est nlors contenu dans la ;, (8)pour t variant de 0 A 1, enselnble qu70nappelreunion des 'u lera trajectoire rdciproque du support de a.
18
BEORCNS DE R B A M
5. - Groupes et rnnerux de cohon~ologie cl'une vrtri6t4, d6finis jl,
l'rtide des formes diff6rentielles.
Une forme a est dite .ferntBe si da = 0. Deux formes a, et a,, sur une varibti5 V, sont dites hon~ologues,a, N ccz, s7il existe uue forme 1 sur V telle que a, - a, = dB. Toute forme homologue A zero dt:~ntfermbe, les formes bomologues 4 zero constituent un sousespilce vectoriel de 17espacevectoriel des formes fenn6es. On appelle espace vectoriel de cohon~ologiede degld p de V , et 1'011 d6signe par Hp (V), le quotient de Pespace vectoriel des p-fonnes fermBes par le sous-espace des p-formes homologues 4 261-0. Les BlBmenta de Xp ( V ) son ainsi des classes constitue'es par toutes les formes ferm6es homologues 4 l'uue d7elles. Pour prbciser, noas supposerons que V est Cm et nous I1e prenoils que les formes Cm. On verra d'willeurs plus loill qu7eu prena~itles fornies Cr on est co~lduit21 des espaces de cohornologie tous isomorphes, quel que soit r. Si a et @ sent deux forrnes fermbes, la classe de a A p ne dBpend que des classes de a et de ainsi qulil r6sulte de la formale de diffbrentiation d'un produit. Cela permet de clbfinir le produit ~ de Hq (V), qui fournit un d'un Blbment de BP ( V ) par I I BlBment BlBment de HP+q (V). La, solnme directe des Ha ( V ) (p = 0, 1, lz) constitue alors un auneau graditd, a(ppel6 17tr~metru 17e col~ontologlede V. Nous le dBsiguerolls par H' (7). Toute i~pplication Cm, f : V-• W, induit un h o m o ~ n o ~ ~ p b ide s~t~e H ' ( W ) daus H r ( V ) , par lequel 17image de lit classe d7une forlr~ea sur W est la classe de la forme f" a sur V. DBsig~lons cet homo morphisme pits f Deux applications sont dites Cv-homotopes, slil existe une Cv-honlotopie pt telle que lliule des applications soit po et llautre p i . I1 rdsulte immbdii~tementde la font~nled'homotopie (4.2) que deux applications U r n - homotopes de V cltuns W i ~ ~ d u i s ele i ~ m6me t homomorphisme de H'(W ) dans 8'(V). I1 est facile de voir que deux applicatio~rsCm suffisammel~t 1V propreir~eut voisines sont Cm holnotopes. E I I effet, sul)poso~~s plonge'e dans RN, soit Z 1111 voisi~~age tubulaire tle W et r la rBtraction de "C sur W , Si les deux applications po et p, de V daus W sont suffisamment voisines, le segment de droite joignant po (a) 21 p, (8) sera toujours conteuu dtdns Z et en posaut pt (x) = p [(I - t) po (x) t pi (x)]on it 17homotopiedesir6e.
@,
...,
'.
+
,
La th6orie des formes diff6rentielles eto.
m31
19
Supposons maintenant que f : V -- W est une applica,tion contime. D'itpres (3.4), on peut 17itpprocher par des applications Om, qni sero~lttontes Cm-homotopes entre elles et indniront le meme ho~nomorphismeque nous ponvons alors appeler 17hon~omotpl~isme itc.dzcit ptcr f et d6siguer encore par f'.
(5.1). Deux applicatiotts continues hol~totopes de V dcxns W induisent le mdme homomorphisme de H' ( W ) da~zsH' ( V ) . Eu effet, les applications Cm qui approchent ces applications c o ~ ~ t i u u eseror~t s aussi homotopes, e t par suite Cm-homotopes, (on deduit en effet de (3.4) que deux npplications Urn qui solit homotopes sout Cm-homotopes).
(5.2). Si V et W ottt le m6me type d1homotopie7 ew particulier si V et W sont home'omorpl~es,H' ( V ) et H' ( W ) sont isomorpkes.
-
E n effet, si f : V -- W et g : W V sont telles que f o g et g o .)' soient holr~otopes A 17identit6, oil a f' o g' = (g o f ), = 1 e t g' of' = ( f o 9)' = 1, de sorte qlie j7 et g' sont des isomorphismes, chacuu illverse de 17aotre. Daus uue vari6t6 nou compa.cte, il y a lieu de consid6rer 1111 autre anllettu de cohomologie, l'trnneazc de coho~~tologieic supports compaots, H,' ( V ) . Bornons 11011s A consid6rer les formes Cw A support compact, et disons que deux formes sont comycrctenietbt homologzces si leur diff6r~nceest lit diffdrentielle d'une for~neA sopport compact. En proc6tla11t exacte~nent coinnie ci-dessns, 011 de'finit alors l'anneau H , ' ( V ) e t llespace vectoviel de cokon~ologie de degve' p ic upp ports compacts 11: ( V ). I1 fimt remarquer que l'image trauspos6e f 'a d7nne forme u a support compact n7est el1 ge'116ral pas A support compact, sauf si l'i~pplicntioii 1' est propre. Aussi n'est-ce que pour les applications propres j': 1.' W que 170a de'jittit un l~omomorphisme induit de H,' ( V ) dnns H,' ( W ) . Disons que deux applications po e t p, sont pt.op?.ement lton1otopes, s'il existe n n e ho~notoyiept pour lsqlielle la trajectoire re'ciproqae de tout compact (d6611ie A la fin d a uO. 4 ) est 1111 compact. Alors (4.2) entraine:
-
(5.3). Dezcx trpplicatiotis proprewtent lton8otopes de V dans ittduisent le sze"nte komontovpAis))le de HC)( W ) dans Hi ( V ) .
W
GEORUlS DIE RHAM
20
[I241
Disons encore que deux vari6t6s V et W ont le m&me type d'homotopie propre, s7il existe deux applications propres, f : V -- 1Y et g : W V , telles que f o g et g o f soieut proprement l ~ o ~ r ~ o t o p e s rl 17identit6. Alors :
-
(5.4). Si V et W oat le 11t6wie type d71~ontotopiepropg,e, en particulier si V et W sont kom~o~orphes,H,' ( V ) et .&' ( W) 8011t isomorphes. D7aprbs (5.2) et (5.4), H'(V) et H,'(V) sont des invariants topologiques de V. Les nombres de dirne~isions(qui peuvent Btre finis ou infinis). des espaces vectoriels H P ( V ) et H: ( V ) sont done aussi des invariants topologiques. Nous les noterons P P ( V ) et PC!' ( V ) ,
P Y V ) = d i m H P (V), Pt ( V ) =dim H r (V). Nous allons maintenant consid6rer quelques ertemples, en commengant avec Rn. Utilisol~s17homotopie pt x = tx (0 < t < I), x € RgE.Si a est nne 0, on a ,u; a = 0 (oar p,Tf=O pour tout vectenr forme de degr6 0. Conime 6) et si dcc = 0, en vertu de (4.2) on a a = dM" a d'autre part H O ( R n )n7est pas autre chose que 17espace vectoriel des fonctions constantes sur R",il en r6siilte :
>
KJ
Pour l'homologie 11 si~pportscompacts, on a
La d6monstration est un peu plns dClica,te. J e vais esquisser ici une m6thode 616mentaire qui nre parait i~~st~ruotive. Nous verrons ylus loin commelit le r6snltat peut Btre obtenu sans wacun cnlcnl, lr~aisaveo des moye~lsylus poissal~ts. Remarquous d7abord qlle si a = ct (.r) dxi r\ r\ dxn est nne n-forme il support compact dans R",17int6grale
...
La thhorie des forlues diffhrentielles etc.
11251
2L
a toujours un sens, elle est 2 0 si a (8)2 0 , et si h eat un honle'otnorybis~neCi d'un ouvert counexe cle R1I coutenaut le support de a sur un i~utreouvert de Ru,on a
+
si le jacobien de h eat positif et le signe avec le signe eat n6gatif. On a ensuite la proposition sriivante :
- s'il
(5.7). Si ,6 est une (n - 1);for))teCi b support oompaot dans R",
Sag
= o.
I1 snffit de conside'rer le cas oii ,6 se reduit A un seul terme,
1)a.r exeiuple ,6 = b dx2 /\
... /\ dm1' et la
1 +m
compact,
db
db ... A dmn, adors dB = d xi
&i
/\ dx2 A
...
propositioii r6sulte de ce que, le support de b &ant
dxi = 0.
-03
r
Choisissons une fonction Cm, n (t), nulle lors de l'intervalle
- 1
< 1, 2 0 et telle ...
que
a (t)at = 1, et posons
-m
w = n (d) a (x2) a (xn)t7xi A
... A dxll. I1 eat
clair que
de sorte que w ~t'est pas cornpactement homologue A zero (en vertu de (5.7)). On a ensuite la proposition suivante : I 1 existe ue opdr.ateu~lirtdaire continu I qui chavbge toute p-forme Cm b stcpport compact daus Itn en ufte ( p - 1);fornte Cm i support bowtpact dans R", tel que
dIa=
I
a
S
- Cw, avec C = a,
s i le degrd de a est n,
si le deg9.d de a est
< ~t
et da = 0.
D6siguons par d', w',
I'
et I' lea analogues de d, w ,
littifs au sous-espsce Rn-1 de Ru d66ni en yossnt d = d'
+ dx'"
a -, ci, = w' A a (xn)axn. 8 xn
!
et I r e -
= c o ~ ~ sOn t. a
Si u est urle p-forlee dans
+
RW, on peut 6cril.e a = a, (xu)A dxu a, (a"), oil a, (xN)et a, (xN) sent deu fortnes de degr6s p - 1 et p dans IF-1, dependant du ptrrsluktre x u , a, = 0 si p = 0 et a, = 0 si p = n. Procedicnt par r6corrence, on d66uit I a 17aide de I' en possut
I ' a , A dx" 4- (-- I)*-'
I[
- a(tf.1
dt
si p = n',
Le depart de In r6cnrrellce est dQtermin6ell c o n v e ~ a nque t Ia=O sip=O. On v6rifie que I'op6rateur I ainsi d6fi1ii satisfait bieu aux conditio~~s requises (que chacun fasse la v6rifioation !), et (5.6) r6sulte immediatement de 18. Comme corollaire imtn6diat de (6.4) et (5.6), citons le c6lbbre th6orkme de Brouwer (1911): $i 7t $: In, R1l et Rm tie sont pns homt?owt orpibes. Pour la sphere A n dimensions Sn, on d6duit facilernent de = 0 si 0 < q .n. (5.6) qne Po(#I1)= P f (fin)= 1, Pq (Srl) Ponr uue vari6t6 conuexe B a dimensiot~sV, on a P o ( V ) = 1, P: (7)= 1 ou 0 selon que V est compacte ou non (v6ri6cation immediate !). Nous sllons encore d6terlniller P,"(V), rnais pour cela il faut d6finir la notion d70rientabilit6. On dit que la vari6t6 V est orie~ztcrble,s'il existe nn atlas de P pour lequel les hom6omorphismes de passage ont leur j a c o b i e ~ toujours positif. Disons qn7un tel atlas est orieut6; on voit facilement que tout atlas Cv orient6 de V est contenu dans un atlas Cr orient6 complet (c7estM i r e qui ne peut PAS &re augment6 par adjonction d'une nouvelle carte sans qu7il cesse d78tre G" et oriente), et si V est orientable et connexe, il existe exclctement deux atlas Cr orient6s oomplets de V ; chacun dleux d66nit une orientation de V. Une vari6t6 connexe orientable admet aillei deux orientations, chacune est ciite oppos6e A l'antl~e. L~hoit16omorphisinede passage relatif
<
La, th6orie des formes diff6rentielle.q eto.
11271
23
B deux cartes de la mbme orientatioli est positif, celui relatif B deux cartes d70rieutations opposkes est nkgstif. Si V est orieste'e, c'est-A-dire si V est orientable et si 17011a choisi un atlas GI' orieut6 complet, soit t', on peut d6finir l'i11t.6grale d'1111en-forme a A support cotnpact dails V, de la uiauibre suivsnte. Utilisallt lure partition de 17ut~it61 = 2 Q){ (telle que celle de 2.4), i
collsidbre potir cbaqne i ulle carte ( D i , ci) cle t' dout le but ci(Di) co~ltientle support de pi, et 170n pose 011
On vBri6e que la vtileur aillsi obtenue ne dBpend que de a et du choix de l'orientation de V ; avec 170rientation opposBe on aurait 1s vicleor opposke. La proposit,ioll (5.7) se g6116ralise: (5.8). Xi /I est uu (n - 1)-fovme Ci b support compact dnns la
varitfttf oriejzthe b
tr
I I
dimetbsiol~s V, on a dP = 0.
Cela Btant, choisissons nue n-forme w , B support compact contenu d i ~ n suae boule B C V, telle que
ch = 1. La vari6tB V Btant
connexe, OIL peot joiudre 13 B Irc boule Bi contenant le support de yi par nil icrc, e t 1'011' en d6dnit facilelnent qa'il existe une boule colltellalit A la fois B e t Bi. Cette boole Btant hon16omorphe A Rn, il rks~tltede ce qu'on a Btabli que y i a est conrpactement bomologue
A Ciw, avec Ci=
A
I1
via, et par suite a est compactement liomologue
Cm, nvec C = a. Oeln eutrn8iue P : (8)= 1. J
Supposol~smaintenant V connexe e t Iron orientable. On ne pent ~111sdCfinir l'iut6grale d'uue wforme sur V. Mais on peut encore choisir uue n-forme w, B support co~rrpactc o n t e ~ ~dans u une boule B C V, dont 17intBgrale e'tend~~e B In boule B orientbe vaut 1. Soit &' nne clutre boule ne rellcontrnut par B, w' une n-forme B support comps,ct d a l ~ sR' d o l ~ tl'int6grale Btendne 8, B', prise avec une orieutation d6terlnin6e, vnut I. Le fait que V n7est pas orientable entraine qu'11 existe deux ouverts connexes orientables conte~lantchscun B et B', tels que les orientations de ces ouverts qui coincident dans B' ne coincident pas daus B. Le raisonnement fait cidessus pour
24
[las1
OEOK(:ES DIGSHAM
lea varie'tBs orientables, applique' successivement B c l ~ a c u ~de l ces deux ouverts., m o u t ~ eque w' eat compactement homologne A la fois w et & - w, d'oh re'snlte que w eat compnctelneut homologue B zBro? et I'on dBduit que P : ( I f ) = 0. Si V eat counexe et non compaete, on :I toujolirs P N (V) = 0. Your le montrer, partant d'une n-forme w dBfinie comnle ci-dessus, on ponrra constrnire une suite de n-formes w, = w, w , we, dont lea supports s'e'loiguent inde'finiment, et line suite de (n - 1)-formes pi, dout les supports s7Bloig1ient aussi ind6finimeut, telles que dpi = wi d'oh d 2 p i = w , etc (que chacun achbve IH d6monstrati011 !). ConsidBrons inaintenaut deux variBt6s connexes et oriente'es V et F, de m6me dimension n, et una application propre f : V W. Soient a et p deux n-formes a support compact, dans V et W respectivement, telles que
,
...
...
-
des bases Lenrs classes d'homologie compncte (a) et [p) four~~issent de H ~ ( v )et H t ( W ) . L7irniige de { p ) par 17homornor~~hisrne f1: H r (W) H t ( V ) ind~lit par f eat nlors un multiple de (a), f ' (8)= k[a]. Le nombre R, qui oaractBrise cet l~o~nomorphisme, eat appel6 le degr6 de f. Nous allons ~nontrerque c'est un nombre entier. Nous pouvons supposer que f est Ci, et mkme O m (en IH remplapant par une autre application de la m6me classe d7hornotopie propre). Alors f"@ Btant compactement homologue il k a, on aura +
Soit t o une valenr non critique de f (il en existe en vertu de 2.2). Son image rhciproque f -l (w) eat un compact en chaque point duquel f eat de rang n. Ces points sout par suite isolBs et en nombre v,.). L'imnge 16ciproque f -l (D) d'un fini, soit f-1 (w) = (v, v, ouvert connexe D assez petit contenant w sera la re'nnion de onverts deux-&-deux disjoints, D, D,. contenant respectivemeut v, v,, et la restriction de f a Di eat un homBornorphisme de Di sur D. Supposons le support de /3 contenn dans D. On aura.
, , ... ,
,... ,
,... , ,
La t116orie des forllles diff6rentielles etc.
~1291
25
avec le signe du jacobien de f dans Di (jacobielr relatif B des cartes cl~oisiesen tenant co~ul)tecles orientntion clonn6es de V et W). Comme d'autre pttrt
O I I voit que k eut Bgitl B la diffbrence entre le uombre des points de J'-I (w) oh le j~cobiellde f est positif et le uombre de ceux oil il est n6gatif. C'est donc bien nn elltier, et I'OII voit en meme temps que cette diffhrenoe ne dBpend pas du choix de w e t a la 1n6me valeur pour toutes les applic;~tions cl'une m&me classe d'homotopie propre.
6.
- ChaS11es. Esprces vectoriels d'homologie dhfinis a l'aide des cl~aiaes.
Un d16tttent de p-chtriae, dans une vltri6tB V, est une application n : 17 V d7un polybdre convexe orient6 21 p dime~isionsIIc Rp dans V. Ponr p = 0, c'est si~nplemeetn n l)oil~tde V. On dira que n est 1 i ~restrictibrl A R. d k n e cet BlBmeut est Cr, si 1~appli~ntion application Cr d'au ouvert de RP c o ~ l t e ~ l a n t Les Qldmel~tsde chaiue envisag6s serollt toujonrs snpposbs Cr itVeC r 2 1. L7int6grale Btendue Zt 1'61611rent de p-chadne e = (n: Ll V) d'une p-forme a sur V eat par d6fiuitioa -+
a.
-
Pour p = 0, c7est 1%valeur de la fonction a an poiut e. Une p-cl~aittepwie dans V est de'fil~ie par uue combiuaiso~ilir
n6aire c = i k i e i d7unnornb1.e fini dh516me1rts de p-chaiues ei(i=172 ,...,r ) i=1
dans V7 et PintQgrale de
111
p-forme a stir lib p-chaiue
c
est par
Noua conviendrons de consid6rer delix telles combiliaiso~~s c , et c2 comme Bquivslentes et defiuissant 1s 1n61nep-cha,iue, si lea iutBgrales sur a, et sur oz de toute p-forme a so~lt'Bgslea, Une p-chdue eat
26
[I301
GtiOKGtiS DE RHAM
a.insi une clt~ssede c o ~ n b i ~ ~ a i s oline'aires ns d7616meuts de p-chai~res too tes 6quivalelrtes el11re elles. Si les coefficienbs lcj sent el~tiers, on diril que lit c h i n e est eicti8vc. Ell g6116ri1lles ki se~.ontdea nombres r6els qselcol~qaes. Nous cnvist~geronsanssi des chodries i~~jilcies,repr6sente'es par cles eombiaaisol~sli~~e'aires d'nn r1omb13e infini tl'616me11ts de oha:lue, assiijettis B la contlitio~r que tout co~npact de V rl'en rencontre qu7nrr ~ ~ o ~ n lfi11i ) r e: les ch~irlesil~tlniesserol~t t o n j o ~ i ~localea~ent ~s fillies. L'intBgrale d'ulre p-forme sur urle p-cllaine ilrfinie est definie comme ci-dessus, msis HU lieu d'une solnme OII n ulle sBrie qui peut &tre divergente ; relnarquons qu'elle sera toujoura convergente lorsque la forme a un support compact. L7image de I7616ment d e chaine e = (n: 17- 1') dans V par 17a,pplicationf : V W est par defilritioll lJe'l6ment de chaine f e = = ( f o n : I7 W ) dans W , et 17irllage de Itl, c11ai11ec = 2 ki ei est cl6finie par linQarit6: f c = 2 k, (fti). Si c est infinie, il ftiudra supposer que f est propre (sinon f c nc serait en g61161'al pas looa,lement finie). I1 r6sulte de cette definition que pour toute forme a I'on a
- -
Pour d6finir le bord d'un 6l61nent de p-chsine e = (n: 17-- V), nous co11sid6rons les fa,ces B ( p - I) dimensions IJTi de 17 e t nous les orielrtons de lit rnallibre srlivaute: si I'orientation d e DC RP est ,x,, e t si Di est contenu d a ~ l s defilrie par les coordounCes x i , cc2, le solis espace Zip-' d6fil~ipa,r z,= 0, oo prelld 170rientation de Di d6finie par les cooidonn6es x, x, ou l'orientation oppos6e, selon que 17 est contel~n dalls le demi-espace x, 0 ou dans le demi0 de RP. Cela 6h11it, le bord de 17616ment de p-chaine espace cc, e est par d8finition Is ( p - 1)-ohaiue be = 2 e 6 , oh ed est 17B16ment d e ( p - l)-cha911e ei = (ni ITi V ) , dQsiguant la restriction d e n II Si p = 1 , 17 est un i~ltervnllea' xi tr" e t b e est par d6fiuition la o-chnine n (a") - n (a'). On definit alors Ee bord d7ulte p-chairre c = 2 lii ei par liu6itrit6, en possnt b c = 2 ki (b ei), pour p 2 1, et 1'011 c o l ~ v i e l ~qne t le borct d'uue o-chaiue est toujours nnl. On v6rifie qne le Ford ilu bord d'ul~echaine est tou~jonrsnnl. On it ellsuite la formztle gdnd~+olede Stokes
...
,...,
>
ni.
,
-
,
<
< <
La th6orie dus forlueo diff6rentielles eto.
[I311
37
valable pour toute ( p - 1)-fornle a (suppos6e Ci)et toute p-chrtine r t a est Buie c, et aussi ponr toute p-chaine iofinie o si le s ~ ~ p p ode compact. Ponr la cl61nol1st1~atio11, on se r a m b e an cau oii o est un simplexe et 170n ntilise la for~nrilefoudamentsle du calc111 int6grlt1, qui est elle-m6me le cas particulier correspondant 21 p= 1 de oette formnlt, g6~6r:cle. W une homotopie et e = ( x :17 -- V ) un 6l61nent Soit pt: 1' de p - c h a i ~ ~dans e V. DBsignons par I I'intervnlle 0 < t 1 et si 170rientation de h! est d6finie par les coordo11n6s xi x2, xp , coIlvenons de cl~oisir1'0rienta~tionde I x 17 cf6finie par lea coordonxP et posons he& t, x, xz
-
<
, ... ,
, ,... , ,
-
W est, comme au no. 4,- llapplicatioll,p(t, x ) = pts. oii ,u : R x V A tout e'l6ment de y-ohaine e dans V correspo~idainsi un e'l6meilt de ( p f 1)-cl~aiueMe dans W. Par lin6arit6, la d6fi1iitioli de 170p6rstenr M s16tend A tonte les chaines finies, et aussi aux cha9nes infillies lorsque 17homotopie pt (0 < t < 1) est propre. On R alors la formule suivante, dite formule d'homotopie pouv les cl~akes, pi c - p , c
= bMc+ Mbc
valable pour toute cbaine finie o dens V , et aussi pour toute cheiue infine c lorsque l~homotopiept (0 < t < 1) est propre. Pour la d6monstratiou1 il suffit de consid61.er le cas d7nn 616merit de chaine e, et la definition m6me de Me montre alors qne bMe = p, e - p, e - Mbe. On remarquera encore que cet 0p6ra~teur 91 est lid Q 1701)6rateur M", de'tini au no. 4 pour 'leu formes, par la relati011
+
valable ponr tonte ( p 1)-forme a et toute p-chaioe finie c. On appelle clhaiine fevm6u on cycle toute cllaine dont le bord est 111.11. Deux p-chaines c, et c, sent dites ho~ttologrces,et 1'011 6crit c, CQ c2, si ci - c2 est le bord d7une ( p 1)-chaioe (finie au illfi~~ie). Si ci - c2 borde une ( p l).ohaine finie, on dira, que cl et oz sont oompaotemenZ hon~ologues,
+
+
t1331
La th6orie des formes diff6rentielles eto.
29
paves Ce dernier fait se dBduit facilement de (5.6): soit ell effet w une ?&-formeA support compact dent 17int6grale e'tendue A Rn, 011, ce qai revieut au m h e , A o , , vaut 1 , et soit o U I ~n-cycle quel. conque ; si a est la valenr de 19int6grale de w sur o, comme toute n-forme a 8 support compact eat compactement homolog~ieIt tin multiple de w , on a
.
d'oh resnlte o =ac, Proposons colrixne exercice de determiner P, (8'9 pour tout q, puis Po( V), P: (V), P,,( V ) et P: (V) pour toute vari6t6 connexe 8 n dimensions V. Nous allons maintenant Bnoncer les tllt5or&mes que 11ous nous proposons d'6tablir dana les nos. suivants. DBsignons par W q ,hi ,hq et 11: des Bl6melits ql~elconquesdes espnces vectoriels .Hq(V),, E;(V), H ( V ) et H,Q(V)respectivement. Oes BlBmeuts sont des classes de c h i ~ i ~ ~ou e s de formes fermees homologues on compactement hotnolognes entre elles. Easuite, posons
,
I1 resulte de la formule de Stokes que les valeurs de ( IL, h: ) et ( h i , kq ) ne dependent pas de 17arbitraire qui reate dans le choix de w et de o . Oe sent des fouctiolis bili116aireade leurs argnments. La yremihre tl6termine un l~omomorphisme c l ~ l l o ~ ~ i qde u e HY(V ) d a m le dual de H$ ( V ), car ponr Wy ljxe et hz variable, ( h , k : ) est un forme li116aire silr I/: ( V ) . De I I I ~ I I I ~ la , secoude d6len11ine un homomoryhiu~uectunoni q ue de fly( P) d a m le clual cle H i ( V ). Nous pouvons alors Bnoncer le thko~Bmede dtbctlitde:
,
(6.7). Les l~o~nomorphismes cnttoniques de Hq( V ) dans le dual de H z ( V ) et de H q ( V ) d n ~ sle dun1 de H: (7):deJittis p t s ~ (6.6), s o ~ l t des isotno~phisttle.
30
[Is41
CEORGEB DE R H A I
En voici un corollaire ilnln6diat : (6.8). I'oui qzce 1'111% des e'ldntents hq h i , 1~~ 0 t h h: soit nul, il fatit et il 82C;Bit que celle des foactioss bilin6gires (6.6) qtci le contient soit ltttlls qtrel que soit I'aut~e 616ment. S ~ ~ p p o s o nmaintenant s que la vari6t6 A n dinlensions V soit orientltble e t ord~nlie.On dBfiuit alors de nouvelles fonctions bili~ 6 s i r e sen possnt
,
E u tenant con~ptede (6.8) et de la formule de diff6rentiation d7un produit, on v6rifie que ces vttleurs Ile dbpendent pas de ParLa seconde fonction bitraire qni reste tlar~sle cboix de u et de bili116wirese ratnhne d'nillears A la premihre, avec tz - q an lien de g, par la relati ou ( Aq hr-9 ) = (- l)qin-q) ( lb;-q hQ) Nous pouvone alors 6no1lcer le tibko~8ned'isomorphie:
,!?.
,
, .
(6.10). Si V est utbe vnriW6 orieritk ir 11 dbtensiosa, il existe u7c sur iso~)to~yWis~~te ctrnottique 9'de H: ( 8) s u ~H;L-q(V)et de Hq H,+, ( V ) , tel que
(v)
Daus ce qtti snit, nous a l l o ~ ~irrtrod~tire s la notion de courant, qui gBu6ralise B la fois les cbadnes e t les forlnes e t qui conduit B uue d611101lstration ~raturelledu th6orbtue d7isomorphie. Ensuite nous Btablirous le th6orhnie de dualit6 pour les vari6t6s orientables.
On a.pl'elle cozcrnnt de dimetrsion p, d ~ n srlne va.ri6t6 Cw A 7z dimensio~ls V , t,otrte f o r t ~ ~linbaire e ( I) go) sur 17espace vectoriel ( i 3 p constit116 pa,r tot~tesles p.formes Cw k snpgort compact dans 8, I:t coudition de continuit6 suivante: si g, E ( i 3 p te~lcl V, satisfitisa~~t vers ~61.0,de telle ~ n a ~ ~ i hque r e worr support reste contenu clans un compact fixe e t que pour torite carte (D, o) daus V chaque d6riv6e (ile n'iniporte quel ordre 2 0) cle chaque coefficient de c* g, converge
[I351
La thhorie des formes diff6rentielles eto.
31
uniforme'ment vers z6r.o sur tout compact oontenu dans D, alors (T,g , ) + 0 . Toute p-c11ai11ec dans V dBfiuit nn courant de dimer~sionp, eu posant
On dira, que ce couraut est Bgal A la chaille c. Siipposons V orientable et oviente'e. Alors toute (,I-p)-forme w de'finit un courant de dilnension p, en postlnt
Nous dirons que ce conra~ltest 6gal B la forme w. D'nlle mi~ni®6n6rale, 011 w1)pellera dagre' d7nll courant T dans V la diBB~.el~ce 11 - p e~ltl-elea d i m e i ~ s i o ~de ~ s V et de T. On sppelle bord d'un c o r ~ r t ~ nTt de dilneusion p le couraut b l ' de dimensiol~p - 1 d6fi11i en possl~t
Dans le cas des cheiues, en vertn de ( 6 4 , cette definition s'accorcle avec celle du no. 6. Pour tll1e (11 - p)-forll~e01, on a
dloii, en vertn de (5.8),
+
et par suite b~ = (- l)n-P+l d w . Or, fa -p 1 est le degr6 de d w , et si l'on de'sigue par w 170p6rateur lin6aire qui ~nultiple une q-forme pa,r (- 1 ) q , on a bo = zu dw et d o = to bw. La dBfinition de 170y6rittenr 1 , s76tend naturellement allx c o u ~ a ~ et ~ t sla forlnnle dT = w bT d6finit alors In di$drantielle d'ujz cou~nwt. Le cotirauf; T est (lit fert)d si 6 1 ' = 0. On d6finit ensnite le produit F A a d7an courant par une forme Cm en posaut
+
Si les degr6s de 7' et a sont q et r, le degrB de 1 ' A a est q 1' et l'on (16fi11it.a A l' en posant a A T = (- l ) q r T A a. Si 17iin des degrBs q on r est nul, 011 pourril supprimer le sigue A et Bcrire siu~plemeutIl'a ou al'. Dans un ouvert D de En, tout c o u r a ~ ~l't de degri5 q peut &re repr6sent6 par une fornie diffBreutielle g6neralis6e
dont les coefficients sont des courants de clegr6 0 clans D d6finis en posant
... .
.
.
...
+
ou i , 2,9, . . . J ~ - ~est une permutation de 1 n, E = 1 ou -- 1 aelon que cette perulutation est paire ou itupitire et a est une fonction 6'" quelconque B support compact. On dit qne le courant 1' est nu1 dans un ouvert 8 c V, si (l',g,) = 0 pour toute forlne g, A support compact contenu dans Cf. A b i d e de (2.4), on montre qu7il existe uu ouvert maximum daus lequel T eat nu1 ; le compl6mentaire de cet ouvert maximum est appel6 le supp01.t ale l'. Lorsque 1' est Bgal B une forme CO, cette d6fiuition est en accord avec celle du no. 4 . Si le support de T eat compact, on peut d6finir ( I ; v ) pour tout,e forme Cz, en utilisant une partition de l'unit6 1= 2 qi satisfaisnnt nux couditions de (2.4) et posant ( T, p, ) =
< 1; gni p, i
(
).
2
Un courant B support compact de dimeusion p est ainsi ane forme linexire sur 17espncevectoriel &p constitu6 per toutes les p-formes Cm. Soit f : V- W uue application C", et T un couraut ,?, support compact dans V. En posaut
on cl6filiit un C O I I ~ : L I I f~ T d i b ~W, ~ qui est appel6 1'iq)zage de l' par f. Si l~applici~tion f est yrol)re, le support de f X ; pBtant compact larsque le siilbyort de p est compact, la 1n6me formule definit l'image it daus V. 011relrtarquera que f T a par f d7iill c o ~ ~ r a ~yueluo~~qae la m6me dimension qae T et que le support cle f 1' est conteuu dans 17image par f d ~ isupport de T, Soit k : V- W une homotopie Cm. E n utilisant 170p6rateurM* d6fini par (4.1), on tl6fiuit MT pour tout courltut T B support compact et mEme your tout courant L!' si 17homotopie pt (0 (t 5 1)est
[ 1371
33
La th6orie des formes diffhrentielles eto.
propre, en posant (7.3) On d6duit alors de (4.2) la formule d'lbof~totopiepour les courants.
On d6finit encore les relatious d'homologie entre courants exactement coulrne entre chaines : deux courants sont dits homologues, si leur diff6rence borde un coarant, et compactement homologues si leur diff6rence borde un courant A support compact. Les rapports entre cette nouvelle notion et les homologies introduitea aux nos. 5 et 6 sont alors pr6cis6s par lee deux th6orbmes suivants: (7.4) Dales tcne vcsridtd oriente'e, tout courant fevme' eat 1~omoEogue a une fornae Cw et tout courant Jev.rnB'd support compact est compactemeiit homologue ic tcne jbrme Cw. i3i une forme Cr (1< r < w) bovde ur~courant (vesp. U I L courant stcpport compact) elle bolsdeune fol.nze Cr (vesp. zcne for?)ze Cr ci support compact). (7.5) Tout courant ferme' est l~onaologueic une chaine et tout couvant j'ermd it stcpport compact est comyactement homologue it une cha5ne jhie. Si une clttzine borde un courant (resp. ten courant a support compact), elle bovde une chatwe (resp. une chatne jinie). Nous d61noutrerons le premier de ces th6orhes et la permibre partie dn second au no 8. Montrons ici que le th6orbme d'isomorphie (6.10) en est uu corollaire presque imm6zliat. En effet, on obtient un isomorphisme 9 de Hz ( V ) sur H:,-, ( V ) en sssociaut tbute classe h%E H: ( V) de q-formes la classe 9(h:) E H:-, ( V ) des ( n - q) cycles finis qui leur sont compactement homologues; cet isomorphisme satisfait bien A la relation ( W: lL"--Y) = ( g ( A ; ) ,JL"-* ) car si les courants P, et T 2 sont compactement homologues, on a ( 1 ' , , 9 > - ( ~ 2 , ~ ) = ( ~ , - ~ 2 , 9 ) = ( b ~ , 9 7 ) = ( 1 ; W ) = 0 Pour toute forme ferm6e p. D7une luaniere analogue ou obtient 17isomorphisme de Hq ( V ) enr H,-, (P).
,
8.
- RBgularisation.
,
DBtnonstrsltioll du theoreme d'isomorphie.
Jusqu'ici la condition de continui.tt5 figuraut dans la d6finition cles oourants n7a pas 6t6 utilis6e. Cette oanditiou a Bt6 introduite par L. Sohmarte dltns sa d6tinitiou des distributions, qui ne sont
34
[I381
GEORGES DE RHAM
pas ; ~ u t r echose que les coura~ltsde degr6 0 dans notre terminologie (ou les cournuts de dimension 0, ai on oonside're les distributions comme g6n6ri~lisant les luesures lblut81 que les fonctions). Pour la suite, l'utilite de cette colldition ;impparaitdans la propositiou suivaute, qui elr d6coule immhdiatemeut, et qui g6116ralise la reple b i e ~ i connue de d6rivat,ion d'une int6grale par rapport 9, nn parametre.
...
(8.1) S i p, est unefor*ne sur V qu? ddpentl d e pnramdt~es y, ,y, , , dont les coeflicients sowt fonotions Cw pirv rcrpport a 17ensewzble ties coordonntfes locales dans V et des parast&tves, dont le support 9-este dans u n compact lixe lorspue lei parccnahtves restelct borlztfs, et si T est zcn couvant daits V , ( T, 9 ) est Jovictioa Cm des pnt.cc.wbt?tres y, y, et l'on n :
, ,...
Cela permet d76tablir le t116oreme auivant. (S.2) S u r twute vavie'te', on peut d t f j a i r tles ope'rtstetc~s line'aives R et A, d.4pendnJ de partrm8tres posilifs s, e,, , tels que si 1' est u n ooccvant de dimension p, K1' et A T soltt des c o ~ i ~ a a tde s dillkensioll p et p f 1 respective?)~ent,jouisscc?tt des pt,opritfttfs suivanter :
, ...
RT-
l'=bAll$ Abl1.
2) Les szcpyovts de R1' et AT sont nussi voisins ~ Z L ' O ~ ueut L du support de 1; si les parundtres E , , E, , ... sent ( I S S P Z petits. 3 ) S i 2' est tute fo~.r~reQ' AT cst atcssi tine jbrtne 0''. 4 ) Rl' est toujours une forwe C". tendefzt vers zdvo, RT - T et 6 ) S i les paratndtres el 8, AT tendent uet-s z k o , 07est-&-direque
, , ...
pour toute jbrme Cm ik suypovt colilpact p,. J e me boruerai ici A donuer yuelques i n d i ~ l ~ t i o ~S lLsI ~lu cle'luoustration de ce theoreme, qu70n peut tror~verexposee d'uue manibre complete dan luou livre (Varie't6s diR&reutiables, pp. 72-82). Dans R", choisissons uue fonction f (:c) 2 0, Om, Q support contenu dans la boule I x 1 < & (elle depend du parametre E > 0), telle P
que
J
f (z)d ; ~= ' 1
(011
pose pour abr6ger d x = dxi A
... A dx'l,
et
La thkorie des formes diffArentielles eto.
i1391
35
+
...
dy = dyf A A dyl'). DBsigrions par s, la translation sf, (x) = x y et par M, et M,* les op6rateurs associBs A 17homotopiesty (0 < t < 1) (voir (4.1) et (7.2)). On d6finit alors des op6rateurs R et A, d6penda11t d'un seul parambtre E > 0, en posa11t
En v e r t l ~ de (7.3), ces op6rateurs satisfont A I), et en ce qui concerne 2), il est imm6diat que les supports de RT et de A 4 sont contenus dims 17eusemble des points de Rn dont le distance au supE. Lit v6rification de 3) et 5) ne presente pas de port de l' est difficult6s. Pour verifier 4), on peut se borner au cas oh 4 est de degr6 0, car 17expression de R1' par une forme ge'n6ralis6e se dBduit de 17expression (7.1) de T en appliquant 170p6ratioa R aux coefficients l'i i... ips Or, si T est de degr6 0, on a
<
J
( Rl', ~ ( x$8 ) )=
( 8 ~ 4~ ,
( 4) f(y) dy =
S
( T,~ ( $ 4 - y dx ) )f (y)dy =
en posant g(y) = ( 4 , f(y - x) dx), fo~lctionqui est Gw en vertu de (8.1). Cela lnol~treque R1'= g(x) et 4) est e'tabli. Pour Btablir (8.2) dans toute sa g6n6ralit6, on commence par transformer les op6rateiirs ci-dessus A 17aide d7un hom6omorphisme Om de Rn sur uue b o d e B, tel que la tmnsformBe d'iune translatiou de Rn soit un hom6omorphisme de B qui s96tenden tul hom601norphisidentique me Cm de IZ" 3 B sur lui-n16me 6gal A la t~bal~sformation 11ors de U. Ensuite, ulilisaut un recouvrement localement 6ni de la vsri6t6 V par des boules Bi, on attache A chacune de ces boules des opBret,eilrs Ri et A{ dependant d7un parambtre F { > 0, et en les combina~ltconve~lablementon obtient des op6rateurs R et A satisfaisant A (8.2). On dira que R est un rt?gularisateuv. Get op6rateur est permut8ble avec 6. car en itppliqliar~tb aux deux niembres de I), on a
36
CLORGLS DB RHAM
P401
bRT - b T = b d b l ; et en retrlplnqaut Y' par bT d a m cette subme relation, R bT- bT= bA Dl', d70h r6solte hRT= R DT. En utilisant (8.2), norls allons mtlji~~tenant d6moutrer (7.4). Si !L' est ferm6, on a R T - T = bAl', ce qui montre qne T est I~omologue A R q ce qui est une forllie C"; de plils, si le support de T est compact, le support de A T est aussi compact de sorte que T La p ~ ~ e u ~ i P piirtie ~ . e de (7.4) et A T sont compactelnent ho~~~olog'ues. est aiusi dbablie. Ensuite, si w est nue forlne 0'' qui borcle un couraut A', w = bX, on a
et w borde R S - Aw, ce qui est une forme Cr, A support compact si le support cie 9 est compact. Ainsi (7.4) est compl6tement d6montr6. Ce theorbme permet de retronver sans calcul les resultats (5.6). Soit en effett M 170p6rnteor :rssoci6 A l'l~oalotopie pt x = tx (0 (t (1) dans RVL.Si 1' est uu c o u r n ~ ~fer1n6 t de dimension 71 - q 0 B support compact daus R1; oou it, d7apr6s(7.3), T = bMT, et T borde nu conrant M!!' A support c01nl)il~t.Eu vertu de (7.4), cela entraine P: (R9"= 0 pour q lc. Pour q = n , on o b t i e ~ ~ t T - po !l'= blYlT, et p, T &ant un lu~~ltiple cle la 0-chaine constitu6e par le yoiut 0, il en r6sulte P; (RqL) = 1. Pour Btablir 1% premiere partie de (5.5), il suEra m a i ~ ~ t e l ~ n n t cle yrouver que torite for~uefer1n6e est homologue A ulle chi~ille et c t co~r~yacteu~ellt homoque tonte foruie feruhe B support c o ~ ~ i p i ~est logue A une cbaine ferm6e. Nous i~llonsle faire d7nbord en utilisaut une subdivision poly6drale de la variCt6 V. Un 616me11t de p-chibine dans V , n : 17 -- V , sera appel6 cellule orientbe a p ddilaessiow, si, 17 Btaut uu yolybdre convexe A p dimensions daus Rp et RP Ctaut consid6re' oolulrle ou sons-espace de R I L , 17applicatiou n est In restriction A ll d7nu houkou~orphisme 0" d7uu voisinage onvert de 17 daus KT1 sur un ouvert de V. Les images par n de 17iut6rieur et de la froutibre de 17 sont par de'finition 17int6rieur et la froutiere cle la cellule. Ulle st~bdivisio~& poZy& olrhcle de V est u11 enselnble localement fiui S de cellules orieut6es, tel que tout point de V soit iut6rieur a une cellule de A' et une seule, le bord d7uue cellule rl q dilnensions Ctant une combinaison 1 des cellules A q - 1 dimenlinhaire avec coefficients e'gaux A sions.
>
<
[la11
La th6orie des formes diffkrel~tielleseto.
37
DOsignons par ni(i = 1, 2 ...) les cellules de la subdivision A. appellera ckuQ14et7e S torite co~rlbinirisonlinertire 2 ki nil avec des coeffioients c o l ~ s t a ~ lei, ~ t s e t cozc~trlct de A, toute soinme de procleits 2' ai A ai t17uue cellule de S par ulle forme ai dnns V. I1 suffit qae cette forme ai soit d6finie stlr tri pour que le oourant 0iA ai soit d6termin6, car 011
D1ailleurs, si ai est detiuie sur a i l on pourra toujour Btendre s ; ~deiil~itiollit tonte la variBt6 V e t nous supposerons que cleat llue forme Cm. Si ai est de dilrrensiou q k et a i de degrB k, ai A at sera dit ~ ) 1111 courant de dimension q, e t 170n a de type (q 7 ~ ~;1c7est
+
+
ro Otaut I'opbratenr dbtini an n.O 7. On yoit qne ce bord se compose ell gBn61xl tle deux termes, de types (q k, lc -/- 1) et (q 1c - 1,k) respectivement. Le bord d'un courant de S eat donc un c o u r a ~ ~det AS. I1 est Bvident dlitntie part que le produit d7un counrnt de S par une forme, e r particulier le prodtiit d7une cllaine de 8 par uue forme, est uu courant de S. Supposant qne 17 esh orieutBe, nons youvons ad111ettl.eylie tontes les cellnles cri de dimension lz sont oriel~teeshomme V ; leur soinme est alors m e n cha,lne fermBe, qn70n clesiguera par V parceqne I'intBgrale d7nn a-fonue sur cette w-chafne n7est pas antre c,l~ose que son int6grale Btendue b V ; en tant que courant, cette n-chaiue V est ideutique B la 0-forme Bgale a la fonctiou coni c o o r a ~ l t ' d eA. P a r suite, toute forme est staute 1, yni est a i ~ ~ s11n uu courant de A. Cela Btaot, poor proliver la premiere partie de (7.5), il suffira de montrer que t o ~ courccat t .fevwte'ds A est Itontologue ic une chu5tae de A, l?llou~~ologie Otsnt compacte si le support du courant est compact. Soit T = 2 tri A ai un courant ferm6 de A de dimeusion q, k le rnaxilnum dn degr6 des ai e t nj A a j tun t e r ~ n ede type (p lc, k). Comme bT= aj Ao3 ... les termes non Bcrits a,yant un support qui ne contient auctin point interieur de le fait que bP= 0 entrwine a j A baj = 0, dest-b-dire que Bttj s7anaole sur t r j . Si k = 0, celu signifie que aj est coustallte sur a, et par suite T est une chaine
+
+ ,
+
+
,
La th6orie des formes diff6rentielles ecc.
