Roger Penrose DROGA DO RZECZlWISTOSCI ~
Wyczerpujqcy przewodnik po prawach rzqdzqcych Wszechswiatem
Przetozyt Jerzy Przystawa
Tytul oryginalu angielskiego THE ROAD TO REALITY A complete Guide to the Laws of the Universe Copyright © Roger Penrose, 2004 All Rights Reserved Recenzje merytoryczne Prof. dr hab. Marek Dernianski Prof. dr hab. Jerzy Lukierski Prof. dr hab. Kacper Zalewski Konsultacja naukowa przekladu Prof. dr hab. Marek Demianski Dr hab. Marek Wolf Opracowanie indeksu Prof. dr hab. Jerzy Przystawa Redaktor prowadzqcy i koordynacja wydawnicza Adam Rysiewicz Projekt okladki i stron tytulowych Roman Kirilenko Sklad i lamanie Wydawnictwo 6D, Warszawa Komputerowe opracowanie indeksu Aleksander Michalski Redakcja Anna Kaniewska Magdalena Korytowska Korekta Anna Kaniewska
Ksh!zka dofinansowana ze srodk6w Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyzszego (decyzja nr 814/DWP/P/2006)
ISBN 978-83-7469-179-6 Wydawca Proszynski i S-ka SA ul. Garazowa 7, 02-651 Warszawa Druk i oprawa Drukarnia Naukowo-Techniczna Oddzial Polskiej Agencji Prasowej SA ul. Minska 65, 03-828 Warszawa
Pamiyci DENNISA SCIAMY, kt6ry przekazal mi fascynacjy fizykq, ksiqzky ty poswiycam
Spis tresci Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XIII
Podziykowania ...........................................................
XIX
Notacja ..................................................................
XXI
Prolog ................................................................... .
1 Korzenie nauki ......................................................
7
W poszukiwaniu sit, kt6re uksztaltowaly swiat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prawda matematyczna .............................................. Czy swiat matematyczny Platona jest swiatem "rzeczywistym"? ............ Trzy swiaty i trzy glybokie tajemnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dobro, Prawda i Piykno .............................................
7 9 12 17 21
2 StaroZytne twierdzenie i wsp6lczesne zagadnienie . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.1
1.2 1.3
1.4 1.5
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Twierdzenie Pitagorasa ............................................. Postulaty Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dow6d twierdzenia Pitagorasa na podstawie podobienstwa figur ........... Geometria hiperboliczna: obraz konforemny ........................... Inne reprezentacje geometrii hiperbolicznej ............................ Nieco historii geometrii hiperbolicznej .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zwiqzek z przestrzeniq fizycznq .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24 27 30 32 36 41 44
3 Rodzaje liczb w swiecie fizyki .......................................
50
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
Katastrofa pitagorejska? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . System liczb rzeczywistych ........................................... Liczby rzeczywiste w fizycznym swiecie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Czy liczby naturalne potrzebujq fizycznej rzeczywistosci? ................. Liczby dyskretne w swiecie fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50 53 58 62 64
4 Magiczne liczby zespolone ..........................................
69
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
Magiczna liczba "i" ................................................. Rozwiqzywanie r6wnan z liczbami zespolonymi ......................... Zbieznos6 szereg6w potygowych ...................................... Plaszczyzna zespolona Caspara Wessel a ............................... Jak skonstruowa6 zbi6r Mandelbrota? .................................
69 72 74 78 81
Spis tresci
5 Geometria logarytmow,
pot~g
i pierwiastkow ......................
84
Geometria algebry zespolonej ........................................ Idea zespolonego logarytmu ......................................... Wielowartosciowosc funkcji, logarytmy naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zespolone wyrazenia potygowe .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pewne odniesienia do wsp6lczesnej fizyki cZi!stek elementarnych ..........
84 88 90 94 98
6 Rachunek rozniczkowy i calkowy funkcji zmiennych rzeczywistych ........................................................
101
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
Czym si! porzi!dne funkcje? .......................................... Nachylenie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pochodne wyzszych rZyd6w; funkcje gladkie klasy C"" .................... Eulerowskie pojycie funkcji .......................................... Reguly r6zniczkowania ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calkowanie .......................................................
7 Rachunek rozniczkowy i calkowy w zmiennych zespolonych ...... 7.1 7.2 7.3 7.4
120
Gladkosc zespolona; funkcje holomorficzne ............................ Calkowanie po konturze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Szeregi potygowe a gladkosc zespolona ................................ Przedluzenie analityczne ............................................
120 121 125 127
8 Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone ...............
133
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
Idea powierzchni Riemanna ......................................... Odwzorowania konforemne .......................................... Sfera Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Genus zwartej powierzchni Riemanna ................................. Twierdzenie Riemanna 0 odwzorowaniu konforemnym '" . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Rozklad Fouriera i hiperfunkcje ................................... 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7
133 136 140 143 146 150
Szeregi Fouriera ................................................... Funkcje na okrygu .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozszczepienie czystosci na sferze Riemanna ........................... Transformata Fouriera .............................................. Rozszczepienie czystosci w jyzyku transform at Fouriera .................. Jaki rodzaj funkcji jest odpowiedni? ................................... Hiperfunkcje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150 154 158 161 163 165 168
10 Powierzchnie ........................................................
175
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5
VI
101 103 106 109 112 114
Wymiary zespolone i wymiary rzeczywiste .............................. Gladkosc, pochodne cZi!stkowe ....................................... Pola wektorowe i 1-formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skladowe, i10czyny skalarne .......................................... Warunki Cauchy'ego-Riemanna ......................................
175 177 181 186 188
11 Liczby hiperzespolone ..............................................
193
11.1 Algebra kwaternion6w .............................................. 11.2 Czy kwatemiony maji! znaczenie fizyczne? .............................
193 195
Spis tresci
11.3 Geometria kwaternion6w ........................................... .
11.4 Jak skladac obroty? ................................................ . ll.5 Algebry Clifforda ................................................. . 11.6 Algebry Grassmanna ............................................... .
12 Rozmaitosci n-wymiarowe ......................................... . 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9
Dlaczego badamy rozmaitosci wyzszych wymiar6w? ..................... . Rozmaitosci i laty wsp6lrzydnosciowe ................................ . Skalary, wektory i kowektory ........................................ . Iloczyny grassmannowskie .......................................... . Calki form ....................................................... . Pochodna zewnytrzna .............................................. . Element objytosciowy; konwencja sumacyjna .......................... . Tensory: zapis abstrakcyjno-wskaznikowy i zapis graficzny ............... . Rozmaitosci zespolone ............................................. .
13 Grupy symetrii ..................................................... . 13.1 13.2 13.3 13.4
13.5 13.6 13.7 13.8 13.9
13.10
Grupy przeksztalcen ............................................... . Podgrupy i grupy proste ............................................ . Transformacje liniowe i macierze .................................... . Wyznaczniki i slady ................................................ . Wartosci wlasne i wektory wlasne .................................... . Teoria reprezentacji i algebry Liego .................................. . Przestrzenie reprezentacji tensorowych; redukowalnosc ................. . Grupy ortogonalne ................................................ . Grupy unit arne ................................................... . Grupy symplektyczne .............................................. .
14 Rachunek rozniczkowy i calkowy na rozmaitosciach ............. . 14.1 R6zniczkowanie na rozmaitosciach? .................................. . Przesuniycie r6wnolegle ............................................ . Pochodna kowariantna ............................................. . Tensory krzywizny i torsji ........................................... . Linie geodezyjne, r6wnolegloboki i krzywizna .......................... . Pochodna Liego ................................................... . Do czego potrzebna jest metryka .................................... . 14.8 Rozmaitosci symplektyczne ......................................... .
14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7
15 Wil!zki wlokniste i koneksje cechowania .......................... . 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6
15.7 15.8
Fizyczne powody wprowadzenia wi,!zek w16knistych .................... . Matematyczna idea wi,!zki .......................................... . Ciycia wi,!zek ..................................................... . Wi'!zka Clifforda .................................................. . Wi'!Zki wektorowe zespolone, wi,!zki kostyczne ......................... . Przestrzenie rzutowe ............................................... . Nietrywialnosc w koneksji wi,!zki ..................................... . Krzywizna wi,!zki .................................................. .
198 201 203 205 211 211 214 216 220 222 224 229 232 235 239 239 242 246 252 254 257 261 265 271 276 282 282 284 287 291 293 298 305 308 312 312 315 318 320 324 327 331 334
VII
Spis tresci
16 Drabina nieskonczonosci ........................................... 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7
Ciala skonczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jakiej geometrii potrzebuje fizyka: skonczonej czy nieskonczonej? ......... Rozne rozmiary nieskonczonosci ..................................... Argument przekqtniowy Cantora ..................................... Zagadki w podstawach matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maszyny Turinga i twierdzenie GOdla ................................. Fizyczne rozmiary nieskonczonosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341 343 347 351 355 357 361
17 Czasoprzestrzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
366
17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9
Czasoprzestrzen fizyki Arystotelesa ................................... Czasoprzestrzen wzglydnosci Galileusza ............................... Dynamika Newtona w terminach czasoprzestrzeni ....................... Zasada rownowaZnosci .............................................. Czasoprzestrzen newtonowska w ujyciu Cartana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stala skonczona prydkosc swiatla ..................................... Stozki swietlne ..................................................... Rezygnacja z czasu absolutnego ...................................... Czasoprzestrzen ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina ....................
366 368 370 373 377 382 383 386 390
18 Geometria Minkowskiego . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . . .. . .. .. . .. . . . . . . .. .. .
394
18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7
4-przestrzen Euklidesa i 4-przestrzen Minkowskiego ..................... Grupy symetrii przestrzeni Minkowskiego .............................. Ortogonalnosc lorentzowska; paradoks blizniqt ......................... Geometria hiperboliczna w przestrzeni Minkowskiego ................... Firmament niebieski jako sfera Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energia newtonowska i moment pydu ................................. Energia relatywistyczna i moment pydu ................................
394 397 399 404 409 413 415
19 Pola klasyczne Maxwella i Einsteina ...............................
421
19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8
VIII
341
Stopniowe odejscie od dynamiki Newtona .............................. Teoria zjawisk elektromagnetycznych Maxwella ......................... Prawa zachowania i przeplywu w teorii Maxwella ........................ Pole Maxwella jako krzywizna cechowania ............................. Tensor energii-pydu ................................................ Rownanie pola Einsteina ............................................ Dalsze zagadnienia: stala kosmologiczna; tensor Weyla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energia pola grawitacyjnego .........................................
421 423 427 429 435 438 442 444
20 Lagranzjany i hamiltoniany ........................................
450
20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6
Magiczny formalizm Lagrange'a ...................................... Bardziej symetryczny formalizm Hamiltona ............................ Male drgania ...................................................... Dynamika hamiltonowska jako geometria symplektyczna ................. Lagranzowskie ujycie pol ............................................ Rola lagranzjanu we wspolczesnej teorii ...............................
450 454 457 461 464 466
Spis tresci
21
Cz~stka
kwantowa ................................................. .
471
Zmienne nieprzemienne ........................................... . Hamiltoniany mechaniki kwantowej .................................. . R6wnanie Schrodingera ............................................ . Eksperymentalne podstawy mechaniki kwantowej ...................... . Zrozumienie dualizmu falowo-korpuskularnego ........................ . Czym jest rzeczywistosc kwantowa? .................................. . Holistyczna natura funkcji falowej ................................... . Tajemnicze "skoki kwantowe" ....................................... . Rozklad prawdopodobienstwa i funkcja falowa ......................... . Stany polozeniowe ................................................ . Opis w przestrzeni pyd6w ........................................... .
471 474 476 478 482 484 488 492 494 496 498
22 Kwantowa algebra, geometria i spin .............................. .
503
21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 21.7 21.8 21.9 21.10 21.11
22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 22.6 22.7 22.8 22.9 22.10 22.11 22.12 22.13
23
Procedury kwantowe U i R .......................................... . Liniowosc U i klopoty z R .......................................... . Unitarnosc, przestrzen Hilberta, zapis Diraca .......................... . Ewolucja unitarna: Schrodinger i Heisenberg .......................... . "Obserwable" kwantowe ........................................... . Pomiary TAK/NIE; operatory rzutowe .................................. . Pomiary zerowe; skrytnosc .......................................... . Spin i spinory ..................................................... . Sfera Riemanna uklad6w dwustanowych .............................. . Wyzsze spiny: przedstawienie Majorany ............................... . Harmoniki sferyczne ............................................... . Relatywistyczny kwantowy moment pydu .............................. . Ogolny, izolowany obiekt kwantowy .................................. .
Spl~tany
23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9 23.10
swiat kwantowy .......................................... .
552
Mechanika kwantowa ukladu wielu cial ............................... . Ogrom przestrzeni stanow wielocz,!stkowych .......................... . Spl,!tanie kwantowe, nierownosci Bella ............................... . Eksperymenty EPR typu Bohma ..................................... . Przyklad EPR Hardy'ego: prawie bez prawdopodobienstwa .............. . Dwie tajemnice spl,!tania kwantowego ................................ . Bozony i fermiony ................................................. . Stany kwantowe bozonow i fermion6w ................................ . Teleportacja kwantowa ............................................. . Quanglement ..................................................... .
552 554 557 559 563 565 567 569 571 576
antycz~stki
..................................... .
582
Konflikt miydzy teori,! kwantow'! a teori,! wzglydnosci .................. . Dlaczego antycz'!stki implikuj,! istnienie pol kwantowych? ............... . Dodatnia okreslonosc energii w mechanice kwantowej .................. . Trudnosci z relatywistyczn,! formul,! energii ........................... . Nieinwariantnosc %t .............................................. . Clifforda-Diraca pierwiastek kwadratowy z operatora D'Alemberta ....... . R6wnanie Diraca .................................................. . Droga Diraca do odkrycia pozytronu ................................. .
582 583 585 587 589 591 593 595
24 Elektron Diraca i 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 24.6 24.7 24.8
503 506 509 511 514 518 520 524 528 534 536 540 544
IX
Spis tresci
25 Model standardowy fizyki
cz~stek
elementarnych .................
600
Poczqtki wsp6lczesnej fizyki cZqstek elementarnych ...................... Zygzakowy model elektronu ......................................... Oddzialywania elektroslabe; asymetria odbiciowa ....................... Sprzyzenie ladunkowe, parzystosc i odbicie czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupa syrnetrii oddzialywan elektrostabych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cz'!stki silnie oddziatujqce ........................................... "Kwarki kolorowe" ................................................. Wyjscie poza model standardowy? ....................................
600 601 605 610 613 616 619 623
26 Kwantowa teoria pol a ...............................................
627
25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6 25.7 25.8
26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8 26.9 26.10 26.11
Fundamentalny status KTP we wsp6lczesnej fizyce teoretycznej ........... Operatory kreacji i anihilacji ......................................... Algebry nieskonczenie wymiarowe .................................... Antycz'!stki w KTP ................................................. Pr6znie aiternatywne ............................................... Oddziatywania: lagranzjany i calki po drogach .......................... Rozbiezne calki po drogach: recepta Feynmana ......................... Konstrukcja diagram6w Feynmana; macierz S .......................... Renormalizacja .................................................... Jak z lagranzjan6w otrzymac diagramy Feynmana? ...................... Diagramy Feynmana i wyb6r pr6zni ...................................
27 Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo .............. 27.1 27.2 27.3 27.4 27.5 27.6 27.7 27.8 27.9 27.10 27.11 27.12 27.13
x
627 629 631 633 635 637 641 643 647 651 652 657
Symetria czasowa w ewolucji dynamicznej .............................. Aspekty submikroskopowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entropia .......................................................... Zywotnosc koncepcji entropii ........................................ Wyprowadzenie drugiego prawa termodynamiki - czy nie? ............... Czy caly WszechSwiat jest "uktadem izolowanym"? ...................... Rola Wielkiego Wybuchu ............................................ Czarne dziury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Horyzonty zdarzen i osobliwosci czasoprzestrzeni ....................... Entropia czarnej dziury ............................................. Kosmologia ....................................................... Diagramy konforemne .............................................. Nasz nadzwyczaj wyj'!tkowy Wielki Wybuch ............................
657 659 660 663 666 670 672 677 682 684 687 693 696
28 Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadiow rozwoju Wszechswiata ..............................................
705
28.1 28.2 28.3 28.4 28.5 28.6 28.7
Poczqtkowe spontaniczne zlamanie symetrii ............................ Kosmiczne defekty topologiczne ...................................... Ktopoty z pocz'!tkowym ztamaniem symetrii ............................ Kosmologia inflacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Czy przestanki inflacji s,! prawidlowe? ................................. Zasada antropiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Czy wyjqtkowa natura Wielkiego Wybuchu stanowi klucz antropiczny? ......
705 709 713 716 722 727 731
Spis tresci
28.8 Hipoteza krzywizny Weyla .......................................... . 28.9 Propozycja "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga .......................... . 28.10 Status obserwacyjny parametr6w kosmologicznych ...................... .
734 738 741
29 Paradoks pomiaru ................................................. .
751
29.1 29.2 29.3 29.4 29.5 29.6 29.7 29.8 29.9
Konwencjonalne ontologie teorii kwantowej ........................... . Ontologie niekonwencjonalne ....................................... . Macierz gystosci .................................................. . Macierz gystosci dla spinu kula Blocha ............................. . Macierz gystosci w przypadku efekt6w EPR ........................... . Filozofia FAPP dekoherencji srodowiskowej ........................... . Kot Schrodingera w ontologii kopenhaskiej ............................ . Czy inne ontologie konwencjonalne mogq rozwiqzac problem "kota"? ..... . Kt6re niekonwencjonalne ontologie mogq pom6c? ..................... .
751 754 760 762 766 771 772 775 778
30 Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego .................... .
784
30.1 30.2 30.3 30.4 30.5 30.6 30.7 30.8 30.9 30.10 30.11 30.12 30.13 30.14
±;
Czy dzisiejsza teoria kwantowa wytrzyma pr6by czasu? .................. . Kluczowa rola kosmologicznej asymetrii czasu ......................... . Asymetria czasu w procesie redukcji stanu kwantowego ................. . Temperatura czarnej dziury Hawkinga ................................ . Temperatura czarnej dziury wynikajqca z periodycznosci zespolonej ....... . Wektory Killinga, przeplyw energii - i podr6ze w czasie! ................ . Wyplyw energii z orbit ujemnej energii ............................... . Eksplozje Hawkinga ............................................... . Perspektywa bardziej radykalna ..................................... . Grudka materii Schrodingera ....................................... . Fundamentalny konflikt z zasadami Einsteina ......................... . Preferowane stany Schrodingera-Newtona? ........................... . FELIX i propozycje z nim zwiqzane .................................. . Pochodzenie fluktuacji we wczesnym WszechSwiecie .................... .
784 785 787 791 795 800 803 805 809 813 816 819 822 826
31 Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny ...................... .
835
31.1 Niewyjasnione parametry ........................................... . 31.2 Supersymetria .................................................... . 31.3 Algebra i geometria supersymetrii ................................... . 31.4 Czasoprzestrzen wyzej wymiarowa ................................... . 31.5 Poczqtkowa teoria strunowa hadron6w ............................... . 31.6 W kierunku strunowej teorii swiata ................................... . 31.7 Strunowe motywacje dla dodatkowych wymiar6w czasoprzestrzeni ........ . 31.8 Teoria strun jako kwantowa teoria grawitacji? ......................... . 31.9 Dynamika strun ................................................... . 31.10 Dlaczego nie obserwujemy dodatkowych wymiar6w czasoprzestrzeni? ..... . 31.11 Czy powinnismy zaakceptowac argument stabilnosci kwantowej? .......... . 31.12 Klasyczna niestabilnosc dodatkowych wymiar6w ........................ . 31.13 Czy strunowa KTP jest skonczona? ................................... . 31.14 Magiczne przestrzenie Calabiego-Yau; teoria M ....................... . 31.15 Struny i entropia czarnych dziur ..................................... .
835 839 842 845 849 852 855 856 859 861 866 869 872 874 879
XI
Spis tresci
31.16 Zasada holografiezna ............................................... 31.17 Perspektywa D-bran ................................................ 31.18 Jaki jest fizyezny status teorii strun? ...................................
883 886 889
32 Zawtrzenie podejscia Einsteina; zmienne ptrtlowe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
898
32.1 32.2 32.3 32.4 32.5 32.6 32.7
Kanoniezna grawitaeja kwantowa ..................................... Chiralny wklad do zmiennyeh Ashtekara ............................... Postac zmiennyeh Ashtekara ......................................... Zmienne pytlowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematyka wyzlow i splotow ........................................ Sieei spinowe ...................................................... Jaki jest status pytlowej teorii grawitaeji kwantowej? .....................
898 899 902 905 907 910 916
33 Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistorow . . . . . . . . . . . . . . . . .
921
33.1 Teorie z geometriq 0 elementaeh dyskretnyeh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Twistory jako promienie swietlne ..................................... 33.3 Grupa konforemna; uzwareona przestrzen Minkowskiego ................ 33.4 Twistory jako spinory wyzej wymiarowe ................................ 33.5 Zasady geometrii twistorow i wspolrzydne twistorowe .................... 33.6 Geometria twistorow jako bezmasowyeh eZqstek wirujqcyeh ............... 33.7 Twistorowa teoria kwantow .......................................... 33.8 Twistorowy opis pol bezmasowyeh .................................... 33.9 Twistorowa kohomologia snopow ..................................... 33.10 Twistory i rozszezepienie ezystosci na dodatnie i ujemne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.11 Grawiton nieliniowy ................................................ 33.12 Twistory i ogolna teoria wzglydnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.13 W kierunku twistorowej teorii ezqstek elementarnyeh .................... 33.14 laka jest przysztosc teorii twistorow? ..................................
921 925 931 934 937 940 944 947 949 954 956 961 962 963
34 Ktortrdy wiedzie droga do rzeczywistosci? .......................... 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8 34.9 34.10
Wielkie teorie XX wieku - i co dalej? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fizyka fundamentalna inspirowana matematyeznie ...................... Rola mody w fizyce teoretycznej ...................................... Czy eksperyment jest w stanie obalic zlq teoriy? ......................... Skqd nadejdzie kolejna rewolueja w fizyee? ............................. Co to jest rzeczywistosc? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wplyw mentalnosei na teorie fizyczne ................................. Nasza zmudna matematyczna droga do rzeezywistosci .................... Piykno i euda ...................................................... Odpowiedzielismy na powazne pytania, ale jeszeze powazniejsze ezekajq na odpowiedz ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
971 971 975 978 981 985 988 990 994 998 1002
Epilog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1007 Bibliografia .............................................................. 1009 Indeks rzeczowy .......................................................... 1057 Indeks nazwisk ........................................................... 1109
Przedmowa CHCIALBYM, zeby czytelnik tej ksiqzki mogl poczue smak jednej z najwazniejszych i najbardziej podniecajqcych wypraw odkrywczych, jakich dokonala ludzkose. Jest to wyprawa w poszukiwaniu zasad, ktore rzqdzq zachowaniem siy naszego Wszechswiata. Wyprawa ta trwa juz ponad trzy i pol tysiqca lat, nie jest wiyc rzeczq dziwnq, ze dokonalismy podczas niej waznych i zasadniczych odkrye. Okazalo siy jednak, ze jest to bardzo trudna ekspedycja i ze prawdziwe zrozumienie sensu tych odkrye dociera do nas bardzo wolno. Trudnosci te byly przyczynq wielokrotnego blqdzenia po manowcach; stqd przestroga, zeby posuwae siy ostroznie. J ednakZe XX wiek okazal siy plodny w nadzwyczajne odkrycia, ktore w calkiem nowym swietle postawily wyniki naszych bad an, do tego stopnia, ze wielu wspolczesnych badaczy oglosilo juz niejednokrotnie, ze jestesmy bardzo blisko wlasciwego zrozumienia wszystkich podstawowych zasad fizyki. W moim opisie obecnych teorii fundamentalnych, teraz, kiedy XX wiek jest juz za nami, bydy przyjmowal bardziej sceptyczny punkt widzenia. Dlatego nie wszystkie wyrazane przeze mnie opinie zostanq dobrze przyjyte przez tych "optymistow", tym bardziej ze oczekujy i spodziewam siy w najblizszym czasie jeszcze bardziej radykalnych zmian kierunkow naszych poszukiwan niz te, ktore nastqpily w minionym stuleciu. Czytajqcy ty ksiqzky zauwaZy, ze nie unikam w niej poslugiwania siy formulami matematycznymi, aczkolwiek zdajy sobie sprawy, iz moze to istolD.ie zredukowae liczby czytelnikow. Dlugo i powaznie nad tym siy zastanawialem i doszedlem do wniosku, ze to, co mam do powiedzenia, nie moze bye wlasciwie przekazane bez zapisu matematycznego i zbadania sensu pewnych istotnych pojye matematycznych. Nasze zrozumienie zasad, ktore lezq u podstaw zachowania siy fizycznego swiata, jest rzeczywiscie zwiqzane z ich matematycznq strukturq. Niektorych takie stwierdzenie moze zaniepokoie, poniewaZ utwierdzili siy w przekonaniu, ze nie Sq w stanie zrozumiee zadnej matematyki, i to na najbardziej nawet elementarnym poziomie. JakZe mogy ich zachycae - zapytajq - do proby zrozumienia sensu poszukiwan istoty teorii fizycznych, kiedy oni nie Sq w stanie poradzie sobie nawet z najprostszymi dzialaniami na ulamkach? Istotnie, z tym jest pewien klopot. Pomimo to jestem optymistq, jesli chodzi 0 mozliwose porozumienia siy miydzy nami. Bye moze jestem optymistq nieuleczalnym. Zastanawiam siy, czy ci
Przedmowa
XIV
czytelnicy, kt6rzy utrzymuj,!, ie nie S,! w stanie poradzic sobie z ulamkami, trochy samych siebie nie oszukuj,!, poniewaz spora ich czysc z pewnosci,! posiada w tym wzglydzie mozliwosci, z jakich nie zdaj,! sobie sprawy. lestem pewien, ze s,! wsr6d nich tacy, kt6rzy na widok szeregu matematycznych symboli, jakkolwiek prosto podanych, widz,! tylko surow'! twarz rodzica lub nauczyciela, kt6ry usiluje wymusic na nich udzial w jakims konkursie papuziego recytowania niezrozumialych formul - obowi,!zek i tylko obowi,!zek - i nie dostrzegaj'! ani sladu magii czy uroku tego przedmiotu, jakie, przy wlasciwym podejsciu, moglyby siy ujawnic. Byc moze dla niekt6rych juz jest za p6zno; niemniej pozostajy optymist'! i wierzy, ze wiele os6b, nawet wsr6d tych, kt6re nigdy nie opanowaly sztuki dzialan na ulamkach, potrafi uchwycic slady tego cudownego swiata, kt6ry powinien byc r6wniez i dla nich dostypny. ledna z serdecznych przyjaci6lek mojej mamy, jeszcze z czas6w szkolnych, r6wniez nie byla w stanie dae sobie rady z ulamkami. Opowiedziala mi 0 tym sarna, kiedy juz zakonczyla znakomit'! kariery artystki baletowej. Bylem w6wczas mlody i nie do konca oddalem siy jeszcze matematyce, ale juz uwazano mnie za kogos, komu ta dziedzina sprawia przyjemnosc. "To wszystko przez to upraszczanie" wyznala - "nigdy nie potrafilam poj,!c, na czym to polega". Byla to elegancka i bardzo inteligentna kobieta i nie mialem najmniejszej w'!tpliwosci, ze zdolnosci umyslowe osoby, kt6ra potrafi po mistrzowsku opanowac zawilosci choreografii, z pewnosci,! nie S,! mniejsze niz te, jakich wymaga rozwi,!zywanie problem6w matematycznych. Na tej podstawie, grubo przeceniaj,!c moje talenty dydaktyczne, podj,!lem, jak wielu innych przede mn,!, pr6by wytlumaczcnia jej prostoty i logicznego charakteru procedury "upraszczania". Przypuszczam, ze moje wysilki okazaly siy w r6wnym stopniu bezowocne jak wysilki moich poprzednik6w. (Przypadkiem tak siy sklada, ze jej ojciec byl wybitnym geologiem i czlonkiem Towarzystwa Kr6lewskiego, musiala wiyc miec wystarczaj,!ce przygotowanie do rozumienia zagadnien z zakresu nauk przyrodniczych. Moze to 6w czynnik "surowej twarzy" zdecydowal 0 jej negatywnym stosunku do tych spraw?) 1ednakie zastanawiam siy, czy w jej przypadku, tak jak i wielu innych, nie zachodzila jakas bardziej racjonalna przeszkoda, kt6rej, przy calej mojej matematycznej nonszalancji, nie bylem w stanie zauwaiyc. Albowiem rzeczywiscie tkwi w tym glybszy problem, kt6ry napotykamy nieustannie w matematyce i fizyce, i z kt6rym po raz pierwszy stykamy siy w przypadku niewinnej na poz6r operacji upraszczania wsp6lnego czynnika w liczniku i mianowniku zwyklego ulamka. Osoby, dla kt6rych upraszczanie ulamk6w, dziyki wielokrotnemu powtarzaniu tych operacji, stalo siy drug,! natur,!, mog,! nie zdawae sobie sprawy z trudnosci, kt6ra kryje siy za tymi z pozoru banalnymi dzialaniami. Bye moze wlasnie ci, dla kt6rych upraszczanie okryte jest mgl,! tajemnicy, dostrzegaj,! lepiej ten powazny problem. Co to za problem? Dotyka on samej istoty sposobu, w jaki matematycy nadaj,! byt matematycznym pojyciom, i stosunku, w jakim te pojycia pozostaj,! do fizycznej rzeczywistosci.
Przedmowa
Przypominam sobie swoje zaskoczenie, kiedy nauczyciel zadal nam pytanie, czym naprawdt( jest ulamek (na przyklad ~) - mialem wawczas okolo lllat! Pojawialy sit( razne sugestie, na przyklad dotycz'1ce podzialu tortu na kawalki i temu podobne, ale nauczyciel odrzucal te wyjasnienia na (slusznej) podstawie, ze one jedynie odnosz'1 sit( do nieprecyzyjnej sytuacji fizycznej, do ktarej precyzyjne matematyczne pojt(cie ulamka moze bye zastosowane; nie tiumacz'1 nam jednak wcaIe, jaka naprawdt( jest matematyczna trese tego pojt(cia. Byly tez i inne propozycje, na przyklad taka, ze ~ to jest "cos takiego z liczb '1 3 na garze i liczb '1 8 na dole, z lini'1 poziom'1 pomit(dzy nimi" i bylem naprawdt( zdziwiony, kiedy zauwaiylem, ze nauczyciel traktuje te pomysly calkiem serio! Dzisiaj juz nie pamit(tam, jak ta sprawa zostala ostatecznie rozstrzygnit(ta, ale na bazie moich doswiadczen i przemyslen jako studenta matematyki domyslam sit(, ze maj nauczyciel podj'1l odwazn'1 probt( zdefiniowania nam istoty ulamka na podstawie bardziej przystt(pnego pojt(cia Idasy r6wnowaznosci. Co to za pojt(cie? I w jaki sposob moze bye zastosowane do wyjasnienia, czym naprawdt( jest ulamek? Zacznijmy od propozycji mojego kolegi szkolnego, ze "jest to cos, co rna 3 na gorze i 8 na dole". Sugeruje nam w ten sposob, ze ulamek moze bye opisany uporz'1dkowan'1 par'1 liczb calkowitych, w tym przypadku 3 i 8. Z pewnosci'1 jednak nie mozemy powiedziee, ze dany ulamek jest tak '1 wlasnie par'1, gdyz na przyklad l~ jest t'1 sam'1 liczb '1 co~, podczas gdy para (6,16) z pewnosci '1 nie jest t'1 sam'1 par'1 co (3, 8). Tu wlasnie kryje sit( sens upraszczania, poniewaz mozemy l~ zapisae jako ~~~, uproscie przez czynnik 2 na gorze i na dole i uzyskae~. Dlaczego wolno nam tak zrobie i "zrownae" w pewnym sensie part( (6, 16) z par'1 (3, 8)? Matematyk nam na to odpowie - i bt(dzie to wygl'1dalo na uchylanie sit( od odpowiedzi - ze procedura upraszczania jest wbudowana w definicjy ulamka: kazd '1 pary liczb calkowitych (a x n, b x n) bt(dziemy uwazali za przedstawiciela tego samego ulamka co para (a, b), gdy n bt(dzie dowoln'1 liczb '1 calkowit'1 razn'1 od zera (i gdzie b tez nie moze bye zerem). Ale nawet w ten sposob nie odpowiadamy na pytanie, czym naprawdy jest ulamek; jedynie pokazujemy, jak moze bye przedstawiony. Czym wit(c jest ulamek? Posluguj'1c sit( pojt(ciem "klasy rownowaznosci", mozemy powiedziee, ze ulamek ~ przedstawia nieskonczon'1 kolekcjt( par liczb
(3,8), (-3, -8), (6, 16), (-6, -16), (9, 24), (-9, -24), (12,32), ... , przy czym kazda para moze bye uzyskana z kazdej innej pary z tej listy za pomoc'1 opisanej wlasnie procedury upraszczania *. Dla kompletnosci potrzebujemy juz tylko definicji okreslaj'1cych, jak mamy dodawae, odejmowae i mnoiye takie nieskonczone zbiory par liczb calkowitych zakladaj'1c, ze obowi'1zuj'1 reguly zwyklej alge* Ttt listtt nazywamy "klasq r6wnowaznosci", poniewaz jest to klasa element6w (elementami w tym przypadku Sq pary liczb calkowitych), w kt6rej kazdy element jest w pewnym sensie uwazany za r6wnowazny kazdemu innemu.
x:v
Przedmowa
XVI
bry. Musimy tei powiedziec, jak naleiy identyfikowac liczby calkowite jako szczegolny przypadek ulamkow. Taka definicja obejmuje wszystko, co trzeba wiedziec, aby poslugiwac sii( ulamkami w matematyce (na przyklad, ie ~ to taka liczba, ktora dodana do samej siebie daje w wyniku liczbi( 1 itd.), a operacja upraszczania, jak widzielismy, zawarta jest jui w tej definicji. lednakie wszystko to wydaje sii( bardzo formalne i mamy prawo w'!tpic, czy taka definicja pozwala na intuicyjne zrozumienie tego, czym jest ulamek. Aczkolwiek poslugiwanie sii( poji(ciem klasy rownowainosci, czego opisana procedura jest szczegolnym przypadkiem, stanowi poti(ine matematyczne narzi(dzie do ustalenia konsystencji i istnienia w sensie matematycznym, jednak z trudem pozwala nam intuicyjnie zrozumiec, co to jest ~! Trudno wii(c dziwic sii(, ie przyjaciolka mojej matki nie mogla sobie z tym poradzic. W moim opisie poji(C matematycznych bi(di( sii( staral w miari( moiliwosci unikac tego rodzaju matematycznej pedanterii, ktora prowadzi do definiowania ulamkow w terminach "nieskonczonej klasy par", choc taka definicja odznaczalaby sii( precyzj,! i scislosci,! matematycZll,!. W moim opisie bi(di( bardziej troszczyl sii( 0 intuicyjne przekazanie idei oraz urody i magii zawartych w wielu wainych poji(ciach matematycznych. 6w ulamek ~ moina przedstawic nasti(puj,!co: jest to element, ktory dodany do siebie 8 razy daje w wyniku 3. Urok polega na tym, ie ta idea odpowiada rzeczywistosci, pomimo ie w swiecie fizycznym na ogol nie mamy do czynienia z rzeczami dosti(pnymi w ilosciach ulamkowych, a przyslowiowe kawalki tortu tylko w sposob przybliiony oddaj,! to, 0 co chodzi. (Inaczej jest w przypadku liczb naturalnych, takich jak 1, 2, 3, gdyi one scisle odpowiadaj,! przedmiotom dosti(pnym w otaczaj,!cym nas swiecie.) 0 tym, ie poji(cie ulamka jest logicznie spojne, moiemy przekonac sii(, wykorzystuj,!c opisan,! "definicji(" podan,! w ji(zyku nieskonczonej kolekcji par liczb calkowitych. To jednak nie oznacza, ie ulamek ~ jest tak,! wlasnie kolekcj,!. lui lepiej myslec 0 ~ jako 0 pewnym bycie w sensie platonskim, istniej,!cym samoistnie, i 0 tym, ie nieskonczona kolekcja par jest dla nas wyl,!cznie konstrukcj,! pozwalaj,!c
Przedmowa
teoria wzgll(dnosci Einsteina czy teoria cechowania, ktore opisuj,! sHy przyrody zgodnie ze wsp6lczesn'! fizyk,! cz,!stek elementarnych. W fizyce wsp6lczesnej nie da sil( unikn,!c stanil(cia twarz'! w twarz z subtelnosciami bardzo wymyslnej matematyki. Z tego wlasnie powodu pierwszych 16 rozdzial6w tej ksi,!zki poswil(cilem przedstawieniu idei matematycznych. C6Z mogl( doradzic czytelnikowi, ktory zechce podj,!c ten trud? Ksi,!zkl( tl( mozna czytac na czterech r6znych poziomach. Byc moze ty jestes takim czytelnikiem, z jednego korka skali, kt6ry po prostu odwraca sil(, kiedy przed jego oczami pojawi sil( jakas formula matematyczna (i tu, zapewne, znajd,! sil( czytelnicy, ktorzy maj,! trudnosci z ulamkami). Rowniez w takim przypadku mozesz wiele dowiedziec sil( z tej ksi,!zki, po prostu pomijaj,!c formuly matematyczne i czytaj,!c zapisany pomil(dzy nimi tekst. Bl(dziesz wtedy postl(powal tak, jak ja to robilem w dziecinstwie, kiedy przegl,!dalem czasopisma przeznaczone dla szachist6w rozrzucone po domu rodzicow. Moi rodzice i bracia pasjonowali sil( szachami, mnie one nie interesowaly, ale lubilem czytac 0 przygodach szachist6w - owych wyj,!tkowych ludzi, kt6rzy poswil(cili sitt tej grze. Dowiadywalem sitt ciekawych rzeczy 0 blyskotliwych i kapitalnych posunil(ciach, mimo ze ich nie rozumialem i nawet nie pr6bowalem przebrn'!c przez notacjl( opisuj,!C'! poszczeg6lne pozycje. Bylo to zajl(cie frapuj,!ce, kt6re zajmowalo moj,! uwagl(. Podobnie mam nadziejtt, ze matematyczne relacje, ktore tu przedstawiam, bl(d,! w stanie przekazac cos interesuj,!cego i frapuj,!cego nawet czytelnikom najdalszym od matematyki, jesli tylko z ciekawosci,! i odwag,! zechc'! dol,!czyc do mnie w tej podr6Zy badania idei matematycznych i fizycznych, kt6re legly u podstaw naszego fizycznego swiata. Nie wahaj sil( pomin,!c r6wnania (ja sam CZttsto tak robiy), a nawet, jesli trzeba, calych rozdzial6w lub podrozdzial6w, gdy tylko zaczn'! bye zbyt uci'!iliwe czy pretensjonalne. Material w tej ksi,!zce jest bardzo zr6znicowany pod wzglttdem trudnosci i szczeg6low technicznych, i w innym miejscu moze siy okazac bardziej przyjazny i zachycaj,!CY. Mozesz wybrac techniktt przegl,!dania i smakowania tu i tam. W tekscie jest wystarczaj'!co duzo wzajemnych odsylaczy, kt6re pozwalaj,! dostatecznie oswietlic nieznane pojttcia i latwo je odnaleic dzittki powrotowi do nieprzeczytanych wczesniej fragment6w. Na drugim poziomie znajd,! sil( czytelnicy potrafi'!cy zrozumiec formuly matematyczne, ale kt6rzy nie maj,! ochoty (lub czasu), aby sam emu przekonac sil( o prawdziwosci wniosk6w, jakie z nich wyci,!gam. Potwierdzenie wielu z tych wniosk6w mozna znaleic, rozwi¥uj,!c ewiczenia, jakie rozrzucilem w matematycznej cZl(sci tekstu. Pozwolilem sobie zaznaczyc trzy stopnie trudnosci tych ewiczen: ~ -
bardzo proste
1m -
wymagaj,! chwili namyslu
~
- nieco trudniejsze.
Bttdzie jednak rzecz'! calkiem rozs'!dn'! przyj,!c te stwierdzenia na wiary i czytelnik w ten spos6b nie straci ci,!glosci w rozumieniu dalszego tekstu.
XVII
Przedmowa
Jesli jednak ktos chcialby wiycej skorzystae z tych roznych i waznych pojye matematycznych, ale czuje siy slabo obznajomiony z przedstawianymi ide ami, wowczas praca nad tymi ewiczeniami bydzie dla niego znaczqcq pomocq w ich opanowaniu. Z matematykq zawsze tak jest, ze niewielki wlasny wysilek samodzielnego przemyslenia spraw daje duzo wiyksze efekty niz tylko sarno 0 nich czytanie. W koncu jesteS bye moze ekspertem, ktory nie rna trudnosci z matematykq (i wiykszose tego, 0 czym tu piszy, moze bye ci juz wczesniej znana), a w takim razie nie zechcesz tracie czasu na te ewiczenia. Wtedy bydziesz mogl skorzystae z moich wlasnych przemyslen na temat wielu spraw, ktore mogq siy okazae nieco odmienne (a czasami nawet bardzo odmienne) od obiegowych poglqdow. Mozesz bye ciekaw moich poglqdow dotyczqcych wielu wspolczesnych teorii, takich jak na przyklad supersymetrie, kosmologia inflacyjna, natura Wielkiego Wybuchu, czarne dziury, teoria strun czy teoria M, zmienne pytlowe w kwantowej grawitacji, teoria twistorow, a nawet samych podstaw mechaniki kwantowej. Nie wqtpiy, ze w wielu przypadkach nie bydziesz siy ze mnq zgadzal. Jednakze kontrowersje Sq waznq czysciq naukowego poznania, dlatego nie waham siy prezentowae poglqdow, ktore mogq nieco odbiegae od glownych prqdow wspolczesnej fizyki teoretycznej. Mozna powiedziee, ze ta ksiqzka jest 0 relacjach miydzy matematykq a fizykq i 0 tyrn, jak mocno wzajemne oddzialywanie tych dwu dziedzin wiedzy stymuluje nasze poszukiwania lepszej teorii Wszechswiata. Zasadniczym czynnikiem stymulujqcym wiele z tych wspolczesnych poszukiwan jest dostrzezenie ich matematycznej urody, jej glybi i wyrafinowania. Jest oczywiste, ze tego rodzaju stymulacje matematyczne mogq miee ogromne znaczenie, tak jak przy wiykszosci odkrye XX wieku: odkryciu rownania Diraca opisujqcego relatywistyczny ruch elektronu, ogolnych ram mechaniki kwantowej, ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina. We wszystkich tych przypadkach dopiero rozwazania fizyczne - glownie argumenty z obserwacji - dostarczaly przekonujqcych kryteriow do ich przyjycia. JednakZe w przypadku wielu wspolczesnych idei, majqcych zasadnicze znaczenie dla naszych prob zrozumienia praw WszechSwiata, adekwatne kryteria fizyczne - dane doswiadczalne, a nawet sarna mozliwose doswiadczalnego badania - Sq niedostypne. Dlatego mamy prawo pytae, czy dostypne narzydzia i dezyderaty matematyczne Sq wystarczajqce, abysmy mogli chociazby tylko ocenie szanse przydatnosci tych koncepcji? Jest to sprawa delikatna i dlatego bydy staral siy podnosie kwestie. ktore nie zostaly dostatecznie przedyskutowane gdzie indziej. Chociaz w niektorych miejscach bydy przedstawial opinie, ktore mogq bye uznane za kontrowersyjne, staram siy to zawsze sygnalizowae, by czytelnik mial swiadomose tego, na co sobie pozwalam. Dlatego ta ksiqzka moze bye rzeczywiscie traktowanajako wlasciwy przewodnik do poznania glownych idei (i dziwow) wspolczesnej fizyki. Mozna jq wiyc wykorzystae w szkolach roznego szczebla jako uczciwy wstyp do wspolczesnej fizyki teoretycznej - przedmiotu niezle juz dzisiaj rozumianego.
PodziQkowania JEST rzeczq naturalnq, ze w przypadku ksiqzki tych rozmiarow Uej napisanie zajylo mi okolo osmiu lat) znajdzie siy wiele osob, ktorym winien jestem wdziycznosc. Z pewnosciq wsrod nich bydzie znaczna liczba tych, ktorych wartosciowy wklad z winy mojego braku wlasciwej organizacji i zawodnej pamiyci - pozostanie niezauwazony. Dlatego moje przeprosiny i szczegolne wyrazy wdziycznosci kierujy do tych, ktorzy wielkodusznie udzielili mi swojej pomocy, ale ich nazwiska nie przychodzq mi teraz na mys!. Ci, ktorych wklad mocniej utkwil mi w pamiyci (i latwiej jest mi wskazac zagadnienia, przy ktorych okazali mi swojq pomoc), to: Michael Atiyah, John Baez, Michael Berry, Dorje Brody, Robert Bryant, Hong-Mo Chan, Joy Christian, Andrew Duggins, Maciej Dunajski, Freeman Dyson, Artur Ekert, David Fowler, Margaret Gleason, Jeremy Gray, Stuart Hameroff, Keith Hannabuss, Lucien Hardy, Jim Hartle, Tom Hawkins, Nigel Hitchin, Andrew Hodges, Dipankar Home, Jim Howie, Chris Isham, Ted Jacobson, Bernard Kay, William Marshall, Lionel Mason, Charles Misner, Tristan Needham, Stelios Negrepontis, Sarah Jones Nelson, Ezra (Ted) Newman, Charles Oakley, Daniel Oi, Robert Osserman, Don Page, Oliver Penrose, Alan Rendall, Wolfgang Rindler, Engelbert Schiicking, Bernard Schutz, Joseph Silk, Christoph Simon, George Sparling, John Stachel, Henry Stapp, Richard Thomas, Gerard 't Hooft, Paul Tod, James Vickers, Robert Wald, Rainer Weiss, Ronny Wells, Gerald Westheimer, John Wheeler, Nick Woodhouse i Anton Zeilinger. Na szczegolnq mojq wdziycznosc zasluiyli Lee Smolin, Kelly Stelle i Lane Hughston; na rozne sposoby okazali mi wielkq pomoc. Florence Tsou (Sheung Tsun) jestem zobowiqzany za ogromny wklad w sprawach dotyczqcych fizyki cZqstek elementarnych, Fay Dowker za pomoc przy roznych zagadnieniach, ale w szczegolnosci za przedstawienie pewnych spraw z dziedziny mechaniki kwantowej. Dziykujy Subir Sarkar i Vahe Gurzadyanowi za informacje dotyczqce danych kosmologicznych i ich interpretacjy, a Vahe Gurzadyanowi takze za wyniki jego kosmologicznych badan dotyczqcych ogolnej geometrii Wszechswiata. Abhayowi Ashtekarowi jestem wdziyczny za spojne przedstawienie mi teorii zmiennych pytlowych, a takZe wielu szczegolowych informacji dotyczqcych teorii strun. Dziykujy the National Science Foundation za granty: PHY 93-96246 i 00-90091, oraz Leverhulme Foundation za przyznanie mi dwuletniego stypendium Leverhulme Emeritus Fellowship w latach 2000-2002. Wielkie znaczenie dla pracy nad
Podzi~kowania
t'l ksiq.zk'l mialo zatrudnienie mnie w Gresham College London (1998-2001), w The Center for Gravitational Physics and Geometry na Uniwersytecie Stanu Pensylwania, jak rowniez pomoc sekretarska (szczegolnie Ruth Preston) i miejsce do pracy w Instytucie Matematycznym Uniwersytetu Oksfordzkiego. Bezcenna byla rowniez pomoc ze strony wydawcy wobec sztywnych limitow czasowych i w przypadku kiepsko zorganizowanego autora 0 tylu zlych nawykach. Niezwykle istotna byla rola Eddiego Mizziego, ktory zainicjowal pract( nad przeksztalceniem moich chaotycznych notatek w ksiq.zky, oraz Richarda Lawrence'a, bez ktorego fachowej skutecznosci, cierpliwosci i uporczywych nalegan nie ukonczylbym tej pracy. John Holmes wykonal rzeteln'l pracy opracowania odpowiedniego indeksu. J estern szczegolnie zobowiqzany Williamowi Shaw za pomoc w przygotowaniu swietnych grafik komputerowych (rys. 1.2 i 2.19 oraz zastosowanie transformacji niezbydnych do wykonania rys. 2.16 i 2.19), wykorzystanych przy prezentacji zbioru Mandelbrota i plaszczyzny hiperbolicznej. Jakiekolwiek podziykowania zlozone Jacobowi Fosterowi za jego herkulesow'l pracy w odszukaniu i uporz'ldkowaniu bibliografii, sprawdzaniu i przeszukiwaniu calego maszynopisu w niezwykle krotkim czasie, uzupelnieniu mnostwa brakow - nie oddadz'l mego dlugu. Rownie nieoceniony jest jego wklad w liczne przypisy. Rzecz jasna, zadna z osob, ktorym tutaj dziykujy, nie ponosi odpowiedzialnosci za wszystkie pozostale blydy czy opuszczenia. Szczegolne wyrazywdziycznosci naleZ'l siy The M.e. Escher Company z Holandii za zgody na reprodukcjy prac Eschera na rys. 2.11, 2.12, 2.16 i 2.22, a specjalnie na modyfikacjy rys. 2.11, jaka nastypnie zostala wykorzystana przy sporz'ldzaniu rys. 2.12 i 2.16, przy czym ten ostatni rysunek jest jawn~ transformacj~ matematyczn'l poprzedniego. Wszystkie prace Eschera maj'l copyright (2004) The M.e. Escher Company. Dziykujy rowniez Instytutowi Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu w Heidelbergu oraz Charlesowi H. Lineweaverowi za zgody na reprodukcjy odpowiednich grafik na rys. 27.19 i 28.19. W koncu niezmierna wdziycznosc naleiy siy mojej ukochanej zonie Vanessie, nie tylko za wykonywanie na z'ldanie i natychmiast grafik komputerowych (rys. 4.1,4.2,5.7.6.2-6.8,8.15,9.1,9.2,9.8,9.12, 21.3b, 21.10, 27.5, 27.14, 27.15 oraz rysunki wieloscianow na rys. 1.1), lecz takZe za jej milosc i nieustaj'lC'l troskliwosc, za glybokie zrozumienie i cierpliwosc przez wszystkie te lata spydzone z myzem myslami tylko w polowie obecnym. Rowniez Maxowi, ktory przez cale swoje iycie mial szansy znac ojca tylko w stanie ci'lglego roztargnienia, nalez'l siy serdeczne slow a wdziycznosci - nie tylko za to, ze spowolnil pisanie tej ksi'lzki (przedluzaj'lC w ten sposob jej iycie na tyle, ze moglem w niej umiescic przynajmniej dwie niezwykle istotne informacje, co nie byloby mozliwe w przeciwnym wypadku) ale za jego nieustaj'lCY dobry humor i zarazliwy optymizm, ktore pozwalaly mi na komfort pracy z pogod'l ducha. Wszak w ostatecznym rachunku to dziyki odradzaniu siy iycia, ktore on ucielesnia, powstaje natchnienie dla idei i pomyslow umozliwiaj'lcych dalszy postyp na drodze poszukiwan glybszych praw, naprawdr,? rZ'ldz'lcych Wszechswiatem, w jakim iyjemy.
Notacja (CZYfELNIK powinien pomin,!c ten rozdzial, dop6ki nie zapozna siy z odpowiednimi pojyciami i dop6ki nie bydzie mial wrazenia, ze uiywane oznaczenia s,! myl,!ce lub niewystarczaj'!co zrozumiale). Staralem siy byc bardzo konsekwentny, uiywaj,!c sp6jnej notacji i odpowiednich font6w, jednakZe nie wszystkie s,! standardowe i dlatego warto wyjasnic reguly, jakich staralem siy przestrzegac. Litery pi sane zwykl,! kursyw'! (greckie lub lacinskie), takie jak w wyrazeniach typu w2 ,pn, In z, cos e, e iO lub eX, oznaczaj'! konwencjonalne zmienne matematyczne, liczbowe lub skalarne; ale powszechnie uiywane stale liczbowe, takie jak e, i lub 1I, alba zwykle funkcje, takie jak sin, cos lub In, pisane s,! prostym tekstem, natomiast stale fizyczne, takie jak c, G, h, fl, g lub k, zapisane s,! kursyw'!. Wielkosci wektorowe lub tensorowe, kiedy myslimy 0 nich jako (abstrakcyjnej) calosci, oznaczam pogrubion,! kursyw'!, na przyklad R dla oznaczenia tensora krzywizny Riemanna, natomiast kiedy zapisujemy ich zbi6r skladowych, uiywamy kursywy (zar6wno dla gl6wnego symbolu,jak i dla wskaznik6w), a wiycRabed. Zgodnie z zapisem abstrakcyjno-wskaznikowym wprowadzonym w rozdz. 12.8, wielkosc R abed , w przypadku gdy taka interpretacja jest wlasciwa, moze tez oznaczac caly tensor R, ale musi to jasno wynikac z tekstu. Abstrakcyjne transformacje liniowe maj,! r6wniez charakter tensorowy i dlatego dla nich tez uiywam pogrubionej kursywy, na przyklad T. Dla takich wielkosci uiywam tez abstrakcyjno-wskaznikowej notacji Tab' W kt6rej naprzemienne wskazniki precyzyjnie wskazuj,! porz'!dek mnozenia macierzowego. Zatem (abstrakcyjno-)wskaznikowe wyrazenie sabTbc oznacza iloczyn ST transformacji liniowych. W przypadku dowolnych tensor6w alternatywnie (w zaleinosci od kontekstu alba kiedy to jest specjalnie zaznaczone) uiywane S,! symbole typu sa b i The dla oznaczenia zbioru skladowych - kt6re s,! maCielZami - albo proste pogrubione litery SiT. Ich iloczyn macierzowy zapisujy jako ST. Ta "dwuznaczna" interpretacja symboli takich jak R abed czy sa b (kiedy raz traktujemy je jako zbi6r skladowych, a kiedy indziej jako abstrakcyjne oznaczenie tensor a) nie powinna wywolac zamieszania, poniewaZ zar6wno algebraiczne, jak i r6zniczkowe relacje pomiydzy tymi wielkosciami s,! identyczne w obu przypadkach. Czasami uiywam tez trzeciej formy zapisu tych wielkosci - zapisu grajiczne-
Notacja
ktory opisany jest na rys. 12.17, 12.18, 14.6, 14.7, 14.21, 19.1 i w innych miejscach ksiqzki. Wielokrotnie powstaje koniecznose odroznienia wielkosci 4-wymiarowych, wystypujqcych w czasoprzestrzeni teorii wzglydnosci, od odpowiednich 3-wymiarowych wielkosci przestrzennych. W przypadku wielkosci 4-wymiarowych uZywam wiyc pogrubionej kursywy, jak pix, podczas gdy dla wielkosci 3-wymiarowych rezerwujy litery pogrubione proste - pix. W analogii do zapisu T jako macierzy, w odroznieniu od T jako abstrakcyjnej transformacji liniowej, wielkosci pix bydq uiywane raczej dla oznaczenia trzech skladowych przestrzennych, podczas gdy p ix raczej jako wielkosci abstrakcyjne, w oderwaniu od skladowych (aczkolwiek regula ta nie jest zbyt surowo przestrzegana). Euklidesowq dlugose wielkosci 3-wektorowej a = (a" a2 , a3 ) zapisujemy jako a, gdzie a 2 = a~ + a~ + a~, a iloczyn skalarny a z wektorem b = (b l , b2, b) jako a • b = alb l + a 2b2 + a 3b3• Taki zapis "z kropkq" odnosi siy rowniez do wielkosci n-wymiarowych, w przypadku iloczynu skalarnego (lub wewnytrznego) a • ? kowektora a z wektorem ? Komplikacje pojawiajq siy jednak w zwiqzku z mechanikq kwantowq, poniewaz istnieje tendencja przedstawiania wielkosci fizycznych jako operatorow liniowych. W tej ksiqzce nie podporzqdkowujy siy standardowej notacji, ktora pol ega na tym, ze klasyczne wielkosci fizyczne odrozniamy od odpowiadajqcych im operatorow mechaniki kwantowej przez umieszczenie "daszka" nad odpowiedniq literq, poniewaz w moim odczuciu prowadzi to do zbytecznego nadmiaru symboli. Moim zdaniem wielkosci kwantowe i klasyczne Sq "tymi samymi wielkosciami fizycznymi", a wiyc mozemy je opisywae tymi samymi literami, z tq roinicq, ie w fizyce klasycznej zaniedbujemy wielkosci rZydu ft, w zwiqzku z czym w fizyce klasycznej zachowana jest relacja ab = ba, podczas gdyw fizyce kwantowej ab moie siy roinie od ba 0 wielkose rZydu n.) Konsekwentnie takie operatory liniowe powinny bye oznaczane pogrubionq kursywq (jak T), jednakie rodziloby to sprzecznose z rozroinieniem zaproponowanym w poprzednim akapicie. W takim razie w odniesieniu do wielkosci takich jak pydy p lub p, alba polozenia x lub x, bydy siy staral uiywae takich samych oznaczen jak w przypadku klasycznym, w zgodzie z tym, co lOstalo przedstawione w poprzednim akapicie. Wobec mniej popularnych operatorow kwantowych uiywae bydy zas pogrubionej kursywy, na przyktad Q. W matematyce standardowo stosuje siy, odpowiednio, litery N, 2:, JR, C i IF'q do oznaczenia zbioru liczb naturalnych (tzn. nieujemnych liczb catkowitych), liczb calkowitych, liczb rzeczywistych, liczb zespolonych i cial skonczonych q-elementowych (q jest pewnq potygq liczby pierwszej; lOb. rozdz. 16.1); podobnie jak W, 2:", JR", e i IF'; dla uporzqdkowanych n-ek takich liczb. Sq to kanoniczne wielkosci matematyczne uiywane standardowo. W tej ksiqice (co nie jest tak rzadkie) notacja ta lOstala zastosowana rowniei: w odniesieniu do innych standardowych struktur matematycznych, takich jak 3-przestrzen Euklidesa lEllub, bardziej ogolnie, euklidesowe n-przestrzenie ]E". Wielokrotnie uiywam litery M dla oznaczenia zwyklej plaskiej 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego, ktora sarna
go -
XXII
Notacja
jest przestrzeniq "pseudoeuklidesowq". Podobnie M" oznacza jej n-wymiarowq wersjy - lorentzowskq czasoprzestrzen z 1 wymiarem czasowym i (n - 1) wymiarami przestrzennymi. Czasami stosujy symbol C przymiotnikowo dla oznaczenia procesu "kompleksyfikacji", a wiyc na przyklad zespolonq 4-przestrzen euklideSOWq oznaczam jako ClE". Podobnie przymiotnikowo uiywam litery lP' dla zaznaczenia, ze mamy do czynienia z wariantem "rzutowym" (zob. rozdz. 15.6). Rzeczownikowo oznaczam tq literq n-przestrzenie rzutowe, takie jak lP'n, rowniez w poiqczeniach takich jak lRlP''' lub ClP'n, aby zaznaczye, ze mowimy 0 rzeczywistej lub zespolonej n-przestrzeni rzutowej. W teorii twistorow (rozdz. 33) wystypuje zespolona 4-przestrzen T, ktora jest zwiqzana kanonicznie z M (lub z jej kompleksyfikacjq CM), a takZe jej rzutowa wersja lP'T. W teorii tej pojawia siy rowniez przestrzen twistorow zerowych N (podwojna rola tego znaku nie powinna prowadzie tutaj do nieporozumien) oraz jej wersja rzutowa lP'N. Przymiotnikowa rola znaku C nie powinna prowadzie do mylenia jej ze znakiem "bezszeryfowym" C, ktory oznacza "sprzyzony zespolony" Uak w rozdz. 13.1, 2). Jest to uZycie w zasadzie podobne do tego w teorii czqstek elementarnych, w ktorej oznaczamy w ten sposob operacjy splZ~zenia ladunkowego; dokonuje ona zamiany czqstki w antyczqstky (zob. rozdz. 25, 30). Operacja ta wystypuje zwykle w polqczeniu z dwiema innymi podstawowymi operacjami fizyki cZqstek elementarnych, a mianowicie P, tzn. operacji parzystosci, ktora oznacza odbicie zwierciadiane, oraz T, ktora oznacza odbicie w czasie. Pogrubione znaki bezszeryfowe sluzq rowniez dla innych celow, mianowicie dla oznaczenia wielkosci wektorowych V, W i H. Znaku H uiywam standardowo dla oznaczenia przestrzeni Hilberta w mechanice kwantowej, ktora jest n-wymiarowq przestrzeniq zespolonq. Przestrzenie wektorowe Sq, w scislym sensie tego slowa, plaskie. Przestrzenie, ktore Sq (lub mogq bye) zakrzywione, oznaczam literami pisanymi M, S lub T. Szczegolny symbol /7 zachowujy dla oznaczenia niesk011czonosci zerowej. Wreszcie stosujy siy do popularnej konwencji, ktora nakazuje uiywae pisanych znakow .c i 1i dla oznaczenia lagranzjanow i hamiltonianow w celu podkreslenia ich szczegolnej roli w fizyce teoretycznej.
Prolog byl zwierzchnikiem rzemieslnikow krolewskich i artystq 0 perfekcyjnych zdolnosciach. Owej gorqcej nocy spal w warsztacie na prowizorycznym lozu, zmyczony ciyzkq pracq tego wieczoru. lednakZe sen mial niespokojny, bye moze skutkiem jakiegos niewytlumaczalnego napiycia wyczuwalnego w powietrzu. I rzeczywiscie, nie mial wcale pewnosci, ze spal, kiedy to siy stalo. Nagle nastal dzien, podczas gdy jego kosci mowily mu, ze to wciqz jeszcze jest noc. Zerwal siy gwaltownie. Cos bylo nie tak. Swiatlo dnia nie moglo siy pojawie od strony polnocnej, tymczasem poprzez szerokie okno, wychodzqce na polnoc w strony morza, swiecilo cos groznego, ogromnego i czerwonego. Podszedl i wyjrzal przez okno, przyglqdajqc siy niezwyklemu zjawisku. Slonce jeszcze nigdy nie wschodzilo od strony polnocnej! Kilka dluzszych chwil minylo, zanim zdal sobie sprawy, ze to, co do niego dociera, nie moze bye swiatlem slonecznym: byl to odlegly strumien oslepiajqcego czerwonego swiatla, skierowany pionowo wprost z wody do nieba. Wtem zauwaZyl ciemnq chmury na czubku tego strumienia, nadajqcq calej strukturze ksztalt jakiegos gigantycznego parasola. Chmura blyszczala zlowrogo, wyrzucajqc z siebie jakqs dymiqcq, plonqcq materiy. 6w parasol stopniowo siy powiykszal i ciemnial- niczym jakis demon z podziemnego swiata. Noc byla pogodna, ale gwiazdy zaczyly znikae, polykane, jedna po drugiej, przez rozrastajqcego siy potwora z piekiel. Am-tep przez kilka minut nie byl w stanie siy poruszye, zaczarowany doskonalq symetriq tego obrazu i jego okrutnym piyknem. Nagle pod wplywem wichru potworna chmura zaczyla przechylae siy nieco w strony wschodniq. W tym momencie czar prysnql i ogarnyla go trwoga, gdyz poczul dziwne wstrzqsy podloza, ktorym towarzyszyly grozne, obce odglosy. Przerazony czlowiek nigdy przedtem nie byl swiadkiem tak okropnego gniewu bogow. Odruchowo zaczql siy zastanawiae, czy przypadkiem on sam nie byl przyczynq tego gniewu: dopiero co zakonczyl pracy nad czaszq ofiarnq i bardzo siy tym niepokoil. Moze przedstawiony na niej obraz boga-byka nie byl dostatecznie przerazajqcy? Czy bog nie poczul siy urazony? Szybko jednak uderzyla go absurdalnose takiego rozumowania. Furia, ktorej byl swiadkiem, nie mogla miee tak tryAM-TEP
Prolog
2
wialnej przyczyny i z pewnosciq nie byla skierowana specjalnie przeciwko niemu. Wiedzial co prawda, ze to oznacza klopoty w Wielkim Palacu. Krol-kaplan nie bydzie tracil czasu i od razu podejmie proby ulagodzenia demona. Niezbydne bydq ofiary. Tradycyjne owoce czy nawet zwierzyta nie wystarczq do przeblagania rozgniewanego b6stwa; konieczne bydq ofiary z ludzi. Nagle potyzny podmuch powietrza, po ktorym zerwal siy gwattowny wicher, rzucil go w tyl. Towarzyszyl temu okropny huk, ktory zupelnie go ogluszyl. Wiele jego przepiyknie zdobionych naczyn zostalo zmiecionych z polek i rozbitych 0 znajdujqcq siy za nim sciany. Gdy tak lezal na podlodze w odleglym kqcie pokoju, dokqd rzucil go straszny podmuch, wracajqc powoli do przytomnosci, zauwaZyl, ze caly jego warsztat obrocil siy w kupy gruzu. Porazil go widok jego ulubionych urn rozbitych na drobne kawalki, cudownych scen, ktorymi byly zdobione, teraz calkowicie zniszczonych. Am-tep podniosl siy niepewnie z podlogi i po chwili, z duszq na ramieniu, zbliZyI siy do okna, obserwujqc potworne sceny rozgrywajqce siy na morzu. Wyda10 mu siy, ze widzi jakqs nawalnicy, oswietlonq odleglym rubinowym swiatiem, nadciqgajqcq w jego strony. Ogromna sciana wody, za ktorq podqzaly fale niczym skalne urwiska, z wielkq szybkosciq zblizala siy do brzegu. Zamarl w bezruchu, patrzqc, jak fala rosnie i osiqga gigantyczne rozmiary. W koncu dopadla brzegu i natychmiast morze tuz przed nim wycofalo siy gwaltownie, pozostawiajqc na nowo powstalej plaZy szczqtki rozbitych statkow. Wtedy fala znalazla jeszcze jakqs nietkniytq niszy i uderzyla w niq z niewyobrazalnq sitq. Wszystkie okryty zostaly rozbite, a wiele pobliskich domow momentalnie rozpadlo siy na kawalki. Jego dom szczysliwie ocalal, bo chociaz fale osi,,!gnyly niebywal,,! wysokosc, stal na sporym wzniesieniu w wystarczaj"!cej odleglosci od morza. Wielki Palac tez ocalal. Am-tep przeczuwal jednak, ze najgorsze dopiero go czeka. Rozumial tylko tyle, ze zlozenie w ofierze jakiegos niewolnika nie wystarczy. Do usmierzenia gniewu tego okropnego boga trzeba czegos wiycej. Pomyslal o swoich synach i corkach i 0 nowo narodzonym wnuku. Nawet oni nie mogli siy czue bezpiecznie. Obawy Am-tepa byly w pelni uzasadnione. J uz wkrotce pewna mloda dziewczyna i chlopiec z dobrej rodziny zostali zabrani i doprowadzeni do pobliskiej swiqtyni, zbudowanej wysoko na zboczu gory. Podczas rytualu ofiarnego przyszlo nastypne uderzenie. Nast,,!pilwstrz,,!s 0 niesamowitej sile, sufit swi"!tyni run,,!l, grzebiqc pod sob,,! zarowno kaplanow, jak i ich przeblagalne ofiary. Jak siy okazalo, powstal w ten sposob naturalny grobowiec, okrywajqcy ich ciala - ktore spoczyly w rytualnej pozycji - na ponad trzy i pol tysi,,!ca lat! Zniszczenia byly okropne, ale nie kompletne. Na wyspie, na ktorej Zyl Am-tep i jego plemiy, wielu przeZylo trzysienie ziemi, aczkolwiek calkowitemu zniszczeniu ulegl Wielki Palac. Palac powoli odbudowano i nawet odzyskal wiele ze swojej oryginalnej wspanialosci. JednakZe Am-tep przysiqgl porzucic wyspy. Jego swiat zmienil siy nieodwracalnie. Dot,,!d panowala na nim Matka-Ziemia, przez tysi,,!c lat panowal
Prolog
pokoj, dobrobyt i rozkwitala kultura. Wspaniale rozwinyly siy sztuki piykne. Kwitl handel pomiydzy sqsiadujqcymi wyspami. Wielki Palac stanowil ogromny, z luksusem urzqdzony labirynt, prawdziwe miasto sarno w sobie, ze scianami zdobionymi wspanialymi freskami zwierzqt i roslin. Byl wyposazony w bieZqcq wody i doskonalq kanalizacjy. 0 wojnach nie slyszano i wydatki obronne byly zbydne. I nagle - rozumowal Am-tep - Matky-Ziemiy zaatakowalo cos obcego, przepelnionego nienawisciq. Uplynylo kilka lat, zanim Am-tep i jego rodzina mogli opuscic wyspy. Statek zbudowal jego najmlodszy syn, doskonaly ciesla i zeglarz. Podroz trwala wiele dni, ale pogoda byla znakomita. Pewnej pogodnej nocy Am-tep objasnial wnukowi, ktory okazal siy niezwykle wrazliwym dzieckiem, zainteresowanym wszystkim, co go otaczalo, rozmieszczenie gwiazd na firmamencie. I nagle zdal sobie sprawy z czegos niezmiernie dziwnego: Gwiazdy na niebie ani na jotf? nie zmienily swego p%ienia w stosunku do tego, ktore zajmowaly przed Katastrofq i pojawieniem sif? demona. Am-tep jako artysta znal dobrze polozenia gwiazd Z calq pewnosciq - rozumowal- te malutkie swiatelka na niebie przynajmniej trochy powinny siy przemiescic po gwaltownych wstrzqsach owej nocy, tak jak zniszczone zostaly jego wyroby i wspaniale urny. Rowniez ksiyZyc zachowal swoj poprzedni wyglqd, a jego droga po niebosklonie nie ulegla zadnej zmianie. Przez wiele sezonow ksiyZycowych tuz po Katastrofie na niebie dzialy siy dziwne rzeczy. Pojawialy siy ciemnosci i dziwne chmury, slonce i ksiyZyc czasami przyjmowaly niezwykle barwy, lecz teraz to wszystko juz minylo i ich ruchy pozostaly niezaklocone. Podobnie male gwiazdki na niebie: tkwily na miejscu. Am-tep zaczql rozumowac tak: jesli niebiosa tak niewiele robily sobie z Katastrofy, to musialy tam mieszkac bostwa znacznie potyzniejsze niz ow potworny demon. W takim razie dlaczego sily, zdolne kontrolowac demon a, mialyby siy przejmowac tym, co robiq mali ludzie na wyspie, ich rytualami i skladanymi ofiarami? Poczul siy zawstydzony swoim glupim podejrzeniem, ze jakis demon m6glby siy w ogole interesowac tym, co on umieszcza na swoich garnkach. Nadaljednak pytanie "dlaczego?" nie przestawalo go gnybic. Co to za sily kontrolujq swiat i dlaczego czasami wybuchajq gwaltownie w sposob, ktory wydaje siy calkiem niepojyty? Probowal rozwazac ty kwestiy ze swoim wnukiem, ale odpowiedzi nie bylo.
Minql wiek, minylo tysiqclecie, a odpowiedzi nadal nie bylo.
Rzemieslnik Amphos spydzil cale Zycie w tym samym malym miasteczku, w kt6rym Zyl jego ojciec, dziad i pradziadowie. Na Zycie zarabial, tworzqc przepiyknie zdobione zlote bransolety, kolczyki, naczynia ceremonialne i inne wytwory jego artystycznych talentow. Taka praca stanowila tradycjy w jego rodzinie przez
3
Prolog
4
prawie czterdziesci pokolen, nieprzerwanie przez jedenascie stuleci od czasu, gdy przodek Am-tep tam osiadl. JednakZe nie tylko zdolnosci artystyczne byly przekazywane z pokolenia na pokolenie. Problemy, kt6re myczyly Am-tepa, w takim samym stopniu nie dawaly spokoju Amphosowi. Historia Katastrofy, kt6ra zniszczyla star,! i pokojow,! cywilizacjy, byla przekazywana z ojca na syna. R6wnid: jego rozwazania na ten temat trwaly w pamiyci pokolen. Amphos rozumial, ze niebiosa S,! tak wielkie i nieodgadnione, ze nawet owo doniosle wydarzenie niewiele je obchodzilo, a przeciez Katastrofa zabila tylu ludzi, zniszczyla wspaniale miasta i swi'!tynie mimo skladanych ofiar i licznych rytual6w religijnych. Dlatego to wydarzenie musialo bye wynikiem dzialania jakichS ogromnych sit, calkowicie obojytnych wobec staran istot ludzkich. Natura owych zjawisk byla tak sarno nieznana w czasach Amphosa jak wepoce Am-tepa. Amphos badal budowy roslin, owad6w i innych malych stworzen, struktury skal. Jego doskonale oko i zmysl obserwacyjny swietnie sluiyly mu w pracy. Interesowal siy rolnictwem i byl zafascynowany tym, jak z ziarna wyrasta zboze i inne rosliny. Dryczylo go jednak, ze nigdzie nie znajdowal odpowiedzi na pytanie "dlaczego?". Byl przekonany, ze naprawdy gdzies glyboko jest ukryty sens tych wszystkich zjawisk, ale czul siy wobec nich bezsilny. Pewnej piyknej nocy obserwowal niebo i z polozenia gwiazd usilowal wyobrazie sobie, jak mog,! wygl,!dae ci bogowie i boginie, kt6rzy stworzyli konstelacje niebieskie. J ako artysta s,!dzil co prawda, ze uklady gwiazd nie przedstawialy ciekawych konfiguracji, on zaaranzowalby je lepiej. Dlaczego bogowie nie poukladali gwiazd w jakies bardziej intryguj,!ce formy? Pozornie wydawalo siy, ze ulozenie gwiazd przypomina raczej ziarna przypadkowo rozsypane przez rolnika niz jak,!s bosk,! struktury. I wtedy przyszla mu do glowy dziwna mysl: Nie szukaj przyczyny takiego a nie innego poloienia gwiazd ani innych rozproszonych obiektow; poszukaj raczej glfbszej uniwersalnej zasady, ktora kieruje ruchami cial. Amphos zdal sobie sprawy, ze porz,!dek rzeczy nie polega na tym, jak uloz'! siy nasiona rozrzucone na ziemi, lecz na cudownym sposobie, w jaki kazde nasionko rozwija siy w Zyw,! rosliny 0 zadziwiaj,!cej budowie, a kazda z nich okazuje siy podobna do drugiej. Nie pr6bujmy nadawae sensu figurom powstalym z rozsypanych ziaren, ale musi bye ukryty sens w tajemniczym sposobie, w jakim z kazdego nasionka wyrasta roslina i kazda z nich przechodzi podobne koleje losu. Prawa Natury musz'! miee naprawdy nadzwyczaj precyzyjn,! struktury, zeby to wszystko bylo mozliwe. Amphos doszedl do przekonania, ze bez precyzji w strukturze tych ukrytych praw nie bylby mozliwy porz'!dek swiata, podczas gdy ten porz,!dek przejawia siy niezbicie w tym, jak przyroda siy zachowuje. Musimy zatem precyzyjnie uporz'!dkowae nasze myslenie 0 tych sprawach, jeSli nie chcemy, aby nas zaprowadzilo na manowce. Tak siy zloiylo, ze Amphos uslyszal 0 jakims mydrcu, mieszkaj,!cym w innym zak,!tku ziemi, kt6rego pogl,!dy wydawaly siy zbiezne z jego wlasnymi. We-
Prolog
dJug tego mydrca nie mozna polegae na tradycyjnych naukach i poglqdach. Do tego, aby bye pewnym wartosci wlasnych sqdow, konieczne bylo precyzyjne wnioskowanie oparte na niekwestionowanych zasadach. To precyzyjne myslenie musialo bye matematyczne - a wiyc scisle zwiqzane z pojyciem liczby i jego zastosowaniem do form geometrycznych. Wobec tego zachowaniem siy przyrody rzqdzie winny liczby i geometria, a nie mity i przesqdy. Tak jak zrobil jego przodek 11 wiek6w wczesniej, Amphos wyruszyl na morze. Odnalazl drogy do miasta Kroton, gdzie iyl ow mydrzec, a razem z nim bractwo 571 uczonych myz6w i 28 mqdrych kobiet, kt6rzy zajmowali siy poszukiwaniem prawdy. Po pewnym czasie r6wniez Amphosa przyjyto do bractwa. Ich duchowy przyw6dca nazywal siy Pitagoras.
1 Korzenie nauki 1.1 W poszukiwaniu sit, kt6re uksztattowaty swiat
JAKIE prawa rz'!dz'! naszym WszechSwiatem? Jak mozemy je poznae? W jaki sposob zdobycie wiedzy 0 tych prawach moze nam pomoc w ich zrozumieniu, a moze nawet we wplywaniu na losy swiata? Od zarania dziejow kwestie te nurtowaly ludzi. Najpierw probowano wyobrazie sobie sHy i sposoby kontrolowania swiata na wzor tych, ktore byly dostt(pne bezposredniemu doswiadczeniu w otaczaj,!cej rzeczywistosci. Wyobrazano sobie, ze ktokolwiek czy cokolwiek sprawuje wladzt( nad swiatem, czyni to w sposob podobny do tego, w jaki ludzie sami podporz,!dkowuj,! sobie i kontroluj,! najblizsze otoczenie. Dochodzili wit(c do przekonania, ze ich wlasny los jest w rt(kach by tow kieruj,!cych sit( podobnymi motywami i impulsami jak oni. Byty te mialyby zatem bye motywowane przez uczucia i emocje, takie jak duma, milose, ambicja, gniew, zlose, strach, zemsta, namit(tnose, wdzit(cznose, lojalnose czy poczucie pit(kna. Z tego punktu widzenia zjawiska naturalne, na przyklad swiatlo sloneczne, deszcz, burza, glad, choroba czy zaraza, musialy bye rozumiane jako wynik nastrojow bogow i bogin, spowodowanych przez emocje podobne do ludzkich. W takim razie jedynymi dzialaniami, jakie ludzie mogliby podj,!e dla przeciwstawienia sit( tym humorom bogow, bylyby proby ich przeblagania i ulagodzenia. Powoli jednak przekonania te zaczt(ly sit( zmieniae dzit(ki obserwacjom innego rodzaju. Najbardziej typowego przykladu dostarcza tu precyzja, zjak,! Slonce porusza sit( po niebie, i jej scisly zwi,!zek z przechodzeniem nocy w dzien. Rowniez wzglt(dna pozycja Slonca w stosunku do polozen innych gwiazd dawala sit( scisle skorelowae ze zmian,! i bezwzglt(dn,! regularnosci,! par roku, nastt(pnie z ich wplywem na pogodt(, a w konsekwencji na wegetacjt( roslin i zachowanie sit( zwierz,!t. Wydawalo sit(, ze takZe ruchy Ksit(Zyca podlegaj,! scislym regulom, a jego fazy dawaly sit( okreslie na podstawie geometrycznych zwi,!zkow jego polozenia w stosunku do polozenia Slonca. W tych miejscach na Ziemi, w ktorych oceany dotykaj,! l'!dow, obserwacje pokazywaly, ze przyplywy i odplywy wykazuj,! regularnose sci§le zwi'!zan'! z fazami Ksit(Zyca. Kiedy wreszcie duzo bardziej skomplikowane ruchy planet zaczt(ly odslaniae swoje tajemnice, okazalo sit(, ze i te ruchy
Korzenie nauki
8
cechuje zadziwiaj,!ca regularnosc i precyzja. Jesli zatem byly one kierowane humorami i nastrojami bog6w, to ci bogowie sami musieli stosowac siy do jakichs precyzyjnych regul matematycznych. Podobnie przedstawiala siy sprawa regul, jakim musialy podlegac zjawiska ziemskie, takie jak dzienne i roczne wahania temperatury, przyplywy i odplywy ocean6w, wzrost roslin. Jesli mialy byc uzaleznione od nastroj6w i humor6w bog6w, to owe nastroje musialy wykazywac zadziwiaj,!c
Prawda matematyczna
1.2
Rys. 1.1. Wymyslne zwi,!zki, jakich dopatrywali sic;: staroZytni Grecy, pomic;:dzy pic;:cioma platonskimi brylami a czterema Zywiolami (ogniem, powietrzem, wod,! i ziemi,!) oraz firmamentem niebieskim, reprezentowanym przez dwunastoscian foremny.
1.2 Prawda matematyczna
Postawienie pierwszych krokow w kierunku zrozumienia rzeczywistych czynnikow rz£!dz£!cych zjawiskami przyrody wymagalo oddzielenia prawdy od czystych spekulacji i domyslow. Zanim jednak staroiytni mogli post£!Pic dalej w swoich wysitkach zrozumienia natury, musieli znaleie jakis sposob na oddzielenie prawdy od przypuszczen w samej matematyce. Konieczne bylo znalezienie procedury, ktora pozwalalaby ustalie, czy jakies spostrzezenie matematyczne moze bye uwazane za prawdziwe. Dopoki ta wstypna praca nie zostala wykonana, dopoty nie mozna bylo powaznie podejmowae znacznie bardziej zlozonych problemow, ktore dotyczyly sit rz£!dz£!cych zjawiskami swiata oraz ich zwi£!zku z prawd£! matematyczn£!. Dlatego pierwszym zasadniczym przelomem na drodze przyrodniczego poznania bylo zdanie sobie sprawy, ze kluczem do zrozumienia natury jest precyzyjna, niepodwazalna matematyka. Aczkolwiek roznego rodzaju prawdy matematyczne dostrzegano i formulowano od czasow staroiytnego Egiptu i Babilonu, to dopiero filozofowie greccy, Tales z Miletu (ok. 625-547 p.n.e.) i Pitagoras 1* z Samos (ok. 572-497 p.n.e.), wprowadzili pojycie dowodu matematycznego i w ten sposob poloiyli pierwszy
* Przypisy zaznaczone w tekscie indeksem liczbowym g6mym znajdujq sit( na koncu kai:dego rozdzialu.
9
Korzenie nauki
10
kamien wC(gielny pod budowC( gmachu matematycznego rozumienia swiata. Zapewne Tales byl pierwszym, kt6ry wprowadzil pojC(cie dowodu, ale wydaje siC(, ze dopiero Pit agoras po raz pierwszy pokazal, jak go uiywae do ustalenia relacji bynajmniej nie oczywistych. R6wnieZ Pitagoras chyba pierwszy dostrzegl znaczenie liczby i innych pojC(e arytmetycznych dla zrozumienia i opisu zjawisk fizycznego swiata. Uwaza siC(, ze waznym czynnikiem w tym procesie byla jego obserwacja faktu, iz najpiC(kniejsze harmonie diwiC(k6w wydawanych przez liry Czy fIety korespondowaly wprost z najprostszymi ulamkowymi stosunkami dlugo sci drgaj,!cych strun lub rur. To najprawdopodobniej Pitagoras wprowadzH "skalC( pitagorejsk'!", opisuj,!q relacje numeryczne tego, co dzisiaj uwazamy za czC(stotliwosci okreslaj,!ce zasadnicze interwaly, na kt6rych opiera siC( muzyka europejska2 • Slynne twierdzenie Pitagorasa, zgodnie z kt6rym w tr6jk,!cie prostok'!tnym suma kwadrat6w obu przyprostok,!tnych jest r6wna kwadratowi przeciwprostok'!tnej, bye moze bardziej niz cokolwiek innego pokazuje, ze rzeczywiscie istnieje precyzyjna relacja miC(dzy arytmetyk,! liczb a geometri,! fizycznej przestrzeni (zob. rozdz. 2). Pitagoras mial spoq gromadkC( uczni6w i nasladowc6w, nazwanych pozniej pitagorejczykami. Zyli razem w miescie Kroton, na poludniowym koncu P61wyspu Apeninskiego, jednakze ich wplyw nie siC(gal daleko, gdyz wszyscy czlonkowie bractwa pitagorejczyk6w byli zaprzysiC(zeni i zobowi,!zani do zachowania tajemnicy, dlatego prawie wszystkie szczeg6lowe wnioski ich filozoficznych dociekan przepadly. SzczC(sliwie niekt6re z nich "przeciekly" na zewn'!trz, co mialo tragiczne konsekwencje dla tych, kt6rzy zdradzili tajemniCC(: przynajmniej 0 jednym z nich wiemy, ze skazany zostal na smiere przez utopienie! Na dtuzsz,! metc( wplyw pitagorejczyk6w na rozw6j mysli ludzkiej okazal siC( ogromny. Pokazali bowiem, ze za pomoq dowodu matematycznego mozna bylo dojse do waznych i niepodwazalnych wniosk6w, do tego stopnia niepodwazalnych, ze pozostaly one prawdziwe az do naszych czas6w, niezaleznie od tego, jak ogromnie rozwinC(la siC( wiedza 0 swiecie. Przejawil siC( w ten spos6b ponadczasowy charakter matematyki. Ale czym jest dow6d matematyczny? Dowodem w matematyce jest niepodwazalna argumentacja, posluguj,!ca siC( wyl,!cznie logicznym rozumowaniem, kt6ra pozwala wykazae prawdziwose jakiegos matematycznego wniosku na podstawie wcze§niej dowiedzionej prawdziwosci innych wniosk6w matematycznych albo za pomoq odwolania do pewnych elementarnych zalozen - aksjomat6w - kt6rych prawdziwose uwaza siC( za oczywist'!. Wniosek w ten spos6b udowodniony nazywa siC( twierdzeniem. Wiele twierdzen, kt6rych dowodzeniem zajmowali siC( pitagorejczycy, mia10 charakter geometryczny; inne byly wnioskami dotycz'!cymi liczb. Te twierdzenia, kt6re dotyczyly liczb, pozostaly prawdziwe do dzis. A jak przedstawia siC( sprawa z twierdzeniami geometrycznymi, kt6re pitagorejczycy odkryli, po-
Prawda matematyczna
1.2
slugujqc si(( procedurq dowodu matematycznego? One rowniei zachowaly swojq slusznosc, lecz pojawila si(( pewna komplikacja. Natura tej komplikacji jest obecnie dla nas bardziej zrozumiala nii w czasach Pitagorasa. Staroiytni znali tylko jeden rodzaj geometrii, kton} obecnie nazywamy geometriq euklidesowq, ale teraz znamy jui wiele innych. Dlatego kiedy mowimy 0 twierdzeniach geometrycznych, jakie znali staroiytni Grecy, jest rzeCZq wainq, iebysmy podkreslali, ie poj((cia geometryczne, jakimi si(( poslugujemy, naleiq do geometrii Euklidesa. (Bardziej szczegolowo zapoznamy si(( z t q spraw'l w rozdz. 2.4, gdzie podam wainy przyklad geometrii nieeuklidesowej.) Geometria euklidesowa stanowila szczegolnq struktur(( matematycznq, opartq na jej wlasnym, specyficznym zbiorze aksjomatow (lqcznie z nieco mniej pewnymi zaloieniami, ktore nazywamy postulatami), ktora dawala znakomite przybliienie pewnych aspektow fizycznej rzeczywistosci. Byly to te aspekty rzeczywistosci - dobrze znane staroiytnym Grekom - ktore odnosily si(( do praw rzqdzqcych geometriq sztywnych przedmiotow i ich stosunkiem do innych sztywnych przedmiotow oraz do ich ruchow w trojwymiarowej przestrzeni. Niektore z tych wlasciwosci byly tak dobrze znane i rozumiane, ie zostaly uznane za oczywiste same przez si(( prawdy matematyczne i przyj((te za aksjomaty (albo postulaty). W rozdz. 17-19 i 27.8,11 zobaczymy, ie ogolna teoria wzgl((dnosci Einsteina - a nawet czasoprzestrzen Minkowskiego szczegolnej teorii wzgl((dnosci - dostarczajq przykladow geometrii opisujqcych swiat fizyczny, ktore nie tylko roiniq si((, ale Sq tei doktadniejsze nii geometria euklidesowa, pomimo ie geometria euklidesowa staroiytnych Grekow byla sarna nadzwyczaj dokladna. Dlatego musimy zachowac wielk'l ostroinosc, zanim przyjmiemy jakieS geometryczne stwierdzenie za aksjomat i zaakceptujemy jego prawdziwosc. Ale co w tym kontekscie oznacza slowo "prawdziwy"? Z tej trudnosci doskonale zdawal sobie spraw(( Platon, wielki filozof staroiytnej Grecji, ktory iyt w Atenach w latach 429-347 p.n.e., a wi((c okolo 100 lat po Pitagorasie. Platon zrozumial i wyjasnil, ie twierdzenia matematyczne - a wi((c uwaiane za niepodwaialnie prawdziwe - odnosily si(( nie do samych obiektow fizycznych (takich jak przybliione kwadraty, trojkqty, kola, kule czy szesciany, jakie moina skonstruowac, piszqc na piasku, czy zbudowac z drzewa czy kamienia), ale do pewnych by tow idealnych. Uwaial, ie te byty idealne zamieszkujq inny swiat, roiny od swiata fizycznego. Dzisiaj moglibysmy ten swiat okreSlic jako platonski swiat form matematycznych. Struktury fizykalne, takie jak kwadraty, kola czy trojkqty wyci((te z papirusu albo wykreSlone na ptaskiej powierzchni, czy tei szesciany, czworosciany lub kule wykrojone z marmuru mogq odpowiadac tym by tom idealnym, ale wyl'lcznie w sposob przybliiony. Prawdziwe matematyczne kwadraty, szesciany, okr((gi, kule, trojkqty itp. nie naleiq do swiata fizycznego, lecz do platonskiego swiata wyidealizowanych form matematycznych.
11
Korzenie nauki
1.3 Czy swiat matematyczny Platona jest swiatem "rzeczywistym"?
12
Byla to, w swoim czasie, znakomita idea, ktora okazala siy wielce doniosla i owocna. Ale czy swiat form matematycznych Platona istnieje w jakimkolwiek rozumnym sensie? Wielu ludzi, wl,!cznie z filozofami, bydzie sklonnych uwazac ten "swiat" za kompletn'! fikcjy - wytwor wyobraini niepoddanej zadnym rygorom. A jednak punkt widzenia Platona rna naprawdy glyboki sens. Poucza on nas przede wszystkim, ze trzeba zachowac wielk,! ostroznosc, aby odroznic prawdziwe byty matematyczne od ich przyblizonych realizacji, jakie dostrzegamy w otaczaj'!cym nas swiecie. Platon jest takze tworq metody naukowej stosowanej do dzisiaj. Uczeni badacze konstruuj,! modele swiat a - albo raczej pewnych aspektow tego swiata - ktore nastypnie testuj,! na podstawie wczesniejszych obserwacji i starannie zaprogramowanych eksperymentow. Modele te uwazamy za odpowiednie, jesli przetrwaj,! takie testowanie i ponadto maj,! wewnytrznie spojn,! struktury. W naszych obecnych rozwazaniach wazn,! cech,! tych mode Ii jest fakt, ze Sq to w zasadzie czysto abstrakcyjne modele matematyczne. Jesli chcemy odpowiedziec na pytanie, czy dany model jest spojny wewnytrznie, to musimy najpierw zadbac 0 to, zeby byl precyzyjnie sformulowany. Ten podstawowy wymog precyzji oznacza, ze model musi byc modelem matematycznym, gdyz inaczej nigdy nie bydziemy mieli gwarancji, ze na postawione pytania otrzymamy dobrze okreslon,! odpowiedi. Jesli wiyc modelowi mamy przypisac jak,!s formy "istnienia", to own istnienie musi go lokowac w platonskim swiecie form matematycznych. Oczywiscie, mozna przyj,!c przeciwny punkt widzenia: mozna uwazac, ze sam model istnieje tylko w naszym umysle, a nie wkladac go do jakiegos urojonego swiata platonskich idei. Jest jednak cos bardzo waZnego, co mozna zyskac, jesli siy przyjmie, ze struktury matematyczne istniej,! niezaleznie od nas. Tak siy bowiem sklada, ze nasze wlasne umysly notorycznie wykazuj,! brak precyzji w rozumowaniu, nie mozna na nich polegac i czysto wiklaj,! siy w sprzecznosciach. Dokladnosc, niezawodnosc i spojnosc, jakich wymagaj,! teorie naukowe, potrzebuj,! czegos wiycej niz nasze indywidualne i zawodne umysly. Otoz wlasnie te cechy znajdujemy w matematyce. Czy to nie wskazuje nam na jak,!s rzeczywistosc, ktora istnieje poza nami? Rzecz jasna, mamy prawo przyjmowac taki punkt widzenia, ze swiat matematyczny nie istnieje niezaleznie od nas, ze sklada siy on jedynie z pewnych idei stworzonych w roznych naszych umyslach, ktore to idee zostaly uznane za godne zaufania i zaakceptowane przez wszystkich. JednakZe nawet ten punkt widzenia nie przybliza nas specjalnie do tego, czego potrzebujemy. COZ bowiem mamy na mysli, mowi,!c "zaakceptowane przez wszystkich"? Czy mamy na mysli "wszystkich, ktorzy prawidlowo rozumuj'!" czy teZ "wszystkich, ktorzy uzyskali doktorat z matematyki" (z takiej definicji nie byloby wielkiego poZytku w czasach Platona) i ktorzy maj,! prawo wypowiadac "autorytatywne opinie"? Kryje siy w tym niebezpieczenstwo ankietowania; ocena tego, czy ktos "rozumuje prawidlowo", wymaga istnienia jakiegos zewnytrznego standardu. To sarno dotyczy pojycia
ezy swiat matematyczny Platona jest swiatem "rzeczywistym"?
1.3
"opinia autorytatywna", chyba ze przyjmiemy jakies standardy nienaukowe, takie jak opinia wit;kszosci (opinia wit;kszosci, bez wzglt;du na to, jak waznej i wplywowej, rna znaczenie dla decyzji podejmowanych przez demokratyczny rz'!d, ale jest bezuiyteczna jako kryterium naukowej wiarygodnosci). Sarna matematyka wykazuje Zywotnosc wykraczaj,!c,! daleko poza to, co poszczeg6lni matematycy s,! w stanie sobie wyobrazic. Ci, kt6rzy na co dzien obcuj,! z tym przedmiotem, czy to jako ludzie zaangazowani w badania matematyczne, czy jedynie korzystaj~c z wynik6w uzyskanych przez innych, maj,! zwykle poczucie, ze s,! tylko podroznikami w swiecie, jaki istnieje poza nimi, w swiecie, kt6rego realnosc wykracza daleko poza zbi6r wyl,!cznie opinii, bez wzglt;du na to, czy bt;d,! to ich wlasne opinie, czy tez jakas suma opinii innych os6b, nawet najbardziej kompetentnych i autorytatywnych. Spr6bujmy spojrzec na kwestit; istnienia platonskiego swiata nieco inaczej. Slowa "istnienie" uZywam tutaj w znaczeniu obiektywnosci prawdy matematycznej. Istnienie w sensie Platona, tak jak ja to widzt;, oznacza istnienie pewnego standardu zewnt;trznego, kt6re nie jest uzaleznione ani od naszych indywidualnych opinii, ani od szczeg6lnej kultury, w kt6rej iyjemy. "Istnienie" w tym sensie moze odnosic sit; r6wniez do sfer innych niz matematyka, na przyklad do moralnosci czy estetyki (zob. rozdz. 1.5), ale ograniczt; sit; tylko do rzeczywistosci matematycznej, gdyz tutaj sprawy przedstawiaj,! sit; najbardziej klarownie. Pozwolt; sobie zilustrowac to zagadnienie przez rozwazenie pewnego znanego przykladu prawdy matematycznej i pokazac jej zwi,!zek z kwesti,! "obiektywnego istnienia". W 1637 roku Pierre de Fermat dokonal wielkiego odkrycia znanego pod nazw'! "wielkie twierdzenie Fermata,,['j (twierdzenie to glosi, ze dodatnia n-ta pott;ga3 dowolnej liczby calkowitej nie moze byc sum'! dw6ch innych dodatnich n-tych pott;g liczb calkowitych, gdy n jest liczb,! wit;ksz,! od 2) i zapisal je na marginesie ksi
13
Korzenie nauki
14
nose matematyk6w musialaby przyj,!e poprawnose kontrprzykladu podanego przez X'a. Od tej pory, jakiekolwiek bylyby pr6by Wilesa udowodnienia twierdzenia Fermata, wszystkie bylyby daremne z tego powodu, ze argument X'a pojawil siC( pierwszy i, w wyniku tego, twierdzenie Fermata byloby falszywe! Co wiC(cej, mielibysmy prawo postawie nastC(pne pytanie: czy, maj,!c na uwadze poprawnose przyszlego kontrprzyktadu X'a, sam Fermat nie byl w blC(dzie, gdy wierzyt w poprawnose swego "doprawdy cudownego dowodu", kiedy robit te zapiski na marginesie? Przyjmuj,!c punkt widzenia subiektywnosci prawdy matematycznej, moina by uwaiae, ie Fermat byt w posiadaniu wainego dowodu (dowodu, kt6ry m6glby bye zaakceptowany jako taki przez autorytety jego czasu, gdyby Fermat go ujawnil), i ze tylko fakt, ii Fermat ten dow6d ukryt, pozwolil, by X p6Zniej znalazl kontrprzyklad! MyslC(, ie nie znajdzie siy taki matematyk, bez wzglydu na to, jaki jest jego stosunek do idei platonskich, kt6ry by nie uwaial takiej moiliwosci za kompletn,! bzdury. Oczywiscie, jest rzecz'! w pelni mozliw'!, ze dow6d podany przez Wilesa zawiera jakis bl,!d, i ie twierdzenie Fermata jest falszywe. Moie bye tei tak, ze jest jakis podstawowy bt,!d w rozumowaniu Wilesa, a pomimo tego twierdzenie Fermata jest prawdziwe. Albo tak, ie dow6d Wilesa jest poprawny w istotnych cZysciach, ale zawiera jakies "mniej scisle kroki", kt6re mog,! bye nie do przyjycia wedlug jakichS przyszlych standard6w matematycznej poprawnosci. lednakie nie o to mi chodzi. Zagadnieniem, kt6re rozwazamy, jest kwestia obiektywnej prawdziwosci twierdzenia Fermata, a nie to, czy jakas konkretna demonstracja jego prawdziwosci czy tei falszywosci zostata uznana za przekonuj'!C'! przez spolecznose matematyk6w danego czasu. Warto bye moze dodae, ze z punktu widzenia logiki matematycznej twierdzenie Fermata jest twierdzeniem matematycznym szczeg6lnie prostego rodzaju5 i jego obiektywnose jest widoczna. Tylko znikoma mniejszose6 matematyk6w bylaby sklonna uwazae takie twierdzenie za "subiektywne" w jakimkolwiek sensie aczkolwiek moie bye spraw,! subiektywn,!, czy spos6b jego dowodzenia jest przekonywaj,!CY. Istniej,! jednak innego rodzaju stwierdzenia matematyczne, kt6rych prawdziwose moie bye uwaiana za kwestiy przekonania. Bye moie najlepszym przykladem stwierdzenia tego rodzaju jest aksjomat wyboru. Zostawmy na razie pytanie 0 to, co ten aksjomat zawiera (zostanie opisany w rozdz. 16.3). Przywolujy go tylko dla ilustracji. Prawdopodobnie wiC(kszose matematyk6w sklonna bC(dzie uwaiae aksjomat wyboru za prawdziwy w spos6b oczywisty, podczas gdy inni maj,! co do tego w'!tpliwosci i nawet uwaiaj,!, ie jest falszywy (ja sam, do pewnego stopnia, przychylam siy do tej ostatniej opinii). Jeszcze inni byd,! zdania, ze sprawa "prawdziwosci" tego aksjomatu to rzecz gustu, ze moze on bye przyjC(ty za prawdziwy b,!di fatszywy w zaleinosci od tego, do jakiego systemu aksjomat6w i do jakiej procedury jestesmy przywi,!zani ("system formalny" - zob. rozdz. 16.6). Matematycy, kt6rzy podzielaj,! ostatni z tych punkt6w widzenia (kt6rzy jednak akceptuj,! obiektywn'! prawdziwose szczeg6lnie jasnych twierdzen matematycznych,
ezy swiat matematyczny Platona jest swiatem "rzeczywistym"?
1.3
takich jak dyskutowane wczesniej twierdzenie Fermata), mog,! bye uwazani za platonczyk6w wzgll(dnie umiarkowanych. Ci, kt6rzy utrzymuj,!, ze aksjomat wyboru jest prawdziwy, mog,! bye uwaiani za platonczyk6w bardziej zdecydowanych. Powr6cl( jeszcze do aksjomatu wyboru w rozdz. 16.3, poniewaZ rna on pewne znaczenie w matematyce opisuj,!cej swiat fizyczny, aczkolwiek nie jest cZl(sto przywolywany w fizyce teoretycznej. W tym momencie nie musimy specjalnie martwie sil( jego prawdziwosci,!. Jesli prawdziwose aksjomatu wyboru moze bye ustalona w taki czy inny spos6b na gruncie niepodwaialnego wnioskowania matematycznego?, w6wczas jego prawdziwose rna charakter obiektywny i wtedy albo on sam, alba jego zaprzeczenie, naleiy do swiata idei platonskich w sensie, w jakim ja interpretujl( pojl(cie "swiata platonskiego". Z kolei jesli przyjl(cie aksjomatu wyboru jest jedynie sprawl! swobodnej decyzji, w6wczas platonski swiat bezwzglydnie prawdziwych form matematycznych nie zawiera ani aksjomatu wyboru, ani jego zaprzeczenia (aczkolwiek do tego swiata moglyby nalezee formy takie jak: "to i to wynika z przyjl(cia aksjomatu wyboru" alba "aksjomat wyboru jest twierdzeniem wynikaj,!cym z regul takiego to a takiego systemu matematycznego"). Tylko takie stwierdzenia matematyczne mog,! nalezee do swiata idei platonskich, kt6re S,! obiektywnie prawdziwe. Dla mnie obiektywnose matematyczna tego rodzaju jest wlasnie istot'! byt6w matematycznych Platona. Powiedziee, ze jakies rnaternatyczne stwierdzenie jest bytem w sensie Platona, oznacza tyle sarno co powiedziee, ze jest obiektywnie prawdziwe. To sarno dotyczy poj~c matematycznych takich jak pojycie liczby 7 albo regula mnozenia liczb naturalnych, alba ze jakis zbi6r zawiera nieskonczenie wiele element6w. Wszystkie one istniej,! w sensie Platona, poniewaz s,! to pojycia maj,!ce charakter obiektywny. Dla mojego sposobu myslenia istnienie byt6w platonskich jest po prostu kwesti,! ich obiektywnego istnienia i dlatego nie mog,! bye uwaiane za "mistyczne" czy "nienaukowe", niezaldnie od faktu, ze r6zni ludzie za takie je uwazaj'!. Podobnie jak z aksjomatem wyboru kwestia, czy dana matematyczna propozycja powinna bye uwaiana za obiektywnie istniej,!cy byt, moze bye spraw,! delikatn,!, a czasami techniczn,!. Niezaleznie jednak od tego nie trzeba bye matematykiem, zeby zdae sobie sprawy z Zywotnosci wielu koncepcji matematycznych. Na rys. 1.2 przedstawilem szereg malych fragment6w slynnej koncepcji znanej pod nazw'! zbiorn Mandelbrota. Zbi6r ten rna nadzwyczaj wymysln,! struktury, nie zostal jednak zaprojektowany przez czlowieka. Jest rzecz'! godn,! uwagi, ze ta struktura jest okreslona bardzo prost,! regul,! matematyczn'!. Wr6cimy do tego tematu w rozdz. 4.5. W tym miejscu tylko pragny zwr6cie uwagy, ze nikt, nawet sam Benoit Mandelbrot, gdy po raz pierwszy dostrzegl niewiarygodn,! zlozonose detali tego zbioru, nie przeczuwal, jakie bogactwo w sobie zawiera. Z cal,! pewnosci,! zbi6r Mandelbrota nie zostal wymyslony przez czlowieka. Zbi6r ten naleiy w spos6b obiektywny do samej matematyki. Jesli w og6le rna sens m6wienie 0 istnieniu zbioru Mandelbrota, to nie jest on jak,!s form,! istnienia w naszych umyslach, poniewaz
15
Korzenie nauki
..
(a)
Rys. 1.2. (a) Zbi6r Mandelbrota. (b), (c) i (d) Szczeg6ly, ilustrujl\ce w powiykszeniu obszary zaznaczone na rys. 1.2, powiykszone, odpowiednio, liniowo 11,6, 168,9, i 1042 razy.
16
nikt nie jest w stanie zdae sobie sprawy z jego nieskonczonej roznorodnosci i nieograniczonej komplikacji. To istnienie nie moze tez bye przypisane zbiorowi wydrukow komputerowych, ktore probuj,! przedstawie niewyobrazaln,! wymyslnose jego szczegolow, poniewaz w najlepszym wypadku te wydruki komputerowe s,! w stanie uchwycie zaledwie cien przyblizenia do zlozonosci samego zbioru. Jednak jego istnienie nie ulega w'!tpliwosci, poniewaZ gdy dokladniej go badamy, odnajdujemy ty sam,! struktury we wszystkich jej zauwazalnych detalach, tylko z coraz wiyksz,! precyzj,! szczegolu, i jest to niezalezne od matematyka czy od komputera, za pomoc,! ktorego go badamy. Moze to bye tylko istnienie w platonskim swiecie idei matematycznych. Zdajy sobie sprawy, ze wielu czytelnikow bydzie nadal mialo trudnosci z przypisaniem strukturom matematycznym jakiejkolwiek formy rzeczywistego istnienia. Proszy wiyc ich tylko, zeby zechcieli zwrocie uwagy na fakt, ze sarno
Trzy swiaty i trzy gl~bokie tajemnice
1.4
pojycie "istnienia" moze miec sens nieco szerszy niz ten, do jakiego przywykli. Oczywiscie, matematyczne formy swiata Platona nie istniej,! w taki sam sposob, w jaki istniej,! zwykle obiekty fizyczne, takie jak krzesla czy stoly. Nie mozna ich umiejscowic ani w przestrzeni, ani w czasie. Obiektywne pojycia matematyczne nalei:y uwazac za byty ponadczasowe, a nie za powolane do i:ycia z chwil,! zauwazenia ich, po raz pierwszy, przez czlowieka. Formy wirowe zbioru Mandelbrota pokazane na rys. 1.2b nie zaczyly istniec z chwil,!, kiedy ujrzelismy je na monitorze czy na wydruku komputera. Nie powstaly tei: z chwil,!, w ktorej po raz pierwszy zostala sformulowana ogolna idea, ktora doprowadzila do odkrycia zbioru Mandelbrota ani przez samego Mandelbrota, ani przez R. Brooksa i J.P. Matelskiego, ktorzy dokonali tego odkrycia przed nim, bo w 1981 roku, ani wczesniej. Z cal,! pewnosci,! ani Brooks, ani Matelski, ani pocz'!tkowo sam Mandelbrot, nie mieli prawdziwego wyobrazenia 0 zlozonosci szczegolow deseni, ktore widzimy na rys. 1.2b. Te desenie "istnialy" od pocz'!tku czasow, w tym ponadczasowym sensie, w oczekiwaniu, ze zostan,! odkryte dokladnie w tej formie, w jakiej je widzimy obecnie, niewazne gdzie i kiedy jakas rozumna istota zdecyduje siy je zbadac.
1.4 Trzy swiaty i trzy
gf~bokie
tajemnice
Tak wiyc istnienie w sensie matematycznym rozni siy nie tylko od istnienia w sensie fizycznym, ale takZe od istnienia w sensie takim jak roznego rodzaju procesy myslowe w naszym umysle. Istnieje glyboki i zagadkowy zwi,!zek miydzy istnieniem matematycznym a tymi dwoma odmiennymi rodzajami istnienia: fizycznym i mentalnym. Na rys. 1.3 przedstawilem schematycznie te wszystkie trzy formy istnienia - fizyczn,!, matematyczn,! i mentaln'! - jako byty nalei:,!ce do trzech oddzielnych
Rys. 1.3. Trzy "swiaty": swiat platonskich idei matematycznych, swiat fizyczny i swiat mentalny oraz trzy rodzaje glybokich i zagadkowych zwillzk6w pomiydzy nimi.
mentalny
Swiat
17
Korzenie nauki
"swiatow", zaprezentowanych w postaci kul. Pokazane s~ rowniez tajemnicze potych swiatow. W ten sposob, kresl~c ow diagram, narzucilem czytelnikowi niektore z moich przekonan, wierzen czy tei: uprzedzen dotycz~cych tych tajemniczych zwi~zkow. NaleZy zauwaZye, ze w odniesieniu do pierwszej z tych zagadek - wi~z~cej matematyczny swiat idei platonskich ze swiatem fizycznym - tylko niewielka czyse swiata matematycznego odwoluje siy do fizycznej rzeczywistosci. Jest rzecz~ pewn~, ze ogromna wiykszose badan prowadzonych przez czystych matematykow nie rna zadnego oczywistego zwi~zku z fizyk~ ani z jak~kolwiek inn~ galyzi~ nauk przyrodniczych (zob. rozdz. 34.9), aczkolwiek niejednokrotnie mozemy bye zaskoczeni przez nieoczekiwane a wazne zastosowania ich wynikow. Podobnie sprawa przedstawia siy w odniesieniu do drugiej z tych zagadek: wskazuj~c, ze procesy myslowe s~ zwi¥ane z pewnymi strukturami fizycznymi (w szczegolnosci ze zdrowymi i ruchliwymi mozgami ludzkimi), nie twierdzy, ze wiykszose struktur swiata fizycznego indukuje procesy myslowe. Chociaz mozg kota moze wykonywae pewne procesy myslowe, to z pewnosci~ nie odnosi siy to na przyklad do skat. Wreszcie, co siy tyczy trzeciej zagadki, uwazam za rzecz oczywist~, ze tylko niewielka czyse naszej aktywnosci umyslowej jest zwi~zana z zagadnieniami prawdy matematycznej! (Juz duzo wiyksza czyse tej aktywnosci zwi¥ana jest z najrozniejszymi emocjami, gniewem, przyjemnosci~, troskami i innymi sprawami, ktore wypelniaj~ nasze codzienne Zycie). Te trzy fakty zostaly przedstawione w postaci niewielkich obszarow tworz~cych podstawy stozka l~cz~cego kazdy z tych swiatow ze swiatem nastypnym, w kolejnosci zgodnej z ruchem wskazowek zegara. Moje pogl~dy natomiast i moje zalozenia s~ zobrazowane w ten sposob, ze kazdy z tych stozkow, na drugim koncu, obejmuje caly kolejny swiat. A zatem, zgodnie z rys. 1.3, caly swiat fizyczny jest rz~dzony prawami matematycznymi. W dalszych rozdzialach zobaczymy, ze istniej~ potyzne, aczkolwiek niekompletne dowody, iz tak jest w istocie. Patrz~c na rzeczy w ten sposob, przyjmujemy, ze caly fizyczny wszechSwiat podlega w najdrobniejszych szczegolach regulom matematycznym, bye moze wyrazonym w formie rownan, takich jak te, 0 ktorych bydziemy mowie w nastypnych rozdzialach, a moze w formie jakichS przyszlych pojye matematycznych fundamentalnie roznych od tych, ktorym dzisiaj przypisujemy nazwy "rownan". Jesli mamy racjy, to nawet nasze wI asne dzialania fizyczne winny podlegae regulom matematyki, przy czym, oczywiscie, rozumiemy dopuszczalnose zdarzen losowych rz~dzonych scisle probabilistycznymi zasadami. U wielu osob taki pogl~d moze wywolywae powazny dyskomfort i muszy przyznae, ze mnie samemu tez nielatwo siy z tym pogodzie. JednakZe cal a moja wiedza sklania mnie do przyjycia tego punktu widzenia, gdyz trudno sobie wyobrazie, ktorydy moglaby przebiegae linia oddzielaj~ca te zjawiska fizyczne, ktore podlegaj~ scislej matematycznej kontroli, od tych, ktore im nie podlegaj~. W mojej opinii dyskomfort, ktory wielu z moich czytelnikow moze ze mn~ podzielae, wynika cZywi~zania
18
Trzy swiaty i trzy
gl~bokie
tajemnice
1.4
kiowo z bardzo ograniczonego zrozumienia pojt(cia "matematycznej kontroli". Jednym z celow tej ksi,!zki jest przyblizenie i ukazanie czytelnikowi tego nadzwyczajnego bogactwa, sily i pit(kna, ktore sit( rodz,!, kiedy udaje nam sit( odkryc wlasciwe pojt(cie matematyczne. Analizuj,!c tylko zbior Mandelbrota, taki jak przedstawiony na rys. 1.2, zaczynamy dostrzegac cien wielkosci i pit(kna zawartego w obiektach tego rodzaju. Ale nawet te struktury zajmuj,! zaledwie bardzo ograniczony zak'!tek swiata matematycznego, tego mianowicie, ktory jest rz,!dzony scislymi regulami rachunkowymi. Jak mozemy sit( czuc, kiedy dowiadujemy sit(, ze jest rzecz'! mozliw,!, iz wszystkie nasze dzialania i dzialania naszych przyjaciol w ostatecznym rachunku S,! opisywane regulami matematycznymi tego rodzaju? Jesli 0 mnie chodzi, to mogt( z tym :lyc. Osobiscie wolalbym, zeby moje dzialania rz'!dzone byly przez jakies byty zamieszkuj,!ce bajeczny platonski swiat pojt(c matematycznych, niz zeby byly poddane kontroli prymitywnych instynktow, takich jak chciwosc, zazdrosc, rozpasanie czy nienawisc, co do ktorych wielu utrzymuje, ze stanowi,! implikacjt( scisle naukowego punktu widzenia. Jestem w stanie sobie wyobrazic, ze wielu czytelnikom bt(dzie bardzo trudno przyj,!c do wiadomosci, ze wszystkie zjawiska we WszechSwiecie s,! calkowicie poddane prawom matematycznym. Podobnie wielu moze sit( nie zgadzac z dwoma innymi moimi przekonaniami, przedstawionymi graficznie na rys. 1.3. Mog,! oni na przyklad uwazac, ze zajmujt( zbyt sztywne naukowe stanowisko, kiedy rysujt( diagram, na ktorym przedstawiam koncepcjt(, ze wszystkie procesy umyslowe maj,! swoje korzenie w fizycznej rzeczywistosci. To jest zalozenie, bo aczkolwiek jest prawd,!, ze nie mamy naukowego dowodu istnienia procesow myslowych, ktore nie mialyby fizycznej podstawy, to jednak nie mamy takiej pewnosci. Co wit(cej, wychodz'!c z przekonan religijnych, wielu ludzi zdecydowanie opowiedzialoby sit( za stanowiskiem, ze istniej,! umysly calkowicie niezaleine od fizycznej rzeczywistosci, i odwolaloby sit( do czegos, co uwaiaj,! za pott(ine dowody, najzupelniej innej natury od tych, ktorych dostarcza zwykla nauka przyrodnicza. Innym moim zalozeniem wyobraZonym na rys. 1.3 jest przekonanie, ze caly platonski swiat idei miesci sit( w stozku l'!cz'!cym go ze swiatem mentalnym. Diagram ten ma na celu ukazanie, ze - przynajmniej w zasadzie - nie istniej,! prawdy matematyczne poza zasit(giem rozumu. Oczywiscie, s,! stwierdzenia matematyczne (nawet takie jak suma arytmetycznego dodawania) tak skomplikowane, ze trudno sobie wyobrazic, zeby znalazl sit( ktos, kto mialby wystarczaj'!co wielki potencjal umyslowy, aby przeprowadzic niezbt(dne rozumowanie. JednakZe takie sytuacje potencjalnie lezq w zasit(gu ludzkiego umyslu i bylyby koherentne z ideq rys. 1.3. Nale:ly jednak wzi,!c pod uwagt(, ze mog,! istniec inne twierdzenia matematyczne, niedostt(pne dla ludzkiego umyslu, i ich istnienie nie daloby sit( pogodzic z intencj,! rys. 1.3. (Sprawt( tt( omowimy szerzej w rozdz. 16.6, gdzie przedyskutujemy slynne twierdzenie Godla 0 nierozstrzygalnosd.)
19
Korzenie nauki
Swiat fizyczny
20
Rys. 1.4. Nowa wersja rys. 1.3, na kt6rej pierwotne zaloienia autora 0 charakterze zwiqzk6w pomi«dzy trzema "Swiatami" nie Sl! spelnione.
Rysunek 1.4 przedstawia ukion w strony tych, ktorzy nie podzielaj,! moich przekonan w tych sprawach, i dlatego narysowalem raz jeszcze zwi,!zki pomiydzy wszystkimi trzema swiatami, ale tak, zeby uwzglydnic ich zastrzezenia. W ten sposob zaIoZylismy mozliwosc dzialan fizycznych niepodlegaj,!cych regulom matematyki. Diagram wyraza rowniei: wiary, ze mog,! istniec procesy mentalne niezakorzenione w strukturach fizycznych. Wreszcie, rysunek ten dopuszcza istnienie prawdziwych twierdzen matematycznych, ktorych prawdziwosc nie moze byc dowiedziona na drodze rozumowania. Diagram ten zawiera nawet wiycej zagadek niz te, ktore umiescilem w preferowanym przeze mnie obrazie swiata, przedstawionym na rys. 1.3. W moim przekonaniu duzo lepiej zorganizowany naukowy punkt widzenia zaprezentowany na rys. 1.3 jest wystarczaj'!co zagadkowy. Tych zagadek nie rozwi'!zemy, przechodz,!c do bardziej swobodnego schematu rys. 1.4. Pozostaje bowiem glybok,! tajemnic,!, dlaczego prawa matematyczne stosuj,! siy do swiata fizycznego z tak fenomenaln,! precyzj,!. (Przyjrzymy siy nieco tej nadzwyczajnej dokladnosci podstawowych praw fizyki w rozdz. 19.8; 26.7 i 27.13.) Ponadto glyboko zagadkowa jest nie tylko dokladnosc tych teorii, ale takZe ich subtelne wyrafinowanie i matematyczna uroda. Jest rowniez wielk,! tajemnic,!, jak to siy moze dziac, ze odpowiednio wysoko zorganizowana materia - mam tutaj na mysli przede wszystkim mozgi Zyj,!cych ludzi (i zwierz'!t) - moze rozwin,!c siy do tego stopnia, zeby cechowaia j,! swiadomosc i zdolnosc myslenia. Wreszcie zagadk,! pozostaje, w jaki sposob dokonujemy percepcji prawdy matematycznej. Nasze umysly nie zostaly tak zaprogramowane, zeby byly w stanie "rachowac" we wlasciwy sposob. Jest cos duzo glybszego w fakcie, ze nawet najmarniejszy sposrod nas potrafi zdac sobie sprawy ze znaczenia pojyc ta" "Je . d en " , " d · h Ja . k "zero, klC wa" , "trzy " ,,,cztery" It. d .9 Niektore problemy, jakie siy pojawiaj,!, kiedy probujemy rozwi
Dobra, Prawda i Pi~kno
1.5
w rozdz. 16.5, 6), gdzie om6wimy pojt(cie dowodu matematycznego. Ale zasadniczym ce1em tej ksi,!zki jest rzucic swiatlo na pierwsz,! z tych tajemnic: na zadziwiaj,!CY zwi¥ek matematyki ze zjawiskami swiata fizycznego. Nie jestesmy w stanie zdac sobie sprawy z nadzwyczajnej mocy nauki wsp6lczesnej bez zaznajomienia sit( w jakims stopniu z tymi ide ami matematycznymi. Bez w,!tpienia wielu czytelnik6w moze uznac, ze w ich przypadku jest to perspektywa beznadziejna. Jestem wit(kszym optymist,! i ufam, ze sprawy nie przedstawiaj,! sit( tak fle. Co wit(cej, mam nadziejt( przekonac ich, ze pomimo pierwotnych obaw matematyka moze byc swietn,! zabaw'!! Nie poswit(ct( wiele uwagi drugiej z zagadek przedstawionych na rys. 1.3 i 1.4, a mianowicie problemowi, w jaki spos6b swiat mentalny - w szczeg6lnosci procesy swiadomego myslenia - jest zwi,!zany ze swiatem odpowiednich struktur fizycznych (aczkolwiek dotkniemy tego tematu w rozdz. 34.7). Bt(dziemy wystarczaj,!co zajt(ci badaniem swiata fizycznego i jego zwi,!zkiem z prawami matematyki. W dodatku problemy zwi,!zane ze swiatem proces6w myslowych S,! tak pasjonuj,!ce, ze gdybysmy dali sit( w to wci,!gn,!c, zaprowadziloby to nas daleko poza zakres tej ksi,!zki. JednakZe wypada nam w tym miejscu zauwaZyc jedn,! rzecz. W moim przekonaniu nie mamy wielkiej szansy na glt(bsze zrozumienie natury rozumu, jesli najpierw nie poszerzymy swojej wiedzy 0 najbardziej zasadniczych aspektach swiata fizycznego. J ak postaram sit( wyjasnic w nastt(pnych rozdzialach, jestem pewien, ze musimy dokonac rewolucji w naszym rozumieniu fizyki. Dop6ki takiej rewolucji nie dokonamy, moim zdaniem przynajmniej, bt(dzie nadmiernym optymizmem spodziewac sit(, ze uczynimy wielki postt(P na drodze zrozumienia natury proces6w myslowychlO.
1.5 Dobro, Prawda i PiQkno
Na rys. 1.3 i 1.4 wyodrt(bnikm tylko czt(sc swiata form idealnych Platona, zawt(zaj,!c ten swiat idei do swiata form matematycznych. Matematyka w spos6b najbardziej istotny jest zwi'!zana z idealem Prawdy. JednakZe sa'-l1 Platon uparcie twierdzilby, ze opr6cz Prawdy s,! jeszcze dwa inne fundamentalne idealy, a mianowicie idealy Pif:kna i Dobra. Bynajmniej nie mam zamiaru zaprzeczac istnieniu tych idea16w i nie jestem przeciwny poszerzeniu swiata idei platonskich na te obszary. W rzeczy samej, w dalszych rozdzialach natkniemy sit( na zadziwiaj,!ce zwi¥ki mit(dzy prawd,! a pit(knem, kt6re bt(d,! nam zar6wno pomagac, jak i utrudniac odkryde i zaakceptowanie teorii fizycznych (zob. w szczeg6lnosci rozdz. 34.2, 3, 9; zob. r6wnieZ rys. 34.1). Ponadto, niezaleznie od niew'!tpliwej (i cZt(sto dwuznacznej) roli pit(kna w poszukiwaniu matematyki opisuj,!cej swiat fizyczny, kryteria estetyczne maj,! fundamentalne znaczenie dla rozwoju samej matematyki, zar6wno bowiem dostarczaj'! motywacji dla poszukiwan, jak i oswietlaj,! drogt( do prawdy. Jestem nawet sklonny uwazac, ze istotnym elementem przekonania matematyka,
21
Korzenie nauki
iZ swiat platonski istnieje poza nami, jest wlasnie, tak czysto odkrywana, nadzwyczajna i nieoczekiwana ukryta uroda samych idei. Dla naszych rozwazan mniejsze znaczenie - ale, oczywiscie, pozostaje ono ogromnie waZne w szerszym kontekscie - rna pytanie 0 absolutny ideal moralnosci: co jest dobre, a co zle i jak nasze umysly postrzegajl! te wartosci. Moralnose jest scisle zwi¥ana ze swiatem mentalnym, poniewaz wil!ze siy z hierarchil! wartosci ksztaltowanl! przez byty posiadajl!ce swiadomose, a takZe z samym istnieniem swiadomosci. Trudno sobie wyobrazie, jakie mogloby bye znaczenie moralnosci, gdyby nie bylo istot rozumnych. Wraz z rozwojem nauki i technologii coraz wiyksze znaczenie rna zrozumienie fizycznych okolicznosci, przy ktorych pojawiajl! siy procesy myslowe. Wierzy, ze dzisiaj jest to waZniejsze niz kiedykolwiek przedtem, aby przy dzisiejszej kulturze technologicznej problemy naukowe nie zostaly oddzielone od ich moralnych implikacji. Lecz rozwazanie tych zagadnien zaprowadziloby nas daleko poza przedmiot tej ksi¥ki. Zanim wlasciwie zajmiemy siy kwestil! oddzielenia dobra od zla, musimy najpierw poradzie sobie z kwestil! oddzielenia prawdy od falszu. Na koniec zostawi!em kolejnl! zagadky rys. 1.3. Rysunek ten wykonalem swiadomie wlasnie tak, zeby zilustrowae pewien paradoks. J ak to moze bye, zgodnie z moimi zalozeniami, ze kaZdy ze Swiatow obejmuje w calosci kaZdy kolejny swiat w tym lancuchu? Nie uWaZam tej kwestii za powod do odrzucenia moich zalozen, ona jedynie ukazuje, ze kryje siy tu tajemnica glybsza niZ te, na ktore wczesniej wskazywa!em. Bye moze te trzy swiaty wcale nie Sl! od siebie oddzielone, lecz Sl! jedynie refleksem glybszej prawdy 0 swiecie jako calosci, 0 ktorej jeszcze nie mamy pojycia. Przed nami jest jeszcze dluga droga, zanim te sprawy zostanl! wlasciwie oswietlone. Pozwolilem sobie odejse daleko od zagadnien, kt6rym ta ksil!zka jest poswiycona. W tym rozdziale chcialem tylko podkreslie centralne znaczenie matematyki dla rozwoju nauki zar6wno w staroi;ytnosci, jak i we wspolczesnosci. Rzuemy teraz okiem na swiat Platona - a przynajmniej na jego stosunkowo niewielkl!, ale waznl! cZyse, majl!cl! specjalne znacznie dla zrozumienia swiata fizycznej rzeczywistosci. Przypisy Rozdzial1.2 Niestety, poza tym, ze istnieli oraz tym, ze Pit agoras zrozumial rolt( prostych stosunk6w liczbowych dla opisu harmonii muzycznej, nie wiemy prawie nic pewnego na temat Pitagorasa, jego iycia, jego uczni6w i ich pracy; zob. Burkert (1972). Pomimo to pitagorejczykom przypisuje sit( powszechnie wielkie znaczenie. W tej ksiqzce bt(dt( uZywal nazwy "pitagorejczycy" jedynie jako symbolu, bez pretensji do historycznej scislosci. 2 Jest to czysta skala diatoniczna, kt6rej cZt(stotliwosci dZwit(k6w (w proporcji odwrotnej do dlugosci drgajqcych element6w) pozostajq w stosunku 24:27:30:36:40:45:48, pozwalajqc na utworzenie wielu prostych stosunk6w, jakie odpowiadajq szczeg6lnie milo brzmiqcym akordom. "Biale dZwit(ki" wsp6lczesnego pianina Sq dostrojone Uako kompromis mit(dzy pitagorejskq czystosciq harmonii a mozliwosciq regulacji dZwit(ku klawiszy) w przyblizeniu do tych 1
22
Przypisy
pitagorejskich relacji, zgodnie z regutami skali rowno temperowanej, z cZystosciami pozostaj,!cymi w stosunku 1: a 2 : a 4 : a 5 : a 7 : a 9 : all : a 12 , gdzie a = ~ = 1,05946 ... (Uwaga: a 5 oznacza pi,!t,! potygy liczby a czyli a x a x a x a x a. Symbol ~ oznacza pierwiastek dwunastego stopnia z liczby 2. Jest to taka liczba, kt6rej dwunasta potyga jest r6wna 2, tj. a 12 = 2. Zob. przyp. 3 i rozdz. 5.2.)
Rozdziall.3 Zgodnie z regut'! podan,! w przyp. 2, n-t,! potygy jakiejs liczby otrzymamy, mnoz'!c ty liczby przez siebie n razy. Tak wiyc na przyktad trzeci,! potyg,! liczby 5 jest 125 i zapisujemy to 4 w postaci 53 = 125; czwart'! potyg,! liczby 3 jest 81 i zapisujemy to jako 3 = 81; itp. 4 W czasie kiedy Wiles pr6bowat uzupetnie pewien brak w swoim dowodzie wielkiego twierdzenia Fermata, kt6ry sobie uswiadomit po pierwszej prezentacji dowodu w Cambridge w czerwcu 1993 roku, wsr6d matematyk6w rozeszty siy pogtoski, ze Noam Elkies znalazt kontrprzyktad do twierdzenia Fermata. Wczesniej, bo w 1988 roku, Elkies odkryt kontrprzyktad do stynnej supozycji Eulera gtosz,!cej, ze nie istniej,! liczby dodatnie spetniaj,!ce r6wnanie X4 + l + Z4 = w 4 i w ten spos6b udowodnit, ze to twierdzenie jest fatszywe. Z tego powodu pogtoski, ze wykryt kontrprzyktad do twierdzenia Fermata, nie wydawaty siy niewiarygodne. Wyjasnito siy jednak, ze e-mail zawieraj,!CY ty wiadomose nosH daty 1 kwietnia i ze byt to primaaprilisowy zart Henriego Darmona (zob. Singh 1997). 5 Z technicznego punktu widzenia jest to zdanie typu n (zob. rozdz. 16.6). l 6 Zdajy sobie sprawy, ze robi,!c tak,! uwagy, wpadam w zastawion'! przez samego siebie putapky. Nie chodzi 0 to, czy matematycy przyjmuj,!cy tak radykalne stanowisko S,! w mniejszosci, czy nie (i ja na pewno nie przeprowadzitem zadnej wiarygodnej ankiety wsr6d matematyk6w na ten temat) - chodzi tu raczej 0 to, czy przyjycie tak radykalnej postawy moze bye potraktowane powaznie. Pozostawiam to os,!dowi czytelnika. 7 Niekt6rzy z czytelnik6w mogli styszee, ze G6del i Cohen doszli do wniosku, iz aksjomat wyboru jest niezalezny od bardziej fundamentalnych aksjomat6w teorii mnogosci (system aksjomat6w Zermelo i Friinkela).Trzeba wiyc wyjasnie, ze argument G6dla i Cohena sam w sobie nie dowodzi, iz aksjomat wyboru nigdy nie zostanie udowodniony w taki czy inny spos6b. Jest to zaznaczone na przyktad w ostatnim rozdziale ksi,!zki Paula Cohena; zob. Cohen (1966), rozdz. IV, § 13. Tam jednak Cohen bardziej zajmuje siy hipotezq continuum niz aksjomatem wyboru (zob. rozdz. 16.5).
3
Rozdziall.4 Zapewne jest pewn'! ironi,!, ze stuprocentowy antyplatonczyk, kt6ry jest przekonany, iz matematyka istnieje tylko w umystach matematyk6w, musi r6wniez wierzye - a przynajmniej tak mi siy wydaje - ze nie rna obiektywnie prawdziwych twierdzen matematycznych. Dla przyktadu, gdyby wielkie twierdzenie Fermata byto niedostypne (z zasady) dla ludzkiego umystu, w6wczas taki antyplatonski spos6b widzenia nie pozwalatby na uznanie ani jego prawdziwosci, ani fatszywosci, gdyz prawdziwose twierdzenia moze bye tylko wynikiem procesu myslowego matematyka przeprowadzaj,!cego dow6d. 9 Zob. np. Penrose (1997b, s. 7-20). 10 Moje wtasne pogl,!dy na tern at zmian w naszym ogl,!dzie swiata fizycznego, jakie s,! konieczne do zrozumienia swiadomosci i proces6w myslowych, przedstawitem w osobnych publikacjach: Penrose (1989, 1994, 1996, 1997a). 8
2 Starozytne twierdzenie i wsp61czesne zagadnienie 2.1 Twierdzenie Pitagorasa ZAJMIJMY siy spraw,! geometrii. Czym S,! te rozne "rodzaje geometrii", 0 ktorych wspominalismy w poprzednim rozdziale? Aby podj,!c ow problem, powrocmy do naszego spotkania z Pitagorasem i do jego slynnego twierdzenia 1: w kazdym trojk,!cie prostok'!tnym kwadrat dlugosci przeciwprostok'!tnej (tzn. boku lez'!cego naprzeciw k,!ta prostego) jest rowny sumie kwadratow dlugosci pozostalych dwu bokow (rys. 2.1). Z jakiego powodu uwazamy, ze to twierdzenie jest prawdziwe? W jaki sposob dowodzimy prawdziwosci twierdzenia Pitagorasa? Znamy wiele sposobow. Chcialbym rozwaiyc dwa z nich, ktore wybieram ze wzglcrdu na ich szczegoln,! przejrzystosc, a kazdy z nich podkresla inny aspekt dowodu. W pierwszym przypadku rozwazmy konstrukcjy przedstawion,! na rys. 2.2. Jest ona zlozona z kwadratow 0 dwu roznych krawcrdziach. Uwaiamy za rzecz "oczywist,!", ze ty strukturcr mozemy kontynuowac w nieskoiIczonosc i ze jestesmy w stanie pokryc ni,! cal,! plaszczyzny, w taki sam regularny sposob, bez zadnych dziur ani bez przekrywania sicr, za pomoc,! tylko tych dwu kwadratow 0 roznej dlugosci bokow. Tcr regularn,! i powtarzaln'! strukturcr mozna ukazac jeszcze winny sposob: jesli zaznaczymy i pol,!czymy srodki wiykszych kwadratow, to utworz'! one wierzcholki jeszcze innego ukladu kwadratow, 0 nieco wiykszej powierzchni, ale nachylonych pod pewnym k,!tem do poprzednich (rys. 2.3), i te nowe kwadraty same wypelni,! cal,! plaszczyzny. Kaidy z tych nowych kwadratow jest zarysowany w identyczny sposob i te rysunki pasuj,! nawzajem do siebie, tworz'!c dokladnie tak'! struk-
b
Rys. 2.1. Twierdzenie Pitagorasa: w kazdym tr6jk,!cie prostok,!tnym kwadrat dlugosci przeciwprostok'!tnej c jest r6wny sumie kwadrat6w dlugosci obu pozostalych bokow a i b.
Twierdzenie Pitagorasa
2.1
I
L--
I Rys. 2.2. Mozaikowe wypelnienie plaszczyzny przez kwadraty
0
dwu r6i:nych powierzchniach
Rys. 2.3. Srodki kwadrat6w 0 wi«kszej powierzchni tworzll wierzcholki sieci jeszcze wi«kszych kwadrat6w, nachyionll do poprzednich pod pewnym klltem.
tury jak ta, z kt6rej wystartowalismy. Tak sarno byloby, gdybysmy zamiast wybrae srodki wiykszych kwadrat6w z pierwszego rysunku, wybrali dowolny inny punkt i pol~czyli go analogicznie z odpowiednimi punktami w pozostalych kwadratach. Powstala w ten spos6b siee nowych kwadrat6w bylaby identyczna z poprzedni~, ale przesuniyta w stosunku do niej bez obrotu. Taki ruch na plaszczyznie bydziemy nazywae translacjq. Dla prostoty wybierzmy teraz jako punkt wyjsciowy jeden z wierzcholk6w pierwotnej sieci dwu kwadrat6w (rys. 2.4). Teraz powinno bye jasne, ze powierzchnia nachylonego kwadratu musi bye r6wna sumie powierzchni obu mniejszych kwadrat6w. I rzeczywiscie, kawalki, na kt6re zaznaczone linie dziel~ duly kwadrat, bez wzglydu na to, gdzie ty operacjy zaczniemy, mog~ bye poprzesuwane bez dokonywania obrotu tak, az dopasuj~ siy do siebie i utworz~ dwa mniejsze kwadraty (rys. 2.5). Co wiycej, na rys. 2.4 widzimy, ie krawydz duiego, nachylonego kwadratu jest przeciwprostok~tn~ tr6jk~ta prostok~tnego, kt6rego dwa pozostale boki maj~ dlugosci r6wne dlugosciom krawydzi obu mniejszych kwadrat6w. W ten spos6b udowodnilismy twierdzenie Pitagorasa: kwadrat zbudowany na przeciwprostok~tnej jest r6wny sumie kwadrat6w zbudowanych na dwu pozostalych bokach. Przedstawione rozumowanie zawiera istotne elementy prostego dowodu tego twierdzenia, a co wiycej, daje nam podstawy, ieby wierzye, ii to twierdzenie musi bye prawdziwe. Nie byloby to takie oczywiste, gdybysmy dowodzili tego twierdzenia na drodze bardziej formalnych argument6w logicznych, ale bez takiego pogl~ dowego znaczenia. Musimy wiyc podkreslie, ie w powyiszym rozumowaniu uczynilismy kilka bynajmniej nie oczywistych zalozen. Jednym z nich, dose istotnym, jest zaloienie, ie ten na poz6r oczywisty obraz powtarzaj~cych siy kwadrat6w zar6wno na rys. 2.2, jak i na rys. 2.6 jest geometrycznie moiliwy, a nawet nie wyjasnilismy kwestii, czy sarno skonstruowanie kwadratu jest geometrycznie wykonalne! C6i to bowiem jest kwadrat? Zwykle uwaza siy, ie kwadratem jest figura plaska,
25
2
Staroiytne twierdzenie i wsp61czesne zagadnienie
Rys. 2.4. Mozemy przesunllc siec nachylonych kwadrat6w tak, ze ich wierzcholki bcedll sice pokrywaly z wierzcholkami pierwszej sieci dwu kwadrat6w. Widzimy, ze krawcedi nachylonego kwadratu pokrywa sice z przeciwprostoklltnll tr6jkllta prostoklltnego, kt6rego pozostalymi bokami Sll krawcedzie dwu pierwotnych kwadrat6w.
Rys. 2.5. W kt6rymkolwiek punkcie zaczniemy rysowac nachylony kwadrat, tak jak to przedstawiono na rysunku, kwadrat ten podzieli sice na tyle czcesci, ze kiedy je razem zloZymy, powstanll oba mniejsze, poczlltkowo rozwazane kwadraty.
Rys. 2.6. Znajoma siec identycznych kwadrat6w. Ale sklld wiemy, ze ona istnieje?
26
ktorej wszystkie boki s,! rowne, a k,!ty proste. Ale co to jest k,!t prosty? W porz'!dku, mozemy sobie wyobrazie dwie przecinaj,!ce siy linie proste, ktore tworz'! w ten sposob cztery k,!ty i wszystkie jednakowe. Wowczas kazdy z tych k,!tow bydzie k,!tem prostym. Sprobujmy teraz skonstruowae kwadrat. Wezmy trzy odcinki AB, BC i CD jednakowej dlugosci, w ktorych k,!ty ABC i BCD byd,! k<}tami prostymi, a punkty D i A niech lez,! po tej samej stronie linii BC, jak na rys. 2.7. Zadajmy pytanie: czy odcinek AD rna tak,! sam,! dlugose jak pozostale trzy odcinki? Ponadto: czy k,!ty DAB i CDA s,! rownieZ k'!tami prostymi? K,!ty te powinny bye rowne ze wzglydu na symetriy tej figury, ale czy to S,! k,!ty proste? Pozytywne odpowiedzi na te pytania wydaj,! siy oczywiste, ale tylko z tego powodu, ze kwadrat jest znan'! wszystkim figur,!, a moze takZe przypominamy sobie ze szkoly, ze wedlug Euklidesa odcinki
Postulaty Euklidesa
AI
10
2.2
E
~--------~~--
B_----+--~C
Rys. 2.7. Spr6buj skonstruowac kwadrat. Niech ABC i BCD bydll klltarni prostymi i niech AB = BC = CD. Czy z tego wynika, ze DA rna takll sarnll dlugosc i ze DAB i CDA sll r6wniez klltarni prostyrni?
BA i CD powinny bye do siebie "rownolegle" oraz ze dwie proste rownolegle przeciyte trzeci,! maj,! naprzemianlegle k,!ty rowne. Z tego wynika, ze k,!t DAB musi bye rowny k'!towi uzupelniaj,!cemu k,!t ADC (czyli k'!towi EDC na rys. 2.7, gdzie ADE jest lini,! prost,!), a co za tym idzie, rowniez k'!towi ADC. K,!t (ADC) jest rowny swemu k'!towi uzupelniaj,!cemu (EDC) tylko wtedy, gdy jest k,!tem prostym. Musimy teZ wykazae, ze odcinek AD rna ty sam,! dlugose co BC, ale to rowniez wynika z twierdzenia 0 dwoch prostych rownoleglych, BA i CD, przeciytych trzeci,!. W ten sposob, posluguj,!c siy argumentami geometrii Euklidesa, mozemy wykazae, ze kwadrat, jako figura geometryczna zbudowana z k,!tow prostych, rzeczywiscie istnieje. lednakZe za tym wszystkim kryje siy jeszcze sprawa duzo powazniejsza.
2.2 Postulaty Euklidesa
Konstruuj,!c swoj,! geometriy, Euklides bardzo starannie rozwa.zyl zalozenia, od ktorych zalez'! jego wywodf. W szczegolnosci dokonal starannego rozroznienia pomiydzy stwierdzeniami nazwanymi aksjomatami - co do ktorych uwazal, ze ich prawdziwose jest oczywista (byly to w zasadzie definicje punktow, linii prostych itp.) - a piycioma postulatami, ktorych prawdziwose byla mniej oczywista, chocia.z obserwacja relacji geometrycznych otaczaj'!cej rzeczywistosci pozwalala uznae je za prawdziwe. Ostatnie z tych zalozen, nazywane powszechnie piqtym postulatem Euklidesa, bylo uwazane za mniej oczywiste niZ pozostale i przez wiele wiekow s,!dzono, ze mozna je wywiese z jakichS innych, bardziej oczywistych zalozen. PrzyjyJo siy nazywae pi,!ty postulat Euklidesa postulatem rownoleglosci. Zanim przedyskutujemy postulat rownoleglosci, przyjrzyjmy siy najpierw pozostalym czterem. Postulaty te dotycz'! geometrii plaszczyzny euklidesowej, aczkolwiek w pozniejszych swoich pracach Euklides zajmowal siy takZe geometri,! przestrzeni trojwymiarowej. Podstawowymi element ami jego plaskiej geometrii s,! punkty, linie proste i okrygi. Bydziemy uwazali, ze linia prosta (albo, krocej, "prosta") rozci,!ga siy nieskonczenie w obu kierunkach. W przeciwnym wypadku nale.zy mowie 0 "odcinku prostej". Pierwszy postulat Euklidesa glosi, ze kazde dwa punkty plaszczyzny mozna w jednoznaczny sposob pol,!czye odcinkiem linii prostej. Drugi postulat Euklidesa stwierdza, ze kazdy odci-
27
2
Staroiytne twierdzenie i wsp6fczesne zagadnienie
nek prostej moze bye w sposob ci,!gly przedluzony do nieskonczonosci. Postulat trzeci zapewnia, ze dowolny punkt plaszczyzny moze bye srodkiem okrt(gu o dowolnym promieniu. Wreszcie, postulat czwarty zapewnia, ze wszystkie k,!ty proste S,! jednakowe 3 • Z obecnej perspektywy niektore z tych postulatow mog,! wydae sit( nieco dziwne, szczegolnie postulat czwarty, ale musimy pamit(tae, jakie S,! irodla idei, ktore legly u podstaw geometrii Euklidesa. Euklides rozwazal ruchy wyidealizowanych cial sztywnych i poslugiwal sit( pojt(ciem przystawania, ktore oznaczalo, iz jedno idealne cialo sztywne zostalo przesunit(te tak, ze idealnie pokrylo sit( z innym. Wedle tej filozofii powiedzenie, ze k,!t prosty na jednym z tych cial jest rowny k'!towi prostemu na innym, oznaczalo mozliwose przesunit(cia pierwszego z nich tak, zeby linie proste tworz'!ce k,!t prosty jednego pokryly sit( z liniami prostymi tworz'!cymi k,!t prosty drugiego. A zatem czwarty postulat zapewnial, ze przestrzen jest izotropowa i jednorodna, bo tylko wtedy mozemy utrzymywae, iz jakas figura plaska w jednym miejscu przestrzeni moze miee ten sam ("przystaj'!cy") ksztalt geometryczny jak jakas figura w innym miejscu. Postulaty drugi i trzeci reprezentuj,! idet( przestrzeni nieskonczenie rozci,!glej i bez "dziur", podczas gdy postulat pierwszy formuluje definicjt( odcinka linii prostej. Aczkolwiek niew,!tpliwie sposob patrzenia Euklidesa na geometrit( byl odmienny od obecnego spojrzenia, to jego cztery postulaty ujmuj,! wlasciwie wspolczesne pojt(cie (dwuwymiarowej) przestrzeni metrycznej, calkowicie jednorodnej, izotropowej i nieskonczonej. Jak to zobaczymy w rozdz. 27.11 i 28.10, zgodnie ze wspolczesn'! kosmologi,! taki obraz, w wielkiej skali, znakomicie odpowiada przestrzennej naturze naszego WszechSwiata. A jaki problem przedstawia pi,!ty postulat Euklidesa, postulat rownoleglosci? W oryginalnym sformulowaniu Euklidesa postulat ten stwierdzal co nastt(puje: jesli na plaszczyinie odcinki dwoch linii prostych, a i b, przecinaj,! trzeci'! prost,! c, ale tak, ze suma wewnt(trznych k,!tow po tej samej stronie c jest mniejsza od dwoch k,!tow prostych, wowczas, jeSli wystarczaj,!co daleko przedluZymy a i b, to musz'! sit( one przeci,!e w jakims punkcie (zob. rys. 2.8a). Rownowazne sformulowanie tego postulatu (zwane czasami aksjomatem Playfaira) stwierdza, ze dla dowolnej prostej i dla dowolnego punktu nielez,!cego na tej prostej istnieje tylko jedna prosta przechodz'!ca przez ten punkt i rownolegla do tej prostej (zob. rys. 2.8b). Tutaj prostymi "rownoleglymi" bylyby dwie linie proste, lez'!ce na tej samej plaszczyinie i nieprzecinaj,!ce sit( (proszt( zwrocie uwagt(, ze moje linie proste S,! obiektami nieograniczonymi w przeciwienstwie do "odcinkow" Euklidesa)[z.lJ. Kiedy mamy juz sformulowany postulat rownoleglosci, mozemy przejse do okreslenia warunkow koniecznych do istnienia kwadratu. Jesli jakas prosta przeci-
28
a
[2.1] Pokaz, ze jesii postuiat rownoleglosci Euklidesa jest speiniony, to wynika z niego aksjomat Piayfaira.
Postulaty Euklidesa
2.2
c a
~r----'::'--
Jesli suma tych dw6ch kCjt6w iest mniejsza od dw6ch kCjt6w prostych, w6wczas a i b przecinajCj siQ
~
Jedyna prosta r6wnolegla do a przechodzCjca przez punkt P
- __
--- -- -- ---
b
(b)
Rys. 2.S. (a) postuiat rownoieglosci Euklidesa. Dwie proste a i b przecinajll Prostll C w taki sposob, ze suma klltow wewn~trznych utworzonych w punktach przeci~cia a i b z Prostll c jest mniejsza od dwoch klltow prostych. Wowczas proste a i b (jesii tyiko przedlu:i:ymy je wystarczajllco daieko) przetnll si~ w pewnym punkcie. (b) Aksjomat Piayfaira (rownowa:i:ny postuiatowi Euklidesa): jesii a jest Prostll iezllCll na plaszczyznie, a P jest punktem nieiezllcym na tej prostej, wowczas istnieje tyiko jedna prosta rownoiegla do a przechodzllca przez P.
na pewn'! part( prostych w taki sposob, ze suma k,!tow wewnt(trznych z jednej strony tej prostej przecinaj,!cej rowna jest dwom k,!tom prostym, to mozemy pokazac, ze ta para prostych tworzy part( prostych rownoleglych. Co wit(cej, z obserwacji wynika, ze tej samej regule k,!towej podlega kazda inn a prosta przecinaj,!ca tt( part( prostych. I to jest w zasadzie wszystko, czego potrzebujemy, aby skonstruowac nasz kwadrat. Widzimy wit(c, ze potrzebny jest postulat rownoleglosci, aby pokazac, iZ nasza konstrukcja rzeczywiscie daje kwadrat, czyli figurt(, w ktorej wszystkie k,!ty s,! proste i wszystkie boki maj,! tt( sam,! dlugosc. Bez postulatu rownoleglosci nie jestesmy w stanie dowiesc istnienia kwadratow. N asze zabiegi wokol znalezienia wlasciwych zalozen, niezbt(dnych dla przeprowadzenia "scislego dowodu", ze cos tak powszechnie znajomego i oczywistego jak kwadrat naprawdt( istnieje, mog,! wydawac sit( przejawem nadmiernej matematycznej pedanterii. Po coz nam jest potrzebne to rozszczepianie wlosa na czworo, kiedy kwadrat jest czyms nam wszystkim doskonale znanym? lednakie juz wkrotce przekonamy sit(, ze Euklides wykazal nadzwyczajn,! przenikliwosc, przejmuj,!c sit( takimi sprawami. Ta matematyczna pedanteria Euklidesa rna zwi,!zek z bardzo glt(bokim problemem 0 kolosalnym znaczeniu dla zrozumienia rzeczywistej geometrii WszechSwiata, i to pod wieloma wzglt(dami. W szczegolnosci nie jest bynajmniej rzecz'! oczywist'!, ze w naszym WszechSwiecie, w skali kosmicznej, takie figury fizyczne jak "kwadraty" w ogole istniej,!. Zagadnienie to wymaga jeszcze dokladnych obserwacji, a dotychczasowe wyniki nie S,! jednoznaczne (zob. rozdz. 2.7 i 28.10).
29
2
Staroiytne twierdzenie i wspolczesne zagadnienie
2.3 Dow6d twierdzenia Pitagorasa na podstawie podobieflstwa figur W kolejnym rozdziale powrocC( do tego, jakie znaczenie matematyczne rna fakt
nieprzyjfcia postulatu rownoleglosci. Odpowiednie fizyczne konsekwencje jego odrzucenia zbadamy w rozdz. 18.4,27.11,28.10 i 34.4. Zanim jednak zajmiemy siC( tymi zagadnieniami, bC(dzie rzeCZq poZytecznq rozpatrzye jeszcze inny sposob dowodzenia twierdzenia Pitagorasa. J ednym z najprostszych sposobow udowodnienia twierdzenia Pitagorasa na gruncie geometrii Euklidesa jest rozwazenie trojkqta prostokqtnego podzielonego na dwa mniejsze trojkqty przez poprowadzenie, z wierzcholka kqta prostego, prostopadlej do przeciwprostokqtnej (rys. 2.9). N a tym rysunku mamy trzy trojkqty: trojkqt poczqtkowy i dwa trojkqty mniejsze, na ktore duZy trojkqt zostal podzielony. Jest oczywiste, ze powierzchnia duzego trojkqta jest sumq powierzchni obu mniejszych. Bardzo latwo zauwaZye, ze te trzy trojkqty tworzq figury podobne. Oznacza to, ze majq one ten sam ksztalt (aczkolwiek majq rozne rozmiary), tzn. mozna je utworzye jedne z drugich przez jednorodne wydluzanie lub skracanie bokow, wskutek jakiegos sztywnego ruchu. Wynika to stqd, ze wszystkie trzy trojkqty majq odpowiednie kqty rowne. KaZdy z mniejszych trojkqtow rna jeden kqt wspolny z najwiC(kszym trojkqtem i kazdy z trojkqtow rna jeden kqt prosty. Wynika z tego, ze trzeci kqt musi bye taki sam we wszystkich trojkqtach, poniewaz suma kqtow w trojkqcie jest zawsze taka sarna. Ogolnq wlasnosciq figur podobnych na plaszczyznie jest to, ze stosunki ich powierzchni Sq rowne stosunkowi kwadratow ich liniowych rozmiarow. Wezmy zatem, jako miernik ich rozmiarow liniowych, dla kazdego trojkqta dlugose jego najdluzszego boku, jakim jest przeciwprostokqtna. Z rysunku widzimy, ze przeciwprostokqtna kazdego z mniejszych trojkqtow jest jednym z bokow przyprostokqtnych trojkqta wyjsciowego. St,!d widzimy od razu (na podstawie faktu, ze powierzchnia wyjsciowego trojkqta jest sumq powierzchni trojkqtow, na jakie zostal podzielony), ze kwadrat dlugosci przeciwprostokqtnej pierwotnego trojkqta jest rzeczywiscie rowny sumie kwadratow dlugosci jego pozostalych bokow:
twierdzenie Pitagorasa! Ale w przedstawionej analizie znowu poczyniono zalozenia dodatkowe, ktore musimy przeanalizowae. Waznq rolC( w tym dowodzie odgrywa fakt, ze suma
30
Rys. 2.9. Dowod twierdzenia Pitagorasa przeprowadzony za pomocij trojkijtow podobnych. Rozwazmy trojkijt prostokijtny i poprowadzmy z wierzcholka kijta prostego prostopadlij do jego przeciwprostokijtnej. W ten sposob powstaly dwa trojkijty, ktorych suma powierzchni jest rowna powierzchni trojkijta wyjsciowego. Wszystkie trzy trojkijty sij podobne, a ich powierzchnie sij proporcjonalne do kwadratow dlugosci ich przeciwprostokijtnych. To dowodzi twierdzenia Pitagorasa.
Dow6d twierdzenia Pitagorasa na podstawie podobieristwa figur
2.3
k(!tow kaidego trojk(!ta jest taka sarna. (Ta sum a, oczywiscie, wynosi 180°, ale Euklides wolal okreslac j(! jako "dwa k(!ty proste". Bardziej "naturalnym" wspolczesnym sposobem opisu jest stwierdzenie, ze suma k(!tow w trojk(!cie w geometrii Euklidesa wynosi 1t. UZywamy tu radianow jako bezwzglydnej miary k(!tow, w ktorej jeden stopien jest rowny 1t/180, a wiyc mozemy napisac, ze 180° = 1t.) Dowod tego twierdzenia przedstawiono na rys. 2.10. Przedluzamy CA do E i rysujemy prost(! AD, przechodz(!q przez punkt A i rownolegl(! do CB. Wowczas (jak to wynika z postulatu rownoleglosci) k(!ty EAD i ACB s(! jednakowe, rowne s(! teZ k(!ty DAB i CBA. Poniewaz k(!ty EAD, DAB i BAC sumuj(! siy do 1t (czyli do 180°, sumy dwoch k(!tow prostych), to tyle sarno wynosi suma k(!tow ACB, CBA i BAC, ktore S(! k(!tami trojk(!ta ABC. Co bylo do okazania. Zwroemy uwagy, ze przy dowodzie tego twierdzenia skorzystalismy z postulatu rownoleglosci. Ten dowod twierdzenia Pitagorasa czyni rowniez uZytek z faktu, ze powierzchnie figur podobnych pozostaj(! do siebie w stosunku takim jak kwadraty dlugosci ich rozmiarow liniowych. (Tutaj wybralismy przeciwprostok(!tne poszczegolnych trojk(!tow jako miary ich rozmiarow liniowych.) Stwierdzenie tego faktu jest zwi(!zane nie tylko z kwesti(! istnienia figur podobnych 0 roznych rozmiarach - co w przypadku trojk(!tow na rys. 2.9 ustalilismy na podstawie postulatu rownoleglosci -lecz rowniez z bardziej subtelnym problemem,jakimjest definicja "powierzchni" figur, ktore nie maj(! ksztaltu prostok(!ta. Te ogolniejsze problemy mozemy rozwi(!zae za pomoq procedur granicznych, ale nie chcialbym w tym miejscu wdawac siy w ich dyskusjy. Zaprowadzi nas to do bardziej subtelnych zagadnien, zwi(!zanych z rodzajem liczb, jakimi poslugujemy siy w geometrii. Powrocimy do tych kwestii w rozdz. 3.1-3. Waznym przeslaniem dyskusji z poprzedniego rozdzialu jest fakt, ze twierdzenie Pitagorasa wi(!ze siy z postulatem rownoleglosci. Czy tak jest naprawdy? A przypusemy, ze postulat rownoleglosci jest falszywy? Czy to by oznaczalo, ze rownieZ twierdzenie Pitagorasa mogloby bye nieprawdziwe? Czy taka supozycja rna w ogole sens? Sprobujmy siy zastanowie, co by bylo, gdybysmy przyjyli, ze postulat rownoleglosci jest falszywy. Wydawae by siy moglo, ze wkraczamy w tajemniczy swiat fikcji, w ktorym geometria, jak(! wynieslismy ze szkoly, rna bye rozumiana na opak. Istotnie, ale przekonamy siy, ze tkwi w tym pewien glybszy sens.
E
Rys. 2.10. Dowod twierdzenia, :i:e surna klltow trojkllta ABC wynosi n (n = 1800 = dwa kllty proste). Przedlu:i: CA do punktu E; narysuj AD rownolegle do CB. Z postulatu rownoleglosci wynika, :i:e kllty EAD i ACB Sll rowne oraz rowne Sll kllty DAB i CBA. Poniewa:i: surna klltow EAD, DAB i BAC wynosi n, to tyle sarno wynosi surna klltow ACB, CBA i BAC.
31
2
Staroiytne twierdzenie i wspolczesne zagadnienie
2.4 Geometria hiperboliczna: obraz konforemny Spojrzmy na rysunek 2.11. Przedstawia on reprodukcjt( jednego z drzeworytow M.e. Eschera, nazwanego Circle Limit I - Granica kolowa I. Jest ciekawe, ie ten obraz w sposob bardzo dokladny reprezentuje pewien rodzaj geometrii - zwanej geometriq hiperbolicznq (niekiedy teigeometriq Lobaczewskiego), w ktorej postulat rownoleglosci jest falszywy, twierdzenie Pitagorasa nie funkcjonuje i kC!:ty trojkC!:ta nie sumujC!: sit( do n. Ponadto dla figury 0 danym ksztalcie i rozmiarach na ogol nie moina skonstruowac figury 0 podobnym ksztalcie i wit(kszych rozmiarach. Na rys. 2.11 Escher zastosowal specjalny sposob przedstawienia geometrii hiperbolicznej, zamykajC!:c caly "wszechSwiat" plaszczyzny hiperbolicznej we wnt(trzu okrt(gu wykreslonego na normalnej plaszczyznie euklidesowej. OkrC!:g graniczny reprezentuje "nieskonczonosc" tego hiperbolicznego swiata. Na rysunku Eschera widzimy, ie im bliiej granicznego kola, tym tloczniej gromadzC!: sit( ryby. Jednakie powinnismy traktowac to jako zludzenie optyczne. Wyobrazmy sobie, ie jestesmy jednC!: z takich ryb. Wowczas, bez wzglt(du na to, czy znajdujemy sit( blisko brzegu obrazu Eschera, czy tei w jego srodku, z kaidego punktu widzenia caly (hiperboliczny) swiat wyglC!:da tak samo. W tej geometrii pojt(cie "odleglosci" nie odpowiada temu pojt(ciu na plaszczyznie Euklidesa, na jakiej ta konstrukcja zostala przedstawiona. Kiedy patrzymy na obraz Eschera z naszej, euklidesowej perspektywy, ryby wydajC!: sit( tym mniejsze, im bliiej granicznego okrt(gu sit( znajdujC!:. Ale z "hi-
32
Rys. 2.11. Drzeworyt M.e. Eschera Granica kolowa I, ilustrujllCY konforemne odwzorowanie plaszczyzny hiperbolicznej.
Geometria hiperboliczna: obraz konforemny
2.4
perbolicznej" perspektywy bialych i czarnych ryb wszystkie wydaj,! si(( identyczne. Ponadto, podczas gdy z perspektywy zewn((trznego, euklidesowego obserwatora wi((cej ryb gromadzi si(( blizej granicznego kr((gu, w perspektywie hiperbolicznej ten kr,!g zawsze pozostaje nieskonczenie daleko. Dla takiego obserwatora nie istnieje ani ten graniczny kr,!g, ani euklidesowa przestrzen na zewn'!trz niego. Na caly wszechswiat sklada si(( to tylko, co lei:y scisle wewn'!trz tego kr((gu. Spr6bujmy wyjasnie konstrukcj(( tego przedstawienia plaszczyzny hiperbolicznej w bardziej matematyczny spos6b. Wyobraimy sobie dowolny okr,!g na plaszczyznie euklidesowej. Zbi6r punkt6w lez'!cych wewn'!trz tego okr((gu rna odpowiadae zbiorowi punkt6w na calej ptaszczyznie hiperbolicznej. Linie proste, zgodnie z regulami geometrii hiperbolicznej, b((d,! odwzorowane w postaci luk6w euklidesowych okr((g6w, kt6re przecinaj,! graniczny kr,!g ortogonalnie - to znaczy pod k,!tami prostymi. Okazuje si((, ze hiperboliczne poj((cie k,!ta pomi((dzy dwierna krzywymi, w punkcie, w kt6rym te krzywe si(( przecinaj,!, jest identyczne z poj((ciem euklidesowej miary lukowej k,!ta pomi((dzy krzywymi w tym punkcie. Odwzorowanie tego rodzaju nazywa si(( konforemnym, dlatego to szczeg61ne przedstawienie geometrii hiperbolicznej, kt6rym poslui:yl si(( Escher, nazywane jest niekiedy konforemnym modelem plaszczyzny hiperbolicznej. (CZ((sto nosi takZe nazw(( kola Poincarego. W rozdz. 2.6 przedyskutujemy w'!tpliwe historyczne uzasadnienie tej nazwy.) Po tych wyjasnieniach jestesmy w stanie odpowiedziee na pytanie, czy w geometrii hiperbolicznej k,!ty tr6jk,!ta sumuj,! si(( do 1t. Szybki rzut oka na rys. 2.12 sugeruje, ze tak nie jest, i ze ta suma jest nieco mniejsza. I tak jest naprawd((: w geometrii hiperbolicznej suma k,!t6w w tr6jk,!cie jest zawsze mniejsza od 1t. Mo:lemy to uwazae za nieprzyjemn,! cech(( geometrii hiperbolicznej, poniewaz wydaje si((, ze nie b((dziemy mieli prostej odpowiedzi na pytanie, ile wynosi suma k,!t6w hiperbolicznego tr6jk,!ta. Okazuje si(( jednak, ze odpowiedz na to pytanie jest godna uwagi i cechuje j,! zaskakuj,!ca elegancja: okazuje si((, ze r6znica mi((dzy t'! sum'! a 1t jest proporcjonalna do powierzchni tego tr6jk,!ta. Dokladnie, jesli trzy k,!ty hiperbolicznego tr6jk,!ta oznaczymy literami a, f3 i y, to mamy wz6r (znaleziony przez Johanna Heinricha Lamberta, kt6ry i:yl w latach 1728-1777): 1t -
(a + f3 + y) = Ct!.,
gdzie !!. oznacza powierzchniy tego tr6jk'!ta, a C jest pewn'! stal'!. Wielkose tej stalej zalei:y od "jednostek", kt6re zostalywybrane do pomiaru dlugosci i powierzchni. Te jednostki zawsze mozemy wybrae tak, zeby liczba C = 1. Jest naprawd(( godne uwagi, ze w geometrii hiperbolicznej powierzchnia tr6jk,!ta moze bye tak prosto wyrazona. W geometrii Euklidesa nie rna sposobu na obliczenie powierzchni tr6jk,!ta tylko poprzez wartosci jego k'!t6w, a wz6r na jego pole wyrazone przez dlugosci jego bok6w jest znacznie bardziej skomplikowany. Oczywiscie, opisu geometrii hiperbolicznej w j((zyku odwzorowan konforemnych nie mozemy zakonczye bez podania definicji tego, co rozumiemy przez "od-
33
2
Staroiytne twierdzenie i wsp61czesne zagadnienie
Rys. 2.12. Ten sam rysunek Eschera, jak na rys. 2.11, ale z zaznaczonymi hiperbolicznymi liniami prostymi (Sll to euklidesowe luki lub linie prostopadle przecinajllce okrllg graniczny) i zaznaczonym tr6jklltem hiperbolicznym. Kilty hiperboliczne Sll identyczne z klltami Euklidesa. Jest oczywiste, ze postulat r6wnoleglosci nie jest spelniony (oznaczenia Sll takie same jak na rys. 2.8b), a suma k1lt6w tr6jk1lta jest mniejsza od n.
legtosc" miydzy dwoma pUnktami (i musimy wiedziec, co to jest "odlegtosc", zanim zaczniemy mowic 0 powierzchni). Podam wiyc wzor na odleglosc pomiydzy punktami A i B na rys. 2.13: I QA·PB ogQB.PA' gdzie P i Q s,!: punktami, w ktorych luk euklidesowy (tzn. hiperboliczna linia prosta), przechodz'!:cy przez punkty Ai B, prostopadle przecina kr~g graniczny. QA, PB itd. oznaczaj'!: odleglosci euklidesowe (zob. rys. 2.13). Jesli chcemy tu uwzglydnic stat'!: C z podanego jui: wzoru Lamberta (gdzie C ::1= 1), wystarczy pomnoiyc ty odleglosc przez wyrai:enie C-l12 (tzn. przez odwrotnosc pierwiastka kwadratowego z ct[2.21• Z powodow, ktore, mam nadziejy, stan,!: siy jasne pozniej, wielkosc C-1I2 bydy nazywal pseudopromieniem geometrii. Jesli kogos niepokoi takie wyrai:enie matematyczne jak "log", to proszy siy nie przejmowac. Ten wzor podalem tylko dla tych, ktorzy lubi,!: widziec sprawy
34
..e [2.2] Czy mozesz podac prosty pow6d dlaczego?
Geometria hiperboliczna: obraz konforemny
2.4
Rys. 2.13. W odwzorowaniu konforemnym odleglosc hiperboliczna pomiydzy punktami A i B wynosi log{(QAPB)/(QB'PA)}, gdzie QA itd. s'l odleglosciami takimi jak w geometrii Euklidesa, natomiast P i Q s'l punktami, w kt6rych luk euklidesowy (hiperboliczna Iinia prosta), przechodz'lCY przez A i B, przecina okryg graniczny.
w jawnej postaci. Nie bydy tez probowal wyjasniac, dlaczego taka formula daje prawidlowe odpowiedzi (tzn. dlaczego najkrotsza hiperboliczna odleglosc miydzy dwoma punktami zdefiniowana w ten sposob jest mierzona na hiperbolicznej linii prostej, alba dlaczego odleglosci wzdluz hiperbolicznej prostej sumujq siy we wlasciwy sposob)12.3 J• Przepraszam rowniez za wprowadzenie okreslenia "log" (logarytm) w tym miejscu, ale sprawy tego wlasnie wymagajq. Trzeba pamiytac, ze chodzi tu 0 logarytm naturalny ("log 0 podstawie e") i poswiycy tej sprawie wiycej miejsca w rozdz. 5.2, 3[2.4]. Zobaczymy wtedy, ze logarytm jest naprawdy piyknym i tajemniczym pojyciem (podobnie jak liczba e) i ogromnie poiytecznym w wielu roznych kontekstach. Okazuje siy, ze geometria hiperboliczna, przy tej definicji odleglosci, rna wszystkie wlasnosci geometrii Euklidesa, z wyjqtkiem tych, ktore wymagajq spelnienia postulatu rownoleglosci. Mozemy konstruowac trojkqty i inne figury plaskie 0 roznych rozmiarach i ksztaltach, mozemy swobodnie przesuwac je "sztywno" (tzn. zachowujqc niezmienione ich hiperboliczne ksztalty i rozmiary) z jednego miejsca w drugie. Dziyki temu pojawia siy naturalne pojycie "przystawania", dokladnie tak, jak w geometrii Euklidesa, w ktorej slowa "figury przystajqce" oznaczajq, ze mozna je tak przesuwac "sztywno", az jedna pokryje siy dokladnie z drugq. W ten sposob moglibysmy pokazac, ze wszystkie biale ryby na rycinie Eschera w geometrii hiperbolicznej "przystajq" do siebie, i to sarno dotyczy ryb czarnych.
ta [2.3] Sprawdi, czy jestes w stanie udowodnic, poslugujqc siy przedstawionym wzorem, ze jesli A, B i C Sq trzema kolejnymi punktami na hiperbolicznej prostej, w6wczas hiperboliczne odleglosci AB itd. dodajq siy jak naleZy, a wiyc AB + BC = AC. Mozesz posluZyc siy og61nq wlasnosciq logarytm6w, tzn. log (ab) = log a + log b, jak to jest wyjasnione w rozdz. 5.2 i 5.3. [2.4] Uwaga tlumacza: w terminologii angielskiej symbol "log" oznacza zwykle "Iogarytm naturalny", a wiyc logarytm 0 podstawie "e". W terminologii polskiej takie logarytmy oznacza siy symbolem "In", a symbol "log" rezerwuje siy dla "logarytm6w dziesiytnych", tj.logarytm6w 0 podstawie ,,10".
35
2
Staroiytne twierdzenie i wsp61czesne zagadnienie
2.5 Inne reprezentacje geometrii hiperbolicznej Oczywiscie, biale ryby na rycinie Eschera bynajmniej nie wyglqdajq tak, jakby wszystkie mialy ten sam ksztalt i te same rozmiary, ale tylko dlatego, ze patrzymy na nie z perspektywy euklidesowej, a nie hiperbolicznej. Obraz Eschera posluguje siy bowiem pewnq szczeg6lnq reprezentacjq geometrii hiperbolicznej. Geometria hiperboliczna sarna w sobie jest bardziej abstrakcyjna i niezalezna od jakiegos jej euklidesowego przedstawienia. JednakZe taka reprezentacja jest bardzo pomocna, poniewaz daje nam wyobrazenie 0 tym, czym jest geometria hiperboliczna, odwolujqc siy do czegos, co jest bardziej znane i wydaje si« bardziej "konkretne", a mianowicie do geometrii Euklidesa. Ponadto taka reprezentacja pokazuje nam jasno, ze geometria hiperboliczna rna sp6jnq struktur«, a takZe, w konsekwencji, ze postulat r6wnoleglosci nie moze bye wyprowadzony z innych praw geometrii euklidesowej. Istniejq inne reprezentacje geometrii hiperbolicznej w terminach geometrii Euklidesa, kt6re r6zniq siy od odwzorowania konforemnego, jakim posluiyl siy Escher. J edna z nich nosi nazwy modelu lZUtowego. W tym przypadku cala plaszczyzna hiperboliczna takZe jest odwzorowana na wn«trze okrygu na plaszczyznie Euklidesa, ale hiperboliczne linie proste Sq reprezentowane przez euklidesowe linie proste (a nie przez luki okr«g6w). Musimy zaplacie pewnq ceny za to pozorne uproszczenie, albowiem w takim przedstawieniu kqty hiperboliczne nie Sq juz takie same jak kq.ty euklidesowe, i moze si« wydawae, ze jest to cena zbyt wyg6rowana. Tym czytelnikom, kt6rych to moze interesowae, podam, ze odleglose pomiydzy dwoma punktami A i B w tym przedstawieniu mozna wyliczye ze wzoru (zob. rys. 2.14): 11
RA·SB
"2 ogRB.SA' (przyjmujqc, ze C = 1; jest to ta sarna stala, kt6ra pojawila siy w wyrazeniach poprzednich, w reprezentacji konforemnej), gdzie R i S Sq punktami przeci«cia linii prostej przechodzqcej przez A i B z granicznym okrygiem.
Rys. 2.14. W reprezentacji rzutowej odleglosc hiperboliczna wynosi log{(RASB)/(RB'SA)}, gdzie R is sll punktami przecit
t
36
Inne reprezentacje geometrii hiperbolicznej
2.5
Mozna przejsc od odwzorowania konforemnego do rzutowego, przesuwajqc odpowiednie punkty wzdluz promienia okrygu 0 wielkosc wyrazonq wzorem: 2R2
R2 +r2c '
gdzie R oznacza promien okrygu granicznego, a rc euklidesowq odleglosc danego punktu w przedstawieniu konforemnym od srodka okrygu (zob. rys. 2.15)[2.5a]. Na rys. 2.16 pokazalem za pomocq tego wzoru, jak wyglqda obraz Eschera po przejsciu od przedstawienia konforemnego do rzutowego. (Chociaz pewne szczegoly zostaly w ten sposob utracone, to precyzja i kunszt artysty Sq nadal widoczne.) Istnieje bardziej bezposredni geometryczny sposob przejscia od reprezentacji konforemnej do rzutowej, za pomocq jeszcze innej sprytnej reprezentacji tej geometrii. Wszystkie trzy zostaly wynalezione przez pomyslowego geometry wloskiego Eugenio Beltramiego (1835-1900). Rozwai:my kuly S, ktorej rownik pokrywa sit( z okrygiem granicznym reprezentacji rzutowej geometrii hiperbolicznej, jakq przed chwilq omowilismy. Sprobujemy teraz znalezc odwzorowanie geometrii hiperbolicznej na p6lnocnq p61kulf S+ kuli S. Takie odwzorowanie bydy nazywal odwzorowaniem p61kulistym; zob. rys. 2.17. Aby przejsc od reprezentacji rzutowej na ptaszczyznie (uwazanej za ptaszczyzny poziomq) do nowego odwzorowania na kuli, po pro stu rzutujemy odpowiednie punkty pionowo w gory (rys. 2.17a). Przy takim zabiegu linie proste na plaszczyznie, reprezentujqce proste hiperboliczne, zostajq odwzorowane na potokrygi na polkuli S+, ktore przecinajq rownik pod kqtami prostymi. Zeby teraz przejsc od odwzorowania na polkuli S+ do reprezentacji konforemnej na plaszczyznie, rzutowanie przeprowadzimy z bieguna poludniowego (rys. 2.17b). Takq procedury nazywamy IZutowaniem stereograJicznym i bydzie ono odgrywalo waznq roly w dalszej czysci ksiqzki (zob. rozdz. 8.3, 18.4,22.9,33.6).
Rys. 2.15. Aby przejsc od reprezentacji konforemnej do rzutowej, naleiy kai:dy punkt przesunllc od srodka okr«gu, wzdluz promienia, 0 czynnik 2R2(R2+r,2), gdzie R jest promieniem okr«gu granicznego, a r, euklidesowll odlegloscill tego punktu od srodka w reprezentacji konforemnej.
Jm [2.5a] Udowodnij to.
(~kaz6wka:
miego, jak pokazano na rys. 2.17).
jesli chcesz, mozesz posluZyc sit(
geometri~
Beltra-
37
2
Staroiytne twierdzenie i wsp61czesne zagadnienie
Rys. 2.16. Obraz Eschera z rys. 2.11 przetransformowany od reprezentacji konforemnej do rzutowej.
Dwie wazne wlasciwosci tego rzutowania s,!, jak to zobaczymy w rozdz. 8.3, nastypuj'!ce: jest ono konforemne, a wiyc zachowuje k,!ty, oraz przeksztalca luki okrygow na kuli w luki (lub, wyj'!tkowo, w linie proste) na plaszczyznie [25).[26). Istnienie roznych modeli geometrii hiperbolicznej, przedstawiaj'!cych ty geometriy w jyzyku pojyc opisuj,!cych przestrzen euklidesow'!, sluZy tylko podkresleniu faktu, ze s,! to jedynie "euklidesowe modele" hiperbolicznej geometrii i bynajmniej nie mog,! byc potraktowane jako jej definicja. Geometria hiperboliczna rna swoj wlasny "byt platonski" w takim samym sensie jak geometria Euklidesa (zob. rozdz. 1.3 i Przedmowy). Zaden z tych modeli nie moze byc uznany za bardziej "prawidlowe" przedstawienie geometrii hiperbolicznej niz pozostale. Odwzorowania, ktore opisalismy, mozemy uwazac za bardzo pomocne, ale tylko dlatego, ze przywyklismy do rozumowania w ramach terminow geometrii Euklidesa. Dla jakiejs istoty mysl,!cej, posiadaj,!cej bezposrednie doswiadczenie z geometri,! hiperboliczn,! (jakie my mamy z geometri,! Euklidesa), naturaln'! rzecz'! bylaby proba is [2.5] Zakladajl!c takie wlasciwosci rzutowania stereograficznego i odwzorowanie konfo-
38
remne geometrii hiperbolicznej, pokai, ze odwzorowanie p61kuliste Beltramiego rna wlasnosci om6wione w tekscie. m. [2.6] Czy potrafisz wykazac te wlasnosci? (JfSkaz6wka: pokai, w przypadku luk6w, ze stozek rzutowania jest przeciyty dwiema plaszczyznami 0 dokladnie przeciwnym nachyleniu.)
Inne reprezentacje geometrii hiperbolicznej
2.5
Rys. 2.17. Geometria Beitramiego, wi¥,!ca trzy z jego odwzorowa6. geometrii hiperbolicznej. (a) Odwzorowanie p61kuliste (konforemne na p6fnocnej p6fkuli S+) jest rzutowaniem pionowym odwzorowania rzutowego na kolo r6wnikowe. (b) Odwzorowanie p61kuiiste, za pomoc,! rzutowania stereograficznego, z bieguna pofudniowego, na przedstawienie konforemne na kole r6wnikowym.
zrozumienia geometrii Euklidesa w terminach wlasnie geometrii hiperbolicznej. W rozdz. 18.4 spotkamy siy z jeszcze innym modelem geometrii hiperbolicznej, tym razem w jyzyku geometrii Minkowskiego szczegolnej teorii wzglydnosci. Na koniec tego rozdzialu powroemy jeszcze do kwestii istnienia kwadratu w geometrii hiperbolicznej, w ktorej nie istniej,! kwadraty 0 wszystkich k,!tach prostych, za to istniej,! "kwadraty" bardziej ogolnej natury, 0 k,!tach mniejszych od k,!ta prostego. Najlatwiejszym sposobem zbudowania takiego kwadratu bydzie narysowanie dwoch linii prostych przecinaj,!cych siy pod k,!tem prostym w punkcie O. Naszym "kwadratem" bydzie teraz czworok'!t, ktorego wierzcholki tworz'! punkty przeciycia A, B, C i D (w cyklicznym porz,!dku) z obwodem okrygu 0 srodku w punkcie 0; zob. rys. 2.18. Ze wzglydu na symetriy tej figury wszystkie boki i k,!ty powstalego czworok,!ta byd,! rowne. Ale czy te k,!ty mog,! bye proste? Nie w geometrii hiperbolicznej. W rzeczywistoscijestesmyw stanie zbudowaew ten sposob czwo-
39
2
Staroiytne twierdzenie i wsp61czesne zagadnienie
B
c
A
D
Rys. 2.1S. "Kwadrat" hiperboliczny jest hiperbolicznym czworok~tem, ktorego wierzcholki wypadaj~ w punktach A, B, C, D (w cyklicznym porz~dku) przeci«cia dwu hiperbolicznych linii prostych, wzajemnie prostopadlych, przechodz~ cych przez punkt 0, z obwodem okr«gu o srodku w O. Ze wzgl«du na symetri« wszystkie boki i k~ty figury ABCD s~ sobie rowne. Nie s~ to k~ty proste, lecz mog~ to byc dowolne k~ty 0 rozwartosci mniejszej od n12.
rok~ty 0
dowolnym k~cie mniejszym od k~ta prostego, ale nigdy nie bt(dzie to k~t prosty. 1m wit(kszy kwadrat (hiperboliczny) w ten spos6b zbudujemy (a wit(c im wit(ksze s(! luki w takiej konstrukcji), tym mniejsze bt(d~ k(!ty. Na rys. 2.19a przedstawilem siec hiperbolicznych kwadrat6w w modelu konforemnym, w kt6rym w kaidym wierzcholku spotyka sit( pit(c kwadrat6w (zamiast czterech, jak to jest w geometrii Euklidesa), w wyniku czego k~ty kazdego z nich wynosz~ 2n/5, czyli 72°. Na rys. 2.19b przedstawilem tt( sam~ siec, uZywaj~c modelu rzutowego. Z tego widac, ze geometria hiperboliczna ma modyfikacje, kt6re bylyby niezbt(dne, aby skonstruowac siec dwukwadratow~ typu podobnego do przedstawionej na rys. 2.2[2.7J.
(a)
(b)
Rys. 2.19. Siec kwadratow w przestrzeni hiperbolicznej, w ktorej w kazdym wierzcholku spotyka si« pi«c kwadratow tak, ze ich k~ty wynosz~ 2n15, czyli 72°. (a) Odwzorowanie konforemne. (b) Odwzorowanie rzutowe.
ltli2 [2.7] Sprawdz, czy potrafisz zbudowac podobnq siec, uiywajqc hiperbolicznych kwadra-
40
t6w i piy ciokqt6w prawidlowych.
Nieco historii geometrii hiperbolicznej
2.6
2.6 Nieco historii geometrii hiperbolicznej W tym miejscu wypada powiedziec kilka slow 0 historii geometrii hiperbolicznej. Przez setki lat, od czasu gdy Euklides opublikowal zasady swojej geometrii, a wil(c od ok. 300 roku p.n.e., wielu matematykow usilowalo przeprowadzic dowod po stulatu pi(!tego na podstawie innych postulatow i aksjomatow. Kulminacj(! tych trudow byla heroiczna praca jezuity Girolamo Saccheriego, ktorej wyniki opublikowal w 1733 roku. Jak sil( wydaje, sam Saccheri musial uwazac pracl( swego Zycia za kompletn(! porazkl(, gdyz sprowadzala sil( ona do nieudanej proby udowodnienia postulatu rownoleglosci przez pokazanie, ze hipoteza, zgodnie z ktoq suma k(!tow w trojk(!cie jest mniejsza od dwoch k(!tow prostych, prowadzi do sprzecznosci. Gdy po nieskonczonej liczbie prob nie byl w stanie przeprowadzic logicznego dowodu, bez wil(kszego przekonania sformulowal nastl(puj(!cy wniosek: Hipoteza kqta ostrego jest calkowicie falszywa, poniewaz jest sprzeczna z naturq linii proste{
Hipoteza "k(!ta ostrego" (odrzucenie postulatu rownoleglosci) okazuje sil( jednak nieslychanie plodna i prowadzi do geometrii hiperbolicznej! J ak to sil( stalo, ze Saccheri w rzeczywistosci odkryl cos, co mialo byc niemozliwe? Podejscie Saccheriego polegalo na tym, ze usilowal on wykazac, iZ przyjl(cie falszywosci postulatu pi(!tego prowadzi do sprzecznosci. W ten sposob probowal zrobic uZytek z jednej z najbardziej szacownych i owocnych zasad stosowanych w matematyce - bardzo mozliwe, ze po raz pierwszy stosowali j(! pitagorejczycy - nazywanej dowodem plZez sprowadzenie do niedolZecznosci (po lacinie: reductio ad absurdum). Pol ega ona na tym, ze aby udowodnic prawdziwosc jakiegos twierdzenia, zaklada sil( najpierw, ze to twierdzenie jestfalszywe, a nastl(pnie, przeprowadzaj(!c logiczne wnioskowanie, pokazuje sil(, ze z tego zalozenia wynika jakas oczywista sprzecznosc. Po wykryciu takiej sprzecznosci wnioskuje sil(, ze twierdzenie musi byc prawdziwe6 • Dowod przez sprowadzenie do niedorzecznosci okazuje sil( potl(znym narzl(dziem we wnioskowaniu matematycznym i jest obecnie cZl(sto w uZyciu. Zacytujmy tutaj wielkiego matematyka, G.H. Hardy'ego: ,,Reductio ad absurdum, kt6re tak sitt podobalo Euklidesowi, jest jednym z najbardziej subtelnych narzttdzi matematycznych. Jest to bardziej smialy gambit niz jakikolwiek gambit szachowy: szachista poswittca pionka, a nawet figurtt matematyk poswittca calq gr~"7.
Jeszcze nieraz przekonamy sil( 0 uZytecznosci tej waZnej zasady (zob. rozdz. 3.1 i 16.4, 6). SaccherijednakZe nie potrafil znalezc sprzecznosci i dlatego nie udal sil( jego dowod pi(!tego postulatu. Ale podejmuj(!c ten trud, odnalazl cos daleko wazniejszego: odkryl now(! geometril(, inn(! niz geometria Euklidesa, geometril(, 0 ktorej mowilismy w rozdz. 2.4, 5, a ktor(! dzisiaj nazywamy geometriq hiperbolicznq. Przyjmuj(!c zalozenie, ze pi(!ty postulat Euklidesa jest falszywy, zamiast dojsc do absurdu, odkryl on cal(! masl( zadziwiaj(!cych, zupelnie niewiarygodnych, lecz bardzo
41
2
Staroiytne twierdzenie i wsp61czesne zagadnienie
ciekawych twierdzen. Pomimo ze wszystkie one wygl(!daly dziwnie i byly trudne do przyjycia, zadne z nich nie bylo sprzeczne z innymi postulatami. Teraz juz wiemy, ze Saccheri nie mial szansy znalezienia prawdziwej sprzecznosci, poniewaZ geometria hiperboliczna naprawdy istnieje, w matematycznym sensie, gdyi rna calkowicie 10giczn(! i spojn(! struktury. W terminologii rozdz. 1.3 geometria hiperboliczna naleiy wiyc do platonskiego swiata form matematycznych. (0 zwi¥ku geometrii hiperbolicznej ze Swiatem fizycznym dowiemy siy wiycej w rozdz. 2.7 i 28.10.) Niedlugo po Saccherim spraw(! zaj(!l siy niezwykle przenikliwy matematyk Johann Heinrich Lambert (1728-1777). On rowniez, przyj(!wszy zalozenie, ze pi(!ty postulat Euklidesa jest falszywy, uzyskal masy fascynuj(!cych wynikow geometrycznych, l(!cznie z piykuym wynikiem wspomnianym w rozdz. 2.4, ktory wyraZa pole trojk(!ta hiperbolicznego przez sumy jego k(!tow. Wygl(!da na to, ze Lambert, przynajmniej w pewnym okresie, doszedl do przekonania, ze z zaprzeczenia pi(!tego postulatu Euklidesa da siy wyprowadzic spojn(! geometriy. Lambert rozwaZal teoretyczn(! mozliwosc zbudowania geometrii "na kuli 0 urojonym promieniu", tzn. takim, ze kwadrat dlugosci tego promienia jest liczb(! ujemn(!. Wzor Lamberta powiada, ze wzor (n - a + f3 + y) = CI1 okresla powierzchniy, 11, trojk(!ta hiperbolicznego, ktorego k(!ty wynOSZ(! a, f3 i y, natomiast C jest pewn(! stal(! (C nazywamy dzisiaj "krzywizn(! Gaussa" plaszczyzny hiperbolicznej). W zasadzie wzor ten nie rozni siy wiele od formuly znanej juz w 1603 roku Tomaszowi Hariotowi (1560-1621), zgodnie z ktoq 11 = R Z (a + f3 + y - n), gdzie 11 jest powierzchni(! tr6jkqta sferycznego, utworzonego przez luki wielkich okrygowS przecinaj(!cych siy na powierzchni kuli 0 promieniu R (zob. rys. 2.20yz.sl. Aby uzyskac st(!d wzor Lamberta, wystarczy poloiyc: 1
C=--z'
R
Rys. 2.20. Wz6r Hariota na powierzchni~ tr6jk'lta sferycznego, 0 k'ltach a, fl, y, to !l =R2 (a + fl + Y-1t). Wz6r Lamberta na powierzchni~ tr6jk'lta hiperbolicznego zawiera wsp6lczynnik C = -l/R2.
tm
42
[2.8] Spr6buj udowodnic wz6r na powierzchnit( tr6jk,!ta sferycznego, uZywaj,!c w zasadzie tylko argument6w symetrii i znanego faktu, ze powierzchnia kuli wynosi 4rtR2• (~ka zowka: najpierw postaraj sit( znalezc powierzchnit( kawalka kuli ograniczonego przez luki dw6ch wielkich okrt(g6w l'!cz'!cych part( punkt6w lez'!cych na przeciwleglych biegunach; nastt(pnie wytnij, naklej i wykorzystaj argumenty symetrii. Miej na uwadze rys. 2.20.)
Nieco historii geometrii hiperbolicznej
2.6
Jednalcie jesli wartose liczby C ma bye dodatnia, jak tego wymaga geometria hiperboliczna, to pro mien R musialby bye liczb,! "urojon,!" (czyli pierwiastkiem kwadratowym z liczby ujemnej). Zauwazmy, i:e z podanego wlOru wynika, ii: dlugose promienia jest wyraiona przez wartose urojon,! (_C)-1I2. To tlumaczy sens uZycia slowa "pseudopromien", ktore wprowadzilismy w rozdz. 2.4 w odniesieniu do wielkosci rzeczywistej, jak,! jest C- 1I2 • Jak siy okazuje, z naszej wspolczesnej perspektywy, procedura Lamberta jest w pelni uzasadniona (lOb. rozdz. 4 i 18.4, rys. 18.9) i to tylko dowodzi jego wielkiej wyobrazni i przenikliwosci. Tak siy jednak sklada, ze tradycja (nieslusznie, w moim przekonaniu) odmawia Lambertowi tytulu pierwszego konstruktora geometrii nieeuklidesowej, a za pierwsz,! osoby, ktora (prawie pot wieku pozniej) doszla do przekonania, iz istnieje w pelni logiczna geometria, roi:na od geometrii Euklidesa, w ktorej postulat rownoleglosci nie jest spelniony, uwaza wielkiego matematyka Carla Friedricha Gaussa. Poniewai: Gauss byl bardzo ostrozny i obawial siy powai:nych kontrowersji, jakie tego rodzaju rewelacje moglyby wywolae, dlatego swoje odkrycia zatrzymal dla siebie i ich nie opublikowal9• W jakies 30 lat po pracach Gaussa geometria hiperboliczna zostala ponownie odkryta niezalei:nie przez kilku innych matematykow, w tym Wygra Janosa Bolyaia (w 1829 roku) i rosyjskiego geometry Nikotaja Iwanowicza Lobaczewskiego ok. 1826 roku (od tej pory geometria hiperboliczna jest czysto nazywana geometriq Lobaczewskiego). Te szczegolne realizacje geometrii hiperbolicznej, rzutowa i konforemna, ktore opisalem, lOstaly wynalezione przez Eugenio Beltramiego i opublikowane w 1868 roku, razem z pewnymi innymi niezwykle eleganckimi przedstawieniami, w tym odwlOrowaniem polkulistym, 0 jakim mowilismy w rozdz. 2.5. Odwzorowanie konforemne jest zas powszechnie nazywane "modelem Poincarego", poniewaz Poincare ponownie odkryl je w roku 1882 i jego praca jest lepiej znana niz oryginalne dzielo Beltramiego (glownie dlatego, ze Poincare znalazl wai:ne zastosowanie jego modelu)lD. Biedny, stary Beltrami nie mial szczyscia: jego odwzorowanie rzutowe tei: czasami nazywane jest "odwzorowaniem Kleina". Dose czysto zdarza siy w matematyce, ze imiy przypisywane jakiejs matematycznej koncepcji wcale nie jest imieniem jej prawdziwego odkrywcy. Ale w tym przypadku przynajmniej Poincare sam dokonal ponownego odkrycia odwzorowania konforemnego (podobnie jak Klein odkryl w 1871 roku odwzorowanie rzutowe). Zdarzaly siy jednak inne przypadki w matematyce, kiedy matematycy, ktorych nazwiska l,!czono z jakims wynikiem, nie mieli nawet pojycia o jego istnieniu! II Istnieje jeszcze inne odwzorowanie geometrii hiperbolicznej autorstwa Beltramiego, odkryte w 1868 roku, i dziyki temu odkryciu Beltrami jest najbardziej znany. Jest to odwzorowanie na pewnej powierzchni zwanej pseudosferq; zob. rys. 2.21. Powierzchnia ta powstaje przez obrot krzywej znanej pod nazw'! traktorii (albo traktrysy) wokol jej "asymptoty". Krzyw,! ty jako pierwszy zbadal Izaak Newton w 1676 roku. Asymptot'! nazywamy prost'!, do ktorej krzywa siy przybliza i ktora
43
2
Staroiytne twierdzenie i wsp61czesne zagadnienie
R
(a)
asymptota
(b)
Rys. 2.21. (a) Pseudosfera. Powierzchnia ta powstaje przez obr6t krzywej zwanej traktrysi! (traktorii!) wok61 jej asymptoty. (b) Traktrysa. Wyobraimy sobie poziomi! plaszczyzny, przez kt6ri! przesuwamy iekki, prosty, sztywny pr«
staje sit( asymptotycznie stycznq do tej krzywej, gdy ta zmierza do nieskonczonosci. Tutaj powinnismy sobie wyobrazic takq asymptoty narysowanq na chropowatej poziomej plaszczyznie. Pomyslmy teraz 0 lekkim, prostym prycie, do kt6rego konca, P, przymocowany jest cit(zki, punktowy cit(zarek i kt6rego drugi koniec, R, przeciqgamy wzdluz tej asymptoty. W6wczas punkt P zakrdli krzywq zwanq traktoriq. W 1839 roku Ferdynand Minding odkryl, ze pseudosfery charakteryzuje wewnytrzna ujemna geometria i Beltrami skorzystal z tego faktu, aby skonstruowac pierwszy model geometrii hiperbolicznej. Dopiero ten model pseudosfery przekonal matematyk6w 0 niesprzecznosci plaskiej geometrii hiperbolicznej, poniewaz hiperboliczna miara odleglosci zgadza siy z euklidesowq odleglosciq na powierzchni. JednakZe nie jest to zbyt atrakcyjny model, poniewaz daje on tylko lokalne odwzorowanie geometrii hiperbolicznej, podczas gdy inne modele Beltramiego odwzorowujq od razu calq geometriy.
2.7 Zwiqzek z przestrzeniq fizycznq
44
Geometria hiperboliczna sprawdza sit( nie tylko w przestrzeni dwuwymiarowej, ale i w wyzszych wymiarach. Ponadto istniejq wyzej wymiarowe odwzorowania zar6wno modelu konforemnego, jak i rzutowego. Geometria hiperboliczna w trzech wymiarach zamiast granicznego okrygu rna granicznq kuly. Cala nieskonczona tr6jwymiarowa geometria hiperboliczna zostaje odwzorowana do wnt(trza tej skonczonej kuli euklidesowej. Pozostale rozumowanie jest identyczne z tym, kt6re opisalismy. W modelu konforemnym linie proste w tej tr6jwymiarowej geometrii hiperbolicznej Sq reprezentowane przez euklidesowe luki, przecinajqce powierzchniy kuli pod kqtami prostymi; kqty Sq mierzone w euklidesowej mierze lukowej, a odleglosci wyrazajq siy tymi samymi wzorami jak w przypadku dwuwymiarowym. W modelu rzutowym hiperboliczne linie proste Sq euklidesowymi liniami prostymi, a odleglosci liczy sit( tak sarno jak w przypadku dwuwymiarowym.
Zwiqzek z przestrzenict fizycznct
2.7
A jak przedstawia siy sprawa geometrii naszego WszechSwiata w skali kosmicznej? Czy oczekujemy, ze jego geometria jest geometri,! euklidesow'!, czy tez bydzie lepiej opisana za pomoc,! godnej uwagi geometrii hiperbolicznej (tylko w trzech wymiarach), ktor'! przedstawilismy w rozdz. 2.4-6? To jest naprawdy bardzo powazne pytanie. Z ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina (0 ktorej powiemy w rozdz. 17.9 i 19.6) wiemy, ze geometria Euklidesajest tylko (nadzwyczaj dokladnym) przybliZeniem do prawdziwej geometrii przestrzeni fizycznej. Ta geometria nie jest nawet dokladnie jednorodna, poniewaz jest pomarszczona fragmentami gystej materii kosmicznej. A jednak zdumiewaj,!ce, ze zgodnie z najlepszymi dostypnymi obserwacjami wspolczesnej kosmologii w skali kosmicznej te zaburzaj,!ce zmarszczki usredniaj,! siy do zera bardzo dokladnie (zob. rozdz. 27.13 i 28.4-10) i w efekcie przestrzenna geometria naszego WszechSwiata dobrze odpowiada geometrii jednorodnej i izotropowej przestrzeni. W ten sposob przynajmniej cztery postulaty Euklidesa znakomicie wytrzymaly proby czasu. W tym miejscu konieczne jest jedno wyjasnienie. Istniej,! w zasadzie trzy typy geometrii, ktore spelniaj,! wymogi jednorodnosci i izotropowosci, i S,! one znane pod nazwami geometrii euklidesowej, hiperbolicznej i eliptycznej. Geometria Euklidesa jest nam dobrze znana (i byla tak,! przez 23 stulecia). Geometria hiperboliczna byla glownym przedmiotem naszych rozwazan w tym rozdziale. A co to jest geometria eliptyczna? Najkrocej mozemy powiedziec, ze plaskiej geometrii eliptycznej podlegaj,! figury narysowane na powierzchni kuli, na przyklad te, ktore pojawily siy przy omowieniu podejscia Lamberta do geometrii hiperbolicznej w rozdz. 2.6. Zob. rys. 2.22a, b, c, ktory ilustruje, jak Escher zobrazowal, odpowiednio, przypadki geometrii eliptycznej, euklidesowej i hiperbolicznej, posluguj,!c siy w nich wszystkich mozaik,! aniolow i diablow, przy czym trzeci z tych rysunkow przedstawia interesuj,!c,! alternatywy rysunku 2.11. (Istnieje takZe trojwymiarowa wersja geometrii eliptycznej i s,! rowniez takie, w ktorych przeciwlegle bieguny kuli reprezentuje jeden i ten sam punkt. Spraw,! t'! zajmiemy siy bardziej szczegolowo w rozdz. 27.11.) Jednakze 0 geometrii eliptycznej mozemy powiedziec, ze narusza takze inne postulaty geometrii Euklidesa: pierwszy, drugi i trzeci, poniewaz jest to geometria 0 skonczonych rozmiarach, w ktorej dwa zadane punkty mozna pol,!czyc wiycej niz jednym odcinkiem eliptycznej prostej. Jakiz wiyc jest obserwacyjny status geometrii przestrzennej WszechSwiata w skali kosmicznej? Uczciwie bydzie przyznac, ze na razie nie wiemy, aczkolwiek ostatnio byly rozpowszechniane opinie, ze Euklides mial calkowit'! racjy, i ze jego pi,!ty postulat tei: jest wazny, oraz ze usredniona geometria przestrzeni Wszechswiata jest naprawdy euklidesowa 12 • Rownoczesnie istniej,! dane doswiadczalne (nawet pochodz,!ce z tych samych eksperymentow), ktore wyraznie wskazuj,! na hiperboliczny charakter geometrii WszechSwiata13 • Co wiycej, niektorzy teoretycy od dawna opowiadaj,! siy za geometri,! eliptyczn'! i z pewnosci,! nie mozna obalic ich przekonania na podstawie danych wspieraj,!cych hipotezy euklidesowosci prze-
45
2
Staroiytne twierdzenie i wsp61czesne zagadnienie
(a)
10)
46
Rys. 2.22. Trzy podstawowe rodzaje geometrii plaskiej i jednorodnej, zilustrowane przez Eschera za pomoc,! mozaiki aniolow i diablow. Odwzorowanie konforemne: (a) geometrii eliptycznej (krzywizna dodatnia), (b) geometrii Euklidesa (krzywizna zerowa) i (c) geometrii hiperbolicznej (krzywizna ujemna) (Granica kolowa IV Eschera, porownaj z rys. 2.11).
Przypisy
strzeni kosmicznej (zob. koncowe fragmenty rozdz. 34.4). Jak z tego widac, sprawa jest wysoce kontrowersyjna i, jak naleiy siy spodziewac, dyskusja jest ostra i gor,!ca. W dalszej czysci ksiC!iki postaram siy przedstawic wiele z tych rozwaian (chociai nie bydy ukrywal, ze sam jestem zwolennikiem hipotezy 0 hiperbolicznosci geometrii WszechSwiata, ale sprobujy przedstawic inne stanowiska na tyle obiektywnie, na ile potrafiy). Dla tych, ktorzy podobnie jak ja S,! zauroczeni piyknem geometrii hiperbolicznej i wspanialosci,! wspolczesnej fizyki, tak siy szczysliwie sklada, ze ta nadzwyczajna geometria odgrywa jeszcze inn,! roly, bez w'!tpienia fundamentaln'! w naszym zrozumieniu fizycznego swiata. Okazuje siy bowiem, ze zgodnie z wspolczesn'! teori,! wzglydnosci przestrzen prydkosci nie naleiy, tak jak w starej fizyce Newtona, do geometrii euklidesowej, lecz do przestrzeni opisywanej geometri,! hiperboliczn'! (zob. rozdz. 18.4). Daje nam to szansy zrozumienia niektorych zagadek teorii wzglydnosci. Wyobrazmy sobie na przyklad, ze z poruszaj,!cego siy z wielk,! szybkosci,! pojazdu, jaki wlasnie mija dom, z ktorego to obserwujemy, w kierunku jazdy zostaje wystrzelony pocisk z prydkosci,! blisk,! prydkosci swiatla. Okazuje siy, ze z naszego punktu obserwacyjnego prydkosc tego pocisku nigdy nie przekroczy prydkosci swiatla. I chociaz wydaje siy to zupelnie niemozliwe, to w rozdz. 18.4 zobaczymy, ze w jyzyku geometrii hiperbolicznej zjawisko to daje siy uzasadnic. Ale te fascynuj,!ce zagadnienia musimy odloiyc do dalszych rozdzialow. A co z twierdzeniem Pitagorasa, 0 ktorym dowiedzielismy siy, ze w geometrii hiperbolicznej nie obowi,!zuje? Czy koniecznie musimy wyrzec siy tego wspanialego prezentu, jaki pitagorejczycy przekazali nastypnym pokoleniom? Wcale nie, albowiem geometria hiperboliczna i wszystkie geometrie riemannowskie, ktore stanowi,! uogolnienie geometrii hiperbolicznej (tworz'!c istotne ramy ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina; zob. rozdz. 13.8,14.7,18.1 i 19.6), Zywotnie zaleiy od prawdziwosci twierdzenia Pitagorasa w granicy malych odleglosci. Co wiycej, twierdzenie to rna wielkie znaczenie w innych rozleglych obszarach matematyki i fizyki (np. "unitarna" struktura mechaniki kwantowej, zob. rozdz. 22.3). Pomijaj,!c fakt, ze na wielkich odleglosciach to twierdzenie przestaje funkcjonowac, w strukturach geometrycznych w malej skali pozostaje w mocy i znajduje zastosowania daleko przekraczaj'!ce zakres, dla ktorego zostalo wynalezione.
Przypisy
3
Rozdzial 2.1 Jest rzeCZq historycznie niepewnq, kto pierwszy udowodnil twierdzenie znane dzisiaj pod naZWq "twierdzenia Pitagorasa", zob. przyp. 1 w rozdz. 1. Wydaje si y, ze staroiytni Babilonczycy i Egipcjanie znali co najmniej kilka zastosowan tego twierdzenia. Rzeczywista rola, jakq w tej sprawie odegrali Pitagoras i jego uczniowie, jest kwestiq domysl6w.
47
2
Staroiytne twierdzenie i wsp61czesne zagadnienie
Rozdzial2.2 Nawet przy takiej ostroznosci pozostaje jeszcze szereg ukrytych zalozen w pracach Euklidesa, 0 ktorych dzisiaj powiedzielibysmy, ze s~ natury "topologicznej", lecz ktore musialy wydawae sit( "intuicyjnie oczywiste" Euklidesowi i jego wspolczesnym. Te niewypowiedziane zalozenia zostaly zauwai:one setki lat pozniej, glownie przez Hilberta pod koniec XIX wieku. W dalszej cZt(sci ksi~zki te ukryte zalozenia bl(dl( ignorowal. 3 Zob. np. Thomas (1939). Por. takie Schutz (1997), ktory podaje bardzo ladne aksjomatyczne przedstawienie 4-wymiarowej czasoprzestrzennej geometrii Minkowskiego. 2
4
Rozdzial 2.6 Saccheri (1773), Prop. XXXIII. 6 Jest taki punkt widzenia zwany intuicjonizmem, podzielany przez mniejszosc matematykow, ktorzy nie akceptuj~ zasady dowodu przez sprowadzenie do niedorzecznosd. Stawiaj~ oni zarzut, ze ta zasada moze bye niekonstruktywna, w tyrn sensie, ze czasami prowadzi do stwierdzenia istnienia pewnych bytow matematycznych, bez uprzedniego dostarczenia przedstawienia konstrukcji tych bytow. Ma to pewne znaczenie dla spraw, ktore omawiamy w rozdz. 16.6. Zob. Heyting (1956). 7 Hardy (1940), s. 34. 8 Luki wielkich okrl(gow Sq "najkrotszymi" liniami (geodezyjnymi) na powierzchni kuli; lezq one na plaszczyznach przechodzqcych przez srodek kuli. 9 Jest spraw~ dyskusyjn~, czy Gauss, ktory zawodowo zajmowal sil( geodezj~, m6g1 pr6bowae ustalie, czy s~ jakies mierzalne odchylenia od geometrii euklidesowej w przestrzeni fizycznej. Majqc na uwadze jego dobrze znan~ dyskrecjl( w sprawach dotycz~cych geometrii nieeuklidesowej, jest malo prawdopodobne, ze nawet gdyby podejmowal takie pr6by, chcialby je szerzej oglosie, szczegolnie ze musialyby to bye proby nieudane (zgodnie ze stan em wspolczesnej wiedzy to odchylenie byloby bardzo niewielkie). Obecnie powszechnie uwai:a sil(, ze Gauss po prostu zajmowal sil( geodezj~, a wil(c zakrzywieniem Ziemi, a nie przestrzeni. Jest rzeCZq ciekaw~, ze wyniki jego triangulacyjnych pomiar6w kqtowych nie zostalyby podwazone, gdyby uwzgll(dnic krzywiznl( kuli ziemskiej. 10 Tzw. p6lplaszczyznowe odwzorowanie Poincarego rowniez zostalo wczesniej odkryte przez Beltramiego; zob. Beltrami (1868). 11 Uwaga ta odnosi sit( nawet do samego wielkiego Gaussa (ktory takie wielokrotnie sam dokonywal odkryc, do jakich doszli przed nim inni matematycy). Istnieje wazne topologiczne twierdzenie, obecnie znane jako twierdzenie Gaussa-Bonneta. Funkcjonuje ladny dowod tego twierdzenia przeprowadzony za pomocq tzw. mapy Gaussa. Tak sil( jednak ski ada, ze twierdzenie to sformulowal Blaschke, a ten elegancki dowod jest autorstwa Olinde Rodriguesa. Ani ten dowod, ani sarno twierdzenie nie byly w ogole znane ani Gaussowi, ani Bonnetowi. Istnieje tez inne, bardziej podstawowe twierdzenie Gaussa-Bonneta, poprawnie cytowane we wczesniejszych tekstach, zob. Willmore (1959) oraz Rindler (2001). 5
48
Rozdzial2.4 W tej ksi~zce cZl(sto stosujemy notacjl( "wykladnicz~", tak~ jak Cl!2. J ak to juz wyjasnilismy w przyp. 1 w rozdz. 1, a 5 oznacza a x a x a x a x a. Dlatego n-krotny iloczyn liczby a przez samq siebie zapisujemy jako an. Ten zapis mozemy uogolnie na wypadek, gdy w wykladniku potl(gi znajduje sil( liczba ujemna, a wil(c a-I oznacza odwrotnose liczby a, czyli Va; natomiast a-ll oznacza to sarno co Van lub, rownowai:nie, (a-It Zgodnie z og61niejsz~ dyskusjq w rozdz. 5.2, symbol a lln , dla dodatnich a, oznacza pierwiastek n-go stopnia z a, czyli liczbl( dodatniq spelniajqcq regull( (allnt = a (zob. przyp. 1 w rozdz. 2). Ponadto amln oznacza m-tq potl(gl( liczbya lln .
Przypisy
Rozdzial 2. 7 12
13
Gl6wne dowody na og6lnq struktury Wszechswiata pochodzq ze szczeg610wej analizy kosmicznego kr6tkofalowego promieniowania tla (CMB), kt6re przedyskutujemy w rozdz. 27.7, 10, 11, 13,28.5, 10,30.14. Podstawowe dane znajdziemy w pracy: de Bemardis (2000), s. 955-959; bardziej dokladne i nowsze dane zob. Netterfield et at. (2001), Hanany (2000), oraz Halverson (2001). Zob.: Gurzadyan, Torres (1997), s. 19-23, Gurzadyan, Kocharyan (1994) - podstawy teoretyczne); Gurzadyan, Kocharyan (1992), s. 14 (dane z COBE) oraz Gurzadyan (2002), s. 1859-1874 (dane BOOMERanG, analiza aktualnych danych CMB).
3 Rodzaje liczb w swiecie fizyki 3.1 Katastrofa pitagorejska? POWROCMY teraz do metody, za pomocq kt6rej Saccheri usilowal udowodnie prawdziwose piqtego postulatu Eukiidesa, do dowodu przez sprowadzenie do niedorzecznosci. Istnieje mn6stwo przyklad6w z dziedziny klasycznej matematyki, w kt6rych ta metoda przyniosla wyniki. Jeden z najbardziej znanych pochodzil z czas6w pitagorejczyk6w i pozwolil na rozstrzygniC(cie problemu matematycznego, kt6ry sprawial w6wczas mn6stwo klopot6w. Byl to problem nastC(pujqcy: czy mozliwe jest znalezienie liczby wymiernej (tzn. takiej, kt6rq mozna zapisae w postaci ulamka), kt6ra podniesiona do drugiej potC(gi da w wyniku liczbC( 2? Odpowiedz na tak postawione pytanie okazala siC( negatywna, a twierdzenie matematyczne, kt6re wkr6tce udowodniC(, glosi, ze taka liczba nie istnieje. Ale dlaczego to odkrycie tak niepokoilo pitagorejczyk6w? Przypomnijmy, ze ulamek - a wiC(c liczba wymierna - jest czyms, co moze bye przedstawione jako stosunek alb dwu liczb calkowitych, a i b, gdzie b nie moze bye zerem (zob. PrzedmowC(, w kt6rej om6wilismy definicjC( ulamka). Pitagorejczycy byli poczqtkowo przekonani, ze cal a ich geometria moze bye wyrazona w jC(zyku linii i odcink6w, kt6rych dlugosci mogq bye zapisane za pomocq liczb wymiernych. Liczby wymierne stanowiq proste pojC(cia, latwe do opisania i zrozumienia. Pomimo ich prostoty mozna bylo za ich pomocq wyrazie odleglosci zar6wno dowolnie male, jak i dowolnie duze. Gdyby calq geometriC( dalo siC( opisae w takim jC(zyku, byloby to i stosunkowo proste, i latwe do pojC(cia. PojC(cie liczby "niewymiernej" wymaga natomiast procedur nieskonczonych ito, z calkiem zrozumialych powod6w, przedstawialo zasadnicze trudnosci dla staroiytnych. Ale dlaczego mialoby bye trudne pogodzenie siC( z faktem, ze zadna liczba wymierna podniesiona do drugiej potC(gi nie da w wyniku 2? Ot6z trudnose ta wywodzi siC( z samego twierdzenia Pitagorasa. Wyobrazmy sobie (w geometrii Eukiidesa) kwadrat 0 boku, kt6rego dlugose, w dowolnych jednostkach, wynosi 1. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, ze jego przekqtna rna takq dlugose, kt6ra podniesiona do drugiej potC(gi daje 12 + 12 = 2 (zob. rys. 3.1). Bylaby to prawdziwa katastrofa, gdyby nie istniala liczba, za pomocq kt6rej moglibysmy przedstawie dlugose przekqtnej kwadratu! Dlatego pitagorejczycy usilowali poszukae "odpowiedniej liczby", kt6ra dalaby siC( zapisae jako prosty sto-
Katastrofa pitagorejska?
3.1
Rys. 3.1. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa kwadrat 0 boku dlugosci r6wnej jeden rna przek'ltn'l 0 dlugosci r6wnej fi.
sunek liczb calkowitych. Przekonajmy siy sami, dlaczego ten wysilek nie moze przyniese powodzenia: Nasze zagadnienie polega na tym, zeby pokazae, dlaczego rownanie
nie rna takiego rozwi,!zania, w ktorym liczby a i b bylyby liczbami calkowitymi i, zalozmy, dodatnimi. Udowodnimy to przez reductio ad absurdum. W tym celu zalozmy, przeciwnie, ze takie dwie liczby a i b istniej,!. W takim razie pomnozmy obie strony tego rownania przez liczby b2 • W ten sposob otrzymamy
a2 = 2b 2 i widzimy od razu\ ze a 2 > b 2 > O. Ponadto widzimy, ze liczba, ktora znajduje siy na prawej stronie ostatniego rownania, 2b 2 , jest liczb,! parzyst'!. Wobec tego liczba a tez musi bye liczb,! parzyst'!. (Nie moze bye liczb,! nieparzyst'!, gdyz kwadrat liczby nieparzystej bylby tez liczb,! nieparzyst'!.) W takim razie mozemy napisae, ze a =2c, gdzie c musi bye jak,!s dodatni,!liczb,! calkowit'!. Podstawmy wiyc 2c w miejsce a i podnieSmy do kwadratu. Otrzymamy:
4c 2 = 2b 2 , a po podzieleniu obu stron przez 2, b 2 = 2c 2 ,
i wnioskujemy, ze b 2 > c 2 > O. Teraz otrzymalismy identyczne rownanie jak poprzednio, ale w miejscu liczby a mamy teraz liczby b, a w miejscu liczby b mamy liczby c. Zauwazmy jednak, ze odpowiednie liczby calkowite S,! teraz mniejsze niz poprzednio. To rozumowanie mozemy powtarzae w nieskonczonose, otrzyrnuj,!c w efekcie ci,!g rownan:
a 2 = 2b z , b 2 = 2c 2 , c2 = 2d2 , d Z = 2e 2,
... ,
gdzie
51
3
Rodzaje liczb w swiecie fizyki
i wszystkie te liczby s,! liczbami naturalnymi (dodatnimi liczbami calkowitymi). J ednakZe kazdy malej,!cy ci,!g liczb naturalnych musi siy skonczye, co jest sprzeczne z nieskonczonosci,! tego ci,!gu. Doszlismy wiyc w naszym rozumowaniu, wynikaj,!cym z zalozenia, ze istnieje liczba wymierna, kt6rej kwadrat wynosi 2, do sprzecznosci. W takim razie istnienie takiej liczby jest niemozliwe, co bylo do udowodnienia 2 • Trzeba zwr6cie uwagy na kilka krok6w przedstawionego dowodu. Przede wszystkim, zgodnie z utartymi zwyczajami dowodzenia matematycznego, odwolywalismy siy do pewnych wlasnosci liczb, kt6re wydawaly siy "oczywiste" albo uwazalismy je za udowodnione gdzie indziej. Na przyklad uZylismy argumentu, ze drug a potyga liczby nieparzystej jest zawsze liczb,! nieparzyst'!, co wiycej, zakladalismy, ze jdli liczba naturalna nie jest nieparzysta, to musi bye parzysta. Przyjylismy tez za rzecz oczywist'!, ze kazdy malej,!cy ci,!g liczb naturalnych musi bye skonczony. Jednym z powod6w, dla kt6rych moze bye potrzebne tak staranne identyfikowanie wszystkich zalozen argumentacji - nawet jesli niekt6re z tych zalozen mog,! wydawae siy najzupelniej oczywiste - jest fakt, ze matematycy S,! czysto zainteresowani innymi konstrukcjami niZ tylko te, kt6rych dotyczy dow6d. Jesli te inne konstrukcje spelniaj,! te same zalozenia, w6wczas dow6d bydzie wazny r6wniez w odniesieniu do nich i w ten spos6b udowodnione twierdzenie moze miee znaczenie bardziej og61ne, niz pocz'!tkowo oczekiwano. Gdy siy zas okaie, ze jakid niezbydne do dowodu zalozenie nie jest spelnione w tym alternatywnym przypadku, to r6wniez i sarno twierdzenie moze okazae siy w6wczas nieprawdziwe. (Przykladowo, jest rzecz'! wazn,! uswiadomie sobie, ze do dowodu twierdzenia Pitagorasa w rozdz. 2.2 wykorzystano postulat r6wnoleglosci, poniewai w geometrii hiperbolicznej twierdzenie Pitagorasa nie jest prawdziwe.) W przytoczonym dowodzie pocz'!tkowymi elementami s,! liczby calkowite i z tych liczb konstruujemy liczby wymierne, zdefiniowane jako stosunki liczb calkowitych. Wsr6d nich, istotnie, niepodobna znaleze liczby, kt6rej kwadrat byiby r6wny 2. Istniej,! jednak inne liczby poza liczbami calkowitymi i wymiernymi. I rzeczywiscie, potrzeba znalezienia pierwiastka kwadratowego z 2 zmusila staroZytnych Grek6w, poniek,!d wbrew ich woli w tym czasie, do wyjscia poza zbiory liczb calkowitych i wymiernych - a wiyc tych liczb, kt6rych istnienie byli sklonni zaakceptowae. Ta koniecznose doprowadzila ich do odkrycia liczb, kt6re obecnie nazywamy liczbami rzeczywistymi. Dzisiaj przez to pojycie rozumiemy liczby, kt6re mog'! bye przedstawione w postaci ulamka dziesiytnego, skonczonego lub nieskonczonego (oczywiscie, takie przedstawienie liczby byio nieznane staroZytnym Grekom). Liczba 2 rna pierwiastek kwadratowy w zbiorze liczb rzeczywistych i mozemy go zapisae w postaci:
J2 52
=
1,414213 562 373095048801 68872 ...
Fizyczn,! roly takich liczb rzeczywistych rozpatrzymy w nastypnym rozdziale.
System liczb rzeczywistych
3.2
Z ciekawosci zapytajmy, dlaczego przedstawiony dow6d nieistnienia pierwiastka kwadratowego z 2 nie stosuje sit( do liczb rzeczywistych (albo do stosunk6w liczb rzeczywistych, co wychodzi na to sarno). Co sit( stanie, jesli w tym dowodzie zastqpimy liczby naturalne liczbami rzeczywistymi? Podstawowa r6znica sprowadza sit( do tego, ze w odr6znieniu od liczb naturalnych, dowolny scisle malejqcy ciqg dodatnich liczb rzeczywistych (a nawet ulamk6w) nie musi bye skonczony i w tym punkcie dow6d sit( zalamuje3 • (Rozwazmy, na przyklad, nieskonczony ciqg 1 1 1 1 1 ) R' . .meWla . . d omo, cow tym konte k"SCle mla . 10 by ' 1'2'4'8'16'32'.... owmez u1amkow oznaczae wyrazenie "parzysta" alba "nieparzysta" liczba rzeczywista. Akurat w tym miejscu dow6d nie napotyka przeszkody, poniewai kazda liczba rzeczywista moze bye uwazana za "parzystq", gdyz dla kaidej liczby rzeczywistej a mozna znaleie liczbt( rzeczywistq c takq, ze a = 2c i kazdq liczbt( rzeczywistq mozna zawsze podzielie przez 2.
3.2 System liczb rzeczywistych
Tak wit(c Grecy zostali zmuszeni do uswiadomienia sobie, ze jesli idee geometrii (Euklidesa) majq miee wlasciwe zastosowanie, nie wystarczy do tego poslugiwanie sit( liczbami wymiernymi. Obecnie, rzecz jasna, nie martwimy sit( zbytnio tym, ze jakies wielkosci geometryczne nie dajq sit( wyrazie za pomocq samych liczb wymiernych. Nie martwimy sit(, poniewai pojt(cie liczby rzeczywistej jest nam dobrze znane i oswojone. Aczkolwiek nasz kalkulator kieszonkowy podaje wyniki tylko za pomocq skonczonej ilosci cyfr, to rozumiemy dobrze, iz jest to jedynie przyblizenie, wymuszone przez fakt, ze sam kalkulator jest obiektem 0 skonczonych rozmiarach. Jestesmy gotowi pogodzie sit( z tym, ze idealne (platonskie) liczby matematyczne mogq wymagae nieskonczonych ulamk6w dziesit(tnych. Dotyczy to, oczywiscie, nawet dziesit(tnego rozwinit(cia wit(kszosci zwyklych ulamk6w, takich na przyklad, jak
t = 0,333333333 ... , i~
= 2,416666666 ... ,
~ = 1,285714285714285 ... , i~; = 1,60135135135 ....
JednakZe w przypadku ulamk6w ich rozwinit(cie dziesit(tne jest zawsze ostatecznie okresowe, to znaczy, ze od pewnego miejsca nieskonczona sekwencja cyfr sklada sit( ze skonczonej grupy cyfr, kt6ra powtarza sit( nieskonczonq ilose razy. W podanych przykladach te powtarzajqce sit( sekwencje cyfr stanowiq, odpowiednio, 3, 6, 285714 i 135. Staro.zytni Grecy nie znali rozwinit(cia dziesit(tnego, ale znaleili sw6j wlasny spos6b na to, zeby poradzie sobie z liczbami niewymiernymi. Odkryli mianowicie, ze mozna liczby przedstawiae w postaci czegos, co dzisiaj nazywamy ulamkiem
53
3
Rodzaje liczb w swiecie fizyki
ciqg/ym[*I. Nie rna potrzeby, zebysmy siy zaglybiali w ty sprawy, ale kilka kr6tkich uwag moze siy przydac. Ulamkiem ci,!glym4 nazywamy skonczone alba nieskonczone wyraZenie typu a + (b + (c + (d + .... t 1t 1t 1, gdzie a, b, c, d, ... s,! liczbami calkowitymi dodatnimi: 1
a + ------:-1--
b + ----:1;---
c+-d+ ...
Dowoln'! liczby wymiern,! wiyksz,! od 1 mozna przedstawie w postaci skonczonego ulamka ci,!glego (dla jednoznacznosci rozwiniycia wymagamy, zeby koncowa liczba naturalna byla wiyksza od 1), na przyklad: 52 9
=
5+
1 1+_1_ 1 3+2
a dla przedstawienia dodatniej liczby wymiernej mniejszej od 1 jako pierwsz,! liczby naturaln,! bierzemy zero. N atomiast dla przedstawienia liczb rzeczywistych, kt6re nie s,! wymierne, uZywamy nieskonczonych ulamk6w ci,!glych[3.l 1• Na przyklad takich jak te 5 :
71t =
J2 = 1 + (2 + (2 + (2 + (2 + ... t 1t l t l t\ J3 = 5 + (3 + (1 + (2 + (1 + (2 + ( 1 + (2 + .. ·tl t l t l tltltlt\ 3 + (7 + (15 + (1 + (292 + (1 + (1+ (1 + (2 + ... tltltltltltltltl.
W przypadku dwu pierwszych przyklad6w nieskonczone sekwencje liczb naturalnych, kt6re siy w nich pojawiaj,! -w pierwszym przykladzie 1,2,2,2, ... , oraz 5, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 2 w drugim - maj,! ty wlasnose, ze wystypuj,! cyklicznie (w pierwszym przypadku powtarza siy nieskonczon,! ilose razy liczba 2, a drugim sekwencja 1, 2)13.21• Pamiytajmy, ze jak to juz wyjasnilismy, w notacji dziesiytnej tylko liczby wymierne mog,! bye przedstawione w postaci wyraZen okresowych (cyklicznych), skonczonych alba nieskonczonych. Z tego punktu widzenia odkrycie Grek6w, ze
[*] W Polsce uZywana jest tez nazwa "ulamek lancuchowy" (przyp. Hum.).
,a [3.1] Przeprowadi eksperyment z twoim kalkulatorem kieszonkowym (jesli rna on klawi-
"...r "
54
sze i "x-I ,,), aby uzyskac opisane wyrazenia z takq dokladnosciq, jaka jest dostypna. Wei 1C = 3,141 592653589793 (ffikazowka: za kazdym razem zwracaj uwagy na calkowitq czysc kazdej liczby, odejmij jq, a wtedy znajdi odwrotnosc reszty.) B [3.2] Zakladajqc okresowosc przedstawien tych dwu ciqglych ulamk6w, pokaz, ze Sq one r6wne liczbom zapisanym po lewej stronie r6wnosci. (ffikazowka: znajdi r6wnania kwadratowe, kt6rych te liczby Sq pierwiastkami, i zapoznaj siy z przyp. 6).
System liczb rzeczywistych
3.2
w przedstawieniu za pomoc,! ulamk6w ci,!glych liczby wymierne daj,! sit( zapisae w postaci ulamk6w skonczonych, moze bye uwaiane za powazne ulatwienie. Pojawia sit( naturalne pytanie: a jakie liczby, przedstawione w postaci ulamk6w ci,!glych, bt(d,! mialy zapis cykliczny? OdpowiedZ na to pytanie, w postaci naprawdt( godnego uwagi twierdzenia, jako pierwszy podal wielki matematyk XVIII wieku, Joseph C. Lagrange (z jego najwazniejszymi odkryciami spotkamy sit( p6zniej, szczeg6lnie w rozdz. 20); S,! to liczby, kt6re otrzymaly nazwt( liczb niewymiemych kwadratowych 6• C6Z to S,! kwadratowe liczby niewymierne i jakie jest ich znaczenie w geometrii Grek6w? S,! to liczby, kt6re mog,! bye zapisane w postaci
a+Jb, gdzie liczby a i b S,! ulamkami, ale liczba b nie moze bye kwadratem innej liczby wymiernej. Liczby tego rodzaju S,! wazne w geometrii euklidesowej, poniewaz to najczt(sciej spotykane liczby niewymierne, na jakie natrafiamy przy konstrukcjach geometrycznych wykonywanych za pomoC£! linijki i cyrkla. (Przypomnijmy sobie twierdzenie Pitagorasa, kt6re w rozdz. 3.1 doprowadzilo nas do problemu liczby J2.lnne proste konstrukcje prowadz'! do innych liczb 0 wskazanej postaci.) Szczeg6lnymi przypadkami kwadratowych liczb niewymiernych s,! te, w kt6rych pierwszy skladnik, a = 0, natomiast b jest liczb,! naturaln'! (ale nie kwadratem innej) alba liczb,! wymiern,! wit(ksz,! od 1, na przyklad: J2,
J3, 15, ./6,)7, J8,.JiQ, Jli, ....
Przedstawienie liczby tego rodzaju w postaci ulamka ci,!giego - a nawet, bardziej og6lnie, przedstawienie pierwiastka kwadratowego Fa z dowolnego ulamka a (dodajmy, ze a musi bye liczb,! wit(ksz,! od 1, ale nie moze bye kwadratem innego ulamka) - jest zdumiewaj,!ce! Sekwencja liczb naturalnych, kt6re definiuj,! tt( liczbt( w postaci ulamka ci,!giego, rna intryguj,!c£! charakterystyczn,! wlasnose. Zaczyna sit( ona od pewnej liczby naturalnejA, po kt6rej nastt(puje palindromiczna sekwencja (tzn. taka, kt6ra jest identyczna przy czytaniu od lewej do prawej ina odwr6t), B, C, D, ... , D, C, B, po czym pojawia sit( liczba 2A, a potem sekwencja B, C, D, ... , D, C, B, 2A powtarza sit( nieskonczon,! ilose razy. Dobrym przykladem jest liczba M, w przypadku kt6rej jest to sekwencja nastt(puj,!ca:
3, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6 , ... W tym przypadku A = 3, a palindromiczna sekwencja B, C, D, ... , D, C, B jest sekwencj,! skladaj,!c£! sit( z trzech liczb 1, 2, 1. Jak wiele z tych spraw bylo znanych staroiytnym Grekom? Wydaje sit(, ze wiedzieli oni bardzo duzo, prawdopodobnie wszystko to, 0 czym m6wilismy (wl,!czaj,!c w to twierdzenie Lagrange'a), chociaz w niekt6rych przypadkach mogli nie posiadae rygorystycznych dowod6w. Prawdopodobnie wsp6lczesny Platonowi matematyk Theaetetos odkryl wiele tych zwi,!zk6w. R6wniei w dialektyce Platona7 znajdujemy wiele oznak, ze posiadal on tt( wiedzt( (l'!cznie z palindromiczn,! sekwencj,!, 0 kt6rej przed chwil,! m6wilismy).
55
3
Rodzaje liczb W swiecie fizyki
Aczkolwiek poszerzenie naszego zbioru 0 kwadratowe liczby niewymierne pozwala w znacznym stopniu uwzglydnie potrzeby geometrii Euklidesa, okazuje siy, mimo wszystko, niewystarczaj'!ce. W dziesi'!tej (i najtrudniejszej) ksi,!ice Euklidesa rozwaiane s,! liczby 0 postaci a + .Jb, gdzie a i b s,! dodatnimi liczbami wymiernymi. Nie s,! to na ogol kwadratowe liczby niewymierne, chociai pojawiaj,! siy one w konstrukcjach geometrycznych dokonywanych za pomoq linijki i cyrkla. Do konstrukcji tego typu wystarczylyby liczby, jakie jestesmy w stanie utworzye z liczb naturalnych dziyki zastosowaniu wielu dzialan, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnoienie, dzielenie i wyci,!ganie pierwiastka kwadratowego. Jednakie operowanie wyl,!cznie takimi liczbami z jednej strony staje siy ogromnie skomplikowane, a z drugiej i tak nie wystarczaj,! one do opisu tych konstrukcji w geometrii Euklidesa, ktorych nie da siy wykonae jedynie za pomoc,! cyrkla i linijki. Wiycej zyskamy, jesli wykonamy krok bardziej odwainy - a jak bardzo odwainy, 0 tym przekonamy siy w rozdz. 16.3-5 - i uwzglydnimy takie liczby, ktore mog,! bye przedstawione za pomoq najzupelniej ogolnych nieskonczonych ulamkow ci,!glych. I w ten sposob Grecy odnalezli drogy do opisu wszystkich liczb potrzebnych w geometrii Euklidesa. We wspolczesnej terminologii liczby te nazywamy liczbami rzeczywistymi. W pelni zadowalaj'!ca ich definicja najprawdopodobniej zostala podana dopiero w XIX wieku, w pracach Dedekinda, Cantora i innych. Jednakie jeden z uczniow Platona, wielki grecki matematyk i astronom Eudoksos, jui w IV wieku p.n.e. posiadl zasadnicze zrozumienie tej idei, warto zatem, abysmy powiedzieli 0 niej kilka zdan. Przede wszystkim zauwaimy, ie w geometrii Euklidesa liczby wyraiane s,! raczej poprzez stosunki diu go sci odcinkow aniieli bezposrednio, poprzez same dlugosci. Dziyki temu nie potrzeba bylo jakiejs specjalnej miary dlugosci (takiej jak np. cal czy grecki daktylosl*l). Co wiycej, posluguj,!c siy stosunkami dlugosci, nie martwiono siy 0 zgodnose, kiedy zachodzila potrzeba mnoienia przez siebie kilku takich stosunkow (zaspokajaj,!c niejako potrzeby uwzglydnienia wyiszych wymiarow, jakichS "hiperobjytosci", kiedy trzeba by mnoZye przez siebie wiycej nii trzy dlugosci). Pierwszym krokiem w teorii Eudoksosa bylo ustalenie kryterium, co to znaczy, ie jakis stosunek dlugosci a : b mialby bye wiykszy nii stosunek innych dlugosci, c : d. Kryterium to jest nastypuj,!ce: stosunek a : b jest wiykszy od stosunku c : d, jesli istniej,! dwie liczby naturalne MiN takie, ie jeieli a dodamy do siebie M razy i dlugosc ta bydzie wiyksza od dlugosci, jak,! otrzymamy po dodaniu do siebie b N razy, to d dodane do siebie N razy bydzie dluisze od c dodanego do siebie M razy[3.31• Analogiczne kryterium formuluje warunek, ieby stosunek a: b byl mniejszy od stosunku c : d. Warunkiem rownosci tych stosunkow jest niespel-
J
56
[*] Obie te miary odpowiadajq staropoiskiej mierze "palec" rownej szerokosci 8 ziarenjyczmienia (przyp. dum.). liJ1 [3.3] Czy rozumiesz, jak dziaia to kryterium?
System liczb rzeczywistych
3.2
nienie zadnego z tych dwu kryteri6w. W ten spos6b dzit(ki pomyslowemu rozwiqzaniu problemu r6wnosci dwu stosunk6w Eudoksos otrzymal w rezultacie abstrakcyjne pojt(cie "liczby rzeczywistej" wyrazone przez stosunki dlugosci odcink6w. Udalo mu sit( teZ skonstruowae reguly dodawania i mnozenia takich liczb rzeczywistych[3.4l. lednakZe istnieje podstawowa r6znica w sposobie traktowania liczb rzeczywistych, inaczej bowiem pojmowali je Grecy, a inaczej traktuje je wsp6lczesna matematyka. Dla Grek6w liczby byly "dane" w relacjach pomit(dzy odleglosciami w przestrzeni fizycznej, a jedynym problemem bylo okreslenie, jak te miary "odleglosci" sit( zachowuj'!. Albowiem "przestrzen" wydawala sit( bytem idealnym w sensie Platona, podczas gdy r6znego rodzaju obiekty fizyczne wystt(puj,!ce w tej przestrzeni nie odpowiadaly pojt(ciu platonskiego idealu8• (Co prawda, jak sit( 0 tym przekonamy w rozdz. 17.9 i 19.6, 8, og6lna teo ria wzglt(dnosci Einsteina w spos6b fundamentalny zmienila nasze widzenie przestrzeni i materii.) Obiekt fizyczny, taki jak kwadrat wyrysowany na piasku czy szescian wykuty z marmuru, m6g1 bye rozpatrywany przez staroZytnych Grek6w jako dobre, a czasami nawet znakomite przyblizenie do geometrycznego idealu Platona. Kazdy taki obiekt byl jednak tylko przybIizeniem. Tymczasem sarna przestrzen - tak sit( przynajmniej wydawalo - byla czyms wykraczaj,!cym daleko poza takie przyblizenie: byla bytem na tyle abstrakcyjnym, ze z powodzeniem uWaZano j,! za bezposredni,! realizacjt( platonskiej rzeczywistosci. Nalezalo zdefiniowae, jak mierzye odleglosci w tej idealnej geometrii, i w tym celu trzeba bylo wydobye to idealne pojt(cie liczby rzeczywistej z geometrii przestrzeni Euklidesa, kt6q uWaZano za dan'!. I to zadanie, z powodzeniem, wykonal Eudoksos. W XIX i XX wieku pojawilo sit( przekonanie, ze matematyczne pojt(cie liczby powinno bye niezalezne od natury otaczaj,!cej nas przestrzeni fizycznej. Skoro udalo sit( wykazae, ze istniej,! matematycznie sp6jne geometrie inne niz geometria Euklidesa, to wydawalo sit( calkiem niewlasciwe, zeby matematyczne pojt(cie "geometrii" mialo bye koniecznie wyekstrahowane z hipotetycznej natury "aktualnej" przestrzeni fizycznej. Ponadto powinno bye rzecz'! bardzo trudn,!, 0 ile w og6le mozIiw,!, przedstawienie szczeg610wej natury tej hipotetycznej "platonskiej geometrii fizycznej" w terminach zachowan niedoskonalych obiekt6w fizycznych. Aby zbadae naturt( liczb, za pomoq kt6rych mamy zdefiniowae "odleglosci geometryczne", trzeba koniecznie zdae sobie dokladnie sprawt( z tego, co sit( dzieje w odleglosciach zar6wno nieskonczenie malych, jak i nieograniczenie duZych. Tymczasem nawet obecnie w tych sprawach nie mamy dostatecznej jasnosci (do tego tematu powr6ct( w p6zniejszych rozdzialach). Wlasnie dlatego daleko bardziej odpowiednie bylo rozwinit(cie pojt(cia Iiczby bez bezposredniego odwolywania sit( do fizycznych pomiar6w. Tak rozumuj,!c, Richard Dedekind i Georg Cantor rozwint(Ii teorit( liczb rzeczywistych bez uZywania pojt(e odnosz'!cych sit( bezposrednio do geometrii.
rm [3.4] Czy potrafisz sformulowac te reguly?
57
3
Rodzaje liczb W 5wiecie fizyki
Definicja liczby rzeczywistej sformulowana przez Dedekinda wychodzi z rozwaZenia nieskonczonych zbiorow liczb wymiernych. Pomyslmy sobie, ze wszystkie liczby wymierne (zarowno dodatnie, jak i ujemne oraz zero) zostaly uporzqdkowane od mniejszych do wiykszych. Mozemy sobie wyobrazic, ze to uporzqdkowanie biegnie od lewej do prawej i liczby wymierne ujemne rozciqgajq siy do nieskonczono sci w lewo, z zerem posrodku, a liczby wymierne dodatnie rozciqgajq siy do nieskonczonosci w prawo. (To rozwazanie sluZy tylko pewnej wizualizacji; procedura zastosowana przez Dedekinda jest calkowicie abstrakcyjna.) Dedekind proponuje rozwaZyc dokonanie "przekroju", ktory podzieli ten zbior dokladnie na dwie cZysci, przy czyrn wszystkie liczby po lewej stronie tego przekroju bydq mniejsze od tych po prawej. Jesli "ostrze noza", ktory dokonuje przekroju, "nie trafia" w jakqs liczby wymiernq, ale pomiydzy dwiema liczbami wymiernymi, to mowimy, ze definiuje one "niewymiernq liczby rzeczywistq". Bardziej poprawnie byloby powiedziec, ze tak siy dzieje, kiedy liczby po lewej stronie przeciycia nie majq liczby najwiykszej, a te po prawej - najmniejszej. Kiedy zbior takich "liczb niewymiernych" dolqczymy do znanego juz zbioru liczb wymiernych, otrzymamy kompletnq rodziny liczb rzeczywistych. Ta procedura Dedekinda prowadzi przez proste definicje do regul dodawania, odejmowania, mnozenia i dzielenia liczb rzeczywistych. Ponadto umozliwia nam dokonanie kroku nastypnego i zdefiniowanie pojycia gran icy. Poslugujqc siy tym pojyciem, jestesmy w stanie przyporzqdkowac nieskonczonym ulamkom ciqglym, takim jak
1 + (2 + (2 + (2 + (2 + ... t1 ) -1 ) -1 )
-1
alba jak nieskonczone sumy 111
1
1--+---+--... 3 5 7 9 ' konkretne liczby rzeczywiste. W ten sposob przedstawiony ulamek ciqgly daje h, podczas gdy nieskonczona suma daje w wyniku 1t. Mozliwosc przejscia do granicy jest sprawq fundamentalnq dla wielu pojyc matematycznych i na tym tei: zasadza siy wielka ui:ytecznosc liczb rzeczywistych9. (Czytelnik moglby pamiytac, ze mozliwosc "przejscia do granicy" byla niezbydna do podania ogolnej definicji pola figury; zob. rozdz. 2.3.)
t
3.3 Liczby rzeczywiste w fizycznym 5wiecie
58
W tym miejscu spotykamy siy z bardzo trudnym problemem. Jednym z powaznych czynnikow inspirujqcych postyp w rozwoju idei matematycznych byla zawsze proba stworzenia takich struktur i koncepcji, ktore mozliwie najbardziej precyzyjnie odzwierciedlalyby zachowanie siy swiata fizycznego. Na ogol nie jest jednak mozliwe zbadanie elementow swiata fizycznego w sposob tak precyzyjny, zeby bezpo-
Liczby rzeczywiste w fizycznym swiecie
3.3
srednio wyabstrahowac z nich klarowne pojt(cia matematyczne. Najczt(sciej postt(P jest dokonywany winny sposob: rozwoj pojt(c matematycznych rna swoj,! wIasn,! dynamikt( i nowe koncepcje rodz,! sit( same w jej wlasnych ramach. Idee matematyczne rozwijaj,! sit(, a razem z nimi, w sposob naturalny, pojawiaj,! sit( roznego rodzaju problemy. Niektore z nich (np. problem znalezienia dlugosci przek'!tnej kwadratu) mog,! doprowadzic do zasadniczego rozwinit(cia koncepcji matematycznych, za pomoq ktorych problem zostal pocz'!tkowo sformulowany. Czasem do przyjt(cia tych nowych koncepcji jestesmy po prostu zmuszeni, w innych przypadkach pojawiaj,! sit( one jako wynik poszukiwan sformulowania bardziej eleganckiego, prostszego czy wygodniejszego. Z tych powodow wydaje sit( czasem, ze droga postt(pu matematycznego zmierza w innym kierunku niz ten, ktory byl pocz'!tkowo zamierzony, czyli do wlasciwego przedstawienia swiata fizyki. J ednakZe w wielu przypadkach owo pragnienie matematycznej spojnosci i elegancji prowadzi nas do odkrycia pojt(c i struktur matematycznych, ktore, jak sit( okazuje, ujmuj,! zagadnienia swiat a fizyki w sposob glt(bszy i bardziej rozlegly, niZ tego pocz'!tkowo oczekiwalismy. Czasem sprawia to wrazenie, jakby sarna Natura kierowaia sit( wymogami elegancji i spojnosci, podobnymi do tych, ktore steruj,! matematycznym rozumowaniem. Dobrym przykladem jest przedstawiony tu problem liczb rzeczywistych. Natura nie dostarcza nam bezposrednich dowodow, ze fizyczne pojt(cie "odleglosci" moze byc ekstrapolowane do dowolnie duzej skali; w jeszcze mniejszym stopniu dostarcza nam dowodow na to, ze takie pojt(cie mozna stosowac na poziomie nieskonczenie malych rozmiarow. Nie rna zadnego dowodu na to, ze w zgodzie z geometri,!, ktora do ich opisu posluguje sit( liczbami rzeczywistymi, "punkty" w przestrzeni rzeczywiscie istniej,!. W czasach Euklidesa z trudem mozna bylo znalezc fizyczne uzasadnienie pogl,!du, ze euklidesowe pojt(cie "odieglosci" rna sens dalej niZ poza zasit(g, powiedzmy, 1012 metrow lO , alba ze mozna sensownie rozpatrywac odleglosci mniejsze niz 10-5 metra. Gdy jednak spojrzymy przez pryzmat elegancji i spojnosci koncepcji systemu liczb rzeczywistych, mozemy spostrzec, ze wszystkie dotychczasowe, otwarte i uiyteczne teorie fizyczne, bez zadnego wyj'!tku, posluguj,! sit( tym staroiytnym pojt(ciem liczby rzeczywistej. Jdeli w czasach Euklidesa bylo niewiele dowodow uzasadniaj,!cych takie podejscie, to dzisiaj nasza wiara w system liczb rzeczywistych zostala naprawdt( wynagrodzona. Rozwoj wspolczesnej kosmologii pozwolil nam rozci,!gn,!c zakres odleglosci mierzonych liczbami rzeczywistymi do 1026 metrow i wit(cej, podczas gdy dokladnosc naszych badan w dziedzinie cz'!stek elementarnych daje nam wgl,!d w rozmiary rzt(du 10-17 , a nawet jeszcze mniejsze. (Jedyna skala odieglosci, przy ktorej pojawiaj,! sit( powazne zastrzdenia, jest 0 18 rzt(dow wielkosci mniejsza od tej ostatniej, a wit(c dotyczy odieglosci rZt(du 10-35 metra. Jest to tak zwana "skala Plancka" grawitacji kwantowej i pojawi sit( ona w naszej dyskusji pMniej; zob. rozdz. 31.1, 6-12,14 i 32.7.) Mozemy uwazac za znakomite uzasadnienie stosowania takiej idealizacji matematycznej fakt, ze potrafilismy rozci,!gn,!c zakres stosowalnosci pojt(cia liczby
59
3
Rodzaje liczb w swiecie fizyki
60
rzeczywistej 026 rZyd6w wielkosci - od 17 rZyd6w (10 17 ) od wielkosci najmniejszych do najwiykszych w czasach Euklidesa - do rozpiytosci co najmniej 1043 we wsp6tczesnej fizyce. Ale mozliwosci zastosowan systemu liczb rzeczywistych w swiecie fizycznym s,! duzo wiyksze. Przede wszystkim powinnismy wzi,!e pod uwagy, ze wielkosciami fizycznymi, kt6re w spos6b precyzyjny mozemy opisae za pomoq liczb rzeczywistych, s,! nie tylko odlegiosci, ale r6wniez pola powierzchni i objytosci. Objytosci mierzymy jako trzecie potygi, a pola jako drugie potygi odlegiosci. Zgodnie z tym w przypadku objytosci musimy rozwazae liczby, kt6re stanowi,! trzecie potygi rozmiar6w uprzednio dyskutowanych. W czasach Euklidesa prowadziloby to do rozwaZania obszar6w 0 wielkosci (10 17 )3 = 1051 • Tymczasem we wsp6tczesnych teoriach musimy rozwazae wielkosci rZydu co najmniej (1043 )3 = 10129 • Ponadto, zgodnie ze stanem wsp6tczesnej wiedzy, s,! tei innego rodzaju pomiary fizyczne, do kt6rych niezbydne jest uiycie liczb rzeczywistych. Tutaj mamy przede wszystkim na mysli problem czasu. Wedlug teorii wzglydnosci czas musi bye dol'!czony do rozmiar6w przestrzeni i w ten spos6b przechodzimy do rozwazania czasoprzestrzeni (kt6r,! bardziej szczeg610wo zajmiemy siy w rozdz. 17). Objytose czasoprzestrzeni jest czterowymiarowa, w zwi,!zku z czym powinnismy poszerzye zakres stosowanych liczb 0 zakres odpowiadaj,!CY swiatowym rozmiarom czasowym (wedlug najnowszych teorii to jest skala 43 rZyd6w wielkosci), co razem z wielkosciami przestrzennymi daje w sumie co najmniej 10172 • P6zniej zobaczymy, ze istnieje potrzeba rozwaZania nawet jeszcze wiykszych liczb rzeczywistych (zob. rozdz. 27.13 i 28.7), aczkolwiek w pewnych przypadkach nie jest jasne, ze koniecznie trzeba poslugiwae siy liczbami rzeczywistymi (a nie wystarczylyby, na przyklad, tylko liczby calkowite). Jeszcze wazniejsza rola liczb rzeczywistych dla rozwoju teorii fizycznych, ito od czas6w Archimedesa, poprzez Galileusza i Newtona, do Maxwella, Einsteina, Schr6dingera, Diraca i innych, polega na tym, ze tworz'! one ramy, w kt6rych mozemy sformulowae zasady rachunku r6iniczkowego i calkowego (zob. rozdz. 6). Bez tego rachunku nie mozna skonstruowae zadnej skutecznej teorii dynamicznej. Konwencjonalne podejscie do rachunku r6zniczkowego wymaga infinitezymalnej natury liczb rzeczywistych. Inaczej m6wi,!c, na koncu skali, kt6ry odpowiada malym liczbom, konieczne jest wykorzystanie calego zakresu liczb rzeczywistych. Idee rachunku r6zniczkowego lez,! u podstaw okreslenia wielkosci fizycznych takich jak prydkose, pyd, moment pydu, energia. W konsekwencji system liczb rzeczywistych w spos6b fundamentalny wkracza do teorii fizycznych, umozliwiaj,!c okreslenie, czym S,! rozwazane przez nas wielkosci fizyczne. W tym miejscu, podobnie jak we wspomnianym juz przypadku obliczania p61 powierzchni (w rozdz. 2.3 i 3.2), musimy przywolae na pomoc system liczb rzeczywistych w zakresie liczb nieskonczenie malych. Pomimo to nadal wydaje siy uprawnione pytanie, czy system liczb rzeczywistych jest naprawdy "poprawn,! metod'!" opisu swiata fizycznego w jego najglybszych aspektach. Kiedy na pocz'!tku lat dwudziestych XX wieku rodzily siy idee
Liczby rzeczywiste w fizycznym swiecie
3.3
mechaniki kwantowej, wowczas wydawalo siy, ze w skali mikroswiata zaczynamy dostrzegae jakqs dyskretnq czy tez ziarnistq struktury materii ll . Wydawalo siy, ze energia moze bye rozwai:ana tylko w pewnych skonczonych porcjach - czy w "kwantach", a wielkosci fizyczne takie jak "dzialanie" czy "spin" mogq wystypowae tylko jako wielokrotnosci pewnych podstawowych jednostek (zob. rozdz. 20.1, 5, gdzie jest zdefiniowane klasyczne pojycie dzialania, a w rozdz. 26.6 jego kwantowy odpowiednik; czym jest spin - zob. rozdz. 22.8-12). Idqc w tym kierunku, wielu fizykow probowalo skonstruowae alternatywny obraz swiata, w ktorym dyskretne (0 skonczonych rozmiarach) procesy rzqdzityby wszystkimi zjawiskami na tym poziomie. Zgodnie z obecnym rozumieniem mechaniki kwantowej, teoria ta nie zmusza (ani nawet tego nie sugeruje) do przyjycia punktu widzenia, ze na najnizszych poziomach kwantowego mikroswiata przestrzen, czas czy energia majq struktury ziarnistq bqdz dyskretnq (zob. rozdz. 21 i 22, w szczegolnosci ostatnie zdanie rozdz. 22.13). Pomimo to idea, zgodnie z ktorq swiat kwantowy moglby miee u swoich fundamentow struktury dyskretnq, nie zostala zarzucona. Na przyklad wielki tworca teorii kwantow Erwin Schrodinger byt jednym z pierwszych, ktory sugerowal, ze konieczne moze bye przejscie do rozwazania jakiejs dyskretnej struktury przestrzeni 12. Koncepcja pnedziaiu ciqglego, tak popularna obecnie wsr6d matematyk6w, jest ogromn,!, bardzo przesadn'! ekstrapolacj,! tych obserwacji, kt6re s,! nam dostypne.
Idey dyskretnosci Schrodinger wiqzal z poglqdami staroi:ytnych Grekow, ktorzy tez rozwazali ziarnistq budowy Natury. Rowniez Einstein w swoich ostatnich opublikowanych pracach sugerowal, ze odpowiedniq dla przyszlej fizyki powinna bye jakas teoria algebraiczna oparta na wielkosciach dyskretnych I3 : "Mozna podae solidne powody, dla kt6rych rzeczywistose nie moze bye opisana za pomoq ci,!gtego pola. [... J Zjawiska kwantowe [... Jwskazuj,! na potrzeby znalezienia czysto algebraicznej tearii, kt6ra opisywataby rzeczywistose. Nikt jednak nie wie, jak skonstruowae podstawy takiej teorii,,14.
Inni naukowcy15 rowniez usitowali rozwijae te idee (zob. rozdz. 33.1). TakZe ja sam pod koniec lat piyedziesiqtych zajmowalem siy tq sprawq i nawet skonstruowalem schemat, ktory nazwalem teoriq "sieci spinowych". W tym kombinatorycznym podejsciu do fizyki podstawowym elementem konstrukcyjnym powinien bye dyskretny charakter kwantowy spinu (a wiyc dyskretny, ale niekoniecznie oparty na liczbach rzeczywistych; schemat ten zostanie krotko opisany w rozdz. 32.6). Aczkolwiek moje wlasne idee na tym polu nie rozwinyly siy do poziomu spojnej teorii (jednakZe, przeformulowane, zostaly wykorzystane w tzw. teorii twistorow; zob. rozdz. 33.2), to teoria sieci spinowych zostala ostatnio przejyta przez innych fizykow i wykorzystana w jednym z glownych program ow ataku na fundamentalny problem kwantowej grawitacji l6 • Krotki opis tych roznych pomystow przedstawiy w rozdz. 32. Ale tak czy inaczej, dzisiejsze stanowisko fizyki teoretycznej - i tak
61
3
Rodzaje liczb w swiecie fizyki
bylo przez 24 stulecia - polega na tym, ze liczby rzeczywiste wci,!z stanowi,! podstawowy skladnik naszego rozumienia fizycznego swiata.
3.4 Czy liczby naturalne
62
potrzebuj~
fizycznej rzeczywistosci?
W rozdz. 3.2, opisuj,!c podejscie Dedekinda do problemu liczb rzeczywistych, przyj,!lem zalozenie, ze "zrozumiale" jest pojycie liczb wymiernych. I faktycznie, nie jest rzecz'! trudn'! przejse od liczb calkowitych do wymiernych; liczby wymierne s,! po prostu stosunkami liczb calkowitych (zob. Przedmowa). Ale jak siy przedstawia sprawa ze zrozumieniem, czym s,! liczby calkowite? Czy to s,! liczby zakorzenione w ideach fizycznych? Z cal,! pewnosci,! dyskretne podejscie do fizyki, 0 kt6rym m6wilismy w dwu poprzednich rozdzialach, zwi,!zane jest z naszym zrozumieniem pojycia liczby naturalnej (a wiyc kolejnej liczby porz,!dkowej) oraz jego poszerzenia, poprzez wl,!czenie liczb ujemnych do pojycia liczby calkowitej. Grecy nie uwazali liczb ujemnych za "prawdziwe liczby", dlatego zapytajmy najpierw, jaki jest fizyczny status samych liczb naturalnych. Liczby naturalne S,! wielkosciami, kt6re obecnie oznaczamy symbolami 0, 1, 2, 3, 4 itd., a wiyc s,! to nieujemne liczby calkowite. (Wsp6lczesne procedury wl,!czaj,! do tego spisu liczb naturalnych r6wniez 0, co jest wlasciwe z matematycznego punktu widzenia, ale staroi:ytni Grecy nie uWaZali zera za "prawdziw,! liczby". Na wl,!czenie zera trzeba bylo czekae na hinduskich matematyk6w z Indii, poczynaj,!c od Brahmagupty w VII wieku, po kt6rym pojawili siy Mahawira w IX wieku i Bhaskara w XII w.) Znaczenie liczb naturalnych jest jasne i niedwuznaczne. S,! to rzeczywiscie najbardziej elementarne "liczby kolejne", kt6re odgrywaj,! zasadnicz'! roly przy formulowaniu wszystkich praw geometrii i fizyki. Na liczbach naturalnych mozemy wykonywae pewne dobrze nam znane operacje, przede wszystkim operacje dodawania (jak np. 37 + 79 = 116) i mnozenia (np. 37 x 79 = 2923), kt6re pozwalaj,! w okreslony spos6b l,!czye ze sob,! pary liczb naturalnych tak, aby w wyniku otrzymywae inne liczby naturalne. Te operacje S,! niezalezne od natury geometrii swiata. Mamy jednak prawo postawie pytanie: czy liczby naturalne, same w sob ie, maj,! jakis sens, a wiyc czy mozemy powiedziee, ze istniej,! w oderwaniu od natury swiata fizyki? Bye moze nasza idea liczb naturalnych jest uzalezniona od trwalego istnienia w tym swiecie dobrze okreSlonych obiekt6w materialnych. W koncu liczby naturalne pojawiaj,! siy wtedy, kiedy zamierzamy policzye jakieS konkretne rzeczy. Ale to by oznaczalo, ze liczby naturalne maj,! sens tylko wtedy, gdy w swiecie fizycznym istniej,! trwale dobrze odr6znialne rzeczy, kt6re maj,! ty wlasnose, ze mog,! bye "policzone". A co by bylo, gdyby nasz WszechSwiat mial tak'! wlasciwose, ze istniej,!ce w nim obiekty zmienialyby swoj,! licznose? Czy w takim swiecie pojycie liczb naturalnych byloby r6wnie "naturalne" i oczywiste jak w naszym? A moze nasz WszechSwiat zawiera tylko skonczon,! ilose "rzeczy", a w takim razie tych "naturalnych" liczb tez bylaby tylko skonczona ilose? Po-
ezy liczby naturalne potrzebujq fizycznej rzeczywistosci?
3.4
nadto jestesmy w stanie wyobrazie sobie wszechSwiat wypelniony tylko jakimis amorficznymi substancjami, do ktorych stosowanie pojycia liczby byloby najzupelniej nieodpowiednie. Czy w takim swiecie pojycie "liczby naturalnej" mialoby jakis zwi,!zek z rzeczywistosci,!? Nawet gdyby mieszkancy takiego swiata z trudem znajdowali jakis fizyczny odpowiednik naszego pojycia "liczby naturalnej", to trudno sobie wyobrazie, ze tak fundamentalne pojycie nie odgrywaloby zadnej istotnej roli. Istnieje wiele sposobow wprowadzenia liczb naturalnych do czystej matematyki i nie wydaj,! siy one zwi'!zane z naszymi wyobrazeniami 0 otaczaj,!cym swiecie. Podstawowym pojyciem, ktore musimy tutaj przywolae, jest pojycie zbioru - abstrakcyjne - w zaden sposob niezwi'!Zane ze specyficzn,! natur,! naszego WszechSwiata. Z tym pojyciem zwi'!zane s,! pewne subtelnosci, ktore na razie pominiemy, ale powrocimy do nich pozniej (w rozdz. 16.5). RozwaZmy pewien szczegolny sposob (antycypowany przez Cantora, ale ostatecznie rozwiniyty przez wybitnego matematyka Johna von Neumanna), w ktorym liczby naturalne zostaj,! wprowadzone za pomoc,! abstrakcyjnego pojycia zbioru. Procedura ta pozwala nam na zdefiniowanie czegos, co nazywamy "liczbami porz,!dkowymi". Najprostszy mozliwy zbior bydziemy nazywali "zbiorem zerowym" alba "zbiorem pustym". Charakteryzuje siy on tym, ze nie zawiera anijednego elementu! Zbior pusty jest zwykle oznaczany symbolem 0, i mozemy napisae definicjy:
0= {}, gdzie nawiasy klamrowe ograniczaj,! pewien zbior, ktorego elementy s,! wymienione w srodku. W danym przypadku wewn'!trz nawiasow nie rna zadnych elementow, a wiyc omawiany zbior jest istotnie zbiorem pustym. Przyporz,!dkujmy zbiorowi 0 liczby naturaln,! o. Mozemy teraz pojse krok dalej i zdefiniowae zbior, ktorego jedynym element em bydzie 0, czyli zbior {0}. Wazne jest, zebysmy mieli swiadomose, iz zbior {0} nie jest tym samym zbiorem co zbior pusty 0. Zbior {0} zawiera jeden element (tym elementem jest 0), podczas gdy 0 nie zawiera w ogoIe zadnego elementu. Przyporz,!dkujmy zbiorowi {0} liczby naturaln,! 1. Nastypnie zdefiniujemy zbior zawieraj,!cy dwa elementy i tymi element ami b,!d,! oba przed chwil,! rozwazane zbiory, 0 i {0}, a wiyc zbior {0, {0}}, i temu zbiorowi przyporz,!dkujmy liczby 2. Liczby 3 przyporz,!dkujemy zbiorowi, ktory bydzie zawieral wszystkie te trzy elementy, a wiyc {0, {0}, {0, {0}}, a liczby 4 zbiorowi {0, {0}, {0, {0}}, {0, {0, {0}}}} itd. Wprawdzie zwykle nie myslimy 0 liczbach naturalnych w ten sposob, ale tak wlasnie do definicji tego pojycia dochodz,! matematycy (por. z dyskusj,! przeprowadzon,! w Przedmowie). Ponadto ten przyklad pokazuje nam, ze liczby naturalne 17 mog,! bye wyprowadzone doslownie z niczego, dziyki posluzeniu siy jedynie abstrakcyjnym pojyciem zbioru. Mozemy skonstruowae nieskonczon'! sekwencjy calkowicie abstrakcyjnych (platonskich) bytow idealnychzbiorow - zawieraj,!cych, odpowiednio, jeden, dwa, trzy itd., elementow, po jednym zbiorze dla kazdej liczby naturalnej, zupelnie bez odniesienia do fizycznej
63
3
Rodzaje liczb w swiecie fizyki
natury naszego WszechSwiata. Na rys. 1.3 zilustrowalismy pewien rodzaj niezaleznego istnienia platonskich idei matematycznych, lecz "istnienie" moze bye wyprowadzone i rozpoznane jedynie na drodze pracy umyslowej i natyzenia wyobrazni, bez jakiegokolwiek zwiqzku ze szczegolami natury otaczajqcego nas swiat a fizyki. Co wiycej, konstrukcja Dedekinda pokazuje, jak ta czysto rozumowa procedura moze bye kontynuowana, umozliwiajqc nam "zbudowanie" calego systemu liczb rzeczywistych 18 , i wszystko to nadal bez odnoszenia siy do fizycznej realnosci. Pomimo ze, jak to juz podkreslalismy, liczby rzeczywiste majq bezposredni zwiqzek z realnq strukturq WszechSwiata - co ilustruje bardzo tajemniczy charakter "pierwszej zagadki" zobrazowanej na rys. 1.3.
3.5 Liczby dyskretne w swiecie fizyki
64
Wybieglismy nieco do przodu. Przypomnijmy sobie, ze przeprowadzajqc konstrukcjy Dedekinda, posluZylismy siy zbiorem liczb wymiernych, a nie bezposrednio zbiorem liczb naturalnych. Nadmienialismy juz, ze jesli mamy zdefiniowane pojycie liczby naturalnej, to nie jest trudno okreslie, co rozumiemy przez liczby wymierne. Ale, jako krok posredni, wlasciwe bydzie zdefiniowanie pojycia liczby calkowitej, ktora jest albo liczbq naturalnq, albo "przeciwienstwem" liczby naturalnej (liczba zero jest swoim wlasnym przeciwienstwem). W sensie formalnym nie jest trudno podae definicjy "przeciwienstwa": do kazdej liczby naturalnej (z wyjqtkiem liczby 0) dodajemy pewien "znak" zapisywany jako ,,-" i definiujemy logicznie wszystkie arytmetyczne reguly dodawania, odejmowania, mnozenia i dzielenia (z wyjqtkiem dzielenia przez 0). To jednak nie przybliza nas wcale do odpowiedzi na pytanie, jakie jest "fizyczne znaczenie" liczby ujemnej. COZ by to bowiem mialo na przyklad znaczye, ze na polu mamy minus trzy krowy? Mysly, ze w odroznieniu od samych liczb naturalnych, nie rna zadnej ewidentnej fizycznej tresci w pojyciu liczby ujemnej w odniesieniu do fizycznych przedmiotow. Ujemne liczby calkowite z calq pewnosciq majq ogromne znaczenie organizacyjne, na przyklad przy sporzqdzaniu bilansow bankowych i w innych operacjach finansowych. Ale czy one majq bezposredni zwiqzek ze .swiatem fizycznym? Kiedy uZywam slow "bezposredni zwiqzek", nie mam na mysli takich sytuacji, w ktorych moze siy wydawae, ze ujemne liczby rzeczywiste Sq wlasciwymi miarami; tak na przyklad odleglose mierzona w jednym kierunku moze bye uwazana za dod atniq, a mierzona w kierunku przeciwnym za ujemnq (albo w odniesieniu do czasu, kiedy czas rozciqgajqcy siy w przeszlose moglby bye traktowany jako ujemny). Raczej mam na mysli liczby dotyczqce wielkosci skalamych, a wiyc tych, w ktorych nie pojawia siy kwestia kierunku (przestrzennego czy czasowego). I w przypadku takich wielkosci okazuje siy, ze system liczb calkowitych zarowno dodatnich, jak i ujemnych rna bezposrednie fizyczne znaczenie. Jest faktem godnym uwagi, ze dopiero w ostatnim stuleciu stalo siy jasne, iz liczby calkowite rzeczywiscie majq bezposredni zwiqzek ze swiatem fizyki. Pierw-
Liczby dyskretne w swiecie fizyki
3.5
szym przyldadem wielkosci, ktora wydaje siy wlasciwie kwantyfikowana za pomoc<j, liczb calkowitych, jest ladunek elektrycznl 9• Zgodnie ze stanem wspolczesnej wiedzy (aczkolwiek nie rna jeszcze kompletnej teorii tego faktu) ladunek elektryczny dowolnego izolowanego ciala jest okreslony jako calkowita wielokrotnosc dodatnia, ujemna lub zero - pewnej szczegolnej wartosci, a mianowicie ladunkuprotonu (albo elektronu, ktorego ladunekjest negatywem ladunku protonu)20. Obecnie uwaza siy, ze same protony s<j, zlozone z jeszcze mniejszych elementow, nazywanych kwarkami (oraz dodatkowych cZ<j,stek, pozbawionych ladunku elektrycznego, zwanych gluonami). Na kazdy proton skladaj<j, siy trzy kwarki, ktorych ladunki elektryczne wynosz<j" odpowiednio, Te ladunki siy dodaj<j, i, jako ladunek wypadkowy protonu, otrzymujemy 1. Jesli kwarki S<j, fundamentalnymi elementami, wowczas ladunek elektryczny jest jedn<j, trzeci<j, ladunku uwazanego za taki pierwotnie. Wci<j,z jednak jest prawdziwe powiedzenie, ze ladunek elektryczny stanowi zawsze calkowit<j, wielokrotnosc ladunku elementarnego, tyle ze obecnie za ty elementarn<j, jednostky uwaza siy jedn<j, trzeci<j, ladunku protonu. (Roly kwarkow i gluonow we wspolczesnej fizyce cZ<j,stek elementarnych omowimy w rozdz. 25.3-7.) Ladunek elektryczny naleZy do wielkosci, ktore nazywamy addytywnymi liczbami kwantowymi. Liczby kwantowe sluz<j, do scharakteryzowania cZ<j,stek stanowi<j,cych elementarne skladniki Natury. Liczby kwantow<j" ktora jest zawsze liczb<j, rzeczywist<j" nazywamy addytywnq, jezeli dla scharakteryzowania jakiegos zlozonego elementu wystarczy dodac do siebie wartosci tej liczby dla poszczegolnych element6w skladowych, z uwzglydnieniem znak6w, tak jak to zrobi1ismy, dodaj<j,c do siebie ladunki elektryczne kwarkow tworz<j,cych jeden proton. Jest naprawdy uderzaj<j,ce, ze zgodnie ze stanem wspolczesnej wiedzy wszystkie addytywne liczby kwantowe 21 mozna zapisac za pomoc<j, liczb calkowitych - a nie og6lnych liczb rzeczywistych i liczb naturalnych - albowiem wystypuj<j, takZe ujemne wartosci. Istotnie, zgodnie ze stanem wiedzy fizyki XX wieku, ujemne wartosci liczb kwantowych maj<j, scisle okreslony sens fizyczny. Wielki fizyk angielski Paul Dirac przedstawil w latach 1929-1931 teoriy antycz<j,stek, zgodnie z kt6r<j, Uak to poiniej zrozumiano) dla kazdego typu cZ<j,stki mozna znaleic odpowiedni<j, antyczqstk~, kt6rej addytywna liczba kwantowa jest r6wna liczbie kwantowej samej cZ<j,stki, ale wziytej z przeciwnym znakiem; zob. rozdz. 24.2, 8. A zatem system liczb calkowitych (z ujemnymi wl<j,cznie) rna jasne odniesienie do fizycznej rzeczywistosci - ale sprawa ta stala siy klarowna dopiero w XX wieku, niezaleznie od faktu, ze liczby calkowite przez wieki odgrywaly ogromn<j, roly w matematyce, w han dIu i w wielu innych obszarach ludzkiej dzialalnosci. Trzeba tu zrobic jedno wazne zastrzezenie. W pewnym sensie jest prawd<j" ze antyproton jest "ujemnym protonem", ale to wcale nie oznacza, ze jest to "minus jeden proton". Wynika to st<j,d, ze znak przypisujemy tylko addytywnym liczborn kwantowym, podczas gdy pojycie masy nie jest wielkosci<j, addytywn<j, we wsp61czesnej fizyce teoretycznej. Powiemy 0 tym wiycej w rozdz. 18.7. Gdybysmy chcieli
65
t, t, -to
3
Rodzaje liczb W 5wiecie fizyki
uiye okreslenia "minus jeden proton", to musielibysmy miee na uwadze antyproton, ktorego masa odpowiadalaby masie protonu, ale z przeciwnym znakiem. Tymczasem cz'!stki fizyczne nie mog,! miee ujemnej masy. Antyproton rna tak'! sam,! masC( jak zwykly proton i jest to masa dodatnia. W pozniejszych rozdzialach zobaczymy, ze zgodnie z koncepcjami kwantowej teorii pola istniej,! takie twory (nazywane cz'!stkami "wirtualnymi"), ktorych mas a (a poprawniej byloby powiedziee energia) moze bye ujemna. Sformulowanie "minus jeden proton" oznaczae by musialo antyproton wirtualny. JednakZe cz'!stki wirtualne nie istniej,! samoistnie w tym sensie, w jakim istniej,! zwykle cz'!stki. Sprobujmy teraz przeanalizowae w podobny sposob zagadnienie liczb wymiernych. ezy liczby wymierne maj,! jakies bezposrednie odniesienie do fizycznej rzeczywistosci? Jak dot,!d, przynajmniej po rozwaieniu spraw w ramach istniej,!cych teorii, nie nam na ten temat nie wiadomo. S,! wprawdzie pewne intryguj,!ce zjawiska22 , w ktorych liczby wymierne mog,! odgrywae jak,!s rolC(, ale trudno na tej podstawie utrzymywae, ze to jakas zasadnicza sprawa. Rownoczesnie jest mozliwe, ze rola liczb wymiernych stanie siC( bardziej znacz'!ca w probabilistyce kwantowej (prawdopodobienstwo, wyraione liczb,! wymiern,!, mogloby przedstawiae wybor pomiC(dzy alternatywami, z ktorych kazda odpowiadalaby skonczonej ilosci mozliwosci). Tego rodzaju rozwaiania bC(d,! odgrywaly pewn'! rolC( w teorii sieci spinowych, 0 czym opowiemy w rozdz. 32.6. Na razie jednak wlasciwy status tych idei jest niejasny. Istniej,! jeszcze inne liczby, ktore, zgodnie z obowi,!zuj,!cymi teoriami, odgrywaj,! fundamentaln,! rolC( w zjawiskach Wszech§wiata. Najwazniejszymi z nich i najbardziej zadziwiaj,!cymi S,! liczby zesp%ne, wsrod nich nieomal mistyczna wielkose ~,oznaczana jako "i" i dol'!czona do systemu "prawdziwych" liczb. Ludzie zetknC(li siC( z nimi po raz pierwszy w XVI wieku, choe przez cale stulecia traktowane byly podejrzliwie. Stopniowo jednak uZytecznose matematyczna liczb zespolonych przekonywala coraz bardziej naukowcow, az wreszcie staly siC( one niezbC(dnym, w pewnym sensie nawet magieznym elementem naszego matematycznego myslenia. Teraz odkrywamy, ze te liczby maj,! znaczenie fundamentalne nie tylko dla matematyki: te niezwykle liczby zaczC(ly odgrywae nadzwyczajn,! i podstawow'! rolC( w zjawiskach zachodz'!cych w przestrzeni fizycznej w skali najmniejszych rozmiarow. Jest to prawdziwy powod zadziwienia i moze nawet bardziej uderzaj,!cy przypadek zbieznosci pomiC(dzy ide ami matematycznymi a zjawiskami fizycznymi niZ w wypadku liczb rzeczywistych, 0 ktorych dyskutowalismy w tym rozdziale. Zapoznajmy siC( wiC(c z liczbami zespolonymi.
Przypisy 1
66
Rozdzial 3.1 Notacja uiywana W tej ksi,!ice, >, <, ~ , ~ ,oznacza, odpowiednio: "jest wit(ksze nii", "jest mniejsze nii", "jest wit(ksze alba r6wne", "jest mniejsze alba r6wne".
Przypisy
Niekt6rzy czytelnicy mogq zdawac sobie sprawy, ze istnieje kr6tszy dow6d tego twierdzenia, mianowicie jesli siy od poczqtku zazqda, zeby ulamek alb byl "w najprostszej postaci" (tzn. zeby liczb a i b nie mozna bylo podzielic przez ty samq liczby). 1ednalci:e kryje siy w tym zalozenie, ze taka najprostsza wersja ulamka zawsze istnieje, co, aczkolwiek calkowicie prawdziwe, wymaga pokazania. Tymczasem znalezienie najbardziej uproszczonej postaci danego ulamka alb (obojytnie, explicite czy implicite - np. za pomocq metody algorytmu Euklidesa) wymaga uiycia procedury podobnej do opisanej w tekscie, ale znacznie bardziej skomplikowanej; zob. dla przykladu: Hardy, Wright (1945); Davenport (1952), S. 26; Littlewood (1949), rozdz. 4; Penrose (1989), rozdz. 2. 3 Mozna miec obiekcjy, ze uiycie w tym dowodzie liczb rzeczywistych jest trochy dziwne, skoro "liczby rzeczywiste wymieme" (a wiyc stosunki liczb rzeczywistych) bydq zawsze liczbami rzeczywistymi. To jednak nie uniewaznia podanego argumentu. Warto zwr6cic uwagy, iz dobrze siy stalo, ze liczby a i b, w oryginalnym dowodzie, zostaly wziyte ze zbioru liczb calkowitych, a nie wymiemych. Gdyby bowiem liczby a i b same byly liczbami wymiemymi, to dow6d oparty na argumencie skonczonosci ciqgu malejqcego bylby niewainy, aczkolwiek sarno twierdzenie nadal pozostawaloby w mocy. 2
+ + + +. .
Rozdzial 3.2 pierwszy rzut oka wyrazenia takie jak a (b (c (d t1t1t l mogq wydawac siy dziwne. lednalci:e Sq one calkiem naturalne w sposobie rozumowania staroiytnych Grek6w (aczkolwiek stosowali oni innq notacjy). Do procedury algorytmu Euklidesa odwolywalismy siy w przyp. 2, w kontekscie poszukiwania najbardziej uproszczonej postaci ulamka. Gdybysmy zapoznali siy z tym algorytmem, przekonalibysmy siy, ze prowadzi on wlasnie do pojycia ulamka ciqglego. Grecy uiyliby identycznej procedury do stosunku dwu dlugosci geometrycznych. W najbardziej og6lnym przypadku wynik dalby nieskonczony ulamek ciqgly, taki jak tutaj rozwazane. 5 Aby zdobyc wiycej informacji (wraz z dowodami) na temat ulamk6w ciqglych, odsylam do znakomitej prezentacji w rozdz. 4 pracy Davenporta (1952). Warto zauwaiyc, ze pod pewnymi wzglydami przedstawienie liczb rzeczywistych w postaci ulamk6w ciqglych jest zar6wno glybsze, jak i bardziej interesujqce niz w zwyklej postaci liczb dziesiytnych i znajduje zastosowanie w wie1u r6znych obszarach wsp6lczesnej matematyki, lqcznie z omawianq w rozdz. 2.4, 5 geometriq hiperbolicznq. Z kolei ulamki ciqgle nie nadajq siy specjalnie do wiykszosci praktycznych obliczen i wtedy przedstawienie dziesiytne jest duio bardziej poryczne. 6 Liczby te nazywajq siy liczbami niewymiemymi kwadratowymi, poniewaz pojawiajq siy one w rozwiqzaniach og6lnego r6wnania kwadratowego AX2 +Bx + C = 0,
4Na
gdzie A
-
*' 0, a rozwiqzania wynoszq:
2~ +~C~J -~
oraz -
2~ -~C~J -~
w kt6rych, jesli chcemy pozostac w zbiorze liczb rzeczywistych, musimy zazqdac, zeby B2 bylo wiyksze od 4AC. W przypadku gdy A, B i C Sq liczbami calkowitymi alba wymiemymi, a zadne liczby wymieme nie Sq rozwiqzaniami tego r6wnania, w6wczas rozwiqzania Sq liczbami niewymiemymi kwadratowymi. 7 Profesor Stelios Negrepontis twierdzi, ze dow6d na to znalezc mozna w platonskim dialogu Politikosa (Myza Stanu), kt6ry jest trzeciq osobq "tr6jcy" Theaetetos-Sofista-Politikos; zob. Negrepontis (2000), S. 15-77. R Zob. Sorabji (1988), kt6ry przedstawia myslenie Grek6w 0 naturze przestrzeni. 9 Zob. Hardy (1914); Conway (1976); Burkill (1962).
67
3
Rodzaje liczb w swiecie fizyki
Rozdzial 3.3 Naukowy zapis 1012 do oznaczenia "miliona milion6w" posluguje siy pojyciem wykladnika potygi, tak jak to wyjasniono w przyp. 2 w rozdz. 1 i 4 w rozdz. 2. W tej ksillice bydy unikal slownych okreslen, takich jak "milion", a w szczeg6lnosci "bilion", i bydy staral siy uiywac wszydzie precyzyjnego naukowego zapisu. Siowo "bilion" jest szczeg6lnie myl~ce, poniewai: w slownictwie amerykanskim - obecnie przyjytym juz takie do uiytku w Wielkiej BrytanH - "bilion" oznacza 109, podczas gdy w tradycji (i logice) jyzyka angielskiego, podobnie jak w wiykszosci jyzyk6w europejskich, oznacza 1012 • W zgodzie z normalnym zapisem matematycznym bydziemy r6wniez uiywali wykladnik6w ujemnych, takich jak 10-6 (co oznacza "jedn~ milionow~"). Odleglosc rZydu 1012 metr6w jest okolo 7 razy wiyksza od odleglosci Ziemia-Slonce. Jest to r6wniez, w przyblizeniu, odleglosc do Jowisza. Ta odleglosc nie byla znana w czasach Euklidesa i uwai:ano raczej, ze powinna bye duzo mniejsza. 11 Zob. np. Russell (1903), rozdz. 4. 12 Schrodinger (1952), s. 30, 31. 13 Zob. Stachel (1995), rozdz. 4. 14 Einstein (1955), s. 166. 15 Zob. np. Snyder (1984); Schild (1949), s. 29-47 i Ahmavaara (1965), s. 87-93. 16 Zob. Ashtekar (1986), s. 2244-2247; Ashtekar, Lewandowski (2004); Smolin (1998); idem (2001); Rovelli (1998), s. 281-331; idem (2003). 10
Rozdzial 3.4 Pojycie liczby porzqdkowej wprowadzone tutaj dla przypadku skonczonego daje siy poszerzyc na nieskonczone liczby porzqdkowe, z kt6rych najmniejsza jest znana jako liczba (}) Cantora i oznacza zbi6r wszystkich skonczonych liczb porz~dkowych. 18 Siowo "zbudowac" naleiy traktowac z pewn~ ostroznosci~. W rozdz. 16.6 przekonamy siy, ze s~ takie liczby rzeczywiste (a naprawdy wiykszosc z nich jest taka), kt6re nie poddaj~ siy jakiejkolwiek procedurze obliczeniowej. 17
Rozdzial3.5 Fizyk irlandzki George Johnstone Stoney byl pierwszym, kt6ry w 1874 r. pr6bowal oszacowac wielkosc elementarnego ladunku elektrycznego, a w 1891 r. wymyslil nazwy "elektron" dla tej fundamentalnej jednostki. W 1909 r. fizyk amerykanski Robert Andrews Millikan zaprojektowal znane dOSwiadczenie ze "spadaj~c~ kropl~ oleju", w kt6rym precyzyjnie pokazal, ze ladunek elektrycznie naladowanych cial (kropli oleju w jego eksperymencie) stanowi calkowit~ wielokrotnosc dobrze zdefiniowanej wartosci, jak~ jest ladunek elektronu. 20 W 1959 r. R.A. Lyttleton i H. Bondi zasugerowali, ze niewielka r6znica wartosci ladunku elektrycznego protonu i ujemnego ladunku elektronu, kt6ra jest rZydu 1O~18, moze odpowiadac za rozszerzanie siy WszechSwiata (zob. rozdz. 27.11, 13 i rozdz. 28). Zob. Lyttleton, Bondi (1959), s. 313. Na nieszczyscie dla tej teorii, liczne kolejne eksperymenty nie wykryly r6znicy ladunk6w tych cz~stek, ale pomysl ten stanowi znakomity przyklad tw6rczego myslenia. 21 Dokonujy tutaj rozr6znienia pomiydzy "addytywnymi" liczbami kwantowymi a tymi, kt6re fizycy nazywaj~ "multiplikatywnymi"; powiemy 0 nich wiycej w rozdz. 5.5. 22 Np. w tzw. ulamkowym efekcie Halla liczby wymierne odgrywaj~ istotn~ roly; zob. np. Frohlich, Pedrini (2000), s. 9-47. 19
4 Magiczne liczby zespolone 4.1 Magiczna liczba "i"
W JAKI sposob moie istniec pierwiastek kwadratowy z -1? Kwadrat liczby dodatniej jest zawsze liczb~ dodatni~ i kwadrat liczby ujemnej jest tei liczb~ dodatni~ (a kwadrat liczby 0 jest znown 0, wiyc tei specjalnie nam siy tutaj nie przyda). Wydaje siy niemoiliwe, iebysmy mogli znaleic liczby, ktora podniesiona do kwadratu da w wyniku liczby ujemn~. Z podobn~ sytuacj~ mielismy do czynienia, kiedy stwierdzilismy, ie wsrod liczb wymiernych nie rna takiej, ktora podniesiona do kwadratu dalaby w wyniku 2. W tamtym przypadku rozwi~zalismy kiopot, poniewaZ powiykszylismy system liczb, przechodz~c od systemu liczb wymiernych do wiykszego, i w ten sposob dotarlismy do systemu liczb rzeczywistych. Byc moie ten trik zadziala jeszcze raz. I naprawdy, zadziala. Okazuje siy, ie latwiej i w sposob mniej radykalny nii podczas przejscia od liczb wymiernych do rzeczywistych. (Odpowiedni~ procedury pierwszy zastosowal Raphael Bombelli w 1572 roku w pracy zatytulowanej L 'Algebra, ale jui przed nim, w 1545 roku, z liczbami zespolonymi zetkn~l siy Gerolamo Cardano w swojej Ars Magna.) Musimy zatem wprowadzic wielkosc, ktor~ nazwiemy "i", a jej kwadrat bydzie rowny -1, dol~czyc j~ do systemu liczb rzeczywistych, dopuszczaj~c pol~czenia liczby "i" z innymi liczbami i tworz~c wyraienia takie jak a + ib,
gdzie a i b S,! dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Kaida taka kombinacja nosi naZWy liezby zespolonej. Latwo teraz podac reguly dodawania liczb zespolonych:
(a + ib) + (e + id) = (a + e) + i(b + d). Powstala liczba, ktora rna ty sam,! postac co poprzednia (liczby rzeczywiste a + b oraz e + d zajyly teraz miejsce liczb a i b). A co z mnoieniem? Jest prawie tak sarno latwe. Znajdzmy iloczyn liczb a + ib oraz e + id. Najpierw po prostu mnoiymy te czynniki przez siebie, jak w zwyklej algebrze 1:
(a + ib )(e + id) = ae + ibe + aid + ibid
=ae + i(be + ad) + i 2 bd.
4
Magiczne liczby zespolone Ale i2 = -1, czyli mozna zapisac to w postaci
(a + ib )(e + id) = (ae - bd) + i(be + ad), ktara jest identyczna z postaciq liczbya + ib, chociaz w miejscu a mamy teraz liczbt( ae - bd, a w miejscu liczby b mamy liczbt( be + ad. Podobnie latwo poradzic sobie z odejmowaniem, ale co z dzieleniem? Przypomnijmy, ze w zwyklej arytmetyce wolno nam dzielic przez dowolnq liczbt( rzeczywistq z wyjqtkiem liczby O. Sprabujmy wit(c podzielic liczbt( a + ib przez liczbt( zespolonq e + id. Musimy zalo:lyc, ze ta liczba nie moze byc rawna zeru, przyjmujemy zatem, ze z liczb (e, d) co najmniej jedna jest razna od zera. W takim razie e 2 + d2 > 02, czyli e 2 + J2 # 0, i spokojnie mozemy dzielic przez e2 + d2• Wykonujqc proste ewiczenie[4.1 l, przekonamy sit( (mnozqc obie strony otrzymanego wyrazenia przez e + id), ze
(a + ib) (e + id)
---=
ae + bd . be - ad +1---. e2 + d 2 e2 + d 2
To wyrazenie rna takq samq postac jak poprzednie, a wit(c jest to znowu liczba zespolona. Kiedy przyzwyczaimy sit( do operowania liczbami zespolonymi, mozemy przestac myslec 0 liczbie a + ib jako 0 parze dwach liczb rzeczywistych a i b, a zaczqc uwaiac a + ib za twar samoistny i oznaczyc go jednq literq, powiedzmy z, ktara teraz bt(dzie oznaczala calq liczbt( zespolonqz = a + ib. Latwo przekonac sit(, ze tak zdefiniowane liczby zespolone spelniajq wszystkie reguly normalnej algebry[4.2l. W istocie jest to mniej skomplikowane niz sprawdzenie zastosowania tych regul do liczb rzeczywistych (w celu takiego sprawdzenia musielibysmy najpierw zalo:lyc, ze zbadalismy, iz te reguly dzialajq w przypadku ulamkaw, a nastt(pnie u:lyc przekroju Dedekinda, aby pokazac, ze dzialajq rawniez w przypadku liczb rzeczywistych). Z tego punktu widzenia wydaje sit( nadzwyczajne, ze liczby zespolone traktowano tak dlugo z nieufnosciq, podczas gdy duzo bardziej formalnie skomplikowane przejscie od liczb wymiernych do liczb rzeczywistych bylo ogalnie akceptowane juz od czasaw staro:lytnych Grekaw. Prawdopodobnie przyczynq tej nieufnosci byl fakt, ze w otaczajqcej rzeczywistosci trudno bylo dostrzec jakies oczywiste zastosowanie tych liczb. W przypadku liczb rzeczywistych odleglosci, czasy i inne wielkosci fizyczne dostarczaly odpowiednich przykladaw, wystarczajqcych do uznania ich realnego znaczenia; natomiast liczby zespolone wydawaly sit( calkowicie wymyslone, powolane do ist-
ta
70
[4.1] Wykonaj te obliczenia. Alternatywnie: czy mozesz sprawdzic ten wzor, mnozqc obie strony przez (c - id)? B [4.2] Sprawdi to. Odpowiednie reguly Sq nastt(pujqce: w +z =Z +w, w + (u +Z) = (w +u) +z, wz =zw, w(uz) = (wu)z, w(u +z) = wu + wz, w + 0 = w, wI = w.
Magiczna liczba "i"
4.1
nienia przez matematyk6w, kt6rzy potrzebowali liczb 0 jakims szerszym zakresie zastosowan od tych, jakimi do tej pory rozporzqdzali. War to w takim razie przypomniec sobie z rozdz. 3.3, ze zwiqzek liczb rzeczywistych z fizycznymi miarami odleglosci i czasu po blizszej analizie tez nie okazal siy tak oczywisty, jak na poczqtku uwazalismy. Wcale nielatwo bezposrednio przyjrzec siy szczeg610m przekroju Dedekinda, nie jest tez jasne, ze w przyrodzie istniejq dowolnie male czasy i odleglosci. Ktos m6g1by sqdzic, ze tak zwane liczby rzeczywiste Sq w takim samym stopniu jedynie wytworem wyobrazni matematyk6w jak liczby zespolone. Jednak zobaczymy, ze liczby zespolone, w takim samym stopniu jak rzeczywiste, a moze nawet bardziej, istniejq w zadziwiajqcej symbiozie z otaczajqcq nas rzeczywistosciq. To tak, jak gdyby Przyroda sarna byla pod podobnym jak my wrazeniem zakresu i sp6jnosci systemu liczb zespolonych i oddala w ich wladanie precyzyjne operacje swojego swiata w najbardziej mikroskopijnej skali. W rozdz. 21-23 zobaczymy, jak to siy dzieje. Ale sarno stwierdzenie stosowalnosci i logicznej sp6jnosci pojycia liczb zespolonych nie oddaje w pelni ich powabu. Posiadajq one jeszcze cos innego, co potrafiy okreslic tylko jako "magiy". W pozostalej czysci tego rozdzialu i w nastypnym spr6bujy przekazac czytelnikowi pewne odczucie tej magii. A w rozdzialach 7-9 zobaczymy ponownie, jak te magiczne wlasciwosci liczb zespolonych manifestujq siy w najbardziej zadziwiajqcy i nieoczekiwany spos6b. W ciqgu czterech stuleci, kt6re uplynyly od czasu odkrycia liczb zespolonych, poznalismy wiele ich magicznych wlasciwosci. Byl to jednak rodzaj magii, dostypnej tylko tym, kt6rzy zajmowali siy czystq matematykq, pozwalajqc im poruszac siy skutecznie w obszarach niedostypnych dla parajqcych siy samymi liczbami rzeczywistymi. Nie bylo natomiast zadnego powodu przypuszczae, ze bydq one kiedykolwiek uiyteczne w swiecie fizyki. Przez okolo 350 lat od czasu powstania prac Cardana i Bombellego urok liczb zespolonych objawial siy tylko poprzez ich roly w poszukiwaniach matematyk6w. Dla wszystkich, kt6rzy nie wierzyli w "praktyczne" aspekty liczb zespolonych, musialo bye ogromnym zaskoczeniem, kiedy w ostatnich trzech ewierewieczach xx stulecia okazalo siy, ze prawa rzqdzqce zachowaniem siy WszechSwiata w spos6b fundamentalny zwiqzane Sq z liczbami zespolonymi. Sprawa ta bydzie centralnym zagadnieniem w dalszych czysciach ksiqzki (szczeg6lnie w rozdz. 21-23, 26 i 31-33). Teraz spr6bujmy skoncentrowae siy na matematycznej stronie magii liczb zespolonych, pozostawiaj,!c strony fizyczn,! na p6zniej. Przypomnijmy wiyc, ze nasze z,!danie sprowadzalo siy do tego, aby znaIde liczby, kt6ra jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby ,,-1", przy zachowaniu normalnych regul arytmetyki. Przekonalismy siy, ze wszystkie nasze wymagania mog,! bye spelnione i jak dot,!d, w spos6b calkiem naturalny i normalny. Przejdzmy wiyc teraz do magii!
71
4
Magiczne liczby zespolone
4.2
Rozwi~zywanie
r6wnaft z liczbami zespolonymi
W omawianych obecnie zagadnieniach konieczne jest wprowadzenie nieco wiycej wzor6w matematycznych nii w poprzednich rozdzialach. Bardzo mi przykro z tego powodu. Jednakie prawie niemoiliwe jest przedstawienie powainych idei matematycznych bez zastosowania pewnej liczby oznaczen matematycznych. Zdajy sobie sprawy, ie bydzie to klopotliwe dla wielu czytelnik6w. Mam dla nich rady nastypuj,!c,!: niech spr6buj,! czytac tekst, nie przejmuj,!c siy specjalnie zrozumieniem r6wnan matematycznych. Rzucic na nie okiem i przejsc dalej. Rzeczywiscie w ksi,!ice czai siy sporo powainych formul matematycznych, rozproszonych w r6inych cZysciach, szczeg6lnie w ostatnich rozdzialach. Wierzy, ie wiele przedstawionych problem6w moina poj,!c nawet bez szczeg610wego zrozumienia pojawiaj,!cych siy r6wnan i wyraien matematycznych. Mam tak,! nadziejy, poniewai magia liczb zespolonych jest sarna w sobie zjawiskiem cudownym i dlatego wartym bliiszego poznania. A jesli czytelnik jest w stanie poradziC sobie z zapisem matematycznym, tym lepiej. Zapytajmy najpierw, czy inne liczby maj,! pierwiastki kwadratowe. Na przyklad, czy istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby -2? Odpowiedz jest prosta. Jesli podniesiemy do drugiej potygi liczby zespolon'! iJi, to otrzymamy -2 i taki sam bydzie wynik podniesienia do kwadratu liczby -iJi. Co wiycej, dla kaidej dodatniej liczby rzeczywistej a liczba zespolona i.,Ja, a takie liczba -i.,Ja, podniesione do kwadratu, daj,! w wyniku -a. Ale to rzecz normalna i w tym nie rna iadnej magii. A jak bydzie z dowoln'! liczb,! zespolon,!, a + ib, gdzie a i b s,! dowolnymi !iczbami rzeczywistymi? Okazuje siy, ie liczba zespo!ona
podniesiona do kwadratu daje w wyniku a + ib (i tyle sarno daje podniesienie do kwadratu liczby do niej przeciwnej)[4.31• Widzimy wiyc, ie dol,!czylismy tylko do naszego ukladu liczb rzeczywistych pierwiastek kwadratowy z jednej pojedynczej wielkosci, z liczby ,,-1", i od razu znalezlismy system liczbowy, w kt6rym dowolna liczba, automatycznie, rna pierwiastek kwadratowy! To zupelnie inna sytuacja nii ta, z kt6q mielismy do czynienia, gdy przechodzilismy od liczb wymiernych do rzeczywistych. W tamtym przypadku sarno dol,!czenie do ukladu liczb wymiernych Ji donik,!d by nas nie doprowadzilo. Ale to dopiero pocz'!tek. Moiemy teraz zapytac 0 istnienie pierwiastk6w trzeciego stopnia, pi,!tego stopnia, 999-go stopnia, n-go stopnia, a nawet i-go stopnia. W cudowny spos6b okazuje siy, ie gdy wezmiemy pierwiastek dowolnego stopnia z dowolnej liczby zespolonej (z wyj'!tkiem 0), zawsze znajdujemy liczby zespo-
72
f:8 [4.3] Sprawdi to.
Rozwiqzywanie r6wnan z liczbami zespolonymi
4.2
lonq, ktora rozwiqzuje problem. (W rzeczywistosci, jak to niebawem zobaczymy, bC(dzie kilka rozwiqza6. tego problemu. ZauwaZylismy juz, ze kiedy szukamy pierwiastka kwadratowego, zawsze znajdujemy dwa rozwiqzania, poniewaz jesli jakas liczba zespolona z jest pierwiastkiem, to pierwiastkiem jest rowniez liczba do niej przeciwna, -z. Gdy szukamy pierwiastkow wyzszego stopnia, zawsze znajdziemy wiC(cej rozwiqza6.; zob. rozdz. 5.4.) Wciqz jedynie slizgamy siy po powierzchni skrywajqcej dziwy liczb zespolonych. Wszystko to, 0 czym przed chwilq powiedzielismy, mozna udowodnie bardzo latwo (z chwilq gdy zrozumiemy, czymjest logarytm z liczby zespolonej, w rozdz. 5). Duzo bardziej godne uwagi jest tzw. podstawowe twierdzenie algebry, ktore glosi, ze rownanie wielomianowe, na przykiad
1-z +Z4 =
°
alba
1t+iz-.J417z 3 +Z999 =0, rna rozwiqzania w dziedzinie liczb zespolonych. Albo, mowi,!c bardziej precyzyjnie, kai:de rownanie typu
r
r
ao+ajz + a2 + a3 + ... + an:i' = 0, gdzie ao' al' az' a3 , ... , an Sq zadanymi liczbami zespolonymi ian *- 0, zawsze rna rozwiqzanie (zwykle szereg roznych rozwiqza6.)2. Dla porownania przypomnijmy sob ie, ze liczba "i" zostala wprowadzona glownie w tym celu, zeby mozna bylo rozwiqzae jedno szczegolne rownanie 1 +Z2 = 0. Wszystko inne dostaniemy za danno! Zanim przejdziemy dalej, warto wspomniee 0 problemie, ktorym zajmowal siy Cardano, mniej wiC(cej do 1539 roku, zanim natknql siy na liczby zespolone i uchylil rqbek zaslony ukrywajqcej ich magiczne wlasciwosci. Tym problemem bylo poszukiwanie ogolnego rozwiqzania (rzeczywistego) rownania algebraicznego trzeciego stopnia (tzn. n = 3). Cardano wiedzial, ze za pomocq prostego przeksztalcenia ogolne rownanie trzeciego stopnia moze bye zredukowane do postaci:
x 3 = 3px+ 2q. W tym wyrazeniu p i q Sq liczbami rzeczywistymi. Powrocilem takZe do zapisu niewiadomej jako x w miejscu z, aby podkreslie, ze szukamy rozwiqzania rownania w dziedzinie liczb rzeczywistych, a nie zespolonych. Peine rozwiqzanie problemu Cardano opublikowal w ksiqi;ceArs Magna w 1545 roku. Jak siy wydaje, przemyslenie Cardana bylo rozwiniyciem rozwiqzania szczegolnego przypadku, ktore wczesniej, w 1539 roku, znalazl Niccolo Fontana ("Tartaglia"), ale nawet i to szczegolne rozwiqzanie (a bye moze i peine rozwiqzanie) jeszcze wczesniej (przed 1526
73
4
Magiczne liczby zespolone rokiem) odkryl Scipione del Ferro3 • Posluguj,!c sit( wspolczesn'! notacj,!, rozwi'!zanie (del Ferro-)Cardano mozemy zapisae nastt(puj,!co: j
x=
j
(q+w)3 +(q-w)3,
gdzie j
w = (qZ _ p3)2 . Otoz nie rna wielkiego kiopotu ze znalezieniem rozwi,!zania tego rownania w dziedzinie liczb rzeczywistych, jesli
qZ
~ p3.
W takim przypadku istnieje dokladnie jedno rzeczywiste rozwi,!zanie i jest ono podane wzorem (del Ferro-)Cardano. 1ednakZe jesli
qZ
4.3 Zbieznosc szeregow potQgowych Pomimo tych godnych uwagi faktow wci¥ jeszcze nie weszlismy daleko w kraint( magii liczb zespolonych. Jeszcze duzo wit(cej przed nami! I tak, na przyklad, bez liczb zespolonych niepodobna sit( poruszae w dziedzinie szeregow potfgOwych. Szeregiem pott(gowym nazywamy nieskonczon,! sumt( nastt(puj,!cej postaci
ao+ ajx + azr + a3~ + ... 74
Poniewaz sum a ta zawiera nieskonczon,! ilose wyrazow, wobec tego jest mozliwe, ze szereg ten jest rozbieiny, a to oznacza, ze dodaj,!c do siebie coraz wit(cej
Zbieinosc szeregow
pot~gowych
4.3
wyraz6w tego szeregu, nie uzyskujemy jakiejs okreslonej wartosci. Rozwaimy, na przyklad, szereg nast~puj(!cy: (w por6wnaniu z poprzednim szeregiem tutaj wyspecyfikowalismy ao = 1, a l = 0, a2 = 1, a3 = 0, a4 = 1, as = 0, a6 = 1, ... ). lezeli teraz poloiymy x = 1, w6wczas, dodaj(!c wyraz po wyrazie, otrzymamy: 1, 1 + 1 = 2,
1 + 1 + 1 = 3,
1 + 1 + 1 + 1 = 4,
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 itd.
i widzimy od razu, ze nie rna zadnej szansy, aby suma tego szeregu mogla bye jak(!s skonczon(! liczb(!, dlatego m6wimy, ze ten szereg jest rozbieiny. Gorzej przedstawia si~ sprawa, gdy w miejscu x = 1 poloiymy x = 2, poniewaz kolejne wyrazy szeregu b~d,! jeszcze wi~ksze i jesli dodamy je do siebie, otrzymamy 1, 1 + 4 = 5,
1 + 4 + 16 = 21,
1 + 4 + 16 + 64 = 85
itd.,
a wi~c oczywist(! rozbieznose. Inaczej jednak b~dzie, jesli wezmiemy x = kim przypadku otrzymamy: 1 1 +.!. = ~ 1 +.!. + ~ = 21 1 +.!. + ~ + ~ = 85 4 16 16' 4 16 64 64 , 4 4'
itd.
t. W ta-
'
4,
a wi~c i dzi~ki dodawaniu coraz wi~cej wyraz6w b~dziemy coraz blizej liczby nasz szereg okaze si~ zbieiny. Nie jest trudno zrozumiee, z jakiego powodu szereg jest rozbiezny, kiedy za x podstawimy 1lub 2, natomiast jest zbieiny dlax = i daje w wyniku Mozemy nawet explicite wypisae "sum~" tego szeregu [4.4J
t
1 +X2 + X4 +X6 +XB + ...
=
4.
(1 -x2tl.
Kiedy podstawimy x = 1, w6wczas otrzymujemy wynik (1 - 12tl = 0-1, co oznacza "nieskonczonose,,6 i rozurniemy, dlaczego ten szereg musi bye rozbieiny dla takiej wartoSci.x: Kiedy natomiast podstawimy x = w6wczas odpowiedz brzmi (1 - ttl = i szereg okazuje si~ zbiezny do podanej uprzednio wartosci. Wszystko to wygl,!da bardzo sensownie. Ale co b~dzie, jesli wezmiemy x = 2? lesli skorzystamy z naszego wzoru, to "suma" wyniesie (1 - 4tl = -t; w zaden spos6b nie wydaje nam si~, zeby to mogla bye prawda. Dodajemy przeciez do siebie caly czas liczby dodatnie, wi~c w jaki spos6b mozemy w wyniku otrzymae liczb~ ujemn,!, jak(! jest -t? Przyczyn'!, dla kt6rej ten szereg jest rozbieiny dla x = 2, jest fakt, ze kaidy wyraz tego szeregu jest wi~kszy od odpowiedniego wyrazu szeregu dla x = 1, a wi~c rozbieinose dla x = 2, logicznie, wynika z rozbieznosci dla x = l. Nie tyle chodzi 0 to, ze w przypadku x = 2 "odpowiedz" jest nieskonczona, ale 0 to, ze w tym przypadku nie jestesmy w stanie uzyskae wyniku, sumuj,!c bezposrednio wyrazy tego szeregu. Na rys. 4.1 wykreslilem sumy cz(!stkowe tego szeregu (tzn.
t,
in [4.4] ezy wiesz, jak sprawdzic prawdziwosc tego wyraienia w spos6b algebraiczny?
4
75
4
Magiczne liczby zespolone
x Nieosiijgalny przez rozwiniQcie
Rys. 4.1. Rysunek przedstawia wykresy odpowiednich sum cZllstkowych szeregu: 1,1 + r, 1 + r + x', 1 + r + x' + x6 (linie kreskowane) wraz z wykresem funkcji (1-rtl. Wykresy ilustrujll zbieinosc szeregu do (1 - rt1dla zakresu Ix I < 1 i jego rozbieinosc dla Ix I > 1.
sumy powstate w wyniku dodawania skonczonej liczby wyrazow szeregu), kolejno, do wyrazu pi'!tego, razem z "sum'!" (l-rt1 i widzimy, ze w przypadku, gdy X leZy dokladnie 7 pomit(dzy wartosciami -1 i +1, krzywe obrazuj,!ce sumy cz'!stkowe rzeczywiscie, tak jak tego oczekiwalismy, zbiegaj,! sit( do wyniku (1 - x2tl. JednakZe na zewn'!trz tego przedzialu szereg staje sit( rozbieZny i jego suma nie osi,!ga zadnej skonczonej wartosci. Pozwolmy sobie na niewielk,! dygresjt( i poruszmy sprawt(, ktora bt(dzie wazna nieco pozniej. Postawmy nastt(puj,!ce pytanie: czy rownanie, jakie otrzymamy, podstawiaj,!c 2 w miejscu x w podanych wzorach, a mianowicie: 1 =--, 3 rna jakikolwiek sens? Takie pytania stawial wielki matematyk XVIII wieku, Leonhard Euler, i inni matematycy czt(sto sobie z niego zartowali, uznaj,!c, ze zajmuje sit( niedorzecznosciami tego rodzaju. Obecnie traktowalibysmy to z wit(ksz,! wyrozumialosci,!, poniewaz w czasach Eulera niczego naprawdt( nie rozumiano w sprawie zbieZnosci szeregow i podobnych zagadnien. Scisle matematyczne wyniki w teorii szeregow nieskonczonych pojawily sit( dopiero pod koniec XVIII i na pocz'!tku XIX wieku, glownie dzit(ki pracom Augustina Cauchy'ego i innych. Zgodnie z tymi scislymi wynikami, podana rownose powinna bye zaklasyfikowana jako nonsens. JednakZe chcialbym, zebysmy mieli swiadomose, iz Euler wiedzial, co robi, wypisuj,!c takie - zdawaloby sit( - oczywiste absurdy, i ze w pewnym sensie rownose ta musi bye uWaZana za "poprawn'!"! W matematyce jest absolutnie konieczne, zebysmy mieli peln,! jasnose co do tego, czy jakies rownanie rna scisly i precyzyjny sens. Jest jednak nie mniej wazne, zebysmy byli wyczuleni na "sprawy, ktore sit( dziej,! za kulisami", poniewaz to moze nas doprowadzie do glt(bszego zrozumienia istoty rzeczy. Latwo mozemy przega-
1+22+24+26+28+ ... =(1-2 2
t
76
l
Zbieinosc szereg6w
pot~gowych
4.3
pic okazjy do takiego gtybszego poznania, jesli sztywno bydziemy trzymali siy tego, co wydaje siy absolutnie logiczne, na przyklad faktu, ze suma dodatnich wyrazow 1 + 4 + 16 + 64 + 256 ... nie moze wynosie Jako dobry przyklad tego rozumowania przywotajmy logiczn,! niemozliwose znalezienia rzeczywistego rozwi'lZania rownania X- + 1 = O. Takiego rozwi'lZania nie rna; jednakZe jesli zadowolimy siy tylko stwierdzeniem faktu, to nigdy nie dotrzemy do terytorium liczb zespolonych. Podobna uwaga dotyczy absurdalnosci poszukiwania wymiernego rozwi,!zania rownaniax- = 2. I rzeczywiscie, okazuje siy rzecz'! zupelnie mozliw,! nadanie matemajako sumie rozpatrywanego przez nas nieskonczonego tycznego sensu liczbie szeregu, pod warunkiem ze bydziemy scisle przestrzegali regut mowi,!cych 0 tym, co jest a co nie jest matematycznie dozwolone. Nie chciatbym w tym miejscu rozwodzie siy nad t'! spraw,! szerzej8, zwrocy tylko uwagy na fakt, ze we wspolczesnej fizyce teoretycznej, szczegolnie w kwantowej teorii pola, bardzo cZysto wystypuj,! rozbieine szeregi tego rodzaju (zob. w szczegolnosci rozdz. 26.7, 9 i 31.13). Jest spraw,! bardzo delikatn'! zdecydowanie, czy "odpowiedzi", jakie uzyskuje siy w ten sposob, maj,! sens i czy S,! poprawne. Czasami, manipuluj,!c takimi rozbieinymi szeregami, uzyskuje siy bardzo dokladne wyniki, ktore w zadziwiaj,!CY sposob koresponduj,! z wynikami eksperymentow fizycznych. Rownie cZysto s,! to proby nieudane. Te bardzo subtelne sprawy odgrywaj,! wielk,! roly we wspolczesnych teoriach fizycznych i dlatego jest waine, zebysmy siy do nich odpowiednio odniesli. Bezposrednie znaczenie dla naszych rozwazan w tym miejscu rna fakt, ze kwestia "sensu", jaki moglibysmy przypisae tym na pozor calkowicie bezsensownym wyrazeniom, jest zwi'!zana z wlasnosciami liczb zespolonych. Powroemy zatem do zagadnienia zbieznosci szeregu i sprobujmy zobaczye, w jaki sposob liczby zespolone wkraczaj,! na to terytorium. Rozwazmy w tym celu funkcjy, kt6ra jest troszeczky inna od funkcji (1 - x 2t\ a mianowicie (1 + x-t1, i zobaczmy, czy ta funkcja moze bye sensownie rozwiniyta w szereg potygowy. Wydaje siy, ze tu mamy wiyksze szanse na uzyskanie zbieznosci, gdyz (1 + x-t 1 jest funkcj,! gtadk,! i skonczon,! w calej dziedzinie liczb rzeczywistych. I rzeczywiscie, istnieje catkiem prosty szereg potygowy, kt6ry stanowi rozwiniycie (1 +x-t1 i tylko nieznacznie r6zni siy od szeregu poprzednio rozpatrywanego, mianowicie
-to
-t
I-X- +X4 _x6 +X8 -
... =
(1
+X2tl.
R6znica pomiydzy tymi szeregami sprowadza siy do tego, ze w nowym szeregu kolejne wyrazy maj,! przeciwne znaki [4.5]. N a rysunku 4.2 przedstawilem sumy cz,!stkowe tego szeregu, do pi,!tego wyrazu wt,!cznie, podobnie jak poprzednio, wraz z "odpowiedzi,!" (1 + x-tl. Wydaje siy zadziwiaj,!ce, ze te sumy cz'!stkowe wci,!z "zbiegaj,! siy" do "odpowiedzi" w tym samym scisle okreslonym przedziale wartosci pomiydzy -1 a +1. Poza tym przedzialem staj,! siy one rozbieine, pomimo ze tB [4.5] C'l:j widzisz jakis elementarny pow6d dla tego prostego zwiqzku pomiyd'l:j tymi szeregami?
77
4
Magiczne liczby zespolone
y
,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,
,, ,, ,,, ,,, ,, ,, ,, ,, " "
" " "
"
"" ""
""
------ --------
---\--,;'"
"
//"
"
-~-l-"'I
--------------
~\
~,\ ,
Rys. 4.2. Wykres przedstawia surny cz~stko we 1, l_x2, l_x 2 +x', l-x 2 +x' _x6 , l-x 2 + + x' - x 6 + x 8 szeregu potygowego dla funkcji (1 +x2 1 wraz z wykresern sarnej funkcji. Ponownie zauwazarny zbieznosc dla Ix I < 1 i rozbieznosc dla Ixl > 1, niezaleznie od faktu, ze tyrn razern funkcja nie rna osobliwosci w punktach x = ±1.
r
x
"odpowiedz", (1 +x2t\ nie zmierza do nieskonczonosci, inaczej niz w poprzednim przypadku. Mozemy siy 0 tymjawnie przekonac, biorlJ,c te same trzywartoscix = 1, x 2, x Widzimy, ze jak poprzednio zbieznosc otrzymujemy tylko dlax kiedy "odpowiedz" sprowadza siy do granicznej wartosci jako sumy calego szeregu:
= =t.
!
x = 2:
x=2: 1 2
X=-:
=t,
1,0,1,0,1,0,1 itd., 1, -3, 13, -51, 205, -819 itd. 1 ~ 13 ~ 205 819 itd , 4' 16' 64' 256' 1024 .
Zauwazmy, ze "rozbieznosc" w pierwszym przypadku polega na tym, iz sumy cZlJ,stkowe skaczlJ, od jednej wartosci do drugiej, a nie na tym, ze szereg rozchodzi siy do nieskonczonosci. Jesli wiyc chcemy pozostac w obszarze liczb rzeczywistych, mamy do czynienia z zadziwiajlJ,Cl! rozniCl! pomiydzy zachowaniem siy sum cZlJ,stkowych szeregu a "odpowiedzilJ," reprezentujlJ,Cl! sumy nieskonczonej ilosci wyrazow. Sumy cZlJ,stkowe po prostu "odbiegajlJ," od sumy calego szeregu (albo, raczej, odskakujlJ, raz w gory, raz w dol) dokladnie w tych samych punktach (x = ±1), w ktorych mielismy klopoty w poprzednim przypadku, pomimo ze spodziewana suma calego nieskonczonego szeregu (1 + x2tl nie rna w tych punktach zadnych ciekawych wlasnosci. RozwilJ,zanie tej zagadki znajdziemy, jesli nie bydziemy ograniczac siy tylko do dziedziny liczb rzeczywistych, lecz zbadamy zespolone wartosci tej funkcji.
4.4 Plaszczyzna zespolona Caspara Wessela
78
Aby zrozumiec, 0 co w tym wszystkim chodzi, wprowadzimy, dzisiaj juz standardowe, geometryczne przedstawienie liczb zespolonych na plaszczyznie euklidesowej. W 1797 roku Caspar Wessel, Jean Robert Argand w 1806 roku, John Warren w 1828 i Carl Friedrich Gauss okolo 1831 roku, wszyscy niezaleznie od siebie, wpadli na pomysl idei plaszczyzny zespolonej (zob. rys. 4.3), na ktorej pod ali klarownlJ, geometrycznlJ, interpretacjy operacji dodawania i mnozenia liczb zespolonych. Na tym
Plaszczyzna zespolona Caspara Wessela
4.4
rysunku uZylem standardowych kartezjanskich osi wsp61rzydnych, z poziorn,! osi,! xi pionow,! osi,!Y. Liczba zespolona Z =X
+ iy
jest na nim przedstawiona jako punkt na plaszczyznie 0 kartezjanskich wsp61rzydnych (x,y). W takim przedstawieniu liczba rzeczywista x jest szczeg6lnym przypadkiern liczby zespolonej Z = x + i y, gdy Y = O. W ten spos6b os x-6w na naszym wykresie jest liniq rzeczywistq (zawiera wszystkie liczby rzeczywiste, uporz,!dkowane, wzdluz linii prostej, od mniejszych do wiykszych). Teraz plaszczyzna zespolona daje narn bezposrednie, obrazowe przedstawienie, jak system liczb rzeczywistych zostaje rozci,!gniyty na system wszystkich liczb zespolonych. Liniy rzeczywist'!, x, bydziemy nazywali osiq rzeczywistq na plaszczyznie zespolonej. Os y-6w bydziemy nazywali osiq urojonq. Os ta zawiera wszystkie liezby rzeczywiste pomnozone przez liczby "i". Powr6cmy teraz do naszych dwu funkcji, kt6re usilowalismy przedstawic za pomoc,! szereg6w potygowych. Do tej pory traktowalisrny obie te funkcje, a wiyc (1-rt'i (1 +x2 jako funkcje zmiennej rzeczywistej,x; teraz przedluZymy je tak, ieby moiliwe bylo ieh stosowanie do liezb zespolonych. Z tym nie rna zadnego problemu, wystarczy wstawic w miejscu x zmienn,! zespolon'! z i otrzymamy funkcje (1-z 2t' i (1 +rt'. W przypadku pierwszej z tych rzeczywistych funkcji, (1-rt" bylismy w stanie latwo stwierdziC, gdzie zaczynaj,! siy klopoty z rozbieinosci,!, poniewaZ ta funkcja przybierala postac osobliwej (w tyrn sensie, ie jej wartosci stawaly siy nieskonczone) w dw6ch miejscach: x = -1 oraz x = +1. N atomiast w przypadku drugiej z tych funkcji, (1 +x2 nie widzielismy nie osobliwego ani w tych punktach, ani w iadnym innym punkcie. Kiedy jednak potraktujemy je jako funkcje zmiennej zespolonej z, zobaczymy, ie obie tak bardzo siy od siebie nie r6ini,!. ZauwaZylismy, ie funkcja (1-z 2 rna osobliwosci w dw6ch punktach, z = ±1, czyli na odleglosci jednostkowej od pocz'!tku ukladu wsp61rzydnych wzdlui osi rzeczywistej; teraz widzimy, ze funkcja (1 + z2 rna r6wniei osobliwosci w dw6ch punk-
t',
t',
t'
t'
os urojona 3i -1+2i -1+i -2
2i 1+2i Y --i
l+i
-1
0
1
-1-i
-i
l-i
1 -"X+iY
2+i
I I I
Hi
2 x
3
2-i
Rys. 4.3. Plaszczyzna zespo)ona
z =x + iy. We wspolrzitdnych kar-
3-i
os rzeczywista
tezjanskich (x, y) os pozioma, x, skierowana na prawo, jest osiq rzeczywistq; natomiast os pionowa, y, skierowana w gorit, jest osiq urojonq.
79
4
Magiczne liczby zespolone
/.~.~~::'.' . ~:~.:~ /'. Bieguny ... . /,' ... funkcji. '"
/ .' . (1
, .... .'.
2)-1' -1
.
:.
' . ' .."> ~ . . .\ . '
-1 / .. '. '... '. : 0 \'
..\
..\ 1
...
I:: ' . Obszar' ' \
... ~
'
b"
Rys. 4.4. Na plaszczyznie zespo\onej funkcje (1-z2f l i (1 +z2 1 majll ten sam okrllg zbie:i;nosci. Bieguny pierwszej z tych funkcji wypadajll w punktach z = ±1, a bieguny drugiej w punktach x = ±i, wszystkie w takiej samej Uednostkowej) od\eglosci od poczlltku ukladu wspolrzydnych.
J.'
r
" • • Z leznO"CI .
-;:.
,',' '.
'.'
.
'~~.~ ••r.
"
. '
--
-i
r ::
tach, z::: ±i (poniewaZ 1 + 0), i oba te punkty lez,! w takiej samej jednostkowej odleglosci od pocz'!tku ukladu wspolrzydnych, tyle ze tym razem liczonej wzdluz osi urojonej. Ale co te dwie zespolone osobliwosci maj,! wspolnego z problemem zbieznosci alba rozbieznosci odpowiednich szeregow potygowych? Odpowiedz na to pytanie jest naprawdy zadziwiaj,!ca. Teraz myslimy 0 naszych szeregach potygowych jako funkcjach zmiennej zespolonej z, a nie 0 funkcjach zmiennej rzeczywistej x, i stawiamy pytanie, dla jakich wartosci z na plaszczyznie zespolonej te szeregi staj,! siy rozbiezne, a dla jakich s,! zbiezne? OdpowiedZ jest nastypuj,!ca9 : dla dowolnego szeregu potygowego 0 postaci
ao +a,z+a 2 z 2 +a 3 z 3 + ...
80
mozemy na plaszczyznie zespolonej nakreslic okr,!g 0 srodku w pocz'!tku ukladu wspolrzydnych, ktory nazwiemy okr?giem zbieinosci, maj,!CY tak'! wlasciwosc, ze dla wszystkich wartosci z lez'!cych scisle wewn'!trz tego okrygu szereg bydzie zbiezny, a dla wszystkich z lez'!cych na zewn'!trz bydzie rozbiezny. (Jak to wygl,!da na samym okrygu - jest spraw,! delikatn,!, ktor,! w tym miejscu nie bydziemy siy przejmowac, ale wrocimy do niej w rozdz. 9.6, 7). W tym stwierdzeniu uwzglydnilismy dwa skrajne przypadki, a wiyc zarowno ten, gdy szeregjest rozbieiny dla wszystkich niezerowych wartosci z - w takim przypadku promien okrygu zbieznosci kurczy siy do zera - jak i gdy szereg jest zbiezny dla wszystkich liczb zespolonych wowczas promien zbieinosci staje siy nieskonczony. Aby znalezc okr,!g zbieinosci dla konkretnej zadanej funkcji, musimy najpierw znaleic osobliwosci tej funkcji na plaszczyinie zespolonej, a nastypnie narysowac najwiykszy okr,!g, 0 srodku z pocz'!tku ukladu wspolrzydnych, wewn'!trz ktorego nie ma zadnych punktow osobliwych (tzn. przechodz'!cy przez punkt osobliwy lei,!CY najbliZej srodka).
Jak skonstruowac zbi6r Mandelbrota?
t
4.5
tt,
W tych szczegolnych przypadkach funkcji (1 - z2 1 i (1 + z2 ktore przed chwil~ rozwaialismy, wystttPuj~ce osobliwosci s~ bardzo proste i nazywamy je biegunami (bieguny pojawiaj~ sitt, gdy jakis wielomian, wystttPuj~cy w mianowniku ulamka, znika). Te konkretne bieguny polozone s~ w tej samej jednostkowej odleglosci od pocz~tku ukladu wspolrzttdnych i okrttgi zbieznosci w obu przypadkach s~ okrttgami 0 promieniu jeden wokol pocz~tku ukladu. W obu przypadkach okr~g zbieinosci przecina os rzeczywist~ w tych samym punktach, Z = ±1 (zob. rys. 4.4). To wyjasnia, dlaczego obie te funkcje s~ zbiezne i rozbiezne w tych samych obszarach. Tego bysmy nie zauwaiyli, gdybysmy rozpatrywali je tylko jako funkcje zmiennej rzeczywistej. Widzimywittc, ze liczby zespolone pozwalaj~ nam na glttbszywgl~d w zachowanie sitt szeregow potttgowych, co nie byloby mozliwe, gdybysmy ograniczali sitt tylko do zmiennych rzeczywistych. 4.5 Jak skonstruowac zbi6r Mandelbrota?
Na zakonczenie tego rozdzialu przyjrzyjmy sitt zagadnieniu zbieznosci i rozbieznosci od nieco innej strony. Jest to zwi¥ane z problemem konstrukcji tej nadzwyczajnej figury, ktor~ w rozdz. 1.3 przedstawilismy na rys. 1.2 i nazwalismy zbiorem Mandelbrota. Jak sitt okazuje, zbior ten jest pewnym podzbiorem na plaszczyznie zespolonej Wessela i pomimo jego nieslychanego skomplikowania moze bye zdefiniowany w sposob niezwykle pro sty. Musimy jedynie zbadae wielokrotne podstawianie 2 zHz +e,
gdzie e jest pewn~ wybran~ liczb~ zespolon~. Mozemy sobie wyobrazie 1iczbtt e jako punkt na plaszczyznie zespolonej i rozpocz~e od z = O. Nastttpnie itentjemy ttt transformacjtt (tzn. powtarzamy j~ wci¥ i wci~z) i obserwujemy, dok~d przesuwa sitt punkt z na plaszczyznie zespolonej. Jesli punkt z wttdruje takim sposobem do nieskonczonosci, to odpowiadaj~cy mu punkt e zaznaczamy na bialo. Jesli natomiast punkt z krttci sitt w jakims ograniczonym obszarze i nigdy nie zmierza do nieskonczonosci, to punkt e zaznaczamy na czarno. Te czarne punkty dadz~ nam w efekcie zbior Mandelbrota. Przyjrzyjmy sitt tej procedurze nieco bardziej szczegolowo. Jak ta iteracja przebiega? Najpierw ustalamy e. Nastttpnie wybieramy jakis punkt z i poddajemy go naszej transformacji tak, ze ten punkt przechodzi w punkt Z2 + e. Teraz wartose z w wyrazeniu Z2 + e zastttpujemy wyrazeniem Z2 + e, w wyniku czego otrzymujemy (~ + e)2 + e. Z kolei z w wyraieniu Z2 + e zastttpujemy wyraieniem (Z2 + e)2 + e, co daje «Z2 + C)2 + e)2 + e. Teraz znowu zamieniamy z w wyraieniu Z2 + e przez «Z2 + e)2 + e)2 + e, co nam da «(Z2 + e)2 + e)2 + c) + e, i tak dalej. A teraz zbadajmy, co osi~gniemy, gdy jako startowy wybierzemy punkt z = 0 i wykonamy kroki iteracyjne wedlug tego przepisu. (Mozemy po prostu podstawie z = 0 do podanych formul). W ten sposob otrzymamy sekwencjtt 0, e, e2 + e, (e 2+ e)2 + e, «e 2+ e)2 + e)2 + e, ...
81
4
Magiczne liczby zespolone
punktow na plaszczyznie zespolonej. (Za pomoc,! komputera mozemy t~ iteracj~ wykonac bardzo prosto, czysto numerycznie, dla kazdej wybranej wartosci liczby c, zamiast operacji algebraicznych. Duzo "taniej" b~dzie wykonywac te dzialania arytmetyczne za kaidym razem od nowa.) Otoz dla kaidej konkretnej wartosci c istniej,! dwie mozliwosci: (i) alba kolejne punkty b~d,! si~ coraz bardziej oddalaly od pocz'!tku ukladu, czyli, inaczej mowi,!c, sekwencja tych punktow okaze si~ nieograniczona, alba (ii) wszystkie punkty znajd,! si~ wewn'!trz pewnego kola 0 srodku w pocz'!tku ukladu wspolrz~dnych, co oznacza, ze ta sekwencja jest ograniczona. Na rysunku 1.2a biale obszary to miejsca polozenia takich punktow c, ktore daj,! sekwencj~ nieograniczon,! (i), podczas gdy obszary zaznaczone na czarno s,! polozeniami punktow c, ktore prowadz'! do sekwencji ograniczonej (ii). Zbior Mandelbrota jest calym tym czarnym obszarem lO • Zlozonosc zbioru Mandelbrota wynika z faktu, ze istnieje bardzo wiele roznych, i cz~sto bardzo skomplikowanych, sposobow na to, zeby sekwencje otrzymane na drodze iteracyjnej byly ograniczone. Istniej,! bardzo wymyslne kombinacje "cykli" i "nibycykli" roznego rodzaju, ktore prowadz'! do niezwykle zawilych w~ drowek na plaszczyznie. J ednakZe rozwazanie tych mozliwosci odwiodloby nas daleko od naszych celow i wymagaloby zaj~cia si~ bardziej subtelnymi zagadnieniami analizy zespolonej i teorii liczb. Zainteresowanych czytelnikow odsylam do ksi,!zek Peitgena i Reichtera (1986) oraz Peitgena i Saupe (1988) po dalsze informacje i ilustracje (zob. rowniez Douady i Hubbard 1985). Przypisy
1
2
Rozdzial 4.1 Zob. ewiczenie 4.2, gdzie podane Sq te reguly. Rozdzial 4.2 lest to bezposrednia konsekwencja faktu[4.6 l , ze kazdy zespolony wielomian jednej zmiennej, z, mozna rozloiyc na czynniki pierwszego stopnia
ao + a1z + a2 z 2 + a3 z 3 + ... + anz n = an (z - bj)(z - b2) 3
82
...
(z -
bJ
ito sformulowanie jest zwykle podawane jako "podstawowe twierdzenie algebry". Historia prawdopodobnie przedstawia siy nastypujqCo: Tartaglia przedstawil swoje szczeg6lne rozwi¥anie Cardano i zaprzysiqgl go do zachowania sekretu. W zwiqzku z tym Cardano, nie chcqc zlamac przysiygi, nie m6g1 opublikowac swojego, bardziej og61nego rozwiqzania. lednakZe w czasie kolejnej podr6iy do Bolonii w 1543 r. Cardano mial okazjy zbadac posmiertne papiery del Ferro i wtedy doszedl do przekonania, ze priorytet naleiy tu do del Ferro. Uznal zatem, ze to zwalnia go z przysiygi dochowania tajemnicy, i opublikowal wszystkie wyniki wArs Magna w 1545 r. (oddajqc honor zar6wno Tartaglii, jak i del Ferro). Tartaglia nie zgodzil siy z tym i miydzy matematykami wywiqzal siy sp6r 0 bardzo przykrych konsekwencjach - zob. Wykes (1969). ~
[4.6] Udowodnij to. (WSkaz6wka: pokaz, ze ten wielomian dzieli siy bez reszty przez
z - b , gdzie z = b jest pierwiastkiem tego r6wnania.)
Przypisy
4 5
Aby uzyskac szczegolowe informacje, zob. van der Waerden (1985), s. 166-174. Przyczyn'! jest fakt, ze w ten sposob dodajemy do siebie dwie liczby, ktore s,! liczbami zespolonymi sprz?zonymi (zob. rozdz. 10.1), i suma dwoch takich liczb jest zawsze liczb,! rzeczywist'!.
Rozdzial 4.3
i,
Przypomnij sobie z przyp. 2.4, ze 0-1 oznacza czyli "jeden podzielone przez zero". Wygodnie jest oznaczyc wynik tej "niedozwolonej operacji" dzielenia przez zero jako 0-1 = 00. 7 "Dokladnie" oznacza, ze wartosci brzegowe -1 i +1 same do tego zakresu nie nalez'!. 8 Aby uzyskac wit(cej informacji, zob. np. Hardy (1949). 6
Rozdzial 4.4 9
10
Zob. np. Priestley (2003), s. 71 - gdzie mowa 0 promieniu zbieznosci - oraz Needham (2002), s. 67, 264. Na komputerowych obrazach zbioru Mandelbrota (takich jak rys. 1.2) niepodobna, oczywiscie, prowadzic obliczen w nieskonczonosc, aby sit( przekonac, ze sekwencje, jakie wydaj,! sit( skonczone, naprawdt( takie s'!. Zwykle konczymy iteracjt( po wykonaniu odpowiedniej liczby krokow. Dodawanie dalszych krokow niekoniecznie polepsza obraz, poniewaz zaczynaj,! gubic sit( szczegoly.
5 Geometria logarytm6w, potQg i pierwiastk6w 5.1 Geometria algebry zespolonej liczb zespolonych, ktorej aspekty rozwaialismy pod koniec poprzedniego rozdzialu, wiqze siy jednak z pewnymi delikatnymi kwestiami. Aby je naswietlic, musimy cofnqc siy nieco i przyjrzec dokladniej elementarnym, aczkolwiek rownie tajemniczym i wainym jej skladnikom. Zobaczmy najpierw, w jaki sposob reguly dodawania i mnozenia liczb zespolonych, z jakimi spotkalismy siy w rozdz. 4.1, mozna geometrycznie zilustrowac na ptaszczyinie zespolonej. Na rys. S.la, b zostaty przedstawione graficznie jako prawa: rownolegloboku i trojkqtow podobnych. Brzmiq one tak: dla dwu dowolnych liczb zespolonych, w i z, punkty przedstawiajqce sumy, w + z, oraz iloczyn, wz, mogq byc wyznaczone za pomocq nastypujqcych regut: MAGIA
punkty 0, w, w + z oraz z sq wierzcholkami rownolegloboku trojkqty 0 wierzcholkach 0, 1, w oraz 0, z, wz sq podobne. (Stosujemy tutaj normalnq konwencjy 0 kolejnosci wierzcholkow i orientacji figur. Rozumiem przez to, ze poruszamy siy po rownolegtoboku w sposob cykliczny, tak ze odcinek od w do w + z jest rownolegty do odcinka od do z itd.; ponadto w relacji podobienstwa dwoch trojkqtow nie rna "odbicia". Sq, poza tym, przypadki szcze-
°
Wl
(a)
(b)
Rys. 5.1. Geometryczne przedstawienie podstawowych praw algebry liczb zespolonych. (a) Prawo r6wnolegloboku w dodawaniu: 0, w, w + z, z tworzll wierzcholki r6wnolegloboku. (b) Prawo tr6jkllt6w podobnych w mnozeniu: tr6jkllty 0 wierzcholkach 0, 1, W oraz 0, z, wz sll podobne.
Geometria algebry zespolonej
5.1
golne, gdy trojkqty lub rownolegloboki degenerujq siy w rozny spOSOb[5.11.) Zainteresowany czytelnik moze pokusic siy 0 sprawdzenie tych regut za pomocq trygonometrii i bezposredniego rachunku[5.21. Jest jednak inny sposob podejscia do tego tematu, ktory nie tylko omija bezposrednie obliczenia, ale takZe pozwala na glybszy wglqd w istoty problemu. Przeanalizujmy dodawanie i mnozenie liczb zespolonych za pomocq roznych odwzorowaii (albo "transformacji"), calej plaszczyzny zespolonej w siebie. Dowolna liczba zespolona w definiuje "odwzorowanie dodawania" i "odwzorowanie mnozenia", polegajqce na tym, ze kiedy zastosujemy je do dowolnej liczby zespolonej z, to pierwsze z nich dodaje w do z, a drugie mnoZy z przez w: Z H W
+z orazz H
WZ.
Latwo zauwaZyc, ze odwzorowanie dodawania po prostu przesuwa rownolegle calq plaszczyzny zespolonq, bez obrotu i zmiany ksztaltu - jest to przyklad translacji (zob. rozdz. 2.1) - przez umieszczenie poczqtku ukladu, 0, w punkcie w; jak na rysunku 5.2a. I to jest wtasnie tresc prawa rownolegloboku. A jak siy sprawa przedstawia z odwzorowaniem mnozenia? Jest to przeksztalcenie, kt6re nie zmienia polozenia poczqtku ukladu wspolrzydnych, zachowuje ksztalty figur i przenosi punkt 1 do punktu w. Ogolnie przeksztalcenie to jest potqczeniem obrotu (bez odbicia) wokol punktu i jednorodnego wydluzenia (lub skr6cenia) dlugosci odcinkow; zob. rys. 5.2b[5.31. Ilustruje to prawo trojkqtow podobnych, a odwzorowanie takie bydzie mialo dla nas szczegolne znaczenie nieco p6iniej, w rozdz. 8.2.
°
wz
z.._____
w+z
\ ~
,
\z
w
{'
..----(al
l • (bl ""
)
1
---..
/'
Rys. 5.2. (a) Odwzorowanie dodawania,,+ W" oznacza r6wnolegle przesuni"cie calej plaszczyzny od 0 do punktu w. (b) Odwzorowanie mnozenia "x w" oznacza obrot wokol pocz
[5.1] Zbadaj te roine moiliwosci. [5.2] Wykonaj to. tm [5.3] Sprobuj to wykazac, nie wykonujqc szczegolowych obliczen i nie uiywajqc trygonometrii. (fYSkazowka: jest to konsekwencja "prawa rozdzielnosci" w(z\ + zz) = wz\ + wZ z' ktore pokazuje, ie zachowana jest "liniowa" struktura plaszczyzny zespolonej; oraz w(iz) = i(wz), ktore mowi, ie zachowane Sq obroty 0 kqt prosty; innymi slowy, kqty proste Sq zachowane.) ~
85
5
Geometria logarytm6w, potQg i pierwiastk6w
\ \ \ \ \
,
Rys. 5.3. Na plaszczyinie zespolonej specjalna operacja
"
' ...............
--
-i
"pornnoZyc przez i" geornetrycznie oznacza "obrocic 0 k'lt prostY'. Wobec tego nie rna niczego tajernniczego w relacji i2 =-1.
W szczegolnym przypadku w = i odwzorowanie mnozenia oznacza po prostu obrot prawoskr((tny (w kierunku przeciwnym do ruchu wskazowek zegara) 0 kqt prosty (in). Jdli t(( operacj(( zastosujemy jeszcze raz, otrzymamy obrot 0 kqt n, co oznacza odbicie wzgl((dem poczqtku ukladu wspolrz((dnych; inaczej mowiqc, takie odwzorowanie mnozenia zamienia kaZdq liczb(( zespolonq z w liczb(( do niej przeciwnq. W ten sposob otrzymalismy graficzne przedstawienie tajemniczej rownosci i2 '" -1 (rys. 5.3). Operacja "pomnoZye przez i" na plaszczyinie zespolonej oznacza tyle sarno co "obrocie 0 kqt prosty". Z tej perspektywy nie znajdujemy niezego tajemniczego w fakcie, ze "kwadrat" owej operacji (tzn. jej dwukrotne powtorzenie) daje ten sam efekt co operacja "wziqe ze znakiem minus". Ale, oczywiscie, to bynajmniej nie likwiduje magii i nie wyjasnia tajemnicy tak znakomitego funkcjonowania algebry liezb zespolonych. Nie mowi nam rowniez nie 0 klarownej, fizycznej roli tych liczb. Na przyklad mozna by zapytae: dlaczego dokonywae obrotow tylko na jednej plaszczyinie, a nie w trzech wymiarach? Odnios(( si(( do tych kwestii poiniej, zwlaszcza w rozdz. 11.2,3; 18.5; 21.6, 9; 22.2, 3, 8-10; 33.2 i 34.8. W naszym przedstawieniu liczb zespolonych na plaszczyinie posluiylismy si(( standardowym, kartezjanskim ukladem wspolrz((dnych (x, y), ale rownie dobrze moglibysmy uZye wsp6bz~dnych biegunowych [r, 61]. W takim przypadku dodatnia liczba rzeczywista, r, jest miarq odleglosci od poczqtku ukladu wspolrz((dnych, natomiast 61 jest miarq kqta, liczonq w kierunku przeciwnym ruchowi wskazowek zegara, jaki tworzy odcinek lqczqcy liczb(( Z z poczqtkiem ukladu wspolrz((dnych i osiq rzeczywistq; zob. rys. 5.4a. Wspolrz((dnq r nazywamy modulem liczby zespolonej z i zapisujemy w sposob nast((pujqcy:
r=lzl·
86
Wspolrz((dnq 61 nazywamy argumentem liczby zespolonej (albo, w mechanice kwantowej, czasami nazywamy jq Jazq). W przypadku z '" 0 nie potrzebujemy troszczye si(( 0 argument 61, natomiast r wciqz b((dzie odleglosciq od poczqtku ukladu wspolrz((dnych, ktora w tym przypadku wyniesie r = O.
Geometria algebry zespolonej
1
5.1
1
(b)
(a)
Rys. 5.4. (a) Przechodz1!c od kartezjanskich wsp6lrz~dnych (x,y) do wsp6lrz~dnych biegunowych [r,O], piszemy z =x + iy =rein, gdzie modul r = Iz 1 jest odleglosciq od pocz1!tku ukladu wsp6Irz~dnych, a 0 jest k1!tem, jaki tworzy linia od 0 do z z osi1! rzeczywist1!, mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskaz6wek zegara. (b) leieli nie ograniczamy si~ do warunku -11 < 0 ~ 11, to dopuszczamy, ieby odcinekz obracal si~ wok61 pocz1!tku ukladu dowoln1! ilose razy, dodaj1!c, za kaidym obrotem, 211 do wartosci k1!ta O.
Moglibysmy w celu uscislenia ograniczye wartosci k~ta () do konkretnego zakresu, takiego jak -1t < () ::;; 1t (bylaby to konwencja standardowa). Alternatywnie mozemy traktowae argument liczby zespolonej w sposob mniej jednoznaczny i, bez naruszenia ogolnosci, zgodzie siy na dodanie do niego dowolnej calkowitej wielokrotnosci liczby 21t. To pozwala przy pomiarze k,!ta (zob. rys. 5.4b) obracae promieniem (odcinkiem l'!cz'!cym 0 z liczb,! z) dowoln'! ilose razy, w kazdym kierunku. (Ten drugi punkt widzenia, jak siy okazuje, jest glybszy, a jego implikacje poznamy niebawem.) Posluguj,!c siy elementarn'! trygonometri,!, z rys. 5.5 znajdujemy: i y = r sin (),
x = r cos ()
oraz, stosuj,!c przeksztalcenie odwrotne,
r=~x2+l
i
()=arctg(~}
gdzie () = arc tg (y/x) oznacza pewn'! szczegoln~ wartose wieloznacznej funkcji arc tg. (Czytelnikom, ktorzy juz nie pamiytaj,! trygonometrii, wyjasniam, ze pierwsze dwa wzory S,! definicjami funkcji sinus i cosinus k,!ta w trojk,!cie prostok'!tnym:
y = r sin (}
Rys. 5.5. Zwi¥ki mi~dzy wsp6lrz~dnymi kartezjanskimi a biegunowymi Iiczby zespolonej: x = r cos 0 iy = r sin 0, gdzie r = .Jx2 + y2 i 0 = arc tg (y/x).
