Elektromagnetische Feldtheorie: für Ingenieure und Physiker, 7. Auflage

Elektromagnetische Feldtheorie

Günther Lehner

Elektromagnetische Feldtheorie für Ingenieure und Physiker 7. bearbeitete Auflage

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Prof. Dr. rer. nat. Günther Lehner (em.) Universität Stuttgart Fak. 05 Informatik, Elektrotechnik und Informationstechnik Pfaffenwaldring 47 70569 Stuttgart

ISBN 978-3-642-13041-0 e-ISBN 978-3-642-13042-7 DOI 10.1007/978-3-642-13042-7 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010, 2008, 2006, 2004, 1996, 1994, 1990  Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandgestaltung: eStudioCalamar, Figueres/Berlin Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.de)

Vorwort zur 7. Auflage Die Theorie elektromagnetischer Felder ist schon lange nicht mehr ohne die spezielle Relativitätstheorie denkbar. Deshalb habe ich das vorliegende Buch schon vor längerer Zeit durch einen Anhang über die spezielle Relativitätstheorie ergänzt. Diese ist, wie Einstein zeigte, bereits in den Maxwellschen Gleichungen enthalten. Vieles in der Theorie elektromagnetischer Felder kann auch erst mit Hilfe der speziellen Relativitätstheorie wirklich verstanden werden, die scheinbar mißglückter Versuche zur Lichtausbreitung wegen entstanden ist. Die Versuche von Michelson bzw. Michelson und Morley gehören, gerade weil sie ihr ursprüngliches Ziel (die unterschiedlichen Lichtgeschwindigkeiten in verschiedenen Inertialsystemen zu messen) verfehlt haben und verfehlen mußten, zu den folgenreichsten und wichtigsten Versuchen der Wissenschaftsgeschichte. Sie zeigen, daß die Vorstellungen zutreffen, die Einstein zur speziellen Relativitätstheorie geführt haben. Nun besteht das Licht aus Lichtquanten (Photonen). Diese besitzen Energie und, nach der speziellen Relativitätstheorie, auch Masse (allerdings, wie üblicherweise angenommen, keine Ruhmasse – sollten sie dennoch eine Ruhmasse haben, so muß sie sehr klein sein; siehe Anhang A1). Sie unterliegen deshalb wie jede andere Masse der Gravitation. Sie verhalten sich in Gravitationsfeldern allerdings anders als es die klassische Newtonsche Gravitationstheorie erwarten läßt. Fliegen beispielsweise Lichtquanten nah an der Sonne (oder einer anderen Masse) vorbei, so werden sie von dieser angezogen und aus ihrer geradlinigen Bahn um einen bestimmtem Winkel abgelenkt. Diese Ablenkung kann man messen. Sie erweist sich als doppelt so groß wie man es nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz erwarten würde. Die Erklärung ergibt sich aus einer ebenfalls von Einstein stammenden Verallgemeinerung der speziellen Relativitätstheorie, der sogenannten allgemeinen Relativitätstheorie. Die Verallgemeinerung besteht darin, daß zwar die vierdimensionale Raumzeit beibehalten wird jedoch nun unter dem Einfluß der im Raum vorhandenen Massen zu einer vierdimensionalen „gekrümmten“ Raumzeit wird. Wenn Lichtbahnen, die per Definitionem kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten (Geodäten), gekrümmt sind, dann ist der Raum nicht „flach“ (euklidisch) sondern gekrümmt. Die Geometrie ist letzten Endes keine mathematische, sondern eine physikalische Disziplin, die wesentlich durch die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen geprägt wird. So hielt ich es für angemessen, einen Anhang über die allgemeine Relativitätstheorie als einer, wie ich meine, nicht unwesentlichen Ergänzung der Theorie elektromagnetischer Felder aufzunehmen. Selbstverständlich kann dieser kurze Anhang nur eine erste Einführung in deren großes Gebäude bieten. Er könnte und sollte den einen oder anderen Leser dazu verführen, die weiterführende Literatur zu studieren. Die allgemeine Relativitätstheorie ist schon heute nicht nur theoretisch, sondern auch technisch bedeutsam und sie wird wohl bald noch bedeutsamer werden (etwa in der Satelliten- und Raumfahrttechnik). Herrn Kollegen Professor Wolfgang Weidlich schulde ich Dank für anregende Gespräche über die allgemeine Relativitätstheorie. Von diesem neuen Anhang abgesehen, habe ich mich auf die Korrektur einiger erst jetzt entdeckter Druckfehler beschränkt.

Vorwort

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Wie bisher immer habe ich dem Springer-Verlag und seinen Mitarbeitern für die stets gute und vorbildlich konstruktive Zusammenarbeit zu danken. Stuttgart, im Frühjahr 2010

Günther Lehner

Vorwort Form nur ist Glaube und Tat, die erst von Händen berührten, doch dann den Händen entführten Statuen bergen die Saat. Gottfried Benn Die elektromagnetische Feldtheorie stellt ein für Naturwissenschaftler und Ingenieure grundlegendes Wissensgebiet dar. Die vorliegende Darstellung ist aus einer Vorlesung hervorgegangen, die der Autor seit dem Jahr 1972 an der Universität Stuttgart für die Studenten der Elektrotechnik – sie ist für diese Pflichtfach – gehalten hat. Dennoch hofft der Autor, daß Stoffauswahl und Art der Behandlung das Interesse nicht nur von Ingenieuren, sondern auch von Naturwissenschaftlern finden. Durch die Form, die Maxwell ihr gegeben hat, kann die elektromagnetische Feldtheorie geradezu als ein Musterbeispiel einer in sich geschlossenen, großartigen, ja schönen Theorie gelten, die jeden begeistert, der sich ernsthaft damit beschäftigt. Dazu gehört, daß sie sowohl in ihrem durchaus anschaulichen Gehalt wie auch in ihrer formalen Ausgestaltung aufgenommen wird. Deshalb hat der Autor sich gleichzeitig um Anschaulichkeit auf der einen, um begriffliche Klarheit und formale Strenge auf der anderen Seite bemüht. Er ist der Überzeugung, daß Anschaulichkeit und formale Strenge keine Widersprüche sind, sondern zwei verschiedene Seiten jeder brauchbaren und vernünftigen Theorie. Niemand sollte Scheu vor mathematisch formulierten Theorien haben. Es gibt und es kann auch nichts Brauchbareres geben als eine gute und logisch konsequente – d. h. eine strenge – Theorie. Natürlich setzt die Anwendung einer Theorie deren anschauliche, ja phantasievolle Durchdringung voraus. Die konzentrierte mathematisch formulierte Theorie ist ja Zentrum und Durchgangspunkt einer zweifachen Anstrengung des menschlichen Geistes, nämlich einerseits das nur scheinbar Chaotische der uns umgebenden Erscheinungen zu ordnen und den ihnen gemeinsamen Kern zu erkennen und andererseits aus diesem Kern heraus die unglaubliche Vielfalt der Erscheinungen neu zu sehen und zu verstehen. Es ist kein Zufall – und deshalb das oben vorangestellte Motto von Gottfried Benn –, daß man dasselbe von der Kunst sagen kann. Kunst und Wissenschaft gehören eng zusammen, auch wenn das heute oft nicht so aussieht. Sie sind zwei einander ergänzende, nicht einander widersprechende Wege zu einem Ziel. Beide wollen ihren Aussagen die vollkommene Form geben. Gerade dies ist in der elektromagnetischen Feldtheorie gelungen. Wenn man Wert und Schönheit einer wissenschaftlichen Theorie daran mißt, wie sie den erwähnten Anstrengungen dient,

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Vorwort

dann wird die elektromagnetische Feldtheorie einen hervorragenden Platz einnehmen, – vier einfache, unglaublich elegante und (wenn man sich die Mühe gemacht hat, sie zu verstehen) auch anschauliche Gleichungen, eben die Maxwellschen Gleichungen und, ihnen gegenüber, die überwältigende und nicht ausschöpfbare Vielfalt der durch sie beschriebenen elektromagnetischen Erscheinungen in Natur und Technik. Dieses Lehrbuch wird sein Ziel erreicht haben, wenn der Leser am Ende seiner Lektüre dem zustimmen kann. Auch die erforderlichen mathematischen Hilfsmittel sollten nicht in Form auswendig gelernter Rezepte angewandt werden, sondern mit Anschauung und Phantasie erfüllt werden. Nehmen wir z. B. die in der Feldtheorie ständig benutzen Integralsätze von Gauß und Stokes. Sie hängen mit den Begriffen der Divergenz (div) und der Rotation (rot) von Vektorfeldern zusammen. Beide Begriffe sind koordinatenfrei und ganz anschaulich definiert, wobei die Beziehung zu Quellen (oder Senken) und Wirbeln deutlich wird. Die beiden genannten Integralsätze wiederum sind nichts anderes als unmittelbar anschauliche und beinahe selbstverständliche Konsequenzen dieser beiden Definitionen. An dieser Stelle ist auch erwähnenswert, daß die Maxwellschen Gleichungen zwei Vektorfelder mit ihren Wechselwirkungen, das elektrische und das magnetische Feld, auf die eleganteste und einfachste denkbare Art und Weise beschreiben. Man kann nämlich beweisen und sich auch anschaulich klar machen, daß ein Vektorfeld durch Angabe aller Quellen und Wirbel vollständig und eindeutig beschrieben ist (das ist der Inhalt des in einem Anhang behandelten Helmholtzschen Theorems). Genau diesem Zweck dienen die Maxwellschen Gleichungen in bewundernswerter Weise. Zwei von ihnen beschreiben die Quellen und Wirbel des elektrischen, zwei die des magnetischen Feldes. Die Zusammenhänge sind allerdings materialabhängig, weshalb noch drei weitere Gleichungen erforderlich sind, die Aussagen über Leitfähigkeit, Polarisierbarkeit und Magnetisierbarkeit der beteiligten Medien zum Inhalt haben. Die erwähnte Geschlossenheit der elektromagnetischen Feldtheorie ist eine formale. Inhaltlich steht sie keineswegs für sich allein und isoliert da. Sie hängt im Gegenteil eng mit der ganzen Physik zusammen, besonders mit der Relativitätsund der Quantentheorie. Darüber hinaus ist keineswegs klar, ob sie nicht eines Tages im Lichte neuer Erkenntnisse modifiziert werden muß. Wie jede Theorie, kann sie Geltung nur im Rahmen aller bisher gemachten Erfahrungen und Experimente und der dabei erzielten Meßgenauigkeit beanspruchen. Wer sich mit elektromagnetischer Feldtheorie beschäftigt, wird bald erkennen, daß es viele und zum Teil sehr wesentliche noch offene Fragen gibt. Es war dem Autor wichtig, dies deutlich werden zu lassen. Im Text wird mehrfach auf solche Fragen hingewiesen, von denen einige in Anhängen etwas vertieft werden (wobei dann dort, allerdings auch nur dort, einiges aus der Quantenmechanik vorausgesetzt wird, da diese Fragen anders nicht vertieft werden können). So steht, um ein Beispiel zu nennen, das Coulombsche Gesetz schon in der Schule fast am Anfang aller Beschäftigung mit Feldtheorie und Physik überhaupt. Man könnte deshalb geneigt sein, es für endgültig und selbstverständlich zu halten. In Wirklichkeit ist das keineswegs der Fall, wenn auch bis heute Abweichungen davon nicht nachgewiesen werden konnten. Andererseits hätte es sehr merkwürdige Konsequenzen, sollte das Coulombsche Gesetz doch nicht

Vorwort

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exakt gelten. So wäre dann z. B. die Ruhmasse von Photonen nicht exakt Null, und es gäbe auch keine elektromagnetische Strahlung beliebig kleiner Frequenz. Und ist es nicht auch merkwürdig, daß die bisher genaueste Überprüfung des Coulombschen Gesetzes auf Satellitenmessungen am magnetischen Dipolfeld des Planeten Jupiter beruht? Diese grundsätzliche Offenheit der elektromagnetischen Feldtheorie (wie jeder Theorie) bedeutet jedoch nicht, daß die bisherigen Erkenntnisse fraglich seien. Sie sind so oft überprüft und bestätigt worden, daß sie (im Rahmen der bisher erreichten Meßgenauigkeit) keinen Zweifel unterliegen. Der denkbare Fortschritt zu neuen Erkenntnissen führt nicht dazu, daß die bisherigen Theorien ungültig werden, sondern dazu, daß sie in neuen, umfassenderen Theorien aufgehen, wobei dann unter Umständen alte Begriffe eine Revision erfahren und in einem neuen, manchmal sehr unerwarteten Licht erscheinen (wie z. B. der Begriff des Vektorpotentials durch den Bohm-Aharonov-Effekt). So ist die elektromagnetische Feldtheorie trotz dieser Offenheit eine sehr solide Grundlage der Naturwissenschaft und der Technik, der sich der konstruierende Ingenieur in allen gegenwärtigen und zukünftig absehbaren Bereichen der Technik in vollem Umfang anvertrauen kann. Letzten Endes kann der Autor nur hoffen, daß das vorliegende Lehrbuch seinen Lesern die Schönheit und die Nützlichkeit der elektromagnetischen Feldtheorie – beides hängt eng zusammen – näherbringen kann. Es ist dem Autor ein Bedürfnis, allen zu danken, die zur Realisierung dieses Lehrbuches beigetragen haben, sowohl im Springer-Verlag als auch im Institut für Theorie der Elektrotechnik der Universität Stuttgart. Mein Dank gilt insbesondere auch Herrn Dipl.-Ing. H. Maisch für die Durchsicht des Manuskripts und die Unterstützung bei der Herstellung vieler Figuren sowie Frau K. Schmidt und Frau H. Stängle für ihre Arbeit am Manuskript. Stuttgart, im Sommer 1990

Günther Lehner

Inhaltsverzeichnis

1 Die Maxwellschen Gleichungen 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Begriff der Ladung und das Coulombsche Gesetz . . . . . . . . . Die elektrische Feldstärke E und die dielektrische Verschiebung D . . Der elektrische Fluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Divergenz eines Vektorfeldes und der Gaußsche Integralsatz . . . Arbeit im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Rotation eines Vektorfeldes und der Stokessche Integralsatz . . . Potential und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrischer Strom und Magnetfeld: Das Durchflutungsgesetz . . . . . Das Prinzip der Ladungserhaltung und die 1. Maxwellsche Gleichung Das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Maßsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 2 4 5 9 12 15 20 24 28 32 33 37

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43 43 44 47 47 48 51 54 60 60 62 65 71 73 75 78 81 82 85 89 91

2 Die Grundlagen der Elektrostatik 2.1 2.2 2.3

Grundlegende Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Feldstärke und Potential für gegebene Ladungsverteilungen . . . Spezielle Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Eindimensionale, ebene Ladungsverteilungen . . . . . . 2.3.2 Kugelsymmetrische Verteilungen . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Zylindersymmetrische Verteilungen . . . . . . . . . . . . 2.4 Das Feld von zwei Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Ideale Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Der ideale Dipol und sein Potential . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Volumenverteilungen von Dipolen . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Flächenverteilungen von Dipolen (Doppelschichten) . . 2.5.4 Liniendipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Das Verhalten eines Leiters im elektrischen Feld . . . . . . . . . 2.6.1 Metallkugel im Feld einer Punktladung . . . . . . . . . . 2.6.2 Metallkugel im homogenen elektrischen Feld . . . . . . 2.6.3 Metallzylinder im Feld einer Linienladung . . . . . . . . 2.7 Der Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 E und D im Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Der Kondensator mit Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Randbedingungen für E und D und die Brechung von Kraftlinien

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XII

Inhaltsverzeichnis

2.11 Die Punktladung in einem Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.1 Homogenes Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.2 Ebene Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika . . . . . . . . 2.12 Dielektrische Kugel im homogenen elektrischen Feld . . . . . . . . . 2.12.1 Das Feld einer homogen polarisierten Kugel . . . . . . . . . 2.12.2 Äußeres homogenes Feld als Ursache der Polarisation . . . 2.12.3 Dielektrische Kugel (©i ) und dielektrischer Außenraum (©a ) 2.12.4 Verallgemeinerung: Ellipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 Der Polarisationsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 Der Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14.1 Der Energiesatz in allgemeiner Formulierung . . . . . . . . 2.14.2 Die elektrostatische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15 Kräfte im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.1 Kräfte auf die Platten eines Kondensators . . . . . . . . . . 2.15.2 Kondensator mit zwei Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Die formalen Methoden der Elektrostatik 3.1 3.2

3.3

3.4

3.5

3.6 3.7

Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektoranalysis für krummlinige, orthogonale Koordinaten . . . . . . . . . . . 3.2.1 Der Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Die Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Der Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Die Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige wichtige Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige Eigenschaften der Poissonschen und der Laplaceschen Gleichung (Potentialtheorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Die Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Die Greenschen Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Der Eindeutigkeitsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Die Diracsche •-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6 Punktladung und •-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.7 Das Potential in einem begrenzten Gebiet . . . . . . . . . . . . . . . Separation der Laplaceschen Gleichung in kartesischen Koordinaten . . . . . 3.5.1 Die Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2.1 Ein Dirichletsches Randwertproblem ohne Ladungen im Gebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2.2 Dirichletsches Randwertproblem mit Ladungen im Gebiet 3.5.2.3 Punktladung im unendlich ausgedehnten Raum . . . . . . 3.5.2.4 Anhang zum Abschnitt 3.5: Fourier-Reihen und Fourier-Integrale . . . . . . . . . . . . Vollständige orthogonale Systeme von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . Separation der Laplaceschen Gleichung in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . 3.7.1 Die Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Einige Eigenschaften von Zylinderfunktionen . . . . . . . . . . . . .

. 95 . 95 . 96 . 98 . 98 . 101 . 102 . 105 . 107 . 109 . 109 . 112 . 115 . 115 . 116 118 . 118 . 122 . 122 . 122 . 123 . 124 . 126 . 126 . 126 . 128 . 129 . 129 . 129 . 131 . 133 . 133 . 136 . 137 . 140 . 140 . 143 . 143 . 148 . 154 . 156 . 161 . 167 . 167 . 169

Inhaltsverzeichnis

3.7.3

XIII

Beispiele 3.7.3.1 3.7.3.2 3.7.3.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zylinder mit Flächenladungen . . . . . . . . . . . . . . . . Punktladung auf der Achse eines dielektrischen Zylinders Ein Dirichletsches Randwertproblem und die Fourier-Bessel-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3.4 Rotationssymmetrische Flächenladungen in der Ebene z = 0 und die Hankel-Transformation . . . . . . . . . . . . 3.7.3.5 Nichtrotationssymmetrische Ladungsverteilungen . . . . . 3.8 Separation der Laplaceschen Gleichung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . 3.8.1 Die Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2.1 Dielektrische Kugel im homogenen elektrischen Feld . . . 3.8.2.2 Kugel mit beliebiger Oberflächenladung . . . . . . . . . . 3.8.2.3 Das Dirichletsche Randwertproblem der Kugel . . . . . . 3.9 Vielleitersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Ebene elektrostatische Probleme und die Stromfunktion . . . . . . . . . . . . 3.11 Analytische Funktionen und konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Das komplexe Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Das stationäre Strömungsfeld 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Die grundlegenden Gleichungen . . . . . . . Die Relaxationszeit . . . . . . . . . . . . . . Die Randbedingungen . . . . . . . . . . . . Die formale Analogie zwischen D und g . . Einige Strömungsfelder . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Die punktförmige Quelle im Raum 4.5.2 Linienquellen . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Ein gemischtes Randwertproblem .

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5 Die Grundlagen der Magnetostatik 5.1 5.2

5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

5.9

Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige Magnetfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Das Feld eines geradlinigen, konzentrierten Stromes . . . . . . . . 5.2.2 Das Feld rotationssymmetrischer Stromverteilungen in zylindrischen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Das Feld einfacher Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Das Feld eines Kreisstromes und der magnetische Dipol . . . . . . 5.2.5 Das Feld einer beliebigen Stromschleife . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.6 Das Feld ebener Leiterschleifen in der Schleifenebene . . . . . . . Der Begriff der Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kraftwirkungen auf Dipole in Magnetfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . B und H in magnetisierbaren Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Randbedingungen für B und H und die Brechung magnetischer Kraftlinien Platte, Kugel und Hohlkugel im homogenen Magnetfeld . . . . . . . . . . . 5.8.1 Die ebene Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.2 Die Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.3 Die Hohlkugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spiegelung an der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. 173 . 173 . 177 . 179 . 183 . 186 . 191 . 191 . 195 . 195 . 197 . 201 . 203 . 208 . 212 . 219 235 . 235 . 239 . 240 . 245 . 246 . 246 . 249 . 251

259 . . 259 . . 269 . . 269 . . . . . . . . . . . . . . .

. 276 . 277 . 279 . 286 . 289 . 291 . 297 . 298 . 304 . 310 . 313 . 313 . 314 . 317 . 319

XIV

Inhaltsverzeichnis

5.10 Ebene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Zylindrische Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.1 Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.2 Die Struktur rotationssymmetrischer Magnetfelder . . . . . . . 5.11.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.3.1 Zylinder mit azimutalen Flächenströmen . . . . . . . 5.11.3.2 Azimutale Flächenströme in der x-y-Ebene . . . . . 5.11.3.3 Ringstrom und magnetisierbarer Zylinder . . . . . . 5.12 Magnetische Energie, magnetischer Fluß und Induktivitätskoeffizienten 5.12.1 Die magnetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.2 Der magnetische Fluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Zeitabhängige Probleme I (Quasistationäre Näherung) 6.1

6.2

6.3 6.4 6.5

6.6

6.7

6.8

Das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Induktion durch zeitliche Veränderung von B . . . . . . . . . . . 6.1.2 Induktion durch Bewegung des Leiters . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Induktion durch gleichzeitige Änderung von B und Bewegung des Leiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Die Unipolarmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.5 Der Versuch von Hering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Diffusion von elektromagnetischen Feldern . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Die Gleichungen für E, g, B und A . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Der physikalische Inhalt der Gleichungen . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Abschätzungen und Ähnlichkeitsgesetze . . . . . . . . . . . . . . Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Felddiffusion im beiderseits unendlichen Raum . . . . . . . . . . . . . . . Felddiffusion im Halbraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Die Diffusion des Feldes von der Oberfläche ins Innere des Halbraumes (Einfluß der Randbedingung) . . . . . . . . . . . 6.5.3 Die Diffusion des Anfangsfeldes im Halbraum (Einfluß der Anfangsbedingung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.4 Periodisches Feld und Skineffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . Felddiffusion in der ebenen Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Die Diffusion des Anfangsfeldes (Einfluß der Anfangsbedingung) 6.6.3 Der Einfluß der Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das zylindrische Diffusionsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Die Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2 Das longitudinale Feld Bz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.3 Das azimutale Feld B® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.4 Der Skineffekt im zylindrischen Draht . . . . . . . . . . . . . . . Grenzen der quasistationären Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Zeitabhängige Probleme II (Elektromagnetische Wellen) 7.1

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. 327 . 328 . 328 . 330 . 332 . 332 . 335 . 337 . 341 . 341 . 345

349 . . . 349 . . . 349 . . . 350 . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. 353 . 355 . 357 . 359 . 359 . 360 . 364 . 367 . 371 . 376 . 376

. . . 378 . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. 382 . 384 . 389 . 389 . 390 . 393 . 398 . 398 . 399 . 404 . 407 . 411

413 Die Wellengleichungen und ihre einfachsten Lösungen . . . . . . . . . . . . . . 413 7.1.1 Die Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 7.1.2 Der einfachste Fall: Ebene Wellen im Isolator . . . . . . . . . . . . . . 414

Inhaltsverzeichnis

7.1.3 Harmonische ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Elliptische Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.5 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.6 TE- und TM-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.7 Energiedichte in und Energietransport durch Wellen . . . . . . . 7.2 Ebene Wellen in einem leitfähigen Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Wellengleichungen und Dispersionsbeziehung . . . . . . . . . . . 7.2.2 Der Vorgang ist harmonisch im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Der Vorgang ist harmonisch in der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Reflexion und Brechung von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Reflexion und Brechung bei Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Die Fresnelschen Beziehungen für Isolatoren . . . . . . . . . . . 7.3.3 Nichtmagnetische Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.5 Reflexion an einem leitfähigen Medium . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Die Potentiale und ihre Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Die inhomogenen Wellengleichungen für A und ® . . . . . . . . 7.4.2 Die Lösung der inhomogenen Wellengleichungen (Retardierung) 7.4.3 Der elektrische Hertzsche Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Vektorpotential für D und magnetischer Hertzscher Vektor . . . . 7.4.5 Hertzsche Vektoren und Dipolmomente . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.6 Hertzsche Vektoren für homogene leitfähige Medien ohne Raumladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Der Hertzsche Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Die Felder des schwingenden Dipols . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Das Fernfeld und die Strahlungsleistung . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Die Rahmenantenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Wellen in zylindrischen Hohlleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.2 TM-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.3 TE-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.4 TEM-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Der Rechteckhohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1 Die Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.2 TM-Wellen im Rechteckhohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.3 TE-Wellen im Rechteckhohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.4 TEM-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Rechteckige Hohlraumresonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 Der kreiszylindrische Hohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10.1 Die Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10.2 TM-Wellen im kreiszylindrischen Hohlleiter . . . . . . . . . . . . 7.10.3 TE-Wellen im kreiszylindrischen Hohlleiter . . . . . . . . . . . . 7.10.4 Das Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10.5 Die Telegraphengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11 Das Problem des Hohlleiters als Variationsproblem . . . . . . . . . . . . . 7.12 Rand- und Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.12.1 Das Anfangswertproblem des unendlichen, homogenen Raumes 7.12.2 Das Randwertproblem des Halbraumes . . . . . . . . . . . . . . .