11431
39
Toute forme line'aire sur E est appel6e ulle cochalwe de degl4 q. L'ensemble de tor~tes les cocht~ines cle degr6 q forme l'espace vectoriel E" dual de E. DBsignons par a: la cochaine d6finie en posant ( a : , a, ) = d,! (1 si i =j, 0 si i j). Tonte cochaiue f peut 6tre repr6sent6e par .f = 2 x,a: avec x, = (f,a, ). On dira qne cette cochaiue f est jinie si 1111 nombre fini seulemel~tdes coefficients xi sont 0. Le cobord on ~ i ( f d ~ e n t i e l ld'nne e cochaine f est la cochaine d f d6finie en posal~t( qf, c ) = (f , bc ), pour toute chaine c. Soit 3'170rtl~ogonalde P d:ms EX,B' 170rthogonal de B dnns E*. De la d6fi11itio11ci-dessus, il ~ee'sulteinlm6diaternent que df=O si et seulemeut si f E B'. 0 1 1 (lit alors qile f est un cocycle, et B' est l'espace vectoriel des cocycles. D'autre part, si f est un cobord, si. bo=O, de sorte f = d t ; , on a ( f , c > = ( 4 f l , c > = ( f i , b c > = O si f E F', (.f, c ) ne d6peud que de bc et qrle . f E F'; rBeiproqneme~~t, c'esl tune forlrle liu6aire sur 17espihce vectoriel cles bords des chnines fillies de 8, qui 1)e11tse prolonger en nne forme li116airef,snr l7espace vectoriel de tontes lea chafnes fines de rS de dimension q - 1, et ( f , c > = (.fi bc ) = ( 1% , c ) de sorte que f= df, est uu cobord : P' est l'trspace vectoriel des cobords da degvd q. 0 u a tllors le th6orbme sriivant : L7espace quotient B1/P' est casoniqzcewteat isowzorphe cru dzcul Be F/B. E u effet, toute forme lin6aire sur FIB correspoud St uue forme liu6aire sur F l~ullesur N, qui per~ttor~joursse prolonger en une forlne liubtlire snr 78 nulle sur B, ce qui est un Bltiment de B', c'est-$dire 1111 cocycle de clegr6 q ; r6ciproquement, tout cocycle de (legre' q d6fiuit nue forme li116aire sur FIR, et deax cocycles de degr6 q d6finissent la w6me forme linktire snr FIB si leur diff6rence s'aunule sur B', c'est-St-dire s'ils repre'sentent le meme Ble'ment de Bt/P', et dans ce ces seulement. D'uue lnanibre moins nbstraite, ce theorbme peut a'6noucer ainsi
+
*
,
(9.1). i3i c, ,c, ,... est tune suite de cycles $,tis de S Be dintension q d o ~ aucune t colnbinccisott lintfaire $nia ir coeflcients non tous nuls est une mite de nomne borde utte chtrtne $,t~ie de AY, et si pi pz bres donne's arbitrarienzent, il e ~ i s t e toujozo.~ U I E oocycle f tel qtte (f.cc) = pi (i = 1, 2, ...). U n cocycle qui s'annolle sur tout cycle $ni est u n cobord. On n un thtioritme analogue en permutant oycles et cocycles, bords et cobord,
, ,...
40
UEORGES UE K H A M
11441
Pour e'tablir le theorbme de dualite' (6.7), nons allons indiquer une co~~struction qui perlnet dJassocier A toiite ooohadne .f de degrh q une q-forme B (f)snr V , support compact si f est' finie, telle que
( f )= ( f , c ) pour toute chalne c de 8.
so) C
Comme au n? 8, nous supposerons que V est orientee et que les cellules ii YZ dimensions de 8 sont orientees comme V. Co11sicl6ro1is subdivision dliale >> on e polybdre rhciproque de Poiucar6 o alors la i< de S ; c'est un ensemble de chaines ei A supports compacts, qui iouit des proprietes suivsntes : a) dim ei = N - dim ad, on : degre' ei = dim o,$; b)
ei et ai ont un point commun et ei ne reucontre auculle autre cellule de tS de dimension (_dim a { .
D'aprbs (8.2), on peut tronvey uii rhgulariswteur R tel que le stipport R ei ne renoontre aucune cellule de h' de dilnensio~i< dim ai B l'exception de a i , et cela pour tout i. Nons d6finissons alors la forme Q(ai) en posalit B (a:)= R ei, et pour toute cocha,Ine f norls d6finissons Q ( f ) par lo). La propri6t6 2O) re'sulte alors imme'diatement de 0). Pour ve'rifier 30), il suffit de montrer que I'on a
ak
Si i f k, conlme dim a k = degre' ci, le supl~ortde Bei ne rencontre pas ah et l'inte'grale est bien nulle. Si i = k et si dim ak = n, el, est une O-chalne qui consiste en un point situe' dans a k , Rek est une n-forme a support conteuu dans ak et 170n a
42
GEORGES DE RHAY
[I461
Eastiite, il faut montrer que l~bomomorphismeen qnestion est injectif, ou, en d'itutrea tennes, que si une q-forme ferm6e o eat trlle que
pour tout q-cycle 6ni c, elle est homolog~ieb z6ro. Toute forme ferm6e p de degre qt - q A support compact 6twi1t compactement homologne b un q-cycle fini c, OII aiirit ( 0 , w ) = ( y , w)= 0. Mais o est homologue*Aune cllaine c, de 8, e t I'OII a ( c , ,p ) = ( w,p )= 0, done ( 6 , 2 ! ( f )) = ( c , ) = 0 pour tout cocycle fini f. I1 en r6sulte7 d7apr8s le tl16or8me analogue b (9.1), que c, est homologlie B z81.o. Done o est t~ussihomologue-il zero. Si 170n ne suppose pas que V ndmet une subdivision polye'drale, on peut yloi~ger V dans R2~*+], coinme au no. 8, et consid6rer uu voisin:~ge tubnlaire 2 de V. Ce voisinilge 6tai1t tine variBt6 qni admet Bvidemment uile subrlivisios poly6drale7 le th6orArne est vnlable pour 2.Or, la, rBtiraction r de 2 snr V, Btnnt I~omotope b 17identit6, induit un iso~norpl~islne de H: (2)siir H i ( V ) et aussi un isomorphislne de H q ( V ) sur Hq(Z), d'oh 1'011 dhdiiit que si le th6orAme vaut pour 2 il vant aussi pour V. En fait, on sa8it que toute variete differentiable admet line snbdivision poly6drale, mais les d6monstrations colnlnes de ce theorArne (on el1 trouvera une reinarqntcble dans 170nvrage de H. Whitney, Qeometric Integration) sont assez difficiles pour qu'il y ait int6r6t A s'en pa~sser. J'ai laiss6 comp18ten1eot de cBtA lcs va,rie't&s Ikon orientables, dans 1111 bnt de simplification. 0 1 1 pourra voir dans mou livre (Vari6t6s diffdrentiables) comment la thhorie peut s7y etendre.
,
,.fa
FICHERA, GAETANO 1961 Rendiconti di Matematic8 (1-2) Vul. 20, pp. 147-171
Teoria assiomatica delle forme armoniche (') cli GAETANO FICHELCA (Roma)
La presente trt\,tt;~eionesi propone di isolare gli assio~nisui qr~alipoggia la teoria delle forme l~rmor~iclie su u11a v:~rietSt diITerellzit~bilee costruire, in cotlsegrienza, uua teoria pnrarnente ast~attti* ~ a estenSi ginngerl., come applioaxione cli essa, at1 o ~ sostsuziwle s i o ~ ~della e teoriw drlle forlne arlnonicl~esu una v:~.riekAdifferel~eiabile ed a ricouoscere c l ~ e essn ha rlua portata a s s ~ ipib vastn di quella ~la~ssica, fonda.l,a s ~ l l l ~ i ~ i t , r o d n z11e1lw i o ~ ~ variets e di nua n~etrica rierni~nniana.,piir sussistendo, cou enuuciato f~rma~ltnente identico, il fond:bmeuttlle teorelna di HODGE.
1.
- Principio
d i esistenza. (2)
Sin 9 ' l i ~ i a varietil nstratta linea~i8e,reade o complessa e 11.1~ (i = 1,2) UII 01nolnor6slno lineare di 9 ' l~ellospaeio di BANACH Bi Sia I32 il duale (topologico) di Bi Assegnato g, in B y , si ricerclt y, in B; tale che ( ~ , , M , ( v ) ) = ( YM , 2(v))(3)
.
.
per ogni v € 9. Sia To il ~lucleodi 114,. E ovvio che g, deve veriacare le condiziolli ~lecessariedi compatibilitii ( y, Mi ( 8 , ) ) = 0 per ogni v, E 99,
.
(1) Gli argomenti contenuti nel presente lavoro so110 stati esposti i n tre seluinari tenliti it1 oorso estivo del C.I.M.E. : a Forme differelieiali e Itno integrali n (Saltitlo di Vall~~n~broua Firenze, 23-31 ltgosto 1960). ( 2 ) Cfr. G. Y I C H E R ~ Prerneaus ad ultn teor8a getterale dei problerni a1 contorno per le equazioni diffevenziali Corsi de1l'I.N A.M. (Edit. Veschi), Roma. 1058, pp. 30-43. ed il (3) Le parentesi ( ) denotano la dualit& fra uno spazio di BANACE suo duale topologioo.
-
-
44
GAETANO BICZ[EBA
[I481 -
Si indichi con Q lo spazio di BANAOH qnoziente B J M , ( T o ) . Sie, ni., l~omomorfismol i ~ ~ e a rche e porta v iu [ M , (v)] elemento di Q. La e q i ~ x ~ i o ncortsidet.ntti e B risolnbile qnalnnqne sia g? verifica,nte le oolldizioni necessarie di cotnpatibilitil se e solo se esist,e K tale che, per ogni v E 33 :
11 %, (v)11s & Kll M2(v) llB1. Sia Y o la totaliti delle autosolzcxioni del problema, cioB di tutti i ~p tali che ( ly, dl, ( u ) ) = 0 per ogni v E T . Consideriamo lo spazio quoziente 9= B $ / Y o .Se B verificata ( 1 1 ) 11 < E 11 % , (27) 11 , ad ogni la diseguttglianza fondamentttle 11 y E B,f resta A S S O C ~ ~ uuo ~ O ed un solo elemellto f € 9 che costituisce la classe di tutte le soluzioni del problema relative a1 < termine K y che chiatnasi la disegucchot0 $ 9. Orbene? si ha : f
mi
11 / I B T
11 1 6 <
gliawaa dzcnle della diseguaglianza fondamentale. Supponiamo che, qnando M , (0) descrive 1111 insieme limikato, q, (v) descrive uu iusieme compatto di Q. Cib ovvitilnente i~nplica il sussistere della diseguaglianza fondamenttile. Orbene, postof= Z(q?), la trasformnzione Z di B: in 9 B compatta. bioB, se y descrive uu iilsielne limitato, di B:, f = Z ( q ) descrive un insieme compatto di R
2. - Differenzia.zione e co-differenziazione astratke. Sia d mlo spazio di Hilbert rede i cui elementi, per u l ~ aaccezione di 1ingua.ggio della quale appari1.a in skguito I'opportnnitA, diremo al~chefornte. Sit1 definito un operatore 1iue;tre d avente per domiuio una varietil 1i11ea.re di cj e tale che d v (codominio di d ) sia. contenuto in 33. L'operatore d sia aoto~t?tlli~%fic>o : rI2 0, ciob per ogni v E 33, d dv = 0. Le forme di T saran110 dette fovme vegoltrri e dv sarB derrotato come il ddferenzinle di v ; d sara detto l'operatore di differenziazione. dell'operatore d , cieB t ~ l e Urla forma appartenente a1 uucleo c l ~ edo = 0, s a d detka ohitcsa. Mentre una v apparteneute a d v , ciob tale che esiste w E tale clle dw = v, sarA detta omologa a zero. h ovvio che To 2 d v , ciob clle ogni forma o~nologatt zero e una forma chiusa. Sullo spazio J e su d faremo la seguente prima ipotesi fondamentale,
v
--
v,
Teoria assiomatica delle forme armoniche
V49J
45
1) Esiste una vavietk Q di d tale eke do= Q n T sia deliso d e tale clbe per oglhi zc E % e v E esistcr 211211 costnnte H ( u ) d i -
v
~ I L
pendeqtte da u t d e che
Possiamo evidel~telnelitesupporre che 5?! sia wtassimale rispetto sia la li la (1).Siffatta vavarieth di tutti i possibili 2~ per i q ~ i ~ sussiste rieth 1? ovvia~nente uuii vnrieth liueare. Nel seguito snpporremo sempre o l ~ eQ sia massilnale nel senso test& specifioato. La varieth % si caratterizzit a1 lnodo segoente. I. C o ~ d i z i o ~ ztbtoesscwia e e sujjiciegcte perch2 zc appartengn ad qt 2 eke esista zcnn for+~ta621 tale che per ogni v E C19 si abbitc :ills proprieth espressa in 1).Possiemo ciob suyporre che
( u , dv) = (6%)2)). L a 8u d uniuocame~ite tletevminata da u. La sufficienza B ovvia e riesce H (21) = 11 626 11 Per provtwe la ~ ~ e c e stas i si osservi' c l ~ ese u E Q,f(v) = (21, dv) B L I funzion;rle ~ liueiire e co~ttil~uo i n 33 ohe, esseudo 4, e quindi C13 clenso in d, plto proluugarsi a tutto d. Per il teorema di rappresentazione dei fuuziouali l ineari e con tinui in 3 sarh f ( v ) = (du, v ) con 6u elemeuto d~peudentode u , univoca~nelitetletermiuato. L'operatore 6 B ovviamente lilreare, B defiuito in Z[ ed i~ioltre B itutonul1ific:o. Si ha iufatti 821 c Q e 8 6u = 0, dato che (621, dv) = = (u, d2 v) 0. L'operatore 6 dicesi opel-atore di 00-difere~tziuxiolle e 811 il co-diiqevefcxiale di u . Le forme che apparte~~gouo a1 1111c1eo Vo di 6 dicousi co-diuse e quelle appartenenti a1 oodominio 6% di % ' co-ornologhe a zero. Ogni forniit co omologa a zero B co-chiusa. Oonsiderinu~oadesso la seoond;~ipotesi foud~me~lbale. 2 ) 1Sia -I)d l'operatore di proieziogte sul costplemento ovlogol~ale To.lddiste unis costtrrtte li tctle clbe quadella clbizcsz~1.adi Yo: d lultqzce sin v E V si abbits :
.
=
(e)
Sussistono i seguenti teoremi.
(4)
(u, r )
1 -
denota i l prodotto aca,lare in S e
11 v 11 = (u, v ) .
46
[I501
GAETANO FICHERA
11. Condizione necessn~iae suf3ciettte perch& x E 6 %! B cl~e (z, v) = 0 per oglti u E Vo La uecessitA segue dalla (2). lla sufficieuza B consegueuzll clel principio di esistenza del g 1. 111. I 1 oodontiuio 6 2 d i 6 B tit~a.varietk litbeare ol~iusa(sottosptrzio) di 3. fi ovvia couseg~ieuzadel teorema precedente. IV. 11 tztccleo %!, dell'opevato~e 6 2 un sottospaxio di 3. Infatti, 1c appartient! ad ZeO se e solo tie (21, du) = O per ogni
.
vE
23, V. Defto f's i l pf.oiettore su
3 (3) C2e,, si lrc~
2 la forlrlula di lni~ggiorazioueduale tlella (3).
Vogliau~oora prolungare 170peratore d ad rlua varieth g contenel~tey. A tsl proyosito direnlr, che to B il differeuzit~ledi v e scriverelrlo dv = w se per ogui u E 2 riesce (u, w j = (du, v). 2 ovvio che se v E allors ,w lo il differenziltle di v nel senso sopra definite. Pertallto d 15 stitto prolungato ad un:b varietk lineare
v,
g conteueute V. VI. I 1 codonziuio d g del prolu?zgamn,etzto di t i coincide con In chiusura d g di d V . Se w E d q si ha (24, zo) = 0 per ogui u E 2, e quindi per In (2), applicltudo il principio di esistenza, segue clle W E d'%
Sia ora
w E d q e, per assurdo, w 4 d q P e r i l teorema di Hahn-Ranach esiate un u, title che (u, w) = 1 e (2t0, dv) = 0 per ogni v E V.Deve allora essere 611, = 0. Ma per l'ipotesi esiste un v tale che ( 1 6 , w) =
,
-
d ,
,
= (6u, V ) per ogui u E 2. Quest'ul tima relazione sarebbe non Vera per u = u, VII. I 1 nuoleo qodel prolungamento di d coi~ocidecolt la qodi To. cl~it~eura Se v, E riesce (du, 0,) = 0 per ogni u E C2e e quindi vOE
.
9,.
Viceversa, sia vo E e, per a,ssurdo, v, 4 9,. Esiate allora un z tale clre (2, v,) = 1 e (2,v) = 0 per ogni v 6 Yo. Deve yertauto essere z = 826 e qaindi (2,vo)= (Eju, vO) = (u, dv,) = 0. Doude tuna contraddiaione. I1 prolzcngamcnto di d 2 tin operatore nutoaulli$co. Si ha infatti per ogni v E
g, du E
e d du = 0, d i ~ t oclle (6u, dv) = (ii22 ~ ,v) = 0.
Teoria assiomatica delle forme armoniche
~1511
47
VIII. P e r oglti v E Eij si ha
La (5) e Is ~n~~ggioraziolle cluele clella (4). Consideriamo ora la terza ipotesi fondamentale. 3 ) L o eyazio ( d i owtologia) V o / d ? V abbia clime~csionepnita. I X . Se t? varificata la 3), a w h e lo spanio g o / d c p k a dintellsiolze finitn.
-
Polliarno Vi = Go d g e sia Q il proiettore su 9,.Diciamo [v]la classe di equivaleuea elemento di q,,/dg e ( v )quellw cli V o / d V . Ad ogui [v] rimane uuivoca~lrentet~ssociatoI'elernento Qu di 9, e
- Qv b un isomorfismo lineare di g o / d G su 3,.Detta Q V O 17immagine (proiezione) di Voin g, , si consideri la trasformazione ( v - Qc. Anchlesse B un isomorfismo lineare di
la tresforluaeione
[u]
V o / d V su Q V o . Ne segue che Q V o ha dimensione finits uguale a quella di v o / d v . Se proviamo che =Q ,il teorema B acqui-
sito. Sia v, E gue
1)
Qv,,
gi. Si
gi
ha v, = liln vn con v,,E
Y o(teor. VIL). Ne se-
n-w
- v, 11 < 1) v,,- v, 11 , doude
17asserto.
D'ora in avanti supporremo d definito su tuttit
remo la (2) per u 6 2 e v E 9.
g, go
e considere-
,
Per semplioit$, iu luogo di scrivererno V e V o potendo e V0 con le sostiluire a lutti gli effetti le priulitive varietA
go.
v
Analogamente i concetti di forma chiusa o olllomove g e loga a zero sono cla intel~dereriferiti al170peratore d prolungeto.
3.
-I
teorelni di Koilaira, de 12han1 e Hodge.
Diremo armonioa ogni forma a la quale veridchi le due equazioui d a = 0, 6a = 0. X . (Decow~posiaionad i KODAIXA)- L o spcxzio t2 delle jo~7ne ormonicke, lo q a a i o d v a lo epazio 6% sotio v~tutucu~~ettte ortogolic~li e s i ha
(6) E intanto ovvio che d V 1 a%, dato che ( d c , u ) = (v,Su) = 0. Occorre solo provare che t2 ES ( d V $ GV).Se a € si hs
(5)
a,
48
[I621
GAETANO F I C H ~ ~ I ~ A
(5)
(a, dv) = (Ba, v) = 0 e (a,,8th) = (da, t ~= ) 0 epperb a E d ( d V ( 3 )6 2 ) . Viceversa, se cr, eyyartiene a tale spazio, deve essere (a, dv) = 0 e quiudi Bn = 0 e (a, 614) = 0 e quindi da = 0. Osservaxione. Per provare il teorelrra X ci si P, solo serviti delle iyotesi 1) e 2). Direlno spaxio d i co-omologia lo spazio %!,/6%!. X I . Se sussisto~ro 10 ipotesi 1)' a), 3), lo spazio di ontologin e qaello di 00-o?)tologia, essejtdo isonlo~jiccllo spaxio delle jbrnze avmoniche, Attnno la stessth di)1,e11rtiortefithito,. Dalla (6) segue To= El $ d v , V,,= El $ 6 2 , da cio la tesi. Direuo peviodo cli una forma chiusa reliltivo alla classe [u] dello spazio di co-omologia e lo indicheremo col silrlbolo n ([v], [u]), i l yrodotto scalitre ( u , v). ovvio che 3.t ( [ r ? ] , [ u ] ) dipende unicmueate clalla classe di o~nologiadi v e di co.owologiii di zt. Sussistouo i seguel~titeoreuri di de RHAM. XII. Esiste urctr jbrnta cl~iusaccve~ztei yeriodi tutti asseg)iccti. Sitr, 71 la tlimensione dello syazio di omologia e a , , a,, u n siatenia ortouo~.uraledi folrue armoi~iche. Sit~noc, ... o,, i periodi [a,]. La forma ~ s s e g u a t i relativi alle classi di co-omologia [cc,], ci a, $ c , L&,$ ~ B quellii cercata. XIII. U ~ i 6fovnu ckiusic t? omologa a zevo se e solo se hn i peviodi tutti nzhlli. fi oonseguensa del yrinciyio cli esistenza e della (4). XlV. (Teorema di Hodge) Esiste untr ed zma sola jbvqttn avntowicu ccve?ble i periodi trssegnati, La cliruostrazione del teorenlil XI1 piova :hnche I'esistenza asnerita dal teorewa XIV. L'uuicitB e ovvia, cousegueuza di XIII.
a
, ,
...,
... ,
... +
-
4.
- L'operntore di Lapli~eee l'eqnnzione Au
+ Izc = 0.
Ohiitmeremo opel.icto1.e di Litplace 170peratore A = dB $ 6d. & inrwediato constatare che esso B autoaggiullto, cioB se $4 e v sono due forme del dominio di A, si ha ( u , Av) = (Au, vj. XV. Tutte e sole le soluaioni del17equazione Azc = 0 sono le forme nvmoniche. L)a d 8th B du = 0 si trae, moltiplicando scalar~nenteper u : 11 6u 112 11 du [I2 = 0. Da cib la tesi. Oonsideriamo ora nn'iyotesi da sostituire alla 2) il cui verificarsi implica il sussistere della 2).
+
+
[I531
Teoria assiomatica delle forme armoniche
49
2') Se dv descl.ive un (qualsiasi) insieme limitato, allora Pdv desc~iveUIL ittsie~)tt!compatto. $G ovvio che 2') implica 2), ma non viceversa. La 2') pub esser yostnlata per 170peratore d prima di essere prolungata, ma B evidente, in base a1 teorema TI, che, in tal caso, essa sussiste anche per l'operatore prolungamento. I n base a1 prinoipio di esistenza si ha che se B verifioata 2'), sllora : XVI. Se 8u desorive un (qualsiasi) insieme liwitato, allora P6u descrive ulz itzsie~necomnpatto. Introduciamo ora nella vltrieta lineare do= Zen 99 un nuovo yrodotto soalare ponendo ((u, v)) = l (u, v) (du, dv) (du, dv), ove 1 B un qualsiasi fissato numero positivo. l?!l immediate constatare che do risulta complete. Esso B quindi uno spazio di Hilbert. La norma in do sarB indioatlt con Ill u 111. Diremo i~nniet.sionedi doin d 17isomorfismodi 3, in 3 costituito dalla trasformazione identica. XVII. L'im~~le)~sione di do in d b uu operatore compatto. Occorre far vedere ehe se u desorive un insieme limitato di do,esso dewrive un insittme colupatto di d. Cib B conseguenza immediata clella (6), delle ipotesi 3), 2') e del teorema XVL Da XVII, in particolare, segue : XVIII. Esiste una costante K tale oi~eper oyni v E do
+
+
Vogliamo ora prolungare 170pera,toreA. A tal proposito diremo che A B applicabile all'elemento u di do e dB come risultato w se per ogni v di do si ha : (du, dv) (du, dv) = (u, v). l?!l evidente che 6 du esso coincide con w. se esiste d du Sia A applicabile a u E do a s E 3, e sie Au = w, Ax = t. Si ha : (w, B ) = (du, dx) (du, dx) = (t, u) cioh : (Au, X) = (M, AX). Quindi il prolungalriento di A B un operatore autoaggiunto. Mostrialrlo anche che per il proluugsmento di A sbguita a valere il teor. XV. I n effetti, l'equazione Au = 0 irnplica (6u, 8u)+(du, d l & )= 0 donde l'asserto. ' D'ora in avauti, parlando di A, inteuderemo sempre riferirci all'operatore prolullgamento testB ottenuto. XX. ETissato I 0, esiste, qualunque sia w E 3, tcna ed una sola soluziotte dell'equazio~tedu Izc = w. Si consideri per ogni v E do l'equazione ((u, v)) = (w, v). Per la (7) e per il principio di esistenza, esiste unit (ed una sola) soluzione
+
+ +
>
+
G AITANO
80 14
di essa. Si ha (du, 81))
- 1u.
FICHYRA
+ (du, dv) =
[154
(W
i
- 121, v ) ciob AIL= w
+
X X I . Detta (TAW la soluxione dell'eqz~aeione Au 116 = w per I > 0 , la GA 2 zctza trasfovmaxione litteare oonzpatta d i d i n st?, autonggiunta e positiaa. I n effetti, la trasforlnazione risolvente B compatta da, d iu do. Indicattila con gh, la QA B data da 9 g A essendo 9 17ia~mersione di d , in 3. Si ha inoltre (Gnu, v ) = (Gau,( A -t 1) = (u, Gnv). E d infine (Gnu,u ) = (Gnu, ( A 1) UAtb)=111 $j"n//I2 2 0. X X I I . L o spettro dell'opevtrtore A 1 2 costitzcito d a un'i~zfi&tic numerabile di autovalovi non positivi, oiascuno dei quali ha wolteplicitb Jinita. li'equasione
,
+
+
ammette ujla ed una soln solttzione (appartcneste crd 4,) se I novc B autovalore. Se 1 b autovnlo~~e,l'eqnazione cottsiderata La soleczio~te se e solo se w B ortogonale ad ogn6 autosoluzione del17equcc.zioneoj~togenea A,u 1u = 0. Sia fisstt,to arbitrarittmente I, 0. Posto ,LA = 1 - A,, l'equazione (8) hs soluzione se e solo se Ira soluzione I'equazione.
+
>
PoichB UA,u = 0 implica u = 0, la (9) ammette un'infinitA uunlerabile di autovalori pn e qquindi i I, = ,LA,& 1, sono gli autoralori futti non positivi. Se I, i! autova101,eed u uua di (4, neoessarit~~nente corrispondente autosoluzio~~e,la coudiziontt (Cia, w, u ) = 0 per ogni siffatto u b necessaria e suficiente per la compatibilith della (9).
+
la tesi. Consideriamo il caso 1 = 0. La soluzione della (8) esiste se e 8010 se w B ortogol~alea110 spazio delle forme armonicbe. Detto E il proiettore su a,esiste ed B unica la soluzioue del problema Au = w - H w la quale verifica la condizione H u == 0. Diciamo C: (w) tale soluzione. Poicllb la (9) i! u~l'equazione di tipo Riesz, dalla teoria di tali equazioni segue che 8 B un operatore lineare e compatto di domiuio d e oodolni~lioin &(:)a. Detto I lo operatore identico, I'operatore Q verifioa le seguenti equazioni, come i: facile co~~atatare: A Q = GA= I- 8,CH =HC, 6G= 136,d U = Qd.
a
Teoria assioluatioa delle forme armoniohe
C1551
51
5. - Spazf
2 p di forme esterne sn una varieth differenziabile. Teoren~adi rappresentazione.
Con V ( 3 iudicheremo nna varietA differenziabile di dilnensione v compattn e orientabile sulla quale considereremo una struttura di classe Cq con q > 3. Sil Vtr) colisiderere~no esclusivamente coordinate locali di u11 fissato atlante orieutato. Une mappa a~nmissibile in tt~le atlaute verrk il~dicsta con € = [E, C, 2 1 ; E = v-oella di V sostegr~odella may pit, 29 o~neo~norfismo di ATsulla sfera (aperta) 2 dello spazio cartesiano X ( 3 . Oon indicheremo la vnriet8 delle forme di graito 7c di classe Cq-1 e tali c l ~ e dv sia al~chedi classe Cq-l. Con denoteremo I s somlna diretta V = 21, $ $ 9 ' 'e diremo regolaye ogni forma (no11 omogeuea) apyartenente e (39. La k-forma t( dicesi apparteuente ad &$[I7(')] ( p ) 0) se i suoi coefficienti relativi ad uu qualsiasi insierne chiuso C contenuto in € appartengono all0 spazio 2:. Supponiamo p 2 1. Sia v una 1 1 (v - k)-forma appartenents a 2)TP[-V b( r ) ] ,con - - = 1.
v,
v
...
+
P q Sia 0,, c2,... , G , nn ricoprimento di V(")mediante insiemi chiusi, con Cs contel~utoin una lriappa a~nmissibile. Sia R,= C, , Hz= 0,- c, 7 H3 = 0, - (ai C2),...,Hn, = C , - (0, ... C,-,). Dimostriamo che riesce
+
+ +
Si consideri infatti Ie k-forma u(*) cosi definita:
ur+
]
=u
mEH,
-0
x E V(')- H,
(8
= 1, 2, .,,
, 9th).
9%
Si hit, impiegando la partizioue dell7unit8 1= 2 p h (x), h--1
(6)
Con
i
tu
intendiamo I'integrale di nna r-forma snlla variettl orientit-
52
[I561
GAETANO FICEEBA n
=2 h-1
k!
(T
- k)!
/
6)::
9% US^.,.^^ V S ~ + ~ . , . ~ , .dg' (8)
... kr=
Hs
- k! (*
5
)) ! /d:::'
U8
,...
gk v~k+1,..8,
dxi
..a
dxr
=a
donde l'asserto. B, B2 R, siano insiemi boreliani che ricoprono V(+),con ogni B, contenuto con la suit chiusure in u ~ i amappa itmmissibile. Ad .&!' [V(')] pub darsi una struttura di spazio di Banach defiuerido la norma di un suo elemento a1 modo seguente
, ,... ,
Lo spazio risulta ovvia,mente complete. Si consideri una seconda norma in &'f relativa a1 ricoprimento Bi Bh Ba, Indichiamol~~ con 11 u 1 ;. & facile dimostrare l'isomorfismo fra le due norme, ciob l'esistenza di due costanti 0 k < K Supponiamo che i l riooprimentali che ' k 11 .u 1 ; (11 u 1 , ( K 11 u 1 ; to di V @ )sia otteuuto mediaute i boreliani disgiunti H, H,, ed della 7c-forma u quella reltttivn assumia~llocome norma I/ u llP iu a questo ricoprimento. Sia P ( u ) uu funzionale lineare e coutinuo
, ,..., .
< ,... ,
.
a
9%
definito in 2; [ V ( r ) ] .Si ha P ( u ) = 2 E ( u ( ~ ) )essendo , u ( ~ la ) 7c-forms h-1
dianzi introdotta. Per il teorema di rapprese~~taaione di Riesz in 2, si ha :
con vikS1,..ik appartenente a
&q (H,), ik+l...C 2)(8) Poniamo ~u~+~...u,.(x)= &k+,...,r ik+li,,.(~) per ed interpretiamo t~8,+l..,,r come coefficienti di una rispetto alle coordinate locali in H,. Si ha allora
P (u) =
I
uA
v.
(s=l,...,m) (1.
- k)-fonntb v
Teoria assiomatioa delle forme armouiche
[I571
~ ovvio che P ( u )
0 implica
53
v = 0. Si ha poi
avendo posto
.
e quirldi 11 P 11 (11 v 1, La, corrisponde~~ztlv
-- P stabilita frit 2:-,[V(")] lo spaeio H
z i [ V ( r ) ]duale di @[V(r)]b binniroce e continua nel senso v I
- I?.
Poichb 2; [V(')]B cornpleto e quindi, per il teorema dellacategoria di Ba.ire, di I1 categoria, deve esiatere una costante K 0 tale che
>
I1 ll 5 = I1 Pll (9
Indiclieremo con & l a somma diretta di tutti gli spazi 2$[V(r)] e sssumererrlo come norme di uu elemento di &p la, radice quadrata della somlna dei quadnl.ti delle riorme delle sue componenti. Se vk e 26h sou0 due forme omogeuee di grado k e h rispettir - k, porremo per defiliizione vameute e se h
<
w A u a1 modo seguente
avendo indicsto
(6)
0011 vk
le componenti di v e con
Cfr. S. B A N A ~-HOperatioire lintfaires
-
uk
quelle di u.
Warszawa, 1936.
64
GAETANO PICEIERA
Lls8l
Da quanto si i! provato segne il teorema: * XXIII. Ad ogtbi elemetbto g, del duale topologico &p d i &p ( p>1)
rimnne univocams~tteassociato zcw elemento u E &q ohe (g?,v)= La trasformaxione rp
2 p dU 6.
-
S
vAu.
u B zcn isotnor$stito (nel senso d i Banaoh) d i
2 q .
- Applicazione
della teorirt astratta a110 spazio me differenziali su VcT).
z2delle for-
6 evidente che l'ipotesi 3) del g 2 i ~ o ndipende dalla strnttura di spazio di Hilbert definita it) d. Facciamo vedere che la 2) e la 2') dipendono unicamente dalls topologia che lu struttura di spazio di Hilbert introduce in dl ma non dalls definizione di prodotto scalare. Oib significa che se in 4 introdaciamo una diversa definizione di prodotto scalare [u, v] la cui relstiva, llortna indichiamo 1 ~ accade clle h l l u I I < I z c I < ~ l l u l l con o < l ' ~ H , s1con 1 2 ~ se lora dall'essere verificata la 2) nel pri~nitivospazio d essa lo i! sltresi nel nnovo spazio di Hilbert che itidichiamo con 2. Osserviaino
intanto che d g e go sono sempre la stessa varieth sia in d ohe in 2, dato che a$'= -d e go= goed il concetto di chiusura i! un concetto pursmente topologico. Sia Jtd la proiezioile relativa a 2 andoga alla Pd di d. Si ha Pd v = v - v, essendo v, la proiezione, in d, di v au V,, Si ha I n d v ]= inf I v - w I < I u - v , I < HIIv-voII = a IIPdv/I<
,
w
'3'0
H
K 1 dv 1. 6 cosl pmvato che in 2 B Vera la 2).
I
Sia urnuna successione tale che I dun sia limitata. Allora B tale snche 11 dun 11 quindi Pd vn = vn - v; B compatta. Si ha :
,
Indvm-ndvnI=
inf I v m - v n - w I ~ I v m - v ~ - ( v ~ - ~ ~ I ~ ~ ~ ' 3 ' 0
Da oib l?asserto,
11591
Teoria asaiomatioa delle forme arluoniol~e
55
Se g, B UII elemeuto dello spazio dnale topologico $2 di 2 2 (muuito dells cons~ietatopologia della couvergenza in media) si ha, per ogni v E 2 2
-
con w i~nivocarnentedeterminato da y. Ltt trasformazione y w b un isomorfismo (di Banach) di in 2% (cfr. Teor. XXIII). Suppouiarno che in J 2 sia illtrodotta una struttura di spazio di Hilbert ecl il corrisponder~tespazio 3 sit1 topologicamente equivalente ad J2.Si ha allora ( q, v ) = (u, v). Posto w = r u, essendo w le forlna che compare nella (lo), la fi: i: un isomor6smo lineare di 4 su 4 che dire~notrtrtforwtaxione d i trggizcnxione. Diciamo a w la trasfor~nazioueli11etu.e che ad una forma w ornogellea di grado k fit corrispoudere la forma (- l)r-k w. Si ha
32
per ogni coppia di forme regolari v e w. Siano u e v forme regolari. S i ha
essendo
Viceverse, se B definito nello spazio vettoriale ~5 di tutti gli eleinellti di J 2 un isomorfis~nolineare di 4 su d tale che, pbsto per ogni coppia ti, v di elemeuti di 3
(zc, v) abbia le proprieth di un prodotto scalare, ed 3 acquisti la topologia di X2, e verificata 17ipoteai fondamentale 1) e sussiste la (11). Evidentemente, per definire la s basta farlo su ogni dl$ed imporre la condizione di linearit&. Ora, quando sia definita uua metrica, aii dxcdxj, cib pub farsi dicendo aggiunta di una k-forma zc la
(r - k)-for~nai cui coefficienti sono definiti it1 mod0 seguente
Ma I'aggiunzione pub definirsi in infiuiti altri modi. Ad esempio, si consider; per ogni fissato. 0 .< k < . r. il tensore 2k-plo contr~~variante as i...skii. ..i k tale a"i"'"kti."'" = aCi*,".""Sl"sk e tale ancora che la forma . . quadratica $i"'SkZ~-'Zk.I si,., ,,Ii ,... i, nelle @ vvariabili reali ISi..,sk sia (18finita positiva in ogni punto di V ( r j . Entrambe queste proprietA sono invarianti. Infntti, se si opera il canlbia~nentodi coordinate -
x = g ($) si ha qujndi
...
JL
-
. .
asi"'Skai".Zk
-d ,
zl...'h~i...~k = ,.. a" ,., a'k
h, hk I , '...jkh i...hk -$4...ski ,...ik , s i
,..askhk afi."fk ahl"'hkji.'jk 2 hi 1,...Ik ( a . a I i . ) Si aupponga 1,
=
se
a:
,..
hi
s,,,, sk
$i'..'kji..* 3k
ayk ah*hhii'.'jk = a:, Ik inoltre >'"t.%ii.'.il~
. ..
... a$
j28i...Sk
Iii...ik
=
Ail..ik = Qhi ...hk j ,...jk (aSi...a s k As ...,,) hi
hk
1
.
il tensore 2k-plo considerato di clas-
0'1-l.
1 Sia p = -psi,..sr dx" ax" una forma regolare di grado r tale che r!
...
p1 ...,
>0
in ogni punto, ciob tale che
I?~memo: * ~ s ~ + ~ . . , , ps ,...s,
I> p
0 su ogni campo C.
C asi...s&i...ik
I
u ~ ~ . Si . . ha: ~ ~ (u, . u)= uA*u>O.
Adoperando una partizione delPunith 1= 2 vi (8) (con il supi=l
porto di yi nel sostegno Ei di una mappa ammissibile) si ha
L uguaglianza sussiste solo quando u = 0. Analogamente si prova che (u,v) = (9, u). anche facile provare che il prodotto scalare considerato introduce la topologia di
E2.
Teoria nssiomatica dell8 forlue ar~noniche
[I611 -
57
Dimostreremo ]lei successivi para.grafi che se v B lina forma regolare essa si ltlscia rappresentare al mod0 segoeute
z2 z2,
esseltdo 7 un operatore lineare cornpatto di in z una forma regolsre e c, ... c,, costallti (l'uuit e le altre dipendenti da v ) e in611e a, n lc-fol.lne regoltlri chiilse indipendeitfi da v. D ~ l l a(14) e dall'osservazioiie fattit, a1 1)rilicipio di questo paragrafo segue ehe, qualunque sia la struttura di spazio di Hilbert in & pztrcl12 introducente la topologia di P2,B verificaka 111, 2') del 5 4. Inoltre, scrivelido In (14) per una forms clliiisa ei constats che B verificltta 15potesi 3) del g 2. Si ha quindi il seg~ieut,eteorema cbe costitnisce il risultato 1)riucipale della yreseute trattnzione. XXIV. Perch2 8th V(r)possa costruirsi una teoria delle forete armoniche, per la quale sussista il teoremn di Hodge o, pi% i n gelte-
, ... ,
,
?.ale, perch2 possa farsi zcna teoria dell'eqttnzione (ellitticn del 2O ordine) qunle la (8), basta deJinire zcna trnaformaaione (di aggiuwxione) w ='rzc (isomor,fismo dell'insieme 1inea.re sostegno di z2szc se stesso) verifioante v.nica?nente le condizioni :
con O < h t H . L'operato~e di co-d{fferenziaziorte
7.
- Dimostrazione delln
t?
allora dato dalla (11).
(14).
Per provare la (14) si ptcb; a1 Jine di conseguirltr, zcsa.re una particolare strutturn ai spazio di Hilbevt ijt & clie introduce i n d la topologia di 2 2 . Trarrelno vibntaggio da tale circostsuza torlial~ilocomode sceylierc come operaxione di aggiuncio~ies qzcella cltcssica, cio che ci consentirA un rapido conseguimento dells (14). Supporre~r~opertallto di avere introdotto su V ( ' ) un tensore s 2 3 e aslnetrico aij che potrerno bell supporre di classe C-on
58
GAETANO FICRERA
[If32]
sumeremo come operazioiie a quells che ad una, k-formtt, associa la (r - 7c)-forme i cr~i cof6cie1\ti sollo dtlt,i dalla (13). L'operiizione 6 rlefinita di~lla(11) b qnindi ora e nei snccessivi p t ~ ~ ~ g r da a f i iutrodursi con ta,le sceltn di a , ciob nel senso classico.. I n segnito considereremo k-forme 1(x, y) dipendenti dai d ~ i e punti x ed y di V ( r ) , tali clte per ogni fissato x, I(x, y) silt una k-forma regolamrediperidente da, y iu V (1' - J: e viceversa. La 1 (x, y) iu 1111 sistema locale si rappreset~terha1 mod0 seguente
Lit 1(2,y) dicesi uuit k-forms lztboleare (o doppia). Sia E UIIH r-cell21 di V ( r )ed in essib sia fissato un sistema coordinate ammiusibili zi xr. Detti aij le componenti, in t.ale sterna, clel tellsore metric0 e posto a = det (aij), oonsideriamo y clle rispetto a1 k-forma nucleare definita per x E E, y E E, x stelna di coordinate fissato, si esprime a1 modo seguente
...
+
%, i,
(15)
,
1
(Y) as, ik (Y)
......
.... . . .
1(x,y) = (k!)2 5 (x, y)
a,
i,
di sila si-
(Y)...
ik
axsi
...dxSkayi, ... dyik
(Y)
avendo posto
(
=
2p a i j ( y ) ( x i -
(r-2)
wp
i,j
(xi-y )
per
i
> 2,
(cop = lnisura dell~ipersnperficiesferica unitarie p X(T)).Si ha :
Con cib inteudialno che o g ~ ~coefficiente i di I (x, y) verifictt 1s limi-
[I631
Teoria assiomatioa delle forme armoniohe
59
taaione inilicrtta dal secol~dotnelnbro della (17). T a l i lil~rittrzioni,essetdo veviflcale nel sistevza d i coorditzute scelto, lo so110 m i qualsiasi sistema d i coo t.di~atealtlmissibili. Si he anche:
az A (x, Y ) = o ( 1 (18)
- y p), 6, a (x, Y ) = o ( 1 x - y I I - ~ ) ,
ag L (x, y) = 0 ( 1 x - y
8, d (x, y) = 0 ( 1 a
-y
/I-*).
Proviamo che riesee :
A, L (x, y) = 0 ( I x
- y I1-").
Osserviamo intanto che se le aij fossero costanti e la metrica euclidea, sarebbe sllorib (per r 2 ed analoga~nenteper r = 2 ) :
>
e quindi, A, d (a, y ) = 0. Tale identits slissiste anche se le aij sono costanti. Iufatti, sia xk =?!!, 5iuna trrtsformezione lineare (dEr)2.SarA quindi ahkP!,!?:=q. tale che ds2= ~ ~ d x ~=d ( cxI Ej I ) ~ + Per provttre l'asserto basta solo verificare cl~elrt forma nucleare d espressa uelle move coordillate assume la' forma (20). Si ha intsnto:
...+
Riesce inoltre :
Da cio 17asserto. Siil ora
aij
1. le!
arbi trario. Pol~iarno: Azc = -AsI..., (u)dx"
... dxs*
con Asi..,sk(u) un operfitore diffeerenziale del secoudo ordine uei coefcienti di u. SarA precisamenhe
A+,
(u) =
1
i, ..Ak
1
+
d2ui,...ik 2. p8r;;:'iv." (aij)darndzn
na,n
avendo indicato con P un polilio~nionelle r2 variabili aij, con Q uno nelle variabili aij e
a Ili aij e 8%''
con It uno nelle vtlriabili aij,
8 aij 8% aij (h, 1 = 1, 2 ,..., r).
d z h ' dxhSx1 Fissato y, considerismo le aij come costanti ed uguali a1 valore aij (y). Detto A(y) il corrispo~~dente operatore di Laplaoe, si ha, per quanto si b sopra visto : A!$ 1(2, y) = 0 . Quindi
Teoria assiomatica delle forme armoniohe
[I661
61
Consideriamo la psrtiziol~e d e l l l ~ ~ n su i t ~ V(') : 2
cph (x)=
h--1
1
. ,
Possia~nosupporre che il support0 Uh di cph (x)sia contel~utoi l l El, s o s t e g ~ ~dio Eh e c l ~ ez Eh = Z h sia Unit sferib di rltggio 3, mentre che r Uh sit+ coilteni~to nella sfera 251' coilceutrica a Z h ed avente rltggio 1. Dicialno x1 xv (yl yr) le coordinate locali in Eh e Ah (8,y) la palametrice locule in Eh Porl.emo, come in p r e ~ e d e ~ ~ zper (t$
...
...
.
"EEh, Y E E ~ ,
Fissato y in V ( 4 , consideriamo la k-fonna nocleicre E;, (x, y ) cosi clefiy in V : nita per x
+
per X E U ~ , , ~ E V ( ~ ) - E ~ per
XE
,
V(")- Uh y
E
V(').
II seguente grafieo esplicativo - ottei~utori~ppresentandosimbolicaulel~te V(') cou 1111 quadrate del pitrno (r,y ) - mostra le diverse regioni in cui si 11it1111o le vltrie defil~izionidi E;, (a,3).
Fissato y, la &(x, y) B regolare in V(Y)-y. Se y B fissato nella immagine di (sfera colice~~trica a Zh e raggio 2), la sfera di centro t y e raggio 1 : 211)(y) B contenuta in Zk In essa la P h (x, y) coincide con vh (8)1(8, y) [I - x - y epperb B regolare - fatta a1 piii eoceziolie del punto y - D'altronde essa B nulla con le sue derivate prima e seconds sulla frontiere di 2(l)(y) ed ideilticarnellte uulla filori di X(') (y). . 811) (y) non interseca Sia ora y in Eh ma non ill t ~ f )Allora t Uh, sicch8 E;L (x, y) B ide~itic~mente ntilla tailto in Uh che iu
,Zt)
I
.
.