87
5
Geometria logarytm6w, potQg i pierwiastk6w
eosin us k,!ta jest rowny stosunkowi przyprostok'!tnej lez'!cej przy k,!cie do przeciwprostok'!tnej, a sinus jest stosunkiem przyprostok,!tnej leZ,!cej naprzeciw k,!ta do przeciwprostok'!tnej; r oznacza w tym przypadku przeciwprostok'!tn'!. Wzor 2 = + l wyraza twierdzenie Pitagorasa zastosowane do tego trojk,!ta. Natomiast relacjl( () = arc tg (y/x) nalei:y rozumiec tak, ze () jest miaq (lukow'!) k'!ta, dla ktorego tg () =y/x. Funkcja "arc tg" (arcus tangens) jest funkcj,! odwrotn,! funkcji tangens. Ta wieloznacznosc oznacza, ze do wartosci k,!ta () mozemy dodac dowoln,! calkowit,! wielokrotnosc liczby 21t i ta relacja pozostanie prawdziwa.r
r Jx
5.2 Idea zespolonego logarytmu Po tych wyjasnieniach mozemy zmienic formull( "prawa trojk,!tow podobnych", ktore zilustrowalismy na rys. 5.1b, w nastl(puj,!CY sposob: aby pomnoi:yc dwie liczby zespolone, nalei:y dodac do siebie ich argumenty i pomnoi:yc przez siebie ich moduly[5.4l . Zwrocmy uwagl( na ciekawy fakt, ze w wyniku rozwai:ania argumentow liczb zespolonych procedura mnozenia zostala sprowadzona do procedury dodawania. Ten fakt stanowi podstawl( stosowania logarytmow (logarytm z iloczynu dwoch liczb jest rowny sumie ich logarytmow: log ab = log a + log b), co zostalo wykorzystane przy konstrukcji suwaka logarytmicznego (rys. 5.6), a wlasnosc ta miala fundamentalne znaczenie dla rozwoju technik obliczeniowych2. Obecnie, rzecz jasna, korzystamy z kalkulatorow elektronicznych, ktore wykonuj,! za nas potrzebne obliczenia. Chociaz praca z kalkulatorem jest szybsza i bardziej precyzyjna niz przy ui:yciu suwaka logarytmicznego alba tablic logarytmicznych, jednak tracimy w niej bezposredni kontakt z pil(knem i donioslosci,! operacji logarytmicznych. Przekonamy sil( bowiem, ze logarytmy odgrywaj,! niezwykle wazn,! roll( w swiecie liczb zespolonych dlatego, ze sam argument liczby zespolonej jest logarytmem, w pewnym scisle okreslonym sensie.
2 2
3
4
5
3
4
5
6
7 8
9 10
6
7
8 9 10
Rys. 5.6. Liczby na suwaku logarytmicznym rozmieszczone S'l w logarytmicznej skali. DZiyki temu mnozenie moze bye zast'lpione dodawaniem odleglosci pomiydzy tymi liczbami, zgodnie z prawem dodawania logarytm6w 10gb (p X q) = logbP + 10gb q. (Na suwaku zilustrowane jest mnozenie przez 2.)
88
i'a [5.4] Wyjasnij to szczeg61owo.
Idea zespolonego logarytmu
5.2
Przypomnijmy sobie, ze juz w rozdz. 4.2 zwracilismy uwagy na kwestiy znajdowania pierwiastkaw z liczb zespolonych, zauwazaj'!c, iZ jest to w istocie sprawa zrozumienia logarytmaw zespolonych. Zobaczymy teraz, ze istniej,! zadziwiaj,!ce zwi¥ki miydzy logarytmami zespolonymi a trygonometri,!. Najpierw przypomnijmy sobie, ze "wyci,!gn,!c logarytm z jakiejs liczby" to operacja odwrotna do operacji "podniesc jak,!s liczby do potygi", czyli logarytmowanie jest odwrotnosci,!pot?gowania. "Podnoszenie do potygi" jest operacj,!, ktara zamienia dodawanie w mnozenie. Dlaczego takjest? Rozwazmy dowoln'! (razn,! od zera) liczby b. Mozemy napisac nastypuj,!c,! rawnosc (zamieniaj,!C'! dodawanie w mnozenie):
ktara, jesli min S,! liczbami naturalnymi, jest dosc oczywista, poniewaz zarawno lewa, jak i prawa strona oznaczaj'! tylko tyle, ze liczby b pomnoi:ylismy przez siebie m + n razy. Teraz musimy znaleic sposab uogalnienia tej relacji tak, zeby min nie byly koniecznie dodatnimi liczbami calkowitymi, ale mogly przedstawiac dowolne liczby zespolone. W tym celu trzeba poszukac wlasciwej definicji operacji "podniesienia liczby b do potygi z" dla przypadku, gdy z jest liczb,! zespolon,!, aby mogla byc spelniona ta sarna relacja, czyli b +z = b x bZ, ale gdy w oraz z byd,! liczbami zespolonymi. Droga, ktar'! nalei:y przejsc, aby tego dokonac, jest do pewnego stopnia odzwierciedleniem calej historii procesu uogalniania, krok po kroku, od dodatnich liczb calkowitych do liczb zespolonych. Przesledzilismy j,!, poczynaj,!c od Pitagorasa, poprzez prace Eudoksosa, Brahmagupty, az do czasaw Cardana i Bombellego, i dalej, jak to opisalismy w rozdz. 4.1. Najpierw musimy zrozumiec, ze bZ, kiedy z jest dodatni,! liczb,! calkowit'!, oznacza po prostu b x b x ... x b, czyli b pomnozone przez siebie z razy, w szczegalnosci, ze b l = b. Nastypnie, w slad za nauk,! Brahmagupty, trzeba dopuscic, zeby z moglo przyjmowac wartosc zero. W takim przypadku aby mogla zachodzic relacja b +z = b x bZ, musimy przyj,!c, ze bO = 1. Kolejnym krokiem jest dopuszczenie, zeby z moglo przyjmowac wartosci ujemne. W takim razie, zeby dopuscic przypadek z = -1, nalei:y zdefiniowac b-I jako odwrotnosc liczby b (tj. lib), a wawczas b-n, gdzie n jest liczb,! naturaln'!, musi oznaczac n-t,! potygy liczby b-I • Teraz mozemy sprabowac dokonac uogalnienia na przypadek, gdy z jest ulamkiem. Zacznijmy od z = lin, gdzie n jest dodatni,! liczb,! calkowit'!. Kolejne zastosowanie formuly bW x bZ=bW +z prowadzi nas do wniosku, ze (bZr = bzn . Teraz, klad,!c z = lin, mozemy wyci,!gn,!c wniosek, ze bl!n jest n-tym pierwiastkiem z liczby b. Takie zadanie jestesmy w stanie latwo wykonac w dziedzinie liczb rzeczywistych, przy zalozeniu jednakZe, ze liczba b jest liczb,! dodatni,!. Wtedy mozna okreslic liczby bl!n jako jedyny dodatni pierwiastek n-tego stopnia z b (zakladaj,!c, ze n jest dodatni,! liczb,! calkowit'!). Teraz wolno nam zdefiniowac jednoznacznie b dla dowolnej liczby wymiernej z = min jako m-t,! potygy z n-tego pierwiastka z b. W
W
W
W
Z
89
5
Geometria logarytm6w,
pot~g
i pierwiastk6w
Nast<;pnie, stosuj,!c proces przejscia do granicy, mozemy przejsc od liczb wymiernych do dowolnych liczb rzeczywistych z. Kiedy zas chcemy dopuscic, zeby b mogio poniewai Jb wymaga wproprzyjmowac wartosci ujemne, pojawia si<; klopot z z wadzenia liczby "i", a wi<;c od razu wpadamy na sliski stok prowadz'!cy prosto do krainy liczb zespolonych. U podnoza stoku dostrzegamy magiczny swiat zespolony, wi<;c zapnijmy pasy i ruszajmy smialo w d61. Potrzebna nam jest taka definicja 1JP, zebysmy mogli, dla dowolnych liczb zespolonych p, q i b (b *- 0), napisac relacj<;
=t,
bp+q = IJP
x
bq.
Gdyby to si<; udalo, moglibysmy zdefiniowac logarytm 0 podstawie b (operacj<;, ktor'! mozemy w skr6cie zapisac jako 10gb ) jako odwrotnosc funkcjiJ(z) = bZ, czyli z
= 10gb w,
gdzie
w =b
Z •
Teraz moglibysmy juz napisac
10gb (p x q)
=
10gb P + 10gb q,
i tak zdefiniowany 10garytm rzeczywiscie dokonalby zamiany mnozenia na dodawanie.
5.3 Wielowartosciowosc funkcji, logarytmy naturalne Chociaz wszystko to jest w zasadzie poprawne i mozliwe, s,! pewne trudnosci techniczne z wykonaniem takiego programu (ale wkr6tce zobaczymy, jak sobie z nimi poradzic). Przede wszystkim bZ jest "funkcj,! wielowartosciow,!". To stwierdzenie oznacza, ze w ogolnosci odpowiedz nie jest jednoznaczna, jest bowiem wiele odpowiedzi i wiele wartosci odpowiadaj,!cych znaczeniu b Podobnie z wartosciami 10gb w. Jesli np. wezmiemy z = wowczas bZ powinno oznaczac "pewn,! liczb<; t, kt6ra podniesiona do kwadratu da w wyniku b", poniewaz z'!damy, zeby 12 = I x t = 1 = b! x b1 = bH = b = b. Ale jesli jakas liczba I spelnia to z,!danie, to spelnia je r6wniei liczba -I, poniewaz (-t) x (-I) = t2 = b. Przy zaiozeniu, ze b *- 0, mamy dwie rozne wartosci dla b1, ktore zwykle zapisujemy jako ±Jb. Og61nie mozemy powiedziec, ze mamy n roznych zespolonych wartosci odpowiadaj,!cych b lln , gdzie n jest dodatni,! liczb,! calkowit'! 1, 2, 3, 4, 5, .... W rzeczywistosci dla kaidej roznej od zera, wymiernej wartosci liczby n istnieje skonczona ilosc wartosci blln • Kiedy natomiast n jest liczb,! niewymiern,! - jak si<; wkr6tce przekonamy - istnieje nieskonczona ilosc wartosci b lln • Spr6bujmy poradzic sobie z tym brakiem jednoznacznosci. Zaczniemy, wybieraj,!c pewn'! specjaln,! wartosc liczby b, mianowicie wybierzemy liczb<; "e", ktoq b<;dziemy nazywali podslawq logarylmow naturalnych. Taki wybor uprosci nieco problem wieloznacznosci. Jako definicj<; liczby e mozemy przyj,!c: Z
•
t,
90
Wielowartosciowosc funkcji, logarytmy naturalne
5.3
1 1 1 1 e=l+ I! + 2! + 3! + 4! + ... =2,7182818285 ... , gdzie wykrzyknik jest znakiem "silnia", czyli
n! = 1 x 2 x 3
x
4x
... x
n,
a wiyc I! = 1, 2! = 2, 3! = 6 itd. Funkcja zdefiniowana jako fez) = e nazywana jest funkcjq wykladniczq i czasami zapisujemy j,! jako fez) = exp(z), przez co rozumiemy, ie w dzialaniu na z daje w wyniku "liczby e podniesion,! do potygi z". Ty "potygy" rozumiemy jako nastypuj,!C'! prost,! modyfikacjy podanego szeregu potygowego okresIaj,!cego Iiczby e: Z
Z
Z2
Z3
Z4
1!
2!
3!
4!
e =1+-+-+-+-+ ...
Wain,! cech,! tego szeregu potygowego jest jego zbieinosc dia wszystkich wartosci z (a zatem rna on nieskonczony promien zbieinosci; zob. rozdz. 4.4). Wprowadzenie tej nieskonczonej sumy pozwala na bardziej jednoznaczn'! odpowiedz na pytanie, co rozumiemy przez bZ, w przypadku gdy b = e. Na przykladjesli z =1-, w6wczas ten szereg nieskonczony daje nam liczby dodatni,! +Fe, a nie -Fe. Fakt, ie dia z = 1otrzymujemywieikosc e!, kt6rej kwadrat wynosi e, wynika st,!d, ii e, zdefiniowana jako szereg potygOwy[5.5 J, zawsze rna wymagan,! wlasnosc "zamiany dodawania na mnoienie" 1)2
1
1
1 1
1
a zatem ( e' = e'e' = e'+' = e = e. Spr6bujmy teraz wykorzystac ty wlasnosc funkcji eZ, aby uzyskac jednoznaczn'! definicjy logarytmu jako odwrotnosci funkcji wykladniczej:
z = In w jeieli w = e. Taki Iogarytm nazywamy Iogarytmem naturainym (funkcjy ty bydziemy zapisywali po prostu jako "In" bez zaznaczania podstawy Iogarytmu)3. Z podanej reguly"zamiany dodawania na mnoienie" antycypujemy reguly "zamiany mnoienia na dodawanie": In ab = In a + In b.
Nie jest bynajmniej od razu oczywiste, ie taka odwrotnosc eZ istnieje. Jednakie, jak siy okazuje, dia dowoInej liczby zespoIonej w, r6inej od zera, zawsze istnieje takie z, ie w = e, a zatem moiemy zdefiniowac In w = z. Kryje siy w tym pewna pulapka: odpowiedz nie jest jednoznaczna i jest wiycej wartosci speiniaj,!cych ten warunek.
I1lJ [5.5] Sprawdz to bezposrednio z wiasnosci szeregu pott(gowego. (Wskazowka: twierdzenie 0 dwumianie Newtona mowi, ze w przypadku pott(g calkowitych wspolczynnik przy wyq razie aPb w rozwini((ciu dwumianu (a + b)" wynosi n!/(p!q!».
91
5
Geometria \ogarytm6w,
pot~g
i pierwiastk6w
Jak mozemy pokazac te rozne mozliwosci? Jdli liczby zespolonC! w przedstawimy przez wspolrzydne biegunowe [r, OJ, to jej logarytm naturaIny, z, zapisany w zwykly sposob we wspolrzydnych kartezjanskich (z =x + iy), bydzie nastypujC!cy:
z = Inr+ ie, gdzie In r jest zwyklym naturalnym logarytmem z dodatniej liczby rzeczywistej, a wiyc odwrotnosciC! rzeczywistej funkcji wykladniczej. Na podstawie rys. 5.7 intuicyjnie rozumiemy, ze taka rzeczywista funkcja Iogarytmiczna istnieje. Na rys. 5.7a przedstawiono wykres funkcji r = e. Obrociwszy ten wykres tak, aby osie zamienily siy rolami, otrzymujemy wykres funkcji odwrotnej x = In r, tak jak na rysunku 5.7b. Nie dziwi specjalnie fakt, ze cZysciC! rzeczywistc! Z = In w jest zwykly Iogarytm rzeczywisty. Bardziej godne uwagi4 jest to, ze urojon,! CZySCZ przedstawia k,!t e, ktory stanowi argument liczby zespoIonej z. W ten sposob otrzymalismy jawnC! manifestacjy mojego wczdniejszego pogI,!du, ze argument liczby zespoIonej jest pewn'! postaci,! Iogarytmu. Przypomnijmy teraz 0 pewnej niejednoznacznosci w definicji argumentu liczby zespoIonej, albowiem do kazdej wartosci argumentu 0 mozemy dodac dowoInC! calkowitc! wielokrotnosc liczby 2n (rys. 5.4b). A zatem dla dowolnej Iiczby zespolonej w mamy wiele liczb zespoionych z spelniajC!cych rownanie w = e'. Jesli rozwi,!zaniem tego rownania jest jakas liczba zespolona z, to liczba z + 2nin, gdzie n jest dowoIn'! IiczbC! calkowit'!, jest rownie dobrym rozwi,!zaniem. Dlatego Iogarytm z liczby w jest okresiony wieIoznacznie, z dokladnosciC! do argumentu, do ktorego zawsze mozemy dodac dowoInC! calkowitc! wielokrotnosc liczby 2n. Musimy 0 tym pamiytac, kiedy stosujemy takie wyrazenia jak In ab = In a + In b, upewniaj,!c siy za kazdym razem, ze dokonaIismy prawidlowego wyboru Iogarytmu.
x
x (a)
92
(b)
Rys. 5.7. Aby otrzymac logarytm z dodatniej liczby rzeczywistej r, rozpatrzmy wykres (a) funkcji r = e. Wartosciami tej funkcji Sll wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste. Jesli obrocimy ten wykres tak, ze osie ukladu zamienill si~ miejscami, to otrzymamy wykres (b), ktory przedstawia funkcjy odwrotnll x = In r dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych r.
Wielowartosciowosc funkcji, logarytmy naturalne
5.3
Ta cecha zespoionego Iogarytmu na pieIWszy rzut oka wydaje sit( nieslychanie irytujqca. JednakZe, jak sit( 0 tym przekonamy w rozdz. 7.2, jest to fakt 0 absoIutnie centralnym znaczeniu dla najwazniejszych, najbardziej urytecznych magicznych wlasciwosci liczb zespolonych. To podstawa calej teorii funkcji analitycznych. Innym sposobem zrozumienia charakteru tej wieloznacznosci jest rozwazenie zadziwiajqcej formuly skqd mamy, ze e + 2ni = e = w, itd., co pokazuje, ze z + 21ti jest rownie dobrq wartosciq Iogarytmu z W jak sarno z (i mozemy tt( operacjt( powtarzae dowolnq ilose razy). Podany wzor scisle wiqze sit( ze znanym wzorem Eulera:
eni + 1 = O. (Zauwazmy, ze ten wzor, w sposob nieomal mistyczny, lqczy ze sobq pitre fundamentalnych liczb: 0, 1, i, 1t oraz e ys.61• Najlatwiej bt(dzie zrozumiee te wlasnosci, jesli podniesiemy e do pott(gi z = = In r + iO
To pokazuje, ze postae biegunowa dowolnej liczby zespoIonej w, ktorq poprzednio oznaczylismy jako [r, 0], w sposob bardziej przejrzysty moze bye zapisana jako W
=rei6.
Taki zapis wyrainie ukazuje, ze mnozenie przez siebie dwu liczb zespolonych oznacza iIoczyn ich modulow i sumt( ich argumentow (re i6se irp = rsei(o+rp), a wit(c r i s Sq przez siebie pomnozone, a argumenty 0 i 1J Sq do siebie dodane - przy czym pamit(tae musimy, ze odjt(cie 21t od sumy 0 + 1J nie spowoduje zadnej roznicy), jakjest to implicite zawarte w prawie trojkqtow podobnych przedstawionym na rys. 5.1b. Dlatego w dalszej cZt(sci nie bt(dziemy uiywae notacji [r, 0] do oznaczenia liczby zespolonej, lecz bt(dziemy poslugiwali sit( tym zapisem. ZauwaZmy, ze jesii polorymy r = 1 oraz 0 = 1t, wowczas, z geometrii rys. 5.4a, dia W otrzymamy wartosc -1, a wit(c uzyskujemy wzor Eulera eni + 1 = 0; natomiast dla r = 1 i dla 0 = 21t otrzymujemy +1 i wartose e 2ni = 1. Okrqg 0 promieniu r = 1 na plaszczyznie zespolonej nazywamy okrt(giem jednostkowym (zob. rys. 5.8). Zgodnie z przedstawionymi wyrazeniami zawiera on wszystkie liczby zespolone W = e i6 dla rzeczywistych wartosci O. Porownujqc to wyraZenie z wczesniejszymi x = r cos 0 oraz y = r sin 0, dia rzeczywistej i urojonej cZt(sci liczby w = x + iy, otrzymujemy wzor (Cotesa-)Eulera5 e i6 = cos 0 + isin 0,
Ifi [5.6] Udowodnij na tej podstawie, ze liczbaz + rcijest logarytmem naturalnym z liczby ,,-w".
93
5
Geometria logarytm6w,
pot~g
i pierwiastk6w
Rys. S.S. Okr'lg jednostkowy, zawieraj'lcy wszystkie liczby zespolone 0 module jeden. Wz6r Cotesa-Eule· ra daje dla nich e i• = cos () + i sin () przy rzeczywistych wartosciach ().
-\
kt6ry w niezwykle zwarty sposob zapisuje wszystko, co jest istotne w trygonometrii, za pomoc,! duzo prostszych wlasnosci zespolonej funkcji wykladniczej. Przekonajmy siy, jak to dziala w pewnych elementarnych przypadkach. W szczeg6lnosci sprawdzimy, ze podstawowa relacja ea+b = eaeb, kiedy j,! rozwiniemy na czysci rzeczywist'! i urojon,!, pozwala natychmiast[5.7) wyprowadzie formuly wygl,!daj,!ce na bardziej skomplikowane (i, bez w'!tpienia, bolesnie pamiytne dla niejednego z czytelnikow): cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b, sin (a + b) = sin a cos b - cos a sin b. Podobnie, na przyklad, rozwijaj,!c e 3i6
= (ei8)3, od razu otrzymujemyb. [5.8)
cos 38 = cos3 8 - 3 cos 8 sin2 8, sin 38 = 3 sin 8 cos 2 () - sin3 8. Jest rzeczywiscie cos z magii w tym, jak takie dose skomplikowane wzory wynikaj,! w prosty sposob z nieskomplikowanych wyrazen zapisanych w jyzyku liczb zespolonych.
5.4 Zespolone wyrazenia
pot~gowe
Powroemy teraz do kwestii zdefiniowania w (albo b jak poprzednio). Mozemy to osi,!gn,!c, zapisuj,!c: Z
,
w= e
1nw
(poniewaZ spodziewamy siy, ze ez1nw = (e1nw)' oraz e1nw = w). ZauwaZamy jednak, ze ze wzglydu na niejednoznacznosc w okresleniu In w, do wartosci In w mozemy dodae dowoln'! calkowit,! wielokrotnosc 21ti, a wynik siy nie zmieni. Oznacza to, ze
94
1ft [5.7] Sprawdi to. ta [5.8] Wykonaj to.
Zespolone wyraienia
pot~gowe
5.4
kazdq wybranq wartosc W Z mozemy pomnoZyc lub podzielic dowolnq ilosc razy przez e"2ni i wciqz pozostawac przy tej samej wartosci. Zabawne, do czego to prowadzi w ogolnym przypadku, i warto przyjrzec siy konfiguracji punktow na plaszczyznie zespolonej, jaka siy tworzy przy takiej operacji. Ilustruje to rys. 5.9. Odpowiednie punkty lezq w miejscach przeciycia dwu rownokqtnych spirali. (Spiral a rownokqtna, alba iogarytmiczna, jest krzywq na plaszczyznie, ktora przecina pod tym samym kqtem wszystkie promienie wychodzqce z poczqtku ukladu. Y5.91 Ta niejednoznacznosc moze prowadzic do wielu kiopotow, jesli nie zachowamy ostroznosci[5.101. Najlepszym sposobem ich unikniycia wydaje siy przyjycie zasady, ze notacjy W stosujemy tylko wtedy, gdy wyspecyfikujemy konkretny wybor In w. (W przypadku szczegolnym e' przyjmujemy milczqco konwencjy, ze wybieramy In e = 1. Wowczas zapis standardowy e jest zgodny z naszym bardziej ogolnym zapisem w.) Gdy tak wybierzemy In w, to W bydzie okreslone jednoznacznie dla wszystkich wartosci z. Warto w tym miejscu zauwaZyc, ze jesli mamy zdefiniowac "logarytm 0 podstawie b" (a wiyc funkcjy, ktorq poprzednio oznaczalismy jako 10gb ), to musimy rowniez wyspecyfikowac In b, poniewaz potrzebujemy jednoznacznego okreslenia w = bZ dla zdefiniowania z = 10gb w. Ale nawet wtedy funkcja 10gb w pozostanie wieloznaczna (podobnie jak In b) i do kazdej wartosci 10gb w mozemy dodac dowolnq calkowitq wielokrotnosc 2nilln b[5.111. Ciekawostkq, ktora w przeszlosci niezwykle intrygowala niektorych matematykow, jest wielkosc ii. Liczba urojona do urojonej potygi - juz nic bardziej urojonego wymyslic niepodobna! Tymczasem specyfikujqc In i = ni, bardzo latwo znajdujemy liczb y rzeczywistq[5.121: ii = e i1ni = ei!ni = e-nl2 = 0,207 879 576 .... Z
Z
t
Rys. 5.9. Rozne wartosci W (= e dogw). Dowolna calkowita wielokrotnose 21ti moze bye dod ana do log z, co oznacza pomnozenie lub podzielenie W przez e z2ni dowoln~ calkowit~ ilose razy. W przypadku ogolnym wartosci te na plaszczyinie zespolonej s~ wyznaczone przez punkty przeciycia dwu spirali rownok~tnych (tj. takich, ktore tworz~ staly k~t ze wszystkimi liniami prostymi przechodz~cymi przez pocz~tek ukladu wspolrzydnych). Z
Z
~
~
ta ta
[5.9] Pokaz to. lie jest sposob6w? Znajdz wszystkie przypadki szczeg61ne. [5.10] Spr6buj rozwiqzac nast«pujqcy paradoks: e = e1+2·i, skqd (el+2mt2'i = el+4m-4.2 = e l-4"'. [5.11] Pokaz to. [5.12] Wykaz, ze taka specyfikacja jest dozwolona.
95
5
Geometria logarytm6w,
pot~g
i pierwiastk6w
Sq rownieZ inne rozwiqzania, przy innych specyfikacjach In i. Otrzymamy je, mnoZqC ty wielkose przez e 2nn , gdzie n jest dowolnq liczbq calkowitq (albo, rownowaznie, podnoszqc j,! do dowolnej potygi 0 postaci 4n + 1, gdzie n jest dowoln'! liczb,! calkowitq - dodatniq bqdz ujemnq[S.131). Jest uderzaj,!ce, ze wszystkie te wartosci ii Sq liczbami rzeczywistymi. Sprobujmy sprawdzie, jak notacja W Z dziala w przypadku z = Mamy nadziejy, ze w ten sposob potrafimy przedstawie dwie wielkosci, ±JW, jako W l/2 w okreslonym sensie. Otrzymamy je, specyfikujqc najpierw jednq wartose dla In w, a nastypnie dodajqc 21ti do pierwszej (wowczas uzyskamy drugq). Sprowadza siy to do zmiany znaku przy wi (poniewaz, wedlug wzoru Eulera, e"i = -1). W podobny sposob mozemy wygenerowae wszystkie n rozwiqzan rownania Z' = w, gdzie n wynosi 3, 4, 5, '" , jako wielkosci w1i specyfikujqc wszystkie kolejne, rozne, wartosci In w[5.141. Ogolnie mozemy powrocie do kwestii znalezienia pierwiastka stopnia z dla roznej od zera liczby zespolonej w, gdzie z jest dowolnq, rozn,! od zera, liczb,! zespolonq, o czym wzmiankowalismy w rozdz. 4.2. Taki pierwiastek stopnia z mozemy zapisae jako w llz i, w ogolnym przypadku, otrzymamy nieskonczonq ilose alternatywnych rozwiqzan, zaleZnych od konkretnego wyboru In w. Z wlasciwie wybranq wartosciq In w1iz , rownq (In w)/z, rzeczywiscie otrzymujemy (wllZ)z = w. Zauwazmy tez, ze w ogolnosci
t.
n,
(wa) b = Wab, a skoro juz raz wyspecyfikowalismy wartose In w (dla wyrazenia po prawej stronie), to musimy (dla strony lewej) zaZ,!dae, zeby In w" = a In w[S.1S1. Kiedy z = n jest dodatniq liczbq calkowitq, to sytuacja jest duzo prostsza i otrzymujemy dokladnie n pierwiastkow. Szczegolnie interesujqcy przypadek powstaje, gdy w = 1. Wtedy, specyfIkujqc kolejno moZliwe wartosci In 1, a wiyc 0, 21ti, 41ti, 61ti, ... , otrzymujemy 1 = eO, e 2"i/n, e4"iln , e6"iJn, .. , dla mozliwych wartosci 111n. Wartosci te mozna zapisae jako 1, <::, <::2, <::3, ••• , gdzie <:: = e2"iJn • Przedstawiajqc to na plaszczyznie zespolonej, otrzymujemy n punktow rowno rozmieszczonych na okrygu jednostkowym i nazywamy je pielWiastkami n-tego stopnia z jeden. Punkty te tworzq wierzcholki regularnego n-kqta; zob. rys. 5.10. (Zwroemy uwagy, ze gdybysmy wybrali dla In 1 wartosci -21ti, -41ti, -61ti etc., to otrzymalibysmy te same wartosci dla pierwiastkow n-tego stopnia, tylko w odwrotnej kolejnosci.) Jest ciekawe, ze dla danego n pierwiastki n-tego stopnia z jedynki tworzq tzw. skonczonq gruPf multiplikatywnq. Ta konkretna grupa nosi nazwy grupy cyklicznej Zn (zob. rozdz. 13.1). Oznacza to, ze mamy n wielkosci 0 takiej wlasnosci, ze pomnozenie jednej z nich przez drugq daje jak,!s wielkose nalez,!C'! do tej grupy. Mozemy rowniez dzielie je przez siebie i tez pozostaniemy w tej grupie. Rozwaz-
96
lD [5.13] Wyjasnij, jak to dziala. lD [5.14] Wydumacz to. ~ [5.15] Udowodnij to.
Zespolone wyraienia potQQowe
5.4
£
Rys. 5.10. Pierwiastki n-tego stopnia z jedynki e 2nd (r = 1, 2, ... , n), rozmieszczone regularnie na okrt(gu jednostkowym, tworzll wierzcholki n-kllta regularnego. Tutaj n = 5.
my, na przyklad, n = 3. Grupa sklada siy teraz z trzech element6w: 1, (1) i (1)2, gdzie = e2ni/3 (a wiyC (1)3 == 1 i (1)-1 = (1)2). W ten spos6b otrzymujemy nastypuj(!C(! tabel« mnoienia i dzielenia tych trzech liczb:
(1)
x
w 1 W
w
w2
w2
W
w2
w2
W
1
w2
W
Na plaszczyznie zespolonej te szczeg61ne liczby reprezentowane s(! przez wierzcholki tr6jk(!ta r6wnobocznego. Pomnoienie przez (1) oznacza obr6t tego tr6j(tj. 0 120°) w kierunku przeciwnym do wskaz6wek zegara, natomiast k(!ta 0 pomnoienie przez (1)2 jest obrotem 0 k(!t w kierunku zgodnym z ruchem wskaz6wek zegara. Dzieleniu odpowiadaj(! obroty w przeciwnych kierunkach (zob. rys. 5.11).
t1t
t1t
Rys. 5.11. Tr6jkllt r6wnoboczny, kt6rego wierzcholkami Sll pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki: 1, (j) i (j)2. Pomnoienie przez (j) oznacza obr6t 0 kllt 1200 w kierunku przeciwnym do ruchu wskaz6wek zegara, a (j)2 w kierunku zgodnym.
97
5
Geometria logarytm6w,
pot~g
i pierwiastk6w
5.5 Pewne odniesienia do wsp6fczesnej fizyki cZilstek elementarnych Liczby takie jak rozwazane przed chwil,! maj,! znaczenie we wsp6lczesnej fizyce cz'!stek elementarnych i s,! wykorzystywane jako multiplikatywne liczby kwantowe. W rozdz. 3.5 skomentowalem fakt, ze zgodnie z nasz'! aktualn'! wiedz,!, addytywne (skalarne) liczby kwantowe fizyki cz,!stek elementarnych S,! nieodmiennie reprezentowane za pomoq liczb calkowitych. Istnieje r6wniei kilka przyklad6w multiplikatywnych liczb kwantowych i jak siy wydaje, mog,! one bye reprezentowane za pomoc,! n-tych pierwiastk6w z jedynki. Wiadomo mi 0 zaledwie kilku przykladach takich wielkosci w konwencjonalnej fizyce cz,!stek elementarnych i, w wiykszosci przypadk6w, odpowiadaj,! one stosunkowo malo interesuj,!cej sytuacji, gdy n = 2. Znany jest tez jeden klarowny przyklad sytuacji, gdy n = 3 i, prawdopodobnie, jeden przypadek, gdy n = 4. Niestety, bardzo cZysto taka liczba kwantowa nie rna charakteru uniwersalnego, to znaczy nie moze bye zastosowana do wszystkich cz'!stek. W takich przypadkach bydy okreslal odpowiedni,! liczby kwantow'! jako
przybliionq.
98
Wielkose nazywana parzystosciq jest (przyblizon,!) liczb,! kwantow,! z n = 2. (Istniej,! tei inne przyblizone liczby kwantowe, dla kt6rych n = 2, pod wieloma wzglydami podobne do parzystosci, na przyklad parzystosc g, jednakZe nie bydziemy siy nimi tutaj zajmowali.) Pojycie parzystosci zlozonego ukladu jest zbudowane (multiplikatywnie) z parzystosci cz,!stek tworz'!cych ten uklad. Parzystose takiej cz'!stki moze bye liczb,! parzyst'!, co, w pewnym sensie, oznacza, ze odbicie zwierciadlane danej cz'!stki jest identyczne z t'! cz'!stk'!. Alternatywnie, gdy parzystose jest liczb,! nieparzyst'!, w6wczas zwierciadlanym odbiciem danej cz'!stki jest jej antycz,!stka (zob. rozdz. 3.5; 24.1-3, 8 oraz 26.4). Poniewaz pojycie odbicia zwierciadlanego alba zamiany cz'!stki w antycz'!stky jest operacj,! takiego typu, ze jej "kwadrat daje w wyniku jeden" (to znaczy, ze wykonuj,!c ty operacjy, dwukrotnie wracamy tam, sk,!d wyszlismy), to odpowiednia liczba kwantowa - oznaczmy j,! jako E - rna tak'! wlasnose, ze E2 = 1, a zatem musi bye n-tym pierwiastkiem z jedynki, w przypadku gdy n = 2 (tzn. E = + Ilub E = -1). To pojycie jest jedynie przyblizeniem, poniewaz parzystose nie jest wielkosci,! zachowan'! i jest lam an a przez tzw. oddzialywania slabe. Z tego powodu w wypadku niekt6rych cz,!stek parzystose nie jest dobrze okreslon,! wielkosci,! (zob. rozdz. 25.3, 4). Ponadto pojycie parzystosci, przy normalnym opisie, rna zastosowanie tylko do rodziny cz'!stek znanych pod nazw'! bozonow. Pozostale cz'!stki nalez'! do innej rodziny i nosz'! nazwy fermionow. R6znica pomiydzy bozonami a fermion ami jest bardzo wazna, ale jej wyjasnienie jest zlozone i powr6cimy do tego tematu p6iniej, w rozdz. 23.7, 8. Jednym z przejaw6w tej r6znicy jest zachowanie siy stan6w danej cz'!stki przy obrocie 0 k,!t 21t (czyli 0 360°). Przy takim obrocie tylko bozony wracaj,! do stanu pocz'!tkowego. Aby fermiony wr6cily do stanu wyjsciowego, musimy taki obr6t wykonae dwukrotnie; zob. rozdz. 11.3 i 22.8). W pewnych przypadkach mozemy tei powiedziee, ze "dwa fermiony skladaj,! siy na bozon", "zlozenie dw6ch bozon6w daje w wyniku bozon", podczas gdy "zlozenie bozonu i fermionu daje
Pewne odniesienia do wsp61czesnej fizyki
cz~stek
elementarnych
5.5
w wyniku fermion". Widzimy wiyc, ze fermionom mozemy przyporz'!dkowae multiplikatywn,! liczby kwantow,! -1, natomiast bozonom +1, jako opisuj,!c,! ten charakter bozonowo-fermionowy. W ten spos6b zdefiniowalismy inn,! liczby multiplikatywn,!, liczby kwantow'! z n = 2. Zgodnie z nasz'! obecn,! wiedz,! jest to przyklad dokladnej multiplikatywnej liczby kwantowej. Moim zdaniem istnieje jeszcze inna mozliwose wykorzystania pojycia parzystosci w odniesieniu do fermion6w, aczkolwiek nie jest ona stosowana w konwencjonalnej terminologii. Musialaby bye zwi¥ana z podan,! liczb,! kwantow,! bozon-fermion w taki spos6b, zeby powstala multiplikatywna liczba kwantowa z n = 4. W6wczas, w przypadku fermion6w, wartose parzystosci wynosilaby +i alba -i, a podw6jne odbicie zwierciadlane dawaloby efekt obrotu 0 k,!t 2n. Dla bozon6w wartose tej parzystosci bylaby r6wna ±1, jak poprzednio. Mozna zdefiniowae multiplikatywn,! liczby kwantow'! z n = 3. 0 tej liczbie juz wspominalem i nazwy j,! liczbq kwarkowq. (To okreslenie nie jest przyjyte w terminologii standardowej, zwykle tei nie uwaza siy jej za liczby kwantow,!, lecz ujmuje ona w zwarty spos6b pewien wazny aspekt naszego obecnego zrozumienia fizyki cz,!stek elementarnych.) W rozdz. 3.5 odowolywalem siy do wsp6lczesnego punktu widzenia, zgodnie z kt6rym cz'!stki silnie oddzialujqce, znane pod nazw,! hadron6w (protony, neutrony, mezony n etc.), sa zlozone z kwark6w (zob. rozdz. 25.6). Ladunki elektryczne kwark6w nie S,! calkowitymi wielokrotnosciami ladunku elektrycznego elektronu, leczjednej trzeciej tego ladunku. lednakie kwarki nie mog,! istniee jako oddzielne cz,!stki, natomiast cz'!stki z nich zlozone mog,! istniee niezaleinie tylko wtedy, gdy ich wypadkowy ladunek elektryczny stanowi calkowit'! wielokrotnose ladunku elektronu. Niech q oznacza wartose ladunku elektrycznego mierzonego w ukladzie jednostek, w kt6rym za jednostky miary przyjmuje siy ladunek elektronu wziyty ze znakiem przeciwnym (a wiyc sam elektron rna tutaj ladunek q = -1). W6wczas dla kwark6w bydziemy mieli wartosci q = oraz q= natomiast dla antykwark6w q = oraz q = lesli teraz przyjmiemy jako liczby kwarkow'! multiplikatywn,! liczby kwantow,! e~2q1ti, to okaze siy, ze przyjmuje ona wartosci 1, (J) i (J)2. Dla kwarka liczba kwarkowa wynosi (J), a dla antykwarka (J)2. Cz'!stka moze istniee samodzielnie tylko wtedy, gdy jej liczba kwarkowa wynosi 1. Stosownie do tego, 0 czym m6wilismy w rozdz. 5.4, liczby kwarkowe tworz'! grupy cykliczn,! Z3' (W rozdz. 16.1 przekonamy siy, w jaki spos6b przez dodanie jeszcze jednego elementu ,,0" i pojycia dodawania ty grupy bydziemy mogli rozszerzye do dala skonczonego lF4). Przedstawilem tutaj pewne matematyczne aspekty magii liczb zespolonych i wskazalem zaledwie kilka ich zastosowan. Nie wspomnialem jednak jeszcze 0 tych wlasnosciach liczb zespolonych (zrobiy to w rozdz. 7), kt6re wydaly mi siy najbardziej magiczne, kiedy po raz pierwszy zapoznalem siy z nimi jako student matematyki. W p6zniejszych latach zetkn'!lem siy z jeszcze bardziej zadziwiaj,!cymi aspektami tej magii, a jeden z nich (kt6ry przedstawiy pod koniec rozdz. 9) przypomina ten, kt6ry tak zafascynowal mnie w latach studenckich. Aby m6c trochy tych fascy-
99
-t;
t
-to
t
5
Geometria logarytm6w, potQg i pierwiastk6w
nacji przekazac czytelnikowi, musz~ najpierw poswi~cic nieco uwagi pewnym podstawowym poj~ciom analizy matematycznej. Istniej,!, oczywiscie, dodatkowe powody, aby si~ nimi zaj,!c: rachunek rozniczkowy i calkowy jest absolutnie niezb~d ny do wlasciwego zrozumienia fizyki!
Przypisy
1
2
Rozdzial 5.1 Trzeba tu przywolae rowniez inne funkcje trygonometryczne, takie jak: ctg e = cos elsin e = 1 = (tg etl , sec e= (cos et , oraz cosec e= (sin etl. Wypada tez przypomniee hiperboliczne wersje funkcji trygonometrycznych, sinh t = ~(et - e-t), cosh t = ~(et + e-t), tgh t = sinh tlcosh t itd. Funkcje odwrotne do trygonometrycznych Sq zwykle oznaczane jako arc sin e, arc cos e, arc tg e itd. Natomiast funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych oznacza siy jako arsinh t, arcosh t, artgh t itd. (przyp. Hum.). Rozdzial 5.2 Logarytmy zostaly wprowadzone w 1614 r. przez lohna Nepera (Napiera) i praktycznie zastosowane przez Henryego Briggsa w 1624.
Rozdzial 5.3 Autor posluguje siy w oryginale konwencjq zapisywania logarytmow naturalnych jako "Iog" bez podania podstawy logarytmu. W konwencji uiywanej w Polsce przez log bez podania podstawy rozumie siy na ogollogarytmy 0 podstawie 10, czyli loglO' natomiast dla logarytmow naturalnych rezerwuje si y symbol In (przyp. Hum.). 4 Na podstawie tego, co wykazalismy do tej pory, nie jestesmy w stanie wyciqgnqe wniosku, ze "ie" we wzorze z = In r + if} nie moze bye rzeczywistq wielokrotnosciq "ie", Do tego niezbydna jest analiza matematyczna. i8 5 Cotes w 1714 r. znalazl rownowazny wzor In( cos e + i sin e) = if}. Wzor Eulera e = cos e + + i sin e pojawil siy dopiero 30 lat pozniej (zob. Euler 1748). 3 6 Uiywam tutaj wygodnej (aczkolwiek niezbyt logicznej) notacji cos e dla (cos e? etc. Rowniez trzeba miee na uwadze niespojnose logicznq z (bardziej logicznym) zapisem cos- 1 e, ktory zwykle jest oznaczany jako arccos e. Wzor sin ne + i cos ne = (sin e+ i cos e)" znany jest pod nazwq "twierdzenia De Moivre'a". Abraham De Moivre, wspolczesny Rogerowi Cotesowi (zob. przyp. poprzedni), jak si y wydaje, byl wspolodkrywcq wzoru e i8 = cos e + i sin e. 3
6 Rachunek roiniczkowy i calkowy funkcji zmiennych rzeczywistych 6.1 Czym
s~ porz~dne
funkcje?
RACHUNEK r6iniczkowy i calkowy, inaczej, analiza matematyczna, opiera siy na dwu podstawowych operacjach: r6iniczkowania i calkowania. Rozniczkowanie odnosi siy przede wszystkim do zagadnien prydkosci, przyspieszenia, nachylenia i krzywizny krzywych oraz powierzchni itp. Dotyczy wiyc stosunkow, w ktorych wielkosci ulegaj,! zmianie, S,! zatem definiowane lokalnie, w terminach struktury i zachowan w najblizszym otoczeniu pojedynczych punktow. Calkowanie natomiast wi'!ze siy z powierzchniami i objytosciami, z pojyciem srodka ciyzkosci i wieloma innymi ogolnymi zagadnieniami, ktore dotycz,! calosci, w takiej czy innej formie, i nie s,! definiowane jedynie przez to, co siy dzieje lokalnie czy w inifinitezymalnym s'!siedztwie poszczegolnych punktow. Godne uwagi jest podstawowe twierdzenie rachunku r6iniczkowego i calkowego, ktore glosi, ze te dwie operacje s,! wobec siebie wzajemnie odwrotne. Wlasnie ten fakt umozliwia pol,!czenie dwu domen badan matematycznych i dostarcza niezawodnego narzydzia do zrozumienia i zastosowania technik obliczeniowych. Analiza matematyczna, ktorej pocz'!tki siygaj,! XVII wieku, prac Fermata, Newtona i Leibniza, a jej idee mozna nawet wi'!zac z pracami Archimedesa z III wieku p.n.e., nazywana jest "rachunkiem"['l, poniewaz w istocie dostarcza skutecznych procedur obliczeniowych, ktore pozwalaj,! na wrycz automatyczne rozwi,!zywanie problemow, jakie bez tych narzydzi bylyby nawet trudne do zrozumienia. Tymczasem teraz wystarczy zastosowanie kilku relatywnie prostych regul, nawet bez potrzeby glybszego wnikania w ich istoty. Jednakze miydzy operacjami rozniczkowania i calkowania zachodzi zadziwiaj,!cy kontrast pod wzglydem poziomu trudnosci tych operacji. Otoz kiedy zastosuje siy te dzialania do jawnych formul opisuj,!cych znane funkcje, to rozniczkowanie jest "latwe", calkowanie zas czysto "trudne", a w wielu przypadkach w ogole nie jest mozliwe do przeprowadzenia explicite. Z kolei w przypadku kiedy funkcji, ktore rozwazamy,
[*] Po angielsku: calculus (przyp. dum.).
6
Rachunek roiniczkowy i calkowy funkcji zmiennych rzeczywistych
nie mozna przedstawie wzorem lecz, na przyklad, s,! one podane w formie stabelaryzowanej, jako zbi6r danych liczbowych, w6wczas calkowanie jest "latwe", a r6zniczkowanie "trudne" i moze siy nawet okazae niewykonalne w normalnym trybie. Techniki numeryczne S,! zwykle zwi,!zane z przyblizeniami, ale analogiczne sytuacje powstaj,! takZe w dokladnych teoriach, i znowu okazuje siy, ze mozna przeprowadzie calkowanie w tych przypadkach, w kt6rych r6zniczkowanie nie jest mozliwe. Spr6bujmy to wyjasnie, problemem bowiem jest sarno pojycie "funkcji". Dla Eulera i dla innych matematyk6w XVII i XVIII stulecia "funkcja" oznaczala zapis w jawnej postaci, na przyklad alba sin x, alba In(3 - x + eX) lub jakis wz6r zawieraj,!CY calkowanie czy jawnie wypisany szereg potygowy. Dzisiaj wolimy myslee 0 funkcji jako 0 "odwzorowaniu", kt6re oznacza, ze pewnemu zbiorowi liczb, A (w bardziej og61nym przypadku mog,! to bye jakies inne elementy, niekoniecznie liczby), kt6ry nazywamy dziedzinq funkcji, mozemy przyporz'!dkowae inne liczby (albo elementy) w pewnym zbiorze B, kt6ry nazwiemy zbiorem wartoSci funkcji (zob. rys. 6.1). Jest przy tym istotne, ze kazdemu elementowi z dziedziny A przyporz,!dkowujemy jakis element naleZ,!CY do B. (Mozna pomyslee, ze funkcja sprowadza siy do "zbadania" jakiejs liczby nalez'!cej do A, a nastypnie, w spos6b, kt6ry zaleiy wyl,!cznie od tego, jak,! liczby rozwazamy, "wyprodukowania" okreslonej liczby nalez'!cej do B). Tak pojmowana funkcja bywa traktowana jako rodzaj tabeli odpowiedniosci, kt6q mozemy za kazdym razem sprawdzae. Nie musi wiyc istniee jakis jawny wz6r, kt6ry w spos6b formalny opisywalby funkcjy. Rozwazmy kilka przyklad6w. Na rys. 6.2 przedstawilem przyklady trzech prostych funkcji, opisanych wzorami Ixl oraz O(X)l. W kaZdym z nich zar6wno dziedzin,!, jak i zbiorem wartosci s,! wszystkie liczby rzeczywiste, kt6re zwykle oznaczamy symbolem lEt Funkcja, kt6r,! oznaczylismy symbolemr, oznacza, ze kazdej liczbie rzeczywistej x przyporz,!dkowuje liczby rzeczywist,! Funkcja zapisana jako Ixl (nazywana wartosciq bezwzgl~dnq) oznacza, ze badanej liczbiex przyporz'!dkowujemy liczby x, jesli x nie jest liczb,! ujemn,!, natomiast wartose -x, jesli sarno x jest liczb,! ujemn,!. W ten spos6b Ixl nigdy nie przyjmuje wartosci ujemnych. Funkcja O(x) daje wartose 0, jesli x jest ujemne, natomiast wartose 1, gdy x jest dodatnie. Zwykle przyjmujemy 0(0) = (Funkcja ta nazywa siy funkcjq schodkowq Heaviside'a. W rozdz. 21.1 zapoznamy siy z innym waznym matematycznym osi,!gniyciem
r
r,
r.
t.
102
Dziedzina
Zbi6r wartosci
Rys. 6.1. Funkcjq jest przyporz<jdkowanie, w kt6rym jej dziedzina A (oznaczaj<jca pewien zhi6r liczb lub innych element6w) zostaje odwzorowana na zbi6r jej wartofci (jakis inny zbi6r B). Wazne jest, ze ka:idemu elementowi z A przyporz<jdkowana jest pewna wartose w B, chociaz r6znym elementom dziedziny mog<j bye przyporz<jdkowane te same wartosci, a takZe nie wszystkie wartosci w B musz<j odpowiadae jakims elementom w A.
Nachylenie funkcji
y
y
y
x
w Rys. 6.2. Wykresy funkcji (a) zbi6r liczb rzeczywistych.
6.2
x ~
= 8(x) x
~
lxi, (b).0 i (c) O(x). Dziedzin~ i zbiorem wartosci ka:.i:dej z tych funkcjijest
Olivera Heaviside'a, ktory jest bardziej znany dziyki odkryciu warsrny Heaviside'a w atmosferze ziemskiej, odgrywaj1!cej istotn1! roly przy transmisji fal radiowych.) Kazda z tych funkcji stanowi bardzo dobry przyklad funkcji we wspolczesnym rozumieniu tego terminu, ale Euler2 mialby z pewnosci1! trudnose z zaakceptowaniem Ixl alba O(x) jako przykladu "funkcji" w takim sensie, jak on to rozumial. Sk1!d bralyby siy te trudnosci? Jednym ze zrodel kiopotow z rozumieniem Ixl alba O(x) jako funkcji moglby bye fakt, ze jest tutaj za duzo wyraZen typu: "jesli x jest takie i takie, to bydzie tak a tak, a jesli x jest. .. " i nie rna tu zadnego "ladnego wzoru", ktory opisywalby ty funkcjy. Takie stwierdzenie jest malo precyzyjne, zreszt1! dlaczego wyrazenie Ixl nie moze bye uWaZane za dobry wzor funkcji? Ponadto, jesli bysmy zaakceptowali lxi, to moglibysmy napisae[6.1] wzor na O(x):
O(x) Jxl+x 2x (aczkolwiek bylyby w1!tpliwosci co do poprawnosci tego wzoru, bo dla 0(0) prowadzi on do wartosci 0/0). Wiyksze znaczenie rna fakt, ze Ixl nie jest "gladka", anizeli to, ze podany wzor nie jest "ladny". Wlasnie to mozemy zauwaZye na rys. 6.2a, gdzie w srodku wykresu funkcji wystypuje k1!t ostry. Pojawienie siy tego k1!ta jest powodem, dla ktorego funkcja Ixl nie rna dobrze okreslonego nachylenia w punkcie x = O. A coz to jest nachylenie i jakie rna znaczenie? 6.2 Nachylenie funkcji Jak juz wspominalismy, jednym z problemow, ktorymi zajmuje siy rachunek rozniczkowy, jest badanie "nachylenia" funkcji. Na wykresie funkcji Ixl (rys. 6.2a) widzimy, ze funkcja ta w pocz1!tku ukladu wspolrzydnych nie rna jednoznacznie okreslonego nachylenia, poniewaZ pojawia siy tam ow k1!t ostry. W kazdym innym miejscu nachylenie jest dobrze okreslone. Wlasnie z tego powodu mowimy, ze funkcja i'8 [6.1] Pokaz to (pomijaj,!cx = 0).
103
6
Rachunek roiniczkowy i catkowy funkcji zmiennych rzeczywistych
Ixl nie jest r6iniczkowalna w pocz'!tku uldadu wspolrzydnych, alba rownowainie, ie nie jest w tym miejscu gladka. W przeciwienstwie do niej funkcja r rna dobrze okreslone nachylenie w kaidym punkcie, jak to widzimy na rys. 6.2b. I rzeczywiscie, funkcja r jest wszydzie roiniczkowalna. Z funkcj,! O(x), jak to ilustruje rys. 6.2c, sprawa wygl,!da jeszcze gorzej nii w przypadku funkcji 14 Zauwaimy, ie O(x) rna nieprzyjemny "skok" w pocz'!tku uldadu (x = 0). Z tego powodu mowimy, ie O(x) jest w tym miejscu nieciqgla. W przeciwienstwie do niej funkcje r i Ixl S,! ciqgle wszydzie. Klopoty z funkcj,! Ixl w pocz'!tku ukladu nie S,! zwi,!zane z problemem ci,!glosci, lecz roiniczkowalnosci. (Mirno ie nieci,!giose jest czyms innym nii nieroiniczkowalnose, jak siy 0 tym wkrotce przekonamy, S,! to pojycia ze sob,! zwi¥ane.) Dla Eulera jednak brak ci,!glosci i roiniczkowalnosci bylby najprawdopodobniej powainym Idopotem i przyczyn,!, dla ktorej ani O(x), ani Ixl nie moglyby bye uznane za funkcje we wlasciwym rozumieniu tego slowa. Ale przyjrzyjmy siy dwom funkcjom zobrazowanym na rys. 6.3. Pierwsza z tych funkcji, .0, jest do przyjycia z kaidego punktu widzenia, ale S,! Idopoty z drug'!. Funkcja ta moie bye zdefiniowana jako xlxl, co oznacza, ie jest to funkcja dla nieujemnych x, natomiast dla wartosci ujemnych. Wydaje siy, ie oba wykresy przedstawiaj,! funkcje "gladkie". Maj,! one dobrze okreslone "nachylenie" w pocz'!tku uldadu wspolrzydnych, ktore wynosi zero (co oznacza, ie obie krzywe w tym miejscu S,! poziome), obie S,! tei "roiniczkowalne" w kaidym punkcie. Euler jednak nie uznalby funkcji xlxl za dobry przyklad. Klopot z funkcj,! xlxl pol ega na tym, ie w pocz'!tku uldadu nie rna ona dobrze okreslonej krzywizny i jest to kolejna wlasnose, ktor,! zajmuje siy rachunek roiniczkowy i ktora wymaga rozwaienia "drugiej pochodnej", a to oznacza, ie operacjy roiniczkowania trzeba przeprowadzie dwukrotnie. Posluguj,!c siy tym jyzykiem pojye, powiemy, ie funkcja xix I nie jest dwukrotnie r6iniczkowalna w pocz'!tku ukladu wspotrzydnych. Zagadnieniem drugich i wyiszych pochodnych zajmiemy siy w rozdz. 6.3. Aby to zrozumiee, trzeba zdae sobie sprawy z tego, co oznacza operacja roiniczkowania. W tym celu musimy dowiedziee siy, w jaki sposob mierzymy nachylenie krzywej. Na rys. 6.4 przedstawilem wykres dose typowej funkcji, ktor,! bydy nazywalf(x). Krzywa na rys. 6.4a przedstawia relacjy y = f(x), gdzie wartosci wspol-
r
-r
r
104
la)
Ib)
Rys. 6.3. Wykresy funkcji (a) i (b)xlxl (tj.r dlax ;? 0 i -r dla x <0).
Nachylenie funkcji
6.2
Rys. 6.4. Wylaes we wsp61rzydnych kartezjanskich (a) y = f(x), (b) pochodnej u = f'(x) (= dy/dx) oraz (c) drugiej pochodnejf"(x) = d2y/
105
y naehylenie :
x
(a)
u
x
(b)
x
(e)
6
Rachunek roiniczkowy i calkowy funkcji zmiennych rzeczywistych
rZydnej y odmierzaj,! wysokosc, a wartosci x polozenie poziome, w zwyklym kartezjanskim ukladzie wsp6lrzydnych. Wybierzmy teraz jakis punkt p na tej krzywej. Mozemy narysowac prost,! styczn,! w tym punkcie do krzywej. Przez nachylenie krzywej w tym punkcie mozemy rozumiec stosunek przyrostu wsp6lrzydnej y do przyrostu wsp6lrzydnej x w miary posuwania siy wzdluz tej stycznej. (Poprawna definicja "stycznej" wymaga okreslenia odpowiedniej procedury przejscia do granicy, ale nie mam zamiaru wdawac siy tutaj w szczeg6ly techniczne. Ufam, ze czytelnik uzna moje intuicyjne wyjasnienie za adekwatne i wystarczaj,!ce na nasze bezposrednie potrzeby3.) Jako standardowe oznaczenie wartosci tego nachylenia przyjmijmy wyrazenie dy/dx (czytamy to: "dy po dx"). Mozna uwazac, ze dy oznacza bardzo maly przyrost wartosciy wzdluz rozpatrywanej krzywej, a dx odpowiedni bardzo maly przyrost wartosci x. (Poprawna definicja wymaga w tym miejscu przejscia do "granicy", poniewaz te bardzo male przyrosty zmierzaj,! do wartosci zero.) Teraz przejdziemy do rozwaZenia innej krzywej, kt6ra jest wykresem wartosci tego nachylenia w kaZdym punkcie p, dla r6znych mozliwych wybor6w wsp61rZydnej x (zob. rys. 6.4b). Nadal uiywamy wsp6lrzydnych kartezjanskich, ale teraz na osi pionowej odmierzamy wartosci dy/dx, a nie wartosciy. Na osi poziomej nadal odmierzamy x. Funkcja, kt6rej wykres powstal w ten spos6b, jest zwykle oznaczana jako f'(x) i mozemy napisac dy/dx = f'(x). Wielkosc dy/dx nazywamy pochodnq y ze wzgl?du na x, natomiast funkcjy f' (x) nazywamy pochodnq funkcji f(x
t
6.3 Pochodne wyzszych
106
rz~d6w;
funkcje gtadkie klasy CX'
Zobaczmy teraz, co bydzie siy dzialo, kiedy zajmiemy siy drugq pochodnq. Innymi slowy, zbadamy teraz nachylenie krzywej z rys. 6.4b, kt6ra jest wykresem funkcji u = f'(x), gdzie u oznacza dy/dx. Na rys. 6.4c wykreslilem ty "funkcjy nachylen drugiego rzydu". Jest to wykres pochodnej du/dx w zaleznosci od x, czyli zrobilem to sarno co poprzednio z funkcj,! dy/dx, a wiyc wartosc du/dx wyznacza teraz nachylenie drugiej krzywej, u = f'(x). W ten spos6b otrzymujemy to, co nazywamy drug,! pochodn,! wyjsciowej funkcji f(x), i zapisujemy j,! zwykle jako f"(x). Jesli teraz w wyrazeniu du/dx podstawimy dy/dx w miejsce u, to otrzymamy drug,! pochodn,! y ze wzglydu nax. Zapisujemy j,! (nie calkiem logicznie) jako d 2y/cIr (i czytamy: dedwa-ygrek po de-x-kwadrat). ZauwaZmy, ze wartoscix, dla kt6rych funkcja wyjsciowaf(x) rna nachylenie poziome, s,! tymi wartosciami x, dla kt6rych funkcja f'(x) przecina os x (innymi slowy, dy/dx dla tych wartoscix znika). W tych miejscach funkcja f(x) osi,!ga lokalne minimum albo maksimum, co jest waZne, kiedy poszukujemy najwiykszych (10kalnie) lub najmniejszych wartosci funkcji. A co siy dzieje w miejscach, w kt6rych druga pochodna, f"(x), przyjmuje wartosc zero, czyli tam, gdzie znika krzywizna funkcji f(x)? W tych miejscach krzywa y = f(x) "przegina siy", jakby zmieniaj,!c kierunek, i takie punkty nazywamy punktami przegi?cia. Nie jest poprawnie m6-
Pochodne wyiszych
rz~d6w;
funkcje gladkie klasy C'
6.3
wie, ze f" (x) "mierzy" krzywizn~ krzywej f (x), poniewaz wyrazenie "na krzywizn~" jest bardziej skomplikowane5 niz po pro stu f"(x). Ale to wyrazenie zawiera f"(x) i krzywizna funkcji znika tam, gdzie znikaf"(x). Rozwazmy teraz nasze dwie podobnie wygl,!daj,!ce funkcje, x 3 oraz xix!. Na rys. 6.5a, b, c wykreslilem oraz jej pierwsz,! i drug,! pochodn,! w taki sam sposob, jak to zrobilem dla funkcji f(x) na rys. 6.4. Podobnie post,!pilem z funkcj,! xix I i wykresy s,! na rys. 6.5d, e, f. Widzimy, ze w przypadku funkcji x 3 nie rna zadnego problemu z ci,!glosci,! i gladkosci,! jej pierwszej i drugiej pochodnej. Istotnie, pierwsza pochodna jest funkcj,! 3~, drug a 6x i zadna z nich nie zaniepokoilaby Eulera ani na chwil~. (Wkrotce dowiemy si~, jak otrzymuje si~ takie wyrazenia). JednakZe w przypadku funkcji xlxl juz w pierwszej pochodnej pojawia si~ ow "k,!t" z rys. 6.1, natomiast drug a pochodna zachowuje si~ jak "funkcja schodkowa", podobna do tej z rys. 6.2c. Pierwsza pochodna przestaje bye gladka, natomiast drug a pochodna przestaje bye ci,!gla. Taka sytuacja nie podobalaby si~ Eulerowi. Pierwsza pochodna tej funkcji wynosi 21xl, druga natomiast -2 + 40(x). (Bardziej pedantyczny czytelnik mialby prawo w tym miejscu zglosie obiekcj~, ze nie powinienem w tak nonszalancki sposob wypisywae pochodnej 21xl dla funkcji, ktora nie jest rozniczkowalna w pocz'!tku ukladu wspolrz~dnych. To prawda, ale peine uzasadnienie takiego post~powania zrozumiemy, gdy poznamy poj~cia przedstawione pod koniec rozdz. 9.)
r
y y=~
y=3K
x
(al
y=6x
x
(bl
x
(e)
y
yl-----
y
= 21xl
y = -2+40(x)
x
(d)
(e)
x
(f)
Rys. 6.5. Wykresy funkcji x 3 (a), jej pierwszej pochodnej 3K (b) oraz jej drugiej pochodnej 6x (c). Wykresy funkcji xlxl (d), jej pierwszej pochodnej 21xl (e) oraz jej drugiej pochodnej -2 + 40(x) (f).
107
6
Rachunek r6iniczkowy i calkowy funkcji zmiennych rzeczywistych
Latwo mozemy sobie wyobrazie, ze jestesmy w stanie skonstruowae funkcje, ktore wykaz(! brak gladkosci lub ci(!glosci dopiero wtedy, kiedy obliczymy pochodne wysokiego rzydu. Rzeczywiscie, tak(! funkcj(! moglaby bye funkcja 0 postacixnlxl, gdzie n bylaby dowolnie duz(! dodatni(! liczb(! calkowit(!. W matematycznej terminologii funkcjaf(x) jest funkcj(! gladkq klasy C, jesli daje siy rozniczkowae n razy (w kai:dym punkcie jej dziedziny) i jej nota pochodna jest funkcj(! ci(!gl(!6. Funkcja xnlxl jest w tej terminologii funkcj(! gladk(! klasy C, ale nie jest juz funkcj(! klasy C n +! W pocz(!tku ukladu wspolrzydnych. Jak duze powinno bye n, zeby zadowolie Eulera? S(!dzy, ze nie wystarczylaby mu zadna skonczona wartose n. Aby Euler zaakceptowal jak(!s funkcjy, powinna bye rozniczkowalna dowoln(! ilose razy. Takie funkcje matematycy nazywaj(! gladkimi klasy C', co oznacza, ze jest to funkcja klasy C dla dowolnej calkowitej dodatniej wartosci n. Innymi slowy, funkcja gladka klasy C' musi bye rozniczkowalna tyle razy, ile nam siy podoba. A zatem eulerowskie pojycie funkcji, jak siy wydaje, wymagaloby czegos w rodzaju gladkosci klasy C'. A przynajmniej mozemy sobie wyobrazie, ze Euler oczekiwalby, iz jego funkcja bydzie nieskonczenie gladka dla wiykszosci punktow z jej dziedziny. Co w takim razie powiemy 0 funkcji l/x (zob. rys. 6.6)? Ta funkcja z pewnosci(! nie jest funkcj(! klasy C' w pocz(!tku ukladu wspolrzydnych. W tym punkcie nie mozna jej nawet zdefiniowae jako funkcji we wspotczesnym sensie tego slowa. Tymczasem Euler, niezalei:nie od takich klopotow, nie mialby wielkiego problemu z zaakceptowaniem jej jako "przyzwoitej" funkcji. Istnieje przeciez catkiem latwy wzor opisuj(!cy ty funkcjy. Mozemy wiyc sobie wyobrazie, ze nie przej(!tby siy specjalnie faktem, iz ta funkcja nie naleiy do klasy C' w kazdym punkcie jej dziedziny (zaktadaj(!c, ze on w ogole przejmowalby siy czyms takim jak "dziedzina" funkcji). Bye moze, jesli cos nie jest w porz(!dku w jakichs specjalnych punktach, to nie rna wielkiego znaczenia. Ale przeciez funkcje takie jak Ixl alba O(x) zachowuj(! siy "dziwnie" w tym samym specjalnym punkcie, w ktorym s(! ktopoty z funkcj(! l/x. Wygl(!da wiyc na to, ze pomimo naszych wysilkow wci(!z jestesmy daleko od zrozumienia eulerowskiego sensu pojycia funkcji. y
x
108
Rys. 6.6. Wykres funkcji l/x.
Eulerowskie
poj~cie
funkcji
6.4
y
y =0 x
Rys. 6.7. Wylaes funkcjiy = h(x) (= 0 jesiix ::; 0 i = e- 11x diax > 0), ktorajest funkcj'l klasy Coo.
Rozwazmy inny przyklad. Weimy funkcjC( hex) zdefiniowan£! nastC(puj£!Co:
o
h (x ) = { 1/x e-
dla x:( 0, dla x> 0.
Wykres tej funkcji przedstawiono na rys. 6.7. Z pewnosci£! rna ona wygl£!d funkcji gladkiej i jest w istocie bardzo gladka. Jest funkcj£! klasy en w calej dziedzinie liczb rzeczywistych. (Udowodnienie tego jest godziwym zajC(ciem dla student6w matematyki. PamiC(tam, ze sam musialem przeprowadzie ten dow6d w czasie moich studi6w uniwersyteckich[6.21.) Ale pomimo jej nieograniczonej gladkosci latwo jestesmy w stanie wyobrazie sobie, jak Euler krC(ci nosem na widok tak zdefiniowanej funkcji. To na pewno nie jest "jedna funkcja" w sensie Eulera. To s£! "dwie funkcje zlepione razem", i nie rna znaczenia, jak "gladkie" bylo to klejenie przy l£!czeniu ich w pocz£!tku ukladu wsp6IrzC(dnych. Przeciwnie, dla Eulera funkcja l/x jest "jedn£! funkcj£!", pomimo tego, ze jest rozerwana w pocz£!tku ukladu, gdzie nie tylko nie jest gladka, ale nawet nie jest ci£!gla (rys. 6.6). Dla Eulera funkcja hex) nie jest w niczym lepsza od funkcji Ixl czy O(x). W tych przypadkach widzimy wyrainie, ze "dwie funkcje zostaly zlepione w jedn£!", aczkolwiek to klejenie okazalo siC( duzo bardziej niedoskonale (a nawet, w przypadku funkcji O(x), klejone kawalki calkowicie siC( rozpadly).
6.4 Eulerowskie pOjflcie funkcji Jak odtworzye to eulerowskie przedstawienie funkcji, kt6ra nie bC(dzie mogla bye "sklejeniem" oddzielnych funkcji? Przyklad funkcji hex) pokazuje, ze nawet z£!danie nieskonczonej gladkosci, klasy en, nie jest wystarczaj£!ce. Okazuje siC(, ze istniej£! dwa zupelnie r6zne podejscia do tej trudnosci. Jedno z nich posluguje siC( liczbami zespolonymi i bardzo latwo je sformulowae, chociaz konsekwencje bynaj-
T!!J. [6.2] Sprobuj to zrobi6, jesli masz odpowiednie przygotowanie.
109
6
Rachunek roi:niczkowy i catkowy funkcji zmiennych rzeczywistych
mniej nie sC! banalne. ZC!damy po prostu, zeby nasza funkcjaf(x) dala siy przedluZye na plaszczyzny zespolonC!, do funkcjif(z) zmiennej zespolonej z, oraz zeby funkcja fez) byla gladka w tym sensie, by mozna jC! bylo zr6zniczkowae jeden raz po zmiennej z. (Tak wiyc, w tym zespolonym sensie, funkcja fez) jest funkcj,! gladk'! klasy C.) To zupelnie nadzwyczajny dow6d prawdziwej magii funkcji zespolonych, ze niczego wiycej nie trzeba. Jesli tylko funkcjaf(z) moze bye r6zniczkowanajeden raz ze wzglydu na zmienn,! z, to moze bye r6zniczkowana tyle razy, ile tylko nam siy spodoba. Zagadnieniem rachunku r6zniczkowego w zmiennych zespolonych zajmy siy w rozdziale 8. Ale jest jeszcze inne podejscie do problemu eulerowskiego pojycia funkcji, kt6re posluguje siy tylko liczbami rzeczywistymi. To podejscie operuje szeregami potygowymi, z kt6rymi zetknylismy siy w rozdz. 2.5. (J ednC! z dziedzin, w kt6rych Euler byl prawdziwym mistrzem, bylo operowanie szeregami potygowymi.) Dobrze bydzie, jesli jeszcze raz przyjrzymy siy szeregom potygowym, zanim zajmiemy siy zagadnieniem r6zniczkowania w zmiennych zespolonych. Zadziwia fakt, ze -lokalnie - r6zniczkowanie zespolone jest r6wnowazne badaniom rozwiniye w szeregi potygowe. Zajmy siy tym w swoim czasie, ale w tym momencie zatrzymajmy siy przy funkcjach zmiennych rzeczywistych. Przypusemy, ze pewna funkcja,f(x), moze bye rozwiniyta w szereg potygowy:
f(x)
=
r
ao + ajx + a2 + a3x 3 + a4x4 + ...
Istnieje prosty spos6b znalezienia wsp6lczynnik6w tego rozwiniycia. Warunkiem koniecznym (ale nie dostatecznym, jak siy 0 tym niebawem przekonamy) takiego rozwiniycia jest, zeby funkcjaf(x) byla klasy CO. Mamy wiyc moZliwose obliczenia nowych funkcji!'(x),f"(x),f"'(x),f""(x), ... , etc., kt6re s,!, odpowiednio, pierwszymi, drugimi, trzecimi, czwartymi itd., pochodnymi funkcji f(x). A naprawdy potrzebujemy tylko wartosci tych pochodnych w poczC!tku ukladu wsp6lrzydnych (x = 0) i jest nam potrzebna gladkose CO tylko w tym jednym punkcie. Wynik jest taki (czasami nazywany szeregiem Maclaunna 7 ): jeslif(x) moze bye rozwiniyta w szereg potygowy, tol 6.3J: fl_
-
-u-
1'(0) reO) a - r(O) a - r"(O) f(O) ''"1-l!'-l-~' 3-~' 4-~"" fl
-
fl_
-
(przypominam, ze n! = 1 x 2 x 3 x ... x n, zob. rozdz. 5.3). Ale co by bylo, gdybysmy spojrzeli na to z innej strony? Jdli wsp6lczynniki tego szeregu mozna obliczye, to sk,!d mamy pewnose, ze jego suma da nam wartose funkcji f(x) (przynajmniej w pewnym obszarze zawieraj,!cym pocz'!tek ukladu wsp6lrzydnych)? Powr6emy do funkcji hex), tak dziwnie sfaldowanej w pocz'!tku ukladu. Moze uda nam siy wykrye jakC!s niedokladnose? Zobaczmy wiyc, czy funkcja hex) moze bye przedstawiona w postaci szeregu potygowego. Kiad,!c w tym wzorze f(x) =hex)
110
la [6.3] Udowodnij to, stosuj,!c reguly po dane na koncu rozdzialu 6.5.
Eulerowskie
poj~cie
funkcji
6.4
i rozwazajllcwszystkiewspolczynnikia o' al'a 2, a3' a4 , ••• , stwierdzamy, ze one wszystkie zniknll, albowiem taki szereg potygowy musi dawae wartose hex) = 0, gdy tylko x przybiera wartosci z lewej strony poczlltku ukladu. Ale te wspolczynniki znikajll rowniez dla e- 1IX , co jest powodem, dla ktorego funkcja ta jest klasy C w poczlltku ukladu, a pochodne wszystkich rZydow, liczone z obu stron, pasujll do siebie. To oznacza, ze nie rna sposobu zapisania tej funkcji w postaci szeregu potygowego, poniewaz wszystkie wyrazy szeregu bylyby rowne zero (zob. ewicz. [6.1 J) i w zaden sposob nie sumujll siy do e- 11x • A wiyc rzeczywiscie jest niedokladnose w punkcie x = 0 i funkcja hex) nie moze bye przedstawiona w postaci szeregu potygowego. Mowimy dlatego, ze funkcja hex) nie jest analityczna w punkciex = 0. W przedstawionej dyskusji rozwazalismy rozwiniycie funkcji w szereg potygowy wokol poczlltku ukladu wspolrzydnych. Podobne rozumowanie moglibysmy przeprowadzie w dowolnym innym punkcie w jej dziedzinie liczb rzeczywistych. Musimy tylko w tym celu dokonae "przesuniycia poczlltku ukladu wspolrzydnych" do jakiegos innego punktu p, lezllcego w dziedzinie liczb rzeczywistych. To "przesuniycie" oznacza zastllpienie x, w rozwiniyciu w podany szereg, wyraieniem x - p. W ten sposob otrzymujemy:
f(x)
=
ao + a I (x - p) + a2(x - p)2 + a3 (x _ p)3 + ... ,
gdzie
a =f(p) o
n_
'.
= rep) a = rep) a = rep) ... 1!'
2
2!'
3
3!'
Rozwiniycie takie nazywamy rozwiniyciem w szereg potygowy wokol punktu p. Funkcjy f(x) nazywamy analitycznq w punkcie p, jesli mozemy jll rozwinlle w szereg potygowy w pewnym przedziale zawierajllcym x = p. leslif(x) jest analityczna we wszystkich punktach stanowillcych jej dziedziny, to nazywamy jllfunkcjq analitycznq alba funkcjq gladkq klasy Cwo Ale funkcje analityczne, w dobrze okreslonym sensie, Sll nawet bardziej "gladkie" nu funkcje klasy C. Majll one dodatkowo ty wlasnose, ze nie mozna ich "skleie" z dwu innych analitycznych funkcji w taki sposob, jak kleilismy O(x), Ixl,xlxl, xnlxl alba hex). Funkcje analityczne bardzo by siy podobaly Eulerowi, to Sll naprawdy "przyzwoite" funkcje! Trzeba jednak przyznae, ze wszystkie szeregi potygowe nie slliatwe do analizowania, nawet w wyobraini. "Zespolony" sposob widzenia tych spraw wydaje siy duzo bardziej praktyczny i ekonomiczny. W dodatku pozwala na glybsze ich zrozumienie. Na przyklad funkcja l/x nie jest analityczna w punkcie x = 0, ale jest to wci¥ "jedna funkcja,,[6.41• Nie odgadlibysmy tego, patrzllc przez pryzmat "filozofii szeregu potygowego". Natomiast, jak siy niebawem przekonamy, w jyzyku zmiennych zespolonych funkcja l/x jest jak najbardziej "pojedynczll funkcjll".
1m [6.4] Zbadaj "pojedyncz,! funkcj((" e-l!x2• Pokai, ie jest to funkcja ldasy CO, ale nie analityczna w x
=
o.
111
6
Rachunek r6iniczkowy i calkowy funkcji zmiennych rzeczywistych
6.5 Regufy r6zniczkowania Zanim wejdziemy glt(biej w ten problem, warto powiedziec kilka slow 0 cudownych regulach, ktore zawdzit(czamy rachunkowi rozniczkowemu, a ktore umozliwiajl! nam nieledwie automatyczne rozniczkowanie funkcji (ale, rzecz jasna, wymaga to trocht( wprawy!). Reguly te pozwalajl! od razu wyliczyc pochodne wielu funkcji, szczegolnie wtedy, gdy mozna je przedstawic w postaci szeregow pott(gowych. Pozwolt( sobie przypomniec, ze nieco wczesniej wspomniaiem, iz pochodnl! funkcji ~ jest 3xz. To szczegolny przypadek prostego, ale bardzo waznego wzoru: pochodnl! funkcjixn jest funkcja nx n- 1• Mozemy to zapisac nastt(pujl!Co:
d(xn) n-l --==nx . dx (Nie chct( sit( rozpraszac, dlatego pomint( dowod tego wzoru. Udowodnienie nie jest trudne i zainteresowany czytelnik znajdzie wszystko, co jest potrzebne, w dowolnym podrt(czniku elementow rachunku rozniczkowegoB• Warto tez zwrocic uwagt(, ze ten wzor jest prawdziwy tatie, gdy n nie jest liczbl! calkowitl!.) Rownanie to mozemy tez zapisae ("mnozl!c obie strony przez dx") w wygodny sposob jako:
d(xn) = nxn-1dx. Niewiele wit(cej trzeba wiedziec 0 rozniczkowaniu szeregow potygowych. Wystarczl! jeszcze dwie informacje. Po pierwsze, ze pochodna sumy funkcji jest suml! pochodnych tych funkcji:
d[f(x) + g(x)]
=
df(x) + dg(x).
Ta regula jest sluszna dla sumy dowolnej skonczonej liczby funkcjilO. Po drugie, pochodna iloczynu stalej i funkcji jest rowna iloczynowi pochodnej tej funkcji i tej stalej:
d[a f(x)] == a df(x). Przez termin "stala" rozumiem liczby, ktora nie zmienia siy wraz z x. Wsp6lczynniki rozwinit(cia szeregu pott(gowego ao' al' az' a3 , ••• , sl! stalymi. Poslugujl!c siy tymi regulami, jestesmy w stanie obliczyc pochodne dowolnego szeregu potygowego I6 .51• Innym sposobem zapisania faktu, ze liczba a jest stall!, jest
da == O. Majl!c to na uwadze, mozemy stwierdzic, ze poprzedni wzor jest szczegolnym przypadkiem - dla g(x) == a - bardziej ogolnego wzoru Leibniza:
d[f(x) g(x)] == f(x) dg(x) + g(x) df(x)
112
~ [6.5] Korzystajqc z rozwiniycia w szereg potygowy funkcji eX, podanego w rozdz. 5.3, pokaz, ze de = e\lx.
Reguty roi:niczkowania
6.5
(r6wniez wz6r d(xn)ldx = nx n-\ dla dowolnej liczby naturalnej n, moze bye wyprowadzony z wzoru Leibniza[6.61). Innym uiytecznym prawem jest
d[f(g(x»]
= f'(g(x»
g'(x)dx.
Na podstawie reguly pierwszej i dw6ch ostatnich, klad,!c f(x) [g(x)rl we wzorze Leibniza, mozemy wydedukowae, ze[6.71:
d(f(X)] = g(x) df(x)- f(x) dg(x). g(x) g(X)2 Wyposazeni w tych kilka regul (i, oczywiscie, mast( ewiczen), mozemy sit( stae "ekspertami r6zniczkowania" bez potrzeby rozumienia, dlaczego te reguly S,! prawdziwe! Na tym pol ega sila prawidlowego rachunku[6.81. Ponadto okazuje sit(, ze wystarczy znajomose pochodnych kilku szczeg61nych funkcji, aby stae sit( jeszcze lepszym ekspertem. Aby umozliwie czytelnikowi, kt6ry dopiero uslyszal 0 rachunku r6zniczkowym, przyjt(cie do "klubu ekspert6w r6zniczkowania", przytoczt( kilka waZnych przyklad6w[6.91.11:
d( eX) = eX dx, d(lnx) = dx, x
d( sin x ) = cosxdx, d(cosx) = -sinxdx,
dx
d(tgx) = - 2 - ' cos x
d(arcsinx) = d ( arc cos x) =
b' I-x dx
r:--?' '
'l/l-x 2 dx
d(arctgx) = - - 2 ' l+x Ilustruj,! one moje wczesniejsze spostrzezenie, zgodnie z kt6rym operacja r6zniczkowaniajest bardzo "latwa", pod warunkiem ze mamy do dyspozycjijawne formuly obliczania pochodnych z r6znych funkcji. Oczywiscie, nie sugerujt(, ze takie za-
~ [6.6] Pokaz to. ID [6.7] Wyprowadi t y relacjy. ID [6.8] Oblicz pochodne dy/dx dla funkcjiy = (l-rt orazy = (1 +x)/(l-x). ~ [6.9] Przyjrnujqc a za statq, wykonaj rozniczkowania: d(loga x), d(logx a), d(x X ).
113
6
Rachunek roiniczkowy i calkowy funkcji zmiennych rzeczywistych
dania mozna wykonywae z zamkniytymi oczami. W poszczegolnych przypadkach moze siy okazae, ze uzyskiwane wyrazenia stajq siy bardzo skomplikowane, ale mam tu raczej na mysli fakt, ze posiadamy procedury obliczeniowq, ktora pozwala nam na jawne przeprowadzenie rozniczkowania. Jesli wiemy, jak zrozniczkowae kazdy ze skladnikow jakiegos wyrazenia, to procedura rachunku rozniczkowego, taka jak przedstawiona, pozwala zrozniczkowae cale wyrazenie. Slowo "latwe" w tym przypadku oznacza w rzeczywistosci tyle, ze mozemy to zadanie bezpiecznie powierzye komputerowi. Sprawa jednak nie przedstawia siy tak latwo, kiedy probujemy pojse w odwrotnym kierunku.
6.6 Catkowanie
114
Jui: na poczqtku tego rozdzialu stwierdzilismy, ze calkowanie jest operacjq odwrotnq do operacji rozniczkowania. Oznacza to, ze istotq procedury calkowania jest znalezienie funkcjig(x), ktorej pochodnag'(x) = f(x). Innymi slowy, jest to poszukiwanie rozwiqzania,y =g(x), rownania dy/dx = f(x). Przykladowo na rys. 6.4 (lub na rys. 6.5) przechodzilismy od jakiejs funkcji y = f(x), idqc w dol, do jej kolejnych pochodnych. Calkowanie oznacza poruszanie siy w kierunku odwrotnym. Uroda "podstawowego twierdzenia rachunku calkowego" polega na tym, ze ta procedura pozwala nam obliczae pol a powierzchni pod kai:dq kolejnq krzywq. Spojrzmy na rys. 6.8. Przypomnijmy sob ie, ze dolna krzywa, u = f(x), moze bye uzyskana z krzywej gornej,y = g(x) , poniewazjest ona wykresem nachylen tej krzywej, af(x) jest pochodnq g(x). To wszystko juz poznalismy wczesniej, a teraz przyjrzyjmy siy temu od strony krzywej dolnej. Okazuje siy, ze goma krzywa po prostu wykresla pol a powierzchni pod krzywq dolnq. Mowiqc bardziej precyzyjnie: jesli rozwai:ymy dwie linie pionowe, w punktach x = a oraz x = b, wowczas pole powierzchni ograniczonej tymi dwiema liniami, osiq x-ow i samq krzywq dolnq, bydzie rowne roznicy wartosci wyznaczonych przez przeciycia tych dwoch linii prostych z krzywq gomq. Oczywiscie, przy tego rodzaju obliczeniach musimy uwazae na "znaki". Tam, gdzie dolna krzywa przyjmuje wartosci ujemne, a wiyc schodzi pod os x-ow, pol a powierzchni trzeba traktowae jako "powierzchnie ujemne". Ponadto na tym rysunku przyjqlem, ze a < b i, wobec tego, roznica "wartosci wysokosci" na gomej krzywej wynosi g(b) - g(a). Te znaki nalezaloby odwrocie, gdyby bylo a > b. Na rys. 6.9 probujy podae intuicyjne uzasadnienie, skqd bierze siy odwrotna relacja pomiydzy nachyleniami krzywych a pol ami powierzchni pod nimi. Wyobrazmy sobie, ze b jest nieco wiyksze od a. W takim przypadku pole powierzchni, ktore musimy rozwai:ye, pod dolnq krzywq, bydzie jedynie wqskim paskiem wyznaczonym przez blisko siebie polozone dwie linie proste x = a i x = b. Pole tej powierzchni jest w przyblizeniu rowne iloczynowi szerokosci tego wqskiego paska (tj. b - a) i jego wysokosci (liczonej od osix-ow do tej krzywej). Ale wysokose paskajest miarq nachylenia gomej krzywej w tym punkcie. Dlatego powierzchnia paska jest rowna iloczynowi tego nachylenia przez szerokose paska. Nachylenie gomej krzywej po-
Calkowanie
6.6
9
I
x
I I
I I
I
(a)
I I I I I
I I I I I I I
~ Powierzchnia
(b)
Rys. 6.8. Podstawowe twierdzenie rachunku calkowego: dokonaj reinterpretacji rysunku 6.4a, b, przechodz
mnozone przez szerokosc paska podaje nam wielkosc przyrostu gornej krzywej, gdy przechodzimy od punktu a do punktu b, czyli roznicy g(b) - g(a). Tak wiyc dla bardzo wqskich paskow wielkosc tej powierzchni jest rzeczywiscie wyznaczona przez ty roznicy. Szersze paski mozemy traktowac jako zbudowane z duzej liczby Wqskich paskow i catkowitq powierzchniy otrzymujemy, mierzqc przyrost gornej krzywej w catym przedziale. Muszy zrobic jednq istotnq uwagy. Przy przejsciu od krzywej dolnej do gornej wystypuje niejednoznacznosc dotyczqca tego, jak wysoko naleiy umiejscowic gornq krzywq. Interesuje nas jedynie roznica wysokosci na tej gornej krzywej, a zatern przesuwanie jej w gory lub w dol nie spowoduje zadnej roznicy. Jest to oczywi-
115
6
Rachunek roiniczkowy i calkowy funkcji zmiennych rzeczywistych
g I I I
g(b)'( g(a) (
I
I I I
I
I
I
+_>--< ____ L
(b
-t-~~----f- g )-g~ I I I I I I I
I I I I I I I
I I I I I I I
)
= powierzchnia zaciemnionego paska
x
a b
x
Rys. 6.9. Niech b bydzie infinitezymalnie wiyksze od a. Dla dolnej krzywej powierzchnia bardzo w!)skiego paska zawartego pomiydzy bliskimi siebie liniami prostymi x = a, x = b jest w dobrym przybli:i:eniu rowna szerokosci paska b - a, pomno:i:onej przez jego wysokosc (liczon!) od osi x do tej krzywej). Ale ta wysokosc jest rowna nachyleniu gornej krzywej w tym miejscu, st!)d powierzchnia paska jest rowna temu nachyleniu x szerokosc paska, a to z kolei jest rowne przyrostowi gornej krzywej przy przejsciu od a do b, czylig(b) -g(a). Po dodaniu do siebie wielu takich w!)skich pask6w powierzchnia szerokiego paska, znajduj!)ca siy pod krzyw!) doln!), bydzie r6wna wielkosci przyrostu gornej krzywej w odpowiednim przedziale.
ste tak.Ze w wypadku nachylen, poniewaz w roznych jej punktach nie ulegn~ one zmianie, jesli bydziemy j~ przesuwac w gory lub w dol. W naszym rachunku oznacza to tyle, ze jesli dodamy pewn~ stal~ e do g(x), to rozniczkuj~c ty funkcjy, otrzymamy ty sam~ funkcjy f(x):
d[g(x) + C]
=
dg(x) + de == f(x) dx + 0 == f(x) dx.
Taka funkcjag(x) alba rownowazna jej funkcjag(x) + e, dla dowolnej stalej e, nazywana jest calkq nieoznaczonq funkcjif(x), i zapisujemy to w sposob nastypujqcy:
ff(x) dx = g(x) + const. Jest to po prostu inny sposob zapisu relacji d[g(x) + const.] = f(x) dx, a wiyc znak f mozemy uwazac za odwrotnosc symbolu d. Je§li mamy zamiar obliczyc calky po okreslonym obszarze pomiydzy x = a ix == b, to potrzebujemy wielkosci, ktorq nazywamy calkq oznaczonq i zapisujemy: b
ff(x)dx = g( b) - g(a).
116
Jezeli znamy funkcjy f(x) i chcemy obliczyc jej calky g(x), nie mamy na ogol do dyspozycji tak prostych regul na podobienstwo tych, jakimi poslugujemy siy w przypadku rozniczkowania. Owszem, znamy wiele sprytnych trikow, wiele z nich znalezc mozna w standardowych podrycznikach lub oprogramowaniach komputerowych, ale nie wystarczajq one do obliczen we wszystkich przypadkach. CZysto jest tak, ze rodzina standardowych funkcji, ktore znamy w jawnej postaci, musi zostac poszerzona
Calkowanie
6.6
i konieczne jest wymyslenie nowych funkcji, aby moina bylo podae wyniki calkowania w zwartej postaci. Z sytuacjami takimi mielismy jui do czynienia w przypadkach wczesniej omawianych. Zaloimy, ie wiemy, jak poradzie sobie z funkcjami utworzonymi z roinych potygx. Moiemy latwo wycalkowaex n, uzyskuj'tcxn+ I/(n + 1). (Otrzymujemy to dziyki zastosowaniu naszego wzoru, podanego w rozdz. 6.5, zamieniaj'tc n na n + 1: d(xn+I)/dx = (n + 1)xn. I wszystko piyknie, dopoki nie zainteresujemy siy przypadkiem n = -1, w ktorym spodziewany wynikxn+I/(n + 1) rna zero w mianowniku, a tak bye nie moie. Jak wobec tego obliczye calky z X-I? Przy odrobinie szczyscia przypomnimy sobie, ie istnieje zwiqzek d(1nx) =x-I dx, podany w rozdz. 6.5. A wiyc odpowiedz brzmi: calka z X-I wynosi lnx + const Tym razem nam siy udalo, poniewai studiowalismy pojycie logarytmu, z innych powodow, i poznalismy pewne jego wlasnosci. Ale w innych przypadkach moie okazae siy, ie nie znamy takiej funkcji, za pomoq ktorej moglibysmy wyrazie nasz't calky. I rzeczywiscie tak jest; procedura calkowania prowadzi CZysto do zdefiniowania zupelnie nowych funkcji. Wlasnie w tym sensie wspomnialem, ie calkowanie jest "trudne". Kiedy nie jest nam potrzebne jawne wyraienie, lecz interesujemy siy jedynie kwesti't istnienia funkcji, ktore s't pochodnymi albo calkami zadanych funkcji, wowczas sprawa "trudnosci" przedstawia siy odwrotnie. Teraz calkowanie jest operacj't, ktora przebiega gladko, natomiast roiniczkowanie moie bye problematyczne. Podobnie, kiedy wykonujemy te operacje numerycznie. W gruncie rzeczy problem z roiniczkowaniem polega na tym, ie bardzo waine s't subtelne wlasnosci funkcji, ktora rna bye roiniczkowana. Moie to bye kiopotliwe, jesli nie dysponujemy jawnym wyraieniem opisuj'tcym ty funkcjy. Calkowanie natomiast jest wzglydnie nieczule na takie szczegoly i wystarcza znajomose ogolnego charakteru rozwaianej funkcji. I rzeczywiscie, dowolna funkcja ci'tgla (funkcja klasy CO), ktorej dziedzin't jest "domkniyty" przedzial a :::;; X :::;; b, moie bye wycalkowana l2 , a wynikiem calkowania bydzie funkcja klasy C (0 gladkosci klasy C I ). Jesli teraz ty now't funkcjy wycalkujemy, otrzymamy w wyniku funkcjy klasy C 2 , calkuj'tc jeszcze raz - bydziemy mieli funkcjy 0 gladkosci w klasie C\ i tak dalej. Calkowanie zamienia funkcjy w bardziej gladk't i moiemy tak posuwae siy w nieskonczonose. Roiniczkowanie natomiast, z tego punktu widzenia, pogarsza sytuacjy, i obliczaj'tc pochodne coraz wyiszego rZydu, moiemy dojse do punktu, w ktorym funkcja przestaje bye roiniczkowalna. Okazuje siy jednak, ie istnieje metoda, ktora umoiliwia rowniei nieograniczone kontynuowanie procesu roiniczkowania. Wspominalem jui 0 tym, kiedy pozwolilem sobie na roiniczkowanie funkcji Ixl (pomimo ie funkcja ta jest "nieroiniczkowalna") i otrzymalem w rezultacie funkcjy O(x). Moglibysmy sprobowae posun'tc siy dalej i zroiniczkowae rowniei funkcjy O(x), pomimo ii funkcja ta rna w pocz'ttku ukladu nieskonczone nachylenie. W wyniku takiej procedury otrzymamy funkcj~ delta Diraca!3 - wielkose, ktora rna ogromne znaczenie dla matematycznej struktury mechaniki kwantowej. Delta Diraca nie jest w ogole funkcj't w nor-
117
6
Rachunek r6i:niczkowy i calkowy funkcji zmiennych rzeczywistych
malnym (wsp6lczesnym) sensie tego slowa, w kt6rym przez "funkcjy" rozumiemy przyporzqdkowanie elementom zjej dziedziny odpowiadajqcych im wartosci. Funkcja delta w og6le nie rna wartosci w poczqtku ukladu wsp61rzydnych (wartose w tyro punkcie musialaby bye nieskonczona oraz zerem wszydzie poza tym punktem). Ma jednak jasno okreslony sens matematyczny, ale w ramach szerszej klasy obiekt6w matematycznych, znanych pod nazwq dystrybucji. Aby siy z nimi zapoznae, musimy rozszerzye nasze pojycie funkcji klasy C' na przypadek ujemnych calkowitych wartosci n. W6wczas funkcja 8(x) bydzie funkcjq klasy C-\ a funkcja delta bydzie klasy C- 2• Przy obliczaniu kazdej kolejnej pochodnej obniZamy klasy r6zniczkowalnosci 0 jedynky (tzn. klasa bydzie oznaczona liczbq ujemnq 0 jeden mniejszq). Wydaje siy, ze w ten spos6b oddalamy siy coraz bardziej od eulerowskiego pojycia "przyzwoitej funkcji" i ze Euler wolalby, bysmy siy nimi nie zajmowali, gdyby nie okolicznose, ze Sq to pojycia niezwykle uiyteczne. W swoim czasie zobaczymy, ze zastosowane tutaj liczby zespolone zaskoczq nas, w spos6b, kt6ry moglibysmy okreslie jako ironiczny, a ta ironia wyrazi siy w najbardziej niezwyklej manifestacji ich magicznych mozliwosci! Musimy z tym poczekae do konca rozdzialu 9, bo nie jestem w stanie opisae tego odpowiednio w tyro miejscu. Czytelnik musi wykazae trochy cierpliwosci, poniewaz grunt trzeba najpierw przygotowae, brukujqc go kamieniami 0 rzeczywiscie niezwyklych wlasciwosciach.
Przypisy Rozdzial 6.1 Dopuszczam siy tutaj pewnego naduiycia notacji, poniewaz np. pisz<}c X2, mamy na mysli wartosc funkcji, a nie sam<} funkcjy. Sarna funkcja oznacza przyporz<}dkowanie liczbie x liczby x 2, a wiyc powinnismy to zapisae raczej w formie x ~ X2, albo, zgodnie z notacj<} zaproponowan<} przez Alonzo Churcha (1936) i jego rachunku lambda, powinnismy pisae h[X2]; zob. rozdz. 2 w: Penrose (1989). 2 W tym rozdziale cZysto odwoiujy siy do tego, co Euler mogi rozumiee przez pojycie funkcji. Proszy jednak pamiytae, ze mowi<}c "Euler", mam na mysli osoby hipotetyczn<} czy wyidealizowanq. Nie posiadam zadnej bezposredniej informacji na temat rzeczywistych pogl<}dow w tej materii prawdziwego Leonharda Eulera. JednakZe pogl<}dy, ktore przypisujy mojemu "Eulerowi", mieszcz<} siy w standardzie pogl<}dow owego czasu. Wiycej informacji na temat Eulera zob. Boyer (1968); Thiele (1982); Dunham (1999). 1
Rozdzial 6.2 Szczegoiy zob. Burkill (1962). 4 Scisle mowi<}c, to funkcja f I jest pochodn<} funkcji f; nie mozemy uzyskae wartosci f I w punkcie x z wartosci funkcjif w tym punkcie. Zob. przyp. 1. 3
Rozdzial 6.3 Ten wzor jest nastypuj<}cy:f"(x)/[1 + f'(x)2f!2 6 W rzeczywistosci implikuje to, ze wszystkie pochodne, wi<}cznie z pochodn<} n-tego rZydu, musz<} bye ci<}gie, gdyz techniczna definicja rozniczkowalnosci wymaga ci<}giosci. [Uwaga tlumacza: pewne zamieszanie jest zwi<}zane z terminologi<} uZywan<} w polskich szkoiach. Przezfunkcj~ gladkq rozumie siy na ogoi funkcjy klasy CO].
5
118
Przypisy Rozdzial 6.4 7
Takie rozwiniycie w szereg potygOWY w pocz'!tku uldadu wsp6lrzydnych jest nazywane zgodnie z tradycj,! (ale niekoniecznie zgodnie z histori'!) szeregiem Maclaurina. Bardziej og6lne rozwiniycie, wok6l punktu p (zob. dalszy wyklad w tym rozdziale) zwi'!zane jest z nazwiskiem Brooka Taylora (1685-1731) i nazywane szeregiem Taylora.
Rozdzial 6.5 8
9
10
11
Zob. Edwards, Penney (2002). Na razie mozemy potraktowac to wyrazenie w spos6b czysto formalny, albo, jak ktos woli, podzielic z powrotem przez dx. Notacja, kt6rej tutaj u:i:ywam, jest zgodna z zapisem form r6zniczkowych, kt6re bydziemy omawiac w rozdz. 12.3-6. Tutaj trzeba zachowac ostroznosc podczas stosowania tego prawa do sumy nieskonczonej ilosci wyraz6w, a to zachodzi w przypadku nieskonczonych szereg6w potygowych. Ty techniczn,! subtelnosc mozemy zignorowac, kiedy rozpatrujemywartoscix lez'!ce scisle wewn'!trz okrygu zbieznosci; zob. rozdz. 4.4. Przypomnij sobie z rozdz. 5.1, ze funkcje arc sin, arc cos oraz arc tg S,! funkcjami odwrotnymi funkcji sin, cos i tg. Dlatego sin( arc sin x) = x, itd. Musimy jednak pamiytac, ze te funkcje odwrotne S,! "funkcjami wielowartosciowymi" i dlatego zwykle wybieramy przedzialy jednoznacznosci tych funkcji, a wiyc -1t/2 ~ arc sin x ~ 1t/2, 0 ~ arc cos x ~ 1t, -1t/2 ~ arc tg x ~ 1t/2.
Rozdzial6.6 12
13
Waznym wymaganiem jest, zeby przedzial calkowania byl sp6jny; zob. rozdz. 12.6. Przedziaty skonczone na rzeczywistej osi liczbowej zawieraj,!ce ich konce s,! przedzialami sp6jnymi. Okazuje siy, ze ty "funkcjy delta" wymyslit, na wiele lat przed Dirakiem, Oliver Heaviside.
7 Rachunek rozniczkowy i calkowy w zmiennych zespolonych 7.1 Gtadkosc zespolona; funkcje holomorficzne JAK naleZy rozumiec pojt;cie r6zniczkowania w odniesieniu do funkcji zmiennej
zespolonej J(z)? Z pewnosci,! nie byloby wlasciwe, gdybym w tej ksi,!zce usilowal przedstawic to zagadnienie w spos6b szczeg610wyl. Nie zrobilem tego nawet w wypadku funkcji zmiennej rzeczywistej, w rozdz. 6.2, ale postaram sit; przekazac zasadnicze idee. W tym rozdziale spr6bujt; naszkicowac wt;zlowe punkty procedury, aby przedstawic, czego mozemy sit; spodziewac i co osi,!gniemy na drodze r6zniczkowania zespolonego. P6zniej zapoznamy sit; nieco dokladniej z niekt6rymi najbardziej zadziwiaj,!cymi jej elementami. Przede wszystkim do zrozumienia r6zniczkowania funkcji zmiennej zespolonej potrzebne jest pojt;cie "nachylenia" krzywej zespolonej w = J(z) w dowolnym punkcie z dziedziny tej funkcji. (Zar6wno sarna funkcjaJ(z), jak i zmienna z mogq teraz przyjmowac wartosci zespolone.) Aby pojt;cie nachylenia mialo logiczny sens, gdy zmieniamy wartosc z w r6znych kierunkach na plaszczyznie zespolonej, sarna funkcjaJ(z) musi spelniac part; r6wnan, kt6re nazywamy warunkami Cauchy'ego-Riemanna 2 (r6wnania te zawierajq pochodne rzeczywistej i urojonej czt;sci J(z), wzit;te po rzeczywistej i urojonej czt;sci zmiennej z; zob. rozdz. 10.5). R6wnania te wyrazaj'! pewne godne uwagi wlasnosci calkowania zespolonego, kt6re umozliwiaj,! now'! farmt; calkowania, nazywanq calkowaniem po konturze. To pojt;cie pozwala na uzyskanie bardzo part;cznego wyrazenia na n-tq pochodn,! funkcjiJ(z). W ten spos6b, gdy tylko okreslimy pierwszq pochodnq, mozna powiedziec, ze od r~ki uzyskujemy wszystkie pochodne wyzszych rzt;d6w. Formult; tt; zastosujemy nastt;pnie do uzyskania wsp6lczynnik6w szeregu Taylora dla J(z) , 0 kt6rym musimy dowieSc, ze rzeczywiscie jest zbidny do J(z). Kiedy to zrobimy, bt;dziemy dysponowac rozwinit;ciem w szereg Taylora dlaJ(z) (to wazne dla wnt;trza dowolnego okrt;gu na plaszczyznie zespolonej, na kt6rej J(z) jest zdefiniowana i r6zniczkowalna). Czary polegaj,! tu na tym, ze kazda funkcja zmiennej zespoionej, kt6ra rna wlasnosc gladkosci zespolonej, jest funkcjq analitycznq!
Calkowanie po konturze
7.2
Dziyki temu w analizie funkcji zmiennej zespolonej nie rna problemu ze zrozumieniem ograniczen "procesu sklejania" pewnych funkcji klasy C", na przyklad takich jak funkcja h(x), ktor£! zdefiniowalismy w poprzednim rozdziale. Potyga pojycia gladkosci zespolonej z pewnosci£! zachwycilaby Eulera. (Co prawda, Leonhard Euler nie dOZyI odkrycia znaczenia gladkosci zespolonej: dokonal tego Augustin Cauchy dopiero w 1821 roku, a wiyc w 38 lat po jego smierci.) Gladkosc zespolona zapewnia daleko bardziej ekonomiczny sposob przedstawienia wszystkiego, co potrzebne dla spelnienia eulerowskich wymogow, nil: rozwiniycie w szereg potygowy. Jest taki:e inna zaleta takiego spojrzenia na funkcje z zespolonego punktu widzenia. Przypomnijmy sobie problemy z funkcjq lIx, ktora wydawala siy "jednq funkcjq" niezaleznie od faktu, ze krzywa y = lIx skladala siy z dwoch oddzielnych cZysci, ktorych nie mozna bylo polqczyc "analitycznie" w dziedzinie rzeczywistych wartosci x. Patrzqc z perspektywy zmiennych zespolonych, widzimy wyrainie, ze funkcja liz jest rzeczywiscie pojedynczq funkcjq. Jedynym miejscem, w ktorym pojawiajq siy klopoty na plaszczyznie zespolonej, jest poczqtek ukladu z = o. Jesli usuniemy ten jeden punkt z plaszczyzny zespolonej, wciqz bydziemy mieli spojny obszar. Ta cZysc osi rzeczywistej, dla ktorej x < 0, pozostanie polqczona z czysciqx > 0 przez plaszczyzny zespolonq. Dziyki temu funkcja liz jest rzeczywiscie jednq, polqczonq funkcjq zespolonq, a to jest zupelnie inna sytuacja nil: wowczas, gdy obracalismy siy w krygu wylqcznie liczb rzeczywistych. Funkcje, ktore w tym sensie cechuje gladkosc zespolona (analitycznosc zespolona), nosz£! nazwy holomorJicznych. Funkcje holomorficzne byd£! odgrywaly wainq roly w wielu dalszych rozwaianiach. W rozdziale 8 poznamy ich znaczenie dla odwzorowan konforemnych i powierzchni Riemanna, w rozdziale 9 docenimy ich zwiqzek z szeregami Fouriera, fundamentalnymi dla teorii drgan. Odgrywajq one ogromnq roly w mechanice kwantowej i w kwantowej teorii pol a (zapoznamy siy z tym w rozdz. 24.3 i 26.3). Majq rowniez podstawowe znaczenie dla rozwoju nowych teorii fizycznych (szczegolnie dla teorii twistorow - zob. rozdz. 33 - oraz dla teorii strun; zob. rozdz. 31.5, 13, 14).
7.2 Calkowanie po konturze Aczkolwiek to nie jest odpowiednie miejsce do przedstawienia wszystkich szczegolow matematycznych programu, ktory naszkicowalem w poprzednim rozdziale, na chwily zatrzymamy siy, aby wyjasnic, co rozumiemy przez pojycie calkowania po konturze, gdyz w ten sposob czytelnik przekona siy, w jaki sposob pozwala one na spelnienie uprzednio podanych wymogow. W tym celu przypomnijmy sobie najpierw pojycie calki oznaczonej, ktore zdefiniowalismy w poprzednim rozdziale dla przypadku zmiennej rzeczywistej x, i zastosujmy teraz ty definicjy dla zmiennej zespolonej z: b
ff(z)dz a
=
g(b)- g(a),
121
7
Rachunek roiniczkowy i calkowy w zmiennych zespolonych
gdzie g'(z) = fez). W przypadku funkcji rzeczywistych calkujemy od pewnego punktu a na rzeczywistej osi liczbowej do innego punktu na tej osi, b. Jest tylko jedna droga wzdluz tej osi, ktora prowadzi od punktu a do b. A teraz przeniesmy sil( w swiat zmiennych zespolonych. Tutaj a i b s~ dwoma punktami na plaszczyznie zespolonej. Teraz mamy zupelnie inn~ sytuacjl(, juz nie rna jedynej drogi od a do b, lecz mozemy wykreslie wiele drog l~cz~cych te dwa punkty. Warunki Cauchy'ego-Riemanna mowi~, ze jeSli wykonamy calkowanie wzdluz jednej z tych drog3, to jego wynik b\(dzie taki sam jak wzdlui: kaidej innej, ktor~ utworzymy, deformuj~c jak~kolwiek drogl( w sposob ci~gly i nie wychodz~c poza dziedzinl( tej funkcji; zob. rys. 7.1.Wlasnose ta jest konsekwencj~ prostego przypadku zastosowania "podstawowego twierdzenia rachunku rozniczkowego form zewnl(trznych", opisanego w rozdz. 12.6. Dziedziny niektorych funkcji (i funkcja liz jest tutaj dobrym przykladem) maj~ "dziurl(" (w naszym przykladzie dziur~ jest punkt z = 0), wi\(c drogi przejscia od a do b mog~ istotnie sil( roznie. Sformulowanie "istotnie siy rozniC" oznacza, ze jedna z tych drog nie moze przejse w drug~ poprzez ci~gl~ deformacjl(, nie wychodz~c poza dziedzinl( funkcji. W takich przypadkach, przy roznych drogach calkowania, otrzymamy rozne wartosci calki od a do b. Koniecznie trzeba tutaj zrobie jedno zastrzezenie. Kiedy mowil( 0 ci~glej deformacji drogi calkowania, mam na mysli tak~ deformacjl(, ktoq matematycy nazywaj~ deformacjq homologicznq, a nie homotopijnq. Przy deformacji homologicznej jest calkiem mozliwe, ze niektore kawalki drogi calkowania znosz~ sil( wzajemnie, co oznacza, iZ s~ one pokonywane w przeciwnych kierunkach; zob. rys. 7.2, ktory podaje przyklad tego rodzaju mozliwosci. Drogi, ktore w taki sposob przechodz~ jedna w drug~, nalez~ do tej samej klasy homologii. Drogi, w ktorych takie wzajemne znoszenie sil( ich kawalkow nie jest mozliwe, naleZ~ do tej samej klasy homotopii. Krzywe homotopijne s~ zawsze rowniez homologiczne, ale nie zawsze jest na odwrot. Zarowno homotopia, jak i homologia maj~ zwi~zek z rownowaznosci~ przy dokonywaniu ruch6w ci~glych. Z tego powodu nalez~ one do dziedziny matematycznej zwanej topologiq. W dalszych rozdzialach przekonamy sil(, jak wielk~ roll( odgrywaj~ rozne aspekty topologii w dyskusji innych zagadnien.
Rys. 7.1. R6zne drogi calkowania od a do b. Calkuj~c funkcjy holomorficzn~fwzdluz jednej z tych dr6g,
122
otrzymujemy taki sam wynik jak przy calkowaniu wzdluz innej, kt6r~ uzyskujemy przez ci~gl~ deformacjy pierwszej w ramach dziedziny funkcji. W przypadku niektorych funkcji dziedzina rna "dziury" (np. z = 0 w przypadku funkcji liz), co uniemozliwia pewne deformacje, a to prowadzi do roznych wynik6w.
Catkowanie po konturze
@
~
7.2
Rys. 7.2. Przy deformacji homologicznej niektore czt,:Sci drog calkowania znoszq sit,: wzajemnie, jesli przechodzimy je w przeciwnych kierunkach. Czasami prowadzi to do powstania oddzielnych pt,:tli.
Dla funkcji J(z) = 1/z otrzymujemy rozne wyniki calkowania, jesli drogi, pO ktorych calkujemy, nie s,! homologiczne. Latwo mozemy si~ 0 tym przekonac, przypominaj,!c sobie, co wiemy 0 logarytmach. Pod koniec rozdzialu 6 zauwaiylismy, ze funkcja In z jest calk,! nieoznaczon,! z funkcji 1/z. (Wprawdzie stwierdzilismy to jedynie w przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej x, ale takie sarno rozumowanie jest wazne dla przypadku wartosci zespolonych. Jest to regula ogolna i rna zastosowanie rowniez do innych wzorow, ktore podalismy w jawnej postaci.) W takim razie mozemy napisac: bdz f-=lnb-lna. a
Z
Przypomnijmy jednak sobie (rozdz. 5.3), ze logarytm zespolony rna wiele alternatywnych znaczen. Dla nas jest istotne, ze mozemy, w sposob ci,!gly, przechodzic od jednych do drugich. Aby to zilustrowac, umowmy si~, ze b~dziemy utrzymywac ustalon'! wartosc a, natomiast b~dziemy zmieniali b. Przypuscmy, ze dokonamy, w sposob ci,!gly, jednego obrotu b wokol pocz'!tku ukladu, w kierunku dodatnim (tzn. przeciwnie do ruchu wskazowek zegara; zob. rys. 7.3a) i powrocimy do pozycji wyjsciowej. Pami~tajmy, na podstawie rozdz. 5.3, ze urojona cz~sc In b jest po prostu argumentem liczby zespolonej (tzn. jest to k,!t, jaki promien wodz'!cy b tworzy z dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej, mierzony w sensie dodatnim; zob. rys. 5.4b). Podczas tego obrotu argument przyrosl dokladnie 0 wartosc 21t, a to oznacza, ze In b wzrosl 0 21ti (zob. rys. 7.3b). Tak wi~c wartosc naszej calki wzrasta 0 21ti za kazdym razem, gdy droga calkowania wykona kolejny obrot (w sensie dodatnim) wokol pocz'!tku ukladu. Rezultat ten mozemy przeformulowac, posluguj,!c siy poj~ciem konturow zamkniftych, ktorych istnienie jest decyduj,!c,! i charakterystyczn'! cech,! analizy zespolonej. Rozwaimy roznic~ pomiydzy pierwsz,! a drug,! drog,! omawianego calkowania, inaczej mowi,!c, przejdzmy najpierw po drugiej z tych drog, a nastypnie pokonajmy pierwsz,! z nich, ale w odwrotnym kierunku (rys. 7.3c). Roznicy ty pojmujemy w sensie homologicznym, to znaczy redukujemy te cZysci, przez ktore przechodzimy w przeciwnych kierunkach i, w sposob ci,!gly, wygladzamy reszt~. W wyniku takiego post~powania powstaje droga zamkni~ta - czyli kontur - tworz'!ca poje-
123
7
Rachunek r6iniczkowy i calkowy w zmiennych zespolonych
...
...... , .'
.:
b
a (b)
(a)
a (e)
•
(d)
Rys. 7.3. (a) Calkujllc Z-l od a do b, otrzymujemy In b -In a. (b) Utrzymujllc stale a, obchodzimy z b raz jeden wokol poczlltku uktadu, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazowek zegara, zwierkszajllc w ten sposob wartos6 In b 0 21ti. (c) Powro6my teraz do a wzdlui POczlltkowej drogi. (d) Redukcja drog przechodzonych w przeciwnych kierunkach zostawia nam tylko calker po zamkniertym konturze, obchodzonym w kierunku przeciwnym do ruchu wskazowek zegara, czyli fZ-ldz = 21ti.
dyncz,! pydy wokol pocz'!tku ukladu (zob. ryS. 7.3d), przy czym dokladne polozenie punktow a i b nie odgrywa roli. Mamy tu przyklad calki po konturze zamkniytym, zwykle oznaczanej symbolem ktora w tym konkretnym przypadku wynosi(7.l]
t, t dzz = 21ti.
Oczywiscie, kiedy poslugujemy siy tym symbolem, musimy precyzyjnie okreslic, jaki jest kontur calkowania, czyli jaka jest klasa homologii tego konturu. Gdyby nasz kontur zawieral dwukrotny obrot wokol pocz'!tku ukladu (w sensie dodatnim), to wynik calkowania wynioslby 41ti. Gdyby pojedynczy obrot zostal wykonany w kierunku przeciwnym, to w wyniku calkowania otrzymalibysmy -21ti. Jest interesuj,!ce, ze uzyskanie nietrywialnego wyniku calkowania po konturze zamkniytym jest w sposob istotny zwi,!zane z wieloznacznosci'! logarytmu zespolonego, a wiyc z wlasciwosci,!, ktora moglaby siy wydawac raczej nieprzyjemn,! stron,! definicji logarytmu. To, ze sila analizy zespolonej w sposob istotny uwarunkowana jest t'! wlasnie wlasciwosci,!, nie jest tylko ciekawostk'!. W kolejnych dwoch rozdzialach wskazy niektore implikacje tego faktu. Ufam, ze rowniez czytelnicy dalecy od matematyki znajd,! w tej dyskusji cos wartosciowego. Jestem przekonany, ze odsloni ona cos zarowno istotnego, jak i zadziwiaj,!cego w naturze rozumowania matematycznego.
124
ta[7.1] Wyjasnij, dlaczego pzndz = 0, gdy n jest liczbq calkowitq roinq od-1.
Szeregi
pot~gowe
a gladkosc zespolona
7.3
7.3 Szeregi potfi'gowe a gfadkosc zespolona Przytoczone uprzednio wyraienie jest szczeg61nym przypadkiem (dla funkcji stalej = 2ni) znanej formuly Cauchyego, kt6ra podaje wz6r na wartosc funkcji holomorficznej w pocz'!tku uldadu poprzez calky po konturze obejmuj,!cym pocz'!tek uldadu4 :
fez)
~ f fez) dz = f(O). 2m
z
W tym przypadku funkcjaf(z) jest holomorficzna w pocz'!tku ukladu (tzn. jest zespolenie gladka w pewnym obszarze zawieraj,!cym pocz'!tek ukladu), a kontur jest jak,!s pytl,! otaczaj,!c,! ten pocz'!tek lub dowoln'! pytl,! homologiczn,! do niej, w dziedzinie tej funkcji, ale z wyjytym pocz'!tkiem ukladu. W ten spos6b ujawnilismy wazny fakt, ze zachowanie siy funkcji w poczq,tku ukladu jest calkowicie zdeterminowane przez jej zachowanie na zbiorze punkt6w otaczajq,cych ten pocz'!tek. (Formula Cauchy'ego jest w zasadzie konsekwencj,! warunk6w Cauchy'ego-Riemanna oraz relacji pz-1dz = 2ni, przy przejsciu do granicy malych pytli; ale nie chcialbym tutaj wchodzic w szczeg6Iy.) Gdybysmy teraz w formule Cauchy'ego w miejscu 1/z wstawili 1/.2"+\ gdzie n jest dodatni,! liczb,! calkowit'!, otrzymalibysmy "formuly Cauchy'ego wyzszego rzydu", kt6ra wyznacza n-t,! pochodn,! funkcjif(z) w pocz'!tku uldadu wsp6lrzydnych:
(zob. definicjy symbolu n! w rozdz. 5.3). Mozemy latwo przekonac siy, ze ten wz6r jest sluszny, badaj,!c rozwiniycie funkcji fez) w szereg pot ygOwy[7.2] , jednakZe na razie nie wiemy, czy takie rozwiniycie istnieje, ani nawet czy istnieje n-ta pochodna tej funkcji. Do tej pory wiemy, ze fez) jest zespolenie gladka, ale nie wiemy jeszcze, czy mozna j,! zr6zniczkowac wiycej niz jeden raz. A zatem uZyjemy tej formuly jako definicji n-tej pochodnej funkcji w pocz'!tku ukladu. Nastypnie posluZymy siy t'! definicj,! do okreslenia wsp6lczynnik6w rozwiniycia w szereg Maclaurina, an =fnl(O)/n! (zob. rozdz. 6.4)
aO +a 1z+a 2z...2 +a 3z 3 +a 4z 4 + ... , i przy odrobinie wysilku mozemy wykazac, ze ten szereg jest rzeczywiscie zbiezny, w pewnym obszarze obejmuj,!cym pocz'!tek ukladu, do wartoscif(z). W takim razie funkcja ta rna, w pocz'!tku ukladu, n-t,! pochodn,! wyrazon'! podanym juz wzorem[7·3]. To stanowi istoty argumentu, kt6rywykazuje, ze gladkosc zespolona w pewnym otoczeniu pocz'!tku ukladu rzeczywiscie implikuje analitycznosc (zespolon'!) funkcji w pocz'!tku ukladu (tj. holomorficznosc).
fa [7.2] Pokaz to, wstawiajqc po prostu szereg Maclaurina w miejsce fez) pod calkq. ~ [7.3] Spr6buj to wykazac przynajmniej w spos6b formalny, nie przejmujqc siy scislym uzasadnieniem. Wskaz6wka: sp6jrz na formuly Cauchy'ego z przesuniytym poczqtkiem.
125
7
Rachunek roiniczkowy i calkowy w zmiennych zespolonych
Oczywiscie, poczl!tek ukladu nie jest zadnym szczegolnym punktem. Mozemy rownie dobrze poslugiwac siy rozwiniyciem w szereg potygowy wokol dowolnego punktu p na plaszczyznie zespolonej, w tym wypadku bylby to szereg Taylora, jak w rozdz. 6.4. W tym celu wystarczy przesunl!c poczl!tek ukladu do punktu pi otrzymamy formuly Cauchy'ego w postaci wyrazenia "z przesuniytym poczl!tkiem ukladu":
~f fez) dz=f(p), 2m
(z- p)
a dla n-tej pochodnej otrzymamy wzor:
~,( fez) dz = f(n)( ) p , z-p 2 m. j ()n+l gdzie kontur calkowania otacza teraz punkt p na plaszczyznie zespolonej. Widzimy wiyc, ze gladkosc zespolona implikuje analitycznosc (holomorficznosc) funkcji w kaidym punkcie jej dziedziny. Zdecydowalem siy przedstawic zasadnicze elementy dowodu, ze, lokalnie, gladkosc zespolona implikuje analitycznosc, zamiast po pro stu poprosic czytelnika, aby przyjl!l ten fakt na wiary, a to dlatego, ze mamy tu znakomity przyklad drogi, ktorl! matematycy cZysto dochodzl! do swoich wynikow. Ani poczl!tkowe zalozenie (f(z) jest zespolenie gladka), ani konkluzja (f(z) jest analityczna) nie zawierajl! najmniejszej aluzji do pojycia zamkniytego konturu calkowania oraz do wieloznacznosci logarytmu zespolonego. Tymczasem wlasnie te pojycia stanowil! punkty wyzlowe drogi znalezienia odpowiedzi. Trudno sobie nawet wyobrazic, jak mozna by tego dokonac w sposob "bezposredni" (cokolwiek to znaczy). Kluczem jest sklonnosc do swego rodzaju matematycznej zabawy. Tym, co nas w nil! wcil!ga, jest sarna natura logarytmu zespolonego, z pominiyciem zwil!Zku z mozliwymi zastosowaniami logarytmu w tej czy innej dziedzinie. To sarno, nawet w jeszcze wiykszym stopniu, rnoglibysmy powiedziec 0 calkowaniu po konturze. Jest cos niezmiernie eleganckiego i atrakcyjnego w koncepcji, w ktorej topologiczna swoboda wil!ze siy z nadzwyczajnl! precyzjl! jawnych i konkretnych wzorow[7.4l. JednakZe nie chodzi tylko 0 saml! elegancjy: calkowanie po konturze to niezwykle sprawna technika matematyczna, uZyteczna w wielu roznych obszarach, ktore majl! cos wspolnego z magil! liczb zespolonych. W szczegolnosci pro-
126
~ [7.4] Niech funkcja fez) bt(dzie holomorficzna na calym konturze r, a takie wewn'!trz tego konturu zwyj'!tkiem skonczonej liczby punkt6w, w kt6rych fez) rna bieguny. W rozdz. 4.4 pokazalismy, ze biegun rzt(du n pojawia sit( w takim punkcie z = a, w kt6rymf(z) rna postac h(z)/(z - aY, podczas gdy funkcja h(z) jest regularna w punkcie a. Udowodnij, ze TJ(z)dz = = 21ti x{suma residu6ww tych punktach}, gdzie residuum biegunaa wynosih(n-l) (a)/(n -I)!
Przedluienie analityczne
7.4
wadzi do zaskakuj'lcych obliczen wielu calek oznaczonych oraz do jawnego sumowania roznych szeregow nieskonczonych[7.5 J,[7.6 J• Znajduje rowniez mnostwo zastosowan w fizyce i technice, a takZe w innych dzialach matematyki. Dla Eulera z pewnosci'l byloby to cos nieslychanie satysfakcjonuj'lcego!
7.4 Przedfuzenie analityczne
Dowiedzielismy siy w rezultacie, ze gladkose zespolona w pewnym obszarze jest rownowazna istnieniu rozwiniycia w szereg potygowy wokol dowolnego punktu leZ'lcego w tym obszarze. Trzeba tu jednak wyjasnie, co w tym kontekscie rozumiemy przez pojycie "obszaru". Mam na mysli to, co matematycy nazywaj'l obszarem otwartym. Sens tego okreslenia jest taki, ze jesli jakis punkt a naleZy do tego obszaru, to istnieje okr'lg 0 srodku w punkcie a, ktorego cale wnytrze tez naleZy do tego obszaru. Moze to nie jest intuicyjnie zrozumiale, wiyc podam pary przykladow. Obszarem otwartym nie jest ani pojedynczy punkt, ani zwykla krzywa. Takim obszarem bydzie natomiast wn~trze okrygu jednostkowego na plaszczyznie zespolonej, a wiyc zbior wszystkich punktow, ktorych odleglose od pocz'ltku ukladu jest mniejsza niz jeden. Jest tak dlatego, ze kaZdy punkt wewn'ltrz tego okrygu, bez wzglydu na to, jak niewielka jest jego odlegtosc od obwodu, moze bye zawsze otoczony przez duzo mniejszy okr'lg, ktorego wnytrze rowniez, w calosci, znajdzie siy wewn'ltrz okrygu jednostkowego (zob. rys. 7.4). Okryg zamkniyty zas, zawieraj'lCY punkty, ktorych odleglose od pocz'ltku ukladu jest mniejsza od jednego alba rowna jeden, nie bydzie obszarem otwartym, poniewaz dol'lczylismy do niego obwod okrygu, a wiyc zbior punktow, jakie juz nie maj'l tej wlasnosci, ze kazdy z nich moze bye srodkiem pewnego okrygu, ktorego wnytrze bydzie w calosci nalezalo do okrygu wyjsciowego. Rozwazmy teraz dziedziny5 D pewnej funkcji holomorficznej [(z) i niech D bydzie obszarem otwartym. W kaZdym punkcie tego obszaru funkcja [(z) jest zespolenie gladka. St,!d, zgodnie z tym, co juz powiedzielismy, jesli wybierzemy dowolny punkt p naleZ,!CY do D, to istnieje wokol niego zbiezny szereg potygowy, przedstawiaj,!CY [(z) w pewnym obszarze zawieraj,!cym p. Jak wielki jest ten ob-
r
x-1sinx = n/2, calkuj,!c funkcjt( ze iz po konturze zamknit(tym r skladaj,!cym sit( z dw6ch odcink6w osi rzeczywistej, od -R do -E i od E do R (R > E > 0) oraz dwu l'!cz'!cych p61okrt(g6w w g6rnej p61plaszczyznie 0 promieniach wynosz'!cych, odpowiednio, E i R. Nastt(pnie wykonaj przejscie graniczne E -+ 0 i R -+ 00. 1m [7.6] Pokaz, ze 1 + (1/2)2 + (1/3)2 + (1/4)2 + ... = n/6, calkuj,!cfunkcjI( fez) =Z-2 ctg nz (zob. przypis 1 w rozdz. 5) po jakims duZym konturze, powiedzmy po kwadracie 0 srodku w pocz'!tku ukladu i boku r6wnym 2N + 1 (gdzie N jest duz,! liczb,! calkowit'!) i przechodz'!c z N do nieskonczonosci. (~kaz6wka: skorzystaj z cwiczenia [7.4], znajduj,!c bieguny funkcji i ich residua. Spr6buj uzasadnic, dlaczego calka z fez) po konturze r osi,!ga graniczn,! wartosc 0, gdy N d,!Zy do nieskonczonosci).
1m [7.5] Pokaz, ze
127
7
Rachunek r6iniczkowy i calkowy w zmiennych zespolonych
~.
/~r'"
tf..
f:. \
,':j .'. J
"<..j "~ ... ,.:.;./
Rys. 7.4. Otwarty obszar jednostkowy Ixl < 1. Dowolny punkt wewnl!trz tego obszaru, dowolnie blisko jego obwodu, moze bye otoczony dui:o mniejszym okrygiem, kt6ry w calosci leZy dokladnie wewnl!trz okrygu jednostkowego, Z kolei obszar, do kt6rego wll!czyJibysmy obw6d, a wiyc zawierajl!CY punkty Ixl ~ 1, takiej wlasnosci nie rna,
szar? Okazuje sil(, ze dla niektorych p rozwinil(cie w szereg potl(gowy nie bl(dzie sluszne w calym obszarze D. Przypomnijmy sobie pojl(cie okr~gu zbieinosci, opisane w rozdz. 4.4. Jest to pewien okqg 0 srodku w p (promien moze bye nieskonczony) taki, ze dla wszystkich punktow lezlj,cych scisle wewnlj,trz okrl(gu rozwinil(cie w szereg potl(gowy jest zbiezne, natomiast dla punktow lezlj,cych scisle na zewnlj,trz okrl(gu - rozbiezne. Przypusemy, ze f(z) rna osobliwosc w pewnym punkcie q, a wil(c w punkcie, do ktorego nie moze bye przedluzona bez naruszenia gladkosci zespolonej. (Na przyklad funkcjaf(z) = liz rna osobliwose w poczlj,tku ukladu, a wil(c w q = 0, zob. rozdz. 7.1. 0 takim punkcie mowimy czasem jako 0 "punkcie osobliwym" funkcji. Natomiast punkt regulamy jest to taki punkt, w ktorym funkcja nie rna osobliwosci, a wil(c jest holomorficzna.) W takim przypadku okrlj,g zbieznosci nie moze bye tak duZy, zeby punkt q lezal wewnlj,trz niego. Otrzyrnujemy w efekcie mozaikl( okrl(gow zbidnosci (na ogol nieskonczenie wiele), ktore razem wypelniajlj, caty obszar D, podczas gdy zaden pojedynczy okrlj,g nie jest w stanie go pokrye. Ilustruje to przypadek funkcji fez) = liz (zob. rys. 7.5). Dziedzinlj, tej funkcji jest cal a plaszczyzna zespolona z wyjlj,tkiem poczlj,tku ukladu, Jesli wybierzemy pewien punkt p w D, to zauwaZyrny, ze okrl(giem zbieznosci bl(dzie okrlj,g 0 srodku w punkcie p przechodzlj,CY przez poczlj,tek ukladu[7.71. Aby pokrye caly obszar D, potrzebujemy nieskonczonej ilosci takich okrl(gow. Wszystko to prowadzi nas do waznego zagadnienia przedluzenia analitycznego. Przypusemy, ze mamy zadanlj, pewnlj, funkcjl( fez), holomorficznlj, w pewnym obszarze D, i rozwazmy nastl(pujlj,CY problem: czy mozemy poszerzye obszar D do jakiegos wil(kszego obszaruD', w taki sposob, zeby funkcjaf(z) byta holomorficzna w calym obszarze D'? Mogtoby bye na przyklad tak, ze funkcjaf(z) bytaby zadana w postaci szeregu potl(gowego zbieznego w pewnym szczegolnym okrl(gu zbieznosci, i chcielibysmy przedluZye fez) poza ten okrlj,g.
128
~ [7,7] Jak wyglqda rozwini
Przedluzenie analityczne
"~. ~<:~;~;L-~ --\
':.'~
7.4
Rys. 7.5. Dla funkcjiJ(z) = liz dziedzin'} D jest cala plaszczyzna zespo]ona z wyj'}tkiem pocz'}tku ukladu. Okr,}g zbieznosci wok61 dowolnego pUnktu p w D rna srodek w punkcie p i przechodzi przez pocz'}tek ukladu. Aby wypelnic cal'} domen'r D, potrzebujemy mozaiki zlozonej z nieskonczonej ilosci takich okr'rg6w.
CZystokroc odpowiedz jest pozytywna. W rozdz. 4.4 rozwazalismy szereg 1 - Z2 + Z4 - Z6 + ... , kt6rego okrygiem zbieznosci byl okr,!g jednostkowy. W spos6b naturalny mozemy przedluZyc ten szereg do funkcji (1 + z2t\ kt6ra jest holomorficzna na calej plaszczyfnie zespolonej, jesli tylko usuniemy dwa punkty: +i oraz -i. Mozemy wiyc rzeczywiscie przedluZyc zadan'! funkcjy daleko poza obszar, w kt6rym pocz'!tkowo zostala okreslona. W tym przypadku bylismy w stanie podac jawne wyraZenie dla tej funkcji, ale w innych przypadkach to moze nie byc takie proste. Istnieje jednak og61na procedura, za pomoq kt6rej czysto mozemy dokonac przedluzenia analitycznego. WyobraZmy sobie, ze zaczynamy w pewnym malym obszarze, w kt6rym znamy rozwiniycie w szereg potygowy jakiejs holomorficznej funkcji[(z). Mozemy teraz zacz'!c posuwac siy wzdluz pewnej drogi, przedluZaj,!c nasz'! funkcjy przez kolejne rozwijanie w szereg potygowy w nastypnych punktach. W ten spos6b ustalimy przedluzenie analityczne, pod warunkiem ze kolejne okrygi zbieznosci byd,! siy nakladaly (zob. rys. 7.6). Po przeprowadzeniu tej procedury uzyskana funkcja bydzie w spos6b jednoznaczny zdeterminowana przez wartosci funkcji w obszarze wyjsciowym i wzdluz drogi przedluZania. W przypadku funkcji holomorficznych mamy do czynienia z godn,! uwagi "sztywnosci,!" funkcji, kt6ra ujawnia siy w procesie przedluzania analitycznego. W przypadku funkcji rzeczywistych klasy CO mozna bylo "rozmyslic siy" co do tego,
Rys. 7.6. Funkcja holomorficzna moze byc przedluzona analitycznie przez uZycie ci,}gu rozwini'rc w szeregi pot'rgowe wok61 pewnej sekwencji punkt6w. Procedura ta jest jednoznaczna wzdluz drogi I'}cz'}cej srodki okr'rg6w, przy zalozeniu, ze kolejne okr'rgi zbiemosci nakladaj'} si'r na siebie.
129
7
Rachunek r6iniczkowy i calkowy w zmiennych zespolonych
jak powinna sit( zachowywae przedlui:ana funkcja, podobnie jak w przypadku "gladko zszywanej" funkcji hex) z rozdz. 6.3, rys. 6.7, ktora, mimo ze przyjmowala wart08e zero dla wszystkich ujemnych x, nagle w punkcie x = 0 "odrywala" sit( od osi rzeczywistej. Funkcje holomorficzne tak sit( nie zachowuj:j,. Z chwil:j, ustalenia funkcji w obszarze pocz:j,tkowym i drogi przedluzenia analitycznego nie mamy juz wyborn, jak funkcja bt(dzie przedluzona. Rowniez w przypadku rzeczywistych funkcji analitycznych zmiennych rzeczywistych wystt(puje podobna "sztywnose". Jednakze i tu nie mamy wyborn, gdyz przedluzanie moze odbywae sit( tylko w jednym lub drngim kiernnku na osi rzeczywistej. Przypadek funkcji zmiennej zespolonej jest bardziej interesuj:j,cy, poniewai mamy swobodt( wyborn drogi na plaszczyznie dwuwymiarowej. Jako przyklad rozwazmy nasz stary, znajomy lnz. Funkcja ta z pewnosci:j, nie moze bye rozwinit(ta w szereg pott(gowy w pocz:j,tku ukladu, poniewai rna tam osobliw08e. Ale mozemy dokonae rozwinit(cia wokol jakiegos innego punktu, na przyklad p = 1, i otrzymae szereg[7.81: Inz =(z-1)-1.(z-1)2 +1.(z_1)3 _1.(z_1)4 + ... 234
Okrt(giem zbieznosci jest w tym wypadku okr:j,g jednostkowy 0 srodku w punkcie z = 1. Wyobrazmy sobie, ze przeprowadzamy przedluzenie analityczne wzdluz pewnej drogi, ktora przebiega naokolo pocz:j,tku ukladu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazowek zegara. Moglibysmy teraz dokonae rozwinit(cia w szereg pott(gowy wokol kolejnych punktow, na przyklad 1, w, w2 i jeszcze raz 1, powracaj:j,c do punktu wyjscia po jednokrotnym obrocie wokol zera (rys. 7.7). Uiylem tutaj trzech pierwiastkow szesciennych z jedynki, regularnie polozonych na okrt(gu jednostkowym, a wit(c wartosci 1, W = e2~iJ3, W= e4~iJ3 (zob. rozdz. 5.4), zatem wybrana droga przedluzenia analitycznego jest trojk:j,tem rownobocznym 0 srodku w pocz:j,tku
Rys. 7.7. Rozpoczynaj~c w z = 1, przedlui:amy analitycznie J(z) = log z wzdluz drogi okqzaj~ cej pocz~tek ukladu w kierunku przeciwnym do ruchu wskaz6wek zegara (rozwijaj~c w szereg wok61 kolejnych punkt6w 1, w, w 2 i jeszcze raz 1; gdzie w = e 2'i/3). W wyniku uzyskujemy funkcjy J powiykszon~ 0 21ti.
130
B
[7.8] Przeprowadz to rozwiniycie.
Przedluienie analityczne
7.4
ukladu. Alternatywnie moglbym wybrae wartosci 1, i, -1, -i, 1, ale to byloby nieekonomiczne. Oczywiscie, tutaj nie rna potrzeby dokonywae rozwiniye w szeregi potygowe, poniewaz mamy jawnq postae funkcji, ktorq otrzymamy - jest niq In z. Problem polega na tym, ze idqc jednoznacznie za funkcjq i obchodzqc jednorazowo dookola poczqtek ukladu, przedluZylismy naSZq funkcjy, w sposob jednoznaczny, do wartosci roznej od wartosci poczqtkowej. W wyniku obejscia nasza funkcja przyrosla 0 21ti. Gdybysmy wybrali procedury obejscia w kierunku przeciwnym, wowczas nasza funkcja zostalaby pomniejszona 0 21ti. Widzimy wiyc, ze jednoznacznose przedluzenia analitycznego jest sprawq delikatnq i zaleZy od tego, ktorq drogy wybierzemy. Dla funkcji wieloznacznych, ale bardziej skomplikowanych niz In z, wynik bylby bardziej zlozony niz zwykle dodanie stalej (jak np. 21ti) do poczqtkowej wartosci funkcji. Na marginesie warto dodae, ze procedura przedluzenia analitycznego nie musi siy odwolywae do rozwiniye w szeregi potygowe, niezaleznie od tego, ze ich uZycie okazalo siy pomocne w moim opisie. Istnieje inna klasa szeregow, ktore majq wieikie znaczenie w teorii Iiczb, a mianowicie tzw. szeregi Dirichleta. Najwazniejszy z nich to funkcja dzeta (Eulera- )Riemanna 6 , ktorq definiujemy za pomocq nieskonczonej sumi ~(z)
= 1-z + T + 3-z + 4-z + yz + ... Z
Sum a ta jest zbiezna do funkcji holomorficznej ~(z), gdy czyse rzeczywista z jest wiyksza od 1. Przedluzenie analityczne definiuje jq w sposob jednoznaczny (i "jednowartosciowy") na calej plaszczyznie zespoIonej z wyjqtkiem punktu z = 1. Bye moze najwazniejszym dzisiaj nierozwiqzanym problemem matematycznymjest tzw. hipoteza Riemanna, ktora dotyczy zer tej analitycznie przedluzonej funkcji dzeta, a wiyc rozwiqzan rownania ~(z) = o. Dose latwo pokazae, ze ~(z) przyjmuje wartose zero dlaz = -2, -4, -6; Sq to zera rzeczywiste. Hipoteza Riemanna glosi, ze wszystkie pozostale zera tej funkcji lezq na linii Re(z) =!-' to znaczy, ze ~(z) staje siy rowna zero (z wyjqtkiem przypadkow, gdy z jest ujemnq parzystq Iiczbq calkowitq) tylko wtedy, gdy czyse rzeczywista z jest rowna!-. Wszystkie obIiczenia numeryczne przeprowadzone do czasow obecnych potwierdzajq ty hipotezy, ale dowodu jeszcze nikt nie znalazl. Hipoteza ta rna fundamentalne znaczenie dla teorii liczb pierwszych8 •
Przypisy Rozdzial7.1 Czytelnikom, kt6rzy chcieliby zapoznac siy z tym fascynujqcym zagadnieniem blizej, gorqCO polecam ksiqzky Needham (1997). 2 R6wnania te przedstawiy w rozdz. 10.5, po wprowadzeniu pojycia pochodnej czqstkowej. 1
3
Rozdzial 7.2 M6wiqc precyzyjnie, calkowanie funkcji f wzdlui drogi danej r6wnaniem z = p(t), gdzie p jest gladkq funkcjq 0 wartosciach zespolonych rzeczywistego parametru t, mozna wyrazic
131
7
Rachunek roiniczkowy i calkowy w zmiennych zespolonych jako calky oznaczonq f:f(P(t»p'(t)dt = f:f(z)dz, gdzie p(u) jest punktem poczqtkowym a, natomiast p(v) punktem koiicowym b na drodze p. Rozdzial7.3 Intuicyjnym "powodem", dla kt6rego formula Cauchy'ego winna bye prawdziwa, jest fakt, ze wewnqtrz bardzo malej pytli obejmujqcej poczqtek ukladu wsp6lrzydnych funkcjaf(z) moze bye traktowana jako stala wartose f(O), a zatem jej badanie sprowadza siy do przypadku rozwazanego w rozdz. 7.2. 5 Wyjasnienie tlumacza: Autor u:i:ywa w tym miejscu pojycia domain, kt6re w angielskim oryginale wystypuje w dwu r6znych znaczeniach. Jednym z nich jest dowolny "sp6jny obszar otwarty na plaszczyznie zespolonej". JednakZe tutaj Autor, podobnie jak w rozdz. 6.1, rozumie przez to obszar na plaszczyznie zespolonej, na kt6rym funkcja rna dobrze okreslone wartosci, i kt6ry nie musi bye ani otwarty, ani sp6jny (aczkolwiek tutaj przyjmujemy, ze ten obszar jest otwarty). 6 Funkcjq dzeta pierwszy zajmowal siy Euler, ale zwykle wiq:i:e siy jq z nazwiskiem Riemanna ze wzglydu na jego fundamentalnq pracy zwiqzanq z rozwazeniem tej funkcji na plaszczyznie zespolonej. 7 Zwr6emy uwagy na kuriozalny zwiqzek miydzy tym szeregiem a zwyklym szeregiem potygowym, mianowicie, ze (-z) + (_Z)2 + (_Z)3 + ... = -z(1 + ztl. 8 Wiycej informacji na temat funkcji dzeta i hipotezy Riemanna zob. Apostol (1976); Priestley (2003). Bardziej populame opracowania: Devlin (1988, 2002); Derbyshire (2003); du Sautoy (2003); Sabbagh (2002). 4
8 Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone 8.1 Idea powierzchni Riemanna sposobem, aby zrozumiec to, co siy dzieje przy przedluzaniu analitycznym funkcji logarytmicznej - a takZe kaZdej innej funkcji wieloznacznej - jest stosowanie pojycia powierzchni Riemanna. Pomysl Riemanna polegal na tym, zeby za dziedziny takich funkcji nie uwazac jakiegos podzbioru punkt6w na plaszczyznie zespolonej, ale pewien obszar 0 wielu platach. W przypadku funkcji In z mozemy ten obszar przedstawic jako rodzaj spiralnej slimacznicy, splaszczajq.cej siy pionowo do plaszczyzny zespolonej. Na rysunku 8.1 pr6bowalem przedstawic, jak to moze wyglq.dac. Na tej wijq.cej siy wieloplatowej slimacznicy, kt6ra zastypuje teraz plaszczyzny zespolonq., funkcja logarytmiczna jest jednowartosciowa, poniewaZ za kazdym razem kiedy obracamy siy wok61 poczq.tku ukladu, do wartosci logarytmu trzeba dodac 2ni, po czym przechodzimy na kolejny plat jej dziedziny. Tutaj nie pojawia siy konflikt miydzy r6znymi wartosciami logarytmu, poniewaz jego dziedzinq. jest ta rozwiniyta i wijq.ca siy przestrzen - przyklad powierzchni Riemanna - kt6ra w subtelny spos6b r6zni siy od samej plaszczyzny zespolonej. Autor tego pomyslu, Bernhard Riemann, byl jednym z najwiykszych matematyk6w wszech czas6w w ciq.gu swego kr6tkiego Zycia (1826-1866) wysunq.l mn6stwo pomysl6w i idei matematycznych, kt6re w ogromnym stopniu zawaZyly na DOBRYM
Rys. 8.1. Powierzchnia Riemanna dla funkcji In z, zobrazowana jako spiralna slimacznica spiaszczaj,!ca si~ pionowo.
8
Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone
mysli matematycznej na naszej planecie i przyczynily siy do jej rozwoju. W dalszych rozdzialach tej ksi,!zki zetkniemy siy jeszcze nieraz z tym uczonym i jego wkladem, omawiaj,!c na przyklad podstawy ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina ( 0 jednym z wainych osi,!gniye Riemanna, chociaz innego rodzaju, mowilismy pod koniec rozdzialu 7). Zanim Riemann wprowadzil pojycie tego, co dzisiaj nazywamy "powierzchni,! Riemanna", matematycy ostro spierali siy, jak traktowae "funkcje wielowartosciowe", ktorych jednym z najprostszych przykladow jest funkcja logarytmiczna. Dla zachowania scislosci wielu matematykow uwazalo, ze funkcje te trzeba traktowae w sposob, ktory osobiscie uwaiam za wrycz szkodliwy. (Przypadkowo tak siy sklada, ze takiego podejscia uczono mnie na studiach uniwersyteckich, pomimo ze juz prawie caly wiek min,!l od pojawienia siy epokowej pracy Riemanna.) Uwazano na przyklad, ze dziedzina funkcji logarytmicznej powinna zostae "przecit(ta" w pewien arbitralny sposob, prost,! poprowadzon,! od zera do nieskonczonosci. W moim odczuciu bylo to brutalne znycanie sit( nad wysublimowan'! struktur,! matematyczn,!. Riemann nauczyl nas, ze powinnismy myslee 0 tych sprawach zupelnie inaczej. Funkcje holomorficzne nie pasuj,! specjalnie do popularnego obecnie pojycia "funkcji" jako odwzorowania elementow z pewnej ustalonej dziedziny na okreslon,! przestrzen wartosci. Jak to juz stwierdzilismy przy omawianiu procedury przedluzenia analitycznego, funkcja holomorficzna "sarna decyduje" 0 tym, co powinno bye jej dziedzin,!, niezaleznie od obszaru plaszczyzny zespoIonej, jaki pocz'!tkowo jej przyporz,!dkowalismy. Podczas gdy mozemy uwazae, ze dziedzin,! danej funkcji jest zwi'!zana z ni,! powierzchnia Riemanna, to ta dziedzina nie jest z gory zadana; to jawna postae tej funkcji sarna okresla, ktora powierzchnia Riemanna jest aktualnie jej dziedzin,!. Wkrotce zapoznamy siy z roznymi rodzajami powierzchni Riemanna. Ta piykna idea odgrywa wain,! roly w wielu wspolczesnych pro bach sformulowania pods taw fizyki matematycznej - najbardziej znane z nich to teoria strun (rozdz. 31.5,13), ale takZe teoria twistorow (rozdz. 33.2, 10). W rzeczywistosci powierzchnia Riemanna dla funkcji Iogarytmicznej jest najprostsz'! z tych struktur i zaledwie zwiastunem tego, co nas czeka. Bye moze nieco bardziej interesuj,!ca jest powierzchnia Riemanna dla funkcjiz", gdy liczba zespolona a jest liczb,! wymiern,!. Gdya jest liczb,! niewymiern,!, wowczas powierzchnia Riemanna dla funkcjiz" rna tak'! sam,! struktury jak dla funkcji In z, natomiast gdy a staje siy liczb,! wymiern,!, ktor,! w najprostszej postaci daje siy zapisae jako a = min, wowczas spiralne platy powierzchni Riemanna l'!cz'! sit( znowu po n obrotach[8.11. We wszystkich tych przypadkach punkt z = 0 nazywany jest punktem rozgal~zienia. Jesli platy powierzchni Riemanna l'!cz'! siy po n obrotach (jak w przypadku funkcji fin, gdzie min nie maj,! wspolnego podzielnika), wowczas mowimy, ze punkt rozgalyzienia jest skOliczonego 1Z~du alba ze jest 1Z~du n. Jesli nie l'!cz'! sit( w zadnym rZydzie (jak w przypadku funkcji logarytmicznej), wowczas mowimy, ze punkt rozgalyzienia jest 1Z~du nieskonczonego.
134
fO [8.1] Wyjasnij dlaczego.
Idea powierzchni Riemanna
8.1
Natomiast juz wyraZenie takie jak (1 - ~)l/2 wymaga chwili namyslu. W tym przypadku funkcja rna trzy punkty rozgalyzienia, z = 1, Z = OJ i Z = OJ2 (gdzie OJ = e 2ni/3 ; zob. rozdz. 5.4 i 7.4), a wiyc tam gdzie 1 - Z3 = 0, a ponadto jest jeszcze "punkt rozgalyzienia w nieskoficzonosci". Gdy dokonujemy jednego pelnego okr,!zenia wokol kazdego z tych punktow i pozostajemy w jego bezposrednim s,!siedztwie (dla punktu w nieskoficzonosci oznacza to obrot po bardzo duiym okrygu), widzimy, ze funkcja zmienia znak, a po kolejnym obrocie powraca do swojej pocz'!tkowej wartosci. Z tego wynika, ze wszystkie te punkty rozgalyzienia S,! rZydu 2. Mamy dwa platy powierzchni Riemanna, sklejone w sposob, jaki sprobowalem przedstawit: na rys. 8.2a. Na rysunku 8.2b, wykorzystuj,!c rozne topologiczne ewolucje, pokazujy, ze ta powierzchnia Riemanna rna topologiy torusa, przypominaj,!cego powierzchni y prec1a, ale z czterema malefikimi otworkami odpowiadaj,!cymi czterem punktom rozgalyzienia. Gdybysmy te otworki, jednoznacznie, wypelnili (czte-
(a)
(c)
(b)
Rys. 8.2. (a) Konstrukcja powierzchni Riemanna funkcji (1_r)112 z dwoch platow, z punktami rozgaIyzienia rZydu 2, w miejscach 1, w, w 2 (a taIcie (0). (b) Aby zobaczyc, ze powierzchnia Riemanna funkcji (1 - Z3)112 topologicznie odpowiada torusowi, wyobraimy sobie plaszczyzny z rysunku (a) jako dwie sfery Riemanna z wyciyciami przeprowadzonymi od punktow w do w2 oraz od 1 do 00, ktorych identyfikacjy wskazujll strzalki. W efekcie otrzymujemy topologiczne wake, ktore odpowiednio sklejone dajll torus. (c) Aby skonstruowac jaklls powierzchniy Riemanna (albo, ogolnie, jaklls rozmaitosc), mozemy sklejac ze sobll "latY' odpowiedniej przestrzeni - ktorymi w tym przypadku Sll otwarte kawalki plaszczyzny zespolonej. Musi tu wystypowac naldadanie (ale typu zbioru otwartego) pomiydzy odpowiednimi kawalkami (a po polllczeniu musi siy pojawic "rozgalyzienie nie typu Hausdorffa", jak w podanym przyldadzie; zob. rys. 12.5b w rozdz. 12.2).
135
8
Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone
rema pojedynczymi punktami), wowczas powstala powierzchnia Riemanna odpowiadalaby dokladnie torusowi[8.21. Powierzchnie Riemanna stanowi,! wstypne przyklady ogolnego pojycia rozmaitosci, ktore oznacza przestrzen, traktowan,! jako "zakrzywion,!" na rozne sposoby, ale ktora lokalnie (tzn. w wystarczaj'!co malym otoczeniu dowolnego z jej punktow) wygl,!da jak czyse zwyklej przestrzeni euklidesowej. Z rozmaitosciami zapoznamy siy bliZej w rozdzialach 10 i 12. Pojycie to jest bardzo waine dla wielu dzialow wspolczesnej fizyki. Najbardziej zadziwiaj,!ce jest, ze stanowi one istotny element ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina. Rozmaitosci mozemy sobie wyobraiae jako patchwork sklejony z pewnej liczby roznych "lat", ale sklejonych "bez szwow", nie tak jak w przypadku funkcji hex) pod koniec rozdz. 6.3. To zszywanie "bez szwow" uzyskuje siy dziyki temu, ze miydzy kolejnymi "latami" zawsze zachodzi nakladanie siy (typu zbioru otwartego; zob. rys. 8.2c, a takZe rozdz. 12.2, rys. 12.5). W przypadku powierzchni Riemanna rozmaitose (a wiyc sarna powierzchnia Riemanna) jest sklejana z roznych lat plaszczyzny zespolonej, ktore tworz'! kolejne platy, az do wypelnienia calej powierzchni. Tak jak w omawianym przykladzie, w wyniku tej procedury moze powstae kilka "dziur", w postaci brakuj,!cych punktow rozgal~zienia skonczonego rz~du, ale mog,! one bye zawsze, w sposob jednoznaczny, uzupelnione. W przypadku punktow rozgalyzienia rZydu nieskonczonego nie mozna natomiast rownie latwo sformulowae ogolnej reguly. Jako przyklad rozwaimy powierzchniy Riemanna funkcji logarytmicznej, ktora rna postae poprzednio omawianej spiralnej slimacznicy. Gdybysmy chcieli skonstruowae model papierowy tej powierzchni, kawalek po kawalku, to tworzylyby j,! ukladane na przemian laty skladaj,!ce si~ z (a) plaszczyzny zespolonej z usuniyt,! nieujemn,! cZysci,! osi rzeczywistej i (b) plaszczyzny zespolonej z usuniyt,! niedodatni,! cZysci,! osi rzeczywistej. Gam,! polowy kazdej laty (a) sklejamy z gam,! polow,! kolejnej laty (b), a doln,! polow~ kaidej laty (b) sklejamy z doln,! polow'! kolejnej laty (a); zob. rys. 8.3. W pocz'!tku ukladu powstaje punkt rozgalyzienia nieskonczonego rZydu oraz drugi taki punkt w nieskonczonosci. Ku naszemu zaskoczeniu, cala ta slimacznica spiralna jest rownowaina powierzchni kuli z jednym brakuj,!cym punktem, ale ten punkt moze bye w sposob jednoznaczny uzupelniony, tak ze otrzymujemy peln,! sfery[8.31.
8.2 Odwzorowania konforemne Kiedy skladamy jak,!s rozmaitose, powinismy wiedziee, jaka struktura lokalna musi zostae zachowana przy zszywaniu kolejnych lat. Zwykle mamy do czynienia z rozmaitosciami rzeczywistymi, a rozne laty S,! kawalkami przestrzeni euklidesowej
136
B [8.2] A teraz spr6buj przeanaIizowac funkcjy (1 - Z4)1!2. B [8.3] Czy mozesz pokazac,jak to siy dzieje? (U-Skaz6wka: pomysl 0 powierzchni Riemanna zmiennej w (= In z); zob. rozdz. 8.3).
Odwzorowania konforemne
(a)
(b)
8.2
Rys. 8.3. Powierzchniy Riemanna dla funkcji logarytmicznej moiemy skonstruowac, biorllc, na przemian, (a) plaszczyzny zespolonll z usuniytll nieujemnll cZyscill osi rzeczywistej i (b) plaszczyzny zespolonll z usuniytll niedodatnill CZyscill osi rzeczywistej. G6mll polowy kaidej laty (a) sklejamy z g6mll poloWll kolejnej laty (b), a dolnll polowy kaidej laty (b) sklejamy z dolnll polowll kolejnej laty (a).
(0 ustalonym wymiarze), ktore sklejamy ze sob,! wzdluz roznych (otwartych) nakladaj,!cych si~ na siebie obszarow. Dopasowanie lokalnej struktury od jednej laty do drugiej jest tylko spraw,! zachowania ci,!glosci lub gladkosci. Zagadnienie to omowimy w rozdz. 10.2. JednakZe w przypadku powierzchni Riemanna mamy do czynienia zg/adkosciq zespolonq, a z rozdz. 7.1 pami~tamy, ze jest to sprawa bardziej delikatna i wymaga rozwaienia warunkOw Cauchy'ego-Riemanna. Aczkolwiek nie zapoznalismy si~ jeszcze z tymi warunkami explicite (zrobimy to w rozdz. 10.5), b~ dzie rzecz'! wlasciw,!, zebysmy sprobowali zrozumiee geometryczne znaczenie struktury w nich zakodowanej. Jest to struktura 0 wielkiej sile, elastycznosci i elegancji, prowadz'!ca do koncepcji matematycznych 0 szerokim zakresie zastosowaii. Chodzi tu 0 pojycie geometrii konforemnej. Z grubsza bior,!c, w geometrii konforemnej interesujemy siy ksztaltami, a nie rozmiarami, i mamy tu na mysli ksztalty w skali infinitezymalnej. Przy odwzorowaniu konforemnym jednego (otwartego) obszaru plaszczyzny na inny ksztalty 0 rozmiarach skoiiczonych zostajq zwykle znieksztalcone, ale ksztalty infinitezymalne pozostaj,! zachowane. Rozpatrzmy to na przykladzie niewielkich (infinitezymalnych) okr~gow narysowanych na plaszczyinie. W odwzorowaniu konforemnym te male okrygi mog,! ulec powi~kszeniu lub pomniejszeniu, ale nie mog,! zostae odksztalcone do postaci malych elips; zob. rys. 8.4. Aby zrozumiee, czym moze bye transformacja konforemna, spojrzmy na obraz M.e. Eschera, przedstawiony na rys. 2.11, ktory ilustruje konforemne przedstawienie plaszczyzny hiperbolicznej na plaszczyinie Euklidesa, jak to opisalismy w rozdz. 2.4 ("kolo Poincarego" Beltramiego). Plaszczyzna hiperboliczna jest bardzo symetryczna. W szczegolnosci wystypuj,! tu transformacje, ktore odwzorowujq figuryw centralnym obszarze obrazu Eschera w odpowiadajqce im maleiikie figury lez,!ce weWll'!trz okrygu ograniczaj,!cego. Przeksztalcenie tego rodzaju mozemy przedstawie jako konforemny ruch plaszczyzny Euklidesa, ktory zamienia wnytrze okrygu granicznego na siebie. J asne jest, ze taka transformacja nie moze na ogol zachowae
137
8
Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone
Rys. 8.4. Przy odwzorowaniu konforemnym male Cinfinitezymalne) okrygi mogll zostac powiykszone lub pomniejszone, ale nie mogll zostac odwzorowane na male eJipsy.
rozmiar6w poszczeg6lnych figur (poniewai: te, kt6re znajduj(! sit( w srodku obrazu, s(! duzo wit(ksze od tych w pobliZu brzegu), ale ksztalty s(! w zasadzie zachowane. To zachowanie ksztaltu staje sit( tym dokiadniejsze, im mniejsze detale kai:dej z figur badamy tak, ze istotnie ksztalty infinitezymalne pozostaj(! w og6le niezmienione. Bye moze czytelnik latwiej zrozumie, jesli ujmiemy to inaczej: odwzorowanie konforemne zachowuje kqty. Ina tym polega konforemna natura transformacji. Ale co wsp6lnego rna ta konforemna cecha z zespolon(! gladkosci(! (holomorficznosci(!) jakiejs funkcjif(z)? Postarajmy sit( intuicyjnie uchwycie geometryczny sens gladkosci zespolonej. Powr6emy do tradycyjnego punktu widzenia, wedlug kt6rego relacja w = fez) oznacza odwzorowanie pewnego obszaru wartosci na plaszczyznie zespolonej z (dziedziny funkcji f) na obszar wartosci na plaszczyznie zespolonej w (zbi6r wartosci funkcji); zob. rys. 8.5. Pojawia sit( nastt(puj(!ce pytanie: jakie lokalne wlasnosci geometryczne decyduj(! 0 tym, ze to odwzorowanie jest holomorficzne? Odpowiedz jest uderzaj(!ca: holomorficznose f jest r6wnowazna z(!daniu, zeby odwzorowanie bylo konforemne i bezodbiciowe (ten ostatni warunek oznacza, ze odwzorowanie zachowuje skrfitnosc, czyli ze male ksztalty powstale w wyniku transformacji nie ulegly odbiciu; zob. koncowe fragmenty rozdz. 12.6). Wym6g "gladkosci" w odniesieniu do transformacji w = fez) dotyczy zachowania sit( tej transformacji w granicy infinitezymalnej. Rozwazmy najpierw przypadek rzeczywisty i zbadajmy raz jeszcze nasz(! rzeczywist(! funkcjt( f(x) z rozdz. 6.2, kt6rej wykres jest przedstawiony na rys. 6.4. Funkcja ta jest gladka w jakims punkcie, jesli jej wykres rna w tym punkcie dobrze okreslon(! styczn(!. Tt( styczn(! mozemy sobie przedstawie nastt(puj(!Co: wyobrazmy sobie, ze dokonujemy coraz znaczniejszego powit(kszenia krzywej w tym punkcie. Jesli krzywa jest gladka, to im wit(ksze powit(kszenie, tym krzywa bardziej przypomina linit( prost(! przecho-
r- I--r----If
Rys. 8.5. Odwzorowanie w = fCz) rna
\
/
I
l
1/
'I ~
138
plaszczyzna z
plaszczyzna w
dziedziny, ktorll jest otwarty obszar na plaszczyinie zespolonej z, i zbior wartosci, jakim jest otwarty obszar na plaszczyinie zespolonej w. Holomorficznosc jest rownowaina illdaniu, ieby to odwzorowanie bylo konforemne i bez odbic.
Odwzorowania konforemne
8.2
dz,!c,! przez ten punkt, a przy nieskonczenie duZym powiykszeniu staje siy identyczna z prost,! styczn,! do krzywej w tym punkcie. W przypadku gladkosci zespolonej jest podobnie, tyle tylko ze teraz odwzorowujemy plaszczyzny z na plaszczyzny w. Aby zbadae infinitezymalne wlasnosci tego odwzorowania, sprobujmy wyobrazie sobie bezposrednie otoczenie punktu z na jednej plaszczyznie i odwzorujmy je na bezposrednie otoczenie punktu w na drugiej. Aby zbadae bezposrednie otoczenie punktu, wyobrazmy sobie, ze powiykszylismy otoczenie punktu z ogromn,! ilose razy i tak,! sam,! ilose razy powiykszylismy otoczenie punktu w. W granicy odwzorowanie powiykszonego otoczenia z na powiykszone otoczenie w bydzie po prostu liniow,! transformacj,! plaszczyzny, ale jesli ono rna bye holomorficzne, to musi bye jednym z przeksztalcen omawianych w rozdz. 5.1. Z tego wynika (po chwili zastanowienia), ze w przypadku ogolnym przeksztalcenie otoczenia z w otoczenie w bydzie kombinacj,! pewnego obrotu zjednorodnym wydluZeniem (lub skroceniem); zob. rys. 5.2b. Innymi slowy, male ksztalty (albo k,!ty) s,! zachowane bez odbicia, co oznacza, ze odwzorowanie jest rzeczywiscie konforemne i bezodbiciowe. Przyjrzyjmy siy kilku prostym przykladom. Specjalnymi przypadkami odwzorowan s,! transformacje, ktore polegaj,! na dodaniu stalej b do z alba na pomnozeniu z przez jak,!s stal'! a. Sytuacje takie analizowalismy w rozdz. 5.1 (zob. rys. 5.2). S'! one oczywiscie holomorficzne (z + b oraz az S,! rozniczkowalne) i w oczywisty sposob S,! konforemne. Stanowi,! szczegolne przypadki ogolniejszego przeksztalcenia (liniowego i niejednorodnego)
w=az+b. Przeksztalcenia takie opisuj,! euklidesowe ruchy na plaszczyznie (bez odbicia, w pol,!czeniu zjednorodnym wydluzeniem (lub skroceniem).W istocie S,! to jedyne (bezodbiciowe) odwzorowania konforemne, ktore przeksztalcaj,! cal,! plaszczyzny zespolon,! z w cal,! plaszczyzny zespolon'! w. Ponadto maj,! one ty szczegoln'! wlasnose, ze odwzorowuj,! wszystkie okrygi - nie tylko infinitezymalne - w okrygi, a linie proste w linie proste. Innym prostym przykladem funkcji holomorficznej jest funkcja W=Z-I,
ktora odwzorowuje plaszczyzny zespolon'! z usuniytym pocz'!tkiem ukladu na plaszczyzny zespolon'! z usuniytym pocz'!tkiem ukladu. Zadziwiaj,!ce jest, ze ta transformacja rowniez odwzorowuje okrygi w okrygi[8.4] (linie proste traktujemy tutaj jako szczegolne przypadki okrygow - 0 nieskonczonym promieniu). Przeksztalcenie zawieraj,!ce operacjy odbicia wzglydem osi rzeczywistej nosi nazwy inwersji. Skladaj,!c je z poprzednio przedstawionym odwzorowaniem liniowym niejednorodnym, otrzymamy ogolniejsz,! transformacjy[8.5] ~
[8.4] Pokaz to.
is [8.5] Sprawdz, ze kolejne zastosowanie sekwencji przeksztalcen Z ZH
H
Cz + D rzeczywiscie daje w wyniku odwzorowanie homograficzne.
Az + B,
Z H
z-l,
139
8
Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone
az+b ez+d ktora nosi nazwy odwzorowania homograjicznego['] alba odwzorowania Mobiusa. Na podstawie tego, co powiedzielismy przed chwil1!, taka transformacja musi odwzorowywac okrygi w okrygi (linie proste traktujemy jako szczegolny rodzaj okrygow). Transformacja M6biusa przeksztalca cal1! plaszczyzny zespolon1! bez punktu -d/c w cal1! plaszczyzny zespolon1! z usuniytym punktem a/c, a zatem ieby takie przeksztalcenie nie bylo trywialne, musimy zai1!dac ad"* be (a wierc ieby licznik nie byl jak,!s wielokrotnosci,! mianownika). Zauwaimy, ie punkt usunierty z plaszczyzny z (z = -d/c) po przeksztalceniu przeszedlby w punkt W = 00 i odwrotnie: punkt usunierty z plaszczyzny w jest taki (w = a/c), ii na plaszczyznie z odpowiadalby mu punkt z = 00. W rzeczy samej nasza transformacja bylaby bardziej kompletna, gdybysmy wl,!czyli wielkosc ,,00" zarowno do dziedziny, jak i do zbioru wartosci funkcji. Ten sposob myslenia prowadzi nas do najprostszego przykladu (sp6jnej) powierzchni Riemanna, jak,! jest sfera Riemanna. W=--,
8,3 Sfera Riemanna Jesli po prostu dol,!czymy do plaszczyzny zespolonej dodatkowy punkt nazwany ,,00", to nie berdzie calkiem jasne, ie w otoczeniu tego punktu, tak jak na calej plaszczyznie, zachowana jest wymagana struktura sklejania "bez szwow". Sprobujmy w takim razie rozwaiyc ter sferer jako konstrukcjer skiadaj,!c
w = - oraz z
1
=-, w
gdzie kaidy z punktow z = 0 i w = 0 daje 00 na drugiej lacie. Na rys. 8.6 pokazujer, jak taka transformacja odwzorowuje rzeczywiste i urojone linie plaszczyzny z.
140
[*] Autor urywa w tym miejscu nazwy odwzorowanie biliniowe (przyp. dum.).
Sfera Riemanna
/ i
i
/ -1
0
-i
1
'\.
"-
R
"-
~ P)
V
X-
8.3
I'f. r-~~ ~1 -1 \t: ~ ~.J ~ -i
'\. plaszczyzna z
V
plaszczyzna w
Rys. 8.6. Sklejanie sfery Riemanna z lat, jakimi s~ plaszczyzny zespolone z i w, za pomoc~ transformacji w = 1/z, z = 1/w. (Na plaszczyznie w pokazane s~ r6wniei linie siatki plaszczyny z.) Obszary nakladania wykluczaj~ tylko oba pocz~tki uklad6w, z = 0 i w = 0, z kt6rych kaidy produkuje 00 na drugiej lacie.
Wszystko to definiuje sfery Riemanna w sposob dose abstrakcyjny. Powod, dla ktorego ta powierzchnia Riemanna jest nazywana "sfen!", zobaczymy wyrazniej, analizujqc geometriy przedstawionq na rys. 8.7a. Na tym rysunku plaszczyzna z jest plaszczyznq rownikowq kuli. Punkty na powierzchni kuli Sq rzutowane na ty plaszczyzoy z bieguna poludniowego za pomocq procedury nazywanej rzutowaniem stereograJicznym. Oznacza to, ze w trojwymiarowej przestrzeni Euklidesa (wszystko na razie dzieje siy w tej przestrzeni) narysowalem linie proste, wychodzqce z bieguna poludniowego i przechodzqce przez punkt z na tej plaszczyznie. Tam, gdzie linia przecina ponownie powierzchniy kuli, powstaje punkt reprezentujqcy liczby zespolonq z. Na tej sferze jest jeden punkt dodatkowy, ktory reprezentuje z = 00, i tym punktem jest wlasnie biegun poludniowy. Aby zobaczye, jak w ten obraz wpisuje siy plaszczyzna zespolona w, wyobrazmy jq sobie jako plaszczyzny wlozonq "do gory nogami" (w = 1, i, -1, -i odpowiadajq punkty z = 1, -i, -1, i), a rzutowanie stereograficzne jest dokonywane z bieguna polnocnego (rys. 8. 7b YS.61. Piyknq i waznq wlasciwose rzutowania stereograficznego stanowi odwzorowanie okrygow na powierzchni kuli na okrygi (albo linie proste) na plaszczyznie 1. W tym przypadku przeksztaicenie M6biusa zamienia okrygi na okrygi na sferze Riemanna. Ten doniosly fakt rna znaczenie dla teorii wzglydnosci, 0 ktorej bydziemy mowie w rozdz. 18.5 (jest tez wazny dla teorii spinorow i twistorow; zob. rozdz. 22.8; 24.7 i 33.2, 4). Zauwazmy, ze z punktu widzenia sfery Riemanna os rzeczywista jest po prostu "jednym z okrygow" nierozniqcym siy istotnie od okrygu jednostkowego, tyle ze przebiega teraz pionowo, a nie horyzontalnie (rys. 8.7c). Okrygi te przechodzq
jll [8.6] Sprawdz, ze oba te rzuty stereograficzne s,! zwil!Zane ze sob,! reiacj,!
W =Z-I.
141
8
Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone
Sfera Riemanna dla z = sferze Riemanna dla w
=-}-
plaszezyzna w (obr6eona "do g6ry nogami"l (al
(bl
(e)
Rys. 8.7. (a) Sfera Riemanna przedstawionajako sferajednostkowa, ktorej rownik pokrywa siy z okry· giem jednostkowym na (poziomej) plaszczyinie zespolonej z. Punkty tej sfery rzutowane Sll na plasz· czyzny z za pomocll linii prostych przechodzllcych przez biegun poludniowy, ktory sam reprezentuje punkt z = 00. (b) Gdy reinterpretujemy plaszczyzny rownikowll jako plaszczyzny w, obroconll "do gory nogami", ale z tll samll osill rzeczywistll, rzutowanie stereograficzne przebiega z bieguna polnocnego (w = (0), a w = 1/z. (c) Os rzeczywista jest teraz okrygiem wielkim na sferze Riemanna, ale ustawionym pionowo, prostopadle do plaszczyzny.
w siebie przez obrot. Obrot jest z pewnosciq przeksztalceniem konforemnym, a wiyc daje holomorficznq transformacjy sfery na samq siebie. Rzeczywiscie kazde (bezodbiciowe) przeksztalcenie konforemne calej sfery Riemanna na siebie mozna otrzymac za pomocq transformacji Mobiusa. Ten konkretny, rozwaiany przez nas obrot mozna przedstawic w jawnej postaci, jako nastypujqcq relacjy miydzy sferami Riemanna parametrow zespolonych z i t[8.7J: z-l iz+i'
t=--
-t+i
Z=--. t+ i
N a rys. 8.8 przedstawilem ten zwiqzek za pomocq plaszczyzn zespolonych t i z oraz pokazalem, jak gorna polplaszczyzna t, ograniczona jej osiq rzeczywistq, jest odwzorowana na kolo jednostkowe z, ograniczone jego okrygiem jednostkowym. Przeksztalcenie to bydzie nam potrzebne w nastypnym rozdziale. Sfera Riemanna jest najprostszym przypadkiem zwartej - alba "zamkniytej" - powierzchni Riemanna z. W rozdz. 12.6 zajmujemy siy blizej zagadnieniem "zwartosci". W przeciwienstwie do niej powierzchnia Riemanna funkcji logarytmicznej - opisana wczesniej "slimacznica spiralna" - jest powierzchniq niezwartq. W przypadku powierzchni Riemanna funkcji (1 - Z3Y/Z, aby uczynic z niej powierzchniy zwartq, musimy wypelnic cztery dziury, pochodzqce od punktow rozgalyzienia (bo jest powierzchniq niezwartq, jesli tego nie zrobimy), ale taka procedura nie jest niczym niezwykiym. Jak juz wspominalismy, "wypelnianie dziur" jest mozliwe zawsze, pod warunkiem ze punkt rozgaiyzienia jest skonczonego rzydu. Jak stwierdzilismy pod koniec rozdz. 8.1, dla funkcji logarytmicznej punkty rozgalyzienia w zerze i w nieskonczonosci mozemy wypelnic jedno-
142
.B [8.7] Pokai to.
Genus zwartej powierzchni Riemanna
8.4
.' .
plaszczyzna t
plaszczyzna z
Rys. 8.8. Relacja t = (z - 1)/(iz + i) oraz z = (-t + i)/(t + i) przedstawiona na plaszczyznach zespolonych t i z. G6rna p61plaszczyzna t, ograniczona jej osi1! rzeczywist1!, jest rzutowana na kolo jednostkowe w z, ograniczone przez jej okr1!g jednostkowy.
cZeSnie, za pomocq jednego punktu, i otrzymac zwart'! sfery Riemanna. Istnieje kompletna klasyfikacja zwartych powierzchni Riemanna (uzyskana przez samego Riemanna), ktora przydaje siy w wielu dziedzinach (l'!cznie z teori,! strun) i ktor,! niebawem przedstawiy.
8.4 Genus zwartej powierzchni Riemanna Najpierw trzeba sklasyfikowac powierzchnie odpowiednio do ich topologii, a wiyc zgodnie z tymi wlasnosciami, ktore zostaj'! zachowane przy przeksztalceniach ci,!glych. Klasyfikacja topologiczna spojnych, dwuwymiarowych powierzchni zorientowanych (zob. pod koniec rozdz. 12.6) jest bardzo prosta. Mozna jej dokonac za pomocq pojedynczej liczby naturalnej nazywanej "genusem" powierzchni. Z grubsza mowi,!c, naleiy policzyc liczby "uchwytow", jakie ta powierzchnia posiada. W przypadku sfery genus wynosi 0, podczas gdy dla torusa jest rowny 1. Powierzchnia zwyklej filizanki rna genus 1 (tylko jedno ucho!), a wiyc topologicznie jest w tej samej klasie co torus. Powierzchnia zwyklego precla rna genus rowny 3. Na rys. 8.9 podano kilka przykladow. lednakZe sam genus nie definiuje powierzchni Riemanna, z wyj'!tkiem przypadku, kiedy wynosi O. Konieczna jest jeszcze znajomosc pewnych parametrow zespolonych znanych pod nazw'! moduli. Zilustrujy to na przykladzie torusa (genus 1). Latwym sposobem skonstruowania powierzchni Riemanna 0 genusie 1 jest rozwazenie obszaru plaszczyzny zespolonej ograniczonego rownoleglobokiem o wierzcholkach 0, 1, 1 + p, p (w kolejnosci cyklicznej); zob. rys. 8.10. Teraz trzeba sobie wyobrazic, ze sklejamy przeciwne krawydzie rownolegloboku, a wiyc bok od 0 do 1 sklejamy z bokiem od p do 1 + p, a bok od 0 do p
143
8
Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone
g=oO·~
·e,:·
. .-.......
~~
g=l:
g=2:
~~: ~
Rys. 8.9. Genus powierzchni Riemanna jest liczbl! jej "uchwyt6w". Genus sfery wynosi 0, powierzchnie torusa i filiZanki majl! genus 1. Powierzchnia precla rna genus 3.
Rys. 8.10. Aby skonstruowac powierzchni~ Riemanna, kt6rej genus wynosi 1, wezmy obszar plaszczyzny zespolonej ograniczony bokami r6wnolegloboku 0 wierzcholkach w punktach 0, 1, 1 +p, P (cyklicznie) i sklejmy przeciwlegle boki. Parametr p przedstawia modulus tej powierzchni Riemanna.
sklejamy z bokiem od od 1 do 1 +p. (Jesli trzeba, to zawsze moiemy znaleic dod atkowe taty, aby przykryc szwy). Uzyskana w ten sposob powierzehnia Riemanna jest rzeezywiscie, z topologicznego punktu widzenia, torusem. Okazuje sit(, ie dla roinyeh wartosei p uzyskane powierzehnie na ogol wea1e nie S,! sobie rownowaine, to znaezy, ie nie jest moiliwe przeksztalcenie jednej z nich w drug,! za pomoq transformaeji holomorficznej. (Istniej,! jednakie pewne rownowainosci dyskretne, jakie na przyktad powstaj'! podezas zamiany p na 1 + p alba na -p lub na IIp[8.8].) Jesli rozwaiy sit( dwa przypadki przedstawione na rys. 8.11, to moina intuicyjnie zrozumiec, dlaezego nie wszystkie powierzehnie Riemanna 0 tej samej topologii S,! sobie rownowaine. W jednym przypadku wybratem bardzo mat'! wartosc p i w efekcie powstal torus cieniutki i ehudziutki. W drugim przypadku wybralem p bliskie
Rys. 8.11. Dwie nier6wnowaine powierzchnie Riemanna 0 topologii (orusa.
!!J!J [8.8] Pokaz, ze takie podstawienia prowadz'l do przestrzeni r6wnowaznych holomorficz-
144
nie. Znajdz wszystkie szczeg61ne wartosci p, dla kt6rych te r6wnowaznosci prowadz'l do dodatkowych dyskretnych symetrii powierzchni Riemanna.
Genus zwartej powierzchni Riemanna
8.4
wartosci "i", w efekcie powstal sympatyczny, dusty torus. Intuicyjnie jest zrozumiale, ze nie moze bye konforemnej rownowai:nosci tych dwu powierzchni i rzeczywiscie okazuje siC(, ze jej nie rna. Gdy genus powierzchni wynosi 1, istnieje tylko jeden zespolony modulus p, ale kiedy genus wynosi 2, mamy juz trzy moduli. Aby skonstruowae powierzchniC( Riemanna 0 genusie 2, podobnie do metody rownolegloboku, jak,! zastosowalismy do powierzchni 0 genusie 1, a wiC(c przez sklejanie pewnego ksztaltu, moglibysmy to zrobie z kawalka plaszczyzny hiperbolicznej, jak na rys. 8.12. To sarno mozna przeprowadzie dla powierzchni 0 dowolnie wiC(kszym genusie. Liczba m zespolonych moduli dla genusa g, gdy g ~ 2, wynosi m = 3g - 3. Mogloby siC( wydawae dziwne, ze formula 3g - 3 jest spelniona dla wszystkich wartoscig = 2,3,4,5, ... , lecz nie dlag = 0 lub 1. "Powod", dla ktorego takjest, rna zwi'!zek z liczbll s parametrow zespolonych koniecznych do wyspecyfikowania roznych ci,!glych (holomorficznych) odwzorowan powierzchni Riemanna w siebie. Dla g ~ 2 takich ci,!glych transformacji nie rna (aczkolwiek mogll istniee transformacje dyskretne), st,!d s = O. JednakZe w przypadku g = 1 zespolona plaszczyzna rownolegloboku z rys. 8.10 moze zostae przesuniC(ta (sztywno i bez obrotu) w dowolnym kierunku na plaszczyinie. Wielkose (i kierunek) tego przesuniC(cia mozna wyspecyfikowae za pomoc,! pojedynczego zespolonego parametru a, translacjC( uzyskuje siC( przez odwzorowanie Z HZ + a, a wiC(c s = 1 dla g = 1. W przypadku sfery (genus 0) takie samoodwzorowanie uzyskuje siC(, stosuj,!c opisan,! transformacjC( homograficzn'! Z H (az + b)/(cz + d). Tutaj mamy wiC(ksz,! swobodC(, nadan,! przez trzy3 niezalezne stosunki a : b : c : d. A zatem dla g = 0 otrzymujemy s = 3. St,!d we wszystkich przypadkach roznica m - s pomiC(dzy liczb,! zespolonych moduli a liczb,! parametrow zespolonych wymaganych do wyspecyfikowania transformacji samoodwzorowania spelnia relacjC(:
m-s=3g-3. (Wzor ten jest wynikiem pewnych glC(bszych zwi'!Zkow, ktorych analiza wykracza poza zakres tej ksilliki4.)
Rys. 8.12. OSmiokqtny obszar plaszczyzny hiperbo\icznej, w przedstawieniu konforemnym jak na rys. 2.12, prowadzi do powierzchni Riemanna 0 genusie 2.
145
8
Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone
Rys. 8.13. KaZda geometria metryczna zg = 0 jest konforemnie identyczna z geometri'l standardowej ("okr'lglej") sfery jednostkowej.
Zrozumiale, ze w rodzinie transformacji konforemnych (holomorficznych) mamy spor,! swobody w modyfikowaniu widocznego "ksztaltu" powierzchni Riemanna, podczas gdy jej struktura jako powierzchni Riemanna pozostaje niezmieniona. Na przyldad w przypadku topologii sferycznej mozliwe s,! bardzo razne geometrie metryczne Oak to przedstawia rys. 8.13), choe wszystkie one s,! konforemnie identyczne ze standardow,! ("okr'!gl'!") sfer,! jednostkow'!. (Bardziej szczegalowo wypowiem siy na temat pojycia "metryki" w rozdz. 14.7.) Ponadto dla wyzszych wartosci genusa ta pozomie wielka swoboda "ksztaltu" powierzchni redukuje siy do skonczonej liczby zespolonych moduli, zgodnie z podanym uprzednio wzorem. JednakZe w ksztalcie powierzchni zakodowana jest pewna ogalna informacja zdefiniowana przez same moduli, ktarej nie mozna wyeliminowae, korzystaj,!c z tej konforemnej swobody. Jest spraw,! dose delikatn'!, jak dalece ta swoboda jest przydatna w sensie globalnym.
8.5 Twierdzenie Riemanna 0 odwzorowaniu konforemnym
146
Pewne pojycie 0 mozliwosciach zawartych w przeksztalceniach holomorficznych pozwala nam uzyskae znane twierdzenie Riemanna 0 odwzorowaniu konforemnym. Twierdzenie to glosi, ze dla kazdego "zamkniytego" obszaru na plaszczyznie zespolonej (zob. przyp. 2), ograniczonego nieprzecinaj,!C4 siy zamkniyt'! pyt1'!, istnieje przeksztalcenie holomorficzne odwzorowuj,!ce ten obszar na "zamkniyte" kolo jednostkowe (zob. rys. 8.14). Istniej,! drobne ograniczenia na "dzikose" tej pytli, ale nie przeszkadzaj,! one temu, zeby miala rogi, a nawet jeszcze gorsze miejsca, w ktarych nie jest razniczkowalna, jak to ilustruje przyldad pokazany na rys. 8.14. Mozna siy nawet posun'!e dalej i wybrae na tej pytli, w najzupelniej dowolny sposab, trzy razne punkty a, b, c i zaz'!dae, zeby zostaly odwzorowane na trzy okreslone punkty a', b', c' na okrygu jednostkowym (na przyklad: a' = 1, b' = w, c' =w 2 ), z jedynym ograniczeniem: uporz,!dkowanie cykliczne punktaw a, b, c musi odpowiadae uporz,!dkowaniu punktaw a', b', c' na okrygu jednostkowym. W ten sposab odwzorowanie jest okreslone jednoznacznie. Innym sposobem jednoznacznego okreSlenia odwzorowania jest zadanie pewnego punktu a na pytli ograniczaj,!cej oraz jednego dodatkowego punktu j wewn'!trz niej i zaz,!danie, zeby punkt a zostal odwzorowany na okreslony punkt a' na okrygu (powiedzmy, a' = 1), natomiast punktj na okreslony punktj' wewn'!trz okrygu (powiedzmy,j' = 0).
Twierdzenie Riemanna 0 odwzorowaniach
8.5
Rys. 8.14. Twierdzenie Riemanna 0 odwzorowaniach glosi, ze kaidy otwarty obszar na plaszczyfuie zespolonej, ograniczony jak~s zamknit(t~ (ale niekoniecznie gladk~) Pt(tl~, moze bye odwzorowany holomorficznie na wnt(trze okrt(gu jednostkowego, a tilie sarna granica daje sit( odpowiednio odwzorowae.
Wyobrazmy sobie teraz, ze chcemy zastosowae twierdzenie Riemanna do jakiegos obszaru leZ,!cego nie na plaszczyznie zespolonej, ale na sferze Riemanna. Z punktu widzenia sfery Riemanna nie ma r6znicy miydzy "wnytrzem" jakiejs zamkniytej pytli a jej "zewnytrzem" (wystarczy spojrzee na sfery z drugiej strony). W takim razie twierdzenie to moze bye z powodzeniem zastosowane zar6wno do "wnytrza", jak i "zewnytrza" pytli. Istnieje wobec tego "odwr6cona" postae twierdzenia Riemanna 0 odwzorowaniach, kt6ra m6wi, ze "zewnytrze" jakiejs pytli na plaszczyznie zespolonej moze zostae odwzorowane na "zewnytrze" okrygu jednostkowego, a jednoznacznose odwzorowania zapewni proste z,!danie, zeby okreslony punkt a na pytli zostal odwzorowany na okreslony punkt a' na okrygu jednostkowym (powiedzmy, a' = 1), natomiast 00 przejmuje teraz roly punkt6w j ij' opisanych pod koniec poprzedniego akapitu5 • Nierzadko zdarza siy, ze postae poszukiwanego odwzorowania mozna znaIde w jawnej formie, a powodem poszukiwan jest uzyskanie w ten spos6b rozwi,!zania interesuj'!cych problem6w fizycznych. Dobry przyklad stanowi zagadnienie przeplywu strumienia powietrza wok61 bryl aerodynamicznych (w wyidealizowanym przypadku, gdy strumien powietrza jest "nielepki", "niescisliwy" i "bezobrotowy"). Pamiytam moje zdumienie, kiedy jako student matematyki zapoznalem siy z transformacj,! Zukowskiego. Ilustruje j,! rys. 8.15. Rysunek ten przedstawia odwzorowanie "zewnytrza" okrygu przechodz'!cego przez punkt z = -1 za pomoq transformacji:
Otrzymany ksztalt rzeczywiscie dobrze oddaje przekr6j skrzydla samolotu z lat trzydziestych XX wieku, dziyki czemu (wyidealizowany) strumien powietrza wok61 niego moze bye wyprowadzony ze strumienia wok61 "skrzydla" 0 przekroju kolowym, kt6ry, z kolei, uzyskujemy za pomoq innej transformacji holomorficznej.
147
8
Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone
o
plaszczyzna z
plaszczyzna w
Rys. 8.15. Transformacja Zukowski ego w =t(z + 1/z) odwzorowuje zewnc
148
(Kiedys mi powiedziano, ze powodem, dla ktorego takie a nie inne ksztalty stosowano powszechnie przy konstrukcji skrzydel samolotow, byl ich matematyczny opis za pomoc,! transformacji Zukowskiego. Mam nadziejy, ze to nieprawda!) Oczywiscie, przy zastosowaniach tego rodzaju konieczne s,! specyficzne zalozenia upraszczaj'!ce, na przyklad takie, ze ruch odbywa siy bez lepkosci i ze strumien powietrza jest niescisliwy i bezobrotowy, ale to S,! tylko zaiozenia czynione dla wygody rachunku. Bardziej drastycznym uproszczeniem jest zalozenie, iz strumien jest taki sam na calej dlugosci skrzydla, tak ze problem w swojej istocie trojwymiarowy daje siy zredukowac do problemu dwuwymiarowego. Jest oczywiste, ze do realnych obliczen przeplywu strumienia wokol skrzydla samolotu konieczna jest duzo bardziej skomplikowana matematyka i nie wystarcz'! proste i eleganckie funkcje holomorficzne wystypuj,!ce w transformacji Zukowskiego. Mozna jedynie stwierdziC, ze mielismy duzo szczyscia, znalezlismy bowiem atrakcyjne zastosowanie liczb zespolonych do zagadnienia, ktore rna tak wielkie znaczenie w realnym swiecie. Powietrze, rzecz jasna, sklada siy z ogromnej ilosci pojedynczych cz'!steczek (okolo 1020 w kazdym centymetrze sZeSciennym), a wiyc jego strumien wymaga sporej ilosci usrednien i przyblizen. Nie rna powodu oczekiwac, ze rownania aerodynamiki byd,! w dui:ym stopniu odzwierciedlaly cal,! matematyky zwi,!zan,! z prawami fizyki, jakie rz'!dz'! ruchem pojedynczych cz'!stek. W rozdz. 4.1 odwolywalem siy do "nadzwyczajnej i fundamentalnej roli", jak,! liczby zespolone odgrywaj,! w dzialaniach fizycznych "w najmniejszej skali" i, faktycznie, rownania holomorficzne opisuj,! zachowanie siy cz'!stek elementarnych (zob. rozdz. 21.2). Jednakie w przypadku uktadow makroskopowych ta "struktura zespolona" staje siy zupelnie niewidoczna i mogloby siy wydawac, ze tylko w wyj,!tkowych okolicznosciach liczby zespolone i geometria holomorficzna znajduj,! na-
Przypisy
turalne zastosowanie. S,! jednak takie sytuacje, kiedy owa fundamentalna struktura zespolona ujawnia siy nawet na poziomie makroskopowym. Dobry przyklad stanowi teoria elektromagnetyzmu Maxwella oraz inne zjawiska falowe, a szczeg61nie uderzaj,!cym przykladem jest teoria wzglydnosci (zob. rozdz. 18.5). W nastypnym rozdziale bydziemy mieli okazjy przyjrzec siy, w jak zdumiewaj,!CY spos6b magia liczb zespolonych i funkcji holomorficznych ujawnia siy zza kurtyny zjawisk. Przypisy Rozdzial 8.3 Zob. ewiczenie [2.5]. 2 W tyrn miejscu Autor uiywa okreslenia closed i w przypisie wyjasnia, co nastypuje: "Mamy do czynienia z chaosem terminologicznym dotycz,!cym uiycia slowa closed, ktore w tym miejscu przetlumaczylismy jako zamknifta - w odniesieniu do powierzchni, a takZe w odniesieniu do bardziej ogolnych rozmaitosci (n-powierzchni), 0 czym bydzie mowa w rozdz. 12. Dla takiej rozmaitosci okreslenie closed - zamknifta oznacza rozmaitosc zwartq bez brzegu, a nie closed - domkniftq w sensie topologicznym, ktore jest pojyciem komplementarnym do pojycia otwarta - omawianym w rozdz. 7.4. (Topologicznie zbior jest closed - domknifty, jesli zawiera wszystkie swoje punkty brzegowe. Domknifcie takiego zbioru jest zbiorem otwartym i vice versa - domknifciem pewnego zbioru S wewn'!trz otaczaj,!cej go przestrzeni topologicznej V jest zbior elementow V, ktore nie nalez'! do S.) Dodatkowe zamieszanie stwarza slowo brzeg, poniewaZ odnosi siy do pojycia rozmaitosci zawierajqcej brzegi, ktorego nie zamierzam omawiac w tej ksi'!zce. Dla zwyklych rozmaitosci omawianych w rozdz. 12 (a wiyc rozmaitosci niezawierajqcych brzegow) pojycie zamknifta - closed (w przeciwienstwie do uiywanego w topologii) jest rownowazne pojyciu zwarta. W zwi,!zku z tym, aby unikn,!c nieporozumien, bydy w tej ksi'!:i:ce uiywal okreslenia zwarta raczej niz zamknifta. Wyj,!tkami byd,!: uiycie okreslenia krzywa zamknifta dla 1-rozmaitosci, ktora topologicznie jest okrygiem S\ oraz zamknifty wszechswiat, na okreslenie modelu, ktory jest przestrzennie zwarty, tzn. zawiera zwart'! hiperpowierzchniy przestrzenn'!; zob. rozdz. 27.11". 1
Rozdzial 8.4 Transformacja siy nie zmieni, jesli pomnoiymy (przeskalujemy) wszystkie parametry a, b, c, d przez ty sam,!liczby zespolon'! rozn'! od zera. Zmieni siy natomiast, jesli zmienimy ktorys z tych parametrow indywidualnie. Ogolna swoboda skalowania redukuje liczby niezaleznych parametr6w 0 jeden, a wiyc z czterech do trzech. 4 Jest to pocz'!tek dlugiej historii, na ktorej koncu znajduje siy bardzo ogolne i potyzne twierdzenie Atiyaha-Singera (1963).
3
5
Rozdzial8.5 Na\eiy zaznaczyc, ze tylko wtedy gdy pytla ograniczaj,!ca jest okrygiem, poi,!czenie obu wersji twierdzenia Riemanna 0 odwzorowaniach pozwala uzyskac kompletn,!, gtadk,! sfery Riemanna.
9 Rozkfad Fouriera i hiperfunkcje 9.1 Szeregi Fouriera POWROCMY do pytania, kt6re postawilismy w rozdz. 6.1, a mianowicie, jakie pojycie "porz~dnej funkcji" Euler i jemu wsp6lczesni uwazaliby za mozliwe do przyjycia? W rozdz. 7.1 zgodzilismy siy, ze funkcje holomorficzne (analityczne zespolone) najlepiej spelnialyby oczekiwania Eulera. JednakZe obecnie wiykszosc matematyk6w uznalaby takie pojycie funkcji za zbyt restrykcyjne. Kto rna racjy? Pod koniec tego rozdzialu uzyskamy naprawdy znacz~q odpowiedi na to pytanie. Ale najpierw zajmijmy siy zrozumieniem problem6w, kt6re siy z nim wi~z~. W zastosowaniach matematyki do problem6w fizycznej rzeczywistosci czysto stawiane s~ takie wymagania, ze ani funkcje holomorficzne, ani ich rzeczywiste odpowiedniki - funkcje analityczne (tj. klasy C'") - nie s~ w stanie im sprostac. Ze wzglydu na jednoznacznosc przedluzenia analitycznego, opisanego w rozdz. 7.4, globalne zachowanie siy funkcji holomorficznej, okreslonej w pewnym sp6jnym otwartym obszarze V plaszczyzny zespolonej, jest calkowicie ustalone jesli znamy je w jakims malym otwartym podobszarze V. Podobnie funkcja analityczna zmiennej rzeczywistej, okreslona na pewnym sp6jnym kawalku R osi rzeczywistej ffi., jest r6wnieZ ustalona z chwil~ poznania jej wlasnosci w jakims malym otwartym podzbiorze R. Taki brak elastycznosci wydaje siy malo przydatny w realistycznym modelowaniu uklad6w fizycznych. Sytuacja siy szczeg6lnie komplikuje, kiedy rozpatrujemy ruch falowy. Zagadnienie propagacji fal, wl~czaj~c w to przesylanie sygna16w za posrednictwem drgan elektromagnetycznych fal radiowych czy swietlnych, staje siy niezwykle uiyteczne dziyki mozliwosci przekazywania w ten spos6b informacji. Istota sygnalizacji sprowadza siy w koncu do tego, ze mamy mozliwosc przeslania wiadomosci, kt6rej odbiorca siy nie spodziewa. Gdyby forma tego sygnalu byla zadana za pomoc~ funkcji analitycznej, nie istnialaby mozliwosc, zebysmy nagle "rozmyslili siy" podczas nadawania informacji. Dowolnie mala cZysc tego sygnalu determinowalaby przekaz calkowicie i na zawsze. I rzeczywiscie, rozchodzenie siy fal badane jest czysto po to, aby uzyskac odpowiedi na pytanie, w jaki spos6b mozna wysylac nieci~glosci lub inne odstypstwa od analitycznosci.
Szeregi Fouriera
9.1
Zajmijmy siy wiyc falami i sprobujmy opisac je matematycznie. Sposrod najbardziej efektywnych sposobow badania ruch6w falowych stosowana jest procedura znana jako analiza [ourierowska. Joseph Fourier byl matematykiem francuskim, Zyj'!cym w latach 1768-1830. Zajmowal siy zagadnieniem rozkladu drgan okresowych na ich elementy skladowe, typu fali sinusoidalnej. Jest to problem podobny do tego, z jakim spotykamy siy w muzyce, kiedy chcemy przedstawic jakis dZwiyk poprzez tworz'!ce go "czyste dZwiyki". Okreslenie "okresowe" oznacza tyle, ze pewien chwilowy obraz (na przyklad fizyczne wychylenie drgaj,!cego obiektu) powtarza siy dokladnie po pewnym okresie. Mozemy tez mowic 0 periodycznosci przestrzennej - na przyklad powtarzaj'!cych siy struktur w krysztale, wzorow na tapecie sciennej czy td fal na otwartym morzu. Matematycznie oznacza to tyle, ze funkcja [ (powiedzmyl, pewnej zmiennej rzeczywistej X) jest okresowa, jesli dla wszystkich wartosci X zachodzi relacja
[(X + I) = [(x), gdzie I jest pewn'! ustalon'! liczb,!, ktor'! bydziemy nazywali okresem. Jesli przesuniemy wykres y = [(x) wzdluz osi X 0 odcinek I, to bydzie on wygl,!dal dokladnie tak sarno jak przedtem; zob. rys. 9.1a. (W jaki sposob analizowac funkcje, ktore nie s,! periodyczne - przy uZyciu transformat Fouriera - opiszemy w rozdz. 9.4.) Kiedy rozpatrujemy "czyste dZwiyki", mamy na mysli wyrazenia takie jak sin X lub cos X (zob. rys. 9.1b). Ich okres wynosi 21t, poniewai: sin (x + 21t) = sin X,
cos (x + 21t) = cos X,
i obie te relacje s,! manifestacj,! okresowosci jednej wielkosci zespolonej e ix = cos X + + i sin X,
z ktor'! spotkalismy siy w rozdz. 5.3. Jesli chcemy miec periodycznosc I raczej niz 21t, wowczas mozemy "przeskalowac" zmienn,! X w tej funkcji i rozwazac funkcjy ei2rcxll zamiast eix • W takim przypadku rzeczywista i urojona cZysci tej funkcji, a wiyc cos(21tX,/I) oraz sin(21tx/l), byd,! mialy okres I. Ale to nie jest jedyna mozliwosc. Zamiast wykonywac jedn,! peln,! oscylacjy w okresie I, funkcja moze oscylowac dwukrotnie, trzykrotnie, n-krotnie, gdzie n jest dowoln,! liczb,! calkowit,! dodatni,! (zob. rys. 9.1c) i kazda z funkcji ei2rrnXII,
sin(2n;X} cos(2n;X)
rna teraz okresowosc I (oprocz tego rna rownid okres mniejszy, lin). W muzyce te wyrazenia, dla n = 2, 3, 4, ... , nosz'! nazwy wyiszych harmonik. Jednym z problemow, ktorymi zajmowal siy Fourier (i ktore rozwi'!zal), bylo znalezienie sposobu przedstawienia dowolnej funkcji okresowej [(x), 0 okresie I, w postaci sumy "czystych tonow". Dla kai:dej wartosci n ten wklad czystych tonow
151
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
x
(a)
x
i-4-----21t (b)
x
~----21t
(e)
Rys. 9.1. Funkcje okresowe. (a)f(x) rna okres I,jesli f(x) == f(x +/) dla wszystkichX. Oznacza to, ie jeieli przesuniemy wykres y == f(x) wzdlui osi X 0 odcinek I, to bydzie wygll!dal identycznie jak przed przesuniyciem. (b) Podstawowe "czyste dZwiyki" sin X oraz cos X (przedstawiony linil! przerywanl!) majl! okres 1== 21t. (c) Wyisze "tony harmoniczne" oscylujl! kilka razy w okresie I. One majl! wcil!i okres I, ale majl! tei okres kr6tszy (na rysunku przedstawiony jest sin 3X, kt6ry rna okres I == 27t, ale rna r6wniei okres mniejszy 27t/3).
152
b~dzie mial rozn'! wielkosc i zalezal od ksztaltu analizowanej fali, tzn. od ksztaltu wykresu y = [ex). Kilka prostych przypadkow ilustruje rys. 9.2. W ogolnym przypadku jednak liczba "czystych tonow" daj,!cych wklad do funkcji [(x) b~dzie nieskonczona. Mowi,!c bardziej precyzyjnie, rozklad Fouriera wprowadza cal,! kolekcj~ wspolczynnikow c, al' bl' a 2 , b2 , a3 , b3 , a4 , ••• do okreslenia, w jaki sposob "czyste tony" skladaj,! si~ na funkcj~ [ex):
Szeregi Fouriera
9.1
x
(a)
x
x
(b)
x
Rys. 9.2. Przyklady rozkladu Fouriera funkcji okresowych. Ksztalt fali (postac wykresu) zdeterminowany jest przez wsp6lczynniki Fouriera. Pokazane s'l funkcje, a poniZej skladowe fourierowskie kai:dej z nich. (a)f(x) =~ + 2 sinx +~ cos X +~ sin 2X +~ sin 3X. (b)f(x) = 1 + sinx -~ cos 2X -~ sinx sin 3X.
-!
lex) = c + ajcos WX + bjsin wx + azcos 2wX + bzsin 2wX + a3cos 3wX + b3sin 3wX + ... , Aby zapisac ten rozklad w rnozliwie prostej forrnie, wprowadzilern symbol w oznaczaj,!CY cZfstosc kqtowq (nie rna nic wspolnego z "w" wystC(puj,!c,! w rozdz. 5.4, 5 i 8.1), ktora jest rowna 2TC/I.
153
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
Mimo to niekt6rzy czytelnicy mogl! uwazae, ze podane wyrazenie dla f(x) jest nadal niepotrzebnie skomplikowane, i bt;dl! mieli racjt;. Formula ta bt;dzie wygll!dae duzo prosciej, jesli wyrazenia cos i sin zapiszemy w postaci zespolonej (e iAx = cos AX + i sin AX), a wit;c jako przy czym relacje mit;dzy tymi wsp6lczynnikami Sl! nastt;pujl!ce 2,[91]:
dla n = 1, 2, 3, 4, ... Wyrazenie to jeszcze bardziej sit; uprosci, gdy wprowadzimy zmiennl! z = e iwx i zdefiniujemy funkcjt; F(z), kt6ra bt;dzie tl! saml! wielkoscil! co f(x), tylko teraz zadanl! w dziedzinie zmiennej zespolonej z. W ten spos6b otrzymamy:
gdzie
F(z) = F( e iwX ) = f(x). Zapis tej funkcji uprosci sit; znakomicie, kiedy posluiymy sit; symbolem sumowania I, kt6ry w tym przypadku oznacza "dodaj wszystkie wyrazy, dla wszystkich calkowitych wartosci r": F(z) = arz r.
L
Wyrazenie to wygll!da jak rozwinit;cie w szereg pott;gowy (zob. rozdz. 4.3), ale opr6cz pott;g dodatnich wystt;pujl! tu takZe pott;gi ujemne. Szereg taki nazywa sit; szeregiem Laurenta. Jego znaczenie poznamy w nastt;pnym rozdziale[9.21.
9.2 Funkcje na
okr~gu
Szereg Laurenta pozwala w bardzo ekonomiczny spos6b przedstawie szereg Fouriera. Ale takie przedstawienie sugeruje interesujl!cl! mozliwose alternatywnego opisu. Poniewaz funkcja periodyczna po prostu powtarza sit; nieskonczonl! ilose razy, mozemy potraktowae takl! funkcjt; (zmiennej rzeczywistej X) jako okreSlonl! na pewnym okr~gu (zob. rys. 9.3), gdzie okres I oznaczae bt;dzie dlugose obwodu tego okrt;gu, natomiast X wyznaczae bt;dzie polozenie na okrt;gu. Zamiast okreslae odleglosci mit;dzy poszczeg6lnymi punktami na Hnii prostej, bt;dziemy je teraz mierzye na obwodzie okrt;gu, a periodycznose funkcji zostanie zachowana automatycznie.
a 154
[9.1] Pokai: to. B [9.2] Pokaz, ze gdy funkcja F jest analityczna na okrl(gu jednostkowym, w6wczas wsp61czynniki an' a stqd an' bn oraz c, dajq sil( wyznaczyc ze wzoru an = (2nitt fz-n-t F(z) dz.
Funkcje na okr~gu
9.2
x Rys. 9.3. Funkcjy periodyczn~ zmiennej rzeczywistej X mozemy sobie wyobrazic jako zdefiniowan~ na pewnym okrygu 0 obwodzie I i w ten spos6b niejako "zawin~c" cal~ os rzeczywist~ X na ten okr~g. Przy 1= 211 moiemy traktowac ten okr~g jako jednostkowy na plaszczyznie zespolonej.
Dla wygody (chwilowej przynajmniej) b((dziemy traktowali ten okrqg jako jednostkowy, ktorego obwod rna dlugosc 2n, a wobec tego okres funkcji tei: wynosi 2n. Zgodnie z tym mozemy poloZyc
w = 1, skqd
Z=
eix •
Aby odtworzyc wlasciwq wartosc w, naleZy odpowiednio przeskalowac zmiennq X dla dowolnej dlugosci okresu. Rozne wyrazenia zawierajqce cos i sin, reprezentuj'}ce rozmaite "diwi((ki czyste" rozwini((cia Fouriera, teraz Sq przedstawione poprzez dodatnie i ujemne pot((gi z, a wi((c n-ta harmonika jest reprezentowana przez z!". Te pot((gi, na okr((gu jednostkowym, dajq nam potrzebne wyrazy typu cos i sin; zob. rys. 9.4. W ten zgrabny sposob mozemy przedstawic rozwini((cie Fouriera dla funkcji periodycznej f(x). Identyfikujemy f(x) = F(z), gdzie funkcja F(z) jest okreslona na okr((gu jednostkowym plaszczyzny zespolonej, z relacjq Z = eix , natomiast rozklad Fouriera jest po prostu szeregiem Laurenta tej funkcji wyrazonej przez zmiennq zespolonq z. Zaletami tego post((powania Sq nie tylko wygoda i przejrzystosc. Uzyskujemy duzo gl((bszy wglqd w natur(( szeregu Fouriera i w charakter funkcji, ktorq on przedstawia. W tej ksiqzce przywiqzujemy wi((kszq wag(( do jego zwiqzku z mechanik'} kwantowq, a co za tym idzie, do gl((bszego zrozumienia Przyrody. Mozliwosci te stwarza magia liczb zespolonych, ktora pozwala zastosowac rozwini((cie
Rys. 9.4. Na okrygu jednostkowym czysci rzeczywista i urojona funkcji zn wystypuj~ jako n-te harmoniki podstawowych fal typu cos i sin (kt6re stanowi~, odpowiednio, rzeczywist~ i urojon~ czysc e mx , gdzie z = e iX ). Rysunek jest wykonany dla n = 5, przedstawia wiyc czysc rzeczywist~ funkcji
r.
155
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
w szereg Laurenta takZe wtedy, gdy z leZy poza okrygiem jednostkowym. Okazuje siy, ze szereg ten pozwala na uzyskanie waznych informacji 0 F(z), dla z lezqcych na okrygu jednostkowym, na podstawie zachowania siy tego szeregu dla z leiqcych poza tym okrygiem. Przypomnijmy sobie teraz (na podstawie rozdz. 4.4) pojycie okrygu zbieznosci, wewnqtrz ktorego szereg potygowy jest zbieiny, a na zewnqtrz rozbiezny. Dla szeregu Laurenta jego odpowiednikiem jest pierscien zbieinosci. Jest to obszar leZqcy scisle miydzy dwoma okrygami na plaszczyznie zespolonej, ktore majq wspolny srodek w pocz'!tku ukladu (zob. rys. 9.5a). Latwo to zrozumiec, jesli wiemy, czym jest okr,!g zbieznosci dla zwyklego szeregu potygowego. Czysc szeregu potygowego zawierajqca dodatnie potygi3
F - =a1z1 +a2z 2 +a3z 3 + ... , ma normalny okrqg zbieinosci, powiedzmy, 0 promieniu A i ta cZysc jest zbiezna dla wszystkich wartosci zespolonych z, ktorych modul jest mniejszy odA. W przypadku drugiej cZysci zawierajqcej potygi ujemne:
F+ =
...
+a_3z ~ +a_2z ~ +a_1z~ ,
szereg ten mozemy uwazac za zwykly szereg potygowy, ale w zmiennej w = liz. Bydzie on zbiezny na plaszczyznie zespolonej w wewn'!trz okrygu 0 promieniu liB, a wiyc ta czysc szeregu bydzie zbiezna dla wszystkich wartosci w, ktorych modul jest mniejszy od liB. (Faktycznie mowimy tutaj 0 sferze Riemanna, takiej jak opisana w rozdz. 8 - zob. rys. 8.7 - gdzie wspolrzydna z odnosi siy do jednej polkuli, a wspolrzydna w do drugiej; zob. rys. 9.5b. Zbadamy ty sprawy szczegolowo w na-
• -.j'
.
.. ,
. ' .>' plaszczyzna z
-
...... ..:. ...'.:, . "
'.
.'
"
z=A
;,'
:.::.",."
(a)
(b)
r,
156
Rys. 9.S. (a) Piersciefl zbie:i:nosci szeregu Laurenta F(z) = F+ + a o + gdzie F+ = ... + a_zz- z + a_ 1 z-\ 2 1 F- = ... + a 1z + a 2z • Prorniefl zbie:i:nosci F- wynosi A, a dla szeregu F+, we wsp61rzydnych w = z-" wynosi B-1• (b) To sarno na sferze Riernanna (lOb. rys. 8.7), gdzie z odnosi siy do poszerlOnej p61kuli polnocnej, a w (= Z-1) do poszerzonej p61kuli poludniowej.
Funkcje na okr~gu
9.2
stypnym rozdziale.) W zwi,!zku z tym ta czyse szeregu, kt6ra zawiera potygi ujemne, bydzie zbiezna dla tych wartosei z, kt6rych moduly s,! wiyksze niz B. Jezeli B < A, to obszary zbieznosei byd,! siy nakladaly i, w rezultaeie, otrzymamy pierseien zbieznosei calego szeregu Laurenta. ZauwaZmy, ze pelny szereg Fouriera alba Laurenta dla funkcji f(x) = P( eiX ) = P(z) jest postaci
P(z) = p+ + a o + r, i w tej analizie trzeba uwzglydnie staly wyraz ao' Rozwazamy tutaj zbieznose na okrygu jednostkowym, poniewaz to jest obszar, na kt6rym z = eix dla rzeczywistych wartosei X i zagadnienie zbieznosei naszego szeregu Fouriera dlaf(x) jest w istoeie pytaniem 0 zbiei:nose szeregu Laurenta dla P(z), dla z lez'!cych na okrygu jednostkowym. W takim razie wydaje siy, ze potrzebujemy, aby B < 1 < A, co zapewni, iZ okr,!g jednostkowy bydzie lezal wewn'!trz pierseienia zbieznosci. Czy z tego wynika, ze dla zbiei:nosei szeregu Fouriera konieczne jest, by okr,!g jednostkowy lezal wewn'!trz pierseienia zbiei:nosci? Byloby tak rzeczywiseie, gdyby f(x) byla funkcj,! analityczn'! (tj. klasy C"; w6wczas bowiem funkcjaf(x) moglaby bye zamieniona na funkcjy P(z), holomorficzn,! w pewnym otwartym obszarze, zawieraj,!cym okr,!g jednostkowy4. Jesli jednakf(x) nie jest funkcj,! analityczn,!, powstaje eiekawa sytuacja. W takim przypadku albo pierseien zbieznosei kurczy siy do samego okrygu jednostkowego - co, seisle rzecz bior,!c, nie jest mozliwe w przypadku prawdziwego pierseienia zbieznosei, gdyz powinien to bye obszar otwarty, podczas gdy okr,!g jednostkowy takim obszarem nie jest - alba okr,!g jednostkowy staje siy zewnytrzn,! lub wewnytrzn,! granic,! pierseienia zbiei:nosei. Kwestie te stan,! siy dla nas istotne w rozdz. 9.6, 7. Na razie nie przejmujmy siy tym, co siy stanie, gdy funkcja f(x) nie bydzie analityczna, i zajmijmy siy prostszym przypadkiem, gdy ma ona wlasnose an alitycznosci. W takim razie okr'!gjednostkowy plaszczyzny z leZy dokladnie wewu'!trz pierseienia zbieznosei P(z), kt6ry jest ograniczony okrygami 0 srodku w pocz'!tku ukladu i 0 promieniachA i B, gdzie B < 1 < A. CZyse szeregu Laurenta zawieraj,!ca potygi dodatnie, r, jest zbiezna dla wszystkich z, kt6rych moduly s,! mniejsze odA, a czyse zawieraj,!ca potygi ujemne jest zbiezna dla wszystkich z, kt6rych moduly S,! wiyksze od B. Tak wiyc oba te szeregi s,! zbiezne wewn'!trz samego pierseienia (i, w trywialnym sensie, czlon staly, ao' jest wszydzie zbiezny). Mamy wiyc do czynienia z "rozszczepieniem" funkcji P(z) na dwie cZysei, jedn,! holomorficzn,! wewn'!trz okrygu zewnytrznego i drug,!, holomorficzn'! na zewn'!trz okrygu wewuytrznego; S,! one zdefiniowane na drodze rozwiniyeia w szereg dla P- i P+. Powstaje tu pewna (drobna) dwuznacznose, czy przy tym rozszczepieniu staly czlon a o ma bye dol'!czony do r czy do P +. Ale pozostanmy przy tej dwuznacznosei. Wystypuje bowiem symetria pomiydzy r a P+, kt6ra stanie siy lepiej widoczna, kiedy spojrzymy na to za posrednictwem obrazu sfery Riemanna, do czego nawi
157
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
9.3 Rozszczepienie cz,stosci na sferze Riemanna Wsp6lrzl(dne z i w (= liz) dajq nam teraz dwie laty pokrywajqce calq sferl( Riemanna. Roll( okrl(gu jednostkowego przejmuje r6wnik, a roll( pierscienia zbid:nosci "kolnierz" r6wnika. Mozemy uwazac, ze dokonalismy rozszczepienia funkcji F(z) na dwie cZl(sci: jednq z nich, kt6ra rozciqga sil( holomorficznie na poludniowq p61kull(, nazwiemy cZl(sciq cz?stosci dodatnich - bl(dzie sil( skladala z F + (z) wraz z wlqczonq w niq cZl(sciq czlonu stalego, a drugq, rozciqgajqcq sil( holomorficznie na p61kull( p6lnocnq, skladajqcq sil( z Y(z) i pozostalej cZl(sci czlonu stalego (podzial czlonu stalego jest zupelnie dowolny) - nazwiemy cZl(sciq cz?stosci ujemnych. Jesli pominiemy czlon staly, to takie rozszczepienie jest jednoznaczne dzil(ki wymogowi holomorficznosci rozszerzenia na jednq lub drugq p61kull([9.3 J• Wygodnie bl(dzie od czasu do czasu m6wic 0 "Wlll(trzu" albo 0 "zewnl(trzu" okrl(gu (albo jakiejs innej zamknil(tej pl(tli) narysowanym na sferze Riemanna. W tym celu spr6bujemy przypisac tym pl(tlom "kierunek" alba "orientacjl(". Standardowy (dodatni)l'l spos6b ukierunkowania okrl(gu jednostkowego na plaszczyznie zespolonej z polega na okresleniu kierunku wzrostu wsp6lrzl(dnej (), a wil(c kierunku przeciwnego do ruchu wskaz6wek zegara. Jesli zmienimy orientacjl( (np. zamieniajqc () na - ()), w6wczas przechodzimy od cZl(stosci dodatnich do ujemnych. Podobnq konwencjl( zastosujemy do dowolnych pl(tli zamknil(tych. Zorientowanie pl(tli rna kierunek dodatni, jesli wyobrazimy sobie "tarczl( zegara" umieszczonq wewnqtrz pl(tli, a orientacja jest przeciwna, gdybysmy umiescili "tarczl(" na zewnqtrz Pl(tli. W ten spos6b mozemy jednoznacznie zdefiniowac "wnl(trze" i "zewnl(trze" dowolnej zorientowanej pl(tli zamknil(tej. Wyjasnia to rys. 9.6. Mozliwosc rozszczepienia dowolnej funkcji na jej cZl(sci odpowiadajqce czI(stosciom dodatnim i CZl(stosciom ujemnym jest waznym elementem teorii kwantowej, w szczeg6lnosci kwantowej teorii pola, jak sil( 0 tym przekonamy w rozdz. 24.3 i 26.2-4. To szczeg6lne sformulowanie problemu, kt6re zaprezentowalem tutaj, nie jest najbardziej popularne, ale rna istotne zalety w licznych zastosowaniach
Rys. 9.6. Kierunek (orientacja) przyporzlldkowany pytli zamkniy· tej na sferze Riemanna definiuje, co rozumiemy przez "wnytrze", a co przez "zewnytrze" pytli: kierunek jest "przeciwny ruchowi wskaz6wek zegara" (dodatni), jesli "tarczy zegara" wyobrazimy sobie wewnlltrz pytIi (i na odwr6t).
a
158
[9.3] Czywiesz dlaczego? [*] Autor uiywa okreslenia anticlockwise, tzn. przeciwny wzglydem ruchu wskazowek zegara (przyp. dum.).
Rozszczepienie cZQstosci na sferze Riemanna
9.3
(np. jest bardzo przydatne w teorii twistorow; zob. rozdz. 33.10). Zwykle do jego przedstawienia nie poslugujemy sit( rozszerzeniem holomorficznym, ale od razu przechodzimy do rozwinit(cia Fouriera. Wowczas skladowe 0 cZt(stosci dodatniej zawieraj,! wielokrotnosci e-inx , gdzie n jest liczb,! dodatni,!, podczas gdy wyrazy zawieraj,!ce e inx nalez'! do szeregu cZt(stosci ujemnych. Funkcja cZt(stosci ujemnych zawiera wyl,!cznie skladowe 0 czt(stosciach dodatnich. lednakZe taki opis nie oddaje w pelni ogolnosci zwi,!zanej z tym rozszczepieniem. Istnieje wiele odwzorowan holomorficznych, ktore odwzorowuj,! sfert( Riemanna na siebie, przeksztaicaj,!c takZe na siebie kazd,! z polkul, ale ktore nie zachowuj,! ani bieguna poludniowego, ani polnocnego (tzn. punktow z = 0 lub z = (0)l9.41• Te transformacje zachowuj,! rozszczepienie na cZt(stosci ujemne i dodatnie, ale nie zachowuj,! poszczegolnych skladowych fourierowskich e-inx czy e inx • Tak wit(c sprawa rozszczepienia na czt(stosci dodatnie i ujemne (szczegolnie wazna dla teorii kwantowej) jest bardziej ogolnym pojt(ciem niz podzial na poszczegolne skladowe szeregu Fouriera. W zwyklej analizie kwantowomechanicznej problem rozszczepienia na cZt(stosci dodatnie i ujemne dotyczy funkcji zaleznych od czasu t, a 0 czasie nie zwyklismy myslec jako 0 wielkosci zmieniaj,!cej sit( wzdluZ okrt(gu. Mozemy jednak dokonac prostej transformacji, ktora zapewni, ze uzyskamy pelny przedzial czasowy, od "granicy w przeszlosci", t = -00, do "granicy w przyszlosci", t = 00, przeksztaicaj,!c zmienn,! X okreslon,! na okrt(gu, w przedziale X = -1t do X = 1t (co daje w efekcie, ze z = e ix zmienia sit( na okrt(gu jednostkowym, w kierunku przeciwnym do wskazowek zegara, odz = -1 na powrot do z = -1; zob. rys. 9.7). Takie przeksztalcenie jest zadane wzorem: 1
t = tg-X' 2
II
t
•1
t=-1
Rys. 9.7. W mechanice kwantowej rozszczepienie na cz«stosci dodatnie i ujemne odnosi si« do funkcji zaJeznych od czasu, t, ktore na ogol nie s'l periodyczne. Mimo to rozszczepienie z rys. 9.5 moze bye dokonane w pelnym zakresie czasowym (od - 00 do + 00), jesli zastosujemy transformacj« t na z (= e iX), gdzie z zmienia si« po okr«gu, przeciwnie do ruchu wskazowek zegara, od z =-1 z powrotem do z = -1, co daje zmian« X od -11 do +11.
~
[9.4] Czy mozesz podac te odwzorowania w jawnej postaci?
159
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
X
------------~~----~==~~~x=n
~~~==~----4---------------x=-n Rys. 9.S. Wykres re\acji t = tg
h.
Rys. 9.9. Geometria zwiljZku t = tg'k
Wykres tej zaleznosci podaje rys. 9.8, a rys. 9.9 przedstawia jej prost,! geometryczn,! interpretacjy. Zalet'! tej szczegolnej transformacji jest jej rozci,!ganie holomorficzne na cal,! sfery Riemanna, co sprowadza j,! do transformacji omawianej w rozdz. 8.3 (zob. rys. 8.8), ktora odwzorowuje okr,!g jednostkowy na plaszczyznie Z na os rzeczywist'! na plaszczyznie t [9.5):
z-l
t= . - -., lZ+l
-t+i t+i
Z=--.
Wnytrze okrygu jednostkowego na plaszczyznie Z odpowiada gomej polplaszczyznie t, a "zewnytrze" okrygu jednostkowego na plaszczyznie Z odpowiada dolnej polplaszczyznie t. St,!d funkcje t odpowiadaj,!ce cZystosciom dodatnim przechodz'! holomorficznie na doln,! polplaszczyzny t, a funkcje odpowiadaj,!ce cZystosciom ujemnym - na gom,! polplaszczyzny. (Jest w tym jeden znacz'!cy dodatkowy element techniczny: musimy uwazac na sposob odwzorowania punktu "w" z plaszczyzny t, ale sprawy ty rozwi'!iemy wlasciwie, jesli zawsze posluiymy siy koncepcj,! sfery Riemanna, a nie po prostu zespolon'! plaszczyzn£! t.)
160
~ [9.5] Pokai:, ze ta transformacja prowadzi do identycznego wyrazenia na t.
Transformata Fouriera
9.4
Jednilie w standardowym ujl(ciu koncepcja "czl(stosci dodatnich" w odniesieniu do wspolrzl(dnej czasowej t nie jest przedstawiana tak, jak to zrobilismy tutaj. Zwykle poslugujemy sil( transformatq Fouriera funkcji f(x). 0 przyczynie juz wspominalismf, ale poniewaz transformaty Fouriera odgrywaj,! wielk,! roll( w mechanice kwantowej (i w wielu innych dziedzinach), wil(c bl(dzie potrzebne zrozumienie, czym one naprawdl( S'!.
9.4 Transformata Fouriera W zasadzie transformata Fouriera jest granicznym przypadkiem szeregu Fouriera, kiedy okres I rozpatrywanej funkcji okresowej f(x) jest coraz wil(kszy, az staje sil( nieskonczony. W granicy nieskonczonosci nie rna zadnych ograniczen na okresowose funkcji: staje sil( ona po prostu zwykl,! funkcj,!6. To ujl(cie rna istotne zalety, gdy badamy rozchodzenie sil( fal i interesuje nas mozliwose wysylania "nieoczekiwanych" sygnalow. W takich przypadkach nie zaleiy nam wcale na periodycznosci sygnalu. Transformata Fouriera pozwala rozwaiae "jednorazowe" sygnaly i nadal analizowae je za pomoc,! rozkladu na okresowe "tony czyste". Mozna to osi,!gn,!e, traktuj,!c nasz'! funkcjl( f(x) jak funkcjl( okresow'! z okresem I d¥,!cyrn do nieskonczonosci. Gdy wielkose tego okresu rosnie, wowczas "czyste diwil(ki harmoniczne", 0 okresach lin, gdzie n jest dodatni,! liczb,! calkowit'!, uzyskuj,! cZl(stosci, ktore mog'!, w granicy, bye bliskie dowolnej dodatniej liczbie rzeczywistej. (Przypomnijmy sobie, ze dowolna liczba rzeczywista moze bye przyblizona, z dowoln'! dokladnosci,!, przez liczby wymierne.) Wniosek z tego jest taki, ze kazdy "czysty diwil(k" o dowolnej cZl(stosci moze bye dozwolon'! skladow,! rozkladu Fouriera. Teraz, zamiast rozwinil(cia funkcjif(x) na dyskretn,! suml( skladowych fourierowskich, mozemy j,! wyrazie przez ci,!gl,! suml( po wszystkich CZl(stosciach, innymi slowy, funkcjaf(x) bl(dzie teraz opisana calkq (zob. rozdz. 6.6) po CZl(stosciach. Sprawdzmy, pokrotce, jak to sil( robi. Przypomnijmy sobie najpierw nasz najbardziej "zgrabny" sposob zapisania szeregu Fouriera dla funkcji okresowej f(x), o okresie I:
F(z) =
L. a,z',
gdzie z = e iwx
(czl(stose k,!towa jest zwi'lZana z okresem relacj,! w = 2n/l). Przyjmijmy, na pocz'!tek, ze ten okres wynosi 2n, a wil(c W = 1. Sprobujmy teraz powil(kszye ten okres N razy (a wil(c I = 2rrN, gdzie N jest duz(! liczb(! calkowit(!), co oznacza odpowiednie zmniejszenie cZl(stosci (w = N-1). CZl(stose drgan fali, ktora stanowila jedn(! z cZI(stosci bazowych tonow czystych, staje sil( w ten sposob N-tym tonem harmonicznym w stosunku do tej nowej, niiszej CZl(stosci. Diwil(k czysty, ktory poprzednio stanowil n-ty ton harmoniczny, staje sil( teraz (nN)-tym diwil(kiem harmonicznym. Gdy z N przechodzimy do nieskonczonosci, traci sens sledzenie jakiejs szczegolnej skladowej drgaj(!cej przez znakowanie jej "liczb(! harmoniczn(!" (w tym wypadku liczb(! n), poniewaz ta liczba ci,!gle sil( zmienia. Innymi slowy, nie naleiy oznaczae
161
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
tej skladowej drgajllcej za pomoq liczby calkowitej r, jak w pokazanej sumie, gdyz ustalona wartose r oznacza konkretnll harmonicznll (r = ±n dla n-tej harmoniki); raczej powinnismy poslugiwae siy odpowiednill CZystoscill, ktora jest zwillzana z liczbll r/N, i dlatego potrzebna jest nam nowa zmienna do jej oznaczenia. Planujllc dalsze wykorzystanie transformat Fouriera (zob. szczegolnie rozdz. 21.11), do oznaczenia tej zmiennej uZyjy symbolu p. W zastosowaniach do cZllstek mechaniki kwantowej, w granicy N d¥llcego do nieskonczonosci, zmienna ta oznaczac bydzie p~d7 cZllstki, ktorej polozenie oznaczymy liteq X. Aczkolwiek, w tym przypadku, mozna by powrocie do konwencjonalnego uZycia litery x w miejscu X, podczas gdy przez X bydziemy oznaczae czyse rzeczywistllliczby zespolonej z. Dla skonczonych wartosci N napiszemy
r
p- -N' -
W granicy N ~ 00 parametr p staje siy zmiennll cillgill. Poniewaz w naszej sumie wspolczynniki a r bydll zalezee od tego rzeczywistego i cillglego parametru, a nie od parametru r wyraZanego w liczbach calkowitych, dlatego lepiej bydzie przejsc do standardowego oznakowania i pisae, na przyklad, g(p), zamiast uZywae dolnego indeksu (np. gp)' jak w przypadku ar' W efekcie w naszym sumowaniu L arz dokonamy zamiany
ar ~ g(p), ale musimy pamiytae, ze gdy N rosnie, rosnie rowniez liczba wyrazow leZllcych w jakims malym zakresie wartosci p (w zasadzie w proporcji do N, albowiem rozwaZamy ulamki n/N, ktore mieszczll siy w tym zakresie). W takim razie wielkosc g(p) staje siy miarll gystosci i trzeba, w granicy, w ktorej sumowanie L przechodzi w calkowanie f, polllczye jll z rozniczkll dp. Na koniec rozwazmy wyraz zw sumie L arz. Wiemy, ze z = e""X, ale gdy w = N-\ to z = e'llN. W takim razie z = e'lrlN = e'XP. LllCZllC to wszystko razem, w granicy N ~ 00, otrzymujemy wyrazenie +00
Larz r ~ f g(p)eiXPdp ktore przedstawia naszll funkcjy J(x). Zwykle dolllczamy jeszcze przed calkll pewien czynnik skalujllCY, (2nt1l2, dziyki czemu wzorywyrazajllceg(p) przezJ(x) i wyraZajllce J(x) przez g(p) - poza znakiem minus w eksponencie - Sll symetryczne: +00
+00
J(x) = (2nr1J2 fg(p)eiXPdp, g(p)=(2nt/2 fJ(x)e-iXPdx. Funkcje J(x) ig(P) Sll wzglydem siebie transJormatami Fouriera[9.61.
162
tm [9.6] Spr6buj pokazac, jak uzyskac wyrazenie na g(p) przez [ex), ui;ywaj,!c granicznej postaci wyrazenia na calkt( po konturze an = (21titl fZ-n-l F(z) dz z ewiczenia [9.2].
Rozszczepienie czestosci w iezyku transformat Fouriera
9.5
9.5 Rozszczepienie cz~stosci w j~zyku transformat Fouriera
o funkcji (zespolonej) f(X), okreslonej na calej osi rzeczywistej, mowimy, ze jest funkcjq 0 cz~stosciach dodatnich, jesli jej transformata Fouriera g(p) jest zerem dla wszystkich p :) O. A zatem funkcja taka sklada sit( wylqcznie ze skladowych fourierowskich 0 postaci e ixp z p < O. Dla Eulera bylaby to sytuacja trudna do zaakceptowania - zob. rozdz. 6.1 - i nie podobalaby mu siy taka funkcja g(p), powstala w wyniku sklejania niezerowej funkcji dla p < 0 i rownej zeru dla p > O. JednakZe w ten sposob funkcjaf(x) nie stracilaby nie ze swojej "holomorfieznosci". Ten warunek "dodatniej cZt(stotliwosci" moze tei bye wyrazony w terminach holomorficznej przedluzalnosci f(X), podobnie jak to poprzednio zrobilismy z szeregami Fouriera. Potraktujemy mianowicie zmiennq X jako oznaczenie punktow na osi rzeczywistej (a wiyc identyfikujemy X =X na tej osi), podczas gdy na sferze Riemanna ta "os rzeczywista" (wlqczajqc w to punkt X = OC)) staje siy teraz "okrt(giem rzeczywistym" (zob. rys. 8.7c). Okrqg ten dzieli sfert( na dwie polkule, przy czym polkula "zewnt(trzna" odpowiada dolnej polplaszczyznie w standardowym obrazie plaszczyzny zespolonej. Zqdanie, zeby funkcja f(x) byla funkcjq 0 "czt(stosciach dodatnich", jest teraz rownowazne warunkowi, ze mozna jq przedluZye holomorficznie na tt( "polkuly zewnt(trznq". Jest pewna subtelna sprawa, 0 ktorej musimy pamit(tae, kiedy porownujemy te dwie definicje "funkcji 0 cZt(stosciach dodatnieh", zwiqzana z tym, jak potraktujemy punktz = OC), poniewaz, w ogolnym przypadku, funkcjaf(x) bydzie miala w tym miejscu osobliwose. Jesli jednak przyjmiemy "hiperfunkcyjnq" koncepcjt(, ktorq przedstawit( niebawem (w rozdz. 9.7), to osobliwose w punkcie z = OC) nie prowadzi do zasadniczych trudnosci. Okazuje sit(, ze gdy traktujemy "f( OC))" w odpowiedni sposob, obie te definicje "dodatnich czt(stosci" Sq zgodnes. Czytelnik bardziej zainteresowany moze przeanalizowae, poslugujqc sit( koncepcjq sfery Riemanna, pewne aspekty geometryczne przejscia granicznego, opisanego w rozdz. 9.4, ktore pozwolilo nam zastqpiC szereg Fouriera transformatq Fouriera. W tym celu powroemy do rozwazanego wczesniej opisu na plaszczyznie z funkcji periodycznej f(x) 0 okresie 2n, kiedy zmienna X mierzy dlugose luku na obwodzie okrt(gu jednostkowego. Przypusemy, ze chcemy zmienie wielkose okresu do jakiejs wartosci wiykszej od 2n, w kolejnych krokach, zachowujqc przy tym interpretacjy X jako miary odleglosci na obwodzie okrygu. Mozemy to osiqgnqe, rozwazajqc sekwencjt( coraz wit(kszych okrt(gow, jednakZe zeby ta graniczna procedura miala geometryczny sens, zaloZymy, ze wszystkie te okrygi stykajq sit( ze sobq w punkcie startowym X = 0 (zob. rys. 9.lOa). Dla ulatwienia wybierzmy ten punkt jako poczqtek ukladu z = 0 (raczej niz punkt z = 1) i niech wszystkie te okrygi lezq w dolnej polplaszczyznie. W ten sposob nasz okrqg wyjsciowy, dla okresu I = 2n, staje sit( okrygiem jednostkowym 0 srodku w punkcie z = -i, a nie w poczqtku ukladuo Dla okresu I > 2n odpowiedni okrqg rna srodek w punkcie C = -il/2n plaszczyzny zespolonej, a gdy przechodzimy do granicy I ~ OC), okrqg przechodzi w os rze-
163
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
,
",
~;:
"
~ \" Przesuni~ty'\ okrljg jednostkowy I
/
I I
,
c = -it 21t
/
\
/
"
-'" /".......
/'(a)
(b)
Rys. 9.10. Warunek "czystosci dodatnich", gdy 1---+ 00, gdzie I jest okresern funkcji lex). (a) Zacznijrny z I = 21t, z funkcjil/okreslonil na okrygu jednostkowym, ale ze srodkiern przesuniytym do punktu z =-i. Ze wzrostern I okrilg staje siy okrygiern 0 prornieniu I, a jego srodek przesuwa siy do punktu C = -il/21t. W kai:dym przypadku zrnienna X jest rniaril dlugosci luku w kierunku zgodnyrn z ruchern wskaz6wek zegara. Warunek dodatniej cZystosci oznacza teraz zildanie, zeby funkcja I dawala si y holornorficznie przedluZyc do wnytrza okrygu, a w przypadku I = 00 na calil dolnil p6lplaszczyzny. (b) To sarno, ale na sferze Riernanna. Dla skoiiczonych wartosci I szereg Fouriera otrzyrnuje siy z szeregu Laurenta wok6l punktu z = -il/21t. J ednak na sferze ten punkt nie jest srodkiern okrygu i przechodzi w punkt 00 w granicy I = 00, a tam szereg Fouriera przechodzi w transforrnat y Fouriera.
czywist'! (a wiyc X =x), natomiast jego "srodek" przesuwa siy do nieskonczonosci wzdluz ujemnej osi urojonej. W kaZdym przypadku zmienna c mierzy dlugosc luku, zgodnie z ruchem wskazowek zegara (albo, w granicznym przypadku, zwykl,! odleglosc mierzon,! w dodatnim kierunku na osi rzeczywistej), przy czym punkt wyjsciowy X = 0 wypada w pocz'!tku ukladu. Poniewaz nasze okrygi maj,! teraz niestandardow,! orientacjy (tzn. zgodn,! z kierunkiem ruchu wskazowek zegara), w takim razie "wnytrza" tych okrygow "znajduj,! siy na zewn'!trz" (zob. rozdz. 9.3, rys. 9.6), a nasz warunek "czystosci dodatnich" odnosi siy do tego wnytrza. Zwi,!zek pomiydzy c a z mozna teraz przedstawic nastypuj,!col9.71 :
z_-it- (-iX e 21t
1) .
Dla skonczonej wartosci t szereg Fouriera dla !(x) staje siy teraz szeregiem Laurenta wokol punktu C = -il/21t. Transformaty Fouriera otrzymamy, przechodz'!c do granicy I ~ 00. Dla skonczonego I warunek "dodatniej czystosci" oznacza holomorficzn,! przedluzalnosc !(x) na "wnytrze" odpowiedniego okrygu; dla granicy I ~ 00 oznacza to holomorficzn'! przedluzalnosc na doln,! polplaszczyzny.
164
B
[9.7] Wyprowadz tt( relacjt(.
Jaki rodzaj funkcji jest odpowiedni?
9.6
Ale co sit( dzieje z szeregiem Laurenta w granicy I ~ oo? Aby to zrozumiee, musimy uwaznie przesledzie sytuacjt( na sferze Riemanna. Dla kaidej skonczonej wartosci I punkt C = -il/2rc jest srodkiem okrt(gu X, ale na sferze Riemanna punkt ten wcale nie musi bye srodkiem okrt(gu. Gdy I rosnie, punkt C przesuwa sit( wzdluz okrygu, ktory reprezentuje os urojonq na sferze Riemanna (zob. rys. 9.1Ob), i coraz mniej przypomina srodek okrygu. W koncu, gdy I = 00, punkt C przechodzi w punkt z = 00 na sferze Riemanna. Ale kiedy C = 00, spostrzegamy, ze punkt ten leZy na okr~gu, ktorego powinien bye srodkiem! (Ten okrqg jest teraz osiq rzeczywistq.) I tak stwierdzamy cos dziwnego (czy "osobliwego") w rozwijaniu w szereg wokol tego punktu, co jest naturalne, gdyz nie mamy obecnie do czynienia z sumq poszczegolnych wyrazow, ale z calkq.
9.6 Jaki rodzaj funkcji jest odpowiedni?
Powroemy teraz do kwestii postawionej na poczqtku tego rozdzialu, a mianowicie, jakiego rodzaju funkcje Sq najbardziej odpowiednie do naszych celow. Jakiego typu funkcje mogq bye przedstawione w postaci transformat Fouriera? Wydaje sit(, ze nie bt(dzie wlasciwe ograniezanie sit( tylko do funkcji analitycznych (tj. do funkcji klasy C poniewaz, jak juz widzielismy, transformata Fouriera g(p) funkcji 0 czt(stosciach dodatnich ICl) - a wit(c funkcji, ktora jest na pewno analityczna - przedstawia sobq wyrainie nieanalityczny "proces zszywania" funkcji niezerowej z funkcjq stalq 0 wartosciach zero. Relacja mit(dzy jakqs funkcjq a jej transformatq Fouriera jest symetryczna, wobec tego przyjmowanie dla nieh roznych standardow wydaje sit( niezbyt rozsqdne. Ponadto, jak juz wczesniej stwierdzilismy, zachowanie sit( funkcji ICl) w punkcie X = 00 jest zwiqzane ze spraWq rozszczepienia na cZt(stosci dodatnie i ujemne, ale tylko w bardzo szczegolnych okolieznosciach ICl) bydzie analityczna (C) w nieskonczonosci (gdyz to wymagaloby precyzyjnego dopasowania zachowania sit( ICl), gdy ICl) ~ +00 i gdy X ~ -00). Do tego wszystkiego dochodzijeszcze nasza poczqtkowa motywacjafizyczna, 0 ktorej mowilismy przy badaniu transformat Fouriera, ta mianowicie, ze chcielibysmy miee mozliwose rozwaiania sygnalow zdolnych przekazywae tresci "nieoczekiwane" (nieanalityczne). Musimy wiyc powrocie do zagadnienia, ktore postawilismy na poczqtku tego rozdzialu: jakiego typu funkcje powinnismy traktowac jako funkcje "porzqdne"? Przypomnijmy, ze z jednej strony Euler i jemu wspolczesni najprawdopodobniej zaakceptowaliby funkcje holomorficzne (czy analityczne) jako odpowiadajqce ieh pojyciu "przyzwoitej funkcji"; ale z drugiej strony zqdanie holomorfieznosci wydaje sit( zbyt restrykcyjne dla roznych prob1emow matematycznych i fizycznych, wlqczajqc w to zagadnienia zwiqzane z rozchodzeniem sit( fal, a zatem potrzebne jest ogolniejsze pojycie. Czy mozemy powiedziec, ze jeden z tych punktow widzenia jest bardziej "poprawny" od drugiego? Obecnie, prawdopodobnie, zwolennikow pierwszego punktu widzenia uznano by za "staromodnych", przewaza bowiem opinia, ze wspolczesna matematyka preferuje raczej drugi z nieh, W
),
165
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
czyli ze funkcje holomorficzne lub analityczne s~ po pro stu bardzo szczegolnym przypadkiem ogolnego pojycia "funkcji". Ale czy taki punkt widzenia jest z pewnosci~ sluszny i wlasciwy? Sprobujmy postawie siy w polozeniu XVlII-wiecznych matematykow. I oto na pocz~tku XIX stulecia pojawia siy Joseph Fourier. Ci matematycy, ktorzy nalezeli do "analitycznej" (eulerowskiej) szkoly myslenia, musieli bye zszokowani, kiedy Fourier pokazal im, ze pewne funkcje okresowe, na przyklad "fala kwadratowa" czy zyby pily przedstawione na rys. 9.11, maj~ bardzo dobre rozwiniycie w szereg Fouriera! Idea Fouriera nie zostala bynajmniej dobrze przyjyta przez matematyczny establishment i wielu uczonych absolutnie nie chcialo zgodzie siy z jego propozycj~. Jak moze istniee "wzor analityczny" na funkcjy typu fali kwadratowej? Fourier zas udowodnil, ze suma szeregu . 1'3 l· 1'7 s () X =smX+"3sm X+Ssm SX+"7 sm X+···
daje w efekcie faly kwadratow~, ktorej wartosci stalymi 1t/4 i -1t/4 w polokresie 1t (zob. rys. 9.12).
oscyluj~
pomiydzy wartosciami
X (a)
Rys. 9.11. Nieci,!gie funkcje okresowe (z eleganckimi szeregami Fouriera): (a) fala kwadratowa, (b) zyby pity.
x (b)
s
x
166
t
Rys. 9.12. Cz'!stkowe sumy szeregu Fouriera s(x) = sin X +tsin 3X + sin 5X + tsin 7X +t sin 9X + ... daj,!ce w efekcie faly kwadratow'! (podobn,! do przedstawionej na rys. 9.11a).
Jaki rodzaj funkcji jest odpowiedni?
9.6
A teraz, wedlug podanego przepisu, przejdzmy od szeregu Fouriera do szeregu Laurenta. Otrzymamy bardzo sympatycznie wyg1,!daj,!ce wyraienie[9.8] .
1
-5
1
-3
-1
1
3
1
5
2JS(X)= ... - - Z --z -z +z+-z +-z + ... , 5 3 3 5 gdzie z = e ix • Jest to przyklad szeregu, ktorego pierscien zbieznosci kurczy siy do okrt(gu jednostkowego, na dodatek bez pozostawienia zadnego obszaru otwartego. JednakZe wci,!z moglibysmy mys1ec w terminach funkcji ho10morficznych, gdybysmy rozszczepili szereg Laurenta na polowy: jedn,! zawieraj,!c,! ty1ko pott(gi dodatnie, co daloby w efekcie norma1ny szereg potygowy w z, i drug,!, zawieraj,!c,! pott(gi ujemne, co daloby w rezu1tacie szereg pott(gowy w Z-I. Okazuje sit(, ze s,! to dobrze znane szeregi i mozna je wysumowac explicite[9.9]:
(I+Z)
_ 1 3 1 5 1 S =z+"3 z +5 z + ... ="2 1n l-z oraz +
1 z -5
S =···-5
1 z -3
-"3
-z
-1
11 (I+Z-
=-"2 n
1
l-z- 1
J '
natomiast 2is(x) = S- + S+. Niewie1kie przegrupowanie tych wyraien prowadzi do wniosku, ze S- i -S+ rozni,! sit( od siebie 0 ±in/2, a zatem sex) = ±l/4n [9.10]. Jednak, aby stwierdziC, ze w ten sposob rzeczywiscie otrzymujemy faIt( kwadratow'! oscy1ujqCq pomit(dzy tymi dwiema wartosciami, musimy zbadac to zagadnienie dokladniej. Dokonamy tego za pomoc,! przeksztaicenia t = (z - 1)/(iz + i) z rozdz. 8.3, ktore zamienia wnt(trze kola jednostkowego na plaszczyznie z na gom,! polplaszczyznt( t (jak to pokazuje rys. 8.8). Wyraiona w zmiennej t wie1kosc S- odnosi sit( teraz do gomej polplaszczyzny, a S+ do do1nej. Teraz znajdujemy, ze (dopuszczaj,!c mozliwq niejednoznacznosc 2ni w wartosciach 10garytmow) 11nt+11· 11nt+11· n1, S+ =nl. S- =-2 2 2 2 Idqc sladem funkcji 10garytmicznej od odpowiednich punktow startowych t = i (gdzie S- =0) i t =-i (gdzie S+ =0), stwierdzamy, ze wzdluz dodatniej osi rzeczywistej t otrzymujemy S- + S+ = + tin, a wzdluz ujemnej osi rzeczywistej t mamy S- + S+ = = - tin [9.11]. Na tej podstawie wnioskujemy, ze wzdluz gomej polowy okrygu jednostkowego na plaszczyznie z s(x) = + ~n, podczas gdy wzdluz do1nej polowy sex) = -~n. To dowodzi, ze szereg Fouriera rzeczywiscie sumuje sit( do fa1i kwadratowej, dokladnie tak, jak twierdzil Fourier. IB [9.8] Pokai to. jlI [9.9] Zr6b to, posluguj,!c siy rozwiniyciem w szereg funkcji Inz wok6l punktu z = 1, podanym pod koniec rozdz. 7.4. IB [9.10] Pokaz to (zakiadaj,!c, ze IsCl)1 < 3n/2). jlI [9.11] Pokaz to.
167
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
Jakijest wniosek z tego przyldadu? Taki, ie konkretna funkcja okresowa nie jest nie tylko r6iniczkowalna (a wiyc jest klasy C-1), ale nie jest nawet ci,!gla, a mimo to moina j,! przedstawie za pomoq sensownego szeregu Fouriera. Albo, kiedy rozwaiamy funkcjy okrdlon,! na okrygu jednostkowym, moie bye ona przedstawiona przez szereg Laurenta, nawet gdy jej pierscien zbieinosci kurczy siy do samega okrygu jednostkowego. Zar6wno dodatnia, jak i ujemna czyse tego szeregu Laurenta sumuj,! siy do calkiem porz,!dnych funkcji holomorficznych na polowie sfery Riemanna. Jedna z nich jest okreslona po jednej stronie okrygu jednostkowego, a druga po drugiej. Moiemy powiedziee, ie "suma" tych dwu funkcji daje i,!dan,! faly kwadratow,! na samym okrygu jednostkowym. Jest tak dlatego, ie w punktach okrygu jednostkowego, z = ±l, mamy punkty rozgalyzienia, w kt6rych ta suma "skacze" z jednej strony na drug'!, daj,!c w efekcie faly kwadratow'!. Osobliwosci w tych punktach rozgalyzienia powoduj,!, ie szeregi potygowe po obu stronach nie s,! zbieine poza okrygiem jednostkowym.
9.7 Hiperfunkcje
168
Rozwaiany przyldad jest tylko specjalnym przypadkiem, ale pokazuje, co trzeba zrobie w przypadku og6lnym. Zastan6wmy siy wiyc nad najbardziej og6lnym rodzajem funkcji, kt6ra moie bye okreslona na okrygu jednostkowym (na sferze Riemanna) i przedstawiona jako "suma" pewnej holomorficznej funkcji F+, okreslonej w obszarze otwartym lei,!cym po jednej stronie tego okrygu, i innej holomorficznej funkcji Y, okreslonej w obszarze otwartym lei,!cym po drugiej stronie, tak jak w omawianym przypadku. Przekonamy siy, ie rozwi¥anie tego problemu prowadzi prosto do pewnego egzotycznego, ale wainego pojycia, jakim jest "hiperfunkcja". Okazuje siy, ie trzeba bardziej pogl,!dowo traktowae funkcjy f jako "r6inicy" miydzy Y a - F+; powodem jest to, ie w najbardziej og61nym przypadku moie nie istniee analityczne przedluienie zar6wno Y, jak i F+ na okr,!g jednostkowy, a wiyc nie jest jasne co, w takim przypadku, mialaby oznaczae "suma" na tym okrygu. Jednakie moiemy rozwaiae r6inic~ miydzy Y a -F+ jako reprezentuj,!c,! "skok" miydzy wartosciami tych funkcji, gdy ich dziedziny schodz,! siy na okrygu jednostkowym. Koncepcja "skoku" miydzy jak,!s funkcj,! holomorficzn'! po jednej stronie krzywej na plaszczyznie zespolonej a inn,! funkcj,! holomorficzn,! po drugiej - gdy iadna z tych funkcji nie musi rozci,!gae siy holomorficznie przez sam,! ty krzyw,! wprowadza nowe rozumienie "funkcji" okreslonej na krzywej. Jest to wlasnie definicja hiperfunkcji na krzywej (analitycznej). To kapitalne pojycie wprowadzil matematykjaponski Mikio Sato w 1958 roku 9 i jego definicja, jak siy 0 tym niebawem przekonamy, jest bardziej elegancka od tej, kt6r,! zaprezentowalismylO. Aby podae definicjy hiperfunkcji, nie potrzebujemy krzywej zamkniytej, kt6r,! na przyklad jest caly okr,!g jednostkowy, ale wystarczy rozwaiye tylko pewn'! czyse krzywej. Zwykle hiperfunkcjy definiujemy na pewnym odcinku y osi rzeczywistej.
Hiperfunkcje
9.7
Przyjmijmy, ze y jest odcinkiem zawartym mi~dzy punktami a i b, gdya i b s,! liczbami rzeczywistymi i a < b. Hiperfunkcj,!, okreslon,! na y, jest skok na y, rozpoczynajqcy si~ od holomorficznej funkcjiJ, okreslonej na otwartym obszarze R-(kt6rego g6rnym brzegiem jest y), a koncz'!cy na holomorficznej funkcji g, okreslonej na otwartym obszarze R+ (kt6rego y jest brzegiem dolnym; zob. rys. 9.13). lednakZe traktowanie w ten spos6b "skoku" nie daje namjasnego wyobrazenia 0 tym, czym on jest; nie jest tez bardzo precyzyjne z matematycznego punktu widzenia. Sato znalazl bardzo eleganckie wyjscie z tej sytuacji, ale wymaga ono postypowania w spos6b formalny i algebraiczny, choe jest nadzwyczaj proste. Skok przedstawimy jako par~ (f, g) funkcji holomorficznych. B~dziemy m6wili, ze taka para (f, g) jest rownowaina innej parze (fo' go)' jdeli ty drug,! par~ mozemy otrzymac przez dodanie do obu funkcji, Jig, tej samej holomorficznej funkcji h, okreslonej na pol'!czonym (otwartym) obszarze R, kt6ry sklada si~ z obszar6w R-i R+, pol'!czonych na odcinku y; zob. rys. 9.14. M6wimy wi~c
(f, g) jest r6wnowazna (f + h, g + h), gdzie holomorficzne funkcjeJig S,! zdefiniowane, odpowiednio, na R- i R+, natomiast funkcja h zdefiniowana jest na pol'!czonym obszarze R. Kazde z podanych wyrazen moze bye uZyte do przedstawienia tej samej hiperfunkcji. Matematycznie poprawnie byloby odnosie si~ do samej hiperfunkcji jako do klasy r6wnowaznosci takich par "redukowanych modulo"ll funkcje holomorficzne h zdefiniowane na R.
Plaszczyzna zespolona
Rys. 9.13. Hiperfunkcja, okresiona na odcinku y osi rzeczywistej, przedstawia sob1! "skok" od pewnej hoiomorficznej funkcji okresionej z jednej strony y do innej hoiomorficznej funkcji, okresionej po drugiej stronie.
169
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
~. • ~~
m,d.,
A
~
Rys. 9.14. Hiperfunkcjlt okreslonl! na odcinku y osi rzeczywistej przedstawia para funkcji holomorficznych if, g), z ktorych jedna,f, okreslona jest na pewnym otwartym obszarze n-, rozcil!gajl!cym silt w dol od odcinka y, a druga, g, okreslona jest na obszarze otwartym n+, rozcil!gajl!cym silt w gorlt od y. Hiperfunkcjl! h na y jest para if, g) modulo wielkosci if + h, g + h), gdzie h jest funkcjl! holomorficznl! w obszarze n, powstalym z poll!czenia obszarow n-, y i n+.
W tym miejscu czytelnik rna okazjy przypomniee sobie pojycie "klasy rownowaznosci", ktore pojawilo siy w Przedmowie przy okazji definiowania pojycia ulamka, poniewaz jest to ta sarna ogolna idea (i rownie klopotliwa). Istotne jest, ze dodanie h nie rna zadnego wplywu na wielkose skoku miydzy fag, ale moze zmieniae obie te funkcje w sposob, ktory jest bez znaczenia dla samego skoku (np. h moze miee wplyw na to, jak te funkcje zachowuj(! siy poza odcinkiem y, na obszarach n- i n+). Tak wiyc sam skok jest wlasciwie opisany jako ta klasa rownowaznosci. Czytelnik moglby zaniepokoie siy tym, ze ta sprytna definicja moze bye istotnie zwi(!Zana z naszym arbitralnym wyborem obszarow n- i n+, ktory jest ograniczony jedynie z(!daniem, zeby przechodzily jeden w drugi na ich wspolnej linH brzegowej y. Jest godne uwagi, ze definicja hiperfunkcji wcale nie zaleiy od tego wyboru. Istnieje zaskakuj(!ce twierdzenie 0 odci?ciu, ktore glosi, ze pojycie hiperfunkcji jest calkowicie niezalezne od szczegolnego wyboru obszarow n- i n+ (zob. trzy gome przyklady pokazane na rys. 9.15).
(a)
E3
(b)
170
Rys. 9.15. Twierdzenie 0 odciltciu mowi, ie pojltcie hiperfunkcji nie zaleiy od wyboru obszaru otwartego n, jesli tylko obszar ten zawiera zadanl! krZYWl! y. (a) Obszar n - ji moie skladac silt z dwu oddzielnych kawalkow (wowczas mamy dwie roine funkcje holomorficzne fig, jak na rys. 9.14) albo (b) obszar n - ji moie stanowic jeden, poll!czony kawalek, wowczas fig Sl! po prostu dwiema czltsciami tej samej funkcji holomorficznej.
Hiperfunkcje
9.7
Twierdzenie 0 odciyciu dostarcza nawet wiycej informacji. Nie potrzebujemy wcale z,!dac, zeby nasz obszar otwarty R, po wyjyciu y dzielil siy koniecznie na dwa osobne obszary (w tym przypadku R- i R+). Wymagamy, zeby otwarty obszar Rna plaszczyznie zespolonej zawieral otwarty12 odcinek y. Moze wiyc byc tak, ze R - y (a wiyc obszar, jaki pozostanie po wyjyciu y13) skladac siy bydzie z dwoch oddzielnych kawalkow, jak to rozwazalismy dot,!d, jednak w bardziej ogolnym przypadku usuniycie y z obszaru R moze nam dac pojedynczy obszar zwi'!Zany, tak jak to ilustruj'! dolne trzy przyklady na rys. 9.15. Wowczas musimy takZe usun'!c wszelkie wewnytrzne punkty koncowe, takie jak a i b odcinka y. W efekcie otrzymujemy zbior otwarty, ktory bydy nazywal R - y. W tym bardziej ogolnym przypadku nasze hiperfunkcje bydziemy okreslali jako "holomorficzne funkcje na R, zredukowane modulo funkcje holomorficzne na R - y". Ciekawe, ze ten bardzo swobodny wybar R nie rna wplywu na klasy hiperfunkcji, ktora zostala w ten sposob zdefiniowana[9. 121. Przypadek, w ktorym punkty a i b naleZ,! do R, jest wygodny, gdy chcemy calkowac hiperfunkcje, poniewaz wtedy mozemy posluZyc siy calkowaniem po konturze zamkniytym w obszarze R - y. Wszystko to znajduje zastosowanie w naszym poprzednim przypadku okrygu na sferze Riemanna. Fakt, ze obszarem R jest cala sfera Riemanna, rna pewn'! zalety, poniewaZ funkcje, ktore musimy "wymodelowac", S,! funkcjami holomorficznymi na calej sferze Riemanna. Tymczasem istnieje twierdzenie, ktore mowi, ze to S,! funkcje stale. (Wlasnie tymi "stalymi" a o mielismy siy nie przejmowac w rozdz. 9.2.) Tak wiyc, modulo stale, hiperfunkcja okreslona na jakims okrygu na sferze Riemanna jest zadana po prostu przez jedn,! funkcjy holomorficzn'! okreslon,! na calym obszarze po jednej stronie okrygu i przez inn,! funkcjy holomorficzn,! po drugiej stronie. W ten sposob otrzymujemy jednoznaczne (modulo stale) rozszczepienie dowolnej hiperfunkcji na okrygu na jej czysci odpowiadaj,!ce cZystosciom dodatnim i ujemnym. Zakonczmy te uwagi rozwazeniem pewnych podstawowych wlasnosci hiperfunkcji. UZywam notacji ~f, gD do oznaczenia hiperfunkcji zadanej przez pary funkcjifig, okreslonych holomorficznie, odpowiednio, na R- i R+ (powracam do przypadku, gdy y dzieli R na R- i R +). Tak wiyc jesli mamy dwa rozne przedstawienia tej samej hiperfunkcji, gD oraz goD, czyli gdy gD = goD, wowczas f - fa i g - go oznaczaj'! ty sam,! holomorficzn,! funkcjy h zdefiniowan,! na R, ale ograniczon,!, odpowiednio, do R- i R +. Mozna od razu zdefiniowac sum~ dwoch hiperfunkcji,pochodnq hiperfunkcji oraz iloczyn hiperfunkcji z funkcj,! analityczn'! q zdefiniowan,! na y:
V,
Va'
V,
Va'
ta [9.12] Wyjasnij, dlaczego okreslenie "holomorficzne funkcje na R, zredukowane modulo funkcje holomorficzne na R - jI" przechodzi w obszar R - jI rozdziela sit( na R- i R + •
poprzedni~
definicjt( hiperfunkcji, gdy
171
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
d(t,g~ =~df, dgh, dz
Udz dZp
qV,g~
= = ~qf, qg~,
gdzie, w tym ostatnim wzorze, funkcja analityczna q rozci~ga siy holomorficznie w otoczeniu 14 y[9.13 1. Sam~ funkcjy q mozemy rowniei: przedstawie jako hiperfunkcjy q = ~ q, ~ = ~ 0, -q ~. Nie mamy jednak ogolnej definicji iloczynu dwu hiperfunkcji. Ten brak nie jest wca1e wad~ hiperfunkcyjnego podejscia do problemu funkcji uogolnionych. Wad~ t~ obarczone s~ wszystkie podejscia15 , na przyklad to, ze nie potrafimy podniese do kwadratu funkcji delta Diraca (mowilismy 0 niej w rozdz. 6.6), jest nieustannym zrodlem klopotow w kwantowej teorii pola. Prostymi przykladami reprezentacji hiperfunkcjonalnej w przypadku, gdy y = JR., a R- i R + stanowi~, odpowiednio, gorn~ i doln~ polplaszczyzny zespolon~, s~ funkcja schodkowa Heaviside'a O(x) oraz funkcja delta Diraca (-Heaviside'a) 8(x) (= dO(x)ldx) (zob. rozdz. 6.1, 6):
°
O(x)
=ff~lnz,~lnz-1~,
U2m
~
»
2m
ox----1 ~, ( ) - 2 1. '2· 1tlZ
1tlZ
gdzie wybieramy ty gal~z logarytmu, dla ktorej In 1 = 0. Calka z hiperfunkcji ~J,g~ po calej osi rzeczywistej moze bye wyrazona jako calka zJ po pewnym konturze tuz poniZej osi rzeczywistej, minus calka z g po konturze tuz powyzej osi rzeczywistej (zakladaj~c, ze obie s~ zbiezne); oba calkowania od lewej do prawep-141. Zauwai:my, ze hiperfunkcja moze bye nie trywialna, nawet gdy funkcje Jig s~ przedluzeniami analitycznymi tej samej funkcji. J ak ogolne jest pojycie hiperfunkcji? Z pewnosci~ zawiera ono wszystkie funkcje analityczne, a taki:e funkcje nieci~gle, takie jak O(x) lub fala kwadratowa Uak to poprzednio pokazalismy), oraz inne funkcje klasy C-\ ktore powstaj~ w wyniku skladania takich struktur. W istocie wszystkie funkcje klasy C-1 Sq hiperfunkcjami. Co wiycej, skoro mozemy rozniczkowae hiperfunkcje i uzyskae w wyniku inne hiperfunkcje, a kai:da funkcja klasy C-2 moze bye otrzymana w wyniku rozniczkowania funkcji klasy C- 1, to z tego wynika, ze funkcje klasy C- 2 s~ rowniez hiperfunkcjami. Widzimy wiyc, ze w tym zawiera siy funkcja delta Diraca. Rozniczkowanie mozemy kontynuowae dowoln~ ilose razy. A zatem wszystkie funkcje klasy C-n , dla
.a [9.13] Mozna tu zauwaZyc pewnq subtelnosc. Wyjasnij, 0
172
co chodzi. Wskaz6wka: przemy§l starannie kwestitt dziedziny. .a [9.14] Sprawdz standardowq wlasnosc funkcji delta, q(x)8(x)dx = q(O), zakladajqc, ze funkcja q(x) jest analityczna.
f
Przypisy
oo dowolnej calkowitej wartosci n, S,! hiperfunkcjami. A co z funkcjami klasy C- , ktore bydziemy nazywali dystrybucjami (zob. rozdz. 6.6)? Tak, to wszystko s,! hiperfunkcje. Dystrybucjy16 definiuje siy zwykle jako element pnestneni dualnej funkcji gladkich klasy Coo. Pojycie przestrzeni dualnej omowimyw rozdz. 12.3 i 13.6. W istojest cie przestrzeni,! dualn,! (w odpowiednim sensie) przestrzeni funkcji klasy przestrzen funkcji klasy 2-.., dla dowolnego calkowitego n. Regula ta odnosi siy rownieZ do przypadku n = 00, jesli napiszemy -2 - 00 =- 00 oraz -2 + 00 = 00. W takim oo razie funkcje klasy C- s,! dualne wzglydem funkcji klasy Coo. Ale czy przestrzen funkcji COl jest dualna wzglydem COl? Tak jest; przy odpowiedniej definicji "dualOl nosci" te funkcje klasy C- s,! hiperfunkcjami! Zatoczylismy pelny kr,!g. Usiluj,!c uogolnic pojycie "funkcji", odchodz,!c mozliwie najdalej od restrykcyjnych pojyc funkcji "analitycznej" czy "homomorficznej" - a wiyc od typu funkcji, ktore uszczysliwilyby Eulera - dotarlismy do nadzwyczaj ogolnego i elastycznego pojycia hipeifunkcji. Ale, jak siy okazuje, same hiperfunkcje definiowane S,! w bardzo prosty sposob w jyzyku tych samych "eulerowskich" funkcji holomorficznych, 0 ktorych myslelismy, ze zostaly przez nas porzucone. W moim przekonaniu mamy tutaj do czynienia z jednym z najwspanialszych osi,!gniyc magii liczb zespolonych. Euler, gdyby Zyl, potrafilby docenic ten zdumiewaj,!CY fakt!
cn
c-
Przypisy Rozdzial9.1 Stosujy tutaj greck,! litery X ("chi") zamiast zwykle uiywanej litery x, kt6ra wydawalaby siy odpowiedniejsza, tylko dlatego, ze musimy j,! odr6znie od czysci rzeczywistej x liczby zespolonej z, co bydzie bardzo istotne w dalszej cZysci pracy. 2 Nie rna takiego wymogu, aby tunkcjaf(x) byla funkcj,! rzeczywist,! dla rzeczywistych wartosci X, a wiyc, zeby wsp6lczynniki an' bn , i c byly liczbami rzeczywistymi. Dopuszcza siy, by funkcja zmiennych rzeczywistych byla tunkcj,! zespolon'!. Funkcja f(x) w podanym rozwiniyciu bydzie rzeczywista, pod warunkiem ze wsp6lczynnik a -n bydzie zespolenie sprzyzony zan' Sprzyganie zespolone om6wimy w rozdz. 10.1. 1
Rozdzial 9.2 Dziwaczna anomalia uZycia oznaczenia F- dla cZysci szeregu potygowego zawieraj,!cej pOtygi dodatnie, a oznaczenia F+ dla cZysci z potygami ujemnymi bierze siy prawdopodobnie z dose niefortunnej konwencji powszechnie stosowanej w literaturze mechaniki kwantowej (zob. rozdz. 21.2, 3 i 24.3). Przykro mi z tego powodu, ale nic na to nie mogy poradzie! 4 Istnieje og6lna zasada, ze dla dowolnej funkcjifklasy Coo, okreslonej w dziedzinie rzeczywistej n, mozna ty dziedziny poszerzye do nieco wiykszej dziedziny en, nazywanej "pogrubieniem zespolonym" n , zawieraj,!cym n w swoim wnytrzu, tak ze f, w spos6b jednoznaczny, stalaby siy funkcj,! holomorficzn,! okreslon,! na en. S Zob. np. Bailey et al. (1982).
3
6
Rozdzial 9.4 Zwykle jednak naklada siy pewne warunki, zeby tunkcjaf(x) zachowywala siy "rozs'!dnie", kiedy zmierza do plus lub minus nieskonczonosci. Nie bydziemy siy tym przejmowae, gdyz
173
9
Rozktad Fouriera i hiperfunkcje
7
8
w podejsciu, ktore przyjylismy tutaj, zwykle wymogi i tak nadmiernie rzecz ograniczajq. W mechanice kwantowej pojawia siy stala wielkosc Ii, ktora ustala relacjt( skalujqcq pomit(dzy p a x (zob. rozdz. 21.2, 11), ale tu, dla ulatwienia, polozt( Ii = 1. W istocie stala Ii jest wprowadzonq przez Diraca wariacjq stalej Plancka l '] (a wit(c n = hI2T[, gdzie h jest oryginalnq stalq Plancka oznaczajqcq "kwant dzialania"). Polozenie Ii = 1 jest zawsze mozliwe przy odpowiednim wyborze ukladu jednostek; zob. rozdz. 27.10.
Rozdzial9.5 Zob. Bailey et a1. (1982).
Rozdzial 9.7 Zob. Sato (1958, 1959, 1960). 10 Zob. takZe: Bremermann (1965), chociaz autor nie uiywa pojt(cia "hiperfunkcji" explicite. 11 Inne zastosowanie pojt(cia "modulo" przedyskutujemy w rozdz. 16.1 (por. tez przyp. 17 wrozdz.3). 12 Przez pojt(cie "odcinka otwartego" rozumiemy fakt, ze do y nie nalezq punkty koncowe tego odcinka, a i b. W takim razie mowiqc, ze R zawiera y, nie mamy na mysli, ze zawiera takZe punkty a i b. 13 Zwykle tt( roznict( zbiorow R i y zapisujemy jako R\y. 14 "Otoczenie ... " oznacza "zbior otwarty zawierajqcy ... ". 15 Bardziej standardowe podejscie do idei funkcji uogolnionych ("dystrybucje") znaleic mozna w: Schwartz (1966), Friedlander (1982), Gel'fand, Shilov (1964). Alternatywne podejscie, uiyteczne w teoriach "nieliniowych", w ktorym problem nieistnienia i10czynu zastqpiano problemem niejednoznacznosci - zob.: Colombeau (1983, 1985); Grosser et a1. (2001). 16 Istniejq wazne zwiqzki mit(dzy hiperfunkcjami a kohomologiq snopow holomorficznych, ktorq omowimy w rozdz. 33.9. Takie idee odgrywajq waznq rolt( w teorii hiperfunkcji na powierzchniach wyzej wymiarowych, zob. Sato (1959, 1960); Harvey (1966). 9
[*] W pismiennictwie polskim mowimy ZWYkle 0 "zredukowanej stalej Plancka".
10 Powierzchnie 10.1 Wymiary zespolone i wymiary rzeczywiste JEDNYM z najbardziej imponuj,!cych osi,!gniye matematyki w ostatnich dwu stuleciach jest rozwoj roznych metod traktowania nieplaskich przestrzeni 0 rozmaitych wymiarach. Waine, zeby czytelnik dowiedzial siy 0 tych ideach, gdyz wielka czyse wspolczesnej fizyki jest z nimi w istotny sposob zwi,!zana. Do tej pory rozwazalismy przestrzenie maj,!ce tylko jeden wyrniar. To moze bye pewnym zaskoczeniem dla czyteinika, skoro w poprzednich rozdzialach powiedzielismy wiele 0 plaszczyZnie zespolonej, 0 sferze i roznych innych powierzchniach Riemanna. Jednak w kontekScie funkcji holomorficznych wszystkie te powierzchnie mozemy traktowae jako obiekty, w istocie, 0 jednym tylko wymiarze zespolonym (zetknylismy siy z tym w rozdz. 8.2). Punkty w takiej przestrzeni rozrozniane s,! miydzy sob,! (lokalnie) za pomoq tylko jednego parametru, a jest nim liczba zespolona. W zwi¥ku z tym takie "powierzchnie" mog,! bye uwaiane za "krzywe", co wiycej za "krzywe zespolone". Oczywiscie, liczby zespolon'! z mozemy zawsze rozszczepie na jej czyse rzeczywist'! i urojon,! (x, y), gdzie z = x + iy, i uwaiae, ze x i y S,! dwoma niezaleinymi parametrami. JednakZe taki proces rozszczepiania liczby zespolonej niespecjalnie pasuje do dziedziny operacji holomorficznych. Dopoki zajmujemy siy tylko strukturami holomorficznymi, dopoty powinnismy uwaiae, ze opis za pomoc,! jednego tylko parametru zespolonego oznacza tylko jeden wymiar. Ja, przynajmniej, zalecatbym przyjycie takiego punktu widzenia. Mozliwa do przyjycia jest tez przeciwna koncepcja, w ktorej operacje holomorficzne S,! rozpatrywane jako szczegolne przypadki operacji ogolnej natury, a zatern, jesli to byloby poz'!dane, x i y mogtyby bye uwazane za niezalezne parametry. W tym celu wprowadzimy pojycie sprzfgania zespolonego, ktore jest operacj,! nieholomorficzn,!. Sprzyzenie zespolone liczby zespolonej z = x + iy daje w wyniku liczby zespolon'! z:
z=x-iy. Na ptaszczyznie zespolonej z operacji sprzygania zespolonego jakiejs liczby zespolonej odpowiada operacja odbicia, czyli symetrii osiowej na ptaszczyznie wzglydem osi rzeczywistej (zob. rys. 10.1). Przypomnijmy sobie z dyskusji przeprowa-
10
Powierzchnie
...1
___ --- --- ---
--- ---
,, ,, , "
= x+iy
--Os rzeczywista
Rys. 10.1. Liczb'l zespoion'l sprzyzon'l do iiczby z =x + iy (x iy s'liiczbami rzeczywistymi) jest iiczba z = x - iy, kt6r'l, na plaszczyznie zespoionej, mozemy otrzymac, dokonawszy odbicia wzgiydem osi rzeczywistej.
....Z=X-iy
dzonej w rozdz. 8.2, ze operacje holomorficzne zawsze zachowuj~ orientacjy plaszczyzny zespolonej. Jesli chcemy rozwazae odwzorowania konforemne jakiejs cZysci plaszczyzny zespolonej, ktore zmieniaj~ orientacjy (na przyklad obrocenie calej plaszczyzny zespolonej na siebie), to musimy dol~czye operacjy sprzygania zespolonego. Ale kiedy tak~ operacjy dol~czymy do pozostalych standardowych operacji (takich jak dodawanie, mnozenie, przechodzenie do granicy), wowczas operacja sprzygania zespolonego pozwala nam uogolnie procedury odwzorowania do tego stopnia, ze nie musz~ one wcale bye konforemne. W rzeczywistosci dowolne odwzorowanie dowolnej cZysci plaszczyzny zespolonej na dowoln~ inn~ czyse plaszczyzny zespolonej (powiedzmy, przez przeksztakenie ci~gle) moze bye dokonane za pomoc~ kombinacji sprzyzenia zespolonego w pol~czeniu z innymi operacjami. Zatrzymajmy siy przez chwily nad t~ uwag~. Funkcje holomorficzne mozemy traktowae jako przeksztakenia zlozone z operacji na liczbach zespolonych: dodawania, mnozenia oraz procedury przechodzenia do granicy (s~ to bowiem operacje wystarczaj~ce do skonstruowania szeregow potygowych, a suma nieskonczonej ilosci wyrazow jest granic~ ci~gu sum czysciowych)iIO.lJ. Jesli do tego dol~ czymy operacjy sprzygania zespolonego, wowczas mozna wygenerowae ogolne (powiedzmy, ci~gle) funkcje xi y, poniewai:x i y mog~ bye teraz wyrai:one nastypuj~co:
z+z
z-z
x=-2-' y=2j' (Za pomoc~ operacji dodawania, mnozenia i przechodzenia do granicy ze zmiennych rzeczywistych x i y mozemy skonstruowae dowoln~ funkcjy ci~gl~ tych zmiennych.) Kiedy bydy rozwazal funkcje nieholomorficzne zmiennej zespolonej z, bydy ui:ywal notacji F(z, z).W ten sposob podkre§ly fakt, ze gdy tylko wychodzimy poza terytorium holomorficznosci, traktujemy nasze funkcje jako struktury okreslone raczej w przestrzeni 0 dwu wymiarach rzeczywistych niz w przestrzeni 0 jednym wymiarze zespolonym. Funkcjy F(z, z) mozemy rownie dobrze traktowae jako wyrazon~ przez rzeczywiste i urojone (x i y) cZysci zmiennej zespolonej z i zapisywae
176
~ [10.1] Wyjasnij, w jaki spos6b operacje odejmowania i dzielenia mogq bye skonstruowane z powyzszych operacji.
Gladkosc, pochodne cZqstkowe
10.2
jq, powiedzmy, jako J(x, y). W takim przypadku, oczywiscie, J(x, y) == F(z, z), chociaz, rzecz jasna, matematyczne wyraZenie na J moze bye zupelnie inne od postaci F. Na przyktad jesli F(z, z) =Z2 +.2'2, wowczasJ(x, y) = 2x2 - 2l. Za inny przyklad moze posluZye F(z,.2') = z .2', wowczas J(x, y) = + l, ktora to funkcja jest kwadratem modulu Izlliczby z, czyli [10.2]
r
10.2 Gladkosc, pochodne czqstkowe Kiedy rozwazamy funkcje wit(cej niz jednej zmiennej i wkraczamy w przestrzenie o wyzszych wymiarach, konieczne Sq wyjasnienia dotyczqce rachunku rozniczkowego i calkowego na takich przestrzeniach. J ak sit( 0 tym przekonamy w nastypnym rozdziale, przestrzenie - ktore bt(dziemy nazywali rozmaitosciami - mogq miee dowolny wymiar n, gdzie n jest dowolnq dodatniq liczbq calkowitq. (0 rozmaitosciach n-wymiarowych bt(dziemy mowili po prostu n-rozmaitosci). Ogolna teoria wzglt(dnosci Einsteina posluguje sit( 4-rozmaitosciq dla opisu czasoprzestrzeni, a wiele wspolczesnych teorii uZywa rozmaitosci 0 jeszcze wyzszych wymiarach. W rozdziale 12 zajmiemy sit( ogolnymi n-rozmaitosciami, ale tutaj, dla ulatwienia, rozwaZymy rzeczywistq 2-rozmaitose (czyli powierzchnit() S. W tym przypadku mozemy uZye lokalnych (rzeczywistych) wspolrzt(dnych xi y do oznaczenia roznych punktow S (w jakims lokalnym obszarze S). Jednak nasza dyskusja bt(dzie odnosie sit( do ogolnego przypadku n-wymiarowego. Przyktadem powierzchni 2-wymiarowej moglaby bye zwykla ptaszczyzna lub zwykla sfera. Ale mowiqc 0 takiej powierzchni, nie mamy na mysli "plaszczyzny zespolonej" alba "sfery Riemanna", poniewaZ nie interesujq nas struktury, ktore im przypisujemy w przypadku przestrzeni zespolonej (na przyklad funkcje holomorficzne okreslone na takiej powierzchni). Jedynym wymaganiem strukturalnym jest zqdanie, zeby to byla rozmaitosc gladka. Z geometrycznego punktu widzenia oznaeza to, ze nie rna potrzeby zachowania ezy sledzenia ewolueji jakiejs lokalnej struktury konforemnej, jak w przypadku powierzchni Riemanna (rozdz. 8.2), ale musimy dowiedziee sit(, kiedy jakas funkcja zdefiniowana na przestrzeni (tzn. ktorej dziedzinq jest ta przestrzen) moze bye uWaZana za funkcjt( "gladkq". Aby uzyskae intuicyjne wyobraZenie, co to znaczy rozmaitose "gladka", pomyslmy 0 sferze jako przeciwienstwie szescianu (oczywiscie, chodzi tu 0 powierzchnit(, a nie 0 wnt(trze). Jako przyklad gladkiej funkcji na sferze wyobrazmy sobie "funkcjt( wysokosci", ktora mierzy odleglose od plaszczyzny rownika (sfert( przedstawiamy umiejscowionq w zwyklej 3-przestrzeni Euklidesa, dlatego odleglosci poniZej plaszczyzny rownikowej liczymy jako ujemne); lOb. rys. 1O.2a. Z kolei jesli nasza funkcja oznacza wartosci bezwzglt(dne tej funkcji wysokosci (zob. rozdz. 6.1
ta [10.2] Wyprowadz obie te relacje.
177
10
Powierzchnie
t
~,~-,@ "-., I .
.:
lh
.
~ '. - Ih i .
..
h
•
(a)
--
'
.,:
....... ~
' .
(b)
. ...... '
It. h2
(c)
Rys. 10.2. Funkcje na sferze S urniejscowionej w 3-przestrzeni Euklidesa, gdy h jest rniar<} odleglosci od plaszczyzny r6wnikowej. (a) Sarna funkcja h jest gladka na S (ujernne wartosci zaznaczone s<} lini<} przerywan<}). (b) Wartosc bezwzglydna Ihl (zob. rys. 6.2b) nie jest funkcj<} gladk<} na r6wniku. (c) Funkcja h 2 jest gladka na calej sferze S.
i ryS. 1O.2b), a wiyc gdy odleglosci ponizej r6wnika s,,! r6wniez liczone jako dodatnie, w6wczas taka funkcja nie jest gladka na r6wniku. Jezeli jednak rozwaiymy drug,,! potygy wysokosci, wtedy ta funkcja staje siy gladka na calej sferze (rys.1O.2c). Warto zauwaiye, ze we wszystkich przypadkach rozpatrywana funkcja jest gladka na obu biegunach pomimo "osobliwego" charakteru r6wnoleznik6w w tych punktach. Jedynym przypadkiem, gdy funkcja przestaje bye gladka, jest przyklad drugi, w kt6rym traci ona gladkose na r6wniku. Aby to uj,,!e w bardziej precyzyjny spos6b, wprowadzimy uklad wsp6lrzydnych na naszej powierzchni S. Te wsp6lrzydne byd,,! mialy znaczenie tylko lokalne, poniewaz wyobrazamy sobie, ze "sklejamy" S z oddzielnych kawalk6w - lat podobnie do procedury konstruowania powierzchni Riemanna w rozdz. 8.1. (Dla sfery, na przyklad, potrzebujemy wiycej niZ jednej laty). W obrybie jednej laty punkty rozr6zniane s,,! za pomoc,,! gladkich wsp6lrzydnych, jak na rys. 10.3. Nasze wsp61rzydne przyjmuj,,! wartosci rzeczywiste, wobec tego nazwijmy jex iy (absolutnie nie sugeruj,,!c, ze jakas ich kombinacja da nam liczby zespolon"!). Przypusemy teraz, ze mamy pewn"! gladk,,! funkcjy lP zdefiniowan,,! na S. We wsp6lczesnej terminologii matematycznej powiedzielibysmy, ze lPjest gladkim odwzorowaniem S na przestrzen liczb rzeczywistych IR (albo liczb zespolonych C, w6wczas lP musi bye funkcj,,! 0 wartosciach zespolonych, zdefiniowan,,! na S), poniewaz lP przyporz,,!dkowuje kai:demu punktowi S pewn"! liczby rzeczywist,,! (lub zespolon"!), a wiyc lPodwzorowuje Sna zbi6r liczb rzeczywistych (lub zespolonych).
178
Rys. 10.3. W obrybie jednej lokalnej laty gladkie (rzeczywiste) wsp61rzydne (x,y) wyznaczaj<} polo:.i:enia punkt6w.
Gladkosc, pochodne cZqstkowe
10.2
Funkcjy tak,! nazywamy czasami polem skalamym na S. Na konkretnej lacie wielkose lP moze bye przedstawiona jako funkcja dwoch wspolrzydnych, na przyklad
lP= f(x,y), gdzie gladkosc wielkosci lP oznacza r6iniczkowalnosc funkcji f(x, y). Do tej pory nie wyjasnilem jeszcze, co oznacza "rozniczkowalnose" w przypadku funkcji wiycej niz jednej zmiennej. Aczkolwiek, intuicyjnie, rzecz jest calkiem prosta, to jednak nieco zbyt techniczna, zeby j,! szczegolowo przedstawiae w tym miejscu\ choe pewne wyjasnienia S,! niezbydne. Po pierwsze, aby funkcja f byla rozniczkowalna jako funkcja dwu zmiennych (x,y), jest konieczne, zeby f(x, y), rozwazana jako funkcja tylko jednej zmiennej x, przy ustalonej wartosci y, byla gladk,! funkcj,! (co najmniej klasy ct) tej pojedynczej zmiennej (zob. rozdz. 6.3). Po drugie, jeslif(x,y) potraktujemy jako funkcjy tylko jednej zmiennej y, przy ustalonej wartosci x, wowczas musi to bye funkcja gladka (klasy C 1) zmiennej y. JednakZe te oczywiste wymagania nie S,! bynajmniej wystarczaj,!ce. Istnieje wiele funkcji f(x, y), ktore S,! gladkie oddzielnie, w zmiennych x i y, ale ktorych absolutnie nie da siy uznae za gladkie w obu zmiennych[10.3 1• Dodatkowym warunkiem, dostatecznym dla gladkosci, jest z'!danie, zeby kazda z pochodnych, obliczonych oddzielnie po zmiennych xi y, byla ciqglq funkcj,! obu zmiennych (x,y). Podobne wymagania (wazne dla problemow omawianych w rozdz. 4.3) obowi'!Zuj,!, jesli rozwazamy funkcje wiycej niz dwoch zmiennych. Uiywamy symbolu a dla zapisu "pochodnej cz'!stkowej", ktora oznacza rozniczkowanie ze wzglydu na jedn,! zmienn,!, przy ustalonych wartosciach pozostalych. Pochodne cz'!stkowe funkcji f(x, y) po zmiennych xi y, odpowiednio, zapisujemy nastypuj,!co:
at ax
at oy
=.r
(Jako przyklad rozwazmy funkcjy f(x, y) + xi + l. Pochodne cz'!stkowe wynosz'!: af/ax = 2x + i oraz af/ay = 2.xy + 3i). Jesli te wielkosci istniej,! i S,! ci,!gle, to mowimy, ze lP jest funkcj,! gladk,! klasy c1 na tej powierzchni.
N ~ [10.3] Rozwaz funkcjt( rzeczywistq f(x, y) = xy(r -lt dla wartosci N = 2, 1 i 1/2. W kaidym przypadku pokaz, ze funkcja jest r6zniczkowalna (ex') ze wzglt(du na x przy ustalonej wartosci y i na odwr6t. Mimo to f nie jest funkcjq gladkq jako funkcja pary zmiennych (x,y). Pokaz to dIaN = 2, demonstrujqc, ze w otoczeniu poczqtku ukladu (0, 0) funkcja ta nie jest nawet ograniczona (tj. moze przyjmowac dowolnie duze wartosci); dla N = 1 wykazujqc, ze aczkolwiek funkcja jest ograniczona, to nie jest ciqgla, jako funkcja (x, y); a dla N = 1/2 pokazujqc, ze chociai jest ciqgla, to nie jest gladka wzdluz prostej x = y. H1'kaz6wka: zbadaj wartosci kazdej z funkcji wzdluz prostych przechodzqcych przez poczqtek ukladu na plaszczyznie (x, y). Bardzo ksztalcqce byloby, jesli to mozliwe, uZycie jakiegos komputerowego programu graficznego, ale nie jest to konieczne.
179
10
Powierzchnie
Mozemy rowniez rozwaZye pochodne wyzszych mcdow, wiednio, drugie pochodne cz~stkowe po x i y przez
oznaczaj~c,
odpo-
a1 1 . a1 2
ax 2
-
2
ay2 .
(Teraz, rzecz jasna, wymagae musimy gladkosci klasy C 2.) Istniej~ rowniez pochodne "mieszane" a7'/ax ay, co oznacza a(aflay)lax, czyli pochodn~ cz~stkow~ pox z pochodnej cz~stkowej po y. Te pochodne mozemy obliczae w odwrotnej kolejnosci, jako nastypstwo faktu, ze te drugie pochodne s~ sobie rowne[IOAJ:
a1 2
a1 2
--=--
axay ayax
(Wymaga tego pelna definicja gladkosci klasy C2 dla przypadku funkcji dwoch zmiennych. )f1O.5 JDla pochodnych wyzszych rZydow (i gladkosci wyzszych klas) mamy odpowiednie wyrazenia:
a3 I a3I a3I a3I 3 2 ax ' ax ay ax ay ax ayax2 itd. Staralem siy odroznie I od f/>, uZywaj~c roznych liter (w przyszlosci mogy nie bye w tych sprawach tak starannym), poniewaz moze nam bye potrzebna wielkose f/> zdefiniowana na tej powierzchni, ale wyrazona w roznych ukladach wspolrzydnych. Matematyczne wyrazenie na funkcjy/(x,y) moze zmieniae siy przy przechodzeniu od jednej laty do drugiej, pomimo ze wartose wielkosci f/> w dowolnym konkretnym punkcie powierzchni "pokrytej" przez te laty wcale siy nie zmienia. Konkretnie taka sytuacja moze siy zdarzye, kiedy rozwazamy obszar, w ktorym nakladaj~ siy ze sob~ rozne laty (zob. rys. 10.4). Jesli ten drugi uklad wspolrzydnych oznaczymy (X, y), wowczas otrzymamy nowe wyrazenie f/> = F(X, y),
ktore podaje wartose f/> w ukladzie wspolrzydnych nowej laty. Wobec tego w obszarze nakladania siy obu lat bydziemy mieli F(X, y) =/(x,y).
Jednak, jak to juz zaznaczylismy, to szczegolne wyrazenie, ktore przedstawia funkcjaF, we wspolrzydnychXi Y, bydzie na ogol inne od wyrazenia na/we wspolrzyd-
180
~ [10.4] Udowodnij, ze drugie pochodne mieszane fPj/iJyox i o2j/8xoy Sq zawsze rowne w przypadku, gdy j0:, y) jest wielomianem. (Wielomian w zmiennych x i y jest wyrazeniem zbudowanym z x i y, oraz stalych, przy uZyciu wylqcznie operacji dodawania i mnozenia.) tm. [10.5] Pokaz, ze drugie pochodne mieszane funkcji j = XY(X2 -l)/(x2 + l) nie Sq rowne w poczqtku ukladu wspolrz((dnych. Wykaz bezposrednio brak ciqglosci jej drugich pochodnych cZqstkowych w tym punkcie.
Pola wektorowe i 1-formy
10.3
Rys.l0.4. Aby pokryc call! rozmaitosc S, musimy "zszyc" ze sob'} szereg lat z ro:i:nymi ukladami wspolrzydnych. J akas gladka funkcj a cP na S mo:i:e miec na jednej lacie postac cP = f(x, y), a na innej cP = F(X, Y) - odpowiednio do lokalnego ukladu wspolrzydnych. W obszarze nakladania f(x, y) = F(X, Y), gdzie X i Y s'} gladkimi funkcjami x i y.
nych X i y. Rzeczywiscie, X w tym obszarze nakladania moze bye skomplikowan'! funkcj,!x iy, podobnie jak Y, i te zaleznosci musz'! bye uwzglydnione przy przechodzeniu od do p[IO.6J. Funkcje wyrazaj'!ce wsp6lrzydne jednego ukladu poprzez wsp61rzydne innego,
t
X
=X(x,y)
i Y = Y(x,y)
oraz odwrotne do nich X
=x(X, Y) i y = y(X, Y),
nosz'! nazwy funkcji pnejscia i opisuj,! zmiany wsp6lrzydnych przy przechodzeniu od jednej laty do innej. Te funkcje przejscia musz'! bye gladkie - powiedzmy, dla uproszczenia, klasy COO - a rna to takie konsekwencje, ze pojycie "gladkosci" wielkosci P jest niezaleZne od wyboru ukladu wsp6lrzydnych dla nakladaj,!cych siy lat.
10.3 Pola wektorowe i 1-formy
Istnieje pojycie "pochodnej" funkcji, kt6re jest niezalezne od wyboru ukladu wsp61rzydnych. W odniesieniu do funkcji C/> okreslonej na powierzchni S jest to wielkose dC/>, gdzie dC/>=
at dx+ at dy. ax ay
W ten spos6b sformulowana definicja dC/> moze bye zr6dlem pewnego chaosu terminologicznego, z kt6rego warto zdae sobie sprawy. Przede wszystkim takie wielkosci jak "dC/>" alba "dx", uwazane za "infinitezymalnie male", pojawiaj,! siy, gdy stosujemy procedury przejscia do granicy, zwi,!zane z rachunkiem r6zniczkowym i definicjq pochodnej "dy/dx" (zob. rozdz. 6.2). W niekt6rych formulach rozdz. 6.5 rozwazalem r6wniez wyrazenia typu d(1n x) = dx/x. Z jednej strony traktowalismy
a
[10.6] Znajdijawnq postacF(X, Y), gdy J(x,y) =x3 - / , gdzieX =x -y, Y =..\}'. ftSkaz6wl we wsp61rz~dnych X i Yi co to rna wsp61nego z funkcjqJ?
ka: jak si~ wyraza x 2 +..\}' +
181
10
Powierzchnie
je w6wczas jako wyrazenia w zasadzie formalne 2, a t« ostatniq formul« uwazalismy po prostu za wygodny spos6b ("mnozqc przez dx") zapisu bardziej "poprawnego" wzoru d(ln x)/dx = l/x. Z drugiej strony, kiedy pisz« wyrazenie typu "dlP", jak w podanym wzorze, to mam na mysli pewien rodzaj wielkosci geometrycznej, kt6ra nosi nazw« l-formy (aczkolwiek nie jest to najbardziej og6lny typ 1-formy; zob. rozdz. 10.4 i 12.6), i w takim przypadku odnosi si« to r6wniez do wyrazen typu d(ln x) = dx/x. I-forma nie jest wielkosciq "infinitezymalnq"; naleZy jq interpretowac winny spos6b, kt6ry z uplywem lat niezmiernie zyskuje na znaczeniu. Jest jednak godne uwagi, ze niezaleznie od istotnej zmiany interpretacji symbolu "d" formalne zwiqzki matematyczne (takie jak opisane w rozdz. 6.5) - pod warunkiem ze nie b«dziemy dzielic przez wyrazenia typu dx - pozostajq bez zmiany. lone potencjalne zr6dlo zamieszania wiqi:e si« z tym, ze w podanym wyrazeniu po lewej stronie uZylem symbolu lP, a po prawej f Zrobilem to, aby zaznaczyc r6znic« pomi«dzy tymi wielkosciami, 0 kt6rej wspominalem wczesniej. Wielkosc lP jest funkcjq, kt6rej dziedzinq jest rozmaitosc S, podczas gdy dziedzinq f jest pewien (otwarty) obszar na plaszczyznie (x, y), zwiqzany z ukladem wsp6lrz«dnych konkretnej laty. Jesli mam zastosowac poj«cie "pochodnej cZqstkowej po x", to musz« wiedziec, co to znaczy, ze "druga wsp6lrz«dna, y, rna miec ustalonq wartosc". Z tego powodu uZylem f po prawej stronie, a nie lP, poniewaz f "wie", co to Sq wsp6lrz«dne xi y, natomiast lP nie. Ale na tym nie konczy s~ zr6dlo mozliwych nieporozumien zwiqzanych z t q formulq, poniewaZ nie Sq ukazane argumenty funkcji. Funkcja
dlP = alP dx+ alP dy, ox oy albo, w "amputowanej" formie operatorowej,
a
a
d=dx-+dy-. ox oy Podobne formuly okresla si« czasem jako regul{? latlcUchowq. Wymagajq one wyjasnienia sensu wyrazen typu "alP/ox", gdzie lP jest pewnq funkcjq okre§lonq na S. Jak mamy rozumiec operator a/ox w dzialaniu na funkcj« lP, kt6ra jest okreslona na rozmaitosci S, a nie na funkcj« zmiennych x i y? Przekonajmy si«, co oznacza a/ox, gdy rozwazamy wielkosci przedstawione w innym ukladzie wsp6lrz«dnych, np. (X, Y). Odpowiednia formula reguly lancuchowej b«dzie teraz wyglqdac nast«pujqCo:
a
182
oxo ox ax
oYo ox oY
-=-'-+-'-.
ox
Pola wektorowe i 1-formy
10.3
W ten sposob we wspolrzydnych (X, Y) otrzymalismy wyraienie wygl,!daj,!ce duzo bardziej skomplikowanie niz proste a/ax we wspolrzydnych (x,y), a przedstawiaj,!ce dokladnie ty sam,! operacjy. To skomplikowane wyrazenie mozemy przedstawic jako pewn'! wielkosc ~ 0 postaci
a
a
~=Aax+B ay' gdzie A i B S,! funkcjami gladkimi klasy COO w zmiennych (X, Y). W tym konkretnym przypadku, w ktorym ~ przedstawia a/ax we wspolrzydnych (x, y), A = ax/ax i B = ay/ax. Mozemy jednak rozpatrywac bardziej ogolne wielkosci ~, dla ktorych A i B s,! innymi funkcjami. Tak,! wielkosc ~ nazywamy polem wektorowym na S na lacie z ukladem wspolrzydnych (X, Y). ~ mozemy przepisac w wyjsciowym ukladzie wspolrzydnych (x, y) i okazuje siy, ze ~ rna dokladnie tak,! sam,! postac jak we wspolrzydnych (X, Y):
a
a
ax
ay
~=a-+b-
(aczkolwiek funkcje a i b S,! teraz zupelnie innymi funkcjami nizA i B)l1O.71. To nam umozliwia rozszerzenie pola wektorowego z laty (X, Y) na nakladaj,!c,! siy z ni,! laty (x, y). W ten sposob, tworz'!c tyle lat, ile nam potrzeba, mozemy rozszerzyc pole wektorowe ~ na cal,! rozmaitosc S. Przypuszczam, ze po tym wszystkim czytelnik rna prawo czuc siy zdezorientowany! JednakZe moim celem jest znaleic wlasciw,! postac analityczn'! dla bardzo podstawowego pojycia geometrycznego. Operator rozniczkowy ~, ktory nazwalismy "pol em wektorowym", z bardzo specyficznym (i konsekwentnym) sposobem transformowania, gdy przechodzimy z jednej laty na drug,!, rna bardzo jasn,! interpretacjy geometryczn,!, ktor,! ilustruje rys. 10.5. Powinnismywyobrazic sobie ~jako "pole malych strzalek" narysowanych na S, chociaz w pewnych miejscach te strzal-
Rys. 10.5. Geometryczna interpretacja poJa wektorowego ,jako "poJa strzalek" narysowanych na S. ~
[10.7] ZnajdiA i B wyraione przez a i b; anaiogicznie wyrai a i b przezA i B.
183
10
Powierzchnie
ki mog,! kurczyc siy do rozmiarow punktow, i byd,! to miejsca, w ktorych , przyjmuje wartosc zero. (Aby lepiej wyobrazic sobie pole wektorowe, mozemy przywolac mapy pogody na ekranie telewizyjnym, z zaznaczonymi kierunkami wiatrow). Strzalki przedstawiaj,! kierunki, w ktorych funkcja, na jak,! dziala " rna byc rozniczkowana. Przyjmuj,!c, ze jest to funkcja f/J, dzialanie ,(f/J) = a af/J/ax + b af/J/ay okresla szybkosc wzrostu f/J w kierunku wskazanym przez strzalki na rys. 10.6. Wazna jest takZe wielkosc ("dlugosc") strzalek, ktora okresla "skaly" czy "tempo" wzrostu. Dluzsze strzalki oznaczaj'! wyzsze tempo wzrostu. Wlasciwie powinnismy myslec 0 tych strzalkach jako 0 "nieskonczenie malych" (infinitezymalnych), a kazda z nich l,!czy jakis punkt p na S ("ogon" strzalki) z s,!siednim punktem p' na S ("glowka" strzalki). Aby lepiej to uzmyslowic, wybierzmy jak,!s mal,! liczby dodatni,! E jako miary odleglosci, wzdluz kierunku wskazanego przez" miydzy punktami p a p'. Teraz roznica f/J(p') - f/J(p), podzielona przez E, w sposob przyblizony daje nam wartosc '(f/J). 1m mniejsze wybierzemy E, tym lepsze bydzie przyblizenie. W koncu, w granicy, gdy punkt p' zbliza siy do p (a wiyc E ~ 0), otrzymujemy wartosc ,(f/J), ktora nazywana jest gradientem (albo nachyleniem) f/J w kierunku ,. W szczegolnym przypadku pola wektorowego a/ax wszystkie strzalki wskazuj,! kierunek osi wspolrzydnych przy ustalonymy. Sprawa ta wi,!ze siy z pewnym typowym nieporozumieniem przy uZywaniu zapisu a/ax do oznaczenia pochodnej cz'!stkowej. Na pozor wydaje siy, ze wyrai:enie a/ax odnosi siy glownie do zmiennej x. Tyrnczasern operacja ta rna wyraZnie wiycej wspolnego ze zrnienn,! jawnie niewyrnienion,!, a wiyc y, niz ze zrnienn,! x. Rozwazmy przejscie od zmiennych (x,y) do (X, y), gdy jedna ze wspolrzydnych nie zostaje zrnieniona. Na przyklad:
X=x, Y=y+x.
----....
"\
I 184
"
..... ; ..
Rys. 10.6. Dzialanie ( na pole skalarne tP mierzy stopieii wzrostu tP wzdlui: strzalek (. Powinnismy sobie wyobrai:ac te strzalki jako "nieskoiiczenie male", a kai:da z nich IllCZY pewien punktp rozmaitoSci S ("ogon" strzalki) z sllsiednim punktem p' na S ("gI6wka" strzalki). N a rysunku jest to przedstawione przez wielokrotne powiykszenie (0 czynnik c', gdzie f jest male) otoczenia punktu p. R6i:nica tP(P') - tP(P), podzielona przez f (w granicy f --.0), daje gradient (tP) funkcji tP w kierunku (.
Pola wektorowe i 1-formy
10.3
W takim przypadku otrzymujemy[IO.8]
a a a a a ax = ax - ay' ay = ay Widzimy wit(c, ze a/ax rozni sit( od a/ax, pomimo ze X jest tq samq wspoirzt(dnq co x - podczas gdy a/ay jest identyczne z a/ay, chociaz Y jest istotnie rozne od y. Oto wiasnie przypadek, ktory moj kolega Nick Woodhouse nazywa "drugim podstawowym nieporozumieniem rachunku rozniczkowego,,3! Co prawda geometrycznie jest zupelnie jasne, dlaczego a/ax"* a/ax, albowiem odpowiednie "strzaiki" skierowane Sq wzdluz roznych linii wspolrzt(dnych (rys. 10.7). Teraz jestesmy w stanie zinterpretowae wielkose dlP. Nazywa sit( gradientern (albo pochodnq zewnt(trznq) lP i zawiera informacjt( 0 tym, jak zmienia sit( lP we wszystkich mozliwych kierunkach na S. Dobrq geometrycznq interpretacjt( uzyskamy, kiedy wyobrazimy sobie, ze S jest mapq z narysowanymi poziomicami; zob. rys. 10.8. Ta mapa nie musi bye plaska, ale powinna bye czyms w rodzaju mapy na globusie, jesli S rna bye rozmaitosciq zakrzywionq. Wowczas funkcja lP moze bye miarq wysokosci nad poziomem morza. dlP reprezentuje teraz nachylenie powierzchni w porownaniu z plaszczyznq horyzontu. Poziomice lqczq punkty na tej samej wysokosci. W kazdym punkcie p na S kierunek poziomic okresia drogt(, wzdluz ktorej gradient znika ("os pochylenia" zbocza), a zatem kierunek strzalki punkcie p jest tym, w ktorym ,(lP) = O. Kiedy poruszamy sit( wzdluz
,W
y
y
a ay
y = const.
a
~
y = const.
x y = const. -
><
><
II
II
>< II
g - g-g ~
~
~
~
~
~
Rys. 10.7. Pokazujemy, na czym polega "drugie podstawowe nieporozumienie rachunku ro:i:niczkowego": przy przejsciu do wspolrzC(dnych X =x i Y = Y + x, 8/8X", 8/ax, pomimo :i:e X =X, natomiast 8/8Y = 8/&;, chocia:i: Y '" y. Interpretacja operatorow pochodnych cZllstkowych jako "strzalek" wskazujllcych wzdlu:i: linii wspolrzC(dnych wyjasnia ich geometryczny sens (x = canst. pokrywa siC( z X = const., ale y = canst. nie pokrywa siC( z Y = const.).
IB [10.8] Wyprowadi te relacje. ~kaz6wka: mozesz uZyc wzor6w "reguiy iancuchowej" dla a/ax i a/ay, kt6re s,! analogiczne dla podanych formui dla a/ax.
185
10
Powierzchnie
(a)
Os
Powierzchnia S (b)
Rys. 10.S. Geometl)'cznie moiemy przedstawic ro:i:niczky zupeln~ dIP wielkosci skalarnej IP za pomoc~ ukladu poziomic na S. (a) Wartosci IP s~ odmierzane pionowo powy:i:ej S tak, :i:e poziomice na S (stale IP) odpowiadaj'l tej samej wysokosci. (b) W ka:i:dym punkcie p na S kierunek poziomic pokazuje nam kierunek, wzdlu:i: ktorego ro:i:niczka znika ("os pochylenia zbocza"), a wiyc kierunek strzalki , w punkcie p, w ktol)'m ,(IP) '" O. Przekroj w poprzek poziomic ukazuje wzrost lub zmniejszanie siy IP, a ,(IP) jest miar'l zagyszczenia poziomic w kierunku ,.
poziomic, nie wspinamy sit( ani nie schodzimy w d6l. Kiedy jednak dokonamy przecit(cia poprzez linie poziomic, w6wczas zauwaZymywzrost lub zmniejszenie CP, a stopien tej zmiany, czyli ,(CP), zobaczymy, obserwujqc zagt(szczenie poziomic w tym kierunku; zob. rys. 1O.8b.
10.4 Sktadowe, iloczyny skalarne Zgodnie z wyrazeniem
a ax
a ay
,=a-+b-, pole wektorowe ,mozna sobie wyobraZac jako zlozone z dw6ch cZl(sci: jednej proporcjonalnej do a/ax, skierowanej wzdluz linii 0 stalej wartosci y, oraz drugiej proporcjonalnej do a/fJy, skierowanej wzdluz linii 0 stalej wartosci x. W takim razie w ukladzie wsp61rzl(dnych (x, y) do oznaczenia ,mozna by uZyc odpowiednich czynnik6w wagowych (a, b). Liczbya i b nazywamy skladowymi tym ukladzie wsp61rzt(dnych; zob. rys. 10.9. (Scis1e m6wiqc, obie "skladowe" ,same moglyby byc trakto-
,W
186
Skladowe, iloczyny skalarne
10.4
wane jako dwa pola wektorowe, aa/ax i ha/ay, z ktorych zlozone jest pole wektorowe " tak jak to przedstawia rys. 10.9. Podobna uwaga bylaby sluszna rowniez w przypadku skladowych dlP, ponizej. lednak obecnie w przewaiaj,!cej cz~sci literatury matematycznej, w szczegolnosci w zwi¥ku z rachunkiem tensorowym, termin "skladowa" zwykle przyjmuje sens "oznaczenia skladowej wspolrz~dnej"; zob. rozdz. 12.8.). Podobnie wielkose dlP("I-forma") sklada si~ z dwoch cz~sci, dx i dy, zgodnie z wyraieniem dlP= udx + vdy.
W takim razie do oznaczenia dlP moglibysmy uZye zapisu (u, v) i symbole u i v S,! wowczas skladowymi dlPw tym samym ukladzie wspolrz~dnych. (W rzeczywistosci w tym wypadku mamy u = alP/ax i v = alP/ay.) Zwi¥ek miydzy skladowymi (u, v) I-formy dlP a skladowymi (a, b) pola wektorowego, opisany jest przez wielkose ,(lP), ktora, jak to juz pokazalismy, mierzy stopien wzrostu lPw kierunku ,. Okazuje si y, ze wartose ,(lP) wynOSi[109] ((lP) = au + bv.
Wielkose au + bv nazywamy iloczynem skalamym (albo wewnytrznym) pomiydzy , reprezentowanym przez skladowe (a, b) a dlP, reprezentowanym przez skladowe (u, v). Jesli chcemy zapisae iloczyn skalarny w sposob oderwany od konkretnego ukladu wspolrzydnych, wowczas piszemy dlP· ,i otrzymujemy: dlP., = '(lP).
Pow6d, dla ktorego mamy dwie rozne notacje dla jednej i tej samej wielkosci, jest taki, ze operacja zawarta w wyraieniu dlP • , moze bye zastosowana do bardziej ogolnych I-form niZ ta, jak,!jest dlP; zob. rozdz. 12.3. Jesli " jest tak'! I-form,!, wowczas jej iloczyn skalarny z dowolnym polem wektorowym , zapiszemy jako " • ,.
Rys. 10.9. Wektor { = a a/ax + b a/Dy moze bye przedstawiony jako sldadajqcy sil( z dw6ch cZl(sci: jednej, proporcjonalnej do OIax, skierowanej w kierunku y = const. oraz drugiej, proporcjonalnej do OlDy, skierowanej wzdtui kierunkux = const. Para odpowiednich czynnik6w wagowych (a, b) nosi nazwl( skladowych {w ukladzie wsp61rzl(dnych (x, y).
fa [10.9] Wykai: to explicite, stosujqC omawianq "reguly lancuchowq".
187
10
Powierzchnie
W zasadzie definicja 1-formy sprowadza siy do tego, jest to wielkose, kt6ra
moie bye zwi(!Zana z pol em wektorowym w taki spos6b, ii moina utworzye z nich opisany iloczyn skalarny. Dlatego fakt, ie wielkose dtP w spos6b naturalny tworzy iloczyn skalarny z polami wektorowymi, jest zasadniczl! jej charakterystykl! jako 1-formy. (Czasami, w zaleinosci od kontekstu, 1-formy nazywamy kowektorem.) W tym sensie, z technicznego punktu widzenia, 1-formy (kowektory) sl! dualne do p61 wektorowych. Pojycie "dualnosci" obiektu zbadamy dokladniej w rozdz. 12.3 i przekonamy siy, ie te idee znajdujl! calkiem og6lne zastosowanie wewnl!trz "powierzchni" wyiszych wymiar6w (a wiyc n-rozmaitosci). R6wniei z geometrycznl! interpretacjl! 1-formy zapoznamy siy dokladniej w rozdz. 12.3-5, w przypadku wyiszych wymiar6w. Na razie wystarczy nam geometryczna interpretacja poziomic reprezentujl!cych linie, wzdlui kt6rych musi bye skierowana strzalka " jesli dtP. 0 (tzn. jesli ,(tP) 0).
,=
=
10.5 Warunki Cauchy'ego-Riemanna Zanim jednak dokonamy skoku w wyisze wymiary, do czego bydziemy przygotowywae siy w nastypnym rozdziale, powr6emy do zagadnienia, od kt6rego rozpocZylismy rozdziallO, jakie wlasnosci musi miee powierzchnia 2-wymiarowa, ieby moina jl! bylo uwaiae za zespolonl! 1-rozmaitose. W istocie potrzebujemy sposobu charakteryzowania tych funkcji tP 0 wartosciach zespolonych, kt6re sl! holomorficzne. Warunek holomorficznosci jest lokalny, rozpoznajemy go na kaidej z lat z zadanym ukladem wspolrzydnych, a zatem r6wniei i w obszarze nakladania siy tych lat. Na lacie (x,y) il!damy, ieby tP byla holomorficzna w zmiennej zespolonej z =X + iy, ana nakiadajl!cej siy z nil! lacie (X, Y) w zmiennej zespolonej Z =X + iY. Zgodnose pomiydzy tymi il!daniami zapewniamy dziyki wymogowi, ieby Z byla holomorficznl! funkcjl! Z w obszarze nakladania i odwrotnie. (JeSli tP jest holomorficzna w z, i Z jest holomorficzna w Z, wowczas tP musi bye holomorficzna w Z, poniewai holomorficzna funkcja funkcji holomorficznej jest funkcjl! holomorficznl!)[10.10J. Jak zatem wyrazie warunek, ie tP jest holomorficzna w z, poprzez rzeczywiste i urojone czysci tP i z? To wlasnie sl! slynne warunki Cauchy'ego-Riemanna, o kt6rych m6wilismy w rozdz. 7.1. Ale jak te warunki wygll!dajl! explicite? Wyobrazmy sobie funkcjy tP wyraionl! w zmiennych z i z (poniewai, jak to widzielismy na poczl!tku rozdzialu, rzeczywista i urojona czyse z mogl! bye wyraione przez z i Z za pomocl! przeksztalcenx = (z + z)/2 oraz y = (z - z)/2i). W rezultacie musimy znaleie warunek, ie tP za1eiy tylko od z (to znaczy, ie "nie zaleiy od z"). ~
188
[10.10] Wyjasnij to na trzy roine sposoby: (a) intuicyjnie, na podstawie zasad ogolnych (jak mogloby pojawic siy Z ?); (b) posluguj,!c siy geometri,! holomorficznych odwzorowan opisan,! w rozdz. 8.2; (c) explicite, stosuj'!c regut y lancuchow'l i warunki Cauchy'ego-Riemanna, do ktorych za chwily dojdziemy.
Warunki Cauchy'ego-Riemanna
10.5
Ale co to oznacza? Wyobraimy sobie, ie zamiast pary zmiennych zespolonych sprzt(ionych z i z mamy part( niezaleinych zmiennych rzeczywistych u iv, i zal6imy, ie mamy pewn'! wielkose If', kt6ra jest funkcj,! u i v, ale naprawdt( niezalein,! od v. Niezaleinose tt( moiemy wyrazie nastt(puj,!co: 0'F =0
ov
(poniewai to r6wnanie wyraia fakt, ie dla kaidej wartosci u wielkose P jest stala ze wzglt(du na v; innymi slowy, zaleiy tylko od u t Zgodnie z tym warunek, ie funkcja lP jest niezaleina od z, winien miee postae alP =0
07:
'
i r6wnanie to rzeczywiscie oznacza holomorficznose lP (aczkolwiek takie rozumowanie "przez analogit(" nie moie bye uznane za dow6d)5. Stosuj,!c regult( lancuchow'!, moiemy przepisae to r6wnanie[1O·11] w terminach pochodnych cz'!stkowych w zmiennych (x,y): alP +i alP
AX
= o.
oy
Rozkladaj,!c teraz funkcjt( lP na czt(sci rzeczywist,! i urojon,!, lP=a + i{3,
gdzie a i {3 s,! rzeczywiste, otrzymujemy warunki Cauchy'ego-Riemanna 6.[1O.12]
oa
0{3
ax = oy'
oa = _ 0{3 oy
ax
Ze wzglt(du na nakladanie sit( lat (x, y) i (X, Y) i,!damy, ieby Z = X + iY bylo holomorficzn'! funkcj,! z = x + iy. W takim razie warunki Cauchy'ego-Riemanna sprowadzaj,! sit( do nastt(puj,!cych r6wnan:
ax oy ax ax
= oy' oy = -
oy ax
Jesli takie relacje zachodz'! pomit(dzy wsp6lrzt(dnymi dowolnej pary nakladaj,!cych sit( lat, to znaczy, ie zloiylismy powierzchnit( Riemanna S. (To s,! wlasnie te wymagane warunki analityczne, nad kt6rymi przeslizgn'!lem sit( w rozdz. 7.1.) Przypomnijmy, ie taka powierzchnia moie bye r6wniei uwaiana za l-rozmaitose zespolon'!. Jednak, zgodnie z obecnym sposobem patrzenia przez pryzmat warunk6w Cauchy'ego-Riemanna, uwaiamy S za 2-rozmaitose rzeczywist'! ze szczeg6ln,! struktur,! (jak,! okreslaj,! warunki Cauchy'ego-Riemanna). Jjg [10.11] Wykonaj to.
m [10.12] Podaj bardziej bezposrednie wyprowadzenie warunk6w Cauchy'ego-Riemanna, korzystajqc z definicji pochodnej.
189
10
Powierzchnie
Mimo ze myslenie 0 S jako 0 "krzywej" i pozostawanie w ramach wylqcznie holomorficznych operacji rna walor pewnej "estetycznej czystosci" (taka filozofia przyda nam siy szczegolnie w rozdz. 33 i 34.8), ten alternatywny sposob patrzenia "Cauchy'ego-Riemanna" rna doniosle znaczenie w wielu innych kontekstach. Na przyklad pozwala udowodnic wiele waznych wynikow przez odwolywanie siy do uZytecznych technik stosowanych w teoni istnienia rownan rozniczkowych czqstkowych. Sprobujy pokazac, 0 co w tym chodzi, na pewnym (waZnym) przykladzie. Jesli spelnione Sq warunki Cauchy'ego-Riemanna 8a/8x = 8/3/8y oraz aa/8y = = - 8j3/8x, wowczas kazda z tych wielkosci, a i j3, spelnia indywidualnie pewne specjalne rownanie Laplace'a. Mamy bowiem[IO.13] 2
V a
=
°
oraz V2j3 = 0,
gdzie operator rozniczkowy drugiego rZydu, v 2 , nazywany (2-wymiarowym) laplasjanem, jest zdefiniowany jako 2
2
2 8 8 V = -2 + - .
8x
8l
Laplasjan rna wielkie znaczenie w wielu sytuacjach fizycznych (zob. rozdz. 21.2, 22.11,24.3-6). Prosty przyklad: jesli warstwy mydlanq, rozpiytq na pytelce drutu, bydziemy delikatnie odchylac w gory i w dol od poziomu, wowczas wysokosc warstwy nad plaszczyznq horyzontalnq bydzie rozwiqzaniem rownania Laplace'a (z bardzo dobrym przybliZeniem - tym lepszym, im mniejsze bydzie pionowe wychylenier; zob. rys. 10.10. Rownanie Laplace'a (w trzech wymiarach) odgrywa rowniez fundamentalnq roly w teorii grawitacji Newtona (i w elektrostatyce; zob. rozdz. 17 i 19), gdyz to rownanie jest spelnione przez potencjal pola grawitacyjnego (albo elektrostatycznego) w swobodnej przestrzeni.
Rys.l0.10. Cienka warstwa mydIana, rozpiyta na pytelce drutu, delikatnie wychylona z ptaszczyzny horyzontalnej. Wysokosc warstwy ponad ptaszczyzny jest rozwi'lzaniem r6wnania Laplace'a (z tym lepszym przybliieniem, im mniejsze jest pionowe wychylenie warstwy).
190
~ [10.13] Pokaz to.
Przypisy
Rozwiqzania rownan Cauchy'ego-Riemanna mozna uzyskae z rozwiqzan 2-wymiarowego rownania Laplace'a w bardzo prosty sposob. Jesli mamy jakieS a spelniajqce rownanie V2 a = 0, wtedy mozemy skonstruowaej3 = J(8a/8y)dy; latwo przekonae sit'(, ze oba warunki Cauchy'ego-Riemanna Sq spelnione[1O.J41• Fakt ten moze posluZye do zrozumienia i uzasadnienia niektorych stwierdzen na koncu rozdzialu 9. Rozwazmy ciekawy fakt, przedstawiony pod koniec rozdz. 9.7, ze dowolna funkcja ciqgla f okreslona na okrt'(gu jednostkowym na plaszczyznie zespolonej moze bye uwazana za hiperfunkcjt'(. Stwierdzenie to oznacza, ze dowolna funkcja ciqglafjest sumq dwoch czt'(sci, jednej, kt6ra rozciqga sit'( holomorficznie do wnt'(trza okrt'(gu jednostkowego, i drugiej, kt6ra holomorficznie rozciqga sit'( na zewnqtrz niego, przy czym teraz bierzemy pod uwagt'( plaszczyznt'( zespolonq uzupelnionq do sfery Riemanna. Stwierdzenie to jest rownowazne (zgodnie z dyskusjq w rozdz. 9.2) istnieniu rozwinit'(cia funkcji f w szereg Fouriera, gdzie jest traktowana jako funkcja okresowa zmiennej rzeczywistej. Zalozmy, dla ulatwienia, ze f przyjmuje tylko wartosci rzeczywiste. (Przypadek zespolony sprowadza sit'( do rozszczepienia f na jej czt'(sci rzeczywistq i urojonq.) Istniejq teraz twierdzenia, ktore mowiq, ze jesli f spelnia rownanie V 2f = 0 wewnqtrz okrt'(gu, to mozna jq w sposob ciqgly przedluZye do jego wnt'(trza. (Fakt ten jest, intuicyjnie, bardzo prawdopodobny dzit'(ki przedstawionej poprzednio analogii do warstwy mydlanej; zob. rys. 10.10. Przeskalowujqc f za pomocq malego parametru c do nowej funkcji cf, mozemy sobie wyobrazie, ze nasza pt'(tla leZy na okrt'(gu jednostkowym plaszczyzny zespolonej, odchylajqc sit'( nieznacznie 8 do gory i w dolo wartose cf na okrt'(gu jednostkowym. Wysokose napinajqcej warstwy mydlanej daje nam wartose cf, a stqd wartosefwewnqtrz okrt'(gu.) Za pomocq takiego przepisu (g = J(at/8x)dy) dofmozemy dodae jako czt'(se urojonqg, wwyniku czego powstaje funkcja f + ig, ktora jest holomorficzna wewuqtrz okrt'(gu jednostkowego. Ta procedura pozwala dodae czt'(se urojonq g do f na okrt'(gu jednostkowym (na ogol w formie hiperfunkcji) tak, ze f + ig jest funkcjq 0 czt'(stosciach ujemnych. Powtarzamy tt'( procedurt'( jeszcze raz, w odniesieniu do "zewut'(trza" okrt'(gu jednostkowego (0 ktorym myslimy teraz, ze leZy na sferze Riemanna), i znajdujemy, ze rozci,!ga sit'( tam funk+ ig) + ig) daje cja f - ig 0 czt'(stosciach dodatnich. Rozszczepienie f = w wyniku to, czego potrzebujemy.
t(f
t(f -
Przypisy
1
RozdziallO.2 Szczeg610w'! dyskusjy r6i:niczkowalnosci funkcji wielu zmiennych znalezc moi:na np. w: Marsden, Tromba (1996).
~
[10.14] Pokai: to.
191
10
Powierzchnie
Rozdzial 10.3 Notacja "dx", wprowadzona pO raz pierwszy przez Leibniza (w koncu XVII wieku), jest ogromnie uiyteczna i praktyczna, poniewaz wielkose "dx" mozna traktowae jak normalne wyrazenie algebraiczne. Te zalety jednak nie obejmuj,! juz jego zapisu "d 2x" dla drugich pochodnych. Gdyby Leibniz zdecydowat sit( na inny zap is drugiej pochodnej funkcji y ze wzglt(du na zmienn,! x, a mianowicie (d 2y - d2x dy/dx )/dx2 ), w6wczas rzeczywiscie wielkose typu "d 2x" mogtaby bye traktowana w spos6b algebraicznie sp6jny (a wit(c przez "dx2 rozumielibysmy dxdx itp.). Ze wzglydu na skomplikowan'! formt( tego wyraZenia nie jest jednak rzecz'! pewn'!, ze taki zapis bytby bardzo praktyczny. 3 "Pierwsze podstawowe nieporozumienie" jest zwi¥ane z uZyciem symboli i cP, z kt6rymi zetknt(lismy sit( w rozdz. 10.2, szczeg6lnie w odniesieniu do obliczania pochodnych cz'!stkowych; zob. Woodhouse (1991). 2
t
RozdziallO.5 Warunek ten musimy rozumiee tylko w sensie lokalnym. Na przyklad mozemy miee do czynienia z gtadk,! funkcj,! cP(u, v) okreslon,! na pewnym obszarze ptaszczyzny (u, v) 0 ksztalcie przypominaj,!cym nerkt(, na kt6rym wprawdzie BcP/Bv = 0, ale cP nie jest dobrze okreslona jako funkcja U[10.15J. 5 Aczkolwiek nie jest to szczeg6lnie precyzyjna droga do udowodnienia warunk6w Cauchy' ego-Riemann a, ujmuje jednak wlasciwie istott( rzeczy. 6 Na dtugo przed Cauchym i Riemannem, bo juz w 1752 r., warunki te wyprowadzil Jean LeRond D'Alembert; zob. Struik (1954). 7 Okazuje sit(, ze prawdziwe r6wnanie warstwy mydlanej (a r6wnanie Laplace'a jest jego przyblizeniem) rna bardzo ciekawe rozwi¥anie og6lne, znalezione przez Weierstrassa (w 1866 r.) w terminach funkcji holomorficznych. 8 Poniewaz jest funkcj,! ci,!gl,! na okrt(gu, musi bye ograniczona (tzn. jej wartosci mieszcz'! sit( w przedziale pomit(dzy ustalon,! wartosci,! doln,! a us talon'! wartosci,! g6rn,!). Wynika to ze standardowych twierdzen, a okr,!g jest obszarem sp6jnym; zob. rozdz. 12.6 (definicja "sp6jnosci") oraz Frankel (2001). Mozemy wit(c przeskalowae (mnoz'!c przez mal,! wielkosc stal'! E), wtedy dolna i g6rna granica staj,! sit( bardzo male. Analogia do warstwy mydlanej czyni sensownym argument z istnieniem funkcji Et, rozci,!gaj,!cej sit( do wnt(trza okrt(gu i spelniaj,!cej r6wnanie Laplace'a. Oczywiscie, to nie jest dow6d; zob. Strauss (1992) albo Brown i Churchill (2004) w sprawie bardziej scislego rozwi,!zania tego problemu, nazywanego "problemem Dirichleta dla kola". 4
t
t
tm [10.15] PokaZ to w przypadku cP(u, v) = 8(v) h(u), gdzie funkcje 8 i h s,! zdefiniowane jak w rozdz. 6.1, 3. Obszar 0 ksztalcie nerki nie moze zawierae nieujemnej czt(sci osi u.
11 Liczby hiperzespolone 11.1 Algebra kwaternion6w JAK uog6lnic nasze rozwazania na wyzsze wymiary? W nast<rpnym rozdziale przedstawiy standardowq (wsp6lczesnq) procedury badania n-rozmaitosci, ale z r6znych wzgl yd6w bydzie poiyteczne, jesli czytelnik zapozna siy najpierw z pewnymi istniejqcymi juz pomyslami badania wyzszych wymiar6w. Te wczesniejsze idee majq wazne i bezposrednie znaczenie dla niekt6rych aktualnych problem6w fizyki teoretycznej. Sila i piykno analizy zespolonej, kt6re w opisanym przypadku, gdy wlasnosci 2-wymiarowego r6wnania Laplace'a - bardzo wainego dla fizyki - dajq siy latwo przedstawic w jyzyku funkcji holomorficznych, zachycily matematyk6w XIX wieku do poszukiwania "uog61nionych liczb zespolonych", kt6re daloby si y w spos6b naturalny zastosowac w przestrzeni 3-wymiarowej. Dlugo zajmowal siy tym problemem miydzy innymi znany matematyk irlandzki William Rowan Hamilton (1805-1865). Rozwiqzanie przyszlo mu do glowy podczas spaceru z malzonkq wzdlliZ Kanalu Kr6lewskiego w Dublinie, 16 paidziernika 1843 roku. Bylo tak ekscytujqce, ze Hamilton natychmiast wyryl je na jednym z kamieni dublinskiego Mostu Broughama:
F = j2 = k 2= ijk = -1 Kazda z trzech wielkosci, i, j i k, jest niezaleznym "pierwiastkiem kwadratowym z -1" (podobnie jak wsr6d liczb zespolonych liczba urojona "i"), natomiast ich og61na kombinacja q = t + ui + vj + wk,
gdzie t, u ,v i w Sq liczbami rzeczywistymi, definiuje wielkosc, kt6ra nosi nazwy kwatemionu. Wielkosci te spelniajq wszystkie prawa zwyklej algebry opr6cz jednego. Tym wyjqtkiem - i to byla prawdziwie nowa 1 i niezwykla cecha twor6w Hamiltona - bylo pogwalcenie prawa pnemiennoSci mnozenia. Hamilton pokazal, ze[ll.1j j!l [11.1] Udowodnij to, korzystajqc bezposrednio z r6wnan "Mostu Broughama" Hamiltona. Za16i tylko prawo lqcznosci a(bc) = (ab)c.
11
Liczby hiperzespolone
ij = -ji, jk = -kj, ki = -ik, i te relacje s,! calkowicie niezgodne ze standardowym prawem przemiennosci mnozenia: ab = ba. Kwaterniony nadal spelniaj,! prawa l'!cznosci i przemiennosci dodawania, prawo l'!cznosci mnozenia i prawo rozdzielnosci mnozenia wzglydem dodawania[I1.21:
a +b =b +a, a + (b + c) = (a + b) + e,
a(be)
=
(ab)e,
a(b +e) =ab +ae, (a + b)e =ae + be, wraz z istnieniem zwyklych "element6w tozsamosciowych" dodawania i mnozenia, 0 i 1, takich ze
a+O=a, 1a=a1=a. Te zwi,!zki, jesli odrzucimy ostatni z nich, definiuj,! termin, kt6ry specjalisci od algebry nazywaj,! pierscieniem. (W moim przekonaniu slowo "pierscien" jest tu calkowicie nieintuicyjne - tak zreszt'! jak wiele innych termin6w algebry abstrakcyjnej - i nie mam pojycia, sk,!d siy wziylo.) Je§li dol,!czymy ty ostatni'! relacjy, to otrzymamy pierscien z jedynkq. Kwaterniony stanowi,! przyklad tak zwanej przestrzeni wektorowej nad ciatern liczb rzeczywistych. W przestrzeni wektorowej mozemy dodac do siebie dwa elementy (wektorr), ( i '1, tworz'!c ich sumy, ( + '1, kt6ra spelnia reguly l'!cznosci i przemiennosci: (+'1='1+(, «(+'1)+(=(+('1+(),
ponadto wektory mozemy mnoZyc przez "skalary" (w tym przypadku byd,! to po prostu liczby rzeczywiste f i g), z zachowaniem odpowiednich regull'!cznosci i rozdzielnosci itp.,
(f+g) (=/(+g(, f«(+'1)=/(+f'1, f(g() = (fg)(, 1(=(.
Kwaterniony tworz'! 4-wymiarow,! przestrzen wektorow'! nad cialem liczb rzeczywistych, poniewaZ istniej,! dokladnie cztery niezalezne wielkosci "bazowe" 1, i, j, k,
194
kD [11.2] Zbadaj
sum~
i iloczyn dwoch ogolnych kwatemionow i sprawdi te wlasnosci.
ezy kwaterniony
maj~
znaczenie fizyczne?
11.2
kt6re rozpinajq calq przestrzen. Oznacza to, ze dowolny kwaternion mozna wyrazie jako sumy rzeczywistych wielokrotnosci tych element6w bazowych. P6iniej poznamy wiele innych przyklad6w przestrzeni wektorowych. Kwaterniony dostarczajq nam r6wniez przykladu algebry nad cialem liczb rzeczywistych, poniewaz spelniajq opisane poprzednio prawa mnozenia. lednak specjalnie godna uwagi w przypadku kwaternion6w Hamiltona jest operacja dzieZenia albo, co oznacza to sarno, istnienie odwrotnosci q-I kazdego kwaternionu q. Ta odwrotnose spelnia nastypujqce relacje:
q-Iq = qq-I = 1, i w ten spos6b struktura kwaternion6w staje siy pierscieniem z dzieleniem. Dla odwrotnosci otrzymujemy jawne wyrazenie
q-I
=
ij(qijtl
gdzie (kwaternionowe) spn~ienie qij wielkosci q jest zdefiniowane nastypujqCo:
ij = t - ui - vj - wk, podczas gdy q = t + ui + vj + wk jak poprzednio. W ten spos6b otrzymujemy
qij = f + u 2+ v 2+ w2, a zatem liczba neczywista qij znika tylko wtedy, gdy q = 0 (a wiyc t = u = v = w = 0), istnieje (qijt\ a wielkose q-I jest dobrze okreslona przy zalozeniu, ze q *- 0[11.3].
11.2 Czy kwaterniony majq znaczenie fizyczne?
Przedstawiony schemat tworzy piyknq struktury algebraicznq i potencjalnie otwiera znakomite perspektywy rachunkowe, dostosowane, zdawaloby siy, swietnie do rozwazania fizyki i geometrii naszej fizycznej, 3-wymiarowej przestrzeni. W istocie Hamilton poswiycil ostatnie 22 lata zycia pr6bom zbudowania rachunku kwaternion6w. Z obecnej perspektywy, kiedy przyglqdamy siy osiqgniyciom matematyki XIX i XX stulecia, jesteSmy sklonni uwazae ten heroiczny wysilek za niezbyt udany. To stwierdzenie nie oznacza, ze kwaterniony Sq z matematycznego punktu widzenia (a nawet fizycznego) nieistotne. Z calq pewnosciq odgrywajq one waznq roly, a nawet, aczkolwiek w nieco innym i posrednim sensie, ich znaczenie jest ogromne dziyki r6znym swoistym uog6lnieniom. lednak oryginalne "czyste kwaterniony" nie spelnily pokladanych w nich poczqtkowo wielkich nadziei. Ale dlaczego tak siy nie stalo? Bye moze w odpowiedzi na to pytanie znajduje siy jakas uZyteczna wskaz6wka dotyczqca naszych usilowan znalezienia matematyki wlasciwej do opisu swiata fizycznego?
,a
[11.3] Sprawdz, ze ta definicja q-I jest wlasciwa.
195
11
Liczby hiperzespolone
Pierwszy punkt jest dosc oczywisty. Jesli chcemy myslec 0 kwaternionach jako o wyzej wymiarowej analogii liczb zespolonych, to widzimy, ze nie dokonalismy przejscia od dwoch wymiarow do trzech, lecz od 2 do 4. Albowiem, w kazdym przypadku,jednym zwymiarow jest "os rzeczywista", ktora odpowiada sldadowej tw opisanym przedstawieniu q poprzez i, j, k. Pojawia siy silna pokusa, zeby ui:yc tego t do reprezentowania czasu 3 , wowczas nasze kwaterniony opisywalyby czterowymiarow'! czasoprzestrzefi, a nie normaln,! przestrzen. Wydawaloby siy, ze to znakomity pomysl, szczegolnie z naszej, dwudziestowiecznej perspektywy, w ktorej pojycie czterowymiarowej czasoprzestrzeni, jak siy 0 tym przekonamy w rozdziale 17, jest pojyciem centralnym dla wspolczesnej teorii wzglydnosci. Okazuje siy jednak, ze kwaterniony nie bardzo siy do tego nadaj,!, glownie z tego powodu, ze forma kwadratowa qij = f + u 2 + v2 + w2 , calkiem naturalna "kwaternionowo", z punktu widzenia teorii wzglydnosci rna "niewlasciwy znak" (wyjasnienie tego zagadnienia podamy pozniej; zob. rozdz. 13.8,18.1). Oczywiscie, Hamilton i:yl w niewlasciwej epoce i nie mogl miec pojycia 0 teorii wzglydnosci. W kazdym razie to jest "puszka Pandory", do ktorej nie mam zamiaru w tym miejscu zagl,!dac. Bydy j,! powolutku otwieral nieco pozniej! (Zob. rozdz. 13.8, 18.1-4, koniec rozdz. 22.11, rozdz. 28.9, 31.13, 32.2.) Istnieje jednak inny powod, bardziej fundamentalnej natury, dla ktorego kwaterniony wcale nie S,! tak matematycznie "sympatyczne", jak to by siy na pierwszy rzut oka wydawalo. S,! stosunkowo malo "magiczne", w kazdym razie daleko im pod tyro wzglydem do liczb zespolonych, a powodem jest to, ze nie istnieje zadowalaj,!ca4 kwaternionowa analogia funkcji holomorficznych. Zasadnicza przyczyna jest bardzo prosta. W poprzednim rozdziale stwierdzilismy, ze funkcja holomorficzna zmiennej zespolonej z moze byc uwazana za holomorficznie "niezalei:n,!" od zmiennej zespolonej sprzyzonej z. Tymczasem w przypadku kwaternionow zmienn,! ij, kwaternionowo sprzyzon,! z q, mozemy wyrazic przez q i stale wielkosci i, j oraz k za pomoc,! relacji[l1.41: ij =
-1
(q + iqi + jqj + kqk).
Widzimy wiyc, ze jesli wyrazenie "homomorficzny kwaternionowo" mialoby oznaczac wielkosc "zbudowan,! z kwaternionow za pomoc,! operacji dodawania, mnozenia i przechodzenia do granicy", wowczas ij jako kwaternionowo holomorficzna funkcja q psuje caly pomysl. Czy jest mozliwe znalezienie jakiejs modyfikacji rachunku kwaternionow, ktora mialaby blizszy zwi,!zek ze swiatem fizycznym? Przekonamy siy, ze odpowiedz na to pytanie jest pozytywna, ale za ceny poswiycenia glownej, przedstawionej juz, zalety kwaternionow, jak,! jest mozliwosc wykonywania operacji dzielenia (przez wielkosci rozne od zera). A jak przedstawia siy sprawa uogolnienia na wyzsze wymiary? Wkrotce zobaczymy, ze mozna to osi,!gn,!c za pomoq algebry Clif-
196
fa [11.4] Sprawdz to.
ezy kwaterniony majq znaczenie fizyczne?
11.2
forda i ie to uogolnienie rna ogromne znaczenie dla fizyki. Wszystkie te zmiany wymagajl! porzucenia zasadniczej wlasnosci algebry z dzieleniem. Czy istniejl! uogolnienia rachunku kwaternionow, ktore zachowujl! operacj~ dzielenia? Owszem, ale istniejl! twierdzenia, ktore mowil!, ie w tym celu konieczne jest ograniczenie regul algebry idl!ce dalej nii tylko porzucenie prawa przemiennosci mnoienia. Po okolo dwoch miesil!cach od otrzymaniu listu od Hamiltona, ktory donosil 0 odkryciu kwaternionow, w 1843 roku John Graves odkryl istnienie swego rodzaju "podwojnych kwaternionow", ktore obecnie nazywamy oktonionami. W 1845 roku ponownego odkrycia tych oktonionow dokonal Arthur Cayley. Oktoniony nie spelniajl! prawa lqcznosci mnoienia a(bc) = (ab)c (aczkolwiek pewnl! pozostalosc tego prawa moina zauwaiyc w postaci ograniczonych toisamosci a(ab) = a2b oraz (ab)b =ab2). Uroda tej struktury polega na tym, ie jest to wciqi algebra z dzieleniem, chociai bez prawa lqcznosci. (Dla kaidego a 7= 0 istnieje takie a-I, ie a-1(ab) = b = =(ba )a-1.) Oktoniony tworzl! 8-wymiarowl! nieasocjatywnq algebr~ z dzieleniem. Mamy teraz siedem wielkosci analogicznych do i,j, i k algebry kwaternionow, ktore, ll!cznie z 1, rozpinajl! osiem wymiarow algebry oktonionow. Poszczegolne prawa mnoienia dla tych elementow (analogiczne do ij = k = -ji itp.) Sl! troch~ skomplikowane i najlepiej bydzie zaczekac z prezentacjl! do rozdz. 16.2, gdzie podamy ich opis, zilustrowany na rys. 16.3. Niestety, nie rna zadowalajqcych uogolnien oktonionow na wyisze wymiary, jesli chcemy zachowac wlasnosc dzielenia. W 1898 roku Hurwitz pokazal, ie kwaternionowa (czy oktonionowa) toisamosc "qij = sumie kwadratow" istnieje tylko w przypadku wymiarow 1, 2, 4 i 8. W rzeczywistosci, poza tymi szczegolnymi wymiarami, w ogole nie moina zbudowac algebry, w ktorej dzielenie byloby zawsze moiliwe (z wyjl!tkiem dzielenia przez 0). Wynika to z wainego twierdzenia topologiczneg05, z ktorym spotkamy si~ w rozdz. 15.4. Jedynymi algebrami z dzieleniem Sq tylko liczby rzeczywiste, liczby zespolone, kwaterniony i oktoniony. Jesli jestdmy gotowi zrezygnowac z dzielenia, to istnieje waine uogolnienie pojycia kwaternionu na wyisze wymiary, ktore rna ogromne implikacje dla wspolczesnej fizyki. To algebra Clifforda, wprowadzona6 w 1878 roku przez genialnego, ale, niestety, iyjl!cego bardzo krotko matematyka angielskiego William a Kingdona Clifford a (1845-1879). Moina sl!dzic, ie istniejl! dwa zrodla algebry Clifford a, oba na tym samym podloiu, Jakim jest proba zrozumienia przestrzeni 0 wymiarach wyiszych nii dwa, opisanych w jyzyku liczb zespolonych. Jednym z tych irodel jest algebra kwaternionow Hamiitona, 0 ktorej jui mowilismy; drugim natomiast pewne wczesniejsze koncepcje, wprowadzone w latach 1844 i 1862 przez malo znanego niemieckiego nauczyciela szkolnego, Hermanna Grassmanna (1809-1877t Algebry Grassmanna znajdujq rowniei bezposrednie zastosowanie we wspolczesnej fizyce teoretycznej. (W szczegolnosci wspolczesne poj~cie supersymetrii - zob. rozdz. 31.3 - w istotny sposob jest z nimi zwiqzane. Supersymetria jest obecnie niemal powszechnie uiywana do prob rozwini~cia podstaw fizyki poza ramy modelu standardowego.) Z tego powodu jest waine, iebysmy zapoznali si~ zarowno z algebrami Grassmanna, jak i Clifforda; zrobimy to, odpowiednio, w rozdz. 11.6 i 11.5.