XV

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 419 . 423 . 425 . 426 . 430 . 431 . 431 . 433 . 435 . 439 . 439 . 441 . 444 . 447 . 449 . 450 . 450 . 454 . 456 . 457 . 459

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 462 . 464 . 464 . 470 . 473 . 476 . 476 . 479 . 480 . 481 . 486 . 486 . 487 . 489 . 491 . 492 . 496 . 496 . 498 . 500 . 502 . 504 . 506 . 509 . 510 . 514

XVI

Inhaltsverzeichnis

8 Numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

517 . 517 . 518 . 518 . 521 . 521 . 524 . 527 . 528 . 528 . 532 . 532 . 536 . 540 . 541 . 543 . 544 . 544 . 545 . 548 . 552 . 552 . 557 . 561 . 568 . 573 . 575

Elektromagnetische Feldtheorie und Photonenruhmasse . . . . . . . Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichmäßig geladene Kugeloberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . Der ebene Kondensator und seine Kapazität . . . . . . . . . . . . . . Der ideale elektrische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der ideale magnetische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Messungen und Schlußfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetfelder der Erde und des Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . Schumann-Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundsätzliche Grenzen - die Unscharferelation . . . . . . . . . . . . Magnetische Monopole und Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Duale Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften von magnetischen Monopolen . . . . . . . . . . . . . Die Suche nach magnetischen Monopolen . . . . . . . . . . . . . . . Über die Bedeutung der elektromagnetischen Felder und Potentiale (Bohm-Aharonov-Effekte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

581 . 581 . 581 . 586 . 586 . 587 . 589 . 590 . 591 . 594 . 594 . 595 . 596 . 597 . 597 . 599 . 603 . 604

8.1 8.2

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potentialtheoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Randwertprobleme und Integralgleichungen . . . . . . . . 8.2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2.1 Das eindimensionale Problem . . . . . . . . . . 8.2.2.2 Das Dirichletsche Randwertproblem der Kugel 8.2.3 Die Mittelwertsätze der Potentialtheorie . . . . . . . . . . 8.3 Randwertprobleme als Variationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Variationsintegrale und Eulersche Gleichungen . . . . . . 8.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2.1 Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2.2 Helmholtz-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Die Methode der gewichteten Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Die Kollokationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Die Methode der Teilgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 Die Momentenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4 Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate . . . . . . . . . 8.4.5 Die Galerkin-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Random-Walk-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Die Methode der finiten Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Die grundlegenden Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Die Methode der finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Die Methode der Randelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9 Ersatzladungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10 Die Monte-Carlo-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anhänge A.1 A.1.1 A.1.2 A.1.2.1 A.1.2.2 A.1.2.3 A.1.2.4 A.1.2.5 A.1.3 A.1.3.1 A.1.3.2 A.1.3.3 A.2 A.2.1 A.2.2 A.2.3 A.2.4 A.3

. . . . . . 605

Inhaltsverzeichnis

A.3.1 A.3.2 A.3.3 A.3.4 A.3.5 A.3.6 A.4 A.5 A.5.1 A.5.2 A.5.2.1 A.5.2.2 A.6 A.6.1 A.6.2 A.6.3 A.6.3.1 A.6.3.2 A.6.3.3 A.6.3.4 A.6.4 A.6.5 A.6.5.1 A.6.5.2 A.6.5.3 A.6.6 A.6.6.1 A.6.6.2 A.6.6.3 A.6.6.4 A.6.7 A.7 A.7.1 A.7.2 A.7.3 A.7.4 A.7.5 A.7.6 A.7.7 A.7.8 A.7.9

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Rolle der Felder und Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Ehrenfestschen Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetfeld und Vektorpotential einer unendlich langen idealen Spule Elektronenstrahlinterferenzen am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . Schlußfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Lienard-Wiechertschen Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Helmholtzsche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitung und Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homogenes Feld im Inneren einer Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . Punktladung im Inneren einer leitfähigen Hohlkugel . . . . . . . . . . Maxwellsche Gleichungen und Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . Galilei- und Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Lorentz-Transformation als orthogonale Transformation . . . . . Einige Konsequenzen der Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . Die Lorentz-Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die relativistische Addition der Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . Aberration und Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Lorentz-Transformation der Maxwellschen Gleichungen . . . . . Vierervektoren und Vierertensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige wichtige Vierervektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Feldtensor F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächenladungen und ihre Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ströme und Raumladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kraft eines Stromes auf eine bewegte Ladung . . . . . . . . . . . . . . Das Feld einer gleichförmig bewegten Punktladung . . . . . . . . . . . Schlußbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie Träge und schwere Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riemannsche Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kräfte in einem rotierenden Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . Die Einsteinsche Feldgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die äußere Schwarzschildmetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Photonen in Gravitationsfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planetenbewegung und Periheldrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gravitomagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Weitere Problemkreise der allgemeinen Relativitätstheorie . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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XVII

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 605 . 608 . 610 . 611 . 612 . 616 . 616 . 620 . 620 . 624 . 624 . 628 . 629 . 629 . 631 . 636 . 636 . 637 . 637 . 639 . 640 . 642 . 642 . 643 . 651 . 654 . 654 . 656 . 658 . 659 . 660 . 660 . 660 . 664 . 669 . 670 . 673 . 686 . 691 . 692 . 693

Literatur

696

Sachverzeichnis

699

Symbol-Liste

Allgemeines   n, ? t, k ı∫

r O

(z. B. fQ) bezeichnet eine aus f durch eine Integraltransformation entstehende Funktion (Fourier-, Hankel- oder Laplace-Transformation). (z. B. z  , w  ) bezeichnet die jeweils konjugiert komplexe Größe (z. B. zu z, w) oder eine dual zugeordnete Größe (z. B. A zu A, ('  zu '). als Index bezeichnet senkrechte Komponenten. als Index bezeichnet tangentiale Komponenten. ein Kreis im Integralzeichen kennzeichnet die Integration über einen geschlossenen Weg (bei einem Linienintegral) oder die Integration über eine geschlossene Oberfläche (bei einem Flächenintegral). @ @ @ bezeichnet den Nabla-Operator Œr D . @x ; @y ; @z / (z. B. HO ) kennzeichnet quantenmechanische Operatoren.

Lateinische Buchstaben a, ax , ay , az A A A A arg.z/

Vektor und seine kartesischen Komponenten Fläche Arbeit magnetisches Vektorpotential elektrisches (zum magnetischen duales) Vektorpotential Argument (Phasenwinkel) einer komplexen Zahl.

ber./, bei./ B B0

Kelvinsche Funktionen magnetische Induktion Amplitude der magnetischen Induktion einer elektromagnetischen Welle senkrechte (normale) Komponente von B tangentiale Komponente von B

Bn Bt

XX

Symbol-Liste

c cG cPh cik Cik C C0 cos./, cosh./

Lichtgeschwindigkeit, auch Vakuumlichtgeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit des Lichts Phasengeschwindigkeit des Lichts Influenzkoeffizienten Kapazitätskoeffizienten Kapazität Kapazität pro Längeneinheit Cosinus, Hyperbelcosinus

D Dn Dt dA, da dA, da @ , @ , ... @t @x

dielektrische Verschiebung senkrechte (normale) Komponente von D tangentiale Komponente von D Vektor des Flächenelements Betrag des Flächenelements partielle Ableitungen nach t, x, . . . senkrechte Komponente des Gradienten der Funktion  Differential der Zeit t vektorielles Linienelement Betrag des Linienelementes Volumenelement Raumwinkelelement Winkelelement Abstand, Schichtdicke, Skintiefe Divergenz des Vektors a

@ @n

dt ds ds d d˝ d˛ d div a E E En Et E0

  E 2 ; k eu e e exp.x/ D ex erf./ erfc./

elektrische Feldstärke Betrag der Feldstärke oder komplexe Feldstärke, E D Ex C iEy senkrechte (normale) Komponente von E tangentiale Komponente von E Amplitude der elektrischen Feldstärke einer elektromagnetischen Welle Amplituden der einfallenden, reflektierten, gebrochenen Welle eingeprägte Feldstärke oder Feldstärke der einfallenden elektromagnetischen Welle vollständiges elliptisches Integral 2. Art Einheitsvektor in Richtung der Koordinate u elektrische Elementarladung die Zahl e (Basis der natürlichen Logarithmen) Exponentialfunktion Fehlerfunktion komplementäre Fehlerfunktion Œ1  erf./

f ./ F F F

Funktion Kraft Betrag der Kraft Potential (neben ' und )

Ee0 , Er0 , Eg0 Ee

Symbol-Liste

XXI

F D .Fik / f, f0

Feldtensor Dreierkraft im Bezugssystem ˙ bzw. ˙ 0

G g G G0 G .rI r0 / GD .rI r0 / GN .rI r0 / g, ge gm gmagn grad f

Newtonsche Gravitationskonstante metrischer Tensor Leitwert Leitwert pro Längeneinheit Greensche Funktion Greensche Funktion des Dirichletschen Randwertproblems Greensche Funktion des Neumannschen Randwertproblems elektrische Stromdichte zu ge duale magnetische Stromdichte Magnetisierungsstromdichte Gradient der Funktion f

h  H H0 Hn Ht H.x  x0 / H HO

Plancksche Konstante Plancksche Konstante dividiert durch 2.h=2/ magnetische Feldstärke Amplitude der magnetischen Feldstärke einer elektromagnetischen Welle senkrechte (normale) Komponente von H tangentiale Komponente von H Heavisidesche Sprungfunktion Hamilton-Funktion Hamilton-Operator

I Im ./ i

Stromstärke modifizierte Bessel-Funktion 1. Art zum Index m p imaginäre Einheit 1

Jm ./

Bessel-Funktion zum Index m

Km./  K 2 ; k k kmagn k k k D 8G=c 4

Modifizierte Bessel-Funktion 2. Art zum Index m vollständiges elliptisches Integral 1. Art Flächenstromdichte Magnetisierungsflächenstromdichte Wellenvektor D Wellenzahlvektor Wellenzahl, Betrag des Wellenvektors Proportionalitätskonstante in der Einsteinschen Feldgleichung

L, l l Lik L, Lil L0 ln./ L D .Lik / L1

Länge Wellenzahl Induktionskoeffizient Selbstinduktivität Selbstinduktivität pro Längeneinheit natürlicher Logarithmus Lorentz-Transformation inverse Lorentz-Transformation

XXII

Symbol-Liste

LT L.f / L1 .fQ/

transponierte Lorentz-Transformation Laplace-Transformierte der Funktion f inverse Laplace-Transformation

m m m0 ms , mt m m M

ganze Zahl Masse Ruhmasse schwere Masse, träge Masse magnetisches Dipolmoment Betrag des magnetischen Dipolmoments Magnetisierung (räumliche Dichte von m)

n n n N N Nm ./

Brechungsindex ganze Zahl Zahl der Windungen pro Längeneinheit Gesamtwindungszahl Abkürzung für die häufig vorkommende Größe N D "! 2  i!  kz2 Neumannsche Funktion zum Index m

P P P p p p p pO pk p Pnm ./ Pn ./ D pn0 ./ pik

Punkt im Raum Leistung Polarisation (räumliche Dichte von p) elektrisches Dipolmoment Betrag des elektrischen Dipolmoments Impulsvektor Betrag des Impulses Operator des Impulsvektors kanonische Impulskomponente komplexe Zahl (besonders bei Laplace-Transformationen) zugeordnete Kugelfunktionen Kugelfunktionen Potentialkoeffizienten

Q, Qe Qm q Qmagn qk

elektrische Ladung magnetische Ladung elektrische Linienladungsdichte fiktive magnetische Ladung kanonische Ortskoordinate

R R0 Rmagn R Rs Rk ars Rij R

Widerstand Widerstand pro Längeneinheit magnetischer Widerstand Reflexionskoeffizient Strahlungswiderstand Riemann-Christoffel-Krümmungstensor Ricci-Tensor skalare Krümmung

Symbol-Liste

rs D 2GM=c 2 r rP rR r, r0 r, R r rot a

Schwarzschildradius Ortsvektor Geschwindigkeit (Zeitableitung von r) Beschleunigung (2. Zeitableitung von r) Ortsvektor im Bezugssystem ˙ bzw. ˙ 0 Radius in Kugelkoordinaten (zusammen mit , ') Radius in Zylinderkoordinaten (zusammen mit ', z) Rotation des Vektors a

S sin./, sinh./

Poynting-Vektor Sinus, Hyperbelsinus

tan./ t t0 tr T

Tangens Zeit Diffusionszeit Relaxationszeit Energie-Impuls-Tensor

U U U21 ui u, u0 u u u1 , u2 , u3

potentielle Energie Spannung Spannung zwischen zwei Punkten 1 und 2 induzierte Spannung Geschwindigkeit im Bezugssystem ˙ bzw. ˙ 0 Leistungsdichte Realteil einer komplexen Funktion u C iv allgemeine Koordinaten

V Veff v v vPh vG

Volumen effektives Potential im Schwarzschild-Gravitationsfeld Geschwindigkeit Betrag der Geschwindigkeit Phasengeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit

W w w

Energie Energiedichte komplexe Funktion, komplexes Potential

x x x

kartesische Koordinate kovariante Vektorkomponente kontravariante Vektorkomponente

y Ynm

kartesische Koordinate Kugelflächenfunktion

z z z Z

kartesische Koordinate komplexe Zahl x C iy konjugiert komplexe Zahl x  iy Wellenwiderstand

XXIII

XXIV

Symbol-Liste

Z0 Zm

Wellenwiderstand des Vakuums Zylinderfunktion zum Index m

Griechische Buchstaben ˛ ˛ ˛

Winkel Dämpfungskonstante (negativer Imaginärteil der komplexen Wellenzahl k D ˇ  i˛) q e2 0 1 Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante .˛ D 2h  137 / "0

ˇ ˇ ˇ

Winkel Phasenkonstante, Realteil der komplexen Wellenzahl k D ˇ  i˛ in der Relativitätstheorie übliche Abkürzung für v=c

k ij

Christoffelsymbol 2. Art

ıik ı.x  x0 / ı.r  r0 /



Kroneckersymbol eindimensionale ı-Funktion dreidimensionale ı-Funktion Differenz Laplace-Operator (z. B. D

2

Laplace-Operator in der Ebene (z. B. 2 D

" "0 "r " "ik , "xy

Dielektrizitätskonstante Dielektrizitätskonstante des Vakuums relative Dielektrizitätskonstante tensorielle Dielektrizitätskonstante Komponenten von "



dimensionslose kartesische Koordinate

z l



dimensionslose kartesische Koordinate Realteil der Kreisfrequenz ! D C i

y l

# 

Winkel Winkel der Poldistanz (Kugelkoordinaten)

 

spezifische elektrische Leitfähigkeit Compton-Wellenzahl,  D m0 c D 2 c

 g c mn 

Wellenlänge Grenzwellenlänge Compton-Wellenlänge n. Nullstelle von Jm .x/ kosmologische Konstante

 0 r 

Permeabilität Permeabilität des Vakuums relative Permeabilität tensorielle Permeabilität

@ @x 2

C

@ @y 2

C

@ @z 2 @2 @x 2

D r 2) C

@2 @y 2

)

Symbol-Liste

XXV

ik , xy mn

Komponenten von  n. Nullstelle der Ableitung Jm0 .x/



Frequenz



dimensionslose Koordinate

π ˘e ˘m

Ludolphsche Zahl elektrischer Hertzscher Vektor magnetischer Hertzscher Vektor D Fitzgerald-Vektor

, e m magn

elektrische Raumladungsdichte magnetische Raumladungsdichte fiktive magnetische Raumladungsdichte

magn

P

˙, ˙ 0

elektrische Flächenladungsdichte fiktive magnetische Flächenladungsdichte Imaginärteil der Kreisfrequenz ! D C i Summe von i D 1 bis i D n Bezugssysteme, Inertialsysteme

  

dimensionslose Zeit relativistische Eigenzeit Flächendichte des elektrischen Dipolmoments

' ' ' ˚ ˚

Azimutwinkel bei Zylinder- und Kugelkoordinaten Phasenwinkel skalares Potential skalares Potential magnetischer Fluß

 m

elektrische Suszeptibilität magnetische Suszeptibilität

  

Stromfunktion skalares magnetisches Potential quantenmechanische Wellenfunktion

! !g !amp

Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz 2v Grenzfrequenz Eigenfrequenzen eines Hohlraumresonators (n, m, p ganze Zahlen) elektrischer Fluß Raumwinkel dimensionslose Kreisfrequenz

n iD1

˝ ˝ ˝

x l

12

1 Die Maxwellschen Gleichungen

und damit (1.20). Wir können also sagen, daß der Gaußsche Integralsatz unsere früheren anschaulichen Schlußfolgerungen formalisiert. Die Definition (1.22) der Divergenz ist begrifflich sehr vorteilhaft, jedoch wenig zum praktischen Rechnen geeignet. Wir wollen deshalb div a aus den kartesischen Komponenten von a berechnen: a = [ax (x, y, z), ay (x, y, z), az (x, y, z)] .

(1.25)

Dazu bilden wir das entsprechende Oberflächenintegral und lassen das Volumen gegen Null gehen (Bild 1.8), div a = lim

◦∫ a·dA

V →0

= = =

V

lim

dx,dy,dz→0

lim

[ax (x + dx) − ax (x)]dydz + [ay (y + dy) − ay (y)]dx dz + [az (z + dz) − az (z)]dx dy dx dydz   ∂a ax (x)+ x dx−ax (x) dydz+... ∂x

dx dydz

dx,dy,dz→0

∂a ∂ ax ∂a dx dydz+ y dx dydz+ z dx dydz ∂x ∂y ∂z

lim

dx,dy,dz→0 ∂a ∂a ∂a = x+ y+ z ∂x ∂y ∂z

dx dydz

d.h.

∂a ∂a div a = ∂ ax + y + z = ∇ · a . ∂x ∂y ∂z

(1.26)

Die Divergenz ist eine skalare Größe. Formal läßt sie sich als Skalarprodukt von a mit dem formalen Vektoroperator ∇ (Nabla) auffassen:   ∂ ∂ ∂ ∇= , , . (1.27) ∂x ∂y ∂z

1.6 Arbeit im elektrischen Feld Befindet sich eine Ladung Q in einem elektrischen Feld, so wird sie sich, falls man sie nicht festhäIt, unter dem Einfluß der Kräfte QE bewegen. Das Feld leistet dabei Arbeit an der Ladung. Umgekehrt muß man Arbeit leisten, will man eine Ladung gegen die Feldkräfte verschieben. Bewegt man eine Ladung z.B. längs der Kurve C1 (Bild 1.9) von einem Anfangspunkt PA zu einem Endpunkt PE , so ist die dabei insgesamt zu leistende Arbeit A1 = − ∫ F · ds = −Q ∫ E · ds, C1

C1

(1.28)

98

2 Die Grundlagen der Elektrostatik

Bild 2.55

Bild 2.56

und Q die Randbedingungen auf der ganzen Grenzfläche x = 0, d.h. für alle y und z, erfüllt werden können, was keineswegs selbstverständlich ist. Bestimmen wir Q und Q aus den beiden Gleichungen, so ergibt sich

ε1 − ε2 , ε1 + ε2 2ε2 . Q = Q ε1 + ε2 Q = Q

Q hat stets das Vorzeichen von Q, während Q beide Vorzeichen haben kann. Ist insbesondere ε1 = ε2 , so ist Q = 0 und Q = Q, wie zu erwarten ist. Geht ε2 gegen unendlich, so ergibt sich, wie bei der Spiegelung an einer leitfähigen Ebene, Q = −Q. Ein Leiter verhält sich, wie bereits erwähnt, in mancher Beziehung wie ein Dielektrikum mit unendlicher Dielektrizitätskonstante. Wir kommen in einem späteren Abschnitt darauf zurück. Die sich ergebenden Feldkonfigurationen sind in den Bildern 2.55 (ε1 < ε2 ) und 2.56 (ε1 > ε2 ) skizziert. Die Krümmung der Kraftlinien im Gebiet 1 hängt mit dem Vorzeichen von Q zusammen. Für ε1 < ε2 und Q > 0 ist Q < 0, d.h. Q und Q ziehen sich an, was Feldlinien wie in Bild 2.55 ergibt. Für ε1 > ε2 und Q > 0 ist dagegen Q > 0, d.h. Q und Q stoßen sich ab, was die Feldlinien von Bild 2.56 bewirkt.

2.12 Dielektrische Kugel im homogenen elektrischen Feld 2.12.1 Das Feld einer homogen polarisierten Kugel Als Vorbereitung zur Lösung des Problems einer dielektrischen Kugel in einem homogenen elektrischen Feld sei zunächst das von einer homogen polarisierten Kugel erzeugte elektrische Feld berechnet. Ist rk der Kugelradius und P die in

3.4 Poissonsche und Laplacesche Gleichungen

139

mit

σ = ε0

∂ϕ . ∂n

2) Der Term −

∂ 1 1 ◦∫ ϕ (r ) dA 4π ∂ n |r − r|

läßt sich interpretieren als Potential einer Doppelschicht, siehe (2.69), 1 1 ∂ ◦∫ τ dA 4πε0 ∂ n |r − r| mit r = −ε0 ϕ . Durch passend gewählte Doppelschicht und Oberflächenladungen kann man also alle Effekte möglicher äußerer Ladungen für das Innere des Gebietes ersetzen. Im Außenraum ist das jedoch nicht der Fall. Ganz im Gegenteil bewirkt die Doppelschicht, daß an der Außenfläche ϕa = 0 ist, und die Oberflächenladung bewirkt, daß an der Außenfläche (∂ ϕ /∂ n)a = 0 ist. Kennzeichnen wir die Größen an der Innenseite durch den Index i, die an der Außenseite durch den Index a, so ist ja     ∂ϕ ∂ϕ Da − Di = σ = −ε0 + ε0 , ∂n a ∂n i und da



σ = ε0

∂ϕ ∂n

 i

folgt daraus, wie behauptet,   ∂ϕ ε0 =0. ∂n a Ferner ist

ϕa − ϕi =

τ . ε0

Wegen

τ = −ε0 ϕi ist dann, wie eben behauptet,

ϕa = 0 Die durch Flächenladungen bzw. Doppelschichten verursachten Unstetigkeiten von ∂ ϕ /∂ n bzw. ϕ spi elen in der Feldtheorie eine grundlegende Rolle. Darauf werden wir später noch ausführlicher eingehen (Abschnitte 8.2.1 und 8.2.2). Diese Dinge hängen sehr eng mit der bereits diskutierten Methode der Bildladungen zusammen. Dort wurde—in Umkehrung der gegenwärtigen

170

3 Die formalen Methoden der Elektrostatik

Bild 3.12

Bild 3.13

Bild 3.14

3.8 Separation der Laplaceschen Gleichung in Kugelkoordinaten

195

Beispiel ist 2π

+1

0

−1



∫ cos(mϕ ) cos(m ) dϕ ∫ Pnm (ξ )Pnm (ξ ) dξ 2π +1



= ∫ ∫ cos(mϕ )Pnm (cos θ ) cos(m ϕ )Pnm (cos θ ) d(cos θ ) dϕ 0 −1

2π π



= ∫ ∫ cos(mϕ )Pnm (cos θ ) cos(m ϕ )Pnm (cos θ ) sin θ dθ dϕ 0 0



= cos(mϕ )Pnm (cos θ ) cos(m ϕ )Pnm (cos θ ) dΩ ⎫ ⎧ (n + m)! ⎪ ⎬ 2π (1 + δ ) (n + m)! ⎨ 2π δnn δmm für m  1 ⎪ 0m 2n + 1 (n − m)! = δnn δmm . = ⎪ 2n + 1 (n − m)! ⎭ ⎩ 4π (n + m)! δnn δmm für m = 0 ⎪ 2n + 1 (n − m)! (3.300) Dabei ist sin θ dθ dϕ = dΩ

(3.301)

das Raumwinkelelement auf der Kugelfläche. Ebenso ist, integriert über den gesamten Raumwinkel, 4π (n + m)!  ∫YnmYnm ∗ dΩ = δnn δmm . (3.302) (2n + 1)(n − m)! Die allgemeine Lösung für das Potential kann man in der Form

∞ +n 1 F = ∑ ∑ An rn + Bn n+1 Pnm (cos θ )[Cnm cos(mϕ ) + Dnm sin(mϕ )] r n=0 m=−n (3.303) oder auch in der Form

∞ +n 1 F = ∑ ∑ Anm rn + Bnm n+1 Ynm (θ , ϕ ) r n=0 m=−n

(3.304)

ansetzen. Die Eigenschaften der Kugelfunktionen sind in den schon früher genannten Büchern, Abschn. 3.7.2, zusammengestellt [3–7]. 3.8.2 Beispiele 3.8.2.1 Dielektrische Kugel im homogenen elektrischen Feld Wir wollen uns zunächst mit einem sehr einfachen und uns schon bekannten Beispiel befassen (Abschn. 2.12), nämlich dem Problem einer Kugel in einem homogenen elektrischen Feld (Bild 3.21). Das Potential des von außen angelegten Feldes Ea,∞ ist Fa,∞ = −Ea,∞z = −Ea,∞ r cos θ .

(3.305)

220

3 Die formalen Methoden der Elektrostatik

(3.386), (3.387) miteinander. Wir dürfen den Schluß ziehen, daß jede analytische Funktion elektrostatisch interpretiert werden kann. Ihr Realteil u kann mit dem Potential ϕ identifiziert werden, ihr Imaginärteil
mit der Stromfunktion ψ des zugehörigen Feldes. Angesichts dieser Deutungsmöglichkeit bezeichnet man die analytische Funktion w(z) als komplexes Potential: w(z) = u(x, y)  Potential

+

i
(x, y)  . Stromfunktion

(3.391)

Das zugehörige Feld ist ⎫ ⎪ Ex = − ∂ u = − ∂
, ⎪ ∂x ∂y ⎬ ⎪ ⎭ Ey = − ∂ u = + ∂
. ⎪ ∂y ∂x

(3.392)

Mit w(z)ist natürlich auch iw(z) eine analytische Funktion. Dafür ist w(z) ˜ = iw(z) −
(x, y)  Potential

+

iu(x, y)  . Stromfunktion

(3.393)

Dazu gehört dann das Feld ⎫ ⎪ E˜x = ∂
= − ∂ u , ⎪ ∂x ∂y ⎬ ⎪ ⎪ E˜y = ∂
= ∂ u . ⎭ ∂y ∂x

(3.394)

Die Multiplikation mit i führt also im wesentlichen (d.h. vom Vorzeichen abgesehen) einfach zur Vertauschung von Potential und Stromfunktion. Das drückt sich auch darin aus, daß ˜ =0 E·E

(3.395)

ist, d.h. darin, daß E senkrecht auf E˜ steht. Wir können also jede analytische Funktion zweifach deuten: 1. 2.

u ↔ Potential, −
↔ Potential,


↔ Stromfunktion . u ↔ Stromfunktion

Man kann auch eine komplexe Feldstärke definieren: E = Ex + iEy .

(3.396)

5 Die Grundlagen der Magnetostatik

5.1 Grundgleichungen In Kap. 1 wurden die Maxwellschen Gleichungen, (1.72), eingeführt. Betrachtet man nur zeitunabhängige Probleme, so zerfällt das System der Maxwellschen Gleichungen in zwei elektrostatische und in zwei magnetostatische Gleichungen. Die letzten bestehen aus dem Durchflutungsgesetz und aus der Aussage, daß das Feld B stets quellenfrei ist: rot H = g ,

(5.1)

div B = 0 .

(5.2)

Darüber hinaus muß ein Zusammenhang zwischen B und H hergestellt werden, B = B(H) .

(5.3)

Im Vakuum ist B = μ0 H .

(5.4)

Das Feld B macht sich dadurch bemerkbar, daß es auf geladene Teilchen eine geschwindigkeitsabhängige Kraft ausübt (Lorentz-Kraft). Ist gleichzeitig ein elektrisches Feld E vorhanden, so ist F = Q(E + v × B).

(5.5)

Integriert man Gleichung (5.1) über eine beliebige Fläche, so ergibt sich deren Integralform, ∫ rot H · dA = ∫ g · dA ,

A

A

bzw. unter Anwendung des Stokesschen Satzes ◦∫ H · ds = I , wenn I der durch die Fläche hindurchgehende Strom ist.