14]*
vcr)- uh
Sia iltfi~iey E V(V)- ah;aucbe in t ~ csso l (3, y) identicalneute nullit. L'asserto B cosi provato. ovvio che d,Ph (a, y) = O(l x-y 1 -+), d,E;,(x, y)=O ( x -y l -r),
a
1
98
A, PIh (x, y) = 0 ( 1 2,y 1'-3. La lc-for~nanucleare : P (x, y) = 2 E;, (x, y) h=l
sarA detta plx~ametvios su 'V(V).Essa verifica le limiteziolli
Per col~seguirela (14) basta evidentelne~~te linlitaroi a provarli~
,... ,
,.,
,... .,.,
per le foi-me omogenee di grado lc. Siallo a, a,, p, b, due wple di k-forme r e g ~ l a ~ per r i adesso nvbitrerie. Detto p un numero reale, poniaxno : H (x, y) = 3' (x, y)
+ p 2 a. (4A ,& (y). a fnoile pro8-1
vare, con classico, ben noto procedimento, che per ogni L-forma regolsre v si he :
ove A 8, come a1 solito, l'operatore dd integrazione per parti) :
+ Sd. Si ha anche (rnediante
Teoria assiomaticta delle forme armoniche
[167J
63
Poniamo
I
% ( I & ) = - -u ( x ) A + [AxH($,y)]. C?onsideriamo I'equazione di cr tipo Riesx >> nella k-forma u
, ,
Sia yi ... yq un sistema ortoliorl~~alecou~pletodi soluzioui dells eqnihzione 3CX (y)- y = 0. Diciii~no9 l'operaziol~edi proieziotie di U I I elelriel~to di 2; S L I I I ~ L viiriet8, delle yh. Indichiamo con u = = % (f- 9(f )) la k-forma soluzione del17equazione % (u) - u = =f - 9(f ) e verificante le col~dizioni (u, a,,) = 0 (I& = 1, ... q) esselldo ah le eutosoluzio~iidi %(a) - a = 0. F r a le oh vi sono tutte le k-forme arn~ouiche regolari, pih evelltualmeute ttltre k-forme. N Suppo~riamodi mere determinuto a , , ,b,' e p in guisn tale che le ah siano tulte at.mol~ic1te.Tale fatto sera dimostrato ill sbguito, a parte. ~to Detto d3y, il c o a ~ p l e l ~ r e ~ortogoilale p(2:) ed gala varietll ortogonale a qnella clelle n , , la % muta EV in Za in lnodo biunivoco e continuo. Sia v E Za Riesce % (v) - v = %, (v) E ZY e si ha % %, (o) = v. Quit~di,pela lh E Pa,(%%, (c), h) = (v, A) che iti~plica: di (q, (v), 9" (h))= (v, It) esseudo %* uua f msforrna~ziotiecollti~~tia &a in Zv Ed ancora : (I?,%: %" ( 1 1 ) ) = (v, h). Oio significa che %" (W) B la soluzione del17equazione
,
.
.
ortogonale w. totte le y. Dalla (24) segue
J
Riesce
S
( d , v) = d,v A
9 J (dv)
S
(a, H (x, Y)), ,Q(v)=
+ 9% (d 8v) = 0 e quindi
H (#, y) A +
(3).
64
[I681
GAETANO FICHERA
Vogliamo vedere che duo = (1% [% (d 6v) - 9 % (d dv)] = 0. A ta1 1)-forma w. fine basta col~statare che (v, dw) = 0 per ogui (k Ciob (%%(a 6r) - 9 2 9 % ((I. du), dw) = 0. Dato c l ~ e6w E Pa,possiamo applicare la ~.elazioue di reciyrocitth. Si ha : (% (d dv), P(Gw))- (9% (d Gw), 'E* (dw))= 0. Ma il seooudo yrodotto scl~lsre& nullo, dikto chu %* (u) E,+,P che b la varieM ortogonale 211 codominio di 9.Occorre qniudi solo provltre che ( d dv, %*92* (dw))= 0. Posto u = %* P(dw), riesce Au = 6w cioe d du = 6 (w - du) = 82. Cib implica 11 d du = (62, d 6u) = 0, ciob d Gu = 0 e quindi du = 0. Ne vieue : (d 613 u) = (du, du) = 0. L a (27) fornisce
+
,
,
]I2
+
svendo posto T(da)= - CX[J(dv) 9J(dv)], w = %(d 6v) - 9 % ( d dv). Attesa la coplpsttezzs della trasformaziol~eJ e In coutiuuitll d i 9 ed %, la 9 8 compatlt~.L a (28) coilloidera con la (14) appeua avremo provato che %(w) B o~nologaa zero. Poichb, per la definizione stessw di W riesce (%(to), ah)=O (1&=1,2, N), posto U=%*%*~(W) essendo % (w) chiusit, si hn: d Gu = % (w). CioB 17asserto. L'ultima cosl~da provitre B che le ah sollo tutte armoniche per
...,
-
u u s co~iveuientescelts di ah, pk, p. r
J
Poniauio : 3Co (u) = u (x) /\ x (Aa P (8, y)). Siauo
B, , Be , ... ,B,,
le autosoluzio~~i (liuearmente indipendenti) di
e
,& ,L , ... ,&, quelle di
Sia q il msssimo uuluero di k-forme i~~nnouiche liuearlnente intlipendenti su Vcr). Se riesce q = .n, basta assumere ,u = 0 uella dimostrazioue precedeute per couaeguire la (14). Supponiltluo q 7~ e yo~ ~ i n m911o= n - q. l u tale iyotesi susaiste il segueute lu~umi~. XXV. Esi81ot~011 lc+w)&e regolaoi a, a, tccli eke la caratteristica della wintrice
<
,... ,
sia uguale ad
9th.
Teoria assiomatica delle forrue armoniche
11691
65
Procediamo per assul.do e supponiamo che, comunque si scelm. gallo le ai, l i ~matrice (31) abbia caratteristica s Sia a , , a, tali ohe deb (Aai, p,) 0 (i,j = 1,2, ,s). Consideriamo il sistemn omogeneo di s equazioni in 91 incognite:
<
-+
...,
n
2 (Acti, ISj) oj = 0 (i = 1 , 2 , j=1
tosoluzioni linearmeute
...,8). Siauo ~(12) , ... ,c:)
indipentlenti.
n
2 (Aa, /3.)I o!Z1) = 0 ( I = 1 , 2 , ...,12
...
n - a wple di rtu-
Qualunque sia a, riesce:
- s) in
fowa del fatto che s i! la
j-1
caratteri~tica lnassima delle matrici (31). Per modo che, posto:
,
I%
p(4 = 2 c!1) p . , riesce : (Aa p(q)=O e quindi, essendo 1-1
'
3
regolare per.
= 0 che, per 17arbitrariethdi a, oh& autosolnzione della (30) : (a, implicn, A fl(R = 0. Pertauto le k-fonne p(1), fl(''-Sj sono rtrmoniche. Esse sono linearmente indipendenti. Infatti, supposto - cosa leciti
... ,
- le
+la
$. ortouormali, si ha (p(l),/?@I) = 2 c!I) c(h) e qnindi il determiI
j-1
' "
nante di Gram delle PcZ) coincide con quello dei vettori cy) , c? cib che prova l'asserita indipendenza lineare delle p(o. Si B cosl s a - m = q forme armoniche giunti all'assurdo che esistono 18 linearmente indipendenti.
... ,
- >
Nel definire H (3,y) assulneremo per le pi le autosoluzioni dellrt (30) e le cci tali che la matrice (31) abbia cttratteristioa m. Vogliamo far vedere che pub scegliersi p in guisa tale che N
abbin come a ~ ~ t o s o l u s i osolo ~ ~ i forme armonicl~e. Polliarno =
1:[u (x)A* (A.ai
(x) A
0 (u)=
@)). La (32) si scrive :
d-1
(33)
3C0 (PC) -/-
pQ (21) - u = 0.
3C,(u) - 14 E 2$, essendo 2; la varietA ortogo~~ale a tutte le Sia 3,170peri\eione di proiezione sulln rarietA z2. Se ir verihca
Riesoe
&.
la (33), deve verificare l'equazione :
Indichiamo con v = 92, 3,, f la (anica) soluzione del17equasione:
(35)
3C,(v)-v=P0f
verificsnte le condizioni (v,Ph) = 0 ( h = 1, 2,
...,n).
Consideriamo la trasformazione col~tinua(anzi totalrnel~tecontinua) in L$: 2 = %$ PoQ. Si consideri l9equaeione:
per
I ,u I < 11 Z 11-1,
essa a.mmette una ed una sola soluzione data, da: m
u = 2(- , u ) k Z b ( l ' ) G d p(u). k-0
Dimostriamo che : XXVI. lSia 0
< I ,u I < 11 Z
11-1.
Posto :
ffl
u = 2 yi cT,(Pi), i=l
alloroh& y F(y,
,...,y,)
descrioe tutto 17autoinsieme d,tlel sistema :
allorn u descrive tutto l'nutoinsie~nedodelln (33). Ln corrixpondenxa posba dalla (38) fva d,eti d,2 bizo~iuooa. La biuuivocith tlella corrispondensi~, B evidente,, dt~to che : 0=
yidp(Pi) =C(,
i-1
Sia
(2Yi ,!?J implicherebbe 2 yip, = 0 e qoindi yi = 0. 11
i-1
2-1
24
soluzioue di (33). Riesce allora
16
soluzione di (34) e quindi
n
oon la yi cost,anti. La zc verifica pertanto la (36) con v = 2 yipi. i- 1
Biesce quindi
+
6)
D7altronde, dalla (33), esse~ldo,u 0, si trae (Q (u), = 0 e quindi, per la (38), la (39). 8ia ora u data da (38) con le yi verificanti (39). La tc B solnm zioue di (40) e quindi verifica (34). Ma le (39) dicouo che ( Q (u),;Bi)= 0 e quindi Q (u) = V0 Q (u), epperb u verifica la (33).
[I711
Teorin assiomaticn delle forme annonicbe
Si ha, suyposte le
67
*
PC orto~loru~ali :
Cib coinporta che Is caratteristica di (i,j = l!
... ,t b )
sia nt per ,u = 0. Ma essendo i minori di questa matrice fuuzioiii o 0, per ,u t~bbastanzit,piccolo e 11oi~ olomorfe di ,u, r ~ e l l ~ i t ~ t odir ~,u~= nollo la caratteristics di (41) s:lrA $11. Per un t ~ l evalore di ,u, d, q e quindi tale 6 I s di~neusiorledi d o ,epperb do ha tlitnelisio~~e contiene solo forlrle armoniche regolari.
B IBLIOGRAFIA
[I] G. de REAM- Vuridtds d!fLrentiables, H e r r i ~ a l ~ nParis, , 1955. [a] G. V I C I ~ E R-ASall'esiste~iaadelle lorme dvferensiali armoniche, Itelid. Sem. Mat. I'a.dovt~.,1935. [sl W. V. D. HODGE- The theory atld applicalioss of kurmottic integrals, Caliibridge U~riv.Press, 1952. [4] G. IQCHEIIA- Leziotii 8tt.lle trasforma.ziot&i liatiari, vol. I. Istit. Ma.ten~.Trieste, 19.54. [5] B. S B G I ~-KFor~ttedi,/Je~.exziali e loro ittiegrali, Ediz. Docet, E o m s vol. I, 1951 e vol. 11, 1956. [liJP l l ~ s s ze l R. Sz. NAGY - Lepoi~ed'aiinlyae fo~mlioiielle,Acadan~iedes soielices (le Hongrie, Budapest, 1952.
HODGE, WILLIAM 1 Y 61
Rendiconti di Matematica (1-2) YOI. ao, pp. i ~ a - a 3 4
Differential forms in algebraic geometry (") by Sir WILLIAM HODCTE (a Cambridge)
1. The Projecthe space ll, Before considering more general spaces we shall first discuss ( l ) the r-dimensional projective space I7,. I n this space we shall consider a homogeneous coordinate system (ZO,Z1, Zr). Let Ua be that part of I7, in which Z a S: 0. In Ua we may the11 introdnce nonhomogeneous coordinates xi,= Zi/Za (i a). Any tvo distinct sets Ua and Up will overlap and in U, fl Up me have the transformation law
...,
+.
This means that the local coorclinates in Ua are holomorphic functions of those in Up. The Jacobia,n, of the coordinate transfor(z;)-'-l and is different from zero in U, fl Up. mation is Bow define
-+
1
Y, = - log (I 2n
+2
iga
-
2: 5;).
Then, if me define
(*) Corso di otto lezioni svolto nel Ciolo del CIME (Contro tnternazionale Matematico Estivo) su E'orme differenziali e loro i+tteg~ali,tenuto a1 Saltino di Vallombrosa (Firenze) dal 23 a1 31 agosto 1960. (4) This discussion is somewhat informal and ought logically to follow the disonssion of differential forms in $ 3. It is hoped however t h a t i t will be fonnil more helpful to introduce the ideas informally first.
~ 7 3 1
Differeutial forms in algebraic geometry
69
(the partial derivatives being calculated as if !Pa were a function of 2r independent variables a: ,z:), the form
is Hermitian. An elementary calculation shows that
and it follows a t once that the quadratic Hermitian form (1.2) is positive definite and thus defines a positive definite Hermitian metric in Ua If now in U, fI Up we compare the metrics associated with Ua and Up we have
.
Rut
1 1 -- log = 2n
z; zp
1 1 -a --log 2; - - log ap 2n
2n
And from this it follows that
ae a$
ax;
[Fa-!Pp]=O
for all i ,
.
.
Thus the two metrics agree in Fa n UB.So we have a single metric de$ned consistently over Z7, It also follows, from the local representations of the metric, that the real differential forms o, defined in U, by
.
agree at points where more than one is defined. We thus have a real 2-form w defined on IT, and, from the expression
it follows that w is closed (c.f. the discussion of do in 5 3). The form w being closed we can (as explained in Prof. de Rham's lectures) speak of the periods of o on the 2-cycles of 17,. But the 2-dimensional homology group of 17, is generated by the cycle representing any complex line in 17,, and we may take the and using this as line L given by Z i = 0 (i >I). Writing z for a parameter on L
[This result is easily obtained by first converting to real coordinates y, and then making a further transformation to polar coordinates]. We have thus established the following properties of 11,. 1) 17, can be covered by a finite set of neighbourhoods (Ua) in each of which there is a set of complex coordinates, and in Uqn Up the coorciinates in 0, are holomorphic functions of the coordinates in UF, the Jacobian of the transformation being nonsingular. 2) There exists a positive definite Hermitian metric on 17, with the property that it is defined in terms of a local coordinate zv) by a,: daic7,ziand the real exterior 2-form system (zl, $3 o = a.: dlxi n d z j is closed. *I 3) The cohornology class represented by o is integral. NOWsuppose that M is a non-singular algebraic variety of dimension m lying in ll,. We have the inclusion mapping f :
x, y where a = m
+ fx
... ,
!=
.
-
[I751
Differential forms in algebraic geometry
71
to carry over our results from 17,. to M. Corresponding to f we have a -. transposed mapping f" taking the metric ai dzidz3 into a positive definite Hermitian metric Ah,duhda on M ((ul, uW" being local coordinates on M and h, 1 ranging from 1 to m) and f X co = = 1/--I A h dub n GZis a closed 2-form on M. Further if is any 2-cycle of LW
... ,
r
Sf*,=Ico
r
r
f+r
r
where f, is the image of induced by f. Hence f Xo represents an integral cohomology cla,ss on M. I t is clear that the imbedding o f f can be given locally by equations of the type
,...,
where uf, a? are complex parameters va,lid in a neighbourhood Vn of M (in the topology on M induced by that in the equations being valid in the intersection U, n Vn and the neighui is a holobourhoods ( Val cover X. Further? if VAn V, morphic function of u1 u; and
,
CC'
... .
a),
+ a,
,
Thus M also has the properties 1, 2, 3 already established for IT,. Property 1 is the defining property of a%complex manifold. Property 2 says that the manifold is Iiahlerian (or carries a Rahler metric). Property 3 says that the manifold is a KBhler manifold of restricted type. Later it will be pointed out that a Kahler manifold of restricted type is necessarily algebraic (a theorem of Kodaira).
.
2. Complex Manifolds. We now gibe an intrinsic definition of a complex manifold of nz dimensions. Let Uube a set of subsets of an aggregate M of elements (points) such that each point of M belongs to at least one Ua (i.e. the sets Uu cover M ) . Suppose further that there is a (1,l)mapping f of Ua into a finite open set Ea of an m-dimensional complex
, ... ,
Euclidean space. If the coordinates in Eu are (zi xi') these can be used as coordinates in Ua. Suppose further that if P is a point of M common to two subsets Ua ancl Up there exists a set of points n (P)c Ua fl Cr, such that f,(n (P))is an open set of Ea and fp (n ( P j ) an open set of Eg and that the mapping
f p K 1 :fa
(n (P))+fp
(n (PI)
is anitlytic, i.e. given by holomorphic equatio~~s
(the tixnctions ;f& being inciependeut of the possible choices of ~viththe Jacobian
11,
(P)),
different from zero in fa (a (P)). It is clear that we can use the coordinate systems to introcluce a topology on M. The aggregate M, with this topology and these coordinate systems, is called a comples manifold.. In general it is, of course, possible to introduce further subsets (new open sets) into IIf, and coordinate systems in these sets which are analytically related to those defined for the Ua, and we shall do this freely as occasion requires. [This is essentially the same as the introduction of a 6 complete atlas s as discussed by Prof. de Rha,m]. We can replace the complex coordinates z6 in Ub by 2711. real coordinates xi defined by
Then in Ua n Up we h a v ~two systems of coordinates: the xjj are h functions of the xu (j h = 1, 2m) and the Jacobian of the coordinate transformation is
,
... ,
and therefore M is (c.f. the definition of Prof. d e Rham) a Cm real 3m-dimensional manifolcl which is orientable.
[1771
Differential forme h algebraio geometry
73
While it is possible to carry the theory of open complex manifolds a considerable distance, in these lectures we are concerned only with the case of compact complex manifolds, and it is henceforth to be understood that the manqolds zuzder discussion are compact. A complex manifold can always be given a positive definite Hermitian metric. Assuming compactness we can choose a covering ( U a ]so that each point of 1M is contained in only a finite number of U,; and further in each Ua me can choose an open set W a such that ( W,) is a similar covering of M and
As before fa denotes an analytic homeomorphism between CT, and an open set E a of complex Euclidean space. Choose in E a a Cm quadratic differential form a, subject to the conditions
outside f , Ua
.
(The possibility of this arises from the existence of a non-negative continuons function with value 1 on fa W a and value zero outside fa Ua). Let us now define a metric ea on M such that g, = 0 outside Ua and (with the notation of the last part of section 1) e,=f,x a, in U a . At any point P of M only a finite number of ea are different from zero, one at least is positive definite and the others are nonnegative. Hence 2 e, is defined and is a positive definite Hermitian a
metric on M. We note here that if +n= 1 our definition is equivalent to tha,t given by Hermann Weyl (Die Idee der Riemannschen Plache, Leipzig 1923) for a Riemann surface. Weyl proves that any Riemann surface is in (1- 1)analytic correspondence with the Riemann surface of an algebraic curve. For m 1 no such result is true as we shall see later,
>
3. Differe~~tial folSms on a cotuplex nmanifold. The theory of differentia! forms, as described by de Rham, can be applied to the complex manifold X,of nz complex dimensions; by treating it as a real manifold of 2111 real dimensions. We do this restricting our consideration to local co-ordinate systems z i in the Ua derived from the complex co-ordinates x t by the equation
We wish to develope a system of calcnlation which deals more directly with the complex coordinat", and instead of the - 2 n ~real coordinates x: z:m r e use the 2t)h parameters x t ,x: xla 2;. Prom now on we shall omit from the co-ordinates the suffix a which distinguishes one coordinate system from another, unless for some reason we wish to emphasise which system is involved, or else to compare two different systems. We have the formulae
,...
,...,
...
-
, ...,
, , ...,
-
Strictly speaking, of course, $5 ,zTn x i , xTn are not independent co-orclinates since they do not vary independently, 2 being restricted to being the conjugate of xi. What we are really doing is to suppose that the co-ordinate neighbourhood is imbedded in : xm ti, ,tm) space of 2m complex dimensions with coordinates (xi end lies in the snbspace given by gi However all the formal operations can be obtained without this representation. We write, as suggested by (3.1),
=ui.
, ...
, ...
and
Thns the form AP-q q is determined by P independently of the coortlinate system and is cnlletl tlre part of I' oj' type ( p - q. q). Qp-9 q is a pure form of type ( p - q, q). Just as in the real case me may assume that AS1, Z p - q -l,.. lq- is skew-symmetric in each of the sets (i, , ... i,_ ), ant1 (.j, , ... jq):tnd the law of transformation of the t.oeflicients sho\vs that the coefficients of a pure form of type ( p - q, q ) itre the components (wit11 an obvious use of language) of a co9)iple.r coaarinftt te~tsorfield oj'typt: (1) -- q, q). We can in fact develop a full theory of complex tensors in this sense, but snch detail is not callecl for here. We should note however that, if fi1 carries a non-singular Hermitian metric 0,; d z G j , then ai; is a complex covariant tensor, and if (6is such that
,
ij
-
i
n a.= 6-h ' a., ajh = d: jh ZJ
, then aij is
,
a cowtplez co)~travccrinnttensor,
of type (1,l). Finally me should note that for a real form P the parts Ap-94 need not be real. We shall however consider p-forms Pj,.,,jp~ C ' In n , j Z j p in which the tensor P has complex components. That is, we are
...
considering forms I' = P' t I - 1 P" where P',P" are real and all our theory applies to such forms. 1:y applying Prof. de Rham's result,s to the forms P',1'" we dial1 be ;tble to extend them, in part a t least, to complex forms '. -I It. 1' = P' I/Z1P" where L", r" :we real, we shall defifinc P = = 1'' - (?I"'. The co)zjr~gate Ap-p~, of a ( p - q, q) form is, of conrse, a (q, p - q) form. We now consider the exterior derivative of P. Since the operator d is linear -1
+
[I811
Differential forms in algebraic geometry
- it1 AP-W
f d"
77
AP-q,~, say, where
and
+
+
are resl)ec*tivelypnre forms of types ( p - q 1, q ) and ( p - g, q 1) and hence are defined invariantively (inde1)endently of the coortlinate system). We write
Note that, for a pure ( p - q, q ) form AP-q.4, d AP-q3Y = 0 is equivalent to d1AP-q.q and d" Ap-qlq = 0, but that for (6 mixed forw P, d P = 0 does not imply either d' P = 0 or d" P = 0 nor does it 0, artd it is easily verified ( 1 ) ~ imply d A P - q q = 0. However "d oonsi(1ering the :~pplication of it2 to pure components) that
(dJ)2= 0 ,
(d")2
+
= 0.
Hence 0 = d2 = (d' a") (d' d") = d' d" $ d" d'. In izlo~atfollo~os i t may be assumed tlmt all forms iv~volved are a*. I n this case it follo~vs from the definition that A a o .rrctisfie~ itN Ap,O = 0 if and only ij'
+
i n an ans.lgtic form.
78
[la21
WILLIAM RODGS
Finally we remark that if AT-$is the pure (r,s) form
(- 1p then AX is the (s,r.)form ! B. . 7
where
-
dzj4 n
.
fi
-.
-.
ddsn dzZlne..n dz*'
B1.,...jsi . -,...-2,.. = A i ...irj-,... js - 7
and that if P is any p-form dP=
dP.
If a real $8-dimensionalmanifold carries a positive definite Riemann metric, expressed in terms of local coordinates as gij dZ dxj, a real p-form
has a unique dual form
and The operation * is linear, so that for a complex form P= Y'+ I/= P N we shall define *P = *P' I/= *P".It then follows that "P= If LM is a complex manifold, of m complex dimensions, with a positive definite Hermitian metric we can express this metric in terms of the real coordinates and then define the dual of a form P. However a straightforward calculation enables us to perform the operation of forming the dual of P without recourse to the real coordinate system. If P is a pure (r, s) form (and as the * operation is linear it is enough to describe i t for pure forms) given by
+
*x
79
Differential forms in algebraic geometry
I1831
then * P is the (m - s, m - r) form given by
(m)m2(-l)m , ...ajyh~
2r+s *P= 2n1 r ! s ! (m-r) ! (m-s)
.
aaTihi
-
s8p
h l... h r i
-
...< X -
(It is easily verified directly that ""P = (-l)p P and that ICP= "P.) The theory of real harmonic forms on a real manifold has been dealt with in Prof. de Rham7s book, < Varidtds D(ferentiab1es b) and we shall quote his results as we require them. For two real p-forms P, Q he has defined a scalar product
(P, Q) = (Q, P)=
j
P n *Q which has the property that (P,P)2 0
M
and is zero only if PP= 0. For complex forms we extend the definition by defining the scalar product (P, 0) by
Like de Rham7s product this is linear in the first form, but, unlike it, it is antilinear in the second. It is an immediate consequence of the results quoted for the real case that
and that again (P,P) 2 0 also for complex forms and (P,P) = 0 only if P = 0. The scalar product of two pure p-forms is always zero unless the forms are of the same type. For if we consider
the product A n *B is the product of a ( p - q, q) form with an r, WL - r) form, i.e. it is an (m (m - p (r q), m (q - r ) ) form and unless r = q one of these indices exceeds m. Thus if
+
+ -
P
(P, Q) = 2 (AP-qsq) BP-qr q=o
q).
+
the operator 6 takes p-forms into ( p - 1)-forms. Then if P is a 1)-form the products ((dP,Q ) and (P,SQ) are p-form and Q a ( p both defined. We shall now prove that they are equal, i.e.
+
so that (in terms of onr scalar product) d and 6 are acljoint operators. The proof of this equality is immediate:
Just as me split d into the sum of two operators cl.' and split 6 into tlie sum of 6' and 6". In fact
(d",
so me
and we define so that 6' takes a pure (r, s) form into an (r - 1, s) form and 6" takes a pure ( r , s) form into an (r, s - 1) forin. We nom 'sl10w that the pairs a', 6' and (I", 6" a,re acljoint pairs of operators. Let P = 2 A9.99 Q = 2 B"'' ,
,
Then
v+s=p
t+u=p+1
(d' P, Q ) = ( 2 d'
A',"
r+s=p
=2 r+s-p
((d' A'.S
,
,
2 tf l l - p f l
B'"I-lts),
Bt~24)=
Differential forms in algebraic geometry
[i851
R u t (d"
81
R T f l , B= ) 0 as the forms are of different type, so that
= 0 as the forms are of different type, and hence Rut (AnY,6" kr+l+) (d' P, Q) = 2 (Ar,s 6' BV+l+)= (P, 6' Q). r+s9
,
The proof for a " , 6" is similar. We now introduce the Laplace operator
Clearly A transforms p-forms into p-forms. Also
Thus A is setf-adjoi9zt. Forms which satisfy the condition AP = 0 are called Warlnonic jbrnbs. Clearly if d P = 0, 6 P = 0 then P is harmonic and in fact the converse is true, for, as we have already seen, (AP, P) = (dP, 6P)
+ (dP, dP)
and as bot.11 scalar products are non-negative, d P = 0 implies that both are zero, i.e. 6 P = 0 and d P = 0. The essential result on harmonic forms is that there is exactly one harmonic form in each cohomology class. If HP is the harmonic form cohomologous to P then there exists a form Q satisfying the equation P = H P + AQ (4.1) and the operator H commutes with 8. All that we have done in this section is purely a formal generalisation of the theory for real manifolds ; we are not able to get anything nem without imposing special conditions on the metric.
When homever the metric is Kahlerian, i.e. the pure (and real) (1,l) form u, = a,: dzi n cl T' is closed, many new properties emerge. $3 We discuss this case in the next section.
ll-1
5. Kahler Metrios.
Let a,: axi dFj be any Hermitian metric. We then define symbols
'9
I'i,where
u, ,8. y can be ordinary or barred indices, as follows. If all the indices are ordinary
If all the indices are barred -
r y1 - = 1h
-
-
r,i= r!h-j ' jh
Finally all the T7s with indices of both types are zero,
... ,
(m If we now transform to new complex local co-ordinates C1, and denote by A;, the corresponding quantities derived from the metric b . : @ d F in the.,new co-ordinates, we obtain, using the fact '1 that the 57 s are analytic functions of the x's,
-
The and similarly Tii thus behave like components of an affine Ih. connection. If f l i is a contravariant tensor (of type 1 , O ) which has components T'j in the 5 coordinates, then clifferentiating the transformation law
1 1871
Differential forms in a1gebm.i~geolnetry
83
we see in the usual way that
is a tensor and similarly
is a tensor. These
we call the covariant derivatives 8,; and 8 ; respectively, these covariant derivatives being defined in the Asual way in terms of the < affine connection >, FA. Taking over to the complex case the formulae for covariant derivatives of general tensors we see that the covariant derivatives of the metric tensor a,; are given by
and, similarly, ad;, 12 = The conditions a,
and this is the
;, ,= 0 = ai ;, i; are therefore
the same as
same as d o = 0, where o is the 2-form with the metric. The conditions (5.2) are the conditions for a Eiikler metric. From now on we shall suppose that the condition is f~~ldlled, i. e. that the metric is a Kahler one. We now discuss some aspects of the Kahler condition. First da.: dawe remark that 2- 3 is itself a tensor (as may easily be dzh 82' verified directly). Hence if it vanishes in one coordinate system it does so in all systems. If we can cl~ooseat each point geodesic coordinates, i. e. th coordinil,te system in which the metric has, at
1/zc ~ , ~ ~ d dxj z % associated
and is such that the first derivative the point, the form 2 clxi of the coefficients vanish a t the point, then clearly the Kahler condition is satisfied. Conversely if the metric is Iiahlerian then geodesic coordinates exist. For suppose the metric be Eahlerian : then at any point we can choose a linear transformation of coordinates so that the metric becomes 2 dzi Then putting 1 zi=t"-(I$)obeing the value of 4; at the point 2
a.
cjch,
(in the 8-coordinates), the 5's give a geodesic co-ordinate system.
Thus a Eiihler metric is equ.ivalent to the esiateltce of geodesic oo-ordinates at m y point. We note that when the metric is Kahlerian
so that
d rj - a s h log a --
(where, of course, a = 11 aij
11 ).
Next we consider the curvatwe of a KSihler metric. dAY we deduce, just as in From the formula IS". i3 the real case, that
-8x1 +
With a KBhler metric we can take geodesic coordinates in which the Th are all zero. Hence in these coordinstes, using (5.3)
because the terms not involving first clerivstives of the api cancel. Thus with a Kiihler metric R&, vanishes everywhere in geodesic coordinates and' hence in all coordinate systems. Hence in finding covarimt derivatives me may always interchange the order of derivation for two unbarred suffixes (and similarly for two barred suffixes).
I 1891
Differential fortus iu algebraic geotuetry
85
On the other hand
--(-
azj
ash
Hence, with the natural definition of l3iji we have
so that
But
Thus
5,
which is, in view of the Kahler metric, symmetrical in z a n d q,j. The above formulae, which are purely local, lead to a number of important results concerning operators which appear in the theory of harmonic forms. The following results are basic
(a) d"6'+8'd"=O, (b) d' 8'
+ 6' d' = d."
d'6/'+6"d'=0, 6"
+ 6" d".
These properties are purely local. Since the opera,tors involve the construction of second covariant derivatives we need to use the
properties of the curvature tensor described above. The compntations (i) are purely formal and accordingly omitted. The formulae (5.4) cast some light on the Laplace operator A. For A=d6+6d=
+ d") (6' + 6") + (8' + 6") (d' + d") = (d' 6' + 6' d') + (a' 6" + 6" d') + (d" 6' + 6' d") + (d" 6" + 6" = (d'
=
6").
Hence if the metric is Eahlerian A = 2 (a' 6'
+ 6'
d') = 2 (d" 6"
+ 6"
d").
It follows that A transforms a pure form of type (r, s ) into a pure form of the same type. Just as we proved that A P = 0 is equivalent to d Y = 0 and 6 P = 0 so me can prove, from (5.5), that with a Kahler metric A P = 0 is equivalent to d" P = 0 and 6" P = 0. In 4 4 we had for any form P a relation
where H P is the unique harmonic form cohomologous to P. The Kahler property can be used to show that the operator H transforms a pure (r, s) form into one of the same type, and also that, if P is pure, Q is of the same type (H. 51). I t follows at once that as d H =; H d then a'H = Hd' and d"H = Hd" by a simple consideration of the types of forms obtained by operating on a pure form with d H and H d . If 8""s pure, the formula above gives or where
(i) To be found with many of the other formulae nsed in $0 3-8, in Proc. Cam. Phil. Soc. 47, 1951. 504-517, a paper which will in future be referred to as H. 51. The notations of the paper are different from those nsed here.
~ 9 1 1
Differential forms in algebraic geoluetry
87
If AraS is dl'-closed, i. e. if d"Ar,~ = 0, then also d" HA'gS= = Hd"A'.S = 0. Then
are all zero, hence
a/'
Bp18+1
= 0.
I. e. if d" ArpS= 0 then
This result will have important applications later.
6. Forms oti rt Hahler tnadfold.
The special properties of a Kahler manifold enable 11s to carry through a classificati'on of the forms on a Kihler manifold, in particular the harmonic forms. Sil~cethere is a one-to-onecorrespondence between the harmonic forms and the cohomology classes (over the complex field) this classificittion yielcls information about the topology of LCBhler manifolds. 6.1 Tibe operators C, B and A.
We have illready introduced the operators *, d, 6, A. We now introduce some f ~ ~ r t h eoperators. r The operc~tor C replaces the differential dxi by f -1clxi and the - differential &j by - - 1d d wherever these occur in a differential form, but leaves all else unalterecl. It is trivial to show that C is determined by the coniples stmctnre of the manifold and does not depend on the co-orclinate system chosen (ancl, of course, not on the
metric),
.
Hence C2 Pp= (- 1 ) p Pp for any p-form Pp The existence of an operator C which operates on differential forms of a manifold and has the property C2 = (- 1 ) P for all p.forms is equivalent to saying that the manifold has an e almost complex structure a. This is less restrictive than a complex structure. In order that a manifold with almost complex structure defined by an operator C have a complex structure defined by C it is both necessary and suacient that
[Of. Eckmann-Frohlicher, Comptes Bendues 232 (1951) p. 2284. The form of the result given here v7as communicated to me in a letter from Dr. Guggenheimer]. The operator 9. The operation of multiplying a form by the fundamental (1,l)form
associated with a Hermitian (Klihler) metric occurs so frequently that we introduce the symbol a to represent i t :
-
-
-
Since co = o we have l1.P = QP. The operator A. We define A to be the operator adjoint to Q. If P is a p-form and Q a ( p $- 2) -form we have a product
I
But this product must be (P,A Q ) = P n k A. Hence " A 9 = a*&
"d&by definition of
Differellti81 f o r u ~in~ algebraic geon~elry
(1981
8'3
and as we have or We have already remarked that *A = 9". I t is immediate that also A* = *D and also
CD = ac, C-4 = A c. We now discuss further properties of these operators and classify them according to the information required to establish them. Before proceeding further we have e nseful definitien. Many of onr results apply to forms such that AY = 0. Such forms will be called
efective jbr?ns. 6.2 Some basic fo'rn&ulas depending only o'n tl~e.alw~ostc 0 ~ ~ p l . s ~ stvucture and the fact that the metric is Hertnitian (but not involvi,~~g digerentiation).
The following formulae I-IV are proved by direct calculations which can be most conveniently effected by taking co-ordinates in which the metric is 2 dzi a?. They are to be found essentially (with changes of notation) in my book on Harmonic Integrals, and the basic calculations are netltly carried through in Chapter I of Weil1s a Varidttfs Kahle~iennes I. If Pp is an eflective p-form (i. e. if AP = 0) and p then ):.
11. For any p-form Pp
'By induction from I1 we could calculate Ar DL only need 111. For any p-form Pp
D*Ar but we
90
[I941
WILLIAM HODGB
Finally I can be generalised to give IV. If PP-,h is an effective (p - 216)-form then
'Q1'
1 T~(~+l)+k
Pp-2h = (- 1)
if m-p+Tc>O
k!
(m- p f k ) !Q7*ptk
cPp-2h
and
An alternative form of the @st result is Q ' "
q-
P
(-
1
k! 1)p'9+1)(m-q-%JF
OP, if
~~-q--k
y
+ k <m.
6.3. The expansion theorem. The results of the preceding section can be applied to obtain an important expansion theorem for forms. As a preliminary we prove the following LEMMA.If Q is an effective p-form then
Ar~rQ=r!(m-p)(m-p-1) Proof :
...( m - p - r + l ) Q .
d r ~ ~ Q = d ~ - ~ ( A a - a ~ A ) Q =(since A Q = 0)
and the result follows at once by induction on r . COROLLARY. If Q is effective Avfl or Q = 0 if t > 0, and if Q is non.zero A++l is the lowest power of A which annihilates Qr Q. We now have the following
Ezpansion Theorem. If P is any p;form with 0 ( p <m there is a unique expansion
where each Q is effective. If P is a p-form with nh > p there is a unique expansion
beginning with the ternt involving the operator
QP-~.
Differential forms i u algebraic geometry
[I951
-
91
Consider first the case p ( m . Let Ar be the highest power of A for which ATP f 0 (0 2r L p ) . Then ilrP is effective, since A (Ar P) = 0, and of degree p - 2r. Then, by the lemma above
Thus, if q =
(m - p
+
r!(m-p+
T )!
ar)
'
Then if Q = q Ar P, Q is effective and we have
where Ar P' = 0. The technique we have a,pplied to P can now be applied to P' and proceeding in this way, after r steps at most, we have an expansion
where every Q is effective. [Note that unless p (m one might not a t some stage be able to define q]. The uniqueness of the expansion follows by remarking that if there were two different expansions for P their difference would be a non-trivial expansion of the zero p-form. We now show tbat such an expansion does not exist. Indeed if 0 = R, D R,-, Qr R,-w
+ ... +
+
is an expansion of the zero p-form with each R effective then operating on each side by A+ and, applying the lemma to the last term and the corollary to the others we have
+
and hence R,-,,. = 0 if tn - p r 2 0. Having eliminated the last term we then operate by A]'-I and eliminate the preceding one and
continue until we have shown that each R is zero, this being possible at each stage if m -p )0. Now suppose p > sn. Then *P is of degree 2 n ~ p < ?a. Hence, by what we have already proved, there is e auiqne ex1)ansion
where each Q is effective. Using formula, IV we have
where the q k are numerical factors. Since A C = C A this is an expansion of the type required. Its uniqueness follows from the imljossibility of two different expansions for *P.
d condition j'or qfectiveness. If p > ?n the form P is effective if and only if P = 0 and if p ( m the form P is effective if and only if ~ l l ( - P + l P = 0. If P is s non-zero p form with p 111. we have an expansion
>
~ annihilate any non-zero term No power of A less than A P - ~ +can on the right hand side: so that if A annihilates P every term on the right hand side is zero, i.e; P is zero. Consider now the case p m. As P is efective it follows from I that * P = qszTn-p CP where 7 (+0) is a constant. Therefore
<
and hence ~ " - p f l P = 0. Conversely suppose S Z ~ -l~P) += 0. By the expansion theorem hence
But C1, is an effective p.form, so, as we have just proved, ~~-p+lC1,=0. Hence
[I971
Diffeientinl forms in algebraic geometry
93
+
But the right hand side is a form of degree am - p 2 and the expansion on the right is of the type given by the expansion theorem for such forms, and i n view of the nniqueness of such an is zero. Thus P= QP and the expansion each of QP-%, QP-4 , condition is established.
... ,
6.4. Results depending on the comp1e.c structure atad tlte KiiWlel. property.
Since w is closed (the KBhler property)
That is d~ = ~d and dually BA = Ad. On the other hand d and A, or 6 and Q, do not commute. Incleecl we have the formulae
These formulae being dual it is necessary only to prove the first of them. A neat method is given by Weil in his book (pp. 42-43). He remarks that i t is enough, in view of the expansion theorem, to prove that ( d A - Ad) QI Q = C-1 6C St' Q, when Q is effective. Pollowing the simple remark that we call show that d Q = Q1 QQ2, with Qi and Q2 effective, the result is obtained by putting d=-*d" and then b y repeated applications of the forinulae 111 and IV. Of course i t rnalces use of the Kjil~lerproperty by using the formnla d~ ~ d . ITsing the results (6.4.1) me have
+
-
Adcling these results we have AA - A d =
C-1~Cd+SC-16C.
94
WII.I.IAI HODGE
Similarly
But the condition for a complex structure is or dually and hence Q and A commute with A. To sum up the following operators commute with A
:
We are now in s position to prove the following important THEOREM.If a harmot~icform P Bas tibe expansion
where each Q, is efective, thew eaolb of the components Q, is also harmonic. Proof. 0 = AP = AQp
+ Q A Qp-2 + Q2 A QP-, + ...,
because B and A commute. But AAQ, =A d & , =
0.
Hence (6.4.2) is an expansion of zero, and hence
... ,
Not only the forms Qp , Qp-2, are harmonic, but also all the terms $ Q Qp-a, Q~ Qp-4, are harmonic. Indeed If P is harmonic so also is ~h P, for if AP = 0 then
,
...
7. Htlrrnonic f o r n ~ sOII a Kahler rr~nnifold.
We are now in a position to classify the harmonic forms on a compact MHhler manifold. We shall consider only the case of p-forms
P991
Differential forms i n a,lgebraic geometry
95
where p 5 m : the case where p > m can be obtained by duality (the * operation). We shall also consider a t each stsage the special results obtained if o belongs to an integral cohomology class : this by Kodaira's Theorem, cf. the note at the end of 3 11.3, is the case of an algebraic variety.
...
7.1. Let Pi(i= 1, , R,) be a.n integral base (') for the harmonic p-forms and Qj (j= 1, Rp-,) be a base for the harmonic ( p - %)-forms: we shall suppose that the &i are an integral base only if w is integral. As in the last section we can write
... ,
Q=S,-Z+~S,-~+
...,
where
AS,=O,
a,nd each term on the right-hand side is also harmonic. Then also sz Q = B Sp-z Q~S,-, is harmonic, and by the expansion theorem it is zero if and only each S8 and hence also Q is zero (and Q. Q is integral if w and Q are both integral). Thus the D Qj form an independent set of harmonic p.forms. If now P = 8, D Sp-? ~ ~ f $l ~ - ~
+
+.,.
+
+
...
is harmonic so also is
Thus any harmonic p-form has a unique representation of the form
where Sp is effective and Qp-, is a harmonic (p - 2)-form. It follows that the number of independent effective pforms is Rp - Rp-, , from which it follows that Rp 2 Rp-2 Now as shown in ~*t-P+lp= 0.
5 6.3 a p-form is effective if and only if
( f ) An integral base is a base consisting of integral forms, i. e. having integral periods on each integral homology class. There is no suggestion that dl integral forms can be represented as a sum of i~tlegl.nlmultiples of the forms of an integral base, but only :ts a sulu of ~atioarrEmultiples.
R~
If P = 2 li P i is such a form then i-1
Since, in the case when o is integral,. G?'~-P+]P%S integral (the Pi being an integral ba,se) these equations in the li can be solved in integers. Thns, when w is integral, we can find an integ a l basis for the harmonic p-forms such that
We also note that if p is even (say p = 2q) the q-fold product 0 4 . 1 is liarmonic (and integral) so that R2q> 0.
7.2. In this section we make a second classification of the integrals. Unlike the work in section (7.1) this has no extra significance in the case where o is integral. Let P be any effective harmonic p-form, say
where P p - q . p is the part of P of type ( p - q, q). As A takes components of different types into components of differeut types it follows that A l3= O implies d PP-q,q = 0 for each q. I. e. Eroery pure part oj' an qfective p-j'ovm is itselj effective. Further as A transforms any pure (r,s) form into a pure (r, s) form it follows that Eoery pure part qf a, l~armonicp-form is itself harmonic. Thns if ehk is the number of independent eflective harmonic forms of type (lr.,k) it follows, from the two ]>receding results, that
The numbers e h k could, a priori, possibly depend on the metric chosen, but we shall now show that they do not and are thus true invariants of the manifold. To clo this we shall take another metric, with fnndamental %form Y , ancl with corresponding numbers ahk for the independent efeective llarmonic forms of type (A, Ir).
[ZOll
Differential forms in algebraic geometry
97
The namber of independent harmonic forms (effective or not) of trype (A, lc) for the first metric is r h k where (in view of (7.1.1)) rhk = e h k and hence rhk
=ehk
+
+
rh-1,k-1,
+
@h-1,k-1
@It-2.k-2
+ ...
and similarly for the second metric the number shk of independent harmonic forms of type ( l ~k) , is
...
Let pihk(i = 1, ,rhk)be an independent basis for harmonic shk) be an forms of type (8, k) for the first metric and Qj""( j= 1, independent ba.sis for the second metric. The forms P:-q'"ive an independent basis of R, harmonic p-forms. The (2nt -p)-forms P,?-q'q non"' will also be independent and me thus have a basis of Rp (2m -p)-forms
...,
PpO ,wm-P,
p;-lJ
,chln-P,
etc.
.
Similar bases can be constructed using the forms Q:~. Now if Pi"(i = 1, ,$) and Q;"-, ( j= 1, Rp) are bases respectively for p-and ( n ~ -p)-forms of M then the matrix
...,
...
is non-singular. I t follows that the matrix
is non-singular. NOW
+
q - r), and one of these indices is a form of type (m + r - q, m exceeds m unless q = 1.. Then if the bases for the Pi and Qj are arranged in the order given in (7,2.2) the matrix (7.2.3) breaks up into a number of non-zero sobmatrices, and the rows and columns of two submatrices never overlap. Thus if the big matrix is non-
singular so is each snbmatrix, and hence these submatrices are square. Hence r h k = shk for all h,k7 and thus by (7.2.1) ehk
= uhk for all h, k.
The numbers r,, are often denoted by or h P , q in the literature : we shall frequently use the 1tP.q to a ~ o i dconfusion with cohomology groups. 7.3. The period matrices qf the efective kamotzic jbrornls il, the case where co is integral (i. e. fov qlgebraic variedtes). Associated with any harmonic p form is a dual (2nb -p)-cycle( i ) whose intersection with any p.cycle is equal to the value of the integral of the form over the cycle. Let A be (in our special case) the rational cycle dual to w. We shall suppose p < m.) The results a t the end of 5 7.1 will enable us to find a rational base, I'z",, (i = 1, ,,H, -- R p 4 for the (2n -- 2))-cycles dlli~lto the effective p-forms. (A complete base for (Sqn -2))-cycles will be i all the . Ar for sllitable values of r). . A"'-p). We define the rational matrix N by Nij = (I$,,-,, . .f~,,-, nTe can also obtain a base for p-cycles by intersecting the base for (2m -p)-cycles with A"'-, (dual to the method of g 7.2 for obtaining il base for (2n~- p)-forms from the p-forms). Let us . An'-* by denote Let Qrk ((1: = 1, pILic) be a base for the eflective harmonic be dnal to the cycle Supp-forms of type (8, k ) and let $k: j pose I'i'Lk = 2 A ihjk I'zn,-p
...
r2nt-p+2,.
I'iHt-p
rj.
rt".
...+,
.
Then (r?lc. l
1
= pihk
,F F ,-,gnl-P,
( ~ h e r eh + k =
M
+
= p = 1~' k') is Eero (nf $ 7.2) unless I/,= It,', k = lc'. latter case we define
In this
('1) By cycle we inenn here a linear co~lltination,with coniplex coefticients of the elements of a base for the integral Betti-group of U . We can thns talk of the conjugate of a cycle
r.
Differeutial forms
[203]
'= ,Zai P:
Suppose now P
i
ill
algebraic geometry
99
is any effective h, k form. Then
But an*-P P h r k
= (-
= (-
l ) p
l)P
C2 p a - P
C ((-
p h.k = (- 1)P
1 --P(P+l) 1)2
o ~ m - po p h , k =
(m -p)IXPhlk) = by formula I of 4 6.2,
1
= (-
s o that
0%-P p " k = (-
-P (~+1)+~+n~-lc
( ~ ) " W * P (m
1)2
1 - P (P+l)+' 1)2
Hence
2j"i.
hk-j
(m)"- p )
1
- p(p+l)+k
a = (- 1)2
ij
and hence
(m
-
(f-l)P(m
p)! * p h2k.