197
11
Liczby hiperzespolone
Algebry Clifforda (i Grassmanna) wprowadzajq nowy element, ktory jest pochodnq wyzszych wymiarow rozwaZanych przestrzeni. Zanim jednak bydziemy w stanie zrozumiee to wlasciwie, najlepiej powrocie razjeszcze do rozumienia kwaternionow, ale z perspektywy geometrycznej. Doprowadzi nas to do pewnych innych obserwacji, ktore odgrywajq fundamentalnq roly we wspolczesnej fizyce.
11.3 Geometria kwaternion6w Sprobujmy sobie wyobrazie wielkosci bazowe rachunku kwaternionow, i, j, k jako lezqce na trzech wzajemnie prostopadlych (w ukladzie prawoskrytnym) osiach zwyklej 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej (zob. rys. 11.1). Przypomnijmy sobie teraz na podstawie rozdz. 5.1, ze liczba urojona "i" w zwyklej teorii liczb zespolonych moze bye interpretowana jako operacja "pomnozenia przez i", ktora, w dzialaniu na plaszczyznie zespolonej, oznacza "obrot 0 kqt prosty wokol poczqtku ukladu, w kierunku dodatnim". Moglibysmy pomyslee, ze daloby siy w podobny sposob zinterpretowae kwaternion i jako obrot wokol osi i, w kierunku dodatnim (prawoskrytnie), ale w przestrzeni 3-wymiarowej (tak ze plaszczyzna j, k odgrywalaby roly plaszczyzny zespolonej). Podobnie moglibysmy myslee 0 j jako 0 wielkosci reprezentujqcej obrot (w sensie dodatnim) wokol osi j, a k jako obrot wokol osi k. JednakZe gdyby to byly rzeczywiscie obroty 0 kqt pro sty, jak w przypadku liczb zespolonych, to iloczyn takich operacji nie bylby zadowalajqcy, poniewaZ jesli wykonamy taki obrot i, a potem obrot j, to wynik tych operacji nie bydzie ani obrotern k, ani zadnq jego krotnosciq. Latwo przekonae siy 0 tym, wykonujqc maly eksperyment. Wezmy jakqs ksiqzky i polozmy jq plasko na stole tak, jakbysmy za chwily mieli jq otworzye i czytae. Wyobrai:my sobie os k, przechodzqcq przez srodek ksiqzki i skierowanq pionowo do gory, os i skierowanq na prawo, os j w kierunku od nas, obie osie rowniei: przechodzqce przez srodek ksiqiki. Jesli obrocimy ksiqzky 0 kqt prosty (w sensie dodatnim) wokol osi i, a nastypnie 0 kqt prosty (zawsze w sensie dodatnim) wokolj, wowczas ksiqzka znajdzie siy w polozeniu, ktorego przez zaden obrot wokol osi k nie da siy sprowadzie do polozenia poczqtkowego; zob. rys. 11.2. Wyjscie z klopotliwej sytuacji znajdujemy, dokonujqc obrotow nie 0 kqt prosty, lecz 0 dwa kqty proste (a wiyc 0 kqt 180°, czyli 1t). To siy wydaje dosye dziwne, gdyz na pewno nie stanowi bezposredniej analogii do tego, jak rozumiemy pomno-
Rys. 11.1. Wielkosci bazowe rachunku kwaternion6w odnosz'l sit( do
198
trzech wzajemnie prostopadlych (prawoskrt(tnych) osi w zwyklej 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.
Geometria kwaternionow
11.3
k
Rys.ll.2. Operatory kwaternionowe i,j i k mozemy sobie przedstawic jako reprezentujllce obroty (0 k!!t 180°, tj. n) jakiegos przedmiotu, ktorym w tym wypadku jest ksi¥ka.
zenie przez liczby zespolon'! "i". Gl6wny problem polega na tym, ze jesli tak,! ope0 racjy zastosujemy dwa razy wok61 tej samej osi, to otrzymamy obr6t 0 k,!t 360 (czyli 0 2n) i w ten spos6b powr6cimy do polozenia wyjsciowego, a zatem taka operacja przedstawialaby raczej j2 = 1 nii j2 = -1 (czego potrzebujemy). I wlasnie w tym miejscu pojawia siy wspanialy pomysl, 0 fundamentalnym znaczeniu dla fizyki kwantowej cz'!stek elementarnych, takich jak elektrony, protony i neutrony. Jak siy 0 tym przekonamy w rozdz. 23.7, zwykla materia skondensowana nie moglaby istniec bez konsekwencji tego pomyslu. Zasadnicz,! roly odgrywa tutaj matematyczne pojycie spinora 8 • Czym jest spinor? Najkr6cej mozemy powiedziec, ze jest to obiekt matematyczny, kt6ry zmienia znak pod wplywem obrotu zupelnego 0 k,!t 2n. Na pierwszy rzut oka wygl,!da to na absurd, poniewai kaidy obiekt klasyczny po dokonaniu obrotu 0 360 wraca do stanu wyjsciowego, a nie do czegokolwiek innego. Aby zrozumiec ty zadziwiaj,!C'! wlasnosc spinor6w - alba inaczej "obiekt6w spinorowych" - powr6cmy do przykladu z ksi,!zk,! lez'!c'! przed nami na stole. Potrzebujemy jakiegos sposobu sledzenia procesu obrotu. Zr6bmy to w spos6b nastypuj,!cy: we:imy dlugi pasek i umiescmy go solidnie miydzy stronicami ksi
199
11
Liczby hiperzespolone
(a)
(b)
(c)
Rys. 11.3. Kshri:ka z rys. 11.2 przedstawia obiekt spinorowy. Parzysta liczba obrot6w 0 k,!t 21l jest r6wnowaina przeksztaiceniu tozsamosciowemu (jakby nie bylo zadnego obrotu), podczas gdy nieparzysta liczba obrot6w 21l nie prowadzi do powrotu do stanu wyjsciowego. (a) Mozemy sledzie parzystose obrot6w ksi,!zki 0 21l, l'!cz'!c j,! swobodnie, za pomoc,! dlugiego paska, z jakims nieruchomym obiektem (w tym przypadku jest nim kupka ksi
200
urojone l(!cze jest reprezentowane przez pasek, ktory mozemy przesuwac w dowolny ci(!gly sposob, ale tak, zeby jego konce pozostaly nieruchome, jeden zamocowany do naszego przedmiotu, drugi do tej sztywnej zewnytrznej struktury. Konfiguracjy naszej "ksi£!i:ki spinorowej" potraktujmy jako myslowo podl(!czon(! do pewnej sztywnej struktury zewnytrznej. Dwie konfiguracje bydziemy uwazali za ekwiwalentne tylko wtedy, gdy to urojone l(!cze jednej konfiguracji da siy w sposob ci(!gly tak zdeformowac, zeby po tej deformacji przeszlo w urojone l(!cze drugiej. Dla kazdej normalnej konfiguracji z ksi(!zk(! istniej(! dokladnie dwie nieekwiwalentne konfiguracje spinorowe i jedna jest negatywem drugiej. SprawdZmy teraz, czy ten pomysl prowadzi do poprawnych regul mnozenia kwatemionow. Polozmy ksi(!zky na stole, jak poprzednio, ale teraz pasek musimy mocno trzymac pomiydzy stronami. Dokonajmy obrotu 0 k(!t 1t wokol osi i, a nastypnie obrotu 0 1t wokol osi j. W wyniku tych obrotow otrzymalismy konfiguracjy identyczn(! z t(!, jak(! otrzymalibysmy, obracaj(!c ksi(!zky 0 1t wokol osi k, a wiyc w zgodzie z relacj(! ij = k. Ale czy rzeczywiscie? Niepokoj(!ca jest jedna kwestia. Jesli starannie przeprowadzimywszystkie obroty, dbaj(!c, zebywszystkie bylyw sensie dodatnim, wowczas, obserwuj(!c, jak skryca siy pasek, otrzymamy raczej relacjy ij =-k. Nie jest to bardzo istotne i mozemy ty trudnosc pokonac roznymi sposobami, np. uwaiac nasze kwatemiony nie za obroty prawoskrytne, lecz lewoskrytne 0 k(!t 1t (w takim przypadku otrzymujemy z powrotem ij = k), lub przyj(!c nasze osie i, j, k za osie ukladu lewoskrytnego. Albo, najlepiej, przyj(!c zwykl(! w matematyce konwencjy porz(!dku mnozenia operatorow, a mianowicie, kiedy piszemy "iloczyn pq", to najpierw wykonujemy operacjy q, potem p, nie na odwrot.
Jak skladac obroty?
11.4
Owa dziwnie wyglqdajqca konwencja jest uzasadniona. Na przyklad taka operacja jak 810x oznacza, ze mamy zrozniczkowac funkcjt; znajdujqcq sit; z prawej strony operatora. Tak wit;c operator P dzialajqcy na lP zapiszemy jako P(lP) alba po prostu PlP. Zgodnie z tym, jesli wykonamy najpierw P, a pot em Q na lP, to zapiszemy to jako QPlP i bt;dziemy rozumieli, ze QP dziala na (/J, Osobiscie opowiadam sit; za takim sposobem rozwiqzania problemu znaku w iloczynach kwaternionow, w ktorym wszystkie obroty rozumiemy standardowo, w ukladzie prawoskrt;tnym, i za stosowaniem przedstawionej konwencji uporzqdkowania operatorow. Teraz czytelnik sam moze latwo przekonac sit;, ze nasza "ksiqzka spinorowa" daje mozliwosc geometrycznego przedstawienia wszystkich rownan "Mostu Broughama", a wit;c i 2=j2 = k 2 = ijk = -1. Oczywiscie, rozumiemy, ze ijk oznacza teraz, ze najpierw k, potem j, ana koncu i 9 •
11.4 Jak skladac obroty?
Intrygujqca wlasnosc kqtow obrotu, polegajqca na tym, ze Sq dwukrotnie wit;ksze, niz sit; wydaje, moze byc zademonstrowana jeszcze winny sposob. Obroty (tj. obroty wlasciwe, bez odbic) majq tt; szczegolnq wlasnosc w przestrzeni 3-wymiarowej, ze jesli zloZymy dowolnq ich liczbt;, to w rezultacie zawsze otrzymamy obrot wokol pewnej osi. Jak mozemy znaleic polozenie tej osi, a takZe jaki jest wypadkowy kqt obrotu? Bardzo ciekawe rozwiqzanie tego problemu znalazl Hamilton lO • Przekonajmy sit;, jak ono dziala. Moja prezentacja bt;dzie jednak nieco inna od oryginalnej procedury Hamiltona. Przypomnijmy sobie, ze kiedy chcemy zloZyc dwa rozne przesunit;cia, ktore Sq po prostu transiacjami, poslugujemy sit; standardowym prawem trojkqta (rownowaznym prawu rownolegloboku, przedstawionemu na rys. S.la). Tak wit;c pierwszq translacjt; mozemy przedstawic jako wektor (tutaj przez pojt;cie wektora rozumiem odcinek skierowany, przy czym kierunek ukazuje strzalka zaznaczona na tym odcinku), a drugq translacjt; przez inny wektor, przy czym poczqtek (ogon) drugiego wektora umieszczamy na koncu (glowce) pierwszego. Wektor, ktory lqczy poczqtek pierwszego wektora z koncem drugiego, przedstawia wlasnie wektor wypadkowy, reprezentujqcy zlozenie tych dwu translacji; zob. rys. l1Aa. Czy cos podobnego mozemy zrobic w przypadku obrotow? Okazuje sit;, ze tak. Pomyslmy 0 "wektorach" jako 0 skierowanych lukach wielkich okrt;gow na sferze, gdzie kierunek wskazuje strzalka. (Okrt;giem wielkim na sferze nazywamy okrqg powstajqcy z przecit;cia sfery plaszczyznq przechodzqcq przez srodek kuli.) Mozemy sobie wyobrazic, ze taki "luk wektorowy" bt;dzie reprezentowal obrot wykonanyw kierunku, ktorywskazuje strzalka. Obrotu dokonujemywokol osi przechodzqcej przez srodek kuli i prostopadlej do plaszczyzny, na ktorej leZy luk. Czy mozemy teraz przyjqc, ze zlozeniem dwoch takich obrotow bt;dzie trzeci obrot, wyznaczony zgodnie z "prawem trojkqta", podobnym do prawa obowiqzujqcego w przypadku translacji? Rzeczywiscie, mozemy, ale jest tu pewna subtelnosc.
201
11
Liczby hiperzespolone
Obrot, ktory przedstawia nasz "luk wektorowy", musi bye obrotem 0 kqt dwa razy od tego, ktory odmierza dlugose luku. (Dla wygody rozwazamy kuly 0 promieniu jednostkowym. W takim przypadku dlugose luku jest miarq wielkosci kqta. Aby zadzialalo "prawo trojkqta", kqty rozwaZanych obrotow mUSZq bye dwukrotnie wiyksze niz dlugosci reprezentujqcych je lukow.) Przyczyny tego pokazuje rys. 11.4b. Trojkqt krzywoliniony (sferyczny) zaznaczony w srodku ilustruje "prawo trojkqta" do skladania obrotow, a trzy trojkqty zewnytrzne powstajq w wyniku odbicia wzglydem jego odpowiednich wierzcholkow. Dwa obroty, ktorych zlozenia poszukujemy, przeprowadzajq jeden z tych zewnytrznych trojkqtow w drugi, a nastypnie drugi w trzeci; natomiast obrot, ktory jest ich zlozeniem, przeprowadza pierwszy trojkqt w trzeci. Zwroemy uwagy, ze kaZdy z obrotow dokonuje siy 0 kqt dokladnie dwa razy wiykszy niz odpowiadajqca mu dlugose boku wyjsciowego trojkqta sferycznego(1l.SJ. Pewien wariant tej konstrukcji spotkamy w fizyce relatywistycznej w rozdz. 18.4 (rys. 18.13). Przyjrzyjmy siy, jak ta regula dziala w konkretnym przypadku kwaternionowej relacji ij = k. Obroty odpowiadajqce operacjom i, j i k Sq obrotami 0 kqt n. "Prawo trojkqta" wymaga przedstawienia ich za pomocq lukow odpowiadajqcych kqtom polowkowym, w tym przypadku n12. Ilustruje to dobrze rysunek l1.4c (gdzie, dla jasnosci, uZylismy relacji i(-j) = -k). Mozemy tez zobaczye, ze relacja j2 = -1, wi~kszy
~ b
(a)
(b)
(e)
Rys. 11.4. (a) Translacje na plaszczyinie euklidesowej przedstawione za pomocq odcink6w skierowanych. Odcinek zaznaczony podw6jnq strzalkq reprezentuje zlozenie dwu pozostalych translacji, zgodnie z regulq tr6jkqta. (b) Dla obrot6w w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej odcinkami Sq luki wielkich okryg6w wyrysowane na powierzchni kuli jednostkowej, a kai:dy z nich reprezentuje obr6t 0 kqt dwa razy wi~kszy niZ wskazana dlugosc luku (wok6! osi prostopadlej do jego plaszczyzny). Aby zobaczyc, jak to dziala, dokonaj odbicia tr6jkqta utworzonego z tych luk6w w kai:dym z jego wierzcholk6w. Pierwszy obr6t przenosi tr6jkqt 1 w tr6jkqt 2, drugi obr6t zamienia tr6jkqt 2 w tr6jkqt 3, natomiast zlozenie tych obrot6w przenosi od razu 1 w 3. (c) ReIacja kwatemionowa ij = k (tutaj w postaci i(-j) =-k) jako przypadek specjalny. Kqt kai:dego z obrot6w wynosi It, ale reprezentuje go luk odpowiadajqcy kqtowi It/2.
fa [11.5] W oryginalnej konstrukcji Hamiltona uZyto tr6jk,!t6w sferycznych "dualnych" wzgly-
202
dem opisanych, kt6rych wierzcholki znajduj,! siy w punktach przeciycia osi obrotu z powierzchni,! kuli. Zademonstruj, jak dziala taka regula (np. "dualizuj,!c" argumenty podane w tekscie), gdy k,!ty obrot6w S,! dwa razy wiyksze od dlugosci lukOw tego "dualnego" tr6jk,!ta.
Aigebry Clifforda
11.5
kt6rej odpowiada wielki luk 0 dlugosci 1t, rozciqgajqcy sit( od jakiegos punktu na sferze do przeciwnego mu bieguna (przedstawiajllcego ,,-1"), nie jest reprezentowana ani przez luk 0 dlugosci zero, ani 0 dlugosci 21t, niezaleznie od tego, ze kazdy z tych obrot6w przeprowadza kult( od polozenia wyjsciowego. Wynika z tego, ze przedstawienie za pomocll "luk6w wektorowych" prawidlowo reprezentuje obroty "obiekt6w spinorialnych".
11.5 Aigebry Clifforda
Aby przejse do wyzszych wymiar6w i do idei algebry Clifforda, musimy zastanowie sit(, czym musi bye operacja analogiczna do "obrotu wok61 osi". W przypadku n wymiar6w podstawt( takiego obrotu stanowi "os", kt6rq jest przestrzen (n - 2)-wymiarowa, a nie po prostu 1-wymiarowa os liniowa, jak w przypadku obrot6w 3-wymiarowych. Niezaleznie od tego obr6t wok61 (n - 2)-wymiarowej osi jest podobny do zwyklego obrotu 3-wymiarowego wok61 1-wymiarowej osi, przy czym jest on calkowicie okreslony przez podanie kierunku tej osi i wielkose kqta obrotu. I podobnie jak poprzednio, mamy do czynienia z obiektami spinorowymi, kt6re charakteryzuje ta wlasnose, ze jesli dokonamy obrotu cillglego 0 kqt 21t, to obiekt ten nie powr6ci do stanu wyjsciowego, ale przejdzie w cos, co mozemy uwazae za "negatyw" tego stanu. Natomiast obr6t 0 kqt 41t zawsze sprowadza obiekt do stanu wyjsciowego. W tym wszystkim jest pewien nowy element, 0 kt6rym juz wspomnielismy: w przypadku wymiar6w wyzszych od 3 nie jest prawdq, ze zlozenie dw6ch obrot6w wok61 (n - 2)-wymiarowych osi da nam zawsze w wyniku inny obr6t wok61 jakiejs osi (n - 2)-wymiarowej. W wyzszych wymiarach, w og6lnym przypadku, zlozenie obrot6w nie da sit( tak latwo opisae. Obr6t uog61niony moze miee "os" (a wit(c przestrzen, kt6ra pozostaje niezmieniona w wyniku tego obrotu), kt6rej wymiar moze przyjmowae wiele r6znych wartosci. Z tego powodu dla algebry Clifforda w n wymiarach potrzebujemy hierarchii r6znego rodzaju element6w, kt6re bt(dq reprezentowae tego rodzaju obroty. I faktycznie, okazuje sit(, ze lepiej zaczqe od operacji nawet bardziej elementarnych niz obr6t 0 kqt 1t, a mianowicie od odbic wzglt(dem (n - 1)-wymiarowej hiperplaszczyzny. Zlozenie takich dw6ch odbie (wzglt(dem plaszczyzn wzajemnie prostopadlych) daje obr6t 0 kllt 1t; W ten spos6b te podstawowe obroty 0 kllt 1t stajq sit( operacjami wt6rnymi, a podstawowymi elementami stajll sit( odbicia[JI·61. Podstawowe odbicia oznaczymy symbolami)ll' )12' )13' ... )In' gdzie operacja)lr oznacza odwr6cenie r-tej osi ukladu wsp61rzt(dnych (wszystkie pozostale Sll niezmienione). W przypadku odpowiedniego "obiektu spinorowego" dokonanie dwu-
1m [11.6] Znajdz geometryczny charakter transformacji w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, gdy jest ona zloieniem dwoch odbic w plaszczyznach, ktore nie S'l wzajemnie prostopadle.
203
11
Liczby hiperzespolone
krotnego odbicia w tym samym kierunku daje w wyniku "negatyw" tego obiektu, a zatem mamy relacje typu kwaternionowego: )'~=-1, )'~=-1, )'~=-1, ... ,)'~=-1,
ktore te odbicia podstawowe spelniajq. Elementy wtorne, przedstawiajqce nasze wyjsciowe obroty 0 kqt Te, Sq iloczynami par roznych )' i te iloczyny spelniajq relacje antykomutacji (podobnie jak kwaterniony): )'p)'q = - )'q)'p (p 7:-
W szczegolnym przypadku trzech wymiarow (n ne wielkosci "drugiego rzt(du"
q). =
3) mozemy zdefiniowac trzy roz-
i = )'2)'3' j = )'3)'1' k = )'1)'2' i latwo przekonac sit(, ze te trzy wielkosci spelniajq prawa algebry kwaternionow (rownania "Mostu Broughama" Hamiltona)(11.71. Elementem ogolnym algebry Clifford a w przestrzeni n-wymiarowej jest suma rzeczywistych wielokrotnosci (tzn. kombinacja liniowa) iloczynow roznych),. Wielkosci pierwszego rZt(du ("pierwsze") stanowi n pojedynczych elementow )'p . Wielkosciami drugiego rzt(du ("wtornymi") Sq -21 n(n - 1) niezaleznych iloczynow )'p )'q (gdzie p < q); istnieje n(n - l)(n - 2) niezaleznych elementow trzeciego rZt(du )'p)'q)'r (gdzie p < q < r), nastC(pnie n(n - 1)(n - 2)(n - 3) niezaleznych iloczynow czwartego rzt(du, itd., ina koncu pojedynczy iloczyn n-go rZt(du )'1)'2)'3.·· )'n. WSzystkich razem, lqcznie z elementem zerowego rZt(du, ktorym jest 1, otrzymujemylILR1:
t
i4
1 + n + ~ n(n - 1) +
i
n(n -l)(n - 2) + ... + 1 = 2n
i dowolny ogolny element algebry Clifford a jest ich liniowq kombinacjq. W ten sposob elementy algebry Clifforda tworzq 2n-wymiarowq algebrt( nad cialem liczb rzeczywistych, w sensie opisanym w rozdz. 11.1. Tworzq one pierscien z jedynkq, ale, w odroznieniu od kwaternionow, nie tworzq pierscienia z dzieleniem. Jednym z powodow, dla ktorego algebry Clifford a Sq tak wazne, jest ich znaczenie dla definicji spinorow. Spinory pojawily sit( w fizyce w znanym rownaniu Diraca dla elektronu, w ktorym stan kwantowy elektronu okazal sit( wielkosciq spinorowq (zob. rozdz. 24). Spinory mozemy traktowac jako obiekty, na ktore elementy algebry Clifforda dzialajq jak opera tory, tak jak podstawowe odbicia i obroty "obiektow spinorowych", 0 ktorych juz mowilismy. Sarno pojt(cie "obiektu spinorowego" jest nieco klopotliwe i nieintuicyjne, niektorzy zatem wolq poslugiwac sit( czysto algebraicznym (Cliffordowskim)ll podejsciem przy ich badaniu. Takie podejscie rna z pewnosciq swoje zalety, szczegolnie wtedy, gdy chodzi 0 ogolnq i scislq analizC( zagadnien n-wymiarowych, ale wydaje sit( wazne, zebysmy nie stracili z oczu geometrii problemu, i to wlasnie staralem sit( tutaj podkreslic.
ta 204
[11.7] Pokaz to.
~ [11.8] Uzasadnij to wyliczenie. Wskaz6wka: pomysl 0 (1 + 1)".
Aigebry Grassmanna
11.6
W n wymiarach 12 pelna przestrzen spinorow (czasami nazywana przestrzeniq spinowq), w przypadku gdy n jest liczbq parzystq, jest przestrzeniq 0 2nl2 wymiarach, natomiast gdy n jest nieparzyste, wymiar przestrzeni spinorow to 2(n-l)/2. Gdy n jest parzyste, wowczas przestrzen spinorow rozszczepia siy na dwie niezalezne przestrzenie (czasami nazywane przestrzeniami "spinorow zredukowanych" albo "polspinorow"), kazda z nich 0 wymiarze 2(n-2)/2, co oznacza, ze kazdy element pelnej przestrzeni jest sumq dwoch elementow, po jednym z kazdej z dwu przestrzeni zredukowanych. Odbicie w przestrzeni n-wymiarowej (dla parzystego n) przeprowadza jednq z tych zredukowanych przestrzeni spinowych w drugq. Elementy jednej przestrzeni majq pewnq "chiralnose" albo "skrytnose"; natomiast elementy drugiej majq chiralnose przeciwnq. Ma to wazne znaczenie dla fizyki, przede wszystkim ze wzglydu na zwyklq 4-wymiarowq czasoprzestrzen. Te dwie zredukowane przestrzenie spinowe Sq 2-wymiarowe, jedna odnosi siy do elementow prawoskrytnych, druga do lewoskrytnych. Wydaje siy, ze Przyroda przypisuje rozne role tym dwom zredukowanym przestrzeniom spinowym, i ze wlasnie z tego powodu zachodzq procesy fizyczne, ktore nie Sq niezmienne wzglydem odbie. I rzeczywiscie, jednym z najbardziej zdumiewajqcych (niektorzy powiedzieliby nawet "szokujqcych"), bezprecedensowych odkrye fizyki XX wieku (przewidzieli to teoretycznie Chen Ning Yang i Tsung Dao Lee, a w 1957 roku potwierdzili doswiadczalnie Chien-Shiung Wu i jej wspolpracownicy) bylo to, ze w Przyrodzie zachodzq fundamentalne procesy, ktore nie zachowujq symetrii wzglydem odbie. Do tych zagadnien powrocy pozniej (rozdz. 25.3, 4, 32.2, 33.4, 7, 11, 14). Spinory znajdujq tei: zastosowanie, w roznych kontekstach, jako technika matematyczna l3 (zob. rozdz. 23.8-11, 22.4, 5, 24.6, 7, 32.3, 4, 33.4, 6, 8,11) i mogq bye praktycznie wykorzystane w obliczeniach pewnego typu. Ze wzglydu na wykladniczy zwiqzek miydzy wymiarem przestrzeni spinorowej (2n12 etc.) a wymiarem n przestrzeni wyjsciowej nie jest dziwne, ze spinory stanowiq lepsze narzydzie, gdy n jest sensownie male. Na przyklad dla zwyklej 4-wymiarowej czasoprzestrzeni kazda zredukowana przestrzen spinorowa rna wymiar zaledwie 2, podczas gdy we wspolczesnej 11-wymiarowej "teorii M" (zob. rozdz. 31.14) przestrzen spinorow rna wymiar 32.
11.6 Aigebry Grassmanna
Na koniec powroemy do algebry Grassmanna. Patrzqc przez pryzmat przedstawionej dyskusji, moglibysmy powiedziee, ze algebra Grassmanna jest pewnq zdegenerowanq formq algebry Clifforda, w ktorej zachodzq podstawowe relacje antykomutacji elementow generujqcych '11' '1 2' '1 3' ... , 'In' podobnie jak w przypadku elementow 1" 12, 13' ... , 1n algebry Clifforda, ale kazda z wielkosci 'I, podniesiona do kwadratu, daje w wyniku zero, a nie -1, jak w algebrze Clifforda: '1~=O, '1~=O, ... , '1~=O.
205
11
Liczby hiperzespolone
Reguly antykomutacji 'I/Iq= - 'Iq'lp
spelnione Sq jak poprzednio, z tq roznicq, ze w algebrze Grassmanna w sposob nawet bardziej "systematyczny" niZ w przypadku algebry Clifforda, gdyz nie potr~ebujemy juz specyfikowae, ze "p *- q". Wowczas relacja 'Ip'lq = - 'Iq'lp daje od razu 'Ip = O. W istocie algebry Grassmanna Sq zarowno prostsze, jak i bardziej uniwersalne niz algebry Clifforda, albowiem zalezq one w minimalnym stopniu od struktur lokalnych. Chodzi 0 to, ze algebra Clifforda musi "wiedziee", co to znaczy "prostopadle", aby mozliwe bylo wygenerowanie obrotow za pomocq odbie, podczas gdy pojycie "obrotu" nie jest potrzebne w algebrach Grassmanna. Inaczej mowiqc, takie pojycia jak "algebra Clifford a" i "spinor" wymagajq okreslenia metryki przestrzeni, podczas gdy algebry Grassmanna tego nie potrzebujq. (Metryki przestrzeni przedyskutujemy w rozdz. 13.8 i 14.7.) Podstawowym pojyciem algebry Grassmanna jest pojycie "elementu plaskiego" dla roznych wymiarow. Pomyslmy sobie 0 kazdej z wielkosci bazowych 'II' '1 2' '1 3' ••• , 'In' jako definiujqcej pewien element liniowy alba "wektor" (a nie hiperplaszczyzny odbicia), ktorego poczqtek znajduje siy w poczqtku ukladu wspolrzydnych w pewnej przestrzeni n-wymiarowej, i kazde 'I jest zwiqzane z jednq z n roznych osi wspolrzydnych. (Osie te mogq bye "skosne", poniewaz algebra Grassmanna nie wymaga ortogonalnosci; zob. rys. 11.5.) W ten sposob dowolnywektorwychodzqcy z poczqtku ukladu wspolrzydnych jest kombinacjq liniowq a = al'll + a 2'1 2 + ... + all'ln'
gdzie aI' a 2, ... an Sq liczbami rzeczywistymi. (Alternatywnie, a; mogq bye liczbami zespolonymi, w przypadku przestrzeni zespolonych, ale w tym algebraicznym po-
Rys. 11.5. Kai:dy element bazy
o 206
"1'
"n
"2' "3' ... , algebry Grassmanna definiuje pewien wektor w przestrzeni n-wymiarowej, kt6rego pocz'!tek znajduje si y w pocz'!tku ukladu wsp6lrz ydnych. Wektory te lei,! na r6inych osiach ukladu wsp6lrzydnych (osic te mog,! bye skosne, poniewai algebra Grassmanna nie wymaga ortogonalnosci). Dowolny wektorwychodz'!cy z punktu 0 jest kombinacj,! liniow,! a = al"l + aZ"2 + ... + an"",
Aigebry Grassmanna
11.6
dejsciu przypadki rzeczywisty i zespolony Sq traktowane w podobny sposob.) Aby opisae 2-wymiarowy element plaski rozpiyty przez dwa wektory a i b, gdzie
b = b1lf1 + b2lf2 + ... + bnlfn' tworzymy iloczyn grassmannowski tych wektorow. W celu unikniycia pomylek z innymi postaciami iloczynow zastosujtt tutaj notacjy standardowq a 1\ b (iloczyn ten nazywany jest "klinowym"). Zgodnie z tym to, co poprzednio zapisywalem jako If pIf q, , teraz bttdziemy zapisywali jako Ifp 1\ If q • Regula antykomutacji tych wielkosci bydzie miala postae Ifp 1\ Ifq = -If q 1\ Ifp'
Zakladajqc, ie dla takich iloczynow obowiqzuje prawo rozdzielnosci mnoienia wzglydem dodawania (zob. rozdz. 11.1), moiemy wykazae bardziej ogolnq wlasnose antykomutacji(I1.9 j
al\b=-bl\a dla dowolnych wektorow a i b. Wielkose a 1\ b daje algebraiczne wyraienie na istnienie "elementu plaskiego" rozpiytego przez wektory a i b (rys. 11.6a). Zauwaimy, ie zawiera ona informacjy nie tylko 0 orientacji tego e1ementu plaskiego (poniewai znak iloczynu a 1\ b zaleiy od kolejnosci tych wektorow), ale takie 0 rozmiarach (wielkosci) tego elementu. Moiemy zapytae, w jaki sposob wielkose taka jak a 1\ b moie bye wyraiona przez zbior skladowych, podobnie do sposobu, w jaki przedstawiamy wektor a jako (a I' a2, ... , an) i b jako (bl' b2, ... , bn), ktore to liczby Sq wspolczynnikami wyraienia a i b jako kombinacji liniowych Ifl' 1f2' 1f3' ••• , If n • Wielkose a 1\ b moina przedstawie jako kombinacjy liniowq iloczynow 1f1 1\ 1f2' 1f1 1\ 1f3 etc. i chcemy dowiedziee siy,
(al
(bl
Rys. 11.6. (a) Wielkosc a 1\ b reprezentuje element ptaski (odpowiednio zorientowany i przeskalowany) rozpiyty przez niezaleine wektory a i b. (b) Potr6jny iloczyn grassmannowski a 1\ b 1\ C reprezentuje element 3-wymiarowy rozpiyty przez niezaleine wektory a, b i c.
~
[11.9] Pokai: to.
207
11
Liczby hiperzespolone
jakie s,! wspolczynniki takiego przedstawienia. W zwi,!zku z tym potrzebne s,! nam jakies konwencje, poniewaz, na przyklad, 1/ 1 1\ 1/2oraz 1/2 1\ 1/1 nie s,! niezalezne (rozni,! siy tylko znakiem) i powinnismy siy umowic, ktory z tych iloczynow wybieramy. Okazuje siy, ze naj1epiej uZyc obu i tylko pO rowno rozdzielic pomiydzy nie wspolczynniki. Znajdujemy wowczas[II.IO], ze te wspolczynniki, czyli skiadowe iloczynu Q 1\ b, s,! wielkosciami, ktore mozemy zapisac jako alPb q1 , zas nawiasy kwadratowe wokol indeksow oznaczaj'! antysymetryzacj~: 1 A lPq ]= "2 (Apq - Aqp)'
aIPbq1
="21 (apbq -
aqbp)'
A jak przedstawia siy sprawa 3-wymiarowego "e1ementu plaskiego"? Bior,!c Q, b i C jako trzy nieza1ezne wektory, rozpinaj,!ce ten element 3-wymiarowy, mozemy utworzyc potrojny iloczyn grassmannowski Q 1\ b 1\ c. Ten iloczyn bydzie reprezentowal poszukiwany element plaski (rowniez okreslaj,!c jego orientacjy i wielkosc) i bydzie speinial reguly antykomutacji: Ql\bl\c=bl\cI\Q=cI\Ql\b=-bI\Ql\c=-Ql\cl\b=-cl\bI\Q
(zob. rys. 11.6b). Skiadowe iloczynu Q smy, s'!: aIPbqcr1 =
i
1\
b
1\
c, zgodnie z tym, co juz powiedzieli-
(apblr + aqb,cp + arblq - ailr - apbrcq - arblp)'
przy czym nawiasy kwadratowe znowu oznaczaj'! antysymetryzacjy, ukazan'! explicite w wyraieniu po prawej stronie. Podobne wyrazenia definiuj,! ogolne elementy r-wymiarowe, gdzie r moze przyjmowac dowoln'! wartosc do wymiaru n, ktory jest wymiarem caIej przestrzeni. Skladowe iloczynu klinowego r-go rZydu uzyskujemy, bior,!c zantysymetryzowane iloczyny skladowych poszczegolnych wektorow [1111],[1112]. Rzeczywiscie, algebra Grassmanna daje nam potyzne narzydzie do opisu podstawowych geometrycznych e1ementow liniowych w dowolnych (skonczonych) wymiarach. Algebra Grassmanna jest algebr,! stopniowanq ("algebq z gradacj'!") w tym sensie, ze zawiera elementy r-go rZydu (gdzie r oznacza liczby e1ementarnych wektorow 1/, ktore s,! "mnozone klinowo" w odpowiednich wyrazeniach). Liczba r (gdzie r= 0,1,2,3, ... , n) nazywa siy "stopniem" (grade) elementu algebry Grassmanna. NaieZy jednak zauwaZyc, ze ogolny element algebry stopnia r nie jest po prostu zwyklym iloczynem klinowym (takimjakQ 1\ b 1\ C w przypadku r= 3), ale moze byc
208
ED [11.10] Wypisz cale a 1\ b dla przypadku n = 2, aby zobaczyc, jak takie wyra.zenie powstaje. ED [11.11] Wypisz te wyrazenia explicite dla przypadku iloczynu klinowego czterech wektor6w. B [11.12] Poka.z, ze iloczyn klinowy nie zmieni siy, jezeJi a zastqpimy wektorem a dodanym do dowolnej wielokrotnosci kt6regokolwiek z wektor6w wystypujqcych w iloczynic klinowym.
Przypisy
sumq takich wyrazen. W takim razie istnieje wiele elementow algebry Grassmanna, ktore nie odpowiadajq wprost geometrycznym elementom stopnia r. Znaczenie takich "niegeometrycznych" elementow algebry Grassmanna omowimy pozniej (rozdz. 12.7). W ogolnym przypadku, jesli P jest elementem stopnia p, a Q jest elementem stopnia q, wowczas definiujemy ich iloczyn klinowy stopnia (p + q), P /\ Q, jako wielkosc 0 skladowych P1a,cQd'fl' gdzie Pa... c i Qd.J Sq, odpowiednio, skladowymi P i Q. Otrzymujemy wtedyllL13]. 1.14] p/\Q= {
+Q /\ P -Q /\ P
gdy p alba q, alba i p, i q Sq parzyste, gdy p, q Sq nieparzyste.
Suma elementow ustalonego stopnia r jest elementem stopnia r; mozemy dodawac do siebie elementy roznych stopni, dziyki czemu otrzymamy wielkosci "mieszane", ktore nie majq okreslonego stopnia. lednakZe takie elementy algebry Grassmanna pozbawione Sq bezposredniej interpretacji.
Przypisy Rozdzial11.1 Wedlug Eduarda i Kleina (1898) prawo mnozenia kwaternionow odkryl juz w 1820 roku Carl Friedrich Gauss, ale swojego odkrycia nie opublikowal (Gauss 1900). Z t'! rewelacj,! nie zgodzili sit( Tait (1900) i Knott (1900). Wit(cej informacji na ten temat zob. Crowe (1967). 2 Termin "wektor" rna cale spektrum znaczen. W tym wypadku nie potrzebujemy doszukiwac sit( zwi,!zku z rozniczkowym pojt(ciem "pola wektorowego", opisanym w rozdz. 10.3. 1
Rozdzialll.2 Nie jest dla mnie rzecz'! jasn,!, czy sam Hamilton ulegal tej pokusie. Przed odkryciem kwaternionow interesowal sit( algebraicznym opisem "zmiennosci w czasie" i na tej podstawie mozna by s,!dzic, ze byl przygotowany na zaakceptowanie czwartego wymiaru w algebrze kwaternionow. Zob. Crowe (1967), s. 23-27. 4 Mimo to wlozono wiele pracy, aby znalezc kwaternionow,! analogit( funkcji holomorficznych i ich wartosci dla teorii fizycznych. Zob. Giirsey (1983); Adler (1995). Mozna by rowniez traktowac wyrazenia twistorowe (rozdz. 33.8, 9) wykorzystywane przy rozwi'!zywaniu rownan bezmasowego pola swobodnego jako wlasciw,! 4-wymiarow,! analogit( metody funkcji holomorficznych w rozwi,!zywaniu rownania Laplace'a. W tym wypadku uZywa sit( jednak analizy matematycznej funkcji analitycznych, a nie kwaternionowej. lako literaturt( ogoln,! dotycz'!c'! kwaternionow i oktonionow mozna polecic: Conway i Smith (2003). 5 Zob. Adams i Atiyah (1966). 6 Zob. Clifford (1878). Wspolczesne odniesienia zob. Hestenes i Sobczyk (2001); Lounesto (1999). 7 Zob. Grassmann (1844); idem (1862); van der Waerden (1985); Crowe (1967), rozdz. 3. 3
8
Rozdziaf 11.3 Autor wyjasnia w tym miejscu, ze slowo "spinor" powinno sit( wymawiac tak, jakby to bylo slowo "spinnor". Zob. przyp. 12 w rozdz. 24. ~
[11.13] Pokaz to.
f8 [11.14] Wydedukuj, ze P /\ P = 0, gdy p jest nieparzyste.
209
Liczby hiperzespolone
11
9
Nie wiem, kto pierwszy zaproponowat takie przedstawienie kwatemionow. Na Miydzynarodowym Kongresie Matematycznym w Helsinkach w 1978 roku w prywatnej rozmowie przedstawit to J.R. Conway, ale zob. takZe Newman (1942) Penrose i Rindler (1984), s. 41-46.
Rozdzial 11.4 10
Zob. Pars (1968).
Rozdzial1l.5 11
12
13
Aby zapoznac siy blizej z podejsciem do wielu problemow fizycznych za posrednictwem algebry Clifforda, zob. Lasenby, Lasenby i Doran (2000), s. 21-39 i cytowana tam literatura. Zob. Cartan (1966); Brauer i Weyl (1935); Penrose i Rindler (1986); Harvey (1990); Budinich i Trautman (1988). Przyktady znalezc mozna w: Lounesto (1999); Cartan (1966); Crumeyrolle (1990); Chevalley (1954); Kamberov (2002).
12 Rozmaitosci n-wymiarowe 12.1 Dlaczego badamy rozmaitosci wyzszych wymiarow? PRZEJDZMY teraz do og6lnej procedury budowania rozmaitosci wyzszych wymiarow, w ktorych wymiar n moze bye dowoln'! dodatni,! liczb,! calkowit'! (a nawet 0, jesli pojedynczy punkt bydziemy uwazali za O-rozmaitose). Obecnie jest to zasadnicze pojycie dla prawie wszystkich wspolczesnych teorii podstaw fizyki. Czytelnika moze dziwie fakt, ze interesuj'!ce z fizycznego punktu widzenia jest rozwazanie n-rozmaitosci, ktorych wymiar n jest wiykszy od 4, poniewaz zwykla czasoprzestrzen rna dokladnie 4 wymiary, ale wiele wspolczesnych teorii, na przyklad teoria strun, posluguje siy pojyciem czasoprzestrzeni, ktorych wymiar jest duzo wiykszy niz 4.Wrocimy do tych spraw nieco pozniej (rozdz. 15.1,31.4, 10-12, 14-17), gdy zajmiemy siy fizycznym prawdopodobienstwem realizacji takiej ogolnej idei. Pomijaj,!c kwestiy, czy rzeczywista "czasoprzestrzen" fizyczna moze bye wlasciwie opisana jako n-rozmaitose, istniej,! jeszcze inne, rozne i bardzo powazne powody do zajmowania siy n-rozmaitosciami w fizyce. Na przyklad plZestrzen konfiguracyjna zwyklego ciala sztywnego w euklidesowej przestrzeni 3-wymiarowej - mam tu na mysli pewn,! przestrzen C, ktorej poszczegolne punkty przedstawiaj,! rozne fizyczne polozenia ciala - jest nieeuklidesow'! 6-rozmaitosci,! (zob. rys. 12.1). Dlaczego szese wymiarow? Poniewai mamy tu trzy wymiary (stopnie swobody) opisuj,!ce polozenie srodka ciyzkosci i trzy wymiary dla przedstawienia obrotowej orientacji ciala[12.11. Dlaczego nieeuklidesowa? lest wiele powodow, ale szczegolnie wymowny jest ten, ze nawet sarna topologia tej przestrzeni jest rozna od topologii 6-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Ty "nietrywialnose topologiczn'!" C mozemy zauwaZye, analizuj,!c 3-wymiarowy aspekt przestrzeni, ktory odnosi siy do obrotowej orientacji ciala. Nazwijmy ty przestrzen 3-wymiarow,! R tak, ze kaidy punkt R reprezentuje pewn,! szczegoln'! orientacjy ciala. Przypomnijmy sobie rozwazania nad obrotami ksi'!iki z poprzedniego rozdzialu. Niech naszym "cialem" bydzie wlasnie ta ksi'!ika (ksi'!ika musi, oczywiscie, pozostawae zamkniyta, w przeciwnym bowiem wypadku nasza przestrzen konfiguracyjna musialaby miee znacznie wiycej wymiarow, odpowiednio do ruchow stron). a [12.1] Objasnij dokladniej t y liczb y wymiar6w.
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
Rys. 12.1. Przestrzen konfiguracyjna C, kt6rej kaidy pUnkt reprezentuje mozliwe polozenie pewnego ciata sztywnego w 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa ]E'. Przestrzen C jest nieeuklidesow~ 6-rozmaitosci~.
Jak rozpoznac "nietrywialnosc topologicznq"? Mozemy sobie wyobrazic, ze nie jest to latwe w przypadku 3-lub 6-rozmaitosci. Istnieje jednak szereg procedur matematycznych do rozstrzygniycia takich problemow. Przypomnijmy sobie, ze przy badaniu powierzchni Riemanna w rozdz. 8.4 (zob. rys. 8.9) rozwazalismy rozne rodzaje topologicznie nietrywialnych powierzchni 2-wymiarowych. Poza sferq (Riemanna) najprostszym przykladem takiej powierzchni jest torus (powierzchnia 0 genusie 1). Jak mozna odroznic torus od sfery? Jednym ze sposobow jest rozwazenie zamkniytych pytli na powierzchni. Intuicyjnie jest jasne, ze na torusie mozemy narysowac pytle, ktorych w zaden sposob nie da siy, w sposob ciqgly, tak zdeformowac, zeby kazdq "sciqgnqc" do punktu, tymczasem na powierzchni kuli kazda zamkniyta pytla moze byc w ten sposob "sciqgniyta" (zob. rys. 12.2). Na plaszczyznie euklidesowej, podobnie, kazdq zamkniytq pytly potrafimy zredukowac w ten sposob. Na podstawie tej wlasnosci uwazamy, ze sfera i plaszczyzna Sq jednosp6jne. Torus (i powierzchnie 0 wyzszym genusie) Sq natomiast wielosp6jne ze wzglydu na to, ze mozna na nich rysowac pytle, ktorych w ten sposob nie da siy "sciqgnqc"l. Mamy wiyc jeden jasny przepis na odroznienie torusa (i powierzchni 0 wyzszym genusie) od sfery i od plaszczyzny.
212
Rys. 12.2. Na torusie pewne pytle nie mog~ bye, w spos6b ci~gly, zredukowane do punktu, podczas gdy na sferze lub na plaszczyznie jest to mozliwe w odniesieniu do dowolnej pytli. W zwi~zku z tym plaszczyzny i sfery uwaiamy za powierzchnie jednosp6jne, natomiast torus (i powierzchnie 0 wyzszym genusie) s~ wielosp6jne.
Dlaczego badamy rozmaitosci wyzszych wymiar6w?
12.1
Tt( samq idet( mozemy wykorzystae do odroznienia topologii 3-rozmaitosci R od "trywialnej" topologii 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa albo topologii 6-rozmaitosci C od "trywialnej" 6-przestrzeni Euklidesa. Powroemy do przykladu z ksiqzkq, ktorq w rozdz. 11.3 wyobrazalismy sobie jako przywiqzanq do pewnej stalej struktury za pomocq wyimaginowanego paska. Kazde polozenie obrotowe tej ksiqzki odpowiada pewnemu punktowi w R. Gdy bt(dziemy kontynuowae obracanie ksiqzki aZ do kqta 21t tak, ze ksiqzka wraca do wyjsciowego polozenia, okaze sit(, ze ten ruch jest reprezentowany w R przez pewnq zamknit(tq pt(tlt( (zob. rys. 12.3). Czy jestesmy w stanie, deformujqc tt( pt(tlt( w sposob ciqgly, "sciqgnqe" jq do punktu? Taka deformacja pt(tli odpowiadalaby stopniowemu ruchowi obrotowemu ksiqzki do momentu zatrzymania. Pamit(tajmy jednak 0 naszym urojonym pasku (ktory eksperymentalnie mozemy zastqpie prawdziwym paskiem). Obrot 0 kqt 21t pozostawia pasek skrt(cony i tego skrt(cenia nie mozna usunqe przez ciqgly ruch paska bez przesunit(cia ksiqzki. Za pomocq ciqglej deformacji obrotu ksiqzki nie jestesmy w stanie wyeliminowae "skrt(cenia 21t" (albo zostaje ono zamienione na skrt(cenie odpowiadajqce obrotowi 0 nieparzystq wielokrotnose 21t), stqd wyciqgamy wniosek, ze obrot 0 21t nie moze bye w sposob ciqgly sprowadzony do obrotu zero. Dlatego, odpowiednio, nie rna sposobu, zeby nasza zamknit(ta pt(tla na R dala sit( sciqgnqe do punktu. A zatem 3-rozmaitose R (i podobnie 6-rozmaitose C) muszq bye wielospojne, a wit(c topologicznie rozne od jednospojnej 3-przestrzeni Euklidesa (tak jak od 6-przestrzenif Warto zauwaZye, ze wielospojnose przestrzeni RiC jest bardziej interesujqca niz ta, z jakq mamy do czynienia w przypadku torusa. Nasza pt(tla, ktora przedstawia obrot 0 kqt 21t, rna kuriozalnq wlasnose, bo jesli obejdziemy jq dwukrotnie (a wit(c wykonamy obrot 41t), to otrzymamy Pt(tlt(, ktora moze bye teraz w sposob ciqgly zredukowana do punktu[12.21• (Nic podobnego nie dzieje sit( na torusie.) Ta ciekawa cecha pt(tli na RiC nosi nazw y torsji topologicznej.
"nie sci<jga" do punktu
Rys. 12.3. Pojt(cie wielosp6jnosci zilustrowane na rys. 12.2 rozr6znia topologit( 3-rozmaitosci R (przestrzen obrot6w) lub 6-rozmaitosci C (przestrzen konfiguracyjna) od "trywialnych" topologii euklidesowych przestrzeni 3- i 6-wymiarowych. Pt(tla na R lub C, reprezentuj'!ca obr6t ci,!gly o 211, nie moze zostac zredukowana do punktu, a zatem R i C s,! wielosp6jne. Iednak kiedy obejdziemy j,! dwukrotnie (co oznacza obr6t 411), w6wczas taka pt(tJa daje sit( sprowadzic do punktu (torsja topologiczna). Zob. rys. 11.3 (Nota bene akurat przedstawiona tam 2-rozmaitosc nie rna takiej wlasnoSci, ale jest u:i:yta tylko ilustracyjnie.)
~ [12.2] Pokaz to, odwolujqc si y do przedstawienia R takiego jak w ewiczeniu [12.17].
213
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
Polozenia n c1'lstek
Przestrzeri konfiguracyjna
Polozenia i pf)dy n cZ'lstek
(al
Przestrzeri fazowa
(bl
Rys. 12.4. (a) Przestrzen konfiguracyjna K, dla ukladu n cz'!stek w pewnyrn obszarze 3-wyrniarowej przestrzeni, rna 3n wyrniar6w, a kaidy punkt K reprezentuje poloienia wszystkich n cz'!stek. (b) Przestrzen fazowa P rna 6n wymiarow, a kaidy punkt P przedstawia poloienia i pydy wszystkich cz,!stek. (Nota bene pyd = prydkosc razy rnasa).
Na podstawie podanego rozumowania wnioskujemy, ze z punktu widzenia fizyki interesujqce jest badanie przestrzeni takich jak 6-rozmaitose C, ktore charakteryzujq sil( nie tylko wil(kszq liczbq wymiarow niz zwykla czasoprzestrzen, ale ktorych topologia moze bye nietrywialna. Ponadto liczba takich wymiarow przestrzeni, waznych dla fizyki, moze bye ogromna. Przestrzenie 0 bardzo wielkiej liczbie wymiarow mogq wystl(powae w fizyce jako przestrzenie konfiguracyjne, a takZe jako tzw. przestrzenie !azowe, dla ukladow zawierajqcych wielkie liczby indywidualnych czqstek. Przestrzen konfiguracyjna gazu, K, ktorego kai:da czqstkajest opisywana jako pojedynczy punkt w przestrzeni 3-wymiarowej, rna wymiar 3N, gdzie N jest liczbq czqstek tego gazu. Kazdy punkt przestrzeni K reprezentuje pewnq konfiguracjl( wszystkich czqstek gazu, w ktorej polozenie kazdej jest scisle okreslone (rys. 12.4a). W przypadku przestrzeni fazowej tego gazu, P, interesujemy sil( rowniei: pfdem kazdej z cZqstek (pl(d jest iloczynem prl(dkosci i masy cZqstki), a jest on wielkosciq wektorowq (trzy skladowe dla kazdej cZqstki), wobec czego catkowity wymiar przestrzeni fazowej wynosi 6N. W ten sposob kazdy punkt przestrzeni fazowej reprezentuje nie tylko polozenia wszystkich cZqstek gazu, ale takZe wszystkie ruchy poszczegolnych czqstek (rys. 12.4b). Naparstek powietrza zawiera okolo 10 19 cZqstek3, z czego wynika, ze P musi miee okolo 60 000 000 000 000 000 000 wymiarow! Przestrzenie fazowe Sq szczegolnie ui:yteczne przy badaniu zachowania sil( klasycznych fizycznych ukladow zawierajqcych wiele cZqstek, a wil(c przestrzenie 0 tak wielkiej liczbie wymiarow majq istotne znaczenie fizyczne.
12.2 Rozmaitosci i faty wsp6frzQdnosciowe
214
Zajmiemy sil( teraz matematycznym przedstawieniem n-rozmaitosci. N-rozmaitose M mozna skonstruowac w podobny sposob, w jaki w rozdz. 8 i 10 (zob. rozdz. 10.2) konstruowalismy powierzchnil( S z pewnej liczby lat z okreslonym ukladem wspolrZl(dnych. Teraz potrzebujemy wil(kszej ilosci wspotrzl(dnych na kazdej z tat, a nie
Rozmaitosci i laty wsp6lrz~dnosciowe
12.2
po prostu pary liczb (x,y) czy (X, Y). W istocie potrzebujemy n wspotrzt(dnych dla kazdej taty, gdzie n jest ustalon'! liczb,! - wymiarowosci,! M - i moze przyjmowac dowolne dodatnie wartosci catkowite. Z tego powodu nie bt(dziemy oznaczae kazdej wspotrzt(dnej osobn,! liter,!, lecz rozrozniae wspotrzt(dne
postuguj,!c sit( gornym indeksem liczbowym. Zeby unikn'!e nieporozumien: te liczby nie oznaczaj'! roznych pott(g jakiejs liczby x, ale niezalei:ne liczby rzeczywiste. Czytelnik moze dziwie sit(, ze celowo wywotujt( zamieszanie, uZywaj,!c indeksow gornych, a nie indeksow dolnych (np. xl' x 2' x 3' ••• , x n ), bo jak na przyktad odroznie wspotrzt(dn,!x3 od trzeciej pott(gi liczby x? I trudno odmowie mu racji. Muszt( przyznae, ze mnie samemu ta notacja nie tylko sprawia klopot, ale czasami naprawdt( irytuje. Z pewnych historycznych powodow przyjt(to standardowe konwencje zapisu w klasycznej analizie tensorowej (zajmiemy sit( ni,! bardziej szczegotowo w dalszej czt(sci rozdzialu). Te konwencje wprowadzaj'! scisle reguly stosowania gornych i dolnych indeksow i zgodny z nimi sposob oznaczania samych wspolrzt(dnych wymaga w tym miejscu uZycia gornych wskaznikow. (Te reguly w praktyce dziataj,! bardzo dobrze, ale szkoda, iz sposob oznaczania wspotrzt(dnych nie zostal ustalony winny sposob. Obawiam sit(, ze nie mamy wyboru i musimy pogodziC sit( z tym.) Jak mozemy wyobrazie sobie rozmaitose M? Przyjmijmy, ze powstaje ona w wyniku "sklejenia" pewnej liczby tat wspolrzt(dnosciowych, przy czym kazda lata stanowi obszar otwarty w przestrzeni ]Rn. Przez ]Rn rozumiemy "przestrzen wspolrzt(dnych", ktorej punktami s,! n-ki liczb rzeczywistych (xl, x 2 , x 3 , ... , r), a pamit(tamy z rozdziatu 6.1, ze ]R oznacza cialo liczb rzeczywistych. W naszej procedurze "sklejania" istniej'!fttnkcje przejscia, ktore wyrazaj'! wspolrzt(dne jednej laty przez wspolrzt(dne innej, wszt(dzie tam, gdzie w rozmaitosci M taty naktadaj,! sit( na siebie. Funkcje przejscia musz'! spetniae pewne warunki, aby zapewnie niesprzecznose catej procedury, ktor'! ilustruje rysunek 12.5a. Musimy przy tym uwazae, zeby w wyniku tej procedury otrzymae standardowy typ rozmaitosci\ jakim jest przestrzert Hausdorffa. (Rozmaitosci, ktore nie S,! rozmaitosciami Hausdorffa, mog,! "rozgatt(ziae" sit( w sposob zilustrowany na rys. 12.5b; zob. rowniez rys. 8.2c). Definiuj,!C'! wtasnosci,! przestrzeni Hausdorffa jest ta, ze dla kazdych dwu roznych punktow tej przestrzeni istniej,! zbiory otwarte, z ktorych kaZdy zawiera po jednym z tych punktow, i ktore sit( nie przecinaj,! (rys. 12.5c). Jest waZne, zebysmy nie mysleli 0 rozmaitosci M w taki sposob, ze ona "wie", gdzie znajduj,! sit( poszczegolne laty alba jakie S,! konkretne wspotrzt(dne w danym punkcie. NaieZy raczej wyobraZae sobie, ze M zostala skonstruowana przez zlozenie razem pewnej liczby tat wspolrzt(dnosciowych. Nastt(pnie zdecydowalismy sit( "zapomniee" 0 tym, jak te laty byty skladane. Rozmaitose jest samodzieln,! struktuq matematyczn,!, a wspolrzt(dne S,! elementami pomocniczymi, ktore mog,! bye
215
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
Przypadek niehausdorffowski
~
Warunek Hausdorffa
Konieczny warunek niesprzecznosci przy naloieniu potrojnym (a)
(b)
(c)
Rys. 12.5. (a) Funkcje przejscia, ktore transformujl! mi«dzy sobl! wspolrz«dne nakladajl!cych si« lat, muszl! spelniae warunek niesprzecznosci na kazdym nalozeniu potrojnym. (b) Nakladajl!ce si« obszary (zbiory otwarte) lat muszl! bye odpowiednie, w przeciwnym wypadku moze wystl!pie "rozgal«zienie", charakterystyczne dla przestrzeni, ktore nie sl! przestrzeniami Hausdorffa. (c) Przestrzen Hausdorffa rna t« wlasnose, ze kaide dwa rozne jej punkty majl! otoczenia, kt6re si« nie nakladajl!. W przypadku (b), aby "sklejona" cz«se byta zbiorem otwartym, jej "kraw«dz", gdzie pojawia si« "rozgal«zienie", musi pozostae oddzielona i w tym miejscu warunek Hausdorffa przestaje bye spelniony.
w kazdej chwili wprowadzone, jesli uznamy to za potrzebne. lednak na tym etapie nie jest nam potrzebna scisla matematyczna definicja rozmaitosci (zresztq istnieje kilka alternatywnych definicji) i omawianie jej odciqgnyloby naszq uwagy od gl6wnego przedmiotu rozwazan 5•
12.3 Skalary, wektory i kowektory
216
lak pamiytamy, w rozdz. 10.2 wprowadzono pojycie gladkiej funkcji <1>,okreslonej na M (czasami nazywanej polem skalamym na M), gdzie <1> jest zdefiniowana na kazdej ze skoordynowanych lat jako funkcja gladka n wsp6lrzydnych tej laty. Tutaj pojycie "gladka" bydzie rozumiane jako "gladka, klasy C"" (zob. rozdz. 6.3), w ten spos6b bowiem otrzymujemy najwygodniejszq teoriy. Na kazdym nalozeniu siy dw6ch lat wsp6lrzydne kazdej z lat Sq gladkimi funkcjami wsp6lrzydnych drugiej laty, gladkosc <1> wyrazonej we wsp6lrzydnych jednej z lat zapewnia wiyc gladkosc tej funkcji we wsp6lrzydnych drugiej. A zatem lokalna (na lacie) definicja gladkosci skalarnej funkcji <1> rozciqga siy na calq rozmaitosc M, i mozemy m6wic po prostu 0 gladkosci <1> na M. Nastypnie zdefiniujemy pojycie pola wektorowego (na M, zwiqzanego z geometrycznq interpretacjq rodziny "strzalek" na M (rys. 10.5), gdzie (dziala na dowolne (gladkie) pole skalarne <1> jak operator r6zniczkowy, w wyniku czego powstaje inne pole skalarne (<1». W tej interpretacji (<1» oznacza "stopien wzrostu"
Skalary, wektory i kowektory
12.3
pola (/J w kierunku wskazanym przez strzalki, ktore reprezentuj,! ,tak, jak to ilustruje 2-powierzchnia w rozdz. 10.3. JednakZe " byd,!c operatorem rozniczkowym, spelnia pewne charakterystyczne relacje algebraiczne (w zasadzie te, ktore przedstawilismyw rozdz. 6.5, a mianowicie d(f+g) = df+ dg, d(fg) =fdg+g df, da =0, gdy a jest stal,!): ,((/J +
P) =
,((/J)
+ ,(P),
,«(/JP) = (/J,(P) + P,«(/J) , ,(k) =
°
gdy k jest stal'!.
Istnieje tez twierdzenie, ktore mowi, ze te algebraiczne wlasnosci wystarczaj,! do scharakteryzowania ,jako pola wektoroweg0 6• Tych czysto algebraicznych srodkow mozemy uZyc do zdefiniowania i-fonny, albo, co oznacza to sarno, pola kowektorowego (wkrotce przedstawimy jego geometryczny sens). Pole kowektorowe a bydziemy traktowali jako odwzorowanie pol wektorowych na pola skalarne, dzialanie a na ,zapiszemy w postaci a • , (iloczyn skalarnya i " zob. rozdz. 10.4), gdzie dla dowolnych pol wektorowych, i 1/ oraz skalarnego pola (/J mamy wlasnosc liniowosci:
a • (, + 1/) = a • , + a • 1/, a· «(/J,) = (/J(a. (y. Relacje te definiuj,! kowektory jako obiekty dualne wobec wektorow (co oznaczono przedrostkiem "ko"). Zwi¥ki miydzy wektorami a kowektorami sit symetryczne, zatem mamy nastypuj,!ce wyrazenia: (a + P)
• , = a • , + P• "
«(/Ja) •
,=
(/J( a
• ,),
ktore definiuj,! sumy dwu kowektorow oraz iloczynu kowektora ze skalarem. Konstruuj,!c przestrzen dualn,! wzglydem przestrzeni kowektorow, otrzymujemy wyjsciow'! przestrzen wektorow,! i odwrotnie (innymi slowy, "kowektor" moze byc wektorem). Przedstawione relacje mozemy traktowac jako odnosz'!ce siy do calych pol, ale rowniez tylko do wielkosci zdefiniowanych w pojedynczym punkcie M. Wektory wziyte w jakims ustalonym punkcie 0 tworz,!przestrzen wektorowq. (Jak to opisalismy w rozdz. 11.1, w przestrzeni wektorowej dodajemy do siebie elementy ,i 1/, tworz'!c ich sumy , + 1/, przy czym , + 1/ = 1/ + " oraz mozemy mnoZyc je przez skalary - w tym przypadku liczby rzeczywiste fig - gdzie (f + g), = g + g" f(, + 1/) = =g + f1/,J(g(y = (fg)" 1, = (y. Jestesmy w stanie przyj,!c, ze ta (plaska) siec wektorowa stanowi struktury rozmaitosci w bezposrednim otoczeniu stycznq do M w punkcie o. To mozna intuicyjnie uwazac za przestrzen graniczn,!, ktor,! otrzymujemy, gdy badamy coraz mniejsze otoczenia punktu 0, ale w coraz wiykszym powiykszeniu. W ten sposob bezposrednie otoczenie punktu 0 w M rozci,!ga siy nie-
217
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
Rys.12.6. To' przestrzen styczna do n-rozmaitosci M w punkcie 0, moze bye intuicyjnie wyobrazona jako przestrzen graniczna, na kt6rej coraz mniejsze otoczenia punktu 0 slj przedstawiane w coraz wi,
skonczenie. W granicy jakiekolwiek "zakrzywienie" M zostaje "wyprasowane na plasko", co daje w efekcie plaskq struktur<; To' Przestrzen wektorowa To rna (skonczony) wymiar n, poniewaz mozemy znaleze n element6w bazy, a mianowicie pochodne a/&:I, ... , a/ax' w punkcie 0, skierowane wzdluz osi ukladu wspolrz<;dnych, za pomoc,! ktorych dowolny element To moze bye jednoznacznie przedstawiony (zob. rowniez rozdz. 13.5). W sposob opisany poprzednio mozemy utworzye przestrzen wektorow'! dualn,! wobec To (przestrzen kowektorow w punkcie 0) i przestrzen t<; nazwiemy pnestneniq To' kostycznq do M w punkcie o. Szczegolnym przypadkiem pola kowektorowego jest gradient (albo pochodna zewn<;trzna) d q, pola skalarnego q,. (Z t'! notacj,! zapoznalismy si<; juz w przypadku 2-wyrniarowym; zob. rozdz. 10.3.) Kowektor dq, (ze skladowymi aq,/&:\ ... , aq,/ax') rna wlasnose dq,., = ,(q,)
(zob. rowniez rozdz. lOAt 23 ]. Aczkolwiek nie wszystkie kowektory maj,! postae d q" dla pewnego q" to wszystkie mog,! bye w ten sposob przedstawione w dowolnie wybranym punkcie. Wkrotce przekonamy si<;, dlaczego ta wlasnose nie rozci,!ga si<; na pola kowektorowe. N a czym polega geometryczna roznica mi<;dzy kowektorem a wektorem? W kazdym punkcie M (niezerowy) kowektor a okresla (n -l)-\1Ymiarmry element plaski. Kierunki lez'!ce na tym (n -l)-wyrniarowyrn elemencie plaskim S,! okreslone przez wektory " dla ktorych a • 0; zob. rys. 12.7. W szczegolnym przypadku a = dq,te (n -l)-wymiarowe elementy plaskie S,! styczne do rodziny (n -l)-wymiarowych powierzchni[IZ.4] 0 staiej wartosci q, (stanowi,! one uogolnion,! wersj<; "poziomic" przedstawionych na rys. 1O.8a). Jednak w przypadku ogolnym (n - l)-wymiarowe elementy plaskie, zdefiniowane przez kowektor a, mog'! bye skr<;cone w sposob, ktory uniemozliwia stycznose z jak,!s rodzin,! takich (n - 1)-wyrniarowych powierzchni (zob. rys. 12.8r.
,=
.a [12.3] Pokaz, ze "dCP" zdefiniowane w ten spos6b rzeczywiscie spelnia podane warunki 218
"liniowosci" kowektor6w. ~ [12.4] Dlaczego?
Skalary, wektory i kowektory
12.3
a.(=O
~ Ko."~"
'I :':'
a
a • 'I # 0 ....... : , .
...
deflmuJe (n - 1)-wymiarowy element pIa ski
Rys. 12.7. (Niezerowy) kowektor aw jakims punkcie M wyznacza w tym miejscu pewien (n -l)-wymiarowy element plaski. Wektory ( spelniaj,!ce warunek a • (= 0 okreslaj,! kierunki.
M n·rozmaitosc
Rys.12.8. (n -l)-wymiarowe elementy plaskie, zdefiniowane przez kowektor a, w ogolnyrn przypadku byd,! ulegaly skryceniu w taki sposob, ze nie mozna mowic 0 stycznosci z jak,!s rodzin,! (n - l)-wymiarowych powierzchni, aczkolwiek w szczegolnyrn przypadku a = d (/1 (gdzie (/1 jest pol em skalarnym) byd,! styczne do powierzchni (/1= const. (otrzymujemy uogolnienie "poziomic" z rys. 10.8).
W przypadku kaidej laty wsp6lrzydnosciowej, ze wsp6lrzydnymixl, ... , X', wektor (pol a) ,mozna przedstawic za pomoc,! zbioru jego skladowych (;-1, ;-2, ;-3, ... , ;-n), kt6re stanowiq zbi6r wspolczynnikow jawnego przedstawienia , przez operatory rozniczkowe f:l
,=s
a +sf:Z - aZ + .. , +sf:n - a ax ax ax n
-I
na tej lacie (zob. rozdz. lOA). Dla wektora w danym punkcie;-\ ... ,;-n stanowi,! po pro stu zbi6r n liczb rzeczywistych; dla pola wektorowego na lacie wspolrzydnosciowej bydziemy mieli n (gladkich) funkcji wspolrzydnychx\ ... ,xn (czytelnik powinien pamiytac, ze ,,;-n" nie oznacza n-tej potygi liczby Przypomnijmy tei:, ze kazdy z operatorow "a/ax'" oznacza "wei szybkosc zmiany w kierunku r-tej lokalnej osi wsp61rzydnych". W takim razie wyraienie na ,przedstawia ten wektor (kt6ry, jako operator, oznacza "wez szybkosc zmiany w kierunku wskazanym przez ,") jako liniow,! kombinacjy wektorow skierowanych wzdluz kazdej osi ukladu wspolrZydnych (zob. rys. 12.9a). W podobny sposob we wsp6lrzydnych laty przedstawiamy kowektor (pola) a przez zbi6r jego skladowych (ai' a z' ... , an) w rozwiniyciu
n
a = a 1dx 1 + a2d~ + ... + andx n , ktore wyraza a przez kombinacjy liniow,! podstawowych 1-form (kowektor6w)8 dx\ dx 2, dx\ ... , dx n • Z geometrycznego punktu widzenia kazde dx r odnosi siy do
219
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
(a)
(b)
Rys. 12.9. Skladowe na lacie wsp6lrzt(dnych (xl, ... , x") (tutaj n = 3). (a) Dla wektora (pola) (s~ to wsp6lczynniki (;\ ;2, ;3, ... , ;n) Wwyrazeniu; = ;'8/8x' + ;28/8x2 + ... + ;n8/8xn , gdzie ,,8/8x'" oznacza "szybkosc zmiany w kierunku r-tej lokalnej osi ukladu wsp61rzt(dnych" (zob. tahe rys. 10.9). (b) Dla kowektora (pola) a s~ to wsp6lczynniki (al' a, • ... , an) w wyra:i:eniu a = aldx l + a 2dx' + ... + andx", gdzie dx' oznacza "r6zniczkt(x"', i odnosz~ sit( do (n - l)-wymiarowego elementu plaskie go rozpit(tego przez wszystkie (lokalne) osie ukladu wsp6lrzt(dnych z wyj~tkiem osi r-tej.
(n - l)-wymiarowego elementu plaskiego rozpiytego przez wszystkie osie ukladu wspolrzydnych, z wyj'!tkiem osi xr (zob. rys. 12.10)[12.5]. W ten sposob iloczyn skalarny a • ,jest dany wyrazeniem[12.6J
a·, = aJI + ai2 + a3.;3 + ... + aJn. 12.4 lIoczyny grassmannowskie Rozwaimy teraz przedstawienie elementow plaskich 0 roinych wymiarach, posluguj,!c siy ide'! iloczynu grassmannowskiego, zdefiniowanego w rozdz. 11.6. 2-wymiarowy element plaski w jakims punkcie rozmaitosci M (albo pole 2-wymiarowych elementow plaskich nad M) moie bye reprezentowany przez wielkose , 1\
'I,
gdzie ,i 'I S,! dwoma niezaleinymi wektorami (lub polami wektorowymi) rozpinaj,!cymi 2-wymiarowy element plaski (zob. rys. 11.6a i 12.lOa). Wielkose , 1\ 'I jest czasem nazywana (prostym) dwuwektorem. Jego skladowe, wyrazone przez skladowe ,i 'I, dane s,! wyrazeniem ;[rrJ s]= ~ (;r1'( _ ;srJ r),
a
220
[12.5] Pokaz, na przyklad, ze dx2 rna skladowe (0, 1, 0, ... , 0) i przedstawia elernenty hiperplaszczyzny stycznej do x 2 = constant. ~ [12.6] Pokaz, stosujqC regul y lancuchowq (zob. rozdz. 10.3), ze to wyrazenie dla jest zgodne z wyrazeniern d l/J. , = ,(l/J), dla szczegolnego przypadku a = d l/J.
a.,
lIoczyny grassmannowskie
12.4
Rys. 12.10. (a) 2-wymiarowy element plaski w punkcie rozmaitosci M, rozpictty przez niezale:i:ne wektory (, '1, opisany jest dwuwektorem ( /\ '1. (b) Podobnie 3-wymiarowy element plaski rozpictty przez wektory (, '1, (przedstawiamy za pomocq tr6jwektora ( /\ '1/\ (. (c) Dualnie, (n - 2)-wymiarowy element plaski, kt6ry jest przecictciem dwu (n - 1)-wymiarowych element6w plaskich zadanych przez 1-formy a i p, opisuje iloczyn a /\ p. (d) (n - 3)-wymiarowy element plaski przecictcia trzech (n - 1)-wymiarowych element6w plaskich reprezentowanych przez a, p, 7 opisuje a /\ p /\ 7.
jak to omowilismy pod koniec poprzedniego rozdzialu. Suma '" prostych dwuwektorow , /\ 'I jest tez dwuwektorem, a jego skladowe 1jJrs maj,! charakterystyczn'! wlasnose antysymetrycznoSci we wskainikach r i s, a wiyc 1jJrs = _1jJsr. Podobnie, 3-wymiarowy element plaski (albo pole takich elementow) mozna przedstawie za pomocq prostego tr6jwektora '/\'1/\(,
gdzie" 'I i (rozpinaj,! 3-plaszczyzny (rys. 11.6b i 12.lOb) 0 skladowych
S['llsslj =
i (s'r/'sl
+ sSr/s' + Slll'Ss - S'lllSS - SlllsS' - sSll'sl
Dowolny trojwektor l" rna calkowicie antysymetryczne skladowe ,['SI i jest zawsze sum'! takich prostych trojwektorow. Procedury ty mozemy dalej rozwijae i w podobny sposob zdefiniowae 4-wymiarowe elementy plaskie, reprezentowane przez proste 4-wektory itd. Skladowe dowolnego n-wektora S,! calkowicie antysymetryczne. Taki n-wektor moze bye zawsze przedstawiony jako sum a prostych n-wektorow. W tym wszystkim jest jeden punkt niepokoj,!cy. Wydaje siy, ze mamy teraz dwa rozne sposoby przedstawienia (n -l)-wymiarowych elementow plaskich: alba jako I-formy (kowektor), alba jako wielkose (n -1)-wektorow,!, ktor,! uzyskujemy przez "klinowanie" n - 1 wektorow rozpinaj,!cych (n - l)-wymiarowe elementy plaskie. W rzeczywistosci miydzy tymi dwoma sposobami opisu jest dose subtelna geometryczna roznica. Polega ona na tym, ze I-formy mozemy traktowae jako pewien rodzaj "gystosci", podczas gdy (n - l)-wektor tak traktowany bye nie moze. Aby to wyjasnie, powinnismy najpierw zapoznae siy z ogolnym pojyciem p-formy.
221
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
W zasadzie pojdziemy t'! sam,! drog,! co poprzednio, ale za punkt wyjscia przyjmiemy nie wektory, lecz 1-formy. Maj,!c p (niezaleznych) I-form a, p, ... ,0, mozemy utworzyc ich iloczyn klinowy a /\ P /\
... /\ 0,
o skladowych, na lacie wspolrzydnosciowej, zadanych przez alrfis·· ·QU]
(stosujemy tutaj zapis przedstawiony w rozdz. 11.6, z uZyciem nawiasow kwadratowych). Wielkosc taka definiuje (n - p)-wymiarowy element plaski (albo pole takich elementow), ktory stanowi przeciycie roznych (n - 1)-wymiarowych elementow plaskich zadanych przez a, p, ... , (rys. 12.10c, d). Wielkosc tak,! nazywamy p-formq prostq. Tak jak w przypadku p-wektorow, dowolnej p-formy nie sposob wyrazic w postaci iloczynu klinowego kowektorow (z wyj'!tkiem szczegolnych przypadkow p = 0, 1, n - 1, n), ale jako sumy wyrazow, ktore mog,! bye przedstawione jako iloczyny klinowe. Zapisana w skladowych, ogolna p-forma ffJ wyraza siy (na dowolnej lacie skoordynowanej) poprzez zbior wielkosci
°
q>rs ...11
(kazdy z indeksow r, s, ... , u przebiega wartosci od 1 do n), jest antysymetryczna we wszystkich indeksach r, s, ... , u, a tych indeksow jest p. Tak jak poprzednio, antysymetria oznacza, ze przestawienie dowolnej pary indeksow zmienia znak calej wielkosci. Uiywaj,!c zapisu za pomoq nawiasow kwadratowych (rozdz. 11.6), ty wlasnosc antysymetrii mozemy zapisae w postaci rownania ll27 \
Warto tei: zauwazyc, ze (p + q)-forma ffJ /\ p-formy ffJ z q-form,! x, rna skladowe
x,
ktora jest iloczynem klinowym
antysymetryzacja dotyczy wszystkich indeksow (gdzie Xjk ...m Set sktadowymi XYIZ.8]. Podobny zapis stosuje siy do iloczynu klinowego p-wektora z q-wektorem.
12.5 Cafki form Powrocmy teraz do wspomnianego aspektu "gystosci" p- form. Przypomnijmy wiyc, ze w zwyklej fizyce g~sto§c jakiegos obiektu oznacza masy ciala przypadaj,!c,! na jednostky objytosci. Gystosc jest wlasciwosci,! materialu, z jakiego zbudowane jest ~
222
[12.7] Wyjasnij dlaczego.
~ [12.8] Pokaz, ze jesli ffJ = a /\ ... /\ '1 i X =). /\ ... /\
V,
to ffJ /\ X = a /\ ... /\ '1/\ A/\ ... /\ v.
Calki form
12.5
dane cialo fizyczne. Pojt(ciem gt(stosci poslugujemy sit( wtedy, gdy chcemy obliczyc calkowit'! mast( ciala, ktorego objt(tosc i sklad znamy. Matematycznie oznacza to wycalkowanie gt(stosci po calej objt(tosci zajmowanej przez cialo. Istotn,! wlasnosc gt(stosci stanowi fakt, ze jest to wielkosc, ktor'! stawiamy pod znakiem calki i mozemy wycalkowac po odpowiednim obszarze. Kiedy jednak mamy calkowac po przestrzeniach 0 roznych wymiarach, musimy zachowac ostroznosc. (Na przyklad "masa na jednostkt( powierzchni" jest czyms innym niz "masa na jednostkt( objt(tosci"). J ak zobaczymy dalej, p-forma jest wielkosci,! odpowiedni,! do calkowania po p-wymiarowej przestrzeni. Zacznijmy od I-formy; to przypadek najprostszy. Interesuje nas calkowanie jakiejs wielkosci po rozmaitosci l-wymiarowej, to znaczy wzdluz jakiejs krzywej y. Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 6.6, ze zwykle (l-wymiarowe) calki mozemy zapisac w nastt(puj,!CY sposob:
ff(x) dx, gdzie x oznacza pewn'! wielkosc rzeczywist'!, ktor'! potraktujemy jako parametr wzdtuz krzywej y. Powinnismy myslec 0 wielkosci ,f(x )dx" jako 0 I-formie. Rzeczywiscie, notacja dla I-form zostala specjalnie tak skonstruowana, zeby byta zgodna z notacj,! dla zwyklych calek. Jest cech,! dwudziestowiecznej analizy - znanej pod nazw,! rachunku r6iniczkowego i calkowego fonn zewnftrznych, wprowadzonej przez wybitnego matematyka francuskiego Elie Cartana (1869-1951), z ktor'! spotkamy sit( znowu w rozdzialach 13, 14 i 17 - ze pit(knie odpowiada zapisowi "dx", wprowadzonemu jeszcze w XVII wieku przez Gottfrieda Wilhelma Leibniza (1646-1716). W strukturze Cartana wielkosci "dx" nie traktujemy jako "wielkosci infinitezymalnej", lecz jako sposob wprowadzenia swego rodzaju gt(stosci (l-formy), ktor'! mozemy wycalkowac po jakiejs krzywej. Uroda tego zapisu pol ega na tym, ze automatycznie uwzglt(dnia wszelkie zmiany zmiennej catkowania, jakie chcielibysmy wprowadzic. Jesli zamienimy parametr x najakis inny parametr, powiedzmy,X, to I-forma a = f(x)dx nie zmieni sit( - w tym sensie, ze bt(dzie taka sarna - pomimo ze zmienilo sit( jawne wyrazenie funkcyjne w okreslonej zmiennej (x czy X)[12.9 J• Mozemy rowniez uwazac, ze I-forma a jest zdefiniowana w pewnej przestrzeni otaczaj,!cej, 0 wyzszym wyrniarze, w ktorej znajduje sit( krzywa calkowania. Wowczas parametry x lub X bt(d,! jedn,! ze wspolrzt(dnych w ukladzie laty, ktor'! chcemy zmienic, przechodz'!c na inn,! latt(. Wszystko jest automatycznie pod kontrol'!. Catkt( tt( mozemy zapisac jako
fa
fa
alba
.l a,
gdzie R oznacza pewn'! czt(sc krzywej y, po ktorej calkujemy.
~ [12.9] Pokaz to explicite, wyjasniaj,!c, jak naleiy traktowac granice catki okreslonej
J: a.
223
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
A co z calkami po obszarach 0 wyzszych wymiarach? Dla obszaru 2-wymiarowego pod znakiem calki potrzebujemy 2-formy9. Wielkosciq odpowiedniq bydzie f(x, y)dx /\ dy (lub sum a takich wielkosci) i mozemy napisae
(albo sumy takich wyrazen), gdzie R jest teraz 2-wymiarowym obszarem, po ktorym wykonujemy calkowanie, lezqcym na jakiejs 2-wymiarowej powierzchni. I znowu parametry xi y, bydqce lokalnymi wspolrzydnymi na powierzchni, mogq bye za-
mienione na dowolnq innq pary zmiennych, co ten zapis uwzglydnia automatycznie. Stosuje siy to znakomicie do 2-form naleZqcych do jakiejs przestrzeni otaczajqcej 0 wyzszym wymiarze, w ktorej leZy 2-wymiarowy obszar R. Wszystko dziala tak sarno w przypadku 3-form calkowanych po obszarach 3-wymiarowych, 4-form calkowanych w obszarach 4-wymiarowych itd. Iloczyn klinowy w zapisie rozniczkowym Cartana (razem z pochodnymi form zewnytrznych, rozdz. 12.6) automatycznie uwzglydnia dowolnq zmiany wybranych wspolrzydnych. (W ten sposob pozbywamy siy jawnego przywolywania okropnych wielkosci znanych pod naZWq "jakobianow", ktorych w przeciwnym wypadku nie daloby siy uniknqe.)llZ.lOJ Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 6.6, ze zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku r6iniczkowego i calkowego calkowanie 1-wymiarowe jest odwrotnosciq rozniczkowania, to znaczy, ze
fdf(X)dx
=
f(b)- f(a).
adx Czy istnieje wyzej wymiarowa analogi a tej formuly? W istocie istnieje, znana zresztq pod roznymi nazwiskami (Ostrogradskiego, Gaussa, Greena, Kelvina, Stokesa i in.), ale podstawowy wynik, bydqcy czysciq rachunku rozniczkowego form zewnytrznych Cartana, bydziemy tutaj nazywali "twierdzeniem podstawowym rachunku rozniczkowego i calkowego form zewnytrznych"lO. Poznanie go wymaga zaznajomienia siy z wprowadzonym przez Cartana ogolnym pojyciem pochodnej zewnffTZnej, ktorym siy teraz zajmiemy.
12.6 Pochodna
zewm~trzna
Sposob zdefiniowania tego waznego pojycia, bez poslugiwania siy konkretnym ukladem wspolrzydnych, pol ega na aksjomatycznej konstrukcji pochodnej zewnytrznej jako jedynego operatora "d", zamieniajqcego p-formy w (p + l)-formy, dla kazdego p = 0, 1, ... , n - 1, 0 wlasnosciach
224
C
e-
x2
2
dx. Wyjasnij, dlaczego G 2 = fIR2 e-(x + y2 ) dxl\dy i obliczjq, przechodzqc do wsp6lrz ydnych biegunowych (r, 0); rozdz. 5.1. W ten spos6b udowodnij, ze G =.In.
i§ [12.10] Niech G =
Pochodna zewn~trzna d( a + P) d(a
1\)1) =
da
=
12.6
da + dP,
1\)1
+ (-IYa
1\
d)l,
d(da) = 0,
gdzie a jest p-formq, a diP rna to sarno znaczenie ("gradient iP") w odniesieniu do O-form (tzn. do skalarow), ktore mialo w naszej wczesniejszej dyskusji (zdefiniowane na mocy relacji diP· iP), gdzie "d" w wyraieniu dx jest rowniez t q samq operacjq). Ostatnie rownanie z podanej listy jest cZysto zapisywane po prostu jako
,= ,(
d2 =O i wyraza kluczowq wlasnosc operatora pochodnej zewnytrznej d. Mozemy siy domyslic, ze powodem, dla ktorego w drugim z przedstawionych rownan pojawia siy czynnik (-1 y, jest fakt, iz wystypujqcy po nim operator "d" "jest postawiony w zlym miejscu", trzeba go bowiem bylo "przestawic" z a, ktore zawierap antysymetrycznych indeksow. Stanie siy to bardziej widoczne, gdy wprowadzimy wyrazenia z jawnym uZyciem indeksow)f12.11 I. Z podanych relacji wynika, ze I-forma a, ktora jest gradientem a = diP, musi spelniac rownanie da = 0[12. 121. Jednak nie wszystkie I-formy spelniajq ten warunek. W istocie, jesli I-forma a spelnia rownanie da = 0, z tego wynika, ze lokalnie (a wiyc w dostatecznie malym obszarze otwartym zawierajqcym dany punkt) rna postac a = diP, dla pewnego iP. Jest to przyklad wainego lematu Poincarego 11,[12.131 , ktory stwierdza, ze jesli p-forma Pspelnia rownanie dfJ = 0, wowczas lokalnie P rna postac P = d)l, gdzie )I jest pewnq (p - 1)-formq. Pojycie pochodnej zewnytrznej stanie siy bardziej zrozumiale, kiedy przedstawimy je z uZyciem indeksow. Rozwaimy pewn'! p-form y a. W ukladzie wspolrZydnych jakiejs laty, 0 wspolrzydnych x\ ... , X', mamy antysymetryczny zbior skladowych a r...1 (= a[r...11 i jest p indeksow r, ... , t; zob. rozdz. 11.6), ktore reprezentujq a. Mozemy teraz napisac
a=
L. a,... dX 1
1\ ... 1\
dt,
gdzie sumowanie (zaznaczone symbolem L) przebiega po wszystkich p indeksach r, ... , t, z ktorych kazdy przyjmuje wartosci od 1 do n. (Niektorzy wolq poslugiwac siy nieco innym wyraieniem, w ktorym unika siy wielokrotnego wystypowania pod sumq identycznych wyrazen, gdyz antysymetryzacja w iloczynie klinowym powoduje, ze kazdy niezerowy wyraz powtarza siy p! razy. J ednak zapis jest duzo wygodniejszy, jesli pozostawimy go w takiej postaci.) Pochodnq p-formy a jest (p + 1)-forma da, ktorej skladowe podaje wzor 8 (da) qr ... 1 =8x[q - a, ...1)'
+ Bdy) = (BB/Bx - aA/By)dxl\dy. [12.12] Dlaczego? l§ [12.13] Korzystajetc z wyniku ewiczenia [12.11], udowodnij lemat Poincarego dla p = 1. .!l) [12.11] Korzystajetc z podanych relacji, pokaz, ze d(Adx ~
225
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
(Ta notacja nie jest zbyt zryczna. Antysyrnetryzacja - ktora stanowi glown'! wlasciwosc tego wyrazenia - rozci,!ga siy na wszystkie p + 1 indeksow, wl,!czaj,!c w to rownieZ indeks przy operatorze pochodnej.)[12.14][12.15] Teraz jestesrny w stanie sforrnulowac podstawowe twierdzenie rachunku roiniczkowego i calkowego form ZeWn?t1Znych. W odniesieniu do p-forrny 'P przyjrnuje ono postac bardzo zgrabnego (i niezwykle uiytecznego) wzoru (zob. rys. 12.11)
R oznacza tutaj (p + l)-wymiarowy zwarty (i zorientowany) obszar, ktorego (zorientowany) p-wymiarowy brzeg (rowniez zwarty) oznaczony jest przez an. Pojawilo siy tutaj wiele slow, ktorych sens nie zostal wyjasniony. Na nasze potrzeby slowo "zwarty" oznacza, intuicyjnie, ze obszar R nie rozci,!ga siy do nieskonczonosci, nie rna "wyciytych dziur" ani "usuniytych kawalkow brzegu". Mowi,!c bardziej precyzyjnie, w naszych rozwaZaniach 12 rnozerny przyj,!c, ze obszarern zwartym R jest taki obszar, w ktoryrn kaZdy nieskonczony ci,!g punktow leZ,!cych na R rnusiskupiac si?w jakirns punkcie naleZ,!cym do R (rys. 12.12a). Punkt skupienia y rna ty wlasnosc, ze kaZdy zbior otwarty w R (zob. rozdz. 7.4), ktory zawiera y, rnusi rowniez zawierac elernenty tego nieskonczonego ci,!gu (a wiyc punkty tego ci,!gu lez,! coraz blizej y). Nieskonczona plaszczyzna euklidesowa nie jest zwarta, ale zwarta jest powierzchnia kuli i zwarty jest torus. Zwarty jest rowniez zbior punktow lez'!cych wewn'! trz alba na okrygu j ednostkowyrn plaszczyzny zespolonej (do-
f:
Rys. 12.11. Podstawowe twierdzenie rachunku
f(x)dx = ((b) - ((a)
an
r6zniczkowego i calkowego form zewnt(trznych
SR dtp = 1m tp. ( a) Przypadek ldasyczny (XVII wiek) S:f(x)dx =feb) - f(a), gdzie tp = f(x) i n jest od-
..... :',,':. (a)
~
226
:.:.,
(b)
cinkiem krzywej y od a do b, sparametryzowanej przez x, tak ze ay sklada sit( z punkt6w koncowych y, x =a (Iiczony ujemnie) oraz x =b (liczony dodatnio). (b) Przypadek og6lny, dlap-formy tp, gdzie n jest zwartym i zorientowanym (p + 1)-wymiarowym obszarem z p-wymiarowym brzegiem an.
[12.14] Pokai bezposrednio, ze wszystkie "aksjomat)l' pochodnej zcwnytrznej Sq w ten spos6b spelnione. f1!!l [12.15] Pokaz, ze ta definicja w okresionym ukladzie wsp61rzydnych daje w wyniku takq samq wartosc da, bez wzgiydu na to, jaki uklad wsp61rzydnych zostal wybrany, podczas gdy transformacja skladowych a r ..! formy jest okresiona przez zqdanie, zeby zmiana ukladu wsp61rZydnych nie zmieniala samej formy. Wskaz6wka: Pokaz, ze ta transformacja jest identyczna z biernq transformacjq skladowych [O]-tensora, jak w rozdz. 13.8. p
Pochodna
(a)
12.6
Rys. 12.12. Zwartose. (a) Zwarta przestrzen n rna wlasnose, ze kazdy nieskonczony ci,!g punkt6w PI' P2, P3' ... w n rnusi skupiae siy w pewnyrn punkcie y nalez'!cym do n, a zatern kaidy otwarty zbi6r Nw n, zawieraj,!CY y, rnusi zawierae nieskonczenie wiele elernent6w tego ci,!gu. (b) Przestrzen niezwarta nie rna takiej wlasnosci.
(b)
· O
-
(a)
zewn~trzna
...-.
•
"
..... ..
rO
..
., .. •
:: .. : ....: ..
~..
~.'"
(b)
Rys. 12.13. (a) Przyklady przestrzeni niezwartych: nieskonczona plaszczyzna Euklidesa, otwarte kolo jednostkowe oraz kolo dornkniyte z usuniytyrn srodkiern. (b) Przyklady przestrzeni zwartych: sfera, torus oraz dornkniyte kolo jednostkowe. (Ci,!gle linie brzegowe nalez'! do zbioru; przerywane linie brzegowe nie nalez'! do zbioru.)
mkniyte kolo jednostkowe); jesli jednak z tego zbioru wyjmiemy sam okr,!g, alba nawet tylko srodek okrygu, wowczas powstaly zbior nie bydzie zwarty. Ilustruje to rysunek 12.13. Przymiotnik "zorientowany" odnosi siy do konsekwentnego przypisania "skrytnosci" kazdemu punktowi R (zob. rys. 12.14). W przypadku O-rozmaitosci, czyli zbioru oddzielnych ("dyskretnych") punktow, sprowadza siy to do przyporz'!dkowania kazdemu z punktow tej rozmaitosci "wartosci dodatniej" (+) lub "ujemnej" (-); rys. 12.14a. Dla 1-rozmaitosci, a wiyc dla krzywej, orientacja oznacza okreslenie "kierunku" wzdluz tej krzywej. Obrazowo mozna to przedstawic, umieszczaj'!c na krzywej "strzalky" wskazuj,!C'! kierunek (rys. 12.14b). Dla 2-roz-
227
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
.+ e-
(a)
(b)
(c)
(d)
Rys.12.14. Skierowanie. (a) (Wieloelernentowa) O-rozrnaitose jest dyskretnyrn zbiorern punkt6w; "skierowanie" oznacza w tym wypadku przyporzl!dkowanie kazdernu z punkt6w wartosci "dodatniej" (+) lub "ujernnej" (-). (b) Dla l-rozrnaitosci, czyli dla krzywej, skierowanie oznacza okreslenie "kierunku" wzdluz krzywej; ten kierunek zaznaczony jest strzalkl! na krzywej. (c) Dla 2-rozrnaitosci skierowanie zaznaczone jest przez rna1etikie luki ze strzalkl!, wskazujl!ce "dodatni" kierunek obrotu wektora stycznego. (d) Dla 3-rozrnaitosci skierowanie ukazuje, kt6ra triad a niezaleznych wektor6w urnieszczonych w danyrn punkcie rna bye uwazana za "prawoskr~tnl!" (por. rys. ILl).
maitosci orientacjt( mozna opisae za pomoq malenkiego okrt(gu lub luku z umieszczonq na nim strzalkq (rys. 12.14c). Strzalka ta wskazuje, jaki obrot wektora stycznego w danym punkcie do powierzchni uwazany jest za kierunek "dodatni". W przypadku 3-rozmaitosci kierunek polega na okresleniu, ktora triada niezaleznych wektorow w danym punkcie rna bye uwazana za "prawoskrt(tnq", a ktora za "lewoskrt(tnq"; zob. rozdz. 11.3 i rys. 11.1. Ilustruje to rysunek 12.14d. Tylko w bardzo wyjqtkowych i rzadkich przypadkach niesprzeczne i konsekwentne okreslenie orientacji nie jest mozliwe. Przykladem takiej sytuacji jest przedstawiona na rys. 12.15 wst{?ga M6biusa. Bneg aR (zwarty i zorientowany) (p + l)-wymiarowego obszaru R sklada sit( z tych wszystkich punktow R, ktore nie lezq w jego wnt(trzu. Jesli R nie jest jakims obszarem patologicznym, to oR jest (zwartym i zorientowanym) obszarem p-wymiarowym, aczkolwiek moze to bye obszar pusty. Natomiast jego brzeg, aa R, jest pusty. Dlatego & = 0, co odpowiada naszej wczesniejszej relacji d 2 = O. Brzegiem domknit(tego kola jednostkowego na plaszczyznie zespolonej jest okrqg jednostkowy; brzeg jednostkowej sfery jest pusty; brzeg powierzchni bocznej
228
Rys. 12.15. Wst~ga Mbbiusa: przyklad przestrzeni nieorientowalnej.
Element objetosciowy; konwencja sumacyjna
12.7
o
(b)
(a)
o
0,
.(d)
Rys. 12.16. Brzeg aR "normainego" zwartego, skierowanego, (p + l)-wymiarowego obszaru R jest (zwartym i skierowanym) p-wymiarowym obszarem (mo:i:e bye pusty), zawierajqcytn te punkty R, kt6re nie ie:i:q w (p + l)-wymiarowym wnytrzu obszaru R. (a) Brzegiem domkniytego kola jednostkowego (okresionego reiacjq Izl ~ 1 na plaszczyznie zespoionej iC) jest okrqg jednostkowy. (b) Brzeg jednostkowej sfery jest pusty (zbi6r pusty oznaczamy symboiem 0, zob. rozdz. 3.4). (c) Brzeg powierzchni wa1ca 0 skoilczonej dlugosci sklada siy z dw6ch okryg6w, na ka:i:dym z jego konc6w, 0 przeciwnej orientacji. (d) Brzeg skonczonego odcinka krzywej sklada siy z dw6ch punkt6w na jego koilcu, jeden z nich jest dodatni, a drugi ujemny.
wa1ca (2-powierzchnia cylindryczna) sklada siC( z dwoch okrC(gow na kazdym z jego koncow, ale te okrC(gi majq orientacjC( przeciwnq; brzeg skonczonego odcinka krzywej sklada siC( z dwoch punktow koncowych, jednego uwazanego za dodatni, a drugiego za ujemny. Przedstawia to rysunek 12.1613. Oryginalna 1-wymiarowa wersja podstawowego twierdzenia rachunku rozniczkowego i calkowego, taka jak wlasnie przedstawiona, jest specjalnym przypadkiem podstawowego twierdzenia rachunku rozniczkowego i calkowego form zewnC(trznych, w ktorym obszar R jest wlasnie takim odcinkiem krzywej.
12.7 Element
obj~tosciowy;
konwencja sumacyjna
Powrocmy teraz do roznicy - i zwiqzku - miC(dzy p-formq a (n - p )-wektorem w n-rozmaitosci M. Aby ten zwiqzek zrozumiec, najlepiej rozwaZyc najpierw przypadek skrajny, gdzie p = n, a wiC(c zbadac relacjC( miC(dzy n-formq a polem skalarnym na M. W przypadku n-formy 8 zwiqzanym z niq elementem n-powierzchni w punkcie 0 rozmaitosci M jest wlasnie cal a n-plaszczyzna styczna w punkcie o. W tym przypadku miarq, ktorej dostarcza nam 8, jest po pro stu n-gC(stosc, ktora nie rna jakichkolwiek wlasnosci kierunkowych. Tego rodzaju n-gC(stose (0 ktorej zakladamy, ze jest wszC(dzie rozna od zera) nazywana jest czasami elementem obJf?tosciowym n-rozmaitosci M. Element objC(tosciowy moze bye uZyty do zamiany (n - p )-wektorow w p-formy i na odwrot. (Czasami element objC(tosciowy jest przyporzqdkowany do danej rozmaitosci jako czC(se przypisanej jej "struktury"; w takim przypadku nie rna istotnej roznicy pomiC(dzy p-formq a (n -p)-wektorem.)
229
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
J ak mozemy posluiye sit( elementem objt(tosciowym do zamiany (n - p )-wektora w p-formt(? Jesli uiywamy skIadowych, to na kazdej lacie wspolrzt(dnosciowej n-forma moze bye przedstawiona za pomoq wielkosci z n antysymetrycznymi dolnymi indeksami: f r.. w·
(Niektorzy woleliby w tym miejscu dodae czynnik (n!tl; co to jest ,,!" zob. rozdz. 5.3. Nie bt(dt( sit( jednak przejmowal roznymi pojawiaj,!cymi sit( tutaj "silniami", gdyz to tylko rozprasza nas przy sledzeniu zasadniczych idei.) Za pomoc,! tych f r...w mozemy zamienie rodzint( skladowych ljIu",w (n - p )-wektora IjI w rodzint( skladowych a r ... t p-formy a. Dokonamy tego, posluguj,!c sit( operacjami algebry tensorowej, ktor'! zajmiemy sit( blizej w nastt(pnym paragrafie. Algebra ta pozwoli "skleie" n - p gomych indeksow ljIu",w z n - p dolnymi indeksami f r...w ' nie ruszaj,!c p indeksow, ktore s,! nam potrzebne dla a r ...t • Operacja "sklejania" nosi nazwt( "kontrakcji" tensorowej (albo "transwekcji") i pozwala na pol,!czenie w pary indeksow gornych z odpowiednimi indeksami dolnymi, nastt(pnie "wysumowanie" po nich tak, ze w rezultacie zostaj,! one usunit(te z koncowego wyra.zenia. Pierwowzorem tej procedury jest iloczyn skalamy (rozdz. 12.3), ktory l,!czy skladowe ,Brkowektora p ze skladowymi gr wektora ,dzit(ki mnozeniu przez siebie odpowiednich elementow tych dwu zbiorow i "wysumowaniu" nastt(pnie po powtarzaj,!cych sit( wskaznikach:
sumowanie to dotyczy powtarzaj'!cych sit( indeksow (jednego gomego i jednego dolnego). Procedura sumowania po powtarzaj'!cych sit( wskaznikach rna zastosowanie rowniei: do wielkosci z wieloma wskaznikami i fizycy, za przykladem Einsteina, cht(tnie zaadaptowali tt( regult( jako konwencj~ sumacyjnq. Konwencja ta pozwala unikn'!e jawnego wypisywania znaku sumy i zaklada, ze kiedykolwiek ten sam indeks pojawia sit( w tym samym wyrazeniu jako wskaznik gomy i jako wskaznik dolny, to zawsze naleiy wykonae po tych wskaznikach sumowanie po ich wartosciach od 1 do n. Zgodnie z tym, podany iloczyn skalamy mozemy prosciej zapisae jako
Za pomoc,! tej konwencji opisan,! poprzednio procedurt( zamiany p-formy na odpowiedni (n - p)-wektor i element objt(tosciowy zapiszemy jako:
a, ... t oc cr...tu ...w 1jJu",w,
230
gdzie kontrakcja dotyczy n - p wskaznikow u, ... , w. Wprowadzikm tutaj symbol "oc", ktory czytamy jako "proporcjonalne do", co oznacza, ze kazda ze stron tego wyrazenia jest pewn'! niezerow'! wielokrotnosci,! drugiej. W ten sposob uniknt(lismy zaciemniaj,!cego sprawt( nagromadzenia "silni". Czasami, gdy ta relacja jest
Element objetosciowy; konwencja sumacyjna
12.7
spelniona (z dokladnosci,! do proporcjonalnosci), uZywamy okreslenia, ze (n - p)-wektor If! i p-forma a s,! wzglydem siebie dualne 14 • W takim przypadku mozemy napisac przeksztalcenie odwrotne 1jJU",w ex;
a
E r... tu ... w r. .. f
'
gdzie E jest pewn'! form,! (n-wektorem) odpowiadaj,!c,! odwrotnosci objytosci, czysto "unormowan'!" w stosunku do e w spos6b nastypuj,!CY: e•
r w
E = E E ... r...w
=
n!
(aczkolwiek spraw,! normalizacji zanadto siy nie przejmujemy). Przedstawione wzory stanowi,! cZysc klasycznej algebry tensorowej (zob. rozdz. 12.8). Stanowi ona wazn,! procedury rachunkow,! (uZyteczn,! r6wnid w tensorowym rachunku r6zniczkowym i calkowym, 0 kt6rym dowiemy siy wiycej w rozdz. 14), kt6ra posluguje siy w szerokim zakresie notacj,! wskaznikow'! i einsteinowsk,! konwencj,! sumacyjn'!. W tej algebrze istotn'! roly odgrywa uZycie zapisu procedury antysymetryzacji za pomoq nawias6w kwadratowych (zob. rozdz. 11.6), a takZe podobny zapis procedury symetryzacji przy uZyciu nawias6w okr,!glych,
1jJ(abc) =
i
1jJ(ab) = (1jJabc
~ (1jJab + 1jJba),
+ 1jJacb + 1jJbca + 1jJbac + 1jJcab + 1jJcba), etc.,
a wiyc wszydzie, gdzie zamiast znaku minus, pojawiaj,!cego siy w odpowiednich wyrazach pod symbolem nawiasu kwadratowego, wstawiamy znak plus. lako nastypny przyklad uZytecznosci zapisu nawiasowego sprawdzmy, jak ta procedura pozwala zapisac warunek, zeby p-forma a alba q-wektor If! byly formami prostymi, czyli iloczynem klinowym p pojedynczych I-form alba q zwyklych wektor6w. Zapisany za pomoq skladowych ten warunek sprowadza siy do nastypuj,!cych relacji:
a
a
[r ... t uJv ...w
=
0 alba 1jJ[r...t1jJu1v ... w = 0
'
gdzie wszystkie indeksy pierwszego czynnika "antysymetryzuj,!" siy odpowiednio z jednym tylko indeksem czynnika drugiego 15 . W przypadku gdy a i If! S,! wzglydem siebie dualne, kazdy z tych warunk6w mozemy alternatywnie zapisac jako ,/tr... tu
Y"
a uv ...w = 0,
gdzie jeden z indeks6w If! ulega kontrakcji z jednym z indeks6w a. Symetria tego wyrazenia pokazuje, ze obiektem dualnym wzglydem prostej p-formy jest prosty (n - p)-wektor, i na odwr6tI12.161.
t1l!i [12.16] Wykai r6wnowainosc tych warunk6w "prostotY'; udowodnij, ze warunek a[r.pujv = 0 jest wystarczaj'!cy w przypadku p = 2. rtSkaz6wka: dokonaj kontrakcji tego wyrazenia z dworna wektorarni.
231
12
Rozmaitosci n-wymiarowe 12.8 Tensory: zapis abstrakcyjno-wskaznikowy i zapis graficzny Jest pewien problem, niekiedy postrzegany jako konflikt miydzy notacjami stosowanymi przez matematykow i przez fizykow. Sprawy ty dobrze ilustrujq dwie strony f3r;r. Notacja, ktorej zwykle uiywajq matematycy, jest jawpodanej rownosci p • nie niezalezna od wspolrzydnych i widzimy, ze wyraienie p •, - w literaturze matematycznej czysciej spotkac mozna zapisane w postaci (p, () albo (P, ,) - nie odwoluje siy w ogole do jakiegokolwiek ukladu wspolrzydnych, a iloczyn skalarny jest operacjq zdefiniowanq calkowicie w terminach geometryczno-algebraicznych. Z kolei zapis, ktorym poslugujq siy fizycy, f3J r, odwoluje siy explicite do skladowych w jakims ukladzie wspolrzydnych. Skladowe te bydq zmieniac siy, kiedy przechodzimy od jednej laty do innej; ponadto notacja ta zwiqzana jest z "dyskusyjnq" konwencjq sumacyjnq (ktora sarna jest w swego rodzaju konflikcie ze standardami matematycznego zapisu). Mimo to notacja stosowana przez fizykow rna wielkie zalety, szczegolnie wtedy, gdy zachodzi potrzeba konstrukcji nowych operacji, ktore nie wpisujq siy latwo w schematy stosowane przez matematykow. Niektore skomplikowane obliczenia (takie na przyklad jak para ostatnich formul rozdzialu 12.7) Sq czysto WfyCZ nie do wykonania, jesli koniecznie chcemy pozostac w ramach zapisu bez indeksow. W takiej sytuacji purysci matematyczni - kiedy do dowodu niezbydne Sq jakies konkretne rachunki - z pewnym zaambarasowaniem zmuszeni Sq do obliczen w ramach "lat wspolrzydnosciowych", ale rzadko stosujq konwencjy sumacyjnq. Wedlug mnie ten konflikt jest sztuczny i mozna go skutecznie uniknqc przez zwrocenie uwagi na inny aspekt tego zapisu. Kiedy fizyk przywoluje wielkosc ,,1;", to zwykle rna na mysli wielkosc wektorowq, ktorq ja oznaczalem tutaj przez " a nie jej skladowe w jakims dowolnie wybranym ukladzie wspolrzydnych. To sarno odnosi siy do wielkosci "aa", ktorq uwaza siy za jakqs konkretnq 1-formy. Takie ujycie jest konsekwentne w ramach schematu, ktory nazywamy zapisem abstrakcyjno-wskainikowym 16 • W tym schemacie wskainiki nie oznaczajq po prostu jednej z liczb 1, 2, ... , n, w relacji do jakiegos ukladu wspolrzydnych, lecz Sq to abstrakcyjne znaczniki, w ktorych terminach sformulowana jest ta algebra. W ten sposob mozemy zachowac zalety notacji wskainikowej bez koniecznosci odnoszenia siy, explicite lub implicite, do ukladu wspolrzydnych. Okazuje siy ponadto, ze zapis abstrakcyjno-wskainikowy rna liczne zalety praktyczne, szczegolnie w przypadku formalizmu opartego na wielkosciach spinorowych17. Wadq tego zapisu jest trudnosc wyraznego przedstawienia wszystkich waznych elementow w jakiejs skomplikowanej formule, poniewaz same wskazniki Sq na ogol male, a ich precyzyjne uporzqdkowanie czasami trudne do okreslenia. KIopoty te mozna ominqc przez wprowadzenie do algebry tensorowej innego zapisu, ktory sprobujy teraz krotko przedstawic. Jest to zapis graJiczny. Najpierw powinnismy wiedziec, czym naprawdy jest tensor. W zapisie wskaznikowym tensorem jest wielkosc przedstawiona w postaci
,=
232
Q af.,,\ ... c
Tensory: zapis abstrakcyjno-wskaznikowy i zapis graficzny
12.8
ktora rna p indeksow dolnych i q indeksow gornych, gdzie p, q ~ 0, i ktora nie musi miec zadnych specjalnych wlasnosci symetrii. Wielkosc takq nazwiemy tensorem l8 o walencji [P] (albo [P]-tensorem). Algebraicznie wyrazenie to przedstawia pewnq q q wielkosc Q, 0 ktorej mozemy myslec jako 0 pewnej funkcji (znanej pod nazwq funkcji wieioliniower) p wektorow A, ... , C oraz q kowektorow F, ... , H, gdzie
Q(A, ... , C; F, ... , H) =Aa ... C Q~:::; Ff ··· H h • W zapisie graficznym tensor Q bydzie przedstawiony jako symbol graficzny (dowolnie, jako prostokqt, trojkqt lub owal), z ktorego wychodzi q linii idqcych w dol ("nogi") i p linii idqcych w gory ("ramiona"). W wyraieniach tensorowych rozne
abc Qabe,.,.. fg
~
'r(' fg
~aAfd De)b~ able fg]
,;~
J.. 12-
\
#=II-X, tH=III+)(\+~-XI-IX->K ft = II + X, ttt= III +)X + ))( +XI+ \ X+%
tl =l!-6\,
±ii=ll~+l\+14-Xl-lX-4
Rys.12.17. Tensorowy zapis diagramowy. [;l-tensor reprezentuje owal 0 3 ramionach i 2 nogach, podczas gdy ogolny [:l-tensor bytby przedstawiony przez graf 0 p ramionach i q nogach. W przypadku wyrazenia takiego jak 2 zapis diagramowy uwzglydnia potozenia odpowiednich koncow ramion i nog w taki sposot, zeby mozna byto zidentyfikowac, ktory koniec jest ktory, zamiast oznaczania ich wskainikami literowymi. Kontrakcja indeksow tensorowych jest zaznaczona przez pot,!czenie odpowiedniego ramienia z odpowiedni,! nog'!, jak to ilustruje diagram dla f;"A~b[cD:t- Diagram ten ilustruje rowniez uZycie grubej kreski w poprzek linii wskainikow dla oznaczenia antysymetryzacji oraz linii falistej przedstawiaj'!cej symetryzacjy. Czynnik wynika z faktu, ze dla uproszczenia obliczen pominiyte zostaty czynniki w mianownikach zwi'!Zane z symetryzacj,! i antysymetryzacj'! (w tym wypadku potrzebujemy ~ x = Ii). W dolnej cZysci diagramu zsymetryzowane i zantysymetryzowane wyraZenia zostaty przedstawione jako osobne, oddzielone od danego grafu, wyraZenia (z wykorzystaniem graficznego przedstawienia deIty Kroneckera 1)~, ktor,! wprowadzimy w rozdz. 13.3, rys. 13.6c). Diagramy te nastypnie zostaty uZyte do przedstawienia (wielowektorowych) iloczynow kIinowych , /\ " oraz , /\ " /\ 1;.
Q; - Q;;a
/2
t
233
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
elementy mnozone jeden przez drugi s,! rysowane obok siebie, choe niekoniecznie w uporz'!dkowaniu liniowym. W przypadku dw6ch indeks6w, kt6re podlegaj,! kontrakcji, odpowiednie linie musz'! bye ze sob,! poi,!czone, linia g6rna z lini,! doln'!. Rysunki 12.17 i 12.18 ilustruj,! wiele przypadk6w, wi,!czaj,!c te, z kt6rymi sit( jui: zetknt(lismy. J ako element zapisu pozioma kreska przecinaj,!ca linie indeks6w oznacza antysymetryzacjt(, co zastt(puje uZycie nawias6w kwadratowych w zapisie wskaz-
Pa
~
Q( I,
f,
~
!
T,I ;! ,l)
Symetryczna CZIlSC
Ers ... w
~a ~
~ = ~ ~ Antysymetryczna CZIlSC
Tr:'1' ...............
mt ffi' =
n
~
, e s... w
~U'
normalizacia
[:J
= n!
n
p
~
.lLl= lL.:l Tn Tr1 , ~
~
'1!'-"
p
n-p p
lIoczyn zewnlltrzny: Q~ 3-forma a ~
= (n-p)!
p
Antysymetryczny
m
4-forma
JI:j ir
tp
~ c::J ~
lTTT
aA(p~ ~~ Dualne: n-p
,.----.
~
Jezeli ex: Antysymetryczny
y;:.::::::.
Znaki proporcjonalnosci
/u:]711°o'/
to
~
'iT;;{ p
ex:
11"'la
R6wnowazne warunki dla uproszczenia:
~=o,
~~
if+-tl"·'
=0,
11 .. 1~=0 al'··'
Rys. 12.18. Wiercej przykladow tensorowego zapisu graficznego. Graf przedstawiajljCY kowektor p (I-former) ma jednlj noger, ktora, jesli jlj polljczymy z pojedynczym ramieniem wektora (, daje ich iloczyn skalamy. Bardziej ogolny przyklad to wieloliniowa forma zdefiniowana przez [:l-tensor Q moze bye przedstawiona przez polljczenie p ramion z nogami p kowektorow i q nog z ramionami q wektorow (w tym przypadku p = 3 i q = 2). Symetryczne i antysymetryczne czersci ogolnych tensorow moglj bye przedstawione za pomoclj linii falistych i grubych poziomych kresek, reprezentujljcych operacje zilustrowane na rys. 12.17. To uiycie zapisu kreskowego odpowiada rowniei zapisowi graficznemu dla objertosci n-formy E"".w (dla przestrzeni n-wymiarowej) i dualnego do niej n-wektora E " ... w, unormowanego relacjlj E" ... w E " ...w = n! Przedstawione Slj rowniez diagramy odpowiadajljce relacjom n !or,o~ ~l = = Eab".fE"w (n zantysymetryzowanych wskainikow) oraz Ea ...cu ...wEa ...cef =p!(n - p)!oru'" ~l (zob. rozdz. 13.3 i rys. 13.6c). Iloczyny zewnertrzne form, dualnose mierdzy p-formami a (n - p)·wektorami, a taue warunki dla "prostot)" slj rowniez przedstawione graficznie. (Diagramy odpowiadajljce pochodnym form zewnertrznych znajdziemy na rys. 14.18.)
...
234
Rozmaitosci zespolone
12.9
nikowym (aczkolwiek okazuje siy wygodne przyjycie innej konwencji w odniesieniu do czynnik6w zawierajqcych silnie). Linia falista odpowiada procedurze symetryzacji. Chociaz wyrazenia w zapisie graficznym sprawiajq klopot w druku, jednak Sq ogromnie wygodne w wielu rachunkach, kt6re trzeba przeprowadzae rycznie. Sam z poiytkiem uiywalem tej formy zapisu przez ponad 50 laeo!
12.9 Rozmaitosci zespolone Na koncu powr6emy do problemu rozmaitosci zespolonych, 0 kt6rych m6wilismy w rozdziale 10. Kiedy traktujemy powierzchniy Riemanna jako jednowymiarowq, myslimy wylqcznie w kategoriach operacji holomorficznych na liczbach zespolonych. Identyczne stanowisko mozemy zajqe w odniesieniu do rozmaitosci wyzej wymiarowych i uwazae nasze wsp6lrzydne xl, ... , X' za liczby zespolone zI, ... , Z', a funkcje tych zmiennych za holomorficzne. Nadal bydziemy uwazae, ze nasza rozmaitose powstala przez "sklejanie" pewnej liczby lat wsp6lrzydnosciowych, przy czym kaZda lata jest teraz obszarem otwartym przestrzeni en, a wiyc przestrzeni, kt6rej punkty Sq n-kami (zI, Z2, ... , Z') liczb zespolonych (i przypomnijmy na podstawie rozdz. 10.2, ze sarno C oznacza cialo liczb zespolonych). Funkcje przej§Cia, kt6re wyrazajq transformacje wsp6lrzydnych przy przechodzeniu z jednej laty do innej, Sq teraz w calosci funkcjami holomorJicznymi. Mozemy zdefiniowae holomorficzne pol a wektorowe, kowektory,p-formy, tensory etc. dokladnie w taki sam spos6b, w jaki postypowalismy poprzednio, w przypadku rozmaitosci rzeczywistej. Mozna jednak przyjqe stanowisko alternatywne, polegajqce na tym, ze wszystkie nasze wsp61rzydne zespolone moglibysmy wyrazie za pomocq ich rzeczywistych i urojonych cZysci, zj = x j + i i (albo, r6wnowaZnie, dolqczye sprzyzenie zespolone do naszej kategorii funkcji dopuszczalnych, a wtedy nasze operacje nie muszq juz bye wylqcznie holomorficzne; zob. rozdz. 10.1). W6wczas nasza ,,n-rozmaitose zespolona" nie bydzie juZ traktowana jako przestrzen n-wymiarowa, lecz jako 2n-rozmaitose rzeczywista. Oczywiscie, jest to 2n-rozmaitose z bardzo szczeg6lnym rodzajem struktury lokalnej, kt6rq bydziemy nazywali strukturq zespolonq. Istnieje wiele sposobOw na przeprowadzenie tej konstrukcji. Naprawdy potrzebna jest wyzej wymiarowa wersja warunk6w Cauchy'ego-Riemanna (rozdz. 10.5), ale zwykle formulujemy to w nieco innych terminach. Pomyslmy 0 relacji miydzy zespolonymi polami wektorowymi a rzeczywistymi polami wektorowymi na tej rozmaitosci. Zespolone pole wektorowe mozemy przedstawie w postaci
(=, + i'1, gdzie ,oraz '1 Sq zwyklymi pol ami wektorowymi na 2n-rozmaitosci. Od "struktury zespolonej" potrzebujemy okreslenia, w jaki spos6b te rzeczywiste pol a wektorowe Sq ze sobq zwiqzane oraz jakie r6wnania r6zniczkowe mUSZq spelniae, aby ( mozna bylo uznae za "holomorficzne". Rozwazmy nowe zespolone pole wektorowe, kt6re powstaje, gdy zespolone pole wektorowe (pomnoZymy przez "i". Musi
235
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
wiyc bye i( = -If + i~ to znaczy, ze rzeczywiste pole wektorowe (zostalo teraz zast,!pione przez -If, natomiast If zostalo zast,!pione przez (. Operacja J, kt6ra dokonuje tej zamiany (tzn. J(,;) = -If orazJ(If) =,;), jest okreslana mianem "struktury zespolonej". ZauwaZmy, ze dwukrotne zastosowanie operacjiJ po prostu zmienia znak wyrazenia, na kt6re dziala (poniewaz i2 = -1), mozemy wiyc napisae P=-l.
Sam ten warunek definiuje struktur~ prawie zespolonq. Aby przejse do w pelni zespolonej struktury tak, zeby w odniesieniu do rozmaitosci mozna bylo stosowae pojycie "holomorficznosci", wielkoseJ musi spelniae pewne r6wnania r6zniczkowe21 • Istnieje twierdzenie Newlandera-Nirenberga22 , ktore mowi, ze jest to warunek dostateczny (opr6cz tego, ze jest to warunek konieczny), aby 2n-rozmaitose rzeczywista, z t'! J-struktur'!, mogla bye reinterpretowana jako n-rozmaitose zespolona. Twierdzenie to pozwala nam poruszae siy swobodnie miydzy tymi alternatywnymi podejsciami w odniesieniu do rozmaitosci zespolonych.
Przypisy Rozdzial 12.1 Ta "sciqgalnose" jest rozumiana w sensie homotopii (lOb. rozdz. 7.2, rys. 7.2), a wiyc "kasowanie" przeciwnie lOrientowanych odcink6w pytli nie jest dozwolone. Zatem "wielokrotna wiqzalnose" jest czysciq teorii homotopii. Zob. Huggett i Jordon (2001); Sutherland (1975). 2 M6wiqc scisle, ten argument jest niekompletny, poniewaz nie przedstawilem przekonujqcych powod6w, ze skrycenie paska 0 2rc nie moze bye "odkrycone", gdy kOl1ce paska Sq zamocowane[12.171; zob. Penrose i Rindler (1984), s. 41-44. 3 Tutaj traktujemy cZqstki jako punktowe. Wymiar P musialby bye znacznie wiykszy, gdybysmy chcieli uwzglydnie wewnytrzne i obrotowe stopnie swobody. 1
4
Rozdzial 12.2 Zwykle pojycie rozmaitosci zaklada, ze nasza przestrzen M jest, przede wszystkim, przestrzeniq topologicznq. Przyporzqdkowanie pewnej przestrzeni M topologii oznacza dokladne okreslenie, kt6re ze zbior6w jej punkt6w bydq uwazane za "otwarte" (zob. rozdz. 7.4). Zbiory otwarte majq ty wlasnose, ze przeciycie dw6ch z nich jest zbiorem otwartym i suma dowolnej liczby takich zbior6w (skonczonej lub nieskonczonej) jest znowu zbiorem otwartym. Opr6cz warunku Hausdorffa, wspomnianego w tekscie, zwykle wymaga siy, zeby topologia M byla ograniczona na wiele innych sposob6w, a w szczeg6lnosci, zeby spelniala warunek zwany warunkiem "parazwartosci". Wyjasnienie tych pojye czytelnik znajdzie w ksiqzkach: Kelley (1965); Engelking (1968) lub w innych standardowych podrycznikach topolo-
1m [12.17] Przedstawiajqc obr6t w zwyklej 3-wymiarowej przestrzeni jako wektor skierowa-
236
ny wzdtuz osi obrotu 0 dtugosci r6wnej kqtowi obrotu, pokaz, ze topologia R moze bye opisana jako twarda pitka (0 promieniu 1t), ograniclOna zwyktq sferq, kt6rej kazdy punkt jest tozsamy z jego punktem antypodalnym. Podaj bezposredni pow6d, dla kt6rego zamkniyta pytla przedstawiajqca obr6t 0 21t nie moze bye w spos6b ciqgly zdeformowana do punktu.
Przypisy gii ogolnej. lednakie dla naszych celow wystarczy jedynie przyj,!c, ze M stanowi lokalnie skonczony patchwork obszarow otwartych na JR", gdzie przez pojycie "lokalnie skonczony" rozumiemy, ze kazd,! laty przecina najwyzej skonczona liczba innych lat. Czasami definicjy rozmaitosci uzupelnia siy z,!daniem spojnosci, a to oznacza, ze sklada siy ona tylko "z jednego kawalka" (przez co rozumiemy, ze nie jest sum'! dwu rozl'!cznych i niepustych zbiorow otwartych). la tego nie z,!dam; jesli spojnosc jest wymagana, bydzie to zaznaczone explicite (ale, w kazdym razie, niespojnosc odnosi siy tylko do skonczonej liczby oddzielnych kawalkow). 5 Zob. np. Kobayashi i Nomizu (1963); Hicks (1965); Lang (1972); Hawking i Ellis (1973). ledn,! z interesuj,!cych procedur zdefiniowania rozmaitosci M jest zrekonstruowanie samej M z komutatywnej algebry pol skalarnych zdefiniowanych na M; zob. Chevalley (1946); Nomizu (1956); Penrose i Rindler (1984). Pomysl ten uogolnia algebry nieprzemienne i prowadzi do pojycia "geometrii nieprzemiennej" wprowadzonego przez Alaina Connesa (1994), ktore stanowi jedno ze wspolczesnych podejsc do "kwantowej geometrii czasoprzestrzeni" (zob. rozdz. 33.1). Rozdzial 12.3 Zob. Helgason (2001); Frankel (2001). 7 Warunkiem ogolnym tego, zeby rodzina (n - 1)-wymiarowych elementow plaskich, zdefiniowana przez 1-formy a, byla styczna do 1-parametrowej rodziny (n - 1)-wymiarowych powierzchni (a wiyc a = AdtP dla pewnych pol skalarnych A,tP), jest warunek Frobeniusa a /\ da = 0; zob. Flanders (1963). 8 Latwo 0 nieporozumienie, poniewaz "klasyczne" wyrazenia takie jak "dx'" zwyklismy traktowac jako infinitezymalne przesuniycie (wektor), podczas gdy tutaj traktujemy je jako kowektor. W rzeczywistosci ta notacja jest spojna, ale wymaga pewnej precyzji w mysleniu. Wydaje siy, ze wielkosc dx' rna charakter wektorowy ze wzglydu na gorny indeks r, i tak by rzeczywiscie bylo, gdyby r traktowac, podobnie jak w rozdz. 12.8, jako jakis indeks abstrakcyjny. lesli zas r jest indeksem numerycznym, powiedzmy r = 2, wowczas mamy do czynienia z kowektorem, dx 2, a wiyc rozniczk,! wielkosci skalarnej y ("x - dwa", a nie "x kwadrat"). Ale to wszystko zalei:y od interpretacji "d", ktora tutaj oznacza gradient, a nie zmiany infinitezymaln,!, jak to byloby w tradycyjnym klasycznym podejsciu. W istocie jesli potraktujemy r jako abstrakcyjny wskaznik, a "d" jako gradient, wowczas "dx'" oznaczac bydzie po prostu (abstrakcyjn,!) deity Kroneckera! 6
=.r
Rozdzial12.5 Oznacza to odejscie od "infinitezymalnego" punktu widzenia wielkosci typu "dx". Tutaj wlasnosc antykomutacji "dx /\ dy" oznacza, ze mamy do czynienia z gystosciami w odniesieniu do zorientowanych elementow powierzchniowych. 10 Nazwy zaproponowal N.M.l. Woodhouse. Czasami nazywane jest twierdzeniem Stokesa. lednak uwazam to za wysoce niewlasciwe, gdyz jedynym wkladem Stokesa byl uklad pytan egzaminacyjnych (w Cambridge), ktory, jak siy wydaje, otrzymal od Williama Thomsona (Lorda Kelvina). 9
Rozdzial12.6 Zob. Flanders (1963). (W tej ksi'!zce to, co nazywam lematem Poincarego, okreslane jest jako jego odwrotnosc.) 12 Istnieje szeroko stosowana definicja zwartosci przestrzeni topologicznej, jednak nie jest ona tak intuicyjnie zrozumiala, jak podana w tekscie. Przestrzen R jest zwarta, jesli przy dowolnym przedstawieniu jej jako sumy zbiorow otwartych istnieje skonczona liczba tych zbiorow, ktorych sum'! jest wci,!z R. 13 Wiycej informacji na ten tern at mozna znalezc w monografii: Willmore (1959). 11
237
12
Rozmaitosci n-wymiarowe Rozdziall2. 7 Tutaj "dualnosc" jest rozurniana inaczej niz w przypadku "dualnosci" kowektora wzglydern wektora, opisanej w rozdz. 12.3. Jest ona scisle zwi
Rozdzial12.8 Zob. Penrose (1968a), s. 135-141; Penrose i Rindler (1984), s. 68-103; Penrose (1971). 17 Zob. Penrose (1968a); Penrose i Rindler (1984; 1986); O'Donnell (2003). 18 Czasarni uZywa si y wyraienia nqd dla wartosci p + q, ale jest to okreslenie nieco rnyl,!ce, gdyz slowo "rz,!d" rna osobne znaczenie w odniesieniu do rnacierzy; zob. przyp. 10 w rozdz. 13.8. 19 Oznacza to oddzieln,! wlasnosc liniowosci w kaidej z wielkosc A, ... , C; F, ... , H; zob. rowniez rozdz. 13.7-10. 20 Zob. Penrose i Rindler (1984); Penrose (1971b); Cvitanovic i Kennedy (1982). 16
Rozdzial12.9 Jest to warunek znikania wyrazenia zwanego "tensorern Nijenhuisa skonstruowanyrn zJ": Jd aJ c fa~ + JCd aJd[a fa>!'] = o. : «l b] 22 Newlander i Nirenberg (1957). 21
13 Grupy symetrii 13.1 Grupy przeksztalcen PRZESTRZENIE symetryczne maj,! fundamentalne znaczenie we wspolczesnej fizyceo Dlaczego? Wydawaloby siy, ze zupelnie dokladna symetria moze wyst,!pie tylko w wyj'!tkowych przypadkach albo bye jedynie wygodnym przyblizeniem. Aczkolwiek obiekty symetryczne, takie jak kwadrat czy kula, w sensie dokladnym, istniej,! w postaci wyidealizowanych struktur matematycznych ("byty platonskie"; zob. rozdz. 1.3), to jakakolwiekjizyczna ich realizacja moze bye rozumianajedynie jako pewna przyblizona reprezentacja idealu platonskiego, a wiyc pozbawiona rzeczywistej symetrii, ktor,! mozna by uwazae za dokladn'!. Warto jednak zwrocie uwagy, ze zgodnie z teoriami fizycznymi, jakie odniosly w XX wieku ogromne sukcesy, wszystkie oddzialywania fizyczne (wl,!czaj,!c w to oddzialywania grawitacyjne) podporz'!dkowane S,! idei, ktora, scisle rzecz biorqc, w sposob istotny zwi'!zana jest z pewnymi strukturami fizycznymi. S,! one wyposazone w takie wlasnosci symetrii, ktore na podstawowym poziomie opisu s,! najzupelniej dokladne! Na czym polega ta idea? Jest to koncepcja znana jako "koneksja cechowania". Sarna nazwa mowi niewiele. Ale idea jest niezwykle wazna, umozliwia znalezienie nowego i subtelnego pojycia rozniczkowania, ktore mozna stosowae do ogolnych struktur na rozmaitosci (struktur istotnie bardziej ogolnych niz p-formy, ktore podlegaj,! regulom rachunku rozniczkowego form zewnytrznych, opisanym w rozdziale 12). Problemy te byd,! przedmiotem rozwazan dwu kolejnych rozdzialow, lecz najpierw musimy zapoznae siy z podstawowym pojyciem grupy symetrii. Pojycie to znalazlo zastosowanie w wielu wa:i:nych dzialach fizyki, chemii i krystalografii, ale rna rowniez wielkie znaczenie w roznych dzialach samej matematyki. Rozwazmy pro sty przyklad: jakie wlasnosci symetrii rna kwadrat? Odpowiedz na to pytanie moze bye dwojaka, w zaleznosci od tego, czy dopuszczamy symetrie zmieniaj,!ce orientacjy kwadratu (czyli takie, ktore obracaj,! kwadrat "do gory nogami"). Rozwazmy najpierw przypadek, gdy operacje zmieniaj,!ce orientacjy nie S,! dozwolone. Wtedy symetrie kwadratu S,! generowane przez pojedynczy obrot o k,!t prosty w plaszczyznie figury, powtarzany wielokrotnie. Sprobujmy, dla wygody, przedstawie te ruchy, posluguj,!c siy liczbami zespolonymi, tak jak to robilismy w rozdziale 5. Mozna, jezeli chcemy, umiescie wierzcholki kwadratu na plaszczyz-
13
Grupy symetrii
nie zespolonej w punktach 1, i, -1, -i (rys. 13.la), a obrot podstawowy przedstawie jako pomnozenie przez i (tj. przez "i x") W ten sposob rozne potfgi i bydq przedstawialy wszystkie nasze obroty, i tych roznych obrotow bydzie dokladnie cztery: iO=l, il=i, i2 =_I, i3 =-i (rys. 13.1b). Czwarta potyga i4 = 1 sprowadza nas do polozenia wyjsciowego, a wiyc nie rna wiycej elementow. Iloczyn dowolnych dwu z czterech elementow jest znowu jednym z nich. Te cztery e1ementy dajq nam prosty przyklad grupy. Tworzy jq zbior elementow i regula "mnozenia" dowolnej ich pary (zapisujemy je przez postawienie odpowiadajqcych im symboli obok siebie), przy czym spelnione musi bye prawo lqcznosci mnozenia a(be) == (ab)c.
Ponadto istnieje element zwany "jedynkq" ("tozsamosciowy"), 1, spelniajqcy relacje la=al=a,
kazdy element grupy, a, rna zas element odwrotny, a-I, taki ze[13.lj a-Ia = aa- I = 1. Operacje syrnetrii, ktore przeprowadzajqjakis obiekt (niekoniecznie kwadrat) sam w siebie, zawsze spelniajq przedstawione prawa, ktore nazywamy aksjomatami grupy. Przypomnijmy konwencjy zaleconq w rozdziale 11: kiedy mamy do czynienia z iloczynem dwoch operacji, ab, to najpierwwykonujemy operacj« b, a nast«pnie a.
Rys. 13.1. Symetria kwadratu. (a) Wierzcholki kwadratu mozemy opisac punktami 1, i, -1, -i na plaszczyznie zespolonej C. (b) Grupa symetrii bez odbic na C jest przedstawiona jako mnozenie przez 1 = iO, i = iI, -1 = e, -i = e. (c) Symetrie odbiciowe na C s,! przedstawione przez operacjcr C (sprzcrzenie zespolone), Ci, -C oraz -Ci.
240
1ft [13.1] Pokai, ie jesli zatoiymy, ii 1a = a i a-Ia = 1 dla wszystkich a, a takZe przyjmiemy zaloienie lqcznosci a(be) = (ab)e, wowczas moiemy wydedukowac, ie a1 = a oraz aa- I = l. (Wskazowka: oczywiscie, a nie jest jedynym elementem majqcym element odwrotny.) Pokai tei, dlaczego z kolei zaloienia, ie a1 = a, a-Ia = 1 oraz a(be) = (ab)e, Sq niewystarczajqce.
Grupy przeksztalcer'l
13.1
Rozumiemy, ze te operacje dotyczq obiektu umieszczonego po prawej stronie tego iloczynu. A zatem ruch b, reprezentujqcy symetriy jakiegos obiektu 41, rozumiemy jako 41 H b(41), po kt6rym nastypuje ruch a, co daje b(41)Ha(b(41)). Efektem jest polqczone dzialanie 41 H a (b( (1)), kt6re zapisujemy jako 41 H abe (1), i te dwa ruchy, w takiej kolejnosci, reprezentujq iloczyn abo Operacja tozsamosciowa ("jedynka") pozostawia obiekt niezmieniony (a wiyc zawsze jest to operacja symetrii), natomiast element odwrotny oznacza operacjy odwrotnq do danej operacji symetrii i przenosi obiekt do takiego polozenia, jakie przyjmowal przedtem. W naszym szczeg6lnym przypadku grupy obrot6w (bez odbicia) kwadratu zachodzi dodatkowa wlasnose przemiennosci ab =ba. Grupy 0 tej wlasnosci nazywamy grupami abelowymi, na czese zmadego w tragicznie mlodym wieku matematyka norweskiego Nielsa Henrika Abela!. Jest oczywiste, ze kazda grupa, kt6rq mozna reprezentowae przez mnozenie liczb zespolonych, musi bye grupq abelowq (poniewaz mnozenie liczb zespolonych jest zawsze przemienne). Z przykladami takiej sytuacji mielismy do czynienia pod koniec rozdzialu 5, kiedy rozwazalismy og6lny przypadek skonczonej grupy cyklicznej IZn' generowanej przez n-ty pierwiastek z jedynki[13.21. Zbadajmy teraz, co siy stanie, jesli jako operacje symetrii naszego kwadratu dopuscimy operacje odbicia, a wiyc zmieniajqce orientacjy. Nadal bydziemy mogli posluZye siy liczbami zespolonymi do przedstawienia kwadratu, ale teraz potrzebujemy nowej operacji, kt6rq oznaczy symbolem C, mianowicie operacji sprzt;zenia zespolonego. (Odwraca ona kwadrat wok61linii poziomej; zob. rozdz. 10.1, rys. 10.1.) W tym przypadku znajdujemy (zob. rys. 13.1c) nastypujqce "reguly mnozenia,,[13.31
Ci = (- i)C, C(-l) = (-l)C, C(- i) = iC, CC = 1, 2
(gdzie od tej pory piszemy -iC w miejscu (-)C etc.). W rzeczywistosci wszystkie relacje mnozenia dla calej grupy mozemy uzyskae z relacji podstawowych[13.41 i4 = 1, C 2 = 1, Ci = ec; grupa jest nieabelowa, co ukazuje wyraznie ostatnia z tych relacji. Calkowitq liczby wszystkich r6znych element6w grupy nazywamy rzt;dem grupy. Rzqd tej szczeg61nej grupy wynosi 8. ~
[13.2] Wyjasnij, dlaczego dowolna przestrzen wektorowa jest grup,! abelow,! -
zwan'!
addytywnq grup,! abelow,! - dla kt6rej operacja "mnozenia" grupowego jest operacj,! "dodawania" w przestrzeni wektorowej. [13.3] SprawdZ prawdziwosc tych relacji (pamiytaj, ze Ci oznacza wykonanie operacji "ix", a nastypnie operacji C, itd. (~kaz6wka: relacje te mozna sprawdzic, badaj,!c ich efekt na 1 oraz na i. Dlaczego?) B [13.4] Pokaz to. ~
241
13
Grupy symetrii
Podgrupa syrnetrii bezodbiciowych
~ 0(3)
Przestrzen symetrii Sfera
~
Rys. 13.2. Symetria obrotowa kuli. Calkowita grupa symetrii, 0(3), jest niesp6jnl) 3-rozmaitoscil), skladajl)cl) sicr z dw6ch czcrsci. Czcrsc zawierajl)ca element jedynkowy 1 jest (normalnl)) podgrupl) SO(3), zawierajl)cl) wszystkie symetrie bezodbiciowe sfery. Czcrsc druga jest 3-rozmaitoscil) symetrii z odbiciem.
Rozwazmy teraz inny proSty przyklad, mianowicie grupy obrotow zwyklej sfery. Jak poprzednio, rozpatrzymy najpierw sytuacjy z wyl,,!czeniem odbic. Tym razem nasza grupa symetrii bydzie miala nieskonczenie wiele elementow, poniewaZ sfery mozemy obracac 0 dowolny k,,!t wokol dowolnej osi w 3-przestrzeni. Ta grupa symetrii rzeczywiScie tworzy przestrzen 3-wymiarow,,!, a mianowicie 3-rozmaitosc, ktor"! w rozdziale 12 oznaczalismy przez R. Nadajmy teraz tej grupie (3-rozmaitosci) jej oficjaln,,! nazwy. Nazywamy j,,! gruN SO(3)3, bezodbiciow,,! grup,,! ortogonaln"! w 3 wymiarach. Jesli teraz dol,,!czymy odbicia, to otrzymamy nowy zbior operacji symetrii - inn,,! 3-rozmaitosc - rozl"!czn"! z pierwsz,,!, tych mianowicie, ktore odwracaj,,! kierunki na sferze. Calkowita rodzina takich elementow grupy tworzy 3-rozmaitosc, ale tym razem jest ona niespojna, sklada siy z dwu oddzielnych, spojnych czysci. Ta cala grupa nosi nazwy grupy 0(3). Podane dwa przyklady reprezentuj"! dwie najwazniejsze kategorie grup: grupy skonczone i grupy ci,,!gle (inaczej grupy Liego; zob. rozdz. 13.6t Aczkolwiek miydzy tymi dwoma rodzajami grup wystypuje ogromna roznica, wiele waznych wlasnosci grup jest wspolnych dla jednych i drugich.
13.2 Podgrupy i grupy proste
242
W teorii grup szczegolne znaczenie rna pojycie podgrupy. Aby wyodrybnic podgrupy jakiejs grupy, wybieramy te elementy, ktore same tworz"! grupy, przy tych samych operacjach mnozenia i odwracania, jakie obowi,,!zuj,,! w calej grupie. Podgrupy odgrywaj,,! wazn"! roly w wielu wspolczesnych teoriach cz,,!stek elementar-
Podgrupy i grupy proste
13.2
nych. Fizycy sklaniajq sier do zalozenia, ze istnieje jakas fundamentalna symetria Przyrody, ktora wiqze ze sobq zarowno roznego rodzaju cZqstki elementarne, jak i oddzialywania mierdzy nimi. lednak ta domniemana pelna grupa symetrii nie przejawia sier w wyrazny sposob, wydaje sier, ze ulega ona "zlamaniu" do pewnej podgrupy i ta podgrupa odgrywa roler widocznej symetrii. Dlatego istotne jest poznanie mozliwych podgrup tej domniemanej "fundamentalnej" grupy symetrii w taki sposob, zeby te symetrie, ktory obserwujemy w Przyrodzie, mogly bye traktowane jako podgrupy owej domyslnej grupy. Problemem tym zajmer sier blizej w rozdz. 25.5-8, 26.11 i 28.1. Zbadajmy pewne szczegolne przypadki podgrup, na przyklad te, ktore wlasnie rozwaZalismy. Bezodbiciowe elementy symetrii kwadratu tworzq 4-elementowq podgruper {I, i, -1, -i} pelnej, 8-elementowej grupy symetrii kwadratu. Podobnie, grupa obrotow wlasciwych (bez odbicia) SO(3) jest podgrupq pelnej grupy obrotow 0(3). luna podgrupa symetrii kwadratu tez zawiera 4 elementy {I, -1, C, -C}; jeszcze inna podgrupa rna tylko dwa elementy {l, _l}.I13S] Ponadto kazda grupa rna zawsze podgruper "trywialnq", skladajqcq sier z jednego tylko elementu, jakim jest element tozsamosciowy {I} i, oczywiscie, cal a grupa jest, w podobnie trywialny sposob, swojq podgrupq. Te wszystkie rozne podgrupy opisane przed chwilq majq pewnq wspolnq, niezwykle donioslq wlasnose. Sq to przyklady tak zwanych podgrup nonnalnych l·]. Znaczenie podgrupy normalnej polega na tym, ze w pewnym okreslonym sensie dzialanie dowolnego elementu pelnej grupy nie zmienia podgrupy normalnej lub, mowiqc bardziej technicznie, kazdy element pelnej grupy komutuje z podgrupq normalnq. Sprobujy wyjasnie to bardziej szczegolowo. Oznaczmy pelnq gruper symbolem g, a jej podgrupy symbolem S. Wybierzmy element g grupy g i oznaczmy przez Sg zbior zawierajqcywszystkie elementy Spornnozone z prawej strony przezg (prawostronnie rnnozony przezg). Tak wiyc, wybierajqc S= {I, -1, C, -C} jako podgrupy grupy syrnetrii kwadratu i wybierajqc g = i, otrzyrnujerny Si = {i, -i, Ci, -Ci}. Podobnie piszqcgS, oznaczyrny zbior skladajqcy sier ze wszystkich elernentow podgrupy S pornnozonych z lewej strony przezg (mnozony lewostronnie przezg). A zatern powstanie zbior is = {i, -i, iC, -iC}. Warunkiern na to, zeby S byla podgrupq normalnq grupy g, jest zqdanie, by te dwa zbiory byly identyczne, to jest:
Sg = gS, dla wszystkich g naleZqcych do S. Jak widzimy, w szczegolnym przypadku ten warunekjest spelniony (poniewaz Ci = =-iC oraz -Ci = iC), przy czym powinnismy miee na uwadze, ze elernenty w nawiasach klarnrowych tworzq zbior nieuporzqdkowany (a wiyc nie rna znaczenia, gdy ID [13.5] Sprawdz, ze wszystkie wymienione w tym paragrafie podgrupy Sq rzeczywiscie podgrupami (majqc na uwadze 6wiczenie [13.4]). [*] W pismiennictwie polskim podgrupy normalne nazywa sit; tez podgrupami niezmienniczymi albo dzielnikami normalnymi (zob. J. Mozrzymas, ~t{?P do wsp6lczesnej teorii grup krystalograjicznych i ich reprezentacji, PWN, Wrodaw-Warszawa 1987) - przyp. dum.
243
13
Grupy symetrii
wypisujemy w jawnej postaci zbiory Si oraz is, ze elementy -iC oraz iC pojawiajq sit( w tych zbiorach w odwrotnej kolejnosci). Jako podgrupt( grupy symetrii kwadratu, kt6ra nie jest podgrupq normalnq, mozemy wskazac dwuelementowq podgrupt( {I, C}. Ta podgrupa nie jest normalna, poniewaz {l, C}i = ii, Ci}, podczas gdy HI, C} = ii, -Ci}. Zauwazmy, ze ta podgrupa pojawia sit( jako nowa (zredukowana) grupa symetrii, jesli nasz kwadrat udekorujemy strzalkq skierowanq w prawo (zob. rys. 13.3a). Innq nienormalnq podgrupt(, a mianowicie {l, Cil, otrzymamy, dekorujqc nasz kwadrat strzalkq skierowanq. po przekqtnej, w d61 i na prawo (rys. 13.3b)l13.6l. W przypadku grupy 0(3), jak sit( okazuje, istnieje tylko jedna nietrywialna podgrupa normalna(13.7l i jest to SO(3), natomiast jest wiele podgrup, kt6re nie Sq podgrupami normalnymi. Przyklady podgrup grupy obrot6w, kt6re nie Sq normalne, otrzymamy, jesli na powierzchni kuli wybierzemy odpowiedni skonczony zbi6r punkt6w i zapytamy 0 elementy symetrii grupy obrot6w sfery, kt6re zachowujq ten uklad. Jesli wybierzemy tylko jeden punkt, w6wczas odpowiednia podgrupa zawierac bt(dzie wszystkie obroty sfery wok61 osi lqczq.cej ten punkt ze srodkiem kuli (rys. 13.3c). Alternatywnie moglibysmy na przyklad zaznaczyc punkty bt(dqce wierzcholkami jakiegos prawidlowego wielokqta. W takim przypadku uzyskana podgrupa bt(dzie skonczona i powinna skladac sit( z element6w symetrii tego szczeg61nego wielokq.ta (rys. 13.3d). Jednym z powod6w, dla kt6rego podgrupy normalne Sq tak wazne, jest ten, ze jesli jakas grupa 9 ma nietrywialnq podgrupt( normalnq, w6wczas, w pewnym sensie, mozemy grupt( 9 rozloiyc na mniejsze grupy. Za16zmy, ze S jest podgrupq
(a)
(b)
(c)
(d)
Rys. 13.3. (a) Dekoruj,!c kwadrat z rys. 13.1 za pomoq strzalki skierowanej w prawo, redukujemy grupy symetrii kwadratu do podgrupy {I, C}, kt6ra nie jest podgrup,! normaln'!. (b) Dekoruj,!c kwadrat strzalk,! skierowan,! po przek'!tnej w prawo, w d61, redukujemy grupy symetrii do innej nienormalnej podgrupy symetrii {l, Ci}. (c) Dekoruj,!c sfery z rys. 13.2 jednym punktem, redukujemy grupy symetrii sfery do (nienormalnej) podgrupy 0(2) grupy 0(3): do grupy obrot6w wok61 osi przechodz,!cej przez ten punkt i srodek kuli. (d) Jesli sfery udekorujemy wierzcholkami jakiegos prawidlowego wielok'!ta (w tym przypadku jest to dwunastoscian foremny), to grupa symetrii staje siy skonczon,! (nienormaln,!) podgruP'! grupy 0(3).
244
B [13.6] Sprawdz te stwierdzenia i znajdz dwie kolejne nienormalne podgrupy oraz pokai, ze w ten spos6b rozpatrzylismy wszystkie mozliwosci. rfl!1 [13.7] Udowodnij to. (Wskazowka: kt6re zbiory obrot6w mozna uwazac za niezmiennicze wzglydem obrot6w?)
Podgrupy i grupy proste
13.2
normalnq grupy g. W takim razie rozne zbiory Sg, gdzie g przebiega wszystkie elementy g, same tworzq grupy. Zauwazmy, ze dla danego zbioru Sg wyb6r elementu g nie jest jednoznaczny; dla roznych elementow gl' gz grupy 9 mozemy miec Sgl = Sgz. Dla wszystkich podgrup S zbiory elementow postaci Sg nazywamy warstwami g; gdy S jest podgrupq normalnq, wowczas te warstwy tworzq grupy. Powod jest taki, ze jesli mamy dwie takie warstwy, powiedzmy Sg i Sh (g i h Sq element ami g), to mozemy zdefiniowac "iloczyn" Sg i Sh (Sg) (Sh) = S(gh).
Jesli S jest podgrupq normalnq, to wszystkie aksjomaty grupowe Sq speinione, bo prawa strona jest dobrze okreslona, bez wzglydu na to, ktore elementy g i h zostaly wybrane do reprezentowania warstw wystypujqcych po lewej stronie rownania[13.sl. Grupa w ten sposob utworzona nosi nazwy grupy ilorazowej 9 przez jej podgrupy normalnq S. Grupy ilorazowq 9 przez S oznaczamy g/S. Symbolu g/S bydziemy uZywac dla oznaczenia przestrzeni ilorazowej (nie grupy) roznych warstw Sg nawet w przypadku, gdy S nie jest podgrupq normalnq[13.9 l. Grupy, ktore nie majq nietrywialnych podgrup normalnych, noszq nazwy grup prostych. Przykladem takiej grupy jest grupa SO(3). Grupy proste stanowiq podstawowe elementy, z ktorych zbudowana jest teoria grup. Wielkim osiqgniyciem matematyki XIX i XX wieku jest to, ze wszystkie skonczone grupy proste, jak rowniez wszystkie ciqgle grupy proste, Sq obecnie znane. W przypadku grup ciqglych (czyli grup Liego) stanowi to kamien milowy matematyki. Pracy nad tym zapoczqtkowal niezwykle wplywowy matematyk niemiecki, Wilhelm Killing (1847-1923), ktorego fundamentalne publikacje pojawily siy w latach 1888-1890. Badania te zostaly zasadniczo zakonczone w 1894 roku opublikowaniem jednego z najwaZniejszych artykulow w historii matematyki5 , autorstwa wielkiego geometry i algebraika Elie Cartana (z ktorym zetknylismy siy jui w rozdziale 12 i ktorego ponownie spotkamy w rozdziale 17). Ta klasyfikacja do czasow obecnych odgrywa fundamentalnq roly w wielu dzialach matematyki i fizyki. Okazuje siy, ze istniejq cztery rodziny grup, znane pod symbolami Am' Bm, Cm, D m(dla m = 1, 2, 3, ... ), 0 wymiarach wynoszqcych, odpowiednio, m(m + 2), (2m + 1), m(2m + 1), m(2m -1), noszqce nazwy grup klasycznych (zob. koncowe akapity rozdz. 13.10); oraz piyC grup sporadycznych, oznaczanych symbolami E 6, E 7, E s' E 4, G z' 0 wymiarach 78, 133, 248,52 i 14. Klasyfikacja skonczonych grup prostych jest osiqgniyciem czasow p6Zniejszych (moze nawet trudniejszym) i w XX wieku pracowalo nad niq wielu matematykow (takZe za pomocq komputerow), a zostala zakonczona dopiero w 1982 roku 6 •
Jjj [13.8] Sprawdi to i pokaz, ze aksjomaty grupowe nie s'l spelnione, jesli S nie jest podgrup'l normaln'l. Jjj [13.9] Wyjasnij, dlaczego liczba elementow giS, dla dowolnej skoiiczonej podgrupy S grupy skoiiczonej g, jest rowna ilorazowi rZl(du grupy g przez rZ'ld podgrupy S.
245
13
Grupy symetrii
Talcie w tym przypadku mamy do czynienia z pewnymi systematycznymi rodzinami oraz z kolekcj,! sporadycznych skonczonych grup prostych. Najwierksza z grup sporadycznych znana jest jako monstrum i jej rz'!d wynosi
= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000. =
246 X 320 X 59 x 76 x
112 X
133 X 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 41 x 47 x 59 x 71.
Grupy sporadyczne wydaj,! sier szczegolnie atrakcyjne dla wielu wspolczesnych fizykow teoretykow. Grupa E8 pojawia sier w teorii strun (rozdz. 31.14), a wielu badaczy wyraza nadziejy, ze ogromne, ale skonczone monstrum moze znaleic zastosowanie w jakiejs przyszlej teorii 7 • Klasyfikacjer grup prostych mozna traktowac jako zasadniczy krok w kierunku ogolnej klasyfikacji grup, poniewaz, jak juz powiedzielismy, wszystkie grupy uwazamy za zbudowane z grup prostych (wl,!czaj,!c w to grupy abelowe). Nie wystarczy jednak takie przekonanie, wiemy bowiem, jak jedn,! gruper prost,! mozna budowac na innej. Nie mam zamiaru wchodzic glerbiej w szczegoly tej teorii, ale moze warto pokazac najprostszy sposob takiej konstrukcji. Jesli 9 i H s,! dowolnymi grupami, to mozna z nich utworzyc gruper 9 x H, ktorej elementami s,! pary (g, h), gdzie g naleiy do 9 i h naleiy do H, a regula mnozenia grupowego mierdzy elementami (gp hI) i (g2' h 2) grupy 9 x H zdefiniowana jest nasterpuj'!co:
(gp hI) (g2' h 2) = (glg2' h lh 2), i latwo sprawdzic, ze wszystkie aksjomaty grupowe s,! spelnione. Grupa ta nosi nazwer iloczynu prostego 9 x H. Liczne grupy wazne dla fizyki cz,!stek elementarnych s,! iloczynami prostymi grup prostych (albo elementarnymi modyfikacjami takich grup )f13.lOl .
13.3 Transformacje liniowe i macierze W teorii grup istnieje specjalna klasa grup symetrii 0 kluczowym znaczeniu. S,! to grupy symetrii przestrzeni wektorowych. Symetrie przestrzeni wektorowej reprezentowane S,! przez transfonnacje liniowe, ktore zachowuj,! strukturer przestrzeni wektorowej. Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 11.1 i 12.3, ze definiuj,!c strukturer jakiejs przestrzeni wektorowej V, poslugujemy sier regulami dodawania wektorow i mnozenia wektorow przez liczby. Zwrocmy uwager, ze geometryczn,! reprezentacjer dodawania wektorow podaje prawo rownolegloboku, podczas gdy mnozenie przez liczber obrazuje skalowanie dlugosci wektora (w gorer lub w dol) przez ter liczber (rys. 13.4). Na tym rysunku poslugujemy sier skalowaniem przez liczber rze-
246
a
[13.10] Sprawdz, ze dla dowolnych dwu grup 9 i 7-i ich iloczyn prosty 9 x 7-i jest grup,!, a takZe ze grup,! ilorazow'! (9 x 7-i)/9 jest grupa 7-i.
Transformacje liniowe i macierze
Or---UU--~--__~A~U-.~
13.3
Rys. 13.4. Transformacja Iiniowa zachowuje struktur« przestrzeni wektorowej, na kt6r~ dziala. Struktura ta jest zdefiniowana przez operacj« dodawania (kt6r~ ilustruje prawo r6wnolegloboku) i operacj« mnozenia przez skalar A (kt6rym moze bye Iiczba rzeczywista albo, w przypadku zespolonej przestrzeni wektorowej, Iiczba zespolona). Transformacja taka zachowuje "prostot«" linii i sens "r6wnoleglosci", a tahe nie zmienia ustalonego pocz~tku ukladu, O.
czywistl!, ale mozemy rozwazac zespolone przestrzenie wektorowe (i te przestrzenie okazujl! siC( nadzwyczaj wazne w wielu przypadkach, dziC(ki magicznym wlasnosciom liczb zespolonych!), chociaz ich graficzne przedstawienie jest raczej trudne. Transformacja liniowa przestrzeni V jest przeksztalceniem, ktore przeprowadza V w saml! siebie, zachowujl!c jej strukturC( zdefiniowanl! przez te podstawowe wlasnosci przestrzeni wektorowej. W bardziej ogolnym przypadku mozemy rozwazac rowniez takie transformacje liniowe, ktore przeksztalcajl! jednl! przestrzen wektorowl! w innl!. TransformacjC( liniowl! mozna jawnie przedstawic za pomocl! uporzl!dkowanej tablicy liczb, ktorl! nazywamy macierzq. Macierze odgrywajl! waZnl! rolC( w wielu roznych kontekstach matematycznych. W tym rozdziale (i w rozdz. 13.4, 5) zapoznamy siC( z niezwykle pOZytecznymi strukturami i elegancjl! regul matematycznych, jakim podlegajl!. W istocie rozdz. 13.3-7 mozna potraktowac jako szybkie korepetycje z teorii macierzy i ich zastosowan w teorii grup cil!glych. Przedstawione tu pojC(cia Sl! bardzo istotne dla wlasciwego zrozumienia teorii kwantowych, ale czytelnicy juz zorientowani w tym przedmiocie albo ci, ktorzy woleliby mniej szczegolowe przedstawienie elementow mechaniki kwantowej - mogl! opuscic tc( czc(sc materialu, przynajmniej na razie. Aby zorientowac siC(, jak wygll!da transformacja liniowa, rozwazmy przypadek 3-wymiarowej przestrzeni wektorowej i sprawdzmy jej zwil!zek z gruPl! obrotow 0(3) albo SO(3), omawianl! w rozdz. 13.1, ktora opisuje symetriC( sfery. Mozemy uwazac, ze sfera ta jest wlozona w 3-przestrzen euklidesowl! ]E3 (przestrzen tc( traktujemy jako wektorowl! z poczl!tkiem ukladu w srodku kuli, 0 8), jako miejsce geometryczne punktow
x 2 +l+z2 = 1 w zwyklym kartezjanskim ukladzie wspolrzC(dnych (x, y, z)l13.1l 1• Obroty tej sfery bC(dl! teraz wyrazone w jC(zyku transformacji liniowych przestrzeni ]E3, ale transformacji szczegolnego rodzaju, mianowicie ortogonalnych, ktorymi zajmiemy siC( w rozdz. 13.8 (ale zob. takZe rozdz. 13.1).
r:a
[13.11] Pokaz, w jaki sposob to rownanie wynika z twierdzenia Pitagorasa (rozdz. 2.1), dla punktow polozonych w odleglosci jeden od O.
247
13
Grupy symetrii
Og6lne transformacje liniowe moglyby zdeformowae kuly do elipsoidy, jak to ilustruje rys. 13.5. Z geometrycznego punktu widzenia transformacja liniowa zachowuje "prostoty" linii i ich "rownoleglose" przy ustalonym poczqtku O. Nie musi jednak zachowywae kqtow prostych ani zadnych innych kqtow, dlatego ksztalty mogq bye deformowane, w sposob jednorodny, ale anizotropowy. Jak przedstawie transformacjy liniowq we wspolrzydnychx,y, z? Odpowiedi jest nastypujqca: kazdq nowq wspolrzydnq przedstawiamy w postaci (jednorodnej) kombinacji liniowej wspolrzydnych poczqtkowych, czyli przez oddzielne wyrazenia typu ax + f3y + yz, gdzie a, f3 i y sqliczbami stalymi[I3.l2]. Mamy zatem trzy takie wyraZenia, po jednym dla kazdej ze wspolrzydnych. Aby to zapisae w zwartej postaci, posluzmy siy zapisem wskainikowym z rozdzialu 12. W tym celu zmienimy oznaczenia wspolrzydnych na (Xl, x 2, x 3), gdzie Xl =X, x 2=y, x 3=z
(pamiytajqc, ze gome indeksy nie oznaczajq wykladnikow potyg; zob. rozdz. 12.2). Dowolny punkt naszej 3-przestrzeni euklidesowej rna wspolrzydne xa, gdzie a = 1, 2, 3. Zaleta notacji wskainikowej pol ega na tym, ze nasze rozwazania latwo zastosowae do dowolnej liczby wyrniarow, w ktorym to przypadku a (i wszystkie pozostale indeksy literowe) moze przebiegae wartosci 1, 2, ... , n, gdzie n jest ustalonq dodatniq liczbq calkowitq. W przypadku przez nas rozwazanym n = 3. W zapisie wskainikowyrn, stosujqC konwencjy sumacyjnq Einsteina (rozdz. 12.7), dowolnq transformacjy liniowq mozna zapisae w postad' [13.13] XaH
lb~'
Jesli ty transformacjy liniowq nazwiemy T, to widzimy, ze jest ona okreslona przez zbior jej skladowych lb' Tego rodzaju zbior skladowych nazywamy macierzq n x n, zwykle zapisujemy jq w postaci kwadratowej - alba w innym kontekscie (zob.
Rys. 13.5. Transformacja liniowa dzialajllca na ]E3 (wyraiona w kartezjailskich wspolrzt;dnych x, y, z) moglaby zdeformowac sfert; jednostkowll x 2 + y2 + Z2 = 1 do elipsoidy. Grupa ortogonalna 0(3) zawiera tylko takie transformacje liniowe ]E3, ktore zachowujll sfert; jednostkowll.
248
B [13.12] Czy potrafisz wyjasnic dlaczego? Zr6b to, dla ulatwienia, w przypadku 2-wymiarowym. fa [13.13] Pokaz to explicite w przypadku 3-wymiarowym.
Transformacje liniowe i macierze
13.3
dalej) prostokqtnej m x n - tablicy liczb. W rozpatrywanym przez nas przypadku 3-wymiarowym napiszemy przeksztalcenie
ktore zastypuje trzy oddzielne relacje, zaczynajqc odx l H T\ Xl + T\x 2 + T\X 3 J13.l4] Relacjy ty mozemy rowniez zapisac bez uZycia indeksow i bez jawnego wypisywania wspolrzydnych, jakox H Tx. Mozemy tei przyjqczapis abstrakcyjno-wskainikowy (rozdz. 12.8) i pisac "x a H Tab ~", jednak musimy pamiytac, ze to nie jest wyrazenie w skladowych, lecz przedstawia ono abstrakcyjnq (oderwanq od konkretnego ukladu wspolrzydnych) transformacjy x H Tx. (Tam, gdzie jest wazne odroznienie zapisu abstrakcyjnego od zapisu w jyzyku skladowych, bydzie to specjalnie zaznaczone). Alternatywnie mozemy zastosowac zapis grajiczny przedstawiony na rys. 13.6a. W moim opisie, wszydzie tam, gdzie roznica miydzy zapisem macierzowym (a wiyc zaleznym od konkretnego ukladu wspolrzydnych opisujqcych naSZq przestrzen wektorowq V) (T" b) a abstrakcyjnym zapisem transformacji liniowej T nie jest istotna, bydy tych notacji uiywal zamiennie.
x" H
tj.
X
H
T"b
xb
Tx (b)
(a)
Rys.13.6. (a) Transformacja Iiniowax
a
H
(c)
Tabxb, alba zapisana bez indeksow jakox H Tx (albo odczy-
tywana w zapisie abstrakcyjno-wskainikowym, jak w rozdz. 12.8), w postaci graficznej. (b) Diagramy dla transformacji Iiniowych S, T, U oraz ich iloczyny ST i STU. Kolejne czlony iloczynu rysujemy w linii pionowej, jeden pod drugim. (c) Delta Kroneckera 0;, czyli transformacja toisamosciowa J, przedstawiona jako oddzielna Iinia, dzi<,:ki czemu relacje T" b = TOe = Tbewynikaj'l w tym zapisie automatycznie (zob. rys. 12.17).
0;
0;
Rozwazmy teraz drugq transformacjy liniowq S, wykonanq pO przeprowadzeniu T. Iloczyn tych dwu transformacji, R, ktory zapiszemy jako R = ST, przedstawiony w terminach skladowych (albo w zapisie wskaznikow abstrakcyjnych), bydzie wyglqdal nastypujqCo:
~ [13.14] Wypisz to w calosci, wyjasniajqc, jak to odpowiada zapisowixa
H
Tab~'
249
13
Grupy symetrii
(stosujemy konwencjy sumacyjnq dla skladowych!)f13.1S1. Graficzny zapis iloczynu ST przedstawia rys. 13.6b. Zauwazmy, ze w zapisie graficznym, prezentujqc iloczyn transformacji liniowych, rysujemy je kolejno w ulozeniu pionowym, w dol. To jest wygodna forma zapisu, ale rownie dobrze moglibysmy przyjqc innq konwencjy, w ktorej lqczqce "linie indeksow" rysowalibysmy w ustawieniu poziomym. (Wtedy zapis algebraiczny nawet lepiej korespondowalby z graficznym.) Liniowa transformacja tozsamosciowa I rna skladowe, ktore zwykle zapisuje siy symbolem 8~ (delta Kroneckera - zgodnie z konwencjq wskazniki tej delty zapisuje siy jeden pod drugim, a nie rozsuniyte skosnie, jak w przypadku innych transformacji), gdzie
o~ =
{Io
gdy a = b, gdya *b,
i dlategof13.161
co odpowiada algebraicznym relacjom TI = T = IT. Kwadratowa macierz skladowych 8~ majedynki rozstawione wzdluzgi6wnej diagonalf 1, a wiyc od lewego gornego rogu do prawego dolnego. W przypadku n = 3 wyglqda to tak
[~ r ~l W zapisie graficznym deIty Kroneckera przedstawiamy za pomocq "oddzielnej" linii, a zaprezentowane relacje algebraiczne w tym zapisie wynikajq automatycznie; zob. rys. 13.6c. Transformacje liniowe, ktore odwzorowujq calq przestrzen wektorowq na jakis obszar (podprzestrzen) 0 mniejszym wymiarze w ramach rozpatrywanej przestrzeni, noszq nazwy transformacji osob/iwychlO. Rownowaznie warunkiem na to, zeby transformacja T byla osobliwa, jest istnienie niezerowego wektora v, spelniajqcego rownanie[13. 171 Tv=O.
fa [13.15] Jaki jest zwi'lzek miydzy R, SaT, wypisany jawnie za pomoc'l3 x 3 kwadratowej
250
tablicy skladowych? Zapisuj'lc to, zauwaiymy uZycie zwyklej reguly mnozenia macierzy Gesli juz wczesniej z tym siy zetknylismy). fa [13.16] SprawdZ to. [*] W Polsce uiywamy na og6l terminu "elementy diagonalne" (przyp. dum.). j:iJ [13.17] Dlaczego? Pokaz, ze tak jest, w szczeg6lnosci jesli tablica skladowych rna jedn'l z kolumn skladaj'lc'l siy z samych zer alba dwie identyczne kolumny. Dlaczego jest tak, r6wniez w przypadku, gdy identyczne S'l dwa wiersze? Wskazowka: rozwaz to, posluguj'lc siy podanym dalej warunkiem wyznacznikowym.
Transformacje liniowe i macierze
13.3
Jesli transformacja Tnie jest osobliwa, to rna transformacjy odwrotnq(J3.l8J, T- 1 takq, ze
TT- 1 = I
=
T-1T.
Relacje te mozemywygodnie przedstawiew zapisie graficznym; zob. rys.13.7, w ktorym wprowadzitem poiyteczny graf, przedstawiajqcy wielkosci antysymetryczne (Levi-Civity) c a ...c oraz E a . c (z warunkiem normujqcym ca.cE a . c = n!), ktore zostaly wprowadzone w rozdz. 12.7 i na rys. 12.18[13.19J. Algebra macierzowa (zainicjowana w 1858 roku przez niezwykle plodnego angielskiego matematyka i prawnika Arthura Cayleya)1I znajduje wiele zastosowan (na przyklad w statystyce, naukach technicznych, krystalografii, psychologii, technikach obliczeniowych - nie wspominajqc mechaniki kwantowej). Dziyki niej uzyskujemy uogolnienie algebry kwaternionow oraz algebr Clifforda i Grassmanna omawianych w rozdz. 11.3, 5, 6. W dalszym ciqgu bydy uiywal zwyklych duiych pogrubionych liter (A, B, C, ... ) do oznaczenia macierzy (natomiast abstrakcyjne transformacje liniowe bydy oznaczal pogrubionq kursywq). Ograniczajqc siy do macierzy n x n, dla ustalonego n, skoro mamy zdefiniowane pojycia dodawania i mnozenia, mozemy sformulowae standardowe reguly algebry macierzowej A + B = B + A,
A + (B + C) = (A + B) + C, A(BC) = (AB)C,
A(B + C) =AB +AC,
(A+ B)C =AC + BC.
(Kaidy element A + B jest po pro stu sumq odpowiednich elementow A i B.) Na ogol jednak nie obowiqzuje prawo przemiennosci mnozenia, a wiyc AB "* BA. Ponadto, jak juz wiemy, niezerowe macierze n x n nie zawsze majq macierze odwrotne. Naleiy zauwaiye, ze reguly tej algebry rozciqgajq siy na przypadek macierzy prostokqtnych m x n, gdzie m nie musi bye rowne n. Jednak dodawanie miydzy macierzami m x nip x q jest okreslone tylko wtedy, gdy m = pin == q; mnozenie jest zdefiniowane tylko gdy n == p, a w wyniku powstaje macierz m x q. Ta rozszerzona algebra uwzglydnia iloczyny typu Tx, jakie rozwazalismy poprzednio, gdzie kolumny wektora x traktujemy jako macierz n x 1[13.20J.
Rys. 13.7. Graficzne przedstawienie 1\ odwrotnosci nieosobliwej macierzy T 0 wymiarze n x n, z uiyciem graficznej postaci antysymetrycznych wielkosci Levi-Civity, Ea... , oraz Ea ... , (z warunkiem normujllcytn Ea .. .cEa... , = n!), kt6re zostaly wprowadzone w rozdz. 12.7 i na rys. 12.18.
..§! [13.18] Pokaz dlaczego, nie korzystaj,!c z jawnych wyrazen . ..§! [13.19] Udowodnij bezposrednio, postuguj,!c sic< relacjami graficznymi z rys. 12.18, ze z tej definicji wynika, iz Tli =1 = lIT. Wskaz6wka: zob. rys. 13.8.
fa [13.20] Wyjasnij to i przedstaw petne algebraiczne reguty dla macierzy prostok,!tnych.
251
13
Grupy symetrii
Ogolna grupa liniowa GL(n) jest grup,! symetrii n-wymiarowej przestrzeni wektorowej ijej jawn,! realizacjy stanowi multiplikatywna grupa nieosobliwych macierzy n x n. Jesli chcemy podkreslic, ze nasza przestrzen wektorowa jest rzeczywista i ze liczby wystypuj,!ce w elementach macierzowych s,! liczbami rzeczywistymi, w6wczas m6wimy 0 pelnej grupie liniowej GL(n, lR). Mozemy r6wniez rozwaiyc przypadek zespolony i wtedy otrzymamy peln,! grupy liniow,! GL(n, q. Kazda z tych grup ma podgrupy normaln,!, oznaczan'!, odpowiednio, jako SL(n, lR) i SL(n, q albo, kr6cej, gdy wiadomo, czy jest to grupa liniowa nad cialem (zob. rozdz. 16.1), lR czy C - piszemy SL(n) i m6wimy 0 specjalnej grupie liniowej. Grupy te uzyskujemy, jesli ograniczymy siy wyl,!cznie do macierzy 0 wyznaczniku 1. Pojycie wyznacznika wyjasnimy w nastypnym rozdziale.
13.4 Wyznaczniki i slady Co to jest wyznacznik macierzy n x n? Jest to okreslona liczba, kt6r'! wyliczamy z element6w tej macierzy i kt6ra znika wtedy i tylko wtedy, gdy macierz jest osobliwa. W zapisie graficznym otrzymujemy wygodne i jawne przedstawienie wyznacznika; zob. rys. 13.8a. W zapisie wskaznikowym jest to
ln! Eab ...d r aTfb'"
Th
f d
ef. ..h
a d E ..
gdzie wielkosci i f e... h S,! antysymetrycznymi tensorami Levi-Civity, unormowanymi, w przypadku przestrzeni n-wymiarowej, relacj,! Ea ... df
a ... d
=n!
(przypomnijmy, ze n! = 1 x 2 x 3 X ••• X n), gdzie mamy n indeks6wa, ... , d oraz e, ... ,h. Wyznacznik ten bydziemy oznaczali symbo1em det (Tab) albo det T (a czasem ITilub nawet jak sam,! macierz, zastypuj,!c tylko nawiasy okr,!gle pionowymi
(a)
(b)
In
Rys. 13.8. (a) Graficzny zapis wyznacznika det (T" b) = det T = (b) Graficzny dow6d, ze det (ST) = det (S) det (T). Poziom,! kresk~ antysymetryzacji mozemy wstawic do wyrazu srodkowego, poniewaZ linie wskaznik6w, kt6re przecina, s,! juz antysymetryczne. Zob. rys. 12.17 i 12.18.
=
252
Wyznaczniki i slady
13.4
kreskami). W szczegolnych przypadkach macierzy 2 x 2 i 3 x 3 mamy nastypuj,!ce wyrazenia dla wyznacznikow[13.21]
~)=ad-bC,
det(: a
b
det d
e
[
g
~1~ aej - afla bfg - bdj + edh - eeg.
h
Wyznacznik spelnia wazn,! i interesuj'!c'! relacjy det AB
det A det B,
=
ktor'! latwo wyprowadzic z zapisu graficznego (rys. 13.8b). Zasadniczymi elementami S,! formuly zilustrowane na rys. 12.18[13.22], ktore, jesli je przedstawic w zapisie wskaznikowym, wygl,!daj,! nastypuj,!co: E a ... c " = C,f. ..h
n'
,,[a • v
"c] f ... v h
(zob. rozdz. 11.6 w sprawie zapisu nawiasowo-wskaznikowego), oraz E
ab c ... f
fb···c
= (n -
1)! 8fa •
Istnieje rownieZ pojycie sladu['] macierzy (albo transformacji liniowej) trace T = T aa = T\ + T22 + ... + T
n n
(tzn. suma wszystkich elementow diagonalnych - zob. rozdz. 13.3), ktore ilustruje graficznie diagram na rys. 13.9. Inaczej niZ w przypadku wyznacznikow, nie istnieje zadna specjalna relacja miydzy sladem iloczynu AB dwoch macierzy a sladami macierzy A i B. Zamiast tego mamy relacjy[13.23] trace (A + B)
=
trace A + trace B.
Istnieje waZny zwi(!Zek miydzy wyznacznikiem i sladem w przypadku wyznacznika "infinitezymalnej" transfomacji liniowej, danej jako macierz kwadratowa n x n o postaci I + fA, gdzie liczba f jest uwazana za "infinitezymalnie mal,!", dziyki
Rys. 13.9. Graficzne przedstawienie sladu macierzy T (= T"J. ~
[13.21] Wyprowadz to z wyrazen graficznych rysunku 13.8a.
!!J!l [13.22] Pokaz dlaczego. [*] W pismiennictwie polskim do oznaczenia sladu jakiejs macierzy A uZywa sit( zapisu Tr A (od angielskiego trace) lub Sp A (od niemieckiego Spur) ~ [13.23] Pokaz to.
przyp. Hum.
253
13
Grupy symetrii
czemu mozemy zaniedbae wyrazy zawieraj,!ce E2 (jak r6wniez, oczywiscie, wyzsze potygi E). W takim przypadku znajdujemy, ze[!3.24] det(I + EA) = 1 + E trace A (zaniedbuj,!c E2, E3 etc.). W szczeg6lnosci elementy infinitezymalne grupy SL(n), tj. elementy SL(n) reprezentuj,!ce infinitezymalne obroty, kt6re wszystkie maj,! wyznacznik 1 (w przeciwienstwie do element6w grupy GL(n)), charakteryzuj,! siy tym, ze wszystkie macierze A w I + EA maj,! wyznacznik zero. Znaczenie tego faktu poznamy w rozdz. 13.10. Podany wz6r moze bye wykorzystany do przypadku skonczonych (a wiyc nieinfinitezymalnych) transformacji linowych przez wyrazenie[13.25]
gdzie symbol "eA " rna dokladnie tak'! sam,! definicjy jak w przypadku zwyklych liczb (zob. rozdz. 5.3), a wiyC
eA = I + A + 2"lA2 +"6lA3 + 24lA4 + ... Do tych spraw wr6cimy jeszcze w rozdz. 13.6 i 14.6.
13.5 Wartosci wfasne i wektory wfasne Do najwai:niejszych pojye zwi'!zanych z transformacjami liniowymi nalez'! pojycia "wektor6w wlasnych" i "wartosci wlasnych". Jak siy 0 tym przekonamy w rozdz. 21.5 i 22.1, 5, pojycia ta maj,! ogromne znaczenie zar6wno w mechanice kwantowej, jak i wielu innych dzialach matematyki i jej zastosowan. Wektorem wlasnym transformacji liniowej T nazywamy niezerowy zespolony wektor v, kt6ry transformacja T przeksztalca w jego wielokrotnose. Inaczej m6wi,!c, istnieje liczba zespoIon a A, nazywana wartoSciq wlasnq, dla kt6rej
Tv =AV, czyli T"b vb =AV a • R6wnanie to mozna r6wniez zapisae w postaci (T -AI)V = 0, a wiyc jesli A oznacza wartose wlasn,! T, to wielkose T - AI musi bye osobliwq. I odwrotnie, jesli T - AI jest wielkosci,! osobliw,!, to A jest wartosci,! wiasn,! T. Zauwazmy przy tym, ze jesli v jest wektorem wlasnym, to jest nim r6wniez kazda niezerowa zespolona wielokrotnose v, co oznacza, ze transformacja T nie zmienia l-wymiarowej zespolonej przestrzeni tych czynnik6w, i jest to wiasnose, kt6ra charakteryzuje v jako wektor wlasny (rys. 13.10).
1m [13.24] Pokaz to.
m
254
[13.25] Udowodnij to. Wskaz6wka: ui:yj "kanonicznej postaci" macierzy wyrazonej przez jej wartosci wlasne - jak to opisujemy w rozdz. 13.5 - zakladajqc, ze te wartosci wlasne nie Sq jednakowe (i zob. ewiczenie [13.27]). Ui:yj nastypnie argumentu ogolnego, aby pokazac, ze rownosc niektorych wartosci wtasnych nie likwiduje tozsamosci tego rodzaju.
Wartosci wtasne i wektory wtasne
13.5
Rys. 13.10. Dzialanie transformacji liniowej T. Jej wektory wlasne zawsze tworzil przestrzenie liniowe przechodzilce przez pocziltek ukladu (tutaj trzy linie). T nie zmienia tych przestrzeni. W tym przykladzie istniejil dwie (niejednakowe) wartosci wlasne dodatnie (strzalki skierowane na zewniltrz) i jedna ujemna (strzalki skierowane do wewniltrz).
Z przedstawionych rozwazan wynika, ze warunkiem, aby liczba A byla wartoscill wlasnll transformacji T, jest rownanie det (T -AI) = O. Wypisujllc to w jawnej postaci, otrzymamy rownanie algebraiczne (wielomianowe )113.26 J stopnia n w zmiennej A. Na podstawie "podstawowego twierdzenia algebry", podanego w rozdz. 4.2, ten wielomian w A mozemy sprowadzie do postaci iloczynu czynnikow liniowych. W ten sposob podane rownanie redukuje siy do nastypujllcej postaci
gdzie liczby zespolone A]' ..1,2' ..1,3' ••• , An Sll roznymi wartosciami wlasnymi transformacji T. W szczegolnych przypadkach niektore z tych czynnikow mogll bye identyczne i wtedy mamy do czynienia z wartosciq wlasnq wielokrotnq. Krotnose m wartosci wlasnej Ar wskazuje, ile razy czynnik Ar - A pojawia siy w podanym iloczynie. Dla macierzy kwadratowej n x n calkowita liczba wartosci wlasnych T, uwzglydniajllc ich krotnose, zawsze wynosi n[13. 27 1. W przypadku wartosci wlasnej ..1,0 krotnosci r przestrzen odpowiednich wektorow wlasnych tworzy przestrzen liniowll 0 wymiarze d, gdzie 1 :::;; d :::;; r. Dla pewnych typow macierzy, w1llczajllc w to macierze unitarne, hermitowskie i normaIne - najbardziej interesujllce dla mechaniki kwantowej (zob. rozdz. 13.9, 22.4,6) - zawsze maksymalny wymiar d = r (niezaleznie od tego, ze dla danego r, d = 1 stanowi najbardziej "ogolny" przypadek). To siy szczysliwie sklada, poniewaz przypadki (bardziej ogolne), dla ktorych d < r, Sll bardziej skomplikowane. W mechanice kwantowej krotnosci wartosci wlasnych noszll nazwy degeneracji (zob. 22.6, 7). ~ [13.26] Sprawdz, czy potrafisz przedstawic wsp6lczynniki tego wielomianu w postaci graficznej. Zr6b to dla przypadk6w n = 1 in = 2. ~ [13.27] Pokaz, ze det T = A]A2A3 ... An oraz trace T = A] + A2 + A3 + ... + An'
255
13
Grupy symetrii
Bazq n-wymiarowej przestrzeni wektorowej V jest uporz'!dkowany zbior e = (e l , ... , en) n wektorow el' ... , en' ktore s,! liniowo niezaleine, co oznacza, ze nie zachodzi miydzy nimi zwi,!zek typu ale I + ... + anen = 0, gdy wszystkie liczbyal' ... , an nie S,! rowne zeru. Kazdy element V jest wowczas jednoznaczn'! kombinacj,! liniow,! tych elementow bazy[13.28]. W rzeczywistosci wlasnose ta charakteryzuje bazy rownie.z w bardziej ogolnym przypadku, gdy przestrzen V jest nieskonczenie wielowymiarowa, jesli sarna niezaleznose liniowa nie jest wystarczaj,!ca. W ten sposob, przy zadanej bazie e = (el' ... , en)' dowolny element x przestrzeni V moze bye jednoznacznie przedstawiony jako
r,
(zauwa.zmy, ze indeksy j nie S,! tutaj indeksami abstrakcyjnymi), gdzie zbior (Xl, ... , xn) jest uporz,!dkowanym zbiorem skladowych wektora x w bazie e (por. z rozdz. 12.3). Nieosobliwa transformacja liniowa T zawsze przeksztalca jedn,! bazy w inn,!; ponadto, jesli e if S,! dwiema danymi bazami, wowczas istnieje jednoznaczna transformacja T, ktora przeksztalca kazdy element e.J w odpowiadaj,!CY mu element!: J
W bazie e skladowe samych wektorow bazy el' e2 ••• , en' wynosz'!, odpowiednio, (1,0,0, ... ,0), (0, 1,0, ... ,0), ... , (0, 0, 0, ... , 1). Inaczej mowi,!c, skladowe ej maj,! w bazie e, wowpostae (8 J1 ,8 J2 8 J3, ... , 8 nJY13·29]. Gdy wszystkie skladowe s,! zapisane . czas znajdujemy, ze T moze bye zapisana jako macierz T', a skladowef w bazie e J J byd,! [13.30]
Naleiy przypomniee, ze roznica miydzy transformacj,! liniow,! a macierz,! sprowadza siy do tego, ze macierz jest zapisana w pewnej bazie, podczas gdy transformacja liniowa jest niezalezna od wyboru bazy. Teraz, zakladaj,!c, ze dla kazdej wielokrotnej wartosci wlasnej T (jesli takie s'!) spelniony jest warunek d = r, tzn. wymiar jej przestrzeni wlasnej jest rowny jej krotnosci, wowczas mozemy znaleze bazy (e 1, •.• , en) w V, ktorej kazdy element jest wektorem wlasnyrn T[13.31]. Niech te wartosci wlasne byd,! liczbami AI' A2, ••• , An:
~
[13.28] Pokaz to.
is [13.29] Wyjasnij ten zapis. ~ ~
256
[13.30] Dlaczego? Jak wyrai:ajq sit( skladowe ej w bazieJ? [13.31] Sprawdz, czy potrafisz to udowodnic. JfSkaz6wka: dla kai:dej wartosci wlasnej o krotnosci r wybierz r liniowo niezaleznych wektor6w. Pokaz, ze liniowy zwiqzek pomit(dzy tymi wektorami, jesli podzialamy z lewej strony przez T, prowadzi do sprzecznosci.
Teoria reprezentacji i algebry Liego
13.6
Jesli, jak poprzednio, T przeksztalca bazy e w bazy J, wowczas elementy bazy f wynosz~fj = AjeI'fz = Aze z, ... ,J" = Anen' Z tego wynika, ze T, zapisana w bazie e, przyjmuje postae macierzy diagonalnej
tzn. T: = AI' T~ = Az' ... , T~ = An' a wszystkie pozostale skladowe s~ rowne zeru. Ta kanoniczna postac transformacji liniowej jest bardzo uZyteczna zarowno z pojyciowego, jak i obliczeniowego punktu widzenia 12•
13.6 Teoria reprezentacji i algebry Liego
Waznym obszarem idei szczegolnie istotnych dla teorii kwantowej jest teoria reprezentacji grup. Z bardzo prostym przykladem reprezentacji grupy zetknylismy siy juz w rozdz. 13.1, gdzie zauwaZylismy, ze bezodbiciowe symetrie kwadratu mog~ bye reprezentowane przez liczby zespolone, a mnozenie grupowe jest wiernie reprezentowane przez mnozenie liczb zespolonych. Niestety, nic rownie prostego nie da siy zastosowae do grup nieabelowych, poniewaz mnozenie liczb zespolonych jest przemienne. Z kolei transformacje liniowe (lub macierze) na ogol nie s~ przemienne, wiyc mog~ stanowie obiecuj~ce elementy do reprezentowania grup nieabelowych. I rzeczywiscie, juz na pocz~tku rozdz. 13.3 grupy obrotow 0(3) przedstawilismy za pomoq transformacji liniowych w trzech wymiarach. W rozdz. 22 zobaczymy, ze cala mechanika kwantowa opiera siy na transformacjach liniowych. Ponadto rozne grupy symetrii, takie jak grupa obrotow 0(3), grupy symetrii teorii wzglydnosci (rozdz. 18) czy symetrie wewnytrzne oddzialywan cz~stek elementarnych (rozdz. 25), maj~ istotne znaczenie we wspolczesnej teorii cz~stek elementarnych. Nie dziwi wiyc ze w szczegolnosci reprezentacje tych grup, w terminach transformacji liniowych, odgrywaj~ fundamentaln~ roly w fizyce kwantowej. Okazuje siy jednak, ze fizyka kwantowa (zwlaszcza kwantowa teoria pola, przedstawiona w rozdz. 26) ma CZysto do czynienia z transformacjami liniowymi w przestrzeniach 0 nieskonczonej liczbie wymiarow. JednakZe, dla ulatwienia, omowiy najpierw reprezentacje w jyzyku transformacji liniowych w przypadku skonczonej liczby wymiarow. Wiykszose idei, z ktorymi w tym przypadku siy zetkniemy, ma zastosowanie rowniez do reprezentacji nieskonczenie wymiarowych, aczkolwiek istniej~ roznice, ktore w pewnych okolicznosciach staj~ siy istotne.
257
13
Grupy symetrii
Czym jest reprezentacja grupy? Rozwai:my grupy g. Teoria reprezentacji zajmuje siy znajdowaniem podgrupy grupy GL(n) (tzn. multiplikatywnej grupy macierzy n x n), majl!cej takl! wlasnose, ze kazdemu elementowi g grupy 9 odpowiada transformacja liniowa T(g), nalezl!ca do GL(n), i reguly mnozenia grupowego w 9 odpowiadajl! dokladnie regulom mnozenia tych transformacji w GL(n). A wiyc dla dwu elementow g, h grupy 9 zachodzi relacja
T(g)T(h) = T(gh). Reprezentacjy nazywamy wiemq, jesli roznym elementom grupy 9 odpowiadajl! rozne transformacje T. W takim przypadku otrzymujemy identycznl! kopiy grupy 9 jako podgrupy grupy GL(n). W rzeczywistosci kai:da grupa skonczona rna reprezentacjy wieml! w GL(n, JR.), gdzie n jest rZydem grupy 9 [13.32], i zwykle jest wiele reprezentacji niewiemych. Choe nie jest prawdl!, ze kazda (skonczenie wymiarowa) grupa cil!gla rna wieml! reprezentacjy w GL(n). Jesli jednak nie interesujl! nas globalne aspekty grupy, wowczas (lokalnie) znalezienie takiej reprezentacji jest zawsze mozliwe 13 • Istnieje piykna teoria, ktorej tworq byl niezwykle oryginalny matematyk norweski Sophus Lie (1842-1899), prowadzl!ca do pelnego opisu lokalnej teorii grup cil!glych. (Grupy cil!gle Sl! powszechnie nazywane "grupami Liego"; zob. rozdz. 13.1.) Teoria ta zajmuje siy badaniem infinitezymalnych elementow grupi 4 • Elementy infinitezymalne tworzl! pewien rodzaj algebry - zwanej algebrq Liego ktora zawiera peIne informacje 0 lokalnej strukturze grupy. Algebra Liego nie daje nam pelnej globalnej struktury grupy, ale zwykle traktuje siy to jako rzecz mniejszej wagi. Co to jest algebra Liego? Przypusemy, ze mamy macierz (albo transformacjy liniowl!) 1+ eA, ktora reprezentuje pewien "infinitezymalny" element a grupy cil!glej g, gdzie f uwazamy za "male" (por. koncowe fragmenty rozdz. 13.4).Tworzl!c macierz iloczynu I + fA i I + fB, ktora bydzie reprezentowae iloczyn ab dwu elementow grupy, a i b, otrzymamy
(I + eA)( I + fB) =1 +f(A +B) + f2AB =1 + f(A +B), gdzie zaniedbalismy wielkose f2, traktujl!c jl! jako "zbyt mall!". Zgodnie z tym rozumowaniem, macierz sumy A + B reprezentuje iloczyn grupowy ab dwoch infinitezymalnych elementow a i b. I rzeczywiscie, operacja sumy jest cZyscil! algebry Liego wielkosci A, B, ... Ale suma jest przemienna, podczas gdy grupa 9 moze bye nieabelowa, a wiyc nie uchwycimy wiele ze struktury grupy, skoro ograniczymy siy tylko do sum (w zasa-
258
B [13.32] Pokaz to. ffikaz6wka: oznacz kazd,! kolumnl( macierzy reprezentacji przez oddzielny element grupy skonczonej 9 i oznacz kaidy wiersz odpowiednim elementem grupy. Umiesc 1 w dowolnym polozeniu w macierzy, dla kt6rej spelniona jest pewna relacja (znajdz tl( relacjl(!) mil(dzy elementem 9 znakuj'!cym wiersz, elementem znakuj,!cym kolumnl( oraz elementem 9, kt6ry tl( macierz reprezentuje. Jesli ta relacja nie jest spelniona, umiesc O.
Teoria reprezentacji i algebry Liego
13.6
dzie tylko wymiar Q). Nieabelowa natura Q przejawia siy w komutatorach grupy, ktarymi s(! wyrazenia[1333 j
Zapiszmy to wyrazenie za pomoq wyraZen typu 1 + &4, posluguj(!c siy rozwiniyciem w szereg potygowy (I + eAtl = 1 - eA + eZA z - e3A 3 + ... (prawdziwose tego rozwiniycia latwo sprawdzie, mnoz(!c obie strony tego wyrazenia przez 1 + &4). Tym razem zaniedbujemywyrazy z e3 , traktuj(!c je jako zbyt male, ale zachowujemy wyrazy rZydu eZ, i otrzymujemy[13.341: (I + eA)(1 + eB)(1 + &4t\1 + eBtl
= (I + &4)(1 + eB)(1 - eA + eZAZ) (I - eB + eZBZ) = 1 + eZ(AB - BA). Rachunek ten informuje nas, ze jesli chcemy w sposab precyzyjny udowodnie nieabelowose grupy Q, to musimy uwzglydniC "komutatory" alba nawiasy Liego
[A,B] =AB-BA. Algebry Liego konstruujemy, stosuj(!C operacje +, jej odwrotnosci -, oraz operacjy nawiasu [ , ], przy czym zwykle uwzglydnia siy tez operacjy mnozenia przez zwykle liczby (ktare mog(! bye zarawno rzeczywiste, jak i zespolone). Addytywny aspekt tej algebry rna normaln(! struktury przestrzeni wektorowej (tak jak w przypadku kwaternionaw w rozdz. 11.1). Ponadto nawiasy Liego spelniaj(! prawa rozdzielnosci etc., mianowicie
[A + B, C] = [A, C] + [B, C], [AA, B] = A[A, B], wykazuj(! wlasnose antysymetrii
[A, B]
= - [B,A],
(sk(!d wynikaj(! relacje [A, C + D] = [A, C] + [A, D], [A, AB] = A[A, B]) oraz elegancka relacja znana pod nazw(! toisamosci Jacobiego[13.35 j
[A, [B, C]] + [B, [C,A]] + [C, [A, B]]
=
0
(bardziej ogaln(! postae tej tozsamosci spotkamy w rozdz. 14.6). W przestrzeni wektorowej naszych macierzy A, B, C, ... mozemy wybrae bazy (El' E z' ... , EN) (w przypadku gdy reprezentacja jest wierna, to N jest wymiarem grupy Q). Tworz(!c razne komutatory [Ea' Ep], mozemy je wyrazie poprzez elementy bazy, otrzymuj(!c relacje (jesli stosujemy konwencjy sumacyjn(!)
[Ea' Ep]
=
Ya/Ex·
[8 [13.33] Dlaczego to wyraienie przedstawia jedynie t02:samosciowy element grupy, gdya
i b komutujq? .gl [13.34] Przeprowadz jawnie obliczenia "rzydu .gl [13.35] Pokai to.
2 t: " •
259
13
Grupy symetrii
(a)
(b)
= 0,
tj.
Rys. 13.11. (a) Stale strukturalne r,i w formie graficznej, antysymetryczne w a i p. (b) Tozsamosc Jacobiego.
N 3 wielkosci Ya/ nosi nazwy stalych strukturalnych grupy g. Nie wszystkie stale Sq niezalezne, poniewaZ spelniajq relacje (zob. rozdz. 11.6, gdzie objasniamy zapis nawiasowy): Yaf3x -__ Yaf3x' Y[af3 qyxlq ~-O -
na mocy antysymetrii i tozsamosci Jacobiego[13.361• Relacje te w formie graficznej przedstawione Sq na rysunku 13.11. Jest godne uwagi, ze struktura algebry Liego dla reprezentacji wiernej (co oznacza, w zasadzie, znajomose stalych strukturalnych Ya / ) zupelnie wystarcza do okreslenia dokladnego lokalnego charakteru grupy g. Przez slowo "lokalny" rozumiemy tutaj (wystarczajqco maly) N-wymiarowy obszar otwarty N, otaczajqcy element tozsamosciowy I w "rozmaitosci grupowej" g, ktorej punkty przedstawiajq rozne elementy grupy 9 (zob. rys. 13.12). W istocie, startujqc z jakiegos elementu A grupy Liego, mozemy skonstruowae odpowiedni skonczony (tzn. nieinfinitezymalny) element grupy, za pomocq operacji wykladniczej e A , zdefiniowanej pod koniec rozdz. 13.4. (Dokladniej rozwaiymy to w rozdz. 14.6.) W ten sposob teoria reprezentacji grup ciqglych przez transformacje liniowe (albo macierze) moze bye sprowadzona do badania reprezentacji algebr Liego za pomocq takich transformacji, co jest normalnq praktykq w fizyce.
9
I
..../ --.o1llilili1llilll1lr.,:0;/ 260
jlI [13.36] Pokaz to.
Rys. 13.12. Algebra Liego dla (wiernej) reprezentacji grupy Liego 9 (co oznacza, w zasadzie, znajomosc staIych strukturalnych r,i) determinuje lokaln
Przestrzenie reprezentacji tensorowych; redukowalnosc
13.7
Jest to szczegolnie wazne w mechanice kwantowej, w ktorej same elementy algebry Liego w zadziwiaj,!CY sposob interpretuje sit( czt(sto bezposrednio jako wielkosci fizyczne (np. moment pt(du, gdy grupa Q jest grup,! obrotow. Przekonamy sit( o tym w rozdz. 22.8). Macierze algebry Liego maj,! na ogol znacznie prostsz,! strukturt( niz macierze odpowiedniej grupy Liego, gdyz s,! poddane ograniczeniom bardziej liniowym niz nieliniowym (zob. rozdz. 13.10 dla przypadku grup klasycznych). Fizycy kwantowi uwielbiajq procedury tego rodzaju!
13.7 Przestrzenie reprezentacji tensorowych; redukowalnosc Istniejq sposoby konstruowania bardziej zlozonych reprezentacji grupy Q, kiedy punktem wyjscia jest jakas szczegolna reprezentacja. Jak to sit( robi? Zalozmy, ze grupt( Q reprezentuje pewna rodzina T transformacji liniowych dzialajqcych na n-wymiarowq przestrzen wektorow'! V, ktora nosi nazwt( pnestneni reprezentacji grupy Q. Kazdy element t nalez'!cy do Q jest reprezentowany przez odpowiedniq transformacjt( liniowq T nalezqcq do T, przy czym x f-7 Tx dla kazdego x nalezqcego do V. W zapisie (abstrakcyjno-)-wskainikowym (rozdz. 12.7) przyjmuje to postac x a f-7 TabX b, jak w rozdz. 13.3 alba w zapisie graficznym, jak na rys. 13.6a. Sprawdimy, w jaki sposob mozna znaleic inne przestrzenie reprezentacji dla grupy Q, przyjmujqc za punkt wyjscia danq przestrzen V. Jako pierwszy przyklad przywolajmy definicjt( przestrzeni V* dualnej wobec przestrzeni V (z rozdz. 12.3). Elementy przestrzeni V* Sq zdefiniowane jako mapy liniowe z V na skalary. Dzialaniey (w przestrzeni V*) na elementxw przestrzeni V zanotujemy jako yax a , w zapisie wskainikowym rozdz. 12.7. Wczesniej, w rozdz. 12.3, uiylibysmy zapisuy.x (poniewazy.x = yax a), ale teraz mozemy posluiyc sit( zapisem macienowym yx =yax a, gdzie y traktujemy jako wektor wierszowy (tzn. macierz prostokqtnq 1 x n), a x jako wektor kolumnowy (macierz n x 1). Zgodnie z naszq transformacjq x f-7 Tx, ktorq teraz traktujemy jako transformack macienowq, przestrzen dualna V* podlega transformacji liniowej Y f-7 yS, czyli Y f-7 ybSb , a
gdzie S jest odwrotnosciq T S = T- 1, a wipc Y
a
sabTbe=e8a'
poniewaz, jesli x f-7 Tx, musimy miec y f-7 yT-J, aby zapewnic, ze iloczyn yx jest zachowany przez relacjt( f-7. Uiycie w podanych formulach wektora wierszowego y wprowadzilo niestandardowy porzqdek mnozenia. Zwykle wolimy zapisywac te relacje w odwrotnej kolejnosci, poslugujqc sit( pojt(ciem macierzy AT, ktorq nazywamy macierzq trans-
261
13
Grupy symetrii
ponowanq (albo transpozycjq) macierzy A. Elementy macierzy AT s£! identyczne z elementami macierzy A, z t£! roznic£!, ze wiersze i kolumny zostaly zamienione miejscami. Jesli macierz A jest macierz£! kwadratow£! (n x n), to tak£! jest rowniez macierz AT, z tym ze w porownaniu z macierz£! A jej elementy zostaly jakby odbite wzglydem glownej przek£!tnej (zob. rozdz. 13.3). Jesli macierz Ajest macierz£! prostok£!tn£! (m x n), wowczas macierz AT jest macierz£! n x m, z odpowiednim odbiciem. W tej konwencji yT jest standardowym wektorem kolumnowym i poprzedni£! relacjy y ~ yS mozemy zapisae jako yT ~STyT, albowiem transpozycja Todwraca porz£!dekmnozenia: (AB)T =BTAT. Widzimywiyc, ze przestrzen V·, dualna wobec jakiejkolwiek przestrzeni reprezentacji V, jest sarna przestrzeni£! reprezentacji grupy Q. Zwroemy uwagy, ze operacja wziycia odwrotnosci -I rowniez odwraca porz£!dek mnozenia, (ABtl = B-1A-1 [13.37], a zatem niezbydny dla regul mnozenia reprezentacji porz£!dek jest zachowany. Te same rozwazania stosuj£! siy do roznych przestrzeni wektorowych tensorow konstruowanych z V; zob. rozdz. 12.8. Przypomnijmy, ze tensor Q 0 walentnosci [P] (nad przestrzeni£! wektorow£! V) w zapisie wskaznikowym moze bye przedq stawiony jako wielkose
Q!"'\ a ... c o q indeksach dolnych i p gomych. Wektory 0 tej samej walentnosci mozemy do siebie dodawae, a takZe mnoZye przez skalary; tensory 0 ustalonej walencji [P ] tworz£! przestrzen wektorow£! 0 wymiarze n p +q (calkowita liczba skladowych)l13.3'S]. Tensor Q traktujemy jako nalez£!cy do przestrzeni wektorowej, ktor£! nazywamy iloczynem tensorowym
V· ® V· ® ... ® V· ® V ® V ® ... ® V q kopii przestrzeni dualnych V· oraz p kopii przestrzeni V (p, q :? 0). (Pojycie "iloczynu tensorowego" omowimy szczegolowo w rozdz. 23.3.) Do naszych celow w tym miejscu wystarczy abstrakcyjna definicja tensora jako funkcji wieloliniowej, podana w rozdz. 12.8 (aczkolwiek s£! pewne subtelnosci, dotycz£!ce przypadku przestrzeni V 0 nieskonczonej liczbie wymiarow, ktore maj£! znaczenie w zastosowaniach do wielocz£!stkowych stanow kwantowych; bydziemy ich potrzebowae w rozdz. 23.8)15. Za kaZdym razem gdy transformacja liniowax a ~ Tabxhwykonywana jest na V, indukuje ona odpowiedni£! transformacjy liniow£! na podanej przestrzeni iloczynu tensorowego. Jawna postae tej transformacji jest nastypuj£!ca[13.39]: h
Qaf......c ~
[13.37] Dlaczego? [13.38] Skqd ta liczba? ~ [13.39] Udowodnij to. ~
262
L--'
r-7
sa' a .•• SC' c Tf f' ••• Th h' Qf'a', .....c'· h'
Przestrzenie reprezentacji tensorowych; redukowalnosc
13.7
Rys.13.13. Transformacja liniowax" ~ T'bx!', zastosowana do x w przestrzeni wektorowej V (transformacja T zobrazowana jest jako bialy tr6jkllt), przenosi sil( na przestrzen dualn,! V· poprzez transformacjl( odwrotn,! S = T-! (na diagramie odpowiada jej tr6jk,!t czarny) i st,!d na przestrzenie V· ® ... ® V· ® V ® ... ® V [P]-walentnych tensor6w Q. Rysunek ilustruje przyq 'Jest przez padekp =3, q =2.Q Tensor reprezentowany owal 0 trzech ramionach i dw6ch nogach, co odpowiada relacji Qabcde ~ S' a,Sb' b' T C c', Td d" T e e" Qa,/d'e'.
Zapis taki wymaga zarowno dobrego wzroku, jak i wielkiej starannosci, aby miec pewnosc, co z Czym siy sumuje; dlatego rekomendujy znacznie bardziej czytelny zapis graficzny, pokazany na rys. 13.13. Widzimy, ze kazdy indeks dolny Q'" transformuje siy przez macierz odwrotnl! 8 =.1 (albo raczej przez 8 T), takjaky~; a kaZdy indeks gomy przez T, jakx a • W takim razie przestrzen tensorow [:]-walentnych nad V jest rowniez przestrzenil! reprezentacji grupy g, 0 wymiarze n p + q • Takie przestrzenie reprezentacji sl! jednak na ogol redukowalne. Aby zilustrowac to pojycie, rozwazmy przypadek [~]-walentnego tensora OOb. KaZdy taki tensor mozna rozloZyc na jego cz~§c symetrycznq. Q(ab) i CZySC antysymetrycznq. Q[ab] (rozdz. 12.7 i 11.6):
gdzie
t
Q(ab) = (OOb + ~a),
t
Q[ab] = (OOb _ Qba).
Wymiar przestrzeni symetrycznej V+ wynosi tn(n + 1), a wymiar przestrzeni antysymetrycznej V_ jest n(n - 1)l13.401. Nietrudno przekonac siy, ze przy transformacji
t
x a ~ TabX b, takiej ze OOb ~ TacTbdQCd, cZysci symetryczna i antysymetryczna transformujl! siy do tensorow, ktore Sl! nadal, odpowiednio, symetryczne i antysymetryczne[13.411. W takim razie przestrzenie V+ i V_ sl!, oddzielnie, przestrzeniami reprezentacji grnpy g. Gdy dokonamy takiego wyborn bazy przestrzeni V, ktory zapewnia, ze n(n + 1) elementow tej bazy naleZy do V+' a pozostaie n(n - 1) do V_, otrzymujemy reprezentacjy, ktorej wszystkie macierze Sl! kwadratowe 0 wymiarze n 2 x n 2 i majl! "blokowo-diagonalnl!" postac
t
t
(~ ~} gdzie A oznacza macierz kwadratowl! tn(n + 1) x tn(n + 1), a B macierz kwadratowl! n(n - 1) x n(n - 1). Dwa 0 oznaczajl! odpowiednie prostokl!tne bloki elementow zerowych.
t
t
~ [13.40] Pokai: to. i9 [13.41] Wyjasnij to.
263
13
Grupy symetrii
Tak,! postae reprezentacji nazywa si~ sumq prostq reprezentacji zadanej przez macierze A i reprezentacji zadanej przez macierze B. Reprezentacja wyraZona przez m-tensory jest w tym sensie redukowalna[13.42l. Poj~cie "sumy prostej" rozci,!ga si~ rowniez na dowoln,! liczb~ (bye moze nieskonczon'!) mniejszych reprezentacji. Istnieje ogolne poj~cie "reprezentacji redukowalnej", w ktorym dzi~ki odpowiedniemu wyborowi bazy wszystkie macierze reprezentacji daj,! si~ zapisae w nieco bardziej skomplikowanej postaci
gdzie A jest macierz,!p x p, B rna wymiar q x q, a C jest macierz,!p x q, przy czym p, q ~ 1 (dla ustalonych p i q). ZauwaZmy, ze jesli wszystkie macierze reprezentacji maj,! tak,! postae, wowczas macierze A i B tworz'! z osobna (mniejsze) reprezentacje grupy Q[13.43l. Jesli wszystkie macierze C S,! zerowe, wowczas mamy do czynienia z poprzednim przypadkiem, gdy reprezentacja jest sum'! prost,! dwoch mniejszych reprezentacji. Reprezentacj~ nazywamy nieredukowalnq['l, jesli nie jest redukowalna (bez wzgl~du na to, czy istniej,! niezerowe macierze C czy tei nie). Natomiast reprezentacj~, w ktorej nie pojawiaj,! si~ niezerowe macierze C, a wi~c ktora jest sum'! prost,! reprezentacji nieredukowalnych, nazywamy reprezentacj,!
calkowicie redukowalnq. Istnieje waZna klasa grup ci,!glych 0 nazwie grup p6lprostych. Ta szeroko badana klasa zawiera w sobie grupy proste, 0 ktorych mowilismy w rozdz. 13.2. Zwarte grupy polproste maj,! t~ wlasnose, ze wszystkie ich reprezentacje s,! calkowicie redukowalne (zob. rozdz. 12.6, gdzie omowilismy poj~cie "zwartosci", rys. 12.12). W takim przypadku wystarczy badae ich reprezentacje nieredukowalne, poniewaz kazda reprezentacja jest sum'! prost,! reprezentacji nieredukowalnych. W istocie kazda reprezentacja nieredukowalna takiej grupy jest skonczenie wymiarowa (a nie jest tak w przypadku niezwartych grup polprostych, kiedy mog,! si~ pojawie reprezentacje niecalkowicie redukowalne). Co to jest grupa polprosta? Przypomnijmy sobie "stale strukturalne" Y:/l z rozdz. 13.6, ktore okreslaj,! nawiasy Liego i definiuj,! struktur~ lokaln,! grupy Q. Istnieje waZna wielkose pod nazw'!16 formy Killinga K, ktor'! konstruujemy z wielkosci ya/[13.44 l :
264
~ [13.42] PokaZ, ze przestrzen reprezentacji [;]-tensor6w jest r6wniez redukowalna. ftSkazowka: roz16z dowolny tensor tego rodzaju na czysc, kt6rej slad wynosi zero, i na czysc o sladzie r6znym od zera. i8 [13.43] Uzasadnij to. [*] W literaturze polskiej uiywa siy tez terminu nieprzywiedlna (zamiast nieredukowalna) i terminu przywiedlna (zamiast redukowalna) - przyp. Hum. i8 [13.44] Dlaczego Kaf!= K(Ja?
Grupy ortogonalne
"Forma Killinga":
A I I
=
(
M N
13.8
Rys.13.14. "Forma Killinga" Ka{J zdefiniowana przez stale strukturalne Yat
Ka{J
=YaJ;' Yp/-
Na rysunku 13.14 przedstawiono graficznie to wyrazenie. Warunkiem, zeby grupa 9 byla grup,! polprost'!, jest, aby macierz Ka{3 nie byla macierz,! osobliw'!. Wypada uczynic kilku uwag odnosnie do warunku zwartosci grup polprostych. Dla danego zbioru stalych strukturalnych Ya{3 x, zakladaj,!c, ze S,! to liczby rzeczywiste, mozemy otrzymac zarowno rzeczywist'!, jak i zespolon'! algebrC( Liego. W przypadku zespolonym nie otrzymamy zwartej grupy g, a mozemy j,! otrzymac w przypadku rzeczywistyrn. Zwartosc pojawia siC( wtedy, gdy -Ka{3 jest wielkosci,! dodatnio okreSlonq (pojC(cie to wyjasnimy bliZej w rozdz. 13.8). Dla ustalonych Ya{3 x, w przypadku rzeczywistej grupy g, mozemy zawsze przeprowadziC kompleksyfikack (co najmniej lokalnie) cg grupy g, ui:ywaj,!c tych samych Ya{3 x, ale z zespolonymi wspolczynnikami w algebrze Liego. Jednak rozne rzeczywiste grupy 9 mog,! czasami prowadzic do tej samej17 grupy cg. Rozne grupy rzeczywiste nosz'! nazwC( roznych fonn rzeczywistych grupy zespolonej. Ich znaczenie poznamy w dalszych rozdzialach, szczegolnie w rozdz. 18.2, gdzie bC(dziemy porownywali ruchy euklidesowe w czterech wymiarach i symetrie szczegolnej teorii wzglC(dnosci Lorentzal Poincarego. Godn,! uwagi wlasnosci,! kazdej zespolonej polprostej grupy Liego jest tylko jedna rzeczywista forma g, ktora jest zwarta.
13.8 Grupy ortogonalne Powrocmy teraz do grup ortogonalnych. Na pocz'!tku rozdz. 13.3 dowiedzielismy siC(, jak mozna wiemie reprezentowac grupy 0(3) lub SO(3) jako transformacje liniowe 3-wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej, w zwyklych wspolrzC(dnych kartezjanskich (x, y, z), ktore pozostawiaj,! inwariantn'! sferC(
r+l+z2= 1 (gomy indeks 2 oznacza podnoszenie do kwadratu). Zapiszmy to rownanie za pomoC'! notacji wskaznikowej (rozdz. 12.7), zebysmy mogli latwo dokonac uogolnienia na n wymiarow. W tym zapisie rownanie sfery przyjmie postac
gab xaxb = 1' co jest wygodnym zapisem rownania (Xl)2 + ... + (xn)2 = 1, natomiast skladowe gab S,! dane przez
gb= { a
I gdy a = b, 0 gdy a*, b.
W zapisie graficznym proponujC( dla oznaczenia gab UZyC "zacisku" jak na rysunku 13.15a. Dla wielkosci odwrotnej, g"b (maj,!cej identyczne skladowe jak gab)' bC(dC( ui:ywal "zacisku odwroconego" (ryS. 13.15a):
265
13
Grupy symetrii
(a)
gab~n, Rys. 13.15. (a) Metryka gab oraz jej odwrotnosc g"b w zapisie graficznym. (b) Zapis graficzny relacji gab = gba (CzyJigT=g),g"b =1", oraz gab If< =
Ii:.
b gabEf< = 8~ =t gba' Czytelnik w tym miejscu rna prawo bye zdziwionym i zapytae, w jakim celu wprowadzilem dwie nowe formy zapisu, mianowicie gab i fb, dla dokladnie tej samej wielkosci, ktor,! w rozdz. 13.3 oznaczylem jako 8~! Chodzi 0 pewn'! konsekwencjy zapisu oraz 0 zwi'!zek z tyro, co siy dzieje, gdy dokonujemy transformacji liniowej wspolrzydnych, czyli zamieniamy
x a Hfb x b' gdzie f b nie jest transformacj,! osobliw,!, a wiyc istnieje transformacja odwrotna l'b: fb i e= e 8a =sab t.c
Formalnie jest to ten sam typ transformacji liniowej, jaki rozwaZalismy w rozdz. 13.3, 7, ale teraz traktujemy to w zupelnie inny sposob. W poprzednich rozdzialach rozpatrywalismy nasze transformacje liniowe jako aktywne, to znaczy uWaZalismy, ze dokonujemy rzeczywistego pnesuni{?cia przestrzeni wektorowej V (w ramach samej tej przestrzeni). Teraz uwazamy nasz'! transformacjy za biemq, w tym sensie, ze rozwaZany obiekt - sarna przestrzen V - pozostaje nieruchomy, ale zmieniaj,! siy reprezentacje wyraZone w odpowiednich ukladach wspolrzydnych. Inaczej mowi,!c, baza (e l' ... , en)' ktorej poprzednio uiywalismy (do przedstawienia wielkosci wektorowych i tensorowych przez ich skladowe 18), zostala teraz zast,!piona jak,!s inn,! baz'!; zob. rys. 13.16.
,, v
266
,,
,, ,,
v
,,
,,
Rys. 13.16. Bierna transformacja liniowa w przestrzeni wektorowej V nie zmienia polozen punktow w tej przestrzeni, ale zmienia ich wspolrzt(dne, a wit(c baza e" ... , en zostaje zast,!piona jak,!s inn,! baz,! (na rysunku przedstawiono przypadek n = 3).
Grupy ortogonalne
13.8
Odpowiednio do tego, co przedstawilismy w rozdz. 13.7 dla przypadku ak-
tywnej transformacji tensora, znajdujemy koresponduj(!ce z tamtym wyraZenie na biern1! zmian y skladowych Q ap ......cr tensora Q [13,45J Qpa......rc
L--'r--7'
t a d .. • t
C
f
Qd .. I si i ...1
P .. •
Sl
r'
Po aplikacji tego do deIty Kroneckera 8~ stwierdzamy, ze jej skladowe nie ulegaj(! zmianie[13.46J, natomiast nie jest tak w przypadku gab' Co wiycej, w og6lnym przypadku, przy takiej zmianie wsp61rzydnych, skladowe g"b byd(! zupelnie inne od skladowych gab (S(! to macierze odwrotne). Dodatkowe symbole gab i g"b wprowadzilismy dlatego, ze mog1! one miee te same elementy macierzowe co 8~ tylko w przypadku specjalnych uklad6wwsp61rzydnych (kartezjanskich), lecz, w og6lnosci, byd(! inne. To wazne w og6lnej teorii wzglydnosci, kiedy musimy poslugiwae siy innymi ukladami wsp61rzydnych i odejse od wsp61rzydnych kartezjanskich. Dowolne przeksztalcenie ukladu wsp61rzydnych moze bardzo skomplikowae skladowe gab' ale nie doprowadzi do macierzy najzupelniej og6lnej postaci. Jesli ta macierz jest symetryczna, to takie przeksztalcenie zachowa symetriy miydzy indeksami a a b. Slowo "symetryczna" oznacza, ze kwadratowa tablica skladowa jest symetryczna wzglydem gl6wnej przek(!tnej, tj. gT = g (uZylismy tutaj symbolu transpozycji z rozdz. 13.7). W zapisie wskainikowym symetriy ty mozemy wyrazie za pomoq dw6ch r6wnowaznych[13.47 J relacji:
gab =gba' g"b =Ia, a rysunek 13.1Sb przedstawia graficzn1! postae tych wyraZen. A co by bylo, gdybysmy prowadzili rozwaZania w odwrotnym kierunku? Czy dowolna, nieosobliwa, rzeczywista, symetryczna macierz kwadratowa n x n moze bye sprowadzona do postaci deIty Kroneckera? Niezupelnie, w kazdym razie nie przez rzeczywist(! liniow1! transformacjy wsp61rzydnych. W ten spos6b uzyskamy postae diagonaln1!, jak delta Kroneckera, z t(! r6znic(!, ze na diagonali wyst(!pi(! wyrazy +1 i -1. Niech liczba skladowych +1 bydzie p, a liczba wyraz6w -1 wyniesie q. Liczby te nie ulegn1! zmianie, jesli przejdziemy do jakiejs innej rzeczywistej transformacji liniowej. Stanowi(! wiyc one inwariant macierzy. Ten inwariant (p, q) macierzy g jest nazywany sygnaturq g. (Czasami nazwa ta okresla r6znicy p - q; a czasami piszemy po pro stu + ... + - ... - z odpowiedni(! liczb(! plus6w i minus6w.) Zasada ta dziala r6wniez w odniesieniu do osobliwych macierzy g, ale na diagonali pojawie siy mog1! zera i liczba tych zer stanowi czyse sygnatury, tak jak liczba jedynek i minus jedynek. Jesli na diagonali wystypuj1! tylko same +1, a wiyc q = 0 i macierz g nie jest osobliwa, w6wczas m6wimy, ze g jest dodatnio okreilona. Nieosobliw1! macierz g, dla kt6rej p = 1, a q 7= 0 (albo q = 1 i p 7= 0), nazywamy tensorem
.s [13.45] Aby to pokazac, skorzystaj z przyp. 18. la [13.46] Dlaczego? la [13.47] Dlaczego te wyraienia Sq r6wnowazne?
267
13
Grupy symetrii
Lorentza[Ol, na czesc fizyka holenderskiego H.A. Lorentza (1853-1928), kt6rego prace na ten temat stanowily fundament pod budowy szczeg6lnej teorii wzglydnosci; zob. rozdz. 17.6-9 i 18.1-3. Alternatywn,! charakterystyk'!, kt6ra bydzie miala istotne znaczenie w innym kontekscie (zob. rozdz. 20.3, 24.3, 29.3), dodatnio okreslonej macierzy A, jest z,!danie, zeby rzeczywista i symetryczna macierz spelniala warunek
xTAx> 0, dla wszystkich x "* O. W zapisie wskaznikowym oznacza to, ze Aabxax b > 0, jesli wektor x a nie znika[13.481. M6wimy, ze A jest nieujemnie okreslona (albo dodatnio p6Iokreslona), jesli znak nier6wnosci "ostrej", >, zast,!pimy znakiem nier6wnosci slabej, ~ (a wiyc dopuszczamy, zeby xTAx = 0 dla pewnych niezerowych x). W odpowiednich okolicznosciach symetryczny i nieosobliwy [~]-tensor gab nazywany jest metrykq, a czasami, gdy g nie jest dodatnio okreslony, pseudometrykq. Tymi terminami poslugujemy siy, kiedy uZywamy wielkosci ds, zdefiniowanej przez jej kwadrat ds 2 = gabdxadxb, kt6ra daje nam pewn'! miary "odleglosci" wzdluz krzywej. W rozdz. 14.7 przekonamy siy, jak zastosowac to pojycie do rozmaitosci zakrzywionych (zob. rozdz. 10.2, 12,1, 2), a w rozdz. 17.8 - jak w przypadku lorentzowskim zapewnia nam miary odleglosci, kt6r,! okazuje siy czas teorii wzglydnosci. Czasami tei: wielkosc
Ivl = (gabvavb)~ nazywamy dlugosciq wektora v, kt6ry w notacji wskaznikowej zapisujemy jako va. Powr6cmy teraz do definicji grupy ortogonalnej O(n). Jest to po prostu grupa transformacji liniowych w n wymiarach - nazywamy je ortogonalnymi - kt6re zachowuj'! zadany dodatnio okreslony tensor g. "Zachowanie" g oznacza, ze ortogonalna transformacja T musi spelniac warunek
gabT'Jbd =gcd· Oto przyklad zastosowania reguly (aktywnej) transformacji tensorowej do gab (rys. 13.17 przedstawia graficzn,! postac tego r6wnania). Wyrai:aj,!c to winny spos6b, mozemy powiedziec, ze transformacje ortogonalne nie zmieniaj,! metrycznej postaci di z poprzedniego akapitu. Mozemy nalegac, ze skladowe gab S,! zadane przez deIty Kroneckera, co wykorzystamy do zdefiniowania grupy 0(3), jak w rozdz. 13.1, 3 - ale bez wzglydu na to, jak,! dodatnio okreslon,! macierz n x n wybierzemy, dla gab grupy otrzymamy identyczne 19[13.491.
y
ortogonalna, gdy
268
it
=
n
Rys. 13.17. T jest transformacj~ ortogonaln~, gdy gabT'J"d =g,d·
[*] Autor uiywa nazwy "Lorentzian", ale nazwy tej nie stosuj,! polscy fizycy; m6wi,! raczej "metryka lorentzowska" alba "tensor metryczny Lorentza" (przyp. dum.). B [13.48] Czy potrafisz to wykazac? B [13.49] Wyjasnij dlaczego.
Grupy ortogonalne
13.8
Gdy, w szczegolnym przypadku, gab rna postac deIty Kroneckera, maeierze opisujqce nasze transformacje liniowe spelniajq warunek[13.501
T-1 = TT i noszq nazwy maeierzy ortogonalnych. Rzeczywiste ortogonalne maeierze n x n stanowiq konkretnq realizacjy grupy O(n). Aby z nich wydzielic maeierze grupy obrotow niezawierajqcych odbic, a wiyc SO(n), musimy wybrac maeierze, ktorych wyznacznik wynosi jeden[13.511: det T= 1. Mozemy rowniez rozwaZyc odpowiedniegrnpy pseudoortogonalne, O(p, q) i SO(p, q), ktore otrzymamy, gdy g, choeiaz nie jest tensorem osobliwym, nie musi byc dodatnio okreslonym i moze miec bardziej ogolnq sygnatury (p, q). Przypadek, gdy p = 1 i q = 3 (albo, rownowaznie,p = 3 i q = 1), nazywamy grupq Lorentza; odgrywa ona fundamentalnq roly w teorii wzglydnosei. Mozemy siy tez przekonac (jesli zaniedbamy odbicia w czasie), ze grupa Lorentza jest taka sarna jak grupa symetrii hiperbolicznej 3-przestrzeni opisana w rozdz. 2.7, a takZe (jesli pominiemy odbieia przestrzenne) jak grupa symetrii sfery Riemanna, ktore mozemy uzyskac przez transformacje biliniowe (M6biusa), opisane w rozdz. 8.2. Jednak bydzie lepiej, jesli wyjasnienie tych znaczqcych faktow pozostawimy do czasu, gdy zapoznamy siy blizej z geometriq przestrzeni Minkowskiego w szczegolnej teorii wzglydnosei (rozdz. 18.4,5). W rozdz. 33.2 przekonamy siy, ze fakty te majq wielkie znacznie dla teorii twistorow. Jak bardzo "rozne" Sq te rozmaite grupy O(p, q) dla p + q = n, przy ustalonym n? (Na rys. 13.18 porownujemy przypadki z metrykq dodatnio okreslonq i z metrykq Lorentza dla n = 2 i dla n = 3.) Sq one seisle zwillZane i wszystkie majq ten sam wymiar~n(n -1); nazywamy jeformami neczywistymi jednej i tej samej grupy zespolonej O(n, q, ktora stanowi kompleksyfikacj~ grupy O(n). Ta grupa zespolona jest zdefiniowana w taki sam sposob jak O(n) (= O(n, R.)), z tq roznicq, ze dopuszczamy teraz zespolone transformacje liniowe. W tym rozdziale wszystkie rozwazania prowadzilismy w terminach rzeczywistych transformacj i liniowych, ale takq samq dyskusjy mozna przeprowadzic rownolegle, zastypujqC wszydzie slowo "rzeczywiste" slowem "zespolone". (A wiyc wspolrzydne X' stajq si~ zespolone, podobnie tez elementy naszych maeierzy). Jedyna istotna roznica pojawia siy, kiedy mowimy 0 sygnatune. Istniejq zespolone transformacje liniowe, ktore zamieniajq elementy -1 na diagonali tensora gab W +1 i vice versa[13.521, a wiyc nie mamy sensowne1 ~ [13.50] Wyjasnij to. Jak wyglqda macierz T- W przypadku pseudoortogonalnym (zdefiniowanym w nastypnym akapicie)? ~ [13.51] Wyjasnij, dlaczego to zqdanie jest r6wnowazne zqdaniu zachowania formy objytosciowej ea ...c ' czyli ea ... Ja p ... T r = ep .. ) Ponadto dlaczego wystarczy tylko zachowanie znaku tej formy? ~ [13.52] Dlaczego? C
269
13
Grupy symetrii
(a)
(b)
Rys. 13.18. (a) Porownanie 0(2, 0) i 0(1, 1). (b) Podobne przeciwstawienie 0(3, 0) i 0(1, 2), a w kaidym przypadku zaznaczono "sfery jednostkow'l". Dla 0(1, 2) (zob. rozdz. 2,4, 5, 18.4) ta "sfera" jest plaszczyzn'l hiperboliczn'l (albo dwiema kopiami plaszczyzny hiperbolicznej).
270
go okreslenia sygnatury. W przypadku zespolonym jedynym niezmiennikiem 20 g jest to, co nazywamy rz~dem, czyli liczba wyrazow niezerowych w jego diagonalnej postaci. Dla nieosobliwych g ten rzqd musi bye maksymalny, a wiyc n. Kiedy roznica miydzy tymi roznymi formami rzeczywistymi jest waZna, a kiedy nie? Jest to delikatna sprawa, ale fizycy czysto wykazujq niefrasobliwe podejscie do takich rozroznien, nawet wtedy, gdy mogq one bye istotne. Przypadek z dodatnio okreslonq metrykq rna ty zalety, ze grupa jest zwarta, a w takiej sytuacji matematyka staje siy latwiejsza (zob. rozdz. 13.7). Zdarza siy, ze bez zastanowienia przenosimy wyniki z przypadku zwartego na przypadek grup niezwartych (p *- 0 *- q), ale jest to cZysto nieusprawiedliwione. (Na przyklad w przypadku grup zwartych wystarczy ograniczye siy do reprezentacji skonczenie wymiarowych, podczas gdy w przypadku grup niezwartych pojawiaj'l siy dodatkowe reprezentacje 0 wymiarach nieskonczonych.) Sq co prawda takie sytuacje, w ktorych mozna wyciqgnqe sensowne wnioski, ignorujqc te roznice. (Mozemy to porownae z odkryciem wzoru Lamberta, podanego w rozdz. 2.4, wyrazajqcego powierzchniy trojkqta hiperbolicznego poprzez kqty. Lambert otrzymal ten wzor, gdy rozwazal mozliwose urojonego promienia kuli. Jest to sytuacja podobna do zmiany sygnatury, co w efekcie sprowadza siy do tego, ze niektore wspolrzydne przyjmujq wartosci urojone. W rozdz. 18.4 ina rys. 18.9 sprobujy pokazae przypadek, w ktorym podejScie Lamberta do geometrii nieeuklidesowej jest w pelni uzasadnione.)
Grupy unitarne
13.9
Rozmaite formy rzeczywiste O(n, q mozemy rozroznic za pomoc,! pewnego zbioru nierownosci, jakie spelniaj,! elementy macierzowe (na przyldad det T> 0). W teorii kwantowej te nierownosci s,! w procesach fizycznych czysto naruszone. Na przyklad wielkosci urojone mog,!, w pewnym sensie, miecneczywiste znaczenie w mechanice kwantowej, tak ze zaciera siy roznica miydzy roznymi sygnaturami. Odnoszy jednak wrazenie, ze fizycy traktuj,! te problemy czysto bardziej beztrosko, niz wypada. Przekonamy siy 0 tym przy okazji analizy wielu wspolczesnych teorii fizycznych (rozdz. 28.9, 31.13, 32.3). To jest wlasnie ta "puszka Pandory", o ktorej wspominalem w rozdz. 11.2!
13.9 Grupy unitarne Grupa O(n, q jest jedn,! z mozliwych drog uogolnienia pojycia "grupy obrotow" na dziedziny liczb zespolonych. Jest jednak inna droga, ktora w pewnych kontekstach rna nawet wiyksze znaczenie. Stanowi j,! pojycie grupy unitamej. Co to jest "unitarnosc"? Istotn,! wlasciwosci,! grupy ortogonalnej jest zachowanie formy kwadratowej, ktor'! mozna zapisywac, rownowaznie, jako gabxaxb alba jako xTgx. W przypadku grupy unitarnej poslugujemy siy zespolonymi transformacjami liniowymi, ktore zachowuj'!form~ hermitowskq (od nazwiska dziewiytnastowiecznego matematyka francuskiego Charles'a Hermite'a, 1822-1901). Co to jest forma hermitowska? Powrocmy do przypadku ortogonalnego. Zamiast formy kwadratowej (w x) rownie dobrze moglibysmy uiyc symetrycznej formy biliniowej (w x iy) g(x,y) =gab xa/ = xTgy.
Taka sytuacja powstaje w szczegolnym przypadku uiycia definicji tensora jako funkcji wieloliniowej, podanej w rozdz. 12.8, do [~]-tensora g (gdy kladziemy y = x, uzyskujemy poprzedni,! formy kwadratow'!). Symetria g moze byc zapisana jako g(x,y) =g(y,x),
natomiast wlasnoscliniowosci ze wzglydu na drug,! zmienn,!, y, jako g(x,y + w) = g(x,y) + g(x, w),
g(x, AY) =,1 g(x,y).
Dla biliniowosci wymagamy rowniez liniowosci ze wzglydu na pierwszq zmienn,!, x, ale to wynika juz z wlasnosci symetrii. W przeciwienstwie do tego forma hermitowska h(x,y) rna symetriy hermitowsk,! h(x,y) = h(y,x),
wraz z wlasnosci,! liniowosci wzglydem drugiej zmiennej, y: h(x,y + w) = h(x,y) + h(x, w),
h(x, AY) =Ah(x,y).
JednakZe symetria hermitowska naldada teraz na pierwsz,! zmienn,! warunek anty-
liniowoSci: h(x + w,y) = h(x,y) + h(w,y),
h(Ax,y) = I h(x,y).
271
13
Grupy symetrii
Podczas gdy grupa ortogonalna zachowuje (nieosobliwq) symetrycznq former biliniowq, zespolone transformacje liniowe, ktore zachowujq nieosobliwq former hermitowskq, tworzq gruper unitarnq. Jakie to rna znaczenie? Nieosobliwa (niekoniecznie symetryczna) forma biliniowa g daje nam mozliwosc identyfikacji przestrzeni wektorowej V, do ktorej nalezqx iy, z jej przestrzeniq dualnq V*. Dlatego jdli v naleiy do V, wowczasg(v, ) dostarcza nam mapy liniowej na V, ktora sprowadza element x przestrzeni V do liczby g(v, x). Innymi slowy, g(v, ) jest elementem przestrzeni V*(zob. rozdz. 12.3).W notacji wskaZnikowej element V' jest kowektorem vagab , ktorego glownq literq jest to sarno v, ale jego wskaZnik jest obnizony (zob. rozdz. 14.7) za pOmOCq gab do postaci
Odwrotnosc tej operacji uzyskamy przez podniesienie indeksu Va przy uiyciu tensora odwrotnego do [~]-tensora metrycznego gab: if =gabVb .
Potrzebne nam Sq analogiczne wyrazenia dla przypadku hermitowskiego. Tak jak poprzednio, kazdy wybor elementu V z przestrzeni wektorowej V daje nam element h(v, ) przestrzeni dualnej V'. Tym razem jednak h(v, ) nie zaleiy od v liniowo, lecz antyliniowo; stqd h(AV, ) = I h(v, ). Rownowainie moglibysmy powiedziec, ze h(v, ) jest wielkosciq liniowq w v, gdzie wektor v traktujemy jako wielkosc zespolonq sprZerZonq z v. W~ktory zespolone sprzerzone tworZq oddzielnq przestrzen wektorowq wektorow V. Taki punkt widzenia jest szczegolnie uZyteczny, kiedy stosujemy (abstrakcyjny) zapis wskaznikowy. Mozemy wtedy posluiyc sier oddzielnym "alfabetem" wskaznikow, na przyklad, a', h', c' , ... , dla oznaczenia elementow zespolonych sprzerzonych, zastrzegajqc, ze kontrakcja (a wierc sumowanie) mierdzy wskaznikami primowanymi a nieprimowanymi nie jest dozwolona. Operacja sprzergania zespolonego zamienia indeksy primowane na nieprimowane. W tym zapisie nasza forma hermitowska jest przedstawiona jako zbior wielkosci h a'b' W ktorych wystcrpuje po jednym wskazniku kaidego typu: h(x,y) = ha'bx
(X'" oznacza wielkosc zespolonq sprZerZonq z xa), a "hermitowskosc" wyraza relacja ha'b
272
=
hb'a
Zbior wielkosci ha'b pozwala na podnoszenie lub obnizanie wskainikow, ale teraz taka operacja zamienia wskainiki primowane na nieprimowane i vice versa, a wierc oznacza przejscie do przestrzeni dualnej wzglerdem przestrzeni zespolonej sprzttzonej: - ='ha'b'v ,= ha'bv b , va=v a
Grupy unitarne
13.9
Do przeprowadzenia operacji odwrotnych, przy zalozeniu, ze forma hermitowska nie jest osobliwa (tzn. macierz elementow h ab ' nie jest macierzq osobliwq), potrzebujemy macierzy h ab ' odwrotnej wzglydem ha'b: hab'h '
= f/
bee'
h
a'b
h bc '
= 8 ca"'
skqd wynika, ze[13.S3) =' V
= V-b h ba ' '
Va
= hab'vb' •
Zauwazmy, ze wszystkie indeksy primowane, na mocy przedstawionych relacji, mogq bye wyeliminowane przez uiycie h a'b (lub odpowiedniej operacji odwrotnej h ab ,), dziyki zastosowaniu tej transformacji, indeks po indeksie, do dowolnej wielkosci tensorowej. Widzimy wiyc, ze przestrzen zespolenie sprzyzona zostaje w ten sposob "utozsamiona" z przestrzeniq dualnq, a nie z jakqs zupelnie oddzielnq przestrzeniq. Operacja "sprzygania zespolonego" - zwykle nazywana sprzyzeniem hermitowskim - ktora do pojycia normalnego sprzygania zespolonego wprowadza identyfikacjy z przestrzeniq dualnq (co nie jest zwykle ujyte w zapisie wskaznikowym), rna kluczowe znaczenie dla mechaniki kwantowej i wielu innych dzialow matematyki i fizyki (na przyklad teorii twistorow, zob. rozdz. 33.5). W literaturze kwantowomechanicznej operacja ta jest czysto oznaczana za pomocq symbolu "t" [*) (dagger), ale czasami za pomocq "gwiazdki" ,,*" (asterisk). Bardziej odpowiada mi symbol ,,*", cZysciej uiywany w literaturze matematycznej, i bydy go tutaj stosowal. Znak ten jest bardziej odpowiedni, gdyz wykorzystujemy go do zamiany rol przestrzeni V i jej przestrzeni dualnej V'. Za pomocq operacji ,,*" tensor zespolony 0 walencji [~] (wszystkie indeksy primowane zostaly wyeliminowane przy uiyciu omowionej procedury) zostaje przeksztalcony w tensor 0 walencji [q]. A zatem, w wyniku dzialania * dolne indeksy zostajq zamieniop ne w indeksy gome i na odwrot. W zastosowaniu do wielkosci skalamych * oznacza zwyklq operacjy sprzygania zespolonego. Operacja * jest pojyciem rownowaznym dla samej formy hermitowskiej. Najbardziej znana forma operacji sprzyzenia hermitowskiego (gdy za skladowe ha'b wezmiemy deIty Kroneckera) sprowadza siy do wziycia wartosci zespolonej sprzyzonej kaidej ze skladowych, a nastypnie uporzqdkowania skladowych w taki sposob, zeby gome indeksy staly siy indeksami dolnymi i na odwrot. Zgodnie z tym macierz skladowych transformacji liniowej zostaje zamieniona w macierz transponowanq ich wartosci zespolonych sprzyzonych (czasami mowimy 0 spfZ~ionej transpozycji macierzy). W konkretnym przypadku macierzy 2 x 2 otrzymujemy
~ [13.53] Sprawdi te relacje i wyjasnij sp6jnosc stosowania notacji hab'.
[*] W jyzyku polskim symbol ten czysto nazywa siy "mieczyk" (przyp. Hum.).
273
13
Grupy symetrii
Maden hermitowska jest rowna macierzy do niej po hermitowsku sprzyzonej. Pojycie to oraz bardziej ogolne pojycie abstrakcyjnego operatora hermitowskiego majq wielkie znaczenie w teorii kwantowej. Zauwazmy, ze operacja sprzyzenia hermitowskiego ,,*" jest operacjq antyliniowq w nastypujqcym sensie: (T+U)*=T* +U*, (zT)* =zT*,
i moze bye zastosowana do dowolnych tensorow T i U, 0 tej samej walencji, i do dowolnej liczby zespolonej z. Dzialanie operacji * musi zachowywae iloczyn tensorow, jednak, poniewaZ odwraca ona polozenie indeksow, odwraca rowniei: porZqdek kontrakcji; w szczegolnosci gdy * zastosujemy do transformacji liniowych (traktowanych jak tensory z jednym indeksem gornym i jednym dolnym), kolejnose mnozenia ulega odwroceniu:
W zapisie graficznym takq operacjy bardzo wygodnie mozna przedstawie jako odbicie w plaszczyznie horyzontalnej. Odbicie zamienia, prawidlowo, wskazniki gorne i dolne; zob. rys. 13.19. Operacja * pozwala na zdefiniowanie hermitowskiego iloczynu skalarnego dwoch elementow wi v przestrzeni V, jako iloczynu skalarnego kowektora v' z wektorem w (w roznych kontekstach stosujemy rozne oznaczenia): (vlw) = v* • w = h(v, w)
(zob. rys. 13.19), i otrzymujemy (vlw) = (wlv).
'"
:i2 (I)
~
0
o§ '" ·c '" '"a>-t:!
N?,
T~t,
ST~~, /, t
lustro
~
·N
Co
en
274
~~?,
,. " . .+,(ST)"~
,..s--->-
t'
lustro
('f,t)
=
1
~~
Rys. 13.19. Operacja sprzyzenia hermitowskiego (*) wygodnie przedstawiona jako odbicie w plaszczyznie horyzontalnej. To odbicie zamienia "ramiona" z "nogami" i odwraca porzlldek mnozenia: (STf = T' S'. Mamy tez graficzne przedstawienie hermitowskiego iloczynu skalarnego (vlw) =v'w (a wiyc wziycie jego sprzyzenia zespolonego odwroci do gory nogami graf znajdujllCY siy na prawym skraju rysunku).
Grupy unitarne
W szczegolnym przypadku w = v otrzyrnujemy operacjt( *:
norm~
13.9
wektora v ze wzglt(du na
Ilvll = (vlv). Mozemy wybrac baz~ (e p liczby zespolone
••• ,
en) dla V, a wowczas skladowymi ha'b w tej bazie s,! n 2 ha'b
= h(ea , eb ) = (e a I eb ),
ktore tworz'! elementy macierzy hermitowskiej. Bazt( (e p ortonormalnq ze wzglt(du na *, jesli (e i
I e) = { j
±1 gdy i = j
°
gdy
i:;t:.
.•• ,
en) nazywamy pseudo-
.
j'
w przypadku gdy wszystkie znaki ± s,! +, a wit(c gdy wszystkie ±1 s,! 1, wowczas baza jest ortonormalna. Zawsze mozna znaleic bazt( pseudoortonorrnaln,!, i to roznymi sposobarni. W kazdej z tych baz macierz ha'b jest macierz,! diagonaln,! z + 1 i-I na diagonali. Dla danej operacji * calkowita liczba plus jedynek, p, jest zawsze taka sarna i taka sarna jest liczba minus jedynek, q. Umozliwia to zdefiniowanie niezrnienniczego pojt(cia sygnatury (p, q) dla danej operacji *. Jesli q = 0, to rnowimy, ze * jest dodatnio okrdlona. W tym przypadku 21 norma dowolnego niezerowego wektora jest zawsze dodatnia[13.541:
v :;t:. 0
irnplikuje
I vii> O.
Zauwazmy, ze pojt(cie "dodatniej okreslonosci" jest uogolnieniern pojt(cia zdefiniowanego w rozdz. 13.8 na przypadek zespolony. Transformacjt( liniow,! T, ktorej odwrotnosci,! jest T*, a wit(c tak,!, ze
T- 1 = T,* czyh. TT * = I = T*T, nazywamy transformacj,! unitamq, gdy operacja ,,*" jest dodatnio okreslona; w przeciwnym wypadku nazywarny j,! pseudounitamq[13.551• Termin "rnacierz unit am a" odnosi sit( do macierzy T spelniaj,!cej podany warunek, gdzie symbol" *" oznacza zwykle sprzt(zenie zespolone, a wit(c gdy T- 1 = T. Grupa transformacji unitamych w n wyrniarach, czyli rnacierzy unitamych (n x n), nosi nazwt(grupy unitamej U(n). W ogolnym przypadku, gdy operacja ,,*" rna sygnaturt( (p, q), mamy do czynienia z pseudounitam,! grup,! U(p, q)22. Jesli te transformacje maj,! wyznacznik jeden, wowczas otrzyrnujerny, odpowiednio, grupy SU(n) i SU(p, q). Transforrnacje unitame odgrywaj,! zasadnicz'! rolt( w mechanice kwantowej (ale maj,! tez wielkie znaczenie w kontekscie czysto maternatycznym). B [13.54] Pokaz to. B [13.55] Pokaz, ze te transformacje zachowuj,! hermitowsk,! odpowiedniosc pomiydzy wektorami va kowektorami v' oraz ze te transformacje zachowuj,! hab"
275
13
Grupy symetrii
13.10 Grupy symplektyczne W dwu poprzednich rozdzialach zetknylismy siy z grupami ortogonalnymi i unitarnymi. Oba rodzaje grup nazywamy grupami klasycznymi, a pojycie to oznacza grupy Liego inne niz grupy sporadyczne (zob. rozdz. 13.2). Listy grup klasycznych uzupelnia rodzina grup symplektycznych. Grupy symplektyczne maj,! wielkie znaczenie w fizyce klasycznej, jak siy 0 tym przekonamy w rozdz. 20.4, ale s,! wazne rowniei: w fizyce kwantowej, szczegolnie w dziedzinie zagadnien nieskonczenie wielowymiarowych (rozdz. 26.3). Co to jest grupa symplektyczna? Powroemy raz jeszcze do pojycia formy biliniowej, ale teraz, w miejscu symetrii (g(x, y) = g(y, x», jaka jest wymagana przy definicji grupy ortogonalnej, naloi:ymy warunek antysymetrii:
s(x,y) =-s(y,x), wraz z warunkiem liniowosci:
s(x,y + w) = s(x,y) + sex, w), sex, AY) = AS(X,y), gdzie liniowose wzglydem pierwszej zmiennej, x, wynika z antysymetrii. Nasz'! formy antysymetryczn,! mozemy tez zapisae w postaci
s(x,y) =xasabl = xTSy, podobnie jak w przypadku symetrycznym, ale teraz sab S,! antysymetryczne:
sba = - sab' czyli ST = -S, gdzie elementami macierzy S S,! sab. Z'!damy, zeby macierz S byla macierz,! nieosobliw'!. W takim przypadku Sab S,! zwi,!zane z elementami macierzy odwrotnej, sab, relacjame3
gdzie sab = _ia. Zauwazmy, ze - analogicznie do macierzy symetrycznej - macierz antysymetryczna S jest rowna jej transpozycji wziytej ze znakiem minus. Wazne jest tei:, zebysmy zauwaZyli, ze antysymetryczna macierz S 0 wymiarze (n x n) moze bye macierz,! nieosobliw,! tylko wtedy, gdy n jest liczb,! parzyst'![13.S61• Tutaj n jest wymiarem przestrzeni V, do ktorej nalez'! x i y, a wiyc rzeczywiscie n jest parzyste. Elementy T grupy GL(n), ktore zachowuj,! tak'! nieosobliw,! antysymetryczn,! macierz sab (albo, rownowaznie, formy biliniow'! s), w sensie takim, ze
sabTacTbd=sCd' czyli TTST=S, nazywamy symplektycznymi, a grupa tych elementow nosi nazwy grupy symplektycznej (jak przekonamy siy w rozdz. 20.4, odgrywa ona wazn,! roly w mechanice
276
~ [13.56] Udowodnij to.
Grupy symplektyczne 13.10
klasycznej). W literaturze matematycznej mamy do czynienia z pewnym ldopotem terminologicznym. Matematycznie bardziej poprawne byloby zdefiniowanie (rzeczywistej) grupy symplektycznej jako formy rzeczywistej zespolonej grupy symplektycznej Sp(~n, q, ktora jest grupq zespolonych macierzy Tab (albo T) spelniajqcych po dane relacje. Ta szczegolna forma rzeczywista, ktorq wlasnie zdefiniowalismy, jest grupq niezwartq. Jednak, zgodnie z uwagami, ktore poczynilismy pod koniec rozdz. 13.7- Sp( tn, q jest grupq polprostq - istnieje inna forma rzeczywista grupy zespolonej, ktora jest zwarta, i wlasnie ty zwartq grupy zwykle nazywamy (rzeczywistq) grupq symplektycznq Sp(tn). Jak znajdujemy te rozne formy rzeczywiste? Podobnie jak w odniesieniu do grup ortogonalnych, istnieje pojycie sygnatury, ktore jednak nie jest tak dobrze znane jak w przypadku grup ortogonalnych i unitarnych. Grupa symplektyczna transformacji rzeczywistych zachowujqcych sab bylaby przypadkiem "sygnatury rozszczepionej" i mialaby sygnatury (tn, tn). W przypadku zwartym grupa symplektyczna mialaby sygnatury (n, 0) alba (0, n). Jak definiujemy takq sygnatury? Dla kazdej pary liczb naturalnychp i q, takiej, ze p + q = n, mozemy zdefiniowac odpowiedniq "formy rzeczywistq" grupy zespolonej Sp(tn, q, biorqc tylko te elementy, ktore Sq rowniez pseudounitarne dla sygnatury (p, q), a wiyc nale:lq do grupy U(p, q) (zob. rozdz. 13.9). W ten sposob otrzymujemy24 pseudosymplektycznq grupy Sp(p, q). Inaczej mowiqc, grupa Sp(p, q) stanowi przeciycie grupy Sp(tn, q z grupq U(p, q). W zapisie wskainikowym mozemy zdefiniowac grupy Sp(p, q) jako grupy zespolonych transformacji liniowych Tab' ktore zachowujq antysymetryczne Sab' jak poprzednio, oraz macierz hermitowskq H 0 elementach h a'b' W sensie takim, ze
fa'b' Tab ha'a =hb'b gdzie H rna sygnatury (p, q), a wiyc mozemy znaleic pseudoortonormalnq bazy, w ktorej H przyjmuje postac diagonalnq z p jedynkami i q minus jedynkami; zob. rozdz. 13.925 • Zwartq klasycznq grupq symplektycznq Sp(tn) jest moja grupa Sp(n, 0) alba Sp(O, n), lecz w fizyce klasycznej formq najwazniejszq jest Sp( tn, t n )l13.571• Podobnie jak w przypadku grup ortogonalnych i unitarnych mozemy dokonac wyboru bazy, w ktorej sldadowe sab przyjmujq szczegolnie prostq postac. Nie powinnismy jednak oczekiwac, ze ta postac bydzie diagonalna, poniewaz jedynq antysymetrycznq macierzq diagonalnq jest macierz zerowa! Potrafimy wszakZe znaleic takq bazy, w ktorej macierz sab bydzie miala na glownej przekqtnej bloki macierzy 2 x 2 0 postaci
t1l11 [13.57] Stosuj,!c ten przepis, znajdz jawny opis Sp(l) i Sp(l, 1). Czy rozumiesz, dlaczego grupy Sp(n, 0) S,! zwarte?
277
13
Grupy symetrii
t
W znajomym przypadku rozszczepionej sygnatury Sp( tn, n) bierzemy rzeczywiste transformacje liniowe, kt6re zachowuj,! t
XTS + SX = 0, czyli SX = (SX)T, a wi
278
~ [13.62] Dlaczego, i jakie jest znaczenie geornetrycznego tego faktu?
Przypisy
unitamym mamy dodatkowe ograniczenie ella grupy SU(n) (trace X = 0), wobec czego wymiar grupy redukuje siy do n 2 - l. Grupy klasyczne, 0 ktorych mowilismyw rozdz. 13.2, czasami oznaczane symDm (dla m = 1, 2, 3, ... ), s,! po prostu odpowiednimi grupami bolami Am' Bm, SU(m + 1), SO(2m + 1), Sp(m) i SO(2m), ktore omawialismy w rozdz. 13.8-10, ina podstawie przedstawionych rozwaZan stwierdzamy, ze maj,! one wymiary wynosz'!ce, odpowiednio, m(m + 2), (2m + 1), orazm(2m + l),jak to uznalismyw rozdz. 13.2. W ten sposob czytelnik uzyskal mozliwosc zapoznania siy z zarysem wszystkich klasycznych grup prostych. Jak udowodnilismy, grupy te, a takZe rozne "formy rzeczywiste" (ich kompleksyfikacje), odgrywaj
em'
Przypisy Rozdzial 13.1 Abel urodzil siy w 1802 r. i zmarl na gruzlicy w 1829 r. w wieku 26 lat. Teoriy grup bardziej og6lnych, nieabelowych (ab *- ba), skonstruowal Zyj,!CY jeszcze kr6cej matematyk francuski Evariste Galois (1811-1832), kt6ry zgin,!l w pojedynku przed osi,!gniyciem 211at. Cal,! noc poprzedzaj,!c,! pojedynek Galois spydzil, spisuj,!c gor'!czkowo swoje rewolucyjne idee, w kt6rych zastosowal grupy do badania rozwi'!zan r6wnan algebraicznych. Teoria ta znana jest dzisiaj pod nazw'! leorii Galois. 2 Powinnismy zauwaZyc, ze ,,-C" oznacza "dokonaj sprzyzenia zespolonego, a nastypnie pomn6z przez -1", a wiyc -C = (-l)C. 3 Litera S oznacza tutaj "special" (specjalna w tym wypadku naleZy rozumiec, ze wszystkie elementy tej grupy maj,! wyznacznik 1), czyli ruchy zmieniaj,!ce orientacjy s,! zabronione. Litera 0 sygnalizuje "ortogonalnosc", a to znaczy, ze wszystkie reprezentowane tutaj ruchy zachowuj,! "ortogonalnosc" (czyli prostopadlosc) osi ukladu wsp6lrzydnych. 3 oznacza fakt, ze rozwazamy obroty tr6jwymiarowe. 4 Istnieje interesuj,!ce twierdzenie, kt6re m6wi, ze nie tylko kazda grupa ci,!gla jest gladka (tzn., ze CO implikuje C, w notacji rozdz. 6.3, 6, ale nawet CO implikuje C'x'). Ten znany wynik, kt6ry przedstawia rozwi¥anie zagadnienia "pi,!tego problemu Hilberta", otrzymali Andrew Mattei Gleason, Deane Montgomery, Leo Zippin i Hidehiko Yamabe w 1953 r.; zob. Montgomery i Zippin (1955). Rezultat ten uzasadnia uiycie szereg6w potygowych w rozdz. 13.6. 1
Rozdzial 13.2 Zob. van der Waerden (1985), S. 166-174. 6 Zob. Devlin (1988). 7 Zob. Conway i Norton (1979); Dolan (1996). 5
8
Rozdzial13.3 W rozdz. 14.1 przekonamy siy, ze przestrzen euklidesowa jest przykladem przestrzeni afinicznej. Jesli dokonamy wyboru jakiegos szczeg6lnego punktu (pocz'!tku ukladu) 0, to staje siy ona przestrzeni'! wektorow'!.
279
13
Grupy symetrii
W wielu cZl(sciach tej ksiqzki wygodnie bl(dzie - a czasami rowniez okaZe sil( to istotne rozmieszczae indeksy w formie tensorowej. W przypadku transformacji liniowej jest to potrzebne do ukazania porzqdku mnozenia macierzowego. 10 Obszarem tym jest jakas przestrzen wektorowa 0 wymiarze r (gdzie r < n). r nazywamy rzf?dem macierzy transformacji liniowej T. Nieosobliwa macierz n x n rna rzqd n. (Pojl(cie "rzl(du" stosuje sil( rowniez do macierzy prostokqtnych.) Por. przyp. 18 w rozdz. 12. 11 Historil( teorii macierzy znaleze mozna w ksiqzce: MacDuffee (1933). 9
Rozdzial13.5 12
W sytuacjach z degeneracjq, gdy wektory wlasne nie rozpinajq calej przestrzeni (a wil(c gdy d jest mniejsze od odpowiedniego r), wciqi: mozemy uzyskae postae kanonicznq, ale musimy dopuscie pojawienie sil( jedynek tuz ponad glownq przekqtnq, w ramach kwadratowych blokow, ktorych wyrazy diagonalne Sq rowne wartosciom wlasnym (postac normalna Jordana); zob. Anton i Busby (2003). lak sil( wydaje, tl( postae normalnq odkryf w 1868 r. Weierstrass, dwa lata przed lordanem; zob. Hawkins (1977).
Rozdzial13.6 Aby zilustrowae ten punkt, rozwaZmy SL(n, R) (czyli podgrupl( GLJn, IR) zawierajqc,! tylko elementy 0 wyznaczniku 1). Grupa ta rna "podwojne pokrycie" SL(n, IR) (zakladajqc, ze n ;?:' 3), ktore otrzymujemy z SL(n, IR). W taki sam sposob otrzymamy "podwojne pokrycie" SO(3) dla SO(31, jesli rozwai:ymy obroty ksiqzki z przytroczonym paskiem, jak w rozdz. 11.3. Tak wil(c SO(3) jest grupq (bezodbiciowych) obrotow obiektu spinorowego w 3-przestrzeni. W identyczny sposob mozemy rozwazae "obiekty spinorowe" podlegajqce bardziej ogolnym transformacjom liniowym, ktore umozliwi'!,jq "kurczenie" lub "rozciqganie", jak w rozdz. 13.3. W ten sposob dochodzimy do grupy SL(n, IR), ktora jest lokalnie taka sarna jak SL(n, IR), ale ktora nie moze bye wiernie reprezentowana w zadnej grupie GL(m). Zob. przyp. 9 w rozdz. 15. 14 lest to pojl(cie dobrze zdefiniowane; zob. przyp. 4. 13
Rozdzial 13.7 Zob. Thirring (1983). W tym miejscu znowu mamy do czynienia z kaprysami nazewnictwa matematycznego. Aczkolwiek wiele pojl(e 0 ogromnym znaczeniu dla tego przedmiotu, z ktorymi zwyczajowo wiqze sil( nazwisko Cartana (takie jak "podalgebra Cartana", "liczba calkowita Cartana"), w rzeczywistosci wynalazl Killing (zob. rozdz. 13.2), to wielkose, jakq nazywamy "formq Killinga", wprowadzil do literatury Cartan (oraz Hermann Weyl); zob. Hawkins (2000), rozdz. 6.2. lednak "wektor Killinga", z ktorym spotkamy sil( w rozdz. 30.6, zostal rzeczywiscie wprowadzony przez Killinga - zob. Hawkins (2000), przyp. 20 na s. 128. 17 W tym kontekscie, kiedy ui:ywam slow "tej samej", popelniam (Swiadomie) niedokladnose. Scisly matematyczny termin, ktorego powinnismy tu ui:ye, to "izomorficzny".
15
16
Rozdzial13.8 Dot,!d problemu tego nie przedstawialem szczegolowo. Baza e = (el' ... , en) przestrzeni V jest zwiqzana z bazq dualnq - ktorq stanowi baza e* = (e l , ••• , en) dla przestrzeni V* 0 wlasnosci ei • e.J = 8Ji• Skladowe a[P]-tensora Q otrzymamy, biorqc funkcjl( wieloliniowq z rozdz. 12.8 q roznych wybor6w p elementow bazy dualnej i q elementow bazy: Qfh = Q(/, ... , e\ ea , ... , e). 9 a ... c c 1 Zob. przyp. 3. 20 Zob. przyp. 10. Czytelnik moze bye zdziwiony, dlaczego T'b z rozdz. 13.5 moze miee wiele inwariantow, a mianowicie swoje wartosci wlasne A1' A2, ••• , An' podczas gdy gab nie. Odpowiedz zawarta jest w roznych zachowaniach tych przeksztalcen wynikaj,!cych z r6znego polozenia indeksow. 18
280
Przypisy Rozdzial 13. 9 Zauwazmy, ze w przypadku dodatnio okreslonym baza (e:, e;, ... , e;) jest bazq dualnq wobee bazy (el' ... , e), w sensie przyp. 18. 22 Wszystkie grupy U(p, q) dla ustalonego p + q = n, podobnie jak grupy GL(n, lR), majq ty samq kompleksyfikaejy, a mianowieie grupy GL(n, q i dlatego mogq wszystkie bye uwazane za rozne formy rzeezywiste tej grupy zespolonej. 21
Rozdzial13.10 Mozemy wiye uZyc Sab i sab do obnizania i podnoszenia indeksow tensorowyeh, podobnie jak gab i gab, ezyli Va = SabVb a Va = SabVb (zob. rozdz. 13.8); jednakie, ze wzglydu na antysymetriy, musimy uwazac, zeby porzqdek indeksow byl spojny. Ci z ezytelnikow, ktorzy Sq zaznajomieni z raehunkiem 2-spinorowym (zob. Penrose i Rindler 1984), mogq zauwaZyc pewnq niekonsekwenejy w zapisie miydzy sab a wielkoseiq EAB tam stosowanq. 24 Nie wiem, jaka jest standardowa terminologia lub forma zapisu dla tyeh roznyeh form rzeczywistyeh, a wiye oznaezenie Sp(p, q) proszy traktowac jako wprowadzone dorainie i ograniezone do niniejszyeh rozwazan. 25 W istoeie, kazdy element grupy Sp(t n, q rna wyznaeznik jeden, dlatego nie potrzebujemy grupy "SSp(~n)" w analogii do SO(n) ezy SU(n). Powodem jest to, ze istnieje wyrazenie ("pfaffian") dla tensora E Levi-Civity przez sab' ktore musi bye zaehowane. 26 Zob. przyp. 17.
23
14 Rachunek rozniczkowy i catkowy na rozmaitosciach 14.1 R6zniczkowanie na rozmaitosciach? W POPRZEDNIM rozdziale (13.3, 6-10) przekonalismy siy, jak grupy symetrii, reprezentowane przez transformacje liniowe, mog,! dzialae na przestrzenie wektorowe. W przypadku okreslonej grupy mozemy uwazae, ze przestrzen wektorowa rna szczegoln,! struktur?, ktora zostaje zachowana przez te transformacje. Pojycie "struktury" jest bardzo wai:ne, a moze ni,! bye na przyklad struktura metryczna, w przypadku grupy ortogonalnej (rozdz. 13.8), alba struktura hermitowska, ktorq zachowuje grupa unitarna (rozdz.13.9). Jakjui: powiedzielismy, teoria reprezentacji grup jako dziaIan na przestrzeniach wektorowych, w ogolnym sensie, rna wielkie znaczenie w wielu galyziach matematyki i fizyki, szczegolnie w teorii kwantowej, w ktorej, jak to pozniej zobaczymy (glownie w rozdz. 22.3), przestrzenie wektorowe ze struktur,! hermitowsk'! (hermitowski iloczyn skalarny) stanowi,! fundamentalne elementy tej teorii. Przestrzen wektorowa jest jednak szczegolnym rodzajem przestrzeni, a matematyka duzej czysci wspolczesnej fizyki potrzebuje czegos bardziej ogolnego. Nawet staroi:ytna geometria Euklidesa nie jest przestrzeni,! wektorow'!, poniewaz przestrzen wektorowa wymaga okreslenia wyroznionego punktu, mianowicie poczqtku (zadanego przez wektor zerowy), podczas gdy w geometrii Euklidesa zaden punkt nie jest wyrozniony. W istocie przestrzen euklidesowa stanowi przyklad przestrzeni aJinicznej. Przestrzen afiniczna jest podobna do wektorowej, ale "zapominamy" w niej 0 pocz'!tku; w rezultacie jest to przestrzen, w ktorej funkcjonuje niesprzeczne pojycie rowno[egloboku[14.1 1, [14.21. Z chwil,! wyspecyfikowania konkretnego punktu jako pocz'!tku mozemy zdefiniowae dodawanie wektorow za pomoq reguly rownoiegloboku (zob. rozdz. 13.3, rys. 13.4). B [14.1] Niech [a, b; e, d] oznacza zdanie "abed tworz'! rownoleglobok" (gdzie a, b, die stoj,! w porz'!dku cyklicznym, jak w rozdz. 5.1). Przyjmijmy jako pewniki, ze (i) dla dowolnych a, b i e istnieje takie d, ze [a, b; c, d]; (ii) jesli [a, b; c, d], wtedy [b, a; d, c] i [a, c; b, d]; (iii) je§li [a, b; c, d] i [a, b; e,!] wowczas [c, d; e,!]. Pokai:, ze jesli dowolny punkt wyroznimy i oznaczymy jako pocz'!tek ukladu, to ta struktura algebraiczna redukuje sift do struktury "przestrzeni wektorowej", ale bez operacji "mnozenia skalarnego", takiej jak w rozdz. 11.1 - inaczej mowi,!c, otrzymujemy reguly addytywnej grupy abelowej; zob. ewiczenie [13.2]. fa [14.2] Czy wiesz, jak mozna to uogolnic na przypadek nieabelowy?
R6i:niczkowanie na rozmaitosciach?
14.1
Zakrzywiona czasoprzestrzen ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina jest z cal,! pewnosci,! pojyciem bardziej ogolnym niz przestrzen wektorowa: to 4-rozmaitose. J ednak einsteinowskie pojycie geometrii czasoprzestrzennej wymaga istnienia pewnej (lokalnej) struktury, czegos wiycej niz tylko rozmaitosci gladkiej (ktor,! omawialismy w rozdz. 12). Podobnie w przypadku przestrzeni konfiguracyjnych lub przestrzeni fazowych ukladow fizycznych (rozwazalismy je krotko w rozdz. 12.1), ktore rowniei zakladaj,! istnienie struktur lokalnych. W jaki sposob mozemy przyporz'!dkowae przestrzeni potrzebn,! struktury? Taka struktura lokalna moglaby dostarczye miary "odleglosci" miydzy punktami (w przypadku struktury metrycznej) albo "pol a" powierzchni (jak w przypadku struktury symplektycznej; zob. rozdz. 13.10), albo "k,!ta" miydzy krzywymi (jak w konforemnej strukturze powierzchni Riemanna; zob. rozdz. 8.2) etc. We wszystkich tych przypadkach potrzebujemy pojye przestrzeni wektorowej, aby okreslie, czym jest ta lokalna geometria, a przestrzen wektorowa, 0 ktoq pytamy, jest n-wymiarow,! przestrzeniq stycznq ~ typowego punktu p rozmaitosci M (mozemy myslee 0 Tp jako 0 bezposrednim otoczeniu punktu p w M, "rozci,!gniytym nieskonczenie"; zob. rys. 12.6). Zgodnie z tym rozne struktury grupowe i wielkosci tensorowe, z jakimi zetknylismy siy w rozdz. 13, mog,! miee znaczenie lokalne w poszczegolnych punktach rozmaitosci. Przekonamy siy wiyc, ze zakrzywiona czasoprzestrzen Einsteina rzeczywiscie rna struktury lokaln,!, zadan'! przez lorentzowsk,! (pseudo )metryky (rozdz. 13.8) w kaidej przestrzeni stycznej, podczas gdy przestrzenie fazowe (zob. rozdz. 12.1) mechaniki klasycznej maj,! lokalne struktury symplektyczne (rozdz. 13.10). Oba te przyklady rozmaitosci ze struktur,! odgrywaj,! istotn'! roly we wspolczesnej fizyce teoretycznej. Ale jaki rodzaj analizy matematycznej mozna zastosowac do takich przestrzeni? Jakjuz zauwaiylismy, n-wymiarowe rozmaitosci, ktore badalismyw rozdz. 12, musz'! jedynie bye gladkie i nie potrzebuj,! specyfikowania zadnej struktury lokalnej. W takiej nieustrukturyzowanej gladkiej rozmaitosci M mozemy przeprowadzie stosunkowo niewiele sensownych operacji opartych na zasadach analizy matematycznej (rachunku rozniczkowego i calkowego). Co wazniejsze, nie mamy nawet wystarczaj,!co ogolnego pojycia rozniczkowania, ktore mozna zastosowae w M. Sprobujy wyjasnie ten problem. W przypadku dowolnej konkretnej latywspolrZydnosciowej moglibysmy po pro stu rozniczkowae rozmaite interesuj,!ce nas wielkosci ze wzglydu na wspolrzydne x\ x2, ... , X' tej laty, uiywaj,!c operatorow pochodnych cz'!stkowych alax\ alar, ... , alaX' (zob. rozdz. 10.2). Jednak w wiykszosci przypadkow wyniki bylyby pozbawione sensu geometrycznego, poniewaz zalezalyby od specyficznego (dowolnego) wyboru wspolrzydnych i nie pasowalyby do siebie przy przechodzeniu z jednej laty na inn,! (zob. rys. 10.7). W rozdz. 12.6 zwrocilismy uwagy na wain,! koncepcjy rozniczkowania, ktora moze bye uiyta w przypadku ogolnej, gladkiej (nieustrukturyzowanej) rozmaitosci, zapewniaj,!cej dopasowanie przy przechodzeniu z jednej laty na inn,!, mianowicie pojycie r6iniczkowania formy zewn~trznej. Zakres zastosowania takiej opera-
283
14
Rachunek roiniczkowy i calkowy na rozmaitosciach
cji jest co prawda nieco ograniczony, poniewaz nadaje sit( tylko do rozniczkowania p-form i nie dostarcza wielu informacji, jak taka p- forma sit( zmienia. Czy mozemy wprowadzie inne, bardziej kompletne pojt(cie "pochodnej" jakiejs wielkosci na ogolnej, gladkiej rozmaitosci, takiej jak na przyklad pole wektorowe lub tensorowe? Takie pojt(cie musialoby bye zdefiniowane niezaleznie od konkretnych ukladow wspolrzt(dnych, ktore wybieramy, aby oznaczye punkty na jakiejs lacie wspolrZt(dnych. Przydalby sit( rzeczywiscie jakis rodzaj rachunku rozniczkowego i calkowego, niezaleznego od wyboru ukladu wspolrzt(dnych, ktory mozna by zastosowae do struktur na rozmaitosciach i ktory pozwalalby wyrazie zmiant( pola wektorowego czy tensorowego przy przechodzeniu z jednego miejsca winne. Ale jak to zrobie?
14.2 Przesuni'1cie r6wnolegfe
284
Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 10.3 i 12.3, ze w przypadku skalarnego pol a l/J, na ogolnej gladkiej n-rozmaitosci M, rzeczywiscie bylismy w stanie znale.ze wlasciw,! miart( jego "stopnia zmiany", mianowicie 1-formt( dl/J, gdzie rownanie dl/J = 0 jest warunkiem stalosci pola l/J (na pol'!czonych obszarach M). Rozwi'!zania tego jednak nie mozna zastosowae do bardziej ogolnych wielkosci tensorowych, a nawet do pol a wektorowego ,. Dlaczego tak sit( dzieje? Jednym ze :irodel klopotow jest fakt, ze w przypadku rozmaitosci ogolnego typu nie mamy odpowiedniego pojt(cia stalego pol a ,Oak sit( 0 tym zaraz przekonamy), podczas gdy kazda przyzwoita procedura rozniczkowania ("gradient") zastosowana do , powinna miee tt( wlasnose, ze jej znikanie sygnalizuje stalose, (takjak dl/J = 0 sygnalizuje stalose skalarnego pol a l/J). Inaczej mowi,!c, oczekiwalibysmy, ze dla "niestalego" pola ,taka procedura rozniczkowania powinna dawae miart( odchylenia , od wartosci stalej. Dlaczego mamy problem z pojt(ciem "stalosci" wektora na ogolnej n-rozmaitosci M? Otoz stale pole wektorowe " w zwyklej przestrzeni euklidesowej, powinno miee tt( wlasnose, ze wszystkie "strzalki" w jego geometrycznym opisie S,! do siebie rownolegle. W takim razie jakies pojt(cie "rownoleglosci" powinno bye cZt(sci,! struktury M. Mamy powod do niepokoju, jesli pamit(tamy klopoty z pi,!tym postulatem Euklidesa - postulatem rownoleglosci - ktory byl centralnym punktern dyskusji przeprowadzonej w rozdz. 2. Na przyklad geometria hiperboliczna nie pozwala na wprowadzenie pol wektorowych, ktore moglyby, w sposob jednoznaczny, bye wszt(dzie uwazane za "rownolegle". A w kazdym razie pojt(cie "rownoleglosci" nie jest wtasnosci,!, ktor,! M mogtaby miee automatycznie, z tego powodu, ze jest rozmaitosci,! gladk'!. Rys. 14.1 ilustruje tt( trudnose w przypadku 2-rozmaitosci zlozonej z dwoch tat plaszczyzny euklidesowej. Zwyklego euklidesowego pojt(cia rownolegtosci nie mozna po prostu przeniese z jednej laty na drug'!. Aby zrozumiee, jakie pojt(cie rownoleglosci jest tutaj odpowiednie, najpierw przeanalizujemy wewnt(trzn,! geometrit( zwyklej 2-wymiarowej sfery S2. Wybierzmy konkretny punkt p na S2 (powiedzmy, niech to bt(dzie biegun polnocny) i kon-
Przesuni~cie
r6wnolegle
14.2
Rys.14.1. Euklidesowe pojycie "rownoleglosci" moze okazac siy niespojne tam, gdzie nakiadaj'l siy rozne laty wspolrzydnych. Biegun p61nocny p
p Poludnik
(a)
(b)
Rys. 14.2. Problem rownoleglosci na sferze S2. Wybierzmy punkt p na biegunie polnocnym, z wektorem stycznym v skierowanym wzdluz poludnika Greenwich. Ktore wektory, styczne w innych punktach S2, mozemy uwazac za "rownolegle" do v? (a) Bezposrednie zastosowanie euklidesowego pojycia "rownoleglosci", przez wlozenie S2 do Iffi3, nie zdaje egzaminu, poniewai (z wyj'ltkiem wektorow stycznych do poludnika prostopadlego do poludnika Greenwich) wektory rownolegle do v nie s'l styczne do S2. (b) Sposobem usuniycia tej trudnosci jest nastypuj'lca procedura: przesuwajmy v rownolegle wzdluz krzywej y, rzutuj'lC go w sposob ci'lgly na plaszczyZlly StyCZll'l do sfery. (Traktujmy y jako zlozon'l z wielkiej ilosci bardzo malych odcinkow PoPl'P1P2,P2P3' ... , za kaidym razem odpowiednio zrzutowanych. Nastypnie przejdzmy do granicy z coraz mniejsz'l dlugosci'l tych odcinkow.) Ta koncepcja przesuniycia rownoleglego przedstawiona jest dla poludnika Greenwich, a takZe dla dowolnej krzywej y.
kretny wektor V, styczny w tym punkcie (niech wektor ten bC(dzie skierowany wzdluz poludnika Greenwich, zob. rys. 14.2a). Jakie inne wektory, styczne w innych punktach S2, mozemy uwazae za "rownolegle" do wektora v? Jesli sprobujemy posluZye siC( euklidesowq koncepcjq rownoleglosci, umiejscawiajqc sferC( S2 w 3-przestrzeni Euklidesa, wowczas okaze siC(, ze dla wiC(kszosci punktow q na S2 nie mozna skonstruowae wektorow stycznych do S2 i rownoleglych w tym sensie do wektora v, poniewaz plaszczyzny styczne w punkcie q nie zawierajq kierunku v. (Jedynie wielki okrqg, przechodzqcy przez p i prostopadly do poludnika Greenwich, zawiera punkty, w ktorych istniejq wektory styczne do S2 i ktore moglyby bye rownolegle do v w tym sensie.) Wlasciwe pojC(cie rownoleglosci na S2 moze odnosie siC( tylko do wektorow stycznych, dlatego musimy zrobie wszystko, aby kierunek wektora v lezal na plaszczyznie stycznej w punkcie q, gdy punkt q oddalamy od pl. Taki paralelizm zaleiny
285
14
Rachunek roiniczkowy i calkowy na rozmaitosciach
od drogi stanowi istotny nowy element, a jego odpowiednie wersje, w dodatku do ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina, lezq u podstaw sukcesow wspolczesnych teorii oddzialywan czqstek elementarnych. Sprobujmy zrozumiec to zagadnienie nieco dokladniej. Rozwazmy drogy y na SZ, rozpoczynajqc w punkcie pi konczqc w innym punkcie q. Wyobrazmy sobie, ze y sklada siy z wielkiej ilosci, powiedzmy N, malenkich odcinkow PoP I' P1PZ' PzP3' ... , PN - 1PN , gdzie punktem wyjsciowym jest Po = P, a odcinek ostatni konczy siy w punkcie P N = q. Przyjmijmy teraz, ze przesuwamy wektor v wzdluz drogi y, w taki sposob, ze wzdluz kazdego z tych odcinkow Pr-1Pr wektor v przesuwamy rownolegle do samego siebie - w takim sensie, jak to siy zwykle czyni w otaczajqcej go euklidesowej 3-przestrzeni - a nastypnie rzutujemyv na przestrzen stycznq w punkcie Pr (zob. rys. 14.2b). Za pomocq takiej procedury otrzymujemy wektor styczny w punkcie q, 0 ktorym uwazamy, ze zostal, z grubsza mowiqc, przesuniyty rownolegle wzdluz y od P do q, mozliwie najbardziej precyzyjnie na tej powierzchni. Wprawdzie ta procedura zaleiy w pewnym stopniu od tego, jak dokladnie krzywa y zostala przybliZona przez ten ciqg odcinkow, ale mozna pokazac, ze w granicy coraz mniejszych odcinkow otrzymamy dobrze okreslonq odpowiedZ, ktora nie zaleiy od tego, jak rozbilismy drogy y na odcinki. Procedura ta nosi nazwy plZesuni~cia rownoleglego wektora v wzdluz drogi y. Na rys. 14.3 pokazalem, jak wyglqdaloby takie przesuniycie rownolegle wzdluz piyciu roznych drog (wszystkie Sq okrygami wielkimi), jesli wyjdziemy z tego samego punktu p. Na czym wiyc polega ta zaleznosc od drogi, na ktorq powolywalismy siy poprzednio? Na rys. 14.4 zaznaczylem punkty pi q na SZ oraz dwie drogi od P do q, z ktorych jedna jest prostq drogq wzdlui wielkiego okrygu, a druga sklada siy z dwoch lukow wielkich okrygow, tqczqcych siy w pewnym punkcie posrednim, r. Na podstawie geometrii rys. 14.3 stwierdzamy, ze przesuniycie rownolegle wzdluz tych dwu drog (z ktorychjedna skryca pod kqtem prostym, ale nie rna to istotnego znaczenia) prowadzi do wynikow koncowych rozniqcych siy miydzy sobq, w tym konkretnym przypadku, obrotem 0 kqt prosty. Zwrocmy uwagy, ze roznica sprowadza siy do
286
Rys. 14.3. Przesuni'tcie rownolegle wektora v wzdluz pi'tciu roznych dr6g (wszystkie S,! okr'tgami wielkimi).
Pochodna kowariantna
14.3
Rys. 14.4. Zaleinosc przesunic;cia rownoleglego od drogi. Ilustrujemy to, wybieraj,!c dwie roine drogi od p do q, z ktorych jedna jest prost,! drog,! po wielkim okrC;gu, a druga sldada siC; z pary lukow dwoch wielkich okrC;gow, l'!cz'!cych siC; w punkcie przecic;cia r. Przesunic;cie rownolegle wzdlui tych drog daje, w punkcie q, wyniki roini,!ce siC; od siebie obrotem 0 k,!t prosty.
obrocenia kierunku wektora. Istniej,! ogolne powody, dla ktorych tak zdefiniowane przesuniycie rownolegle bydzie zawsze zachowywalo dlugosc wektora. (W innych rodzajach "przesuniycia rownoleglego" tak nie bydzie, a znaczenie tego faktu omowimy w dalszych rozwaianiach; zob. rozdz. 14.7, 15.7,8, 19.4.) Ty rozbieznosc k,!tow'! mozemy zauwaZyc w formie skrajnej, gdy nasza droga y jest zamkniyt'! pytI'! (a wiyc gdy p = q), w ktorym to przypadku moze siy pojawic rozbieznosc miydzy pocz'!tkowym a koncowym kierunkiem przesuwanego rownolegle wektora stycznego. W istocie, w przypadku idealnej geometrycznej sfery 0 promieniu jednostkowym, ta rozbieZnosc k,!towa jest dokladnie rowna calkowitemu polu powierzchni pytli (przy czym obszary otoczone w sensie ujemnym liczymy ze znakiem minus)[14.31•
14.3 Pochodna kowariantna W jaki sposob taka koncepcja "przesuniycia rownoleglego" moze byc wykorzystana do zdefiniowania odpowiedniej procedury r6iniczkowania pol wektorowych (i ogolnie pol tensorowych)? Istota pomyslu polega na tym, ze mozemy porownywac zachowanie pola wektorowego (albo tensorowego) w jakims kierunku z dala od punktu p z przesuniyciem rownoleglym tego samego wektora, w tym samym kierunku co p, a nastt(pnie odejmuj,!c jedno od drugiego. Procedury tt( stosujemy do skonczonego przesuniycia wzdluz jakiejs krzywej y, ale do zdefiniowania (pierwszej) pochodnej pola wektorowego potrzebujemy jedynie przesuniycia infinitezymalnego od punktu p, i to ostatnie zaleiy tylko od tego, jak krzywa "zaczyna odchodzic" od p; inaczej mowi,!c, zaleiy tylko od wektora w stycznego do krzywej y w punkcie p (rys. 14.5). Tak okreslone rozniczkowanie zwykle opatrujemy symbolem V i nazywamy operatorem pochodnej kowariantnej albo, prosciej, koneksjq. ~ [14.3] Sprawdz, czy potrafisz to wykazac dla przypadku tr6jkqta sferycznego (tr6jkqta na S2 utworzonego z luk6w wielkich okrt(g6w), gdy mozemy posluZyc sit( wzorem Hariota z 1603 roku na obliczanie pol a tr6jkqta sferycznego, podanym w rozdz. 2.6.
287
14
Rachunek r6i:niczkowy i calkowy na rozmaitosciach Rys. 14.5. Pojycie pochodnej kowariantnej latwo zrozumiec z pomoq pojycia przesuniycia rownoIeglego. Zmiennosc pol a wektorowego ( na M od punktu do punktu (strzalki z czarn~ glowk~) mierzona jest przez jego odchylenie od wartosci standardowej, ktor~ daje przesuniycie rownolegle (strzalki z bial~ glowk~). Takie porownanie mozemy przeprowadzic na calej dlugosci dowolnej krzywej y (startuj~c z punktu p), ale aby wzi~c pierwsz~ pochodn~ kowariantn~ V w punkcie p, powinnismy znac tylko wekt~r w styczny do y w punkcie p, kt6ry determinuje pochodn~ kowariantn~ V (pola (w punkcie p w kierunku w. w
Podstawow£! wlasnosci£! takiego operatora (kt6ra odnosi sit( teZ do pojt(cia naszkicowanego wczesniej dla S2) jest jego lin iowa zaleznosc od wektora w. Dlatego, zapisuj£!c pochodn£! kowariantn£! okreslon£! przez przesunit(cie (kierunek) wektora w jako V, dla dwu takich wektor6w przesunit(cia w i u, z£!damy, zeby w V =V + V, w u
w+u
a w przypadku mnozenia przez wielkose skalarn£! A: V =AV. AW W Moze sit( wydawae, ze umieszczanie symbolu wektora pod symbolem nabla wygl£!da dziwacznie, z czym trudno sit( nie zgodzie! Byloby lepiej uZye raczej symbolu V w' jednak taki operator w odmienny spos6b traktuj£! matematycy, a winny fizycy. Dla matematyka ten symbol oznaczalby to sarno, co ja mam na mysli, gdy piszy y, podczas gdy fizyk interpretowalby "w" jako indeks, a nie jako pole wektorowe. W notacji fizyka operator VW naleZaloby zapisae jako V =w"Va' w
288
a po dane warunki Iiniowosci jako (wa + ua)Va = w"Va + uaVa oraz (AWa)Va =A(WaVa). Umieszczenie dolnego indeksu na V jest sp6jne z tym, ze stanowi on wielkose dualn£! wobec pola wektorowego (i znajduje swoje odbicie w podanym warunku Iiniowosci; zob. rozdz. 12.3), tj. V jest operatorem kowektorowym (co oznacza operator 0 walencji [~]). Dlatego jeSli V dziala na pole wektorowe ( (walencja [~]), otrzymujemy w wyniku wielkose V(, kt6ra jest C]-tensorem. Widae to wyraznie w zapisie wskaznikowym, gdzie tensor V(zapiszemy jako VJb. W istocie, w spos6b naturalny, mozemy poszerzye zakres stosowalnosci operatora V od wektor6w do tensor6w 0 dowolnej walencji, a dzialanie V na [~]-tensor T daje w wyniku [q~l] -tensor VT. Reguly takich operacji wygodnie przedstawiamy w zapisie wskaznikowym, natomiast przestaje to bye takie proste, gdy przechodzimy do zapisu stosowanego przez matematyk6w, 0 czym za chwilt(.
Pochodna kowariantna
14.3
W dzialaniu na pola wektorowe operator V spelnia te same reguly jak operator roiniczkowy d z rozdz. 12.6: V(,+")=V,+V,, oraz wzor Leibniza V(A~ =AV'+~A,
gdzie , i " s,! polami wektorowymi, a A jest polem skalarnym. Od operatora pochodnej kowariantnej wymagamy, ieby dzialanie V na skalar bylo identyczne z dzialaniem gradientu (pochodnej formy zewnytrznej) d na ten skalar: VlP=dlP.
Poszerzenie zakresu dzialania V na ogolne pola tensorowe jest okreslone jednoznacznie[14.4] przez dwa naturalne warunki. Pierwszym z nich jest i,!danie addytywnosci (dla tensorow T i U 0 tej samej walencji) V(T+ U) = VT+ VU, a drugim spelnianie odpowiedniej postaci wzoru Leibniza. Z zapisem wzoru Leibniza jest pewien klopot, szczegolnie w notacji matematykow, ktorzy unikaj,! wskaznikow. Z grubsza bioqc, prawo to (dla tensorow T i U 0 dowolnej walencji) moina zapisac nastypuj,!co: VeT. U) = (VT). U + T· VU, ale to wymaga wyjasnienia. Kropka • oznacza tutaj formy iloczynu z kontrakcj,!, w ktorym pewien zbior wskaznikow gornych i dolnych tensora T poddany jest kontrakcji ze zbiorem wskafnikow dolnych i gornych tensora U (przy czym dopuszczamy, ie te zbiory s,! puste, a wtedy iloczyn staje siy zewn~trznym, bez jakiejkolwiek kontrakcji). W podanym wzorze kontrakcje w obu wyrazach po prawej stronie dokladnie odzwierciedlaj,! kontrakcje po stronie lewej, a indeks przypisany operatorowi V pozostaje taki sam w calym wyraieniu. Sytuacja staje siy szczegolnie zloiona w zapisie matematycznym, gdy nie chcemy uiywac indeksow, poniewai nie jest tak latwo przedstawic, co rozumiemy przez tensorowe prawo Leibniza. Trudnosc ty nieco zmniejszymy dziyki uiyciu notacji V, zamiast po prostu V, wtedy bowiem symbol w na V wi'!ie siy ze wskafnikiem na V w i, jesli chcemy, moiemy podobnie post,!pic z innymi indeksami, dokonuj,!c kontrakcji kaidego z nich z polem wektorowym lub kowektorowym (niepoddanym dzialaniu V). Uwaiam, ie sytuacja jest bardziej klarowna, jesli uiywamy indeksow, ale najlepszym sposobem jest zapis graficzny, w ktorym roiniczkowanie jest zaznaczone przez narysowanie kolka wokol wielkosci, ktor'! mamy zroiniczkowac. N a rys. 14.6 przedstawilem reprezentatywny przyklad tensorowego prawa Leibniza. B [14.4] Wyjasnij, dlaczego to jest jednoznaczne. Wskaz6wka: rozwaz dzialanie V na a' (etc.
289
14
Rachunek roiniczkowy i calkowy na rozmaitosciach
12\7 f ~hA.(e
at
he[d
IY..)c} ..... gh]
+
+
Rys. 14.6. W zapisie graficznym ro:miczkowanie kowariantne moina wygodnie przedstawic, rysujljC kolko wokol wielkosci, ktorlj mamy zroiniczkowac. Tutaj jest to zilustrowane przez przyklad tensorowego prawa Leibniza zastosowanego do wyraienia Va {~bA.t[)J~} (zob. rys. 12.17). W wyniku antysymetrii wskainikow mamy czynnik 12.
Wszystkie te wlasnosci bylyby zachowane, gdybysrny w rniejsce operatora Va uZyli zwyklego zapisu operatora "pochodnej cZqstkowej we wspolrzydnych" a/ax a• W rzeczywistosci na kazdej lacie wspolrzydnosciowej rnozerny uZyc a/ax a do zdefiniowania pochodnej kowariantnej na tej lacie; bydy jq nazywal pochodnq kowariantnq we wsp6lrz~dnych albo koneksjq wsp6Irz~dno§ciowq. To pojycie nie jest specjalnie interesujqce, poniewaz wspolrzydne Sq najzupelniej dowolne. (Wprowadza to specjalne pojycie paralelizmu, gdyz wszystkie linie wspolrzydnych uwazane Sq za "rownolegle".) W rniejscu gdzie laty wspolrzydnosciowe nakladajq siy, pochodne kowariantne zdefiniowane we wspolrzydnych z reguly nie odpowiadajq sobie (zob. rys. 14.1). Mirno ze takie koneksje nie Sq interesujqce z fizycznego punktu widzenia, to bywajq czysto uZyteczne, gdy potrzebujemy jawnych wyrazen. Dzieje siy tak dlatego, ze kiedy bierzemy roznicy pomiydzy dwiema koneksjami, to dzialanie tej roznicy na jakqs wielkosc tensorowq T moze byc zawsze wyrazone w sposob calkowicie algebraiczny (tzn. bez jakiegokolwiek roi:niczkowania) za pomocq tensora T i pewnej wielkosci tensorowej r 0 walencji [;][14.5]. Daje to rnozliwosc jawnego wyraZenia dzialania V na dowolny tensor T przez pochodne czqstkowe 2 skladowych T~:::; plus pewne dodatkowe wyrazenia wprowadzajqce skladowe r;}14.6].
!!JIl [14.5] Sprawdi, czy potrafisz to pokazac i wyprowadzic wyrazenie explicite. Wskazowka:
e,
najpierw rozwaz dzialanie r6znicy dwu koneksji na pole wektorowe wyrazaj<}c wynik w zapisie wskainikowym 1; nastypnie pokaz, ze ta r6znica pochodnych, dzialaj<}c na kowektor a, daje w wyniku acT;a; wreszcie, uiywaj<}c definicji [:]-tensora T jako wieloliniowej funkcji q wektor6w na p kowektorach (zob. rozdz. 12.8), znajdz og6lne wyrazenie w zapisie wskaznikowym na r6znicy miydzy pochodnymi kowariantnymi dzialaj<}cymi na T. !!JIl [14.6]. Tymi dwiema pochodnymi niech byd<} przyktadowo V i pochodna kowariantna we wsp61rzydnych. Znajdz wyraienie we wsp61rzydnych przedstawiaj<}ce dzialanie V na dowolny tensor, pokazuj<}c, jak otrzymac skladowe w spos6b jawny z = \lbo~, ... , = Vbo:, tj. przez dzialanie V na kazdy z wektor6w (zapisanych we wsp61rzydnych ) o~, ... ,0:. (W tym miejscu a jest indeksem wektora, kt6ry mozemy traktowac jako "wskainik abstrakcyjny", podobnie jak w rozdz. 12.8, a zatem "o~" itd. rzeczywiscie oznaczaj<} wektory, a nie zbi6r sktadowych, n zas oznacza wymiar przestrzeni. Zauwazmy, ze koneksja wsp61rzydnosci zeruje kazdy z tych wektor6w.)
r:c;
r:c
290
r:,\
r:,n
Tensory krzywizny i torsji
14.4
14.4 Tensory krzywizny i torsji Koneksja wspolrzt(dnosciowa jest szczegolnym rodzajem koneksji, poniewaz, w odroznieniu od przypadku ogolnego, definiuje ona pojt(cie rownoleglosci niezalezne od drogi. Jest to zwi,!:zane z faktem (juz w rozdz. 10.2 poznalismy relacjt( a2fl axay = = a~/ayax), ze operatory pochodnych cz'!:stkowych we wspolrzt(dnych komutuj,!::
a
a
2
2
ax a ax b = ax b ax a • Inaczej mowi,!:c, wielkosc a21axaax b jest symetryczna (we wskainikach ab). Wkrotce zobaczymy, jakie to rna znaczenie dla rownoleglosci niezaleznej od drogi. Natomiast dla ogolnego operatora koneksji V taka wlasnosc nie wystt(puje i iloczyn V;V b nie jest symetryczny, a jego czt(sc antysymetryczna Via V bl daje wklad do dwoch specjalnych tensorow, z ktorych jeden, 0 walencji [~], nazywamy tensorem torsji, 'l', a drugi, 0 walencji [~], nosi nazwt( tensora krzywizny, R. Torsja wystt(puje wtedy, gdy dzialanie operatora Via V bl na wielkosc skalarn,!: nie daje zera. W wit(kszosci teorii fizycznych torsja nie wystt(puje, tzn. 'l' = 0, i to z pewnosci,!: ulatwia Zycie. Ale na przyklad w teorii supergrawitacji lub teoriach spinowo-torsyjnych Einsteina-Cartana-Sciamy-Kibble'a torsja wystt(puje i odgrywa znacz'!:c'!: fizycznie rolt( (zob. przyp. 10 w rozdz. 19, rozdz. 31.3). Kiedy mamy do czynienia z torsj,!:, w zapisie wskaznikowym wyrazenie na torsjt(, antysymetryczne w indeksach ab, jest nastt(puj,!:ce[14.71: (Va Vb - Vb V.) cP = TabeVe cPo
Tensor krzywizny R, w przypadku bez torsji[14.SI, mozna zdefiniowae wzorem[1 491: (VaVb - VbVa)r =Rabed~c.
W obliczeniach tego rodzaju zwykle otrzymujemy wyrazenia z nagromadzeniem niewielkich wskaznikow i dlatego osobiscie polecam wersjt( graficzn,!: tych kluczowych wyrazen, jak na przyklad na rys. 14.7a, b. Radzt( tez, aby wielkosci z indeksami, tam, gdzie to jest wlasciwe, odczytywac jako tensory w zapisie abstrakcyjno-wskaznikowym, jak w rozdz. 12.8. (W literaturze istniej,!: rozne konwencje odnosnie do kolejnosci wskainikow, ich znakow itd. Tutaj narzucam czytelnikowi te, ktore sam stosujt(, przynajmniej w tych publikacjach, ktorych jestem jedynym autorem!). Fakt, ze tensor Rabed jest antysymetryczny w pierwszej parze indeksow ab, mianowicie -R d =R d abc
hac'
lflJl [14.7] Wyjasnij, dlaczego prawa strona tego rownania musi miec tak,! ogoln,! postac; wyraz sktadowe tensora t' be przez sktadowe r'/x. Zob. ewiczenie [14.6]. lflJl [14.8] Pokaz, jaki czton trzeba dodac, aby to wyrazenie mozna byto stosowac w przypadku z torsj,!. ~ [14.9) Jakie jest odpowiednie wyraienie opisuj,!ce dzialanie VaVb - VbVa na kowektor? Wyprowadz je dla przypadku ogolnego tensora 0 walencji [~].
291
14
Rachunek r6iniczkowy i catkowy na rozmaitosciach
= 0, tj.
fi1+ ~+ yJ=O' (d}
~=o (e}
Rys.14.7. (a) Wygodny zapis graficzny tensora krzywizny Ral"d. (b) Tozsamosc Ricciego ('Va Vb - VbVa)~ =
=R':l'ed~. (~ Anty~ymetria -R?bed = ~~ed .. (d) S,Yilletria Bi~nchiego R[abet, ktora sprowadza si y do relacji Rabe + Rbea + Reab = O. (e) Tozsamosc Blanchlego V[aRbeJd = O. (zob. ryS. 14.7c), jest ewidentny, co wynika z antysymetrii wyraienia V;Vb - VbVa = 2 V[a Vbr Wkrotce przekonamy siy, jakie jest znaczenie tej antysymetrii. Natomiast w przypadku bez torsji mamy dodatkow'! relacjy symetrii[14.101; rys. 14.7d.
=
Relacja ta jest czasem nazywana "pierwsz,! toisamosci,! Bianchiego". Bydy j,! nazywal symetriq Bianchiego. Nazwy toisamosc Bianchiego zwykle rezerwujemy dla "drugiej" z tych toisamosci, ktora wobec braku torsji przyjmuje postac[14.11 1:
W rozdz. 19.6 przekonamy siy, ie toisamosc Bianchiego stanowi podstawow,! przeslanky rownania pola Einsteina. Krzywizna jest t'! istotn'! wielkosci,!, ktora wyraia zaleinosc koneksji od drogi (przynajmniej w skali lokalnej). Jesli wyobrazimy sobie przesuniycie jakiegos wektora wokol niewielkiej pytli w przestrzeni M, korzystaj'!c z pojycia przesuniycia rownoleglego zdefiniowanego przez V, wowczas stwierdzimy, ie tensor R jest miar,! zmiany naszego wektora, gdy wrocimy do punktu wyjsciowego. Najlatwiej bydzie to zrozumiec, jesli wyobrazimy sobie, ie nasza pytla jest "infinitezymalnym rownoleglobokiem" narysowanym w przestrzeni M. (Takie rownolegloboki, jak to niebawem zobaczymy, "istniej,!", gdy operator V nie zawiera torsji.) Najpierw musimy przedstawic i wyjasnic niektore pojycia.
292
~ [14.10] Najpierw wyjasnij "to znaczy"; nastt(pnie wyprowadi to r6wnanie, definiujqc tensor Rabed i rozwijajqc wyrazenie Via Vb(~Vd]rp); maze w tym pom6c przedstawienie graficzne. d ~ [14.11] Wyprowadi tt( tozsamose z r6wnania definiujqcego Rabe , rozwijajqc V[aVbVdr na dwa sposoby. Pomocne maze bye przedstawienie graficzne.
Linie geodezyjne, r6wnolegloboki i krzywizna
14.5
14.5 Linie geodezyjne, r6wnolegtoboki i krzywizna Najpierw, aby skonstruowae rownoleg!obok, rozwazmy poj~cie linii geodezyjnej, ktor'! okresla koneksja V. Linie geodezyjne S,! odpowiednikami linii prostych w geometrii Euklidesa. W rozwazanym przez nas przypadku sfery S2 (rys. 14.2-14.4) liniami geodezyjnymi s,! okr~gi wielkie na sferze. W bardziej ogolnym przypadku powierzchni zakrzywionej w przestrzeni euklidesowej s,! nimi krzywe 0 minimalnej dlugosci (ktore moglibysmy otrzymae, na przyklad, napinaj,!c nitk~ scisle wzd!uz tej powierzchni). W dalszym ci,!gu przekonamy si~ (rozdz. 17.9), ze linie geodezyjne maj,! fundamentalne znaczenie dla ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina, gdyz reprezentuj'! drogi swobodnego spadania cia! w czasoprzestrzeni. W jaki sposob operator koneksji V prowadzi do pojycia linii geodezyjnej? W zasadzie linia geodezyjna to pewna krzywa y, ktora przebiega "rownolegle do samej siebie" zgodnie z rownoleglosci,! okreslon,! przez koneksjy V. Jak taki warunek moze bye precyzyjnie zapisany? Przypusemy, ze wektor t (tzn. t) jest styczny do y na calej jej dlugosci. Z,!danie, zeby kierunek tego wektora pozostawal rownolegly do samego siebie na calej dlugosci y, mozemy wyrazie nastypuj,!c0 4 : V text, t
tzn.
tvat' ex t'
(gdzie symbol "ex" oznacza "proporcjonalny do"; zob. rozdz. 12.7). Gdy ten warunek jest speiniony, to podczas poruszania siy wzdluz y wektor t moze siy skracae lub wydluzae, ale jego kierunek niezmiennie "wskazuje ty sam,! strony", zgodnie z pojyciem rownoleglosci okreslonym przez koneksjy V. Jeieli zaleiy nam na tym, zeby nie wystypowalo takie "skracanie lub wydluzanie", to musimy naloiye mocniejszy warunek, a mianowicie zeby wektor t byl przenoszony rownolegle wzdluz y. To oznacza, ze na calej dlugosci y musi bye spelniony warunek Vt t = 0,
to znaczy
tvat' = 0,
gdzie wektor t (w zapisie wskainikowym t) jest styczny do y na calej dlugosci. Zgodnie z tym silniejszym warunkiem, nie tylko kierunek wektora t, ale rowniez jego "skala" S,! zachowane wzdluz krzywej y. Co to oznacza? Po pierwsze, powinnismy zauwaiye, ze dowolna krzywa (niekoniecznie geodezyjna), sparametryzowana przez (odpowiednio gladk'!) wspolrzydn,! u, zwi,!zana jest z odpowiednim wyborem skalowania dla jej wektora t stycznego do niej na calej dlugosci. Wynika z tego, ze t reprezentuje rozniczkowanie (d/du) ze wzglydu na zmienn,! U wzdluz tej krzywej. Alternatywnie warunek ten mozemy zapisae w postaci
t(u) = 1 alba jako wzdluz krzywej
y u = 1,
czyli tvau = 1,
y[14121.
..§l [14.12] Wykai r6wnowainosc wszystkich tych warunk6w.
293
14
Rachunek roiniczkowy i calkowy na rozmaitosciach
Kiedy krzywa y jest linii! geodezyjni!, wowczas wyb6r mocniejszego warunku t = 0, wii!ze siy ze specjalnym typem parametru u, znanym skalowania, a wiyc V t jako parametr afiniczny[14.13] wzdluz y; zob. rys. 14.8. Jesli dysponujemy odpowiednim pojyciem "odleglosci" wzdluz krzywych, to na ogol wybieramy parametry afiniczne w taki sposob, zeby byly miari! tej odleglosci. JednakZe parametry afiniczne si! pojyciem bardziej ogolnym. Przykladowo, w teorii wzglydnosci takie parametry potrzebne si! dla promieni swietlnych, tymczasem odpowiednia "miara odleglosci" tutaj siy nie przyda, gdyz w tym wypadku wynosi ona zero! (Zob. rozdz. 17.8 i 18.1.) Sprobujmy teraz skonstruowac rownoleglobok za pomoci! linii geodezyjnych. Zacznijmy w pewnym punkcie p na M i narysujmy dwie linie geodezyjne, A i /1, wychodzi!ce z punktu p. Niech LiM bydi! odpowiednimi wektorami stycznymi w punkcie p, a £ i m bydi! odpowiednimi parametrami afinicznymi. Wybierzmy jaki!S liczby dodatnii! E i odmierzmy na A odleglosc afiniczni! £ = E od punktu p do punktu q oraz afiniczni! odleglosc m = E na /1 od p do r; zob. rys. 14.9a. (Intuicyjnie mozemy wyobrazic sobie, ze odcinki linii geodezyjnych pq i pr maji! dlugosci strzalek, odpowiednio, EL i EM, gdzie Ejest mali! liczbi!.) Aby uzupelnic rownoleglobok, musimy odejsc z q wzdlui: nowej linii geodezyjnej /1' w kierunku "rownoleglym" do M. Aby spelnic warunek rownoleglosci, przenosimy M z p do q, wzdlui: A, metodi! przesuniycia rownoleglego (to oznacza, ze M musi spelniac warunek VM = 0 wzdluz L drogi A). Teraz mozemy sprobowac umiejscowic ostatni wierzcholek rownolegloboku w punkcie s, ktory odmierzamy od q na odleglosc afiniczni! m = 1 wzdluz /1'. Alternatywnie moglibysmy umiejscowic ten ostatni wierzcholek, postypuji!C ina-
Rys. 14.8. Dla dowolnego (odpowiednio gladkiego) parametru u okreslonego na krzywej y pole wektor6w t stycznych do y jest w spos6b naturalny zwi,!zane z u tak, ze wzdluz y t reprezentuje operator d/du (r6wnowaznie t(u) = 1 alba (''Yau = 1). Jesli y jest lini,! geodezyjn,!, to u nosi nazw« parametru afinicznego, gdy t jest przesuwany r6wnolegle wzdluz y tak, ze V t = 0, a nie V t oc t. Parametr afiniczny, zgodnib z koneksj~ V, jest "r6wno odkladany" wzdluz y.
294
B [14.13] Pokaz, ze jesli u i v Sq dworna pararnetrarni afinicznyrni na y, zwiqzanyrni z dworna roznyrni wyborarni t, wowczas v =Au + B, gdzieA i B Sq stale wzdluz y.
Linie geodezyjne, rownolegloboki i krzywizna
(a)
(b)
14.5
(c)
Rys. 14.9. (a) Sprobuj skonstroowac rownoleglobok z linii geodezyjnych. Wei dwie geodezyjne Ai p. przechodz~ce przez punkt p na M, z odpowiednimi wektorami stycznymi w punkcie p, LiM, i odpowiednimi parametrami afinicznymi f. i m. Niech q bydzie w odleglosci afinicznej f. = e od p wzdluz A, a r w odleglosci afinicznej m = e od p wzdluzp. (e jest mal~ liczb~ dodatni~). Aby utworzyc rownoleglobok, dokonaj przesuniycia rownoleglego M wzdluz Aod p do q (V M = 0 wzdluz A); w ten sposob otrzymasz s~siedni~ liniy geodezyjn~p.', wzdluz ktorej przechodzimy oLd q do s, tj. na odleglosc afiniczn~ e; now~ strzalky "rownoleglosci" wskazuje eM'. Podobnie przenosimy L od p do r przez przesuniycie rownolegle wzdluz p., przechodz~c nastypnie od r do s' strzalk~ rownolegl~ eL', wzdlui: A', na odleglosc afiniczn~ m = e. (b) W ogolnym przypadku s n' i tak utworzony rownoleglobok dokladnie siy nie domyka, ale w przypadku bez torsji ta szczelinajest rZydu O(e 3 ). (c) Gdy torsja T nie jest rowna zero, wowczas to niedomkniycie bydzie rZydu O(f2).
czej: przechodzimy od r na odleglosc afiniczn'l £ = e wzdluzA' do punktu koncowego s', przy czym linia geodezyjna A' wychodzi z r w kierunku L, ktory zostal przeniesiony z p do r wzdluz f-l przez przesuni((cie rownolegle. Jesli chcemy otrzymac porZqdny rownoleglobok, powinnismy zaZ'ldac, zeby wierzcholki sis' wypadly w tym samym punkcie (s = s')! Tak si(( jednak sklada, ze z wyj'ltkiem bardzo szczegolnych przypadkow (takich jak geometria euklidesowa) b((d'l to rozne punkty. (Przypomnijmy sobie nasze proby skonstruowania kwadratu w rozdz. 2.1!) W pewnym sensie nie b((dq one "bardzo" rozne, jesli wektory eL i eM okaz'l si(( odpowiednio "male". Wielkosc tej roznicy jest zwi'lzana z torsj'l. Aby to wlasciwie zrozumiec, potrzebujemy nieco wi((cej elementow rachunku rozniczkowego od tych, z ktorymi zapoznalismy si(( do tej pory. Istotne jest, ze to odst((pstwo od geometrii euklidesowej daje si(( okreslic w pewnej skali zaleznej od wyboru malej wielkosci Co Jestesmy zainteresowani nie tyle sam'l wielkosci'l tej deformacji plaskosci, ile raczej szybkosci'l, z jak'l ta deformacja zmierza do zera, gdy e maleje. To znaczy, nie potrzebujemy znac dokladnych wartosci tych wielkosci, 1ecz chcemy wiedziec, czy jakas odpowiednia wie1kosc Q zmierza do zera tak szybko jak e, e 2, e3 , czy moze jak jakas inna konkretna funkcja e. (Z podobnym zagadnieniem zetkn((lismy si(( juz w rozdz. 13.6.) Tutaj slowa "tak szybko jak" oznaczaj'l, ze gdybysmy wielkosc Q wyrazili w jej skladowych, to ich wartosci bezwzgl((dne bylyby mniejsze niz jakas liczba dodatnia po-
295
14
Rachunek roiniczkowy i calkowy na rozmaitosciach
mnozona, odpowiednio, przez e, przez e2, e3 czy inn,! funkcjy e. (Wynika z tego, ze wyrazenie "tak szybko jak" kryje w sobie "szybciej niz"!) W takich przypadkach mowimy, ze Q jest wielkosci,! rZydu e, e2, e3, itp., i zapisujemy jako O(e), 0(e 2), O(e3 ) itp. Jest to niezalezne od wyboru ukladu wspolrzydnych i stanowi jeden z powodow, dla ktorych pojycie "rzydu wielkosci" jest tak wazne i poi:yteczne. Moje wyjasnienia byly bardzo skrotowe i dlatego zachycam zainteresowanego czytelnika do skorzystania z literatury, ktora szerzej prezentuje to powszechnie wykorzystywane zagadnienie5• Tutaj wystarczy intuicyjne zrozumienie, ze 0(e 3 ) oznacza wielkosc duzo mniejsz,! niz 0(e 2), a to z kolei jest duzo mniejsze niz O(e), itd. Powrocmy teraz do naszego rownolegloboku. Wektory pocz'!tkowe eL i eM w punkcie p S,! O(e), wiyc tego samego rZydu s,! boki pq i pr i takie tez byd,! boki qs irs'. W takim razie jak wielka bydzie "szczelina" ss'? Odpowiedz brzmi: jesli mamy do czynienia z koneksj,! bez torsji, wowczas ss' bydzie zawsze 0(e 3 ); zob. rys. 14.9b. Ta wlasnosc calkowicie charakteryzuje przypadek bez torsji. Jesli torsja wystypuje, wowczas przejawi siy ona na (niektorych) rownoleglobokachjako efekt 0(e 2 ); zob. rys. 14.9c[14.14J. Czasami mowimy nieprecyzyjnie, ze warunkiem domkniycia siy rownolegloboku jest znikanie torsji (maj,!c na mysli, ze rownoleglobok "domyka siy" z dokiadnosci,! rZydu e2 ). Przypuscmy, ze torsja znika. Czy mozemy teraz uZyc naszego rownolegloboku do zinterpretowania krzywizny? Okazuje siy, ze mozemy. Zalozmy, ze w punkcie p mamy trzeci wektor N i ze przesuniemy ten wektor rownolegle wokol rownolegloboku od p do s, via q, i porownamy wynik tego przesuniycia z przesuniyciem od p do Sf via r. (Takie porownanie rna sens z dokladnosci,! rZydu e2 , gdy torsja znika, poniewai: wtedy szczelina miydzy s a Sf jest 0(e 3 ) i moze byc pominiyta. Gdy torsja nie znika, wowczas musimy zaj,!c siy dodatkowym wyrazeniem pochodz,!cym od torsji; zob. ewiczenie [14.7].) Okai:e siy, ze roznica miydzy wynikami przesuniycia pqs i prsf wyniesie
W ten sposob uzyskalismy bezposredni,! interpretacjy geometryczn,! tensora krzywizny R; zob. rys. 14.10. (Rownowazn,! wersjy tej interpretacji uzyskamy, jesli wyobrazimy sobie przesuniycie rownolegle N wokol calego rownolegloboku, zaczynaj,!ce i koncz'!ce siy w tym samym punkcie p, ignoruj,!c rozbiei:nosci rZydu e3 w wierzcholkach rownolegloboku. Roznica miydzy pocz'!tkow'! a koncow'! wartosci,! N wyniesie ponownie e2LaM'NRabed.) Zwrocmy uwagy na antysymetriy tensora Rabed we wskaznikach abo Oznacza ona, ze podane wyrai:enie reaguje tylko na CZySC antysymetryczn,! czlonu VM', L[aM'J, czyli na iloczyn klinowy L /\ M; zob. rozdz. 11.6. Dlatego znaczenie rna tylko dwuwymiarowy element plaski w punkcie p, rozpiyty przez wektory LiM.
296
t1m [14.14] Wyprowadz odpowiednie wyraienie.
Linie geodezyjne, rownolegloboki i krzywizna
p
14.5
Rys. 14.10. Skorzystaj z rownoIegloboku do zinterpretowania tensora krzywizny, w przypadku gdy T = O. Przenies trzeci wektor N, za pomocq przesuniycia rownoleglego, od p do s via q i porownaj to z przesuniyciem rownoleglym od p do s' via r. Miaq roznicy, ktora jest wyrazem O(e 3 ), jest e2LaM'NRabcd, czyli 2 E R(L, M, N) zapewnia nam bezposrednil) interpretacjy geometrycznl) tensora krzywizny R.
W przypadku gdy M jest sarna powierzchni'l dwuwymiarow'l, wowczas tensor krzywizny rna tylko jedn,! niezalezn'l skladow,! (poniewaz dwuwymiarowy element plaski musi bye styczny do M w punkcie p). Skladowa ta daje nam krzywizn~ Gaussa powierzchni dwuwymiarowej, 0 czym wspominalem w rozdz. 2.6, ktora pozwala nam odroznie geometrie lokalne sfery, plaszczyzny euklidesowej i przestrzeni hiperbolicznej. W wyzszych wymiarach sprawy siy komplikuj'l i tensor krzywizny rna wiycej skladowych, ktore wynikaj'l z roznych mozliwych wyborow dwuwymiarowego elementu plaskiego L /\ M. Istnieje specjalna wersja tej geometrycznej interpretacji tensora krzywizny, ktora rna szczegolne znaczenie. Pojawia siy wtedy, gdy wektor N wybierzemy taki sam jak L. Mozemy wtedy uWaZae boki pq irs' naszego rownolegloboku za odcinki dwoch blisko leZ,!cych linii geodezyjnych, y i y', a wektor L za wektor do nich styczny. Wektor 8M w punkcie p mierzy przesuniycie y od y' w punkcie p. Z tego powodu M bywa nazywany wektorem lqczqcym. Linie geodezyjne y i y' biegn'l najpierw rownolegle (jesli je porownamy na dwu koncach tego wektora l'lcz'lcego, a wiyc wzdluzpr). Przesuniycie rownolegle wektoraL(=N) do s' wzdluz drugiej drogiprs' pozostawia ten wektor stycznym do Hnii geodezyjnej y' w punkcie s'. Ale jesli L przesuniemy rownolegle do s po drodze pqs, to otrzymamy wektor pocz'ltkowy innej linii geodezyjnej, y", lez'lcej blisko y, ale gdzie y" startuje rownolegle do y w nieco "pozniejszym" punkcie q. Roznica 0(8 2) miydzy tymi dwiema wersjami L (jedna w s', a druga w s), mianowicie 82LaMLcRabcd, mierzy "wzglydne przyspieszenie" lub "odchylenie geodezyjne" y' od y; zob. rys. 14.11. (To odchylenie geodezyjne jest opisywane matematycznie przez tak zwane r6wnanie Jacobiego.) Na rys. 14.12 zilustrowalem odchylenie geodezyjne w przypadku, gdy M jest powierzchni'l dwuwymiarow,! 0 dodatniej i ujemnej krzywiznie Gaussa. Gdy ta krzywizna jest dodatnia, wowczas s'lsiednie linie geodezyjne, na pocz'ltku rownolegle, nachylaj'l siy ku sobie; gdy jest ujemna, wowczas odchylaj'l od siebie. Przekonamy siy, ze rna to ogromne znaczenie w ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina (rozdz. 17.5 i 19.6).
297
14
Rachunek roiniczkowy i calkowy na rozmaitosciach
Rys. 14.11. Odchylenie geodezyjne: na rysunku 14.10 wybierz N = L. Boki rownolegloboku pq i rs' s~ odcinkami dwoch s~siednich linii geodezyjnych y i y' (tutaj y zast~pilo A i y' zast~pilo A'), wychodz~cych, odpowiednio, z p i r, z przesunil(tymi rownolegle wektorami stycznymi L i L', wektorem I~cz~cym w p jest M. Odchylenie geodezyjne mil(dzy yay' jest mierzone roinic~ wynikow przesunil(cia rownoleglego L wzdlui drogprs' i pqs i roinica ta w zasadzie jest rowna e2LaM'NRabcd.
(al
(bl
Rys. 14.12. Odchylenie geodezyjne w przypadku, gdy M jest powierzchni~ 2-wymiarow~: (a) gdy krzywizna Gaussa jest dodatnia, wowczas linie geodezyjne y i y' nachylaj~ sil( ku sobie. Gdy (b) krzywizna jest ujemna, odchylaj~ sil( od siebie.
14.6 Pochodna Liego
298
W przedstawionej dyskusji rownoleglosci zaleznej od drogi, dla koneksji V, zapisuj,!c rozne relacje i wyrazenia, poslugiwalem siy ui:ywanym przez fizykow zapisem wskainikowym. W konwencji stosowanej przez matematykow analogicznych formul nie mozna tak latwo zapisac. Zamiast tego postypuje siy nieco inaczej. (Zdumiewaj,!ce, jak roznice w zapisie mog,! czasami poprowadzic nasze rozwaZania i analizy w konceptualnie roznych kierunkach!) Ta inna droga wprowadza inn,! operacjy rozniczkowania - nawias Liego - ktora jest bardziej ogoln,! form,! operacji, jak,! pod t'! sam,! nazw,! wprowadzilismy w rozdz. 13.6. To szczegolny przypadek waznego pojycia znanego jako pochodna Liego. Pojycia te s,! niezalezne od konkretnego wyboru koneksji (i dlatego mog,! byc stosowane w przypadku rozmaitosci ogolnej, gladkiej i bez struktury), warto wiyc wlasnie teraz przedyskutowac pochodn,! Liego i nawias Liego w przypadku ogolnym, zanim zajmiemy siy, przy koncu tego rozdzialu, ich znaczeniem dla krzywizny i torsji.
Pochodna Liego
14.6
Aby zdefiniowae pochodn,! Liego na rozmaitosci M, naleiy najpielW okreslie na tej rozmaitosci jakies pole wektorowe (. Pochodna Liego, ktor'! oznaczymy symbolem £, jest operacj,! rozniczkow,! ze wzglydu na pole wektorowe (. Pochodna £Q mier~, jak zmienia siy jakas wielkose Q w porownaniu ze zmian'!, ktora by nasi'!pila, gdyby ty wielkose po prostu "przesun'!e" wzdluz pola wektorowego ( (zob. rys. 14.13). Znajduje to rowniei: zastosowanie do tensorow, a nawet do wielkosci, ktore nie S,! tensorami, takich jak koneksje. N a pocz'!tek rozwazmy pochodn,! Liego pol a wektorowego '1(= Q) ze wzglydu na inne pole wektorowe (. Okazuje siy, ze jest to ta sarna operacja, ktor,! w rozdz. 13.6 okreslilismy jako "nawias Liego", ale w bardziej ogolnym kontekscie. Nastypnie przekonamy siy, jak to pojycie mozna uogolniC na dowolne pole tensorowe Q. Na podstawie rozdz. 12.3 przypomnijmy sobie, ze sarno pole wektorowe moze bye interpretowane jako operator rozniczkowy dzialaj,!CY na pola skalarne lP, If', ... , speiniaj,!CY trzy reguly (i) ((lP+ P) = ((lP) + ((P), (ii) ((lPP) = P((lP) + l/Jr;(P), oraz (iii) ((k) = 0, gdy k jest stal,!. Mozna od razu pokazae[14.151, ze operator 0>, zdefiniowany rownaniem
spelnia te same relacje, zakladaj,!c, ze speiniaj,! je oba pola ( i 'I, a zatem 0> jest rowniei: polem wektorowym. Taki komutator dwoch operacji, (i 'I, jest cZysto zapisywany (np. w rozdz. 13.6) jako nawias Liego 0>
..
'
.-
. ' . ' "~~""'"'''' ":". .
II1/"')" /':','
./~o~e~e~\oT ! .t· \
= ('I -IJ( = [(, 'I]'
\
'
~R6i:niCa
I
mierzona
lprzez £"
/
:~~~4. -; Przesuni~ty I R6i:nica mierzona ... JrV wektor" ! przez£Q /
/ ~ =';~-'1 If! // if~-- I; 0 0 .'::> '.";:.::.:.\ .\ 0 +1 0 0 0: .'
:··A .... Off>lz,e~
..;.~ ~ "'!*to.'0 :;:" Iz,f>~
:'~ ~~
........... \
"4.
"
'-_,
--
Przesuni~ty
~ensorQ
"';':.:;.,: ~ . . . '
G1
•
'-.:/
•. :
~j
Pole .:.:' otensorowe ..:.'
"", ',' ::.:.:.;. <:. ',~., ":::'.:. . ....:;. ,.: .',,' ...~. '. ,..,,::.,
fD [14.15] Pokaz to.
Rys. 14.13. Pochodn'l Liego £, zdefiniowan'l na og61nej rozmaitosclM, bierzemy ze wzglydu na zadane gladkie pole wektorowe (na M. Pochodna £Q mierzy, jak zmienia siy wielkosc Q (Jp . jakies pole wektorowe 11 lub pole tensorowe Q) w por6wnaniu ze zmian'l, kt6r'l uzyskalibysmy, "przesuwaj'lc" ty wielkosc zgodnie z polem (.
299
14
Rachunek roiniczkowy i calkowy na rozmaitosciach
Rys. 14.14. Nawias Liego [(, 'I] (= £'1) dla dwu p61 wektorowych (, 'I mierzy szczeliny O(e 2) niedomkniytigo czworoboku zbudowanego naprzemiennie ze "strzalek" O(e) wektor6w e( i e'l.
Geometryczny sens komutatora dwu pol wektorowych, (i 1/, ilustruje rys. 14.14. Probujemy skonstruowac czworobok ze "strzalek", naprzemiennie, wektorow (i 1/ (kazdy z nich jest O(e» i znajdujemy, ze co jest miar,! powstalej "szczeliny" (rzydu O(e 2 Mozemy sprawdzic[14.161, ze komutator spelnia nastypuj,!ce relacje:
».
[(,1/] = -[1/, (],
[( + 1/, C] = [(, C] + [1/, C],
[(, [1/, C]] + [1/, [C, (] +[C, [(, 1/]]
=
0,
podobnie jak komutator dwoch infinitezymaInych elementow grupy liego w rozdz. 13.6. Jak to siy dzieje, ze nasza operacja komutacji, wlasnie zdefiniowana, wi'!ze siy z algebr,! (rozdz. 13.6) elementow infinitezymalnych grupy Liego? Zrobiy mal,! dygresjy, aby to wyjasnic. Pomyslmy 0 grupie jako 0 pewnej rozmaitosci g (nazwiemy j,! rozmaitosciq grupowq), ktorej punkty s,! elementami naszej grupy Liego. Traktuj,!c rzecz bardziej ogolnie, moglibysmy myslec 0 dowolnej rozmaitosci 1i, na ktorej te elementy dzialaj,! jak gladkie transformacje (jak na przyklad sfera S2, w przypadku grupy obrotow g = SO(3), zob. rys. 13.2). Na razie jestesmy zainteresowani przede wszystkim rozmaitosci,! grupow'! g niZ bardziej ogoln,! rozmaitosci,! 1i, poniewaZ chcemy wiedziec, jak cala grupa g jest zwi
300
tB [14.16] Zr6b to.
Pochodna Liego
14.6
(b)
(a)
(c)
Rys. 14.15. Operacje algebry Liego, interpretowane geometrycznie na ci'lgiej rozmaitosci grupowej g. (a) Uprzednie pomnoienie kaidego elementu 9 przez infinitezymalny element grupy (element algebry Liego) daje przesuni"cie infinitezymalne g, czyJi pole wektorowe (na g. (b) W pierwszym rz"dzie wielkosci i10czyn dwoch takich ruchow infinitezymalnych ( i " daje po prostu , + II, co odzwierciedla jedynie struktur" przestrzeni stycznej (w punkcie I). (c) LokaIna struktura grupy pojawia si" w drugim rz"dzie wielkosci, e2[(, Ill, i prowadzi do szczeliny O(e 2 ) w "rownolegloboku" 0 bokach e(i ell w punkciel.
odpowiada szczelinie rZydu O(f2) w wierzcholku "rownolegloboku", ktorego boki w punkcie poczqtkowym I wynoszq f, i f'1. Odpowiednie pojycie "rownoleglosci" wynika z dzialania grupowego i, wraz z niezbydnq koncepcjq "przesuniycia rownoleglego", daje w wyniku koneksjy z torsjq, ale bez krzywizny[14.171; zob. rys. 14.15c. Jak zauwaiylismy w rozdz. 13.6, algebra Liego tych pol wektorowych zapewnia calkowitq (lokalnq) struktury grupy. Tutaj ukaiemy procedury, w jaki sposob uzyskac norrnalny, skonczony (tzn. nie infinitezymalny) element grupy, x, z elementu, algebry Liego. Procedura ta nosi nazwy eksponencjacji (zob. rozdz. 5.3, 13.4)
x = e' = I + , + ~
,2 + i ,3 + ...
,2
W tym wypadku oznacza "operator drugiej pochodnej polegajqcy na dwukrotnym zastosowaniu operatora ," itd. (J jest operatorem tozsamosci). W zasadzie jest to pewna forma twierdzenia Taylora, ktore przedstawilismy w rozdz. 6.4[14.181. Iloczyn
m [14.17] Spr6buj wyjasnic, dlaczego wystypuje tutaj torsja, lecz nie wystypuje krzywizna. B [14.18] Wyjasnij (na poziomie formalnym), dlaczego eadldYf(y) = f(y + a), gdzie a jest stat'!.
301
14
Rachunek r6iniczkowy i catkowy na rozmaitosciach
dwu skonczonych element6w grupy, X iy, uzyskujemy teraz zwyraienia e' e~. Iloczyn ten r6zni sil( od e'+~ (zob. rozdz. 5.3) 0 wielkose, kt6ra jest w calosci zbudowana z wyrazen algebry Lieg0 6 w operatorach ,i '1. Warto zauwaZye, ze pewna wersja operacji eksponencjacji e' moze bye r6wniez zastosowana do pola wektorowego ,na og6lnej rozmaitosci M (zakladamy, ze zar6wno M, jak i 'S,! analityczne, czyli 0 gladkosci C', zob. rozdz. 6.4). Przypomnijmy sobie z rozdz. 12.3 (i rys. 10.6), ze dla malego f, f,(lP) mierzy, w rZl(dzie O(f), przyrost funkcji skalarnej lP od pocz'!tku do konca "strzalki", jaka przedstaM6wi,!c bardziej precyzyjnie, wielkose e,(lP) mierzy calkowitq wartose lP, wia kt6r'! to pole osi,!ga wzdluz "strzalki ,", od punktu pocz'!tkowego 0 do punktu koncowego zadanego przez wartose parametru u = t, gdzie parametr u jest wyskalowany tak, ze ,(u) = 1 (zob. rozdz. 14.5 i rys. 14.8). Wszystkie pochodne, tzn. pochodne r-go rZl(du, czyli ,r(lP)) w rozwinil(ciu w szereg potl(gowy e'(lP), obliczamy w punkcie 0 (zakladamy zbieznose szeregu potl(gowego). Kiedy m6wimy "wzdluz strzalki", mamy na mysli poruszanie sil( wzdlui: "krzywej calkowej" pola " a wil(c wzdluz krzywej, kt6rej wektorami stycznymi S,! wektory ,; zob. rys. 14.167 • Jaka jest zatem definicja pochodnej Liego? N ajpierw przepiszmy nawias Liego jako operacjl( £ (zalezn,! od (), dzialaj,!c,! na pole wektorowe '1:
f,.
,
,'1=[','1]. To bylaby definicja pochodnej Liego £ (ze wzgll(du na pole () [~]-tensora (tzn. wektora) '1. Potrzebujemy zapisu za poinoq wolnej od torsji koneksji V. Poszukiwane wyraienie (jego graficzn,! wersjl( przedstawia rys. 14.17a) jest nastl(puj,!ce:
,'1 = y'1 -
:' \(<(")=\~ :'\t\\ltt t~ j t
~:/
t} I I
'.:.\ t
302
/
0
tzn.
(,'1)" = ~v/l- rt'VJ,b
p
Krzywa calkoway
J':' :
y, ,
M
t! / 11.---- . .
!"".---- L..
-" /' ~ ~ .:
u=Q
.-
"'~
\
~
\:"
Wartosc (/J w punkcie p .• ... r6wna jest wartosci e"((/J). J .:: . :::. " o.bliczonej w punkcie 0 ".,,:' . ':', ~~.
........
.-
Rys. 14.16. Krzyw,! ealkow'! pola wektorowego (na rozmaitosci M jest krzywa y, kt6ra "rozwija silt w slad strzalek (', a wilte jej wektorami styeznymi s,! wektory (, zwiqzane z parametrem u, w tym sensie, ze (u) = 1 (zob. rozdz. 14.5 i rys. 14.8). Zal6zmy, ze M i (s'! analityezne (tzn. CW ) , podobnie jak pole skalame (/J, i ze Y rozci,!ga silt od pewnego punktu poez'!tkowego 0 (u = 0) do innego punktup (u =t). W6wezas (zakladamy zbieznose) wartosc (/J w punkcie p jest dana przez wielkosc e'((/J) obliezon'! w punkeie 0, gdzie e'( = I + t( + ~ f(2 + t3(3 + ... i gdzie (' oznaeza rot'! poehodn,! d'/du' obliezon,! w punkcie 0 wzdluz krzywej y.
i
Pochodna Liego
14.6
i moina je wyprowadzic bezposrednio, stosujqC (( t:P) = sVa t:P itd. [14.19],[14.20]. Aby otrzymac wyraienie na pochodnq Liego dowolnego ogolnego tensora, wykorzystamy zasady, ie £ spelnia (z wyjqtkiem braku liniowosci w () reguly koneksji V. Reguly te Sq nast~pujqce: £t:P= (( t:P) dla pol a skalarnego t:P; £(T + U) = £T + £v fila tensorow 0 tej samej wal~ncji; £(T. U) = (£1) • V + T· £V, przy czym p6rzqdh kontrakcji jest taki sam w kaidym ~ wyrazow. (Z tych regu{i z £If = [(, If] uzyskujemy jednoznaczne wyraienie na dzialanie £ na dowolny tensois. W szczegolnym przypadku kowektora a (walencja [~]) otrzyinujemy ~a=ya+a.(V(),
tzn.
(~a)a=~bVbaa+abVJb
(V jest operatorem bez torsji); zob. rys. 14.17b. Dla tensora Q 0 walencji na przyklad [~] mamy (rys. 14.17c)[14.21] £(ab QC =
~uv
U
QCab + QCuba V ~u + QC V ~u _ QU V r/. aub abu
Zauwaimy, ie pochodna Liego, traktowana jako funkcja zarowno (, jak i pola tensorowego Q, na ktore dziala, jest niezaleina od koneksji, to znaczy, ie jest taka sarna, bez wzglydu na to, jaki operator bez torsji Va wybierzemy. (Wynika to z faktu, ie £ jest okreslony jednoznacznie za pomocq operatora gradientu "d".) W szczegolri'osci zamiast Va moglibysmy uiyc operatora pochodnej cZqstkowej a;aJt (w dowolnym ukladzie wspolrzydnych) i wynik bylby ten sam. Nawet jeSli koneksja jest z torsjq, to moiemy jej uiyc, wyraiajqc poprzez innq koneksjy, wolnq od torsji, jednoznacznie zdefiniowanq przez danq koneksjy, uzyskanq przez "odjycie" torsji tej koneksji[14.22]. Pochodna Liego rna ty wlasnosc wspolnie z pochodnq formy zewnytrznej (zob. rys. 12.6), ie jest niezaleina od koneksji. Dla dowolnej p-formy a w zapisie wskaznikowym a b ...d mamy
(a)
(b)
(e)
Rys. 14.17. Graficzne przedstawienie pochodnej Liego (a) wektora,,: (1")" = ~V;tl- TJaVa~; (b) kowektora a: (1a)a = gb Vbaa + abVJb; oraz (c) [~l-tensora Q: 1Q;;b = gUVuQ;;b + gab VJu + Q;;uVbg" - Q"ab vuge·
B [14.19] Wyprowadi wzor na £". [14.20] Jak uwzglydnienie tofsji modyfikuje wyraienie z ewiczenia [14.19]? B [14.21] Wykai jednoznacznosc, weryfikuj,!c podane wyraienie dla kowektora, i podaj expiicite wyraienie na pochodn,! Liego dowolnego tensora. [14.22] Pokai, jak znaleic ty drug,! koneksjy, przyjmuj,!c, ze r, ktora stanowi roznicy tych koneksji, jest antysymetryczna w jej dolnych dwu indeksach; zob. ewiczenie [14.5].
m m
303
14
Rachunek r6iniczkowy i calkowy na rozmaitosciach p-forma
r./
~ d(El =~:,)! ~ p
~
p+l
Rys.14.18. Diagram przedstawiajilCY pochodnilP-formy: (da).bd = V[Pb..d]'
gdzie V jest koneksj,! woln,! od torsji; zob. rys. 14.18. To sarno wyrazenie wystypuje w rozdz. 12.6, a r6znica pol ega na tym, ze teraz jawnie uiylismy koneksji wsp61rz~d nosciowej a/aX'. Latwo zauwaZyc, ze podane wyrai:enie jest rzeczywiscie niezalezne od wyboru koneksji bez torsji[14.23]. Ponadto z wyrai:enia tego wynika od razu kluczowa wlasnosc d2a = 0[14.24]. Znamy wiele innych szczeg6lnych wyrai:en, kt6re s,!, w tym sensie, niezalezne od wyboru koneksW. W koncu, powracaj,!c do kwestii krzywizny na naszej rozmaitosci M z koneksj,! V, dochodzimy do wniosku, ze potrzebujemy nawiasu Liego do zdefiniowania tensora krzywizny w zapisie stosowanym przez matematyk6w: (V V - V V L M
M L
V)N = R(L, M, N),
[L,Mj
gdzie R(L, M, N) oznacza wektor L aM'NR abcd [14.25]. Aczkolwiek pojawienie siy dodatkowego wyrazu komutatorowego mozna uznac za wady, kompensuje to fakt, ze torsja jest teraz automatycznie uwzglydniona (inaczej nu w zapisie fizyk6w, kt6ry wymaga dodatkowego czlonu dla uwzglydnienia torsji). Przypomnijmy sobie geometryczne znaczenie wyrazu z komutatorem (rys. 14.14). Prowadzi on do pojawie-
Rys. 14.19. Krzywizna w "zapisie matematyk6w" (VV - V V - V )N LA( M L [L.MJ pocnoazilca z rozbiei:nosci 0(£2) w przesuniyciu r6wnoleglym wektora N wok61 (niekompletnego) czworoboku o bokach eL, eM, eL', eM'. Wklad od nawiasu Liego e2[L, M] wypelnia szczeliny 0(e 2) z dokladnosciil 0(e 3). Wskainikowy zapis wektora R(L, M, N) to L"MNRab/'
= R(L, M, N),
[14.23] Udowodnij to i pokaz, jak obecnosc tensora torsji 'l' modyfikuje to wyrazenie. [14.24] Pokaz to. Jjg [14.25] Zademonstruj r6wnowaznosc (gdy torsja znika) z poprzednim wyrazeniem w zapisie fizycznym.
!§
ta
304
Do czego potrzebna jest metryka
14.7
nia siy "szczeliny" rZydu O(e2) w czworoboku O(e) utworzonym z p61 wektorowych LiM. Dodatkow'!: zalet'!: jest teraz fakt, ze pytla, wok61 kt6rej przesuwamy nasz wektor N, nie musi bye r6wnoleglobokiem (w poprzednio wymaganym rZydzie wielkosci), lecz moze bye jakims czworobokiem krzywoliniowym; zob. rys. 14.19. Jei:eli [L, M] = 0, w6wczas ten czworobok siy domyka, z dokiadnosci,!: O(e 2 ).
14.7 Do czego potrzebna jest metryka Do tego momentu rozwazalismy sytuacjy, w kt6rej naszej rozmaitosci M po prostu przypisaliSmy koneksjy V. To oznacza, ze M rna pewien typ struktury. Jest jednak zupelnie normalne, ze myslimy 0 koneksji jako 0 strukturze wt6mej, kt6ra wynika z metryki zdefiniowanej na M. Przypomnijmy na podstawie rozdz. 13.8, ze metryka (albo pseudometryka) jest nieosobliwym symetrycznym m-tensorem g. Z'!:damy, zeby g bylo gladkim polem tensorowym, z czego wynika, ze g stosuje siy do przestrzeni stycznych w r6znych punktach M. Rozmaitose, kt6rej przypisano metryky, nazywamy riemannowskq lub raczej pseudoriemannowsk,!:lO. (Z postaci,!: wielkiego matematyka Bemhardta Riemanna zetknylismy siy w rozdz. 7 i 8. Riemann wprowadzil rozmaitosci n-wymiarowe z metryk,!:, kontynuuj,!:c wczesniejsze badania nad 2-rozmaitosciami "riemannowskimi", jakie zapocz'!:tkowal Gauss.) Zwykle termin "riemannowskie" zarezerwowany jest dla przypadk6w, w kt6rych tensor g jest dodatnio okreslony (zob. rozdz. 13.8). W takim przypadku istnieje (dodatnia) miara odleglosci wzdluz dowolnej gladkiej krzywej i jest ona zdefiniowana jako calka z ds wzdluz tej krzywej (rys. 14.20), gdzie 2
ds = gabdx"dX'. Rzecz'!: wlasciw,!: jest calkowanie wzdluz krzywej, aby okreslie jej dlugosc, przy czym wyrazenie, gdy tensor g jest dodatnio okreslony, odpowiada temu, co siy przez ten termin zwykle rozumie. Aczkolwiek ds nie jest 1-form,!:, to jednak rna wystarczaj'!:co duzo wlasnosci wsp6lnych z 1-formami, zebysmy j,!: mogli calkowae wzdluz krzywej. W takim przypadku dlugose f. krzywej l'!:cz'!:cej jakis punktA z innym punktem B jest dana wzorem ll
Rys. 14.20. Dlugosc gladkiej krzywej wynosi
ds 2=gabdx"dX'.
fds,
gdzie
305
14
Rachunek r6iniczkowy i calkowy na rozmaitosciach
£=
S: ds,
gdzie
ds
= (gabcit' dX')~.