(5.6)

278

5 Die Grundlagen der Magnetostatik

und deshalb Aϕ (r) =

μ0 nI r. 2

Außen dagegen ist

φ (r) = μ0 nIr02 π und Aϕ (r) =

μ0 nIr02 . 2r

Der radiale Verlauf von Bz und Aϕ ist in Bild 5.13 skizziert. Außerhalb der Spule ist zwar Bz = 0, Aϕ jedoch ist von Null verschieden. Wir haben schon erwähnt, daß das Außenfeld dennoch eine Rolle spielt und z.B. in der Quantenmechanik mit berücksichtigt werden muß (s. Anhang A.3). Auch das Feld einer dichtgewickelten toroidalen Spule wie in Bild 5.14 läßt sich leicht angeben. Für einen kreisförmigen Weg im Inneren der Spule, konzentrisch zu deren Achse, ist ◦∫ H · ds = 2π rHϕi = NI,

Bild 5.13

Bild 5.14

5.3 Der Begriff der Magnetisierung

295

Bild 5.30

und die magnetische Flächenladungsdichte

σmagn = M da = M n da

(5.74)

definieren. Rein formal kann man mit diesen Begriffen die ganze Magnetostatik in völliger Analogie zur Elektrostatik aufbauen. Man kann nämlich jetzt magnetische Ladungen Qmagn = ∫ ρmagn dτ V

definieren und für diese auch ein Coulombsches Gesetz formulieren: Qmagn 1 Qmagn 2 F= 4 π r 2 μ0 bzw. zeigen, daß im magnetischen Feld F = Qmagn H ist usw. Während die Beziehungen (5.72) bis (5.74) wertvolle Hilfsmittel für Feldberechnungen darstellen, sind die weiteren Analogien, z.B. das Coulombsche Gesetz, auch formal nicht sehr relevant und sollen deshalb hier nicht ausführlicher behandelt werden. Betrachten wir als Beispiel einen mit Dipolen homogen erfüllten Zylinder endlicher Länge, so gibt es keine magnetischen Volumenladungen, jedoch Flächenladungen an den Stirnseiten. Sie erzeugen ein H-Feld, das dem elektrischen Feld gleicht, das von zwei homogen geladenen Kreisscheiben erzeugt wird (Bild 5.30). Es hat jedoch in dieser Form nur im Raum außerhalb des Zylinders Sinn. Das Feld im Inneren wird noch zu diskutieren sein. Zum Abschluß dieses Abschnitts seien wiederum die wesentlichen Ergebnisse zuammengefaßt und den entsprechenden Ergebnissen der Elektrostatik gegenübergestellt:

5.11 Zylindrische Randwertprobleme

331

Wir können nun berechnen: g · gradF = − 1 ∂ F ∂ F + gϕ · 0 + 1 ∂ F ∂ F = 0 , r ∂z ∂r r ∂r ∂z B · gradG = − 1 ∂ G ∂ G + Bϕ · 0 + 1 ∂ G ∂ G = 0 . r ∂z ∂r r ∂r ∂z Demnach ist G längs der Feldlinien und F längs der Strömungslinien g konstant. Aus B = rotA , g = 1 rotB μ0 folgt weiter, daß ⎫ G(r, z) = rAϕ (r, z) , ⎪ ⎬ ⎭ F(r, z) = 1 rBϕ (r, z) ⎪ μ0

(5.163)

ist. 2π G kann man auch als magnetischen Fluß durch eine Kreisfläche auffassen, die senkrecht zur z-Achse orientiert ist und den Radius r hat, 2π F als Strom durch diese Fläche: ⎫ r r ⎪ φ = ∫ Bz dA = ∫ Bz 2π r dr = ∫ 2π r 1 ∂ G dr = 2π G(r, z) , ⎪ ⎬ r ∂r A 0 0 r r ⎪ ⎪ I = ∫ gz dA = ∫ gz 2π r dr = ∫ 2π r 1 ∂ F dr = 2π F(r, z) . ⎭ r ∂r A 0 0 Deshalb ist nun wegen des Durchflutungsgesetzes Bϕ =

μ0 I μ0 2 π F μ0 F = = 2π r 2π r r

und wegen Gl. (5.21) Aϕ =

φ 2π G G = = 2π r 2π r r

was die Beziehungen (5.163) anschaulich macht. Die Feldlinien verlaufen ganz in den Flächen G(r, z) = const, d.h. auf schlauchförmigen toroidalen, rotationssymmetrischen Flächen entsprechend geformten Querschnittes (Bild 5.60). Eine gegebene Kraftlinie verläßt diese Fläche also nie. Ist F(r, z) = 0, so existiert kein azimutales Magnetfeld, und die Feldlinien liegen in den Ebenen ϕ = const. Überlagert man nun noch azimutale Felder (F = 0), so schrauben sich die Feldlinien um die schlauchförmige (toroidale) Fläche G(r, z) = const. Dabei kann es passieren, daß die Feldlinien sich nach einer gewissen Anzahl von Umläufen um den Schlauch schließen. Dies ist jedoch eher als

6.4 Felddiffusion im beiderseits unendlichen Raum

◦∫ f (z) dz = 2π i ∑ a(k) −1 .

371

(6.59)

k

Damit läßt sich die Umkehrung der Laplace-Transformation auf die Berechnung der Residuen an allen etwa vorhandenen Polen und wesentlichen Singularitäten zurückführen. Nach (6.56) und (6.59) ist f (x) = ∑ aller Residuen von [ f˜(p) exp(pt)] .

(6.60)

Man muß also alle Singularitäten kennen und dazu die Residuen berechnen. Aus der Laurent-Reihe (6.57) sieht man, daß das Residuum von f (z) an einem Pol der Ordnung 1 a−1 = lim f (z)(z − z0 ) z→z0

(6.61)

ist. Für einen Pol der Ordnung m ergibt sich ebenfalls aus der Laurent-Reihe a−1 =

dm−1 1 lim m−1 [ f (z)(z − z0 )m ] . (m − 1)! z→z0 dz

(6.62)

Im Fall einer wesentlichen Singularität, d.h. wenn m gegen unendlich geht, hilft die Beziehung (6.62) nicht weiter. Man muß dann auf die Laurent-Reihe selbst zurückgehen. Die zur Berechnung von Residuen nach (6.61) oder (6.62) nötigen Grenzwertbildungen können oft vorteilhaft mit Hilfe der de I’Hospitalschen Regel erfolgen. Danach ist lim x→a

f (x) f  (a) = 
(x)
(a)

(6.63)

wenn f (a) =
(a) = 0, jedoch
 (a) = 0 oder f  (a) = 0 ist. Ist auch f  (a) =
 (a) = 0, so kann man die Prozedur wiederholen: lim x→a

f (x) f  (x) f  (a) = lim  = 
(x) x→a
(x)
(a)

(6.64)

usw.

6.4 Felddiffusion im beiderseits unendlichen Raum Wir wollen das Verhalten eines Magnetfeldes Bz (x,t) in einem homogenen leitfähigen Medium (κ , μ ) untersuchen. Es erfüllt die Diffusionsgleichung

∂ 2 Bz (x,t) ∂ Bz (x,t) . = μκ ∂ x2 ∂t Mit der dimensionslosen Zeit t t τ= = t0 μκ l 2

(6.65)

(6.66)

6.7 Das zylindrische Diffusionsproblem

403

zu erhalten, da ∞

2J0 (λ0n x)

∑ λ0n J1 (λ0n ) = 1

(6.254)

n=1

die Fourier–Bessel–Reihe für die Funktion 1 ist (im Bereich 0  x <1). Dies sei noch bewiesen. Dazu wird der Ansatz ∞

1 = ∑ cn J0 (λ0n x) n=1

mit xJ0 (λ0n x) multipliziert und über x von 0 bis 1 integriert: 1

∞

1

0

n=1 ∞

0

∫ xJ0 (λ0n x) = ∑ cn ∫ xJ0 (λ0n x)J0 (λ0n x) dx cn c = ∑ [J1 (λ0n )]2 δnn = n [J1 (λ0n )]2 . 2 n=1 2

Der letzte Schritt beruht auf der Orthogonalität (3.214). Weiter gilt nach der Formelsammlung für Zylinderfunktionen in Abschn. 3.7.2 1

∫ xJ0 (λ0n ) dx =

0

J1 (λ0n ) . λ0n

Also ist cn =

2 , λ0n J1 (λ0n )

womit die Behauptung (6.254) bewiesen ist. Die Ergebnisse (6.251) und (6.253) stimmen also miteinander überein. Die Entwicklung (6.254) macht das Ergebnis (6.251) verständlich. Für τ = 0 ist nach (6.251)   ∞ 2J0 (λ0n x) = B0 [1 − 1] = 0 , Bx (x, 0) = B0 1 − ∑ n=1 λ0n J1 (λ0n ) wie es die Anfangsbedingung fordert. Für sehr große Zeiten kann man die exponentiellen Glieder weglassen, und man erhält einfach [Bz (x, τ )]τ →∞ = B0 . Dies muß natürlich so sein. Für große Zeiten erfüllt das homogene Magnetfeld den ganzen Raum, auch das Innere des Zylinders. Die das Feld zunächst abschirmenden Ströme klingen mit der Zeit ab. Die zum Abklingen nötige Zeit ist von der Größenordnung 2 λ01 t ≈1, μκ r02 μκ t 2 μκ r02 t≈ 20 = , λ01 (2,40)2

2 λ01 τ=

(6.255)

7.6 Die Rahmenantenne

475

Wiederum kommt es im wesentlichen nur auf das Fernfeld an: ⎡

Hr

⎤

⎡

⎤

0



 ⎢ ⎥ ⎢ m ω 2 sin θ r ⎥ 0 ⎥ ⎢ ⎥ H=⎢ ⎣ Hθ ⎦ = ⎣ − 4π μ c2r sin ω t − c ⎦ , Hϕ 0 ⎡

Er

⎤

⎡

⎢ ⎥ ⎢ E ⎥ ⎢ E=⎢ ⎣ θ ⎦=⎣ Eϕ

⎤

0 0

(7.308)

⎡

0

⎤

⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ . (7.309) ⎦ 

 ⎦ = ⎣ + m0 ω sin θ sin ω t − r 0 −ZHθ 4π rc c 2

Der zum Fernfeld gehörige Poynting-Vektor ist:

S=E

er H = 0 0

eθ 0 Hθ

⎡ ⎤ −Eϕ Hθ eϕ ⎢ ⎥ ⎥ Eϕ = ⎢ ⎣ 0 ⎦, 0 0

(7.310)

Er besitzt nur eine radiale Komponente  r  2 2 2 4 m t − ω sin θ sin ω 0 E c = Sr = −Eϕ Hθ = Z Z16π 2 c2 r2  r  m20 ω 4 sin2 θ sin2 ω t − c = . 16π 2 μ c3 r2 2 ϕ

(7.311)

Daraus ergibt sich die abgestrahlte Leistung nach Integration über eine Kugelfläche zu  r  m20 ω 4 sin2 ω t − c P= 6 π μ c3

,

(7.312)

bzw. deren zeitlicher Mittelwert zu Peff =

m20 ω 4 . 12π μ c3

(7.313)

7.12 Rand- und Anfangswertprobleme

Daraus folgt die Lösung B˜ z (x, p) = f˜(p) exp[−



μκ p + με p2x].

515

(7.491)

Nun wählen wir f (t) = Gδ (t),

(7.492)

f˜(p) = G

(7.493)

woraus

und deshalb B˜ z (x, p) = G exp[−



μκ p + με p2x]

folgt. Die Rücktransformation gibt:  κx   x  δ t− Bz (x,t) = G exp − 2ε c c  κ t   κ √c2t 2 − x2   x  H t− I1 κ x exp − 2ε 2ε c c √ +G . 2 2 2 2ε c t − x

(7.494)

(7.495)

Auch hier ist dies am besten durch Transformation von Bz (x,t) entsprechend (7.495)

Bild 7.43

Bild 7.44

582

Anhänge

bzw. i¯h

∂ h¯ 2 = − Δ +U . ∂t 2m

(A.1.5)

Gleichung (A.1.5) ist der Energiesatz in Operatorform. Angewandt auf eine Funktion ψ erhält man so die Schrödinger-Gleichung, i¯h

∂ψ h¯ 2 = − Δψ + U ψ . ∂t 2m

(A.1.6)

Für schnelle (“relativistische”) Teilchen gilt—wenn m0 die Ruhmasse ist—: W 2 = c2 p2 + m20 c4

(A.1.7)

Die zugehörige Wellengleichung, sozusagen die relativistische SchrödingerGleichung, die sog. “Klein–Gordon–Gleichung”, erhält man daraus ebenso wie oben die Schrödinger-Gleichung (A.l.6):  2 ∂ i¯h = c2 (i¯h∇)2 + m20 c4 , ∂t bzw. −¯h2

∂ 2ψ = −c2 h¯ 2 Δψ + m − 02c4 ψ , ∂ t2

Δψ −

1 ∂ 2 ψ  m0 c 2 − =0 . c2 ∂ t 2 h¯

(A.1.8)

Für m0 = 0 (also z.B. für Photonen, wenn diese den üblichen Annahmen entsprechend keine Ruhmasse haben) ist Δψ −

1 ∂ 2ψ =0. c2 ∂ t 2

(A.1.9)

Wir erhalten so die aus der klassischen elektromagnetischen Feldtheorie bekannte Wellengleichung. Sie ist als Spezialfall der Klein–Gordon–Gleichung (A.1.8) zu betrachten, und umgekehrt ist diese eine Verallgemeinerung der Welleng1eichung für Teilchen, deren Ruhmasse nicht verschwindet. Einschränkend muß dazu gesagt werden, daß das nur für Teilchen mit ganzzahligem Spin gilt (Bosonen), nicht jedoch für solche mit halbzahligem Spin (Fermionen). Für Fermionen gilt eine andere, auf die Klein–Gordon–Gleichung zurückführbare Gleichung, die Dirac–Gleichung. Sie soll hier nicht diskutiert werden. Mit der Abkürzung

κ=

m0 c 2 π = λc h¯

(A.1.10)

lautet die zeitunabhängige Klein-Gordon-Gleichung Δψ − κ 2 ψ = 0 .

(A.1.11)

A.1 Elektromagnetische Feldtheorie und Photonenruhmasse

Aus dem Gesagten ergibt sich die Kapazität     2 ε ε ε κ d 0κU 0κU 0κ U A + coth +d 2 2 2 2 Q C= = U   U  κd κd 1 + d κ + coth , = C0 · 2 2

589

(A.1.52)

wo

ε0 A (A.1.53) d die klassische Kapazität und A die Plattenfläche des Kondensators ist. Für κ = 0 geht coth(κ d/2) ⇒ 1/(κ d/2) und C ⇒ C0 . Man bekommt dasselbe Ergebnis für die Kapazität, wenn man die Gesamtenergie in allen 5 Gebieten nach (A.1.29) berechnet und addiert: C0 =

1 2

CU 2 = W1 + W2 + W3 + W4 + W5 = 2W1 + 2W2 + W3 ,

(A.1.54)

da W1 = W5

(A.1.55)

W2 = W4

(A.1.56)

und

Man sieht schon an diesem einfachen Beispiel, daß man sich von gewohnten Vorstellungen trennen muß. A.1.2.3 Der ideale elektrische Dipol Als weiteres Beispiel soll das Feld eines elektrischen Punktdipols p betrachtet werden, der sich am Ursprung befindet und in die positive z-Richtung weist. Dafür erhält man

ϕ=

p cos θ (1 + κ r) exp(−κ r) 4πε0 r2

(A.1.57)

mit dem Feld p cos θ (2 + 2κ r + κ 2r2 ) exp(−κ r) , 4πε0 r3 p sin θ (1 + κ r) exp(−κ r) , Eθ = 4πε0 r3 Eϕ = 0 . Er =

(A.1.58) (A.1.59) (A.1.60)

Selbstverständlich ergibt sich für κ = 0 das klassische Resultat (Abschn. 2.5), (2.60),

ϕ=

p cos θ . 4πε0 r2

(A.1.61)

A.1 Elektromagnetische Feldtheorie und Photonenruhmasse

591

und m cos θ 4π r3 m sin θ B 2θ = + 4π r 3 B 2ϕ = 0 . B2r = −

2 2 2 κ r exp(−κ r) , 3 2 2 2 κ r exp(−κ r) , 3

(A.1.73) (A.1.74) (A.1.75)

Auf einer Kugeloberfläche mit festem Radius r zeigt der eine Feldanteil, B1 , das Verhalten eines klassischen Dipolfeldes, wobei das Dipolmoment um den Faktor (1 + κ r + 13 κ 2 r2 ) exp(−κ r) verändert erscheint. Das Zusatzfeld B2 hat überall auf der Kugeloberfläche denselben Betrag und hat dort nur eine achsenparallele Komponente, B2z = −

m 2κ 2 r 2 exp(−κ r) . 4π r 3 3

(A.1.76)

Auf diese Tatsache werden wir noch zurückkommen. A.1.2.5 Ebene Wellen Interessant sind auch die Fragen der Wellenausbreitung. Auch hier gibt es erhebliche Unterschiede zur klassischen Theorie. Wir wollen nur ebene Wellen im unendlichen homogenen Raum ohne Ströme und Ladungen betrachten. Dann ergibt sich aus (A.1.33) und (A.1.34) 1 ∂ 2ϕ − κ 2ϕ = 0 , c2 ∂ t 2 1 ∂ 2A ΔA = 2 2 − κ 2A = 0 . c ∂t Δϕ =

(A.1.77) (A.1.78)

Für ebene Wellen, die sich in z-Richtung ausbreiten, gilt

ϕ = ϕ0 exp[i(ω t − kz)] , A = A0 exp[i(ω t − kz)] .

(A.1.79) (A.1.80)

Setzt man dies in die Wellengleichungen (A.l.77), (A.1.78) ein, so erhält man die Dispersionsbeziehung (−ik)2 −

1 (iω )2 − κ 2 = 0 c2

bzw.

ω2 = k2 + κ 2 . c2 Rein formal hat sie dieselbe Form wie z.B. die von Plasmawellen:   ω p2 ω2 ne2 2 2 . = k + ω = p c2 c2 ε0 me

(A.1.81)

(A.1.82)

A.1 Elektromagnetische Feldtheorie und Photonenruhmasse

593

Für κ = 0 jedoch ist das wegen (A.1.25) nicht mehr so. Jetzt gilt für ρ = 0 div D = −ε0 κ 2 ϕ , womit auch longitudinale Wellen möglich sind. Auch die Dispersionsbeziehung, (A.1.81), hat ungewöhnliche Konsequenzen. Als Phasengeschwindigkeit erhält man
ph =

ω ω c = = c. 2 2 2 k ω − κ2 κ c 1− 2 ω c2

Für die Gruppengeschwindigkeit dagegen ergibt sich  κ 2 c2 1 dω = = c 1− 2  c .
G = dk dk ω dω

(A.1.90)

(A.1.91)

Weiter ist
G ·
ph = c2 .

(A.1.92)

Anders als im klassischen Fall tritt jetzt auch bei ebenen Wellen in verlustfreien homogenen Medien (z.B. also auch im Vakuum) eine Dispersion auf, und außerdem ist nicht mehr
G =
ph . Ein weiterer wichtiger Punkt ist, daß die Frequenzen nicht beliebig klein werden können. Für k = 0 erhält man als kleinstmögliche Frequenz (Grenzfrequenz)

ωG = c κ =

m0 c 2 , h¯

(A.1.93)

worauf wir noch zurückkommen werden. Diese Zusammenhänge sind in Bild A.1.5 dargestellt. Nach Multiplikation mit h¯ 2 c2 und mit (A.l.l0) kann die Dispersionsbeziehung (A.1.81) in der Form h¯ 2 ω 2 = c2 (¯h2 k2 + m20 c2 )

Bild A.1.5

(A.1.94)

608

Anhänge

A = A(r)) zu achten. Man erhält deshalb, ausführlicher geschrieben,  2  ∂ψ −¯h Δ + i¯hQA · ∇ + i¯hQA · A + Q2A2 = + Qϕ ψ . i¯h ∂t 2m

(A.3.20)

A.3.2 Die Rolle der Felder und Potentiale In der klassischen elektromagnetischen Feldtheorie gilt also dieBewegungsgleichung 2

F = m d r2 = QE + Qv × B , dt in der Quantenmechanik statt dessen die Schrödinger–Gleichung,   (−i¯h∇ − QA)2 ∂ψ i¯h = + Qϕ ψ . ∂t 2m

(A.3.21)

(A.3.22)

Die eine Gleichung enthält die Felder E und B, die andere die Potentiale A und ϕ . In der klassischen Theorie sind die Potentiale zunächst nur formal eingeführte Hilfsgrößen, die die Lösung der Maxwellschen Gleichungen erleichtern sollen und dies in erheblichem Maße auch tun. Zwei der vier Maxwellschen Gleichungen werden ja durch die Ansätze (A.3.13), (A.3.14) automatisch erfüllt, während sich aus den beiden anderen die inhomogenen Wellengleichungen (7.187), (7.188) ergeben. In der Bewegungsgleichung (A.3.21) kann man die Felder problemlos durch die Potentiale eliminieren. Es stellt sich jedoch die Frage, ob man umgekehrt in der Schrödinger–Gleichung (A.3.22) die Potentiale durch die Felder E und B ausdrücken kann. Dies geht nicht, jedenfalls nicht problemlos. Wenn man es unbedingt tun will, dann kann man von den inhomogenen Wellengleichungen (7.187), (7.188) ausgehen. Ihre Lösungen sind die retardierten Potentiale (7.195), (7.196). Weiter kann man ρ und g durch E und B ausdrücken,

ρ = ε0 div E und g=

∂E 1 . rotB − ε0 μ0 ∂T

Damit kann man die retardierten Potentiale (7.195), (7.196) wie folgt schreiben:   |r − r | div E r ,t − c ϕ (r,t) = ∫ (A.3.23) dτ  , 4π |r − r|      1 ∂ |r − r | |r − r| − 2 E r ,t − rot B r ,t − c c ∂t c dτ  . A(r,t) = ∫  4π |r − r | (A.3.24) Es erscheint nicht sinnvoll, das in die Schrödinger–Gleichung (A.3.22) einzusetzen.

610

Anhänge

A.3.3 Die Ehrenfestschen Theoreme Trotz der erheblichen Unterschiede zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik steht die klassische Mechanik nicht im Widerspruch zur Quantenmechanik. Aus der Quantenmechanik ergibt sich nämlich, daß sich die Mittelwerte physikalischer Größen, etwas vereinfacht gesagt, klassisch verhalten. Dies kommt in den Ehrenfestschen Theoremen zum Ausdruck. Bezeichnen wir den Mittelwert einer physikalischen Größe
mit 
, so ergeben sich aus der Schrödinger-Gleichung die folgenden Beziehungen: d p r = , dt m d p = −gradU(r) . dt bzw. zusammengefaßt

(A.3.30) (A.3.31)

d2 r = −gradU(r) . (A.3.32) dt 2 Das ist fast die klassische Bewegungsgleichung, die hier als Konsequenz der Schrödinger–Gleichung auftritt. Bei makroskopischen Systemen sind Abweichungen von den Mittelwerten sehr unwahrscheinlich, und der Unterschied zwischen (A.3.32) und der klassischen Bewegungsgleichung ist vernachlässigbar. Für mikroskopische Systeme ist das allerdings keineswegs der Fall. Für die Bewegung eines Teilchens in einem elektromagnetischen Feld ergibt sich aus der Schrödinger–Gleichung (A.3.22) nach einer recht umständlichen Rechnung das Ehrenfestsche Theorem in der folgenden Form:   d2 Q m 2 r = − QE + (v × B − B × v) . (A.3.33) dt 2 m

Man kann also auch in der Quantenmechanik die “mittleren” Teilchenbahnen mit Hilfe der Feldgrößen E und B berechnen, und zwar in einer der klassischen Bewegungsgleichung durchaus analogen Form. Das gilt aber nur für die Mittelwerte und nicht für die Beschreibung des detaillierten Teilchenverhaltens in elektromagnetischen Feldern. Die zunächst merkwürdige Form von (A.3.33) kommt daher, daß die Geschwindigkeit in der Quantenmechanik ein mit dem Impuls zusammenhängender Operator ist, wie dies aus (A.3.15) und (A.3.l7) hervorgeht. Dieser Operator ist nicht mit dem Ortsoperator bzw. nicht mit ortsabhängigen Operatoren—z.B. nicht mit A = A(r) oder B = B(r)—vertauschbar. Klassisch ist natürlich 1 2

(v × B − B × v) = 12 (v × B + v × B) = v × B .

(A.3.34)

In der Quantenmechanik dagegen darf man diese Ausdrücke nicht gleichsetzen. Man sieht jedoch, daß das Ehrenfestsche Theorem in der Form von (A.3.33) beim Übergang zu klassischen Größen gerade die Lorentz–Kraft liefert.

632

Anhänge

ist. Diese Transformation muß nun die Eigenschaft n

n

i=1

t=1

∑ xi 2 = ∑ x2i = invariant

(A.6.8)

haben, d.h. der Abstand muß invariant sein. Das ist genau dann der Fall, wenn der Matrixoperator L = (Lik )

(A.6.9)

orthogonal ist. Seine Eigenschaften sind leicht herleitbar.    n n n n n n n 2 x = L x L x ∑ i ∑ ∑ ik k ∑ il l = ∑ x2k = ∑ ∑ δkl xk xl . i=1

l=1

k=1

l=1

k=1

k=1l=1

Also ist n

∑ Lik Lil = δkl .

(A.6.10)

i=1

Natürlich ist L−1 L = 1ˆ , d.h. n

∑ L−1 ki Lil = δkl .

(A.6.11)

i=1

Aus den Gleichungen (A.6.10) und (A.6.11) folgt nun durch Vergleich L−1 ki = Lik ,

L−1 = LR .

(A.6.12)

Genau das ist die den orthogonalen Transformationsoperator kennzeichnende Eigenschaft, daß nämlich der inverse Operator L−1 gleich dem transponierten Operator LT (mit LTkl = Lik ) ist. Natürlich ist auch LL−1 = 1ˆ , n

n

i=1

i=1

∑ Lki L−1 il = ∑ Lki Lli = δkl .

(A.6.13)

Die beiden Gleichungen (A.6.10) und (A.6.13) besagen, daß sowohl die Spaltenals auch die Zeilenvektoren eines orthogonalen Operators zueinander orthogonale Einheitsvektoren sind. Nach dieser mathematischen Vorbemerkung wenden wir uns nun dem Spezialfall der Lorentz- Transformation zu. Dazu benutzen wir wie schon in Gleichung (A.6.6) den vierdimensionalen Vektor (x, y, z, ict) = (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (xi ) ,

(A.6.14)

A.6 Maxwellsche Gleichungen

641

übergangenen Rechnung (die man jedoch z.B. bei Simonyi [40] findet) in Σ wiederum die Maxwellschen Gleichungen, ⎫  ⎪ rot  B = 12 ∂ E , ⎪ ⎪ c ∂t ⎪ ⎪ ⎪  ⎪ ⎬ ∂ B   rot E = −  , ∂t (A.6.38) ⎪ ⎪ ⎪ div  B = 0 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭   div E = 0 , wenn man die Feldgrößen wie folgt transformiert: Ex = Ex ,

E − υ1 B z Ey = y , 1−β2

E z + υ1 B y Ez =  , 1−β2

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

Bx = Bx ,

υ1 By + 2 Ez By =  c , 1−β2

υ1 Bz − 2 Ey Bz =  c , 1−β2

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(A.6.39)

was man, mit v = (υ1 , 0, 0), auch eleganter schreiben kann, E = E ,

E⊥ + v × B E⊥ =  , 1−β2

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

B = B ,

B⊥ − 12 v × E  B⊥ =  c . 1−β2

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(A.6.40)

Die zur Geschwindigkeit v senkrechten Feldkomponenten ändern sich also, wohingegen die dazu parallelen Feldkomponenten ungeändert bleiben. Bei den Komponenten des Ortsvektors verhielt es sich gerade umgekehrt, was natürlich, wie wir später noch deutlicher sehen werden, kein Zufall ist. Die Symbole rot  und div  sollen daran erinnern, daß E und B als Funktionen von r (und t  ) aufzufassen sind und in den Gleichungen (A.6.38) auch nach r = (x1 , x2 , x3 ) zu differenzieren sind. Die Gleichungen (A.6.40) hängen nicht mehr vom gewählten Koordinatensystem ab und gelten für beliebige Geschwindigkeit v = (υ1 , υ2 , υ3 ). Im Bezugssystem Σ ist die auf ein Teilchen mit der elektrischen Ladung Q ausgeübte Kraft f, im Bezugssystem Σ f ⎫ f = Q(E + u × B) , ⎬ (A.6.41) ⎭ f = Q(E + u × B ) . Die auf das Teilchen ausgeübten Kräfte haben also in allen Bezugssystemen die gleiche Form, d. h. sie werden auf die gleiche Weise aus den elektrischen und magnetischen Feldern im jeweiligen Bezugssystem berechnet. Jedoch ist f = f . Die Gleichungen für die Transformation von f werden im Abschnitt A.6.5.2 angege-

A.6 Maxwellsche Gleichungen

643

anzuwenden, d.h. es gilt 4

xi = ∑ Lik xk .