!"P,
-p)jl.P
o
v
24
$k)-matrix. where n h k is a positive-definite hermitian (eh" Consider now the period matrix g where we define
i.e.
Q = AN.
But
So that certainly N is non-singular.
If p is even the signature of N is (@P,"
+ eP-2,2
If p is odd and
$ ... $
% is
P)
- (QP-l,l
... +
+ @P-3,"
@l,P-l).
the transposed inverse of B
... ,
(1,p - I), or Thus the integrals of the types (p, O), ( p - 2,2), their conjugates, form a Riema,nn set (and incidentally Rp- Bp-2 is even).
8. An excmple
of a con~plexmal~ifoldlwhieh is not algebraic.
,
Consider a projective space T/, and use the notation of $ 1. We can normalise the projective co ordinates, so that
Writing given in the real space of 2r+2 we see that the unit sphere co-ordinates (P, X'ZT+2) b y the equation
... ,
is a 1-sphere bundle over being given by points ('20,
'X2j+z
for all real 0.
a , the circle over the point (ZO,..., Zr) ...,'23 where '2" efze Zi or
= X3+1 sin 0
3 X 2 j f 2COS 0
Differential forms in algebraic geoluetry
12051
10 1
If now we consider the coordinates zb in Ua,a point of the bundle lying over Ua will have coordinates (z:, 0,). This will coincide with the point (zi, 0p) if
which is easily seen to give
8, - 0, = arg x; so that this equation gives the trausition functions of the bundle. ... Zr)on Now the normaliseci homogeneous coordinates (Zo, lIr hare the properties : (a) I Za I is uniquely determined a t each point; (b) Zq 0 in U & . Hence we can introduce a new fibre parameter pa in the part of the bundle over Ua where
,
+
,
Using this parameter, the transition fiinctious are given by
in U, n Up. Now take a second projective space 17,, and let ( W i , W8) be the normalised homogeneous coordinates. Denoting by VA the open set W" 0, we proceed as before. We thus get a bundle of circles over the fibre parameter over V A being o~ where
...,
a,
,
0~ -
1
.
op = log WFC
Now construct the product I& x R,,and the product of the bunclles over the two projective spaces. The open sets of I7, x IT8 are Uax V L ,and in this open set the complex coordinates are (2: w:'). The, prodnot bundle is a bundle of tori, and in the torus over (xi,, wi) we introdnce the elliptic parameter Q, !--lol = !Pan (periods 2n and 3~ l/?). The transition relations for this bundle of tori are then
,
+
102
WII.1.IAM
[a061
HODGE
Let Man be the part of the bundle of tori over Uax V ; I .Then the we have a neighborhoods MTn cover the bundle space, and in set of complex co.ordinates . ( x i , w{ Y d ) Since the coordinate are transformations in M$a n n/IP~,
,
.
the bundle space satisfies the conclitiolis for a complex manifold. Now the non-zero Betti numbers of >< S2g+lare, if r f 8,
and, if r = s,
These clearly do not satisfy the conclitions found for a liahler manifold unless ,r = s = 0.
9. Sheaves. 9.1. The essential idea in a sheaf is to associate with each point x of a topological space X an algebraic structure I?$, say, and then to treat the totality of these structures Fx as a topological space F. Suppose, for example, X is the Argand plane, and the stalk Fx at x consists of all power series centred at x and having non-zero mdins of convergence. The stalk at x is an additive group, and is in fact a C-module (and indeed it can carry a ridg structure). The aggregate of all the stallis forms a topological space if we define neighbourhoods of each element: a neighbourhood of an element f of SX is naturally those power series centred at a point in a sufficiently small neighbourhood of x (e.g. one inside the circle of convergence o f f ) which are analytic continuations (in the usual sense) of j: The aggregate U Fx with this topology is called the sheaf of xEX
germs of holomorphic functions on X . Now the theory of holomorphic functions can be approached from a different point of view in which the essential idea is functions differentiable in a domain, the power series then being obtained by Taylor's Theorem. If U is an open set the functions holomorphic
[2071
Differential forms in algebraic geometry
103
in U again form a 0-module, M (U) say : and, if V is an open set snch that V c U, each function in U defines, by restriction to V an element of M ( V ) and me have a homorphism M ( , U ) M ( V ) . If W c V c U there is also a homorphism H ( V ) M ( W ) and a homorphism M ( U ) JI(TY) which is the composite of the homomorphisms 211 ( U ) M (17) M ( W ). This aspect of the matter gives as what we shall call a pre-sheaf of holomorphic functions on X. The relationship between this pre-sheaf and the sheaf already discussed, and how a sheaf is derived from a pre-sheaf, and conversely, in more general cases is something we shall now consider. Our discussion is based closely on the book of Hirzebruch (a Neue Topologische llleth.oden in der Algebraisohen. Qeometrie %) to which the reader is referred for a more formal and detailed treatment. We now crystallise our intuitive ideas in more formal definitions.
- -
-
-
-+
9.2. The de-finition of a sheaf.
A sheaj' I? over a space X is a topological space with a continuous mapping n : F X with the following properties. (1)For each c E X , Z-1 (x) is non-empty (though it may consist only of zero) and is an algebraic ~t~ructure of some pre-assigned type. (For our purposes a C-module will usually sufice.) (3) n is a local homeon,orphism (formally each point of P has a neighbourhood snch that n restricted t,o the neighbourhood is a homeomorphism : the reader shonld check that this property holds for the sheaf of germs of holomorphic functions). ( 3 ) The opera,tions in tlhe stalk are continuoz6s. 1E.g. if 3% is a C-module then for every l E C, a l a is a continnous mapping of F into E; and if P $ P i s t h e subset of P x P consisting of points a x p such that nu = nb, then the' mapping ( a , j3) a - j3 of F $ F -- P is continuous if F $ F. is endowed with the topology induced by F x F.] Informally me mean that if a is near a' and is near p' and nu = np = x, nu' = np' = m', then l a is near la' and a - @ is near a' - p'. -+
-
-
9.3. Definition of a pre-sheaf. A pre-sheaf Vl is determined if, given a space X, we associate with every open set U of X a, C-module (or other algebraic structure) 1W(U) such that :
(1) if U is empty M ( U ) = 0 (i.e. consists of zero only) ; (2) if V-c U there is a homomorphism h; of M ( U ) into M ( V ) ; (3)if W c I' c U then h r = ?byW V and hoU is the identical
mapping. The example already given of holomorphic functions suggests the possibility of associating' with each sheaf a pre sheaf and with each pre-sheaf a sheaf. We now perform these operations. 9.4. The sheaf associated with a preskeaf.
Let x be any point of X ancl consider the open setsAcontaining x. These are partially ordered by inclusion. We define a module Fx,the stalk at x? as the direct limit of the modules M ( U ) of the pre-sheaf %. The direct limit is constructed as follows. If U, and U2 are open sets containing x we say that a, in M(U,) and a, in M(U2) are equivalent if they have a common restriction to some open set 7 (formally this means that there exists V contained in Ui n U2 and containing :x: so that hg, a , = hg3a,).I t is easily seen that this is a proper equivalence relation and & consists of the equivalence classes under this relation. To prove that 8%is a C-module we need to show that we can multiply equivalence classes by constants (which is trivial) and that we can subtract two classes. For the latter if a and b are the classes represented by a in M ( U ) and p in ilI(V ) then me ca.n restrict a and fl to U n V (or any smaller open set containing E) and there subtract them. Formally U"P a - b is defined as the equivalence class of h T V a - h v f l . We now denote by P the aggregate IJFx and this will be a sheaf as zrX
soon as we have defined a topology for which the sheaf axioms are satisfied. We define open sets in P as follows. If a is an element in M ( U ) then a defines a nnique element ax in each 8, associated with a point x in U. The aggregate of these ax for x: in U, is defined to be an open set in F. The aggregate of these open sets for all U in X ancl all a in M ( U ) is taken as a base for open sets in P. (For full technical details the reader is referred to Hirzebrnch?~book). 9.5. The canonical pre-sheaf of a sheaf. If F is a sheaf over X and U is an open set of X we define a << section of F over U>>to be a mapping y : U F such that ny is the identical mapping of U into itself. I t is a consequence of the continuity condition (3) for a sheaf that the aggregate r ( U , I?) of sections y over U (which we shall denote simply by r ( U ) if it
-
Differential for~nsin algebraic geometry
I2091
106
is clear which sheaf is being considered) is a Cmodule. The presheaf 9 for which F ( U )= r ( U , P ) is called the canonical pre-sheaj' associatecl with F. If F is the Bheaf determined by a pre sheaf % the canonical pre-sheaf 7 of P can be different from %. However if 9 is the canonical pre-sheaf of F, the sheaf determined by 7 is F itself (for details see Hirzebruch). The use of sheaves and pre-sheaves is in defining globally over X ft~nctions,differential forms etc. which' satisfy local conditions : e.g. in the case of holomorphic functions the integral functions are the elements of the module r ( X ) . I n the case of holomorphic functions the elements of the stalk are neatly defined by power series. If ho-ivever we consider the presheaf defined by functions continuous in open sets of X the situation is very different. The elements of the stalks of .the associated sheaf are called s germs of co~~tinuous functions D but they do not correspond to any simply defined concept like the power series. This pre sheaf also illustrates that the homomorphisms h t are not always (as in the case of holomorphic functions) monomorphisms but may be more general homomorphisms. It is naturally interesting to know when a pre-sheaf is the canonical pre sheaf of the sheaf it defines. The technical conditions p. 109, F, and are given by Godement (u Tl~6orie des faisceaus F2). We simply remark here that these conditions are very simply fulfilled for all the parlicular sheaves of germs of functions or forms which we consider later. Goclement gives the name sheaf not ouly to the sheaves we have described but also to canonical presheaves.
>>,
9.6. Cohomology grozqs.
We now define the cohomology groups H r ( X ,%) of X with coefficients in a pre-sheaf %. The cohomology groups H r ( X ,2) with coefficients in a sheaf P are then defined to be H r ( X ,7 ) where 9is the canonical pre sheaf of F. Let 2e = { Ua) be any open covering of X. Suppose that for each up such that Ua,n Ualn n Uap is non-empty we have set a,, a, ,
... ,
...
(or f aze o ,$ if we wish to emphasise the covering 2)
an element fa ,,,, 0 P belonging to M (U, Ui n n Up). The function f is called a p-cochain of (Ua] for %. These p-cochains clearly form an additive group CP (Q,9 72).To proceed from cochains to cohoniology groups we have 7,
...
106
L2l01
WILLIAM HODGE
to define a coboundary operator d, i.e. a mapping
(The suffix p on dp will be omitted if there is no speoitbl reason to emphasise it). We define d by the rule 8 (fa
o...ap)
= $'do...
up+,
where
A
(the index a, under the magic hat being rendered invisible) where h, is the homomorphism from
I t is easily verified that d2 = 0 (more exactly dp dp,,-l = 0), i.e. that d is a coboundary operator. We then define Z P (24972)= dpl(0) to be the module of cocy%)= dp-1 Cp-I (Ze, %)to be the module of cobouncles and B P ((2, daries. We then define
Such a cohomology group is defined for each nonnegative in. teger p and each covering ?! of 1.If % is the canonical pre sheaf 9of a sheaf I? we can use.^ instead of 7 in all the symbols so far introduced. Next we partially order the coverings by writing
< Ze
(read
V
refines
Ze)
if there is a selection function zg such that V g c LTzg for all /? in the index set of the covering V = { V p ] . Of course there may be more than one selection function. The selection function
t
induces
a mapping
2 ;
from
Cp
('%, 5°K) to
Indeed if f =f;.,,? is a cochain of the covering ?[, chain of 9 'given by
t;
Cp
(V, %).
f is the
GO.
Differential forme i u algebraic geometry
12111
107
where I& is the homomorphism from
I t is easily seen that a homomorphism
:;.*
HP
.;
commutes with d and hence defines
-
(2, %) HP (99m). ,
A neat and basically simple formal hornotopy argument (Hireebruch, p. 29) shows that the homomorphism of cohomology groups is independent of the particular selection function chosen. I t is straightforward that the homomorphisms *zE of cohomology groups are compatible, i.e. XZ = ~z: %; and $%:is the identical homomorphism. Hence we have a direct limit of the cohomo logy groups. Hp (%!, %) and this limit is called thep-th cbhon~ology group, EP ( X , m) of X with coef$cients i n the pre sheaf %. If % is a canonical pre-sheaf 7 we also write it as Hp (S, I?) and call it the cohomology group of X with coefficients in the sheaf F. In view of this definition any element of Hp (X, %) can be represented in HP (%!, %) for ~uficientlyfine coverings %! (i.e. in at least one covering ancl all refinements of it). The following result is fundamental. The zero-dimensional cohon~ology group H0 (1, P)is isor~lorplbic with the module r ( X , F) of global sections qf I?. Given any covering %!,HO (%!, 7 ) is, by definition, the group of 0-cochains f u such that df = 0. a
But $1,
caf )uoa, = r..,:
nu,
.U~~U,,
fu0 - h,&.
fa,
i
r
. ,
This means that f U o , which is an element of ( U,, P)and,fbiwhich is an element of l' (U,, P ) must agree in Ua,n Uai Bnt fa is a mapping of U, into F, thus there is a function f , agreeing with fa in U,, which defines a globitl section of El. Thus H0 (V, 9) is isomorphic with r ( X , F )for all coverings %!, and the result then follows. Finally we remark that if X is a closed subspace of a space Y and I? is a sheaf on X and 2 (the trivial extension of F to Y) is
,
.
,
a sheaf on Y
$0
that the part of
lying over X is F and %y = 0
for every point y in Y - X, then
HP ( Y ,
= HP ( X , P ) .
(This is Theorem 2.6.3 of Hirzebruch). 9.7. Homomorphis~~uof sheaves nltd pre-sheaves. Exact sequetzce of
sheaves. Let P be a sheaf on X and P' another sheaf such that P' c P and P' is ope11 ( l ) in P. We say that P' is a sub slieaf of F. Suppose that P and G are two sheaves over the same space X , and that a continuous mapping of F into G induces I, : P, -- G , in each stalk (so that n F = nG 1) and that 1, is a homomorpllism for each z. We say that 1 is a sheaf homomorphism P G. The kernel of 1 (i.e. the aggregate of the kernels of each 1,) is a subsheaf P' of P and the image 1P of P is a snbsheaf P" of G (Hirzebruch p. 23). The notions of monomorphism, epimorphism, exact sequence, etc. can be carried over from modules to sheaves by requiring that the appropriate properties hold in every stalk. sheaf P ' as If P' is a subsheaf of P we can define a quotie~~t follows. The stalk Pjl. = (nu)-'z is defined to be F x / P k . There is a natural transformation from P into U F; given by the natural ho-
-
XEX
momorpl~ismFs --P;. 1TTe make this a mapping, and turn P" into a sheaf, by defining open sets of lp' to he images of open sets of P. We write the relation between sheaf, snbsheaf and quotient sheaf in the form of an exact sequence
where i is the injection mapping of P' in F ant1 j is the sheaf homomorl~lrism me have just defined of I? onto P". The relation (9.7.1) asserts the existence of an exact sequence
for every point x of
( I ) The point of this is that, if s is a section of r o v e r U aurl a in lik belongs to s (U) n F then there exists an open aet Y of X such that n(a)E V c U and Y (r)E 1'". Note that the zero aectiou of t' is always a snbsheaf o f P.
Differential for111s in algebraic geo~uet,ry
~ 1 3 1
109
9.8. The exact cohomology sequence.
A space X is called paracompact if i t is Hanssilorff and if every covering of the space has a locally finite retinement. We sliall henceforth consider sheaves only over paracompact spaces. I t is proved (Hirzebruch 2) that the exact sequence (9.7.1) implies, for paracompact X the exact sequence of cohomology groups 0
-
HO (X, P')
i +
H0(X, F )
- HO(X, P " ) -b Hi (X: F') - ... j
i
(9.8.1)
-
Intuitively the l~omomorphism HP (X, 3') Hp (X, F) can be obtained as follonrs. Any element of B P (X', F') is the direct limit (by refinement) of :in element of HP (%!, P') where %! = (Uai is a covering of X , this element being given by a set [F;~ where
0
n...nuo is a section of F' over Uaon
morphism 3'
P
- P induces
Buap ..nu, of F over U,o n
...
0
n
a mapping of Pha
,
gap.The homoP
0
)
a~
... n UGPand the set (Faa
on a section .,.,
0
%) deter-
mines an element of Hp (2,F), and then by the direct limit process, an element of HP(X, P).The llomomorphism liP(X,P) HP(X,FH) is obtained similarly. We now consider the homomorphism Hp-I (X, 3"') HP (X, F'). For suitable coverings %! an element of HP-l(li) P") is the direct limit of an element (Pga of HP-I (cl(, P") and if %! is suf-
-
-
t
ficiently fine we can write Pt;, ,., nunp=j F u a ,,.,,nu where Po,,n...n 4
is a section of P over Ua, n
QP
4
... n UaP. The set
gap
(PUain.. nuaP] is not
in general a cocycle. Now
has image zero under j (the image being 6 Pga 4
) and hence
is a section of F' over Uaon ... n UaP. Moreover it is trivial to show that Pba n...nuapisa cocycle, representing an element ofHP(T,F'), 0
and it is easy to show that the direct limit process leads to a uniquely determined element of HP (2;F'). This interpretation of the homomorphisms in (9.8.1) can he used to establish the exactness of the seqnence, bnt we leave the details to the reader.
110
WIILIAM
[2 1 41
HODGE
sheaves of $finite type. A sheaf P is of $nite type if (a) HT(X7 P) = 0 if r is sufficiently large; (b) Hr ( X , P) is a finite dimensional vector space for all r. It is easily seen, from the exact sequence of cohomology groups, that if, in an exact sequence of sheaves
two of the sheaves are of finite type then so is the third. For sheaves of finite type we can define the Enler-characteristio number X (P)= 2 (- l)idim Hi ( X , P).
-
-
i
If 0 P' F PP" 0 is an exact sequence of sheaves of finite type it is easy to prove that -+
+
X
(El)
= X (P')
X (3").
Pine sheaves. A sheaf P (on a paracompact space) is fine if it has the.propertg that given any locally finite covering (U,)there exists a set of homomorphisms 9, of F into itself snch that ( 1 ) 9,P is zero outside Uu (2) 2 q), P = P (or Z' 9, = 1). U
a
(The sum iu (2) is admissible on account of the local finiteness of 9l and conclition (1)). The important property of fine sheaves is that If P i s $rze then-lip (Ar, P) = 0 if p 0. Proof. Let any element of Hp (X7F ) be represented in Hp(ql, F ) by a cocycle fao...a?,, where (2 is a locally finite covering. (The possibility of finding snch a (2 depends on paracompactness). Then yafao... is zero ontsicle UU. Define the ( p - 1)-cochain g*a,...? by the rule
>
.
Then gu is zero outside Uu Now
Differential forms in algebraic geometry
[2157
111
Rut f is a cocycle so that
Hence
89" = F a f a ,...ap Hence f a ,...ap
=2 a
Ma f a ,...ap
.
= 2 aga = 8 2 ga? a
a
the sums 2 all being meaningful because C2e is locally finite and a
cp = 0 outside U d . Thus f belongs to the zero class, so that our
theorem is proved. 9.9. De Rham's Theorem.
The results we have given can now be applied to establish de Rham7s Theorem. Let d p be the pre-sheaf of real local Om p forms on ;F, defined by taking A p ( U ) to be tlie R-module of Cm p-forms on U. We shall denote the associatecl sheaf by Ap ( d P is in fact the canonical presheaf of A p j c.f. the remark a t the conclusion of 9.5). If we take a locally Hnite covering of X and a partition of unit?/ ( y,] associated with ( U a ) (c.f. the lectures of Prof, de Rham) we have associated an obvious homomorphism 9,: d p ancl A p . I t is immediate then that hence a homolnorphism qa: A p A P is fine. d p has a sub-pre sheaf % p , the sheaf of local closed P p-forms on X. ( B p ( U )is the module of p-forms in U whose exterior derivative vanishes in 77).Clearly we have the exact sequence
-
-
But with the aid of the Poilzcare' Lemwla,, -which asserts that every closed form is locally a derived form (c.f. again the lectures of Prof. de Rham), we see that d is locally onto. Hence the exact sequence
for sufficiently small neigbourhood and thus the exact sequence of sheaves
This then gives rise to the exact sequence of cohomology groups (where we write H1' (P) instead of HI' (X, P) as there is no risk of confusion)
9"
But the sheaf Ap-1 is fine if p 2 1 so that Hr (Ap-1) = 0 if 2 1. Hence i t follows that
Repeated use of the forinnla (9.9.2) thus shows that
But B0 is derived from the pre-sheaf of locally closed 0-forms, i.e. constants. Thus B0 is the constant sheaf R, where the sheaf R is the topological product of X and the additive group R of real numbers taken with the cliscrete topology. It is easily seen that Hp ( X , Rj is in fact the same as the ordinary r e d cohomology group. So v e have shown that
Hi (Bp-1) 2 H9 (X, R). Substituting this in (9.9.1) and using the property that H0 is the group of sections me have 0
r (RP-1) i r (Ap-1) -- r (B9) d
--
-+
+
H P
( X , R)
- 0.
Thus
Hp ( X , R) 2 I'(BP)/dr (Ap-1). But this quotient on the right is the quotient of the group of global closecl h firms modulo the group of derived p-forms. Thus formula (9.9.3) is simply a statement of de Rham's theorem on the representation of cohomology classes by closed forms.
PI4
Differential forms in algebraic geometry
10. Sheaves
rtad
113
Bundles.
10.1. Dolbeault's exact sequelzce. M is now a complex lcahler manifold and we shall consider sheayes on M for which the stalks are C-modules. (As opposed to the sheaves of R-modules over the real manifold X applied in section 9.9). The sheaves in which we are interested are sheaves of germs of certain classes of differential forms, defined in an obvious way by considering the pre-sheaf of local forms of the appropriate class. We define Ap,q to be the sheaf of germs of C* forms of type ( P, 4h
and Bpfq to be the sheaf of germs of C w forms of type (p, q) which are d" closed. If q = 0, Bps0 is the sheaf of holomorphic p-forms which we shall also denote by BP. It is easy to see (c.f. the sheaf A s of section 9.9) that APlq is fine. And with the aid of a complex Poinoare Lemma (analogous to the lemma used in 9.9) we have an exact sequence
This gives the corresponding exact cohomology sequence
Bnt, AN-1 being fine, H r (AP.q-l) = 0 if Hence (as in the previous section)
3.21.
and
A q-fold repetition of this last formula gives us
114
WIT,T.IA 31 HODGIC
PIg]
In particular
Now as we have already remarked, a t the end of 5 5, every d"-closed ( p , q) form is the sum of a harmonic (p,q) form and R dl ".derived (p, q) form. Thus
which is isomorphic to the module of harmonic ( p , q) forms. Hence from (10.1.9) and (10.1.5) we have shown that
Hq (gp) is isontorphio to the ntodule of ltavnzroaic ( p , q) fornzs.
(10.1.6)
This has several important consequences. In the first place clim Hq (gp) = 1P.q so that Q P is a sheaf of finit,e type. And, by (10.1.4), dim H T(RP3q) is finite if r 1.
>
10.2. L i ~ eBundles over conzplex manifolds. Suppose ( Ua] is a covering of N.A complex line-bundle P over M is defined ( l ) by a set of non-zero holomorphic ft~nct~ions1 fap] defined in Ua n Up whenever Ua n Up ;C1 0,and such that fa, = 1, fa! fpq= 1,and fap fpr j ' ~ =1 in Ua n Up n Uy whenever this latter intersection is non-empty. It is trivial to see how to define the same bundle for any covering ( T I ) which refines (U,J. [Geometrically a line bundle ca,n be regarded as an abstraction from a manifold (the bundle space) made up by piecing togetl~er the sets Ua x L, where L is a complex one dimensional vector space, 1 as follows. If x is a point in Ua n Up we identify the point x xfap in Ua x L with x x 1 in Up x L. The conditions imposed on f merely assert the consistency of this process]. Two bundles {faB), (gag]are equiz.alent (geometrically this asserts that the associated spaces are homeomorphic) if in each Ua there is a non-zero holomorphic function F, (which has the geometrical
(1)
In this section P is
B
line bundle, not a rrheaf.
Differential forms in algebraic geometry
r2191
115
effect of e changing the co-ordinates in the fibre >> in Ua x L) such -1 that gap = pa .faB 976 in Ua n u g A section of the line bundle is essentially a continuous mapping of the base space into the bundle space which is inverted by the natural projection. Formally a section of the bundle ( fag) is a set of functions ! P a , defined in each Ua so that !Pa =faB Pg If a bundle has a nowhere-vanishing section it is equivalent to the constant bundle. The sections of the bundle form an additive group (P). We can similarly define Cm line bundles and Cm equivalence of bundles. Of course any two holomorphically equivalent colnplex bundles are C equivalent.
.
,
.
r
(x~').
LEMMA.The complex line bundle j f.6) is Cm equivalent to the inverse conjngate (Cm, but not holomorphic) bundle It is not hard to see that ( f a g ]is equivalent to (hap)where hap is unimodnlar (the principal bundle is locally the product of Ua by the Argand plane with origin removed, and can hence be continuously mapped into the product of Ua and a circle). Thus -1 fap = hapap = 1 -hap ag =
aal
= 1,
a;
1 --I
l a
--I
-
fap Rg J B
and this establishes the lemma. Hence also there - exist real nowherevanishing Cm functions a, (where a, = (I, &)-I) snch that I fag = a,/a@. We wish now to define the sheaf APjq ( P ) of germs of (p, q)forms with coefficients in the complex line-bundle li'. We do this from the pre-sheaf d P s q ( P ) which we now define (this pre-sheaf will in fact be canonical: c.f. the remark at the end of section 9.5). If U is an open set of M we have an induced bundle PUon U, hence a group of sections T(Pu)of Elv. We define (As (Pj)( U ) (the module of our pre.sheaf associated with U j to be a set of ( p , q) forms cpa one defined in each non-empty U n UU, , such that pa = f a g tpp in each non-empty U n Ua n U p . Tn fact (AP8q (P))( U ) = = A P (u)(z)r ~ (PO). Similarly we can define sheaves Bp,q(P). In this case each g?, must satisfy d" pa = 0. This definition is legitimate only because fap is holomorphic. We can now define an operation d" : A p q (P)-. A.p,Q+l(3)by defining it for the appropriate pre-shea~es. If g? is an element of
l2
,
P201
WIT>TJAM HODGE
316
( A p , q (F)( U ) we define d" g, in (Apqfl ( F )( U ) by the relation it follonis tlrat (d" v), = (d" q), = d" (97,). AS fap is liolo~norpl~ic =fap (d'' v)fi Next we wish, assuming M to be a compact Kahler manifold, to define an operation 6" : A pfl (P) A p 9-I (P). Again we contine ourselves to (APtq (P))U and an element cp of t l ~ i smodule. Define 8" g, by the equation
.
-
Thus
(since cl'
(f,;;')= 0)
by clefinition of (8" q ) p , so that 8" q does actually belong to (A p q-l (F))(77). If 6" 9, and d" y are botli zero cp is said to bc lrarinonic. If fag = 1 we have harmonic forms in tlre usnal sense. I t can be proved direct11 that there is a finite nnmber of linearly intlependent global harmonic r-forms ~ r i t hcoefficients in F, :bud that these resolve into the sum of 11;hrmonic forms of type (p, q) with p q = Y . (These resnlts itre due to l(odnira : cS. Hirzebrilch, 1). 118, where references are given). The sheaf-tl~eoret~icanalysis of section 10.1 goes through unchanged when n-e have forms wit11 coefficierlts in F and we deduce that (t~B ) P ( F ) is of finite type, (b) dim H q ( Q P ( b')) is equal to the n~uiiiber of' independent harmonic forms of type (p, q) mith coefficients ill a'. Purtller the m:ipping of the global l~arulonic (p,q ) form y mith coefficients in P (represented in each U,, by cp,) on to t , l ~ e l~armonic(n, - p , m - q ) fort11 y+ (\\.it11 representative cp? in Ua)
+
Differential fur1118in algebraic geo~uetry
[2211
with coefficients in
-
El=
117
( j i ~ ldefined ] by
estttblishes an iso~norphismbetween the global harmonic (p, q)-forms - q)-forms with coefficients in - li'. Hence
with ooefficients in P and the global l~ttrmonic( m - p, nb
Hfl( n p ( F ) )z H m-(1 ( s ~ * J ~ - - Y(- I?)). This is a special case of the Serre duality tlbeore))~. 10.3. Line bu)zdles and dit~isors.
Any divisor D on a coml,les manifold ill is given as follorvs. If ( U a ) is a covering of ilZ the divisor is given in U , by the zeros and poles of a meromorphic fi~nction cp,, and the divisors in Ua and U p agree in U,, n Ub (if the intersection is non-empty) if and . P)a only lf - =Lp is a holomorphic nowhere-vanishing fhnction in 9?b'
Udn U p . I t is trivial to verif:y that ( f a B) defines a bundle, determined in this way by the divisor D. If another divisor E deterE determines the bundle { fa8 gap) mines a bundle (gup)then D which is called the s t h a of the bnndles ( fa8] and (gap). The functions p., determine a a meromorphic section 9 of the b~undle.If they are holomorphic functions we have a fl holomorphic section u and the corresponding divisor D is an integral divisor. Conversely, if any complex line bundle has a meromorphic (holomorphic) section, the sectio~ldefines a clivisor (integral divisor). If two divisors D, E correspond to sections ( y o ) , (y,) of the same bundle ( j i b ]then
+
P)B Hence 'Pa - = - so that we have a meromorphic function gloa
Y'P
bally defined on 11' whose divisor is U - E. Thus D , E belong to the same divisor class, and conversely two divisors of the same class define the same bnndle. Thus the group of holomorphic see. tions of a bundle defines a complete linear system of integral divisors.
What we have said establishes the relationship between eqnivalence classes of clivisors and a subset of the set of all bundles. We cannot say that all complex line bundles correspond to equivalence classes of divisors unless we can show that every line bundle has a (meromorphic) section. However for algebraic varieties we have the THEOREM.Every complex line bundle has a merornorphic section. We shall postpone tlie proof of this theorem till later. Meanwhile, assuming the result, we can give an elegant proof of Lefschetz7s theorem that on an nz-dimensional algebra'ic variety a (2nz - 2)cycle is homologous to a cycle representing a divisor if and only if every (2nt - 2)-form of type (m, 111. - 2) [or ( m - 2, nz)] has zero period on it. More conveniently we consider the dual 2-cocycle, and the theorem is that a 2-cocycle is (cohomologous to) the cocycle of a divisor if and only if it is of type (1,1). Let Z be the (constant) sheaf of integers, Q (= go) the sheaf of germs of holomorphic functions. We introduce a multiplicative sheaf F (in which the group operation is commutative mnltiplication) of germs of nowhere-vanishing holomorphic functions. Then
is exact, where i is the natural injection and-j is the homomorphism
-
e2nl/-1
.
The group Hi (P) is easily seen to be isomorphic with the group of compl~xline bundles. The exact sequence of sheaves (10.3.1) gives rise to an exact sequence of cohomology groups of which FO
ql
is part. If we follow out the process (c.f. Kodaira-Spencer, Proc. Nat. Acad. Sci., 39 (1953) 868-87'7) of passing from H i ( P )to H2(Z)
we see that the image of each line bundle is the cocyle dual to a' divisor determined by it. Conversely any 2-cocycle, i.e. element of H z ( Z ) , is the image of a bundle if and only if its image in H 2 ( 9 )
Differeutial forms in algebraic geoluetry
[a231
119
is zero. Eut H 2(0)being the group of harmonic (0,2)forms, the image of a cocycle in Hz(@ is the (0,2)part of the cohomologous harmonic form. Thns an element of H Y Z ) is the cocycle corresponding to a divisor only if the (0,'J)part of the cohomologous harmonic form is zero : the form being real the (2,O) part is also zero, so the form is necessarily of type (1,l).
10.4 The oalzonica.1 bundle. A line bundle .of speaial importance on a complex manifold is that corresponding to the canonical class. Let (8: x?) be local co-ordinates in U&.If U,n U p is not empty consider the function
, ... ,
f ,=
a
(7' ".' 1
a@,,
m . a * ,
: the bundle
E determined by
is ealled
Xi,)
the canonical btcndle. If, as in the case of an algebraic variety, there exists a meromorphic form defined globally and given in Ua by pa dxa n n Ilx? {qaj is a section of the canonical biindle and corresponds to a divisor of the canonical system. By means of the canonical bnndle we can prove the result
,
...
a0 (F) a' Qn ( F - E) for any line bundle F. For if an element of (00 (F)) ( U )is represented in U n U, by q9a (pa = fag qp in U n Uan Up) then yla = 9, a n (JX? is an element of ( Q(F ~ - A)) (77).Hence the required isomorphism. This isomorphism, coupled with the Serre duality theorem quoted at the end of 4 10.2 gives
...
H r (Q (F)) 2 2 Hr S j 21n (F- E))'U Hqn+ (B( E- F)) where, as usual, g = fjO. If D is any global divisor associated with the 1ine.bundle F, i.e. D is given by sa in U, , where s, =.fa@ S@ in U,n U B ,and if f: is a global section of Q P (F), then f:/sa is a global meromorphic p-form on M which is a multiple of - D. The same argument works w'ith everything restricted to an open set U of F. Thus Op (F)is isomorphic with the sheaf of germs of meromorphic p-forms which are multiples of - D. And H 0(QP (F)) is isomorphic with the group of global rneromorphic p-forms which are mnltiples of - D. This provides a motivation for the consideration of the sheaves with coefficients in a bundle,
11. Some R i e l l ~ s ~ ~ n - B oTheo~.ettts. ch 11.1 The four-term forr~rula oj' Kodaircb-~Ypewer.
We now show how to aspply the foregoing results to obtain certain formulae of classical algebraic geometry, including the classical Riemann.Roch Theorem. We first need to establish two exa,ct sequences. Let P be any complex line bundle over D.1 and S a non singular divisor (not ne. cessarily associated with P) given in U, whenever Ua n 8 0by the equation $2 = 0 (which ca,n always be achieved by a snita1 1 blc choice of local coordinat'e system in UJ. Let s , ~ = a,/za if Ua n Ug n S $ 0 : whenever U, n S = 0 -we replace xk in sap by 1. We shall wish to consider homomorl)hismsbet,weeu shea.ves over ill and sheaves over 8, and our clefillitions of sheaf homomorphism apply only to sheaves over the same base space. However we have already remarkeil, at the end of 3 9.6 that we ow.n extend a sheaf over S trivially to a sheaf over M and that it is irrelevant whether me consider cohomology grollps of S with coefficients in the sheaf over S, or'whether we consider the cohomology gronps of M with coefficients in the extended sheaf. over &I. We also need to extend a pre-sheaf over S into
,
+
9
This is done by defining d ( ~ =G ) ( U n AS'). With these conventions homorphisms of a sheaf or yre sheaf over IIf into one over 8 can be regarded as seusihle by the espedie~lt,which me sha,ll take for granted, of extending to N where necessary. consider now a section p of Dp (El)over the open set U, represented by 9, in every non-empty U, n U. Then
Let and
where the subscript S' denotes restriction to 8.
Differeutial forms in algebraic geoluetry
[a251
r
121
-
We then have a homomorphism ( U, Qp (P)) I'(U n S, Q; (PSI) given by ya - - y& For since pa=fag yg we have y: = (jig)8 ph, so that cp; does belong to r ( U n S, 8: (F,)),and the homomorphism is onto. Thus .eve shall have an exact sequence of sheaves (where B"P(F) is the kernel of the homomorphism and a subsheaf of Q P (P))
.
and the kernel Q"P ( F ) is to be determined. Remembering that sap = aA/zi and hence (sag), = (dzh/dx&. t l ~ e relation ya =fag Q)@ gives
,
Hence, if y is in r ( U ,
u" (F)J
Hence a mapping
which is a homomorphism onto, and the kernel consists of those ele ments Q) of r ( U , QP (P))which are such that (x;)-l pa is holomorphic (because rpa must vanish on 8).This kernel is thus r ( U , Qp (P- 8)). Hence me have an exact sequence of sheaves 0
-c
ap(P- S)
-
af'p(P)- ofl(P-
S),
-
0.
Now all the sheaves of the form SP(P)are of finite type. Thus in each of the exact sequences (11.1.1) aud (11.1.2) all the sheaves are of finite type, because two of them are, and we can therefore introduce the Euler characteristic X. The exact sequences then give
and
x (M, QP (PI)= X (4QNP(3)) + X ( 4 f2:
(PA)
x (x, ~ ' (P)) 9 = x ( M , QP (p- 8))+ x (S, Qf-' (P-
Hence we get our basic Riemann-Roch theorem (the four-term formula of ICotlaira-Spencer)
This theorem will be applied in various ways : before doing this we comment on some particular points. (i) If p = 0, ~ p - l = O ; if p = ?)t,o:= 0. Applying (11.1.2) and (11.1.1) we deduce
(ii) The formula applies to cot!/ comples line bundle F over a coml~lexmanifold on which there is a non-singnlar divisor 8. (iii) The process of deducing
-
from tlie exact sequence 0 -- A -- B C -- 0 of sheaves of finite type is only one example of a functorial operation on a class of sheaves. Others call be given, and this is the starting point of Grothenclieck7s generalisation of the Riemann-Roch theorem. 11.2. A theorem on afihple systems. rf now our complex manifold M is replaced by an algebraic variety V, we can consider on Ti the notion of an < ample >> system of divisors, i.e. the prime sections of a non-singular model. We have the following
T H I C ~ I ~IE fM 8 .is n non.singular divisor oj' an alrtple system 1 8 1 on V then
t)t
being the conaplex dinjelzsiotb qf V. Sincg Q " ' ~(F)= P(P) by (11.1.4) we dednce, by putting F = S
in (11.1.2),
Differential forms in algebraic geometry
[227]
123
Hence the exact sequence
-
Hq-1
(S, QF-1)
-
Hq
Bz~t Hq-l(S, Q*'-1) N %sm-l~'-l, forms on S and H' (V, Q*]') forms on V. But by 'duality
(V, Qnh)
-
Hq
-
(Ti; Q* (8))
(11.2.1)
the group of harmonic (m -1, q-1)(m, q)
qnh'Q, the group of harmonic
and, by a well known theorem there is a,n isomorphism (monomorphism) of % "'-' %:"-" if q > 2 (q = 1).But it is trivial to show that
'-
is commutative, the bottom line being the mapping dual to that %p'-q'O.Hence we deduce that the top line in the of %"-'.O diagram (11.2.2) is an isoluorphism if q 2 2 and an epimorphism if q = 1. Hence reverting to the seqnenqe (11.2.1) we deduce that Hq(V7Q ~ ~ ( S ) 0) =if 4 2 1.
-
COROLLARY.Hq (M, QO ( 8 ) )= 0 if q )1 and . S- E is ample. Because QO (8) Q~ (S - E ) as shown in $ 10.4.
"
11.3. The sections of line bundles over algebraic varieties. As a first application of a Riemann-Roch theorem we now pro. ve that : On an algebraic variety V,, any line bundle has a meromorphie section, i.e. there is a (1,l) co,rrespondenee between line bundles and divisor classes.
In the case p = 0 the exact sequence (11.1.1)becomes
where we may take 8 to be a prime section of V. Let us suppose that m > 1 and make the inductive hypothesis that the theorem is true in any dimension m' m,
<
I n the sequence (11.3.1) above replace F b y ' F The sequence becomes
+rB = 8 ,say.
where F,,,=Fs+ rS2 is, by our inductive hypothesis, a line bundle on S which defines a divisor U . For sufficiently large r, say v>ro,F8+rS2 - K.S' (K being a canonical divisor on . V ) is ample on S, since it ( r - 1) - Es (Kabeing the canonical divisor is equal to F,
+
a characteristic prime section on 8 ) . Hence H ( 8 ,Q,O (Fr,,))= 0 and .A? for 7c 2 1 if r 2 ro Tbis involves, froin the exact coliomology sequence assooiated with (11.3.3) that
.
>
Hs(~I,~O(Fr-l))lL'H~Jf,~O(Fr)) if s 1, so that
(d,(F9-1))- x (QO(Pr))= dim H 0 (SJO (Fr'r-l)) -
- clim E (ao(Fr))- dim H 1 (oO (P,.-l))
+ dim H'
(.QO
(Pr)).
But from the exact sequence (11.3.2) we deduce
giving
clim I f o (szO(Fr))- clim H O (SJO (I7'r-i)) = (11.3.3)
(q(F,,,)) $ clim H 1 (QO
= dim H O
if r>ro. Adding these results from ,ro
(Fr))- clim H 1(QO (F,.-,)),
+ 1 to ,r we get (Lr',,))+ dim H i(d(Fr))-
dim H O (a0(I??)) = dim H O (QO
- dim H 1 (QO ( F J )
(11.3.1)
r
+k=ro+l 2 dim H 0 (SJ:
But dim H O(Q: ( P k 8 ) )is positive since it is the dimension of the group of global meromorphic ftinctions on S which are multiples of and this system is of positive dimension. Thus dim H O(uO (F,)) increases atendily with r and hence for large enough r dim H O (saO (I?,.))
>0
P 2 9J
Differential foms i n algebraic geon>et,ry
125
+
i.e. there is a holomorphic section of the bundle Fr = F r ~ 9and hence a meromorpl~icsection of F. Thus the theorem is true once me have established it for varieties V of dimension 1. Similar arguments to those used above are immediately effective in that case, the situation being simplifiecl because S is of dimension 0 and the negative term on the right of equation (11.3.4) does not exist for any r.
Note. If M is a Riihler mauifolcl whose fundamental cohomology class is i'ntegral, me have an element of H 2( Z ) whose image in H " ( 9 ) is zero hecause it is a (1,l) form. Hence for the exact sequence (1.0.3.2) H' (P) H2( 2 ) H 2(B) -+
-
-
-
tliere is an element of H1 ( F ) which maps onto the fundamental class. A.n argument similar to the one above, using the positive definite property, shows that this has a section and we can prove the theorem of Kodaira, that RIhler manifolds of restricted type are algebraic. (Kodaira, Proc. Nat. Ac;~d. Sci. 39, (1953) 1273-1278; Hirzebruch, p. 140). 11.4. Arithmetic genera. of cclgebraic vu,rieties. Having proved tkst on an algebraic variety all bundles are associated with divisors all our bundles will in future be describeci in the divisor notation. Consider now X ( V, Q ( D ) ) where D is a divisor on the algebr:~ic variety V and '
x ( V , sz (D))= 2 (-
l)iclim Hi ( V , a (I))),
If 3 is snc.11 tlrat H1'( V, B ( D ) )= 0 if - h' is ample, we harye the case if
9 . 2
1, which is certainly
1 are not necessarily zero nre deIf the H" ( :I n (D)) for. r fine X (7,V; (D)) to be tlle aivtzcal dimejcsiojt of I D I
>
.
(1) dim I U I is here the geometrical dinlension plus one; i.8. it is the nnmber of indepeudent elenleuts of I D I . We tincl this definition more aonveuieut for our purposes.
For example if V is a curve (m = 1) X(V, g ( D ) )= dim HO(V,a ( D ) )- dim H1(V, aO(D))=
= dim
I D I - index of speciality
of D.
Now there are two classically defined arithmetic genera P a , p, in terms of a definition of virtual dimension which we have yet to show is the same as ours. P, (-1.p is the virtual dimension of I K 1 and (-1)" (pa+ (-lp) is the virtual dimension of I 0 I , the system of divisors equivalent to zero. We define the arithmetic genus as A (V,) - (- 1)'" where
+
A (7,= ) X (V, a0(I?)). But then
But X (V, SP (K)) is, with our definition, the vkttual dimension of E and X(V, aO)the virtual dimension (in onr sense) of the zero class. Tl~us,provided we can reconcile our notion of virtual dimension
with the classical one, the arithmetic genus toe Iavc dejined is equal to each of P, and p a . To establish the identity of the definitions of virtual dimensio~ we must first consider the definition of the arithmetic genus of sub-varieties of V. Let S be a non-singular clivisor. Then its arithmetic genus, on our definition is
But by the Riemmn-Roch theorem of
4
11.1 we have
Hence
x (fJ,
q-1)
- (- 1)l'b-1 = X (V, 32" (8))- X I V , ~2Tn:- (-
l)m-l.
Differential forms in algebraic geometry
127
We therefore define
is A v ( f i ) - (- I)"'-I. so that the arithmetic genus of But A v ( 8 ) is defined even if the divisor S is ?tot non-singular: we can therefore de$lze the virtz~alarithmetic ge9Lzc.s of a divisor 8 on V to be A V ( B )- (- 1)'"-I, which of course depends on V as well as 8, but which is acttia~llythe arithmetic genus if S is nonsingular. We can now extend this definition of virtual arithmetic genus to uq~ysubvariety 1' of dimension m - r 7 whether singular or not, is a co?)zp7ete intersection ?f divisors on C', . provided only that Indeed if I' = n n X, where & , is a divisor, we can choose a11 ample system I E I and then in succession choose Y i ( i = l , r ) to be a non-singular member of I ;ITi h, E 1 and such that Yl a n lriis non-singnlar, which will always be possible if hi is large enough, say Ai 1 ~ : . We can then define the arithmetic genus of the intersection Yl n n lr,.as a polynomial A ( l ~ , h,, E, Xi Xv,7 ) . I t is trivial to sllow that A (0 0, E,X, X,, V ) is illdependent of E' and we define it to be the virtual arithmetic We then define Av to be the virtual arithmetic genus of geniis plus (- l)m-T. I t is easily seen that this coincides with our ~reviousde8nition if r =; 1 . If now the X's are all talren equal to a single divisor D we call define Av(Di)for i = 1: 2, ... We define formally Av(DO)= A ( V ) . Nest nre remark that x(V,, , QO ( D ) )= ~(v,,',,Q'J' ( D - K ) ) b y
r x, ...
,
...,
+
....
>
,... ,
...
,...,
,...,
,...,
r.
(r)
.
,
(1 0.4.1).