Wypada zauwaiye, ze w przypadku przestrzeni euklidesowej jest to zwykla definicja dlugosci krzywej, co latwo stwierdzie w kartezjanskim ukladzie wspolrZydnych, w ktorym skladowe tensora gab przyjmuj,! postae standardowej "deity Kroneckera" z rozdz. 13.3 (tzn. gab = 1, gdya =b, i 0, gdya '" b). Wyrazenie na ds jest odzwierciedleniem twierdzenia Pitagorasa (rozdz. 2.1), jak to juz zauwaiylismy w rozdz. 13.3 (zob. ewiczenie [13.11 D, ale na poziomie infinitezymalnym. Jednak w przypadku ogolnej rozmaitosci riemannowskiej miara dlugosci krzywej, ktora okresla podany wzor, daje geometriy rozn,! od geometrii Euklidesa. Z tego wynika, ze twierdzenie Pitagorasa nie funkcjonuje w przypadku odleglosci skonczonych (w przeciwienstwie do infinitezymalnych). Jest naprawdy godne uwagi, ze to staroi;ytne twierdzenie wci
Ivl2 = gabvavb, ktora, dla metryki dodatnio okreslonej, jest zawsze dodatnia wszydzie tam, gdzie v nie jest zerem. JednakZe w teorii wzglydnosci potrzebujemy metryki lorentzowskiej (zob. rozdz. 13.8) i w takim przypadku Ivl2 nie musi bye dodatnie. Poiniej poznamy znaczenie tego faktu (rozdz. 17.9, 18.3). W jaki sposob nieosobliwy (pseudo )metryczny tensor g jednoznacznie determinuje koneksjy bez torsji V? J ednym z mozliwych sformulowan tego wymogu dla V jest stwierdzenie, ze przesuniycie rownolegle wektora musi zawsze zachowywae jego dlugose Gest to wlasnose, ktor,! przyj,!lem w rozdz. 14.2 dla przesuniycia rownoleglego na sferze S2). Rownowai:nie z,!danie to mozemy sformulowae w postaci
Vg=O. Ten warunek (razem z warunkiem znikania torsji) wystarcza do calkowitego okreslenia V [14.26J. Koneksja V bywa nazywana czasami koneksj,! Riemanna, czasami Christoffela, a czasami Levi-Civity (od nazwisk Bernhardta Riemanna (1826-1866), Elwina Christoffela (1829-1900) i Tullio Levi-Civity (1873-1941), z ktorych kaidy wniosl powazny wklad w rozwoj tego pojycia)\I 4.27 J.
m [14.26] Wyprowadijawne wyraienia dla sldadowych r: =!gad(8g koneksji r;,c (symbole Christoffela); zob. ewiczenie [14.6]. d
bd
m [14.27] Wyprowadz klasyczne wyrazenie Rabe
= 8r;bI8X' - 8r;)8X' + r:J":a - 8r:ar:b dla tensora krzywizny w symbolach Christoffela. Wskaz6wka: skorzystaj z definicji w rozdz. 14.4 tensora krzywizny, gdzie w miejscu nale:i:y wstawic kazdy z wektorow 8~, ... , 8: Oak w ewiczeniu [14.6]). Wielkosci 8~, ... ,8: nale:i:y traktowac jako osobne wektory, w ktorych gomy wskaZnik a uWaZamy za indeks abstrakcyjny, w zgodzie z rozdz. 12.8).
t
306
I8r +8gj8X' -8gj8J!)
Do czego potrzebna jest metryka
14.7
Istnieje jeszcze inny sposob rozumienia faktu, ze metryka g (powiedzmy, dodatnio okreslona) determinuje koneksjy. Bezposrednio z metryki mozemy wyprowadzie pojycie linii geodezyjnej. Krzywa na M, ktora daje najkrotszl! drogy (wielkose ty ilustruje rys. 14.20) pomiydzy dwoma ustalonymi punktami, jest linil! geodezyjnl! dla metrykig. Znajomose polozen linii geodezyjnej to podstawowa czyse informacji niezbydnych do znajomosci koneksji V. Aby w pelni okreslie ty koneksjy, potrzebna jest jeszcze znajomose parametrow ajinicznych wzdluz linii geodezyjnych, czyli parametrow mierzl!cych dlugosci lukow wzdluz krzywych, oraz stalych wspolczynnikow tych parametrow i wszystko to wynika z g[14.281• W przypadku gdy tensor g nie jest dodatnio okreslony, argument jest w zasadzie taki sam, ale a calka ta staje siy "stacjonarnl!" na teraz linie geodezyjne nie minimalizujl! linii geodezyjnej. (Do problemu tego wrocimy p6Zniej; zob. rozdz. 17.9 i 20.1.) W przypadku geometrii (pseudo )riemannowskiej metryki gab oraz jej odwrotnosciEtb (zdefiniowanej rownaniem Etbgbe = 8~) uZywamy do podnoszenia lub obnizania wskaznikow tensora. W szczegolnosci wektory mogl! bye zamieniane na kowektory, zas kowektory - na wektory (i z powrotem), jak w rozdz. 13.9:
fds
fds,
a.
v =g vbiaa=,.,ab . 5 ab Zwykle uZywamy tego samego symbolu glownego (w tym wypadku v i a) po obu stronach, a polozenie indeksow pozwala rozroznie geometryczny charakter danej wielkosci. Stosujl!C ty procedury do obniZenia gornego indeksu tensora krzywizny, definiujemy tensor Riemanna albo tensor Riemanna-Christoffela
R abed = Rabe' ged' ktory jest tensorem 0 walencji [~]. Jego waZoe wlasnosci symetrii stanowil! dodatek do dwoch relacji, ktore poznalismy wczesniej (antysymetrii w indeksach ab oraz symetrii Bianchiego, tj. znikania czysci antysymetrycznej w indeksach abc). Mamy wiyc[14.291 antysymetriy w indeksach cd oraz symetriy ze wzglydu na zamiany indeksowab i cd:
R abed = -Rabde = R edab · Rys. 14.21 przedstawia zapis graficzny tych zwil!zkow. Ogolny tensor 0 walencji [~] na n-rozmaitosci rna n 4 skladowych; jednakZe w przypadku tensora Riemanna, ze wzglydu na te symetrie, tylko n 2(n 2 - 1) tych skladowych jest niezaleznych[14.301• Chcialbym teraz zwrocie uwagy czytelnika na wektor Killinga na (pseudo-)riemannowskiej rozmaitosci M. Jest to pole wektorowe K, na ktorym pochodna Liego zeruje metryky:
fz
£g=O. "
tm
[14.28] Podaj szczeg61y tego rozumowania.
jlI [14.29] Wyprowadz te relacje. Najpierw na podstawie V'[a V'blged = 0 pokaz antysymetri y
w indeksach cd, a nast«pnie, korzystajqc z tych antysymetrii i symetrii Bianchiego, wyprowadz koncowq symetri y zamiany cd i ab. jlI [14.30] Sprawdz, ze te symetrie, w przypadku n = 4, dopuszczajq tylko 20 niezaleznych skladowych.
307
14
Rachunek roiniczkowy i calkowy na rozmaitosciach
va
~ 6,
Va
~?
(1
=
R~~~O ~ ~o- ~
0
Q,
=
61, 6 lJ =
= '()
~i~~ ~Om~I~'~WoO
Rys. 14.21. Podnoszenie i obniianie wskaznik6w w zapisie "pa11lkowatym": Va =gab!! = vbgba , if =(bVb = =Vi"', Rabed =Rabe' g,d' Rabed = Rabe,g'd, Rabed = -Rabdc = R edab ; /Ca jest wektorem Killinga, jesli V(a/Cb) = O.
R6wnanie to mozna przepisae w zapisie wskaznikowym (tam nawiasy zwykle oznasymetryzacje(, jak w rozdz. 12.7; zob. r6wniez rys. 14.21):
czaj~
VaKb
+ VbKa
=
0, tj.
V(aKb) =
0,
gdzie V oznacza standardow~ koneksjC( Levi-Civity[14.31 1• Wektor Killinga na rozmaitosci (pseudo-)riemannowskiej M jest generatorem pewnej ci~glej symetrii M (kt6ra moze bye tylko symetri~ 10kaln~12, jesli M jest rozmaitosci~ niezwart~). Jezeli M zawiera wie(cej niz jeden niezalezny wektor Killinga, w6wczas komutator tych dwu wektor6w jest kolejnym wektorem Killinga[14.32]. Wektory Killinga s~ szczeg61nie wazne w teorii wzglC(dnosci, 0 czym przekonamy siC( w rozdz. 19.5 i 30.4,6,7.
14.8 Rozmaitosci symplektyczne Nalei:y przyj
dS=O. ~
~
[14.31] Wyprowadi to r6wnanie. [14.32] Sprawdi ten "geometrycznie oczywisty" fakt przez bezposrednie obliczenie. Dla-
czego to jest "oczywiste"?
308
is [14.33] Wyjasnij, dlaczego warunek ten moze bye zapisany jako 'VaSb, + 'VbS,a + V,Sab = 0, poslugujqc si y dowolnq koneksjq bez torsji.
Rozmaitosci symplektyczne
14.8
(Mogtby to bye standardowy przypadek rzeczywistej formy symplektycznej na 2m-wymiarowej rozmaitosci rzeczywistej, na ktorej symetria lokalna bytaby zadana przez "sygnatur~ rozszczepionq" grupy symplektycznej Sp(m, m); zob. rozdz. 13.10. Nie znam badan "rozmaitosci symplektycznych" 0 innych sygnaturach.) Odwrotnose sab tensora Sab (zdefiniowana relacjq sab She = 8:) definiuje wielkose nazywanq nawiasem Poissona (od nazwiska wybitnego matematyka francuskiego Simeona Denisa Poissona, ktory iyl w latach 1781-1840). Oznacza on pewnq kombinacj~ dwoch pol skalarnych l/J i If', w wyniku ktorej powstaje trzecie:
-t
{cP, '¥}
= _lsabV l/JVb '¥ 2 a
(gdzie czynnik zostal wstawiony jedynie dla zachowania zgodnosci z konwencjonalnym zapisem tej formuly w jakims ukladzie wspolrz~dnych). Jest to wielkose bardzo waina w mechanice klasycznej. Pozniej (rozdz. 20.4) zobaczymy, ie zakodowane Sq w niej rownania Hamiltona, ktore stanowiq fundamentalnq ogolnq procedur~ opisujqcq dynamik~ fizyki klasycznej i lqczq tt( ostatniq z mechanikq kwantOWq. Antysymetria S i warunek dS = 0 prowadz q do eleganckich wyraien[14.34] {l/J, '¥} = -{ If', l/J},
{e, {l/J, '¥}} + {l/J, { If', e}} + { If', {e, l/J}}
=
O.
Moiemy to porownae z odpowiedniq toisamosciq komutatorowq (nawiasem Liego) z rozdz. 14.6. (Przypomnijmy toisamosc Jacobiego.) Wrocimy do tej bogatej geometrii rozmaitosci symplektycznych, kiedy zajmiemy si~ geometrycznym przedstawieniem mechaniki klasycznej w rozdz. 20.4. Struktura lokalna rozmaitosci symplektycznej jest przykladem struktury "przenosnej" ("floppy"). W przypadku rozmaitosci symplektycznych nie istnieje na przyktad pojt(cie krzywizny, ktore pozwalaloby lokalnie odroinie jednq rozmaitose symplektycznq od innej. Gdy mamy do czynienia z dwiema rzeczywistymi rozmaitosciami symplektycznymi 0 tym samym wymiarze (i tej samej "sygnaturze", zob. rozdz. 13.10), wowczas Sq one lokalnie identyczne (w tym sensie, ie dla kaidego punktu p jednej rozmaitosci i kaidego punktu q drugiej istniejq zbiory otwarte zawierajqce p i q, ktore Sq identyczne 13 ). To sytuacja z gruntu inna nii w przypadku rozmaitosci (pseudo-)riemannowskich lub rozmaitosci, w ktorych zadana moie bye tylko koneksja. W tamtych przypadkach tensor krzywizny (i, dla przykladu, roine jego pochodne kowariantne) definiuje wyrainq struktur~ lokalnq, ktora jest na ogol roina dla roinych rozmaitosci tego typu. Istniejq inne przyklady takich struktur "przenosnych", wsrod nich struktura zespolona zdefiniowana w rozdz. 12.9, ktora umoiliwia reinterpretacj~ 2m-wymiarowej rozmaitosci rzeczywistej jako m-wymiarowej rozmaitosci zespolonej. W tym przypadku "przenosnosc" jest ewidentna, poniewai nie ma iadnej cechy, poza wymiarem zespolonym m, ktora pozwolilaby na lokalne odroinienie jednej zespolonej rozmaitosci od innej (lub od em). Ona wciqi pozostanie strukturq "prze-
!!J!J [14.34] Wykaz prawdziwosc tych reiacji, pokazujqc najpierw, ze sa[bvascdl= o.
309
14
Rachunek r6iniczkowy i calkowy na rozmaitosciach
nosn'!", nawet jesli przyporz,!dkujerny jej jak,!s zespolon'! (holornorficzn,!) struktury syrnplektyczn'![14.35] (i nie rnusirny rnartwic siy pojyciern "sygnatury" zespolonego tensora Sob; zob. rozdz. 13.10). Mozna podac wiele przyldad6w struktur "przenosnych", na przyklad jedn,! z nich bylaby rozrnaitosc rzeczywista z polern wektorowym, kt6re nigdzie nie znika. Z kolei rozrnaitosc rzeczywista z dwoma dowolnymi polarni wektorowyrni nie bylaby rozrnaitosci,! przenosn'![14.36]. W rozdz. 33.11 przekonarny siy, ze wlasnosc "przenosnosci" rna pewne znaczenie dla teorii twistor6w.
Przypisy Rozdzial 14.2 i
W rzeczywistosci istnieje topologiczny pow6d, dla kt6rego nie rna mozliwosci skonstruowania, w spos6b ciqgly, "r6wnoleglych" do v we wszystkich punktach S2 (problem "czesania wlos6w sferycznego psa"!). lednak takie stwierdzenie nie jest prawdziwe w odniesieniu do S3, jak to pokazuje konstrukcja r6wnoleglych Clifforda (przedstawiona w rozdz. 15.4). Rozdzial 14.3
2 W wielu publikacjach z dziedziny fizyki i w starszej literaturze matematycznej pochodn,! cZqstkowq a/aX' oznacza siy przez dodanie dolnego indeksu a, poprzedzonego przecinkiem, na prawym koiicu listy wskaznik6w dolqczonej do wielkosci, kt6r'! r6zniczkujemy. W przypadku Va W miejscu przecinka ui:ywa siy srednika. Zapis "V;' funkcjonuje dobrze w przypadku notacji abstrakcyjno-wskaznikowej (rozdz. 12.8) i kolejne r6wnania w zasadniczym tekscie tej ksiqzki mogq (powinny) bye odczytywane w ten spos6b. Wyrazenia za pomocq wsp61rzydnych r6wniez mozna skutecznie przedstawiae w tym zapisie, jednak potrzebne s,! dwa rozr6znialne rodzaje wskaznik6w: jeden do zapisu przez skladowe, a drugi abstrakcyjny - zob. Penrose (1967, 1968); Penrose, Rindler (1984). Rozdzial 14.4 3
Takie rozmieszczenie indeks6w jest niezbydne ze wzglydu na to, ze po wprowadzeniu metryki (rozdz. 14.7) bydziemy potrzebowali miejsca na obnizanie i podwyzszanie indeks6w. Rozdzial 14.5
Dokladniej m6wi qc, V dziala na pol a zdefiniowane na M, a nie po prostu wzdluz krzywych lezqcych na M. R6wnanie to rna jednak sens, poniewaz ten operator r6zniczkuje tylko w kierunku wzdluz krzywej. Mozemy traktowac obszar okreslonosci t jako rozci,!gniyty gladko od y do M w dowolny spos6b. Nie rna znaczenia, jak dokladnie to rozszerzenie wygl,!da, poniewai: interesuje nas tylko r6wnanie na t wzdluz y. 5 Zob. np. Simmonds, Mann (1998).
4
Rozdzial 14.6 6
Widzimy jawnq roly komutator6w algebry Liego we wzorze Bakera-Campbella-Hausdorffa, kt6rego kilka pierwszych czlon6w mozemy wypisac explicite: e(e' ~
1 1 = eN,+z[(' ,[+u([(·[("]+[[(,,hJ)+ ..
[14.35] Wyjasnij dlaczego.
1m. [14.36] Wyjasnij w kazdym z tych przypadk6w dlaczego. Wskaz6wka: skonstruuj uklad
310
wsp6lrzydnych, w kt6rym (= a/ax i ; a nastypnie zastosuj kolejne pochodne Liego do zbudowania calego ukladu.
Przypisy
gdzie kropki oznaczajq dalsze wielokrotne komutatory (i 1/, a wiyc elementu algebry Liego generowanego przez (i 1/. 1 7 M6wiqc dokiadniej, mozemy wybrac stale wsp6lrzydne r, r, ... ,x" wzdlui tej krzywej, zx = t. W takim przypadku (= a/at wzdluz krzywej. Jest to po prostu twierdzenie Taylora (rozdz. 6.4), kt6re m6wi, ze podany przepis daje et( tP). t 8 Analogicznie do wyrazenia eksponencjalnego e ( od (, kt6re daje wartosc wielkosci skalarnej tP w pewnej skonczonej odleglosci, istnieje odpowiednie wyrazenie z £ w miejscu " ktore pozwala nam otrzymac tensor Q przesuniyty 0 pewnq skonczonq odlegl~se, mierzonq w "przesuniytym" ukladzie odniesienia. 9 Zob. Schouten (1954); Penrose, Rindler (1984), s. 202. Rozdzial 14. 7 W niektorych monografiach matematycznych dla przypadkow nieokreslonych uiywa siy nazwy "polriemannowskie" - zob. O'Neill (1983), lecz moim zdaniem termin "pseudoriemannowskie" jest bardziej odpowiedni. 11 Zwykle aby nadae temu wyraieniu wlasciwy sens, wprowadzamy jakis parametr, powiedzmy u, wzdluz krzywej i wtedy piszemy ds = (ds/du )du. Wielkose ds/du jest zwyklq funkcjq u, ktorq mozemy wyrazie przez dx"/du. 12 "Lokalnose" moze bye rozumiana w sensie nastypujqcym: dla kaidego punktu p rozmaitosci M istnieje procedura eksponencjacji (rozdz. 14.6) malej stalej wielokrotnosci K, ktora odwzorowuje zbior otwarty zawierajqcy p na inny otwarty zbior na M, 0 identycznej strukturze metrycznej. 10
13
Rozdzial14.8 W tym miejscu slowo "identyczne" dotyczy faktu odwzorowania kazdego z tych zbiorow na drugi w taki sposob, ze ich struktury symplektyczne odpowiadajq sobie.
15 Wiqzki wl6kniste i koneksje cechowania 15.1 Fizyczne powody wprowadzenia
wi~zek
wf6knistych
matematyczny wprowadzony w poprzednich rozdzialach jest wystarczajqcy do zajycia siy ogolnq teoriq wzglydnosci Einsteina i przestrzeniami fazowymi mechaniki klasycznej. lednakZe wielka czysc wsp6lczesnej teorii oddzialywan CZqstek elementarnych wymaga pewnego uog6lnienia specyficznego pojycia "koneksji" (albo pochodnej kowariantnej), jakie wprowadzilismy w rozdz. 14.3. Uog61nienie to nosi nazwy koneksji cechowania. Mozna powiedziec, ze w zasadzie nasze poczqtkowe pojycie pochodnej kowariantnej oparte bylo na tym, co rozumielismy przez przesuniycie r6wnolegle wektora wzdluz jakiejs krzywej w naszej rozmaitosci M (rozdz. 14.2). Wiedzqc, na czym polega przesuniycie r6wnolegle w odniesieniu do wektor6w, mozemy latwo uog6lnic je jednoznacznie na przesuniycie dowolnej wielkosci tensorowej (rozdz. 14.3). NaleZy jednak pamiytac, ze wektory i tensory Sq wielkosciami odnoszqcymi siy do przestrzeni stycznych w oddzielnych punktach rozmaitosci M (zob. rozdz. 12.3, 14.1 i rys. 12.6). Tymczasem koneksja cechowania zwiqzana jest z "przesuniyciem r6wnoleglym" pewnych wielkosci, szczeg61nie interesujqcych z fizycznego punktu widzenia, kt6re najlepiej sobie wyobraZac jako odwolujqce siy do pewnego rodzaju "przestrzeni" innej od przestrzeni stycznej w pewnym punkcie p rozmaitosci M, ale nadal rozumianej jako, w pewnym sensie, "zlokalizowana w punkcie p". Aby trochy przybliZyc to, co jest nam tutaj potrzebne, przypomnijmy sobie, z rozdz. 12.3,8, ze skoro juz mamy pewnq przestrzen wektorowq - w tym przypadku przestrzen wektor6w stycznych w jakims punkcie - to mozemy skonstruowac przestrzen wzglydem niej dualnq (przestrzen kowektor6w) oraz wszystkie r6zne przestrzenie [~]-tensor6w. Tak wiyc, w scisle okreslonym sensie, przestrzenie [~]-tensor6w (wlqczajqc w to przestrzenie kostyczne, bo kowektory Sq m-tensorami) nie Sq niczym nowym, z chwilq gdy mamy przestrzenie styczne, Tp , w punktach p. (Podobnq uwagy mozna by zastosowac - przynajmniej zgodnie z moim sposobem patrzenia na te sprawy - do przestrzeni spinorowych w p; zob. rozdz. 11.3. Nie jest to poglqd og6lnie przyjyty i istniejq propozycje alternatywne, ale w tym miejscu nie musimy siy tym martwic.) Przestrzenie, kt6rych potrzebujemy w teoriach cechowania oddzialywan cZqstek elementarnych (chociaz nie APARAT
Fizyczne powody wprowadzenia wiqzek wl6knistych
15.1
w teorii grawitacji), s,! inne i najlepiej byloby wyobrazac je sobie jako charakteryzuj,!ce siy pewnym rodzajem wymiaru "przestrzennego" w dodatku do zwyklych wymiar6w przestrzeni i czasu. Te dodatkowe wymiary "przestrzenne" okreslane S,! cZysto jako wymiary wewn~trzne, tak ze poruszaj,!c siy w takim "wymiarze wewnytrznym", nie oddalamy siy od punktu czasoprzestrzeni, w jakim siy aktualnie znajdujemy. Do geometrycznego przedstawienia sensu tej idei potrzebne jest nam pojycie wiqzki. Jest to precyzyjne pojycie matematyczne i zajmiemy siy nim w spos6b wlasciwy w rozdz. 15.2. Pojycie to bylo bardzo poiyteczne w czystej matematyce 1 na dlugo zanim fizycy zdali sobie sprawy, ze niekt6re z waznych koncepcji, jakimi wczesniej siy poslugiwali, naleiy rozumiec w jyzyku wi,!zek. W nastypnych latach fizycy teoretycy przyswoili sobie odpowiednie narzydzia matematyczne i wprowadzili je do swoich teorii. JednakZe w niekt6rych z wsp6lczesnych teorii pojycia te przedstawiane S,! w postaci zmodyfikowanej, a sarno pojycie czasoprzestrzeni wymaga wprowadzenia dodatkowych wymiar6w. I rzeczywiscie, w wielu (a moze w wiykszosci?) wsp6lczesnych pr6bach znalezienia glybszych uzasadnien fundament6w fizyki (takich jak supergrawitacja lub teoria strun) sarno pojycie czasoprzestrzeni zostalo uog6lnione na wyzsze wymiary. W6wczas "wymiary wewnytrzne" wchodz'! do teorii poprzez te do dane wymiary przestrzenne, a te wymiary do dane traktowane S,! w taki sam spos6b, w jaki traktuje siy zwykl,! przestrzen i czas. Otrzymana w ten spos6b "czasoprzestrzen" uzyskuje teraz wiycej wymiar6w niz standardowe cztery. Tego rodzaju idee pojawily siy okolo 1919 roku, kiedy to Theodor Kaluza[*] i Oskar Klein zaproponowali pewne uog6lnienie og6lnej teorii wzglydnosci Einsteina, w kt6rym liczba wymiar6w czasoprzestrzeni wzrosla z 4 do 5. Ten dodany wymiar umozliwia wl,!czenie, w pewnym sensie, wspanialej teorii elektromagnetyzmu Maxwella (zob. rozdz. 19.2, 4) w ramy "czasoprzestrzennego opisu geometrycznego". Ow pi,!ty wymiar mozna sobie wyobrazac j ako "zwiniyty w malenk,! pytly", z kt6rego to powodu nie mamy swiadomosci jego istnienia jako zwyklego wymiaru przestrzennego. Jako analogiy proponujy wyobrazic sobie w'!z gumowy (zob. rys. 15.1), kt6ry bydzie przedstawial modyfikacje Kaluzy-Kleina jednowymiarowego wszechSwiatao Kiedy patrzymy nan z duZej odleglosci, w6wczas w'!z gumowy przedstawia nam siy jako obiekt jednowymiarowy, a tym jedynym wymiarem jest jego dlugosc. Kiedy jednak przyjrzymy mu siy z bliska, w6wczas widzimy, ze powierzchnia wyza jest naprawdy 2-wymiarowa, a wymiar dodany okryca siy wok61 dlugosci, w skali duzo mniejszej od samej dlugosci wyza. Jest to bezposrednia analogia tego, jak moglibysmy wyobrazic sobie 4-wymiarow,! Jizycznq czasoprzestrzen w calkowitej 5-wymiarowej "czasoprzestrzeni" Kaluzy-Kleina. 5-wymiarowa przestrzen Kalu[*] W Polsce cZysto uiywa siy polskiej wersji nazwiska: "Kaluza". Theodor Kaluza byl matematykiem niemieckim, urodzonym w 1885 r. w Raciborzu (przyp. dum.).
313
15
Wiqzki wl6kniste i koneksje cechowania
Rys. 15.1. Analogia wt(za gurnowego. Ogl'!dany w duzej skali wydaje sit( jednowymiarowy, ale kiedy przyjrzymy sit( dokladniej, widzirny, ze rna 2-wyrniarow,! powierzchnit(. Podobnie, zgodnie z ide'! Kaluzy-Kleina, powinien istniec dodatkowy "niewielki" wymiar przestrzenny WszechSwiata, niezauwaZalny w zwyklej skali.
314
zy-Kleina stanowi bezposredni analogon 2-wymiarowego wt;za gumowego, podczas gdy 4-czasoprzestrzen, ktorl! postrzegamy, jest analogonem zasadniczo jednowymiarowego obrazu wt;za gumowego. Pod wieloma wzglt;dami jest to atrakcyjna idea i, z call! pewnoscil!, wielce pomyslowa. Propagatorzywspolczesnych, spekulatywnych teorii fizycznych (takich jak supergrawitacja i teoria strun, do ktorych przejdziemy w rozdz. 31) zmuszeni Sl! do rozwazania jeszcze bardziej wysokowymiarowych wersji idei Kaluzy-Kleina (najbardziej popularne Sl! wymiary 26,11 i 10). W teoriach tego rodzaju uwaza sit;, ze oddzialywania inne nii: elektromagnetyczne mogl! bye wll!czone za pomoq pojt;cia koneksji cechowania, ktorym sit; niebawem zajmiemy. Jednakie, trzeba to podkreslie, koncepcja Kaluzy-Kleina jest koncepcjl! spekulatywnl!. "Wewnt;trzne wymiary", na ktorych opierajl! sit; aktualne teorie cechowania oddzialywan cZl!stek elementarnych, nie mogl! bye traktowane na rowni ze zwyklymi wymiarami czasoprzestrzeni i nie dajl! sit; wywiese z konstrukcji typu Kaluzy-Kleina. Jest sprawl! interesujl!cych spekulacji, czy mozna uwazae wymiary wewnt;trzne obecnych teorii cechowania za wynikle, w jakims sensie, z tego rodzaju (typu Kaluzy-Kleina) "poszerzonej czasoprzestrzeni,,2. Do spraw tych powroct; pozniej (rozdz. 31.4). Zamiast traktowae te wewnt;trzne wymiary jako czt;sci skladowe wyzej wymiarowej czasoprzestrzeni, bt;dzie rzeczl! bardziej odpowiednil! uwazae, ze dostarczajl! nam one przykladu czegos, co nazwiemy wiqzkq wl6knistq (albo, po prostu, wiqzkq) nad czasoprzestrzenil!. To jest bardzo waine pojt;cie, centralne dla wspolczesnych teorii cechowania oddzialywan cZl!stek elementarnych. Wyobrazamy sobie, ze "ponad" kaidym punktem czasoprzestrzeni znajduje sit; inna przestrzen,
Matematyczna idea wiqzki
15.2
kt6rq nazwiemy wloknem. To wl6kno zawiera wszystkie wymiary wewnytrzne, zgodnie z obrazem fizycznym, do jakiego siy poprzednio odwolywalismy. Ale pojycie wiqzki rna duzo szersze zastosowania, dlatego bydzie lepiej, jesli spr6bujemy nie wiqzac siy z fizycznq interpretacjq tego rodzaju, przynajmniej na razie.
15.2 Matematyczna idea wiClzki
Wiqzka (albo wiqzka wloknista) B jest rozmaitosciq z pewnq strukturq, zdefiniowanq w terminach dwu innych rozmaitosci, M i V, gdzie M nosi nazwy przestrzeni bazowej (kt6rq w wiykszosci zastosowan fizycznych jest sarna czasoprzestrzen), natomiast V nazywamy wloknem (w wiykszosci zastosowan fizycznych bydzie to przestrzen wewnytrzna). 0 samej wiqzce B mozemy myslec jako 0 strukturze, kt6rq tworzy cala rodzina wl6kien V, "M kopii V" (zob. rys. 15.2). Najprostszym rodzajem wiqzki jest przestrzen iloczynowa. Taka przestrzen jest wiqzkq trywialnq albo "nieskryconq", lecz bardziej interesujqce Sq wiqzki skr~cone. Za chwily zapoznamy siy z przykladami obu tych rodzaj6w wiqzek. Istotne jest to, ze przestrzen V r6wniez rna pewne symetrie. Wlasnie istnienie tych symetrii daje nam ty swobody "skrycania", kt6re czyni koncepcjy wiqzki interesujqcq. Grupa g, bydqca grupq symetrii wl6kna V, nazywa siy grupq wiqzki B. CZysto m6wimy tez, ze B jest g-wiqzkq nad M. W wielu sytuacjach V jest przestrzeniq wektorowq i w6wczas m6wimy, ze wiqzka jest wiqzkq wektorowq. W6wczas grupa g jest og6lnq grupq liniowq 0 odpowiednim wymiarze alba jej podgrupq (zob. rozdz. 13.3,6-10). Nie mozemy traktowac M jako czysci B (tzn. M nie leZy wewnqtrz B), powinnismy raczej patrzec na B jako na przestrzen rozlqcznq z M, kt6ra, w pewnym sensie, stoi ponad przestrzeniq bazowq M. Wiqzka B sklada siy z wielu kopii V, nad kaZdym punktem M stoi jedna calkowita kopia V. Wszystkie kopie wl6kna Sq rozlqczne (a wiyc zadne dwie siy nie przecinajq) i razem tworzq calq wiqzky B.
Rys. 15.2. Wi'!zka B, z przestrzeni'! bazow'! M i w16knem V, moie bye uwaiana za zloion,! z "M kopii V". Rzut kanoniczny B na M moina traktowac jako sprowadzenie kaidego wl6kna V do pojedynczego punktu M.
315
15
Wi~zki
wl6kniste i koneksje cechowania
M w relacji do B jest przestrzeni£! ilorazow£! wi£!zki B przez rodziny wl6kien V. Innymi slowy, kazdy punkt M odpowiada dokladnie jednej oddzielnej kopii V. Istnieje ci£!gie odwzorowanie B na M, kt6re nazywamy nutowaniem kanonicznym B na M, a kt6re sprowadza kazde oddzielne wl6kno V do tego szczeg61nego punktu M, nad kt6rym stoi (zob. rys. 15.2). Pnestnen iloczynowq M z V (wi£!zky trywialn£! V nad M) zapisujemy jako M x V. Punkty M x V s£!parami element6w (a, b), gdzie a naleZy do M, a b naleZy do V; zob. rys. 15.3a. (W rozdz. 13.2 spotkalismy siy z zastosowaniem tej idei do grup.)3 Bardziej og61na, "skrycona" wi£!zka B nad M przypomina M x V lokalnie, w tym sensie, ze ta czyse B, kt6ra leZy nad dostatecznie malym otwartym obszarem M, rna identyczn£! struktury jak czyse M x V lez£!ca nad tym samym otwartym obszarem M; zob. rys. 15.3b. JednakZe kiedy bydziemy siy poruszali wzdluz M, wl6kna byd£! siy skrycae, w wyniku czego B, jako calose, bydzie siy r6znie (czysto bydzie to r6znica topologiczna) od M x V. Wymiar B jest zawsze sum£! wymiar6w M i V, niezaleznie od skrycenia[15.1 1• Wszystko to moze bye nielatwe do przyjycia, aby wiyc lepiej zrozumiee, czym jest wi
MxV
• a ..
..
M
--~~--".Q------~
(a)
____~,~
M
(b)
Rys. 15.3. (a) Szczeg6lny przypadek wi,!zki "trywialnej", kt6ra jest przestrzeni'! iloczynow'! M x V przestrzeni M z V. Punkty M x V moi:na interpretowac jako pary element6w (a, b), gdzie a naleZy do M, a b naleZy do V. (b) Og6lna, "skrttcona" wi'!Zka B nad M, z wl6knem V, przypomina lokalnie M x V, tzn. kai:da CZttSC B nad dostatecznie malym otwartym obszarem M jest identyczna z t'! czttsci'!, kt6ra leZy nad tym samym obszarem M. lednaki:e wl6kna S,! skrttcone, a zatem globalnie B nie jest identycznazM x V.
316
fft [15.1] Wyjasnij, dlaczego wymiar M
x
V jest sumq wymiar6w M i V.
Matematyczna idea wiqzki
.
15.2
Zero-
-.:
Q-!-d (a)
(b)
Rys. 15.4. Aby zrozumiee, jak powstaje to "skr~eenie", rozwaimy przypadek, gdy M jest okr~giem sl, a wlokno V jednowymiarow1} przestrzeni1} wektorow1} (a wicre przestrzeni1} wzorowan1} na JR, ale gdzie zaznaezono tylko poez1}tek 0, ale nie jak1}s inn1} wartose, np. element toisamosciowy 1). (a) Przypadek trywialny przestrzeni M x V, ktor1} tutaj jest zwykly dwuwymiarowy walee. (b) W przypadku skrcreonyrn otrzymujemy wstcrgcr Mobiusa (jak na rys. 12.15).
nad M, z wl6knem V? Rozwazmy wstC(gC( Mobiusa (zob. ryS. 15.4b i rys. 12.15). Przyjrzyjmy siC(, jak ta wi,!zka jest "lokalnie" identyczna z wa1cem. Usuwaj'!c jakis punkt p z S1, mozemy utworzyc odpowiedni obszar "lokalny" w przestrzeni bazowej SI. W ten spos6b okr,!g bazowy zostanie zamieniony w jednosp6jny4 odcinek5 SI -p, ita czC(sc B, kt6ra leZy ponad takim odcinkiem, jest doldadnie taka sarna jak czC(sc walca stoj,!ca nad SI - p. R6znica pomiC(dzy wi,!zk,! Mobiusa B a wa1cem pojawia siC( tylko wtedy, gdy patrzymy na to, co leZy nad catym okr~giem SI. Mozemy sobie wyobrazic, ze SI jest zlozony z dw6ch takich lat, SI - P i SI - q, gdzie p i q s,! dwoma r6znymi punktami na SI ; w takim przypadku cal,! wi,!zkC( B mozemy zszyc z dw6ch odpowiednich lat, z kt6rych kazda bC(dzie wi,!zk,! trywialn,! nad odpowiedni,! tat'! SI. W tym procesie "zszywania" dw6ch tat wi'!zek trywialnych pojawia siC( "skrC(cenie" wi,!zki Mobiusa (rys. 15.5). I rzeczywiscie, widac wyrainie, ze wstC(ga Mobiusa powstaje przy jednym prostym skrC(ceniu, jesli zredukujemy rozmiary naszych tat z SI tak, jak to pokazuje rysunek 15.5b, przy czym ta redukcja nie rna zadnego znaczenia dla struktury wi,!zki B. Jest rzecz'! wazn'!, zebysmy mieli swiadomosc, iz mozliwosc skrC(cenia jest wynikiem pewnej szczeg61nej symetrii wt6kna V, tej mianowicie, kt6ra pozwala na zmianC( znaku element6w jednowymiarowej przestrzeni wektorowej V. (To znaczy v H -v, dla kazdego v w V.) Ta operacja zachowuje strukturC( V jako przestrzeni wektorowej. Powinnismy zauwaZyc, ze taka operacja nie jest elementem symetrii ciata liczb rzeczywistych ~. W istocie ~ nie rna w og6le jakiejkolwiek symetrii. (Liczba 1 jest z pewnosci,! inn,! liczb,! nn -1, dlatego x H -x nie jest operacj,! symetrii ~ i nie zachowuje multiplikatywnej struktury ~[15.21.) To z tego powodu jako
~
[15.2] Wyjasnij to.
317
15
Wiqzki wl6kniste i koneksje cechowania
(a)
(b)
Rys. 15.5. (a) Mozemy utworzyc odpowiedni "lokalny" (jednosp6jny) obszar w bazie SI, usuwaj'!c z niej jeden punkt p, otrzymamy w efekcie czysc wi,!zki nad obszarem SI - p. To sarno otrzymamy, jezeli obierzemy inny punkt q. Jesli te dwie cZysci wi,!zki B dopasujemy do siebie bezposrednio, to otrzyma· my w wyniku walec, ale jesli dokonamy odbicia g6ra/d6l (symetria wl6kna V) w jednej z tych dopasowy· wanych czysci - jak pokazuje rysunek - to otrzymamy wi¥ky M6biusa. (b) Powstala wi¥ka M6biusa staje siy bardziej widoczna, jesli zredukujemy rozmiary obu czysci SI tak, zeby tylko male obszary pokry· waly siy ze sob,!.
w16kno V wybieramy jednowymiarow,! rzeczywist,! przestrzen wektorow'!, a nie po prostu sam,! os rzeczywist'! R Czasami m6wimy, ze V jest wzorowana na osi rzeczywistej. Wkr6tce zobaczymy, jak inne symetrie w16kien daj,! mozliwosc wykonywania innych skrycen.
15.3 CiQcia wi'lzek
318
R6znicy pomiydzy walcem a wi'!Zk,! M6biusa mozemy przedstawiC, posluguj,!c siy pojyciem ci~cia wiqzki. Geometrycznie mozemy sobie wyobraiac ciycie wi,!zki B nad M jako ci,!gle odwzorowanie M w B, kt6re przecina kazde w16kno w jednym punkcie (zob. rys. 15.6a). Jest to jakby "podniesienie" M na wi,!zky. Zwr6cmy uwagy, ze jesli dokonamy tego odwzorowania, kt6re "wzniesie" M do B, a nastypnie wykonamy rzutowanie kanoniczne, w6wczas uzyskamy odwzorowanie tozsamosciowe M na sam,! siebie (a wiyc kaidy punkt M przejdzie z powrotem w siebie).
Ci~cia
wiqzek
15.3
W przypadku wi'!Zki trywialnej M x V ci«cia te mozemy interpretowae jako funkeje ciqgle na przestrzeni bazowej M, ktoryeh wartosci lezq w przestrzeni V Gest to wi«c odwzorowanie ciqgle M na V). I tak jakies ci«cie M x V przyporzqdkowuje6, w sposob ciqgly, jakis punkt VkaZdemu punktowi M. Przypomina to zwyklq ide« wykresu funkcji, ktorq ilustruje rys. 15.6b. Mowiqe bardziej ogolnie, w przypadku wiqzki skr«conej B kazde ci«cie B definiuje pewnq "funkcj« skr«conq", ktora jest poj«ciem bardziej ogolnym niz poj«cie zwyklej funkeji. Powroemy do naszego przykladu w rozdz. 15.2. W przypadku wa1ca (wiqzka iloezynowa M x V) nasze ci«cia mogq bye wyobrazone jako krzywe, ktore oplatajq walee, przecinajq kazde wlokno dokladnie jeden raz (rys. 15.7a). PoniewaZ wiqzka jest przestrzeniq iloezynowq, mozemy traktowae kazde wlokno jako kopi« osi rzeczywistej i przyporzqdkowae kaZdemu z wlokien wspolrz«dnq rzeczywistq. Wspolrz«dna 0, na kaZdym wloknie, daje nam cif?cie zero we "zaznaczonych punktow", ktore reprezentujqzera przestrzeni wektorowych V. Dowolne ci«cie tworzy funkcj« ciqglq na okr«gu 0 wartosciach rzeczywistych ("wysokose" ponad ci«ciem zerowym daje wartose funkcji w kaZdym punkcie okr«gu). Jasne jest, ze istnieje wiele ci«e, ktore nie przecinajq si« z przekrojem zerowym (funkcje, ktore nie przyjmujq na Sl wartosci zero). Mozemy na przyklad wybrae takie ci«cie wa1ca, ktore jest rownolegle do ci«cia zerowego, ale nie rna z nim punktow wspolnych. Ci«cie takie przedstawia niezerowq funkcj« stalq na okr«gu. JednakZe,jesli rozwaZymywiqzk« Mobiusa B, to zobaczymy, ze sytuacja przedstawia si« inaczej. Mam nadziej«, ze czytelnik nie b«dzie mial problemu z zaakceptowaniem faktu, iz kazde ci«cie wi'!Zki B musi si« przecinae z ci«ciem zerowym (rys. 15.7b). (Poj«cie ci«cia zerowego rna tutaj zastosowanie, gdyz V jest przestrzeniq wektorowq, a wi«c z zaznaczonym punktem 0.) Ta roznica jakosciowa z poprzednim przypadkiem pokazuje, ze B musi bye topologicznie rozna od M x V. Mowiqc bardziej precyzyjnie: mozemy rozpoczqe przyporzqdkowywanie rzeczywi-
.; M ~------------~~ (a)
I I I I \
'--~------------------~ (b)
Rys. 15.6. (a) Cittcie wiqzki B przedstawia sobi\ cii\gle odwzorowanie M w B przecinaji\ce kai:de wlokno w jednym punkcie. (b) Jest to uogolnienie idei normalnego wykresu funkcji.
319
15
Wiqzki w16kniste i koneksje cechowania
- - Zero -
(a)
(b)
Rys. 15.7. CiC(cie wi~zki liniowej nad Sl przedstawia pC(tlc( przeeinaj~e~ kaide w16kno doldadnie jeden raz. (a) Walee: istniej~ eiC(cia, kt6re w iadnym miejseu nie przeeinaj~ eiyeia zerowego. (b) Wi~zka Mobiusa: ka.ide ciC(cie przecina siC( z ciyciem zerowym.
stych wsp61rzydnych r6znym wl6knom V, jak poprzednio, musimy jednak przyj,!c konwencjy, ze w pewnyrn punkcie okrygu nastypuje odwr6cenie znaku (x ~ -x). Ciycie wi¥ki B odpowiada funkcji 0 wartosciach rzeczywistych na okrygu, kt6ra jest ci,!gla, z wyj'!tkiem tego, ze zmienia znak przy okr
15.4 WiClzka Clifforda
To bardzo powazny przyklad! Przestrzen bazowa M jest teraz dwuwymiarow,! sfer,! S2, natomiast wi,!zka B sfer,! tr6jwyrniarow,! S3. Wl6kna V S,! okrygami Sl (1-sferami). Przyklad tej konstrukcji topologicznej, zaproponowany przez Heinza Hopfa (1931), znamy pod nazw'! rozwl6knienia Hopfa sfery S3. Procedura Hopfa zostala w spos6b jawny (z odpowiednimi referencjami) oparta na znacznie wczeSniejszej geometrycznej konstrukcji "r6wnoleglych Clifforda", kt6r'! wykonal znany juz (z rozdz. 11) William Clifford (1873). Z tego powodu sfery S3, uwl6knion,! geometrycznie w ten spos6b, bydy nazywal wiq,zkq Clifforda. Niezwykle pouczaj'!cyrn sposobem otrzymania wi,!zki Clifford a bydzie rozwazenie najpierw przestrzeni C 2, kt6ra jest przestrzeni,! par liczb zespolonych
320
~ [15.3] Wyjasnij to, konstruuj,!c B z dwoch tat, jak to pokazywaJismy poprzednio.
Wiqzka Clifforda
15.4
(w, z). (Tutaj C2 jest po prostu 2-wymiarow
Iwl2 + Izl2 =l. Zastt(puje ono rownanie w zmiennych rzeczywistych u 2 + v 2 +X2 + i = 1, ktore jest rownaniem 3-sfery, gdzie w = u + iv i z =X + iy wyraiaj
gdzie A i B s,! liczbami zespolonymi (ktore nie mog,! bye jednoczesnie zerami). Linia taka, bt(d
w
Stera Riemanna iloraz6w A : 8
Rys. 15.8. Wi¥ka Clifforda. Rozwaimy 1[2 we wsp6trzydnych (w, z), zawierajljclj 3-sfery B = S3, zadanlj r6wnaniem Iwl2 + Izl2 = 1. Kaide wt6kno V = S' jest okrygiem jednostkowym na zespolonej linii prostej przechodzljcej przez Aw + Bz = 0 (zespolona l-wymiarowa wektorowa podprzestrzen 1[2) i jest okreslone przez iloraz A : B. Przestrzen takich iloraz6w, sfera Riemanna S2, stanowi przestrzen bazowlj B.
321
15
Wiqzki wt6kniste i koneksje cechowania
wac wartose zero, ale nie jednoczesnie. Przestrzen takich iloraz6w jest sferq Riemanna, kt6r'! omawialismy w rozdz. 8.3. W takim razie identyfikujemy przestrzen bazow'! M naszej wiC!Zki jako sfery Riemanna S2. Widzimy wiyc, ze S3 mozna uwazae za WiC!Zky SI nad S2. Takich relacji, w kt6rych zar6wno wi,!zka, jak jej przestrzen bazowa i wl6kna s,! sferami, nie oczekujemy w przypadku innych wymiar6w. Okazuje siy jednak, ze S7 moze bye uwazana za wiC!Zky S3 nad S\ kt6r'! otrzymujemy (postypuj,!c ostroznie), gdy zastypujemy liczby zespolone w i z kwaternionami.[15.4] Podobnie S15 moze bye uwazana za wi,!zky S7 nad S8, gdzie w i z zostaly zast,!pione oktonionami (zob. rozdz. 11.2 i 16.2), ale schemat ten nie dziala w przypadku sfer wyzej wymiarowych7. Rodzina okryg6w na S3, zwana rownoleglymi Clifforda, jest szczeg6lnie interesuj,!ca. S'! to okrygi wielkie, kt6re oplataj,! siy wok61 siebie, choe pozostaj,! caly czas w tej samej odleglosci (dlatego m6wimy, ze s,! "r6wnolegle"). Kazde dwa okrygi s,! "zwi'!zane", a wiyc wichrowate (niewsp6Isferyczne). W 3-przestrzeni Euklidesa linie proste wichrowate (niewsp6Iplaszczyznowe) maj,! ty wlasnose, ze zmierzaj,!c do nieskonczonosci, coraz bardziej oddalaj,! siy od siebie. 3-sfery natomiast maj,! dodatni,! krzywizny, dlatego okrygi Clifforda, kt6re S,! liniami geodezyjnymi w S3, wykazuj,! tendencjy nachylania siy ku sob ie, zgodnie z efektern odchylenia geodezyjnego, jaki omawialismy w rozdz. 14.5 (zob. rys. 14.12). W przypadku r6wnoleglych Clifforda te dwa efekty kompensuj,! siy wzajemnie, zob. rys. 15.9. Aby uzyskae obraz rodziny r6wnoleglych Clifforda, mozemy przeprowadzie rzutowanie stereograficzne S3 z jej "bieguna poludniowego" na euklidesow'! 3-przestrzen r6wnikow'!, w dokladnej analogii do rzutowania stereograficznego S2 na plaszczyzny Euklidesa, kt6re rozwazalismy przy badaniu sfery Riemanna w rozdz. 8.3 (zob. rys. 8.7). Tak jak przy rzutowaniu stereograficznym S2, okrygi na S3 zostaj'! odwzorowane na okrygi w 3-przestrzeni Euklidesa; zob. rys. 33.15, na kt6rym widzimy rodziny zrzutowanych okryg6w Clifforda. Konfiguracja ta rna wielkie znaczenie dla teorii twistor6w8, i odpowiedni,! do tego geometriy om6wimy w rozdz. 33.6.
(a)
(b)
Rys. 15.9. (a) W 3-przestrzeni Euklidesa proste wichrowate oddalaj,! si<,: od siebie coraz bardziej. (b) W S3 dodatnia krzywizna wprowadza tendencj<,: kompensacyjn,!, kt6ra powoduje, ze linie geodezyjne (okr<,:gi wielkie) sklaniaj,! si<,: ku sobie (na mocy odchylenia geodezyjnego; zob. rys. 14.12). W przypadku r6wnoleglych Clifforda ta kompensacja jest dokladna.
322
rm. [15.4] Wyjasnij to. Czy wiesz, jak to zrobic w przypadku S15?
Wi~zka
Clifforda
15.4
Stwierdzilem poprzednio, ze ta szczegolna wi<j,zka (Clifforda) w ogole nie rna przekrojow. Jak mozna to zrozumiee? NaieZy najpierw zauwaZye, ze "skrycenie" wi<j,zki Clifforda dokonuje siy dziyki temu, iz wlokna - okrygi - maj<j, pewn<j, dokladn<j, symetriy, okreSlon<j, przez grupy obrotow okrygu (grupa 0(2) albo, rownowaznie, U(I); zob. ewiczenie [13.59]). Zadnego z tych wlokien nie mozemy utozsamiae z jakims konkretnym okrygiem, na przyklad z okrygiem jednostkowym na plaszczyznie zespolonej Co Gdyby taka identyfikacja byla mozliwa, wowczas moglibysmy wybrae jakis okreslony punkt na tym okrygu (np. punkt 1 na okrygu jednostkowym w q i w ten sposob zdefiniowae przekroj wi<j,zki Clifforda. Nieistnienie przekroju wynika st<j,d, ze okrygi Clifford a S<j, jedynie utworzone na wzor okrygu jednostkowego w C, lecz nie s<j, z nim tozsame. Oczywiscie, sam ten argument nie wyjasnia, dlaczego wi<j,zka Clifforda nie rna przekrojow ci<j,glych. Aby to zrozumiee, dobrze jest spojrzee na ni<j, od innej strony. W rzeczywistosci okazuje siy, ze kaZdy punkt naszej sfery S3 moze bye interpretowany jako jednostkowy "spinorowy" wektor styczny do S2 w jednym z jej punktow[15.5 J• Przypomnijmy na podstawie rozdz. 11.3, ze przez pojycie obiektu spinorowego rozumiemy wielkose, ktora zmienia znak przy obrocie calkowitym 0 k<j,t 2n. Zgodnie z tym stwierdzeniem przekroj wi<j,zki 8 (= S3) przedstawialby ci<j,gle pole takich jednostkowych wektorow spinorowych na M (= S2). Tymczasem w topologii dobrze znany jest fakt, ze nie istnieje globalne ci<j,gle pole zwyklych jednostkowych wektorow stycznych na S2. (To jest problem czesania "sferycznego psa"! Jest niemozliwe, aby w sposob ci<j,gly uloZye na calej sferze wlosy na plasko.) Nic nam nie pomoze, jesli te "wlosy" stan<j, siy obiektami "spinorowymi", a zatem nie istnieje rowniez globalne pole ci<j,gle jednostkowych spinorowych wektorow stycznych. Wynika st<j,d, ze wi<j,Zka 8 (= S3) nie rna przekrojow. Problem zasluguje na dalsz<j, dyskusjy, poniewaz ten przyklad pozwala na wyci<j,gniycie wielu poi:ytecznych wnioskow. Przede wszystkim nieznacznie tylko modyfikuj<j,c opisan<j, wi<j,zky Clifforda, mozemy uzyskae wi<j,Zky 8', czyli wi<j,Zky jednostkowych wektorow stycznych do S2 . Skoro dowolny normalny jednostkowy wektor styczny rna dwie realizacje jako obiekt spinorowy (jeden stanowi negatyw drugiego), to musimy dokonae identyfikacji tych dwu form, jesli chcemy przejse od wektora spinorowego do zwyklego wektora. W jyzyku wi<j,zki Clifforda 8 (= S3) oznacza to koniecznose utozsamienia dwoch punktow na S3 i sprowadzenia ich do jednego punktu9 wi<j,zki 8' wektorow jednostkowych na S2. Pary punktow na S3, ktore musz<j, bye utozsamione, znajduj<j, siy na przeciwleglych biegunach 3-sfery; zob. rys. 15.10. Wlokna 8' S<j, nadal okrygami, ale kazdy okr<j,g-wlokno 8 (= S3) "okryca siy dwa razy" wokol kazdego okrygu-wlokna 8'. KaZdy punkt 8' reprezentuje teraz pewien punkt na S2 z jednostkowym wektorem stycznym w tym punkcie. W rzeczywistosci przestrzen 8' jest topologicznie identyczna z przestrzeni<j, R, z ktoq zetknylismy siy w rozdz. 12.1 i ktora reprezentuje rozne przestrzenne orienIB [15.5] Pokai to. ItSkaz6wka: wei jako wektor styczny uB/Bv - vB/au + xB/By - yB/Bx.
323
15
Wiqzki wl6kniste i koneksje cechowania
Rys. 15.10. Wi¥ka B' jednostkowych wektor6w stycznych do S2 jest niewiellq modyfikacjll wi¥ki Clifforda, w kt6rej nastllpilo utozsamienie przeciwleglych punkt6w biegunowych na S3. Bez takiego utozsamienia otrzymujemy S3 jako Wi¥ky (Clifforda) B spinorowych wektor6w stycznych do S2. WI6kna B' pozostajll okrygami, lecz kai:dy okrllg-wl6kno wi¥ki B oplata dwukrotnie kai:dy okrllg-wl6kno wi¥ki 13'.
tacje obiekt6w (jak na przyklad rozpatrywana w rozdz. 11.3 ksiqzka) w 3-przestrzeni Euklidesa. Staje siy to widoczne, jesli przez nasz "obiekt" bydziemy rozumieli sfery S2 z zaznaczonq w jednym z jej punkt6w strzalkq (jednostkowym wektorem stycznym). Ta strzalka w spos6b zupelny ustali orientacjy naszej sfery. 15.5 WiClzki wektorowe zespolone, wiClzki kostyczne
Nieznaczne uog61nienie pomyslu kryjqcego siy za ideq wiqzki Clifforda (a takZe wiqzki H') prowadzi do dobrego przykladuzespolonej wiqzki wektorowej, kt6rq bydy nazywal wiqzkq SC (lub, odpowiednio, H,e). Kazda z linii Aw + Bz = jest sarna l-wymiarowq zespolonq przestrzeniq wektorowq. Cala linia sklada siy z rodziny wielokrotnosci pojedynczego wektora (w, z) pomnozonego przez liczby zespolone A, przy czym (w, z) przechodzi w (AW, Az). Mozemy teraz traktowac ty l-wymiarowq zespolonq przestrzen wektorowq jako nasze w16kno V. Sfera Riemanna S2 jest naszq przestrzeniq bazowq M, jak poprzednio. Aby otrzymac poprawnq zespolonq wiqzky wektorowq SC, musimy zrobic jeszcze jedno. W C2 r6zne wl6kna nie Sq rozlqczne, poniewaz wszystkie majq wsp61ny poczqtek (0, 0). Z tego powodu, aby otrzymac SC, trzeba zmodyfikowac C2, zastypujqC poczqtek ukladu calq sferq Riemanna (ClP'\ zob. rozdz. 15.6). W ten spos6b zamiast jednego zera mamy calq sfery Riemanna 0 wartosciach zerowych, po jednym dla kazdego wl6kna, co daje nam przekr6j zerowy wiqzki (zob. rys. 15.11). Procedura ta jest znana jako rozdmuchanie poczqtku C2 (to wazna idea w geometrii algebraicznej, teorii rozmaitosci zespolonych, teorii strun, teorii twistor6w i wielu innych obszarach). Poniewaz nie mozemy miec zer na wl6knach, to istniejq ciqgle przekroje H. Okazuje siy, ze te przekroje reprezentujq pola spinorowe na S2. Nie nale.zy sobie wyobrazac "spinora" w jakims punkcie S2 jako "spinorowego jednostkowego wektora stycznego" w pewnym punkcie S, lecz jako wektor, kt6ry moze
°
324
Wiqzki wektorowe zespolone, wiqzki kostyczne
15.5
Rys. 15.11. Rozwazaj'lc cal'l Hni« Aw + Bz = 0 (plaszczyzn« zespolon'l), a nie po prostu jej okr'lg jednostkowy, otrzymujemy przyklad zespolonej wi¥ki liniowej Be, ktorej wlokno V jest teraz zespolon'l1-wymiarow'l przestrzeni'l wektorow'l. Sfera Riemanna S2 = ICIP" (ktora jest rowniei: rozmaitosci'l zespolon'l, lOb. rozdz. 8.3, 15.6) jest nadal przestrzeni'l bazow'l M. lednak zeby wlokna byly roz1'lczne, musimy "powi«kszyc" pocz'ltek (0, 0), zast«puj'lC go cal'l sfeq Riemanna, w wyniku czego otrzymujemy sfer« Riemanna 0 wartoSciach zerowych.
byc "przeskalowany w g6r~ lub w d61" przez dodatniq liczbl( rzeczywistq i stac sil( wektorem zerowym. Moina pokazac, ie takie "spinory" w jakims punkcie S2 dajq 2-wymiarowq zespolonq przestrzen wektorowq 10,[15.6]. Cala wiqzka SC jest strukturq zespolonq (tzn. holomorficznq) - w rzeczy samej, nazywamy jq wiqzkq zespolonq liniowq, poniewai jej wl6kna Sq l-wymiarowymi zespolonymi liniami prostymi. Jest to obiekt holomorficzny, gdyi cala jego konstrukcja daje siy kompletnie przedstawic w jyzyku pojyc holomorficznych[ls.7]. W szczeg61nosci przestrzen bazowa jest krzywq zespolonq - sferq Riemanna (zob. rozdz. 8.3) - a wl6kna Sq l-wymiarowymi zespolonymi przestrzeniami wektorowymi. W zwiqzku z tym istnieje inne pojl(cie przekroju, bardziej odpowiednie dla tego przypadku, mianowicie przekroju holomorjicznego. Rozumiemy przez nie przekr6j wiqzki zespolonej, kt6ry jest sam zespolonq podrozmaitosciq tej wiqzki (co oznacza po prostu, ie jest dany lokalnie r6wnaniami holomorficznymi). Czasami, w przypadku wiqzki zespolonej liniowej, 6w przekr6j okreslany jest jako skr~cona funkcja holomorficzna na przestrzeni bazowej. Takie konstrukcje majq znaczenie ~ [15.6] Dlaczego kaide takie pole spinorowe przyjrnuje wartosc zero w co najrnniej jednym punkcie S2? ~ [15.7] Wyjasnij to szczeg610wo.
325
15
WiCjZki wl6kniste i koneksje cechowania
w wielu obszarach zarowno czystej matematyki, jak i fizyki matematycznejl1. Okazuj,! siy szczegolnie przydatne w teorii twistorow (zob. rozdz. 33.8). Ciycia holomorficzne tworz'! scisle okreslon'!, ale wazn,! rodziny. W przypadku lf2 okazuje siy, ze nie istniej,! (globalne) ciycia holomorficzne inne niz przekr6j zero»y (tzn. przyjmuj,!cy wszydzie wartose zero). Dokonawszy drobnej modyfikacji tej konstrukcji (odpowiadaj,!cej przejsciu od B do B'), zamiast pol spinorowych otrzymujemy pol a wektorowe na S2. Odpowiednia wi¥ka B'c moze bye interpretowana jako zespolona wi,!zka wektorowa; faktycznie otrzymujemy kwadrat wi,!zki wektorowej lf2. Jest ona skonstruowana w dokladnie taki sam sposob jak lf2, ale kazdy punkt (w, z) identyfikujemy z punktern polozonym wobec niego na "drugim biegunie" (-w, -z), a mnozenie (w, z) przez liczby zespolon'! A sprowadza siy teraz do (AI/~, A1!2Z ), a nie (AW, k).
n·rozmaitosc
M
(a)
. :. (2 ..
..
:'. .,: :·;.(M) .: ..::;......
n·rozmaitosc
M
2n·rozmaitosc symplek~czna
..... :.: .... :"." (b)
Rys. 15.12. (a) Dla dowolnej rozmaitosci M kaidy punkt jej wi'lzki stycznej T(M) reprezentuje pewien punkt M wraz z wektorem stycznym do M w tym punkcie. Ci«cie wi'lzki T(M) przedstawia pole
326
wektorowe na M. (b) Wi¥ka kostyczna T(M) jest podobna, ale zamiast wektor6w mamy kowektory. Wi¥ki kostyczne S'l zawsze rozmaitosciami symplektycznymi.
Przestrzenie rzutowe
15.6
Aby zakonczye te rozwaZania, wypada zauwaZye, ze wi¥kt; B'C mozemy z grubsza reinterpretowae, w terminach rzeczywistych, jako willzkt; Stycznll T(S2) na S2. Wi¥ka styczna T(M) ogolnej rozmaitosci M jest takll przestrzeni,!, ktorej kazdy punkt reprezentuje pewien punkt M razem z wektorem stycznym do M w tym punkcie; zob. rys. 15.12aP581 . Przekroj T(M) przedstawia pole wektorowe na M. Pojt;ciem 0 nawet wit;kszym fizycznym znaczeniu jest wiqzka kostyczna T* (M) rozmaitosci M, ktorej kazdy punkt reprezentuje pewien punkt M wraz z pewnym kowektorem w tym punkcie (rys.15.12b). W rozdz. 20 dostrzezemywagt; tych idei. Przekroje T*(M) przedstawiaj,! pola kowektorowe na M. Okazuje sit;, ze wi,!zki kostyczne Sll zawsze rozmaitosciami symplektycznymi (zob. rozdz. 14.8, 20.2, 4), a to rna wielkie znaczenie dla mechaniki klasycznej. Zdefiniujemy rownieZ roznego rodzaju wi¥ki tensorowe. Pole tensorowe moze bye interpretowane jako przekroj takiej wi,!zki.
15.6 Przestrzenie rzutowe
Innym waznym pojt;ciem zwi,!zanym z ogolnll przestrzeni,! wektorow'! jest przestrzen rzutowa. Przestrzen wektorowa sarna jest "prawie" wi,!zkll nad przestrzeni,! rzutowll. Jesli z przestrzeni wektorowej usuniemy poczlltek, wowczas otrzymamy wi¥kt; nad przestrzeni,! rzutowll, a jej wloknem bt;dzie linia, z ktorej usunit;to pocz,!tek. Alternatywnie, jak w szczegolnym przypadku (w rozdz. 15.5) opisanej wi¥ki SC, mozemy dokonae "rozdmuchania" pocz'!tku przestrzeni wektorowej. (Powroct; do tego niebawem.) Przestrzenie rzutowe maj,! wielkie znaczenie w matematyce i odgrywaj,! szczegoln,! rolt; w geometrii mechaniki kwantowej (zob. rozdz. 21.9 i 22.9), a takZe w teorii twistorow (rozdz. 33.5). Wlasciwy zatem bt;dzie krotki komentarz na ten temat. Wydaje sit;, ze idea przestrzeni rzutowej zrodzila sit; z badania perspektywy w malarstwie i rysunku, rozwazanej w kontekscie geometrii Euklidesa. Przypomnijmy, ze na plaszczyznie Euklidesa dwie rozne linie proste zawsze sit; przecinaj,!, chyba ze S,! rownolegle. Jesli jednak na pionowo ustawionej kartce papieru narysujemy part; prostych rownoleglych oddalajllcych sit; poza horyzont (niech to bt;dll brzegi prostej drogi biegn,!cej w stront; horyzontu), wowczas bt;dzie nam sit; wydawalo, ze na rysunku te linie proste przecinaj,! sit; w "punkcie znikaj,!cym na horyzoncie" (zob. rys. 15.13). Geometria rzutowa traktuje te znikaj,!ce punkty powaZnie, dol,!czaj,!c "punkty w nieskonczonosci" do plaszczyzny Euklidesa, co umozliwia przecit;cie sit; prostych rownoleglych w tych dodatkowych punktach. Malo twierdzen dotycz'!cych prostych w zwyklej 3-przestrzeni Euklidesa rna eleganckll formt; ze wzglt;du na koniecznose uwzglt;dniania wyjlltkow w odniesieniu do prostych rownoleglych. Na rys. 15.14 przedstawilem dwa ciekawe przykla-
rm [15.8] Pokai:, ze B'c, interpretowana jako rzeczywista wiqzka nad S2, jest rzeczywiscie taka sarna jak T(S2). Wskaz6wka: przeanalizuj jeszcze raz ewiczenie [15.5].
327
15
Wiqzki wt6kniste i koneksje cechowania
dol~cza "punkty w nieskonczonosci" do plaszczyzny Euklidesa, co umozliwia przeciycie siy prostych rownoleglycho Na obrazie artysty, na pionowo umieszczonym plotnie, para prostych rownoleglych - oddalaj~cych siy jak brzegi prostej drogi biegn1}cej poza liniy horyzontu - pozomie przecina siy w jakims "punkcie znikaj~cym" na horyzoncieo
Rys. IS.13. Geometria rzutowa
(a)
(b)
Rys. 15.14. Konfiguracje dwoch znanych twierdzen plaskiej geometrii rzutowej: (a) twierdzenie Pappusa, z 9 prostymi i 9 zaznaczonymi punktami, i (b) twierdzenie Desargues'a, z 10 prostymi i 10 zaznaczonymi punktami. W kaZdym z nich twierdzi siy, ze jesli kaZdy zaznaczony punkt, opr6cz jednego, jest punktem przeciycia trzech linii prostych, to tam ten punkt tez ma ty wlasnosco
328
dy, a mianowicie twierdzenie Pappusa 12 (odkryte w koncu III wieku noe.) i twierdzenie Desargues'a (odkrytew 1636 roku). W kazdym z nich (podajl( je tutaj w "odwroconej" wersji) twierdzi sil(, ze jesli wszystkie linie proste ukazane na diagramie (9 prostych w przypadku twierdzenia Pappusa i 10 w twierdzeniu Desargues'a) przecinaj'} sil( trojkami w kaZdym zaznaczonym kropk'} punkcie rysunku (9 kropek dla twierdzenia Pappusa i 10 dla Desargues'a) z wyj'}tkiem jednego punktu, wowczas trzy linie proste, przecinaj'}ce sil( w tym pozostalym punkcie, rzeczywiscie maj,}
Przestrzenie rzutowe
15.6
punkt wspolny. Twierdzenia wypowiedziane w tej formie Sq prawdziwe, pod warunkiem ze przyjmiemy, iz trojki wzajemnie rownoleglych linii prostych mozna uwazac za proste majqce punkt wspolny, mianowicie "punkt w nieskonczonosci". Przy takiej interpretacji twierdzenia pozostajq prawdziwe, gdy proste Sq rownolegte. Obowiqzujq nawet wtedy, gdy jedna z tych prostych leZy calkowicie w nieskonczonosci. Z tego powodu twierdzenia Pappusa i Desargues'a nalezq raczej do dziedziny geometrii rzutowej niz geometrii Euklidesa. Jak skonstruowac n-wymiarowq przestrzen rzutowq lP'n? Najprosciej wziqc (n + l)-wymiarowq przestrzen wektorowq vn+l i rozwazac naszq przestrzen lP'n jako przestrzen 1-wymiarowych wektorowych podprzestrzeni Vn + l . (Te 1-wymiarowe wektorowe podprzestrzenie Sq liniami przechodzqcymi przez poczqtek vn+I.) Linia prosta w lP'n (ktora sarna stanowi przyklad przestrzeni lP'1) jest zadana przez 2-wymiarowq podprzestrzen przestrzeni yn+l (plaszczyznq przechodzqq przez poczqtek), punkty wspolliniowe w lP'n powstajq jako linie proste lezqce w takiej plaszczyznie; rys. 15.15. Istniej q rownid wyzej wymiarowe plaskie podprzestrzenie przestrzeni lP'n, ktore Sq przestrzeniami rzutowymi lP'r zawierajqcymi si y w lP'n (r < n). KaZda lP'r jest odpowiednikiem (r + 1)-wymiarowej wektorowej podprzestrzeni przestrzeni yn + I . Ta konstrukcja (w przypadku n = 2) formalizuje procedury perspektywy malarskiej. Mozemy usytuowac oko artysty w poczqtku 0 przestrzeni wektorowej V3, ktora to przestrzen reprezentuje 3-przestrzen Euklidesa, otaczajqq artyst y. Promien swietlny przechodzqcy przez punkt 0 (oko) artysta postrzega jako jeden punkt.
Plaszczyzna vn+ 1
Plaszczyzna pn
Rys. 15.15. Aby skonstruowac n-wymiarowlj przestrzen rZlltoWlj pn, wezrny (n + 1)-wymiarowlj wektoroWlj przestrzen V"+' i traktujrny P" jako przestrzen l-wyrniarowych wektorowych podprzestrzeni przestrzeni V"+' (linii prostych przechodzljcych przez poczljtek). Linia prosta w P" jest dana przez 2-wyrniaroWlj podprzestrzen przestrzeni V"+! (plaszczyzna przechodzljca przez poczljtek), punkty wspolliniowe w IP'" ulozone Slj na prostych przechodzljcych przez punkt 0 takiej plaszczyzny. To sarno stosuje sie;: zarowno do przypadku przestrzeni rzeczywistych (lRlP'n), jak i zespolonych (CPR). Geornetria przestrzeni lRlP'2 ustala procedury perspektywy rnalarskiej: niech oko artysty znajduje sie;: w poczljtku 0 przestrzeni V\ niech V3 be;:dzie otaczajljclj artyste;: 3-przestrzenilj Euklidesa. Prornien swiatla przechodZljCY przez 0 jest postrzegany przez artyste;: jako jeden punkt. To, co artysta odbiera jako Iinie;: prostlj (lRlP" w lR1P'2) (jakkolwiek artysta wybierze ustawienie swojego plotna), w rzeczywistosci odpowiada plaszczyinie (V2) Iljczljcej te;: linie;: z punktern O. Pary plaszczyzn przechodzljcych przez 0 zawsze sie;: przecinajlj, nawet wtedy, gdy sprowadzajlj linie rownolegle w V3 do punktu O. (Na przyklad dwie Iinie u dolu rysunku po lewcj stronie odgrywajlj role;: brzegow drogi z rysunku 15.13.)
329
15
Wiqzki wt6kniste i koneksje cechowania
W ten sposob pole widzenia, czyli calose wszystkich takich promieni swietlnych, moze bye traktowane jako plaszczyzna rzutowa lP'2; zob. ponownie rys. 15.15. Kazda linia prosta w przestrzeni (nieprzechodz,!ca przez 0), ktor'! artysta postrzega, odpowiada plaszczyznie l'!cz'!cej tc( prost,! z 0, zgodnie z podan,! poprzednio definicj,! linii prostej w lP'2. Wyobrazmy sobie, ze artysta maluje dokladny obraz obserwowanej sceny na plotnie, ktorego polozenie odpowiada jednej z plaszczyzn (nieprzechodz,!cych przez 0). Kazdy taki plaski element ujmuje tylko czC(se calej lP'2. Z pewnosci,! nie przecina promieni swietlnych, ktore s,! do niej rownolegle. lednak kilka takich elementow tworzy odpowiedni "patchwork", ktorym mozna pokrye cal,! lP'2 (wystarczaj'! trzy13, [15.9]). Linie rownolegle na jednej z takich plaszczyzn bC(d,! przedstawione na innej jako linie przecinaj,!ce siC( w punkcie znikajqcym. Rozwazae mozemy rzeczywiste przestrzenie rzutowe, lP'n = lR.lP'n lub zespolone, lP'n = ClP'n. Do tej pory spotkalismy siC( z przykladem zespolonej przestrzeni rzutowej, mianowicie ze sferq Riemanna, ktora jest przestrzeni'! ClP'l. Przypomnijmy, ze sfera Riemanna powstaje jako przestrzen ilorazow par liczb zespolonych (w, z), ktore nie mog,! bye jednoczesnie rowne zero, i ktora jest przestrzeni'! linii zespolonych przechodz'!cych przez pocz'!tek C 2 ; zob. rys. 15.8. Mowi,!c bardziej ogolnie, kazdej przestrzeni rzutowej mozemy przypisae tak zwane wsp6lrzr;dne jednorodne. Przypisuj,!c (n + 1)-wymiarowej wektorowej przestrzeni '1"+\ z ktorej powstaje przestrzen lP'n, wspolrzC(dne zo, z\ Z2, ... ,~, jako jednorodne wspolrzC(dne dla przestrzeni lP'n, otrzymamy n niezaleznych stosunk6w:
zo: Zl: Z2:
... : ~
(gdzie nie wszystkie z s,! zerami), a nie po prostu same ,,z"[15.1O]. lesli wszystkiez s,! liczbami rzeczywistymi, wowczas te wspolrzC(dne opisuj,! lR.lP'n, a przestrzen '1"+ 1moze bye identyfikowana z lR. n + 1 (tj. z przestrzeni,! n + 1 n-ek liczb rzeczywistych; zob. rozdz. 12.2). lesli wszystkie s,! zespolone, wowczas opisuj,! ClP'n, a przestrzen '1"+1 mozna utozsamie z C n + 1 (przestrzeni'! n + 1 n-ek liczb zespolonych; zob. rozdz. 12.9). 0) mogl bye dozwolon'! PoniewaZ wykluczamy, zeby punkt 0 = (0, 0, wspolrzC(dn,! jednorodn,!, w takim razie, kiedy myslimy 0 lR.n +1lub cn+ 1 jako 0 wi,!zce, odpowiednio, nad lR.lP'n lub ClP'n , pocz,!tek 0 musi bye usuniC(ty14 (co daje, odpowiednio, lR.n +1 - 0 lub cn+ 1 - 0). Rowniez wlokno musi miee usuniC(ty pocz'!tek. W przypadku rzeczywistym wlokno zostaje rozszczepione na dwie czC(sci (to nie oznacza, ze wi,!zka rozszczepia siC( na dwie czC(sci, w rzeczywistosci, gdy n > 0,
°...,
330
fa [15.9] Wyjasnij, jak to zrobic. Wskazowka: rozwai wsp6lrzydne kartezjanskie (x,y, z). Za kaidym razem wez dwie z nich, a poloienie pl6tna wyznaczy jedynka wziyta jako trzecia wsp6lrzydna. ~ [15.10] Wyjasnij, dlaczego mamy n niezaleinych stosunk6w. Znajdz n + 1 zbior6w zwyklych wsp6lrzydnych (utworzonych z z), dla n + 1 r6inych lat wsp6lrzydnosciowych, kt6re razem pokrywajq calq ]p>n.
Nietrywialnosc w koneksji wiqzki
15.7
~n+1
_ 0 jest sp6jna)l15.111. W przypadku zespolonym wl6knem jest C - 0 (zwykle zapisywane jako Co), kt6re jest sp6jne. W kazdym z tych przypadk6w moze okazae siy, ze chcemy miee wi,!zky wektorow'!, co wymaga umieszczenia zera na wl6knie. Ale jei:eli tak zrobimy, to znaczy wiycej niz po prostu dodanie zera do ~n+1 lub e+ l • Podobnie jak w szczeg6lnym, rozwazanym poprzednio przypadku C 2 musimy umiescie zero na kazdym wl6knie oddzielnie, a wiyc musimy przeprowadzie operacjy rozdmuchania poczqtku. W ten spos6b przestrzen wi¥ki staje siy ~n+1 Z lRlP'n wlozon'! w miejsce 0 alba e+ 1 z ClP'n w miejsce O. W przypadku zespolonym rozwazamy r6wniei: jednostkow,! (2n + 1)-sfery S2n+1 w e+l, podobnie jak to zrobilismy w szczeg6lnym przypadku n = 1, gdy konstruowalismy wi¥ky Clifforda. Kazde wl6kno przecina S2n+1 na okrygu SI w taki spos6b, ze otrzymujemy teraz S2n+1 jako wi,!zky SI nad ClP'n . Struktura ta leZy u podstaw geometrii mechaniki kwantowej - aczkolwiek ten piykny geometryczny aspekt bardzo rzadko zajmuje specjalist6w od fizyki kwantowej - okazuje siy bowiem, ze dla ukladu 0 (n + 1) stanach przestrzen ClP'n jest przestrzeni,! fizycznie r6znych stan6w kwantowych. Ponadto istnieje wielkose znana pod nazw'!!azy, kt6r,! traktuje siy zwykle jako liczby zespolon'! 0 module 1 (e i8 , gdzie () jest liczb,! rzeczywist'!; zob. rozdz. 5.3), podczas gdy jest to w rzeczywistosci skrfcona liczba zespolona o module jeden15. Do tych spraw powr6cimy przy koncu rozdzialu oraz gdy bydziemy szerzej omawiae mechaniky kwantow,! w rozdz. 21 i 22 (zob. rozdz. 21.9, 22.9).
15.7 Nietrywialnosc w koneksji wiClZki
Odbylismy wlasnie blyskawiczny wypad w dziedziny wi'!zek wl6knistych i pojye z nimi zwi,!zanych. Niekt6re z element6w geometrii i topologii S,! dose zlozone i czytelnik nie powinien siy niepokoie, jesli nie wszystko udalo mu siy od razu zrozumiee. Powr6cimy teraz do spraw duzo prostszych, w tym sensie, ze aby je zrozumiee, nie bydziemy potrzebowali tak wielu wymiar6w (przynajmniej na pocz'!tku!). Aczkolwiek m6j kolejny przyklad jest rzeczywiscie bardzo prosty' ilustruje wazn,!, now'! cechy zwi,!zan,! z pojyciem wi,!zki. We wszystkich wi¥kach, z jakimi spotkalismy siy do tej pory, nietrywialnose przejawiala siy w pewnym topologicznym aspekcie ich geometrii, a "skrycenie" ("twist") mialo charakter topologiczny. lednak jest zupelnie mozliwe, zeby wi,!zka byla nietrywialna w pewnym waznym sensie, pomimo ze jest trywialna topologicznie. Wr6emy do naszego pocz'!tkowego przykladu, w kt6rym przestrzen bazowa M byla zwyklym okrygiem sl, a wl6kno V bylo 1-wymiarow,! rzeczywist,! przestrzeni,! wektorow'!. Teraz skonstruujemy nasz'! wi,!zky B w nieco inny spos6b niz w6wczas, gdy po prostu "odwracalismy" wl6kno V podczas okr,!zania M, co dalo !!& [15.11] Objasnij tcr geometricr, pokazuj,!c, ze wi'!Zka JR"+! - 0 nad JRlP'" moze bye rozumiana jako zlozenie wi,!zki JR"+! - 0 nad S" (w16kno JR+ jest cialem liczb rzeczywistych dodatnich) oraz S" jako dwukrotnego pokrycia JRlP'".
331
15
Wi(lZki wl6kniste i koneksje cechowania Rys. 15.16. "Rozcil!gnicrta" wil!zka liniowa B nad M = SI, uzyskana z wykorzystaniem innej
Pr6ba -dokonania ci~cia
Baza SI
b
332
symetrii wl6kna V nii symetria na rys. 15.4, 15.5 i 15.7 (gdzie V wci¥jest l-wymiarowl! rzeczywistl! przestrzenil! wektorowl! VI), a mianowicie symetrii rozcil!gnicrcia przez czynnik dodatni (w tym wypadku przez 2). Topologiajest topologil! walca SI x JR, ale teraz pojawia sicr "naprcrienie", kt6re opiszemy za pomOCI! koneksji na B. Ta koneksja definiuje lokalne pojcrcie "horyzontalnosci" dla krzywych w B. Rozwaimy w bazie dwie drogi od a dob,jednl! bezposrednil! (wskazanl! czaml! strzalkl!) i drogcr okrcrinl! (biala strzalka). Kiedy dochodzimy do b, znajdujemy r6iniccr (0 czynnik 2), kt6ra pokazuje, ie pojcrcie "horyzontalnosci" jest tutaj zaleine od drogi.
w efekcie wiqzky Mobiusa. Zamiast tego dokonamy jej rozciqgnif?cia 0 czynnik 2; przedstawia to rys. 15.16. W ten sposob wykorzystujemy symetriy l-wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej innl! niz symetria "odbicia" v H -v, ktorej uiylismy do konstrukcji wil!zki Mobiusa. Transformacja rozcil!gniycia v H 2v zachowuje struktury przestrzeni wektorowej V rownie dobrze. Teraz jednak nie interesuje nas topologia wil!zki. Z topologicznego punktu widzenia mamy po prostu walec Sl x JR, dokladnie tak jak w naszym pierwszym przykladzie na rys. 15.4a, ale teraz pojawilo siy "napryzenie" wil!zki, ktore opiszemy, wprowadzajl!c wlasciwy rodzaj koneksji na wiqzce. Poprzedni rodzaj koneksji, omawiany w rozdz. 14, zwil!zany byl z pojyciem "rownoleglosci" wektorow stycznych przenoszonych wzdluz krzywych na rozmaitosci M. W kontekscie obecnych rozwaZan powinnismy pomy§lee 0 wil!zce stycznej T(M) rozmaitosci M. PoniewaZ kazdy punkt T(M) reprezentuje wektorv styczny do M w pewnym punkcie a, to przesuniycie v wzdtuz jakiejs krzywej y w M bydzie reprezentowane przez krzyw~ Yv w T(M); zob. rys. 15.17a. Je§li wiemy, co oznacza slowo "rownolegly" w odniesieniu do przesuniycia v, to rozumiemy tez, co oznacza slowo "horyzontalna" w odniesieniu do krzywej Yv w wil!zce (poniewaz utrzymywanie krzywej Yv w polozeniu "horyzontalnym" na wi~zce oznacza, ze v pozostaje "staty" wzdluz krzywej y w bazie). Chcemy teraz uogolnie to pojycie, zeby mozna je bylo zastosowae do wil!zek innych niz wi~zka styczna (zob. rys. 15.17b). W rozdz. 14 zetknylismy siy juz z takim postulatem, poniewaz tam uogolnilismy pojycie koneksji, zeby je stosowae do obiektow innych niz wektory styczne, mianowicie do kowektorow i, ogolnie, do [~]-tensorow. Jednak, jak zaznaczylismyw rozdz. 15.1, owo uogolnienie jest dose ograniczone, poniewaz uogolnienie pojycia koneksji z wektorow na te inne rodzaje obiektow jest okreslone jednoznacznie i nie pozostawia nam dodatkowej swobody (glownie dlatego, ze wil!zka kostyczna i wil!zki tensorowe s~ calkowicie zdeterminowane przez wi~zky styczn(!). Dowolnej wil!zki nad M nie naleiy kojarzye z wi(!zk(! styczn(!, zeby spo-
Nietrywialnosc w koneksji wiClZki
15.7
Horyzontalna
Horyzontalna Y.
T(M)
la}
B
Ib}
Rys.15.17. Por6wnanie r6znych rodzaj6w koneksji na rozrnaitosci og61nej M. (a) Poprzednio opisana koneksja (rozdz. 14.3), definiuj,!ca pojycie przesuniycia r6wnoleglego wektor6w stycznych wzdluZ krzywych w M, przedstawiona jest w terminach wi,!zki stycznej T(M); rys. 15.12a. Konkretny wektor styczny v w punkcie a rozrnaitosci M reprezentowany jest w T(M) przez odpowiedni punkt wl6kna nad a. "Horyzontalna" krzywa Yv w T(M) reprezentuje przesuniycie r6wnolegle v wzdluz krzywej y w M. (b) Ta sarna idea znajduje zastosowanie w odniesieniu do wi<)Zki B nad M, innej niz T(M), gdzie "przesuniycie stale" w M jest pochodne wobec "horyzontalnosci" w B.
sob, w jaki koneksja dziala na tak,! wi,!zky, mogl bye okreslony niezaleznie od tego, jak ona dziala na wektory styczne. Kiedy rozwaZamy wi,!zky nad M, niezwi¥an,! z T(M), nie powinno siy rozwazae jej w terminach "rownoleglosci", poniewaz (10kalne) pojycie rownoleglosci odnosi siy do kierunk6w, co w zasadzie oznacza kierunki wektorow stycznych. Z tego powodu bardziej naturalne bydzie odwolanie siy do "stalosci" wielkosci opisywanej przez wi,!zky, a nie do "rownoleglosci", ktora nawi¥uje do wektorow stycznych opisanych przez T(M). Takie lokalne pojycie "stalosci" - a wiyc "horyzontalnosci" w wi,!zce - wprowadza struktury znan,! pod nazw'! koneksji wiqzki. Powroemy teraz do naszej "rozci,!gniytej" wi,!zki B nad okrygiem S\ przedstawionej na rys. 15.16. Rozwazmy czyse B, ktora jest "trywialna" w tym sensie, ze stoi nad pewnym "topologicznie trywialnym" obszarem Sl. Nazwijmy ty czyse Bp i niech to bydzie czyse stoj,!ca nad jednospojnym odcinkiem Sl - p (jak na rys. 15.5), gdzie p jest pewnym punktem Sl. Bp bydziemy uwazali za przestrzen iloczynow'! (Sl - p) x IR i oczekiwali, ze nasza koneksja wi¥ki umozliwi sformulowanie pojycia stalosci przekroju, w zwyklym sensie stalosci funkcji 0 wartosciach rzeczywistych na Sl - p. W ten sposob na rys. 15.18 stale przekroje reprezentowane s,! przez linie horyzontalne w Bp . To sarno odnosi siy do drugiej laty, Bq , gdzie q p i gdzie cala wi,!zka jest zszyta z tych dwu lat. W tym zszywaniu co prawda wystypuje wzglydne rozci,!gniycie 0 czynnik 2 miydzy obszarem po prawej a obszarem po
*'
333
15
Wiqzki wt6kniste i koneksje cechowania
Rys. 15.18. Rozwaimy cz~sc Bp wiilzki B (z rys. 15.16), kt6ra stoi ponad "trywialnym" obszarem Sl - P bazy Sl i, podobnie, cz~sc Bq , jak na rys. 15.5a. Niech "horyzontalne" na kaidej z lat oznacza horyzontalnosc w zwyklym sensie. lednalcie przy zszywaniu pojawia si~ wzgl~dne rozci,!gni~cie 0 czynnik 2 mi~dzy zszywanymi obszarami (widzimy to po prawej stronie). W rezultacie mamy koneksj~ zilustrowanil na rys. 15.16.
lewej (obszar pO prawej przedstawiono jako poddany "rozci,!:ganiu" 0 czynnik 2). W ten spos6b (niezerowy) przekr6j, kt6ry pozostaje lokalnie horyzontalny, okaze siy niedopasowany 0 czynnik 2, kiedy okr,!:Zyrny przestrzen bazow'!: Sl (rys. 15.5). St,!:d wi,!:zka B nie rna przekroj6w (poza przekrojern zerowyrn), kt6re, zgodnie z nasz'!: koneksj,!: wi,!:zki, s,!: lokalnie horyzontalne. Mozerny spojrzec na to zagadnienie nieco inaczej. Wyobrazrny sobie krzyw,!: w przestrzeni bazowej S\ kt6ra zaczyna siy w punkcie a i konczy w b, i "przesuniycie stale" funkcji na SI 0 wartosciach we wl6knach, od a do b. Innyrni slowy, szukamy krzywej na B, kt6ra jest lokalnie horyzontalnyrn przekrojern nad t'!: krzyw'!:; zob. rys. 15.16. Widzirny w6wczas, ze istnieje wiycej niz jedna krzywa od a do b w przestrzeni bazy; jesli p6jdzierny jedn,!: drog,!:, w6wczas otrzyrnarny inn,!: koncow'!: wartosc w b, niz gdybysrny poszli drug'!:. A zatern zdefiniowane pojycie przesuniycia stalego jest zaleine od drogi. Jest to inna zaleznosc od drogi niz ta, z kt6r'!: rnielisrny do czynienia w przypadku koneksji wi'l:Zki stycznej, V, analizowanej w rozdz. 13. W6wczas wystypowala lokalna zaleznosc od drogi, obecna nawet w przypadku pytli infinitezyrnalnych, kt6ra przejawiala siy w krzywiznie koneksji. Teraz, dla naszej wi,!:zki "rozci,!:gniytej" B, zaleznosc od drogi rna raczej charakter globalny. Oczywiscie, poniewaz przestrzen bazowa jest 1-wyrniarowa, nie rna podstaw do wyst,!:pienia lokalnej zaleznosci od drogi. Jednak ten przyklad pokazuje, ze rnozliwe jest pojawienie siy globalnej zaleznosci od drogi nawet wtedy, gdy lokalnie taka zaleznosc nie zachodzi.
15.8 Krzywizna wic:tzki
334
Nasz przyklad rnozerny tak zrnodyfikowac, zeby otrzyrnac wi,!:zky nad przestrzeni,!: 2-wyrniarow,!:, w kt6rej wybierzerny okqg reprezentuj'!:cy poprzedni,!: przestrzen bazow'!: SI. Dla wygody niech nasz'!: SI bydzie okr,!:g jednostkowy na plaszczyznie zespolonej, a zatern przestrzen bazowa M C nowej wi,!:zki ~ bydzie dana relacj,!: M C = C; zob. rys. 15.19. Wl6knarni pozostan,!: kopie osi rzeczywistej lR. Sprawdzmy, jak rnozna uog61nic nasze pojycie koneksji wi,!:zki na ty przestrzen.
Krzywizna wiqzki
15.8
I~. ,1 11 1
/
/ /
Rys. 15.19. Aby otrzymac w naszej wi'!zce (teraz jest to wi¥ka I§) lokaln,! zale:i:nosc od drogi (z krzywizn,!), potrzebujerny co najrnniej 2 wymiarow w bazie MC, ktoq teraz jest plaszczyzna zespolona C, natorniast Sl z rys. 15.16 stanowi jej okr,!g jednostkowy. Wloknern pozostaje VI (tj. odpowiednik osi rzeczywistej lR). Kiad,!c z jako wspolrzydn,! zespoIon,! na C = Me, stosujerny jawne wyrai:enie na koneksjy V = alaz - A, gdzie A jest zespolon'! gladk,! funkcj,! z. Jesli A jest funkcj,! holornorficzn'!, wowczas krzywizna wi¥ki znika, ale jesliA = ikE (z odpowiednirn k), otrzymujerny wi¥ky napryzon,! z rys. 15.16 w cZysci nad okrygiern jednostkowym. Krzywizna wi¥ki przejawia siy w tym, ze nie dornyka siy wielok'!t horyzontalny nad rnalyrn rownoleglobokiernw M C •
Gdyby w nowej wi,!zce f52' nie wystypowalo "napryzenie", w6wczas koneksjy ty otrzymalibysmy przez bezposrednie r6zniczkowanie ze wzglydu na standardowe wsp6lrzydne (z, z) na plaszczyznie zespolonej Me. W takim przypadku "stalose" przekroju lP (funkcji z i z 0 wartosciach rzeczywistych) mozna by rozumiee w zwyklym sensie, mianowicie jako 8lP/fJz = (sk,!d wynika r6wnieZ 8lP/8z = 0, poniewaZ lP jest rzeczywista). Kiedy wprowadzamy "napryzenie" do koneksji wi,!zki, mozemy zmodyfikowae operator 8;az tak, aby utworzye nowy operator V
°
8 V=--A 8z
'
gdzie wielkose A jest zespolon'! (niekoniecznie holomorficzn'!) gladk,! funkcj,! z, a jej "dzialanie" oznacza po pro stu pomnozenie przez ty (skalarn'!) wielkose. Operator V dziala na wielkosci takie jak lP. Topologicznie nasza wi,!zka f52' rna bye trywialn,! wi,!zk,! IC x ~, a zatem dla f52' mozemy uZye wsp6lrzydnych globalnych (z, lP), gdzie z jest zespolone, alP rzeczywiste. Przekr6j f52' jest wyznaczony przez lP jako funkcjy z
(wystypowanie z oznacza brak holomorficznosci; zob. rozdz. 10.5). Aby przekr6j byl slaty (tj. horyzontalny), z'!damy VlP = (sk,!d VlP = 0, poniewaZ lP jest rzeczywiste), a wiyc
°
335
15
Wiqzki wl6kniste i koneksje cechowania
JesliA jest funkcj,! holomorficzn'!, wowczas nie rna problemu z rozwi,!zaniem tego rownania, gdyz takim rozwi,!zaniem bydzie (/)= e(B+B) gdzieB = fAdz[15.J2]. Jednak w przypadku ogolnym, gdy A jest nieholomorficzne, zwykle nie otrzymujemy niezerowych rozwi£!Zan ze wzglydu na to, jak dziala na (/) komutator[1513]
VV_VV=oA_oA. 02 oz (Prawa strona daje jakqs, na ogol roznq od zera, liczby mnozqcq (/), natomiast operator po lewej stronie zeruje kazde rzeczywiste rozwi£!Zanie r6wnania o(/)/8z =A (/).) Komutator slmy do zdefiniowania lazywizny dla V, ktorq daje urojona cZysc oAloE. Krzywizna mierzy lokalny stopien "napryzenia" w wiqzce. WybierajqcA, dla ktorego komutator przyjmuje stalq wartosc rozn,! od zera (na przykladA = ikZ dla odpowiedniej rzeczywistej wartosci k), mozemy otrzymac wartosc "czynnika rozciqgniycia" proporcjonalnq do pol a zakreslonego przez zamkniyt,! pytly, po ktorej poruszamy siy w Me. Stosuje siy to w szczegolnosci do okrygu jednostkowego Sl tak, ze mozemy odtworzyc nasz'! poprzedniq "napryzon'!" wi£!Zky B nad St, biorqc po pro stu takq cZysc wi,!zki, ktora leZy nad Sl. Poz'!dany "czynnik rozciqgniycia 2" nad okrygiem jednostkowym otrzymamy, gdy wybierzemy odpowiedniq wartosc k[15.l4]. Przedstawiony komutator jest bezposrednim odpowiednikiem komutatora operatorow Va' ktore rozwaZalismy w rozdz. 14.4 i ktore dawaly wklad do torsji i krzywizny. Tutaj mozemy zaloZyc, ze torsja wynosi zero. (Torsja jest zwiqzana z dzialaniem koneksji na wektory styczne i dlatego nie odnosi siy do wiqzek tu rozwazanych, poniewaz nie Sq zwiqzane z wiqzkami stycznymi.) W przypadku n-wymiarowej przestrzeni bazowej M mamy wielkosci takie jak Va i z rozdz. 14, ale teraz dzialajq one na wielkosci wiqzkowe l6 . Jesli poprawnie skonstruujemy ich komutatory, to mozemy wyprowadzic krzywizny koneksji wiqzki. Kiedy krzywizna znika, mamy wiele lokalnie stalych przekrojow wiqzki; w przeciwnym wypadku pojawiajq siy problemy ze znalezieniem takich przekrojow, poniewaz wystypuje lokalna zaleZnosc koneksji od drogi. Krzywizna opisuje zaleznosc od drogi na poziomie infinitezymalnym. Ilustruje to rys. 15.19. W zapisie wskaznikowym koneksjy zwykle przedstawia siy w jakims ukladzie wspolrzydnych jako operator 0 postaci
¥
Va =
o
ax a -Aa'
przy czymAa traktuje siy jak wielkosc 0 ukrytych "indeksach wiqzki". Dla tych indeks6w rezerwujemy litery greckie 17 (zakladajqc, ze mamy do czynienia z wi,!zkq ~ ~
336
[15.12] Sprawdz to. [15.13] Sprawdz ten wz6r. 1m. [15.14] Wykaz prawdziwosc tych twierdzen, znajdujqc explicite wartosc k, kt6ra prowadzi do czynnika 2.
Krzywizna
wi~zki
15.8
wektorowq, do ktorej stosujq siy reguly rachunku tensorowego) i wowczas wielkosc Aa przyjmuje postac A a'").. (Aby miec peine wyrazenie w zapisie wskainikowym, nalezaloby pomnoZyc dwa pozostale wyrazy przez 8~.) Knywizna wiqzki bydzie dana wielkosciq
Fa:.'
ktorej antysymetryczna para indeksow ab odnosi siy do kierunkow 2-plaszczyzny w M, identycznie jak poprzednio w przypadku tensora krzywizny, natomiast indeksy A. i.u odnoszq siy do kierunkow na wloknie (zwykle siy je pomija). Wystypuje tu rowniez bezposrednia analogia do (drugiej) tozsamosci Bianchiego (zob. rozdz. 14.4). Wspolrzydnych zespolonych w szczegolnym przypadku r§ uZylismy tylko dla wygody; moglismy wszak posluZyc siy zapisem wskaznikowym, jak w przypadku n-wymiarowym. NaleZy podkreslic, ze w wielu przypadkach wiqzek wloknistych odpowiednia symetria zwiqzana z konstrukcjq wiqzki nie musi byc identyczna z symetriq wlokna. Na przyklad rozwaZajqc "napryzonq" wiqzky B nad Sl alba r§ nad C, moglibysmy traktowac 1-wymiarowe wlokno jako poszerzone do 2-wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej, w ktorej "rozciqgniycie" wlokna oznaczaloby jednorodne poszerzenie wektorowej 2-przestrzeni. Ty rzeczywistq 2-wymiarowq przestrzen wektorowq moglibysmy uzupelnic dodatkowq strukturq, ktora zamienilaby jq w 1-wymiarowq zespolonq przestrzen wektorowq, a "rozciqgniycie" odpowiadaloby pomnozeniu przez jakqs liczby rzeczywistq (rys. 15.20). Prowadzi to do pytania: co siy zdarzy, jesli zamiast tego wprowadzimy "rozciqgniycie zespolone"? Szczegolnym przypadkiem byloby pomnozenie przez jakqs liczby zespolonq 0 module 1(xei8 , gdzie () jest liczbq rzeczywistq), co oznaczalobywprowadzenie raczej rotacji niz rozci'lgniycia (rys. 15.21). Z takq sytuacjq mamy do czynienia w przypadku rozwazanej poprzednio wiqzki Clifforda. Wystypuje tu grupa U (1), ktora jest multiplikatywnq grupq liczb zespolonych 0 module 1 (zob. rozdz. 13.9). Koneksje wiqzek z symetriq 0(1) majq szczegolne znaczenie dla fizyki, poniewaz opisujq oddzialywania elektromagnetyczne (rozdz. 19.4). Ochwycimy istoty takiej wiqzki, jesli wyobrazimy sobie wlokno raczej na wzor okrygu jednostkowego Sl niz jako calq plaszczyzny zespolonq C. W pewnym sensie jest to "bardziej ekonomiczne", gdyz reszta plaszczyzny jest jedynie dodatkiem do okrygu i nie niesie dodatkowych informacji. Rozwazanie calej plaszczyzny zespolonej jako wlokna rna zas ty zalety, ie wiqzka staje siy wowczas zespolonq wiqzkq wektorowq18. W dalszych rozdzialach poznamy znaczenie tych idei we wspolczesnych teoriach sit fizycznych. Kluczowym skladnikiem tych teorii stanq siy koneksje wiqzek, wystypujqce pod naZWq "koneksji cechowania", a pewne pol a fizyczne pojawiq siy jako krzywizny tych koneksji (teo ria elektromagnetyzmu Maxwella jest tutaj podstawowym przykladem). Przekonalismy siy juz,jak istotnq sprawqjest fakt, ze wlokna majq symetri~ dokladnq. Stqd rodzq siy fundamentalne pytania odnosnie do pochodzenia takich symetrii i ich prawdziwej natury. Do tych waznych zagadnien powrocy pozniej, zwJaszcza w rozdz. 28, 31 i 34. W
337
15
Wiqzki wl6kniste i koneksje cechowania
Rys. 15.20. lako wl6kna mozemy wzi,!c l-wymiarow,! przestrzen wektorow'!, w6wczas "rozci,!gniycie" oznaczaloby pomnozenie przez jak,!s liczby rzeczywist'!.
Rys. 15.21. Altematywnie mozemy naloZyc "rozci,!gniycie zespolone", takie jak pomnozenie przez zespolon'! fazy (e;·, gdzie () jest liczb,! rzeczywist'!), co powoduje, ze grup,! wi'!Zki jest teraz grupa U(l) - grupa multiplikatywna tych liczb zespolonych.
Przypisy Rozdzial15.1 Zob. np. Steenrod (1951). Jednym z pierwszych fizyk6w, kt6ry ok. 1967 r. zdal sobie sprawy, ze uiywane przez fizyk6w pojycie "teorii cechowania" jest w istocie zwiqzane z koneksjq na wiqzce, byl Andrzej Trautman; zob. Trautman (1970); r6wniez Penrose, Robinson, Tafel (1997). 2 W istocie te dodane wymiary czasoprzestrzeni (przestrzenie Calabiego-Yau; zob. rozdz. 31.14) teorii strun nie powinny bye rozumiane jako "wl6kna" wiqzki wl6knistej. Takie wl6kna bylyby przestrzeniami pewnych p6l spinorowych w przestrzeniach Calabiego-Yau. 1
Rozdzial15.2 Pelna definicja przestrzeni iloczynowej wymaga dodatkowych informacji, aby pojycia topologii i gladkosci zostaly poprawnie okreslone dla M x V. Jesli kazdej z przestrzeni M i V przyporzqdkujemy pewnq miary objytosci, w6wczas objytose iloczynu M x V jest iloczynem objytosci M i V . Tok mojego wykladu nie pozwala teraz na przedstawienie tych spraw dokladnie, aczkolwiek, z technicznego punktu widzenia, takie wyjasnienia Sq niezbydne. Polecam odpowiedniq literatury: Kelley (1965); Lefshetz (1949); Munkres (1954). 4 W rozdz. 12.1 znajdziemy wyjasnienie znaczenia slowa "jednosp6jny".
3
338
Przypisy
5
6
Dla wygody zapisu dokonalem niewielkiego naduZycia przyjytej notacji, piszqc "S I - p", aby oznaczyc przestrzeiJ. skladajqc,! siy z SI z jednym punktem usuniytym. Purysci woleliby pisac "SI - {p}" albo, prawdopodobnie, "Sl \{p}" (zob. przyp. 13 w rozdz. 9). Roznica w tym wyrazeniu jest roznicq dwu zbiorow i ,,{p}" oznacza zbior, ktorego jedynym elementem jest punktp. Rozdzial 15.3 W tym miejscu Autor obszernie wywodzi, dlaczego posluguje siy wyrazem "assigns", zamiast powszechnie uZywanego przez matematykow "associated with" albo "associated to". Te rozwazania Iingwistyczne pozwolilem sobie pomin,!c (przyp. dum.).
Rozdzial 15.4 Zob. Adams, Atiyah (1966). 8 Zob. Penrose (1987a); Penrose, Rindler (1986). 9 Mowimy, ze B jest plZestlZeniq nakrywajqcq B'. W istocie B nazywamy uniwersalnq przestrzeni,! nakrywaj,!c,! B'. Poniewaz jest przestrzeni'! jednospojn,!, to dalsze pokrywanie nie moze zachodzic. 7
Rozdzial15.5 Geometryczny opis 2-spinorow przedstawiony jest szczegolowo w: Penrose, Rindler (1984), rozdz. 1. 11 Na przyklad w rozdz. 9.5 analizowalismy rozszczepienie funkcji (zmiennej rzeczywistej) na czt(sci 0 czt(stosciach dodatnich i ujemnych, w terminach rozszerzenia na funkcje holomorficzne. Czytelnik pamit(ta, ze pojawily sit( pewne Idopoty w zwi,!zku z funkcjami stalymi, ale mozna je pokonac, jesli dopuscimy, zeby te funkcje byly skrt(conymi funkcjami holomorficznymi. Takie podejscie okazuje sit( przydatne w teorii twistorow w rozdz. 33.8, 10. to
Rozdzial15.6 Oba te twierdzenia (Pappusa i Desargues'a) znane S,! na ogol w innym sformulowaniu. 1Wierdzenie Pappusa, zilustrowane na rys. 15.14a: jesli pol,!czymy prostymi 3 zaznaczone punkty na jednej z linii zewnt(trznych z 3 zaznaczonymi punktami na drugiej z linii zewnt(trznych, wowczas l'!cz'!ce proste przetn'! sit( w 3 zaznaczonych punktach lezqcych na jednej prostej. 1Wierdzenie Desargues'a, zilustrowane na rys. 15.14b: trzy proste wychodz'!ce z "gornego punktu" przechodz,! przez wierzcholki dwoch trojk,!tow. Jesli przedluZymy odpowiednie boki tych trojk'!tow, to przetn,! sit( one w 3 punktach lez'!cych na jednej prostej (przyp. Hum.). 13 Nie byloby nierozs,!dne uwazac, ze pole widzenia artysty jest raczej sfer,! S2 niz plaszczyzn,! pl, na ktorej pole widzenia wyznaczane byloby przez przechodz'!ce przez 0 skierowane promieniowanie swietlne, a nie przez promienie bez kierunku, ktore (implicite) rozwazalem w tym tekscie. Sfera jest po prostu podwojnym pokryciem plaszczyzny rzutowej i jedyny klopot zwi¥any w tym kontekscie z tak,! "geometri,!" polega na tyro, ze pary "linii prostych" (ktorymi w tym przypadku S,! okrt(gi wielkie) przecinaj,! sit( w dwoch punktach, a nie w jednym. Dlatego artysta potrzebowalby czterech plocien, a nie trzech, aby nimi pokryc cal,! sfery S2. 14 Zob. przyp. 5 w tyro rozdziale. 15 Ma to znaczenie dla zrozumienia intryguj,!cego i waznego pojt(cia kwantowomechanicznego znanego pod nazw'! "fazy Berry'ego", ktora uwzglt(dnia fakt, ze nie wiemy, gdzie punkt ,,1" leZy na okrt(gu jednostkowym. Taka "liczba" jest elementem wlokna Sl dla wi¥ki S\ a w tym przypadku S2n+1 nad ClP'n - zob. Berry (1984, 1985); Simon (1983); Aharonov, Anandan (1987); Shankar (1994) oraz Woodhouse (1991). 12
339
15
Wi<jzki wl6kniste i koneksje cechowania
Rozdzial15.8 W przypadku Va' aby nadac sens komutatorowi V[a Vb' potrzebujemy, ieby ten operator dziaial na wektory kostyczne, a wiltc m6gI dzialac na wskainiki czasoprzestrzeni. Natomiast moiemy wykorzystac wyraienie komutatorowe V V- V V - [L,M] V, kt6re tego w. przypadku V x L M M L mewymaga. 17 Ten rodzaj zapisu wskaznikowego dla indeks6w wiilzki jest przedstawiony explicite w: Penrose, Rindler (1984), rozdz. 5. 18 Jesli natomiast wI6kno jest okrltgiem jednostkowym, to wi¥ka staje silt przykiadem wiqzki gl6wnej, a jej zalety ujawniajil si y w innych kontekstach. Wi¥ka gl6wna rna wl6kna V modelowane na grupie 0 jej wlasnych symetrii. Z grubsza biorilc, moina powiedziec, ie w przypadku wiilZki gl6wnej Oi VSil takie same albo, dokladniej, Vjest 0, ale "zapominamy", kt6ry element 0 jest elementem toisamosciowym. W takim razie V jest przestrzeniil ajinicznq (niekoniecznie abelowil), zgodnie z rozdz. 14.1 i ewiczeniami [14.1] i [14.2]. 16
16 Drabina nieskonczonosci 16.1 Ciafa skonczone WYDAJE siy, ze uniwersalnq cechq matematyki, kt6ra rna opisywac struktury i mechanizmy fizycznego WszechSwiata, jest jej fundamentalna zaleznose od niesk011czonosci. StaroZytni Grecy, jeszcze zanim byli zmuszeni zajmowae siy cialem liczb rzeczywistych, opanowali poslugiwanie siy liczbami wymiernymi (zob. rozdz. 3.1). Nieskonczonose przejawia siy w ciele liczb wymiernych nie tylko w tym sensie, ze liczby te mogq bye nieograniczenie wielkie (ty samq wlasnose majq takZe liczby naturalne), ale r6wniez w tym, ze pozwalajq na nieskonczonq subtelnose w poruszaniu siy w nieskonczenie malej skali. Sq jednak osoby, kt6rym trudno pogodzie siy z tymi aspektami nieskonczonosci. Z jednej strony wolalyby, zeby WszechSwiat byl skonczony w swoich rozmiarach przestrzennych, a z drugiej - zeby r6wniez podzielnose materii byla skonczona, zeby u jej fundament6w na poziomie najmniejszych rozmiar6w pojawila siy struktura dyskretna. Aczkolwiek taki punkt widzenia musimy uWaZae za wysoce niekonwencjonalny, to nie mozna mu zarzucie wewnytrznej niesp6jnosci. I rzeczywiscie, niekt6re szkoly myslenia gloszq, iz jawnie fizyczna rola ciala liczb rzeczywistych lR jest jedynie przyblizeniem do "prawdziwego" fizycznego systemu liczbowego, kt6ry rna tylko skonczonq liczby element6w. (Ten punkt widzenia rozwijal w szczeg6lnosci w polowie lat sZeSedziesiqtych ubieglego wieku Y. Ahmavaara i jego wsp61pracownicy; zob. rozdz. 33.1.) Jak mozna zrozumiee takie cialo liczb skonczonych? Najprostsze przyklady konstruujemy z liczb calkowitych, "redukujqc je modulo p", gdzie p jest pewnq liczbq pierwszq. (Przypomnijmy, ze liczbami pierwszymi nazywamy liczby naturalne, kt6re nie majq innych podzielnik6w opr6cz 1, ale sarna liczba 1 nie jest uwazana za liczby pierwszq.) Aby dokonae redukcji liczb calkowitych modulo p, uwazarny dwie liczby calkowite za r6wnowaine, jesli ich r6znica jest wielokrotnosciq p. To znaczy
a =b (rnodp) wtedy i tylko wtedy, gdy
a - b == kp (dla pewnego calkowitego k).
16
Drabina nieskonczonosci
Liczby calkowite rozkladajq siy, zgodnie z tym przepisem, na dokladnie p "klas rownowaznosci" (zob. Przedmowy, w ktorej zdefiniowalismy pojycie klasy rownowaznosci) tak, ze a i b nalezq do tej samej klasy, jesli a == b. Klasy te uwazamy za elementy ciata sk011czonego IFp i tych elementow jest dokladnie p. (W algebrze cialem nazywa siy pierscien przemienny z dzieieniem, zob. rozdz. 11.1.) Elementy ciala lFp spelniajq zwykle reguly dodawania, odejmowania, mnozenia (przemiennego) i dzielenia [16.1]. Mamy tujednak ciekawq wlasnosc dodatkowq: jesli dodamy do siebie p identycznych elementow, to zawsze otrzymamy zero (i, oczywiscie, sarna liczba pierwsza p jest traktowana jak "zero"). Zauwazmy, ze w przypadku tak zdefiniowanego ciala lFp jego elementy Sq zdefiniowane jako "nieskonczony zbior liczb calkowitych", albowiem "klasy rownowaznosci" same Sq zbiorami nieskonczonymi. Przykladowo takq klasq rownowaznosci jest zbior C.. , -7, -2,3,8, 13, ... }, definiujqcy element lF5 (p = 5), ktory oznaczymy przez ,,3". W ten sposob, aby zdefiniowac wielkosci tworzqce nasz skonczony system liczbowy, musielismy odwolac siy do nieskonczonosci! Pokazuje to, jak czysto matematycy, chcqc podac scisly przepis na konstrukcjy jakiegos obiektu matematycznego, uciekajq siy do definicji w terminach zbiorow nieskonczonych. To ta sarna procedura "klas rownowaZnosci", ktorej w Przedmowie uZylismy do zdefiniowania pojycia ulamka w zwiqzku z operacjq "upraszczania",jakiej nie mogla pojqC przyjaciolka mojej matki! Jestem w stanie wyobrazic sobie, ze dla kogos przekonanego, iz system liczbowy lFp (dla jakiejs odpowiedniej wartosci p) jest "rzeczywiscie" bezposrednio zakorzeniony w przyrodzie, procedura "klas rownowaZnosci" jest jedynie wygodnym matematycznym sposobem podania scislego przepisu w terminach bardziej (historycznie) znajomych procedur nieskonczonych. W istocie nie potrzebujemy tutaj odwolywac siy do nieskonczonych zbiorow liczb calkowitych; jest to jedynie procedura najbardziej systematyczna. W kazdym konkretnym przypadku moglibysmy, alternatywnie, po prostu podac Ii sty wszystkich operacji, poniewaz ich liczba jest skonczona. Rozpatrzmy na przyklad bardziej szczegolowo przypadekp = 5. Elementy lFs mozemy oznaczyc standardowymi symbolami 0, 1, 2, 3, 4 i utworzyc tabele dodawania i mnozenia
+ 0 1 2 3 4
342
0 0 1 2 3 4
1 1
2
2
3 4 0 1
3 4 0
2
3 3 4 0 1 2
4
x
4
0 1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2
3 4
2
0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4
0 4 3 2 1
~ [16.1] Pokaz, jak te reguly dzialajq, i wyjasnij, dlaczego p musi bye liczbq pierwszq.
Jakiej geometrii potrzebuje fizyka: skoriezonej ezy nieskoriezonej?
16.2
Zauwazmy, ze kazdy element niezerowy rna multiplikatywny element odwrotny: 1-1 =1,2-1 =3,3-1 =2,4-1 =4, w tym sensie, ze 2 x 3 == 1 (mod 5) itd. (Od tego momentu, operujl!c na elementach konkretnego skonczonego uldadu liczbowego, bydy uZywal raczej znaku ,,=" nii: ,,==".) Istniejl! rowniez inne ciala skonczone IF'q, skonstruowane w nieco bardziej zlozony sposob, ktorych calkowita liczba elementow jest pewnl! potyg,! liczby pierwszej: q = pm. Podam najprostszy przyklad, a mianowicie przypadek q = 4 = 22 . Tutaj rozne e1ementy mozemy oznaczye jako 0, 1, W, w 2 , gdzie w 3 = 1 i gdzie na kazdy element x nalozone jest z,!danie, zeby x + x = 0. Tl! drogl! nieco poszerzylismy multiplikatywnl! grupy liczb zespolonych 1, w, w 2 , ktore s,! pierwiastkami trzeciego stopnia z jedynki (przedstawilismy je w rozdz. 5.4, a w rozdz. 5.5 powiedzielismy, ze opisujl! one "kwarkowose" silnie oddzialuj,!cych cZl!stek elementarnych). Aby otrzymae z nich 1F'4' doll!czamy jedynie zero ,,0" i wprowadzamy operacjy "dodawania", w mysl ktorej x + x = 0[16.2]. W ogolnym przypadku IF'pm bydziemy mieli x + x + x + ... + x = 0, gdzie liczba x-ow w tej sumie wynosi p.
16.2 Jakiej geometrii potrzebuje fizyka: skor'lczonej czy nieskor'lczonej? Nie jest rzecz'! jasnl!, czy tego rodzaju kwestie majl! powazne znaczenie dla fizyki, ale problem od czasu do czasu odZywa. Gdyby IF'q mialo zastl!pie w jakis znaczl!CY sposob cialo liczb rzeczywistych, wowczas p musialoby bye naprawdy bardzo duze (tak aby"x +x +x + ... +x = 0" nie odbiegalo zbyt raZ,!co od zachowan obserwowanych w swiecie fizycznym). W moim przekonaniu jednakZe teoria fizyczna, ktora w sposob fundamentalny zwil!zana bylaby z jakl!s absurdalnie wielkl! liczbl! pierwsz,!, bytaby duzo bardziej skomplikowana (i nieprawdopodobna) niz teoria zwi,!zana z prostym pojyciem nieskonczonosci. Warto mimo to przyjrzee siy blizej tym spraworn. Wiele z naszych geometrycznych twierdzen ocaleje, jesli za wspotrzydne bydziemy brali elementy ciata IF'q • Kwestie rachunku rozniczkowego i calkowego sprawiajl! nieco wiycej klopotow, ale wiele z nich ocaleje rowniei:. Jest ciekawe i pouczajl!ce przyjrzee siy, jak funkcjonuje geometria rzutowa ze skonczon,! calkowit'! liczbl! punktow. W tym celu zbadajmy n-przestrzenie rzutowe nad cialem IF' . Okazuje siy, ze J!Dn(1F' ) zawiera dokladnie 1 + q + q2 + ... + qn = = (q"+1 - 1)/(q roznych punktow[16.31. Szczegolnie fascynujl!ce sl! plaszczyzny 2 rzutowe J!D (lF'q), dla ktorych dysponujemy niezwykle eleganckim przepisem konstrukcji: wytnijmy kolo z odpowiedniego materialu, na przyklad z kartonu, przymocujmy je, na przyklad pinesk,! w srodku, do kartonowego podloza, ale tak, zeby moglo siy swobodnie obracae. Na tym podlozu wzdluz obwodu kola zaznaczmy,
1)
ID [16.2] Wykonaj kompletne tabele dodawania i mnozenia dla lF4 i sprawdi, ze prawa algebry s,! zachowane (zakladamy, ze 1 + w + w2 = 0). ~ [16.3] Pokai to.
343
16
Drabina nieskonczonosci w rownych odleglosciach od siebie, 1 + q + q2 punktow, numeruj,!c je w kierunku przeciwnym do ruchu wskazowekzegara kolejnymi liczbami 0,1,2, ... , q(l +q). Na obwodzie ruchomego kola zaznaczmy 1 + q specjalnych punktow w starannie wybranych pozycjach. Pozycje te musz'! bye takie, zeby przy dowolnym wyborze pary punktow zaznaczonych na zewn'!trz kola istnialo dokladnie jedno polozenie kola obrotowego, przy ktorym polozenia dwu z punktow zaznaczonych na kole pokrywaj,! siy z pozycjami punktow wybranej pary. Inaczej mowi,!c: jesli przez ao' a p ••• , aq oznaczymy kolejne odleglosci na obwodzie kola miydzy tymi specjalnymi punktami (przyjmuj,!c odleglose miydzy kolejnymi punktami na zewn'!trz kola za jednostky odleglosci), wowczas kazda odleglose 1, 2, 3, ... , q + 1 moze bye, w sposob jednoznaczny, przedstawiona jako suma wartosci odleglosci a wybranych w cyklicznej kolejnosci. Takie kolo bydy nazywal kolem magicznym. Na rysunku 16.1 przedstawilem kola magiczne dla q = 2,3,4 i 5. Dla tych wartosci q liczby ao' a p • •• , aq mog,! bye wybrane, odpowiednio, jako 1, 2, 4; 1, 2, 6, 4; 1, 3, 10, 2, 5; 1, 2, 7, 4, 12, 5[16.41. Dla przypadkow q = 7,8,9, 11, 13 i 16 kola magiczne mozna zdefiniowae, odpowiednio, nastypuj,!cymi zbiorami liczb: 1, 2, 10, 19, 4, 7, 9, 5; 1, 2, 4, 8, 16, 5, 18, 9, 10; 1,2,6,18,22,7,5,16,4,10; 1,2,13,7,5,14,34,6,4,33,18,7,21,8; 1,2,4,8,16, 32, 27, 26, 11, 9, 45, 13, 10, 29, 5, 17, 18. Mamy twierdzenie matematyczne, ze istnieje kolo magiczne dla kazdej plaszczyzny p2(lFq) (gdzie q jest potyg,! liczby pierwszej) '. Czytelnikowi mogtoby sprawie przyjemnose sprawdzenie roznych przypadkow twierdzen Pappusa i Desargues'a (zob. rozdz. 15.6, rys. 15.14)2. (Naleiy wzi,!e q > 2, aby miee wystarczaj'!C'! ilose punktow, zeby nie pojawity siy konfiguracje zdegenerowane!) Dwa takie przyklady ilustruje rysunek 16.2 (Des argues dla q = 3 i Pappus dla q = 5, jesli korzystamy z kot na rys. 16.1). Najprostszy przypadek, dla wartosci q = 2, jest szczegolnie interesuj,!CY pod innymi wzglydami[16.51• Odpowiednia plaszczyzna, z 7 zaznaczonymi punktami, nosi nazwy plaszczyzny Fano i jest przedstawiona na rys. 16.3, przy czym okr,!g naleiy traktowac jako "liniy prost,!". Aczkolwiek jej geometryczne znaczenie jest dose ograniczone, to odgrywa ona inn,! wazn,! roly, a mianowicie podaje nam prawa mnozenia oktonion6w (zob. rozdz. 11.2 i 15.4). Plaszczyzna Fano zawiera 7 punktow i kaZdy z nich jest zwi,!zany z jednym z elementow generuj,!cych algebry oktonionow: io' ip i2, ••• , i6. Kazdy z nich spetnia warunek i; = -1. Aby znaleie iloczyn dwoch r6inych elementow generuj,!cych, szukamy na ptaszczyinie Fano prostej, ~ [16.4) Pokai, jak rnozna skonstruowac nowe kola rnagiczne dla wartosci q = 3,5, startujqC z jednego z zaznaczonych punkt6w na jednyrn z przedstawionych k61 i nastypnie rnnozqc kaidq z odleglosci kqtowych od jednego punktu do drugiego przez ustalonq liczby calkowitq. Wyjasnij, dlaczego tak rnozna zrobic. 4 ~ [16.5) Cialo skoiiczone lFgsklada siy z elernent6w 0,1, e, e2 , e\ e , e5 , e6, gdzie e7 = 1 oraz a b 1 + 1 = o. Udowodnij, ze alba (1) rna rniejsce tozsarnosc e + e + e = 0, gdy tylko a, b i c Sq punktarni na okrygu zewnytrznym rys. 16.1a, kt6re pokrywajq siy z trzerna punktarni na kole ruchornyrn, alba (2) to sarno jest prawdziwe, ale gdy w rniejscu e poloiyrny e3 (tzn. e3a + e3b + e3c = 0). C
344
Jakiej geometrii potrzebuje fizyka: skonezonej ezy nieskonezonej? (a)
6 'e0 4
2
4
4
16.2
(b)
3
0
7
9
8
7
6
5
6
5
10 14 15
10 11
(c)
~'Y=-=-----..!.-
16
______·n. 0 30
17
15
16
17
Rys. 16.1. "Kola magiczne" dla skoflczonych plaszczyzn rzutowych p2(lFq ) (q jest potc,:g,! liczby pierw.. szej). 1 + q + q2 punkt6w zaznaczono kolejnymi liczbami 0,1,2, ... , q(1 + q) i rozmieszczono, w jedna.. kowych odleglosciach od siebie, na obwodzie zewnc,:trznego kola narysowanego w podstawie. Dol'!czo .. ne jest swobodnie obracaj,!ce sic,: kolo, na kt6rym strzalki wskazuj'! 1 + q punkt6w specjalnych: s,! to punkty lei,!ce na prostej w JP'2(lFq). Punkty te maj,! tc,: wlasnosc, ie dla kaidej pary liczb na obwodzie kola istnieje dokladnie jedno poloienie kola obrotowego, przy kt6rym strzalki wskazuj,! tc,: parc,:o Przed .. stawione S,! kola magiczne dla (a) q = 2; (b) q = 3; (c) q = 4 = 22 oraz (d) q = 5.
(a)
(b)
Rys.16.2. Wersje twierdzefl z rys. 15.14 w geometrii skoflczonej. (a) Twierdzenie Pappusa (z q = 5) i (b) Desargues'a (z q = 3), zilustrowane przez odpowiednie uiycie k61 pokazanych na rys. 16.1d i 16.1b.
ktora l,!czy odpowiednie punkty je reprezentuj,!ce, a trzeci punkt na tej prostej (z dokladnosci,! do znaku) reprezentuje ich iloczyn. lednakZe sam obraz plaszczyzny Fano nie wystarcza, poniewaz znak iloczynu musi bye tez okreslony. Znak ten mozemy okreslie, wracaj,!c do opisu danego przez kolo z rys. 16.1a albo, rownowaznie, korzystaj,!c z ulozenia strzalek (interpretowanych w porz'!dku cyklicznym)
345
16
Drabina nieskor'lczonosci
Rys.16.3. Plaszczyzna Fano p2(IFq), zawieraj,!ca 7 punkt6w i 7 prostych (okr,!g traktujemy jako "Iini« prost'!"), ponumerowanych zgodnie z rys. 16.1a. Zast«puje nam ona tabeJ« mnoienia e1ement6w bazowych io' it' i2,... , i6 aJgebry oktonion6w, a strzalki wskazujlj uporz'!dkowanie cykliczne daj,!ce iJoczynowi znak ,,+".
na rys. 16.3. Przyporz~dkujmy punktom zaznaczonym na kole uporz~dkowanie cykliczne, powiedzmy, przeciwne do kierunku ruchu wskazowek zegara. Bydziemy wtedy mieli ix iy = iz' jeSli uporz~dkowanie cykliczne ix ,iy ' iz zgadza siy z uporz~dko waniem na kole, natomiast ix iy =-iz' gdy przeciwnie. W szczegolnosci mamy io il = -' - .. ••1 -' .. - . ..1 - . . d [16.6] - 13 - -II 10, 10 2 - 16, II 16 - -15' 14 2 - -11 It •
Wydaje siy, pomimo wdziyku i elegancji tych struktur geometrycznych i algebraicznych, ze maj~ one niewiele wspolnego z funkcjonowaniem naszego fizycznego swiata. Bye moze, jesli przyjmujemy punkt widzenia przedstawiony na rys. 1.3 w rozdz. 1.4, nie powinno nas to dziwie, albowiem matematyka, ktora rna bezposredni zwi¥ek z prawami rz~dz~cymi WszechSwiatem, stanowi jedynie drobn~ czyse Swiata matematycznych idei platonskich - a przynajmniej tak nam siy wydaje na podstawie wiedzy, jak~ dotychczas zdobylismy. Nie mozna wykluczye, ze w przyszlosci, gdy nasza wiedza siy poglybi, odkryjemy wielk~ roly, jak~ odgrywaj~ tak piykne konstrukcje jak geometrie skonczone lub algebra oktonionow. Na razie trzeba by nas o tym dopiero przekonae. Wygl~da na to, ze sarna elegancja matematycznajest daIece niewystarczaj~ca (zob. rowniez rozdz. 34.9). Powinno to bye dla nas przestrog~ w poszukiwaniach zasad lez~cych u podstaw praw rz~dz~cych Wszechswiatem! Porzuemy zatem flirt z tymi jakZe poci~gaj~cymi strukturami skonczonymi i zajmijmy siy niezmiernym bogactwem matematyki zwi~zanej z pojyciem nieskonczonosci. Na wstypie naIeZy zaznaczye, ze struktury nieskonczone (takie jak zbior wszystkich liczb naturalnych, N) mog~ stanowie czyse jakiegos formalizmu matematycznego, ktorego celem jest opis rzeczywistosci, ale to jeszcze nie oznacza, ze same te nieskonczone struktury maj~ bezposredni
346
!§ [16.6] Pokaz, ze to "przyporz'!dkowanie" a(be) - (ab)e jest antysymetryczne, gdy a, b, e S,! element ami generuj,!cymi, i wydedukuj st,!d, ze jest to prawdziwe w odniesieniu do wszystkich element6w (a wiyc r6wniez gdy a(ab) = a 2b). Wskaz6wka: wykorzystaj rys. 16.3 i peln,! symetriy ptaszczyzny Fano.
Raine rozmiary nieskor'lczonosci
16.3
kie. Odnosi si~ to do moich wlasnych prob zbudowania przestrzeni w sposob skonczony, gdy korzystalem z teorii sieci spinowych (krotko przedstawi~ jq w rozdz. 32.6), ktora opiera si~ na fakcie, ze zgodnie ze standardow~ mechanik~ kwantow~ spin kazdego obiektu fizycznego jest calkowit~ (dodatni~) wielokrotnosciq pewnej ustalonej wielkosci kwantowej (til). Rzeczywiscie, jak juz 0 tym byla mowa w rozdz. 3.3, we wczesnych latach mechaniki kwantowej mielismy ogromn~ nadziej~, niespelnion~, niestety, na dalszy jej rozwoj. Liczylismy mianowicie, ze teoria kwantow doprowadzi fizyk~ do takiego obrazu swiata, w ktorym na poziomie wielkosci najmniejszych swiat staje si~ dyskretny i skonczony. Jak siy okazuje, w teoriach, ktore obecnie odnoszq najwi~ksze sukcesy, czasoprzestrzen traktujemy jako kontinuum nawet wtedy, gdy poslugujemy si~ poj~ciami kwantowymi, natomiast schematy, w ktorych wprowadzamy dyskretnosc czasoprzestrzeni w malej skali, musimy uznawac za "niekonwencjonalne" (rozdz. 33.1). Kontinuum pojawia si~ tam w sposob istotny nawet wtedy, gdy probujemy zastosowac idee mechaniki kwantowej do samej struktury przestrzeni i czasu. Odnosi si~ to w szczegolnosci do teorii zmiennych p~tlowych Ashtekara-Rovellego-Smolina-Jacobsona, w ktorej idee dyskretne (kombinatoryczne), takie jak w teorii w~zlow i l~czy, odgrywaj~ istotn~ roly, a do podstawowej struktury wchodz~ rowniez sieci spinowe. (Zarys tego interesuj~cego schematu poznamy w rozdz. 32, a w rozdz. 33.1 zetkniemy si~ z pewnymi innymi pomyslami dotyczqcymi "dyskretnej czasoprzestrzeni".) Okazuje siy, przynajmniej w chwili obecnej, ze nieskonczonosc musimy traktowac powaZnie, szczegolnie ze wzglydu na jej znaczenie w matematycznym opisie kontinuum fizycznego. Ale jaki rodzaj nieskonczonosci niezbydny jest tutaj? W rozdz. 3.2 przedstawilem krotko metody "przekroju Dedekinda", ktora pozwalala nam skonstruowac cialo liczb rzeczywistych w terminach nieskonczonych zbiorow liczb wymiernych. Jest to rzeczywiscie wielki krok naprzod, wprowadzaj~cy poj~cie nieskonczonosci, ktore ogromnie przewyzsza idey nieskonczonosci zwi¥anq z samymi liczbami wymiernymi. Sprobujmy przyjrzec si~ temu nieco bliZej. W 1874 roku wielki dunsko-rosyjsko-niemiecki matematyk Georg Cantor pokazal, jako cZysc teorii, ktoq rozwijal do 1895 roku, ze istniej~ nieskmlczonosci roinyeh rozmiarow! Okazuje siy, ze nieskonczonosc zbioru liczb naturalnych jest najmniejsz~ z nich i ze rozne nieskonczonosci pojawiaj~ siy bez konca, na corazwi~ksz~ skaly. Postarajmy si~ uchwycic r~bek tych fundamentalnych i zapieraj~cych dech idei Cantora.
16.3 R6i:ne rozmiary nieskonczonosci
Glownym skladnikiem rewolucyjnej idei Cantora jest pojycie odpowiedniosei wzamaj~ ty sam~ moe (co w jyzyku potocznym oznacza, ze majq "t~ sam~ liczby elementow"), jesli mozliwe jest przyporz~dkowanie elementow jednego zbioru elementom drugiego zbioru, jeden do jednego, w taki sposob, ze ani jeden z elementow kaZdego z tych zbiorow nie zostanie pominiyty. Jest rzecz~ zrozumial~, ze procedura ta daje prawidlow~ odpowiedz
jemnie jednoznaczne/. Mowimy, ze dwa zbiory
347
16
Drabina nieskoriclonosci
("tt( sam1! liczbt( element6w") w przypadku zbior6w skonczonych (tzn. zbior6w ze skonczon1! liczb1! 1, 2, 3, 4, ... element6w, a nawet element6w, w kt6rym to przypadku z1!damy, zeby ta odpowiedniosc byla pusta). JednakZe w przypadku zbior6w nieskonczonych pojawia sit( nowa cecha (zauwazona juz w 1638 roku przez wielkiego fizyka i astronoma Galileusza)5, kt6ra polega na tym, ze jakis zbi6r nieskonczony moze miec tt( sam1! moc co jego podzbi6r wlasciwy (przez slowo "wlasciwy" rozumiemy, ze jest to zbi6r inny niZ caly). Zobaczmy to na przykladzie zbioru liczb naturalnych N:
°
N = {a, 1,2,3,4, 5, ... }. Jesli z tego zbioru usuniemy 06, to otrzymamy nowy zbi6r, N - 0, kt6ry oczywiscie rna tt( sam1! moc co zbi6r N, poniewaZ mozna ustalic odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczn1!, w kt6rej elementowi r w N odpowiada element r + 1 w N - 0. Alternatywnie mozemy posluZyc sit( przykladem Galileusza i przekonac sit(, ze zbi6r liczb kwadratowych {a, 1, 4, 9, 16, 25, ... } musi r6wniez miec tt( sam1! moc co N, niezaleinie od faktu, iz w dobrze okreslonym sensie liczby kwadratowe stanowi1! znikomo mal1! czt(sc calego zbioru liczb naturalnych. Mozemy tez zobaczyc, ze tt( sam1! moc rna r6wniez zbi6r wszystkich liczb calkowitych, Z. Wystarczy bowiem ustawiC liczby calkowite w porz1!dku
{a, 1, -1,2, -2, 3, -3, 4, -4, ... }, gdzie po prostu kolejnym parom przyporz1!dkujemy elementy {a, 1,2,3,4, 5, ... } zbioru N. Faktem bardziej zaskakuj1!cym jest to, ze zbi6r liczb wymiernych rna tt( sam1! moc co N. Jest wiele sposob6w, zeby sit( 0 tym przekonac bezposrednio[16.7J, [16.8J. Zamiast jednak przedstawic tt( odpowiedniosc szczeg610wo, zobaczmy raczej, jak ten szczeg6lny przypadek uklada sit( w og6lny schemat wspanialej teorii nieskonczonych liczb kardynalnych Cantora. Najpierw ustalmy, czym jest liczba kardynalna. W zasadzie jest to "liczba" element6w jakiegos zbioru, gdy uwazamy, ze dwa zbiory maj
348
~ [16.7] Sprawdz, czy potrafisz podac jawn,! procedur~ systematycznego uporz,!dkowania wszystkich ulamk6w. Pomocny moze okazac si~ wynik ewiczenia [16.8] . .§J1 [16.8] Pokaz, ze funkcja ~«a + b)2 + 3a + b) daje jawn,! wzajemnie jednoznaczn'! korespondencj~ pomiydzy liczbami naturalnymi a parami (a, b) liczb naturalnych.
R6i:ne rozmiary nieskonczonosci
16.3
naloienie pewnych ograniczen na rozmiary "wszechSwiata mozliwych zbiorow". Na temat tych klopotow powiem wi«cej, ale w tej chwili sprobujemy obejse t« trudnose, uciekaj,!c si« do sposobu, jakiego uiylem w Przedmowie, kiedy poslugiwatern si« poj«ciem "klasy rownowaznosci" do zdefiniowania liczb wymiernych. Potraktujemy liczby kardynalne jako byty matematyczne (mieszkancow swiata Platona), ktore mozemywyabstrahowae z poj«cia odpowiedniosci wzajemnie jednoznacznej mi«dzy zbiorami. B«dziemy wi«c mowie, ze zbior A "rna moc a" alba ze "rna a elementow", pod warunkiem ze 0 zbiorze B powiemy, iz "ma moc a" lub ze "ma a elementow" wtedy i tylko wtedy, gdy pomi«dzy A a B zachodzi odpowiedniose wzajemnie jednoznaczna. Zauwazmy, ie liczby naturalne mozemy w tym sensie uwaiae za liczby kardynalne i b«dzie to definicja znacznie blizsza intuicyjnemu zrozumieniu, "czym jest" liczba naturalna, niz "zwykla" definicja (0 = {}, 1 = {a}, 2 = {a, {O}}, 3 = {a, {O}, {a, {O}}}, ... ), jak,! podalismy w rozdz. 3.4! W istocie liczby naturalne s,! po prostu skmiczonymi liczbami kardynalnymi (w tym sensie, ie nieskoftczone liczby kardynalne S,! mocami zbiorow takich jak N, ktore zawieraj,! podzbiory 0 tej samej mocy co caty zbior). Nast«pnie ustalmy zwi,!zki pomi«dzy liczbami kardynalnymi. Powiemy, ie liczba kardynalna a jest mniejsza lub rowna liczbie kardynalnej {3 i napiszemy
a::::; {3 (albo, rownowaznie, {3 :? a), jesli elementy zbioruA 0 mocy a mog,! bye postawione w odpowiedniose wzajemnie jednoznaczn,! z element ami pewnego podzbioru (niekoniecznie musi to bye podzbior wtasciwy) elementow pewnego zbioru B 0 mocy {3. Powinno bye jasne, ie jesli a ::::; {3 i {3 ::::; y, to a ::::; y[I6.91• Jeden z pi«knych wynikow tej teorii liczb kardynalnych brzmi nast«puj,!co: jeieli
a ::::; {3 i {3::::; a, wowczas a ={3,
co oznacza, ie mi«dzy zbiorami A a B zachodzi odpowiedniose wzajemnie jednoznaczna[I6. I01. Mozemy zadae pytanie: czy istniej,! takie pary liczb kardynalnych a i {3, dla ktorych nie zachodzi zadna z relacji a ::::; {3 i {3 ::::; a? Takie liczby kardynalne bylyby nieporownywalne. I rzeczywiscie, z zalozenia znanego pod nazw'! aksjomatu wyboru (0 ktorym wspominalismy w rozdz. 1.3) wynika, ze liczby kardynalne nieporownywalne nie istniej,!.
ta
[16.9] Objasnij to szczeg610wo.
m [16.10] Udowodnij to. Szkic dowodu: istnieje odwzorowanie 1-1 b, kt6re odwzorowujeA na pewien podzbi6r bA (= b(A)) zbioru B, i odwzorowanie 1-1, odwzorowujqce B na pewien podzbi6r aB zbioruA; rozwazmy odwzorowanieA na B, kt6re wykorzystuje b do odwzorowaniaA-aB na bA-baB i abA-abaB na babA-babaB etc. i wykorzystuje a-I do odwzorowania aB-abA na B-bA i abaB-ababA na baB-babA, etc. Ustal, co naleiy zrobic z pozostalymi elementami A i B.
349
16
Drabina nieskoriclonosci
Aksjomat wyboru stwierdza, ze jesli mamy zbior A, ktorego wszystkie elementy s'l, zbiorami niepustymi, wowczas istnieje pewien zbior B, ktory zawiera dokladnie po jednym elemencie z kaZdego zbioru nalez'l,cego doA. Na pierwszy rzut oka wydawaloby siy, ze aksjomat wyboru stwierdza jedynie cos absolutnie oczywistego! (zob. rys. 16.4). lednakZe powszechna akceptacja jego prawdziwosci jest kontrowersyjna. Moim zdaniem naleiy zachowac ostroznosc. Ten aksjomat zawiera tylko czyste stwierdzenie 0 "istnieniu", bez jakiejkolwiek wskazowki, wedlug jakiej reguly naleiy wyspecyfikowac zbior B. Aksjomat wyboru zatem prowadzi do niepokoj'l,eych wnioskow, a przykladem jest twierdzenie Banacha-Tarskiego7 • ledna z wersji tego twierdzenia mowi, ze zwykla kula jednostkowa w trojwymiarowej przestrzeni euklidesowej moze zostac pociyta na piyc kawalkow 0 takiej wlasnosci, iZ za pomoC'l, ruchow euklidesowych (tzn. translacji i obrotow) mozna je zloiyc tak, aby powstaly dwie peIne kule jednostkowe! Oczywiscie, te "kawalki" nie s'l, cialami sztywnymi, ale skomplikowanymi ukladami punktow i S'l, zdefiniowane w sposob bardzo niekonstruktywny, a ich "istnienie" jest zagwarantowane jedynie na moey aksjomatu wyboru. Podam teraz, bez dowodu, kilka podstawowych wlasnosci liczb kardynalnych. Po pierwsze, symbol ~ rna zwykle znaczenie (zob. przyp. 1 w rozdz. 3) w odniesieniu do liczb naturalnych (liczb kardynalnych skonczonych). Po drugie, kazda liczba naturalna jest mniejsza lub rowna ( ~) od dowolnej nieskonczonej liczby kardynalnej - i, oczywiscie, jest sciSle mniejsza, tzn. mniejsza niz «), a nie rowna. Przypuscmy teraz, ze f3 ~ a, gdzie a jest nieskonczone, wowczas (do czego nie przywyklismy w przypadku liczb skonczonych) moc sumy A U B jest liczb'l, wiyksz'l, z tych dwu, a mianowicie a, i moc iloczynu A x B jest rowniez a. Przyklady iloczynow poznalismy w rozdz. 13.2 i 15.2. Zbior A x B zawiera wszystkie pary (a, b), gdzie a jest wziyte ze zbioru A i b z B. Dla zbiorow skonczonych moc ich iloczynu, jako zbiorow, jest zwyklym liczbowym iloczynem ich moey, a wiyc w przypadku zbiorow skonczonych zawieraj'l,cych wiycej niz jeden element jest on zawsze wiykszy od mocy kaZdego z tych zbiorow oddzielnie. Nie wydaje siy, zebysmy daleko zaszli drag'l, poszukiwania nieskonczonosci wiykszych od tych, jakie do tej pory poznalismy. Wydaje siy, ze utknylismy na a. W nastypnym podrozdziale zobaczymy, jak z tego wybrn'l,c. W tym mom encie nasze dokonania co najmniej wystarczaj'l" aby pokazac, ze ilosc liczb wymiernych jest taka sarna jak ilosc liczb naturalnych. Za Cantorem uiyjemy symbolu Xo
350
A
Rys. 16.4. Aksjomat wyboru stwierdza, ze dla kazdego zbioru A, kt6rego wszystkie elementy s~ zbiorami niepustymi, istnieje zbi6r B, kt6ry zawiera dokladnie po jednym elemencie z kaZdego ze zbior6w nalez~cych doA.
Argument przekqtniawy Cantara
16.4
(alef zero) dla oznaezenia mocy zbioru liezb naturalnyeh N, kt6ra, jak juz widzielismy, jest taka sarna jak moc zbioru liczb ealkowitych Z. W rzeczywistosci liczba nieskonczona Xo jest najmniejszq z liczb kardynalnyeh nieskonczonych. A jaka jest moc p zbioru liczb wymiernych? Dowolna liezba wymierna moze bye (na wiele sposob6w) zapisana jako alb, gdzie a i b Sq liczbami calkowitymi. Wybierajqc jeden z tych sposob6w (powiedzmy, najbardziej "uproszczony") dla kazdej liczby wymiernej, mamy odpowiedniose wzajemnie jednoznacznq miydzy zbiorem liczb wymiernych ajakims podzbiorem N x N. Z tego wynika, ze p jest mniejsza lub r6wna mocy zbioru N x N. Jednakie, na podstawie tego, co juz powiedzielismy (albo ewiczenia [16.8]), moe zbioru N x N jest r6wna mocy zbioru N, a wiyc Xo. Tak wiye p ~ XQ" Zbi6r wszystkich liczb calkowitych zawiera siy w zbiorze liczb wymiernych, z czego wynika, ze Xo ~ p. Stqd p = Xo.
16.4 Argument przekCltniowy Cantora Przejdziemy teraz do zdumiewajqcego osiqgniycia Cantora, a mianowicie do sposobu, w jaki ukazal, ze naprawdy istniejq, w sensie scislym, nieskonczonosci wiyksze niZ Xo' i ze moc zbioru liczb rzeczywistych lR. jest wlasnie takq nieskonczonosciq. Wynik przedstawiy jako specjalny przypadek bardziej og6lnego rezultatu Cantora
gdzie a < f3 oznacza a ~ f3 oraz a *- f3 (i, oczywiscie, mozemy r6wniez zapisywae a < f3 jako f3 > a). Przeprowadzony przez Cantora blyskotliwy dow6d tego wyniku (i sam wynik, rzeez jasna) stanowiq jedno z najbardziej oryginalnych i znaczqcych osiqgniye w calej historii matematyki. Przy tym jest on na tyle pro sty, ze mogy podae go tutaj w calosci. Najpierw wyjasniy notacjy. Jesli mamy dwa zbiory A i B, w6wczas zbi6r Jr oznacza zbi6r wszystkich odwzorowan A w B. Do czego jest nam potrzebna taka notacja? Wyobrazmy sobie, ze zbi6r A leZy przed nami, a kazdy jego element reprezentowany jest przez pewien "punkt". Aby sobie wyobraziC zbi6r Jr, kaidemu z tych punkt6w przyporzqdkujemy jakis element B. Jest to odwzorowanieA na B, poniewaz przyporzqdkowuje element B kazdemu elementowi A (zob. rys. 16.5). Powodem wykladniczej notacji Jr jest fakt, ze gdy ty proeedury zastosujemy do zbior6w skonczonych, powiedzmy do zbioru A 0 a elementaeh i do zbioru Bob elementach, w6wczas calkowita ilose sposob6w przyporzqdkowania elementu B a kazdemu elementowi A wynosi rzeczywiscie b • (Istnieje b mozliwosci dla pierwszego elementuA; istnieje b mozliwosci dla drugiego; tyle sarno dla trzeciego; i tak dalej, dla kazdego elementuA. Calkowita ilose jest wiyc b x b x b x b x ... x b, b a wystypuje tutaj a razy, a wiyc mamy b .) W zapisie Cantora mamy
na oznaczenie mocy zbioru Jr, gdzie a i f3 stanowiq, odpowiednio, moce zbior6w A i B.
351
16
Drabina nieskonclonosci
B xA
B
Rys. 16.5. Dla dowolnych zbior6w A, B zbi6r wszystkich odwzorowan
I
I
I
I
I
111111
A
Ana B oznaczamy Er (zob. r6wniez rys. 6.1). KaZdemu elementowi A przyporzlIdkowany jest jakis element B. Powstaje w ten spos6b przekr6j B x A, traktowany jako wiljZka nad A (jak na rys. 15.6a) z tym wyWkiem, ze pojycie cillglosci nie jest tu potrzebne.
Specjalne znaczenie rna przypadek f3 = 2. Niech B bt(dzie zbiorem dwuelementowym i niech tymi dwoma element ami bt(d,! znaczki "in" i "out". W tej sytuacji kaidy element zbioru F oznacza przyporz'!dkowanie znaczka "in" lub "out" kazdemu elementowi zbioruA. Takie przyporz,!dkowanie oznacza dokonanie wyboru jakiegos podzbioru A (mianowicie podzbioru z elementami "in"). Tak wit(c F w tym przypadku jest po prostu zbiorem podzbiorow A (ten zbior podzbiorow A jest zwykle oznaczany jako z4). A zatem: a
2 jest calkowit'! liczb,! podzbiorow dowolnego zbioru
352
0
a elementach.
Przejdzmy teraz do zdumiewaj,!cego dowodu Cantora. Przeprowadzimy go klasyczn,! metod,! staroiytnych Grekow przez reductio ad absurdum (zob. rozdz. 2.6 i 3.1). Najpierw zalozmy, ze a = 2a , a wit(c istnieje odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna mit(dzy zbioremA a jego zbiorem podzbiorow z4. W takim przypadku kazdy element A, przy tej odpowiedniosci, odpowiada pewnemu konkretnemu podzbiorowi Sea) zbioruA. Mozemy sit( spodziewac, ze niekiedy zbior Sea) bt(dzie zawieral a jako swoj element, a niekiedy nie. Rozwaimy wybor wszystkich elementow a, dla ktorych podzbior Sea) nie zawiera a. Ten wybor bt(dzie pewnym podzbiorem Q zbioru A (i ten podzbior, jesli potrzeba, moze byc zbiorem pustym, a moze tei byc calym zbiorem A). Przy zalozonej odpowiedniosci wzajemnie jednoznacznej dla pewnego q musi zachodzic Q = Seq). Teraz mozemy zapytac: czy q naleZy do Q, czy nie? Najpierw zalozmy, ze q nie naleZy do Q. W takim razie q musi nalezec do zbioru, ktory wlasnie wybralismy jako podzbior Q, a wit(c, w rezultacie, q naleZy do Q: mamy sprzecznosc. Musimy wit(c przyj,!c zalozenie altern atywne, ze q naleZy do Q. Ale wtedy q nie moze nalezec do zbioru, ktory wybralismy i nazwalismy Q, a zatem w efekcie q nie naleZy do Q: znowu sprzecznosc. NaleZy wit(c wyci,!gn,!c wniosek, ze nasza zalozona odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna mit(dzy zbiorami A a z4 nie istnieje.
Argument przekqtniawy Cantara
16.4
Wreszcie trzeba pokazac, ze a ::;;: 2a , a wiyc ze istnieje odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna miydzy A a jakims podzbiorem zbioru Y. Uzyskujemy to, wykorzystuj,!c odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczn'!, ktora przyporz,!dkowuje kazdy element a zA szczegolnemu podzbiorowiA, zawieraj,!cemu tylko ten jeden element a i zadnego innego. W ten sposob dowiedlismy, ze a < Y, co bylo do okazania, poniewaz pokazalismy, ze a::;;: 2a , ale a"# 2a • Aczkolwiek ta argumentacja moze bye zrodtem pewnej niejasnosci (zachycam kazdego nieprzekonanego czytelnika do przeanalizowania tego dowodu jeszcze raz), jest nadzwyczaj "elementarna", w tym sensie, ze do jej zrozumienia nie potrzeba specjalnej znajomosci matematyki. Z tego punktu widzenia jej dalekosiyzne implikacje S,! naprawdy imponuj,!ce. Przekonujemy siy nie tylko, ze w sensie fundamentalnym liczb rzeczywistych jest wiycej niZ liczb naturalnych, ale takZe ze nie rna kresu wielkosci mozliwych liczb nieskonczonych. Ponadto, w nieco zmodyfikowanej postaci, pokazuje ona, ze nie istnieje sposob obliczeniowy, ktory pozwolilby nam rozstrzygn'!e, czy jakas ogolna procedura obliczeniowa zostanie doprowadzona do konca (Turing). Jej konsekwencj,!jest tez slynne twierdzenie G6dla o nierozstrzygalnosci, ktore glosi, ze nie istnieje taki zbior wiarygodnych regu! matematycznych, ktory obejmowalby wszystkie procedury niezbydne do ustalenia prawdy matematycznej. W nastypnym rozdziale sprobujy przybliZye czytelnikowi urok myslenia matematycznego, ktore prowadzi do tego rodzaju wynikow. Teraz jednakZe sprobujmy zrozumiee, w jaki sposob przedstawiony wynik prowadzi do dokonanego przez Cantora pierwszego wielkiego przelomu w naszym mysleniu 0 nieskonczonosci, a mianowicie do zrozumienia, ze istnieje duzo wiycej liczb rzeczywistych niz liczb naturalnych, pomimo ze wszystkich ulamkow jest dokladnie tyle, Be jest liczb naturalnych. (Przelom ten polega rowniei: na tym, ze doprowadzil do wniosku 0 istnieniu nietrywialnej teorii nieskonczonego!) Do takiego wniosku dojdziemy, jesli potrafimy zauwaZyc, ze moc zbioru liczb rzeczywistych, ktor,! zwykle oznaczamy liter'! C, jest rowna 2xo :
C = 2xo. Na tej podstawie dochodzimy do wniosku, ze C > Xo' jak tego potrzebowalismy. Jest wiele sposob6w pokazania, ze C = 2xo. Aby z kolei pokazae, ze 2xo::;;: C (i to jest w zasadzie wszystko, czego potrzebujemy, zeby C > Xo)' wystarczy ustalic, ze miydzy zr'l a pewnym podzbiorem ~ zachodzi odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna. Kaidy element 2N mozemy traktowac jako przyporz'!dkowanie 0 lub 1 ("in" alba "out") kazdej liczbie naturalnej, tzn. taki element mozna sobie wyobrazic jako ci,!g nieskonczony, na przyk!ad: 100110001011101.. . Ten konkretny element zbioru 2N przyporz,!dkowuje 1liczbie naturalnej 0, przyporZ,!dkowuje 0 liczbie naturalnej 1, przyporz,!dkowuje 0 liczbie naturalnej 2, przyporz,!dkowuje 1 liczbie naturalnej 3, przyporz,!dkowuje 1 liczbie naturalnej 4 itd.,
353
16
Drabina nieskoliclonosci
zatem naszym podzbiorem jest {O, 3, 4, 8, .. .}. Mozemy spr6bowac odczytac caly ten ci,!g cyfr jako binarne rozwiniycie pewnej liczby rzeczywistej, w kt6rej przecinek dziesiytny umieszczamy na samym koncu po lewej stronie. Niestety, taki przepis nie do konca siy sprawdza ze wzglydu na irytuj,!cy fakt pewnej dwuznacznosci w przedstawieniach, kt6re prowadz'! do nieskonczonego ci,!gu skladaj,!cego siy z samych zer alba z samych jedynek[16.111. Mozemy sobie z tym poradzic wieloma prostymi sposobami. Jednym z nich byloby przeplatanie cyfr binarnych na przyklad cyfq 3, w wyniku czego otrzymalibysmy ,313030313130303031303131313031 ... , co moglibysmy traktowac jako zwykle rozwiniycie dziesiytne jakiejs liczby rzeczywistej. W ten spos6b istotnie ustanowilismy odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczn'! miydzy zbiorem 2M a pewnym podzbiorem]R (tym mianowicie, w kt6rym rozwiniycia dziesiytne maj,! ty dziwaczn'!, poprzeplatan,! tr6jk,! postac). St,!d 2Ko :::; C (i to daje nam wynik Cantora C > Xo)' czego potrzebowalismy. Aby wydedukowac, ze C = 2Ko, musimy pokazac, ze C :::; 2Ko. Zauwazmy, ze kazda liczba rzeczywista lez'!ca scisle w przedziale od 0 do 1 rna rozwiniycie binarne (takie jak poprzednio rozwazane), aczkolwiek czasami niejednoznaczne. Wobec tego ten konkretny zbi6r liczb rzeczywistych rna z pewnosci,! moc :::; 2Ko. Istnieje wiele prostych funkcji, kt6re odwzorowuj,! ten przedzial na caly zbi6r ]R[16.121, co oznacza, ze C :::; 2Ko, a zatem C = 2Ko, jak chcielismy wykazac. Oryginalna wersja tego dowodu, podana przez Cantora, r6znila siy nieco od tutaj przedstawionej, ale zasadnicze argumenty s,! te same. Wersja Cantora byla bardziej bezposrednia, ale r6wniez stanowila dow6d przez sprowadzenie do niedorzecznosci. Hipotetyczna odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna miydzy N a zbiorem liczb rzeczywistych, lei,!cych dokladnie w przedziale pomiydzy 0 i 1, byla przedstawiona jako ulozona w porz'!dku pionowym lista wszystkich liczb rzeczywistych, zapisanych w rozwiniyciu dziesiytnym. Sprzecznosc z zalozeniem, ze lista ta jest kompletna, Cantor uzyskal za pomoc,! tzw. argumentu przek'!tniowego, polegaj,!cego na tym, ze now'! liczby rzeczywist'!, nieznajduj,!C'! siy na tej liscie, uzyskuje siy, id'!c wzdluz g16wnej przek,!tnej tego ukladu liczb, zaczynaj'!c w lewym g6rnym rogu i zmieniaj,!c tak, zeby w n-tym miejscu znalazla siy jakas liczba inna od n-tej liczby rzeczywistej na liscie. (Istnieje wiele popularnych wersji tego dowodu; zob. np. wersjy podan,! w rozdz. 3 mojej ksi,!zki Nowe szaty cesarza. )[16131 a Ten typ dowodzenia (wl,!czaj,!c w to m6j spos6b pokazania, ze a < 2 ) jest nazywany "argumentem przek'!tniowym" Cantora.
ta [16.11] Wyjasnij to. ta [16.12] Przedstaw jeden z tych sposob6w. Wskaz6wka: zob. np. rys. 9.S.
354
~ [16.13] Wyjasnij, ze jest to w zasadzie ten sam argument, kt6ry przedstawilem w tekscie, a w przypadku a = Xo' aby pokazac, ze a < 2 •
Zagadki w podstawach matematyki
16.5
Jak zauwaZylismy, moc continuum (a wi((c JR.), 2Ko, oznaczana jest zwykle literq C. Cantor niewqtpliwie wolalby oznaczye jq jako ~1' przez co rozumial "nast((pnq najmniejszq" liczb(( kardynalnq po ~o. WloZyl wiele wysilku w udowodnienie, ze 2Ko = ~1' co si(( nie powiodlo, i od tej pory ta supozycja, znana pod nazwq hipotezy continuum, stala si(( jednym z najbardziej znanych nierozwiqzanych problemow matematycznych. W sensie "bezwzgl((dnym" pozostaje nierozwiqzana do dnia dzisiejszego. Kurt G6del i Paul Cohen potrafili pokazae, ze hipoteza continuum (podobnie zresztq jak aksjomat wyboru) nie moze bye wykazana metodami standardowej tearii mnogosci. Jednakze, ze wzgl((du na twierdzenie o nierozstrzygalnosci G6dla, do ktorego powroc(( za chwil((, a takze rozne zwiqzane z tym sprawy, nie rozwiqzuje to zagadnienia prawdziwosci hipotezy continuum. Jest nadal mozliwe, ze jakies bardziej pot((zne metody dowodzenia niz te, jakimi dysponuje standardowa teoria mnogosci, moglyby rozstrzygnqe kwesti((, czy hipoteza continuum jest prawdziwa, czy nie; a moze jej prawdziwose czy falszywose moze bye zalezna od tego, jakq "filozofiq matematyki" si(( kierujemy8. Wspominalismy 0 tym w rozdz. 1.3, ale raczej w kontekscie aksjomatu wyboru, a nie hipotezy continuum. Relacja a < 2a mowi nam, ze nie moze istniee nieskonczonose najwi((ksza; poniewaZ, gdybysmy chcieli przyjqe jakqs liczb(( kardynalnq Q jako najwi((kszq, to liczba kardynalna 2[1 musialaby bye uznana za jeszcze wi((kszq. Ten fakt (i argument Cantora, ktory tego dowiodl) mial ogromne znaczenie dla samych podstaw matematyki. Bertrand Russell, ktory byl poczqtkowo przekonany, ze musi istniee najwi((ksza liczba kardynalna (ta mianowicie, ktora jest liczbq klas wszystkich klas), powqtpiewal w scislose dowodu Cantara, jednakZe okolo 1902 roku po jego szczegolowym przestudiowaniu zmienil zdanie. W rezultacie sam zastosowal argument Cantora do "zbioru wszystkich zbiorow", co doprowadzilo do odkrycia slawnego "paradoksu Russella"! Paradoks ten przedstawia si(( nast((pujqCo. RozwaZmy zbi6r R, ktory zawiera "wszystkie zbiory, jakie nie Sq swoimi wlasnymi elementami". (W tej chwili nie rna znaczenia, czy czytelnik jest gotow uwierzye w istnienie zbior6w, kt6re mogq bye swoimi elementami. Jesli zaden zbior nie naleZy do samego siebie, to R jest zbiorem wszystkich zbiorow.) Zapytajmy teraz: a co z samym zbiorem R? Czy R jest swoim wlasnym elementem? Zalozmy, ze jest. Jesli tak, poniewaz naleZy on do zbioru R, zawierajqcego zbiory, ktore nie Sq swoimi wlasnymi elementami, to znaczy, ze nie jest swoim wlasnym elementem - mamy wi((c sprzecznose! Alternatywnym zalozeniem jest to, ze nie naleZy on do samego siebie. Ale w takim razie musi bye czlonkiem calej rodziny zbiorow, ktore nie Sq swoimi elementami, to znaczy musi nalezee do zbioru R. W takim razie R naleZy do R, co zaprzecza zalozeniu, ze nie naleZy on do samego siebie. Jest to sprzecznose oczywista! Warto zauwaZye, ze taka sytuacja powstaje w przypadku dowodu Cantora, ze a < 2a, jesli probujemy go zastosowae do przypadku, gdy przez a rozumiemy "zbior
355
16.5 Zagadki w podstawach matematyki
16
Drabina nieskoriclonosci
wszystkich zbior6w,,[16.14J. I rzeczywiscie, wlasnie w ten spos6b Russell doszedl do odkrycia owego paradoksu9 • Naprawdl( ten argument jedynie wykazuje, ze nie istnieje cos takiego jak "zbi6r wszystkich zbior6w". (Cantor zdawal sobie z tego spralO Wl( i wiedzial 0 paradoksie Russella na cale lata przed nim .) Moze wydawae sil( dziwne, ze takie naturalne pojl(cie jak "zbi6r wszystkich zbior6w" jest wrl(cz zakazane. Mozna sobie wyobraiae, ze uprawniony jest kaidy opis zbioru, kt6ry podaje dobrze zdefiniowanq regull(, jak rozstrzygnqe 0 tym, czy cos naleiy, czy tei nie naleiy do tego zbioru. W tym przypadku wydaje sil(, ze taka regula istnieje z calq pewnosciq, gdyz do tego zbioru naleiy kaidy zbi6r! Kruczek w tym wypadku polega raczej na tym, ze pozwalamy, aby ten sam status przyznae zar6wno tej monstrualnej kolekcji wszystkich zbior6w, jak kaidemu z jej element6w, a mianowicie okreslajqc je tq samq nazwq: zbi6r. Rzecz cala sprowadza sil( do jasnego wyobrazenia 0 tym, czym w istocie jest zbi6r. A kiedy jui odpowiemy sobie na to pytanie, w6wczas powstaje kwestia: czy kolekcjl( wszystkich takich "rzeczy" mozemy uwaiae za zbi6r? Dowiedzielismy sil( od Cantora i Russella, ze odpowiedi na to pytanie musi brzmiee: NIE! Sposobem, jakim matematycy pr6bujq obejse tl( oczywiscie paradoksalnq sytuacjl(, jest rozr6znienie mil(dzy "zbiorami" a "klasami". (Pomyslmy sobie, ze za klasy uwazamy jakies wielkie i "buntownicze" byty, jakich nie chcemy widziee w naszym klubie, podczas gdy zbiory Sq zawsze dostatecznie porzqdne i godne szacunku.) Z grubsza m6wiqc, przez klaSfi bl(dziemy rozumieli dowolnq kolekcjl( zbior6w, kt6rq wolno bl(dzie uwaiae za pewnq calose. Niekt6re klasy Sq wystarczajqco poprawne, aby mozna je same uwazae za zbiory, podczas gdy inne mogq bye "zbyt duze" lub "zbyt balaganiarskie", zeby je traktowae jako zbiory. Z kolei nie zawsze wolno nam lqczye klasy, aby utworzye wil(ksze kolekcje. Tak wil(c nie jest dozwolone utworzenie "zbioru wszystkich zbior6w" (ani "klasy wszystkich klas"), ale w pelni uprawnione jest utworzenie "klasywszystkich zbior6w". TI( "najwyzszq" klasl( Cantor oznaczylliterq Q i przypisywal jej nieomal boskie znaczenie. Nie mamy prawa tworzye klas wil(kszych niz Q. Klopot z 2n polegalby na tym, ze prowadzilby do "skolekcjonowania" wszystkich r6znych "podklas" Q, kt6rych wil(kszose nie nalezalaby do kategorii zbior6w, a zatem jest to niedozwolone. Muszl( wyznae, ze ja sam jestem zdecydowanie nieusatysfakcjonowany tym wszystkim. Procedura taka moglaby bye rozsqdna, gdyby istnialo jasne kryterium pozwalajqce jednoznacznie okreslie, kiedy jakas klasa kwalifikuje sil( do tego, zeby jq nazwae zbiorem. Jednakie, jak sil( okazuje, to rozr6znienie dokonuje sil( bardzo okrl(znq drogq. Klasl( proponujemy uwaiae za zbi6r wtedy i tylko wtedy, gdy ona sarna moze bye elementem jakiejs innej klasy. Wedlug mnie w ten spos6b wpl(dzamy sil( w jeszcze wil(ksze klopoty, polegajqce na tym, ze nie spos6b wskazae oczywistego miejsca do wytyczenia granicy. Jeslijuz takq granicl( wytyczymy, to po chwili okazuje sil(, ze zostala okreslona zbyt wqsko. Wydaje sil(, ze nie rna zadnego powodu, bysmy nie mogli do naszego klubu zbior6w dolqczye jakichS wil(kszych (lub
356
r!1i [16.14] Pokai, ze tak jest.
Maszyny Turinga i twierdzenie GOdla
16.6
bardziej nieporz,!dnych) klas. Oczywiscie, musimywystrzegac siy jawnych sprzecznosci. Okazuje siy, ze im bardziej liberalne s,! reguly przyjycia do tego klubu zbiorow, tym potyzniejsze staj,! siy metody matematycznego dowodzenia na podstawie takiej koncepcji zbioru. Sprobujmy jednak otworzyc drzwi naszego klubu 0 wlos za szeroko i od razu katastrofa - SPRZECZNOSCl - i cala budowa natychmiast siy wali. Dlatego narysowanie linii demarkacyjnej okazuje siy jedn,! z najbardziej subtelnych i trudnych procedur matematycznych ll . Wielu matematykow wolaloby wycofac siy z takiego ekstremalnego liberalizmu, sklaniaj,!c siy do bardziej sztywnego podejscia "konstruktywistycznego", zgodnie z ktorym 0 zbiorze mowimy tylko wtedy, gdy mozemy podac bezposredni przepis konstrukcyjny pozwalaj'!cy na okrdlenie, kiedy jakis element naleiy do zbioru, a kiedy nie. Z pewnosci,! zbiory zdefiniowane jedynie na podstawie aksjomatu wyboru nie spelnialyby takich sztywnych regul. Okazuje siy jednak, ze takZe ci radykalni konserwatysci nie s,! wcale mniej narazeni na "argument przek,!tniowy Cantora" niz radykalni liberalowie. W nastypnym rozdziale dowiemy siy, na czym polega ktopot.
16.6 Maszyny Turinga i twierdzenie Godla Najpierw musimy sobie wyjasnic, co to znaczy "skonstruowac" cos w matematyce. W tym miejscu, dla naszych niezbyt wyrafinowanych rozwazail, najlepiej bydzie ograniczyc siy do podzbiorow zbioru wszystkich liczb naturalnych, N. Mozemy postawic pytanie: ktore z tych podzbiorow S,! zdefiniowane w sposob "konstruktywny"? Na szczyscie mamy do dyspozycji kapitalne pojycie, ktore rozwazali rozni dwudziestowieczni 10gicy12, a ostatecznie sprecyzowal w 1936 roku Alan Turing. Jest to pojycie obliczalnoSci. PoniewaZ znajomosc komputerow jest dzisiaj rzecz'! zwykt'!, wiyc moze wystarczy, jesli dla wyjasnienia tego pojycia odwolam siy raczej do funkcjonowania tych fizycznych urz'!dzen, zamiast podejmowac proby precyzyjnego matematycznego sformulowania. Mowi,!c z grubsza, obliczeniem (albo algorytmem) jest cos, co wykonatby idealny komputer, a przez slowo "idealny" rozumiemy taki komputer, ktory moglby pracowac bez "wyczerpania" dowolnie dlugo, nigdy nie popelniaj,!c blydu i dysponuj,!c nieograniczon,! pamiyci,!. W matematyce taki wyidealizowany twor nazywamy maszyn,! Turinga13. Kazda konkretna maszyna Turinga T oznacza pewne specyficzne obliczenie wykonywane na liczbach naturalnych. Dzialanie T na jak,!s liczby naturaln,! n zapisujemy jako T(n) i zwykle otrzymujemy w wyniku jak,!s inn,! liczby naturaln,! m:
T(n) =m. Maszyna Turinga moze miec ty cechy, ze siy "zapytli", poniewaz wykonywane obliczenie moze nie miec konca. Maszyny Turinga, ktora nie konczy pracy, gdy zaczyna od pewnej liczby naturalnej n, bydy nazywal wadliwq. Maszyny bydy nazywal skutecznq, jesli, przeciwnie, wykonuje obliczenia do konca, bez wzglydu na to, od jakiej liczby zaczyna.
357
16
Drabina nieskonclonosci
Przyldadem wadliwej maszyny Turinga bylaby taka, ktora zaczynaj<}c od liczby n, mialaby znalezc najmniejsz<}liczbl( naturaln<} niedaj<}C'l sil( przedstawic jako suma n liczb kwadratowych (wl<}czaj<}c 02 = 0). Mamywiyc T(O) = 1, T(l) = 2, T(2) = 3, T(3) = 7 (to ostatnie rownanie wyjasnia sens tych relacji: ,,7 jest najmniejsz<}liczb<} naturaln<}, ktorej nie mozna zapisac jako sumy 3 kwadratow")[16.151, ale gdy T zastosujemy do liczby 4, to maszyna bl(dzie pracowac nieskonczenie, probuj<}c znalezc liczbl(, ktora nie jest sum<} czterech kwadratow. Przyczyn<} "zawieszenia sil(" tej szczegolnej maszyny jest znane twierdzenie, sformulowane w XVIII wieku przez wielkiego francusko-wloskiego matematyka Josepha C. Lagrange'a, ktory potrafil udowodnic, ze kaZda liczba naturalna jest sum<} czterech liczb kwadratowych. (W dalszej cZl(sci ksi<}iki, szczegolnie w rozdz. 20 i 26, rola i nazwisko Lagrange'a okaZ<} sil( bardzo waZne.) KaZda indywidualna maszyna Turinga (zarowno wadliwa, jak i skuteczna) rna pewn<} "tabell( instrukcji", opisuj<}c<} tl( szczegoln<} procedurl( matematyczn<}, jak<} wykonuje. Taka tabela instrukcji moze byc komp1etnie zapisana w postaci pewnego "kodu", ktory daje sil( przedstawic jako ci<}g cyfr. Ten ci<}g z kolei mozemy reinterpretowac jako pewn<}liczbl( naturaln<} t; a zatem t jest kodem pewnego programu, ktory umozliwia maszynie wykonanie wskazanego algorytmu. A wil(c maszyna Turinga jest zakodowana za pomoc<}liczby naturalnej t i oznaczymy j<} symbo1em T,. To kodowanie moze nie dzialac dla wszystkich liczb naturalnych t i w takim przypadku, obojl(tnie z jakiego powodu tak sil( dzieje, maszynl( Tt tez bl(dziemy okreslali jako "wadliw<}". Jedynymi skutecznymi maszynami Turinga Tt bl(d<} takie, ktore zastosowane do dowolnego n przeprowadzaj<} obliczenia do konca i w skonczonym czasie. J ednym z fundamentalnych osi<}gnil(c Turinga bylo odkrycie, ze mozliwe jest skonstruowanie pojedynczej maszyny Turinga, od tej pory nazywanej uniwersalnq maszynq Turinga V, ktora bl(dzie w stanie imitowac dzialanie dowolnej maszyny Turinga. Wszystko, czego potrzebujemy, to z<}danie, zeby V najpierw dzialalo na liczbl( naturaln<} t, specyfikuj<}c<} konkretn<} maszynl( Turinga Tt' ktorej akcjl( chcemy imitowac, po czym V rna dzialac na liczbl( n tak, ze procedura prowadzi do obliczenia Tln). (Wspolczesne komputery S<} w zasadzie wlasnie uniwersalnymi maszynami Turinga.) To pol<}czone dzialanie zapiszl( jako Vet, n), a wil(c
Vet, n)
=
Tln).
Powinnismy jednak pamil(tac, ze maszyny Turinga, ktore tutaj zdefiniowalismy, powinny dzialac na pojedyncz<}liczbl( naturaln<}, a nie na parI( tak<} jak (t, n). Ale juz mielismy okazjl( zobaczyc (np. w ewiczeniu [16.8]), ze zakodowanie pary liczb naturalnych jako pojedynczej liczby naturalnej wcale nie jest trudne. W takim razie maszyna V moze byc zdefiniowana za pomoc<} pewnej liczby naturalnej, u, i mozemy napisac V=T.u
358
~
[16.15] Naszkicuj, na czym ten algorytm polega, i objasnij te szczeg61ne przypadki.
Maszyny Turinga i twierdzenie Gbdla
16.6
W jaki spos6b mozna zdecydowae, czy dana maszyna Turinga jest wadliwa, czy skuteczna? Czy mozna znaleze algorytm, kt6ry rozwi,!ze ten problem? J ednym z wielkich osi,!gniye Turinga bylo wykazanie, ze odpowiedZ na to pytanie jest negatywna! Dow6d jest znowu aplikacj,! argumentu przek'!tniowego Cantara. RozwaZymy, jak poprzednio, zbi6r N, ale zamiast rozwazania wszystkich podzbiar6w N zajmiemy siy tylko takimi podzbiorami, 0 przynaleznosci do kt6rych decydowae bydziemy na podstawie obliczenia. (Nie mog,! to bye wszystkie podzbiory N, poniewaz r6znych mozliwych obliczen jest XO' podczas gdy wszystkich mozliwych podzbior6w N jest C.) Takie zbiory, zdefiniowane procedur,! obliczeniow'!, nazywamy rekurencyjnymi. Kazdy rekurencyjny podzbi6r N jest zdefiniowany przez wynik obliczen skutecznej maszyny Turinga T, ale takiej, kt6ra na wyjsciu daje nam tylko olub 1. Jesli T(n) = 1, w6wczas n naleZy do zbioru rekurencyjnego zdefiniowanego przez T Qest "in"), podczas gdy T(n) = 0, to n nie jest elementem zbioru Qest "out"). Teraz mozemy, jak poprzednio, zastosowae argument Cantora, ale tylko do rekurencyjnych podzbior6w N. Argument ten natychmiast pokazuje, ze zbi6r liczb naturalnych t, dla kt6rych maszyna Tt jest skuteczna, nie moze bye zbiorem rekurencyjnym. A zatem nie istnieje algorytm, kt6ry mozna by zastosowae do dowolnej maszyny Turinga, i kt6ry dawalby nam odpowiedz na pytanie, czy ta maszyna jest czy nie jest wadliwa! Warto przyjrzee siy argumentowi Turinga/Cantora nieco dokladniej. Naprawdy dowodzi on, ze zbi6r liczb t, dla kt6rych maszyna Tt jest skuteczna, nie jest nawet rekurencyjnie plZeliczalny. Czym jest rekurencyjnie przeliczalny podzbi6r N? Jest to zbi6r liczb naturalnych, dla kt6rych istnieje skuteczna maszyna Turinga T taka, ze zastosowana kolejno do liczb 0,1,2,3,4, ... generuje kazdy element tego zbioru (mozliwie wiycej nizjeden raz). To znaczy, ze m jest elementem tego zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy m = T(n) dla jakiejs liczby naturalnej n. Podzbi6r S zbioru N jest rekurencyjny wtedy i tylko wtedy, gdy jest rekurencyjnie przeliczalny i gdy jego dopelnienie N - S jest r6wniez rekurencyjnie przeliczalne[16.16J• Zakladana odpowiedniose wzajemnie jednoznaczna, na podstawie kt6rej argument Turinga/Cantora prowadzi do sprzecznosci, jest rekurencyjnym przeliczeniem skutecznych maszyn Turinga. Po chwili namyslu dochodzimy do wniosku, ze wlasnie dowiedzielismy siy 0 nieistnieniu og6lnego algorytmu pozwalaj,!cego rozstrzygn'!e, kiedy akcja maszyny Turinga Tt(n) nie bydzie w stanie siy zatrzymae. Ostatecznie przekonujemy siy, ze niezale:i:nie od nadziei,jak,! moglibysmywi,!zae ze stanowiskiem "radykalnego konserwatyzmu", polegaj,!cym na tym, ze jedynymi akceptowalnymi zbiorami - zbiorami rekurencyjnymi - powinny bye takie, kt6rych elementy wyznaczalyby jasne reguly obliczeniowe, ten punkt widzenia natychmiast doprowadza nas do rozpatrywania zbior6w nierekurencyjnych. Co wiycej, prowadzi do fundamentalnej trudnosci, nie istnieje bowiem og61na procedura obliczeniowa, kt6ra pozwolilaby rozstrzygn'!e, czy jakies dwa rekurencyjne zbiory, zdefi~
[16.16] Pokai: to.
359
16
Drabina nieskonczonosci
niowane przez dwie rozne skuteczne maszyny Turinga Tt i Ts ' s~ takimi samymi zbiorami, czy teZ roznymi[16.171• Ponadto z tym problemem stykamy siy ci~gle, na roznych poziomach, gdy tylko w sposob zbyt konserwatywny probujemy ograniczye pojycie "zbioru". Za kaidym razem dochodzimy do koniecznosci rozpatrywania klas, ktore nie nalez~ do rodziny zbiorow, poprzednio uznanych za dopuszczalne. Wszystkie te problemy s~ scisle zwi¥ane ze slynnym twierdzeniem Godla. Interesowaly go kwestie metod dowodzenia, ktorymi dysponuj~ matematycy. Na poczq.tku XX wieku, i jeszcze dlugo potem, matematycy star ali siy unikae paradoksow (takich jak paradoks Russella), ktore pojawialy siy przy nadmiernie liberalnym poslugiwaniu siy teori~ mnogosci, przez wprowadzenie matematycznego systemu formalnego, zgodnie z ktorym, aby jakies rozumowanie moglo bye uznane za dowod matematyczny, na1ezalo wypisae zbior absolutnie precyzyjnych regul postypowania. Godel wykazal, ze ta droga prowadzi donik~d. Zademonstrowal mianowicie, ze jesli jestesmy sklonni uznae jakis formalny system regul F za wiarygodny, w tym sensie, ze tylko on prowadzi do matematycznie poprawnych wnioskow, wowczas musimy przyj~e za poprawne pewne klarowne matematyczne stwierdzenie G(F), ktorego jednak niepodobna udowodnie, skoro poslugujemy siy jedynie regulami systemu F. A zatem Godel pokazuje nam, ze musimy wyjse poza kaidy system F, 0 ktorym sq.dzimy, ze jest poprawny i wiarygodny. Rozpowszechnione jest blydne mniemanie, ze twierdzenie Godla mowi nam o istnieniu "stwierdzen matematycznych, ktorych niepodobna udowodniC", co implikuje, ze istniejq. takie obszary "platonskiego swiata" prawd matematycznych (zob. rozdz. 1.4), ktore zasadniczo nie s~ dla nas dostypne. Twierdzenie Godla nie upowaznia jednak do wyciq.gania tak daleko idq.cych wnioskow. Ono mowi nam, ze jakiekolwiek przyjylibysmy reguly dowodzenia matematycznego, jesli juz zaakceptowalismy te przepisy jako godne zaufania (w tym sensie, ze nie mozna za ich pomoq dojse do falszywych wnioskow) i nie nazbyt ograniczone, wowczas dochodzimy do pewnych prawd matematycznych, ktorych nie da siy wyprowadzie przy uiyciu tych regut. Rezultat uzyskany przez GOdla jest bezposrednim nastypstwem wyniku otrzymanego przez Turinga (aczkolwiek historycznie byio na odwrot). Jak to siy dzieje? Istot~ systemu formalnego jest to, ze nie potrzebujemy zadnych dodatkowych srodkow matematycznych, aby siy przekonae, ze reguly systemu F zostaly poprawnie zastosowane. Wykazanie poprawnosci jakiegos dowodu matematycznego w systemie F jest spraw~ czysto obliczeniow~. A zatem dla dowolnego F zbior twierdzen matematycznych, ktore mog~ bye udowodnione za pomoc~ jego regul, jest koniecznie rekurencyjnie przeliczalny.
360
1m [16.17] Czy wiesz dlaczego? Wskaz6wka: dla dowolnej maszyny Turinga 0 dzialaniu T na n mozemy rozwaZyc skuteczn,! maszyny Turinga Q, kt6ra rna ty wlasnosc, ze Q(r) =0, jesli T zastosowana do n nie zatrzymala sit( po r krokach obliczeniowych, i Q(r) = 1, jesli siy zatrzymala. Wei., modulo 2, sumy Q(n) i T,(n), aby otrzymac Ts(n).
Fizyczne rozmiary nieskor'lczonosci
16.7
Zauwazmy teraz, ze pewne dobrze znane twierdzenia matematyczne mog,! byc wypowiedziane w postaci "takie i takie dzialanie maszyny Turinga nie rna konca". Poznalismy juz jeden przyklad takiej sytuacji, a mianowicie twierdzenie Lagrange'a, zgodnie z kt6rym kazda liczba naturalna jest sum'! czterech kwadrat6w. Innym, nawet jeszcze bardziej znanym przykladem jest "wielkie twierdzenie Fermata", udowodnione pod koniec XX wieku przez Andrew Wilesa (rozdz. 1.3)14. Jeszcze innym (wci,!z nieudowodnionym) jest slynne "przypuszczenie Goldbacha", ze kazda liczba parzysta wiyksza od 2 jest sum'! dw6ch liczb pierwszych. Twierdzenia tego rodzaju w logice matematycznej nazywane s,!zdaniami III' Z podanego argumentu Turinga wynika natychmiast, ze prawdziwe zdania III tworz'! zbi6r przeliczalny nierekurencyjnie (tzn. taki, kt6ry nie jest rekurencyjnie przeliczalny). Istniej,! zatem prawdziwe zdania III' kt6rych niepodobna udowodnic za pomoc,! regul systemu F (zakladamy, ze system F jest wiarygodny). I to jest zasadnicza postac twierdzenia Godla. W istocie, analizuj,!c szczeg6ly tego rozumowania nieco dokladniej, mozemy wysubtelnic ten argument tak, zeby uzyskac jego podan,! juz wersjy i otrzymac konkretne zdanie III' G(F), kt6re, jesli wierzymy, ze system F prowadzi tylko do prawdziwych zdan III' wymyka siy z tej sieci regul, niezaleinie od godnego uwagi faktu, iZ musimy przyj,!c, ze G(F) jest r6wniei prawdziwym zdaniem III[16.l8 J!
16.7 Fizyczne rozmiary nieskoliczonosci
Na koniec spr6bujmy zobaczyc, jak problemy zwi,!zane z nieskonczonosci,! i omawianymi tu konstrukcjami ukladaj,! siy w relacji do matematyki przedstawionej w poprzednich rozdzialach oraz do naszego wsp6lczesnego rozumienia fizyki. Wobec scislego zwi,!zku fizyki i matematyki zastanawiaj,!ce jest, ze sprawy 0 tak zasadniczym znaczeniu dla matematyki jak teoria zbior6w pozaskonczonych czy kwestia obliczalnosci wywarly bardzo ograniczony wplyw na nasz opis fizycznego swiatao Mam takie przekonanie, ze odkryjemy niebawem, iz zagadnienie obliczalnosci bydzie mialo powazne znaczenie dla przyszlej teorii fizycznejlS, ale na razie fizyka matematyczna w niewielkim stopniu z niego skorzystala 16 . Jesli chodzi 0 rozmiar nieskonczonosci, jaki okazal siy uZyteczny, to jest raczej zdumiewaj,!ce, ze prawie nie istnieje teoria fizyczna, kt6ra potrzebowalaby wyjsc poza C (= 2KO ), a wiyc poza moc ciala liczb rzeczywistych R Moc ciala liczb zespolonych, C, jest taka sarna jak lR. (a mianowicie C), poniewaz C jest po prostu lR. x lR. (pary liczb rzeczywistych) z dodaniem odpowiednich regul dodawania i mnozenia. Podobnie przestrzenie wektorowe i rozmaitosci rozwaZane do tej pory s,! zbudowane z rodzin punkt6w, kt6rym mozna przyporz'!dkowac wsp6lrzydne z jakiegos lR. x lR. x ... x lR. (albo C x ex ... x q alba ze skonczonej (lub przeliczalnie wielu, tzn. nie wiycej niz Xo) ilosci lat wsp6lrzydnosciowych, a wiyc znowu 0 mocy C.
m [16.18] Zobaez, ezy potrafisz to pokazac.
361
16
Drabina nieskonclonosci
Ajak przedstawia sil( sprawa funkcji na takich przestrzeniach? Jesli, powiedzmy, rozwaZymy rodzinl( wszystkich funkcji 0 wartosciach rzeczywistych na jakiejs przestrzeni 0 C punktach, wowczas ta rodzina bl(dzie miala CC elementow (poniewai: bl(dzie odwzorowaniem przestrzeni C-elementowej na przestrzen C-elementow
t
362
is [16.19] Wyjasnij, dlaczego (AB)C, dla zbior6w A, B i C, mozna utozsamic zA BxC .
Przypisy
miar tej przestrzeni jest XO' (Zwi,!zane z tym S,! rozne subtelnosci, ale nie bydziemy w nie wnikae w tym miejscu). W przypadku przestrzeni 0 n rzeczywistych wymiarow powiemy, ze zawiera "oon" punktow (co wyraza fakt, ze kontinuum punktow zorganizowane jest w n-wymiarowe zespoly). W przypadku nieskonczonej ilosci wymiarow powiemy, ze taka przestrzen zawiera ,,00"''' punktow. Interesuj,! nas rowniez przestrzenie roznego rodzaju pol zdefiniowanych na M. Pola takie zwykle uwazamy za gladkie, ale czasami musimy rozwazae obiekty bardziej ogolne (np. dystrybucje), a wiyc wchodzimy w obszar hiperfunkcji (zob. rozdz. 9.7). Mog,! one spelniae rownania rozniczkowe (cz'!stkowe), co ogranicza ich ogolnose. Jesli takich ograniczen nie rna, wowczas traktujemy je jako "funkcje n zmiennych" na rozmaitosci n-wymiarowej M (tutaj n = 4 odpowiada zwyklej czasoprzestrzeni). W kazdym punkcie pole moze miee k niezaleinych skladowych. Mowimy wtedy, ze liczba stopni swobody takiego pola wynosi ook",n. Zapis ten 1? mozemy rozumiee tak (lokalnie i w wielkim przyblizeniu), ze pol a te s,! mapami z przestrzeni 0 oon punktow na przestrzen z ook punktow; korzystamy wtedy z formalnego zwi,!zku
(ook)oc!'
=
ookoc!'.
Kiedy pola spelniaj,! odpowiednie cz'!stkowe rownania rozniczkowe, wowczas mog,! bye calkowicie wyznaczone przez wartosci pocz'!tkowe tych pol (zob. w szczegolnosci rozdz. 27.1), a wiyc przez pomocnicze dane wyspecyfikowane na pewnej, nizej wymiarowej przestrzeni S, powiedzmy, 0 q wymiarach. Jesli te dane mog,! bye swobodnie okreslone na S (to znaczy jesli nie wystypuj,! wi~zy, jakie mog,! miee postae rownan rozniczkowych lub algebraicznych, ktore musz'! bye spelnione na S) i jesli dane te oznaczaj'! r niezaleznych skladowych w kazdym punkcie S, wowczas powiemy, ze liczba stopni swobody takiego pol a wynosi exfocfl. W wielu przypadkach nie jest wcale latwe znalezienie r i q, ale istotne jest, ze s,! to wielkosci niezmiennicze, a wiyc niezaleine od tego, jak te pol a mog,! bye wyrazone w terminach innych rownowaznych wielkosci 18 • Sprawy te byd,! waine w dalszych czysciach tej ksi,!zki (zob. rozdz. 23.2, 31.10-12,15-17).
Przypisy Rozdzial16.2 Zob. Howie (1989), s. 269-271; Hirschfeld (1998), s. 098. Kola magiczne Sq rownowazne tzw. zbiorom roinic doskonalych. 2 Jak sit( wydaje, nie wiemy, czy istniejq kola magiczne (oczywiscie nie na plaszczyznie JP'2(lF'q)), do ktorych nie stosuje sit( twierdzenie Desargues'a (lub, rownowaznie, Pappusa); innymi slowy: czy istniejq "niedesarguesowskie" (czy tez "niepappusowskie") skonczone plaszczyzny rzutowe. 3 Od czasu do czasu pojawiajq sit( koncepcje promujqce fizycznq rolt( oktonionow zob. np. Giirsey, Tze (1996); Dixon (1994); Manogue, Dray (1999); Dray, Manogue (1999); istniejq jednak fundamentalne problemy z ogolnq "oktonionowq mechanikq kwantowq" - Adler I
363
16
Drabina nieskoriclonosci (1995). Niewiele lepiej przedstawiaja si~ proby stworzenia "kwaternionowej mechaniki kwantowej". Innym cialem liczbowym, sugerowanym jako kandydat do odegrania znacz'!cej roli fizycznej, jest system "liczb p-adycznych". Liczby te twOfZ,! system, do ktorego stosuj,! si~ reguly rachunku rozniczkowego i calkowego. Mog,! one bye przedstawiane podobnie jak zwykle rozwini~cie liczb dziesi~tnych, ale wyst~puj,! tu cyfry 0, 1,2,3, .. .,p -1 (gdzie p jest wybran,! liczb,! pierwsz'!) i rozwijane w nieskonczonose w kierunku przeciwnym niz w przypadku zwyklych liczb dziesi~tnych (i nie potrzebujemy znaku "minus"). Na przyklad ... 24033200411,3104 przedstawia liczb~ 5-adycZll,!. Reguly dodawania i mnozenia s,! takie same, jak bylyby w przypadku "zwyklej" p-owej arytmetyki (w ktorej zamiast symbolu ,,10" wyst~puje liczba pierwszap, itd.). Zob. Mahler (1981); Gouvea (1993); Brekke, Freund (1993); Vladimirov, Volovich (1994); Pitkaenen (1995).
Rozdzial 16.3 Wspolczesna terminologia matematyczna nazywa to izomorfizmem zbiorow. Istniej,! tez inne poj«cia, takie jak "endomorfizm", "epimorfizm", "monomorfizm" (lub, po prostu, "morfizm"), jakich matematycy uZywaj,! do scharakteryzowania odwzorowan jednych zbiorow lub struktur na inne. W ksi,!zce staram si~ unikae tego rodzaju terminologii, s,!dz« bowiem, ze przyzwyczajenie si~ do niej wymaga wi~cej wysilku ze strony czytelnika, niz to jest niezb«dne do naszych celow. 5 0 wczesniejszych poszukiwaniach w tym kierunku zob. Moore (1990), rozdz. 3. 6 Przypomnijmy na podstawie przyp. 5 w rozdz. 15, ze jestem sklonny naduZywae zapisu, w ktorym przez N - 0 rozumiemy zbior niezerowych liczb naturalnych. Ironia polega na tym, ze gdybysmy przyj«li, na pozor "bardziej poprawny", zapis N - {O}, adaptuj,!c rowniez procedury z rozdz. 3.4, gdzie {O} = 1, wowczas powstalaby sytuacja jeszcze bardziej klopotliwa, gdyz mielibysmy wtedy do czynienia ze zbiorem "N - I"! 7 Zob. Wagon (1985); w populamym uj«ciu zob. Runde (2002). 4
Rozdzial16.5 Podobne uwagi odnosz'! si~ do uogolnionej hipotezy continuum Cantora: 2Nn. = l'{a+l (gdzie a jest "liczb,! porz'!dkow'!", ktorej definicji nie omawialismy), a takZe do aksjomatu wyboru. 9 Zob. Russell (1903), s. 362, przyp. 2 (edycja z 1937 roku). 10 Zob. van Heijenoort (1967), s. 114. 1J Zob. Woodin (2001), ktory informuje 0 nowych podejsciach do tych problemow. Ogolne referencje do podstaw matematyki znaleze mozna w: Abian (1965) i Wilder (1965). 8
Rozdzial16.6 Tymi prekursorami byli, w pierwszym rz«dzie, Alonzo Church, Haskell B. Curry, Stephen Kieene, Kurt G6del i Emil Post; zob. Gandy (1988). 13 Szczegolowy opis maszyny Turinga znajdziemyw: Penrose (1989), rozdz. 2; a takZe np. w: Davis (1978). Zrodlo: Turing (1937). 14 Zob. Singh (1997); Wiles (1995). 12
Rozdzial16.7 Zob. Penrose (1989, 1994, 1997). 16 Zob. Komar (1964); Geroch, Hartle (1986), rozdz. 34.7. 17 T~ poiyteczn'! notacj~ zawdzi«czam Johnowi A. Wheelerowi; zob. Wheeler (1960), s. 67. 18 Zob. Cartan (1945), szczegolnie rozdz. 68, 69 na s. 75, 76 (w wydaniu oryginalnym). Wymaq 364 gana jest tu ostroznose, aby wielkose r w ooroo zostala prawidlowo obliczona. Dwa systemy 15
Przypisy mogq bye r6wnowaine, choe ich wartosci r na pierwszy rzut oka zdajq si y r6zne. JednakZe
nie moze bye dwuznacznosci przy okresleniu wartosci q. Scisle wsp6lczesne podejscie w ramach teorii wiqzek dietowych wyjasnia te sprawy - zob. Bryant et al. (1991). Naleiy tez wspomniee, ze istnieje udoskonalona wersja zapisu Wheelera - zob. Penrose (2003), gdzie oo2 na przyklad (Xl +3OO '+5 oznacza, ze "pola zalezq od 2 funkcji 2-zmiennych, 3 funkcji 1-zmienOO nej i 5 stalych". W ten spos6b musimy rozwazae wyrazenia typu rx/ ), w kt6rych p oznacza nieujemne wsp6lczynniki calkowite.
17 Czasoprzestrzen 17.1 Czasoprzestrzefl fizyki Arystotelesa W POPRZEDNICH rozdzialach zajmowalismy sit( przede wszystkim rozwazaniami matematycznymi. Od tego momentu uwagt( skierujemy na aktuainy obraz swiata fizycznego, do ktorego doprowadzily nas teoria i obserwacje. Rozpocznijmy od proby zrozumienia areny, na ktorej rozgrywajq sit( wszystkie zjawiska fizycznego WszechSwiata: od czasoprzestrzeni. Przekonamy sit(, ze to pojt(cie odgrywa istotnq roIt( w pozostalej czt(sci pracy! Najpierw musimy zapytae: dIaczego "czasoprzestrzen,,?1 Co jest niewlasciwego w oddzieinym mysleniu 0 czasie i przestrzeni, dIaczego potrzebujemy polqczye te dwa na pozor rozne pojt(cia w jedno? NiezaIeznie od obecnie powszechnej opinii na ten temat i niezaleznie od nadzwyczajnego zastosowania tej koncepcji przez Einsteina w konstrukcji ogoInej teorii wzgIt(dnosci, czasoprzestrzen nie byla jego oryginainym pomyslem; jak sit( zdaje, nie byl on nawet jej specjainym entuzjastq, kiedy po raz pierwszy 0 niej uslyszal. Co wit(cej, kiedy teraz przyjrzymy sit( wspanialym, znacznie starszym zasadom wzgIt(dnosci Galileusza i Newtona, zobaczymy, ze oni rowniez mogli wiele skorzystae, gdyby rozpatrywali zjawiska w perspektywie czasoprzestrzeni. Aby to zrozumiee, cofnijmy sit( znacznie w historii, zeby dowiedziee sit(, jaki rodzaj struktury czasoprzestrzennej bylby odpowiedni w dynamice Arystotelesa i jego wspolczesnych. W fizyce Arystotelesa istnieje koncepcja euklidesowej 3-przestrzeni lE\ ktora reprezentuje przestrzen fizycznq, a punkty w tej przestrzeni zachowujq swojq tozsamose w czasie. Dzieje sit( tak dlatego, ze w dynamice Arystotelesa stan spoczynku jest preferowany w porownaniu ze wszystkimi pozostalymi stanami ruchu. Przyjmujemy takie stanowisko, ze jakis wybrany punkt przestrzenny w jednej chwili jest tym samym punktem przestrzennym w jakiejs pozniejszej chwiIi, jesli cZqstka materialna, umiejscowiona w tym punkcie, pozostaje w spoczynku od jednej chwili do drugiej. N asz obraz rzeczywistosci jest podobny do ekranu kinowego, na ktorym konkretny punkt zachowuje swojq tozsamose bez wzglt(du na to, jak bardzo dynamiczne ruchy moglyby bye na ten punkt rzutowane; zob. rys. 17.1. Rowniez czas jest przedstawiany jako przestrzen euklidesowa, ale raczej jako przestrzen trywialna, w tym wypadku przestrzen jednowymiarowa, lEI. A zatem
Czasoprzestrzen fizyki Arystotelesa
17.1
Rys. 17.1. ezy na ekranie kinowym mamy do czynienia z ruchem? Konkretny punkt na ekranie (tutaj zaznaczony jako "x") zachowuje swoj~ tozsamosc bez wzgllYdu na to, jakie ruchy na niego rzutujemy.
o czasie myslimy tak jak 0 przestrzeni fizycznej, a wiyc obdarzonej "geometri~ Euklidesa", a nie jako 0 kopii osi rzeczywistej R Dzieje siy tak dlatego, ie os lR rna wyr6iniony punkt 0, kt6ry reprezentowalby czas "zero", podczas gdy zgodnie z zasadami dynamiki Arystotelesa iaden punkt nie powinien bye wyr6iniony jako pocz~tek. (W tym miejscu, oczywiscie, przyjmujy wyidealizowane spojrzenie na to, co moina by nazwae "dynamik~ Arystotelesa" lub "fizyk~ Arystotelesa", i nie przejmujy siy tym, co prawdziwy Arystoteles m6g1by 0 tym myslee!)2 Gdyby "poczqtek czasu" mial bye wyr6iniony, w6wczas prawa dynamiki powinny siy zmieniae w czasie w miary odchodzenia od punktu pocz~tkowego. Jesli pocz~tek nie jest wyr6iniony, to prawa dynamiki musz~ pozostawae niezmienne w czasie, poniewai: nie istnieje wyr6iniony parametr czasowy, od kt6rego te prawa bylyby zaleine. Podobnie przyjmujy, ie nie istnieje wyr6iniony pocz~tek przestrzenny i ie przestrzen rozci~ga siy nieskonczenie we wszystkich kierunkach, z zachowaniem catkowitej jednorodnosci w prawach dynamiki (r6wniei bez wzglydu na to, co sam Arystoteles m6g1by 0 tym myslee!). W geometrii Euklidesa, zar6wno w l-wymiarowej, jak i w 3-wymiarowej, istnieje pojycie odleglosci. W 3-wymiarowym przypadku przestrzennym jest to zwykla odleglosc euklidesowa (mierzona, powiedzmy, w metrach lub w stopach), w przypadku l-wymiarowym t~ od1eglosci~ moie bye zwykly interwal czasowy (mierzony, powiedzmy, w sekundach). W fizyce Arystotelesa - oraz w p6zniejszych dynamicznych schematach Galileusza i Newtona - istnieje absolutne pojycie jednoczesnoSci czasowej. Oznacza to, ie - zgodnie z tymi dynamicznymi obrazami swiata - bezwzglydny sens rna stwierdzenie, ii czas tutaj, w dokladnie tym samym momencie, w kt6rym siedzy, pisz~c ty ksi¥ky przy moim biurku w Oksfordzie, jest"tym samym czasem", w kt6rym zachodzi jakies zdarzenie w galaktyce Andromedy (na przyklad wybuch supernowej).Wracaj~c do naszej analogii do ekranu kinowego, mamy prawo zapytae, czy dwa rzutowane obrazy, pojawiaj~ce siy na dw6ch daleko od siebie odleglych miejscach ekranu, wystypuj~ jednoczesnie, czy tei nie. W tym przypadku odpowiedz jest klarowna. Dwa zdarzenia uwaiamy za jednoczesne wtedy i tylko wtedy, gdy pojawiaj~ siy w tym samym kadrze rzuconym na ekran. A zatem mamy
367
17
Czasoprzestrzen
Rys. 17.2. Czasoprzestrzen Arystotelesa A = ]&1 X ]&3 jest przestrzeni~ par (t, x), gdzie t ("czas") zmienia sit( w euklidesowej I-przestrzeni ]&\ a x ("punkt przestrzenny") zmienia sit( w euklidesowej 3-przestrzeni ]&3.
nie tylko jasn,! koncepcjy tego, czy dwa (czasowo oddzielone) zdarzenia wystypuj,! w tym samym miejscu na ekranie, ale mamy tez klarown'! koncepcjy tego, czy dwa (oddzielone przestrzennie) zdarzenia zachodz'! w tym samym czasie. Co wiycej, jesli przestrzenne polozenia dw6ch zdarzeii s,! r6zne, posiadamy tez jasn,! koncepejy odleglosci miydzy nimi, niezaleznie od tego, czy zaehodz,! one w tym samym czasie (tzn. odleglosc mierzymy na ekranie). Gdy czasy, w jakich wystypuj,! te zdarzenia, s,! r6zne, mamy r6wniez jasn,! koncepcjy interwalu czasowego miydzy nimi, bez wzglydu na to, czy zachodz'! w tym samym, czy w r6znych miejscach. Wszystko to oznacza, ze w naszym schemacie fizyki Arystotelesa mozemy traktowac czasoplZestrzeft po prostu jako iloczyn
A
= lffil X lffi3
i nazywac j,! czasoplZestlZeniq Arystotelesa. To po prostu przestrzeii par (t, x), gdzie t jest elementem lffi\ "czasem", a x elementem lffi3, "punktem w przestrzeni"; zob. rys. 17.2. Dla dwu r6znych punkt6w lffil x lffi3, powiedzmy (t, x) i (t', x') - a wiyc dla dwu r6znych zdalZeft - rnamy dobrze okreslone pojycie ich odleglosci przestrzennej, mianowicie odleglosci miydzy punktarni x i x' w przestrzeni lffi3, a takZe dobrze okreslone ich rozr6znienie czasowe, mianowieie odleglosc miydzy t a t ' mierzon,! w lffil. W szczeg6lnosci wiemy, czy dwa zdarzenia zachodz,! w tym samym miejscu (ich odleglosc przestrzenna znika), a takZe czy zachodz'! w tym samym czasie (znika r6znica czas6w).
17.2 Czasoprzestrzeri
368
wzgl~dnosci
Galileusza
Przyjrzyjrny siy teraz, jaka koncepcja czasoprzestrzeni odpowiada schematowi dynamiki wprowadzonemu przez Galileusza w 1638 roku i jak wl,!czyc zasad~ wzgl~dnosci Galileusza do naszego czasoprzestrzennego obrazu. Spr6bujmy przypornniec, co ta zasada glosi. Trudno wyrazic j,! lepiej, niz to zrobil sam Galileusz, i dlatego po prostu zacytujmy go (na podstawie tlumaczenia Stillman a Drake'a3, kt6re w skr6cie przytaczam; bardzo polecam zapoznanie siy z caiosci,! cytowanego fragmentu):
Czasoprzestrzeri
wzgl~dnosci
Galileusza
17.2
Zamknij sit( z przyjacielem w gl6wnej kabinie, pod pokladem jakiegos wielkiego statku, w towarzystwie much, motyli i innych malych latajqcych stworzen [... ] powies butelkt(, z kt6rej kropla po kropli bt(dzie kapala ciecz na wielkq podlogt( statku [... ] niech statek plynie z takq szybkosciq, jaka ci odpowiada, pod warunkiem ze jest to szybkose jednostajna i statek nie jest rzucany to w tt(, to w tamtq stront( [... ] Te krople bt(dq spadaly na podlogt( statku bezposrednio pod butelkq, a nie bt(dq skrt(caly w stront( steru, pomimo tego, ze podczas gdy krople poruszajq sit( w powietrzu, statek przesunql sit( juz na pewnq odleglose [... ] muchy i motyle bt(dq kontynuowaly swoje loty w kazdym kierunku i nigdy sit( nie zdarzy, zeby skupialy sit( blizej steru, jakby mialy dose trzymania sit( kursu, kt6rym podqia statek [... ]
Galileusz uczy tutaj, ze prawa dynamiki S(! takie same w kaZdym jednostajnie poruszaj(!cym siy ukladzie. (Takie przekonanie stanowilo zasadniczy pow6d, dla kt6rego Galileusz calkowicie zaakceptowal pogl(!d Kopernika, ze Ziemia moze byc w ci(!glym ruchu, mimo iz ruch ten jest dla nas niedostrzegalny. Byl to pogl(!d sprzeczny z pogl,!dem Arystotelesa, kt6ry wymagal, zeby Ziemia pozostawala w spoczynku.) Nie istnieje spos6b, kt6ry by pozwalal odr6znic stan spoczynku od stanu ruchu jednostajnego. Ale co to oznacza w swietle informacji podanych w poprzednim podrozdziale? Przyjycie takiego stanowiska prowadzi do wniosku, ze stwierdzenie, iz jakis wybrany punkt przestrzeni w jak,!s chwily p6zniej jest albo nie jest tym samym punktem, nie rna zadnego sensu z dynamicznego punktu widzenia. Innymi slowy, nasza analogia do kadr6w na ekranie kinowym nie rna tutaj zastosowania! Nie istnieje zadna przestrzen "da", jakis "ekran", kt6ry pozostaje nieruchomy z uplywem czasu. Nie mozemy sensownie powiedziec, ze jakis konkretny punkt p w przestrzeni (powiedzmy, punkt oznaczaj'!cy wykrzyknik na klawiaturze mojego laptopa) jest, albo nie jest, tym samym punktem w przestrzeni, w jakim znajdowal siy minuty temu. Bardziej przystypnie: pomyslmy 0 obrocie Ziemi. Zgodnie z tym ruchem, kazdy punkt na powierzchni Ziemi (powiedzmy, na szerokosci geograficznej Oksfordu) w ci(!gu tej minuty przesun(!l siy na odleglosc 10 mil. W takim razie punkt p, kt6ry przed chwil,! wybraiem, znajduje siy teraz w okolicy s,!siedniego miasta Witney, alba nawet jeszcze dalej. Ale chwileczky! Przeciez nie wzi,!lem pod uwagy ruchu Ziemi dookola Slonca. Jesli i ten ruch uwzglydniy, w6wczas okaze siy, ze punkt p znajduje siy juz w odleglosci okolo stu razy wiykszej, w dodatku w przeciwnym kierunku (poniewaz, gdy to piszy, jest juz nieco po poludniu i powierzchnia Ziemi w tym miejscu przesuwa siy w kierunku przeciwnym do jej ruchu wok6l Slonca), a w takim razie oddalilismy siy od punktu p na tak'! odleglosc, ze znajduje on siy juz poza zasiygiem atmosfery ziemskiej! Ale czy nie powinienem wzi,!c pod uwagy ruchu Slonca wok61 centrum galaktyki Drogi Mlecznej? A co, w takim razie, z "ruchem wlasnym" samej Drogi Mlecznej w tej grupie galaktyk? Albo ruchem tej lokalnej grupy galaktyk wok6l srodka gromady Virgo, kt6rej stanowi malenki fragment, alba ruchem gromady Virgo w odniesieniu do ogromnej supergromady Coma, albo, byc moze, gromady Coma w kierunku "Wielkiego Atraktora" (rozdz. 27.11)?
369
17
Czasoprzestrzeri
'~!\-- -\---Ll -/-;' /"-.
. "._
~<
-
JEj3
~~~strzen _ Przestrzefl LJEj3
..,Przestrzefl
Przestrzen JEj1
Czas
Rys. 17.3. Czasoprzestrzen Galileusza Q jest wi¥k~ wl6knist~ z przestrzeni~ bazowq JEjI i wl6knern JEjl, a wiyc nie rna punktowej identyfikacji rniydzy r6:.i:nyrni wl6knarni JEj3 (nie rna przestrzeni absolutnej), natorniast ka:.i:de zdarzenie czasoprzestrzenne rna czas przyporz~dkowany na drodze rzutowania kanonicznego (czas absolutny). Por. z rys. 15.2, ale rzutowanie kanoniczne na przestrzen bazowq jest tutaj przedstawione horyzontalnie. Historie cz~stek (linie swiata) s~ przekrojarni wi¥ki (por. z rys. 15.6a), ruchy inercyjne cZqstek Sq przedstawione zgodnie ze strukturq g, a wiyc Iinie swiata s~ "Iiniarni prostyrni".
Oczywiscie, musimy potraktowac Galileusza powaznie. Nie jestesmy w stanie przypisac zadnego sensu stwierdzeniu, ze jakis konkretny punkt w przestrzeni, za minuty od tego momentu, uWaZamy za ten sam punkt, kt6ry wybralem. W dynamice Galileusza nie mamy do czynienia z jedn£! 3-przestrzeni£! Euklidesa lE 3 jako aren£! wszystkich zdarzen fizycznych rozgrywaj£!cych siy w czasie, ale w kazdej chwili spotykamy siy z inn£! lE3 i miydzy tymi r6znymi przestrzeniami nie zachodzi zadna naturalna identyfikacja. Moze wydawac siy bardzo niepokoj£!ce, ze sarno pojycie przestrzeni fizycznej wyparowuje kompletnie wraz z przemijaj£!C
17.3 Oynamika Newtona w terminach czasoprzestrzeni
370
Ten "wi£!zkowy" obraz czasoprzestrzeni jest bardzo interesuj£!cy, ale jak w tym jyzyku przedstawic dynamik~ Galileusza-Newtona? Nie jest bynajmniej dziwne, ze Newton, kiedy zacz£!l formulowac swoje prawa dynamiki, znalazl siy w sytuacji, w kt6rej uznal za konieczne posluzenie siy koncepcj£! "przestrzeni absolutnej".
Dynamika Newtona w terminach czasoprzestrzeni
17.3
W rzeczywistosci Newton, przynajmniej na poczqtku, byl w nie mniejszym stopniu "galileuszowskim relatywistq" niz sam Galileusz. Wiemy to stqd, ze w oryginalnym sformulowaniu praw ruchu Newtona pojawia siy explicite zasada wzglydnosci Galileusza jako fundamentalne prawo (jest to zasada, ze dzialanie fizyczne powinno byc nieczule na przejscie od jednego ukladu poruszajqcego siy ruchem jednostajnym, do innego. W takim podejsciu pojycie czasu rna charakter absolutny, tak jak to demonstruje rysunek przedstawiajqcy czasoprzestrzen Galileusza, g). Poczqtkowo Newton zaproponowal piyc (lub szesc) zasad, z kt6rych czwarta byla wlasnie zasadq wzglydnosci Galileusza5 , ale p6zniej, w Principiach, zredukowal ten schemat do trzech "zasad Newtona", kt6re Sq powszechnie znane. Zdal sobie bowiem sprawy, ze te trzy zasady wystarczajq, aby z nich wywiesc pozostale. Dla scislosci swojego formalizmu musial przyjqc koncepcjy "przestrzeni absolutnej", w kt6rego jego ruchy mogly byc opisywane. Gdyby w czasach Newtona dostypne bylo pojycie "wiqzki wl6knistej" (bardzo dalekosiyzna ewentualnosc), to wolno przypuszczac, ze sformulowalby swoje zasady w spos6b calkowicie "galileuszowsko niezmienniczy". J ako ze nim nie dysponowal, trudno sobie wyobrazic, jak m6glby rozwinqc swojq teoriy bez koncepcji "przestrzeni absolutnej", kt6rq siy ostatecznie posluiyl. Jaki rodzaj struktury musimy przyporzqdkowac "czasoprzestrzeni Galileusza" Q? Z pewnosciq zalozeniem zbyt mocnym byloby obdarowanie naszej wiqzki w16knistej 9 koneksjq wiqzki (rozdz. 15.7)117.1]. Zamiast tego musimy wprowadzic cos, co bylobyw zgodzie zpierwszq zasadq Newtona. Zasada ta glosi, ze ruch CZqstki, na kt6rq nie dzialajq zadne sHy, jest ruchem jednostajnym i prostoliniowym. Taki ruch nazywa siy ruchem inercjalnym. W terminach czasoprzestrzeni ruch (tzn. "historia") dowolnej cZqstki, bez wzglydu na to, czy jest to ruch inercjalny, czy nie, przedstawia krzywa zwana liniq swiata czqstki. W rzeczywistosci, w naszej czasoprzestrzeni Galileusza, linie swiata muszq byc zawsze ci~ciami wiqzki Galileusza (zob. rozdz. 15.3[17.2] i rys. 17.3). Pojycia "jednostajny i prostoliniowy", w terminach normalnej przestrzeni (ruch inercjalny), w jyzyku czasoprzestrzeni interpretujemy jako "ruch prosty". Dlatego wiqzka Galileusza 9 musi miec struktury, kt6ra jakos koduje pojycie "prostoty" linii swiata. Jednym ze sposob6w wyrazenia tego jest stwierdzenie, ze 9 jest przestrzeniq aJinicznq (rozdz. 14.1), w kt6rej struktura afiniczna, kiedy jq ograniczymy do poszczeg6lnych w16kien lBi, pozostaje w zgodzie z afinicznq strukturq euklidesowq kazdej z 18,;3. Innym sposobem jest po prostu wyspecyfikowanie rodziny 006 linii prostych, kt6re naturalnie rezydujq w 18,;1 X 18,;3 (arystotelesowskie ruchy jednostajne), zbudowanie z nich struktury "linii prostych" wiqzki Galileusza; jednoczesnie powinnismy zapomniec 0 tym, ze czasoprzestrzen Arystotelesa A jest w istocie przestrzeniq iloczynowq (przypomnijmy sobie, ze 006 oznacza rodziny 6-wymiarowq; zob. rozdz. 16.7). Jeszcze innym sposobem jest S [17.1] Dlaczego? t'8 [17.2] Wyjasnij przyczyny.
371
17
CzasoprzestrzeIi
stwierdzenie, ze czasoprzestrzen Galileusza, traktowana jako rozmaitose, rna koneksjy zarowno 0 zerowej krzywiZnie, jak i zerowej torsji (to cos innego od posiadania koneksji wiqzki, jeSli traktujemy jq jako wiqzky nad ]EJl)f17.3l. W istocie najbardziej satysfakcjonuje ten trzeci punkt widzenia, poniewaZ pozwala na dokonanie niezbydnych uogolnien, ktore bydq potrzebne w rozdz. 17.5, 9 do opisu grawitacji w zgodzie z ideq Einsteina. Kiedy dysponujemy koneksjq zdefiniowanq na g, wowczas zyskujemy pojycie linii geodezyjnej (rozdz. 14.5), a linie geodezyjne (oprocz tych, ktore Sq po prostu liniami prostymi w poszczegolnych ]E3) definiujq ruchy inercjalne Newtona. Mozemy rowniez rozpatrywae linie swiata, ktore nie Sq liniami geodezyjnymi. W terminach normalnej przestrzeni reprezentujq one cZqstki poruszajqce siy ruchem przyspieszonym. Miarq tego przyspieszenia, w terminach czasoprzestrzeni, jest krzywizna linii swiataI17.4l. Zgodnie z drugq zasadq Newtona przyspieszenie jest rowne sile dzialajqcej na cZqstky, podzielonej przez jej masy. (Jest to prawo NewtonaJ = ma, wyraZone w formie a =tim, gdzie a oznacza przyspieszenie cZqstki, m jej masy, a J jest silq wypadkowq na niq dzialajqq.) W ten sposob krzywizna linii swiata dla czqstki 0 zadanej masie przedstawia bezposredniq miary calkowitej sHy dzialajqcej na ty czqstky. W standardowej mechanice Newtona calkowita sila dzialajqca na czqstky jest sumq (wektorowq) wkladow pochodzqcych od wszystkich pozostalych CZqstek (rys. 17.4a). W kazdej konkretnej ]E3 (a wiyc w kazdej konkretnej chwili) wklad do sily dzialajqcej na okreslonl} cZl}stky, pochodzl}cy od jakiejs innej cZl}stki, dziala wzdluz linii ll}czl}cej te dwie cZqstki i ta linia leZy w tej konkretnej ]E3. Oznacza to, ze sila ta dzialajednoczeSnie na obie cZl}stki; zob. rys. 17.4b. Trzecia zasada Newtona stwierdza, ze sila, jakq jedna z tych cZqstek wywiera na drugl}, jest zawsze rowna co do wielkosci i przeciwnie skierowana w stosunku do sily, jakl} ta druga cZl}stka wywiera na pierwszq. Ponadto w przypadku dzialania wielu sil istnieje prawo sil, mowil}ce 0 tym, jak wielkose tych sil zalezy od przestrzennej odleglosci miydzy oddzialujl}cymi cZqstkami i jakie parametry muszl} bye uZyte, zeby opisae ogolnl} skaly tych silo W przypadku grawitacji funkcja ta jest odwrotnoscil} kwadratu odleglosci, a skaly podaje pewna stala, zwana stall} grawitacyjnl} Newtona G, pomnozona przez iloczyn mas cZqstek oddzialujl}cych. Poslugujl}c siy symbol ami, mozemy zapisae dobrze znany wzor Newtona na sily przycil}gajqcl} cZl}stky 0 masie m, jakl} wywiera cZl}stka 0 masie M, znajdujl}ca siy w odleglosci r:
GmM
372
B [17.3] Objasnij te trzy sposoby bardziej szczeg61owo, pokazujqc, dlaczego wszystkie dajq ty samq struktury. /!lfJ [17.4] Spr6buj zapisac wyrazenie na ty krzywizny za pomocq koneksji V. Jaki warunek normalizacyjny jest potrzebny dla wektor6w stycznych Uesli W og61e taki warunek jest potrzebny)?
Zasada rownowainosci
I
17.4
•
I
•, , ,
,,
--. (b)
Rys.17.4. (a) SHy newtonowskie: w kazdej chwili calkowita sila dzialaj,!ca na cz'!stky (podw6jna strzalka) jest sum'! wektorow'! wklad6w (przyci,!gaj,!cych lub odpychaj,!cych) pochodz,!cych od pozostalych cZ'lstek. (b) Linie swiata dw6ch cz'!stek i sHy miydzy nimi, dzialaj'lce "natychmiastowo" wzdluz linii l'lcz'lcej te dwie cz,!stki, w kazdym momencie, w ramach konkretnej przestrzeni lEJ3, kt6r'! ten moment okresla. Trzecia zasada Newtona glosi, ze sHa, jak'l jedna cZ'lstka wywiera na drug,!, jest r6wna co do wielkosci i przeciwnie skierowana w stosunku do sHy, jak,! druga wywiera na pierwsz'!.
Jest naprawdt( godne uwagi, ze z tych prostych elementow skladowych powstaje teoria 0 ogromnej sile i roznorodnosci, ktora moze bye u:i:yta do nieslychanie dokladnego opisu zachowania sit( cial makroskopowych (a takZe podstawowej analizy zachowan cz,!stek submikroskopowych), pod warunkiem ze prt(dkosci rozpatrywanych cial s,! znacz'!co mniejsze od prt(dkosci swiatla. W przypadku grawitacji zgodnose mit(dzy teori'! a obserwacjami jest szczegolnie wyrazna dzit(ki bardzo precyzyjnym obserwacjom ruchow planet w naszym Ukladzie Slonecznym. Dokladnose teorii Newtona oszacowujemy dzisiaj na jeden na 107, co jest niezwykle imponuj,!cym wynikiem, zwa:i:ywszy, ze dane, jakimi mogl dysponowae Newton, mialy dokladnosc 10 tysit(cy razy mniejsz,! (jeden na 103).
17.4 Zasada r6wnowaznosci Niezale:i:nie od tej niebywalej dokladnosci i faktu, ze wielka teoria Newtona nie byla podwazana prawie dwa i pol stulecia, dzisiaj wiemy, ze nie jest ona absolutnie dokladna; co wit(cej, aby poprawie schemat Newtona, konieczna byla glt(bsza i bardziej rewolucyjna zmiana perspektywy, z ktorej Einstein rozpatrzyl naturt( grawitacji. Jednak ten szczegolny sposob widzenia, sam w sobie, nie zmienia w najmniejszym stopniu konsekwencji obserwacyjnych teorii Newtona. Zmiany nadeszly dopiero, gdy ta einsteinowska perspektywa zostala wsparta innymi argumentami, zwi,!zanymi z kwesti,! skonczonej prt(dkosci swiatla oraz z ide ami szczegolnej teorii wzglt(dnosci, ktore opiszemy w rozdz. 17.6-8. Ich peIne pol,!czenie, prowadz'!ce do ogolnej teorii wzglt(dnosci, omowimy w kategoriach jakosciowych w rozdz. 17.9, a bardziej szczegolowo w rozdz. 19.6--8.
373
17
Czasoprzestrzen
Na czym wiyc polega ten glybszy, einsteinowski punkt widzenia? Trzeba zdac sobie sprawy z fundamentalnego znaczenia zasady rownowainosci. A coz to jest zasada rownowaznosci? Sam,! idey jestesmy w stanie odszukac, cofaj,!c siy (znowu!) do wielkiego Galileusza (pod koniec XVI stulecia - aczkolwiek znaleic mozemy i jego prekursorow, takich jak Simon Stevin w 1586 roku czy nawet jeszcze wczesniejszych, jak na przyklad Ioannes Philiponos w V lub VI wieku). Przypomnijmy sobie doswiadczenie, przypisywane Galileuszowi, polegaj,!ce na zrzuceniu w tej samej chwili dwoch kamieni, jednego duzego, drugiego malego, ze szczytu Krzywej WieZy w Pizie (rys. 17.5a). Wielka intuicja Galileusza podpowiadala mu, ze oba kamienie byd,! spadaly z t'! sam,! szybkosci,! i jesli pominiemy opor powietrza, spadn,! na ziemiy jednoczesnie. Bez wzglydu na to, czy Galileusz osobiscie przeprowadzil doswiadczenie z Krzywej WieZy, z cal,! pewnosci,! dokonal innych, ktore utwierdzily go w tym przekonaniu. Pierwszym wnioskiem, ktory z tych eksperymentow naleZy wyci,!gn,!c, jest obecnosc szczegolnej wlasciwosci pola grawitacyjnego, ktorej nie powinnismy siy spodziewac po zadnej innej sile dzialaj,!cej na ciala materialne. Ta wlasciwosc sily ciyzkosci, na ktorej opiera siy spostrzezenie Galileusza, polega na tym, ze wielkosc sHy, jak,! jakies zadane pole grawitacyjne wywiera na cialo, jest proporcjonalna do masy tego ciala, podczas gdy opor, jaki cialo stawia temu ruchowi (wielkosc m, ktora pojawia siy w drugiej zasadzie Newtona), jest rowniez rowny tej masie. PoZyteczne bydzie rozroznienie miydzy tymi dwiema masami i pierwsz,! z nich nazwiemy masq grawitacyjnq, a drug,! masq bezwladnq. (Mozemy tez odroznic masy biemq
(a)
374
(b)
Rys. 17.5. (a) Eksperyment przypisywany Galileuszowi. Dwa kamienie, jeden duZy, drugi maly, zrzucone ze szczytu Krzywej WieZy w Pizie. Galileusz dowodzil, ze jesli mozemy pomin,!c opor powietrza, to oba kamienie spadn,! z t'! sam,! szybkosci,!. (b) Kulki masy korkowej (0 rownych, niewielkich masach) naladowane roznoimiennie, w polu elektrycznym skierowanym ku ziemi. Jedna kulka bydzie spadac, a druga wznosic siy ku gorze.
Zasada r6wnowainosci
17.4
od aktywnej masy grawitacyjnej. Mast( biern,! przedstawia wielkose m we wzorze Newtona GmM/r, kt6ry demonstruje silt( cit(zkosci, jak,! cialo 0 masie M wywiera na cialo 0 masie m. Gdy rozpatrujemy silt(, jak,! ciato m wywiera na cialo 0 masie M, wtedy masa m pojawia sit( w roli aktywnej. Trzecia zasada Newtona stwierdza, ze masy bierna i aktywna s,! sobie r6wne, wobec czego nie bt(dt( dalej ich rozr6zniaI 6.) A zatem trafnose intuicji Galileusza opiera sit( na r6wnosci (a scislej, na proporcjonalnosci) masy grawitacyjnej i masy bezwladnej. Z og6lniejszej perspektywy dynamiki Newtona moze sit( wydawae, ze r6wnose masy grawitacyjnej i masy bezwladnej jest pewnym kaprysem Przyrody. Gdyby pole sH nie bylo polem grawitacyjnym, ale, powiedzmy, polem elektrycznym, w6wczas wynik bylby zupelnie inny. Elektryczn'! analogit( biernej masy grawitacyjnej stanowi ladunek elektryczny, podczas gdy rola masy bezwladnej (tzn. oporu wobec przyspieszenia) jest identyczna jak w przypadku sHy cit(zkosci (a wit(c nadal druga zasada Newtona f = ma). Ta r6znica staje sit( szczeg6lnie oczywista, jesli w analogii do pary kamieni Galileusza weimiemy part( identycznych kulek z masy korkowej, ale naladowanych r6znoimiennie. W przypadku gdy pole elektryczne skierowane jest pionowo w d61, jeden z tych ladunk6w bt(dzie spadal na ziemit(, podczas gdy drugi bt(dzie sit( wznosH do g6ry, a wit(c przyspieszenia bt(d,! mialy kierunek przeciwny! (Zob. rys. 17.5b.) Dzieje sit( tak, poniewaz ladunek elektryczny zgromadzony na jakims ciele nie rna zwi¥ku z jego mas,! bezwladn,!, do tego stopnia, ze nawet znaki mog,! bye przeciwne. Obserwacja Galileusza nie dotyczy sil elektrycznych, jest to specjalna cecha samej sily cit(zkosci. Dlaczego tt( cecht( pol a grawitacyjnego nazywamy "zasad'! r6wnowaznosci"? Slowo "r6wnowainose" odnosi sit( tutaj do faktu, ze jednorodne pole grawitacyjne jest r6wnowazne przyspieszeniu. Jest to zjawisko znane kazdemu, kto podr6zowal samolotem, kiedy pasazer odnosi zupelnie blt(dne wrazenie co do tego, gdzie znajduje sit( "d61", gdy siedzimy wewn'!trz samolotu w momencie wykonywania ruchu przyspieszonego (moze to bye tylko zmiana kierunku). Nie jestesmy w stanie odr6znie, co jest efektem przyspieszenia, a co skutkiem dzialania przyci,!gania ziemskiego, opieraj,!c sit( tylko na tym, jak to odczuwamy wewn'!trz samolotu. Te dwa efekty mog,! sit( sumowae w r6znych kierunkach i wywolae w nas wrazenie, ze "d61" powinien bye tu alba tam, podczas gdy wystarczy wyjrzee przez okno, aby sit( przekonae, ze jest calkiem gdzie indziej. Aby zrozumiee, dlaczego r6wnowainose mit(dzy przyspieszeniem a skutkami sHy cit(zkosci jest rzeczywiscie istot'! koncepcji Galileusza, rozwaimy raz jeszcze spadaj,!ce kamienie ze szczytu Krzywej Wieiy. Wyobraimy sobie, ze do jednego z nich przylgn,!l jakis owad, obserwuj,!CY ruch drugiego kamienia. Dla takiego owada ten drugi kamien pozostawaiby w spoczynku, tak jakby w og6le nie bylo pola grawitacyjnego; zob. rys. 17.6a. Przyspieszenie, kt6rego owad doswiadcza podczas swobodnego spadania razem z kamieniem, r6wnowaZy pole grawitacyjne, tak jakby sila cit(zkosci w og6le nie istniala, dop6ki, razem z kamieniem, nie uderzy w ziemit(, i wtedy "doswiadczenie nieobecnosci sHy cit(zkosci,,7 gwaitownie sit( zakonczy.
375
17
Czasoprzestrzeli
;
'I
(a)
Rys. 17.6. (a) Dla owada przyczepionego do jednego z kamieni na rysunku 17.5a drugi kamien po prostu wisi w powietrzu bez ruchu, zupelnie tak, jakby pole grawitacyjne nie wystypowalo. (b) Podobnie swobodnie orbituj'lCY astronauta doswiadcza "braku pola grawitacyjnego" i jemu r6wniei: wydaje siy, ze stacja orbitalna wisi bez ruchu, jesli pominie oczywist'l obecnosc Ziemi.
376
Wiemy, ze podobnego efektu doznajq astronauci, ale oni nie doswiadczajq przykrego zakonczenia tego eksperymentu, gdy pozostajq na orbicie okoloziemskiej (albo na pokladzie samolotu, ktory w ostatniej chwili wykonuje manewr unikajqcy zderzenia z ziemiq). Oni, podobnie do naszego owada, po prostu spadajq swobodnie, tylko po bardziej wymyslnie wybranej drodze_ Fakt, ze sHt( cit(zkosci mozna w taki sposob zrownowaZyc przyspieszeniem (na podstawie zasady rownowaznosci), jest bezposredniq konsekwencjq tego, iz (bierna) masa grawitacyjna jest taka sarna (albo proporcjonalna do) masy bezwladnej, co stanowi istott( koncepcji Galileusza. Jesli zasadt( rownowaznosci mamy potraktowac powaznie, to musimy przyjqC innq perspektywt( niz w rozdz. 17.3 w odniesieniu do pytania 0 to, co powinnismy uwazac za "ruch inercjalny". Poprzednio przez ruch inercjalny rozumielismy rodzaj ruchu, jaki wystt(puje, gdy cialo poddano zerowej sile zewnt(trznej, lecz w przypadku pola grawitacyjnego wystt(puje pewien klopot. Ze wzglt(du na zasadt( rownowaznosci nie istnieje lokalny sposob rozroznienia, czy mamy do czynienia z dzialaniem sHy cit(zkosci, czy tez "czujemy dzialanie sHy cit(zkosci", a to jest po prostu efekt przyspieszenia. Ponadto, podobnie jak w przypadku naszego owada na kamieniu Galileusza alba naszego astronauty na orbicie okoloziemskiej, silt( cit(zkosci mozemy "usunqc", po pro stu spadajqc swobodnie zgodnie z niq. A skoro jest taki sposob eliminacji, to musimy traktowac jq inaczej. I to byl wlasnie nowy sposob widzenia, ktory przyjql Einstein: za ruchy inercjalne uWaZac naleZy takie, ktore ciala wykonujq, gdy wszystkie niegrawitacyjne sHy na nie dzialajqce sumujq sit( do zera, a wit(c muszq one spadac swobodnie zgodnie z kierunkiem pol a grawitacyjnego (czyli efektywna sHa cit(zkosci rowniez redukuje sit( do zera). Dlatego zarowno trajektorit( spadku naszego owada, jak i ruch astronauty na orbicie okoloziemskiej musimy traktowac jako ruchy inercjalne. Z kolei osoba stojqca na ziemi w koncepcji Einsteina nie wykonuje ruchu inercjalnego, poniewaz pozostawanie
Czasoprzestrzen newtonowska w uj~ciu Cartana
17.5
w bezruchu w polu grawitacyjnym nie jest spadaniem swobodnym. Dla Newtona taki ruch bylby ruchem inercjalnym, albowiem "stan spoczynku" w jego koncepcji musi byc zawsze uwazany za ruch inercjalny. Sila ciyzkosci, dzialajqca na osoby stojqCq na ziemi, jest skompensowana przez sily reakcji podloza, ale te sily, kazda z osobna, nie Sq rowne zeru, jak tego wymaga Einstein. Einsteinowskie ruchy inercjalne, ktore wykonujq owad i astronaut a, nie Sq zas ruchami inercjalnymi w koncepcji Newtona.
17.5 Czasoprzestrzeft newtonowska w uj~ciu Cartana
W jaki sposob mozna wlqczye einsteinowskie pojycie ruchu inercjalnego do struktury czasoprzestrzeni? Jako krok w kierunku pelnej teorii Einsteina sprobujmy rozwaZyc pewne przeformulowanie teorii grawitacji Newtona zgodnie z punktem widzenia przyjytym przez Einsteina. J ak juz 0 tym wspomnialem na poczqtku rozdz. 17.4, to wcale nie oznacza zmiany w teorii Newtona, jest jedynie nieco innym jej opisem. PostypujqC w ten sposob, pozwalam sobie na pewien liberalizm w przedstawieniu historii problemu, albowiem to przeformulowanie zaprezentowal inny wybitny geometra i algebraik, Elie Cart an (0 ktorego wielkim wplywie na teoriy grup ciqglych mowilismy w rozdz. 13; przypomnijmy takZe rozdz. 12.5), szese lat po tym, jak Einstein przedstawil swoj rewolucyjny punkt widzenia. Z grubsza biorqc tym, co konstytuuje "proste" linie swiata czasoprzestrzeni, Sq ruchy inercjalne w sensie Einsteina, a nie w sensie Newtona. Geometria jest zas podobna do geometrii Galileusza, omawianej w rozdz. 17.2. Bydy jq nazywal czasoprzestrzeniq newtonowskq, N, a newtonowskie pole grawitacyjne jest calkowicie zakodowane w jej strukturze. (Bye moze powinienem nazwae jq "cartanowskq", ale nie podoba mi siy takie okreslenie. W koncu Arystoteles nie mial pojycia 0 istnieniu przestrzeni iloczynowych, a Galileusz - 0 wiqzkach wloknistych!) Czasoprzestrzen N jest wiqzkq z przestrzeniq bazowq lBi i wloknem ]E3, dokladnie tak jak w przypadku rozpatrywanej przez nas poprzednio czasoprzestrzeni Galileusza Q. Teraz jednak w przestrzeni N mamy pewnq struktury odmiennq od struktury przestrzeni Q, poniewaz rodzina "prostych" linii swiata, reprezentujqcych ruchy inercjalne, jest inna; zob. rys. 17.7a. Jest ona istotnie inna we wszystkich przypadkach, z wyjqtkiem tych, w ktorych pole grawitacyjne moze bye calkowicie wyeliminowane przez wybor jakiegos swobodnie spadajqcego globalnego ukladu odniesienia. Takim wyjqtkiem moze bye newtonowskie pole grawitacyjne, niezmienne zarowno pod wzglydem wielkosci, jak i kierunku, w calej przestrzeni, ale ktore ewentualnie moze siy zmieniae w czasie. Obserwatorowi spadajqcemu swobodnie w takim polu bydzie siy wydawalo, ze pole grawitacyjne w ogole nie wystypuje[17.51! ~
[17.5] Znajdz jawne wyrai:enie na transformacjy x jako funkcjy t, kt6ra rna ty wlasnosc, dla zadanego newtonowskiego pola grawitacyjnego F(t), ii w kai:dej chwili t jest stale przestrzennie, lecz zrnienia siy w czasie zar6wno pod wzglydern wielkosci, jak i kierunku.
377
17
Czasoprzestrzen
(a)
(e)
Rys. 17.7. (a) Czasoprzestrzen Newtona-Cartana N, podobnie jak czasoprzestrzen Galileusza g, jest wi
378
W takirn przypadku struktura Nbylaby taka sarna jak g (rys. 17.7b, c). lednak wiykszose pol grawitacyjnych uwazarny za "istotnie rozne" od przypadku nieobecnosci pol a grawitacyjnego. Dlaczego? Czy potrafirny rozpoznae, kiedy struktura N jest rozna od struktury g? Zajrnierny siy tyrn zagadnieniem za chwily. Rozrnaitose N powinna rniee koneksjy, dokladnie tak jak w szczegolnyrn przypadku g. Linie geodezyjne tej koneksji, V (zob. rozdz. 14.5), powinny bye "prostyrni" liniarni swiata, reprezentujqcyrni ruchy inercjalne w sensie Einsteina. Koneksja ta bydzie pozbawiona torsji (rozdz. 14.4) ale, w ogolnyrn przypadku, zaopatrzona w krzywizny (rozdz. 14.4). Wlasnie obecnose tej koneksji powoduje, ze pole grawitacyjne jest "istotnie rozne" od przypadku nieobecnosci pola grawitacyjnego, w przeciwienstwie do uprzednio rozwazanego przestrzennie stalego pola. Sprobujrny zrozurniee sens fizyczny tej krzywizny.
Czasoprzestrzeri newtonowska w ujeciu Cartana
17.5
Wyobrazrny sobie astronauty Alberta, ktarego oznaczy przez ,,1\', spadajqcego swobodnie w przestrzeni, nieco powyiej atrnosfery Zierni. Wyobrairny sobie, ie obserwujerny to w rnornencie, gdy A rna akurat zaczqc spadanie w kierunku Zierni, ale nie jest waine, jakq naprawdy szybkosc rna A; istotne jest jego przyspieszenie i przyspieszenie cial znajdujqcych siy w jego sqsiedztwie, ktare rnajq znaczenie dla naszej obserwacji. A rnaglby bezpiecznie przebywac na orbicie i nie rnusialby spadac w strony Zierni. Wyobrazrny sobie, ie A znajduje siy w srodku sfery, na ktarej znajdujq siy inne ciala, poczqtkowo w stanie spoczynku w odniesieniu do A. Teraz, zgodnie ze zwyklq teoriq Newtona, raine cZqstki znajdujqce siy na tej sferze bydq przyspieszaly w kierunku srodka Zierni, E, ale w nieco rainych kierunkach (poniewai dla rainych cZqstek na sferze srodek E bydzie znajdowal siy gdzie indziej), a takie zrnieniac siy bydzie wielkosc tego przyspieszenia (poniewai bydzie zrnieniac siy odleglosc od E). Interesujq nas te wzglydne przyspieszenia w porawnaniu z przyspieszeniern astronauty A, poniewai jestesrny ciekawi, co obserwator inercjalny (w sensie Einsteina) - w tyrn przypadku A - zauwaiy, obserwujqc ruch znajdujqcych siy w pobliiu bezwladnych cial. Sytuacjy ty ilustruje rys. 17.8a. Ciala rozrnieszczone horyzontalnie w stosunku do A bydq poruszaly siy w kierunku Zierni z przyspieszeniarni nieco odchylonyrni w strony A, ze wzglydu na skon-
:,
(a)
'\,
(b)
Rys. 17.8. (a) Efekt plywowy. Astronauta A (Albert), otoczony sfeq, na kt6rej rozmieszczone Sq czqstki, poczqtkowo w stanie spoczynku w stosunku do A. W terminach newtonowskich czqstki te majq przyspieszenie skierowane do srodka Ziemi, E, kt6re dla r6znych czqstek jest r6zne pod wzglydem wielkosci i kierunku (pojedyncze strzalki). Odejmujqc za kazdym razem przyspieszenie A, otrzymujemy rozklad przyspieszen w stosunku do A (strzalki podw6jne). To wzglydne przyspieszenie jest skierowane nieco do srodka dla cZqstek rozmieszczonych horyzontalnie wzglydem A, lecz nieco na zewnqtrz w przypadku czqstek rozmieszczonych pionowo w stosunku do A. W zwiqzku z tym sfera ulega odksztalceniu w (wydluzonq) elipsoidy obrotowq, kt6rej os symetrii przebiega wzdluz linii AE. To odksztalcenie nie zmienia objytosci. (b) Teraz przesunmy A do srodka Ziemi E, a sfery cZqstek otaczajqcych E umiescmy nieco ponad atmosferq. W takim przypadku przyspieszenie (wzglydem A = E) jest skierowane do wewnqtrz na calej sferze i odpowiada poczqtkowej redukcji objytosci, wynoszqcej 41tGM, gdzie M jest calkowitq otaczanq masq.
379
17
Czasoprzestrzen
czon'! odleglose od srodka Ziemi, podezas gdy ciala rozmieszczone pionowo wobee A byd,! mialy przyspieszenia nieeo "odchylone" od A, poniewaz sila ciyzkosci maleje wraz z odleglosci,! od E. Wobee tego nast,!pi pewne znieksztalcenie sfery, na ktorej rozmieszczone s,! ciala. Ta dystorsja, w odniesieniu do blisko leZ,!cych cz'!stek, przyjmie postae elipsoidy obrotowej, wydluzonej, ktorej os glowna (os symetrii) przebiega wzdluz linii AE. Ponadto sfera ulegnie odksztalceniu w elipsoidy, ktorej objytose jest rowna objytosci pocz'!tkowej sfery[17.61• Ta ostatnia wlasnose jest eech,! eharakterystyezn,! prawa grawitacji Newtona (sila odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odleglosci) i jest to godny uwagi fakt, dla nas bardzo istotny, gdy przejdziemy do blizszego przedstawienia ogolnej teorii wzglydnosei Einsteina. Trzeba zauwaZye, ze ten efekt zachowania objytosci wystypuje na pocz'!tku, gdy cz'!stki zaczynaj,!, ze stanu spoczynku, poruszae siy wzglydem A; z tym zastrzeZeniem stanowi to ogoln,! wlasciwose newtonowskich pol grawitacyjnych, jesli A znajduje siy w prozni. (Co prawda symetria obrotowa elipsoidy jest przypadkowa i zwi'!Zana z t'! szezegoln'! geometri,!, z jak,! mamy tutaj do ezynienia.) W jaki sposob mamy to wszystko zrozumiee w terminach naszego obrazu czasoprzestrzeni N? Na rys. 17.9a probowalem przedstawie, jak wygl,!dalyby linie swiata A i otaczaj'!cyeh go cz,!stek. (Oczywiseie, musialem tutaj pomin,!e wymiary przestrzenne, gdyz trudno oddae na plaszczyznie prawdziw,! geometriy 4-wymiarow'!! Na szczyscie, dwa wymiary przestrzenne zupelnie wystarczaj'! do wylozenia
(a)
(b)
Rys. 17.9. Czasoprzestrzenna wersja I)'sunku 17.8 (w obrazie NNewtona-Cartana, przedstawionym na I)'s. 17.7), w terminach wzgl~dnych odchylen s,!siednich linii geodezyjnych. (a) Odchylenie geodezyjne w pustej przestrzeni Gest to w zasadzie krzywizna Weyla z rozdz. 19.7), jak to widzimy na liniach swiata A i otaczaj,!cych cz'!stek Geden wymiar przestrzenny pomini~ty), wywolane polem grawitacyjnym pochodz,!cym od le:i:,!cego w pobli:i:u ciala E. (b) Odpowiednie przyspieszenie "do wewn'!trz" (w zasadzie krzywizna Ricciego) wywolane g~sto§ci,! masy wewn'!trz wi,!zki linii geodczyjnych.
380
~ [17.6] Wykai rachunkiem te roine wlasnosci, poslugujqc rZqd wielkosci, w ktorym te stwierdzenia Sq sluszne.
si~
notacjq O( ), aby ukazac
Czasoprzestrzen newtonowska w uj~ciu Cartana
17.5
zasadniczej idei.) ZauwaZmy, ze odksztalcenie sfery zawieraj,!cej otaczaj'!ce cz'!stki (przedstawionej na rysunku jako okr,!g) powstaje w wyniku odchylenia geodezyjnego s,!siednich linii geodezyjnych w stosunku do geodezyjnej linii swiata A. W rozdz. 14.5 wyjasnialem, dlaczego to odchylenie geodezyjne stanowi miary krzywizny R koneksji V. W terminach fizyki Newtona zjawisko odksztalcenia, ktore wlasnie opisalem, nosi nazwy grawitacyjnego efektu plywowego. Uzasadnienie tej nazwy stanie siy widoczne, jesli zamienimy rolami E i A, a wiyc A bydziemy uWaZali za srodek Ziemi, w miejscu E ulokujemy zas KsiyZyc lub Slonce. Wyobrazmy sobie, ze sfera otaczaj,!cych cz'!stek jest teraz powierzchni,! oceanow ziemskich, a zatem wystypuje efekt odksztalcenia w wyniku niejednorodnego pol a grawitacyjnego KsiyZyca (lub slonca)l17.71. To odksztalcenie jest przyczyn,! plywow oceanow, a wiyc nazwa "efekt plywowy", ktor,! nadajemy tej bezposredniej fizycznej manifestacji krzywizny czasoprzestrzeni, jest rzeczywiscie odpowiednia. W rzeczywistosci w sytuacji, ktor,! wlasnie rozwaZylismy, wplyw KsiyZyca (lub Slonca) na wzglydne przyspieszenie cz,!stek na powierzchni Ziemi stanowijedynie niewielk,! poprawky do glownego efektu grawitacyjnego, a mianowicie do samego przyci,!gania ziemskiego. Oczywiscie, to przyci,!ganie jest skierowane do "wewn'!trz", to znaczy w kierunku srodka Ziemi (obecnie, w naszym opisie przestrzennym, jest to punkt A; zob. rys. 17.8b), i zalezne od polozenia poszczegolnych cz'!stek. Jesli przyjmiemy, ze ta sfera cial otacza Ziemiy tuz powyzej atmosfery ziemskiej (a wiyc kiedy mozemy pomin,!c opor powietrza), wowczas bydziemy mieli do czynienia ze spadaniem swobodnym (einsteinowskim ruchem inercjalnym) wszystkich cz'!stek na calej sferze. Teraz, zamiast odksztalcenia sfery w elipsoidy 0 takiej samej objytosci, nastqpi redukcja obj~tosci. W ogolnym przypadku wystypowac bydq oba efekty. W pustej przestrzeni zachodzi tylko odksztalcenie i nie wystypuje redukcja objytosci; kiedy nasza sfera otacza materiy, wowczas pojawia siy efekt redukcji objytosci, ktory jest proporcjonalny do calkowitej masy tej materii. Jesli ta masa wynosi M, wowczas poczqtkowa redukcja objytosci (jako miara przyspieszenia "do srodka") wynosi
4rcGM gdzie G jest stalq grawitacyjnq Newtona[17.81,[17.91.
~ [17.7] Pokaz, ze to odksztalcenie ptywowe jest proporcjonalne do mr-\ gdzie m jest masq grawitujqcego ciata (rozpatrywanego jako punkt materialny) w odlegtosci r. Stonce i KsiyZyc przedstawiajq na Ziemi kola 0 bardzo zblizonych rozmiarach kqtowych, jednak odksztalcenie plywowe ocean6w ziemskich, spowodowane przez KsiyZyc, jest okolo piyciu razy wiyksze od wywolanego przez Stonce. Co nam to m6wi 0 ich wzglydnych odlegtosciach? ~ [17.8] Pokaz to, zaktadajqc, ze cata masa jest skoncentrowana w srodku sfery. 1m. [17.9] Pokaz, ze ten wynikjest catkowicie og61ny, bez wzglydu na to, jak wielka jest i jaki ksztatt rna otaczajqca powtoka stacjonarnych cZqstek, i niezaleznie od rozktadu mas.
381
17
Czasoprzestrzen
Cartan pokazal, ze mozliwe jest calkowite przeformulowanie teorii grawitacji Newtona w jyzyku warunk6w matematycznych nalozonych na koneksjy V. Warunki te majq. postac r6wnan, kt6re musi spelniac krzywizna R. Stanowiq. one dokladny matematyczny zapis przedstawionych wczesniej wymagan, wiq.zq. gystosc materii p (masy na jednostky objytosci przestrzennej) z czysciq. R odpowiadajq.cq. za "redukcjy objytosci". Nie bydy tutaj referowal formalizmu Cartana, bo to nie jest niezbydne dla naszych dalszych rozwazan, a pelna teoria Einsteina jest, w pewnym sensie, prostsza. J ednak sarna idea rna dla nas znaczenie, nie tylko dlatego, ze lagodnie wprowadza w krq.g teorii Einsteina, ale takZe dlatego, ze przyda nam siy w dalszych rozwaZaniach (rozdz. 30.11), dotyczq.cych glybokich zagadek teorii kwantowej i ich mozliwych rozwiq.zan.
17.6 Stafa skonczona prQdkosc swiatfa
382
W przedstawionej dyskusji rozpatrywalismy dwa fundamentalne aspekty og6lnej teorii wzglydnosci Einsteina, mianowicie zasad~ wzgl~dnosci, kt6ra m6wi, ze prawa fizyki sq. slepe na r6znicy miydzy ruchem stacjonarnym a ruchem jednostajnym, oraz zasad~ r6wnowainosci, kt6ra m6wi, w jaki spos6b te idee mozna subtelnie zmodyfikowac, zeby stosowaly siy do pola grawitacyjnego. Teraz musimy zajq.c siy trzecim podstawowym skladnikiem teorii Einsteina, kt6ry wiq.ze siy ze skonczonosciq. prydkosci swiatla. Jest godne uwagi, ze te wszystkie trzy podstawowe elementy teorii Einsteina odnalezc mozna juz w poglq.dach Galileusza; poniewaz Galileusz byl prawdopodobnie pierwszq. osobq., kt6ra podejrzewala, ze swiatlo moze siy poruszac ze skonczonq. prydkosciq., i nawet podjq.l dzialania w kierunku pomiaru tej prydkosci. Metoda, kt6rq. zaproponowal (w 1638 r.), polegajq.ca na wykorzystaniu synchronizowanych rozblysk6w swiatel latarni, umieszczonych miydzy odleglymi wzg6rzami, byla jednak, jak obecnie wiemy, stanowczo zbyt prymitywna. Jednak w 1638 roku Galileusz nie podejrzewal nawet ogromnej prydkosci, z jakq. wydruje swiatlo. Wydaje siy, ze zar6wno Galileusz, jak i Newton 8 Zywili powazne przypuszczenia co do glybokiej roli, jakq. odgrywa natura swiatla w silach wiq.Zq.cych materiy. Na wlasciwe rozwiniycie tych intuicji trzeba bylo czekac do XX wieku, kiedy odkryto prawdziwq. natury sit chemicznych i sit wiq.zq.cych atomy. Dzisiaj wiemy, ze pochodzenie tych sil jest zasadniczo elektromagnetyczne (zwiq.zane z polem elektromagnetycznym naladowanych czq.stek) oraz ze teoria zjawisk elektromagnetycznych jest r6wniez teoriq. swiatla. Aby zrozumiec chemiy atom6w, potrzebna byla mechanika kwantowa, ale podstawowe r6wnania opisujq.ce zar6wno elektromagnetyzm, jak i Swiatlo przedstawione zostaly przez szkockiego fizyka Jamesa Clarka Maxwella, inspirowanego przez wielkie eksperymenty Michaela Faradaya, przeprowadzone oko1030 lat wczesniej. Do teorii Maxwella powr6cimy p6zniej (rozdz. 19.2), ale bezposrednie znaczenie rna tu fakt, ze prydkosc swiatla w tej teorii rna okreslonq. stalq. wartosc, zwykle oznaczanq. literq. c, wynoszq.cq. okolo 3 x 108 metr6w na sekundy.
Stoiki swietlne
17.7
Fakt ten jednak staje siy bardzo zagadkowy, kiedy chcemy zachowac zasady wzglydnosci. Zdrowy rozs'!dek podpowiada nam, ze jesli obserwator, znajduj,!CY siy w jakims spoczynkowym ukladzie odniesienia, dokona pomiaru prydkosci swiatla i otrzyma wartosc c, wowczas inny obserwator, poruszaj,!CY siy z wielk,! prydkosci,! w stosunku do pierwszego, zmierzy inn,! prydkosc swiatla, zwiykszon,! lub zmniejszon'!, w zaleznosci od tego, z jak,! prydkosci,! sam siy porusza. Zasada wzglydnosci wymagalaby, zeby prawa fizyczne w ukladzie odniesienia drugiego obserwatora, takie jak, w szczegolnosci, obserwowana przez niego prydkosc swiatla, byly identyczne z prawami w ukladzie pierwszego obserwatora. Ta widoczna sprzecznosc miydzy stalosci,! prydkosci a zasad'! wzglydnosci doprowadzila Einsteina - podobnie jak wczesniej holenderskiego fizyka Hendrika Antoona Lorentza, a zwlaszcza francuskiego matematyka Henri Poincarego - do odkrycia innego punktu widzenia, ktory umozliwil usuniycie tej pozornej sprzecznosci. Jak nalery to rozumiec? Moglibysmy w sposob naturalny uwierzyc, ze istnieje nieusuwalna sprzecznosc miydzy wymaganiami (a) teorii takiej jak teoria Maxwella, w ktorej wystypuje absolutna prydkosc swiatla, a (b) zasad'! wzglydnosci, zgodnie z ktor,! prawa fizyczne pozostaj'! takie same, niezaleznie od prydkosci ukladu odniesienia, w jakim je opisujemy. Bo czyz nie mozna stworzyc ukladu odniesienia poruszaj,!cego siy z prydkosci,! blisk,! alba nawet przewyzszaj'!c'! prydkosc swiatla? I czyz prydkosc swiatla w takim ukladzie odniesienia nie powinna ulec zmianie? Ta niew'!tpliwa zagadka nie mogla pojawic siy w ramach teorii proponowanej pocz'!tkowo przez Newtona (a takie, jak siy domyslam, rowniez przez Galileusza), w ktorej swiatlo zachowuje siy jak czqstki, a prydkosci cz'!stek zalez'! od prydkosci, z jak,! porusza siy ich zrodlo. Dlatego zarowno Galileusz, jak i Newton znakomicie pogodziliby siy z zasad'! wzglydnosci. Jednak taki obraz natury swiatla z uplywem lat prowadzil do coraz wiykszej liczby konfliktow z danymi doswiadczalnymi, takimi na przyklad jak obserwacje odleglych gwiazd podwojnych, z ktorych wynikalo, ze prydkosc swiatla jest niezaleina od prydkosci jego zrodla 9• Teoria Maxwella natomiast zdobywala coraz wiyksze uznanie, nie tylko dziyki ogromnemu materialowi doswiadczalnemu (w szczegolnosci eksperymentom przeprowadzonym w 1888 roku przez Heinricha Hertza), lecz rowniei dziyki zniewalaj,!cej i unifikuj,!cej naturze samej teorii, w ktorej prawa rz'!dz'!ce polami elektrycznymi, polami magnetycznymi i swiatlem mozna wspolnie uj,!c w ramach formalizmu matematycznego 0 niezwyklej elegancji i zasadniczej prostocie. W teorii Maxwella swiatlo staje siy ruchem fal, a nie cz,!stek; ponadto mamy w niej rzeczywiscie do czynienia ze stal'! prydkosci,! rozchodzenia siy fal swietlnych.
17.7 Stozki 5wietlne
Czasowo-przestrzenno-geometryczny punkt widzenia podsuwa nam szczegolnie klarowny sposob rozwi,!zania zagadki, jak,! jest konflikt miydzy teori,! Maxwella a zasad'! wzglydnosci. Juz wcze§niej pozwolilem sobie zauwaryc, ze to nie Ein-
383
17
Czasoprzestrzen
stein pierwszy przyjql taki punkt widzenia (nie byl to takie Lorentz ani nawet Poincare). Z dzisiejszej perspektywy widzimy jednak sily i znaczenie tego podejscia. Na chwily odlozmy na bok grawitacjy oraz subtelnosci i komplikacje zwiqzane z zasadq rownowaznosci. Wystartujmy z "czystq kartkq" - alba raczej z 4-rozmaitosciq rzeczywistq bez jakiejkolwiek struktury. Chcemy przekonae siy, co moze oznaczae, ze istnieje jakas fundamentalna prydkose, ktora rna bye prydkosciq swiatla. W dowolnym punkcie p (tzn. "zdarzeniu") w czasoprzestrzeni wyobrazmy sobie rodziny wszystkich roznych promieni swietlnych, przechodzqcych przez ten punkt, we wszystkich mozliwych kierunkach przestrzennych. Czasoprzestrzenny opis takiej sytuacji daje rodziny linii swiata przechodzqcych przezp; zob. rys. 17.lOa, b. Wygodnie bydzie mowie 0 tych liniach swiata jako 0 "historiach fotonow" przechodzqcych przez p, aczkolwiek teoria Maxwella traktuje swiatlo jako ruch falowy (choe z roznych powodow ta kwestia nie stanowi istotnego problemu). W teorii Maxwella mozna uWaZae "foton" za maleiikq wiqzky falowego zaburzenia elektromagnetycznego 0 bardzo wysokiej cZystosci, ktora bydzie zachowywala siy, w sposob odpowiadajqcy naszym celom, jak maleiika cZqstka poruszajqca siy z prydkosciq swiatla. (Alternatywnie moglibysmy myslee w terminach "czola fali" bqdz poslugujqc siy matematycznym pojyciem "bicharakterystyki", alba mozemy odwolae siy do teorii kwantowej, zgodnie z ktorq swiatlo moze skladae siy z "czqsteczek", jakie okreslamy mianem fotonow). W otoczeniu punktu p rodzina historii fotonow przechodzqcych przez p, jak to obrazuje rys. 17.lOb, opisuje stozek w czasoprzestrzeni, ktory bydziemy nazywaIi stoikiem swietlnym w punkcie p. Jesli chcemy potraktowae prydkose swiatla jako wielkose fundamentalnq, to, w terminach czasoprzestrzeni, musimy potraktowae
(b)
384
(e)
Rys. 17.10. Stozek swietlny okresla podstawow'! pnydkosc swiatla. Przedstawione SCI historie foton6w przechodz'!cych przez punkt czasoprzestrzenny (zdarzenie) p. (a) W czysto przestrzennych terminach stozek swietlny (przyszlosci) jest sfer,! rozszerzaj'!C'I si~ od punktu p (czolo fali). (b) W czasoprzestrzeni historie foton6w przechodz'!cych przez p omiataj'! stozek swietlny z wierzcholkiem w punkcie p. (c) Poniewaz w dalszej cz~sci b~dziemy rozpatrywali czasoprzestrzenie zakrzywione, lepiej jest mys\ec o stozku - cz~sto nazywanym stoikiem zerowym w punkcie p - jako 0 strukturze lokalnej w czasoprzestrzeni, tzn. w przestrzeni stycznej Tp w punkcie p.
Stoiki swietlne
17.7
stozki swietlne jako wielkosci fundamentalne. Z punktu widzenia wlasciwego dla geometrii rozmaitosci (zob. rozdz. 12 i 14) 1epiej jest uwazac "stozek swietlny" za pewn'! struktury w przestrzeni stycznej, Tp ' w punkcie p; zob. rys. 17.lOc. (W koncu nas interesuje prydkosc w punkcie p, a prydkosc jest wielkosci,!, ktor,! definiujemy w przestrzeni stycznej.) CZysto dla tej struktury w przestrzeni stycznej uZywa siy nazwy stoiek zeroJ.1.Y - i ja tez woly ten termin - rezerwuj'!c pojycie "stozka swietlnego" dla konkretnego obszaru czasoprzestrzeni, ktory jest omiatany przez promienie swietlne przechodz'!ce przez p. ZauwaZmy, ze stozek swietlny (podobnie jak stozek zerowy) sklada siy z dwoch cZysci, stoika przeszlosci i stoika przysziosci. Mozemy uwazac, ze stozek przeszlosci reprezentuje historiy strumienia swiatla skupiaj,!cego siy w p, a wiyc wszystkie promienie zbiegaj,! siy jednoczesnie w jednym zdarzeniu p; odpowiednio, stozek przyszlosci reprezentuje historiy strumienia swiatla, ktore rozblyslo w zdarzeniu p; zob. rys. 17.11. Jak mozna opisac matematycznie stozek zerowy w p? Podstawy formalizmu znajdziemy w rozdz. 13 i 14. Z'!damy, zeby prydkosc swiatla w p byla taka sarna we wszystkich kierunkach, wobec czego natychmiast po rozblysku swiatla czolem fali swietlnej wydaje siy sfera, a nie jakis inny jajowaty ksztaleo. Mowi,!c "natychmiast", mam rzeczywiscie na mysli to, ze te rozwazania odnosz'! siy do infinitezymalnego czasowego (i przestrzennego) otoczenia punktu p, a wiyc mam prawo uWaZac je za struktury przestrzeni stycznej w punkcie p. Gdy zas mowiy, ze stozek zerowy wydaje siy sferyczny, chodzi mi tylko 0 to, iz rownanie stozka w tej przestrzeni stycznej jest rownaniem kwadratowym. To oznacza, ze rownanie przyjmuje postac
gab vavb = 0'
Rys. 17.11. Stozek przeszlosci i stozek przyszlosci. Zerowy stozek przesz!osci (przesz!ych wektorow zerowych) obejmuje promienie swietlne zbiegaj1!ce si,< w p w taki sam sposob jak stozek przyszlosci (przyszlych wektorow zerowych) odnosi si,< do swiatla wychodz1!cego zp. Linia swiata dowolnej cZ1!stki materialnej w p rna wektor styczny, ktory jest (przyszlym) wektorem czasowym, a zatem leZy wewn1!trz zerowego stozka przyszlosci w p.
385
17
Czasoprzestrzen
Rys.17.12. Przestrzen Minkowskiego MIjest plaska, a jej stozki zerowe Sll uPorzlldkowane jednorodnie i mogll bye tutaj przedstawione jako wzajemnie r6wno\egle.
gdzie
gab
jest zapisem wskaznikowym pewnego nieosobliwego symetrycznego
[~]-tensora go sygnaturze lorentzowskiej (rozdz. 13.8)[17.10]. Okreslenie "zerowy"
w pojC(ciu "stozka zerowego" odnosi siC( do faktu, ze w (pseudo )metryce g wektor v
rna dlugosc zerowq (Iv1 2 = 0). Na tym etapie interesuje nas tylko rolagw zdefiniowaniu stozkow zerowych na mocy podanego rownania. lesli tensor g pomnoZymy przez dowoln'! liczbC( rzeczywist,! rozn,! od zera, to otrzymamy dokladnie ten sam stozek zerowy (zob. rownieZ rozdz. 27.12 i 33.3). Wkrotce bC(dziemy chcieli, zeby g mial jeszcze inne fizyczne znaczenie i byl tensorem metrycznym, do czego bC(dzie nam potrzebny odpowiedni czynnik skaluj,!CY; jednak w tym miejscu interesuje nas jedynie rodzina stozkow zerowych, po jednym dla kazdego punktu czasoprzestrzeni. Abysmy mogli stwierdzic, ze prC(dkosc swiatla jest wielkosci,! stal,!, powinnismy rozpatrywac stozki zerowe roznych zdarzen jako wzajemnie rownolegle, albowiem "prC(dkosc" w terminach przestrzennych oznacza "nachylenie" w jC(zyku czasoprzestrzeni. A to prowadzi nas do obrazu czasoprzestrzeni przestawionego na rys. 17.12.
17.8 Rezygnacja z czasu absolutnego Mozemy teraz postawic pytanie, czy wlasciwe jest nalozenie struktury wi¥ki na czasoprzestrzen Galileusza Q. Innymi slowy, czy mozliwe jest wl,!czenie do naszego obrazu pojC(cia czasu absolutnego? Gdyby tak bylo, to otrzymalibysmy obraz podobny do tego na rys. 17.13. PrzeciC(cie czasoprzestrzeni przez rodzinC( przestrzeni E3 daloby nam 3-wymiarowe plaskie elementy w kaZdej przestrzeni stycznej Tp w dodatku do stozka zerowego, co ilustruje rys. 17.12. lednak, jak to wyjasniC( szczegolowo w nastC(pnym rozdziale, tensor g definiuje pojC(cie ortogonalnosci, a to oznacza, ze w kazdym zdarzeniu p wystC(puje kierunek preferowany (dopelnienie ortogonalne tego 3-wymiarowego elementu plaskiego ze wzglC(du na g), ktory daje preferowany stan spoczynku w kaZdym p. W ten sposob stracilismy zasadC( wzglC(dnosci!
386
jll [17.10] Wyjasnij dlaczego.
Rezygnacja z czasu absolutnego
Przekroje ')
17.8
Rys.17.13. Wprowadzenie pojt(cia czasu absolutnego do MI wyspecyfikowaloby rodzint( lE,J rozcinajllcll MI na plasterki, a stlld lokalne 3-wyrniarowe elementy plaskie w kaidym zdarzeniu. lednak kaidy stoi:ek zerowy definiuje pewnll (pseudo )metrykt( g, z dokladnoscill do czynnika proporcjonalnosci, a wynikaj,!ce stlld pojt(cie ortogonalnosci determinuje stan spoczynku.
M6wiqc bardziej prozaicznie, argument wyraia "zdroworoZSqdkowy" poglqd, ze jesli istnieje absolutna prydkose swiatla, to istnieje tei preferowany "stan spoczynku", w odniesieniu do kt6rego ta prydkose wydaje siy identyczna we wszystkich kierunkach. Mniej oczywiste jest to, ze tego rodzaju konflikt powstaje jedynie w6wczas, gdy usitujemy zachowae pojycie absolutnego czasu (albo przynajmniej preferowanq 3-przestrzen dla kazdej Tp)' Teraz powinno bye jasne, jak naleiy postypowae. Musimy odrzucie pojycie absolutnego czasu (a wiyc struktury wiqzkowq giN). Na tym poziomie wyrafinowania, do kt6rego doszlismy, takie stwierdzenie nie powinno specjalnie dziwie. Wiemy juz 0 koniecznosci porzucenia koncepcji absolutnej przestrzeni z chwilq, gdy na serio potraktowalismy zasadt( wzglydnosci Galileusza (aczkolwiek przyznae trzeba, ze ten poglqd nie jest tak szeroko podzielany, jak powinien bye). Teraz wiyc zaakceptowanie faktu, ze czas nie jest pojt(ciem absolutnym, podobnie jak nie jest absolutnym pojyciem przestrzen, raczej nie stanowi wielkiej rewolucji. Musimy zatem pozegnae sit( z plastrami ]E3 przecinajqcymi czasoprzestrzen i przyjqe do wiadomosci, ze jedynym powodem, dla kt6rego pojt(cie czasu absolutnego mocno zakorzenito sit( w naszym mysleniu, jest fakt niewyobrazalnie wielkiej prt(dkosci swiatla w por6wnaniu ze znanymi prydkosciami. Na rys. 17.14 przerysowatem czyse rys. 17.13, przyjmujqc relacjt( rozmiar6w poziomych i pionowych nieco bardziej zblizonq do tych, kt6re bylyby odpowiednie dla jednostek uiywanych powszechnie. Lecz jest to niewielkie przyblizenie, poniewaz musimy miee swiadomose, ze w zwyklych jednostkach, powiedzmy gdybysmy mierzyli czas w sekundach, a odleglosci w metrach, prydkose swiatla c wynosi c = 299 792 458 metr6w na sekundy
Rys. 17.14. Stoi:ek zerowy przerysowany w taki spos6b, i:e skala czasowa i przestrzenna Sll nieco blii:sze tym, z jakimi zwykle sit( stykamy.
387
17
Czasoprzestrzen
i jest to wartosc doldadna 11! Trzeba przyznac, ze nasze diagramy czasoprzestrzenne (i wzory) stajq si« szalenie skomplikowane, gdy poslugujemy si« konwencjonalnymi jednostkami, wi«c w pracach w teorii wzgl«dnosci powszechnie przyjmuje si« takie jednostki, w ktorych c = 1. Oznacza to, ze jesli wybierzemy sekund{? jako naSZq jednostk« czasu, wowczas musimy wybrac sekund{? Swietlnq (tj. 299792458 metrow) jako naszq jednostk« odleglosci; jei:eli za jednostk« czasu wybierzemy rok, wowczas za jednostk« odleglosci musimy przyjqc rok swietlny (okolo 9,46 x 1015 metrow); jesli chcemy zachowac metr jako jednostk« odleglosci, to za jednostk« czasu musimy przyjqc takq wielkosc jak 3t nanosekundy, itd. Obraz czasoprzestrzeni zilustrowany rysunkiem 17.12 wprowadzil Hermann Minkowski (1864--1909), niezwykle subtelny i oryginalny matematyk. Tak si« zloi:ylo, ze byl on rowniez jednym z nauczycieli Alberta Einsteina podczas jego studiow w ETH (Wyzszej Szkole Technicznej) w Zurychu w latach dziewi«cdziesiqtych XIX wieku. W rzeczywistosci sarna idea czasoprzestrzeni pochodzi od Minkowskiego, ktory napisalw 1908 roku 12 : "Od tej pory zarowno sarna przestrzen,jak i sam czas Sq skazane na usuni«cie si« w cien, a jedynie ich swoiste polqczenie zachowa swojq, niezaleznq, realnq, fizycznq tresc". W moim przekonaniu, pomimo cudownej fizycznej intuicji Einsteina, pomimo wielkich koncepcji Lorentza i Poincarego, szczegolna teoria wzgl«dnosci nie stala si« zupelna, dopoki nie pojawil si« Minkowski z fundamentalnq i rewolucyjnq ideq czasoprzestrzeni. Aby uzupelnic koncepcj« Minkowskiego odnosnie do geometrii lezqcej u podstaw szczegolnej teorii wzgl«dnosci, a wi«c zdefiniowac czasoprzestrzen Minkowskiego M, musimy ustalic skal{? g tak, zeby wynikala stqd miara "dlugosci" wzdluz linii swiata. Odnosi si« to do krzywych w M, ktore nazywamy czasopodobnymi, co oznacza, ze styczne do nich zawsze lezq wewnqtrz stozkow zerowych (rys. 17.15a; zob. takZe rys. 17.11) i, zgodnie z teoriq, Sq mozliwymi liniami swiata dla zwyklych cZqstek obdarzonych masq. W tym wypadku przez "dlugosc" rozumiemy czas i mierzy ona rzeczywisty czas i, jaki zarejestrowalby zegar idealny, mi«dzy dwoma punktami,A a B, na tej krzywej, zgodnie z wzorem (zob. rozdz. 14.7, 13.8)
388
W tym miejscu zqdamy, zeby metryka czasoprzestrzeni g miala sygnatur« + -- -- -(z roznych powodow wol« taki wybor metryki niz CZ«sto stosowany + + + --). Linie swiata fotonow nazywane Sq zerowymi (albo swietlnymi), a styczne do nich lezq na stozkach zerowych (rys. 17.15b). Zgodnie z tym "czas", jakiego doswiadcza foton (0 ile zgodzimy si«, ze fotony mogq zdobywac doswiadczenie), musi wynosic zero! W przedstawionej dyskusji zdecydowalem si« poloi:yc wi«kszy nacisk na zerostozkowq struktur« czasoprzestrzeni niz na jej metryk«. Istotnie, pod pewnymi wzgl«dami znaczenie stozkow zerowych jest bardziej fundamentalne niz metryka. Stozki zerowe determinujq wlasnosci przyczynowosci czasoprzestrzeni. Jak wlasnie zauwai:ylismy, linie swiata cZqstek materialnych powinny lezec wewnqtrz stoz-
Rezygnacja z czasu absolutnego
17.8
~ l) \
(a)
Rys. 17.15. (a) Linia swiata cZ'lstki masywnej jest zawsze krzyw'l czasopodobn'l, a wil(c jej styczne
zawsze le:i:'l wewn'ltrz lokalnych sto:i:k6w zerowych, daj'lc dodatniq wartosc dla ds 2 = gabdxadxb. Wielkosc ds 2 = (gabdx adx b)l!2 mierzy infinitezymalny interwal czasowy wzdlu:i: tej krzywej, stqd T = Ids jest czasem zmierzonym przez zegar idealny niesiony przez cZ'lstkl( mil(dzy tymi dwoma zdarzeniami wzdlu:i: krzywej. (b) W przypadku cZqstki bezmasowej (np. fotonu) styczne do linii §Wiata le:i:q na sto:i:kach zerowych (zerowe linii swiata), w zwi'lzku z czym przedzial czasowy T = Ids zawsze znika.
k6w, natomiast linie swiata promieni swietlnych lezq na stozkach. Zadna czqstka fizyczna nie moze miee przestrzennopodobnej linii swiata, a wiyc takiej, kt6ra leZy na zewnqtrz zwiqzanych z niq stozk6w swietlnych 13 • Jesli myslimy 0 rzeczywistych sygnalach przenoszonych przez cZqstki materialne lub fotony, to dochodzimy do wniosku, ze zaden taki sygnal nie moze bye przenoszony na zewnqtrz ograniczen nalozonych przez stozki zerowe. Gdy rozwaZymy pewien punkt p w M, to widzimy, ze obszar, kt6ry leZy na jego stozku przyszlosci alba wewnqtrz niego, zawiera wszystkie zdarzenia, kt6re w zasadzie Sq w stanie odebrae sygnal wyemitowany w p. Podobnie punkty M, lezqce na stozku przeszlosci punktu p albo wewnqtrz niego, Sq dokladnie tymi zdarzeniami, kt6re w zasadzie Sq w stanie wyslae sygnal do punktu p; zob. rys. 17.16. To sytuacja podobna do tej, kt6q spotykamy, rozpatrujqc propagacjy p61, a nawet efekty kwantowomechaniczne (aczkolwiek, jak to zobaczymy w rozdz. 23.10, pewne zadziwiajqce okolicznosci powstajq, kiedy rozpatrujemy splqtanie kwantowe - czyli quanglement = quantum entanglement). Stozki zerowe rzeczywiscie definiujq struktur{! przyczynowq M: zadne cialo materialne alba sygnal fizyczny nie moze poruszae siy szybciej nu swiatlo; muszq koniecznie bye ograniczone do wewnqtrz (albo do powierzchni) stozk6w swietlnych. A co z zasadq wzglydnosci? W rozdz. 18.2 przekonamy siy, ze zdumiewajqca geometria Minkowskiego rna r6wnie wielkq grupy symetrii jak cala czasoprzestrzen 9 fizyki Galileusza. Nie tylko wszystkie punkty M naleZy traktowae tak sarno, ale
389
17
Czasoprzestrzeri
Rys. 17.16. Przyszlosc zdarzenia p jest obszarem, ktory mo:i:na osi,!gn,!c na drodze czasopodobnych krzywych przyszlosci. Rysunek ukazuje przypadek zakrzywionej czasoprzestrzeni (zob. rys. 17.17). Granica tego obszaru (wszi(dzie, gdzie jest gladka) jest styczna do sto:i:kow swietlnych. Sygnaly, czy to przenoszone przez cz'!stki masywne, czy przez bezmasowe fotony, docieraj,! do punktow le:i:,!cych alba wewn'!trz tego obszaru, alba na jego granicy. Podobnie definiujemy przeszlosc zdarzenia p.
takZe wszystkie mozliwe prydkosci (czasopodobne kierunki skierowane ku przyszlosci) naleZy traktowac identycznie. Wyjasnimy to bardziej szczegolowo w rozdz. 18.2. Zasada wzglydnosci obowiC!Zuje w M tak sarno jak w Q!
17.9 Czasoprzestrzeli og61nej teorii
wzgl~dnosci
Einsteina
W koncu przechodzimy do einsteinowskiej czasoprzestrzeni ogolnej teorii wzglydnosci, E. W zasadzie dokonujemy takiego samego uogolnienia wobec czasoprzestrzeni Minkowskiego M, jakiego dokonalismy wobec czasoprzestrzeni Galileusza Q, aby otrzymac czasoprzestrzen Newtona (-Cartana), N. Zamiast miec jednolity rozklad stozkow zerowych, przedstawiony na rys. 17.12, mamy teraz wygl<}daj<}cy bardziej nieregularnie rozklad z rys. 17.17. Nadal poslugujemy siy lorentzowsk<} (+ - - -) metryk<} g, ktorej interpretacja fizyczna jest taka, ze okresla czas, mierzony przez zegar idealny, zgodnie z dokladnie t<} sam<} formul<} jak dla M, aczkolwiek teraz g jest bardziej ogolnym tensorem metrycznym, pozbawionym jednolitosci charakteryzuj<}cej metryky M. Zerostozkowa struktura, zdefiniowana przez to g, specyfikuje struktury przyczynow<} E, takjak w przypadku przestrzeni Minkowskiego M. Lokalnie te roznice
390
Rys. 17.17. Eisnteinowska czasoprzestrzen ogolnej teorii wzgli(dno· sci E. Takie uogolnienie przestrzeni Minkowskiego MI jest podobne do przejsciaod gdoN(rys. 17.12, 17.3, 17.7a, odpowiednio). Tak jak w przypadku MI, lorentzowska (+ - - -) pseudometryka g okresla fizyczn,! miari( czasu.
Czasoprzestrzen og61nej teorii
wzgl~dnosci
Einsteina
17.9
nie s,! wielkie, ale problem staje siy zdecydowanie bardziej zloiony, gdy badamy globaln,! struktury przyczynow,! skomplikowanej einsteinowskiej czasoprzestrzeni E. Skrajna sytuacja powstaje wtedy, gdy mamy do czynienia z tzw. zlamaniem przyczynowosci, kiedy pojawiaj,! siy "zamkniyte krzywe czasopodobne" i kiedy staje siy moiliwe, ieby jakis sygnal z pewnego zdarzenia mogl zostac wyslany do tego zdarzenia w przeszlosci (zob. rys. 17.18)! Takie sytuacje z reguly odrzucamy jako "niefizyczne" i ja rowniei, w przypadku klasycznie akceptowalnej czasoprzestrzeni, jestem gotow je odrzucie. Co prawda niektorzy fizycy sklonni S,! zajmowac w tej sprawie bardziej elastyczne stanowisko 14 i zgadzaj,! siy dopuscic moiliwosc podroiy w czasie, na ktore pozwalaj,! takie zamkniyte pytle czasopodobne; zob. rozdz. 30.6, w ktorym omawiamy takie problemy. Mniej skrajne - chociai zdecydowanie nieco egzotyczne - struktury przyczynowe mog,! pojawiac siy w pewnych interesuj'!cych czasoprzestrzeniach 0 wielkim znaczeniu dla wspolczesnej astrofizyki, mianowicie w tych, ktore reprezentuj,! czarne dziury. Bydziemy siy nimi zajrnowali w rozdz. 27.8. W rozdz. 14.7 zetknylismy siy z faktem, ie (pseudo)metrykag okrdlajednoznacznie koneksjy bez torsji, V, dla ktorej Vg = 0, a wiyc rna to zastosowanie w rozwaianej przez nas sytuacji. Jest to fakt godny uwagi. Informuje nas, ie koncepcja ruchu inercjalnego Einsteina jest calkowicie okreslona przez metryky czasoprzestrzeni. To zupelnie inna sytuacja nii w odniesieniu do czasoprzestrzeni Newtona-Cartana, w ktorej oprocz metryki trzeba jeszcze dodatkowo wyspecyfikowac V. Zalet'! takiego obrotu sprawy jest metryka g, teraz niezdegenerowana, ktora calkowicie okresla V. W istocie czasopodobne linie geodezyjne koneksji V (ruchy inercjalne) s,! okreslone pewn'! wlasnosci,! - otoi S,! to krzywe, ktore (lokalnie) maksymalizuj'! tzw. czas wlasny. Przez czas wlasny rozumiemy po prostu dlugosc mierzon,! wzdlui linii swiata za pomoc,! zegara idealnego tej linii swiata. (To ciekawe "przeciwstawienie" pojycia linii geodezyjnej jako "naci,!gniytego sznurka" na zwyklej powierzchni Riemanna 0 dodatnio okreslonej metryce; zob. rozdz. 14.7. W rozdz. 18.3 przekonamy siy, ie ta wi as nose maksymalizacji czasu wlasciwego na linii swiata bez przyspieszenia stanowi podstawy tzw. paradoksu blizni,!t w teorii wzglydnosci.)
Rys. 17.18. Struktura przyczynowa £ jest zdeterminowana przez g (jak w przypadku MI, zob. rys.17.16), a zatern skrajnie niefizyczne sytuacje z "zamkniytymi krzywymi czasopodobnymi" hipotetycznie mog,! siy pojawiac, co pozwalatoby, zeby sygnaty skierowane ku przysztosci powracaty z przesztosci.
391
17
Czasoprzestrzeri
Koneksja V rna tensor krzywizny R, ktorego fizyczna interpretacja jest taka sarna jak w przypadku czasoprzestrzeni N. Tyrn, co lokalnie odroi:nia czasoprzestrzen szczegolnej teorii wzglydnosci Minkowskiego M od czasoprzestrzeni ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina E, jest wlasnie fakt, i:e w przestrzeni M R = O. W nastypnyrn rozdziale zbadarny ty lorentzowskq geornetriy dokladniej, a w rozdziale kolejnym przekonarny siy, jak rownania pola Einsteina stanowiq niejako naturalne zakodowanie, wpisane w struktury E, "stopnia redukcji objytosci", 4nGM, o ktoryrn rnowilisrny pod koniec rozdz. 17.5. Zacznierny tei: dostrzegac nadzwyczajnq sily, piykno i dokladnosc rewolucyjnej teorii Einsteina.
Przypisy Rozdzial 1Z 1 Aczkolwiek w przeszlosci bylem zwolennikiem stosowania fonny "czaso-przestrzen", zdalem sobie sprawy, ze Sq miejsca w tej ksiqice, w ktorych mogloby to prowadzic do frazeologicznego zamieszania. W zwiqzku z tym wszydzie w tekScie uiywam zapisu bez myslnika, "czasoprzestrzen". 2 Wydaje siy, ze Arystoteles moglby miec trudnosci z pojyciem nieskonczonej przestrzeni fizycznej, jakiej wymaga euklidesowa geometria przestrzeni lE3, aby dac prawidlowy opis geometrii przestrzennej. Arystoteles zapewne rozpatrywalby czas w terminach lEI w obrazie lEI x lE 3• Zob. Moore (1990), rozdz. 2. I
Rozdzial 1Z2 Zob. Drake (1957), s. 186-187. 4 Zob. Trautman (1965); Arnol'd (1978); Penrose (1968a), s. 126.
3
5
Rozdzial1Z3 Opis ten znajdujmy we fragmencie jego manuskryptu De motu corporum in mediis regulariter cedentibus, ktore to dzielo poprzedzalo Principia, napisane w 1684 r. Zob. rowniez Penrose (1987c), s. 49.
Rozdzial 1Z 4 Por. jednak Bondi (1957). 7 Obecnie chytni mogq wziqc udzial w takich doswiadczeniach w Rosji, na pokladzie samolotow wykonujqcych loty paraboliczne! 6
Rozdzial 1Z 6 Zob. Drake (1957), s. 278, na temat uwagi Galileusza zapisanej w Assayer; zob. takZe Newton (1730), zagadnienie 30; Penrose (1987c), s. 23. 9 Zob. de Sitter (1913).
8
10
392
Rozdzial 1Z 7 Problem, jak odroznic "sfery" od "elipsoidy", jest skomplikowany, poniewaz odleglosci, w roznych kierunkach, mozna roznie przeskalowac, w wyniku czego elipsoida moze wyglqdac jak sfera. lednak zadne przeskalowanie nie zamieni nieelipsoidalnego owalu w ksztalt sferyczny, a przynajmniej nie za pomoc,! "gladkiego" przeskalowania dlugosci. Tego rodzaju owale prowadz'! do pnestneni Finslera, ktora jednak nie rna przyjemnej lokalnej symetrii charakteryzujqcej (pseudo-)riemannowskie struktury teorii wzglydnosci.
Przypisy Rozdzial17.8 Czytelnik moze bye zaskoczony tym, ze prydkose swiatla jest dokladnie liczb,! calkowit'!, kiedy mierzymy j,! w metrach na sekundy. To nie przypadek, ale odzwierciedlenie faktu, ze obecnie jest znacznie trudniej dokonae precyzyjnego pomiaru odleglosci niz bardzo dokladnego pomiaru czasu. Z tego powodu najbardziej precyzyjny wzorzec metra jest wygodnie zdefiniowany w ten sposob, ze swiatlo, w ci,!gu jednej wzorcowej sekundy, przebiega dokladnie odleglose 299 792 458 takich wzorcowych metrow. W ten sposob otrzymujemy wartose jednego metra, ktora bardzo dobrze odpowiada nieprecyzyjnemu wzorcowi metra przechowywanemu pod Paryzem. 12 Zob. Minkowski (1952). Jest to tlumaczenie z przemowienia Minkowskiego na 80. Zjezdzie Niemieckich Przyrodnikow i Lekarzy w Kolonii, 21 wrzesnia 1908 r. 13 Niektorzy fizycy probowali wprowadzie pomysl hipotetycznych cz'!stek znanych pod nazw'! tachion6w, ktore mialyby przestrzennopodobne linie swiata (a wiyc takich, ktore moglyby poruszae siy z prydkosciami wiykszymi od prydkosci swiatla). Zob. Bilaniuk, Sudarshan (1969); a bardziej techniczne szczegoly znaleze mozna w pracy Sudarshan, Dhar (1968). Bardzo trudno jest zbudowae cos takiego jak spojna teoria tachionow i na ogol uwa:i:a siy, ze takie cz'!stki nie istniej,!. II
14
Rozdzial 17. 9 Zob. np. Novikov (2001); Davies (2003).
18 Geometria Minkowskiego 18.1 4-przestrzen Euklidesa i 4-przestrzen Minkowskiego GEOMETRIE 2-przestrzeni i 3-przestrzeni Euklidesa s,! nam bardzo dobrze znane. Co wiycej, nietrudno w zasadzie dokonac uog6lnienia na 4-wymiarow,! geometriy Euklidesa, lffi\ chociai w tej procedurze nielatwo posluiyc sit( "wyobrazni'! przestrzenn,!". Mimo to jest jasne, ie istnieje wiele pit(knych 4-wymiarowych struktur, a przynajmniej wierzymy, ie te struktury bylyby piykne, gdybysmy tylko byli w stanie je zobaczyc! Jednym z prostszych (!) przyklad6w takich struktur jest obraz r6wnoleglych Clifforda na 3-sferze, kiedy traktujemy tt( sfery jako strukturt( w lffi4. Oczywiscie, w tym przypadku moiemy pom6c naszej intuicji przestrzennej, poniewai S3 jest tylko tr6jwymiarowa i jej rzut stereograficzny, kt6ry przedstawia rys. 33.15, pozwala wyobrazic sobie rzeczywist'! strukturt( Clifforda. (Gdybysmy byli w stanie "zobaczyc" tt( struktury jako cZt(sc lffi\ mielibysmy wyobraienie 0 tym, jak "wygl,!da"l zespolona wektorowa struktura dwuwymiarowa C 2 ; zob. rozdz. 15.4, rys. 15.8.) Przestrzen Minkowskiego M jest pod wieloma wzglydami podobna do lffi\ S,! jednak bardzo waine r6inice, kt6rymi teraz siy zajmiemy. Algebraiczny opis lffi4 jest bardzo zbliiony do opisu zwyklej 3-przestrzeni lffi3 za pomoc,! uklad6w wsp6lrzydnych. Potrzebujemy tylko dodac jedn,! wsp6Irzt(dn,! kartezjansk,! w do standardowych x, y i z. Odleglosc s w ]E4 miydzy punktami (w,x,y,z) i (w',x',y',z') podaje 4-wymiarowa wersja twierdzenia Pitagorasa
S2 = (w - W')2 + (x _X')2 + (y - y')2 + (z - z'f JeSli potraktujemy punkty (w, x, y, z) i (w', x', y', z') jako tylko "infinitezymalnie" oddalone od siebie i r6inicy (w', x', y', z') - (w, x, y, z) zapiszemy formalnie jako (dw, dx, dy, dz), a wi y c2
w'=w+dw, x'=x+dx, y'=y+dy, z'=z+dz, w6wczas otrzymujemy 2
2
2
2
ds = dw + dx + dl + dz . Dlugosc krzywej w lffi4 podaje ta sarna formula jak w lffi3, a mianowicie naleiy wzi,!c z dodatnim znakiem).
fds (gdzie ds
4-przestrzen Euklidesa i 4-przestrzen Minkowskiego
18.1
Geometria czasoprzestrzeni Minkowskiego M jest bardzo podobna, a roznicy stanowi,! inne znaki. Wielu specjalistow w tej dziedzinie preferuje znaki (+ + + -) dla sygnatury pseudometryki d£2 = -df + dx2+ dl + dz2, poniewaz jest wygodne, kiedy rozpatrujemy geometriy przestrzenn'!, aby wielkose reprezentowana przez d1:'2 byla dodatnia dla przesuniye pnestnennopodobnych (tzn. takich, ktore nie lez,! ani wewn'!trz, ani na stozkach przyszlosci lub przeszlosci; zob. rys. 18.1). Jednak wielkose "ds 2", zdefiniowana sygnatur,! (+ - --) ds 2 = dt2dl- dz2,
mz -
rna bardziej bezposredni sens fizyczny, poniewaz jest to wielkose dodatnia wzdluz krzywych czasopodobnych, ktore s,! dozwolonymi liniami swiata dla cz,!stek masywnych, a calka fds (z ds > 0) rna prost,! interpretacjy fizyCZll,! jako rzeczywisty czas fizyczny, mierzony przez idealny zegar na tej linii swiata. Bydy dalej uiywal sygnatury (+ - - -) dla mojego tensor a (pseudo )metrycznego g, w zapisie wskaznikowym gab' a wobec tego po dane wyrazenie moze bye zapisane, w postaci wskaznikowej, jako (zob. rozdz. 13.8)
Czasopodobne:
ds 2 dodatnie
Zerowe: zar6wno ds 2, jak i dR2 r6wne zero
Przestrzennopodobne: dCZ dodatnie
Rys. IS. 1. W przestrzeni Minkowskiego MI metryka dR2 podaje miary kwadratu odleglosci przestrzennej dla przesuniyc przestrzennopodobnych (a wiyc takich, kt6re nie lezq ani na stozkach zerowych przesz!osci bqdz przyszloSci, ani wewnqtrz nich). Dla przesuniyc czasopodobnych (wewnqtrz stozka zerowego) ds 2 przedstawia miary kwadratu interwalu czasowego, gdzie jest czasem fizycznym mierzonym przez zegar idealny. Dla przesuniyc zerowych (wzdluz stozka zerowego) zar6wno de 2, jak i ds 2 dajq zero.
fds
395
18
Geometria Minkowskiego
Powinnismy jednak przypomniee sobie na podstawie rozdz. 17.8, ie inaczej nii w przypadku cz'!stek masywnych ds wynosi zero dla linii swiata fotonu (to znaczy, ie na linii swiata mog,! bye punkty niepokrywaj,!ce siy, ktorych odleglose wynosilaby "zero"). To sarno odnosi siy do wszelkich innych cz'!stek poruszaj,!cych siy z prydkosci,! swiatla. Czas "doswiadczany" przez tak'! cz'!stky wynosilby zawsze zero, bez wzglydu na to, jak wielk,! odleglose ta cz'!stka przebyla! Taka sytuacja jest dozwolona dziyki nieokreslonej dodatnio (lorentzowskiej) naturze tensora gab' We wczesnych latach stosowania teorii wzglydnosci panowala tendencja podkreslania podobienstwa geometrii M i E\ przyjmowano tylko, ie zmienna czasowa t jest czysto urojona, czyli
f
t = iw,
396
co powoduje, ie metryka Minkowskiego "de z" wygl,!da identycznie jak "dsz" przestrzeni E4. Oczywiscie, te podobienstwa S,! cokolwiek iluzoryczne ze wzglydu na nienaturalnie wygl,!daj,!CY, ukryty warunek "rzeczywistosci", zgodnie z ktorym czas jest mierzony w czysto urojonych jednostkach, podczas gdy wspolrzydne przestrzenne mierzy siy w zwyklych, rzeczywistych jednostkach. Ponadto w ukladzie poruszaj'!cym siy warunki rzeczywistosci staj,! siy skomplikowane, poniewai nastypuje dokladne wymieszanie wspolrzydnych rzeczywistych i urojonych. Faktycznie istnieje taka wspolczesna tendencja, ieby postypowae bardzo podobnie w stosunku do tak zwanej "euklidesowej kwantowej teorii pola". Poiniej, w rozdz. 28.9, wyjasniy, dlaczego tego typu procedury nie satysfakcjonuj,! mnie specjalnie (przynajmniej jesli stanowi,! glowny element podejscia do nowej fundamentalnej teorii fizycznej; pomysl ten jest rowniei stosowany jako "trik" do uzyskania rozwi'!zan pewnych kwestii w kwantowej teorii pol a i w takim przypadku moie okazac siy poiyteczny). Zamiast stosowac procedury tego rodzaju, ktora (wedlug mnie) wygl,!da dosc nienaturalnie, dlaczego "nie pojsc na calose" i zgodzic siy, ieby wszystkie nasze wspolrzydne byly zespolone (zob. rys. 18.2)? W takim przypadku nie rna roinicy miydzy roinymi sygnaturami, a nasze wspolrzydne zespolone w, t rJ, ~ odnosz'! siy do zespolonej przestrzeni C4 , ktor'! moiemy uwaiae za kompleksyfikacjy CE 4 przestrzeni E4. lako zespolona przestrzen afiniczna - zob. rozdz. 14.1 - jest tym samym co kompleksyfikacja CM przestrzeni M. Ponadto kaida zespolona 4-przestrzen, tak CE\ jak CM, rna calkowicie ekwiwalentn,! plask,! (0 znikaj,!cej krzywiinie) zespolon'! metryky Cg. Za metryky tak,! moiemy przyj,!c wyraienie ds z = dw 2 + d~2 + drJ2 + d~2, gdzie E4 jest rzeczywist,! podprzestrzeni,! CM, dla ktorej wszystkie w, ~, rJ, ~ s,! rzeczywiste, natomiast M jest podprzestrzeni,!, w ktorej rzeczywiste jest w, ale ~, rJ, ~ s,! wszystkie czysto urojone. Alternatyw'! jest rzeczywista podprzestrzen Minkowskiego Mr, w ktorej w jest czysto urojone, ale t rJ, ~ S,! rzeczywiste. W takiej podprzestrzeni w miejscu ds z mamy inn,! wersjy metryki Minkowskiego, a mianowicie zadan'! przez di. Te trzy podprzestrzenie, E\ M i Mr, nosz'! nazwy (alternatywnych) neczywistych pnekrojow CE4. Moiemy wyodrybnic
Grupy symetrii przestrzeni Minkowskiego
18.2
I IClE' Rys. 18.2. Zespolona przestrzen Euklidesa IClE4 ma zespolon<1 (holomorficzn<1) mettyky ds2 = dw 2 + cI;2 + dl]2 + d~2 w zespolonych wsp61rzydnych kartezjanskich (w, ;, 1], ~). 4-przestrzen Euklidesa lE' jest "przekrojem rzeczywistym", w kt6tym wszystkie wsp61rzydne w,;, 1], ~ S<1 rzeczywiste. Czasoprzestrzen Minkowskiego MI, z mettyk<1 + - - - ds 2, stanowi inny przekr6j fzeczywisty, w kt6tym w jest rzeczywiste, a;, 1], ~ czysto urojone. Inny fzeczywisty, lorentzowski przekr6j M otrzymamy, gdy wezmiemy czysto urojone w, natomiast ;, 1], ~ rzeczywiste, co powoduje, ze w miejscu ds' otrzymujemy wersjy dR' mettyki Minkowskiego, + + + -.
jednq z nieh, jesli obdarzymy przekroje ClE 4 operaejq sprzf(ienia zespolonego C, kt6rajest zwrotna (tzn. C 2 = 1) i kt6ra pozostawia tylko tenjeden, wybrany, rzeezywisty przekr6j jako punktowo inwariantny[18.1}.
18.2 Grupy symetrii przestrzeni Minkowskiego
Grupa symetrii przestrzeni lE4 (tzn. grupa rueh6w euklidesowyeh) jest lO-wymiarowa, poniewaz po pierwsze, grupa symetrii rueh6w, dla kt6ryeh mamy ustalony poezqtek, jest 6-wymiarowq grupq obrot6w 0(4) (albowiem dIan = 4,n(n -1)12= 6, zob. rozdz. 13.8) oraz po drugie, mamy jeszeze 4-wymiarowq grupy przesuniyc poezqtku ukladu (zob. rys. 18.3a). Kiedy dokonamy kompleksyfikaeji lE4 do ClE\ w6wezas otrzymamy lO-wymiarowq grupy zespolonq. Jest to zrozumiale, poniewaz jesli zapiszemy dowolny rzeezywisty rueh euklidesowy w przestrzeni lE\ w po[18.1] Znajdz C explicite dla kaidego z tych trzech przypadk6w lE\ M i M. Wskaz6wka: przernysl, jak C rna dzialac na ro, ~, rJ, ~. W przypadku M i Mto nie jest wcale standardowa operacja sprzyzenia zespolonego.
ta
397
18
Geometria Minkowskiego
(a)
Rys. 18.3. (a) Grupa ruch6w euklidesowych w ]E' jest lO-wymiarowa; sklada siy na to grupa symetrii ruch6w z ustalonym PoczlItkiem, kt6rll jest 6-wymiarowa grupa obrot6w 0(4), oraz grupa translacji poczlltku ukladu, kt6ra jest 4-wymiarowa. (b) lako symetrie przestrzeni M otrzymujemy 6-wymiarowll grupy Lorentza 0(1, 3) lub 0(3,1) dla ruch6w z ustalonym Poczlltkiem oraz 4-wymiarowll grupy translacji, co razem daje lO-wymiarowll grupy Poincarego.
staci wyrazenia algebraicznego we wspolrzydnych, musimy pozwolie, zeby wszystkie wielkosci rzeczywiste wystypuj,!ce w tym wyrazeniu mogly bye zespolone i w ten sposob otrzymujemy odpowiedni ruch zespolonyw C]E4. Poniewaz pierwszy z nich zachowuje metryky, to drugi rownieZ. Co wiycej, wszystkie ruchy ci,!gle, przeprowadzaj,!ce C]E4 w sam,! siebie i zachowuj,!ce zespolon'! metryky Cg, S,! tego wlasnie rodzaju[18.21. Jest teraz bardzo prawdopodobne - aczkolwiek na tym etapie rozwaZan nie calkiem oczywiste, ze grupa ta bydzie miala ten sam wymiar, mianowicie 10 (ale teraz wymiary s,! rzeczywiste), jesli ograniczymy siy do roznych "rzeczywistych przekrojow" C]E\ takich jak ten, w ktorym wspolrzydne (w, ;, YJ, ~) spelniaj,! warunek rzeczywistosci i albo w jest czysto urojone, a;, YJ, ~ rzeczywiste (sygnatura + + + -), albo w jest rzeczywiste, a;, YJ, ~ czysto urojone (sygnatura + - - -); zob. rys. 18.2. CZyse translacyjna jest oczywiscie nadal 4-wymiarowa. W istocie ta czyse symetrii pokazuje, ze grupa jest tranzytywna w M, co oznacza, ze dowolny punkt M moze bye przeniesiony do dowolnego innego punktu M za pomoq jednego z elementow symetrii tej grupy, tak jak w ]E4. Ale co z gruP'! Lorentza 0(3, 1) lub 0(1, 3)? Jak mozemy przekonae siy, ze jest ona 6-wymiarowa dokladnie tak jak O( 4)? Rzeczywiscie, grupa Lorentzajest 6-wymiarowa (zob. rys. 18.3b). Najbardziej ogolnym sposobem przekonania siy 0 tym jest zbadanie algebry Liego - zob. rozdz. 14.6 i sprawdzenie, ze ona nadal obowi,!zuje po minimalnej korekcie znakowI18.31. Wkrotce poznamy alternatywny sposob patrzenia na 0(1, 3) i przekonamy siy, ze jest to grupa 6-wymiarowa, wi'!i:'!c j,! z grup,! symetrii sfery Riemanna.
398
a [18.2] Czy wiesz dlaczego? j] [18.3] Sprawdi to, badajqc explicite macierze 4 x 4 aJgebry Liego.
Ortogonalnosc lorentzowska; paradoks bliiniqt
18.3
Pelna, lO-wymiarowa grupa symetrii przestrzeni Minkowskiego M nosi naZWt; grupy Poincarego, w uznaniu osi,!gnit;c wybitnego matematyka francuskiego Henri Poincarego (1854-1912) w dziedzinie budowy zasadniczej struktury matematycznej szczegolnej teorii wzglt;dnosci w latach 1898-1905, niezaleznie od fundamentalnego wkladu Einsteina w 1905 roku 3• Grupa Poincarego odgrywa wielk,! rolt; w fizyce relatywistycznej, szczegolnie w teorii cz'!stek elementarnych i w kwantowej teorii pol a (rozdz. 25 i 26). Okazuje sit;, ze zgodnie z regulami mechaniki kwantowej poszczegolne cz'!stki elementarne odpowiadaj,! reprezentacjom (rozdz. 13.6, 7) grupy Poincarego, i te konkretne reprezentacje okreslone s,! przez wartosci mas i spinow odpowiednich cz,!stek (rozdz. 22.12). Wlasnie rozmiar tej grupy jest czynnikiem, ktory pozwala zapewnic, ze pomimo staiej prt;dkosci swiatla w M obowi,!zuje nadal zasada wzglt;dnosci (rozdz. 17.6, 8). Przede wszystkim stwierdzamy, ze kazdy punkt czasoprzestrzeni M jest traktowany tak jak kaZdy inny, poniewaZ podgrupa translacji jest grup,! tranzytywn,!. Ponadto mamy kompletn,! przestrzenn'! symetrit; obrotow,! (3-wymiarow,!). To pozostawia 3 dalsze wymiary, co daje zupeln,! swobodt; w przejsciu od jednej prt;dkosci « c) do jakiejkolwiek innej, a cala struktura nie ulegnie zmianie - i to jest wlasnie zasada wzglt;dnosci w przestrzeni M! Mowi,!c bardziej formalnie, zasada wzglt;dnosci stwierdza, ze grupa Poincarego dziala tranzytywnie na wiqzk~ czasopodobnych kierunk6w pnyszlosci w M4. Kierunki te wskazuj,! do wnt;trz zerowych stozkow przysztosci. S,! one takZe mozliwymi kierunkami stycznymi do linii swiata obserwatora[I8.4J. NaieZy jednak zauwaZyc, ze zawdzit;czamy to tylko rezygnacji z rodziny "jednoczesnych przekrojow" czasoprzestrzeni Galileusza lub Newtona. Gdybysmy zachowali te przekroje, zredukowalibysmy symetrit; punktu czasoprzestrzennego do 3-wymiarowej grupy 0(3) i nie mielibysmy swobody przejscia od jednej prt;dkosci do innej.
18.3 Ortogonalnosc lorentzowska; paradoks blizniqt Przedstawiony punkt widzenia rozpatruje M wtasnie tak - jako "przekroj rzeczywi sty" alba "warstwt;" zespolonej przestrzeni
[18.4] Wyjasnij bardziej szczeg61owo to dzialanie grupy Poincarego.
399
18
Geometria Minkowskiego
M. W przestrzeni M zachowujemy zatem pojt(cie ortogonalnosci, ale teraz istniejq kierunki rzeczywiste, ortogonalne do samych siebie, i Sq to kierunki zerowe, kt6re kierujq nas wzdluz fotonowych linii swiata (zob. dalej). Mozemy rozwazac dalej pojt(cie ortogonalnosci i zastanowic sit( nad dopelnieniem ortogonalnym If~ elementu If r-plaszczyzny w punkcie p. Jest to taki element If~ (4-r)-plaszczyzny, kt6ry zawiera wszystkie kierunki w punkcie p, ortogonalne do wszystkich kierunk6w If w p. Tak wit(c dopelnieniem ortogonalnym elementu liniowego jest element 3-plaszczyzny, dopelnieniem ortogonalnym elementu 2-plaszczyzny jest inny element 2-plaszczyzny, a dopelnieniem ortogonalnym elementu 3-plaszczyzny jest element liniowy. W kazdym przypadku, okreslajqc dopelnienie ortogonalne, jeszcze raz wracamy do elementu wyjsciowego; innymi slowy (If~)~ = If. Przypomnijmy sobie, na podstawie rozdz. 13.9 i 14.7, jak rozpatrywalismy operacje podnoszenia i obniZania wskaznik6w wielkosci wektorowych lub tensorowych takich jakgab lub ~b. Kiedy te operacje, zgodnie z przepisami z rozdz. ab ab 12.4, 7 (np. Ifab H If = IfCd~ctd; If H Ifab = Ifcdgacgbd)' stosujemy do prostego r-wektora lub prostej (4-r)-formy, reprezentujqcej element r-powierzchni, to takie podnoszenie lub obniZanie wskaZnik6w odpowiada przejsciu do dopelnienia ortogonalnego (zob. r6wniez rozdz. 19.2). W ]E4 ortogonalnym dopelnieniem 3-plaskiego elementu If jest element liniowy If~ (prostopadty do 1/), kt6ry nigdy nie zawiera sit( w If; zob. rys. 18.4, ale tak jak na rys. 18.2 mozemy przejsc do kompleksyfikacji C]E4 i w ten spos6b do innego przekroju rzeczywistego, M. Tt( procedurt( przywolywalismy w rozdz. 17.8, kiedy pytalismy 0 dopetnienie ortogonalne warstwy czasowej (3-plaski element przestrzen-
Ib)
"W
400
Rys. 18.4. W]E4 element r-plaski punkcie p rna dopelnienie ortogonalne ,,~, kt6re jest (4-r)-plaskim elementem, ale" i ,,~nie zawieraj'l nigdy wsp6lnego kierunku. (a) W szczeg61nosci jesli " jest elementern 3-plaskim, w6wczas,,~ jest kierunkiem do niego prostopadlym. (b) Jesli " jest elementem 2-plaskim, w6wczas ,,~ jest innym elementem 2-plaskim.
Ortogonalnosc lorentzowska; paradoks
blizni~t
18.3
nopodobny) w punkcie p, aby znaleic kierunek czasopodobny ("stan spoczynku"), co pokazalo nam, ze zasada wzglydnosci nie moze byc utrzymana, jesli chcemy zachowac zar6wno skonczon~ prydkosc swiatia, jak i czas absolutny (zob. rys. 17.15)[18.5[. Spr6bujmy odczytac to w przeciwnym kierunku: pomyslmy oobserwatorze inercjalnym jakiegos szczeg6lnego zdarzenia p w M. Przypuscmy, ze linia swiata tego obserwatora rna w p kierunek (czasopodobny) 1". W takim razie 3-przestrzen 1"1. przedstawia, wzglydem tego obserwatora, rodziny "czysto przestrzennych" kierunk6w w p, a wiyc te s~siednie zdarzenia, kt6re obserwatorowi wydaj~ siy jednoczesne ze zdarzeniem p. Nie mam zamiaru rozszerzac w tym miejscu szczeg6lnej teorii wzglydnosci o detale ani wyjasniac, dlaczego pojycie "jednoczesnosci" jest calkiem sensowne. W celu zapoznania siy z tymi zagadnieniami mogy odeslac czytelnika do innych znakomitych publikacji6. Muszy jednak zwr6cic uwagy na fakt, ze pojycie jednoczesnosci zwi~zane jest z prydkosciq obserwatora. W geometrii Euklidesa dopelnienie ortogonalne jakiegos kierunku w przestrzeni bydzie siy zmieniac wraz ze zmianq tego kierunku (rys. 18.5a). I odpowiednio w geometrii Lorentza dopelnienie ortogonalne r6wniez bydzie siy zmieniac, kiedy zmienia siy kierunek (tzn. prydkosc obserwatora). Jedyna r6znica polega na tym, ze dopelnienie ortogonalne odchyla siy w przeciwnq strony niz odchylenie w przypadku euklidesowym (zob. rys. 18.5b) i dlatego jest mozliwe, ze dopelnienie ortogonalne pewnego kierunku b~ dzie zawierac ten kierunek (zob. rys. 18.5c). Taka sytuacja, jak to juz wczesniej zauwaiylismy, zdarza siy, gdy mamy do czynienia z kierunkiem zerowym (tzn. lezqcym na stozku swietlnym).
(b)
Rys. 18.5. (a) W 4-geometrii Euklidesa, jeslijakis kierunek si y obraca, to obraca si y r6wnie:i:jego dopelnienie ortogonalne, kt6rym jest odpowiedni element 3-plaski. (b) Tak siy dzieje r6wnie:i: w 4-geometrii Lorentza, ale w przypadku kierunku czasopodobnego nachylenie 3·plaskiego dopelnienia ortogonal· nego (przestrzenne kierunki "jednoczesnosci") obraca si y w przeciwn1! stron y. (c) Zgodnie z tym, jesli kierunek staje si y zerowy, to nale:i:y on do swego dopelnienia ortogonalnego.
~
[18.5] (i) W jakich warunkach 3-ptaski element t/ w M moze zawierac element do niego prostopadty t/.L? (ii) Pokaz, ze istniejq dwie r6zne rodziny 2-ptaszczyzn, kt6re w ClE4 stanowiq swoje wtasne dopetnienie ortogonalne, ale zadna z tych rodzin nie "przeZyje" przy przejsciu do M. (Takie tzw. samodualne i antysamodualne 2-ptaszczyzny zespolone bydq miaty istotne znaczenie w naszych p6zniejszych rozwazaniach; zob. rozdz. 32.2 i 33.11.)
401
18
Geometria Minkowskiego
W przejsciu od ]E4 do M zachodz'! talcie inne zmiany, ktore przyjmuj,! formy nierownosci. Najbardziej radykalna z tych zmian zawiera istoty tak zwanego paradoksu blizni'!t (zwanego inaczej paradoksem zegarow) szczegolnej teorii wzglydnosci. Niektorzy czytelnicy juz pewnie 0 nim slyszeli; to opowiesc 0 podrozniku w przestrzeni kosmicznej, ktory wybral siy w podroz na odlegl,! planety rakiet'!, poruszaj,!C'! siy z prydkosci,! blisk,! prydkosci swiatla, a nastypnie powraca na Ziemiy. Na zegarze ziemskim okazuje siy, ze od momentu jego wyruszenia uplynyly cale wieki, podczas gdy on sam jest zaledwie 0 kilka lat starszy. Jak to wyjasnil Bondi (1964, 1967), jesli przyjmiemy, ze uplyw czasu, jaki rejestruje poruszaj,!CY siy wraz z podroznikiem zegar, mierzy jedynie "dlugosc luku" wzdluz linii swiata, wowczas ten fenomen nie jest bardziej zadziwiaj,!cy niz fakt, iz odleglosc miydzy dwoma punktami przestrzeni Euklidesa zaleiy od drogi, wzdluz ktorej jest mierzona. Obie te wielkosci wyznacza ta sarna formula, mianowicie jednak w przypadku przestrzeni Euklidesa linia prosta wyznacza najmniejsz,! odleglosc miydzy dworna punktami na jej koiicach, podczas gdy w przestrzeni Minkowskiego ta droga daje najwi~kszy czas miydzy dwoma koiicowymi zdarzeniami (zob. rowniez rozdz. 17.9). Podstawowa nierownosc, z ktorej wszystko to wynika, nosi nazwy nierownosci trojkqta zwyklej geometrii Euklidesa. Jesli ABC jest dowolnym trojk,!tem w przestrzeni Euklidesa, wowczas jego boki spelniaj,! nierownosc
fds,
AB+BC
~AC,
a rownosc zachodzi tylko wtedy, gdy punkty A, B i C lei,! na jednej prostej (zob. rys. 18.6a). Oczywiscie, te relacje S,! symetryczne, wiyc nie rna znaczenia, ktory z odcinkow wybierzemy jako AC. W geometrii Lorentza niesprzeczn'! nierownosc trojk,!ta otrzymamy tylko wtedy, gdy wszystkie boki S,! czasopodobne, a na dodatek musimy zachowac okreslony porz'!dek, aby wszystkie odcinki AB, BC i AC byly skierowane ku przyszlosci (zob. rys. 18.6b). Nasza nierownosc ulega teraz odwroceniu: AB + BC ::( AC,
402
i znowu rownosc zachodzi tylko wtedy, gdy A, B i C s,! wszystkie wspoUiniowe, a wiyc gdy lei,! na linii swiata cz'!stki inercjalnej. "Paradoks blizni,!t" jest zatem interpretacj,! tej nierownosci. Linia swiata kosmicznego podroznika jest lini,! lam an,! ABC, podczas gdy lini,! swiata jego "blizniaka" na Ziemi jest linia AC. Prawd,! jest, ze zegar kosmonauty rejestruje krotszy uplyw czasu niz zegar na Ziemi. Niektorzy wysuwaj,! obiekcje, ze przyspieszenie, jakiego doznaje rakieta kosmiczna, nie jest wlasciwie uwzglydnione w podanej nierownosci. I rzeczywiscie, dokonalem tutaj pewnej idealizacji, polegaj,!cej na tym, ze astronaut a w chwili B doznaje przyspieszenia natychmiastowego (a wiyc nieskoiiczonego, co oczywiscie skoiiczyloby siy fatalnie!). Trudnosc ty mozemy omin,!c, nieznacznie tylko wygladzaj,!c wierzcholek trojk'!ta, jak to pokazuje rys. 18.6d. To nie zmieni bardzo roznicy czasow, co jest oczywiste, jesli dokonamy porownania z rys. 18.6c, na ktorym przedstawilem "wygladzenie" wierzcholka trojk,!ta euklidesowego. CZysto tez wysuwa siy zastrzezenie, ze w tym przypadku konieczne jest przejscie do ogolnej teo-
Ortogonalnosc lorentzowska; paradoks blizniqt
18.3
...
~ c
..
c
.. .:
.
A (a)
(b)
c
A (e)
(d)
Rys. 18.6. (a) Nierownose trojk,!ta euklidesowego, AB + BC ;;:, AC, gdzie rownose zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie wierzcholki S,! wspolliniowe. (b) W geometrii Lorentza, gdzie wszystkie boki S,! czasopodobne, nastypuje odwrocenie nierownosci: AB + BC ~ AC i znown rownose zachodzi tylko wtedy, gdy A, B i C lez'! wszystkie najednej linii swiata cz'!stki inercjalnej. Ilustruje to "paradoks blizni'!t" szczegolnej teorii wzglydnosci, zgodnie z ktorym blizniak wydruj,!cy w przestrzeni kosmicznej wzdluz linii swiata ABC doswiadczylby krotszego uplywu czasu niZ jego brat na Ziemi, Zyj,!cywzdluz linii swiata AC. (c) "Wygladzenie" wierzcholka trojk,!ta euklidesowego zmienia w niewielkim stopniu dlugosci bokow i linia prosta bydzie wci
rii wzglydnosci Einsteina, w kt6rej wlasciwie uwzglydniono przyspieszenie. To argument calkowicie blydny. Wartosci, kt6re mierz(! zegary, w obu teoriach, podaje wz6r cis (gdzie cis > 0). W og61nej teorii wzglydnosci, tak jak w szczeg61nej, astronauta moze doznawac przyspieszenia. R6znica pol ega po prostu na metryce, kt6rej uZywamy do obliczenia wielkosci cis, a wiyc zaleZy od postaci tensoragij' W szczeg61nej teorii wzglydnosci poslugujemy siy plask(! metryk(! geometrii przestrzeni
f
403
18
Geometria Minkowskiego
Minkowskiego M. Z fizycznego punktu widzenia oznacza to, ze zaniedbalismy pole grawitacyjne. Kiedy uwzglt(dniamy pola grawitacyjne, musimy tez wprowadzic zakrzywionC! metrykt( ogolnej teorii wzglt(dnosci Einsteina. Spraw« tt( omowimy szerzej w nastt(pnym rozdziale.
18.4 Geometria hiperboliczna w przestrzeni Minkowskiego Sprobujmy przypatrzyc sit( dalszym aspektom geometrii Minkowskiego i jej relacji z geometriC! Euklidesa. W geometrii Euklidesa miejscem geometrycznym punktow znajdujC!cych sit( w okreslonej odleglosci od jakiegos punktu 0 jest sfera. W przestrzeni lE\ rzecz jasna, jest to 3-sfera S3. A jak to wyglC!da w M? Musimy rozwaZyc dwa przypadki, w zaleznosci od tego, czy a jest liczbC! rzeczywistc! (powiedzmy, dodatniC!), czy tez ( w rezultacie) czysto urojonC! (tutaj przyjmujt( sygnaturt( preferowanC! przeze mnie + - - -; w przeciwnym wypadku te role bt(dC! odwrocone). Rys. 18.7 ilustruje oba te przypadki. Przypadek urojonej wartosci a nie bt(dzie nas w tym miejscu specjalnie interesowal. Zalozmy wit(c, ze a> 0 (przypadek a < 0 jest rownowazny). Teraz nasza "sfera" sklada sit( z dwoch cZt(sci, z ktorych jedna rna ksztalt czaszy, H+, leZC!cej wewnC!trz stozka przyszlosci, a druga, H-, 0 ksztalcie czaszy odwroconej, leZy calkowicie wewnC!trz stozka przeszlosci. Skoncentrujmy naszC! uwagt( na H+ (przypadek H- jest analogiczny). J aka jest metryka wewnt(trzna podprzestrzeni H+? Z pewnosciC! rna ona jakC!s metrykt(, indukowanC! przez fakt jej wlozenia w przestrzen M.
404
Rys. 18.7. "Sfery" w M Sl! miejscami geometrycznymi punkt6w 0 takiej samej odleglosci a od ustalonego punktu O. Jesli a > 0 (z sygnaturl! + - - - dla ds 2 ), to otrzymujemy dwie czysci "hiperboliczne",jednl! 0 ksztalcie czaszy, H+ (wewnl!trz stozka przyszlosci), drugl! o ksztalcie czaszy odwr6conej. H- (wewnl!trz stozka przeszlosci). Dla a urojonego (albo z a rzeczywistym, lecz z sygnaturl! + + + - dla dR 2) otrzymujemy jednoplatowl! hiperboloidy, w przestrzennopodohnej odleglosci od O.
Geometria hiperboliczna w przestrzeni Minkowskiego
18.4
(Na przyklad dlugose krzywej na H+ jest okreSlona tak, jakby to byla krzywa w M.) W rzeczywistosci, w tyrn przypadku, lepsz,! miary dawaloby di (z sygnatur,! + + + -), poniewaz kierunki w H+ S,! przestrzennopodobne. Mamy wielk,! szansy na odgadniycie metryki H+, poniewaz w istocie jest ona swego rodzaju "sfer,!", ale z pewnym "odwroceniem znaku". COZ by to moglo bye? Przypomnijmy sobie rozwaiania Johanna Lamberta z 1786 roku na temat mozliwosci skonstruowania geometrii, w ktorej nie obowi,!zywalby pi,!ty postulat Euklidesa. Doszedl on do wniosku, ze tak,! geometriy mialaby "sfera" 0 urojonyrn promieniu - w wyniku czego powstal model geometrii hiperbolicznej - ale teraz "sfera" winna bye 3-wymiarowa. Aby otrzymae nieeuklidesow,! plaszczyzny Lamberta (plaszczyzny hiperboliczn'!), musimy pozbye siy jednego wymiaru przestrzennego. W kazdym z przypadkow "hiperboliczne linie proste" (linie geodezyjne) powstaj,! w wyniku przeciycia H+ z 2-plaszczyzn,! przechodz,!C'! przez 0 (rys. 18.8). Oczywiscie, fantazjujemy tutaj, wyobraiaj,!c sobie, ze Lambert mogl miee na mysli konstrukcjy tego rodzaju. Ilustruje ona spojnose wewnytrzn,! takiej koncepcji, w ktorej dokonujemy "odwrocenia" sygnatury, w wyniku czego wielkosci rzeczywiste staj,! siy urojone i vice versa. Jest to z pewnosci,! sytuacja, w ktorej instynkt nie zawiodlby Lamberta. Bye moze bydzie poiyteczne przeanalizowanie rys. 18.9. Narysowalem tutaj stozek swietlny t 2 - x 2 - l - Z 2 = 0 (z pominiyciem wspolrzydnej y), w 4-przestrzeni Minkowskiego M, w ukladzie wspolrzydnych (t, x, y, z) i rodziny przekrojow tego stozka plaszczyznami
z+t+A(t-z)=2, przechodz'!cymi przez plaszczyzny A. Przekroj ten jest 2-wymiarowy (sam stozek Swietlny jest 3-wymiarowy) i okazuje siy, ze dla kaidej dodatniej wartosci Ametryka
Rys. 18.8. "Hiperboliczna linia prosta" (linia geodezyjna) w rt+ powstaje w wyniku przeciycia rt+ 2-plaszczyzn'l przechodz'lc'l przez O. (Na rysunku przedstawiony jest przypadek 2-wymiarowy, ale w przypadku 3-wymiarowym sytuacja jest podobna.)
405
18
Geometria Minkowskiego
r -i
Rys. 18.9. Przekroje stozka swietlnego -i'_Z2 = 0, 3-plaszczyznarni (z + t) +A(t-Z) = 2, przecinaj'lcyrni siy na 2-plaszczyznie t = 1 =z. Porninylisrny wspolrzydn'l y, a wiyc zredukowalisrny obraz 0 jeden wymiar. Gdy A > 0, przekroj S rna rnetryky 2-sfery de 2, co ilustruje przypadek plaszczyzny poziornej z A = 1. Gdy A = 0, otrzyrnujerny plask'l rnetryky euklidesow'l di, odpowiednio dla paraboloidalnego przekroju E. Gdy A < 0, otrzyrnujerny hiperbolicZll'l rnetryky dl, co ilustruje pionowy przekroj hiperboliczny H dla przypadku A = -1.
tej 2-powierzchni jest dokladnie taka jak metryka sfery 0 promieniu ,1,-1/2 = lIJi (w metryce di). Gdy A = 0, otrzymujemy metryky zwyklej plaszczyzny Euklidesa. (Przekroj ten nie wyglqda na "plaski", 1ecz na "paraboloidalny", chociaz jego wewnytrzna metrykajest plaska.)[18.61• Gdy A przyjmuje wartose ujemnq, przekroj staje siy sferq Lamberta 0 urojonym promieniu (= lIJi). Istotnie, jego metryka wewnytrzna (z di) to metryka geometrii hiperbolicznej. W ten sposob intuicja Lamberta, ktory byl przekonany, iz moze miee sens rozpatrywanie sfer 0 urojonym promieniu, okazala siy w pelni uzasadniona, aczkolwiek cale wieki poiniej. Konstrukcjy geometrii hiperbolicznej jako "pseudosfery" H+ mozemy bezposrednio zwiqzae z modelami Beltramiego, konforemnym i rzutowym, ktore omawialismy (w przypadku 2-wymiarowym) w rozdz. 2.4, 5. Na rys. 18.10 pokazalem sposob, w jaki oba te przypadki mogq bye otrzymane bezposrednio z H+, e.xplicite umieszczajqc 2-wymiarowe pseudosfery w 3-przestrzeni Minkowskiego M3 (ze wspolrzydnymi t, x, y). Zakladajqc, ze 1-t+ jest dana rownaniem t2 - x 2 -l = 1, otrzymujemy Beltramiego odwzorowanie "Kleina" (a wiyc rzutowe) przez zrzutowanie jej z poczqtku ukladu (0, 0, 0) na plaszczyzny t = 1, natomiast Beltramiego odwzorowanie "Poincarego" (a wiyc konforemne) otrzymujemy, rzutujqC z "bieguna poludniowego" (-1,0,0) na "plaszczyzny rownikowq" t = 0 (tzn. dokonujemy "rzutowania stereograficznego"; zob. rozdz. 8.3, rys. 8.7)[18.71• li11 [18.6] Pokaz to. Wskazowka: wygodnie jest uZyc wsp6trzt(dnych x, y i w, gdzie w = -z -l/Je).JI = (1- t -z).JI. li11 [18.7] Wyjasnij, dlaczego hiperboliczne linie proste s'l w przypadku "Kleina" reprezen-
= (t
406
towane jako linie proste, natomiast w przypadku "Poincarego" przez okrt(gi ortogonalne do brzeg6w. Pokaz, uZywaj'lc "odwr6cenia sygnatury", dlaczego ten ostatni przypadekjest rzeczywiscie odwzorowaniem konforemnyrn.
Geometria hiperboliczna w przestrzeni Minkowskiego
J-._ _ _ _
18.4
-J.~---:!------\...loKonforemna
Rys. 18.10. W 3-przestrzeni Minkowskiego M3 hiperboliczna 2-geometria 1i+ (zadana rownaniem t2 _x2 - y2 = 1) prowadzi bezposrednio do konforemnej i rzutowej reprezentacji Beltramiego (obie Sil przedstawione odpowiednio na rys. 2.11 i 2.16, gdzie zamiescilismy obraz M.e. Eschera oraz jego znieksztalconil wersj~). Model rzutowy Beltramiego ("Kleina") uzyskujemy po zrzutowaniu 1i+ z pocziltku ukladu (0, 0, 0) na wn~trze kola jednostkowego w plaszczyznie t = 1. Model konforemny Beltramiego (Poincarego) otrzymamy po zrzutowaniu 1i+ z (-1, 0, 0) na wn~trze kola jednostkowego z t = 0; zob. rowniez geometri~ Beltramiego, przedstawionil na rys. 2.17). Analogicznil konstrukcj~ mozemy przeprowadzic rowniez dla hiperbolicznej 3-geometrii w M.
Zauwaimy, ie czasopodobne kierunki przyszlosci Sq reprezentowane przez punkty na 7-l+ (gdzie, dla okreslonosci, przyjqlem a = 1). Przedstawiajq one moiliwe prydkosci cZqstki masywnej. Takwiycw szczeg6lnej teorii wzglydnosci 7-l+ moie bye uwaiana za przestrzen pr~dko§ci. (Przypomnijmy, ie sprawy ty podnosilismy przy koiicu rozdz. 2.7.) Jest to jeden z tych aspekt6w teorii wzglydnosci, kt6ry wielu ludzi uwaia za najbardziej niepokojqcy, poniewai teraz nie moina dodawae prydkosci w zwykly spos6b. Gdyby na przyklad statek kosmiczny wydrowat w jakims kierunku z prydkosciq c w stosunku do Ziemi i gdyby z tego statku wystrzelana rakiety w tym samym kierunku przestrzennym, r6wniei z prydkosciq w stosunku do statku, w6wczas ta rakieta poruszalaby siy w stosunku do Ziemi jedynie z prydkosciq ~~ c, a nie z prydkosciq wiykszq od prydkosci swiatla (t + t)c = c. (Tutaj c oznacza prydkose swiatla; wprowadzilismy jq ponownie tylko dla jasnosci, gdyi poslugujemy siy ukladem jednostek, w kt6rym c = 1). Jest to zrozumiale jako wynik dodawania dlugosci w geometrii hiperbolicznej (zob. rys. 18.11)l18.8J•
t
tC
t
i!J!J [18.8] Uiyj argumentu "odwracania sygnatury", aby stwierdzic, dlaczego dodawanie dIugosci w geometrii hiperbolicznej prowadzi do formuly dodawania, jakiej tutaj musimy uiyc, a mianowicie (u + v)c/(1 + uv), kiedy dodajemy prcrdkosci uc i vc w tym samym kierunku przestrzennym. Rozwaz dodawanie dlugosci luk6w wok61 pewnego okrcrgu lub sfery, w kt6rych "prcrdkosc" odpowiada za kazdym razem dlugosci luku, jakim jest tangens kqta srodkowego na nim opartego.
407
18
Geometria Minkowskiego
Rys. 18.11. Przestrzeni'l prydkosci w teorii wzglydnosci jest (jednostkowa) przestrzen hiperboliczna H+, w kt6rej raptownosc p (= arc tgh v) stanowi miary odleglosci hiperbolicznej wzdluz H+ (prydkosc swiatla c = 1 odpowiada nieskonczonej wartosci p). Jest to analogiczne (przez "odwr6cenie sygnatury") do odleglosci wzdluz okrygu jednostkowego, gdzie () jest k'ltem srodkowym.
Aby zdac sobie z tego Sprawy, musimy zrozumiec, jaki jest sens fizyczny tej hiperbolicznej "dtugosci". W rzeczywistosci jest to wielkosc znana pod naZWq raptownoSci (albo pospiesznosci), kt6rq bydy oznaczal greckq liteq p, a jej definicjy podaje nastypuj,!ca formula (graficznie przedstawiona na rys. 18.12): ___ 1In1+V P
2
I-v
tzn.
eP-e-P eP +e- P
V=---
(wyrazenie po prawej stronie definiuje "tangens hiperboliczny" p, co zapisujemy jako "tgh p"). Raptownosc jest po pro stu miar,! "odlegtosci" w przestrzeni hiperbolicznej 1i+ (0 pseudopromieniu jednostkowym - zob. rozdz. 2.4, 6 - poniewaz a = 1). Dla prydkosci v duzo mniejszych od prydkosci swiatla raptownosc jest r6wna tej prydkosci'18.9J• Zauwazmy, ze granice przedstawione na obrazie Eschera na rys. 2.11, kt6re odpowiadaj,! nieskonczonosci w geometrii hiperbolicznej (p = 00), reprezentuj,! nieosi,!galn,! graniczn,! prydkosc c (=1). Skladanie prydkosci w tym samym kierunku sprowadza siy do dodawania ich raptownosci (tzn. dodajemy dlugosci hiperboliczne); zob. rys. 18.13a. Skladanie prydkosci w r6znych kierunkach mozemy wykonac za pomoc,! procedury podanej dla zwyktych obrot6w w rozdz. 11.4, a ilustruje to rys. 11.4 (z odpowiedni,! inwersj,!
v
-----------------
-------~-,-~-------
p -----------~-~-~.------
v=-l
408
B
-----------------
Rys. 18.12. Wykres prydkosci v (gdzie c = 1) jako funkcji raptownoscip, zdefiniowanej jako p = ~ In{(l + v)/(l - v)}, tzn. v = (e P- e-P)/(e P+ e-P) = tghp.
[18.9] Wykai: prawdziwosc tego stwierdzenia; pokai rownowartosc podanych dwu wzorow.
Firmament niebieski jako sfera Riemanna
(a)
18.5
(b)
Rys.18.13. Skladanie prt(dkosci w hiperbolicznej przestrzeni prt(dkosci 7-r. (a) W przypadku dodawania prt(dkosci w tym samym kierunku po prostu dodajemy ich raptownosci. (b) W przypadku dodawania prt(dkoSci w roznych kierunkach do ich zlozenia stosujemy prawo trojkl)ta; dlugosci hiperbolicznych bokow Sl) rowne polowie odpowiednich raptownosci; por. to z rys. 11.4b, przedstawiajl)cym zlozenie zwyklych obrotow w 3-przestrzeni. Dowod jest identyczny.
sygnatury). Stosujemy tutaj hiperboliczne prawo tr6jkqta do dwu prydkosci, jakie majq bye dodane, z ktorych kazdq przedstawia odcinek hiperboliczny 0 dlugosci rownej dokladnie polowie raptownosci reprezentowanej prydkosci (co odpowiada faktowi, ze dlugosci lukow na rys. 11.4 Sq dokladnie rowne polowie dlugosci kqta obrotu); zob. rys. 18.13b.
18.5 Firmament niebieski jako sfera Riemanna Zajmijmy siy teraz wewnytrznq geometriq "granicy w nieskonczonosci" dla geometrii hiperbolicznej przestrzeni 1t+, przy czym trzeba powiedziee jasno, ze interesuje nas 4-wymiarowa czasoprzestrzen Minkowskiego, a wiyc jej graniq bydzie teraz sfera S2, a nie okqg (st) jak w przypadku rysunku Eschera (rys. 2.11). Kazdy punkt na tej sferze przedstawia pewien kierunek wzdluz samego stozka zerowego, a wiyc reprezentujqcego granicznq prydkose swiatia, jaka jest nieosiqgalna dla CZqstek masywnych. lednakZe te prydkosci Sq osiqgalne dla cZqstek bezmasowych; w istocie Sq to jedyne prydkosci swobodnego ruchu takich czqstek. Na szczyscie fotony Sq takimi cZqstkami i mozemy je obserwowae. Kiedy patrzymy na niebo w jasnq, bezchmurnq noc, wydaje nam siy, ze widzimy nad sobq polkulistq kopuly, ozdobionq miriadami gwiazd. W rzeczywistosci wszystko to stanowi realistyczny obraz rodziny promieni swietlnych, biegnqcych wzdluz stozka swietlnego, ktorego wierzcholkiem jest zdarzenie 0, jakim jest nasze oko w chwili patrzenia na ty niebieskq sceny. Tak naprawdy obserwujemy jedynie polowy promieni biegnqcych wzdluz stozka swietlnego; gdybysmy wyobrazili sobie, ze jestesmy w przestrzeni kosmicznej, z pelnym widokiem na calq otaczajqq nas sfery niebieskq, mielibysmy wowczas lepszy obraz sfery zlozonej z promieni swiatla tworzqcych caly stozek swietlny z wierzcholkiem w 0. Bye moze wygodniej jest myslee 0 tym obrazie jako o realizacji stozka przeszlosci 0, albowiem obserwujemy promienie, ktore docie-
409
18
Geometria Minkowskiego
410
raj,! do naszego oka, a nie wychodz'!ce z niego. Ale promienie swiatia, w sensie zerowych linii prostych, biegn,! w obu kierunkach, od przeszlosci do przyszlosci, a zatem sfera niebieska moie bye traktowana jako reprezentuj,!ca rodzin(( Swszystkich promieni swietlnych przechodz'!cych przez 0; zob. r6wniei rozdz. 33.2. Ta przestrzen S jest z pewnosci,! topologicznie 2-sfer,!, ale czy rna jak,!s godn,! uwagi struktur((? Moglibysmy na przyklad zaopatrzye j,! w metryk(( i traktowae jako 2-wymiarow,! przestrzen riemannowsk'!. Najbardziej oczywistym sposobem byloby wzi,!e jak,!s warstwt( stoika swiatia, na przyklad przecinaj,!c go 3-plaszczyzn,! przestrzenn'! t = -1, aby uzyskae sfert( metryczn,! 0 jednostkowym promieniu, x 2 + l + Z2 = 1 (z r6wnania stoika f - ~ -l- Z2 == 0), kt6ra bt(dzie reprezentowae sfer(( S. Alternatywnie moglibysmy dokonae przecit(cia plaszczyzn,! t = 1, uzyskuj,!c znowu sfert( jednostkow,!, a zwi,!zek mit(dzy jedn,! a drug,! daje odwzorowanie antypodalne (kt6re zachowuje metrykt(). Jednak w tym przecinaniu stoika nie rna niczego szczeg6lnego, dop6ki nie wybierzemy jednej specjalnej linii swiata obserwatora, przechodz'!cej przez 0, i nie uiyjemy "wsp6Irzt(dnej t" tego obserwatora. Dla inn ego obserwatora uczestnicz'!cego w tym samym zdarzeniu 0, kt6ry porusza sit( z jak,!s dui,! pr((dkosci,! w stosunku do pierwszego, mapy sfer niebieskich, jakie ci obserwatorzy tworz,!, mog,! bye wzglt(dem siebie znieksztakone. I rzeczywiscie, zauwaiamy tu pewien rodzaj odchylenia ze wzglt(du na efekt znany pod nazw'! aberracji gwiezdnej, zaobserwowany po raz pierwszy przez Jamesa Bradleya w 1725 roku. Zjawisko to polega na tym, ie obserwowane poloienia gwiazd na sferze niebieskiej, w r6inych porach roku, okazuj,! sit( lekko przesunit(te, poniewai prt(dkose Ziemi w ruchu dookola Slonca zaIeiy od jej poloienia na orbicie. To efekt podobny do tego, jaki powszechnie zauwaiaj,! osoby podr6iuj,!ce samochodem w czasie deszczu. Pasaierom siedz,!cym w samochodzie wydaje sit(, ie strugi deszczu padaj,! od przodu nieomal prosto na nich, podczas gdy obserwator stoj'!cy na ulicy widzi, ie spadaj,! pionowo w d6l. Wraienie owo powstaje na skutek tego, ie skonczona prt(dkose kropel deszczu sumuje sit(, odpowiednio, z prt(dkosci,! samochodu. W rzeczywistosci w takiej sytuacji prt(dkose samochodu uwaiamy za duio wit(ksz,! od prt(dkosci kropei deszczu, a wi((c zasadniczy efekt pochodzi od samochodu. W przypadku gwiazd jest odwrotnie, orbitalna prt(dkose Ziemi jest duio mniejsza od prt(dkosci swiatla gwiazd, kt6re wt(druje w nasz'! stront(. W zwi¥ku z tym sezonowa zmiana obserwowanej pozycji gwiazd na firmamencie niebieskim jest bardzo mala (dla najblizszych gwiazd wynosi ona okolo 20 sekund w mierze lukowej). Efekt ten przedstawia zalezn,! od prt(dkosci mapt( sfery niebieskiej, z czego wynika, ze sferze tej nie mozna przypisae naturaInej struktury metrycznej, niezaleinej od pr((dkosci obserwatora. Stawiamy tu nastt(puj,!ce pytanie: czy istnieje jakas struktura matematyczna S, slabsza od struktury metrycznej, kt6ra jest zachowana, kiedy przechodzimy od mapy nieba sporz,!dzonej przez jednego obserwatora do innej, sporz,!dzonej przez innego obserwatora, gdy obaj spotykaj,! sit( w zdarzeniu 0, przechodz'!c ze stosunkowo wysokimi prt(dkosciami? Okazuje sit(, ze taka struktura istnieje i jest dokladnie t'!,
Firmament niebieski jako sfera Riemanna
18.5
ktorq badalismy wczesniej, w rozdz. 8.2, 3, omawiajqc sfery Riemanna. Przypomnijmy wiyc, ze sfera Riemanna rna struktury konforemnq, dlatego - aczkolwiek nie rna przypisanej zadnej szczegolnej metryki, a wiyc nie rna ani okreslonej odleglosci pomiydzy sqsiednimi punktami, ani okreslonej dlugosci krzywych - zawiera scisle okreslone pojycie kqta miydzy krzywymi na sferze. Kai:da dozwolona, a wiyc konforemna transformacja na sferze Riemanna musi zachowywae tak zdefiniowane kqty. Konsekwentnie transformacje te zachowujq (infinitezymalnie) male ksztalty, aczkolwiek ich rozmiary mogq siy zmieniae. Ponadto okrygi, dowolnych rozmiarow, na sferze zawsze przechodzq w okrygi. I taka wlasnie jest struktura sfery niebieskiej S. Wobec tego, jesli jeden obserwator postrzega jakies ulozenie gwiazd jako rozmieszczenie na okrygu, to podobnie bydzie je postrzegal kai:dy inny[18.101• To sugeruje, ze wygodnym sposobem oznakowania gwiazd na firmamencie niebieskim mogloby bye przyporzqdkowanie kazdej z nich liczby zespolonej (dopuszczamy tatie OCJ)! Nie wiem, czy takq propozycjy wykorzystano juz w astronomii, ale posluzenie siy parametrem zespolonym nazywanym "wspolrzydnq stereograficznq", zwiqzanq ze standardowymi sferycznymi kqtami biegunowymi (rozdz. 2.11, rys. 22.16) wzorem S = ei'l'ctg -to[l8.111, jest normalnq praktykq w ogolnej teorii wzglydnoscC. Wlasnose ta moze robie wrazenie dziwnej, szczegolnie osobom znajqcym kontrakcjy FitzGeralda-Lorentza, wedlug ktorej sfera, poruszajqca siy z duzq szybkosciq v, doznaje splaszczenia w kierunku ruchu 0 czynnik y =~1_v2/c2, zob. rys. 18.14. (Nie omawiam tutaj szerzej tego efektu. Pojawia siy on, kiedy rozwai:a-
Rys. 18.14. "Efekt splaszczania" FitzGeralda-Lorentza. Sferyczna planeta porusza siy na prawo z prydkosci'l v (blisk'l prydkosci swiatla) w jakims ustalonym ukladzie odniesienia, w kt6rym przyjmuje ona ksztalt splaszczony w kierunku ruchu 0 czynnik (1 - V2/c2) 112.