(A.6.45)

k=1

Allgemein wird nun jeder Vektor (ai ), der sich so transformiert, als Vierervektor bezeichnet, 4

ai = ∑ Lik ak .

(A.6.46)

k=1

Größen, die sich wie mehrfache Produkte der Komponenten von Vierervektoren transformieren, bezeichnen wir als Tensoren entsprechender Stufe. 4

4

bik = ∑ ∑ Lil Lkm blm ,

(A.6.47)

l=1 m=1 4

4

4

cikl = ∑ ∑ ∑ Lim Lkn Ll p cmnp ,

(A.6.48)

m=1 n=1 p=1

so handelt es sich um Tensoren zweiter Stufe, dritter Stufe usw. Ein Vierervektor ist in diesem Sinne ein Tensor erster Stufe. Eine invariante skalare Größe, für die d = d

(A.6.49)

gilt, ist ein Tensor nullter Stufe. Die Bildung eines skalaren Produktes (durch Summation über einen der gemeinsam vorkommenden Indices, die man auch als Verjüngung bezeichnet) verringert die Stufe eines Tensors jeweils um eins. 4

Das Skalarprodukt zweier Vierervektoren, ∑ ai bi , ist eine invariante skalare i=1

Größe. Das Skalarprodukt eines Vierervektors und eines Vierertensors zweiter 4

Stufe, ∑ ai bik , liefert einen Vierervektor usw. i=1

Die Koeffizienten der Lorentz-Transformation sind für v = (υ1 , 0, 0) durch Gleichung (A.6.24), für v = (υ1 , υ2 , υ3 ) durch Gleichung (A.6.27) gegeben. A.6.5.2 Einige wichtige Vierervektoren Ein wichtiger Vektor ist im dreidimensionalen Raum der ∇-Vektor. Im vierdimensionalen Raum ist     ∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇= , , , , , , (A.6.50) ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂ x4 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ic ∂ t ein analoger Vierervektor. Betrachten wir nun die Kontinuitätsgleichung (1.58), div
+

∂ρ ∂ ∂ ∂ 1 ∂ = (icρ ) = 0 ,
x1 +
x2 +
x3 + ∂t ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ic ∂ t

A.6 Maxwellsche Gleichungen

645

Ein weiterer und insbesondere für die mechanischen Anwendungen wichtiger Vierervektor ist der Viererimpuls. Wir betrachten zunächst im Bezugssystem Σ ein Teilchen der Ruhmasse m0 mit der Geschwindigkeit u = (u1 , u2 , u3 ). u darf nicht mit der Relativgeschwindigkeit v der beiden Bezugssysteme Σ und Σ verwechselt werden. Wir ordnen dem Teilchen in Σ den Vektor m0 u p=  2 1 − u2 c

(A.6.56)

zu. Im Bezugssystem Σ ist dem Teilchen dann der Vektor m0 u p =  2 1 − u2 c

(A.6.57)

zuzuordnen. Der Zusammenhang zwischen u und u wird durch die Gleichungen (A.6.31) und (A.6.32) hergestellt, mit deren Hilfe man die interessante und oft nützliche Beziehung u 1 υ1 1− 2  = · c 2 2 υ2 u u 1− 2 1− 2 1 − 21 c c c 1

1

(A.6.58)

findet. Damit und unter nochmaliger Verwendung der Gleichungen (A.6.31) und (A.6.32) ergibt sich ⎫ m0 υ 1 ⎪ p1 −  ⎪ ⎪ u2 ⎪ u 1 υ1 ⎪ 1− 2 ⎪ 1− 2  ⎪ ⎪ u − υ m m u 0 0 1 1 c 1 c ⎪  ⎪     = · · = , p1 = ⎪ u ⎪ 1 υ1 2 2  2 2 ⎪ u u υ1 1 − υ1 ⎪ ⎪ 2 1− 2 1− 2 1− 2 1− 2 ⎪ c ⎪ c c c c ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬  ⎪ υ12 u 1 υ1 ⎪ ⎪ 1 − 1 −  ⎪ 2 2 u u m m m ⎪ 0 0 0 2 c 2 c ⎪  = u2  · = = p , p2 =  2 ⎪ ⎪ υ u ⎪ 1 1 2  2 2 2 ⎪ u u u υ 1− ⎪ ⎪ 2 1− 2 1− 2 1 − 1 − 21 ⎪ c 2 ⎪ c c c c ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭  p3 = p3 . (A.6.59)

A.6 Maxwellsche Gleichungen

649

Ist z.B. f = QE, so enthält die transformierte Kraft f die Lorentzkraft in Form des üblichen Vektorproduktes Qu × B. Jedoch führt auch jede beliebige andere Kraft zu einer der Lorentzkraft analogen Kraft. Schließlich sei noch die Viererbeschleunigung erwähnt: ⎛ 

1 2

u 1− 2 c

·

⎞

⎟ d⎜ ⎜ u, ic ⎟ . ⎝ 2 dt u ⎠ 1− 2 c

(A.6.74)

Auch hier ist die Dreierbeschleunigung b = du nicht der räumliche Anteil der Viedt rerbeschleunigung. Die Transformation von b liefert (siehe z.B.: [45], S. 296ff.): ⎫ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞3 υ ux 3 ⎪ ⎪ ⎪ 1+ 2 ⎪ ⎜ ⎜ 1−β2⎟ ⎟ ⎪ c  ⎪ bx = ⎝ b , bx = ⎝ ⎪ ⎠ ⎠ x ⎪ υ u 2 x ⎪ 1−β ⎪ 1+ 2 ⎪ ⎪ c ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎪  ⎞2 ⎪ υ ux 

⎪ ⎪  1+ 2 ⎪ υ u ⎪ ⎜ ⎟ y c ⎪  ⎪ · b + b by = ⎝ ⎠ y x ⎪ ⎪ ⎪ 1−β2 c2 1 − β 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞2 ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ 2 υ uy ⎜ 1−β ⎟ ⎢ ⎥ (A.6.75) =⎝ υ ux ⎠ · ⎣by + 2  υ ux  bx ⎦ , ⎪ ⎪ 1+ 2 c 1− 2 ⎪ ⎪ ⎪ c c ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ 2  ⎪ υ ux ⎪ 

⎪ ⎪ 1+ 2  ⎪ υ u ⎜ ⎟ ⎪ z c  ⎪ · bz + bx bz = ⎝ ⎪ ⎠ ⎪ 2 2 2 ⎪ 1−β c 1−β ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞2 ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ υ uz ⎜ 1−β ⎟ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪   b · b + =⎝ . ⎪ x⎦ ⎪ υ ux ⎠ ⎣ z υ u x ⎪ 2 ⎭ 1+ 2 c 1− 2 c c Ähnlich den Gleichungen (A.6.73) für die Transformation von f enthalten auch diese Gleichungen für b einen Anteil in Form eines Vektorproduktes. Für c → ∞ ist natürlich sowohl f = f wie auch b = b.

A.6 Maxwellsche Gleichungen

659

stellung der Zusammenhänge erheblich erleichtert. Wollte man ohne Magnetfelder auskommen, so hätte man die Kraft auf ein Teilchen zunächst in seinem Ruhsystem zu berechnen, um diese anschließend in das gewünschte Bezugssystem zu transformieren. A.6.6.4 Das Feld einer gleichförmig bewegten Punktladung Im Anhang A.4 haben wir die Lienard-Wiechertschen Potentiale behandelt und als Spezialfall die einer gleichförmig bewegten Punktladung. Sehr oft kann die Anwendung der Relativitätstheorie die Lösung eines elektromagnetischen Problems erheblich erleichtern. Man löst dazu das gegebene Problem zunächst in dem Bezugssystem, in dem die Lösung besonders einfach ist, und transformiert sie dann in das eigentlich gewünschte Bezugssystem. Die Gleichungen (A.4.16) und (A.4.17) des Anhangs A.4 geben die Potentiale rur das Feld einer mit der konstanten Geschwindigkeit υ0 parallel zur x-Achse bewegten Ladung. Im mit der Ladung Q bewegten Bezugssystem Σ sind die Potentiale A = 0 ,

ϕ =

Q √ . 4πε0 x 2 + y 2 + z 2

(A.6.103)

Also ist das Viererpotential in Σ   iQ √ 2 0, 0, 0, 4πε0 x + y 2 + z 2 Im Bezugssystem Σ ist das Viererpotential mit dem Lorentz-Operator L nach Gleichung (A.6.27) ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1

−iυ0 0 0 0 0 Ax 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ 1−β ⎟ c 1 − β ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟⎜ 0 ⎟ ⎜ Ay ⎟ 0 1 0 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ −1 ⎜ ⎟=L ⎜ =⎜ ⎟⎜ 0 ⎟ , ⎜ Az ⎟ 0 ⎟ 0 0 1 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ iϕ  ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ iϕ  ⎠ iϕ

iυ0 0 0 1 c c c c 1−β2 1−β2 d.h. Ax =

υ0 ϕ 

, c2 1 − β 2

ϕ=



4πε0

1−β

Ay = Az = 0, Q √

2

x +y +z 2

2

2

ϕ ϕ=

, 1−β2 ,

Ax =

υ0 ϕ . c2

(A.6.104)

Ersetzt man nun x , y und z durch x, y und z entsprechend Gleichung (A.6.25), so erhält man nach einer einfachen Umformung genau die Potentiale der Gleichungen (A.4.16) und (A.4.17), wie es sein muß. Der Lösungsweg ist hier tatsächlich

660

Anhänge

sehr viel einfacher als dort. Bei vielen Problemen wird es nützlich sein, sich zu fragen, ob die Lösung durch die Wahl eines anderen Bezugssystems erleichtert werden kann. Darüber hinaus bewirkt dieses Vorgehen auch ein vertieftes Verständnis des Problems und seiner Lösung.

A.6.7 Schlußbemerkung Ziel dieses Anhanges ist nicht eine ausführliche Behandlung der gesamten Relativitätstheorie. Da diese sich jedoch aus der elektromagnetischen Feldtheorie heraus geradezu zwingend entwickelt hat und da deshalb umgekehrt auch die elektromagnetische Feldtheorie erst durch die Relativitätstheorie wirklich verstanden werden kann, soll die Darstellung in diesem Anhang ein vertieftes Verständnis ermöglichen. An verschiedenen Stellen des vorliegenden Buches ist ja deutlich geworden, daß man oft auf die Relativitätstheorie stößt und daß diese zum besseren Verständnis erforderlich ist. Abschließend sei Sommerfeld zitiert. Am Anfang des Abschnittes über die vierdimensionale Formulierung der Maxwellschen Gleichungen sagt er: „Ich wünsche meinen Zuhörern den Eindruck zu verschaffen, daß die wahre mathematische Form dieser Gebilde erst jetzt hervortreten wird, wie bei einer Gebirgslandschaft, wenn der Nebel zerreißt“ [40, S. 197]. Später heißt es: „Die Relativitätstheorie ist vom Standpunkt der Maxwellschen Gleichungen aus selbstverständlich. Ein Mathematiker, dessen Augen durch das Erlanger Programm von Klein geschult waren, hätte aus der Form der Maxwellschen Gleichungen ihre Transformationsgruppe mit all ihren kinematischen und optischen Folgerungen ablesen können“ [40, S. 220]. Diese Aussagen schmälern keineswegs Einsteins außerordentliche Verdienste. Es muß aber klar sein, daß man mit der Relativitätstheorie auch die Maxwellsche Theorie verwerfen müßte. Anders gesagt, die überzeugenden Beweise für die Gültigkeit der Maxwellschen Gleichungen durch zahllose verschiedene und voneinander unabhängige Experimente stellen ebenso überzeugende Bestätigungen auch der Relativitätstheorie dar.

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie A.7.1 Träge und schwere Masse Galilei hat wohl als erster erkannt, daß alle Körper im Gravitationsfeld, im Prinzip, gleich schnell fallen. Das ist sehr bemerkenswert, da sich dies bei einfachen Fallversuchen an Luft gar nicht zeigt. Ein Metallstück und eine Vogelfeder fallen deutlich verschieden schnell und ein hinreichend leichter Körper, ein mit Wasserstoff oder

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

661

Helium gefüllter Ballon oder eine Montgolfière, steigen sogar auf statt zu fallen. Im Vakuum allerdings fallen tatsächlich alle Körper gleich schnell. Das Newtonsche Gravitationsgesetz besagt, daß zwei „schwere Massen“, ms1 und ms2 , einander mit einer Kraft anziehen, die beiden Massen proportional und dem Quadrat ihres Abstandes umgekehrt proportional ist, F D

Gms1 ms2 ; r2

G D 6;6742  1011

m3 : kg  s2

(A.7.1)

G ist die Newtonsche Gravitationskonstante . Um eine „träge Masse“ mt zu beschleunigen ist die Kraft F D mt 

dv dt

(A.7.2)

erforderlich. Ist Ms die schwere Masse und r der Radius eines Himmelskörpers, z. B. der Erde, so ist an dessen Oberfläche F D

GMs ms dv D mt  r2 dt

(A.7.3)

und GMs ms dv D 2  : dt r mt

(A.7.4)

Wenn alle Körper gleich schnell fallen, ist ms proportional zu mt und bei geeigneter Wahl der Einheiten ist ms D mt :

(A.7.5)

Das ist tatsächlich der Fall und wurde in vielen Experimenten mit zunehmend großer Genauigkeit bestätigt. Wir werden deshalb im folgenden ms und mt nicht mehr unterscheiden und die Indices s oder t wieder weglassen. Obwohl uns das schon längst selbstverständlich erscheint, verbirgt sich hinter dieser Gleichheit ein grundlegendes Problem, das lange nicht verstanden wurde. In allen beschleunigten Bezugssystemen, z. B. in rotierenden Bezugssystemen, treten uns auch aus dem täglichen Leben gut bekannte Trägheitskräfte, Fliehkräfte und Corioliskräfte, auf. In dem einfachen aber berühmten und viel diskutierten Newtonschen Eimerversuch führen die Fliehkräfte dazu, daß in einem rotierenden Eimer befindliches Wasser durch Reibung allmählich mit dem Eimer rotiert und seine Oberfläche eine parabolische Krümmung annimmt. Man versuchte sich das dadurch zu erklären, daß wir uns in einem absoluten Raum befinden, in dem die Fixsterne ruhen, während der Eimer in dem so ausgezeichneten Raum rotiert. Diese Erklärung konnte nicht wirklich befriedigen. Vom Bezugssystem des rotierenden Eimers aus gesehen ist dieser in Ruhe und der Fixsternhimmel ist es, der rotiert. Warum, fragte man sich, ist das eine System dem anderen gegenüber ausgezeichnet? So hat sich z. B. Ernst Mach besonders intensiv mit dieser Problematik ausein-

662

Anhänge

g=

GM r2

2

Δϕ 1 2 2 gt

Bild A.7.1

andergesetzt und die aus heutiger Sicht sehr kluge Frage gestellt, ob die Fliehkräfte im rotierenden Eimer auch dann auftreten, wenn der Eimer äußerst dickwandig und massiv ist. Schließlich hat Einstein diese und andere Fragen in seiner allgemeinen Relativitätstheorie geklärt, die in diesem Anhang allerdings nur in groben Umrissen beschrieben werden soll, da eine ausführliche Darstellung viel zu weit führte. Dafür sei hier auf die weiterführende Literatur verwiesen, z. B. [52–59]. Einstein geht davon aus, daß träge und schwere Masse und damit auch Trägheits- und Gravitationskräfte identisch sind. Das ist das sogenannte Äquivalenzprinzip. Dadurch wird zusammen mit der Trägheit auch die Gravitation zu einer geometrischen Frage. Die im Raum vorhandenen Massen erzeugen die geometrische Struktur des sie umgebenden Raumes, in dem die Gravitationskräfte dann als Trägheitskräfte auftreten. Dieser Raum ist kein euklidischer oder pseudoeuklidischer Raum wie der Minkowskiraum, sondern ein gekrümmter Riemannscher Raum. Zur Veranschaulichung des Äquivalenzprinzips stellt man sich oft einen beschleunigten geschlossenen Kasten vor. Einem in diesem eingeschlossenen Beobachter ist es grundsätzlich nicht möglich, zwischen Trägheit und Gravitation zu unterscheiden. Ein von ihm losgelassener Körper wird sich beschleunigt in einer bestimmten Richtung bewegen, wobei der Beobachter grundsätzlich nicht in der Lage ist festzustellen, ob dies durch ein eventuell vorhandenes Gravitationsfeld oder durch Trägheit verursacht ist. So kann man mit Hilfe des Äquivalenzprinzips die Ablenkung von Licht durch einen Himmelskörper abschätzen (Bild A.7.1). In einem mit der Beschleunigung gD

GM r2

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

663

nach oben beschleunigten Kasten der Breite 1 tritt ein Lichtstrahl ein. Er benötigt die Zeit tD

l c

um den Kasten zu durchqueren. In dieser Zeit bewegt sich der Kasten um die Strecke 1 GM l 2 1 GM 2  2 t D  2  2 2 r 2 r c nach oben. Der Lichtstrahl wird also für den mit dem Kasten bewegten Beobachter um den Winkel ' D

GM l r 2c2

abgelenkt. Der Beobachter im Kasten kann nicht feststellen, ob die Ursache dieser Ablenkung eine Beschleunigung des Kastens nach oben ist oder ob der Kasten ruht und Gravitation eines Himmelskörpers der Masse M eine Beschleunigung der Lichtquanten nach unten bewirkt. Um die Ablenkung eines am Himmelskörper vorbeilaufenden Lichtstrahls zu erhalten, nehmen wir im Sinne einer größenordnungsmäßigen Abschätzung l D 2r an und erhalten schließlich ' D

2GM rs D ; 2 rc r

rs D

2GM : c2

Das ist natürlich nur bis auf einen noch unbekannten Faktor richtig, der einer genaueren später nachzuholenden Berechnung zu entnehmen ist. rs ist der sogenannte Schwarzschildradius, eine wichtige Größe, die im folgenden eine wesentliche Rolle spielen wird. Vergleicht man das Newtonsche Gravitationsgesetz, Gleichung (A.7.1), mit dem Coulombschen Gesetz, so fällt eine große Ähnlichkeit auf. Man könnte meinen, die Masse sei etwas der elektrischen Ladung Analoges, eine gravitative Ladung. Auch für die Potentiale, das elektrische Potential und das Gravitationspotential, gelten analoge Gleichungen, ˚e D 

e ; o

˚g D 4Gg ;

(A.7.6)

wo ˚e das elektrische Potential, ˚g das Gravitationspotential, e die elektrische Raumladungsdichte und g die räumliche Massendichte ist. Es gibt aber auch wesentliche Unterschiede zwischen elektrischer Ladung und Masse. Während alle Körper im Gravitationsfeld gleich schnell fallen, fallen geladene Körper im elektrischen Feld keineswegs gleich schnell, da das Verhältnis ihrer Ladung zu ihrer Masse für verschiedene geladene Körper beliebige Werte annehmen kann. Auch gibt es bei der Gravitation nur anziehende und nicht wie bei elektrischen Ladungen anziehende und abstoßende Kräfte (obwohl gerade in der allgemeinen Relativitätstheorie im Zusammenhang mit der sogenannten kosmologischen Konstante, auf die wir noch stoßen werden, auch antigravitative abstoßende Kräfte auftreten könnten).

664

Anhänge

Der schwerwiegendste Unterschied zwischen elektrischer Ladung und Masse besteht allerdings darin, daß die elektrische Ladung in allen Bezugssystemen dieselbe, also Lorentz-invariant ist, die Masse andererseits von der Geschwindigkeit abhängt, also nicht Lorentz-invariant ist. Von besonderer Bedeutung ist auch die Tatsache, daß Masse und Energie äquivalent sind. Die Masse ist deshalb im wesentlichen die Zeitkomponente eines Vierervektors, nämlich des Viererimpulses wie Gleichung (A.6.62) zeigt. Gerade das macht die Relativitätstheorie der Gravitation erheblich schwieriger als die der Elektrodynamik. Im Grunde suchen wir die der vierdimensionalen Potentialgleichung (A.6.55) der Elektrodynamik entsprechende Potentialgleichung der Gravitationstheorie. Wir werden sehen, daß diese Gleichung, die Einsteinsche Feldgleichung, anders als Gleichung (A.6.55) keine Gleichung zwischen Vierervektoren, sondern eine zwischen Vierertensoren ist, was an dem beschriebenen Unterschied zwischen elektrischer Ladung und Masse liegt.

A.7.2 Riemannsche Geometrie In der klassischen Physik geht man von der Existenz des sogenannten absoluten Raumes und der absoluten Zeit aus, wobei ds 2 D dx 2 C dy 2 C dz 2 D inv. ;

dt 2 D inv.

(A.7.7)

In der speziellen Relativitätstheorie tritt an die Stelle des absoluten Raumes und der absoluten Zeit der so genannte Minkowskiraum, die beides zusammenfassende ebenso absolute Raumzeit, für die ds 2 D dx 2 C dy 2 C dz 2  d.ct/2 D inv.

(A.7.8)

Es ist eigentlich ein Unglück, daß diese Theorie als Relativitätstheorie bezeichnet wird, da dieser Name oft zu dem Mißverständnis führt, alle Naturgesetze seien grundsätzlich relativ im Sinne von unsicher und nicht wirklich zutreffend. Der Begriff kommt aber daher, daß manche Größen in dem Sinn relativ sind, daß sie vom jeweils gewählten Bezugssystem abhängen, wobei allerdings die Transformation dieser relativen Größen beim Übergang von einem Bezugssystem zu einem anderen durch die Lorentz-Transformation eindeutig festgelegt und völlig klar ist. In der klassischen Physik sind Raum und Zeit absolut, während die Lichtgeschwindigkeit eine vom Bezugssystem abhängige relative Größe ist. In der Relativitätstheorie ist es gerade umgekehrt. Da sind Raum und Zeit relativ und dafür ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit absolut. Es ist auch anschaulich klar, daß nicht beides gleichzeitig absolut sein kann. Die allgemeine Relativitätstheorie behält die vierdimensionale Raumzeit bei, betrachtet sie jedoch den Minkowskiraum verallgemeinernd als vierdimensionale gekrümmte Raumzeit, d. h. als vierdimensionsalen Riemannschen Raum. Dafür ist X ds 2 D g dx  dx  D g dx  dx  D inv. (A.7.9) ;

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

665

Diese Schreibweise bedarf der Erläuterung. Hier wird die Tensorrechnung in einer Form benutzt, bei der man zwischen kontravarianten Komponenten mit obenstehenden Indices, z. B. dx  , und kovarianten Komponenten mit untenstehenden Indices, z. B. dx , unterscheidet. Produkte n solcher Komponenten sind dann entsprechende Tensoren n. Stufe. Sie können kovariant, kontravariant oder gemischt ko- und kontravariant sein, z. B. T , T  , T . Bei gemischt ko- und kontravarianten Tensoren muß man im allgemeinen durch die Schreibweise die Reihenfolge der Indices deutlich machen, d. h. man darf sie nicht einfach untereinander schreiben (wenn sie nicht symmetrisch sind). Der Tensor g in Gleichung (A.7.9) ist der sogenannte metrische Tensor, da er alle metrischen Eigenschaften des gegebenen Raumes bestimmt. Im dreidimensionalen kartesischen Raum sind wir ihm bereits begegnet ohne ihn dort so zu bezeichnen, Gl. (3.15). Wir haben dort dreidimensionale krummlinige Koordinaten eingeführt, wegen deren Orthogonalität der metrische Tensor diagonal ist. Die dabei auftretenden Quadrate der Maßstabfaktoren sind eigentlich die Diagonalelemente des metrischen Tensors. In Gleichung (A.7.9) wurde die sogenannte Einsteinsche Summenkonvention benutzt, bei der über gleiche oben- und untenstehende Indices zu summieren ist. Diese sogenannte Kontraktion entspricht der Bildung eines Skalarproduktes. Leider ist die Schreibweise in der Literatur nicht einheitlich. Die Indices laufen entweder von 1 bis 4, 1 bis 3 für die Raumkoordinaten und 4 für die Zeitkoordinate, oder von 0 bis 3, 0 für die Zeitkoordinate und 1 bis 3 für die Raumkoordinaten. Wir wählen im folgenden anders als in früheren Abschnitten die in der allgemeinen Relativitätstheorie wohl häufiger benutzte zweite Schreibweise. Die vier Koordinaten werden oft als Ereignis bezeichnet (das am Ort x, y, z zur Zeit t stattfindet). Eine Teilchenbahn in der vierdimensionalen Raumzeit wird auch Weltlinie genannt. Alle für die Riemannsche Geometrie wesentlichen Größen können aus dem metrischen Tensor gewonnen werden, wobei wir hier nur die wichtigsten Beziehungen zusammenstellen wollen. Aus dem metrischen Tensor berechnet man zunächst die sogenannten Christoffelsymbole ijk D

1 2

 gks Œgi s;j C gj s;i  gij;s  ;

(A.7.10)

dgi s : dx j

(A.7.11)

wobei gi s;j D

Die Christoffelsymbole haben eine gewisse anschauliche Bedeutung. Bei der Parallelverschiebung eines Vektors von einem Ort zu einem anderen Ort verändern sich seine Komponenten nur bei Verwendung kartesischer Koordinaten nicht. Krummlinige Koordinaten verursachen jedoch eine Änderung, d. h. ein bestimmter Vektor hat an verschiedenen Raumpunkten auch verschiedene Komponenten. Diese können mit Hilfe der Christoffelsymbole berechnet werden. Die Ableitung (A.7.11) darf nicht mit der sogenannten kovarianten Ableitung verwechselt werden, auf die wir hier nicht eingehen wollen. Es gibt Christoffelsym-

666

Anhänge

bole 1. und 2. Art. Die hier angegebenen sind die 2. Art. Es sei betont, daß die Christoffelsymbole keine Tensoren sind, d. h. daß sie sich nicht wie solche transformieren, obwohl die Schreibweise diesen Eindruck erwecken könnte. Aus ihnen gewinnt man den sogenannten Riemann-Christoffel-Krümmungstensor, den wir im folgenden einfach als Krümmungstensor bezeichnen werden, k k Rk ars D ar,s  as,r C arb sbk  asb rbk

(A.7.12)

mit k D ar,s

d ark : dx s

(A.7.13)

Durch Kontraktion entsteht daraus der sogenannte Ricci-Tensor Rij D Rk i kj

(A.7.14)

und durch nochmalige Kontraktion die sogenannte skalare Krümmung R D Ri i :

(A.7.15)

Dazu müssen wir klären, wie z. B. aus dem kontravarianten Tensor 2. Stufe Rij der gemischt ko- und kontravariante Tensor Rij erzeugt wird. Dazu betrachten wir den Umgang mit ko- und kontravarianten Komponenten an dem einfachen Beispiel ebener Polarkoordinaten. Für diese ist x D r cos ' ; y D r sin ' ; ds 2 D dx 2 C dy 2 D dr 2 C r 2 d' 2 ;

(A.7.16) (A.7.17)

dx i D . dr; d'/ ;   dxi D dr; r 2 d' :

(A.7.18) (A.7.19)

Damit ergibt sich dxi dx i D dr 2 C r 2 d' 2 D gi k dx i dx k D g i k dxi dxk D ds 2 ;