Hence
x(v,lz,la0:D))=A(V,1)+APm(~-~), by definition of A ( V ) and A v ( B ) . If now in the Riemann.Roc11 Theorem of $ 11.2 we put p = 0, and write S for S ;md S r li for P we easily derive with the aid of (11.4.2) the relation
+ +
Nest we obtain the formula
The fbrmnla (11.4.4) is, of oonrse equivalent, by (11.4.3), t,o n8
A ("nt) f A v,,,( I ) - E ) = 2 (- l ) i Avm (Dnl-i
)a
0
We prove the formula (11.4.4) by induction on l i t . It is clearly true for m = 1. a11d we sllall suppose i t to be true for viclues of' t,he tlimension np to nt - 1. Let B he any ample system and sul)l)ose that,, for 5 2 k , , I I ) 11E I = I AS1 is ample. Then
+
A ( V ) + r l v ( ~ \ ' - l l ) = l l r + A V ( ~ S ) + A,(-Ir)+As(-K.N)by(11.4.3).
But
= X ( V , 9O)
- X (IT,S1"')=
((-
1 ) x(17, an') =
lyn
-
bg (10.2.1),
-,
And As (-K.8)= A, (A' - Ii,) where A S is a charl~cteristic divisor on AS Hence
Rnt, by the indnct,ive I~ypothesis,
, . ,
nt-l
.- 2 (-
IIencte
0
nr-1
1 As (Ayflt-l-i ) = 2 (-
.
na
11 ( T7,,) f A (AS - li ) = 2 0
i-
Both sitlex of this are polynomials in
whicl~is blir reqaired result.
1y , IJT(LYn1-i).
0
1)'A (fin*-"). 11.
Putting 11, = 0 we get
Differential forms in algebraic geometry
[2333
129
We have thus proved
But this is precisely the relationship obtained by Severi connecting a virtual dimension in his sense and his arithmetic genus. As the virtual dimension in either sense gives the correct dimension for sufficiently ample systems, we can establish the identity of our definition of arithmetic genus with his by induction on m. Having done this we can then use the identity of the two formulae to iilerl tifx the notions of virtual dimension. So we have now proved that (a) (V, f2 (D))is the classical virtual dimension of I D I (11.4.5) while (b) H0(V, Q(D)) is the effective dimension. Thus the virtual and effective dimensions coincide if dim Hr (V, 8 (D))= 0 for all r 1. We have given sufficient conditions for this in $11.2 (D - E ample). We have shown how to calculate X (V, a ( D ) ) in terms of the Av(Di) which is the classical way of writing the Riemann-Boch Theorem. Hirzebruch in turn has examined (V, Q (D)) in terms of topological properties of V, and has expressed it in terms of the intersection numbers of D and the canonical systems of V. The numbers dim H r (V, a0(D)) can also be expressed in geometrical terms as deficiencies of linear systems (c.f. @ A note on the Riemann Roch Theorem, Journal of the London Math. Soc. 30 (1955), 291-296, especially § 5). I t is also possible using the Riemann-Roch Theorem to get similar results for virtual dimensions of the set of p-forms (n7e have just dealt with 0-forms) with assigned polar loci.
x
>
x
11.5. A Riemann-RocA Theorem for p-forms. The Riemann-Roch theorem in its classical form is essentidlg a study of functions on a variety having assigned polar loci. We wish now to consider forms with assigned polar loci. liodaira has shown that, for suf6ciently ample D,Hq( V,QP(I))) = 0. Hence in this case
x ( V, Q P
(D))= dim H 0 (V, ~p (D))= dimension of
the (vector) space of p-forms hltving singularities (of first order) on I). We t,herefore define ( V , SIP (I)))to he the airtun1
x
130
P341
WILT~IAMHODGE
dlimeasioa of the space of p-fold analytic forms having D as polar locus, and we follow the same methods as above to find a formula for this. I n the case in which S, S2, B3. are non-singular we have, from the Riemann-Roch theorem 11.1.2,
..
Hence
X (7,QP (8))- X (8,Q i (S2)) = X (V, QP)
+
X (fl7Qf-l).
X (X, Q: (89)-x(flP, Q$ (S3))= X (4Qgp) f X (X2, l2S-l)
x (ar-', Q;-I
(ST)) - x (ST,0.: (A'?'"))
x
= (AS''-',
Q$-I)
+ x ( R T , 8;:)'.
Adding we get
with the convention that So= V. Taking r = m -p we have
Hence, with this value of r, x (BT,Q: (8"')) is the virtual dimension of ,y m-p+l - KSm9 on 8mna-p. The terms x (Si Q): and x (Si, are characteristic invariants of S. Hence we are able to express the virtual dimension of the system of p-forms having 8 as polar singularity in terms of known invariants of 8. Since
,
~5-l)
where h:: is the number of independent harmonic forms of type (t, q) on Si, we thus have an example of tliese numbers appearing in a geometrical formula.
I should like to express my indebtedness to Dr. D. R. Scott, whose help in preparing these lectures for publication has been invaluable.
SCOTT D. B. 1961 Rendiconti di Matematica (3-4) V O ~ .ao, pp. 395-402
Correspondences between algebraic surfaces (") by D. B. SCOTT (a Londra)
The use of differential forms and their integrals is one of the oldest tricks in the theory of correspondences. It is not our intention to give a review of this aspect of the subject : we are concerned here to comment only on one problem which arises in the theory of correspondences between surfaces. In Lefschetz's classic paper (5) the base number for correspondences between two curves is established by using the condition for a 2-cycle on the product of the two curves to be algebraic, this condition being that the double integrals of the first kind all have zero period on the cycle. The extension of this result to correspondences between surfaces was undertaken by Hodge in a pair of classic papers (3 and 4). The extension is incomplete in that the conditions for a 4-cycle on an algebraic fourfold (in this case the product of the two surfaces) to be algebraic are not well-determined. Necessary conditions, in terms of the periods of integrals, are known, but the problem of whether they are also sufficient is, I think, still open, but I know that the problem has long been close to Hodge's heart. But, even if we know the conditions for a correspondence to be algebraic, it seems likely that there might be further conditions for a correspondence to be effective and irreducible. I n two forthcoming papers (7, 8) I have been able to determine a condition of this type.
(*) Conferenza tennta nel ciclo del CIME (Centro Internezionale Matematico Estivo) su Rorme diferemziali e loro Ctegrali ch'ebbe luogo a1 Saltino di Vallomhm.0 (Pi-nnoa) a l l 23 a1 31 agosto 1960.
13961
D. B. SCOTT
1 ~ 2
Tbe problem of finding such conditions is implicit in Hodge7s work and underlined, as I shall shortly explain, by various theorems on correspondences with valency. This partic~~lar problem is clearly raised by Hodge7s work with differential forms, but I must confess at once that these techiques have so far made no impression on it and the methods I have used are, unlike my problem, only indirectly within the subject matter of this conference unless one takes the broad view that, in view of de Rham's theorems, everything related to the homology and cohomology of algebraic varieties is something to do with differential forms. Let us now consider a correspondence between two curves C1 and 0 2 . On a curve C of genus p we have a base for cycles as follows 2-cycles C
0-cycles
z
((a
point of C).
For the curves C i and 0" of genera pi and p2 respectively, we denote everything by the obvious symbol with index 1 or 2, upper or lower as convenient. E. g. the general 1-cycle on C i is yt, (i, = 1 , 2 , ,2p1). But clearly the upper index is redundant as the information it gives is implied by the lower sub-suffix : we shall accordingly omit it whenever we feel like it. An (a,, a%) correspondence between Ci and G 2 is represented by a cycle on C1 x Ce of dimension 2. Hence rx ai xi x C2 a2 Ci X x2 E6i, yi, x ya (Here and henceforth we sum over the range of values of all repeated literal suffixes). The transforms of the 1-cycles under T and T-I are given by
...
r
+
+
.
where each of t, q n determines, ancl is determined by, any of the othera. In particular if one of the three matrices vanishes so do the other two, this being easentially the theorem that if l' is of valency zero so also is F-1 (and conversely). Consider now a pair of surfaces and P v n o t necessarily distinct). On a surface P we have bases (for weak homology: torsion
[3971
Correspondences between algebraic surfaces
133
is neglected throughont this lecture) as follows
... , for agebraic cycles ...,a for transcendental cycles)
4-cycles C, ,cp (r = 1, = 1, l-cyoles yi (i = 1,2,
Q
... ,Y q )
With the same conventions for Pi and P h s me used with the ourves C 1 and C2, it point-point <w2)correspondence of indices a1 and a2 is given by a cycle r satis$ing the homology
The conditions of IIodge (4) determine the possible values o f f and g itnci give necessary conditions for 1. The effect of the correspondence on the cycles depends on f, g and 1 as follows:
(r)and
f
controls
2'
g
controls
T (y)
and
P-I
1
controls
P (o)
and
P-1 (c),
2'-1
(y)
(r)
If we arrange to take the y's and r 7 s so that on each surface
(yi
rj)= dij
(the Eronecker delta)
we have the results
Xow the notion of valency zero can be generalised from curves to surfaces in several ways : of course once we have the notion of
valency zero the notion of valency v for self-correspondances is defined. (T is of valency v if P vI is of valency zero, where I is the identical oorrespondance.) The difficulty in extending the idea of valency zero is that on a curve there is an inevitable confusion between primals and sets of points, while in higher dimensions the ideas are clearly separate. One way of looking at a correspondence of valency zero on a curve is to say that the transform of a single point belongs to a linear series of points. The generalisation of this is that the transform of a point on a surfwe belongs to a series of equivalence: this is valency zero in the sense of Severi. Another way of looking at things is to say that the transform of any continuous system of primals belongs to a linear system (since on a curve a continuous system consists of sets of a fixed number of points). Taking this idea over to surfaces we get correspondences of valency zero in Albanese's sense. These correspondences are also defined by the property that the transform of any 1-cycle is homologically trivial. Severi's correspondences of valency zero require also that the transform of any transcendental 2-cycle is trivial. In view of what we have said T is of valency zero in Albanese's sense if g = 0 . And T-I is of valency zero i f f = 0. Hodge's conditions on f and g are quite independent so that we are left with the obvious question whether, if a correspondence is of valency zero in Albanese's sense so also is its inverse, i.e. whether f = 0 implies g = 0 and conversely ? ( F o r correspondences of Severi valency the extra condition for both 9 and T-1 is that 1 = 0 so that there is no further serious problem of reciprocity in this case.) The answer to this question is certainly not, as it is for curves, an unrestricted affirmative. For if this were so it would imply that if a self correspondence T were of valency v then T-l must also be of valency v, and this theorem is known, by examples, to be false, though it had long been erroneously asserted (of. 6). However Albanese (1) and Todd' (10) have both published proofs that the result for correspondences of valency zero holds if T is irreducible, non-singular and non-degenerate. (This implies the corresponding result for correspondences with Severi valency zero). It is thus shown that if P is irreducible, non-singular and non-degenerate then f and g can only vanish together, a condition nowhere implied in Hodge's conditions for !l'to be algebraic. The question naturally arises, e does the irreducibility of P impose a relation between f and g in all cases % $ Such a condition has now
+
[3991
Correspondeuces between algebraic surfaces
135
been found, but it is established on certain restrictions which I shall snmmarize as << conditions of respectability B. These require that the branch and double curves of P! are reasonable and that the fundamental points are too. Before stating the relation I must first introduce the idea of the a-matrix of a curve C on. a surface F. For such a curve the intersection Ti C is a 1-cycle of P; say ri.CXajyj.
The matrix a is called the a-matrix of 0: it is non-singular if G is a general member of an ample system of curves. We shall find it convenient to denote the a-matrix of a curve C by a a . The relation between f and g can now be written
where awis the a-matrix of the canonical curve El of P i , aKathat of the canonical curve E 2 of P 2 , and aB1 and aBa those of the branch curves. Whether this result requires the conditions of respectability to which I have referred I do not know: all I can say is that they are at present involved in the proof. If we have a self-correspondence on a single surface P the relation (A) becomes
aKg+faK=-(aB1g+faBP), and the conditions for T and T-1 tho be of valency v are respectively g = v 1 2 , and f = - v la,. From this formula we deduce at once that a correspondence and its inverse can have the same non.zero valency only if the branch cnrves Bi and B2 have the same a-matrix. So that in a sense correspondences with equal non-zero valencies in the two directions are exceptional as they require some element of symmetry in the branch curves (which is lacking in the classical counter-examples to the assertion that the valencies are equal). There is a partial converse to this result. If a correspondence is such that its two branch curves have the same a-matrix a and it has valency v in one direction a sufflcient condition for it to have the same valency a is non singular. This is cerin the other direction is that aK E 1 is ample (B being the branch curve). tainly the case if I B Perhaps the most surprising thing about the formula (A) is the manner in which it was obtained. It is a typical example of a line
+
+
136
I). B.
BCOTT
[4001
of work, undertaken for one reason, failing to do what is expected of it and producing interesting results which were not expected. My starting point is the fact (deriving from a theorem about isolated branch points of involutions, of. Severi (9) p. 298, $ 139) that tt correspondence between surfaces has in general branch and double czcrves, although a counting of constants leads one to expect only e finite set of points. Severi gives an argument, in discussing perfect and imperfect coincidences, (loc. cit. p. 278) which gets the climensions right if we consider the correspondence not between the points of the surfaces but between the varieties of tangent directions on them. Bnt to consider the correspondence from this point of view we need to know the relation between the geometry of the surface and that of its (threefold) tangent direction bundle, so that the correspondence can be ((lifted 9 from the surfaces to the bundles. The bundle is of course a fibre space, whose fibre is the complex projective line (the aggregate of tangent directions at a point). Now the cohomology of this tangent direction bundle is known, and is derived using what are, to a classical algebraic geometer, rather advanced bundle4heoretic techniques (cf. Chern 2). Fortunately i t is possible to derive these results more simply by classical methods (cf. the paper (7) entitled a Tangent-direction bundles of algebraic varieties s and forthcoming work by A. W. Ingleton). I t is natural to expect that the base for cycles on the bundle can be derived from the base on the surface by performing two operations on it, in a way similar to what is done for the product. One operation is to replace each cycle (taking a rather crude geometrical view) by the aggregate of fibres lying over it, this raising real dimensions by two. The other operation, easy enough on the product, is to <
> $0 a curve C + on the bundle 8".For at each place of 0 its branch tangent corresponds to a definite point of the overlying fibre of P";the lifted curve Ct thus obtained is, if 0 has no points with more than one tangent, a section over C. What then can be done to lift subsets of P which are not carves 1' If we take a pencil of curves 1 C I on F then at every point of I?, other than base points or singular points of members of the pencil, we have a unique curve of the pencil through it defining a
r*
r
r
1.4011
Correspondences between algebraic surfaoea
137
e lift >> of the point. By considering the lift of a generic point of
P we get a lift of the whole of P into a surface
( F ) l c l , but this is only a u near section >> over P as the <( exceptional points >> of / C 1, to which we have already referred, all give rise to the whole
r
of the overlying fibre. For any cycle of P we then have the lift ( ~ I 01I = {FIlc \ . The question immediately arises what has the pencil I C I to do with the lifting process t What happens if we use a diflerent pencil? The simple answer is that the homology class (PIlc l - 2C" We is independent of I C 1. This we call the > 3r * . define the invariant lift of a cycIe r to be 7% I t is not difficult to shoa that if A runs through a base for P, A* and d run through a base for PX.The intersections of base - elements of P * are all known as soon as we know P. F. (This ena. A;% -A bles us to calculate 2, -2,The intersections A:. 32%-dland A: A% = [Al A2]" being straightforward). I n fact P . Pz p*, where K is a canonical curve and x the Euler characteristic. This relation enables us to identify the dual of - 2 with a mysterious cohomology class zc of the bundle-theoretic approach. The cohomology ring of P" is in fact known to be the result of adjoining u to an isomorphic image of the ring of F (of. 2). Our problem now is how to lift the cycle on P i>< P2 into a cycle r * , say, (of real dimension 6) representing the lifted correspondence P* between Pi" and P2".We have no time for the details of this (they are set out in 8), but we sketch the answer. corresponds the pair of terms To each element Ail x Ai, of Ah x di, d4 x LIZ of r".But this is not be wholegtory. In addition to this r"could conceivably contain terms of the form 2, x d, or Ajl x AS (of course of total dimension 6). In fact the first type of term does not appear (its projection down to p ix P-ould be of too high dimension). But does contain 3 terms of the second type. These are
rf.
F.
.
z-
r
r
+
rX
The curves Hi and H2 are peculiar in that they do lzot depend merely on the homology class of I', but involve also branch and clouble curves which are only partially deducible from the cla,ssof r. Indeed Hi % DZ Ei - u2E i% Bi - T-1 ( K 2 ) where Bi, Di and Ei are respectively the branch, double and total exceptional
+
138
D . E. SCOTT
[go21
curve of T on P i , and Ki is, as before, the canonical curve. E2 is given similarly. The key problem however is the determination of the matrix 11. One would hope, and expect, that it depends on f and g : the essential result, under our hypothesis of respectability, is that we can calculate it in two ways in terms of them. In fact
This gives us the result asserted edrlier.
REFERENCES [This lisb is not a bibliograyhy: il i~ lucrely a liat of pal~ersto which specifio reference is required in the, text]. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
G. ALBANESE: Ann. Sou. norm. sup. Pisa (2)) 3 (1934)) 1-29 and 149-32.
S. S. CHERN:Amer. J. Math. 75 (1953), 565-97. W. V. D. HODGE:Proc. London Math. Soo. (a), 44 (1938)) 216-25. W. V. D. HODGE:Ibid 226-242. 8. LE~WCHE'Z: Amale of Math. (2) 28 (1927), 342-54. D. B. SCOTT:Acta Pontificia Acad. Sci. 14 (1951)) 61-66. D. B. SCOTT:Proc. London Math. Soo., (3) (1961); 57-79. D. B. SCOT^: n i d . 139-40. P. SEVERI:Serie, sistemi di epuivnlenze e corrispowde?tze algebricl~e aiille uarieth algebriche (Roma 1942). 10. J. A. TODD: Annals of Math. (2) 36 (1935), 325-35.
DOLBEAULT, P. 1963 Rendiconti di Matematica (1-2) Vol. 21, pp. 219-239
Sur le groupe de cohomologie entiere de dimension deux d'une vari6t6 analytique complexe (') par P. DOLBEAULT (Poitiers, Prancia)
I N T R O D U C ~ I O N: Soit X une varidtd diff6rentiable Cm, connexe, yaracompacte, de dimension jz. Allendoerfer et Eells ([2], voir aussi [I]) ont considdr6, snr X, des couples de formes diff6rentielles (8, o) definis comme suit: 0 (resp. w) est une forme diffe'reutielle C m de degr6 p (resp. p - I), ( p O), de'finie snr le compldmentaire, dans X , d'un polykdre Cme(B) (resp. e(w)), de dimension 12 - p - 1 (resp. -p), avec e (0)C e ( o ) ; pour p = 0, on pose : o = 0. Les conples possbdent, en outre, la proprie'te' suivante: pour toute chalne O m B coefficients elltiers c qui ne rencontre pas e (0) et dont le bord do ne rencontre pas e (a), le nombre R [(B, o), 01 =
>
={0 - 1 eat un o
o
entier. La relation R [(B, o),o] = R [(Of,of),o]
ba
pour toute chaine o admissible pour lea deux couples (0, w) et (Or, of) est une relation d'Qquivalence ; 011 d6signe par 18, o ] la classe d'6quivalence du couple (0, co) ; l'eusemble eX( X , 2) des classes de couples [0, o ] est un groupe gradud par le degr6 de 0 et possbde la ddrivatioil d d6finie par : d [0, w ]= [O, 01. Allendoerfer et Eells [2] inoutrent qu'il existe un isomorphisme canoniqne du groupe de cohomologie de e " ( X , 2) snr le groupe de cohomologie H " ( X , 2) B coefficients entiers de X(leque1 s9Ctend d'ailleurs aux structures d7anneaux). (*) I1 present8 lavoro sviluppa un Seminariv tenuto dal17A. a1 oorsv estivo del C. I. M. E. : a Forms differenziali e loro btegr'ali D (Saltinv di Vallombrvsa Piren~e,23-31 agosto 1960).
Ce tl16oreme est, en particulier, valable pour lib structure analytiyue rt5elle d6finie par uue vnrietie' ailalytiqiie courl)lexe, u~ais,t~lors, se pose le probleme des relatious e ~ ~ t la r e utructrrre complexe et la eohomologie entiere. Quelques r6sultatv snr le grollpe cle col~omologie elltiere de dime~lsion 2 d'une vttriBt6 arralytique coluplexe s o ~ t obtenus daus cet article; le principal est le suivaut : Soit V nue vari6tB a,ni~lytique complexe parilcompacte ; aoit H 1 ( V , Z) le sous-groupe des Bl6me1lts de H 2(V, Z ) dont les imrrges, ditlrs le groupe de cohomologie complexe sout repr6selltables par des formes ditY6rentielles fenne'es de type (1,l).Alors, si V satishit B uue autre conditio~r(vbrifike, en particulier, par les vari6t6s kOh16rieuues oompsctes), il existe : 1) nn groupe E l J ( V , 2 ) de classes de couples de formes diff6rentielles (8,a) ou 8 eut ulre (1,l)-forme G w ferm6e sur V et oh o est de degrB 1 et possede c e r t ~ i u e s IA de E I J(V, Z ) stir ( V , Z) singolaritBs ; 3) un Cpiu~orphie~~le (th6or81rre 10); le noyitu tle h est aussi d6terlniub (th6olelrle 11). Les siug11lsrit6s des formes w sont porte'es par des euse~llbles aualytiques reels d6finis, en chaque poiut par les zCros d'lule fo~lction analytique r6elle a valeurs complexeu. Par ailslogie avec lea rbsidus de formes diff6re11tielles a~e'romorphes, oil associe :tux forlnes w des Btres g6ne'ralisicnt les diviselirs et qu70n itppellera pseudo-diviseurs. Les proprie'tks des psendo-divisel~rs atilis6es ici sorlt groupees au no 1; elles sout Btablies dwns uu t ~ u t r earticle [6] en utilisant, ell particulier, des r6sultiits de H. Cartau [4]. La codimension (r6elle) des singnlarite's cles formes w est )1, de sorte que la c o ~ ~ d i t i oimposee u A la dimeusion des si1lgularit6s de cu dsns [2] n'est pas toi~joursremplie; cela complique uu pea la d6fiuitio11 des couples (8, a). Les r6sultats sont pr6cis6s dans le cwsdes vilrie'tes algdbriques projectives sails siugularitB (tl16orblne 12) et des vari6tBs de Steill (thborbmes 14 et 16), lea formes u, consid6re'es Btilnt semi-mCromorphrs ou m6romorphes. H1ll
1 . Prbliminrires : germes de f o l ~ e t i o i ~m6romoryhes s do variables r6elles; pseudo-diviseurs, Soit V une varie'te' aualytique complexe, paraco~npacte, de diuleusio~l complexe ~ I Z2 2 ; la vari6t6 V povsbde uue structure a~~adytique rbelle ( O m )sonsjaceute R, sa structure analytiqoe cornplexe. Soit @, le faiscet~ades germes de fonctions C W A vi~leurs
12211
Snr le goupe de cohomologie enticre etc.
14 1
complexes sur V ; c7est un faisceau d7anneaux d7iatBgrit6 fitctoriels (voir [3], expos6 11); on d6vig11erw par A', le faisceau des groupes elultiplicatifs des corps de fractions des tutneaax de ar e t on 17appellerii le faisceau des gervies de j'onctio~cs atd~ot~tovphes de v a ~ i a b l e s vielles ir rtrleztvs c o ~ ~ t p l c x e sSoit, . f un Blement de i V p ; l'anneltu 3, &ant factoriel, 011 a : $= u 11 e k o u a E El, et ne s7annnle pas, oil k
,
a,e t est
irr6dtlctihle et oil 1.k est ttu entier; pour tout .fE A7,. olt c o n v i e ~ ~tle t designer par Q 1'6161nent de a, 6gal ii 1 7 ~ k cet ; pk
E
k
6161neltt iliusi associ6 8 .f est d6tennin6 au produit prbs par un facteur iuversible tlans a,. De m h e si uu Bl6ment de 3, est d6sigut5 par .Ii, oil 1 appartieut B un ensemble (17iudices, ou conviendra de designer par el 17elemel~te associ6 8 ficomme ci-dessus. Soit T" le sous-faiscean de a~(donc de N,) form6 de germes ii valenrs uon nulles; re faisceau CX:des groupes multiplictitifs des germes de fol~ctions ltolon~orphes B valeurs uon nulles est uu sous-faisceau de 5". Par aniilogie ibvec la definition des germes de diviseurs sur une vari6t6 aualytique colnplexe, on appellera germe de pseudo-divisetlr snr V en x tout Bl6ment de (N,/ S*),et N,/SX sera appelk le jaisceati des gev9)tes de pseudo-diviseuvs de V . On i~l)pellel.iipsexdo-diviseur dd V tout 6l6ment du groupe atlditif A0 ( V ,i\-,IT") et pseudo-diuiseuv spe'cial (en ahreg6 1). (1. s.) Be V tout 6161neut de 17image de l'hornon~orphisute: HO ( V , H o (7,Xr/cJ-")iuduit par 176pimorpltisme canoniqoe : KT/(?* AT,/7". On delnoutre (voir [ 6 ] ): IIEMME1. I;e groztpe des diviseurs de V est u~ sour-gvoupe d u g ~ ~ i r pdes e p. d . s. de V. -- N, N,./9* t 0 et 1)et;l suites exactes : 0
&,/en) -
-
-.
-
oh, daus 1ii seconde, B dbsigue le fiitiscean coustnut cles entiers cl, -- exp (272 i y ) r6snlte le rlbtionrleln sur V e t e 17bl~imorpl~isme: diagramme :
L'image d'un pseudo-diviseur W tlauv H (V, Z) est appelke l a cltrsse de cohomologie y ( W ) cle W ; I'iuli~ge cle y ( W ) d:rus H z ( V , C) p;lr l'hotno~trorplristlro indnit pill. I7ir~clnsioii%C C rst appelbe la
142
(222 1
P. DOLBEAULT
classe de cohotr~ologie oomplexe de W . Soit W , le germe de pseudodiviseur d6fini par W en m E V ; on appellera support W de W , 17ensemble des points m E V oh 0. C7est la reunion d7ensembles analytiques re'els de dimension 1;2711 - 1. Le pseudo.diviseur W Btant donn6, on montre [6] qu7il existe un ensemble analytique reel 8, de dimension < 2m - 3 on chacun de ses points, tel que les conditions suivantes soient rBalis6es. Sur la variBt6 paracompactk F' = V - S qu'ou dira associde ic W , on considere le pseudodiviseur W induit par W et on dBsigue par 3C les points du support de W* oh la dimension est 2m - 2. L7ensemble tlnalytique %. est la rbunion, localement finie, de sous-varie'tBs analytiques r6elles Xi connexes, de dimension 2m - 2, aanoniquement orientbes; de plus, la donnbe de W permet d7aEecter, chacune d7elles, un entier ai; lea entiers ai definissent un Bl6ment a ' E H 0 (%, Z), d70u un Blbment a E 'Hznt-2 (3C, 2)(i).Soit /3 1' image de a dans *H2,,-2 (V', 2) dans l'hon~omorpbisme induit par 17inclusion%C V' et soit /?' E H* ( V', Z ) 17616ment correspondant il /3 dans la dualit6 des varibtbs; par de'finition, fl' est la classe cat.nctdristipue de W. Enfin, 011 montre [GI : a) qn'il existe un recouvrement r de V' suffisamment fin pour que, dnns chaque ouvert ut de v, le pseudo-diviseur W soit dBfini par une f o n c t i o ~me'romorphe ~ de variables r6e11es fi et b) qne, pour tout simplexe sil~guliera, de dimension 2, contenu dnus uu ouvert
+
"
I -.
P
de r , le nombre : a, =(1/2ni) lim
(dfifi) est un entier bgal zlu coef-
e+o
.I e r .I Z s o
ficient d'enlacement de o et de la chaine sillgoli8re 2 ai & . Alors, Z
Ia classe caract6ristique /3"de W est la classe de cdhornologie du cocycle qui associe, chaque 2-simplexe a, l7entier a,. On dbmontre [6j: LEMME2. Soit W un pseudo-diviseur de V et soit V' la sous-aaridtd de V associde a W ; alovs l'hoatoi~lorpllisme: HZ (V, 2 ) H z ( F", 2 ) indtrit par 17i~~clusion V' c V est injectif.
-
LEMME3. 8oit W un psevtlo.diviseur de V et soit V' la soz~svtrvie'td de V,associda B W ;nlors, l a classe cat actdvistipue p ~ H (2V', Z ) de W est l'ktnge, par l'bomomorphisme induit par l'itlclusiolz V'C V d'un 61dment zcnique y E H 2 (V, Z) qui est la classe de cohotnologie de W. (i) On d6signe par 'Ep (8,Z) le p-i&me groupe d'homologie singnlihre des ohaiues looalement fillies dans l'espaoe topologiqae &.
Sur le groupe de cohomologie entiere etc.
t.2231
143
Oonsid6rons l~homomorphisme: A ( V , 2) H e ( V, C ) induit par l'injection canonique : 2- C et de'signons par H l J (V,2 ) le sousgroiipe de H 2 ( V , 2 ) form6 des 616ments dont les images, dans H2(V, C) sout d6finissables par des formes diff6rentielles ferme'es de type (1,l). Alors, on d6montre [GI: -+
LEMME4. a) Pour qu'zln dldmettt de H2[V,2) soit la olasse de cokomo-
Zogie d 7 u ~psezcdo-divisezlr spdciacl, i l fnut et i l suf$t qu'il apparbienne a H ( V , 2). b) Hi tcn pseudo-divisezcr W a wze otasse de oohomologie nzclle, c'est u n p. d, s. et c'est le psezulo-divisezlr d'une fonotion CW d valeurs complexes (i.e. : l'i?)tage, darts E0( V , B,/eX) d'zln hlhrnent ae E0(7,a,)). IJEMXE4'. (Lefschetz-Hodge [TI). H i V eSt une varidth algdbripue projective, sans singula,ritd, dd$nie s u ~le corps des complexes, pour qu'un dlkment tr, de H 2 ( V ,2 ) soit la clnsse de coho~~zologie d'un diviseur, i l faut et i l s z ~ j i tque a E H I J (7,2). LEMYE 4". (Serre [8l). S i T est une varidtk de Stein, tout 616tnetit de H z ( V ,2 ) est la classe de cohomologie d'un diviseug.. S i u n diviseur a tune classe de cohomologie nulle, e'est le divisellr d'ulze foliotion mdromorphe.
2. Forlrles diff6rentielles m61.omorphes de variables rbelles. Sur la vari6t.6 analytique r6elle 'V, sous-jacente B V , de'signons par k: (resp. m i ) le faisce~udes germes de formes diff6re1ltielles de vttriables re'elles m6rolnorphes (resp- m6romorphes ferme'es) de degr6 1, Zt valeurs complexes. D6signo11s par ,u: le sons-faisceau cle groupes de m: constit116 des germes de la forme: ( 1 / 2 n i ) ( d f / f ) oh f E N,; on voit que le faisceau ,ui est engendr6 par les germes cle 1s forme (1/2ni)( d f l J ) oh f E a,.
,
=a
REMARQUE.Si a = (1/2ni) ( d f l f ) E (,u:)@. on a :f E N, et f = l I e k r k oh a E (El,), et ne s'annule pas, oh e, E (a,), et eat k
irrdductible et oh rk est un entier, par00 que l'anneau factoriel.
(a,),est
PROPOSITION 5. Si le germe de lforme difbrentielle (1/2ni)(df/f)E o& f € a,, est de type (1,0) ou de type (0, I), alors, le germe d7ensemble dbjini p a r f = 0 est un germe 'd7ensemble al~alytiqzce cowaplexe prittcipal. E (,u:),
r
DI~MONSTRATION. Si (dflf) est de type (1,0), 011 a : d" f = 0, donc .f est un germe de fonction holomorphe et r est un germe d7enselnble allalytique complexe pri~~cip:ll;si (dflf) est de type (0, I), on a : d'f= 0 donc d"f= 0, alors f est un germe de fonction holomorpl~e; comme r est de'finissable par .f= 0 , ce germe d'ensemble est anltlytique co~nplexe pri~icipltl, ce qui achbve la cltSmonstration.
r
n'est pas un germe d'ensemble analytique CONS~~QTJENGE. Si con~plexeprincipal, (dflf) eat la solnme de cleux germes non nuls de types (1, 0) eb (0, 1).
3. Le faisceau @yo.
DEFINITION.Soit al.0 un sous-hisceau du faiscea~ides germes de formes diffe'rentielles Om, (1e type (1,O) sui- P, poss6dant les propri6t6s suivantes : 1) le faisceau des germes cie 1-formes holomorplles ferme'es E i est le sous-faisceau de constitu6 par les germes de formes d-fennees ; 2) il existe un sows-faisceau & d u faisceau El2 des germes cle 2-fonnes' diffe'rentielles Om, d-fermdes, tel que I'application de allo/Ei dans a2d6finie par d soit nn isomorphisme cte al,O/Ei sur f. Autrement dit : on a la suite exacte : all0
oh lal secoade flbche ddsigue Pinclusio~iet la troisibme l'homomorphiame d. EXEB[PLES: a) @lo et € sont, respectivement, le faisceau des germes de 1-formes ]iolomorphes 8 1 et 1-e faisceau des germes de 2-formes holomorphes fermCes E 2 ; Pexactitnde de la suite (1) r6sulte clu lemme de PoincartS.
Sur le groupe de oohomologie entiere eto.
i2251
-145
b) a110et & sont, respectivement, le faisceau des germes de (1,0)-formesa'-ferm6es et le faisceau EIJdes germes de formes de type (1,1),d-ferm6s. Etablissons l'exactitude de la suite (1)dans ce cas : d est un homomorphisme de alvO dans EIJ dont le noyau est le faisceau des germes de formes de type (1,O) d-fermBes, i. e. : Ei ; montrons que cet homomorphisme est surjectif: soit OIJ E Ell'; puisque 0 est d' et d"-ferm6, on sait qn'il esiste un germe de fonction p, tel que: 81J= d"dlp ([5, corollaire 1.3 du lemme de Grothendieck] ou [9, IV.41); soit I l l 1 0 = d'p, alors : 8111 = df'171~0avec d'IT1,O = 0, done nl10 Ea 1O . et =dIlllO, C. q. f. d. Soit pl le sous-faisceau de p: engendr6 par les 616ments (112 n i ) (df/ f ) oh f E Go, faisceau des germes de fonctions holomorphes sur V. Le faisceau El est un sous-faisceau de pi, en effet : si o E Ei, il existe, d'aprhs le lemme de Poincar6, un germe p E Q0 tel que d = dp j soit y = exp 2n ip, alors o = (112 ni) (dylly) E ,ui. Soit cTi le faisceau des germes de formes diffdrentielles $ valeurs complexes qui sont des quotients de germes de 1-formes Cm par et p: sont des sousdes 616ments de aTnon nuls ; les faisceaus a110 faisceaux de d1; soit %: (resp. %I) le sous-faisceau de d1 Bgal $: alto pi (resp. all0 pl).
+
+
LENME 6. Le faisceau %:/E' (resp. %'/E') est ca?towiqueme?zt isonlorplbe ic la somme directe allO/E1 $ &/El (resp. allO/E1 @ pl/E1). d6finition de %:, on a : %:/E' = p:/El ; il suffit de montrer que si a E aljO/E1 l l &/Ei on a : a =0. Si a E a1>Ol,/E il est represent6 par un germe a' E alto,done Cm e t de type (1,O) ; si a E p:/E1, il est repr6sent6 par un germe a" E A , done d-ferm6 ; en outre a' - a" E El, donc a' est d-ferm6 ; comme a' est de type (1,0), il appartient Ei, done : a = 0. (meme d6monstration quand ,u: est remplac6 par pl). Considkrons les homomorphismes suivants : v*: Hq( V, &) Hq( V,aI-O/El),isomorphisme induit par l'isomorphisme D ~ X ~ N S T R A T I O N Par .
= t2l,o/El+
-
I&,: Hq
( V , al,O/El) l?q+l(V, El) d6fini par la suite esacte : +
,
146
Pzfil
P. DOLBEAULT
d : Hq(V, 972:)-. Hq(7, &) ddfini par 17Bpimorphisme:
a:%:-u2 : H q ( V, ,u:/El)
-+
it :H~(7,
l)
( V , El) d6fini par la suite exacte :
H O
&
- - $/El
E'
-+
p:
-+
0;
- Hq
(7,,u:/E1) induit par la projection :
i3: %:/El
-
&/El,
qui est canonique d7aprbs le lemme 4 ; a, et
.u, :Hq(V, %):
2 H q (T, c ~ : / ~ " .Kq" (v:-El),
d6finis par la suite exacte :
On designera par les mdmes notations les homomorphismes obtenus apr& substitution de ,u' i+,u:. L E ~ 7.E Soielzt e€Hq(V, &) et GEH~(V,~:/E l) (resp. Hq(V, ,uPE1)) tels que : u, v* (0) = u2 ( 8 ) ; alors, il existe w € Hq(7,%f) (resp. et que i$u, o = - 6. Hq (T, tel que : 8 =
mi))
~ ~ M O N S T R A T I O NConsid6rons .
les homomorphismes suivants:
-. %:/E' definis, respectivement, par les injections il : al'O/E1 %:/Id1 ; ,u;/E1 W : Hq(I7,9?2;/4')- Hq(V,&)
et
+
defini par lee Bpimorphismes : %:/.E1 4 al"/E 5' &, canonigues d'aprhs le Lemme 6 et la definition de & respeotivement,
'
exacte d'aprks le Lemme 6, d6iinit la suite exacte cle oohomologie : if
E q ( V ,,LL/E')? ITq(", %:/E1)-+ H q ( V ,@ l ' O / ~ l ) , d'oh :
i:iz+ (8)= 0 ; comme : zu = (vx:)-1i f , cela entraine :
Les relations (4),(5), (6) entrsinent : tuu3(m) = w (ifv" (0) -- it
(8))= 8.
,
L7image de p: par d Btant nulle, on 5.: d = tou, done : d m = 8. De plus : $u, (w) = - igi; (8; = - 8, C. q. f. d. Mi3me d6monstration quand ,ul est substitu6 pf. Oonsid6rons le diagramme commutatif suivant :
oh les flkches verticales d6signent les homomorphismes qui associent, au germe de fonction y, le germe de forme diffbrentielle (112 n i ) (dyly); on voit que les homomorphismes j et j, sont surjectifs et j, bijectif. Consid6rons le diagramme commutatif:
oh la premibre flhche verticale d6signe 19njection et la seconde l'identit6 : De ces deux diagrammes, r6sulte le diagramme de cohomologie suivant :
oh u, est un isomorphisme.
Sur le groupe de cohomologie entiere eto.
[22'JI
149
Tous les raisonnement ci-dessus sont valables lorsque les faiaceaux N, et p: sont remplace's par leurs aous-faisceaux respectifs N (2) et pi. DJ~FINIT~ON. L'image o d7un 616ment w E Hq (V, N,/e") dans Hq+2(V, C ) est dite: olasse de oohomologie oomplexe de w ; on voit que, si q = 0, la classe c est la classe de oohomologie complexe du p. d. a. ddfini par w. DI~FINITION.On appelle q-rbidu d7un dltfment w E l T q (V, m:), l'image, dans H (N,/T"), de w, par llhomomorphisme u, u ~i!lu3 , oh u, eat llhomomorphisme Hq ( V , N,/e") -- Hq ( V , N,/T"). Dana le cas : q= 0, on voit que le 0-re'sidu de w eat un p. d. s. LEMME8. Soit V tbne varidtd analytique oompleae, paraoompacte, telle que 17homomorphisme: Hq+l( V, QO)-. Hqtl ( V, El) induit par d soit nul. Soit 8 E Hq (V, &) et soit w un dlbmelzt de Ha (V, N,/eX) (resp. Hq (V, N/eX))dont la classe de oohomologie oomplexe est l'image de 8 dans H"~(V, C ) , alors, i l existe un bldment w E H"V,W:) (resp. Hq ( V, Wi)) tel que : 1) d w = 8 ; 2 ) le q-rdsidu de o soit
w dams
Hq
- W, oh
W est l'image canolzique de
(V,N,/TF).
D~MONSTRATION. Soit 6 =u, (w); par hypothese : u, est injectif, done 8 et 6 ont m&me image dans Hq+l (V, El); d'aprhs le Lemme 7, il existe w E Hq(V, 97'2:) (resp. w E HYV, 97'2')) tel que clw = 8 et ." que 2, zc, w = - 6 ; done u,l i! u, o = - w, ce qui, d7apres la de'finition du q-r6sidu, d6montre le Lemme.
Soit (8, w) un couple de formes diffbrentielles oh 0 E H0(V, &) o E H 0 (V, m:). Toute chaine singulihre Om, localement finie, c,
coeficients entiers, yoss6dant les propribt6s suivantes, sera dite admissible pour le couple (8, w) : 1) le bord do de o ne rencontre le support du 0-r6sidu CW de w qu'en des points oh la dimension est 2m - 1 et au voisinage 1; en un tel point desquels 9 9 est une vari6t6 de dimension 2m do coupe 9#transverkalement.
-
(2)
Note de bas de page
110
2.
2) la chdne c ne rencontre I'ensemble des points du support du O-r6sidu de m oh la dimension est 2m - 2 qu7en,des points isol6s. Toutes les chaines c consid6re'es d6sormais seront suppose'es sdmissibles.
On considere 17eapression
;\
ayant la signification suivante :
J
ac
d6composons c en somme de simplexes singuliers oj admissibles et suffisamment petits pour que chacun d'eux soit contenu dans un ouvert uj d'un recouvrement (uj) de V dans lequel : o = aj igj 013 bj E HO (zcj a''0)et aj = (112 n i ) (dfiifj) avec fj E H O (T, ; alors, par d6finition, on a :
w:)
,
J
ac
o = 2 lim j
a-0
a4 1~~12~
cette expression est ind6pendante de la subdivision de o, en vertu des Preliminaires (no 1). DI~FINITION. Le couple (8, o)est appel6 nn Z-couple si :
pour toute chaine admissible c. Soit z. E V un point n'appartenant pas au support W du O-r6sidu de o ; alors, quand le simplexe o tend vers le point a, l'expression
[9 -
m tend vers 0 ; or R [(B, m), o] E 2,done :
[8 -
I
- m =0 pour les simplexes o contenus dans un voisinage suffisamment petit de a; il r6sulte de cela, d'aprbs la formule de Stokes, que : 8 = dm s u voisinage de a. Dens Pensemble des Z-couples, on considere la rdation % suivante (cf. f21):
Psl]
Sur le groupe de oohomologie entiere etc.
161
Bquivant A : R [(0, co), C ] = [(Of,m'), c] pour h u t e 2.chaine o admissible pour les deux couples. L E ~ 9.E L a relatiow %? est uwe relation d'tfquivalernce. DI?MONSTRATION. I1 est clair que % est r6flexive et sym6trique. Pour montrer que 32 est transitive, on va Btablir, d'abord, la propri6t6 suioante: si o, est un eimplexe admissible et si ot(O < t < 1) est une deformation U w de a, admissible pour le couple (0, co), alors:
Soit Db la chaine d6crite par la chaine b au cours d'une d6dDoo, alors : formation de b, on a : a, - a, =Daa,
+
Mais : aa Do,
=0
et
J
0 = 0, d'aprbs la formule de Stokes, donc:
boao
R [(O, w), dDo,] = 0. Supposons la deformation suffisamment petite pour que ot reste dans un ouvert uj consid6r6 -ci-dessus; alors :
De plus, d'aprbs la for~nnlede Stokes :
R [(O, o),.D do,]
= lim E-0
J
DBsignous par 99 le support du 0-rBsidu de o. Si fj s7annule en un point de Dda,, c'est qu7en ce point la dimension de 99 est 2m 1, done (voir [6], no a), pourvu que Do, soit suffisamment petit, il existe, dans un voisinage de Do,, une fonction Ow A
-
valenrs reelles et une fonction g Cm(g $. 0 sur Ddo,) kelles que : (Qj/ej) = (dg/g) (dill) ; de plus :
+
done :
...,
Soient x: (k = 1, p) les points d7intersectionde W et de dot; le simplexe at Btant admissible, le nombre p est independant de t E [0, 11. DBsignons par ykk-, et yik l q points d7intersection de do, et de I ~j 1 = E qu'on rencontre imme'diatement avant et immbdiatement aprbs xi qqund on parcourt dot dans le sens conforme a son orientation et par 9; le nombre g (yk) (h = 1, ,212). Alors :
...
qui tend vers 0 quand a tend vers 0. Done: lim e-0
1
w = 0, d70U
nboo lejl
=a
Montrons que 92 est transitive. Soient (Oi, wi) (i = 1, 2, 3) trois couples tels que (8, w,) 92 (8,, w,) et (8, w,) % (8, w,) et soit o une chaine admissible pour les deux couples (8, 0,) et (8, w,). On sait qu'il existe une d6formation of de o, arbitrairement voisine de o admissible pour (8, uj,) et (8, cb,) qui est aussi admissible pour (8, 6,).Alors, d7aprbs le rdsultat de'montr6 ci-dessus :
,
,
,
,
,
,
,
,
P331
Sur le groupe de cohomologie entibre etc.
163
ce qui achbve la d6monstration du Lemme. On designera par [8, w] la classe dle'quivalence du couple (8,o). Par d&finition,la somme des couples (8,, w,) et (0, w,) est le 8, , W , o,); la relation % Btant compatible avec 17sdcouple (8, dition, on en d6duit la definition de la so~nmede deux classes d76quivalence de couples et on ve'rifie que l'ensemble & (V, 2)des classes d7e'quivalencede Z-couples sur V muni de 1,addition est un groupe ab6lien. On designera & ( V, 2) par Ell1(V, 2) si & =
+
,
+
.