~ [18.10] Sprobuj podac szczegoly tego bardzo pomyslowego argumentu, znalezionego przez niezwykle oryginalnego i wplywowego teoretyka irlandzkiego, Johna L. Synge'a. Argument ten nie wymaga zadnych obliczen! Przedstawia siy nastypujqco: rozwaimy konfiguracjy geometrycznq skladajqcq siy ze stozka przeszlosci C zdarzenia 0 oraz (czasopodobnej) 3-plaszczyzny P przechodzqcej przez O. Niech ~ bydzie przeciyciem C i P. Opisz "historiy" w czasie odpowiednich opisow przestrzennych C, P i ~, w jakims stosownym ukladzie odniesienia przestrzeni Minkowskiego. Wyjasnij, dlaczego kaidy obserwator w 0 postrzega ~ jako okrqg, a co wiycej, ze ta konstrukcja geometryczna charakteryzuje, w sposob niezalezny od ukladu odniesienia, wiqzki promieni swietlnych, ktore obserwator postrzega jako okrqg. ~ [18.11] Wyprowadi ten wzOr.
411
18
Geometria Minkowskiego
my opis przestrzenny obiektu poruszajqcego sit(, i jego szczegolowq charakterystykt( znajdziemy w wit(kszosci standardowych opracowan teorii wzglt(dnoscL)8,[18.12j Wyobrazmy sobie, ze ta sfera przesuwa sit( nad nami horyzontalnie z prt(dkosciq bliskq prt(dkosci swiatla. Latwo przyjqC, ze to splaszczenie powinno byc zauwazalne przez obserwatora pozostajqcego w spoczynku na Ziemi. Zgodnie z zasadq wzglt(dnosci zjawisko powinno byc identyczne z tym, jakie postrzegalby obserwator, gdyby to on poruszal sit( z prt(dkosciq v w kierunku przeciwnym, a sfera pozostawalaby w spoczynku. Jednak obserwatorowi pozostajqcemu w spoczynku wydaje sit(, ze sfera rna ksztalt sferyczny. Pozornie pojawia sit( sprzecznosc ze stwierdzeniem z poprzedniego akapitu, iz "okrt(gi zawsze przechodzq w okrt(gi". Nie rna tu wcale sprzecznosci, poniewaz "efekt splaszczenia" FitzGeralda-Lorentza nie jest bezposrednio obserwowalny. Wynika to ze szczegolowego rozwaienia dlugosci drogi swiatla docierajqcego do obserwatora, w stosunku do ktorego sfera pozostaje w ruchu; zob. rys. 18.15. Swiatio, ktore na pozor pochodzi z tylu sfery, dociera do oka obserwatora z bardziej odleglego punktu niz to, ktore mialoby pochodzic z przedniej czt(sci sfery9,[18.13 j •
Rys. 18.15. Sp\aszczenie FitzGeralda-Lorentza nie jest bezposrednio obserwowalne, poniewai to, co obserwatorowi jawi sit( jako tyl sfery, dociera do niego po dlui:szej drodze nii: to, co wydaje mu sit( przodem sfery (tyl sfery wykonuje ruch od drogi swiaUa, podczas gdy prz6d porusza sit( w stront( promienia swietlnego). Zgodnie z tym, obserwowany tyl sfery odnosi sit( do poloi:enia wczesniejszego nii: poloi:enie przodu i efekt splaszczenia zostaje skompensowany.
412
rm. [18.12] Sprobuj wyprowadzic ten wzor, stosujqC zaloienia opisanej wlasnie geometrii czasoprzestrzeni. rm. [18.13] Rozwin ten argument w szczegolach, aby pokazac, dlaczego splaszczenie FitzGeralda-Lorentza dokladnie kompensuje efekt pochodzqcy od roinicy dlugosci drog. Pokai, ie dla niewielkiej srednicy kqtowej widocznym efektem jest raczej obrot sfery nii jej splaszczenie.
Energia newtonowska i moment pedu
18.6
p~du
18.6 Energia newtonowska i moment
W tym rozdziale chcialbym przedyskutowae jeszcze jeden aspekt geometrii Minkowskiego, ktory dotyczy waznych zagadnien energii,Pfdu i momentu Pfdu w teorii wzglydnosci. Do tych spraw przejdziemy w rozdz. 18.7, ale najpierw muszy zrobie kilka uwag na temat tych istotnych pojye w teorii Newtona, albowiem nie omawialismy ich jeszcze w tej pracy. Szczegolna rola tych wielkosci wynika przede wszystkim z tego, ze Sq dobrze zdefiniowane w teorii Newtona i majq ty cechy, iZ w ukladach, na ktore nie dzialajq sily zewnytrzne, sq zachowane, co oznacza, ze calkowita energia, pyd i moment pydu pozostajq stale w czasie. Energiy ukladu mozemy uwazae za wielkose skladajqcq siy z dwoch cZysci, a mianowicie energii kinetycznej (tzn. energii ruchu) i energii potencjalnej (a wiyc energii zgromadzonej w silach dzialajqcych miydzy czqstkami). W teorii Newtona energia kinetyczna czqstki (nieposiadajqca struktury) jest zadana wyrazeniem
Imv 2 2
'
gdzie m oznacza masy cZqstki, a v jej prydkose. Aby otrzymac calkowitq energiy kinetycznq ukladu, po prostu dodajemy do siebie energie kinetyczne wszystkich cZqstek (aczkolwiek w przypadku gdy uklad sklada siy z bardzo wielu cZqstek poruszajqcych siy chaotycznie, mozemy mowie 0 energii cieplnej; zob. rozdz. 27.3). Aby otrzymae calkowitq energiy potencjalnq, musimy miee informacje 0 charakterze sil dzialajqcych w tym ukladzie. Ani calkowita energia kinetyczna, ani calkowita energia potencjalna nie mUSZq bye oddzielnie zachowane, a calkowita energia pozostaje stala. (Pierwsze podejrzenia, ze tak musi bye, mozemy przesledzie jeszcze w pracach Galileusza nad ruchem cial w polu sily ciyzkosci. Gdy porusza siy ramiy wahadla, zaczynajqc z wysokiego polozenia, jego energia potencjalna, ktorej miarq jest wysokose podniesienia, zamienia siy w energiy kinetycznq, ktora nastypnie zamienia siy w energiy potencjalnq, ktora przechodzi z powrotem w energiy kinetycznq, itd., itd.) Pyd P naszej cZqstki 0 masie m jest wielkoSciq wektorowq okreslonq wyraZeniem
p=mv, gdzie v jest wielkosciq wektorowq opisujqcq jej prydkose. Aby otrzymae pyd calkowity ukladu, dodajemy do siebie pydy poszczegolnych czqstek. Ten pyd calkowity jest rownieZ zachowany w czasie[18. 141. Przypomnijmy sobie teraz, na podstawie rozdz. 17.3, ze w teorii Newtona obowiqzuje zasada wzglydnosci Galileusza. W jaki sposob nasze prawa zachowania mogq przetrwae podczas przechodzenia od jednego inercjalnego ukladu odB [18.14] UZyj zasady zachowania energii i pydu do pokazania, ze jesli spoczywaj,!ca kula bilardowa zostaje uderzona przez inn,! kuly 0 tej samej masie, w6wczas rozchodz,! siy one pod k,!tem prostym wzglydem siebie (zakladamy, ze zderzenie jest spryZyste, a wiyc nie zachodzi zamiana energii kinetycznej w cieplo).
413
18
Geometria Minkowskiego
niesienia do innego, gdy ani energia, ani pyd nie pozostaj
x=
(Xl,
x 2, r),
gdzie Xl, x 2, x 3 oznaczaj
M=2x/\p (definicjy symbolu /\ znajdziemy w rozdz. 11.6)10. Aby otrzymae moment pydu calego ukladu, dodajemy po pro stu momenty pydu poszczegolnych cz
N =tp -mx, gdzie t oznacza czas. Calkowit
[18.15] Udowodnij to wszystko. [18.16] Dlaczego lYZwiarze wykonujqcy pimet skladajq ramiona, aby zwiykszyc prydkosc obrotu? ~ [18.17] Pokaz to. (Notabene wektor polozenia srodka masy jest sumq wielkosci mx podzielonq przez sumy wszystkich mas m.) ~
414
Energia relatywistyczna i moment p~du
-
~
...
t
18.7
•
'\" 1 ....~, .I'
..L.::::> \
Jl ...'-». t;r ~ ..!! ..... "'" t ~-::::.. - - - - - ~ .... ~~ .. t
~
1,
-~
~
I
~J
"".;I
~'\." ~
Rys. 18.16. Ruch jednostajny srodka masy. Wieikosc N = tp - mx, gdzie t oznacza czas, a x wektor polo:i:enia srodka masy, jest zachowana. Wyra:i:a to fakt, :i:e srodek masy porusza siy ruchem jednostajnym i prostoiiniowym, z prydkosci'l p/m.
wo zachowania energii, l'!cz'! siC( w jedno. W sensie najzupelniej scislym masa i energia staj,! siC( sobie calkowicie rownowazne i, zgodnie z najbardziej znanym wzorem Einsteina gdzie E oznacza calkowit,! energiC( ukladu, m jego calkowit'! masC(, a c prC(dkosc swiatla. W ostatnim rozdziale zobaczymy, jak to funkcjonuje.
18.7 Energia relatywistyczna i moment
p~du
Przypomnijmy sposob, w jaki przestrzen i czas zostaly pol,!czone w teorii wzglC(dnosci w jednym bycie, "czasoprzestrzeni", w ktorej wspolrzC(dna czasowa t zostala dol,!czona do 3-przestrzennego wektora polozenia x = (Xl, r, x3), tworz'!c 4-wektor
(xO,xl,r,r) = (t, x). W podobny sposob dokonamy teraz pol,!czenia energii i pC(du. KaZdy skonczony uklad w szczegolnej teorii wzglC(dnosci bC(dzie mial okreslon,! energiC( calkowit'! E i calkowity 3-wektor pC(du p. Razem tworz'! one tzw. 4-wektor energii-Ndu, ktorego przestrzenne skladowe s,! (P\p2,p3) = c2p, podczas gdy skladowa czasowa, pO, mierzy nie tylko calkowit,! energi y, lecz takZe, rownowaznie, calkowitq mas~ ukladu, zgodnie z relacj,!
pO=E =mc 2, ktora przedstawia znany zwi,!zek masy i energii Einsteina. Przy bardziej naturalnym wyborze ukladu jednostek, w ktorym c = 1, energia i masa s,! po prostu rowne. lednakZe specjalnie wypisalem tutaj prC(dkosc swiatla c (a wiC(c nie wybieraj,!c jednostek czasowo-przestrzennych, w ktorych c = 1), aby ulatwic korespondencjC( z opisem nierelatywistycznym. W konwencji, ktor,! tutaj przyj,!lem, jako tensor metryczny gab wybieramy macierz, ktorej niezerowe elementy znajduj,! siC( na glownej przek'!tnej i wynosz'! (1, _c-2 , _c- Z, _c-2 ); a jej odwrotnosc, o skladowych g"b, rna na tej diagonali elementy (1, _c z, _c 2, _c 2).
415
18
Geometria Minkowskiego
Mimo ze na poczqtku wydaje siy, iz wektor energii-pydu wygodnie jest traktowac jako czasoprzestrzenny, okazuje siy jednak, ze bardziej wlasciwe jest uznanie go za kowektor (zob. rozdz. 20.2 i 21.2), opisywany przez wielkosci z dolnymi wskainikami, p a' 0 skladowych
(PO,PI'P2,P3)
=
(E, -p).
W wyrazeniu tym wystypuje znak minus (chociaz zniknylo c). Ktorejkolwiek wersji uZyjemy dla czteropydu (Pa czy p a), prawo zachowania bydzie speinione. Tak wiyc, bez wzglydu na to, czy rozpatrujemy proces zderzenia dwu lub wiycej cZqstek, czy proces rozpadu pojedynczej czqstki (lub ukladu) na dwie lub wiycej, czy wychwyt jednej czqstki przez innq, suma wszystkich 4-pydow przed zajsciem tego procesu bydzie rowna sumie tych pydow po procesie. W ten sposob prawo zachowania energii, prawo zachowania pydu, a takZe prawo zachowania masy - wszystkie zostaly poiqczone w jedno prawo zachowania. Wygodnie jest polqczye je w taki sposob, gdyz przy zmianie ukladu odniesienia te wielkosci, wedlug regul teorii wzglydnosci, transformujq siy jedne w drugie tak, jak tego wymaga zapis wskaznikowy (zob. rozdz. 12.8). Zauwazmy, ze w teorii wzglydnosci calkowita masa ukladu nie jest wielkosciq skalarnq, a wiyc jej wartosc zaleZy od ukladu odniesienia, w ktorym siy jq mierzy. Na przyklad czqstka 0 masie m w jej wlasnym ukladzie spoczynkowym pozornie rna wiykszq masy, niz jesli jq zmierzymy w ukladzie, w odniesieniu do ktorego siy porusza. Zeby jednak efekt ow byl obserwowalny, wzglydne prydkosci tych dwu ukladow mUSZq bye porownywalne z prydkosciq swiatla[ 18181. Przedstawione uwagi odnoszq siy jedynie do masy, ktora jest masq konserwatywnq (zachowawczq) , w opisanym juz sensie addytywnosci (dla ukladu, na ktory nie dzialajq sHy zewnytrzne). W teorii wzglydnosci istnieje jeszcze inne pojycie, tzw. masy spoczynkowej /1 (? 0), ktorej wielkose nie zaleZy od ukladu odniesienia. Jest ona rowna masie mierzonej we wlasnym spoczynkowym ukladzie odniesienia, w ktorym pyd wynosi zero. Masa spoczynkowa /1 jest rowna c-2 razy energia spoczynkowa (Papa) 1/2, a wiyc (C 2/1)2 = Papa = E2 _ c2 p2; skqd mamy, ze /1 = c-2 (E2 - c2p2)l!2. W tym miejscu zaadaptowalem zwyklq notacjy do wektorow 3-przestrzeni, wedlug ktorej, dla dowolnego wektora 3, definiujemy 2 3 = 3 •3 = + + a~. "Kropka" oznacza tutaj "iloczyn skalarny" (podobnie jak w zapisie w rozdz. 12.3):
a; a;
3 •
gdzie
~
416
3 = (al' a 2 , a 3 )
b = alb l + a 2b2 + a3b3 ,
i b = (bl' b2, bJ Taka notacja okaze siy wygodna pozniej.
[18.18] Pokaz, ze wzor na ten przyrost masy to m(1 czqstki w drugim ukladzie odniesienia; zob. daJej.
V
/c 2t1!2, gdzie v oznacza pr((dkosc
2
Energia relatywistyczna i moment p~du
18.7
Dla pojedynczej czqstki masywnej w tym sensie, ze fl > 0, mozemy przyjqc, iz 4-pt(d jest 4-prrdkosciq przeskalowanq przez mast( spoczynkowq fl. Ta 4-prt(dkosc va jest czasopodobnym (w stozku przyszlosci) wektorem stycznym do linii swiata cZqstki, 0 dlugosci c (w geometrii Minkowskiego), czyli jest wektorem jednostkowym w ukladzie jednostek, w kt6rym c = 1: pa =
2
fl Va , gdzie va va = c ;
zob. rys. 18.17. Jak juz powiedzielismy, masa spoczynkowa czqstki masywnej jest masq (masq-energiq) tej cZqstki, mierzonq w jej wlasnyrn, spoczynkowyrn ukladzie odniesienia. Skoro przyjmiemy, ze zwykla 3-prt(dkosc tej cZqstki wynosi v, a wit(c v = (dx1/dt, &2/dt, dx3/dt), gdzie t =xo, otrzymujemy[18.191.[18.201
p =mv, m =Yfl,
va
=y(c 2, v),
gdzie
Rys. 18.17. Dla CZqstki masywnej 4-p«d pa jest rowny 4-pr«dkosci va, przeskalowanej przez mas« SpOczynkowq f1. (> 0), gdzie va jest (czasopodobnym, w stozku przyszlosci) jednostkowym 4-wektorem StyCZnym do linii swiata cZqstki (jesli c = 1) .
.§1 [18.19] Dlaczego? .§1 [18.20] Wykorzystaj szereg Taylora z rozdz. 6.4, aby pokazac, ze (1 + X) 112 = 1 +JX -tx2 + + l~ X3 - ... Na tej podstawie wyprowadi rozwinit;:cie w szereg pott;:gowy dla energii
E = [(C2.u? + C2p2f!2 cz
417
18
Geometria Minkowskiego
Cz'!stki mog,! bye tez bezmasowe (tzn. 0 zerowej masie spoczynkowej, f1 = 0), foton jest tutaj najlepszym przykladem. W takim przypadku 4-pt(d jest wektorem zero»ym. Poniewaz masa spoczynkowa nie jest zachowana, dlatego nie rna przeszkod, zeby cz'!stka masywna rozpadala sit( na cz'!stki bezmasowe alba zeby cz'!stki bezmasowe l,!czyly sit( w cz'!stki masywne. I rzeczywiscie, cz'!stka masywna znana pod nazw'! "neutralnego pionu" (oznaczana jako nO) zwykle rozpada sit( na dwa fotony w czasie ok. 10-16 sekundy. W kazdym konkretnym ukladzie odniesienia calkowita masa-energia (ale nie masa spoczynkowa) jest addytywnie zachowana, a masa-energia kazdego fotonu jest rozna od zera. Sposob, w jaki 4-pt(dy sit( dodaj,!, ukazuje rys. 18.18. Wreszcie zobaczmy, jak w szczegolnej teorii wzglt(dnosci traktujemy moment pt(du. Opisujemy go wielkosci,! tensorow'! M ab , antysymetryczn,! w jej obu wskainikach: ~b=_Mba.
(W rozdz. 22.12 poznamy znaczenie tensor a M ab w mechanice kwantowej.) W przypadku pojedynczej cz'!stki punktowej (bez struktury wewnt(trznej) mozemy napisae l1 ~b = Xapb _ xbpu,
gdziex a jest 4-wektorem polozenia (w zapisie wskainikowym) punktu na linii swiata cz'!stki w momencie, w ktorym rozwazamy jej moment pt(du. Jesli cz'!stka porusza sit( ruchem inercjalnym, wowczas ~b jest taki sam dla wszystkich punktow na jej
418
Rys. 18.18. Rozpad masowego "pionu neutralnego" 'ITo na dwa bezmasowe fotony. 4-wektor masy-energii jest zachowany addytywnie (natomiast masa spoczynkowa nie).
Przypisy
linii swiata[18.21 1. Chcqc otrzymac catkowity relatywistyczny moment pl(du, dodajemy po prostu tensory momentu pl(du wszystkich cz~stek. Dla pojedynczej cz~stki (bezspinowej) trzy niezalezne czysto przestrzenne sldadowe M 23 , M 31 , MI2 s~ (pomnozonymi przez c1 ) skladowymi zwyklego momentu pl(du M = 2x /\ p, kt6ry rozpatrywalismy w rozdz. 18.6, natomiast pozostate niezalezne skladowe ~I, ~z, ~3 2 odpowiadaj~ wielkosci N = tp - mx (x c ). (Zachowanie calkowitego N odpowiada ruchowi jednostajnemu srodka masy; zob. rys. 18. 16.)[18.22J Przypomnijmy sobie z rozdz. 18.2, ze w lO-wymiarowej grupie Poincarego symetrii przestrzeni Minkowskiego 4 wymiary odpowiadaj~ translacjom czasoprzestrzennym, a pozostale 6 obrotom (lorentzowskim). W rozdz. 20.6 przekonamy sil(, jak wazna zasada mechaniki klasycznej, twierdzenie N6ther, wi(!ze te symetrie z prawami zachowania, a w rozdz. 21.1-5 i w rozdz. 22.8 dowiemy sil(, ze podobnie jest w teorii kwantowej. To wyjasnia gll(bokie przyczyny praw zachowania dla 4-pl(du Pa i dla 6 skladowych momentu pl(du Arb, albowiem wynikaj(! one z 4 symetrii translacyjnych i 6 (lorentzowskich) symetrii obrotowych przestrzeni Minkowskiego. Prawa zachowania Pa i Arb odegraj~ szczeg6lnie wazn~ roll( w rozwazaniach rozdz. 21 i 22.8, 12, 13.
Przypisy Rozdzial 18.1 Tom Banchoff z Uniwersytetu Browna przez wiele pracowal nad interakcyjnym systemem komputerowym, kt6rego celem bylo rozwiniycie intuicji 4-wymiarowej, a w szczeg6lnosci wizualizacji funkcji zespolonych w terminach powierzchni Riemanna w (:2; zob. Banchoff (1990, 1996); zob. talcie: http//wwwJacultyJairfield.edu/jmac/c1/tb42.htm. 2 Wielkosci "ds" w tym wyrazeniu naleiy rozumiec po prostu jako "wielkosci infinitezymalne" (jak f w rozdz. 13.6). Por. przyp. 8 w rozdz. 12. 1
Rozdzial18.2 Szczeg610wq dyskusjc,: roli Lorentza, Poincarego i Einsteina w rozwoju szczeg6lnej teorii wzglc,:dnosci znaleic mozna w pracy: Stachel (1995), s. 249-356. Moim zdaniem jednak nawet Einstein w 1905 roku nie mial jeszcze kompletnej teorii i potrzebna byla dopiero 4-wymiarowa perspektywa Minkowskiego, kt6rq przedstawil w 1908 roku, aby obraz byl zupelny; zob. rozdz. 17.8. 4 W grupie Poincarego istniejq elementy odbicia czasu, kt6re przeksztalcajq czasopodobne kierunki przyszlosci w czasopodobne kierunki przeszlosci. 3
5
Rozdzial 18.3 Muszc,: podkreslic, szczeg6lnie na uiytek czytelnik6w zaznajomionych z mechanikq kwantOWq, ze zespolone pojycie "ortogonalnosci", kt6rym sic,: tutaj poslugujc,:, jest holomorficzne (tego bowiem dotyczy "kompleksyfikacja"), a nie jest hermitowskie (w pojc,:ciu rozdz. 13.9); to drugie wprowadza sprzc,:zenie zespolone i znajduje szerokie zastosowanie w wielu dzialach matematyki i fizyki. ~ ~
[18.21] Dlaczego? [18.22] Wyjasnij to szczeg610wo w przypadku relatywistycznym.
419
18
Geometria Minkowskiego
6
Zob. np. Rindler (1982, 2001); Synge (1956); Taylor, Wheeler (1963); Hartle (2004).
Rozdzial18.5 Zob. w szczeg6lnosci Newman, Penrose (1966); Penrose, Rindler (1984), rozdz. 1.2-4,4.15; Penrose, Rindler (1986), rozdz. 9.8. 8 Zob. np. Rindler (1982, 2001). 9 Zob. np. Terrell (1959); Penrose (1959). 7
\0
11
Rozdzial 18.6 Niekt6rzy czyte1nicy mogq bye zdziwieni pojawieniem sit( czynnika ,,2" w tym wyrazeniu, ale powinni przeanalizowae definicjt( ,,/\" podanq w rozdz. 11.6. Skladowymi iloczynu x /\ P S,! liczby Xlpil = ~ (xpi - xip) Stqd wynika, ze skladowymi M Sq liczby xipi - Xipi. W rozdz. 22.8 przekonamy sit(, ze wit(kszose cZqstek (kwantowych) rna wewn~trzny spin prowadzqcy do (stalego) spinowego wkladu w Mb (zob. rozdz. 22.12), kt6ry sit( dodaje do "orbitalnego M b , , _ 0 nim tutaj m6wimy.
19 Pola klasyczne Maxwella i Einsteina 19.1 Stopniowe odejscie od dynamiki Newtona W OKRESIE, ktory uplyn,!l od czasu sformulowania genialnego modelu dynamiki Newtona, czyli od ukazania siy jego Principi6w w 1687 roku do pojawienia siy szczegolnej teorii wzglydnosci, co mozemy datowac na rok 1905, kiedy Einstein opublikowal pierwsz,! pracy na ten tern at, dokonano wielu odkryc w istotny sposob zmieniaj,!cych nasze widzenie podstaw fizyki. Prawdopodobnie najbardziej doniosle bylo zdanie sobie sprawy, gtownie dziyki dziewiytnastowiecznym pracom Faradaya i Maxwella, ze istnieje cos takiego jak pole jizyczne, przenikaj,!ce przestrzen, wspolistniej,!ce z "newtonowsk,! rzeczywistosci'!" indywidualnych cz,!stek, oddzialuj,!cych miydzy sob,! za posrednictwem sit dziataj,!cych natychmiastowo 1• Pozniej pojycie "pola" stalo siy kluczowym elementem przedstawionej przez Einsteina w 1915 roku zakrzywionej czasoprzestrzeni jego teorii grawitacji. Obecnie polami klasycznymi nazywamy w istocie pole elektromagnetyczne Maxwella i pole grawitacyjne Einsteina. Obecnie wiemy juz, ze natura swiata fizycznego jest bardziej zlozona i jej opis wymaga duzo wiycej, niz zaoferowac moze fizyka klasyczna. Juz w 1900 roku Max Planck odkryl potrzeby stworzenia "teorii kwantow", aczkolwiek dopiero po nastypnym ewierewieczu ujrzala swiatlo dzienne spojna i dobrze sformulowana teoria. Trzeba tez podkreslic, ze poza tymi glybokimi zmianami w newtonowskich podstawach fizyki nastqpily rownid inne doniosle zmiany, zarowno wczesniejsze od tamtych, jak i wspolistniej,!ce, polegaj,!ce na rozwoju potyznych instrumentow matematycznych, ktore znalazly zastosowanie w ramach samej teorii Newtona. Te instrumenty matematyczne omowimyw rozdziale 20. Sq one w istotny sposob zwiqzane z teori,! pol klasycznych, a nawet, co wazniejsze, tworzq niejako warunki wstypne do wlasciwego zrozumienia mechaniki kwantowej. Problemem tym zajmiemy siy w nastypnych rozdzialach. Innym dzialem fizyki, w ktorym zostal dokonany ogromny postyp, jest termodynamika i jej bardziej finezyjna wersja, znana pod nazw'! fizyki statystycznej. S,! to zagadnienia zachowania siy ukladow wielkiej liczby cial, w ktorych szczegoly indywidualnych ruchow nie s,! uwazane za istotne, a caly system opisywany jest w terminach wartosci srednich odpowiednich wielkosci fizycznych. Ten rozwoj zostal zapoczqtkowany w polowie XIX i poczqtkach XX wieku; w tym kontekscie wypada wymienic nazwiska takich uczonych jak Carnot,
19
Pala klasyczne Maxwella i Einsteina
422
Clausius, Maxwell, Boltzmann, Gibbs i Einstein. Najbardziej fundamentalne i zagadkowe aspekty termodynamiki omowiy poiniej, w rozdziale 27. W biezqcym rozdziale zajmy siy opisaniem teorii pol fizycznych przedstawionych przez Maxwella i Einsteina: "pol klasycznych" w teorii elektromagnetyzmu i w teorii grawitacji. Teoria zjawisk elektromagnetycznych odgrywa waznq roly takZe w formulowaniu teorii kwantowej, albowiem wprowadza "pole" stanowiqce archetyp dla poiniejszego rozwoju kwantowej teorii pola, ktorq poznamy w rozdziale 26. Co prawda, wlasciwe kwantowe podejscie do teorii pola grawitacyjnego pozostaje nadal sprawq enigmatycZllq i kontrowersyjnq. Zagadnienie kwantyzacji pola grawitacyjnego stanowiC bydzie istotnq cZysc dalszych rozdzialow tej ksiqzki (poczynajqc od rozdzialu 28). Jednak dla rozpatrzenia zagadnien fizycznych, ktorymi siy teraz zajmiemy, ograniczymy siy do badania pol fizycznych w ich klasycznej postaci. Na poczqtku tego rozdzialu wspomnialem, ze glyboka reform a newtonowskich podstaw fizyki rozpoczyla siy w XIX wieku, zanim jeszcze (w XX wieku) pojawily siy zwiastuny rewolucji relatywistycznej i teorii kwantow. Zwiastunem potrzeby takich reform byly odkrycia eksperymentalne Michala Faradya okolo 1833 roku i wylaniajqcy siy z nich nowy obraz rzeczywistosci, pozwalajqcy na ich zrozumienie. W zasadzie fundamentalnq zmianq, ktorej te doswiadczenia wymagaly, bylo uznanie, ze "czqstki newtonowskie" i "sily" miydzy nimi oddzialujqce nie Sq jedynymi mieszkancami naszego WszechSwiata. Konieczne okazalo siy powazne rozwazenie idei "pola" jako samoistnego, oddzielnego bytu fizycznego. Wielki szkocki fizyk James Clerk Maxwell w 1864 roku sformulowal rownania, ktorym te nowe byty muszq podlegac, i pokazal, ze pol a Sq w stanie przenosic energiy z jednego miejsca winne. Rownania te polqczyly w jedno zachowanie siy pol elektrycznych, magnetycznych, a nawet swiatla i obecnie wystypujq pod nazwq rownan Maxwella i Sq to pierwsze rownania pol relatywistycznych. Z perspektywy dokonan XX wieku, w ktorym wspaniale rozwinyly siy techniki matematyczne (odwolujy siy tutaj specjalnie do rachunku rozniczkowego i calkowego na rozmaitosciach, 0 ktorym mowilismy w rozdz. 12-15), wydaje siy, ze rownania Maxwella majq takq zniewalajqcq naturalnosc i prostoty, iz moze wrycz dziwic, ze pola elektryczne i magnetyczne mogq podlegac jakims innym prawom. Jednak taka perspektywa ignoruje fakt, ze to same rownania Maxwella prowadzily do wielkich postypow matematyki. To wlasnie postac rownan Maxwella doprowadzila Lorentza, Poincarego i Einsteina do czasoprzestrzennych transformacji szczegolnej teorii wzglydnosci, ktore z kolei umozliwily Minkowskiemu wysuniycie jego koncepcji czasoprzestrzeni. W ramach tej koncepcji rownania Maxwella przyjyly takq postac, ktora w naturalny sposob doprowadzila do teorii form rozniczkowych Cartana (rozdz. 12.6); natomiast prawa zachowania ladunku i strumienia magnetycznego w teorii Maxwella przyczynily siy do powstania calej konstrukcji wyrazen calkowych, ktore obecnie mozemy najpelniej oddac przez cudownq formuly z rozdz. 12.5, 6, a ktorq nazywamy podstawowym twierdzeniem rachunku roiniczkowego i calkowego fonn zewn{?trznych.
Teoria zjawisk elektromagnetycznych Maxwella
19.2
Byc moze, przypisujqc te wszystkie osiqgnit(cia wplywowi rownan Maxwella, przyjqlem nieco zbyt ekstremalny punkt widzenia. Rzeczywiscie, aczkolwiek rownania Maxwella niewqtpliwie majq znaczenie kluczowe, wielu prekursorow tej teorii wywarto rownid znaczqcy wplyw. Wymienic tu wypada przede wszystkim takie nazwiska jak Laplace, D' Alembert, Gauss, Green, Ostrogradski, Coulomb, Ampere, ale takZe i inne. Wszystkie badania pomagajq zrozumiec, czym Sq pol a elektryczne i magnetyczne, ktore stanowiq "silt( napt(dowq" rozwoju, a takZe czym jest pole grawitacyjne. Reszta tego rozdzialu jest poswit(cona wyjasnieniu natury tych pol i sposobu, w jaki ukladajq siy w ramy wspolczesnej matematyki.
19.2 Teoria zjawisk elektromagnetycznych Maxwella Czym wit(c Sq rownania Maxwella? To rownania rozniczkowe czqstkowe (zob. rozdz. 10.2), ktore opisujq ewolucjt( w czasie trzech skladowych, EI' E 2, E3 pola elektrycznego oraz trzech skladowych pola magnetycznego BI' B 2 , B 3, gdzie gt(stosc ladunku elektrycznego p oraz trzy skladowe gt(stosci prqdu jl' j2' j3 uWaZamy za wielkosci zadane. W rownaniach tych wystt(powae mogq pewne inne wielkosci, charakteryzujqce osrodek, w ktorym te pola mogq sit( propagowac. JednakZe przy dyskusji fundamentalnych aspektow fizycznych, co nas tutaj glownie interesuje, zwykle pomijamy te aspekty rownan Maxwella, ktore odnoszq sit( do wlasciwosci osrodka, poniewaz sam osrodek sklada sit( w rzeczywistosci z wielkiej ilosci elementow skladowych, a one same z kolei powinny bye rozpatrzone na bardziej fundamentalnym poziomie. Bt(dzie tez wygodnie posluZyc sit( tak zwanymi "jednostkami Gaussa" oraz standardowymi wsp6lrz~dnymi Minkowskiego (z rozdz. 18.1), a mianowicie i 2 Xo = t,x =x,x =y,~ =Z (sygnatura + - - -), przy czym dobor jednostek czasoprzestrzennych jest taki, ze prt(dkosc swiatla c = 1. Pole elektromagnetyczne i gt(stosc prqdu ladunkowego przedstawiamy, odpowiednio (zgodnie z przepisem zaproponowanym przez Minkowskiego), w postaci czasoprzestrzennej 2-formy F, ktorq nazywamy tensorem pola Maxwella, oraz czasoprzestrzennego wektora], nazywanego wektorem prqdu ladunkowego. Ich macierzowa postae przedstawia sit( nastt(pujqCo:
FOi
Foz
Fm [FOO F;o F;1 F;2 F;3 F'zo F21 F'zz FZ3 F'zo F'z1 F3Z F;3
Jl =
0 -El -Ez
E, 0 B3
Ez -B3 0
-E3
-B2
B1
[}lD
E, Bz ] -B1 '
0
423
19
Pala klasyczne Maxwella i Einsteina
Zauwazmy, ze spelniony jest warunek antysymetrii Pba = -Pab , jak tego wymagaj,! wlasnosci 2-formy. Wykorzystam tez wielkosci znane pod nazw,! dualnych Hodge'a, dualnych wzglydem P i J. Byd,! to, odpowiednio, 2-forma *p oraz 3-forma *J, zdefiniowane nastypuj,!co:
*Pol
*Po2
*~l
*~2
F'zo *F21 *F;l
*F22
F'z3
*F32
*F;3
:~:
[OR
*F;o
OF., :~3
II
0 j
-Bl 0
B2 B3
E3 -E2
= B
[OJml ?023 = [-Pl _j~
-B2 -E3 0
-B']
E1
0
E2 -Ej '
.
h j3
JOB 'J012
Obie wielkosci spelniaj,! wymagane warunki antysymetrii 'Pab = 'P[ab] oraz *Jabc = *J[abcr Ui;ywaj,!c antysymetrycznego tensora Levi-Civity cO wlasnosciach c abcd = c[abcd] i c 0123 = 1, te wielkosci dualne mogy zapisac w postaci: 'p 1 pcd. *J Jd ab
= ICabcd
1
abc
= c abcd
'
gdzie tensor pb =gacgbdPcd ' zgodnie z rozdz. 14.7. ZauwaZmy, ze wersja tensora C z podniesionymi indeksami c abcd = ftPfl'itrg'-'cpqrs spelnia warunek c0123 = -1, a zatem tensor E z rozdz. 12.7 jest dany przez[19.1] ~bcd = _cabcd• Zob. rys. 19.1, kt6ry przedstawia graficzn,! postac tych operacji "dualizacji" (a takZe samych r6wnan Maxwella). Znaczenie "dualnosci", w tym i w zblizonym sensie, okaze siy dla nas wazne p6zniej, w r6znych kontekstach. Wlasciwa bydzie uwaga dotycz'!ca geometrycznego znaczenia gwiazdki Hodge'a[*]. Przypomnijmy z rozdz. 12.7, ze operacja przejscia od dwuwektoraH, opisanego przez wielkosc antysymetryczn'!H"b, do jego 2-formy dualnej W, danej wyrazeniem ~CabcdHd, nie prowadzi do jakiejs zasadniczej r6znicy w interpretacji geometrycznej. lezeli na przyklad H jest prostym dwuwektorem, tak ze jego 2-forma dualna W jest r6wniez prost a (zob. koniec rozdz. 12.7), w6wczas 2-plaski element okreslony przez W bydzie dokladnie takim samym elementem jak okreslony przez H Gedyna r6znica, scisle bior,!c, sprowadza siy do tego, ze, jak to podkreslalismy w rozdz. 12.7, W rna charakter gystosci). Z kolei operacja podnoszenia wskaznik6w, kt6ra przeprowadza 2-formy Hab w dwuwektor H"b (= HCdgcagdb), rna wiyksze znaczenie geometryczne. W przypadku dwuwektora prostego 2-plaski element okreslony przez Hab jest dopelnieniem ortogonalnym 2-plaskiego elementu zdefiniowanego przez H"b (zob. rozdz. 18.3). Dualnosc (gwiazdka) Hodge'a, zastosowana do 2-formy H ab , przeksztaicaj,!c j,! w~cabcdHd (a wiyc w W), wykorzystuje podno~
424
[19.1] Sprawdz obie reiacje. [*] Operacja przejscia od F do *F nosi czt(sto nazwt( "gwiazdki Hodge'a" (przyp. Hum.).
Teoria zjawisk elektromagnetycznych Maxwelia
II = +fro· Eabcd
~
'Fab - - -
rm O~.
19.2
g = lliJ
IllI
024
(=-
Ja
~
J abc
rV'#
•
=-t J..m
m
111+
Rys. 19.1. Diagramy przedstawiajl!ce gwiazdkl( Hodge'a i rownania Maxwella. Wielkosci 'abed (= '[abed) i f"bcd (= f[abcd) unormowane, w standardowym sformulowaniu Minkowskiego, w taki sposob, ie fOp3 = fD123 = 1, Sl! zwi¥ane z ich wersjami 0 wskainikach, odpowiednio, podniesionych/obniionych (via ( igab ) przez relacje Eabed = -fabed oraz f"bed = _E abed . Na tych diagramach (Iewy srodkowy, dwie dolne linie) zmianl( znaku uwzgll(dnia efektywne odwrocenie indeksow. W ramce po prawej stronie u g6ry mamy r6wnania Maxwella, w ktorych w pierwszym przypadku korzystamy z tensora pola F (w jego postaci z g6rnymi indeksamipb =(c lfxl Ped; zob. rys. 14.21), a wil(c sl! to r6wnania VaPb =4rt1', V[aPbe) =0. Poniiej mamy, odpowiednio, wyraienia dualne z 'F i 'J (gdzie 'Pab = ~ Eabe/ cd , 'Jabe = EabedY)' a wil(c , ',..,' P 4n'] ""'p 0 v [a be) =3"" abe' va ab = . rownallla
szenie wskainikow Hab H Jrb i dlatego powoduje przejscie do dopelnienia ortogonalnego; zob. rys. 19.2. Zgodnie z tym przeksztalcenie dualne Hodge'a, ktore przeprowadza P w 'P, rowniez daje dopelnienie ortogonalne. Kiedy juz uzgodnilismy notacjy, mozemy zapisac rownania Maxwella w bardzo prostej postacif1 9.2] dF = 0, d'P = 4n 'J. Mozemy tez zapisac te rownania w zapisie wskaznikowym[193] V[aPbcJ
= 0,
VJi
ub
= 4nJb.
Zauwazmy, ze jesli zastosujemy operator pochodnej formy zewnytrznej d do obu stron rownania Maxwella d'P = 4n *J i skorzystamy z faktu, ze d 2 = 0 (rozdz. 12.6), to dywergencja wektora pr,!du ladunkowego J znika f19 .4]
d'J = 0
albo, rownowaznie,
Va J"
=
O.
jl) [19.2] Wypisz te rownania w rozwiniytej postaci, w skladowych pol a elektrycznego i magnetycznego, pokazujqc, jak przedstawiajq one ewolucjy czasowq tych pol; posluz siy przy tym operatorem B/Bt. tn [19.3] Wykaz rownowaznosc zapisow. jl) [19.4] Pokaz, ze te dwa rownania "znikajqcej dywergencji" Sq rownowazne.
425
19
Pola klasyczne Maxwella i Einsteina
Rys.19.2. W 4-przestrzeni dwuwektor prosty H (H"b ) reprezentuje ten sam 2-plaski element co jego dualna 2-forma W(~ eab,dH"d). lednak wersjaH z dolnymi indeksami, 2-forrna prosta Hab , kt6ra jest ekwiwalentna jego "dualnemu" dwuwektorowi ~ ,abedH,d' reprezentuje dopelnienie ortogonalne 2-plaskiego elementu (zob. rys. 18.4). A zatem to procedura obnizania i podwyzszania indeks6w, zawarta w przekszta/ceniu dualnym Hodge'a, prowadzi do dopelnienia ortogonalnego.
W tym miejscu zrobimy mal,! dygresjy, ktorej znaczenie docenimy p6Zniej (rozdz. 32.2 i 33.6, 8, 11 - zob. rozdz. 18.3). Warto mianowicie zauwaZyc, ze samodualna i antysamodualna czysc tensora Maxwella dane S,!, odpowiednio, relacjami
+F=t(F-tF) oraz -F=t(F+i*F) (z ktorych jedna jest sprzyzeniem zespolonym drugiej). Okazuje siy, ze w teorii kwantowej te wielkosci zespolone opisuj,!, odpowiednio, fotony (kwanty pol a elektromagnetycznego) prawoskrytne i lewoskrytne; zob. rozdz. 22.7, 12, rys. 22.7. Wlasnosci samodualnosci/antysamodualnosci mozemy zapisac nastypuj,!co[19.5 J: *eF)
=± i ±F.
Maj,!c na uwadze, ze *J jest wielkosci,! rzeczywist'!, oba rownania Maxwella (jako, odpowiednio, czysc urojon,! i czysc rzeczywist'!), mozemy pol,!czyc w jedno
d+F = - 2ni *]. Fotony przedstawiaj,! korpuskularny opis natury .swiatia, a w rozdz. 21 przekonamy siy, w jaki sposob teoria kwantowa umozliwia wspolistnienie opisu korpuskularnego i falowego. Jednym z najwiykszych osi,!gniyc teorii Maxwella i jego rownan bylo pokazanie, ze istniej,! fale elektromagnetyczne, ktore poruszaj,! siy z prydkosci,! swiatla, i ze maj,! one wszystkie znane wlasnosci polaryzacyjne, jakie posiada swiatlo (wlasnosci te omowimy szerzej w rozdz. 22.7). Zgodnie z tymi faktami Maxwell wysun'!l propozycjy traktowania swiatla jako zjawiska elektromagnetycznego. W 1888 roku, prawie ewierc wieku po opublikowaniu przez Maxwella jego rownan, Heinrich Hertz doswiadczalnie potwierdzil prawdziwosc genialnych przewidywan Maxwella.
426
B [19.5] Pokaz to. Najpierw udowodnij, ze "dualizujqc" dwukrotnie, otrzymujemy wielkosc wyjsciowq ze znakiem minus. ezy ten znak jest zwiqzany z lorentzowskq sygnaturq czasoprzestrzeni? Wyjasnij to.
Prawa zachowania i przeplywu w teorii Maxwella
19.3
W przedstawionych rozwaianiach przyj,!km zalozenie, ze czasoprzestrzeni'!, w ktorej te zjawiska zachodz,!, jest plaska przestrzen Minkowskiego M, i w dalszej dyskusji to zalozenie pozostanie w mocy, w rozdz. 19.3, 4 oraz w pierwszej cZysci rozdz. 19.5. Przyjycie takiego zalozenia nie jest jednak konieczne i wszystkie wnioski pozostan,! zachowane, jesli czasoprzestrzen bydzie miala krzywizny. W tym celu skladowe, ktore rozwaialismy poprzednio, naleZy traktowae jako zdefiniowane w jakims lokalnym ukladzie Minkowskiego, a zapis wskainikowy uwzglydni reszty[19.61•
19.3 Prawa zachowania i przepfywu w teorii Maxwella Znikanie dywergencji wektora gystosci pr,!du daje nam rownanie, ktore wyraza
prawo zachowania ladunku elektrycznego. Powod, dla ktorego prawo to mozemy nazywae "rownaniem zachowania", wynika z podstawowego twierdzenia rachunku rozniczkowego i calkowego form zewnytrznych (zob. rozdz. 12.6), w mysl ktorego kd 'J = fan *], a zatem
fQ'J = 0, gdzie calka przebiega po dowolnej 3-powierzchni zamkniytej w przestrzeni Minkowskiego M. (Dowolna zamkniyta 3-powierzchnia w M jest brzegiem an pewnego zwart ego 4-wymiarowego obszaru n w M; zob. rys. 19.3). Wielkose *] mozemy interpretowae jako "strumien ladunku" przez Q = an. A zatem rownanie to oznacza, ze wypadkowy strumien ladunku elektrycznego wyplywaj,!cego przez ten brzeg musi wynosie zero; czyli calkowity ladunek wplywaj,!CY do n musi bye dokladnie rowny calkowitemu ladunkowi wyplywaj,!cemu z n: ladunek elektrycz-
ny jest zachowany[19.71• Mozemy rowniei: uZye drugiego rownania Maxwella, d'P = 4n'J, aby wyprowadzie tzw. prawo Gaussa. To szczegolne prawo odnosi siy do konkretnej chwili t = to' a wiyc korzystamy teraz z trojwymiarowej wersji podstawowego twierdzenia rachunku rozniczkowego i calkowego form zewnytrznych. Mowi nam ono o wartosci calkowitego ladunku zawartego wewn'!trz zamkniytej 2-powierzchni S w chwili to (zob. rys. 19.4), wyrazaj'!c ten ladunek przez calky po S z dualnego
!!J!l [19.6] Ccy potrafisz to wyjasnic? Co sit,: stanie ze sldadowymi F i 'F w og6lnym, krzywoliniowym ukladzie wsp61rzt,:dnych? Dlaczego r6wnania Maxwe1la, jesli przedstawimy je we wlasciwy spos6b, pozostanq niezmienione? !!J!l [19.7] Aczkolwiek argument ten jest poprawny, to jednak zostal przedstawiony nieco nonszalancko. Przedstaw jego bardziej kompletnq i szczeg6lowq wersjt,: w przypadku, gdy n jest "cylindrem" czasoprzestrzennym, skladajqcym sit,: z pewnego, ograniczonego obszaru przestrzennego, stale go w czasie, dla ustalonego, skonczonego interwalu czasowego. Objasnij r6zne wystt,:pujqce tu pojt,:cia "strumienia ladunku", przeciwstawiajqc przypadki przestrzennopodobnej "podstawy" i "wierzchu" cylindra jego czasopodobnej "powierzchni bocznej".
427
19
Pala klasyczne Maxwella i Einsteina
Rys. 19.3. Zachowanie ladunku elektrycznego w czasoprzestrzeni. Zamkni«ta 3-powierzchnia Q jest brzegiem Q = OR zwartej 4-obj«tosci R w czasoprzestrzeni Minkowskiego MI, a zatem podstawowe twierdzenie rachunku ro:i:niczkowego i calkowego form zewn«trznych mowi nam,:i:e fQ'J = fn d'J = 0, poniewa:i: d'J = O. Wielkosc 'J reprezentuje strumien ladunku poprzez Q, czyli calkowity ladunek wplywaj'lCY przez Q jest rowny ladunkowi wyplywaj'lcemu, a wi«c ladunek jest zachowany.
428
Rys. 19.4, Wewn'ltrz 3-powierzchni stalego czasu t = to rownanie Maxwella d'F=4n'J daje nam prawo Gaussa, wedlug ktorego calka strumienia elektrycznego (calka z 'F) po zamkni«tej 2-powierzchni przestrzennej jest miar'l calkowitego ladunku wewn'ltrz tej powierzchni zawartego (na mocy podstawowego twierdzenia rachunku ro:i:niczkowego i calkowego form zewn«trznych). W rzeczywistosci twierdzenie to nie jest ograniczone do 2-powierzchni w stalym czasie, a zatem prawo Gaussa jest bardziej ogolne.
Pole Maxwella jako krzywizna cechowania
19.4
tensora Maxwella 'P. Inaczej mowillC, wartosc calkowitego ladunku zamkniytego przez S otrzymujemy, jesli wycalkujemy calkowity strumien pol a elektrycznego E przechodzllcego przez S[19.8]. Prawo to jest bardziej ogolne i sluszne, nawet gdy S nie jest zwillzane z ustalonym czasem t = to" Przypuscmy, ze S jest przestrzennopodobnll 2-powierzchnill ograniczajllCl! pewien zwarty 3-przestrzenny obszar A. W takim przypadku calkowity ladunek X znajdujllCY siy w obszarze A ograniczonym przez S (albo, w terminach czasoprzestrzeni, "przenikajllCY przez S"- zob. rys. 19.4), jest dany formulll
Is *p = 41tX, gdzie
X=
L*J.
Inny rodzaj prawa zachowania mozemy otrzymac takie z pierwszego rownania Maxwella dF = O. Ma ono tr samll postac jak drugie, ale zamiast *Pwystypuje teraz P, zrodlo odpowiadajllce J wynosi zas zero. Dlatego dla dowolnej zamkniytej 2-powierzchni w przestrzeni Minkowskiego 2 mamy zawsze prawo strumienia
Isp= O. Zauwazmy, ze przechodzllC od *p do P (albo od P do 'F), zamieniamy po prostu wektory pola elektrycznego i magnetycznego (ze zmianll znaku jednego z nich). Brak zrodla w przypadku pola P jest odzwierciedleniem faktu, ze (0 ile wiemy) w Przyrodzie nie istniejll magnetyczne monopole. Monopol magnetyczny bylby magnetycznym biegunem polnocnym lub magnetycznym biegunem poludniowym sam w sobie, podczas gdy te bieguny zawsze wystypujll razem jak w zwyklym magnesie. (Bieguny te nie stanowill niezaleznych bytow fizycznych, ale Sll wynikiem przeplywu ladunkow elektrycznych.) Wydaje siy, ze w Przyrodzie nigdy nie wystypuje osobno "ladunek magnetyczny" (rozna od zera "sila bieguna magnetycznego"). Z punktu widzenia samych rownan Maxwella nie widac jakiegos sensownego powodu niewystypowania monopoli magnetycznych, poniewaz w pierwszym rownaniu Maxwella dF = 0 mozemy po prostu dodac roznll od zera prawll strony i nie popadniemy w sprzecznosc. Istotnie, od czasu do czasu fizycy rozwazajll mozliwosc istnienia monopolu magnetycznego i wielokrotnie probowali go odkryc. Istnienie monopolu mialoby wielkie znaczenie dla fizyki cZllstek elementarnych (zob. rozdz. 28.2), ale na razie nie mamy zadnych danych wskazujllcych na istnienie takich monopoli w otaczajllcym WszechSwiecie. 19.4 Pole Maxwella jako krzywizna cechowania Pierwsze rownanie Maxwella rna waznll implikacjy, polegajllCl! na tym, ze
P=2dA, gdzieAjest pewnll 1-formll. (To konsekwencja "lematu Poincarego", ktory stwierdza, ze jesli r-forma a spelnia rownanie da = 0, wowczas zawsze istnieje (r -l)-formap, ~
[19.8) Wyjasnij, dlaczego jest to po prostu strumieii pola elektrycznego.
429
19
Pola klasyczne Maxwella i Einsteina
dla ktorej a = dp; zob. rozdz. 12.6.) Co wil(cej, w obszarze 0 topologii euklidesowej ten wynik lokalny staje silt globalni. WielkoseA nosi nazwl( potencjalu elektromagnetycznego. Potencjal ten nie jest wyznaczony przez pole F jednoznacznie, lecz z dokladnosciq do pewnej wielkosci de [19.91, gdzie ejest rzeczywistym polem skalarnym: A I-tA + de. W zapisie wskaznikowym relacje te przyjmujq postae: Fab = VaAb - VbAa
ze swobodq A a I-tA a +ve. a
Ta "swoboda cechowania" potencjalu elektromagnetycznego oznacza, zeA nie jest wielkosciq lokalnie mierzalnq. Nie mozna przeprowadzie eksperymentu, w ktorym dokonalibysmy pomiaru "wartosci A" w pewnym punkcie, poniewaz wielkose A + deprowadzi do takich samych rezultatow fizycznych coA. lednakZe potencjal ten daje nam klucz matematyczny do opisu procedury oddzialywania pola Maxwella z pewnym innym obiektem fizycznym Po Na czym to polega? Szczegolna rola potencjalu A sprowadza silt do tego, ze dostarcza nam koneksji cechowania (albo koneksji wiqzki; zob. rozdz. 15.8) Va =
a/ax a - ieA a,
gdzie e jest szczegolnq liczbq rzeczywistq, ktora odmierza ladunek elektryczny obiektu opisywanego przez Po W rzeczywistosci tym "obiektem" jest na ogol jakas obdarzona ladunkiem elektrycznym czqstka kwantowa, taka jak elektron lub proton, a 'I'staje silt wtedy ich kwantowomechanicznq funkcjq falowq. Aby w pelni zrozumiee te terminy, musimy poczekae do dyskusji w rozdz. 21, w ktorym wyjasnimy pojl(cie funkcji falowej. Teraz wystarczy wiedziee, ze 'I'moze bye traktowana jako cil(cie wiqzki (rozdz. 15.3) opisujqcej naladowane pola i ze na t(( wlasnie wiqzk(( operator V dziala jako koneksja. Wielkosci opisujqce pole elektromagnetyczne, F iA, Sq wielkosciami nienaladowanymi (e = 0), a wil(c zadne rownania Maxwella nie ulegnq zmianie przez wprowadzenie nowej definicji Va; tzn. w tych rownaniach bl(dziemy nadal mieli Va = a/ax a zarowno w plaskich wspolrz((dnych Minkowskiego, jak i w odpowiednim uogolnieniu (zob. rozdz. 14.3), przy rozpatrywaniu zakrzywionej czasoprzestrzeni. laka jest geometryczna natura wiqzki, na ktorq taka koneksja dziala? lednym z mozliwych punktow widzenia jest wyobrazenie, ze wiqzka ta rna wlokna, ktorymi Sq okrl(gi (SlS) w czasoprzestrzeni M, gdzie taki okrqg opisuje czynnik fazowy e ie funkcji Po (Taka sytuacja pojawia silt w obrazie "Kaluzy-Kleina" z rozdz. 15.1, ale tam calq wiqzkl( traktujemy jako "czasoprzestrzen".) Bardziej odpowiednie byloby rozwa-
430
i8 [19.9] Dlaczego mozemy dodac takq wielkosc?
Pole Maxwella jako krzywizna cechowania
19.4
zanie tej wi(!zki jako wektorowej mozliwych wartosci tp w kazdym punkcie, gdzie ta swoboda okreslenia czynnika fazowego czyni j(! wi(!zk(! U(l) nad czasoprzestrzeni(! M. (Podobny przypadek rozwazalismy pod koniec rozdz. 15.8.) Jednak aby to mialo sens, tp musi bye polem zespolonym, kt6rego interpretacja fizyczna, w scisle okreslonym sensie, musi bye nieczula na zamiany tp ~ e iO tp (gdzie () jest pewnym polem rzeczywistym na rozmaitosci M). Ta zamiana nazywana jest transformacjq cechowania elektromagnetycznego, a fakt, ze interpretacja fizyczna jest nieczula na tak(! zamiany, nazywamy niezmienniczosciq cechowania. W takim przypadku tensor pola Maxwella F ab [19.lO j okazuje siy krzywizn(! naszej koneksji wiC!Zki. Zanim zajmiemy siy tymi ideami nieco bliZej, warto zrobie kr6tki komentarz historyczny. Wkr6tce po tym, gdy Einstein w 1915 roku sformulowal swoj(! og6ln(! teoriy wzglydnosci, w 1918 roku Weyl zaproponowal koncepcjy uog6lnienia samego pojycia dlugosci, w ramach kt6rego stawala siy ona zalezna od drogi (Hermann Weyl, 1885-1955, byl wybitn(! postaci(! dwudziestowiecznej matematyki. I rzeczywiscie, wsrod matematykow, kt6rzy publikowali w :xx wieku, moim zdaniem byl on najbardziej wplywowy i jego prace okazaly siy wazne nie tylko w czystej matematyce, ale takie w fizyce.) W teorii Weyla stozki zerowe odgrywaj(! podobnie fundamentaln(! roly jak w teorii Einsteina (np. definiuj(! graniczne prydkosci cz(!stek masywnych oraz lokaln(! "grupy Lorentza" dzialaj(!C
gdzie A jest pewn(! (powiedzmy dodatni(!) funkcj(! skalarn(! na czasoprzestrzeni M, ktore nie zmieniaj(! stozkow zerowych w M. (Takie transformacje nazywamy przeskalowaniami konforemnymi metryki g. W teorii Weyla kazdy wybor g daje nam dozwolone cechowanie, na podstawie ktorego mozemy dokonywae pomiarow odleglosci i czasow.) Aczkolwiek Weyl prawdopodobnie mial na mysli przede wszystkim odleglosci przestrzenne, do naszych celow bardziej wlasciwe bydzie rozwaienie pomiarow czasu (zgodnie z punktem widzenia przedstawionym w rozdz. 17). W geometrii Weyla zatem nie istniej(! absolutne "zegary idealne". Tempo, z jakim kazdy zegar dokonuje pomiaru czasu, zaleiy od jego historii. Ta sytuacja jest wiyc jeszcze "gorsza" niz w standardowym "paradoksie zegarow", ktory opisalem w rozdz. 18.3 (rys. 18.6d). W geometrii Weyla mozemy sobie wyobraziC kosmonauty, ktory odbywa podr6z do jakiejs dalekiej gwiazdy i po powrocie na Ziemiy odkrywa nie tylko, ze ci, ktorzy pozostali na Ziemi, duzo bardziej siy postarzeli, ale takie to, ze zegary ziemskie poruszaj(! siy w innym tempie B [19.10] Pokaz to. Wskazowka: zwr6c uwagt( na argumentacjt( w rozdz. 15.8.
431
19
Pola klasyczne Maxwella i Einsteina
niz te na poldadzie statku kosmicznego (rys. 19.5a)! Korzystaj'!c z tej zdumiewaj,!cej idei, Weyl byl w stanie wkomponowac teoriy elektromagnetyzmu Maxwella w ramy geometrii czasoprzestrzeni. Weyl rzeczywiscie zakodowal potencjal elektromagnetyczny w koneksji wi,!zki, doldadnie tak jak ja to zrobilem, ale bez wprowadzania liczby urojonej "i" do wyrazenia na Va' Odpowiedni,! wi,!zky nad M mozemy traktowac jako zadan'! przez metryki lorentzowskie g, ktorym odpowiadaj,! te same stozki zerowe. Tak wiyc wlokno nad jakims punktemx w M sklada siy z rodziny metryk proporcjonalnych (z ktorej mozemy, jesli chcemy, wybrac dodatnie wspolczynniki proporcjonalnosci). Wspolczynniki te s,! wlasnie mozliwymi "lambdami" w podanej relacji g HAg. Dla kazdego okreslonego wyboru metryki mamy cechowanie, ktore definiuje odleglosci i czasy mierzone wzdluz krzywych. Jednak nie istnieje absolutnywyb6r cechowania, a wiyc nie rna jakiejs uprzywilejowanej metryki w klasie rownowaznosci metryk proporcjonalnych. Oprocz stozkow zerowych (a wiyc struktury konforemnej) istnieje nadal pewna dodatkowa struktura, a mianowicie koneksja wi,!zki - alba koneksja cechowania - ktoq Weyl wprowadzil, aby pole Maxwella F (tzn. Fab ) stanowilo jej krzywizn~. Krzywizna ta jest miaq rozbieznosci tempa zegarow, jak to ilustruje rys. 19.5a, gdy linie swiata rozni,! siy tylko infinitezymalnie; zob. rys. 19.5b. (Mozna to porownac z przypadkiem "wi¥ki napryzonej" Be nad C, omawianej w rozdz. 15.8, rys. 15.16 i 15.21; zasadnicza koncepcja wi,!zki jest bardzo podobna.) Gdy Einstein uslyszal 0 tej teorii, poinformowal Weyla, ze niezalei:nie od matematycznej elegancji jego teorii rna w stosunku do niej zastrzezenia fizyczne fundamentalnej natury. Na przyklad wydaje mu siy, ze czystosci widm atomowych
/
/
A
432
(b)
Rys. 19.5. W oryginalnej teorii cechowania elektromagnetycznego Weyla pojl(cie przedzialu czasowego (albo przedzialu przestrzennego) nie jest pojl(ciem absolutnym, lecz zaleZy od przebytej drogi. (a) Por6wnanie z "paradoksem zegar6w", przedstawionym na rys. 18.6: w teorii Weyla kosmonauta powraca do domu (linia swiata ABC) i przekonuje sil(, ie nie tylko jego zegar wskazuje inny czas nii zegar ziemski (droga bezposrednia AC), ale :i:e te zegary poruszaj'l sil( w innym tempie! (b) Krzywizna cechowania Weyla (definiuj'lca pole Maxwella F) bierze sil( z tej (konforemnej) zmiany skali czasu, gdy poruszamy sil( po r6:i:nych odcinkach infinitezymalnej pl(tli (r6:i:nica dwu dr6g mil(dzy s'lsiednimi punktami pip').
Pole Maxwelia jako krzywizna cechowania
19.4
s,! zupelnie niezalezne od historii atomow, podczas gdy teoria Weyla mowi co innego. Mozna przedstawie jeszcze bardziej zasadniczy zarzut: chociai'; w tamtym czasie reguly mechaniki kwantowej nie byly jeszcze kompletnie sformulowane (i przejdziemy do nich poiniej, w rozdz. 21.4, 23.7,8), to teoria Weyla stoi w sprzecznosci z wymogiem dokladnej identycznosci cz'!stek tego samego rodzaju (zob. rozdz. 21.4). W szczegolnosci istnieje bezposredni zwi'!zek miC(dzy prC(dkosciami zegarow a masami cz,!stek. Jak przekonamy siC( poiniej, cz'!stka 0 masie spoczynkowej m odpowiada naturalnej czC(stosci mc2h-I, gdzie h oznacza stal,! Plancka, a c prC(dkose swiatla. W takim razie w geometrii Weyla nie tylko prC(dkosci zegarow, ale same masy czqstek bC(d,! zalezaly od ich historii. Wobec tego wedlug teorii Weyla dwa protony 0 roznej historii powinny miee rozne masy, a w ten sposob naruszalyby zasadC( mechaniki kwantowej, ktora mowi, ze cz'!stki tego samego rodzaju musz'! bye dokladnie identyczne (zob. rozdz. 23.7, 8). Aczkolwiek zarzut ow moglby obalie teoriC( Weyla w oryginalnej wersji, poiniej zdano sobie sprawC(\ ze pomysl ten da siC( zastosowae, jesli tylko w tym "cechowaniu" skalowanie rzeczywiste (przez czynnik rzeczywisty A.) zast,!pimy skalowaniem przez czynnik zespolony 0 module jeden (e i8 ). Pomysl ten na pierwszy rzut oka moze siC( wydawae dziwny, ale jak siC( 0 tym przekonamy w rozdz. 21 i nastC(pnych (zob. w szczegolnosci rozdz. 21.6, 9), reguly mechaniki kwantowej zmuszaj'! nas do uZycia liczb zespolonych do opisu stanow ukladu. Istnieje wszak liczba zespolona 0 module jeden, e i8 , przez ktor,! ten "stan kwantowy" mozemy pomnoZye - przez stan kwantowy rozumiemy tutaj funkcjC( IJ' - bez zadnych obserwowanych konsekwencji. Ta "nieobserwowalna" zamiana IJ'H e i8 1J'jest nadal nazywana "transformacj,! cechowania", mimo ze nie powoduje ona zadnej zmiany skali dlugosci, lecz sprowadza siC( do obrotu na plaszczyinie zespolonej (plaszczyinie, ktora nie rna bezposredniego zwi¥ku ani z wymiarami przestrzennymi, ani z wymiarem czasowym). W tej zdeformowanej postaci idea Weyla daje nam wlasciwe fizyczne umocowanie dla koneksji z symetri'! U(l), ktorej rodzaj opisywalem pod koniec rozdz. 15, i tworzy podstawy wspolczesnego obrazu oddzialywan elektromagnetycznych. Operator V, ktory juz zdefiniowalismy (tzn. Va == a/ax a - ieA.), daje nam koneksjC( wi,!zki U(l) na wi,!zce funkcji falowych 'ljJ stanow z ladunkiem elektrycznym (zob. rozdz. 21.9). Jest interesuj,!ce, ze ta zaleznose koneksji od drogi (ktor,! mozemy porownae z zaleznosci'! od drogi przedstawion,! na rys. 19.5) przejawia siC( w zadziwiaj,!cy sposob w sytuacjach eksperymentalnych okreslonego typu, ilustruj,!cych to, co zwykle nazywa siC( efektemAharonova-Bohma 5 • Poniewaz nasza koneksja dziala tylko na poziomie zjawisk kwantowych, tej zaleznosci od drogi nie jestesmy w stanie zaobserwowae w eksperymentach klasycznych; natomiast efekt Aharonova-Bohrna jest wynikiem interferencji kwantowej (zob. rozdz. 21.4 i rys. 21.4). W najbardziej znanej wersji tego zjawiska elektrony S,! kierowane tak, zeby przechodzity przez dwa obszary wolne od pola elektromagnetycznego (F == 0), oddzielone od siebie dlugim cylindrycznym solenoidem (ktory zawiera linie sit pola magnetycz-
433
19
Pola klasyczne Maxwella i Einsteina
nego), i dochodzily do ekranu detektora (zob. rys. 19.6a). W zadnym miejscu elektrony nie przechodzq przez obszar 0 roznym od zera polu F. J ednak odpowiedni obszar n wolny od pola (zaczynajqcy si~ przy zrodle elektronow, rozdzielajqcy si~ tak, zeby elektrony mogly przebiegac po obu stronach solenoidu i lqczyly si~ przy ekranie detektora) nie jest obszarem jednospojnym, a pole F na zewnqtrz n nie rna takiego wyboru cechowania, przy ktorym potencjal A znikalby wsz~dzie wewnqtrz n. Istnienie tego niezerowego potencjalu w niejednospojnym obszarze R - albo, mowiqc bardziej precyzyjnie, zaleznosc V od drogi na n - prowadzi do przesuni~cia prqZkow interferencyjnych na ekranie. W rzeczywistosci efekt przesuni~cia prqzkow nie zaieZy od konkretnej 10kaInej wartosci, ktorq moze przybierac A (faktycznie nie moze, poniewaz, jak juz powiedzieIismy, A nie jest lokalnie obserwowalne), lecz od pewnej nielokalnej calki zA. Jest to wielkosc pA, wzi~ta po topologicznie nietrywialnej p~tli wewnqtrz n; zob. rys. 19.6b. Poniewaz dA znika wewnqtrz n (albowiem F = 0 na n), wielkosc tej calki nie ulegnie zmianie, jesIi dokonamy ciqglej deformacji tej zamkni~tej p~ tIi w n[19.111. Widac wi~c, ze nieznikanie pA wewnqtrz obszaru wolnego od pol a elektromagnetycznego, a zatem i wielkosc efektu Aharonova-Bohma, zaleZy od tego, czy ten obszar wolny od pola jest topologicznie nietrywialny. Ze wzgl~du na to historyczne pochodzenie od kapitalnej idei Weyla (ktora poczqtkowo odgrywala rol~ "cechowania" zaleZnego od drogi) ty koneksj~ eIektromagnetycznq nazywamy koneksjq cechowania. Nazwa ta zostala zaadaptowana takZe przy uogolnieniach elektromagnetyzmu, w teorii Yanga-Millsa, ktorymi posluZymy si~ dla opisu zarowno slabych, jak i siinych oddzialywan cZqstek elementarnych. Zwrocmy uwag~, ze idea "koneksji cechowania", scisle mowiqc, jest zwi q-
(a)
(b)
Rys. 19.6. Efekt Aharonova-Bohma. (a) Wi'lzka elektron6w rozszczepia si« na dwie, przechodz'lc po obu stronach wi'lzki linii sil pola magnetycznego (co uzyskujemy za pomoc'l dtugiego solenoidu). Elektrony skupiaj'l si« ponownie na ekranie, daj'lc kwantowy obraz interferencyjny (por. z rys. 21.4), kt6ry zaleZy od wielkosci strumienia pol a magnetycznego, niezale.:i:nie od faktu, .:i:e elektrony poruszaj'l si« wyt'lcznie w obszarze, w kt6rym pole elektromagnetyczne nie wyst«puje (F = 0). (b) Efekt ten zale.:i:y od wartosci fA, kt6ra b«dzie r6.:i:na od zera na odpowiedniej topologicznie nietrywialnej drodze zamkni«tej, pomimo ze F na tej drodze wynosi zero. Wielkosc fA nie ulegnie zmianie, jesli dokonamy ci'lgiej deformacji tej drogi wewn'ltrz obszaru wolnego od pola.
434
1fJJ [19.11] Wyjasnij to.
Tensor
energii-p~du
19.5
zana z istnieniem pewnej symetrii (dla zjawisk elektromagnetycznych jest symetriC! 'P H e i8 'P), ktorC! uwaiamy za symetri~ dokladnq i ktora nie jest bezposrednio obserwowalna. Przypomnijmy zarzut, ktory Einstein postawil oryginalnemu pomyslowi cechowania Weyla, a sprowadzal siy on do tego, ie masa czC!stki (a zatem i odpowiadajC!ca jej "CZystosc naturalna") jest bezposrednio obserwowalna, wobec czego nie nadaje siy do wykorzystania jako "pole cechowania" w wymaganym sensie. Zobaczymy pozniej, ze w roznych wspolczesnych zastosowaniach idei "cechowania" mamy do czynienia z wieloma nieporozumieniami w tej sprawie.
19.5 Tensor energii-PQdu
Zanim przejdziemy do rozwaienia innego fundamentalnego pol a klasycznego i zwi'!zanych z nim aspektow "teorii cechowania", mianowicie do pola grawitacyjnego, musimy siy najpierw zaj,!e kwestiC! g~stosci energii pola, ktora to gystose stanowi zrodlo grawitacji. Albowiem slawne rownanie Einsteina E = me 2 mowi nam, ie mas a i energia s,! w zasadzie jednym i tym samym (zob. rozdz. 18.6) oraz, jak to jui wyjasnil Newton, masa jest zrodlem grawitacji. A zatem musimy zrozumiee, w jaki sposob naleiy opisywae gystose energii pola, takiego jak pole Maxwella, i w jaki sposob ta gystose moze bye zrodtem grawitacji. Einstein natomiast uczy nas, ie trzeba tego dokonae za pomoq wielkosci tensorowej, znanej pod nazwC! tensora energii-p~du. Jest to [~]-tensor T (w zapisie wskaznikowym Tab = T ba ), ktory spelnia "prawo zachowania" VaTab = O.
(W dalszej czysci tego rozdzialu zamiast a/ax a bydziemy uiywali symbolu czasoprzestrzennej pochodnej kowariantnej Va' Poniewaz wszystkie rozwazane przez nas pol a nie majC! ladunkow, wiyc kompendium wczesniejszych wyraien zostaje niezmienione; zob. rowniei ostatni akapit rozdz. 19.2, przyp. 2 i ewiczenie [19.6].) Wyraienie to mozemy porownae z prawem zachowania ladunku elektrycznego Vala = O. Powodem, dla ktorego w Tab pojawil siy drugi indeks, jest to, ze wielkose zachowana, mianowicie energia-pyd, jest wielkosciC! 4-(ko)wektorow,! (4-(ko )wektor Pa momentu pydu rozwazany w rozdz. 18.7) w miejscu skalarnej wielkosci, jak,! jest ladunek elektryczny. Aby pelniej przedstawie trese fizycznC! Tab' bydzie wygodnie przejse do wielkosci rownowainej yu b = gacrcb ' W ktorej dokonalismy podniesieniajednego indeksu za pomoq tensora metrycznegog ab [19.121. Wielkose YUb zawiera wszystkie rozne gystosci i strumienie energii i pydu pol i czC!stek. Mowi,!c bardziej konkretnie, w standardowym ukladzie wspolrzydnych Minkowskiego kowektor TOb definiuje gystose 4-pydu, a trzy kowektory T\, T2b' T3 b przedstawiaj,! strumien 4-pydu w trzech niezaleinych kierunkach przestrzennych. Jest to bezposrednia anais [19.12] 1ak poszczeg61ne skladowe T'b zwiqzane Sq ze skladowymi Tab' W lokalnym ukladzie wsp6trzy dnych Minkowskiego, w kt6rym sktadowe gab Sq diagonalne (1, -1, -1, -1)?
435
19
Pala klasyczne Maxwella i Einsteina logia do przypadku .!", gdzie JO jest gystosci1! ladunku, a trzy wielkosci Jt, J Z, J3 przedstawiaj1! strumienladunku (czyli pr1!d) w trzech niezaleznych kierunkach przestrzennych. Dodatkowy indeks b informuje, ze nasze prawo zachowania odnosi siy teraz do wielkosci (ko )wektorowej. Okazuje siy, ze wie1kosc T(J(I okresla gystosc energii, a TIl' Tzz ' T33 mierz1! cisnienie w kierunku trzech przestrzennych osi ukladu wsp61rzydnych. Przypomnijmy, jak nauczal Maxwell, ze same pola elektromagnetyczne przenosz1! energiy. W zapisie wskaznikowym tensor energii-pydu pol a elektromagnetycznego przyjmuje postac[1913]
.l(F Fe + *Facb 'Fe). 8naeb lone pol a fizyczne r6wniez maj1! swoje tensory energii-pydu i nalezaloby dodac wszystkie takie wklady, aby otrzymac pelny tensor energii-pydu T, spelniaj1!CY prawo zachowania VaTab = O. Jednak,jak to niebawem zobaczymy, cos bardzo odmiennego dzieje siy z energi1!-pydem samej grawitacji. Gdy grawitacja nie wystypuje, w6wczas czasoprzestrzen jest plaska (tzn. jest przestrzeni1! Minkowskiego) i mozemy uZyc plaskich wsp61rzydnych Minkowskiego. W6wczas kazdy z czterech wektor6w Tao' Tal' T az oraz T" 3 indywidualnie spelnia dokladnie takie sarno prawo zachowania jak wektor .!" (a wiyc VJa o = 0, itd., analogicznie do Va.!" = 0) i fakt ten implikuje, ze istnieje calkowe prawo zachowania, dokladnie analogiczne do prawa zachowania ladunku (tzn. analogiczne do SQ*J = 0), dla kazdej z 4 skladowych energii-pydu oddzielnie. A zatem zachowana jest calkowita masa i wszystkie trzy skladowe calkowitego pydu. Ale przypomnijmy sobie dyskusjy zasady r6wnowaznosci Einsteina w rozdz. 17 ito, jak prowadzi nas ona do zakrzywionej czasoprzestrzeni. Dlatego, gdy pojawia siy grawitacja, musimy uwzglydnic fakt, ze "Va" nie jest juz po pro stu "%x a", ale (zgodnie z rozdz. 14.3) pojawia siy wyraz dodatkowy rae' kt6ry zmienia znaczenie Va T" 0 i uniemozliwia wyprowadzenie calkowego prawa zachowania energii-pydu z naszego r6wnania Va Tab = O. Problem ten mozna sformulowac tak, ze dodatkowy indeks b w Tab powoduje, iz tensor ten nie moze juz bye postaci1! dualn1! jakiejs 3-formy i nie mozemy juz napisac prawa zachowania w postaci r6wnania w sformulowaniu niezaleznym od ukladu wsp61rzydnych (tak jak znikanie pochodnej zewnytrznej 3-formy *J w d*] = 0). Wygl1!da na to, ze utracilismy najbardziej kluczowe dla fizyki prawa zachowania: prawa zachowania energii i pydu! W rzeczywistosci istnieje bardziej obiecuj1!ca perspektywa dla zachowania energii/pydu, kt6ra odnosi siy zar6wno do pewnych zakrzywionych czasoprzestrzeni M, jak i do przestrzeni Minkowskiego i daje siy zastosowae r6wniei: do zachowania momentu pydu (zob. rozdz. 18.6 i 22.8, 11). Przypuscmy, ze mamy wektor Kil-
436
~ [19.13] Pokaz, ze taka wielkosc spelnia prawo zachowania VaTah = 0, jesli J = O. Znajdz skladowi! 00 tego tensora i wyprowadz oryginalne wyrazenie Maxwella (£2 + B2)!8rr na gystosc energii pola elektromagnetycznego 0 skladowych (El' E 2, £,) i (Bl' B 2, BJ
Tensor energii-p~du
19.5
linga K dla M (spelniajC!cy r6wnanie V(aKb) = 0; zob. rozdz. 14.8), kt6ry opisuje pewnC! ciqglq w M. W przestrzeni Minkowskiego istnieje 10 niezaleZnych takich
symetri~
symetrii, a wi((c 4 niezaleine symetrie translacyjne (3 przestrzenne i 1 czasowa) oraz 6 niezaleZnych obrot6w czasoprzestrzennych (bezodbiciowa CZ((SC grupy Lorentza 0(1,3); zob. rys. 18.3b). Tak wi((c przestrzen Minkowskiego rna 10 niezaleinych wektor6w Killinga. Przekonamy si(( w nast((pnym rozdziale, ie formalizm lagraniowski (twierdzenie Nother) pozwala na wyprowadzenie prawa zachowania z kaidej symetrii ciC!giej, wobec kt6rej prawa opisujC!ce dany uklad sc! niezmiennicze. Symetria wobec translacji czasu prowadzi do prawa zachowania energii, podczas gdy przestrzenne symetrie translacyjne dajC! prawa zachowania 3-p((du. Symetrie obrotowe sc! zwiC!zane z moment em p((du. (Zwykie obroty przestrzenne dajC! nam 3 skladowe zwyklego momentu p((du, ale istniejC! r6wniei 3 skladowe pochodzC!ce od ruch6w lorentzowskich, kt6re przeksztalcajC! jednC! pr((dkosc w innC!. DajC! one prawo zachowania ruchu srodka masy; zob. rozdz. 18.6, 7, rys. 18.16.) Aby wyprowadzic odpowiednie prawo zachowania odpowiadajC!ce jakiemus wektorowi Killinga, konstruujemy wielkosc przedstawiajC!C
kt6ry spelnia prawo zachowania VaL" = 0, jesli symetryczny tensor Tab spelnia r6wnanie VaTab = 0 [19.14]. Na tej podstawie, podobnie jak w rozdz. 19.3, wyprowadzamy calkowe prawo zachowania fQ *L = o. Te prawa zachowania majC! moc tylko w czasoprzestrzeni, kt6ra rna odpowiedniC! symetri((, danC! wektorem Killinga K. Fizycznym powodem tej sytuacji jest fakt, ie stopnie swobody w geometrii czasoprzestrzeni - w tym przypadku grawitacyjne - nie sC! sprz((ione z polami. Geometria czasoprzestrzeni sluiy jedynie za do, niezaburzone przez pola w niej wyst((pujC!ce; te pola dzi((ki symetrii nie sC! w stanie ani "pobrac" danej wielkosci z tego tla, ani "oddac". Rozwaiania tego rodzaju okaiC! si(( waine p6iniej, w szczeg6lnosci w rozdz. 30.6, 7. Niestety, nie pomagajC! nam w zrozumieniu, co si(( stanie z prawami zachowania, gdy grawitacja zostanie wlC!czona jako czynnik aktywny. Nadal nie wiemy, jak odzyskac ntracone prawa zachowania energii i p((du, gdy pojawia si(( grawitacja. Ta sytuacja od poczC!tku istnienia og6lnej teorii wzgl((dnosci budzila najmocniejsze zastrzeienia i byla przez dlugie lata powodem niepokoju wielu fizyk6w 6 • W rozdz. 19.8 zobaczymy, ie teoria Einsteina uwzgl((dnia zachowanie energii-p((du w raczej sofistyczny spos6b, przynajmniej w tych warunkach, w kt6rych takie prawo zachowania jest najbardziej potrzebne. W tym momencie zauwaimy tylko, ie w teorii Einsteina symetryczny [~]-tensor T, kt6ry pojawia si(( w jego r6wnaniu pola,
1m [19.14] Dlaczego? Dlaczcgo ta procedura wiqze siy z podanym rownaniem VaTab = 0 itd.?
Czy potrafisz znalezc analogiy prawa zachowania pola ciqglego Va(TabK b) = 0 dla dyskretnego ukladu cZqstek, gdzie 4-pyd jest zachowany przy zderzeniach? TfSkaz6wka: dla zadanego wektora Killinga K a znajdz wielkosc, ktora jest stala dla kazdej z cZqstek pomiydzy zderzeniami.
437
19
Pala klasyczne Maxwella i Einsteina
rna uwzgll(dniae energil(-pl(d wszystkich pol (i cZqstek) niegrawitacyjnych. Jak qkolwiek energil( rna sarno pole grawitacyjne, nie wchodzi ona do tensora T. Taki punkt widzenia wydaje sit( uprawniony, jesli rozwazamy problem na podstawie zasady rownowaznosci. Wyobraimy sobie obserwatora na swobodnej orbicie, w rakiecie bez okien, ktoremu moze sil( wydawae, co najmniej w pierwszym przyblizeniu, ze nie rna zadnego pola grawitacyjnego. Taki obserwator oczekiwalby, ze wewnqtrz rakiety obowiqzuje prawo zachowania energii, a wil(c ze spelnione jest rownanie va Tab = 0, bez jakiegokolwiek wkladu ze strony pol a grawitacyjnego. Takie "zachowanie" jest jedynie przyblizeniem, ktore bl(dzie wymagalo poprawki, kiedy tylko zacznq odgrywae roll( efekty (plywowe) zwiqzane ze wzgll(dnym przyspieszeniem w wyniku niejednorodnosci pola grawitacyjnego (0 czym mowilismy w rozdz. 17.5; zob. rys. 17.8a, 17.8b i 17.9). Jest to jednak sprawa delikatna i konieczne staje sil( zbadanie "rzl(du wielkosci", w jakim roznego rodzaju efekty odgrywajq roll(. Ostateczny wynik tych dociekan jest taki, ze wielkose T i opisujqce jq rownanie VaTab = powinny pozostae niezaburzone przez niejednorodnose pola grawitacyjnego - a wil(c przez krzywiznl( R koneksji czasoprzestrzennej V - i ze ten wklad od grawitacji do prawa zachowania energii-pl(du powinien stanowie jakqs nielokalnq poprawkl( do obliczenia calkowitej energii-pl(du. (Jedyne rzeczywiste odstl(pstwo od tej zasady mogloby sil( pojawie, gdybysmy rozwazali poprawki od krzywizny czasoprzestrzennej do tych matematycznych wyrazen, ktore mowiq nam, jak pol a fizyczne dajq wklad do T. Zwykle takich poprawek nie rna, czyli nie jest to wazne dla rozwazan, ktore tutaj prowadzimy.) Patrzqc z tej perspektywy, mozna powiedziee, ze grawitacyjne wklady do energii-pl(du "przeslizgujq sil( przez szczeliny w plocie" oddzielajqcym rownanie lokalne VaTab = od calkowego prawa zachowania calkowitej energii-pl(du.
°
°
19.6 R6wnanie pol a Einsteina
438
Powrocl( do tego zagadnienia w rozdz. 19.8, ale juz w tym momencie przyda sil( znajomose postaci rownania pol a Einsteina. Rownanie zapisane jest w formalizmie tensorowym imam nadziejl(, ze czytelnikowi nie sprawi to klopotu. Formalizm tensorowy jest niezbl(dny glownie z tego powodu, ze w czterech wymiarach krzywizna czasoprzestrzeni jest bardzo skomplikowana. Przypomnijrny sobie Alberta, naszego astronautl( A z rozdz. 17.5, swobodnie orbitujqcego w polu grawitacyjnym Ziemi. W zaleznosci od kierunku wobec A wystl(pujq przyspieszenia skierowane zarowno w jego stronl(, jak i od niego. Reprezentujq one sily plywowe, ktorych doswiadcza astronauta. Te sHy plywowe Sq przejawern krzywizny czasoprzestrzeni. Aby te skomplikowane efekty przedstawie w zwartej postaci, poslugujerny sil( wielkosciq tensorowq R abed , ktora rna 10 niezaleznych skladowych w pustej przestrzeni, natomiast juz 20, gdy mamy do czynienia z masq zawartq w tej przestrzeni. W rzeczywistosci R abed jest zapisem wskaznikowyrn tensora Riemanna (-Christoffela) R, z ktorym zetknl(lismy sil( juz w rozdz. 14.7.
R6wnanie pola Einsteina
19.6
Istnieje jednak inny powod, poza tymi komplikacjami w uporz,!dkowaniu informacji, dla ktorego rachunek tensorowy odgrywa tak fundamentaln,! roly w teorii Einsteina. Wracamy tutaj do pods taw tej teorii, czyli do zasady r6wnowainosci, od ktorej wszystko siy zaczylo. Grawitacji nie naleZy traktowae jak sily; obserwator, ktory spada swobodnie (nasz astronauta A), w ogole nie odczuwa dzialania zadnej sHy. Zamiast tego grawitacja przejawia siy w postaci zakrzywienia czasoprzestrzeni. Teraz powinnismy zdae sobie sprawy, ze jesli ta idea rna zadzialae, to w teorii nie moze bye zadnych preferowanych ukladow wspolrzydnych 7. Albowiem gdyby jakas specjalna klasa ukladow wspolrzydnych byla uprzywilejowana przez Przyrody, wowczas okreslalyby one "naturalne uklady wspolrzydnych obserwatora", w ktorych mozna by wprowadzie pojycie "sHy ciyzkosci", i nie byloby juz miejsca dla centralnej roli zasady rownowai:nosci. Problem jest, oczywiscie, raczej delikatnej natury i wielu fizykow od czasu do czasu w taki czy inny sposob probuje go obejse. W moim przekonaniu jest istotne dla ducha teorii Einsteina, zeby ta niezalei:nose od ukladu wspolrzydnych zostala zachowana. Wymog ten mozemy okreslie jako zasad? og6lnej kowariantnosci, ktora nie tylko mowi nam, ze nie istnieje wyr6Zniony uklad wspolrzydnych, ale rowniez ze jesli mamy dwie rozne czasoprzestrzenie, reprezentuj'!ce dwa rozne pola grawitacyjne, wowczas nie powinna istniee mozliwose punktowej identyfikacji tych czasoprzestrzeni, a wiyc nie rna sposobu, aby powiedziec, iz jakis konkretny punkt jednej czasoprzestrzeni jest tym samym punktem co jakis inny punkt w tej drugiej! To filozoficzne zagadnienie bydzie istotne pozniej (rozdz. 30.11), przy rozwazaniu relacji miydzy teori,! Einsteina a zasadami mechaniki kwantowej. W tym miejscu znaczenie zasady ogolnej kowariantnosci polega na tym, ze zmusza nas do opisu fizyki grawitacyjnej za pomoq wyrazen niezaleznych od wyboru ukladu wspolrzydnych. I to jest wlasnie glowny powod, dla ktorego formalizm tensorowy zajmuje centralne miejsce w teorii Einsteina. Teraz przyjrzyjmy siy, jak wygl,!da rownanie Einsteina. Postae tego rownania wynika w zasadzie z dwu dalszych wymogow: po pierwsze, ze (lokalnym) zrodlem grawitacji powinien bye w rezultacie tensor energii-pydu T, spelniaj,!cy rownanie VaTab = 0, oraz po drugie, ze wykonuj,!c odpowiednie newtonowskie przejscie graniczne (prydkosci male w porownaniu z prydkosci,! swiatla i slabe pol a grawitacyjne), powinnismy otrzymac standardow,! teoriy grawitacji Newtona. Musimy powrocic do dyskusji w rozdz. 17.5, gdzie wyjasnilismy, ze w teorii Newtona wystypuje efekt redukcji objytosci w odniesieniu do linii geodezyjnych, lei:,!cych w poblizu i poczqtkowo rownoleglych do geodezyjnej Iinii swiata obserwatora y. Te s,!siednie linie geodezyjne przyspieszaj,! w stosunku do y w taki sposob, ze ograniczona nimi (infinitezymalna) przestrzenna 3-obktosc 8V rna calkowite przyspieszenie rowne4nG 8M, gdzie 'OM jest aktywnq mas,! grawitacyjnq zawartq w tej (infinitezymalnej) objytosci. Znak minus jest odzwierciedleniem faktu, ze chodzi tu 0 redukcj? obj?tosci; zob. rys. 17.8b. Oddaje to w pelni teoriy Newtona w odniesieniu do aktywnego efektu grawitacyjnego rozmieszczenia mas.
439
19
Pola klasyczne Maxwella i Einsteina
W jaki spos6b mozemy to przeniesc na jyzyk r6wnania wiqzqcego krzywizny czasoprzestrzeni R z tensorem energii-pydu T? Kluczowym faktem geometrycznym jest to, ze przyspieszenie dosrodkowe objytosci, kt6re siy w tej sytuacji pojawia, jest okreslone przez symetryczny [~]-tensor, nazywany tensorem Ricciego, zdefiniowany relacjq Rab =Racbe' gdzie R abed jest tensorem Riemanna[19.l5]; rys. 19.7 przedstawia ty relacjy w zapisie graficznym. I znowu istnieje wiele rozmaitych konwencji dotyczacych znak6w, uporZqdkowania indeks6w, sygnatur etc. Tak jak poprzednio, korzystam ze swobody i mogy narzucic czytelnikowi moje wlasne preferencje (zob. rozdz. 14.4). Przyspieszenie objytosci (rozpoczynajqce siy w stanie spoczynku) jest dane wyrazeniem[19.16]
D2(SV) = Ra/atbSV. Tutaj D przedstawia tempo zmiany ze wzglydu na czas wlasny obserwatora (zob. rozdz. 17.9) wzdluz linii swiata obserwatora y, a wiyc D2 rzeczywiscie oznacza przyspieszenie. Mamy wiyc
D = taVa=tV' gdzie t jest czasopodobnym jednostkowym wektorem przyszlosci stycznym do y (a wiyc tata = 1). Gfstosc masy (kt6ra na mocy E = mc 2 z c = 1 jest tym samym co gystosc energii; zob. rozdz. 18.6), kt6rq mierzy obserwator, jest skladowq 00 tensora Tab b W lokalnym ukladzie odniesienia obserwatora. To wlasnie wielkosc Ta/at , a zatem mas a SM w objytosci Sv, wyznaczonej przez sqsiednie linie geodezyjne, wynosi
SM = TabtatbSv. Tak wiyc newtonowskie ,,-4nG SM" (rozdz. 17.5) dla przyspieszenia objytosci wywolanego gystosciq materii wynosi
-4nG TabtatbSv. Ale wlasnie zauwaiylismy, ze efekt przyspieszenia objytosci w wyniku zakrzywienia czasoprzestrzeni wynosi RabtatbSV, a zatem otrzymujemy
R ab tatbSV = -4nG T ab tat b SV.
Rys. 19.7. Zapis graficzny definicji tensora Ricciego (zob. rys. 14.21).
Rab
= Racbc
is [19.15) Dlaczego Rab jest tensorem symetrycznym?
440
~ [19.16] SprawdZ, czy potrafisz to udowodnic, korzystajqc z tozsamosci Ricciego i wtasnosci pochodnej Liego.
R6wnanie pola Einsteina
19.6
Dzielqc przez oV i zdajqc sobie sprawt(, ze stosuje sit( to do wszystkich obserwatorow tego samego zdarzenia, mozemy usunqc tt [19.17] i otrzymac sugerowane rownanie pola
Rab = -41tG Tab' ktore, istotnie, bylo poczqtkowo zaproponowane przez Einsteina. Nie jest ono jednak satysfakcjonujqce, poniewaz "prawo zachowania" ,.,rTab = 0 prowadzi do rownania ,,;aRab = 0, no i mamy klopot! Na czym on polega? Przypomnijmy sobie z rozdz. 14.4 toisamosc Bianchiego V[aRbclde = O. Dokonujqc kontrakcji, otrzymujemy[19.18]
t
Va(Rab - R gab) = 0, gdzie sknlar Ricciego (albo krzywizna skalama - aczkolwiek ,,-R" pasowaloby nawet lepiej do wit(kszosci konwencji matematycznych zwiqzanych z dodatniq okreslonosciq) zdefiniowany jest relacjq: (uwaga: R nie naleZy mylic z pogrubionym R, ktore reprezentuje caly tensor krzywizny). Klopot z zaproponowanym rownaniem Rab = -41tG Tab polega na tym, ze jesli polqczymy je z tozsamosciq Bianchiego, to dojdziemy do wniosku, ze slad tensora energii-pt(du T musi byc staly w calej czasoprzestrzeni[19.191• Tutaj mamy oczywistq sprzecznosc ze zwyklq (niegrawitacyjnq) fizykq. W zwiqzku z tym Einstein doszedl do wniosku (w 1915 roku), ze trzeba zaloZyc, iz te dwa tensory, spelniajqce "rownania zachowania", Va( ... ) = 0, powinny byc rowne (z dokladnosciq do stalego czynnika), i zaproponowal cos, co dzisiaj znamy pod nazwq rownania pola Einsteina: 8,[19.20]
Rab -tRgab = -81tGTab · W szczegolnej sytuacji, gdy materia nie wystt(puje (wlqczajqc w to wystt(powanie pola elektromagnetycznego), Tab = O. Mowimy wowczas, ze mamy do czynienia z proiniq. Rownanie Einsteina - rownanie proiniowe - przyjmuje postac Rab - Rgab = 0, i mozemy je przepisac w postaci[19.2l]
t
Rab = O. Przestrzen, w ktorej tensor Ricciego znika, jest niekiedy nazywana plaskq prze-
strzeniq Ricciego. ~
[19.17] Podaj peine wyjasnienie, dlaczego mozemy sit( pozbyc wszystkich f, pokazuj,!c rolt( symetrii tensor6w. ~ [19.18] Pokaz to, wykorzystuj,!c na przyklad zapis diagramowy. ~ (19.19] Dlaczego? ~ (19.20] Wyjasnij, sk,!d bierze sit( wsp6lczynnik -81tG w miejscu -41tG. ~ [19.21] Dlaczego?
441
19
Pola klasyczne Maxwella i Einsteina
19.7 Dalsze zagadnienia: stafa kosmologiczna; tensor Weyla W tym miejscu powinnismy rozwaZyc dodatkowy wyraz, ktory Einstein wprowadzil w 1917 roku, znany jako stala kosmologiczna. Jest to nadzwyczaj mala stala wielkosc A, na ktorej istnienie mocno wskazuj,! wspolczesne obserwacje kosmologiczne, a rozni sit( ona od zera nie wit(cej niz 0 10-55 cm-2. Stala ta nie rna bezposredniego znaczenia obserwacyjnego i ujawnia sit( dopiero w skali kosmicznej. Zgodnie z t'! propozycj,! wielkosc Rab - Rgab w podanym rownaniu zostaje zast'!piona przez Rab - Rgab + Agab . W ten sposob "prawo zachowania" jest nadal spelnione, poniewaZ A jest stal'! (i Vg = 0). Po tych zmianach rownanie Einsteina przyjmuje postac
t
t
Rab -
t Rgab + Agab = -81tG Tab'
Pocz'!tkowym powodem, dla ktorego Einstein wprowadzil ten dodatkowy czlon, bylo oczekiwanie, ze w ten sposob otrzyma, w skali kosmologicznej, model wszechSwiata statycznego i przestrzennie zamknit(teg09. Dzit(ki obserwacji Edwina Hubble'a w 1929 roku stalo sit( jasne, ze Wszechswiat sit( rozszerza, a zatem nie jest statyczny, i Einstein zrezygnowal z wprowadzenia stalej kosmologicznej, utrzymuj,!c, ze byl to jego "najwit(kszy bl,!d" (prawdopodobnie dlatego, ze bez jej wprowadzenia moglby sam przewidziec rozszerzanie sit( WszechSwiatal). Okazuje sit( jednak, ze kiedy jakas idea sit( pojawi, to nie jest latwo jej sit( pozbyc. Od czasu kiedy Einstein wyst,!pil z t'! sugesti'!, stala kosmologiczna niczym duch przemieszcza sit( za kurtyn,! kosmologii, powoduj,!c zmartwienie jednych i budz,!c nadzieje drugich. Calkiem niedawno obserwacje od1eglych supernowych sklonily wit(kszosc teoretykow do ponownego wprowadzenia A alba czegos zblizonego, okreslanego jako "ciemna energia", jako sposobu pogodzenia wynikow tych obserwacji z innymi wymogami teorii lO • Do zagadnienia stalej kosmologicznej powroct( pozniej (zob. w szczegolnosci rozdz. 28.10). Pod tym wzglt(dem zgadzam sit( z wit(kszosci,! specjalistow od teorii wzglt(dnosci i chociaz nie widzt( przeszkod dla pojawienia sit( niezerowej wartosci A w tych rownaniach, mam wielkie opory przed przyjt(ciem pogl,!du, ze Przyroda posluguje sit( tego rodzaju wyrazeniem. Co prawda, jak sit( 0 tym przekonamy w rozdz. 28.10, wydaje sit(, ze nowsze kosmiczne dane obserwacyjne wskazuj,!, iz tak wlasnie jest. Rownanie pol a Einsteina (z uwzglt(dnieniem stalej kosmologicznej) mozeTgab ) + Agab . W lokalmy zapisac takZe w sposob odwrotnyI19.221: Rab = -81tG(Tab nym ukladzie wspolrzt(dnych, z osi,! czasu zadan'! przez f w taki sposob, ze kontrakcja z ft daje skladow,! 00, dosrodkowe przyspieszenie objt(tosci jest dane przez 81tG(Too - Tgoo ) - A, co daje 41tG(p + PI + P 2 + P 3) - A, gdzie PI' P2 i P3 s,! wartosciami cisnienia materii wzdluz trzech (ortogonalnych) osi przestrzennych. Dokonajmy teraz porownania z wynikiem otrzymanym na podstawie teorii Newtona,
-t
t
442
a
[19.22] Dlaczego?
Dalsze zagadnienia: stala kosmologiczna; tensor Weyla
19.7
a mianowicie 4rcG oM, i przekonajmy siy, ze gystose aktywnej masy grawitacyjnej, Po, w ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina bydzie rowna A
PG = P+~ +P2 +~ ---, 4rcG a nie Po = p, czego moglibysmy oczekiwae na podstawie relacji E = me 2 • (Jednostki s<j. wybrane tak, ze e = 1.) Wklad A jest niezwylde maly, takZe dodatkowe wyrazy cisnieniowe s<j. na ogol bardzo male w porownaniu z energi<j., poniewaz, mowi<j.c w uproszczeniu, male cZ<j.stki, ktore konstytuuj<j. rozpatrywany material, w porownaniu z prydkosci<j. swiatla poruszaj<j. siy bardzo wolno. lednak te wklady cisnieniowe do aktywnej masy grawitacyjnej odgrywaj<j. znacz<j.C'! roly w pewnych warunkach ekstremalnych. Kiedy gwiazda 0 bardzo wielkiej masie osi<j.ga stan bliski zapadniycia siy pod dzialaniem jej wlasnej sily dosrodkowej, wowczas okazuje siy, ze rosn<j.ce wewnytrzne cisnienie w gwiezdzie, po ktorym spodziewalibysmy siy, ze przeciwstawi siy temu zgniataniu, wtasnie wspomaga proces zapasci ze wzgl((du na dodatkow<j. masy grawitacyjn<j., ktoq produkuje! Jak juz podkreslalismy (w rozdz. 19.5), tensor energii-pydu Tab jest w teorii Einsteina analogonem wektora pr<j.du ladunku fa W teorii Maxwella. Wielkose Tab winna wiyc bye uwazana za irodlo pola grawitacyjnego, w taki sam sposob jak fa jest zrodlem pol a elektromagnetycznego. Mozemy zatem zadae pytanie: co mogtoby bye odpowiednim analogonem tensora pola Maxwella Fab , opisuj<j.cym grawitacyjne stopnie swobody? Wielkosci<j. t<j. nie moze bye tensor metryczny g, ktory jest raczej odpowiednikiem potencjatu elektromagnetycznego A. Niektorzy mogliby s<j.dzie, ze analogiem F jest pelny tensor krzywizny Riemanna, R abed , ale okazuje siy, ze bardziej wtasciwy jest tensor Weyla (albo tensor konforemny) Cabed' ktory jest podobny do pelnego tensora Riemanna, ale z "usuniyt<j." czysci<j. odpowiadaj<j.C'! tensorowi Ricciego. To jest rozs<j.dne, poniewaz tensor Ricciego moze bye scisle utozsamiony ze zrodlem Tab' wobec tego musimy USUn<j.e te "zrodta stopni swobody", jesli chcemy dokonae identyfikacji takich, ktore bezposrednio opisuj<j. pole grawitacyjne. W pustej przestrzeni, w ktorej materia nie wystypuje (i powiedzmy stala kosmologiczna A = 0), tensor Weyla jest rowny tensorowi krzywizny Riemanna, ale w ogolnym przypadku tensor Weyla jest zdefiniowany przez nieco skomplikowan<j. formut((, ktora usuwa czyse odpowiadaj<j.c<j. tensorowi Ricciego z pelnego tensora krzywizny (w tym wzorze dokonalem podniesienia dwoch indeksow, aby mozna bylo w petni skorzystae z zapisu za pomoC<j. nawiasow kwadratowych z rozdz. 11.6)l19.23]:
C
ab
cd
=R
cd _ ab
2R [eg d] + 1Rg eg d [a b] 3 [a b]·
Kluczowe fizyczne znaczenie tensora Weyla poznamy w rozdz. 28.8. Znikanie tej wielkosci jest warunkiem konforemnej plaskosci czasoprzestrzeni.
~ [19.23] Pokaz, ze wszystkie slady tensora C znikaj'l (np. obliczenia, jesli chcesz, w zapisie graficznym.
c
a abe
=
0 etc.). Przeprowadi te
443
19
Pala klasyczne Maxwella i Einsteina
19.8 Energia pola grawitacyjnego Powroemy teraz do kwestii masy/energii w samym polu grawitacyjnym. Aczkolwiek w tensorze energii-pydu T nie rna na to miejsca, to s,! takie sytuacje, w ktorych sarna energia grawitacyjna odgrywa roly fizyczn'!. Wyobrazmy sobie dwa ciala o wielkiej masie (powiedzmy, dwie planety). Jesli ciala te znajduj,! siy w poblizu siebie (i zakladamy, ze w danym momencie S,! wzglydem siebie w stanie spoczynku), wowczas pojawi siy (ujemny) wklad do grawitacyjnej energii potencjalnej, ktory spowoduje, ze energia calkowita, a zatem i calkowita masa, bydzie mniejsza niz wtedy, gdy ciala S,! daleko od siebie (zob. rys. 19.8). Pomijaj,!c bardzo male efekty, takie jak deformacja ksztaltu kaZdego z tych cial w wyniku plywowego pola grawitacyjnego drugiego ciala, widzimy, ze wklad calkowity od tensora energii-pydu bydzie taki sam, niezaleznie od tego, czy te ciala s,! blisko, czy daleko od siebie. Jednak calkowita masa/energia byd,! w tych dwu przypadkach rozne i ty roznicy musimy przypisae energii samego pola grawitacyjnego (jest to wklad negatywny, bardziej zauwazalny wtedy, gdy te ciala znajduj,! siy bliZej siebie, niz gdy S,! odd alone ). A teraz rozwaZmy sytuacjy, gdy ciala te S,! w ruchu i orbituj'! wokol siebie. Konsekwencj,! rownania pol a Einsteina s'!fale grawitacyjne - zaburzenia struktury czasoprzestrzeni - ktore zostan,! wzbudzone w ukladzie i byd,! rozchodzie siy, przenosz'!c (dodatni,!) energiy. W normalnych warunkach ta strata energii bydzie znikoma. Na przyklad najwiykszy efekt tego rodzaju w naszym Ukladzie Slonecznym powstanie w ukladzie Jowisz-Slonce i straty energii z tym zwi,!zane S,! mniej wiycej takie, jakie emituje zarowka 40-watowa! W przypadku gwaltownych procesow w ukladach 0 duzo wiykszej masie, takich jak pol,!czenie dwoch czarnych dziur zderzaj,!cych siy ze sob,!, wywolane tym straty energii powinny bye tak duze, ze obecne ziemskie detektory byd,! w stanie wykrye powstale fale grawitacyjne w odleglosci 15 megaparsekow, czyli okolo 4,6 x 1023 metrow. Miydzy tymi skrajnymi przypadkami lokuj,! siy fale grawitacyjne emitowane przez ciekawy uklad podwojnej gwiazdy neutronowej, znany pod nazw,! PSR 1913 +16, ktory badali laureaci Nagrody Nobla, Joseph Taylor i Russell Hulse; zob. rys. 19.9.
C'\
..
~
':.' ()
(al
444
(bl
Rys. 19.8. Nielokalnosc grawitacyjnej energii potencjalnej. Wyobrazmy sobie dwie planety (dla ulatwienia zakladamy, ze w danej chwili znajduj,! siy wzglydem siebie w spoczynku). Jesli (a) S,! one daleko od siebie, wowczas (newtonowski) ujemny wklad do energii potencjalnej nie jest tak duZy jak w przypadku (b), gdy S,! blisko siebie. Tak wiyc energia calkowita (a zatem i masa calkowita ukladu) jest wiyksza w przypadku (a) nii w przypadku (b) niezaleznie od tego, ie gystosc calkowitej energii, mierzona tensorem energii-pydu, pozostaje w zasadzie taka sarna w obu przypadkach.
Energia pola grawitacyjnego
19.8
PSR 1913+16
Rys.19.9. System podw6jnej gwiazdy neutronowej PSR 1913+16 Hulse'a-Taylora. Pulsarwysylaz wielk'l precyzj'l regularne impuisy elektromagnetyczne, kt6re S'l odbierane na Ziemi i umoiiiwiaj'l bardzo dokladne wyznaczenie orbit. Obserwuje siy, ie system traci energiy dokladnie tak, jak to przewiduje teo ria Einsteina dla przenoszenia energii przez fale grawitacyjne emitowane przez taki uklad. Fale te s'l zaburzeniami pr6:i:ni czasoprzestrzennej, w kt6rej tensor energii-pydu znika. (Rysunek nie zachowuje skali.)
(Gwiazda neutronowa to niezwykle gysta gwiazda, utworzona glownie z neutronow upakowanych tak scisle, ze jej srednia gystosc jest porownywalna z gystosci~ j~dra atomowego_ Pileczka tenisowa wypelniona materialem 0 takiej gystosci mialaby masy porownywaln~ z mas~ Deimosa, ksiyiyca Marsa!) Uklad ten byl obserwowany przez okolo 25 lat i szczegoly jego ruchu zostaly zbadane z wielk~ dokladnosci~ (co okazalo siy mozliwe, gdyz jedna z tych gwiazd jest pulsarem, wysylaj~ cym w przestrzen kosmiczn~ bardzo regularne impulsy elektromagnetyczne okolo 17 razy na sekundy). CZystotliwosc wysylania tych impulsow jest tak precyzyjna, a sam uklad jest tak "czysty", ze porownanie obserwacji z wynikami obliczen teoretycznych daje potwierdzenie slusznosci ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina z do1 kladnosci~ 1 do 10 \ co nie rna precedensu w naukowych porownaniach wynikow jakiejkolwiek teorii z eksperymentem. Przypomny, ze regularnosc ty badano przez ponad 20 lat l1 . Przy badaniach obserwacyjnych tego rodzaju - a takZe wobec godnych podziwu efektow grawitacyjnego soczewkowania, 0 czym powiemy w rozdz. 28.8 ogolna teoria wzglydnosci przeiyla wielk~ ewolucjy od swego stadium pocz~tko wego. Miydzy rokiem 1915 a 1969 (rok 1969 jest tu dat~ graniczn~, poniewaZw tym roku radioobserwacje odleglych kwazar6w zapocz~tkowaly now~ seriy testow jej prawdziwosci l2 ) udalo siy przeprowadzic jedynie znane, ale stosunkowo malo imponuj~ce "trzy testy" na poparcie teorii. Najbardziej znacz~cym z nich bylo wyjasnione przez Einsteina "anomalne przesuniycie peryhelium" Merkurego_ W ci~gu obserwacji prowadzonych przez ponad pol wieku 13 udalo siy zauwaiyc niewielkie odchylenie od przewidywan teorii grawitacji Newtona (zaledwie 43 sekundy miary lukowej w ci~gu stu lat, czyli 0 jeden obrot orbitalny na 3 miliony lat! Zob_ rowniez rozdz. 30.1 i 34.9.) Drugim testem bylo odkrycie przez Arthura Eddingtona zjawiska niewielkiego ugiycia swiatla gwiezdnego przez Slonce podczas wyprawy naukowej na Wyspy Ksi~zyq (obok wybrzeZa Afryki Zachodniej), w celu obserwacji zacmienia Slonca w 1919 roku. Jest to przyktad tego samego zjawiska "soczewkowania grawitacyjnego", juz wzmiankowanego, obecnie intensywnie wykorzystywanego do uzyskania waznych informacji na temat rozmieszczenia mas we Wszech-
445
19
Pola klasyczne Maxwella i Einsteina
446
swiecie na odleglosciach kosmologicznych; zob. rozdz. 28.8. Wreszcie mamy zjawisko spowolnienia tempa zegarow w polu grawitacyjnym, przewidziane przez teoriy Einsteina. Pierwsze (i podwazane) jego obserwacje zostaly przeprowadzone w 1925 roku przez WS. Adamsa na przykladzie "bialego karla" znanego jako towarzysz Syriusza (gwiazdy 0 gystosci tysi,!ce razy wiykszej od gystosci Slonca). Duzo bardziej przekonuj,!ce dane na ten tern at uzyskano pozniej w sUbtelnym doswiadczeniu przeprowadzonym przez Pounda i Rebky w 1960 roku w polu grawitacyjnym Ziemi. (Ten efekt jednak wynika z zasadniczo kwantowych rozwazan energetycznych i nie bardzo nadaje siy na test teorii Einsteina). Istnieje rownieZ inny fenomen "spowolnienia czasu", odnosz'!cy siy do sygnalow swietlnych docieraj,!cych na Ziemiy z obiektow znajduj,!cych siy bezposrednio z tylu Slonca. Zjawisko takie jako pierwszy zaproponowal (w 1964 roku) Irwin Shapiro, nastypnie sam je potwierdzil w latach 1968-1971 w obserwacjach Merkurego i Wenus, pozniej, z wiyksz,! precyzj,! (w 1971 roku, z dokiadnosci,! do 0,1 %), razem z Reasenbergiem, porownuj,!c wyniki przesylane przez transpondery w rakiecie kosmicznej Viking orbituj,!cej wokol Marsa i umieszczone na powierzchni planety. Dzisiaj jest jasne, ze teoria Einsteina rna podstawy obserwacyjne. Na istnienie fal grawitacyjnych wyraZnie wskazuje eksperyment Hulse'a-Taylora, nawet jesli fale takie nie zostaly bezposrednio wykryte. Istnieje obecnie wiele projektow badawczych zmierzaj,!cych do bezposredniej detekcji fal grawitacyjnych, stanowi,!cych wspolny, na skaly swiatow,!, wysilek wykorzystania tych fal do badania gwaltownych procesow (takich jak zderzenia czarnych dziur), zachodz'!cych w odleglych obszarach WszechSwiata. W rezultacie spodziewamy siy, ze te pol,!czone wysilki14 doprowadz,! do zbudowania teleskopu fal grawitacyjnych i w ten sposob teoria Einsteina dostarczy nam jeszcze innego potyznego narzydzia badania odleglych zak'!tkow kosmosu. A zatem, niezaleznie od zmartwien niektorych badaczy w sprawie zachowania energii, ogolna teoria wzglydnosci uzyskala bardzo znamienne potwierdzenie obserwacyjne. Powroemy wiyc do problemu energii grawitacyjnej. Istotnym elementem zgodnosci teorii i obserwacji jest przyjycie, ze pofaldowania pustej przestrzeni, ktore konstytuuj,! fale grawitacyjne emitowane przez PSR 1913+16 i podobne ukiady, rzeczywiscie przenosz'! energiy. Tensor energii-pydu w pustej przestrzeni wynosi zero, a zatem energia fali grawitacyjnej musi bye mierzona w jakis inny sposob niZ ten, ktory jest lokalnie przypisywany "gystosci" energii. Energia grawitacyjna jest w istocie wielkosci,! nielokaln,!. Nie oznacza to wcale, ze nie istnieje matematyczny opis takiej energii, choe trzeba uczciwie przyznae, iZ nie mamy jeszcze kompletnego zrozumienia grawitacyjnej masy/energii, choe znamy cal,! wain,! klasy zagadnien, ktore jestesmy w stanie wyjasnie w sposob zupelnie scisly. S'! to zagadnienia, w stosunku do ktorych uiywamy pojycia asymptotycznej plaskosci, i S,! to uklady grawitacyjne, ktore mozemy uwaiae za odizolowane od reszty Wszechswiata, w tym sensie, ze S,! bardzo odlegle od wszystkiego innego. Moze to bye na przyklad gwiazda podwojna, taka jak pulsar binarny Hulse'a-Taylora, ktory traci energiy na skutek promieniowa-
Energia pola grawitacyjnego
19.8
nia grawitacyjnego. Prace Hermanna Bondiego i jego wspolpracownikow, uogolnione nastypnie przez Raynera Sachsa 15 (ktory usunql upraszczajqce zaloienie Bondiego 0 symetrii osiowej), dostarczyly klarownego matematycznego opisu masy/energii wypromieniowanej z takiego ukladu w postaci fal grawitacyjnych, przy czym spelnione jest zachowanie energii-pydu 16 ; zob. rys. 19.10. Prawo zachowania nie rna tutaj charakteru lokalnego, jak w przypadku pol niegrawitacyjnych, wyraiajqcego siy "rownaniem zachowania" r,rTab = 0, ktore stosuje siy tylko w granicy ukladow, jakie Sq calkowicie izolowane przestrzennie od wszystkiego innego. lednakie jest cos niemalie cudownego w tym, ie wszystko tutaj do siebie pasuje, wlqcznie z pozniej udowodnionymi pewnymi twierdzeniami 0 "dodatniosci", ktore mowiq, ie calkowita masa ukladu (z uwzglydnieniem "ujemnego wkladu grawitacyjnej energii potencjalnej" omawianego poprzednio) nie moie bye ujemna 17 • Istniejq przepisy matematyczne przewidujqce, w jaki sposob otrzymae prawa zachowania dla ukladow pol oddzialujqcych. Sq one podane w ramach formalizmu lagraniowskiego, 0 ktorym bydziemy mowie w nastypnym rozdziale. Formalizm lagraniowski jest bardzo potyiny, ogolny i piykny, niezaleinie od faktu, ie nie daje nam (a przynajmniej nie bezposrednio) wszystkiego, czego potrzebujemy w przypadku grawitacji. Formalizm lagraniowski i scisle z nim zwiqzany formalizm hamiltonowski stanowiq centralnq czyse wspolczesnej fizyki teoretycznej i jest waine, iebysmy siy z nimi bliiej zapoznali. Przeniesmy siy wiyc teraz na to bajeczne terytorium.
/
, \
,,
(
Ciata orbituj~ce
Czas
I
I
Rys. 19.10. Dla ukladu izolowanego emitujilcego fale grawitacyjne, w ktorym mozemy przyjilc, ze czasoprzestrzen jest asymptotycznie plaska, istnieje dokladna miara calkowitej masy/energii-pt(du i jej utraty w wyniku promieniowania grawitacyjnego. Okresla sit( to jako prawo zachowania masy/energii Bondiego-Sachsa. Odpowiednie wielkosci matematyczne sil nielokalne i zdefiniowane w "nieskonczonosci zerowej" (ktorej geometryczny sens zostanie wyjasniony w rozdz. 27.12).
447
19
Poia kiasyczne Maxwella i Einsteina
Przypisy
1
2
Rozdzial19.1 Wydaje Silt wl!tpliwe, zeby sam Newton byl tak dogmatycznie przywil!zany do obrazu korpuskulamego (zob. Newtona Queries w jego Opticks z 1730 roku). Jednak ten "newtonowski" pogll!d byl nieslychanie mocno propagowany w XVIII stuleciu przez Rudjera Boskovica; zob. Barbour (1989). Rozdzial 19.3 Wynik taki otrzymalibysmy takZe w topologicznie trywialnej zakrzywionej czasoprzestrzeni, zatem (m6wil!c bardziej konkretnie) zamkni((ta 2-powierzchnia zawsze rozpina zwartl! 3-obj((tosc.
Rozdzial 19.4 3 Zob. np. Flanders (1963). 4 Zob. Weyl (1928), s. 87-88 (wersja angielska: s. 100-101). Na pomysl ten wpadli niezaleznie W. Gordon oraz Pauli i Heisenberg; zob. Pais (1986), s. 345. 5 Zob. Aharonov, Bohm (1959). W rzeczywistosci efekt ten zostal zauwazony 10 lat wczesniej przez Ehrenberga i Sidaya - Ehrenberg, Siday (1949). Jego eksperymentalnej weryfikacji dokonal Chambers, a nast((pnie, bardziej przekonujl!co, Tonomura et al. (1982, 1986). 6
Rozdzial19.5 Zob. Pais (1982).
Rozdzial19.6 To wypowiedziane w tekScie zl!danie, zeby nie bylo "preferowanego ukladu wsp6Irz((dnych", jest nie tylko malo precyzyjne, ale moze tez wydawac silt zbyt stanowcze. Na przyklad w przypadku przestrzeni plaskiej mozna by calkiem sensownie uwazac, ze "wsp6Irz((dne kartezjanskie" (a wi((c wsp6lrz((dne Minkowskiego (t, x, y, z) z rozdz. 18.1, w kt6rych metryka przyjmuje szczeg6lnie prostl! postac ds 2 = df - ctr - dl- dz2) sl! jak najbardziej "preferowane" w stosunku do wszystkich innych uklad6w wsp6Irz((dnych, alba ze modele kosmologiczne opisywane Sl! r6wniez w ukladach wsp6Irz((dnych, w kt6rych metryka przyjmuje szczeg6lnie prostl! form(( (zob. rozdz. 27.11, ewiczenie [27.18]). Problem jest jednak bardziej subtelny i sprowadza silt do tego, ze szczeg6lne uklady wsp61rz((dnych nie powinny odgrywac zadnej roli fizycznej, a wi((c najbardziej naturalne wyrazenia teorii nie mogl! byc zwil!zane z zadnym wyr6znionym ukladem wsp6Irz((dnych. 8 Zob. Stachel (1995), s. 353-364; do najlepszych prac na temat og6lnej teorii wzgl((dnosci nalezl!: Synge (1960); Weinberg (1972); Misner, Thome et al. (1973); Wald (1984); Ludvigsen (1999); Rindler (1977, 2001); Schutz (2003); Hartle (2003). 7
Rozdzial 19. 7 Modelem Einsteina byla przestrzen eO topologii S3 x E\ z kt6rl! zapoznamy siy w rozdz. 31.16. 10 Wprowadzenie przez Einsteina stalej kosmologicznej bylo jednl! z licznych modyfikacji oryginalnej og6lnej teorii wzgl((dnosci, kt6re byly proponowane przez lata. Opr6cz teorii Weyla, kt6rl! dyskutowalismy w rozdz. 19.4, i wyzej wymiarowych koncepcji Kaluzy-Kleina (0 kt6rych powiemy wiycej w rozdz. 31.4, obecnie zwykle ll!czonych z idel! supersymetrii; zob. rozdz. 31.2, 3), istnieje modyfikacja Bransa-Dicke'a, w kt6rej wprowadza silt dodatkowe pole skalame, a takZe rozliczne pr6by stworzenia przez Einsteina "jednolitej teorii pola", przedstawiane w latach 1925-1955; zob. Einstein (1925, 1945, 1948); Einstein, Straus (1946); Einstein, Kaufman (1955); Schr6dinger (1950); a nowsze prace omawia Antoci (2001). 448 Wiykszosc tych pomysl6w miala na celu w1l!czenie w ramy og6lnej teorii wzglydnosci pola 9
Przypisy
elektromagnetycznego i moze nawet innych pol. Warta zauwazenia jest takZe proba znana pod nazw,! teorii Einsteina-Cartana-Sciamy-Kibble'a, ktora wprowadza torsjy (rozdz. 14.4) do opisu bezposredniego efektu grawitacyjnego zwi,!zanego z gystosci,! spinow (zob. rozdz. 22.8); zob. Kibble (1961); Sciama (1962); Trautman (1972, 1973) oraz zawarte tam odeslania do Cartana (1923, 1924, 1925).
Rozdzial19.8 W tym miejscu teoria Einsteina obejmuje teoriy Newtona i naleiy podkreslie, ze liczba ,,10 14 " nie oznacza wzrostu dokladnosci teorii Einsteina w porownaniu z teori,! Newtona. Ponadto naleiy miee na uwadze, ze czyse tej dokladnosci zwi'!zana jest z nieznanymi parametrami, takimi jak masy, nachylenie orbit itp., ktore S,! konieczne do przeprowadzenia obliczen detali ukladu. Dlatego ,,10 14 " jest miar,! ogolnej spojnosci tego obrazu. 12 W 1991 r. D.S. Robinson i jego wspolpracownicy, stosuj,!c techniky VLBI (Very Long Baseline Interferometry), potwierdzili przewidywane przez ogoln,! teoriy wzglydnosci efekty ugiycia swiatla z dokladnosci,! do 10-4. 13 Szczegoly teorii i obserwacji anomalii peryhelium Merkurego znaleie mozna w: Roseveare (1982). 14 Te poszukiwania fal grawitacyjnych oznaczane S,! akronimami: UGO, LISA i GEO. Zob. Shawhan (2001); Abbott et al. (2004); Grishchuk et al. (2001); Thome (1995b), jak r6wniez bardzo poiyteczn'! strony intemetow'! Johna Baeza http://math.ucr.edu!home!baez/weekl43.html. 15 Prace te byly antycypowane czysciowo przez Trautmana (1958); zob. dalej: Bondi (1960); Bondi i in. (1962); Sachs (1961, 1962a). 16 Zob. takZe: Newman, Unti (1962); Penrose (1963, 1964); Sachs (1962b); Bonnor, Rotenberg (1966); Penrose, Rindler (1986), s. 423-427. 17 Schoen, Yau (1979,1982); Witten (1981); Nester (1981); Parker, Taubes (1982); Ludvigsen, Vickers (1982); Horowitz, Perry (1982); Reula, Tod (1984); zob. takZe: Penrose, Rindler (1986), oraz rozdz. 32.3, a szczegolnie przyp. 11 ibidem. II
20 Lagranzjany i hamiltoniany 20.1 Magiczny formalizm Lagrange'a W CL\GU stuleci, kt6re uplynyly od czasu, gdy Newton sformulowal prawa dynamiki, na ich podstawie zbudowano niezwykle imponujqcy gmach fizyki teoretycznej. Po Newtonie przyszli Euler, Laplace, Lagrange, Legendre, Gauss, Liouville, Ostrogradski, Poisson, Jacobi, Hamilton i inni, a dziyki wkladowi kazdego z nich uzyskalismy glyboki i jednolity obraz zjawisk. Spr6bujy przedstawiC kr6tkie wprowadzenie do problem6w teoretycznych, chociaz obawiam siy, ze moja prezentacja ograniczy siy do bardzo nieadekwatnego przekazu wielkosci i donioslosci tych osiqgniyc. Wypada przy tym zauwaZyc, ze sarno istnienie eleganckiego matematycznego opisu dostarcza waznych informacji 0 matematycznych podstawach swiata fizycznego, nawet tylko na poziomie praw sformulowanych w siedemnastowiecznej mechanice Newtona. Niewiele z zaproponowanych do tej pory opis6w praw Przyrody osiqgnylo tak zwartq i urzekajqcq struktury matematycznq. Jakiz to elegancki i jednolity obraz wylania siy z mechaniki Newtona? W zasadzie pojawia siy on w dwu r6znych, lecz scisle ze sobq zwiqzanych postaciach, z kt6rych kazda rna charakterystyczne cechy i zalety. Pierwszq z nich nazwiemy obrazem iagraniowskim, a drugq hamiltonowskim. (Jak zawsze pojawia siy trudnosc z wlasciwym przyporzqdkowaniem nazwisk. Wydaje siy, ze Lagrange znal oba te schematy na dlugo przed Hamiltonem, natomiast formalizm lagranzowski byl przynajmniej czysciowo znany juz Eulerowi.) Zal6zmy, ze mamy uklad newtonowski skladajqcy siy ze skonczonej liczby pojedynczych cZqstek i pewnej liczby sztywnych cial, z kt6rych kazde uwazac mozemy za niepodzielnq calosc. W takim przypadku istnieje przestrzen konfiguracyjna C 0 bardzo wielkiej liczbie wymiar6w N, a kazdy punkt tej przestrzeni reprezentuje jeden konkretny rozklad przestrzenny wszystkich tych cZqstek i cial (zob. rozdz. 12.1). Z uplywem czasu ten pojedynczy punkt przestrzeni C, reprezentujqcy caly uklad, bydzie siy w tej przestrzeni poruszal zgodnie z jakims prawem, kt6re opisuje zachowanie siy systemu newtonowskiego; zob. rys. 20.1. Jest zdumiewajqce (i niezwykle przyjemne z obliczeniowego punktu widzenia), ze prawo to mozna uzyskac na drodze bezposredniej procedury matematycznej, z jednej funkcji. W formalizmie lagranzowskim (a przynajmniej w jego najprostszej i najbardziej powszechnej postaci 1) funkcja ta - noszqca na-
Magiczny formalizm Lagrange'a
20.1
Rys. 20.1. Przestrzen konfiguracyjna. Kazdy punkt Q N-wymiarowej rozmaitosci C reprezentuje calli mozliwlI konfiguracjy rodziny newtonowskich cZlIstek punktowych i cial sztywnych. Gdy system ewoluuje w czasie, wowczas punkt Q porusza siy po pewnej krzywej w C.
ZWy lagranzjanu - jest zdefiniowana na wiqzce stycznej T( C) przestrzeni konfiguracyjnej C (rys. 20.2a; zob. rozdz. 15.5). W formalizmie hamiltonowskim odpowiednia funkcja - nosz'!ca nazwy hamiltonianu - zdefiniowana jest na wiqzce kostycznej T*(C); zob. rozdz. 15.5, zwanej przestrzeniq Jazowq (rys. 20.2b). Zauwazmy, ze T( C) (ktorej kazdy punkt reprezentuje pewien punkt Q przestrzeni C, wraz z wektorem stycznym w punkcie Q) i T* (C) (ktorej kazdy punkt reprezentuje pewien punkt Q przestrzeni C, wraz z wektorem kostycznym w punkcie Q) s,! rozmaitosciami 2N-wymiarowymi. Zajmiemy siy teraz opisem lagranzowskim, zostawiaj,!c na razie formalizm hamiltonowski. Wspolrzydne lagranzowskiej T( C) posluz,! nam do wyznaczenia polozen wszystkich cial newtonowskich (wl,!czaj,!c w to odpowiednie k,!ty niezbydne do wyspecyfikowania orientacji przestrzennej cial sztywnych etc.) oraz ich prydkosci (wl,!cznie z prydkosciami k,!towymi cial sztywnych etc.). Wspolrzydne polozen q\ ... , qN, zwykle nazywane "wspolrzydnymi uogolnionymi", oznaczaj'! rozne punkty q przestrzeni konfiguracyjnej (moze nawet w sensie "lat wspolrzydnosciowych", zob. rozdz. 12.2). Kaidy (adekwatny) uklad wspolrzydnych jest dozwolony, wca1e nie musz'! to bye wspolrzydne kartezjanskie ani zadne inne standardowe uklady wspolrzydnych. Na tym miydzy innymi polega urok podejscia lagranzowskiego (a takZe hamiltonowskiego). Przy wyborze ukladu wspolrzydnych kierujemy siy wyl,!cznie wzglydami wygody. Wspolrzydne graj,! tu podobn,! roly jak w rozdz. 8, 10, 12, 14 i 15, w ktorych omawialismy roznego typu ogolne rozmaitosci. Tym uogolnionym wspolrzydnym odpowiadaj,! "prydkosci uogolnione" Ii, ... ,qN, gdzie kropka oznacza tempo zmiany w czasie "d/dt": .1 dql .N dqN q = dt , ... , q = d!'
Lagranzjan £: jest funkcj,! wszystkich tych wielkosd £: = £:(q\ ... , qN; ql, ... , qN).
451
20
Lagranijany i hamiltoniany
T(C)
:c· ;·: · .;r .. T"'
C
( ...... .
~"'~"'<';:":'~" . ,
0. 0.:
(a)
Rys. 20.2. (a) W standardowym obrazie lagranzowskim lagranzjan £ jest gtadk,! funkcj,! na wi,!zce stycznej T( C) przestrzeni konfiguracyjnej C. (b) W obrazie hamiltonowskim hamiltonian 'H. jest funkcj'l gladk,! na wi'lZce kostycznej T' (C) zwanej przestrzeni'! fazow'!.
Kazdq prydkose uogolnionq it naleZy traktowae w tym wyrazeniu jako zmiennq niezaleznq (w szczegolnosci niezaleznq od qr). Jest to jedna z cech formalizmu lagranzowskiego, ktora poczqtkowo jest niepokojqca - ale wszystko funkcjonuje jak naleZy!3 Z fizycznego punktu widzenia lagranZjan £ przedstawia sobq roznicy £ = K - V energii kinetycznej K i energii potencjalnej V (bydqcej wynikiem dzialania sit zewnytrznych lub wewnytrznych) wyraZonych w tych wspolrzydnych (zob. rozdz. 18.6). Rownania ruchu takiego ukladu - zaszyfrowujqce cale jego zachowanie newtonowskie - nOSZq nazwy rownan Eulera-Lagrange'a i zadziwie nas mogq zarowno bogactwem tresci, jak i prostotq postaci: d a£ cIt aqr
452
=
a£
aqr
(r = 1, ... , N).
Pamiytajmy przy tym, ze it naleZy traktowae jako zmiennq niezaleznq, a wiyc wyraZenie a£/ait (ktore naleZy rozumiee jako polecenie: "zrozniczkuj £ formalnie po zmiennej it, przy ustalonych wszystkich innych zmiennych") rna peiny sens matematyczny! Rownania te wyrazajq wazny fakt, ktory czasami nazywany jest zasadq Hamiltona alba zasadq stacjonamego dzialania. Jej znaczenie, bye moze, najiatwiej zrozumiee, jesli sprobujemy wyobrazie sobie ruch punktu Q na C (C, jak pamiytamy, reprezentuje przestrzen mozliwych konfiguracji przestrzennych calego ukladu, tzn. wszystkie polozenia wszystkich jego czysci). Punkt Q, ktorego polozenie
Magiczny formalizm Lagrange'a
20.1
Rys. 20.3. Zasada Hamiltona. R6wnania Eulera-Lagrange'a m6wiq nam, ze ruch Q na C odbywa siy w taki spos6b, ze dzialanie - a wiyc calka z £. wzdltiZ krzywej, pomiydzy dwoma koncowymi punktami, a i b, przestrzeni konfiguracyjnej C - jest stacjonarne wobec wariacji tej krzywej.
w danej chwili oznaczymy przez qr, porusza siC( wzdluz jakiejs krzywej na C z pewn'! prC(dkosci,! i ta prC(dkosc, wraz z kierunkiem stycznym do krzywej, jest okreslona przez wartosc it. Rownania Eulera-Lagrange'a w istocie mowi,! nam, ze ruch pUnktu Q na C jest taki, ze minimalizuje dzialanie, a przez "dzialanie" rozumiemy calkC( z £, wzdluz tej krzywej, miC(dzy dwoma koticowymi punktami, a i b, przestrzeni konfiguracyjnej C; zob. rys. 20.3. Mowi,!c scislej, zamiast slowa "minimum" powinnismy uZyc terminu "stacjonarny". Jest to w zasadzie podobny przypadek jak w zwyklym rachunku rozniczkowym i calkowym (zob. rys. 6.2), kiedy pojawienie siC( minimum jakiejs gladkiej funkcjif(x), 0 wartosciach rzeczywistych, wymaga spelnienia warunku dfldx = O. Czasem jednak okazuje siC(, ze warunek ten jest spelniony w jakims punkcie, ale funkcja f nie osi,!ga w tym punkcie minimum: moze tam miec maksimum albo punkt przegifcia, albo, w przypadku wyzszych wymiarow, tak zwany punkt siodlol1)' (rys. 20.4b). Wszystkie punkty, w ktorych dfldx = 0, S,! nazywane stacjonamymi; zob. rys. 6.4 i 20.4. Przypomnijmy sobie podobn,! w istocie definicjC( linii geodezyjnej w (pseudo )riemannowskiej przestrzeni z rozdz. 14.8, 17.9 i 18.3; mowi-
x
lal
Ibl
lei
Rys. 20.4. Wartosci stacjonarne gladkiej, 0 wartosciach rzeczywistych, funkcji kilku zmiennychf. Rysunek ilustruje przypadek funkcji dw6ch zmiennych, f (x, y). Wartosc jest stacjonarna, gdy wykres funkcji jest poziomy (2-powierzchnia; Of/ax = 0 = Of/ay). Z takq sytuacjq mamy do czynienia, gdy (a)fprzyjmuje wartosc minimalnq alba gdy (b) ma punkt siodlowy lub (c) przyjmuje wartosc maksymalnq. W przypadku zasady Hamiltona (rys. 20.3) - czyli linii geodezyjnej lqczqcej dwa punkty a i b - miejsce funkcjifzajmuje lagranzjan £., ale wyspecyfikowanie drogi wymaga nieskonczenie wielu parametr6w, a nie tylko dwu zmiennych x i y. £. nie potrzebuje przyjmowac wartosci minimalnej, wystarczy jakis punkt stacjonarny.
453
20
Lagranijany i hamiltoniany
lismy tam 0 "drodze 0 minimalnej dtugosci" w przypadku dodatnio okreslonym (lokalnie), a czasami 0 "drodze czasopodobnej 0 maksymalnej dtugosci" w przypadku metryki lorentzowskiej, ale generalnie powinnismy mowie 0 "dtugosci stacjonarnej". Tak wiyc trajektoria punktu Q moze bye uwazana za rodzaj "linii geodezyjnej" w przestrzeni C. Pomocne bydzie rozwazenie prostego przyktadu lagranZjanu, opisujqcego pojedynczq czqstky newtonowskq 0 masie m, poruszajqcq siy w zewnytrznym polu potencjalnym, zadanym przez potencjat V, bydqcy funkcjq potozenia: V = V (x, y, z, t). Sens fizyczny V pol ega na tym, ze definiuje energiy potencjalnq cZqstki w tym zewnytrznym polu. W przypadku pol a grawitacyjnego Ziemi (w poblizu powierzchni Ziemi), rozumianego jako sila przyciqgania ziemskiego, mozemy potoZye V = mgz, gdzie Z oznacza wysokose nad powierzchniq Ziemi, a g przyspieszenie ziemskie. Mamy trzy sktadowe prydkoscix, y i Z, a zatem, poslugujqc siy zwyklym wyrazeniem dla energii kinetycznej tmv2 (zob. rozdz. 18.6), otrzymujemy lagranzjan postaci:
£
=t m (x 2+? +Z2) -mgz.
Rownanie Eu1era-Lagrange'a dlaz daje teraz d(mz)/dt = -mg, z czego wynika przewidziana przez Galileusza stalose przyspieszenia w kierunku Ziemi[20.11.
20.2 Bardziej symetryczny formalizm Hamiltona W formalizmie hamiltonowskim nadal poslugujemy siy wspotrzydnymi uogolnionymi q\ ... , q', ale w miejscu prydkosci uogolnionych wprowadzamy teraz odpowiadajqce im wspolrzydne, zwane pfdami uog6lnionymi PI' .. . ,PN • Dla pojedynczej cZqstki swobodnej Pfd jest po prostu prydkosciq tej cZqstki pomnozonq przez jej masy. Jednak w ogolnym przypadku wyrazenie na pyd uogolniony moze bye zupelnie inne. Pyd ten zawsze mozemy otrzymae z lagranzjanu za pomocq definicji p,
a£
=
aq'.
W kazdym przypadku te nowe parametry, P" funkcjonujq jako wspolrzydne przestrzeni kostycznych do przestrzeni C, a zatem kowektor moze bye zapisany w postaci
Padqa (przyjmujemy tutaj konwencjy sumacyjnq z rozdz. 12.7, aczkolwiek mozna to rowniez odczytywae jako wyrazenie w zapisie abstrakcyjno-wskaznikowym, jak w rozdz. 12.8). Jest to oczywiscie I-forma, a jej pochodna (rozdz. 12.6)
S = dpa
454
1\
dqa
is [20.1] Uzupelnij szczeg61y rachunku, aby otrzymac paraboliczny opis swobodnego spadania pod dzialaniem sily ciyzkosci, jak w teorii Galileusza.
Bardziej symetryczny formalizm Hamiltona
20.2
jest 2-formq (spelniajqcq rownanie cIS = 0)120.2], ktora przyporzqdkowuje pewnq naturalnq struktury symplektycznq przestrzeni fazowej T*(C) (zob. rozdz. 14.8). Znaczna czysc sily formalizmu hamiltonowskiego polega na tym, ze przestrzenie fazowe Sq rozmaitosciami symplektycznymi i struktura symplektyczna jest niezalezna od konkretnej postaci hamiltonianu, jaki wybierzemy do opisu dynamiki ukladuo Fizyka klasyczna jest glyboko zwiqzana z piyknq i zadziwiajqcq geometriq rozmaitosci symplektycznych, a przejdziemy do niej w rozdz. 20.4. Jako wstyp do zrozumienia roli, jakq ta geometria odgrywa, przyjrzyjmy siy postaci rownan dynamicznych Hamiltona. Rownania te opisujq ewolucjy czaSOWq newtonowskiego ukladu fizycznego jako trajektoriy, w przestrzeni fazowej T* (C), pewnego punktu P, reprezentujqcego caly uklad. Ewolucja ta zdeterminowana jest przez funkcjy, ktorq nazywamy hamiltonianem ukladu 'H = 'H (PI' .. ·,PN; q', ... ,~)
i ktora (w przypadku gdy lagranzjan i hamiltonian nie zalezq jawnie od czasu, a takimi przypadkami tutaj siy zajmujemy) opisuje energif calkowitq ukladu, wyrazonq jako funkcja (uogolnionych) pydow i polozen. Funkcjy ty mozemy otrzyrnac z lagranzjanu za pomocq przeksztalcenia (stosujemy konwencjy sumacyjnq) 'H=
' r a.c_.c q a( ,
ktore nastypnie nalei:y przepisac, eliminujqc wszystkie prydkosci uogolnione i zastypujqC je uogolnionymi pydami (co na ogol nie jest zadaniem latwym!) Teraz, w terminach tych pydow i polozen, rownania Hamiltona przyjmujq urzekajqco symetrycznq postac: dqr = a'H dt apr Rownania te opisujq prydkosc pewnego punktu P w przestrzeni T* (C). Prydkosc ta jest zdefiniowana dla kazdego punktu P, a zatem hamiltonian 'H definiuje pole wektorowe na T* (C). Korzystajqc z notacji omawianej w rozdz. 12.3, za pomocq "operatorow pochodnych czqstkowych" to pole wektorowe mozemy przedstawic nastypuj qCO[20.3]: 8'H a 8'H a -----
apr aqr aqr apr
Otrzymujemy w ten sposob "prqd" na T* (C), ktory opisuje newtonowskie zachowanie siy systemu (rys. 20.5). W szczegolnym przypadku cZqstki spadajqcej w stalym polu grawitacyjnym, przedstawionym w rozdz. 20.1 w formalizmie lagranZowskim, hamiltonian jest nastypujqcy: is [20.2] Dlaczego? Jl) [20.3] Wyjasnij to.
455
20
Lagranijany i hamiltoniany
hamiltonian6w {7-l, }
Rys. 20.5. Pr,!d hamiltonianu {7-l, }, przedstawiaj,!CY newtonowsk'! ewolucjt( systemu
w czasie (zob. rozdz. 2004), jest polem wektorowym na przestrzeni fazowej T'(C). Dla hiperpowierzchni ustalonych wartosci 7-l (co oznacza stal'! wartosc energii i niezaleinosc 7-l od czasu) trajektorie pozostaj'! na tych hiperpowierzchniach, w zgodzie z prawem zachowania energii.
1i=
p2 + p2 + p2 x
Y
2m
Z
2 +mgz=L+ mgz , 2m
gdzie Px ' Py' Pz' s,! zwyklymi przestrzennymi skladowymi pydu we wspolrzydnych kartezjanskich, odpowiednio, x, y i z. Tak,! postac mozemy zapisac bezposrednio na podstawie naszej wiedzy 0 energii calkowitej cz,!stki, wyrazonej przez pydy i polozenia, alba mozemy ty postac hamiltonianu otrzymac z podanego poprzednio lagranzjanu za pomoq opisanej proceduryl2041. W tym miejscu muszy siy przyznac do pewnego zamieszania w notacji, z ktorego nie widzy dobrego wyjscia, wiyc lepiej wyloZyc kawy na lawy ! Pamiytamy z rozdz. 18.7, ze przestrzenne skladowe pydu,PI'P Z'P 3' w standardowym ukladzie wspolrzydnych Minkowskiego dla plaskiej czasoprzestrzeni w przypadku mojej ulubionej sygnatury (+ - - - ) majq znald przeciwne w stosunku do normalnych skladowych pydu. W omawianym przypadku mamy zatem: Px = -PI' Py = -p z i PI = -P3 ' Przy ogolnej dyskusji hamiltonianow przyjyto poslugiwac siy skladowymi pydu z dolnymi indeksami, a wiyc Pa' jednak taki zapis jest niezgodny z notacj,!, jaka jest naturalna w teorii wzglydnosci z sygnatur,! (+ - - -), gdzie Pa oznacza PI' P2' P3• W tej pracy staram siy obejsc problem w taki sposob, ze w ogolnym zapisie poslugujy siy kombinacj,! qa i Pa' dbajqc 0 to, zeby zachowac prawidlow'! relacjy pomiydzy q a p, nie specyfikuj,!c interpretacji odpowiadaj,!cej tym wielkosciom w konkretnej sytuacji (zostawiam to czytelnikowi). Kiedy zas wprowadzam kombinacjy ~ i Pa' wowczas
456
~ [20.4] Wykonaj to w jawny spos6b. Skorzystaj Z r6wnan Hamiltona, aby uzyskac r6wna· nia ruchu Newtona dla cZqstki spadajqcej w stalym polu grawitacyjnym.
Male drgania
20.3
stosujy rzeczywiscie notacjy z rozdz. 18.7, a wiyc -PI' -P 2' -P3 Sq normalnymi skladowymi pydu (rownymipt,pZ,p3 w standardowym ukladzie Minkowskiego) zwyklego przestrzennego wektora pydu. Implikuje to, ze gdy piszy moje rownania Hamiltona w zmiennych x raczej niz q, muszy postawic przeciwne znaki: dx r
OJ-{
dt
aPr
Czytelnikowi, ktorego nie interesujq specjalnie szczegoly rozwijanego formalizmu, mogy zaproponowac po prostu zignorowanie tego zagadnienia. (Prawdy mowiqc, podobnie postypujq rowniez specjalisci - az przychodzi taka chwila, ze mUSZq napisac artykullub ksiqzky na ten temat!)
20.3 Male drgania Zanim w nastypnym rozdziale zajmiemy siy niezwyklq geometriq, do jakiej prowadzi formalizm hamiltonowski, warto zapoznac siy z waZnym zagadnieniem drgan ukladu fizycznego wokol jego stanu rownowagi. Jest ono istotne w wielu dzialach fizyki, ale dla nas szczegolnie w kontekscie mechaniki kwantowej w rozdz. 22.11. Teoriy drgan mozna wygodnie przedstawic w formalizmie zarowno lagranZowskim, jak i hamiltonowskim, bo oba znakomicie siy do tego nadajq. Tutaj posluzy siy formalizmem hamiltonowskim, dlatego przede wszystkim, ze bydzie to bezposrednie wprowadzenie do kwantowomechanicznej wersji teorii drgan, z jakq zetkniemy siy w rozdz. 22.11. Lagranzowskq teoriy drgan, ktora jest bardzo podobna do teorii hamiltonowskiej, pozostawimy zainteresowanym czytelnikom do samodzielnej analizy (zob. ewiczenie [20.10]). Prostym przykladem ukladu drgajqcego jest zwykle wahadlo, poruszajqce siy pod dzialaniem sHy ciyzkosci. Gdy drgania Sq male, wowczas ramiy wahadla, poruszajqc siy tam i z powrotem, opisuje, jako funkcjy czasu, sinusoidy; zob. rys. 20.6. (To ten rodzaj zachowania, z jakim zetknylismy w rozdz. 9.1, omawiajqc "pojedynczq skladowq fourierowskq"). W przypadku malych drgan ich okres jest w istocie niezalezny od amplitudy (tzn. od wielkosci wychylenia wahadla z polozenia rownowagi), a tej znanej obserwacji dokonal Galileusz jeszcze w 1583 roku. Ruch tego rodzaju nazywamy ruchem hannonicznym prostym. W dalszym ciqgu przekonamy siy, jak bardzo wszechobecny jest ten rodzaj ruchu. W ogolnym przypadku uklad fizyczny (zakladajqc, ze mozemy pominqc efekty tarcia) moze siy "wychylac" ze swojego stanu rownowagi jedynie w bardzo specjalny sposob. Dowiemy siy, ze te bardzo male wychylenia mozna rozloZyc na poszczegolne rodzaje drgan - nazwane drganiami nonnalnymi - w ktorych caly uklad uczestniczy w prostym ruchu harmonicznym z bardzo specyficznq CZystosciq, zwanq cz~stoSciq nonnalnq. Najpierw sprobujmy opisac analitycznie prosty ruch harmoniczny. Niech q oznacza wychylenie poziome ramienia wahadla z najniZszego polozenia - albo,
457
20
Lagranijany i hamiltoniany
Rys. 20.6. Wahadlo drgaj,!ce pod wplywem sHy cil(zkosci. Dla malych drgan ruch ramienia wahadla jest w przyblizeniu ruchem harmonicznym prostym, a wychylenie ramienia (przedstawione jako funkcja czasu) opisuje fall( sinusoidaln'!.
og6lnie, wychylenie z polozenia r6wnowagi jakiejkolwiek wielkosci drgaj,!cej, kt6q rozwazamy. W takim przypadku r6wnanie ruchu dla malych wychylen q przyjmuje postac d2
-.!1.= -o/q 2 dt
'
gdzie stala dodatnia wielkosc w/21t jest CZfsto§Ciq drgan. M6wi nam ono, ze skierowane do srodka przyspieszenie dZq/ctr jest proporcjonalne (z czynnikiem proporcjonalnosci w 2 ) do wielkosci wychylenia. Na podstawie rozdz. 6.5 wiemy, ze q = cos wt i q = sin wt S,! rozwi'!Zaniami tego r6wnania, a takZe dowolna ich kombinacja Iiniowa
q = a cos wt + b sin wt, gdzie a i b S,! stalymi[Z0.51. Gdy q jest male, dla wahadla 0 dlugosci h, poruszaj,!cego sit( pod dzialaniem sHy cit(zkosci (w jednej plaszczyznie), otrzymujemy r6wnanie ruchu, kt6re bardzo dobrze odpowiada podanemu r6wnaniu, z W Z = g/h; jednak przy wit(kszych wychyleniach q trzeba uwzglt(dniC odstt(pstwa od tego r6wnania[20·61. Przypuscmy, ze mamy dowolny system hamiltonowski, kt6ry znajduje sit( w r6wnowadze, gdy q przyjmuje jak,!s szczeg6ln'! wartosc qa = q~. Wygodne bt(dzie wybranie poczqtku naszego uog6lnionego ukladu wsp61rzt(dnych, kt6ry przedsta~ [20.5] Sprawdz to, wyjasniaji!c, dlaczego OJ/2rc jest cz~stoscii! drgan. Wytlumacz, dlaczego wykres tej funkcji nadal wygli!da jak wykres funkcji sinus. Dlaczego jest to rozwii!zanie
og6lne?
458
~ [20.6] Pokaz, ze tak jest, wyprowadzaji!c peine r6wnanie ruchu wahadla (a) w formalizmie lagranzowskim, (b) w formalizmie hamiltonowskim i (c) bezposrednio z praw Newtona. U1-kaz6wka: pokai:, ze lagranzjan £ = ~ mh 2if(h 2 - ift1 + mg(h 2 - q2)1I2. (Zauwazmy, ze w tym prostym przypadku, mimo ze zastosujemy formalizmy Lagrange'a lub Hamiltona, niczego nie zyskujemy; ich sila ujawnia si~ dopiero w bardziej og6lnych sytuacjach.)
Male drgania
20.3
wia stan r6wnowagi, a wiyc wybierzmy q~ = O. "R6wnowaga" oznacza tutaj tak'! konfiguracjy systemu, ze gdy na pocz'!tku ruch nie wystypuje, to system bydzie pozostawal w stanie stacjonarnym. Interesuje nas odpowiedz na pytanie, czy ta r6wnowaga jest stabilna; innymi slowy, czy jesli dokonamy niewielkiego zaburzenia, w6wczas system nie oddali siy zanadto od stanu r6wnowagi, lecz bydzie wykonywal oscylacje wok6l konfiguracji stabilnej r6wnowagi. W takim razie interesuj,! nas tylko male wartosci wsp6lrzydnych uog6lnionych qa. Ponadto, poniewaZ nasze drgania wprowadzaj,! jedynie niewielkie zaburzenia z malymi prydkosciami, waine dla nas byd,! takZe tylko male wartosci pyd6w Pa' Zakladamy, ze nasz hamiltonian jest wyraZeniem analitycznym w q i w P (zob. rozdz. 6.4, aby wyjasnic pojycie "analityczny"), a zatem moiemy go rozwin,!c w szereg potygowy w q i w p. AZeby konfiguracja r6wnowagi byla stabilna, qa = 0 musi reprezentowac (lokalne) minimum energii potencjalnej[2o.71• Ponadto, gdy uklad zostaje wprawiony w ruch, energia moie tylko wzrosn'!c (pojawia siy energia kinetyczna); energia kinetyczna rna minimum, gdy Pa = O. Zatem energia calkowitakt6ra jest wartosci,! hamiltonianu 1i - rna lokalne minimum przy qa = 0 =Pa' Wynika z tego, ie pierwsze wyrazy naszego rozwiniycia w szereg potygowy musz'! miec nastypuj,!q postac (wyrazy liniowe w zmiennych q i P nie mog,! siy pojawic): 1i = stala + 12 Qabq"qb + 12 pabp aPb
+ wyrazy wyiszego rZydu w q i p,
gdzie Qab oraz pab S,! elementami stalych, dodatnio okreslonych, symetrycznych macierzy (tzn. Qabqaqb> 0, jesli qa 0, oraz pabp aP b > 0, jesli Pa 0; zob. rozdz. 13.8). Czynniki zostaly wprowadzone dla wygody[2o.81• Chqc wyjasnic natury malych drgan, pominiemy wyrazy wyiszego rzydu. Otrzymujemy w6wczas nastypuj,!ce r6wnania Hamiltona: dq a OH &= Opa =pabpb ;
'*
t
'*
sk,!d, r6zniczkuj,!c jeszcze raz po t, d q a = ~(pabp ) = pab dpb dt 2 dt b dt 2
=
_pab OH Oqb
=
_pabQ qC be
= _Wa qC C
'
gdzie Wc = pabQbc jest iloczynem macierzowym Qab i pab (zob. rozdz. 13.3), kt6ry moie byc zapisany w postaci
W=PQ, wobec czego wynik naszych obliczen moiemy przepisac jako d2 q dt 2 =-Wq. J:i! [20.7] Dlaczego? J:i! [20.8] Czy mozesz objasnic to wszystko bardziej szczeg610wo? Czy mog,! wystypowac wyrazy liniowe, jesli mamy do czynienia z r6wnowagq chwiejnq? Wyjasnij to zagadnienie.
459
20
Lagranijany i hamiltoniany
Interesuje nas znalezienie wektor6w wlasnych macierzy W (zob. rozdz. 13.5), ktorymi s,! wektory q spelniaj,!ce rownanie
Wq =a/q, 2
gdzie w jest wartoSciq wlasnq W odpowiadaj,!c,! wektorowi q. W istocie ta wartose wlasna musi bye dodatnia, poniewaz obie macierze, P i Q, S,! dodatnio okreslone[20.91, a wiyc mozemy j,! przedstawie jako kwadrat dodatniej wielkosci w. A zatem kaZdy taki wektor wlasny q musi spelniae rownanie d2 ~=_w2q dt 2
'
ktore opisuje prosty ruch harmoniczny z cZystosci,! w/2n(20. 101. KaZdy wektor wlasny q jest zlozony ze wspolrzydnych uogolnionych qa, wobec czego drganie odpowiadaj,!ce q oznacza, ze wszystkie te wspolrzydne drgaj,! razem, z t'! sam,! czystosci'!. Nazywamy to modem nonnalnym drgan, a odpowiadaj,!ca mu wartose w/2n nosi nazwy czystosci normalnej tego modu. W najbardziej ogolnym przypadku wszystkie te cZystosci s,! rozne, ale w pewnych "zdegenerowanych" przypadkach niektore z tych cZystosci mog'! siy pokrywaCl 20.111. Zdegenerowane wartosci wlasne musimy liczye z odpowiadaj,!cymi im krotnosciami; a wiyc calkowita liczba modow normalnych jest wci,!z rowna liczbie N wspolrzydnych uogolnionych qp ... , qN' NaieZy zauwaZye, ze kazde dwa mody normalne q i r, odpowiadaj,!ce roznym czystosciom, s,! "ortogonalne" do siebie, zgodnie z "metryk'!" zdefiniowan,! przez Q, w sensie rTQr = 0[20. 121. Czego uczy nas to wszystko? Sformulowalismy niezwykle wazny i bardzo ogolny wniosek 0 tym, jak system klasyczny, maj,!CY N stopni swobody, wykonuje drgania wokol konfiguracji odpowiadaj,!cej stanowi stabilnej rownowagi. Kazde takie drganie sklada siy z modow normalnych, z ktorych kazdy naleZy traktowae jako niezalezny, obdarzony wlasn'!, charakterystyczn,! dla niego czystosci'!, a wszystkich tych modow l,!cznie jest N. W takim opisie pomijamy efekty dyssypacyjne, w wyniku ktorych w rzeczywistosci drganie ukladu makroskopowego zanika, a jego energia bydzie rozpraszana w chaotycznych ruchach skladaj,!cych siy nan cz,!stek. Kiedy jednak uwzglydniamy wszystkie cZysci skladowe ukladu (na przyklad calej cz'!steczki), wowczas dyssypacja nie wystypuje. Do tego momentu rozpatrywalismy zwykl,! sytuacjy, w ktorej liczba stopni swobody ukladu N jest skonczona, ale teoriy ty mozna zastosowae do ukladow, ktore przynajmniej traktowane jako uklady idealne - S,! nieskonczenie wymiarowe. Zna-
rm
460
[20.9] Zobacz, czy potrafisz uzasadnic ten wniosek. ffikaz6wka: pokaz, ze macierz odwrotna do macierzy dodatnio okreslonej jest dodatnio okreslona. ~ [20.10] Zobacz, czy potrafisz przeprowadzic analogicznq analiz y w formalizmie Lagrange'a. [20.11] Opisz uklad wektor6w wlasnych w przypadkach zdegenerowanych. [20.12] Udowodnij to. (Przypominamy, na podstawie rozdz. 13.7, ze "T" oznacza "transponowany".)
rm rm
Dynamika hamiltonowska jako geometria symplektyczna
20.4
my tak'! sytuacj~ i mamy z ni,! do czynienia, kiedy rozwazamy dZwi~ki wytwarzane przez instrumenty muzyczne. Gdy uderzymy w byben lub w trojk,!t, bydzie on wykonywal drgania z roznymi CZystosciami, a wszystkie te cZystosci skladaj,! siy na konkretne brzmienie. Podobnie jest z dZwi~kiem wydawanym przez jakis instrument d~ty, a jego brzmienie bydzie okreslone przez drgania slupa powietrza w nim zawartego. Analogicznie drgaj,! struny w instrumencie smyczkowym etc. Analiza fourierowska, ktor'! omawialismy w rozdz. 9, pozwala analizowae wibracje struny 0 skonczonej dlugosci. Mozemy tutaj rozwazae strun~ zamocowan'! na koncach alba na przyklad wygiyt,! w ksztalt okr~gu. Za pomoc,! analizy fourierowskiej przedstawiamy jej drgania jako kombinacj~ liniow,! modow, ktore same s,! czystymi tonami 0 formie fali sinusoidalnej lub cosinusoidalnej i ilose ich jest nieskonczona. Cz~stosci S,! tu calkowitymi wielokrotnosciami modu podstawowego. Na tym polega sztuka konstrukcji odpowiednio diwiycznego instrumentu muzycznego. Jednak w ogolnym przypadku (na przyklad bybna lub dzwonu) cz~stosci normalne nie daj,! si~ tak latwo przedstawie. W takich sytuacjach formalizm hamiltonowski lub lagranZowski moze bye uogolniony na przypadek N = 00, ale musimy zachowae ostroznose. W pewnym sensie naleiy przejse do lagranzowskiej (lub hamiltonowskiej) teorii pola, 0 ktorej wiycej powiemy w rozdz. 20.5 i ktora rna wiele zastosowan we wspolczesnej fizyce teoretyczej. W szczegolnosci wymaga tego fundamentalna teoria Przyrody, nosz,!ca nazw~ teorii strun, w ktorej cz'!stki punktowe zast,!piono malymi pytlami (albo inaczej "strunami" 0 otwartych koncach). W takiej teorii rozne pola lub cz'!stki Przyrody S,! produktem modow normalnych tych "strun" (zob. rozdz. 31.5, 7, 14). Wypada na zakonczenie zrobie jeszcze jedn,! uwag~. W tym rozdziale zajmowalismy siy drganiami wokol stanu rownowagi trwalej, ale mozna j,! zastosowae takZe do ruchow ze stanu rownowagi nietrwalej. Podstawowa roznica sprowadza si~ do tego, ze nasza symetryczna macierz rzeczywista Q nie jest dodatnio okreslona (a nawet nie jest okreslona nieujemnie), w zwi,!zku z czym macierz W = PQ moze miee ujemne wartosci wlasne. W takim przypadku male zaburzenia rosn,! wykladniczo i wyprowadzaj'! uklad ze stanu rownowagi[20.13].
20.4 Oynamika hamiltonowska jako geometria symplektyczna
Zrobmy krok wstecz, zeby przekonae si~, w jaki sposob rownania Hamiltona w przypadku skonczonej liczby wymiarow l'!cz'! si y z geometri,! symplektyczn'!. W rozdz. 14.8 pokazalismy, ze na dowolnej rozmaitosci symplektycznej mozemy zdefiniowac operacjy, ktora dzialaj,!c na pary pol skalarnych tP i If', "produkuje" inne pole skalarne e, nazywane nawiasem Poissona[20.14]
~
[20.13] Opisz to zachowanie.
~ [20.14] Pokaz, ze to wyrazenie dla {f'lJ, If'} zgadza sit( z podanym w rozdz. 14.9.
461
20
Lagranijany i hamiltoniany
Jesli w tym wyraieniu miejsce I[' zostawimy puste, to otrzymamy operator rozniczkowy {CP, }, czyli pole wektorowe (zob. rozdz. 12.3), ktorego dzialanie na I[' daje {CP, I['}. Podstawmy H w miejsce CP. Okazuje siy, ze pole wektorowe {H, } "pokazuje" w kierunku trajektorii na T* (C), ktore reprezentuj,! ewolucj~ czasowq ukladu; w istocie {H, } przedstawia ty ewolucjy zgodnie z rownaniami Hamiltona (zob. rozdz. 20.2). Jedn,! z godnych uwagi cech geometrii symplektycznej jest mozliwosc geometrycznego zakodowania ewolucji dynamicznej systemu w pojedynczej funkcji skalarnej (hamiltonianie ukladu). Geometria symplektyczna rna wiele innych zalet. Na przyklad daje nam znane twierdzenie Liouville'a, ktore glosi, ze dynamika zawsze zachowuje objytosc przestrzeni fazowej; zob. rys. 20.7. Element obj~tosciowy w przestrzeni fazowej jest 2N-form,!, I=S I\S 1\ ••• I\S, ktorej S-y wystypuj,! N razy i ktora, przypomnijmy, jest symplektyczn,! 2-form,! dan,! przez S = dp a 1\ dq" . Nietrudno sprawdzic, ze przy tej ewolucji sarno S jest zachowane (tzn. znika pochodna Liego S ze wzglydu na pole wektorowe {H, }[20.ISI. St,!d wynika, ze zachowana jest rowniei: pelna forma I. I to jest wlasnie twierdzenie Liouville'a. Poniewaz {H, H} = 0[20.161, wynika st,!d, ze sam hamiltonian jest tei: zachowany, tzn. pozostaje staly wzdluz calej trajektorii, co odzwierciedla fakt, iZ calkowita
W
Rys. 20.7. Twierdzenie Liouville'a. Strumien hamiltonianu zachowuje objt::to§c poczqtkowego obszaru przestrzeni fazowej (reprezentujqC
462
~ [20.15] Wykaz to. fa [20.16] Dlaczego?
Dynamika hamiltonowska jako geometria symplektyczna
20.4
energia ukladu zamkni~tego jest stala. Tak wiyc kai:da trajektoria leZy na (N - 1)-wymiarowej powierzchni zadanej r6wnaniem 11 == constant; zob. tys. 20.5. Moiemy teraz uwaiac, ie cala historia ukladu jest reprezentowana przez jego trajektoriy na T*(C). Przestrzen tych trajektorii dla ustalonej wartosci 11 jest (N - 2)-wymiarowa; zob. tys. 20.8. (Jeden wymiar tracimy, poniewai utrzymujemy stale 11, a drugi, poniewai "dzielimy" przez 1-wymiarowe trajektorie.) Warto podkreslic, ie powstala (N - 2)-rozmaitosc jest znowu symplektyczna. Procedura ta (nie tylko wtedy, gdy jako (/J wybieramy 11) znajduje wiele wdziycznych zastosowan w mechanice klasycznej i geometrii symplektycznej. Ten cudownie sp6jny obraz dynamiki newtonowskiej urzeka nas swoim piyknem, chociai:, jak siy tym przekonamy r6wniei w zwi¥ku z p6zniejszymi teoriami fizycznymi, nie powinnismy dac siy calkowicie urzec urodzie i pozornej kompletnosci tej tak starannie zbudowanej struktuty matematycznej. Wielokrotnie w przeszlosci Przyroda potrafila najpierw kusic nas i wprowadzac w nieledwie eufotyczny zachwyt sit,! i elegancj,! koncepcji matematycznych, jakie wydawaly siy wlasciwym kluczem do zagadek WszechSwiata, ieby potem bolesnie potrz,!sac nami i sprowadzac na ziemiy, pokazuj,!c, ie obraz, jaki sobie uksztaltowalismy, jest niezupelnie poprawny! Tak siy jednak skladalo, ie wprowadzone konieczne zmiany byly subtelne i pozwalaly, by zachowala siy poprzednia konstrukcja, pomimo ii fundamenty, na kt6tych byla wznoszona, zostaly kompletnie wymienione.
°
(2N - 2} wymiarow; zredukowana przestrzen fazowa
2N wymiar6w; przestrzen fazowa
Rys. 20.S. Przestrzen fazowa T' (C) jest 2N-wyrniarowl! rozrnaitoscil! syrnplektycznl! dla N-wymiarowej c. Dla danej wartosci energii (stale 1-£, jak na rys. 20.5) marny (2N - l)-wyrniarowy obszar zawierajl!cy (2N - 2)-wyrniarowl! rodzincr trajektorii strurnienia harniltonianu. Zredukowana przestrzen fazowa, kt6rej punkty reprezentujl! te trajektorie, sarna jest 2(N - 1)-wyrniarowl! rozrnaitoscil! syrnplektycznl!.
463
20
Lagranijany i hamiltoniany
Formalizm hamiltonowski przedstawia znakomity przyklad takiej sytuacji. Aczkolwiek mechanika klasyczna, ktor
20.5 Lagranzowskie
464
uj~cie
p61
W dyskusji lagranijanow (i hamiltonianow), jak,! jui przeprowadzilismy, rozpatrywalismy uklady newtonowskie skladaj,!ce siy ze skonczonej liczby cz'!stek i cial sztywnych. W takich ukladach liczba stopni swobody jest skonczona, wobec czego rozmaitose M przestrzeni konfiguracyjnej oraz jej wiClZka styczna T(M), jak rownid jej wiClZka kostyczna T* (M), s,! zwyklymi rozmaitosciami 0 skonczonej liczbie wymiarow. lednak formalizm lagraniowski (i hamiltonowski) S, .•. , lJf(z ktorych kaide jest funkcj,! na czasoprzestrzeni, bye moie obdarzon,! indeksami wskazuj,!cymi na jej tensorowy lub spinorowy charakter) oraz ich pochodnych Va f1>, ... , Va 'P (zwykle mamy do czynienia tylko z pierwszymi pochodnymi, ale pochodne wyi-
Lagraniowskie
uj~cie
p61
20.5
szych rz~dow s'} rowniez dozwolone). Zwrocmy uwag~, ze w takim sformulowaniu pochodne po czasie nie s'} wyroznione (podczas gdy w oryginalnym formalizmie lagranzowskim wyrozniala je kropka nad symbolem odpowiedniej wspolrz~dnej) i rownoprawne potraktowanie wszystkich wspolrz~dnych zapewnia operator Va. Dzi~ki temu takie sformulowanie zgodne jest z wymogami teorii wzgl~dnosci. W takiej sytuacji lagranzjany Sq cz~sto nazywane funkcjonalami, poniewaz bardziej istotna dla nas jest ich funkcyjna postac niz wartosci, jakie przyjmuj'} dla szczegolnych wartosci ich argumentow. W rownaniach Eulera-Lagrange'a wyst~ puj'} teraz "pochodne po polach" albo "pochodne po gradientach pol". Formalne wykonanie takich operacji jest bardzo podobne do operacji normalnego rachunku rozniczkowego, ktore omawialismy w rozdz. 6. Oczywiscie, wyst~puj'} tu rozne subtelnosci, jesli zaleiy nam na matematycznej scislosci uzyskanych rezultatow, ale fizycy zwykle malo si~ nimi przejmuj'} i wi~ksz'} wag~ przywiqzuj'} do przestrzegania formalnych procedur obliczeniowych. Nie mam zamiaru wchodzic tutaj w szczegoly, ale warto wypisac rownania Eulera-Lagrange'a w przypadku zastosowania tych "pochodnych funkcjonalnych" (pochodn'} funkcjonalnq oznaczamy literq 0 w miejscu 8):
Jak juz zaznaczylismy, pola cp , ... , 'Pmog'} rowniez miec indeksy. Praktyczne wykonywanie rozniczkowania funkcjonalnego sprowadza si~ w istocie do post~powa nia wedlug tych samych regul jak w przypadku zwyklego rachunku rozniczkowego i poslugiwania si~ "matematycznym zdrowym rozs'}dkiem" (na przyklad jesli mamy lagranzJ· an .c = cpa C/JbVa 'f'.b' wowczas 0 £/0 cpc = C/JbVc 'f'.b +a cpaVe 'P, 0 £/0 Vc cpd = 0, o£/o ~ = 0, O£/OVC IJ'ct = cpccpd). W odniesieniu do takich lagramjanow mozemy sformulowac analog zasady Hamiltona. Przypomnijmy, ze zgodnie z tq zasad'} rownania Eulera-Lagrange'a stanowi'} warunki stacjonarnosci dzialania, dzialanie zas oznacza calk~ z lagranzjanu wzdluz krzywej l'}cz'}cej dwa ustalone punkty, a i b, przestrzeni konfiguracyjnej (przypomnijmy rys. 20.3). W tej nowej, bardziej ogolnej sytuacji te ustalone punkty koncowe, a i b w C, s'} zast'}pione rozkladami pola w pewnym 3-wymiarowym obszarze (lub obszarach) czasoprzestrzeni. Cz~sto owe obszary stanowi'} 3-przestrzenne obszary A i B czasoprzestrzeni, rozpinaj'}ce t~ sam'} 2-przestrzen S (S moze znajdowac si~ w nieskonczonosci) - zob. rys. 20.9 - i taki obraz jest wainy rowniez dla kwantowej teorii pola sformulowanej w j~zyku calek po drogach. Zagadnieniem tym zajmiemy si~ nieco pozniej (rozdz. 26.6). Jesli trzeba, mozemy wybrac A i B w ten sposob, ze (odwracaj'}c orientacj~ jednego z nich) utworzq one brzeg (mozliwie zwartej - zob. rozdz. 12.6) czasoprzestrzennej 4-obj~tosci D; zob. rys. 20.10. W kazdym przypadku zasada Hamiltona wyraza stacjonarnosc calki czasoprzestrzennej z lagranzjanu po obszarze D. Tak wi~c lagranzjan .c mozemy rozumiec jako czasoprzestrzenn'}g~stosc, ktora, mowi'}c scisle, ozna-
av
465
20
Lagranijany i hamiltoniany
Rys. 20.9. Zasada Hamiltona dla lagranZjanow teorii pola. Dwa ustalone punkty koncowe, a i b na C z rys. 20.3, odpowiadajl! dwom konfiguracjom pola w 3-wymiarowych obszarach czasoprzestrzeni, A i B, tworzl!C "bl!bel" zamykajl!CY w sobie 4-obszar 'D. Mozemy sobie wyobrazie, ze A i B schodzl! si« na skonczonej 2-powierzchni S (niepokazanej na rysunku), alba mozemy wyobrazie sobie S zmierzajl!Cl! do nieskonczonosci, bye moze wzdluz przestrzennopodobnej hiperpowierzchni, na ktorej Ai B pokrywajl! si« poza obszarem 'D (t« sytuacj« ilustruje rysunek).
Rys. 20.10. Jesli chcemy, to mozemy rozpatrywae obszary A i B z rys. 20.9 jako poll!czone - ale z przeciwnl! orientacjl! (zob. rys. 12.16) - tak ze tworzl! one brzeg av (zwartej) 4-obj«tosci 'D czasoprzestrzeni. Zasada Hamiltona (rys. 20.3) wyraZa warunek stacjonarnosci S = dla danej konfiguracji pola na brzegu avo
'D
. . ,. . - . . ... : .... :. . . '.. .......... ~
,
1.ce
,"
cza, ze niezmiennikiem jest 4-forma £8, przy czym naturalna 4-forma 8 jest wielkoSci,!4 zwykle przedstawian,! w postaci 8 = dx° /\ dx1 /\ dx2 /\ dx3 ~-det gij' W takim przypadku calka dzialania jest rowna:
Rownania pol a wynikaj,! teraz z z,!dania stacjonarnosci wielkosci S wzglt(dem wariacji wszystkich zmiennych (a wit(c jest to analogon linii geodezyjnej; zob. rys. 20.3), co oznacza znikanie pochodnej wariacyjnej £ ze wzglt(du na wszystkie pola i ich pochodne. Warunek ten zapisujemy w postaci
oS=O. S jest wielkosci,! centraln'! dla funkcjonalnego sformulowania kwantowej teorii pola, do ktorej przejdziemy w rozdz. 26.6.
20.6 Rola lagrani:janu we wsp61czesnej teorii
466
Teoria lagraniowska (podobnie jak teoria hamiltonowska) odgrywa ogromnie wain,! rolt( we wspolczesnej fizyce i znajduje zastosowanie w wielu jej dziedzinach. Istnieje na przyklad wazne twierdzenie, znane pod nazw'! twierdzenia N6ther, ktore mowi, ze jesli zwykly lagranijan ma jak,!s symetrit( ci,!gl,! (gladk'!), wowczas istnieje prawo zachowania z t'! symetri'! zwi,!zane. W szczegolnosci jesli lagranzjan jest
Rola lagranijanu we wspolczesnej teorii
20.6
niezmienniczy wzglydem translacji w czasie (tzn. jest niezalezny od czasu), wowczas zachowana jest energia; jdli jest niezmienniczy wobec jakiejs translacji przestrzennej, wowczas zachowany jest odpowiedni p~d. Nastypnie, jesli mamy do czynienia z niezmienniczosci,! wzglydem obrotu wokol okreslonej osi, wtedy istnieje prawo zachowania zwi(!Zanego z ni,! momentu p~du. Takich symetrii oczekujemy w przypadku ukladow izolowanych w plaskiej czasoprzestrzeni. Jesli wspolrzl(dne wybierzemy w taki sposob, ze konkretna symetria lagranzjanu przejawia sil( w jego niezaleznosci od jakiejs uogolnionej wspolrzydnej "polozenia" qr' wowczas zachowan'! wielkosci,! bl(dzie "pl(d kanonicznie sprzyzony" z t'! wspolrzydn,!, mianowicie Pr' Definicjl( tego pl(du podaje przepis w rozdz. 20.2: Pr = 80i]'. W takim przypadku z rownan Eulera-Lagrange'a natychmiast wynika, ze Pr jest rzeczywiscie wielkosci,! stal'! w czasie[20. 171. Procedurl( tl( mozemy uogolnic na przypadek lagranzjanow, ktore s,! funkcjonalami pol. Na przyklad jesli mamy do czynienia z "niezmienniczosci,! cechowania", wowczas spodziewamy sil(, ze znajdziemy odpowiedni "zachowany ladunek" (np. ladunek elektryczny w przypadku elektromagnetycznej niezmienniczosci cechowania p~ e i9 p). Jednak w takich sytuacjach pojawiaj,! sil( komplikacje. Na przyklad nie wiadomo, jak zastosowac te koncepcje, aby otrzymac zachowanie energii-pl(du w ogolnej teorH wzglydnosci i, scisle bior,!c, ta metoda w tym przypadku zawodzi. Nasuwaj,!c,! siy analogi,! grawitacyjn,! symetrii cechowania P a e i8 P jest "niezmienniczosc wzgll(dem ogolnego przeksztaicenia wspolrzydnych" (albowiem wystl(puje ona w ogolnej teorii wzglydnosci, dziyki temu, ze wszystkie jej rownania maj,! postacwyrazen tensorowych), ale twierdzenie Nother tutaj nie dziala i prowadzi do wyniku typu ,,0 = 0". Wydaje siy, ze w przypadku ogolnej teorii wzgll(dnosci potrzebne jest jakies inne podejscie, niezaleznie od wszystkich korzysci, jakie daje nam twierdzenie Nother w innych sytuacjach, wl,!czaj,!c w to imponuj,!ce analogie w teorii kwantowej, 0 czym powiemy w rozdz. 21.1. Aby stwierdzic, gdzie jest zrodlo ograniczen twierdzenia Nother w teorii grawitacji, zwrocmy uwagy, ze powainy znak zapytania naleiy postawic przy zagadnieniu momentu w pydu w ogolnej teorii wzgll(dnosci, nawet w przypadku czasoprzestrzeni asymptotycznie plaskich5 • Teoril( Einsteina mozna z pewnosci,! wyprowadzic w podejsciu lagramowskim i pierwszy dokonal tego niezwykle wszechstronny i plodny matematyk David Hilbert (1915). Lagramjan teorii grawitacji Hilbertajest, w zasadzie, skalarn,! krzywizn,! R, podzielon,! przez stal'! -161tG, przeksztaicon,! w forml( gl(stosci (albo 4-formy) przez pomnozenie jej przez naturaln,! 4-forml( e z rozdz. 20.5. Wielkosc tl( naleiy dodac do lagranzjanu materii £, w wyniku czego otrzymujemy dla dzialania calkowitego wyrazenie:
s= 1(£-_1 161tG
fa [20.17] Wyjasnij dlaczego.
R)e. 467
20
Lagranijany i hamiltoniany
Gdy Hilbert zasugerowal t~ postae dzialania, byl zafascynowany 6wczesnie bardzo popularnq, teoriq, materii, mianowicie teoriq Mie, i sformulowal swojq, grawitacyjnq, zasad~ dzialania tylko dla przypadku, gdy lagranzjan materii byl odpowiedni dla teorii Mie. Wydaje si~, ze Hilbert wierzyl, iz jego lagranzjan calkowity byl tak bogaty, ze moglismy z niego otrzymae to, co dzisiaj nazywamy "teoriq, wszystkiego". Bylo to w 1915 roku. Kto dzisiaj w og6le pami~ta teori~ Mie? Aczkolwiek teoria Mie byla pewnym odejsciem od teorii Maxwella, to lagranzjan odpowiedni dla standardowej teorii Maxwella byl znany juz wiele lat wczesnie/= LEM
468
=
-tPab
pab .
Zeby mozna bylo to wykorzystae, musimy si~ upewnie, ze ten lagranzjan jest wyrazony przez potencjal elektromagnetyczny Aa. Kiedy wyst~pujq, tez pola naladowane, w6wczas konieczne sq, wyrazy dodatkowe reprezentujq,ce oddzialywanie, i te wyrazy r6wniez wprowadzajq,Aa. Wreszcie cale wyrazenie musi bye tak skonstruowane, zeby bylo niezmiennicze wzglerdem transformacji cechowania. Kiedy chcemy w1'lczye w to wszystko grawitacjer, musimy jeszcze uwzglerdnie "niezmienniczose cechowania" odpowiedniq, dla teorii grawitacji, a mianowicie niezmienniczose wzglerdem zmiany ukladu wsp61rzerdnych. Zwykle radzimy sobie z tym w ten spos6b, ze zapisujemy wszystkie wyraZenia w postaci tensorowej (albo zgodnie z jakq,s innq, niezmienniczq, procedurq,lub w odpowiednim formalizmie spinorowym). We wsp6lczesnych pr6bach budowania fundamentalnych teorii fizycznych, gdy pojawia sier propozycja nowej teorii, niemal konieczne staje si~ zaproponowanie jakiejs postaci funkcjonalu Lagrange'a. Takie podejscie rna wiele zalet, na przyklad dzi~ki niemu istnieje szansa (ale nie absolutna pewnose), ze powstala teoria b~dzie miala niezberdnq, sp6jnose i wlasnosci niezmienniczosci oraz impiicite zawartq, jakq,s postae "trzeciej zasady Newtona" (w tym sensie, ze jesli dwa pola oddzialuj'l na siebie, to oddzialywanie jest wzajemne: jesli jedno z nich dziala na drugie, to drugie, wzajemnie, dziala na pierwsze). Ponadto lagranzjany maj'l ter przyjemnq, cech~, ze jesli zachodzi potrzeba wprowadzenia jakiegos nowego pola, w6wczas jego wklad, w postaci odpowiednich wyraz6w oddzialywania, mozna po prostu dodae do lagranzjanu, kt6ry mielismy przedtem. Bye moze jeszcze wazniejsze jest to, ze zdobylismy bezposredni spos6b sformulowania teorii kwantowej za pomocq, formalizmu calek po drogach, 0 kt6rym wspominalem wczesniej i do kt6rego przejdziemy w rozdz. 26.6. Pomimo tych wszystkich zalet muszer sier przyznae, ze mam pewne opory z uznaniem formalizmu lagranzowskiego za podejscie fundamentalne. Mam nawet klopot ze sformulowaniem przyczyny mojego niepokoju, ale rna to cos wsp61nego z og6lnosciq, podejscia lagranzowskiego, kt6ra jest tak wielka, ze nie daje wielu wskaz6wek odnosnie do tego, jak znaleze poprawne teorie. R6wniez sam wyb6r lagranzjanu nie jest jednoznaczny, czersto rna on postae dosye wymyslnq" do tego stopnia, ze wydaje si~ zbyt skomplikowany. Takie podejscie dalekie jest od bezposredniego fizycznego zrozumienia, szczeg6lnie w przypadku lagranzjan6w
Przypisy
teorii pola. Nawet lagranzjan swobodnej teorii Maxwella, iF.b Pb , nie rna oczywistego znaczenia fizycznego (wielkosc ta stanowi roznicy pomiydzy kwadratami dlugosci 3-wymiarowych wektorow pola elektrycznego i magnetycznegol20.181. Co wiycej, "lagranzjan Maxwella" nie moze sluZyc jako lagranzjan, dopoki nie wyrazimy go przez skladowe potencjalu, chociaz wartosci potencjalu nie Sq wielkosciami bezposrednio obserwowalnymi. W przypadku teorii grawitacji (inaczej niZ w przypadku teorii elektromagnetyzmu) lagramjan dla swobodnej teorii Einsteina znika identycznie, gdy spelnione jest rownanie pola (poniewaZ Rab - gab R = 0). I znowu, R nie moze sluZyc jako lagranzjan, dopoki nie wyrazimy go przez pewne wielkosci (zwykle Sq to skladowe tensora metrycznego w jakims ukladzie wspolrzydnych), ktore nie Sq na ogol niezmiennicze. W wiykszosci sytuacji sarna gystosc lagranzjanu nie rna wyraznego znaczenia fizycznego; ponadto istnieje wiele lagranzjanow, ktore prowadzq do tych samych rownan pola. Lagranzjany pol stanowiq niewqtpliwie niezwykle uZyteczne narzydzie matematyczne i umozliwiajq jawne zapisanie wielu sugestii dla teorii fizycznych. 1h1dno mi jednak zgodzic siy ze zbyt wielkimi nadziejami, jakie Sq w nich pokladane w naszych poszukiwaniach pelniejszych i bardziej fundamentalnych teorii. Moje obawy majq zwiqzek z zagadnieniami kwantowej teorii pola, do ktorej przejdziemyw rozdz. 26.6. Ale na razie dosyc 0 tym.
t
t
Przypisy Rozdzial 20.1 Bardziej og6lne typy lagranzjan6w (dla uklad6w nienewtonowskich) mogq wprowadzac wyzsze pochodne i Sq zdefiniowane na tak zwanych "wiqzkach dzet6w" C, ale nie musimy siy nimi tutaj przejmowac. 2 W tym ujyciu dokonujy pewnego uproszczenia og6lnej dyskusji lagranzjan6w, ograniczajqc siy do rozwaZenia system6w, kt6re nazywamy holonomicznymi. W przypadk6w uklad6w nieholonomicznych nie mamy do dyspozycji tylu prydkosci, ile wystypuje wsp61rzydnych uog6lnionych. Dobrym przykladem takiego ukladu nieholonomicznego jest obrycz poruszajqca siy po poziomej plaszczyinie, ale poddana wiyzom, kt6re unieP'lOzliwiajq poslizg, tak ze punkt na jej obwodzie, stykajqcy siy z plaszczyznq, moze poruszac siy tylko w kierunku wskazanym przez stycznq do niej i wylqcznie ruchem obrotowym. W6wczas potrzebujemy dw6ch wsp61rzydnych uog6lnionych do opisu polozenia punktu styku, ale mamy do dyspozycji tylko jednq prydkosc. Mozna uwazac, ze jesli rozwazamy uklad na fundamentalnym poziomie opisu, to taka nieholonomicznosc nie powinna siy pojawic. W przypadku naszej obryczy nalozone wiyzy Sq idealizacjq, kt6ra powoduje, ze obrycz nie moze slizgac siy po powierzchni. Gdy tylko dopuscimy mozliwosc niewielkiego poslizgu, w6wczas system stanie siy holonomiczny. 3 Dla uproszczenia zapisu rozwazam tutaj przypadek lagranzjanu, kt6ry nie zalei;y jawnie od czasu. Mozemy jednak latwo wprowadzic zalezne od czasu sily zewnytrzne, dodajqc po prostu "wsp61rzydnq uog6lnionq" l = t i wielkosc formalnq il, przyjmujqcq wartosc 1. 1
f'O [20.18] Pokaz to.
469
20
Lagranijany i hamiltoniany Rozdzial20.5 4
Mozemy inaczej wyspecyfikowac 6, m6wi(!c, ze jest to wie1kosc, kt6rej skladowa f0123 w 10ka1nym, prawoskrytnym ukladzie spelnia warunek f0123 = 1 (rozdz. 19.2). [~]-tensor 6 jest wyznaczony z doktadnosci(! do znaku przez metryky re1acj(! fabcdfpqrsgaPgbqgcrgds = -24, a wyb6r znaku 6 okres1a orientacj~ objytosci czasoprzestrzeni[2019J•
Rozdzial 20.6 5 6
Zob. Penrose (1982); Penrose, Rind1er (1986); Winicour (1980); Rizzi (1998). Zob. Pais (1986), s. 342 i przypisy 46,47,48 na s. 357.
m [20.19] Pokaz, ze ten przepis jest r6wnowazny podanemu w tekscie g16wnym.
21 Czqstka kvvantovva 21.1 Zmienne nieprzemienne MOZLIWE, ze wit(kszose fizykow bylaby sklonna uwaiae zmiany, ktorych w naszym obrazie swiat a dokonala mechanika kwantowa, za duzo bardziej rewolucyjne niz koncepcja niezwyklej, zakrzywionej czasoprzestrzeni ogolnej teorii wzglt(dnosci Einsteina. W tym i dwu nastt(pnych rozdzialach przekonamy sit(, ze podane za posrednictwem teorii kwantowej informacje 0 rzeczywistosci na poziomie submikroskopowym atomow lub cZqstek elementarnych Sq tak odlegle od naszych klasycznych wyobrazen, ze moglyby nas sklaniae do calkowitego wrt(cz odrzucenia obrazu kwantowego. Faktycznie, wielu fizykow chyba iywi powaine wqtpliwosci co do samego istnienia "prawdziwej rzeczywistosci" w skali kwantowej i mechanikt( kwantowl! traktuje jedynie jako wygodny formalizm matematyczny do uzyskania odpowiedzi na nurtujl!ce ich pytania. (W rozdz. 29 zajmt( sit( bardziej szczegolowo tym kontrowersyjnym problem em "kwantowej rzeczywistosci".) Niezaleznie od wszystkich zastrzei:en i wqtpliwosci jest godne uwagi, jak wiele z procedur formalizmu lagranzowskiego/hamiltonowskiego, przedstawionych w rozdz. 20 - tej zwartej i calkowicie klasycznej konstrukcji, jaka wyrosla z siedemnastowiecznej mechaniki Newtona - zapewnia podstawowy budulec teorii kwantowomechanicznej. Oczywiscie, formalizm matematyczny wymaga wielu zmian, w przeciwnym razie nowa teoria bylaby po prostu kopiq starej. Ale sprawia to wrazenie, jak gdyby ow formalizm oparty na schemacie newtonowskim czekal po prostu na pojawienie sit( mechaniki kwantowej, a poszczegolne cZt(sci tej maszynerii, odpowiednie pod wzglt(dem ksztaltu i rozmiarow, przygotowane byly do wstawienia w ich miejsce nowych skladnikow kwantowych. Kluczowym elementem, ktory to umozliwil, okazala sit( pewna zadziwiajqca wlasnose aparatu matematycznego, zauwaiona pod koniec XIX wieku przez niezwykle pomyslowego iniyniera i fizyka, 0 ktorym juz wspominalismy w rozdz. 6.1, Olivera Heaviside'a (1850-1925). Obserwacja Heaviside'a sprowadzala sit( w zasadzie do tego, ze operatory rozniczkowe mogq bye czasem traktowane dokladnie tak jak zwykle liczby, i fakt ten cZt(sto jest wykorzystywany przy rozwil!zywaniu pewnego typu rownan rozniczkowych. Rozwazmy to na przykladzie rownania rozniczkowego 1
21
Czqstka kwantowa
(znaczenie tych symboli wyjasniono w rozdz. 6.3). Chcemy znaleic funkcjy y = y(x), spelniaj,!C'! to r6wnanie. Metoda Heaviside'a pol ega na tym, zeby traktowac operator d/dx tak, jakby to byla zwykla liczba. Aby ta procedura wygl,!dala "bardziej prawdopodobnie", zast,!pmy ten operator jedn,! liter,! D
D=~. dx
Teraz wielkosc reprezentowana przez D2 oznacza dwukrotne r6zniczkowanie, d 2/dx2 = (d/dx)2, a wiyc operator drugiej pochodnej; wielkosc D3 oznacza trzeci,! pochodn,! d 3/dx3 etc. Nasze r6wnanie zapisujemy w postaciy + D2y =x5 i przedstawiamy takZe jako Takie r6wnanie mozemy teraz "rozwi,!zac" formalnie, dziel,!c obie strony przez 1 + D2 i zapisuj,!c odpowiedz jako y = (1 + D2tlr. Czynnik (1 + D 2t l mozemy rozwin,!c w szereg w D i otrzymac:
y = (1-D2 +D4 _D6 + ... )r. (Przypomnijmy sobie, ze szereg taki rozpatrywalismy juZ w rozdz. 4.3, gdzie w miejscuDwystltPowalox). Pamiytaj,!c (rozdz. 6.5), zeDx5 = 5x 4 ,DY =20x\ DV =60~, DY = 120~, D 5r = 120, D6r = 0 etc., znajdujemy (dokladne!) rozwi,!zanie szczeg6Ine[21.1],[21.2],[21.3]
y
=r - 20~ + 120x.
Jdli zachowa siy ostroznosc w stosowaniu odpowiednich regul, ta procedura formaina moze miec walor pelnej scislosci, chociaZ sam Heaviside na pocz'!tku spotkal silt z bardzo zdecydowan,! opozycj,!! Aczkolwiek wielkosc D (= d/dx) moze byc traktowana (odpowiednio starannie) algebraicznie tak jak zwykla liczba, to musimy zachowac szczeg6ln'! ostroznosc tam, gdzie operatory D i zmienne x wystypuj,! obok siebie, poniewaZ wieIkosci te nie s,! przemienne. Musimy wyobrazic sobie, ze zar6wnox, jak i D dzialaj,! na pewn'! niewidoczn,! funkcjy z prawej strony, powiedzmy lJ'(x). Operator x po pro-
In [21.1] Pokai, i.e (1 + D2) cosx = 0 i (1 + D2) sinx = 0 (postugujqC siy, jesii trzeba, wzorami
472
z rozdz. 6.5). jl! [21.2] Majqc na uwadze ewiczenie [21.1], znajdi og6lne rozwiqzanie rownania (1 + D2)y =x5 , podajqc dowod, i.e uzyskane rozwiqzanie jest rzeczywiscie najbardziej ogolne. 1m [21.3] Sprawdi, czy potrafisz wyjasnic, dlaczego procedura podana w tekscie pomija wiykszosc rozwiqzaft podanych w ewiczeniu [21.2]. Czy jestes w stanie zaproponowac zmodyfikowanq procedury ogoInq, ktora pozwaia znaleic wszystkie rozwiqzania? Wskaz6wka: do jakiego stopnia szereg 1 - D2 + D4 - D6 + ... rzeczywiscie spetnia wymagania dia operatora odwrotnego do 1 + D2? Sprobuj podziatac na (1 + D2) cos x tym szeregiem nieskonczonym.
Zmienne nieprzemienne
21.1
stu mnoZy to, co stoi po jego prawej stronie, przez x, podczas gdy D r6zniczkuje to ze wzglydu na zmiennq x. W ten spos6b otrzymujemy relacjfi komutacji
Dx-xD = 1. Dlaczego takjest? Przypomnijmy sobie "wz6r Leibniza" z rozdz. 6.5, zgodnie z kt6rym D(XljJ) = D(x)'I/J + xD ('I/J) , a wiyc D(X'I/J) -xD('I/J) = D(x)'I/J. Ale to jest po prostu relacja (Dx - xD)'I/J = 1'I/J, jesli pamiytamy, ze D(x) = 1 (tzn. ze wynik operacji D w dzialaniu na x wynosi 1). A wiyc otrzymalismy podanq relacjy w dzialaniu na dowolnq funkcjy 'I/J = 'I/J(x) po prawej. Uog6lnijmy to na przypadekwielu zmiennychx1, ... ,x!' i odpowiadajqcych im operator6w Dl = a/EJx\,.., DN = a/ax:N (teraz Sq to operatory pochodnych cZqstkowych i naleZy takZe pamiytac, ze x!' oznacza N-tq wsp6lrzydnq, a nie N-tq potygy x), gdzie "niewidoczna" funkcja po prawej stronie jest teraz funkcjq wszystkich tych zmiennych: 'I/J = 'I/J(x\,.., x!'). W ten spos6b otrzymujemy relacje komutacji
Dbxa -xaDb=
8:
8:.
(Przypomnijmy sobie delty Kroneckera z rozdz. 13.3; po dane wyrazenie obejmuje zar6wno poprzedni komutator, gdzie a = b, jak i fakt, ze xi D komutujq[21.4 l , gdy a *- b.) Mozemy uwazac, ze wsp6lrzydne x a Sq zwyklymi wsp6lrzydnymi przestrzennymi lub czasoprzestrzennymi w przestrzeni plaskiej, ale mozemy tei wyobrazic sobie, ze Sq to wsp6lrzydne uog6lnione formalizmu Lagrange'a lub Hamiltona. Trzeba jednak uwaiac, bo pojawiajq siy powazne trudnosci, jesli te uog6lnienia posuniemy za daleko. Dlatego na razie lepiej bydzie zaloZyc, ze mamy do czynienia zplaskq N-przestrzeniq EN (niekoniecznie tylko 3-lub 4-wymiarowq). W6wczas operatory Dl"'" DN przedstawiajq translacje infinitezymalne w przestrzeni EN w kierunkach odpowiednich osi (rys. 21.1), a kazdy z nich wyraia niezaleznq symetriy afinicznej przestrzeni EN. Przypomnijmy, ze na podstawie twierdzenia N6ther (rozdz. 20.6) istnieje scisly zwiqzek miydzy tymi symetriami a zachowaniem Pfidu: jesli lagranzjan jest niezmienniczy wzglydem translacji przestrzennej w pewnym kierunku, w6wczas pyd
Rys. 21.1. W (afinicznej) euklidesowej N-przestrzeni EN istnieje N niezaleznych symetrii translacyjnych generowanych przez operatory (pola wektorowe) D J = 8/ax\ Dz = 8/axz, ... , DN = 8/axN, speiniaj1!ce relacje komutacji DbX' - X'Db = z odpowiednimi wsp6lrzcednymi kartezjaiiskimi xl, XV. (Zilustrowany jest przypadek N = 3).
8:
r,oo.,
fa [21.4] Dlaczego?
473
21
Czqstka kwantowa
w tym kierunku jest zachowany. Jest to fakt satysfakcjonuj,!cy, wazny i w pelni zrozumialy matematycznie. Mechanika kwantowa prowadzi do podobnych wniosk6w, ale ich matematyczny sens nie jest r6wnie klarowny. W istocie, z matematycznego punktu widzenia, wygl,!da to na jakis nonsens! Co prawda, przyznae wypada, ze ty dziwn,! kwantowomechaniczn'! procedury cechuje niew'!tpliwa elegancja matematyczna, poniewaz w mechanice kwantowej pyd zwi,!zany z t'! symetri,! zostal zachowany i utoisamiony z operatorem r6zniczkowym, kt6ry generuje ty szczeg6ln'! symetriy!
21.2 Hamiltoniany mechaniki kwantowej W jaki spos6b pyd moze bye utozsamiony z operatorem r6zniczkowym? To naprawdy brzmi absurdalnie! Dla scislosci: trzeba tu jeszcze uwzglydnie czynnik Ii (jest to wprowadzona przez Diraca wersja stalej Plancka, a mianowicie h/2n, gdzie h jest oryginaln,! stat'! Plancka; zob. dalej) oraz liczby urojon,! "i". W ten spos6b tworzymy ty absurdalnie wygl,!daj,!C'! definicjy Pa = iliDa' czyli
. a
Pa = Iii ax a '
dla pydu zwi,!zanego z xa. Tak oto dochodzimy do prawa przemiennosci, zwanego kanonicznq relacjq komutacji, wi,!z,!c,! potozenie i pyd PbX a -XaP b =
0:.
Co mamy pocz'!e z tym dziwacznie wygl,!daj,!cym pydem-operatorem? Rola tego "pydu kwantowomechanicznego", iii a/ax a , polega na tym, ze wstawiamy go do hamiltonianu H(P1, ... ,PN ; x\ ... ,:I') w miejsce starych, klasycznych pyd6w. To klucz do procedury znanej jako kwantyzacja (kanoniczna). Nie przejmujemy siy na razie problemami teorii wzglydnosci, dlatego pydy, 0 kt6rych tutaj m6wimy, to rzeczywiscie pydy przestrzenne2, a nie energia. Nasza przestrzen ]EN jest r6wniei: duzo wiyksza niz przestrzen 3-wymiarowa, poniewaz trzeba uwzglydnie wiele cz'!stek i innych struktur. Ale w zgodzie z og6ln,! dyskusj,! rozdz. 20 rozpatrywane hamiltoniany nie byd,! w jawny spos6b zalezaly od czasu3• W zwyklej interpretacji tych wsp61rzydnych x a przyjmujemy, ze przedstawiaj,! one polozenia pewnej liczby cz'!stek (albo ze s,! to jakies inne odpowiednie parametry). W tym rozdziale ograniczy siy, w szczeg61ach, tylko do mechaniki kwantowej pojedynczej cz,!stki, ale warto przygotowae og6lny formalizm, stosowny do opisu uklad6w wielu cz'!stek, kt6ry rozpatrzymy w rozdz. 23. W szczeg6lnosci okazuje siy, ze w przypadku pojedynczej cz'!stki mamy do czynienia z wyrain,! symetri,! relatywistyczn'! miydzy skladow,! czasow'! XO a jej skladowymi przestrzennymi Xl, Niebawem przekonamy siy, jakie to waine dla zdefiniowania ewolucji czasowej w mechanice kwantowej. Procedury kwantowania (kanonicznego), szczeg6lnie w przypadku wielu cz,!stek, daj,! nam zas przepisy nierelatywistyczne, w kt6rych zupelnie inaczej traktujemy aspekty przestrzenne i czasowe problem6w fizycznych.
r. 474
iii
r,
Hamiltoniany mechaniki kwantowej
21.2
Przyjrzyjmy siy prostemu przypadkowi hamiltonianu kwantowego, aby zobaczye, jak realizujq siy te szalone pomysly. Rozwazmy przypadek pojedynczej CZqstki newtonowskiej 0 masie m, poruszajqcej siy w polu zewnytrznym zadanym przez funkcjy energii potencjalnej zaleznej od polozenia: V = V (x, y, z). W rozdz. 20.2 poznalismy klasyczny hamiltonian opisujqcy ten przypadek: H = (p~ +P~ + p~ )/2m + V(x, y, z) gdzie Px' Py i Pz Sq pydami przestrzennymi w kierunku osi kartezjanskich x, y i z. Hamiltonian kwantowy (kanonicznie skwantowany) bydzie teraz nastypujqcy: 1t =
P; + P~ + P; 2m
2
li 2 + V(x,y,z) = --V + V(x,y,z), 2m
gdzie V2 = (8/&)2 + (8/By)2 + (8/az)2 (co oznacza &/&2 + &/By2 + 82/8r) jest laplasjanem (jak rozwazany w rozdz. 10.5, ale teraz jest to przypadek 3-wymiarowy). J ak dotqd, w tym przypadku wszystko idzie gladko (tylko dokqd? - musimy uzbroie siy w cierpliwose, przynajmniej do nastypnego rozdzialu!). W ogolnym przypadku jednak zastqpienie w hamiltonianie pydow klasycznych kwantowymi moze nie bye procedurq jednoznacznq, glownie ze wzglydu na niekomutatywnose miydzy kwantowomechanicznymp a odpowiadajqcym mux. Na przyklad gdyw klasycznym hamiltonianie pojawia siy czlon bydqcy iloczynem px, to nie jest jasne, czy w hamiltonianie kwantowym ten iloczyn powinien wystqpie jako px czy xp, a moze jako t(Px + xp) alba jako jedna z wielu innych mozliwosci. Ten rodzaj dwuznacznosci nazywany jest problemem uporzqdkowania czynnikow. W wielu praktycznych sytuacjach owa niejednoznacznose nie jest powazna, poniewaZ cZysto wybor jest dose "oczywisty". Wybor ten moze bye podyktowany przez jakqs ogolnq zasady, takq jak wymog niezmienniczosci wzglydem jakiejs symetrii, alba przez jakies fizyczne lub matematyczne bqdz estetyczne wymogi. Moze tez bye tak, ze rozne alternatywne rozwiqzania prowadzq do rownowaznych teorii kwantowych. Mimo to fakt, ze takie niejednoznacznosci w ogole wystypujq, mowi nam, iZ proces "kwantyzacji" jakiejs klasycznej teorii moze bye czasami zwiqzany z powaznym problemem wyboru. Istnieje tez problem zwiqzany z "ogolnosciq" wyboru wspolrzydnych Xl, • .• , X'. Przypomnijmy, ze w rozdz. 20.1, 2 zgodzilismy siy na zupelnq swobody w wyborze wspolrzydnych uogolnionych ql, ... , cf w przestrzeni konfiguracyjnej C. Mozemy wiyc zapytae: czy mamy takq samq swobody, gdy przechodzimy do teorii kwantowej? Jesli chcemy kwantowae klasyczne pydy Pa' kanonicznie sprzyzone z if w taki sposob, ze zastqpimy je przez - ili8/aqa, to odpowiedz na to pytanie brzmi "nie". Sprawa jest bardzo delikatna i prowadzi nas do fascynujqcego zagadnienia kwantyzacji geometryczne/. Ma to szczegolne znaczenie w zwiqzku z ogolnq teoriq wzglydnosci, zarowno przy propozycji "kwantowania pol a grawitacyjnego", jak i przy dyskusji pol kwantowych w zakrzywionej czasoprzestrzeni. (Do problemu teorii kwantow w zakrzywionej przestrzeni powrocy w rozdz. 30.4.) Istnieje wiele sytuacji standardowych, w ktorych mozemy poslugiwae siy wspolrzydnymi znacznie bardziej ogolnymi niz wspolrzydne plaskie, pod warunkiem ze zachowujemy
475
21
Czqstka kwantowa
niezbydnq ostroznose. W szczegolnosci uZyteczne Sq wspolrzydne kqtowe, w kt6rych odpowiednimi pydami kanonicznie sprzyzonymi Sq momenty pydu. Zagadnieniem momentu pydu zajmiemy siy p6Zniej (rozdz. 22.8; a w rozdz. 22.12 w przypadku relatywistycznym).
21.3 R6wnanie Schrodingera Pominmy na razie kwestie uporzqdkowania czynnikow, wspolrzydnych uogolnionych etc. i wezmy pod uwagy jakis hamiltonian kwantowomechaniczny, ktory spelnia wszystkie wymagania. Do czego sluZy i jaki z niego wynika pOZytek? Stanowi on zasadniczy element rownania najzupelniej fundamentalnego do zrozumienia procesu ewolucji w czasie ukladu kwantowego, znanego pod naZWq r6wnania Schrodingera. Postae tego rownania jest faktycznie zdeterminowana przez reguly, jakie uprzednio sformulowalismy. Jak to siy dzieje? Najpierw musimy uwidocznie "niewidzialnq" funkcjy 'ljJ, ktorej istnienia domyslalismy siy po prawej stronie naszych relacji komutacji. Hamiltonian jest teraz operatorem ze wzglydu na wszystkie te a/ax i dlatego potrzebuje czegos, na co moglby dzialae i co powinno pojawie siy po jego prawej stronie. Poniewaz rownanie Schrodingera rna bye r6wnaniem ewolucji w czasie, a wiyc 'ljJ rna siy zmieniae w czasie, ta funkcja powinna bye funkcjq czasu i zmiennych przestrzennych: 'ljJ = 'ljJ(x\ ... , XV; t).
Funkcja ta nie moze zalezee od pydow Pa' poniewaZ nie mogq one bye uznane za "zmienne niezalezne", ale Sq jedynie operatorami rozniczkowania ze wzglydu na zmienne r. Takq funkcjy nazywamy funkcjq falowq. Opisuje ona stan kwantowy ukladu. Jej fizyczne znaczenie poznamy w stosownym momencie. Jak w tym wszystkim brae pod uwagy rozniczkowanie ze wzglydu na czas? W tym wlasnie miejscu pojawia siy niezwykla idea Schrodingera zakladajqca ewolucjy w czasie. Przypomnijmy sobie z rozdz. 20.2, ze (klasyczny, niezaleZny od czasu) hamiltonian przedstawia energiy calkowitq ukladu. Zwrocilismy tez uwagy na fakt (w rozdz. 21.2), ze jesli nasza kwantowa teoria rna bye zgodna z wymogami fizyki relatywistycznej, to regula kwantowaP a = ilia/iJx a (w przypadku pojedynczej czqstki) powinna bye rozciqgniyta rowniez na skladowq a = 0, a nie ograniczae siy tylko do skladowych przestrzennych (zob. rozdz. 18.7). Zgodnie z tym, w procedurze kwantyzacji energia powinna bye zastqpiona rozniczkowaniem wzglydem czasu (E = ilia/at). I rownanie Schrodingera jest wlasnie wyrazeniem tej "kwantowej roli" energii calkowitej, jakq reprezentuje hamiltonian:
iii 8'ljJ at gdzie
476
= 1i'ljJ,
R6wnanie SchrOdingera
21.3
Poslugujqc siy jako prostym przykladem hamiltonianem kwantowym podanym w rozdz. 21.2, mozemy napisac r6wnanie Schr6dingera dla pojedynczej cZqstki o masie m, poruszajqcej siy w polu zewnytrznym, kt6rego wklad do energii wynosi
V = V(x,y,
z)lZI.5 l,IZI.6 l : 2
'Ii iJIjJ
1
fi = -
li V21jJ+ V 1jJ. 2m
Oczywiscie, cale to zastypowanie pyd6w i energii operatorami r6zniczkowymi robi wraienie niepotrzebnej matematycznej zonglerki i mamy prawo zapytac, co takie zabawy majq wsp61nego z pydem przekazywanym przez piysc boksera lub zamach gracza w golfa, Mechanika kwantowa odpowiada na to pytanie, ze wszystko znakomicie siy ze sobq wiqze, Kluczem do zrozumienia pydu jest to, ze jest zachowany, i skutek, jaki wywiera uderzenie, jest po prostu wynikiem tego prawa zachowania, Pyd musi zostac gdzies przekazany, nie moze po prostu zniknqc, gdyz obowiqzuje prawo zachowania. I to sarno odnosi siy do energii. Sceptyczny czytelnik moze nadal twierdzic, ze przeciez mielismy juz prawo zachowania pydu i energii w klasycznej teorii Hamiltona, po c6z wiyc ta dziwna identyfikacja miydzy wielkosciq fizycznq a rozczlonkowanym operatorem r6zniczkowymI21.7l? Pr6ba odpowiedzi na to pytanie wymaga odwolania siy do eksperymentu. (Bez tego takie dziwaczne konstrukcje z pewnosciq nie mialyby zadnego sensu!) Nie chcy w tym miejscu zaglybiac siy w szczeg6ly, mogy tylko zapewnic, ze dysponujemy licznymi dowodami doswiadczalnymi na to, ze istnieje bezposredni zwiqzek miydzy cZystosciami a energiq oraz miydzy liczbq falowq (odwrotnosciq dlugosci fali) a pydem; co wiycej, okazuje siy, ze te zwiqzki majq charakter uniwersalny i wystypujq we wszystkich zjawiskach. W rozdz, 21.5 poznamy blizej zwiqzek pydu zPa = ilia/ax a. Najpierw jednak przyjrzyjmy siy powodom eksperymentalnym, kt6re pozwalajq wierzyc, ze energia i pyd Sq rzeczywiscie zwiqzane z pojyciami charakteryzujqcymi ruch falowy.
n
[21.5] Rozwi,ri to rownanie Schr6dingera explicite w przypadku cZ'lstki 0 masie m w stalym newtonowskim polu grawitacyjnym V = mgz. (Tutaj Z oznacza wysokosc nad poziomem Ziemi, a g przyspieszenie ziemskie.) tm [21.6] Przechodz'lc do ukladu swobodnego spadania ze wspolrzt(dnymi X = x, Y = y, Z = Z - ~t2g, T = t, pokaz, ze rownanie Schr6dingera z ewiczenia [21.5] transformuje sit( do 3 rownania bez pol a grawitacyjnego, z funkcj'l falow'l tp = e i (1;mt g' + mtzg)1/J. Co ten przyklad mowi nam 0 zasadzie rownowaznosci Einsteina (zob. rozdz. 17.4) w odniesieniu do ukladow kwantowych (zob. rozdz. 21.9)? n [21.7] Pokaz, ze jesli hamiltonian kwantowy 'H jest translacyjnie niezmienniczy, na przyktad niezalezny od zmiennej x\ wowczas odpowiedni pt(d P3jest zachowany, w tym sensie, ze operator P3 komutuje z operatorem ewolucji w czasie a/at. Wyjasnij w swietle podanych juz interpretacji, dlaczego ta przemiennosc implikuje zachowanie.
477
21
Czqstka kwantowa
21.4 Eksperymentalne podstawy mechaniki kwantowej Bye moze najbardziej bezposrednie przyklady zwi,!zk6w tego rodzaju podsuwa nam badanie material6w krystalicznych. W strukturach krysztal6w mamy do czynienia z przestrzenn'! periodycznosci,! polozen tworz'!cych je atom6w. W znanym doswiadczeniu, przeprowadzonym w 1927 roku przez C.l. Davissona i L.H. Germera, zaobserwowano, ze jesli na taki material puscimy wi¥ky elektron6w, maj,!cych odpowiednio dobrane pocz'!tkowe wartosci pyd6w, to zostan,! one odchylone (lub odbite) pod bardzo szczeg6lnymi k'!tami. Te kierunki i k,!ty w specyficzny spos6b zwi,!zane s,! z pydami elektron6w na wejsciu i na wyjsciu w relacji do periodycznej struktury sieci krystalicznej. Wyniki tego eksperymentu wskazuj,!, ze zachodzi scisla odwrotna proporcjonalnose miydzy 3-pydami elektron6w a stal'! odleglosci,! periodycznej struktury; zob. rys. 21.2. Podobnie jest z innymi rodzajami cz'!stek. Zasadniczy wniosek sprowadza siy do tego, ze cz'!stka 0 pydzie p wydaje siy obiektem 0 charakterze periodycznym, jak fala, przy czym zwi'!zek miydzy dlugosci,! tej fali A. a wielkosci,! pydu p jest relacj,! odwrotnej proporcjonalnosci (do tej relacji wchodzi stala Plancka h = 2nli)
A. = hp-l = 2nli . p Dlugose faliA., zwi,!zana z pydem cz,!stkip, zwana dlugosci'!fali de Broglie 'a, nazwy zawdziycza francuskiemu arystokracie i fizykowi, ksiyciu Louis'owi de Broglie, kt6ry w 1923 roku postawil hipotezy, ze wszystkie cz'!stki materialne maj,! natury falow'!, 0 dlugosci fali danej podanym wzorem. Co wiycej, w zgodzie z wymaganiami teorii wzglydnosci (zob. rozdz. 18.7), cz'!stka powinna tez charakteryzowae siy czystosci,! v, zwi,!zan,! z jej energi,! E wzorem Plancka
E = hv = 2nliv, do czego niebawem przejdziemy[21.81• Energia cz'!stki, w jej wlasnym ukladzie spoczynkowym, jest dana relacj,! Einsteina E = f-lC 2, gdzie f-l oznacza jej masy spoczynkow'!, a zatem jest zwi¥ana z czystosci,! f-lc2/2nli, tzn. f-lc 2Ih. Rozwazania takie prowadzily do wniosku, ze normalne cz'!stki zachowuj'! siy jak fale, z dlugosciami wi¥,!cymi siy z ich masami spoczynkowymi w spos6b okreslony przez relacje Plancka ide Broglie'a. lednakw ci,!gu dwu poprzednich dekad fizycy ustanowili relacjy odwrotn,!, wykazuj,!c, ze obiekty uWaZane dot,!d za obdarzone czysto falow'! natuf'! - przede wszystkim oscyluj,!ce pola elektryczne i magnetyczne Maxwella, kt6re "tworz,!" swiatto (zob. rozdz. 19.2) - powinny bye traktowane jako obiekty 0 naturze korpuskulamej i znowu w zgodzie z formulami Plancka i de Bro-
478
.§1 [21.8] Czy potrafisz pokazac, ze ten wym6g szczeg6lnej teorii wzglydnosci pozwala na wyprowadzenie wzoru Plancka E = hv z relacji de Broglie'a p = hl- 1? (WI'kazowka: mozesz zaloZyc, ze hiperplaszczyzny w M, na kt6rych fala przyjmuje wartosc stalq, Sq lorentzowsko ortogonalne do 4-prydkosci czqstki).
Eksperymentalne podstawy mechaniki kwantowej
21.4
Rys. 21.2. Doswiadczenie Davissona-Germera. Wi'!zka elektron6w 0 3-p«dzie p zostaje skierowan a na material 0 periodycznej strukturze sieci krystalicznej. Elektrony rozpraszaj'! sit( lub odbijaj,!, gdy wystt(puje dopasowanie periodycznej struktury atom6w do struktury elektron6w (kt6re przejawiaj,! sit( tutaj jako fale 0 dlugosci A) zwi,!zanej z wielkosci'l pt(du p, zgodnie z reiacj,! A = hlp, gdzie h jest stal'! Plancka.
glie'a. Najbardziej przekonuj,!cym dowodem na to byl efekt fotoelektryczny, zaobserwowany po raz pierwszy przez Heinricha Hertza w 1887 roku, a ktorego najbardziej zadziwiaj,!ce aspekty, zademonstrowane przez Philippa Lenarda w 1902 roku, zostaly nastypnie wspaniale wyjasnione w 1905 roku przez Einstena posluguj,!cego siy hipotez'! 0 korpuskularnej naturze Swiatla. (To wlasnie wyjasnienie efektu fotoelektrycznego przynioslo Einsteinowi w 1921 roku Nagrody Nobla, a nie teoria wzglydnosci!) Efekt fotoelektryczny wystypuje wtedy, gdy swiatlo 0 odpowiednio wysokiej cZystosci pada na wlasciwy material metaliczny, wywoluj,!c emisjy elektronow. Zagadky stanowilo to, ze energie emitowanych elektronow w ogole nie zalez'! od natyzenia padaj,!cego swiatla (ktorego czystosc v jest stala). Przyjmuj,!c, ze swiatlo rna natury falow'!, oczekujemy, ze im wiyksze natyzenie, tym wyzsza energia wybijanych z metalu elektronow. Tak jednak nie jest (chociaz im wiyksze natyzenie, tym wit(cej elektronow jest emitowanych). Einstein objasnil to zjawisko, zakladaj,!c, ze swiatlo jest strumieniem cz,!stek - obecnie nazywanych fotonami - ktorych energie podaje relacja Plancka E = hv, a kazdy wyrzucony z metalu elektron jest wynikiem uderzenia jakiegos atomu przez taki foton. Einstein zastosowal formUly Plancka ze wspanialym skutkiem, przewiduj,!c szereg efektow, potwierdzonych pozniej, do 1916 roku, w doswiadczeniach amerykanskiego fizyka Roberta Millikana, ktory pocz'!tkowo traktowal te prognozy bardzo sceptycznie. W rzeczywistosci szczegolna, kwantowomechaniczna natura swiatla przejawiala siy juz w eksperymentach wczesniejszych. Rewolucjy kwantow,! rozpocz'!l jeszcze w 1900 roku Max Planck. Pocz'!tkiem byla dokonana przez niego analiza promieniowania ciala doskonale czamego, zwi,!zanego z promieniowaniem elektromagnetycznym w rownowadze z jego "doskonale czarnym,,5 otoczeniem materialnym, a wszystko to w stalej temperaturze T (zob. rys. 21.3a). W wyniku tej analizy otrzymal (poprawny) wzor, zilustrowany na rys. 21.3b,
2hv 3 ehvlkT
-1
przedstawiaj'!cy natyzenie promieniowania I jako funkcjy cZystosci v, gdzie k jest stal'! Boltzmanna (zwi'!zan'! zjednostkami pomiaru temperatury, zob. rozdz. 27.3).
479
21
Cz~stka
kwantowa
Nat!1ienie I
(a)
(b)
Rys. 21.3. Prornieniowanie ciala doskonale czamego. (a) "Czama" jarna zapewnia, ze zawarte w niej prornieniowanie jest w r6wnowadze termicznej, w ternperaturze T, z ogrzewanyrn otoczeniern. (b) D1a zadanej ternperatury T natyzenie prornieniowania I jest okreslonl! funkcjl! czystosci v. Krzywa cil!gla jest krZYWl! doswiadczalnl!, zgodnl! ze znanyrn wzorern Plancka I = 2hv 3/(eh'lkT - 1) (gdzie h jest stall! Plancka, a k stall! Boltzrnanna). Krzywa przerywana przedstawia wz6r Rayleigha-Jeansa, I = 2kTv2, wyprowadzony przy zalozeniu, ze prornieniowanie rna natury kJasycznej fali. Krzywa ta dobrze przybliza prawo Plancka dla rnalych v, ale zupelnie siy z nirn rozrnija dla duZych. Krzywa kropkowana obrazuje prawo Wiena, I = 2hv3e-hvlkT, wyprowadzone przy zalozeniu, ze prornieniowanie jest strurnieniern kJasycznych cZl!stek.
Okazuje si«, ze wzor Plancka doskonale pasuje do wynikow obserwacji. Do czasow Plancka widmo promieniowania ciata czarnego stanowilo zagadk«. Calkowicie falowy obraz promieniowania eIektromagnetycznego doprowadzil do paradoksalnego wzoru RayIeigha-Jeansa I = 2kTy2, ktory byl dokladny w obszarze malych Y, ale stawal si« rozbiezny do nieskonczonosci dla dUZych CZ«stosci. Bardzo wyrazne poprawienie wynikow dawala propozycja Wiena, I = 2h y3e-hvlkT, dokladna dla dUZych Y, ktorej wyprowadzenie opieralo si« na zalozeniu, ze promieniowanie jest strumieniem klasycznych cz,!stek. Wielkose h, wyst«puj,!c,! we wzorze Plancka, uznano za now'! fundamentaln,! stal'! Przyrody (dzisiaj nazywamy j,! stalq Plancka), a jej niezwykle mala wartose zostala ustalona na 6,62 x 10-34 dzul-sekund. Aby wyprowadzie swoj wzor, Planck byl zmuszony zaloZye, ze drgania elektromagnetyczne mog,! bye emitowane lub absorbowane jedynie w okreslonych porcjach o konkretnej wartosci energii E, bezposrednio zwi,!zanej z cz«stosci,! drgan, zgodnie z podan<j, relacj<j,
E=hy,
480
przy czym musial tez posluZye si« "wariackim" sposobem liczenia srednich, ktory to sposob okazal si« prekursorem (poprawnej kwantowomechanicznej) statystyki Bosego-Einsteina; zajmiemy si« ni<j, blizej w rozdz. 23.7. W tym przypadku mamy do czynienia z zagadk<j, fizyczn<j" jakby odwrotn<j, wobec tej, ktoq prezentuj<j, elektrony spotykaj<j,ce na swojej drodze krysztal, poniewaz tam zjawisko elektromagnetyzmu jawilo si« jako ruch falowy, teraz zas okazuje si«, ze jest to ruch cZ<j,stek! Uiywaj<j,c staiej Plancka w wersji zaproponowanej
Eksperymentalne podstawy mechaniki kwantowej
21.4
przez Diraca, E = 21tnv, stwierdzamy, ze okres drgan V-I odpowiada relacji wiqiqcej dlugosc fali z pydem (A = 21tn!p), i otrzymujemy V-I = 21tfi/E. Obecnie (dziyki dalszym pracom Einsteina, Bosego i innych) zdajemy sobie sprawy, ze formula Plancka nie odnosi siy do "drgan pola elektromagnetycznego", lecz do rzeczywistych "czqstek" - kwant6w pola elektromagnetycznego Maxwella, kt6re obecnie nazywamy fotonami - aczkolwiek minylo sporo lat, zanim te oryginalne idee Einsteina zostaly zaakceptowane. Po sukcesach z efektem fotoelektrycznym uzyskalismy ich dalsze potwierdzenie, a szczeg6lnie wainy byl eksperyment przeprowadzony przez Arthura Comptona (1923), kt6ry wykazal, ze fotony w zderzeniu z cZqstkami naladowanymi rzeczywiscie zachowujq siy jak cZqstki bezmasowe, w zgodzie z dynamikq relatywistycznq opisanq w rozdz. 18.7 (zob. rozdz. 25.4, rys. 25.10). Zgodnie z tyro, energia i pyd Sq odwrotnosciami okres6w (czasu w przypadku energii i przestrzeni w przypadku pydu), a te okresy Sq zawsze krotnosciami 21tn. Jednym z najbardziej przekonujqcych (i najlepiej znanych) argument6w, kt6re zmuszajq nas do uznania faktu, ze cZqstki mogq zachowywac siy jak fale, a fale jak cZqstki, jest tzw. eksperyment dwoch szczelin 6 • Mamy tutaj zr6dlo cZqstek oraz ekran detektora, a po drodze przegrody z parq blisko siebie polozonych szczelin; zob. rys. 21.4a. Zakladamy, ze dzialko emituje w danej chwili tylko jednq cZqstky, skierowanq w strony ekranu. Jesli eksperyment przeprowadzimy z jednq szczelinq otwartq, a drugq zakrytq, to na ekranie powstanie chaotyczny obraz skladajqcy siy z przypadkowych slad6w cZqstek wen uderzajqcych. Intensywnosc tych slad6w (w sensie wiykszej gystosci punkt6w), tak jak tego naleZy oczekiwac, jest najwiyksza w czysci centralnej, lezqcej bezposrednio w plaszczyznie lqczqcej zr6dlo ze szczelinq, i maleje w spos6b jednostajny w obu kierunkach od tego centralnego paska (rys. 21.4b). Zasadniczo ten sam obraz otrzymamy,jesli powt6rzymy doswiadczenie, zakrywajqc pierwszq szczeliny i odslaniajqc drugq (rys. 21.4c). Nie rna tu niczego zagadkowego. Wszystko zmienia siy, jesli powt6rzymy doswiadczenie, ale
(a)
(b)
(c)
(d)
Rys. 21.4. (a) Zestaw dla doswiadczenia dw6ch szczelin. Dzialko ernituje elektrony pojedynczo, kierustrony ekranu przez pary szczelin. (b) Obraz na ekranie, gdy zasloniyta jest prawa szczelina. (c) To sarno z zasloniyt'l szczelin<jlew<j. (d) Interferencja pojawia siy, gdy obie szczeliny s<j odsloniyte. Na ekranie powstaj<j obszary, do kt6rych cZ<jstki w og61e nie rnog<j dotrzec, podczas gdy swobodnie tam docieraly, gdy tylko jedna szczelina byla odsloniyta.
j~c je w
481
21
Czqstka kwantowa
z obydwiema szczelinami odsloniytymi; zob. rys. 21.4d. Cz'!stki nadal padaj,! pojedynczo na ekran i pozostawiaj,! slad, ale powstaje obraz falowej interferencji, skladaj,!CY siy z rownoleglych pasm 0 duzej intensywnosci, natomiast widoczne s,! obszary, do ktorych cz'!stki w ogole nie docieraj,!, niezaleznie od tego, ze kiedy tylko jedna szczelina byla odsloniyta, bez klopotow zostawialy tam swoje slady! Chociaz cz'!stki zostawiaj,! slad w okreslonych miejscach, pojedynczo, i kazde takie trafienie w ekran moze bye zidentyfikowane z aktem emisji danej cz'!stki, to zachowanie siy tych cz'!stek miydzy momentem emisji w zrodle a detekcji na ekranie, jesli uwzglydnimy niejednoznacznose zwi,!zan,! z wyborem szczeliny przy przechodzeniu przez przegrody, przypomina faly, kiedy cz'!stka/fala wyczuwa obecnose drugiej szczeliny podczas tego zdarzenia. Co wiycej - i to rna szczeg6lne znaczenie dla naszych rozwazan - odleglosci miydzy pasmami na ekranie mowi,!, jaka musi bye dlugose fali naszej cz'!stki/fali, i okazuje siy, ze ta dlugose fali A jest rzeczywiscie zwi'!zana z pydem cz'!stki P t'! sam,! relacj,! co poprzednio, a wiyc A = 21th/p.
21.5 Zrozumienie dualizmu falowo-korpuskularnego Bye moze to wszystko wydaje siy przekonuj,!ce nawet dla wielkiego sceptyka, jednak wcale nie zmusza nas do dokonania absurdalnie wygl,!daj,!cej identyfikacji miydzy operatorem r6zniczkowym a energi,!-pydem! Mimo to nie powinnismy ignorowae cudu, ktory dzieje siy na naszych oczach! Cudowny bowiem jest fakt, iz wszystkie te absurdalne wnioski wynikaj,!ce z eksperymentow - ze fale s,! cz,!stkami, a cz'!stki falami - mozna wspaniale uj,!e w urzekaj,!cym formalizmie matematycznym, w kt6rym rzeczywiscie pyd zostaje utozsamiony z "r6zniczkowaniem po zmiennych polozenia", a energia z "r6zniczkowaniem po czasie". W jaki sposob taki formalizm moze pomoc w zrozumieniu tajemniczego dualizmu fala-cz'!stka? Aby opisae nasz'! cz'!stky/faly, potrzebujemy obiektu matematycznego 0 dobrze okreslonym 4-pydzie Pa i jednoczesnie 0 periodycznosci przestrzennej i czasowej, przedstawionej poprzednio. (U:iywam tutaj duzej litery P, poniewaz w tym szczeg6lnym przypadku chodzi mi 0 "klasyczn,!" wartose 4-pydu, ktory moze miee nasza cz'!stka. Nadal bydziemy tez rozwazae ,,4-pyd kwantowy", kt6ry reprezentuje operator r6zniczkowy.) Takim naturalnym pojyciem matematycznym, 0 charakterze falowym, moglaby bye funkcja falowa z nastypuj,!c,! zaleznosci,! od czasu i zmiennych przestrzennych (zob. rozdz. 5.3):
1jJ(xa) = e-iPaxa/h
482
(fala plaska). Funkcja ta przyjmuje ty sam,! wartose, jesli do Pax a dodamy 21th (albowiem w ten sposob powiykszamy wykladnik potygi 0 -21ti, co oznacza pomnozenie tego wyraZenia przez e-2ni = 1). Charakteryzuje j,! wiyc periodycznose czasowa o okresie 21th/Po' periodycznose przestrzenna 0 okresie 21th/PI w kierunku Xl oraz podobna we wszystkich kierunkach przestrzennych. I to siy zgadza ze sformulowanymi poprzednio wymaganiami.
Zrozumienie dualizmu falowo-korpuskularnego
21.5
Zapytajmy teraz, co jest niezwyklego w tej szczegolnej funkcji. Otoz nazywana jest ona funkcjq wlasnq naszego kwantowego operatora pt(du t.
a
l-. Pa= 1 faxa
Oznacza to, ze jesli podzialamy tym operatorem na funkcjt( 1jJ(~), to w wyniku otrzymamy tt( sam,! funkcjy pomnozon'! przez jakis staiy czynnik (rozdz. 6.5):
in ~a 1jJ(xb )=in ~a e-iPbxblh =p'e-iPbxblh =J>.1jJ(x b ). Zauwazmy, ze ten staiy czynnik jest akurat (klasycznym) 4-pydem Pa' jakim, zgodnie z naszym z,!daniem, powinna charakteryzowac sit( poszukiwana przez nas wielkosc. Tak wiyc kiedy 1jJ(x") rna wlasciw,! postac, czyli tak'! jak tu przedstawiona, wowczas nasz tajemniczy kwantowy pyd,Pa = ina/ax a , dzialaj,!c na ni,!, zamienia sit( w prosty klasyczny pyd Pa:
Pa1jJ = Pa1jJ, ale dzieje sit( tak tylko w przypadku tej szczegolnej funkcji. Mowimy, ze 1jJ rna okreslonq wartosc 4-pt(du, i dlatego nazywamy j,! stanem kwantowym PfCdu. Powinnismy wyobrazac sobie cz'!stkt( poruszaj,!c
[21.9] Dlaczego? Liniowa niezaleznosc moze tutaj oznaczac wprowadzenie sum ci(!glych, a wiyc calek.
483
21
Czqstka kwantowa
polozenia lub momentu pydu, do ktorych niebawem przejdziemy) nazywane s,! zmiennymi dynamicznymi. Nasza funkcja falowa, ktora pocz'!tkowo odgrywala roly "niewidzialnej funkcji", ukrytej w cieniu, po prawej stronie wszystkich operatorow, zaczyna teraz grac roly aktywn'!. MySlimy 0 niej jako 0 stanie ukladu fizycznego. Czasami nazywamy j,! wektorem stanu (aczkolwiek jest to w istocie bardziej ogolne okreslenie, do ktorego nie potrzebujemy uiywac opisu za pomoC'! wspolrZydnych czasu i przestrzeni, jak w przypadku 1/J). Takjak w przypadku rozwazanego 4-pydu, w stanach wlasnych jakiejs zmiennej dynamicznej, ta szczegolna zmienna dynamiczna przyjmuje "okreslon,! wartosc" i wlasnie wartosc wlasna jest ow'! "okreslon,! wartosci'!" zmiennej dynamicznej w tym stanie. Chcialbym tu zwrocic uwagy, ze do tej pory traktowalem nasze pydowe stany wlasne w calkowicie 4-wymiarowy sposob czasoprzestrzenny, zgodnie z wymogami szczegolnej teorii wzglydnosci. Jest to podejscie ekonomiczne, w tym sensie, ze wyrazenie[21.10j
(gdzie Pa = (E, -P) oraz x a = (t, x), jak w rozdz. 18.7) zawiera zarowno zaleznosc przestrzenn'!, oznaczaj'!C'!, ze jest to stan wlasny zwyktego przestrzennego 3-pydu p = (-PI' - P2' - P3) = -iii (
a~l ' a~2 ' a~3 )
z wartosci'! wlasn,! P, jak i zaldnosc czasowq, ktora mowi, iz jest to rozwi,!zanie rownania Schrodingera z wartosci,! wlasn,! energii E. Formalizm Schrodingera nie jest jednak relatywistyczny w tym sensie, ze traktuje w rozny sposob czas i zmienne przestrzenne. Z tego powodu w dalszej dyskusji tego rozdzialu powrocimy do opisu nierelatywistycznego.
21.6 Czym jest rzeczywistosc kwantowa? Odejdzmy na chwily od tych szczegolowych kwestii i zapytajmy, czego dowiadujemy siy z tego wszystkiego 0 "rzeczywistosci". Czy zmienne dynamiczne s,! elementami "rzeczywistosci"? Czy charakter "obiektow rzeczywistych" maj,! stany? Czy tez powinnismy raczej powiedziec, ze rzeczywistosci dotykamy dopiero wtedy, gdy przechodzimy do "klasycznych" wielkosci, ktore pojawiaj,! siy jako wartosci wlasne zmiennych dynamicznych (czy tez innych operatorow)? W istocie fizycy kwantowi maj,! sklonnosc do unikania jasnych odpowiedzi na te pytania. Wiykszosc z nich nie bardzo lubi, kiedy zmusza siy ich, aby w ogole odniesli siy do problemu "rzeczywistosci". Wielu powie, ze ich stanowisko jest pozytywistyczne, i nawet odmo-
484
a
[21.10] Dlaczego mozna dokonac takiego rozdzielenia?
Czym jest rzeczywistosc kwantowa?
21.6
wi,! dyskusji na temat tego, czym jest "rzeczywistose", utrzymuj,!c, ze takie rozwazania nie maj,! charakteru naukowego. Wszystko, czego mozemy oczekiwae od naszego formalizmu matematycznego - powiedz,! - to fakt, ze daje on odpowiedzi na konkretne pytania dotycz'!ce naszego ukladu i ze te odpowiedzi s,! zgodne z danymi uzyskiwanymi na drodze doswiadczenia. Gdybysmy przypuszczali, ze w formalizmie kwantowym istnieje taka cecha, ktorej moglibysmy przypisae atrybut "rzeczywistosci" w odniesieniu do ukladu kwantowego, to moim zdaniem musi ni,! bye funkcja falowa (czyli wektor stanu), ktora opisuje rzeczywistose kwantow'!. (lnne mozliwosci przedstawi(( w rozdz. 29; zob. tez koniec rozdz. 22.4.) Uwazam, ze w mechanice kwantowej zagadnienie "rzeczywistosci" musi zostae podj((te - szczegolnie w sytuacji, gdy wielu fizykow raczej uWaZa, iz formalizm kwantowy znajduje uniwersalne zastosowanie w calej fizyce - albowiem gdyby nie istniala rzeczywistose kwantowa, wowczas w ogole nie mozna by mowie 0 rzeczywistosci na jakimkolwiek poziomie (poniewaz, zgodnie z t'! filozofi,!, wszystkie poziomy s,! kwantowe). Wedlug mnie negowanie rzeczywistosci w taki sposob pozbawione byloby sensu. Koniecznie potrzebujemy koncepcji rzeczywistosci fizycznej, chociazby tylko prowizorycznej i przyblizonej, gdyz bez niej nasz obiektywny WszechSwiat, a zatem i cala nauka, po prostu wyparowuje przed naszymi oczami, pogr,!zonymi w gt((bokiej kontemplacji! COZ wi((c mamy myslee 0 wektorze stanu? N a czym polega trudnose z przyj((ciem, ze przedstawia on rzeczywistose? Olaczego fizycy cZysto wykazuj,! daleko posuni((t'! niech((e wobec zaj((cia takiego stanowiska filozoficznego? Aby zrozumiee te trudnosci, musimy jeszcze staranniej przyjrzee si(( naturze funkcji falowej i jej fizycznym interpretacjom. Zbadajmy najpierw, bardziej szczegolowo, nasz stan p((dowy l/J = eiP.x/h (przyj,!lem tutaj dla wygody, ze t = 0). Zauwazmy, ze w zaden sposob nie mozemy go traktowae jako stanu zlokalizowanego w taki sposob, jak zlokalizowana jest zwykla cz'!stka. Rozci,!ga si(( on w sposob jednorodny na caly Wszechswiat. "Wielkose" stanu, mierzona jego modulem leiP'X/hl, jest taka sarna w calej przestrzeni (zob. rozdz. 5.1). Musimy wybaczye czytelnikowi, jesli wydaje mu si(( to raczej dziwnym obrazem pojedynczej cz'!stki z dobrze okreslonym p((dem w jakims kierunku przestrzennym. Co wi((c stalo si(( z naszym normalnym obrazem cz'!stki jako z obiektern (przynajmniej w przyblizeniu) zlokalizowanym w jakims pojedynczym punkcie przestrzeni? No coz, moglibysmy powiedziee, ze stan p((dowy jest jedynie pewn'! idealizacj,!. Mozemy przyj,!e, ze mamy do czynienia z dobrze zdefiniowanym (choe moze nie bardzo precyzyjnie) p((dem, jesli przejdziemy do podobnych stanow, okreslanych mianem "paczek falowych". S,! one opisane funkcjami falowymi, ktore maj,! ostre maksimum wielkosci w jakims polozeniu i s,! "nieomal" funkcjami wlasnymi p((du w okreslonym sensie. W przypadku jednowymiarowym takie paczki falowe mog'! bye przedstawione explicite, tworz'! bowiem iloczyn stanu p((dowego z funkcj,! rozkladu Gaussa e~x2 albo, jeszcze lepiej, z bardziej ogoln,! form,! tego rozkladu A e~82(x~C)2
485
21
Czqstka kwantowa
(gdzie A, B i C S,! stalymi rzeczywistymi). To dobrze znany "dzwonowy" rozklad statystyczny (jego ilustracjy znajdziemy na rys. 27.5 w rozdz. 27.4), w ktorym, w tej konkretnej relacji, jego "pik" wypada w punkciex = C. Jest interesuj,!ce (i bardzo pomaga w obliczeniach), ze uzyskana w ten sposob paczka falowa moze bye zwiyzIe przedstawiona przez dopuszczenie, ze liczba C w podanym wzorze jest liczbq zespolonq[21.111. W pelnej przestrzeni 3-wymiarowej paczky falow,! mozemy skonstruowae podobnie, uiywaj,!c rozkladu GaussaAe-B2 (x 2 + y2 + z2l, Z jej maksimum przesuniytym w kierunku zespolonym. W kazdym z tych przypadkow B-1 podaje miary jej rozpiytosci. Mamy twierdzenie wyrazaj'!ce "zasady nieoznaczonosci Heisenberga", ktore mowi, ze istnieje bezwzglydna granica tej rozpiytosci, czyli podaje, jak maly moze bye ten rozmiar w relacji do tego, jak blisko ten stan jest dokladnego stanu pydowego. Zajmiemy siy tym zagadnieniem blizej w rozdz. 21.11. Na razie sprobujmy uzyskae lepsze wyobraienie 0 tym, jak wygl,!daj,! stany pydowe i paczki falowe. Musimy pamiytae, ze funkcja falowa jest fal,! 0 wartosciach zespolonych i ze jej "falowy" charakter niekoniecznie przejawia siy jako oscylacje jej wielkosci (lub natyzenia). W przypadku stanu pydowego charakter "falowy" rna argument funkcji falowej (rozdz. 5.1), a mianowicie -Paxa/h mierzony na obwodzie okrygu, tj. e-iPaxa/h wziyty na okrygu jednostkowym na plaszczyznie zespolonej. W mechanice kwantowej zwyklismy nazywae argument funkcji falowej jejfazq. Okazuje siy, ze ta faza rna nie tyle charakter "fali", ile raczej, powiedzielibysmy, "kryci siy w kolko". Na rys. 21.5a probowalem pokazae zachowanie siy takiej funkcji falowej w jakims konkretnym kierunku, kresl,!c ten kierunek jako ukazan,! tam osx, a plaszczyzna prostopadla do tego kierunku (z osiami u i v wskazanymi na rysunku) reprezentuje plaszczyzny zespolon'! wartosci, jakie funkcja falowa moze przyjmowae (a wiyc tp = u + iv na tej plaszczyznie). Kierunek x na
la)
Ib)
Rys. 21.5. Przyklad funkcji falowej cZllstki: 1/J jako funkcja zespolona polozenia x. (a) Stan pydowy A2x2 e-U'xlh 0 ksztalcie korkocillgu (funkcja wlasna pydu p). (b) Paczka falowa ee-U'xIh.
486
B [21.11] Zamieniaj'lc liczby rzeczywist'l C w podanym wyraieniu na liczby zespolon'l C + iD (C i D s'lliczbami rzeczywistymi), znajdz cZystosc paczki falowej i polozenie jej maksimum.
Czym jest rzeczywistosc kwantowa?
21.6
moim rysunku odpowiada zatem pewnemu rzeczywistemu kierunkowi w zwyklej przestrzeni, ale u i v nie s,! normalnymi kierunkami przestrzennymi; zostaly wskazane, aby przedstawic plaszczyzny zespolon'! mozliwych wartosci funkcji falowej. Widzimy, ze w przypadku naszego stanu pydowego funkcja falowa przypomina korkoci,!g (ktory jest prawoskrytny dla pydow dodatnich w kierunku przestrzennym zobrazowanym przez kierunek x na rysunku). Na rys. 21.5b przedstawilem odpowiedni rysunek paczki falowej. Przypomina ona korkoci,!g tylko w sensie rozci,!glosci (a zatem rna umiarkowanie dobrze okreslony pyd), ale to podobienstwo do korkoci,!gu zanika w obu kierunkach i funkcja falowa staje siy bardzo mala poza pewnym przedzialem. Oczywiscie, aby uzyskac pelny obraz tych fal, musielibysmy sprobowac wyobrazic sobie, ze wszystko dzieje siy we wszystkich kierunkach przestrzennych od razu, co jest raczej trudne, poniewaZ potrzebujemy dwoch dodatkowych wymiarow (co daje l,!cznie piyc), aby wprowadzic i plaszczyzny zespolon,!, i wszystkie wymiary przestrzenne! Sprawy nie przedstawiaj,! siy jednak tak zle w przypadku stanu pydowego, jesli bydziemy rozwazali plaszczyzny stalej lazy. S,! to plaszczyzny prostopadle do kierunku pydu, a odleglosc miydzy kolejnymi plaszczyznami wynosi 21thlp, gdzie p oznacza wielkosc (przestrzennego) 3-pydu; zob. rys. 21.6. Opis tego rodzaju jest uiyteczny do wyobrazenia sobie np. funkcji falowej fotonu wchodz,!cego do sieci krystalicznej, co przedstawia rys. 21.2. Przyda nam siy rowniez do zrozumienia eksperymentu dwoch szczelin, jesli wyobrazimy sobie te szczeliny daleko od ekranu. W takim przypadku mozemy traktowac funkcjy falow'! kazdej cz,!stki, zblizaj,!cej siy do jakiegos lokalnego obszaru na ekranie, jako skiadaj,!c,! siy z dwoch cZysci, z ktorych kazda jest prawie dokiadnie stanem pydowym (a wiyc zasadniczo fal,! pi ask,! 0 jednej cZystosci - dziyki duzej odleglosci szczelin od ekranu), ale kierunki rozchodzenia siy tych czysci s,! nieco rozne. W pewnych miejscach na ekranie te dwie fale wzajemnie wzmocni,! siy, podczas gdy w innych na-
~. ~
,"
.:, : ~
{'. ~:~.
Rys. 21.6. Plaszczyzny stalej fazy dla stan6w wlasnych pydu, oddalone od siebie 0 hp-l, gdzie p jest wielkoscilj przestrzennego 3-pydu (por. rys. 21.2).
487
21
Czqstka kwantowa
Rys. 21.7. Funkcja falowa elektronu, kt61)' zbliza si« do ekranu z I)'s. 21.4 przedstawiaj,!cego ekspel)'ment dw6ch szczelin, moze bye traktowana jako superpozycja dw6ch fal plaskich z I)'s. 21.6, nieznacznie skr«conych wobec siebie 0 maly k,!t. Gdy ich fazy S,! zgodne (wzdluz linii przerywanych), te fale wzmacniaj,! si« i daj,! najwi«ksze prawdopodobienstwo, ze elektron dotrze w tym miejscu do ekranu. W polowie drogi mi«dzy tymi maksimami fazy s,! przeciwne i fale wygaszaj'! si«, daj,!c zerowe prawdopodobienstwo dotarcia elektronu do ekranu.
wzajem sit( wygasz'!, w wyniku czego powstanie obraz 0 obszarach wit(kszej i mniejszej intensywnosci, jak pokazalem na rys. 21.4d. Geometrit( tt( ilustruje rys. 21.7, na ktorym plaszczyzny przedstawiaj,! obszary, gdzie kaida fala skladowa rna stal,! wartose swojej fazy. Pelna funkcja falowa powstaje wtedy, gdy te czt(sci skladowe dodamy do siebie. Dlatego jesli zaloZymy, ze kaida z tych czt(sci skladowych rna tt( sam,! intensywnose, to wygasz'! sit( one calkowicie w miejscach 0 fazach przeciwnych, natomiast maksymalnie sit( wzmocni,! w miejscach 0 fazach zgodnych. W ten sposob powstaje obraz, 0 ktorym mowilismy w przypadku eksperymentu dwoch szczelin. Dobrze, dobrze, wszystko pit(knie, wykrzyknie niecierpliwy czytelnik, ale to jest jedynie opis tego, jak zachowuj,! sit( fale! Na razie nie podj,!lem zagadnienia, ze nasze fale/cz,!stki s,! falami-cz,!stkami. Poza drobnym upit(kszeniem, pokazuj,!cym, ze moje fale S,! falami zespolonymi, opisalem interferencjt( falow'!, ktora moglaby zaistniee w przypadku zwyklych fal na morzu alba fal glosowych czy fal Maxwella zbudowanych z klasycznego pola elektromagnetycznego (fal radiowych, swiatla widzialnego, promieni Roentgena etc.). Tymczasem istota eksperymentu dwoch szczelin - staralem sit( to podkreslie - polegala na tym, ze ukazala konflikt mit(dzy obrazem falowym a obrazem korpuskulamym. I rzeczywiscie; najbardziej oczywista manifestacja natury cz,!stek w tym eksperymencie pojawia sit( wtedy, gdy elektrony, docieraj,!c do ekranu, zostawiaj,! tam swoj slad: pojedynczo, tylko jeden w danej chwili!
21.7 Holistyczna natura funkcji falowej
488
W tym miejscu chct( zwrocie uwagt( na jedno zagadnienie. Ktos moglby sobie wyobrazae, ze malenka plamka na ekranie pojawia sit( od czasu do czasu, gdy lokalne natt(zenie padaj,!cej fali osi,!ga jak,!s krytycznC! wartose, alba ze istnieje pewne prawdopodobienstwo pojawienia sit( plamki na ekranie i ono wzrasta, gdy wzrasta natt(zenie fali. Dobry pomysl! Ale, niestety, jak w przypadku eksperymentu dwoch szczelin, ktory przedstawilem poprzednio (w wyidealizowanej postaci), pomysl ten na nie sit( nie zda. Albowiem gdyby to byla kwestia poszczegolnych prawdopodobienstw
Holistyczna natura funkcji falowej
21.7
w poszczegolnych miejscach, powinnismy oczekiwae, ze od czasu do czasu przy emisji pojedynczej fali wychodzqcej ze zrodla na ekranie pojawiq siy dwie plamki, w miejscach od siebie odleglych, ale w ktorych natyzenie byloby odpowiednie. Trudnose ta poglybia siy, kiedy zdamy sobie sprawy z faktu, ze nasze cZqstki Sq obdarzone ladunkiem elektrycznym, tak jak na przyklad elektrony. Gdyby emisja pojedynczego elektronu ze zrodla spowodowala dotarcie do ekranu dwoch elektronow, choeby tylko nieslychanie rzadko, mielibysmy do czynienia ze zlamaniem prawa zachowania ladunku. To sarno odnosi siy do praw zachowania innych "liczb kwantowych", takich jak prawo zachowania liczby barionowej (rozdz. 25.6), gdybysmy zamiast elektronow rozwazali na przyklad neutronyI21.121. Zlamanie prawa zachowania staloby w sprzecznosci z mnostwem faktow doswiadczalnych. Tymczasem elektrony i neutrony majq ty wlasnose samointerferencji, ktora przejawia siy w opisanym eksperymencie dwoch szczelin! Poirytowany czytelnik rna prawo w tym miejscu zauwaiye, ze w naszej probie zrozumienia dualizmu fala-czqstka dotarlismy dokladnie donikqd. Cierpliwosci, jeszcze nie skonczylismy z interpretacjq funkcji falowej! Powinnismy traktowae calq faly jako opisujqcq (albo "stanowiqcq") dokladnie jednq czqstky. Aczkolwiek determinuje ona w okreslonym sensie prawdopodobienstwo, ze plamka pojawi siy w jakims miejscu ekranu, to prawdopodobienstwo odnosi siy tylko do tej jednej czqstki. Taka interpretacja nie zadziala, jesli bydziemy traktowali funkcjy falowq w sposob lokalny, czyli jako dajqcq nam niezalezne prawdopodobienstwa pojawienia siy sladu w oddzielnych miejscach ekranu. Funkcjy falowq musimy traktowae jako jednq calose. Je§li ona powoduje, ze plamka pojawia siy w jakims miejscu, to zadanie zostalo wykonane i ten widoczny akt tworczy nie pozwala, zeby plamka mogla siy pojawie jeszcze w jakims innym miejscu. Z tego punktu widzenia funkcje falowe Sq zupelnie niepodobne do fal fizyki klasycznej. Rozne czysci fali nie mogq bye traktowane jako zaburzenia lokalne, z ktorych kazde rozchodzi siy niezaleznie od tego, co dzieje siy w jakims odleglym miejscu. Funkcje falowe majq silnie nielokalny charakter i w tym sensie Sq wielkosciami calkowicie holistycznymi. To stanowisko staje siy bardziej zrozumiale w nieco innej sytuacji eksperymentalnej. Przekonujemy siy przy tym jasno, ze obraz cZqstki/fali jako paczki falowej jest sam w sobie zupelnie nieodpowiedni do wyjasnienia kwantowego charakteru korpuskularnego. Wyobrazmy sobie, ze dysponujemy zrodlem cZqstek, jak poprzednio, i ze to zrodlo jest w stanie emitowae pojedyncze czqstki. Zamiast uiywac przeszkody z dwiema szczelinami, przypusemy, ze na drodze czqstek umiescilismy urzqdzenie, ktore jest w stanie rozszczepiae wiqzky. Mozemy wspomoc naSZq wyobrainiy, przyjmujqc, ze tq cZqstkq jest foton, a urzqdzeniem rozszczepiajqcym
n
[21.12] Pokaz, ze prawdopodobienstwo pojawienia sit; podwojnego sladu w takim scenariuszu musi bye znaczne, bez wzgIt;du na to, jakie jest prawo prawdopodobienstwa pojawienia sit; plamki w zaleznosci od natt;zenia funkcji falowej. ffSkaz6wka: podziel ekran na dwie czt;sci, zakladaj,!c jednakowe prawdopodobienstwo pojawienia sit; plamki na kazdej z nich.
489
21
Czqstka kwantowa
jest zwierciadlo polprzepuszczajqce7, ktore rozszczepi naszq fotonowq paczky falowq na dwie szeroko rozdzielone czysci. Dla jasnosci koncepcji zalozmy, ze "eksperyment" przeprowadzamy w przestrzeni miydzygwiezdnej (czytelnik powinien miec swiadomosc, ze nie proponujy w tym miejscu zadnego rzeczywistego eksperymentu - nasz przyklad rna jedynie posluZyc do ukazania pewnych bardzo podstawowych konsekwencji mechaniki kwantowej w warunkach ekstremalnych). Mozemy wyobrazic sobie, ze funkcja falowa fotonu zaczyna siy od zrodla w postaci malej wqskiej paczki falowej, ktora po dojsciu do urzqdzenia rozszczepiajqcego zostaje rozdzielona na dwie; jedna cZysc zostaje odbita, a druga przechodzi przez nie w kierunku prostopadlym (rys. 21.8). Cala funkcja falowa jest sumq tych dwu CZysci. Powiedzmy, ze mozemy poczekac rok, zanim zdecydujemy siy przechwyci6 funkcjy falowq fotonu za pomocq kliszy fotograficznej lub jakiegos innego stosownego detektora. Te dwie cZysci bydq przez bardzo dlugi czas ogromnie daleko od siebie, ale wyobrazmy sobie, ze mam dwoch kolegow (w dwoch roznych laboratoriach kosmicznych), w odleglosci 1,4 roku swietlnego od siebie. Kazdy z nich dysponuje oddzielnym detektorem i chociaZ kazda z tych dwu czysci paczki falowej mogla ulec znacznemu rozproszeniu, to kazdy z nich rna tez wielkie paraboliczne zwierciadlo, ktore zbiera rozproszone czysci paczki falowej i kieruje je w strony detektora kolegi. Co mowi mechanika kwantowa 0 wynikach takiego doswiadczenia? Mechanika kwantowa odpowiada, ze jeden z dwoch kolegow dokona detekcji wyslanego fotonu, ale nie zrobiq tego obaj. To jest zupelnie nowa sytuacja w porownaniu z zachowaniem siy klasycznej fali. Pamiytajmy, ze ci dwaj koledzy oddaleni Sq od siebie 0 ponad 1,4 roku swietlnego. Teoria wzglydnosci wymaga, zeby zaden sygnal nie zostal wymieniony miydzy nimi w czasie krotszym niz 1,4 roku swietlnego (rozdz. 17.8); ale fakt, ze jeden z nich zaobserwowal paczky falowq fotonu, uniemozliwia dokonanie podobnej obserwacji drugiemu i vice versa. Informacje od kazdego z nich docierajq do mnie po roku i stqd dowiadujy siy, ze tylko jeden z nich zaobserwowal wyslany przeze mnie foton. Ta cZysc paczki falowej, do ktorej kazdy z nich rna dostyp, jakby "wiedziala" 0 tym, co siy dzieje z resztq! Za kazdym razem gdy przeprowadzam to doswiadczenie, przekonujy ~Detektor I,~ I'V,
t.
D
If;
,~il ~
ifl /IP' Zr6dlo
O_!0
490
1 k
,-t<
~ - --::::. --.IQ s~.tIny . Detektor Rozdzlelacz ~ --- -:;,. - A E ---- '~~y wi'lzki
Rys. 21.8. Hipotetyczny eksperyment kosmiczny ilustrujllCY nielokalnll natur« obselWowanej funkcji falowej. Funkcja falowa fotonu rozpoczyna si« w ir6dle w postaci malej, wllskiej paczki falowej, kt6ra zostaje rozszczepiona na dwie przez odpowiednie urzlldzenie i po roku dociera do jednego z odleglych 0 rok swietlny detektor6w DiE. Tylko jeden z nich moze zarejestrowac ten foton.
Holistyczna natura funkcji falowej
21.7
siy, ze jeden z nich rejestruje przybycie fotonu, ale nigdy obaj! Zaden typ klasycznej fali nie jest w stanie wyjasnie faktu tej "natychrniastowej kornunikacji" rniydzy dwierna cZysciarni funkcji falowej. Kwantowe funkcje falowe Sq po prostu czyrns zupelnie innym od fal klasycznych. Sceptyczny czytelnik rnoze nadal pozostae nieprzekonany: zadna taka "kornunikacja" nie bylaby potrzebna, gdyby foton dokonal wyboru drogi, w ty lub tarntq strony, od razu w lustrze rozszczepiajqcyrn. Calkiern slusznie. Przedstawiony eksperyrnent ilustruje korpuskularny aspekt natury fotonu. Jesli foton rna rniee natury cZqstki i bye lokalizowalny, wowczas jego decyzja 0 wyborze drogi rnusi bye podjyta przy urzqdzeniu rozszczepiajqcyrn. Ale skqd nasz biedny rnaly foton w chwili ernisji rna wiedziee, ze rnoi koledzy zaplanowali dla niego calkiern inny los? Wyobrairny sobie, ze zaniechali usilowania indywidualnej detekcji fotonu, ale uknuli nastypujqC'! intrygy. Postanowili, ze zarniast rejestracji po prostu odbijq docierajqCq do nich czyse fotonu tak, zeby po uplywie, powiedzrny, nastypnego roku dotarla jednoczesnie do drugiego urzqdzenia rozszczepiajqcego (rys. 21.9). Tam kazda z docierajqcych czysci paczki falowej zostanie indywidualnie rozdzielona na dwie w taki sposob, ze jedna z nich powydruje w kierunku detektora A, podczas gdy druga w kierunku innego detektora, B. (Dotyczy to oddzielnie kazdej z tych dwu cZysci paczki falowej, ktore dochodzq od obu rnoich kolegow). Jesli wszystkie dlugosci drog zostaly odpowiednio dopasowane (powiedzrny, wszystkie Sq rowne), wowczas odkryjerny ze zdziwieniern, ze pojawiajqcy siy foton jest w stanie aktywowac tylko jeden z tych detektorow, powiedzrny A, ale nie B, ze wzglydu na wzrnocnienie interferencyjne rniydzy dwierna wiqzkarni docierajqcyrni do A i interferencyjne wygaszanie w B. Zaden czysto korpuskularny obraz fotonu nie jest w stanie tego wyjasnie. Koniecznie potrzebna narn jest funkcja falowa, ktora tlurnaczy ten aspekt dualizrnu falowo-korpuskularnego. Jesli foton dokonal wyboru, w strony ktorego z rnoich kolegow rna siy udae po przejsciu przez pierwsze urzqdzenie rozszczepiajqce, wowczas druga z tych drog jest calkiern bez znaczenia. W takirn razie, gdy tylko dotrze do drugiego urzqdzenia rozpraszajqcego, to dotrze tam wylqcznie z jednego kie-
B ~ ~A(JA 1/
1/
,/ liP S
"
Q-/---- -
t, II I /I
Rys. 21.9. Interferometr Macha-Zehndera w skali mi"dzygwiezdnej. Sk,!d foton moze wiedziec w chwili wychodzenia z pierwszego UfZ'!dzenia rozszczepiaj,!cego, ze zamiast ustawienia z rys. 21.8, zwierciadla w DiE dokonaj,! odbicia cz"sci paczki faJowej do drugiego UfZ'!dzenia rozszczepiaj'!cego? Po takim przejsciu jedynie detektor A jest w stanie zarejestrowac docieraj,!CY do niego foton.
491
21
Cz~stka
kwantowa
runku i moze poruszac si~ dalej alba w kierunku A, alba B. Nie rna tu miejsca na wygaszanie interferencyjne uniemozliwiaj(!ce mu pojawienie si~ w detektorze B. PoniewaZ tylko A dokonuje rejestracji docieraj(!cego fotonu, z tego nie wynika, ze opuszczaj(!c pierwsze urz(!dzenie, foton dokonal takiego a nie innego wyboru. Koniecznie nale.zy przyj(!c do wiadomosci, ze foton "czuje" obie alternatywne drogi jednoczesnie w przejsciu od jednego urz(!dzenia rozszczepiaj(!cego do drugiego B• Naturalnie, przyznac musz~, ze w tym opisie eksperymentow w skali astronomicznej puscilem nieco wodze fantazji. Jest oczywiste, ze zaden taki eksperyment kwantowy nie zostal przeprowadzony! Wykonano jednak wiele doswiadczen podobnego typu (przykladem jest tu tzw. interferometr Macha-Zehndera), w ktorych dlugosci drog liczyc nale.zy raczej w metrach niZ w latach swietlnych i przewidywania mechaniki kwantowej w zadnym z nich nie zostaly zanegowane. Glowna zagadka sprowadza si~ do tego, ze jakims sposobem foton (albo inn a cz(!stka kwantowa) "wie", jaki rodzaj pomiaru zostanie przeprowadzony, na dlugo przed jego dokonaniem. Jakim cudem w momencie przechodzenia przez pierwsze urz(!dzenie rozszczepiaj(!ce moze on przewidziec, czy b~dzie potem obserwowany w trybie "cz(!stkowym" czy tez "falowym"? Teoria kwantowa polega na tym, ze nie obdarza cz(!stki zadn(! tak(! zdolnosci(! "przewidywania", lecz po prostu akceptuje nielokalny, holistyczny charakter funkcji falowej. W obydwu opisanych doswiadczeniach rozwazamy funkcj~ falow(!, ktora zostaje rozszczepiona na dwie cz~sci przez pierwsze urz(!dzenie, natomiast korpuskularny charakter fali/cz(!stki pojawia si~ dopiero przy detektorze, gdy przeprowadzany jest ostateczny pomiar. Ten pomiar pokazuje jawnie holistyczn(! natur~ funkcji falowej, w tym sensie, ze cz(!stka pojawia si~ dokladnie w jednym miejscu, co uniemozliwia jej jednoczesne wyst(!pienie gdziekolwiek indziej.
21.8 Tajemnicze "skoki kwantowe"
492
Ale teraz pojawia si~ inny powazny problem. Jakie fizyczne okolicznosci i jaka sytuacja informuj(! nas, ze mamy do czynienia z "pomiarem"? Dlaczego po tym, gdy z satysfakcj(! u.zylismy funkcji falowej do opisu cz(!stki jako fali, rozci(!gaj(!cej si~ w dwu roznych kierunkach przez bezmiar przestrzeni, z chwil(! wykrycia jej przez detektor zmuszeni jestesmy nagle powrocic do przedstawienia jej jako zlokalizowanej cz(!stki? Ten sam zadziwiaj(!cy obraz cz(!stki kwantowej wydaje siy wlasciwy zarowno do wyjasnienia jej detekcji na ekranie w eksperymencie dwoch szczelin, jak i w przypadku rejestrowania jej przez (nieokreslone) detektory, zastosowane przez moich kosmicznych kolegow. W naszkicowanym do tej pory opisie wszystko wskazuje na to, ze falowa natura jest zachowana az do momentu, w ktorym zdecydujemy siy "dokonac pomiaru" rejestruj(!cego cz(!stky, ale wtedy musimy nagle wrocic do opisu korpuskularnego. Mamy wiyc do czynienia z bardzo nieprzyjemn(!, nieci(!gl(! (i nielokaln(!) zmian(! stanu - ze skokiem kwantowym - w ktorym przechodzimy od obrazu funkcji falowej do "rzeczywistosci", jak(! odkrywa pomiar fi-
Tajemnicze "skoki kwantowe"
21.8
zyczny. Dlaczego? Co jest takiego w procesie detekcji, co wymaga od nas zastosowania w przypadku pomiaru (wysoce nielokalnej) procedury matematycznej, ale zupelnie innej od standardowej procedury ewolucji kwantowej, jakl! otwiera rownanie SchrOdingera? Tl! zagadkowl! sprawl! zajmt( sit( bardziej szczegolowo w rozdz. 23, 29 i 30. Ale nawet jesli zgodzimy sit(, co najmniej na poziomie formalnego opisu matematycznego, ze musimy zaadaptowae tt( dziwacznl! procedurt( "skokowl!", pozostaje kwestia, czego dowiadujemy sit( 0 "realnosci" funkcji falowej. Ten "skok" stanu kwantowego - proces, ktory nie wydaje sit( mozliwy do ujt(cia przez jakl!s ewolucjt( zgodnl! z rownaniem SchrOdingera - sklanial bardzo wielu fizykow do powl!tpiewania, ze ewolucja wektora stanu moze bye powaznie rozwaZana jako adekwatny opis fizycznej rzeczywistosci. Sam Schrodinger odczuwal powazny dyskomfort z powodu "skokow kwantowych", a nawet kiedys zwierzyl sit( w rozmowie z Nielsem Bohrem9 : Jesli wszystkie te choleme skoki kwantowe majq rzeczywiscie pozostac, to powinienem zalowac, ze w ogole dalem sic;: wciqgnqc w tc;: calq teoric;: kwantow.
Tymczasem jednak zaakceptujmy ten dziwny opis, przynajmniej jako matematyczny model kwantowego swiata, w ktorym stan kwantowy przez chwilt( ewoluuje w postaci funkcji falowej - zwykle rozcil!gnit(tej w przestrzeni (ale mozliwej do zogniskowania w jakims bardziej zlokalizowanym obszarze) - ale z chwill! dokonania pomiaru stan ten "kurczy" sit( nagle do postaci zlokalizowanej i konkretnej. Ta natychmiastowa lokalizacja wystt(puje bez wzglt(du na to, jak bardzo rozlegla bylaby funkcja falowa przed pomiarem, a po pomiarze stan ten nadal ewoluuje jak fala Schrodingera, zaczynajl!c od tej konkretnej, zlokalizowanej konfiguracji, rozprzestrzeniajl!c sit( znoWll az do momentu przeprowadzenia nastt(pnego pomiaru. Na podstawie prezentowanych sytuacji eksperymentalnych (i "eksperymentow myslowych") moglibysmy odniese wraZenie, ze aspekty korpuskularne cZl!stki/fali przejawiajl! sit( w akcie pomiaru, podczas gdy charakter falowy wystt(puje mit(dzy kolejnymi pomiarami. Taki obraz nie jest daleki od prawdy, ktorl! przekazuje mechanika kwantowa, ale tych dwoch aspektow fali!czl!stki nie mozna tak latwo okreslie. Podczas gdy niektorzy fizycy rzeczywiscie uwazajl!, ze wszystkie pomiary, w ostatecznym rachunku, Sl! pomiarami polozenia lO , ja uznajt( to za zbyt wl!ski punkt widzenia. Sl!dzt(, ze sposob, w jaki zwykle przedstawiany jest formalizm kwantowy, bynajmniej nie wymaga, zeby wszystkie pomiary byly jedynie pomiarami polozenia. Na przyklad pomiar pt(du cZl!stki (albo, powiedzmy, pomiar jej momentu pt(du wzglt(dem pewnej osi) jest rownie dobry jak pomiar polozenia. Sprawt( relacji mit(dzy pomiarami polozenia i pt(du omowit( w rozdz. 21.11, ale ogolne zagadnienie kwantowego ujt(cia pomiaru przedstawit( w nastt(pnym rozdziale. Matematyczny opis fizycznego pomiaru ukladu kwantowego okaze sit( czyms bardzo roznym od kwantowej ewolucji (Schrodingera). Kontrowersje, ktore wynikajl! z tego zadziwiajl!cego faktu, przedyskutujemy pozniej, a najbardziej kompletnie w rozdz. 29.
493
21
Czqstka kwantowa
21.9 Rozkfad prawdopodobienstwa i funkcja falowa Zajrnijrny siy teraz nieco wyzszyrn zagadnieniern, a rnianowicie: jakie informacje o polozeniu cz'!stki przekazuje nam funkcja falowa 1fJ? Reguly mechaniki kwantowej mowi,!, ze kwadrat modulu 11fJ1 2(= ijJ1fJ; zob. rozdz. 10.1) naleZy interpretowac jako rozldad prawdopodobienstwa, iZ dokonuj,!c pomiaru polozenia cz'!stki, zlokalizujemy j,! gdzies w przestrzeni. Wynika z tego, ze w miejscu, w ktorym wartosc bezwzglydna funkcji falowej jest najwiyksza, rnamy maksymaln,! szansy znalezienia cz'!stki, tam zas, gdzie funkcja falowa przyjmuje wartosc zero, cZqstki nie mozna znaleic. Jednak calkowite prawdopodobienstwo istnienia cZqstki gdzieS w przestrzeni musi bye rowne 1; dlatego calka po calej przestrzeni z 11fJ1 2 , a wiyd 1 111fJ11 = fE311fJ(XWdx1 /\ dx
2
/\
dx3,
jest rowna 1: 111fJ11 = 1.
494
Jesli ten warunekjest spelniony, to mowirny, ze funkcja falowa 1fJ jest unormowana. Warunek normalizacji rna irytujqq wlasciwosc, eliminuje bowiem funkcjy falowq "stanu pydowego" 1fJ = e iP • x/ \ z ktorl! rozpoczylismy naszl! analizy, poniewaz 11fJ1 2 = 1 w calej nieskonczonej przestrzeni, w zwi'!Zku z czym podana calka (rowna calkowitej objytosci przestrzeni) jest rozbieina. Z tego powodu musimy uznac stan pydowy za nierealnq idealizacjy. Mozemy co prawda nieco ulatwic sobie Zycie w odniesieniu do stanow pydowych, jesli przyjmiemy trochy mniej rygorystyczne stanowisko w sprawie normalizacji funkcji falowej. Bydziemy nadal mowic 0 1fJ jako o "funkcji falowej" nawet wtedy, gdy nie spetnia ona wymogu normalizacji, ale nazywac jq bydziemy unormowanq funkcjq falowq, gdy ten warunek bydzie spelniony. Funkcjy falow,! 1fJ nazywamy normalizowalnq, jesli calka definiujqca 111fJ11 jest zbieZna. W takim przypadku mozemy podzielic 1fJ przez pierwiastek kwadratowy z 111fJ11, aby otrzymac unormowanq funkcjy falowq 1fJ 111fJ11-1/2 • Tylko unormowane funkcje falowe majq szansy na fizycznq realizacjy. lone (np. stany pydowe) stanowiq w istocie fizyczn,! idealizacjy. Zespolona przestrzen wektorowa funkcji falowych (niekoniecznie unormowanych) jest naszq przestrzeniq stanow W. Zmuszony tez bydy dopuscic, ze pewne funkcje falowe mogq miec charakter hiperfunkcyjny (dystrybucyjny; rozdz. 9.7), a powody takiego stanowiska stanq siy niebawem zrozumiale. W odniesieniu do interpretacji fizycznej (dopuszczajqc to mniej rygorystyczne stanowisko) uwazamy, ze jesli funkcjy 1fJ pomnoZymy przez jakqs roznq od zera statq liczb y zespolon'!, to nowa funkcja zaprezentuje ty sam,! sytuacjy fizyczn,! co stara. W kazdym razie jest standardem w teorii kwantowej, ze funkcje 1fJ oraz e i81fJ, gdzie () jest stalq rzeczywistq, uznajemy za fizycznie rownowazne. Innymi slowy, pomnozenie funkcji falowej przez stalq fazy nie rna znaczenia dla opisywanego stanu fizycznego. (Naturalnie, taki czynnik nie zmienia wartosci 11fJ(xW.) Wobec tego mozna rozszerzyc nieco argumentacjy, dopuscic pomnozenie przez dowolny staly niezerowy czynnik K i nadal uwazac, ze mamy do czynienia z rownowaznq funkcj,! falowq:
Rozklad prawdopodobieristwa i funkcja fa Iowa
21.9
(Wiadomo, ze r6wnanie Schrodingera jest r6wnieZ nieczule na tak£! zamian~.) Faktoryzacja przez t~ r6wnowaZnose oznacza przejscie od zespolonej przestrzeni wektorowej W do jej przestrzeni rzutowej JPlW idealizowanych "stan6w fizycznych"; zob. rozdz. 15.6, gdzie wyjasniamy poj~cie przestrzeni rzutowe/ 2. Wiemy, ze og61ne stale przeskalowanie l/J ~ ICIjJ nie zachowuje 1l/J12, musimy wi~c zreinterpretowae poj~cie g~stosci prawdopodobienstwa polozenia cz£!stki w taki spos6b, zeby mozna bylo je stosowae takZe wtedy, gdy l/J nie jest unormowana. Zrobimy to, wprowadzaj£!c skorygowan£! regul~, zgodnie z kt6r£! g~stose prawdopodobienstwa otrzymujemy, gdy podzielimy 1l/J12 przez calk~ z 1l/J12 wzi~t£! po calej przestrzeni:
Dla niekt6rych stan6w, takich jak stany p~dowe, Ill/JII jest rozbieZne, a wi~c nie uzyskujemy w ten spos6b rozs£!dnego rozkladu prawdopodobienstwa (g~stosc prawdopodobienstwa staje si~ wsz~dzie r6wna zeru, co jest sensowne w odniesieniu do pojedynczej cz£!stki w nieskonczonym wszechSwiecie). W zgodzie z tak£! interpretacj£! prawdopodobienstwa funkcja falowa cz~sto bywa nazywana "fal£! prawdopodobienstwa", ale termin ten nie jest wedlug mnie adekwatny. Przede wszystkim sarna funkcja l/J(X) jest funkcj£! zespolon£!, a wi~c z pewnosci£! nie moze bye rozumiana jako prawdopodobienstwo. Ponadto faza l/J (z dokladnosci£! do stalego czynnika) stanowi istotny element schrodingerowskiej ewolucji. Nawet rozpatrywanie 1l/J12 (albo 1l/J12/11l/J11) jako "fali prawdopodobienstwa" nie wydaje mi si~ bardzo sensowne. Zwr6emy uwag~, ze w przypadku stanu p~do wego modul Il/JI funkcji falowej l/J jest constant w calej czasoprzestrzeni. W module Il/JI nie rna nawet informacji 0 kierunku ruchu naszej fali! Tylko sarna faza nadaje jej charakter "falowy". Pami~tajmy jeszcze, ze prawdopodobienstwa nigdy nie s£! ujemne, nie m6wi£!c juz 0 funkcjach zespolonych. Gdyby funkcja falowa byla po prostu fal£! prawdopodobienstwa, w6wczas nie mogloby pojawie si~ interferencyjne wygaszanie. To wygaszanie jest charakterystyczn£! cech£! mechaniki kwantowej, co obrazowo ujawnia si~ w eksperymencie dw6ch szczelin (rys. 21.4d)! W tym miejscu chcialbym nieco poszerzye pole naszej dyskusji i nawi(!Zae do rozwazan z rozdz. 19.4 na temat pol a elektromagnetycznego i zwi£!zanej z nim koneksji cechowania V. Jesli nasza funkcja falowa opisuje cz£!stk~ naladowan£!, w6wczas mozemy dokonac transformacji cechowania 0 postaci l/J ~ eiOl/J, gdzie 0(= O(x» jest dowoln£! rzeczywist£! funkcj£! polozenia, gdy zaloiymy niezb~dn£! "symetri~ cechowania", kt6ra umozliwia traktowanie elektromagnetyzmu jako koneksji cechowania. Ale czyz nie stwierdzilem dopiero, ze schrodingerowska ewolucja w czasie w istotny spos6b zaleiy od naszej wiedzy 0 tym, jak fazy funkcji falowej zmieniaj£! si~ od miejsca do miejsca? Zastosowanie transformacji cecho-
495
21
CzC\stka kwantowa wania 1jJ ~ e i81jJ pozwalaloby na zupelnie dowoln'! zmiany fazy! Czyz nie ma sprzecznosci z tym, co przed chwil,! glosilem, 0 kluczowym fizycznym znaczeniu roli zmiennosci fazy? Otoz okazuje siy, ze wcale nie: dopuszczalne s,! zmiany fazy, jednak tylko wtedy, gdy towarzyszy im kompensuj,!ca zmiana operatorow aJaxa (tzn. w pydach). Taka zmiana (aJax· ~ aJax· - ieAa, gdzie A. = "Vae oraz e = 1) pozostawia niezmienione dzialanie koneksji wi,!zki V. Informacja na temat fazy zostala zachowana, ale jest obecnie zmieszana z definicj,! V. Nie mozna teraz zastosowae samej transformacji 1jJ ~ e i81jJ, z arbitralnie zmieniaj,!C'! siy e, i miee nadziei, ze sytuacja fizyczna pozostanie niezmieniona. Szczegoly zmiennosci przestrzennej e (w zwi¥ku z V) S,! istotne dla ewolucji dynamicznej stanu i bydy siy upieral, ze 1jJ jest czyms znacznie wazniejszyrn niz fala prawdopodobienstwa. W kazdym razie, jesli 1jJ opisuje nienaladowan,! faly/cz,!stky (e = 0), wowczas sytuacja pozostaje taka jak poprzednio opisana.
21.10 Stany potozeniowe Nie ulega w'!tpliwosci, ze funkcja falowa musi bye pojyciem bardziej "realnym", niZ gdyby byla jedynie "fal,! prawdopodobienstwa". Rownanie Schrodingera precyzyjnie opisuje jej ewolucjy w czasie (bez wzglydu na to, czy chodzi 0 cz'!stki naladowane czy nienaladowane), a zalei;y ona w sposob krytyczny od tego, jak faza zmienia siy od jednego punktu przestrzennego do innego. Kiedy jednak pytamy funkcjy falow,! 0 to, "gdzie jest cz'!stka", i przeprowadzamy pomiar jej polozenia, musimy bye przekonani, ze w ten sposob tracimy informacjy 0 rozkladzie faz. Istotnie, po dokonaniu pomiaru musimywystartowae z now'! funkcj,! falow'!. Jesli w wyniku eksperymentu wiemy, ze "cz'!stka jest tutaj", wowczas nasza nowa funkcja falowa musi miee bardzo wyrazny pik w polozeniu "tutaj", ale szybko rozproszy siy zgodnie z ewolucj,! schrodingerowsk'!. Gdyby nasz pomiar polozenia byl absolutnie dokladny, to nowy stan musialby miee "nieskonczony pik" w tym miejscu; w rzeczywistosci bylby opisany przez funkcjy delta Diraca, a ktorq zetknylismy siy krotko w rozdz. 6.6, a w rozdz. 9.7 spotkalismy j,! w przebraniu hiperfunkcji. Przyjrzyjmy siy, jak formalizm mechaniki kwantowej sobie z tym radzi. Dla ulatwienia rozwazmy pomiar tylko jednej skladowej polozenia cz'!stki, niech to bydzie wspolrzydna Xl. Wynikiem pomiaru powinien bye stan 0 "okreslonej wartosci Xl"; a zatem, zgodnie z tym, co ustalilismy w przypadku pydu, z'!damy, zeby 1jJ byla stanem wlasnym operatoraxl (tzn. operacji pomnozenia przezxl ), z wartosci,! wlasn,! przyjmuj,!C'! szczegoln'! wartose Xl, ktora jest konkretn,! wartosci,! wspolrZydnej Xl, W jakiej znalazla siy cz'!stka. Aby dzialanie Xl, a mianowicie 1jJ ~ XI1jJ,
496
dawalo wspolrzydnej Xl wartose Xl (ktora jest liczb,! rzeczywist'!), z,!damy spelnienia rownania na wartosci wlasne
Stany poloieniowe 21.10 xl'IjJ=XI'IjJ
(gdzie Xl jest operatorem liniowym, a Xl jest liczb,!). Rownanie to jest spelnione przez 'IjJ
=
8(XI_XI),
gdzie 8(x) jest "funkcj,! delta" Diraca, ktor,! zdefiniowalismy Gako hiperfunkcjy) w rozdz. 9.7. Funkcja ta bowiem rna wlasnosc[21.13] x8(x) = 0, sk,!d wynika, ze (Xl_Xl) 8(XI_XI) = 0, a zatemx I8(x l _XI ) =XI8(XI_XI), zgodnie z wymaganiem. Owa "funkcja falowa" nie jest funkcj,! w zwyklym sensie, ale wyidealizowan,! (hiperfunkcj,! alba dystrybucj'!) i rna nieskonczony "pik" dla wartosci wlasnej Xl = Xl. Ten konkretny pomiar nie informuje 0 pozostalych zmiennych przestrzennych i funkcja falowa moze nadal zmieniac siy dowolnie ze wzglydu na tamte wspolrZydne, dostarczaj,!c w ten sposob funkcji skaluj,!cej funkcjy delta, ktor'! jest dow zwi,!zku z czym otrzymujemy wolna funkcja pozostalych wspolrzydnych i wyrazenie 'IjJ =
r r,
na ogolny stan wlasny operator a Xl. Mozemy post,!pic w ten sposob i zapytac o stan, ktory bydzie jednoczeSnie stanem wlasnym wszystkich trzech wspolrzydnych przestrzennych. (Jest to uprawnione, poniewaz wszystkie operatory Xl ,x2 ix3 komutuj,! ze sob'!. J esli mamy pewien zbior obserwabli kwantowomechanicznych, ktore komutuj,! ze sob,!, wowczas istniej,! stany wlasne wspolne dla nich wszystkich i stanowi to wlasnosc ogoln,!; zob. rozdz. 22.13 13 .) W odpowiedzi na postawione pytanie dowiadujemy siy, ze jesli wynikiem takiego (potrojnego) pomiaru przestrzennego jest wartosc (wartosc wlasna) X = (Xl, X 2 , X 3 ), to (z dokiadnosci,! czynnika liczbowego) 'IjJ
=
8(XI - Xl) 8(r - X2) 8(r _ X 3 ) =
=8(x-X), gdzie ostatnie wyrazenie jest zdefiniowane w poprzednim wierszu 14 • I tak wlasnie wygl,!da stan polozeniowy. Takie "stany polozeniowe" s,! wyidealizowanymi funkcjami falowymi w sensie przeciwnym do stanow pydowych. Podczas gdy stany pydowe s,! nieskonczenie rozci,!gle w przestrzeni, to stany polozeniowe s,! nieskonczenie skoncentrowane. Ani jedne, ani drugie nie s,! normalizowalne (klopot z funkcj,! 'IjJ = 8(x - X) polega na tym, ze funkcji delta nie mozna podniesc do kwadratu, zob. rozdz. 9.7). Rozdzial niniejszy zakonczy pokazaniem, ze istnieje wai:na dualnosc miydzy polozeniem a pydem, ktora tlumaczy to zagadnienie.
~
[21.13] Sprawdz to na podstawie definicji hiperfunkcji podanej w rozdz. 9.7.
497
21
Czqstka kwantowa
21.11 Opis w przestrzeni pQd6w
Do tego momentu przedstawialem stany kwantowe wylqcznie jako funkcje poloien: funkcje falowe. Oznacza to, ie kaidy stan - element przestrzeni W - jest rozumiany jako kombinacja liniowa stanow wlasnych operatora poloienia x, a wiyc stanow poloieniowych - stany o(x - X). Przedstawienie funkcji falowej t/J jako funkcji poloienia oznacza w rezultacie, ie traktujemy jq jako kombinacjy liniowq takich funkcji delta. Moiemy to uzyskae za pomocq wzoru t/J(x) = ft/J(X)o(x - X)d 3X, ktory wyraia t/J(x) jako ich ciqglq kombinacjy liniowq, gdzie d3X = d¥l /\ d¥2 /\ d¥3. W tym wzorze "wspolczynnikami" tej kombinacji liniowej Sq liczby zespolone t/J(X). Jest jednak wiele innych sposobow przedstawienia stanu kwantowego t/J. Moiemy na przyklad ujqe go jako kombinacjy liniowq stanow pydowych e iP ' X / h• Teraz "wspolczynniki" Sq innymi liczbami zespolonymi, pod ktore podstawimy (21t t 3/2 pomnoione przez wielkosci $(P) i w ten sposob otrzymujemy wzor: t/J(x) = (21tt3/2
13 $(P) e
iP xJh '
d 3P.
(Powod, dla ktorego pojawil siy czynnik (21tr3/2, zostanie niebawem wyjasniony.) Wzor ten przedstawia t/J(x) jako transformaty Fouriera pewnej funkcji $(P), dokladnie tak, jak to uczynilismy w rozdz. 9.4, z tym wyjqtkiem, ie tutaj wystypuje 3-wymiarowa transformata Fouriera, co powoduje trzykrotne zastosowanie wzoru z rozdz. 9.4. To sugeruje, ie $ Qako funkcja P, ale teraz moiemy jq traktowae jako funkcjy p) moie bye rownie dobrq reprezentacjq stanu kwantowego cZqstki jak oryginalna funkcja t/J(x). I rzeczywiscie, miydzy zmiennymi poloienia i pydu zachodzi bardzo scisla symetria. Moiemy bowiem rozpatrywae zmienne pydowe p jako zmienne pierwotne, a zmienne poloienia x przedstawie jako "roiniczkowanie ze wzglydu na p", a wiyc wprowadziC interpretacjy odwrotnq (zauwaimy zmiany znaku): X a =-1'Ii -
8 8Pa
najmniej dla zmiennych przestrzennych xl, x2, x3)l21.14J• Rzeczywiscie, relacje komutacji Sq identyczne z pokazanymi poprzednio (CO
Pbxa -xaPb= iii o~. Stojqca po prawej stronie tych wyraien "niewidzialna" funkcja winna bye teraz raczej funkcjq pydow Pa nii poloien xa. Stany pydowe Sq teraz reprezentowane przez funkcje delta o(p - P) Diraca, natomiast stany poloieniowe przez fale plaskie e-ip • XJh • "Funkcje falowe" pydow wyraiajq siy przez stany wlasne operatora poloien, e-ip • XJ\ przez praktycznie identyczne (odwrotne) transformaty Fouriera: 1m [21.14] Pokaz, ze zamiana l/J na x1l/J lub na ih&!jJIEJx 1 koresponduje, odpowiednio, z za-
498
a mian'l iiJ na ih8iiJI8p 1 lub na pliiJ. Pokaz, ze zamiana l/J(x a) na l/J(x a+ C ) odpowiada zamianie l/J na e-iC"P,IhiiJ (gdzie a przyjmuje wartosci 1, 2, 3).
Opis w przestrzeni ped6w 21.11
if;(p)
=
(21tt3/2
I
3 E
tp(X)
e-ip.X/h
d3X,
jedynie ze zmian~ znaku w wykladniku. (Teraz widzimy, jaki byl powod wprowadzenia czynnika (21tt3/2; chodzilo 0 to, zeby wyraienia na prost~ i odwrotn~ transformat(( Fouriera byly symetryczne.) Opis paczek falowych w przestrzeni p((dow jest podobny do opisu w przestrzeni polozen[21.151• Mozna wprowadzie precyzyjne okreslenie poj((cia "nieokreslonosci" (albo "rozmycia") paczki falowej zarowno w opisie polozeniowym, jak i p((dowym. Oznaczmy miary tych "nieokreslonosci", odpowiednio, przez Ax i ,,1p. Zasada nieoznaczonosci Heisenberga mowi nam, ze iloczyn tych nieokrdlonosci nie moze bye mniejszy niz polowa stalej Plancka, i otrzymujemy15
,,1p Ax ;G
tn.
Stany potozeniowe, stany p((dowe i paczki falowe zilustrowane s~ na rys. 21.10 zarowno w reprezentacji p((dow, jak i polozen. Zauwazmy, ze w ekstremalnym przypadku czystego stanu p((dowego nieokreslonose p((du wynosi zero, a wi((c ,,1p = 0 (tzn. jest to funkcja delta w przestrzeni p((dow). Z zasady Heisenberga wynika, ze Ax staje si(( teraz nieskonczone, zgodnie z obrazem opisanym poprzednio (w rozdz. 21.6), gdzie funkcja falowa zostaje rozmyta jednorodnie w calej przestrzeni polozen. Sytuacja jest odwrotna w przypadku stanu polozeniowego, gdzie Ax = 0: polozenie jest okreslone dokladnie, podczas gdy nieokreslonose p((du ,,1p staje si(( nieskonczona.
l A"" A"', V-OX
V-V-V-V-V-V4V
-j -j .j
"/d\flGOoo vl/lJV Vvv
0
tit 'vr
p•
"j I\~I\
x•
<j
x•
<j
x•
'lA""AHA4
'~f "/dJflGflflA
lTv VVVVIP
v-v-v-v
~v-v-v
p•
•
P
vp
Rys. 21.10. Wykresy funkcji falowej tp w reprezentacji polozen przedstawione S4 po lewej stronie rysunku, a odpowiednie wykresy funkcji ipw reprezentacji pctd6w po prawej. Para wykres6w na samej g6rze ilustruje stan Pctdowy, a para na samym dole stan polozeniowy. Mictdzy nimi zamieszczono ilustracje paczek falowych. Zasada nieoznaczonosci Heisenberga jest wyobrazona w ten spos6b, ze wictkszemu rozmyciu w pctdach odpowiada mniejsze rozmycie w polozeniach i vice versa.
~ [21.15] Skorzystaj z wynikow ewiczen [21.11], [21.13] i [21.14], aby pokazac, ze transfor2 mat'! Fouriera paczki falowej 1/J =Ae-B2(x-C) e iwx jest;P = (AeiwC/BJ2)e-(P-w)2/4B2e-iCp (klad,!c, dla wygody, h = 1).
499
21
CZ'lstka kwantowa
Jest interesuj,,!ce, ze mamy tutaj przyklady, ktore jasno ilustruj,,! kwantowomechaniczn"! niezgodnosc pomiarow niekomutuj,,!cych wielkosci (jest to zjawisko ogolne, z ktorym b((dziemy CZ((sto stykali si(( w dalszych rozwazaniach). Pomiar p((du cz"!stki przeprowadza j,,! w stan p((dowy, odpowiadaj,,!cy pewnej klasycznej wartosci p((du P, i kazdy kolejny pomiar p((du w tym stanie da nam w wyniku t(( sam,,! wartosc P. Gdybysmy jednak w tym stanie przeprowadzili kolejny pomiar, ale bylby to pomiar p%ienia, wtedy zupelnie nie mozna byloby przewidziec wyniku i kazda wartosc polozenia bylaby rownie prawdopodobna. Taki pomiar powoduje, ze stan kwantowy staje si(( funkcj,,! delta w reprezentacji polozen. W przestrzeni p((dow taki stan jest fal,,! pi ask,,! i rozci,,!ga si(( jednorodnie po wszystkich mozliwych wartosciach p((du. Wynik kolejnego pomiaru p((du w takim stanie jest nie do przewidzenia. Tak wi((c sam akt dokonywania pomiaru polozenia kompletnie niszczy czystosc wyjsciowego stanu P((dowego. Nalei:y wspomniec, ze zgodnie z teori,,! wzgl((dnosci (rozdz. 18.7) istnieje podobna zasada nieoznaczonosci Heisenberga dotycz"!ca energii i czasu:
500
Zwykle uwaza si((, iz status fizyczny tej zasady jest nieco inny niz bardziej znanej zasady nieoznaczonosci p((du/polozenia, poniewaz w standardowej mechanice kwantowej czas jest traktowany jako parametr zewn((trzny, a nie jako zmienna dynamiczna. Interpretacja zasady nieoznaczonosci energia/czas jest taka, ze jeSli energi(( systemu kwantowego okreslamy na podstawie pomiaru przeprowadzonego w czasie Lit, wowczas nieokreslonosc energii zmierzonej w tym czasie, LiE, musi spelniac przedstawion"! relacjy. Zagadnienie to rna istotne znaczenie w odniesieniu na przyklad do niestabilnych j,,!der. Fakt, ze takie j,,!dro (powiedzmy uranu) jest niestabilne, oznacza, iz istnieje graniczny przedzial czasowy - mianowicie czas i:ycia cz"!stki - podczas ktorego mozna okreslic energi(( cz"!stki. Zgodnie z tym zasada Heisenberga wyznacza fundamentaln"! nieoznaczonosc energii - dla niestabilnej cz"!stki alba niestabilnego j,,!dra - ktorej wielkosc jest odwrotnie proporcjonalna do jej czasu i:ycia. Ze wzgl((du na relacj(( Einsteina E = me 2 (zob. rozdz. 18.7) wyznacza to podstawow"! nieoznaczonosc masy cz"!stki. Na przyklad czas i:ycia j,,!dra uranu 238U wynosi 109 lat, wobec czego nieoznaczonosc energii wynosi ok. 10-51 dzula, a odpowiednia nieoznaczonosc masy b((dzie niezwykle mala, okolo 1O-Q8 kg. (Funkcja faIowa cz"!stki niestabilnej odbiega od zalei:nosci e-iEtlh dla okreslonej, rzeczywistej16 wartosci energii E, gdyz pojawia si(( rowniei: wykladniczy czynnik zanikaj,,!cy. Poniewaz nie jest to stan wlasny energii, wi((c wyst((puje rozmycie mierzonej energii i to wlasnie daje nieoznaczonosc energii.) Zasada nieoznaczonosci Heisenberga w odniesieniu do energii i czasu b((dzie odgrywac szczegoln"! rol(( w rozdz. 30.11 w zwi,,!zku z prob,,! rozwi,,!zania zagadki pomiaru kwantowego!
Przypisy
Przypisy I
Rozdzial21.1 Jest to przyklad tzw. zwyczajnego r6wnania r6zniczkowego, czyli ODE (ordinary differential equation), poniewaz wprowadza tylko zwylde operatoI)' r6zniczkowe, takie jak dldx, d/dy etc.lub ich pott(gi, np. d3/dx 3• R6wnanie r6zniczkowe czqstkowe, czyli PDE (partial differential equation), byloby r6wnaniem wprowadzajl!cym cZl!stkowe operatoI)' r6zniczkowe a/ax, (f/ax 2 , (f/axay etc., takie jakie wystt(pujl! w r6wnaniach Maxwella lub Einsteina w rozdz. 19.
Rozdzial 21.2 Aby jednak zapis byl konsekwentny (zob. takZe rozdz. 21.3), poslugujt( sit( notacjl! odpowiednil! dla teorii wzglt(dnosci (rozdz. 18.7), w zwi¥ku z czym przestrzenne sldadowe pt(d6w w p. majl! znaki przeciwne do zwyklych skladowych pt(d6w (kt6re z kolei sl! skladowymi przestrzennymi p. pomnozonymi przez c-2). Wyb6r ten jest zgodny z moimi uwagami w rozdz. 20.2, poniewaZ ui:ywam tutaj raczej x, a nie q og6lnego formalizmu Lagrange'a!Hamiltona. 3 Ta niezaleznose od czasu zapewnia, ze mozemy zachowae interpretacjt( hamiltonianu jako zachowanej energii calkowitej. Czytelnik moze bye zaniepokojony faktem, ze skoro dopuszczarny zaleznose od wsp6lrzt(dnych przestrzennych, to fundamentalny wym6g niezmienniczosci relatywistycznej prowadzi do wymogu zaleznosci r6wniez od czasu (zob. takZe przyp. 3 w rozdz. 20). Jednak na poziomie fundamentalnym normalnym zl!daniem bylaby niezaleznose zar6wno od czasu, jak i od zmiennych przestrzennych. 4 Zob. Woodhouse (1991). 2
Rozdzial21.4 Termin "doskonale czarne" oznacza, ze cialo otaczajl!ce Gesli tylko to mozliwe) calkowicie pochlania promieniowanie. W tych wczesnych eksperymentach stosowano prawie idealnie sfeI)'cznl! ciemnl! dziurt(, pochianiajl!cl! promieniowanie, z bardzo wl!skim otworem ll!czl!cym jej wnt(trze z otoczeniem. W wysokiej temperaturze jednak sarno cialo otaczajl!ce moglo swiecie, a wit(c nie wygll!dalo jak cialo doskonale czarne. 6 W opisie tego ekspeI)'mentu przedstawiam sytuacjt( wyidealizowanl!, pomijajl!c szczeg6ly techniczne, gdyz moim zamiarem jest ukazanie jedynie istotnych element6w.
5
Rozdzial 21. 7 W rzeczywistym eksperymencie skorzystalibysmy z efekt6w interferencyjnych mit(dzy falami odbitymi od dw6ch powierzchni cienkiego, przezroczystego materialu. 8 W sformulowaniu mechaniki kwantowej, kt6re nosi nazwt( teorii de Broglie'a-Bohma (Bohm, Hiley 1994) oba aspekty, fali i cZl!stki, Sl! jednoczeSnie zachowane. W tym opisie cZl!stka rzeczywiscie dokonuje wyboru drogi przy urzl!dzeniu rozszczepiajl!cym, ail: fala przenosi sit( dalej, obydwiema drogami jednoczesnie. Kiedy dociera do ostatniego urzl!dzenia, to "instruuje" cZl!stkt(, ze rna dotrzee do detektora A, a zabrania poruszae sit( w kierunku B. Spr6bujt( zajl!e sit( tym interesujl!cym, ale "niekonwencjonalnym" (i wcil!z nielokalnym) punktern widzenia w rozdz. 29.2, 9. 7
Rozdzial21.8 Zanotowal to Heisenberg (1971), s. 73. 10 Zob. Goldstein (1987); Bell (1987). 9
Rozdzial21.9 Wielu autor6w definiuje "normt(" jako pierwiastek kwadratowy wielkosci, kt6rl! tutaj oznaczam przez 111f!11, a zatem ich 111f!112 to moje 111f!11. 12 R6zni autorzy przedstawiajl! formalizm kwantowomechaniczny w spos6b bardziej elegancki, nie poslugujl!c sit( przestrzeniami rzutowymi. Zob. szczeg6lnie Brody, Hughston (2001); Hughston (1995); Ashtekar, Schilling (1998). II
501
21
CZ(lstka kwantowa
Rozdzial21.10 Ta wlasnosc kornutujqcych obserwabli jest dyskutowana w kazdyrn podryczniku rnechaniki kwantowej; zob. np. Shankar (1994). 14 Moierny rnnoZyc przez siebie funkcje delta, jesli odnoszq siy one do r6inych zrniennych. Zob. Arfken, Weber (2000), gdzie ornawiane Sq wlasnosci funkcji delta. 13
Rozdzial21.11 Zob. Shankar (1994). 16 W fizyce cZqstek elernentarnych praktykuje siy zwykle uiywanie tej sarnej zaleinosci od czasu, e-iEtl\ ale z zespolonq wartosciq E, kt6rej cZysc rzeczywista oznacza sredniq wartosc energii, natorniast cZysc urojona wynosi - ~ h In 2 razy odwrotnosc okresu p6lrozpadu zob. np. Das, Ferbel (2004)[21.16]. 15
1m [21.16] Czy wiesz, skqd bierze si(( czynnik - ~ h In 2? (Okres p6lrozpadu jest to czas, po kt6ryrn prawdopodobienstwo rozpadu zrnniejsza si(( do polowy.)
22 Kwantowa algebra, geometria i spin 22.1 Procedury kwantowe U i R NIEINTUICYJNA natura mechaniki kwantowej - albo, raczej, samej Przyrody na poziomie jej kwantowego dzialania - doprowadza do desperacji wielu badaczy usilujqcych znalezc jakis godny zaufania obraz zjawisk kwantowych. A jednak, oprocz eleganckiej struktury algebraicznej, z mechanikq kwantowq zwiqzana jest rowniez piykna geometria. Byloby wielkq stratq, gdyby ktos uwazal, ze aby sensownie poruszac siy w swiecie kwantowym, trzeba koniecznie zgodzic siy na jakis nieintuicyjny, trudny do wyobrazenia formalizm matematyczny. Widzielismy przeciez, ze nawet pojedyncza, bezksztaltna "czqstka punktowa" w formalizmie kwantowym okazuje siy rozmytym w przestrzeni, falowym bytern, ktory rna fascynujqcq struktury matematycznq, w jakiej przejawia siy wiele aspektow magii liczb zespolonych. Obraz taki pozwala nam jakos zaakceptowac opis kwantowy pojedynczej CZqstki punktowej, a zrozumiawszy, czym jest pojedyncza cZqstka kwantowa, moglibysmy ulec zludzeniu, ze w zasadzie przynajmniej mamy klucz do zrozumienia ukladow skladajqcych siy z wielu roznych czqstek. Niestety, te oczekiwania Sq przedwczesne i potrzebujemy znacznie szerszej perspektywy, aby dotrzec do spojnego kwantowego obrazu swiata. W rozdz. 23 zobaczymy, ile klopotow mamy ze zrozumieniem naszego obrazu, gdy pojawia siy w nim wiyksza liczba cZqstek, ktorych wspolnq obecnosc musimy uwzglydnic. Okazuje siy wtedy, ze nie mozemy juz rozpatrywac takiego ukladu jako zbioru indywidualnych cZqstek, charakteryzujqcych siy oddzielnymi "wektorami stanu", ale ze jest rzeCZq koniecznq. opisanie calego ukladu za pomocq jednego wektora stanu, w ktorym wszystkie te indywidualne stany Sq dokladnie splqtane. Okazuje siy przy tym, ze nawet pojedyncze "czqstki punktowe" majq znacznie bogatszq struktury. CZysto zdarza siy, ze czqstki charakteryzujq siy wlasnosciq, ktorq nazywamy spinem i z ktorq wiq.Zq siy dodatkowe komplikacje. Zobaczymy jednak w dalszej cZysci tego rozdzialu, ze matematyka zwiqzana ze spinem jest niezwykle bogata i wdziyczna i przejawiajq siy w niej inne aspekty geometrii i magii liczb zespolonych. Podsumujmy rozwaiania poprzedniego rozdzialu, w ktorym musielismy siy oswoic z faktem, ze (nierelatywistyczna) cZqstka kwantowa jest czyms, cze-
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
504
go opis zawarty jest w wektorze stanu (czyli w funkcji falowej), ktorego ewolucj~ okresla precyzyjnie rownanie Schrodingera - ale tylko do rnomentu przeprowadzenia w tyrn ukladzie pomiaru. W rozdz. 23 zobaczymy, w sposob bardziej jawny, ze to sarno odnosi si~ do wektorow stanu opisuj,!cych cale skomplikowane uklady kwantowe. Sam pomiar opisywany jest maternatycznie w sposob zupelnie rozny od ewolucji schrodingerowskiej. Pewne zwiastuny tej sytuacji pojawily si~ w rozdz. 21.4, 7, 8. W rozdz. 21.10, 11 rozwazalismy pomiary polozenia, w trakcie ktorych stan cz'!stki przechodzil skokowo w jakis (na ogol rozny) stan, zlokalizowany teraz w pewnym szczegolnym miejscu - tzn. w stan, ktory jest wektorem wlasnym operatora polozenia x (ten wektor wlasny okazuje si~ funkcj,! delta Diraca we wspolrz~dnych polozeniowych). Rozwazalismy rowniez wyniki pomiarow p~du (w rozdz. 21.5, 6, 11), podczas ktorych stan cz'!stki skokowo przechodzil w stan wlasny operatora p~du p, w wyniku czego stan cz'!stki stawal si~ stanem rozmytym w przestrzeni na podobienstwo fali (rozrnytej, w zasadzie, po calej przestrzeni). Mowi,!c bardziej ogolnie, pomiar powinien odpowiadae pewnemu operatorowi Q (zwykle jest to operator hermitowski; zob. rozdz. 22.5) i wynikiem pomiaru przeprowadzonego na jakims stanie powinien bye przeskok do pewnego stanu wlasnego operatora Q. Do jakiego stanu wlasnego Q powinien prowadzie ten przeskok? Zgodnie z teori,! kwantow'! jest to sprawa czystego przypadku, ale istniej,! scisle reguly obliczenia prawdopodobienstwa przejscia (zob. rozdz. 22.5). To "skakanie" z jakiegos stanu kwantowego 1 do jednego ze stanow wlasnych operatora Q nazywane jest redukcjq wektora stanu albo redukcjq paczki falowej. Jest to jedna z najbardziej zagadkowych cech teorii kwantowej i do tej sprawy b~dziemy wracae w tej ksi,!zce wielokrotnie. Jestem przekonany, ze wi~k szose fizykow kwantowych nie rozpatruje redukcji wektora stanu jako realnego procesu zachodz'!cego w swiecie fizycznyrn, a raczej jako odzwierciedlenie faktu, ze nie powinnisrny traktowae wektora stanu jako opisuj,!cego "prawdziw,!" rzeczywistose fizyczn,! na poziomie kwantowym. Zajmiemy siy tym spornym problernem bardziej szczeg610wo w rozdz. 29. Niezaleznie od tego, jakie stanowisko zajmiemy w sprawie fizycznej realnosci tego fenomenu, praktyka mechaniki kwantowej jest taka, ze przyjrnujerny, iz stan kwantowy rzeczywiscie przeskakuje w ten dziwny sposob, gdy tylko dokonujemy na nim pomiaru fizycznego. Natychmiast po przeprowadzeniu pomiaru nastypuje ewolucja opisywana rownaniem Schrodingera - az do rnomentu, w ktorym dokonamy kolejnego pomiaru, i tak dalej. Ewolucj~ schrodingerowskl} oznacz~ przez U, a proces redukcji stanu przez R. Ta naprzemiennose pomi~dzy tymi dwoma kompletnie roznymi procedurarni wydaje si~ nad wyraz dziwnym typem zachowania dla naszego Wszechswiata! Zob. rys. 22.1. I rzeczywiscie, mamy prawo sobie wyobrazae, ze jest to jedynie przyblizenie do czegos innego, czego jeszcze nie znamy. Bye moze istnieje bardziej ogolne rownanie matematyczne alba jakas bardziej spojna matema-
Procedury kwantowe U i R 22.1 Rys. 22.1. Czasowa ewoiucja stanu uldadu fizycznego, 1/J, zgodnie z obowillzujllcll doktrynll mechaniki kwantowej, sprowadza sit( do naprzemiennego przechodzenia pomit(dzy dwiema kompietnie roi:nymi procedurami: unitarnll (schr6dingerowskll) ewoiucjll U (cillglll i deterministycznll) oraz redukcjll stanu R (niecillgill i probabilistycznll).
tyczna zasada ewolucji, dla ktorej U i R S1! jedynie przyblizeniami granicznymi? Moja osobista opinia jest taka, ze mamy prawo oczekiwae tego rodzaju zmian w teorii kwantowej - bye moze, jako czyse nowej fizyki XXI wieku - i w rozdz. 30 pozwoly sobie na konkretne sugestie w kierunku realizacji takiej mozliwosci. JednakZe, jak siy wydaje, wiykszose fizykow nie wierzy, zeby taka droga byla specjalnie owocna. Zasadniczym powodem ich niechyci do rozwaZania perspektywy zmiany podstawowych ram mechaniki kwantowej (poza wielk1! elegancj1! matematyczn1! jej formalizmu U) jest nieslychanie imponuj1!ca i precyzyjna zgodnose pomiydzy teori1! kwantow1! a doswiadczeniem, albowiem nie jest nam znany zaden fakt przemawiaj1!CY przeciwko teorii kwantow (w jej obecnej, hybrydowej postaci), natomiast wiele najrozniejszych eksperymentow potwierdza j1! i, co wiycej, z wielk1! dokladnosci1!. W tej sytuacji wiykszose fizykow preferuje zajycie stanowiska filozoficznego (albo raczej jednego z mozliwych, altematywnych stanowisk, 0 jakich powiem wiycej w rozdz. 29.1), ktore proponuje pogodzie siy z widoczn1! sprzecznosci1! pomiydzy procedurami U i R, nie podejmuj1!c reformowania obecnego formalizmu kwantowego w jakis znacz1!CY sposob. Jednym z celow moich rozwaZan w tym i w nastypnym rozdziale jest wstypna analiza tego formalizmu, ale bez odchodzenia od tego, co dzisiaj jest uWaZane za konwencjonaln1! teoriy kwantow1!. Do problemu VIR powrocy pozniej, szczegolnie w rozdz. 29.1, 2,7-9, jak rowniez w rozdz. 30.10-13, gdzie w pe1niejszy sposob przedstawiy moje wlasne pog11!dy na ty sprawy. UWaZam, ze byloby fair powiedziee, iz najbardziej rozpowszechnione jest stanowisko, jakie mozna by nazwae "konwencjonalnym" stosunkiem do mechaniki kwantowej, sprowadzaj1!ce siy do tego, ze proces U przyjmuje siy jako zawieraj1!CY "prawdy podstawow1!", natomiast, tak czy inaczej, nalei:y siy pogodzie z R, jako pewnym rodzajem przyblizenia, jako pewn1! iluzj1! albo dla wygody. W literaturze znajdziemy wiele opracowan id1!cych t1! drog1!2. Nawet ci z nas (wl1!czaj1!c w to mnie samego), ktorzy S1! zdania, ze na pewnym etapie potrzebne S1! reformy formalizmu kwantowego, byd1! przekonywali, ze obecny schemat teoretyczny jest co najmniej wspanialym przyblizeniem, a zatem jest rzecz1! konieczn1! jego staranne zrozumienie, zanim pojawi siy nadzieja na wyjscie poza jego ramy. Dlatego musimy glybiej poznae, jak dziala formalizm V i, co wiycej, musimy odpowiedziee sobie na pytanie: jak to siy dzieje, ze formalizm ten tak swietnie dopasowuje siy do R, byd1!c jednoczesnie calkowicie z nim niespojnym!
505
22
Kwantowa algebra, geometria i spin Powinienem rowniez objasnic uZycie litery U. Oznacza ona ewolucj~ unitarnq. Musimy zobaczyc, w jakim sensie rownanie Schrodingera jest naprawdy "unitarne" (zob. rozdz. 13.9), i sprawq tq zajmiemy siy w rozdz. 22.4. Istniejq rowniez inne (rownowazne) sformulowania "ewolucji unitarnej"; w szczegolnosci cos takiego, co nazywamy obrazem Heisenberga i do czego tez przejdziemy w rozdz. 22.4. W tym miejscu zas obraz, do jakiego prowadzi rownanie SchrOdingera, bydzie najbardziej dla nas wygodny.
22.2 Liniowosc U i ktopoty z R Zanim zajrniemy siy na serio zagadnieniem unitarnosci, rozwaZmy najpielW duZO prostszy problem liniowosci U. zlbaczymy zaraz, ze tylko ta jedna sprawa prowadzi do powaZnej niekompatybilnosci z R Zbadajmy wiyc, jeszcze raz, rownanie Schrodingera iliifljJ/at = 1itp. Zakladamy, ze hamiltonian 1i jest znany Gego postac okreslona jest przez rodzaj wystypujqcych cZqstek, sily dzialajqce pomiydzy nimi oraz zachowawcze - tzn. nienaruszajqce zachowania energii - sHy zewnytrzne, jakie mogq miec wplyw na caly uklad). Z ogolnej postaci tego rownania wynika natychmiast wiele konsekwencji, ktore Sq zupelnie niezalei:ne od szczegolow struktury hamiltonianu. Jednq z rzeczy, ktorq natychmiast zauwaZamy, jest deterministyczny charakter tego rownania, albowiem ewolucja czasowa ukladu jest calkowicie ustalona, jesli tylko znamy stan ukladu w jakiejs chwili. Wniosek taki moze siy wydac zaskakujqcy dla hidzi, ktorzy gdzies mie1i okazjy slyszec 0 "kwantowej nieoznaczonosci" i 0 fakcie, ze uklady kwantowe zachowujq siy w sposob niedeterministyczny. Otoz ten brak determinizmu jest wylqcznie wynikiem zastosowania procesow typu R Niczego podobnego nie doszukamy siy w ewolucji czasowej (U) stanu kwantowego, jakq opisuje rownanie SchrOdingera. Innq cechq zauwazalnq jest fakt, ze rownanie Schrodingera jest rownaniem zespolonym, poniewaz juz na poczqtku tego rownania widzimy liczby urojonq i (niezaleznie od mozliwosci wielokrotnego pojawienia siy i w samym hamiltonianie). Wreszcie widzimy, ze rownanie Schrodingera jest rzeczywiscie liniowe, w tym sensie, ze jesli tp i Sq jego rozwiqzaniami (z tym samym 7t) iii 0Ip
at
= 1itp
oraz
iii 8
at
=1i,
wowczas rozwiqzaniem jest taue dowolna kombinacja liniowa WtjJ + z, gdzie w i z Sq stalymi zespolonymi. Poniewaz dodajqc w razy pielWsze z tych rownan do z razy drugie, otrzymujemy (rozdz. 6.5):
ili~( wtp + z
506
= 1i( wtp + z
Na tej podstawie widzimy, ze ewolucja schrodingerowska zachowuje struktury zespolonej przestrzeni stanow W (ktora na ogol jest przestrzeniq nieskonczenie wielowymiarowq).
Liniowosc U i ktopoty z R 22.2
Rys. 22.2. Strumien hamiltonianu Pt, } (pole wektorowe) definiuje infinitezymalnl! transformacjy liniowl! przestrzeni stan6w W i okresla zmiany stanu po uplywie infinitezymalnego czasu. Aby uzyskac (unitarnl!) zmiany stanu po uplywie skoiiczonego czasu, musimy dokonac "eksponencjacji" tego infinitezymalnego dzialania.
Hamiltonian 1{ definiuje infinitezymaln,! transfonnacjy liniow,! przestrzeni W, opisuj,!c,! zmianC( stanu, jaka nast,!pila w wyniku jego ewolucji w infinitezymalnym przedziale czasu. To dzialanie hamiltonianu mozna wiyC przedstawie jako pole wektorowe na W (rys. 22.2). Po uplywie skonczonego czasu stany kwantowe ulegn,! zmianie zgodnie z jak,!s skonczonet transformacjet liniowet, ktoret uzyskamy, dokonujetc "eksponencjacji" infinitezymalnego dzialania. Jest to zagadnienie bardzo podobne do "eksponencjacji", z jaket zetknylismy siy wczesniej (rozdz. 14.6), gdy opisywalismy procedury otrzymania elementu grupy Liego przez eksponencjacjy odpowiedniego elementu algebry Liego. JednakZe eksponencjacja w ewolucji hamiltonianu moze bye znacznie trudniejsza do przeprowadzenia. (Ponadto dodatkowe trudnosci wynikajet ze wzglC(du na nieskonczenie wielowymiarowy charakter przestrzeni W.) Bez wzglC(du na to, czy te procedury Set latwe czy trudne, sprawet w tym wszystkim istotnet jest ta, ze po uplywie dowolnego skonczonego czasu T transformacja przestrzeni stanow kwantowych, W, bydzie zawsze transformacjct- liniowct-. Sens tego stwierdzenia jest nastypuj,!cy (bydy tu uZywal symbolu ~ w celu ukazania ewolucji stanu po okreslonym przedziale czasowym 1): jesli 'I/J ~'I/J' oraz ¢ ~¢', wowczas WIjJ + z¢ ~ WIjJ' + z¢'.
'I/J i ¢ oznaczajet tutaj dwa dowolnie wybrane stany (funkcje falowe), natomiast wi z oznaczajet dowolne stale zespolone[22.11• Jesli zaakceptujemy pogletd, ze U obejmuje calose historii stanu, a procesy pomiarowe Set jedynie pewnym rodzajem wygodnego narzydzia, do jakiego siy uciekamy, gdy stan kwantowy staje siC( nadmiernie skomplikowany, przez wprowadzenie, bye moze, ogromnej ilosci cz,!stek "wplct-tanych" w sam system i w uklad pomiarowy - to takie stanowisko rna szereg bardzo ciekawych implikacji. (Zagadnieniem "splettania" kwantowomechanicznego zajmiemy siy bardziej szczegolowo w rozdz. 23. Przekonamy siy, ze stany kwantowe Set obiektami "holistycznymi" w du-
is [22.1] Wyjasnij, dlaczego dzialanie dowolnej ewolucji schrOdingerowskiej jest liniowe, niezaleinie od faktu, ie sarno H. rnoie bye operatorern wysoce nieliniowym w pix.
507
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
508
zo powazniejszym sensie niz omawiany w rozdz. 21.7, gdzie rozne czysci systemu nie maj,! wtasnych stanow kwantowych, lecz S(! cZysciami sktadowymi spl,!tanej "catosci". Sprawy te jednak nie maj,! znaczenia dla prowadzonej tu dyskusji.) Zgodnie z takim "wygodnym" pogl,!dem na R wyobrazamy sobie, ze R pojawia siy jako pewnego rodzaju przybliZenie do "prawdziwej", lez'!cej u podstaw tych procesow ewolucji U. Ale taki punkt widzenia prowadzi nas do powaznych paradoksow. Przypomnijmy sobie na przyklad eksperyment myslowy z rozdz. 21.7, w ktorym dwaj moi kosmiczni koledzy dysponowali indywidualnymi detektorami, i sprobujmy sobie wyobrazie, ze reakcja kazdego z tych detektorow jest po prostu rezultatem schrodingerowskiej ewolucji, rozpoczynaj,!cej siy w momencie interakcji detektora z paczk,! falow'!, ktora do niego dociera. Stan kwantowy przed jej zarejestrowaniem jest faktycznie sum'! dwoch osobnych paczek falowych, z ktorych jedn,! rejestruje jeden, a drug,! drugi z tych detektorow. Dlatego, na mocy liniowosci, reakcja kaidego z tych detektorow, w zgodzie z ewolucj,! schrodingerowsk,!, musi wspolistniec w superpozycji z reakcj,! drugiego. Ewolucja schrodingerowska prowadzi do sytuacji, w ktorej mamy odpowiedz jednego detektora plus odpowiedz drugiego ("plus" w sensie kwantowej superpozycji reakcji obu detektorow), a nie odpowiedz jednego detektora alba odpowiedz drugiego (w praktyce zawsze mamy "albo"). Wydaje mi siy nie do utrzymania pogl(!d, ze U podaje nam cal,! historiy procesu (i "konwencjonalna" mechanika kwantowa szkoty kopenhaskiej Nielsa Bohra z pewnosci,! nie usituje tego robic, poniewaz traktuje ona same detektory jako "obiekty klasyczne"). Moim zdaniem jedynym sposobem utrzymania pogl,!du, ze U obejmuje calosc wszystkich procesow, wl,!czaj,!c w to proces pomiaru, byloby przyjycie stanowiska koncepcji "wielu swiatow" (zob. rozdz. 29.1), wedlug ktorej reakcje obu detektorow rzeczywiscie wspolistniej,!, ale niejako w "innych swiatach,,3. Ale nawet wtedy U nie jest w stanie uj,!c "calej historii", gdyz potrzebowalibysmy teorii potrafi,!cej wyjasnic ten aspekt naszej swiadomej percepcji, ktory by dopuszczal, ze jedynie reakcje poszczegolnych detektorow mog,! bye swiadomie rejestrowane, podczas gdy superpozycje odpowiedzi i braku odpowiedzi nigdy nie s,! w naszej swiadomosci! (Do spraw tych wrocimy w rozdz. 29.1,8.) W tym miejscu zaznaczy tylko, ze osobiscie nie s,!dzy, aby koncepcja "wielu swiatow" byla wtasciw,! drog,! do rozwi¥ania tych dylematow; jedynie pokazujy, dok,!d nas prowadzi zalozenie, ze "U objasnia ewolucjy na wszystkich poziomach". Do zagadnieiJ. tych powrocimy pozniej, w rozdz. 29 i 30, w ktorych zajmy siy kwesti,!, czy U i R powinny bye traktowane jako przyblizenia do jakies przyszlej, bardziej spojnej teorii. Teraz jednak zajmiemy siy procedurami konwencjonalnego formalizmu. Jesli potrzebna nam jest jakas lepsza teoria, to musi ona, w kazdym razie, uwzglydnie fakt bardzo wielkiej zgodnosci teorii konwencjonalnej z doswiadczeniem. Kazdemu czytelnikowi z ambicjami znalezienia nowej i lepszej teorii (mam glybok,! nadziejy, ze tacy s,!!) mozna tylko poradzic, zeby najpierw dokladnie zapoznal siy z tym, co teoria konwencjonalna rna do powiedzenia.
Unitarnosc, przestrzer'l Hilberta, zapis Diraca
22.3
22.3 Unitarnosc, przestrzefl Hilberta, zapis Diraca Nie zajqlem sit( jeszcze w sposob wlasciwy "unitarnym" aspektem ewolucji schrOdingerowskiej. Sprawa ta wiqze sit( z wlasnosciq "unormowania" funkcji falowej, o ktorej mowilismy w poprzednim rozdziale. Przypomnijmy wit(c, ze pojt(cie "normy" funkcji falowej pojedynczej (bezspinowej) czqstki odnosilo sit( do wielkosci 11",,11, zdefiniowanej jako calka z 1",,(x)1 2 poe calej przestrzeni. Warunek unormowania"" oznacza 11",,11 = 1 (i przy nalozeniu tego warunku 1",,(xW jest gt(stosciq prawdopodobienstwa, ze przy dokonywaniu pomiaru polozenia znajdziemy cZqstkt( w polozeniu x). W przypadku dowolnego ukladu kwantowego, w ktorym wystt(powae moze wiele oddzialujqcych ze sobq cZqstek spinowych (a nawet obiektow bardziej ogolnych, takich jak struny etc.), zawsze poslugujemy sit( odpowiednim pojt(ciem nonny 11",,11, ktora musi bye dodatniq liczbq rzeczywistq4, aby stan"" mozna bylo zaakceptowae jako wlasciwy stan kwantowy. Aczkolwiek norma jest cechq charakterystycznq dla procedury typu U w formalizmie kwantowym, to odgrywa ona takze istotnq rolt( w R, albowiem determinuje w efekcie koncowym wszystkie prawdopodobienstwa, ktore mogq sit( pojawie. Z matematycznego punktu widzenia mozemy traktowae normt( jako wielkose okreslajqcq kwadrat dlugosci, ktora powinna bye skonczona w przypadku wektorow, jakie mogq nalezee do przestrzeni stanow W. Przymiotnik "unitarna" w odniesieniu do ewolucji czasowej mowi nam, ze w czasie tej ewolucji norma owa jest zachowana. Niebawem zobaczymy (w rozdz. 22.4), dlaczego warunek ten dotyczy ewolucji schrodingerowskiej. Najpierw warto ustalie notacjt( i zbadae pewne wlasnosci normowalnych stanow kwantowych. Sprobujmy potraktowae normt( jako przypadek szczegolny hermitowskiego iloczynu skalarnego (rozdz. 13.9) dwoch stanow. W literaturze mechaniki kwantowej taki iloczyn stanow ifJ i"" zapisujemy w formie (ifJlw), wowczas norma jest przypadkiem szczegolnym takiego iloczynu dla ifJ = "": 11",,11 = (wi",,)·
W przypadku pojedynczej cZqstki (bezspinowej) ten iloczyn skalarny wynosi:
(ifJl",,)
=
fn>31J""dx 1/\~ /\ctr,
co jest pewnym uogolnieniem wyraienia na 11",,11 podanego w rozdz. 21.9. Daje nam to dodatnio okreslony hermitowski iloczyn skalarny dwu unormowanych, jednocZqstkowych funkcji falowych, ifJ i W[22.21.
m
[22.2] Zobacz, czy potrafisz wyjasnic, dlaczego calka (¢I1/J) jest zbiezna, gdy zbiezne Sq obie calki (¢I¢) i (1fJI1/J). Wskaz6wka: Rozwaz, co implikuje fakt, ze calka z I¢ -A1/J1 2, wzit(ta po dowolnym skonczonym obszarze E\ jest nieujemna, wyprowadzajqc nier6wnosc lqczqcq kwadrat wartosci bezwzglt(dnej calki rp1/J z iloczynem calek z rp¢ i 1P1/J. lako krok posredni znajdz warunek, jaki mUSZq spelniac liczby zespolone a, b, c i d, zeby a + Ab + Xc + XAd ;;:, 0 dla dowolnego A.
509
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
Unormowane funkcje falowe tworz'! zespolon'! przestrzen wektorow'! H (podprzestrzen przestrzeni W) i jest to specjalny typ przestrzeni wektorowej, znanej pod nazw'!plZestlZeni Hilberta[22.31. Definicja przestrzeni Hilberta jest nastypuj,!ca: jest to zespolona przestrzen wektorowa, z okreslon,! operacj,! iloczynu skalarnego (I), ktorego wartosci,! jest liczba zespolona speiniaj,!ca warunki: (¢Il/J + X)
=
(¢Il/J) + (¢Ix) ,
(¢Ial/J) = a(¢Il/J) ,
(¢Il/J) = (l/JI¢) , l/J "# 0 implikuje, ze (l/Jil/J) > 0 (wszystkie te wlasnosci wynikaj,! natychmiast w przypadku podanej wyzej calki jednocz'!stkowej) [22.41. Z rownosci tych wynika rowniez, ze (¢ + xll/J) = (¢Il/J) + (xll/J) oraz (a¢Il/J) = a(¢Il/J) [22.51. Ponadto z chwil,! gdy mamy zdefiniowan,! normy, wowczas za jej pomoc,! mozemy zdefiniowac iloczyn skalarny[22.61, a zatem transformacja liniowa, ktora zachowuje normy, musi rowniez zachowywac iloczyn skalarny. Dodatkowo przestrzen Hilberta powinna rowniez spelniac pewne bardzo podstawowe wymogi ci,!glosci5• Zapis ten jest cZysci,! bardzo uZytecznego i szeroko stosowanego w mechanice kwantowej zapisu wprowadzonego przez wielkiego fizyka XX wieku Paula Diraca. Jako elementy skladowe tego zapisu warto rozwaZyc wyrazenia takie jak: Il/J), 11'), 17), I~), 10), 17), 1+), IX), IDEAD) alba IOFF) ktore reprezentuj,! rozne wektory stanu nalez,!ce do przestrzeni Hilberta H. Symbol wewn'!trz I... ) jest oznaczeniem rozpatrywanego stanu (i prawdopodobnie zawiera jak,!s wart'! zapamiytania informacjy). Tradycyjnie wektory te nazywamy ketami. KaZdemu takiemu ketowi odpowiada konkretny element przestrzeni dualnej H* (rozdz. 12.3), nazywany wektorem "bra", ktory oznacza stan hermitowsko do niego sprzyzony (w sensie rozdz. 13.9), i stany takie zapisujemy, odpowiednio, jako: (l/JI, (1'1, (71, (~I, (01, (71, (+1, <XI, (DEAD I alba (OFFI· Poniewaz wektory bra S,! dualne wzglydem wektorow ket, wiyc mozna miydzy nimi tworzyc iloczyny skalarne w takim samym sensie jak iloczyn skalarny "z kropk'!",
510
IB [22.3] Kontynuuj,!c ewiczenie [22.2], pokaz, ze unormowane funkcje falowe rzeczywiscie tworz'! przestrzen wektorow'!. IB [22.4] Sprawdz to, wyjasniaj,!c doldadnie, z jakich wlasnosci calki korzystamy w kazdym przypadku. !'a [22.5] Pokaz dlaczego. JJJ. [22.6] Pokaz, w jaki spos6b iloczyn skalarny (ifJl1jJ) mozna wyznaczyc z definicji normy. W5kaz6wka: rozwaz normy funkcji ifJ + 1jJ oraz ifJ + i1jJ.
Ewolucja unitarna: SchrOdinger i Heisenberg
22.4
zdefiniowany w rozdz. 12.3. Ten iloczyn skalarny - czyli "bracket" (nawias) wektora bra (ljil z wektorem ket II/» jest dokladnie identyczny ze zdefiniowanym tutaj hermitowskim iloczynem skalarnym i zapisujemy go jako (ljill/». Jest to konsystentne z tym, ze liczba zespolona (ljill/» jest zespolenie sprzyzon,! do liczby (I/>Ilji). o stanach II/» i Ilji) mowimy, ze S,! ortogonalne,jesli (I/>Ilji) = 0, a wiyc takZe (ljill/» = O. Dzialanie jakiegos operatora liniowego L na Ilji) zapisujemy jako Lllji) , a iloczyn skalarny ketu (1/>1 z Lllji) zapiszemy jako:
Wyrazenie to jest jednoczesnie zapisem iloczynu skalarnego pewnego bra ,,(I/>IL" z ketem Ilji). Co oznacza bra ,,(I/>IL"? Jest to wektor zespolony sprzyzony pewnego ketu L *11/», gdzie operator L *jest operatorem po hermitowsku sprzyzonym6 wzglydem operatora L. Jest to ta sarna operacja hermitowskiego sprzyzenia, ktora zostala opisana w rozdz. 13.9 w przypadku skonczonej liczby wymiarow. Liczb,! zespolon,! sprzyzon,! wzglydem liczby zespolonej (I/> IL Ilji) jest liczba zespolona (1J!IL * 11/».
22.4 Ewolucja unitarna: Schrodinger i Heisenberg Jestdmy teraz przygotowani, zeby zapoznac siy z unitarn'! natuq ewolucji schr6dingerowskiej. Dowiedzielismy siy juz w rozdz. 22.3, ze to ewolucja liniowa, a zatem musimy tylko ustalic odpowiedz na pytanie: czy zachowuje ona iloczyn skalarny (I/>Ilji) miydzy dwoma element ami przestrzeni H, 11/», i Ilji). Inaczej mowi,!c, pytamy, czy (I/>Ilji) jest zachowany w czasie: d(l/>llji)/dt = O? (Z dyskusji, jak,! juz przeprowadzilismy, wynika, ze zachowanie normy i zachowanie iloczynu skalarnego S,! wymaganiami rownowaznymi.) W zasadzie wymagamy od naszego hamiltonianu kwantowego H dwoch warunkow: po pierwsze, nie wyprowadza nas poza przestrzen Hilberta oraz po drugie, jest operatorem hermitowskim. S,! to wymagania minimalne i byd,! spelnione przez kazdy rozs,!dnie zaproponowany hamiltonian. Na przyklad z,!danie, aby byl hermitowski, wynika z chyci zapewnienia, zeby jego wartosci wlasne - mozliwe wartosci energii ukladu - byly liczbami rzeczywistymi. Zwykle z'!damy tez, zeby H byl operatorem dodatnio okreslonym, co oznacza, iz (ljiIHllji) > 0 dla wszystkich niezerowych Ilji), w zwi,!zku z czym wszystkie wartosci wlasne (wartosci energii) s,! dodatnie - chociaz to z,!danie nie jest konieczne, aby zapewnic unitarnosc ewolucji. Gdy skorzystamy ze wzoru Leibniza do obliczenia pochodnej iloczynu (zob. rozdz. 6.5) oraz podanych wlasnosci, otrzymujemy od razu:
:t
(I/>Ilji)=\! 1/>1 ljiJ + \1/>1 ! ljiJ = (-iti-1HI/> Ilji) + (I/> l-iti-1Hlji) = iti-1(1/>IHllji)-iti-1(I/>I HI lji) =0,
511
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
co dowodzi, ze iloczyn skalarny jest rzeczywiscie zachowany, a to znaczy, ze ewolucja schr6dingerowska jest unitarna[22.71. Taki sam argument stosuje siy do innych operatorow hermitowskich, takich jak generatory translacji przestrzennych lub generatory obrotow, co pokazuje, ze sl! to rowniez transformacje unitarne przestrzeni H. Przedstawione rownanie dowodzi, ze szybkose zmiany iloczynu skalarnego (ifJl'ljJ) wynosi zero. Wynika stl!d, ze (ifJl'ljJ) pozostaje niezmieniony przez caly czas, w ktorym lifJ) i 1'ljJ) indywidualnie przechodzl! ewolucjy schrOdingerowskl! pod dzialaniem tego samego 1t. Przypusemy, ze mamy stany kwantowe lifJ) i 1'ljJ), w chwili t = 0, i niech stany te ewoluujl! wedlug regul ewolucji schr6dingerowskiej do chwili T, stajl!c siy, odpowiednio, stanami lifJ T) i I'ljJT):
lifJ) ~ lifJ T) oraz 1'ljJ) ~ I'ljJT) (poslugujemy siy tu notacjl! z rozdz. 22.2). Wowczas
(ifJl'ljJ) = (ifJTI'ljJT)· Wszystko to mowi nam, ze dzialanie liniowe ewolucji schrOdingerowskiej na przestrzeni Hilberta H, od momentu t = do okreslonego czasu t = T, jest dzialaniem unitamym w tym sensie, ze dokonuje tej transformacji taki operator UT' ii:
°
lifJ T) = UTlifJ), I'ljJT) = UTI'ljJ) etc., gdzie operator UTjest unitarnyw sensie okre§lonym w rozdz.13.9, to znaczy, ze jego odwrotnose jest rowna operatorowi sprzyzonemu do niego po hermitowsku:
U1 = U~, tzn. UTU~ = U~UT =1. Ioznacza tutaj operator tozsamosciowy na H. (Zob. rozdz. 13.9, w ktorym pokazanajest ta wlasnose U r ) W rozdz. 22.1 wspomnielismy, ze istniejl! inne sposoby opisu ewolucji ukladu kwantowego, a najbardziej znanym z nich jest tzw. obraz Heisenberga. W obrazie Heisenberga zaklada siy, ze "stan" ukladu nie ulega zmianie w czasie, natomiast call! ewolucjy czasowl! przejmujl! na siebie zmienne dynamiczne. Czytelnik rna prawo zadae w tym miejscu pytanie, jakim cudem stan kwantowy moze bye uwai:any za "niezmienny" nawet pomimo tego, ze w ukladzie kwantowym dokonano fizycznych zmian! To prawda, ale przejscie od obrazu Schr6dingera do obrazu Heisenberga jest w istocie tylko kwestiq redefinicji ui:ywanych symboli. Rozwai:my najpierw zwykly, do tej chwili zakladany obraz Schr6dingera. Powiedzmy, ze mamy jakis stan kwantowy 1'ljJ) w chwili t = 0, ktory podlega ewolucji Schr6dingera, zdefininowanej przez zadany hamiltonian kwantowy 1t tak, ze po czasie T mamy stan I'ljJT):
~
512
[22.7] Przedstaw ten argument w spos6b bardziej kompletny. Czy potrafisz wyjasnic, dlaczego powinnismy oczekiwac, ze prawo Leibniza stosuje si y do iloczynu skalamego w przestrzeni Hilberta?
Ewolucja unitarna: SchrOdinger i Heisenberg
22.4
Zwr6cmy uwagy, ze dzialanie UT stosuje siy liniowo do calej przestrzeni Hilberta H, co powoduje, ze kai:dy inny stan I¢) bydzie przechodzil identyczn,! ewolucjy I¢) ~ I¢T) = UTI¢) z tym samym Up jakiego ui:ylismy dla Itp). W obrazie Heisenberga myslimy po prostu 0 "stanie" w czasie T, jako Itp)H = U~1 Itp)
= If, Itp)·
Jasne jest, ze ten "stan heisenbergowski" Itp) nie zmienia siy w czasie (w zasadzie z definicji!). Aby jednak zachowac poprzednie procedury algebraiczne i zeby wartosci wlasne (czyli mierzone fizyczne parametry) byly takie same jak w obrazie Schrodingera, musimy zai:,!dac kompensuj,!cej ewolucji zmiennych dynamicznych. Tak wiyc kazdy liniowy operator Q (na H) musi ulec zamianie na jego heisenbergowsk,! wersjy -1
•
QH = Ut QUt = UtQUt · Z tego bezposrednio wynika, ze w obrazie Heisenberga kai:da wartosc wlasna i kai:dy iloczyn skalarny S,! takie same jak w obrazie Schrodingera[22.8j • Ewolucja heisenbergowska odnosi siy teraz do operator6w (kt6re w obrazie Schrodingera S,! niezmienne), a w szczeg6lnosci do zmiennych dynamicznych. Otrzymujemy wi YC[22.9j r6wnanie in
!
QH
= 1iQH
- QH 1i,
znane jako r6wnanie ruchu Heisenberga. (Zauwai:my, ze oczywist,! konsekwencj,! tego r6wnania jest zachowanie energii, wystarczy poloZyc QH= 1i.) Czytelnik rna prawo zapytac, jaki jest poZytek z tego przeformulowania teorii. W niekt6rych sytuacjach obraz Heisenberga rna pewne techniczne zalety, ale nie pomaga nam w pr6bach rozwi'!Zania zagadek interpretacyjnych mechaniki kwantowej. Nie wyjasnilismy kwestii "skok6w kwantowych", mamy tylko wyb6r, czy zrzucic winy na stany, dozwalaj,!c, ze Itp)H "przeskoczy", pod wplywem R, do jakiegos innego stanu, czy tei: wolimy, zeby "przeskakiwaty" heisenbergowskie zmienne dynamiczne! Moim zdaniem w obrazie Heisenberga sprawy tych "przeskok6w" staj,! siy jeszcze bardziej mgliste, a zaden problem nie zostaje rozwi'!Zany. W obrazie Schrodingera mamy przynajmniej ewoluuj,!CY wektor stanu, kt6ry daje szansy uchwycenia r,!bka "rzeczywistosci kwantowej"! Nie wydaje siy, zeby podobn,! mozliwosc stwarzat nam obraz Heisenberga, poniewai: wektor stanu tkwi tam nieporuszony, pomimo ze zachodz'! jakieS procesy fizyczne. Co wiycej, ewolucja zmiennych dynamicznych nie moze odzwierciedlac konkretnego uktadu fizycznego, poniewaz nie opisuj,! one w og6le konkretnych uklad6w, implikuj,! tylko pytania, kt6re stawiamy w odniesieniu do tych uktad6w, na przyktad "jakie jest twoje polozenie" itp. ~
~
[22.8] Wyjasnij to szczegolowo. [22.9] Sprawdz, czy potrafisz to wyprowadzic.
513
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
Powody poslugiwania sil( tymi dwoma roznymi obrazami s,! w duiym stopniu historyczne. Heisenberg byl pierwszym, ktory przedstawil swoj schemat w lipcu 1925 roku, natomiast Schrodinger wyst,!pil z wlasn,! propozycj,! pol roku poiniej, w styczniu 1926, a dopiero potem zdal sobie sprawl( z rownowaznosci obu obrazow. Z kolei Max Born pierwszy rozpoznal probabilistyczny sens kwadratu modulu 11/'12 funkcji falowej Schrodingera (rozdz. 21.9) i bylo to w czerwcu 1926 roku. Sam Schrodinger by! przywiqzany do obrazu funkcji falowej jako "pola klasycznego". Ogolne operatorowe sformulowanie mechaniki kwantowej wyroslo z prac Heisenberga, Borna i Pascual a Jordana, a peiny ksztalt nadal mu dopiero Dirac i przedstawil szczegolowo w swojej niezwykle waznej ksi,!zce, The Principles of Quantum Mechanics (Zasady mechaniki kwantowej), opublikowanej po raz pierwszy w 1930 roku 7 • Oczywiscie, naleiy dopuscic, ze kiedy dokonamy odpowiednich korekt teorii kwantowej, mog,! pojawic sil( powody, dla ktorych jeden z tych obrazow rna przewagl( nad drugim i ich rownowaznosc moze zostac zlamana. W pewnym stopniu podobna sytuacja wystl(puje w kwantowej teorii pola (zob. rozdz. 26), kiedy probujemy znaleic wspolny i spojny schemat do pol,!czenia teorii kwantow i (szczegolnej) teorii wzgll(dnosci. Dirac przedstawil pewne argumenty8, dla ktorych obraz Heisenberga moze byc w tym przypadku bardziej przydatny. Jednak ani obraz Heisenberga, ani obraz Schrodingera nie Sq relatywistycznie inwariantne i dlatego w tym kontekscie preferujemy czasami ich hybrydl( znan'! jako "obraz oddzialywania,,9.