(A.7.20)

wobei gi k D

  1 0 ; 0 r2

gi k D

  1 0 0 r12

(A.7.21)

mit gi k g kj D ıij

(A.7.22)

und g i k xk D x i ;

gi k x k D xi :

(A.7.23)

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

667

Die Gleichungen (A.7.20), (A.7.22), (A.7.23) gelten ganz allgemein auch für andere Geometrien. Gleichung (A.7.23) zeigt wie mit Hilfe des metrischen Tensors ko- in kontravariante Komponenten und umgekehrt umgerechnet werden können. Das gilt auch für beliebige gemischt ko- und kontravariante Tensoren beliebiger Stufe und für jeden ihrer Indices, die man so von oben nach unten oder von unten nach oben bringen kann. Wir wollen nun für die ebenen Polarkoordinaten nach den Gleichungen (A.7.10)– (A.7.15) die dadurch definierten Größen berechnen. Zunächst sind nur 3 der insgesamt 8 Christoffelsymbole von 0 verschieden, nämlich 221 D r ;

212 D 122 D

1 : r

(A.7.24)

Damit verschwinden alle weiteren Größen, k Rars D 0;

Rij D 0 ;

R D 0:

(A.7.25)

Dieses Ergebnis mag zunächst überraschend wirken. Alle Krümmumgsgrößen verschwinden, obwohl das Koordinatensystem gekrümmt ist. Darauf kommt es aber nicht an. Die euklidische Ebene ist nicht gekrümmt, unabhängig davon, welches Koordinatensystem man auf ihr einführt. Das gilt für jeden euklidischen Raum beliebiger Dimension. Ganz allgemein ist hier festzuhalten, daß in einem Raum mit R D 0 ein kartesisches Koordinatensystem möglich ist. Ist hingegen R ¤ 0, so kann in ihm kein kartesisches Koordinatensystem eingeführt werden. Die Krümmungsgrößen beschreiben also nicht das gewählte Koordinatensystem, sondern die wesentlichen Eigenschaften des betrachteten Raumes. Untersuchen wir z. B. Kugelkoordinaten im dreidimensionalen euklidischen Raum mit   ds 2 D dr 2 C r 2 d 2 C sin2  d' 2 ; (A.7.26) so können wir wie oben alles berechnen und finden wiederum R D 0, weil wir auch hier kartesische Koordinaten benutzen könnten. Betrachten wir jedoch die zweidimensionale Kugeloberfläche mit   ds 2 D r 2 d 2 C sin2  d' 2 (A.7.27) und gij

  1 0 ; Dr 0 sin2  2

g

ij

1 D 2 r

  1 0 : 0 sin12 

(A.7.28)

In diesem Fall sind 3 der 8 Christoffelsymbole und 4 der 16 Komponenten des Krümmungstensors von 0 verschieden, 221 D  sin  cos  ; R

2 112

D R

2 121

D 1;

122 D 212 D ctg  ; R

1 212

D R

(A.7.29)

D  sin  : 2

1 221

(A.7.30)

668

Anhänge

Schließlich sind auch Ricci-Tensor und skalare Krümmung von 0 verschieden,    1 2 1 0 j 2 0 r ; Ri D  Rij D  ; R D Rii D  2 : (A.7.31) 0 r12 0 sin2  r Die zweidimensionale Kugelfläche ist kein euklidischer Raum und man kann auf ihr keine kartesischen Koordinaten einführen. Die Tatsache, daß wir sie uns anschaulich gut vorstellen können und in ihr einen Unterraum des dreidimensionalen euklidischen Raumes mit dem Krümmungsradius r sehen, ändert daran nichts. Wir sollten uns ein zweidimensionales auf dieser Kugeloberfläche lebendes Wesen vorstellen, das keine anschauliche Vorstellung vom dreidimensionalen Raum hat (wie wir keine vom vierdimensionalen Raum haben). Wenn es durch geometrische Messungen die Metrik seines Lebensraumes erkundet, findet es, daß es in einem gekrümmten Raum lebt, denn das ist durch Messungen in diesem zweidimensionalen Raum auch ohne Kenntnis eventueller weiterer Dimensionen feststellbar. Das ist der wesentliche Inhalt der vorhergehenden Betrachtungen. Es handelt sich um das berühmte Theorema Egregium von Gauß, um das dieser sich lang bemüht hatte. Wenn ein träger Körper sich in diesem Raum bewegt, wird er sich zwischen zwei Punkten A und B längs einer sogenannten geodätischen Linie, der Geodäten, d. h. auf der kürzesten Verbindung zwischen diesen Punkten bewegen. Diese ist durch das Variationsproblem B

B

∫ ds D ∫

A

A

p g dx  dx  D Extremum

(A.7.32)

definiert. Ähnlich wie im Abschnitt 8.3.1 kann man die zugehörige Euler-LagrangeGleichung ableiten (die detaillierte Ableitung findet man z. B. bei Fließbach [52, S. 72 und S. 353]). Man erhält  d2 x  dx   dx  : D   2 d d d

(A.7.33)

Für Teilchen mit nicht verschwindender Ruhmasse ist  D  ( ist die Eigenzeit). Für Teilchen mit verschwindender Ruhmasse, z. B. Photonen, ist d D 0 und man muß irgendeinen anderen Bahnparameter verwenden. Die Christoffelsymbole ergeben sich durch Ableitung aus den Komponenten des metrischen Tensors. Diese Komponenten sind also letzten Endes die Potentiale der Gravitationskräfte bzw. der mit ihnen identischen Trägheitskräfte. Für kartesische Koordinaten verschwinden alle Christoffelsymbole und die geodätischen Linien sind Gerade, längs deren sich Teilchen bewegen, die keinen weiteren Kräften ausgesetzt sind. Die hier diskutierten Geodäten sind solche in der vierdimensionalen Raumzeit und nicht die für uns anschaulichen des dreidimensionalen Raumes. Die Ausführungen dieses Abschnittes kann man an einem bekannten Beispiel aus der klassischen Physik verdeutlichen, an den Flieh- und Corioliskräften in einem rotierenden Bezugssystem.

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

669

A.7.3 Kräfte in einem rotierenden Bezugssystem Wir betrachten das folgende rotierende Bezugssystem x 1 D x 10 cos.!t 0 /  x 20 sin.!t 0 / x 2 D x 10 sin.!t 0 / C x 20 cos.!t 0 / x 3 D x 30 t D t0

(A.7.34)

Dafür ist ds 2 D d.ct/2  d.x 1 /2  d.x 2 /2  d.x 3 /2   ! 2  10 2 20 2 d.ct 0 /2  d.x 10 /2  d.x 20 /2  d.x 30 /2 D 1  2 .x / C .x / c  !  C 2 2 x 20 dx 10  x 10 dx 20 d.ct 0 / c D g dx 0 dx 0 .ct D x 0 ; ct 0 D x 00 / (A.7.35) mit 0 g

B B B DB B @

1

!2 c2



.x 10 /2 C .x 20 /2



!x 20 c

 !xc

10

0

!x 20 c

 !xc

1

0

0

1

0

0

10

0

1

C 0 C C C: 0 C A

(A.7.36)

1

Daraus ergeben sich, unter Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung in 1=c, die folgenden von 0 verschiedenen Christoffelsymbole 001 D 

! 2 x 10 ; c2

002 D 

! 2 x 20 ; c2

012 D 102 D

und nach Gleichung (A.7.33) die Bewegungsgleichungen 9 20 d2 x 10 D ! 2 x 10 C 2! dx ;> dt 02 dt 0 > = d2 x 20 dx 10 2 20 D ! x  2! ; 02 0 dt dt > > ; d2 x 30 D 0: dt 02

! ; c

! c (A.7.37)

021 D 201 D 

(A.7.38)

Das sind genau die aus der klassischen Physik bekannten Gleichungen für Fliehund Corioliskraft in der xy-Ebene und und für die gleichförmige (unbeschleunigte) Bewegung in z-Richtung.

670

Anhänge

Wir gewinnen hier die auch für das folgende interessante Erkenntnis, daß g00 D 1 C 2˚=c 2 ;

(A.7.39)

wobei ˚ das Potential der Fliehkraft bzw. wegen des Äquivalenzprinzips auch das der Gravitationskraft ist, ˚ 

 f D m grad ˚ D m grad ! 2 =2 .x 10 /2 C .x 20 /2 : (A.7.40) Dieses Beispiel der Kräfte in einem rotierenden Bezugssystem hat zwar nichts mit der allgemeinen Relativitätstheorie zu tun. Es zeigt aber, daß und wie die Kräfte aus der Geometrie (gegeben durch ds 2 ) hergeleitet werden können. Dies entspricht dem Vorgehen auch in der allgemeinen Relativitätstheorie. Dazu ist es erforderlich, den Zusammenhang zwischen der Verteilung von Massen im Raum und der durch sie bewirkten Geometrie zu bestimmen. Er ist, nach heutiger Kenntnis, durch die Einsteinsche Feldgleichung gegeben.

A.7.4 Die Einsteinsche Feldgleichung Ausgehend vom Äquivalenzprinzip, von den Forderungen, daß die allgemeine Relativitätstheorie die klassische Newtonsche Gravitationstheorie als Grenzfall enthalten muß,daß sie kovariant sein muß und gleichzeitig möglichst einfach sein soll, gelangte Einstein zu seiner Feldgleichung R 

R g C g D kT : 2

(A.7.41)

Die Kovarianz ist hier ganz wesentlich. Sie stellt sicher, daß die Feldgleichung auch nach einer Koordinatentransformation gültig bleibt. Die Indices laufen von 0 bis 4. Die Feldgleichung besteht also im allgemeinsten Fall aus 16 Gleichungen. Sie enthalten die Komponenten des Ricci-Tensors, des metrischen Tensors und des noch zu besprechenden Energie-Impuls-Tensors als Quellterme auf der rechten Seite der Gleichung. Wegen der Symmetrie dieser Tensoren sind nur 10 dieser Gleichungen voneinander unabhängig. Zwischen den Komponenten des Ricci-Tensors bestehen auch noch vier Beziehungen, die sich aus den sogenannten Bianchi-Identitäten ergeben. Somit hat man zur Berechnung der 10 Komponenten des metrischen Tensors nur 6 unabhängige Gleichungen und vier Freiheitsgrade. Diese Freiheitsgrade erlauben die Transformation der Ergebnisse in unterschiedliche Koordinatensysteme, wovon wir später auch Gebrauch machen werden. Außerdem tritt die sogenannte kosmologische Konstante auf. Gleichwertige andere Formen der Feldgleichung sind R  

R  ı C ı D kT ; 2 

(A.7.42)

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

 T R  g D k T  g ; 2  T     R   ı D k T   ı ; 2

671

(A.7.43) (A.7.44)

wie man mit Hilfe der Gleichungen (A.7.23) zeigen kann. T ist die sogenannte Spur des Energie-Impuls-Tensors (T D T ). Wir geben hier den Energie-Impuls-Tensor nur für eine ideale Flüssigkeit an, da wir im folgenden nur diesen benötigen (weitere Probleme werden wir hier nicht behandeln), 1 0 0 2 1 c cv 1 cv 2 cv 3 1 0 0 0 2 P C B  C c 2 Bcv 1 v 1 v 1 v 2 v 1 v 3 C B C  P B0 1 0 0 C : (A.7.45) T  D 2 2 2 2 1 2 2 3 @ @ A 0 0 1 0 A 1  vc 2 cv v v v v v2 0 0 0 1 cv 3 v 3 v 1 v 3 v 2 v 3 P ist der Druck, die v  sind die Geschwindigkeitskomponenten und  ist die Massendichte. Die Konstante k wird durch die oben genannte Forderung bestimmt, daß sich im Newtonschen Grenzfall die klassische Newtonsche Theorie ergeben soll. Dazu betrachten wir hier eine räumliche Massenverteilung .r/ mit P D 0 und v D 0. Mit Gleichung (A.7.39) muß dann gelten 1 1 0 0 2 1 C 2 0 0 0 c 0 0 0 c2 C B 0 1 0 0 C B C ; T D B 0 0 0 0C : g D B (A.7.46) A @ 0 @ 0 0 0 0A 0 1 0 0 0 0 1 0 000 Damit ergibt sich in niedrigster Näherung aus Gleichung (A.7.43) schließlich unter Verwendung von Gleichung (A.7.6)   1 1 1 R00 D  2  D kc 2 1  D  2 4G (A.7.47) c 2 c und damit kD

8G : c4

(A.7.48)

Dabei haben wir die kosmologische Konstante  D 0 gesetzt, da man für  ¤ 0 in der Grenze nicht die Newtonsche Theorie erhalten könnte. Andererseits erweist sich die Newtonsche Theorie im Sonnensystem als sehr brauchbar. Die kosmologische Konstante muß also so klein sein, daß sie für das Sonnensystem vernachlässigt werden kann. Die Newtonsche Theorie ist also keineswegs überholt. Unter geeigneten Voraussetzungen gilt sie nach wie vor und sie ist in der allgemeinen Relativitätstheorie als Grenzfall enthalten. Einstein hatte größte Hochachtung vor Newtons immenser Leistung und brachte das auch deutlich zum Ausdruck: „Niemand soll denken, daß durch diese oder irgendeine andere Theorie Newtons große Schöpfung im eigent-

672

Anhänge

lichen Sinne verdrängt werden könnte. Seine klaren und großen Ideen werden als Fundament unserer ganzen modernen Begriffsbildung auf dem Gebiet der Naturphilosophie ihre eminente Bedeutung in aller Zukunft behalten.“ Er schrieb auch „Newton verzeih mir. Du fandest den einzigen Weg, der zu deiner Zeit für einen Menschen von höchster Deut- und Gestaltungskraft eben noch möglich war, die Begriffe, die du schufst, sind auch jetzt noch führend in unserem physikalischen Denken, obwohl wir nun wissen, daß sie durch andere, der unmittelbaren Erfahrung ferner stehende, ersetzt werden müssen, wenn wir ein tieferes Ergreifen der Zusammenhänge anstreben.“ Als Einstein seine Feldgleichungen formulierte war er der Meinung, das Weltall sei stationär. Da alle Massen einander anziehen, müßte das Weltall sich zusammenziehen und kollabieren, wenn Gegenkräfte das nicht verhindern. Das sollte durch das zusätzliche Glied mit der kosmologischen Konstante bewirkt werden. Erst später wurde bekannt, daß sich das Weltall mindestens gegenwärtig ständig ausdehnt (Hubble). Deshalb hat Einstein die kosmologische Konstante später abgelehnt und sie als seine „größte Eselei“ bezeichnet. Gegenwärtig wird sie aber durch Astrophysiker und Kosmologen wieder rehabilitiert. Sie meinen, daß sie zur richtigen Beschreibung des Geschehens im Weltall erforderlich sei. Sie beschreibt ein im Weltall eventuell vorhandenes kosmisches Fluidum mit höchst merkwürdigen Eigenschaften. Schutz [55] beschreibt es so: „The cosmological constant can be viewed as a physical fluid with a positive density and a negative pressure. We derive the remarkable and unique properties of this special fluid: it has no inertia, exerts no pressure forces, stays the same density when it expands or contracts, and creates a repulsive gravitational field: anti-gravity. These properties allowed Einstein to introduce it safely into his equations in order to stop the Universe from collapsing.“ So hat Einstein uns durch die spezielle Relativitätstheorie vom merkwürdigen und unverstandenen Äther als „lichttragendem Medium“ befreit und uns nun durch die allgemeine Relativitätstheorie ein viel merkwürdigeres und noch schwerer verstehbares neues Medium beschert. Die Zukunft wird zeigen, ob es dabei bleibt. Nach heutiger Meinung ist die kosmologische Konstante sehr klein, nämlich   1050 m2 . Sie kann also bei vielen Problemen, etwa bei der Behandlung des Sonnensystems oder einzelner „schwarzer Löcher“, vernachlässigt werden. Wir werden deshalb die Feldgleichung in der sich aus Gleichung (A.7.43) ergebenden Form anwenden: R D 8G=c 4 .T  T =2g / :

(A.7.49)

Grundsätzlich sind auch andere modifizierte Theorien denkbar (siehe z. B. Fließbach, [52, S.121 f.]) z. B. die sogenannte Brans-Dicke-Theorie, bei der die Stärke der Gravitationskraft nicht durch die Gravitationskonstante G gegeben ist, sondern durch die im Kosmos vorhandenen Massen beeinflußt wird. Modifizierte Theorien konnten sich jedoch mindestens bisher gegen die Einsteinsche Theorie nicht durchsetzen. Allerdings könnten zukünftige Erfahrungen Modifikationen erforderlich machen.

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

673

A.7.5 Die äußere Schwarzschildmetrik Wir beschränken uns auf die einfachste und für praktische Zwecke wichtigste Lösung der allgemeinen Relativitätstheorie. Wir betrachten eine kugelsymmetrische Massenverteilung mit .r; t/ und wir untersuchen nur den Außenraum, wo überall  D 0 ist. Wir schließen auch aus, daß die Masse rotiert oder elektrische Ladungen aufweist. Dann verschwinden (im Außenraum) alle Komponenten des EnergieImpuls-Tensors und wir können für die Metrik folgenden Ansatz machen: ds 2 D B.r; t/.c dt/2  A.r; t/ dr 2  r 2 . d 2 C sin2  d' 2 / :

(A.7.50)

Also ist 0

g

B B0 DB @0 0

0 A 0 0

1 0 0 C 0 0 C; A r 2 0 0 r 2 sin2 

01 B

B0 g  D B @0 0

0  A1 0 0

1 0 0 0 0 C C:  r12 0 A 0  r 2 sin1 2  (A.7.51)

Nach Gleichung (A.7.49) müssen dann wegen T D 0 und T D 0 alle Komponenten des Ricci-Tensors R verschwinden, R D 0 :

(A.7.52)

Nach längerer jedoch problemloser Rechnung findet man !   B 00 B 0 A0 B0 B0 AP AP BP AR  C  C C  D 0; R00 D 2A 4A A B 2A 4A A B rA !   B 00 B 0 A0 B0 A0 AP AP BP AR C C C  C  D 0; R11 D  2B 4B A B 2B 4B A B rA  0  B0 1 r A  C D 0 ; R33 D R22 sin2  D 0 ; R22 D 1  2A A B A P A D 0: (A.7.53) R01 D R10 D  Ar Alle übrigen Komponenten des Ricci-Tensors verschwinden ohnehin. Zunächst ist festzustellen, daß alle Zeitableitungen verschwinden und daß damit die ganze Metrik im Außenraum zeitunabhängig ist, die Funktionen A und B also nur von r abhängen. Damit ist das sogenannte Birkhoff-Theorem bewiesen: Ein sphärisches Gravitationsfeld im leeren Außenraum ist zeitunabhängig auch dann, wenn die innere Massenverteilung zeitabhängig ist und nicht rotiert. Das gilt also ebenso wie in der klassischen Gravitationstheorie und in der Elektrodynamik. In beiden Fällen verhalten sich die Felder so, als wäre die gesamte Masse oder die gesamte Ladung als Punktmasse oder Punktladung im Zentrum konzentiert. Mit R22 ver-

674

Anhänge

schwindet auch R33 . Dann sind noch die Gleichungen R00 D R11 D R22 D 0 mit P D 0, A R D 0 zu lösen. Nach einigen hier übergangenen Umformungen findet man A (s. z. B. Fließbach [52, S.136 f.]) A.r/ D

1 1

b r

B.r/ D

;

b 1 D1 A.r/ r

(A.7.54)

mit der Integrationskonstanten b. Nun muß für r ! 1 wie in der klassischen Gravitationstheorie mit der Gesamtmasse M g00 D B.r/ D 1 C 2˚=c 2 D 1  2GM=c 2 r

(A.7.55)

gelten. Wir setzen nun 2GM=c 2 D rs

(A.7.56)

und erhalten damit

  rs  2 2 dr 2   r 2 d 2 C sin2  d' 2 : c dt   ds 2 D 1  rs r 1 r

(A.7.57)

Das ist die äußere Schwarzschildmetrik mit dem Schwarzschildradius rs , der schon an anderer Stelle aufgetreten ist. Für r ! 1 geht sie in die Minkowskimetrik über. In ausreichend großem Abstand haben wir also wieder unseren gewohnten euklidischen bzw. pseudoeuklidischen Raum. In unserem Sonnensystem ist der Schwarzschildradius überall sehr viel kleiner als die Radien der Sonne und der Planeten. Die äußere Schwarzschildmetrik gilt also im ganzen Außenraum der Sonne und der Planeten. Für die Erde ist ME D 6  1024 kg ; rEs D 8;9  10

3

m;

rE D 6;4  106 m ; rEs =rE D 1;4  109

(A.7.58)

und für die Sonne Mˇ D 2  1030 kg ; rˇs D 3  103 m ;

rˇ D 7  108 m ; rˇs =r D 4;2  106 :

(A.7.59)

Eine im Unendlichen ruhende Uhr zeigt das Zeitintervall dt. Am Radius r hingegen ist die Eigenzeit r rs d D 1  dt r und 1 dt Dq d 1

rs r

:

(A.7.60)

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

675

Dadurch ist die sogenannte gravitative Rot- bzw. Blauverschiebung im Gravitationsfeld auf- bzw. absteigender elektromagnetischer Strahlung gegeben. Darauf werden wir noch zurückkommen. Ein Himmelskörper, dessen Radius kleiner als sein Schwarzschildradius ist, hat die äußerst merkwürdige Eigenschaft, daß ein ihm zu nahe gekommenes Photon seiner Anziehungskraft nicht entgehen kann. Ein beim Schwarzschildradius emittiertes Photon erleidet nach Gleichung (A.7.60) eine unendliche Rotverschiebung und kann den Außenraum nicht erreichen. Noch weniger können andere Körper mit m0 ¤ 0 entweichen. Erst recht kann nichts aus dem Bereich r < rs diesen Himmelskörper verlassen, etwa, wenn R < rs , von seiner Oberfläche. Er saugt alles auf, das ihm zu nahe kommt und alles einmal Eingefangene verbleibt dort für immer. Darauf werden wir noch genauer eingehen. Solche Himmelskörper nennt man schwarze Löcher. Die Fläche r D rs bezeichnet man als Ereignishorizont, da man von außen nichts dahinter Befindliches beobachten kann. Detaillierte Informationen über alle von einem schwarzen Loch eingefangenen Massen gehen verloren. Nach außen können sich nur seine Gesamtmasse M , sein Gesamtdrehimpuls L und seine elektrische Gesamtladung Q durch die dort erzeugte Metrik auswirken. Diese Aussage wird oft in der Form „ein schwarzes Loch hat keine Haare“ formuliert. Die hier behandelte äußere Schwarzschildmetrik gilt nur für den Außenraum. Im Inneren gilt die innere Schwarzschildmetrik, die wir hier nicht behandeln wollen. Für L ¤ 0, Q D 0 ergibt sich die sogenannte Kerrmetrik, die für L D 0 in die Schwarzschildmetrik übergeht. Für L D 0, Q ¤ 0 erhält man die Reissner-Weyl-Metrik, die für Q D 0 ebenfalls in die Schwarzschildmetrik übergeht. Sie spielt keine große Rolle, da Himmelskörper quasineutral sind, also kaum erhebliche elektrische Ladungen aufweisen werden. Die Kerrmetrik dagegen ist ziemlich wichtig, da viele Himmelskörper erhebliche Drehimpulse haben, was sich deutlich auf die Metrik in ihrer Umgebung auswirkt. Wir werden beide Metriken hier nicht behandeln. Die Vorstellung, daß ein schwarzes Loch nie etwas abgibt, bedarf aber nach Hawking einer gewissen Korrektur. Das Vakuum ist keineswegs das der üblichen Vorstellung entsprechende absolute Nichts, die absolute Leere. Es ist vielmehr ein höchst aktives Medium, in dem viele virtuelle Teilchen-Antiteilchen-Paare existieren, die allerdings der Heisenbergschen Unschärferelation entsprechend nur sehr kurzfristig in Erscheinung treten können. Wenn ein virtuelles Teilchenpaar in unmittelbarer Umgebung des Ereignishorizontes auftritt, dann kann es geschehen, daß eines der beiden Teilchen vom schwarzen Loch verschluckt wird. Das andere der beiden Teilchen ist damit seines Rekombinationspartners beraubt und kann in den Außenraum abgestrahlt werden. Das ist die von einem schwarzen Loch abgegebene sogenannte Hawkingstrahlung, deren Spektrum der Planckschen Strahlungsformel für einen schwarzen Strahler bestimmter Temperatur entspricht. Ein schwarzes Loch ist demnach ein schwarzer Strahler, dem eine Temperatur zuzuordnen ist. Es verliert also ständig Energie, was allmählich zu seinem Verschwinden führen kann, wenn ihm nicht mehr Energie zugeführt als abgestrahlt wird. Im allgemeinen ist schon die sogenannte kosmische Hintergrundstrahlung, die vom schwarzen Loch eingefangen wird, energiereicher als seine Hawkingstrahlung.

676

Anhänge

Natürlich ist zu fragen, ob es tatsächlich schwarze Löcher gibt. In der Kosmologie kennt man Mechanismen, die zur Entstehung schwarzer Löcher führen könnten. Auch gibt es Beobachtungen, die die Existenz schwarzer Löcher wahrscheinlich machen. So geht man heute davon aus, daß schwarze Löcher tatsächlich existieren. Diese Fragen sollen hier nicht weiter verfolgt werden. Wir wollen uns vielmehr der Frage zuwenden, welche beobachtbaren Konsequenzen sich aus der äußeren Schwarzschildmetrik insbesondere in unserem Sonnensystem ergeben und ob diese sich durch Beobachtungen und Messungen, auch im Vergleich zu anderen vorgeschlagenen Theorien, bestätigen lassen. Dazu gehen wir von der sogenannten Robertson-Entwicklung aus. Unter den Voraussetzungen, die zur Schwarzschildmetrik mit dem Ansatz Gleichung (A.7.50) geführt haben, sind theoretisch auch andere Lösungen für A.r/ und B.r/ denkbar. Beide Funktionen können nur von M , G und c und vom Radius r abhängen. Aus M , G und c kann man nur eine Größe mit der Dimension einer Länge bilden, nämlich GM=c 2 . Also kann man A.r/ und B.r/ als Potenzreihen von GM=c 2 r ansetzen, ) A.r/ D 1 C 2 GM C ::: c2 r (A.7.61)  GM 2 B.r/ D 1  2 GM  2.ˇ   / C : : : 2 2 c r c r Mit ˇ D  D 0 entspricht das der klassischen Newtonschen Theorie mit A D 1 und B D 1 C 2˚=c 2 . Mit ˇ D  D 1 erhält man die Einsteinsche Theorie, d. h. die Schwarzschildmetrik. Andere Werte liefern modifizierte Theorien, wie sie auch vorgeschlagen und untersucht wurden. Aus Gleichung (A.7.61) erhält man die folgenden von 0 verschiedenen Christoffelsymbole B0 B0 A0 r ; 001 D ; 111 D ; 221 D  ; 2B 2A 2A A r sin2  1 1 2 2 2 ; 12 D 21 D ; 33 D  sin  cos  ; 33 D  A r 1 133 D 313 D ; 233 D 323 D ctg  ; r 100 D 010 D

(A.7.62)

und daraus nach Gleichung (A.7.33) die Bewegungsgleichungen  0   B0 d2 x 0 dx dr   ; (A.7.63a) D 2 d B d d  2  2  2  2 B 0 dx 0 A0 dr r d r 2 sin2  d' d2 r D   C C ; d2 2A d 2A d A d A d (A.7.63b)     2 2 2 d d dr d' C sin  cos  D ; (A.7.63c) 2 d r d d d         2 d' d2 ' dr d' d  2ctg  : (A.7.63d) D 2 d r d d d d

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

677

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man  D =2 wählen, wodurch die Ebene, in der die Bahn verläuft zur Äquitorialebene wird. Damit ist Gleichung (A.7.63c) erfüllt. Gleichung (A.7.63d) gibt dann mit dem auf die Einheit der Masse bezogenen Drehimpuls L   1 d d' 2 d' r D 0 ; r2 D L D const. (A.7.64) r 2 d d d und Gleichung (A.7.63a)   dx 0 d ln C ln B D 0 ; d d

B

dx 0 D F D const. d



L2 D 0: Ar 3

(A.7.65)

Gleichung (A.7.63b) schließlich liefert d2 r F 2B 0 A0 C C 2 2 d 2AB 2A



dr d

2

Nach Multiplikation mit 2A dr= d kann man das in der Form "  2 # L2 F 2 d dr A D0 C 2  d d r B schreiben und integrieren:  A

dr d

2 C

L2 F 2 D " D const.  r2 B

(A.7.66)

Dabei ist

( c 2 für m0 ¤ 0 "D 0 für m0 D 0 :

(A.7.67)

Für m0 D 0 ist " D 0 zu setzen, weil für Licht dx  dx  ds 2  D 0: D g  d2 ds ds Wir gehen nun mit BD

1 rs D 1 A r

(A.7.68)

zur Schwarzschildmetrik über, um deren Konsequenzen zu erörtern. Aus den Gleichungen (A.7.66) und (A.7.68) erhalten wir 1 2



dr d

2 

L2 rs " rs L2 F2  " C 2 D const. D 3 2r 2r 2r 2

678

Anhänge

bzw. 1 2

 dr 2 d

C Veff D const.