Dl1
THI~OREME 10. Eoit V une varidth analytique complexe, paraco9paote, telle que l~honzomorphisme: Hi (V, GO)-- H i(V,Ei) induit par d soit nul. Alors, i l existe un dpimorphisme canonique h de EIJ(V, 2) szcr H ( V , 2). Ce theorbme est, en particulier, valable si V est kahldrienne compacte, d7apr&sla Proposition 1.13 de [5]. DEMONSTRATION DU T ~ O R E M E . Construisons llhomomorphisme h. Soit [8, 611 E Ell1(V, 2 ) et soient (Oil mi) et (8$, w2) deux couples appartenant B la classe [O, w]. DBsignons par W, et W, les deux 0-rbsidus des formes w, et w2 par V, V2 les vari6te's associe'es aux p. d. s. W, et W2 respectivement et par V" la vari6t6 associee W, W , . D'aprbs le Lemme 2, les inclusions induisent les cinq monomorphismes canoniques tels que le diagramme suivant soit commutatif :
,
,
+
7H 2 ( V i , 2) '. H 2 ( V , Z ) +- H 2 ( V " , Z ) L H2(V,, 2) 7'
,
Par ddfinition, on a : R [(8, w,), o] = R [(8, , w2), c] E Z pour tonte chaine o admissible pour les deux couples ; il en r6sulte que TV, et W2 ont des classes caract6ristiques dont les images, dans Hz (V", 2) colncident, done, d7apri?sle Lemme 3, ont des classes de cohomologie qui colncident. A [8, 01, on associe la classe de cohomologie s du p. d. S. qui est le 0-rdsidu de w, pour un couple (8, w,) E [8, w] ; d7aprbs ce qui pr&cbde, s ne depend que de la donnee de 18, w]; de plus, d'aprbs le Lemme 4, 1'616ment s appartient B H1J ( V , 2). Enfin, il resulte
,
de la definition de l'addition dans (V, Z ) que l'application qui envoie, comme ci-dessus, [0, w] sur s est un homomorphisme d6fini canoniquement et que l'on designe par h. Montrons que h est surjectif. Soit s E HIJ ( V, Z ) ; d'aprks le Lemme 4, il existe un p. d. s. W dont la classe de cohomologie est s ; soit 0 E H0(V, EIJ) une forme diff6rentielle fermee dont la classe de cohomologie complexe est 17imagede s dans H z(V,C ) ; alors, d7aprbs le Lemme 8, il existe CG € Ho( V , %:) telle que dw = 0 et que le 0-re'sidu de h soit - IT. Montrons que (0, w) est un Z-couple. Ell1
Pour cela, il suffit d7Btablir que R [(0, w), o] = entier pour tout 2 simplexe o admissible et suffisamment petit. Supposons o oontenu dans un ouvert U de* P suffisamment petit pour qu7il existe une fonction Om q, sur U, et des formes a et ,6 telles que: 0 = d U d ' q ; U E H O ( U , ~ : )b; € H O ( U , a l s O ) et w = a + P . On a : dd'q =B =dco =db, done : d (d'q -,6)=O, d'oh : d'v-,6=dy oh
y
~
~
O
I' (d'p,
(
~
,
~
l
t
uo o)r s. : ~ [ ( ~ , w ) , o J] d=( d ' q ) - J b r + p =
,6) - a = dy -
ha
aa
/ b =aa
aa
(I
qui est un entier d7aprbs a0
le no 1. Le couple (0, co) est donc un Z-couple et, d'aprks sa construction, l'image de sa classe d'equivalenoe par h est s ; il en resulte que h est un Bpimorphisme, ce qui achbve la d6monstration du th6orkme. Determinons le noyau de 176pimorphismeh. Pour que [0, w] appartienne au noyau de h, il faut et il suffit que le r6sidu W de w ait une classe de cohomologie nulle ce qui e'quivaut aux deux conditions : 1) la classe de cohomologie de 0 est nulle, donc il existe une 1-formetp telle que :0=dy; 2) d7aprPsle lemme 4, W eat le pseudodiviseur drune fonction g7,€H0(V,a,);alors : w -y (1/2ni)dlogq,= =(1/2 ni)dlogq2oil q2€H0(V,yX), donc : (0, w)=(dy,y - (1/2ni)dlogy,+ (118 ni) d log q,). Mais, pour toute chaine c admissible pour (0, w),
-
+
+
i
on a : R [(9,co),c]= dy
= (112 n i ) ,
I
I
- (112 n i)
a0
(2 n i y - d log y,
+ d log y2)=
d log 9, d'aprbs la formule de Stokes, dono : [0, w] =
do
= [O, - (112 ni) d log y,]. I1 rBsulte de cela :
[235]
Sur le groupe de oohomologie entibre etc.
155
THEOREME 11. Soit V we variWB analytique complexe paracowpacte telle que Z'homonoorpMsme : H i (V, QO) Hi (V, Ei) induit pay d soit nul, alors le noyazc de h est le sous-groupe B1ll (V, Z) de EIJ(V, Z) fo.rmB des classes de couples [O, -.(1/2 ni)d log p,] 04 pl, E H0(V, et le groupe quotient El21 (V, Z)/B'J (V, 5) est canoniquement isomorphe au groupe HIJ(V, Z).
-
6. Z-couples : crts des vnrihths nlghbriques projectives.
Soit V une vari6tB algebrique projective sans singularit6 dBfinie sur le corps des complexes : elle est munie canoniquement d7une structure de variete ki5hlBrienue compscte. On considerera seulement les Z-couples (8, w )dans lesquels 8 E H 0 (V, E I J ) et w E H0(V, ; alors le 0-residu de w est un diviseur, son support a la dimension 2m - 2 en chacun de ses points et, pour toute chaine c admissible ponr (8,co), on a :
mi)
DBsignons par ell1(V, Z ) le groupe des classes d76quivalencede Z-couples (8, w ) ci-dessus ; &I31 (V, Z) est canoniquement isomorphe un sous-groupe de Ell1 (V, Z ) avec lequel on 17identifiera; en remplagant, dans la demonstration du Th6r8me 10, le Lemme 4 par le Lemme 4', on obtient: la restriction h' de h b &lJ(V, Z) est un (V, Z ) sur HI11 ( V, Z ). Bpimorphisme de Le noyau (V,Z ) de h' est constitue' des classes de Z-couples de la forme [0, - (112 ni) d log yij oh pi est une fonction Cm B valeurs complexes dont le pseudo-diviseur est defini par un diviseur (unique d7apr8s le Lemme I), de classe de cohomologie nulle. On deduit de celn : 9111
TH~OBEME 12. Si V est une varitfttf alge'brique projective sans simgularittf dkjinie szcr le corys des complexes, il eaiste un isomorphisme (V, Z ) / 9 l J (V, Z) sur HIJ (V, Z). canonique de 7 . Z-couples; couples analytiques : cas des vari6tds de Stein.
DBsignons par E2( V, Z ) le groupe des classes de Z-oouples pour lesquels & est le faisceau E2 des germes de 2-formes holomorphes
ferm6es et le faisceau Qi des germes de 1-formes holomorphes. L'ensemble E2 (V, Z) form6 des classes de Z-couples [8, o] du type ci-dessus pour lesquels a, E VZi est canoniquement isomorphe B un sous-groupe de EZ(V, Z ) avec lequel on 17identifiera. PROPOSITION 13 : 80it V une vari8t8 de Stein, alors il existe un dpimorphisme canonigue h" de E2( V , Z ) sur H2(V, Z). : Elle se dBduit de celle du Theoreme 10 par D~~MONSTRATION A1.O et substitution du Lemme 4" au Lemme 4, les faisceaux ,u: Btant remplac6s par E2,Qi et pi respectivement et compte tenn des r6sultats suivants : H i (V, QO)est nu1 sur une vari6t6 de Stein (voir par exemple [3], expos6 19, th6ol%me B) de sorte que I1hypothese du Lemme 8 est satisfaite; de plm toute classe de cohomologie de dimension 2 eat d6finissable, B l'aide du theoreme de de Rham par un 6l6ment de HO( L r , E" ([8], theoreme 1). On constate comme dans la d6monstration du Th6orbme 11 et en utilisant le Lemme 4" que le noyau q2(V, Z) de h" est constitu6 des classes de Z couples de .la forme [O, (112 ni) d log pl,] oh pl, est une fonction m6romorphe sur X; d70h: Ell',
THEOREME14. Hoit V tone variW8 de Stein, alors il existe un iso+)torplLisn~e canonique de t s(V, Z )/%I2 ( V, Z ) sur H z ( V, Z). Soit le sous faisceau du faisceau m* des germes de 1-formes m6romorphea ferme'es defini ainsi: pour tout ouvert U de V, pour toute section de m" au-dessus de U et pour tout 2-simplexe sin-
w
gulier 0" admissible a B support dans U, le nombre
I
o eat un -
do
entier. D6signona par M 0 le faiscesu des germes de fonctions m6romorphes. LEMME15. Le faisceau a 1O
.
wt'l
est la Romnte des faisceaux ,ui et
D~MONSTRATION : Soit x un point de V, soit & E , montrons d i l l 0 . Soit une section de nt" sur un voisinage U que Z, E ,ui de x qni d6finit Gxen a; si U est suffisamment petit, on a anssi:
+
o
Sur le gronpe de cohomologie entiere eto.
[2371
157
oh ek est une fonction holomorphe sur U d6finissant un germe de Q: irreductible, oii Ak est une constante et oh y eat une fonction meromorphe snr U dont llensemble polaire est contenu dans l'en= 0 ([5]. Proposition 3. 6). Alors, pour tout semble d76quation k
simplexe singulier Cmo admissible contenn dans
U,le nombre :
eat un entier par definition de m'l ; mais a Btnnt admissible, y) est holomorphe sur do, clonc :
S =J dy
do
Stolzes ; done :
.a0Iw =
y
=0
d7apr8s la formule de
bbb
2ni 2 nk Al, oh chaqne ak est un entier; on k
voit qu'on peut choisir o pour que a,, = 0 si lc f 7~ et ah = 1, done ce qni n~ontre que 2 Ak(dek/ek) 2ni An est un entier pour tout k
ctBbnit, en x un germe de pk ; cte plns y definit en m un Blement cle M_O c. q. f. d. dMo apRBciproquement, il est clair que tout Blement de partient A m'l, ce qui achbve la de'monstration du Lemme.
,
+
DEFINITION : On appelle couple analytiqf~e 17ensemble(8, bj) dlune 2-forme holomorphe fermee J€ sur V et d'une 1-forme m6romorphe a) sur V telles que : pour tonte 2 cllaine singnlihre Cw c, B coefficients entiers clont le bord ne rencontre pas llensemble polaire de w. le nombre :
soit un entier. Comme pour les Z-couples, on voit, qu7en dehors de l'ensemble polaire de o, on a : d o = 8. En tout point x E V, il existe un germe q~ E 9' tel qne 8 = dcl, ; alors, d7apr8sla definition ci-dessus et celle du faiscean n&Ii on a : w - y E m'l, done w E Qi m'l ; re'ciproquement, tout couple (8, w) tel que 0 E H o ( V, E 2, et o E Ho(V, Qi $ m'l) est un couple analytique. Dans l'ensemble des couples analytiqnes, on delinit, comme yonr les Z-couples et de 1%m6me fapon, nne yelation cl'6qnivalence
+
%. L7ensemble quotient par % sera design6 par :€ (7,Z!; il est muni d b n e addition qui en fait un groupe commutatif. A tout 616ment [B, w ]E &: (V, Z), on asaocie la classe de cohomologie du r6sidu de w (voir [5], chapitre 111, 3 B, no 3 ) ; cela d6finit un homornorphisme k de &: (V, Z ) dans H' ( V, Z ) qui eat aurjectif d7aprbs la Proposition 13 lorsque V eat une vari6t6 de Stein. DBterminons le noyau % z ( V , Z ) dans le cas oh V est une vari6t6 de Stein. Soit [0, cu] E 93: (V, Z) et soit W le r6sidu de w ; d'aprhs le Lemme 4", il existe une fonction mhomorphe v, telle que le r6sidu de (112 n i) (dyi/pi) soit W; alors le r6sidu de w , = =co - (112 z i) (dy,/y,) est nu], donc, d'aprbs le Lemme 15, cette forme d6finit, en chaque point xE V, , u n germe Bgal A dYm oh !Pa eat un germe de fonction m6romorphe en x ; la forme o, dBfinie sur V, est done localement exacte, alors V Btant une vari6t6 de Stein, w, eat la diffhrentidle d'une fonction m6romorphe u ([5], p. 228), done : w = (1/2n i) (dyi/p,) $ du. I1 r6sulte de cela : THI~OREME 16. Soit V une vari6t6 de Stein, alors le noyau de 176pimorphisnze k est le sous groupe %:' (V, Z ) de (7,Z ) form6 des classes de couples [O, (1/2n i) (dyi/y,) du) 0% y, et u sont des fonctions mh-omorphes sur V et le groupe-quotient &: ( V, Z )I%':( V, Z ) est canoniquement isomorphe au groupe H2(V, Z) (3).
,
+
€z
(3) Le th6orhme 16 a 6t6 6nonc6, sans d6monstratiot1, avec nne d6finition incomplhte de 33: (T,Z), dans nne commnnioatiol~(Atti del sesto Congr. del17Un. mat. ital., Napoli, 1959, p. 406).
Sur le groupe de cohomologie entiere eto.
[239]
159
BIBLIOGRAPHIE [I] C. 13. A L ~ N D O E R W-EGlobal R geometry of imbedded manifolds, Centro intern. Mat. Eetivo (1958 Seatribre) - Roma, Istitato di Matematioa dell'Univeraith, 1958) (mnltigr.). [a] C. B. ALLENDOE~~FERand J. EELLSJr. - On the cohomology of smooth manifofds, Comm. Math. Helvet., 32 (1968), 165-179. [3] H. CARTAN Sdminaire sur lea fottctiolts de plueieurs variables complexes, Paris 1951-52 (mnltigr.). [4] H. CARTAN Espaces $brds analylipues dele, oonf6rence faite it la Facult4 dea Soienoea de Poitiers, d6o. 1959. [5] P. DOLBEAULT - Formes diffirentielles et coltomologie sur une variitd analylique oompleze, Ann. of Math. 64 (1956)) 83-130 et 65 (1957), 282-350. [6] P. DOLBEAULT Une gdndralieation de la notion de diviseur, Atti dsl Convegno interuazionale di Geometria algebriar, Torino (1961), 128-160. [7] K. K O D A ~ Rand A D. C. S P E N ~ E-RDivisor class groups on algebraio varieties, Proo. Nat. Acad. Soi. U. S. A., 39 (1964), 872-877. [8] J. P. SERRE- Quelgtcesprohldntes globatcx relatifs aux variDO de Stein, Co)loqne snr les fonotions de plusieurs variables, Brnxelles 1953, 57-68. [9] A. WEIL Iutroductiou d l'dtude des vavi868 kahliriennes, A. S. I. 1267, Hermann, Paris 1958. [Entrato C R6da#ione il 24 gennaio 19621
-
-
-
ERICH KAHLER 1962 Rendiconti. di Matematica (3-4) Vol. 21, pp. 425-523.
Der innere DifferentialBalkiil(") Dem Andenken Wilheln%Blasohkes getwidmet
von ERICH I I A H ~ R(in Berlin)
Wenn eine Metrik vorliegt, wie es in der Physik der Fall ist und in der Funktionentheorie sich als fruchtbare Voraussetzung erwiesen hat, gewinnt der Lussere Differentialkalkiil ein rechnerisch nahezu ebenso einfaches Spiegelbild, den inneren Differentialkalkiil. Was ich dariiber bei einem Lehrgang des Centro Internazionale Matematico Estivo im September 1960 in' Vnllombrosa vorgetragen hatte, findet in der ~0rliegeTIdenAbhandlung ausfiihrliche nnd reifere Darstellung. Die grosse Verzogerung dieser Veroffentlichung erklart sich aus der erfreulichen Tatsache, dass jeder Versuch einer Ausarbeitung jener Vortrage neue Vereinfachungen ergab mit dem Erfolg, dass insbesondere meine in den Abhandlungen der Berliner Akademie verijffentlichte Untersuchung der Dirac-Gleichung nunmehr als iiberholt anzusehen ist. Da der innere Differentialkalkiil seine Bewahrungsprobe in der Quanten- und Relativitatstheorie zu bestehen hat, muss er dem Physiker zugiinglich sein, weshalb es lhir zweckmassig schien, auch uber den ausseren Differentialkalkiil mehr zu sagen, a18 zur Vorbereitung des inneren Ealkiils notwendig gewesen ware. Gern hatte ich, wenn mehr Zeit geblieben w t e ein viertes Kapitel der funktionentheoretischen Seite des inneren Kalkiils gewidmet, was nunmehr einer anderen Arbeit vorbehalten bleiben muss.
C) Corso di otto lezioni svolto rlel Ciolo del CIME (Centro Internazionale Mateluatico ~ a t i v o )sa Forme Dverenaiali e loro irtegrnli, tennto a1 Saltino di V ~ l l n r n l ~ i ~ o(Firenze) nn dal 23 a.1 31 agosto 1960.
[4261
Der innere Differentialkalkiil
161
Ein Inhaltsverzeichnis ersetze den fiilligen einleitenden Bericht iiber die Untersuchung, und eine Formelsammlung am Ende der Abhandlung erleichtere die Anwendung des neuen Kalkuls. Herrn SEGRE habe ich nicht nur fur sein freundschaftliches Interesse an meiner Arbeit, sondern auch fiir die Geduld zu danken, mit der er die vorliegende Niederschrift immer wieder gefordert hat. Es tut mir wohl, nun dooh noch zurecht zu kommen, um mit dieser Arbeit fur die schijnen, anregenden Tage von Vallombrosa, die mir insbesondere durch Herrn BOMPIANISfreundliches Eingehen an€ meine ~ e r s u c h eunvergesslich bleiben werden, meinen Dank zu sagen.
I. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
-
DIFFERENTIALE UND DIFFERENTIALTENSOREN
uss sere Multiplikation Invarianz der IGusseren Multiplil<:~tion us sere Differentiation
Differentiation nach Bitsisiliferentiden Differentiadtensoren Differentiation von Differentialtensoren Eriimmungsdifferentiale Relationen zwischen kovarianten Ableitongen
uss sere
Innere Multiplikation Der innere Differentialring Innere Differentiation Der Operator 88 = A Eonstante Differentiale Dualitat Skalarprodukte
111. - DIRAC-GLEICRUNGEN 16. 1 7. 18. 19. 20. 21. 22.
Lie-Operatoren im Siusseren DifferentialkalkiiI Lie-Operatoren im inneren Differentialkalkiil Differentialmatrizen Dirac Gleichungen and ihre Integrale Adjungierte Dirac-Gleichung Harmonische und streng harmonische Differentiale Integrale der Dirac-Gleichung 8u = 0 im dreidimensionalen euklidischen Raume
r4281
Der innere Differentialkalkiil
163
23. Differentiale, die im ganzen euklidischen Raume ausser im Punkte (0, 0, 0) atreng harmonisch sind 24. Kugeldifferentiale
25. Dirac-Gleichnngen in Raum und 5eit 26. Die Dirac-Gleichung des Elektrons 27. Das Elektron im Coulomb-Felde 28. Eugelsymmetrische Dirac-Gleichung bei Metrik
kugelsymmetriacher
I.
1.
- DIFFERENTIALE
UND DIFFERENTIALTENSOREN
uss sere Multiplikntion ,.. ,
Die komplexen Funlitionen f (xi, z2, am), die in einem Gebiete G des I&-dimensionalenRaumes, cles topologischen Proclulits von l o Geraclen, unendlich oft clifferenzierbar sind, biltlen einen Ring A , , ans dem clnrch Erweiterung mit $18 Zeichen
der dnrch folgende Eigenschaften gekennzeichnete Ring A entsteht : 1) A wird von A, nnd axi dx2 axnr erzeugt, 2) I n A gelten die Beziehungen
,
fiir alle a E A,, und i = 1, 2,
, ... ,
... ,m ;
3) Aus
folgt stets a = 0, ail ..ip = 0. Ein solcher Ring existiert, ilnd er ist durcll diese drei Eigenschaften bis anf Isomorphismen, die A, elementweise festlassem, eindeutig bestimmt. Seine Multiplikation wird mit A statt mit . bezeichnet und ausseve Ntbltipli7cation genannt. Wenn einer der beiden Falitoren Lu A, gehijrt, also Funktion ist, sei anch das sonst iibliche Multiplikationszeichen zugelassen. Aus Griinden, die erst nach Einfiihrnng der iinsseren Differentiation verstandlich werden, nennen mir die Elemente von A Difere?afinle. a
:as01
Der innere Differentialkalkiil
165
Die in 2) genannten Relationen gestatten, jedes Differential in der Gestalt zuschreiben :
21
,
mit Koeffizienten a, a6 .. g E A. die in Bezug auf ihre Indizes schiefsymmetrisch sind. Die Bedingung 3) garantiert, dass diese Koef6zienten durch das Differential u eindeutig bestimmt sind. Ein Differential zc heisst homogen vom Grade p, wenn in der Darstellung (1.1) nur Summanden wirklich (d.h. mit von 0 verschiedenen Koeffizienten) vorkommen, die aus Produkten von p Faktoren dx gebildet sind. Die Elemente von do sind danach als homogene Differentiale 0-ten Grades zu bezeichnen. Der Anteil
von
heisse der Bestandteil p-ten Grades des Differentials Die durch die Wirkungen
beschriebenen Operatoren g und
5
ZC.
haben die Eigenschaften
die g als Automorphismus, 5 als Anti-Antomorphismus des Ringes A kennzeichnen. Sie sind miteinander vertauschbar, lmd ihre Quadrate sind I , der alle Differentiale ungeandert lassende Operator.
2. Invarirnz der iiusseren Multiplikation Differenzierbarkeit bedeute kunftig, wenn nicht ausdriicklich anderes vermerkt ist, Existenz und Stetigkeit aller Ableitungen. Eine Abbildung axi = xi (yi,
y2,
... , ytb)(=
xi (y))
(i= 1, 2,
...,,m)
eines Gebietes H des w-dimensionalen Raumes mit den Eoordinaten auf das Gebiet B des m-dimensionalen Ranmes mit den Koordinrtten m, die difere~zierbar ist in dem Sinne, dass die Funktionen mi (y) differenzierbar sind, bewirkt einen Homomorphismus
des Differentialrillges A in den Differentiitlring B, der iiber dem Ringe B, der in H diferenzierbaren Fanktionen voll den Zeichen dy', ay2,
... ,dyn
in Hhnlicher Weise erzengt mird, wie A iiber A, von den dxi. Jener Homomorphismus a entsteht dadurch, dass znnachst jeder Funktion f E A die durch
beschriebene Fnnktion of E B, und dem Differential dxi das Element
von B zugeordnet und mittels der Forderung, dass ein Homomorphismns entstehe, au fiir alle weiteren u E A bestimmt wird. Das Bild ou des in (1.1) beschriebenen Elements u von A ist danach gleich
4321
Der iuuere Differentialkalkiil
167
mit
zu seteen, nnd die hierans folgenden Gleichungen o (IL
+ v) = + av, 0%
a (u A v) = 0 %
A
ov
(u, v E A )
zeigen, class suf diese Weise in cler Tat ein Ringhomomorphismus gemonnen ist.
Iu deln Ullterri~lgeA, is6 cler ubergaog von einer Funktion f A, zu ihrem totalen Differential
ein linenrer Operator d , der dorch die Festsetznng, dass fiir das in (1.1)gegebene Differential zc
sei, zu ei~ielnin dem ganzell Differentialrillge A wirkenden linearen Difevetttiation, wird. Operator a, der ausse~et~ Neben der Linearitat
hat sie die Eigenschaft (3.2)
d (u A ,v) = dzi A v f 7%A d v
fur deren Beweis es genugt, zc, v als Monome ~ = ~ . ~ ' ~ A . . . A ~ V ~= Z~ ) P . ~ ,X ~ ' A . . . A ~ % ~ ~
(a,b~A,)
vorauszusetzen. Nach (3.1) ist daun
und
, ,
,...
+
,k, p q verschiedene Indizes sind, wahrend wenn i , ... i, , k, sonst d ( u A v) wie u A v und jeder Summltnd der rechten Seite voil (3.2) gleich 0 ist. Im Falle versohiedener Iudizes i , 76 zeigt die Umformullg
. + a . db)
d ( u A v) = (b da
A
dxil A
..
A
dxip A dx"'
A
..
A
dx"9 =
die Giiltigkeit VOII (3.2). Piir u = a E A, ist
und darum fiir ein beliebiges Mouom t b = a . v mit v = dxil h A dxip zufolge der Regel (3.2) und dv = 0 :
..
d (du)= d (da A
a E A,,
v) = d (dch)A ,.u - da A dv = 0.
Aus der Linearitiit des Operators d folgt danach die Giiltigkeit der Gleichung (3.3) a (du)= 0 fiir alle Differentiale 2~ E A. Das Zeichell d ist schou in den erzeugei~del~ Sy~nbolendxi van A verwendet worden. .Da auch die aussere Uifferelitietion voii xi gerade dxi ergibt, kltnn aus jeuer Bezeichnungsweise kein Missverstandnis entstehen. Nuumehr bedeute o wieder wie im vorigen Abschi~ittden von einer Substitution a : oxi = xi (y) bewirkten Homoinorphismus des Ringes A in dell Riug B. Die Bussere Differe~~tiation d erweist sic11 danu fils in,vari;mt im Sinue der Giiltigkeit der Gleichuug dou = odu
fiir alle u E A.
[1341
Der innere Differentialkalkiil
169
Fiir ein = a E A,, folgt dies aas ( 2 ) und der bereits bewieseneu Invi~rianzder Busseren Multiplikatio~lwit nachstehender Rechnung:
Andererseits ist fiir ein Monom v der Art v = dnilA ... A dmip das a-Bild ov wegeu der Invsriwnz der Husseren Multiplikation Busseres a dmi, die naoh (2.1) die Gestalt d (xi ((y) = d (oxc) Produkt c l ~ Bilder r habell, wesl~albzufolge VOII (3.2) die Differentiation von av 0 ergibt ; denn jeder Faktor d (axi) wird naeh (3.3) dusch Differentiation annulliert. Liegt nun ein beliebiges Monom t&= a.v vor, wo a € A, und v van der eben betntcl~teten Gestalt ist, so folgt nach dem bisher Bewiesellell : d (at&)= d ( a a A ov) = d (aa)A ov = a ( d a )A av = = a ( d a A v ) = a d u , wenn von der Regel (3.2) Gebrauch gemacht wird. Aus der Linearitit der Operatoren folgt nunn~ehrsofort die allgemeine Gultigkeit von (3.4).
4.
Ilifferentiation nnch Basisdifferentialen
I n leicht verstindlicher Vereinfachung werde die Darstellung (1.1) eines beliebigen Elements 26 des Differentialriuges A nuch so gescllriebeu :
VCTegen der Einzigkeit einer solchen Darstellung bei schiefsymrnetrischen Koeffieiententensoren ai,.. i p wird duroh die Festsetzung, d:~ss el;lb
91L-1 1 = 2 - ski,,,, ip dm" n
p=o
P!
.
.
...
A
dxip
sei, e i ~ ilinenrer Operator ek in A erkliirt, der eiue Differcntiatio~l des Husaeren Polynoms (4.1) uaoh dein Argument dnk bedeutet, aoweit bei nicht-kommutstiver Multiylikation iiberhaupt davon die Rede sein kann.
Wenn die Eoordinaten nioht durchnumeriert aind, empaehlt sich die Schreibweise e, statt ei
,
wenn x = xc ist.
Die Aussage, d ~ s sein Differential u das BasisdiReerential axk nicht enthalte, sol1 im~nerso verstslldel~werden: alle in der Darstellling (4.1) auftretenden Koeffizienten ail ..,i bei denen ein Index den Wert k hat, sind 0. Dies voransgeschickt, kann die Berechnung voli e,u auch folge~ider~nnsse~l bescllriebeii werden. 1st u 111 u = dmk A tc' tc" zerlegf, wo U' u11d 24" da8 Differential axk nicht enthalten, so sind u' und uN durch u eindeutig bestimmt und u' ist = eku Insbesondere ist diese Bemerkung rriitzlich beim Beweise der fiir beliebige Differentiale tc, v giiltigen Produktregel
,
+
.
die genttu der Differentiationsregel (3.2) entspricht. Sind u, v in u = dxk A 25' 2cN, v = dxk A v' vn zerlegt, wo axk in keinem der Differentiale tc', v', tt", vN vorkomme, so folgt lnittels der allgemeilien Beziehung
+
dass u A v = &k
A
+
+ pf' v') + u''
(u' A vN
A
A
v" und darum
ist. Nach Eintragen von 16' = eku, v' = ekv, v" = v - dxk A e~v, ltcn = yu dxk A geku wird die rechte Seite bis ttuf dell Sulnmttnden
+
+
der nach (4.5) gleich 0 ist, zu ektc A .U qu A ekv Anwenduug von el auf (4.2) ergibt n8-2
1
p-0
P.
eleku = 2 woraus die Beziehung
folgt.
akh.. ip . dxh A
...
A
. dxb
,
Der innere Differentidkallriil
436 j
171
D s ek deli Grad eiues l~olnogeneu Differentir\ls urn 1 verminlert, ist fiir homogene Differentiale e k p = - r]el;u, ek5'~= $eku uud daher tillgemein
WBhrelid die Operatoren 7, 5' bei Substitutioneu a im Siune
(3.4), siud ~ I I V ~ I - isilld a n t mie die iiussere D i f f e r e ~ t i a t ~ ido ~gen~iise ~ die 0per:ttol.eu ek.= ek, korarinnt im Sinue der Ketteriregel
Dell11 tnit der
ill
(2.2) vermendeten Bezeichnuug mircl
ist, wobei naoh (2.2)
zu setzel~ist. Der Operator (Sunimation iiber i ) llltt auf holnogene Differelltiale die Wirkung, sie ei11Pth Init ihre~n Grade zu multil)lizieren, weslltilb fur beliebige Differentitile u, v
gilt. E r ist naturlich iuvariant im Sinne von o g u = g au, mit 7 , 5 vertauschbar, und es gilt itg - ga = - it,
5. Differentialtensorell
Ein lcovarianter Differentialtensor iiber dem Ringe A, der im Gebiete G differenzierbnren Funktionen f (XI, x2, xn') ist eine Gesamtheit w = ( Z G , ~ $ . .:~i,Z 7c 2 = 1, 2 m)
...,
,..,
,...,
von Differentialen u2:i2:k,.aol~ A, die in solcl~erWeise a n f dxs Koordinutensystem bezogeu ist, dass sie bei einer Substitution
in die Gesamtheit au der Differentiale
ubergeht. Die Differentiale wmirnk..rnt heissen die Eompo~tetztendes Tensors u. Abgekiirzt konnen sie auch mit wik.. bezeichuet werdeu. Beliebige Difforentieltensoren
bestimmen einen Differentialtensor
mit den Eomponenten
Diese aussere Multiplikation von Differentialtensoren ist asso. ziativ und invariant in dem Sinne (3
(U A
v ) = ow A ov.
Die Addition von Tensoren u,v iat nur bei gleicher Stufe
L = ,u der Summonden moglich. Sie bedeutet die Berstellul~g des
Der innere Differentialkalkiil
[4381
173
Tensors u f v mit den Komponenten
und ist invariant :
Wird die Wirkung der Operatoren q , 5 auf einen Differentialtensor u der Wirkiuug von q, bezw. 5' auf die Komponenten von u gleicbgesetzt :
so siad q uuicl
5. invariant:
Die Operatoren ek konnen jetzt zu einein Operator e zusaminengefi~~sst werden, desseli Wirk1111gauf kov~rianteDifferentialtensoren a = {ui,..i,] clurcli
erklart ist. Dieser Operator e ist invariant:
oeu = eau
.
Invarisnz bedeutete in den bisher betrachteteu Pgllen Vertauschbarkeit mit beliebigen Substitutioi~euder in 5 2 genannten Art. Wird nur Iilvarianz gegeuiiber Substitutionen gefordert, die als Abbildungen von H auf G eiueindeiltig sind und eiue in H differenzierbare Umkel~rui~g
habell, mas
911
= 1, u ~ i d
(iiberall in H) znr Folge hat, so kann der Begriff des Differeutialtensors durch Zulass~ingder I
Eiti D i f e r e ~ t t i t a l t e n s o ~ (iiber A,) vont Fyp2f8
ist eine Gesamtheit x 4 xkz ;ail 3 2
... mky : il ,t.2 ,
.. ,i A , lc, , ...,lc,,
... x$l
xkz
u . .
= 1, 2,
... ,a?,II
... 3Ckp A ,
...xis
die bei eiuer uinkehrb:lr eindeutigen differet~zierbaren Substitiition in die Gesa~ntheitu der Differentiale
iibergeht. Piir die Kompone~~tem (5.2) ist die vereinftrcl~teSchreibmeise
...
'i,
klk, kp k ... iL
iiblicil. Schreibt rnan 11i1chdeln M~isler(4.1) ctiese Koinponetlt.en itris :
und setzt auch
so wird
Der innere Differenti'alkalkiil
r4401
175
woraus zu erkennen ist, dass ein Differentialtensor durch m skdare Tensoren
+1
die bezuglich der let,zten p unteren Indizes schiefsy~nmetrischsind, beschrieben werden kann. Ein Differentialtensor l~eissehomogen, und zwar vom Grade p, wenn seine Kompone~ltenhomogene Differentiale p-ten Grades sind. Mnltiplikation, Addition, die Operatoren q , 5 , e, g sind mit iinheliegenden, durch das Hi~lzutretender oberen Indizes bedingten ~ n d e r u n ~ eim n griisseren Bereiche 5!' (A) der Differentialtensore11 beliebigen Typus so zn erklareli, wie es vorhin im Bereiche der kovarittntea ~ifferentialtensoren geschehen ist. Diese Operatiouell sind daun invariant im Si~ineder Vertausohbarkeit mit beliebigen umkellrbar eindeutigen differenzierbaren Siibstitutionen a. Als Beispiel sei liar die Wirkung VOII e r~ufden Differentinltensor (5.3) ausfuhrlich angegeben :
uss sere
6.
us sere Differentiation von Differentialtensoren Wenn ein metrischer Fundamentaltensor
(6.1)
gi*
gik
I gik I =I=0
E A0
mit der Eigenschaft (iiberall in
a)
vorliegt, so kann eine kovarialzte Dife'erentiatiolz ah
I= 624
erkliirt werden, die rlus einem Differelltisltensor u mit den Eomponenten (5.3) einen Tensor mit den Eomponenten
macht, wobei
(lie belrannte kovariante Ableitung nacb xh des Tensors (5.4) bedeute. Mittels der von E. CARTAN wiederholt verwendeten Differentiale
die nicht die Komponenten eines 1)iff'erentialtensors sind, Bijnnen die von den Gliedern der letzten Zeile in (6.3) herriihrenden Anteile in (6.2) zo - co; A eTu: zusammengefasst werden. Erklirt man uberdies
::2
als einen in T ( A ) wirkenden Operator durch die Festsetzung, dass seine Wirkung auf den Differentialtensor u mit den Komponenten (5.3) das System der Differentiale
sei, das im allgemeinen kein Differentialtensor ist, so Bann atatt (6.2) einfacher
geschrieben verclen.
Der innere Differerltialkalkiil
[4421
177
Als wichtiger Sonderfall dieser Formel sei
die kovariante Differentiation eines skalavon Differentials u hervorgehoben. Wird der ubergang von einem Differentialtensor u = j 1 en dem Tensor mit den Komponenten (6.2) als Anwendung eines Operators -D auf u gedeutet :
2
so ist die Bovariante Differentiation im Sinne der Vertauschbarkeit
mit allen eineindeutigen differenzierbaren Substitutionen o invariant (und nicht kovariant). Es sei daran erinnert, dass auch jede < Verjiingung eines Tensors u = [ u: ), e t r a die Bildung von V u = (2uh? %.?I $1, eine im
::2
".
Sinne des Bestehens der Gleichung
o vu = Vou invariante Operation ist. Nach diesen Bemerkungen ist klar, dass der dlbergang von einem Differentialtensor U = ( U: zu der Gesamtheit du der Differentiale
::2
(du);,yiF = dz
kl
17
A
.. kp
dhui, ..ih
(Summation iiber k\
ein im Sinne
invarianter Operator d ist ; denn er bedeutet die %ussere Multiplik A Du eines Differentialtensors dx: = [dxi] vom Typus (") kation d mit Du und nachfolgende Verjiingung in Bezug auf den Index von dx (und einen Index von Du), also die Ausfiihrung von lanier mit o vertauschbaren Operationen.
Die Bezeichnung d fiir diesen Operator und seine Benennung als aussere V{ferentiatio?~der Differentialtensoren rechtfertigen sich durch die Bemerkung, dass im Falle eines skalaren Differentials u der die Summe dxh A dhu wegen (6.7) nnd der Symmetrie Ti; = Christoffelsymbole, die
du zur Folge hat, mit dxh A -- und darum mit dem in (3.1) definierten dmh du iibereinstimmt. Unter Beachtung von (6.4) und (6.10) geminnt man aus (6.9) und (6.6) folgenden Ausdrnck fiir die Komponenten von du:
Der erste Summand auf der rechten Seite dieser Gleichung ist das nach der Regel (3.1) zu berechnende Sussere Differential der (lea Differentialtensors u, das darch seine BeKomponente u t klammerung dentlich unterschieden wird von der mit gleichen Indizes versehenen Komponente des- 2insseren Differentials des Differentialtensors u.
::
7. Kriinlmungsdifferentinle
Urn das (nicht-tensorielle) Verhalten der Curtnnschen Diferentiule i
(7.1)
Wk
=
rkl.dmI i
bei Eoordinatenwechsel zu beschreiben, empfiehlt es sich, die ~ a t r i z e n
G = (gik),
o = (o:),
dx = (dxi)
zn bilden, in denen i Zeilen- unil k Spaltenindex seien.
Der innere Differeu tialkalkiil
14441
179
Die Matrix a) kann dim11 gekennzeichnet werden als die einzige, aus homogenen Differentialen ersten Grades gebildete Matrix, die den Gleichungen
geniigt. Links oben stehendes t bedeute dabei Transponieren, und Anwendung von d rtuf eine Matrix, deren Glieder Differentiale sind, bedeute ansseres Differenzieren der Matrixglieder. Beim Differenzieren eines Busseren Produkts A A B von Matrizen ist die aus (3.2) folgende Regel d (A A B) = dA A B yA A dB zu beachten. Auwendung einer eit~eintlentigen differe~izierbarenSubstitution
+
auf alle Clieder einer Matrix werde durch Vorausetzen von o vor drts Zeichen cter Matrix angedeutet, wie a. B. in den Cleichungen d (ox)= odx = A*,
wo A =
($),
dg = (dyi).
entsprecl~end zu G lind w Fiir die itn y-Koordi~itlte~~syste~n gcbildeteu. Matriaen G ui~d gilt
o
mobei wiederum durch tliese Gleich~lngenbestiln~ntist. Verwendet lr1a11die ans (7.2) folgende Beziehung d (oG) = (aG) (ow)
+ t(aw)(aG)
sowie (7.5) bei der Berechuung von -
~G=~~~A~(~G).A+'A.~(oG).A+~A-(oG).~A. so entsteht
&? = t ( a ~ta-lG ) (7.7)
+tAt(oW). t = G(A-1
. dA +A-1.
+G . ~ - l .
A-1
. (ow) . A +
G + G . A-1.
(ow). Aj
~AE=
+ t(A-l - dA + A-I
(om) A)
. G.
Andererseits gilt such
weil zufolge von (ow)A (adx) = 0 und A-1 A-'
. d A . A-l
A
(adx)
+ A-I
. d A . A-1 = - d (A-1)
(am)A (od5) = - d (A-1)A (adx)=
= - d (A-l
A
(odx))= - d (dy)= 0
+
ist. Da nsch (7.7) und (7.8) die Matrix A-I d A A-l. (am).A die fiir & keiinzeichnenden Gleicllungell (7.2) erfiillt, muss (7.9)
sein. Bildet man nun die Matrix
luid entsprechend im y-Eoordinntensystern
so zeigt (7.9), dsss -
Q=-A-l.
d A . A - l n d ~- A - l . d A . A - l n ( o ~ ) . A +
+ A-'
. (ow)A d A + (A-l d A + A-1 (ow). A) A (A-1 . d A -1A-1 (ow) . A) = A-I (d (aco) + (am)A ( n o ) ). A = A-1 (oQ) . A (dow) A - A-1
ist. Wegen (7;ll)
bedeutet dieses Ergebnis
-
0 = A-1 dtus die Elemente (7.12)
. (00). A,
Der innere Differentialkalkiil
[4461
181
der Matrix Q sich wie die Ko~npoueuten eiues Differentialteusors rom Typus
(:)
uerhalteo:
Dieser Tensor werde wie die Matrix seiner Kompo~ienteumit S2 bezeichnet, weuu dadurch keine Missverstaudnisse zu befiircl~tell
sind. Qi, geniigen den Gleichuugen Die K~C$ttmzotgsdiferelrtii~le
den11 die ans der zweiten der Gleich~u~gen (7.9) durch anssere Differe~rtiatiol~ folgeude Beziehung 0 = d (w A dx) = dw A dx sagt nach (7.10) uud (7.2) (7.14)
Q ~ d x = 0
und damit (7.13) aus. Eine weitere Belation zwischen Kriiu~mungsdifferentielen, namlich
die mit auch so gesohrieben werden k a ~ :n
folgt durch aussere Diilereutii~tionder ersten Gleichung (7.2) : Aus O=dG~w+G.dw+*(dw). G - t w ~ d Q ergibt siah mittels (7.2) zuuaohst
u ~ l ddamit die Gleichui~g(7.16), wen'fi man die Folgerung - - t(w A w) der allgemeinen Regel
A
'w =
fiir das Transponieren von Differentialmatrizen R vom Grade p, 19 vom Grade p beachtet. (Eine Differeiltialmatrix hat den Grad p, wenu alle ihre Ele~nentehomogene Differentiale p t e n Grades sind.) Die Moglichkeit, Tensorii~dizesherrluf- order herunterznziehen, nehmen wir, wie iiblich, ziim Aulass, die 2 ,u Iudizes eines Tensors vom Tyyua
(::1%?)
iu %
+
+ ,u Vertikaleu
nnterzubriugei~, was
erlaubt, mit eiuem uild delnselben Zeicl~ell2"+p Teilsoren zu bezeichQ zn drei nen. So gibt z. B. der Kriirnmniigsdiffere~~tittlte~~sor s, weiteren, ebenfwlls mit 9 ZII bezeichnenden Tensoren A ~ ~ l i l s deren Eom youeliten die Krii,tnntcftgsd($erestiale Qik
,
= ga Q 1 , bezw. Qi, = g7c19.a1-9 Qik = gij
.
gkQjl
sind. I n der F O ~ I I I
Qij =
1
.
+
Rijkl dmkA dm1 mit Ilijki Rijlk= 0
die Kompolieilteu ausgeschrieben, liefern die Krii~n~nuirgsdiffere~ltiale Rijkl des Rievbcr~awscheit K r i i ~ ) ~ n t ~ ~ s g c t e l ~ s o r s . Zu den Yatrizenrelatioue~~ (7.14), (7.15) gesellel~sich 11oc11die sogen. Birc~~rWi-Idetititatett, die del- eiliel~Matrix-Gleicl~ung
aquivelei~tsind. Ijiese ergib't sic11 d o ~ ~ cBussere h Differentiati011 voii (7.10), iude~rlaas d 0 = dw A w - w A tlw die Matrix clw il~ittels(7.10) eliminiert w i d . Qik vou Q sagt (7.19) das Fiir die e i ~ ~ z e l ~Matrixelelnerlte ~en Beatehen der Gleichung
aus, die, in der Form
geschriebeu, uaoh (6.11) das Verschwinden des Differeutialteusors dl2 bedentet : (7.20)
dQ = 0 (ist gleichbedeutend mit (7.19)).
Der innere Differentialkrilkiil
-
[4481
8.
18.3
Relrtiol~enzwischen kovnrinnten Ableitungen Unter dem << Wetst >> eines Differentials (1.1)in einelu Punkte
P verstehen wir das Differential
dessen Koeffizienten die Werte cc (Z'), nil .. ip ( P ) sind, die die Koeffizieuteu a, ai,.,iP van 2~ im Puukte I' aunehmen. ] in P ist das System der .. kp Differeutic~leuil (t'): Sind die Werte zweier Differentialtensoren zc, v in alleu Punktell des Gebietes G eiuauder gleioh, so ist u = v. E s sei daran erinrlert, dass in eiuer Umgebung eines beliebigen Puuktes P die Koordiniitell so gew8hlt werden Manen, dasa
Der Wert eilles Tellaura t kl
gilt, wobei die Auzahl der negativen Vorzeiche~lder g$i(P) gleich dein Traglreitsir~dex der quadr~tiscl~enForm gik .dxi dxk ist. Die Riemauusuhe~~ Normalkoordiurtte~~ erfiillell die Porderung (8.1). TJlu die Gleictrheit zweier Differentialtensoren u und v zu beweisen, geuugt es, u ( P )= v(P) fur alle P ECS zu beweisen, uild dazu wiederum empfiehlt es sich, Nonnalkoordinnten in P einz~~fiihren, weil wie bei gewohliche~lTe~lsorenn u s der Gleichheit .zc ( P ) = v ( P ) i n eiuein ICoordilit~tensystem die entsprechende Aussage in jedem anderen Koordiuatensysteln folgt. Normrtlkoordinaten in P haben den Vorteil. dass k l .. k (dh uil .. (P) = ist. Ant' solche Weise wird z. B. die Regel
fiir das kovariibnte Difterenzieren eilles ausseren Tensorprodukts, die, ausgeschriebeu, (5.3)
dh
... . 2I . . .
...I
,Unll
b...
=d
h
,,&I?... A El...
V"'l
... f
h...
u; ...
... A ahv:.:'
bealtgt, evident, weil aie fiir Norms.1koordinate11i11 P im P ~ i l ~ k tPe als Prodnktregel f i r partiellea Differensieren unmittelbar eil~leuchtet. Beim Beweise der Ricci-Idelltititen durch Verwenduug von Normalkoordinaten ist wegen cler zweimaligen Differentiation Vorsicht geboten. Zunachst folgt aus (6.6)
k k (dl dh - d h d 1 ) ZL.".. P = - ---- - 11..9 (Gli
+
-
(2 -+@)
. dxl I\ a,. u2.y
.i 11 .. ..!p+eee
axh
(%- 2). lt:ip- ...
(in p);
und da nttch (7.18) oud (7.10')
also
ari ar2 - ~ axh
$
= 1 Rlh ~
lG
,. (in P )
ist, ergibt sich idt dh
- dh dl) U: ..'.k~ . =- ~ e~
~, ~ *tL? i!P + R4. + ... ... (in P ), - Rib h .. d%j
aT
~ ; ~ . ; , t
7
a
ukl..kNv iL
%I .,, .EL
[4501
Der innere Differentialkalkiil
185
woraus (mit etmas alderen Bezeichnungen) die Ricci-Idetatitiitel1.b
hervorgehen. Nunmehr kann das Quadrat d d des Operators d berechuet werden :
wobei der letzte Summalid nach (7.13) verschwindet. Es ist a,lso
Im Falle einen skalaren Differentials zc ist, wie schon friiher festgestellt, ddzi = 0, und die Gleichung (8.4) nimint die Gestalt
-
an, wobei e'' dell Operator gr8 e, bedeutiet.