22.5 "Obserwable" kwantowe
514
RozwaZmy teraz, w jaki sposob nasz formalizm ujmuje problem pomiaru w ukladzie kwantowym. W rozdz. 22.1 zauwaiylismy, ze omawiane przyklady pomiarow polozenia i pl(du dobrze ilustruj,!, co dzieje sil( w ogolnym przypadku pomiaru kwantowego. KaZda "mierzalna" wlasnosc ukladu kwantowego powinna byc reprezentowana przez pewien rodzaj operatora Q - operator taki nazywamy "obserwablq" - ktorym moglibysmy dzialac na stan kwantowy. Przykladami obserwabli S,! zmienne dynamiczne (powiedzmy, polozenia lub pl(dyyo. Teoria wymaga, zeby obserwabla Q byla reprezentowana przez operator liniowy (taki jak operatory pl(du i polozenia) w taki sposob, zeby jego dzialanie na przestrzen H prowadziio do jej transformacji liniowej, aczkolwiek transformacja ta moze byc osobliwa (rozdz. 13.3). Mowimy, ze stan 1/' rna okreSlonq wartosc obserwabli Q, jesli 1/' jest stanem wlasnym operatora Q, a jego wartosc wlasna q bl(dzie t'! okreslonq wartosci,!l1. Z dokladnie t'! sam,! terminologiq zetknl(lismy sil( juz w rozdz. 21.5, 10, 11, w przypadku pl(du i polozenia. W konwencjonalnej mechanice kwantowej wymaga sil( zwykle, zeby wszystkie wartosci wlasne byly liczbami rzeczywistymi. Warunek ten bl(dzie speiniony,
"Obserwable" kwantowe
22.5
jesli zazqdamy, by operator Q byl hermitowski w tym sensie, ze Q jest rowny operatorowi sprzyzonemu do niego po hermitowsku, Q*[22.101:
Q* =Q. Moim zdaniem zqdanie to jest nadmiernie wygorowane, poniewaz liczby zespolone Sq czysto uiywane w fizyce klasycznej, na przyklad w rozpatrywanym przez nas przypadku reprezentacji sfery niebieskiej przez sfery Riemanna (rozdz. 18.5), w wielu standardowych dyskusjach ruchu oscylatora harmonicznego (rozdz. 22.13) itp.12 Istotnym zqdaniem jest wymog, zeby wektory wlasne rozpatrywanej obserwabli, odpowiadajqce roznym wartosciom wlasnym, byly wzajemnie ortogonalne. Jest to cecha charakterystyczna dla operatorow nazywanych operatorami "normalnymi". Operatorem normalnym nazywamy operator, ktory komutuje z operatorem do niego hermitowsko sprzyzonym:
i w przypadku takiego operatora kazda para wektorow wlasnych, odpowiadajqcych roznym wartosciom wlasnym, jest parq wektorow ortogonalnych[22.11 1• Poniewaz jestem usatysfakcjonowany, jesli wyniki pomiarow (wartosci wlasne) Sq liczbami zespolonymi, podczas gdy spelniony jest standardowy wymog ortogonalnosci miydzy wynikajqcymi z pomiaru alternatywnymi stanami, dlatego bydy wymagal, zeby moje "obserwable" kwantowe byly operatorami liniowymi normalnymi, bez nakladania mocniejszego zqdania, jakim jest wymog hermitowskosci. W tym miejscu powinienem skomentowae jeszcze jeden warunek nakladany na obserwable kwantowe, taki mianowicie, ze domagamy siy, aby ich wektory wlasne rozpinaly calq przestrzen Hilberta H (co oznacza, ze dowolny element tej przestrzeni moze bye wyrazony jako kombinacja liniowa tych wektorow wlasnych). W przypadku skonczonej liczby wymiarow wlasnose ta jest matematycznq konsekwencjq hermitowskiej (albo normalnej) natury operatora Q. Wobec nieskonczonej liczby wymiarow stanowi to oddzielne zalozenie, ktore musimy zrobie, zeby Q moglo bye obserwablq kwantowq. Operator hermitowski Q 0 takiej wlasnosci nazywamy operatorem samosprz?zonym. Dla procesu pomiaru kwantowego istotny jest wymog ortogonalnosci nakladany na obserwable kwantowe. Zgodnie z regulami mechaniki kwantowej wynikiem pomiaru wielkosci odpowiadajqcej operatorowi Q bydzie zawsze jeden z jego stanow wlasnych; na tym polega "przeskok" stanu kwantowego, ktory wystypuje podczas procesu R (zob. rozdz. 22.1). Jakikolwiek byl stan ukladu przed dokonaniem pomiaru, z chwilq gdy pomiar zostal przeprowadzony, musial on
~ [22.10] Pokaz, ze wszystkie wartosci wlasne operatora hermitowskiego Q Sq liczbami rzeczywistymi. rm. [22.11] Sprawdz, czy potrafisz to udowodnic. Wskazowka: rozwazajqc wyrazenie (1JII(Q* -lI)(Q - AI)I1JI), pokaz najpierw, ze jesli QI1JI) = AI1JI), wowczas Q*I1JI) = 111Jl).
515
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
przeskoczyc do jednego ze stan6w wlasnych Q, zgodnie z procedur,! R. Po dokonaniu pomiaru ten stan uzyskuje okreSlon,! wartosc dla obserwabli Q, a jest ni,! odpowiednia wartosc wlasna q. Dla kazdego z mozliwych wynik6w pomiaru obserwabli Q - czyli dla wszystkich r6znych wartosci wlasnych ql' %, %, ... - otrzymujemy zatem jeden ze zbior6w alternatywnych powstalych stan6w, z kt6rych wszystkie s,! wzajemnie ortogonalne. Dlaczego to jest wazne? Zaraz poznamy kwantowe reguly obliczania prawdopodobienstwa pojawienia siy tych alternatywnych wynik6w. Jedn,! z implikacji owych regul jest to, ze prawdopodobienstwo zdarzenia, iZ w wyniku pomiaru stan przeskoczy do stanu ortogonalnego, wynosi zawsze zero. Zgodnie z tym, jezeli dokonamy powt6rnego pomiaru tej samej obserwabli, w6wczas drugi pomiar da nam ten sam wynik co pierwszy. Aby otrzymac inny wynik, musialby nast,!pic przeskok z jednego stanu do stanu wzglydem niego ortogonalnego, a prawdopodobienstwo takiego zdarzenia jest wykluczone. J ednakZe ten szczysliwy wniosek wi,!ze siy z ortogonalnosci,! stan6w wlasnych Q naleZ,!cych do r6znych wartosci wlasnych, i to jest wlasnie pow6d, dla kt6rego z'!damy, zeby Q byl operatorem normalnym. Powr6cmy teraz do przyporz,!dkowania prawdopodobienstw pojawienia siy r6znych alternatywnych stan6w wlasnych obserwabli Q dla danego stanu 11Jl), kt6ry mamy zamiar "obserwowac". Jest godn,! uwagi cech,! kwantowego procesu R, ze prawdopodobienstwo kwantowomechaniczne zaleZy tylko od tego, z jakimi stanami mielismy do czynienia przed dokonaniem pomiaru i po nim, a nie od jakichs innych cech obserwabli Q (na przyklad od wielkosci mierzonej wartosci wlasnej). Regula jest taka, ze prawdopobienstwo przeskoku od stanu 11Jl) do jakiegos stanu wlasnego I
(
516
~ [22.12] Pokaz to na podstawie algebraicznych wlasnosci ( w cwiczeniu [22.2].
I ) metodami zastosowanymi
"Obserwable" kwantowe
22.5
W superpozycji kwantowej ortogonalnych stan6w 1/J i (jJ, na przyklad WIjJ + z(jJ, zespolone czynniki wagowe, w i z, nazywane sq. czasami amplitudami alba "amplitudami prawdopodobienstwa". W takim przypadku, jesli przeprowadzimy pomiar z zamiarem rozr6znienia mierdzy 1/J a (jJ w stanie WIjJ + z(jJ, otrzymamy stan 1/J z prawdopodobienstwem ww = Iwl2 i stan (jJ z prawdopodobienstwem zz = Iz1 2, tzn. kwadraty modul6w amplitud dostarczaj,! odpowiednich prawdopodobienstw. Podobnie przedstawia sier sprawa w przypadku superpozycji wierkszej liczby stan6w. Uiytecznq. wlasnosciq. operatora normalnego Q (zakladajq.c, ze jego wektory wlasne rozpinaj,! cal,! przestrzen H) jest ta, iz w rodzinie jego stan6w wlasnych mozna zawsze wybrae tak,!, kt6ra tworzy ortonormaln,! bazer dla przestrzeni Hilberta. Baz~ ortonormalnq (lOb. rozdz. 13.9) tworzy zbi6r element6w el' e2 , e3 , ••• przestrzeni H takich, ze (ei 1ej ) =
0ij
(
(zl' Z2' Z3"" sq. zespolonymi "wsp61rzerdnymi kartezjanskimi" 1/J). lest to wyrazenie podobne do wyrazenia dla dowolnej funkcji falowej, w przypadku pojedynczej pozbawionej struktury cz'!stki, jako ciq.glej kombinacji liniowej stan6w perdowych (co uzyskujemy na drodze transformaty Fouriera) albo stan6w potozeniowych (formulq.1/J(x) = f1/J(X)
Baza
p~dowa
, ~0§~:~:ieniowa
~ .'
"
"'"
:,
"
- --
~ - -' .\
H
Rys. 22.3. Przejscie z reprezentacji polozen do reprezentacji p«d6w oznacza po prostu zmian« bazy w przestrzeni Hilberta H (aczkolwiek z technicznego punktu widzenia ani stany p«dowe, ani polozeniowe - jako nienormalizowalne - nie nalez
517
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
22.6 Pomiary
TAK/NIE;
operatory rzutowe
W przypadku operatorow takich jak operatory polozenia i pydu, ktorych stany wlasne nie s,! normowalne, prawdopodobienstwo znalezienia cz'!stki w takim stanie jest zerowe. Taka opinia jest "poprawna", poniewaz prawdopodobienstwo, ze polozenie albo pyd przyjmuj,! jak,!s okreslon,! wartose, wynosi rzeczywiscie zero (polozenie i pyd S,! parametrami ci,!glymi). Niewiele to pomaga, albowiem chcielibysmy miee obserwable, ktore pomog,! odpowiedziee na pytanie: "czy polozenie cz'!stki miesci siy w takim-to-a-takim przedziale wielkosci", i podobne pytanie chcielibysmy moc zadae w odniesieniu do pydu (albo jakiejkolwiek innej ci,!giej obserwabli). Pytania 0 odpowiedz typu TAK/NIE mog,! bye wl'!czone do formalizmu kwantowego, na przyklad przez przyporz'!dkowanie wartosci 1 odpowiedzi TAK i wartosci 0 odpowiedzi NIE. Takie obserwable['] s,! opisywane przez tzw. operatory nutowe. Operator rzutowy E charakteryzuje siy tym, ze jest operatorem samosprzyzonym i rownym swojemu kwadratowi[22.13] E2 =E =E'.
Uzyskujemy w ten sposob najbardziej prymitywny rodzaj pomiaru, ale takie operatory stanowi,! najlepsz,! drogy rozwi,!zania wielu kwestii, jakie wi,!z,! siy z "pomiarem" w mechanice kwantowej. To jeden aspekt problemu, ktory staje siy szczegolnie wyrazny, kiedy dokonujemy pomiaru TAK/NIE, albowiem (w przypadku wiycej niz dwoch wymiarow) operatory takie S,! (calkowicie) zdegenerowane. Mowimy, ze operator Q jest zdegenerowany ze wzglydu na wartose wlasn,! q, jezeli przestrzen wektorow wlasnych nalez,!cych do q jest wiycej niz 1-wymiarowa, a wiyc gdy istniej,! nieproporcjonalne do siebie wektory wlasne Q odpowiadaj,!ce tej samej wartosci wlasnej q (rozdz. 13.5). Cal,! liniow,! podprzestrzen przestrzeni H, utworzon'! przez wszystkie wektory wlasne nalez'!ce do tej samej wartosci wlasnej q, nazywamy pnesmeniq wlasnq operatora Q odpowiadaj,!c,! q. W takich przypadkach "wynik" pomiaru (a wiyc wyznaczenie wartosci wlasnej) sam w sobie nie dostarcza informacji 0 tym, do ktorego stanu nastypuje "przeskok". Rozwi,!zanie daje natomiast tzw. postulat nutowy, ktory stwierdza, ze poddany pomiarowi stan Il/J) zostaje zrzutowany ortogonalnie na przestrzen wlasn,! 13 operatora Q odpowiadaj,!c,! wartosci q. Istotnie, termin "postulat rzutowy" odpowiada czysto standardowej procedurze kwantowomechanicznej z rozdz. 22.1 (wyjasnia to von Neumann 14 ), zgodnie z ktor,! jako wynik pomiaru obserwabli Q stan przeskakuje do stanu wlasnego Q, nalez'!cego do tej wartosci wlasnej, ktor'! uzyskalismy, dokonuj,!c pomiaru. W tym, i nastypnym rozdziale podkreslam znaczenie aspektu rzutowego tego postulatu w przypadku zdegenerowanych wartosci wlasnych15. [*] Po polsku uZywa sit( czasem slowa "rzutnik" (przyp. dum.). [22.13] Poka:i:, ze jesli jakas obserwabla Q jest pierwiastkiem pewnego wieiomianu, to pierwiastkiem identycznego rownania jest kazda jej wartosc wlasna. ~
518
Pomiary TAK/NIE; operatory rzutowe
22.6
To rzutowanie najlepiej przedstawic za pomocq takiego operatora rzutowego
E, ktorego przestrzen wlasna odpowiadajqca jego wartosci wlasnej 1, a wiyc TAK, jest identyczna z przestrzeni'! wlasnq Q odpowiadajqcq wartosci wlasnej q. (Tak mozna zawsze zrobic; operator E stawia po prostu bardziej podstawowe pytanie nn Q, a mianowicie: "czy q jest wynikiem pomiaru Q?".) Wowczas postulat rzutowy stwierdza, ze rezultatem pomiaru (albo Q z wynikiem q, alba E z wynikiem 1) jest, ze Itp) przeskakuje do Eltp)· Nie przejmowalem siy tutaj problemem unormowania (bo nie potrzebowalem, chyba ze ktos sobie tego iyczy). lesli zaleiy nam na uzyskaniu stanu unormowanego, to mozemy zaZ,!dac, aby przeskok z Itp) nastypowal do stanu bardziej skomplikowanego Eltp)(tpIEltpr1!2. lednak wygodniej w tym miejscu nie poslugiwac siy stanami unormowanymi, dziyki czemu wiele wzorow zyskuje bardziej przejrzystq postac. Na rys. 22.4 przedstawiam geometryczny sens postulatu rzutowego w ramach przestrzeni Hilberta H. Zauwazmy, ze zamieniajqc projektor E na 1 - E (operator ten jest rowniez operatorem rzutowym), dokonujemy po prostu zamiany przestrzeni wlasnej TAK na NIE i vice versa. (Tutaj operator 1 jest operatorem tozsamosciowym na H.) A zatem jesli pomiar E daje w wyniku 0, to oznacza, ze Itp) przeskakuje do (I -E)ltp)(= Itp) - Eltp»)· Zauwazmy, ze Itp) jest sumq dwoch stanow, Eltp) i (I -E)ltp), ktore s,! do siebie ortogonalne[22.14 J, a pomiar E dokonuje wyboru miydzy nimi, dajqc odpowiedi TAK w przypadku pierwszego z nich i odpowiedi NIE dla drugiego: Itp) =Eltp) + (I -E)ltp)· Mamy tu bezposredni geometryczny sposob wyrazenia prawdopodobienstw tych alternatywnych mozliwosci, w ktorym "norma" (kwadrat dlugosci) stanu przy takim rzutowaniu nie jest potrzebna[22.l5 J• Ten prosty geometryczny sens zostaje zamazany, jesli nalegamy na poslugiwanie siy stanami unormowanymi! Rys. 22.4. Sens geometryczny postulatu rzutowego w przestrzeni H. Pokazane Sl! przestrzenie wlasne projektora E, plaszczyzna pozioma reprezentuje wartosc wlasnl! 1 (TAK), a plaszczyzna pionowa 0 (NIE). Na rysunku przedstawiony jest rozklad stanu I1/') = EI1/') + (/ - E) 11/') na dwie ortogonalne czysci, z ktorych EI1/') jest rzutem I1/') na przestrzen TAK (wynik pomiaru daje TAK), a (/ - E) 11/') jest rzutem na przestrzen NIE (wynik pomiaru NIE). W kai:dym przypadku prawdopodobienstwo jest wyznaczone przez dokladny czynnik proporcjonalnOSci, a w rzutowaniu (hermitowski) kwadrat dlugOSci 111/'11 wektora I1/') zostaje zredukowany (wektory stanu nie Sl! unormowane).
Ea [22.14] Udowodnij to. Ea [22.15] Dlaczego?
519
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
22.7 Pomiary zerowe; skr,tnosc Niektorzy fizycy wyrazaj'! w'!tpliwosci wobec postulatu rzutowego (jedni uwa:i:aj,!, ze jest "zbydny", inni, ze "nieobserwowalny"), a trudnose pol ega na tym, ze nie mamy sposobu okreslenia, jaki jest dokladnie stan po dokonaniu pomiaru. Dzieje siy tak bye moze dlatego, ze sam proces pomiaru powoduje "spl'!tanie" mierzonego ukladu z ukladem pomiarowym, w wyniku czego badany stan nie moze bye rozpatrywany jako samodzielny. Te zastrzezenia staj,! siy zasadne w przypadku jakichS skomplikowanych zagadnien, ale zeal'! pewnosci,! istniej,! okolicznosci, w ktorych postulat rzutowy znakomicie opisuje pomiar (nawet w przypadku zdegenerowanym). Najbardziej klarowna sytuacja powstaje w przypadku tzw. porniam zerowego (czyli "bez oddzialywania"). Jest to fascynuj,!ce zjawisko i warte zainteresowania sarno w sobie, ale ilustruje jeden z najdziwniejszych aspektow zachowania siy kwantowomechanicznego. Przypatrzmy siy paru przykladom. Rozwa:i:my raz jeszcze sytuacjy dyskutowan,! w rozdz. 21.7: pojedynczy foton zostal skierowany na plytky rozdzielaj,!c,! swiatlo i czyse jego stanu zostala odbita, a czyse przepuszczona. Po takim zdarzeniu stan fotonu jest sum'! tych dwu ortogonalnych cZysci: przepuszczonej IT) i odbitej IP) (dla ulatwienia odpowiednie czynniki fazowe zaabsorbowalismy w definicjy IT) i IP); mamy wiyC zwykl,! sumy i nie przejmujemy siy unormowaniem):
It/J) = IT) + IP)
520
(zob. rys. 22.5). Przypusemy, ze na drodze przepuszczonej wi,!zki umiescilismy detektor i, dla uproszczenia argumentacji, zalozmy, ze detektor pracuje ze lOO-procentow,! skutecznosci,!. Zalozmy, ze rowniei: kazdy fakt emisji jest (w zrodle) rejestrowany ze lOO-procentow,! dokladnosci,!. (S,! to oczywiscie idealizacje i w realnym eksperymencie byloby raczej trudno przybli:i:ye siy do takiej precyzji, lecz te zalozenia maj,! sens, ukazuj,! bowiem, jak dziala mechanika kwantowa.) Jesli wykryjemy, ze zrodlo wyemitowalo foton, ale detektor tego nie zarejestrowal, to mamy pewnose, ze foton "powydrowal inn,! drog,!", a wiyc ze jego stan jest stan em odbitym:IP). Jest niezwykle interesuj,!ce, ze pomiar "niewykrycia" fotonu spowodowal, iz stan fotonu dokonal skoku kwantowego (ze stanu superpozycji It/J) do stanu odbitego IP», pomimo iZ foton w ogole nie wszedl w jakiekolwiek oddzialywanie z aparatem pomiarowym! I to jest wlasnie przyklad pomiaru zerowego. Imponuj,!ce zastosowanie tego rodzaju idei zaproponowali Avshalom Elitzur i Lev Vaidman 16 • Wyobraimy sobie, ze nasz rozdzielacz wi¥ki jest cZysci,! interferometru typu Macha-Zehndera (przypomnijmy ostatni'! czyse mojego astronomicznego eksperymentu myslowego opisanego w rozdz. 21.7; zob. rys. 21.9), ale tak skonstruowanego, ze nie jestesmy pewni, czy na drodze wi¥ki przepuszczonej przez pierwszy rozdzielacz zostal umieszczony detektor C. Przypusemy, ze detektor C jest czyms w rodzaju zapalnika bomby, ktora wybuchnie, gdyby foton do niego dotarl. S,! dwa detektory koncowe, Ai B, i wiemy (z rozdz. 21.7), ze tylko A - ale nie B - moze zarejestrowae foton, pod warunkiem ze nie rna C; zob. rys. 22.6.
Pomiary zerowe;
skr~tnosc
22.7
Rys. 22.5. Pomiar zerowy zgodny z postulatem rzutowym. Pojedynczy foton zostaje wyslany w kierunku plytki rozdzieiaj,!cej swiat/o. Powstaly w wyniku tego stan 11/1), czysciowo odbity, czysciowo przepuszczony, jest sum'! I1/') = 11:) + Ip) stanu przepuszczonego 11:) i odbitego Ip) (odpowiednie czynniki fazowe zostaly ujyte w definicji tych stanow i nie dbamy 0 ich unormowanie). Jesli wykrywamy, :i:e irodlo wyemitowalo foton, ale detektor go nie zarejestrowal, wowczas wiemy, :i:e foton jest w stanie Ip), pomimo :i:e nie wszedl on w jakiekolwiek oddzialywanie z detektorem.
... liP) ~
I
~~ ____ .J1:~ __~(] Rys. 22.6. Test bombowy Elitzura-Vaidmana. W interferometrze typu Macha-Zehndera (zob. rys. 21.9) mo:i:e, ale nie musi, bye umieszczony detektor C podI'!czony do bomby. (Biale prostok'!ty oznaczaj'! plytki swiatlodzielne, a czame - zwierciadla). Dlugosci ramion interferometru S,! jednakowe, zatem foton wyemitowany przez zrodlo musi dotrzee do detektora A, pod warunkiem :i:e nie rna C. W przypadku gdy foton zostaje zarejestrowany przez detektor B (a bomba nie wybucha), wiemy, :i:e na drodze wi,!zki znalazl siy detektor C, chocia:i: foton do niego nie dotarl.
Chcemy miee pewnose obecnosci detektora C (i bomby), ale tak, zeby go nie stracie w wyniku eksplozji. To jest mozliwe, gdy detektor B rejestruje przybycie fotonu; albowiem tak moze sit( stac tylko wtedy, gdy detektor C dokona pomiaru, ze foton do niego nie dotarl! Taki pomiar oznacza bowiem, ze foton wybral alternatywnq drogt(, w zwiqzku z czym prawdopodobienstwo rejestracji fotonu przez kazdy z detektorow A i B wynosi (poniewaz nie wystt(puje teraz interferencja dwu wiqzek), podczas gdy w razie obecnosci C foton moze bye zarejestrowany tylko przez detektor A17_ W opisanych przykladach degeneracja nie wystt(puje, wobec czego nie mamy tu do czynienia z opisanym problem em, w ktorym sam wynik pomiaru nie pomoze nam rozstrzygnqe kwestii, do jakiego stanu nasz uklad "przeskakuje". Na podstawie rozdz. 22.6 przypominamy sob ie, ze wlasciwy uiytek z postulatu rzutowego mozemy zrobic dopiero wtedy, gdy mamy do czynienia ze zdegenerowanymi wartosciami wlasnymi. Wprowadzmy zatem dodatkowe stopnie swobody, na przyklad dodajmy do rozwazan zjawisko polaryzacji fotonu. Mamy tutaj do czynienia z nOWq jakosciq fiZYCZllq, do ktorej juz wczesniej sit( odwolywalismy, a mianowicie ze spinem kwantowomechanicznym. Zagadnieniem spinu zajmt( sit( bardziej szczegolowo nieco pozniej, w rozdz. 22.8-1 L W tym miejscu bt(dzie potrzebna tylko pewna bardzo podstawowa wlasnosc spinu cZqstki bezmasowej. Fotony istotnie majq spin,
t
521
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
// (a)
(b)
Rys. 22.7. CZl}stka bezmasowa, jakl} jest foton, moie krC(cie siC( tylko wok61 swojego kierunku ruchu. Wartose
lsi tego spinu dla danego typu cZl}stki bezmasowej jest zawsze taka sarna, ale jesli jej skrC(tnose
s jest r6ina od zera (jak w przypadku fotonu), w6wczas jej spin moie bye alba (a) prawoskrC(tny (s > 0; skrC(tnose dodatnia), alba (b) lewoskrC(tny (s < 0; skrytnose ujemna). W przypadku fotonu mamy lsi = 1 (w jednostkach Ii), co prowadzi do dw6ch przypadk6w: s = 1 dla polaryzacji kolowej prawoskrC(tnej oraz s = -1 dla polaryzacji kolowej lewoskrytnej. Na mocy zasady kwantowej superpozycji moiemy utworzye zespolone liniowe kombinacje tych stan6w, kt6re prowadzl} do innych moiliwych stan6w polaryzacyjnych fotonu, jak to i1ustrujl} rys. 22.12 i 22.13.
ale poniewai Sq to cZqstki pozbawione rnasy, ich spiny zachowujq sitr inaczej nu w przypadku cZqstek rnasywnych (na przyldad elektronow czy protonow) i tym aspektern zajrnierny sitr w rozdz. 22.8-10. Foton (albo innq CZqstktr bezrnasowq) rnusirny sobie wyobraiae jako CZqstktr krtrCqCq sitr wokol jej kierunku ruchu; zob. rys. 22.7. Dla danej czq.stki bezrnasowej wielkose spinu lsi jest zawsze taka sarna, ale ten spin rnoze bye albo prawoskrtrtny (s > 0), alba lewoskrtrtny (s < 0) wzgltrdern kierunku ruchu. Ponadto, zgodnie z ogolnyrni zasadami rnechaniki kwantowej, stan spinowy rnoze bye dowolnq (kwantowq) kornbinacjq liniowq. tych dwoch stanow. Sarna wielkose s nosi nazwtr skr~tno§ci cZqstki bezmasowej (rozdz. 22.12), a jej wartose zawsze rnusi bye calkowita bqdz polowkowa (albo, wprowadzajqc odpowiednie jednostki, powinnisrny powiedziee, ze skrtrtnose jest caikowitq wielokrotnosciq th). 0 cZqstce bezmasowej mowirny, ze rna spin j, jesli lsi =j (albo, w tych nowych jednostkach, lsi = jh). Foton rna spin 1 (a witrc jego skrtrtnose wynosi ±1); grawiton rna spin 2 (skrtrtnose ±2). Neutrina rnajq spin a jesli istniejq neutrina bezmasowe 18, to takie neutrino powinno miee skrtrtnose zas odpowiadajqce mu antyneutrino skrtrtnose W przypadku fotonu stany skrtrtnosciowe (stany 0 okreslonej skrtrtnosci) Sq stanami polaryzacji kolowej, odpowiednio, prawoskrtrtnej dla s = 1 i lewoskrtrtnej dla s = -1. Istniejq tei inne stany polaryzacyjne fotonu, takie jak polaryzacja piaska, ale stany takie Sq po prostu kombinacjami liniowymi stanow prawo- i lewoskrtrtnych. Geometriq tych stanow zajrntr sitr wkrotce, w rozdz. 22.9, a w tym rniejscu to nie jest konieczne. Teraz chcemy wiedziee, jak spolaryzowany kolowo foton zachowuje sitr przy odbiciu. Zakladam, ze foton w stanie kolowo spolaryzowanym pada na plytktr swiatiodzielnq (albo na jakikolwiek inny rodzaj zwierciadla, ktorego moglibysmy u.zye) prostopadle, a witrc tak, ze odbita wiqzka porusza sitr doldadnie w kierunku, z ktorego przyszla. Musirny wiedziee, ze stan polaryzacji fotonu odbitego jest plZeciwny do stanu fotonu padajqcego, podczas gdy ta cztrse fotonu, ktora przeszla przez rozdzielacz wiqzki, rna takq. sarnq polaryzacjtr jak foton wyemitowany
t,
t.
522
-t,
Pomiary zerowe;
skr~tnosc
22.7
~---NIE" Ir+)---~~(] 1)1" Rys. 22.8. Powr6t do eksperymentu z rys. 22.5, ale teraz foton pada na plytky prawie prostopadle. Zr6dlo emituje foton prawoskrytny. Po przejsciu przez plytky swiatlodzieln~ stan fotonu wygl~da nastypuj~co: 111'+) = IT+) + Ip-), znaki ,,+" i ,,- " wewn~trz ketu odnosz~ siy do znaku skrytnosci. Jesli detektor (nieczuly na polaryzacjy) rejestruje niedotarcie fotonu, w6wczas wnioskujemy, ze stan przeskoczyl (w wyniku braku detekcji) do odbitego stanu lewoskrytnego Ip-). Wymaga to zastosowania pelnego postulatu rzutowego (do punktu Liidersa; zob. rys. 22.9), poniewaz zachodzi degeneracja zar6wno w przypadku NIE (2-przestrzen rozpiyta przez Ip+) i Ip-), jak i w przypadku TAK (dwuwymiarowa przestrzen rozpiyta przez IT+) i Ir-). Aby zdecydowac, do jakiego stanu nast~pi przeskok po pomiarze (w tym wypadku pomiar braku detekcji), musimy znac aktualny stan wyjsciowy IT+) + Ip-).
przez zrodlo[22.16[. Jesli chcemy, to mozemy zaloZyc, ze padaj,!ca wi¥ka jest nieznacznie odchylona tak, zeby foton odbity nie wracal po prostu do zrodla. Takie zalozenie nie wplynie w znacz'!cy sposob na nasze rozwazania. Powrocmy do pierwszego eksperymentu "pomiaru zerowego" z rys. 22.5, ale tym razem z fotonem padaj,!cym prostopadle, jak na rys. 22.S. Zalozmy, ze nasze zrodlo zostalo wyregulowane tak, ze emituje swoje fotony w stanach kolowo spolaryzowanych, alba prawo-, alba lewoskrytnie. Powiedzmy, ze w pewnym akcie emisji wysyla foton spolaryzowany prawoskrytnie i fakt ten zostaje zarejestrowany. Po spotkaniu z rozdzielaczem wi,!zki stan fotonu jest kombinacj,! liniow,! (tzn. sum'!, przy czym, jak poprzednio, zastosowalismy odpowiedni,! umowy co do czynnikow fazowych): 11jJ+) = Ir+) + Ip-),
gdzie znaki + i - odnosz,! siy do odpowiednich znakow skrytnosci. Umiescmy nasz detektor jak poprzednio na drodze wi,!zki przechodz,!cej (i zalozmy, ze nie jest on czuly na polaryzacjy). Wowczas, jesli jak poprzednio zrodlo zarejestrowalo emisjy fotonu prawoskrytnego, ale detektor niczego nie wykryl, a zatem foton do niego nie dotarl, to musimy wyci,!gn,!c wniosek, ze stan fotonu przeskoczyl do odbitego stanu lewoskrytnego IP-). Chcy zwrocic w tym miejscu uwagy, ze do okreslenia natury tego stanu kwantowego konieczny jest pelny postulat rzutowy; zob. rys. 22.9 .. Pomiar w tym wypadku jest pomiarem typu TAK/NIE, poniewaz jego wynik to: alba "detekcja nie nast,!pila" (NIE), alba "detekcja fotonu" (TAK). Mamy tu do czynienia z degeneracj,! tych alternatyw, gdyz przestrzeii. wlasna odpowiedzi NIE jest 2-przestrzeni,! rozpiyt,! przez Ip+) i Ip-), natomiast przestrzeii. wlasna odpowiedzi TAK jest rozpiyta przez IH) i li-). Poniewaz w tym przypadku stanem wyjsciowym jest IH)+lp-), wiyc w przypadku NIE postulat rzutowy19 poprawnie prowadzi nas do stanu Ip-), a nie do Ip+) lub Ip+)+lp-) (czy do jakiejs innej kombinacji liniowej Ip+) i Ip-) )20,[22.17[. B [22.16] Cz:y mozesz podac jakies proste uzasadnienie tego faktu? B [22.17] Wyjasnij bardziej szczeg61owo, dlaczego "rzutowanie" daje nam poprawnq odpowiedi.
523
22
Kwantowa algebra, geometria i spin Rys. 22.9. Opis rzutowej przestrzeni Hilberta lP'H4 (zob. rys. 15.15) postulatu rzutowego z rys. 22.4 dla stanow fotonu spolaryzowanego z rys. 22.8. Wyjsciowy stan Ir+) + IP-) jest ukazany w ramach lP'H 2, a cala przestrzenjest rozpi«ta przez stany Ir+), Ir-), IP+), IP-). Biala trojklltna strzalka pokazuje rzutowanie na (punkt Liidersa) IP-), ktore przebiega wzdluz linii jednoznacznie Illczllcej linie TAK i NIE Z punktem wyjsciowym (Ir+) + IP-». Sam brak detekcji informuje nas tylko, ze stan koncowy leZy na linii NIE, jednak, zgodnie z pelnym postulatem rzutowym, wybor stanu POczlltkowego znosi t« degeneracj«.
22.8 Spin i spinory Nie jest to z pewnosci~ bardzo ekscytuj~cy eksperyment, ale wyjasnia, 0 co chodzL o wiele ciekawsze zagadnienia znajdziemy w rozdz. 23. Zanim jednak do nich przejdziemy, warto powiedziec cos wit(cej 0 problemie spinu. W przypadku cZlIstek maj~cych mast( to pojt(cie odnosi sit( do ich momentu pt(du wzglt(dem srodka masrl. W rozdz. 21.1-5 zapoznalismy sit( ze znaczeniem praw zachowania masy-energii i perdu jako odzwierciedleniem, odpowiednio, symetrii naszych praw kwantowych wzglt(dem przesunit(cia w czasie i wzglt(dem translacji przestrzennych. W podobny sposob symetria obrotowa prowadzi do zachowania momentu perdu (zob. rowniez rozdz_ 18.7 i 20_6). W przypadku cz~stki masywnej mozemy sobie wyobrazic, ze jestesmy w spoczynkowym ukladzie odniesienia cZlIstki, wobec czego odpowiednimi obrotami s~ te, ktore tworz~ grupt( obrotow 0(3) wokol polozenia cz~st ki w tym ukladzie. Podobnie jak skladowej perdu w mechanice kwantowej odpowiada iii razy operator generuj~cy translacjt( infinitezymaln~ w kierunku odpowiedniej skladowej polozenia (rozdz. 21.1, 2), tak rowniez skladowej momentu pt(du odpowiada iii razy generator obrotu wokol odpowiedniej (przestrzennej, kartezjanskiej) osi. A zatern w mechanice kwantowej algebra skladowych momentu pt(du odpowiada algebrze obrotow infinitezymalnych (rozdz. 13.6-8), tzn. algebrze Liego grupy obrotow 0(3) albo, rownowaznie, grupy SO(3), gdyz algebra Liego ich nie rozroznia. Poniewaz grupa SO(3) nie jest gruplI abelowlI, to nie wszystkie elementy algebry Liego komutuj~ ze soblI. W istocie genera tory tej algebry, tl' t 2, t3' reprezentuj~ce infinitezymalne rotacje wokol trzech kartezjanskich osi przestrzennych, spelniajlI relacje[22.18] tl2 - til
= t 3, ti3 - tl2 = tl' tll - tlt3 = t 2·
Wielkosci te, zgodnie z regulami mechaniki kwantowej, zwilIzane slI ze skladowymi momentu pt(du, LI' L 2, L 3, wokol odpowiednich osi nastt(pujlIcymi relacjami: LI
524
= ilitl' L2 = ifit2' L3 = ifit3'
~ [22.18] Sprawdz te reJacje przy uZyciu kwaternionow.
Spin i spinory
22.8
A zatem mamy nastypuj,!ce reguly komutacji naszego momentu pydu 22
Ll L2 - L; Ll =i1iL 3, L2 L3 - L3 L2 =i1iLl' L3 Ll - Ll L3 =i1iL 2· Praktycznie w kaidym przypadku w mechanice kwantowej skladowe momentu pydu,
Ll' L 2, L 3, musz'! dzialac jak operatory liniowe na przestrzeni Hilberta H. Uklad kwantowy maj,!CY moment pt(du daje nam wit(c reprezentacjy algebry Liego grupy SO(3) w postaci transformacji liniowych H (zob. rozdz. 13.6--8, 14.6). To prowadzi nas do jednego z najladniejszych, bogatych aspektow mechaniki kwantowej, a trud wlozony w bliZsze zapoznanie siy z nim bydzie z pewnosci,! zrekompensowany z nawi,!zk,!. Teraz nie rna jednak czasu ani miejsca na szczegolow'! prezentacjy i dlatego ograniczy siy tylko do kilku najwazniejszych elementow. Zauwaimy przede wszystkim, ze macierze
~
n(O1
="2
1)
0'
n(Oi
Lz ="2
-i)
0 '
n(1 0)
~ ="2 0 -1'
spelniaj,! wymagane relacje komutacji[22.191• Macierze te (bez czynnika h/2) nosz'! nazwt( macierzy Pauliego. Tworz'! one najprostsz'! (nietrywialn,!) reprezentacjy momentu pydu i mozemy sobie wyobrazic, ze te macierze 2 x 2 dzialaj,! na funkcjy falow,! o dwoch skladowych (!j'o(x), lPt(x)} Gesli traktujemy j,! jako wektor kolumnowy). Kiedy dokonujemy obrotu tego stanu, wowczas skladowe lPo(x) i lPt(x) zostaj(! odpowiednio obrocone zgodnie z regulami mnozenia wlasciwych macierzy Pauliego. Tt( dwuskladnikow,! funkcjy falow'! mozemy oznaczyc jako lPA' ui:ywaj,!c dolnego indeksu A (ktory przybiera wartosci 0 i 1; alternatywnie mozemy go traktowac jako wskainik abstrakcyjny, zgodnie z "zapisem abstrakcyjno-wskainikowym" omawianym w rozdz. 12.8). Wielkosc opisywan(! przez lPA nazywamy spinorem, a indeks A indeksem 2-spinorowym. Okazuje sit(, ze lPA jest rzeczywiscie obiektem spinorowym w sensie przedstawionym w rozdz. 11.3 (ci(!gly obrot 0 k(!t 2n zmienia jego znak). Istotnie, jesli w sposob ci(!gly dokonamy "eksponencjacji" (zob. rozdz. 14.6) jednej z ma~ierzy Pauliego do momentu uzyskania pelnego obrotu 0 k(!t 2n, otrzymamy operator -I, ktory zamienia lPA na _lP)22.201• Zapis ten jest czysci(! potyznego formalizmu, ktory zostal stworzony w celu uzupelnienia (a moze nawet zast,!pienia 23 ) rachunku tensorowego przez wprowadzenie "tensoropodobnych" wielkosci zbudowanych na bazie takich elementow jak lPA • Chociaz w tym miejscu nie korzystamy w pelni z prawdziwej sily formalizmu spinorowego, to ujawnia sit( ona w jego relatywistycznej wersji. Bydziemy potrzebowali rowniez wskainikow "primowanych" A', B', C', ... , oprocz wskainikow "nieprimowanych" A, B, C, ... ; wskainiki primowane i nieprimowane S(!, w odpo-
i'8 [22.19] Sprawdz to. Wyjasnij, jak ich reguly mnozenia sl! zwil!zane z regulami mnozenia kwaternionow. ~ [22.20] Wykonaj to explicite.
525
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
wiednim sensie, wzajemnie sprzyzone zespolenie; zob. rozdz. 13.9[*]. Notacja ta rna szczeg6lnie duze znaczenie dla kwantowej teorii pol a (ten fakt, bye moze, nie jest doceniany tak, jak na to zasluguje 24 ; zob. rozdz. 25.2 i 34.3) i dla og6lnej teorii wzglydnosci 25 (a znaczenie wrycz podstawowe dla teorii twistor6w; zob. rozdz. 33.6). Do tego zagadnienia wr6cimy w rozdz. 25.2, jednak teraz przyda siy czysciowe skorzystanie z formalizmu 2-spinorowego. Tu i w rozdz. 22.9-11 powinnismy dowiedziee siy, jak zgrabnie zapisywae dowolne stany spinowe. Na razie (do rozdz. 25.2,3 i 33.6, 8) nie bydziemy korzystae z indeks6w primowanych, poniewaz rozwaZamy jedynie zagadnienia nierelatywistyczne. Zanim jednak do tego przejdziemy, chcialbym wprowadzie pewne uproszczenie zapisu. Do konca rozdz. 22.11 posluzy siy wygodnym zalozeniem, ze wszystkie wielkosci fizyczne Sq podawane w ukladzie jednostek, w kt6rym n= 1. Zastosowanie takiej konwencjijest zawsze mozliwe, a w rozdz. 27.10 (oraz 31.1) przekonamy siy, ze ten kierunek wiedzie znacznie dalej i mozna wyraZae wszystko w ukladzie znanym jako "jednostki Plancka", w kt6rym takZe prydkose swiatla i staia grawitacji Sq r6wne 1. Nie musimy ise teraz tak daleko i w kazdej chwili mozemy powr6cie do normalnej wartosci n przez zwykle rozwazenie wymiar6w fizycznych. (Na przyklad, chcqc powr6cie do normalnego ukladu jednostek we wzorze, w kt6rym przyjylismy n = 1 wystarczy zastqpie kazdq wielkose pojawiajqcq siy jako q-ta potyga masy - ignorujqc dlugose i czas - tq wielkosciq pomnozonq przez n- q• W szczeg6lnosci wielkosci takie jak mas a, energia, pyd i moment pydu wystarczy po prostu podzielie przez n.) Wracajqc teraz do formalizmu 2-spinorowego, przypomnijmy, ze wielkosci 1/JA' czyli spinora 0 walencji 1, mozna uZye do opisu cZqstki 0 spinie Ten sam rodzaj zapisu stosujemy do wyzszych wartosci spinu, odpowiadajqcych innym reprezentacjom algebry Liego grupy SO(3). Wartose spinu jest zawsze nieujemnq calkowitq wielokrotnosciq
t.
t:
(albo, jesli przywr6cimy n, Sq to wartosci spinu podzielone przez n). Funkcja falowa moze bye przedstawiona jako 1/JAB ... F ("tensor spinowy"), kt6ry, dla przypadku spinu jest calkowicie symetryczny w jego n wskaznikach:
I'
1/JAB .. F
=
1/J(AB ... F)
(gdzie nawiasy okrqgle oznaczajq symetryzacjy po wszystkich n wskaznikach; zob. rozdz. 12.7). Istotnie, wszystkie reprezentacje grupy SO(3) - wlqcznie z 2-wymiarowymi reprezentacjami spinorowymi - mog£! bye skonstruowane jako sumy pro-
526
[*] W monografii J. Lopuszanskiego Rachunek spinor6w (PWN, Warszawa 1985) zamiast indeksow primowanych wprowadza siy spinory kropkowane; nad wskaznikiem spinorowym stawia siy kropky (przyp. Hum.).
Spin i spinory
22.8
ste tych szczegolnych reprezentacji nieredukowalnych (zob. rozdz. 13.7). Jest to rownowazne stwierdzeniu, ze dowolna reprezentacja moze bye przedstawiona jako zbior (takZe nieskonczony) funkcji falowych {'IjIAB ... F'
¢GH ...
K'XLM ... R ,···},
z ktorych kazda jest calkowicie symetryczna w swoich wskainikach spinorowych. Funkcja falowa pojedynczej cz'!stki bydzie opisana tylko jednym takim polem symetrycznym, na przyklad 'IjIAB ... F' (Blydem, ktory w tym miejscu latwo popelnie, byloby przekonanie, ze w przypadku dwoch cz,!stek potrzebujemy dwu oddzielnych takich funkcji, dla trzech - trzech itd. W nastypnym rozdziale zobaczymy, w jaki sposob opisujemy uklady wiykszej liczby cz,!stek. Jest to duzo bardziej subtelna sprawa.) W przypadku cz'!stki 0 spinie 0, ktor,! nazywamy czqstkq skalamq (tak,! jak mezon 1t), funkcja falowa rna indeksow i przypadek ten rozpatrywalismy w rozdz. 21. Wszystkie najbardziej znane cz,!stki, elektrony, miony, neutrina, protony, neutrony, a takZe tworz'!ce je kwarki, maj,! spin t (a wiyc tylko jeden indeks). Deuteron G,!dro ciyzkiego wodoru) i bozon W (zob. rozdz. 25.4) charakteryzuje siy spinem 1 (dwa symetryczne indeksy spinorowe). Wiele ciyzkich j,!der, a nawet cale atomy, mozna traktowae jak cz'!stki 0 duzo wyzszym spinie. W przypadku spinu tn funkcja 0 n indeksach 'IjIAB ... F rna n + 1 niezaleznych Z6 skladowych[zz.Zl]. Aczkolwiek tensor spinowy 'IjIAB ... F jest cZysto nazywany spinorem n-wskainikowym, to jest on obiektem spinorowym (rozdz. 11.3) tylko wtedy, gdy jego spin jest liczb,! polowkow,! (nieparzyst,! wielokrotnosci,! t), a nie calkowit'!. (~o), okresla wartosewlasn'!j(j + 1) Naleiy tez dodae, ze sarna wartose spinu,j operatora "spinu calkowitego"Z7
°
=tn
JZ=L2+L2+LZ' 1 2 3' i to jest wlasnie "kwadrat dlugosci" operatorowego 3-wektora J = (Ll' L 2, LJ Operator spinu calkowitego J2 komutuje[Z2.Z2], [2Z.Z3] z kazd,! ze skladowych Ll' L 2, L3 momentu pydu (mimo ze te operatory nie komutuj,! ze sob,!). Wlasnose ta charakteryzuje J2 jako operator Casimira dla grupy SO(3); zob. rozdz. 22.12. Dla pelnego okreslenia stanu kwantowego zwykle konstruujemy zupelny zbi6r komutujqcych operator6w (rozdz. 22.12) i szukamy stanow, ktore s,! jednoczesnie stanami
IB [22.21] Sprawdz, czy na podstawie podanych informacji jestes w stanie to wykazac. B [22.22] Sprawdz to bezposrednio na podstawie regul komutacji dla operatorow mom entu pydu. rm. [22.23] RozwaZ operatory L + = L j + iLz oraz L - = L j - iLz i znajdz ich relacje komutacji z operatorem L 3 • Wyraz JZ przez V i L 3 • Pokai, ie jesli 111') jest stanem wlasnym L 3 , to rowniei stan em wlasnym tego operatora jest kaidy ze stanow L ±11P) (gdy wynik jest roiny od zera), i znajdz wyraienie na wartosci wlasne przez wartosc wlasn,! w stanie 111'). Pokai, ie jesli It{!) naleiy do skonczenie wymiarowej przestrzeni reprezentacji nieredukowalnej, rozpiytej przez takie wektory wlasne, wowczas wymiar tej przestrzeni to 2j, gdzie j(j + 1) jest wartosci,! wlasn,! operatora JZ wszystkich tych stanow wlasnych.
527
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
wiasnymi wszystkich operatorow tego zbioru. W przypadku momentu pydu zwykle robimy to w ten sposob, ze wybieramy operator L 3, reprezentuj,!CY moment pydu wokol dodatniego kierunku osi Z, i operator J 2. W takim przypadku stan charakteryzuj,! dwie "liczby kwantowe" jim, gdzie j(j + 1) jest wartosci'! wlasn,! operatora J2, am -wartosci,! wlasn,! operatoraL 3• Wowczasj;? 0 oraz-j ~ m ~j, gdziej im s,! alba obie liczbami polowkowymi (przypadek spinorowy), alba obie S,! liczbami calkowitymi. 2j + 1(= n + 1) roznych mozliwych wartosci m odpowiada roznym skladowym 1/JAB...P" Oczywiscie, wybor "dodatniego kierunku z" jest calkowicie dowolny i odpowiada wyborowi bazy "strzalka w gory/strzalka w dol" (wektory 11'), Iw) z rozdz. 22.9) dla skladowych spinu. Dowolny inny kierunek przestrzenny moglby rowniez zostac wybrany w miejsce kierunku "w gory". Zgodnie z tym czasami bydy mowil o "wartosci m" w odniesieniu do innego zadanego kierunku Oak w przypadku przedstawienia Majorany w rozdz. 22.10).
22.9 Sfera Riemanna ukfad6w dwustanowych Rozwaimy niezwykle prost,! - nawet magicznie prost,! - geometriy kwantow'! stanow spinowych pojedynczej cz'!stki 0 spinie (na przyklad elektronu, protonu, neutronu czy kwarka). Pozwoli nam to na ogolne zrozumienie ukladow kwantowych zbudowanych na dwu stanach. Uklad taki opisujemy w 2-wymiarowej zespolonej przestrzeni Hilberta, H2, a przypadek spinu przejrzyscie reprezentuje jego geometriy. W przypadku cz'!stki 0 spinie bydziemy zainteresowani wyl,!cznie spinowymi stopniami swobody w jej ukladzie spoczynkowym. Aby to uj,!c w sposob jawny, wyobraimy sobie, ze cz'!stka znajduje siy "w spoczynku", w tym sensie, ze jest w stanie wlasnym pydu zerowego, wobec czego jej stan w przestrzeni zmiennych x musi byc stal'![22.241• Wowczas funkcje 1/Jo i 1/J1 S,! po prostu liczbami zespolonymi, 1/Jo = w i 1/Jo = z, i stan taki zapisujemy jako {w, z}. Mozemy siy umowic, ze stan ze spinem "w gory" 11') (prawoskrytny, wokol osi pionowej skierowanej w gory) bydzie stanem spinowym {I, D} i, odpowiednio, stan ze spinem "w dol" Iw) (prawoskrytny, wokol osi pionowej skierowanej w dol) bydzie stanem {D, I}. Te dwa stany bazowe S,! wzajemnie ortogonalne
t
t
t
(l'lw) = o. Mozemy je unormowac:
(1'11') = 1 = (wlw). Dowolny stan 0 spinie nacj,! liniow,!
t, 1/J
A
= {w, z} (ogolny element przestrzeni H2) jest kombi-
{w, z}
528
ta
[22.24] Dlaczego?
=
wll')+ zlw)
Sfera Riemanna uklad6w dwustanowych
22.9
tych dwu stanow. Iloczyn skalarny innego stanu ogolnego {a, b} (tzn. all') + bl-J.-» ze stanem {w, z} dany jest relacjq[Zz.z5] ({a,b}l{w,z}) =aw+oz
--t
Okazuje siy, ze kazdy stan spinu musi bye czystym stanem spinowym, to znaczy stanem prawoskrytnym wokol pewnego kierunku w przestrzeni, a wiyc mozemy napisae (powiedzmy):
gdzie ,,71" oznacza pewien konkretny kierunek w przestrzeni![ZZ.26] Daje nam to interesujqcq identyfikacjy miydzy przestrzeniq rzutowq IP'Hz (rozdz. 15.6) a geometriq kierunkow w przestrzeni, ktore to kierunki utozsamiamy z kierunkami spinow. Rozne fizycznie stany spinow mozemy rzeczywiscie przedstawie w tej przestrzeni rzutowej (zob. rozdz. 21.9), a roznym punktom IP'Hz odpowiadajq rozne stosunki
-t
z:w.
Innymi slowy, IP'Hz jest po prostu kopiq naszej starej znajomej, sfery Riemanna, ktorq poznalismy w rozdz. 8.3. Kazdy punkt tej sfery odpowiada konkretnemu stanowi 0 spinie - tzn. stanowi wlasnemu z wartosciq wlasnq m = jaki otrzymalibysmy w wyniku pomiaru spinu w kierunku wskazanym przez strzalky lqczqcq ten punkt ze srodkiem sfery (rys. 22.10). Ten zwiqzek geometryczny poznamy lepiej, jesli poslu:iymy siy opisanym w rozdz. 8.3 rzutem stereograficznym sfery z jej bieguna poludniowego na plaszczyzny rownikowq (rys. 8.7a). Plaszczyzny ty mozemy uwazae za plaszczyzny zespolonq stosunkow u = z/w (a nie samych z, jak w rozdz. 8.3) kwantowomechanicznych amplitud prawdopodobienstwa z i w. Wiqze to konkretny punkt na sferze, odpowiadajqcy kierunkowi przestrzennemu 71, bezposrednio ze stosunkiem z/w. Skorzystajmy teraz z operatora rzutowego E7I do oznaczenia pomiaru, ktory stawia pytanie "czy spin jest skierowany w strony 7I?", a jego wartose wlasna wynosi 1 (TAK), gdy znalezionym stanem spinowym (czyli jego rzutem) jest 171), natomiast wynosi 0 (NIE), jesli spin jest zrzutowany na ortogonalny stan spinowy I~), w przeciwnym kierunku przestrzennym, co odpowiada punktowi do niego antypodalnemu na sferze Riemanna. (Zauwazmy, ze slowo "ortogonalny" w przestrzeni Hilberta nie odpowiada znaczeniu "prostopadly przestrzennie", ale, w tym przykladzie, znaczeniu "przeciwnie skierowany".) Jesli wyjdziemy od stanu 11'),
-t,
-t,
fS [22.25] WyprowadZ to wyrazenie. jl! [22.26] Sprawdz, czy potrafisz uzyskae ten rezultat dwoma sposobami: (i) znajdujqc ten kierunek explicite w odpowiednim kartezjanskim ukladzie wsp61rzy dnych, w kt6rym stan {a, b} definiuje b/a jako punkt na plaszczyznie zespolonej z rys. 8.7a; (ii) nie wykonujqc bezposrednich obliczen, korzystajqc z faktu, ze skoro H2 jest przestrzeniq reprezentacji SO(3), to zawiera wszystkie kierunki spin6w, chociaz lPW nie jest "dostatecznie duza", aby zawierae jakies inne stany niz ten.
529
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
Rys. 22.10. Przestrzen rzutowa PH 2 dla ukladu dwoch stanow jest sferlj Riemanna (zob. rys. 8.7). Dla stanow spinowych cZljstki masywnej 0 spinie mozemy wybrac biegun polnocny jako reprezentujljCY stan 11') (spin "w gory"), a biegun poludniowy jako stan l-v) (spin "w dol"). Ogolny stan spinowy 171) jest reprezentowany (z wlasciwymi fazami dla 11') i l-v» przez punkt na sferze, ktory leZy w kierunku okreslonym przez 171) od jej srodka (tzn. takim, ze pomiar spinowy E 71 przeprowadzony w tym kierunku daje na pewno wynik "TAK"), jak to ilustruje podwojna strzalka. Stan 171) mozemy wyrazic jako kombinacjy liniowlj 171) = wl1') + zl-v) (w ktorej liczby zespolone z, w uWaZamy za skladowe w = 1/10 ' z = 1/11 2-spinora 1/IA)' Punkty na sferze odpowiadajlj roznym wartosciom stosunkow z : w. Kazdy z nich reprezentuje na plaszczyznie zespolonej liczba zespolona u =zlw (dopuszczamy tez CX), przy czym plaszczyzny ty wybieramy jako plaszczyzny rownikowlj sfery. W rzucie stereograficznym z bieguna poludniowego punkt u przechodzi w ten punkt na sferze, ktory reprezentuje stan 171).
t
wowczas prawdopodobienstwo otrzymania wyniku TAK dla pomiaru E7I wynosi IwI2/(lwI2 + Izn. Jezeli spin jest pocz'!tkowo w pewnym stanie I"), natomiast pomiar przeprowadzamy, aby siy upewnic, czy nie jest to stan w jakims innym kierunku 171), a k,!t miydzy kierunkami" a 71 w zwyklej 3-przestrzeni euklidesowej wynosi e, wowczas prawdopodobienstwo uzyskania rezuItatu TAK jest rowne[22. 27l
t(1 + cos e). Prawdopodobienstwo to mozemy otrzymac bezposrednio z geometrii sfery, na ktorej " i 71 S,! dane przez dwa punkty, odpowiednio, A i B, i kiedy punkt B zrzutujemy prostopadle na punkt C, leZ,!CY na srednicy przechodz'!cej przez punkt A (rys. 22.11). Jesli A' jest punktem antypodalnym wzglydem A, wowczas prawdopodobienstwo wyniku TAK jest rowne dlugosci odcinka A'C podzielonej przez dlugosc srednicy AA'[22. 28l. Zauwazmy, ze "sfera Riemanna", z ktor'! tutaj mamy do czynienia, rna bogatsz,! struktury niz sfera z rozdz. 8.3 lub sfera niebieska z rozdz. 18.5, albowiem do jej struktury naleiy teraz "punkt antypodalny", ktorego potrzebujemy do okreslenia, jakie stany S,! "ortogonalne" w sensie przestrzeni Hilberta. Sfera ta jest teraz raczej "sfeq metryczn'!", a nie "sfer,! konforemn'!", w zwi,!zku z czym jej
530
n
[22.27] Pokaz to.
is [22.28] Udowodnij to.
Sfera Riemanna uklad6w dwustanowych
22.9
Rys. 22.11. Przypuscmy, ie stan poczlltkowy ukladu dwustanowego (podobnego do przedstawionego na rys. 22.10) jest reprezentowany przez punkt B na sferze Riemanna i ie chcemy przeprowadzic pomiar TAK/NIE, odpowiadajllcy pewnemu innemu punktowi na sferze. Wynik TAK oznaczalby znalezienie stanu w punkcie A, a wynik NIE oznaczalby, ie stan znajduje sit( w punkcie A', antypodalnym do A. Przyjmujllc, ie promien kuli wynosi i rzutujllc B prostopadle na C na osi AA', otrzymujemy prawdopodobienstwo odpowiedzi TAK r6wne dlugosci odcinka A' C, kt6ra wynosi (1 + cosO), a prawdopodobienstwo odpowiedzi NIE r6wne dlugosci CA, czyli (1 - cosO), gdzie 0 jest klltem mit(dzy OB a OA, zas 0 jest srodkiem kuli.
t
t
t
element ami symetrii Sq obroty w zwyklym sensie i tracimy w ten sposob ruchy konforemne, ktore przejawialy siy w zjawiskach aberracji na sferze niebieskiej. Mimo to nasze obecne ui)'cie sfery Riemanna jasno przedstawia jawny zwiqzek miydzy stosunkami liczb zespolonych, ktore wystypujq w mechanice kwantowej, a zwykiymi kierunkami w przestrzeni. A zatem liczby zespolone, pojawiajqce siy w formalizmie stanow kwantowych, nie Sq calkowicie abstrakcyjnymi tworami; Sq one scisle zwiqzane z ich geometriq i dynamikq. (Przypomnijmy takZe roly faz zespolonych w dynamice stanu pydowego, ktorq opisalismy w rozdz. 21.6.) Nalei)' podkreslic, ze geometria rys. 22.11, obrazujqca prawdopodobienstwa, jakie wynikajq przy pomiarze kwantowym zwiqzanym z JP>H 2, nie jest ograniczona do przypadku spinu, ale charakteryzuje ogolne uklady dwustanowe. Szczegolne tylko w przypadku spinu jest to, ze mamy tu natychmiastowy zwiqzek miydzy zwyklymi kierunkarni plZestlZennyrni a punktami sfery Riemanna JP>H2. W przypadku ukladow dwustanowych zawsze mamy do czynienia ze sferq Riemanna, ktora umozliwia nam "kwantowe rozszerzenie" dla pary klasycznych alternatyw. Jednak w wielu sytuacjach fizycznych geometryczna rola tej sfery i zasadnicza rola kwantowomechanicznych liczb zespolonych (amplitud) nie jest tak oczywista i fizycy czysto traktujq je jako zwiqzki czysto formalne. Taki stosunek wynika czysciowo z faktu, ze calkowitq fazy wektora stanu calego ukladu fizycznego traktuje siy jako wielkosc nieobserwowalnq, wobec czego pojawia siy tendencja ignorowania potencjalnego bogactwa geometrycznego, ukrytego w wewnytrznych wspolczynnikach zespolonych. Tymczasem wzglfdne fazy miydzy jednq a drugq czysciq ukladu z calq pewnosciq majq znaczenie obserwacyjne. Jednq z drog przekonania siy 0 tym jest zrozumienie faktu, ze zespolona geometria calej rzutowej przestrzeni Hilberta JP>H danego ukladu rna sens fizyczny. Chociaz calkowita faza jest wyjyta z definicji JP>H, to wszystkie fazy wzglydne odgrywajq roly w jej geometrii. Istniejq bardzo eleganckie podejscia do mechaniki kwantowej, ktore wykorzystujq zespolonq geometriy rzutowq przestrzeni JP>H28.
t
531
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
Istniej,! rowniez inne sytuacje, w ktorych geometria sfery Riemanna wi£!:le liczby zespolone mechaniki kwantowej bezposrednio z przestrzennymi wlasnosciami spinu. Najwyrazniej przejawia sit( to w przypadku ogolnych stanow spinowych cz,!stek masowych 0 wyzszych wartosciach spinow, do czego przejdziemy w rozdz. 22.11. Na koniec tego rozdzialu powrocmy do zagadnienia polaryzacji fotonu, z ktorym zetknt(lismy sit( pokrotce w rozdz. 22.7. Przypomnijmy sobie, ze ogolny stan pol aryzacyjny fotonu jest zespolon'! kombinacj,! liniow,! stanow 0 skrt(tnosci dodatniej 1+) i ujemnej 1-):
I
532
~ [22.29] Sprawdi to wszystko. Dlaczego nie obchodzi nas znak pierwiastka q?
Sfera Riemanna uklad6w dwustanowych
22.9
Wektor poJa magnetyeznego ------{>
Wektor poJa eJektryeznego
•
(a)
(b)
(e)
Rys. 22.12. Polaryzacja fotonu (zob. rys. 21.7) jako cecha elektromagnetycznej fali plaskiej. (a) Fala liniowo spolaryzowana oddala si« od patrzqcego. Wektory pola elektrycznego (strzalki czame) i wektory pola magnetycznego (strzalki biale) oscylujq tam i z powrotem w dwu ustalonych, wzajemnie prostopadlych plaszczyznach. (b) W przypadku fali spolaryzowanej kolowo wektory pol e1ektrycznego i magnetycznego obracajq si« wokol kierunku ruchu, pozostajqc caly czas wzajemnie prostopadle i zachowujqc stalq dlugosc. (c) Patrzqc od tylu, widzimy, jak wektory pol elektrycznego i magnetycznego obracajq si« wokol kierunku rozchodzenia si« fali (przypadek skr«tnosci dodatniej). Rysunek dolny pokazuje przypadek polaryzacji kolowej, a rysunek gomy ogolny przypadek polaryzacji eliptycznej gdy konce strzalek zakreslajq nalozone na siebie elipsy, ktorych osie glowne Sq wzajemnie prostopadle. Takie zachowanie jest typowe dla funkcji falowej pojedynczego fotonu.
Rys. 22.13. Stany polaryzacyjne fotonu na sferze Riemanna. Niech biegun polnocny reprezentuje stan 0 skr«tnosci dodatniej, 1+), a biegun poludniowy 0 skr«tnosci ujemnej, 1-), przy czym zakladamy, ze p«d fotonu skierowany jest ku polnocy. Ogolny stan polaryzacyjny wl+) + zl-) reprezentuje punkt q = (Z/W)1I2. Rozwai:my pro mien kuli skierowany do q, tak zwany "wektor Stokesa", i narysujmy wielkie kolo lezqce w plaszczyznie do niego prostopadlej. Zorientujmy ten okrqg prawoskr«tnie wzgl«dem wektora Stokesa. Nast«pnie wykonajmy rzut prostopadly tego okr«gu na plaszczyzn« rownikowq sfery. W wyniku otrzymamy elips« polaryzacyjnq 0 wlasciwej orientacji.
533
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
22.10 Wyzsze spiny: przedstawienie Majorany lako kolejny przyklad ilustrujqcy scisly zwiqzek miydzy na pozor abstrakcyjnymi liczbami zespolonymi w mechanice kwantowej a geometriq przestrzeni rozwaimy n. Poprzednio twierstany spinowe czqstki masywnej -lub atomu - 0 spiniej dzilismy (rozdz. 22.8), ie stany takie moina opisywae za pomocq symetrycznego n-wskaznikowego tensora spinowego 1/JAB ... F" Istnieje twierdzenie, ktore mowi, ie kaidy taki tensor moina - jednoznacznie, z dokladnosciq do czynnikow skalujqcych i porzqdku - "rozloiye kanonicznie" na zsymetryzowany iloczyn 1-wskaznikowych spinorow[22.30 J:
=t
1/JAB ... F
=
a(Af3B •••
CfJF)'
gdzie, jak w rozdz. 12.7, nawiasy okrqgle oznaczajq symetryzacjy wskaznikow. Korzystajqc z obrazu na rys. 22.10, gdzie spinor 1-wskaznikowy 1/JA jest geometrycznie reprezentowany (z dokladnosciq do ogolnego czynnika zespolonego) przez punkt na sferze Riemanna (a wiyc przez pewien kierunek w przestrzeni), dochodzimy do wniosku, ie tensor spinowy 1/JAB ... F moie takie bye przedstawiony na sferze Riemanna, z dokladnosciq do ogolnego czynnika skalujqcego, jako nieuporzqdkowany zbior n punktow (a wiyc n nieuporzqdkowanych kierunkow w przestrzeni); zob. rys. 22.14. Taka reprezentacja dowolnego stanu n-spinowego nosi nazwy plZedstawienia Majorany. Odkrycia tego dokonal w 1932 roku (ale innq metodq29, 0 ktorej krotko opowiem w rozdz. 22.11) genialny fizyk wloski Ettore Majorana. (W wieku lat 31[*] tajemniczo zaginql podczas rejsu okrytem w Zatoce Neapolitanskiej, bye moie bylo to samob6jstwo.)
Rys. 22.14. W obrazie Majorany dowolny (rzutowy) stan spinowy cZ'lstki masywnej 0 spinie przedstawia zbior n nieuporz'ldkowanych punktow na sferze Riemanna. Kazdy wektor od srodka sfery do ktoregos z tych punktow, zgodnie z przepisem podanym na rys. 22.10, przedstawia spin Zsymetryzowany iloczyn tych spinow daje spin calkowity. (W notacji 2-spinorowej zupelny stan spinowy jest symetrycznym spinorem 0 walencji n, 1J'AB.F =a(AfJB ·•• 'PF)' gdzie a A , fJA ,···, 'PA , oznaczaj'l odpowiednie punkty, jak na rys. 22.10.
1
t.
rm.
534
[22.30] Sprawdz, cVf potrafisz to udowodnic, opierajqc siy na "podstawowym twierdzeniu algebry" podanym w prVfP. 2 w rozdz. 4. fVskaz6wka: rozwaz wielomian 1/JABF~A~B ••• ~F, kt6rego skladowymi ~A Sq {l, z}. [*] Zdaje siy, ze Majorana byl w dniu zaginiycia nieco starsVf. Urodzil siy w 1905 roku, zaginql w 1938 (prVfp. Hum.).
Wyzsze spiny: przedstawienie Majorany 22.10
=t
Istnieje standardowa baza stan6w dla spinu j n. W przedstawieniu Majorany Sq to stany, kt6rym odpowiadajq punkty alba na biegunie p61nocnym, alba na poludniowym:
11'1'1' ... 1'), I-J... l' l' ... 1'), 1-w-J...1' ... 1'), ... , I-J...-J...-J... ... -J...). Te n + 1 stan6w to stany wlasne obserwabli L3 (os x 3 wyznacza kierunek "w g6rl("), a zatem Sq wszystkie wzajemnie ortogonalne. Stany te nalezq do r6znych n + 1 wartosci wlasnych spinu, nazywanych wartosciami m (rozdz. 22.8), kt6re wynOSZq, odpowiednio:j,j - 1,j - 2, ... , -j.Wil(cej na ten temat powiemy w rozdz. 22.11. Istnieje standardowe urzqdzenie pomiarowe, znane jako aparat Sterna-Gerlacha, kt6rego mozna uiye do pomiaru "wartosci m" atomu. Aby taki pomiar byl mozliwy, atom musi miee moment magnetyczny (a wil(c bye malenkim magnesem), a wektor momentu magnetycznego atomu jest pewnq wielokrotnosciq jego wektora spinu. Atomy przechodzq przez silnie niejednorodne pole magnetyczne. To pole odchyla trajektorie atom6w i wielkose owego odchylenia zaleiy od wartosci m, gdyz m okresla orientacjl( kazdego wektora momentu magnetycznego atomu wzgll(dem niejednorodnego pola magnetycznego; zob. rys. 22.15. Aczkolwiek stany odpowiadajqce r6znym wartosciom m Sq wszystkie wzajemnie ortogonalne, to warunki ortogonalnosci w ogolnym przypadku przedstawienia Majorany Sq dose skomplikowane3o• N aleiy jednak zauwaZye, ze stan Majorany, w kt6rym pojawia sil( jakis kierunek 71, jest zawsze ortogonalny do stanu lit It It ... It), gdzie It oznacza kierunek przeciwny do 71. Ponadto, jesli 71 wystl(puje w przedstawieniu Majorany z krotnosciq r, w6wczas ten stan jest ortogonalny do kazdego innego stanu 0 spinie n, kt6rego przedstawienie Majorany wprowadza kierunek przeciwny It z wielokrotnosciq co najmniej n - r + 1 [2231]. Mozemy teraz podae interpretacjl( fizycznq kierunk6w Majorany. To dokladnie te kierunki, kt6rym pomiar w eksperymencie Sterna-Gerlacha daje prawdopodobienstwo zero, ze spin jest skierowany w kierunku dokladnie przeciwnym. W przedstawieniu Majorany z wielokrotnosciq r prawdopodobienstwo tego, ze wartose m w tym kierunku jest jednq z liczb z przedzialu -j do -j + r - 1, wynosi zero 31 •
t
Rys. 22.15. Aparat Sterna-Gerlach a do pomiaru "wartosci m" momentu magnetycznego atomu (kt6ry jest zwi<jZany z jego spinem). Atomy przechodz'l przez silnie niejednorodne pole magnetyczne, kt6re odchyla ich trajektorie w spos6b zaleiny od wartosci m.
m [22.31] Sprawdz, czy potrafisz to wszystko wykazac, korzystaj,!c z geometrii w rozdz. 22.9. Zastosuj ten wynik do ortogonalnosci roi:nych stanow wlasnych operatora L 3 •
535
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
Trzeba podkreslie, ze przedstawiona wlasnie procedura opisu ogolnego stanu spinowego cZqstki rnasywnej nie jest specjalnie znana wiykszosci fizykow. Zarniast niej poslugujq siy procedurq, ktora wprowadza do tego zagadnienia tzw. analiz~ harmonicznq. Jest to zagadnienie wazne z wielu innych powodow i w nastypnyrn rozdziale znajdzierny krotkie ornowienie zwiqzanych z nirn idei.
22.11 Harmoniki sferyczne W rozdz. 20.3 zetknylisrny siy z klasycznq teoriq drgan (0 rnalej arnplitudzie i bez tlurnienia). Nasza dyskusja dotyczyla glownie ukladow 0 skonczonej liczbie stopni swobody. Wspornnielisrny jednak takZe 0 ukladach - takich jak drgania bybna czy slupa powietrza - w ktorych liczby stopni swobody naleZy traktowae jako nieskonczonq. Drgania te (w kazdyrn przypadku) skladajq siy z rnodow norrnalnych, z ktorych kazdy rna wlasnq cZystose drgan, nazywanq cZystosciq norrnalnq. Jesli obiekt drgajqcy jest zwarty (zob. rozdz. 12.6, rys. 12-14, gdzie wyjasniarny znaczenie tego terrninu), wowczas jego rnody tworzq rodziny dyskretnq, z czego wynika dyskretne spektrurn roznych cZystosci norrnalnych. W szczegolnyrn przypadku sfery S2 rozne rnody drgan (rnozerny je sobie wyobrazae na przyklad jako drgania banki rnydlanej czy sferycznego balonu) odpowiadajq tak zwanyrn harmonikom sferycznym. Ale co to rna wspolnego z rnechanikq kwantowq rnornentu pydu? Odpowiedz poznarny niebawern. Aby sklasyfikowae te harrnoniki, szukarny stanow wlasnych operatora Laplace'a \72 zdefiniowanego na sferze S2. W rozdz. 10.5 zetknylisrny siy ze zwyklyrn, 2-wyrniarowym operatorern Laplace'a zdefiniowanyrn na plaszczyznie euklidesowej, \7 2 = if/OX- + iffj)l. Na sferze jednostkowej S2 wyrazenie to rnusi bye zrnodyfikowane, aby uwzglydnie fakt, ze rnarny do czynienia z rnetrykq zakrzywionq. Metryka ta w zwyklych wsp611Z~dnych sferycznych rna postae ds 2 =gabdx"d.t = dfP + sin2e dqi, gdzie (e, <jJ) Sq wspolrzydnyrni punktu na sferze, ktorego wspolrzydne kartezjanskie wynoszq x = sine cos<jJ, y = sine sin<jJ, z = cose; rys. 22.16. Tak wiyc zrnienna ¢ z
Rys. 22.16. Standardowe wsp6lrzydne sferyczne 0 i I/J S't zwi'tzane ze wsp6lrz ydnymi kartezjanskimi re\acjami
x = sinO cosl/J,y = sinO sinl/J, z = cosO. Zatem I/J jest zasad-
536
niczo miar't dlugosci geograficznej (zaznaczonej zar6wno na biegunie p6lnocnym, jak i na r6wniku), a 1t/2 - 0 szerokosci geograficznej.
Harmoniki sferyczne 22.11
tn -
jest miarq dlugosci geograjicznej, a eszerokosci geograjicznej (wyrazone w radianach). Laplasjan (wyrazony przez pochodne kowariantne Va; zob. rozdz. 14.3) wynosi [22.32J V2 =gabV V a
b
=~+ cose ~+_1_~. 8(i
sin e ()()
sin 2e 8
Wartosciami wlasnymi operatora V2 okazujq sit( liczby -j(j+ 1) (gdziej = 0,1,2,3, ... ), a wit(c V 2 fP=-j(j + l)fP, a fP jest odpowiedniq funkcjq wlasnq32. Tymi funkcjami wlasnymi Sq harmoniki sferyczne i zwykle zqdamy, zeby byly one jednoczesnie funkcjami wlasnymi operatora 8/8
Przykladami takich funkcji wlasnych Sq fP = 1 (dla j = m = 0), fP = cos e (dla j = 1 i m = 0), fP= e±i
jako operator6w odpowiedzialnych za kqtowe zachowanie sit( funkcji falowych34. Ta procedura nie daje jednak przypadku "spinorowego", gdy j jest liczbq po16wkowq (tak jak m). W tym celu potrzebne jest nam uog6lnienie, kt6re okreslamy jako "harmoniki sferyczne spinowo waZone,,35. Nie Sq to po prostu funkcje na sferze S2, lecz zalezq one r6wniez odjednostkowego (spinorowego) wektora stycznego w kazdym punkcie S2; rys. 22.17. (Mozna powiedziec, ze Sq to funkcje na S3, kt6ra jest wiqzkq Clifforda reprezentujqcq wiqzkt( "spinorowych" jednostkowych wektor6w stycznych do S2, jak to opisalismy w rozdz. 15.4.) Nie bt(dziemy zaglt(biac sit( w szczeg6ly tego zagadnienia i odsylamy czytelnika do literatury36. Opis stan6w 2-spinorowych, kt6ry przedstawilismy w rozdz. 22.8 i zastosowalismy do przedstawienia Majorany w rozdz. 22.10, jest scisle zwiqzany z teoriq harmonik sferycznych i harmonik sferycznych spinowo wazonych. Symetryczny,
l§
[22.32] Czy potrafisz wyprowadzic te wyrazenia we wsp61rz ydnych sferycznych?
537
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
Rys. 22.17. Harrnoniki sfel)'czne spinowo waZone. Funkcje spinowo wazone na sferze S2 (po prawej stronie l)'sunku) nie S'l po prostu funkcjarni na S2, ale zalez'l jeszcze od jednostkowego (spinorowego) wektora stycznego do S2 w rozwaZanyrn punkcie (przedstawia go "pol strzalki", dla zaznaczenia jej spinorowego charakteru). Funkcje takie S'l zobrazowane bardziej adekwatnie po lewej stronie, na sferze S3, ktora jest spin-wektorow'l wiqzk'l Clifforda z I)'S. 15.10. (Funkcja 0 "wadze spinowej s" jest zalezna od k'lta X, czyli k'lta rotacji wektora spinu w plaszczyinie stycznej do S2. Zaleznosc ta rna postac e"". Gdy X rosnie, to odpowiedni punkt na S3 zakresla okr'lg Clifforda.)
n-wskaznikowy tensor spinowy 1/JAB ... F odpowiada expiicite kolekcji (spinowo wazonych) harmonik sferycznych dla j = ~n. Aby je wyznaczy6, rozwazmy dwa 2-spinory ;A i YJA 0 nastypuj
eiIZcos~,
e-i¢!Zsin~,
{YJ o, YJ 1} = -eiIZsin~, e-iIZcos~,
gdzie ;A i YJA reprezentuj
;c YJD ..• YJF.
Jesli w tym wyraZeniu liczba spinorow; jest rowna liczbie spinorow YJ(= j), wowczas otrzymujemy harmoniki zwykle (a nie spinowo wazone). Mowi, natomiast bior
538
j]
[22.33] Wyjasnij, dlaczego punkty te s,! antypodalne.
Harmoniki sferyczne 22.11
mogl zdae sobie spraw~, ze spinory rzeczywiscie otwieraj,! aktualn'! i niezwykle skuteczn,! (chociaz niekonwencjonaln,!) drog~ do teorii harmonik sferycznych[22.34J. Przypomnijmy na podstawie rozdz. 22.8 (por. rozdz. 13.7), ze wielkosci spinowo-tensorowe '!/JAB ... F tworz'! (n + l)-wymiarow,! nieredukowaln,! przestrzen reprezentacji grupy obrotow SO(3), a zatem to sarno stosuje si~ do przestrzeni harmonik sferycznych (spinowo wazonych) zj = 2n. W ten sam sposob mozemy otrzymae przedstawienie Majorany. Spinory a A , fJA ,···, I{JA w rozwini~ciu '!/JAB ... F = a(AfJB ••• I{JF) odpowiadaj,! zerom (spinowo wazonych) harmonik sferycznych pojawiaj,!cych si~ w tym opisie, przy czym wyst~puj,! tylko spinory~, ale nie YJ. W istocie dzi~ki takim rozwazaniom Majorana odkryl swoje przedstawienie. Posluguj,!c si~ formalizmem 2-spinorowym, mozemy uzyskae bardzo wazny wgl,!d w teori~ harmonik sferycznych. Pod wieloma wzgl~dami podejscie spinorowe jest znacznie prostsze, nie jest jednak szerzej znane. Harmoniki sferyczne odgrywaj,! wain,! rol~ w wielu dziedzinach, na przyklad w fizyce klasycznej, ale w wi~kszosci tych zagadnien bez specjalnego zwi'!Zku z problemem momentu p~du. (W takich sytuacjach zwykle uiywa si~ litery Rw miejsce j, ktora sugeruje zwi'!zek z momentem p~du[·J). Dobrym przykladem mog,! bye male drgania banki mydlanej. Innego przykladu dostarcza analiza rozkladu temperatur promieniowania mikrofalowego (2,7 K) pochodz,!cego z gl~bi przestrzeni kosmicznej na sferze niebieskiej, i tu jestesmy zainteresowani szczegolnie wysokimi wartosciami liczby R, wynosz'!cymi 200 i wi~cej. Analiza taka rna wielkie znaczenie dla kosmologii, jak si~ 0 tym przekonamy w rozdz. 27.7, 10, 11 i 28.4, a zwlaszcza 28.10. Kontrast mi~dzy tym, jak harmoniki sferyczne przejawiaj,! si~ w fizyce kwantowej i klasycznej, jest uderzaj,!cy i nieintuicyjny. W ukladach kwantowych, w ktorych wspolrz~dne () i cp maj,! standardow,! interpretacj~ k,!tow w przestrzeni, wartosci j (lub R) s,! zawsze interpretowane jako wartosci momentu p~du. W fizyce klasycznej jest inaczej. W mechanice kwantowej uklad charakteryzuj,!CY si~ zerowym momentem p~du musi bye sferycznie symetryczny, poniewaz funkcja falowa zj = 0 sklada si~ wyl,!cznie z harmoniki sferycznej stalej na sferze; natomiast w mechanice klasycznej zerowy moment p~du (tzn. "bez obrotu") z cal,! pewnosci,! nie implikuje symetrii sferycznej! Widzimy co prawda, ze losowo wybrany uklad kwantowy charakteryzuj,!CY si~ duiym momentem p~du (duza wartose j) jest stanem zdefiniowanym w przedstawieniu Majorany przez 2j punktow rozrzuconych, mniej wi~cej losowo, na sferze S2. Nie przypomina to wcale klasycznego opisu stanu ukladu z wysok,! wartosci,! momentu
1m [22.34] Znajdz tym sposobem jawne wyrazenia na zwykle harmoniki sferyczne (z dokladnosci'l do wsp6lczynnika) dla j = 1, 2, 3. Sprawdz, ze s'l to rzeczywiscie stany wlasne operator6w V2 i a/arp. [*] W podrycznikach mechaniki kwantowej dostypnych w jyzyku polskim litery f. uZywa siy zwykle do przedstawienia liczb kwantowych zwi'lzanych z tzw. orbitalnym momentem pydu, natomiast litera j zwykle odnosi siy do calkowitego momentu pydu, byd'lcego sum'l momentu orbitalnego i spinowego (przyp. Hum.).
539
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
pydu, wbrew rozpowszechnionemu mniemaniu, ze system kwantowy charakteryzuj,!CY siy wysokimi wartosciami swoich liczb kwantowych39 powinien bye podobny do systemu klasycznego! W stanie kwantowym, ktory bylby zbliZony do stanu klasycznego, wymagalibysmy, zeby punkty Majorany grupowaly siy wokol jakiegos szczegolnego kierunku od srodka sfery S2, a mianowicie w kierunku, ktory odpowiada (dodatniej) osi klasycznego spinu. Sk,!d bierze siy rozbieznose miydzy tymi dwoma obrazami? St,!d, ze prawie wszystkie "duze" uklady kwantowe nie S,! bynajmniej podobne do klasycznych. Najbardziej znanym przykladem jest hipotetyczny kot Schrodingera, ktoryw superpozycji kwantowej moze bye Zywy lub martwy (zob. rozdz. 29.7). Dlaczego z sytuacjami tego rodzaju nie stykamy siy na poziomie klasycznym? Jest to pewien aspektparadoksu pomiaru, 0 kt6rym powiemywiycej w rozdz. 29 i 30. Analiza harmoniczna dla przestrzeni bardziej ogolnych niz S2 stanowi wazny dzial w wielu dziedzinach nauki. Jest ona niezmiernie ui:yteczna w przypadku zagadnien zwi'!zanych z malymi zaburzeniami alba malymi drganiami uklad6w fizycznych. Wypada jednak powiedziee slowo przestrogi. W przypadku przestrzeni niezwartych sytuacja moze siy okazae duzo bardziej skomplikowana niz w rozwazanym przypadku sfery S2. Pewne zapowiedzi tego faktu widzielismy w rozdz. 9, kiedy przeszlismy od analizy fourierowskiej (na zwartym okrygu) do transformat Fouriera (na niezwartej otwartej prostej). Wydaje siy czasami, ze mozna spokojnie przejse w tej analizie od przypadku zwartego do niezwartego - na przyklad od sfery do przestrzeni hiperbolicznej - zmieniaj,!c tylko znak w niekt6rych miejscach (i zastypuj,!c funkcje trygonometryczne ich hiperbolicznymi odpowiednikami, w zgodzie z ide'! "odwracania sygnatury" z rozdz. 18.4). Niestety, prawda jest duzo bardziej zlozona. Taka niekompletna "analiza harmoniczna" ujmuje zaledwie znikom,! CZySC odpowiednich funkcji w przestrzeni hiperbolicznej, a to ze wzglydu na skrajn,! niezupelnose ukiadu harmonik.
22.12 Relatywistyczny kwantowy moment p,du
540
Zajmijmy siy teraz problemem relatywistycznego momentu pydu. Przypomnijmy sobie klasyczne wyrazenia przedstawione w rozdz. 18.7. Analogicznie do masy/ energii i pydu skiadaj,!cych siy na 4-wektor Pa istnieje 6-tensor M ab opisuj,!CY moment pydu ciala i ruch jego srodka masy. Jak potraktowae te wielkosci w spos6b kwantowomechanicznlO? W rozdz. 21.1-3 dowiedzielismy siy, jak kwantowe pojycia energii i pydu w tajemniczy sposob reprezentuj,! - a wlasciwie sq nimi - genera tory translacji czasowych i przestrzennych w czasoprzestrzeni. Podobnie skladowe 6-tensora momentu pydu M"b reprezentuj,! - a w istocie S,! nimi - generatory (lorentzowskich) ruch6w obrotowych w przestrzeni Minkowskiego M. Razem z translacjami Pa te ruchy obrotowe skladaj,! siy na cal,! (niezawieraj,!C'! odbic) grupy Poincarego (rozdz. 18.2), kt6ra jest, w przestrzeni Minkowskiego, analogi,! sztywnych ruch6w geometrii euklidesowej.
Relatywistyczny kwantowy moment p~du 22.12
Mowiqc konkretnie, generatorami ruch6w translacyjnych Poincarego Sq skladowe PO'PI'P Z'P 3 wektora 4-p yduP a, gdzie energia E = Po = in8/ax ogeneruje translacjy czasu, a pozostale trzy skladowe (tj. pydu) w podobny sposob generujq translacje przestrzenne: PI = in8/ax\ p z = in8/axz, P3 = in8/~ - przy czym winnismy pamiytae, ze skladowymi 3-pydu p Sq operatory (-PI' -P z' -P3); zob. rozdz. 18.7. 3-przestrzenne ruchy obrotowe Poincarego generowane Sq przez skladowe c-ZM Z3 = =LI = in.el' C-ZM 31 = L z = in.ez' c-ZMIZ = L3 = in.e3, ktore definiujq kwantowe ruchy odpowiadajqce zwyklemu momentowi pydu. Wielkosci te rozpatrywalismy juz w rozdz. 22.8. Sq to calkowicie przestrzenne skladowe 6-momentu pydu Mb. Pozostale 3 niezalezne 41 skladowe C-Z~I, c-z~z, C-Z~3, ktore generujq transformacje prydkosci Lorentza, dotyczq jednorodnego ruchu srodka masy, zgodnie z opisem w rozdz. 18.7 - zob. rys. 18.16 (w tym miejscu nie bierzemy pod uwagy c = 1). Poniewaz grupa Poincarego nie jest abelowa, wiyc jej generatory nie komutujq ze sobq. Ich reguly komutacji wyznaczajq relacje komutacji naszych operatorow kwantowych Pa i Mb:
[P a ' Pb] = 0,
[Pa' Me] = in(ga bpc - gacpb ), [Mb, Md] = in(tc Md _ t dM C + g"d MC _ g"c M d). Relacje te mogq wydawae siy nieco skomplikowane, ale majq fundamentalne znaczenie w fizyce relatywistycznej, poniewaz definiujq algebry Liego (rozdz. 14.6) grupy Poincarego. Wyglqdajq one nieco prosciej w zapisie graficznym, jak to przedstawia rys. 22.18[zz.35]. Przypomnijmy, ze w przypadku nierelatywistycznego momentu pydu potrafilismy opisae stany za pomocq wartosci wlasnychj(j + 1) i m dwoch komutujqcych obserwabli JZ i L 3; zob. rozdz. 22.8, 11. Operatory te tworZq zbi6r zupelny komutujqcych obserwabli (w tym sensie, ze kazdy inny operator, skonstruowany z generatorow LI' L z i L 3, komutujqcy z JZ i L 3, nie doda niczego nowego, poniewaz sam musi bye funkcjq tych dwu operatorow). Generalnie znalezienie takiego zbioru
Pa ..... ,
pa ..... ~ = l.? Mab -
!:!
[I"]=~I-~=O
I g - g I =ih~
[I ' g] [g,g]
=
gg-~
:c1htgt
Rys. 22.18. Graficzna postac regul komutacji relatywistycznego 4-pydu i 6-momentu pydu: [Pa'Pb] = 0, [P , W] = ih(gabpc - g cpb), [M'b, Md] = ih(i"M'd _ tilM" + ftdM" - ftc Nfl).
jl' [22.35] Pokaz, ze relacje komutacji podane w rozdz. 22.8 dla 3-wymiarowego momentu pydu S,! w nich zawarte.
541
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
zupelnego komutujqcych obserwabli dla rozwazanego ukladu jest waznq czysciq mechaniki kwantowej. W szczegolnosci chcielibysmy dokonac tego w przypadku operatorow skonstruowanych ze skladowych Pa i M"b i uZyc ich wartosci wlasnych do klasyfikacji czqstek relatywistycznych i relatywistycznych ukladow. Ale dlaczego komutujqce obserwable Sq tak wazne? Otoz kiedy rozpatrujemy dwie takie obserwable, A i B, a wiyc AB = BA - wowczas mozemy znaleic stany !ljJ,.), ktore sqjednoczesnie stanami wlasnymi obu, a para odpowiednich wartosci wlasnych (a r , b) moze byc uZyta do znakowania tych stanow42 • Jesli bierzemy pod uwagy zupelny zbior komutujqcych obserwabli A, B, C, D, ... (ktorych stany wlasne rozpinajq rozwazanq przestrzen), wowczas mamy do dyspozycji rodziny stanow bazowych !ljJrstu)' do ktorych oznaczania mozemy uZyc odpowiedniej rodziny wartosci wlasnych (a r , bs' ct ' d u"" )l22.361• Poszukujqc zupelnego zbioru komutujqcych obserwabli, zaczynamy zwykle od znalezienia operatorow Casimira, ktore Sq operatorami (skalarnymi) komutujqcymi ze wszystkimi operatorami rozpatrywanego ukladu. W przypadku zwyklego 3-wymiarowego momentu pydu (przypomnijmy sobie rozdz. 22.8) istnieje dokladnie jeden (niezaleZny43) operator Casimira, a mianowicie J2 = L; + L; + L~. Zasadnicze pytanie brzmi: jakie Sq operatory Casimira dla ukladu generowanego przez Pa i M"b, spelniajqce podane relacje komutacji? Okazuje siy, ze spin wzglydem srodka masy jest okreslony przez wielkosc
S =110 Mbepd a 2 abed ' nazwanq wektorem spinowym Pauliego-Lubal1Skiego. Tensor antysymetryczny Levi-Civity f abcd zostal zdefiniowany w rozdz. 19.2, ale tutaj 10 0123 = c-3 , poniewaz nie zakladamy, ze c = 1. (W "notacji matematykow" moglibysmy napisac S = * (M /\ p), oznaczajqc przezp 4-pyd, a nie,jak poprzednio, 3-pyd; zob. rozdz. 11.6, 12.7, 19.2.) Wiemy, ze w przypadku pojedynczej, klasycznej czqstki bez struktury M"b = Xapb xbpa, gdziexajest wektorem polozenia punktu na linii swiata cZqstki (zob. koncowe fragmenty rozdz. 18.7). Takie sarno wyrazenie mamy w przypadku kwantowym, z czego wynika, ze dla takiej cZqstki sa = O. Ale sa nie musi znikac dla calego ukladu dwoch lub wiycej czqstek. Ponadto w przypadku czqstki ze spinem moment pydu nie rna takiej prostej postaci, poniewaz wystypuje dodatkowy wyraz spinowy fl-2fabedScPd' jesli zaloZymy, ze fl ;t: 0 (zob. przyp. 11, rozdz. 18). Okazuje siy, ze sa jest zawsze ortogonalne do Pa(Pasa = 0) i ze zawsze komutuje zPa (tzn. [sa,P b] = 0), a zatem sa podobnie jakPa nie zaleZy od wyboru poczqtku ukladu[ 22371.
542
t6 [22.36] Przedstaw te argumenty w szczeg6lach, przy czym mozesz zaloZyc dla wygody, ze wartosci wlasne tworZq zbi6r dyskretny, a nie ciqgly. Przyjmij najpierw zalozenie, ze wartosci wlasne Sq niezdegenerowane, a nastt(pnie pokai, jak ten argument pozwala uwzglt(dnic przypadek degeneracji wartosci wlasnych. ffSkaz6wka: wyraz kazdy wektor wlasny operatora A przez wektory wlasne operatora B itd. ~ [22.37] Wykaz prawdziwosc twierdzen zawartych w ostatnich czterech zdaniach.
Relatywistyczny kwantowy moment
p~du
22.12
Istniej,! dwa niezalezne operatory Casimir a (dla grupy Poincarego), mianowicie
Papa =
4
C f,lz
oraz Sasa
= -
f,lzJz,
gdzie f,l oznacza masy spoczynkow,! calego ukladu[ZZ.381• Latwo sprawdzic, ze "Jz" w drugim z tych rownan jest rzeczywiscie JZ = L; + L; + L~, gdzie operatory LI' L z i L3 S,! skladowymi momentu pydu wokol srodka masy w ukladzie spoczynkowym. Aby uzupelnic zbior komutuj,!cych obserwabli, mozemy wybrac PI' PZ' P3 i skladow'!, powiedzmy, S3' wektora spinu, co - razem zPap ai Sasa - daje szesc operatorow. (Aczkolwiek tego wyboru mozna dokonac wieloma innymi sposobami, to calkowita liczba niezaleznych operatorow wynosi zawsze 44 szesc.) Ma to istotne znaczenie dla dyskusji w rozdz. 22.13 i 31.10. Sytuacja jest wiyc bardzo podobna do przypadku nierelatywistycznego, w ktorym aby wl,!czyc translacje w czasie i przestrzeni, moglismy jako "operator Casimira", oprocz wielkosci J Z, wybrac energiy E oraz trzy skladowe pydu poza L 3• NaleZy zauwaZyc, ze w przypadku relatywistycznym nie dostajemy wprost J Z, lecz raczej JZ =
-
c4(Pap at 1 Sa sa ,
co jest w zasadzie rownowazne, pod warunkiem ze puPa -:f. O. I rzeczywiscie, w przedstawionej dyskusji zakladalismy, ze masaf,l jest rozna od zera. Jeslif,l = 0, to wielkosci spinu nie mozemy w ten sposob wyrazic. A jak postypujemy w przypadku bezmasowym, a wiyc gdy f,l = O? Powracamy do skrf?tnoSci s - wielkosci, z ktor'! zetknylismy siy, rozpatruj'!c foton w rozdz. 22.7,9. Definiujemy j,! przez z,!danie, zeby wektor Pauliego-Lubanskiego sa byl proporcjonalny do 4-pydu Pa[zz.39 1:
Sa=sp a· Skrytnosc "prawoskrytna" pojawia siy, gdy s > 0, a "lewoskrytna", gdy s < o. Przypadek s = 0 jest rowniez dozwolony. Mamy teraz cztery niezalezne komutuj,!ce obserwable, ktore mozemy wybrac jako s,pI'P Z'P 3• Istotnie okazuje siy, ze najlepszym sposobem rozpatrzenia przypadku cz'!stek bezmasowych jest odwolanie siy do teorii twistor6w. Przejdziemy do tego w rozdz. 33.6 (przekonamy siy wtedy, ze "zmienne twistorowe" 'C, Z\ ZZ, Z3 mog,! rowniez byc wybrane jako cztery niezalezne obserwable komutuj,!ce).
~ [22.38] Podaj pro sty pow6d, dla kt6rego te dwa operatory musz'! komutowae z P a i Mb.
Wskaz6wka: zajrzyj do rozdz. 22.13. ~ [22.39] W jaki spos6b Sa i Pa mog,! bye zar6wno ortogonalne do siebie, jak i proporcjonalne?
543
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
22.13 Ogolny, izolowany obiekt kwantowy W jaki sposob mechanika kwantowa opisuje obiekt izolowany, taki jak atom lub cz,!steczka? Zakladam, ze na obiekt ten nie dzialaj,! zadne sHy zewnytrzne i ze pozostaje on zlokalizowany, mog,! jednak wystypowac sHy wewnytrzne. Istotnym elementem opisu takiego obiektu bydzie odseparowanie (i) jego calosciowych charakterystyk zewnytrznych od (ii) szczegolow wewnytrznych oddzialywan i jego struktury geometrycznej. Charakterystyka zewnytrzna (i) odnosi siy do jego calkowitej masy/energii, pydu, polozenia i ruchu jego srodka masy oraz momentu pydu. Rozpatrzmy te wielkosci w sensie relatywistycznym i posluzmy siy Pa i M'b z rozdz. 22.12 przy opisie parametrow zewnytrznych. Oddzialywania wewnytrzne (ii) odnosz'! siy do rodzaju cz,!stek, z jakich ow obiekt siy sklada, ich szczegolnego charakteru, natury sit dzialaj,!cych miydzy nimi i ich relacji geometrycznych. Bydziemy uwazali, ze te relacje zadane s,! przez pewne wspolrzydne uogolnione qr (rozdz. 20.1),0 calkowicie wzglydnym4S charakterze (np. odleglosc jego czysci od srodka masy, k,!ty, jakie rozne czysci tworz'! miydzy sob,!, lub odleglosci miydzy nimi). Relacje te nie ulegaj,! zmianie, jesli caly obiekt przesuniemy w czasie lub przestrzeni lub obrocimy o jakis okreslony k,!t b,!di bydziemy przesuwali w jakims kierunku z prydkosci,! jednostajn,!. Poniewaz wielkosci te S,! "wzglydne", wobec tego wszystkie wspolrzydne wewnytrzne nie ulegn,! zmianie w wyniku operacji symetrii grupy Poincarego. Wynika to z faktu, ze musz'! one komutowac z Pa i M'b. Dlaczego? Przypuscmy, ze na nasz uklad kwantowy dziala pewien operator symetrii S
a Q jest jakims innym operatorem kwantowym. Dzialanie operator a symetrii na Q sprowadzi si y do procedury[22.40] Q~SQS-l.
Je§li Q nie ulega zmianie w wyniku operacji S, to SQS-l = Q. St,!d
SQ=QS. Gdy wiyc jako S podstawimy kolejno skladowe Pa i M'b, stwierdzamy, ze kazdy parametr wewnytrzny musi rzeczywiscie komutowac z Pa i M'b. W takim kontekscie oznacza to, ze mozemy odseparowac cZysc funkcji falowej, ktora odnosi siy do wewnytrznych stopni swobody, od tej, ktora dotyczy zewnytrznych parametrow 4-pydu i 6-momentu pydu. W normalnym przypadku zakladamy, ze uklad jest w stanie wlasnym odpowiedniego zupelnego zbioru obserwabli zewnytrznych. W szczegolnosci bydziemy uwazali, ze energia i pyd S,! zadane przez okreslone wartosci wlasne i zwykle bydziemy rozwazali problem w ukladzie
544
fa [22.40] Wyjasnij dlaezego. WS'kaz6wka: rzut oka na rozdz. 22.4 moze po moe.
Og6lny, izolowany obiekt kwantowy 22.13
odniesienia, w ktorym 3-pyd wynosi zero (P = 0, w notacji przyjytej w rozdz. 21.5). Moment pydu trzeba traktowae zgodnie ze schematem nierelatywistycznym przedstawionym w rozdz. 22.8-11, a wiyc spodziewamy siy, ze uklad jest w stanie wlasnym calkowitego momentu pydu J2, a takie, jesli trzeba, L J• Parametry wewnytrzne byd,!, rzecz jasna, zalezaly od konkretnych detali rozwazanego ukladu. W pewnych okolicznosciach przyblizeniem moze bye zalozenie, ze wewnytrzne stopnie swobody S,! dobrze opisane przez male drgania wokol polozenia rownowagi. W takim przypadku przyda nam siy klasyczna analiza przedstawiona w rozdz. 20.3. Przypomnijmy wiyc, ze jesli hamiltonian rna postae 1i = tQabtf'qb + tPbpaPb,
gdzie Qab i pb S,! symetryczne, dodatnio okreslone i stale w czasie, wowczas, w przypadku klasycznym, kazda czystose normalna w/2n jest okreslona przez wartose wlasn,! w 2 macierzy W = PQ (tzn. wac = pbQbc)' Ale jak rozwi,!zae ten problem w przypadku kwantowym? Przypomnijmy sobie wzor Plancka E = hv = 2nnv, w ktorym v jest cZystosci,!, a wiyc mozemy oczekiwae, ze drgania tego szczegolnego modu normalnego byd,! mialy energiy E = nw. Bye moze moglibysmy antycypowae rowniei: pojawienie siy wyzszych war to sci energii, poniewaz wedle regul fizyki klasycznej amplituda drgaiJ. moze bye dowolnie duza (pod warunkiem ze nie naruszylismy charakteru przybliZenia, zgodnie z ktorym mamy do czynienia jedynie z "malymi drganiami"), a z wiyksz,! amplitud,! zwi,!zana jest wiyksza energia. Jesli zaloiymy, ze wystypuj,! "wyzsze harmoniki" - a na podstawie rozdz. 9.1 wiemy, ze pojawiaj,! siy one z czystosciami, ktore s,! calkowitymi wielokrotnosciami czystosci podstawowej w/2n wowczas mozemy sobie wyobrazie, ze dozwolonymi wartosciami energii kwantowych stanow wlasnych byd,! 0, Iiw, 2nw, 31iw, 41iw, ...
Istotnie, taki wniosek nie odbiega daleko od poprawnej kwantowej odpowiedzi, okazuje siy jednak, ze wystypuje tu dodatkowy wklad do energii, 0 wielkosci tnw, nosz'!cy nazwy energii drgan zerowych46. W takim razie dozwolone wartosci wlasne energii wynosz'!: nw , Iiw, ~ Iiw,! Iiw, Iiw, ...
t t
t
Wynik taki otrzymujemy w standarowej dyskusji 1-wymiarowego oscylatora harmoniczneg0 47 , ktorego hamiltonian wynosi 1i = (m 2w2q2 + p2)/2m. Dla kaidej warto sci wlasnej macierzy W wklad do energii kazdego z modow oddzielnie jest jedn,! z tych wartosci. W przypadku systemu kwantowego wartosci te byd,! jedynie aproksymacjami, poniewaz wowczas mog,! odgrywae roly rowniez wyrazy wyzszego rzydu. Jednakie na ogol jest to bardzo dobre przyblizenie. Co wiycej, i to jest naprawdy godne uwagi, okazuje siy, ze kwantowa teoria pol a fotonow - alba wszelkich innych cz,!stek nazywanych "bozonami" (zob. rozdz. 23.7 i 26.2) - rozpatruje je tak,
545
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
jakby caly uklad byl po prostu zbiorem oscylatorow. Oscylatory te Sq dokladnie takiego typu jak prosty oscylator harmoniczny, ktory wlasnie rozwazalismy (w hamiltonianie nie wystypowaly wyrazy wyzszego rZydu), a bozony znajdujq siy w stanie stacjonarnym i nie oddzialujq ze SObq4B . Zgodnie z tym, taki "oscylator harmoniczny" nadaje siy jako narzydzie do szerokiego zastosowania, choc aby taki schemat dobrze pracowal, konieczna jest szczegolowa znajomosc oddzialywan. Przykladowo atom wodoru sklada siy z elektronu na orbicie wokol swego jqdra, ktorym jest proton (zwykle, z dobrym przyblizeniem, traktujemy protony jako nieruchome, poniewaz ich ruch jest nieznaczny, gdyz Sq to cZqstki 0 masie wiykszej okolo 1836 razy od masy elektronu). Jednak zgodnie z regulami mechaniki kwantowej orbita kwantowomechaniczna nie jest po prostu pojedynczq, klasycznq trajektoriq e1ektronu krqzqcego wokol jqdra, lecz kwantowq superpozycjq wielu takich trajektorii. Te nalozone na siebie "orbity kwantowe" bydq stacjonarnymi rozwiqzaniami rownania Schrodingera, z takim samym w zasadzie hamiltonianem jak klasyczny, lecz "kanonicznie kwantowanym" zgodnie z regulami przedstawionymi w rozdz. 21.2, 3 (por. rozdz. 23.8, w odpowiednich fragmentach). Jesli chcemy, zeby byly to stany wlasne momentu pydu, poszukujemy funkcji falowych w postaci harmonik sferycznych z odpowiedniq zaleZnosciq kqtowq (rozdz. 22.11). W ogolnym przypadku jako kwantowych oznaczen stanow moglibysmy uZyc wartosci wlasnej energii E i wartosci wlasnej operatora momentu pyduj (jesli trzeba, to lqcznie z m). W przypadku atomu wodoru (jezeli zaniedbamy spiny elektronu i protonu oraz przyjmiemy nierelatywistycznq postac hamiltonianu) przekonamy siy, ze wartosc wlasna energii E jest okreslona przez wartosc wlasnq calkowitego momentu pydu,j, ale nie na odwrot, a wiyc j nie jest okreslone przez E. W dokladniejszej teorii atomu wodoru (i w przypadku atomow bardziej zlozonych) okazuje siy na ogol, ze wartosc E determinuje wartosc j, a wiyc istotnie, rozne stany Sq scharakteryzowane jedynie przez wartosc samej energii. W oryginalnej teorii atomu Bohra, podanej w 1913 roku, a wiyc na dekady przed znacznie bardziej precyzyjnq i pelnq mechanikq kwantowq Heisenberga, Schrodingera i Diraca, dozwolone wartosci momentu pydu i energii atomu wodoru obliczane byly tak, jakby orbity elektronowe byly klasycznymi eliptycznymi orbitami Keplera-Newtona - wyznaczonymi przez prawo "odwrotnego kwadratu"J'J przyciqgania elektrostatycznego miydzy jqdrem a orbitujqcym elektronem - ale z nalozonym "warunkiem kwantowym", ze orbitalny moment pydu elektronu rna byc calkowitq wielokrotnosciq n. Takie skwantowane orbity elektronowe noszq nazwy orbitali; zob. rys. 22.19. Ta procedura dawala bardzo dobre rezultaty49, ale nie miala odpowiednich podstaw teoretycznych, ktore zapewnila mechanika kwantowa, co doprowadzilo do uzyskania wynikow 0 znacznie wiykszej ogolnosci i dokladno-
546
[*] Autor uZywa tu okreslenia inverse square law, co oznacza, ze sila jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odleglosci; prawo Coulomba (przyp. dum.).
Og6lny, izolowany obiekt kwantowy 22.13
Rys. 22.19. "Atom Bohra", w kt6rym orbity elektron6w rozpatruje si<,: jak klasyczne orbity eliptyczne Keplera-Newtona, zgodnie z prawem elektrostatycznego przycil!gania odwrotnie proporcjonalnego do kwadratu odleglosci, ale ich energie i momenty p<,:du poddane Sl! "warunkowi kwantowemu", w kt6rym orbitalne momenty p<,:du muszl! stanowiC calkowite wielokrotnosci n. Idea ta najlepiej sprawdzila si<,: podczas obliczania charakterystyk orbit kolowych w przypadku ruchu pojedynczego elektronu w atomie wodoru.
sci. Formalizm kwantowy, oparty na naszkicowanych tu ideach, pozwala opisywac bardziej skomplikowane atomy, proste cZqsteczki, efekty relatywistyczne, wystt(powanie spinu elektronu i spinu jqdrowego etc., chociaz do wynikow fizycznych prowadzq raczej rozne przybliZone techniki i obliczenia numeryczne niz dokladne analizy matematyczne. Przedstawione wykorzystanie elektrostatyki jest rownieZ przybliZeniem i naleZy tu dopuscic przejscia z jednego stanu stacjonarnego do innego w drodze emisji bqdz absorpcji fotonow. Tego z kolei wymaga teorii Maxwella, ale w swojej kwantowej postaci, a scisle mowiqc, formalizmie kwantowej teoni pola (ktory naszkicujemy w rozdz. 26). Do pelnej dokladnosci konieczna jest takZe relatywistyczna teoria elektronu Diraca z rozdz. 24. Atom w stanie wlasnym 0 najnizszej energii, nazywanym stanem podstawowym, bt(dzie pozostawal w tym stanie (zakladajqc, ze jest on w pelni izolowany od zaburzen zewnt(trznych), jednak jesli znajduje sit( w stanie 0 wyzszej energii - takie stany nazywamy stanami wzbudzonymi - wowczas istnieje skonczone prawdopodobienstw050, ze przejdzie on do stanu podstawowego, emitujqc jeden lub wit(cej fotonow. Z tego powodu zwykle spodziewamy sit( znalezc swobodne atomy lub cZqsteczki w stanach podstawowych alba blisko nich. Cz~stosc v pojedynczego fotonu, jaki zostaje wyemitowany przy takim przejsciu atomu bqdz czqsteczki z jednego stanu do innego, jest okrdlona wzorem Plancka E = 2nhv jako roinica energii, E, tych dwu stanow. Czt(stosci takie byly obserwowane od dawna w widmach atomowych i wyjasnienie tego fenomenu stanowilo przez bardzo dlugi czas prawdziwq zagadkt( naukowq. Dopiero teoria kwantowa pozwolila ujawnic niezmierne bogactwo informacji zawarte w tych liniach widmowych. Byl to prawdziwy triumf dwudziestowiecznej fizyki! Przewidywania fizyki klasycznej (z prawem Coulomba mowiqcym 0 przyciqganiu sit( ladunkow ujemnych i dodatnich oraz rownaniami Maxwella, z ktorych wynika, ze elektrony w ruchu przyspieszonym muszq wypromieniowywac energit( elektromagnetycznq) prowadzily do wniosku, ze orbitujqce elektrony w sposob nieunikniony musialyby przyblizac sit( do jqdra, co w krotkim czasie spowodowaloby katastroft(. Taka konkluzja stoi w sprzecznosci z ob-
547
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
serwowanyrni faktarni. Mechanika kwantowa nie tylko usun~la ten paradoks, ale pozwolila na podanie szczeg6lowej teorii linii widrnowych, kt6ra okazala si~ nieslychanie pot~znyrn narz~dziern w wielu dziedzinach nauki, od rnedycyny s'!dowej po fizyk~ j'!drow'! i kosrnologi~. Na koniec wypada dodac jedn,! istotn,! uwag~, dotycz'!c'! istnienia dyskretnych liczb kwantowych, takich jak liczby jim rnornentu p~du czy tei stany wlasne energii oscylatora harrnonicznego albo atornu wodoru etc.; wszystkie, w ostatecznyrn rachunku, s,! wynikiern zwartosci pewnej przestrzeni51 • W przypadku rnornentu p~du zr6dlern jest zwartosc sfery kierunk6w przestrzennych, czyli sfera S2, do kt6rej stosuje si~ analiza harrnoniczna z rozdz. 22.11. Bez zwartoici (lub periodycznosci) z r6wnan typu V2cp = -kCP uzyskiwalibysrny jedynie rozwi,!zania, kt6rych wartosci wlasne k bylyby nieograniczone. Tkwi w tyrn pewna ironia, ze zadziwiaj,!ca dyskretnosc wielkosci fizycznych, od kt6rej pochodzi sarna nazwa rnechaniki kwantowej, nie bylaby rnozliwa, gdyby nie zwartosc przestrzeni!
Przypisy Rozdzial 22.1 Skoki te bywaj11 czt(sto potocznie nazywane "kwantowymi przeskokami". Dla fizyka nie jest to najszczt(sliwsze sformulowanie, poniewaz skoki kwantowe, jakie wystt(puj11 przy kwantowej redukcji stanu, sl1 nieslychanie "male", z trudem wykrywalne i mozna nawet miec w11tpliwosci, czy Sl1 to zdarzenia realne! [Autor uiywa w tekscie okreslenia quantum jumps, natomiast wyjasnia okreslenie quantum leaps. W tlumaczeniu stosujt( zamiennie okreslenia "skoki kwantowe" i "przeskoki kwantowe" - przyp. Hum.] 2 Aby zapoznac sit( z og6ln11 dyskusj11 r6znych pogl11d6w na mechanikt( kwantow11, proponujt( sit(gn11c do prac: Rae (1994); Polkinghome (2002); Home (1997) albo De Witt, Graham (1973). 1
3
Rozdzial22.2 Zob. rozdz. 29 oraz Everett (1957); Wheeler (1957); DeWitt, Graham (1973); Geroch (1984); Deutsch (2000).
Rozdzial 22.3 Podobnie jak w przypadku pojedynczej cZ11stki (rozdz. 21.9), niekt6rzy autorzy wol11 uiywac wielkosci Ill/.f zamiast stosowanej przeze mnie normy Iltpll. 5 Bardzo przystt(pne wprowadzenie do analizy takich przestrzeni znajdziemy w pracach: Chen (2002) oraz Reed, Simon (1972). 6 W literaturze z mechaniki kwantowej czt(sto uiywa sit( zapisu Q\ ale w literaturze matematycznej najczt(sciej stosuje sit( zapis Q*; zob. rozdz. 13.9. 4
Rozdzial 22.4 Zob. Dirac (1982a) - najnowsza edycja. Bardziej wsp6lczesne ujt(cie znajdziemy w: Shankar (1994). 8 Zob. Dirac (1966), gdzie podany jest argument, dlaczego obraz SchrOdingera nie istnieje w relatywistycznej kwantowej teorii pola. 9 Obraz oddzialywania jest na przyklad czt(sto stosowany w "czasowym rachunku zaburzen", 548 w kt6rym hamiltonian jest zalezny od czasu. Zob. Shankar (1994), rozdz. 18; Dirac (1966). 7
Przypisy Rozdzial22.5 Ignorujy tutaj fakt, ze te stany wlasne nie Sq normalizowalne, co mogloby w pewnych sformulowaniach dyskwalifikowac polozenie i pyd jako kandydat6w na prawdziwe "obselWable". 11 M6wiqc bardziej og6lnie, bez wzglydu na to, czy q jest czy nie jest wartosciq wlasnq, powiemy, ze q jest wartosciq oczekiwanq Q w unormowanym stanie IlJI), gdy q = (lJIIQllJI). 12 Zob. Dirac (1982a). Parametry zespolone znajdujq r6znorodne zastosowanie, np. Fortney (1997). \0
Rozdzial22.6 Zgrabne przedstawienie pomiar6w rzutowych znaleic mozna w: Kraus (1983); Nielsen, Chuang (2000). 14 Zob. von Neumann (1955). 15 Zob. Liiders (1951), a takZe Penrose (1994). 13
Rozdzial 22. 7 Zob. Elitzur, Vaidman (1993). 17 Wydaje siy, ze autorem pomyslu pomiar6w "bez interferencji" jest Robert Dicke (1981). Pomysl ten rna wiele zadziwiajqcych zastosowan, na przyklad w detekcji fal grawitacyjnych; zob. Braginsky (1977). Opisany tutaj niezwykly eksperyment myslowy "testu bombowego" Elitzura-Vaidmana (zob. r6wniez Penrose 1994) moze prowadzic do zastosowan innego rodzaju. 18 Istniejq obecnie argumenty na rzecz tego, ze co najmniej wiykszosc neutrin rna mas~, a byc moze wszystkie neutrina Sq masywne. Jednak nawet jesli tak jest, to zalozenie 0 ich "bezmasowosci" stanowi dobre przyblizenie do opisu ich zachowania. Powr6cy do tego zagadnienia w rozdz. 25.3. 19 Ta udoskonalona wersja postulatu rzutowego zostala zaproponowana przez Liidersa (1951) i w tym przypadku punkt Ip-) w JlDH 4 nazywany jest "punktem Liidersa". 20 Jako przyklad bardziej ekonomiczny (i bardziej interesujqcy) moglibysmy rozwaZyc nieco innq sytuacjy eksperymentalnq, w kt6rej jako plytka dzielqca swiatlo sluiy powierzchnia osrodka zalamujqcego. W tym przypadku zamiast wysylania swiatla spolaryzowanego kierujemy wiqzky padajqcq pod kqtem Brewstera tego osrodka. W6wczas wiqzka odbita rna okreslonq polaryzacjy liniowq, a wiqzka przepuszczona rna polaryzacjy przeciwnq. Analiza jest zasadniczo taka sarna (zamiast polaryzacji kolowej mamy polaryzacjy liniowq), ale teraz nie musimy martwic siy polaryzacjq fotonu nadbiegajqcego; sam fakt, ze pada on od strony zewnytrznej osrodka (pod odpowiednim kqtem), a nie od wewnqtrz, wystarcza, aby pomiar zerowy stworzyl pozqdany spolaryzowany stan wyjsciowy. Dobre, og6lne wprowadzenie do elektromagnetyzmu znajdziemy w: Becker (1982); Jackson (1998). 16
Rozdzial22.8 "Czqstka pozbawiona struktury" nie powinna miec momentu pydu wzglydem srodka masy, poniewaZ wyrazenie M = 2x 1\ P z rozdz. 18.6 znika, gdy x = O. Jednak, jak to zauwaiylismy w przyp. 11 w rozdz. 18, gdy pojawia siy dodatkowa "struktura" okreslona przez spin CZqstki, do jej momentu pydu musimy dodac jeszcze wielkosc opisujqcq "spin wewnytrzny". Zapoznamy siy z tym blizej w rozdz. 22.12. 22 UWaZny czytelnik m6g1by zapytac, czy nie rna tutaj jakichS subtelnosci zwiqzanych z kwestiq znak6w wynikajqcych z sygnatury metryki, z jakimi na przyklad zetknylismy siy w rozdz. 21.5. Chcqc siy zapoznac szczeg610wo z problemem momentu pydu w mechanice kwantowej i zwiqzku z algebrq Liego grupy SO(3), czytelnik powinien siygnqc po bardzo jasne przedstawienie tych problem6w przez Jonesa (2002) oraz w: Elliott, Dawber (1984). Altematywne i trochy bardziej "fizyczne" wyprowadzenie algebry moment6w pydu podaje Shankar (1994); aczkolwiek moim zdaniem to podejscie wymaga nieco wiykszego nakladu pracy! 23 Zob. Penrose, Rindler (1984). 21
549
22
Kwantowa algebra, geometria i spin Zob. Geroch (nieopublikowane University of Chicago Lectures). Witten L. (1959); Penrose (1960, 1968a); Geroch (1968, 1970); Penrose, Rindler (1984, 1986); O'Donnell (2003). 26 Slowa "niezalezny" uZyto tutaj w tym sensie, ze wszystkie skladowe 1/JAB .. F mozna otrzymae z tego zbioru niezaleznych funkcji, ale nie moze to bye zbi6r mniejszy. Wynika to po prostu z symetrii, a wit;c calkowita liczba 2" skladowych redukuje sit; do n + 1 niezaleznych (np. 1/JOO I' 1/J01O i 1/Jl00 nie s,! niezalezne, a jest to wniosek trywialny z faktu, ze 1/JOO1 = 1/J01O = 1/Jl(0). 27 Jak zwykle odsylam do kanonu literatury, zob. Shankar (1994). 24
25
28
Rozdzial 22.9 Zob. przyp. 12 w rozdz. 21; Nielsen, Chuang (2000) z podobnego punktu widzenia dyskutuj,! r6zne aspekty informatyki kwantowej.
Rozdzial 22.10 Zob. Majorana (1932). 30 Og6lny przegl,!d znajdziemy w pracy Biedenharn, Louck (1981). Interesuj,!ce wsp6lczesne zastosowanie - zob. Swain (2004). 31 Zob. Penrose (1993, 1994); Zimba, Penrose (1993). 29
Rozdzial 22.11
32 W kontekscie harmonik sferycznych czt;sciej uZywa sit; litery f. niz zastosowanego przeze mniej. 33 Wit;cej szczeg616w znajdziemy w dowolnym podrt;czniku mechaniki kwantowej, np. Shankar (1994) lub Arfken, Weber (2000). 34 Shankar (1994). 35 Zob. Newman, Penrose (1966); Penrose, Rindler (1984). 36 Zob. Goldberg, Macfarlane, Newman, Rohrlich, Sudarshan (1967). 37 Dla obliczen z uZyciem harmonik sferycznych wazne s,! r6wniez warunki ortogonalnosci i (dla ustalenia skali) unormowania. To jednak zaprowadziloby nas za daleko i dlatego odsylamy jedynie czytelnika do nastt;puj,!cych tekst6w na temat teorii harmonik sferycznych: Groemer (1996); Byerly (2003). 38 Czytelnik, kt6ry chcialby zaj,!e sit; algebr,! i geometri,! spinor6w nieco blizej, powinien zwr6cie uwagt; na fakt, ze wskazniki spinorowe mog,! bye "podnoszone" i "obnizane" zgodnie z regut'!: ;1 = ;0, ;0 = _;1. Zob. Penrose, Rindler (1984); Zee (2003), dodatek. 39 Termin "liczba kwantowa" odnosi sit; zwykle do mozliwych, dyskretnych wartosci wlasnych jakiejs wai:nej obserwabli kwantowej, takiej jak moment pt;du, ladunek, Iiczba barionowa etc., kt6rych uZywamy do klasyfikowania cz'!stek lub prostych uklad6w kwantowych; zob. rozdz.3.5. 40
41 42
43
550
Rozdzial 22.12 W rozdz. 24-26 zobaczymy, ze poprawny relatywistyczny opis kwantowomechaniczny wymaga 0 wiele wit;cej, niz sugerowalyby rozwazania tego rozdzialu, ale to nie zmienia wniosk6w zawartej tu analizy. Pamit;tajmy 0 przyp. 6 w tym rozdz. Tutaj niezaleznose uwzglt;dnia antysymetrycznose Mb. Istnieje zwi'!zek mit;dzy tym a fenomenem "separacji zmiennych", kt6ry wystt;puje, gdy jakas og6lna funkcja, powiedzmy f( 8, ¢), moze bye zapisana jako sum a f( 8, ¢) = 'i)'iPi(8)hj (¢), gdzie gi( 0) i h(¢) s,! odpowiednimi funkcjami wlasnymi stosownych (komutuj,!cych) operator6w A i B. Wlasnose tt; maj,! harmoniki sferyczne. Zob. Groemer (1996); Byerly (2003). Slowo "niezalezne" odnosi sit; w tym miejscu do niezaleznosci funkcyjnej (por. przyp. 26 w tym rozdz.). Tak wit;c, aczkolwiek 2]2, (J2)3 czy cos J2 nie S,! tym samym operatorem Casimira co J2, to nie Sq one niezalezne od J 2.
Przypisy
44
NaieZy ostroznie podchodzie do kwestii niezmienniczosci "Jiczby niezaleznych komutujqcych operator6w". Scisle biorqc, sprawa dotyczy wymiaru przestrzeni lakalnych rozwiqzan r6wnan r6zniczkowych czqstkowych. W zagadnieniach mechaniki kwantowej cZl(sto pojawiajq silt warunki zwartosci nakladane na przestrzen rozwiqzan (np. S2 z rozdz. 22.11), kt6re silnie ograniczajq zbi6r dopuszczalnych wartosci wlasnych i powodujq klopoty przy liczeniu stopni swobody.
Razdzial 22.13 Nie m6wimy tutaj 0 og6lnej teorii wzgll(dnosci, a zatem slowo "wzgll(dny" naleZy traktowae w sensie szczeg6lnej teorii wzgll(dnosci. 46 Mamy jednak swobodl( dodania stalej do hamiltonianu, jak w rozdz. 20.3, co sprowadza silt w istocie do redefinicji zera energii (zob. ewiczenie [24.2] z rozdz. 24.3), a wil(c czasem uwaza silt, ze dodanie ~ hw nie rna bezposredniego znaczenia fizycznego. 47 Zob. np. klasycznq analizl( Diraca w: The Principles a/Quantum Mechanics, Dirac (1982a). 48 Wielkosci 1] = (2mhwt1!2(P + imq) w obrazie Heisenberga z rozdz. 22.4 odgrywajq roll( operator6w kreacji z rozdz. 26.2. 49 W szczeg6lnosci w ten spos6b otrzymano do tej pory calkowicie niezrozumialy wz6r Balmera na CZl(stosci linii spektralnych atomu wodoru: v = R(N-2 - M-2 ), gdzie R jest stalq (znanq pod nazwq staiej Rydberga-Ritza), natomiast M > N > 0 Sq liczbami calkowitymi. 50 Niekt6re z takich przejse mogq bye zabronione, albowiem z praw zachowania wynikajq pewne "reguly wyboru". 51 Por. przyp. 44 w tym rozdz. 45
23 Splqtany swiat kwantowy 23.1 Mechanika kwantowa uktadu wielu ciat W POPRZEDNICH dwu rozdzialach widzielismy, jak tajemnicze jest zachowanie siy pojedynczych cz,!stek kwantowych, ze spinem lub bez, i jak zdumiewaj,!CY i urzekaj,!CY jest formalizm matematyczny niezbydny, aby uporae siy z tym problemem. Poniewaz formalizm ten tak dobrze poslui:yl nam do opisu pojedynczych, izolowanych obiektow, to nie bydzie rzecz'! nierozs,!dn,! spodziewae siy, ze przyda nam siy rowniez do opisu ukladow zawieraj,!cych wiele oddzielnych cz'!stek, nawet, bye moze, oddzialuj,!cych ze sob,! w rozny sposob. I jest to do pewnego stopnia prawda, poniewaz formalizm przedstawiony w rozdz. 21.2 jest wystarczaj,!co ogolny, jednaki:e z chwil,! gdy w uldadzie wystypuje wiycej cz,!stek, pojawiaj,! siy natychmiast nowe cechy, charakterystyczne dla ukladu wielu cial. Tak,! cech,!, stanowi,!c,! now'! jakose problemu, jest zjawisko spiqtania kwantowego, w wyniku ktorego uklad skladaj,!CY siy z wiycej niz jednej cz'!stki musi bye traktowany jako calosc - pojedyncza jednostka holistyczna - a rozne przejawy tego fenomenu stawiaj,! nas wobec jeszcze wiykszych zagadek kwantowego swiata niz te, z jakimi zetknylismy siy do tej pory. Co wiycej, cz'!stki, ktore S,! identyczne, a wiyc nierozroznialne, S,! zawsze ze sob,! spl,!tane automatycznie, aczkolwiek, jak siy przekonamy, to spl,!tanie moze dokonywae siy na dwu calkiem odmiennych drogach, w zaleznosci od natury cz'!stek wystypuj,!cych w tym uldadzie. Powroemy zatem do tego, co przedstawilismy w dwu poprzednich rozdzialach, a wiyc do istotnych elementow matematyki systemu kwantowego. Kwantowe, hamiltonowskie podejscie, ktore doprowadzilo nas do rownania SchrMingera, opisuj,!cego ewolucjy kwantowego wektora stanu, nadal nadaje siy do zastosowania w przypadku wielu cz'!stek oddzialuj,!cych miydzy sob,!, maj,!cych spin, podobnie jak to bylo w przypadku pojedynczej, bezspinowej cz,!stki. Potrzebny nam jest tylko odpowiedni hamiltonian, uwzglydniaj,!cy wszystkie te nowe cechy. Nie mamy teraz oddzielnej funkcji falowej dla kazdej oddzielnej cz'!stki ukladu, lecz jeden wektor stanu opisuj,!cy caly uklad. W reprezentacji polozen ten pojedynczy wektor stanu moze nadal bye traktowany jako funkcja falowa 'P, ale musi to bye funkcja polozen wszystkich cz,!stek, a wiyc w rzeczywistosci bydzie to funkcja na przestrzeni konfiguracyjnej ukladu cz'!stek (zob. rozdz. 12.1), zalezna taki:e od pew-
Mechanika kwantowa ukladu wielu cial
23.1
nych parametrow dyskretnych, oznaczaj'!:cych stany spinowe (np. jeSli zastosujemy notacjer 2-spinorow,!: I['AB"F do opisu cz'!:stek ze spinem jak w rozdz. 22.8, wowczas "parametry dyskretne" zostan,!: uiyte do znakowania roznych skladowych). Rownanie Schrodingera opisze nam ewolucjer I[' w czasie, a zatem I[' musi tez zalezec od zmiennej t. Wazn,!: cech,!: standardowej teorii kwantowej jest to, ze w przypadku ukladu wielu cz'!:stek mamy tylko jedn,!: wspolrzerdn,!: czasow'!:, podczas gdy wszystkie niezalezne cz'!:stki skladaj,!:ce sier na ten uklad charakteryzuj,!: sier wlasnymi, niezaleznymi wspolrzerdnymi przestrzennymi. Jest to ciekawa cecha nierelatywistycznej mechaniki kwantowej, 0 ktorej musimy pamiertac, jesli chcemy j,!: traktowac jako jakies przyblizenie graniczne "bardziej zupelnej" teorii relatywistycznej. Albowiem w teorH wzglerdnosci czas i przestrzen traktujemy w sposob zasadniczo podobny. Skoro kazda cz'!:stka rna swoje wlasne wspolrzerdne przestrzenne, to powinna rowniez charakteryzowac sier wlasn,!: wspolrzerdn,!: czasow'!:. Ale zwykla mechanika kwantowa tak nie dziala. Jest tylko jeden czas, wspolny dla wszystkich cz'!:stek. Kiedy myslimy 0 zjawiskach fizycznych w zwykly, nierelatywistyczny sposob, takie podejscie wydaje sier bardzo sensowne, poniewaz w fizyce nierelatywistycznej czas jest zewnertrzny i absolutny, po pro stu zegar odmierzaj,!:CY czas "tyka w tIe", niezaldnie od tego, co w danym momencie dzieje sier we Wszechswiecie. JednakZe od czasu pojawienia sier teorii wzglerdnosci wiemy, ze taki obraz jest jedynie przybliZeniem. "Czas" dla jednego obserwatora jest mieszanin,!: przestrzeni i czasu dla innego, i vice versa. Zwykla teoria kwantowa wymaga, zeby kazda cz'!:stka, indywidualnie, "niosla ze sob,!:" swoje wlasne wspolrzerdne przestrzenne. Zgodnie z tym poprawna, relatywistyczna teoria kwantowa wymaga, zeby rowniez, indywidualnie, "niosla swoj zegar" - a wierc swoj,!: wspolrzerdn,!: czasow'!:. I rzeczywiscie, ten punkt widzenia, od czasu do czasu, od poinych lat 20. ubieglego wieku przyjmowa10 wielu autorow 1, ale nie doprowadzilo to do rozwiniercia pelnej teorii relatywistycznej. Podstawowa trudnosc sprowadza sier do tego, ze zgadzaj,!:c sier na to, zeby kazda cz'!:stka charakteryzowala sier oddzielnym czasem, musimy przyj,!:c, iz kaida cz'!:stka rna prawo odejsc w jakies oddzielne wymiary czasowe, a zatem musimy wprowadzic jakies nowe elementy, aby powrocic do rzeczywistosci. W rozdz. 26.6 wprowadzer podejscie "calek po drogach" do relatywistycznej teorH kwantowej, ktora jest oparta nie na formalizmie hamiltonowskim, lecz na relatywistycznym formalizmie lagranzowskim, co pozwala na obejscie problemu "jeden czas - wiele przestrzeni"; jednaki:e, jak zobaczymy poiniej, pojawiaj,!: sier nowe powazne problemy; i takjest zawsze, bez wzglerdu na to, jak,!: (znan'!:) procedurer zastosujemy. Co wiercej, jak sier wkrotce przekonamy, zwykle rownanie Schrodingera jest narazone na trudnosci zwi,!:zane z "powrotem do rzeczywistosci". W moim przekonaniu ta prost a asymetria czasoprzestrzenna podejscia Schrodingera kryje w sobie cos glerbszego, co wci,!:z umyka naszemu kwantowemu obrazowi rzeczy; ale odlozmy te klopoty na potem. W tym momencie pozwo-
553
23
Spltjtany swiat kwantowy
It( sobie zignorowae te trudnosci i przedstawit( sprawy tak, jakje widzimy z pozycji nierelatywistycznej teorii kwantowej, w kt6rej stosujemy koncepcjt( uniwersalnego czasu zewnt(trznego. Nie pozbt(dziemy sit( jednak calkowicie problem6w wzglt(dnosci i bt(dziemy musieli do nich wr6cie pod koniec tego rozdzialu, 23.10. Jak wit(c mamy traktowae uklad wielu cZ'lstek zgodnie ze standardowym, nierelatywistycznym obrazem Schrodingera? Tak jak to referowalismy w rozdz. 21.2, posluiymy sit( jednym hamiltonianem, w kt6rym musz'l pojawie sit( wszystkie zmienne pt(dowe wszystkich cZ'lstek wystt(puj'lcych w ukladzie. Zgodnie z procedur'l kwantyzacji w reprezentacji polozen (formalizm Schrodingera), kai:dy z tych pt(d6w zostaje zast'lpiony cZ'lstkowym operatorem r6zniczkowym, odpowiadaj'lcym konkretnej wsp6lrzt(dnej polozen danej cZ'lstki. Wszystkie te opera tory musz'l na cos dzialae i aby ta interpretacja byla konsystentna, musi bye to sarno "cos" dla wszystkich. Tym "czyms" jest funkcja falowa. Jak juz zaznaczylismy, musimy miee jedn'l funkcjt( falow'l If'dla calego ukladu i musi ona bye funkcj'l r6znych wsp61rZt(dnych polozenia wszystkich oddzielnych cZ'lstek.
23.2 Ogrom przestrzeni stan6w wieloczi:lstkowych
554
Wszystko to brzmi dosye niewinnie, ale jakjest w rzeczywistosci? Zatrzymajmy sit( na chwilt(, aby zdae sobie sprawt( ze znaczenia tego na poz6r prostego wymogu. Gdyby kai:da cZ'lstka opisywana byla swoj'l indywidualn'l funkcj'l falow'l, wowczas w przypadku n skalarnych (a wit(c bezspinowych) cZ'lstek powinnismy miee n roznych zespolonych funkcji polozen. Chociaz dla n niewielkich cZ'lstek wymaga to pewnego napit(cia naszej wyobrazni wzrokowej, jest to cos, z czym jeszcze damy sobie radt(. (W tych rozwazaniach pomijam sprawt( czasu; zalozmy, ze wszystko dzieje sit( w jednym momencie.) Aby pomoc naszej wyobrai:ni, mozemy 0 tym myslee na podobienstwo pola w przestrzeni, maj'lcego n roznych skladowych, a kai:da z nich moze bye traktowana jako opisuj'lca oddzielne "pole". (Kazde takie oddzielne pole moze przedstawiae indywidualn'l funkcjt( falow'l cZ'lstki.) Bye moze powinnismy uwazae, ze mamy do czynienia z 2n skladowymi, jesli mowimy 0 skladowych rzeczywistych, gdyz funkcje falowe S'l zespolone. W koncu pole elektromagnetyczne rna szese rzeczywistych skladowych - a wit(c sZeSe funkcji trzech zmiennych (analogicznie do trzech zespolonych skalarnych funkcji falowych), a wektory pol a elektrycznego i magnetycznego nie s'l takie trudne do wyobrazenia! Jak mamy policzye "stopnie swobody" zespolonego pola skalarnego, takiego jak funkcja falowa cZ'lstki skalarnej w 3-przestrzeni? He wynosi "liczba" roznych mozliwych takich pol? Przypomnijmy, z rozdz. 16.7, ze wyrazenie ocf ocP okreSIa swobodt(, jakq. rna dowolnie wybrane (gladkie) pole 0 a rzeczywistych skladowych w przestrzeni 0 b rzeczywistych wymiarach. Tak wit(c dla zespolonego pol a skaIarnego a = 2 (poniewaz liczba zespolona liczy sit( jako dwie liczby rzeczywiste), swoboda wyniesie 002003 • Tak jest, gdy rozwazamy pole w jednym momencie - tzn. przy ustalonym t - a wit(c mowimy 0 zwyklej 3-przestrzeni, gdzie b = 3 (a nie
Ogrom przestrzeni stanow wieloczqstkowych
23.2
o czasoprzestrzeni, gdzie mielibysmy b = 4). Moglibysmy podobnie mowie 0 czasoprzestrzeni, ale w tym przypadku mamy do czynienia z rownaniami pola, ktore ograniczaj,! swobod«. W przypadku funkcji falowej ograniczeniem jest rownanie Schrodingera, ktore redukuje liczb« stopni swobody do tego, co moze bye swobodnie zadane jako dane pocz'!tkowe, w wyjsciowej 3-przestrzeni, a wi«c liczba 2003 ta wyniesie 00 . Przykladowo mozemy rozwaZye przypadek swobodnego pol a Maxwella bez :hodel (bez ladunkow). Mamy tutaj szese rzeczywistych skladowych w zwyklej 3-przestrzeni, a zatem, jesli wszystko bierzemy w ustalonym czasie t i pomijamy 6003 ograniczenia nakladane rownaniami Maxwella, to nasza swoboda wynosi 00 . Ale rownania Maxwella nakiadaj,! wi«zy na warunki pocz'!tkowe w 3-przestrzeni, a mianowicie znikanie dywergencji wektorow pola elektrycznego i magnetycznego[23.1 1• Redukuje to efektywnq liczb« swobodnych skladowych w danych poczqtkowych 4003 w 3-przestrzeni 0 2, a wi«c swoboda ta wyniesie, efektywnie, 00 . Rozwazmy teraz kwantowomechaniczny opis n skalarnych czqstek. Gdyby ten opis sprowadzal si« do n roznych funkcji falowych, wowczas liczba stopni swo3 body wynioslaby 000.00 , poniewaz tyle mamy mozliwosci wyboru n liczb zespolonych na jeden punkt w 3-przestrzeni. Ale w przypadku kwantowej funkcji falowej opisujqcej n czqstek skalarnych mamy do czynienia z jedn,! funkcjq zespolonq 3n zmiennych rzeczywistych. A wi«c jest to tak, jakbysmy mieli do czynienia z zespo2003 lonym polem skalarnym w przestrzeni 3n-wymiarowej, zatem swoboda wynosi 00 ", czyli wielokrotnie wi«cej. Bye moze nie jest tak latwo zdae sobie spraw« z ogromu tych wielkosci, bo wszystkie te ,,00" temu przeszkadzajq. Wyobrazmy sobie wi«c taki wszechSwiat-zabawk«, ktory sklada si« tylko z 10 punktow. Oznaczmy te punkty kolejnymi liczbami 0, 1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9. Funkcja falowa czqstki skalarnej w takim wszechswiecie skladae si« b«dzie z liczb zespolonych, zadanych w kazdym z tych 10 punktow, czyli z 10 liczb zespolonych zo' zl' Z2"" zS' Z9' Przestrzen wszystkich tych funkcji falowych b«dzie 10-wymiarowq zespolonq (20-wymiarowq rzeczywistq) przestrzeniq Hilberta Woo Jesli te funkcje falowe unormujemy tak, zeby suma kwadratow ich modulow wynosila jeden, wowczas IzJ przedstawiae b«dzie prawdopodobienstwo, iz pomiar poiozenia czqstki znajdzie jq w punkcie 6, itd. Przyklad ten nie jest tak absurdalny, jak mogloby si« zdawae. W jakiejs sytuacji fizycznej mozemy miee do czynienia z czyms, co odpowiada szeregowi 10 pudelek, w ktorych moze si« znajdowae jeden elektron; zob. rys. 23.1. Doswiadczalnicy Sq dzisiaj w stanie wytworzye uklady tak zwanych kropek kwantowych, co wiqie si« z teoretycznq mozliwosciq zbudowania komputerow kwantowych, ktore moglyby wykorzystae ow ogrom wymiarow przestrzeni funkcji falowych. jll [23.1] Czy mozesz wyjasni6 to "znikanie"? Przypomnij sobie 4-wymiarowe pojycie "dywergencji" opisane w rozdz. 19.3; tutaj potrzebujemy jej 3-wymiarowej wersji. WSkaz6wka: zob. ewiczenie [19.2].
555
23
Splqtany swiat kwantowy
Rys. 23.1. Wyobraiamy sobie "wszecMwiat-zabawkl(", w kt6rym jest 10 moiliwych poloien dla cz'!stek, co ilustruje 10 pudelek. Pokazane s,! dwie rozr6inialne cz'!stki, A i B, z kt6rych kaida moie znajdowac sil( w kaidym z pudelek, niezaleinie od drugiej.
Przypusemy wi~c, ze w naszym wszechswiecie mamy do czynienia z dwiema cz'!stkami. Z powodow, do ktorych przejd~ pozniej, wygodniej b~dzie uwazae, ze nie S,! to cz'!stki tego samego rodzaju. Nazwijmy je A i B. Kazda z nich moze bye umieszczona w 10 roznych miejscach, mamy wi~c 100 roznych mozliwosci rozmieszczenia tej pary cz,!stek (dopuszczam, ze obie cz'!stki mog,! znaleie sit( w tym samym pudelku), W celu zdefiniowania funkcji falowej potrzebujemy teraz 100 roznych liczb zespolonych, powiedzmy, zoo' ZOI"'" Z09' ZJO' ZIP"" Z19' Z20"'" Z99; jedna liczba zespolona jest przyporz'!dkowana jednej z mozliwych par potozen. Jesli unormujemy je tak, zeby sum a kwadratow ich modulow dawala jeden, wowczas Iz3 na przyklad, przedstawiae bt(dzie prawdopodobienstwo znalezienia cz'!stkiA w pudelku 3, a cz'!stki B w pudelku 8. Mamy wit(c do czynienia z przestrzeni,! Hilberta Woo, Gdybysmy mieli do czynienia z trzema cz'!stkami, powiedzmy, A, B i C, wowczas funkcja falowa skladalaby sit( z 1000 liczb zespolonych, zooo' ZOOI"'" Z999' i przestrzen Hilberta bylaby przestrzeni,! W Ooo , Gdyby reguly mechaniki kwantowej byly takie, ze funkcja falowa sklada sit( z trzech indywidualnych funkcji falowych, to mielibysmy do czynieniajedynie z przestrzeni,! H30. W przypadku czterech roznych cz'!stek nasza przestrzen rozrasta sit( do Woooo , podczas gdy cztery indywidualne funkcje falowe prowadzilyby do przestrzeni H40, i tak dalej. Wracaj,!c do notacji "oc/oo3n ", jak,! posluiylem sit( poprzednio, widzimy, ze gorne "cd" odnosi sit( do "liczby punktow" w 3-przestrzeni Euklidesa E3. Liczba ta zostala teraz zast,!piona przez 10, tj. liczbt( punktow w naszej imitacji wszechSwiata, czyli ze oc/",3n zostala zast,!piona przez ooaID" (ktora oznacza "liczbt( punktow" n w (a x 10")-wymiarowej przestrzeni rzeczywistej). Tak wit(c zamiast 002XlO dla liczby stopni swobody n-cz'!stkowej funkcji falowej w E3 mamy teraz 002",3n dla n-cz'!stkowej funkcji falowej w naszym "wszechSwiecie". Zespolona przestrzen Hilberta w tym wszechswiecie jest teraz przestrzeni,! HID", a nie WOn, jak,! bylaby w przypadku n oddzielnych 1-cz,!stkowych zespolonych funkcji falowych. A zatem nasza n-cz'!stkowa funkcja falowa jest zdefiniowana na 2x10"-wymiarowej przestrzeni (tj, 10"-wymiarowej zespolonej przestrzeni Hilberta), a nie jedynie 20n-wymiarowej przestrzeni, co mialoby miejsce w przypadku oddzielnych funkcji falowych, Gdyby na przyklad tych cz'!stek bylo tylko 8, mielibysmy do czynienia z 200 000 000 wymiarow, zamiast jedynie 160.
l,
556
Splqtanie kwantowe, nier6wnosci Bella
23.3
23.3 Splqtanie kwantowe, nier6wnosci Bella Jakie znaczenie majq te wszystkie dodatkowe informacje? Otoz wyrazajq one fakt okreslany jako relacje "splqtania" pomit(dzy czqstkami. Jak to naleiy rozumiec? Pojt(cia tego po raz pierwszy uiyl Schrodinger, rozwazajqc niezwykle zagadkowe, ale obserwowalne doswiadczalnie zjawiska znane pod naZWq efektow Einsteina-Podolsky'ego-Rosena (EPR)2. Sq to jednak bardzo subtelne wlasciwosci swiata kwantowego i bardzo trudne do przekonywajqcej demonstracji eksperymentalnej. Jest rzeCZq ciekawq, ze musimy uciekac sit( do czegos rownie ezoterycznego i umykajqcego doswiadczeniu, podczas gdy w przypadku ukladow wielu cial cala stosowna informacja zawarta jest w funkcji falowej! Jest to zagadka i zajmt( sit( niq niebawem (rozdz. 23.6). W moim przekonaniu wskazuje ona, w jakich kierunkach powinny pojsc nasze poszukiwania dalszego rozwoju teorii kwantowej. Ale bez wzglt(du na to, co z tego moze wyniknqc, z pewnosciq mowi nam ona cos waZnego o mozliwosciach obliczen kwantowych 3 , jakie Sq obecnie przedmiotem niezwykle oiywionych badan w celu wykorzystania ogromu zrodel "informacji" ukrytych w relacjach splqtania. Czym wit(c jest splqtanie kwantowe? Na czym polegajq efekty EPR? Najlepiej uda nam sit( to zrozumiec, jesli rozwaZymy sytuacjt( 0 skonczonej liczbie wymiar6w, powiedzmy, koncentrujqc naSZq uwagt( na zagadnieniu stanow spinowych. Najprostszq sytuacjq jest ta, jakq rozpatrywal David Bohm4• Wyobraimy sobie part( spin6w niech to bt(dq spiny czqstek P LiP R' kt6re poczqtkowo znajdujq sit( w stanie 0 lqcznym spinie 0, a nastt(pnie rozchodzq sit(, jedna na lewo, druga na prawo, trafiajqc do detektor6w L i R, daleko od siebie (zob. rys. 23.2). Przypuscmy, ze kaZdy z tych detektor6w jest w stanie dokonac pomiaru spinu nadbiegajqcej CZqstki w kierunku, kt6ry jest okreslony dopiero wtedy, gdy te czqstki Sq daleko od siebie. Problem polega na tyro: czy jest rzeCZq mozliwq odtworzyc oczekiwania mechaniki kwantowej, poslugujqc sit( modelem, w kt6rym te cZqstki Sq traktowane jako niezwiqzane, niezaldne, podobne do klasycznych obiekty, kt6re nie Sq w stanie porozumiewac sit( ze sobq wtedy, gdy tylko nastqpilo ich rozdzielenie? Okazuje sit( (i jest to zasluga kapitalnego twierdzenia sformulowanego przez fizyka z Irlandii P6lnocnej, Johna S. Bella), ze w taki sposob nie da sit( odtworzyc przewidywan teorii kwantowej. Bell wyprowadzil nierownosci5 wiqzqce lqczne praw-
-t,
t,
Rys. 23.2. Eksperyment myslowy EPR-Bohma. Para cz'!stek, P LiPR' 0 spinie pocz'!tkowo znajduje sit< w stanie 0 I'!cznym spinie 0 i wt
557
23
Splqtany swiat kwantowy
dopodobienstwa wynikow dwoch odleglych pomiarow, ktore s,! niezgodne z przewidywaniami mechaniki kwantowej, choc S,! one obowiC!Zkowo spelnione w dowolnym modelu, w ktorym dwie cz,!stki, po fakcie fizycznego rozdzielenia, zachowuj,! sit( jak obiekty niezaleine. Tak wit(c pogwalcenie nierownosci Bella demonstruje istnienie kwantowych efektow - s,! to efekty kwantowego splqtania pomit(dzy fizycznie rozseparowanymi cz'!stkami - jakie nie daj,! sit( wyjasnic w ramach iadnego modelu, w ktorym te cz'!stki S,! traktowane jak niezaleine i niezwi,!zane ze sob,! obiekty. W literaturze 6 znajdujemy wiele zadziwiaj,!cych przykladow pogwalcenia nierownosci Bella. Niektore z nich, nazywane "nierownosciami Bella bez prawdopodobienstwa,,7, s,! szczegolnie godne uwagi, poniewai stawiaj,! jedynie pytania taklnie i nie potrzebujemy martwic sit( 0 prawdopodobienstwa - a raczej martwimy sit( tylko 0 prawdopodobienstwa ekstremalne: 0 ("nigdy") i 1 ("zawsze"). Dalej przedstawit( dwie jawne wersje sprzecznosci typu nierownosci Bella, jakie zachodz'! pomit(dzy cz'!stkami kwantowymi a cz'!stkami niezaleinymi. W obu rozwaiamy part( cz'!stek 0 spinie rozbiegaj,!cych sit( do jakiegos detektara L po lewej stronie i R po prawej. Pierwsza wersja, ktor'! podajt( za Henrym Stappem, jest bezposredni,! ilustracj,! oryginalnego wariantu eksperymentu EPR zaproponowanego przez Bohma i wymaga zbadania odpowiednich wartosci prawdopodobie6stw. Druga, ktor'! zawdzit(czamy Lucienowi Hardy'emu, jest wersj,! "prawie" bez prawdopodobie6stw, aczkolwiek nie do k06ca. Zanim przejdt( do szczegolow, muszt( wprowadzic pewne dodatkowe elementy zapisu (Diraca). Zaloimy, ie mamy do czynienia ze stanem kwantowym skladaj,!cym sit( z dwoch czt(sci, 11jJ) i 11/», ktore bt(dziemy uwaiali za niezaleine. Jesli chcemy rozwaiyc stan kwantowy skiadaj,!CY sit( z tych dwu czt(sci, wowczas zapiszemy to jako:
t
558
Jest to nadal jeden stan i mamy prawo zapisac go jako Ix) = 11jJ)II/». Ten rodzaj iloczynu, jakim sit( tutaj poslugujemy, algebraicy nazywaj,! iloczynem tensorowym, i spelnia on nastt(puj,!ce reguly:(zl1jJ) )11/» = z(I1jJ) II/» ) = I1jJ) (z II/» ), (10) + 11jJ) )11/» = 10)11/» + 11jJ)II/», 11jJ)(18) + 11/») = 11jJ)18) + 11jJ)II/»· Operacjt( iloczynu tensorowego zwykle w pismiennictwie matematycznym (par. rozdz. 13.7) oznaczamy symbolem 0, a zatem iloczyn 11jJ)II/» moina by zapisac jako 11jJ) 0 11/». W kaidym razie uiycie symbolu 0 w zwi,!zku z przestrzeniami (Hilberta), do jakich takie iloczyny nalei,!, jest bardzo wygodne. Tak wit(c jesli 11jJ) naleiy do W, a II/» naleiy do Hq, to 11jJ)II/» naleiy do tiP 0 Hq. Wymiar tiP 0 Hq jest rowny iloczynowi wymiarow obu czynnikow, a zatem moiemy napisac tiP 0 Hq =~. Zarowno p, jak q, jak i oba te czynniki jednoczesnie mogq bye niesk06czone; w takim przypadku rowniei ich iloczyn bt(dzie rowny 00. Jedynie niewielka czt(se tiP 0 Hq zawiera elementy 0 postaci 11jJ)II/» (zakladaj,!c, ie p, q > 1), gdzie 11jJ) naleiy do tiP, a II/» naleiy do Hq. Takie stany bt(dq stan ami niesplqtanymi. Natomiast dowolny element tiP 0 Hq bt(dzie kombinacj,! liniowq tych stanow niesplqtanych (moie nawet nie-
Eksperymenty EPR typu Bohma
23.4
skonczonq sumq lub calkq, jesli zarowno p, jak i q Sq nieskonczone )8. Musimy jednak miec na uwadze, ze sarno pojC(cie splqtania zwiqzane jest ze szczegolnym rozszczepieniem naszej calkowitej przestrzeni Hilberta W q na cos 0 postaci W ® Hq. (Zadne takie rozszczepienie ogolnej przestrzeni Hilberta ~ nie jest preferowane. Z algebraicznego punktu widzenia istnieje zawsze wiele roznych mozliwosci przedstawienia Hn jako iloczynu tensorowego, w przypadku gdy n daje siC( rozloZyc na czynniki.) W sytuacjach, w ktorych zajmujemy siC( zagadnieniem "splqtania", jest rzeczq dosc oczywistq, ze interesuje nas, z fizycznego punktu widzenia, konkretne rozszczepienie, szczegolnie wtedy, gdy mowimy 0 "pojedynczych" CZqstkach daleko od siebie, a tak jest wlasnie w przypadku eksperymentu EPR. Przy takich operacjach wygodnie jest czasami posluZyc siC( zapisem abstrakcyjno-wskainikowym (zob. rozdz. 12.8). Wektor ket 11J!) moze byc zapisany jako 1J!a, z gornym indeksem abstrakcyjnym, a odpowiadajqcy mu (sprzC(zony zespolony) wektor bra (1J!1 jako i[Ja' z indeksem dolnym. Peiny "bracket" (1J!I1» zapiszemy jako i[JJpa, a wyrazenie (1J!IQI1» przyjmie postac i[Ja~f31>f3. Iloczyn tensorowy 11J!)I1» wektora 1J!a i qI bC(dzie teraz 1J!aql. Stany niesplqtane zawsze rozszczepiajq siC( w ten sposob, ale dowolny stan (prawdopodobnie splqtany) bC(dzie na ogol wielkosciq typu 1>afJ. W dalszej czC(sci tego rozdzialu przekonamy siC( 0 uZytecznosci takiego zapisu.
23.4 Eksperymenty EPR typu Bohma Powrocmy teraz do wersji EPR zaproponowanej przez Bohma. Rozwazmy stan poczqtkowy tuz przed dokonaniem na nim pomiaru. Dwie oddzielne cZqstki 0 spinie rozpatrywane razem, muszq tworzyc stan 0 wypadkowym spinie 0, dlatego ze moment pC(du jest zachowany i cz
t,
lil) = 11')1-.11) -1-.11)11') (w dalszym ci
ta
[23.2] Jesli stany 11') i I-J...)
s~
unormowane, to jaki czynnik musi wystt(powae w stanie
1.0), aby byt rowniei stanem unormowanym? (Moiesz zatoiye, ie
..fi [23.3] Czy widzisz od razu, dlaczego stan ten ma spin O?
Illa)IP)11 = IlallllPll.)
~kaz6wka:
jednym ze sposobow przekonania sit( 0 tym jest postuienie sit( zapisem wskaznikowym, aby pokazae, ie taka kombinacja antysymetryczna musi bye w istocie skalarem; naleiy przy tym pamit(tae, ie przestrzen spinowa jest 2-wymiarowa.
559
23
Sp1iltany swiat kwantowy
o poiozeniu cz
Ill) oc I~)I7I) -
17I)I~)
(gdzie symbol oc oznacza "rowne z dokladnosciq do stalego czynnika", zob. rozdz. 12.7); kierunek 71 jest kierunkiem przeciwnym do ~. (Uwaga: jesli I~) = all') + bl-J...), wowczas 171) oc 511') + al"-' ).)123.5] Mozemy tez wyciqgn
t(1- cosO),
TT
lub
NN,
niezgodne:
t(1 + cosO)
natomiast "niezgodne" oznacza TN lub
NT).
rm [23.4] Dlaczego nie? Znajdz spos6b, aby to zrobi6, gdy la) i 1/3) nie s,! tak zlokalizowane. 560
~ [23.5] Sprawdz relacje przedstawione w tym nawiasie oraz sprawdz rachunkiem wyrazenia dla 112). Wskaz6wka: zob. ewiczenie [22.26].
Eksperymenty EPR typu Bohma
23.4
~----~--~--~----~ Moje ustawienia alternatywne
Ustawienia alterroatywne mojego kolegi
Rys. 23.3. Ustawienia polaryzacji dla wersji Stappa eksperymentu EPR-Bohmajako przyklad nierownosci Bella. Pocz~tkowo urz~dzenia pomiarowe zostaly tak przygotowane, zeby dokonac pomiaru spinow w kierunkach wskazanych przez peine strzalki, ale po namysle jedno lub oba urz~dzenia przestawiono w kierunkach wskazanych przez strzalki przerywane. Zaden klasyczny model cz~stek zachowuj~cych siy, jakby byly nieza1eznymi obiektami, niekomunikuj~cymi siy miydzy sob~, bez uprzedniej znajomosci kierunkow pomiarowych nie jest w stanie wyznaczyc prawidlowo l~cznych prawdopodobienstw wynikow pomiarow.
A teraz rozwazmy przyklad Stappa. Urzqdzenia Sq tak ustawione, ze moj aparat moze mierzyc spin alba w kierunku pionowo do gory, 1', albo w kierunku prostopadlym, poziomo 7. Aparat mojego kolegi jest zorientowany tak, ze mierzy spin alba w kierunku 71, ktory leZy w plaszczyznie kierunkow l' i ~, pod kqtem 45° do kazdego z nich, alba w kierunku ", ktory leZy w tej samej plaszczyznie, ale pod kqtem 45° do l' i 135° do ~ (rys. 23.3). Mamy zatem trzy mozliwosci, w ktorych kierunek mojego pomiaru tworzy kqt 45° z kierunkiem pomiaru mojego kolegi i jest tylko jedna mozliwosc, ze kqt miydzy nimi wynosi 135°. Dla przypadkow 45° prawdopodobienstwo zgodnosci wynosi nieco ponizej 15%, podczas gdy dla 135° przekracza 85%. Dopuscmy takq sytuacjy, ze odloZymy decyzjy 0 tym, ktory z dwu mozliwych pomiarow przeprowadzy, do momentu, w ktorym cZqstki bydq juz w pelnym biegu, i to sarno niech zrobi moj kolega. Umiescmy kolegy na Tytanie (jednym z ksiyZycow Saturna) i niech zrodlo cZqstek znajduje siy gdzies miydzy nami tak, zebysmy nawet w przypadku cZqstek wydrujqcych z prydkosciq swiatla mielijakies trzy kwadranse na podjycie decyzji! Popatrzmy na rys. 23.4. Czqstki nie mogq miec pojycia o tym, jakq decyzjy (niezalei:nie od siebie) ja i moj kolega zechcemy podjqc. Przypuscmy, ze ja wybralem 1', a moj kolega 71, i do kazdego z nas dociera strumien, wydawaloby siy, losowo zorientowanych czqstek. Docierajq pojedynczo,
o Ziemia
Tytan
~
- - - - . . .---- - - - .. .D' Zr6dlo clCjstek EPR
Rys. 23.4. Autor, umiejscowiony na Ziemi, wyobrai:a sobie, ze jest odbiorc~ jednej z cz~stek z pary EPR, podczas gdy druga dociera do jego kolegi na Tytanie. Zrodlo cz~stek znajduje siy gdzies posrodku, mniej wiycej w rownej odleglosci miydzy nimi. Nawet jesli cz~stki wydrujil z prydkosci~ swiatla, to i tak kazdy z nich rna okafo 45 minut na podjycie decyzji, jak zorientowac swoje przyrzildy.
561
23
Splqtany swiat kwantowy
562
kaida jest jedn,! z pary EPR-Bohma, wyemitowan'! przez zr6dlo znajduj,!ce siy miydzy nami, jedna do mnie, druga do mojego kolegi. Jesli por6wnamy zapisy wynik6w (powiedzmy, kilka lat p6zniej, gdy m6j kolega powr6ci na Ziemiy), odkryjemy, ze zgodnose naszych wynik6w jest nieco mniejsza od 15%, jak to juz przewidzielismy. Ot6z jesli te cz'!stki nie maj,! uprzedniej wiedzy 0 tym, jak zorientowalismy nasze przyrz,!dy pomiarowe, i zachowuj,! siy niezaleznie od siebie, nie komunikuj,! siy miydzy sob,! (niczym klasyczne obiekty), to dla wynik6w pomiar6w mojego kolegi powinno bye zupelnie bez znaczenia, gdybym ja nagle, w ostatniej chwili, zmienil zdanie i postanowil przeorientowae m6j detektor tak, zeby dokonywae pomiaru w kierunku 7 zamiast 1'. Za16zmy, ze z kolei to ko1ega zmienil zdanie i zacz'!l mierzye w kierunku " zamiast /I, natomiast ja pozostalem przy starej koncepcji. W6wczas to, co zrobi kolega, nie powinno miee najmniejszego znaczenia dla wyniku moich pomiar6w w kierunku 1'. Okazuje siy, ze zgodnose miydzy pomiarami kolegi w kierunku" i moimi w starym kierunku bydzie nadal nieco ponizej 15%. Przypusemy, ze obaj zdecydowalismy siy w ostatniej chwili zmienie ustawienia naszych przyrz'!d6w tak, ze ja bydy mierzyl w kierunku 7, a m6j kolega w kierunku ". Teraz k,!t jest bliski 135°, wobec czego z mechaniki kwantowej wynika, ze zgodnose powinna osi,!gn,!e nieco ponad 85%. Czy to nie jest niesprzeczne z l,!cznymi prawdopodobienstwami, jakie obliczymy dla par cz'!stek mierzonych przez pary detektor6w zorientowanych w ten spos6b? No c6z, przekonajmy siy. Pary cz,!stek musz'! bye przygotowane na zetkniycie siy z czterema mozliwymi kombinacjami ustawien detektor6w i w kazdym przypadku powinnismy uzyskae poprawne wartosci kwantowomechanicznych prawdopodobienstw. Przypomnijmy je. Wyniki moich pomiar6w przy ustawieniu w kierunku 7 powinny bye zgodne z wynikami pomiar6w mojego kolegi w kierunku /I w stopniu nie wiykszym niz 15%. Zgodnose jego pomiar6w w takim kierunku nie powinna bye wiyksza od 15% przy moich pomiarach w kierunku 1', ate z kolei powinny bye zgodne w nie wiycej niz 15% z pomiarami kolegi w kierunku ". Jesli jakas konkretna para rna dae nam zgodnose w przypadku 7, ", nie moze to bye niezgodne ze wszystkimi trzema przypadkami 7, /I oraz 1', /I i 1', ". (Tr6jkrotna niezgodnose musi dawae w wyniku niezgodnose, a nie zgodnose.) A zatem co najmniej w jednym z tych przypadk6w musimy uzyskae zgodnose, choe zgodnose dla kaidej pary mozliwych ustawien wystypuje w mniej niz 15% wszystkich przypadk6w. S,! tylko trzy mozliwosci, a to oznacza, ze zgodnose w przypadku 7,,, moze siy zdarzye w nie wiycej niz 15% + 15% + 15% = 45% zdarzen. (W rzeczywistosci procent zgodnosci musi bye nieco mniejszy, poniewai uwzglydnilem zgodnose dla wszystkich trzech par ustawien trzy razy.) Ale 45% jest bardzo dalekie od 85%, a zatem mamy tu do czynienia z oczywist'! sprzecznosci,! z zalozeniem "klasycznego" zachowania siC( naszych par cz,!stek! Ktos m6g1by postawie zarzut, ze caly ten argument jest wyrazony w terminach hipotetycznych pomiar6w, czegos w rodzaju "co by bylo, gdyby bylo" (filozofowie nazwaliby je "kontrfaktycznym"). Tymczasem istotne jest to, ze przyjC(lismy zalozenie, iz cz'!stki po opuszczeniu zr6dla zachowuj,! siy niezaleznie od siebie
Przyktad EPR Hardy'ego: prawie bez prawdopodobier'lstwa
23.5
i mamy uzyskac prawidlowe, lqczne, kwantowe prawdopodobienstwa detekcji, bez wzglydu na to, jakie jest ustawienie detektorow. Zachowanie siy cZqstek musi odpowiadac oczekiwaniom mechaniki kwantowej. Okazuje siy, ze tego nie mozna uzyskac, jesli bydziemy rozwazali prawdopodobienstwa oddzielnie dla kaZdej z CZqstek. Jedynym sposobem na uzyskanie poprawnych wynikow kwantowomechanicznych jest zalozenie, ze do momentu detekcji jednej z nich obie czqstki Sq ze sobq "polqczone". To tajemnicze "polqczenie" jest wlasnie splqtaniem kwantowym. Oczywiscie, nie odbyl siy zaden eksperyment na takich odleglosciach. Jednak przeprowadzono wiele podobnych doswiadczen typu EPR (zwykle wykorzystujqC polaryzacje fotonow, a nie kierunki spinow czqstek 0 spinie ale nie jest to istotne). We wszystkich tych eksperymentach potwierdzone zostaly oczekiwania mechaniki kwantowej, a nie to, co dyktowalby "zdrowy rozsqdek"! Aczkolwiek nie przeprowadzono bezposredniego pomiaru na odleglosciach typu Ziemia-Saturn, to uzyskano potwierdzenie pogwalcenia nierownosci Bella przy odleglosciach przekraczajqcych 15 km 8 •
t,
23.5 Przyklad EPR Hardy'ego: prawie bez prawdopodobielistwa Przejdzmy teraz do piyknego przykladu, jaki zaproponowal Lucien Hardy9. Ponownie moj kolega i ja przygotowujemy siy do przeprowadzenia pomiarow, przy czym ja wybieram kierunki l' i 7 (prostopadle w gory i poziomo w prawo), tak jak poprzednio, ale kolega rowniez wybiera te same kierunki, niezaleZnie ode mnie. Zasadniczym nowym elementem jest to, ze zrodlo par cZqstek nie emituje ich teraz w stanie, ktorego wypadkowy spin rna wartosc 0, lecz w stanie 0 lqcznym spinie 1. Taki stan poczqtkowy, w przedstawieniu Majorany, zapiszemy jako If- /I) (rozdz. 22.10, rys. 22.14), gdzie kierunek /I leZy w ewiartce plaszczyzny okreslonej przez prostopadle kierunki l' i 7 i rna nachylenie ~ (tzn. kqt miydzy kierunkami 7 a /I spelnia warunek cose =t), i gdzie kierunek f- jest przeciwny do kierunku 7; zob. rys. 23.5. Stan taki mozemy przedstawic jako[23.6]
e,
z dokladnosciq do ogolnego czynnika. Ma on ty charakterystycznq wlasnosc, ze gdy nie jest ortogonalny do stanu
1"-' )1"-') (gdzie kierunek "-' jest przeciwny do kierunku 1'), to jest ortogonalny do kaZdego ze stanow[23.7]
I"-')If-), If- )1"-'), 17)17).
ta
[23.6] Dlaczego? [23.7] Sprawdz, czy potrafisz to wykazac. Wskaz6wka: skorzystaj ze geometrycznego opisu w rozdz. 22.9. ~
wsp6lrz~dnych
lub
563
23
Spl~tany
swiat kwantowy
DZiyki tym relacjom ortogonalnosci mozliwe s,! nastypuj,!ce wyniki pomiarow TAKJNIE:
(0) czasami ja otrzymujy NIE dla kierunku l' i kolega otrzymuje NIE dla kierunku 1'; (1) jesli ja otrzymujy NIE dla kierunku 1', wowczas kolega musi otrzymae TAK dla kierunku ~; (2) jesli kolega otrzymuje NIE dla kierunku 1', wowczas ja muszy otrzymae TAK dla kierunku ~; (3) ja nigdy nie otrzymujy TAK dla kierunku ~, gdy moj kolega dostaje TAK dla kierunku + Naleiy zaznaczye w odniesieniu do przypadku (0), ze w takim eksperymencie, jesli zaloiymy, ze kazdy z nas dokonuje pomiaru 1', faktyczne kwantowe prawdopodobienstwo, iz obaj otrzymamy wynik NIE, wynosi dokladnie -{z[23.8 1• Zauwazmy, ze -{z = 8,33%, podczas gdy optymalna wartose uzyskana przez Hardy'ego, przy niewielkim dopasowaniu, jest bardzo bliska10 i wynosi 9,01 %. Chcialbym, zeby bylo calkiem jasne, dlaczego nie ma zadnego sposobu uzyskania wynikow (0) do (3), jesli obie cz'!stki s,! niezalezne i nie komunikuj,! siy miydzy sob,! oraz nie maj,! pojycia 0 tym, w jakim kierunku maj,! bye przeprowadzone pomiary. Ze wzglydu na (0) obie cz'!stki (niekomunikuj,!ce siy i bez wiedzy o ustawieniach przyrz,!dow) musz'! bye przygotowane na to, ze od czasu do czasu (-{z wszystkich zdarzen) obie udziel,! odpowiedzi NIE w sytuacji, gdy ja i kolega jednoczesnie przeprowadzimy pomiary w kierunku 1'. Ponadto przygotowanie cz'!stek, jeszcze gdy s,! razem, musi uwzglydniae taki przypadek (a wiyc gdy jednoczesnie daj,! odpowiedz NIE na nasze jednoczesne pomiary 1'), by musialy definitywnie udzielie odpowiedzi TAK, gdyby ktorys z nas postanowil przeprowadzie pomiar ~ - aby nie doszlo do naruszenia (1) i (2). lednak taka decyzja powoduje, ze niemozliwe jest (3), poniewaz zarowno ja, jak i moj kolega mozemy czasami dokonae pomiaru ~ i uzyskae wynik TAK, TAK, co jest zabronione.
Spin~
--~-
(9 R
Moje ustawienia alternatywne
Ustawienia alternatywne kolegi
Rys. 23.5. EPR w wersji Hardy'ego, "prawie" bez prawdopodobienstw. Stanem pocz~tkowym jest stan I~ /I) = I~ )1/1) + I/I)I~), w kt6rym kierunek /I leZy w ewiartce plaszczyzny wyznaczonej przez strzalky pionow~ l' i poziom~ ~, z nachyleniem Kazdy z detektor6w jest tak ustawiony, ze mierzy spiny przybywaj~cych cz~stek tylko w kierunku pionowym b~d:i poziomym.
!.
564
~ [23.8] Udowodnij to.
Dwie tajemnice
23.6 Dwie tajemnice
spl~tania
spl~tania
kwantowego
23.6
kwantowego
Wydaje mi si~, ze istniej,! dwie zasadnicze kwestie, ktorych dotyczy problem spl,!tania kwantowego, i jestem przekonany, ze odpowiedz na kazd,! z nich musi miec zupelnie rozny (chociaz wzajemnie zwi,!zany) charakter. Pierwsz'! zagadk~ przedstawia sam fenomen spl,!tania. J ak mamy pogodzic si~ z faktem spl,!tania kwantowego i wyrazic je w terminach idei i poj~c dla nas zrozumialych w taki sposob, aby mozna je bylo zaakceptowac jako istotny element funkcjonowania rzeczywistego WszechSwiata? Druga kwestia jest niejako komplementarna do pierwszej. Jezeli, zgodnie z mechanik,! kwantow'!, spl,!tanie jest tak powszechnie obecnym zjawiskiem - przypomnijmy, ze ogromna wi~kszosc stanow kwantowych to stany spl,!tane - jak to si~ dzieje, ze zjawiska tego prawie nie zauwazamy w bezposrednich obserwacjach otaczaj'!cego nas swiata? Dlaczego nie natrafiamy na nie na kazdym kroku? Nie wydaje mi si~, zeby ta druga zagadka byla przedmiotem naleznego zainteresowania, wygl,!da na to, ze uwaga badaczy skoncentrowana jest nieomal wyl,!cznie na pierwszej. Pozwolcie mi wi~c zaj,!c si~ najpierw drug,! tajemnicz,! kwesti,!. Do pierwszej powroc~ w odpowiednim miejscu. Glownym elementem zagadki jest to, ze spl,!tanie rna tendencj~ do rozprzestrzeniania si~. Wydawac by si~ moglo, ze w koncu kaZda cz'!stka we WszechSwiecie musi stac si~ spl,!tan,! z kazd,! inn,!. ezy tez moze s,! one spl,!tane od samego pocz,!tku? Dlaczego nie doswiadczamy po prostu jednej ogromnej, spl,!tanej g~stwiny, nieprzypominaj,!cej nieomal w niczym klasycznego swiata, jaki normalnie postrzegamy? Ewolucja Schrodingera nie pomaga nam specjalnie w rozwi¥aniu tej zagadki; w istocie kazdy jej krok jakby pogarszal sytuacj~, powoduj,!c, ze z uplywem czasu coraz wi~cej cz~sci otaczaj'!cego nas Wszechswiat a jest spl,!tanych z ukladem wyjsciowym. Wydaje mi si~ obecnie rzecz'! ogolnie przyj~t'!, ze w ramach przestrzeni Hilberta H sarno rownanie Schrodingera (proces U) nie pomoze nam w wyjsciu z tych klopotow. Jesli nasz'! ewolucj~ rozpoczniemy w stosunkowo bezpiecznej, niespl,!tanej cz~sci H, wowczas ewolucja Schrodingera natychmiast (na ogol) pogr,!Zy nas w g~stwinie spl'!tania i nie znajdziemy w niej zadnej drogi ani nawet wskazowki, aby wydostac si~ z tego niezmierzonego koszmaru stanow spl'!tanych (zob. rys. 23.6).
Rys. 23.6. Ewolucja schrbdingerowska od niesplqtanego stanu poczqtkowego (reprezentowanego przez skal« w prawym dolnym rogu) nieomal zawsze prowadzi do rosnqcego splqtania (ilustruje je plqtanina morskich wodorostow). Jak to si« dzieje, ze obiekty dost«pne naszemu doswiadczeniu wyst«pujq na ogol jako oddzielone od siebie i niezalezne?
565
23
Splqtany swiat kwantowy
566
Tymczasem w Zyciu codziennym raczej dajemy sobie calkiem dobrze radl(, nawet nie zauwazajqc tego calego splqtania. Jak to mozliwe? Jesli nie mamy czego sil( spodziewae ze strony procesow U, to musimy sprobowae skorzystae z innego zasadniczego skladnika teorii kwantowej: procesu R. Faktycznie, pewnq wskazowkl( w tym kierunku moglismy zauwaZye podczas analizy efektow EPR. Przypomnijmy sobie, ze planowalem przeprowadzenie pomiaru na jednej cZqstce z pary CZqstek EPR, podczas gdy druga miala docierae do mojego kolegi na Tytanie. Jesli ja pierwszy przeprowadzl( pomiar, to sam akt dokonania takiego pomiaru uwolni CZqstkl( docierajqcq do mojego kolegi ze splqtania z mojq cZqstkq i od tej pory (do chwiIi, w ktorej moj kolega przeprowadzi pomiar) bl(dzie ona miala swoj wlasny wektor stanu, w zaden sposob niezwiqzany z drugq, bez wzgll(du na to, co ja z tq cZqstkq zrobil(. Tak wil(c wydaje sil(, ze to pomiar dokonuje przecil(cia tych wil(zOW splqtania. Czy to prawda? Czy R daje nam ogolne rozwiqzanie tej drugiej zagadki, ktorq stawia przed nami fenomen splqtania kwantowego? Mysll(, ze tak musi bye, przynajmniej jesli traktujemy problem w taki sposob, w jaki zaleca mechanika kwantowa. Jest to zwiqzane ze sposobem przeprowadzania eksperymentow kwantowych, takich na przyklad jak rozwaZane wlasnie doswiadczenia (myslowe). Przypomnijmy sobie, ze analizujqc efekty EPR, wymagalismy, zeby rozwazane pary cZqstek znajdowaly sil( w okreslonym stanie kwantowym: w stanie 0 spinie 0 w eksperymencie Stappa i w stanie 0 spinie 1 w doswiadczeniu Hardy'ego. Jesli poslugujemy sil( tylko formalizmem procesow U, to jak mozemy bye pewni, ze nasze cZqstki nie Sq juz na poczqtku potwornie splqtane ze wszystkim dookola? Wydaje mi sil(, ze cos, co naleZy do samej natury pomiaru, stanowi zawsze istotnq cZl(se przygotowania eksperymentu kwantowego, co rna zapewnie, ze stan ukladu nie jest zanieczyszczony dzunglq niepozqdanych splqtan. Nie mam tu na mysli, ze eksperymentator rozmyslnie przygotowuje swoje ustawienia tak, zeby osiqgnqe taki efekt. Moim zdaniem to Przyroda sarna nieustannie kreuje procesy R, bez zadnej takiej intencji ze strony eksperymentatora lub jakiejkolwiek interwencji "swiadomego" obserwatora. Mam swiadomose, ze wyplywam na niebezpieczne wody, i do sprecyzowania mojego wlasnego stanowiska w tych sprawach powrocl( pozniej (w rozdz. 30.9-13). A jak te sprawy rozstrzyga "konwencjonalna" mechanika kwantowa? Wydaje mi sil(, ze "w praktyce" fizycy zawsze zakladajq mozliwose zignorowania calego splqtania ze swiatem zewnl(trznym. W przeciwnym razie ani mechanika klasyczna, ani konwencjonalna mechanika kwantowa nie zaslugiwalyby na zaufanie. Uwaza sil(, ze wszystkie te splqtania dajq sil( jakos "usrednie" i w konkretnej sytuacji nie mUSZq bye uwzgll(dniane. Nie znam jednak nawet choe trochl( przekonujqcego przykladu, ze tak rzeczywiscie jest. Zamiast "wyplqtania sil(" przez "usrednienie" okazaloby sil(, ze wszystko w coraz mniejszym stopniu przypomina swiat, jaki znamy, a poszczegolne obiekty tego swiata nie mialyby nawet w przyblizeniu okreslonych polozen, gdyz bylyby one zwiqzane i uwarunkowane ogromnq ilosciq zdarzen w calym WszechSwiecie. Nie widzl( zadnej drogi wyjscia z tej pulapki, jesli chcemy roz-
Bozony i fermiony
23.7
patrywae zagadnienie w izolacji od paradoksu VIR, ktory stanowi centralny problem interpretacyjny mechaniki kwantowej. Jakkolwiek jednak patrzymy na kwestiy tego przenikaj,!cego wszystko spl,!tania z reszt'! WszechSwiata, to nie mozemy jej oddzielie od szerszego zagadnienia: jak to siy dzieje, ze z jednej strony procedury V znakomicie dzialaj,! w przypadku wystarczaj'!co prostych ukladow, podczas gdy z drugiej strony, od czasu do czasu, musimy natychmiast rezygnowae z V i ukradkiem wprowadzae procesy R. Dlaczego, ale takZe kiedy i jak? To jest problem pomiaru alba raczej (i chyba bardziej wlasciwie), wedlug slow laureata Nagrody Nobla Tony'ego Leggetta, paradoks pomiaru. Powrocy do tego w rozdz. 29. Nie skonczylem jeszcze z przedstawieniem innych zagadek, przed jakimi stawia nas fakt spl'!tania. Niektore z nich wi,!z,! siy z faktem, ze przeprowadzanie pomiar6w ukladow spl'!tanych jest czynnosci,! bardzo delikatn,!, jesli chcemy uwzglydnie wymogi teorii wzglydnosci, albowiem pomiar jednej cZysci spl,!tanej pary obiektow musi wplywae na drug,!jednoczesnie, z czym, jak widzielismy w rozdz. 17, nie powinnismy miee do czynienia, gdy chcemy pozostae wierni zasadom tej teorii. Zanim sprobujy zmierzye siy z tym problemem, przejdy do rozwazenia innego aspektu spl'!tania, z ktorym spotykamy siy nawet czysciej niz z omawianymi w kilku poprzednich akapitach. Jest to fenomen tak powszechnie obecny, ze nawet dokonanie pomiaru nie rozcina tego spl,!tania, jakkolwiek podchodzilibysmy do paradoksu pomiaru. Co wiycej, jest to cecha charakterystyczna mechaniki kwantowej calkiem niezalezna od dotychczas rozwazanych. Mam na mysli zdumiewaj,!cy sposob, w jaki mechanika kwantowa traktuje uklady identycznych czqstek.
23.7 Bozony i fermiony Przypomnijmy sobie (rozdz. 23.2) koncepcjy "wszechSwiata-zabawki", w ktorym mielismy do dyspozycji 10 roi:nych polozen, ponumerowanych cyframi 0, 1,2, ... ,9. W kazdym z nich mozna bylo ulokowae cz'!stky. Kiedy rozwazalem, w jaki sposob mozna by w takim wszechSwiecie umiejscowie dwie cz'!stki, wowczas od razu zrobilem zastrzezenie, ze nie mog,! to bye "cz'!stki tego samego rodzaju", i mowilem 0 nich jako 0 "cz,!stce N i "cz,!stce B", zamiast na przyklad uZye okreslenia "dwa elektrony" lub czegos w tym rodzaju. Powodem tej ostroznosci byl fakt, ze mechanika kwantowa traktuje rzeczywiste cz'!stki wystypuj,!ce w Przyrodzie za pomoc,! pewnych charakterystycznych procedur, ktore s,! zupelnie inne niZ te, jakimi poslugiwalismy siy wczesniej. W tym miejscu powinnismy zdae sobie sprawy z istnienia dwu takich odmiennych procedur. Jedna z nich znajduje zastosowanie w odniesieniu do cz'!stek znanych pod nazw,! bozonow, a druga do fennionow. Bozonami s,! cz'!stki charakteryzuj,!ce siy spinem calkowitym (a wiyc ktorych spin, w jednostkach Ii, przyjmuje wartosci 0, 1, 2, 3, ... ), a fermionami cz'!stki 0 spinie polowkowym, czyli 0 wartosciach ~"" (Zwiqzek ten wynika ze znanego twierdzenia matematycznego w kwantowej teorii pola, twierdzenia 0 zwiqzku spinu ze statystykq; zob. rozdz. 26.2.)
t, t, t,
567
23
Splqtany swiat kwantowy
CZllstki zlozone, takie jak jlldra atomowe czy cale atomy, albo poszczegolne hadrony, takie jak protony czy neutrony (zbudowane z kwarkow), mog~, w dobrym przyblizeniu, rowniez bye traktowane jako bozony Iub fermiony. Tak wiyc bozonami Sll na przyklad fotony, ale takZe mezony (piony, kaony etc.), cZllstki odpowiedzialne zarowno za oddzialywania slabe (bozony Wi Z), jak i za silne (gluony). Oczywiscie, cZllstki zlozone, takie jak ex, (2 protony, 2 neutrony), deuterony (1 proton, 1 neutron) etc., rowniez zachowujll siy jak bozony. Z kolei elektrony, protony, neutrony, tworzllce je kwarki, neutrina, miony i inne cZllstki sll fermion ami. Powinnismy miee na uwadze fakt, ze funkcje falowe fermionow s~ obiektami spinorowymi, w sensie terminologii przedstawionej w rozdz. 11.3 (por. rozdz. 22.8), podczas gdy funkcje falowe bozonow nie majll tych wlasciwosci. Aby zdae sobie sprawy z tego, co naprawdy rozni bozony od fermionow, powroemy do naszego modelu wszechSwiata skladajllcego siy z 10 punktow, oznakowanych jako 0, 1, ... , 9. Przypomnijmy, ze analogiy funkcji falowej stanowie bydzie teraz zbior Iiczb zespolonych. Dla jednej cZllstki bydzie to zbior Iiczb zO' zp' .. , Zg; dia pary rozroznialnych cZllstek bydzie to zoo' zap"" Z99; dla trojki takich cZllstek Zoo a, zoo!"'" Z999; itd. Dla pary bozonow wymagania mechaniki kwantowej Sll takie, ze musi to bye kolekcja liczb zespolonych Zij symetrycznych we wskaznikach, tzn., ze
a wiyc, na przyklad, Z38 = Z83' Wobec tego nie rna znaczenia, przynajmniej jesli chodzi 0 funkcjy falowll, ktora z cZllstek znajduje siy w miejscu 3, a ktora w 8. Jest to po prostu para czqstek, zajmujllca miejsca 3 i 8. ZauwaZmy przy tym, ze para bozonow moze znakomicie okupowae jedno i to sarno miejsce; na przyklad Z33 bydzie zespolonym czynnikiem wagowym dla przypadku, gdy dwa bozony jednoczeSnie zajmujll miejsce 3. Widzimy wiyc, ze istnieje tylko t(lO x 11) = 55 rozroznialnych sposobow rozmieszczenia (nieuporzlldkowanych) par cz~stek na 10 miejscach ijedynie taka ilose liczb zespolonychjest potrzebna (tzn. potrzebujemy W5, a nie WOO). W przypadku trzech identycznych bozonow wystypuje symetria we wszystkich trzech wskaznikach: Zijk =Zjik =Zjki =Zkji =Zkij =Zikj'
i
mamy zatem (10 x 11 x 12) = 220 liczb zespolonych do zdefiniowania stanu, ktory jest elementem przestrzeni H 220 zamiast H lOOO • Dla n identycznych bozonow ilose niezalei:nych Iiczb zespolonych (9 + n)!/9!n!, spelniaj~cych warunek symetrycznosci we wszystkich wskaznikach Zij ... m =zW ... m)'
wynosiz..l) ... m (zob. rozdz. 12.4,7 i 14.7). A teraz rozwazmy fermiony. Roznill siy one od bozonow przede wszystkim tym, ze ich funkcje falowe muszll bye antysymetryczne w ich argumentach, Zij = -ZjP
568
Zijk = Zjik = Zjki = -Zkji = Zkij = -Zikj'
Stany kwantowe bozon6w i fermion6w
Zij ... m
=
23.8
Z[ij ... m]'
mamy wiyc t(10 x 9) = 45 liczb zespolonych w przypadku dwoch identycznych fermionow, i(10 x 9 x 8) = 120 liczb zespolonych w przypadku trzech identycznych fermionow i 1O!/n!(10 - n)! dla n identycznych fermionow[23.91. Te roinice liczbowe wynikaj,! z faktu, ie dwa fermiony nie mog,! znalezc siy w tym samym punkcie, albowiem antysymetria wymaga, ieby wagi zespolone Z •.. w takich przypadkach znikaly, a wiyc na przyklad Z33 = 0, Z474 = 0, etc. Zauwaimy, ie gdy w naszym "wszechSwiecie" planujemy rozmiescic wiycej nii 5 fermionow, liczba moiliwosci maleje. Gdy dochodzimy do 10 fermionow, istnieje tylko jeden moiliwy stan, a rozmieszczenie wiykszej liczby fermionow bydzie niemozliwe. W ten sposob, na tym prostym modelu, mozna przedstawic realizacjy zasady znanej jako zakaz Pauliego. Mowi on a, ze dwa identyczne fermiony nie mog,! bye w tym samym stanie kwantowym (i jest to po prostu konsekwencja antysymetrii fermionowej funkcji falowej). Dziyki tej zasadzie ciala stale mog,! istniec i nie zapadae siy w sobie. Zwyczajne ciala stale zbudowane S,! z fermionow: elektronow, protonow, neutronow. Ze wzglydu na zakaz Pauliego musz'! one "trzymac siy z daleka od siebie". Inaczej przedstawiaj,! siy te wlasciwosci w przypadku bozonow. Bozony wykazuj,! niewielk,! sklonnose do przebywania w tym samym stanie. (Fakt ten rna charakter czysto statystyczny, kiedy porownujemy liczby roznych dozwolonych stanow bozonowych do liczby roznych dozwolonych stanow klasycznych.) Gdy temperatura staje siy bardzo niska, ow efekt okazuje siy bardzo wazny i moze pojawie siy fenomen znany jako kondensacja Bosego-Einsteina, w ktorym wiykszose cz,!stek ukladu znajdzie siy w tym samym stanie. Przykladem tego rodzaju efektow jest zjawisko nadcieklosci, S,! one takie wykorzystywane w laserach. W nadprzewodniku elektrony l'!cz'! siy w pary, tzw. pary Coopera, ktore zachowuj,! siy, jak gdyby byly pojedynczymi bozonami. Takie zachowania "kolektywne" prowadz'! do najbardziej zdumiewaj,!cych i calkowicie sprzecznych z intuicj,! praktycznych zastosowan mechaniki kwantowej.
23.8 Stany kwantowe bozon6w i fermion6w W poprzednim rozdziale sformulowalem wymagania symetrii i antysymetrii dla bozonow i fermionow jedynie w odniesieniu do naszego "wszechswiata-zabawki", ale wymagania dla zbioru bozonow i fermionow w zwyklej przestrzeni s,! w zasadzie takie same. Funkcja falowa bydzie funkcj,! pewnej liczby punktow w przestrzeni, oznaczmy je przez u, V, ... , y, oraz funkcj,! roznych dyskretnych parametrow, ktore oznaczymy, odpowiednio, przez u, v, ... ,y, aby uwzglydnie indeksy (spinorowe lub
~ [23.9] Wyjasnij, skqd biOIq sit( wartosci wszystkich tych liczb w przypadku bozon6w i fermion6w.
569
23
Splqtany swiat kwantowy
tensorowe) kazdej grupy cz(!stek. Sprecyzujmy najpierw, jak wygl(!da funkcja falowa 1jJ dla pary identycznych bozon6w. Z(!damy, zeby funkcja 1jJ = 1jJ(u, u; v, v) byla symetryczna wobec zamiany polozen cz(!stek: 1jJ(u, u; v, v) = 1jJ(v, v; u, u).
W przypadku trzech identycznych bozon6w funkcja falowa musi bye symetryczna wzglydem permutacji wszystkich trzech cz(!stek: 1jJ(u, u; v, v; w, w)
= '1jJ(v, v;
U, u;
w, w) = 1jJ(v, v; W, w;
U, u)
= ... ,
i tak dalej. Dla fermion6w te relacje zostaj(! zast(!pione relacjami antysymetrii wobec przestawienia cz(!stek: 1jJ(U, u; v, v) = -1jJ(v, v; u, u). 1jJ(u, u; v, v; W, w)
= -1jJ(v, v; U, u; W, w) = 1jJ(v, v; W, w;
U, u)
= ... ,
i tak dalej. ZauwaZmy, ze w kazdym przypadku stan spinowy (zaznaczony przez zmienne dyskretne u, v, ... ) musi bye przenoszony, przy tych permutacjach, razem z cz(!stk(!. Gdy stosujemy zatem zakaz Pauliego, mozemy uwazae stany za identyczne tylko wtedy, gdy opr6cz identycznych polozen r6wniez stany spinowe Sq identyczne. To wazne na przyklad w chemii - dwa elektrony mogq dzielie ten sam orbital, pod warunkiem ze ich spiny Sq przeciwne (zob. rozdz. 24.8, rys. 24.2). W tym miejscu bardzo poryczny okazuje siy (abstrakcyjny) zapis wskainikowy, 0 kt6rym wspominalismy w rozdz. 23.3 (mozemy r6wniei zastosowae zapis graficzny, opisanyw rozdz. 12.8, co ilustruje rys. 26.1). Zgodnie z tym moglibysmy uiye zapisu 1jJa do oznaczenia funkcji falowej cZqstki, kt6rej przypisalismy znaczek a, a ¢f3 dla czqstki oznakowanej jako f3 itd. Jesli cZqstki nie S(! identyczne, w6wczas funkcja falowa pary takich czqstek bylaby stanem opisanym przez nastypujqcy iloczyn tensorowy 1jJa ¢f3,
podczas gdy w przypadku identycznych bozon6w ich stan (nie przejmujemy siy teraz normalizacj(!) wynosi 1jJa¢f3 + ¢a1jJf3. (Jedna uwaga odnosnie do zapisu abstrakcyjno-wskaznikowego: mnozenie przemienne oznacza np., ze ¢a~ = ~¢a. Iloczyn tensorowy nieprzemienny zaznaczamy przez uporz(!dkowanie indeks6w, a zatem iloczyn 1¢)I1jJ) "* 11jJ)I¢) zapisujemy jako ¢a~"* 1jJa¢P.) Ten zsymetryzowany stan zapisujemy (pomijajqc czynnik 2) jako 1jJ(a ¢f3l,
nawias okr(!gly oznacza tu symetryzacjy (rozdz. 12.7, 22.8). Ma to ty zalety, ze pozwala natychmiast zapisae stan kwantowy n identycznych bozon6w, kt6rych indywidualne stany bylyby 1jJ", ¢f3, ... , X:, jako iloczyn zsymetryzowany w postaci
570
1jJ(a¢f3 ...
x:).
Teleportacja kwantowa
23.9
Podobnie mozemy post,!pie w przypadku fermionow. Gdy rozpatrujemy kolekcjy stanow n poszczegolnych fermionOW'ljla, ql ,... ,x", ich wspolny, zantysymetryzowany stan (rozdz. 12.4) zapiszemy jako 'IjIlarpfJ ... , x"l.
ZauwaZmy, ze wszystkie te stany wielocz'!stkowe S,!, z technicznego punktu widzenia, splqtane (widzimy to w szczegolnosci przy opisie pary identycznych fermionow, gdy mamy do czynienia z kombinacj,! 'IjIarpfJ - rpa'ljlfJ). Jest to raczej lagodny rodzaj spl'!tania, albowiem superpozycja zachodzi tylko miydzy stanami, ktore s,! "nierozroznialne fizycznie", i stosuje siy jedynie do identycznych cz'!stek. Stany 'IjI(arpfJ ... x") i 'IjI[arpfJ ... x"l, odpowiednio dla bozonow i fermionow, S,! mozliwie najblizsze stanom "niespl,!tanym" i moglibysmy wrycz traktowae je jako stany "niespl,!tane". (W tym zapisie ogolny stan n bozonow, pafJ ... = p(afJ ... nie moze bye w ten sposob rozszczepiony. Podobnie nie da siy rozszczepie ogolnego stanu kwantowego n fermionow ~afJ .. K = ~lafJ.Kl). Posluguj,!c siy zapisem za pomoc,! wektorow "ket", moglibysmy uczynie zadose tym wymogom symetrii i antysymetrii dziyki wykorzystaniu pojycia "iloczynu klinowego" 1'IjI) /\ Irp) /\ •.• /\ Ix)l1, w ktorym odpowiednie wyrazy komutuj,! lub antykomutuj,! w zaleznosci od "stopnia" (gradacji, grades) poszczegolnych czynnikow (zob. rozdz. 11.6). Aczkolwiek ten rodzaj "spl'!tania", z jakim mamy do czynienia w przypadku identycznych bozonow lub fermionow, jest stosunkowo "nieszkodliwy" (pozwala raczej na zredukowanie niz zwiykszenie wielkiej liczby alternatywnych mozliwosci, jakie S,! dozwolone dla stanow kwantowych), to znamy przynajmniej jedn,! jego znacz'!C'! konsekwencjy w odniesieniu do efektow na dUZych odleglosciach. Hanbury Brown i Twiss (1954, 1956) wykorzystali bozonow'! "spl'!tan'!" natury fotonow docieraj,!cych na Ziemiy z przeciwnych krancow jednej z pobliskich gwiazd do pomiaru jej srednicy. Kiedy po raz pierwszy zaproponowali swoj,! metody pomiaru, spotkala siy ona z opozycj,! ze strony wielu (nawet wybitnych) specjalistow od fizyki kwantowej, ktorzy utrzymywali, ze "fotony mog,! interferowae jedynie ze sobq, a nie z innymi fotonami". W tej argumentacji przeoczyli fakt, ze te "inne fotony" stanowi,! czyse spl,!tanej bozonowej calosci. K
K
)
23.9 Teleportacja kwantowa Aby zakonczye ten rozdzial, wrocimy raz jeszcze do zagadek zwi,!zanych z interpretacj,! efektow EPR. W szczegolnosci przypomnijmy narzucaj,!CY siy konflikt ze szczegoln'! teori'! wzglydnosci: mozna odniese wrazenie, ze "porozumiewanie siy miydzy sob,!" cz'!stek w eksperymencie EPR nie respektuje warunku Einsteina, ze zaden sygnal nie moze rozchodzie siy z prydkosciq wiyksz,! niz prydkose swiatla. Aby rzucie wiycej swiatla na ten problem, przedstawiy inn,! tajemnicz,! implikacjy spl,!tania kwantowego, znan,! pod nazw'! teleportacji kwantowej. W moim przekonaniu wiedzie nas ona w kierunku zagadnien, ktore musimy przeba-
571
23
Splqtany swiat kwantowy
572
dae, jesli chcemy wlasciwie zrozumiee problemy, jakie przed nami stawiaj,! efekty EPR. Co prawda wchodzimy w ten sposob na terytoriurn, ktore wielu wolaloby omijae z daleka i - jak zobaczymy - wcale nie bez racji! Co oznacza termin "teleportacja"? Pojycie to wywoluje wyobrazenia wydrowek miydzygwiezdnych, gdy obraz Kapitana Kirka i jego zalogi zostaje przeslany na powierzchniy niezbadanej planety, ale aby przy tym przesylaniu zachowana byla "tozsamose" osoby, konieczne jest wierne przekazanie aktualnych stanow kwantowych wszystkich cz,!stek, a nie tylko przeslanie jakiegos klasycznego rejestru ich polozen. Taka perspektywa rna ty filozoficzn'! zalety, ze procedura teleportacji nie moze bye uZyta do wyprodukowania duplikatu teleportowanego osobnika, co pozwala nam unikn'!e rozstrzygania subtelnej zagadki, ktory z nich reprezentuje swoj prawdziwy "strumien swiadornosci"12. Dlaczego nie jest mozliwe skopiowanie nieznanego stanu kwantowego? Kwestia ta zostala w sposob przekonuj'!cy rozstrzygniyta w 0publikowanej literaturze 13 , ale na podstawie przedstawionych tu zasad mozemy zauwaZye, ze taka mozliwose prowadzi do sprzecznosci z procedurami kwantowymi VIR. Jezeli nie zamierzamy zniszczye oryginalu, to nie jestesmy w stanie utworzye dokladnej kopii, wiyc z cal,! pewnosci,! nie rnozemy utworzye dwu identycznych kopii nieznanego stanu kwantowego. Dlaczego? Albowiem, gdyby to bylo mozliwe, powtarzaj,!c proces kopiowania, moglibysmy wyprodukowae 4 kopie, nastypnie 8, 16 itd. Wyobrazmy sobie, ze mamy do czynienia z prostym spinowym stanem kwantowym 171) cz'!stki masywnej o spinie Kopiuj,!c ten stan wielokrotnie, moglibysmy otrzymae stan 171)171) ... 171) = \7171 ... 71), ktory, dla dostatecznie dUZych rnomentow pydu, moglby zostae zmierzony klasycznie, i wyznaczye przestrzenny kierunek 71. Oznacza to, ze uzyskalismy metody pomiaru aktualnego stanu kwantowego (z dokladnosci,! do czynnika proporcjonalnosci). Nie zezwalaj'! na to standardowe procedury VIR rnechaniki kwantowej. Jedyny pomiar na stanie kwantowym 171) jest okreslony przez pewien operator hermitowski (albo normalny); zezwala na niego procedura R, ale stawia ona nastt(puj,!C'! kwestit(: "Czy spin stanu jest ustawiony w kierunku ~? Odpowiedz TAK lub NIE". Po dokonaniu pomiaru spin ukladu znajdzie siy alba w badanym kierunku ~ (TAK), alba w kierunku przeciwnym" (NIE). Istniej,! tei: inne mozliwosci pomiarow, ktore mozemy przeprowadzie, jesli uwai:amy, ze stan spinowy jest spl,!tany z innymi (wkrotce zapoznamy sit( z ich znaczeniem). Jezeli jednak badany stan traktujemy jako niespl,!tany ze swiatem zewnytrznym, to nic nie mozemy zrobie poza przeprowadzeniem na nim bezposredniego pomiaru. Wszystko, czyrn dysponujemy, to prost a odpowiedz TAK/NIE, a wit(c zaledwie jeden bit (cyfra w systemie binarnym) informacji. Mozemy obracae aparatem pomiarowym, jak nam siy tylko podoba, ale w zaden sposob nie dowiemy siy, w jakim kierunku, 71, wektor spinu aktualnie wskazuje. To prawda, ze ten kierunek jest wyrozniony, bo jest jedynyrn, w ktorym odpowiedz TAK uzyskujemy z cal,! pewnosci,! (z prawdopodobienstwern 1), ale z gory go nie znamy. (Gdyby ktos ustalil ten stan kwantowy i powiedzial
t.
Teleportacja kwantowa
23.9
nam, ze kierunek spinu jest /I, wowczas moglibysmy go skopiowae; ale problem jest postawiony inaczej: my badamy nieznany uprzednio stan kwantowy i taki stan chcielibysmy skopiowae.) Teleportacja kwantowa zmierza do pneslania stanu kwantowego z jednego miejsca winne, powiedzmy, ze statku kosmicznego Enterprise Kapitana Kirka na powierzchniy niezbadanej planety. Mechanika kwantowa nie stawia zadnych przeszkod takiemu przedsiywziyciu; istotnie, mozemy fizycznie przeniese caly obiekt kwantowy z jednego miejsca winne. Przypuszczamy jednak, ze przy takim transporcie wyst,!pi zbyt wiele czynnikow zaklocaj,!cych, aby to przeniesienie obiektu kwantowego czy dowolnego sygnalu kwantowego bylo wiarygodne. Warunki takie dopuszczaj'! jedynie przesylanie zwyklych, klasycznych informacji, lecz klasyczny system przekazu sygnalow nie pozwala na przeslanie stanu kwantowego. Przyczyna tego powinna bye jasna: sygnaly klaSYCZne, ze wzglydu na ich natury, mog,! bye kopiowane. Gdybysmy mogli uZywae ich do przesylania stanow kwantowych, to stany kwantowe teZ moglyby bye kopiowane, a to, jak wykazalismy, jest niemozliwe. Najpierw powinnismy odpowiednio przygotowae siy do takich operacji. Poniewaz "niezbadana planeta" niespecjalnie siy do tego nadaje, sprobujmy skorzystae z pomocy mojego kolegi na Tytanie i moze uda siy przeslae do niego nieznany stan kwantowy cz'!stki 0 spinie To "przygotowanie siy" wymaga, zeby kazdy z nas dysponowal po jednym elemencie z pary cz,!stek 0 spinie jakie wystypuj,! w doswiadczeniu EPR. Przypusemy, ze mamy do czynienia z cz,!stkami, ktorych wspolny stan wyjsciowy charakteryzuje siy spinem 0, tak jak w eksperymencie EPR w wersji Bohma. Zakladamy, ze nie powinnismy polegae na transmisji stanow kwantowych przez niezmierzone przestworza miydzy Ziemi,! a Tytanem. Ale wyobrazmy sobie, ze jakies piye lat temu, zanim moj kolega wyruszyl w podroz na Tytana, kazdy z nas zabral sobie po jednej z cz,!stek tej spl,!tanej pary i udalo siy nam utrzymae je w doskonalej izolacji od wszystkich zewnytrznych zaburzen. Jesli nasze cz'!stki pozostan,! w takim stanie do czasu powrotu kolegi na Ziemiy, to wtedy bydziemy mogli dokonae ich pol,!czenia i powinnismy znowu uzyskae stan 0 spinie o. Przypusemy teraz, ze inny moj kolega przyniosl mi inn,! cz'!stky 0 spinie ktor'! zachowywal w doskonalej izolacji od czynnikow zewnytrznych, i prosil, zebym natychmiast przeslal stan spinowy tej cz'!stki, nienaruszony, do kolegi na Tytanie. Maj,!c na uwadze fakt, ze obecne warunki nie zezwalaj,! na wiarygodne przeslanie stanu kwantowego przez przestworza miydzy Ziemi,! a Tytanem, mogy wyslae jedynie sygnal klasyczny. Zanim jednak do tego przyst,!piy, przenoszy ty now'! cz'!stky do miejsca, w ktorym przechowujy moj,! cz'!stky z eksperymentu EPR, i l'!czy je ze sob'!. Kazda z cz'!stek rna spin a wiyc razem ich stany tworz'! uklad 4-wymiarowy (gdyby nie spl'!tanie miydzy moj,! cz'!stk'! a cz'!stk'! u mojego kolegi na Tytanie, bylaby to przestrzen H4). Nastypnie dokonujy pomiaru na tej parze cz,!stek i pomiar ten rozroznia cztery ortogonalne stany (stany te nazywamy stanami Bella):
573
t.
t,
t,
t,
23
Splqtany swiat kwantowy
(0) 11')1-.1.-) - 1-.1.- )11'), (1) 11')11') -1-.1.-)1-.1.-), (2) 11')11') + 1-.1.-)I.J...), (3) 11')1.J...) + 1.J...)11')· Wynik tego pomiaru przesylam do kolegi na Tytanie, posluguj,!c si« zwykl,! klasyczn,! metod'! przesylania sygnalow, powiedzmy, koduj« odpowiednio kazdy z otrzymanych stanow za pomoq liczb 0, 1, 2, 3. Kolega po otrzymaniu ode mnie sygnalu wyjmuje drugi skladnik pary EPR, do tej pory starannie zabezpieczony przed jakimikolwiek zaburzeniami, i wykonuje na nim nast«puj,!ce obroty: (0) nie robi nic, (1) obraca 0 k,!t 1800 wokol osix, (2) obraca
0
k,!t 1800 wokol osiy, 0
(3) obraca 0 k,!t 180 wokol osi z. Mozemy sprawdzie bezposrednim rachunkiem, ze t'! drog,! uzyskujemy skuteczn'! "teleportacj«" stanu kwantowego cz'!stki mojego kolegi na Tytana[23.lO J• Szczegolnie zadziwiaj,!ce w przypadku teleportacji kwantowej jest to, ze choe przeslalem mojemu koledze zaledwie 2 bity klasycznej informacji (jedn,! z liczb 0, 1,2,3, ktore moglyby bye zakodowane jako, odpowiednio, 00, 01,10,11), udalo mi si« przekazae "informacj«" 0 polozeniu punktu na calej sferze Riemanna; przypomnijmy sobie rys. 22.10. W przypadku klasycznym do uzyskania pelnej dokladnosci potrzebowalibysmy informacji zawartej w nieograniczonej mozliwosci wyboru jednego punktu z calego kontinuum: dokladnie ~o bitow (zob. rozdz. 16.3, 4). W jaki sposob tego dokonalismy? W tym miejscu musz« powiedziee, ze zostaly przeprowadzone rzeczywiste eksperymenty, ktore w peini potwierdzaj,! przewidywania teleportacji kwantowomechanicznej (oczywiscie, na odleglosciach rz«du metrow, a nie Ziemia-Saturn)l\ wi«c musimy to traktowae jak najbardziej powaznie. I nie tylko to, rowniez szybko rozwijaj,!ca si« dziedzina kryptografii kwantowej zalei:y od post«pu w analizie tak ogolnych problemow, podobnie jak wiele innych koncepcji komputeryzacji kwantowej. Spojrzmy na rys. 23.7. Jest to diagram czasoprzestrzenny, na ktorym ukazane zostaly linie swiata: moja i obu moich kolegow oraz, co wazniejsze, wszystkich cz,!stek bior'!cych udzial w tym zdarzeniu, razem z klasycznym sygnalem, ktory wyslalem do kolegi na Tytanie. W jakis sposob "informacja" 0 kierunku spinu, jakim charakteryzuje si« cz'!stka przyniesiona przez me go przyjaciela (zaznaczona
574
1m [23.10] Sprawdi to, korzystajqc Z odpowiednich konwencji dotyczqcych osi itp.
Teleportacja kwantowa Ja
23.9
Kolega
II.e)
Przyjaciel
Rys. 23.7. "Teleportacja kwantowa" ukazuj~ca akauzaln~ propagacjl( quanglementu. Diagram czasoprzestrzenny ilustruje proces, w trakcie ktorego nieznany stan kwantowy (11.e» cz~stki 0 spinie dostarczonej przez mega przyjaciela, moie bye przekazany do innego kolegi na Tytanie za pomoc~ transmisji zaledwie 2 bitow klasycznej informacji (przy zaloieniu, ie ten kolega i ja podzielilismy sil( uprzednio par~ cz~stek EPR). Linia kropkowana ukazuje akauzaln~ drogl( quanglementu.
t,
Spin 0
przez ket 11l:», zostala przekazana na powierzchnit( Tytana, pomimo ze wyslany sygnal zawieral tylko 2 bity informacji. Jak to sit( stalo, ze do mojego kolegi dotarly wszystkie (~o) bity? Niektorzy uwazajq, ze pozbt(dziemy sit( tych klopotow, jesli przyjmiemy stanowisko, iz stany kwantowe nie Sq "czyms realnym", poniewaz - powiedzmy"nie Sq mierzalne". Taki sposob patrzenia na otaczaj<j.CY nas swiat jest dla mnie nie do przyjt(cia. Kierunek, jaki spin przyjmuje w stanie kwantowym, dostarcza bowiem bardzo konkretnej informacji 0 otaczaj,!cej rzeczywistosci. Na przyklad jesli ktos (na Tytanie) zdecyduje sit( dokonac pomiaru spinu w tym szczegolnym kierunku, i tylko w tym szczegolnym kierunku, to otrzyma odpowiedZ TAK ze stuprocentow<j. pewnosciq. Co wit(cej, moj przyjaciel albo jakis przyjaciel mega przyjaciela mogl przygotowac swoj,! cZ<j.stkt( w taki sposob, zeby jej spin byl skierowany w stront( z gory zadanq, a mimo to wynik pomiaru na Tytanie w tym samym (lub odwrotnym) kierunku bylby rowniez calkowicie pewny. Wszystko to wydaje mi sit( w pelni realne. (Nie naleZy zrazac sit( faktem, ze moje przyklady S,! trocht( fantastyczne; istotna jest zasada!) Przyjrzyjmy sit( raz jeszcze rys. 23.7. Od mojego przyjaciela do ko1egi na Tytanie zostala przekazana informacja, ale kanal klasyczny (zaledwie 2 bity) jest stanowczo za w<j.ski, aby mozna bylo przeslac pozostalych ~o bitow. Jednak odpowiednie lqcze istnieje. Sklada sit( z niewielkiego odcinka drogi od mojego przyjaciela do mnie, dlugiego odcinka - wstecz w czasie - ode mnie do naszej zrodlowej pary czqstek EPR, oraz bardzo dlugiej drogi od tego pocz'!tku do mojego kolegi umiejscowionego na Tytanie. To naprawdt( jedyne pol,!czenie mit(dzy nami, ktore sluZy do przekazania poz,!danej informacji. Prob1emem jest, oczywiscie, ow fragment drogi sit(gaj,!cy 5 lat wstecz!
t
575
23
Splqtany swiat kwantowy
23.10 Quanglement Chcy powiedziec jasno, ze nie mam zamiaru popierac pomyslu przesylania w przeszlosc zwyldej informacji (ani tego, ze za pomocq efektow EPR klasyczna informacja maze rozchodzic siy z szybkosciq przekraczajqcq prydkosc Swiatla; zob. dalej). Takie koncepcje prowadzilyby do wielu paradoksow, a jednak ich nie znajdujemy (powrocy do tych problemow w rozdz. 30.6). Informacja, w potocznym sensie tego slowa, nie maze cofac siy w czasie. Przedmiot moich rozwaian nazywamy zwykle informacjq kwantowq. Maim zdaniem dodanie przymiotnika "kwantowa" w niedostatecznym stopniu zrywa asocjacjy ze zwyldq informacjq i dlatego wysuwam propozycjy nowego okreslenia15 , ktore lepiej oddaje istoty rzeczy, a mianowicie terminu QUANGLEMENT A zatem, przynajmniej na uiytek czytelnikow tej ksiqiki, to, co powszechnie nazywa siy "informacjq kwantowq", ja bydy okreslal jako quanglement (QY·l. Termin ten przywoluje zwiqzek z "mechanikq kwantowq" (quantum mechanics) i kojarzy siy ze "splqtaniem" (entanglement), w sposob jak najbardziej wtasciwy. W tym tkwi istota Q, ktory rna rowniei wiele wspolnego z informacjq, ale sam informacjq nie jest. Nie istnieje mozliwosc przeslania zwyldego sygnalu za pomocq samego Q. Wynika to z faktu, ze mozemy rownie dobrze uZyc kanalow Q skierowanych ku przyszlosci, jak i tych skierowanych ku przesztosci. Gdyby Q stanowil przekazywalnq informacjy, to mozliwe byloby wysylanie wiadomosci w przeszlosc, a tak nie jest. J ednak Q moze byc uZyty w polqczeniu ze zwyldymi kanalami transmisji informacji i w ten sposob umozliwia nam osiqgniycie rezultatow, ktorych niepodobna uzyskac za pomocq normalnych technik sygnalizacyjnych. Sq to bardzo delikatne sprawy. Mozemy powiedziec, ze w pewnym sensie wlasnosci Q i jego zwiqzki z normalnq informacjq majq kluczowe znaczenie dla rozwiqzania takich zagadnien jak komputery kwantowe, kwantowa kryptografia i, z calq pewnosciq, kwantowa teleportacja. ile jestem w stanie to uzasadnic, scieiki Q Sq zawsze ograniczone stozkami swietlnymi, podobnie jak sciezki normalnej informacji, jednak sciezki Q majq takq nowq wlasnosc, ze mogq prowadzic zygzakiem w czasie, w przod i w tyl16, dajqc w efekcie "propagacjy przestrzennopodobnq". Poniewaz Q nie jest informacjq, wiyc nie rna mozliwosci, zeby sygnaty informacyjne byly przekazywane z szybkosciq wiykszq ad prydkosci swiatla. Istnieje rowniez zwiqzek miydzy Q a zwyldq geometriq przestrzennq (przez zwiqzek spinu ze sferq Riemanna, jak to przedstawiajq rys. 22.10, 22.13, 22.14), i ta relacja znajduje swoje odbicie przestrzenne w odwroceniu kierunku czasu, co rna interesujqce implikacje 17 • Bardziej szczegolowe omowienie tych zagadnien odwiodtoby jednak za daleko od naszego glownego celu.
o
576
[*] Ten nowy termin, wprowadzony przez Autora, nie znalazl do tej pory polskiego odpowiednika. Zostawiaj~c znalezienie wlasciwego slowa specjalistom w tym zakresie, ze wzgl ydu na sztucznosc okreslenia quanglement w brzmieniu polskim, zdecydowalem sit; na uZycie w tym miejscu samej litery Q (przyp. dum.).
Quanglement 23.10 ___ --t>--..... ___
bL:-:J---I~'''''''''''''Q.-1~ Krysztal nieliniowy
- - -__~-
- ~ -- -
Rys. 23.8. Parametryczna konwersja w d61. Emitowany przez laser foton, przechodz'lc przez odpowiedni "krysztal nieliniowy", wytwarza par~ foton6w spl'ltanych. 0 ich spl'ltaniu Swiadczy zachowanie si~ (tak jak w zjawisku EPR) skorelowanych stan6w polaryzacyjnych foton6w wt6mych, jak r6wniei fakt, ie ich 3-wymiarowe pl(dy musz'l sil( sumowac do wartosci pl(du fotonu wyjsciowego.
Jedno z najbardziej bezposrednich zastosowan idei Q pojawia siy w szczegolnych doswiadczeniach, w ktorych para spl'!tanych fotonow jestwytwarzana w wyniku procesu znanego pod nazw'! parametrycznej konwersji w dol (zob. rys. 23.8). Efekt taki wystypuje wtedy, gdy foton, emitowany przez laser, natrafia na specjalny rodzaj krysztalu (krysztal "nieliniowy"), ktory dokonuje jego konwersji w pary fotonow. Wytworzone w ten sposob fotony s,! spl,!tane na rozne sposoby. Ich pydy musz'! siy sumowae do wartosci pydu zrodlowego fotonu, a ich polaryzacje S,! ze sob,! zwi'!zane w podobny sposob jak w eksperymentach EPR, w przykladach poprzednio omawianych. W jednym z najbardziej zadziwiaj,!cych eksperymentow tego typu jeden z fotonow (foton A) po drodze do detektora D A przechodzi przez otwor 0 specjalnie dobranym ksztalcie. Drugi foton (foton B) przechodzi przez soczewky ustawion'! tak, zeby ognisko wypadalo w polozeniu detektora DB' Przy emisji kazdej pary fotonow polozenie detektoraD B zostaje nieznacznie przesuniyte. Obrazuje to schematycznie rys. 23.9a. Gdy tylko D A zarejestruje przechwycenie fotonu i foton zostanie zarejestrowany rowniez przez DB' zapisujemy ustawienie DB' Powtarzamy ty operacjy wiele razy, zapisuj,!c polozenia DB tylko wtedy, gdy jednoczeSnie nastypuje rejestracja w DA' W wyniku czego stopniowo powstaje obraz. Detektor DB odtwarza obraz otworu, przez ktory przechodzi foton A, pomimo ze zaden foton B nigdy tam nie dotarl! To tak, jakby detektor DB "widzial" ksztalt otworu, przez ktory przechodz,! fotony A, patrz,!c w czasie wstecz do momentu emisji fotonow w punkcie C, gdzie jest umiejscowiony krysztal, a nastypnie w prz6d, obserwuj,!c dalsze losy fotonu A. To jest mozliwe, albowiem ow proces "widzenia" jest osi,!gany dziyki fenomenowi spl'!tania. Owo przeskakiwanie tam i z powrotem w czasie jest wlasciwosci,! Q. Q pozwala rowniez wyznaczye sHy skupiania i polozenie soczewki. W tym celu wyobrazmy sobie, ze w punkcie emisji fotonow, C, ustawilismy zwierciadlo. Soczewky (skupiaj,!C
[23.11] Czy mozesz wyjasnic to dokladniej, poslugujl!c si y konstrukcjl! Q lub innl!?
577
23
Spl'ltany swiat kwantowy Krysztal nieliniowy
C
(a)
(b)
Rys. 23.9. Przesylanie obrazow drog,! efektow kwantowych. (a) Spl,!tane fotony, Ai B, s,! wytwarzane w C przez parametryczn,! konwersjt( w dol. Foton A musi przejsc przez otwor 0 specjalnym ksztalcie, nastt(pnie dociera do detektora D A' W tym czasie foton B przechodzi przez soczewkt(, w ktorej ognisku znajduje sit( detektor DB' Detektor ten jest stopniowo przesuwany, z odpowiednim dopasowaniem, i kiedy oba detektory zarejestruj,! fotony, wowczas zapisujemy poloienie detektora DB' Powtarzaj'!c tt( operacjt( wiele razy, stopniowo odtwarzamy obraz ksztaltu otworu, przez ktory przechodz,! fotony A. (Na schemacie jest to zilustrowane w ten sposob, ie zamiast detektora DB mamy kliszt( fotograficzn'!, kt6ra zostaje aktywowana tylko wtedy, gdy D A rejestruje przybycie fotonu.) Proces Q reprezentuje fakt, ie poloienie soczewki jest wyznaczone tak, jakby w C znajdowalo sit( zwierciadlo odbijaj,!ce fotony zarowno w czasie, jak i w przestrzeni.(b) Schemat alternatywny, stanowi,!CY adaptacjt( testu bombowego Elitzura-Vaidmana z rys. 22.6 (pokazuje to linia pozioma). K1isza fotograficzna w B rejestruje tylko takie fotony, kt6re "zostalyby zatrzymane" w C, \ecz w rzeczywistosci przeszly drog,! doln,!!
578
swiadczenia18 przeprowadzone na Uniwersytecie w Baltimore w stanie Maryland. Wykonano tez wiele innych eksperymentow, zwi~anych ze zjawiskiem parametrycznej konwersji w do1 19, ktore najlepiej daj1! siC( wyjasniC w terminach Q. Oczywiscie, mozna uznac, ze procesy przedstawione na rys. 23.9a nie s1! "w swojej istocie efektami kwantowymi". Wyobrazmy sobie jakies urz1!dzenie w C, ktore po prostu wysyla cZ1!stki klasyczne, parami, w odpowiednich kierunkach i, poza ogniskowaniem, uzyskamy podobne efekty. Remedium na ten argument bC(dzie pewna modyfikacja schematu Elitzura-Vaidmana, przedstawionego na rys. 22.6 (tutaj zaznaczona lini1! poziom1!); zob. rys. 23.9b. Teraz mamy do czynienia z jednym tylko fotonem w danej chwili. Zostanie on zarejestrowany na kliszy fotograficznej B, tylko jesli nie wystC(puje interferencja, gdy foton, przechodz1!CY inn1! drog1!, nie przeszedl przez otwor w C. Powrocmy teraz do zwyklych efektow EPR, takich jak przyklady Stappa i Hardy'ego, rozwazane wczesniej. W zwyklym zastosowaniu kwantowej procedury R wyobrazamy sobie pewien szczegolny uklad odniesienia, w ktorym wspolrzC(dna t
Quanglement 23.10
daje nam rownolegle plasterki czasu, a kazdy z nich odpowiada stalej wartosci t w czasoprzestrzeni. Zwykla procedura polega na zalozeniu (nierelatywistycznym), ze kiedy jeden czlon pary EPR jest mierzony, wowczas stan drugiego zostaje jednoczesnie zredukowany, w zwi4Zku z czym pozniejszy pomiar wyglqda, jakby byl dokonywany na stanie zredukowanym (niesplqtanym), nie zas na stanie splqtanym. Taki rodzaj opisu mozna wykorzystac na przyklad w przedstawionych przeze mnie szczegolnych przypadkach EPR. Przypuscmy wiyc, ze z punktu widzenia ukladu odniesienia stacjonarnego wzglydem Slonca moj ko1ega, znajdujqcy siy na Tytanie, pierwszy dokonuje pomiaru, powiedzmy jakies 15 minut wczesniej, zanim ja przeprowadzy swoj pomiar na Ziemi. W takim razie pomiar mojego kolegi dokonuje redukcji stanu, a zatem ja przeprowadzy juz pomiar cZqstki w stanie niesplqtanym. Mozemy jednak wyobrazic sobie, ze calq ty sytuacjy opisujemy z perspektywy obserwatora 0, ktory porusza siy z wielkq szybkosciq (powiedzmy c) w kierunku od mojego kolegi na Tytanie w mojq strony. Z punktu widzenia to moj pomiar jest wczesniejszy, a wiyc ja dokonujy redukcji stanu cZqstki EPR, moj kolega zas bydzie juz mierzyl stan zredukowany (rys. 23.10); zob. rozdz. 18.3, rys. 18.5b. Lqczne prawdopodobienstwa pozostanq w kazdym przypadku takie same, ale bydzie mial zupelnie odmienny obraz "rzeczywistosci" w porownaniu z tym, jaki mielismy poprzednio ja i moj kolega. JeZeli myslimy 0 Rjako 0 rzeczywistym procesie, to wyglqda na to, ze popadlismy w konflikt z zasadq szczegolnej teorii wzglydnosci, poniewaz mamy dwa sprzeczne obrazy tego, ktory z nas dokonal redukcji stanu kwantowego i ktory z nas przeprowadza obserwacjy zredukowanego stanu po dokonaniu tej redukcji. Mozemy z tego wnioskowac, ze efekty EPR, niezaleznie od ich na pozor akauzalnego charakteru, nie dadzq siy bezposrednio uZyc do akauzalnej transmisji
t
°
°
Tytan
Ziemia
Zr6dlo cz~steczek EPR
Rys. 23.10. Czy mamy do czynienia z kontliktem mi«dzy teori,! wzgl«dnosci a realnosci,! procesu redukcji stanu? Diagram czasoprzestrzenny sytuacji EPR, w kt6rej detektory znajduj,! si« na Ziemi i Tytanie, natomiast ir6dlo jest blizej Tytana niz Ziemi. Z perspektywy inercjalnego ukladu odniesienia, stacjonarnego wobec Sionca, pierwszy dokonuje pomiaru detektor na Tytanie (w B), co natychmiast redukuje stan na Ziemi (w B'). Detekcja na Ziemi dokonuje si« p6iniej (w A), na stanie juZ niespl'!tanym (jednoczesnym z A' na Tytanie). lednak dla obserwatora 0, podr6zuj,!cego od Tytana w kierunku Ziemi z bardzo wielk,! pr«dkosci,!, najpierw zachodzi detekcja na Ziemi (w A, jednoczesna z A" na Tytanie, zgodnie z "nachyieniem" linii jednoczesnosci 0), ana Tytanie mamy juz stan zredukowany (w B, jednoczesnym z B n na Ziemi).
579
23
Splqtany swiat kwantowy
zwyldej informacji, co mogloby wplynqe na zachowanie siy odbiornika, oddzielonego przestrzennopodobnie od przekaznika. Zawsze mozemy wybrae taki uklad odniesienia, w ktorym "zdarzenie odbioru" nastypuje wczesniej, a "przekaznik" moze wtedy tylko badae stan zredukowany. Wowczas jest "za pozno", aby splqtanie moglo bye wykorzystane do sygnalizacji, poniewaz zostalo zlikwidowane przez proces redukcji stanu. Jaka moze bye rola procesow Q w takich sytuacjach20? Zob. rozdz. 30.3. W tym przedstawieniu nie powinno siy traktowae ktoregokolwiek z tych pomiarow (mojego lub kolegi) jako dokonujqcego redukcji, a drugiego (kolegi lub mojego) jako dokonywanego na stanie zredukowanym. Oba procesy pomiarowe nale.zy uwazae za rownoprawne, a proces Q umozliwia nam ich korelacjy. Nie rna znaczenia, ktory z nich zostal przeprowadzony wczesniej, a ktory pozniej, poniewaz Q moze rownie dobrze rozchodzie siy w przeszlose, jak i w przyszlose. Poniewaz Q nie moze bezposrednio przenosie informacji, nie obowiqzujq go ograniczenia relatywistycznej przyczynowosci. Wprowadza on jedynie ograniczenia na lqczne prawdopodobienstwa wynikow roznych pomiarow. Aczkolwiek Q jest u.zytecznym pojyciem do "zrozumienia" takich zagadek eksperymentow kwantowych, to nie mam pojycia, jak dalece tego rodzaju koncepcje mogq bye stosowane ani te.i jak precyzyjnie mogq bye okreslone ich skutki. Z pewnosciq idea Q nie rozwiqzuje problemu pomiaru kwantowego i mowi niewiele, jesli w ogole, 0 okolicznosciach, w ktorych R zastypuje U. Zagadnieniem tym zajmiemy siy szczegolowo w rozdz. 29 i 30, w szczegolnosci w rozdz. 30.12, jednak na razie rola Q nie jest doldadnie wyjasniona. Bardziej obiecujqce wydajq siy zwiqzki z ide ami teorii twistorow, ktore pokrotce omowimy w rozdz. 33.2.
Przypisy 1
Rozdzial 23.3 Zob. Einstein, Podolsky, Rosen (1935), Schrodinger (1935); rowniez Mriat (1999). 3 Nielatwo jednak wyjasnie, jakie inforrnacje zyskujemy dzi~ki temu w kwestii obliczen kwantowych; zob. Jozsa, Linden (2002). 4 Zob. Bell (1987). Bye moze najzgrabniejszq i najcz~sciej cytowanq wersjq tej nierownosci jest podana w pracy: Clauser, Horne, Shimony, Holt (1969). Przyjmuje ona nast~pujqCq postae: IE(A, B) -E(A,D)I + IE(C, B) +E(C,D)I~2, gdzieE(x,y) jest wartosciq oczekiwanq zgodnosci (E = 1 w przypadku pelnej zgodnosci i E = -1 w przypadku pelnej niezgodnosci) mi~dzy wynikami alternatywnych pomiarow A, C dla jednej skladowej pary EPR, a B, D dla drugiej. Zob. rowniez Gleason (1957); Kochen, Specker (1967); Redhead (1987). 5 Zob. Bohm (1951); Redhead (1987); Mriat (1999). Opis niedawno wykonanego niezwyklego eksperymentu, ktory potwierdza zjawisko EPR, czytelnik znajdzie w: Tittel et at. (1998). 6 Rozmaite ciekawe przyklady opisujq odpowiednio: Heywood, Redhead (1983); Stairs (1983). Zob. tez Kochen, Specker (1967); Peres (1991, 1995); Conway, Kochen (2002); Penrose (1994), rozdz. 5.3; Penrose (2000b); Zimba, Penrose (1993). 2
580
Rozdzial 23.1 Zob. Eddington (1929b); Mott (1929); Dirac (1932).
Przypisy
7
8
Zob. np. Hannabuss (1997); generalne om6wienie tych aspekt6w spl'!tania czytelnik znajdzie w: Nielsen, Chuang (2000).
Rozdzial 23.4 Por. przyp. 5.
Rozdzial23.5 Zob. Hardy (1992, 1993). to Zob. Hardy (1993). 9
11
Rozdzial23.8 Schemat tego rodzaju zostal efektywnie zastosowany w mojej ksi,!zce Genie umys{u (zob. Penrose 1994), w rozdz. 15.15, ale bez jawnego uZycia "klin6w".
Rozdzia{ 23.9 Zob. Penrose (1989). 13 Wooters, Zurek (1982). 14 Zob. Jennewein, Weihs, Pan, Zeilinger (2002).
12
Rozdzial 23.10 Zob. Penrose (2002). 16 Zob. Jozsa (1998); Peres (2000). 17 Zob. Penrose (1998). 18 Zob. Shih et al. (1995). 19 Aby zapoznac sit( z t'! wain,! dziedzin,!, zob. np. Gisin et al. (2004). 20 Por.: Aharonov, Vaidman (2001); Cramer (1988); Costa de Beauregard (1995); oraz Werbos, Dolmatova (2000). 15
24 Elektron Diraca i antycl'lstki 24.1 Konflikt miQdzy teoriCl kwantowCl a teoriCl wzglQdnosci W ROZWAZANIACH rozdz. 23.10 zaledwie dotknylismy kilku powaznych problemow, ktore pojawiaj,! siy w relacjach miydzy zasadami mechaniki kwantowej a zasadami teorii wzglydnosci. Rzeczywiscie, przedstawiaj,!c w trzech poprzednich rozdzialach dose szczegolowo, w jaki sposob funkcjonuje teoria kwantowa, przyj,!lem bardzo nierelatywistyczny punkt widzenia, ktory jakby ignorowal wiedzy uzyskan,! dziyki pracom Einsteina i Minkowskiego (co opisalem w rozdz. 17) na tern at wzajemnych relacji miydzy czasem a przestrzeni'!. Prawdy mowi,!c, tak siy zwykle postypuje w mechanice kwantowej. W podejsciu standardowym adaptujemy taki "obraz rzeczywistosci", w ktorym czas jest traktowany zupelnie inaczej niz przestrzen. Jak to podkreslilem w rozdz. 22, istnieje tylko jedna zewnytrzna wspolrzydna czasowa, podczas gdy wspolrzydnych przestrzennych jest mnostwo; kazda cz,!stka rna swoj wlasny zbior wspolrzydnych przestrzennych. Ty asymetriy traktuje siy zwykle jako "przejsciow,!" wlasnose nierelatywistycznej teorii kwantowej, byd,!cej jedynie przyblizeniem do jakiegos bardziej kompletnego i w pelni relatywistycznego formalizmu. W tym rozdziale oraz w dwu nastypnych przekonamy siy, jak glybokie problemy pojawiaj,! siy, gdy probujemy pogodzie zasady mechaniki kwantowej z zasadami szczegolnej teorii wzglydnosci. (Przedsiywziycie bardziej ambitne, proba unifikacji z ogoln,! teori,! wzglydnosci Einsteina - kiedy musimy wprowadzie grawitacjy i zakrzywienie przestrzeni - wymaga znacznie wiycej wysilku i, jak dot,!d, nie rna powszechnej zgody co do tego, jakie podejscie daje najwiyksze szanse powodzenia. Niektore z tych drog poszukiwan przedstawiy w rozdzialach 28 i 30-33.) Jest charakterystyczne, ze gdy probujemy pol,!czye mechaniky kwantow'! ze szczegoln'! teori,! wzglydnosci, wowczas przestaje ona bye teori,! cz,!stek kwantowych, a staje siy teori,! kwantowych pol. Zasadniczy powod tej zmiany wynika z faktu, ze wprowadzenie koncepcji teorii wzglydnosci powoduje, iz nie badamy juz zachowania poszczegolnych cz,!stek, albowiem cz'!stki mog,! bye niszczone i kreowane, co wi,!ze siy z istnieniem ich antyczqstek. Uwaga ta wymaga wyjasnienia. Sk,!d bierze siy potrzeba wprowadzenia antycz,!stek w relatywistycznej teorii kwantowej? Dlaczego obecnose antycz,!stek wymaga przejscia od kwantowej teorii cz'!stek do
Dlaczego
antycz~stki implikuj~
istnienie pol kwantowych?
24.2
kwantowej teorii pol? Celem niniejszego rozdzialu jest proba odpowiedzi na te dwa pytania, w szczegolnosci na pierwsze z nich, ze specjalnym uwzglC(dnieniem wielkiego wkladu Diraca w matematyczny opis elektronow. Sam,! kwantow'! teoriC( pola przedyskutujemy w rozdz. 26 i tam znajdziemy elementy konfliktu i napiC(cia miC(dzy szczegoln'! teori,! wzglC(dnosci a teori,! kwantow, co powoduje koniecznose pogr,!zania siC( teorii cz,!stek elementarnych coraz glC(biej w formalizmy matematyczne. Zostaniemy zaproszeni na dlug,! i fascynuj,!cq wC(drowkt(. Kiedy wreszcie te trudnosci zostan,! pokonane w odpowiedni sposob, choeby dzit(ki modelowi standardowemu teorii cz'!stek elementarnych (co omowimyw rozdz. 25), okaze siC(, ze uzyskana w ten sposob teoria pozostaje w zdumiewaj,!cej zgodnosci z otaczaj,!c,! rzeczywistosci,!. Mimo to konflikt miC(dzy obiema teoriami wci,!z pozostaje. Mowi,!c scisle, kwantowa teoria pola (przynajmniej jdli chodzi 0 jej wspolczesne, nietrywialne warianty, jakie do tej pory poznalismy) jest matematyeznie niesp6jna, i musimy odwolywae siC( do roznego rodzaju "trikow", aby nadae pelny sens zawartym w niej procedurom obliczeniowym. Ocena, czy te triki S,! jedynie procedurami pomocniczymi, umozliwiaj,!cymi przezwycit(zenie klopotow w ramach formalizmu matematycznego - bye moze nie calkiem poprawnymi z bardziej fundamentalnego punktu widzenia - czy tei: same odzwierciedlaj,! jakies glC(bsze prawdy 0 istocie rzeczy, jest spraw,! delikatn'!. WiC(kszose ostatnich prob dokonania postc(pu w podstawach fizyki nadaje tym "trikom" znaczenie fundamentalne. Wiele przykladow tych niezwykle pomyslowych schematow poznamy w tym i nastC(pnych rozdzialach. Wydaje siC(, ze niektore z nich naprawdt( odkrywaj,! przed nami jakies sekrety Natury, ale rownie dobrze moze siC( okazae, ze inne bynajmniej nie ciesz'! siC( jej sympatW
24.2 Dlaczego antyczqstki implikujq istnienie p61 kwantowych?
Relatywistyczna teoria kwantowa antycypuje istnienie antycz'!stek i wydaje sit(, ze w ten sposob odkrywa przed nami jeden z rzeczywistych sekretow Przyrody. Obecnie ta antycypacja jest juz naleiycie potwierdzona na drodze eksperymentalnej. W rozdz. 24.8 poznamy teoretyczne powody wprowadzenia koncepcji antyczl!stek. Tymczasem jednak, zamiast zajl!e sit( od razu tl! sprawl!, ograniczmy nasz'! uwagt( do drugiego z postawionych poprzednio pytan: dlaczego obecnose antycz,!stek kaze nam odejse od kwantowej teorii cz'!stek do kwantowej teorii pol? Zalozmy na chwilt(, ze kazda cz'!stka rna swoj,! antycz'!stkC(, i sprobujmy zrozumiee, jakie s,! konsekwencje tego zadziwiaj,!cego faktu. Kluczowa wlasciwose antycz'!stki (przynajmniej antycz'!stki cz'!stki masywnej) pol ega na tym, ze cz'!stka i antyczl!stka mogl! sit( pol'!czye, anihiluj,!c siC( wzajemnie, a ich pol'!czona masa, zgodnie z relacjl! Einsteina E = me 2 , zostaje zamieniona na energit(. I na odwrot, jesli do ukladu wprowadzimy wystarczaj'!C
583
24
Elektron Diraca i antycz~stki
584
wysokie prawdopodobienstwo, ze energia ta moze doprowadzie do wykreowania cz'!stki razem z jej antycz'!stk'!. A zatem nie dose, ze za kazdym razem moze powstawae antycz,!stka, zawsze istnieje mozliwose, ze pojawi siy coraz wiycej cz'!stek, a kazdej z nich bydzie towarzyszyla odpowiadaj,!ca jej antycz'!stka. Nasza teoria relatywistyczna nie moze bye wiyC po prostu teori,! pojedynczych cz'!stek ani tez teori,! jakiejkolwiek ustalonej liczby cz'!stek. (W teorii kwantowej, jak siy o tym przekonamy, w szczegolnosci w rozdz. 25 i 26, jeZeli pojawia siy mozliwose jakiegos zdarzenia - na przyklad produkcji wielu par cz'!stka/antycz'!stka - to daje ona okreslony wklad w stan kwantowy.) Dlatego jesli chcemy skonstruowae teoriy cz'!stek relatywistycznych, to musi w niej wyst,!pie mozliwose kreacji nieograniczonej liczby cz'!stek. Takie stanowisko wyprowadza nas poza ramy zakreslone w rozdz. 21-24; ale w rozdz. 26 przekonamy siy, w jaki sposob kwantowa teoria pol a rozwi(!Zuje ten problem. I rzeczywiscie, zgodnie z powszechnie przyjytym pogl,!dem, zasadniczymi elementami takiej teorii s,! pola kwantowe, natomiast same cz'!stki traktuje siy jako "wzbudzenia pol". Dowiemy siy jednak, ze nie jest to jedyny mozliwy sposob ujycia kwantowej teorii pola. W rozdz. 25 i 26 zapoznamy siy z metod,! diagramow Feynmana, ktorej cech,! jest "cz'!stkowopodobny" punkt widzenia na podstawowe procesy konstruuj,!ce kwantow,! teoriy pola i zgodnie z ktor,! rzeczywiscie istnieje mozliwose kreacji i anihilacji nieograniczonej liczby cz,!stek. Warto zatrzymae siy nieco dluzej nad przyczynami, ktore lez,! u podstaw koncepcji kreacji cz,!stek jako podstawowej wlasciwosci relatywistycznej teorii kwantowej. Wci'!i zakladam, ze antycz,!stki istniej,!. Zasadniczym powodem, dla ktorego spodziewamy siy kreacji cz'!stek, jest znana formula Einsteina E = me 2• Energia jest, w zasadzie, wymienna z mas,! (e 2 jest jedynie wspolczynnikiem umozliwiaj,!cym przejscie od ui;ytych jednostek energii do jednostek masy). Jesli mamy dostatecznie duzo energii, wowczas mozna z niej wykreowae masy cz'!stki. Sarna mozliwose wyprodukowania masy cz'!stki nie wystarcza, aby w ten sposob utworzona zostala okreslona cz'!stka. Na ogol wystypuj,! roznego rodzaju zaehowane (addytywne) liczby kwantowe, takie jak ladunek elektryczny (lub inne, na przyklad liczba barionowa), ktore nie powinny ulec zmianie w wyniku jakiegos procesu fizycznego. Sarno przeksztalcenie energii, na przyklad w naladowan'! cz'!stky, stanowiloby pogwalcenie zasady zachowania ladunku (i to sarno dotyczy innych zachowanych wielkosci, takich jak liczba barionowa etc.). J esli jednak przyjmiemy zalozenie, ze kazdej cz,!stce odpowiada jej antycz'!stka, ktorej addytywne liczby kwantowe maj,! znak przeciwny do odpowiednich liczb kwantowych cz'!stki, wowczas z czystej energii mozemy wykreowae cz'!stky razem z odpowiadaj,!C'! jej antycz'!stk'! (zob. rys. 24.1). W takim procesie wszystkie addytywne liczby kwantowe byd,! zachowane. Masa spoczynkowa antycz,!stki (jest ona wielkosci,! nieaddytywn,!) jest jednak taka sarna jak mas a odpowiadaj,!cej jej cz,!stki. Aby wykreowae zarowno cz,!stky, jak i antycz'!stky, potrzebujemy dostatecznej ilosci energii - co najmniej dwa
Dodatnia okreslonosc energii w mechanice kwantowej
24.3
Rys. 24.1. Z energii moze powstac cz'!stka i odpowiadaj,!ca jej antycz'!stka. Wszystkie addytywne liczby kwantowe charakteryzuj,!ce antycz,!stk~ maj,! znaki przeciwne do odpowiednich liczb kwantowych cz'!stki. W ten spos6b zagwarantowane jest zachowanie tych wielkosci w procesie kreacji cz,!stek.
razy wi~cej, niz wynosi spoczynkowa masa/energia samej cz'!stki. I odwrotnie, jesli jakas cz'!stka okreslonego typu spotyka inn,! cz,!stk~, kt6ra odpowiada jej antycz,!stce, w6wczas mog,! one anihilowae si~ wzajemnie i wyprodukowae odpowiedni,! ilose energii. Ilose powstalej w ten spos6b energii musi bye co najmniej dwa razy wi~ksza od spoczynkowej masy/energii pojedynczej cz'!stki. W kaZdym procesie kreacji i anihilacji energia moze bye nawet wi~ksza od tej wartosci, poniewaZ cz,!stka i antycz,!stka mog,! bye w ruchu wzgl~dem siebie i z tym ruchem b~dzie zwi¥ana dodatkowa energia - energia kinetyczna - kt6r,! naleiy dodae do energii calkowitej. Wobec tego pojawienie si~ antycz'!stek zmusza nas do odejscia od schematu teorii kwantowej indywidualnych cz'!stek, kt6ry przedstawilismy w rozdzialach 21-23.
24.3 Dodatnia okreslonosc energii w mechanice kwantowej Powr6emy teraz na drog~, kt6ra nieodwolalnie wiedzie do z,!dania pojawienia si~ antycz'!stek w relatywistycznej teorii kwantowej. W tym celu konieczne b~dzie przeanalizowanie schematu mechaniki kwantowej z nieco bardziej fundamentalnego punktu widzenia niz do tej pory. Przypomnijmy najpierw podstawow'! postae r6wnania Schrodingera iii mp
at
= 'H1jJ.
Przypusemy, ze chcemy, aby nasz uklad kwantowy mial okreslon,! wartose energii E. Oznacza to (skoro 'H jest operatorem calkowitej energii ukladu) z,!danie, 'zeby 'H1jJ =E1jJ.
Zgodnie z kwantowomechanicznym procesem R (rozdz. 22.1, 5) taki stan 1jJ powstaje w wyniku przeprowadzenia na nim pomiaru, w kt6rym postawilismy pytanie: "jaka jest twoja energia?" i otrzymalismy odpowiedz ,,E". W6wczas r6wnanie Schrodingera m6wi nam, ze
585
24
Elektron Diraca i antycz~stki
Rozwi,!zanie tego rownania przyjmuje postae[Z4.1] ljJ =
C e-iEtln,
gdzie C nie zaleZy" od t (tzn. jest funkcj,! zespolon'! jedynie zmiennych przestrzennych). Teraz jest waine, zeby wartose energii E byla liczb,! dodatni,!. Stany 0 ujemnych wartosciach energii z roznych powodow nie s,! korzystne dla procesow kwantowomechanicznych (ich pojawienie sit( zwiastuje katastrofalne niestabilnosci ukladu 1)f24.Z1. Gdy energia E jest rzeczywiscie dodatnia, wowczas wspolczynnik -iE/ii, ktory stoi przed t w wykladniku (w e-iEt/h), jest ujemnq wielokrotnosci,! liczby i. Przypomnijmy sobie z rozdz. 9.5 (oraz przyp. 3 z rozdz. 9), ze funkcjt( ljJ(t) 0 takim charakterze albo kombinacjt( liniow,! takich funkcji nazywamy (choe to moze powodowae nieporozumienia) funkcj,! 0 cz~stosciach dodatnich. Przypomnijmy sobie rowniez, ze w rozdz. 9.3 rozwazalismy zagadnienie rozszczepienia funkcji f(x) (funkcji zmiennej rzeczywistej x) na jej czt(sci 0 czt(stosciach dodatnich i ujemnych, ale w zupelnie inny sposob, a mianowicie w terminach geometrii sfery Riemanna z• Wowczas mielismy do czynienia z porcj,! czystej matematyki. W takim przypadku os rzeczywista okrt(ca sit(, jeden raz, wokol rownika sfery Riemanna, czt(se funkcji f 0 czt(stosciach dodatnich moze rozci,!gae sit( - holomorficznie (zob. rozdz. 7.1) - na polkult( poludniow,!, a czt(se o czt(stosciach ujemnych na polnocn'!. W ten sposob odkrywamy godny uwagi Jizyczny powod, dla ktorego to pojt(cie jest takie wazne. Kazd,! porz'!dn'! funkcjt( falow'! (chociaz ona sarna nie musi bye stanem wlasnym operatora energii) powinnismy moc wyrazie w postaci kombinacji liniowej stanow wlasnych energii, a kazda wartose wlasna energii powinna bye dodatnia. Tak wit(c zaleznose od czasu kazdej przyzwoitej funkcji falowej powinna rzeczywiscie miee tt( kluczow'! wlasnose, ze jest funkcj,! 0 czt(stosciach dodatnich. Wydaje mi sit(, ze ten godny uwagi zwi,!zek mit(dzy istotnym wymogiem fizycznym a eleganck,! charakterystyk,! matematyczn,! jest kapitalnym przykladem glt(bokiej, subtelnej i rzeczywiscie tajemniczej spojnosci wyrafinowanych idei matematycznych i wewnt(trznej struktury naszego WszechSwiata. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej czt(stosci dodatnie pojawiaj,! sit( niejako automatycznie, jako naturalna wlasciwose teorii, przy zalozeniu, ze hamiltonian odpowiada sensownemu problemowi fizycznemu, w ktorym energie klasyczne S,! dodatnie. Na przyklad w przypadku pojedynczej, swobodnej, nierelatywistycznej (bezspinowej) cz'!stki 0 (dodatniej) masie f1 otrzymujemy pro sty ha-
ta [24.1] Sprawdi, ze to jest rzeczywiscie rozwiqzanie tego r6wnania.
586
~ [24.2] Wyjasnij, dlaczego dodanie stalej K do hamiltonianu prowadzi do tego, ze wszystkie rozwiqzania r6wnania Schrodingera zostajq pomnozone przez ten sam czynnik. Wyznacz ten czynnik. ezy taka zmiana rna istotny wplyw na dynamiky kwantowq? Za16zmy, ze interesuje nas wplyw grawitacji na uklad kwantowy. Dlaczego nie mozemy w takiej sytuacji po prostu "zrenormalizowac" energii w ten spos6b?
Trudnosci z relatywistyczn~ formul~ energii
24.4
miltonian H = p2/2/1 (zob. rozdz. 20.2, 21.2). Wyraienie p2, a st,!d sam hamiltonian H, jest "dodatnio okreslone,,3 (rozdz. 13.8,9). Gdy rozpatrujemy rzecz w ramach fizyki klasycznej, mozemy powiedziee, ze dzieje siy tak, gdyz p2 jest sum'! kwadratow, a ta nie moze bye ujemna: p2 = P . P = (p/ + (py + (P3)2. W mechanice kwantowej p musimy zast,!pie przez -iVIi, gdzie V = (a/ax\ aJax2 , aJax3 ), "dodatnia okreslonose" odnosi siy teraz do wartosci wlasnych operatora _V2 (stany musz'! bye normalizowalne, a wiyc bye element ami odpowiedniej przestrzeni Hilberta H), i te wartosci znowu nie mog,! bye ujemne, z podobnych powodow jak w przypadku klasycznym [24.3].
24.4 Trudnosci z
relatywistyczn~ formul~
energii
Rozwazmy teraz relatywistyeznq cz'!stky kwantow'!. W tym przypadku hamiltonian otrzymujemy z relatywistycznego wyrazenia dla energii, w ktorym nie mamy p2/2/1, lecz [(e 2/1)2 + e2p2]~. Wyrazenie to bierze siy wprost z rownania (e 2/1)2 = E2 - e2p2 z rozdz. 18.7, gdzie /1 oznacza masy spoczynkow,! cz'!stki. Czytelnik, ktory martwi siy, ze to wyraienie nie wygl,!da tak jak p2/2/1, powinien wrocie do ewiczenia [18.20]. Mowi ono, na podstawie rozwiniycia [(e 2/1)2 + e2p2]! w szereg potygowy, ze znana relacja Einsteina E = me 2 zawarta jest w pierwszym czlonie tego rozwiniycia. Ten czlon stanowi wklad do energii, pochodzi od masy spoczynkowej cz'!stki i naleZy go dodae do energii kinetycznej ruchu cz'!stki. Natomiast drugi czlon rozwiniycia daje nam hamiltonian newtonowski p2/2/1 (energiy kinetyczn,!). W ten sposob moglibysmy uspokoie czytelnika, ze nasz hamiltonian relatywistyczny zostal wybrany wlasciwie! Chociai wygl,!daloby to dziwnie (i byloby niepedagogiczne), gdybysmy usilowali korzystae z rozwiniycia w szereg dla naszego hamiltonianu choeby dlatego, ze w przypadku gdy p2 > /1 2, szereg klasyczny nie jest nawet zbieZny. Co wiycej, przekonamy siy, ze pierwiastek kwadratowy (potyga polowkowa) w dokladnym wyrazeniu [(e 2/1)2 + ep2]~ i tak wprowadza wlasne, bardzo powazne klopoty w zwi,!zku z koniecznosci,! sprostania wymogowi zachowania dodatnich czystosci. Sprobujmy zrozumiee znaczenie tych problemow.
~ [24.3] R6wnanie Schrodingera rna w tym przypadku postae
iftp/at = (ih/21l )V21jJ. Pokaz najpierw, ze dla stanu wlasnego energii E mamy _V21jJ = A1jJ, gdzie A = 21l1i-2E. Zastosuj twierdzenie Greena J"ljiv21jJd3x = - JV"Iji • V1jJd 3x, aby pokazae, ze dla stan6w normowalnychA musi bye dodatnie. (I odwrotnie, jest prawd1!, ze dla dodatnich A istnieje wiele rozwi1!zan r6wnania _V21jJ = A1jJ, kt6re zanikaj1! w nieskonczonosci, tak ze norma II1fJII pozostaje skonczona4 i mozemy je, jesli to potrzebne, unormowae do 1.) Pokaz, jak wyprowadzie twierdzenie Greena z podstawowego twierdzenia rachunku r6zniczkowego i calkowego form zewnytrznych.
587
24
Elektron Diraca i antyczqstki
Aby uniknqe niepotrzebnego nagromadzenia znakaw w naszych wyraZeniach, przejd(( z powrotem do jednostek, w ktarych pr((dkose swiatla jest rawna jednosci
c = 1, wobec czego nasz hamiltonian relatywistyczny przyjmie postae (z uwzgl((dnieniem energii spoczynkowej): 7-{
= (",Z + pZ)!.
Musimy pami((tae, ze w mechanice kwantowej pZ jest w rzeczywistosci operatorem razniczkowym cZqstkowym drugiego rz((du, _1izVz, a zatem potrzebujemy sporego wyrafmowania matematycznego, jesli chcemy przypisae sens wyraZeniu ("'Z - 1izVZ)t, ktare oznacza pierwiastek kwadratowy z cZqstkowego operatora razniczkowego! (Aby zdae sobie spraw(( z tej trudnosci, proSZ(( pomyslee 0 okresleniu sensu czegos takiego jak na przyklad ~1- d 2j dx 2 124 .41). Z tym wyrazeniem pierwiastkowym wiqze si(( powazniejsza trudnose, albowiem mamy tutaj niejednoznacznosc W okre.sleniu znaku. W fizyce klasycznej nie przejmujemy si(( takimi sprawami, poniewaZ wielkosci, ktare tam rozwazamy, Sq zwyklymi funkcjami rzeczywistymi i zawsze mozemy oddzielie wartosci dodatnie od ujemnych. W mechanice kwantowej jednak to zagadnienie nie przedstawia si(( tak latwo. Powodem jest cz((sciowo fakt, ze kwantowe funkcje falowe Sq zespolone i dwa razne pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej nie dzielq si(( tak ladnie na "dodatnie" i "ujemne" w sposab globalnie konsystentny (rozdz. 5.4). Nie mozemy zapominae 0 fakcie, ze mechanika kwantowa rna do czynienia z operatorami, ktare dzialajq na funkcje zespolone, i na przyklad pierwiastki kwadratowe mogq prowadzie do istotnych niejednoznacznosci, ktarych nie da si(( rozwiqzae po prostu przez powiedzenie "wezmy dodatni pierwiastek". Trudnose t(( mozemy zobrazowae inaczej. W mechanice kwantowej trzeba wziqe pod uwag(( razne fizyczne sytuacje, ktare "mogq" si(( zdarzye, mogi! dawae wklad do stanu kwantowego i dlatego majq wplyw na to, co rzeczywiscie si(( zdarza. Kiedy pojawia si(( pierwiastek kwadratowy, kazdq z dwu wartosci tego pierwiastka trzeba traktowae jako "mozliwose", a zatem nawet "niefizyczna energia ujemna" musi bye uwazana za "fizyczni! ewentualnose". Gdy tylko pojawia si(( mozliwose istnienia takiego stanu 0 ujemnej energii, implikuje ona zdolnose spontanicznego przejscia od stanu 0 energii dodatniej do energii ujemnej i to moze prowadzie do katastrofalnej niestabilnosci. W przypadku nierelatywistycznej czqstki swobodnej nie wyst((puje mozliwose pojawienia si(( ujemnej energii, poniewaZ dodatnio okreslona wielkose p2f2", nie zawiera tego nieprzyjemnego pierwiastka kwadratowego. Tymczasem wyraZenie relatywistyczne (",2 + p2)t jest bardziej problematyczne, nie mamy bowiem jasnej procedury pozbycia si(( ujemnych wartosci pierwiastkaw kwadratowych.
tm. [24.4] Zaproponuj cos, uZywaj,!c transform at Fouriera (rozdz. 9.4) albo rozwiniycia w sze-
588
reg potygowy, albo calki po konturze, albo czegokolwiek innego.
Nieinwariantnosc a/at
24.5
Okazuje siy, ze w przypadku pojedynczej cz'!stki swobodnej (albo w ukladzie nieoddzialuj,!cych ze sob,! takich cz'!stek) nie powoduje to rzeczywistej trudnosci, poniewaZ mozemy ograniczye siy do superpozycji takich rozwi,!zan swobodnego rownania Schrodingera, rozwazanych w rozdz. 21.5, ktore S,! falami plaskimi 0 dodatniej energii, i nie rna przejscia do stanow 0 energiach ujemnych. Kiedy jednak mamy do czynienia z oddzia/ywaniem, sytuacja siy komplikuje. Nawet w przypadku pojedynczej naladowanej cz'!stki relatywistycznej, w stalym zewnytrznym polu elektromagnetycznym, na ogol nie jestesmy w stanie ograniczye siy do CZystosci dodatnich. I tutaj zaczynamy odczuwae to "napiycie" miydzy zasadami mechaniki kwantowej i zasadami teorii wzglydnosci. Jak przekonamy siy w rozdz. 24.8, wielki fizyk Paul Dirac znalazl wyjscie z tej klopotliwej sytuacji. Na pocz,!tek zaproponowal niezwykle odkrywcze posuniycie o glybokich konsekwencjach - slynne rownanie dla elektronu - w ktorym w genialny i nieoczekiwany sposob potrafil pozbye siy tego klopotliwego pierwiastka kwadratowego. Odkrycie to pozwolilo wyeliminowae z rozwaZan energie ujemne, ale w efekcie prowadzilo do zdumiewaj,!cego wniosku: istnienia antyczqstek. Aby je zrozumiee, wroemy do rozwazenia tej istotnej cechy teorii wzglydnosci, ktora prowadzi do pojawienia siy pierwiastka kwadratowego.
24.5 Nieinwariantnosc
a/at
2 p2i'
Przypomnijmy zasadniczy powod, dla ktorego przyjylismy hamiltonian (11 + w przypadku relatywistycznym. Wziylo siy to st,!d, ze rownanie SchrMingera wprowadza operator a/at (tzn. "szybkose zmianyw czasie"), podczas gdyw teorii wzglydno sci a/at nie jest wielkosci,! niezmiennicz,!, gdyz czas i przestrzen nie mog,! bye rozwazane oddzielnie, lecz S,! jedynie szczegolnymi aspektami l,!cz,!cej je "czasoprzestrzeni". Z tego powodu nie jest "relatywistycznie niezmiennicze" rozwazanie a/at jako operacji 0 fundamentalnym znaczeniu. W rozdz. 21.3 stwierdzilismy, ze a/at w rownaniu SchrMingera jest wynikiem ogolnego "triku kwantyzacyjnego", polegaj,!cego na tym, ze standardowe czasoprzestrzenne 4-pydy Pa (a wiyc energiy E i ujemne 3-pydy -p) zastypujemy operatorami rozniczkowymi ina/ax: (tzn. energiy zastypujemy przez ilia/at, a -p przez iIiV). "Relatywistyczna nieinwariantnose" operatora a/at jest wiyc zwi,!zana z nieinwariantnosci,! energii. Podobnie jak w teorii wzglydnosci zmieszane s,! czas i przestrzen, tak zmieszane S,! rowniez energia i pydy (widzielismy to juz w rozdz. 18.7). Przypomnijmy sobie rowniez, ze relacja Einsteina E = mc 2 (w konwencji c = 1) oznacza, iz energia to masa, a masa to energia, a zatem masa rownieZ jest "nieinwariantna". Odnosi siy to jednak do addytywnej koncepcji "masy" (skladowej czasowej 4-wektora energii-pydu), ktora nie stanowi cechy wlasciwej samej cz'!stce, lecz jest mas,! mierzon,! w pewnym ukladzie odniesienia, ktory nie porusza siy z t'! sam,! prydkosci,! co cz'!stka. 1m wiyksza jest prydkose cz'!stki, tym wiyksza bydzie "dostrzegana" masa (i z tego wlasnie powodu m nie jest wielkosci,!
589
24
Elektron Diraca i antyczqstki
inwariantn,!). Dla danej cz'!stki masa spoczynkowa 11 jest niezmiennicza, ale klopot z mas,! spoczynkow,! polega na tym, ze nie jest addytywna i nie jest wielkosci,! zachowan'! przy transformacjach cz'!stki, dlatego nie nadaje sit( specjalnie na wielkose, ktor'! mozna przyrownae do hamiltonianu. Co wit(cej, 11 jest dana jako pierwiastek kwadratowy wyrazenia zawieraj,!cego energit( i pt(d, a mianowicie (skoro c = 1)
112 =Papa = m 2- p2, tzn. 11 = (m 2_ p2)t, jest nieco innym zapisem poprzedniego wyrazenia dla masy/energii m = E(= 1t), czyli m = (11 2+ p2)~. Warto tez rozwaZye, co by sit( stalo, gdybysmy w rownaniu typu rownania SchrMingera posluZyli sit( inwariantn,! energi,! spoczynkow,! 11 alba jej kwadrateml12 zamiast nieinwariantnej skladowej energii m. lesli zastosujemy "trik kwantyzacyjny" (tzn. zast,!pimy m przez ilia/at, a p przez -inV) do kwadratu energii spoczynkowej, a wit(c do 112 = m 2 - p2, to otrzymamy w wyniku (in)2 pomnozone przez operatorS CO
we wspolrzt(dnych Minkowskiego (f, x, y, z). Operator ten nosi nazwt( operafora falowego alba dalambercjanu['] i jest rzeczywiscie niezmienniczy. (Przypomnij-
my, ze (a/ax)2 oznacza operator drugiej pochodnej cz'!stkowej a2/ax 2itd.) Aczkolwiek konwencjonalne rownanie Schrodingera nie pozwala na bezposrednie zastosowanie tego operatora - z powodow wylozonych poprzednio rownanie Schrodingera wymaga uZycia pochodnej pierwszego rZt(du, a/af, a nie pochodnej drugiego rzt(du, (a/af)2 - to jednak mamy prawo antycypowae, ze rownanie drugiego rzt(du (in )20¢ = 112¢ (gdzie (in )20 uzyskuje sit( z 112 przez "trik kwantowania", a wystt(puj,!ce w rownaniu 11 oznacza mast( spoczynkow'!) bt(dzie mialo sens rownania falowego dla cz'!stki relatywistycznej. Rownanie to mozemy przepisae w postaci
(0 + Af)¢ = 0, gdzie M = l1/n i jest ono bardzo wazne w relatywistycznej teorii kwantowej. Zwykle nazywa sit( je "rownaniem Kleina-Gordona", choe wydaje sit(, ze Schrodinger pierwszy odkryl to niezmiennicze relatywistycznie rownanie wczesniej nawet niz bardziej znane "rownanie Schrodingera" (przedstawione w rozdz. 21.3t W kontekscie wspolczesnej kwantowej teorii pol a rownanie Kleina-Gordona interpretowane we wlasciwy sposob moze bye zastosowane do opisu masywnych cz,!stek bezspinowych, glownie tych, ktore nazywamy mezonami (s,! to cz,!stki 0 masach posrednich, takie jak piony lub kaony). lednak taka interpretacja wy-
590
[*] Od nazwiska matematyka francuskiego Jeana LeRond D'Alemberta. W polskich szkolach uZywa sit( na og6l nazwy "dalambercjan" alba "operator D'Alemberta" (przyp. dum.).
Clifforda-Diraca pierwiastek kwadratowy Z operatora D'Alemberta
24.6
maga rozwiniytego formalizmu kwantowej teorii pola, ktory byl w fazie zaledwie pocz'!tkowej, gdy Dirac w 1928 roku zaproponowal rownanie elektronu 0 zupelnie odmiennej postaci. Dirac uwazat, ze w takim rownaniu pochodna czasowa, a/at, powinna wyst,!pie jako pochodna pierwszego rZydu (jak w rownaniu Schrodingera), a nie w drugim rZydzie, jak w operatorze D'Alemberta. Argumenty Diraca byly w zasadzie podobne do poprzednio przedstawionych, ale gtowny z nich sprowadzal siy do tego, ze funkcja falowa cz'!stki powinna dawae nam wyrazenie na gystose prawdopodobienstwa znalezienia cz'!stki w dowolnie wybranym miejscu, tak j ak 'P'P w standardowej, nierelatywistycznej mechanice kwantowej (rozdz. 21. 9), i wielkose ta powinna bye dodatnio okrdlona, zeby prawdopodobienstwo nie moglo bye nigdy ujemne. To nie to sarno co zqdanie dodatniej okrdlonosci energii, ale z,!danie komplementarne 0 rownie istotnym znaczeniu 7 •
24.6 Clifforda-Diraca pierwiastek kwadratowy Z operatora 0' Alemberta Ten pozornie nierozwi,!zalny konflikt miydzy wymogami teorii wzglydnosci a potrzeb'! zachowania pochodnej pierwszego rZydu po czasie Dirac rozwi'!Zal genialnie i niezwykle prosto, uzyskat bowiem rownanie, ktorejest pierwszego rZydu w aJat, bior,!c jawnie pierwiastek kwadratowy z operatora D'Alemberta w subtelnie niezmienniczy relatywistycznie sposob. Udalo mu siy to dziyki wprowadzeniu dodatkowych wielkosci niekomutujqcych. W mechanice kwantowej takie wielkosci Sq uprawnione, poniewaz traktujemy je jako operatory liniowe dzialaj,!ce na funkcjy falow'! w podobny sposob jak niekomutuj,!ce operatory polozenia i pydu, z ktorymi zetknylismy siy juz w rozdz. 21.2. Jak siy wkrotce przekonamy, jest godne podziwu, ze te niekomutuj,!ce operatory wprowadzone przez Diraca opisuj,! zarowno fizyczne spinowe stopnie swobody najbardziej fundamentalnych fermionow wystypujqcych w Przyrodzie (zob. rozdz. 23.6), a mianowicie elektronow i protonow - znanych w czasach Diraca - jak i neutronow, mionow, kwarkow i wielu innych cz'!stek 0 spinie t, znanych obecnie. W istocie, wprowadzaj,!c te niekomutujqce wielkosci "spinowe", Dirac odkryl ponownie pewn'! realizacjy algebr Clifforda, z ktorymi zapoznalismy siy w rozdz. 11.5. Wydaje siy, ze nie wiedzial 0 istnieniu wczdniejszych prac Williama Kingdona Clifforda ani 0 fakcie, iz Clifford (1877), a wczesniej Hamilton, zauwaiyli, ze elementy tych algebr mog,! bye uiyte do "wyciqgniycia pierwiastka kwadratowego" z laplasjanu - a operator D'Alemberta stanowi szczegolny przypadek uogolnionego operatora Laplace'a, w ktorym mamy do czynienia z wymiarem 4 i sygnaturq + - - -. W rzeczy samej, 0 czym Clifford wiedzial, William Rowan Hamilton juz okolo 1840 roku pokazal, ze mozna wyci,!gn,!e pierwiastek kwadratowy z 3-wymiarowego operatora Laplace'a za pomoq kwaternionow 8 :
591
24
Elektron Diraca i antyczqstki
(zob. rozdz. 11.1). Procedura Clifforda pozwala na uogolnienie tego na wyisze wymiary9. Bye moie nie naleiy siy dziwie, ie Dirac nie zdawal sobie sprawy z odkryc Clifforda, dokonanych ponad pol wieku wczesniej, poniewai prace Clifford a nie byly znane takie wsrod licznych algebraikow w latach dwudziestych ubieglego stulecia. Ale nawet gdyby Dirac wczeSniej znal algebry Clifforda, to nadal za genialne trzeba uznae zrozumienie, ie tego rodzaju wielkosci maj,! wielkie znaczenie w mechanice kwantowej elektronu ze spinem, a to stanowi niespodziewany krok milowy w rozumieniu fizyki problemu. W przypadku Diraca musimy wyci,!gn,!e pierwiastek kwadratowy z operatora D'Alemberta, ktory jest 4-wymiarowyn (lorentzowskim) operatorem Laplace'a w geometrii Minkowskiego:
Stosujemy wiyc elementy lorentzowskiej algebry Clifforda, 10" " , 13, speiniaj,!ce relacje 1~ = 1, 1~
= -1,
1~ = -1, 1~
= -1.
W standardowej algebrze Clifford a (sygnatura + + '" +) kaidy z tych kwadratow winien bye rowny -1. Tutaj przyjmujy w odniesieniu do znakow standardow'! konwencjy stosowan,! przez fIzykow, w ktorej tylko kwadraty gamm przestrzennych zachowuj,!, jak u Clifford a, wartosci ujemne lO • Kwadrat gammy czasowej, 10 , jest dodatni. W tym sensie zastosowana przez Diraca algebra Clifforda jest "lorentzowska". Dla roinych gamm spelnione S,! relacje antykomutacji Clifforda (rozdz. 11.5):
1i1j = -'Yi 1j (i # j). Dirac posluiyl siy kluczowym faktem, ie operator D' Alemberta moie bye przedstawiony jako kwadrat operatora roiniczkowego pierwszego rZydu, zdefiniowanego za pomoc,! tych elementow algebry Clifforda[Z4.5] 0= (10a/at - 1Ia/ax -1za/ay - 13a/az)z.
Wyraienie to moiemy zapisac w bardziej zwarty sposob w notacji wektorowej, gdzie 1 = (11' 1z' 13), jako lub, jeszcze krocej, jako
Wielkose
592
a
(24.5] Sprawdz to.
R6wnanie Diraca
24.7
(z 'Ya = gab'Yb) nosi nazwy operatora Diraca. Ten wygodny "zapis z przekresleniem" a wprowadzil Richard Feynman. W tym zapisie dowolny wektor A moze bye przedstawiony za pomoq elementu algebry Clifforda-Diraca jako
24.7 R6wnanie Diraca Powroemy teraz do rownania Kleina-Gordona (0 + lvf)rp = O. Poslugujqc siy operatorem Diraca ~, mozemy sfaktoryzowae wielkose 0 + M-, ktora wystypuje w tym rownaniu:
0+ M- = ~2 + M- = (~ + iM)(~ - iM). gdzie M czyJi
= {tin.
Teraz rownanie Diraca dla elektronu przyjmuje postae
(~
+ iM)'ljJ = 0,
~'ljJ = -iM'ljJ.
Albo, przywracajqc jawnie ni masy spoczynkowq {t, n~'ljJ = -i{t'ljJ.
Z podanej faktoryzacji wynika jasno, ze kiedy spelnione jest rownanie Diraca, to spelnione musi bye rowniez rownanie Kleina-Gordona. (Odnosi siy to rowniez do "rownania anty-Diraca" (~ - iM)'ljJ = 0, ale jesli umowimy siy, ze dotyczy cZqstki o masie ujemnej -hM). Tak wiyc funkcje falowe, ktore spelniajq rownanie Diraca, mUSZq rowniez spelniae "rownanie falowe" rzqdzqce zachowaniem siy cZqstek relatywistycznych 0 masie spoczynkowej hM. Rownanie Diraca rna ty przewagy nad rownaniem Kleina-Gordona, ze jest rownaniem pierwszego rZydu w a/at. Dziyki temu rownanie Diraca mozna zapisae w postaci rownania Schr6dingera [24.6J
in
Z=
(in'Yo'Y·
v + 'Yo{t)'ljJ,
gdzie in'Yo'Y· v + 'Yo{t odgrywa roly operatora Hamiltona. Oczywiscie, takie wydzielenie operatora a/at nie jest relatywistycznie inwariantne, ale niezmiennicze jest cale rownanie Diraca ~'ljJ = - iM'ljJ. Aby siy 0 tym przekonae, konieczna jest staranna analiza relacji miydzy elementami algebry Clifforda a transformacjami Lorentza[24.7J. Wielu fizykow tamtego czasu doznalo swego rodzaju szoku, kiedy dowiedzieli siy, ze istniejq niezmienniki relatywistyczne niemieszczqce siy w ramach
tS [24.6] Pokaz to. ~
[24.7] Wyjasnij to. Wskaz6wka: uogolnij ewiczenie [22.18].
593
24
Elektron Diraca i antyczqstki
rachunku wektorowego i tensorowego (rozdz. 12 i 14). Od czasu powstania prac Diraca datuje siy rozw6j nowego formalizmu, znanego jako rachunek spinorowy't, kt6rego moiliwosci wykraczaj,! daleko poza 6wczesny konwencjonalny rachunek tensorowy/wektorowy. "Cen'!", jak,! musimy zaplacie za to kapitalne pozbycie siy pierwiastka kwadratowego mimo zachowania niezmienniczosci relatywistycznej, jest pojawienie siy dziwnych, niekomutuj,!cych element6w algebry Clifforda. Jakie jest ich znaczenie? No c6i, musimy traktowae je jako operatory dzialaj,!ce na funkcjy falow,!. Skoro te opera tory S,! nowymi elementami, niepochodz,!cymi bezposrednio od (niekomutuj,!cych) zmiennych poloienia i pydu cz,!stki, to musz'! one odnosie siy do nowych stopni swobody cz'!stki i dzialae na nie. Postawmy pytanie, jakiemu celowi fizycznemu slui,! te nowe stopnie swobody. Z obecnej perspektywy widzimy, ie odpowiedz zawiera siy w samym slowie "spinor" - nowe stopnie swobody opisuj,!spin elektronu'2. Przypomnijmy sobie, co stwierdzilismyw rozdz. 11.5: "Spinor moiemy traktowae jak obiekt, na kt6ry elementy algebry Clifforda dzialaj,! jak operatory". W r6wnaniu Diraca elementy algebry Clifford a dzialaj,! na funkcjy falow'! 'IjJ, a zatem sarna funkcja falowa musi bye spinorem. Ma ona dodatkowe stopnie swobody (ich natury poznamy niebawem), poza zaleinosci,! od poloienia i czasu, jak,! charakteryzuje siy zwykla skalarna funkcja falowa, i rzeczywiscie, te dodatkowe stopnie swobody opisuj,! spin elektronu! Teraz zaczynamy dostrzegae, jak niewiarygodnego osi,!gniycia dokonalismy za ceny sfaktoryzowania operatora Kleina-Gordona za pomoq element6w algebry Clifforda! Nie tylko otrzymalismy teoriy precyzyjnie opisuj,!c,! spin elektronu, ale po dodaniu do hamiltonianu standardowego wyrazu oddzialywania z zewnytrznym polem elektromagnetycznym - wyrazu, kt6ry wprowadza elektrodynamiky dokladnie zgodnie z "przepisami cechowania,,13 z rozdz. 19.4 i 21.9 - przekonujemy siy, ie elektron Diraca reaguje na pole elektromagnetyczne tak, jak powinna reagowae naladowana cz'!stka, z uwzglydnieniem subtelnych efekt6w zwi'!zanych z jego ruchem relatywistycznym. Nie tylko uzyskujemy poprawny opis zachowania siy elektronu jako cz'!stki naladowanej; elektron Diraca reaguje na pole elektromagnetyczne, jakby mial moment magnetyczny 0 bardzo specyficznej wielkosci:
h2e/4j1c, gdzie -e jest ladunkiem elektronu, a j1 jego mas'!. Inaczej m6wi,!c, elektron Diraca jest nie tylko elektrycznie naladowany, ale zachowuje siy jak maly magnes, kt6rego sHy przedstawia podana wartose. Zdumiewaj,!ce: precyzyjnie okreslona przez Diraca wielkose momentu magnetycznego elektronu jest bardzo bliska, z dokladnosci,! do jednego promila, wartosci wyznaczonej eksperymentalnie. Najdokladniejsze wsp6lczesne pomiary momentu magnetycznego elektronu r6ini,! siy od wartosci podanej przez Diraca 0 czynnik multiplikatywny
594
1,001 159 652 1188 ...
Diraca droga do odkrycia pozytronu
24.8
Ale nawet ta drobna roznica daje siy dzisiaj wyjasnie, z rownq dokladnosciq, za pomocq poprawek, ktore do tej teorii wnosi elektrodynamika kwantowa. W takiej teorii rownanie Diraca stanowi skladnik fundamentalny. Zgodnose przewidywan niewielkiego, subtelnego rownania Diraca ~l/J = - iMl/J z Naturq jest doprawdy nadzwyczajna!
24.8 Droga Diraca do odkrycia pozytronu
Ale to jeszcze nie koniec opowiesci; przedstawilismy zaledwie jej skromny pOCZqtek. Wydawae by siy moglo, ze w matematyce rownania Diraca dostrzegamy pewnq anomaliy, zwiqzanq ze spinem elektronu. Dotyczy ona liczby niezaleznych skladowych, ktore powinny charakteryzowae spinor Diraca l/J. Okazuje siy, ze l/J Diraca rna cztery niezaleZne skladowe, gdy tymczasem wydawaloby siy, ze stan spinowy czqstki 0 spinie powinien miee tylko dwie (zob. rozdz. 22.8). Sprobujmy przeanalizowae ten problem nieco dokladniej. W 1925 roku, niecale trzy lata przed pojawieniem siy rownania Diraca (1928), George Uhlenbeck i Samuel Goudsmit doszli do wniosku, ze elektron musi miee spin kwantowomechaniczny, zbudowany z dwoch podstawowych stanow spinowych. W 1927 roku Wolfgang Pauli pokazal, jak mozna opisae transformacje tych stanow pod wplywem obrotow za pomocq pojycia, nazwanego obecnie "macierzami Pauliego" (zob. rozdz. 22.8, a takZe obraz sfery Riemanna stanow spinu przedstawiony na rys. 22.10). Macierze Pauliego (ktore Sq w istocie kwaternionami z czynnikiem i) Sq rownieZ elementami algebry Clifforda, ale w przypadku grupy obrotow 3-wymiarowych[24.8J• Rzeczywiscie, istniejq powazne powody fizyczne, dla ktorych elektron powinien charakteryzowae siy dwoma stanami spinowymi. Cala nauka chemii, tak jak jq dzisiaj znamy, na tym siy opiera. W atomie elektrony otaczajqce jqdro Sq ograniczone do poruszania siy na orbitach okolojqdrowych, w okreslonych stanach kwantowych nazywanych "orbitalami" (zob. rozdz. 22.13). Na mocy zakazu Pauliego oczekujemy, ze zadna orbita elektronowa nie moze bye zajyta przez wiycej nizjeden elektron, tymczasem okazuje siy, iz na kazdej z nich znajdowae siy mogq dwa elektrony. Taka para moze wspolistniee i spelniae wymogi zakazu Pauliego, gdyz stany tych elektronow nie sq identyczne i charakteryzujq siy przeciwnymi spinami. Ten sam orbital mogq jednak zajmowae maksymalnie dwa elektrony, poniewaz mamy tylko dwa niezalezne stany spinowe elektronu. Zwiqzana jest z tym chemiczna koncepcja "wiqzania kowalentnego": dwa wspolne elektrony mogq koegzystowae w tym samym stanie, poniewaz ich spiny Sq przeciwne; zob. rys. 24.2.
t
t
jlI [24.8] Wyjasnij tc: uwagc:, posiuguj'lc sic: relacjami mic:dzy kwaternionami a elementami algebry Clifforda, przedstawionymi w rozdz. 11.5.
595
24
Elektron Diraca i antycz/tstki Rys. 24.2. Dow6d, ze spin elektronu wynosi (a) W atomie dwa elektrony, ale nie wi~cej, mogll zajmowac ten sam orbital. Dzieje si~ tak wtedy, gdy ich spiny Sll przeciwne, wobec czego zakaz Pauliego nie jest naruszony. (b) Chemiczne "wi1lZanie kowalentne" wprowadza pary eIektron6w 0 przeciwnych spinach na orbital, kt6ry jest wsp61ny dla dwu atom6w.
t.
(a)
(b)
W opisie Pauliego elektron jest wielkosci£! dwuskladnikow£!, l/JA = (l/Jo' l/Jj)' co odpowiada faktowi, ze macierze Pauliego s£! macierzami 2 x 2. Aby jednak spelnione byly reguly mnozenia Clifforda, algebry Clifforda-Diraca (70, 71' 72, 73) wymagaj£! macierzy 4 x 4[24.91. Tak wit(c elektron Diraca jest wielkosci£! 4-komponentoW£!, w odroznieniu od 2-skladnikowego "spinora Pauliego", ktory opisuje 2 niezalezne stany spinowe cz£!stki nierelatywistycznej 0 spinie (jak w rozdz. 22.8). Spin cz'!stki opisywanej rownaniem Diraca rna tylko dwie skladowe, niezaleZnie od faktu, ze funkcja falowa rna ich cztery. Z matematycznego punktu widzenia przyczyna tego wi,!ze sit( z faktem, ze rownanie Diraca ~l/J = - iMl/J jest pierwszego rzt(du, wobec czego przestrzen jego rozwi£!zan jest rozpit(ta przez jedynie polowt( rozwi£!zan w stosunku do rownania falowego drugiego rzt(du (0 + M)l/J = O. (To rownanie spelnione jest rowniez przez rownanie "anty-Diraca", ~l/J = +iMl/J, ktore jest rownaniem Diraca, ale z ujemn£! mas£! spoczynkow,! -M.) Natomiast z fizycznego punktu widzenia takie "liczenie,,14 rozwi£!zan rownania Diraca musi uwzglt(dniae fakt, ze w tych rozwi,!zaniach ukryte s£! rowniez stopnie swobody antycz£!stki elektronu, mianowicie pozytronu. Byloby jednak blt(dem uwazae, ze dwie skladowe rownania Diraca odnosz'! sit( do elektronu, a dwie pozostale do pozytronu. Problem jest duzo bardziej subtelny, 0 czym niebawem sit( przekonamy. Przypomnijmy, ze glownym powodem, ktory sklonil nas do zajt(cia sit( rownaniem Diraca, byly niepoz£!dane rozwi£!zania rownania Schrodingera 0 czt(stosciach ujemnych (tj. ujemnej energii). Okazalo sit(, pomimo calego naszego (czy raczej Diraca) sprytu i cit(zkiej PraCY przy eliminowaniu pierwiastka kwadratowego w hamiltonianie, ze rozwi'!Zaniami rownania Diraca nie s£! jedynie te 0 dodatnich czt(stosciach. Tak jak we wczesniejszych podejsciach, wl,!czenie oddzialywan, na przyklad z zewnt(trznym polem elektromagnetycznym, powoduje, ze fale pocz'!tkowo charakteryzuj£!ce sit( czt(stosciami dodatnimi nabieraj,! czt(stosci ujemnych. To jednak nie zniecht(cilo Diraca. Kiedy przekonal sit(, ze rozwi,!zania 0 czt(stosciach ujemnych nie mog£! bye z teorii wyeliminowane, przyj£!l inny punkt widzenia. COZ w koncu jest takiego groznego w rozwi,!zaniach 0 ujemnych czt(stosciach? Problem polega na tym, ze jesli istnialyby stany 0 ujemnej energii, wowczas
t
!§ [24.9] Wyjasnij, dlaczego macierze 2 x 2 takich wymagaiJ. nie spelniajq. Znajdz odpo-
596
wiedni zbi6r macierzy 4 x 4.
Diraca droga do odkrycia pozytronu
24.8
elektron moglby spasc na taki stan, emituj,!c energil(, a gdyby takich stanow byla nieograniczona ilosc, to moglaby sil( pojawic katastrofalna niestabilnosc, kiedy wszystkie elektrony wpadalyby w te stany ujemnej energii, 0 coraz wil(kszej energii ujemnej, emituj1!c, bez ograniczen, coraz wil(cej energii. Dirac rozumowal w ten sposob: elektrony spelniaj1! zakaz Pauliego, a z niego wynika, ze elektron nie moze przejsc do stanu, ktory jest juz zajl(ty przez inny elektron. Przedstawil wil(c zdumiewaj,!c,! sugestil(, ze wszystkie stany energetyczne 0 ujemnej energii powinny byc juz zajl(te! Ten obszar zajl(tych stanow 0 ujemnej energii nazywamy obecnie "morzem Diraca". A zatem, zgodnie z t'! "szalon1! koncepcj1!" Diraca, rzeczywiscie uwazamy, ze stany 0 ujemnej energii s1! zajl(te, wobec czego, na mocy zakazu Pauliego, elektron nie moze sil( tam juz dostac. Dalej Dirac rozumowal nastl(puj,!co: co by sil( moglo zdarzyc, gdyby kilka takich stanow 0 energii ujemnej okazalo sil( niezajl(tych? Taka "dziura" w morzu stanow 0 ujemnej energii zachowywalaby sil( podobnie do cz'!stki 0 energii dodatniej (a wil(c 0 dodatniej masie), ale ktorej ladunek elektryczny bylby przeciwny do ladunku elektronu. Taki pusty stan 0 ujemnej energii moglby teraz zostac zajl(ty przez elektron; a wil(c elektron moglby "wpasc" do takiego stanu, emituj,!c przy tym energil( (normalnie, w postaci promieniowania elektromagnetycznego, a wil(c fotonow). Wynikiem takiego zdarzenia bylabywzajemna anihilacja "dziury" i elektronu, w taki sposob, jaki dzisiaj przypisujemy anihilacji cz'!stki i jej antycz'!stki (rys. 24.3a). I odwrotnie, gdyby pocz1!tkowo w tym "morzu" nie bylo zadnej dziury, wowczas wprowadzenie do ukladu dostatecznej ilosci energii (powiedzmy, w postaci fotonow) mogloby wyrzucic elektron ze stanu 0 ujemnej energii i wykreowac dziurl( (rys. 24.3b). "Dziura" Diraca jest rzeczywiscie antycz,!stk,! elektronu i nosi obecnie nazwl( pozytronu. Pocz'!tkowo Dirac wstrzymywal sil( z ogloszeniem, ze jego teoria rzeczywiscie przewiduje istnienie antycz'!stek elektronow, podejrzewaj,!c (w 1929 roku), ze
lal
Ibl
Rys. 24.3. Pozytrony jako "dziury" w morzu Diraca stan6w elektronowych 0 ujemnej energii. Dirac zasugerowal, ze prawie wszystkie stany elektronowe 0 ujemnych energiach sll zaj~te, wobec czego zakaz Pauliego uniemozliwia elektronowi pojawienie si~ w takim stanie. Gdyby gdzies pojawil si~ jakiS stan niezaj~ty - "dziura" w tym morzu stan6w ujemnej energii - wygllldalby on jak antyelektron (pozytron), majllcy energi~ dodatnill. (a) Wpadni~cie elektronu w takll dziur~ moze bye interpretowane jako anihilacja elektronu i pozytronu z wydzieleniem energii r6wnej sumie dodatnich wklad6w od elektronu i pozytronu. (b) I odwrotnie, jesli w morzu nie rna zadnej dziury, w6wczas dostarczenie energii moze wytworzye par~ elektron-pozytron. (Rysunek jest wy1llcznie schematyczny i narysowana struktura siatkowa nie rna zwillzku z rzeczywistym morzem Diraca.)
597
24
Elektron Diraca i antyczqstki
tymi "dziurami" moglyby bye protony, jedyne w6wczas znane cZqstki masywne 0 ladunku dodatnim. Nie trzeba bylo jednak dlugo czekactS na dow6d, ze masa kazdej z tych dziur jest dokladnie r6wna masie elektronu, a nie masie protonu, kt6ra jest okolo 1836 razy wiyksza. W 1931 roku Dirac doszedl ostatecznie do wniosku, ze dziury muszq bye "antyelektronami" - cZqstkami w6wczas nieznanymi, a dzisiaj zwanymi pozytronami. W rok po ogloszeniu teorii Diraca Carl Anderson oznajmil o odkryciu cZqstki, kt6ra rna dokladnie takie wlasnosci, jakie przewidzial Dirac: zostala odkryta pierwsza antyczqstka!
Przypisy Rozdzial 24.3 Z technicznego punktu widzenia katastrofy mozemy unikn,!c, jesli energia jest "ograniczona z dolu", co oznacza, ze jest zawsze wiyksza od pewnej ustalonej wartosci Eo, kt6ra moze byc ujemna. W takim przypadku mozemy "zrenormalizowac" energiy przez dodanie -Eo do hamiltonianu, co spowoduje, ze wszystkie wartosci wlasne energii byd,! znowu dodatnie. 2 Powstaje pewna subtelnosc przy traktowaniu punktu 00, poniewaz istnieje prawdopodobieiistwo, ze funkcja f bydzie tam osobliwa. W takim przypadku odpowiednie jest podejscie hiperfunkcyjne z rozdz. 9.7; zob. Bailey et al. (1982). 3 Dla scislosci powinnismy powiedziec, ze jest p610kreslony dodatnio, poniewaz spektrum (ci,!gle) wartosci wlasnych rozci,!ga siy do zera (i zawiera zero). 4 Zob. Shankar (1994) na temat zastosowania do mechaniki kwantowej, a Arfken, Weber (2000) - dyskusja og6lna. 1
Rozdzial24.5 Niekt6rzy definiuj,! ten operator z przeciwnym znakiem, poniewaz zwykle przyjmuje siy konwencjy + + + - dla sygnatury, podczas gdy ja uZywam tutaj sygnatury + - - -. 6 Zob. Pais (1986); Miller (2003); Dirac (1983). Jak siy wydaje, Schr6dingerem kierowac mogly motywacje natury zar6wno estetycznej, jak i erotycznej! 7 Pol,!czenie obu tych warunk6w stanowi istotny element dowodu twierdzenia CPT, z kt6rym zapoznamy siy w rozdz. 25.4.
5
Rozdzial 24.6 Zob. Trautman (1997), czytelnik znajdzie tu om6wienie tych "pierwiastkowych" idei. 9 Zob. Clifford (1882), s. 778-815; zob. takZe Lounesto (2001) tu problem jest potraktowany bardziej og6lnie. 10 Ta konwencja raczej nie zgadza siy z t'!, jakiej zwykle uZywaj,! matematycy zob. Harvey (1990); Budinich, Trautman (1988); Lounesto (2001); Lawson, Michelson (1990) - a takZe z moj,! wlasn'!, por. Penrose, Rindler (1986, dodatek), jesli, jak tutaj, przyjmuje siy dla czasoprzestrzeni sygnatury + - - -. R6wnanie definiuj,!ce dla og6lnej algebry Clifforda to: 7/Yj - 7j1i = -2gij' Rozdzial 24.7 11 Zob. Clifford (1878); Cartan (1966); van der Waerden (1929); Infeld, van der Waerden (1933). W zapisie 2-spinorowym z rozdz. 22.8 prowadzi to do "zygzakowej" postaci r6wnania Diraca, ktor'! poznamy w rozdz. 25.2. 12 Jak siy wydaje, termin "spinor" wprowadzil, w liscie do Bartela van der Waerdena, Paul Ehrenfest. 8
598
Przypisy
13
Ten dodatkowy wyraz wynosi ieJ, gdzie J = gabA;h iAa jest potencjalem elektromagnetycznym. Sprowadza sit( to w istocie do zastqpienia operatora 1 przez 1- ieJ[24.101•
Rozdzial24.8 14 W r6wnaniach relatywistycznych najlatwiej przeprowadzic liczenie rozwiqzan za pomocq metody "zbior6w dokladnych" w rachunku 2-spinorowym, zob. Penrose, Rindler (1984). 15 Pract( tt( wykonali Igor Tamm, Hermann Weyl i J. Robert Oppenheimer. W pracy Oppenheimera (1930) przedstawiony jest spos6b rozumowania, kt6ry ich inspirowal. Z zagadnieniem pozytronu zwiqzane Sq pewne subtelnosci, kt6rych omawianie w tym miejscu zaprowadziloby nas za daleko; zob. Zee (2003), gdzie przedstawiona jest kompletna, scisla i urzekajqca teoria tego problemu.
~
[24.10] Wyjasnij, dlaczego m6wimy, ze jest to standardowy "przepis cechowania".
25 Model standardowy fizyki cZ'lstek elementarnych 25.1 Poczqtki wsp6fczesnej fizyki czqstek elementarnych
POJAWIENIE siy r6wnania Diraca dla elektronu stanowilo pod wieloma wzglydami punkt zwrotny w dziejach wsp6lczesnej fizyki. Gdy Dirac przedstawil je w 1928 roku, jedynymi znanymi czqstkami elementarnymi byly elektrony, pro tony i fotony. Swobodne r6wnania Maxwella opisujq foton, kt6rego istnienie przewidzial w 1905 roku Einstein. Te idee zostaly nastypnie rozwiniyte przez Einsteina, Bosego i innych, aZ w 1927 roku Jordan i Pauli przedstawili calosciowy schemat matematyczny opisujqcy swobodne fotony, zgodnie ze skwantowanq teoriq swobodnego pola Maxwella. Ponadto wydawalo siy, ze zar6wno proton, jak i elektron zostaly dobrze opisane r6wnaniem Diraca. Istoty oddzialywania elektromagnetycznego, kt6re przedstawia wplyw foton6w na elektrony i protony, znakomicie oddaje pomysl Diraca wprowadzajqcy transformacjy cechowania (idey ty pierwszy przedstawil w 1918 roku Weyl; zob. rozdz. 19.4). W ten spos6b sam Dirac, juz w 1927 roku, stworzyl podwaliny pelnej teorii elektron6w (tub proton6w) oddzialujqcych z fotonami (tzn. elektrodynamiki kwantowejt Wydawalo siy, ze mamy juz w rykach wlasciwe narzydzie i mozna przystqpic do opisu wszystkich znanych czqstek elementarnych Przyrody oraz ich najbardziej widocznych oddzialywan. Pomimo to wielu 6wczesnych fizyk6w nie bylo tak latwowiernych, zeby uwazac, iz w tym stanie rzeczy mozna juz zbudowac "teoriy wszystkiego". Zdawali sobie sprawy, ze bez dalszego zasadniczego postypu nie da siy wyjasnic ani sil wiqzqcych jqdra atomowe - dzisiaj nazywamy je oddzialywaniami silnymi - ani mechanizmu odpowiedzialnego za rozpad radioaktywny - w tym przypadku m6wimy o oddzialywaniach slabych. Gdyby protony i elektrony Diraca, oddzialujqce tylko silami elektromagnetycznymi, stanowily jedyne skladniki atom6w, lqcznie z ich jqdrami, w6wczas wszystkie normalne jqdra atomowe (opr6cz pojedynczego protonu, kt6ry sam stanowi jqdro atomu wodoru), w wyniku odpychania elektrostatycznego miydzy ich ladunkami dodatnimi, musialyby siy natychmiast rozpasc. Koniecznie muszq istniec jakies inne czynniki, dziyki kt6rym powstaje bardzo silne oddzialywanie przyciqgajqce wewnqtrz jqdra! W 1932 roku Chadwick dokonal odkrycia neutronu i wtedy zdano sobie sprawy, ze popularny do tej pory model proton/elektron zostanie zastqpiony innym, w kt6rym obecne bydq zar6wno protony,
Zygzakowy model elektronu
25.2
jak i neutrony oraz bardzo silne oddzialywanie proton-neutron, utrzymuj,!ce j,!dro w catosci. Jednak nawet wprowadzenie tego silnego oddzialywania nie wystarcza do wyjasnienia wszystkich zagadkowych faktow. Od czasow odkrycia przez Henri Becquerela w 1896 roku zjawiska radioaktywnosci uranu fenomen ten zostal uznany za wynik jeszcze innego rodzaju oddzialywan, tak zwanych oddzialywafi slabych, roinych od oddzialywan silnych i elektromagnetycznych. Nawet neutron podlega samoistnemu rozpadowi radioaktywnemu w okresie okolo 15 minut. Jednym z tajemniczych produktow tego rozpadu okazalo sit( nieuchwytne neutrino, ktorego istnienie jeszcze w 1929 roku postulowal Pauli, ale ktorego nie moina bylo doSwiadczalnie zaobserwowae ai do 1956 roku. To wlasnie badanie promieniotworczosci nadalo fizykom i fizyce rozglos i wplywy, szczegolnie pod koniec II wojny swiatowej i bezposrednio po niej ... Od tamtych czasow zrobilismy ogromny krok naprzod w zrozumieniu fizyki cz,!stek elementarnych. W XXI wiek wchodzimy z bardziej kompletnym modelem, znanym pod nazw,! modelu standardowego. Jestesmy przekonani, ie ujmuje on znakomicie prawie wszystkie znane obecnie fakty dotycz'!ce ogromnego zbioru cz,!stek. Do fotonu, elektronu, protonu, pozytronu, neutronu i neutrina dol,!czyly roine inne neutrina, mion, piony (przewidziane teoretycznie przez Yukawt( w 1934 roku), kaony, cz'!stki lambda i sigma oraz slynna ze wzglt(du na sposob jej odkrycia cz'!stka omega-minus. W 1955 roku udalo sit( bezposrednio zaobserwowae antyproton, a w 1956 antyneutron. Znaleziono ponadto cz'!stki, takie jak kwarki, gluony, bozony W i Z; cal,! mast( cz'!stek tak krotko iyj,!cych, ie nigdy nie udalo sit( zaobserwowae ich bezposrednio; mowi sit( 0 nich jedynie jako 0 "rezonansach". Formalizm wspotczesnej teorii wymaga rowniei istnienia bytow przejsciowych, nazywanych cz,!stkami "wirtualnymi", s,! takie wielkosci znane jako "duchy", ktore jeszcze trudniej zaobserwowae bezposrednio. Mamy do czynienia z oszalamiaj,!c,! ilosci,! roinych cz'!stek, dot,!d niezaobserwowanych, ale przewidywanych przez pewne modele teoretyczne, aczkolwiek ich istnienie nie wynika z powszechnie akceptowanej teorii cz'!stek elementarnych. Nalei,! do nich rozmaite "bozony X", "aksjony", "fotina", "skwarki", "gluina", "monopole magnetyczne", "dylatony" etc. Pojawia sit( wreszcie tajemnicza cz,!stka Higgsa, wci
25.2 Zygzakowy model elektronu W tym rozdziale przedstawit( krotkie wprowadzenie do obecnie funkcjonuj,!cego standardowego modelu teorii cz,!stek elementarnych, chociai moje podejscie moie sit( wydae, przynajmniej niekiedy, zupelnie niestandardowe. I rzeczywiscie, rozpocznijmy w sposob raczej nietypowy, od zbadania rownania Diraca w terminach zapisu 2-spinorowego, krotko omowionego w rozdz. 22.8. W rozdz. 24.8 zauwaiy-
601
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych
t
lismy, ze w jyzyku "spinorow Pauliego" cz'!stky 0 spinie przedstawiamy jako spinor 1/'A (0 sldadowych 1/'0 i 1/' J Jesli rozwaiamy przypadek relatywistyczny, to, zgodnie z informacjami w rozdz. 22.8, potrzebujemy rowniez wielkosci z indeksami primowanymi A', R', C' ... , gdzie indeksy primowane oznaczaj'! sprzyzenie zespolone w stosunku do indeksow nieprimowanych. Okazuje siy2, ze opisany uprzednio spinor Diraca 1/', 0 4 skladowych zespolonych, mozna przedstawic jako pary 2-spinorow aA i f3A " z ktorych jeden rna indeks nieprimowany, a drugi primowany:
1/' = (aA , f3A ,)· Teraz rownanie Diraca zapiszemy jako rownanie sprzygaj,!ce te dwa 2-spinory, przy czym kazdy z nich dziala jako rodzaj "zrodla" dla drugiego, ze "stal,! sprzyzenia" 2-1I2M, reprezentuj,!C'! sHy "oddzialywania" miydzy nimi: n A
vB,aA =
2-1I2Mf3 B"
B nv A 'f3B' =
2-1I2M a A •
Operatory VA B' i VB'A S,! po prostu 2-spinorow,! wersj,! zwyklego operatora gradientu V. Nie przejmujmy siy wszystkimi tymi indeksami, czynnikiem 2-112 ani tym, sk,!d wziyly siy takie wyrazenia. Zapisalem je tutaj, aby pokazac, w jaki sposob rownanie Diraca miesci siy w ogolnym formalizmie rachunku 2-spinorowego oraz ze kiedy siy tego dokona, mozemy odkryc nowe wlasnosci tego rownania4• Z postaci tych rownan wnioskujemy, ze elektron Diraca mozna traktowac jako skladaj,!CY siy z dwoch skladnikow, aA i f3B ,. Jestesmy tei w stanie przedstawic interpretacjy fizyczn,! tych skladnikow. Wyobraimy sobie, ze S,! to dwie "cz'!stki", jedna reprezentowana przez a A , a druga przez f3A " kazda z nich bezmasowa[2S.1 J, ktore nieustannie "zamieniaj,! siy" jedna w drug'!. Nazwijmy te cz'!stki "zyg" i "zak", niech a A opisuje zyg, a f3A , - zak[·J. Poniewaz S,! bezmasowe, mog,! wiyc poruszac siy z prydkosci,! swiatia, jednak wyobraiamy sobie, ze poruszaj,! siy "zygzakiem", w ktorym ruch do przodu cz'!stki zyg jest nieustannie zamieniany na ruch wstecz cz'!stki zak i vice versa. W rzeczywistosci jest to obraz zjawiska okreslanego jako Zitterbewegung, w ktorym chwilowy ruch elektronu odbywa siy zawsze z prydkosci,! swiatla, ale ze wzglydu na to zygzakowanie w przod i w tyl srednia prydkosc ruchu elektronu jest mniejsza od prydkosci swiatlas. Kazdy z tych skladnikow charakteryzuje spin wokol kierunku ruchu, 0 wielkosci przy czym spin cz'!stki zyg jest lewoskrytny, a zak - prawoskrytny. (Wi'!ze siy to z faktem, ze spinor aA , odpowiadaj,!cy cz,!stce zyg, rna indeks nieprimowany, co wynika ze skrytnosci ujemnej, podczas gdy f3 B , dla zak rna indeks primowany, co oznacza skrytnosc dodatni'!. Wszystko to odnosi siy do dyskusji, ktor'! przeprowadzimy w rozdz. 33.6-8, wiyc
tn,
602
fa [25.1] Korzystajqc z r6wnania Weyla opisujqcego neutrino, podanego w rozdz. 25.3, wyjasnij, dlaczego a A i fJA , mozna uwazac za bezmasowe cZqstki, sprzygniyte oddzialywaniem, kt6re zamienia jednq w drugq. [*] W tym miejscu Autor wprowadza terminologiy w pelni niestandardowq i w Polsce, jak dotqd, nieuiywanq (przyp. Hum.).
Zygzakowy model elektronu
25.2
nie wchodzimy tutaj w szczegoly.) Zauwazmy tylko, ze chociaz kierunek prt(dkosci stale sit( zmienia, to w spoczynkowym ukladzie odniesienia elektronu kierunek spinu pozostaje zachowany (rys. 25.1). W takiej interpretacji czqstka zyg odgrywa rolt( zrodla dla czqstki zak, i odwrotnie, natomiast wielkosc stalej sprzt(zenia jest okreslona przez M. Na rys. 25.2 przedstawilem graficznie wklad tego procesu do pelnego "prop agatora Feynmana" (zob. rozdz. 26.7) w duchu diagramow Feynmana6, ktorymi zajmiemy sit( bliZej w nastt(pnym rozdziale. KaZdy element tego "zygzakowego" procesu rna skonczonq dlugosc, ale wszystkie razem, z "zygzakami" 0 stale rosnqcej dlugosci, skladajq sit( na calkowity propagator elektronu, co obrazuje macierz 2 x 2 na rys. 25.2. Czqstka zyg staje sit( cZqstkq zak, nastt(pnie zak przechodzi w zyg, zyg staje sit( z powrotem zak i tak dalej. Okazuje sit(, ze w calym tym procesie srednia czt(stosc zmiany jest odwrotnie proporcjonalna do masowej stalej sprzt(zenia M; istotnie, odpowiada ona cz~stosci fali de Broglie'a elektronu (zob. rozdz. 21.4). W tym miejscu muszt( zrobic zastrzdenie do interpretacji diagramow Feynmana. Mamy peIne prawo uwazac przedstawiony schemat za czasoprzestrzenny opis procesu, ktory rzeczywiscie zachodzi; jednak na poziomie kwantowym musimy pamit(tac, ze nawet w przypadku pojedynczej cZqstki jednoczesnie zachodzi bardzo wiele takich procesow. Kazdy indywidualny proces musimy rozpatrywac jako biorqcy udzial w jakiejs ogromnej kwantowej superpozycji wielkiej liczby roznych procesow. Aktualny stan kwantowy ukladu jest okreslony przez calq tt( superpozycjt(. Pojedynczy graf Feynmana reprezentuje jedynie jeden jej element.
(b)
(a)
t)
Rys. 25.1. Zygzakowy obraz elektronu. (a) Elektron (albo innll cZllStky masywnll 0 spinie mozemy sobie wyobraZae w czasoprzestrzeni jako oscylujllcll miydzy bezmasowll !ewoskrytnll cZllstkll zyg (skrytnose jak opisana przez nieprimowany 2-spinor aA albo, w czysciej stosowanej wsrod fizykow notacji, przez czyse uzyskanll w wyniku rzutowania za pomocll 75 oraz prawoskrytnll bezmasowll cZllstkll zak (skrytnose + jak opisana przez 2-spinor primowany f3B" jest to czyse wyrzutowana przez + 75 KaZda z nich stanowi zrodlo dla drugiej, przy czym masa spoczynkowa odgrywa roly stalej sprzyzenia. (b) W 3-przestrzeni, w ukladzie spoczynkowym elektronu, mamy do czynienia z nieustannym odwracaniem kierunku prydkosci (zawsze rownej prydkosci swiada), jednak kierunek spinu pozostaje staty. (Dla przejrzystosci narysowany obraz niezupetnie odpowiada sytuacji w ukladzie spoczynkowym elektronu, ktory jest tutaj przedstawiony jako nieznacznie dryfujllCY na prawo).
-t,
t,
t(l -
»
t(l
»'
603
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych
I
<~+ >~
'" + + i
+ + }+
-<-~-~-~-f -;-~-5~-} Rys. 25.2. W rachunku diagram6w Feynmana kaidy proces "zyg-zak", jako element nieskonczonej superpozycji kwantowej, daje oddzielny wktad do catkowitego "propagatora" Feynmana. Konwencjonalna pojedyncza linia, reprezentujllca propagator Feynmana, narysowana z iewej strony, reprezentuje ukazanll po prawej stronie petnll macierz nieskonczonej sumy skonczonych "zygzak6w".
W tym duchu naleZy rozpatrywac podany opis ruchu elektronu jako skladaj,!CY sit( z krokow w przod i w tyl, w ktorych zyg ci,!gle przechodzi w zak, i na odwrot. Wlasciwy ruch skI ada sit( z wielkiej ilosci takich indywidualnych procesow (w rzeczywistosci liczba ta jest nieskonczona) nakladajqcych sit( na siebie, a obserwowany ruch elektronu jest pewnym ich "usrednieniem" (scisle mowi'!c: superpozycj,! kwantow'!). Ale nawet taki obraz opisuje zaledwie elektron swobodny. Rzeczywisty elektron wchodzi bez przerwy w oddzialywanie z innymi cz'!stkami (takimi jak fotony, ktore s,! kwantami pol a elektromagnetycznego). Pelna superpozycja kwantowa musi uwzglt(dniac wszystkie procesy takich oddzialywan. Maj,!c to wszystko na uwadze, zadajmy pytanie, czy opisane tu cz'!stki zyg i zak s,! "rzeczywiste". Moze stanowi,! jedynie artefakty tego szczegolnego formalizmu matematycznego, ktory tutaj zastosowalem do opisu rownania elektronu Diraca? Takie postawienie sprawywywoluje bardziej ogolne pytanie: co uprawnia do zachwytu nad elegancj,! jakiegos matematycznego opisu i nastt(pnie traktowania go jako odpowiednika "rzeczywistosci"? W rozpatrywanym przez nas przypadku powinnismy zacz'!c od zakwestionowania znaczenia samego formalizmu 2-spinorowego (rzeczywiscie wykwintnego) jako techniki matematycznej. Muszt( ostrzec czytelnika, ze nie jest to bynajmniej formalizm najczt(sciej stosowany przez fizykow zajmuj,!cych sit( rownaniem Diraca i jego implikacjami, na przyklad w elektrodynamice kwantowej (QED), ktora wydaje sit( najbardziej udan,! ze wszystkich teorii kwantowych 7 • Wit(kszosc fizykow wolalaby uzyc formalizmu "spinorow Diraca" (czyli 4-spinorow), w ktorym unika sit( indeksow spinorowych. W miejsce 2-spinora a A uZyliby 4-spinora (1 - 7s)l/J (nazywaj,!c go "czt(sci,! elektronu Diraca 0 ujemnej skrt(tnosci" lub jakos podobnie, zamiast mojej "cz'!stki zyg")8. Tutaj wielkosc 75 jest iloczynem
604
Oddzialywania elektroslabe; asymetria odbiciowa
25.3
i charakteryzuje siy tym, ze antykomutuje z kazdym elementem algebry Clifforda oraz (75)2 = 1125.21. Podobnie w miejsce i3A , (czysci 0 skrytnosci dodatniej) uZyliby (1 + 'Y5)tp . Ktos moglby powiedziec, ze jest to jedynie sprawa notacji, i rzeczywiScie mozemy wszystko przeloZyc z formalizmu 2-spinorowego na 4-spinorowy i odwrotnie. Obraz "zygzakowy", ktory tutaj przedstawilem, jest sluszny (aczkolwiek niekoniecznie ogolnie przyjyty) w kaZdym z tych formalizmow, chociaz w formalizmie 2-spinorowym pojawia siy w sposob bardziej naturalny i bezposredni niZ w 4-spinorowym. A zatem: czy te "zygi" i "zaki" s,! czyms rzeczywistym? Moim zdaniem tak; s,! rownie rzeczywiste jak sam "elektron Diraca": jako wysoce adekwatny wyidealizowany opis matematyczny jednego z najbardziej fundamentalnych elementow skladowych naszego WszechSwiata. Ale czy to jest prawdziwa "rzeczywistosc"? W rozdz. 1.3, 4 poruszalem juz zagadnienie rzeczywistosci matematycznej i fizycznej oraz ich wzajemnej relacji. Do kwestii tej powrocy pod koniec ksi,!zki, w rozdz. 34.6.
25.3 Oddziafywania elektrosfabe; asymetria odbiciowa Kazda z cz'!stek zyg i zak rna ten sam ladunek elektryczny - co jest konieczne, poniewaz obowiC!Zuje zasada zachowania ladunku - i kaZda cz'!stka nieustannie przechodzi w drug'!. W jyzyku diagramow Feynmana oddzialywanie tych naladowanych cz,!stek z polem elektromagnetycznym przedstawione jest przez Hniy reprezentuj,!c,! foton. Ilustruje to rys. 25.3a, na ktorym, zgodnie z konwencj,! zapisu, trajektoriy elektronu przedstawia pojedyncza linia odpowiadaj,!ca 4-spinorowi Diraca, natomiast rys. 25.3b wykorzystuje (mniej konwencjonalny) zapis "zygzakowy".
(a)
(b)
Rys. 25.3. (a) Diagram Feynmana (w zapisie konwencjonalnym. bez zygzak6w) reprezentuj"!cy oddzialywanie elektronu z polem elektromagnetycznym, czyli z fotonem. Graf lewy mo:i:emy traktowac jako przedstawiaj,,!CY proces absorpcji fotonu, graf srodkowy odpowiada emisji fotonu, a prawy reprezentuje wplyw elektrostatyczny, przy czym wszystkie przedstawiaj,,! to sarno i m6wimy 0 nich, :i:e ukazuj,,! oddzialywanie elektronu z fotonem "wirtualnym" (pozapowlokowym). (b) Ten sam proces w schemacie zygzakowym. Foton (wirtualny) oddzialuje jednakowo z zyg i z zak. Na wszystkich tych diagramach propagacjy ladunku elektrycznego zaznacza biala tr6jk,,!tna strzalka. Wszystkie strzalki skierowane s,,! ku przeszlosci, poniewa:i: rozwa:i:amy elektrony, kt6re S,! naladowane ujemnie.
.§I [25.2] Wykaz obie te wlasnosci.
605
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych
Rys. 25.4. Z kolei w przypadku slabych oddzialywan tylko CZctSC zyg oddzialuje z bozonami W i Z. (Gdyby jednak chodzilo 0 antycz'lstkct, w6wczas slabo oddzialuj'lc'l czesci'l byloby zak).
Zauwazmy, ze obie cZysci, lewoskrytna (zyg) i prawoskrytna (zak), w jednakowym stopniu uczestniczq. w oddzialywaniu elektromagnetycznym. Okazuje siy jednak, ze mamy tu do czynienia jeszcze z innym rodzajem oddzialywania - tzw. oddzialywaniem slabym - w ktorym ich udzial jest juz calkowicie nierowny, w tym sensie, ze uczestniczy w nim tylko cZySC zyg, natomiast zak nie uczestniczy w ogole (zob. rys. 25.4). W oddzialywaniach slabych posredniczq. czq.stki bydq.ce analogami fotonu, tzw. bozony W i Z. Jak juz wspominaiem, oddzialywania te sq. odpowiedzialne za rozpad radioaktywny, w wyniku ktorego, przykladowo, jq.dro uranu 238U srednio w ciq.gu okolo 5 x 109 lat rozpadnie siy spontanicznie na jq.dra toru i helu (czq.stka a), natomiast swobodny neutron w ciq.gu okolo 15 minut rozpadnie siy na proton, elektron i neutrino; zob. rys. 25.5. Procesy te noszq. nazwy "rozpadu W', a elektron uczestniczq.cy w takim rozpadzie, z powodow historycznych, okreslany jest jako "czq.stka 13". Przez wiele lat oddzialywania slabe byly traktowane jako procesy punktowe i tak to przedstawia rysunek 25.5, na ktorym proces rozpadu zaznaczony jest jako jeden punkt. Jest to zgodne ze schematem zaproponowanym w 1933 roku przez wielkiego fizyka wloskiego, Enrico Fermiego. Takie rozumienie procesu prowadzilo jednak do powai:nych trudnosci teoretycznych, ktore zostaly usuniyte znacznie poiniej, w pracach Weinberga, Salama, Warda i Glashowa, 0 ktorych powiemy pary slow w rozdz. 25.5. Wedlug tych nowych koncepcji, zamiast punktowego oddzialywania Fermiego, pojawia siy "bozon cechowania": sq. to czq.stki W lub Z,
~ neutronu na proton, elektron i antyneutrino w przypadku swobodnego neutronu zachodzi w ci'lgu ok. 15 minut (srednio). Odwr6cenie kierunku strzalki na linii antyneutrina wskazuje, i.e mamy do czynienia z antycZ'lstk'l w klasyfikacji lepton6w. Podobnie jak na rys. 25.3, biale strzalki na liniach elektronu i protonu oznaczaj'l ladunek elektryczny.
Rys. 25.5. Rozpad
606
Oddzialywania elektroslabe; asymetria odbiciowa
25.3
o ktorych wspominalismy, posrednicz,!cy w procesie slabego oddzialywania, wobec czego rozpad ~ z rys. 25.5 powinnismy interpretowae tak, jak pokazano na rys. 25.6. Ale jakie jest znaczenie asymetrii zyglzak? Fizycy przeZyli wielki szok, gdy w 1956 roku 1Sung Dao Lee i Chen Ning Yang wysunt(li zdumiewaj,!c,! propozycjt(9 dotycz'!C'! zarowno rozpadu ~, jak i ogolnie slabych oddzialywan - ze procesy te nie powinny bye niezmiennicze wzglt(dem odbie. Owe teoretyczne przewidywania zostaly nastt(pnie, w styczniu 1957 roku, potwierdzone w niezwyklym eksperymencie przeprowadzonym przez Chien-Shiung Wu i jej kolegow. Zgodnie z tym, ku naszemu zdumieniu, odbicie zwierciadlane procesu slabego oddzialywania nie jest na ogol dozwolone dla procesow slabych oddzialywan, a zatem slabe oddzialywania wykazuj,! wlasnose, ktora nosi nazwt( chiralnosci. W szczegolnosci w eksperymencie przeprowadzonym przez Wu badano spektrum emisyjne elektronow wypromieniowanych przez izotop 6OCO i wykryto wyrain,! asymetrit( odbiciow,! mit(dzy rozkladem emitowanych elektronow a kierunkami spinow j,!der kobaltu (zob. rys. 25.7). Bylo to zdumiewaj,!ce, poniewaz nigdy przedtem nie zaobserwowano zlamania symetrii odbiciowej w zadnym z podstawowych procesow fizycznych! Gdy mowimy w jt(zyku zyg i zak, mamy na mysli, ze asymetria chiralna wynika z faktu, iz w odbiciu zwierciadlanym zyg wygl,!da jak zak, a zak jak zyg. Pamit(tajmy, ze zyg charakteryzuje sit( skrt(tnosci,! ujemn,! (lewoskrt(tn,!), podczas gdy zak jest prawoskrt(tna. J edna rzeczywiscie przechodzi w drug,! przy odbiciu zwierciadlanym. (W terminologii bardziej konwencjonalnej powiedzielibysmy, ze odbicie zmienia znak 75 , wobec czego czt(sci funkcji falowej elektronu 0 skrt(tnosci ujem-
Rys. 25.6. Oddzialywania slabe nie Si! ,.punktowe" - jak sugerowalby to rys. 25.5 (poczi!tkowa teoria Ferrniego), ale posredniczi! w nich "bozony wektorowe" (W± alba ZO) - w tym wypadku bozon W.
Rys. 25.7. W eksperymencie Wu badano obraz emisji elektronow radioaktywnego izotopu kobaltu 6OCO. Wykryto wyrazne zlamanie symetrii odbiciowej miydzy rozkladem emitowanych elektronow a kierunkami spinow ji!der kobaltu. Wiycej elektronow powstaje u gory rysunku ni:i: u dolu.
607
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych
nej i dodatniej, (1-15)¢ i (1 + 15)¢, przechodz~ jedna w drug~.) Tak wiyc naruszenie niezmienniczosci oddzialywan slabych wzglydem odbic jest zwi~ane z faktem, ze tylko CZySC zyg funkcji falowej elektronu bierze udziat w takim oddziatywaniu. To sarno mozemy powiedziec 0 neutronie, ktory ulega spontanicznemu rozpadowi ~, a takZe 0 powstalym w wyniku tego rozpadu protonie. Zarowno neutron, jak i proton, w dobrym przyblizeniu, mozemy rowniez opisac rownaniem Diraca i opis zygzakowy, w kazdym z tych przypadkow, bydzie odpowiedni. Znowu okaze siy, ze tylko czysci zyg neutronu i protonu uczestnicz~ w procesie rozpadu, jak to ilustruje rys. 25.8. Zgodnie z naszymi wspolczesnymi wyobrazeniami bardziej wtasciwie bydzie traktowac proton i neutron jako cz~stki zlozone, a kazd~ z nich jako zbudowan~ z trzech kwarkow. Kazdy z tych kwarkow opisuje rownanie Diraca, a wiyc obraz zygzakowy jest rowniez i w tym przypadku wtasciwy. Ilustruje to rys. 25.8b w odniesieniu do rozpadu ~ neutronu. Pod tym wzglydem na szczegoln~ uwagy zasluguje neutrino. Cz~stky ty, w bardzo dobrym przyblizeniu, mozna traktowac jak cz~stky bezmasowq. (W kaidym razie jej masa jest bardzo mala w porownaniu z mas~ elektronu, a z pewnosci~ nie wiyksza niz 6 x 1O--<J masy elektronu.) Jesli w 2-spinorowej wersji rownania Diraca poloiymy M = 0, wowczas to rownanie rozpadnie siy na dwa: A
B'
VB,aA = 0 oraz VAi3B,
= O.
"
"
'.
(a)
(b)
Rys. 25.8. Rozpad j3 z rys. 25.5 przedstawiony w "obrazie zygzakowym". (a) Zarowno neutron, jak
608
i proton, z dobrym przyblizeniem, mogll bye przedstawione jako cZllstki Diraca, a wiyc za pomocll ich zyg i zak. Takjak na rys. 25.4, tylko czysci zyg funkcji falowych neutronu i protonu uczestniczll w procesie slabego rozpadu, chociaz w przypadku antyneutrina jest to czyse zak (lewoskrytna), natomiast istnienie niewielkiej masy jest zaznaczone przez malenkie zyg w gornym lewym rogu rysunku. (b) Neutron i proton naleZy uwaiae za zlozone z trzech kwarkow, a same kwarki Sll rowniez opisywane rownaniem Diraca, wobec czego obraz zygzakowy jest wlasciwy. (Na rysunku nie zaznaczono strzalek odpowiadajllcych ladunkom ani gluonow lllczllcych kwarki.)
Oddzialywania elektros!abe; asymetria odbiciowa
25.3
Kaide z nich moie bye traktowane zupelnie niezaleinie od drugiego (i kaide z nich nosi nazwl( "rownania Weyla,,10 dla neutrina). Jednak tylko cZl(se zyg (dana przez nieprimowany spinor a A, spelniajl!CY rownanie V~,aA = 0) bierze udzial w oddzialywaniach slabych lub moie bye kreowana w wyniku procesow slabego oddzialywania. Oznacza to, ie neutrina Sl! cZl!stkami 0 skrl(tnosci ujemnej (lewoskrl(tne). Czy neutrina naprawdl( majl! masl(? Obecnie wydaje sil(, ie mamy mocne dowody doswiadczalne na to, ie przynajmniej dwa alba trzy typy neutrin powinny bye cZl!stkami masywnymi. Typami tymi Sl!: "neutrino elektronowe" Ye (wystl(puje w zwyklym procesie rozpadu /3) oraz jego antyczl!stka Ye , emitowana podczas rozpadu neutronu; zob. rys. 25.5, "neutrino mionowe" Y~ oraz "neutrino taonowe" Y,' Obserwacje przeprowadzone na japonskim detektorze Superkamiokande wskazuj,! wyraznie, ze roinice mas tych trzech typow neutrin, chociaz bardzo male (rzl(du 10-7 masy elektronu), nie mogl! bye zerowe, albowiem neutrina te wykazujl! tendencjl( przemiany jednych w drugie ("oscylacje neutrin"), co nie mogloby sil( zdarzye, gdyby ich masy wynosily zero. Moim zdaniem jest wci'!i moiliwe, ie Y e (albo jakas stosowna kwantowa "kombinacja liniowa" wszystkich trzech) mogloby miee mast; zero, ale bezposredniego dowodu na to nadal nie mamy. Neutrino bezmasowe byloby calkowicie cz'!stk'! zyg. Gdyby neutrino mialo nawet bardzo mall! masy, to sytuacja bylaby takajak na rys. 25.9a, na ktorym zyg na moment przechodzi w zak i zaraz przechodzi z powrotem w zyg. Jesli zas rozpatrujemy to w ukladzie spoczynkowym poruszajl!cym sit; wraz z neutrinem, wowczas czysci zyg i zak w rownym stopniu daj,! wklad do tego ruchu (rys. 25.9b). Koniecznych jest tu kilka slow wyjasnienia. Kiedy mowilem, ie to cZl!stki zyg (tj.lewoskrytne), a nie cZl!stki zak bior,! udzial w slabych oddzialywaniach, milczl!co zaloiylem, ie umiemy odroinie "czl!stkt;" od "antycz'!stki". W przypadku antycz'!stki problem przedstawia sit; odwrotnie. Kiedy mamy do czynienia z antycz'!stkl! elektronu, pozytronem, nadal moiemy posluiye siy opisem zygzakowym, w ktorym zyg jest cz'!stk'! lewoskrytn,!, a zak prawoskrytnl!, jednak zyg pozytronu jest antycZl!stk'! zak elektronu i vice versa. Dlatego w przypadku pozytronu w oddzialywaniach slabych uczestniczy prawoskrt;tna zak (antyczl!stka elektronowego zyg), a nie zyg. Podobn,! uwagt; naleiy zrobie w odniesieniu do antyprotonu, antyneutronu i do antykwarka. Uwaga ta stosowalaby siy do antyneutrina, ktore jesli byloby bezmasowe, moglibysmy uwaiae za zak.
to I
Zak Zyg
y!f/o'
I')'
\.0
Zyg
' \ Zak "
Zyg
.'
(al
(bl
0'1
Rys. 25.9. (a) Neutrino bezmasowe mogtoby bye catkowicie zyg; jednak w przypadku wyst~powania nawet bardzo matej masy musimy si~ spodziewae okazjonalnego, chwilowego przeskoku z zyg do zak i z powrotem. Rysunek przedstawia sytuacj~ rozpatrywanl! w laboratoryjnym spoczynkowym ukladzie odniesienia O. (b) Gdy rozpatrujemy jl! w spoczynkowym ukladzie odniesienia 0', poruszajl!cym si~ razem z neutrinem, oba aspekty, zyg i zak, w jednakowym stopniu skladajl! si~ na catkowity obraz ruchu.
609
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych
Wszystko to mogloby stae siy powodem zamieszania, poniewaZ nie podalem jeszcze zadnego kryterium decyzji, czy jakis cz'!stkopodobny obiekt (0 spinie na1eiy traktowae jak "cz,!stky", czy teZ jak "antycz,!stky", zebysmy wiedzieli, czy to jego zyg czy zak uczestnicz'! w slabym oddzialywaniu. Aczkolwiek w poprzednim rozdziale przedstawilem pojycie antycz'!stki jedynie w terminach oryginalnej koncepcji Diraca jako "dziury" w "morzu stan6w ujemnej energii", to w zadnym wypadku antycz'!stki nie naleiy traktowae jako bytu zupelnie innego rodzaju niz cz,!stka. W kontekscie wsp6lczesnej kwantowej teorii pola nie potrzebujemy ich opisywae w spos6b proponowany przez Diraca (kt6ry wydaje siy asymetryczny). Antycz'!stki S,! w takim samym stopniu "cz'!stkami" jak cz,!stki, w stosunku do kt6rych maj,! bye "anty". Co wiycej, pojycie antycz'!stki odnosi siy w r6wnym stopniu do bozon6w (cz'!stek 0 spinie calkowitym), jak i do fermion6w. Co prawda tylko fermiony podlegaj,! zakazowi Pauliego (rozdz. 23.7, 8), a zatem "morza Diraca" nie naleiy wykorzystywae do opisu antycz,!stek bozonowych. N a przyklad dodatnio naladowany pion (mezon n+), kt6ry jest bozonem, rna antycz'!stky; stanowi j,! pion o ladunku ujemnym (mezon n-). Okazuje siy, ze istnieje wiele bozon6w, kt6re s,! swoimi antycz,!stkami. Przykladem jest foton, a takZe pion neutralny (mezon nO). o ile wiemy (przynajmniej zgodnie z mode1em standardowym), kazda cz'!stka Przyrody rna odpowiadaj,!c,! jej antycz'!stky.
t)
25.4 SprzQzenie tadunkowe, parzystosc i odbicie czasu
610
Operacjy, kt6ra dokonuje zamiany cz'!stki na jej antycz'!stky, oznaczamy symbolem C (odpowiada to angielskiemu: charge conjugation - sprzyzenie ladunkowe). Oddzialywanie fizyczne, kt6re jest niezmiennicze wzglydem zamiany cz'!stki na jej antycz,!stky (i na odwr6t), nazywamy C-inwariantnym. Operacjy odbicia przestrzennego (odbicie zwierciadlane) oznaczamy przez P (P oznacza tu parity - parzystose). Zgodnie z dyskusj,! z rozdz. 25.3 oddzialywania slabe zwykle nie S,! niezmiennicze wzglydem P ani C rozpatrywanych oddzielnie, okazuje siy jednak, ze S,! niezmiennicze wzglydem operacji l'!cznej CP (= PC). Operacjy ty mozemy uwazae za odbicie w jakims niezwyklym zwierciadle, w kt6rym cz'!stka odbija siy w postaci swojej antycz'!stki. W ten spos6b transformacja CP zamienia zyg czqstki w zak antycz'!stki i vice versa. Istnieje wreszcie jeszcze inn a operacja, kt6r,! zwykle omawia siy razem z C i P, a mianowicie operacja odbicia czasu (time reversal), kt6rq oznaczamy przez T. Oddzialywanie uwazamy za niezmiennicze wzglydem T, jeZeli pozostaje niezmienione, nawet gdy kierunek czasu zamienimy na przeciwny. Istnieje znane twierdzenie kwantowej teorii pola, twierdzenie CPT, kt6re glosi, ze wszystkie oddzialywania fizyczne S,! niezmiennicze wobec wszystkich trzech operacji C, PiT, zastosowanych jednoczesnie. Oczywiscie, takie twierdzenie jest po prostu elementem matematyki i jego prawdziwose w odniesieniu do zjawisk fizycznych za1eiy od prawdziwosci jego fizycznych zalozen. Bydzie to dla nas wazne w dalszej cZysci (rozdz. 30.2), kiedy zajmy siy faktami, kt6re sklaniaj,! nas do kwestiono-
Sprz~ienie
ladunkowe, parzystosc i odbicie czasu
25.4
wania wnioskow - a zatem rowniez i zalozen - twierdzenia CPT. Jednak zadne takie trudnosci nie wystypujq przy zwyklych oddzialywaniach slabych. Zgodnie z tym niezmienniczose CP zwyklych oddzialywan slabych implikuje rowniez ich niezmienniczose wzglydem T (symetriy wzglydem odbicia w czasie). Znamy zaledwie kilka efektow, ktore naruszajq symetriy CPo Najdluzej znany jest ("niezwykly" proces slaby, po raz pierwszy zaobserwowany przez Fitcha i Cronina w 1964 roku, ktory nie jest niezmienniczy wzglydem CPo Jest on rownieZ nieinwariantny wobec T (ale, 0 ile jestesmy w stanie to rozstrzygnqe, jest niezmienniczy wzglydem CPT, zgodnie z twierdzeniem CPT). Jest to proces rozpadu mezonu KO. (Mezon ten rozpada siy na 2 albo 3 piony, przy czym zachodzi bardzo subtelne zjawisko zwiqzane z przemianq KO w jego antyczqstky j(D i z oscylacyjnym przechodzeniem jednej cZqstki w drugq.) Twierdzenie CPT daje nam alternatywne wyobrazenie antyczqstek, odmienne od obrazu morza Diraca, ktory jest bardziej satysfakcjonujqcy, poniewaz znajduje zastosowanie w odniesieniu do bozonow. Zakladajqc prawdziwose CPT, mozemy traktowae operacjy C - zamiany cz'!stek na odpowiadaj,!ce im antyczqstki - jako rownowaznq PT, co oznacza, ze antyczqstky mozemy uwazae za "przestrzenno-czasowe odbicie" (PT) odpowiadajqcej jej czqstki. Pomijajqc aspekt odbicia przestrzennego takiej operacji, mamy prawo interpretowae antyczqstky jako czqstky poruszajqq siy wstecz w czasie. I to jest wlasnie sposob interpretacji antycZqstek, ktory szczegolnie podobal siy Richardowi Feynmanowi. Otrzymujemy t q drogq bardzo wygodnq i logicznq mozliwose rozpatrywania antyczqstek w jyzyku diagramow Feynmana. Pomysl ten podsunql Feynmanowi John A. Wheeler, a wczesniej, niezaleznie, wysuwal go Stiickelberg (1942). Na swoj sposob jest to koncepcja rownie "szalona" jak morze Diraca! Na diagramie Feynmana czqstki, ktore nie Sq jednoczesnie swoimi antyczqstkami, muszq bye opisywane liniami ukierunkowanymi, co zaznaczamy przez umieszczenie strzalki na odpowiedniej linii. Jesli dana linia reprezentuje cZqstky, to umieszczona na niej strzatka wskazuje kierunek przyszlosci, natomiast strzatka skierowana ku przesztosci wskazuje, ze mamy do czynienia z liniq reprezentujqc,! antyczqstkyo Taki sposob traktowania antyczqstek rna ty zalety, ze wiele rozmaicie wyglqdajqcych procesow okazuje siy w zasadzie rownowaznymi, ale widzianymi "pod roznymi k,!tami" w czasoprzestrzeni. Jako przyklad na rys. 25.10 przedstawilem (nie przejmujqc siy zygzakami) anihilacjy pary elektron-pozytron z emisjq pary fotonow, pokazuj,!c, ze jest to "zasadniczo taki sam" proces jak efekt rozproszenia elektronu na fotonie Comptona. (Wkrotce zobaczymy, ze nalezaloby tu zaznaczye czasoprzestrzenne kierunki na liniach reprezentujqcych cZqstki, opisujqce tak zwanq "czqstky wirtualnq", ale na razie nie komplikujmy zagadnienia!) Powroemy teraz do pytania 0 to, jak w przypadku obiektu 0 spinie rozstrzygnqe, czy w slabych oddzialywaniach udzial bierze jego czyse zyg czy zak. Potrzebna jest nam jasna regula okreslajqca, czy ten obiekt rna bye traktowany jako "CZqstka", czy jako "antycz'!stka". Regula, ktorq siy poslugujemy, glosi, ze wszystkie cZqstki
611
t
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych Rys. 25.10. Symetria krzyiowa. Procesy, ktore roznill si~ mi~dzy sobll jedynie odmiennym UPorzlldkowaniem czasowym w rozmaitych miejscach, ale na diagramach topologicznie rownowaZnych, sll takZe rownowaZne matematycznie (na drodze przedlui:enia analitycznego, zob. rozdz. 7.4). Na rysunku przedstawiona jest r6wnowaznose mi~dzy procesem anihilacji cZllstka-antyczllstka z emisjll dw6ch foton6w (po lewej stronie) a procesem rozpraszania Comptona (po prawej). (Na rysunku nie pokazano struktury zygzakowej.)
nazywane "leptonami" (elektrony, ich ciyzsze cz'!stki "siostrzane", miony i taony, oraz odpowiadaj,!ce im neutrina V e , Vii i V'), a takZe kwarki, ktore konstytuuj,! protony i neutrony (i inne hadrony), naleiy traktowac jako "cz'!stki". W oddzialywaniach slabych bior,! udzial ich czysci zyg. "Anty" wszystkich tych cz'!stek traktujemy jako "antycz,!stki" i w oddzialywaniach slabych uczestnicz,! ich cZysci zak. Sytuacjy komplikuje fakt, ze w oddzialywaniach slabych bio!,! udzial rowniez obiekty (masywne) 0 spinie 111, a mianowicie bozony W i Z. Posrednicz,! one w slabych oddzialywaniach, odgrywaj,!c role podobne do fotonow w oddzialywaniach elektromagnetycznych (fotony S,! kwantami pol a elektromagnetycznego). Cz'!stki tego rodzaju nazywane S,! czasami "kwantami cechowania", z powodow, 0 ktorych za chwily. Istniej,! dwa rozne bozony W, oznaczane jako W+ i W- (jeden jest antycz'!stk'! drugiego), maj,!ce, odpowiednio, ladunek elektryczny +1 i -1 (w jednostkach odpowiadaj,!cych ladunkowi pozytronu), podczas gdy istnieje tylko jedna nienaladowana cz'!stka ZO (ktora jest swoj,! antycz'!stk'!). Wszystkie bio!,! udzial w slabych oddzialywaniach, a na diagramach Feynmana S,! przedstawiane w postaci linii dol,!czonej, z ktorejkolwiek strony, do cZysci zyg w przypadku leptonu lub kwarka, alba do cZysci zak w przypadku antyleptonu lub antykwarka (zob. rys. 25.11). W procesie kazdego oddzialywania slabego zachowany jest ladunek i liczba leptonowa. Faktycznie, mamy do czynienia z trzema rodzajami liczb leptonowych (elektronowa, mionowa i taonowa), z ktorych kazda, w modelu standardowym slabych oddzialywan, jest zachowana oddzielnie. Bozonom W i ZO przypisujemy liczby leptonow'! zero. Aby siy upewnic na diagramie Feynmana, ze wszystkie te prawa zachowania S,! spelnione, musimy sprawdzic, czy wszystkie cztery rodzaje strzalek tworz'! liniy ci,!gl,! i konsekwentnie zorientowan'!.
612
(al
(bl
(el
Rys. 25.11. Iiustracje oddzialywan mi~dzy cZllstkll zyg a slabo oddzialujllcym bozonem cechowania. (a) Naladowane bozony W+ i W- Geden jest antyczllstkll drugiego) indukujll zmian~ ladunku elektrycznego zyg (aby zapewnie zachowanie ladunku), podczas gdy (b) nienaladowane ZO ladunku nie zmieniajll (ZO jest swojll antycZllstkll). (c) Zyg neutrina moze oddzialywae z nienaladowanym Zoo
Grupa symetrii oddzialywan elektroslabych
25.5
25.5 Grupa symetrii oddzialywaft elektrosfabych Opis tych zjawisk wygl~da dosye skomplikowanie, a przeciei jest to fundamentalna teoria. Rzeczywiscie, to jest skomplikowane, ale u podstaw tego opisu leiy pewna spojna konstrukcja, ktorej jeszcze nie zd~lem objasnie. Do tej pory zaledwie zacZqlem opisywae, w sposob raczej jakosciowy, jak przedstawia siy nasze obecne zrozumienie fizyki cZqstek elementamych, korzystajqc tylko z czysci tego, co zawiera tzw. model standardowy. Ponadto moje uwagi dotyczqce cZqstek biorqcych udzial w slabych oddzialywaniach (i elektromagnetycznych) mialy raczej charakter wyliczenia. W istocie model standardowy unifikuje oddzialywania slabe i oddzialywania elektromagnetyczne w teori~ oddzialywan elektrosfabych. Wystypuje w niej szczegolna symetria lqczqca W+, W-, zO i foton y, zgodnie z grupq SU(2) x U(l) albo, wedlug bardziej precyzyjnego okreslenia 12, U(2) (zob. rozdz. 13.9, jesli czytelnik nie pamiyta, co to za grupy). Wlasnie ta (ukryta) symetria daje nam ow spojny obraz, 0 ktorym mowimy. Roly tej symetrii wyjasniy bliiej w dalszej cZysci rozdzialu. Symetria ta wiqie rowniei kwarki i czysci zyg roinych leptonow. W sposob uproszczony powiedzialbym, ie w konsekwencji wszystkie cZqstki W+, W-, zO i y, moina, przez ciqgly obrot, "przeksztalcie jednq w drugq", wobec czego roine (kwantowe) kombinacje liniowe tych czqstek mogq bye traktowane tak jak same cZqstki! Powiedzialem jui, ie ta "symetria" jest bardzo dziwna i subtelna, szczegolnie ze wzglydu na niezmienniczose oddzialywania elektromagnetycznego wobec odbie, w ktorych zyg i zak uczestniczq w jednakowym stopniu, podczas gdy oddzialywania slabe lamiq symetriy odbiciowq i uczestniczq w nich jedynie cZysci zyg. Co wiycej, fotony mogq odgrywae szczegolnq roly wsrod wszystkich bozonow wystypujqcych w teorii, poniewai Sq cZqstkami bezmasowymi. Istotnie, masa fotonu, pod warunkiem ie jest roina od zera, zgodnie z najbardziej dokladnymi pomiarami jest z pewnosciq mniejsza od 10-20 masy elektronu, a wiyc 5 x 10-26 zmierzonej masy bozonow W i Z. Ponadto bozony W Sq elektrycznie naladowane, podczas gdy foton przeciwnie, nie niesie ze sobq ladunku. Na rys. 25.12 przedstawitem wszystkie moiliwe potrojne wierzcholki diagramow Feynmana zawierajqce wylqcznie bozony cechowania (tzn. W+, W-, ZO lub y). Sq tylko dwie takie moiliwosci, lecz sarno ich istnienie stanowi wyraz nieliniowosci swobodnego pol a cechowania, ktora wynika z faktu, ii grupa cechowania nie jest abelowa i taka wlasnie jest grupa U(2). (Czysta elektrodynamika wywodzi siy z abelowej grupy cechowania U (1) i dlatego nie istnieje analogiczny tylko fotonowy potrojny wierzcholek Feynmana. Takie diagramy prowadzityby do nieliniowosci
yy
Rys. 25.12. Jedyne tr6jcz'!stkowe wierzcholki eJektroslabych oddzialywan miydzy bozonami cechowania, wynikaj,!ce z nieabeJowej natury grupy cechowania. (Linia falista opisuje foton; linia podw6jna bez strzalki odpowiada bozonowi Zo; linie podw6jne z bial,! strzalk'! odpowiadaj,! bozonom w±.)