(A.7.69)

mit dem effektiven Potential Veff ( Veff D

sc C  r2r

L2 2r 2

C

L2 2r 2

2



rs L2 2r 3

.m0 ¤ 0/



rs L2 2r 3

.m0 D 0/

(A.7.70)

Das erlaubt einen qualitativen Überblick über die möglichen Teilchenbahnen im Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen Körpers der Masse M (ohne Rotation und elektrische Ladung). Zur Vereinfachung der Darstellung führen wir hier dimensionslose Größen für r, L und Veff ein L ; LQ D rs c

rQ D

r ; rs

2 VQeff D 2 Veff : c

(A.7.71)

und erhalten für Teilchen mit Ruhmasse m0 ¤ 0 1 LQ 2 LQ 2 VQeff D  C 2  3 : rQ rQ rQ

(A.7.72)

Q > 2 hat Veff zwei Nullstellen bei Für L rQ D

LQ p Q 2 LQ 2 ˙ L  4; 2 2

(A.7.73)

die für LQ D p 2 bei rQ D 2 zusammenfallen. Für LQ > 3 hat VQeff ein Maximum bzw. Minimum p Q 2 ˙ LQ L Q2  3; rQ D L (A.7.74) p die für LQ D 3 bei rQ D 3 zusammenfallen. Für LQ D 2 liegt das Maximum an der doppelten Nullstelle bei rQ D 2. Damit ergeben sich die in den Bildern A.7.2a, b, c dargestellten verschiedenartigen effektiven Potentiale. Je nach dem Wert der Konstanten in Gleichung (A.7.69) werden Teilchen im Gravitationsfeld entweder eingefangen oder gestreut oder in ellipsenähnlichen Bahnen (die in der klassischen Newtonschen Mechanik exakte Ellipsenbahnen wären) um den Zentralkörper umlaufen. An den Stellen des Minimums sind stabile Kreisbahnen möglich. Die Kreisbahnen an den Stellen des Maximums sind instabil. Für m0 D 0, z. B. für Photonen, ist LQ 2 LQ 2 VQeff D 2  3 : rQ rQ

(A.7.75)

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

instabile Kreisbahn

V˜eff

Einfang

0,06

L˜ = 9 2 2

Ereignishorizont

0,01

679

Streuung

1

2

3

4

5

6

7

8

100 1 000

9 10 11

r˜

−0,01

Perihel

−0,06

˜2 ≈ − L3 r˜

Umlaufbahn

Aphel

≈− 1 r˜

stabile Kreisbahn

Bild A.7.2a V˜eff

˜2 = 4 L

1

2

Einfang

instabile Kreisbahn 3 4 5 6 7 8

9 10

100

0 −0,01 Umlaufbahn

Aphel

≈− 1 r˜

Ereignishorizont

Perihel

1000 r˜

−0,07

˜2 ≈ – L3 r˜

stabile Kreisbahn

Bild A.7.2b

Veff hat nur eine Nullstelle bei rQ D 1 und ein Maximum bei rQ D 3=2 (Bild A.7.3). Je nach dem Wert der Konstanten wird das Teilchen gestreut oder eingefangen. Die Kreisbahn beim Maximum ist instabil. Zum besseren Verständnis des effektiven Potentials nach Gleichung (A.7.70) seien die drei (auf die Masseneinheit bezogenen) Summanden (für m ¤ m0 ) erläutert. Der erste Summand ( 1=r) stellt das Potential der klassischen Newtonschen anziehenden Gravitationskraft dar. Der zweite Summand ( 1=r 2 ) ist das dem Drehimpulsquadrat L2 proportionale Potential der Fliehkräfte. Der dritte Summand schließ-

680

Anhänge

V˜eff

2 L˜ = 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

50

500 r˜

– 0,01

– 0,05

Ereignishorizont

≈− 1 r˜

– 0,1 ˜2 ≈ − L3 r˜

Bild A.7.2c V˜eff 2 L˜ 0,2

Einfang

instabile Kreisbahn

Streuung

0,1

−0,1 −0,2

Ereignishorizont

2

3

4

5

6

7

≈ ≈−

1 r˜ 3

r˜

8 1 r˜ 2

Bild A.7.3

lich ( 1=r 3) hängt mit der bei zunehmender Geschwindigkeit zunehmenden Energie bzw. Masse des Teilchens zusammen und bewirkt eine zusätzliche relativistische anziehende Gravitationskraft. Er ist ebenfalls dem Quadrat des Drehimpulses L2 proportional. Wieder auf die Masseneinheit bezogen kann man das Potential abschätzen: 

1 GM mv 2 GM 2 GM L2 rs L2   D v   D : m r 2c 2 2rc 2 rc 2 r 2 2r 3

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

681

Diese Abschätzung liefert das richtige Ergebnis, obwohl der Drehimpuls streng genommen durch die azimutale Komponente der Geschwindigkeit und nicht durch die gesamte Geschwindigkeit v gegeben ist. Anders als in der klassischen Mechanik bewikt der Drehimpuls nicht nur abstoßende Fliehkräfte, sondern auch zusätzliche anziehende Gravitationskräfte, die für die Schwarzschildmetrik wesentlich sind. Schreibt man das effektive Potential in der Form L2 rs  rs c 2 Veff D  C 2 1 ; 2r 2r r so zeigt sich, welche Rolle der Schwarzschildradius dabei spielt. Für r D rs ist der Drehimpuls ohne Einfluß, weil beide Kräfte sich gerade kompensieren. Für r > rs überwiegen die Fliehkräfte, für r < rs die anziehenden Gravitationskräfte. Die hier dargestellten Potentiale dürfen jedoch nicht falsch interpretiert werden. In der klassischen Mechanik könnte man die Geschwindigkeit eines Teilchens an einer beliebigen Stelle seiner Bahn umkehren und das Teilchen liefe dann wieder zurück. In der Schwarzschildmetrik ist das jedoch nicht möglich, was wir bereits erwähnt haben und nun ausführlicher begründen wollen. Um die sehr merkwürdigen Eigenschaften der Schwarzschildmetrik leichter diskutieren zu können, transformiert man die Schwarzschildkoordinaten in verschiedene andere Koordinaten. Zur umfassendsten Darstellung der Schwarzschildmetrik verwendet man oft die sogenannten Kruskal-Koordinaten (auch Kruskal-Szekeres-Koordinaten genannt). Wir wollen uns hier der einfacheren Eddington-Finkelstein-Koordinaten bedienen. Ein wesentliches Hilfsmittel zur Veranschaulichung der jeweiligen Situation stellt dabei der sogenannte Lichtkegel dar. Für den ebenen Minkowskiraum ist er im Bild A.7.4 gezeigt. Dabei ist s 2 D c 2 t 2  x 2  y 2 (die dritte Raumkoordinate ist nicht dar-

ct zeitartig (ds2 > 0) lichtartig

(ds2 =

0)

lichtartig (ds2 = 0) raumartig (ds2 < 0)

Zukunft

y

x

Vergangenheit x = ct

Bild A.7.4

x = – ct

682

Anhänge

gestellt). Ein Teilchen kann höchstens Lichtgeschwindigkeit haben, d. h. stets muß ds 2 > 0 sein. Der Lichtkegel zeigt die mögliche Zukunft und die mögliche Vergangenheit. Von x D 0, ct D 0 ausgehend sind nur zeitartige oder lichtartige Teilchenbahnen („Weltlinien“) möglich, nicht jedoch raumartige. Um nun von der Schwarzschildmetrik auf die Eddington-Finkelstein-Metrik überzugehen, führen wir eine neue Zeitkoordinate t ein dt D dt 

dr

c 1

r rs



(A.7.76)

und erhalten damit aus Gleichung (A.7.57)

 rs  2 2 rs rs  2 2  2 ds 2 D 1  c dt 2 c dt dr  1 C dr r d C sin2  d' 2 : r r r (A.7.77) Für radial bewegte Teilchen (zentraler Fall) ist d' D 0 und d D 0. Für lichtartige Bahnen ist dann

rs  2 2 rs rs  2 ds 2 D 1  c dt  2 c dt dr  1 C dr D 0 : r r r Die beiden Lösungen dieser Gleichung sind dr D c ; dt

dr r  rs Dc : dt r C rs

(A.7.78)

Damit ergeben sich für verschiedene Radien r die Lichtkegel des Bildes A.7.5. Für r ! 1 erhält man den symmetrischen Lichtkegel des Minkowskiraumes wie in Bild A.7.4. Mit kleiner werdendem r aber wird der Lichtkegel zunehmend asymmetrisch. Der rechte Teil wird immer kleiner und verschwindet bei r D rs ganz. Hier kann sich Licht also nur noch nach innen oder längs des Ereignishorizontes r D rs fortpflanzen. Teilchen mit m0 ¤ 0 können sich nur zeitartig, also nur nach innen bewegen. Vom Gebiet r  rs aus können sich also weder Photonen noch ct

1 r 2 S

rS

3 r 2 S

2rS

Ereignishorizont

Bild A.7.5

3rS

4rS

r˜

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

683

andere Teilchen nach außen bewegen. Von außen ist keinerlei Einblick in das Gebiet hinter dem Ereignishorizont möglich, da keinerlei Signal nach außen gesendet werden kann. Das ist die sogenannte avancierte Eddington-Finkelstein-Metrik („ingoing“). Die beschriebene Transformation ist natürlich nur erlaubt, weil das Ergebnis nach wie vor der Einsteinschen Feldgleichung genügt. Das liegt an deren Kovarianz. Durch eine im Prinzip einfache aber recht umständliche Rechnung kann man sich davon überzeugen. Man kann von der Eddington-Finkelstein-Metrik (A.7.77) ausgehend die zugehörigen Christoffelsymbole und daraus die Komponenten des Ricci-Tensors berechnen, die alle verschwinden, wie es sein muß. Es handelt sich also tatsächlich um eine gleichwertige Lösung des Schwarzschild-Problems. Wie schon erwähnt hat die Einsteinsche Gleichung keine eindeutige Lösung, da zur Berechnung von 10 Komponenten des metrischen Tensors nur 6 voneinander unabhängige Gleichungen zur Verfügung stehen. Rein theoretisch ist statt (A.7.76) auch die Transformation dt D dt C mit

dr

c 1

r rs



rs  2 2 rs rs  2 ds 2 D 1  c dt C 2 c dt dr  1 C dr D 0 r r r

(A.7.79)

(A.7.80)

möglich. Die sich daraus ergebenden Lichtkegel dr D c; dt

dr r  rs D c dt r C rs

(A.7.81)

lassen für r < rs nur Bewegungen nach außen zu. Alle dort vorhandenen Teilchen werden zwangsläufig nach außen transportiert und nicht nach innen. Diese rein formal mögliche so genannte retardierte Eddington-Finkelstein-Metrik („outgoing“) bewirkt genau das Gegenteil eines schwarzen Loches, nämlich ein sogenanntes weißes Loch, das in der Natur aber wohl nicht vorkommt. Ausführlichere Diskussionen der verschiedenen Koordinatensysteme finden sich z. B. in [56–58]. In der Schwarzschildmetrik ist der Umfang eines Kreises 2

∫0 r d' D 2 r : Der Durchmesser ist jedoch nicht 2r, da wir es mit einer nichteuklidischen Geometrie zu tun haben: r p Rp r p D D 2 ∫0 A.r 0 / dr 0 D 2 ∫0 Ai .r 0 / dr 0 C 2 ∫R Aa .r 0 / dr 0 : r D R stellt die Oberfläche des Zentralkörpers dar. Ai ergibt sich aus der hier nicht behandelten inneren Schwarzschildmetrik, 1 1   2GM.r/ 2GM.R/ Ai D 1  ; Aa D A D 1  : c2r c2r

684

Anhänge

Dabei ist M.r/ die Masse des Himmelskörpers innerhalb r und M.R/ ist seine Gesamtmasse M . Wenn  D 0 D konstant ist, dann ergibt sich s r 1 R3 rs Rp 0 0  R C rs ; .rs  R/  arcsin ∫0 Ai .r / dr D rs R 6 und r

∫R

r rs rs R 1 r R 2  q q rs 1 C 1  1  1 r 2rs 6  ln 4 q q C 4 1  1  rrs 1 C 1 

p Aa .r 0 / dr 0 D r

r

1

r RC

rs R rs R

3 7 5

rs r ln : 2 R

Damit wird

  1 rs 1 rs r D  2r 1 C  C  ln > 2r : 6 r 2 r R

Für die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne mit r  1;5  1011 m und mit dem Radius und Schwarzschildradius der Sonne nach (A.7.59) ergibt sich   D  2r 1 C 5;7  108 : Der Durchmesser der Erdbahn ist also um rund 17 km größer als 2r. Als Beispiel für das Verhalten eines Teilchens in Schwarzschildfeldern sei hier der zentrale Fall behandelt. Ein Teilchen befinde sich zur Zeit  D 0 bei r D r0 mit der Geschwindigkeit dr= d D v0 auf das Zentrum zu (L D 0). Wegen Gleichung (A.7.69) ist dann  2 dr rs c 2 C F 2  c2 : D d r Aus den Anfangsbedingungen ergibt sich rs F 2 D v02 C c 2  c 2 r0 und

s dr D c d

v2 rs rs  C 02 : r r0 c

Damit können wir die Zeit berechnen, die das Teilchen benötigt um von r0 bis re zu fallen: 1 re d dr re  D ∫ d D ∫r0 dr D  ∫r 0 q : v02 dr c rs rs  C r r0 c2

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

685

Mit der Substitution rs =r D x ist D

rs xe ∫ c x0

q

dx

x2 x 

rs r0

C

v02

:

c2

Für den Fall von r0 D 3rs bis rs mit v0 D 0 ist rs 1 dx ∫1 q c 3 x2 x  1 3 !1 r p p rs 3 1 rs D x  C 3 3 arctan 3x  1 D 7;2135  : c x 3 c 1

1 D

3

Bei r D rs kommt das Teilchen mit der Geschwindigkeit v 2 D 2=3c 2 an. Fällt es nun weiter auf das Zentrum zu, so benötigt es bis r D 0 zusätzlich die Zeit 2 D

rs 1 dx ∫ q c 1 x2 x 

1 3

D 0;9485

rs : c

Für den Fall von 3rs bis 0 ist die Gesamtzeit, die man durch Integration von x D 1=3 bis x D 1 berechnen könnte, erhielte man 1 C 2 D 8;1621 : : : rs =c. Fällt das Teilchen von r D rs bis r D 0 mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 D 0, so benötigt es die Zeit 3 D 1;5708 > 2 (wegen der verschwindenden Anfangsgeschwindigkeit).  ist die Zeit eines mitbewegten Beobachters (die Eigenzeit). Die Zeit eines sehr fernen (streng genommen im Unendlichen befindlichen) Beobachters ist t. Dafür ist B

dct DF; d

dt D

F c 1 

rs r

 d :

Für r ) rs wird dt unendlich, was zu der schon erwähnten unendlichen Rotverschiebung führt. Für den fernen Beobachter dauert es deshalb unendlich lang bis das Teilchen am Ereignishorizont ankommt. Für ihn wird dieser nur asymptotisch erreicht. Das gilt auch für Photonen. Die besondere Bedeutung des Ereignishorizontes zeigt sich auch in dem von da ab zwischen t und  imaginär werdenden Zusammenhang. Der mitbewegte Beobachter merkt, wie das obige Beispiel zeigt, von all dem nichts. Für ihn sind alle Zeiten endlich. Er wird aber unter den sogenanten Gezeitenkräften, die in Gravitationsfeldern auftreten, zu leiden haben, da diese sehr groß und zerstörerisch werden können. Die Beschleunigung in einem Gravitationsfeld bzw. deren Gradient ist   dv GM 2GM 2GM d dv dv rs c 2 D 2 ; D D ;  r D 3 r : 3 3 dt r dr dt r dt r r

686

Anhänge

Für einen Abstand r D 1 m und z. B. für ein schwarzes Loch mit der Masse der Sonne ist bei r D rs c2 dv D 2 r D  dt rs



3  108 3  103

2

m m D 1010 2 ; 2 s s

was 109 Erdbeschleunigungen entspricht. Das würde niemand überleben und jedes Raumfahrzeug zerstören. Als Beispiel eines nicht zentralen Falles, sei ein fallender Körper mit LQ 2 D 8 2 und v1 D c 2 =2 betrachtet. Dafür liegen das Maximum bzw. das Minimum von VQeff bei rQ D 1;68 bzw. bei rQ D 14;32. Für die Stellen mit dr= d D 0 erhält man die kubische Gleichung rQ 3 C 2rQ 2  16rQ C 16 D 0 : Eine Lösung ist, wie man leicht feststellen kann, rQ D 2. Damit kann man die kubische Gleichung auf eine quadratische mit den beiden Lösungen rQ D 1;46 und rQ D 5;46 zurückführen, die beide physikalisch bedeutungslos sind. Der fallende Körper wird gestreut, wobei er bis zum minimalen Radius rQ D 2 vordringt, vorausgesetzt, daß der Radius der anziehenden Masse kleiner als rQ D 2 ist. Andernfalls schlägt er in ihn ein. Vieles hier diskutierte spielt in unserem Sonnensystem keine Rolle, da alle Radien der Sonne und der Planeten weit größer als deren Schwarzschildradien sind. In den folgenden Abschnitten wollen wir nun einige auch in unserem Sonnensystem interessante und beobachtbare Konsequenzen der allgemeinen Relativitätstheorie schildern. Wir gehen von den Gleichungen (A.7.64) und (A.7.66) aus und erhalten s d' d' d L 1 L A D  D 2  dr D 2 F 2 L2 dr d dr r r  " d B r2 bzw. '.r/ D ∫

r r2

p A dr F2 L2 B

1

"

(A.7.82)

 2 2 r L

A.7.6 Photonen in Gravitationsfeldern Lichtquanten (Photonen) haben zwar keine Ruhmasse, dennoch eine ihrer Energie entsprechende Masse und einen Impuls, nämlich m D h=c 2 ;

mc D h=c :

(A.7.83)

Sie verhalten sich genau so wie auch andere Teilchen mit Masse und Impuls. Der Compton-Effekt z. B. zeigt, daß für Photonen bei Stößen mit Elektronen Energieer-

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

687

haltung und Impulserhaltung wie bei anderen Teilchen gelten. Photonen unterliegen wegen ihrer Masse wie alle anderen Teilchen auch der Gravitation, d. h. sie werden durch andere Massen angezogen und dadurch aus ihrer geradlinigen Bahn abgelenkt. Diese Ablenkung ist oft sehr klein und deshalb nicht immer beobachtbar. Aus Gleichung (A.7.82) kann man berechnen, daß ein an einem Himmelskörper mit dem Schwarzschildradius rs im Abstand r vom Zentrum vorbeifliegendes Photon um den Winkel ' D .1 C  /rs =r ;

.rs =r  1/

(A.7.84)

abgelenkt wird (Bild A.7.6). Wir übergehen hier die Details der Berechnung, die man z. B. bei Fließbach [52, S.147 ff] findet. Ausgehend von der RobertsonEntwicklung wird dabei der Integrand bis zur Ordnung rs =r entwickelt. Für einen die Sonne nahe ihrer Oberfläche passierenden Lichtstrahl ist diese Ablenkung im Falle einer Sonnenfinsternis messbar. Mit den Daten der Sonne nach Gleichungen (A.7.59) und mit  D 1 (d. h. mit der Einsteinschen Theorie) erhält man ' D 1;75 Winkelsekunden :

(A.7.85)

Das enspricht ziemlich genau dem tatsächlich gemessenen Wert. Für die Newtonsche Theorie ( D 0) erhielte man nur den halben Wert. Die Messung bestätigt also die Einsteinsche allgemeine Relativitätstheorie mit ziemlich großer Genauigkeit. Populäre Darstellungen erwecken oft den falschen Eindruck, die Ablenkung des Lichtes durch die Sonne wäre überhaupt erst durch die allgemeine Relativitätstheorie erklärbar. Eine Ablenkung erfolgt jedoch auf jeden Fall. Es ist das quantitative Ergebnis, das sich von dem der Newtonschen Theorie um den Faktor 2 unterscheidet und so die allgemeine Relativitätstheorie bestätigt. Nach der Maxwellschen Theorie breitet Licht sich im Vakuum oder in einem homogenen Medium stets geradlinig aus. Es ist jedoch von grundsätzlicher Bedeutung, daß Licht sich in einem beliebigen Gravitationsfeld nicht geradlinig ausbreitet. Unsere anschaulichen geometrischen Vorstellungen gehen von der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes aus, was zur euklidischen Geometrie führt. Bei Landvermessungen oder bei Peilungen auf See werden stets geradlinige Lichtwege vorausgesetzt. Sie sind aber immer mehr oder weniger gekrümmt, d. h. wir haben es im Prinzip immer mit einer nichteuklidischen Geometrie zu tun. Das gilt auch für die Erde, obwohl die Krümmung hier unmeßbar klein ist. Mit den Daten der Erde nach

Δϕ ϕ r (ϕ)

Bild A.7.6

688

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den Gleichungen (A.7.58) ergibt sich aus Gleichung (A.7.84) an der Erde eine viel kleinere Ablenkung als an der Sonne, nämlich nur ' D 5;8104 Winkelsekunden. Bei den noch kleineren zu Vermessungen oder Peilungen auf der Erde benutzten sehr viel kürzeren Lichtwegen sind die Ablenkungen noch kleiner. Wir können uns auf der Erde also noch immer der euklidischen Geometrie anvertrauen. Die Krümmungen der Lichtwege sind bei den üblichen Anwendungen unmeßbar klein. Bei großräumigeren Anwendungen etwa in Sonnennähe ist das nicht mehr unbedingt der Fall. Stellen wir uns eine große Masse vor und verbinden wir drei Punkte A, B und C in deren Außenraum durch die gekrümmten Lichtwege zu einen Dreieck (Bild A.7.7). Es handelt sich offensichtlich um ein nichteuklidisches Dreieck in dem nichteuklididschen Raum, der durch die Masse verursacht wird. Bei der radialen Bewegung eines Photons in einem Gravitationsfeld erleidet dieses wie schon oben im Abschnitt A.7.5, Gleichung (A.7.60), erwähnt eine Rot- oder Blauverschiebung. Die Schwarzschildmetrik gibt für das Verhältnis der Frequenzen vA und vB an zwei Punkten A und B v u u 1  2GM 1  cGM GM B 2r c 2 rA A Dt  1C 2 .rA  rB / : (A.7.86) 2GM GM A c rA rB 1  c2 r 1  c2r B

B

Im Newtonschen Gravitationsfeld gilt für ein Photon die Gleichung GM h d h D 2  2 : dt c r c Daraus ergibt sich mit der Anfangsbedingung  D A bei r D rA    GM GM GM D A exp 2 B D A exp 2  2 .rA  rB / ; c rB c rA c rA rB

(A.7.87)

(A.7.88)

wovon man sich durch Einsetzen überzeugen kann. Fällt das Photon (rB < rA ), so gewinnt es Energie (Blauverschiebung), steigt es (rA < rB ), so verliert es Energie (Rotverschiebung). Für rA  rB  r und jrA  rB j D 1  r erhält man

A C M

B

Bild A.7.7

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

   GM GM l B  A 1 C 2 2 .rA  rB / D A 1 ˙ 2 2 : cr c r

689

(A.7.89)

An der Erdoberfläche ergibt das mit der Erdbeschleunigung g GM l d gl B  A D˙ 2 2 D˙ 2 : D A  c r c

(A.7.90)

Das ist fast selbstverständlich, denn E D h D ˙mgl D ˙hgl=c 2 ; was gerade Gleichung (A.7.90) gibt. Dies wurde von Pound und Snider an einem l D 22;6 m hohen Turm mit Hilfe des Mößbauereffektes, der äußerst präzise Frequenzmessungen ermöglicht, experimentell überprüft. Dabei wurde der theoretische Wert d= D 2;46  1015 mit einer Meßgenauigkeit von ˙1 % bestätigt. Weil im vorliegenden Fall GM=rc 2  1 ist, sind die Entwicklungen des Schwarzschildergebnisses nach Gleichung (A.7.86) und des Newtonschen Ergebnisses nach Gleichung (A.7.88) meßtechnisch nicht unterscheidbar. Das erwähnte Experiment von Pound und Snider erlaubt deshalb keine experimentelle Entscheidung zugunsten der einen oder anderen Theorie. Da an der Sonnenoberfläche ein anderes Gravitationspotential als an der Erdoberfläche herrscht, ist auch von der Sonne (oder einem anderen Himmelskörper) auf die Erde kommendes Licht rotverschoben (ober blauverschoben). Aus den Massen und Radien von Sonne und Erde ergibt sich ˇ =E  1  GMˇ =c 2 rˇ  2;11  106 :

(A.7.91)

Anders als in der Schwarzschildmetrik gibt es in der Newtonschen Theorie kein schwarzes Loch. Nach der Schwarzschildmetrik kann ein bei r D rs emittiertes Photon wegen der unendlichen Rotverschiebung nicht ins Unendliche entweichen. Nach der Newtonschen Theorie kann es immer entweichen, es sei denn ausgehend vom Radius r D 0, wozu es unendliche Energie benötigte. Vom Schwarzschildradius ausgehend hätte es im Newtonschen Fall im Unendlichen immer noch eine Energie von 60,6 % seiner Anfangsenergie. Analoges gilt auch für Teilchen mit nicht verschwindender Ruhmasse. Sie können einem schwarzen Loch noch weniger als Photonen entweichen. In der Newtonschen Theorie gibt es jedoch auch für sie kein schwarzes Loch. Löst man ihre relativistische Bewegungsgleichung im Newtonschen Gravitationsfeld mit der Anfangsbedingung v D v0 bei r D r0 , m0 v GM m0 d q D 2 q 2 dt r 1  vc 2 1

v2 c2

;

(A.7.92)

690

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so erhält man als Lösung s      1 2GM 1 dr v02 D c 1  1  2 exp  2  vD dt c c r r0 Für r0 ! 1 und v0 D 0 gibt das s   dr 2GM D c 1  exp  2 vD dt c r

(A.7.93)

(A.7.94)

und für r ! 0 geht v ! c. Befindet sich das Teilchen umgekehrt zunächst bei r und läuft anfangs mit der Geschwindigkeit v nach oben, so erreicht es r D 1 gerade noch mit v D 0. Gleichung (A.7.94) liefert also die relativistisch berechnete sogenannte Fluchtgeschwindigkeit. Das Teilchen kann also immer entweichen, hinreichende Anfangsgeschwindigkeit vorausgesetzt. Im Extremfall, d. h. für r ! 0 muß v ! c gehen. Ist z. B. r D rs , so ist die Fluchtgeschwindigkeit v D 0;795 c. Im nichtrelativistischen Grenzfall, c ! 1 gibt Gleichung (A.7.94) die klassische Fluchtgescheindigkeit r 2GM vD : (A.7.95) r Am Rande sei hier erwähnt, daß schon vor über 200 Jahren John Michell (1724– 1793) und Pierre Laplace (1749–1827) aus dieser Beziehung für die klassische Fluchtgeschwindigkeit, die ja damals schon bekannt war, den Schluß gezogen haben, daß Licht wegen seiner Geschwindigkeit c aus einem Gravitationsfeld nicht entweichen könne, wenn r 2GM 2GM c< ; r< D rs : (A.7.96) r c2 Trotz der aus heutiger Sicht unzureichenden Argumentation, ist das Ergebnis, das dem schwarzen Loch der Schwarzschildmetrik entspricht, richtig. Michell und Laplace haben diesen Schluß nicht für andere Massen gezogen, da sie damals nicht wissen konnten, daß diese niemals größere Geschwindigkeiten als c haben können. Daß sich hier rs ergibt, ist nicht so erstaunlich, wie man zunächst meinen könnte. Es liegt an der schon erwähnten Tatsache, daß man aus G, M und c keine andere Größe der Dimension einer Länge bilden kann. Deshalb führen solche Betrachtungen, bis auf einen dimensionslosen Zahlenfaktor, immer wieder zum Schwarzschildradius. Planeten können von der Erde ausgesandte Radarsignale reflektieren. Läuft der Radarstrahl nahe an der Sonne vorbei, so trifft das reflektierte Signal auf der Erde verzögert ein. Die gemessene Radarechoverzögerung stimmt mit der theoretisch berechneten überein, was ebenfalls die Einsteinsche Theorie mit  D 1 bestätigt.