9. Innere Multiplikation
Wahrend aussere Mnltiplikation ulld Differe~tiatiollvou Differelltialen substitetiousinva~~isnt iln weitesteu Sinne und vou jeder Metrik unabhal~gigsind, ist der jetzt zu elltwickelnde innere Differelitialkalkul erst erkla~bar, weun eiue Metrik gegeben ist. Die folgendell Betrachtungen setzen vor;~us,dass eiue den Bediuguugen (6.1) geuiigende Metrik gik gegeben ~ e i . Dss inltere Produkt uvv
zweier Differentiale
tc, v'E A
ist (tie Summe
Gereclttfertigt mird diese Defiuitioll dnrch die offenbare Giiltigkeit des I)istribativgesetzes nlid den jetst folge~idel~ Beweis cles Assoziati vgesetzes (u v v) V W = u V (v v w). (9.2) Dabei geliiigt es offenbw, die Giiltiglreit dieser Gleich~ulgfiir die Werte von u, v, to in irgend einem Piinkte P nachzuweisen, mobei werden kann, und vornuszuzngleich gllc (P)= f13ik a~lge~ioln~nen setzeu, dtlss u (P),v (P),w (P)Mouolne der Gestalt dxi A dxk A A dxl seien. Bei diesen Mollotrlen kann iiberdies die Reihelifolge der Faktoreu dx lloch nach Bedarf veraudert werden, da Formel (9.1) zeigt, d ~ s s u1 v v1 = Q . a . zc v v ist, wenn u' = Q - 2 4 , v' = a. v (mit Q, a = f1)nus u, v durch Permutation der Faktoren dx hervorgehen. Fiir die weitere Reehnung bemerkeu mir zunSiclrst, dass fiir zwei Moliome u = w,A up, v = wf A vq die einen gemei~lsamenFaktor to, voln Grade 1. uud zwei z~~eiuallder teilerfremde Faktorea u p , v, von den Graden p, q haben,
...
,
(in 23
Der iunere Differelltialknlkiil
r4521
187
ist. Dies folgt atis (9.1), wenn man beachtet, dnss wegen
<
(lie Glieder ntit 12 1' verschwiltdeu, weil mi~tclestensein an: zwei~nitl ill dem Lasseren Prodrtkt auftritt, wiihrend die Glieder mit 1~ r gleioh 0 sind, weil dort wenigstens einer der Operttorell e auf ei11e11 der beiden arrssereu Faktoren allunllierend wirkt. Fiir -- r siud in gerwde die 111dizesder in nur die I & ! Summt~uclen,f i r die i, , w, vorkornmeuder~dx sind, vo11 0 versohiede~~, ttrtd diese ergebej~
>
...,
21
v
v = (- I)(37'
P C A~
vq
(in P),
was mit (9.3) ubereiustimmt. Nunmehr seien die in (9.3) vorkommenden Monorue zc, v, w in
eerlegt, wobei e das Produkt der u, v, w gemeinsan~e~l, f d:~sProdnkt dcr nlir zc, v gemeiusame~~, g das Prodnkt der nur v, w gelneinsamen, h das Produkt der nar zc, w gemeins:ueeu dx beeeichnen. Unter a, p, E , y, y , 7 s i i ~ ddie Grade VOII a, b, elf, g, h 211 verstehen. Naclt der Regel (9.3) gilt dauu i l l P:
mornus die Richtigkeit von (9.2) hervorgeht.
Wie sich inuere und aussere Mnltipliktttion uuterscheidea, zeigell deutlich die SonderfBlle
der Formel (9.1), die zur Verwandlung von inneren Produkten in aussere bereits ausseichen wiirden. Die Berechnung von inneren Produkten wird wesentlich erleichtert durch folgende Betnerkung : Sind in einem Pankte P alle gij (P)mit i j gleich 0, so ist
+
sobald k, I, ...p voneinander verschieden sind. Dies folgt mittels (9.4) durch Induktion nach der Anzahl der Faktoren. 1st (9.5) schon bestiitigt und dxq noch nicht Faktor der linken Seite u von (9.5), so ist in Y g, . eq u = eq u = 0 und daher nilch (9.4) u v dxq = zc A dxQ in P, w. z. b. w. Im Gegensatz zur ausseren Multiplikation, bei der die einfache Vertauschungsformel (wenn u homogen vom Grade 1 ~ ) gilt, ist die inuere Multiplikation in verwickelter Weise nicht-kommutstiv, wie dtts folgende Gegenstiick zu obiger Beziehong zeigt:
(wenn u homogen vom Grade A) Bum Beweise geniigt es, auch v ale homogen, etwa vom Grade I, voriluszusetzen. Nach (9.1) ist dann ei, ein qh+'9 v eit eCn u gleich
..
und darum die rechte Seite vo11 (9.7) gleich
..
r4541
Der innere Differentialkalkiil
189
wie zu beweisen war. Als haufig aufreteuder Bonderfall der eben bewiesenen Beziehung sei gensnnt :
10. Der innere Differentialring
Der Ring A der Differentiale ist auf eine zaeite Weise Ring vermoge der inneren Ynltiplikation. Um zu beweisen, dass er such als ilznerer Di$eregztialri7ig, (1. h. bei dieser zweiten AuErlssung, dzngerzeugt iiber dem Ringe A, vou den Elementen dxi, dm2, wird, bemerken wir zunachst, dass fur homogene Differelltiale 1. Grades tri die Differenz
... ,
vom Grade p - 2 ist, wenn sie nicht 0 ist. Diese fur p = 1 offenbare Aussage beweist sich durch Iuduktion nach p mittels der Folgerung
von (9.1). Durch Induktion nach dem Bvnri eines D(flerentia1s u, d. h , nach dem Grscle p der hijchsten, in seiner Darstellung P
u =2
n=O
1 . ail .. . dmi1A ...A d x i ~ 12 !
(mit schiefsymmetrischen
.. i,z)
@il
wirkliuh vorkom~nellden aussere~i Mo~loll~efolgt nnnmehr, dims u tiuch ills i ~ w ~ e v ePoly/bo?/~ s
(mit schiefsymmetriscl~cuhi, ..irt E A,) geschriebeu n e r d e ~ lkann, wobei insbesondere
bi1,.i% ' = (fi,,.ip sind. 111der
Tilt ist
I I A C ~ I der
Ee~nerkuug(10.1)
ein Differelltial von Grade < p, wenn es niobt 0 ist, was fiir p = 0 jedenfalls zutrifft. Der d u r c l ~ die Gleiohung (9.1) beschriebeue Z u s a ~ n ~ n e ~ l l ~ a ~ ~ g zwischell inuerer nnd atisserer Maltiplikation geststtet, rnittels cler Relittionen (4.7) die Wirklillg der Operatoren g, 5 n ~ i fPC v v zu berechnea ulld d ; Ergeb~lis ~ nietler nls i~lneres Prodrtkt zn tleetell. Auf diese Weise ergibt sich :
[4561
Der innere Differentialkalkiil
191
Dalnit ist gezeigt, dsss 7 :nlch fur den iuneren Differentialring Antomorl,hismus ist, wahrend sic11 ( wieder als Anti-Automorphislnus erweist. E s gilt such cine zu (4.4) sualoge Produlctregel
die mit folgeuder Rechnnng bestiatigt wird:
Z~tltere Mt~ltiplilcntionzc v v volt. Diferentialtelzsorelz 24, v ist in clerselbelr Weise snf d:ts innere Moltiplixiere~~der Romponellten VOII 11 n ~ t dv zi~riickzr~fiihren, wie bei der ansseren M~~ltiplilct~tioil tt A V die Eolnpolle~~te~l dieses Prodnkts dnrch anssere Multiplikt~tion der Kotr~poliel~teli VOII u u ~ l dv erhttlten w e r d e ~ ~Die . Gleichnngen (10.2) und (10.3) behaltell dt~lill at1cll a18 Te~~sorgleichungen einen Sinn. Auch die Beziehung
hat ein Gegenstucli (10.4)
dh (uv V) = d h u v v
+ u v dlbv,
das ausgeschriebell fiir Differe~ltialtensoren
folgendes besagt :
Bum Abschl~iss dieser Betrachtuugen sei noch bemerkt, dass in dem hHufig begegnenden Falle, dass die Matrix (gii) Diagonnlgestalt hat,, der iibergang von der Darstellung
(mit schiefsymmetrischen
ail .. in)
eii~esDifferentials nls Busseres Polynom zu seiner Darstelluug als inneres Polyno~nnsch der Bemerkung (9.5) einbch in cler Ersetznng des Zeichens A durch v besteht:
11. Innere Differentintion
Die Definition
der iiusseren Differentiation eines Differentialtensors legt nahe, in dieser Gleichung die aussere Naltiplikation durch die innere' zu ersetzen und ]nit
eine itwhere n ( f e r e n t i a t i o ~ t 6 als ubergeng von dem Differentialtensor zc zu einem Differentialtensor 611 zu erklaren. Da nach (9.1)
ist, gilt (11.2)
wo d X der clnrch
definierte Operator ist.
[4581
Der innere Differentialkalkiil
193
WBhrend die Bussere Differentiation ein homogener Operator ist in dem Simie, dass sie e i ~ ihomoge~iesDiEerential wieder in ein llomogel~esDifferential verwttndelt, ist die innere Differentiation als Sumuie eines den Grad urn 1 vermehrenden Operators d und eines den Grad um 1 vermindernden Operators d Y ein inhomogener Opevator. Der nus (8.2) folgenden einfachen Regel
fur das anssere Differenzieren eines Busseren Produkts yon Iliffere~itialteusoren u, v, der Verallgemeinernng der in (3.2) nur fiir den Pall skalarer u, v bewiesenen Formel, entspricht die. Regel
fur das innere Differer~zieren eines inneren Produkts, in welcher unter
der Differeutialtensor mit den Eomponenten
zu verstehen ist, wenn u uud v die in (10.5) genannten Komponenten haben. Die Gleiehung (11.5) folgt aus (10.6) duroh innere Linksmultiplikation Init axh und nachfolgende Summation nsch h, wenn nach (9.8) d x h v uf ... durch yu:.:; v d x h 2ehuF.... ersetzt wird. Die aus "i9.1) folgende Be~iehulig
+
gestattet, aus (10.6) zu schliessen :
- eh (dhzcki . ... v vm 1 .. .. ) - eh ((u: .. v dh277 ::),
was nach (11.1), (9.8) und (10.3) = ( 6 ~ ) :: : v v y ::
+ yu? :: v (8v)Y:: + 2 e h q :: v dlLvy..
vr .. -
- ehd & .. h i ..
uk h i
..
..
..
ehv?n 1 ..
- ehug 1: v dhvT 1:
- yu? 1: v ehdhvy ::
1111d nnclr (11.2) und (11.6)
F- + ( y u v dv): ::?..
= (11th v v): ::
+ (ehu v dhv)f ::7 :: - (ydhu v ehv)f ::y :: gesetzt werdell k a n ~ ~W ,~ I I I Iah~rlicl~ zu (11.6)
gesetzt wird. Darnit ist die Regel d (zc
v v) = d u v v $- y u v d v
+ ehu v dip - ydhzc v ehv
fiir die iinssere Differentiation innerer Produlrte bewiesen. Die no011 fehlende Regel wird mit iihliliclren Schliisselr (lurch folgende Rechnung gewol~neli:
(6 (u A v)): :: 7 :: = dah A dhut ::A v y .. $ d
:: A dhZ"ll::
~ Ah '1~:
+ eh (dhzcr:: vYt - ) + eh (uf.. dhvy ::) = (du)? ::A v 7 .. + Ijlq 1: A (dv)? :: + ehdhug 1: v y 1: f $ u: :: ehdILvY1: + rdhu; :: ehvy :: + ehzcf :: dhvy :: = = (82~)g .. v y :: + V Z C..~ (Fv)? :: + + (ehu dhv)f ::'2" 1: + (?7dht1 e v ) . .. .. ' A
A
A
A
A
A
A
A
A
wobei Wnlich wie in (11.6) 11nd (11.8)
A
h
k..m.. z 1
[as')]
Der inn ere Differentialkalkul
195
gesetzt ist. Mit dieser Bezeichnung kann das Ergebnis dieser Rechnung als die dritte der im folgenden susammengestellten Produktregeln formuliert werden :
(11 .lo)
+ yu v iiv + 2ehu v d f l , v + r u A 8v + ehu A dhv + ydhu
6 ( 7 6 v v) = 6u v v 6 (tc A v) = 6u A
A
ehv,
Die hier erkennbare Asymmetrie in Bezug auf die beiden Paktoren u und v entspricht der Asymmetrie der Definitionen (6.9) und (11.1). Die zu d und 6 spiegelbildlichen Operatoren sind (d( und (85; denn (d[u? = dhu: A dxh
::,?
::,?
,
Da nach (9.6) und (9.8)
ist, gilt allgemein [dl = ny = - yd = 8y - 2d"y = (d - d") q = 9 (d" - d),
wobei die unmittelbar aus (6.9) und (11.1)erkennbaren Beziehungen
beriicksichtigt worden sind. I n diesem Zusammenhange seien auch die Relationen
ermghnt, clie ausgeschrieben folgendes besagen :
Sie ergeben sich aus der nach (5.5) und (6.2) evidenten Vertauschbarkeit (11.15)
dhejuilk l.. . .ik kp- e.d J 1%u kill .. -kp
mittels der Regeln (4.4) und (10.3) durch Anwendung von ej auf die Produkte dab A dd,u und dxh v &ku::'' Um das Gegenstiick zu der Formel (6.11) zn gewinnen, schliessen wir aus (11.1) und (6.6) zunbhst
:: 2
2.
+ o,.v u, ..2 + ... + C0:l.v 4 .. lcl
r
lcl
ts
6 ,
Da hiernach, wenn u nur Differential, (1.h. nicht eigentlicher Differentialtensor ist,
ist, liann obiges Ergebnis anch so geschriel?en merdeil:
kl
+or
...
..
r.. kl r V U i 1 . ~ f ~ - o X I . v U ( i L
wenn dab4 der erste Summand cler rechten Seite als das innere Ilifkc cles Differentialtensors zc verstanden ferential der Komponente up ....iA wird.
Der innere Differentialkalkiil
[4621
197
Die Gleichnng (11.16) nimmt iibrigens die einfachere Form
an, wenn der Subtrahend nach (9.1) in ein tiusseres Produkt verwandelt und danach (6.10) beriicksichtigt wird.
12. Der Operator 68 = A
Der in (8.5) vollzogenen Bereohnung von ddzc tihnlich verlguft die Bestimmung von
,'
kl.. k
(ddu)i1..
= dxi V di (a$"
dkUt.:'ip)
wenn von der Regel (10.6) und der Folgerung (12.1)
dxi d x k
+ axk
dxi = 2gik
von (9.4) Gebrauch gemacht wird. Nach Einfiihrung des Ausdrucks (8.4) fiir didk - dkdi nimmt der zweite Summand der rechten Seite die Gestalt
an, in welcher wegen der Schiefsymmetrie von Riks, beziiglich il;
gesetzt werden kann. Wenn im ersten Summa'nden von (12.2) das aussere Produkt nach (9.1) durch d d v eru?:::- ejeTz~kl... ersetzt a1 ... wird, nimmt dieser die Form
= Q A C1Xj - e j Q r .I= an, und dabei ist nach (9.1) nnd (7.13) Q; v - ejQr.I=- R\ j, h1= - Rj, Tj. = R, 9 ' . dzz, wenn, wie iiblich,
.
-
gesetzt wird. Auf diese Weise vereinfaoht sich der Ausdruck fiir 66u zn
Wenn u ein Ilifferential 0-ten Grades, also eine Funktion ist, stimmt 66% mit der Wirkung Au = g i k . didk% des Laplace-BeltramiOperators iiberein, der von HODGEund DE RHAMzu einem auf beliebige DiEerentiale wirkenden Operator d verallgemeinert worclen ist. Dass 86 mit diesem A ubereinstimmt, konnte an dem Ausdruck
zu dem sich (12.4) im Falle eines Differentials vereinfacht, abgelesen werden. Statt darauf einzugehen, ziehen wir vor, bei den spateren Betrachtungen iiber den DnalitZitsoperator die ~bereinstimmung von 68u und Au als Nebenergebnis zu gewinnen. Das Zeichen A ist kiinftig als Abkiirzang fiir 86 anzusehen.
[464]
Der iunere Differentiwlkalkiil
199
Als konstant bezeichnen wir gewau die der Gleichung Du = 0, d.h. den Gleichungen
geniigenden Differentialtensoren. Heranf- oder Herunterziehen eines Index verwandelt wegen der Kons tanz (13.1)
=0
des Tensors g einen konstanten Differentialtensor wieder in einen Ironstanten. Die Gleichnngen (10.4)und (8.2) zeigen, dass inneres ~undansseres Prodnkt Bonstanter Diferentisltensoren wieder konstant sind. Konstant sind z.B. die Tensoren
und ihre inneren und tiusseren Potenzen mie (dx v dx)ik = dxi v dxk,
Aus der Vertauschungsregel (11.15) folgt, dass aach der Operator e konstante Differentialtensoren in konstante verwandelt. Die Differentiati~nsre~eln (11.10) vereinfachen sich erheblich, wenn der rechte Faktor v gleich einem konstanten Differentialtensor c gesetzt wird :
Die Konstanz eines Differentials u mird nach (6.7) dnrch die nl. Gleichnngen (13.3)
du d xh
dhu= -- mc)rhAe,.u= 0
ausgedriickt. Die konstanten Differentiale bilden einen inneren und Busseren Unterring des Ringes A aller Differentiale.
Da D ein homogener Operator ist, sind alle homogenen Bestandteile eines konstanten Differentials selbst konstant. Im Falle einer Metrik, deren Koeffizienten gik: im iibliohen Sinne konstant sind, sind genau diejenigen Differentiale konstant, die, in der Form (4.1) geschrieben, konstante Eoeffizienten ail.. $ haben. Der innere und aussere Ring der konstanten Differentiale werden in diesem Palle von den komplexen Zahlen und den m Differentiden dmi, h2, dam erzeugt. Solcher Reichtum an konstanten Differentialen ist nur bei einer Metrik mit verschwindendem Riemannschen Kriimmungatensor zu erwarten ; denn aus dnu=0 folgt nach (8.6) &dku- dk&u=- R.ak p3. . .dxj A e,u = 0, weshalb sohon die Forderung, dass es m linear unabhgngige konstante Differentiale ersten Grades gebe, auf R,; . clxj = 0 und damit auf Rlyl= 0 fiihrt. Zu jeder Metrik gehort wenigstens ein konstantes Differential positiven Grades, das Volzcmendiferential
... ,
denu in Normalkoordinaten za 1' nimmt dieses die Form (in P) an, wo t den Tdgheitsindex der metrischen Fu~idamentalform bedeutet. ~ b e die r im Volumendifferential rtuftretende Wurzel sei so verfiigt, dass ein in' G differenzierbares Differential entsteht, was unter den Voraussetzungen (6.1) bei zusammenli~ngendem (J auf geilau zwei Weisen moglioh ist. Naolide~n willkiirlich eine dieser beiden Bestimmuugen von x gemahlt wordell ist, werde in jedem anderen Koordiuatensystem oz als Volume~idifferential genommen, wenn a wie in g 2 verstanden wird.
Das Volumendiffereutial # gestattet, jedem Differeiltialte~~sor u = (ui;.;' einen dualen Differentialtensor uu zuzuordneu, der dnroh @ !J
%a
14661
Der innere Differe~~tinlkalkiil
201
bestimmt ist. Nwch der eben getroffeuen Verilbredung uber die Bestimmuug der Volutnendifferentinle in verschiedeubn Koordinatensyste~rienist der Dualitatsoperator + = v x koordinatenuuabh~ugig. Drts Duale eiues Differeutials
ist nacl~(9.1) gleich
..
geschrieben werden knnn, weil (- 1)("> 2 q1,ei, eCll16 sich von ail ,.i,, nur um Monome positiven Grades unterscheidet, die bei ausserer Multiplikation mit dem homogeneu Differential (m - n).teu Grades eil ein z annulliert werden. Nach (14.3) ist des Duale eines liomogenen Differeutials p-ten tirades homogen von dem komplementken Grade ?w -p. Insbesondere ergibt sich aus (14.2)
..
wtbs die Operatorgleichung
zur Polge hat und gestettet,
zu setzen. Mit + lraun danach der Operator d tmnsformiert, d. 1h.r-1 d + gebildet werden. Wegen der Konstsnz von x ist uach (13.2)
wobei nach (14.3) (lah v x statt eh x geschrieben werdeu kauu. Der dann entuteheude Subtrahend ydh u v d x h ist nach (9.8) und (11.2) gleich d x h v dh th - 2eh dh u = 6u - 2ah dh z~ = du ti" $1, worltiis
-
folgt, ein Ergebnis, daa Illit der Bezeicl~nuugd" schon angekiiudigt werden sollte. Nuumelrr ist mit +-1 d x = a" auch
ale cine im Bereich T ( A ) aller Differentii~ltensorengiiltige Operatorgleiohung bewieseu. Da fiir Differentiale $1 c ? d u = 0 ist, gilt auch (14.9)
und damit (14.10)
d " 6 u =0
(21 E
A)
ss zc = ( d + d") ( d + d") 21 = (dd* + d"d) u
(z6 E A )
was die friiher erwa,l~nte Gleichheit VOII 66 mit dein Operator A von Hodge und de Rhaln im Bereiche der Differelltiale beweist. Aus (14.7) und (11.2) folgt die Invarianz
der inneren Differelltiation beim Transforlnieren mit sofort bestatigt werdeu k a u i ~: aach ~ r ~ i t t e (13.2) ls
x,
hie iibrigens
Der Operator :F bedeutet innere Recl~tsmultiplikation mit x. Die naheliegende Frage, was int~ereLiuks~nultiplikatioumit x bedeutet, wird durch die fiir alle Differentialtellsoren giiltige Formel
beantmortet. I n der Gestalt (14.1 3)
xv
11 v 2-I
= t)~"'+~ZL
geschrieben, ist sie leicht einzusehen.
Der innere Differentialkalkul
[as81
203
Es gel~iigt offenbt~r,sie unter der Vor;lussetzung, dass u ein Differential sei, zu beweisen. DH fbrl~erdie ijbeig51nge r' -+ x v u v a-1 I I I I ~zc -+ ? l m f l ti A~ttomorl)hiame~~ des il~nerenDiffere~~tialriuges A sind uud dieser Ring VOII A , , der Geuamtheit der Differentiale 0-ten Grtides, und den dx; erzei~gtmird, geniigt ea, die Gleichung (14.13) fiir die FaIle 1) u E A,, 2 ) 21 = dxi zn beweiseu, was im ersten Ftllle oh110 Rechl~ul~g,ill1 zweiteu mittels (9.8) und (14.3) geechiel~t: z v axi v #-I= a v yx-I v axi 2 . zv ei Z-l = (- l ) m a ~ i 2. x v d x ; v Z-1.
+
+
15. Skalrrprodnkte Aus zwei Differentiallen u , v g e w i ~ ~ nman t ein n.fHches Differential (15.1) (u, v ) = ((u v v ) A 2 , das als Sktrlarprodzckt vall u ulrd v bezeichaet werde, obwohl es dem iibliehe~i Gebraucl~e tlieses Wortes besser entspriiche, d t ~ sIntegral dieses Differentials so zu neonen. E s uutersd~eidetsich vo~rlVol~l~nendifferel~tial nm dell Faktor ( [ u v v ) , , der die Glieder 0-ten Grades in der Zerlegu~lg
von
5uvv
in ho~nogeneBeutaudteile ([ u v v),, zusail~menfasst:
Da aus (15.2) durcll Anmendung von [ die Zerlegung [v v
14
= 2 (m8
(3 (521 v v),
1)
von [ v v u in homogene Bestandteile folgt, ist (cv v zc), = ( [ u v v), und darum (15.4) (v, 4 = ( ~ 2)). 9 A of al~~lliche Weise ergibt sic11 ((yu v yv), = ((-21 v v), (15.5)
beweiat.
, wa,a
-
Wegeu I v i. (V ( Z V V ) = [ U V V WHS ,
ist
l)@
53 v
z = 1 uud darum ( (z v u ) v
und znfolge von (14.12) und (15.5) auch
ergibt. Piir beliebige Differeutiale zc, v, w ist 5 ( t o v zl) v v = [zc v (Sw v v ) ulld deshalb (15.8) (wvu,vj=(u,[w VV). Die sogleich zu beweiseude Beziehuug
und die Sy~nmetrie(15.4) des Skalarprodukts gestatten, aus (15.8) auf das Bestehen einer ahnlichen For~nel
(15.10) (zc v w, v ) = (u,v v Sw) zu schliessen. Die eben angewandte Eigenschaft (15.9) des Skalarprodukts ist unmittelbare Folge der Tatsache, dass (zc, v) die Sumnle
der Skalarprodukte der homogenen Bestanclteile t i , , v, a-ten Grades von zc nnd v ist, und dieses wiederum ergibt sich duch Verwaudel~i von Szc v v = 2 (up v vq mittel8 (9.1) in eiue Summe von 5usseren Produkten
P>P
(-
I)@
+
rz!
+ -
..e h up e*. ..e'X. vq ,
""il
A
die nur fiir ( p - rz) (q a) = 0, p - rz 0 , q - rz 2 0, d. h. p = q = 12, nicht-verschwiudende Beitrgge zn ([zcv v), lieferll kounen. Zugleich iat damit die Formel
Der innere Differentialkalkiil
[1701
205
bemiesen, die zeigt, wie sich (u, v) aus den Eoeffizienten
berechnet. Aus (15.11) ulicl (15.12) folgt, class im Falle eilier positiv-definiten Metrik das skal:~.~*e Quadrat (u, 2s) eilies Differentials 26 sic11 i Paktor vo~i tle~n Volr1iriendiffere1itilr1z urn e i ~ i e ~aicht-negativen ~~nterscheidet, der iiberidl clort positiv ist, mo u ~iiclitverschwindet. Durch 1 (u, v), = --i , ei, eip (axil v
..
P
...v dxip v
U,
v)
wird gin ($it-p)-fiches Diflerential erkliirt, das ahihuliche Eigeuscbaften wie das Skalarprodnkt hat uad darnm d r ~ sp-te abgeleitete Skalarprodakt von u und v Iieisse. Da mit to = dxilv v dxip l~ach(18.8) nnd (15.4) sic11 (wvu, v)=
...
(ZC, [W
e) (u, w v v) =
v v ) = (- 1)
(v, .Ip
(-
= (-
1)("> (w v v,
U)
ergibt, ist
I.)@ (u, v ) ~
Anweudung von (15.5) auf die in (15.13) auftreteuden Skalarprodukte fiihrt Z I I der Gleichung
und unmittelbrtr aus (15.10) ist abzulesen : (U
v W, v), = (u, v v (w), fiir beliebige u, v, w E A.
Die zunacbst nur fiir Differentittle e r k l t t e n Skalwrprodukte kolll~euallgemeiuer fiir Differeutialte~~soren
von gleichem Typns definiert werden, indem
gesetzt mird. Alle fur Skiclerprodnkte bemieseae~~ R e l i ~ t i o n eclieses ~ ~ Abschnitts bleiben bestehe~~, wellu darin u, v als Zeiche~ifiir Differet~tialte~~soren gleiohell Typs itngesel~eu werden und w eiu beliebiges Differeutiiil bezeichnet. Neben d e ~ nSkalarprodukt (u, v) ist am wicl~tigstendas erste abgeleitete Skwlarprodukt
cli~.smie jenes synlmetriscl~in u und v ist. Seine B e d e n t ~ u ~liegt g vornelr~rilicl~ i ~ nBestehet~ der Gleichnl~g
die, uicht gsnz zn Recht, einfacl~ Greensolbe .Formel genaunt merde. Der Beweis dieser Gleichuug wird einfach, a e n u tnan nach (11.14) den Operiitor dei durch di - eid ersetzt U I I ~beacl~tet, dwss desseu Wirkung aof ein w-faches DiEerentiitl (daivu,v)= ( [ u v d d v v ) ~ ~ dieselbe ist wie die der kovariantet~ Differe~~titttiou di. Die Regel11 (8.2) u t ~ d(10.4) ergeben dicen wegen der I < o u s t ~ l ~des e Volumendlfferentirils z und des Differel~tiltltelisorsdx:
+ (iui1..:, Hier ist
.
''1
Y
dxi v a, V"
. +, kl .. S~ A a.
Der innere Differentiallmlkiil
14721
207
und
za setzeu, um die rechte Seite von (15.20) zu erhalteu. Das skalare Quadrt~t(u, u) eiues beliebigen Differentialtensors u unterscheidet sioh im Falle eiuer positiv-definiten Metrik vom Volumendifferential a urn einel~Faktor, der iibera.11 2 0 ist und in jedeln Punkte l', wo u ( P ) $: 0 ist, sogar positiv ausfiillt. Erw51111tsei schliesslich noch die Gleichung
die mit besserem Grn~ideals (15.20) den Nalnen Greensclle Formel verdiente. Sie gilt ebeufalls fiir ein beliebiges Paar vou Differentit~ltel~sorengleichen Typs und folgt aus (15.20), indem man dort da.s eille M ~ L Iu durch du, dau andere Ma1 v durcl~Sv ersetzt und die beiden ertlaltenen G l e i c h ~ ~ ~ l unter g e ~ i Beichtuug der Symlnetrie der auftretenden Skalarp~odt~kte voueinander abzieht.
111. - DIRAC-GLEICHUNGEN 16. Lie-Operatoren
ill1
iiosserel~Differelitialkalkiil
Ein z~ulacl~stnur auf Punlitionen, d. h. Differenti:~.le 0-ten Grades mirkender Lie-Operator
dessen Eompone~itenai im betrachtetel~ Gebiete G nirgends verschwi~ideumogen und differenzierbar seieu, bestilnlnt einen kontravariauten Tensor (ai!, init (lessen Hilfe aus jedem Differential u E A i l l einer vorn Koordiuatensystem uuabhaagigeu Weise ein Differential
gebildet merden lianu.
Die Invarianz dieses Ausdrucks wird offensichtlich, welin in der Umgebung eines Puuktes willkiirlich eilie Metrik eingefiihrt und du ~ d durch diu o: A e,u, d (ai)durch (daygemBss (6.7) u ~ (6.21) dxa - CD; ak ersetzt werden ; denn so entsteht der invariante Ausdruck
-
+
... ,
yna, in welohem Pi die KompoIm neuen Eoordinatensystem yt, nenten des Tensors [ai]seien, bat derum X u eiue zu (16.3)entspreclrende Gestalt, die I I H C ~ elalleuter A ~ ~ a e n d u ~von r g (6.7)u ~ ~ d du (6.11)in die zu (16.2)a~rslogeDarstell~l~lg- d ($) heiu iibergeht. dyt Da die Gleichling (16.2) im Palle einer F ~ i n k t i o ~u l sich a ~ i f du Xu = ai-- reduziert, dehnt. sie die Wirkuug des urspriinglich nur axa im Ringe A, der Differentiale 0-ten Grades wirkenden Operators X snf den gsuzen Busseren Differentialring aus. (Vgl. E. CARTAN, Lepons sur les Invariants Int6g~aux,Chap. IX). Zn einern beliebigen Punkte P von G' kann eine Umgebung U gefunden werden, in cier eine umkehrbare differenzierbare Koordinatentransformation
+
oxc= xi (y',
... y"')
moglich ist, welche
bewirkt. Solche Roordinaten y werden wir knnoniscl~in Eezug anf X nennen. Ans der oben bemiesenen Invarianz cles Ausclrucks (16.2) folgt, dass nacll solchem Koordinatenwechsel dau uxu = -
a
wird. Umgekehrt fiihrt die Pordernng, dass in einem bezuglich X lianonischen Koordinatensystem die Gleichung (16.4) gelte, zu der Darstellung (16.2) von Xu. Diese Bemerliung legt nahe, dem Operator X auch Wirkung auf Differenti:tlt,ensoren zuznschreiben, inclem man forclert, dass X u
Der innere Differentialkalkiil
[a741
209
ein Tensor von gleichem Typus wie u = ( u: .. '.42 I"P ) sei und in Koordinaten yi, fn, die beziiglich X kanonisoh sind, die Komponenten
... .
habe. Um zu zeigen, dass sich auf diese Weise in beliebigen Koordinaten
6 ar
d a'.
el..'
ergibt, geniigt es, die rechte Seite nach lokaler Einfiihrung einer Metrik mittels (6.6) und (6.11) so umzuschreiben, dass sie den von der linken Seite angedeuteten Tensorcharakter sichtbar werden lasat. In der Tat gelingt dies, und es entsteht
Aus dem hiermit bewiesenen Tensorcharakter der rechten Seite von (16.6) folgt, dass diese Gleichung einen Differentialtensor Xu definiert, dessen Komponenten in kanonischen Koordinaten, d.h. unter m), am= 1. die gewiinschte einfache der Voraussetzung ai = 0 ((i Gestalt (16.5) annehmen. Aus der Moglichkeit, die Koordinaten in einer Umgebung eines beliebigen Ponktes von G so zu wahlen, dass fiir jeden Differentialtensor die Wirkung von X einfach Differentiation nach einer der ICoordinaten bedeutet, folgt unmittelbar die fiir beliebige Differentialtensoren
<
giiltige Proclnktregel
Unabhzngig von einer Metrik ist die aussere Differentiation nur fiir Differentiale erklkt. Darum kann die Regel
dXu = Xdu die in l~nnonischenRoordinaten mittels (16.4) sofort nus
folgt, auch nur fiir Differentiale ausgesprochen werclen. Die BweckmLsigkeit der mit der Definition (16.6) geschehenen Fortsetzung der Lie-Operatoren zu Operatoren in der Gesarntheit T ( A ) der Differentialtensoren erhellt auch aurc folgender Tatsache: Stellen die Lie-Operatoren
als auf Funldionen wirlrende Operatoren in der Beziehnng
so gilt diese Gleichung auch fiir die Fortsetzungen von X, Y, Z zu Operatoren in T ( A ) . Als Tensorgleichung wird XYu - Y X u = Zu bewiesen sein, = 0 (i I)&), wenn sie in einem Koordinatensystem, in welchem = 1 ist, bestatigt ist. Unter solchen Voraussetzungen ist
<
14761
Der innere Differentialkalkiil
d2 a" +7.u,..,
a:r: d.2'
kl
.. k,'
Zll
d2 ccl.
-I-..+----ax'"
. ....rkt' . S?
81
heben sich bei der Bildung von KYzb - YXu alle Glieder der obigen rechten Seiten bis auf die von den letzten drei Zeilen herriihrenden weg, und,diese wiederum ge~tttattenwegen (1G.11)
die Darstellung
17. Lie-Operatoren im inneren Differentinlknlkiil Wenn
eine Metrik gegeben ist, ltann jedem Lie-Operator
a X = d - ein axi
Differential
zugeordnet werden. Von der einen Aiisnahme (day abgesehen, wo es sich um das aussere Differential des Tensors [ai) handelt, bedeute im folgenden u stets jenes dem Operator zugeordnete Differential. Der Tensor &ak akai hat in einem Koordinatensystem, wo dgik ui = 0 (i m), am = 1 ist, die Komponenten diUk akai = dxln ' Die Killingsden Qleichungew
<
+
+
sind darum die notwendigen und hinreichenden Bedingnngen dafiir, dass die Metrik bei X invariant ist in dem Sinne, dass die Icoeffizienten des metrischen Funclamentaltensors in kanonischen Koordinaten zu X von dem Parameter der von X erzeugten eingliedrigen Gruppe nicht abhlngen. Aus den Killingschen Gleichungen folgt, dass in du=dxi~(diuk.dxk) - dial,. dxi A &k die Koeffizienten diak schon schiefsymmetrisch sind und daher
ist, wobei ( d ~dieselbe ) ~ Bedeqtung hat wie in dern Glierle
der rechten Seite voll (1G.7), das darum durcl~
ersetzt merden kann.
Der innere Differentialkalkiil
[4781
213
Nun ist fiir jedes Differential v, das homogen vom %ten Grade ist, nach (9.1)
uncl daher
weshalb das genannte Glied in (16.7) auch in der Form 1 4
- . da v tc?....kp El... (1
--
1 4
-
.
k
k
v a.
~c~~:::.~,M
geschriehen werden kann. Im Falle eines Killisg-Operators, d.h. eines den Iiillingschen Gleichungen geniigenden Lie-Operators, gestattet die Gleichung (16.7) demnach die folgende, ganz dem inneren lcalkiil angehiirige Formulierung :
Die friiher nur fiir Differentiale bewiesene Regel X d u = dXzc kann im Falle eines Killing-Operators fiir beliebige Differentialtensoren zc ausgesprochen werden :
xau == d x u
fiir u E T (A)
(wenn di ak f dk U i = 0)
Denn in kanonischen Koordinaten, wo auoh fiir Tensoren
"iec ist, haben die in (6.11) auftretenden Cartan-Differentiale o,
Ei-
a genschaft - w: = Xw: = 0, weshalb Anwendung von X auf beide dxm
Seiten von (6.11) ergibt :
wie (17.5) behauptet. We1111X Killi~~g-Operator ist, gilt auch dils Grgenstiick
zu der Produktregel (16.8). Dcr Beweis erfolgt i l l kallo~lischel~ Kool~di~lateu t111rclr Al~weud auf beide Seiten der Gleicl~l~ug(9.1) uuter aYij
Beacllt1111gvon -= 0 .
axm
Schliesslich knnu auch uoch
fur Killing-Operatoren bewiesen werdea, etwa mittels der sus (11.2) und (14.7) folgendeil Bezieh~lng
durch Anweudnng der soeben bewieseueu Regel11 uud der fiir Killing-0pel.atoreu evidenten Aussage Xz = 0. Auch der Zusam~neuha~~g zwischen den xugeordneten Differentialen a, /I,y clreier in der Beziehung XY - YX = Z stehelide~~ Opertttoren (16.10) gestattet in d e ~ nFalle, dass A ', Y Killing-Ope ratoren sind, einfache Forlnulierung im inueren Kalkul.
Der innere Differentialkalkiil
[&go]
A
D:L X den Killingscl~en Gleichungen geniigt, ist dmk = - di a , also dk ai = - di
215
= dxk A
4
+
und ebenso (dp)i dip = 0. Aus (16.11) folgt (17.10)
uud
was ~iach(17.9) zunachst
uud damit megen (17.2), (17.3) und (8.5)
ergibt. Wegen der Bedeutung der konstanten Differentiale in der Theorie der Dirsc Gleichnngen sol1 nocll gepriift werden, unter welchen Bediugungen das eiue~r~Killing-Operator X zugeordnete Differential a zu konstantem da fiihrt. Aus (11.14) folgt
was bei Auweud~uigauf das Differential a wegen dda = 0 zu
fiihrt. Dabei ist (dea)i a18 i-te Eompouente des Bussere11 Differentials des Tensors ea = (ai)dasselbe mie das mit (da)i in (17.9) bezeichnete Differential r~nd daruln gleioll - ( D U ) ~Aus . (17.13) folgt deshalb did& = - 2 (ddea)i= - 2Qik ak nttoh (8.5). Die Gleichung
.
zeigt, dnss im Falle einer Metrik nit verscl~rni~~dendem Riem:tunscIien Kriimmungsteueor fiir jeden Killing-Operator dns Differential da des zugeordneten Differentials a konstnut ist.
18. Differentialmatrizen E s empfieblt sich, aus Differentiirltensoren Matrizen zu bildeu, kl .. k', indem mall in u = (uc .,in ) die oberell Indizes znr Bezeich~lung der Zeilea, die unteren Indizes zur Bezeicl~uu~lg der Spalten ver. wendet und so dem Tensor u eine Matrix (16) VOII ljvb Zeileu ulld 918" Spnlten zuordnet. ml ...m, Sind zwei Teusoren u = [ u : ~ ~ > uud j v = (ull... j gegeben, so ist
(4A (u) nur erklart, wenn , I= a ist uud zwar d s die Matrix, die deln Tensor
[
: :
1
l i
s,. kQ 1
entspricht. ~ h n l i c hist drts innere Mst~.ixe~~prod~,lit,
(4 v (21) zn verstehen. Anwendung eines Operators auf e i l ~ eDifferentidmatrix bedeute seine Anwendnng nuf jedes Glied der Matrix ~ i n dBewahruug der Matrizengestalt. Dnuach sind z. B. (du) von d (u), (6u) von 6 (u) zu nnterscheiden. Urn den ia (6.11) und (11.17) siclltbaren Zusammenhltng zwischen diesen M ~ t r i z e n uud auch i~ndereBeziei~ungenin die Matrizensprnche iibersetzen zu konnen, fiihren wir d-reihige quadratische Mntrizen Wi?
,
QA
... ,
9
An
, ,... ,lci
ein, die in der Zeile i , i , , iL und der Spltlte k , k2 folgenden 1-gliedrigen Su~nrnennls Elemente hsben :
die
14821
Der innere Differel~tialkalkul
217
oi
Die erste, mit den U:~rtandifferentialen gebildete Matrix coL stelit zu der z w e i t e ~ ~mit , dell Eriiln~nuugsdifferentialeu95 gebildeten Matrix RA in det. Beziehung
1 i t 1 (7.10) bereits ar~sgesttgtist. Die Matrix Ar setzt vorans, die fur ,I= X gegeben ist, :bus desseu Teusor (ai)die class e i ~Killing.Operntor ~ Elemeete gelniiss obiger Formel zu bilden sind. Die Gleichnr~geu (6.11), (11.17) und (17.4) gesttbtten dauacll folgel~dei j b e ~ . s e t z ~in~ adie ~ Matrizensprache : (du) = d (u) (621)= B ( u )
+ o,,
A (ZC)
- t(tco~A t(zh))
+ cop v ( u ) -
t ( t v~ t ~ (~6))
(18.4) wobei
ist. Das u ~ i tliukem oberen t augedeutete Trausponieren geniigt bei Dussereu Matrizeuprodukten der aus (9.6) folgenden Regel (18.6)
Y(u) A (v)) = yyhv) A yu),
t((v)A ( u ) )= t(zc) A t(qhv)
(wenn u homogen vom Grade h ist), und bei inneren Matrizenyrodnkten gilt nach (9.7)
"(u)v (v)) = t(qhv)v l(u)
+ 2ei l(qh+]v)v ei
- 2eiek
t ( ~ )
t ( y h )v eiek t(u)
- USW. (wenu u homogen vom Grade h ist). Weudet mttn diese Regeln rtuf den Fall an, wo der cine Faktor die Matrix on ist, so gewinnt mall nachstehe~~de Fassungen der Gleichungen (18.3) (18.8) (18.9)
(dl&)= d ( u ) (6u) = 6 (u)
+ w,
A
(zc)
- (yu)A
WA
+ cop v ( u )- (yu)v o~- 2 . ei ( u )v ebb .
Die ~ b e r s e t z n u ~ eVOII n (8.5) ond (12.4) in Matrizenspreche sind (18.9) und (18.10)
.
(66u)=gik didk(z1)
+ Rile . dzi v ek(u)- Qik v eieTC(u) + Q, v - t(tQlv t(u)) (U)
Die Gleichung (18.8) kanu unter Beschtung von (18.2) und dd (u)= 0 sowie der Produktregel
auch durch zwei~naligeAnwendung der Gleichung (18.8) gewonueu werden. Erwahnt sei schliesslich noch die Differelltiatiousregel fiir inilere Matrizenprodukte : (18.12)
6 ( ( u )v (v)) = 6 (zc) v (v)
+ (qu)v 6 (v)+ 2 . ei (u)v di (u)
*19. Dirac-Gleichungen und ihre Integrle
Jede Gleichung
worin ein gegebener und
der geauchte Differentialtensor aind, nennen wir Dirnc-Gleichuwg. Die an8 (11.17) folgende Beziehung
[4841
Der inuere Diffeerentialkalkiil
219
zeigt, dasv Veljiiageng ulld inl~ereDifferelltinti011 n~iteiuallder vertnlischbar sind, wie iibrigens auch, gemass (6.6) und (6.11)) kovarii~nteund Bussere Differentiation mit Verjungung vertanschbar sind, sofern nicht gerade der bei der kovarianten Differentiati011 entstandeue Index an der V e r j i i ~ ~ g n r beteiligt ~g ist. Da das He1'81lf- odor Her~lntel.ziehelieines llitlex bei einem Tensor u d r ~ sErgebnis V(g.u) eiuer Verjul~gul~g des Produkts voil g = ( g i k ) oder g = ( g i k )mit zc ist, gilt wegel] der eben festgestellte~~Vertsuschbarkeit und der Koustalix deu Tensors g iracl! den Prodnktrcgeln fiir d;ts innere, aussere oder kovarisnte Differenxiereu
d. h. Eernuf - oder Heruiiterziehen eines Index silid wit innerer, aasselQerulid Bovzirit~l~ter Differel~ti~~tion vertauscllbar. Aus eil~er Dirac.Gleichuug (19.1) folgt clemliach eine mit ihr gleichwertige
in der der unbekannte Tensor u reill kontri~variant ist. Diese
e Normalform >
einer Dirac-Gleichung (iI-ter < Stufe s ) nirnmt in Matrizenschreibmeise die Gestalt (19.3)
(826) = (a)v (u)
an, in welcher ( u ) als ~"gliedrige, der Gleichung
geuiigeude Spalte erscheint. Vorbild aller dieser Gleicliungen ist die Dirac.Gleichung 0-ter Stufe 6u = a v u, der nach der Diracscl~euTheorie des Elektrolis im elektromagnetische~iFelde das Zustaudadiffere~ltinl u des Elektrons im EinsteinMinkowski-Raum geniigt.
Einem Sprachgebrauoh der Quententheorie folgend, nenilen wir jeden in der Gesamtheit T ( 8 ) aller Differentialtensoren wirkenden Operator, der jede Losung der Dirac.Gleichung wieder in eine Losung derselben Dirac-Gleichung iiberfiihrt, Integval der Dirac-Gleichung. Rechtsmultipliketion v o mit einem konstanten Differential c ist Integral jeder Dirnc-Gleichung; denn naclt (13.2) ist 6(zcvc) = = 6u v o, weshalb ans (6u)= (a) v (u) stets (6 (u v o)) = (a) v (u)v o = = (a) v (u v c) folgt. Operatoren in T(A), wie iiblich, a18 Linksfaktoren schreibend, werden wir statt u v o euweilen auch (vc) u schreibeu, vor allem dann, wenn die Gess.mtheit aller Integrale einer u ~ i dderselben Dirac-Gleichung als U n t e r r i ~ ~dea g Ringes aller Operatoren in P ( A ) aufgefasst werden 8011. Wenn von einer 1-gliedrigen, durch den Lie-Operator X bestimmten Gruppe bekaunt ist, daas sie die Metrik und zugleich den Tensor a invariant lasst, in deln Sinne, dass X Killing-Operator und X a = 0 isti, so ist auch X ein (mit gleichem Buchstaben zu bezeichnendes) Integral der Dirac.Gleichnng. Denn trird (6%)=(a) v (u) wieder ale Tensorgleichung geschrieben : 6zc = V (a v u), wobei V eine Verjiingung bedeutet, so folgt mittels (17.6) und (17.7), dass d X z c = Y k = X V ( a v z ~ ) = VX(avtc)= V(avX2c) ist, wegen der nus (17.4) ablesbaren Vertauschbsrkeit von X mit V. Die Bedingung Xa = 0 ist nach (18.4) mit
X (a) - An . (a)
+ (a) . An = 0
gleichbedeuteud und die Wirkuug von X auf eine Lijsung der DiracGleichung ist (19.6) (XU)= X (u) - An (u),
-
wobei daran erinnert sei, dass
ist und ~ h n l i c h e sfiir X(a) gilt. 20. Adjungierte Dirnc-Clleichung
Zn der Dirac-Gleichong (20.1)
(6u)i~.. in
- $1 ..iAh .. Jq
%kl
.. ka
14861
Der innere Differentiallralkiil
221
adjutjgiert ist die Dirac-Gleichung (20.2) mit (20.3)
. . $"aAkl.,kl.