613
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych
614
bezzrodlowego pola Maxwella. Podobny argument odnosi siy do wierzcholkow n-krotnych, dla n > 2; zob. rozdz. 15.8, 19.2.) Z ograniczonego charakteru zbioru diagramow na rys. 25.12 wynika, ze raczej nie moze istniec zupelna symetria miydzy wszystkimi bozonami cechowania. W jaki sposob mozemy pogodzic to pozornie oczywiste zlamanie symetrii z postawionym celem stworzenia jednolitej symetrycznej teorii? Przede wszystkim powinnismy sobie uswiadomic, ze w diagramach Feynmana ukrywa siy duzo wiycej symetrii, niz siy na pierwszy rzut oka wydaje. W istocie, jesli przyjrzymy sit( im w odpowiedni sposob, to okaZe siy, ze majq one symetriy grupy V(2). Przeanalizujmy najpierw dwa diagramy na rys. 25.12. Aby 1epiej zrozumiec ty ukrytq symetriy, wyobrazmy sobie macierz hermitowskq (zob. rozdz. 13.9) 2 x 2. Niech jej dwa neczywiste elementy diagonalne odpowiadajq ZO i y, natomiast pozostale dwa elementy poza diagonalq - zespolone sprzyzone wzglydem siebie - odpowiadajq W+ i W-. Rzeczywisty charakter elementow diagonalnych ZO i y jest taki sam jak odpowiadajqcych im antyczqstek (linie bez strzalek na rys. 25.12), natomiast sprzyzony zespolony charakter elementow pozadiagonalnych jest odzwierciedleniem faktu, ze W+ i W- Sq swoimi wzajemnymi antyczqstkami (co odpowiada odwroceniu kierunku strzalki przy przechodzeniu od jednej do drugiej). Ogolna transformacja V(2) zastosowana do tej macierzy hermitowskiej (musimy pamiytac, ze oznacza to pomnozenie z lewej strony przez odpowiedniq macierz V (2) i pomnozenie z prawej przez jej odwrotnosc) dokonuje "przemieszczenia" jej elemen tow w scis1e okreslony sposob, ale charakter hermitowski zawsze zostaje zachowany. W bardzo podobny sposob grupa V(l) dziala w teorii elektroslabej Uedyna komplikacja jest zwiqzana z tym, ze musimy dopuscic kombinacjy liniowq elementow diagonalnych ze sladem, ktory w tej identyfikacji jest zwiqzany z "kqtern Weinberga", do czego przejdziemy w rozdz. 25.7). Asymetria, ktorq pozornie dostrzegamy w rzeczywistym swiecie, w odniesieniu do tych czqstek pojawia siy w teorii elektroslabej stqd, ze Natura wybiera pewne specjalne kombinacje liniowe - tzn. szczegolne superpozycje kwantowe tych element6w - ktore wystt(pujq jako rzeczywiste czqstki swobodne. Ale co z innymi wyraznymi przejawami asymetrii w naszych diagramach Feynmana, na ktorych ZO oraz W± mogq byc dolqczone jedynie do linii zyg, podczas gdy y moze byc dolqczone zarowno do zyg, jak i do zak? Tutaj znowu pojawia siy kwestia tego rodzaju: jakie superpozycje Natura dopuszcza jako cz'!stki swobodne? Na przyklad wezmy szczegoln'! superpozycjy ZO i y, nazwijmy jq Y, ktora dostrzega tylko czysc zak czqstki. (Z grubsza biorqc: "wyjmijmy" ZO z y tak, zeby wyeliminowac oddzialywanie zyg, pozostawiajqc jedynie zak.) Gdyby Natura dokonala innego wyboru, moglibysmy odtworzyc nasze poczqtkowe y z ZO i Y, lecz wtedy pojawiloby siy wiele innych mozliwych superpozycji, ktore moglyby rownie dobrze odgrywac roly fotonu. Dlatego nasuwa siy kluczowe pytanie: wedlug jakich kryteriow Natura pozwala nam odkryc pewne szczegolne superpozycje kwantowe jako cz'!stki swobod-
Grupa symetrii oddzialywan elektroslabych
25.5
ne, a innych nie? Zasadniczo odpowiedz tkwi w tym, ze w przypadku cZqstki swobodnej wymagamy, by realizowala ona stan wlasny masy, a zatem musimy wiedziee, co determinuje w ogolnym przypadku masy czqstek. W takim razie nie mozemy oczekiwae pelnej symetrii wzglydem grupy U(2); innymi slowy, pojawienie siy masy jest zwiqzane zjakimszlamaniem symetrii. lak to siy przedstawia w modelu standardowym? Zwykle uwaza siy, ze ta asymetria, ktorq obecnie obselWUjemy w oddzialywaniach cZqstek, jest rezultatem pewnego spontanicznego zlamania symetrii, z wczesnego okresu rozwoju naszego WszechSwiata. Zanim to nastqpilo, warunki panujqce we WszechSwiecie byly istotnie rozne od tych, ktore obecnie postrzegamy, a standardowa teoria oddzialywan elektrostabych glosi, ze w nadzwyczaj wysokich temperaturach, jakie wystypowaly we wczesnym okresie rozwoju, symetria U(2) byla spelniona dokladnie. W takich warunkach W+, W-, ZO i Y bylyby najzupelniej ekwiwalentne wielu innym zbiorom superpozycji kwantowych stanow tych cZqstek, a foton y bylby traktowany na rowni z wszelkiego rodzaju kombinacjami liniowymi, jakie mozna by w ten sposob utworzye. lednak zgodnie z tq hipotezq wraz z obniZeniem siy temperatury Wszechswiata (do okolo 1016 K po uplywie mniej wiycej 10-12 sekundy po Wielkim Wybuchu; zob. rozdz. 28.1-3) te szczegolne W+, W-, ZO i y, ktore dzisiaj obselWUjemy, zostaly "wymrozone" przez proces spontanicznego lamania symetrii. Z tego calkowicie symetrycznego zbioru rozmaitych mozliwosci wydzielone wiyc zostaly cztery cZqstki, z ktorymi mamy do czynienia. Trzy z nich uzyskaly masy, Sq to dzisiejsze W+, W- i ZO, podczas gdy czwarta pozostala bezmasowa i nosi nazwy fotonu. W pieIWotnej, "czystej", niezlamanej wersji tej teorii, gdy wystypowala pelna symetria U(2), zarowno W+, W-, ZO, jak i y musiaty bye efektywnie bezmasowe. lako fundamentalny aspekt tej hipotezy lamania symetrii pojawia siy cZqstka/pole znane pod naZWq cZqstki/pola Higgsa. Pole Higgsa uwaza siy za odpowiedzialne za przyporzqdkowanie masy wszystkim tym cZqstkom (tqcznie z samq czqstkq Higgsa), a takZe kwarkom, z ktorych zlozone Sq inne cZqstki wystypujqce we WszechSwiecie. W jaki sposob pole Higgsa tego dokonuje? Peine przedstawienie szczegotow tych nadzwyczaj pomyslowych i godnych podziwu koncepcji musi pozostae poza zakresem tej ksi,!zki, ale niektore ich elementy przedstawiy pozniej, w rozdz. 26.11 i 28.1. W tej chwili najlatwiej zrozumiemy roly pola Higgsa (aczkolwiek w sposob dalece niepelny), odwolujqc siy do "zygzakowego" opisu elektronu Diraca, przedstawionego na rys. 25.2. Przypomnijmy wiyc, ze elektron rozpatrywalismy tam jako ciqgte oscylacje miydzy lewoskrytnq cZysci,! zyg (aA) a prawoskrytnq zak (/3B')' przy czym kazda z nich osobno byla bezmasowa. Wystypowata tam "stata sprzyzenia" 2-l/2M odpowiedzialna za wzajemne przechodzenie, jedna w drugq, tych czysci spinora Diraca. Teoria Higgsa kaie patrzee na 2-1!2M jako na pole - pole Higgsa - ktore wchodzi w oddziatywanie w tym miejscu, w ktorym poprzednio pojawiala siy ta stala sprzyzenia (zob. rys. 25.13). Jej wartose pozwala ustalie ogoln,! skaly wartosci mas wszystkich cZqstek, przy czym roznice poszczegolnych mas zwiqzane Sq z czynnikami 615 liczbowymi, zaleznymi od detali charakterystycznych dla kaidej konkretnej czqstki.
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych
,,
,
Rys. 25.13. W zygzakowym obrazie cZ'lstki Diraca wierzcholki tego diagramu moina uwaiac za oddzialywania ze (stalym) poJem Higgsa.
BliZsze om6wienie tych niezwyklych idei znajdziemy w rozdz. 28.1-3. Warto pamiC(tac, ze dziC(ki nim powstala jednolita teoria oddzialywan slabych i elektromagnetycznych - teoria oddzialywan elektroslabych 13 - i okazala siC( wielkim sukcesem. Potrafila ona przewidziec istnienie ZO Oak r6wniei W±, aczkolwiek istnienie W± przewidywaly juz wczeSniejsze koncepcje), a takZe szczeg6lne wartosci mas W± i ZO (okolo 80 i 90 Gev, odpowiednio)14. Cz'!stki W± i ZOzostaly po raz pierwszy zaobserwowane w 1983 roku w eksperymencie przeprowadzonym w CERN w Genewie. Wyznaczone wartosci mas bardzo dobrze zgadzaly siC( z przewidywaniami teorii i wynosily odpowiednio 81,4 i 91,2 Ge V. Przy tej okazji potwierdzono tei obserwacyjnie wiele innych przewidywan teorii i obecnie teoria oddzialywan elektroslabych rna bardzo mocn,! pozycjC(.
25.6 Czqstki silnie oddziafujqce
616
Ajak przedstawia siC( sprawa oddzialywan silnych? Wsp6lczesna teoria, kt6raje opisuje, stanowi drug,! "polowC(" modelu standardowego i nazywana jest chromodynamikq kwantowq lub kr6tko QCD. Nazwa ta zaskakuje, poniewaZ pochodzi od greckiego slowa chroma - "kolor" i dlatego nasuwa siC( pytanie: jakie moze byc miejsce "koloru" w teorii silnych oddzialywan, kt6re rz,!dz,! silami j,!drowymi? Jest to po prostu niezbyt precyzyjne okreslenie i nie rna zadnego zwi(!Zku z normalnym rozumieniem koloru, kt6re odnosi siC( do czC(stosci drgan widzialnego Swiatla15. Abywyjasnic, jak,! rolC( moze odgrywac pojC(cie "koloru" w O,!drowej) fizyce cz,!stek, musimy cofn,!c siC( troszkC( i rozwaZyc zbi6r cz,!stek znanych pod nazw,! hadronow, kt6rych szczeg6lnymi przykladami S,! neutrony i protony. Slowo "hadron" jest pochodzenia greckiego, a hadros znaczy "gruby, duZy". Hadrony nalez'! do bardziej masywnych podstawowych cz'!stek Przyrody i uczestnicz,! w silnych oddzialywaniach (energetyczny wklad tych oddzialywan odpowia-
Czqstki silnie oddzialujqce
25.6
da za znaczn"! czt(se ich masy). Rodzina hadron6w zawiera te fermiony, kt6re okreslamy mianem "barion6w", oraz te bozony, kt6re nazywamy "mezonami". W teorii konwencjonalnej uwaza sit(, ze wszystkie hadrony s,,! zlozone z kwarkow, 0 kt6rych zaraz powiemy wit(cej. W szczeg61nosci hadron ami wystt(puj,,!cymi pod nazw,,! barionow s,,! zwykie "nukleony" (neutrony i protony) oraz ich cit(zsi kuzyni, nosz,,!cy nazwt( "hiperon6w" (cz"!stki te zostaly odkryte w strumieniach promieni kosmicznych oraz w akceleratorach cz,,!stek). Istnienie mezon6w przewidziai teoretycznie w 1934 roku japonski fizyk Hideki Yukawa na podstawie analizy sit j,,!drowych. Mezony te, nazywane dzisiajpionami (mezonami n), znalezione zostalyw 1947 roku przez c.F. Powella w badaniach slad6w promieni kosmicznych. Dzisiaj znamy jui wiele innych mezon6w, pokrewnych pionom. Termin "barion" pochodzi od greckiego barys, co znaczy "cit(zki", w przeciwienstwie do "leptonu", kt6ry pochodzi od leptos - "maly". Leptonami s,,! elektron i jego cz"!stki siostrzane, takie jak mion, taon oraz odpowiadaj,,!ce im neutrina; ich antycz"!stki okreslane s,,! mianem antyleptonow. Zar6wno leptony, jak i bariony s,,! fermionami 0 spinie Leptony odr6znia od barion6w fakt, ze nie bior,,! one udzialu w silnych oddzialywaniach, co jest moze bye gl6wnym "powodem", dla kt6rego leptony nie s,,! tak masywne jak bariony (chociai wyj"!tkiem jest tu taon, kt6rego masa jest prawie dwa razy wit(ksza od masy protonu lub neutronu). Od konca lat 40. ubieglego wieku w promieniach kosmicznych i akcelerato"had ronow: ' AO, ",± ~- ~O A++ A± AO grac h 0 dkryto ogromn,,! 1'1osc """ , ",0 """ , .:::. , .:::. ,u , u , u , , p°, p± ,w°, TlO, K±, KO oraz szereg cit(zszych wersji wielu z nich, charakteryzuj,,!cych sit( wyzszym spinem (co tutaj bt(dziemy zaznaczali przez dodanie gwiazdki do odpowiedniego symbolu, np. S*-), 0 kt6rych m6wimy jako 0 "rekurencjach Reggego" (zob. rys. 31.6). Wszystko to mogloby nas kompletnie zniecht(cie, gdyby nie fakt, ze cz"!stki te grupuj,,! sit( w pewne rodziny, nazywane multipletami. Naturt( multiplet6w udalo sit( zrozumiee (dokonali tego Murray Gell-Mann i Yuval Ne'eman w 1961 roku) dzit(ki temu, ze tworz"! one reprezentacje grupy SU(3) albo, scislej m6wi,,!c, grupy SU(3)/Z3 (zob. rozdz. 13.6, gdzie wyjasniamy pojt(cie "reprezentacji", oraz rozdz. 13.2, w kt6rym przedstawiamy pojt(cie "grupy ilorazowej", co zaznaczamy za pomoc,,! symbolu "dzielenia" /. Tutaj Z3 oznacza grupt( cykliczn,,! 0 3 elementach, kt6ra pojawia sit( w spos6b naturalny, jako podgrupa normalna grupy SU(3)f2S.31; zob. r6wniez rozdz. 5.4, 5). Najlepszym sposobem zrozumienia pojt(cia reprezentacji jest przyjycie hipotezy (postawilij,,! explicite Zweig i Gell-Mann w 1963 roku), ze kazdy hadron ziozony jest z pewnych podstawowych element6w 0 spinie Elementy te Gell-Mann ochrzcil mianem "kwark6w" (trzy rodzaje) oraz "antykwark6w" (teZ trzy rodzaje). Uwaza sit(, ze kazdy barion jest zbudowany z dokladnie trzech kwark6w, a kazdy mezon sklada sit( z jednego kwarka i jednego antykwarka. Te trzy rodzaje kwark6w r6zni,,! sit( mit(dzy sob,,! zapachem i nosz"! nazwy: kwark "u", kwark "d" i kwark
t.
t.
.e [25.3] Wyznacz ty podgrupy normalnq. TfSkaz6wka: pomysl 0 wyznaczniku macierzy 3 x 3.
617
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych
dziwny - kwark "s"[']. Tajemnicz,! wlasciwosci,! kwark6w jest posiadanie przez nie ulamkowego ladunku elektrycznego (jesli potraktujemy ladunek protonu jako jedi nostkt(). Kwarki u, dis maj,!, odpowiednio, ladunki Bye moze ze wzglt(du na te nieprawdopodobne wartosci ich ladunk6w elektrycznych, a takZe dlatego, ze nie udale sit( zaobserwowae oddzielnych kwark6w (wszystkie znane cz'!stki maj,! calkowite wartosci ladunk6w elektrycznych; zob. rozdz. 5.5) - pocz'!tkowo nie traktowano kwark6w jak rzeczywiste cz'!stki. S'!dzono, ze przedstawiaj,! one jedynie wygodny spos6b "ksit(gowania" r6znych reprezentacji grupy SU(3)/Z3' Aby jednak takie "ksit(gowanie" moglo bye skuteczne, naleiy przyj,!e, ze kwarki, jako cz'!stki 0 spinie podlegaj,! "zlej statystyce". Inaczej m6wi,!c, aby prawidlowo skonstruowae odpowiednie multiplety, naleiy kwarki traktowae jak bozony, podczas gdy na mocy twierdzenia 0 zwi,!zku spinu ze statystyk,! powinny bye uwazane za fermiony (zob. rozdz. 23.7 i 26.2). Aby zrozumiee sens tej ostatniej uwagi, rozpatrzmy dwa przyklady. Najbardziej klarowny jest przypadek dekupletu 10 cz,!stek 0 spinie kt6rego analiza doprowadzila w 1962 roku Gell-Manna i Ne'emana do przewidzenia istnienia cz,!stki g- (wszystkie pozostale cz'!stki z tego multipletu byly juz wczesniej znane). Te przewidywania zostaly potwierdzone doswiadczalnie w 1964 roku 16 :
t, -t -to
t,
t,
~++ ~+ ~o ~-
3*0 g*-
Sens takiego ukladu stanie sit( jasny, jesli potraktujemy kazd,! cz'!stkt( jako zlozenie trzech kwark6w 0 r6znych zapachach; za16zmy, ze litera "u" oznacza kwark u, "d" - kwark d, a "s" - kwark dziwny[25.4]: uuu uud udd ddd uus uds dds uss dss sss Ot6z wszystko to dobrze dziala, pod warunkiem ze trzy kwarki znajduj,! sit( w symetrycznym stanie kwantowym. Oznacza to, na przyklad, ze stan uud nie r6zni sit( od stanu udu. Co wit(cej, stany, w kt6rych wystt(puj,! dwa identyczne kwarki, jak na przyklad uuu lub uud, nie znikaj,! tozsamosciowo, co musialoby sit( zdarzye, gdyby
618
[*] Te trzy zapachy (flavours) pochodzl! od angielskich terminow: u - od up, d - od down is - od strange (dziwny). Kwark "u" nazywany tez bywa "kwarkiem gomym", a kwark "d" - "kwarkiem dolnym" (przyp. dum.). lD [25.4] Sprawdi, czy w ten sposob otrzymujemy prawidlowe wartosci ladunkow elektrycznych, zgodnie z tymi, ktore zaznaczono przez wskainiki g6me w pierwszym schemacie.
"Kwarki kolorowe"
25.7
stany byly antysymetryczne i podlegaly zakazowi Pauliego. Fakt, ze spin danego stanu wynosi oznacza, iZ spiny wszystkich trzech kwarkow (kazdy z nich rna spin Sq tak sarno skierowane, a zatem wystC(puje pelna symetria spinowej czC(sci funkcji falowej tego stanu. Gdyby kwarki zachowywaly siC( jak fermiony, wowczas przy zamianie polozen kwarkow mielibysmy do czynienia z antysymetriq, a nie z symetriq, a to nie zgadzaloby siC( z przedstawionym modelem[25.5l. Podobne rozumowanie (aczkolwiek nieco bardziej zlozone) mozna przeprowadzie w przypadku bardziej skomplikowanej sytuacji, ktora powstaje w zwiqzku z oktetern 8 czqstek 0 spinie do ktorego nalezq zwykly proton (N+) i neutron (N°t:
t)
t,
t,
N+
N°
~+ ~oAo
~
W tym przypadku powinnismy uWaZae, ze ~o i AO zajmujq w zasadzie "to sarno miejsce" w centrum tego heksagonalnego schematu. Przyczynq pojawienia siC( takiego ukladu jest fakt, ze wypadkowy spin tych stanow wynosi z czego wynika, ze spiny dwoch kwarkow mUSZq bye rownolegle, a jeden antyrownolegly do nich. Istniejq wiC(c dokladnie dwie niezaleine kombinacje, ktore pozwalajq uzyskae stan uds, przedstawiony w srodku schematu (odpowiadajqce parze ~o i AO); nie rna takiej moiliwosci dla stanow uuu, ddd i sss, co wyjasnia, dlaczego schemat rna ksztalt heksagonalny, a nie trojkqtny, oraz tylko jedna mozliwose dla stanow pozostalych[25.6l.
t,
25.7 "Kwarki kolorowe" W jaki sposob moiemy traktowae kwarki jako rzeczywiste cZqstki, skoro w ich przypadku nie dziala twierdzenie 0 zwiqzku spinu ze statystykq (zob. rozdz. 23.7 i 26.2)? W modelu standardowym rozwiqzujemy ten problem tak18, ze iqdamy, aby zapach kaidego kwarka pojawial siC( w trzech "kolorach", w wyniku czego kaida czqstka zloiona z kwarkow moie bye w stanie calkowicie antysymetrycznym w "kolorowych" stopniach swobody. Ta antysymetria odnosi siC( td do samych stanow kwarkowych, wobec czego antysymetria miC(dzy poszczegolnymi (fermionowymi) kwarkami staje siC( w koncu symetriq w odniesieniu do czqstki skladajqcej siC( z trzech
~
[25.5] Wyjasnij to w spos6b bardziej kompletny, korzystajqc z zapisu 2-spinorowego dla spin6w kwark6w, jak w rozdz. 22.8, oraz wprowadzajqc nowy 3-wymiarowy "indeks SU(3)", kt6ry przyjmuje wartosci u, dis. 1m [25.6] Sprawdi, czy potrafisz wyja§nic to wszystko szczeg610wo. Jesli masz zamiar posluiyc siy 2-spinorowymi indeksami spinowymi, to niezbydna jest pewna ostromosc. Antysymetria pary takich indeks6w pozwala na jej usuniycie Oak w przypadku stan6w 0 spinie 0, przedstawianych jako para czqstek 0 spiniet,jakw rozdz. 23.4). Tutajjednakistnieje jeszcze (ukryta) symetria, poniewai kaidy kwark moze wystypowac tylko w dwu niezalemych stanach spinowych.
619
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych
kwark6w[25.71. Te kolory nie ujawniaj,! siy nigdy w przypadku swobodnych cz,!stek, zatem kolor jest wlasnosci,! zasadniczo "nieobserwowaln,!". Kazda cz'!stka swobodna musi bye "kolorowo obojytna". Nie znamy na przyklad trzech r6znych wersji cz'!stki ~+, w zaleznosci od tego, z jakim kolorem wystypuje kwark d w "uud". W przypadku konkretnej cz'!stki zapewnia to antysymetria w kolorowym stopniu swobody[2s.81. Te "kolory" S,! niekiedy opisywane jako "czerwony", "bialy" i "niebieski", co wydaje mi siy zar6wno niewlasciwe (poniewaZ nie potrafiy myslee 0 bielijako 0 kolorze), jak i wskazuj'!ce na pewien rodzaj zle pojytego patriotyzmu. Czasami kolory te okresla siy jako "czerwony", "zielony" i "niebieski", co juz jest lepsze. Poniewaz jednak miydzy "kolorem kwarka" a receptorami barw w oku nie rna zadnego, naukowo uzasadnionego zwi,!zku, bydy tutaj uiywal "czerwonego" (R - jak red), "z6ltego" (Y - jakyellow) i "niebieskiego" (B - jak blue). W takiej terminologii latwiej "mieszae" moje kolory i przekonamy siy, ze "pomaranczowy", "zielony" i "purpurowy" (rozpatrywane jako superpozycje kwantowe oryginalnych R, Y i B) mog,! bye wykorzystane z powodzeniem jako zbi6r wyjsciowy. Istotnie, obserwujemy tu symetriy, kt6ra prowadzi dalej nu tylko do przestawiania kolor6w. Naleiy siy spodziewae pelnej 8-wymiarowej rzeczywistej grupy SU(3) symetrii kolorowej, w kt6rej R, Y i B stanowi,! tylko jeden zbi6r element6w bazowych przestrzeni wektorowej, na kt6q dziaiaj,! macierze grupy SU(3) (zob. rozdz. 13.9). Na tym etapie wprowadzenie owych nieobserwowalnych "kolorowych" stopni swobody wydaje siy dose sprytne, ale budzi tez mieszane uczucia, poniewaz mamy teraz dziewiye kwark6w podstawowych (wraz z r6znymi antycz'!stkami i superpozycjami kwantowymi): zaden z nich nie moze bye bezposrednio obserwowany. W rzeczywistosci, w modelu standardowym, sytuacja jest "dwukrotnie gorsza", poniewaZ musimy wprowadzie jeszcze trzy dodatkowe kwarki "smakowe", nazywane (z r6wnym brakiem wyobrazni): "powabny" (c), "denny" (b) i "szczytowy" (tfl. W ten spos6b mamy dziewiye dodatkowych: daje to w sumie osiemnascie niezaleinych kwark6w, z kt6rych zaden nie jest bezposrednio obserwowalny.
620
~ [25.7] Wyjasnij sens tej uwagi, posiuguj,!c si y zapisem indeksowym, w ktorym oprocz 3-wymiarowych indeksow zapachowych, jak w ewiczeniu [25.5], pojawiaj,! si y 3-wymiarowe indeksy kolorowe grupy SU(3). ~ [25.8] Wyjasnij to. [*] (C) - od angielskiego charm - powab; (b) - od bottom - dolny; (t) - od top szczyt. W literaturze spotyka si y tez inne nazwy: (b) od beautiful- piykny, (t) od trueprawdziwy (przyp. dum.).
"Kwarki kolorowe"
25.7
Gdyby jedynym poZytkiem takiej operacji - wprowadzenia hipotetycznych nieobserwowalnych cz,!:stek - mialo byc pokazanie zwi,!:zku spinu ze statystyk'!:, bylby to schemat zdecydowanie sztuczny. Tymczasem ta kompletna nieobserwowalnosc "swobodnych" kolorow kwarkow przynosi zysk wielokrotny! Okazuje siy bowiem, ie nieobserwowalnosc, wraz z scisle z ni,!: zwi,!:zan,!: "niezlaman,!:" natur,!: kolorowej symetrii SU(3), daje moiliwosc zastosowania tej symetrii jako podstawy kapitalnej idei koneksji cechowania, ktor'!: opisywalismy w rozdz. 15.1,8. Przypomnijmy sobie, ie w taki sposob opisujemy oddzialywania elektromagnetyczne, w ktorych grup,!: cechowaniajest grupa U(I); zob. rozdz. 19.4, 21.9 i 24.7. I rzeczywiscie, symetriy U(I), ktora jest symetri,!: cechowania oddzialywan e1ektromagnetycznych, uwaiamy za dokladn,!: i niezlaman,!:19. Zwrocmy uwagy, ie u samej podstawy idei wi,!:zek wloknistych, przedstawionej w rozdz. 15, leZy istnienie pewnej grupy dokladnej symetrii dzialaj,!:cej na wloknach. Hadronowa SU(3), "grupa kolorow" silnych oddzialywan, jest wlasnie tak,!: grup,!: dokladnej symetrii, analogiczn,!: do grupy U(I), ktora stanowi grupy cechowania oddzialywan elektromagnetycznych. Uogolnieniem elektromagnetyzmu, opartego na koneksji cechowania dla abelowej grupy U(I), jest teoria Yanga-Millsa 20 , oparta na koneksji cechowania dla grup nieabelowych, takich jak SU(2) lub SU(3). I to jest rzeczywiscie podstawa QeD (chromodynamiki kwantowej). Podobnie jak w przypadku elektromagnetyzmu, moiemy uZyc wielkosci odpowiadaj,!:cej potencjalowi e1ektromagnetycznemu Aa do zmodyfikowania pochodnej a/ax a i w dzialaniu na pol a kwarkowe wprowadzic odpowiednie pojycie "operatora pochodnej kowariantnej" (podobnie do ajax a - ieA a w teorii e1ektromagnetyzmu), ktore daje nam koneksjy wi,!:zki (zob. rozdz. 15.8 i 19.4). Poniewai przestrzen kolorowa jest 3-wymiarowa, sytuacja komplikuje siy bardziej nii w przypadku elektromagnetyzmu, w ktorym mielismy zagadnienie l-wymiarowe, wobec tego wygodnie jest wprowadzic indeksy odpowiedzialne za te dodatkowe stopnie swobody. Najbardziej istotn'!: roinicy miydzy przypadkiem elektrodynamiki i oddzialywan silnych stanowi fakt, ie U(I) jest grup,!: abelow,!: (a wiyc przemienn'!:; zob. rozdz.13.1), a grupa kolorowa SU(3) jest nieabelowa, w zwi,!:zku z czym teoria ta jest nazywana nieabelowq. teoriq. cechowania. Wynikaj,!: z tego skomplikowane, lecz interesuj,!ce wlasciwosci. Aby uzupelnic informacje, odsylam czytelnika do literaturfl, ale zasadnicze elementy opisu silnych oddzialywan zostaly tu przedstawione. "Bozony cechowania" chromodynamiki kwantowej - analogony fotonow dla grupy SU(3) - nosz'!: nazwy gluonow. W przedstawieniu za pomoq diagramow Feynmana linie gluonowe l'!:cz'! siy z liniami kwarkow w taki sam sposob, jak linie fotonowe l'!:cz'! siy z liniami naladowanych cz'!:stek (rys. 25.14a). Nieabelowy charakter grupy SU(3) przejawia siy w tym, ie linie gluonowe same maj,!: "ladunek kolorowy", wobec czego moiliwe S,!: trzykrotne (i wiycej) gluonowe wierzcholki diagramow Feynmana (rys. 25.14b), a wittc zjawisko, ktore nie moie zajsc w abelowym przypadku elektromagnetyzmu.
621
25
Model standardowy fizyki
cz~stek
elementarnych Rys. 25.14. Gluony S,! "bozonami cechowania" w QeD. (a) Wymiana gluonu mi<,:dzy kwarkami (narysowanymi tutaj bez ukazania ich zygzakowej struktury) stanowi istot<,: sil j,!drowych i uwi<,:zienia kwark6w. (b) Poniewai: teoria cechowania jest nieabelowa, a linie gluonowe same maj,! "Iadunek kolorowy", grafy Feynmana mog,! zawierac potr6jne wierzcholki gluonowe (por. rys. 25.12).
y H (a)
(b)
W modelu standardowym zatem zasadnicza rola grupy SU(3), jak,! odgrywala w latach 60. i 70. ubieglego wieku, nie sprowadza siy juz do opisu "symetrii zapachowej", lecz, w obecnej wersji, do opisu "symetrii kolorowej". W modelu standardowym trzy zap achy d, u i s nie tworz'! juz rodziny podstawowej. Zamiast niej mamy obecnie trzy rodziny dublet6w (d, u), (s, c), (b, t). To sarno odnosi siy do lepton6w, wsr6d kt6rych mamy rodziny: elektronow'!, mionow,! i taonow'! (z odpowiadaj,!cymi im neutrinami). W calym modelu standardowym mamy do czynienia ze skomplikowanymi relacjami miydzy oddzialywaniami silnymi i elektroslabymi. W szczeg6lnosci istniej,! swego rodzaju "k,!ty obrot6w" miydzy podstawowymi element ami rozpoznawanymi przez oddzialywania silne oraz tymi, jakie rozpoznaj,! oddzialywania slabe. Przykladem moze bye mezon KO, kt6ry powstaje w wyniku zderzenia protonproton przy wysokich energiach. mezonie KO m6wimy, ze jest stanem wlasnym oddzialywan silnych. Jednak kiedy KO sam siy rozpada, w6wczas jest to rozpad slaby, wobec czego musimy go uwazae za liniow,! kombinacjy kwantow'! dwu stan6w wlasnych oddzialywan slabych, kt6rymi S,! KL (K - dlugi, L od long) i ~ (K kr6tki, S od short). (KL zwykle rozpada siy na trzy piony w ci,!gu okolo 5 x 10-8 sekundy, podczas gdy ~ przechodzi zwykle w dwa piony w znacznie krotszym czasie 10-10 sekundy.) Kazdy KL i ~ jest kombinacj,! liniow,! KO i jego antycz'!stki :i(l, w jak,! "przeskakuje" w wyniku oddzialywania slabego, ale nie w wyniku oddzialywania silnego. "Obrot" miydzy stanami bazowymi oddzialywania silnego KO, :[(0 a stanami bazowymi oddzialywania slabego Ku ~ dokonuje siy 0 (abstrakcyjny) k,!t nazywany kqtem Cabibbo (okolo 0,26 radiana). Ten sam k,!t pojawia siy w roznych relacjach miydzy oddzialywaniami silnymi a slabymi. W podobny spos6b w relacjach miydzy oddzialywaniami slabymi a elektromagnetycznymi pojawia siykqt Weinberga albo, inaczej, kqt slabego mieszania (rozdz. 25.5), ktory jest istotnym elementem teorii oddzialywan elektroslabych. Istotnie, najbardziej imponuj,!ce potwierdzenia slusznosci teorii oddzialywan eiektroslabych polegaj,! na tym, ze udalo siy znaleze eksperymentaine wartosci tego k,!ta na drodze roznych Uak siy wydaje, niezaleznych) obserwacji, ktore dobrze siy ze sob,! zgadzaj,!. Mimo to zgodnie z obecnymi pogl,!dami miydzy k,!tem Cabibbo a k,!tem Weinberga jest istotna r6znica. Oddzialywania slabe i elektromagnetyczne S,! juz obecnie pol,!czone w jednolitej teorii i mozna przyj,!e pogl,!d, ze k,!t Weinberga pojawil siy w wyniku "zamrozenia" w momencie "zlamania" symetrii U(2) (opisu-
°
622
Wyjscie poza model standardowy?
25.8
j,!cej oddzialywania elektroslabe) okolo 10-12 sekundy po Wielkim Wybuchu. K,!t Cabibbo nie rna takiego statusu w modelu standardowym, poniewaz nie wiadomo, jak w tym modelu mozna by dokonac unifikacji oddzialywan elektroslabych i silnych. Za podstawow'! grupy symetrie2 calego modelu standardowego uwaza siy dzisiaj grupy SU(3) x SU(2) x U(l)1Z6.
25.8 Wyjscie poza model standardowy?
Mozna by przyj,!c inne spojrzenie na k,!t Cabibbo, podobne do tego, jak patrzymy na k,!t Weinberga, ale wymagaloby to wyjscia poza obecnie przyjyty stan dardowy model fizyki cz,!stek elementarnych. Potrzebowalibysmy do tego modelu unifikuj,!cego oddzialywania silne i slabe w ramach jakiejs wiykszej grupy symetrii, ktora zawieralaby zarowno SU(3), jak i U(2). Tak,! teoriy nazywamy Teori,! Wielkiej Unifikacji, w skrocie TWU. Jak dot,!d nie istnieje ogolnie akceptowana TWU, chociaz podejmowano wiele prob jej stworzenia (glowne proby oparte byly na grupie SU(5), grupie SU(1O) oraz grupie sporadycznej Eg; zob. rozdz. 13.2). W rozdz. 31.14 przekonamy siy, ze rownieZ teoria strun rna znaczenie w rozwi,!zaniu tego zagadnienia. Niektore godne uwagi implikacje pewnych modeli TWU rozwaZymy w rozdz. 28.2. W kazdym razie jest jasne, ze model standardowy nie stanowi "ostatniego slowa" w odniesieniu do fizyki cz,!stek elementarnych, poniewaz zawiera wiele niewyjasnionych cech i problemow po prostu pominiytych, pomimo jego niew'!tpliwych sukcesow. Przede wszystkim wprowadza on 17 niewyjasnionych parametrow, ktore pochodz,! po pro stu z obserwacji (takich jak k,!ty Cabibbo i Weinberga, masy kwarkow i leptonow oraz szereg innych charakterystyk). Wystypuje tez dziwna asymetria miydzy rol,! grup SU(3) i grup U(2), w tym sensie, ze SU(3) traktujemy jako symetriy dokladn,!, podczas gdy U(2) jest powaznie zlamana. Istotnie, uwazam, ze jest cos dziwnego w tym szczegolnym sposobie, w jaki traktujemy U(2) jako symetriy cechowania, i s,!dzy, ze to wymaga znalezienia jakiejs dokladnej, niezlamanej symetrii (zob. rozdz. 15.8). W tym miejscu wlasciwe bydzie odwolanie siy do koncepcji innego rodzaju, roznej od idei TWU, ktora w oryginalny sposob odnosi siy do tego problemu. Koncepcja ta wydaje mi siy szczegolnie atrakcyjna, a powody tego wylozy w rozdz. 33.13. Stworzylo j,! malzenstwo chinsko-brytyjskie: Chan Hong-Mo i Tsou Sheung 'Thun (2002). Wedlug nich kazda (nieabelowa) grupa symetrii cz,!stek elementarnych rna odpowiadaj,!C'! jej grupy dualnq, ktora jest t'! sam,! grup,! abstrakcyjn,! co grupa oryginalna, jednak odgrywa swego rodzaju odwrotn,! roly. Przypomnijmy sobie tensor Maxwella *F dualny wobec tensor a F, wprowadzony w rozdz. 19.2. Moglibysmy sobie wyobrazic koneksjy cechowania "dualn,!" wobec U(l), ktora jako jej krzywizny wi,!zki (zob. rozdz. 15.8) mialaby *F zamiast F. Pomysl polega na tym, zeby zrobic cos podobnego z pozostalymi grupami symetrii modelu standardowego, SU(2) i SU(3). Poniewaz jednak grupy te S,! nieabelowe, nie jest mozliwe
623
25
Model standardowy fizyki cZ'lstek elementarnych
rozpatrywanie odpowiednich krzywizn dualnych po prostu jako krzywizn wiqzek(259 J, lecz potrzebujemy czegos bardziej wyrafinowanego (aby moc rozpatrywae wielkosci "zalezne od drogi"). Jednq z atrakcyjnych cech tego pomyslu jest to, ze grupa i jej grupa dualna odgrywajq jakosciowo rozne role, gdyz jedna z nich jest dokladna, jak SU (3) w QCD (lub U(l) w teorii elektromagnetyzmu), podczas gdy druga jest "zlamana", jak SU(2) w teorii oddzialywan elektroslabych, w ktorej grupa dokladna przewiduje "uwit(zienie kwarkow" (co w przypadku grupy SU(3) oznacza, ze "kolorowo naladowane" kwarki nie Sq w stanie uciec "w szeroki swiat"). Wlasnose ta wiqze sit( z wczesniejszymi pracami t'Hoofta i Weinberga 23 . W teorii Chan-Tsou powinna istniee grupa dokladnej symetrii SU(2) (dualna wobec symetrii zlamanej, jaka pojawia sit( w teorii oddzialywan elektroslabych), opisujqca symetrit( do tej pory niewykrytq, odnoszqcq sit( do analogicznych do kwarkow, uwit(zionych ,,2-kolorowych" skladowych leptonow. (Te subczqstki powinny bye bardzo cit(zkie, co tlumaczyloby, dlaczego nie zostaly jeszcze wykryte i dlaczego leptony, przy zastosowaniu dostt(pnych dzisiaj energii, pojawiajq sit( jako cZqstki punktowe.) Podobnie powinna istniee zlamana symetria SU(3) - dualna wobec kolorowej grupy SU(3) - moglibysmy jq traktowae jako "SU(3)" dla trzech rodzin kwarkow i leptonow, ktorych istnienie jest zagadkowe w konwencjonalnym rozumieniu modelu standardowego. Model Chan-Thou pozwala tez przewidziee wartosci 17 (mniej wit(cej) parametrow modelu standardowego, gdyz 14 z nich daje sit( wyliczye z 3 parametrow dopasowania. Wszystko to wyglqda na znaczqcy krok naprzod, pod warunkiem ze przewidywania modelu zostanq potwierdzone. Zgodnie z obecnym stanem badan, perspektywy Sq obiecujqce. Nie jest dla mnie calkiem jasne, w jaki sposob, w konwencjonalnym rozumieniu modelu standardowego, mozemy traktowae grupt( SU(2) jako grupt( symetrii cechowania, podczas gdy jest to symetria tak powaznie zlamana. Mozna by uwazae, ze ta SU(2) jest przejawem pewnej symetrii "ukrytej", rzeczywiscie dokladnej, ktora dziala tylko "potencjalnie" jako grupa symetrii cechowania, a grupa SU(2) teorii oddzialywan elektroslabych stanowi tylko swego rodzaju zewnt(trznq jej manifestacjt(. (Takie postawienie sprawy nie jest chyba zbyt odlegle od koncepcji Chan-Tsou.) W konwencjonalnym ujt(ciu grupt( SU(2) teorii oddzialywan elektroslabych traktujemy jako symetrit( dokladnq, ktora zostala zlamana w procesach zachodzqcych we wczesnych stadiach rozwoju Wszechswiata. W rozdz. 28 zapoznamy sit( z niektorymi nieprzyjemnymi implikacjami takiego punktu widzenia. Tymczasem jednak, w czt(sci nastt(pnego rozdzialu, zapoznamy sit( z pewnymi egzotycznymi, lecz istotnymi koncepcjami matematycznymi, ktore lezq u podstaw sposobu lamania symetrii w obecnej wersji modelu standardowego.
624
~ [25.9] Czy rozumiesz, na czym polega trudnosc? Wskaz6wka: wyprowadz \ryrazenia na krzywizn y cechowania, tozsamosci Bianchiego etc.
Przypisy Przypisy Rozdzial 25.1 1 Zob. Pais (1986), s. 334, 356, przyp. 25, 26. Rozdzial 25.2 2 Nie wchodzy w szczeg61y, w jaki spos6b r6wnanie Diraca z rozdz. 24.7 moze bye przepisane w formalizmie 2-spinorowym. Zainteresowanego czytelnika odsylam do: Zee (2003), dodatek. R6wniez Weyl wprowadzil 2-spinory w: Weyl (1929). Zob. van der Waerden (1929); Infeld, van der Waerden (1933); Penrose, Rindler (1984), s. 221-223 oraz Zee (2003), dodatek. J Sq to tzw. spinory zredukowane (albo p61spinory), wspomniane w rozdz. 11.5. 4 Zob. Penrose, Rindler (1984, 1986); Infeld, van der Waerden (1933); Laporte, Uhlenbeck (1931). s Zob. Schr6dinger (1930); Dirac (1982a); Huang (1949) albo, bardziej wsp6lczesnie, Hestenes (1990). 6 Czytelnikom zaznajomionym z diagramami Feynmana moja prezentacja, w kt6rej os czasu jest pionowa, moze siy wydawae niepokojqca. Wsr6d specjalist6w od kwantowej teorii pola os czasu zwykle przedstawia siy poziomo. M6j spos6b przedstawiania czasu na osi pionowej jest cZysciej stosowany wsr6d specjalist6w od teorii wzglydnosci i takq opcjy przyjmujemy na wiykszosci diagram6w czasoprzestrzennych (zob. w szczeg6lnosci rozdz. 17). 7 Naprawdy Zycie takich fizyk6w staloby siy duzo tatwiejsze, gdyby zechcieli zastosowae formalizm 2-spinorowy w QED! Zob. R. Geroch (nieopublikowane wyklady na University of Chicago), a takZe rozdz. 34.3. 8 Gdybym mial siy stosowae do mojej wlasnej konwencji, napisalbym w tym miejscu (1 ± iys)1p zamiast (1 ± Ys)1jJ - zob. Penrose, Rindler (1984, 1986), dodatek, jak to zrobiliby inni autorzy. Tutaj dostosowujy siy do zapisu, kt6ry uchodzi za standardowy wsr6d fizyk6w. Rozdzial 25.3 Bye moze jakqs roly odegrala tutaj sugestia Martina Blocka Qest to przekaz Richarda Feynmana); zob. fascynujqcq relacjy Martina Gardnera w jego ksiqzce: Gardner (1990), rozdz. 22. ID R6wnanie to zaproponowal Weyl w 1929 roku i bylo ono znane Diracowi, zanim doszedl do swojego "r6wnania Diraca dla elektronu"; Dirac (1928, 1982b). Pauli zdecydowanie krytykowal r6wnanie Weyla, zarzucajqc mu zwlaszcza, ze nie jest niezmiennicze wzglydem odbie przestrzennych. Niestety, Weyl umarl na rok przed odkryciem ztamania takiej niezmienniczosci w stabych oddziatywaniach, co potwierdzalo stusznose jego teorii. Oba te r6wnania omawia Zee (2003). 9
11
Rozdzial 25.4 Przyjmujemy, ze cZqstki masywne 0 spinie 1 skladajq siy z trzech skladnik6w: lewoskrytnego zyg (skrytnose 1), prawoskrytnego zak (skrytnose -1) oraz "bezskrytnego" (skrytnose 0), powiedzmy, "zog" (2-spinor zyg i 2-spinor zak majq po dwa indeksy, odpowiednio, nieprimowane i primowane, 2-spinor zog rna jeden indeks primowany, a drugi nieprimowany). Mozemy uwazae, ze w tym przypadku w oddzialywaniach slabych posredniczy cZqstka zog.
Rozdzial25.5 12 Grupy ty mozna zapisae jako SU(2) x U(1)/Z2' gdzie symbol /Z2 oznacza: "podzielie przez podgrupy Z2". lednak istnieje wiycej niz jedna taka podgrupa, a zatem ta notacja nie jest wystarczajqco jednoznaczna. Zapis "U(2)" automatycznie uwzglydnia wyb6r wlasciwej podgrupy. (Dziykujy Florence Tsou za ty uwagy.) Wydaje siy, ze powodem, dla kt6rego grupa symetrii oddziatywan elektrostabych nie jest zwykle okreslana jako grupa U(2), jest fakt, iZ
625
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych
nie mozna jej latwo rozszerzyc do pelnej symetrii modelu standardowego. Symetria ta zawiera grupy symetrii oddzialywail silnych SU(3)/Z3' natomiast pelna grupa symetrii jest pewnq wersjq SU(3) x SU(2) x U(1)/Z6; zob. rozdz. 25.7. 13 Teoria oddzialywail elektroslabych zostala opracowana w poinych latach 60. ubieglego stulecia przez Stephen a Weinberga, Sheldon a Glashowa i Abdusa Salama, co przynioslo wszystkim trzem Nagrody Nobla. Zob. Weinberg (1967); Salam, Ward (1959); Glashow (1959); ogolne przedstawienie teorii oddzialywail elektroslabych prezentuje Zee (2003) alba Halzen, Martin (1984); Kaku (1993). 14 GeV oznacza gigaelektronowolt. Giga jest greckim przedrostkiem oznaczajqcym pomnozenie przez 109; elektronowolt jest jednostkq energii, rownq energii, jakq uzyskalby pojedynczy swobodny elektron podczas przechodzenia roznicy potencjalow 1 V (wolta). Wielkosc ta jest rowna okolo 1,6 x 10-19 J (dzula).
Rozdzial25.6 15 Dlugosci fal swiatla widzialnego mieszczq siy w zakresie A= 400-700 nanometrow. Dlugosci fal mozemy zamienic na odpowiadajqce im czystosci za pomocq relacji v = f. 16 Teoriy znajdziemy w ksiqzce: Gell-Mann, Ne'eman (2000). Na stronach 88-92 tej ksiqzki przedstawionajest praca V. E. Barnesa na temat obserwacji Q-, 0publikowana w 1964 roku. 17 W terminologii obowiqzujqcej we wspolczesnej fizyce cZqstek elementarnych symbole N+ i ~ zastqpily stare "p" i "n" na oznaczenie, odpowiednio, protonu i neutronu. Jest to spojne z notacjq dotyczqcq innych cZqstek, gdyz (N+, N°) w schemacie klasyfikacyjnym SU(3) tworzq dublet, podobnie jak (2 0, 2-) etc., i to pozwala nam odnosic siy do nukleonu, generalnie, jako do N. Rozdzial 25. 7 18 Zob. Han, Nambu (1965). 19 Zob. Weinberg (1992). 20 CN. Yang i R.L. Mills sformulowali ty teoriy w 1954 r. ("Physical Review" nr 96, s. 191-195), chociai: podstawowa idea zostala odkryta juz wczesniej (i odrzucona, poniewaz cZqstki cechowania powinny byc bezmasowe) przez Wolfganga Pauliego, bezposrednio po II wojnie swiatowej, oraz przez Ronalda Shawa w 1955 r. Obszernq historiy tej idei przedstawil Abdus Salam (1980) w swoim wykladzie noblowskim. Podstawowym trikiem, jaki siy stosuje, aby obejsc problem "bezmasowosci", jest lamiqcy symetriy "mechanizm Higgsa", 0 ktorym wspominalem w rozdz. 25.5, a ktory przedyskutujemy w rozdz. 26.1l. 21 Zob. Aitchison, Hey (2004), t. 2, alba Zee (2003), gdzie znajdziemy szczegoly techniczne. Ogolny przeglqd koncepcji teorii cechowania zob. w: Chan, Tsou (1993). 22 Zob. przyp. 12. Ogolne przedstawienie modelu standardowego mozemy znaleic w kazdym porzqdnym podryczniku kwantowej teorii pola, na przyklad w Zee (2003). Rozdzial25.8 23 Ta koncepcja Chan-Tsou zostala przedstawiona w pracy: Chan, Tsou (2002); jest ona oparta na wlasnosci zauwazonej w pracy: t'Hooft (1978a).
26 Kwantowa teoria pola 26.1 Fundamentalny status KTP we wsp6fczesnej fizyce teoretycznej
W POPRZEDNIM rozdziale zapoznalismy siy pokrotce z dwudziestowiecznym modelem standardowym fizyki cZqstek elementarnych. Jest to model matematyczny, ktorego przewidywania, w szerokiej klasie zjawisk, Sq zdumiewajqco zgodne z obserwowanymi faktami; wprowadza on takie niezwykle pomyslowe elementy matematyki pozostajqce w glybokiej harmonii z drogami, ktore wybiera Natura. Co prawda, jak to staralem siy pokazae, struktura matematyczna tego modelu wydaje siy dosye skomplikowana i arbitralna. Oczywiscie, znaczna jej czyse wymuszona byla przez twarde fakty fizyki cZqstek elementarnych, bo fizycy zawsze muszq znaleze sposob pogodzenia siy z faktami, z ktorymi konfrontuje ich Natura. I tak bye powinno w przypadku kaidej powaznej teorii zjawisk fizycznych. Sq jednak mocne teoretyczne powody, ktore uzasadniajq wlasnie taki wybor struktury matematycznej modelu standardowego. Od matematycznej spojnosci tych teoretycznych podwalin zaleZy w istotny sposob jego zdolnose przewidywania i objasniania nowych faktow. Teoretycznq diwigniq rozwoju jest kontynuacja analizy problemu, ktory przedstawilismyw rozdz. 24: jak stworzye kwantowq teoriy cZqstek elementarnych zgodnq z wymaganiami szczegolnej teorii wzglydnosci Einsteina? Dowiedzielismy sit( tam, jakie jest znaczenie antyczqstek - wprowadzonych przez Diraca do relatywistycznej teorii kwantowej - a takie dlaczego konieczne jest przejscie do kwantowej teorii pol. W istocie model standardowy to szczegolny przyklad kwantowej teorii pol oddzialujqcych, a jego rozwoj byl uwarunkowany przez mocne wymogi logicznej spojnosci, ktore trudno spelnie w takich teoriach. Aby zdae sobie sprawy ze znaczenia i sily tych wymogow (ktore nadal motywujq nas do rozwijania roznych obecnych spekulatywnych tearii, np. teorii strun), musimy przyjrzee siy nieco blizej strukturze kwantowej teorii pol a (KTP). Pomoze nam to rowniez w lepszym zrozumieniu znaczenia diagramow Feynmana, z ktorymi zetknylismy siy w poprzednich rozdzialach. Ponadto bydziemy mogli spojrzee na antyczqstki z nieco szerszej perspektywy niz ta, z ktorq zapoznalismy siy w rozdz. 23 i 24. Kwantowa teoria pola tworzy istotne podstawy modelu standardowego, jak rownid praktycznie wszystkich innych tearii fizycznych, ktore usilujq zmierzye siy z fundament ami fizycznej rzeczywistosci. Jest zatem konieczne, abysmy poznali
26
Kwantowa teo ria pola
628
ksztalt tej imponuj,,!cej budowli, wyroslej z genialnych intuicji Paula Diraca, ktore przedstawilismy w rozdz. 24. NaieZy tu podkreslie, ze sam Dirac byl glownym inicjatorem KTP, aczkolwiek wazny wklad wniesli takZe Jordan, Heisenberg i Pauli. W czasach gdy teoria ta dopiero powstawala, nie dawala jeszcze jednak rozstrzygajqcych odpowiedzi na wit(kszose interesuj"!cych nas problemow - praktycznie w-Okazdym miejscu jakby wyrastaly ,,00". Potrzeba bylo dalszego wielkiego wkladu Bethego, Tomonagi, Dysona, Schwingera, a przede wszystkim Feynmana, zeby KTP, w wersji okreslanej mianem "renormalizowalnej", zaczt(la przynosie wyniki. Bardziej wspolczesne prace, mit(dzy innymi Warda, Weinberga, Salama, Wilsona, Veltmana i t'Hoofta, doprowadzily nas do skonstruowania odpowiedniej klasy teorii renormalizowalnych, co w efekcie dalo model standardowy fizyki cz"!stek elementarnych (rozdz. 25), dzit(ki ktoremu doczekalismy sit( wreszcie spojnych odpowiedzi na stawiane pytania 1. (Wymagania teoretyczne sprawialy wrazenie tak rygorystycznych, ze wydawalo sit( wprost rzecz"! przypadku, iz otrzymywano wyniki w doskonalej zgodnosci z eksperymentem!) Podstawowym problem em bylo zawsze om init(cie, w jakis sensowny sposob, pojawiaj,,!cych sit( nieskonczonosci i zasadniczo byla to glowna sila napt(dowa, wraz z naplywaj,,!cymi danymi obserwacyjnymi, ktora kierowala rozwojem teorii w odpowiednim, efektywnym kierunku. Istotnie, KTP zdaje sit( podstaw"! wszystkich teorii fizycznych, ktore probuj,,! wnikliwie i solidnie przekazae nam obraz funkcjonowania WszechSwiata. Wielu (a bye moze wit(kszose) fizykow uwaza, ze konstrukcja KTP "jest trwala i pozostanie", a przyczyna pojawiaj,,!cych sit( niekonsekwencji (zwykle s,,! to nieskonczonosci wynikaj,,!ce z rozbieznych calek lub sum alba z jednych i drugich) leZy w konkretnym modelu, do ktorego stosujemy KTP, a nie w samej KTP. Modele takie formulujemy zwykle w jt(zyku lagranzjanow maj,,!cych odpowiednie symetrie. W rozdz. 26.6,10 poznamy ogoln,,! procedurt( stosowania koncepcji lagranzjanu w KTP. Wiele wspolczesnych prob usunit(cia nieskonczonosci z KTP polega na wprowadzeniu grawitacji, po ktorej oczekuje sit(, ze w istotny sposob wplynie na zachowanie sit( czasoprzestrzeni w ekstremalnie maiej skali i w ten sposob dostarczy nam odpowiednich "parametrow obcit(cia" ("cut-offs"), co spowoduje, ze wyrazenia dzisiaj rozbieine stan,,! sit( skonczone (zob. szczegolnie rozdz. 31.1). Pozostaje jednak pytanie, czy przypadkiem sarna KTP nie wymaga modyfikacji, kiedy wprowadzamy do niej (grawitacyjne) zasady og6lnej teorii wzglt(dnosci Einsteina (zob. rozdz. 30). Jak mozna s,,!dzie na podstawie aktywnosci przewazaj"!cej czt(sci badaczy pracuj,,!cych w tej dziedzinie, raczej nie kwestionuje sit( KTP w obecnej postaci i dlatego wypada nam zapoznae sit( dokladnie z jej wyrafinowanymi koncepcjami. Z cal,,! pewnosci,,! nie bt(dt( w stanie podae wielu szczegolow w przedstawieniu tej wspaniaiej, glt(bokiej, trudnej, czasami fenomenalnie precyzyjnej, a niekiedy prowokacyjnie niespojnej teorii zjawisk. Sprobujt( jednak w skrocie pokazae niepowtarzalnose KTP, zanim powroct( do tych wlasciwosci, ktore stanowi,,! teoretyczn,,! podstawt( modelu standardowego.
Operatory kreacji i anihilacji
26.2
26.2 Operatory kreacii i anihilacii Jedn,! z najwczesniejszych idei KTP byla procedura dzisiaj znana pod nieco my1,!C'! nazw'! "drugiej kwantyzacji". Zgodnie z t'! procedur,! traktujemy funkcjy falow'! 1/J jakiejs cz'!stki, jakby sarna byla "operatorem", dzialaj,!cym na jakis tajemniczy wektor stanu, ktory moze bye zapisany jako 10), ukrywaj,!cy siy daleko po prawej stronie formuly (por. z rozdz. 21.3 i obrazem Heisenberga z rozdz. 22.4). Wielkose ty bydy oznaczal pogrubion,! greck,! duz,! liter'! lJ', odpowiadaj,!c,! malej greckiej literze 1/J, ktora oznacza nasz'! jednocz'!stkow'! funkcjy falow'!. Tak jak w zwyklej mechanice kwantowej, lJ'traktujemy jak funkcjy 3-przestrzennych polozen cz'!stki, x, tzn. lJ' = lJ'(x), albo, w reprezentacji 3-pydow p, tzn. jako 'P = 'P(p). W jaki sposob mamy interpretowae ten dziwny "operator funkcji falowej" lJ' (albo 'P)? Nie reprezentuje on teraz aktualnego stanu kwantowego, lecz opisuje operacjy, ktora "kreuje" now'! cz,!stky 0 zadanej funkcji falowej 2 1/J, wprowadzaj'!c j,! do stanu, z jakim mielismy do czynienia wczesniej. Ow "wczesniejszy" stan jest przedstawiony wyrazeniem, ktore znajduje siy bezposrednio po prawej stronie symbolu operatora lJ' (lub 'P). Operator taki nazywamy operatorem kreacji. Tajemniczy wektor stanu 10) na prawym koncu calego wyrazenia uwazamy za "stan prozniowy", w ktorym w ogole nie rna zadnych cz,!stek. Kolejne zastosowanie wielu operatorow kreacji tworzy w takim stanie odpowiedni szereg cz'!stek, dodawanych po jednej do tej prozni, to znaczy, ze lJ'
jest stanem powstalym w wyniku kolejnego wprowadzania cz'!stek charakteryzuj,!cych siy funkcjami falowymi
(), ... , 1>, 1/J. Skoro kazda konkretna cz'!stka musi bye albo fermionem, albo bozonem, fakt ten musi bye jakos uwzglydniony. W szczegolnosci trzeba zapewnie spelnienie zakazu Pauliego, ktory nie pozwala, zeby w tym samym stanie znalazly siy, jeden po drugim, dwa fermiony. W tym formalizmie zakaz Pauliego daje siy wyrazie przez z,!danie lJ'2 = 0 (tzn. lJ'lJ' = 0) dla dowolnej fermionowej funkcji falowej ljJ, k~ore mowi nam, ze jesli sprobujemy dodae do tego stanu dwa razy ty szczegoln'! fermionow,! funkcjy falow,!, to otrzymamy w wyniku zero, czyli nie uzyskujemy dozwolonego stanu kwantowego. Takie sformulowanie zakazu Pauliego jest po pro stu szczegolnym przykladem relacji antykomutacji lJ'
gdzie lJ' i
=
B@.
jil [26.1] Wyjasnij, dlaczego w ten spos6b otrzymujemy poprawne symetrie dla bozon6w i fermion6w, kt6re opisywalismy w rozdz. 23.8.
629
26
Kwantowa teoria pola
Widzimy wiyc, ze operatory kreacji spelniajq reguly (gradowanej) algebry Grassmanna, takiej jak opisana w rozdz. 11.6, w ktorej operatory kreacji fermionow Sq elementami stopnia nieparzystego, a bozonow - stopnia parzystego. Zgodnie z dyskusjq w rozdz. 24.3 funkcje falowe, ktore wprowadzamy do stanu, aby wykreowae w nim jakies cZqstki, muszq bye funkcjami 0 cZystosciach dodatnich. Jednak funkcje 0 cZystosciach ujemnych rownie:i odgrywajq waznq roly w tym formalizmie, mianowicie jako operatory anihilacji. Funkcja if; zespolenie sprzyzona wzglydem funkcji 0 dodatnich cZystosciach 1/J rna czystosci ujemne. Jest zwiqzana z operatorem anihilacji 'P*, hermitowsko sprzyzonym3 wzglydem operatora kreacji 'P (zob. rozdz. 13.9). Interpretacja operatora 'P* jest taka, ze przedstawia on operacjy usuniycia czqstki z calkowitego stanu (przez stan calkowity rozumiemy stan opisany przez cale wyraZenie znajdujqce siy na prawo od operatora 'P *). Poniewaz nasz tajemniczy stan prozni 10), polozony na samym prawym koncu wyrazenia, nie zawiera w ogole zadnych cZqstek, dlatego dzialajqc nan bezposrednio jakimkolwiek operatorem anihilacji, musimy otrzymae zero: 'P*IO) =
o.
Oczywiscie, to nie oznacza, ze dzialanie operatora anihilacji zawsze daje zero, poniewaz rozwazany stan moze zawierae uprzednio wprowadzone czqstki. Na przyklad wyrazenie takie jak 'P* I,
gdzie znak "plus" odnosi siy do fermionow, a "minus" do bozonow, I reprezentuje operator tozsamosciowy, a ( I ) oznacza zwykly iloczyn skalarnyw przestrzeni Hilberta dla poszczegolnych czqstek (przypadek bezspinowy rozwaZalismy w rozdz. 22.3, ale istnieje odpowiednie uogolnienie dla czqstek ze spinem5). Czynnik ik oznacza
!!J!1 [26.2] Wyjasnij sens wszystkich tych relacji (i sprawdz reguly kamutacji dla aperatar6w
630
kreacji i anihilacji cz,!stek danega rodzaju), pasluguj,!c sit( alba zapisem wskaznikawym z rozdz. 23.8, alba zapisem graficznym z rys. 12.17, alba jednym i drugim; skorzystaj z wyrazen typu 1Pa ifJ[aifJP ••• XCl . Znajdz wszystkie czynniki "silnia" niezbt(dne do zapewnienia unormawania stan6w, zar6wna w przypadku fermian6w, jak i bazan6w.
Aigebry nieskonczenie wymiarowe
Przypadek bozonowy
26.3
Przypadek fermionowy
Operator kreacji tp:
ctt.i;
H
Operator anihilacji tp* :
~~:::~
H
~~~:::~
~
Rys. 26.1. Graficzne przedstawienie dzialania operatora kreacji tp w przypadku bozonowym ~ i ... Nv) y c· ,j.,[fJ,j.,Y,j., vi [a,j.,p ,j.,Y ,j., vi. 'hil .. m* H 1/J(a 1p 2' " Nv)·11ermlOnOwym '1'1 '1'2'" 'YN H 1/J '1'1 '1'2 ... 'YN ' oraz operatora am aql T W przypadku bozonowym \a ~ ... ;1 H lPa \a ~ ... ;) oraz fermionowym [; ~ ... ,:1 H lPa [7 ~ ... ;1.
tutaj jednq z liczb 1, i, -1, -i, w zaleznosci od wartosci spinu (ale nie przejmujemy siy tym, ktora ktorq oznacza). Mamy rowniez nastypujqce relacje (anty)komutacji dla dwu operatorow kreacji (takZe uprzednio po dane ) oraz dla dwu operatorow anihilacji (znak "plus" dla fermionow, "minus" dla bozonow): 'I'tP ± tP'I' = 0, '1'* tP * ± tP*'I'*
= O.
NaieZy zauwaZyc, ze twierdzenie 0 zwiqzku spinu ze statystykq, ktore krotko omowilismy w rozdz. 23.7, wymaga relacji antykomutacji (znak "plus" w przedstawionych formulach, a wiyc przypadek fermionowy) dla cZqstek 0 spinach polowkowych (t,~, }, ... ) oraz relacji komutacji (znak "minus", w przypadku bozonow) dla czqstek 0 spinach calkowitych (0, 1,2,3, ... ). Uzasadnienie takiego stanu rzeczy wychodzi poza ramy tej ksiqzki6 • Mozemy jednak powiedziec, ze istota argumentu jest zwiqzana z dodatniq okreslonosciq energii (w przypadku fermionow) oraz z dodatniq okreslonosciq liczby cZqstek (w przypadku bozonow), wraz z kombinatorycznymi wlasnosciami odpowiednich indeksow spinorowych7.
26.3 Aigebry nieskoriczenie wymiarowe
Jest godne uwagi, ze w przypadku fermionow te relacje antykomutacji majq dokladnie takq samq postac algebraicznq jak relacje definiujqce algebry Clifford a, opisywanq w rozdz. 11.5[26.3]. Jedynq istotnq roznicq jest to, ze zwykle algebry Clifforda Sq skonczenie wymiarowe, podczas gdy przestrzen operatorow kreacji i anihilacji, w przypadku pola fermionowego, jest nieskonczenie wymiarowa - przel!!fl [26.3] Objasnij ty strukturt( algebry Clifforda, pokazujqc explicite roIt( iloczynu skalarnego. (Przyjmij reguly definiujqce algebrt( Clifforda w postaci '1p'1q + '1q'1p = -2gpqI). J¥Skaz6wka: gpq nie musi bye diagonaine.
631
26
Kwantowa teoria pol a
632
strzen jednocz'!stkowych funkcji falowych rna nieskonczenie wiele wymiarow. Muszt( ostrzec czytelnika, ze przestrzenie 0 nieskonczonej liczbie wymiarow, chociaz czt(sto analogiczne do przestrzeni skonczenie wymiarowych, mog,! miee istotnie rozne wlasnosci i praca z nimi jest na ogol znacznie trudniejsza. Interesuj,!ce, ze formalizm KTP wprowadza rowniez nieskonczenie wymiarowe wersje pewnych innych typow skonczenie wymiarowych struktur algebraicznych, z jakimi mielismy do czynienia we wczesniejszych rozdzialach tej ksi,!zki. Na przyklad iIoczyn skalarny < I ) jest rzeczywiscie nieskonczenie wymiarow'! wersj,! hermitowskiego iloczynu skalarnego, ktory rozwazalismy w rozdz. 13.9 (por. tez rozdz. 22.3). Faktycznie okazuje sit(, ze w KTP mamy do czynienia nie tylko z hermitowskosci,! (unitarnosci,!), ale wazn,! rolt( odgrywaj,! takZe formy syrnetryczne ("pseudoortogonalnose"), formy antysymetryczne (symplektyczne) i struktury zespolone 8• Zwykle, skonczenie wymiarowe wersje form pseudoortogonalnych i symplektycznych omawialismy w rozdz. 13.8, 10; zwykle skonczenie wymiarowe struktury zespolone byly przedmiotem rozwazan w rozdz. 12.9. Dla KTP szczegolne znaczenie rna spos6b, w jaki pojawiajq sit( w niej (nieskonczenie wymiarowe) struktury zespolone. Przekonalismy sit( juz, ze liczby zespolone, funkcje holomorficzne i przestrzenie wektorow zespolonych odgrywajq fundamentalne role w teorii kwantowej (a co za tym idzie, w podstawowych strukturach naszego swiata). Wydaje sit( jednak, ze ta szczegolna, nieskonczenie wymiarowa struktura zespolona, ktora pojawia sit( w tym miejscu naszej analizy KTP, rna nieco inne znaczenie niz poznane przez nas wczesniej magiczne wlasnosci liczb zespolonych (chociaz jakos wzajemnie z nimi zwiqzane). Wykracza to znacznie poza proste stwierdzenie, ze przestrzenie Hilberta teorii kwantowej Sq zespolone (tzn. ze superpozycje stanow kwantowych wystt(puj,! z zespolonymi wspolczynnikami). Sprobujmy zrozumiee, 0 co tu chodzi. Przypomnijmy jak, w rozdz. 12.9 wprowadziIismy pojt(cie struktury zespolonej. Zespolona przestrzen wektorowa 0 n wymiarach moze bye traktowana jako rzeczywista przestrzen wektorowa 0 2n wymiarach; istnieje w niej operacjaJ, spelniajqca warunek.f = -1, kt6rej dzialanie w rzeczywistej 2n-przestrzeni odpowiada "pomnozeniu przez i" w zespolonej przestrzeni n-wymiarowej. Jej nieskonczenie wymiarowa wersja, odpowiednia dla KTP, wi¥e sit( z przejsciern od pol a klasycznego do pol a kwantowego. Do tego momentu opisywalem zagadnienie w jt(zyku cZqstka/funkcja falowa. Chcemy jednak dowiedziee sit(, w jaki sposob przejse bezposrednio od pola klasycznego do pola kwantowego, poniewaz w koncepcji pol klasycznych nie istnieje klasyczny obraz cZqstki, ktory moglibysrny "kwantowae" zgodnie z procedurami przedstawionymi w rozdz. 21-23. Dobrze jest skupie uwagt( na rnodelowyrn przykladzie pol a elektrornagnetycznego. W tym przypadku sprawt( ulatwia liniowose rownan Maxwella (rozdz. 19.2). Przestrzen rozwiqzan swobodnych rownan Maxwella F (wraz z stosownyrni warunkami znikania w nieskonczonosci, aby zapewnie zbieznose odpowiednich calek) jest nieskonczenie wymiarow'! rzeczywistq przestrzeniq wektorow'!126.41• Sto-
Antyczqstki w KTP
26.4
suj,!c procedury opisane w rozdz. 9.2,3,5, kazde rozwi,!zanie F rownan Maxwella9 mozemy przedstawic w postaci sumy rozwi,!zania odpowiadaj,!cego cZystosciom dodatnim F+ oraz rozwi,!zania F- odpowiadaj,!cego CZystosciom ujemnym: F=F+ +F-.
Dla KTP rozszczepienie na czystosci dodatnie i ujemne rna znaczenie zasadnicze (przypomnijmy sobie uwagi na ten temat zawarte w rozdz. 24.3 i 26.2). OperacjaJ, zastosowana do tej nieskonczenie wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej F, przeksztalca j,! w (nieskonczenie wymiarow'!) zespolon'! przestrzen wektorow'! i w ten sposob pozwala na proste rozwi'!Zanie problemu rozszczepienia cZystosci,J dokonuje tego przez dzialanie na kaZde ze swobodnych pol Maxwella w sposob nastypuj,!CY: J(F) = iF+ - iF-. Stany wlasneJ nalez'!ce do wartosci wlasnej "i" S,! (zespolonymi) polami 0 cZystosciach dodatnich, a stany nalez,!ce do wartosci wlasnej ,,-i" S,! pol ami 0 cZystosciach ujemnych[26.5l . Pola 0 czystosciach dodatnich odpowiadaj,! funkcjom falowym pojedynczych fotonow, ktore chcemy wprowadzic za pomoc,! operatorow kreacji. Istnieje rowniez jawne wyraZenie na iloczyn skalamy, ktorym mozemy siy posluZyc, jesli potrzebujemy unormowania stanow (bydzie to calka po przestrzennopodobnej 3-powierzchni z wyraZenia zawieraj,!cego skladowe pola Maxwella pomnozone przez skladowe potencjalu Maxwella lO ; por. z przypadkiem pola skalamego w rozdz. 21.9 i 22.3). W podobny sposob traktujemy inne pola klasyczne, jednak gdy "rownania pol swobodnych" staj,! siy nieliniowe (jak w przypadku ogolnej teorii wzglydnosci), pojawiaj,! siy powaZne trudnosci. 0 polach nieliniowych mozna powiedziec, ze S,! "samooddzialuj,!ce", i przypisac owe trudnosci problem om zwi'!Zanym z kwantowaniem w obecnosci oddzialywan, czym siy niebawem zajmiemy.
26.4 Antyczqstki
w KTP
Zanim do tego przejdziemy, powrocmy na chwily do zagadnienia antycz'!stek. W rozdz. 24, potem raz jeszcze w rozdz. 26.1, podkreslalem znaczenie koncepcji antycz,!stek w KTP. Ale w jaki sposob uwzglydniamy antycz'!stki w obecnej strukturze KTP? W rozdz. 25.3 zwrocilismy uwagy na fakt, ze pewne cz'!stki s,! swoimi antycz'!stkami, podczas gdy wiykszosc cz,!stek - nie. Z matematycznego punktu widzenia chodzi 0 to, czy operacja sprzyzenia zespolonego zastosowana bezposrednio do pol klasycznych (lub do jednocz'!stkowej funkcji falowej) daje nam w wyniku wielkosc tego samego rodzaju czy nie. W przypadku pola skalarnego problem ~
[26.4] Wyjasnij, jak w tej przestrzeni naleiy rozumiec operacje dodawania i mnozenia przez statq wielkosc skalarnq. ~ [26.5] Pokaz to. (Czy nie trzeba przejmowac sit( takimi subtelnosciami jak "warunki znikania w nieskonczonosci"?)
633
26
Kwantowa teoria pola
ten zwykle (choe niekoniecznie adekwatnie) daje siy sprowadzie do odpowiedzi na pytanie, czy dane pole klasyczne jest polem rzeczywistym czy nie. Pola zespolone uwazamy za pola naladowane, w ktorych zespolony kqt fazowy (czynnik e i8) naleZy traktowae zgodnie z przepisem podanym dla pol cechowania w przypadku oddzialywan elektromagnetycznych, jak w rozdz. 15.8 i 19.4. Sprzyzenie zespolone takiego pola daje nam pole 0 ladunku przeciwnym, a wiyc nie jest to "wielkose tego samego rodzaju" (a zatem na przyklad nie rna sensu dodawanie pol a do pol a do niego sprzyzonego zespolenie). W takich sytuacjach czqstka i jej antycz,!stka s,! z pewnosci,! rozne. J ednak zespolony (czy tez naladowany) charakter pola klasycznego nie stanowi 0 wszystkim. Na przyklad nienaladowany mezon KO rozni siy od swojej antycz,!stki, podczas gdy nienaladowany mezon nO jest identyczny ze swoj,! antycz'!stk'!. W obu przypadkach odpowiadaj,!ce im pol a klasyczne bylyby skalarnymi polami rzeczywistymi. A co z polami spinorowymi (lub fermionowymi)? W przypadku elektronu Diraca jego ladunek elektryczny wystarcza, aby scharakteryzowae pole do niego sprzyzone zespolenie jako pole istotnie rozne od pol a oryginalnego. W sytuacji neutrin natomiast, jesli maj,! masy, otwiera siy przed nami wiycej mozliwosci. Na przyklad w przypadku okreslanym jako pole spinorowe Majorany neutrino (masowe) byloby swoj,! antycz'!stk'!. (Posluguj,!c siy opisem podanym w rozdz. 25, powiedzialbym, ze czyse zyg neutrina bylaby cZysci,! zak antyneutrina i vice ver.sa.) Tymczasem wedlug najnowszych badanll wszystkie neutrina rozni,! siy od swoich antycz'!stek. J ak wiyc formalizm KTP radzi sobie z problemem antycz'!stek? Rozwazmy przypadek, gdy zastosowanie operacji sprzyzenia zespolonego do pola klasycznego - lub do jednocz'!stkowej funkcji falowej - daje nam wielkose 0 innym charakterze, tzn. ze rozwazana cz'!stka kwantowa rozni siy od swojej antycz,!stki. (Przypadek, w ktorym cz'!stka i antycz'!stka nie rozni,! siy od siebie, omowilismy w rozdz. 26.2). Zwykla funkcja falowa 'I/J winna bye funkcj,! 0 czystosciach dodatnich, ale mozemy teraz rozwaZye inn,! wielkose, cp, tego samego typu co 'I/J, ale 0 cZystosciach ujemnych. Wowczas funkcja;P, sprzyzona zespolenie wzglydem cp, bylaby funkcj,! falow'! innego typu niz 'I/J, aczkolwiek zarowno ;P, jak i 'I/J s,! teraz funkcjami 0 cZystosciach dodatnich. Wielkose ;p moglaby bye funkcj,! falow'! stanu jednej antycz'!stki (stan l-antycz,!stkowy). Odpowiednim operatorem kreacji antycz'!stki w tym stanie bytby operator
634
[*] Autor uiywa tutaj okreslenia shadowy state, co nalezaloby raczej przeHumaczyc jako stan pozostajqcy w cieniu, stan zapisywany jako 10), znajdujqcy sit( na prawym koncu odpowiednich wyrazen. Wydawalo mi sit(, ze slowo "tajemniczy" oddaje w jakis spos6b intencje Autora, aczkolwiek jego sens jest precyzyjnie wyjasniony (przyp. Hum.).
Proinie alternatywne
26.5
ani antycz'!stki. Zamiast niego wprowadzimy teraz nowy stan "prozniowy", ktory bydziemy zapisywali jako 117) i ktory oznacza wlasnie "morze Diraca", zapelnione przez same stany elektronowe 0 ujemnych energiach. Rozwazmy teraz przypadek pojedynczego pozytronu, ktory w oryginalnym obrazie Diraca opisywany jest przez pojedyncz,! "dziury" wsrod stanow elektronowych 0 ujemnej energii. Wszystkie pozostale stany 0 ujemnej energii S,! zajyte z wyj'!tkiem tego jednego brakuj,!cego stanu, ktory jest zadany przez pewn'! funkcjy ifJ 0 cZystosciach ujemnych. W kwantowej teorii pola, przy u:i:yciu nowej prozni 117), stan taki mozna przedstawiC jako wynik dzialania operatora anihilacji l/J * na 117), poniewaz operator ow usuwa z tej prozni stan 0 ujemnej energii ifJ, daj,!c w efekcie stan l/J * 117)[26.6]. Gdybysmy poslu:i:yli siy opisem wykorzystuj,!cym pojycie zwyklej prozni 10), wowczas zamiast usuwania stanu elektronowego 0 ujemnej energii ifJ powinnismy wprowadzic stan pozytronowy z funkcj,! falow'! (fi. Uzyskalibysmy to, dzialaj,!c operatorem kreacji l/J na stan 10), co daloby stan l/JIO). Stan ten nie wyglqda tak sarno jak stan l/J*I17), ktory uzyskalismy w jyzyku "morza Diraca", jednak w pewnym sensie oba te stany s,! rownowazne. Oba opera tory, l/J i l/J *, zwi,!zane s,! z dodaniem do stanu calkowitego tej samej wielkosci algebraicznej, a mianowicie szczegolnego wektora (fi w przestrzeni Hilberta l-cz'!stkowych funkcji falowych. Roznica miydzy operatorami l/J a l/J * sprowadza siy do algebraicznego[26.7] sposobu, w jaki wyobrazamy sobie dzialanie tego wektora przestrzeni Hilberta na calkowity wektor stanu. Poniewaz zawsze mozemy skorzystac z relacji antykomutacji i przenie§c operator l/J lub l/J * na prawy koniec wyrazenia, to dzialanie (fi na stan calkowity sprowadza siy do odpowiedzi na pytanie, jak ten wektor wplywa na wybrany stan prozniowy, 10) lub 117), w zaleznosci od tego, ktory z nich znajduje siy na prawym koncu. Informacja ta bydzie cZysci,! odpowiedzi na pytanie, co rozumiemy przez pojycie stanu prozniowego.
26.5 Pr6znie alternatywne Pojawienie siy alternatywnych mozliwosci wyborn naszego "stanu prozniowego" wymaga kilku waznych uwag. Przekonamy siy, ze zagadnienie "alternatywnych prozni" rna duze znaczenie we wspolczesnej KTP. Rozwazmy algebry A, zawieraj,!c,! wszystkie operatory A, jakie mozna utworzyc z wyrazen algebraicznych lub zbie:i:nych szeregow potygowych, skladaj,!cych siy z operatorow kreacji i anihilacji. Rozne propozycje okreslenia stanu prozniowego, powiedzmy 10) i 117), mog,! miec tak,! wlasnosc, ze nie istnieje element A, ktory dzialaj,!c na jeden z tych stanow, 10) ~ [26.6] Wyjasnij, dlaczego w taki spos6b rnozerny usun'!c konkretny stan, niezaleznie od rnoich wczesniejszych rozwazaii na tern at roli operator6w anihilacji. (JfSkaz6wka: zob. ewiczenie [26.2].) ~ [26.7] Odwoiuj,!c si y do ewiczenia [26.2] i rys. 12.18, wykai t y r6znic y; posiuz si y zapisern abstrakcyjno-wskaznikowym lub graficznym.
635
26
Kwantowa teoria pol a
lub I.E), moglby przeprowadziC jeden w drugi. W takiej sytuacji stany 10) i I.E) musimy uwaiae za naldqce do roznych przestrzeni Hilberta i jest wowczas prawdopodobne, ze wyrazenia typu (.EIAIO) lub (OIAI.E),
636
gdzie A naleZy do A, moglyby w ogole nie miee zadnego sensu lub mialyby nieskonczenie wiele znaczen. Nie pozwala nam to na skonstruowanie spojnej teorii kwantowej, w ktorej pojawialyby sit( stany 10) i I.E). (Przypomnijmy sobie, z dyskusji przeprowadzonej w rozdz. 22.5, ze wyraienia typu (.EIAIO), w ogolnym przypadku, oznaczajq wielkosci, ktorych potrzebujemy do obliczania prawdopodobienstw; zob. rozdz. 22.3, gdzie jest przedstawiona notacja.) To jest bardzo powazny problem w KTP i rna istotne znaczenie we wszystkich wspolczesnych podejsciach do teorii czqstek elementarnych. "Wybor stanu prozni" rna znaczenie porownywalne (i jest komplementarny) z wyborem algebry A, generowanej przez opera tory kreacji i anihilacji, a ta ostatnia definiuje, w pewnym sensie, calq dynamik~ KTP. W przypadku elektronow swobodnych dwie rozwazane przez nas proznie, a mianowicie 10) (niezawierajqca ani cZqstek, ani antyczqstek) oraz I.E) (w ktorej wszystkie stany czqstek 0 ujemnej energii Sq zapelnione), mozna w pewnym sensie uwazae za efektywnie rownowazne, niezaldnie od tego, ze 10) i I.E) prowadzq do roznych przestrzeni Hilberta. Rozniet( mit(dzy prozniq I.E) a prozniq 10) mozemy potraktowae jako pytanie, gdzie narysowae linit( definiujqcq "zero ladunku". Istotnie, moglibysmy myslee, ze morze Diraca jest fizycznie rozne od wi asciwej prozni, poniewaz morze elektronow 0 ujemnych energiach powinno dae nam ogromny - w rzeczywistosci nieskonczony - ladunek elektryczny. Aby stan I.E) mial sens fizyczny, musimy dokonae "renormalizacji" ladunku, w taki sposob, zeby nieskonczony calkowity ladunek elektryczny "morza" (nieskonczenie wielki ladunek ujemny, poniewaz ladunek elektronu jest ujemny) byl uwazany za zero. Podobnq sytuacjt( spotkamy, gdy bt(dziemy rozwazae mas~ morza Diraca, moglibysmy sit( wowczas bowiem obawiae jej (aktywnych) skutkow grawitacyjnych. Calkowita, nieskonczenie wielka, ujemna energia morza Diraca powinna (na mocy relacji E = me2 ) dae nam nieskonczonq ujemnq mast(, co jest fizycznym nonsensem, podobnie jak przypadek nieskonczonego ladunku elektrycznego. Znowu wit(c, jesli chcemy traktowae powaznie morze Diraca, musimy przeprowadzie renormalizacjy masy prozni przez "dodanie nieskonczonej gt(stosci masy" do masy morza, aby otrzymae w efekcie calkowitq wartose zero, jako odpowiadajqcq gt(stosci masy obserwowanej prozni. Czytelnik moze odniese wrazenie, ze problem "alternatywnych stanow prozni" i widoczna koniecznose "renormalizowania" takieh wielkosci jak ladunek i masa przez dodawanie nieskonczonych stalych w celu uzyskania sensownych fizycznie rezultatow jest jedynie artefaktem tej dziwnej idei "morza", ktorq Dirac wprowadzil. Przekonamy sit( jednak, ze taka sytuacja nie jest specyficzna jedynie dla kon-
Oddzialywania: lagranijany i calki po drogach
26.6
cepcji Diraca. Okazuje siy, ze problem pojawia siy powszechnie we wszystkich powaznych podejsciach do stworzenia realistycznej teorii czetstek elementarnych, co najmniej tych, ktore dzisiaj znamy. Renormalizacja i proznie alternatywne majet fundamentalne znaczenie dla modelu standardowego. Morze Diraca nie stalo siy jakets anomaliet historycznet, lecz sluZy jako przyklad rozwietzania modelowego, ktore powinnismy miee na uwadze, skoro probujemy dokonae postypU w obecnie znanych teoriach. Blizniacze kryteria zgodnosci z obserwowanymi faktami i spojnosci matematycznej teorii, chociaz niekompletnie spelnione, zawiodly nas na drogy, ktora na razie w istotny sposob wietze siy z ide ami renormalizacji i niejednoznacznosci prozni kwantowej.
26.6 Oddziafywania: lagranzjany i cafki po drogach
Trudnosci, 0 ktorych tu mowimy, pojawiajet siy wtedy, gdy probujemy w ramach KTP poradzie sobie z problemem oddzialywaft. Istotnie, dyskusja, ktoret do tej pory prowadzimy, praktycznie wyletcznie traktowala zagadnienie pol swobodnych i chociaz nie rozwinetlem tego zbyt szczegolowo, ufam, ze czytelnik zechce mi uwierzye, iz w KTP poruszamy siy stosunkowo latwo i bez klopotow dopoty, dopoki nie wystypujet oddzialywania. W takich sytuacjach mozemy swobodnie konstruowae stany kwantowe jako superpozycje najrozniejszych ilosci czetstek i antyczetstek, nawet wtedy, gdy liczba ich jest nieograniczona. Tego rodzaju stany otrzymujemy, gdy dzialamy na stan 10) dowolnym elementem algebry A, tzn. wyrazeniem zlozonym z operatorow kreacji i anihilacji (ktore moze bye wielomianem lub szeregiem potygowym, w tym ostatnim przypadku naleZy zadbae 0 kwestiy zbieznosci). Przestrzen takich stanow nosi nazwy przestrzeni Focka (od nazwiska rosyjskiego fizyka v.A. Focka, ktory byl jednym z pierwszych badajetcych te zagadnienia) i mozemy jet rozumiee jako sum~ prostq12 (zob. rozdz. 13.7) przestrzeni Hilberta 0 wzrastajetcej liczbie czetstek. Liczba czetstek w danym stanie moze bye nieograniczona, jak w przypadku stanow koherentnych, ktore Set, w scisle okreslonym sensie 13, najbardziej "zblizonymi do klasycznych" stanami pol kwantowych. Stany takie mozemy zapisae w postaci eSIO),
gdzie E jest operatorem pola zwietzanym z tet szczegolnet konfiguracjet pola F (niech to bydzie swobodne rzeczywiste pole Maxwella, z odpowiednim zanikaniem w nieskonczonosci, dziyki czemu istnieje odpowiednia skonczona norma). Operator E definiujemy jako sumy operatorow kreacji i anihilacji (nieunormowanych) odpowiadajetcych cZysciom F 0 CZystosciach odpowiednio dodatnich i ujemnych. Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 26.2, ze operatory kreacji i anihilacji spelniajet pewne relacje komutacji. Wynika stetd, ze rozne skladowe operatorow pola na ogol nie komutujet ze sobet. Na przyklad w przypadku pola elektromagnetycznego skladowe operatora definiujetce pole magnetyczne B oraz definiujetce
637
26
Kwantowa teoria pola
potencjal elektromagnetyczny A (zob. rozdz. 19.2,4) spelniajq kanoniczne relacje komutacji (podobne do tych miydzy operatorem polozenia a pydu cZqstki, zob. rozdz. 21.2)14. Z tego wynika, ze miydzy owymi wielkosciami muszq zachodzie relacje nieoznaczonosci Heisenberga (zob. rozdz. 21.11), ktore okreslajq granicy dokladnosci, z jakq te wielkosci mogq bye jednoczesnie mierzone. Jak wiyc postypujemy w przypadku oddzialywan? Najistotniejszym elementern struktury wspolczesnej KTP jest lagranijan (zob. rozdz. 20.1), w przypadku teorii relatywistycznej pod wieloma wzglydami bardziej odpowiedni od hamiltonianu. Jak pamiytamy z rozdz. 21.2, 23.1 i rozdz. 24, standardowe Schr6dingerowskie procedury kwantyzacji hamiltonianu nie Sq najwygodniejsze w przypadku czasoprzestrzennych symetrii teorii wzglydnosci. Tymczasem, w odroznieniu od hamiltonianu, ktory jest zwiqzany z wyborem zmiennej czasowej, lagranzjan moze bye wielkosciq w pelni niezmienniczq relatywistycznie (zob. rozdz. 20.5). Jak budujemy KTP, wychodzqc z lagranzjanu? Zasadnicza idea, podobnie jak wiele innych koncepcji teorii kwantowej, wywodzi siy od Diraca l5 , aczkolwiek osobq, ktorej przypada najwiyksza zasluga w zastosowaniu jej do relatywistycznej fizyki kwantowej, byl genialny fizyk amerykanski Richard Feynman l6 • Dlatego formalizm ten jest CZysto nazywany formalizmem calek po drogach Feynmana[·l. Stanowi on rowniez podstawy techniki diagramow Feynmana, 0 ktorej mowilismy w rozdz. 25. Podstawowq ideq jest inn a perspektywa spojrzenia na fundamentalnq zasady mechaniki kwantowej, jakq jest zasada zespolonej liniowej superpozycji stanow, z ktorq zetknylismy siy wczesniej, a ktorq wyloZylem explicite w rozdz. 22.2. Teraz chcemy ty zasady zastosowae nie tylko do poszczegolnych stanow kwantowych, ale do wszystkich "czasoprzestrzennych historii". Traktujemy je jako "mozliwe alternatywne trajektorie klasyczne" (w przestrzeni konfiguracyjnej). Idea polega na tym, ze w swiecie kwantowym nie mamy do czynienia z jednq klasycZllq "rzeczywistosciq", ktoq reprezentuje jedna taka trajektoria (jedna historia), lecz z wielkq zespolonq superpozycjq wszystkich takich "alternatywnych rzeczywistosci" (nalozonych na siebie alternatywnych historii). Zgodnie z tym przedstawieniem, kazda taka historia pojawia siy z odpowiednim zespolonym czynnikiem wagowym, ktory nazywamy amplitudq (rozdz. 22.5), jesli ich suma jest unormowan a do modulu jeden, a wiyc kwadrat modulu danej amplitudy daje nam prawdopodobienstwo. Zwykle interesuje nas amplituda przejscia od punktu a do punktu b w przestrzeni konfiguracyjnej. Magiczna rola lagranzjanu polega na tym, ze okresla on, jakq amplitudy naleZy przypisae kaidej takiej historii; zob. rys. 26.2. Jesli znamy lagranzjan L, wowczas mozemy otrzymae dzialanie S dla tej historii (dzialanie jest po prostu calkq
638
[*] Autor uiywa tutaj dwoch nazw stosowanych w literaturze angielskiej: Feynman path integrals (calki po drogach Feynmana) lub Feynman sum over histories (sumy po historiach Feynmana). W polskiej praktyce akademickiej najczysciej mowimy 0 calkach funkcjonalnych (przyp. Hum.).
Oddzialywania: lagranijany i calki po drogach
26.6
Rys. 26.2. W KTP w formalizmie calek po drogach rozwaiamy superpozycjy kwantow!! alternatywnych ldasycznych historii, przy czym przez historiy rozumiemy ewolucjy wzdlu:i: pewnej drogi w przestrzeni konfiguracyjnej miydzy punktami a i b. Amplituda zwi!!zana z tak!! drog!! wynosi e;S/h (razy pewien staly czynnik), gdzie dzialanie S jest calk!! z lagran:i:janu wzdlu:i: tej drogi, jak w rozdz. 20.1 (rys. 20.3). Amplituda calkowita przejscia od a do b jest sum!! wszystkich tych amplitud.
z'c, zgodnie z przepisem podanym w rozdz. 20.5; zob. rys. 20.3). Amplitudy zespolon~ odpowiadaj~q
tej szczegolnej historii podaje zwodniczo prosta formula amplituda oc eiS/h •
Mylne wrazenie prostoty tego wzoru bierze siy czysciowo st~d, ze ta "amplituda" nie jest w rzeczywistosci (zespolon~) liczb~ (tak, jak to jest zapisane, powinna bye liczb~ 0 module 1), lecz swego rodzaju gystosci~. Gdybysmy mieli cal~ dyskretn~ rodziny takich alternatywnych klasycznych historii, powiedzmy, ponumerowanych 1,2, 3, 4,00', wowczas moglibysmy sobie wyobrazie, ze n-tej takiej historii przyporz~dkujemy, jako jej amplitudy, normaln~ liczby zespolon~ an' ktorej kwadrat modulu laJ moglby bye interpretowany jako prawdopodobienstwo tej historii, zgodnie z regulami pomiaru kwantowego (rozdz. 22.5). Moglibysmy wtedy dokonae unormowania, aby LlaJ = 1, a wiyc wysumowanie po wszystkich klasycznych alternatywach dawaloby calkowite prawdopodobienstwo rowne 1. Tutaj jednak mamy do czynienia z kontinuum nieskonczonej ilosci klasycznych alternatyw. W takiej sytuacji nasz~ "amplitudy" rozumiee naleZy jako "gystose amplitudy" i zamiast sumy potrzebujemy czegos w rodzaju Sla(XWdX = 1; musimy wowczas wycalkowac po przestrzeni stanow klasycznych, aby spelnie z~danie, iZ calkowite prawdopodobienstwo jest rowne 1. Taka procedura nie musi bye specjalnie kiopotliwa robilismy cos podobnego wczesniej, w rozdz. 21.9, w przypadku funkcji falowej w zwyklej mechanice kwantowej cz~stki punktowej, (gdzie 11/J(x)1 2 dawalo nam gystose prawdopodobienstwa znalezienia cz~stki w punkcie x). Tutaj jednak wystypuje niefortunna sytuacja, mianowicie "przestrzen drog klasycznych" prawie na pewno bydzie nieskonczenie wymiarowa. Nadanie sensu roznym wystypuj~cym tu wielkosciom, aby miee pewnose, ze na koncu otrzymamy skonczone rezultaty, jest problem em innego rZydu wielkosci, kiedy wszystko musimy definiowae tak, aby dzialalo w przestrzeni 0 nieskonczonej liczbie wymiarow. Najbardziej przystypn~ ilustracj~ calki po drogach jest przypadek pojedynczej cz~stki poruszaj~cej siy w jakims polu sit (zatem sarna przestrzen jest teraz przestrzeni~ konfiguracyjn~). Rozwazamy wszystkie historie, rozpoczynaj~ce w pewnym punkcie czasoprzestrzeni a i koncz~ce w jakims innym punkcie b, jak na rys. 26.3a. Historiami tymi byd~ ci~gle czasoprzestrzenne drogi wij~ce siy od
639
26
Kwantowa teoria pola
b
M
(a)
(b)
Rys. 26.3. (a) W przypadku pojedynczej cZqstki bez struktury jej historia klasyczna jest pewnq krzywq w czasoprzestrzeni (tutaj jest to przestrzen Minkowskiego M) miydzy ustalonymi zdarzeniami a, b. (b) Krzywa ta nie musi bye klasycznie dozwolonq gladkq liniq swiata, ze stycznq zawsze czasopodobnq skierowanq ku przyszlosci; mo:i:e nawet wie siy w czasie w prz6d i w tyl.
a do b. Nie z'!damy, zeby kazda z tych drog byla "legalna" w sensie regul szczegolnej teorii wzglydnosci (tzn. ograniczona do stozka swietlnego, jak tego wymaga klasyczna teoria wzglydnosci; zob. rozdz. 17.8), ani nawet zeby droga ta prowadzila calkowicie ku przyszlosci. Taka "historia" moze wiyc dokonywac zwrotow w czasie, w przod i w tyl (rys. 26.3b )![26.8 1Przypuscmy, ze mamy lagranzjan £, opisuj,!cy (zgodnie z rozdz. 20.1) energiy kinetyczn,! cz'!stki minus jej energia potencjalna, byd,!ca wynikiem istnienia pewnego pola sil. Z kazd,! "histori,!" zwi,!zane jest dzialanie S, czyli calka z lagranzjanu wzdluz tej drogi (przypomnijmy sobie rys. 20.3). W mechanice klasycznej Joseph L. Lagrange kazalby nam poszukiwac takiej historii, dla ktorej calka dzialania jest stacjonarna (zasada Hamiltona; zob. rozdz. 20.1), co opisywaloby ruch cz'!stki wtasciwy dla ruchu klasycznego pod dzialaniem zadanej sily. W metodzie calek po drogach w mechanice kwantowej traktujemy to zagadnienie inaczej. Wszystkie "historie" wspolistniej,! w kwantowej superpozycji, a kazda z nich charakteryzuje siy odpowiedni,! amplitud,! e iSlh • Jak teraz pogodzic to z z,!daniem Lagrange'a, chocby w spos6b przyblizony, zebysmy mogli znalezc ty szczegoln'! historiy, dla ktorej dzialanie jest rzeczywiscie stacjonarne? Pomysl polega na tym, ze wklady do naszej superpozycji, pochodz,!ce od "historii" odleglych od historii "dzialania stacjonarnego", byd,! siy wzajemnie znosily przez wklady pochodz,!ce od ich bliskich s,!siad6w (rys. 26.4a). Dzieje siy tak dlatego, ze zmiany w dzialaniu S byd,!ce wynikiem zmiany historii daj,! rozne wartosci k,!tow fazowych eiSIh , kt6re rozkladaj,! siy na obwodzie kola i, srednio rzecz bior,!c, redukuj,! siy wzajemnie. (Odnosi siy to w szczegolnosci do bardzo "niefi-
i8 [26.8] Podaj "fizycznq interpretacjlt" historii przedstawionej na rys. 26.3b w jt(zyku ope-
640
rator6w kreacji i anihilacji.
Rozbieine calki po drogach: recepta Feynmana
44;/1
/.IJ
~
e,SI'
,/
!
I
'I
\ I
I/ I
I I
\ I I
\
/ /+
t 1/
e,Slh
I
Ii
~1
111 a (al
II
I II I I
(
a (bl
26.7
Rys. 26.4. Kwantowa "zasada Hamiltona". (a) Historia, dla ktorej S nie jest stacjonarne (i duze w porownaniu z h). Wartosci e;sl. dla bliskich sobie historii rozniC! sit< znacznie na kole jednostkowym, wobec czego wiele z nich redukuje sit< wzajemnie przy sumowaniu. (b) Historia, dla ktorej S jest stacjonarne (i duze). W przypadku blisko lezC!cych historii wartosci eiSI• nie roznill sit< specjalnie, czyli redukcja nie jest znaczC!ca.
zycznych" wkladow, takich jak akauzalne historie przedstawione na ryS. 26.3b.) Tylko w przypadku historii lez'!cej bardzo blisko tej, dla ktorej dzialanie jest duze i stacjonarne, jej wklad nie zostanie zredukowany, lecz wzmocniony przez wldady jej s,!siadow (rys. 26.4b), poniewaZ bydziemy mieli do czynienia z dui:ym nagromadzeniem k,!tow fazowych w tym samym kierunku[26.9]. To rzeczywiscie bardzo piykna idea. Zgodnie z filozofi,! "calek po drogach" nie tylko powinnismy otrzymae klasyczn,! historiy cz'!stki jako glowny wklad do calkowitej amplitudy - a zatem do catkowitego prawdopodobienstwa -lecz takze mniejsze poprawki kwantowe do klasycznego zachowania, ktore pochodz,! od historii niezupelnie klasycznych i ktorych wklady nie calkiem siy znosz'!, lecz ktore mog,! bye obserwowane doswiadczalnie. Aczkolwiek zagadnienie przedstawilem, posluguj,!c siy pojyciem cz'!stki punktowej poruszaj,!cej siy w polu sil, s,! to koncepcje calkiem ogolne i mog,! bye zastosowane zarowno do dynamiki pol, jak i do ruchow cz'!stek. "Historie pol" reprezentuj,!ce klasyczne rozwi¥ania rownan pol a powinny dawae glowne wklady, lecz byd,! takZe poprawki kwantowe pochodz,!ce od historii nieznacznie rozni,!cych siy od klasycznych.
26.7 Rozbiezne cafki po drogach: recepta Feynmana A przynajmniej tak wlasnie bye powinno. Ale czy tak jest? Czy schemat, jaki z grubsza przedstawilem, jest matematycznie poprawny? A nawet jesli nie, to czy kiedy przebijemy siy przezen, ignoruj,!c subtelnosci matematyczne, otrzymamy wyniki fizyczne zgodne z doswiadczeniem?
~ [26.9] Spr6buj nadac tym stwierdzeniom sens bardziej precyzyjny, poslugujqc sit( pojt(ciem zmiany pierwszego rZt(du, za pomocq symbolu ,,0" Oak w rozdz. 14.5) i odwotujqC sit( do dyskusji przeprowadzonej w rozdz. 20.1, dotyczqcej znaczenia "dzialania stacjonarnego". (Zaktadamy, ze S jest duze w jednostkach Ii.)
641
26
Kwantowa teoria pola
Na te pytania mogy udzielic tylko dosyc dwuznacznych odpowiedzi. Problem matematycznej poprawnosci jest szczegalnie klopotliwy i calkowicie uczciwa odpowiedz powinna brzmiec: "Nie, przynajmniej zgodnie z poziomem obecnej wiedzy". Nawet opisany przypadek pojedynczej cz'!stki punktowej jest zdecydowanie problematyczny. Przestrzen drag jest z pewnosci,! nieskonczenie wymiarowa[26.101 i potrzebujemy odpowiedniej "miary" (nieskonczenie wymiarowej wersji objytosci), aby sobie z tym poradzic. Okazuje siy, ze taka miara daje duze wagi dla his torii, ktare nie s,! nawet gladkie, a zatem musimy martwic siy tym, jaki w ogale jest sens lagranzjanu w takich warunkach. Zgodnie z tym, jak przedstawiaj,! siy te definicje, wszystko staje siy rozbieine. Rozbieznosci te s,! z pewnosci,! bardzo powazne z matematycznego punktu widzenia. Aby je omin,!c, mozemy odwolac siy do filozofii Eulera, omawianej w rozdz. 4.3, ktara doprowadzila nas do rozwazan na temat sensu jawnie "bezsensownych" sumowan typu 1 + 22 + 24 + 26 + 28 + ... = -
t'
ktare otrzymujemy, podstawiaj'!cx = 2 w sumie 1 +~ +X4 +X6 +X8 + ... = (l-x2tl. Istotnie, wydaje siy, ze podejscie calek po drogach opiera siy na naszej wierze, iz te dziko pojawiaj,!ce siy rozbiezne wyrazenia (w rodzaju podanego przykladu rozbieinego szeregu) maj,! jakis glybszy, platonski sens, ktarego na razie nie umiemy dostrzec. Musimy zgodzic siy, ze jest to idea prawdopodobna, poniewaz od strony fizycznej Uesli wolno mi uZyc tak nieprawdopodobnie brzmi,!cej metafory), przedzieraj,!c siy niczym buldozerem przez formalizm matematyczny - i wykonuj,!c obliczenia z wielk,! starannosci,! i precyzj,!! - nierzadko uzyskujemy wyniki 0 zdumiewaj,!cej zgodnosci z doswiadczeniem. Przykladowo, stosuj,!c procedury obliczeniowe tego rodzaju, uzyskalismy wspomnian,! w rozdz. 24.7 poprawky 1,001159652188 do oryginalnej wartosci momentu magnetycznego elektronu Diraca, co daje nam raznicy miydzy teori'! a doswiadczenieml 7 mniejsz,! niz 10- 11 • To naprawdy godne uwagi, jak znakomite wyniki mozemy cZysto uzyskac, posluguj,!c siy intuicj,! matematyczno-fizyczn'!. W przypadku pojedynczych swobodnych cz'!stek kwantowych waznym krokiem w kierunku nadania sensu tego rodzaju calkom po drogach 18 jest zast,!pienie tej dzikiej kolekcji raznych historii wielkosci,! nazywan,!propagatorem Feynmana l9 • Pozwala on na interpretacjy matematyczn,! jednej z linii na diagramie Feynmana (zob. rozdz. 25). Rozwazmy sumy po historiach cz'!stki swobodnej, ktara startuje w punkcie p i konczy swoj,! drogy w jakims punkcie q czasoprzestrzeni. W zasadzie powinnismy utworzyc sumy (calky) po wszystkich eiSlh dla wszystkich drag zaczynaj'!cych siy w p i koncz'!cych siy w q, ale tak okreslona suma jest z pewnosci,! rozbiezna. Rawnie dobrze mozemy przypuszczac, ze ta suma, K(p, q), w jakims matematycznym sen-
642
~ [26.10] Dlaczego?
Konstrukcja diagram6w Feynmana; macierz S 26.8
sie (EuleralPlatona) istnieje, a zatem pytamy, gdyby istniala, to jakie winna miee formalne algebraiczne i rozniczkowe wlasnosci? Te wlasnosci (wl,!czaj,!c w to odpowiedni warunek "dodatnich cZt(stosci"; zob. rozdz. 24.3) okreslaj,! K(p, q) jednoznacznie (zakladaj,!c, ze szczt(sliwie wybralismy nasz przyklad) i to prowadzi nas do poszukiwanego propagatora Feynmana. W rzeczywistosci wygodniej jest (aczkolwiek w zadnym razie nie jest to sprawa zasadnicza 20 ) opisywae te wielkosci raczej w przestrzeni pt(dow niz w przestrzeni polozen, gdyz odpowiednie wyrazenia w przestrzeni pt(dow S,! znacznie prostsze. W przypadku cz'!stki Diraca (np. elektronu) propagator w przestrzeni Pt(dow przyjmuje postae i(J'> - M + if gdzie J'> == yaPa (zob. rozdz. 24.6, 7), a wielkose P" jest 4-pt(dem, jaki cz'!stka posiada na rozwazanej drodze. Wielkose "f" oznacza bardzo mal,! liczbt( dodatni,!, ktora jest potrzebna, aby propagator Feynmana spelnial odpowiednie z,!danie dodatniej/ujemnej czt(stosci. Okazuje sit(, ze w granicy f ~ 0 propagator staje sit( osobliwy - przyjmuje wartose nieskonczon,! - gdy "masa spoczynkowa" (Pfa)1!2, jak,! cz'!stka uzyskuje na tej wybranej drodze, staje sit( rowna rzeczywistej wartosci masy spoczynkowej cz,!stki, M[26.111. Gdybysmy mieli do czynienia z cz'!stk'! klasyczn'!, wowczas z,!dalibysmy, zeby ta "masa spoczynkowa" przybierala tak,! wartose, tzn. aby Papa == M2, lecz w przypadku kwantowomechanicznej sumy po historiach musimy dopuscie, ze cz'!stka uzyskuje takie wartosci pt(du, dla ktorych otrzymujemy "niewlasciw,!" mast( spoczynkow'!. Ze wzglt(du na tt( osobliwose stwierdzamy jednak, ze amplituda staje sit( bardzo duza, gdy Papa uzyskuje wartose blisk,! M2, a wit(c klasyczna wartose masy daje wklad dominuj,!CY. Ta wlasciwose formalizmu nie jest charakterystyczna tylko w przypadku cz'!stki Diraca, lecz rna charakter ogolny.
rl,
26.8 Konstrukcja diagramow Feynmana; macierz S
Zagadnienie przedstawione w poprzednim rozdziale stanowi pierwszy krok w kierunku zbudowania diagramu Feynmana. Wymaga jednak dalszego wyjasnienia. To, co odkrylismy, jest zaledwie pojedyncz,! lini,! takiego diagramu. Taka linia na diagramie Feynmana jest z reguly czt(sci,! skomplikowanego wyrazenia, zawieraj,!cego linie innych cz'!stek oraz rozne wierzcholki, w ktorych te linie sit( zbiegaj,!. Wklady do amplitudy calkowitej pochodz,!ce od wierzcholk6w S,! zwykle 21 prostymi czynnikami, zawieraj,!cymi jak,!s skalarn,! stal,! sprzt(zenia (tak,! jak ladunek elektryczny) okreslaj'lC'! silt( oddzialywania, bye moze wyraz taki jak Ya' potrzebny do "dopasowania wskainikow", oraz czynnik "deltt( Diraca" (rozdz. 9.7), ktora zapewnia, ze jedyne niezerowe wklady do amplitudy calkowitej pochodz,! od wierzcholkow, w ktorych spelniona jest zasada zachowania 4-pt(du 22 • Bt(dziemy mieli do
{f/g [26.11] Wyjasnij, jak ta osobliwosc powstaje, rozpisujqc
mianownik wynosi PaP" - M2 -
2
10 •
ct - M + ier jako iloraz, kt6rego 1
643
26
Kwantowa teoria pola
czynienia z roznego typu wyrazami pochodz,!cymi od roznego rodzaju linii diagramu (w zaleznosci od spinu i masy spoczynkowej cz,!stki, jak,! dana linia reprezentuje). Nieskonczonosci w tych wyrazeniach pojawiaj,! siy (pomijaj,!c te zwi'!zane z funkcjami delta, ktore jedynie przedstawiaj,! wiyzy zapewniaj,!ce zachowanie 4-pydu), gdy Pa przyjmuj,! wartosci odpowiadaj,!ce drogom klasycznym (w zasadzie gdy Par = M2). To zrozumiale, poniewaz spodziewamy siy, ze klasyczne zachowanie zdominuje calky po drogach. Wystypowanie tych osobliwosci (poza nieskonczonosciami pochodz,!cymi od funkcji delta) jest wiyc scisle zwi,!zane z z,!daniem, zeby, z grubsza bior,!c, zachowanie klasyczne dawalo glowny wklad do amplitudy kwantowomechanicznej. Pomimo to, jak niebawem zobaczymy, kryje siy w tym powazne niebezpieczenstwo. Aby podkreslie koniecznose wystypowania tych osobliwych wyrazen, powinienem zwrocie uwagy na fakt, ze warunku Papa = M2 nie mozemy traktowae jako wiyzow (jak zachowanie pydu w wierzcholkach) ze wzglydu na istnienie podstawowych procesow, podobnych do przedstawionych na rys. 26.5, w ktorych dwa elektrony "wymieniaj,! siy fotonem" (foton jest przedstawiony za pomoc,! linii falistej, jak w rozdz. 25.3-5). Jest to podstawowy kwantowomechaniczny przejaw elektrostatycznego odpychania (Coulomba) miydzy dwiema ujemnie naladowanymi cz,!stkami (rozpraszanie M011era). Dwie linie wchodz'!ce (u dolu diagramu) reprezentuj,! dwa elektrony w stanie pocz'!tkowym, a dwie linie wychodz'!ce (u gory23 diagramu) przedstawiaj,! elektronyw ich stanie koncowym. Uwazamy je za "wielkosci zadane" - okreslaj,! wartosci pydow zewm;trznych - i nie podlegaj,! one "wycalkowaniu" przy obliczaniu koncowej amplitudy. Dla tych stanow zewnytrznych (i tylko dla nich) spelniona jest klasyczna relacja miydzy skladowymi pydu Par = M2. Mowimy, ze masa cz'!stki leZy na powierzchni, na ktorej spelniona jest ta relacja. Powierzchniy ty nazywamy "powlok,! masow'!" i w przestrzeni pydow jest ona wersj,! hiperboloidy 0 ksztalcie czaszy przedstawionej na rys. 18.7; zob. rys. 26.6. Rzeczywiste cz'!stki (czyli te, ktore mozemy obserwowae jako cz'!stki swobodne) s,! zawsze na powloce masowej. Warunek ten nie dotyczy jednak linii wewn~tlZnych na diagramie Feynmana. W szczegolnosci wymieniany foton na diagramie Feynmana na rys. 26.5, gdy tylko mamy do czynienia z nietrywialnym oddzialywaniem, nie moze Idee na powloce maso-
644
Rys. 26.5. Rozpraszanie elektronow Mollera: najprostsza kwantowa demonstracja sily elektrostatycznej (Coulomb a) miydzy dwiema naladowanymi cZ'lstkami. Sila elektrostatyczna pojawia siy tutaj w wyniku "wymiany" pojedynczego fotonu (linia falista) miydzy dwoma elektronami. Foton jest z koniecznosci "poza powlok'l masow'l", a wiyc wirtualny, co wynika z zachowania 4-pydu w kazdym z wierzcholkow.
Konstrukcja diagram6w Feynmana; macierz S
26.8
Powloka masowa
--~
:
--~------------------,
t
Czqstki rzeczywiste: Czqstki wirtualne:
•
Czqstki masywne Czqstki bezmasowe
Rys. 26.6. Powloka masowa w przestrzeni p((d6w. (Por. rys. 18.7 i 18.17). Dla rzeczywistych (swobodnych) cz~stek 0 masie spoczynkowej M 4-p((d pa leZy na powloce masowej (a wi((c pa jest czasopodobnym wektorem przyszlosci albo wektorem zerowym przyszlosci z paPa = M), jednak cz~stki wirtualne, wewn~trz diagram6w Feynmana, mog~ bye poza "powlok~ masow~".
wej (tzn. jego 4-pctd nie spetnia relacji Papa = 0)126121. Takie cz'!stki poza powlok,! masow'! nazywamy czqstkami wirtualnymi i wystctpuj'! one jedynie wewn'!trz diagramu Feynmana. Foton wymieniany na rys. 26.5 jest wirtualny i nie moze sict "uwolnie", aby mozna go bylo zaobserwowae na dUZych odleglosciach. Proces przedstawiony na rys. 26.5 stanowi raczej szczeg61ny przypadek, w tym sensie, ze stan opisany lini,! wewncttrzn'! (foton wirtualny) jest calkowicie zdeterminowany przez linie zewncttrzne. W6wczas wymagane "calkowanie po stanach wewncttrznych" jest zupelnie trywialne i sprowadza sict do jednego wyrazu. lednak w procesach bardziej skomplikowanych, takich jak zilustrowane na rys. 26.7a,b, w kt6rych wymieniane s,! dwa fotony, mamy pewn'! swobodct w przypisaniu 4-pctdow liniom wewncttrznym[26.131. Idea polega na tym, ze w takich przypadkach (i w niezliczonej ilosci znacznie bardziej skomplikowanych; zob. rys. 26.7c) musimy rzeczywiscie wycalkowae po wszystkich dozwolonych wartosciach pctdow dla linii wewncttrznych, a nastctpnie dodae wszystkie rozne wklady od wszystkich mozliwych topologicznie roznych diagramow Feynmana, zgodnych z pctdami zadanych linii zewncttrznych. (Przez "topologict" rozumiemy rozne sposoby, w jakie diagram Feynmana moze bye pol'!czony; nie zwracamy przy tym uwagi na konkretne wartosci 4-pctdow, jakie mog,! bye przypisane liniom tego diagramu.) W procesie tym rna powstae amplituda calkowita dla konkretnego zbioru pctdow wchodz'!cych i wychodz,!cych, ktore zostaly wyspecyfikowane jako "zadane". Zbior amplitud dla roznych mozliwych stanow wchodz'!cych i wychodz'!cych tworzy swego rodzaju macierz (aczkolwiek nieskonczenie wymiarow'!), ktorej "wiersze" i "kolumny" odpowiadaj,! bazie stanow wychodz'!cych i wchodz,!cych. Ma-
~ [26.12] Dlaczego nie? Wyjasnij, w jaki sposob zachowanie 4-pt(du w kazdym wierzcholku determinuje 4-pt(d wirtualnego fotonu. Wskaz6wka: wszystkie elektrony majq tt( samq mast( spoczynkowq! B [26.13] Na czym polega ta swoboda?
645
26
Kwantowa teo ria pola
(a)
(b)
(e)
Rys. 26.7. Procesy wy:i:szego rZydu daj'lce poprawki do rozpraszania M(IIllera. (a) i (b) ilustruj'l 2-fotonow'l wymiany miydzy dwoma elektronami, podczas gdy (c) przedstawia proces du:i:o wy:i:szego rZydu, na ktory skladaj'l siy kreacje i anihilacje par cZ'lstek wewnytrznych. Ka:i:dy taki diagram Feynmana oznacza pewn'l calky, a wklady od wszystkich diagramow dodajemy.
cierz ty nazywamy macienq rozproszen albo pO prostu macienq S. Obliczenie macierzy S uwaza siy za glowny cel KTP24. Przedstawiona procedura stanowi ogromne ulepszenie, w sensie obliczeniowym, w stosunku do pocz'!tkowej "sumy po historiach", poniewai: oznacza, ze potrafimy efektywnie przeprowadzie nieskonczenie wymiarowe (i z pozoru beznadziejnie rozbiezne) calkowanie po drogach, ktore reprezentuje pojedyncza, oddzielna linia diagramu. Kazdy topologicznie rozny graf Feynmana przedstawia zwykl,! skonczenie wymiarow,! calky (podobn,! do calek rozwazanych w rozdz. 12.6) i jest to wazny krok naprzod w porownaniu z dzikimi osobliwosciami calek nieskonczenie wymiarowych, do jakich prowadzilaby bezposrednia interpretacja calek po drogach. Co wiycej, te calki skonczenie wymiarowe mog,! bye zaatakowane potyznymi metod ami zespolonego calkowania po konturach (zob. rozdz. 7.2). Parametr Feynmana e, jaki pojawia siy w propagatorze (zob. ostatni akapit rozdz. 26.7), jest jedynie przepisem, przy calkowaniu po konturze, na obejscie pojawiaj,!cych siy w danym wyrai:eniu osobliwosci.
646
Rys. 26.8. Diagram-drzewo nie zawiera :i:adnych pytli. Pydy wewnytrzne S'l konsekwentnie zdeterminowane przez pydy zewnytrzne, a zatem :i:adne calkowanie nie jest potrzebne. Diagramy takie daj'l wyniki odpowiadaj'lce teorii kJasycznej.
Renormalizacja
26.9
A jednak mimo tego postypu nie wydostalismy siy jeszcze zbyt daleko "z lasu", poniewaz skonczenie wymiarowe calki, jakie odpowiadaj~ kaidej topologii diagramu Feynmana, s~ same w sobie rozbiezne, jesli tylko w tym diagramie wystypuj~ zamkni~te p~tle. Wydaje siy, ze to bardzo zla wiadomose, albowiem koniecznose obliczania calek pojawia siy tylko w przypadku zamkniytych pytli. We wszystkich pozostalych przypadkach (tzw. diagramow-drzew, ktore nie zawieraj~ zamkniytych pyt1i; zob. rys. 26.8) pydy wewnytrzne s~ calkowicie okreslone przez wartosci pydow zewnytrznych. Diagramy-drzewa jedynie reprodukuj~ teoriy klasyczn~!
26.9 Renormalizacja S~dzy,
ze pomimo naszych (czy raczej Feynmana) ogromnych wysilkow utknylismy na problemie rozbieinych wyrazen na amplitudy calkowit~ kazdego prawdziwie kwantowego procesu. W tym miejscu znuzony czytelnik rna peine prawo zapytae, jaki jest poiytek z tego wszystkiego. Istotnie, z punktu widzenia matematycznej scislosci doszlismy "donik~d", albowiem wszystkie nasze wyraienia s~ nadal pozbawione "matematycznego sensu" (podobnie jak suma Eulera 1 + 22 + 24 + 26 + ... = lednak fizycy nie poddaj~ siy tak latwo. I najzupelniej slusznie. Ich wysilki zostaly w efekcie wynagrodzone 25 , gdy okazalo siy, ze w przypadku EK (elektrodynamiki kwantowej: teorii oddzialuj~cych elektronow, pozytronow i fotonow) wszystkie osobliwe cZysci poszczegolnych diagramow Feynmana daj~ siy pogrupowae w taki sposob, zeby wystypuj~ce w nich nieskonczonosci mozna bylo traktowae jako jedynie czynniki "przeskalowania", ktore, zgodnie z procedur~ znan~ pod nazw~ renormalizacji, mozna usun~e (0 takiej mozliwosci wspominalismy w rozdz. 26.5). Nieskonczonosci te pojawiaj~ siy, poniewai diagramy Feynmana zawieraj~ calki, kt6re S,! rozbieine, gdy wart asci pyd6w staj,! nieskonczenie duze - alba, r6wnowainie, gdy odleglosci staj,! siy nieskonczenie male. (Przypomnijmy relacjy nieoznaczonosci Heisenberga dla pydow i polozen.1p.1x ~ t1i; zob. rozdz. 21.11.) Osobliwosci tego rodzaju nazywamy rozbieznosciami ultrafioletowymi. Chociaz nie s,! to jedyne osobliwosci KTP, to uwaza siy je za najpowazniejsze. Istniej~ rowniei rozbieinosci podczefWone, kt6re powstaj~ na nieskonczenie dUZych odleglosciach (a wiyc dla nieskonczenie malych pydow). Te ostatnie uwazane s,! za mniej grozne i latwe do wyeliminowania, najczysciej w ten sposob, ze ograniczamy zakres pytan, jakie mozna sensownie postawie w odniesieniu do konkretnego ukladu. Aby zdae sobie sprawy, a co chodzi w przypadku osobliwosci ultrafioletowych, sprobujmy przeanalizowae sens fizyczny najprostszego przypadku renormalizacji. Dotyczy on wartosci ladunku elektrycznego, jakim charakteryzuje siy elektron. Wyobrazmy sobie, ze elektron jest ladunkiem punktowym umieszczonyrn w pewnym punkcie E przestrzeni. Istnieje zjawisko znane pod nazw~ polaryzacji proini, kt6re mozemy przedstawie nastypuj~co. Przypusemy, ze w pewnym punkcie w poblizu E nast~pilo wykreowanie (wirtualnej) pary cz~stek: elektronu i pozytronu, potem, po bardzo krotkim czasie, nast~pila ich wzajemna anihilacja. Czas
t).
647
26
Kwantowa teoria poi a
ten uwazamy za wystarczaj'!co krotki, zeby energia konieczna do wyprodukowania takiej pary lezala w przedziale okreslonym przez relacjy nieoznaczonosci Heisenberga dla czasu i energii L1E L1t ) 11 (rozdz. 21.11). Rys. 26.9a przedstawia diagram Feynmana odpowiedni dla tego procesu. Obecnosc linii (wirtualnego) fotonu na pocz'!tku (a takZe na koncu) procesu wskazuje, ze proces kreacji (a nastypnie anihilacji) zachodzi w polu elektrycznym wytworzonym przez elektron w punkcie E. (Moglibysmy rowniez rozwazac zupelnie niepowi,!zane "pytle" Feynmana - zob. rys. 26.9b, w ktorych procesy kreacji i anihilacji zachodz,! bez obecnosci pol a elektrycznego elektronu w E; jednak takie "calkowicie niepowi'!zane" procesy nie prowadz,! do fizycznie obserwowalnych efektow.) Wplyw tego pol a elektrycznego polega na tym, ze wykreowany elektron jest delikatnie odpychany przez elektron znajduj,!CY siy w E, podczas gdy wykreowany pozytron jest delikatnie przyci,!gany, w zwi,!zku z czym nastypuje niewielkie odseparowanie tych ladunkow podczas ich krotkotrwalego istnienia. Procesy takie zachodz'! nieustannie wokol elektronu w punkcie E, a ich efekt wypadkowy, okreslany jako "polaryzacja prozni", sprowadza siy do redukcji26 wartosci ladunku tego elektronu, mierzonego przez jego wplyw na inne ladunki; rys. 26.10[26.141. Proznia sluZy tutaj jako "oslona" ladunku
t
E (b)
(a)
o
\id E
648
B [26.14] Czy wiesz, dlaczego tak musi bye?
Rys. 26.9. (a) Diagram Feynmana odpowiadaj,!CY renormalizacji ladunku. Przedstawia on kreacjy pary pozytron--elektron, a nastypnie jej anihilacjy w polu wytworzonym przez elektron tla (zob. rys. 26.10). (b) Niespojne diagramy Feynmana. Uwaza siy, ze nie daj,! one wkladu do obserwowalnych efektow.
Rys. 26.10. Polaryzacja prozni: fizyczna podstawa renormalizacji ladunku. Elektron E indukuje nieznaczne rozdzielenie wirtualnej pary elektron-pozytron, wykreowanej chwiIowa w prozni. Powoduje to nieznaczne zmniejszenie efektywnego ladunku E w porownaniu z jego nag,! wartosci,!. Jak jednak wykazuje bezposrednie obliczenie, czynnik redukcji jest nieskonczony.
Renormalizacja
26.9
elektrycznego i powoduje, ze jego wartose jest jakby rnniejsza - nazywarny j1J, wartosci1J, ubranq iadunku - w odr6znieniu od rzeczywistej, gole} wartosci iadunku elektronu. To wiasnie ta ubrana wartose ladunku bydzie mierzona bezposrednio w eksperyrnentach fizycznych. Wszystko to wydaje siy bardzo rozs1J,dne. Kiopot jednak polega na tym, ze obliczony czynnik liczbowy, kt6ry przeskalowuje nag1J, wartose ladunku w stosunku do wartosci ubranej, okazuje siy nieskonczony! Nieskonczonose ty mozemy wyrainie zidentyfikowae jako jedn1J, z nieskonczonosci pojawiaj1J,cych siy w obliczeniach elektrodynamiki kwantowej (w zasadzie S1J, to diagramy typu 26.9a i ich pochodne). Mozna przyj1J,e, ze zgodnie z jak1J,s przyszi1J, teori1J, te osobliwe caiki zostan1J, zast1J,pione wielkosciarni skonczonymi, bye moze dziyki temu, ze istnieje parametr obcit;cia ("cut-off") na bardzo rnalych odlegiosciach, a wiyc dla dUZych pyd6w (rozdz. 21.11), w wyniku czego poprawny czynnik renormalizacyjny bydzie jak1J,s duz1J, skonczon1J, liczb1J" a nie 00. (Rzeczywiscie, ubrana wartose ladunku elektronu mierzona w "jednostkach naturalnych", do kt6rych przejdzierny w rozdz. 27.10, wynosi ok. 0,0854 i istnieje pokusa, zeby wyobrazae sobie, ze gola wartose powinna wyniese 1. Odpowiadaioby to czynnikowi skaluj1J,cemu 11,7062, czyli okoio .J137, a nie 00.) Inny punkt widzenia zaklada, ze goly ladunek jest jedynie wygodnym pojyciem, a pojt;cie "golego iadunku" jest "bez sensu", poniewaz jest on nieobserwowalny. Bez wzglydu na to, kt6ry z tych punkt6w widzenia przyjrniemy, renormalizacja stanowi istotny element wsp6iczesnej KTP. Istotnie, zgodnie z obecnym stanem wiedzy, bez zastosowania procedury "przeskalowania nieskonczonosci" nie tylko w odniesieniu do ladunku lub masy, ale i do innych wielkosci, nie mamy innego sposobu uzyskania sensownych wynik6w. Teorie, w kt6rych tego rodzaju procedury przynosz1J, dobre rezultaty, nazywamy teoriami renonnalizowalnymi. W renormalizowalnej KTP rnozemy pogrnpowae wszystkie rozbiezne czysci diagram6w Feynmana w skonczon1J, liczby "paczek,m, kt6re "wyskalujemy" drog1J, renorrnalizacji, natorniast wszelkie pozostale wyraienia osobliwe znosz1J, siy wzajemnie na zasadzie pewnych og6lnych wymog6w (takich jak wyrnagania symetrii, kt6re odgrywaj1J, wain1J, rolt; w modelu standardowym). EKjest teori1J, renormalizowaln1J" renormalizowalny jest takZe model standardowy, chociai wit;kszose proponowanych kwantowych teorii pola jest nierenormalizowalna. Wsr6d specjalist6w od teorii cZ1J,stek elementamych przewaia stanowisko, ze renormalizowalnose powinna bye kryterium poprawnosci teorii. Zgodnie z tym trzeba by odrzucie automatycznie wszelkie teorie nierenormalizowalne jako nienadaj1J,ce siy do opisu zjawisk Przyrody. Przyjycie takiej zasady stanowilo wain1J, wskaz6wkt;, kt6ra doprowadzila w xx wieku do wyborn teorii znanej pod nazw1J, modelu standardowego fizyki cZ1J,stek elementamych (zetknylismy siy z ni1J, w rozdz. 25). Z tego punktu widzenia powszechnose wystt;powania nieskonczonosci w KTP nie jest wiyc niczym "ziym", lecz stanowi wiasciwose teorii, z kt6rej potrafirny w skuteczny spos6b skorzystaCZs. Bardzo niewiele teorii jest w stanie przejse przez test renorrnalizowalnosci i tylko te, kt6re to kryterium spelniaj1J" mog1J, bye uwaiane za odpowiednie do opisu zjawisk fizycznych.
649
26
Kwantowa teoria pola
650
Nie wszyscy fizycy zgadzaj,! siy z tak rygorystycznym stanowiskiem. Nawet noblista Gerard t'Hooft, ktory odkryt kluczowy element niezbydny do wykazania renormalizowalnosci modelu standardowego, jest zwolennikiem pewnej ostroinosci w zbyt sztywnym traktowaniu kryterium renormalizowalnosci. (W 1971 roku, jeszcze jako doktorant uniwersytetu w Utrechcie, t'Hooft wstrz'!sn'!l spolecznosci,! fizykow, gdy zademonstrowal renormalizowalnosc teorii, w ktorych wystypuje "spontaniczne lamanie symetrii" - co stalo siy istotnym elementem teorii oddzialywan elektrostabych.) Przy pewnej okazji przedstawit poglqd, ie znaczenie renormalizowalnosci dla jakiejs teorii zaleiy od wielkosci stalej sprzyienia, ktora cechuje rozpatrywane oddzialywanie. Jego uwaga dotyczyla przede wszystkim teorii grawitacji, w ktorej sita oddzialywania jest nadzwyczaj slaba w porownaniu z sitami wystypuj,!cymi w fizyce cz'!stek elementarnych, tymczasem kwantowa teoria grawitacji okazuje siy nierenormalizowalna, jesli zastosujemy standardowe procedury kwantyzacji do rownan ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina; zob. rozdz. 19.6 i 31.1. (Przyciqganie grawitacyjne miydzy elektronem a protonem w atomie wodoru jest slabsze od sit elektrycznych 0 czynnik 10- 40 , co oznacza, ie sity grawitacyjne S,! niewyobraialnie slabsze od "slabych oddzialywan" w procesach rozpadu radioaktywnego.) Uwagi t'Hoofta wyraiaj,! cos, co moina by nazwac pragmatycznym poglqdem na KTP. Nawet teorie renormalizowalne nie Sq calkiem wolne od osobliwosci i do tej sprawy przejdy za chwily. t'Hooft stawia pytanie, czy osobliwosci, Jakie potencjalnie tkwiq w danej teorii, majq fizyczne znaczenie przy energiach wykraczajqcych daleko poza energie dostypne w eksperymencie. W przypadku "grawitacji kwantowej" zakres tych energii leiy tak daleko poza naszym zasiygiem, ie spodziewamy siy wielu innych wqtpliwosci, ktore pojawiq siy w teorii, zanim jak,!s roly zacznie odgrywac nierenormalizowalnosc sit grawitacyjnych. Na drugim koncu skali, zdaniem t'Hoofta, wystypujq oddzialywania silne, w ktorych stala sprzyienia jest tak duia, ii pojawia siy wqtpliwosc, czy opis jedynie w jyzyku diagramow Feynmana jest w pelni uiyteczny, poniewai rosn,!ce wyrazy szeregu stajq siy zbyt rozbieine. Sarna renormalizowalnosc nie wystarcza, aby uzyskac sko:6.czone wyniki w chromodynamice kwantowej. W tym przypadku korzystamy z pojycia swobody asymptotycznej wystypujqcych sit. Dla bardzo duiych pydow - co w teorii kwantowej oznacza bardzo male odleglosci - sily tych oddzialywa:6. majq ty zadziwiajqcq wlasnosc, ie efektywnie zanikajq. Jest to calkowite przeciwienstwo znanych sit elektrycznych czy grawitacyjnych wystypujqcych miydzy cZqstkami, w ktorych obowiqzuje prawo wzrostu sily odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odleglosci. Wielkosc oddzialywania silnego jest podobna do spryiystej tasmy, ktora tym bardziej siy napryia, im bardziej siy wydluia, natomiast napiycie spada do zera, gdy wydluienie maleje do zera 29 • Taka regula sil wyjasnia fakt - okreslany mianem uwi~zienia kwark6w (zob. rozdz. 25.7, 8) - ie nie moina poszczegolnych kwarkow uwolnic z hadronu. W odroinieniu od zwyklej tasmy spryiystej, "napiyte" oddziatywanie silne nie moie "trzasnqc", chociai, jesli ciqgniemy wystarczajqco mocno, z proini mogq zostac "wyciqgniyte" inne elementy, takie jak
Jak z lagranijanow otrzymac diagramy Feynmana? 26.10
antykwarki czy pary kwark6w; takie zdarzenia obserwujemy jako "dzety" w akceleratorach cz'!stek. Niezaleznie od kwestii renormalizowalnosci, ta godna uwagi cecha swobody asymptotycznej powoduje, ze teoria silnych oddzialywan jest uZyteczna obliczeniowo. Zanotujmy tez, ze stala silnego sprzyzenia wynosi okolo 10, co naleZy por6wnae ze stal'! sprzyzenia oddzialywan elektromagnetycznych - tak zwan'! stalq struktury subtelnej - kt6ra wynosi 1~7' oraz z wielkosci,! oddzialywan slabych, kt6ra, aczkolwiek nie moie bye numerycznie bezposrednio por6wnana, jest znacznie mniejsza (zob. takie rozdz. 31.1).
26.10 Jak z lagrani:jan6w otrzymac diagramy Feynmana?
W moim przedstawieniu diagram6w Feynmana, renormalizacji etc. wykonalem wlasciwie skok do przodu i nie wyjasnilem, jak takie diagramy konstruujemy w przypadku jakiejs konkretnej teorii pota. Nie powi¥alem takie techniki diagram6w Feynmana z og61nym formalizmem KTP, kt6rej ten rozdzialjest poswiycony. Spr6bujy teraz nieco uzupelnie te braki i wyjasnie status diagram6w Feynmana w og61nej strukturze KTP. Punktem wyjsciowym naszych rozwaian bydzie lagranijan odpowiedni dla danej teorii. Diagramy Feynmana reprezentuj,! rozwini~cie perturbacyjne teorii kwantowej zwi,!zanej z tym lagranijanem. Rozwiniycie perturbacyjne jest w zasadzie rozwiniyciem w szereg potygowy, w potygach pewnego parametru (albo rodziny parametrow), kt6ry zwykle uwaiamy za maly. Takie rozwiniycie jest podobne do rozwaianego w rozdz. 4.3, gdzie rozwijalismy funkcjy f(x) w szereg potygowy w zmiennej x. W przypadku diagram6w Feynmana roly x odgrywa odpowiednia stala sprzyienia. W EK tym parametrem sprzyienia jest ladunek elektryczny e. Z kaidym wierzcholkiem diagramu Feynmana zwi,!zany bydzie czynnik e, a wiyc wyrazy szeregu byd,! diagramami Feynmana z rosn,!C'! liczb,! wierzcholk6w, czyli diagram 0 n wierzcholkach bydzie wystypowal ze wsp6lczynnikiem en. W przypadku teorii 0 wiykszej liczbie stalych sprzyienia otrzymamy bardziej skomplikowane szeregi potygowe, 0 wiykszej liczbie zmiennych. Przykladem takiej teorii moie bye wersja EK, w kt6rej standardowe linie elektronowe s,! zast,!pione "zygzakami", w zgodzie z rysunkami 25.2 i 25.3b. Dwiema "stalymi sprzyienia" bylyby w tym wypadku ladunek elektronu e i jego masa M. Zwr6cilem jui uwagy na fakt, ie teorie renormalizowalne niekoniecznie s,! skonczone. Nawet taka archetypowa teoria jak EK nie jest teori,! skonczon'!, nawet po renormalizacji. Jak to moiliwe? Renormalizacja oznacza usuniycie osobliwosci ze skonczonego zbioru diagram6w Feynmana. Nie oznacza to jeszcze, ie sumowanie wszystkich uzyskanych w ten spos6b wielkosci bydzie zbieine. EK daje szereg potygowy fa + fIe + f 2e2 + f3e3 + ... , w kt6rym kaidy z wsp6lczynnik6w f O,fI,f2,fV'" jest wielkosci,! skonczon,!, uzyskan,! przez zastosowanie procedury renormalizacji odpowiednich calek Feynmana, w kolejnym rZydzie 0, 1,2,3, ... W istocie w kaidym konkretnym przypadku wystypuj,! jedynie potygi parzyste albo
651
26
Kwantowa teoria pola
nieparzyste[26.151• Renormalizowalnosc teorii nie oznacza, ze sum a calego takiego szeregu b((dzie skonczona. Rzeczywiscie, sum a ta nie jest skonczona, lecz wykazuje "rozbieznose logarytmicznq" Uak rozwini((cie 1 + + + + ... dla funkcji -In(1-x) w punkcie x = 1), ktora w przypadku EK nie ujawnia si(( wczesniej niz mniej wi((cej w wyrazach rz((du 137, co jest rz((dem tak wysokim, ze nie uwaza si(( go za znaczqcy. W przypadku ogolnej KTP, aby ustalie, ktory diagram wyst((puje w ktorym rz((dzie, musimy odwolae si(( do wyraZen, ktore Sq calkami po drogach, pomimo ze gdybysmy probowali wysumowac je bezposrednio, moglyby si(( okazac rozbiei:ne. Procedura polega na tym, ze te calki po drogach traktujemy jako wielkosci calkowicie formalne, do ktorych stosujemy proste, ale formalne procedury rozniczkowania funkcjonalnego (rozdz. 20.5). Diagramy Feynmana z kolejno wi((kszq liczbq wierzcholkow pojawiajq si(( wowczas, kiedy wykonujemy rozniczkowanie funkcjonalne w kolejno wyzszych rz((dach. Nie mam zamiaru zagl((biae si(( w szczegoly, chc(( tylko powiedziee, ze stosujqC t(( formalnq procedur((, uzyskujemy calq rodzin(( diagramow Feynmana w sposob jednoznacznYo. Lagranzjan jest tutaj, oczywiscie, lagrarnjanempoia, ktore omawialismyw rozdz. 20.5. Dla takiego lagranzjanu "droga" b((dzie zwyklq 1-wymiarowq krZYWq, powiedzmy, w jakiejs nieskonczenie wymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej. Skoro chcemy miee peIny, relatywistycznie niezmienniczy obraz, "historia" musi bye calkowitq 4-wymiarowq konfiguracjq pol a w okreslonym obszarze czasoprzestrzeni. Calka po tym obszarze z g((stosci lagranzjanu b((dzie dzialaniem S, a eiSlh daje nam amplitud(( (g((stose), ktorq przyporzqdkowujemy tej szczegolnej konfiguracji.
t t t
26.11 Diagramy Feynmana i wyb6r pr6i:ni W przypadku teorii 0 symetrii opisywanej pewnq gruPq, takich jak symetria U(2) teorii oddzialywan elektroslabych czy symetria SU(3) chromodynamiki kwantowej, alba jednej i drugiej, symetria ta b((dzie rowniez jawnq symetriq lagranzjanu. Istnienie takiej symetrii b((dzie bardzo waznym czynnikiem z punktu widzenia renormalizowalnosci KTP. Z grubsza biorqc, symetri(( t(( wykorzystujemy, aby zapewnie, ze niektore wyraZenia osobliwe nawzajem si(( znoszq. Gdyby bowiem zdarzylo si((, ze pozostaly nam jakies rozbiezne wyrazenia, to naruszalyby one postulowanq symetri(( teorii. A przynajmniej taka jest ogolna idea. W przypadku teorii oddzialywan elektroslabych pojawia si(( jednak inn a subtelnose, poniewaz okazuje si((, ze zrenormalizowana teoria ta nie rna zakladanej poczqtkowo symetrii U(2t. Brak symetrii U(2) uwazamy za rezultat zlamania symetrii (rozdz. 25.5), ale aby zrozumiec, jak mozna si(( z tym pogodzie, musimy powrocie do ogolnego formalizmu KTP. Zasadnicza idea
652
rn [26.15] ezy wiesz dlaczego?
Diagramy Feynmana i wybor proi:ni 26.11
sprowadza siy do tego, ze to zlamanie symetrii moze bye uwzglydnione przez U(2)-asyrnetryczny wyb6r stanu prozni. Zgodnie z tyrn tajemniczy stan 10), kt6ry wyobrazamy sobie na prawym koncu wyraZenia zawierajqcego wszystkie operatory kreacji i anihilacji i kt6ry pomijalismy dotqd w naszej analizie diagram6w Feynmana, teraz musi siy ujawnie. Przede wszystkim powinnismy choeby w przyblizeniu wiedziee, jak zwiqzae elementy algebry A kwantowej teorii pol a z diagramami Feynmana. Najwazniejszym zagadnieniem jest fakt, ze propagatory Feynmana, reprezentowane przez linie diagram6w, Sq w zasadzie wartosciami komutatorow lub antykomutatorow, z kt6rymi zetknylismy siy w rozdz. 26.2 (tzn. elementami ,,(1fJI
653
26
Kwantowa teoria pola
poprawnej algebry A. Procedury te Sq w zasadzie takie same ja.k w rozdz. 26.10, w ktorym generowalismy diagramy Feynmana z odpowiednimi wyrazeniami wierzcholkowymi. Na razie nie osiqgnC(lismy zbyt wiele, jednak poi;ytek z wprowadzenia diagramow Feynmana do ogolnej struktury KTP jest taki, ze wolno teraz zastqpie prozniC( 10) prozniq alternatywnq Ie), ktora moze nie bye rownowazna (podobnie jak to bylo z rozwazanym w rozdz. 26.4 stanem morza Diraca I.E». Zaletq takiego podejscia, w przypadku teorii oddzialywan elektroslabych oraz innych teorii, ktore w istotny sposob zalezq od fundamentalnego zlamania symetrii, jest to, ze podczas gdy lagranzjan - a w konsekwencji diagramy Feynmana tej teorii - opisywany jest pewnq dokladnq symetriq (grupa U(2) w przypadku teorii oddzialywan elektroslabych), to aktualne stany tego ukladu podlegajq nizszej symetrii (w przypadku teorii oddzialywan elektroslabych jest niq grupa cechowania U(l) elektromagnetyzmu), poniewaz taka jest symetria stanu Ie). W ten sposob renormalizowalnose teorii, ktora jest wynikiem pelnej, niezlamanej symetrii, pozostaje nienaruszona, pomimo ze teoria rozpatrywana w calosci wykazuje jedynie tc( nizszq, zlamanq symetriC(. To naprawdC( znakomity wynalazek, ktory pozwala konstruowae teorie fizyczne korzystajqce z zalet dokladnej symetrii, podczas gdy obserwowane zjawiska charakteryzujq siC( symetriq wysoce niezadowalajqcq. Taka sytuacja stanowi wielkq pokusC( dla fizykow, aby poszukiwae lepszych i bardziej satysfakcjonujqcych konstrukcji. I rzeczywiscie, wszystkie wspolczesne teorie, wychodzqce poza model standardowy, usilujq wykorzystae zalety tego typu "lamania symetrii", choe proby takie, bez wzglC(du na ich popularnose - podobne do tych, ktore omowimy w rozdz. 28.1-5 - nadal uwazamy za wylqcznie spekulatywne. Musimy bye bardzo krytyczni i sceptyczni wobec propozycji tego rodzaju, gdyz latwo mogq zaprowadzie na manowce. Zanim jednak przejdziemy do omowienia tych propozycji, musimy najpierw zapoznae siC( z Wielkim Wybuchem (w nastC(pnym rozdziale). W kolejnym rozdziaIe sprobujemy zrozumiee pewne wazkie kwestie, ktore towarzyszq idei spontanicznego lamania symetrii w szczegolnym kontekscie wczesnych faz ewolucji Wszechswiata. Wreszcie bC(dziemy musieli dobrze zapiqe pasy, zanim korzystajqc z tej rozpowszechnionej idei, wybierzemy siC(, w rozdz. 31, na ekspedycjC( badania supersymetrii, oryginalnych koncepcji teorii strun oraz ich nadzwyczajnych konsekwencji.
Przypisy I
2
654
Rozdzial 26.1 Zob. Aitchison, Hey (2004) alba Zee (2003). Rozdzial26.2 Mam zamiar poslugiwac siy tutaj nieco "niestandardowym" opisem, dopuszczajqc "funkcje falowe" w postaci og6lnych, niekoniecznie unormowanych polo dodatnich czystosciach.
Przypisy Ten brak normalizacji odnosi siy rowniei do operatora kreacji 'P(i do operatora anihilacji 'P'). W opisie konwencjonalnym z reguly przez 1/J rozumie siy jakis stan pydowy. 3 W standardowych podrycznikach do oznaczenia operatora anihilacji u:i:ywa siy zwykle symbolu a, natomiast odpowiedni operator kreacji (hermitowsko sprzyiony wzglydem a) oznacza siy at i stosuje siy opis w reprezentacji pydow; lOb. Shankar (1994) i Zee (2003). 4 Niektorzy czytelnicy, zaznajomieni ze standardow'! literatur,! na ten temat, mog,! miee zastrzeienia, poniewaZ CZysto bywa tak, ie u:i:ywane opera tory kreacji i anihilacji s,! ograniczone do operatorow reprezentuj'!cych roine stany pydowe, ktore tworz'! ortogonaln'! bazy. W takim przypadku operatory anihilacji rzeczywiscie usuwaj'! odpowiadaj,!ce im konkretne stany. 5 Zob. Zee (2003); Peskin, Schroder (1995). 6 Pouczaj'!ce przedstawienie tego znajdziemy w pracy Zee (2003). 7 Istniej,! tei pewne intryguj,!ce aspekty topologiczne, ktore wi'!:i:'! wymiany cz'!stek z obrotern 0 k,!t 2n, jednak ich peine implikacje w odniesieniu do KTP pozostaj,! niejasne. Zob. Finkelstein, Rubinstein (1968); Feynman (1986); Berry, Robbins (1997). Rozdzial 26.3 Zob. Landsman (1998). Pozycja ta z technicznego punktu widzenia stanowi swego rodzaju wyzwanie. Zob. rowniei Ashtekar, Magnon (1980). 9 Bye moie trzeba je wyrazie poprzez potencjal. 10 Zagadnienie normalizacji stanow przedstawiono w sposob ogolnyw monografii Ryder (1996). Kwantowanie pola elektromagnetycznego w sposob nieco bardziej tradycyjny znajdziemy w pracy Shankar (1994). 8
II
Rozdziaf 26.4 Neutrina stanowi,! rzeczywiscie bardzo "gor'!cy" dzial fizyki cz,!stek elementamych! Zob. Shrock (2003), aby uzyskae najnowsze informacje.
Rozdzial 26.6 Przestrzen Focka dla prostego przypadku pol a bozonowego, w ktorym cz'!stka jest jednoczesnie swoj,! wlasn,! antycz'!stk'!, moina zapisae w postaci: IC EEl H EB {H 0 H} EEl {H 0 H 0 H}EB{H 0 H 0 H 0 H} EB ... , gdzie symbol EEl oznacza sumy prost'!, natomiast Ozsymetryzowany iloczyn tensorowy. Podobnie moina traktowac bardziej skomplikowane przypadki, gdy np. wystypuje spin, ladunek itd. Ogoln,! idey znajdziemy w monografii Shankar (1994); po:i:yteczna tei moie bye praca Davydov (1976). 13 Zob. Hannabuss (1997); Shankar (1994), gdzie znajdziemy dyskusjy roinorodnych stanow koherentnych (fermionowych, spinowych etc.). 14 Zob. Wald (1994); Birrell, Davies (1984). 15 Zob. Dirac (1933); Schwinger (1958). 16 Zob. Feynman (1948, 1949). Znakomity przegl,!d metody znajdziemy w Feynman, Hibbs (1965). Konkuruj,!CY z tym podejsciem do elektrodynamiki kwantowej formalizm Schwingera (zob. np. Schwinger 1951) byl pod wieloma wzglydami scislejszy, ale wiykslOse teoretykow woli bardziej intuicyjn,! metody calek po drogach Feynmana i techniky diagramow Feynmana. 12
Rozdzial 26. 7 Tego rodzaju dokladnosc Feynman porownal do wyznaczenia odleglosci miydzy Nowym Jorkiem a Los Angeles z blydem mniejszym nii grubosc ludzkiego wlosa! 18 Niektore inne warte uwagi idee, takie jak tzw. euklidyzacja, omowimy w rozdz. 28.9. 19 Jest to przyklad tzw.Junkcji Greena (od nazwiska wybitnego matematyka angielskiego George'a Greena (1793-1841), samouka i syna mlynarza). Propagator Feynmanajest specjaln,! funkcj,! Greena K(p, q), zdefiniowan,! przez postulowane w teorii kwantowej wymaganie dodatnich czystosci, 0 czym mowilismy w rozdz. 24.3. 17
655
26
Kwantowa teoria pola
20
Bydzie to raczej nieco "staromodne"; zob. np. ldasyczn,! publikacjy Bjorken, Drell (1965).
Rozdzial 26. 8 Istniej,! wielkosci okreslane jako "biegn,!ce stale sprzyzenia", kt6re S,! funkcjonalnie zalezne od energii spoczynkowej calego ukladu cz'!stek wchodz'!cych do wierzcholka Feynmana. Wielkosci te maj,! znaczenie w wielu wsp6lczesnych teoriach cz'!stek elementarnych. 22 Tak wiyC jesli p~), P~), ... oznaczaj,! pydy cz'!stek wchodz'!cych do wierzcholka, a Q(~\ Q(;~ ... pydy cz'!stek wychodz,!cych, w6wczas mamy czynnik 8(P2 + P;) + ... - Q~) - Q~) - ... ). 23 Zob. przyp. 6 z rozdz. 26. 24 Wazne pojycie "macierzy S" (zawdziyczamy je wysoce oryginalnemu fizykowi amerykanskiemu J.A. Wheelerowi) nie jest zwi'!Zane z pojyciem diagram6w Feynmana, a macierz S mozemy obliczae takZe innymi sposobami. Zob. Eden et al. (2002). 21
Rozdzial 26.9 Zob. Zee (2003) lub Ryder (1996), aby uzyskae dokladniejsze informacje. 26 Poniewaz ladunek elektronu jest ujemny, slowo "redukcja" oznacza tutaj zmniejszenie wartosci bezwzglydnej. 27 Istnieje pewna e1egancka procedura matematyczna, systematyzuj,!ca ty metody, kt6ra posluguje siy pojyciem "koiloczynu", zwi'!Zanego z ideami geometrii nieprzemiennej. Kr6tko om6wimy j,! w rozdz. 33.1; zob. Connes, Kreimer (1998). 28 Jednym z potyznych narzydzi sluz,!cych temu celowi jest tzw. grupa renormalizacji. Om awiaj,! te zagadnienia Zee (2003), Ryder (1996), a takZe Peskin, Schroder (1995). Ich znaczenie dla fizyki statystycznej przedstawia encyldopedyczna praca Zinn-Justin (1996). 29 SHy grawitacyjne S,! wci
30
31
Rozdzial 26.10 Algorytm tego postypowania prezentuj'! Zee (2003) i Zinn-Justin (1996). Godne polecenia jest takZe zabawne i intuicyjne przedstawienie metody w pracy Mattucka (1976). Rozdzial 26.11 Zob. przyp. 12 w rozdz. 25.
27 Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo 27.1 Symetria czasowa w ewolucji dynamicznej typu prawa ksztaltuj'l WszechSwiat w calej jego zlozonosci? Od czasow Galileusza wszystkie sprawdzone teorie fizyczne udzielaj'l podobnej odpowiedzi: S'l to mianowicie prawa dynamiki, ktore okre§laj'l, w jaki sposob dany uklad fizyczny ewoluuje w czasie, poczynaj'lc od pewnego zadanego stanu w chwili pocz'ltkowej. Teorie te nie informuj'l, jak ten swiat wygl'lda; zamiast tego oglaszaj'l: "jesli w danym momencie nasz swiat wygl'ldal tak i tak, to w jakiejs chwili pozniejszej bydzie wygl'ldal tak i tak". Zadna z tych teorii nie pozwoli odpowiedziec na pytanie, jak swiat jest uksztaltowany, jesli nie dostarczymy jej wiedzy, jak ten swiat byl uksztaltowany. W historii nauki pojawialy siy znacz'lce odstypstwa od tej reguly, na przyklad wspaniala teoria Keplera z 1609 roku, ktora wyprowadzala geometryczny ksztait orbit planet w ruchu wokol Slonca - mialy miec one ksztalt elipsy, ze Sloncem umiejscowionym w jednym z ognisk - wraz z regulami rZ'ldz'lcymi ich prydkosciami. To byla wlasnie teoria, ktora mowila raczej, jaki ten Wszechswiat jest, niZ wyjasniala, jak moze zmieniac siy jego stan od jednej chwili do innej, zgodnie z jakims prawem o dynamicznej naturze. Obecnie jednak nieco inaczej traktujemy ruchy Keplera i uwazamy, ze s'l one jedynie konsekwencj'l siedemnastowiecznych praw dynamiki grawitacyjnej, sformulowanych po raz pierwszy przez Newtona i opublikowanych w jego dziele Principia w 1687 roku; nie traktujemy zatem praw Keplera jako fundamentalnych praw Przyrody. I rzeczywiscie, zarowno dla samego Keplera, jak i dla calej nauki nieslychanie szczysliwym zbiegiem okolicznosci okazalo siy, ze to szczegolne prawo, ktore rZ'ldzi newtonowskimi sitami ciyzkosci, prawo odwrotnej proporcjonalnosci do kwadratu odleglosci (rozdz. 17.3), powoduje, ze wszystkie orbity malych cial w polu sily centralnej maj'l proste i eleganckie ksztalty matematyczne (i, jak wiemy, znakomicie przebadane przez staroi:ytnych Grekow jakies osiemnascie wiekow wczesniej). To wyj'ltkowa wlasnosc i raczej nie odnosi siy do innych regul zwi¥anych z dzialaniem sit centralnych. W ogolnym przypadku, wedlug obecnej wiedzy, spodziewamy siy, ze to prawa dynamiki byd'l mialy eleganck'l postac matematyczn'l, natomiast uWaZamy za usmiech losu, kiedy zdarzy siy nam sytuacja, ze rowniei: konsekwencje tych praw dadz'l siy przedstawiC w postaci prostych form matematycznych. JAKIEGO
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
Zwykle si(( uwaza, ze dzialanie praw dynamiki polega na tym, iz wybor warunkow poczqtkowych determinuje, jakie b((dq ich konkretne skutki. N a ogol mamy na mysli przyszlq ewolucj(( ukladu, a wi((c wychodzimy z warunkow poczqtkowych, a samq ewolucj(( okreslajq rownania rozniczkowe. (B((d q to rownania rozniczkowe czqstkowe - rownania pol a - w ktorych wyst((pujq ewoluujqce pola alba funkcje falowe; zob. rozdz. 10.2, 19.2. 6, 21.3, ewiczenie [19.2], przyp. 1 w rozdz. 21.) Nie mamy zas na ogol zwyczaju rozwazae ewolucji wynikajqcej z tych rownan w kierunku przeciwnym, w stron(( przeszlosci, niezaleznie od faktu, ze zarowno rownania dynamiki klasycznej, jak i mechaniki kwantowej Sq symetryczne wzgl((dem odwrocenia kierunku czasu! Z punktu widzenia matematyki nie rna zadnych przeciwwskazan, zebysmy wyspecyfikowali warunki koncowe, w jakiejs odleglej chwili w przyszlosci, i zbadali ewolucj(( ukladu do tylu w czasie. Matematycznie rzecz biorqc, do okreslenia ewolucji ukladu warunki koncowe Sq rownie dobre jak warunki poczqtkowe. Konieczne Sq w tym miejscu pewne uwagi dotyczqce determinizmu dynamiki zwiqzanego z kwestiq symetrii czasowej. Przede wszystkim musz(( zapewnie czytelnika, ze to poj((cie nie zostaje w jakis istotny sposob naruszone ani w szczegolnej, ani w ogolnej teorii wzgl((dnosci. Dane definiujqce stan ukladu Sq wyspecyfikowane dla jakiegos "czasu" poczqtkowego, stanowiqc pewnq przestrzennopodobnq 3-powierzchni((, i te dane ewoluujq zgodnie z rownaniami dynamicznymi, ktore determinujq stan fizyczny ukladu zarowno w przyszlosci, jak i w przeszlosci. Pojawiajq si(( jednak nowe aspekty w ogolnej teorii wzgl((dnosci, poniewaZ sarna struktura czasoprzestrzeni, w ktorej zachodzi ta ewolucja, jest cz((sciq stanu fizycznego, jaki rna bye wyznaczony. (Rodzi to szczegolne implikacje w odniesieniu do problemu czarnych dziur, z czym zetkniemy si(( nieco pozniej; zob. rozdz. 27.8, 9, 28.8, 30.4, 9.) W przypadku mechaniki kwantowej determinizm dotyczy jedynie cz((sci U tej teorii, w ktorej stan kwantowy podlega ewolucji Schr6dingera (lub rownowaznej). Przy odwroceniu czasu - operacja T, 0 ktorej mowilismy w rozdz. 25.4 - operator pochodnej po czasie ilia/Ot w rownaniu Schr6dingera (rozdz. 21.3) musimy zastqpic przez -ilia/at (poniewaz t H - t). Zakladajqc, ze mamy do czynienia z normalnym hamiltonianem, ktory jest niezmienniczy wobec operacji T, widzimy, ze ewolucja Schr6dingera rowniei przechodzi sarna w siebie, jesli odbiciu w czasie, t H - t, towarzyszy zmiana znaku liczby urojonej: i H - i. Istotnie, tak wlasnie wyobrazamy sobie dzialanie T w mechanice kwantowej. (Zauwazmy, ze funkcja o CZ((stosciach dodatnichf(t) przy lqcznym dzialaniu t H - t i i H - i rowniez przechodzi w funkcj(( 0 CZ((stosciach dodatnich, a wi((c pod tym wzgl((dem wszystko jest w porzqdku[27.J 1). Zachowanie si(( procedury redukcji stanu kwantowego, R, pod dzialaniem T jest innym zagadnieniem i b((dzie stanowie wazny przedmiot naszych rozwazan w rozdz. 30.
658
1!!1 [27.1] Dlaczego? Wyjasnij r6wniez, dlaczego taka zamiana ujmuje prawidlowo pydy przestrzenne.
Aspekty submikroskopowe
27.2
27.2 Aspekty submikroskopowe
Istniejl! jeszcze inne kwestie, ktore mogl! niepokoie zorientowanego czytelnika, nawet w odniesieniu jedynie do dynamiki klasycznej. Z call! pewnoscil! symetria wzglydem odbicia w czasie wystypuje w mechanice klasycznej na poziomie submikroskopowej dynamiki poszczegolnych cz'!stek i towarzyszl!cych im pol. W praktyce jednak niewiele wiemy 0 zachowaniu siy takich indywidualnych skladnikow ukladuo Szczegolowa znajomose polozen i pydow poszczegolnych cz'!stek wydaje siy zarowno niemozliwa, jak i niekonieczna, a ogolne zachowanie siy ukladu jest wystarczajl!co dobrze opisane za pomoq odpowiednich srednich parametrow fizycznych charakteryzujl!cych pojedyncze cz'!stki. Wielkosciami tymi mog,! bye na przyklad rozklad mas, pydu i energii, polozenie i prydkose srodka masy, temperatura i cisnienie w roznych miejscach, stale spryZyste, momenty bezwladnosci, szczegoly ksztaltu i orientacji cial w przestrzeni etc. Podstawowe znaczenie rna wiyc pytanie: czy dobra znajomose poczl!tkowych wartosci takich usrednionych "calosciowych" parametrow wystarcza w praktyce do opisania dynamicznego zachowania ukladu z dostatecznl! dokladnoscil!? Z pewnoscil! nie zawsze tak jest. Uklady znane jako chaotyczne charakteryzujl! siy tym, ze ich koncowe zachowanie w decydujl!cym stopniu zaleZy od dokladnej znajomosci parametrow wyjsciowych. Popularnym przykladem jest zabawka magnetyczna, w ktorej wahadlo magnetyczne porusza siy nad zbiorem magnesow rozmieszczonych w jakis okreslony sposob u jej podstawy; zob. rys. 27.1. Dynamiczne zachowanie siy tego ukladu jest dobrze okreslone, w sposob deterministyczny, przez prawa Newtona i prawa magnetostatyki, wraz z tlumieniem ruchu w wyniku oporu powietrza. Mimo to koncowe polozenie wahadla zaleZy w sposob krytyczny od parametrow wyjsciowych i jest w istocie nieprzewidywalne, chociaz szczegolowa znajomose poczl!tkowych polozen cz,!stek i wartosci pol z cal,! pewnosci,! ustala jednoznacznie koncowy wynikl. Znamy wiele innych przykladow takich "ukladow chaotycznych". Wiykszose problemow z przewidywaniem pogody przypisujemy zwykle chaotycznej naturze rozwaZanych ukladow. Nawet wysoce uporZl!dkowane (i bardzo przewidywalne) newtonowskie ruchy cial w Ukladzie Slonecznym stanowi,! (prawdopodobnie) uklad chaotyczny, z tl! rozniq, ze skale czasowe odpowiadajl!ce temu "chaosowi" S,! niepomiernie wiyksze od skali czasowych obserwacji astronomicznych.
Rys. 27.1. Ruch chaotyczny. Zabawka skladaj'lca sit( z wahadla magnetycznego zawieszonego nad zbiorem magnes6w przymocowanych do podstawy. Konkretna trajektoria wahadla w spos6b krytyczny za1eiy od jego pocz'ltkowego polozenia i prt(dkosci.
659
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
A jak przedstawia sit( zagadnienie ewolucji nie w kierunku przyszlosci, lecz skierowanej w przeszlose? Uczciwie bt(dzie ostrzec, ie ta "chaotyczna nieprzewidywalnose" stanie sit( duio wit(kszym problemem, jesli zechcemy dokonae "retrodykcji" - przewidywalnej ewolucji w przeszlose - nii w przypadku "predykcji" przewidywalnej ewolucji w przyszlosci. Jest to zwi'!zane z Drugim Prawem Termodynamiki (DPT), ktore najprosciej moiemy wyrazie nastt(puj,!co: Cieplo przeplywa od ciala cieplejszego do zimniejszego. Zgodnie z tym prawem, jesli pol,!czymy cialo gor,!ce z cialem zimnym za pomoq jakiegos przewodnika ciepla, wowczas cialo gor,!ce bt(dzie sit( ochladzae, a cialo zimne ogrzewae, do momentu ai ich temperatury sit( wyrownaj,!2. To wlasnie przewiduje "predykcja" i taka ewolucja jest w pelni deterministyczna. Jesli, odwrotnie, sprobujemy odtworzye ten proces w odwroconym kierunku czasu, a wit(c ewolucjt( dwoch cial 0 tej samej temperaturze do wczesniejszego ukladu tych cial 0 roinej temperaturze, wowczas okaie sit(, ie praktycznie nie da sit( przewidziee, ktore z nich bylo cieplejsze, a ktore chlodniejsze, 0 ile i kiedy. W tym ukladzie okreslenie procesu dynamicznej retrodykcji jest przedsit(wzit(ciem calkowicie beznadziejnym. Taki sam klopot mamy w odniesieniu do retrodykcji niemal wszystkich ukladow makroskopowych, skladaj,!cych sit( wielkiej liczby cz,!stek, zachowuj,!cych sit( zgodnie z DPT. Z tego powodu fizyka zajmuje sit( raczej predykcj,!, a nie retrodykcj,!3. Innym aspektem tej sytuacji jest to, ie DPT uwaia sit( za istotny skladnik predykcyjnej sily fizyki, poniewai likwiduje ono te problemy, z ktorymi wlasnie zetknt(lismy sit( w przypadku ewolucji wstecz. Wielu fizykow sklonnych jest uwaiae, ie prawo to nie jest "fundamentalne" w takim sensie, w jakim za fundamentalne uwaiamy prawo zachowania energii, zasadt( liniowej superpozycji stanow w mechanice kwantowej, a nawet model standardowy fizyki cz'!stek elementarnych. Bt(d,! oni utrzymywae, ie DPT jest prawie "oczywistym" koniecznym skladnikiem kaidej sensownej teorii fizycznej. Niektorzy zwracaj,! uwagt(, ze jego sformulowanie jest tak dwuznaczne i nieprecyzyjne, iz w iaden sposob nie moze bye porownywane z nadzwyczajn,! dokladnosci,! praw dynamicznych, jakie opisuj,! podstawowe zjawiska fizyczne. Moj pogl,!d na tt( sprawt( jest zgola odmienny imam zamiar przedstawie niemal porazaj,!q precyzjt(, ktora ukrywa sit( za pozornie malo precyzyjn,! zasad,! fizyki statystycznej, zwykle okreslan,! mianem Drugiego Prawa Termodynamiki.
27.3 Entropia
660
Sprobujmy przeanalizowae nieco dokladniej, co naprawd y mowi DPT. Najpierw jednak powinienem przypomniee czytelnikowi 0 Pierwszym Prawie Termodynamiki (PPT). Prawo to stwierdza po prostu, ie w ukladzie izolowanym energia calkowita jest zachowana. Czytelnik moglby w tym miejscu poskariye sit(, ze ta informa-
Entropia
27.3
cja nie wnosi nie specjalnie nowego (rozdz. 18.6, 20.4, 21.3), lecz gdy to prawo zostalo po raz pierwszy sformulowane (jego autorem byl Sadi Carnot na poczqtku 1820 roku, aczkolwiek nie on je opublikowaI 4), nie bylo jeszcze jasne, ze cieplo jest formq energii; nawet zwykle, makroskopowe poj~cie energii nie bylo jeszcze calkiem jasne. Pierwsze Prawo Termodynamiki explicite stwierdza, ze cialo nie traci energii calkowitej, kiedy, na przyklad, w wyniku oporu powietrza zmniejsza pr~d kosc i traci w ten sposob energi~ kinetycznq (rozdz. 18.6). Energia ta zamienia si~ w cieplo i zwi~ksza temperatur~ ciala i otaczajqcego powietrza. Przez energi~ cieplnq rozumiemy (glownie) energi~ kinetycznq ruchu czqsteczek powietrza i drgan CZqstek skladajqcych si~ na rozpatrywane cialo. Ponadto temperatura jest po prostu miarq energii przypadajqcej na jeden stopien swobody, a zatem termodynamiezne poj~cia ciepla i temperatury Sq w zasadzie tym samym, co wczesniej rozumielismy przez te same poj~cia w uj~ciu dynamicznym, tylko obecnie stosujemy je na poziomie czqstek skladajqcych si~ na badanq substancj~ i rozwazamy je w sposob statystyczny. PPT rna teraz taki rodzaj scislosci, do jakiego jestesmy przyzwyczajeni: wartosc pewnej wielkosci fizycznej, w tym przypadku energii, pozostaje stala niezaleznie od jakichkolwiek, nawet najbardziej skomplikowanych mozliwych procesow. Energia calkowita po takim procesie jest dokladnie rowna tej, jaka byla na poczqtku. Pierwsze prawo termodynamiki rna postac rownosci, drugie zas - nierownosci. Mowi ono, ze pewna wielkosc, nazwana entropiq, po zajsciu jakiegos procesu rna wi~kszq wartosc (a co najmniej nie mniejszq) niz przed owym procesem. Mozemy powiedziec, ze w pewnym sensie entropia jest miarq "losowosci" rozpatrywanego ukladu. Nasze cialo, poruszajqc si~ w powietrzu, rozpoczyna ruch z energiq w zorganizowanej postaci (energii kinetycznej ruchu), ale gdy w wyniku oporu powietrza jego pr~dkosc zmniejsza si~, ta energia ulega rozproszeniu na przypadkowe ruchy czqsteczek powietrza i poszczegolnych czqsteczek skladajqcych si~ na to cialo. "Losowosc wzrosla"; a dokladniej, wzrosla entropia. Poj~cie entropii wprowadzil do fizyki w 1865 roku Clausius, ale dopiero wielki fizyk austriacki, Ludwig Boltzmann, w 1877 roku nadal mu jasniejszy sens. Aby zrozumiec ide~ Boltzmanna (dla ukladu klasycznego), skorzystamy z poj~cia przestrzeni fazowej (rozdz. 12.1, 14.1, 8, 20.1, 2, 4), ktore, jak pami~tamy, dla ukladu klasycznego n czqstek (bez struktury) oznacza 6n-wymiarowq przestrzen P, ktorej kazdy punkt reprezentuje calq rodzin~ polozen i p~dow wszystkieh n czqstek. Aby poj~cie entropii bylo precyzyjne, potrzebna nam jest koncepcja znana jako podzial gntboziamist/. Rozumiemy przez to podzial przestrzeni fazowej P na pewnq liczb~ podobszarow, ktore b~d~ nazywal "pudlami"['l; zob. rys. 27.2. Pomysl polega na tym, ze dane "pudlo" zawiera takie punkty przestrzeni P, jakie reprezentujq stany ukladu, ktorych nie mozemy odroznic od siebie podczas obserwacji makroskopo[*] Po angieisku box. W literaturze poiskiej uZywa siy tez czasem okresienia "kom6rka"; zob. Penrose (1989) (przyp. Hum.).
661
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
Rys. 27.2. Entropia Boltzmanna. Wymaga ona podzialu przestrzeni fazowej P na podobszary ("pudla") - nazywamy to "podzialem gruboziamistym" P - w ktorym punkty danego pudla reprezentuj,! nierozroznialne makroskopowo stany fizyczne. Wedlug Boltzmanna entropi,! stanux, w pudie V 0 objytosci V, jest S = k In V, gdzie k jest stal,! Boltzmanna.
Stany nierozr6i:niaine makroskopowo
~
>---~
Przestrzen fazowa P podzieiona gruboziarnisto
wych, natomiast punkty naleZ,!ce do roznych pudel uwazamy za makroskopowo rozroznialne. Entropia boltzmannowska S dla stanu ukladu reprezentowanego przez punkt X przestrzeni P wynosi S=klnV,
gdzie V jest objt(tosci,! pudla V, ktore zawiera x ("In" oznacza logarytm naturalny; zob. rozdz. 5.3), a k jest stafq Boltzmanna 6 0 wartosci
k = 1,38
662
X
10-23 J K-1
(gdzie J oznacza dzule, a K-1 oznacza "na jeden kelwin'l Powiedzialem, ze definicja Boltzmanna wyjasnia pojt(cie entropii. Aby jednak S reprezentowalo wartose precyzyjn,! z fizycznego punktu widzenia, potrzebujemy jakiegos dokladnego przepisu na przeprowadzenie podzialu gruboziarnistego, ktory przedstawiae rna nasza rodzina "pudel". Z pewnosci,! wystt(puje tu pewna dowolnose w dokonaniu wyboru pude!. Jak sit( wydaje, ta definicja zaleiy od tego, jak dokladnie badamy dany uklad. Dwa stany mog,! bye "makroskopowo nierozroznialne" z punktu widzenia jednego eksperymentatora, ale dla drugiego mog,! bye calkiem rozroznialne. Ponadto bardzo dowolne jest okreslenie, gdzie przebiega granica mit(dzy dwoma pudlami, rozpatruj,!c bowiem dwa punkty, po obu stronach tej granicy, przyporz,!dkowujemy im inne wartosci entropii, pomimo ze s,! one praktycznie identyczne. Definicja entropii rna nadal charakter subiektywny, niezaleznie od faktu, ze wykazuje znaczny postt(P w porownaniu z wczesniej uiywanymi pojt(ciami i niew'!tpliwie jest znacznie lepsza od pojt(cia entropii jako po prostu miary "losowosci" ukladu. Moim zdaniem fizyczny status entropii w obecnej fizyce teoretycznej sprowadza sit( do tego, ze nie nadaje temu pojt(ciu znaczenia "absolutnego", aczkolwiek niew'!tpliwie jest ono bardzo uiyteczne. Uwazam za mozliwe, iz moze ono uzyskae w przyszlosci bardziej fundamentalne znaczenie. W tym celu jednak musielibysmy wzi,!e pod uwagt( kwantowe wlasnosci materii, a w kazdym razie to mechanika kwantowa dostarcza nam absolutnej miary dowolnego obszaru przestrzeni fazowej, V, zawartego w P, gdzie jednostki mog,! bye wybrane tak, zeby h = 1 (jak
Zywotnosc koncepcji entropii
27.4
w przypadku ukladu jednostek Plancka, zob. rozdz. 27.10)l27.21. Ale bez wzglydu na to, czy tak sil( stanie, jest godne uwagi, jak niewielkie znaczenie dla obliczen termodynamicznych rna dowolnose podzialu gruboziarnistego. Wydaje siy, ze powodem tego w wil(kszosci interesuj,!cych nas przypadkow jest gigantyczna roznica rozmiarow objytosci odpowiednich pudel przestrzeni fazowej, co powoduje, ze szczegoly wyznaczenia granic mil(dzy nimi staj,! sil( nieistotne, pod warunkiem ze podzial gruboziarnisty wlasciwie uwzgll(dnia intuicje co do tego, gdzie odpowiednie cZl(sci ukladu mog,! bye traktowane jako makroskopowo rozroznialne. Poniewaz entropia jest zdefiniowana jako logarytm z objl(tosci pudla, musielibysmy dokonae ogromnych zmian w zakresleniu granic, aby zmiany te w zauwazalny sposob wplynl(ly na wartose SI273I. S,!dzl(, ze obecnie w fizyce teoretycznej entropia jest pojyciem bardziej "wygodnym" niz "fundamentalnym", chociaz istniej,! przeslanki, ze w glC(bszym kontekscie, tam, gdzie wazne staj,! sil( rozwazania na gruncie grawitacji kwantowej (szczegolnie w odniesieniu do entropii czarnych dziur), to pojl(cie moze uzyskae status bardziej fundamentalny. Wrocimy do tej sprawy w dalszej czC(sci tego rozdzialu i w rozdz. 30.4-8, 31.15 oraz 32.6.
27.4 Zywotnosc koncepcji entropii Prosty przyklad pozwoli nam lepiej rozumiee roll( formuly Boltzmanna dla entropii. Rozwazmy zamkniyty zbiornik, w ktorym zaznaczymy specjalny obszar R; niech ten obszar rna ksztalt banki, zajmuj,!cej ok. jednej dziesi'!tej calej objl(tosci, wystaj,!cej na zewn'!trz glownego zbiornika i pol,!czonej z nim przez maly otw6r; zob. rys. 27.3. Zal6zmy, ze w zbiorniku znajduje sil( gaz sktadaj,!cy sil( z m czasteczek. Zapytajmy, ile wynosi entropia S zwi'!zana z sytuacj,!, gdy caly gaz znajduje siC( w R, w porownaniu z sytuacj,!, gdy gaz jest losowo rozproszony w calym zbiorniku.
Rys. 27.3. Zamknit(ty zbiornik, kt6rego czt(sc stanowi zbiornik kulisty
n 0 objt(tosci r6wnej 110 calosci. 0 ile wzrosnie en tropia gazu, kiedy gaz, pocz'!tkowo wypelniaj,!CY obszar n, rozprzestrzeni sit( na caly zbiornik?
I'D [27.2] Pokaz, jak przyporz
=
1.
I'D [27.3] Pokaz, jaki jest zwi¥ek wystypowania logarytmu we wzorze Boltzmanna z ogromnymi roznicami objytosci pudel.
663
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
Ze wzoru Boltzmanna otrzymujemy S = k In V,~' gdzie VR jest objt(tosci,! obszaru przestrzeni fazowej VR reprezentuj,!cego sytuacjt(, gdy wszystkie cz'!steczki gazu znajduj,! sit( w R. Dla uproszczenia zakladamy, ze mamy do czynienia ze statystykq Boltzmanna, w odr6znieniu od "statystyki Bosego-Einsteina" dla bozon6w czy "statystyki Fermiego-Diraca" dla fermion6w, kt6re omawialismyw rozdz. 23.7. W statystyce Boltzmanna przyjmujemy, ze wszystkie cz'!stki s,! rozr6inialne (przynajmniej w zasadzie )l27Al. Zakladaj,!c, ze mamy do czynienia z gazem w warunkach normalnych, pod cisnieniem atmosferycznym, w objt(tosci jednego litra mamy w przybliZeniu m = 1022 cz'!steczek. Stosunek objt(tosci obszaru VR przestrzeni fazowej do objt(tosci calej przestrzeni fazowej P, dla gazu zawartego w pojemniku, wynosi 10-rn(= 1~)P7.51 tzn. 10-' 0000000000000000000000 , co daje nam pojt(cie 0 tym, co to s,! "zdumiewaj,!ce" stosunki objt(tosci, jakie tutaj wystt(puj,!. Podana liczba ilustruje, jak smiesznie male jest prawdopodobienstwo tego, ze jakims slepym trafem znajdziemy wszystkie cz'!steczki gazu w pojemniku R. Entropia tej nadzwyczaj nieprawdopodobnej sytuacji jest duzo mniejsza od entropii stanu, gdy gaz jest losowo rozproszony w calym zbiorniku, i wedlug wzoru Boltzmanna ta r6znica wynosi okolol27.61
-k In(10-I000000000oooo000000000)
= 2,3 =
x
1022 k
0,32 JK-';
skorzystalem tu z faktu, ze 10garytm naturalny z 10 wynosi okolo 2,3. Tak wit(c, jesli gaz jest pocz'!tkowo zamkniyty w R, na przyklad za pomoq zaworu odcinaj,!cego go od reszty zbiornika, w6wczas po otwarciu zaworu i zwolnieniu gazu do pozostalej objt(tosci otrzymamy wzrost entropii 0 okolo 2,3 x 1022k, co w zwyklych jednostkach oznacza jedn,! trzeci'! dzula na kelwin. Czytelnik m6g1by wyrazic obiekcjt(, ze praktycznie nie jest moiliwe, aby pocz'!tkowo wszystkie cz'!steczki znalazly sit( w R i ani jedna w pozostalej czysci. Zmodyfikujmy wit(c nieco nasze warunki pocz'!tkowe i za16zmy, ze w obszarze R znalazlo siy co najmniej 99,9% wszystkich cz'!steczek gazu. Tak wit(c VR wymaga teraz, zeby nie wit(cej niZ jedna tysit(czna czysc wszystkich cz'!steczek znalazla sit( w g16wnym zbiorniku. Dziyki obecnym technologiom otrzymywania pr6zni uzyskanie tego nie przedstawia wit(kszego problemu. Kiedy policzymy entropit(, to okai:e sit(, ze taka zmiana nie rna prawie zadnego wplywu na ostateczny wynik,
jl) [27.4] Wyjasnij, czym r6znil! sit( obliczenia w kazdym z tych przypadk6w. jl) [27.5] Dlaczego?
m [27.6] PokaZ, dlaczego ten wynik nie ulegnie wit(kszej zmianie, jesli zamiast statystyki 664
Boltzmanna posluZymy sit( statystykl! fermion6wlbozon6w ani kiedy wezmiemy pod uwagc: prawdopodobne zmniejszenie pt(d6w cZqsteczek gazu, gdy zostanq uwolnione z matego pojemnika R.
Zywotnosc koncepcji entropii
27.4
i wzrost entropii, po otwarciu zaworu, nadal bydzie rZydu 2,3 x 1022 k[27.7]. To bardzo wymowna ilustracja faktu, ze aczkolwiek narysowanie granic pudel podzialu gruboziarnistego (na przyklad Vn) jest sprawq subiektywnq, to nie ma to wiykszego znaczenia dopoty, dopoki Sq to granice wybrane "rozsqdnie". Logarytmiczny wzor Boltzmanna, poza tym, ze pozwala latwo poslugiwac siy ogromnymi Iiczbami, ma jeszcze jednq waznq cechy. Polega ona na tym, ze definicja entropii dia ukladow niezaleznych ma wlasnosc addytywnoSci. Oznacza to, ze jesii entropie przyporzqdkowane dwom niezaleznym ukladom wynoszq SI i S2' to entropia calego ukladu skladajqcego siy z tych dwoch cZysci wyniesie SI + S2' Zakladam, ze przestrzen fazowa calego ukladu jest P = PI X P 2 , gdzie PI i P2 Sq przestrzeniami fazowymi poszczegolnych podukladow, oraz ze gruboziarniste pudla calego ukladu Sq iloczynami gruboziarnistych pudel przestrzeni PI i P 2• Takie zalozenie jest calkiem naturaIne[27.S] w przypadku niezaIeznych ukladow SI i S2; zob. rozdz. 15.2, ewiczenie [15.1] oraz rys. 15.3a, gdzie przedstawiona jest definicja symbolu x w zastosowaniu do przestrzeni. Poniewaz objytosci pudel mnoZymy przez siebie, wiyc odpowiednie entropie siy dodajq (na podstawie standardowej wlasnosci logarytmow; zob. rozdz. 5.2). W przypadku normalnych ukladow fizycznych - i z pewnosciq w omawianym przykladzie normalnego gazu w zwyczajnym pojemniku - istnieje pewne szczegoine pudlo £ podzialu gruboziarnistego, ktorego objytosc E jest znacznie wiyksza od objytosci wszystkich innych. Pudlo to przedstawia stan rownowagi termodynamicznej. Istotnie, objytosc E bydzie praktycznie rowna objytosci P calej przestrzeni fazowej, a zatem E rzeczywiscie bydzie wiyksza od objytosci wszystkich pozostalych pudel razem; zob. rys. 27.4. W przypadku zwyklego gazu, ktory uWaZamy za zlozony z identycznych sferycznie symetrycznych kulek w rownowadze termodynamicznej, ich rozklad prydkosci przyjmuje szczegolnq postac znanq jako rozklad
R6wnowaga cieplna
Rys. 27.4. Pudlo £, reprezentujl!ce stan r6wnowagi cieplnej, rna objytosc E, kt6ra jest praktycznie r6wna objytosci P calej przestrzeni fazowej P i dlatego jest wiyksza od objytosci wszystkich innych pudel razern wziytych.
rm. [27.7] Sprawdz, czy potrafisz wykazac, ze wzrost entropii jest tylko nieznacznie mniejszy, od 2,30 x 1022k do 2,29 x 1022k, dokonujqc roznych oszacowan wystypujqcych wielkosci matematycznych (mozna np. skorzystac ze wzoru Stirlinga n! "" (n/e)"(2TrJlt1!2. fa [27.8] Dlaczego zalozenie takiej gruboziarnistosci jest naturalne?
665
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
v
Rys. 27.5. Rozklad Maxwella prydkosci gazu w r6wnowadze rna postac Ae-Pv', gdzie A i f3 S,! stalyrni, przy czyrn f3 jest zwi'!zana z ternperatur,! gazu, a v stanowi prydkosc cz'!steczki. Kropkowane przedluzenie krzywej do obszaru ujernnych wartosci v ujawnia fakt, ze krzywa ta rna ksztalt znanej "krzywej dzwonowei" statystycznego rozktadu Gaussa.
Maxwella (chodzi tu 0 tego samego Jamesa Clerka Maxwella, ktorego poznalismy w zwiqzku z teoriq elektromagnetyzmu). W rozkladzie tym gystosc prawdopodobienstwa jest dana wzorem
A
e-{M
(ktory zaawansowani czytelnicy rozpoznajq jako rozklad Gaussa, nazywany czasami "krzywq dzwonowq"), gdzie v oznacza 3-prydkosc czqsteczki rozpatrywanego gazu, f3 jest stalq zwiqzanq z temperaturq, a A jest czynnikiem normujqcym, ktory zapewnia, ie calka prawdopodobienstwa po przestrzeni wszystkich prydkosci wynosi 1; zob. rys. 27.5. Stan rownowagi termodynamicznej, ktory charakteryzuje siy najwiykszq moiliwq wartosciq entropii, to stan, w ktorym zgodnie z OPT po dostatecznie dlugim czasie uklad powinien siy znaleic. Przedstawiony rozklad Maxwella dotyczy gazu zloionego z identycznych klasycznych czqstek, nieposiadajqcych wewnytrznych stopni swobody. Sytuacja komplikuje siy znacznie bardziej, kiedy w ukladzie wystypujq skladniki 0 roinych rozmiarach i roinych wewnytrznych stopniach swobody (takich jak spin alba drgania wewnqtrz czqsteczek). Istnieje pewna ogolna zasada, odnoszqca siy do tego rodzaju ukladow w rownowadze termodynamicznej, znana jako zasada ekwipartycji energii, zgodnie z ktorq energia ukladu jest rownomiernie (statystycznie) rozloiona miydzy wszystkimi roinymi stopniami swobody ukladu. Rozklad Maxwella moina uogolnic na przypadek odejscia od stanu dokladnej rownowagi i zapytac, jak bydzie zachowywal siy gaz zbliiajqcy siy do stanu rownowagi (zgodnie z DPT). W takich przypadkach ewolucjy ukladu opisywac bydzie rownanie znane pod naZWq rownania Boltzmanna. Mam nadziejy, ie czytelnik zdaje sobie sprawy, ii mamy tu do czynienia z rozleglq dziedzinq, 0 wielkim znaczeniu dla teoretycznego zrozumienia zachowania siy cial makroskopowych, w ktorych wystypuje zbyt wiele skladajqcych siy na nie cZqstek, aby moiliwe bylo sledzenie ich ruchow indywidualnie. Dziedzina ta nazywa siy mechanikq statystycznq.
27.5 Wyprowadzenie drugiego prawa termodynamiki -
666
czy nie?
Sprobujmy teraz zrozumiec, co kryje siy za OPT. Wyobraimy sobie, ie mamy uklad fizyczny reprezentowany przez punkt x w odpowiednio gruboziarniscie podzielonej przestrzeni fazowej P. Przypuscmy (rys. 27.6a), ie uklad rozpoczyna ewolucjy
Wyprowadzenie drugiego prawa termodynamiki - ezy nie?
27.5
Rys. 27.6. Drugie Prawo Termodynamiki w dzialaniu. Ewolucjy ukladu fizycznego przedstawia pewna krzywa w przestrzeni fazowej. (a) Jesli wiemy, ze w chwili TERAZ nasz uldad jest reprezentowany przez punkt x w pudle V 0 bardzo malej objytosci V i chcemy przewidziec, jakie bydzie jego zachowanie w przyszlosci, to wobec ogromnych roznic w objytosci pudel i losowosci wyboru drogi wnioskujemy, ze prawie na pewno uklad bydzie przechodzil do coraz wiykszych pudel, w zgodzie z DPT. (b) Sprobujmy zastosowac ten sam rodzaj argumentacji w drug,! strony, w kierunku plZesziosci, pytaj,!c 0 najbardziej prawdopodobn'l drogy, po ktorej uklad trafil do pudla V. Ten sam argument prowadzi pozomie do jawnie absurdalnego wniosku, ze najbardziej prawdopodobn'l histori,! ukladu przy przejsciux do pudla V bylo systematyczne przechodzenie w czasie wstecz do coraz wiykszych pudel, co pozostaje w raz'lcej sprzecznosci z DPT.
pewnym malym gruboziarnistym pudle V 0 objytosci V. Punkt X bydzie poruszal siy w P, w jakis spos6b zgodny z r6wnaniami dynamiki odpowiednimi dla konkretnej sytuacji fizycznej. Skoro pamiytamy 0 ogromnych r6znicach rozmiar6w r6znych gruboziarnistych pude! (i nie mamy powodu spodziewac siy, ze dynamika ruchu bydzie wyr6zniac jakies szczeg61ne obszary przestrzeni fazowej), mamy prawo oczekiwac, ze w ogromnej wiykszosci przypadk6w X bydzie przechodzic do pude! 0 coraz wiykszej objytosci. Innymi slowy, z uplywem czasu entropia ukladu bydzie systematycznie rosla. Gdy tylko X dostanie siy do pudla 0 pewnej wartosci entropii, bydzie zupe!nie nieprawdopodobne, ze w jakims sensownym przedziale czasu wr6ci do pudla 0 znacznie mniejszej entropii. Takie przejscie oznaczaloby znalezienie absurdalnie mniejszej objytosci, a wszystkie okolicznosci zdecydowanie nie sprzyjajq podobnemu rozwojowi sytuacji. Pomyslmy 0 wlasnie rozwazanym przykladzie i absolutnie zdumiewajqcej redukcji objytosci przestrzeni fazowej odpowiadajqcej niewielkiemu zmniejszeniu entropii, co wynika z logarytmicznej postaci wzoru Boltzmanna oraz malej wartosci stalej Boltzmanna. Z chwilq gdy gaz znalazl drogy wyjscia z obszaru R, jest calkowicie nieprawdopodobne, ze znajdzie spos6b, aby znowu wr6cic do R (a przynajmniej nie w przedziale czasu, kt6ry nie bylby "absurdalnie dlugi,,)[27.91• TERAZ W
~
[27.9] Spr6buj oszacowac, jak dlugi bylby ten czas, zar6wno w przypadku, gdy caly gaz powr6ci do n, jak i w przypadku, gdy powr6ci tylko 99,9%. Czy w tym celu musimy znac prydkosc ruchu czasteczek gazu?
667
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
Argument ten przedstawia zasadniczy pow6d, dla kt6rego oczekujemy, ze DPT jest spelnione. Zauwai:my, ze nie za1ei:y on od szczeg616w dynamiki ukladu, poza tym ze z'!damy, aby przejscie do mniejszych pudel nie bylo preferowane. Czy jest to wszystko, czego potrzeba dla DPT? Wydaje siy to zbyt latwe, a jawnie uniwersalny charakter tego rodzaju argumentacji stanowi, byc moze, podstawowy pow6d, dla kt6rego wielu fizyk6w sklonnych jest uwazac, ze w DPT nie rna nic zasadniczo dziwnego i ze kazda rozs'!dna teoria fizyczna musi siy do niego stosowac. Jako dow6d tego typu myslenia przytoczmy tutaj celn,! wypowiedz znakomitego astrofizyka sir Arthura Eddingtona: "J esli ktos ci~ przekonuje, ze twoja ulubiona teoria WszechSwiata jest sprzeczna z rownaniami Maxwella - to tym gorzej dla rownan Maxwella. J esli twierdzq, ze jest sprzeczna z wynikami eksperymentow - coz, ci doswiadczalnicy czasem sfuszerujq robot~. Ale jesli twoja teoria nie zgadza si~ z drugim prawem termodynamiki, to nie mam dla ciebie slowa otuchy: nie czeka ci y nic poza upokarzajqcym upadkiem,,7.
Po chwili zastanowienia dostrzegamy jednak, ze alba jest cos dziwnego w konkluzji argumentu, jaki przed chwil,! przedstawilem, albo cos istotnego umyka naszemu rozumowaniu. Dedukcja doprowadzila nas do prawa, kt6re wydaje siy asymetryczne wzglydem zmiany kierunku czasu, podczas gdy cal a pod1egaj,!ca mu fizyka powinna charakteryzowac siy symetriq w czasie. Jak to mozliwe? Wyobrazmy sobie, ze ten sam argument zastosujemy wobec ewolucji w odwrotnym kierunku czasu (rys. 27.6b). Wydaje siy, ze jesli w chwili TERAZ umiescimy nasz punkt przestrzeni fazowej, x, w tym samym pud1e co poprzednio, i przeanalizujemy jego ewolucji( w czasie poprzedzaj,!cym TERAZ, to nasuwa sii( wniosek, iz jest nadzwyczaj prawdopodobne, ze x dotarlo do tego pudla, przechodz'!c - gdy patrzymy wstecz - za kai:dym razem od pudla mniejszego do wii(kszego! Wynikaloby z tego, ze w przeszlosci obowi,!zywalo prawo odwrotne do DPT, z entropi,! rosn,!C'! wstecz w czasie, niezaleznie od naszych oczekiwan, ze w przeszlosci r6wniez obowi'!zywa10 prawo, kt6re rz'!dzi ewolucj,! ukladu w przyszlosci. Wniosek ten jest calkowicie sprzeczny z obserwacjami dotycz'!cymi zachowania sii( naszego WszechSwiata w przeszlosci; zob. rys. 27.7. Gdzie jest bl,!d w naszej analizie? Aby to zrozumiec, zastosujmy te same argumenty do zachowania sii( naszego gazu w zbiorniku, zaczynaj'!c (w chwili to)
s
668
t
TERAZ
Rys. 27.7. Wnioski z analizy rys. 27.6 przedstawione na wykresie entropii S w funkcji czasu t. Przeprowadzone rozumowanie pozwala nam przewidywae zachowanie sit( ukladu w przyszlosci wzglt<dem punktu TE· RAZ w zgodzie z DPT. lednak w odniesieniu do przeszlosci prowadzi do absurdalnego wniosku, ze zachowanie to powinno bye calkiem odwrotne, niz przewiduje DPT. Ten wniosek jest sprzeczny z wsze\kim doswiadczeniem.
Wyprowadzenie drugiego prawa termodynamiki - ezy nie?
27.5
z gazem znajduj,!cym siy wyl,!cznie w R, a wiyc gdy x leZy w Vn . Wydaje siy, iz prawidiowo opisujemy przyszle zachowanie siy gazu i oczekujemy, ze gdy tylko otworzymy zawar, gaz przeplynie z R do calego zbiornika, entropia znacz'!co wzrosnie, a x bardzo szybko przejdzie do obszaru £, reprezentuj,!cego stan rawnowagi termodynamicznej. A w jaki sposab zachowuje siy gaz w przeszlosci? Musimy zapytae, co siy stalo w chwili bezposrednio poprzedzaj,!cej to. laka rzeczywiscie byla najbardziej prawdopodobna droga, po ktarej gaz trafil do R? lesli wyobraZamy sobie, ze zawar zostal otwarty tuz przed chwil,! to' to "najbardziej prawdopodobny obraz ewolucji", jaki jestesmy w stanie sobie wyobrazie, jest taki, ze gaz na chwily przed momentem to rozproszony w calyrn zbiorniku, byd,!CY efektywnie w warunkach rawnowagi termodynamicznej, spontanicznie zaczyna siy zagyszczae w obszarze R, az do momentu to' kiedy calkowicie przejdzie do malego zbiornika. Aczkolwiek wydaje siy to absurdalne, niemniej jest to poprawna odpowiedz na tak postawione pytanie, pod warunkiem ze nie wystypuje jakas ingerencja z zewn'!trz. W praktyce nigdy caly gaz nie znajdzie siy w R. Zaprezentowane rozumowanie wyjasnia tylko, jak musialby zachowae siy gaz, z cz'!stkami wykonuj,!cymi ruchy losowe, gdyby siy okazalo, ze caly spontanicznie przeszedl do R, co jednak nigdy jeszcze siy nie zdarzylo. Nie rna tu zadnego paradoksu. W ten sposab unikamy odpowiedzi na pytanie, ktare chcialbym, zeby czytelnik rozwaZyI: Jakim sposobem taka sytuacja, ze caly gaz znalazl siy w zbiorniku R, mogla zaistniee praktycznie? Nie rna przeciez zadnych problemaw ze znalezieniem podobnych sytuacji w naszym WszechSwiecie (tzn. gdy bierzemy pod uwagy tak'! definicjy obszaru Vn , ktara dopuszcza, ze jedna tysiyczna cz'!steczek gazu znajduje siy poza R). Mozemy wyobrazie sobie jakiegos eksperymentatora, ktary najpierw napompuje 10 razy wiycej cz'!steczek gazu do zbiornika, nastypnie zamknie zawar i wypompuje gaz z jego wiykszej cZysci, usuwaj'!c w ten sposab praktycznie 90% caIej masy gazu. W trakcie tej operacji, zgodnie z DPT, entropia ukladu stale rosnie. Oczywiscie, rozwazaj'!c ten proces w terminach przestrzeni fazowej, musimy myslee 0 wiykszej przestrzeni, ktara zawiera eksperymentatora i, prawdopodobnie, znacznie wiyksz,! czyse otaczaj,!cego WszechSwiata, rozci,!gaj,!C'! siy bye moze poza Uklad Sloneczny. ledzenie i oddychanie utrzymuj,! entropiy w ciele eksperymentatora na niskim poziomie. Dla uproszczenia przyjmijmy, ze pracuje on z pomoc,! rycznej pompy - w przeciwnym wypadku musielibysmy tez uwzglydnie pochodzenie niskiej entropii zradla paliwa (co wprowadzaloby problemy nieistotne dla naszych rozwazan). CZyse niskiej wartosci entropii eksperymentatora przenosi siy na pojemnik z gazem i jest wykorzystywana w procesie wprowadzania gazu do R. Niska wartose entropii w posilkach eksperymentatora i w otaczaj,!cym powietrzu pochodzi zasadniczo od znajduj,!cego siy na zewn'!trz Sionca. Do tej specyficznej roli Sionca wkratce powracy. Tak wiyc bylismy w stanie doprowadzie do sytuacji, w ktarej prawie caly gaz znalazl siy w malym pojemniku R, bez naruszenia DPT w jego wlasciwej postaci: "entropia ukladu rosnie z uplywem czasu". Ale co pocz'!e z trudnosci,!, ktara poja-
669
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
wila sit(, gdy z naszej dedukcji w odniesieniu do zachowania sit( ukladu w przeszlosci wyniklo drugie prawo termodynamiki, ale z odwroceniem strzalki czasu? Czy problem zostal rozwi,!zany? Nie, w zadnym wypadku! Cialo eksperymentatora powinno zachowywae sit( (i takjest) zgodnie z DPT, podobnie jak Slonce i wszystkie ciala opisane w naszej powit(kszonej przestrzeni fazowej. Kiedy jednak probujemy zastosowae to rozumowanie dotycz'!ce rozmiarow przestrzeni fazowej do przestrzeni powit(kszonej - dochodzimy do tego samego absurdalnego wniosku, ze entropia, rozpatrywana w odwrotnym kierunku czasu, w kazdej chwili poprzedzaj,!cej moment rozpoczt(cia badania calego naszego ukladu powinna rosn,!e.
27.6 Czy catv Wszechswiat jest "ukfadem izolowanym"?
670
Niektorzy teoretycy usiluj,! wprowadzie rozroznienie mit(dzy ukladami "izolowanymi" a "otwartymi", argumentuj,!c, ze 0 ile entropia w ukladzie izolowanym zawsze rosnie (az zostanie osi,!gnit(ty stan rownowagi), 0 tyle zawsze istnieje mozliwose zadzialania jakiegos czynnika zewnt(trznego, ktory moze spowodowae chwilowe obnizenie entropii. Moglyby to bye na przyklad interwencja eksperymentatora, wklad niskiej entropii od Slonca etc. Moim zdaniem wszelkie takie proby wyjasnienia asymetrii czasowej drugiego prawa termodynamiki maj,! jedynie status prowizoryczny, poniewaz te zewnt(trzne interwencje mog,! bye w calosci wl'!czone w uklad. Takie stanowisko implikuje, ze w rzeczywistosci rozwazanym ukladem powinien bye Wszechswiat jako calose. Niektorzy czasem zglaszajq obiekcje wobec takiego stanowiska, ale nie uwazam ich za uzasadnione. Jest calkiem mozliwe, ze WszechSwiat rzeczywiscie rozciqga sit( w nieskonczonose, ale to nie stanowi przeszkody, aby traktowae go jako calose (zob. rozdz. 16). W kazdym razie mogloby sit( okazae, ze WszechSwiat jest skonczony przestrzennie (taka mozliwose jest realna i wkrotce 0 niej porozmawiamy) i byloby dziwne, gdybysmy dla uzasadnienia DPT musieli odwolywae sit( do przestrzennej nieskonczonosci Wszechswiata. Jak przekonamy sit( p6zniej, zagadnienie skonczonosci czy nieskonczonosci WszechSwiata jest bardzo luzno zwiqzane z kwestiq pochodzenia DPT. Dyskusja entropii moze rzeczywiscie odnosie sit( do calego wszechSwiata U, w kt6rym przestrzen fazowa Pu (jej objt(tose moze bye nieskonczona) opisuje lqcznie wszystkie mozliwe wszechswiaty, uwzglt(dniaj,!c wszelkie ich mozliwe ewolucje zgodnie z r6wnaniami (odpowiedniej) dynamiki klasycznej. Pozostaj,! jednak pewne niedogodnosci, z kt6rymi przyjdzie nam sit( zmierzye. Chc,!c potraktowae WszechSwiat jako calose, musimy wkroczye na teren kosmologii, a tam niewiele zdzialamy bez og6lnej teorii wzglt(dnosci. Aby nasza dyskusja pozostawala w pelnej zgodzie z zasad,! powszechnej kowariantnosci ogolnej teorii wzglt(dnosci (rozdz. 19.6), musimy posluZye sit( opisem, w kt6rym nie dokonujemy specjalnego wyboru wsp61rzt(dnej czasowej, wzdluz ktorej WszechSwiat mialby ewoluowae. Tymczasem kiedy przedstawiamy uktad fizyczny jako punkt x poruszajqcy sit( w przestrzeni fazowej P, to jawnie mamy na mysli system ewoluuj,!CY w czasie. Kazde
ezy caly Wszechswiat jest "ukladem izolowanym"?
27.6
polozeniex daje opis przestrzenny (uwzglt(dniaj~cy pt(dy) ukladu w okreslonej chwiIi. Jednak przyjt(eie bardziej realistycznego stanowiska niepotrzebnie skomplikowaloby nasz opis, bo nie wydaje mi sit(, zeby do sformulowania uwag, ktore mam zamiar tutaj poczynie, konieczne bylo seisle trzymanie sit( koncepcji relatywistycznej. Istotnie, jak to niebawem zobaczymy, standardowe modele kosmologiczne maj~ naturalnie zdefiniowan~ wspolrzt(dn~ czasow~, ktora daje nam dobre przyblizenie "parametru czasowego" t, czyli parametru ewolucji calego WszechSwiata. Bt(dziemy uwazali, ze kazdy punkt Pu opisuje nie tylko materialn~ zawartose WszechSwiata w chwili t, ale takZe rozklad (i pt(d) ci~glych pol. Jednym z takich pol jest pole grawitacyjne, w zwi~zku z czym geometria pnestnenna WszechSwiata (wraz z szybkosei~ jej zmiany - co jest zadane przez odpowiednie dane pocz~tkowe pola grawitacyjnego)8 zostanie zakodowana w polozeniu x w przestrzeni Pu' Oczywiscie, Pu bt(dzie przestrzeni~ nieskonczenie wymiarow~, ale nie rna znaczenia, czy U jest przestrzennie nieskonczony, gdyz jest to cecha, ktora pojawia sit( rowniez w przypadku wszystkich innych pol, takich jak pole elektromagnetyczne. Powoduje to pewne techniczne komplikacje z definicj~ entropii, albowiem kaZdy potrzebny obszar Vprzestrzeni fazowej musi miee nieskonczon~ objt(tose. Zwykle radzimy sobie z tym problemem dzit(ki ideom kwantowej teorii pola pozwalaj~cym na uzyskanie skonczonej odpowiedzi dla objt(tosci przestrzeni fazowej, ktore odnosz~ sit( do ukladow 0 odpowiednio ograniczonej energii i ograniczonych wymiarach przestrzennych. Szczegoly tej procedury nie bt(d~ dla nas istotne. Aczkolwiek nie rna w pelni zadowalaj~cego sposobu poradzenia sobie z tymi problemami w przypadku grawitacji - przede wszystkim dlatego, ze nie mamy satysfakcjonuj~cej kwantowej teorii grawitacji - sprawy te bt(dt( traktowal jako techniczne i niemaj~ce wplywu na ogoln~ dyskusjt( problemow zwi~zanych z drugim prawem termodynamiki. W tym miejscu powinienem przywolae pewn~ falszyw~ koncepcjt(, ktora czt(sto prowadzi do powaznych nieporozumien dotycz~cych DPT w warunkach kosmologicznych. Powszechnie uwaza sit(, ze wzrost entropii, 0 ktorym mowi DPT, jest po pro stu nieuniknion~ konsekwencj~ ekspansji WszechSwiata (zajmiemy sit( ni~ w rozdz. 27.11). Opinia taka opiera sit( raczej na nieporozumieniu, tak jakby w przypadku wszechswiata "malego" wystt(powala stosunkowo niewielka liczba mozliwych stopni swobody, z czego wynika pewien niski "pulap" mozliwych wartosci entropii, natomiast gdy wszechSwiat staje sit( wit(kszy, rosnie liczba dozwolonych stopni swobody, pojawia sit( wyzszy "pulap" i wyzsze wartosei entropii. Wraz z ekspansj~ wszechswiata to dozwolone maksimum staje sit( wyzsze, wobec czego rosnie rowniez entropia wszechswiata. Jest wiele sposobow, zeby przekonae sit(, ze taki punkt widzenia nie moze bye poprawny. Implikuje on na przyklad, ze w tych modelach wszechswiata, w ktorych wystt(puje faza kolapsu, entropia musi zacz~e malec, co pozostaje w sprzecznosci z DPT. Niektorym moze sit( to nawet podobae9, ale takie stanowisko prowadzi do fundamentalnych trudnosei, szczegolnie w zwi~zku z istnieniem czamych dziur lO •
671
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
Czamymi dziurami zajmiemy sit( niebawem (w rozdz. 27.8), ale wcale nie potrzebujemy jakiejs specjalnej wiedzy na ten temat, zeby stwierdzic, dlaczego przedstawiony punkt widzenia - wymagaj,!cy istnienia "pulapu" wartosci entropii w zaleznosci od rozmiaru wszechswiata - jest falszywy. To nie moze stanowic poprawnego uzasadnienia wzrostu entropii, poniewaZ stopnie swobody naszego Wszechswiata opisane S,! przez calkowit'! przestrzen fazow'! PU' Dynamika ogolnej teorii wzglydnosci (ktora zawiera stopnie swobody definiuj,!ce rozmiary WszechSwiata) jest w takim samyrn stopniu okreslona przez ruch naszego punktu x w przestrzeni falOwej Pu ' jak i wszystkie inne procesy fizyczne z tyro zwi'!Zane. Przestrzen fazowa po prostu "tam jest" i w zadnyrn sensie "nie rosnie" z czasem niebt(d,!cym cZt(sci,! Pu ' Nie istnieje zaden taki "pulap", poniewaz wszystkie stany, jakie wszechswiat (lub rodzina wszechSwiatow) moze dynamicznie osi,!gnqc, muszq nalezec do Pu ' Moze zaj,!c trochy czasu, zanim x z jakiegos zadanego malego pudla przejdzie do wiykszego, jednak pojycie "pulapu entropii" nie jest tu potrzebne; lOb. takZe rozdz. 27.13. Wrocmy teraz do argumentu, jaki juz przedstawilismy do zademonstrowania DPT. Bt(dziemy poslugiwac siy przestrzeniq fazowq Pu wlasciw,! dla calego wszechswiata, w zwiqzku z czyrn ewolucja wszechSwiata jako calosci opisana bt(dzie przez punktx poruszaj,!CY siy wzdluz pewnej krzywej g lezqcej w Pu ' Krzywa gjest sparametryzowana przez wspolrzydn,! czasowq t i, zgodnie z DPT, mozemy oczekiwac, ze gwraz ze wzrostem t przechodzi do coraz wit(kszych pudel. Przypuscmy, ze przeprowadzilismy "rozs,!dny" podzial gruboziamisty przestrzeni Pu ' ale jesli chcemy, zeby wartosci entropii, zwi'!zane z x, byly skonczone, to rowniez rozmiary tych pudel musz'! byc skonclOne. Okazuje siy, ze aby uzyskac taki stan rzeczy w przypadku wlasciwego - z fizycznego punktu widzenia - podzialu gruboziamistego, wszechSwiat musi byc skonczony, a dostypne mu wartosci energii mUSZq byc ograniclOne. Istotnie, niebawem dowiemy siy, ze jeden z trzech standardowych modeli kosmologicznych rna wlasnie taki charakter, a wit(c mozemy sobie wyobrazic, ze ow argument rzeczywiscie dziala. Nie jest to jednak warunek konieczny, jesli nie przeszkadza nam fakt, ze w jakiejs chwili entropia moze przyjqc nieskonczenie wielkq wartosc liczbowq. (Jestesmy w stanie nadac matematyczny sens pojyciu pudla, ktore jest "niezmiemie wiyksze" od innych, nawet gdy objytosci, a co za tym idzie, entropie niektorych z nich, S,! nieskonczone.)
27.7 Rola Wielkiego Wybuchu
672
Jak mamy sobie wyobrazic w przestrzeni fazowej Pu umiejscowienie naszej sparametrylOwanej krzywej g, reprezentuj'!cej mozliwq historiy WszechSwiata? Gdyby ~ zostala po prostu losowo rzucona na Pu ' wowczas, z ogromnym prawdopodobienstwem, znalazlaby sit( calkowicie (albo niemal calkowicie) w najwit(kszym pudle £, oznaczajqcym stan rownowagi termodynamicznej, i nie istnialaby zadna spojna miara "wzrostu entropii" na calej jej dlugosci; zob. rys. 27.8a. Taka sytuacja jest calkowicie niezgodna ze wszystkim, co wiemy 0 naszym WszechSwiecie, w ktorym niepo-
Rala Wielkiega Wybuchu
27.7
£ Rys. 27.8. Ro:i:ne mo:i:liwe ewolucje WszechSwiata, przedstawione w przestrzeni fazowej Puza pomoc1! sparametryzowanej krzywej ~ (opisuj1!cej stany WszechSwiata 0 ustalonej masie calkowitej i innych zachowanych wielkosciach fizycznych). (a) Jesli krZYW1! ~ rzucimy losowo na przestrzen Pu ' to praktycznie cale :i:ycie spc 0 (TERAZ), wowczas przyszlosc naszego WszechSwiata bc
dzielnie rz~dzi DPT. Podobnie przedstawia sit; sytuaeja na rys. 27.8b, e, gdzie w pewnej okreslonej ehwili to (> 0), wyobraionej jako TERAZ, punkt X na ~ jest zawarty w pewnym obszarze V (przedstawiaj~cym wszeehswiat 0 takiej wartosci entropii, jak~ obeenie obserwujemy), ktorego rozmiary s~ rozs~dne, ale niezbyt wielkie, a sarna krzywa ~ wybrana losowo. Odpowiada to sytuaeji, w ktorej, poezynajq.e od ehwili TERAZ, entropia WszeehSwiata rosnie, ale gdy eofamy sit; od TERAZ w stront( przeszlosci - rosnie rowniez, a to stanowi pogwalcenie DPT! Na rys. 27.8b, d przedstawiono wszeehSwiat podlegly DPT, w ktorym jeden koniee ~ - koniee w przeszlosci (powiedzmy, w ehwili t = 0) - znajduje sit( w bardzo malym obszarze!3w przestrzeni Pu (a witte 0 bardzo malej entropii), ale z ktorego przeehodzi dowolnie (Ieez zgodnie z prawami dynamiki), znajduj~e - ze wzrostem t - obszary 0 niepomiemie wit(kszej objt;tosei i gdzie, w szezegolnej ehwili to' przedstawionej jako TERAZ, znajdujemy x w obszarze 0 nadal niewielkiej objt;tosci V, odpowiadaj~eej wszeehSwiatowi, ktory obserwujemy. Taki obraz jest zgodny z DPT, ezyli mamy do ezynienia z sytuaej~ przedstawion~ na rysunkaeh (d), (b) w przeciwienstwie do (c), (b). Spr6bujt; sformulowac to wszystko nieeo inaezej. Zalozmy, ze patrzymy na ewoluejt( WszeehSwiata z pewnego punktu poez~tkowego w okreslonej ehwili to
673
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
(> 0), ktorq nazwiemy TERAZ, znajdujqc x, w chwili to' w obszarze V 0 rozsqdnym rozmiarze. Wowczas, obserwujqc, jak ~ wydruje w strony wiykszych wartosci t, stwierdzamy, ie ze wzrostem t przechodzi do coraz wiykszych pudel. Taki obraz jest zgodny z DPT i z przyjt(tym zaloieniem, ie nie rna iadnego powodu, dla ktorego x powinien sit( znaleie w tym a nie w innym pudle. Kiedy jednak patrzymy na ten obraz w odwrotnej perspektywie czasowej, "zaczynajqc" w chwili t, z x znajdujqcym sit( w pudle V, mamy wraienie, jakby punkt x byl celowo kierowany (w miart( cofania sit( w przeszlose) do absurdalnie malego obszaru przestrzeni fazowej, ktory oznaczylismy jako B. Patrzqc wstecz w czasie, moiemy zauwaiye, ie zachowanie sit( punktu x wydaje siy nad wyraz "stronnicze", gdyi poszukuje on pudel, ktore z kaidym krokiem stajq sit( coraz mniejsze. Czy naleiy to rozumiee w ten sposob, ze wlasnie poszukiwanie coraz mniejszych pudel to jakas obsesja? Nie, to po prostu oznacza, ze B jest otoczony przez pudla, ktore Sq coraz mniejsze (zob. rys. 27.8) - a wit(c zeby ~ w ogole dotarla do B, gdy t maleje do 0, musi przechodzie przez coraz mniejsze pudla. Rozwiqzanie zagadki sprowadza siy do tego, ze jeden koniec ~ musi lezee w B! Ten oto fakt musimy sobie uswiadomie, jesli chcemy zrozumiee, skqd bierze siy drugie prawo termodynamiki. Obszar B reprezentuje Wielki Wybuch jako poczqtek istnienia naszego WszechSwiata i niebawem przekonamy sit(, jak absurdalnie mala jest wielkose tego obszaru! Musimy sprobowae zrozumiee, z czym mamy tutaj do czynienia. W jakim sensie obszar B jest szczegolny? Czy tej "szczegolnosci" jestesmy w stanie przyporzqdkowae jakqs miart( liczbowq? A w ogole czy Sq jakies obserwacyjne powody, zeby wierzye w koncepcjy Wielkiego Wybuchu? Koncepcja wybuchowego poczqtku naszego Wszechswiata powstala podczas teoretycznego badania rownania Einsteina w kontekscie kosmologicznym, ktore przeprowadzil Aleksander Friedmann!'] w 1922 roku (zob. rozdz. 27.11). Nastt(pnie, w 1929 roku, Edwin Hubble dokonal niezwyklego odkrycia, ze odlegle galaktyki rzeczywiscie uciekajq od nas ll w sposob wskazujqcy na to, ze poczqtkiem istnienia WszechSwiata musiala bye jakas gigantyczna eksplozja. Wedlug obecnych oszacowan ta eksplozja - znana pod naZWq Wielkiego Wybuchu - nastqpila jakies 1,4 x lOlO lat temu. Wnioski Hubble'a opieraly sit( na obserwacji, ze dlugosci fal swietlnych dochodzqce do nas z szybko oddalajqcych sit( obiektow Sq p1Zesuni~te w stron~ czerwieni (tzn. linie spektralne Sq przesunit(te w strony "czerwonego konca widma", czyli w stront( fal dluzszych), zgodnie ze znanym zjawiskiem Dopplera[27.lO]. Odkryl on, ze przesuniycie w stront( czerwieni bylo
674
[*] Jak zawsze w przypadku nazwisk rosyjskich, ich transliteracja laciiiska nie jest jednoznaczna. Funkcjonuj,! wit;c trzy wersje tego nazwiska: Friedmann, Friedman oraz Fridman (przyp. dum.). ~ [27.10] Wyprowadz wyrazenie na relatywistyczne dopplerowskie przesunit;cie CZt;stosci dla zr6dla oddalaj,!cego sit; z prt;dkosci,! v (a), posluguj,!c sit; obrazem falowym swiatla i (b) posluguj,!c sit; iloczynem skalarnym 4-wektor6w i relacj,! E = hv.
Rala Wielkiega Wybuchu
27.7
tym wiyksze, im bardziej odlegla byla galaktyka, co wskazywalo, iz prydkosc oddalania siy byla proporcjonalna do odleglosci od nas, w zgodzie z przedstawionym obrazem "wybuchu". Jednak najbardziej imponuj,!cym argumentem obserwacyjnym na rzecz Wielkiego Wybuchu jest powszechne wystypowanie promieniowania przenikaj,!cego cal,! przestrzen, 0 temperaturze ok. 2,7 K (czyli 2,7 °C powyzej zera bezwzglydnego )12. Chociaz wydaje siy, ze to nadzwyczaj niska temperatura w wypadku tak gwaltownego wydarzenia, wszystko wskazuje na to, ze jest ona swego rodzaju "rozblyskiem" samego Wielkiego Wybuchu, silnie wytlumionym ("przesuniytym w strony czerwieni") i ochlodzonym ze wzglydu na ogromn'! ekspansjy WszechSwiata. To promieniowanie 2,7 K odgrywa niezwykle wazn,! roly we wspolczesnej kosmologii. Zwykle okresla siy je jako "promieniowanie reliktowe" alba "kosmiczne mikrofalowe promieniowanie tla", a czasami jako "czarnocialowe promieniowanie tla". Ma one nadzwyczaj jednorodny rozklad (jak jeden do 105), co wskazuje na niezwykl,! jednorodnosc wczesnego WszechSwiata, zaraz po Wielkim Wybuchu, i jest znakomicie opisane przez modele kosmologiczne, ktore rozwaZymyw rozdz. 27.11. Sprobujmy teraz uzyskac jakis wgl,!d w natur{? tego ograniczenia ogromnie malej entropii, jakie nakladamy na Wielki Wybuch, ktore powoduje, ze obszar B rna tak znikom,! objytosC13. Okazuje siy, ze niezwykl,! cech,! Wielkiego Wybuchu jest jego ogromna jednorodnosc, 0 ktorej wlasnie wspomnielismy. Musimy zrozumiec, dlaczego ten fakt odpowiada bardzo malej entropii i prowadzi do drugiego prawa termodynamiki, ktore obowi,!zuje nas tutaj, na Ziemi, w takiej postaci, jak,! znamy. Najpierw rozwazmy ponownie roly Slonca jako zrodla niskiej entropii. Istnieje powszechne przekonanie, ze nasza egzystencja jest uwarunkowana energi,!, ktorej dostarcza nam Slonce. Jest to nieporozumienie. Aby owa energia byla dla nas w ogole uZyteczna, musi bye dostarczona w postaci niskiej entropii. Gdyby na przyklad cale niebo bylo jednorodnie oswietlone, z jednorodnym rozkladem temperatur - bez wzglydu na to, czy energia pochodzilaby od Slonca, czy od czegokolwiek innego - bylaby dla nas calkowicie bezuZyteczna (niezaleZnie od tego, jaki rodzaj istot probuj,!cych przystosowae siy do takiej sytuacji moglibysmy sobie wyobrazie). Energia dostarczana w warunkach rownowagi termodynamicznej jest bezuZyteczna. Mamy natomiast szczyscie, ze Slonce stanowi gorqcy punkt na zupelnie zimnym tie. W ci,!gu dnia energia dociera od Slonca do Ziemi, ale w czasie dnia i nocy wraca w przestrzen. Bilans energetyczny (srednio) jest taki, ze oddajemy z powrotem cal,! energiy, jak,! otrzymujemy14. Od Slonca otrzymujemy pojedyncze fotony 0 wysokiej energii (w zasadzie s,! to zolte fotony 0 wysokiej czystosci odpowiadaj,!ce wysokiej temperaturze Slonca), podczas gdy energia zwracana w przestrzen kosmiczn,! rna postae fotonow o niskiej energii (fotony podczerwone, 0 niskiej CZystosci; jest to zwi'!Zane ze wzorem PlanckaE =hv i promieniowaniem ciala doskonale czarnego; zob. rozdz. 21.4). Ze wzglydu na wyzsze energie (wyzsze temperatury) liczba fotonow, ktore docieraj,! do nas ze Slonca, jest wiyksza niz liczba fotonow, ktore wracaj,! w kosmos, co
675
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
wynika z faktu, ze przenoszona przez padaj,!ce fotony energia jest w przyblizeniu podobna do przenoszonej przez fotony wylatuj,!ce. Mniejsza Hose foton6w Slonca oznacza mniejsz,! Hose stopni swobody, a zatem mniejszy obszar przestrzeni fazowej i mniejsz,! entropi« niz w przypadku foton6w opuszczaj'!cych Ziemi«. Rosliny wykorzystuj'! w procesie fotosyntezy t« energi« 0 niskiej entropii i w ten spos6b redukuj,! swoj,! entropi«. Nast«pnie my korzystamy z tej entropii roslin do zredukowania wlasnej, po pro stu zjadaj,!c te rosliny, alba zjadaj,!c zwierz«ta, kt6re je zjadaj,!, oraz wdychaj,!c tIen, kt6ry wydzielaj,! rosliny; zob. rys. 27.9. A dlaczego Slonce stanowi gor'!cy punkt na zimnym niebie? Chociaz szczeg6lowa przyczyna jest dose skomplikowana, to ostatecznie sprowadza si« do faktu, ze Slonce - podobnie jak wszystkie inne gwiazdy - powstalo w wyniku kondensacji grawitacyjnej jednorodnego pocz'!tkowo gazu (gl6wnie wodom). Nawet gdyby nie wyst«powaly tutaj nawet zadne inne czynniki (przede wszystkim sHy j'!drowe), to Slonce nie mogloby istniee bez grawitacji! Mala wartose entropii slonecznej (daleka od r6wnowagi termodynamicznej) pochodzi od ogromnego rezerwuam niskiej entropii, jaka jest dost«pna potencjalnie w jednorodnym gazie, kt6rego kondensacja grawitacyjna utworzyla stonce. Zwi,!zek grawitacji z entropi,! jest podejrzany, poniewaz reprezentuje ona sH« przyci,!gaj,!c,!. Przywyklismy wyobrai:ae sobie entropi« normalnego gazu skon-
•
,
I
-·~~tOV
~.
676
Rys. 27.9. Ziemia oddaje ty sam1! Hose energii, jak1! otrzymuje od Slonca, jednak energia otrzymywana od Sionca odpowiada znacznie ni:i:szej entropii, poniewa:i: Sionce przekazuje nam energiy w postaci swiada :i:6ltego, a wiyc 0 znacznie \ry:i:szej czystoSci ni:i: promieniowanie podczerwone, jakie oddaje Ziemia. Zgodnie z prawem Plancka E = hv, ka:i:dy foton sioneczny przenosi znacznie wiyksz1! energiy ni:i: fotony emitowane przez Ziemiy, co oznacza, :i:e energia pochodz1!ca od Sionca jest przenoszona przez znacznie mniejsz1! ilose foton6w ni:i: oddawane przez Ziemiy. Mniejsza liczba foton6w oznacza mniejsz1! ilose stopni swobody, a wiyc mniejszy obszar przestrzeni fazowej i mniejsz1! entropiy ni:i: dla foton6w emitowanych z Ziemi do przestrzeni kosmicznej. Ty energiy 0 niskiej entropii w procesie fotosyntezy \rykorzystuj1! rosliny, redukuj1!c w ten spos6b wlasn1! entropiy, natomiast my, zjadaj1!c te rosliny lub istoty, kt6re je zjadaj1!, a tak:i:e oddychaj1!c tlenem \rydzielanym przez rosliny - redukujemy swoj1!. Wszystko to, w ostatecznym rachunku, jest wynikiem r6:i:nicy temperatur w otaczaj1!cej przestrzeni, jaka, z kolei, jest rezultatern zgyszczenia grawitacyjnego, kt6re doprowadzilo do powstania Sionca.
Czarne dziury
...... . . · . : :~.;;.
... . . .. ..
27.8
(a)
Entropia rosnie
.. . . .... .... .
..
. ..: .
- - - - Czas - - - - I..~
·
....
-.ij .
· :::-.. •
e. e ••
[2]lbl
Rys. 27.10. Entropia rosnie ze wzrostern czasu, od lewej strony ku prawej. (a) Dla gazu zarnkni«tego w pudle, pocz'!tkowo zgrornadzonego w jednyrn rogu, entropia wzrasta, gdy gaz zaczyna si« rozprzestrzeniac po calej obj«tosci pudla, osi,!gaj,!c w koncu jednorodny stan rownowagi cieplnej. (b) W polu grawitacyjnyrn sprawy przedstawiaj'! si« odwrotnie. Uklad jednorodnie rozproszonych cial grawitacyjnych rna stosunkowo mal,! entropi«, natorniast ich zag«szczenie powoduje jej wzrost. W koncu, gdy tworzy si« czarna dziura, nast«puje gwaltowny wzrost entropii i wi«kszosc rnaterii zostaje pochloni«ta.
centrowanego w malym obszarze, w kt6rym jej stan jest niski Oak w przypadku zbiornika na rys. 27.3), natomiast r6wnomierne rozproszenie gazu oznacza stan wysokiej entropii, odpowiadaj(!cy stanowi r6wnowagi termodynamicznej. Tymczasem grawitacja powoduje cos odwrotnego. R6wnomiernie rozlozony uklad cial w polu grawitacyjnym oznacza stosunkowo nisk(! entropiy (chyba ze prydkosci tych cial S(! ogromne alba S(! to ciala bardzo male b(!di tak rozproszone, iz oddzialywania grawitacyjne mozna pomin(!c), podczas gdy stan wysokiej entropii uzyskujemy wtedy, gdy nastypuje zgyszczenie cial grawitacyjnych (rys. 27.10). A jakie cechy kryje stan 0 maksymalnej entropii? W przypadku gazu maksymaln(! entropiy rna stan r6wnowagi termodynamicznej, w kt6rym gaz jest r6wnomiernie rozmieszczony w calym rozpatrywanym obszarze. Tymczasem w przypadku dUZych cial grawituj(!cych maksymalna entropia odpowiada maksymalnej koncentracji calej masy w jednym miejscu - jest to obraz znany pod nazw(! czamej dziury. Musimy zrozumiec lepiej natury tych dziwnych i wspanialych obiekt6w, co doprowadzi nas do adekwatnej oceny entropii, potencjalnie dostypnej we WszechSwiecie, traktowanym jako calosc. To nam pozwoli wlasciwie oszacowac objytosci B i Pu .
27.8 Czarne dziury Czym jest czarna dziura? Z grubsza bior(!c, to pewien obszar czasoprzestrzeni, kt6ry powstal w wyniku kolapsu materii grawitacyjnej, poniewaZ przyci(!ganie grawitacyjne jest tak silne, ze nawet swiatlo nie moze siy z niego wydostac. Aby uzyskac intuicyjne wyobrazenie takiej sytuacji, rozwaZmy newtonowskie pojycie pr~d kosci ucieczki. Jesli wyrzucimy pionowo w g6ry kamien z pewn(! prydkosci(! v, w6wczas po osi(!gniyciu odpowiedniej wysokosci bydzie spadal na ziemiy. Wysokosc
677
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
okreslona jest przez pulap, na kt6rym energia kinetyczna kamienia zostala calkowicie zUZyta na pokonanie grawitacyjnej energii potencjalnej (rozdz. 17.3, 18.6). Pomijamy efekt oporu powietrza, wysokose jest zatem calkowicie zdeterminowana przez prydkose nadan,! w momencie rzutu[27.11]. Gdy jednak prydkose ta przekroczy wartose (2GM/R)1!2, czyli pr~dkosc ucieczki, w6wczas kamien wydostanie siy poza zasiyg pola grawitacyjnego Ziemi. (Tutaj M iRs,!, odpowiednio, mas,! i promieniem Ziemi, a G jest stal,! grawitacyjn,! Newtona). WyobraZmy sobie teraz, ze w miejscu Ziemi mamy cialo 0 duZo wiykszej masie i gystosci. W takim przypadku prydkose ucieczki bydzie wiyksza (poniewaz stosunek M/R rosnie, gdy rosnie M i maleje R) i mozemy przyj,!e, ze masa i gystose mog,! bye tak wielkie, iZ prydkose ucieczki na powierzchni przekroczy nawet prydkose swiatla. Na podstawie teorii Newtona wolno przypuszczae, ze gdy zdarzy siy taka sytuacja, w6wczas patrz,!c z duzej odleglosci, zobaczymy calkowicie ciemne cialo, poniewaz swiatlo nie bydzie w stanie z niego siy wydostae. Do takiego wniosku doszedl angielski astronom i duchowny John Michell okolo 1784 roku, a nieco p6zniej, w 1799 roku, wielki francuski fizyk i matematyk Pierre Simon Laplace 1s • Mimo to nie uwazam tej sytuacji za wyjasnion,!, poniewaz w teorii Newtona prydkose swiatla nie rna absolutnego statusu, mozna wiyc argumentowae, ze w przypadku takiego ciala prydkose swiatla na jego powierzchni powinna bye znacznie wiyksza nu prydkose mierzona w wolnej przestrzeni, wobec czego swiatlo mogloby uciec do nieskonczonosci, bez wzglydu na to, jak wielka bylaby masa i gystose rozpatrywanego ciala16.[27.12]. Zatem "ciemna gwiazda" Michella, aczkolwiek jest niew'!tpliwie prekursorem koncepcji czamej dziury, wedlug mnie nie stanowi przekonuj,!cego przykladu "niewidzialnych" obiekt6w grawitacyjnych w teorii Newtona. Problem nabiera innego wymiaru w kontekscie teorii wzglydnosci, poniewaz tam prydkose Swiatla rna charakter fundamentalny i przedstawia prydkose graniczn,! dla rozchodzenia siy jakichkolwiek sygnal6w (rozdz. 17.8). Poniewaz zajmujemy siy zjawiskiem grawitacji, jest nam potrzebna czasoprzestrzen og6lnej teorii wzglydnosci, a nie po prostu przestrzen Minkowskiego. W og6lnej teorii wzglydnosci rzeczywiscie oczekujemy pojawienia siy sytuacji, w kt6rych prydkose ucieczki stanie siy wiyksza od prydkosci swiatla, a w efekcie pojawi siy to, co nazywamy czamq dziurq. Czama dziura powinna pojawie siy wtedy, gdy wielkie masywne cialo osi,!gnie taki stan, w kt6rym sity wewnytrznego cisnienia okaZ,! siy za slabe, aby przeciwstawie siy nieustt(pliwemu dzialaniu skierowanych do wewn'!trz jego wlasnych sit grawitacyjnych. Istotnie, takiego grawitacyjnego zapadania sit( oczekujemy, gdy jakas ogromna gwiazda, 0 masie calkowitej wielokrotnie wit(kszej od masy Slonca - powiedzmy
~ [27.11] Pokai, ze ta wysokoscwynosi v2R(2gR -v
678
2t\ gdzieR oznacza promien Ziemi, ag
przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi. ~ [27.12] Czy rozumiesz dlaczego? Wskazowka: rozwaz zagadnienie, traktujqc swiatlo jako ruch cZqstek oraz swiatlo od zr6dla zewnt(trznego padajqce na powierzchnit( ciala. Co sit( stanie, jesli swiatlo padnie na zwierciadlo umieszczone poziomo na powierzchni ciala?
Czarne dziury
27.8
10Mo (gdzie lMo oznacza mas~ Slonca) - zUZyje juz wszystkie dost~pne wewn~trz ne zrodla energii, zacznie si~ wychladzae i nie b~dzie w stanie wytworzye dostatecznego cisnienia, zeby uniknqe kolapsu. Kiedy to nastqpi, implozja jest nie do powstrzyrnania, poniewaZ efekty grawitacyjne kumulujq si~ nieustannie. Pelny obraz moze okazae siy bardzo skomplikowany, szczegolnie wobec faktu, ze duzego znaczenia nabierajq skqdinqd subtelne zjawiska zwiqzane z zachowaniem si~ materii w warunkach wysokich cisnien. Szczegolnie istotne staje si~ cisnienie zdegenerowanych elektronow i neutronow. Ma ono zwiqzek z zakazem Pauliego, ktory, jak pamiytamy na podstawie rozdz. 23.7, zabrania, zeby dwa lub wi~ cej identycznych fermionow znajdowalo siy w tym samym stanie kwantowym. Bialy kanel, ktorego masa moze bye rZydu masy Slonca skoncentrowanej w objytosci Ziemi, jest utrzymywany w tym stanie dzi~ki cisnieniu zdegenerowanych elektronow; natomiast gwiazda neutronowa 0 podobnej masie bylaby cialem 0 srednicy 10 km i jest utrzymywana w tym stanie dzi~ki cisnieniu zdegenerowanych neutronow. (Gdyby pileczky tenisowq wypelnie materiq 0 gystosci gwiazdy neutronowej, to waZylaby prawie tyle sarno ile ksi~Zyc Marsa - Deimos!) Jednak ze wzglydu na wymogi relatywistyczne okazuje si~, ze sarno cisnienie degeneracyjne nie jest w stanie przeciwstawie siy implozji masy, jdli masa gwiazdy jest wi~ksza od okolo 2Mo' Kluczowy wynik uzyskal w 1931 roku Subrahmanyan Chandrasekhar, ktory wykazal, ze dla bialych karlow ta graniczna wielkose wynosi 1,4Mo' W pozniejszych rachunkach dla gwiazd neutronowych odkryto, ze granica ta jest nieco wyzsza 17 • Ostatecznie dochodzimy do wniosku, ze nie istnieje stabilna konfiguracja dla zimnego obiektu 0 masie wi~kszej od ok. 2Mo (a bye moze nie wi~kszej od 1,6Mo)' Obiekt taki bydzie zapadal siy do wewnqtrz i own zapadanie bydzie trwalo do momentu, w ktorym osiqgnie takie rozmiary, ze uprawnione bydq rozwazania przeprowadzone ongis przez Michella. Co siy wtedy dzieje? Powroemy do rozwazenia naszej duzej gwiazdy, 0 masie, powiedzmy, 10Mo i zalozmy, ze poczqtkowo jej temperatura jest wystarczajqco wysoka, aby cisnienie termiczne utrzymywalo jq w stanie rownowagi. Wraz ze stygniyciem gwiazdy w pewnym stadium jej zg~szczone jqdro przekroczy granicy Chandrasekhara i nastqpi implozja. Zapadanie si~ zewn~trznych mas gwiazd wywola gwaltownq eksplozj~ znanq pod naZWq supernowej. Eksplozje takie Sq cZysto obserwowane, glownie w innych galaktykach, i przez kilka dni swiatlo takiej supernowej jest bardziej intensywne od swiatla calej galaktyki. Jdli jednak w trakcie takiej eksplozji gwiazda nie utraci wystarczajqco duzej ilosci masy - a w przypadku gwiazdy 0 masie poczqtkowej okolo lOMo jest to wysoce prawdopodobne - oczekujemy, ze bydzie zapadae siy w sposob niepowstrzymany, az osiqgnie rozmiary, do jakich stosuje siy argumentacja Michella. Przeanalizujmy rys. 27.11, ktory przedstawia diagram czasoprzestrzenny kolapsu gwiazdy do stanu czarnej dziury. (Naturalnie, musielismy pominqe jeden z wymiarow przestrzennych.) Widzimy, ze materia zapada siy do wnytrza przez powierzchniy, na ktorej pr~dkose ucieczki staje si~ rowna pr~dkosci swiatla. Powierzchni~ takq nazywamy (bezwzgl~dnym)
679
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
t
Rys. 27.11. Diagram ezasoprzestrzenny kolapsu do stanu ezamej dziury (pominiyty zostal jeden wymiar przestrzenny). Materia zapada siy do wnytrza przez 3-wymiarow,! powierzehniy, kt6ra staje siy (absolutnym) horyzontem zdarzen. Ani materia, anijakakolwiek informaeja nie moze wydostae siy z dziury, z ehwil,! gdy zostala uformowana. Stozki zerowe s,! styezne do horyzontu i zar6wno materia, jak i informaeja moze bye przekazywana do wewn'!trz, leez nie na zewn'!trz. Obserwator zewnytrzny nie jest w stanie obserwowae wnytrza dziury, jedynie moze obserwowae materiy - niezwykle niewyrazn,! i eiemnoezerwon,! - tuz przed przejseiem w stan ezamej dziury.
horyzontem zdarzen. Od tego momentu zadna informacja wychodzqca z tej gwiazdy nie jest w stanie dotrzec do obserwatora zewnytrznego i mowimy, ze powstata czarna dziura. Obraz przedstawiony na rys. 27.11 jest oparty na znanym rozwiqzaniu rownania Einsteina, jakie uzyskal Karl Schwarzschild w 1916 roku 18 , wkrotce po opublikowaniu teorii Einsteina i zaledwie na pary miesiycy przed smierciq. (Schwarzschild zmarl na rzadkq choroby, ktorej nabawit siy na froncie wschodnim podczas I wojny swiatowej). Rozwiqzanie Schwarzschilda opisuje statyczne pole grawitacyjne otaczajqce sferycznie symetryczne ciato kurczqce siy lub nie. Horyzont pojawia si y na odleglosci r = 2MG/c2 (jest to dokladnie wartosc krytyczna wyprowadzona przez Michella)l27.131• ~ [27.13] Gryginaina metryka Schwarzschilda miala postac ds = (1- 2M/r)df - (1- 2M/r)"ld? - r( dfY + sin 2 (J dq/); jej jednostki zostaly wybrane w taki sposob, ze G = c = 1 i gdzie (J i tj> Sq 2
680
standardowymi wspolrzydnymi sferycznymi (rozdz. 22.11). Wyjasnij, jak wspolrzydna radialna r jest ustalona przez warunek na powierzchnie kul 0 stalych r i t. Metryka ta nie rozciqga siy gladko na obszar r ,,;; 2M; w takim obszarze naleZy uZyc metryki Eddingtona-Finkelsteina 0 postaci ds 2 = (1 - 2M/r)dv2 - 2 dv dr - r( dfY + sin 2 (J dtj>2). Znajdz przeksztalcenie wspolrzydnych, ktore jawnie wiqi:e ze sobq te metryki. Wyjasnij, dlaczego krzywe zerowe na kai:dej plaszczyznie (v, r) muszq bye radialnymi zerowymi liniami geodezyjnymi, i skorzystaj z tego faktu, aby znalezc ich rownania i wykresy. (Rysuj linie 0 stalym r jako linie pionowe, a linie 0 stalej v jako nachylone do wewnqtrz pod kqtem 45° od prawej.) Wskaz horyzont zdarzen i osobliwosc (rozdz. 27.9).
Czarne dziury
27.8
Horyzont zdarzen nie rna charakteru materialnego. Jest to jedynie pewna szczegolna hiperpowierzchnia w czasoprzestrzeni oddzielaj,!ca obszary, z ktorych sygnaly mog,! wychodzic na zewn'!trz i uciekac do nieskonczonosci - od takich, z ktorych wszystkie sygnaly, w sposob nieunikniony, zostaj,! pochloniyte przez czarn'! dziury. Pechowy obserwator, ktory wpadlby przez horyzont zdarzen od strony zewnytrznej do wewnytrznej, w momencie przekraczania horyzontu nie zauwaZylby niczego szczegolnego. Rowniez sarna czarna dziura nie jest obiektem dostrzegalnym; uwazamy j,! jedynie za grawituj,!CY obszar czasoprzestrzeni, z ktorego nie moze wydostac siy zaden sygnal. Ale jaki jest los tej nieszczysnej gwiazdy? T,! zagadk,! zajmiemy siy w rozdz. 27.9. Sprobujmy najpierw omowic wyniki obserwacji. Czy mamy jakis dowod na istnienie czarnych dziur? Owszem, mamy. W latach siedemdziesi'!tych XX wieku znaleziono wiele przykladow intryguj,!cych ukladow "gwiazd podwojnych", w ktorych tylko jedn,! udalo siy obserwowac jako obiekt emituj,!CY swiatlo widzialne. Istnienie, masy i ruch drugiej mozna bylo jedynie wydedukowac na podstawie subtelnych szczegolow ruchu jej widzialnej partnerki. Co wiycej, na podstawie widma promieni Roentgena pochodz,!cych z otoczenia gwiazdy mozna byio wywnioskowac, ze jej niewidoczny partner jest gystym obiektem materialnym 0 masie zbyt duzej, zeby mozna go bylo uwazac za bialego karla lub gwiazdy neutronowq a tylko te dwie formy materii dla zwartych gwiazd byly do tej pory uWaZane za mozliwe. Widmo rentgenowskie wskazywaio, ze niewidoczny obiekt powinien byc czarnq dziurq otoczonq "dyskiem akrecyjnym" gazu i pylu, ktore ruchem spiralnym zblizaj,! siy do dziury z coraz wiykszq prydkosciq i ktorych temperatura w miary zblizania siy do srodka rosnie do olbrzymich wartosci. W koncu, zanim te masy zostanq pochloniyte przez dziury, nastypuje emisja promieni Roentgena (zob. rys. 27.12a). Najlepiej znanym (a w tamtych latach rowniez najbardziej przekonujqcym) kandydatem na takq czarnq dziury byio zrOdIo promieniowania rentgenowskiego z obiektu 0 nazwie Cygnus X-I. Na podstawie tych danych daio siy ustalic,
(a)
(b)
Rys. 27.12. Uklady gwiazd podw6jnych, w kt6rych jednil jest (malenka) czama dziura. (a) Materia sciilgana z wiykszej gwiazdy przez czarnil dziury tworzy wok61 niej "dysk akrecyjny", kt6ry zbli:i:a siy do niej ruchem spiralnym, jego temperatura rosnie i zanim zostanie pochloniyty przez dziury, emituje promienie rentgenowskie. (b) W pewnych przypadkach dysk siy nie tworzy, lecz materia zostaje bezposrednio pochloniyta. Gdyby obiekt przyciilgajilcy mial powierzchniy materialnil, w6wczas materia wpadajilca ogrzewalaby jil, jednak nie obserwuje siy jakiejkolwiek poswiaty, co dowodzi istnienia czamej dziury.
681
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
ze ten ciemny i gysty obiekt musi miec masy ok. 7Mo' a zatem, zgodnie z obowil}zujl}q teori,!, nie moze to byc ani bialy karzel, ani gwiazda neutronowa. Tego rodzaju dowody sl} zawsze posrednie i niezbyt zadowalajl}ce, poniewaz ich wartosc opiera siy na leoni, kt6ra glosi, ze podobnie masywne i gyste obiekty nie mogl} istniec w postaci cial rozcil}glych. Obecnie jednak mamy bardziej bezposrednie dowody istnienia czarnych dziur. Dyski akrecyjne nie sl} juz uWaZane za jedynl} form y, jakl} moze przyjmowac materia wpadajl}ca do czarnej dziury. W pewnych przypadkach materia wpada "prosto do dziury" i zaobserwowano takie sytuacje (rys. 27.12b). Gdyby obiekt przycil}gajl}cy mial jakl}s materialnl} powierzchniy, w6wczas materia wpadajl}ca musialaby ty powierzchniy ogrzewac i, po pewnym czasie, dostrzeglibysmy jakl}s poswiaty. Niczego takiego nie udalo siy zauwaZyc. Jest to bezposredni dow6d, ze ten zwarty i przycil}gajl}cy obiekt nie rna jakiejkolwiek powierzchni, a wiyc jest rzeczywiscie czarnl} dziuq19. Wszystko to odnosi siy do "gwiezdnych" czarnych dziur, kt6rych masa jest zaledwie kilka razy wiyksza od masy Slonca. Posiadamy jednak imponujl}ce dowody istnienia duzo wiykszych czarnych dziur. Wydaje siy, ze przewazajl}ca liczba a prawdopodobnie wszystkie - galaktyk rna w swoich srodkach ogromne czarne dziury. W szczeg61nosci wygll}da na to, ze w srodku naszej Galaktyki, Drogi Mlecznej, znajduje siy czarna dziura 0 masie okolo 3 x 106Mo. Bardzo szczeg610wo zbadana ruchy gwiazd wok6l niej i obraz, kt6ry otrzymujemy, jest calkowicie zgodny z koncepcjl} czarnej dziury.
27.9 Horyzonty zdarzen i osobliwosci czasoprzestrzeni
682
Na rys. 27.11 naszkicowalem kilka stozk6w zerowych, zeby uwidocznic relacje przyczynowosci w czasoprzestrzeni. Najbardziej istotnym elementem tego rysunku jest istnienie horyzontu zdarzen czarnej dziury, kt6ry jest pewnl} 3-powierzchnil} H w czasoprzestrzeni. Jak 0 tym m6wilismyw rozdz. 27.8, charakteryzuje siy ona tym, ze zaden sygnal z jakiegos obszaru wewnl}trz H nie moze wydostac siy na zewnl}trz. Widzimy to jako efekt nachylenia stozk6w do wewnl}trz, tak ze wszystkie stozki Sl} styczne do H. Kazda linia swiata przecinajl}ca H od wewnl}trz na zewnl}trz stanowilaby pogwalcenie przyczynowosci, kt6rl} definiujl} stozki swietlne (rozdz. 17.7). Na rysunku przedstawilem przypadek, gdy implozja grawitacyjna jest calkowicie sferycznie symetryczna. Przypadek ten zostal przebadany przez J. Roberta Oppenheimera i Hartlanda Snydera (1939), kt6rzy wykorzystali geometriy Schwarzschilda do opisu obszaru na zewnl}trz zapadajl}cej siy materii. Aczkolwiek sam horyzont H rna dziwne wlasciwosci, to geometria lokalna nie r6zni siy tam specjalnie od geometrii w kazdym innym miejscu. Stwierdzilismy juz, ze obserwator znajdujl}CY siy na statku kosmicznym, przekraczajl}c horyzont od zewnl}trz do wewnl}trz, nie zauwaZylby niczego szczeg61nego. Jest to jednak podr6z bez mozliwosci powrotu. Nachylenie stozk6w zerowych jest takie, ze nie rna zadnego wyjscia, i obserwator doswiadczatby gwaltownie nasilajl}cych siy efek-
Horyzonty zdarzeri i osobliwosci czasoprzestrzeni
27.9
tow plywowych (krzywizna czasoprzestrzeni; zob. rozdz. 17.5 i 19.6), ktore stajq siy nieskonczenie wielkie w centrum (r = 0), gdzie pojawia siy osobliwosc czasoprzestrzeni. Obraz taki nie tylko charakteryzuje przypadek symetrii sferycznej, lecz jest najzupelniej ogolny. Istniejq bardzo ogolne twierdzenia, ktore mowiq, ze w przypadku zapadania siy grawitacyjnego po przejsciu pewnego "punktu, z ktorego nie rna powrotu" osobliwosci nie mozna uniknqeo. Niektore zagadnienia, jakie z tym siy wi
683
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
zewnC(trznego obserwatora. Jednak takie stanowisko nie jest wnioskiem matematycznym, jaki mozemy wyci~gn~e z og6lnej teorii wzglC(dnosci. Zalozenie, ze osobliwosci bC(d~ zawsze niedostC(pne dla obserwacji, okreslamy mianem cenzury kosmiczne/3 i sprawC( tc( przedyskutujemy bardziej szczeg610wo w rozdz. 28.8. Wlasciwie nie potrzebujemy aZ obserwacji osobliwosci, aby zetkn~e siC( z nadzwyczajnymi efektami kolapsu grawitacyjnego. We Wszechswiecie wystC(puje wiele gwaltownych proces6w, kt6re jesteSmy w stanie obserwowae. Na przyklad obserwujemy niezwykle jasne kwazary, co do kt6rych uwazamy, ze s~ zasilane przez obracaj~ce siC( w srodku galaktyki czarne dziury. Rotacja czarnej dziury stanowi ir6dlo mocy, chociaz sarna materia wyrzucana (najprawdopodobniej wzdluz osi obrotu) pochodzi z zewnC(trznego otoczenia czarnej dziury (zob. rozdz. 30.7). Energia emitowana przez niekt6re kwazary, pomimo ze pochodzi z niezwykle malego obszaru (r6wnemu, w przyblizeniu, rozmiarowi Ukladu Slonecznego), moze przewyzszye setki i tysi~ce razy promieniowanie calej galaktyki! Kwazary mog~ bye obserwowane na ogromnych odleglosciach i stanowi~ waZne narzC(dzia obserwacyjne kosmologii. Stanowi~ one r6wniez ir6dlo potC(znego promieniowania y (s~ to fotony 0 nadzwyczaj wysokich energiach), co znowu moze bye zwi~zane z obec24 nosci~ czarnych dziur, a nawet ze zderzeniami czarnych dziur •
27.10 Entropia czarnej dziury Wr6emy teraz do rozwaZenia "bezpieczniejszych" obszar6w zewnC(trznych izolowanej i stacjonarnej ("martwej") czarnej dziury. Przekonamy siC(, jak gigantyczne wartosci przyjmuje entropia zwi~zana z takimi obiektami. Przede wszystkim powinnismy wiedziee, ze istniej~ twierdzenia matematyczne 25 , kt6re w spos6b przekonuj~cy wykazuj~, iz dowolne czarne dziury, jakie mog~ pocz~tkowo, w wyniku asymetrycznej implozji - a wiC(c dzikich ruch6w spiralnych prowadz'!cych do nieodwracalnej katastrofy - charakteryzowae siC( najbardziej skomplikowanymi nieregularnosciami, osi,!gaj,! ostatecznie zdumiewaj,!co proste i eleganckie ksztalty geometryczne (przynajmniej jesli chodzi 0 ich zewnC(trzne geometrie czasoprzestrzenne). Opisuje to metryka Kerra 26 , zadana za pomocq zaledwie dwu fizyczno-geometrycznych parametr6w (liczb rzeczywistych), oznaczanych symbol ami m i a27 • W tym przypadku m oznacza calkowit'! masC( czarnej dziury, natomiast a x m jej calkowity moment pC(du (w jednostkach G = c = 1). SytuacjC( tc( tak opisallaureat Nagrody Nobla, Subrahmanyan Chandrasekhar (w rozdz. 27.8 przedstawilismy wynik jego badan z 1931 roku, kt6ry doprowadzil astrofizyk6w do odkrycia czarnych dziur):
684
"Czarne dziury stanowi
Entropia czarnej dziury 27.10
Okrutna natura czarnej dziury, pochlaniaj,!cej wszystko, co materialne, moglaby miec najbardziej zlozon'! struktury - tymczasem zamienia siy w konfiguracjy, ktoq mozna opisac zaledwie dziesiycioma parametrami (a, m, kierunek osi obrotu, polozenie srodka masy i jego 3-prydkosc)! Oto znakomity przejaw potygi drugiego prawa termodynamiki. Zaledwie dziesiyciu parametrow potrzebujemy do adekwatnej eharakterystyki fazy koncowej29. Chociai czarna dziura nie przypomin a zwyklej materii w warunkach rownowagi termodynamicznej, jest do niej podobna pod tym wzglydem, ze ogromna ilosc mikroskopowo roznych stanow daje w efekcie uklad opisywany za pomoc,! bardzo niewielu parametrow. Z tego powodu odpowiadaj,!ce jej pudlo w podziale gruboziarnistym przestrzeni fazowej jest istotnie ogromne, co w konsekweneji oznacza gigantyczn,! entropiy czarnej dziury. Faktycznie, entropia ezarnej dziury rna zdumiewaj,!C'! interpretacjy geometryczn,!: jest proporcjonalna do powierzchni horyzontu zdarzen! Zgodnie ze znanym wzorem Bekensteina-Hawkinga, czarnej dziurze mozemy przypisac dobrze okreslon,! wartosc entropii: S
BH
kc 3 A
=--
4Gli'
gdzieA oznaeza powierzehniy horyzontu czarnej dziury, natomiast BH, wedle uznania, moze oznaczac: Bekensteina-Hawkinga alba "black hole" - czarn'! dziury! Zauwazmy pojawienie siy stalej Plancka obok stalej grawitacji, co wskazuje, ze ta entropia jest rzeczywiscie efektem "kwantowo-grawitacyjnym". Oto po raz pierwszy spotykamy zarowno fundamentaln,! stal'! meehaniki kwantowej (stal,! Planeka, zapisan,! w postaci Diraca 1'1), jak i stal,! ogolnej teorii wzglydnosci (stal,! grawitacji Newtona G) wystypuj,!ce w tym samym wzorze. Przy rozpatrywaniu zagadnien fundamentalnych, dla ktorych waina jest zarowno mechanika kwantowa, jak i ogolna teoria wzglydnosci, wygodne bywa zaadaptowanie ukladu jednostek, w ktorym obie te stale s,! rowne jeden. W rozdz. 17.8 i 19.2,6, 7 (ale takie w innyeh miejscach, np. w rozdz. 24) stwierdzilismy, ze ezysto nadzwyczaj wygodnie jest poslugiwac siy jednostkami, w ktorych prydkosc swiatla jest rowna jeden. Wszystko bydzie w porz'!dku, jesli ty umowy rozci,!gniemy na 1'1 i G. Pozytywn,! konsekwencj,! takiej umowy jest kompletny sposob ustalania jednostki czasu, przestrzeni, masy i ladunku elektrycznego. Opraeowany w ten sposob uklad jednostek nazywamy ukladem jednostek Plancka (ezasami uiywamy okreslen: naturalny uklad jednostek alba uklad jednostek bezwzglrdnych). Co wiyeej, okazuje siy, ze rowniei: stal,! Boltzmanna k mozemy przyj,!c jako rown'! jeden (zob. rozdz. 27.3): G=c=li=k=l.
W takim ukladzie jednostek takie temperatura staje siy wielkosci,! bezwzglydn,!. Oczywiscie, jednostki te nie S,! praktyczne w codziennym uZyciu, 0 czym mozemy przekonac siy, wyrazaj'!c jednostki konwencjonalne za pomoc,! jednostek Plancka:
685
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
gram = 4,7
x
104 ,
metr = 6,3 x 1034, sekunda = 1,9 x 1043 , stopnie Kelvina = 4
x
10-33 •
W takim ukladzie jednostek ladunek protonu (czyli minus ladunek elektronu) staje siy w przybliieniu rowny e = a dokladnieyo
in,
e = 0,0854245 ...
Relacje te mozemy, rzecz jasna, zapisae odwrotnie: mas a Plancka = 2,1
x
dlugose Plancka = 1,6
10-5 g, x
10-35 m,
czas Plancka = 5,3 x 10-44 s, temperatura Plancka = 2,5 x 1032 K, ladunek Plancka = 1l,71adunku protonu. W rozdz. 31.1 ponownie skorzystamy z tych jednostek. Wracajqc do wzoru Bekensteina-Hawkinga na entropiy czarnej dziury, stwierdzamy, ze w jednostkach Plancka entropia SBH odpowiadajqca powierzchniA wynosi po prostu SBH
=
tAo
Dla rozwiqzania Kerra znajdujemy w jawnej postaci:
686
A=
8:~2 m ( m + .Jm 2 _ a2 )
SBH
=
2:~k m(m+.Jm2 _a 2)
(w zwyklych jednostkach). W rozdz. 30.4 przedstawimy niektore argumenty uzasadniajqce wzor Bekensteina-Hawkinga. Aby uzyskae pojycie 0 tym, jak niesamowite Sq wartosci entropii osiqgane w czarnej dziurze, sprobujmy najpierw wyobrazie sobie, ze jestesmy w latach szesedziesiqtych XX wieku i uwazamy, ze najwiykszy mozliwy wklad do entropii Wszechswiata pochodzi od promieniowania mikrofalowego 2,7 K, stanowiqcego pozostalose po Wielkim Wybuchu. W jednostkach naturalnych uzyskalibysmy w ten sposob entropiy 108 lub 109 na jeden barion. (Odpowiada to, w przyblizeniu, liczbie fotonow na jeden barion pozostalej po Wielkim Wybuchu.) Porownajmy ty, wydawaloby siy, ogromnq liczby z entropiq czarnych dziur we WszechSwiecie. Astronomowie nie wiedzq dokladnie, ile moze bye czarnych dziur w ogole ani jakie mogq bye ich rozmiary, istniejq jednak solidne podstawy, zeby twierdzie, iz w srodku Drogi Mlecznej znajduje siy czarna dziura 0 masie okolo 3 x 106Mo i ze jest to przypadek typowy. Niektore galaktyki majq duzo wiyksze czarne dziury, co powinno z powo-
Kosmologia 27.11
dzeniem skompensowac duzq liczby innych galaktyk, ktorych czarne dziury mogq miec rozmiary mniejsze, poniewaz dominujq wartosci entropii wielkich czarnych dziur[27.141. lezeli przypadek naszej Galaktyki uznamy za typowy, to raczej ostroznie szacujqc, otrzymamy entropiy wynoszqcq okolo 1021 na barion, a zatem entropia promieniowania reliktowego, 108 czy 109 na barion, jest wielkosciq znikomq. Co wiycej, bez wzglydu na to, jak duza jest obecnie ta liczba, pewne jest, ze stanowi wielkosc nieustannie i gwaltownie rosnqcq.
27.11 Kosmologia Zanim jednak sprobujemy znaleic oszacowanie kolosalnej wartosci entropii, jakq moze osiqgnqc nasz WszechSwiat - zebysmy mogli wyrobic sobie pojycie 0 tym, z jak "szczegolnym" wszechSwiatem mamy do czynienia obecnie oraz jak "specjalnie szczegolny" byl nasz WszechSwiat w momencie Wielkiego Wybuchu - musimy dowiedziec siy czegos na temat kosmologii. Postaramy siy posluZyc dowodami, jakimi dysponuje kosmologia, aby oszacowac wielkosc pudla B przestrzeni fazowej, reprezentujqcego Wielki Wybuch, i porownac jq z rozmiarem calej przestrzeni fazowej Pu oraz z objytosciq przestrzeni fazowej, jakq zajmuje w podziale gruboziarnistym pudlo N, przedstawiajqce WszechSwiat w jego obecnej postaci. Zacznijmy od krotkiego przedstawienia standardowych modeli kosmologicznych, ktorych mamy (w zasadzie) trzy. Z rozdz. 27.7 przypominamy sobie, ze poczqtek tej analizie dal rosyjski uczony, Aleksander Friedmann, ktory pierwszy znalazl (w 1922 roku) odpowiednie kosmologiczne rozwiqzanie rownania Einsteina, ze irodlem materii, jakie mozna uznac za przyblizenie do calkowicie jednorodnego rozkladu galaktyk w wielkiej skali (czasem nazywa siy to "cieczq doskonalq" albo "pylem kosmicznym"). Ogolna klasa modeli kosmologicznych, jakie badal Friedmann, nosi obecnie nazwy modeli Friedmanna-Lemaitre'a-Robertsona-Walkera (FLRW), w uznaniu poiniejszych zaslug trzech wymienionych uczonych. Zasadniczq cechq modelu FLRW jest jego calkowicie przestrzenna jednorodnose i izotropowose. Z grubsza biorqc, przez slowo "izotropowy" rozumiemy, ze WszechSwiat wyglqda tak sarno we wszystkich kierunkach, a zatem cechuje go symetria grupy obrotow 0(3). Rowniez pojycie "jednorodnosci przestrzennej" oznacza, ze WszechSwiat wyglqda tak sarno w kazdym punkcie przestrzeni, w kazdym okreslonym czasie; wobec tego istnieje grupa symetrii majqca wlasnosc "tranzytywnosci" (rozdz. 18.2) w odniesieniu do kazdego elementu rodziny przestrzennopodobnych 3-powierzchni, jakimi Sq 3-powierzchnie ~ "przestrzeni" z ustalonym "czasem" t (co daje 6-wymiarowq grupy symetrii[27.151). Te dwa zalozenia pozostajq w zgodnosci z obserwacjami rozkladu materii w wielkiej skali oraz z naturq mikro-
ta
[27.14] Czy wiesz dlaczego? is [27.15] Dlaczego 6-wymiarowq?
687
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
falowego promieniowania tla. Bezposrednie obserwacje potwierdzajq, ze zalozenie izotropowosci przestrzennej jest spelnione w bardzo dobrym przyblizeniu (Sq to obserwacje niezwykle odleglych :irodel, a przede wszystkim promieniowania reliktowego 2,7 K). Ponadto gdyby WszechSwiat nie byl jednorodny, to wyglqdalby na izotropowy jedynie podczas obserwacji z jakichS bardzo specjalnych punktoW[27.l6]. Nasze polozenie we WszechSwiecie musialoby rzeczywiscie bye bardzo uprzywilejowane - gdyby nie byl on jednorodny - zebysmy mogli obserwowae go jako izotropowy. Naturalnie, obserwowana izotropowose nie jest dokladna, poniewaz tylko w pewnych kierunkach widzimy poszczegolne galaktyki, gromady i supergromady galaktyk. Istniejq nierownomiernosci rozkladu materii, nie zawsze dostrzegalne, na skalt(, jaka nie mieSci sit( w glowie, takie jak na przyklad "Wielki Atraktor", ktory - jak sit( wydaje - przyciqga nie tylko naszq Galaktykt(, lecz takZe wiele sqsiednich gromad galaktyk. Wyglqda jednak na to, ze te odchylenia od jednorodnosci przestrzennej malejq, im dalej patrzymy. Najlepsze informacje z najdalszych obszarow WszechSwiata docierajq do nas za posrednictwem promieniowania tla 2,7 K. Dane z badan COBE, BOOMERanG i WMAP['] wykazujq, ze pomimo drobnych odchylen, w stosunku jak 1 do 105, izotropowose przestrzeni jest dobrze potwierdzona31 • Rzeczywiscie, wydaje sit(, ze kosmologie jednorodne i izotropowe - a takimi Sq modele FLRW - stanowiq doskonale przyblizenie do struktury obserwowalnego WszechSwiata, co najmniej w tych granicach, do jakich sit(gajq nasze aktualne mozliwosci. WszechSwiat ten rozciqga sit( na odleglosci obejmujqce okolo 1011 galaktyk i zawiera okolo 1080 barionow. (Wkrotce zapoznamy sit( bliZej z pojt(ciem "wszechswiata obserwowalnego".) Izotropowose i jednorodnose przestrzenna implikuje32 , ze 3-wymiarowe przekroje przestrzenne, z "ustalonym czasem" ~ , wypelniajq calq czasoprzestrzen M (nie przecinajqc sit( wzajemnie), a 3-geometria kaidej ~ opisywana jest grupq symetrii majqcq wlasnosci jednorodnosci i izotropowosci wspolne z M; zob. rys. 27.13. Trzy (w zasadzie) rozne mozliwosci realizacji 3-geometrii zalezq od tego, czy (stala) krzywizna przestrzenna jest dodatnia (K> 0), zero (K = 0) czy ujemna (K < 0). W literaturze kosmologicznej zwykle normalizuje sit( promien krzywizny dla przypadkow K *- 0, przyjmujqc, odpowiednio, K = 1 i K = -1. Tutaj jednak, dla wit(kszej jasnosci pozniejszej dyskusji, nie bt(dziemy tego robie i pozostawimy K>OiK
688
z dwu r6znych punkt6w, jesli nie jest jednorodna. [*] COBE - Cosmic Background Explorer (eksplorator kosmicznego promieniowania t1a); BOOMERanG - Balloon Observations of Millimetric Extragalactic Radiation and Geophysics (obserwacje balonowe milimetrowego promieniowania pozagalaktycznego i geofizyka); WMAP - Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (sonda Wilkinsona anizotropii mikrofalowej).
Kosmologia 27.11
Rys. 27.13. lednorodne i izotropowe przestrzennie modele kosmologiczne Friedmanna-Lemaitre'a-Robertsona-WaIkera (FLRW). Czas jest odmierzany pionowo do g6ry i kliZdy model zaczyna siC( od Wielkiego Wybuchu. KaZdy jest wypelniony I-parametrowl1 rodzinl1 nieprzecinajl1cych siC( jednorodnych przestrzennopodobnych 3-powierzchni T, zadajl1cych "przestrzen" w ustalonym czasie t. W modelach Friedmanna materia jest traktowana jako ciecz bezcisnieniowa ("pyl"). Zilustrowane Sl1 trzy przypadki: (a) K> 0, gdzie T, Sl1 3-sferami S3 (przedstawionymi jako okrC(gi graniczne Sl), a WszechSwiat ostatecznie zapada siC( w momencie WieIkiego Kresu; (b) tutaj T, Sl1 3-przestrzeniami Euklidesa ]&3, co jest przedstawione u g6ry jako 2-plaszczyzna; (c) T, jest 3-przestrzenil1 hiperbolicznl1 (na co wskazuje odwzorowanie konforemne u g6ry). Rysunki (d), (e) i (f) odpowiadajl1 sytuacji, gdy do modeli (a), (b) i (c) wprowadzimy dodatnil1 stall1 kosmologicznl1 A, co prowadzi w efekcie do wyk/adniczej ekspansji. W przypadku (d) zaklada siC(, ze stala A jest dostatecznie duza, aby uniemozliwic pojawienie siC( fazy kolapsu.
dla roinych alternatywnych wyborow krzywizny przestrzennej. W kaidym z tych przypadkow WszechSwiat rozpoczyna siy od osobliwosci - tak zwanego Wielkiego Wybuchu - w ktorej krzywizny czasoprzestrzeni staj,! siy nieskonczone, pO Czym nastypuje jego szybkie rozszerzanie siy. Ostateczne zachowanie siy zaleiy krytycznie od wartosci stalej K. Jesli K > 0 (rys. 27.13a), to nastypuje odwrocenie ekspansji, WszechSwiat zaczyna siy kurczyc do koncowej osobliwosci, nazywanej cZysto Wielkim Kresem[*] , co w dokladnym modelu Friedmanna stanowi precyzyjne odwrocenie czasowe pocz'!tkowego Wielkiego Wybuchu. Jeieli K = 0 (rys. 27.13b), wowczas ekspansja zostaje zawieszona i faza kolapsu nie nastypuje. JesliK < 0 (rys. 27.13c), wowczas nie mamy perspektywy kolapsu, WszechSwiat siC( rozszerza, ale to rozszerzanie osi,!ga stale tempo. (Mamy tu analogiC( do opisanego w rozdz. 27.8 [*] Big Crnnch - brak na razie ustalonej terminologii polskiej. Najczysciej proponowane Sq Wielki Kres, Wielka Zapasc, Wielki Kolaps alba Wielki Krach. Wielki Kres zastosawano w ttumaczeniu ksiqiki Penrase'a, Nowy umysl cesarza (przyp. Hum.).
689
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
rzutu pionowego kamienia. Jesli prydkose pocz'!tkowa kamienia jest mniejsza od prydkosci ucieczki, to podobnie do wszechSwiata Friedmanna z K > 0, spadnie z powrotem na ziemiy. Jesli prydkose ta rowna siy prydkosci ucieczki, podobnie jak dla K = 0, kamien zawisnie w kosmosie. Jesli natomiast prydkose jest wiyksza od prydkosci ucieczki, wowczas prydkose kamienia osi,!ga pewn'! wielkose graniczn,!, ktora juz siy nie zmniejsza, podobnie do przypadku K < 0.) W oryginalnej pracy Friedmanna stala kosmologiczna A nie wystypuje, jednak praktycznie we wszystkich nastypnych dyskusjach kosmologij33 uwzglydniano zaproponowany przez Einsteina w 1917 roku wyraz Agab - pomimo ze sam Einstein (po 1919 roku, zob. rozdz. 19.7) wolal klase A = O. Okazalo siy to dosye szczysliwym wyjsciem, poniewaz liczne wspolczesne obserwacje jasno wskazuj,!, iz wlasnie dodatnia wartose stalej kosmologicznej (A> 0) moze lepiej opisywae zachowanie siy WszechSwiata. Zagadnieniami tymi zajmy siy blizej w rozdz. 28.10, ale na razie odsylam czytelnika do rys. 27.13d, e, f, ktore ilustruj,! przypadki odpowiadaj,!ce tym na rys. 27.13a, b, c, ale (z dostatecznie duz'!) dodatni,! stal,! A wprowadzon'! do rownan Friedmanna. Zgodnie z obecnym stanem dyskusji wsrod kosmologow przewaza opinia, ze jeden z tych trzech modeli powinien odpowiednio opisywae historiy naszego aktualnego WszechSwiata, przynajmniej od czasu odprzfgnifcia (rozseparowania), gdy jego wiek wynosil jedynie okolo - 3 x 105 lat, a wiyC jak,!s 1/50000 obecnego wieku rownego, mniej wiycej, 1,5 x 1010 lat. Moment oddzielenia jest t'! chwil,!, od ktorej liczymy pojawienie siy promieniowania reliktowego. Przed rozseparowaniem WszechSwiat musial bye w zasadzie "zdominowany przez promieniowanie", a po rozseparowaniu "zdominowany przez materiy". Nie wydaje siy, zeby "pylowy" model Friedmanna byl odpowiedni do opisu fazy zdominowanej przez promieniowanie, bardziej wlasciwy powinien bye model Tolmana (1934). Nie rna to wiykszego znaczenia dla przedstawionej tu ewolucji, jedynie skraca nieco czas, jaki uplyn,!l od Wielkiego Wybuchu do momentu rozseparowania 0 czynnik okolo w porownaniu z oszacowaniami "friedmannowskimi,,[27.l7j w taki sposob, jak pokazano na rys. 27.14. Zwolennicy kosmologii inflacyjnej sugeruj,! duzo wiyksze zmiany w tej ewolucji, a mianowicie ekspansjy wykladnicz,!, co zwiyksza skaly WszechSwiata 0 czynnik okolo 1060. Taka zmiana skali skrocilaby pierwotn,! fazy ewolucji do okolo 1O~32 sekundy, co nie rna znaczenia dla rysunkow 27.13 i 27.14! Jesli jednak obraz inflacyjny jest poprawny, to inne jego implikacje S,! ogromne. Kosmologi,! inflacyjn,! zajmy siy w rozdz. 28.4, 5. W kazdym razie nie wydaje mi siy rozs'!dne, aby obraz inflacyjny wl'!czae do "standardowego modelu kosmologii", i nie bydy tego tutaj robil 34 .
t
t,
690
B [27.17] Sprawdz, czy potrafisz wyprowadzic ten czynnik zakladajqc, ze zachowanie si y "pylowego" modelu Friedmanna mozna przedstawic relacjq t =AR 3/2 , dla malych czasow t, natomiast dla "radiacyjnego" modelu Tolmana mamy t = BR2, gdzie R = R(t) jest miarq "promienia" Wszech§wiata, a A i B Sq stale. ltSkazowka: czy styczne do tych krzywych powinny si y zgadzac?
Kosmologia 27.11
R
Rozseparowanie
(
Rys. 27.14. Przed "rozseparowaniem", ktore nast,!pito, gdy wiek WszechSwiata wynosit ok. 300 000 lat (ok. 1/50 000 obecnego wieku) - jest to czas, jaki szacujemy na podstawie mikrofalowego promieniowania tla - WszechSwiat byl w fazie "zdominowanej przez promieniowanie" i nie stosuje siy do niej przyblizenie "wszechSwiata pylowego" Friedmanna. Bardziej adekwatny jest model szybkiej ekspansji Tolmana, ktory ilustruje krzywa wewnytrzna.
Ktory z tych trzech modeli przedstawionych na ryS. 27.13d, e, f jest najbardziej wlasciwym modelem aktualnego WszechSwiata? Odpowiedzi1! na to zajmt( sit( w rozdz. 28.10. Na razie zalozmy, ze kazdy z owych mode Ii jest odpowiednim kandydatem, i przyjrzyjmy sit( roznym geometriom przestrzennym, jakie sit( z nimi wi1!z1!. Przypadek K > 0 przedstawiamy zwykle jako 3-sfert(. NaleZy zaznaczyc, ze istnieje rowniei: plZestlZen lZutowa lRlP'3, ktor1! otrzymamy, identyfikuj1!c antypodalne punkty S3 (zob. rozdz. 2.7, 15.4-6); trudno jednak wyobrazic sobie, ze te dwa przypadki mozna obserwacyjnie rozroznic. Istniej1! inne mozliwe identyfikacje oddzielnych punktow S\ co prowadzi do przestrzeni soczewkowych, choc zadna z nich nie jest globalnie izotropowa35 . Przypadek (izotropowy) K = 0 daje zwykl1! 3-przestrzen Euklidesa, natomiast K < 0 prowadzi do 3-geometrii hiperbolicznej, ktorq omawialismy w rozdz. 2.4-7 i 18.4. Rysunki 2.22a, b i c, przedstawiajq, odpowiednio, niezwykle pomyslow1! i pit(kn1! konstrukcjt( M.e. Eschera dla przestrzennych geometrii (a raczej ich 2-wymiarowej wersji) zwi1!zanych z K> 0, K = 0 i K < O. Normalny przypadek K > 0 nosi nazwt( wszechSwiata zamkni~tego, co oznacza wszechSwiat zamkni~ty plZestlZennie (tzn. zawiera zwart1! hiperpowierzchnit(36 przestrzennopodobn1!). Kosmologowie cZt(sto okreslaj'l przypadek K < 0 jako wszechswiat "otwarty", podczas gdy przypadekK = 0 rowniez oznacza model otwarty przestrzennie. JesIi zrezygnujemy z warunku globalnej izotropowosci, jak w przypadku wspomnianych przestrzeni soczewkowych odpowiadaj'lcych K > 0, to istniej1! rowniez (nieizotropowe) modele wszechSwiata zamknit(tego dlaK = 0 iK < 0 37 . Wiemy juz, ze pelna 4-przestrzen M opisywana jest w terminach ewolucji czasowej 3-geometrii przestrzennej, ktorej skala ogolna zmienia sit( w czasie. W obrazie standardowym, pocz'ltkowo, od momentu Wielkiego Wybuchu, WszechSwiat rozszerza sit( bardzo szybko, ale nie naleZy wyobrazac sobie tego jako pewnego "punktu centralnego", w ktorym nast'lpila eksplozja i z ktorego wszystko wychodzi. Bardziej poprawnym obrazem dwuwymiarowym jest wyobrazenie sobie po-
691
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
wierzchni nadmuchiwanego balonu. Na takiej powierzchni kazdy punkt oddala siy stopniowo od wszystkich innych i w takim modelu wszechSwiata nie istnieje "punkt centralny". W tej analogii Wszechswiat reprezentuje powierzchnia balonu, a jego srodek nie moze bye uwazany za czyse rozszerzajl!cego siy WszeChSwiata, podobnie jak zaden inny punkt, kt6ry nie leZy na powierzchni balonu. WprowadZmy notacjy dL2 do oznaczenia metryki jednej z tych trzech 3-geometrii, przy czym normujemy ty metryky tak, zeby dla K =I- 0 oznaczala 3-sfery jednostkowl! alba jednostkowl! przestrzen hiperbolicznl! (odpowiednio dla K = 1 i K = -1 )l27.lSJ. W6wczas 4-metryky calej czasoprzestrzeni mozna przedstawie w postaci ds 2 =
dP _R2dr 2 ,
gdzie t oznacza parametr "czasu kosmicznego", kt6rego stale wartosci wyznaczajl! poszczeg6lne ~, i gdzie R
= R(t)
jest pewnl! funkcjl! parametru czasowego t okreslajl!cl! "rozmiar" przestrzenny WszechSwiata "w chwili t". Tak wiyc metryka kazdej ~ jest zadana przez R 2dr2. Na rys. 27.15a, b, c przedstawilem wykres R = R(t) dla K = 1, 0, -1, odpowiednio, w oryginalnej wersji "pylowej" Friedmanna (ciecz doskonala)f27.19 J dla A = O. Na
R
R
R
R
K> 0, A = 0
K= 0, A = 0
K < 0, A = 0
(a)
(b)
(e)
A> 0 (d)
Rys. 27.15. Wylcresy funkcji R =R( t) dla modeli Friedmanna. PielWsze trzy odpowiadaj,! A = 0: (a) K> 0, (b) K = 0, (c) K < 0, (d) odpowiada A > O. (Rysunek zostal wykonany dla K = 0, ale inne przypadki daj,! podobny obraz, jdli zaloZymy, ze A jest dostatecznie duze w porownaniu z lcrzywizn,! przestrzenn'!.)
[27.18] Sprawdz, czy potrafisz pokazae, ze dL2 = d? + sin 2 q:1(dq:12 + sin 2 () d(}2) opisuje metrykt( jednostkowej 3-sfery, i wydedukuj, stosujqC procedury z rozdz. 18.1, ze d~2 = d? + + sinh 2 X( dX 2 + sin 2() d(J2) opisuje jednostkowq przestrzeI'i hiperbolicznq. Wskaz6wka: wypisz najpierw metrykt( dla 3-sfery 0 dowolnym promieniu. [27.19] Rozwiqzanie "pylowe" Friedmanna dla K> 0 i A = 0 moze bye przedstawione w postaci R = C(l- cos~), t = C(~ - sinn gdzie C jest stalq, a ~ jest wygodnym parametrem. Pokai, ze jest to r6wnanie cykloidy - tj. krzywej, jakq wykresla punkt na obwodzie kola toczqcego sit( wzdluz poziomej linii prostej. Czy wiesz, jak mozna przejse od przypadku K> 0 do K < 0, stosujqC trik podobny do tego, kt6ry wykorzystalismy w rozdz. 18.l i ewiczeniu [27.16], oraz jak przejse do K = 0, wykonujqc odpowiednie przejscie graniczne (mozna korzystae z przeskalowania wsp6Irzt(dnej)?
rm.
rm.
692
Diagramy konforemne 27.12
rys. 27.15d widzimy, co siy stanie w przypadku dodatniej wartosci A. Krzywe dla wszystkich trzech wartosci K s,! bardzo podobne (zakladamy, ze w przypadku K> 0 A jest wystarczaj'!co duze, aby przezwyciyZyc kolaps. Tak,! sytuacjy sugeruj,! dane obserwacyjne). Szybkosc ekspansji rosnie wowczas wykladniczo.
27.12 Diagramy konforemne
Aby zrozumiec znaczenie terminu "wszechSwiat obserwowalny", sprobujmy przeanalizowac pojycie diagramu konforemnego 38 , za pomoc,! ktorego (najczysciej 2-wymiarowo) cala czasoprzestrzen zostala przedstawiona w ten sposob, ze kierunki zerowe s,! rysowane pod k,!tem 45° do linii pionowej, a nieskonczonosc reprezentuje czysc brzegu diagramu. Nieskonczonosc ty oznaczamy zwykle liter,! #(czytaj: "skraj"). Nieskonczonosc w przyszlosci (na stozku przyszlosci), ktoq ostatecznie "osi,!gn,!" wychodz'!ce promienie swietlne, oznaczymy przez #+, natomiast #- uZyjemy do oznaczenia nieskonczonosci w przeszlosci, dla przychodz,!cych promieni swietlnych. W standardowej teorii Einsteina z A = 0 mamy zwykle zerowe 3-powierzchnie, dla przypadku A> 0 zas 3-powierzchnie przestrzennopodobne39 • Diagramy konforemne obrazuj,! kauzalnq struktury czasoprzestrzeni, kiedy interesujemy siy bardziej rodzin,! stozkow zerowych niz peln,! metryk,! czasoprzestrzenn'!. Jest to lorentzowska wersja geometrii konforemnej, z jak,! zetknylismy siy w rozdz. 2.4, 8.2 i 18.4,5 (zdefiniowana za pomoq klasy rownowaznosci metryk, przy czym g jest rownowazne nZg, gdzie n jest dodatni,! funkcj,! skalarn,! na czasoprzestrzeni, a zatem n modyfikuje skaly odleglosci). W rozdz. 2.2 widzielismy, jak cal a plaszczyzna hiperboliczna moze zostac odwzorowana konforemnie na skonczony obszar plaszczyzny Euklidesa (rys. 2.11, 2.12, 2.13). Koncepcja konforemnego diagramu czasoprzestrzennego jest w zasadzie taka sarna, ale teraz odwzorowujemy konforemnie lorentzowsk'! (nieokre§lon,! dodatnio) metryky czasoprzestrzeni. Spraw,! zasadnicz,! jest to, ze w geometrii Lorentza same stozki zerowe definiuj,! geometriy konforemn'!. W dwu wymiarach stozek zerowy przedstawia pary kierunkGw zerowych i to definiuje 2-metryky z dokladnosci,! do lokalnego czynnika konforemnego. Takie 2-wymiarowe przedstawienie jest szczegolnie przydatne, gdy pojawia siy symetria sferyczna w cafej 4-przestrzeni. W takim przypadku mozemy sobie wyobraZac ty 4-czasoprzestrzen jako 2-czasoprzestrzen, ktoq "obracamy dookola", i w ten sposob kazdy punkt tej 2-przestrzeni reprezentuje cafe SZ w 4-przestrzeni. Diagramy konforemne dla takich przestrzeni mog,! byc zupelnie dokladne i w odniesieniu do nich bydy uZywal terminu Scisly diagram konforemny. Diagramy konforemne niebyd,!ce diagramami scislymi nazwy schematycznymi. Punkty scislego diagramu konforemnego rzeczywiscie przedstawiaj,! cafe (metryczne) sfery Sz. (W przypadku n-wymiarowej "czasoprzestrzeni" Lorentza, jakiej moglibysmy potrzebowac w teorii strun etc. - zob. rozdz. 31.4, 7 - odpowiadalyby one (n - 2)-sferom sn-Z.) Miejsca wyj'!tkowe, w ktorych punkty diagramu reprezentuj,! pojedyncze
693
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
punkty czasoprzestrzeni, pojawiaj~ siC( tylko w czC(sciach brzegu diagramu opisuj~ cych os symetrii. S~ one zaznaczone liniami przerywanymi, moina wiC(c uwaiac, ie obracamy diagram wokol takiej linii[27. 201. Te czC(sci brzegu, ktore reprezentuj~ nieskonczonosc, s~ zaznaczone liniami ci~glymi, natomiast linie faliste przedstawiaj~ osobliwosci; zob. rys. 27.16a. S~ wreszcie pewne rogi, w ktorych schodz~ siC( roine linie brzegowe diagramu konforemnego. Te zaznaczone malymi jasnymi kolkami o naleZy traktowac jako cale 2-sfery (jako brzeg hiperbolicznej 3-przestrzeni; zob. rozdz. 2.4 i 18.4), podczas gdy zaznaczone czarnymi kropkami • przedstawiaj~ punkty (sfery zerowym promieniu). Rys. 27.16b jest scislym diagramem konforemnym dla przestrzeni Minkowskiego, natomiast rys. 27.16c przedstawia zapadanie grawi-
°
Os symetrii
~ Niesko~zonosc
/
Osobliwosc •
Punkt
o
Sfera S2 (a)
(b)
(e)
Rys. 27.16. Diagramy konforemne stanowiq plaskie reprezentacje czasoprzestrzeni. Zwyk1e rysujemy je tak, ze linie zerowe czasoprzestrzeni lezqce na plaszczyinie Sq skierowane pod kqtem 45 0 do linii pionowej. "Nieskonczonosc" przedstawia skonczony brzeg obszaru, w kt6rym czynnik konforemny przejscia od metryki fizycznej do metryki diagramu zmierza do zera. (a) Na diagramie fcistym (w przeciwienstwie do diagramu schematycmego) kazdy punkt wnytrza diagramu reprezentuje dokladnq 2-sfery, ale na osi symetrii (zaznaczonej liniq przerywanq) taka 2-sfera kurczy siy do punktu, podobnie jak to siy dzieje w rogu oznaczonym przez czarnq kropky •. Z kolei w rogu oznaczonym k6lkiem otwartym o ten punkt brzegowy reprezentuje konforemnie 2-sfery. Nieskonczonosc przedstawia ciqgla linia brzegowa (opisujemy jq przewaznie literq # - czytaj "skraj"), natomiast osobliwosci reprezentowane Sq liniami falistymi. (b) Scisly diagram konforemny dla przestrzeni Minkowskiego M. (c) Scisfy diagram konforemny dla rys. 27.11, obrazujqcy sferycznie symetryczny kolaps do czarnej dziury.
694
~ [27.20] SprawdZ, cz:y potrafisz otrzymac 4-przestrzen Minkowskiego za pomocq rys. 27.16b, biorqc prawq polow y calej 2-przestrzeni Minkowskiego (metryka ds 2 = dt 2 - cI? z r :;:, 0) i obracajqc jq w ten spos6b wok61 osi pionowej. Podaj wyrazenie na metryky 4-przestrzeni, korz:ystajqc z odpowiednich funkcji t, r i kqt6w sferycznych (J i rp (zob. ewiczenie [27.18]). Dla lepszej wizualizacji spr6buj otrzymac najpierw 3-przestrzen Minkowskiego, w kt6rej mamy do czynienia z bardziej znanym rodzajem obrotu.
Diagramy konforemne 27.12 ~ I
I
I
I
N!:~ ~ (a)~(b)
, A>O
j
K>O
,
(e)
K
K=O
iC>C>
(d)~(e)
(f)
Rys. 27.17. Scisle diagramy konforemne dla odpowiednich modeli Friedmanna z rys. 27.13: (a) K> 0, A= 0; (b) K = 0, A = 0; (c) K < 0, A = 0; (d) K> 0, A > 0 (A dostatecznie dille); (e)K =0, A > 0; (f) K < 0,
A>O.
tacyjne do czarnej dziury Schwarzschilda (kolaps sferycznie symetryczny pokazany na rys. 27.11). Na rys. 27.17 przedstawilem modele kosmologiczne z rys. 27.13[27.21]. Diagramy konforemne Sq uZyteczne, poniewaz odzwierciedlajq w jawny sposob relacje przyczynowosci w czasoprzestrzeni. Zauwazmy na przyklad, ze w przypadku implozji sferycznie symetrycznej do czarnej dziury - przedstawionym na rys. 27.16c - horyzont czarnej dziury leZy pod kqtem 45°. Zadna linia swiata CZqstki materialnej nie moze bye nachylona do linii pionowej pod kqtem wit(kszym od 45°, a wit(c kiedy raz dostala sit( do obszaru wewnt(trznego, juz nigdy nie wydostanie sit( poza linit( horyzontu. Co wit(cej, kiedy znalazla sit( wewnqtrz tego obszaru - musi zmierzae w stront( osobliwosci (rys. 27.18a). Osobliwose pojawia sit( jako czasopodobny brzeg przyszlosci dla wewnt(trznej cZt(sci czasoprzestrzeni, co wydaje sit( nieco niezgodne z wraZeniem, jakie odnosimy, gdy patrzymy z bardziej konwencjonalnej perspektywy rys. 27.11. Rola, jakq odgrywa Wielki Wybuch, wyglqda jak odbicie tego obrazu w czasie, gdyz stanowi przestrzennopodobny brzeg czasoprzestrzeni w przeszlosci (rys. 27.18b). Jest to znowu wbrew intuicji, gdyz zwykle myslimy 0 Wielkim Wybuchu jako 0 punkcie (osobliwym)40. Przestrzennopodobna natura granicy poczqtkowej prowadzi nas do koncepcji horyzontu cZqstek, ktora stanowi waZny aspekt Wielkiego Wybuchu. Rozwazmy rys. 27.18b, na ktorym obserwator przedstawiony jest w punkcie p w poblizu brzegu reprezentujqcego Wielki Wybuch. Obszar WszechSwiata, z ktorego informacje mogq docierae do obserwatora, znajduje sit( wewnqtrz lub na stozku swietlnym przeszlosci punktu p i widzimy, ze obejmuje on tylko cZt(se P hiperpowierzch-
m [27.21] Czy widzisz, jak odpowiadajq sobie rys. 27.11 i 27.16b? Znajdz odpowiednie czynniki konforemne, przez kt6re naJeZy pomnoZyc metryki kazdego z przyldad6w na rys. 27.16, 27.17.
695
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
......... Wielki Wybuch (a)
(b)
Rys. 27.18. Horyzonty. (a) Horyzonty zdarzeii pojawiajll sil( wtedy, gdy na schematycznym diagramie konforemnym brzeg przyszlosci - zar6wno osobliwosc, jak i nieskoiiczonosc - rna charakter przestrzennopodobny. Gdy obserwator p zbliza sil( do brzegu, zawsze istnieje pewna cZl(sc czasoprzestrzeni (ktorej brzeg definiujemy jako horyzont zdarzeii), ktorej p nie moze zobaczyc, aczkolwiek precyzyjna odpowiedz na pytanie, kt6ra to jest CZI(SC, zale:i:y od jego ruchu. (Na przyklad moze on obserwowac zdarzenie q, jesli wybierze drogl( w lewo, lecz nie w prawo.) W przypadku czarnej dziury mamy do czynienia ze zwyklym "horyzontem zdarzeii", 0 bardziej absolutnym charakterze (zaznaczonym linill kropkowanll), kt6ry jest wsp6lny dla wszystkich obserwator6w zewnl(trznych. (b) Horyzonty cZllstek wystl(pujll we wszystkich standardowych kosmologiach, co wynika z przestrzennopodobnego charakteru osobliwosci w przeszlosci. Obserwator w p widzi tylko CZl(sc P Wielkiego Wybuchu (i cZllstek tam wykreowanych), aczkolwiek cZI(SC ta powil(ksza sil( wraz z uplywem czasu.
ni pocz
27.13 Nasz nadzwyczaj wyjqtkowy Wielki Wybuch Powrocmy teraz do zagadnienia nadzwyczajnej "niezwyklosci" Wielkiego Wybuchu. Fakt, ze musial miec absurdalnie mal,! wartosc entropii, jest oczywisty - wynika bowiem z samego istnienia DPT. Jednak niska entropia moze przyjmowac najrozniejsze postacie. Chcemy zrozumiec, na czym polega ta absolutna wyj'!tkowosc pocz'!tkowej ewolucji naszego WszechSwiata. Najbardziej zdumiewaj
696
fa [27.22] Odwolujqc siy do przedstawionych tutaj diagramow konforemnych, pokaz, ze w przypadku K = 0 lub K < 0, z A = 0, wszechswiat obserwowalny czqstki wychodzqcej z punktu p powiyksza siy, obejmujqc w efekcie, w czasie oznaczajqcym gran icy przyszlosci cZqstki, caly WszechSwiat. Pokaz, ze tak nie jest w przypadku K > 0 ani dla jakiejkolwiek wartosci K (w przypadkach ukazanych na rys. 27.17), jesli A> 0 (gdzie pojawia siy kosmologiczny horyzont zdarzeti).
Nasz nadzwyczaj wyjCjtkowy Wielki Wybuch 27.13
Odchylenie standardowe aX 500
~2 CIl
'2
...... CIl
""
1;;
z
200
400 v (GHz)
600
Rys. 27.19. Natyzenie mikrofalowego promieniowania tla w funkcji czystosci znakomicie opisuje krzywa Plancka promieniowania ciala doskonale czarnego (rys. 21.3b). Zwr6cmy uwagy, ze zaznaczone przedzialy blydu Sll powiykszone ok. 500 razy.
krzyw,! Plancka opisuj,!c,! natyzenie promieniowania ciala doskonale czamego (zob. rozdz. 21.4, rys. 21.3b), jak,! otrzymujemy dla promieniowania reliktowego 2,7 K, kt6re przedstawia "blysk" Wielkiego Wybuchu, aczkolwiek nast,!pilo tu ogromne wychlodzenie w wyniku "przesuniycia ku czerwieni" zwi,!zanego z ekspansj,! WszechSwiata (rys. 27.19). rnne dowody pochodz,! z obserwacji nadzwyczajnej zgodnosci miydzy teori,! a eksperymentem w odniesieniu do proces6w j
697
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
698
to wyraznie widoczne, kiedy rozwazamy przypadek wszechSwiata zamkni((tego. Wyobraimy sobie (zgodnie z danymi obserwacyjnymi), ze wszechSwiat jest dobrze opisywany przez jeden z modeli FLRW, i zalozmy, na chwil((, ze jest to model z K > 0 i A = O. Wyst((powanie pewnych nieregularnosci42 w poczqtkowym rozkladzie materii moze bye przyczynq kondensacji grawitacyjnej i zalozmy, ze Sq one wystarczajqce, aby doprowadzie do utworzenia galaktyk zawierajqcych wielkie czarne dziury (powiedzmy 0 masie 106Mo )' co daje nam entropi(( rz((du 1021 na barion. Jesli przyjmiemy, ze nasz WszechSwiat zamkni((ty zawiera okolo 1080 barionow (szacujemy, ze tyle mniej wi((cej barionow zawiera obserwowalny WszechSwiat), to daje entropi(( rz((du 10101 , a wi((c duzo wi((kszq niz 1088 , co odpowiada oszacowaniom dla entropii promieniowania i materii w momencie rozseparowania, czyli okolo 300 000 lat po Wielkim Wybuchu. Czarne dziury galaktyk roslyby stopniowo, ale glowny wzrost pojawilby si(( podczas fazy ostatecznego kolapsu WszechSwiata, gdy nastqpi lqczenie si(( galaktyk i zamarzanie ich czarnych dziur. Koncowy Wielki Kres nie przypomina niczego tak prostego, jak to sugeruje rys. 27.13a, na ktorym przedstawiono odbicie w czasie symetrycznego Wielkiego Wybuchu zgodnie z modelem FLRW. Jest to raczej wielki chaos zamarzajqcych osobliwosci czarnych dziur, co ilustruje rys. 27.20a. Entropi(( chaosu Wielkiego Kresu mozemy oszacowae za pomocq wzoru Bekensteina-Hawkinga. To wzor na entropi(( stanu tuz przed fazq koncowq, kiedy wciqi mozemy traktowae ten chaos jako skladajqcy si(( z aktualnych czarnych dziur, przyblizajqcych si(( do stanu ostatecznej osobliwosci, zawierajqcej okolo 1080 barionow. Wartose SBH dla takiej liczby barionow, wynoszqca oko10 10123 , nie powinna bye bardzo daleka od wartosci entropii, jakq mozemy przypisac Wielkiemu Kresowi. W tym miejscu czytelnik rna prawo zglosie calkiem sensowne zastrzezenie, ze nawet jesli jest prawdq, iz K > 0, to najnowsze obserwacje zdajq si(( mocno przemawiae przeciwko przyj((temu przeze mnie zalozeniu, ze A = O. Wraz z rozwazanymi ograniczeniami dla krzywizny przestrzennej obserwacje te wskazujq raczej, ze dodatnia wartose A moze bye dostatecznie duza, by zapobiec fazie kolapsu, a zamiast tego powinnismy miee do czynienia z ekspansjq wykladniczq. Okazuje si(( jednak, ze jesli przeformulujemy to nieco inaczej, argumenty poprzedniej dyskusji dadzq si(( zastosowae i w przypadku A > 0 otrzymamy, dla wszechSwiata zamkni((tego zawierajqcego 1080 barionow, podobne oszacowanie wartosci entropii (ok. 10123 ). Albowiem odbicie czasowe wszechSwiata opisanego na rys. 27.13d jest rownie dobrym rozwiqzaniem rownan dynamicznych jak przedstawione na rys. 27.13d (rozwazamy prawa dynamiki, ktore Sq niezmiennicze wzgl((dem odbicia w czasie). Jesli dopuscimy jakies zaburzenia tego wszechSwiata, to mozemy znaleZe modele, w ktorych juz uformowane czarne dziury lqczq si(( i wytwarzajq ten sam rodzaj "chaosu" zamarzajqcych czarnych dziur jak poprzednio opisany; zob. rys. 27.20b. I znowu otrzymujemy wartose entropii, ktora, na podstawie tych samych argumentow, jest rz((du 10123. (Z tym rodzajem argumentacji zetkniemy si(( ponownie, gdy przejdziemy do dyskusji kosmologii inflacyjnej w rozdz. 28.5).
Nasz nadzwyczaj wyj'ltkowy Wielki Wybuch 27.13
(a)
(b)
(c)
(d)
Rys. 27.20. (a) Jesli w przypadku K > 0 i A = 0 z rys. 27.13a dopuscimy zaburzenia, jakie obserwujemy we WszechSwiecie, wowczas w miejscu "czystego" Wielkiego Kresu dokiadnego modelu Friedmanna otrzymamy niesamowity chaos zamarzaj~cych osobliwosci czarnych dziur 0 gigantycznej wartosci entropii (S '" 10 123 ). (b) Efekt taki nie jest wynikiem A = 0, poniewai: w podobny sposob mozemy rozpatrywac odpowiednie perturbacje odwroconej w czasie sytuacji z rys. 27.13d (K> 0, A > 0) i ponownie otrzymamy podobnie wielkie (S", 10123 ) wartosci entropii dla chaotycznego stanu zamarzaj~cych czarnych dziur. (c) Typowy Wielki Wybuch wygl~dalby jak odwrocenie w czasie typowej osobliwosci (zilustrowanej dla przypadku K > 0 i A = 0 lub A > 0). (d) Najbardziej "prawdopodobna" sytuacja (odpowiadaj~ca krzywej z rys. 27.8a) - przedstawiona dla przypadku K > 0 i A = 0 - nie przypomina obecnego WszechSwiata w jego wczesnych fazach.
W ten sposob otrzyrnalisrny rozsqdne oszacowanie calkowitej objytosci Pu (ktora jest zasadniczo taka sarna jak objytosc E pudla E 0 rnaksymalnej entropii z rys. 27.4)l27.231:
(Wynika to z wzoru Boltzrnanna S = In V w jednostkach naturalnych.) A teraz jak siy to rna do naszej wiedzy na ternat objytosci N pudla N obecnej entropii oraz do objytosciB pudla B entropii Wielkiego Wybuchu (zakladajqc, ze i:yjernywe Wszechswiecie zawierajqcyrn 1080 barionow)? Przyjrnujqc podane oszacowanie entropii czarnych dziur oraz wartosc 108 dla entropii na barion w prornieniowaniu reliktowyrn 2,7 K, otrzyrnujerny
Z tego wynika, ze zarowno B, jak iN stanowiq jedynie jednq czysc na
123
1010
calkowitej objytosci E. Ponadto objytosc B stanowi jedynie jednq czysc na 10
10101
objytosci N calej przestrzeni fazowej obecnego WszechSwiata.
B [27.23] Dlaczego obie te liczby - z dokladnosci,! wyrazon'! przez liczby ,,123" - s,! praktycznie r6wne? Dlaczego w nastypnych wnioskach nie pojawia siy sarna wartosc B?
699
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
Rys. 27.21. Stworzenie WszechSwiata: szpilka Stw6rcy musi znaleic malenkie pudetko, kt6rego wiel123 kosc odpowiada jednej czt;:sci na 1010 objt;:tosci catej przestrzeni fazowej, aby stworzyc WszechSwiat za posrednictwem tak niezwyktego Wielkiego Wybuchu, jaki wynika z naszej obecnej wiedzy.
700
Aby zdac sobie sprawy z problemu, jaki przedstawia znikomo mala objytosc przestrzeni fazowej B, mozemy spr6bowac wyobrazic sobie, jak Stw6rca usiluje posluZyc siy szpilk,!, za pomoc,! kt6rej wskazuje malenki punkcik w przestrzeni Pu ' aby przywolac do istnienia wszechSwiat przypominaj,!CY ten, w kt6rym Zyjemy. Na rys. 27.21 przedstawiam moje wyobraienie 0 tym donioslym wydarzeniu! Gdyby Stw6rca minimalnie siy pomylil i tram swoj,! szpilk,! przypadkowo w obszar maksymalnej entropii E, w6wczas powstalby alba niezamieszkany wszechswiat odpowiadaj,!CY rys. 27.20d (przypadek A = 0, K> 0), alba wiecznie rozszerzaj'!cy siy przypadek 27.20c, w kt6rym nie rna DPT do zdefiniowania statystycznego kierunku czasu (jak na rys. 27.8a). (Nie wydaje siy, zeby lepszym wyjasnieniem bylo przyjycie zalozenia, ze nasz Stw6rca mial na celu jedynie stworzenie wszechSwiata zamieszkanego przez istoty mysl'!ce, takie jak my. Kwestia ta wi
Przypisy
Gdy myslimy 0 materii (z uwzglydnieniem promieniowania elektromagnetycznego) w kontekscie rozszerzajqcego siy Wszechswiata, odpowiednim opisem jego stanu wydaje sit( pojt(cie rownowagi termodynamicznej. Prowadzi to do obrazu Gorqcego Wielkiego Wybuchu, ktory stanowi wazny skladnik standardowego modelu kosmologii. W czasie okolo 10-11 s temperatura WszechSwiata musiala wynosie okolo 10 15 K, podczas gdy w ciqgu nastt(pnych 102 s nastqpilo ozit(bienie do temperatury 109 K. Taki spadek temperatury jest zgodny z tempem ekspansji Tolmana-Friedmanna. TakZe wiele szczegolow obserwacyjnych (np. stosunki ilosci wodoru do deuteru i helu) Sq zgodne z procesami jqdrowymi, jakie zachodzq przy takich temperaturach. Grawitacja wprowadza calkiem nowe elementy do tego obrazu, albowiem grawitacyjne stopnie swobody nie Sq "termalizowalne". Wyjqtkowa w Wielkim Wybuchu jest jednorodnose (tzn. taka jak w modelu FLRW) poczqtkowej geometrii czasoprzestrzeni. Fakt, ze poczqtkowy osobliwy stan WszechSwiata "nie musial bye taki", ilustruje rys. 27.20c albo odbicie czasowe dopuszczalnego fizycznie Wielkiego Kresu z rys. 27.20a. Wydaje siy, ze pole grawitacyjne rna zupelnie inny status niz wszelkie inne pola. Podczas gdy wszystkie inne pol a biorq udzial w termalizacji wczesnych stadiow WszechSwiata, pole grawitacyjne pozostaje samotne, jego stopnie swobody - niezajyte, az DPT wejdzie na sceny i zacznie z nich korzystae. W ten sposob nie tylko spelnione jest DPT, ale dodatkowo w tej szczegolnej postaci, ktorq obserwujemy w Przyrodzie. Pole grawitacyjne po prostu zachowywalo sit( inaczej! Ale dlaczego inaczej? Probujqc udzielie odpowiedzi na to pytanie, wkraczarny w dziedzint( spekulacji. W rozdz. 28 zapoznamy sit( z pewnymi sposobami, ktorymi fizycy probowali zmierzye siy z t q zagadkq, oraz z innymi z niq zwiqzanymi, dotyczqcymi poczqtkow WszechSwiata. W moim przekonaniu zadna z tych prob nie zblii:yla siy dostatecznie do rozwiqzania tego problemu. Wydaje mi sit(, ze trzeba koniecznie zbadae same podstawy mechaniki kwantowej, uwazam bowiem, ze te zagadnienia Sq glt(boko powiqzane. Zajmiemy sit( tym w rozdz. 29. Nastypnie, w rozdz. 30, sprobujy przedstawie moje wlasne podejscie do tych fundamentalnych pytan.
Przypisy Rozdzial27.2 Tak jest, gdy dynamiky traktujemy jako calkowicie klasyczn'!. Przez "uklad chaotyczny" rozumiemy system klasyczny, w kt6rym niewielka zmiana stanu wyjsciowego moze prowadzic do zmian w jego zachowaniu, kt6re z czasem rosn,! w spos6b wykladniczy, a nie liniowy. W takim ujyciu "nieprzewidywalnosc" jest spraw,! stopnia, a nie kwesti,! samej zasady, kt6r'! zwykle wi,!ze siy z procesami okreslanymi jako deterministyczne. 2 Zaklada siy tutaj, ze ciepla wlasciwe S,! dodatnie, co jest na og61 prawdziwe. lednak zalozenie to nie jest spelnione w przypadku czarnych dziur; zob. rozdz. 31.15. I
701
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
3
Mamy tutaj do czynienia z ciekawym "paradoksem", poniewai w zwyczajnym iyciu jest zwykle na odwrot! CZysto dokonujemy precyzyjnej "retrodykcji", po prostu przypominajqc sobie zdarzenia z przeszlosci, podczas gdy nie mamy wglqdu w przyszlose. Co wiycej, odkrycia archeologiczne mogq wydluiye naSZq "pamiye" w przeszlose, w czasy znacznie bardziej odlegle nii istnienie czlowieka. lednak taka "retrodykcja" nie wiqie siy z ewolucjq opisywanq rownaniami dynamiki w iaden oczywisty sposob i jej zwiqzek z DPT nadal pozostaje dla mnie tajemnicq; zob. Penrose (1979a).
Rozdzial 27.3 Zob. Pais (1986). 5 Zob. Gibbs (1960); Ehrenfest, Ehrenfest (1959); Pais (1982). 6 Sam Boltzmann nigdy nie uiyl tej stalej, poniewaZ nie przejmowal siy jednostkami potrzebnymi do praktycznych obliczen; zob. Cercignani (1999). Wzor S = k In V zawierajqcy ty stalq po raz pierwszy pojawil si(( w pracach Plancka; zob. Pais (1982).
4
7
Rozdzial27.5 Zob. Eddington (1929a).
Rozdzial27.6 Zob. Hawking, Ellis (1973); Misner, Thorne, Wheeler (1973); Wald (1984); Hartle (2003). 9 Zob. Gold (1962); Tipler (1997) w tych pracach idee takie doprowadzone zostaly do zdumiewajqcych konkluzji. 10 Zob. Penrose (1979a). 8
Rozdzial 27. 7 Kilka lat przed Hubble'em, w 1917 roku, astronom amerykanski Vesto Slipher uzyskal pewne dane wskazujqce, ie WszechSwiat si(( rozszerza. Zob. Slipher (1917). Chociai jego nazwisko rzadko lqczono z tymi obserwacjami, to niewqtpliwq zaslugq bylo odkrycie przez niego planety Plutona! 12 Promieniowanie to pierwszy przewidzial teoretycznie George Gamow w 1946 roku na podstawie koncepcji Wielkiego Wybuchu, a bardziej klarownie zostalo przedstawione w pracy Alpher, Bethe, Gamow (1948). Nastypnie, niezaleinie, dokonal tego w 1964 roku Robert Dicke. Efekt ten zostal (przypadkowo) odkryty obserwacyjnie przez Arno Penziasa i Roberta Wilsona w 1965 roku i natychmiast zinterpretowany przez Dicke'a i jego wspolpracownikow. Zob. Alpher, Bethe, Gamow (1948); Dicke et al. (1965) i, oczywiscie, Penzias, Wilson (1965), ktorych praca jest chyba najskromniejszq publikacjq, jaka si(( kiedykolwiek ukazala! 13 Bardziej szczegolowq dyskusjy znajdziemy w Penrose (1979a, 1989). 14 W istocie, w ogolnym bilansie, Ziemia wysyla w kosmos nieco wifcej energii, nii otrzymuje. lesli pominiemy z jednej strony fakt spalania przez ludzi paliw kopalnych, co oznacza, ostatecznie, zwrot czysci energii otrzymanej od Slonca i zgromadzonej w Ziemi wiele milionow lat temu (a z drugiej zignorujemy ocieplenie globalne zwiqzane z efektem cieplarnianym, w zwiqzku z czym Ziemia przechwytuje nieco wi((cej energii slonecznej nii we wczesniejszych okresach), to moiemy uznae, ie zachodzi ogrzewanie wn((trza Ziemi w wyniku procesow rozpadu radioaktywnego i ta energia podczas przechodzenia do atmosfery jest stopniowo tracona; zob. rozdz. 34.10. 11
Rozdzial27.8 Zob. Michell (1784); Tipler, Clarke, Ellis (1980). 16 Zob. Penrose (1978). 17 Zob. van Kerkwijk (2000), tamie przedstawiony jest obecny stan wiedzy na ten temat. 18 Zob. Schwarzschild (1916) lub bardziej wspolczesnq prezentacj(( w Wald (1984). 702 19 Zob. Narayan et al. (2003), tamie przedstawione Sq aktualne wyniki obserwacji. 15
Przypisy
Rozdzial27.9 UiytecZnq charakterystyky takiego "punktu, z kt6rego nie rna powrotu" mozemy uzyskae dziyki pojyciu "powierzchni zlapanej". Jest to zwarta przestrzennopodobna 2-powierzchnia So takiej wlasciwosci, ze dwie rodziny zerowych normalnych do S zbiegajq siy w przyszlosci. (Inaczej m6wiqc, oznacza to, ze jesli na powierzchni S zapali siy wiqzka swiatia, w6wczas powierzchnie wiqzki biegnqcej zar6wno na zewnqtrz, jak i do wewnqtrz stajq siy coraz mniejsze.) Uwazamy, ze takie powierzchnie zlapane znajdujq siy wewnqtrz horyzontu 1{ czarnej dziury. Kryterium powierzchni zlapanej nie jest zwiqzane z jakimikolwiek zalozeniami dotyczqcymi symetrii (to stanowi jego zalety) i jest "stabilne" przy niewielkich zaburzeniach geometrii. Z chwilq utworzenia powierzchni zlapanej osobliwosci stajq siy nieuniknione Oesli zaloiymy bardzo slabe i rozsqdne warunki kauzalnosci i dodatniej okreslonosci energii w teorii Einsteina). Podobne wnioski otrzymujemy dla kosmologicznej osobliwosci Wielkiego Wybuchu. Zob. Penrose (1965b); Hawking, Penrose (1970). 21 Zob. Penrose (1965b); Hawking, Penrose (1970). Bardzo dydaktyczny przeglqd tych twierdzen znajdziemy w Wald (1984). 22 Zob. Penrose (1969a, 1998b); Belinskii et al. (1970). 23 Zob. Penrose (1969a, 1998b). 24 Zob. Reeves et al. (2002), gdzie znajdziemy najbardziej aktualny przeglqd tych zagadnien; natomiast teoriy zderzen - w Cheng, Wang (1999); Hansen, Murali (1998).
20
Rozdzial27.10 Zob. Israel (1967); Carter (1970); Hawking (1972); Robinson (1975). 26 Zob. Kerr (1963); a dla przypadku dziury naladowanej Newman et al. (1965). Dydaktycznq prezentacjt( tych wynik6w zawiera Wald (1984). 27 Podobnie jak w przypadku elips Keplera, 0 kt6rych m6wilismy na poczqtku tego rozdzialu, metryka Kerra stanowi inny przyklad tej najzupelniej wyjqtkowej sytuacji, w kt6rej usmiech fortuny pozwala nam wyprowadzie z praw dynamiki bardzo proste ksztalty geometryczne. 28 Zob. Chandrasekhar (1983), s. 1. 29 W rzeczywistosci Oak to zobaczymy w rozdz. 31.15 i zob. przyp. 26) jest jeszcze jeden parametr, kt6ry opisuje calkowity ladunek elektryczny (kt6ry jest wielkosciq zachowanq; zob. rozdz. 19.3). Jednak w przypadku realistycznych astrofizycznych czarnych dziur wielkose ta nie rna wielkiego wplywu na geometrit( czarnej dziury, zwlaszcza w por6wnaniu z mia, poniewaz czarne dziury wykazujq tendencjy neutralizacji swego ladunku elektrycznego. 30 Oczywiscie, tego "e" nie naleiy mylie z podstawq logarytm6w naturalnych e = 2,7182818285 ... ; zob. rozdz. 5.3. 25
RozdziaI27.11 Dowody z COBE znajdziemy w: Smoot et al. (1991); z WMAP w: Spergel (2003). 32 Ksiqzka Liddle (1999) stanowi znakomite wprowadzenie do kosmologii. Bardziej wyrafinowane podejscie przedstawia Wald (1984). 33 Zob. Bondi (1961); Rindler (2001); Dodelson (2003). 34 Pojawil sit( termin "model zgodnosciowy" (concordance model), opisujqcy sytuacjt( z K = 0 i A > 0, kt6ry uwzglt(dnia inflacjt(. Zob. Blanchard et al. (2003); Bahcall et al. (1999). Zob. rozdz. 28.10, gdzie przedstawiam obecny status tych poszukiwan. 35 Istnieje wreszcie dose osobliwa ewentualnose, ze racjy mieli staroiytni Grecy (rys. 1.1), czyli nasz WszechSwiat rna ksztalt dwunastoscianu foremnego (albo jakiejs odpowiednio posklejanej jego wersji). Zob. Luminet et al. (2003). 36 Termin hiperpowierzchnia oznacza (n -1 )-wymiarowq podrozmaitose n-rozmaitosci. W tym wypadku T, jest 3-powierzchniq przestrzennopodobnq. 37 Zob. Killing (1893); Wolf (1974). 31
703
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
RozdziaI27.12 Czasami s,! one nazywane "diagramami Penrose'a" albo "diagramami Cartera-Penrose'a", poniewaZ przedstawilem je w moim wyldadzie wygloszonym w Warszawie (1962). Systematyczn'! prezentacjy koncepcji scislego diagramu konforemnego wprowadzil Carter (1966). 39 Zob. Penrose (1964, 1965a); Carter (1966); Penrose, Rindler (1986), rozdz. 9. 40 Niekt6rzy teoretycy proponuj,! modele, w kt6rych Wielki Wybuch (a raczej Wielki Kres) sprowadza siy konforemnie (a wiyc przyczynowo) do punktu. Punkt taki jest okreslany jako "punkt Q "; zob. Tipler (1997). Nie znam zadnej analizy zgodnej z argumentami przedstawionymi w rozdz. 27, kt6ra wykazywalaby, ze takie modele S,! prawdopodobne z fizycznego punktu widzenia. 41 W przyp. 36 w tym rozdziale wyjasniam znaczenie terminu "hiperpowierzchnia". W tym przypadku konforemnym przedstawieniem Wielkiego Wybuchu jest hiperpowierzchnia 3-wymiarowa. (Mozemy to por6wnac z niekt6rymi innymi przedstawieniami; zob. Rindler 2001.) 38
42
RozdziaI27.13 Uwaza siy CZysto, ze zjawiskiem odpowiedzialnym za takie nieregularnosci S,! "fluktuacje kwantowe" w pocz'!tkowym rozkladzie gystosci materii Wielkiego Wybuchu. (Om6wimy to w rozdz. 30.14).
28 Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadiow rozwoju Wszechswiata 28.1 Poczqtkowe spontaniczne ztamanie symetrii
Do TEGO momentu nasze rozwazania opieraly siy mocno na uznanych teoriach fizycznych, w ktorych imponuj,!:ce dane obserwacyjne stanowily solidne wsparcie koncepcji teoretycznych, nawet tych na pozor najbardziej dziwnych i zaskakuj,!:cych. M6j spos6b przedstawiania niekt6rych z nich byl czasami dose daleki od zwykle przyjytego w literaturze, ale nie s,!:dzy, zeby moglo to bye powodem zasadniczych kontrowersji. W tym rozdziale zajmy siy nieco bardziej spekulatywnymi ideami, dotycz'!:cymi problem6w zwi'!:zanych ze szczeg6lnym charakterem Wielkiego Wybuchu. W szczeg6lnosci przedstawiy idee kosmologii inflacyjnej oraz niekt6re inne pomysly zwi
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
rna calkowitej symetrii opisuj,!cej go teorii dynamicznej. W szczegolnosci stanowi to kluczowy element elektroslabej cZysci modelu standardowego fizyki cz,!stek elementarnych. Co wiycej, koncepcja tego rodzaju, wprowadzaj,!ca rozne mozliwe "proznie", stanowi istotny skladnik teorii infiacyjnej, a pojycia spontanicznego lamania symetrii i "falszywych prozni" s,! powszechnie przywolywane przez teoretykow poszukuj,!cych jednolitej teorii zjawisk. Muszy zatem stwierdzic wyraznie, ze sarno spontaniczne lamanie symetrii nie jest bynajmniej ide'! spekulacyjn,!. Ma ona niew'!tpliwie powazny zwi'!zek z solidnie zbadanymi zjawiskami fizycznymi (swietnym przykladem jest tu zjawisko nadprzewodnictwa). Z cal,! pewnosci,! idea ta znajduje zastosowanie do opisu wielu dobrze rozumianych procesow; cZysto ten opis jest bardzo elegancki i w pelni satysfakcjonuj,!CY. Moje zastrzeZenia bior,! siy st,!d, ze ta znakomita koncepcja moze niekiedy sklaniac fizykow do wykorzystywania jej w sposob zbyt szeroki i, czasami, w nieodpowiednich okolicznosciach. Pojycie spontanicznego lamania symetrii przedstawia siy czysto na przykladzie zjawiska Jerromagnetyzmu. Wyobrazmy sobie zelazn'! kuly. Kula zbudowan a jest z atomow zelaza, z ktorych kazdy mozemy uwazac za malenki magnes. DZiyki sitom, jakie tam wystypuj,!, magnesy te maj,! sklonnosc do ustawiania siy rownolegle wzglydem s,!siadow, a wiyc przyjmuj,! tak,! sam,! orientacjy polnoc-poludnie. Jesli temperatura jest wystarczaj,!co wysoka, powyzej pewnej wartosci krytycznej, ktora w tym przypadku wynosi ok. 770°C (1043 K), ruchy cieplne atomow zelaza skutecznie przeciwstawiaj,! siy tej tendencji do uporz'!dkowania magnetycznego i kula jako calosc nie staje siy dUZym magnesem, poniewaz kierunki skladaj,!cych siy na ni,! malych magnesow s,! rozlozone przypadkowo. Gdy jednak temperatura stanie siy mniejsza od 770°C Uest to "punkt Curie"!']), wowczas atomom "oplaca" siy ustawic w jednym kierunku i, w idealnej sytuacji, zelazo zostanie namagnesowane 1• Wyobrazmy sobie, ze nasz kawalek zelaza zostal pocz'!tkowo ogrzany do temperatury powyzej 770°C (ale nie tak wysokiej, zeby zelazo zaczylo siy topic), a wiyc stanowi nienamagnesowan,! zelazn'! kuly. Zacznijmy teraz powoli obnizac temperatury zewnytrzn,! do wartosci ponizej 770°e. Co siy wtedy dzieje? Proces naturalny polega na tym, ze cialo poszukuje stanu 0 najniZszej energii, a wiyc energia drgan wewnytrznych jego atomow jest przekazywana ochladzaj,!cemu siy otoczeniu. Ze wzglydu na sity oddzialywan miydzy s,!siednimi atom ami uklad osi,!ga minimum energii wtedy, gdy wszystkie atomy uporz'!dkuj'! siy w jednym kierunku, kula zostanie namagnesowana, z okreslonym kierunkiem magnetyzacji polnoc-poludnie. Zaden z kierunkow nie jest jakos wyrozniony w porownaniu z innymi. To jest sytuacja, ktor'! okreslamy mianem degeneracji stanow 0 minimalnej energii (por. rozdz. 22.6). W pocz'!tkowym stanie nienamagnesowanego zelaza zaden z kierunkow nie byl uprzywilejowany, wobec czego kierunek, w jakim w efekcie ustawily siy magnetyczne atomy zelaza, pojawit siy [osowo. I to jest wlasnie przyklad
706
[*] W Polsce zwykle mowimy 0 "temperaturze Curie" (przyp. dum.).
Poczqtkowe spontaniczne zlamanie symetrii
28.1
spontanicznego zlamania symetrii: stan poczl!tkowy, calkowicie sferycznie symetryczny, przechodzi w stan 0 zdecydowanie mniejszej symetrii, a mianowicie symetrii obrotow wokol powstalej osi polnoc-poludnie wyznaczonej przez kierunek namagnesowania. Stan 0 symetrii opisywanej gruPl! SO(3) (stan poczl!tkowej, gorl!cej, nienamagnesowanej kuli) ewoluuje do stanu opisywanego symetril! SO(2) (zimna, namagnesowana kula; w rozdz. 13.1,2, 3, 8, 10 wyjasnione sl! znaczenia tych symboli). Dla zilustrowania tego rodzaju sytuacji mozemy siy posluZyc potencjaiem typu "kapelusz meksykanski" na rys. 28.1. "Kapelusz" przedstawia rodziny dozwolonych stanow ukladu (temperatury otoczenia uwazamy za obniZonl! do zera), a "wysokosc" poszczegolnych punktow odpowiada wartosciom energii. Okazuje siy, ze istnieje stan rownowagi (charakteryzujl!cy siy tyro, ze plaszczyzna styczna w tym punkcie jest plaszczyznl! pozioml!), reprezentowany przez szczyt kapelusza, ktory jest opisywany pelnl! poczl!tkowl! gruPl! symetrii, w tym wypadku jest to grupa obrotow wokol osi pionowej. (Jest to symetria obrotowa SO(2), stanowil!ca analogon grupy SO(3), ktora jest pelnl! gruPl! symetrii zelaznej kuli. Aby rysunek byl dostatecznie pogll!dowy, musielismy zrezygnowac z jednego wymiaru przestrzennego. Szczyt kapelusza odpowiada sytuacji zupelnego braku namagnesowania calej kuli.) Ta rownowaga - odpowiadajl!ca stanowi nienamagnesowanemu - nie reprezentuje jednak stanu 0 najnizszej z mozliwych wartosci energii. Minima te znajdujl! siy w cZysci poziomej - i jest to caly okrl!g - wewnl!trz zaglybienia kapelusza (rozne punkty tego okrygu odpowiadajl! roznym kierunkom calkowitego namagnesowania kuli). Przypuscmy, ze kulka, reprezentujl!ca stan fizyczny ukladu, zostala pOCZl!tkowo, ze wzglydu na wysokl! temperatury otoczenia, usadowiona na szczycie kapelusza. Jest to jednak polozenie niestabilne i niewielkie losowe zaburzenie spowoduje, ze kulka bydzie siy staczac i ostatecznie osil!dzie na dnie zaglybienia. KaZdy punkt tego zaglybienia odpowiada innemu kierunkowi magnetyzacji, jaki moze wykazywac zelazna kula. Polozenie kulki przedstawia ostateczny stan ukladu, ale
Rys. 28.1. Spontaniczne lamanie symetrii w przypadku potencjalu typu "kapelusz meksykanski" opisuji!cego dozwolone stany energetyczne ukladu. Wysokosc przedstawia wartosci energii. Stan ukladu reprezentuje kulka zsuwaji!ca si« po powierzchni. Gdy temperatura otoczenia jest dostatecznie wysoka (punkt Curie), stan r6wnowagi ukladu przedstawia kulka leZi!ca na szczycie kapelusza i uklad charakteryzuje si« wtedy pelni! symetrii! obrotowi! - na tym uproszczonym rysunku jest to symetria SO(2). Gdy zas temperatura obniza si«, kulka zsuwa si« w d61, uzyskuji!c r6wnowag« w zagl«bieniu kapelusza i traqc pelni! symetri« obrotoWi!.
707
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
ze wzglydu na degeneracjy obrotowq wszystkie polozenia S,! rownie dobre i zadne nie jest wyroznione. Wszystkie Sq rownie dobrymi stanami rownowagi. Wybor jednego z nich jest calkowicie przypadkowy, ale z chwilq gdy zostanie dokonany symetria zostaje zlamana w jakims przypadkowo wybranym kierunku. Zjawisko tego rodzaju, w ktorym obnizenie temperatury otoczenia powoduje gwaltownq ogolnq zmiany charakteru stabilnego stanu rownowagi badanego materialu, nosi nazwy przejscia Jazowego. W rozpatrywanym przez nas przypadku zelaznej kuli przejscie fazowe pojawia siy, gdy kula przechodzi ze stanu nienamagnesowanego (a wiyc w temperaturze powyzej 770°C) do stanu namagnesowanego jednorodnie (w temperaturze ponizej 770°C). Bardziej znanymi przykladami przejsc fazowych Sq takie zjawiska jak krzepniycie (gdy cialo przy obnizaniu temperatury przechodzi ze stanu cieklego w stan staly) oraz zjawisko odwrotne - parowanie (gdy uklad wraz ze wzrostem temperatury przechodzi ze stanu cieklego w stan gazowy). Przejsciu fazowemu zwiqzanemu z obnizaniem temperatury towarzyszy na ogol obniZenie symetrii, ale to nie jest istotne. W procesach KTP przejscie fazowe oznaczaloby nowy wybor stanu prozni (podobnie jak stan Ie) w rozdz. 26.11), czyli wyobrazamy sobie, ze stan "tuneluje,,2 z jednego stanu prozni do innego. Taki opis naleZy jednak traktowac jako przyblizenie, poniewaz, scisle mowi,!c, nie istnieje (unitarny) proces kwantowomechaniczny, ktory umozliwialby ewolucjy stanu z jednego sektora do innego (przez slowo "sektor" rozumiemy tutaj stany, jakie mozemy skonstruowac, wychodzqc z konkretnie wybranego stanu prozni Ie), a zatem rozne sektory nalezq do roznych przestrzeni Hilberta; zob. rozdz. 26.5,11). W tym ujyciu uklad rozpatruje siy jako nieskonczony, podczas gdy w rzeczywistosci mamy do czynienia z ukladem skonczonym, ale, jak tego dowodzi praktyka, jest to dobre przyblizenie. W ten sposob na przyklad opisujemy znane zjawisko nadprzewodnictwa (podczas ktorego w dostatecznie niskiej temperaturze opor elektryczny przewodnika maleje do zera). Nadprzewodnictwo jest przykladem przejscia fazowego, towarzyszy mu redukcja symetrii, ktora oznacza zlamanie normalnej symetrii U(I) zjawisk elektromagnetycznych. W konkretnym przykladzie przedstawionym na rys. 28.1 symetria zostaje zlamana od symetrii grupy obrotow osiowych SO(2) do grupy trywialnej ("SO(1 )"), ktora zawiera tylko jeden element (a zatem w tym przykladzie symetria zostaje zlamana calkowicie i kulka ostatecznie znajduje polozenie minimalnej energii pozbawione jakiejkolwiek symetrii)3. Wyzej wymiarowa wersja "kapelusza" obrazuje spontaniczne lamanie symetrii od symetrii opisywanej grupq SO(P) do grupy SO(p - 1), gdzie p > 1[28.1]. (Nasza kula zelaza ilustruje przypadek z p = 3.) Obrazu "kapelusza meksykanskiego" mozemy uZyc rowniez do ilustracji lamania symetrii U(2) do symetrii U(I), co zachodzi w modelu standardowym fizyki cZqstek ~ [28.1] Pokaz, ze "kapelusz" 0 ksztalcie E = (x~ + ... + x
708
••
symetrn.
2 p
-
1)2 wykazuje takie lamanie
Kosmiczne defekty topologiczne
28.2
elementarnych[Z8.Z1, uwaza siy bowiem, ze symetria oddzialywan elektroslabych w temperaturze okolo 10 16 K zostaje ziamana do symetrii oddzialywan elektromagnetycznych U(l). Przypuszczamy, ze nast
28.2 Kosmiczne defekty topologiczne Musimy jednak miec na uwadze, ze to zlamanie symetrii na ogol nie dokonuje siy natychmiast i w calym materiale, ale jest calkiem prawdopodobne, iz pojawi
Rys. 28.2. W idealnym przypadku, gdy ferromagnetyk jest powoli ochladzany ponizej punktu Curie, wektory magnetyzacji wszystkich jego atom6w powinny ustawic sit; w tym samym (dowolnym) kierunku. W praktyce jednak (albo gdy ochladzanie nastt;puje zbyt szybko) otrzymujemy mozaik« rozmaitych kierunk6w magnetyzacji.
tm
[28.2] Udowodnij to, przyjmujqc, ze U(2) dziala na ([:2, ze wsp61rz ydnymi zespolonymi (w, z), a "kapelusz" jest zadany r6wnaniem E = (lwl 2+ IzI2 -If Czy dostrzegasz geometri y tej redukcji symetrii w konfiguracji r6wnoleglych Clifforda na S3, co zostalo om6wione w rozdz. 15.4 i zilustrowane na rys. 15.8 i 33.15?
709
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
S,! jednak problemy powazniejsze i bardziej interesuj,!ce. Przede wszystkim zagadnienie defektow topologicznych, kt6rych nie mozna usun'!e za pomoc,! ci,!glego manewrowania kierunkami magnetyzacji wewn'!trz kuli. Takim defektem jest "monopol magnetyczny Diraca" (a wit(c odizolowany magnetyczny biegun p61nocny alba poludniowy). Monopolu nie mozna utworzye w zwyklej przestrzeni za pomoc,! jakiegos zbioru magnes6w i pr,!d6w[28.31• Inaczej byloby, gdybysmy potrafili "wypompowae" w jakis spos6b moment magnetyczny wzdluz "drutu Diraca", jak to pokazuje rys. 28.3. Jesli dopuscimy wystt(powanie ladunk6w magnetycznych w teorii Maxwella (rozdz. 19.2), w6wczas "drut" pojawi sit( tylko w potencjale A i moze bye wyeliminowany przez zastosowanie odpowiedniej procedury "wi'!zkowej" (rozdz. 15.4). Podobny problem monopolu pojawi sit( takZe w odpowiednich nieabelowych teoriach cechowania. Komplikacje w procesie spontanicznego lamania symetrii, kt6re czt(sciowo opisalismy na "przyziemnym" przykladzie kuli zelaza, maj,! znaczenie takZe na bardziej ezoterycznym poziomie podstawowych teorii fizycznych (takichjak teoria oddzialywan elektroslabych lub TWU), kt6re w spos6b fundamentalny zwi,!zane S,! z ide'! spontanicznego lamania symetrii. Jesli bowiem takie spontaniczne zla-
Rys. 28.3. Monopol magnetyczny moglby sit( pojawic, gdybysmy w jakis sposob potrafili "wypompowac" nadmiar "bieguna poludniowego" w srodku sfery wzdluz "drutu magnetycznego". Jesli w teorii Maxwella wprowadzimy zrodla magnetyczne, wowczas mozna by wytworzyc taki biegun w srodku, a "drut Diraca" moglby sit( pojawic tylko jako "blysk" w potencjaleA. "Blysk" taki mozna by usunljc, stosujljC odpowiednilj procedurt( "wiljzkowlj" (monopole tego rodzaju pojawiajlj sit( w roznych nieabelowych teoriach cechowania).
71 a
~ [28.3] Udowodnij to, odwoluj'tc siC;! do wyrazen calkowych z rozdz. 19.
Kosmiczne defekty topologiczne
28.2
manie symetrii nast,!pilo we wczesnym stadium rozwoju WszechSwiata, to mozemy spodziewac siy wystypowania podobnych defektow topologicznych na wielk,! (kosmiczn,!) skaly. W ogolnym przypadku (dla przestrzeni 3-wymiarowej) podstawowe typy defektow topologicznych dziel,! siy na trzy grupy, w zalei:nosci od wymiaru zajmowanych przez nie obszarow. S,! to wiyc monopole kosmiczne (przestrzennie O-wymiarowe), struny kosmiczne (przestrzennie l-wymiarowe) i scianki domenowe (przestrzennie 2-wymiarowe). Wymiary defektow zalez'! od aspektow topologicznych zwi,!zanych z konkretnymi grupami symetrii. Istotn,! cech,! defektow topologicznych jest to, ze zadne ci,!gle manipulowanie "kierunkiem" lamania symetrii nie jest w stanie ich usun'!c (przy czym uWaZamy, ze w miejscu wystypowania defektu kierunek lamania symetrii nie jest dobrze okreslony, natomiast gdzie indziej ten kierunek moze siy zmieniac w sposob ci,!gly). Nalei:y rowniei: pamiytac, ze mowi,!c 0 "kierunku", nie mamy na mysli jakiegos kierunku w zwyklej przestrzeni, ale rozwazamy abstrakcyjne pojycie, odpowiednie dla rozwazanego modelu fizycznego (np. w teorii oddzialywan elektroslabych mamy na mysli stopien zmieszania elektronow i neutrin). Rozpatruj'!c zagadnienie od strony geometrycznej, powinnismy rozwazac problem w terminach wi,!zki wektorowej nad czasoprzestrzeni'! (zob. rozdz. 15 dla przypomnienia tych pojyc). Topologia rna tutaj znaczenie, a defekty topologiczne stanowi,! powazny problem, ktorego nie mozna zignorowac, jesli spontaniczne lamanie symetrii mamy traktowac powaznie, jako istotn,! CZySC teorii. Rzeczywiscie, struny kosmiczne na gigantyczn,! (nawet wiyksz,! niz galaktyczna) skaly s,! rozwazane jako istotny czynnik indukuj,!CY niejednorodnosci w gazie protogalaktycznym, ktore doprowadzily do powstania galaktyk6. Pole grawitacyjne takiej struny kosmicznej mozemy uwazac za wytworzone za pomoc,! procedury "ciycia i sklejania" zastosowanej do czasoprzestrzeni Minkowskiego. Posluguj,!c siy terminami przestrzennymi (zob. rys. 28.4), mozemy sobie wyobrazic pewien "fragment" wyciyty z 3-przestrzeni, ograniczony par,! polplaszczyzn, tworz'!cych k,!t a, ktorego brzegiem jest sarna struna. Aby uzyskac geometriy struny kosmicznej, powierzchnie tych plaszczyzn nalei:y na powrot skleic. (W proponowanych modelach wartosc tego k,!ta wynosi okofo 10-<;.)
Rys. 28.4. Pole grawitacyjne struny kosmicznej mo-
iemy przedstawic za pomoq procedury "cicrcia i sklejania" zastosowanej do 4-przestrzeni Minkowskiego. W 3-przestrzeni odpowiada to wycicrciu fragmentu ograniczonego dwiema p6lplaszczyznami przecinajl!cymi sicr wzdlui struny pod kl!tem a. Nastcrpnie powierzchnie tych p6lplaszczyzn naleiy skleic.
711
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
712
Czytelnik rna prawo uwazae, ze zastosowano nadzwyczajne procedury do otrzymania czegos tak "pospolitego" jak zwykla galaktyka, jednak wcillz mamy do czynienia z teoretycznymi zagadkami dotyczllcymi formowania siy galaktyk i takie egzotyczne idee nie powinny bye od razu odrzucone, niezaleznie od ich dziwacznego charakteru. I rzeczywiscie, najbardziej prawdopodobny model tworzenia siy galaktyk - za ktorym stoi solidna baza obserwacyjna - zaklada, ze zostaly one "zasiane" przez supermasywne czarne dziury znajdujllce siy w ich centrach7 • A przeciez czarne dziury nie nalezll obecnie do jakiejs fizyki egzotycznej, lecz jak najbardziej konwencjonalnej! Wiykszose tych sugerowanych defektow topologicznych pojawia siy w teoriach (takich jak rozne propozycje TWU), ktore nie majll znaczllcego i jednoznacznego wsparcia obserwacyjnego. Teoria oddzialywan elektroslabych jest zas bardzo dobrze potwierdzona obserwacyjnie, musimy wiyc powaznie traktowae implikacje, ktore z niej wynikajll dla procesow, jakie zachodzily we wczesnych fazach Wszechswiata. Monopole kosmiczne, pojawiajllce siy w wyniku spontanicznego lamania symetrii oddzialywan elektroslabych, sll topologicznie mozliwe, aczkolwiek nie s,! konieczne. Moglyby powstae w procesie spontanicznego lamania symetrii U(2) do symetrii U(l), ale tylko wtedy, gdyby tzw. monopole cechowania wystypowaly jui: w fazie 0 niezlamanej symetrii U(2), a wiyc wcze§niej nii 10-12 sekundy. Takie monopole moglyby bye wynikiem wczesniejszego zlamania wiykszej symetrii TWU. Mimo to koncepcje tego rodzaju nie s,! niezbydnym element em teorii oddzialywan elektroslabychB. Monopole cechowania stanowi,!, w teoriach typu Yanga-Millsa (cechowanie nieabelowe), analogiy "monopoli magnetycznych", ktore proponowal Dirac (w 1931 roku), w kontekscie teorii elektromagnetyzmu (cechowanie abelowe). Za pomoq niezwykle pomyslowej argumentacji Dirac pokazal, ze nawet gdyby jakis pojedynczy monopol magnetyczny (oddzielny biegun polnocny lub poludniowy magnesu) istnial w Przyrodzie, wowczas wszystkie ladunki elektryczne musialyby bye calkowitymi wielokrotnosciami pewnej szczegolnej wartosci, ktora bylaby odwrotnie proporcjonalna do sily magnetycznego monopolu. Istotnie, obecne dane obserwacyjne zdecydowanie wykazuj,!, ze wszystkie ladunki elektryczne s,! calkowitymi wielokrotnosciami pewnej szczegolnej wartosci (powiedzmy: ladunku elektrycznego antykwarka d, ktora stanowi jedn,! trzeci,! ladunku protonu; zob. rozdz. 3.5 i 25.6). Niektorzy byliby sklonni traktowae to jako posredni dowod rzeczywistego istnienia monopoli magnetycznych. Niemniej jednak, jesli istnienie takich monopoli nie rna bye w powaznym konflikcie z obserwacjami, to ich wystypowanie musi bye nadzwyczaj rzadkie 9 • (W przeciwnym wypadku ich istnienie prowadziloby do "zwarcia" kosmicznych pol magnetycznych, podczas gdy pola takie obserwujemy w calym WszechSwiecie.) Podobnie jest z monopolami w teorii Yanga-Millsa: ich wystypowanie byloby bardzo trudno wytlumaczye na podstawie obecnych danych obserwacyjnych. A to, jak niebawem zobaczymy, rna wielkie znaczenie dla rozwoju kosmologii!