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

691

A.7.7 Planetenbewegung und Periheldrehung Eine der überzeugendsten Bestätigungen der Einsteinschen allgemeinen Relativitätstheorie ist die Berechnung der Periheldrehung des der Sonne nächsten Planeten Merkur. Mit Hilfe von Gleichung (A.7.82) können die Planetenbahnen berechnet werden. Wiederum verzichte ich hier auf die detaillierte Ableitung, die in der Literatur zu finden ist, z. B. bei Fließbach [52, S. 152 ff.]. Auch hier geht man von der Robertson-Entwicklung aus, wobei A bis zur ersten, B bis zur zweiten Ordnung in rs =r entwickelt werden muß, um das Ergebnis in erster Ordnung zu erhalten. Anders als in der Newtonschen Theorie ergibt sich in der allgemeinen Relativitätstheorie beim Zweikörperproblem der Bewegung eines Planeten im Gravitationsfeld eines Fixsternes keine exakte Ellipse. Man erhält zwar näherungsweise immer noch eine Ellipse, die aber nicht geschlossen ist. Ihr der Sonne nächster Punkt (Perihel) zeigt eine Winkeländerung, die sogenannte Periheldrehung (Bild A.7.8). Für diese Periheldrehung ergibt sich aus Gleichung (A.7.82) pro Umlauf ' D

3 rs 2  ˇ C 2  ; p 3

.rs =r  1/ :

(A.7.97)

Dabei ist rs der Schwarzschildradius des Fixsterns und p der sogenannte Halbparameter der Ellipsenbahn des Planeten (p D b 2 =a, a ist die große, b die kleine Halbachse der Ellipsenbahn). Für die Sonne und den Planeten Merkur mit p D 5;5  1010 m erhält man mit ˇ D  D 1 (d. h. für die Einsteinsche Theorie) eine Periheldrehung von 0,104 Winkelsekunden pro Umlauf. Da das ein sehr kleiner Wert ist, gibt man ihn üblicherweise pro Jahrhundert an. Für den Merkur mit 415 Umläufen pro Jahrhundert erhält man '  43 Winkelsekunden pro Jahrhundert .

(A.7.98)

Nun ist aber die tatsächliche Periheldrehung des Merkur sehr viel größer, nämlich rund 575 Winkelsekunden pro Jahrhundert. Das ist schon lange bekannt und im wesentlichen auf die störenden Einflüsse der anderen Planeten zurückzuführen. Die Berücksichtigung dieser Einflüsse ergab 532 Winkelsekunden pro Jahrhundert. Die fehlenden 43 Winkelsekunden konnte man sich nicht erklären. Man versuchte sie z. B. durch störende Einflüsse eines noch unentdeckten Planeten zu erklären, was ja bei einem anderen astronomischen Problem (Bahnstörung des Uranus) zur spektakulären Entdeckung des Planeten Pluto an einem vorausberechneten Ort geführt

Perihel

Δϕ Aphel

Bild A.7.8

692

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hatte. Bei dem Problem der Periheldrehung des Merkur waren jedoch alle solchen Bemühungen erfolglos. Der Vulkan genannte Planet, der dafür verantwortlich sein sollte, wurde angeblich sogar entdeckt, was sich allerdings als Fehler erwies. In dieser Situation erklärt nun die allgemeine Relativitätstheorie gerade die fehlenden vorher unverständlichen 43 Winkelsekunden. Das ist ein großartiger und überzeugender Erfolg. Alle anderen Planeten zeigen natürlich ebenfalls Periheldrehungen, die allerdings kleiner als die des Merkur sind. Auch sie lassen sich, soweit sie gemessen wurden, mit der allgemeinen Relativitätstheorie im Rahmen der Meßgenauigkeit erklären. Wie bei der Lichtablenkung erwecken manche Darstellungen den falschen Eindruck, Periheldrehungen seien eine Folge erst der allgemeinen Relativitätstheorie. In Wirklichkeit ist es aber so, daß ein nur kleiner aber vorher unverstandener Bruchteil der gesamten Periheldrehung des Planeten Merkur durch die allgemeine Relativitätstheorie quantitativ richtig erklärt wird. Gleichung (A.7.97) liefert auch für ˇ D  D 0 nicht die exakte Ellipsenbahn der Newtonschen Theorie, da sie neben dem relativistischen Gravitationsfeld auch die relativistische Bewegungsgleichung berücksichtigt, die sich von der klassischen Newtonschen Bewegungsgleichung unterscheidet. Man erhielte für den Merkur eine Periheldrehung von rund 29 statt 43 Winkelsekunden pro Jahrhundert. Es ist durchaus bemerkenswert, daß auch die Newtonsche Gravitationstheorie, wenn man die Planetenbahnen nicht klassisch sondern relativistisch berechnet, keine geschlossenen Ellipsen liefert. Gleichung (A.7.97) zeigt, daß 2=3 der Periheldrehung auf die relativistische Bewegungsgleichung zurückzuführen sind, 1=3 auf die Einsteinsche Gravitationstheorie.

A.7.8 Gravitomagnetismus Wir betrachten nach Schutz [55, S. 246 ff.] ein ruhendes Teilchen zwischen zwei fadenförmigen Massenströmen, die sich im Abstand d vom Teilchen mit der Geschwindigkeit v nach links bzw. rechts bewegen (Bild A.7.9a). Alle Teilchen in diesen Fäden haben dieselbe Geschwindigkeit v. Aus Symmetriegründen heben sich die von den beiden Fäden auf das Teilchen ausgeübten Kräfte gegenseitig auf. Das Teilchen erfährt keine resultierende Kraft, bleibt also in Ruhe. Nun wechseln wir das Bezugssystem und betrachten die Situation aus dem mit dem unteren Massenfaυ υ=0

d υ

2υ υ

d υ=0

Bild A.7.9

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

693

den bewegten Bezugssystem. Die vorher vorhandene Symmetrie ist dadurch verloren gegangen. Die von beiden Massenströmen auf das Teilchen ausgeübten Kräfte scheinen jetzt aus zwei Gründen nicht mehr gleich zu sein. Das scheint zunächst so schon aus der speziellen Relativitätstheorie zu folgen. Die Masse des oberen Fadens ist wegen ihrer Geschwindigkeitsabhängigkeit vergrößert und darüber hinaus ist die Massendichte im Faden wegen dessen Lorentzkontraktion vergrößert (Bild A.7.9b). Die obere größere Masse sollte dann auch größere Kräfte als die untere kleinere Masse ausüben, das Teilchen sollte sich in Bewegung setzen. Das kann aber nicht sein. Die Antwort auf die Frage, ob das Teilchen in Ruhe bleibt oder in Bewegung gesetzt wird, kann nicht vom Bezugssystem abhängen. Die Erklärung liegt in der Tatsache, daß bewegte Massen zusätzliche Kräfte bewirken, wie auch in der Elektrodynamik bewegte Ladungen zusätzliche Kräfte ausüben. Diese zusätzlichen Kräfte sind den magnetischen Kräften (Lorentz-Kräften) analog und werden deshalb als gravitomagnetische Kräfte bezeichnet. Diese etwas irreführende Bezeichnung soll auf die formale Analogie zwischen diesen Kräften und magnetischen Kräften hinweisen, obwohl sie keineswegs magnetische Kräfte sind. Diese Analogie finden wir auch in der speziellen Relatvitätstheorie. Die Gleichungen (A.6.72) bzw. (A.6.73) des Anhanges A.6 zeigen wie Kräfte in der speziellen Relativitätstheorie zu transformieren sind. Ausgehend von der rein elektrischen Kraft f D QE, finden wir im relativ dazu bewegten Bezugssystem neben der elektrischen Kraft auch die Lorentzkraft. Gehen wir von der Kraft f D mg

(A.7.99)

aus, so ergibt sich aus den Gleichungen (A.6.72) im neuen Bezugssystem die Kraft 0 1 mg? v g B f0 D mgk C q C mu0 @ q v2 1  c2 c2 1  „ ƒ‚ … „ ƒ‚ transformierte Gravitationskraft

v2 c2

C A:

(A.7.100)

…

gravitomagnetische Kraft

Sie besteht aus zwei Anteilen, aus der transformierten Gravitationskraft im transformierten Gravitationsfeld, das analog dem elektrischen Feld transformiert wird, und aus der der Lorentzkraft analogen gravitomagnetischen Kraft. Gravitomagnetische Kräfte spielen eine erhebliche Rolle, sollen hier aber nicht weiter behandelt werden. Sie sind in der Schwarzschildmetrik, da sie die sie verursachenden Bewegungen nicht berücksichtigt, nicht enthalten.

A.7.9 Weitere Problemkreise der allgemeinen Relativitätstheorie Die vorhergehenden Abschnitte können und sollen nur einen ersten Einblick in die allgemeine Relativitätstheorie vermitteln. Wir haben uns auf die Schwarzschildmetrik und auf einige der damit behandelbaren Probleme beschränkt. Dabei wurden

694

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die Fragen der Ausbreitung elektromagnetischer Strahlung (gravitative Lichtablenkung, gravitative Rot- und Blauverschiebung) relativ ausführlich behandelt, da diese für die elektromagnetische Theorie des Lichtes von erheblicher Bedeutung sind. Deren Ausbreitung im Raum wird erst durch die allgemeine Relativitätstheorie richtig beschrieben. Auch haben wir einige der Effekte diskutiert, die die allgemeine Relativitätstheorie in ihrer Einsteinschen Form mit großer Genauigkeit bestätigen, während andere Varianten (wie z. B. die sogenannte Brans-Dicke Theorie) sich nicht bewährt haben. Es sei auf eine Reihe interessanter Themen hingewiesen, auf die wir nicht eingegangen sind. Das Gravitationsfeld der Erde bewirkt auch die Präzession von Kreiseln (Gyroskopen), also von Satelliten bzw. von Kreiseln in Satelliten. Die Rotation der Erde erzeugt außerdem gravitomagnetische Felder, die eine zusätzliche Präzession erzeugen (Thirring-Lense-Effekt [52, S. 167 ff.]). Die allgemeine Relativitätstheorie ist auch von praktischer Bedeutung für die Satellitentechnik, bei der es ja oft auf große Genauigkeit ankommt. Beim Global Positioning Systems (GPS) z. B. wäre ohne Berücksichtigung sowohl der speziellen wie auch der allgemeinen Relativitätstheorie die angestrebte genaue Ortsbestimmung nicht möglich. Dabei spielt auch sehr genaue Zeitmessung eine wesentliche Rolle, die von der Zeitdilatation der speziellen Relativitätstheorie und von der durch die Gravitation abhängigen Zeitskala der allgemeinen Relativitätstheorie beeinflußt wird. Die allgemeine Relativitätstheorie bringt auch die Beantwortung der anfangs erwähnten Frage von Ernst Mach, ob die parabolische Krümmung der Wasseroberfläche beim Newtonschen Eimerversuch auch dann auftritt, wenn der Eimer sehr dickwandig und massiv ist [52, S. 171]. Es scheint sich zu ergeben, daß die parabolische Krümmung der Wasseroberfläche bei zunehmender Eimermasse geringer werden und bei ausreichender Masse ganz verschwinden könnte, wobei es sich allerdings um riesige, experimentell nicht realisierbare Massen handelt. Dieses Problem kann also nicht endgültig experimentell geklärt werden. Ein wichtiges und viel diskutiertes Problem ist das der Gravitationswellen [52, S. 181 ff.]. Die Einsteinschen Gleichungen sind nichtlinear. Das liegt daran, daß Gravitationsfelder Energie und damit auch Masse besitzen, die ihrerseits Gravitationsfelder erzeugt. Das unterscheidet sie von elektromagnetischen Feldern, die auch Energie und damit Masse, aber keine elektrischen Ladungen besitzen und deshalb nicht selbst zusätzliche elektromagnetische Felder hervorrufen. Wenn sich die Metrik nur wenig von der Minkowskimetrik unterscheidet, kann man die Einsteinschen Gleichungen trotzdem näherungsweise in linearisierter Form anwenden. Sie haben dann, ähnlich den Maxwellschen Gleichungen, ebene Wellen als Näherungslösungen. Ihre den Photonen analogen Quanten bezeichnet man als Gravitonen. Ähnlich wie elektromagnetische Wellen von oszillierenden elektrischen Ladungen emittiert werden, werden Gravitationswellen von oszillierenden Massen erzeugt. Die Beweise gehen ähnlich wie in der elektromagnetischen Feldtheorie von entsprechenden retardierten Potentialen aus. Trotz weitgehender Analogien der beiden Theorien sind allerdings auch nicht unerhebliche Unterschiede zu beachten. Da es bei Massen keine zwei verschiedenen Ladungsvorzeichen gibt, gibt es auch keine Dipole und keine

A.7 Relativitätstheorie und Gravitation, die Allgemeine Relativitätstheorie

695

Dipolstrahlung. An ihre Stelle tritt Quadrupolstrahlung (die sich in ihrer Richtungsverteilung von Dipolstrahlung unterscheidet). Die Strahlungsleistung ist ! 6 proportional, während die der elektromagnetischen Dipolstrahlung ! 4 proportional ist. Im Prinzip ist zu erwarten, daß sie immer auftritt, wenn Massen oszillieren. So sollte z. B. ein angeregtes Wasserstoffatom neben Photonen auch Gravitonen abgeben. Abschätzungen ergeben aber, daß das äußerst selten geschieht. Das „Verzweigungsverhältnis“ Photon zu Graviton ergibt sich zu näherungsweise 1044 , d. h. daß auf 1044 emittierte Photonen nur 1 Graviton kommt, was experimentell nicht nachweisbar ist [52, S. 204 ff.]. Man hat auch an Laborexperimente gedacht. Zum Beispiel sollte ein massiver rotierender Balken auch Gravitationsstrahlung abgeben. Ein 5  105 kg schwerer Balken von 20 m Länge mit einer Rotationsfrequenz von 30 s1 hätte eine Strahlungsleistung von ungefähr 2;4  1029 Watt, was leider auch nicht nachweisbar ist [52, S. 207]. Im Weltraum sollten Doppelsterne, Pulsare oder Supernovae Gravitationswellen emittieren. Seit langer Zeit versucht man mit erheblichem Aufwand aus dem Weltraum kommende Gravitationswellen auf der Erde nachzuweisen. Das ist bisher nicht gelungen. Wenn ein Doppelsternsystem Gravitationsstrahlung emittiert, geht ihm die abgegebene Energie verloren wie auch ein strahlender elektrischer Dipol Energie verliert. Das führt zur Abnahme der Schwingungsenergie, zur sogenannten Strahlungsdämpfung. Man hat nun das Doppelsternsystem PSR 1913C16, bestehend aus einem Pulsar und einem nicht sichtbaren Begleiter, sehr lange Zeit genau beobachtet und dabei festgestellt, daß seine Energie abnimmt. Diese Abnahme stimmt mit der aus der berechneten Strahlungsleistung zu erwartenden Dämpfung mit einer Genauigkeit von 0,2 % überein [52, S. 208 f.]. Das ist ein sehr bemerkenswertes Ergebnis, das als indirekter Nachweis der Existenz von Gravitationswellen betrachtet wird. „Klassische Feldtheorien“ wie die allgemeine Relativitätstheorie oder die Elektrodynamik berücksichtigen keine quantentheoretischen Effekte. Dennoch sind sie für viele Zwecke ausreichend und sogar sehr befriedigend. Wenn und wo das nicht der Fall ist, müssen die Felder quantisiert werden. Für die Elektrodynamik ist das in der sogenannten Quantenelektrodynamik sehr erfolgreich geschehen. Für die allgemeine Relativitätstheorie ist das trotz sehr intensiver Bemühungen bisher nicht gelungen. Die gesuchte quantentheoretische Gravitationstheorie ist das bedeutendste zur Zeit ungelöste Problem der theoretischen Physik und Gegenstand intensiver Bemühungen (wenn dennoch von Gravitonen die Rede ist, so beruht das auf einer angenommenen Analogie zu Photonen, nicht auf einer die Quantenelektrodynamik ersetzenden analogen Theorie der Gravitonen). Sie wäre z. B. für das Verständnis des Kosmos unmittelbar nach dem Urknall oder der Vorgänge im Inneren schwarzer Löcher erforderlich. Es gibt viele offene Fragen. Die Vorstellung, daß das Universum durch einen sogenannten Urknall (Big Bang) entstanden sei, beruht darauf, daß man die gegenwärtig zu beobachtende Expansion des Kosmos formal zurückverfolgend auf einen singulären Punkt stößt, an dem die Expansion begonnen zu haben scheint. Vorher soll es weder Raum noch Zeit gegeben haben. Die Untersuchung der Vorgänge in dieser Anfangssingularität oder sehr kurz danach erfordert eine noch nicht vorhandene Theorie, eben eine die allgemeine Relativitätstheorie und die Quantentheorie zusammenfassende Quantengravitationstheorie.

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Obwohl man im allgemeinen von der Realität des Urknalls ausgeht, gibt es auch Wissenschaftler, die das anzweifeln. Sie halten es für denkbar, daß der Kosmos sich ausdehnt, dann aber wieder zusammenzieht, also oszilliert. So könnte der scheinbare Urknall auch der Beginn einer neuen Expansion nach einer vorherigen Kontraktion gewesen sein. Es wurde auch die Vermutung geäußert, daß Quantenprozesse das Kollabieren von Sternen begrenzen und so die Entstehung von schwarzen Löchern verhindern könnten. Derartige Fragen können mit der zur Zeit verfügbaren Theorie nicht endgültig behandelt werden. Es bleibt also noch viel zu tun. Dennoch stellt die allgemeine Relativitätstheorie schon gegenwärtig einen wesentlichen Fortschritt der Erkenntnis dar, nicht nur für Erscheinungen in unserem Sonnensystem und für zukünftige praktische Anwendungen in der Satelliten- und Raumfahrttechnik, sondern auch für die Untersuchung des Verhaltens und der Entwicklung von Sternen und Sternsystemen und des ganzen Kosmos in der Astrophysik und in der Kosmologie, Probleme, die wir hier nicht behandeln wollen. Dabei stößt man auch auf höchst rätselhafte und noch völlig unverstandene Erscheinungen, die zu der Annahme führen, daß in unserem Kosmos gewaltige bisher „unsichtbare“ Energien und Massen (dunkle Energien, dunkle Massen) vorhanden sein müssen. Unsere Milchstraße z. B. rotiert, wobei die dadurch erzeugten Fliehkräfte sehr groß sind. Um sie durch Gravitationskräfte zu kompensieren, müssen in der Milchstraße viel größere Massen als die der sichtbaren und uns bekannten Sterne vorhanden sein. Es ist bisher nicht geklärt, welcher Art diese nicht sichtbare „dunkle Masse“ ist. Die Klärung der damit zusammenhängenden und anderer Fragen kann zu erheblichen neuen Erkenntnissen und zu der Notwendigkeit von Erweiterungen und Modifikationen auch der allgemeinen Relativitätstheorie führen.

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Anhänge

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Allgemein empfohlen Jackson, J. D.: Classical electrodynamics. Second ed. New York, London, Sydney, Toronto: John Wiley & Sons, 1975 Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M.: Vorlesungen über Physik. München, Wien: R. Oldenbourg, Band II Teil 1, 1973, Band II Teil 2, 1974 Simonyi, K.: Theoretische Elektrotechnik. Leipzig, Berlin, Heidelberg: Johann Ambrosius Barth, Edition Deutscher Verlag der Wissenschaften, 10. Aufl. 1993 Stratton, J. A.: Electromagnetic Theory. New York, London: McGraw-Hill, 1941 Smythe, W. R.: Static and Dynamic Electricity. New York: McGraw-Hill, 1968 Durand, E.: Electrostatique Tome I, Les Distributions. Paris: Masson et Cie, 1964 Durand, E.: Electrostatique Tome II, Problemes Generaux Conducteurs. Paris: Masson et Cie, 1966 Durand, E.: Electrostatique Tome III, Methodes de Calcul Dielectriques. Paris: Masson et Cie, 1966 Durand, E.: Magnetostatique. Paris: Masson et Cie, 1968

Sachverzeichnis

Abbildung 215 – konforme 212, 217, 218, 250, 255, 273, 328 Aberration 639 Abschirmung von Magnetfeldern 318 absolute Zeit 629 absoluter Raum 629, 630 Aharonov 267, 605–616 Ähnlichkeitsgesetz 364, 367, 380 Ähnlichkeitstransformation 367 d’Alembertsche Lösung der Wellengleichung 415, 454 Alter des Weltalls 596, 597 Alvarez-Methode 604 Ampere 38 –, absolutes 38 –, internationales 38 Amperesche Molekularströme 32, 299 Anfangswertproblem 368, 509, 510 Antennengewinn 472, 476 Apollonius-Kreise 82, 225 Äquipotentialfläche 23, 58, 74 Äquivalenz von Wirbelring und Doppelschicht 296, 624 Äquivalenzprinzip 662, 670 Arbeit 12, 21 Arbeitsfähigkeit 22 Argument einer komplexen Zahl 217 Äther 630 äußere Schwarzschildmetrik 673ff Ausblendeigenschaft der ı-Funktion 135 Ausbreitungsvektor 423 Ausstrahlungsbedingung 455 avancierte Eddington-Finkelstein-Metrik 683 Basisfunktionen

141, 163, 541

Batterie 237 p-Bereich 369 Bereichsunterteilung 561 Besselsche Differentialgleichung 168, 400 Besselsche Funktion 168 –, – erster Art 169 –, modifizierte 171 Betrag einer komplexen Zahl 217 Bewegungsgleichung 22, 608 –, relativistische 648 Bezugspunkt 45 Big Bang 695 Bildfeld 382 Bildladung 59, 75, 78, 139, 202, 207, 628 Bildladungsmethoden 541, 548, 573–575 Bildquelle 247 Biot-Savartsches Gesetz 264–266, 269, 289 Birkhoff-Theorem 673 Blauverschiebung 688, 689 Bohm 267, 605–616 Bohm-Aharonov-Effekt 605–616 Bosonen 582 Brechung – durch eine freie Oberflächenladung 94 – elektrischer Kraftlinien 91–94 – magnetischer Kraftlinien 310–313 – von Wellen 439–450 Brechungsgesetz für Wellen 441, 443, 444, 447, 449 – für die Stromdichte 241, 245, 246 – für elektrische Feldlinien 93, 94 – für magnetische Feldlinien 312 Brewster-Winkel 446 de Brogliesche Beziehung 612 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 209, 214, 254, 328

700

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Christoffelsymbole 665–669, 676, 683 Compton-Wellenlänge 583 Corioliskraft 661, 668, 669 cos-Integral 160 Coulomb 40 Coulomb-Eichung 260, 263 Coulomb-Feld 583 Coulomb-Potential 50, 583 –, abgeschirmtes 50 Coulombsches Gesetz 2–4, 30, 41, 43, 598 – – für magnetische Ladungen 295, 598 Dämpfungskonstante 436 Dämpfungssatz 512, 516 de l’Hospitalsche Regel 371 Debye-Hückel-Feld 584 Debye-Hückel-Potential 583 Definition der magnetischen Feldstärke 301 Diamagnetismus 299 Dielektrikum 78, 85, 89, 95 Dielektrische Verschiebung 4, 87–89 Dielektrizitätskonstante 87 Dielektrizitätskonstante, relative 87 – des Vakuums 4 Differenzengleichungen 551 Differenzierbarkeit, eindeutige 214 Diffusion 359 Diffusionsgleichung 360, 363 Diffusionsproblem, zylindrisches 398 Diffusionszeit 365 Dini-Reihe 402 Dipol, idealer elektrischer 59, 60, 589 –, idealer magnetischer 284, 590 –, magnetischer 279, 291 –, schwingender elektrischer 464, 601 –, schwingender magnetischer 473, 601 Dipolantenne 472 Dipolfeld –, elektrisches 59, 100 –, magnetisches 284 Dipolmoment –, Flächendichte 65 –, elektrisches 59–73, 85 –, magnetisches 283–285 –, pro Längeneinheit 72 Dipolquelle 249 Dipolströmung 266 Dirac 598, 603 Dirac-Gleichung 582 Diracsche ı-Funktion 133 Diracscher Monopol 603 Diracsches magnetisches Elementarquantum 598 direkte Randelementmethoden 569

Dirichletsches Randwertproblem 129, 143, 148, 179, 480 – – der Kugel 201 Dispersionsbeziehung 412–422, 431–433, 436, 487 Distribution 133 Divergenz 9, 122 Domain Decomposition Method 561 Doppelschichten, elektrische 65, 67, 68, 92, 139, 520, 624, 627 –, homogene elektrische 66 –, homogene magnetische 287 –, magnetische 287, 312 –, zylindrische elektrische 72 –, zylindrische magnetische 288 Doppelspalt 612 Doppler-Effekt 639 –, relativistischer 640 Drehimpuls 598 Drehmoment 24, 297, 298 Dreieckskoordinaten 563, 564 Dreiecksmatrizen 559 Dreizehn-Punkte-Formel 556 Druckkraft 117 duale Transformationen 599 dunkle Energie 696 dunkle Masse 696 Durchflutungsgesetz 24, 27, 29, 259, 269 Durchlässigkeitskoeffizient 446 ebene elektrostatische Probleme 208 Ebene konstanter Amplitude 436 – – Phase 436 ebene Wellen 414–448 Eddington-Finkelstein-Koordinaten 681 Eddington-Finkelstein-Metrik 681, 683 effektives Potential 678, 679, 681 Ehrenfestsche Theoreme 610 eichinvariant 260 Eichtransformation 260 Eigenfunktion 506, 507 Eigenwert 144, 506, 507 Eindeutigkeitsbeweis 131 Eindringtiefe 366, 386 Einfallsebene 440 eingeprägte elektrische Feldstärke 237 eingeschwungener Zustand 385 Einheitsoperator 162 Einheitsvektor 18, 162 Einstein 630 Einsteinsche Beziehung zwischen Masse und Energie 646 Einsteinsche Feldgleichung 664, 670 Einsteinsche Summenkonvention 665