= - &kl..ki.
il
..52
Gerechtfertigt wird dieser Begriff durch die ans der Greenschen Formel folgende Tatsaclie, dass jede Liisong u vo11 (20.1) 111it irgend einer Liisung v VOII (20.2) zusammen ein im Sinne von d (u, v), = 0
geachlosse~~es abgeleitetes Sk~lerprodukt(u, v), hat. I n cler Tat ist nach (18.8) nnd (20.3)
woraus mittels (15.20) die Gleichung (20.4) folgt.
21. Har~no~iische und streng hnr~nonischeDifferentiale
Unter den Dincc.Gleichungen verdient zurracllst die Gleichung
besondere Beachtung. Erfiillt ein homogenes Differential diese Gleichung, so ist megen der Ho~nogenit#tder Operatoren d und 8, in die die iunere Differentiation zerlegt werden kann, nnch du = 0 und d+u = 0, d. W. u ist in dem vou HODGEurspru~lglichgewiihlten Sinrle harmonisch. Wach eineln Vorschl~gevon DE RHAM wird heute ein ho~nogenes Differential genau dann hal'molti8ch geuannt, wenn es der Gleichung
geniigt. Daru~u sei das Besteller~tlieser Gleicllnng : I I I C ~ im Falle eiues i~il~o~noger~en Differentials oder eines Differentialtensols das Kennaeicheu des Hannol~ischseins. Btvetcy l~avmonisohheisse dltgegen eiu Differentialtensor erst dam, we1111 er auch der Gleichuug (21,l) geniigt. DR der Operrrtor A hon~oge~i ist, k a ~ ~einn Differential nur dilnn harmo~~isch seiu, weun auch seine 1101nogene11Bestandteile hsrmoniscl~sind, und deshalb eriibrigt es sich, iuhomogene hannouiscl~e Differentiale besonders zu betyachten. Bei streng har~nonische~l Differel~tialenist im allgemeinell Inl~o~nogrnitat zu erwarten. Die Invarianz der inneren Differentiation gestattet, die Begrife cler Harmonie oder der strengen Harmopie von Differentialen und Differentialtensoren anch im Grossen zu erklaren, d.h. fiir differenzierbare m-dimensionale Riemsnnsche Mannigfaltigkeiten R, die nicht lnehr mit einem JCoordinatensystem allein beschrieben werden konnen. Da der Begriff 6 harmonisoh in R >> Gegenstand klassischer Untersuchungen gemorden ist, diirfen die Begriffe c( Differential in R a, 6 Differentialtensor in R s, 6 streng harmonischer Differentialtensor in 1i 9 a18 hinreichend erklart vorausgesetzt werden. 1st der Raum R orientierbar und kompakt und seine Metrili positiv-definit, so sind alle in R harmonischen Differentiale bereits streng harmonisch ; denn aus der Greenschen Formel (15.20) folgt d (u, 621), = (u, 66u)
+ (Ilu,
611)
uncl (larans (lurch Integration iiber cien ganzen Raum
Geniigt also zc der Gleichnng 68u = 0, so folgt nach einer Bemerliung gegen Ende von 3 15 ans der Definitheit cler Metrik auch 6%= 0. Im Falle nicht-kompakter Raurne oder nicht-definiter Metrik bedentet 6u = 0 eine weit schgrfere Auswahl unter den Differentialen als 862~= 0. Wie alle Dirac-Gleichungen hat anch 8u = 0 das Integral x = v a, weshalb mit jedem streng harmonischen Differential u auch sein <( Duales x u = u v z streng harmonisch ist. Nach (11.13) ist anch der Operator 7 Integral der Dirac-Gleichung (21.1), morans folgt, class jedes streng harmonische Differential
Der innere Differentialkalkiil
[488]
223
9n
u = 2 u, (mit den homogenen Bestandteilen urn)in eine Summe n-0
von streng harmonischen Differentialen uo+uz+u,+
...
und
u,+u3+u5+
...
zerlegt werden kann, die q-Eigendifferentiale mit den Eigenwerten 1 nnd - 1 sind. Eei ungerader Dimension des Raumes geniigt es also, clie streng harmonischen Differentiale des einen Typus, etwa qu = u, zn bestimmen, weil der Dualitatsoperator v x wegen q (u v x ) = -yu v v x = - zc v x beide Typen voli streng harmonischen Differentialen miteinander vertanscht. Ton der Metrik hangt ab, ob weitere Integrale der Dirac-Gleichung (21.1) existieren oder nicht. Wenn R wie der Einstein-MinBowski-Ranm in dem Sinne eukli'disch ist, dass ein im ganzen Raume giiltiges Koordinatensystem ei~gefiihrtwerden kann, in welchem clie Koeffizienten gik des Fundamentaltensors konstant sind, so sind, wie in 3 13 bereits bemerkt, alle inneren m d Busseren Polynome in den dxi mit konstanten Eoeffizientcn konstant und darum Anlass zur Bildung von Integralen. Da insbesondere die Monome dxilh ~ d x ' p konstant sind, kann nach der Differentiationsregel (13.2) ein Differential
...
nur dann streng harmonisch (oder auch nur harmonisch), sein menn
d.h. 66ail ..ip = 0 ist. Diese Bemerkung hat im Falle einer positivdefiniten Metrik die wichtige Folgerung, dass aus der Differenzierbarkeit (sogar der nur zweimaligen stetigen Differenzierbarkeit) der Koeffizienten eines Differentials deren Analytizitst geschlossen werden Bann.
22. Integrable der Dirsc-Gleichung 6u = 0 im dreidilnensionrtlen
euklidischen Raume Im Falle der Metrik
ist der innere Differentialkdlrul mit dem ausseren durch folgende Regeln verbunden :
(Um das Zeichen s fiir das vierfache Volumendifferential des Einstein-Minkowski-Raumes zu reservieren, verwenden wir hier ausnahmsweise das Zeichen w fur das Volumendifferentiel) Die Lie-Operatoren
,
( i , lc 1 sei hier, mie auch im folgenden, zyklische Vertauschung von 1, 2, 3) geben zu drei mit gleichen Xi zub ezeichnenden Integralen der DiracGleichnng 8% = 0 Anlass, die als Operatoren auf ein Differential u die WirBnng
haben. Dabei ist
aus dem nach 5 1 7 zu Xigehorenden Differential a(i)=xkdxz-xz.dxk durch aussere Differentiation gewonnen : 2uli = da(i).
14901
Der innere Differentiaikrtlkiil
225
Wie die Operatoren (22.2) stehen nach § 1 6 auch die Integrale Xi in der Beziehung Xk& - XIXk= - Xi
(22.5)
zueinander. Aus den Integralen Xi und v wj von 82~= 0 gewinnt man einen besonders wichtigen Operator K, der, durch seine Wirknng
erklart, offenbar ebenfalls Integral von 6zc = 0 ist. Dieses Integral zeichnet sich schon dadurch aus, dass es nicht von der Wahl des cartesischen Koordinatensystems abhiingt. Mit den Xi ist K vertauschbar ; denn
megen (22.7)
(wo uberall i , lc, I zyklische Vertauschung von 1, 2, 3 ist). Aus der evidenten Gleichung Xiw = 0 folgt, dass anch die Integrale E und v zu miteinander vertauschbar sind : (K
+1 )
d.h. (22.8)
(21, V '10)
= 2 4 t L V ?(, i
V W i = 2 &U
v Z U ~v 10 = ( K $ 1)U v 20,
i
K(uvw)= Kuvw.
+ +
Wie K hangt auch das Integral X : X; X: von der Wahl des cartesischen Eoordinatensystems nicht ab, weshalb zn erwarten ist, dass zwischen beiden eine Beziehung besteht. In der Tat gilt
wie mittelv (22.5) und ( 2 2 . 7 ) durch folgende Rechnung bewiesen wird: ( K + 1 ) 2 =~ ~ X i ( X j ~ ~ ~ j ) ~ ~ r i = ~ X i ~X jX. Uj ~~ ~ ~j ~ X~ 'i i ~+ j i.j
i j
iJ
=-BX?U+(K+~)U. Dabei ist von den Beziehnngen
Gebrauch gemacht worden. Fiir die Aufsuchung von K-Eigendifferentialen ist folgende 1 ) u niitzlich. Umformung von (K
+
mobei nach (9.8) dxi v u = y u v d d
+ 2 e i u nnd dar~un
+2 2eiuvdxi=
. ~ ' ~ X ~ V U V ~ . 3Zy ' u~ = i
3y u
+ 2 2eizchdxi
=3yu-22dxiheiyu
ist. Der liier anftretende Operator
hat die Wirliung, homogene Differentiale einfach lnit ihrem Grade zu multiplizieren.
~
~
Der innere Differentialkalkiil
14921
.
227
.
Unter Termendung von (xk dxl - xz axk)v w = d x i 2 x i . d d -
.
- axi v xi ,isi = ax< v r erhalten wir
. dr
- xi (mit
~2
=(~i)+ 2 ( 4 2 ) ~+ ( $ 3 ) ~ )
wobei 585' nacll (11.11) die zur inneren Differentiation spiegelbildliche Operation ist. 23. Differertinle, die im ganzen euklidische~~Rnu~ne nusser im P u ~ ~ k (0,0,0) te stxeng htinnonisoh s i ~ l d
Ans der Greenschen Formel kann mit einer Schlussweise, die clem Beweise des Satzes von Laurent nachgebildet ist, bemiesen werden, dass jede im ganzen Itaume ausser in (0, 0, 0) zweimal stetig differenzierbare harmonische FunBtion f dnroh eine unendliche Reihe
clargestellt werden Bann, deren Glieder f (h) fur W 2 0 homogene Polynome /&-tenGrades und fur i~ 0 von der Form P0lynom.r2~+l sind. Jedes Glied j'(h) ist selbst harmonisch, und in jedem den
<
m
Nullpunkt ausschliessenden Bompakten Ranmteil sind 2 f (h) und -m
0
2 f ( h ) , sowie die darans (lurch ein- oder mehrmaliges Differenzieren
-1
hervorgehenden Reihen gleichmilssig konvergent. Es sei jetzt
ein im gsnzeu Raua~e maser fiir r = 0 der Gleidiuug 811 = 0 geniigel~des Differential n i t Koeffizie~~teuai, ..i p , die zweimnl stetig ditfereuzierbnr siuil. Nauh eir~erBeulerkuug iim Schlusse von 3 21
ist jeder dieser Eoeffizienten harmouiscll und daruln in eine Reihe
entwickelbar, deren Glieder
.. fp homogene Fu~lktiolleuvoln eben
besohriebenen Typua f (u sind. Daraua folgt, dass das Differential in der Gestalt einer unendlichen Reihe
geachrieben werden kann, deren Blieiler dh)bezuglich xi, d , x3 110mogen vom Grade h und zwar ganz-rational fur lb 2 0, nach Moltiplikation mit r-2h-1 gene-rational fiir h < 0 sind. Ails den Formel11 (22.1) kann entnommen werden, dass auch jedes Glied u(h) atreng harmonisch ist. Die Aufgabe, alle im ganzen Baume ausser im Nullpunkte streng harmonisohen Differentiale zu beatimmel~, ist damit zuruckgefuhrt auf die Bestimmung aller streng harmonischen Differentiale, die beziiglich der xi homogen und im eben erkiiirten Sinue rational sind. Eine weitere Reduktion cler Aufgabe er~uoglichtdie folgende Bemerkung. 1st ti streug harmonisoh und t)ezuglich der zi homogen voln Grade lh, so ist auoh
streng harmonisch und dabei beziiglich der xi homogen vom Gracle - I - 2. Denn nach (11.10) iat
(23.1) iat.
Der innere Differentialkalkiil
1:4941
229
-
ilih bezeichue den Modul der streng l~armonischenDifferentiale, die beziiglich der xi homogen vom Grade h sind und dabei
fiir h
0 ganz-rational sind,
(23.2)
fiir 7~ < 0 naoh Mnltiplikation mit r-Zh-I ganz-rational werden. Durcl~
wird Mh isomorph auf M-h-2 abgebildet. Bum Beweise dieser BemerBu~lg ist niiclr den bisherigen Feststellungen nur noch die eiudentige Umkehrbarkeit dieser Abbildung und das Erfiilltseil~der Bedinglungen (23.2) fiir die Bildmeuge von M1, zn priifen. Nach den Regelu (22.1) ist, weun zc zu Mh gehort,
homogen vom Grade h - 2h - 2 = - it - 2. 1st 71 ; I0, also ZG E Mh ganz-rtitioi~al,so zeigt der eben benutzte Ausdrock fiir v, doss v nach Moltiplikatio~~ mit r-2(-h-2)-1 = r2h+3 ganz-ratioual wird, also in der Tat z11 113-h-2 gehort. 1st dagege~i7b < 0, so ist fur u E ,Ifh das in v = - 6 (r-Zh-1. u ) .
.-2h + I nuftretende 1
Differential
r-lh-l
.u
gnnz-rational uod darum
nach der dritten der Regeln (22.1) auch v selbst ganz-rational, wie van eiuem Element von 111-h-2 im Falle - h - 2 2 0 verlangt wird. Der Fall h = - 1 kanv nicht vorkommen ; denu fiir u E Mel n~iisster u gauz-rational vom Grade 0 und darum nach den Be~nerkungenin $ 21. eiu konsti~ntes Differential sein, was 6 (r . u) = 0 uud wegen 6u = 0 aucl~dr v 21 = 0, d. h. u = 0 zur Folge hatte. Die Umkehruug der Abbildung (23.3) ist
Dtl diese selbst den Oharslrter einer Abbildung (23.3) hat, bei der das dortige i~ dnrch - h - 2 ersetzt ist, so verwaudelt sie jedes v E M - ~ - z wegen - (- k - 2 ) - 2 = IL in ein u E M h Jedes Ele-
.
ment von A!-h-, ist di~rum Bild eines Elements yon dIh bei der Abbildiung (23.3). Vermoge dieses Isomorphismus von Mh mit !tf-h-2 sind alle Moduln Mh bekannt, sobaid alle diejenigen mit nicht-negatitivem h bestimmt sind; denn M-l ist leer. Die BesCimmung der Gesaultheit Mh aller streng harmonischen homogen voln Grade Differentiale, die beaiiglich der x; ge~~z-rational h sind, sei dnru~nunsere nachste Aufgabe.
2 4 . Kugeldifferentiale
Jeder Mod111 I f h ist aucll C-Modul-endlichen Ranges, unter C den Korper der komplexen Zi~hlenverstanden. Das Integral K der Di1.a~-Gleichuug8u= 0 bildet, wie die Xi,den 0-Modul M h in sich ab, wie aus (22.3) ~uld (22.6) mittels (22.1) zu erkennen ist. Darum ist der Versuch nnheliegend, aus K-Eigeudifferentitllen linear zu kombinieren. Aus der Vertauschbarkeit von K mit den Integralen 7, v w der Dirac-Gleichung 8u = 0, die offenbar ebeufalls Mh in sich abbildeu, folgt, dass es geuiigt, die im Bsstrudteil direkteu Zerlegung
1+ " dlh 2
der
gelegenen E-Eigeudifferentiale zu keunen, weil alle anderen wegen
aus jeuen durch Rechtsmultiplikation mit
'
+ Mh ist Summe a Jedes u E 2
to
I~e~vorgehen.
+ v eiuer Buuktion a uud ei-
nes homogelleu Differelltiale zweiten Grades v . Die Bedingnng 6u = 0 ergibt 6v = - 6a = - da, weshalb 56 5u = 58 (a - v ) =
= 25 da = 2 da wird, wahrend da v rdr = da A rdr
-;-
i
daher (24.3
+ 2 da . xi oxi
aavrdr= dahrdr+
w .a
und
Der innere Differentialkalkiil
[4961
231
ist. Nach (22.12) ist deshalb
Ku = - (k
+ 1). a + ((h+ 1) v - 2da A ,rdr),
weil gqu = gu = 2v ist. Damit u = a v Eigendifferential von K mit deln Eigenwert k sei, ist also unter der Nebenbedit~guug,dass 6% = 0 and u beziiglich der xi holnogen volrl Grade h sei, das Besteheu der beideu Gleichungeu
+
- (h + 1)a = lca,
+
(1~ 1)v - 2da A rdr = kv
notmendig uud hinreicheud. Zwei Falle siud dauaoh zu uuterscheiden : 1c = I,
+
+ 1,
( 1 ~ 1)v = da A rdr.
Pall I: Hier ist u = v als ho~liogellesDifferential 2-ten Grades doaI zo eine~rl110111ogeuel1Differe~itialersten Grades p = - u v to, d i ~ smie u beziiglicl~ der xi hot~logeu vom Grade 1, seiu tnuss. Die Forderuug 6u= 0 ist uiit 6p = 0 gleiclrbedeutend. Znfolge der Homogenitiit des Differentials p verlangt 6p = 0 :tuch dp = 0, woratla p als totales DilTere11l;istl df eines holnoge~le~i Polynolns (11 1)leu Grades erkeuubar ist. Wegeu p = df = 6f ist 6% == 0 mit
+
gleichnre~tig,uud aus (24.5) folgt .danach, dass fiir solches f
K-Eigendifferentid mit dern Eigenwert k = h Pall 11: Hier ist
+ 1 ist.
zu setzeu, uud da a eiu homogeues Polyuom h-ten Grades seiu muss, gilt uach (9.1) such (24.3) und daher
[4981
Der innere Differentialkalkiil
233
+
wahrend die erste nach obiger Diskussiol~k = & (h 1) verlangen wtirde. 1st lc = h 1 und dsru~n, wie vorher gezeigt, a, = 0, so ist auch a2 = 0, weshttlb uach der zweiten der Gleiohungen (24.13) v, = 0, d. h. ui = 0 sein miisste, im Widersyruch zu (24.12). 1st jedoch k = - lb - 1, so folgt sofort a, = 0 uud daraus
+
wegel1 ul= a,
1 + han, +l
A
rdr miederum das u1rm8gliche Ergeb-
nis ui = 0. Dsmit ist bewiesen, dnss die in (24.11) ge~lanntellDifferentiale eine 0-Basis des Moduls Die zum Eigenwert
+ *l i f h bilden. 2 - h - 1 gehorigen
K-Eigei~differei~tiale
gestatteu die Umformung meil ist.
Da a . r-2h-1 aus d e ~ nhomogenen hsrmonischei~ Polynom 8-ten Gra.des a (xi, x" xa) dnrch die <( spharische Spiegelung 9
xi xi -+-r2
(i = 1, 2, 3)
und Division durch r
hervorgeht, ist es harmonisch uud darum sein totales Differential
streng harmonisch. ubrigens gehort dieses zn .IW-~-~, meil ea auch die fur solche Differentiale keilnzeichnenden Ratioualitats-Beding~~ngen erfullt. Bezeichnen
Ph den 0-Modul der homogenen harmonischen Poly~lomevom Grade h, (24.14)
FFh-,die Gesa~ntheitder d a r ~ u durch s Spiegelung hervorgehellden hltrmonischen Funktionen,
so kauri das Ergebnis (24.11) unserer Untersnchiulg in naheliegender Symbolik so zusamlnengehsst und vereinfitcht werdeu :
F u r c E dFh+l v to gilt Kc = (h f 1) zc, fiir u E r2h+2 . d r v gilt K c = - (h 1)c. Nach (24.2) ist dtlmit auch
+
bekwnnt, i ~ n dgemiiss (22.8) siud die Elemente dFh+l K-Eigendifferentiale mit d e ~ n Eigenwert h f 1, wahrend jedes u E r2h+2.dr v v dFPh-l v w der Gleichung K u = - (h f 1)u geniigt. F u r die weitere Rechnung empfiehlt sich die Einfuhrung
-
xi = r sin 6 . oos y,
x2 = r
. sin 6 .sin g?,
$3
= r . 00s 6
von Polarkoordi~~wtell r, 6, p. DR die Metrik da1111die Gestalt
wnuimlnt, gelten im inneren Differenti~lkwlkuldie Rechenregelu
Mit den durch
Pzna (m)=-. 1 (1 2 1 Z!
,
(E-m)! . m m Pim = (- 1)m . Pl P-t-l = Pi",P-dl (1
+
m)
-*I$
= PC-"*
I)er innere Differentialkdkiil
[5001
235
I < I k I definierten Legendre Polyllolnell P/ (a) bilden wir fils die Kugelflachenfunktionen
(24.20)
111
YJi-l = Yz
,
Yz-"' = (-
1)"'
..YJ"' ( I 1 5 1) ( I + nr) ! (l--9?2)!
+It
Der 0-Modul fi der homogenell harmonischen Polynome 1-ten Grades ist d ~ n n
Fiir sp5tel-e Allwelid~~ngellbei ~liclit-enklitliscl~e~~ Metriken sei i~ocherwahllt, da.ss Y = Y F der Illit d6 !,rk YF) = 0 gleicllwertigeu Differentialgleich~g
geniigt. Durch Multipliktttion mit rl-k werden die streng harmonischen Differentiale d (r" Y,,") = S (rk ,YT)beeiiglich der xi homogeu voln Grade 0. Die so entstehenden Kugeldiferelztiale
.
(der Ordttung 16) geniigerl der mi t 8 (r"'
. S T ) = 0 gleichbedeutenden
Dirac.Gleichung
und ihre radiale kovarisute Ableitung ist
Deuu wegeu cles Teusoroharakters der kovarianteu Ableitang eines Differentiale u gilt
wenn u bezuglich der xGhomoge11 vom Grade h ist. Diese Eigenschaft der Kugeldifferentiale hiit den fiir die Losung von Dirac Gleichungen erheblichen Vorteil, dase fiir jedes hgelsymmetrische, d. h. den Bedingungen
gelliigetide Differential R die eiufache Pi.odoktreg,el
gilt. Es kann nLmlich gezeigt werden - was hier ersyart bleibe dass die Bedillgung (24.26) der Kugelsymmetrie gleichbedeutend ist :nit der Darstellbarkeit von R in der Gestalt
mit nur von abhaugigen Punktionen Q, = Q, (1.). Mittels der aweiten der Di.rerentiationsrege111 (11.10) ergibt sic11 uach Aufteilang von R in R , + R 2 v w m i t e e R ~ = 0 , e , R i = O ( i = 1 , 2 ) , d n s s wegeu d, 8 = 0, der Konstanz von zo and der Vertanschbsl-keit VOII w nlit allen Differelltialeu (vgl. (22.4)) B (R, v 8)= 8R, v S f yR, v 8X,
I I I I ~darum
ist. Aus R, - R, v w = (R und (24.24) folgt dann die behauptete Beziehung (24.27). Schliesslich sei noch der Zusammenl~angder Kngeldiffereutiale mit dem in g 23 behandelten Problem erwlihnt.
[SO21
Der innere Differentialkalkul
237
bezeichnet, ki1111lnthcll (24.21) u i ~ d(24.23)
und darum Qach (24.15) und (24.16)
gesetzt werde~r. Nach (23.3) iet dn~ru
welcbe beidell Aussegen zu der einen
znsicmmengefasst weldell kijnnen. Jedes im gauzen euklidisohen Raume ausser dem Punlite (0, 0,O) streng harlr~onische Differential u, dessen Koeffiaieuten eweimal stetig differenzierbar sind, ist in eine i l l jedem kompalcten, den Nilllpunkt :u~sschliesaendenRttumteil gleichmlssig konvergente Reihe
entwickelbar, deren Glieder innere Prodilkte aus kugelsymmetrischen Differentialen R;$ der Form
mit (willkiirlichei~) IConstt~nteu nkm, bkm7ekm, Jinzund Kugeldifferentialen 8; sind.
25. Dirac-Gleichul~geni n Rnnln nnd Zeit
Die Minkowski-Metrik
+
- ~2 . (at12 ( a x l ) q +d~2)2 (d~3)2
bestimtt~teiuen iunereli Differelltialkelkiil, in deln axi, d 3 , dx3 denBaulne, mahselben Gleichiinget~(22.1) geniigc~iwie im e~iklidisclte~l rend dss Recllnen mit dt geintiss folgenden Regeln geachieht: (25.1)
dx6 v dt = - dt v clxi ci dxc A dt,
dt v dt = - ~
2 ,
Rait,itdi$evemtiale ~ I ~ I I I I wir ~ I I gellau diejenigen Differentisle, die, ala innere oder aussere Polynome in dmi, dx2, dm3, dt geschrieben, dt uicht enthslten. Reitze Rattl)t/7iferestitrle zeicltl~ensioh dariiber hinsus dadurch uus, diiss die Koeffizie~~teli j e ~ ~ ePolytjo~ns s volt t nicht i~bhangen. Die Gesamtheit killer reinell Raumdifferentiale ka1111als innerer (oder aiisserer) Unterring des Ringea i~ller Differentiale des Miakowski-ltaumes gedentet werdel~,u ~ r dtlabei ist die imrere Differe~~tiirtiou, die im v i e r d i ~ n e ~ ~ s i o ~ ~Rimme n l e n die Wirkung
hat, Fortsetzung der iln euklidischen Rt~ume wirkenden inneren Differe~~tiatioa, weshalb wir beide tnit demselbe~iZaichen 8 bene~lnen kol~lren.Anch die iibrigen Bezeichuugell icus 5 22 beibehicltend, kounel~wir dss Volii~nel~differel~tirtl x in z = dmi v dx2 v dxa v icdt = w v icdt = w A icdt
zerlegen. Sein iltneres Quadrat ist x v x = 1. Wie x ist auolt jedes innere oder Lussere Polynom ill dm1, dm2, dx3, dt mit kollstan ten K o e f f i z i e ~ ~koustunt, te~~ uild weitere kotlstni~te Differentiale gibt es nicht. Die in der Beziehuug
steheuden ko~istsntenDifferentisle
Der innere Differentialkalkiil
15041
+
239
+
geben wegen 1= e+ e- Anlass zu der Zerlegnng zt = ~c v ef u v e- beliebiger Differentiale u in zwei Summanden, von denen der erste (zweite) dadurch gekennzeichilet ist, dass er bei vs+ (bei v e-) reproduziert und bei v e- (bei v .$+) annnlliert wird. Da jedes u, v dt geschrieben werden kann, Differential v in der Form v, wo v,, v, Raumdifferentiale sind, so lessen sich jene Suln~nandenin +U v E+, bzw. -zc v e- mit passenden, durch zc eindeotig bestimmten Raumdifferentialen +u, -u zerlegen :
+
+
tc
= +tb v E+
+ - 2 ~v e-
mit et +u = et -zc = 0.
F u r jede Dirac-Gleichung
8a in welcl~erdas Differential a im Siune = 0 die Zeit nicht ent-
hiilt, ist der durch die Wirknng
at
beschriebene Energie-Opevator H Integral. Eigeildifferenti~le dieses Operators sintl gennu diejeeigea Differentiitle, die nach Abspaltung eines Faktors Bar i
e
--.Et
h
(mit konstantem E = H-Eigenwert)
Diffeein die Variable t uicht luehr (wenn aucll (It) eiitlltblte~~des rential werden. Mit den reinen Zeitdifferentialen
kann jedes H-Eigendifferential zc Init dem Eigenmert (der Energie) E auf genau eine Weise in
zerlegt werden, nrobei p+ uud p- ui~nmehr reiue Bsumdifferentittle siud.
Die Bettimmung solcher H-Eigendifferentiale kali~iganz iin in. lleren Differentiwlkalkiil des dreidimensionalen Raumes geschehen, wie sus folgeiider Rechuung ersiohtlich ist. I n (25.4) sei a = a /?v iodt mit reinen Rerimdifferentialen a, p. Weil v s+ Integral ist, muss zc ve+ = p+v !Z*' selbst Lijsu~ig der Dirac.Gleiohung uud dsher
+
sein. FLir reiae Ri~uintliEerei~tiltle p ist abeie 11:tch (25.1)
weshalb (26.8) linter Beachtung votl icdt v a*
(25.10)
in
(Sp*f
==
qI e f
-i2n ;. i
iibergefiihrt aerden kann. Da hier auf beiden Seiten die linlzen Faktoren ~iaumdifferentialesind, muss
sein.
26.
Die Dimc-Gleichung des Elektrons
,
Der Zusammenhang zwischen Vektorpotential A8, A,, A s , elektrischem Potential @ und dem elektrischen Felde wird nach Einfuhrung des <( l?eldd.l;fe~entinls >>
Der innere Differentialkalkiil
I5061
241
beschrieben, wo
den nlit den Maxmellschen Gleichungen Siyuivalenten Bedingungen
geniigt und daher streng harmonisch ist. Da nur dw physikalische Bedentnng hat, miissen alle aas o abgeleiteten physikalischen Aussagen eichinvariant, d.h. bei dem ubergang w -+ ci, df invariant sein. Wird die in der Wahl von co bleibencle Willkiir clurch die sogenannte Lorentx-Bedingung
+
eingeschdnkt, so wird o harmonisch. Da clie Elektrodynamik eine so priignante Formulierung in der Sprache der Differentiale gestattet, ist der Versuch naheliegend, auch clie Diracsche Theorie des ' Elektrons als eine Angelegenheit des inneren Differentialkalkiils meusehen. Diesem Versuche dient die folgende Interpretation der beriihmten Diracschen Gleichung. Der Spin des Elektrons wird gedeutet als die Notwendigkeit, (lie Zustande eines Elektrons, statt durch eine Zustandsfunktion, clurch ein Zustandsdiferential dareustellen. In einem elektromagnetischen Pelde, das durch das Felddifferential o heschrieben ist, sind nnr solche Zustande mijglich, cleren Differential u der Dirac-Gleichung
(E,, = Ruhenergie, e = q I e 1 Ladung des Elektrons) geniigen. Die Zustande des negativen Elektrons sind durch die Nebenbedingung (26.7)
2~
v E- = u und, mas gleichbedentend damit ist : u v e+ = 0,
die des Positrons durch (26.8) u v E+ = u und, was gleichbedeutend damit ist : u v E- = 0 gekennzeichnet. Sie sind also die (von selbst) simultanen Eigendiff'erentiale der Integrale v E + v E- der Dime-Gleichung (26.6). Pbysikalisch wesentlich ist nicht das Zustandsdifferential u selbst, sonclern das aus u hergestellte homogene Differential
,
(26.9)
-
1 e I . (u, yu), = Q . w - (i, . w , + i, . w, + i, . w,) A dt,
, ,
das als Differential der Stromdichte (i, i, i,) und der Laclungsclichte g gedeutet wird. (~berstreichenbedeutet den ubergang eum Konjugiert-komplexen). Diese Dentung wird ermoglicht clurch den Erhaltungssatz
der fiir irgend zmei Losungen der Gleichung (26.6) gilt, wie folgende Anwendung der Greenschen Formel beweist. Die Gleichung (26.6) abgekiirzt Bu = a v u schreibend, bemerkt man, dass ya = a = [a ist und daher aus Bv = a v ,v gefolgert werden kann:
was y als Losung der eu Bu = a v u adjnngierten Dirac-Gleichung erweist und damit nach (20.4) die Giiltiglceit von (26.10) bestiitigt. Insbesondere ist also d (u,
-
= 0.
Das Differential (26.9) ist, wie es sich fiir jedes physilcalisch gedeutete Differential gehort, eichinvariant. Ersetzt man namlich in (26.6) w clurch w df, so wircl clie nen entstehende Dirac-Gleichung
+
durch
Der innere DiEerentiaIkalkiil
[508]
243
gelost, wenn u Losung der nrspriinglichen Dirac-Gleichung war. Die Gleichung (u, y u), = (v, y zeigt: dass die Ladungs- und Stromverteilung (26.9) eichinvariant ist, wenn jede h;nderung w -+ co df von dem Wechsel
4,
+
der Zustandsdifferentiale begleitet wird. Dass die Zustandsdifferentiale der Elektronen Eigendifferentiale der Integrale v ES,v E- sein miissen, ergibt sich im Einklang mit der Deutung der Strom- und Ladungsverteilung aus folgender Berechnung des Auadrucks (u, yv), den wir vereinfacht mit [u, v] bezeichnen wollen. Aua (15.16) folgt
,
weil e v
CE = T V E
= 0 ist. Wenn also gemass (25.3)
mit RaumdiEerentialen +u, +v, -u, -v gesetzt wird, so ergibt sich
Nun ist fiir beliebige Raumdifferentiale p, q
.
4 [p v e*,
V
&A]= [p, q] ~ [ pq v, icdt]+[p v icdt, q]+[p v icdt, q v iodt]
und dabei der erste Summand gleich dem vierten, der zweite gleich dem dritten, vie mittels (15.16) bestatigt werden kann, wenn dort t o = iodt gesetzt wird. 1 1 In [ p v s * , ~ v E * ]= 2 [P 1 41 T [ p p v icdt] ist wegen
,
(Cp v a t v y a o = 0 3
.
,G), A icdt,
[p,qj = 2 (Cp v dxk v yq), el, w A iodt = ( p 5-1
mobei gesohweifte Klammern hier und im folgenden andeuten sollen,
dass es sich urn Skalarprodukte handelt, die unter cler MetriB
zu berechnen sind. ~ h n l i c hergibt sich
-
[P, q v icdt] = (lp v d t v qq v icdt), . e,x
-
-- - ic . ([pv dt vdt v q), . 10 . i c =
Da hiernach 2 [ p v ~ * , q v e * ] = + ( ~ , ~ +) { p , y q ) , ~ i c d t ist, mird zufolge (26.13)
Die zur Eennzeichnung der Zustande des negativen Elektrons aufgestellte Bedingung u v 8- = u, u v 6 = 0 bewirkt demnach, dass
und darum nach einer in $ 1 5 gemaohten Bemerkung uberall Q j 0 aird. Aus demselben Grunde .ist Q 2 0, wenn r v E- = 0, u v E+ = u ist.
27.
Dss Elektron im Coulomb-Felde
1
Fur ein negatives Elektron (c1.h. fiir e = - 1 e ) im CoulombFelde eines Kernes mit der Ladung 2 . ] e 1 ist clas Felddifferential
Die Dirac-Gleichung (26.6) nimmt damit die Form
(- B,, + Er .
2n 7~c
du = -
icdt) v r
Der inuere Differentialkalkiil
[5101
245
an, weshalb in (25.11)
zu setzen ist und wegen u = u v nehmen sind :
E-
die unteren Vorzeichen zu
bestimmt also das reine Raumdifferential p in der Darstellung
der H-Eigendifferentiale. Der Ansatz
wo R kugelsymmetrisch nnd fly einKugeldifferentia1 sei, fiihrt durch Eintragen in (27.2) nach der hier zustandigen Gleichung (24.27) zu der Bedingung
die jedenfalls erfiillt ist, wenn R durch
bestimmt wird. Zerlegt man R, das die Gestalt (24.28) hat, wie dort in R, R, v w, wo R, R, nur aus r und dr aufgebaut sind, so nimmt die letzte Gleichung die Gestalt
+
,
+
an, woraus ersichtlich ist, dass R, und R, einzeln den Gleichungen
geniigen mussen mit dem oberen Vorzeichen fur i = 1, dem unteren fiir i = 2. Setzt man Ri=f (r) dr - g (r), so wird nach (23.1)
.
und die Gleichung (27.6) zerfallt in die beiden gewohnlichen Differentialgleichungen
Je nachdem, ob hier .die oberen oder die unteren Vorzeichen genommen werden, ist
Zustandsdifferentiel des Elektrons. Vertauscht man in (27.Y) die Funktionen f und g miteil~ander und andert dabei gleichzeitig k in -k, so entstehen die Gleichungel1 (27.7+). Da (f (r) dr - g(r))v dr = - g(r). dr f (r) ist, genugt 0s elso, alle kugelsyi~~metrischen Differentiale
+
.
R- =f (r). dr - g (r), die aus Lijsungeii f, g des Systems
~ 1 2 1
Der innere Differentialkalkiil
247
gebildet sind, zu ermitteln, weil doraus samtliche oben genannten Zustandsdifferentiale in der Form u=R-v&?vP-
oder u = R - v d r v w v f l k n l V T -
gewonnen werden konnen. Die Gleicbungell (27.7) sti~nmetliiberein mit den Gleiohu~~gen (14.10) auf 8. 151 des XXXV-tell Baudes des Handbuchs der Pbysik, wenn dort x = - k gesetzt wird. Diese Bemerkung geniige a18 Anregung fur einen Vergleich der hieis vorgeschlagenen Auffttssung der Diracschen Theorie mit der ublichen. Ein solcher Vergleich wird beachten miissen, dass es bei der vorliegenden Behandlung der Diracschen Theorie naturlich ist, den Gesamtdrehimpuls durch die drei Integrale
der Dirac-Gleicl~ung(27.1), und nicht, wie es der ublichen Auffassung entsprache, durcb die Operatoren
die ebenfidlls Integrale jener Dirao-Gleiohung sind, zu definiereu.
28. Hugelsymmetrisehe Dirac-Gleichung bei kugelsymlnetrischer
Metrik Auch bei der allgemeinstell Dirac-Qleichung 6u = a v u im Minkowski-Rttum, die in dem Sinne
lrugelsymmetrisch ist, erweiseu sich die Kugeldifferentiale ein Mittel zur Trenuung der Variablen, indem der Ansatz
fibrn
als
mit einem nur aus r, t, dr, dt, w aufgebauten Differential R auf partielle Differentialgleicbul~gen fur die Koeffizienten von R fuhrt,
die von k, aber nicht von m abhangen. 1st der Energie-Operator H Integral der Dirac-Gleichung, so fiihrt der Ansatz
und einem nur aus r, dr und w aufgehauten Faktor R auf vier gewijhnliche Differentialgleichu~lgen fiir die vier Koeffizienten von R (Vgl. Hamburger Abhandlungen Bd 26 (1962) S. 203). Es schien mir wichtig, zu prufen, ob auch bei nichteuklidisoher, kugelsylrlmetrischer Raum-Zeit-Metrik die kugelsymmetrischeli DiracGleichungen eine Trennung der Variablen gestatten, und das Ergebnis war, dass der Ansatz
wo A, B nur aus r, t, dr, clt, w aufgebaute Differentiale seien und Y r die Eugeltlachenfuuktion (24.19) bedeute, zam Ziele fuhrt. I n der Tat gestattet die linke Seite der Dirwc-Gleichung 8% - a v u = 0 nach Einfiihrung von (28.1) eine Da.rstellung M . Yp Nv dYF ahnlicher Art wie u selbst, und durch Nullsetzen von M und N entstehen so viele Differentia,lgleichungen fur die Eoeffizienten von A und l?, wie es solcher Koeffizienten gibt. 1st H Integral der Dirac-Gleiohung, so gelliigt es wiederum, gewohnliche Differentialgleichungen zu losen.
+
Der innere Differen tialkalkiil
249
FORMELSAMMLUNU
1. Die Operatoren 7, 6, e i .
+ + ... +
1st zc = u, zc, 24, die Zerlegung eines Differentials zc in seine homogenen Bestaudteile zc,, so ist
llnd es gilt
Der Operator ei ist linear und geniigt den Rechenregeln ei d xk = dik ~ ~ ( u A= v ) e i z c A v + y z c ~e i v , ec(zcvv)=eizcvv+yzcveiv, ei ek eiq=
- vei
+ ek ei = 0,
ei 5 = qbei
2. Innere und Lussere lultiplikation dxi v dxk =
h
dxk
+ gik
dxi v d x k $ &k v d x i =. 2gik
,
Wenn v homogeu vom Grade p ist, gilt:
ZGAV=VArqU, 1st gik (P) = 0 fiir i dxil v dxis v
vA~=rqUhv
+ k, so ist
... v dxip = dxil
, ,..,ip voneinandel
weull i, ip
(Bei dieseu Mutrizen
A
...
hi2 A
verschiedeu sind.
a,G, dx
ist i Zeilen, k Sptltenindex)
dQ=Qo+twG,
D = (Q;)
dxip (in PI,
= do
oAdx=O,
+o
A
o
[5161
Der inuere Differentialkalkiil
Qik
i
=tlWk
+
i l WZ A W h
1 ,= R 2
251
~d 2 ~ A d z Z~,
'
~
Q~dx=0, dO=d(Q)+oj~Q-Q~co=o Rik=~'ikl,
K=g
ik
Ra,
ibkv Qik = - Qik v ibk= Eik ibk,
R =a z 6 vd x k v
vik== n,, v a z i v azk = - a x i v viIc vhk.
4. Differentiation von Differentialen
(ai dl, - dl, di) u= Rikjl. dx:j A ezu = - ez Qik at6
=a
a@ ~A id i u = a g. * ~ axc
'
5. Differentiation von Differentialtensoren h (du);..9 !fi = d z A
h
a?h . .. .i&
,
(6u)?.:'$ = ibhv d h u* h..iL '. I c ~
A
el ze,
.
252
E R I ~ EK I ~ar.lclt
,:2 = d (u?
(du)?
'' k f i )
%..LA
-
A
- w? v b
u4" 'AC h . . iA
.,.- W)t
34
u?" k~ 21 .. h
A
9
- .,.- ~ '1h v. @.' 3 ., hkr '
uk1-kp
h..ii
..k
., ,P = a1 (%I &.+) ,. iA
..
kl
h kp .uil.., +..a
h
kl..kp-
+ra
- r l i l ' Uh ..42
kl.. h +rlP.q..iA h
***
( 6 d k - dkdi) u: ....inkp = (aidh
f &ik
k, h
A
+ +
h..k
..
ui, i:
kl..kr
- 4 i A . Ui, .. h ahdi) (u:,;.?)
..
kl h ~ i 'k ia
4 ..
h
ad^):.:? = u ~ , uhi l..kp .iA + ... + g k p h A
- h.. A (dh)?.y$
kl..kp
k
kl.. by
A
kl.. h iA
uil -
kl .. k p - ... - ohiA A Ui1 ,.,
k
= dd (ud.:,") q .. h kl
..kp
d =d
+
eidi
Der innere Differentialkalkiil
[El81
253
+ e,d = di = 6ei + ei6 dy + yd = 0 = 6y +y6 ag' + ~ t =a o = ga dei
s[ = 75s - 2y[d,
gs = - 675 + 2dyt
[s[u = d,u v axs
& (tcA V ) = diu A v
+u
A
div, di ( u v V ) = diu v v
+ u v d{v,
~(UAC)=~UAV++UA~V,
+ 2ehu v d,,v 8v + ehu dhv + ydhu
8 (u v v) = 6%v v f yu v 6v
+ rju ehv, d (u v v) = du v v + yu v dv + ehu v dhv - ydhu v ehv,
6 (u A v) = 621 A v
A
A
A
6. Dualitlt
7. Skalarprodukte
(u,9 ) = (t*V V ) A 2, (u, v) = (v,21) = (yu,yv) = (Cu,g'a) = (* u, * v),
(wv u, v) = (u,(28 v v), (u v zc, v) = (26, v v Tug,
,
Bezeichnen up vp die homogenen Best;nidteile p-ten Grades von '11,
v, so ist ( ~V) 7 = 2 (UP 7 vP) P
ist
Abgeleitete Skillarprodukte :
.
(u,v ) = ~ (luv dxiv v), eix tritt auf in den Greensohen Formelu: d (u,4,= (u,dv)
+ (v,
8u)7
(u,Av) - (u,Au) = d ((u, 6 ~-)(v7~&),)
Fur Differe~~tialteuaoren
vou gleichem Typus ist
(u,v ) = ~ (uil.. ia kl .. 7Cp
8.
Lie-Opertttoren Ein Lie Operator
,
vil
.. ia k, .. $2,)~
[5201
Der innere Differenti&lkalkiil
255
wirkt auf ein Differential u in der Weise
auf einen Differeutinltensor u = (u::*?]
in der Weise
Dem Operator X wird dns Differential
zngeordnet. Die Killingschen Gleiohungen :
1st X Killing-Operator, so gilt auch fiir Differentialtensoren und
Stehen die Lie-Operatoren
-
sls auf Funktionen wirkende Operatoren in der Beziehung XY YX= 2, so gilt diese Gleichung such fiir ihre Fortsetzungen zu Operstoren X, Y, 2, die auf Differentialtensoren wirken. Sind sie Killing-Operatoren, so gilt
Fur eilleil Killing-Operator iat
Bur Dirsc-Gleichung I
.i -i .
adj ungiert ist
kt
.. l r ~
&k1 .. k~
mit luld es gilt d (u,a), = 0.
Integral einer ~irac-&leichung = Operator, der LGsungen der Dirac-Gleichung wieder in LGsu~lgenderselben Dirac Gleichnng iiberfiihrt.
Bu = 0 kenn~eichnet die streng harmonischen Differentiale, 8Su = 0 kennzeichnet die harmonisohen Differentiale.
10. Streng har~nonischeDifferentiale im euklidischen R a u ~ n e
Im Falle der Metrik gilt
+
+ (dx3)%
( d ~ l ) ~(ax2)?+
dlx" v dx"
dxx"A d x k
((i
/ k),
dxx"v dxi = 1,
15221
Der innere Differentialkalkiil
257
Die Qleiohung 626 = 0 der streng harmonisohen Differentiale hat die Integrnle Xi, die auf Differentiale u die Wirkung
(i, k, 1 eykl. Vert. von 1, 2, 3 und wi = dakv dxml).
Es gilt
xkxl- xSk= - x. 8
7
Auch der durch ( K $ 1)u = 2
xiw v toi
I,
bestimmte Operator ist Integral, u ~ i des gilt
mit
11. Hugeldifferentiale
Kugeldifferentiale der Ordnung
76
:
Fur kugelsymmetrische, d. h. den Gleichungen X i R = 0 genugende Differentiale R gilt,
Die E-Eigendifferentiale (mit Eigenwert 7c rk . dr v S>-,
,
rk . dr v S_"kk., vw
+ 1)
(mit Eigenwert - k - 1)
silid streng harmonisoh und bilden eine Basis fur alle im ganzen Raume ausser im Nullpunkte streng harlnonischen Differentiale. [Entrata in. Redazione it 28 gizdgno 19621