Sachverzeichnis

Elektret 86 Elektromagnet 308 elektromotorische Kraft 237 Elektronenstrahlinterferenz 612 Elektronenvolt 42 Elektrostatik 37, 42 Elementarladung 40 Elementarquantum, magnetisches 598, 603 Elementarstromtheorie 296 Elementmatrix 566, 567 Ellipsoide 101, 105 EMK 237 Energie, elektrische 111 –, eines geladenen Kondensators 115 –, elektrostatische 112–115 –, kinetische 22, 581 –, magnetische 111, 341–345 –, potentielle 22, 581 Energie-Impuls-Tensor 670, 671, 673 Energiedichte 110, 430, 585 –, magnetische 341 Energieflußdichte 110 Energiesatz 13, 22, 109, 581 – in Operatorform 582 Energietransport 422, 430 Entartung 507 Entelektrisierungs-Faktor 106 – des Ellipsoides 107 Entmagnetisierungs-Faktor 107, 314 Entropiesatz 361 Entwicklung des reziproken Abstandes – für Kugelkoordinaten 199, 624 – für Zylinderkoordinaten 177, 186–188 – für kartesische Koordinaten 156 Entwicklungsfunktionen 541 Entwicklungskoeffizienten 164 Erde 594 Ereignis 665 Ereignishorizont 675, 682, 683, 685 error funktion 380 – – complement 380 Ersatzladungsmethoden 541, 548, 573–575 erzeugende Funktion 549 Euler-Faktor 561 Euler-Lagrangesche Differentialgleichung 528–530 Eulersche Differentialgleichung 528–530 E-Wellen 429 explizite Verfahren 559–561 Faltungsintegral 369 Faltungstheorem 369, 379, 394, 401, 405 Farad 42, 85 Faraday 32

701

Fehlerfunktion 380 –, komplementäre 380 Fehlerquadrate 541, 542, 544, 547, 548 Feld ebener Leiterschleifen 289 –, elektrisches 5 –, winkelabhängiges, der gleichförmig bewegten Ladung 30, 619 Felddiffusion 364, 365, 371, 376, 389 Feldlinien 23, 24 Feldstärke 44 –, eingeprägte 237 –, elektrische 4, 5 –, komplexe 220 –, magnetische 25 Feldtensor 651 Fermionen 582 Fernfeld 470, 475 Fernwirkung 606 Ferromagnetismus 300, 304 finite Differenzen 528, 547, 548, 552–561, 576 finite Elemente 531, 545, 546, 548, 561–567 Fitzgerald-Vektor 459 Fläche, magnetische 332 Flächendichte des elektrischen Dipolmomentes 65 – des magnetischen Dipolmomentes 287 Flächenelement 122 Flächenladung 46, 173, 183 Flächenladungsdichte, elektrische 46 –, magnetische 295 Flächenstrom 293, 310, 332, 335 Flächenstromdichte 293 Fliehkraft 661, 662, 668–670, 679, 681, 696 Fluchtgeschwindigkeit 690 Fluß, elektrischer 5 – magnetischer 32, 266, 331, 341 Flußröhren 23 formale Analogie zwischen D und g 245 Formfunktionen 546, 561, 563–567, 569 Fourier-Bessel-Reihe 179, 181, 401, 403 Fourier-Bessel-Transformation 184 Fourier-Entwicklung des reziproken Abstandes 156 Fourier-Integral 154, 156, 159 – exponentielles 160 Fourier-Mellinscher Satz 369 Fourier-Reihe 156, 157 –, komplexe 158 –, zweidimensionale 145 Fourier-Transformation 175 Fredholmsche Integralgleichungen 1. u. 2. Art 520, 521 Freiraumwellenlänge 488, 499

702

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Frequenz 420 Fresnelsche Beziehungen 441, 443 Fundamentallösung 519, 523, 524 Fünf-Punkte-Formel 553, 554, 558, 576 ı-Funktion 133, 136, 176, 194, 392 Funktion, analytische 212, 214, 221 –, gerade 158 –, harmonische 209 –, komplexe 213 –, komplexer Zahlen 213 –, uneigentliche 133 –, ungerade 158 Funktional 529, 536 Funktionentheorie 370 Galerkin-Methode 541, 545–548, 562 Galilei 660 Galilei-Transformation 629, 631, 635 Gauß 42, 668 Gauß-Elimination 555, 558 Gauß-Funktion 134 Gauß-Kurve 372 Gauß-Seidel-Verfahren 555, 559 Gaußscher Integralsatz 9, 11, 129 Gebiet, mehrfach zusammenhängendes 267 gekrümmte Raumzeit 664 Geodäten 668 geodätische Linie 668 Gesamtmatrix 566, 567 gewichtete Residuen 540–548, 562, 574 Gewichtsfunktion (Orthogonalität) 181 Gewichtsfunktionen (bei gewichteten Residuen) 541 Gezeitenkraft 685 glatte Oberfläche 518 Gleichung, elliptische 362, 363 –, homogene 375 –, hyperbolische 362, 363 –, inhomogene 375 –, parabolische 362, 363 Gradient 21, 122 Gravitation 660, 662, 663, 687, 694 Gravitationsfeld 660, 662, 663, 675, 678, 686–688, 690, 692f Gravitationskonstante 662 Gravitationskraft 662, 668, 670, 672, 679, 681, 693, 696 Gravitationspotential 663, 689 Gravitationsstrahlung 695 Gravitationstheorie 664, 674, 692, 695 Gravitationswellen 694, 695 gravitative Blauverschiebung 675 gravitative Rotverschiebung 675 gravitomagnetische Kraft 693

Gravitomagnetismus 692 Gravitonen 694, 695 Greensche Formel 138 Greensche Funktion 140, 151–153, 200, 374, 379 – – des Dirichlet-Problems 152, 153 – – des Neumann-Problems 153 – – erster, zweiter Art 152 Greenscher Integralsatz 129–131, 153 Greenscher Integralsatz in der Ebene 130, 507 Grenzfrequenz 488, 593 Grenzwellenlänge 488, 491, 499, 501 Grenzwinkel der Totalreflexion 448 Größe, dimensionslose 513 Grundeinheit 38 Gruppengeschwindigkeit 422, 423, 429, 488, 593 Halbinverse 543 Hamilton-Funktion 606 Hamiltonsche Differentialgleichungen 606 Hankel-Transformation 183, 184 Harms-Goubau-Leiter 497 Hauptsatz, erster 361 –, zweiter 361 Hawking 675 Hawkingstrahlung 675 Heavisidesche Sprungfunktion 135, 512 Heisenbergsche Unschärferelation 596, 597 Helmholtz-Gleichung 478, 479, 486, 506, 530, 536–540 Helmholtzsches Theorem 140, 237, 620–629 Henry 42 Heringscher Versuch 355, 357 Hertzscher Dipol 464, 620 Hertzscher Vektor, elektrischer 456, 465, 479, 486, 487, 493, 498 – –, magnetischer 457, 459, 474, 480, 481, 490, 500 Hohlkugel im homogenen Magnetfeld 313, 317 Hohlleiter 476 –, kreiszylindrische 496–506 –, rechteckige 486–492 –, zylindrische 476–486 Hohlraumresonator 492, 595 de l’Hospitalsche Regel 371 Hubble 672 HWellen H-Wellen 428 Hysteresekurve 305–307 implizite Verfahren

560, 561

Sachverzeichnis

Impulskoordinate, kanonische 605 indirekte Randelementmethoden 569 Induktion durch Bewegung des Leiters 350 –, magnetische 31 Induktionsgesetz 32, 349 Induktivitätskoeffizienten 341, 343, 347 Inertialsysteme 629 infinite Elemente 567 Influenzkoeffizienten 204 Influenzladung 74 ingoing 683 inhomogene Welle 436, 448, 449 Innenleiter 483 innere Schwarzschildmetrik 675, 683f Integrale, vollständige elliptische 1. oder 2. Art 176, 281 Integralgleichungen, Fredholmsche 1. und 2. Art 520, 521 Integraloperator 165 Integraltransformation 166, 184, 374, 379 Integration, partielle 131 Interferenzbild 612 Invarianz der Maxwellschen Gleichungen gegenüber dualen Transformationen 600 inverse Formulierung 570 Irreversibilität 362 irreversibler Vorgang 361 Isolator 25, 73 Iterationsmethoden 555, 559 Jacobi-Verfahren 555, 559 Jonosphäre 595 Joule 40, 42 Jupiter 594 Kapazität von Kondensatoren 83, 84, 587 Kapazitätskoeffizienten 206 Kelvinsche Funktion „ber“ 409 – – „bei“ 409 Kern einer Integraltransformation 165 Kerrmetrik 675 Kilogramm 38 Kirchhoffscher Satz der Potentialtheorie 138, 518, 519, 522, 573 –, dreidimensional 518 –, eindimensional 519, 522 –, zweidimensional 519 Kirchhoffscher Satz der Theorie der Netzwerke 236 Klein-Gordon-Gleichung 581 kleinste Fehlerquadrate 541, 542, 544, 547 Knoten einer stehenden Welle 425 Knotenpunkte 561–563, 569

703

Koaxialkabel 343, 497, 502 Koerzitivkraft 306 Kollokation, überbestimmte 541–543, 547, 574 Kollokationsmethode 541–543, 547, 574 Kommutator 353 Kondensator 82, 83, 89, 587 – mit geschichtetem Medium 90 Kondensator, Kapazität 83, 84, 587 konfokal 216 konform 217 konstantes Element 569 Kontinuitätsgleichung 29 Koordinaten des elliptischen Zylinders 232 Koordinaten des parabolischen Zylinders 216 Koordinaten, orthogonale 120 –, – krummlinige 122 Koordinatensysteme 126 –, kartesische 126 –, orthogonale 121 Koordinatentransformation 118 kosmologische Konstante 670–672 Krümmungstensor 666, 667 Kraft 115 –, elektrische 3 –, elektromotorische 237 –, magnetische 24 Kraftdichte 297 Kräftepaar 297 Kreis, magnetischer 308 Kreise des Appolonius 82, 225 Kreisfrequenz 420 –, dimensionslose 384 Kreisstrom 279 Kreiszylinder 106 Kronecker-Symbol 146 Kruskal-Koordinaten 681 Kruskal-Szekeres-Koordinaten 681 Kugel 313 –, dielektrische 98, 195 –, homogen polarisierte 98 –, im homogenen Magnetfeld 314 Kugelflächenfunktionen 3, 19 Kugelfunktionen 192, 193 –, zugeordnete 192 –, – erster, zweiter Art 192 Kugelkondensator 83 Kugelkoordinaten 128, 191 Kurve, jungfräuliche 305 Ladung –, bewegte elektrische –, elektrische 2ff

30, 55, 616–620

704

Sachverzeichnis

–, fiktive magnetische 294, 302, 325 –, freie elektrische 88 –, gebundene elektrische 88 –, gebundene magnetische 302 –, magnetische 24, 36, 597–605 Ladungserhaltungssatz 28, 36, 107, 235, 584 Ladungsmenge 3 Ladungsverteilung, eindimensionale, ebene 47 –, kugelsymmetrische 48 –, zylindersymmetrische 51 Lagrange-Parameter 531, 533 Laplace 690 Laplace-Gleichung 44, 530 Laplace-Operator 44, 49, 123, 137, 261 Laplace-Transformation 364, 367, 368 Laurent-Reihe 370, 371 LC-Schwingkreis 494 Legendresche Polynome 193 Leiter 25, 73 Leitfähigkeit –, magnetische 309 –, spezifische elektrische 34, 235, 239 Leitungsstromdichte 30 Leitungstheorie 483 Lenzsche Regel 299 Lichtablenkung 687f lichtartige Weltlinie 681, 682 Lichtgeschwindigkeit 42, 415 Lichtkegel 681–683 Lichtleiter 497 Lichtquant 581 Liénard-Wiechertsche Potentiale 616–620 linear polarisiert 419 Linearität 35 Liniendipol 71, 227 Linienelement 122 Linienladung 46, 53, 224, 226 Linienladungsdichte 47 Linienquelle 249 Links-Rechts-Zerlegung 555, 559 lokale Netzverfeinerung 559 Lorentz-Eichung 260, 452, 458, 584, 644 Lorentz-Kontraktion 31, 636 Lorentz-Kraft 31, 259, 350, 351 Lorentz-Transformation 631, 634–636, 642 Lösung, avancierte 455 –, retardierte (verzögerte) 455 LR-Zerlegung 555, 559 Mach 661, 694 Magnetfeld 24 Magnetisierung 291 Magnetisierungsstrom

321–323

Magnetisierungsstromdichte 293 Magnetnadel 24 Magnetostatik 37, 259 Material, hartes 307 –, weiches 307 Materialgleichungen 35 Maxwellsche Gleichungen 1, 33, 597 Maßstabsfaktoren 121 Maßsystem 37 Medium, anisotropes lineares 304 –, lineares 87, 301 –, magnetisierbares 298 –, unendlich leitfahiges 326 Mengentheorie 296 Merkur 691, 692 -Mesonen 583 -Mesonen 583 Metallkugel 75, 78 Metallzylinder 81 Meter 38 Methode, funktionentheoretische 118, 219ff – der Separation der Variablen 118, 219ff – der Variation der Konstanten 118, 219ff, 375 – der virtuellen Verrückung 116, 118, 219ff metrischer Tensor 122, 665, 667, 668, 670, 683 Michell 690 Michelson-Versuch 630 Minkowski-Raum 633, 642 Mittelwertsätze der Potentialtheorie 527, 528, 554 Moment, magnetisches 291 Momentenmethode 540, 544, 547 Monopol, magnetischer 597, 598, 603 Monte-Carlo-Methoden 548, 551, 575–579 Multipolentwicklung 200 Nabla 12, 18 natürliche Randbedingungen 530, 531 Netz, orthogonales 210 Netzverfeinerung 559 Neukurve 305 Neumannsche Funktion 168 Neumannsches Randwertproblem 129, 481 Neun-Punkte-Formel 556–558 Newton 39, 40, 671, 672, 676, 679, 687, 689, 691, 692 Newtonsche Gravitationsgesetz 661, 663 Newtonsche Gravitationskonstante 661 Newtonsche Gravitationstheorie 670 Newtonscher Eimerversuch 661, 694 Newtonsches Gravitationsfeld 688, 689 nichteuklidische Geometrie 683, 688

Sachverzeichnis

nichteuklidischer Raum 688 nichteuklidisches Dreieck 688 Normalkomponenten – von B 311 – von D 92, 246 Nullstellen – der abgeleiteten Bessel-Funktionen J0m 500, 501 – der Bessel-Funktionen Jm 180–183, 400–406, 498–500 Oberflächenladung 139, 197 Ohm 42, 239 Ohmsches Gesetz 34, 111, 235 Oktopol 201 Operator – der Gesamtenergie 581 – der kinetischen Energie 581 – des Impulses 581 Orthogonalitätsbeziehung 145, 149, 155, 157, 159, 160, 163, 181, 184, 193, 194 Orthogonaltrajektorien 210 Ortskoordinaten, kanonische 606 outgoing 683 parallel polarisierte 442–447 –, –, senkrecht polarisierte 442–447 –, –, stehende 425 –, –, transversale 415 –, –, transversale elektrische 428 –, –, transversale magnetische 429 –, –, zirkulär polarisierte 425 Paramagnetismus 300 Parameterdarstellung 119, 216 Periheldrehung 691, 692 Periode 420 Permanentmagnet 303 Permeabilität 302 – des Vakuums 31 –, relative 301 Perpetuum mobile 13 Phasengeschwindigkeit 366, 386, 421, 422, 487, 593 Phasenkonstante 436 Photon 10, 581 Photonenruhmasse 581 Platte, ebene, im elektrischen Feld 86 –, –, im magnetischen Feld 313 Plattenkondensator, ebener 83, 89, 586 Pluto 691 Poisson-Gleichung 44, 49, 52, 136, 151, 153, 530, 532–536 – –, magnetische 302 Pol der Ordnung m 370, 371

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Polardiagramm 471 Polarisation von Licht –, elliptische 423 –, lineare 419, 425 –, parallele 44ff –, senkrechte 442ff –, zirkuläre 425 Polarisation, elektrische 62, 85, 98ff –, magnetische 296 –, permanente elektrische 86, 101 Polarisationspotentiale 461 Polarisationsstrom 107 Polarisationsstromdichte 108 Polarisationswinkel 446 Potential 20, 21, 43, 44, 137, 208, 219, 220 –, komplexes 219–221, 254, 273, 328 –, komplexes einer Linienladung 221 –, komplexes eines Liniendipols 227 –, logarithmisches 53 –, retardiertes 454–456, 616–620 –, skalares magnetisches 267 Potentialdifferenz 21 Potentialfunktion 21 Potentialgleichung 363 Potentialkoeffizienten 204 Potentialsprung 73, 92 Potentialtheorie 129 Pound 689 Poyntingscher Satz 585 Poynting-Vektor 109, 430, 471, 475, 585 Präzession 694 Prinzip der Erhaltung der elektrischen Ladung 28, 36, 107, 235, 584 Probleme, ebene 208, 327 Proca-Gleichungen 585, 594 Produkt, dyadisches 162 –, unbestimmtes 162 Projektionsoperator 162 Prozeß, irreversibler 360 –, stochastischer 365 pseudoeuklidische vierdimensionale Raumzeit 633 Punkt, singulärer 214, 221 Punktladung 8, 46, 95, 136, 154, 177 Quadrupol 201 Quadrupolstrahlung 695 Quantengravitationstheorie 695 Quantenmechanik 581 Quantisierung des Drehimpulses 598 Quarks 29 quasistationäre Näherung 349 Quelle 9, 10, 20, 621, 623 –, punktförmige 246

706

Sachverzeichnis

Quellstärke 10 Querschnitt, einfach zusammenhängender 483 –, mehrfach zusammenhängender 483 Radarechoverzögerung 690 Rahmenantenne 473 Randbedingungen – für A 313 – für B und H 310, 311 – für E und D 91–94 – für die Stromdichte 240, 241 –, Dirichletsche 129, 520, 521, 524, 530, 532 –, gemischte 129, 251, 521 –, homogene 530 –, inhomogene 530 –, natürliche 530, 531 –, Neumannsche 129, 520, 521, 530, 534, 535 –, wesentliche 530, 531 Randelementmethoden 521, 523, 526, 548, 567, 568 –, direkte 569 –, indirekte 569 Randgebietsformeln 555 Random Walk 548–552, 575–579 Randwertprobleme –, Dirichletsche 129, 520, 521, 524, 530, 532, 535 –, gemischte 129, 251, 521 –, Neumannsche 129, 520, 521, 530, 534 –, zylindrische 328 raumartige Weltlinie 681, 682 Raumladungsdichte, elektrische 8 –, magnetische 294 Raumwinkel 66, 287 Raumwinkelelement 66 Rauschen 361 Rayleigh-Ritz-Methode 531, 545–548, 562 Rechteckfunktion 134 Rechteckhohlleiter 486–492 Rechtsschraube 15, 20 Reflexion von Wellen 439 Reflexionsgesetz 441 Reflexionskoeffizient 446 Reissner-Weyl-Metrik 675 relativistische Addition der Geschwindigkeiten 637 Relativitätstheorie 10, 31 –, allgemeine 630 –, spezielle 630 Relaxationsmethode 555, 559 Relaxationszeit 237–239, 244, 514 Remanenz 306

Residuen (Funktionentheorie) 370, 371 Residuen, gewichtete 540–548, 562, 574 retardierte Eddington-Finkelstein-Metrik 683 Retardierung 454, 466 reziproker Abstand 156, 177, 186–188, 199, 624 Reziprozitätstheorem 206 Ricci-Tensor 666, 668, 670, 673, 683 Riemann-Christoffel-Krümmungstensor 666 Riemannsche Fläche 223 Riemannsche Geometrie 664, 665 Riemannscher Raum 662 Ringspannung 32 Ringstrom 335, 337 Ritz-Methode (= Rayleigh-Ritz-Methode) 531, 545–548, 562 Robertson-Entwicklung 676, 687, 691 Rotation 15, 124 Rotverschiebung 675, 685, 688, 689 R-Separierbarkeit 143 Ruhmasse der Photonen 10, 581–597 Sättigung 305 Satz von der Unmöglichkeit eines Perpetuum mobile erster, zweiter Art 361 Schrödinger-Gleichung 581, 582, 607, 608 –, relativistische 582 Schumann-Resonanz 595 schwach besetzte Matrizen 555, 567 schwache Formulierung 546, 570 Schwarz-Christoffel-Abbildung 234 schwarzes Loch 675, 676 Schwarzschildmetrik 673–692 Schwarzschildradius 663, 674, 675, 681, 684, 687, 689–691 schwere Masse 660–662 schwingende Saite 496 Sechservektoren 651 Sekunde 38 Selbstinduktivitätskoeffizienten 343 semi-implizite Verfahren 561 Senke 9 – des elektrischen Feldes 10 Separation 140, 167, 191, 251, 328, 486 Separationskonstante 141, 167 Separationsmethode 140, 167, 191, 251, 328, 486 Separatrices 56, 486 Separierbarkeit 143 Sieben-Punkte-Formel 554 Signalgeschwindigkeit 423 sin-Integral 160 Singularität 370

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–, wesentliche 370 skalare Krümmung 666, 668 Skineffekt 326, 364, 366, 384, 398 – im zylindrischen Draht 407 Skintiefe 366 Snelliussches Brechungsgesetz 441 Snider 689 Sommerfeldleiter 497 Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante 603 Spannung 20, 21 –, magnetische 309 –, mechanische 117 Spannungsquelle 237, 238 Spektrum, diskretes 163 –, kontinuierliches 163 sphärisches Gravitationsfeld 674 Spiegelung an der Ebene 76, 98, 319 – am Kreis 81 – an der Kugel 75 – einer Linienladung am Zylinder 226 Spiegelungsmethode 59, 75, 247 Spin 32, 291, 299, 582 Spule 277, 344, 347 –, toroidale 278 Spur 671 Stagnationslinie 79, 89, 274, 483, 486 Stagnationspunkt 55–58, 79–81, 274 Staulinie 79, 80, 274, 481, 486 Staupunkt 55–58, 79–81, 274 Stokesscher Integralsatz 15, 16 Strahlungsdämpfung 695 Strahlungsleistung 470, 471, 475 Strahlungswiderstand 472, 476 Strom, elektrischer 24, 25 Strombelag 293, 310 Stromdichte, elektrische 25 Stromfunktion 208–211, 219, 220, 255, 275, 468 – des rotationsymmetrischen Magnetfeldes 330 Stromstärke 39 Strömungsfeld, stationäres 235 Strömungslinie 331 Stromverteilung, rotationsymmetrische 276 Stromwärme 111 Stromwender 353 Struktur rotationsymmetrischer Magnetfelder 330 Superponierbarkeit 8 Superpotentiale 459 Suszeptibilität, elektrische 86 –, magnetische 299 Symmetrie 35 – der Maxwellschen Gleichungen 35

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Tangentenvektor 120, 121 Tangentialkomponenten – von E 92, 246 – von H 311 TE-Wellen 426, 428, 479, 480, 489, 500 Teilchen, relativistische 582 Teilgebiete 543, 544, 547 Telegraphengleichung 483, 504 TEM-Wellen 479, 481, 491 Tensor 89, 304, 643 Tesla 42 Theorema Egregium 668 Thirring-Lense-Effekt 694 TM-Wellen 426, 429, 479–481, 487, 498 Totalreflexion 447, 448 träge Masse 660–662 Trägheitskraft 661, 662, 668 Transformation, duale 599–602 –, orthogonale 631 Trefftz-Methode 572 Trennfläche 268, 287 Tunneleffekt 449 überbestimmte Kollokation 541–543, 547, 574 überbestimmtes Gleichungssystem 541–543 Überlagerungsprinzip 8, 35, 151 Umkehrformel für die Laplace-Transformation 369–371 unendliche Elemente 567 Unipolarmaschine 355 Unschärferelation 596 Uranus 691 Urknall 695, 696 Urspannung 237 Variable, dimensionslose 366 Variationsintegrale 528–540 Variationsprobleme 506, 528–540, 545 Vektordiffusionsgleichung 360 Vektorpotential 260, 266, 451, 610 –, elektrisches 457 Vergleichsfunktion 529, 531 Verjüngung 643 Verrückung, virtuelle 116 Verschiebung, dielektrische 4, 5, 43, 88 Verschiebungssatz 368 Verschiebungsstromdichte 30 Verzweigungspunkt 223 Vielleitersysteme 203–207 vierdimensionale Divergenz 644 Viererbeschleunigung 649 Vierergeschwindigkeit 646 Viererimpuls 645, 646

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Sachverzeichnis

Viererkraft 648 Viererpotential 644 Viererstromdichte 644 Vierertensoren 642 Vierervektor der Wellenzahl 647 Vierervektoren 642 virtuelle Teilchen-Antiteilchen-Paare 675 vollständige orthogonale Systeme 161 Vollständigkeitsrelation 147, 162, 164, 181, 185 Volt 40 Volumenelement 122 Wärmeleitung 360 Watt 40 Weber 42 Wechselstromgenerator 353 Wechselwirkung, lokale 606 weißes Loch 683 Weilengruppe 422 Wellen, elektromagnetische 413–415, 516 –, –, ebene 413–450 –, –, elliptisch polarisierte 424 –, –, harmonische ebene 419 –, –, homogene 436 –, –, inhomogene 436, 448, 449 –, –, linear polarisierte 419, 425 –, –, longitudinale 415 Wellengleichung 362, 363, 413, 415, 431 –, inhomogene 450, 453, 644 –, vierdimensionale inhomogene 644 Wellenlänge 420 Wellenpaket 422 –, schmalbandiges 423 Wellenvektor 423

Wellenwiderstand 418, 419 Wellenzahl 420 Wellenzahlvektor 423 Weltlinie 665, 682 wesentliche Randbedingungen 530, 531 wesentliche Singularität 370, 371 Widerstand 111, 237 –, magnetischer 309 Winkelgeschwindigkeit 19 Winkeltreue 217, 218 Winkelverteilung der Dipolstrahlung 470, 471 Wirbel 20, 621, 623 wirbelbehaftet 20 Wirbelfeld 20 wirbelfrei 20 Wirbelstrom 364 Yukawa-Feld 583 Yukawa-Potential 583 Zahl, komplexe 212, 217 –, konjugiert komplexe 213 Zeitableitung, totale 353 zeitartige Weltlinie 681, 682 Zeitdilatation 637 Zeitumkehr 362 zentraler Fall 684, 685 Zufallserscheinung 365 Zylinder, elliptischer 106 Zylinderfunktionen 168, 169, 172, 329, 497 Zylinderkondensator 84 –, exzentrischer 226 Zylinderkoordinaten 126, 167, 177