Klopoty Z poczqtkowym zlamaniem symetrii
28.3
28.3 Klopoty z poczcttkowym zlamaniem symetrii
Zanim do tego przejdziemy, wypada raz jeszcze rozwaZyc lamanie symetrii w teorii oddzialywan elektroslabych, 0 ktorym s,!dzimy, ze dokonalo sit( okolo 10-12 sekundy pO Wielkim Wybuchu. Czy rzeczywiscie musimy przyj,!c, ze jest to zjawisko fizyczne, czy moze jedynie artefakt szczegolnego sposobu, w jaki teoria ta jest konstruowana? 0 ile wiem, wit(kszosc specjalistow sklonna jest uwazac taki proces za odpowiadaj,!CY rzeczywistosci. Muszt( wit(c w tym miejscu ostrzec czytelnika, ze moje stanowisko w tej sprawie jest dalece niekonwencjonalne. Pomimo tego przejdZmy dalej i rozwazmy niektore z trudnosci, jakie kryj,! sit( w idei spontanicznego lamania symetrii. Zalozmy wit(c, przeciwnie do moich wlasnych pogl,!dow na tt( sprawt(, ze byl taki okres we wczesnej historii WszechSwiata - wczesniejszy niz okolo 1O~12 sekundy po Wielkim Wybuchu - gdy we WszechSwiecie panowala dokladna symetria U(2), a wszystkie leptony i kwarki byly bezmasowe, elektrony "zyg" i neutrina byty wzglt(dem siebie symetryczne i bozony W i Z oraz fotony mozna bylo odpowiednio "obracac", tworz'!c ich kombinacje zgodnie z symetri,! U(2) (zob. rozdz. 25.5). Wowczas, po okolo 1O~12 sekundy, w calym Wszechswiecie temperatura spadla tuz ponizej wartosci krytycznej. W tym momencie dokonany zostallosowo wybor mit(dzy roznymi mozliwosciami (W~, W+, zo, y) z calej rozmaitosci g mozliwych bozonow cechowania odpowiadaj,!cej symetrii U(2). Oczywiscie, nie oczekujemy, ze przebiegalo to dokladnie jednoczesnie i jednorodnie w calym Wszechswiecie. Przypuszczamy raczej, podobnie jak w przypadku do men magnetycznych w kuli zelaznej na rys. 28.2, ze w roznych obszarach dokonaly sit( rozne wybory. W tym miejscu musimy zdac sobie sprawt( z tego, co w tym kontekscie rozumiemy przez okreslenia "takie same" i "rozne". Zanim nast,!pi zlamanie symetrii, przestrzen g mozliwych bozonow cechowania w kazdym punkcie czasoprzestrzeni jest calkowicie symetryczna. Zgodnie z koncepcj,! wi,!zki, nie istnieje jakis szczegolny sposob, ktory by pozwolil na dokonanie identyfikacji mit(dzy g w jednym punkcie oraz g w jakims zupelnie innym punkcie. W takim razie nie mamy apriorycznej reguly pozwalaj,!cej zdecydowac, ktory element gw jednym punkcie mozemy uznac za "taki sam" co jakis inny element gw innym punkcie. Wydaje sit( wit(c, ze mozemy przyj,!c, iz wolno nam zdefiniowac pojt(cie "takie sarno", jako to, ktore wybiera proces spontanicznego lamania symetrii. Z takiego punktu widzenia bozony (W~, W+, Zo, y), ktore zostaly "zamrozone" w jednym punkcie, mog,! smialo byc zidentyfikowane z bozonami (W~, W+, Zo, y) w dowolnym innym punkcie, a zatern nie pojawia sit( tutaj "niespojnosc" mit(dzy efektami lamania symetrii w roznych punktach przestrzeni, ktora wystt(powala w przypadku roznych domen magnetycznych w kuli zelaza przedstawionej na rys. 28.2. Takie stanowisko ktoci sit( jednak z cal,! ideologi,! teorii cechowania, zgodnie z ktor'! nie tylko przestrzenie g stanowi,! wlokna wi,!zki wloknistej B", ktorej przestrzeni,! bazow'! jest czasoprzestrzen M, lecz takZe rozwazana teoria cechowania - w tym wypadku niezlamana teoria oddzialywan elektroslabych - jest zdefinio-
713
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
wana w terminach koneksji na tej wi4Zce (rozdz. 15.7, 8). Koneksja ta definiuje lokalne identyfikacje (paralelizm) mil(dzy poszczeg61nymi przestrzeniami g, gdy przesuwamy sil( wzdluz dowolnej krzywej w MlO. W og6lnym przypadku, kiedy poruszamy sil( wok61 zamknil(tych pl(tli, identyfikacja nie jest globalnie sp6jna (ze wzgll(du na krzywiznl( w koneksji, co wskazuje na obecnosc nietrywialnego pol a cechowania - zob. rozdz. 15.8). W kazdym razie skutkiem przypadkowosci, zwi,!zanej z lamaniem symetrii w r6znych punktach, bl(dzie fakt, ze lokalny paralelizm mil(dzy przestrzeniami g nie bl(dzie na og61 sp6jny z realizacjami spontanicznego lamania symetrii, a zatem obraz przedstawiony na rys. 28.2 nie jest tak bardzo nierozs,!dn,! analogi,!. Mozemy sobie wyobrazic, ze podobnie jak w przypadku powoli ochladzanej kuli zelaza te niesp6jnosci po dostatecznie dlugim czasie "wygladz,! sil(", przy czym zakladamy, ze nie wystl(puj,! zadne defekty topologiczne (takie jak na rysunkach 28.3 i 28.4). W'!tpliwosc, kt6r'! chcialbym w tym miejscu przedstawic, to pytanie, czy w razie spontanicznego zlamania symetrii oddzialywan elektroslabych tego czasu kiedykolwiek bl(dzie "dostatecznie duzo". Trudnosc ta wi
r
~
(a)
~.~ Wielki Wybuch
(b) Wielki Wybuch --''--_ _ _-'''~_''''''"'~........;..._..l>.._ _ _ _~
714
Rys. 28.5. Schematyczny diagram konforemny ilustrnjllCY zwillzki przyczynowosci we wczesnych stadiach WszechSwiata. (a) Obserwator w punkcie p widzi kwazary w punktach q i r. J deli linia kropkowana reprezentuje 3-powierzchniy L w czasie 10-11 sekundy, wzdlui: ktorej wczesniejsza dokladna symetria U(2) oddzialywan elektroslabych (wi¥llca ze sobll foton y z bozonami W i Z) zostaje zlamana, wowczas ten szczegolny, "zamrozony" wybor y w q jest prawie na pewno inny od wyborn w r, a przeciycia stozkow przeszlosci q i r z L Sll roz1llczne. Informacja 0 identycznosci!odmiennosci wyborow y nie moze zostac przekazana, jesli nie dotrze do p. Podobnie gdy L przedstawia odseparowanie, w czasie 1013 sekund, nie moze nastllpic wyrownanie temperatur w u i v, jesli ich stozki przeszlosci sll roz1llczne. (b) Inflacyjne "rozwiqzanie" problemu horyzontu zdarzen polega na przesuniyciu Wielkiego Wybuchu w strony przeszlosci tak, ze stozki przeszlosci q i r przecinajll siy, zanim dotrll do 3-powierzchni Wie1kiego Wybuchu. Nie rozwiqzuje to jednak problemu, poniewa:i: przeciycie ich przeszlosci nastypuje wczesniej niz "zamrazanie" w chwili ok. 10-11 sekundy.
Klopoty z pocz~tkowym zlamaniem symetrii
28.3
miydzy nimi nie jest mozliwe. Skoro nie mog,! siy ze sob,! komunikowac, nie byly w stanie "uzgodnic" efektow zlamania symetrii, aby te byly spojne w omawianym sensie. Wkrotce zajmiemy siy "scenariuszem inflacyjnym", ktory przesuwa w tyl liniy Wielkiego Wybuchu na diagramie konforemnym na tyle, zeby komunikacja miydzy q a r byla mozliwa. To jednak nie pomoze nam w rozwi,!zaniu problemu, poniewaZ roly Wielkiego Wybuchu odgrywa teraz 3-powierzchnia L, na ktorej 10sowo zachodzi lamanie symetrii oddzialywan elektroslabych, i nie poprawia to omawianych relacji przyczynowosci. Teraz linie qp i rp s,! liniami zerowymi, wobec czego tylko foton moze wydrowac od q do p lub od r do p, natomiast bozony W lub Z nie mog,!, gdyz foton jest jedyn,! cz'!stk'! bezmasow'! w rodzinie bozonow cechowania. W takim razie wzdluz tych dwu linii zerowych musimy miec spojne wyobrazenie 0 tym, czym jest foton. Pojycie "fotonu" w q moze bye zupelnie niespojne (w rozwaZanym przez nas sensie) z pojyciem "fotonu" w r, poniewaZ kazdy z nich zostal "wybrany" losowo, bez zwi,!zku przyczynowego i bez czasu na skomunikowanie siy miydzy nimi 12 • Czy te "roznice" rodzajow fotonow, zanim dotr,! do obserwatora w p, "wygladz'! siy" na tyle, zeby mial on szansy rozeznae siy w tym pomieszaniu W-Z-y? Nie wiem, w jaki sposob mogloby siy to dokonac bez wyjscia poza bezposredni zerowy (tzn. swietlny) sposob komunikowania siy miydzy q a p oraz rap. Jest to niewykonalne dopoty, dopoki odlegle obiekty kosmiczne obserwujemy za pomoc,! teleskopow optycznych. Wydaje mi siy, ze na tym pol ega niebezpieczenstwo popadniycia w powazny konflikt z danymi obserwacyjnymi i nie zauwai:ylem, jak dot,!d, zeby sprawa ta byla przedmiotem dyskusji w literaturze fachowej. Przypuszczam, ze niektorzy czytelnicy dojd,! do przekonania, iz proponujy zignorowac caly, niezwykle imponuj,!CY dorobek obserwacyjny wspieraj,!CY teoriy oddzialywan elektroslabych. Absolutnie nie mam takiego zamiaru i wskazujy tylko na klopoty zwi¥ane z interpretacj'! zjawisk, 0 ktorych informacje docieraj,! do nas z kosmicznych odleglosci. W zadnym wypadku nie sugerujy, ze powinnismy odrzucie cal,! kunsztown'! konstrukcjy teorii oddzialywan elektroslabych, proponujy jedynie zajycie inn ego stanowiska w odniesieniu do lamania symetrii V(2), ktora je opisuje. Moim zdaniem Przyroda jeszcze nie wyjawila nam prawdziwego schematu fizyki cz'!stek elementarnych. Schemat taki powinien bye matematycznie spojny, natomiast nie moze charakteryzowae siy okropn,! manier,! dzisiejszej kwantowej teorii pol a, ktora na sensownie postawione pytania serwuje jedynie odpowiedz ,,00". Dzisiaj nie potrafimy przewidziec, w jaki sposob ta (wci,!z nieznana) "poprawna" teoria dostarczy skonczonych odpowiedzi. Musimy wiyc uciekac siy do wielu "trikow", stanowi,!cych kombinacjy szczysliwych przypadkow i nadzwyczajnej ludzkiej pomyslowosci, aby uzyskac odpowiedzi zarowno skonczone, jak i zgodne z wynikami obserwacji. N a obecnym etapie naszego rozumienia z cal,! pewnosci,! potrzebujemy teorii oddzialywan elektroslabych i elektromagnetycznych, ktore bylyby renormalizowalne. Idea zlamanej, nieabelowej symetrii cechowania nie tylko otwiera drogy do otrzymania takiej zrenormalizowanej teorii, ale ograniczenia,
715
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
ktore przy tym narzuca, doprowadzily nas w poblize glt(bokich prawd na temat sposobu, w jaki te oddzialywania skladaj,! sit( na obraz wit(kszej calosci. Ale nie widzt( powodu, aby spontaniczne lamanie symetrii musialo bye prawdziw,! metod'!, ktor'! posluguje sit( Przyroda, konstruuj,!c mozaikt( cz,!stek elementarnych. I rzeczywiscie, istniej,! inne metody, na podstawie ktorych mozemy zrozumiee, dlaczego wymogi renormalizowalnosci zapewniaj,! niezbt(dne relacje mit(dzy parametrami teorii oddzialywan elektroslabychl3. Prowadzi nas to do postawienia zasadniczego pytania (do kwestii tej powroCt( w rozdz. 34.8): czy pojt(cie symetrii, tak powszechnie wykorzystywane w naszych wysilkach przeniknit(cia sekretow Przyrody, istotnie odgrywa tak fundamentaln,! rolt(, jak,! jesteSmy sklonni mu przypisywae. Zupelnie nie rozumiem, dlaczego tak zawsze musi bye. Nie jestem bynajmniej przekonany, ze podstawowy schemat fizyki cz,!stek elementarnych oparty na jakiejs wielkiej grupie symetrii (co stanowi czt(sc filozofii TWU) daje nam rzeczywiscie "prosty" ksztalt fundamentalnej teorii fizycznej. Moim zdaniem wit(ksze grupy symetrii komplikuj,! obraz bardziej, niz upraszczaj'!. Jest calkiem mozliwe, ze w prawach Przyrody tkwi,! wlasnie fund amentalne asymetrie, a dostrzegane przez nas symetrie S,! czt(sto jedynie przyblizonymi charakterystykami, ktore nie sit(gaj,! najglt(bszych fundamentow zjawisk. Zagadnieniami tymi zajmt( sit( raz jeszcze w rozdz. 34.8.
28.4 Kosmologia inflacyjna
716
Powroemy teraz do kwestii monopoli kosmicznych, ktorych rozpowszechnienie jest elementem niektorych TWU. Klopot z monopolami polega na tym, ze nie rna zadnych obserwacji wskazuj'!cych na ich istnienie. Co gorsza, S,! scisle obserwacyjne ograniczenia dotycz'!ce mozliwosci ich rozpowszechnienia i limity te lez,! znacznie ponizej poziomu przewidywanego przez TWU. lednak w 1981 roku Alan Guth zglosil "szalony" pomysl (wczesniej, niezaleznie, podobne koncepcje wysuwali Aleksiej Starobinski i Katsuoko Sato ), ze jesli WszechSwiat po okresie produkcji monopoli (aczkolwiek przed zlamaniem symetrii oddzialywan elektroslabych, w czasie 10-12 s) mial sit( rozszerzae 0 czynnik, powiedzmy 1030 , a nawet 1060 i wit(kszy, wowczas te niepoz,!dane monopole bylyby dzisiaj tak'! rzadkosci,!, iz latwo umykalyby naszym obserwacjom. Bardzo szybko zdano sobie sprawt(, ze ten "okres inflacyjny" gwaltownej wykladniczej ekspansji moglby posluZyc do wyjasnienia kwestii zwi'!Zanych z jednorodnosci,! WszechSwiata. Jak to podkreslalismy w rozdz. 27, WszechSwiat jest rzeczywiscie nadzwyczaj jednorodny i nieomal plaski przestrzennie w ogrornnej skali, a fakt ten stanowi prawdziw,! zagadkt( dla kosmologow. Na przyklad temperatura wczesnego Wszechswiata winna bye prawie idealnie taka sarna (z dokladnosci,! jak jeden do 105), niezaleznie od kierunku. Taka sytuacja moglaby byc wynikiem procesu "termalizacji" w bardzo wczesnym stadium ewolucji WszechSwiata, ale tylko wtedy, gdyby rozne jego cZt(sci "komunikowaly sit(" ze sob'!. (Przypomnij-
Kosmologia inflacyjna
28.4
my sobie, w jaki sposob drugie prawo termodynamiki prowadzi do wyrownania temperatury gazu w roznych miejscach, co jest cZysci
Rys. 28.6. Jednym z powod6w wprowadzenia koncepcji inflacji jest oczekiwanie, ie ekspansja wykladnicza rZydu 1050 (w czasie, powiedzmy, miydzy 10-35 s a 10-32 s) mogla doprowadzic do "wygladzenia" stanu pocz'ltkowego, daj'lc w efekcie zasadniczo jednorodny, plaski przestrzennie WszechSwiat poinflacyjny.
717
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
kosmologii. Co prawda, bez wzglt(du na to, czy obserwowainy WszechSwiat jest, srednio bior(!c, rzeczywiscie przestrzennie plaski, z cal(! pewnosci(! jest bardzo bliski takiego ksztaltu i fakt ten stanowil kolejn(! zagadkt( kosmologow, okresIan(! jako problem plaskosci. Na pierwszy rzut oka nie widae, jaki moze bye zwi(!zek ekspansji inflacyjnej z przesunit(ciem do tylu 3-powierzchni Wielkiego Wybuchu na diagramie konforemnym (rys. 28.5). Warto wit(c przeanalizowae konkretny model kosmologiczny, na ktorym opiera sit( koncepcja "fazy inflacyjnej". Jest to "wersja stacjonarna" przestrzeni de Sittera. Matematycznie najprosciej bt(dzie opisae przestrzen de Sittera w ten sposob, ze jest to 4-sfera lorentzowska (z sygnatur(! + - - -) w 5-przestrzeni Minkowskiego (z sygnatur(! + - - - -). Taki opis jest w zgodzie z ide(! geometrycznego "odwrocenia sygnatury" przedstawion(! w rozdz. 18.4, ale geometryczny obraz bt(dzie jasniejszy, jesli wyobrazimy sobie przestrzen de Sittera jako hiperboIoidt(, jak na rys. 28.7. W tym miejscu warto wspomniee 0 innym modelu, nazywanym przestrzeni(! anty-de Sittera, ktora jest 4-sfer(! lorentzowsk(! w 5-przestrzeni pseudo-Minkowskiego 0 sygnaturze + + - - - (rys. 28.8)lz8.41• Zwroemy uwagt(, ze przestrzen anty-de Sittera nie jest bardzo sensownym przykladem czasoprzestrzeni z fizycznego punktu widzenia, poniewaz zawiera (naruszaj(!ce zasadt( przyczynowosci) zamkni~te krzywe czasopodobne (np. okr(!g w plaszczyznie rozpit(tej przez osie t i w); zob. rozdz. 17.9 i rys. 17.18. Czasami termin "przestrzen anty-de Sittera" odnosi sit( do "rozwinit(tej" wersji, w ktorej kazdy okr(!g w plaszczyznie ustalonych wartosci (x, y, z) zostaje "rozwinit(ty" do linii prostej i cal a przestrzen staje sit( jednospojna (rozdz. 12.1). Scisly diagram konforemny dla przestrzeni de Sittera przedstawilem na rys. 28.9a. Czt(sc diagramu reprezentuje model stacjonarny; kreskowana linia graniczna wskazuje cit(cie. Rys. 28.9b przedstawia diagram dla w pelni
Rys. 28.7. Czasoprzestrzen de Sittera (przedstawiona jako hiperboloida, przy czym skompresowano dwa wymiary przestrzenne) jest ,,4-sferq" Lorentza (0 urojonym promieniu, z sygnaturq metryki + - - -) w 5-przestrzeni Minkowskiego (z metrykq ds 2 = dt 2- dw 2- ctr - di - dz2). Aby uzyskac model stacjonarny, "tniemy" hiperboloid y na pol, wzdluz t = w; ustalony czas daje stala dodatnia wartosc t - w.
718
JlI [28.4] Wypisz explicite rownania dla 4-przestrzeni de Sittera i anty-de Sittera w 5-przestrzeni podstawowej, uZywajC!c wspolrz<,:dnych t, w, x, y, z wskazanych na rys. 28.7 i 28.8. Znajdz takie wspolrz<,:dne "polowy" przestrzeni de Sittera, aby jej metryka wewn<,:trzna przyj<,:la postac "stanu stacjonarnego" podanC! w dalszej cz<,:sci tego rozdzialu.
Kosmologia inflacyjna
28.4
Rys. 28.8. Czasoprzestrzen anty-de Sittera (przedstawiona jako hiperboloida ze skompresowanymi dwoma wymiarami przestrzennymi) jest ,,4-sferll" Lorentza (0 dodatnim promieniu, z sygnaturll metryki + - - -) w 5-przestrzeni pseudo-Minkowskiego (z metrykll ds 2 = dr + dw 2 - dx 2 _ - dl- ctz2). Pojawiajll siy tutaj zamkniyte ezasopodobne krzywe, ale mozna je usunllc przez nieskonezone "rozwiniyeie" w plaszezyinie (t, w).
,I
.."
I
I
I
~...
~
I .
I
la)
Ib)
Ie)
Id)
Rys. 28.9. Seisle diagramy konforemne (z konwenejlljak na rys. 27.16a) dla: (a) przestrzeni de Sittera, gdzie obszar powyzej linii kropkowanej oznaeza model stanu staejonamego; (b) przestrzeni anty-de Sittera (wersja ealkowieie rozwiniyta, bez naruszenia przyezynowosei); (c) przestrzeni anty-de Sittera w postaei "hiperboloidy" naruszajlleej zasady przyezynowosei, ktarej brzegi gamy i dolny naleiy utozsamic. (d) To sarno co (c), ale z dokonanll identyfikaejll, wobee ezego diagram wygillda jak walee.
rozwiniytej wersji przestrzeni anty -de Sittera, bez naruszenia zasady przyczynowosci. Rys. 28.9c reprezentuje przestrzen anty-de Sittera w postaci hiperboloidy (naruszaj,!cej zasady przyczynowosci). Gory idol tego diagramu nalei}' utozsamic. Rys. 28.9d przedstawia to sarno co (c), ale po identyfikacji, w zwi'l:Zku z tym diagram rna ksztalt walca. Aby otrzymac explicite model WszechSwiata stacjonamego, "tniemy" przestrzen de Sittera na pol, wzdluz 4-plaszczyzny t = w 5-przestrzeni Minkowskiego, jak to ilustruje rys. 28.7, zachowuj,!c tylko "gom,!" polowy14. Jest ciekawe, ze pomimo "niekompletnosci" tego modelu z powodu ciycia (linia przerywana na rys. 28.10b) owa niekompletnosc nie jest uwazana za defekt, poniewaZ zadna cz'!stka nie moze wejsc do czasoprzestrzeni z "odciytej" dolnej polowy. Metryky gomej polowy zapisujemy w postaci ds 2= dr2- ~r( cJr + dl + dz2)
719
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
(A jest pewn'! stal'!), co jest szczegolnym przypadkiem metryk FLRW z rozdz. 27.11, z plaskimi (K = 0) przekrojami przestrzeni i ekspansj,! wykladnicz,! (czynnik eAT )[28.51• (Metryka ta cieszyla siy dUZym zainteresowaniem w latach piyedziesi'!tych i sze§Cdziesi'!tych XX wieku; w szczegolnosci mocno popierali j,! Hermann Bondi, Thomas Gold i Fred Hoyle, a model Wszechswiata "stacjonarnego" wydawal siy atrakcyjny z powodow glownie estetycznych. Model wypadl z lask w latach szesedziesi'!tych ubieglego stulecia, gdy stalo siy jasne, ze przecz'! mu wyniki obserwacji, w szczegolnosci pomiary promieniowania reliktowego i oszacowania liczby odleglych galaktyk.) Tensor Ricciego Rab dla przestrzeni anty-de Sittera jest proporcjonalny do metryki gab[28.6 1• (W rozdz. 19.6 znajdziemy definicjy tego tensora, rownanie pola Einsteina etc.) Przypomnijmy sobie oryginaln,! postae rownania pola Einsteina Rab Rgab = - 8rcGTab , z ktorego wynika, ze tensor energii-pydu materii jest rowny _(8rcGti razy tensor Ricciego "z przeciwnym sladem"[·l. W przypadku modeli de Sittera i anty-de Sittera zatem "tensor materii" Tab sam musi bye proporcjonalny do tensora metrycznego. Tymczasem zwykla materia nie moze miee tej wlasnosci (na przyklad dlatego, ze jej tensor energii-pydu nie okresla spoczynkowego ukladu odniesienia). Z normalnego punktu widzenia traktujemy przestrzenie (anty -) de Sittera jako pr6Znie pozbawione materii, gdzie rownanie Einsteina musi zawierae stalq kosmologicznq A, wobec czego z rownan pola otrzymujemy:
t
Rab =
Agab •
Tutaj A =A2, gdzieA oznacza stal'! skaluj,!C'! czynnik wzrostu wykladniczego w metryce stanu stacjonarnego. W kosmologii inflacyjnej za "material inflacyjny" sluZy "falszywa proznia", 0 ktorej wiycej informacji przedstawiy niebawem. Aby skonstruowae model WszechSwiata inflacyjnego, bierzemy kawalek WszechSwiata stacjonarnego zawarty miydzy dwiema 3-powierzchniami 0 stalym L i nakladamy na dwie cZysci standardowego modelu FLRW z K = O. Procedury ty ilustruje rys. 28.10. Na rys. 28.10a tniemy cal,! przestrzen de Sittera, aby uzyskae model WszechSwiata stacjonarnego. Na rys. 28. lOb wycinamy z niego nadmuchany kawalek. Z kolei na rys. 28.lOc wycinamy czyse z modelu FLRW z K = 0, aby mozna bylo tam wprowadziC kawalek inflacyjny i uzyskae model kompletny, jak na rys. 28.lOd. Wstawiona tam czyse stacjonarna przesuwa w przeszlose Wielki Wybuch (z konforemnego, a wiyc kauzalnego punktu widzenia) w taki sposob, ze horyzont cz'!stek ogromnie siy powiyksza; zob. rys. 28.5b. ~
720
[28.5] Znajdz metryki dla przestrzeni de Sittera i anty-de Sitera typu metryki FLRW ds 2 = dt 2- (R(t)?dL2, gdzie dL2 oznacza 3-metrykl( hiperboliczn,! zgodnie z drugim wzorem wewiczeniu [27.18]. Ktor'! CZI(SC petnej przestrzeni anty-de Sittera opisuje ta metryka? ~ [28.6] Czy potrafisz to wykazac bez przeprowadzania rachunkow? [*] Autor uiywa nazwy trace-reversed Ricci tensor. Tensor ten zwykle nazywa sil( tensorem Einsteina (przyp. dum.).
Kosmologia inflacyjna
(a)
(b)
(e)
28.4
(d)
Rys. 28.10. Zestaw konstrukcyjny modelu Wszechswiata inflacyjnego. (a) Tniemy przestrzeiJ. de Sittera, aby uzyskae model stacjonarny. (b) Wybieramy nadmuchany kawalek, zawarty mil(dzy dwiema liniami stalego czasu. (c) Maly fragment odpowiadaji/CY ustalonemu czasowi z modelu FLRW z K = O. (d) Kawalek wycil(ty z (b) wstawiamy do (c), aby uzyskae model WszechSwiata inflacyjnego. Przesuwa to linil( Wielkiego Wybuchu w przeszlose, jak to ukazuje rys. 28.5b.
Aby przejsc do okresu inflacyjnego, koniecznie trzeba wprowadzic do calej tej "gromady" znanych (i domyslnych) cZqsteklp61 fizycznych nowe pole skalarne
Rys. 28.11. Gl(stose energii efektywnej we wczesnym stadium WszechSwiata, zgodnie z modelem inflacyjnym, powinna bye zdominowana przez potencjal efektywny V(I/» kwantowego pola skalarnego 1/>, nazywanego "inflatonem". Wykres przedstawia powszechnie przyjmowani/ postac V(I/»; inflacja wystl(puje wtedy, gdy stan ("kulka" z rys. 28.1) zsuwa sil( wzdlui zbocza po lewej stronie (zaklada sil( istnienie "falszywej proini"). Inflacja ustaje, gdy kulka zsunie sil( na dno.
721
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
A
InR Okres konwencjonalnej ekspansji Tolmana
i
d
~
Ziamanie symetrii oddzialywan elektroslabych
Q)
';::
Okres inflacji (1)
CO
:!: e '"~ CO w 0.'" Q) 0
~ ex:
10-32
10-43 10-35
10-12
Czas w sekundach
Rys. 28.12. Popularny schemat "historii WszechSwiata", w skali logarytmicznej, uwzglydniajllCY fazy inflacyjnll. Wykreslona jest zaleznosc In R(t) w funkcji In t.
Jak juz wspominalem w rozdz. 27.11, dysponujemy obecnie danymi przemawiaj,!cymi za tym, ze w naszej epoce A rna wartosc dodatni,!, lecz jest to bardzo mala wielkosc, odpowiadaj,!ca gystosci materii rZydu 10-30 gystosci wody. W przeciwienstwie do tego, falszywa pr6znia fazy inflacyjnej wymagalaby wartosci A odpowiadaj,!cej gystosci 1080 razy wiykszej od gystosci wody. Taka wartosc calkowicie zdominowalaby tensor energii-pydu zwyklej materii i z tego powodu do opisu tej fazy mozemy ui:yc modelu de Sittera. Na rys. 28.12 przedstawilem schemat historii bardzo wczesnych stadi6w ewolucji WszechSwiata, z kt6rym czysto mozemy siy spotkac i kt6ry uchodzi nieomal za "standard". Zauwai:my, ze zar6wno czas, jak i odleglosc przedstawione Set w skali logarytmicznej (jak na suwaku logarytmicznym z rys. 5.6), zaznaczane za pomoc,! potyg liczby 10, na osi poziomej jednostk'! czasu jest sekunda, a na osi pionowej odleglosci podano w centymetrach. "Promien" R oznacza historiy R(t) z rozdz. 27.11 (czego nie nalei:y mylic z skalarn,! krzywizn,! R z rozdz. 19.6). Uwazam, ze ten schemat nalei:y traktowac jako bardzo spekulatywny, przynajmniej w odniesieniu do okresu wczesniejszego od 110 sekundy (a na pewno do okresu 10-30 ), chociaz cZysto jest przedstawiany jako nieomal ustalony fakt!
28.5 Czy przesfanki inflacji sil prawidfowe?
722
Jak uzasadnic przekonanie, ze ten inflacyjny obraz WszechSwiata jest bliski prawdy? Niezaleznie od ewidentnej popularnosci takiego przekonania mam zamiar przedstawic wlasne powody pow'!tpiewania w slusznosc tych idei. I znowu muszy czytelnika ostrzec. Kosmologia inflacyjna stala siy zasadniczym elementem wsp61czesnego myslenia 0 WszechSwiecie i jego ewolucji. Nawet wsr6d tych, kt6rzy nie Set jeszcze przekonani 0 koniecznosci inflacji, niewielu zajmuje tak negatywne stanowisko jak to, kt6re mam zamiar przedstawic. J esli ktos potrzebuje argument6w na rzecz koncepcji inflacyjnej, mogy mu polecic bardzo przystypn,! ksi,!zky Alana Gutha WszechSwiat inflacyjnl 5 • Chcy rzecz wyloi:yc tak, jak jet postrzegam, a po-
ezy przeslanki inflacji Sq prawidlowe?
28.5
niewaz jestem przekonany, ze istniej~ powazne powody, aby pow~tpiewac w same podstawy kosmologii inflacyjnej, wiyc nie mogy sobie pozwolie na ukrycie moich argumentow przed czytelnikami. Zanim jednak zabiory siy do krytyki, muszy wyjasnie, ze moje uwagi nie zmierzaj~ w kierunku wykazania, iz kosmologia inflacyjna jest teori~ falszywq, ale chodzi mi 0 to, ze istniejq mocne argumenty, aby wqtpie w wartosc motywacji, ktora leZy u podstaw koncepcji inflacyjnego WszechSwiata. War to zwrocie uwagy na fakt, ze wiele waznych idei naukowych powstalo na gruncie przeslanek, ktore nie wytrzymaly proby czasu w swietle pozniejszego rozwoju owych idei. Jednym z najwazniejszych przykladow bylo odkrycie przez Einsteina ogolnej teorii wzglydnosci; jego rozumowanie poczqtkowo w znacznym stopniu zwiqzane bylo z zasadq Macha. Zasada Macha utrzymuje, ze fizyka ukladu jest okreslona calkowicie przez relacje miydzy skladajqcymi siy nan ciaiami, natomiast sarno pojycie przestrzeni tla powinno bye odrzucone 16 • P6Zniejsza analiza teorii Einsteina wykazala, ze zasada Macha nie weszla jednak w struktury ogolnej teorii wzglydnosci 17 pomimo jej motywacyjnego znaczenia 18 • Innym przykladem moze bye odkrycie przez Diraca rownania falowego elektronu, ktore bylo oparte na zalozeniu, ze powinno bye rownaniem rozniczkowym pierwszego rZydu (zob. rozdz. 24.5, 6). P6Zniejszy rozwoj KTP pokazal, ze to z~danie nie jest konieczne (rozdz. 26.6). Podobnie, jdli przewidywania kosmologii inflacyjnej bydq dostatecznie poparte wynikami obserwacji, to wszelkie slabosci motywow, ktore legly u podstaw jej konstrukcji, bylyby mniej wazne, a teoria inflacyjna stalaby na wlasnych nogach, bez podpierania siy "drabinq", po ktorej wspinali siy Guth i inni. I rzeczywiscie, kosmolodzy, poslugujqc siy teori~ inflacyjnq, przedstawili ostatnio wiele konkretnych przewidywan, ktore znalazly znakomite potwierdzenie w najnowszych badaniach obserwacyjnych. Uwazam, ze w przypadku kosmologii, w odroznieniu od innych nauk, zalecana jest szczegolna ostroznose, przede wszystkim w odniesieniu do zagadnien zwi~zanych z poczqtkiem Wszechswiata. Ludzie cZysto reagujq na te sprawy bardzo emocjonalnie, a ich postawy wielokrotnie zwiqzane Sq w sposob jawny lub ukryty z przekonaniami religijnymi. Nie rna w tym nic nienaturalnego - chodzi przeciez 0 stworzenie calego swiata, w ktorym Zyjemy. W rozdz. 27.13, opierajqc siy na drugim prawie termodynamiki, staralem siy podkreslie, ze w koncepcji Wielkiego Wybuchu u same go poczqtku leZy niesamowita precyzja i ze fakt ten stanowi niewqtpliwie wielkq zagadky. Pytamy wiyc: czy rozwiqzanie zagadki precyzji Wielkiego Wybuchu moze podae jakas przyszla teoria naukowa, nawet jesli leZy to calkowicie poza zasiygiem naszych obecnych wyobrazen? (To jest stanowisko, jakie sam, optymistycznie, zajmujy; zob. rozdz. 30.10-14.) Czy tez powinnismy zrezygnowae z dociekan i przyjqe, ze byl to akt boskiego stworzenia? Inflacjonisci zajmujq w tej sprawie inne stanowisko, ufajqc, ze ich teoria w zasadzie "rozwiqzuje" zagadky, i przekonanie to stanowi potyzny motor rozwoju kosmo-
723
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
724
logii inflacyjnej. Jednak nie spotkalem siy jeszcze z tym, zeby fundamentalny problem, ktory stawia przed nami DPT, byl powaznie podnoszony przez zwolennikow koncepcji inflacyjnej! Zamiast tego inflacjonisci w modelu standardowym kosmologii wyodrybniaj,! trzy szczegolne zagadnienia, ktore s,! zwi,!zane z zagadk,! precyzji pocz'!tkowego WszechSwiata. Przedstawilem je w rozdz. 28.4 jako problem horyzontu, problem gladkosci i problem plaskosci. W modelu standardowym S,! one rozpatrywane zgodnie z ide,! "subtelnego dostrojenia" pocz'!tkowego stanu Wielkiego Wybuchu i zwolennicy koncepcji inflacyjnej uwazaj,!, ze takie stanowisko jest "nieladne". Twierdz,!, ze inflacja usuwa koniecznosc "dostrojenia" i dziyki temu obraz, jaki siy wylania, z estetycznego punktu widzenia jest duzo bardziej atrakcyjny. Z tego samego powodu pozytywnie traktowana jest rowniez ogolna plaskosc przestrzenna Wszechswiata, jaka wynika z koncepcji inflacyjnej19. Moim zdaniem do argumentow opartych na koncepcjach estetycznych naleZy podchodzic z wielk,! ostroznosci,!. Z cal,! pewnosci,! w obrazie inflacyjnym s,! pewne zasadnicze elementy, ktorych estetyczn,! wartosc mamy prawo kwestionowac. Takim elementem jest na przyklad wprowadzenie nowego pola skalarnego (a, byc moze, nawet wielu niezaleznych pol skalarnych, jesli musimy rozwazac wiycej niz jeden okres inflacyjny), ktore nie rna zadnego zwi,!zku z innymi znanymi polami fizycznymi, a jego wlasnosci s,! skonstruowane wyl,!cznie pod k,!tem przydatnosci dla teorii inflacyjnej. Rowniez preferencja dla rozwi,!zania z K = 0 z estetycznego punktu widzenia jest podejrzana. Znam wielu matematykow (i sam do nich na1ezy), ktorzy uwazaj'! rozwi,!zanie hiperboliczne (K < 0) za znacznie piykniejsze! Innych znowu urzeka bardziej "przytulnosc" Wszechswiata ograniczonego przestrzennie (powiedzmy, K> 0). Ogolne zagadnienie roli piykna jako wskazowki w poszukiwaniach podstawowych teorii fizycznych omowiy pozniej (zob. rozdz. 34.9), podobnie jak inne aspekty zwi'!zane z koncepcj,! inflacyjn,! (rozdz. 34.4) i roly mody w dociekaniach naukowych (rozdz. 34.3). Inflacja jest rzeczywiscie nieslychanie modna wsrod wspolczesnych kosmologow i musimy zdac sobie sprawy, jak dalece ten jej status jest uzasadniony. Jak juz powiedzialem, moje zasadnicze obiekcje w stosunku do kosmologii inflacyjnej dotycz'! glownie motywacji, ktore doprowadzily do jej rozwoju. Rozwazmy najpierw problem horyzontu: jakjest on traktowany przez teoriy inflacyjn,!, w ktorej zasadniczo jednakowa temperatura Wszechswiata w roznych kierunkach jest efektem procesu tennalizacji. Inflacjy wprowadza siy po to, zeby usun'!c horyzont cz'!stek, poniewaz jego istnienie uniemozliwia termalizacjy. Kiedy jednak usilujemy wyjasnic jednorodnosc wczesnego Wszechswiata jako wynik procesu termalizacji (rozdz. 28.4), tkwi w tym cos fundamentalnie niewlasciwego bez wzglydu na to, czy mowimy 0 jednorodnosci temeperatury tia, gystosci materii, czy ogolnie 0 geometrii czasoprzestrzeni. Istotnie, niewlasciwe jest odwolywanie siy do procesu termalizacji w celu wyjasnieniajakiegokolwiek aspek-
ezy przeslanki inflacji Sq prawidlowe?
28.5
tu szczeg6lnosci naszego WszechSwiata. Albowiem jesli termalizacja prowadzi do czegokolwiek (na przyklad do wyrownywania temperatur w roznych obszarach WszechSwiata), to z pewnosci,! prowadzi do wzrostu entropii (rozdz. 27.2). W takim razie nasz WszechSwiat przed termalizacj,! byl jeszcze bardziej szczeg6lny niz po niej. Wobec tego, zamiast cokolwiek wyjasniac, nasze trudnosci (rozdz. 27.13) tylko siy powiykszaj,!. Z pewnosci,! pocz'!tkowe fazy rozwoju Wszechswiata podlegaly istotnym ograniczeniom, ale wlasnie te ograniczenia - jak podkreslalismy w rozdz. 27 - maj,! fundamentalne znaczenie dla samego istnienia drugiego prawa termodynamiki. Skoro tak, to nie moiemy siy spodziewae, ie uda nam siy wyjasnie ich pochodzenie przez odwolywanie siy do przejaw6w DPT (jednym z przyktadow jest wlasnie proces termalizacji)! Aby lepiej zrozumiee, 0 co chodzi, rozwaimy zagadnienie rownosci temperatur, jakie obserwujemy w najroiniejszych kierunkach z naszego szczegolnego punktu obserwacyjnego. Przypusemy, ie temperatury w dwu odleglych od siebie obszarach WszechSwiata w jakiejs chwili tl jego pocz'!tkowej ewolucji byly rzeczywiscie takie same, i zaloimy, ie uznajemy ty "szczegoln'!" sytuacjy za cos zagadkowego. Rozwaimy zatem dwie moiliwosci: (a) w jakiejs jeszcze wczesniejszej epoce, w chwili to' te temperatury byly roine i wyrownaly siy dopiero w wyniku procesu termalizacji, jaki zachodzil w czasie pomiydzy to i tl" Alternatywnie moiemy sobie wyobrazic (b), ie w chwili to temperatury te byly takie same i iaden proces termalizacji nie zaszedl. W przypadku (a) dochodzimy do wniosku, ie w czasie, jaki uplyn,!l pomiydzy to i tl' nastypowal wzrost entropii, wobec czego w chwili to WszechSwiat musial bye jeszcze bardziej szczegolny nii w tl' czyli ie zamiast rozwi,!zae nasz problem, tylko go poglybilismy! W przypadku (b) zas problem wyj'!tkowosci Wszechswiata w chwili to jest taki sam jak w t 1• Przy zalozeniu ktorejkolwiek z tych moiliwosci nie przybli.zylismy siy do rozwi,!zania zagadki, dlaczego nasz WszechSwiat jest tak szczeg6lny pod jakimkolwiek wzglydem, natomiast przekonalismy siy, ie poslugiwanie siy w tym celu procesem termalizacji jest wiycej nii bezu.zyteczne! A jak przedstawia siy sprawa jednorodnosci (i ptaskosci) WszechSwiata? Poniewai w tym wypadku argument inflacyjny jest inny, jego zwolennicy utrzymuj,!, ie to wlasnie ekspansja wykladnicza w fazie inflacyjnej doprowadzila do jednorodnosci (i przestrzennej plaskosci) WszechSwiata. lednak i w tym przypadku mamy do czynienia z zasadniczym nieporozumieniem, idea ich argumentu sprowadza siy bowiem do tego, ie jesli stan pocz'!tkowy WszechSwiata byl "generyczny", to na skutek "efektu rozci,!gniycia" w drodze ekspansji wykladniczej w czasie fazy inflacyjnej nast,!pilo "wygladzenie" wszelkich niejednorodnosci stanu pocz,!tkowego. Naturalnie, aby uznae, ie ten proces byl prawdopodobny, powinnismy miee jakies wyobraienie 0 moiliwej geometrii stanu pocz'!tkowego. ledn,! z wainych supozycji jest pogl,!d, ie taki stan, w malej skali, byl stanem "gladkim". Ale na przyklad zbiory fraktalne nigdy nie daj,! siy "wygladzie", bez wzglydu na to, jak bardzo bysmy je rozci,!gali. Przypomnijmy sobie zbior Mandelbrota,
725
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
ktorego fragment widzimy na rys. 1.2. Okazuje siy, ze im bardziej go powiykszamy, tym mniej gladki siy staje.
726
Odnoszy wrazenie, ze slyszy glosy sprzeciwu: przeciei: to zwykly wykryt! Bye moze istniej,! sytuaeje patologiezne, w ktoryeh rozci,!ganie nie poci,!ga za sob,! wygladzenia, ale na ogol, w realnyeh przypadkaeh, jest inaezej! Niestety, to nie jest wcale takie jasne. Musimy bye przygotowani na to, ze "typowy" poez'!tkowy stan WszeehSwiata byl stan em fraktalnym, a nawet gorzej niz fraktalnym. Z cal,! pewnosci,!, jakakolwiek mogla bye ta generyczna osobliwose poez'!tkowa, nie mamy prawa oczekiwae, ze zostala "wygladzona" w drodze procesu inflacji. Dlaczego? Przyczyna nie tkwi bynajmniej w szezegolaeh teehnicznych, lecz w blydnym zalozeniu, iz poez'!tkowy stan aktualnego WszeehSwiata byl "generyezny"ZO - co nie zgadza siy z drugim prawem termodynamiki; zob. rozdz. 27.7. Jesli chcemy miee pojycie 0 tym, jak ten "zwyezajny" stan magI wygl,!dae, wyobrazmy sobie koneowe stadium implozji zamkniytego WszeehSwiata, ktore schematyeznie przedstawilismy na rys. 27.20a, b, a nastypnie odwroemy strzalky czasu, jak na rys. 27.20c (albo rys. 27.20d). Obraz, jaki siy wylania, przy odbiciu ezasu, to niezmierny chaos zamarzaj,!cyeh osobliwosci czarnyeh dziur - oto ezego powinnismy siy spodziewae, gdyby Wielki Wybueh byl stanem "generycznym". Oezywiscie, nie oezekujy, ze ezytelnik od razu wyobrazi sobie szczegoly skomplikowanej fraktalnopodobnej geometrii, jaka powinna odpowiadae chaosowi typowego Wielkiego Kresu! Dla mnie samego wyobrazenie to jest bardzo trudne i w,!tpiy, zeby ktokolwiek mial jak,!s blizsz'! wiedzy na ten temae1• Co prawda znajomose szezegolow tej geometrii nie jest nam wea1e potrzebna. Aby zrozumiee istoty rzeczy, rozwazmy dowolny model kolapsu WszeehSwiata, jaki mozemy skonstruowae, wychodz'!c z jakiegos, wysoee nieregularnego, szybko rozszerzaj'!cego siy stanu poez'!tkowego (por. rys. 27.20b). Musi to bye kolaps do czegos; z precyzyjnyeh twierdzen matematyeznych mozemy wywnioskowae, ze przyjmie ona farmy jakiejs typowej osobliwosci ezasoprzestrzennefz. Jesli teraz w naszym modelu dokonamy odwrocenia kierunku czasu - zakladaj,!c, ze prawa dynamiki pozostaj,! niezmiennicze wobee takiej operacji - otrzymamy obraz ewolucji, ktora zaczyna siy od typowej, ogolnej osobliwosci i przechodzi w dowolnie nieregularny obraz WszeehSwiata, j aki tylko mozemy sobie wyobrazie. Jest calkiem mozliwe, ze w takiej ewolucji nie bydzie miejsca na inflacjy, aczkolwiek nasze odbite w ezasie prawa fizyki ealkowicie dopuszczaj'! mozliwose jej wyst'!pienia. Istota tego argumentu polega na tym, ze bez wzglydu na to, czy mamy do ezynienia z inflaej,!, ezy tez nie, fizyczna mozliwose wyst,!pienia fazy inflacyjnej jest ealkowicie bezuZyteezna dla naszyeh prob udowodnienia, ze ewolucja od typowej osobliwosci poez'!tkowej doprowadzi nas do WszechSwiata jednorodnego lub plaskiego przestrzennie. Sprobujmy zrozumiee, na czym polega rzeczywisty problem. Dyskutowalismy to juz w rozdz. 27. WszechSwiat w momeneie Wielkiego Wybuchu byl nieslyehanie szczeg6lny. Tak musialo bye, jesli mialo obowi,!zywae drugie prawo termo-
Zasada antropiczna
28.6
dynamiki - od samego pocz'!tku. Wszelkie procesy termalizacji musz'! bye zgodne z OPT, dlatego nie s,! one w stanie wyjasnie, dlaczego DPT funkcjonuje ani dlaczego, na samym pocz'!tku, mielismy do czynienia z tak bardzo wyj'!tkowym WszechSwiatem. Co wiycej, wszystkie procesy lamania symetrii i wszystkie przejscia fazowe (konieczne dla procesu inflacji) mogly wyst,!pie tylko dziyki dzialaniu OPT. Procesy te nie wyjasniaj,! OPT - one je wykorzystujq. Ponadto wszystkie powazne obliczenia w kosmologii inflacyjnej zakladaj,! geometriy modelu FLRW albo jej blisk'!, a to nie daje nam zadnych wskazowek co do tego, jak mogl wygl,!dae "generyczny pocz'!tek". Jesli chcemy wiedziee, dlaczego nasz WszechSwiat na samym pocz'!tku byl tak niezwykle wyj'!tkowy - w jego nadzwyczajnej jednorodnosci - musimy odwolae siy do zupelnie innych argumentow od tych, na ktorych opiera siy kosmologia inflacyjna.
28.6 Zasada antropiczna
Zanim jednak przejdy do tych argumentow, muszy odniese siy do innej koncepcji, cZysto przywolywanej jako czyse stanowiska inflacjonistow. Jest to zasada antropiczna, wielokrotnie wykorzystywana do wyjasnienia, dlaczego nasz Wszechswiat jest wlasnie taki, jaki jest. Z grubsza mowi,!c, argument antropiczny zaklada, iz Wszechswiat, jaki obserwujemy, musi miee natury umozliwiaj,!c,! powstanie i egzystencjy istot, ktore s,! w stanie go postrzegae i poznawae. Argumentu tego mozemy uZye do odpowiedzi na pytanie, dlaczego planeta, na ktorej Zyjemy, charakteryzuje siy tak odpowiednim zakresem temperatur, atmosfer,!, dostatkiem wody etc. Gdyby warunki na Ziemi nie byly tak sprzyjaj,!ce, wowczas bylibysmy zupelnie gdzie indziej!23 Najbardziej imponuj,!ce zastosowania zasady antropicznej znalazly sit( w pracach Roberta Dicke'a (1957) i Brandona Cartera (1973)24, ktorzy probowali rozwi'!zae zagadky - wskazan'! przez Diraca (1937) - zadziwiaj,!cej koincydencji miydzy wiekiem WszechSwiata, mierzonym w jednostkach Plancka (rozdz. 27.10), a stosunkiem parametrow charakteryzuj,!cych elektromagnetyzm i grawitacjy25. Gdyby ta koincydencja byla odbiciem jakiegos fundamentalnego zwiqzku miydzy parametrami Przyrody, to owe relacje musialyby bye zachowane w calej historii Wszechswiata. Jesli zatem wiek Wszechswiata jest wielkosciq rosn,!c
727
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
dencja zauwazona przez Diraca bydzie znakomicie zachowana. W takim razie koincydencja Diraca rna wyjasnienie antropiczne. Dzieje siy tak dlatego, ze parametry fizyczne zwi,!zane z powstaniem i:ycia istot rozumnych (w tym przypadku takich, kt6re s,! w stanie okreSlic wiek gwiazdy) l'!cz'! siy z parametrami, kt6re te istoty rozumne odkrywaj,! w otaczaj'!cym je swiecie! S,!dzy, ze czytelnik rna swiadomosc, iz argumenty wywodz,!ce siy z zasady antropicznej S,! najei:one w'!tpliwosciami, aczkolwiek nie mozna im odm6wic znaczenia. Na przyklad tak naprawdy nie wiemy, jakie warunki s'! rzeczywiscie niezbydne do powstania istot rozumnych. Zagadnienie staje siy bardziej zrozumiale, gdy, jak w omawianych przykladach, traktujemy prawa fizyki i ogoln,! struktury WszechSwiata jako zadane i pytamy jedynie, gdzie i kiedy we WszechSwiecie wystypuj,! odpowiednie warunki, umozliwiaj,!ce istnienie rozumnego i:ycia. Tak,! wersjy zasady antropicznej Carter nazywa slabq zasad,! antropiczn'! (rys. 28.13a). Duzo bardziej problematyczne s,! wersje mocnej zasady antropicznej, zgodnie z ktor'! usilujemy rozci,!gn,!c argument antropiczny na okreslenie aktualnych stalych Przyrody (takich jak stosunek masy elektronu do masy protonu alba do wartosci stalej struktury subtelnej; zob. rozdz. 26.9, 31.1). Niektorzy mog,! uWaZac, ze z jednej strony mocna zasada antropiczna prowadzi nas do wiary w "Boski Zamiar", zgodnie z ktorym Stworca WszechSwiata postaral siy, by fundamentalne stale fizyczne zostaly tak dobrane, aby umozliwialy istnienie istot rozumnych. Z drugiej strony mocn,! zasady antropiczn,! mozemy uwazac za pewne uogolnienie slabej, gdy nieco poszerzamy sens pytan "gdzie i kiedy" w taki sposob, iz nie odnosz'! siy one do jednej czasoprzestrzeni, lecz do zbioru mozliwych czasoprzestrzeni (rys. 28.13b)27. Rozne elementy tego zbioru moglyby charakteryzowac siy roznymi wartosciami podstawowych stalych fizycznych. Kwestia "gdzie i kiedy" nadal wymaga
Jeden wszechSwiat (a)
728
(b)
Rys. 28.13. Zasada antropiczna. (a) W postaci slabej: istoty rozumne muszlj znaleic si~ w takim przestrzenno-czasowym punkcie wszechSwiata, w ktorym panujlj warunki sprzyjajljce ich istnieniu. (b) W postaci silnej: zamiast rozwai:ac jeden wszechswiat, wyobrai:amy sobie zbior mozliwych wszechSwiatow - wsrod kt6rych stale fundamentalne Przyrody moglj si~ zmieniac. Istoty rozumne moglj pojawic si~ w takim wszechSwiecie, w kt6rym stale Przyrody (poza odpowiednim ulokowaniem przestrzenno-czasowym) Slj sprzyjajljce.
Zasada antropiczna
28.6
dokonania wyboru w tym zbiorze wszechswiatow, abysmy mogli znaleic siy w takim, ktory dopuszcza Zycie istot rozumnych. Pierwszy przyklad sytuacji tego rodzaju, 0 ile wiem, zostal wskazany przez Freda Hoyle'a, ktory wydedukowal, ze musi istniec nieobserwowany dot(!d poziom energetyczny j(!dra atomu wygla, aby w procesie syntezy j(!drowej zachodz(!cej w gwiazdach mozliwe bylo utworzenie pierwiastkow ciyzszych od wygla. Jest to proces, w ktorym w gwiazdach tworz(! siy ciyzsze pierwiastki (wyrzucane nastypnie przy wybuchach supernowych stanowi(! material potrzebny do formowania siy planet; zob. rozdz. 27.8) i od ktorego uzalezniona jest budowa naszych cia!. Bez niego nie moglibysmy istniec, przynajmniej w takiej formie Zycia, jakie znamy! Naciskani przez Hoyle'a William Fowler i jego wspolpracownicfB znaleili wkrotce sugerowany przez niego poziom, potwierdzaj(!c w 1953 roku ty przepowiedniy. Zdumiewaj(!ce jest takie zestrojenie stalych Przyrody, ze odpowiedni poziom energetyczny znajduje siy dokladnie tam, gdzie to jest niezbydne, aby Zycie moglo zaistniec. Innym przykladem "strzalu w dziesi(!tky" na skaly kosmiczn(! jest fakt, ze masa neutronu jest tylko nieznacznie wiyksza od masy protonu (wynOSZ(! one, odpowiednio, 1838 i 1836 mas elektronowych). Podobnemu usmiechowi losu zawdziyczamy fakt istnienia rodziny stabilnych j(!der atomowych, na czym opiera siy cala chemia. Uwazam, ze trzeba byc niezwykle ostroznym przy uciekaniu siy do zasady antropicznej, w szczegolnosci do jej mocnej postaci. Mam wrazenie, ze mocna zasada antropiczna jest czysto uZywana jako "podporka", gdy wydaje siy, ze solidne analizy teoretyczne wyczerpuj(! swoje mozliwosci. Dosyc cZysto zdarzalo mi siy sluchac opinii teoretykow wypowiadaj(!cych pogl(!dy w rodzaju: "wartosci nieznanych parametrow w mojej teorii zostan(! ostatecznie okreslone na podstawie zasady antropicznej". Oczywiscie, jest mozliwe, ze w ostatecznym rachunku po prostu nie rna matematycznego sposobu na wyznaczenie pewnych parametrow w "prawdziwej teorii" i ze wybOr tych parametrow jest rzeczywiscie taki, aby WszechSwiat, w jakim siy znajdujemy, dopuszczal istnienie rozumnego Zycia. Muszy siy jednak przyznac, ze taki pomysl nie bardzo mi odpowiada! Moim zdaniem w przypadku wszechSwiata przestrzennie nieskonczonego i zasadniczo jednorodnego (np. z K ~ 0 w modelach standardowych) mocna zasada antropiczna jest prawie kompletnie bezui:yteczna do dostrojenia parametrow fizycznych, poza z(!daniem, zeby prawa fizyki mialy taki ksztalt, jaki jest niezbydny dla istnienia Zycia istot rozumnych (co sarno w sobie jest niepotrzebnym wymogiem, poniewaz nie znamy rzeczywistych warunkow koniecznych dla powstania Zycia). Albowiem, jesli rozumne Zycie jest w ogole mozliwe, oczekujemy, ze pojawi siy w jakims miejscu przestrzennie nieskonczonego WszechSwiata. Stanie siy tak nawet w sytuacji, gdy warunki do jego powstania, w jakims skonczonym obszarze Wszechswiata, wydadz(! siy nadzwyczaj nieprawdopodobne. We wszechSwiecie przestrzennie nieskonczonym spodziewamy siy, ze w jakims miejscu jego nieskonczonych przestworzy pojawi(! siy warunki umozliwiaj(!ce powstanie rozumnego Zycia, chociazby prawdopodobienstwo takiego zdarzenia bylo niezwykle nikle.
729
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
Jesli wiyc okazuje siy, ze fundamentalne stale fizyczne S,! okreslone - bye moze decyduj,! 0 tym kryteria matematyczne - to mozemy postawie pytanie: w jakich najbardziej prawdopodobnych okolicznosciach, przy tych stalych wartosciach, mozliwe bylo pojawienie siy inteligentnych istot? W znanym nam WszechSwiecie, przy stalych wartosciach fundamentalnych, kt6rymi dysponujemy, odpowiedi na to pytanie wydaje si~ nastypuj,!ca: "na planecie podobnej do Ziemi, w poblizu gwiazdy podobnej do Slonca, istniej,!cej okolo 109 lub 1010 lat, a wiyc przez czas wystarczaj,!CY do zaistnienia ewolucji, w rodzaju tej przewidywanej przez Darwina". Jednak w przypadku WszechSwiata 0 innych wartosciach podstawowych parametr6w odpowiedi moglaby bye zupelnie inna. Na zakonczenie tego rozdzialu powinienem wspomniee 0 innej hipotezie, zwi,!zanej z problemem stalych fundamentalnych, wysuniytej przez Johna A. Wheelera w 1973 roku. Hipoteza ta l,!czy siy z zasad'! antropiczn'!. Zgodnie z tym pogl,!dem WszechSwiat rozwija siy cyklicznie, w tych cyklach pojawiaj,! siy nieustannie nowe "wielkie wybuchy", a kazdy z nich wywodzi siy z poprzedzaj,!cej go fazy implozji. Przypomnijmy sobie model Friedmanna w przypadku K> 0 i A = O. Wszechswiat rozszerza siy od pocz'!tkowej osobliwosci Wielkiego Wybuchu, a nastypnie kurczy siy do innej osobliwosci, ostatecznego Wielkiego Kresu. W pocz'!tkowym okresie rozwoju kosmologii model taki nazywano "modelem oscylacyjnym", poniewaZ krzywa przedstawiaj,!ca wykres R(t) w funkcji t jest cykloid,!, kt6ra nieskonczon,! ilose razy przechodzi okresy od ekspansji do kontrakcji (zob. rys. 27.15a, ewiczenie [27.19]). Obecnie rozumiemy lepiej niz kiedys, ze w ramach konwencjonalnej klasycznej og6lnej teorii wzglydnosci nie istnieje spos6b na "wygladzenie" osobliwosci, jakie musialoby wi'!zae kazdy "kres" z kolejnym "wybuchem,,29. Tylko o ile zignorujemy ten fakt alba zaloZymy jak,!s formy "grawitacji kwantowej", kt6ra umozliwialaby takie "odbicia"['], 0 tyle mozemy spekulowae, ze cykloida Friedmanna stanowi przyblizony model rzeczywistego rozwoju WszechSwiata. Idea Wheelera polega na tym, ze ekstremalne warunki fizyki kwantowej, jakie moglyby istniee podczas tych osobliwych proces6w, moglyby tez spowodowae zmiany stalych fundamentalnych. W takim razie spodziewamy siy, ze propozycja Wheelera bylaby fizyczn,! realizacj,! koncepcji "kolekcji wszechSwiat6w" zwi,!zanej z mocn,! zasad,! antropiczn,!. Lee Smolin w swojej pracy Zycie wszechSwiata 30 , 0publikowanej w 1997 roku, przedstawil intryguj,!c,! modyfikacjy tego pomyslu. Zamiast postulatu Wszechswiata zamkniytego, w kt6rym obejmuj,!cy wszystko Wielki Kres przeksztalca siy sam w Wielki Wybuch nastypnej fazy kosmicznej, traktuje osobliwosci wewn'!trz czarnych dziur jako ir6dlo nowych faz WszechSwiata, podczas kt6rych kazda osobliwose czarnej dziury produkuje inn,! fazy WszechSwiata31 i w kazdym przypadku nastypuje niewielkie dopasowanie fundamentalnych stalych fizycznych. Smolin
730
[*] Bounce - jak odbicia pilki (przyp. Hum.).
ezy wyjqtkowa natura Wielkiego Wybuchu stanowi klucz antropiczny?
28.7
formuluje niezwykle pomyslow'! koncepcjy zakladaj,!c
28.7 Czy wyjqtkowa natura Wielkiego Wybuchu stanowi klucz antropiczny? Czy zasada antropiczna moze pomoc w wyjasnieniu zagadki niezwykle szczegolnej natury Wielkiego Wybuchu? Czy zasada ta moze bye wl'!czona w koncepcjy inflacyjn,! w taki sposob, zeby pocz'!tkowo chaotyczny (0 maksymalnej entropii) stan ewoluowal w strony WszechSwiata, w ktorym iyjemy i w ktorym niepodzielnie kroluje drugie prawo termodynamiki? Zasadniczy argument sprowadza siy do tego, ze DPT jest istotne dla istnienia iycia, ktore znamy; ponadto wszelkie gystosci, temperatury, rozklad i sklad materii nas otaczaj'!cej etc., wszystko to musi odpowiadae warunkom niezbydnym do iycia. W dodatku WszechSwiat musi istniee dostatecznie dlugo, aby mogl siy dokonae proces ewolucji, i tak dalej. Argument tego
731
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
rodzaju jest czasami uiywany w poi,!czeniu z argumentem inflacyjnym. Zgodnie z tym, chociaz caikiem "zwyczajny" (generyczny) stan pocz'!tkowy nie magi nadmuchae siy tak, aby doprowadzie do wygladzonego WszechSwiata, jaki dzisiaj obserwujemy, to mamy prawo zapytae, czy zaraz po Wielkim Wybuchu w pocz'!tkowej "rozmaitosci" czasoprzestrzeni nie pojawil siy jakis niewielki obszar wystarczaj,!co gladki, aby na tym obszarze nast,!pila inflacja, a caly obecny Wszechswiat obserwowalny magi bye wynikiem inflacji tego malego obszaru (zob. rys. 28.14a). Argument ten zatem moglibysmy sformulowae nastypuj,!co: "aby mogto powstae :iycie rozumnych istot, potrzebujemy Wszechswiata istniej,!cego dostatecznie dlugo, zeby w sprzyjaj,!cych warunkach mogta dokonae siy ewolucja etc. Taki rozwaj wymaga procesu inflacji, zainicjowanego w bardzo malym pocz'!tkowym obszarze, ale gdy taki proces raz siy zacznie, to inflacja jest kontynuowana, aZ doprowadzi do ogromnego, obserwowalnego WszechSwiata, ktary znamy". Aczkolwiek moze siy wydawae, iz przedstawiony obraz rna tak cudownie romantyczny charakter, ze nie podda siy zadnej naukowej krytyce, to moim zdaniem jest inaczej. Powraemy do nadzwyczajnej precyzji ("subtelnego dostrojenia"), koniecznej do zaistnienia Wielkiego Wybuchu 0 takim charakterze, jaki wynika z naszych analiz. W rozdz. 27.13 argumentowalismy, ze dokiadnose ta, 123 wyrazona przez objytose przestrzeni fazowej, wynosi co najmniej jeden do 1010 • Wykladnik lO l23 pochodzi od entropii czarnej dziury 0 masie rawnej masie obserwowalnego Wszechswiata. Ale czy rzeczywiscie potrzebny nam jest caly WszechSwiat, aby moglo zaistniee :iycie rozumne? Wydaje siy to nieprawdopodobne. Trudno sobie wyobrazie, ze nie wystarcz'! rozmiary naszej Galaktyki. Zycie inteligentnych istot moze bye jednak fenomenem tak rzadkim, ze wymaga nieco wiykszej przestrzeni. B,!dimy
(a)
732
(b)
(e)
Rys. 28.14. (a) Zupelnie og61ny stan pocz'ltkowy nie daje sit( nadmuchae, jednak potrzebujemy jedynie bardzo malego obszaru, wystarczaj'lco gladkiego, aby mogla sit( dokonae inflacja do stanu, jaki 10123 dzisiaj obserwujemy (koszt: 10 ). (b) Jak duia cZt(se ogromnego WszechSwiata jest naprawdt( potrzebna, aby nasze iycie moglo zaistniee? Koszt jest Wft(CZ "absurdalnie" mniejszy, albowiem dla stworzenia rozumnego iycia Stw6rca potrzebuje wykreowae jedynie WszechSwiat 0 rozmiarze jednej dzie117 si'ltej jego obecnych liniowych rozmiar6w (koszt: jedynie 1010 ). (c) Aby stworzye tak'l sam'l ilose istot jak w przypadku (a), Stw6rca moie duio mniejszym kosztem wyprodukowae 103 niezaleinych egzem117 1012 plarzy "mniejszych" wszechswiat6w 0 rozmiarach (b) (kosztem: (1010 )]001 = 10 °). A zatem zasada antropiczna nie uwzglt(dnia widocznej rozrzutnosci procesu inflacyjnego.
ezy wyjqtkowa natura Wielkiego Wybuchu stanowi klucz antropiczny?
28.7
szczodrzy i zazqdajmy, zeby odpowiednia czyse WszechSwiata miala promien 0 dlugosci jednej dziesiqtej obserwowanego WszechSwiata, ponadto zal6zmy, ze taka czyse dostatecznie reprezentuje caly WszechSwiat, i nie przejmujmy siy tyrn, co znajduje siy poza niq. Objytose przestrzeni fazowej mozemy obliczye podobnie jak poprzednio. Masa tego obszaru wyniesie 10-3 poprzedniej i to daje nam entropiy czarnej dziury wynoszqcq 10-6 tamtej[28.71• W takim razie dokladnose, jakiej potrzebuje "Stw6rca" (zob. rys. 27.21) do wykreowania tego matego obszaru, bydzie tylko jak jeden do
lO10117.
Sp6jrzmy na rys. 28.14b. Stw6rca potrzebuje teraz znacznie mniejszego "malenkiego gtadkiego obszaru" poczqtkowej "rozmaitosci" niz poprzednio. Jest duzo bardziej prawdopodobne, ze Stw6rca natrafi na ten obszar 0 mniejszych rozmiarach niz na wiykszy obszar rozwazany w poprzednim przypadku. Zakladajqc, ze inflacja dziata tak sarno na matym obszarze, jak i na znacznie wiykszym, tyle tylko ze teraz produkuje proporcjonalnie mniejszy WszechSwiat, mozemy oszacowae, ile razy czysciej Stw6rca zetknie siy z mniejszym obszarem niz z wiykszym. Liczba, jakq otrzymujemy, wynosi okolo
(dokladnose wyznacza wiyc najwyzszy wyktadnik potygip8.81• Teraz widzimy, jakq niewiarygodnq rozrzutnose (w jyzyku prawdopodobienstwa) wykazuje Stw6rca, kreujqc te odlegle obszary WszechSwiata, jakich wcale nie potrzebujemy - to znaczy nie potrzebuje ich zasada antropiczna - aby wyjasnie fakt naszej egzystencji! Niekt6rzy czytelnicy mogliby wyraziC zastrzezenie, ze dziyki tej "ekonomii" ze strony Stw6rcy wyprodukowana zostala stosunkowo mniejsza liczba is tot myslqcych. Nie wdajqc siy w dywagacje na temat tego, czy to stanowi jakis problem, nie znajdujemy tu wyjasnienia, dlaczego Stw6rca m6gtby bye bardziej "rozrzutny". Byloby 0 wiele "taniej" - w terminach prawdopodobienstwa (tzn. odwrotnosci objytosci rozmiar6w pudla w przestrzeni fazowej; zob. rys. 27.2) 0 czynnik rZydu okolo 10123 jeden do 10 miee 103 mniejszych nadmuchanych obszar6w WszechSwiata (co oznacza w przyblizeniu ty samq liczby istot myslqcych co w przypadku jednego wiykszego) niz jeden duiy obszar (rys. 28.14c)l289 1• Aby przekonae siy, jak bezsilny w tym kontekscie jest argument antropiczny, rozwazmy nastypujqce fakty. Promieniowanie reliktowe nie jest wcale potrzebne do iycia na Ziemi. Moglibysmy obejse siy nawet bez ewolucji Darwina! W jyzyku prawdopodobienstw byloby duzo "taniej" wyprodukowae istoty myslqce w wyniku losowego tqczenia cZqstek gazu i promieniowania. Mozna oszacowae, ze caly Uklad Sloneczny, wlqczajqc w to iyjqcych mieszkanc6w Ziemi, m6glby zostae utworzony
fa [28.7] Dlaczego? fa [28.8] Objasnij te liczby. fa [28.9] Wyjasnij dokladnie wszystkie te wielkosci.
733
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
za pomoq losowych zderzen cz'!stek i promieniowania z prawdopodobienstwem 60 jak jeden do 101(J60 (a bye moze z jeszcze wiykszym). Liczba 1010 to naprawdy nie10123 wiele w porownaniu z 10 , a taka jest potrzebna do opisu Wielkiego Wybuchu obserwowalnego WszechSwiata32 • Nie wymagamy, zeby struktura Wielkiego Wybuchu byia tak jednorodna. Zanim pojawilo siy Zycie, DPT nie bylo potrzebne. Stworcy z pewnosci,! opiaciloby siy nie zwracae uwagi na takie detale. A inflacja w niczym tu nie pomaga. Na rys. 27.8 najbardziej "ekonomiczn'!" krzyw,!, jak,! moglby wykorzystae Stworca, aby powolae do istnienia swiadome Zycie, bylaby ta przypominaj,!ca raczej krzyw,! (b) niz (c), bez wzglydu na to, czy faza inflacyjna wystypuje, czy tez nie! Wszystko to jedynie wzmacnia argument, ze poszukiwanie podobnych uzasadnien, w ktorych sugerujemy, iz wlasciwe warunki funkcjonowania WszechSwiata s,! wynikiem jakiegos losowego wyboru stanu pocz'!tkowego, jest nieporozumieniem. Jest w najwyzszym stopniu niezwykly sposob, w jaki Wszechswiat zacz'!l istniee. Wydaje mi siy, ze mozliwe S,! dwa ujycia tego problemu. Roznica miydzy nimi jest spraw,! stosunku do nauki. Mozemy zaj,!e stanowisko, ze pocz'!tkowy wyb6r byl "stworczym aktem boskim" (jak na pogl,!dowym rys. 27.21), alba poszukiwae jakiejs naukowej, matematycznej teorii, ktora bydzie w stanie wyjasnie nadzwyczaj szczegolny charakter Wielkiego Wybuchu. Moim zdaniem powinnismy doloZye staran, aby przekonae siy, jak daleko jestesmy w stanie dojse, korzystaj,!c z tej drugiej drogi. Jestesmy przyzwyczajeni do praw matematycznych - a wiyc praw 0 ogromnej precyzji - kontroluj,!cych zachowanie siy fizycznego swiata. Okazuje siy, ze znowu potrzebne nam jest jakies prawo 0 wyj,!tkowej dokladnosci, determinuj,!ce sam charakter Wielkiego Wybuchu. Wielki Wybuch jest osobliwosci,! czasoprzestrzenn,! i nasze obecne teorie nie S,! w stanie poradzie sobie z tym zagadnieniem. Nasze oczekiwania id,! teraz w kierunku odpowiedniej postaci kwantowej grawitacji33 , w ktorej nast,!piloby pol,!czenie regul ogolnej teorii wzglydnosci, mechaniki kwantowej i bye moze jeszcze jakichs innych, nieznanych koncepcji fizycznych.
28.8 Hipoteza krzywizny Weyla
734
Zasadnicz'! dyskusjy obecnego stanu badan w dziedzinie grawitacji kwantowej odiozy do rozdz. 30-33. Na razie sprobujmy skoncentrowae siy na zrozumieniu warunkow geometrycznych, na ktorych opiera siy koncepcja Wielkiego Wybuchu. Nastypnie postaramy siy przeanalizowae propozycjy Jamesa Hartle'a i Stephena Hawkinga, ktorej ambicj,! jest wyjasnienie tego rodzaju geometrii na gruncie powaznej kwantowej teorii grawitacji. Przypomnijmy sobie z rozdz. 19.7, ze grawitacyjne stopnie swobody opisuje konforemny tensor Weyla Cabcd ' Tak wiyc w pustej przestrzeni (gdzie ewentualna staia kosmologiczna A, niewielka w kontekscie zjawisk fizycznych w skali lokalnej, moze bye pominiyta) krzywizna czasoprzestrzeni jest calkowicie krzywizn,! Weyla (krzywizna Ricciego znika). WpIyw krzywizny Weyla na materiy rna charakter dys-
Hipoteza krzywizny Weyla
28.8
torsji lub plywowy, a nie redukuj,!CY objt(tosc :ir6del materii. Skutki krzywizny Weyla przedstawia rys. 17.9a (nie rna znaczenia, ze rysunek ten ilustruje sytuacjt( w czasoprzestrzeni newtonowskiej). Naleiy go por6wnae z rys. 17.9b, na kt6rym widzimy efekt redukcji objt(tosci materii, a wit(c przypadek, gdy mamy do czynienia z tensorem Ricciego. Dochodz,! jednak do tego pewne komplikacje, gdy rozwazamy (jak tutaj) wplyw krzywizny Weyla i Ricciego na czasopodobne linie geodezyjne (swobodnie poruszaj,!cych sit( cz'!stek masywnych), poniewaZ tensor Ricciego tei: moze czasami powodowac dystorsjt(, opr6cz redukcji objt(tosci. Komplikacje znikaj,!, gdy rozwazamy wplyw tych krzywizn na zerowe linie geodezyjne (promienie swietlne). Co wit(cej, w takim przypadku mozemy z powrotern wprowadzie stal'! kosmologiczn,! A, poniewaz czlon postaci Agab nie ogniskuje promieni swietlnych[28.101• Linie geodezyjne na rys. 17.9 mozemy traktowac jako promienie swietlne nalez'!ce do pewnego stozka swietlnego (w spos6b przedstawiony na rys. 17.16). Rzeczywiscie, jesli uwazamy, ze nalez'! one do stozka przeszlosci jakiegos obserwatora, w6wczas efekty dystorsji mozna zrozumiec graficznie, wyobrazaj'!c sobie soczewki umieszczone mit(dzy zr6dlem swiatla a obserwatorem. Tensor Ricciego 3\ zwi,!zany z rozkladem materii, dziala tutaj jak soczewka skupiaj,!ca, podczas gdy tensor Weyla, zwiClZany ze swobodnym polem grawitacyjnym, dziala jak soczewka czysto astygmatyczna - z takim samym skupianiem w jednej plaszczyznie, jak i z rozpraszaniem w plaszczyznie prostopadtej (rys. 28.15). Bardzo dobre przedstawienie 0 wptywie (w najnizszym rzt(dzie) tych dwu r6znych rodzaj6w krzywizny uzyskamy, jesli wyobrazimy sobie, ze patrzymy przez wielkie, masywne, sferyczne, przezroczyste ciato, 0 wsp6lczynniku zatamania pr6zni. (Bye moze powinnismy wyobrazae sobie, ze "patrzymy" przez Slonce za pomoq neutrin - traktowanych jako cz'!stki bezmasowe - kt6re przechodz'! przez Stonce i podlegaj,! jedynie dzialaniu jego pola grawitacyjnego!) W rozs'!dnym przyblizeniu mozemy uwazac, ze promienie przechodz'!ce przez stonce S,! gt6wnie pod dzialaniem krzywizny Ricciego, w zwi,!zku z czym otrzymamy widoczne powit(kszenie (soczewka skupiaj,!ca) pol a gwiazdy znajduj,!cej sit( za Sloncem. Z drugiej strony,
/
.fil [28.10] Dlaczego?
Rys. 28.15. Ogniskuj'lCY efekt (bezsJadowego) tensora Ricciego (zwi'lzanego z rozkladem materii) jest podobny dzialaniu soczewki skupiaj'lcej, podczas gdy skutek tensora WeyJa (zwi'lZanego ze swobodnym polem grawitacyjnym) jest podobny do dzialania soczewki czysto astygmatycznej - z takim samym skupieniem w jednej plaszczyinie, jak i rozproszeniem w plaszczyinie prostopadtej.
735
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
poza tarczq Slonca, otrzymamy w efekcie, ze wzgll(du na krzywiznl( Weyla, czysto astygmatyczny efekt odksztalcajqcy, wobec czego obserwator bl(dzie postrzegal male, okrqgie ksztalty na otaczajqcym niebie jako elipsy; zob. rys. 28.16[28.11]. Na tym zasadniczo polega dzialanie pol a grawitacyjnego Slonca - znieksztalcajqce obraz gwiazd znajdujqcych sil( w jego tIe - kt6re po raz pierwszy zaobserwowal Eddington podczas ekspedycji w 1919 roku (zob. rozdz. 19.8). Wyobrazmy sobie teraz WszechSwiat, w kt6rym poczqtkowo jednorodny rozklad materii (z pewnymi fiuktuacjami gl(stosci) stopniowo kumuluje sil( grawitacyjnie w taki spos6b, ze w koncu jakies jego cZl(sci zapadajq sil( w czarne dziury. Poczqtkowa jednorodnosc oznacza, ze mamy gl6wnie do czynienia z rozkladem (materii) odpowiadajqcym krzywiznie Ricciego, ale wraz z grawitacyjnq kumulacjq mas wzrasta krzywizna Weyla, przede wszystkim w obszarach dystorsji czasoprzestrzeni w otoczeniu gromadzqcej sil( materii. W koncu, gdy osiqgamy stan odpowiadajqcy osobliwosciom czarnych dziur, krzywizna Weyla staje sil( rozbiezna do nieskonczonosci. Jesli uwazamy, ze materia WszechSwiata zostala poczqtkowo wyrzucona przez Wielki Wybuch w spos6b prawie idealnie jednorodny, w takim razie musimy zaloZyc, ze WszechSwiat zaczyna istniec z krzywiznq Weyla wynoSZqCq praktycznie zero. Istotnie, charakterystycznq cechq modeli FLRW jest calkowite znikanie krzywizny Weyla (w zwiqzku z czym wszystkie te modele Sq konforemnie plaskie, zob. rozdz. 19.7). Jesli Wszechswiat rozpoczql istnienie w postaci bliskiej modelowi FLRW, to musimy przyjqc, ze krzywizna Weyla jest znikomo mala
-
\ I
. . . 0'''-- .----
-.... /
./' /' ,/
.",-
,
\
\ \
, ' 'CD'
I
I
SIOIlce
Rys. 28.16. Dobre pojycie (w przybliZeniu najnizszego rZydu) 0 efektach dwu r6znych rodzaj6w krzywizny czasoprzestrzeni otrzymamy, gdy wyobrazimy sobie, ze "patrzymy" na pole gwiezdne przez przezroczyste i niezatamujl!ce Stonce (jakby za pomocl! bezmasowych neutrin). Promienie przechodzl!ce przez stonce (w dobrym przyblizeniu) zostajl! ogniskowane przez krzywizny Ricciego, co jest wynikiem powiykszenia (niczym przez soczewky skupiajl!cl!), podczas gdy na zewnl!trz tarczy slonecznej mamy do czynienia z czysto astygmatycznl! dystorsjl! Weyla, a wiyc male, okqgle ksztalty jawil! siy jako elipsy.
[28.11] Pokai, ie przy infinitezymalnej dystorsji, kt6rej wielkosc zmienia si y odwrotnie do odlegiosci, pol a powierzchni s,! zachowane.
~
736
Hipoteza krzywizny Weyla
28.8
w porownaniu z krzywiznq Ricciego, ktora w momencie Wielkiego Wybuchu musiala bye rozbieina. Taki obraz ilustruje, na czym pol ega roznica geometryczna miydzy POCZqtkowq osobliwosciq Wielkiego Wybuchu - charakteryzujqcq siy nadzwyczaj malq entropiq - a typowymi osobliwosciami czarnych dziur, 0 bardzo wielkiej entropii. Krzywizna Weyla, odpowiadajqca tej poczqtkowej osobliwosci, znika (a co najmniej jest bardzo bardzo mala - np. tylko skonczona - w porownaniu z tq, jakq moglaby bye), natomiast staje siy nieograniczona, niewqtpliwie rozbiezna do nieskonczonosci w przypadku osobliwosci koncowych. To jest owa charakterystyka geometryczna, ktora czyni roznicy miydzy sytuacjami przedstawionymi na przyklad na rys. 27.20a i 27.20d, aczkolwiek roznicy ty trudno rozpoznae na diagramach konforemnych. Uwagi te winny bye rozwazane w polqczeniu z innq postulowanq cechq osobliwosci czasoprzestrzeni, okreslanq mianem cenzury kosmicznej. Postulat ten (jeszcze nieudowodniony) stwierdza, z grubsza biorqc, ze w trakcie niepowstrzymanej implozji grawitacyjnej czarna dziura bydzie okreslona jako osobliwosc naga, a nie jako cos jeszcze gorszego. Przez osobliwose nagq rozumiemy takq osobliwose czasoprzestrzeni, wyniklq z implozji grawitacyjnej, ktora jest widoczna dla zewnytrznych obserwatorow, a wiyc nie jest "zasloniyta" przez horyzont zdarzen. Aby dokladniej wyjasniC, czym jest "osobliwose naga", potrzebne Sq pewne szczegoly techniczne, w ktore nie chcy tutaj wchodzies . Do naszych celow wystarczy stwierdzie, ze naga osobliwose jest "czasopodobna" w tym sensie, ze - jak to ilustruje rys. 28.17a - sygnaly mogq do niej zarowno docierae, jak i jq opuszczae. Cenzura kosmiczna na to nie pozwala (z wyjqtkiem bardzo specjalnych sytuacji, jakie nie mogq wystqpie w przypadku realistycznej implozji grawitacyjnej).
(a)
(b)
(e)
Rys. 28.17. (a) Sygnaly przyczynowe mogq zarowno wchodzic, jak i wychodzic z "nagiej osobliwosci". Jesli takie sytuacje Sq zabronione - na mocy tzw. cenzury kosmicznej - wowczas pozostajq nam tylko (b) "osobliwosci w przyszlosci" (wynikaj'lce z implozji grawitacyjnej), do ktorych sygnaly przyczynowe mog'l docierac, lecz nie mog'l ich opuscic, oraz (c) "osobliwosci w przeszlosci" (w czasie Wielkiego Wybuchu lub jakichS bardziej lokalnych wybuch6w), z ktorych sygnaly przyczynowe mog'l si y wydostac, lecz nie mog'l do nich dotrzec. D1a naszego WszechSwiata hipoteza krzywizny Weyla zaklada, ze w przypadku osobliwosci pocz'ltkowej (c) krzywizna Weyla jest (w przyblizeniu) rowna zeru (albo bardzo mala).
737
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
Cenzura kosmiczna jest postulatem matematycznym - wei¥; nieudowodnionym ani nieodrzuconym - dotyczqcym og6lnych rozwiqzan r6wnania Einsteina. Jesli przyjmiemy ten postulat, w6wczas fizyczne osobliwosei czasoprzestrzeni mUSZq bye "przestrzennopodobne" (lub, bye moie, "zerowe"), ale nigdy nie "czasopodobne". Istniejq dwa rodzaje osobliwosei przestrzennopodobnych (lub zerowych), a mianowieie osobliwosei "poczqtkowe" i "koncowe", w zaleinosei od tego, czy krzywe czasopodobne mogq z nich wychodzie i zmierzae w strony przyszlosci, czy tei docierae do nich z przeszlosci; zob. rys. 28.17b, c. Postulat fizyczny, kt6ry nazywam hipotezq krzywizny Weyla, zakiada, ie krzywizna Weyla (w okreslonym sensie) jest r6wna zeru (lub co najmniej bardzo mala) w przypadku osobliwoseipoczqtkowych, i to dotyczy naszego WszechSwiata. Stworzenie WszechSwiata zgodne z hipotezq krzywizny Weyla oznaczaloby ogromne ograniczenie moiliwosci wyboru Stw6rcy w procesie, kt6ry ilustruje rys. 27.21. Wynikiem tego byloby drugie prawo termodynamiki w postaci znanej obecnie. Istniejq solidne argumenty matematyczne, ie jakas forma "hipotezy krzywizny Weyla" rzeczywiscie ogranicza charakter Wie1kiego Wybuchu w taki spos6b, ii uzyskany tq drogq model WszechSwiata we wczesnych stadiach bardzo dobrze odpowiada modelowi FLRW36.
28.9 Propozycja "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga
738
Hipoteza krzywizny Weyla jako postulat jest raczej rodzajem apelu 0 interwencjy boskq nii teoriq fizycznq. Dla takiej hipotezy wymagamy jakiegos teoretycznego uzasadnienia. Do jakiej teorii moiemy siy odwolae? Kiedy rozwaiamy osobliwosci czasoprzestrzeni, zwykle uwaia siy, ie wlasciwym rozwiqzaniem jest grawitacja kwantowa. Trudnose polega na tym, ie pomimo ponad 50 lat usilnych staran, aby doprowadzie do polqczenia og6lnej teorii wzglydnosci i mechaniki kwantowej, nie dysponujemy nadal niczym, co przybliialoby nas do jakiegos konsensu w tej sprawie. Najbardziej popularnymi podejsciami zajmy siy w rozdz. 31 i 32, ale nawet wsr6d nich nie znajdujy powainej pr6by zrozumienia szczeg6lnej natury Wielkiego Wybuchu. Jest jednak pewien wart odnotowania wyjqtek, czyli propozycja wysuniyta w 1983 roku przez Jamesa Hartle'a i Stephen a Hawkinga, kt6rej teraz poswiycy nieco uwagi. Jednym z element6w propozycji Hartle'a-Hawkinga jest tzw. euklidyzacja. Pomyst ten jest zwiqzany z obrotem Wicka zastosowanym do przestrzeni Minkowskiego, kt6ry powoduje, ie wsp6lrzydna czasowa t zostaje "obr6cona" do r = it. W takim przypadku (przestrzenna) metryka czasoprzestrzeni, di, przyjmuje postae di = dr2 + cJ.x2 + di + ctz2 (zob. rozdz. 18.1). Oryginalny pomysl (Gian Carla Wicka)37 polegal na tym, ie relatywistycznq (w sensie szczeg6lnej teorii wzglydnosci) kwantowq teoriy pola moina skonstruowae, formutujqc jq najpierw tak, ii czasoprzestrzen Minkowskiego zastypujemy 4-przestrzeniq Euklidesa E\ wykorzystujqC niezmienniczose tej przestrzeni wzglydem euklidesowych grup symetrii. Zaktada-
Propozycja "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga
28.9
jqC, ze wielkosci otrzymane w euklidesowej wersji teorii Sq analityczne we wspolrz~dnych, dokonujemy obrotu Wicka, ktory w sposob ciqgly przeksztalca T z powrotem w t tak, ze w efekcie otrzymujemy teori~ niezmienniczq wzgl~dem grupy Poincarego 4-przestrzeni Minkowskiego. Procedura ta rna dwie wazne zalety. Po pierwsze, wielkosci rozbiezne w przestrzeni Minkowskiego mogq przejsc w wielkosci zbiezne w euklidesowej wersji teorii. (Przyczyna tkwi zasadniczo w tym, ze euklidesowa grupa obrotow 0(4) jest grupq zwartq, 0 obj~tosci skonczonej, podczas gdy grupa Lorentza 0(3,1) jest grupq niezwartq, a zatem 0 obj~tosci nieskonczonej.) W szczegolnosci calkowanie po drogach (zob. rozdz. 26.6) daje znacznie wi~ksze szanse na uzyskanie poprawnego statusu matematycznego w wersji Euklidesa nil Minkowskiego. Innq zaletq jest to, ze wymagania dodatniej cz~stosci b~dq spelnione (zob. rozdz. 9.3, 5, 24.3), jesli obrot Wicka zostanie przeprowadzony starannie. W formalizmie Hartle'a-Hawkinga konieczne jest zastosowanie pomyslowej modyfikacji idei Wicka, w ktorej "obrotu" dokonujemy nie w calej przestrzeni stanowiqcej baz~ dla drog calkowania - co byloby podejsciem konwencjonalnym - ale w poszczegolnych czasoprzestrzeniach, z ktorych kaida sarna wyznacza dro38 g~ calkowania • Te "czasoprzestrzenie" mogq miec dodatnio okreslone metryki riemannowskie, a niekoniecznie metryki lorentzowskie, jak w normalnej czasoprzestrzeni. (Te metryki riemannowskie Sq czasami nazywane "euklidesowymi", co wprowadza w blqd, poniewaz t~ ostatniq nazw~ rezerwujemy dla plaskich przestrzeni Euklidesa ]En!) Naleiy zauwaiyc, ze w wersji "euklidyzacji" zaproponowanej przez Hawkinga mamy do czynienia ze "skokiem wyobrazni", ktory posuwa nas daleko poza oryginalnq koncepcj~ Wicka. Czy okaze si~ to owocnym sposobern na poprawne polqczenie ogolnej teorii wzgl~dnosci z mechanikq kwantowq? Na odpowiedz musimy jeszcze poczekae9 • Zadziwiajqca propozycja Hartle'a i Hawkinga polega na tym, ze zastosowanie metody Hawkinga do calkowania po drogach mogloby dac nam odpowiedniq teori~ kwantowq samego Wielkiego Wybuchu i ze w miejsce naszej osobliwej czasoprzestrzeni otrzymalibysmy superpozycj~ kwantowq (tzn. "calky po drogach") "czasoprzestrzeni" 0 metrykach riemannowskich zamiast lorentzowskich. T~ koncepcj~ nazywajq oni propozycjq "bez brzegu" (no-boundary), poniewaz w miejscu osobliwego brzegu klasycznej czasoprzestrzeni, jaki reprezentuje Wielki Wybuch, mamy calq rodzin~ nakladajqcych si~ nieosobliwych przestrzeni, zdominowanych przez przestrzenie z metrykq riemannowskq, ktore "zamykajq si~" u dolu w sposob wskazany na rys. 28.18, tak ze osobliwy brzeg znika. W chwil~ "po" Wielkim Wybuchu dokonuje si~ transformacja, w ktorej geometria riemannowska przestaje dominowac i przechodzi w geometri~ Lorentza. (Takie przeksztaicenie wiqze si~ z wprowadzeniem odpowiednich metryk zespolonych.) Nawet w obszarze lorentzowskim mamy wciqz do czynienia z superpozycjq "czasoprzestrzeni" (niektore z nich Sq nadal riemannowskie), ale daleko od Wielkiego Wybuchu zaczyna dominowac klasyczna czasoprzestrzen lorentzowska, natomiast w samyrn obszarze Wielkiego Wybuchu przewaza metryka riemannowska "bez brzegu". Schemat taki jest
739
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
la)
Ib)
Rys. 28.18. Propozycja "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga sugeruje, ie (a) Wielki Wybuch moina rozpatrywac zgodnie z procedur~ kwantowej grawitacji, w ktorej geometria riemannowska (bardziej nii lorentzowska) dominuje calki po drogach w pobliiu klasycznej osobliwosci i pozwala na "zamkniycie" czasoprzestrzeni w sposob nieosobliwy. (b) W odniesieniu do osobliwosci kolapsu to "zamkniycie" wydaje siy potrzebne jedynie na "odleglym koncu" czasoprzestrzeni, co pozwala na pojawienie siy typowych osobliwosci 0 wysokiej entropii, jakich naleiy spodziewac siy przy implozji grawitacyjnej do czamych dziur (tzn. w fazie Wielkiego Kresu).
nie tylko naprawdy elegancki - zamienia problem, kt6ry wydaje siy "nie do ugryzienia", na taki, z kt6rym mamy nadziejy jakos siy uporae - ale takZe wydaje siy, ze uzasadnia idey "gladkiego pocz'!tkowego WszechSwiata", jaki mozna by pogodzie z hipotez'! krzywizny Weyla. Do tej pory zagadnienie przedstawia siy interesuj(!co. Ajednak mam powazne obiekcje zwi'!zane z przyjyciem tej propozycji. Po pierwsze, sarna idea "euklidyzacji" z wielu powod6w jest problematyczna. Nawet w kontekscie przestrzeni plaskiej jest prawie niemozliwe wyliczenie doldadnej wartosci calki po drogach i konieczne jest dokonywanie wielu przyblizen. Zwykle wydziela siy pewne wyrazy uwazane za dominuj,!ce, a pozostale odrzuca. Mozna siy spodziewae, ze w wyniku takiego dzialania otrzymamy rozs'!dne przyblizenie do "euklidesowej" calki po drogach, przypomnijmy jednak, ze konieczne jest dokonanie przedluzenia an alitycznego, aby otrzymae fizyczne rezultaty. Na tej procedurze nie mozna polegae, poniewaZ to, co dobrze przybliza funkcjy holomorficzn(! w jednym obszarze, moze w innym obszarze nie miee z ni,! nic wsp6lnego. Aby zdae sobie sprawy z tej trudnosci, przypusemy, ze mamy jak,!s rzeczywist(! funkcjy analityczn'!f(x), kt6r(! znamy w dziedzinie rzeczywistych wartosci x, ale tylko w przyblizeniu, i chcemy st(!d wywnioskowae, jakie byd,! jej wartosci dla urojonychx. Jesli dodamy do niej funkcjy postaci cCos(Ax), gdzie c iA S,! rzeczywiste, przy czym c jest bardzo male, aA duze, w6wczas f(x) zmieni siy nieznacznie dla rzeczywistych wartosci x, natomiast jej zachowanie wzdluz osi urojonej zmieni siy radykalnie. Przyklad ten ilustruje nadzwyczajn,! niestabilnose procedury przedluzenia analitycznego[28.121• Wydaje mi siy, ze "trik euklidyzacji" moze bye bardzo uZyteczny, jesli chcemy w ten spos6b
740
ta [28.12] Wyjasnij to, korzystajqc z wynikow rozdz. 5.3. (Wskazowka: co to jest e Aix + e-Aix?)
Status obserwacyjny parametr6w kosmologicznych 28.10
uzyskae dokladny model KTP, mam jednak powazne zastrzezenia do stosowania tej metody w pol,!czeniu z przyblizeniami, jak w tym przypadku. (Nie jest dla mnie oczywiste, do jakiego stopnia propozycja Hartle'a-Hawkinga jest zalezna od procedury przedluzania analitycznego.) Po drugie, mam techniczne trudnosci z ogolnosci,! euklidyzacji. Moim zdaniem stanowi ona sprytny trik, pozwalaj,!cy na uzyskanie spojnej (i zapewniaj,!cej spelnienie warunku dodatnich czt(stosci) KTP, lecz byloby nadmiernym optymizmem spodziewae sit(, ze w ten sposob uzyskamy jak,!s interesuj,!c,! KTP. Teorie otrzymane za posrednictwem euklidyzacji maj,! w efekcie ukryte struktury, pochodz,!ce od zwi'!zanych z nimi grup symetrii 0 "zlej sygnaturze"; zob. rozdz. 9.3, 5, 13.8 i 18.2. Nie widzt( powodu, dla ktorego "poprawna" teoria mialaby miee tak specjalny charakter.
28.10 Status obserwacyjny parametr6w kosmologicznych Powstaje pytanie: jak to wszystko rna sit( do wynikow obserwacji? W oryginalnej postaci propozycja "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga przemawiala na rzecz Wszechswiata zamknit(tego (w istocie K > 0) i Hawking przez wiele lat opowiadal si y za takimi modelami. lednakZe wobec narastaj,!cej ilosci danych kosmologicznych, ktore zdecydowanie wspieraly koncepcjt( hiperboliczn,! (K < 0), Hawking, we wspolpracy z Turokiem, zmodyfikowal swoj pomysl 0 tyle, ze propozycjt( "bez brzegu" mozna bylo pogodzie rowniez z model em hiperbolicznym40. Mamy tu interesuj'!c'! paralelt( z oczekiwaniami kosmologii infiacyjnej, 0 ktorej przez wiele lat utrzymywano, ze w sposob zdecydowany implikuje, iZ Wszechswiat obserwowalny musi bye przestrzennie plaski (K = 0). Rowniei wielu zwolennikow teorii infiacyjnej, wobec imponuj,!cych danych kosmologicznych, zmodyfikowalo swoje stanowisko, dopuszczaj,!c mozliwose 1 K < O. laki obraz wylania sit( obecnie z danych obserwacyjnych? No coz, sytuacja ponownie zmienila sit( znacz'!co: wobec nowych danych (z wit(cej niZ jednego zrodla) wydaje sit(, ze mamy do czynienia ze znacz'!c'!, dodatniq wartosciq stalej kosmologicznej A. Implikacj,! tego faktu jest w efekcie mozliwose K = O. A skoro dane obserwacyjne nie s,! sprzeczne z K = 0, to nie mozna wykluczye niewieikiej dod atniej krzywizny przestrzennej (Hawking preferowal K > 0), a takZe niewielkiej ujemnej krzywizny przestrzennej (ja opowiadam sit( za przypadkiem K < 0) - i znowu wszystkie mozliwosci S,! otwarte! Jakie znaczenie dla wartosci K rna odkrycie, ze A > O? Powinienem najpierw wyjasnie, jakie powody sklanialy nas do przypuszczenia, ze dane kosmologiczne swiadcz,! na rzecz ujemnych wartosci K. Spraw,! zasadnicz'! jest tutaj kwestia ilosci masy-energii we WszechSwiecie. Jesli ta wielkose jest zbyt mala, wowczas nie mozemy otrzymae zamknit(tego WszechSwiata z dodatni,! krzywizn,! alba (w modelach Friedmanna), po pocz'!tkowej ekspansji, doprowadzie z powrotem do kolapsu (zob. rys. 27.15a, b, c). Od dawna bylo wiadomo, ze gt(stose zwyklej, widzialnej
741
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
742
materii barionowej (zob. rozdz. 25.6) w galaktykach jest niewystarczaj,!ca, gdyz stanowi zaledwie jedn,! trzydziest'! wartasci krytycznej, ktora rozdziela przypadki z dodatnimi i ujemnymi wartosciami K, a gystose krytyczna odpowiada K =0. Wprowadza siy tutaj wielkose Qb' ktora oznacza ten ulamek krytycznej gystosci masyenergii, jak,! stanowi normalna materia barionowa WszechSwiata. Jesli q =1, wowczas gystose materii barionowej odpowiada gystosci krytycznej i wszelka dodatkowa, znacz'!ca (dodatnia) ilose masy-energii dawalaby Wszech§Wiat z K > 0. Jednak, jak juz wspomnialem, mamy raczej do czynienia z wielkosci,! odpowiadaj,!c,! w przyblizeniu q = 0,03, co stanowi solidn,! wskazowky, ze K < 0. Takie stanowisko nie uwzglydnia powai:nych obserwacyjnych przeslanekwskazuj,!cych, ze we WszechSwiecie wystypuje duzo wiycej materii niz tylko materia barionowa, jak,! bezposrednio obserwujemy w gwiazdach. W ci,!gu wielu lat obserwacji stalo siy jasne, ze w standardowej teorii 42 nie mozna wyjasnie ruchow gwiazd w galaktyce, jesli w otoczeniu galaktyki nie rna duzo wiycej materii niz ta, jak,! udaje siy bezposrednio obserwowae w gwiazdach. Podobne uwagi dotycz'! dynamiki poszczegolnych galaktyk w ramach ich gromad. Ogolnie wydaje siy, ze mamy dowody na to, iz we WszechSwiecie istnieje okolo 10 razy wiycej materii niz ta, ktor,! obserwujemy w formie barionowej. Jest to tajemnicza ciemna materia, co do ktorej natury trwa dysputa i ktora moze nawet stanowie rodzaj materii nieznany dot,!d fizyce cz'!stek elementarnych, aczkolwiek nie brak najrozniejszych spekulacji na ten temat43 • Poniewaz uwaza siy, ze ciemna materia moze wnosie 10 razy wiycej masy-energii niz zwykla materia baronowa, w takim razie gystose materii, jak,! dziyki niej mozemy uzyskae, liczona jako ulamek Q d gystosci krytycznej, wynosi Q d = 0,3 (a przedzial blydu jest tu tak duZy, ze mozemy spokojnie wl,!czye do tej liczby wielkose barionow,! q = 0,03). W ten sposob nadal jestesmy daleko od wartosci krytycznej. Ponadto rozne obserwacje (wl,!cznie z efektami soczewkowania grawitacyjnego, ktore, jak pamiytamy z rozdz. 19.8, umozliwiaj,! bezposrednie oszacowanie wielkosci wystypuj,!cych mas) zaczynaj,! dostarczae calkiem przekonywaj,!cych dowodow, ze we WszechSwiecie nie rna innych znacz'!cych koncentracji mas. W takim razie wniosek, ze K < 0, wydaje siy coraz lepiej potwierdzony i, w konsekwencji, zwolennicy modelu inflacyjnego oraz propozycji Hartle'a-Hawkinga zacZyli poszukiwae sposobu na wl,!czenie K < do swojego obrazu Wszechswiata. I wtedy na nowo rozgarzala dyskusja wokol stalej kosmologicznej. Przypomnijmy sobie z rozdz. 19.7, ze Einstein uwazal wprowadzenie stalej kosmologicznej za swoj "najwiykszy bl,!d" (bye moze glownie dlatego, ze z tego powodu nie przewidzial ekspansji WszechSwiata). Aczkolwiek od tamtego czasu kosmolodzy dopuszczali tak,! mozliwose w tearii, to raczej niewielu z nich spodziewalo siy, ze znajd,! we WszechSwiecie dowody na to, iz jej wartose jest inna niz zero. Dodatkow'! okolicznose stanowil fakt, ze obliczenia "energii prozni" przeprowadzone przez specjalistow od kwantowej teorii pol a (zasadniczo w drodze renormalizacji, jak w rozdz. 26.9) prowadzily do absurdalnego wniosku, iz powinna wystypowae efektywna stala kosmologiczna, wiyksza od obserwowalnej 0 czynnik rZydu 10 120
°
Status obserwacyjny parametr6w kosmologicznych 28.10 (a co najmniej rZydu 1060 , jesli nieco zmienimy zalozenia)! W ten spos6b powstal "problem stalej kosmologicznej". Mozna bylo przypuszczae, ze jakas nieznana redukcja alba nieodkryta jeszcze og61na zasada moze prowadzie do tego, iz energia pr6zni wynosi zero, ale nikt nie spodziewal siy, ze znajdzie siy jakas malenka pozostalose 0 tak wielkim znaczeniu dla kosmologii w obecnej epoce. (Wypada zauwaiye, ze ta "energia pr6zni", na mocy niezmienniczosci Lorentza, powinna bye proporcjonalna do metryki gab' a zatem naleiy antycypowae pojawienie siy wyrazu Agab , ze stal~ A, dokladnie w tym miejscu, w kt6rym przewidzial to Einstein w 1917 roku. Jedyny klopot polega na tym, ze wartose owej stalej, jaka wynika z rachunk6w, jest calkowicie blydna!) W 1998 roku dwa zespoly, obserwuj~ce odlegle supernowe (zob. rozdz. 27.8) - jeden kierowany przez Saula Perlmuttera w Kalifornii, a drugi przez Briana Schmidta w Australii i Roberta Kirschnera na wschodzie Stan6w Zjednoczonych - doszly do wniosku, ze nastypuje przyspieszenie ekspansji WszechSwiata, zgodnie z rosn£!cym nachyleniem krzywej na rys. 27.15d, co stanowi "stempel firmowy" dodatniej statej kosmologicznej! Jak duza jest wartose A, kt6ra moze wynikae z tych obserwacji? Wci
+ QA
~
0,3 + 0,7 = 1.
Innymi slowy, wyniki obserwacji wydaj,! siy zgodne z K = 0. Zwolennicy koncepcji inflacyjnej (a przynajmniej ci, kt6rzy mocno obstawali przy swoim zdaniu) naturalnie triumfuj,!. Z pewnosci£! mozna to traktowae jako sukces ich teorii, poniewaz, wbrew mocnym argumentom przeciwko niej, ich przewidywania, ze K = 0, wydaj£! sit( potwierdzone. Nadal jednak w'!tpliwosci S,! zbyt duze, zeby mozna bylo z calym przekonaniem wyci,!gn,!e taki wniosek, i dlatego istotne znaczenie maj,! obserwacje inn ego typu, kt6re wi'!z'! siy z t'! kwesti'!. W rozdz. 28.5 wspomnielismy, ze przeprowadzono wiele pomiar6w szczeg616w zmian temperatur w promieniowaniu reliktowym, poczynaj,!c od wystrzelenia w 1989 roku satelity COBE do ostatnich (w czasie pisania tej ksi
743
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
OFWHM
[stopnij
10 6000 .
I "
0,1
1 '
,
,
I "
' ,
,
I"
,
5000 ~
2!.
4000
I<
N
~
3000
+
"" ;;;:;-
2000 1000 0
10
100 l
Rys. 28.19. przewidywane "maksima akustyczne" w analizie harmonicznej promieniowania reliktowego (linia cillgla) oraz punkty doswiadczalne (krzyiyki, z zaznaczonym przedzialem blydu). Warto zauWaZyc bardzo znaczllcll rozbieinosc dla wartosci kwadrupolowej (l = 2), niemal calkowicie zamaskowanll (przypadkowo?) przez os pionowll.
744
28.19 przedstawiono wyniki tych analiz. Zauwazmy, ze po tym, gdy krzywa przejdzie przez maksimum, dla wartosci okolo P = 200, zaczyna oscylowae. Te lokalne maksima okreslamy jako "maksima akustyczne", poniewaz odpowiadaji! przewidywaniom teoretycznym, wedlug kt6rych we wczesnym stadium rozwoju WszechSwiata lokalne zgt(szczenia materii mogly zapadae sit( do wewni!trz, a nastt(pnie odbijae sit( lub przelatywae na drugi! stront( (takich proces6w spodziewamy sit( w ciemnej materii), a wynikiem tych zjawisk mogly bye oscylacje w rodzaju drgan dZwit(kowych. Typowa skala, przy kt6rej te oscylacje sit( pojawiaji!, zaleZy od rozmiaru horyzontu w czasie odseparowania (zob. rys. 28.5a; wyobraimy sobie, ze punkty u i v przesuwamy na powierzchni oddzielenia, aZ ich przeszlosci sit( spotkaji!; to jest rozmiar horyzontu45 ). Wlasnie przy tej skali pojawia sit( gl6wne maksimum. Pozostaje jednak pytanie, jaka odleglose ki!towa na niebie odpowiada lokalnej odleglosci we Wszechswiecie w czasie rekombinacji, a to jest ten punkt, w kt6rym krzywizna przestrzenna WszechSwiata odgrywa istotni! rolt(. Maksima akustyczne ulegaji! przesunit(ciu w P, w jedni! lub w drugi! stront(, w zaleznosci od wartosci K (dla dodatnich K w stront( wartosci mniejszych, a dla ujemnych - w stront( wit(kszych). Nie jest to takie proste, poniewaz odgrywa tu rolt( r6wniez szybkose ekspansji WszechSwiata, a wit(c konieczne Si! szczeg6lowe obliczenia. Ostatecznie okazuje sit(, ze ten rodzaj analizy promieniowania reliktowego, og61nie biori!c, nie jest sprzeczny z K = 0, ale wcii!Z pozostawia mozliwosc, ze wartose K jest zar6wno dodatnia, jak i ujemna.
Status obserwacyjny parametr6w kosmologicznych 28.10
A zatem wyniki otrzymane dla dUZych wartosci £ wydajq siy zgodne z oczekiwaniami teorii inflacyjnej (wystypuje tez niezmienniczose obserwowanych fluktuacji temperatury wobec zmiany skali, co rowniez przewidywaly niektore modele inflacyjne). Ale jak jest w przypadku malych wartosci £? Wartose £ = 0 jest malo interesujqca, poniewaZ opisuje po prostu calkowite natyzenie. A co z £ = 1 ("momentem dipolowym")? Nie mowi nam ona niczego 0 odleglych miejscach Wszechswiata, poniewaz ruch Ziemi przez pole promieniowania tla prowadzi do asymetrycznego przesuniycia Dopplera (zob. ewiczenie [27.10]), co daje taki wklad do rozkladu temperatur z £ = 1, ze patrzqc w kierunku ruchu, obserwujemy nieco WYZSZq temperatury, a nieco nizszq w kierunku przeciwnym. Pierwszq wartosciq o znaczeniu kosmologicznym jest £ = 2 ("moment kwadrupolowy"). Istotnie, pojawia siy tu rozbieznose wobec przewidywan modelu inflacyjnego, co potwierdzajq tez wartosci dla kilku kolejnych harmonik. Roznica jest niewielka, ale wydaje siy wyrazna. Oznacza to, ze naruszenie niezmienniczosci skali moze bye interpretowane w ten sposob, iz w najwiykszej skali mamy odejscie od plaskiej geometrii z K = 0, dlatego wydaje siy, iz mamy do czynienia albo z K > albo z K < 0, albowiem to "promien krzywizny" decyduje 0 skali. Rozwazania te powodujq, ze jestesmy zarowno zaintrygowani, jak i nieco zaniepokojeni rozwojem sytuacji. Powinnismy jednak miee na uwadze, ze wykres na rys. 28.19 wykorzystuje jedynie niewielkq czyse informacji, jakq zawiera mapa temperatur WMAP. Z kazdq wartosciq £ zwiqzanych jest 2£ + 1 roznych wartosci m i z kazdq z nich lqczy siy jeden rzeczywisty parametr. W przeprowadzonej przez nas analizie wiykszose tych informacji zostala pominiyta, a to oznacza, ze kryje siy w nich ogromna ilose danych, ktore moglyby nam dostarczye wielu waznych informacji 0 wczesnych stadiach Wszechswiata. Wspomny tu jedynie 0 alternatywnym sposobie analizy tych danych, zaproponowanym przez Vahe Gurzadyana i wspolpracownikow (1992,1994,1997, 2002,2003, 2004), 0 zdumiewajqcych implikacjach. W tym podejsciu nie przeprowadza siy analizy harmonicznej, zamiast tego analizuje sit( dystorsje ksztaltu odleglych obszarow w kazdej okreslonej temperaturze w zaleznosci od krzywizny przestrzennej. Jesli wyobrazamy sobie, ze niezaburzony ksztalt danego obszaru powinien bye okrygiem, to wplyw krzywizny spowoduje odksztalcenie okrygu do elipsy (przypomnijmy rys. 28.15). Oczywiscie, w praktyce nie znamy ksztaltu obszarow, ktore obserwujemy, mozliwe jednakjest wystypowanie efektow statystycznych, w wyniku czego obszary odpowiadajqce danej wartosci temperatury mogq bye bardziej (lub mniej) rozciqgniyte w porownaniu z innymi, w tym lub w innym kierunku. To przedmiot bardzo subtelnej statystycznej analizy, ale wnioski Gurzadyana i jego kolegow wykazujq, ze na mapach promieniowania reliktowego (poczqtkowo COBE, nastypnie BOOMERanG i wreszcie WMAP) mamy wiele tego przykladow. Jakie to rna znaczenie? Analiza teoretyczna sytuacji mowi nam, ze jedynie w przypadku K < 0 mozemy spodziewae siC( takiego stopnia eliptycznosci i ze jest to wynik "mieszania geodezyjnego". Sq to
°
745
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
nowe wyniki, musimy wit(c poczekae, czy nie pojawiq sit( jakies znaczqce obiekcje wobec tych waznych wniosk6w. Analiza ta dostarcza nam r6wniez argumentu na rzecz dodatniej wartosci stalej kosmologicznej i mniej wit(cej takiej wielkosci, jakq implikujq dane z obserwacji supernowych. Wnioskuje sit( stqd, ze krzywizna ujemna musi bye niewielka, w tym sensie, ze Q d + Q A nie moze znaczqco sit( r6znie od jednosci, bye moze wynosi okolo 0,9. To zagadka, kt6ra niepokoi wielu kosmolog6w. Wielkosci q, Q d i Q A nie Sq niezmienne w czasie. We wczesnych stadiach Wszechswiata q i Q d musialy bye duzo wit(ksze, a Q A duzo mniejsze. W p6znych stadiach rozwoju znaczenie q i Q d maleje, natomiast Q A dominuje w efektywnej gt(stosci masy--energii. Zbieznose rzt(d6w wielkosci Q A i Q d wydaje sit( wit(c bardzo zagadkowa. Ciekawe, ze termin "stala kosmologiczna" jakby wyszedl z mody, z chwilq gdy wyniki obserwacji zaczt(ly potwierdzae jego istnienie, niezaleznie od tego, ze byl standardowy od czasu, gdy Einstein go wprowadzil, a wit(c od 1917 roku. Zamiast tego Ajest okreslana terminami: "ciemna energia", "energia pr6zni", czasami tei: "kwintesencja", co bye moze wynika z faktu, ze chlodne okreslenie "stala kosmologiczna" nie niesie ze sobq w dostatecznej mierze aury tajemniczosci alba tez - bardziej racjonalnie - poniewaz slowo "stala" sugeruje, ze A nie moze zmieniae sit( z czasem! Wielu kosmolog6w robi wraZenie bardziej zadowolonych ze zmiennej A, bye moze dlatego, ze upatrujq w obecnej wartosci A oznaki "nowej fazy inflacyjnej", wskazujqc na podobienstwo do przypuszczalnie bardzo wczesnego inflacyjnego etapu rozwoju WszechSwiata. Przypomnijmy rozwaZania rozdz. 28.4 na tern at takiej fazy, uwazanej za zdominowanq przez "falszywq pr6znit(", kt6rej odpowiada tak wielka efektywna stala kosmologiczna, ze kompletnie dominuje calq (juz i tak ogromnie gt(stq) normalnq materit(. Gdyby Wszechswiat w tamtym czasie charakteryzowal sit( takq efektywnq A, bardzo r6znq od wartosci, jakq dzisiaj znajdujemy - tak przynajmniej argumentujq - w6wczas nalei:y dopuscie, ze A zmienia sit( i nazywanie jej "stalq kosmologicznq" byloby niewlasciwe. Ten pomysl, niewqtpliwie dla niekt6rych atrakcyjny, wiqze sit( z klopotami matematycznej natury, poniewaz istnialy dobre powody, aby wprowadziC termin "stala kosmologiczna". Stalose A jest bezposredniq konsekwencjq r6wnania zachowania energii 'irTab = 0 z rozdz. 19.5-7, albowiem dodanie wieiokrotnoscigab do Tab nie zmienia tego r6wnania, pod warunkiem ze czynnik, przez kt6ry sit( je mnoi:y, jest staly[28.131• W takim razie wszelkiej zmiennosci w A musi towarzyszye kompensujqce niezachowanie masy--energii materii. Z calq pewnosciq, z teoretycznego punktu widzenia, duzo wygodniej jest miee do czynienia ze stalq A - i takie stanowisko jest sp6jne z wynikami obserwacji. Dokqd nas to wszystko doprowadzilo? Z pewnosciq sytuacja jest bardzo interesujqca. Nie wydaje mi sit(, zeby te obserwacje "potwierdzaly" slusznose kosmoiogii inflacyjnej, a nawet gdyby tak bylo, to i tak nierozwiqzany pozostaje podsta-
746
fB [28.13] Dlaczego?
Przypisy
wowy problem kosmologiczny, ktory w mojej opinii usuwa w cien wszystkie inne, a mianowicie nadzwyczaj "specjalny" charakter Wielkiego Wybuchu - w stopniu 123 co najmniej jak jeden do 1010 - ktory leZy u podstaw drugiego prawa termodynamiki. Niektorzy kosmolodzy uwazaj,!, ze "subtelne dostrojenie" z tym zwi,!zane (zob. rys. 27.21) jest nie do przyjt(cia, i nadal "probuj,!" wyjasnie go w terminach inflacji lub zasady antropicznej (rozdz. 28.4, 6), ale, jak widzielismy, procedury takie zostawiaj,! zbyt wielki margines dowolnosci. I rzeczywiscie, mam zasadniczy problem z kazd,! propozycj,! (np. tak'! jak inflacja czy propozycja "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga), ktora stara sit( rozwi¥ae zagadnienie osobliwosci czasoprzestrzeni w ramach fizyki niezmienniczej wzglt(dem odbicia w czasie. Fizyka fazy inflacyjnej nie wykazuje asymetrii czasowej i, 0 ile jestem w stanie to zrozumiec, niczego podobnego nie rna w propozycji Hartle'a-Hawkinga. Z tego wynika, ze ich propozycja powinna stosowae sit( tak sarno do koncowych osobliwosci fazy kolapsu (w czarnych dziurach, a wit(c do Wielkiego Kresu, jesli ta hipoteza jest realistyczna), jak i do Wielkiego Wybuchu. Hawking (1982) argumentowal, ze tak moze bye, ale w niezwykle egzotyczny sposob, utrzymywat bowiem, ze przestrzen w otoczeniu koncowej osobliwosci "zamyka sit( bez brzegu", cofaj,!c WszechSwiat do Wielkiego Wybuchu, i dopiero tam nastt(puje "euklidyzacja" (rys. 28.18)! Propozycja "bez brzegu" rna polegae na tym, ze istnieje pewien sposob zamknit(cia bez ograniczaj,!cego brzegu, natomiast "pocz'!tek" definiujemy jako ten koniec, przy ktorym pojawia sit( zamknit(cie. Muszt( przyznae, ze mam wielkie opory przed przyjt(ciem tej argumentacji - a w rzeczy samej kaidej argumentacji, ktora nie przewiduje jawnej asymetrii czasowej samych praw fizyki. (Na przyktad w "egzotycznej" argumentacji Hawkinga okazaloby sit(, ze w koncowym kolapsie nadal mamy do czynienia z "brzegiem", pomimo iZ nast,!pilo gladkie zamknit(cie "bez brzegu", tyle ze "na drugim koncu" czasoprzestrzeni. Wydaje mi sit(, ze w ten sposob wyjasniona zostata jedynie potowa problemu usunit(cia brzegu.) Czy wobec tego musimy zajmowac sit( mozliw,! asymetri,! czasow'! podstaw fizyki, ktorej sit( domagam? W rozdz. 30 zabierzemy sit( powaznie do rozstrzygnit(cia tego dylematu! Przekonamy sit( wtedy, ze problem wi,!ze sit( z czyms fundamentalnie zagadkowym, co zostato niedomowione w naszej dyskusji mechaniki kwantowej. Dlatego w nastt(pnym rozdziale powroct( do tej waznej sprawy. A w rozdz. 30 przedstawit( wtasne koncepcje na temat wtasciwej drogi rozwi,!zania tych problemow, a takZe rozwi,!zania zagadnienia asymetrii czasowej osobliwosci WszechSwiata. Muszt( jednak wyslae sygnaty ostrzegawcze: wielu fizykow bt(dzie bardzo niezadowolonych ze stanowiska, jakie mam zamiar zaprezentowae.
Przypisy 1
Rozdzial 28.1 Zob. np. Weinberg (1992), kt6ry r6wniei posluguje sit( przykladem ferromagnetyzmu, i ta ilustracja wydaje sit( niezwykle popularna wsr6d specjalist6w. Uznajemy to jednak za powainq idealizacjt(, kiedy mamy na mysli rzeczywisty kawalek ie1aza, albowiem szczeg610we
747
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
efekty dzialania roznych wystt(pujqcych tam sit mogq bye bardzo zlozone. W przypadku dostatecznie malych obszarow wewnqtrz kuli zelaza tendencja do magnesowania sit( moze bye uwazana za dobre przyblizenie, ale w praktyce namagnesowane obszary orientujq sit( wzglt(dem siebie przypadkowo i zelazo, jako calose, nadal nie wykazuje efektywnego momentu magnetycznego. Co wit(cej, aby skutecznie namagnesowae zelazo, obnizanie temperatury przy przechodzeniu przez punkt Curie musi bye nadzwyczaj powolne, a wit(c uzyskanie idealnej sytuacji nie jest takie latwe. W naszej obecnej teoretycznej dyskusji mozemy zignorowae wszystkie te komplikacje i przyjqe jako prawdziwy przedstawiony tu, wyidealizowany obraz. 2 Proces tunelowania kwantowomechanicznego wystt(puje wtedy, gdy uklad kwantowy przechodzi spontanicznie zjednego stanu do stanu 0 nizszej energii (z emisjq nadmiaru energii) i gdy mit(dzy tymi stanami pojawia sit( bariera energetyczna, ktora uniemozliwia "klasyczne" przejscie mit(dzy nimi. 3 W tym przykladzie wykluczylismy wystt(powanie symetrii odbiciowej, na co wskazuje litera "s" w symbolu grupy SO(2). 4 Tq "odpowiedniq" grupq symetrii wydaje sit( grupa SU(3) x SU(2) x U(1)/Z6' Rozdzial28.2 Zob. przyp. 1 w tym rozdziale. 6 Zob. Vilenkin (2000); Gangui (2003); Sakellariadou (2002). 7 Teoria ta wiqze sit( scisle z nazwiskiem brytyjskiego astrofizyka sir Martina Reesa, zob. Silk, Rees (1998). Przeglqd tych koncepcji i dalszq literaturt( znajdziemy w: Haehnelt (2003). 8 Zob. Chan, Tsou (1993). 9 Wyniki badan MACRO nakladajq bardzo mocne ograniczenia na czt(stose pojawienia sit( czqstek tego rodzaju. Zob. MACRO (2002). 5
Rozdzial 28.3 Koneksjt( tt( mozemy poczqtkowo uwazae za koneksjt( cechowania V na mniejszej wiqzce Be nad M, ktorej wlokna w kazdym punkcie Sq przestrzeniami 1:- leptonow, 0 symetrii U(2). Jednak dokladnie tak jak w rozdz. 14.3, gdzie w zwyklym rachunku tensorowym wiedza o tym, jak V dziala na wektory, calkowicie okresla jej dzialanie na ogolne tensory, tutaj wiedza 0 tym, jak V dziala na Be' calkowicie okresla jej dzialanie na "tensory" zdefiniowane w £. Mozemy przyjqe, ze 9 jest rowna £' ® 1:- Geden indeks gorny, jeden dolny). 11 "Przesunit(cie ku czerwieni" z jest zdefiniowane tak, ze 1 + z podaje czynnik wzrostu dlugosci fal. Najlatwiejsze wprowadzenie do tych zagadnien zawiera ksiqzka Liddle (1999); natomiast Dodelson (2003) jest pracq bardziej zaawansowanq. 12 Bye moze w tym miejscu warto zastanowie sit( nad mozliwq rolq quanglementu (zob. rozdz. 23.10) dla komunikacji mit(dzy q a r. To z pewnosciq ciekawy pomysl, ale wychodzqcy poza obecne koncepcje zwiqzane ze "spontanicznym lamaniem symetrii". Moj poglqd na te zagadnienia zawdzit(cza wiele rozmowom z George'em Sparlingiem i Bikashem Sinhq. 13 Zob. Llewellyn Smith (1973). 10
Rozdzial 28.4 14 Zob. Schrodinger (1956). Rozdzial28.5 Zob. Guth (1997). Bardziej techniczne przedstawienie znajdziemy w Dodelson (2003) albo w Liddle, Lyth (2000). Godna polecenia jest pozycja Borner (2003), gdzie znajdziemy bardzo staranny i krytyczny przegJqd tematyki. 16 Zob. Barbour (2001a, 200lb); Barbour et al. (2002); Sciama (1959); Smolin (2002). Przykladem zastosowania idei Macha jest koncepcja sieci spinowych, ktorq krotko opisujt( w rozdz. 32.6. 15
748
Przypisy
Zob. Ozsvath, SchUcking (1962, 1969). Istniejq jednak nowsze analizy, ktore zdajq sit( wskazywae, ze bye moze teoria Einsteina rna wit(cej wspolnego z zasadq Macha, niz dotqd sqdzono. Zob. Barbour (2004); Barbour et at. (2002); Raine (1975). 19 Te estetyczne aspekty teorii inflacyjnej Sq szczegolnie interesujqco przedstawione w popularnym opracowaniu: Livio (2000). 20 Podobne idee, znane pod nazwq "kosmologii chaotycznej", byly jui wczesniej, w latach szesedziesiqtych XX wieku, proponowane niezaleznie przez Charlesa W Misnera i lakowa B. Zeldowicza. Sugerowano w nich, ze poczqtkowy stan WszechSwiata mial charakter losowy. Koncepcja taka byla wysuwana pomimo jej zasadniczej sprzecznosci z drugim prawem termodynamiki, ktore przywolywano, aby objasnie proces wygladzania WszechSwiata; zob. Misner (1969). 21 Najlepsza propozycja opisu chaotycznej struktury tej "prawdopodobnej" poczqtkowej osobliwosci zostala przedstawiona w 1970 roku w pracy Belinskii, Khalatnikov, Lifshitz (1970). 22 Zob. przyp. 21 w rozdz. 27, gdzie podane Sq odpowiednie odsylacze literaturowe. 17 18
Rozdzial 28.6 Wydaje mi siC(, ze po raz pierwszy uslyszalem 0 "slabej" zasadzie antropicznej w audycji radiowej Freda Hoyle'a, nadanej przez BBC w latach 50. Z silniejszq postaciq tej zasady, ktora mowi 0 "antropicznej" roli fundamentalnych stalych fizycznych, zetkn"lem siC( pierwszy raz w Cambridge na jednym z wykladow Hoyle'a, zatytulowanych "Religia jako nauka", kiedy omawial tworzenie siC( ciC(zkich pierwiastkow w gwiazdach i rolC(, jakq w tym procesie odgrywa pewien konkretny poziom energetyczny jqdra atomu wC(gla. Zagadnieniem tym zajmiemy siC( niebawem. 24 Zob. Dicke (1961) i Carter (1974). 25 Zob. Dirac (1937). 20 Zob. Dirac (1938); Buckley, Peat (1996); Guenther, Krauss, Demarque (1998). Najnowsze i zabawne omowienie problemu "zmieniajqcych siC( stalych" przedstawil Magueijo (2003). 27 Uiywam pojC(cia "mocnej zasady antropicznej" w sensie zaproponowanym przez Cartera (1974). Barrow i Tipler (1988) podzielili tt( zasadC( na kilka roznych kategorii. 28 Zob. Barrow, Tipler (1988); Smolin 1997; Hoyle et at. (1956); Burbidge et at. (1957). 29 Zob. Hawking, Penrose (1970) . .10 Zob. Smolin (1997). 31 W przemowieniu wygloszonym przy okazji odbierania Nagrody Adamsa w 1966 roku (zob. Penrose 1966) wysunqlem podobnq propozycjC( (jednak bez dopasowywania stalych fizycznych), ale w sposob nieco zartobliwy! Bye moze podobne pomysly zglaszali juz i inni.
23
Rozdzial 28. 7 Zob. Penrose (1989) . .1.1 Alternatywny punkt widzenia przedstawil mi Abhay Ashtekar, ktory utrzymywal, ze moze istniee cos roznego od grawitacji kwantowej, co wyjasnialoby nadzwyczajnq naturt( Wielkiego Wybuchu. Moze tak jest, ale moim zdaniem to grawitacja byla wyjqtkowym elementem Wielkiego Wybuchu i, jak siC( wydaje, tylko grawitacja. 32
Rozdzial28.8 Istotnie, tylko bezsladowa czt(se tensora Ricciego Rab - Rgab rna tutaj znaczenie, natomiast stala kosmologiczna nie odgrywa zadnej roli. 35 Ogolnq dyskusjC( cenzury kosmicznej zob. Penrose (1998b). 36 Zob. Newman (1993); Claudel, Newman (1998); Tod, Anguige (1999a, 1999b); Anguige (1999). Szczegolnie atrakcyjnq wersjC( hipotezy krzywizny Weyla przedstawil K.P. Tod, ktory po prostu postulowal, ze z kazdq osobliwosciq poczqtkowq zwiqzana jest pewna ograniczona, regularna geometria konforemna. 34
t
749
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
Rozdzial 28.9 Zob. Wick (1956), gdzie ta technika zostala po raz pierwszy uiyta, a nastypnie Zinn-Justin (1996), gdzie jest wielokrotnie i z wielkim poiytkiem wykorzystywana. 38 Zob. Hartle, Hawking (1983). 39 Niedawna praca Renate Loll sugeruje, ie mogq istniec glybokie r6inice miydzy zastosowaniem metryki riemannowskiej w calkowaniu po drogach - jak w propozycji Hawkinga a bardziej naturalnym uiyciem metryki lorentzowskiej; zob. Ambjom et at. (1999). 37
Rozdzial 28.10 Zob. Hawking, Turok (1998). 41 Zob. Bucher, Goldhaber, Turok (1995) i Linde (1995). 42 IntrygujqCq sugestiy przedstawil Mordehai Milgrom (1994), kt6ry utrzymywal, ii ciemna materia nie istnieje, natomiast zmiany wymaga dynamika grawitacyjna Newtona, ale winny spos6b, nii to zrobil Einstein. Wedlug tej koncepcji przy bardzo malych przyspieszeniach wplyw grawitacji w pewien specyficzny spos6b wzrasta. Aczkolwiek idea ta jest zadziwiajqco zgodna z obserwowanymi faktami, to jednak nie istnieje sp6jna teo ria, kt6ra ujmowalaby to wszystko w ramach dobrego, og6lnego schematu. Moim zdaniem takich niekonwencjonalnych pomys16w nie naleiy odrzucac, lecz warto nad nimi popracowac, aby przekonac siy, czy nie mogq stanowic elementu wiykszej, sp6jnej calosci (choc sam nie mam pojycia, jak w tym przypadku naleiy to zrobiC!). 43 Zob. Krauss (2001), gdzie znajdziemy przystypne om6wienie ciemnej materii (a takZe "ciemnej energii", tzn. moiliwosci zmiennej wartosci A). 44 Zob. Blanchard et at. (2003). Bardziej "populame" intepretacje znajdziemy w: Perlmutter et at. (1998); Bahcall et at. (1999). 45 Dodelson (2003) wyjasnia, jak to wykonac i jak analizowac dane CMB. 40
29 Paradoks pomiaru 29.1 Konwencjonalne ontologie teorii kwantowej
NIE ulega w~tpliwosci, ze mechanika kwantowa stanowi jedno z najwspanialszych mysli ludzkiej XX wieku. Wyjasnia ona wiele zjawisk calkowicie niezrozumialych dla fizykow XIX wieku, takich jak istnienie linii widmowych atomow i cz~steczek, stabilnose atomow, natura wi~zan chemicznych, tlWalose i barwy materialow, zjawisko ferromagnetyzmu, przejscia fazowe ze stanu stalego w ciecz i gaz, barwy gor~cych ciat pozostaj~cych w rownowadze z otoczeniem w wysokiej temperaturze (promieniowanie ciata doskonale czarnego) i wiele innych. Wydaje siy, ze nawet niektore zagadkowe problemy biologii, na przyktad nadzwyczajna skutecznose dziedziczenia, znajduj~ wyjasnienie na podstawie zasad mechaniki kwantowej. Wszystkie te zjawiska, podobnie jak wiele innych, odkrytych juz w XX wieku, choeby ciekle krysztaly, nadprzewodnictwo i nadcieklose, zachowanie siy laserow, kondensaty Bosego-Einsteina, intrygujqca nielokalnose efektow EPR i teleportacja kwantowa - Sq obecnie dobrze wyjasnione dziyki formalizmowi matematycznemu mechaniki kwantowej. Formalizm ten w istocie dokonat prawdziwej rewolucji w naszych wyobrazeniach 0 fizycznej rzeczywistosci, moze nawet duzo wiykszej niz koncepcja zakrzywionej czasoprzestrzeni ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina. Ale czy naprawdy? Wielu wspolczesnych fizykow wyraza poglqd, ze mechanika kwantowa w ogole nie daje zadnego obrazu "rzeczywistosci"! Ich zdaniem mechaniky kwantowq nalei:y traktowae tylko jako formalizm matematyczny i nic wiycej. Utrzymujq oni, ze ten formalizm nie informuje zasadniczo 0 kwantowej rzeczywistosci otaczajqcego nas swiata, jedynie pozwala obliczae prawdopodobienstwa pojawienia siy alternatywnych mozliwosci. Ontologia takich fizykow kwantowych - pomijajqc fakt, czy przejmujq siy oni w ogole kwestiami ontologicznymi moze bye zreasumowana w zdaniu (a): formalizm kwantowy nie wyrai:a jakiejkolwiek rzeczywistosci. Przeciwstawny (na pozor) poglqd reprezentujq inni fizycy kwantowi, ktorzy utrzymuj~, ze (b): unitarna ewolucja stanu kwantowego opisuje w sposob zupelny aktualnq rzeczywistose, z tego zas wynika alarmujqca implikacja, ze praktycznie wszystkie alternatywy kwantowe mUSZq zawsze wspolistniee (w superpozycji). W rozdz. 21.8 zwrocilismy uwagy na podstawowq trudnose, z jakq majq osi~gniye
29
Paradoks pomiaru
752
do czynienia fizycy kwantowi, i ktora sklania ich do przyjycia takich pogl(!dow. Jest to konflikt miydzy dwoma procesami kwantowyrni, U i R (rozdz. 22.1), gdzie U jest deterministycznym procesem ewolucji unitarnej (jak(! opisuje rownanie Schrodingera), natomiast R jest procesem redukcji stanu kwantowego, jaki zachodzi w momencie dokonywania "pomiaru". Odkrycie procesu U z jednej strony bylo dla fizykow czyms naturalnym: byla to klarowna ewolucja czasowa dobrze okreslonej wielkosci matematycznej - wektora stanu 11JI) - kontrolowanej w sposob deterministyczny przez (cz(!stkowe) rownanie rozniczkowe, a czasowa ewolucja schrodingerowska nie byla zasadniczo rozna od tej, jak(! opisuj(! klasyczne rownania Maxwella (zob. rozdz. 21.3 i ewiczenie [19.2]). Z drugiej strony proces R byl dla nich zupelnie nowy: to proces nieci(!giego, przypadkowego skoku tego samego 11JI), a okreslone s(! tylko prawdopodobienstwa roznych mozliwych wynikow tego przeskoku. Gdyby fizyka obserwowanego swiata byla opisywana po prostu przez wielkosc 11JI), zachowuj(!c(! siy zgodnie z procedur(! U, wowczas fizycy nie mieliby zadnego problemu z przyjyciem, ze U opisuje "realny", "fizyczny" proces ewolucji ,,fizycznie realnej" wielkosci 11JI). Niestety, swiat fizyczny tak siy nie zachowuje. Zamiast tego wydaje nam siy, ze obserwujemy zdumiewaj(!C'! zamiany, od czasu do czasu, najzupelniej roznych procesow U i R (przypomnijmy sobie rys. 22.1). Ta sytuacja powoduje, ze fizykom duzo trudniej uwierzyc, iz 11JI) moze bye dobrym opisem fizycznej rzeczywistosci. Zagadkowa kwestia: w jaki sposob moze wyst(!pic R, gdy stan ukladu ewoluuje zgodnie z U, stanowi problem pomiaru - albo, jak ja woly to nazywac, paradoks pomiaru - mechaniki kwantowej (problem ten krotko omawialismy w rozdz. 23.6, a wspominalismy takZe w rozdz. 21.8 i 22.1). Pogl(!d (a) odzwierciedla w zasadzie ontologiy szkoly kopenhaskiej, ktorej glownym przedstawicielem byl Niels Bohr; wedlug niego 11JI) nie reprezentuje rzeczywistosci na poziomie kwantowyrn, lecz jedynie opisuje "wiedzy" eksperymentatora 0 badanym ukladzie kwantowym. W tej filozofii "przeskoki" zgodne z R nalei:y rozumiec w ten sposob, ze eksperymentator uzyskuje po pro stu wiycej wiedzy o badanym ukladzie, a wiyc skoku doznaje wiedza 0 ukladzie fizycznym, a nie fizyka ukladu. Zgodnie z (a) zjawiskom na poziomie kwantowym nie nalei:y przypisywac zadnej "realnosci", jedyn(! do zaakceptowania rzeczywistosci(! jest rzeczywistosc swiata klasycznego, w ktorym znajduj(! siy przyrz(!dy, jakimi posluguje siy eksperymentator. Pewnym wariantem (a) jest pogl(!d, ze "swiat klasyczny" wystypuje tutaj nie tyle na poziomie jakichS elementow "makroskopowej maszynerii", z ktorej korzysta obserwator, ile na poziomie jego wlasnej swiadomosci. Zagadnieniami tymi zajmy siy niebawem nieco bardziej szczegolowo. Zwolennicy filozofii (b) przyjmujq, ze 11JI) reprezentuje rzeczywistosc, natomiast calkowicie odrzucaj(! pomysl, iz cos takiego jak R w ogole zachodzi. Utrzymuj(! oni, ze kiedy dokonujemy pomiaru, wszystkie inne mozliwosci wyniku rzeczywiscie wsp6listniejq w jakiejs wielkiej kwantowej superpozycji liniowej alternatywnych wszechSwiatow. Ta wielka superpozycja jest opisywana funkcj(! falow(! 11JI) calego wszechSwiata, ktory okresla siy niekiedy terminem "multiswiata" (multi-
Konwencjonalne ontologie teorii kwantowej
29.1
verse)t, jednak, moim zdaniem, bardziej wlasciwe byloby slowo omnium 2• Albowiem, chociaz powszechnie uwaia si y ten pogl,!d za wyraz wiary w rawnolegle wspalistnienie alternatywnych swiatow, takie stanowisko jest nieuprawnione. Wedlug tej koncepcji alternatywne swiaty w rzeczywistosci nie "istniej,!" oddzielnie - za rzeczywist'! uwaia si y tylko ogromn,!, szczegoln'! ich superpozycjy, ktor,! reprezentuje IljI). Dlaczego, w ramach (b), eksperymentator nie postrzega omnium jako aktualnej "rzeczywistosci"? Otoi, wedlug tego podejscia, stan swiadomosci obserwatora rowniei wspotistnieje w superpozycji kwantowej, a roine stany swiadomosci s,! spl,!tane z rozmaitymi mozliwymi wynikami dokonywanego eksperymentu. Zgodnie z tym pogl,!dem, efektywnie istniej,! "raine swiaty" odpowiadaj,!ce kaidemu moiliwemu wynikowi eksperymentu, a takZe oddzielna "kopia" eksperymentatora w kaidym z tych oddzielnych swiatow, wszystkie swiaty zas wspotistniej,! w superpozycji kwantowej. Kaida kopia eksperymentatora doswiadcza inn ego wyniku eksperymentu, ale poniewai nie rna miydzy nimi zadnej komunikacji, to kaidy z nich mysli, ie pojawia siy tylko ten wynik, jaki uzyskal. Zwolennicy (b) czysto utrzymuj,!, ie wraienie, ii istnieje tylko "jeden swiat", w ktorym wydaje nam siy, ie zachodz'! procesy R, jest wymuszone przez i,!danie, ieby eksperymentator charakteryzowal si y spojnym "stanem swiadomosci". Pogl,!d tego rodzaju po raz pierwszy wysun'!l Hugh Everett III w 1957 roku 3 (podejrzewam, ie prywatnie wczesniej podzielalo go wielu, nie zawsze z pelnym przekonaniem - ja sam w polowie lat piycdziesi,!tych ubieglego wieku bylem bliski takiego stanowiska, aczkolwiek nie mialem odwagi wyst,!pic z tym publicznie!) Niezaleinie od radykalnie przeciwstawnego charakteru tych koncepcji (a) i (b) maj,! znamienne punkty wspolne, dotycz'!ce tego, w jaki sposob IljI) odnosi siy do obserwowanej przez nas "rzeczywistosci" - przez ktor,! rozumiem wygl,!daj,!cy na realny swiat, zjakim, w makroskopowej skali, mamywszyscy do czynienia. W obserwowanym przez nas swiecie tylko jeden wynik eksperymentu przyjmuje siy za "wlasciwy" i mamy peIne prawo uwaiac, ie do fizykow naleiy objasnienie nam alba wymodelowanie zagadnien, ktore zwykle traktujemy jako "rzeczywiste". Tymczasem ani w (a), ani w (b) nie uwaza siy, ie wektor stanu IljI) opisuje ty rzeczywistosc. W kaidym przypadku musimy wprowadzic czynnik swiadomosci eksperymentatora, aby zrozumiec, w jaki sposob uiyty formalizm odnosi siy do obserwowanej rzeczywistosci. W przypadku (a) sam wektor stanu IljI) uwaia siy za artefakt ludzkiej percepcji, podczas gdy w (b) "zwykla rzeczywistosc" odbija siy jakos w swiadomosci eksperymentatora, wektor stanu IljI) reprezentuje zas pewn'! glybsz,! rzeczywistosc (omnium), ktorej nie jestesmyw stanie postrzegac bezposrednio. W obydwu przypadkach "przeskoki" R nie s,! uwazane za fizycznie realne, a wszystko dzieje siy, w pewnym sensie, wyl,!cznie w naszej swiadomosci! W odpowiednim miejscu sprobujy wyjasnic wlasne klopoty z obydwoma tymi stanowiskami, ale zanim do tego przejdy, powinienem wspomniec 0 jeszcze innej moiliwosci interpretacji konwencjonalnej mechaniki kwantowej. Stanowisko to,
753
29
Paradoks pomiaru
o ile jestem w stanie ocenie, jest najbardziej rozpowszechnione wsrod fizykow (c) chodzi mianowicie 0 koncepcjy dekoherencji srodowiskowej - aczkolwiek jest bardziej pragmatyczne niz ontologiczne. Pogl~d (c) sprowadza siy do tego, ze w kai:dym procesie pomiaru kwantowego rozwazany uklad kwantowy nie moze bye rozpatrywany w izolacji od swojego otoczenia. Tak wiyc kiedy dokonujemy pomiaru, kazdy wynik nie stanowi samoistnego stanu kwantowego, lecz musi bye traktowany jako czyse pewnego stanu spl~tanego (rozdz. 23.3), w ktorym kazdy alternatywny wynik jest spl~tany z innym stanem otoczenia. Naturalnie, na to otoczenie sklada siy cala masa cz~stek, wykonuj~cych efektywnie ruchy losowe, zatem pelny opis szczegolow ich polozen i pydow musimy uwazae praktycznie za calkowicie nieobserwowalny4. Istnieje dobrze zdefiniowana procedura matematyczna, dziyki ktorej mozna poradzie sobie z takimi sytuacjami, gdy mamy do czynienia z fundamentalnym brakiem wiedzy: w takich przypadkach "wysumowujemy" po nieznanych stanach srodowiska i otrzymujemy wielkose znan~ jako macierz g~stosci, ktora pozwala opisae rozwazany uklad fizyczny. Macierze gystosci s~ bardzo wazne dla ogolnej dyskusji problemu pomiaru w mechanice kwantowej (s~ tez wazne w innych kontekstach), ale ich ontologiczny status pozostaje niewyjasniony. Wkrotce wytlumaczy, czym jest macierz gystosci (w rozdz. 29.3). Nastypnie przekonamy siy, dlaczego dla zwolennikow pogl~du (c) jest wazne, ze ontologia macierzy gystosci nie jest calkiem jasna! Uwazaj~ siy oni za "pozytywistow", nie chq miee nic wspolnego z "gadanin~" ontologow i glosz~, ze nie obchodzi ich wcale kwestia tego, co jest "rzeczywiste", a co "nierzeczywiste". Stephen Hawking powiedzial pewnego razu 5 : "Nie wymagam, ieby teoria odpowiadala rzeczywistosci, poniewai nie wiem, co to jest rzeczywistosc. Rzeczywistosc nie jest czyms, co moina wykryc za pomOCq papierka lakmusowego. Wszystko, co mnie interesuje, to pytanie, czy teoria jest w stanie przewidziec wyniki pomiar6w".
Moje stanowisko w tej materii zaklada, ze zagadnienie ontologiczne jest kluczowe dla mechaniki kwantowej, chociaz pojawiaj~ siy tutaj problemy, ktore w chwili obecnej s~ wci~z dalekie od rozwi~zania.
29.2 Ontologie niekonwencjonalne
Zanim przejdy do szczegolow, pozwoly sobie omowie jeszcze trzy inne ogolne pona mechaniky kwantow~. Nie naleZy jednak s~dzie, ze przedstawiona przeze mnie lista jest w jakims sensie kompletna ani ze te nowe stanowiska s~ zupelnie niezalezne od przedstawionych w poprzednim rozdziale. Rozpatrywana przeze mnie list a (a), (b), (c), (d), (e), (f) prezentuje rozne punktywidzenia, najczysciej spotykane we wspokzesnej literaturze, nie wyczerpuje jednak zagadnienia ani nie jest calkowicie oryginalna. Trzy dodatkowe ontologie, ktore tutaj omowiy, pokazuj~ zmiany w zwyklym formalizmie kwantowym, ale w ramach dwu z nich, mianowicie gl~dy
754
Ontologie niekonwencjonalne
29.2
w (d) i (e), nie oczekuje siy, ze bydzie mozna eksperymentalnie odroznic proponowany formalizm od standardowej mechaniki kwantowej. Stanowisko (d) jest podejsciem "spojnych historii" i zawdziyczamy je Griffithsowi, Omnes'owi oraz Gell-Mannowi i Hartle'owi, natomiast (e) jest ontologi,! "fali pilotuj,!cej" zaproponowan'! przez de Broglie'a oraz Bohma i Hileya6• Ostatnia mozliwosc (f) przedstawia pogl,!d, ze obecna mechanika kwantowa jest jedynie pewnym przyblizeniem do jakiejs ulepszonej teorii, w ktorej zarowno U, jak i R maj'l charakter obiektywny, jako procesy rzeczywiste; co wiycej, oczekuje siy, ze przyszle eksperymenty byd,! w stanie dokonac rozroznienia takiej teorii od konwencjonalnej mechaniki kwantowej. Kiedy zapoznamy siy z niezbydnymi narzydziami, przedstawiy moj,! oceny wszystkich mozliwosci od (a) do (f). Aby jednak czytelnik magI bezstronnie podejsc do tej oceny, dla unikniycia nieporozumien powiem od razu, jakie jest moje stanowisko. Rzeczywiscie, mocno wierzy, ze konieczny jest postyp na drodze wskazywanej przez (f), aby mechanika kwantowa byla w pelni spojn,! teori,!. W kolejnym rozdziale przedstawiy pewn'! konkretn,! wersjy (f), ktora wydaje mi siy najbardziej naturalna. Najpierw zaprezentujy listy mozliwosci, aby ulatwic czytelnikowi sledzenie dalszych wywodow: (a) (b) (c) (d) (e) (f)
szkola kopenhaska, koncepcja wielu swiatow, dekoherencja srodowiskowa, spojne historie, fala pilotuj,!ca, nowa teo ria z obiektywnym R.
Poniewaz nie objasnilem jeszcze (d) i (e), pragny zrobic kilka uwag. Formalizm "spojnych historii" (d) przedstawia pewne uogolnienie standardowego sformulowania teorii kwantow. Niektorzy zwolennicy (d) wprowadzili do niej ontologiy nieco przypominaj,!C'! koncepcjy wielu swiat ow (b), nawet, pod pewnym wzglydem, bardziej ekstrawaganck'! - jednak wydaje mi siy, ze taka ontologia nie jest naprawdy niezbydna. Mozemy przyj,!c stanowisko odnosnie do (b) i (d), zgodnie z ktorym dysponujemy pewn'! przestrzeni,! Hilberta H, pewnym wyjsciowym stanem l1Jlo) nalez'!cym do H oraz hamiltonianem H jako podstawowymi elementam? W przypadku koncepcji wielu swiatow (b) stanowisko ontologiczne wymaga, zeby rzeczywistosc (a wiyc omnium) byla opisana jako jednoparametrowa rodzina stanow (elementow H, z parametrem czasowym t), rozpoczynaj,!ca siy od stanu l1Jlo) w chwili t = 0 i calkowicie podlegaj,!ca, dla t > 0, ewolucji schrOdingerowskiej zdeterminowanej przez H. W tej koncepcji R nie istnieje, mamy tylko U. Natomiast w przypadku koncepcji spojnych historii (d) schemat ten zostaje nieco poszerzony, tak aby "procedury typu R" wl,!czyc do tej "ewolucji", nawet jesli nie wi'!zemy ich w zaden sposob z przeprowadzanymi pomiarami. Aby zrozumiec matematyczn,! natury tych procedur, musimy sobie przypomniec, na podstawie rozdz. 22.5, 6, w jaki sposob opisujemy matematycznie po-
755
29
Paradoks pomiaru
miar kwantowomechaniczny (nawet jesli, jak w przypadku (d), procedur tych nie traktujemy jak pomiary), w terminach dzialania pewnego hermitowskiego (albo normalnego) operatora Q. Jesli tuz przed dokonaniem pomiaru stanem ukladu jest 11J.I), w6wczas natychmiast po pomiarze uklad ten "przeskakuje" do stanu wlasnego operatora Q, odpowiadajq.cego wartosci wlasnej Q, kt6rq. uzyskalismy w wyniku pomiaru. Jesli jednak interesuje nas jedynie efekt na 11J.I), to mozemy r6wnie dobrze zastq.pic Q "zbiorem zupelnym ortogonalnych operator6w rzutowych" El' E z' E 3,... , Er (zakladajq.c, ze Q rna dokladnie r r6znych wartosci wlasnych i ze nasza przestrzen Hilberta H jest skonczenie wymiarowa). W6wczas, jesli pomiar wskazuje wartosc wlasnq. q., stwierdzamy, ze nastq.pil przeskok od stanu 11J.I) do stanu prof porcjonalnego do Ej11J.l) (postulat rzutowy). Przyjrzyjmy siy temu zagadnieniu nieco bardziej szczeg610wo. Na podstawie rozdz. 22.6 przypominamy sobie, ze operator rzutmvy to pewien operator E, kt6rego kwadrat jest hermitowski i r6wny sobie, a wiyc
E Z =E =E*. Stwierdzenie, ze operatory El' ... ' Er sq. wzajemnie ortogonalne, oznacza, iz
EiEj = 0 gdy tylko i *' j, natomiast ich zupelnosc oznacza, ze sumujq. siy one do jedynki I na H:
E J +E2 +E3 + ... +Er=l. Nazwijmy zbi6r operator6w E spelniajq.cych wszystkie te warunki po prostu zbiorem operatorow rzutowych. Zwiq.zek miydzy Q a jego odpowiednim zbiorem operator6w rzutowych jest taki, ze dla kazdej wartosci wlasnej qj operatora Q odpowiednia przestrzen wektor6w wlasnych sklada siy z wektor6w 0 postaci E)1J.I). Rola operatora rzutowego E.f polega na tym, ze dokonuje on rzutowania na przestrzen wektor6w wlasnych, odpowiadajq.cych wartosci wlasnej qj [Z9.1]. Postulat rzutowy w odniesieniu do operacji R (zob. rozdz. 22.6), w przypadku pomiaru reprezentowanego przez Q, m6wi nam, ze jesli wynik pomiaru wynosi q, f w6wczas 11J.I) przeskakuje do (czegos proporcjonalnego do) E)1J.I). Prawdopodobienstwo takiego przejscia wynosi
Jl! [29.1] Wyjasnij, dlaczego E11JI) jest wynikiern (nieunorrnowanyrn) porniaru opisanego przez Q = qlEl + q2E2 + q3E3 + : .. + q,E, w dzialaniu na 11JI), gdzie wartose wlasna wynosi qi'
756
a wielkosci ql' q2' q3' ... , q, s,! roznymi liczbarni rzeczywistymi. ezy potrafisz udowodnie, ze dowolny skonczenie wyrniarowy operator herrnitowski rna tak,! postae? (Wolno zaloi:ye, ze dowolna skonczenie wymiarowa rnacierz herrnitowska Q rnoze bye sprowadzona do postaci diagonalnej za pornoc,! odpowiedniej transforrnacji unitamej.) Operatory E nosz'! nazwy gl6wnych idempotent6w operatora Q. Jak to twierdzenie nalei:y zrnodyfikowae w przypadku nonnalnego operatora Q?
Ontologie niekonwencjonalne
29.2
przy zalozeniu, ze Iw) jest unormowany, a wiyc ze (wlw) = 1. Tak wiyc, aby opisae wplyw pomiaru odpowiadaj,!cego Q na stan kwantowy, musimy tylko rozwai:ye zbior projektorow zdefiniowany przez Q. Wroemy teraz do kwestii ontologii podejscia spojnych historii (d). Teoria posluguje siy wielkosciami zwanymi historiami gruboziamistymi (coarse-grained histories)8, z ktorych kazda w dui:ym stopniu przypomina schr6dingerowsko ewoluuj,!ce omnium z podejscia wielu swiatow (b), oraz hamiltonian em ?t. W podejsciu (d) dopuszczamy mozliwose zastosowania zbioru projektorow dla roznych wartosci t podczas ewolucji. Ontologiczny status zastosowania takiego zbioru operatorow rzutowych wci
757
29
Paradoks pomiaru
758
row operatorow rzutowych zaprowadzi nas do jeszcze wil(kszego zespolu alternatywnych "swiatow". Zwroemy jednak uwagl(, ze takZe w koncepcji wielu swiatow (b) moze pojawie sil( pewna ontologiczna konfuzja. "Rzeczywiste" ontologicznie omnium (opisywane przez Itp» stanowi superpozycjr; licznych roznych swiatow i ta kolekcja wszystkich swiatow (w odroznieniu od ich konkretnej superpozycji Itp» nie moze bye uwazana za "rzeczywist,!". Pewn'! rekompensat'! za tl( trudnose jest fakt, ze w formalizmie spojnych historii (d) teoria pozwala nam obliczae poprawne prawdopodobienstwa kwantowe, co raczej nie wystl(puje w ramach (b). W koncepcji Bohma (fala pilotuj,!ca), (e), z ulg,! stwierdzamy, ze stanowisko ontologiczne jest mniej fantastyczne, aczkolwiek nawet w tym przypadku pojawiaj,! sil( klopotliwe subtelnosci, mamy tu bowiem do czynienia z dwoma poziomami rzeczywistosci, z ktorych jeden jest bardziej solidny niz drugi. Najprosciej bl(dzie rozwaiye najpierw uklad fizyczny skladaj,!cy sil( z jednej tylko cz'!stki bezspinowej. W takim przypadku ten bardziej solidny poziom rzeczywistosci przedstawia aktualne polozenie cz'!stki. W eksperymencie dwoch szczelin (rozdz. 21.4, rys. 21.4), poniewaz polozenie cz'!stki jest ontologiczn,! rzeczywistosci,!, cz'!stka przechodzi alba przez jedn,! szczelinl(, albo przez drug,!, ale jej ruchem "kieruje" efektywnie funkcja falowa tp, a zatem tp uzyskuje tutaj status wtorny, choe wci,!z ontologicznie rzeczywisty. Wsrod zwolennikow tej teorii przyjmuje sil( na ogol nieco inny stosunek do modulu i do argumentu tp (rozdz. 5.1), zgodnie z ktorym modul jest wykorzystywany przy konstrukcji wielkosci okreslanej mianem "potencjalu kwantowego", natomiast argument sluiy do zdefiniowania "fali pilotuj,!cej". Wydaje sil(, ze takie rozdzielenie nie jest konieczne ijego znaczenie staje sil( mniej istotne w przypadku ukladow bardziej skomplikowanych. Mowi,!c ogolnie, mozemy uwazae tp za funkcjl( zespolon,!, zdefiniowan,! na przestrzeni konfiguracyjnej C; odgrywa ona roll( "pilota" kieruj,!cego zachowaniem sil( punktu P na C. Bardziej solidn'! cZl(se rzeczywistosci ukladu stanowi konfiguracj a klasyczna zdefiniowana przez P, ale pewien rodzaj (slabszy) rzeczywistosci przypisujemy rowniez funkcji tp ze wzgll(du na jej roll( w pilotowaniu zachowania P. Uwaza sil(, ze wszystkie pomiary ostatecznie sprowadzaj,! sil( do pomiaru "polozenia", co w tym przypadku oznacza pomiar konfiguracji ukladu. Kwadrat modulu Itpl2 w pewnym punkcie Q na C definiuje gl(stose prawdopodobienstwa znalezienia ukladu w konfiguracji okreslonej przez Q, ale polozenie P na C wyznacza to, co uznaje sil( za aktualnq konfiguracjl( ukladu. Wszystko to wydaje sil( niemal "zbyt pil(kne", ale s,!, niestety, drobne zastrzezenia. Przede wszystkim wylania sil( obraz bardzo nielokalny, w ktorym tp jest obiektem wysoce "holistycznym" (i tak bye powinno, zeby pozostae w zgodzie z holistycznym charakterem funkcji falowej, co podkreslalismy w rozdz. 21.7). To jednak wydaje sil( nieuniknione w mechanice kwantowej. Spraw,! nieco powazniejsz,! jest fakt, ze istniej,! wazne warunki, ktore musz'! bye nalozone na rozklad prawdopodobienstwa dla stanu pocz'!tkowego Itpo)' zeby zachowane byly reguly prawdopodobienstwa kwantowego dla Itpl2 i zeby reguly te byly spelnione podczas kolej-
Ontologie niekonwencjonalne
29.2
nych pomiarow. Jest jeszcze inne zagadnienie, a mianowicie mozna kwestionowac poprawnose zalozenia, iz wszystkie pomiary w ostatecznym rachunku daj~ siy sprowadzie do pomiarow polozenia (szczegolnie bior~c pod uwagy fakt, ze w mechanice kwantowej scisly pomiar polozenia nie jest w pelni mozliwy, zob. rozdz. 21.10), oraz pytanie, czy obraz przestrzeni konfiguracyjnej jest wystarczaj~co jednoznaczny, gdy rozwazamy parametry nieklasyczne, takie jak spin. Na rzecz stanowiska (e) zdecydowanie przemawia fakt, ze jest ono klarowne z ontologicznego punktu widzenia (chociaz, jak to zobaczymy w rozdz. 29.9, wystypuj~ tu dalsze problemy, z ktorymi trzeba siy zmierzye)l1. W koncu istnieje wiele roznych propozycji, ktore mozemy zaliczyc do (f). Nie byloby wlasciwe, gdybym probowal przedstawie je tutaj w szczegolach. Sformulujy wiyc tylko kilka uwag ogolnych. Wiele z tych propozycji akceptuje (przynajmniej prowizorycznie) ontologicznie rzeczywisty status ewoluuj~cego wektora stanu 11/J). W takiej teorii ewolucja czasowa 11/J) bydzie czyms w przyblizeniu bliskim naprzemiennosci procedur U i R, ktore standardowa mechanika kwantowa zaleca nam praktycznie zaadaptowae; zob. rys. 22.1. Niezaleznie od tego, ze uwaza siy, iz teorie zgodne ze stanowiskiem (f) lez~ poza "glownym nurtem" analiz kwantowomechanicznych, wypada stwierdzie, iz stanowisko (f) najbardziej akceptuje realnosc formalizmu mechaniki kwantowej, praktycznie stosowanego, poniewaz oha procesy ewolucji kwantowomechanicznej, U i R, S,! traktowane powaznie z ontologicznego punktu widzenia, jako opisuj~ce ewolucjy rzeczywistosci! Klopot polega na tym, ze U i R s~ wzglydem siebie matematycznie niesp6jne i dlatego stanowisko (f) wymaga wprowadzenia jakichS zmian w porownaniu ze zwykl,! ewolucj~ unitarn~. To jest w zasadzie powod, dla ktorego (f) leZy "poza glownym nurtem"! Dlaczego R jest matematycznie niespojne z U? Bye moze najbardziej oczywistym powodem jest fakt, ze R reprezentuje nieci~gl~ zmiany wektora stanu (oprocz wyj~tkowej sytuacji, gdy stan ukladu tuz przed pomiarem jest stanem wlasnym operatora pomiaru), podczas gdy U dziala zawsze w sposob ci,!gly. Ale nawet jesli wyobrazimy sobie, ze "skok" wywolany przez R nie jest absolutnie natychmiastowy, to nadal bydziemy mieli klopot z unitarnosci~, poniewaZ w procedurze R nie rna determinizmu. Ta sarna przyczyna moze spowodowae najrozniejsze alternatywne przejscia, a taka sytuacja nigdy nie zdarza siy w procedurze U. Co wiycej, teoria, ktora sprowadza R do realnego procesu, nigdy nie bydzie unitarna, jesli mamy do czynienia z (nietrywialnym) przeskokiem kwantowym - zgodnym z R. A gdy to pominiemy, wowczas miydzy owymi dwoma procesami zachodzi godna uwagi zgodnose, poniewaz regula "kwadratu modulu", ktora przerywa ewolucjy U i zapewnia probabilistyczn~ procedury R, wykorzystuje "unitarnose" U, aby umozliwic sformulowanie prawa zachowania prawdopodobienstwa dla R Gest to w zasadzie odzwierciedlenie faktu, ze iloczyny skalarne (¢I1/J), z ktorych wyliczane s~ prawdopodobienstwa kwantowe, s~ zachowane w trakcie unitarnej ewolucji czasowej, zob. rozdz. 22.4, 5). To integralna czysc dziwow mechaniki kwantowej i po-
759
29
Paradoks pomiaru
wainy powod, dla ktorego nikt nie chce manipulowae przy jej zasadach, co czysciowo wyjasnia, dlaczego podejscie (f) nie jest specjalnie popularne wsrod wspolczesnych fizykow kwantowych. Mimo to wierzy, ze istniej,! waine powody uprawniaj,!ce do oczekiwania na zmiany, ktora w moim przekonaniu powinna stanowie zasadnicz,! rewolucjy, a nie prowizoryczne "latanie" formalizmu mechaniki kwantowej. lednak te niezbydne zmiany musz'! w pelni respektowae podstawowe zasady, ktore tkwi'! w samym sercu wspolczesnej fizyki. Scislose formalizmu kwantowego uzasadnia oba te wymagania. Dla porownania przywolajmy scislose fizyki Newtona. Ani teoria wzglydnosci, ani mechanika kwantowa nie wynikly z niej na zasadzie "latania" jej niedostatkow, lecz na drodze rewolucyjnych zmian w mysleniu, co prawda z pelnym poszanowaniem dla struktury teorii Newtona, z jej wysoce zorganizowanym formalizmem lagranzowsko-hamiltonowskim i geometri,! symplektyczn'!. Czy reformy mechaniki kwantowej, ktore sugerowali do tej pory rozni badacze 12, maj,! wlasnie charakter rewolucyjny, czy jest to jedynie dorazne latanie? Muszy przyznae, ze w wiykszosci koncepcje te naleZy uwazae za prowizoryczne, choe niektore idee zawierajq wskazowki do poszukiwania wlasciwej drogi w strony ulepszonej teorii kwantowej.
29.3 Macierz 9Qstosci Ale sk,!d w ogole bierze siy koniecznose "ulepszenia" teorii kwantowej? Wydaje siy, ze wiykszose fizykow kwantowych wierzy, iz taka nowa teoria nie jest potrzebna, i jakos pogodzila siy z widocznymi sprzecznosciami i niejasnq ontologiq tego lub innego, standardowego obrazu (lub brakiem takiego obrazu). Zanim sprobujemy odniese siy do trudnosci, jakie mog,! pojawie siy w "standardowych" obrazach (a), (b) i (c), musimy zapoznae siy z koncepcjq macierzy gystosci, ktora rna fundamentalne znaczenie nie tylko w formalizmie (c), ale odgrywa bardzo wazn,! roly w wielu innych aplikacjach mechaniki kwantowej. Ponadto zwi,!zane Sq z ni,! intryguj,!ce i glybokie zagadnienia dotycz'!ce tego, w jaki sposob rzeczywistose moze bye przedstawiona w formalizmie mechaniki kwantowej. Przypusemy, ze mamy do czynienia z ukladem, ktorego stan nie jest nam calkowicie znany. To moze bye stan I1/') albo stan 11», alba stan ... , albo moze to bye stan Ix). Lista stanow moze bye nieskonczona, lecz do naszych celow wystarczy ograniczye siy do skonczonej listy mozliwosci. Kazdej z tych rnozliwosci przyporz,!dkowujemy jakies prawdopodobienstwo, niech to bydzie odpowiednio p, q, ... s. Te prawdopodobienstwa musz'! wyczerpywae wszystkie mozliwosci, a zatem ich sum a - kazde prawdopodobienstwo jest liczbq rzeczywistq z przedzialu 0 do 1 (wl,!czaj,!c konce) - musi bye rowna jednosci: p+q+ ... +s=1. Zalozmy, ze kazdy ze stanow 11/'), 11», ... , Ix) jest unormowany:
760
111/'11
=
1, 111>11
=
1, ... , Ilxll
=
1.
Macierz
g~stosci
29.3
(Przypomnijmy sobie z rozdz. 22.3, ze 111p11 = (1pI1p) etc.) Teraz mozemy zdefiniowac macierz gystosci jako wielkosc:
D
= pl1p)(1p1
+ ql¢)(¢1 + .. , + slx)(xl·
Przypomnijmy z rozdz. 22.3, ze wektor bra (1p1 oznacza wektor sprzyzony hermitowsko wzglydem wektora ket 11p). Wielkosc 11p)(1p1 jest wiyc iloczynem tensorowym (albo iloczynem zewnytrznym) 11p) z (1p1 itd. W zapisie wskaznikowym (rozdz. 23.8) mozemy zapisac (1p1 jako ijja' gdy 1pa reprezentuje 11p). W takim zapisie iloczyn a 11p)(1p1 przedstawimy jako 1paijjp etc. Zgodnie z tym wielkosc D zapiszemy jako D p' Algebraiczne wlasnosci macierzy gystosci Sq takie, ze jest to macierz hermitowska, nieujemnie okreslona (zob. rozdz. 13.8,9) i jej slad jest rowny jednosci:
= D, (£IDI£) ~ 0 dla wszystkich 1£), (D) = 1, trace D = Daa (zob. rozdz. 13.4) [292]. D*
gdzie (D) = Macierz gystosci w mechanice kwantowej odgrywa roly analogicznq do tej, jaka jest CZysto wykorzystywana w klasycznej mechanice statystycznej, kiedy nie interesuje nas specjalnie dokladny (klasyczny) stan ukladu, lecz zadowalamy siy rozwazeniem jakiegos rozkladu prawdopodobienstwa klasycznych alternatyw. Najlatwiej takq analizy prowadzic w terminach przestrzeni fazowej P zawierajqcej wszystkie te alternatywne mozliwosci. Zamiast zajmowac siy ukladem reprezentowanym przez punkt P w przestrzeni P, rozwazamy rozklad prawdopodobienstwa na P. Jesli dla danego ukladu mamy skonczonq liczby alternatyw13, 0 prawdopodobienstwachp, q, ... , s, wowczas mozemy je przedstawic jako skonczony zbior punktow P, Q, ... , S w Pi kazdemu z nich przyporzqdkowac jego odpowiednie prawdopodobienstwo p, q, ... , s; zob. rys. 29.1. Podobnie moglibysmy postqpic w fizyce kwantowej, wowczas roly przestrzeni fazowej P odgrywalaby przestrzen Hilberta H ukladu kwantowego. Otrzymalibysmy wowczas pewien rozklad prawdopodobienstwa w H. W zwiqzku z rozwazanq przez nas macierzq gystosci D rozklad ten dotyczylby skonczonej liczby punktow P, Q, ... , S w H, z przyporzqdkowanymi im prawdopodobienstwami p, q, ... , s.
Rys. 29.1. KJasyczne rozklady prawdopodobienstwa przedstawione w przestrzeni fazowej P. (a) Dla skonczonego zbioru punkt6w P, Q, ... , S w P kaZdemu punktowi przyporz,!dkowujemy wartosc prawdopodobienstwa p, q, ... , s (s,! to liczby rzeczywiste z przedzialu od 0 do 1), gdzie p + q + ... + s = 1. (b) Rozklad ci,!gly, z miar,! prawdopodobienstwa (nieujemna rzeczywista gystosc), kt6rej calka wynosi 1, przyporz'!dkowana pewnemu obszarowi w P.
fO [29.2] Wyprowadz te wlasnosci.
761
29
Paradoks pomiaru
1 ednak w mechanice kwantowej nie postt(pujemy w ten sposob, poslugujemy sit( natomiast macierzq gt(stosci 14 • Dlaczego? Powod jest taki, ze w mechanice kwantowej pomiar 0 charakterze pytania zadanego ukladowi kwantowemu - ograniczmy naSZq uwagt( jedynie do pytan wymagajqcych odpowiedzi TAK/NIE - wyrazamy w terminach dzialania pewnego operatora rzutowego E na (unormowany) wektor stanu I~). W takim przypadku prawdopodobienstwo uzyskania odpowiedzi TAK dane jest przez[29.3] prawdopodobienstwo TAK =
(~IEI~),
z czego wynika, ze dla zmieszanego prawdopodobienstwa mozliwych alternatywnych stanow IlJl), 14», ... , Ix), opisanych poprzednio, z macierzq gt(stosciD, otrzymujemy odpowiedz prawdopodobienstwo TAK = (ED). Znaczenie tego jest takie, ze aby obliczye prawdopodobienstwa standardowych wynikow TAK/NIE w mechanice kwantowej (czy w istocie wartosci oczekiwanych dowolnych obserwabli kwantowych), nie potrzebujemy miee kompletnej informacji o rozkladzie prawdopodobienstwa alternatywnych stanow IlJl), ... , Ix) [29.4]; cal a niezbt(dna informacja jest zawarta w macierzy gt(stosci, a jak niebawem sit( przekonamy, dana macierz gt(stosci moze bye zlozona z wielu r6inych rozkladow prawdopodobienstwa stanow. Tt( waznq wielkose matematycznq cechuje zarowno ekonomia, jak i elegancja (zostala ona wprowadzona przez wybitnego matematyka wt(giersko-amerykanskiego 10hna von Neumanna w 1932 roku). Lqczyw jednym wyraZeniu to, co wydaje sit( dwoma roznymi pojt(ciami prawdopodobienstwa. Z jednej strony mamy liczby p, q, ... , s, ktore podajq zwykle klasyczne prawdopodobienstwa alternatywnych stanow IlJl), 14», ... , Ix), podczas gdy z drugiej strony mamy kwantowe prawdopodobienstwa uzyskane z reguly kwadratu modulu z rozdz. 21.9. Macierz gt(stosci lqczy te pojt(cia i nie zawsze odroznia bezposrednio jedno od drugiego.
29.4 Macierz 9fi'stosci dla spinu ~; kula Blocha Sprobujt( zilustrowae to zagadnienie na prostym przykladzie. Przypusemy, ze mamy czqstkt( 0 spinie i wiemy, ze jej stan spinowy jest albo stanem 11') alba I~), z prawdopodobienstwem dla kazdej z tych alternatyw. Jesli chcemy dokonae pomiaru spinu w kierunku gora-dol, to otrzymamy po pro stu "gora" dla stanu 11') i "dol" dla stanu I~). W kazdym przypadku prawdopodobienstwo wynosi To Sq proste klasyczne prawdopodobienstwa i nie rna tu zadnej kwantowej tajemnicy. Ale przypusemy, ze chcemy zmierzye spin w kierunku lewo-prawo zamiast gora-dol. Wowczas, jesli mierzymy stan 11'), to procedury kwantowe R mowiq nam, ze prawdopo-
t
t
t.
762
Jjj [29.3] Wyjasnij dlaczego. Wyprowadz takZe wyraienie (ED) poniiej.
a
[29.4] Czy moiesz to wyjasnic?
Macierz g~stosci dla spinu t; kula Blocha
29.4
t
dobienstwo wyniku ,,1ewo" wynosi i takie sarno jest prawdopodobienstwo wyniku "prawo". Dokladnie identyczny bydzie wynik, jesli badany stan jest stan em I""). A zatem badajqc mieszaniny stanow 11') i I-J..), jako prawdopodobienstwo wyniku "lewo" i "prawo" nadal otrzymamy Teraz jednak prawdopodobienstwa te wynikajq calkowicie z kwantowomechanicznego prawa "kwadratu modulu". Moglibysmy rowniez probowae mierzye spin w dowolnie innym kierunku. Uzyskane prawdopodobienstwa znowu wyniosq dla kazdego wyniku, ale prawdopodobienstwo bydzie teraz, w ogolnym przypadku, zlozeniem prawdopodobienstwa klasycznego i kwantowego[29.s 1• Alternatywnie moglibysmy wyobrazie sob ie, ze zamiast obracae aparaturq pomiarowq, dokonujemy obrotu zmieszanych stanow. W przypadku mieszaniny "rownego prawdopodobienstwa" stanow I~) i 1-7) otrzymamy zatem takie same wyniki jak w przypadku rozpatrywanej przed chwilq mieszaniny stanow 11') i I-J..) i identyczne bydq wyniki pomiaru mieszaniny stanow I~) i I~) (w kazdym przypadku zakladamy, ze stany te Sq wzajemnie ortogonalne i unormowane: (1' I-J..) = (~I-7) = (~I~) = 0 oraz (1'11') = (-J..I-J..) = ... = (~I~> = 1). Dla kazdego z tych przypadkow otrzymamy macierz gystosci:
t.
t,
t 11'>(1'1 +t I-J..)(-J..I,
D
=
D
=
t I~)(~I + t 1-7)(-71,
D =
t I~)(~I +t I~>(~I,
i jest godne uwagi, ze wszystkie te macierze gystosci Sq takie same[29.61. Wszystkie omowione prawdopodobienstwa wynikow pomiarow spinowych mozemy uzyskae za pomoq podanego poprzednio wzoru (ED). Jesli zatem wszystkie D Sq identyczne, to i odpowiednie prawdopodobienstwa mUSZq bye identyczne, i to pokazalismy. Ale jak mamy potraktowae ontologi~ tych mieszanin stanow 0 takim samym prawdopodobienstwie? Jesli chcemy przypisae stanowi kwantowemu charakter jakiejs fizycznej rzeczywistosci, wowczas wszystkie trzy sytuacje Sq zdecydowanie ontologicznie rozne. Czyms zdecydowanie innymjest powiedziee, ze jest takie sarno prawdopodobienstwo, iz rozpatrywany stan jest jednq z (fizycznie realnych) alternatyw 11'),1-J..), niz powiedziee, ze jest rownie prawdopodobne, iz moze to bye stan I~) lub 1~).Tymczasem w literaturze kwantowomechanicznej to ontologiczne zagadnienie jest rzadko wlasciwie rozumiane. CZysto wydaje siy, ze fizycy kwantowi przyjmujq zupelnie rozne stanowisko ontologiczne niz tutaj przedstawione, uwazajqc, iz sarna macierz gystosci daje lepszy opis rzeczywistosci niz poszczegolne stany kwantowe. Mozna by wiyc sqdzie, ze te trzy, w oczywisty sposob rozne ontologie dla D (tzn. trzy rozne zbiory alternatywnych stanow kwantowych z wazonym ~
[29.5] Udowodnij to dla dowolnego kqta () do kierunku pomiaru, korzystajqc z wyrazenia na prawdopodobienstwo, ~(1 + cos(}), podanego w rozdz. 22.9. ~ [29.6] Udowodnij to, wykonujqc obliczenia explicite; skorzystaj z wynik6w rozdz. 22.8, 9 i ewiczenia [22.25].
763
29
Paradoks pomiaru
prawdopodobienstwem) s,! fizycznie nierozroznialne. W takim razie fizycy ci czysto zwolennicy koncepcji dekoherencji srodowiskowej (c) - mogliby zajmowac pozytywistyczne czy tez pragmatyczne stanowisko na temat braku sensu rozrozniania tych alternatyw. Z takiego punktu widzenia rzeczywistosc kwantowa jest najlepiej opisywana przez macierz gystosci. Rzeczywiscie, w wielu kontekstach przez termin "stan" rozumie siy cZysto macierz gystosci, a nie bardziej prymitywne pojycie, ktorym siy do tej pory poslugiwatem, nazywaj,!c "stanem kwantowym" wielkosc opisywan,! ketem, takim jak 11JI). Kiedy terminu "stan" uZywa siy w sensie macierzy gystosci, wowczas terminu "stan czysty" uZywa siy w odniesieniu do macierzy gystosci 0 postaci 11JI)(1JI1, natomiast "stan mieszany" oznacza bardziej ogoln,! macierz gystosci, ktora nie moze byc tak przedstawiona. W tym sensie "stany czyste" oznaczaj'! to, co ja nazywalem po prostu "stanem". Moim zdaniem okreslanie macierzy gystosci mianem "stanu" (zarowno czystego, jak i mieszanego) prowadzi do nieporozumien i nie bydy tej terminologii tutaj stosowal. Dla mnie "stan kwantowy" jest efektywnie wektorem stanu kwantowego 11JI), a nie macierz,! gystosci. Co prawda niektorzy woleliby rozrozniac miydzy terminami "stan kwantowy" a "wektor stanu kwantowego", rozumiej,!c przez ten ostatni termin ket 11JI), a przez "stan kwantowy" klasy rownowaznosci niezerowych zespolonych wielokrotnosci 11JI), tzn. element lZutowej przestrzeni Hilberta lP'H, odpowiadaj,!CY elementowi 11JI) z H (zob. rozdz. 15.6). Jesli zdecydujemy siy unormowac 11JI) przez z,!danie (1JI11JI) = 1, wowczas jedyn,! swobod,!, jaka nam pozostaje do okreslenia 11JI) (dla danego punktu w lP'H), jest swoboda okreslenia fazy, 11JI) ~ e iol1Jl) (0 jest rzeczywiste); zob. rys. 29.2. Pojc;:cie macierzy gc;:stosci "stanu czystego" jest efektywnie rownowazne temu "rzutowemu" pojc;:ciu stanu kwantowego, poniewaz 11JI)(1JI1 jest niezmiennicze wzglydem takiej zmiany fazy. Moglibysmy zatem sensownie przyj,!c stanowisko, ze macierz gystosci stanu czystego wlasciwie opisuje fizyczny stan kwantowy.
(a)
764
(b)
Rys. 29.2. Jak mozemy przedstawic czysty stan kwantowy? (a) Przestrzen ket6w 11p), unormowanych warunkiem (1f'i1p) = 1. (b) Macierz gcestosci 11p)(1p1 jest "r6wnowazna" 11p) z doldadnosciil do czynnika fazowego 11p) ~ e i8 11p) oraz rodzinie niezerowych ket6w proporcjonalnych do 11p) (czynniki proporcjonalnosci Sil zespolone). W terminach macierzy gcestosci trudno jednak sformulowac podstawowy kwantowy warunek liniowosci.
Macierz gestosci dla spinu t; kula Blocha
29.4
Wci,rl jednak czujy siy nieswojo, gdy traktujy takq. macierz gystosci "stanu czystego" jako wlasciwq. reprezentacjy matematycznq. "stanu fizycznego". Czynnik fazowy e i8 jest tylko wtedy wielkosciq. "nieobserwowalnq.", jesli rozwa.zany stan reprezentuje caly uklad, jakim siy interesujemy. Kiedy rozwazamy stan bydq.cy czysciq. wiykszego ukladu, musimy rowniez uwzglydniae fazy. Co wiycej, fundamentalna zasada zespolonej liniowosci podstawowych struktur przestrzeni Hilberta ketow staje siy matematycznie niepotrzebnie skomplikowana, jesli musimy zawsze poslugiwac siy wielkosciami typu !t/J)(t/J! zamiast znacznie prostszych !t/J) (lub (t/J!Y29.7]. Z tych powodow miydzy innymi proponujy traktowae macierz gystosci nie jako "rzeczywistose", lecz jako poZyteczne narzydzie. Jak przekonamy siy w tym i nastypnym rozdziale, istniejq. rownieZ inne intrygujq.ce aspekty niejasnego statusu ontologicznego macierzy gystosci. Zanim jednak do tego przejdziemy, wypada zapoznae siy z kulq Blocha, ktora reprezentuje przestrzen macierzy gystosci dla ukladow 2-stanowych. Jest to zamkniyta stala kula (albo, w terminologii matematycznej, 3-kula lub 3-kolo) B3 w 3-przestrzeni Euklidesa. Przedstawia ona macierze gystosci dla spinu ~ (albo dla jakiegokolwiek ukladu 2-stanowego); zob. rozdz. 22.9. Dowolnq. macierz hermitowskq. 2 x 2 0 sladzie 1 mozemy zapisae w postaci
.!.(I+a 2 b-ic
b+iCJ
I-a '
gdzie a, b i c sq. liczbami rzeczywistymi. Aby macierz ta mogla bye macierzq. gystosci, musi bye nieujemnie okreslona, a wiyc musi bye spelniony warunek[29.8]
a2 + b 2 + c2 ~ 1. Warunek ten przedstawia dowolny punkt w kuli Blocha B\ ktorej bnegiem S2 jest 2-sfera a 2 + b2 + c 2 = 1. W tym przypadku S2 prezentuje stany czyste ukladu 2-stanowego (takie jak spin ~) i przestrzen ty mozemy zidentyfikowae jako sfer~ Riemanna S2, opisanq. w rozdz. 22.9 15 • Rozwazanq. przez nas macierz gt(stosci D = (~I) reprezentuje teraz srodek kuli Blocha i jej calkowicie niejednoznaczna interpretacja ontologiczna jasno wynika z symetrii tego obrazu (rys. 29.3). Interpretacja ontologiczna dowolnego punktu L wewnq.trz B 3, reprezentujq.cego ("nieczystq.") macierz gystosci, jest rownie niejednoznaczna. Aby sit( 0 tym przekonae, narysujmy dowolnq. linit( prostq. (cit(ciwt() przechodzq.cq. przez L i przecinajq.cq. brzeg S2 w punktach PI i P 2 • Punkty te reprezentujq. dwa stany czyste i macierz gystosci L moze bye interpretowana jako mie-
1m. [29.7] Przekonaj siy, czy potrafisz scharakteryzowae rodziny rnacierzy gystosci "stanu czystego" odpowiadajqcq kornbinacji liniowej wi1/!) + zl~) dla dowolnej pary ustalonych stanow I1/!) i I~). [29.8] Udowodnij to. l*kaz6wka: jaki jest iloczyn wartosci wlasnych wyrazony przez a, b i c? Co to znaczy, ze ten iloczyn rna bye nieujernny?
Jig
765
29
Paradoks pomiaru
Rys. 29.3. Kula Blocha B3 rnacierzy gystosci dla ukladu 2-stanowego, ze srodkiern w ~I. Ka:i:da ("nieczysta") rnacierz gystosci L rna niejednoznacznq interpretacjy ontologicznq. Dowolna linia prosta poprowadzona przez L przecina brzeg S2 w P 1 i P2; w6wczas L interpretujerny jako rnieszaniny prawdopodobienstw czystych stan6w P 1 i P 2•
szanina tych dwu stanow z odpowiednimi prawdopodobienstwami[29.91• Jedynq szczegolnq cechq srodka D kuli Blocha jest to, ze wszystkie te pary stanow czystych, przez ktore D moze byc wyrazona, Sq parami stanow wzajemnie ortogonalnych. Jednak w definicji macierzy gt(stosci nie rna niczego, co wymagaloby, zeby to mieszanie prawdopodobienstw zachodzilo mit(dzy stanami wzajemnie ortogonalnymi. W rozdz. 29.5 zobaczymy, ze z calq pewnosciq mogq pojawic sit( mieszaniny stanow nieortogonalnych.
29.5 Macierz
g~stosci
w przypadku efekt6w EPR
Zbadajmy teraz szczegolnie klarownq sytuacjt(, w ktorej w naturalny sposob pojawia sit( zbior mozliwych wektorow stanu z waZonym prawdopodobienstwem. Odpowiednim przyklademjest eksperyment EPR-Bohma (rozdz. 23.4). Przypuscmy, ze gdzies mit(dzy Ziemiq a ksit(Zycem Saturna Tytanem - powiedzmy, w dwoch trzecich odleglosci do Tytana - wyemitowana zostaje para cZqstek EPR 0 spinie ale w stanie o lqcznym spinie O. Zakladam, ze moj kolega na Tytanie (nasz stary znajomy z rozdz. 23.4, 5) dokonuje pomiaru spinu dobiegajqcej do niego cZqstki w kierunku gora-dol i uzyskuje jakis wynik okolo pol godziny wczesniej, zanim druga cZqstka dotrze do mnie. Zalozmy, ze kiedy to nastqpi, nie uzyskam od mojego kolegi zadnego sygnalu, za pomoq ktorego moglby poinformowac mnie 0 wyniku jego pomiaru. (Tytan znajduje sit( w odleglosci okolo trzech godzin swietlnych od Ziemi.) Czqstka, ktora dociera do mnie, rna alba spin 11'), albo 1"-'). Ten stan bt(dzie stanem 11'), jesli moj kolega zmierzyll"-'), a stanem 1"-'), jeSli kolega zmierzy 11'). Skoro wiem, ze szanse na to, aby moj kolega znalazll1') alba 1"-'), sqjednakowe, muszt( zaloZyc, iz stan cZqstki, ktora dotrze do mnie (w pol godziny po przeprowadzeniu pomiaru przez mega kolegt(), z prawdopodobienstwem bydzie stanem 11'), i z takim samym prawdopodobienstwem stanem 1"-'). Skorzystam wiyc z macierzy gystosci
t,
t
766
~ [29.9] Wyjasnij, dlaczego tak jest, pokazujqc, ze owe dwa prawdopodobienstwa w tej mieszaninie wystt(pujq w takim samym stosunku jak stosunki dtugosci odcink6w, na jakie L dzieli cit(ciwt(.
Macierz g~stosci w przypadku efekt6w EPR
D
29.5
=t 11')(1'1 + t Iw)(wl
(oba te stany, 11') i Iw), Sq ortogonalne i unormowane: (1'lw)
=0 oraz (1'11') =1 =
= (wlw»). Moglo siy jednak zdarzye, ze w ostatniej chwili moj kolega zmienil zdanie i postanowil dokonae pomiaru spinu czqstki do niego docierajqcej nie w kierunku gora-dol, lecz w kierunku lewo-prawo. Jesli wynikiem jego pomiaru byt stan I~), to ja muszy otrzymae wynik I~) i na odwrot. I znowu prawdopodobienstwo otrzymania przez mego kolegy jednego z tych rezultatow wynosi Dlatego, poniewaz nie wiem jeszcze, jaki byl wynik jego pomiaru, muszy wnioskowae, ze moja czqstka moze bye w stanie I~) alba w stanie I~), z prawdopodobienstwem w obu przypadkach. Wobec tego konstruujy dla mojej czqstki macierz gystosci
t.
t
D
=
=
t I~)(~I + t I~)(~I
==
(gdzie (~I~) 0 i (~I~) 1 (~I~»). Oczywiscie, jak juz widzielismy, to jest dokladnie taka sarna macierz gystosci jak poprzednio. I tak powinno bye, poniewaz decyzja mojego kolegi na Tytanie, w jakim kierunku bydzie dokonywal pomiaru spinu, nie moze wplywae na prawdopodobienstwa tutaj, na Ziemi (w przeciwnym razie istnialaby mozliwose przesylania sygnalow z Tytana na Ziemiy z prydkosci q wiyksz q od prydkosci swiatla)lZ9.101• Wydaje siy wiyc, ze w rozwai:anym przypadku macierz gystosci daje nam bardzo dobry matematyczny opis fizycznej sytuacji. Stan spinowy cZqstki, ktora dotarla na Ziemiy, zakladajqc, ze nie wiem nic o procedurach na Tytanie - ani 0 kierunku, pod jakim moj kolega bydzie mierzyl spin, ani 0 wyniku jego pomiaru - jest bardzo dobrze opisany przez podanq macierz gystosci D. Oczywiscie, to wszystko funkcjonuje bardzo dobrze tylko wtedy, kiedy nie mam zadnych informacji z Tytana. Jesli wiem, jaki rodzaj pomiaru wykonuje moj kolega, to ta informacja bydzie miala wplyw na ontologiy stanu spinowego, ktory do mnie dotrze, ale nie bydzie miala wplywu na spodziewane prawdopodobienstwa pomiarow, jakie moglbym przeprowadzie na Ziemi 16. Moglbym zajqe stanowisko - jesli wiem, ze pomiary mojego kolegi zostaly wykonane w kierunku lewo-prawo - ze ontologia stanu spinowego mojej cZqstki jest alba "w lewo", alba "w prawo", tyle tylko, ze nie wiem, ktory z tych kierunkow jest wtasciwy - i jest to punkt widzenia, jakiego bym nie zajql, gdybym nie mial informacji 0 kierunku pomiaru mojego kolegi. J ednakZe ta ontologiczna wiedza nie bydzie miala wplywu na prawdopodobienstwa wynikow pomiarow, jakie przeprowadzy na Ziemi, moglbym wiyc zajqe stanowisko alternatywne: ze "ontologia" nie rna tu zadnego znaczenia i jest, bye moze, pozbawiona naukowego sensu, a wiyc wszystko, czego wymaga nauka, to macierz gystosci. Z kolei gdybym jednak otrzymal informacjy z Tytana 0 wynikach pomiarow mojego kolegi, to moje oszacowania prawdopodobienstw
fO [29.10] Wyjasnij, w jaki spos6b.
767
29
Paradoks pomiaru
bylyby inne. Co wiycej, pojawilyby siy warunki spojnosci, ograniczaj,!ce mozliwosci uzyskania wynikow naszych l'!cznych pomiarow (na przyklad: ja nie mogy otrzymac wyniku <~I, jesli moj kolega otrzymal <~I). Teraz jest jasne, ze opis za pomoc,! macierzy gystosci jest zupelnie nieadekwatny i musimy powrocic do opisu w terminach aktualnych (wektorow) stanow kwantowych, opisuj,!cych cal,! spl,!tan,! pary: Ill) = 11')lw) -lw)ll') (= I~)I~) -I~)I~) etc.). Ta konkretna macierz gystosci, ktora pojawia siy w omawianym przykladzie (rozwazana juz w rozdz. 29.4), jest bardzo specyficzna. Przedstawiona w dowolnej bazie ortonormalnej przyjmuje postac
D=(t ~} 1
Szczegolny jest tu fakt, ze wszystkie jej wartosci wlasne s,! rowne (dwie wartosci wzdluz diagonali), a w konsekwencji rna ona tak,! sam,! postac bez wzglydu na to, w jakiej (ortonormalnej) bazie j,! zapiszemy, poniewaz jest ona po prostu wielokrotnosci,! macierzy jedynkowej. Dlatego nie rna zadnego sposobu, zeby za jej pomoc,! rozroznic bazy stanow gora-dol od bazy stanow lewo-prawo etc. Wazne, bysmy mieli swiadomosc, ze jest to jedynie wynik szczegolnie prostej sytuacji, z ktoq mamy do czynienia w omowionym przykladzie. Stwierdzilismy juz w rozdz. 29.4, ze klopoty ontologiczne nie maj,! zwi,!zku ze szczegoln,! postaci,! Uednakowe wartosci wlasne) macierzy gystosci D. Przy niewielkiej modyfikacji tego przykladu mozemy otrzymac dowoln'! macierz gystosci 2 x 2. Zamiast pary cz,!stek EPR 0 spinie utworzonych ze stanu 0 spinie 0, jak w rozpatrywanym przypadku, mozemy zaloiyc, ze cz'!stki te znajdowaly siy pocz'!tkowo w stanie 0 spinie 1. Aby zobaczyc, jak to dziala w konkretnej sytuacji, mozemy rozwaiyc przyklad podany przez Luciena Hardy'ego, opisany w rozdz. 23.5. Tutaj stanem wyjsciowym jest stan 1~71) = 1~)I7I) + 17I)I~) (w przedstawieniu Majorany z rozdz. 22.10 tangens k,!ta miydzy ~ a 71 wynosi ~) i zalozmy, ze moj kolega na Tytanie dokona pomiaru spinu nadbiegaj,!cej cz'!stki w kierunku lewo-prawo. Na podstawie wynikoww rozdz. 23.5 znajdujemy, ze jesli moj kolega uzyska wynik I~), wowczas stan cz'!stki przybywaj,!cej na Ziemiy bydzie I~), podczas gdy jego wynik wyniesie I~), to stan, jaki otrzymam, bydzie 11') 129111. Tak wiyC jesli przyjmy, ze moj kolega dokona pomiaru lewo-prawo (a wiem, ze stan wyjsciowy byll~71»), to wnioskujy, ze stan spinowy cz'!stki, ktora do mnie dociera, jest probabilistyczn,! mieszanin,! stanow I~) i 11'). Zwrocmy uwagy, ze stany I~) i 11') nie sq ortogonalne. Ortogonalnosc nie jest warunkiem koniecznym dla probabilistycznej mieszaniny stanow tworz'!cych macierz gystosci i widzimy to jawnie na tym przykladzie. Jakiej wiyc macierzy gystosci uiylbym w takiej sytuacji? Mozemy ten problem rozwi,!zac, jesli znamy wartosci prawdopodobienstw dla alternatywnych moz-
1,
768
~ [29.11] Dlaczego?
Macierz
g~stosci
w przypadku efekt6w EPR
29.5
liwosci, 17) i I~), jakie moie uzyskac m6j kolega. Okazuje siy, ie te prawdopodobienstwa wynoSZq i a zatem mogy z prawdopodobienstwem otrzymac stan I~) i z prawdopodobienstwem otrzymac stan 11'). Wobec tego moja macierz gystosci przyjmie postac
1 t,
1
t
L
=1 I~)(~I +t 11')(1'1·
W bazie wektor6w g6ra-d6l macierz ta bydzie wyglqdac nastypujqCO:
(jesli I~) = (11') -1..v»/.J2). Ta macierz z pewnosciq nie majednakowych wartosci i [29.12]. Owa konkretna ontowlasnych, jej wartosci wlasne wynoSZq + odpowialogia "I~) z prawdopodobienstwem i 11') z prawdopodobienstwem dajqca tej macierzy gystosci, nie jest bynajmniej jednoznaczna. Na przyklad jest oczywiste, ze wzglydu na symetriy miydzy kierunkami ~ i /I w wyjsciowyrn stanie I~ /I), ie gdyby m6j kolega zdecydowal siy przeprowadzic pomiar w kierunku /I zamiast lewo-prawo (kierunek ~ ), w6wczas moja wlasna ontologia dla macierzy gystosci D musialaby ulec zasadniczej zmianie, wprowadzilbym bowiem stan 1/1) i inny stan do niego prostopadly. Istotnie, z kaidym kierunkiem pomiaru, jaki wybierze m6j kolega na Tytanie, wiqie siy inn a ontologia[29.13]. Moglibysmy otrzymac mn6stwo bardziej skomplikowanych ontologii, przy kaidej danej macierzy gystosci, gdybysmy dopuscili mieszaniny probabilistyczne trzech lub wiycej r6inych stan6w. Sytuacja taka powstalaby, gdyby stan wyjsciowy byl stanem 0 spinie wypadkowym tn, dla n > 2 i rozpadl siy w ten spos6b, ie CZqstka 0 spinie powydrowala w kierunku Ziemi, natomiast ta 0 spinie w kierunku Tytana. W takim przypadku pomiar spinu przeprowadzany przez mojego kolegy pozwalalby na uzyskanie n r6inych wynik6w, kaidy z wlasnym prawdopodobienstwem (rozdz. 22.10); zob. rys. 29.4. Jasne jest, ie prowadzi to do sytuacji bardziej og61nej, w kt6rej przestrzen Hilberta stan6w, jakiej trzeba uiyc do opisu cZqstki docierajqcej na Ziemiy, jest wiycej nii 2-wymiarowa. Wszystko to sluiy nam do podkreslenia, ie nie rna jednoznacznej ontologii "probabilistycznie waionych stan6w alternatywnych", bez wzglydu na to, jakiej macierzy gystosci uiyjemyl7. Niebawem przekonamy siy, ie fakt ten rna bardzo nieprzyjemne konsekwencje dla filozofii dekoherencji srodowiskowej (c).
t i.J5 t- i.J5 1
t
t",
tn -t
tm [29.12] Wyprowadi ty postac macierzy L, sprawdZ, ze to S,! jej wartosci wlasne, i znajdi jej wektory wlasne. Punkt L na kuli Blocha z rys. 29.3 jest dobrany tak, aby odpowiadae tej sytuacji. Jak daleko od srodka znajduje siy ten punkt? tm [29.13] Pokaz, ze dowolna z wczesniej przedstawionych macierzy gystosci 2 x 2 moze bye wyprowadzona za pomoq tych procedur, gdy wyjsciowy stan spinowy pary EPR rna wypadkowy spin 1. Jak kierunki spinowe wektor6w wlasnych macierzy gystosci wi,!z,! siy z przedstawieniem stanu wyjsciowego Majorany?
769
29
Paradoks pomiaru
Spin":::!
Tytan
Spin+~·
Ziemia
_---
~:'2~ Spin 1
A'
Rys. 29.4. Macierz gt(stosci moze reprezentowac mieszanint( probabilistyczn'l wit(kszej liczby stan6w, niz wynosi wymiar przestrzeni. W tym przyktadzie: w jakims miejscu mit(dzy Ziemi'l a Tytanem, ale blizej lYtana, jakis znany stan spinowy 0 spinie 1 (dla n > 2) rozpada sit( w ten spos6b, ze cZCjstka o spinie ~ kieruje sit( w stront( Ziemi, a ta 0 spinie ~(n - 1) zmierza w kierunku Tytana. Kolega na Tytanie mierzy wartosc m tego spinu. Na Ziemi mozemy obliczyc prawdopodobienstwo kai:dego z n r6znych mozliwych wynik6w jego pomiaru, znaj'lc stan wyjsciowy, zatem na Ziemi mamy konkretnCj macierz gt(stosci 2 x 2 ztozon'l z mieszaniny probabilistycznej n stan6w. (Jasne jest, ze to wymaga przestrzeni Hilberta 0 wit(kszej liczbie wymiar6w nii: 2.)
Nalei)' tu zrobic uwagy dotyczl!C
W takim przypadku macierz gystosci, z jakiej skorzystam na Ziemi, wobec braku informacji z Tytana, jest wielkoscil! DP = if tfJPP a ap
(z kontrakcjl! wskaznika p). Odpowiednio, macierz gystosci mojego kolegi bylaby ifaptfJaa [2914J. Rys. 29.5 przedstawia graficzol! wersjy tych relacji.
Rys. 29.5. Graficzny zapis macierzy gt(stosci otrzymanych przez "sumowanie po stanach nieznanych". p Unormowany wektor ket Itp) jest zapisany jako tpa , gdzie indeks a odnosi sit( do "tutaj" (Ziemia), a a do "tam" (Tytan). Sprzt(zenie hermitowskie daje (wektor bra (1f!I) ifap' a warunkiem !:lnormowania jest p ifaptpa = 1. Macierz'l gt(stosci uZyt'l "tutaj" jest D~ = tpaptpPP, a uZyt'l "tam" macierz D; = ifaptpaa.
rm [29.14] Pokaz, jak to dziata. (ij-Skazowka: wybierz oddzielne bazy ortononnalne dla tuta) 770
i dla tam i korzystaj z tqcznych prawdopodobie6.stw dla mozliwych wynik6w pomiar6w w obu miejscach.) Sprawdz po dane poprzednio wartosci prawdopodobie6.stw t i t dla rozwazanego przypadku 11JI) = 1~?I)·
Filozofia FAPP dekoherencji srodowiskowej
29.6
29.6 Filozofia FAPP dekoherencji srodowiskowej
Prezentowane rozwazania mog,! bye uwazane za "preludium" do naszej analizy koneepeji dekohereneji srodowiskowej (e), wedlug ktorej proees redukeji R naleiy uwazae za rezultat nierozdzielnego spl'!tania badanego stanu kwantowego z jego otoezeniem. Aby zastosowae te idee, bydziemy uwazali sam badany uklad za ezyse tutaj, a jego otoezenie za ezyse tam. Otoezenie bydziemy traktowali jako niezmiernie skomplikowane i zasadniczo "losowe", a wiye takie, w ktorym nie rna praktyeznego sposobu na wydzielenie z ealosci stanu kwantowego informaeji naleZ,!eej do jego srodowiskowej eZysei tam. Wobee tego wykonujemy "sumowanie po nieznanyeh stanaeh" otoezenia, aby otrzymae wyrazenie na maeierz gystosei odpowiadaj,!C'! ezysci tutaj stanu kwantowego. Potrzeba wiele wysilku, aby pokazae, ze jesli wymodelujemy otoezenie w sposob "rozs'!dny", wowezas w bardzo krotkim ezasie (nawet w przypadku otoezenia umiarkowanie "halasliwego") macierz gystosci, w bardzo dobrym przyblizeniu, staje siy macierz,! diagonaln'!:
=(~1;2 .
D ..
o
0
~].. .
Pn
jesli zapiszemy j,! w terminaeh pewnej szezegolnie interesuj,!eej bazy 11), 12), ... In)[29.l5 1. Teraz mozemy j,! interpretowae jako mieszaniny probabilistyezn,!
D=P 1 Il)(11 +P 2 12)(21 + ... +P 3 In )(nl tyeh szezegolnyeh stanow bazowyeh, ktore prowadz,! do jej postaei diagonalnej. Uwaza siy, ze ta mieszanina probabilistyezna odzwiereiedla alternatywne mozliwosci, jakie pojawiaj,! sit( w proeesie redukeji stanu R, a liezby PI'P 2""'P n oznaezaj,! prawdopodobienstwa odpowiednieh wynikow. J ak to juz stwierdzilismy poprzednio, kaida macierz gt(stosci rna mnostwo interpretaeji ontologieznyeh. Na podstawie takieh argumentow nigdy nie dowiemy sit(, ezy ktorakolwiek z tyeh interpretaeji istotnie odpowiada "rzeezywistosci". Co wit(eej, nie jestesmy wtedy w stanie wydedukowae, ze badany stan jest jednym ze stanow 11),12), ... In) 0 prawdopodobienstwaehpI'P 2"",Pn , Ponadto w normalnyeh okolieznosciaeh macierz gt(stosei musimy traktowae jako tylko przybliienie do pelnej prawdy kwantowej, poniewaz nie rna zadnej ogolnej zasady, ktora pozwalalaby w sposob bezwzglt(dny oddzielie informaeje dotyez'!ee otoezenia. Bye moze jakas przyszla teehnologia dostarezy sposobow na szezegolowe monitorowanie stosunkow faz kwantowyeh w sytuaejaeh, w ktoryeh dzisiejsze teehnologie s,! po prostu bezsilne. S,!dzt( zatem, ze odwolywanie sit( do opisu za B [29.15] W istocie kaida macierz g((stosci jest diagonalna w pewnej bazie! Czy potrafisz powiedziec, dlaczego tak jest w szczegolnym przypadku, gdy wszystkie wartosci wlasne Sq roine?
771
29
Paradoks pomiaru
Rys. 29.6. laka jest natura ezasoprzestrzeni w skali Planeka, a wiye w odleglosciaeh rZydu 10-33 em i w ezasaeh rZydu 10-43 s? Wysuwano argument, i.e fluktuaeje kwantowe w polu grawitacyjnym mog,! prowadziC do ezegos w rodzaju "piany", z wielokrotnymi zmianami topologii, w wyniku ezego na tym poziomie wszelkie szezeg610we relaeje faz kwantowyeh mog,! zostac ealkowicie utraeone.
pomoc,! macierzy gystosci jest recept,! zale:ln'! od technologii! Stosuj,!c ulepszon,! technologiy, mozna by post,!pie dalej z opisem na podstawie wektorow stanu i odwolywae siy do macierzy gystosci dopiero wtedy, gdy sprawy stan,! siy naprawdy beznadziejnie zagmatwane! Wydaje siy, ze to dose dziwny pogl,!d na rzeczywistose fizyczn,!, ktory przyjmuje, ze moze bye ona "naprawdy" opisana za pomoq macierzy gystosci! W zwi,!zku z tym opis tego rodzaju okreslany jest mianem FAPP. Jest to akronim zaproponowany przez Johna Bella (tego od slynnych nierownosci Bella; zob. rozdz. 23.3), od slow for all practical purposes - "dla wszystkich praktycznych celow". W takim razie opis w formalizmie macierzy gystosci moze bye traktowany raczej jako wygodne narzydzie, swego rodzaju FAPp, bardziej niz "prawdziwy" obraz fundamentalnej rzeczywistosci fizycznej. Moze jednak bye taki poziom rzeczywistosci, na ktorym szczegolowe relacje faz zostaj,! rzeczywiscie utracone ze wzglydu na jak,!s glybsz,!, podstawow'!, ogoln,! zasady. Pomysly id'!ce w tym kierunku czysto odwoluj,! siy do grawitacji, ktora moglaby nas doprowadzie do odkrycia tej zasady. Czasami mozna by siy odwolae do idei "fiuktuacji kwantowych w polu grawitacyjnym", zgodnie z ktor,! sarna struktura czasoprzestrzeni - w "skali Plancka", tj. w odleglosciach rZydu 10-35 m przypominalaby raczej cos w rodzaju "piany" niz gladk,! rozmaitose (rys. 29.6)18. (Do tych koncepcji odniosy siy w rozdz. 31.1 i 33.1.) Wyobrazmy sobie, ze relacje faz w takiej skali mog,! bye rzeczywiscie calkowicie "zagubione w pianie". Inn,! sugestiy zawdziyczamy Stephenowi Hawkingowi, ktory uwaza, ze w obecnosci czarnej dziury informacja 0 stanie kwantowym moze zostae calkowicie "polkniyta" przez czarn'! dziury i w ten sposob z zasady nieodwracalnie stracona. W takich warunkach mozna sobie wyobrazie, ze stan kwantowy - zwi,!zany z jak,!s zewnytrzn,! rzeczywistosci,! spl,!tan,! z t'! cZysci,! ukladu, jaka zostala pochloniyta przez dziury - powinien bye opisywany bardziej za pomoq macierzy gystosci niz "stanu czystego,,19. Do tych koncepcji powrocy w rozdz. 30.4, 7, 8, 14.
29.7 Kot Schrodingera
772
W
ontologii kopenhaskiej
Powroemy teraz do kwantowomechanicznego problemu pomiaru: w jaki sposob procedura R moglaby - albo wydaje siy, ze moglaby - zostae wl,!czona, gdy stan kwantowy ewoluuje zgodnie z deterministycznym procesem U (rozdz. 21.8, 22.1, 2,
Kat Schrbdingera w antalagii kapenhaskiej
29.7
23.1O)? Problem ten jest cZysto przedstawiany, bardzo obrazowo, jako paradoks kola Schrodingera. Wersja, kt6r'! tutaj przedstawiy, r6zni siy, ale w spos6b nieistotny, od oryginalnej wersji Schrodingera. Wyobrazmy sobie zr6dlo foton6w S, kt6re emituje pojedynczy foton w kierunku plytki swiatlodzielnej (zwierciadlo "p61przepuszczaj'!ce"), rozdzielaj,!cej stan fotonu na dwie czysci. W jednym z dwu powstalych promieni foton dociera do detektora sprzyzonego z jakims morderczym urz,!dzeniem, kt6re zabija biednego kota, podczas gdy na drugiej drodze foton ucieka i kot wychodzi bez szwanku; zob. rys. 29.7. (Oczywiscie, jest to tylko eksperyment myslowy. W rzeczywistym doswiadczeniu - kt6re om6wimy w rozdz. 30.13 - nie trzeba poslugiwac siy Zywymi istotami. Kota uiywamy tutaj tylko dla zwiykszenia dramaturgii problemu!) Zgodnie z zasad'! kwantowej Iiniowej superpozycji, oba te alternatywne stany musz'! wsp61istniec. Liniowosc r6wnania Schrodingera (tzn. U) wymaga, zeby z uplywem czasu (rozdz. 22.2) obie te ewolucje czasowe trwalyw postaci staiej, zespolonej, wazonej superpozycji, wobec czego stan kwantowy musi ostatecznie zawierac zespolon'! superpozycjy kota iywego i martwego; a zatem kot jest w tym samym czasie zarowno martwy, jak i iywy! Oczywiscie, w zwyczajnym, znanym nam swiecie fizycznym, w przypadku obiektu rozmiar6w kota, jest to sytuacja calkowicie absurdalna. Ale jak rozwi,!ZYwac ten paradoks zgodnie z roznymi "standardowymi" interpretacjami mechaniki kwantowej? Przyjrzyjmy siy stanowisku szkoly kopenhaskiej (a). Jesli dobrze rozumiem, to wedlug niego detektor foton6w bydzie po prostu traktowany jak "klasyczne urz,!dzenie pomiarowe", do ktorego nie stosuj,! siy zasady kwantowej superpozycji. Stan fotonu miydzy jego emisj,! a detekcj,! (albo niedetekcj,!) za posrednictwem odpowiedniego urz~dzenia opisywany jest za pomoq funkcji falowej (wektor stanu), kt6rej nie przypisuje siy zadnej "fizycznej realnosci". Funkcja falowa jest tutaj wykorzystywana jako wygodne wyrazenie matematyczne, ktore sluiy do obliczania prawdopodobieiistw. Jesli plytka swiatlodzielna dzieli amplitudy fotonu dokladnie na dwie r6wne cZysci, to obliczenia pokazuj,!, ze mamy 50 procent szansy na to, ze detektor zarejestruje foton, i 50 procent, ze nie. Mamy wiyc 50 procent szansy, ze kot przeiyje, i 50 procent, ze zostanie zabity. Taka odpowiedz jest fizycznie poprawna, a przez termin "fizycznie" rozumiemy zachowanie, z jakim siy zwykle spotykamy. Jednak taki opis daje nam bardzo niezadowalaj,!CY obraz rzeczy, jesli chcemy przesledzic szczegolowo zachodz~-
,t, Iw
s Rys. 29.7. Kot Schrodingera (w wersji zmodyfikowanej w por6wnaniu z wersj,,! oryginain,,!). Zr6dlo fotonowe S emituje pojedynczy foton w kierunku plytki swiatiodzieinej, kt6ra rozdzieia stan fotonu na superpozycje< dw6ch stan6w. W jednym z nich foton dociera do detektora, uruchamiaj,,!c mordercze urz,,!dzenie, kt6re zabija kota. W drugim z nich foton gdzies tam ucieka i kot pozostaje przy Zyciu. Ewoiucja U prowadzi do superpozycji kota iywego i martwego.
773
29
Paradoks pomiaru
77 4
ce zjawiska fizyczne. Co naprawdt( dzieje sit( wewn<}trz detektora? Na jakiej podstawie mozemy go traktowac jako "urz<}dzenie klasyczne", skoro ostatecznie jest on zbudowany z takich samych elementow kwantowych (protonow, elektronow, neutronow, fotonow wirtualnych etc.) jak kazdy inny kawalek materii, obojt(tnie, duZy czy maly? Cht(tnie sit( zgodzt(, ze w pierwszych latach rozwoju mechaniki kwantowej podejscie, jakim posluZyl sit( Niels Bohr, bylo konieczne, aby teorit( tt( mozna bylo stosowac i zeby fizyka kwantowa mogla sit( rozwijac. Wydaje mi sit( jednak, ze takie podejscie mialo tylko charakter tymczasowy, albowiem nie odpowiadalo na pytania, dlaczego ani na jakim etapie w tak dUZych i skomplikowanych strukturach jak "detektor" moze pojawic sit( "zachowanie klasyczne". Poniewaz pogl<}d (a) wymaga istnienia "struktur klasycznych" do zinterpretowania mechaniki kwantowej, wit(c moze to bylo jedynie stanowisko przejsciowe, ktore nie usilowalo dac nam odpowiedzi na bardziej zasadnicze pytania dotycz<}ce samej natury pomiaru kwantowego. Inny wariant filozofii (a) sprowadza sit( w istocie do tego, ze przez pojt(cie "klasyczne urz<}dzenie pomiarowe" rozumie sit( swiadomosc eksperymentatora. Zgodnie z tym stanowiskiem Gesli pominiemy swiadomosc samego kota) poziom klasyczny osi<}gamy wtedy, gdy swiadomy eksperymentator bada kota. Wydaje mi sit( jednak, skoro jui: weszlismy na ten poziom, ze taka filozofia jest bardziej zgodna z koncepcj<} (b) albo (f). Jesli stoimy na stanowisku, ze reguly kwantowej superpozycji liniowej U obowi<}zuj<} az do poziomu istot posiadaj<}cych swiadomosc, wowczas jestesmy w krolestwie filozofii wielu swiatow (b), jesli jednak uwazamy, ze U przestaje dzialac na poziomie istnienia swiadomosci, to wkraczamy na terytorium jednej z wersji (f), zgodnie z ktor<}, w przypadku istot swiadomych, pojawia sit( nowy rodzaj zachowan, poza ramami przewidywan mechaniki kwantowej. Tt( koncepcjt( wysun<}l jeszcze w 1961 roku znakomity fizyk kwantowy Eugene Wigner20. Moim zdaniem jednak kazda teoria, ktora wymaga obecnosci swiadomego obserwatora, aby procedura R mogla zadzialac, prowadzi do bardzo jednostronnego (i - bt(dt( sit( upieral- wysoce nieprawdopodobnego) obrazu Wszechswiatao Wyobraimy sobie jak<}s odlegl<} planett(, podobn<} do Ziemi, ale na ktorej nie istnieje swiadome Zycie i w zadnym kierunku, w promieniu wielu lat swietlnych, nie wystt(puje jakakolwiek forma swiadomosci. Jaka pogoda panuje na tej planecie? Obrazy pogodowe maj<} to do siebie, ze s<} "systemami chaotycznymi", w tym sensie, ze kazdy konkretny obraz pogody zaleZy w sposob krytyczny od najdrobniejszych de tali obrazu poprzedzaj<}cego (zob. rozdz. 27.2). Istotnie, jest mozliwe, ze powiedzmy w ci<}gu miesi<}ca drobne efekty kwantowe zostan<} tak powit(kszone, iz na calej planecie obraz pogody bt(dzie ich wynikiem. Brak swiadomosci, zgodnie z t<} szczegoln<} wersj<} (f) -lub moze (a) - jak<} dyskutujemy, implikowalby, ze na takiej planecie nigdy nie zajdzie proces R, czyli ze pogoda tam jest w rzeczywistosci jakims nakladaj<}cym sit( kwantowym chaosem, ktory w zaden sposob nie przypomina pogody w tym sensie, w jakim j<} znamy. Gdy zas jakis statek kosmiczny z rozumnymi istotami na pokladzie alba sonda kosmiczna przesylaj<}ca sygnaly
ezy inne ontologie konwencjonalne
mog~ rozwi~zac
problem "kota"?
29.8
do istot myslqcych umiesci swoje czujniki na tej planecie, wowczas natychmiast i tylko w tym momencie - pogoda na tej planecie stalaby siy nagle normalna, i to w taki sposob, jakby byla zawsze najzwyklejszq pogodq ! Nie mamy na razie zadnego doswiadczenia sprzecznego z tym stanowiskiem, ale czy ta "rzeczywistosc wignerowska" jest wiarygodnym model em zachowania siy naszego fizycznego Wszechswiata? Moim zdaniem nie, ale jestem (albo prawie jestem) w stanie zrozumiec, ze inni mogq miec odmienne zdanie w tej sprawie.
29.8 Czy inne ontologie konwencjonalne mog~ rozwi~c problem "kota"? A co mozemy powiedziec 0 stanowisku wielu swiatow (b)? W tej filozofii "rzeczywistosc" superpozycji kwantowej kota i:ywego i martwego jest po prostu zaakceptowana (tak jak bylyby zaakceptowane "nalozone kwantowo" obrazy pogody z poprzedniego paragrafu); to jednak nie odpowiada na pytanie, co "postrzega" obserwator patrzqcy na kota (albo obserwujqcy pogody). Uwaza siy, ze stan percepcji obserwatora jest splqtany ze stanem kota. Stan percepcji "postrzegam i:ywego kota" towarzyszy stanowi "i:ywego kota", a stan percepcji "postrzegam martwego kota" towarzyszy stanowi "martwego kota"; zob. rys. 29.8. Zaklada siy wiyc, ze istota postrzegajqca zawsze odkryje, iz stan jej percepcji jest jednym z tych dwu stanow; zgodnie z tym kot, w postrzeganym swiecie, jest alba Zywy, alba martwy. Te dwie mozliwosci wspolistniejq w "rzeczywistosci" w splqtanej superpozycji: Iif') = wlZywy kot)lpostrzegany Zywy kot)
+ zlmartwy kot)lpostrzegany martwy kot). Chcy, aby bylo jasne, ze w swietle obecnej wiedzy wszystko to jest dalekie od rozwiqzania paradoksu kota. W formalizmie mechaniki kwantowej nie ma niczego, co wymagaloby, zeby stan swiadomosci nie dopuszczal jednoczesnej percepcji kota i:ywego i martwego. Problem ten zilustrowalem na rys. 29.9, gdzie przyjqlem proste zalozenie, ze obie amplitudy, z i w, promienia odbitego i przepuszczonego przez plytky swiatiodzielnq, Sq identyczne. Podobnie jak w prostym przykladzie
Rys. 29.8. Na wnioski rys. 29.7 nie maj,! wptywu ani obecnose innego otoczenia, kt6rego stan jest spl,!tany ze stanem kota, ani r6:i:ne reakcje obserwatora. Tak wil(c stan calkowity przybierze postae I'£') = w x l:i:ywy kot)lotoczenie :i:ywego kota)lpostrzeganie :i:ywego kota)
+ z x Imartwy kot)lotoczenie martwego kota)lpostrzeganie martwego kota). Jesli ewolucja U rna bye rzeczywista, zgodnie z punktem widzenia koncepcji wielu swiat6w (b), w6wczas musimy uznae, :i:e zmysty obserwatora mog,! doswiadczye tylko jednej altematywy i musi nast,!pie ich "rozszczepienie" na doswiadczanie rzeczywistosci w dwoch oddzielnych swiatach.
775
29
Paradoks pomiaru
21'V>
=
(IW} + IA1Ld) +
(I~)
+
Igrf'))
(II~} -lc~J) (I~}
- I~))
Rys. 29.9. Inne przedstawienie rys, 29,8 (w przypadku z = w = 1/,fi i z uwzglydnieniem stanu otoczenia w stanie kota): 21",)
= {IZywy kot) +
Imartwy kot)} x {Ipercepcja iywego kota) + Ipercepcja martwego kota)}
+ {IZywy kot) - Imartwy kot)} x {Ipercepcja iywego kota) -Ipercepcja martwego kota)},
t,
EPR-Bohma, z dwoma cz'!stkami 0 spinie wyemitowanymi ze stanu wyjsciowego 0 spinie 0, mozemy zapisae powstaly stan spl,!tany na wiele sposobow, W przykladzie zilustrowanym rysunkiem 29.9 stanowi liywy kot) + Imartwy kot) towarzyszy stan Ipercepcja iywego kota) + Ipercepcja martwego kota), a stanowi liywy kot) - Imartwy kot) towarzyszy stan Ipercepcja iywego kota) - Ipercepcja martwego kota). To analogia przepisania stanu IQ) = 11')1"-') -1"-')11') w postaci 17)1~) -1~)17) jak w rozdz. 23.4. Dlaczego nie zgadzamy siy na tak,! superpozycjy stanow percepcji? Dopoki nie wiemy dokladnie, kiedy "percepcja" moze bye uwazana za stan kwantowy i, w konsekwencji, nie mozemy przekonae siy, ze ich superpozycja "nie jest dozwolona", nie doszlismy nigdzie w wysilku wyjasnienia, dlaczego w swiecie rzeczywistym nasze doswiadczenia nie zawieraj,! superpozycji martwych i iywych kotow. Niekiedy ludzie zglaszaj'! zastrzezenia do tego przykladu na takiej podstawie, ze rownose amplitud tych alternatyw oznacza bardzo szczegoln'! sytuacjy i ze na ogol nie mamy swobody przypisania stanow spl'!tanych w podobny sposob. Kiedy jednak przeanalizujemy ty sytuacjy nieco staranniej, to przekonamy siy, ze problem "jednakowych amplitud" w tym szczegolnym przykladzie nie jest naprawdy istotny. Dobrze jest pamiytae 0 przykladzie pary cz,!stek EPR 0 spinie jaki rozwazalismy w rozdz. 29.5. "Rownose amplitud" (w istocie "rownose modulow amplitud" Izl = Iwl) prowadzi do macierzy gystosci 0 jednakowych wartosciach wlasnych. Widzielismy explicite w rozdz. 29.4, 5, ze macierz gystosci 2 x 20 niejednakowych wartosciach wlasnych rna wiele reprezentacji jako mieszanina probabilistyczna pary stanow, ale para ta bydzie na ogol paT'! stanow nieortogonalnych. Istotnie, Oftogonalnose pojawia siy tylko wtedy, gdy oba stany s,! wektorami wlasnymi macierzy gystosCi[29,16J• W przypadku "jednakowych amplitud" (scisle Izl = Iwl) mozemy przyj,!e, ze stany Ikot iywy) i Ikot martwy) s,! ortogonalne oraz ze towarzysz'!ce stany Ipercepcja iywego kota) i Ipercepcj a martwego kota) s,! rowniez ortogonalne ("wektory wlasne"). Jednak w przypadku Izl -:1= Iwl para stanow percepcji, ktora towarzyszy szczegolnej ortogonalnej parze nalozonych na siebie stanow kota, nie bydzie na ogol ortogonalna; tak sarno para stanow kota, jaka towarzyszy szczegolnej ortogonalnej parze stanow percepcji, w ogolnym przypadku nie bydzie ortogonalna.
t,
776
!!J!1 [29.16] Pokai to.
ezy inne ontologie konwencjonalne mogq rozwiqzac problem "kota"?
29.8
Nie rna nic niewlasciwego w uZyciu ktorejkolwiek z tych reprezentacji stanu calkowitego i'P), aczkolwiek mozna by s,!dziC, ze stany percepcji powinny bye ortogonalne, jesli maj,! dae nam wrazenie rzeczywistosci w koncepcji wielu swiatow. Ale skoro w koncepcji (b) proces R w ogole nie wyst((puje, wobec tego altematywy ortogonalne nie maj,! zadnego specjalnego statusu (bo nic si(( do nich "nie redukuje"). Okazuje si(( jednak, ze w ogolnym przypadku b((dzie istniala jednoznaczna para ortogonalnych stanow percepcji, towarzysz'!ca parze ortogonalnych stanow kota. Jest to znane poj((cie dekompozycji Schmidta stanow spl'!tanych21. Niestety, nie pomoze nam to w rozwi,!zaniu paradoksu pomiaru (niezaleznie od populamosci dekompozycji Schmidta w zwi,!zku z kwantow'! teori,! informacj?2), poniewaz na ogol ta "matematycznie preferowana" para stanow kota (stany wlasne macierzy g((stosci kota) nie b((dzie bynajmniej oczekiwan,! par,! IZywy kot) i Imartwy kot), lecz ich calkiem niepoz,!dan,! liniow,! superpozycj,!! Mozemy przekonae si((, ze stany wlasne macierzy g((stosci, jakie wyst((puj,! w dekompozycji Schmidta, nie musz'! miee nic wspolnego z poszukiwanymi "ontologicznie realnymi" stan ami, jesli wezmiemy pod uwag(( rozwazany w rozdz. 29.5 przyklad Luciena Hardy'ego. Okazuje si(( (zob. ewiczenie [29.12]), ze wektory wlasne macierzy g((stosci (dla cz'!stki, ktora dociera do mnie tutaj, na Ziemi(() S,! zupelnie rozne od altematywnych stanow I~) i 11'), ktore, zgodnie z pomiarami przeprowadzonymi przez mojego koleg(( na Tytanie, stanowi,! "altematywy rozroznialne makroskopowo". Skoro sarna matematyka nie jest w stanie wyroznie stanow IZywy kot) i Imartwy kot) jako stanow w jakikolwiek sposob "preferowanych", to zanim filozofia (b) b((dzie miala sens, potrzebujemy jakiejs teorii percepcji, ktorej wci,!z nie ma23. Co wi((cej, teoria taka musi nam wyjasnie nie tylko dlaczego w postrzeganym przez nas swiecie nie spotykamy superpozycji iywego i martwego kota (ani zadnych innych bytow makroskopowych), lecz takZe dlaczego ta cudowna i nadzwyczaj precyzyjna regula kwadratu modulu daje prawidlowe wartosci prawdopodobienstw w mechanice kwantowej! Teoria percepcji, ktora potrafilaby sprostae tym wymogom, sarna musialaby bye rownie precyzyjna jak mechanika kwantowa. Na razie zwolennicy (b) nie potrafili wskazae niczego, co nawet w najmniejszym przybliZeniu mogloby przypominae teori(( tego rodzaju 24 . Wroemy teraz do prob rozwi'!Zania paradoksu kota w filozofii dekoherencji srodowiskowej (c). Zalozmy, ze pocz'!tkowa emisja fotonu jest ontologicznie rzeczywista. (Zrodlo moze bye tak przygotowane, zeby zdarzenie zostalo zarejestrowane makroskopowo.) Wowczas, po napotkaniu plytki swiatiodzielnej, mamy ontologicznie rzeczywist,! superpozycj(( fotonu w dwoch promieniach. Cz((se, ktora przeszla przez plytk((, zmierza do martwego kota z jego otoczeniem, a cz((se odbita - do iywego kota z innym otoczeniem. Jak dot,!d, ontologia jest wci,!z superpozycj,! tych altematyw. Nast((pnie wysumowujemy po alternatywnych stanach srodowiskowych, poniewaZ s,! "nieobserwowalne", co daje nam macierz g((stosci 2 x 2. Nagle stanowisko ontologiczne w tajemniczy sposob ulega zmianie i "rzeczywistose" staje si(( rzeczywistosci,! opisywan,! przez sam,! macierz g((stosci. Kolejny
777
29
Paradoks pomiaru
argument zwolennik6w dekoherencji srodowiskowej przekonuje, ze macierz ta bardzo szybko uzyskuje postae blisk,! diagonalnej w bazie stan6w IZywy kot) i Imartwy kot), i w ten spos6b dokonuje siy kolejna tajemnicza zmiana ontologii, bo stan kwantowy staje siy mieszanin,! probabilistyczn'! stan6w kota Zywego i martwego. Oto jest spos6b, w jaki zmiana ontologii "pozwala" nam przejse od superpozycji wlZywy kot)lotoczenie Zywego kota) +zlmartwy kot)I otoczenie martwego kota) do alternatywnych stan6w IZywy kot) albo Imartwy kot). Przypomnijmy, ze nie rna jednoznacznosci w ontologicznej interpretacji macierzy gystosci jako mieszaniny probabilistycznej stan6w (bez wzglydu na to, czy wartosci wlasne S,! r6wne czy r6zne). Faktycznie, przejscie do mieszaniny stan6w IZywy kot) i Imartwy kot) oznacza (dwukrotn,!) zmiany ontologii od wyjsciowej superpozycji. Zatem stanowisko (c) jest rzeczywiscie stanowiskiem FAPP i nie gwarantuje nam sp6jnej ontologii fizycznej rzeczywistosci.
29.9 Kt6re niekonwencjonalne ontologie mogCl pom6c?
778
Kr6tko skomentujy propozycje (d) i (e). Gdybysmy przyjyli "ekstrawaganck'!" ontologiy formalizmu sp6jnych historii, w kt6rej rzeczywistose jest reprezentowana przez calose zbior6w maksymalnie sprecyzowanych sp6jnych historii, w6wczas krytyka takiego stanowiska bylaby podobna do zastosowanej w przypadku koncepcji wielu swiat6w (b). Podobnie jak w przypadku (b) potrzebna jest szczeg610wa i precyzyjna teoria swiadomej percepcji, aby mozna bylo w (d) uzyskae obraz sp6jny ze znanym nam obrazem fizycznego swiata. Poczyniono w tym kierunku wiele pr6b (mozna je scharakteryzowae akronimem IGUS - information gathering and using system - system gromadzenia i stosowania informacji), ale na razie wszystkie wydaj,! siy dalekie od zadowalaj,!cych 25 • Alternatywnie mozna by zaproponowae rodzaj ontologii bardziej ekonomicznej, sugerowanej w rozdz. 29.2, w kt6rej jako wiarygodny kandydat na ontologiy "swiata rzeczywistego" wystypuje jakis pojedynczy zbi6r maksymalnie sprecyzowanych sp6jnych (zgodnych) historii. Skutecznose tego podejscia (podobnie jak i poprzedniej, bardziej ekstrawaganckiej ontologii) zaleZy od tego, czy kryterium "sp6jnej historii" pozwoli na uzyskanie rezultatu, dla jakiego zostalo wprowadzone: czy potrafi wskazae historiy przypominaj,!c
Kt6re niekonwencjonalne ontologie
mog~
pom6c?
29.9
zawieszenia kotow SchrMingera w jakims przejsciowym stanie superpozycji Zycia i smierci? Teoria ta nie prowadzi do zadnego poprawienia standardowego stanowiska szkoly kopenhaskiej (a) w wyjasnieniu, jakie uklady (takie jak kawalki aparatury pomiarowej czy koty) powinny zachowywac sit( klasycznie, podczas gdy nie zachowujq sit( tak neutrony czy protony. Wymog "spojnosci" wzglt(dem (maksymalnie sprecyzowanych) historii gruboziarnistych jest bardzo daleki od tego, co niezbt(dne do zaproponowania nam modelu26 obserwowanej rzeczywistosci fizycznej. Aczkolwiek jest pozytywnq cechq koncepcji (d), ze probuje powaznie wlqczyc procedury typu R na poziomie fundamentalnym, to przedstawione na razie kryteria nie zawt(zajq w sposob wystarczajqcy zachowania sit( modelu, aby dac nam jednoznaczny obraz przypominajqcy swiat, jaki znamy. I to wydaje sit( prawdq zarowno na "prawie klasycznym" poziomie makroskopowym (co juz skomentowalem w zwiqzku z przeprowadzonq przez Dowkera i Kenta analizq kryterium "spojnej historii"), jak i na "poziomie kwantowym", gdzie chcialoby sit( miec nadziejt( na uzyskanie niezakloconej ewolucji unitarnej. PoniewaZ paradoks pomiaru dotyczy tego widocznego konfliktu mit(dzy fizycznym zachowaniem sit( na tych dwoch roznych poziomach, to trudno zauwaZyc, w jaki sposob koncepcja spojnej historii (d) moglaby pomoc w jego rozwiqzaniu. A co z koncepcjq (e)? Jak juz wspomnialem w rozdz. 29.2, filozofia "fali pilotujqcej" de Broglie'a-Bohma (e) przedstawia chyba najbardziej klarownq ontologit( wsrod wszystkich, ktore nie zmieniajq przewidywan teorii kwantowej, choc w moim przekonaniu nie ujmuje ona paradoksu pomiaru w sposob bardziej zadowalajqcy niz inne. Uwazam, ze filozofia (e) moze istotnie koncepcyjnie skorzystac na wprowadzeniu dwu poziomow rzeczywistosci - dysponuje bowiem solidniejszym, "korpuskularnym" poziomem rzeczywistosci przedstawiajqcym konfiguracjt( systemu i drugim, wtornym, "falowym" poziomem rzeczywistosci, zdefiniowanym przez funkcjt( falowq l/J, ktorej rola polega na "pilotowaniu" zachowania sit( na poziomie pierwszym. Nie jest dla mnie jednakjasne, jakq mamy pewnosc, w sytuacji konkretnego eksperymentu, do ktorego z tych poziomow sit( odwolujemy. Moja wqtpliwosc polega na tym, ze nie rna parametru okreslajqcego, jakie uklady Sq, we wlasciwym sensie, "duze", a zatem zachowujqce sit( zgodnie z bardziej klasycznym obrazem "czqstkopodobnym" czy "konfiguracyjnie-podobnym", a ktore Sq "male", a wit(c w ktorych wazne staje sit( zachowanie typu "funkcji falowej" (i krytyka tego rodzaju odnosi siy rownid do filozofii (d». Z rozdz. 23.4 i innych wiemy, ze zachowanie kwantowe moze rozciqgac sit( na odleglosci rZydu co najmniej dziesiqtkow kilometrow, a zatem to nie dystans fizyczny decyduje 0 tym, kiedy uklad przestaje wyglqdac na kwantowomechaniczny i zaczyna sit( zachowywac jak obiekt klasyczny. Co prawda jest jakas miara, zgodnie z ktorq duZy obiekt (taki jak kot) nie zachowuje sit( zgodnie z wymaganiami unitarnych kwantowych praw w malej skali (w rozdz. 30.11 rozpoczny prezentacjy moich wlasnych poglqdow na temat tego, jaka "miara skali" bydzie tutaj potrzebna). Bez wzglydu na to, czy ktos wierzy czy nie, ze jakas konkretna miara jest odpowiednia, niezbydna wy-
779
29
Paradoks pomiaru
daje mi sit( miara skali, abysmy byli w stanie okreslie, kiedy procesy zachodzllce w malej, kwantowej skali przechodzll w zachowania typu klasycznego. To podejscie jest wspolne dla filozofii (e) i innych ontologii kwantowych, w ktorych nie oczekujemy jakichS mierzalnych odstt(pstw od standardowej mechaniki kwantowej (nie rna ona wszak takiej miary skali, wobec czego nie wiem, w jaki spos6b moglaby adekwatnie podejse do paradoksu kota SchrOdingera). W zwillZku z tym zagadnieniem stosowna bt(dzie pewna ogolna uwaga, dotycZllca prob "wyprowadzenia" oczywistego pojawienia sit( R z dynamiki (powiedzmy) procesu U. Orientujemy sit(, ze sarna zwykla (deterministyczna) dynamika nigdy nie bt(dzie w stanie tego dokonae - i to jest zrozumiale, chociazby tylko z tego powodu, ze takie rownanie dynamiczne jak rownanie Schrodingera nie zawiera zadnych prawdopodobienstw (odsylam czytelnika do dyskusji w rozdz. 27.1). Mimo to jakas zasada probabilistyczna jest niezbt(dna. W koncu R stanowi prawo probabilistyczne. Dlatego, jak 0 tym juz wspomnialem w rozdz. 29.2, istotnym elemen tern (e) jest to, ze wlasciwe, kolejne, prawdopodobienstwa wynik6w pomiarow sll poprawnie zakodowane w wyborze (powiedzmy) stanu wyjsciowego. Pozostala nam jeszcze filozofia (f). Glowne klopoty z wit(kszoscill roznych (czt(sto dose odwaznych) propozycji zwillzane sll albo z ich nienaturalnym ksztaltern, alba z zasadniczo nierelatywistycznym charakterem, albo z potrzebll wprowadzenia arbitralnych parametrow, nieznajdujllcych uzasadnienia w znanej nam fizyce, alba z pogwalceniem prawa zachowania energii, a w niektorych przypadkach z ich bezposrednim konfliktem z eksperymentem. Byloby bardzo niewlasciwe z mojej strony, gdybym usilowal przedyskutowae wszystkie te propozycje w tym miejscu, a zupelnie nie w porzlldku, gdybym wyr6znil jednll z nich kosztem pozostalych. Faktycznie, stanowisko, Jakie zajmt(, bt(dzie jednakowo nie w porzlldku wobec wszystkich propozycji, kt6re wysunt(li inni, albowiem narzuct( czytelnikowi (w rozdz. 30) jednll propozycjt( (w pewnym sensie minimalistycznll), 0 ktorej Slldzt(, ze rna najwit(ksze szanse poprawnosci (od razu przepraszam za to licznych moich przyjaciol)! Rzeczywiscie, wiele roznych wczesniejszych propozycji kolegow w spos6b znaczllcy stymulowalo moje analizy i bt(dt( sit( do nich odwolywal (z odpowiednimi wyrazami wdzit(cznosci), ale tylko w relacji do tej specyficznej koncepcji, kt6rll mam zamiar przedstawie.
Przypisy Rozdzial 29.1 Zob. Deutsch (2000). 2 Termin ten zawdzit(czam mojemu koledze Peterowi Derow. Zob. Penrose (1987a). 3 Zob. Everett (1957); DeWitt, Graham (1973); Deutsch (2000). 4 Niektorzy fizycy argumentujq, ze "nie rna problemu" z superpozycjq kwantowq makroskopowo roznych stanow - podobnie jak z superpozycjq martwego i iywego kota Schr6dingera, czym zajmt( sit( w rozdz. 29.7-9, poniewaz byloby po pro stu "zbyt kosztowne" (albo 780 praktycznie niemozliwe) zaprojektowanie eksperymentu, kt6ry pozwalalby wykryc bezpo1
Przypisy
5
sredni,! interferencj~ stanow kota martwego i iywego. To jest znowu stanowisko "pragmatyczne", ktore unika odniesienia si~ do interesuj,!cych nas tutaj ontologicznych aspektow problemu. Zwolennikow tego pogl,!du b~d~ wi~c umieszczal w kategorii (c). Zob. Hawking, Penrose (1996), s. 121.
Rozdzial29.2 Jest to tylko lista glownych kierunkow i mi~dzy nimi wyst~puje wiele roznych odcieni wymienionych stanowisk. Niektorzy badacze twierdz,! (np. Sorkin 1994), ze "kwantow,! rzeczywistose" najlepiej zrozumiee w terminach calek po drogach lub diagramow Feynmana, kt6re rozwazalismy w rozdz. 26.6-11. Moim zdaniem ta szczegolna rodzina ontologii nadawalaby si~ do og6lnej kategorii (b), chociaz wyst~puj,! w niej elementy wspolne z (d), zgodnie z ktor,! konkretnej superpozycji, definiuj,!cej "stan kwantowy" (albo "historiy kwantow,!"), naleZy przypisae status "rzeczywistosci". Powinienem rowniez wspomniee 0 ontologiach "transakcyjnych"; zob. Aharonov, Vaidman (2001); Cramer (1988); Costa de Beauregard (1995) oraz Werbos, Dolmatova (2000), zgodnie z ktorymi zarowno funkcja falowa podlegaj,!ca od momentu dokonania ostatniego pomiaru ewolucji schrodingerowskiej w stron~ przyszlosci, jak i inna funkcja falowa, podlegaj,!ca ewolucji schrodingerowskiej w przeszlose od momentu nastypnego pomiaru, powinna odgrywae roly w opisie rzeczywistosci (zob. rozdz. 30.3). Nie wiem jednak, w jaki sposob, bez wprowadzenia jakichS dodatkowych elementow, w ramach tych koncepcji mozna bylo rozwi¥ae paradoks pomiaru lepiej niz w ramach altematywnych koncepcji (a), (b), (c), (d) czy (e). 7 Formalizm (d) pozwala rowniez, zeby "stanem wyjsciowym" mogla bye jakas macierz g~sto sci (zob. rozdz. 29.3). 8 Czasami wielkoSci te nazywane s,! po prostu "historiami", ale mogloby to wywolae zamieszanie w zwi¥ku z uZyciem tego okreslenia w "sumowaniu po historiach" Feynmana w rozdz. 26.6. 9 Jest to warunek nast~puj,!cego typu: zalozmy, ze mamy zadany szereg zbiorow projektorow (i przyjmijmy w tym momencie 'H = 0); nastypnie skonstruujmy wyraZenie X = (1/1 oIE'F' ... K'L'D ooLK ... FEI1/1 o), gdzie 11/10) oznacza stan pocz'!tkowy, natomiast za "stan koncowy" mozemy przyj,!e jak,!s macierz g~stosci D 00 (zob. rozdz. 29.3). Kolejne pary projektor6w (EE'), (FF'), ... , (KK'), (LL') nalez'!, odpowiednio, do zadanego szeregu zbiorow projektorow. Warunek spojnosci (zgodnosci) wymaga, zeby czyse rzeczywista X byla rowna zeru, kiedy tylko ktorakolwiek z par (EE'), (FF'), ... , (KK'), (LL') nie jest rowna. Scisle bior,!c, taka sytuacja zachodzi wtedy, gdy pomijamy schrOdingerowsk,! cz~se ewolucji (tzn. kladziemy 'H = 0), ale nietrywialna ewolucja schrodingerowska zachodzi ponownie, gdy wprowadzimy j,! we wlasciwy sposob miydzy uZyciem tych projektorow. "Warunek spojnosci" historii gruboziamistych moze bye interpretowany jako warunek "nieinterferencji" miydzy por6wnywanymi historiami. 10 Faktycznie nie udalo mi siy znaleze zadnego jasnego stanowiska wobec zamierzonej (d)-ontologii w aktualnej literaturze na temat koncepcji spojnych historii. To, co tutaj przedstawiam, jest jedynie moj,! wlasn,! prob,! zrozumienia tego zagadnienia na podstawie dlugich dyskusji z Jimem Hartle'em oraz, moze nawet w wiykszym stopniu, poZytecznej korespondencji z Fayem Dowkerem. Jest zupelnie prawdopodobne, ze niezaleznie od moich wysilk6w nadal nie jestem w stanie przedstawie podstaw ontologii, jak,! wyznaje spolecznose zwolennikow (d). 11 Zob. Bohm, Hiley (1994); Valentini (2002). Antony Valentini napisal rowniez prac~ na temat teorii de Broglie'a-Bohma i miejmy nadziej~, ze zobaczymy j,! niebawem w ksiygamiach! 12 Zob. Karolyhazy (1974); Frenkel (2000); Ghirardi, Rimini, Weber (1986); Ghirardi, Grassi, Rimini (1990); Komar (1964); Pearle (2000); Pearle, Squires (1995); Kibble (1981); Weinberg (1989); Diosi (1984, 1989); Percival (1994, 1995); Gisin (1989, 1990); Penrose (1986a, 1989, 1996a, 2000a); Leggett (2002). 6
781
29
Paradoks pomiaru
Rozdzial 29.3 W przypadku ci,!glego rozkladu prawdopodobienstwa potrzebujemy nieujemnej funkcji f na P 0 wartosciach rzeczywistych, ktorej calka daje 1. Przestrzen P rna formy naturalnej objytosci - 2N-formy I z rozdz. 2004, ktora wystypuje w twierdzeniu Liouville'a - tak ze f I mozna spokojnie wycalkowae po P, a nasz warunek rna postae If I = 1. 14 Zob. Brody, Hughston (1998b). Nielsen i Chuang (2000) przedstawili dobry przegl,!d idei i zastosowan macierzy gystosci. 13
15
Rozdzial 29.4 W przypadku ukladu n-stanowego, z n > 2, obraz jest bardziej skomplikowany. Tylko czyse brzegu (n 2 - 1)-wymiarowej przestrzeni macierzy gystosci jest przestrzeni,! stanow czystych ita czyse jest (n - l)-wymiarow,! zespolon'! przestrzeni,! rzutow'! 1ClP'" -1 (zob. rozdz. 21.9 i 22.9).
Rozdzial29.5 Czytelnik moze bye ciekaw, jaki wplyw na postawione tutaj kwestie ontologiczne moze miee pojycie quanglementu, wprowadzone w rozdz. 23.10. Jest to intryguj'!ce pytanie i calkiem prawdopodobne, ze cale to zagadnienie "ontologii" w kontekscie kwantowym zostanie przeanalizowane w nowym swietle. Na razie przyjmijmy bardziej "zdroworozs'!dkowe" podejscie do rzeczywistosci, w ktorym nie bydziemy zajmowali siy problemami, jakie do tego obrazu wnosi teoria wzglydnosci. 17 Problem ten dyskutuj,! Nielsen, Chuang (2000); zob. rowniez Hughston, Jozsa, Wooters (1993). 16
Rozdzial29.6 Pomysl ten (podobnie jak wiele innych) zawdziyczamy Wheelerowi; zob. Ng (2004), gdzie znajdziemy najbardziej aktualn'! prezentacjy. 19 Zob. Hawking (1975); Preskill (1992); zob. takZe rozdz. 30.14. 18
20
21
22
23 24
Rozdzial 29.7 Nie jestem pewien, czy ten pogl,!d przedstawial aktualne owczesne stanowisko Wignera wobec pomiaru kwantowego, czy tez zostal mu przypisany. Powinienem rowniez podkreslie, ze moj stosunek do tych spraw rozni siy fundamentalnie od pogl,!du tutaj referowanego, zgodnie z ktorym to swiadomose jest czynnikiem dokonuj,!cym redukcji stanu. (Pod tym wzglydem moje stanowisko jest niekiedy falszywie przedstawiane przez innych komentatorow.) Zob. rozdz. 30.9-12. Rozdzial29.8 Dekompozycja Schmidta (albo biegunowa) og6lnego stanu spl,!tanego IP), nalez'!cego do H2 x H, przedstawia go (zasadniczo jednoznacznie) jako IP) = ..1.la)IP) + ,ulp)la) gdzie la) i Ip), nalez'!ce do pierwszej H2, S,! ortogonalne (unormowane stany wlasne jego macierzy gystosci), a 1,8) i la) w podobny spos6b odpowiadaj,! drugiej H2. Tutaj.h i ji,u S,! wartosciami n n wlasnymi macierzy gystosci. Podobne wyrazenie jest sluszne dla H x H , gdy sum a w IP) zawiera n wyraz6w. Zob. Nielsen, Chuang (2000). Zob. Nielsen, Chuang (2000); praca ta jest wszak poswiycona kwantowej teorii informacji! Zob. Page (1995), gdzie znajdziemy dyskusjy tych zagadnien. Zob. Gell-Mann (1994); Hartle (2004) - obie prace ilustruj,! dziesiyciolecie zmagan z tym problemem.
Rozdzial 29.9 Zob. Dowker, Kent (1996). 26 Znakomity przyklad podany przez Adriana Kenta pokazuje, jak daleko jest warunek "sp6j782 nosci" od mozliwosci doprowadzenia nas do fizycznie wiarygodnego obrazu "rzeczywisto25
Przypisy sci". W przykladzie tym cz'!stka P moze trafic do jednego z trzech boks6w A, B, e, co opisuj,! odpowiednie unormowane i ortogonalne stany IA), IB) i Ie). Zal6zmy, ze hamiltonian jest zero, co daje nam stal,! ewolucj~ unitarn,!. lako stan pocz'!tkowy wezmy IA) + IB) + Ie) i za16zmy, ze zmierzylismy jako stan koncowy stan IA) + IB) -I e). (Taki wynikjest mozliwy, poniewaZ stany IA) + IB) + IC) i IA) + IB) -I C) nie s,! ortogonalne.) Wstawienie mi~dzy tymi stanami zbioru projektor6w {IA) (AI, I -IA) (AI} okazuje si~ "sp6jne" i wydaje si~, ze mozemy wyprowadzic wniosek, iz p na tym etapie posrednim musi znajdowac si~ w boksie A (g16wnie dlatego, ze stany IB) + Ie) i IB) - Ie) sq ortogonalne). Ten sam argument po wstawieniu B w miejsce A prowadzi do konkluzji, ze p w stadium posrednim musi znajdowac si~ w B! Wydaje si~, ze pochodzenie tego przykladu znajduje si~ w pracy Yakira Abaronova, King problem. Zob. Albert et at. (1985), s. 5.
30 Hola grawitacji w redukcji stanu kwantowego 30.1 Czy dzisiejsza teoria kwantowa wytrzyma pr6bQ czasu?
W 1YM rozdziale postaram siy pokazae czytelnikowi, ze oprocz wszystkich negatywnych powodow, jakie przedstawHem w poprzednim rozdziale, istniejq mocne pozytywne racje, ktore dowodzq, ze prawa obowiqzujqcej mechaniki kwantowej wymagajq fundamentalnej (chociaz przypuszczalnie niewielkiej) zmiany. Racje te pochodzq zarowno z analizy ogolnie przyjytych zasad fizyki, jak i ze zjawisk, jakie obserwujemywe WszechSwiecie. Pomimo to jest zdumiewajqce,jak niewielu wspotczesnych fizykow kwantowych podejmuje powaZne rozwazania w celu rewizji podstawowych regul ich dziedziny. Mechanika kwantowa, niezaleznie od faktu, ze wszystkie bez wyjqtku doswiadczenia przemawiajq na jej korzyse, niezaleznie od jej zaskakujqco trafnych przewidywan, jest dziedzinq stosunkowo miodq; od skonstruowania w 1925 roku matematycznego formalizmu Diraca i innych, opartego na odkryciach Heisenberga i Schrodingera, minylo zaledwie trzy czwarte stulecia. Mowiqc: "stosunkowo mtodq", mam na mysli przede wszystkim porownanie z teoriq Newtona obowiqzujqcq w sposob niekwestionowany prawie trzykrotnie dtuzej, zanim pojawHa siy potrzeba jej powaZnej modyfikacji, ktorq przyniosty ogolna teoria wzglydnosci i mechanika kwantowa. Nawet jesli uznamy, ze pierwszq znaczqcq modyfikacjq byto wprowadzenie pol Maxwella, to i tak przez ponad 175 lat jej rzqdy byly niepodwaZalne! Co wiycej, teoria Newtona nie znala paradoksu pomiaru. Aczkolwiek liniowose kwantowej teorii procesow U nadaje mechanice kwantowej szczegolnq elegancjy matematycznq, to wlasnie ta sarna liniowose (albo unitarnose) prowadzi nas prosto do paradoksu pomiaru (rozdz. 22.2). Czy jest nierozsqdne przypuszczenie, iZ wlasnie owa liniowose moze bye jedynie przyblizeniem do jakiejs bardziej doktadnej (lecz subtelnej) nieliniowosci? Istnieje znakomity precedens. Teoriy grawitacji Newtona cechuje podobna elegancja matematyczna, w ktorej sHy grawitacyjne zawsze dodajq siy w calkowicie liniowy sposob; tymczasem bardziej precyzyjna teoria Einsteina obraz ten zmienila, wprowadzajqc niezwykle subtelny rodzaj nieliniowosci, opisujqcy sposob, w jaki skiadajq siy efekty grawitacyjne roznych cial. Przy tym teorii Einsteina z pewnosciq nie brakuje urody, chociaz rna ona nieco inny charakter od tej, jaka cechuje
Kluczowa rala kosmologicznej asymetrii czasu
30.2
teo riC( Newtona. Mozemy przyj,!c rowniez, ze modyfikacje teorii Newtona, wprowadzone za posrednictwem teorii Einsteina, w zaden sposob nie s,! jak,!s "prowizork,! latania" opisan,! w rozdz. 29.2. W roznych okresach proponowano takie "latania" teorii Newtona, na przyklad zast,!pienie drugiej potC(gi we wzorze Newtona GmM/? (zob. rozdz. 17.3) wartosci'! 2,000 00016, co sugerowal Aspeth Hall w 1894 roku. Korekta ta miala umozliwic uwzglC(dnienie odkrytego w 1843 roku niewielkiego odchylenia ruchu Merkurego wokol Slonca ad przewidywanego przez teoriC( Newtona (co wiC(cej, jak wykazal Simon Newcombe, poprawka taka korygowala rowniez obliczenia ruchow innych planett Teoria Einsteina zgrabnie objasnila wszystkie te odchylenia, lecz nie na drodze doraznego latania starej, zaproponowala bowiem radykaln,! zmianC( perspektywy i sposobu myslenia. To jest wlasnie przyklad reformy, jakq powinnismy wprowadzic - zasadniczej zmiany w strukturze mechaniki kwantowej - jesli mamy uzyskac niezbC(dnq (maim zdaniem) nieliniow,! teoriC(, ktora zast,!pi obecn,! konwencjonaln,! mechanikC( kwantow'!. Istotnie, spodziewam siC(, ze ago Ina teoria wzglC(dnosci sarna dostarczy niezbC(dnego klucza do poszukiwanej modyfikacji mechaniki kwantowej. W XX wieku pojawily siC( dwie fundamentalne rewolucje w naszym rozumieniu fizyki i w moim przekonaniu ogolna teoria wzglC(dnosci byla rewolucjq rownie imponujqcq jak mechanika kwantowa (czy tez kwantowa teoria pola). Trzeba zauwaZyc, ze te dwie wielkie struktury teoretyczne oparte Sq na zasadach, ktore w najwyzszym stopniu nie pasujq do siebie. Kiedy rozpatruje siC( perspektywy mariazu tych teorii, to zwykle uwaza siC(, ze jedna z nich, w tym przypadku ogolna teoria wzglydnosci, powinna podporz'!dkowac siy wymaganiom drugiej. Wydaje siy powszechnie przyjl(tym poglqdem, ze reguly kwantowej teorii pol a s,! nienaruszalne i ze to teo ria Einsteina winna dopasowac siC( do kwantowych ram. Bardzo nieliczni zgodziliby siC( z sugesti,!, ze naleZy zmodyfikowac same reguly kwantowe, jesli rna dojsc do skutku jakies harmonijne pol,!czenie. Faktycznie, sarno okreslenie "grawitacja kwantowa", uZywane zwykle jako nazwa ewentualnej unifikacji, zawiera implicite przekonanie, ze poszukujemy standardowej kwantowej teorii (pola). Pomimo tego bl(dl( sil( upieral, ze istnieje przekonuj'!cy argument obserwacyjny, iz sarna Natura rna zupelnie inny pogllj,d na perspektywy takiego zwilj,zku! Jestem przekonany, ze jej konstrukcja okaze siC( zupelnie inna ad standardow, do jakich jestdmy przyzwyczajeni, i ze jednlj, z najwazniejszych cech tej konstrukcji bl(dzie wlasnie obiektywna redukcja stanu kwantowego.
30.2 Kluczowa rola kosmologicznej asymetrii czasu Coz to za argument? Rozwazmy najpierw te kwestie, w ktorych Natura wyrainie ukazuje, jaki jest jej stosunek do perspektywy pollj,czenia grawitacji i teorii kwantow. Mam tutaj na mysli osobliwosci czasoprzestrzeni w trakcie Wielkiego Wybuchu i osobliwosci czarnych dziur (a takZe w trakcie Wielkiego Kresu, jesli cos takiego ma nastqpic). W rozdz. 27 omawialismy nadzwyczaj wyjlj,tkowy charakter
785
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
786
Wielkiego Wybuchu na tIe wyglqdajqeych na "normalne" osobliwosci implozji grawitacyjnej. Niezaleznie od odwaznych sugestii, ktore znajdujemy w propozycjach HartIe'a-Hawkinga (omawianych w rozdz. 28.9), nie wiem, w jaki sposob moglibysmy uciec od problemu zasadniczej asymetrii czasowej, czyli niezbydnej charakterystyki sposobu, w jaki Natura lqczy ze sobq grawitacjy i struktury kwantowq. Taka asymetria czasowa wydaje siy calkowicie niezgodna z implikacjami kaZdej standardowej kwantowej teorii pola. Rozwazmy na przyklad twierdzenie CPT, omawiane w rozdz. 25.4. (Przypomnijmy, ze "T" oznacza odbicie w czasie, "P"odbicie przestrzenne, a "C" zamiany cZqstek na ich antyczqstki.) Jesli wierzymy, ze twierdzenie CPT dotyczy poszukiwanej unifikacji teorii kwantowej z grawitacjq, to mamy powaZny klopot: gdy zastosujemy transformacje CPT do spodziewanej "typowej" ostatecznej osobliwosci implozji grawitaeyjnej, to powinnismy otrzymae osobliwose poczqtkowq jako opis mozliwego przebiegu Wielkiego Wybuchu (albo cZysci Wielkiego Wybuchu). Przypomnijmy sobie gigantyczne rozmiary dostypnej przestrzeni fazowej, ktorq opisywalismy w rozdz. 27.13 (a graficznie zilustrowalismy na rys. 27.21). Jesli taka "typowa" osobliwose poczqtkowa jest dopuszczalna, to nic nie kieruje szpilkq Stworey w kierunku tego absurdalnie (a z punktu widzenia zasady antropicznej - zob. rozdz. 28.6 - niepotrzebnie) malego obszaru B, ktory wydaje siy wlasciwym punktem poczqtkowym naszego Wszechswiata. Jest oczywiste, ze tajemnica nadzwyczaj osobliwej natury Wielkiego Wybuchu nie moze zostae wyjasniona w ramach standardowej kwantowej teorii pola. A tak przynajmniej powinno bye w kazdej teorii, w ktorej slowo "standardowa" niesie ze sobq prawdziwose twierdzenia CPT (rozdz. 25.4). Scisle biorqc, twierdzenia tego nie mozna natychmiast zastosowae do teorii, ktora w pelni respektuje bazy teorii Einsteina, jakq stanowi zakrzywiona czasoprzestrzen. Jednym z uwarunkowan twierdzenia CPT jest zalozenie, ze podstawowq czasoprzestrzeniq jest plaska przestrzen Minkowskiego. Niemniej podejrzewam, ze wiykszose fizykow uwaza to za nieistotny "szczegol techniczny" i jest zdania, ze jesli trzeba, to teoriy Einsteina mozna przeformulowae w postaci "Poincare - niezmienniczej teorii pola", wprowadzajqc przestrzen Minkowskiego jedynie dla wygody. Mam powazne zastrzezenia do tego rodzaju procedury2, ale jestem gotow zgodzie siy, ze to nieprawdopodobne, aby calkowicie symetryczna w czasie klasyczna ogolna teoria wzglydnosci Einsteina mogla stae siy czasowo asymetryczna na skutek poddania jej standardowym procedurom symetrycznej czasowo kwantowej teorii pola. Przypomnijmy sobie, ze w rozdz. 25.5, 26.5, 11 zetknylismy siy z sytuacjami, w ktorych w momencie przejscia do teorii kwantowej zostaje zlamana symetria teorii klasycznej. Czy nie mozemy spodziewae siy podobnego zdarzenia, jesli teoriy Einsteina przeformulujemy we wlasciwy sposob, kierujqc siy regulami KTP? Przypuszczam, ze to jest do pomyslenia, jednak trudno sobie wyobrazie, zeby przypominalo lamanie symetrii, z jakim mamy do czynienia na przyklad w teorii oddzialywan elektroslabych, w ktorej "stan prozni" Ie) nie rna takiej samej symetrii jak rownania dynamiki kwantowej. Jesli taka idea rna funkcjonowae, to Ie) musi
Asymetria czasu w procesie redukcji stanu kwantowego
30.3
byc stanem "czasowo asymetrycznym". Nie mam pojC(cia, jak zrealizowac taki pomysl. To prawda, ze ket Ie) moze byc umieszczony na prawym koncu lancucha operatorow pola w sposob opisany w rozdz. 26.11 i mozna by uwazac, ze reprezentuje on stan poczqtkowy WszechSwiata, przez co rozumiemy tutaj Wielki Wybuch. W standardowej KTP natomiast stan zespolenie sprzC(zony wzglC(dem Ie), mianowicie bra (el, musi rowniez pojawic siC( w tej teorii, albowiem jest konieczny do obliczania prawdopodobienstw za pomocq wyraZen typu (eIAle) i odegralby zupelnie symetrycznq rolC( do stanu Ie), ale z odwroceniem czasu. W ten sposob stan (el musialby reprezentowac koncowy stan WszechSwiata, czyli stan koncowy mialby podobnq strukturC( do stanu poczqtkowego, co stoi w zasadniczej sprzecznosci z calym przeslaniem rozdz. 27. Istniejq rowniez inne cechy pojawiajqce siC( w procesie "kwantyzacji", w ktorej teoria kwantowa moze nie odpowiadac symetriom wlasciwym teorii klasycznej, znane pod naZWq anomalii. Pojawiajq siC( one wtedy, gdy klasyczne reguly komutacji (zadane przez nawiasy Poissona - zob. rozdz. 14.8) zwiqzane Sq z symetriq klasycznq, ktora nie moze byc calkowicie zachowana w regulach komutacji kwantowej, albowiem tylko podgrupa calkowitej grupy symetrii klasycznej przetrwa w teorii kwantowej. Wydaje siC(, ze anomalie te uwaza siC( zwykle za cos, czego naleZy unikac (i niebawem, omawiajqc w nastC(pnym rozdziale teoriC( strun, przekonamy siC(, do jakich wybiegow teoretycy mUSZq siC( czasem uciekac, aby ominqc tego rodzaju klopoty). Mozna rowniez zajqc inne stanowisko i rozpatrywac anomaliC( jako cos "pozytywnego", w takich mianowicie sytuacjach, w ktorych wiC(ksza symetria jest niepozqdana. Jednak w rozpatrywanym przypadku mamy na mysli symetriC( dyskretnq, mianowicie CPT, w dodatku do T, CT i PT - kazdej zawierajqcej "T"ktorq chcemy zlamac, trudno tu zatem dostrzec zastosowanie typowej idei anomaIii, ktora zwykle (aczkolwiek nie zawsze) odnosi siC( do przypadku symetrii ciqglych opisanych za pomocq teorii nawiasow Poissona. Niezaleznie od punktu widzenia trudno uniknqc konkluzji, ze w tych ekstremalnych warunkach, w ktorych mUSZq jednoczesnie pojawic siC( zarowno efekty kwantowe, jak i klasyczne - w osobliwosciach czasoprzestrzennych Wielkiego Wybuchu i kolapsu grawitacyjnego - grawitacja zachowuje siC( po prostu inaczej niz wszelkie inne pola. Przypomnijmy sobie koncowe wnioski dotyczqce tego problemu, jakie sformulowalismy pod koniec rozdz. 27. Bez wzglC(du na powody, jest jasne, ze Natura naloZyla radykalne ograniczenia asymetrii czasowej na zachowanie siC( pol a grawitacyjnego w takich ekstremalnych okolicznosciach.
30.3 Asymetria czasu w procesie redukcji stanu kwantowego
Czy zagadnienie to rna zwiqzek z jakimis innymi istotnymi element ami mozliwej relacji miC(dzy teoriq grawitacji a mechanikq kwantowq? Jestem glC(boko przekonany, ze tak. Podczas gdy nie zauwazamy zadnej asymetrii czasowej w czC(sci U teorii kwantowej (rozdz. 27.1), procesy R sq zasadniczo asymetryczne w czasie.
787
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
s :F
,~~~~~~~~"'~~ Rys. 30.1. Zrodlo S emituje losowo fotony 0 wysokiej energii (kazde takie zdarzenie jest rejestrowane), kierujqc je na plytky swiatiodzielnq B, nachylonq pod kqtem 45° do padajqcego promienia. Jesli foton przechodzi przez plytky, wowczas aktywuje detektor D (droga SBD); jdli ulega odbiciu, wowczas zostaje pochloniyty przez sufit C (droga SBC). Kwantowa regula "kwadratu modulu" poprawnie przewiduje prawdopodobienstwa tych zdarzen jako~,~. Detektor zas moze zarejestrowac foton docierajqcy don alba ze zrodla S (drogq SBD), albo od podlogi F (droga FBD). Jesli reguly kwadratu modulu zastosujemy teraz w odwrotnym kierunku czasu, to otrzymamy blydny wynik~, zamiast poprawnego 1, O.
·h
Mozemy sit( 0 tym latwo przekonae, rozpatruj'!c pro sty hipotetyczny eksperyment kwantowy. Wyobrazmy sobie zr6dlo foton6w S, kt6re od czasu do czasu emituje pojedynczy foton i rejestrowany jest fakt kazdej emisW. Zalozmy, ze S,! to fotony o wysokiej energii, powiedzmy fotony rentgenowskie. Fotony kieruj,! sit( w stront( plytki swiatiodzielnej B (zwierciadlo polprzepuszczaj'!ce) ustawionej pod k,!tem 45° do promienia padaj,!cego. Jesli foton przechodzi przez plytkt(, to aktywuje detektor D umieszczony z drugiej strony plytki, a jesli jest odbity, to zostaje pochlonit(ty przez sufit C (zob. rys. 30.1). Zakladam, ze amplitudy prawdopodobienstw obu zdarzen s,! rowne, zatem detektor rejestruje fotony z czt(stosci,! rown'! dokladnie polowie zdarzen zarejestrowanych jako fakt wyemitowania fotonu przez zrodlo. Znajdujemy tu bezposrednie zastosowanie procedury R. Mamy amplitudt( (pomijaj,!c nieistotne czynniki fazowe) dla historii fotonu SBD i amplitudt( dla historii SBC. Stosuj,!c regult( kwadratu modulu procedury R, otrzymujemy poprawny wynik: gdy tylko nastt(puje emisja fotonu w S, to istnieje 50 procent szansy na detekcjt( w D i (wnioskujemy) 50 procent szansy na to, ze foton dotrze do sufitu C. Taka jest po prostu prawidlowa odpowiedz. A teraz sprobujmy odczytae ten szczegolny eksperyment w odwrotnym kierunku czasu. Nie proponujt( zbudowania zrodta emituj,!cego fotony wstecz w czasie ani takiego detektora. Nie, procesy fizyczne nie mog,! bye w zaden sposob zmienione. Proponujt( tylko zadac pytania w postaci odwroconej w czasie. Zamiast pytae 0 prawdopodobienstwa zdarzen kOllcOwych, zapytajmy 0 prawdopodobienstwa zdarzen poczqtkowych, zakladaj,!c, ze mamy do czynienia z faktem detekcji w D. Odpowiednie amplitudy odnosz,! sit( teraz do dwu alternatywnych historii SBD i FBD (F oznacza punkt na podlodze, 0 takiej wlasnosci, ze gdyby foton mial zastae stamt,!d wyemitowany, to m6g1by zostae odbity w B i zarejestrowany w D).
Jz
788
Jz
Asymetria czasu w procesie redukcji stanu kwantowego
30.3
Amplitudy tych zdarzen znowu wynosz'!, dla kazdej z tych historii, Jz (pomijaj,!c fazy). Tak musi bye, poniewaz stosunek (modulow) amplitud dla obu tych drogjest po prostu cech,! plytki swiatiodzielnej. Nie rna tu zadnej asymetrii w czasie. Jesli teraz zastosujemy "reguly kwadratu modulu" do zdarzenia detekcji w D, aby otrzymac prawdopodobienstwa tych dwu alternatyw, otrzymamy prawdopodobienstwo 50 procent dla emisji w S i (wnioskujemy) 50 procent, ze foton dociera z podlogi F. To jest oczywiscie absurd. Prawdopodobienstwo zdarzenia, ze foton 0 energii rentgenowskiej wydostanie siy z podlogi i dotrze do plytki swiatiodzielnej, rowna siy zero. Prawdopodobienstwo, ze docieraj,!CY foton pochodzi ze zrodla S, wynosi raczej 100 procent, a prawdopodobienstwo, ze z F - 0 procent. Regula kwadratu modulu zastosowana wstecz daje calkowicie blydny wynik4! Oczywiscie, regula ta nie zostala wprowadzona po to, zeby prawdopodobienstwa zdarzen w przeszlosci staly siy poprawne, ale jest pouczaj'!ce, do jakich blydow prowadziloby takie jej uiycie. Niektorzy zglaszaj'! zastrzezenia do mojego wnioskowania, podkreslaj,!c, ze nie uwzglydniam wielu okolicznosci, ktore maj,! znaczenie dla tego opisu odwroconego w czasie. Utrzymuj,! wiyc, ze drugie prawo termodynamiki moze bye zastosowane tylko w jednym kierunku czasu alba ze temperatura podlogi jest duzo nizsza niz temperatura zrodla itp. Jednak kapitaln,! cech,! kwantowomechanicznej reguly kwadratu modulu jest ta, ze nie musimy przejmowac siy mozliwymi okolicznosciami szczegolnymi! Jest cudowne, ze obliczenia kwantowych prawdopodobienstw wynikow przyszlych pomiarow mog,! w ogole nie zaleiee od analizy temperatur, geometrii, od czegokolwiek5. Jesli znamy amplitudy, to mozemy znaleic przyszle prawdopodobienstwa i nie potrzebujemy niczego wiycej niz znajomosci amplitud. Sytuacja calkowicie zmienia siy, jesli interesuj,! nas prawdopodobienstwa w przeszlosci. Teraz musimy miec szczegolow'! wiedzy o najrozniejszych okolicznosciach. Same amplitudy juz nie wystarcz,!, aby obliczye przeszie prawdopodobienstwa. Istniej,! jednak sytuacje, w ktorych prawdopodobienstwa kwantowe obliczane S,! w sposob calkowicie symetrycznywzglydem odwrocenia strzalki czasu, i warto sprawdzic, jak to siy odbywa. Taka sytuacja powstaje, gdy dokonujemy pomiaru stanu kwantowego, aby zdobyc wiedzy przed jakims posrednim pumiarem kwantowym i po jego dokonaniu. Konkretnie wyobraimy sobie nastypstwo trzech pomiarow, z ktorych pierwszy rzutuje na nasz stan IlP), pomiar trzeci na stan 1<1», a miydzy tymi dwoma dokonujemy pomiaru TAKlNIE, opisywanego projektorem E (rozdz. 22.6). W takim przypadku prawdopodobienstwo wyniku TAK w posrednim pomiarze jest dane wyrazeniem[30.l J
(zakladamy unormowanie (<1>llP) = 1 = (<1>llP», ktore z pewnosci,! jest symetryczne wzglydem odbicia w czasie. (Aby uzyskae tak,! sytuacjy, przeprowadzamy kolejno B [30.1] Dlaczego?
ezy potrafisz wyprowadzic ten wzor?
789
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
trzy pomiary wiele razy i analizujemy tylko te przypadki, w ktorych pierwszy pomiar daje 11jJ), a trzeci 11». Podany wzor odnosi siy tylko do nielicznych przypadkow, w ktorych pomiar posredni daje w wyniku TAK.t Na tej podstawie niektorzy wyciqgajq wniosek, ze w zasadzie nie rna zadnej asymetrii czasowej w pomiarze kwantowym 7• Wiykszose pomiarow kwantowych rna zupelnie inny charakter. Przy normalnym zastosowaniu reguly kwadratu modulu (a wiyc zgodnie ze strzalkq czasu) nie specyfikujemy 11», stosujqC jq zas w kierunku odwrotnym, nie specyfikujemy 11jJ). Stwierdzamy, ze mozna swietnie obliczye prawdopodobienstwa kwantowe, nie specyfikujqc 11», lecz nie mozemy obejse siy bez okreslenia 11jJ). Mozna by przyjqe, ze powod, dla ktorego reguly kwantowe dobrze dzialajq przy wyznaczaniu przyszlych prawdopodobienstw, rna zwiqzek z tym, ze 11» jest w pewnym sensie stanem "losowym", a zatem rna cos wspolnego z drugim prawem termodynamiki. Bye moze tak jest, ale wedlug mnie takie zastrzeZenie wzglydem 11» jest niezrozumiale, bo co oznacza slowo "losowy" w tym kontekscie? Wydaje siy jednak, ze zagadnienie pomiaru powinno lqczye siy jakos z drugim prawem termodynamiki. Zwroemy uwagy na fakt, ze aktualne urzqdzenia pomiarowe wykorzystujq to prawo w czasie swojego dzialania. Zwiqzek miydzy procedurq R a DPT jest waznym elementem mojego poglqdu na ten problem. A poniewaz juz zauwaiylismy, ze DPT wiqze siy scisle z poszukiwanq przez nas unifikacjq grawitacji i mechaniki kwantowej, to mamy prawo spodziewae siy rowniez scislego zwiqzku tej unifikacji z procedurq R. Zanim zajmiemy siy tym zagadnieniem, warto zwrocie uwagy na inny aspekt R, mianowicie na fakt, ze "przeskoki" stanu kwantowego - w przeciwienstwie do obliczen prawdopodobienstw za posrednictwem reguly kwadratu modulu mogq Uak siy wydaje) bye rownie dobrze opisane w perspektywie przyszlosci, jak i przeszlosci. Schematycznie ilustrujq to rys. 30.2a, b; na rys. 30.2a przedstawilem "normalny" obraz zmiany ... U, R, U, R, U ... (zob. rys. 22.1), zgodnie z ktorym stan jest stanem wlasnym operatora pomiaru po tym, jak pomiar zostal przeprowadzony; natomiast na rys. 30.2b mamy sytuacjy "odwroconq w czasie", gdzie stan jest stanem wlasnym tui przed pomiarem. Obliczenia amplitud Sq takie same, bez wzglydu na to, ktore przyjmie siy stanowisko[30.21, ale obliczenia "odwrocone w czasie" majq w sobie aspekt "teleologiczny", a ten moze wydawae siy niepokojqcy. Mozliwa jest rownieZ interpretacja "transakcyjna" (zaproponowali jq niezaleznie rozni teoretycy8), zgodnie z ktorq oba te obrazy naleiy rozwazae lqcznie i w kazdym momencie istniejq dwa jednoczesnie ewoluujqce unitarnie wektory stanu opisujqce uklad kwantowy, jeden tak jak to przedstawia rys. 30.2a, a drugi tak jak na rys. 30.2b. Uwaza siy, ze taki obraz lepiej nadaje siy do interpretacji zjawisk EPR omawianych w rozdz. 23. Moim zdaniem jest to opis przesadny i le-
B. [30.2] Wyjasnij, dlaczego jest to w zasadzie wyraz "unitarnego" charakteru procedury U;
790
zob. rozdz. 22.4.
Temperatura czarnej dziury Hawkinga
30.4
Stan kwantowy (a)
Czas
(b)
'"<... Stan wlasny
Czas Rys. 30.2. Schematyczna i1ustracja zmiany ... U, R, U, R, U ... dwu proces6w U i R, tak jak wystt(puj,! one w praktyce mechaniki kwantowej (por. z rys. 22.1), zgodnie z: (a) standardow,! ewolucj,! czasow'!, gdy stany wlasne operatora pomiaru pojawiaj,! sit( na koncu przeszlosci ka:i:dego etapu ewolucji U, oraz (b) odwr6conym w czasie przebiegiem ewolucji, gdy stany wlasne operatora pomiaru pojawiaj,! sit( na koncu przyszlosci ka:i:dego odcinka ewolucji U. Wedlug "transakcyjnej" interpretacji mechaniki kwantowej istniej,! dwa wektory stanu, z kt6rych jeden ewoluuje zgodnie z (a), drugi zas z (b).
piej byloby przyj,!c propozycjy quanglementu, w ktorej czasowy kierunek "propagacji" stanu kwantowego nie jest wazny, a quanglement zapewnia l'!cznosc miydzy stan ami w roznych czasach (rozdz. 23.10).
30.4 Temperatura czarnej dziury Hawkinga
Czy istniej,! jakieS bardziej bezposrednie sposoby powi,!zania R z poszukiwan,! (asymetryczn,! w czasie) unifikacj,! mechaniki kwantowej i grawitacji niz sam fakt asymetrii czasowej w procesie R? Moim zdaniem takie sposoby S,! i sprobujy opisac dwa. Pierwszy z nich wynika wprost z dyskusji poprzedniego rozdzialu ijest zwi,!zany z fenomenem "wyparowywania czarnej dziury". Jest to argument sugestywny i z pewnosci,! niezupelny, a takZe kontrowersyjny w calkiem zasadniczych punktach. Podstawowe elementy tej koncepcji byd,! przedmiotem rozwazan w tym rozdziale oraz w nastypnych, az do rozdz. 30.9 (z wyj'!tkiem rozdz. 30.5, 6, ktore mozemy potraktowac jako rodzaj dygresji). Drugi argument jest duzo bardziej jawny i pochodzi z fundamentalnej kontrowersji miydzy glownymi zasadami ogolnej teorii wzglydnosci i mechaniki kwantowej, a prowadzi do pewnych klarownych przewidywan jakosciowych. Argumentacjy ty przedstawimy w rozdz. 30.10-13. Jednak argument pierwszy - zwi,!zany z niektorymi implikacjami entropii czarnych dziur - wywoluje pewne inne, wazne dla nas aspekty teoretyczne, ktore S,! przedmiotem intensywnej dyskusji w literaturze, wobec czego dobrze bydzie miec 0 nich pewne pojycie. Przypomnijmy sobie z rozdz. 27.10 wzor Bekensteina-Hawkinga 5BH =:}A (w naturalnym ukladzie jednostek, w ktorym k = c = G = Ii = 1) na entropiy 5 BH
791
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
czarnej dziury, kt6rej horyzont zdarzen rna pole powierzchniA. W 1973 roku,jako czysc wtasnej analizy, Hawking wykazal, ze czarna dziura musi rowniez miec temperaturfl, kt6ra okazuje siy proporcjonalna do "grawitacji powierzchniowej" dziury. Dla dziury rotujqcej w sposob stacjonarny (geometria Kerra; zob. rozdz. 27.10): 1
gdzie, jak w rozdz. 27.10, m oznacza jej masy, natomiast am jest jej momentem pydu. Temperatury ty mozna uzyskac ze standardowej formuly termodynamiki:
TdS
= dE,
gdzie przy zmieniajqcej siy energiiE moment pydu pozostaje zachowanyl30.31. Zgodnie z t q teoriq czarna dziura emituje fotony tak, jakby stanowila obiekt fizyczny w rownowadze termodynamicznej, wypromieniowujqcy energiy z charakterystycznym widmem "ciata doskonale czarnego" (Plancka) 0 temperaturze TBH , opisanym w rozdz. 21.4 (zob. rys. 21.3b). Zwrocmy uwagy, ze aczkolwiek en tropia czarnej dziury Bekensteina-Hawkinga jest gigantyczna, co prowadzi do tych nadzwyczajnych wartosci omawianych w rozdz. 27.13, to temperatura Hawkinga w przypadku czarnej dziury 0 rozsqdnych rozmiarach jest absurdalnie mala. Na przyklad dla czarnej dziury 0 masie rownej masie Stonca temperatura Hawkinga wynosi zaledwie 10-7 K, a wiyC niewiele wiycej niz najnizsza temperatura, jakq jestesmy w stanie uzyskac w warunkach laboratoryjnych na Ziemi (okolo 10-9 K). Jacob Bekenstein (1972) wyprowadzil wyraZenie na entropiy czarnej dziury o kilka lat wczesniej, wykorzystujqC argument fizyczny oparty na zastosowaniu DPT do sytuacji, w ktorej cZqstki kwantowe zmierzajq powoli do czarnej dziury, jednak nie udato mu siy uzyskac ani dokladnej wartosci jaka wystypuje teraz w tym wyrazeniu, ani temperatury czarnej dziury. Temperatury ty i wspotczynnik w wyraZeniu na entropiy pierwszywyprowadzil Stephen Hawking, stosujqC techniki KTP w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Ta przestrzen tla przedstawia czarnq dziury, ktora powstala z implozji materii (powiedzmy, jakiejs gwiazdy) w dalekiej przesztosci. Sytuacjy ty obrazuje diagram konforemny na rys. 27.16c (diagram jest scisly, jesli implozja miala charakter sferycznie symetryczny). Moim zdaniem kapitalne wyliczenie entropii i temperatury czarnej dziury przez Hawkinga (a taue zwiqzanego z nimi "efektu Unruh,,9) stanowi jedyne wiarygodne osiqgniycie uzyskane do czas6w obecnych w ramach kwantowej teorii efektow grawitacyjnych. Jednak nawet rezultaty Hawkinga nie byly, scisle biorqC, wyprowadzone w teorii grawitacji kwantowej, lecz raczej w ramach KTP dzialajqcej w zakrzywionej czasoprzestrzeni. W ogolnym przypadku pojawiajq siy po-
"t",
792
t
~ [30.3] Wyprowadi ten wzor na TBH , wykorzystujC!c formul y Kerra na powierzchni y horyzontu czarnej dziury, podanC! w rozdz. 27.10.
Temperatura czarnej dziury Hawkinga
30.4
wazne problemy, kiedy usilujemy sformulowac teoriy kwantow'! na zakrzywionym tie i jest uderzaj,!ce, ze pomimo tego Hawking byl w stanie dojsc do wiarygodnych wynikow. Jednym z kluczowych problemow jest znalezienie wlasciwego odpowiednika pojycia "CZystosci dodatnich" w zakrzywionej przestrzeni. W rozdz. 24.3 i 26.2 przekonalismy siy, ze to pojycie stanowi zasadniczy element standardowej koncepcji cz'!stek elementarnych w KTP. Trudnosc rozwi,!zania tego problemu w ogolnej zakrzywionej czasoprzestrzeni polega na tym, ze nie istnieje naturalny "parametr czasowy", za pomoq ktorego zwykle definiujemy pojycie "dodatnich czystosci". Uwazny czytelnik moze w tym miejscu zauwaZyc, ze w plaskiej przestrzeni Minkowskiego rowniez nie istnieje naturalnie zdefiniowany parametr czasowy! Tu jednak z pomoq przychodzi ciekawy fakt, ktory mowi nam, ze dla rozwi,!zan relatywistycznych rownan falowych (takich jak badane w rozdz. 19,24-26) CZystosc dodatnia przy jednym wyborze parametru czasowego Minkowskiego, t, jest rownowazna CZystosci dodatniej okreslonej wzglydem innego takiego parametru, pod warunkiem ze kierunek czasowy nie zostal odwrocony. W przypadku pol bezmasowych mozemy nawet posun'!c siy dalej i uzyskac ten sam warunek CZystosci dodatnich za pomoq "parametru czasowego", jaki otrzymamy ze standardowego parametru czasowego Minkowskiego na drodze transformacji konforemnej zachowuj,!cej orientacjy czasow'! (co rna znaczenie dla teorii twistorow; zob. rozdz. 33.3, 10)10. W ogolnej czasoprzestrzeni nie istnieje analogia takiego parametru czasowego i pojycie cZystosci dodatnich bydzie z pewnosci,! na ogol rozne dla roznych wyborow tego parametru. Poza przypadkiem temperatury Hawkinga najbardziej wiarygodne wyniki uzyskuje siy, rozwazaj'!c czasoprzestrzenie stacjoname, w ktorych istnieje rodzina translacji czasowych, zachowuj,!cych geometriy czasoprzestrzeni (zob. rys. 30.3). Takie ruchy czasoprzestrzenne s,! generowane za pomoc,! czasopodobnego wektora Killinga K (zob. rozdz. 14.7 i 30.6). Krzywe, wzdluz ktorych skierowane s,! wektory Killinga, s,! krzywymi, wzdluz ktorych mozna wyspecyfikowac rozs,!dnie naturalny "parametr czasowy" t taki, ze
a
K=-
at'
podczas gdy trzy pozostale wspolrzydne x, y, z uwazamy za state wzdluz krzywych. W takim przypadku pojycie dodatniej CZystosci mozna zdefiniowac ze wzglydu na ten parametr. Ciekawa sytuacja powstanie, jeieli istnieje wiycej niz jeden czasopodobny wektor Killinga, poniewaz wtedy mozemy miec wiycej niz jedno pojycie "CZystosci dodatniej". Taki przypadek pojawi siy, oczywiscie, w przestrzeni Minkowskiego, ale na podstawie poprzednich uwag pojycia CZystosci dodatniej S,! zgodne, gdy przechodzimy w tej przestrzeni od jednego inercjalnego ukladu odniesienia do innego.
793
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
Rys. 30.3. Stacjonarnose czasoprzestrzeni wyra:i:a silt w istnieniu czasopodobnego wektora Killinga K. Generuje on cillglll rodzinlt transiacji czasowych zachowujllcych metryklt. Jesli K = Mat, gdzie t oznacza "parametr czasowy" ukladu wsp61rzltdnych (t, x, y, z), w6wczasx,y iz muszll bye stale wzdlu:i: krzywych calkowych K (zob. rozdz. 14.7).
794
Sytuacja zmienia siy, kiedy przechodzimy od inercjalnego ukladu odniesienia do ukladu przyspieszonego. W takim przypadku otrzymujemy klarowne pojycie "cZystosci dodatnich" i okazuje siy, ze powstala KTP tkwi w pr6ini tennicznej, dlatego ulegaj,!cy przyspieszeniu obserwator doswiadcza niezerowej temperatury, chociaz jest on a, w warunkach rozs'!dnych przyspieszen, znikomo mala. Pomimo owego zadziwiaj,!cego efektu powinno byc jasne, ze "temperatura przyspieszeniowa" jest calkiem normaln,! temperatur,!, ktor'! mozna by mierzyc za pomoc,! zwyklego (chociaz wyidealizowanego) termometru. W takim przypadku termometr powinien poruszac siy ruchem jednostajnie przyspieszonym i znajdowac siy w prozni, ktorej temperatura, mierzona przez termometr stacjonarny, winna wynosic zero. (Pojycie "prozni termicznej" rna zwi,!zek ze znanymi w KTP "prozniami alternatywnymi" z rozdz. 26.5, 11 i "falszyw'! prozni,!" z rozdz. 28.1,4.) Zjawisko takie okresla siy jako "efekt Unruh" i jest ono zgodne ze stanem termicznym czarnej dziury Hawkinga. Obserwator, utrzymywany w stanie stacjonarnym w poblizu bardzo wielkiej czarnej dziury, powinien, zgodnie z zasad'! rownowaznosci (rozdz. 17.4), doznawac efektywnego przyspieszenia, a temperatura Unruh dla tego przyspieszenia odpowiada temperaturze Hawkinga, wyznaczonej za pomoc,! jego wlasnych procedur. Ty trudnosc, jaka na ogol pojawia siy wobec braku naturalnej definicji "dodatniej cZystosci", mozna w pewnych podejsciach omin,!c przez odejscie od pojycia "cz'!stki" i skoncentrowanie uwagi na algebrze operatorow mechaniki kwantowejll. Moze siy to wydawac klopotliwe i trzeba wykazac siy pomyslowosci'!, aby sformulowac w takim ujyciu wiele interesuj,!cych kwestii. Ja sam w trakcie pisania tej ksi,!zki nie jestem jeszcze w stanie ocenic w pelni zalet tej intryguj,!cej i obiecuj,!cej teorii. Podejrzewamjednak, ze jest ona bezwzglydnie lepsza od ujyc opartych na bazie specyficznych, czasopodobnych pol wektorowych. W kazdym razie nie dostrzegam powodu, dla ktorego KTP w ustalonej przestrzeni powinna koniecznie miec pelny sens fizyczny. Ona jest jedynie przyblizeniem do dokladniejszego formalizmu, w ktorym stopnie swobody zwi,!zane z polem grawitacyjnym - a wiyc sarna geometria czasoprzestrzeni - musz'! rowniez stanowic czysc skladow,! fizyki kwantowej. W obliczeniach temperatury i entropii czarnych dziur udalo siy Hawkingowi omin,!c wiykszosc tych klopotow dziyki wprowadzeniu pojycia rozszczepienia cZystosci na dodatnie i ujemne jedynie w nieskonczonosci. Wprowadza jedno takie po-
Temperatura czarnej dziury na podstawie periodycznosci zespolonej
30.5
dotycz~ce temperatury czarnych dziur, implozjy materii do czarnej dziury w odleglej przeszlosci, wymagaj~ jedynie (standardowego) pojycia rozszczepienia cZystosci na dodatnie i ujemne w ,ff+ i w ,ff-. Pr6i:nia czarnej dziury staje siy stanem termicznym (macierz gystosci), poniewai: pocz~tkowa informacja w /7" zostaje podzielona na informacjy w ,ff+ i w osobliwosci koncowej; ta druga zostaje stracona.
Rys. 30.4. Obliczenia Hawkinga uwzglydniaj~ce
jycie wIT (nieskonczonosc na stozku zerowym przeszlosci) i drugie w ,<7+ (zob. rozdz. 27.12). Ta roznica prowadzi do utworzenia przez czam'! dziury "stanu termicznego" Hawkinga, czego rezultatem jest pojawienie siy zjawiska okreslanego mianem promieniowania Hawkinga. Warto zwrocic uwagy, ze jego istnienie zwi¥ane jest z faktem, iZ cZysc informacji okreslonej w ,<7- przepada w osobliwosci i nie dociera w calosci do ,<7+(zob. rys. 30.4). Znaczenie tego faktu poznamyw rozdz. 30.8.
30.5 Temperatura czarnej dziury wynikajc:tca z periodycznosci zespolonej
W tym miejscu warto przedstawic niezwykle pomyslowe wyprowadzenie wzoru na temperatury Hawkinga, czego dokonali w 1976 roku Gibbons i Perry, aczkolwiek oznacza to pewne odstypstwo od glownego kierunku rozwaZan tego rozdzialu (wrocimy do niego w rozdz. 30.8). Argument Gibbonsa i Perry'ego podnosi interesuj,!c,! kwestiy dotycz,!C'! roli elegancji idei matematycznych w dochodzeniu do opisu i odkrywania prawdziwie fizycznych zjawisk. Zauwaiyli oni, ze jdeli rozwi,!zanie rownania Einsteina (mianowicie rozwi,!zanie Schwarzschilda lub Kerra - zob. rozdz. 27.8, 10) przedstawiaj,!ce czam'! dziury w jej ostatecznym stanie zostanie poddane "kompleksyfikacji" (tzn. zostanie rozszerzone od rzeczywistych wartosci wspolrzydnych na wspolrzydne zespolone - zob. rozdz. 18.1), wowczas podstawowy warunek regulamosci, nakladany na wielkosci zdefiniowane w tej zespolonej przestrzeni, implikuje, ze staj,! siy one wielkosciami okresowymi (zob. rozdz. 9.1, rys. 9.1a) w zespolonym czasie, z czysto urojonym okresem 2niTBH • Termodynamika statystyczna mowi, ze ta okresowosc zespolona rzeczywiscie odpowiada dokladnej temperaturze T BH , podanej w rozdz. 30.4. Uzyskalismy w ten sposob zaskakuj,!co proste dojscie do temperatury Hawkinga dla czamej dziury. Ale coz takie wyprowadzenie oznacza z fizycznego punktu widzenia? Z jednej strony jest to z pewnosci,! bardzo elegancki argument, zastosowany do znalezienia temperatury Hawkinga w roznych sytuacjach, w ktorych nie mozna latwo uZyc jego oryginalnej argumentacji. A z drugiej strony mam powazne obiekcje w zwi,!zku z uznaniem tego argumentu za fizyczne uzasadnienie temperatury Haw-
795
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
kinga. To znakomity przyklad fragmentu piyknej matematyki, ktora akurat daje nam poprawny wynik (a jego "poprawnosc" oceniamy na podstawie kryteriow bardziej fizycznie akceptowalnych - mam tutaj na mysli oryginalne wyprowadzenie Hawkinga), pomimo ze niektore "fizyczne" zalozenia skladajqce siy na ty matematyky mozna uwazac za niepewne. Przypatrzmy siy nieco dokladniej matematycznym skladnikom tej "kompleksyfikacji". Dobrym sposobem bydzie pomyslec najpierw 0 zwyklej, 2-wymiarowej plaszczyznie euklidesowej ]&2 i jej standardowej kompleksyfikacji C]&2( = ( 2). Przestrzen rzeczywistq]&2 nazywamy czasemplZekrojem lZeczywistym C]&2 (rys. 30.Sa, b; zob. rowniez rys. 18.2). Jest to rzeczywisty przekroj euklidesowy, poniewaz rna zwyklq metryky euklidesowq. J ednak C]&2 rna rowniez lZeczywiste plZekroje lorentzowskie (zob. rys. 18.2, rozdz. 18.2) i jeden z nich, M2, mozemy uzyskac, biorqc wspolrzydnqy ze standardowej pary wspolrzydnych kartezjanskich (x,y) W]&2 (wspolrZydne te Sq parametrami liczbowymi 0 wartosciach rzeczywistych) i zamieniajqc wartosci rzeczywiste y na wartosci czysto urojone. Teraz t = iy stanowi wspolrzydnq czasowq w M2 Uest to dokladnie 2-wymiarowy wariant przykladu rozwazanego w rozdz. 18.1). Wprowadzmy teraz zamiast wspolrzydnych kartezjanskich (x, y) W]&2 wspolrzydne biegunowe (r, 8); zob. rozdz. 5.1 i rys. 30.Sa. Nieujemne rzeczywiste wartosci r mierzq odleglosc od poczqtku ukladu, natomiast rzeczywisty kqt 8 wyznaczony jest przez kqt miydzy promieniem wodzqcym a osiq x, mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazowek zegara. J ak te zmiany przenoszq siy na nasz przekroj lorentzowski M2? Jesli ograniczymy siy do prawego kwadrantu M R , jak to pokazuje rys. 30.5b, wielkosc r bydzie nadal rzeczywista i nieujemna, lecz 8 stanie siy czysto urojone, wobec czego T =
i8
bydzie rzeczywiste. Wspolrzydna r mierzy odleglosc lorentzowskq od poczqtku ukladu wspolrzydnych, natomiast T jest "kqtem hiperbolicznym odchylenia od linii poziomej"[30Al. Wspolrzydnq T (pomnozonq przez stalq ro) zinterpretujemy jako mierzqcq "czas", w zwyklym czasoprzestrzennym sensie, dla obserwatora (w tej 2-wymiarowej plaskiej geometrii czasoprzestrzeni), ktory oddala siy od srodka ruchem "jednostajnie przyspieszonym" po linii swiata zadanej przez r = ro ("wspolrzydne Rindlera"12). Sarna czasoprzestrzen jest tutaj calq przestrzeniq M2, niezaleznie od faktu, ze "czas" obserwatora odnosi siy tylko do jej kwadrantu MR. Zalozmy, ze obserwator interesuje siy wielkosciami analitycznymi zdefiniowanymi na M2. Wielkosci takie bydq mialy przedluzenie holomorficzne na kompleksyfikacjy czasoprzestrzeni (zob. rozdz. 7.4 i 12.9), ale jest ono zapewnione jedynie w pewnym bezposrednim otoczeniu "przekroju rzeczywistego", ktorym w tym przypadku jest przekroj 10~
796
[30.4] Wyraz te wsp61rzydne (r, r) przez lorentzowskie kartezjanskie wsp6trzydne (x, t). Sprawdz, dlaczego czysc rzeczywista () znika na M2.
Temperatura czarnej dziury na podstawie periodycznosci zespolonej
(a)
30.5
(b)
Rys. 30.5. Periodycznose w urojonym czasie, zilustrowana na przykladzie 2-przestrzeni Minkowskiego
Mf, skompleksyfikowanej do CMI 2 = CIFi. (a) Plaszczyzna euklidesowa n<;2 jest jednym z przekroj6w rzeczywistych zespolonej przestrzeni CMI2. Wektor Killinga (J/rJe generuje obroty w n<;2, gdzie wprowadzilismy wsp6lrz«dne biegunowe (r, e). Kazda funkcja jednowartosciowa w n<;2 musi bye funkcj,! okresow'! w e 0 okresie 21t. (b) W rzeczywistym przekroju lorentzowskim MI2 przestrzeni CMI2 wsp6lrz«dna czasowa "Rindlera" (przyspieszenie jednostajne) jest T = ie (to analog czasu Schwarzschilda, kt6ry jest czasem naturalnym dla czarnej dziury) i funkcja analityczna w pocz'!tku ukladu wsp6lrz«dnych 0 musi bye funkcj,! okresow'! w TO okresie 21ti. (Wektor Killinga K = a/aT = -(J/ae).
rentzowski. Jesli jednak ta wielkose jest analityczna w pocz'!tku ukladu 0 tego przekroju, to musi bye tez analityczna w pocz'!tku ukladu przekroju euklidesowego (poniewaz to jest dokladnie jeden i ten sam punkt). Ale wielkose, kt6ra jest gladka w pocz'!tku euklidesowym, musi bye okresowa w () z okresem 2n, poniewaz, jesli zwiykszymy () 0 2n ( dla pewnej malej wartosci radialnej r = E), obr6cimy siy po pro stu raz wok61 pocz'!tku i wr6cimy do tego samego punktu, z kt6rego wystartowalismy. Teraz wielkose T, odniesiona do pocz'!tkowych wsp6lrzydnych czasoprzestrzeni Lorentza, ma urojony okres 2ni. I to wlasnie stanowi podstawy argumentacji Gibbonsa-Perry'ego, kt6r,! zastosujemy do pelnej geometrii 4-przestrzeni czarnej dziury, a nie do naszej uproszczonej 2-wymiarowej czasoprzestrzeni Me. Wlasciw,! geometri,! jest teraz geometria Schwarzschilda (dla normalnego przypadku sferycznego bez obrotu, ale mozemy tez uZye geometrii Kerra dla obracaj,!cej siy dziury). Aby funkcjonowal ten argument, potrzebujemy odpowiednika pocz'!tku 0 w M2. Mozemy to zobaczye na rys. 30.6a, gdzie przedstawilem scisly diagram konforemny dla przypadku okreslanego jako "maksymalnie poszerzona" czasoprzestrzen Schwarzschilda K13. Czasoprzestrzen K jest czasami nazywana "wieczn,! czarn'! dziur,!", poniewaz nie powstala ona w wyniku implozji grawitacyjnej, lecz "zawsze tam byla". Centralny punkt diagramu 0 reprezentuje 2-sferf, zgodnie z konwencj,! scislych diagram6w konforemnych. K jest odpowiednikiem Me, ale potrzebujemy takZe odpowiednika ]E2. Taka przestrzen istnieje i jest czasami okreslana jako "euklidyzowana przestrzen Schwarzschilda" 9 (czysto teZ nazywana "przestrzeni,! euklidesow,!", co jest nieslychanie myl,!ce!), w kt6rej "czas" Schwarzschilda l4 T w K przyjmuje czysto urojone wartosci T = if3() W g, wielkose () oznacza wsp61rzydn,! k,!tow,! w g, przyrastaj'!C'!
797
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
'.
...
.'.
..
.
.. - ~. .. .-. ~
.. 0.:
gB/ o ;'
/
8
. ...
(a)
(b)
Rys. 30.6. Temperatura Hawkinga uzyskana na podstawie periodycznosci w urojonym czasie (argument Gibbonsa-Perry'ego). (a) Scisly diagram konforemny dla "wiecznej czarnej dziury", kt6ra przedstawia "maksymalnie rozszerzom( czasoprzestrzen Schwarzschilda K, z czasem Schwarzschilda r i wektorem Killinga K = alar. Punkt srodkowy 0 reprezentuje 2-sfery. (b) "Euklidyzowana" przestrzen Schwarzschilda g, w poblizu 0, rna rzeczywistll wsp6Irzydnll klltowll 8, a wiyc "czas" r przyjmuje czysto urojone wartosci r = i{38, a staia liczba rzeczywista f3 jest "grawitacjll powierzchniowll" dziury. KlIt 8 wzrasta 0 211 za kai:dym razem, gdy obejdziemy punkt 0 dookola, wobec czego kazda funkcja w przestrzeni K, analityczna w 0 (a zatem przedIuzona do g), rna okres 211 we wsp6Irzydnej 8, tzn. okres 211i{3 w r (w poblizu 0), gdzie f3 interpretujemy jako temperatury Hawkinga czarnej dziury.
798
o 21t za kazdym razem, gdy obejdziemy punkt 0 w kierunku dodatnim (rys. 30.6b), a {J jest (stalq., przy ustalonym r) liczbq. rzeczywistq. nazywanq. "grawitacjq. powierzchniowq.". Kazda wielkose, ktora jest regularna (tzn. analityczna; zob. rozdz. 7.4) w punkcie 0 w K, musi bye rownid regularna wOw g (poniewaz 0 jest tym samym miejscem w skomp1eksyfikowanej przestrzeni Schwarzschilda, dla kazdego z dwoch rzeczywistych przekrojow K i g). Bydq.c regularna w punkcie 0 w g, wie1kose taka musi bye rowniei periodyczna, z okresem 21ti{3 w T, poniewaZ () jest zwyklq. wspolrzydnq. kq.towq., ktora, jesli wzrosnie 0 kq.t 21t (= 360°), oznacza powrot do tego samego miejsca w przestrzeni (czasie), z ktorego wystartowalismy. Ta urojona okresowosc, zgodnie z zasadami termodynamiki statystycznej, jest cechq. charakterystycznq. "stanu termicznego 0 temperaturze {J". Moim zamiarem nie jest dyskutowanie 0 zasadach termodynamiki statystycznej, bo w ten sposob odeszlibysmy za daleko od glownego tematu. Zagadnieniem, ktore nas tutaj interesuje, jest pytanie, jak dalece mozemy zaufae argumentowi o zespolonej periodycznosci. Odpowiedz zaleiy od tego, czy powaznie traktujemy obszar 0 i czy to jest uzasadnione. Problem ten bynajmniej nie jest prosty. Dla rzeczywistej, fizycznej czarnej dziury caly ten "wieczny" obraz z pewnosciq. nie jest wlasciwy. Fizyczna dziura musiala powstae na skutekjakiejs implozji grawitacyjnej (powiedzmy, jakiejs supermasywnej gwiazdy lub innej masy materii w centrum galaktyki), chyba ze byla ona w jakims sensie "pierwotnym" tworem powstalym jeszcze w czasie Wie1kiego Wybuchu. Ale nawet pierwotna dziura - bylaby to raczej czarna dziura, a nie jej odbity w czasie odpowiednik, biala dziura - powinna nadal w jakims sensie bye wynikiem "implozji" i bez wzglydu na to, czy czarna czy biala, nie jest wlasciwie opisana przez pelny model z rys. 30.6a. Co prawda pewna zewm;tnna czyse tego modelu moze bye wykorzystana do przedstawienia implozji do czarnej dziury, mianowicie ta czyse rys. 30.6a, ktora znajduje siy powyzej i po pra-
Temperatura czarnej dziury na podstawie periodycznosci zespolonej
30.5
wej stronie linii ograniczaj,!cej zapadaj,!c,! sit( materit(. Ponizej i na lewD od tej granicy metryka czasoprzestrzeni powinna bye metryk,! materii rozn,! od metryki wiecznej czarnej dziury. Calkowity kolaps przedstawia rys. 30.7, ktory jest modyfikacj,! rys. 27.16c. Zauwazmy, ze teraz 0 zawsze znajduje sit( na zewn'!trz obszaru, w ktorym obowi(!Zuje (rozszerzona) metryka Schwarzschilda. Wydaje sit(, ze nie rna fizycznego uzasadnienia, aby zakladac, iz wielkosci fizyczne okreslone w czasoprzestrzeni s,! regularne w 0 i trudno stwierdzic, dlaczego ten argument daje uzasadnienie temperatury Hawkinga, niezaleznie od wielkiej elegancji matematycznej. (Kazdy realistyczny model fizyczny czarnej dziury powinien stanowie odstt(pstwo od dokladnej metryki Schwarzschilda alba Kerra; powinnismy oczekiwac, ze te odstt(pstwa bt(d,! coraz wit(ksze i bt(d,! stawaly sit( rozbidne do nieskonczonosci, im blizej podchodzimy do O. ) [30.5J Niemniej jednak dokladny stacjonarny model czarnej dziury reprezentuje ostateczn,! granict( realistycznej implozji, w ktorej wszystkie nieregularnosci wygladzaj,! sit( z czasem. To graniczna czasoprzestrzen charakteryzuje sit( ow'! regularnosci,! i st,!d bierze sit( wymagana periodycznosc zespolona i wynika z,!dana temperatura. Aczkolwiek nie wiem, w jaki sposob argument ten moze bye wykorzystany jako fizyczne uzasadnienie temperatury Hawkinga (niezaleznie od tego, ze za taki jest powszechnie uwazany), jest to powazny znak, wskazuj,!CY na ukryt,! wewnt(trzn,! spojnosc calej idei "temperatury czarnej dziury". W tym miejscu nie mogt( oprzee sit( pokusie porownania z inn,! obserwacj,!, ktoq zawdzit(czamy Brandonowi Carterowi, poczynion,! w innym kontekscie, ale wykazuj,!C'! znacz'!ce podobienstwo do argumentacji, jak,! wlasnie rozwazalismy, chociaz nigdy nieprzedstawian,! jako "wyprowadzenie" jakiejkolwiek teorii. Przypomnijmy sobie, ze stacjonarna, nienaladowana czarna dziura opisywana jest przez dwa parametry Kerra, mia, gdzie m oznacza mast( dziury, a am jej moment pt(du (dla wygody przyj,!km c = G = 1, jak w ukladzie jednostek Plancka w rozdz. 27.10). Ezra T. Newman's znalazl uogolnienie metryki Kerra (zwykle nazywa sit( j,! metrykq Kerra-Newmana), ktora reprezentuje obracaj,!C'! sit( stacjonarn,! czarn'! dziurt( naladowanq elektrycznie. Mamy teraz trzy parametry: m, a i e. Masa i moment
/ / /
"",
Rys. 30.7. Historia sferycznej implozji grawitacyjnej - nieznaczna modyfikacja rys. 27.16c - przedstawiona w terminach maksymalnej czasoprzestrzeni Schwarzschilda K z rys. 30.6a. Obszar zacieniony skosnymi liniami naleZy usunl!c, a w obszarze kropkowanym metryka, z powodu obecnosci materii, jest inna nii w K. Zauwaimy, ie 0 znajduje sit( zawsze na zewnl!trz obszaru, w kt6rym obowil!zuje metryka K.
~ [30.5] Przekonaj sit(, c'l:j potrafisz uzasadnic ten punkt widzenia. W5kaz6wka: rozwaz niewielkie zaburzenie liniowe. C'l:j spodziewasz sit( zachowania wykladniczego w jednq lub w drugq stront( w czasie?
799
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
pydu wystypowaly juz poprzednio, ale teraz doszedlladunek elektryczny e. Istnieje rowniez moment magnetyczny M = ae, ktorego kierunek pokrywa siy z kierunkiem momentu pydu. Carter zauwaZyl, ze stosunek iyromagnetyczny (dwa razy masa razy moment magnetyczny podzielony przez ladunek razy moment pydu, ktory w przypadku czarnej dziury daje 2m x ae/e x am = 2) jest staly dla czarnych dziur (tzn. niezalezny od m, a i e) i jego wartosc jest dokladnie rowna wartosci, jakq Dirac przewidzial dla elektronu, a mianowicie 2 (kiedy w przypadku elektronu Diraca moment pydu wynosi a moment magnetyczny fie/me, to jeSli poloZymy c = 1, otrzymamy stosunek Zyromagnetyczny rowny 2; zob. rozdz. 24.7). Newman (2001) przedstawil interpretacjy owej "koincydencji" w terminach translacji w zespolonym kierunku w przestrzeni. Czy takq argumentacjy mozemy uznae za wyprowadzenie stosunku Zyromagnetycznego elektronu niezaldne od oryginalnego wyprowadzenia Diraca? Z calq pewnosciq nie, w zadnym zwyklym sensie slowa "wyprowadzenie". Mogloby tak ewentualnie bye, gdybysmy traktowali elektron jako w pewnym sensie "czarnq dziury". W rzeczywistosci wartosci parametrow a, m i e w przypadku elektronu naruszajq podstawowq nierownose
tn,
t
ktora musi bye spelniona, zeby metryka Kerra-Newmana reprezentowala czarnq dziury. Argument ten w zaden sposob nie moze bye wiyC porownany z wyprowadzeniem przez Diraca stosunku Zyromagnetycznego elektronu. Jest jednak podobny do sposobu, w jaki Gibbons i Perrywyprowadzili temperatury czarnej dziury, w tym sensie, ze ujawnia pewnq "naturalnose" uzyskanej wartosci dziyki przejsciu w dziedziny liczb zespolonych16. Argument Gibbonsa-Perry'ego majeszcze ty przewagy, ze nie jest ograniczony do rozwazania rodziny metryk czasoprzestrzeni Schwarzschilda-Kerra, choe moim zdaniem to nie uzasadnia przyjycia go powszechnie jako
wyprowadzenia. 30.6 Weldory Killinga, przepfyw energii -
800
i podr6i:e
w czasie!
Pojycie "wiecznej czarnej dziury" czysto przyciqga uwagy naukowcow z innych wzglydow, mimo ze rna ono kuriozalne charakterystyki globalne, ktore powodujq, iz trudno traktowae je serio, jako model fizycznie akceptowalnego wszechswiata. Chociaz wydaje siy, ze niektore z tych wzglydow bardziej pasujq do literatury science fiction niz do rzeczywistosci, to koncepcja wiecznej czarnej dziury prezentuje pewnq wartosc geometrycznq, ilustrujqcq aspekty matematyczne, wazne dla nas w rozdz. 30.7,10. Widzimywiyc, ze rna ona dwie rozne nieskonczonosci na stozku zerowym przeszlosci (g- i g-') oraz dwie rozne nieskonczonosci na stozku zerowym przyszlosci (g+ i g+'). Ty czasoprzestrzen mozna sobie wyobrazac jako reprezentujqcq ewolucjy czasowq dwoch roznych wszechSwiatow, polqczonych wqskq szyjkq (a wormhole), ktora nastypnie zostaje "oderwana" w osobliwosci; zob. rys. 30.8.
Wektory Killinga, przeplyw energii - i podroie w czasie!
30.6
Osobliwosc
(bl
Rys. 30.8. (a) Czasoprzestrzen K traktowana globalnie, jako ewoluuj'lca w czasie 3-przestrzen, kt6ra jest "szyjk'l" (a wonnhole) l'Icz'lc'l dwa obszary asymptotycznie plaskie. Szyjka zostaje oderwana w spos6b osobliwy zar6wno w przeszlosci, jak i w przyszlosci. (b) Zaden kosmiczny podr6znik, kt6ry zamierza przedostac silt z jednego obszaru do drugiego, nie moze tego dokonac, zanim nast'lpi jego "oderwanie", jak to ukazuje diagram konforemny, poniewaZ wymaga to, zeby jego linia swiata miala CZltsc przestrzennopodobn'l (tj. poza stozkiem swietlnym).
lesli chodzi 0 oba obszary "zewnytrzne", to mozna przyj,!e, ze kazdy z tych wszechswiatow zawiera czam,! dziury, ale dziwnego rodzaju, w tym sensie, ze jest to jednoczesnie "biala dziura". Sygnaly mog,! docierae do kazdego z tych zewnytrznych wszechSwiatow, f i f', z wewnytrznego obszaru w przeszlosci, B- (zachowanie siy typu "bialej dziury"), jak rownieZ sygnaiy z wszechswiatow zewnytrznych, f if', mog,! siy propagowae do wewnytrznego obszaru w przyszlosci, B+ (zachowanie siy typu "czarnej dziury"). Fakt, ze czasoprzestrzen jest stacjonarna, wyraZa siy w istnieniu wektora Killinga K (zob. rozdz. 14.7, 19.5 i 30.4). Wektor ten naszkicowalern na rys. 30.9. ZauwaZmy, ze wektor Killinga jest czasopodobny w dwu obszarach zewnytrznych, f i f', lecz jest przestrzennopodobny w B- i B+. Czasopodobna natura K w obszarach zewnytrznych oznacza stacjonarnose biaiej/czarnej dziury. Rodzina obserwatorow w f, ktorych linie swiata s,! styczne do linii pol a wektorow Killinga K, bydzie postrzegala wszechswiat niezmienny. To sarno dotyczy obszaru f'. lednak w przypadku obserwatorow w f' wiasnose ta odnosi siy do wektorow Killinga -K, a nie do K, poniewaZ rozroznienie przyszlosci od przeszlosci musi bye odpowiednie do lokalizacji obserwatorow w czasoprzestrzeni. W tym sensie, gdy przechodzimy od f do f', nastypuje "odwrocenie kierunku czasu". Zachowana wielkose gystosci energii (rozdz. 19.5), ktor,! otrzymujemy przez kontrakcjy TabKb tensora energii-pydu z wektorem Killinga K, daje nam dodatni,! gystose energii (dla normalnej
Rys. 30.9. Wektor Killinga K jest wektorem czasopodobnym w dwu zewnlttrznych obszarach £ i £', natomiast jest przestrzennopodobny w obszarach wewnlttrznych B+ i B-. Por6wnuj'lc K w £ i £', obserwujemy, ze odwraca on kierunek czasu, wobec czego wielkosc oznaczaj'lca zachowan'l gltstosc energii, Tab/(a, zmienia znak.
801
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
materii) w £, natomiast ujemn,! dla normalnej materii w £' (poniewai K jest skierowanyw strony przeszlosci w £', natomiast -K jest teraz zwyklym wektorem Killinga oznaczaj'!cym stacjonarnosc). Nie wystypuje tu w istocie zasadnicza sprzecznosc, lecz ilustracja dziwnego charakteru czasoprzestrzeni, jak,! rozwaiamy. Faktycznie, nie jest moiliwe, aby jakis fizyczny obserwator mogl "przedostac" siy z £ do £', poniewai takie przejscie wymaga, ieby jego linia swiata nie byla wszydzie czasopodobna (rys. 30.8). Teoretycy cZysto probuj,! jakos omin,!c ty przeszkody, modyfikuj,!c czasoprzestrzen w sposob, jaki wydaje siy "nieznacz'!cy". Takie podejscie wynika z intencji pokazania (moim zdaniem to kiepski pomysl), ie jakis rodzaj fantastycznej podroiy "szyjk,!" ("wormhole" travel) miydzy tymi wszechswiatami - albo (wskutek niewielkiej modyfikacji obrazu, jak na rys. 30.10) z jednego obszaru czasoprzestrzeni do odleglego innego - moglby byc moiliwy przy zastosowaniu jakiejs nowej technologii w przyszlosci. Gdyby ow pomysl zostal uwienczony sukcesem, wowczas otworzylaby siy moiliwosc podroiy kosmicznych, w ktorych przezwyciyiono by ograniczenia naloione przez teoriy wzglydnosci. W literaturze fantastycznonaukowej wymyslane S,! procedury "holownicze", ktore pomagaj,! przeci,!gn,!c statek kosmiczny przez te "szyjki" do odleglych regionow, nawet "wczesniej", zanim byl w stanie w nie wejsc. Chociai wydaje siy to dziwne, nawet pierwszorzydni specjalisci w dziedzinie ogolnej teorii wzglydnosci zajmuj,! siy rozwaianiem perspektyw takich "podroiy w czasie"17. Powainym powodem takich analiz (przynajmniej niekiedy) jest nie tyle przypuszczenie, ie takie podroie moglyby byc moiliwe w ramach obecnego (lub wyobraialnego) stanu naszej wiedzy 0 fizyce, ile przekonanie, ie moglibysmy siy czegos nauczyc z faktu, ii z fizycznego punktu widzenia jest to niemoiliwe[30.6].
(a)
(b)
Rys. 30.10. Fantastyczne sugestie podroi}' kosmicznych poza stozkiem swietlnym, oparte na koncepcji zmodyfikowanej czasoprzestrzeni "szyjki". (a) "Utozsamiaj'!c" odlegle cZltsci dwu zewnlttrznych obszarow przestrzeni z rys. 30.8, otrzymujemy szyjklt I'!cz'!c'! dalekie obszary tej samej przestrzeni, jednak nadal podroz przez tit szyjklt z jednego obszaru do drugiego nie moze odbyc silt wzdluz krzywej czasopodobnej. (b) Aby taka podroz byla mozliwa, potrzebna jest jakas "rozci,!gniyta" wersja IC (ale taki model wymaga ujemnych gltstosci energii).
802
jll [30.6] Wyjasnij, dlaczego, zgodnie z duchem szczeg6lnej teorii wzglydnosci, mozliwosc podr6i:)' miydzy oddzielonymi przestrzennopodobnie zdarzeniami p i q zawiera mozliwosc podr6i:)' od p do zdarzenia wczesniejszego niz p, wzdluz czasopodobnej linii swiata przechodzqcej przez p.
Wyptyw energii z orbit ujemnej energii
30.7
W "opisie przestrzennym" przedstawionym na rys. 30.8 szyjka "odrywa siy i kurczy do zera", zanim kosmonauta bydzie w stanie przedostac siy przez ni,!. Idea polega na tym, ze rozwaia siy mozliwose, aby w ramach teorii "zachowae" ty szyjky wystarczaj'!co dlugo, zeby kosmonauta byl w stanie przedostae siy na drug,! strony, pod warunkiem ze dozwolone s,! ujemne gystosci energii. Zwykle, w klasycznej teorii, takie ujemne gystosci energii S,! zabronione, ale mozna je dopuscic w specjalnych okolicznosciach w odpowiedniej kwantowej teorii pola. Czy naprawdy specjalisci od teorii wzglydnosci uwazaj'!, ze takie fantastyczne rozwazania mog,! nas doprowadzie do odkrycia sposobu umozliwiaj,!cego podroz do odleglych obszarow WszechSwiata przez owe "szyjki" na podstawie KTP? Spodziewam siy, ze bardzo niewielu 18 • Wazniejsze wydaje siy to, ze rozwazania tego rodzaju mog,! zaproponowae "test" prezentowanych koncepcji grawitacji kwantowej. Gdyby bowiem idee KTP pozwalaly na owo "zachowanie", wowczas ile by to swiadczyto 0 poprawnosci takich koncepcji kwantowej grawitacji i wymagaloby przemyslenia wszystkiego od nowa. W ten sposob mozna by uzyskac uiyteczne wskazowki co do adekwatnosci rozwazanej propozycji teorii grawitacji kwantowej. (Wlasnie w ten sposob odczytujy te propozycje. Bye moze moje stanowisko jest zbyt "wyrozumiale" i znacznie wiycej teoretykow, niz przypuszczam, naprawdy uwaza, iz koncepcje takich podroiy naleiy rozpatrywac powaznie!)
30.7 Wyplyw energii z orbit ujemnej energii Odszedlem daleko od glownego toku moich rozwazan, jakim S,! implikacje temperatury Hawkinga. Czy S,! jakies powody fizycznej natury, z ktorych, w kontekscie mechaniki kwantowej, wynikaloby, ze czarna dziura powinna emitowae promieniowanie odpowiadaj,!ce posiadaniu niezerowej temperatury? Faktycznie, Hawking podal nawet "intuicyjne" uzasadnienie istnienia takiego promieniowania (promieniowanie Hawkinga); ilustruje to rys. 30.11. W pobliZu horyzontu dziury proznia nieustannie produkuje wirtualne pary cz'!stka-antycz'!stka, ktore w bardzo krotkim czasie anihiluj,! siy wzajemnie. (Proces taki rozwazalismy w rozdz. 26.9 i zilustrowalismy na rys. 26.9 i 26.10.) Obecnose czarnej dziury modyfikuje ten obraz, poniewaz od czasu do czasu jedna z cz'!stek takiej pary wpada do dziury, podczas gdy druga ucieka. Taka sytuacja moze nast,!pie tylko wtedy, gdy uciekaj,!ca cz'!stka staje siy cz'!stk'! neqywistq (tzn. "na powloce masowej", w przeciwienstwie do cz,!stki wirtualnej, "poza powlok,!", jak,! byla na pocz'!tku; zob. rozdz. 26.8 i rys. 26.6), wobec czego musi miee dodatni,! energiy, a cz'!stka wpadaj,!ca do dziury (na zasadzie zachowania energii) musi siy stac cz'!stk'! rzeczywist,! 0 energii ujemnej. Istotnie, wewn'!trz czarnej dziury mog,! pojawiae siy cz'!stki 0 ujemnych energiach. Taka mozliwose wynika st,!d, ze wektor Killinga Ka W obszarze wewnytrznym S+ staje siy wektorem przestrzennopodobnym, a czasopodobny, skierowany w strony przyszlosci 4-pyd Pa daje ujemny iloczyn skalarny PaKa, ktory jest (zachowan'!) energi,! cz'!stki; zob. rys. 30.11b[3071. Proces Hawkinga zachodzi, poniewaz cz'!stka rzeczywista
803
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
~ {t (a)
(b)
Rys. 30.11. "Intuicyjne" uzasadnienie promieniowania Hawkinga. (a) Daleko od czarnej dziury w pr6zni nieustannie powstajll wirtualne pary cZllstka-antyczllstka, kt6re bardzo szybko ulegajll anihilacji (zob. rys. 26.9a). (b) Mozemy sobie wyobrazie, ze w poblizu horyzontu dziury jedna cZllstka z takiej pary wpadnie do dziury, podczas gdy druga ucieka do nieskonczonosci. Obie cZllstki stajll si y cZllstkami rzeczywistymi i prawo zachowania energii wymaga, aby ta wpadajllca do dziury miala ujemnll energi y. To jest mozliwe, poniewaz pod horyzontem wektor Killinga staje si y wektorem przestrzennopodobnym. (Jesli K a jest przestrzennopodobny, to zachowana energia PaK a moze bye ujemna; Pa oznacza 4-pyd cZllstki.)
(w przeciwienstwie do wirtualnej) moze miec ujemnq energit(, jesli znajdzie sit( pod horyzontem zdarzen czarnej dziury. Rzeczywisty partner takiej czqstki musi miec energit( dodatniq, a to oznacza, ze z czarnej dziury moze wydostawac sit( dodatnia energia. Warto tutaj zwrocic uwagt( na fakt, ze bardzo podobne zjawisko zachodzi w klasycznej teorii czarnych dziur, gdy dziura sit( obraca. Ale w przeciwienstwie do promieniowania Hawkinga, dla ktorego energia promieniowania w przypadku dziur o rozsqdnych wymiarach jest smiesznie mala - i interesujqca jedynie z czysto teoretycznych wzglt(dow - to, co dzieje sit( w przypadku rotujqcej klasycznej dziury, rna ogromne implikacje astrofizyczne. Jak sit( okazuje, najpott(zniejsze znane we WszechSwiecie zrodla energii (kwazary i radiogalaktyki) zasilane Sq energiq obrotOWq gigantycznych czarnych dziur. Proces ten jest podobny do zjawiska, ktore prowadzi do promieniowania Hawkinga. Polega to na tym, ze ujemna energia czqstek lub pol zostaje pochlonit(ta przez dziurt(, co daje w efekcie ucieczkt( dodatniej energii z dziury do nieskonczonosci. Roznica sprowadza sit( do tego, ze w przypadku obracajqcej sit( czarnej dziury ta czt(sc czasoprzestrzeni, w ktorej wektor Killinga K staje sit( przestrzennopodobny, rozciqga sit( do obszaru na zewnqtrz horyzontu dziury. Obszar ten nosi nazwt( ergosfery (rys. 30.12a). A zatem w ergosferze cZqstki mogq miec ujemnq energit( (wobec nieskonczonosci), podczas gdy w dalszym ciqgu Sq w stanie komunikowac sit( z odleglymi rejonami WszechSwiata. Mozliwe jest wit(c na przyklad, ze cZqstka dociera z zewnqtrz do ergosfery, rozszczepia sit( na dwie w taki sposob, ze jedna z nich uzyskuje energit( ujemnq, podczas gdy druga ucieka na zewnqtrz, niosqc ze sobq wit(cej energii niz cZqstka, ktora tam przybyla 19 ! Wynik netto jest taki, ze energia zostaje wyprowadzona z dziury, nieznacznie zmniejszajqc energit( zgromadzonq w jej ruchu obrotowym (rys. [30.7] Wyjasnij, dlaczego przestrzennopodobny wektor K a prowadzi do ujemnej wartosci "energii" PaKa.
~
804
Eksplozje Hawkinga
30.8
(Sl ("I
OJ
~
(])
e
"'"
~
Horyzont Granica stanu stacjonarnego (a)
(b)
Rys. 30.12. Widok"z g6ry" wzdluz osi czasu obracajllcej siy czarnej dziury (Kerra). (a) W przypadku czarnej dziury Kerra istnieje obszar - nazywany "ergosferll" - wewnlltrz kt6rego wektor Killinga K (stacjonarnosci) staje siy wektorem przestrzennopodobnym na zewnqtrz horyzontu dziury. Wewnlltrz ergosfery cZllstki mogll miec ujemnll, zachowanll energiy (mierzonll wzgiydem nieskonczonosci), wobec tego inne cZllstki, z kt6rymi siy zderzajll, mogll uciekac do nieskonczonosci, unoszllc ze sobll nadmiar energii. (b) W tak zwanym "procesie Penrose'a" mozemy wykorzystac ten fakt i moze zostac wydzieiona energia obrotowa czarnej dziury. W najprostszym procesie tego rodzaju cZllstka wchodzllca wergosfery rozszczepia siy na dwie, z kt6rych jedna, niosllca energiy ujemnll, wpada do dziury, natomiast druga ucieka do nieskonczonosci, unoszllc ze sobll wiycej energii niz cZllstka pierwotna.
30.12b). Do podobnego wniosku dochodzimy, gdy rozpatrujemy pola elektrornagnetyczne zamiast cz'!stek20 • Nalei}' podkreslic, ze "cz'!stka 0 ujemnej energii" wpadaj,!ca do czarnej dziury jest z lokalnego punktu widzenia calkiem norrnaln,! cz'!stk'! (ze zwyklym czasopodobnym 4-pC(dern, jak opisany w rozdz. 18.7). J edynie wielkosc PalC a , kt6ra jest rniar,! zachowanej energii, ogl,!dana z nieskonczonosci, rna wartosc ujernn,!, co rna prawo siC( zdarzyc, jesli cz'!stka znajduje siC( w ergosferze. To doniosly fakt dotycz'!cy czarnych dziur, ale nie rna w nirn nic ani rnatematycznie, ani fizycznie niezrozurnialego. Wlasnie on urnozliwia wypromieniowanie gigantycznych czC(sto energii ruchu obrotowego czarnych dziur na zewn'!trz. Najbardziej prawdopodobne wyjasnienie ogrornnej energii wysylanej przez kwazary (zob. rozdz. 27.9) przypisuje siC( ruchowi obrotowemu gigantycznych czarnych dziur. Ta ogromna energia rotacyjna wydziela siC( stopniowo - i wydruje w przestrzen kosmiczn,! - za posrednictwem opisanego tutaj procesu; zob. rys. 30.13. Powszechnie przyjrnuje siy, ze ujernna energia pochlaniana przez czarne dziury wystypuje pierwotnie raczej w postaci pol a elektrornagnetycznego (np. Blanford, Znajek 1977; Begelman et al. 1984) niz w formie cz,!stek (np. Williams 1995, 2002,2004). Ale w kazdym z tych przypadk6w istota procesu jest identyczna.
30.8 EkspJozje Hawkinga
Powr6cmy teraz do kwantowornechanicznego procesu Hawkinga. Temperatura Hawkinga dla czarnej dziury 0 masie r6wnej masie Sionca 1 M o ' jak stwierdzilisrny w rozdz. 30.4, jest niezmiernie niska (okolo 10-7 K). W przypadku wiykszych czarnych dziur jest jeszcze nizsza, odwrotnie proporcjonalna do rnasy dziury (przy zadanym stosunku a: m; zob. rozdz. 27.10). Astrofizycy nie znalezli jeszcze dowodu
805
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
Rys. 30.13. Ogromna ilose energii wydzielanej przez kwazar pochodzi z energii obrotowej wielkiej czarnej dziury w centrum galaktyki. Dokonuje sit( to za posrednictwem procesu, ktorego ogolny charakter ujmuje rys. 30.12, jednak jest to raczej proces pochlaniania przez dziurt( pol elektromagnetycznych 0 ujemnej energii niz CZllstek.
806
na istnienie czarnych dziur 0 masie mniejszej od okolo 1 Mo' a zatem wydaje siy, ze temperatura czarnej dziury nie rna w astrofizyce bezposredniego znaczenia. Ma ona natomiast wielkie znaczenie teoretyczne, co niezwykle wyraziscie wykazal Hawking w 1974 roku 21 . Na przyklad jesli WszechSwiat nieustannie siy rozszerza (zob. rozdz. 27.11 i 28.10), wowczas musi osi,!gn,!c stan, w ktorym temperatura otoczenia bydzie nizsza od temperatury jakiejkolwiek czarnej dziury. (Dla czarnej dziury 0 masie 1 Mo we WszechSwiecie z K = 0 = A powinno to zaj,!c 1016 1at, co stanowi 106 razy wiycej od obecnego wieku WszechSwiata.) Po osi,!gniyciu tego stanu czarna dziura powinna zacz'!c tracic energiy, wypromieniowuj,!c wiycej, niz pochlania z otaczaj'!cego tla. Traqc energiy, traci rowniez masy, a wiyc jej promien zmniejsza siy, wobec czego jej temperatura rosnie. Wyobrazmy sobie, ze zaczynamy ten proces z czarn'! dziur,! 0 masie 1 Mo. Dziura ci,!gle wypromieniowuje energiy bardzo powoli, traqc stopniowo masy przez 1064 lat, po czym jej temperatura zaczyna powoli IOsn,!c, z nieustannie IOsn,!cym przyspieszeniem, az osi,!gnie okolo 109 K lub 1010 K (ta niepewnosc wynika z naszego braku wiedzy na temat cz'!stek elementarnych przy ogromnie wysokich energiach). Wtedy pojawia siy niestabilnosc i nastypuje eksplozja, w trakcie ktorej pozostala masa-energia przeksztaica siy, momentalnie i calkowicie, w promieniowanie! Zob. rys. 30.14. A przynajmniej taki obraz wydaje siy najpIOstszym i najbardziej naturalnym modelem i w takiej postaci zostal zaproponowany przez Hawkinga. (SugeIOwal on pocz'!tkowo, ze podobne eksplozje powinny byc mozliwe do wykrycia nawet obecnie, gdyby Wielki Wybuch zechcial dostarczyc nam znacz'!cej liczby "minidziur", powiedzmy 0 masie gory i rozmiarach protonu! Ze wspoiczesnej perspektywy wydaje siy to zupelnie nieprawdopodobne i zadne takie eksplozje nie zostaly wykryte.) Inni fizycy22 utrzymuj,!, ze choc mogloby dojsc do tego rodzaju eksplozji, to czarna dziura nie powinna znikn,!c calkowicie, lecz pozostawic po sobie pewn'! "resztky", jakis kawalek materii. Uczeni wol,! tak'! sytuacjy, albowiem nie s,! przekonani, iz cat a "informacja" pochloniyta przez dziury zostanie utracona i chcieliby, zeby zostala "zgromadzona" w tej pozostalosd3 • Problem polega na tym, ze trudno sobie wyobrazic, w jaki sposob cal a informacja dotycz'!ca detali materii pochtoniytej przez dziury - ktora pocz'!tkowo mogla miec rozmiary gwiezdne, a nawet galaktyczne, zanim promieniowanie termiczne (a wiyc zasadniczo nieprzenosz'!ce informacji) unioslo prawie cal,! mast( dziury
Eksplozje Hawkinga
30.8
- moglaby zostac zgromadzona w kawalku materii. Niektorzy badacze proponuj(! jako alternatywy pogl(!d, ze w trakcie tej koncowej eksplozji cal a informacja powraca "w ostatniej chwili". Mamy wiyc trzy mozliwosci: informacja zostaje utracona, gdy czarna dziura wyparowuje. KUMULACJA: informacja zostaje zgromadzona w pozostalej materii. POWROT: cala informacja powraca w koncowej eksplozji. UTRATA:
Czytelnik moze bye zdziwiony, ze rozpatruje siy drobiazgowo takie alternatywy jak podczas gdy najbardziej oczywista wydaje siy UTRATA. Przyczyna tego leiyw fakcie, ze UTRATA moze implikowae naruszenie unitarnosci, a wiyc operacji U. Gdyby kierowae siy tak(! filozofi'! mechaniki kwantowej, w ktorej wymogi unitarnosci s(! nienaruszalne, to powstanie konflikt z alternatyw(! UTRA1Y. Z tego powodu wywodzi siy popularnose wsrod wielu (a nawet bye moze wiykszosci) specjalistow od cz(!stek elementarnych pozostalych alternatyw, pomimo ieh przewrotnego charakteru. Osobiscie uwazam, ze UTRATA informacji jest najbardziej prawdopodobna. Analiza rys. 30.14 pokazuje, ze zapadaj(!ca siy materia wypada przez horyzont, unosz'!c ze sob(! cal,! "informacjy", ostatecznie zniszczon(! w osobliwosci. Nie szczegolnego, 0 lokalnym znaczeniu fizycznym, nie powinno wydarzye siy przy horyzoncie. Materia nawet "nie wie", ze przekracza horyzont. Musimy pamiytae, ze powinnismy rozpatrywac bardzo wielkie czarne dziury, bye moze takie, jakie znajduj,! siy w centrach galaktyk, 0 masach rZydu wielu milionow mas Slonca. Gdy materia przekracza horyzont - nie dzieje si(( nie ciekawego: ani krzywizna czasoprzestrzeni, ani g((stose materii nie s,! duze, nie wi((ksze niz w naszym Ukladzie Slonecznym. Lokalne rozwaiania nie okreslaj,! nawet polozenia horyzontu, poniewaz zaleiy ono od tego, jak wielka ilose materii wpada pozniej do dziury. Jesli wi((cej materii wpada pozniej, to znaczy, ze horyzont zostal przekroczony wczeKUMULACJA czy POWROT,
(a)
(bl
Rys. 30.14. Wyparowywanie czamej dziury wedlug Hawkinga. (a) Czama dziura tworzy siC( w wyniku klasycznej implozji grawitacyjnej. NastC(pnie w trakcie bardzo dlugiego czasu dziura traci masC(-energiC( na drodze promieniowania Hawkinga, przy czym wraz z utrat'! masy stopniowo siC( ogrzewa. W koftcu nastC(puje eksplozja (niewielka, jak na standardy astrofizyczne i niezale:i:na od pocz'!tkowej masy dziury) i dziura znika. (b) Scisly diagram konforemny tego procesu (przypadek sferycznie symetryczny). Diagram ten reprezentuje dose klarowny obraz, zgodnie z altematyw'! UTRAlY, wedle kt6rej materia zapadaj,!ca siC( wpada pod horyzont, unosz'!c ze sob,! cal,! "informacjC(", kt6ra zostaje ostatecznie zniszczona w osobliwosci.
807
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
Horyzont ostateczny
Rys. 30.15. Dokladne umiejscowienie horyzontu czarnej dziury jest wyznaczone "teleologicznie", poniewaz zaleiy ono od ilosci materii, jaka ostatecznie wpada do dziury.
808
sniej (zob. rys. 30.15)! Nie mogt( przyjqe poglqdu, ze w jakis spos6b "tuz przed przekroczeniem horyzontu" zostaje wyemitowany pewien rodzaj sygnalu, kt6ry przenosi do swiata zewnt(trznego pelnq informacjt( 0 zapadajqcej sit( materii. W rzeczywistosci wyslanie jedynie sygnalu nie wystarcza, poniewaz, w pewnym sensie, to materia sarna jest tq "informacjq", kt6rq sit( interesujemy. Z chwilq przejscia przez horyzont materia wpada w pulapkt( i zostaje nieodwracalnie zniszczona w samej osobliwosci. Przynajmniej taka musi bye konkluzja, jesli akceptujemy istnienie cenzury kosmicznej (rozdz. 28.8). Jednak nie sqdzt(, zebysmy mieli zbyt wielkq swobodt(, nawet jezeli jej nie akceptujemy. Sytuacjt( przedstawia rys. 30.14. Zgodnie z tym, material zostaje zniszczony (i zniszczona zostaje "informacja" 0 nim) tylko wtedy, gdy przechodzi on do osobliwosci, nie zas gdy przekracza horyzont. JeW ktos jest zwolennikiem alternatywy POWROTU 24 - a wit(c uznaje, ze informacja 0 zapadajqcej sit( materii powraca w calosci w momencie koncowej eksplozji - jak to sugeruje slowo "LUP!" na rys. 30.14, to musi nam wyjasniC, w jaki spos6b ta informacja jest w stanie wydostae sit( i dotrzee do tego punktu przez osobliwose (kt6ra, zgodnie z sensownq formq cenzury kosmicznej, powinna bye w zasadzie przestrzennopodobna; zob. rozdz. 28.8). Nie uwazam, zeby taki proces byl w og6le prawdopodobny. Alternatywa KUMULACJI nie przedstawia sit( duzo lepiej. Nawet jesli rzeczywiscie tworzy sit( taka "grudka materii", to nie rna z niej zadnego poiytku, poniewai informacja zostaje "w niej zamknit(ta" na zawsze i moim zdaniem jest to po prostu utrata informacji. Jeslijedynym zadaniem koncepcji tej "grudki" jest "uratowanie unitarnosci", w6wczas naleiy skonstruowae sp6jnq kwantowq teorit( pola takich "grudek", a to juz wiqze sit( z powainymi trudnosciami25. Wedlug mnie argument Hawkinga dostarcza bardzo mocnej wskaz6wki, ze - zgodnie z alternatywq UTRA· 1Y naleiy spodziewae sit( naruszenia unitarnosci w pewnych sytuacjach, w kt6rych na scent( wkracza og61na teo ria wzglt(dnosci w polqczeniu z procesami kwantowomechanicznymi.
Perspektywa bardziej radykalna
30.9
A jakie stanowisko w tej sprawie zajmuje sam Stephen Hawking? Od samego pocz'!tku opowiada sit( on po stronie alternatywy UTRA1Y i uwazam, ze jego stanowisko jest rownie mocne obecnie jak wtedy, gdy po raz pierwszy przedstawil swoj,! koncepcjt(. Oczywiscie, parowanie czarnej dziury jest pojt(ciem wyl,!cznie teoretycznym i calkiem mozliwe, ze sarna Natura rna inne plany wobec odlegiej przyszlosci czarnych dziur. Trudno jednak stwierdzic, w jaki sposob taka alternatywa moglaby pojawic sit( bez radykalnych zmian w strukturze KTP alba makroskopowej ogolnej teorii, alba w obydwu. Stanowisko Hawkinga - przynajmniej jeszcze w 2003 roku - bylo takie, ze unitarnosc musi byc naruszona, ale tylko w sposob, jaki uznalbym za raczej umiarkowany. Hawking proponuje, by stan kwantowy ukladu, w obecnosci czarnej dziury, ewoluowal do stanu (nie-czystego) macierzy gt(stosci. Do tej idei nawi,!zywaiem juz w rozdz. 29.6 i zwracalem uwagt(, ze jeSli jakas czt(sc spl,!tanego stanu kwantowego moglaby zostac naprawdt( utracona w tym wypadku pochlonit(ta przez czarn'! dziurt( - w przeciwienstwie do utraty jedynie FAPP, wowczas rozs,!dnie byloby zaj,!c takie ontologiczne stanowisko, iz rzeczywistosc kwantowa jest naprawdt( opisywana za pomoc,! macierzy gt(stosci, a nie (czystego) stanu kwantowego. Hawking sugeruje jakis rodzaj ewolucji "superunitarnej", ktora dotyczy bezposrednio macierzy gt(stosci i pozwala, zeby "czyste stany kwantowe" przechodzily w "stany mieszane"Z6,[3o.81.
30.9 Perspektywa bardziej radykalna
Pomimo ze zgadzam sit( z Hawkingiem, iz prawdopodobnie jakas forma alternatywy UTRATA jest poprawna, to jestem przekonany 0 koniecznosci bardziej radykalnego podejscia. Na przyklad propozycja Hawkinga w postaci przedstawionej w poprzednim rozdziale nie zawiera zadnych elementow asymetrii czasowej27. Przy zachowaniu symetrii wzglt(dem odbicia w czasie dopuszczalny jest zas obraz "bialej dziury" z rys. 30.16a, ktory stanowi odbicie w czasie rys. 30.4 - podobnie jak odbicie w czasie paruj,!cej czarnej dziury z rys. 30.14, przedstawione na rys. 30.16b. "Ogoln,! sytuacjt( symetryczn,! wzglt(dem odbicia w czasie", w ktorej tracimy tyle sarno informacji, ile tworzymy "nowej", przedstawia rys. 30.17. Wszystkie te przypadki naruszaj,! hipotezt( krzywizny Weyla (rozdz. 28.8). "Symetryczny" przypadek (rys. 30.17) wprowadza kreacjt( nowej bialej dziury w momencie ostatecznego wyparowania pocz,!tkowej czarnej dziury, a biala dziura rosnie, az osi,!gnie rozmiary, jakie miala pierwotnie czarna dziura; zob. rys. 30.17. Nigdy jeszcze nie widzialem, zeby ktos powaznie sugerowal rownie absurdalnie wygl,!daj,!cy model! Jesli sytuacje takie jak przedstawione na rys. 30.17 s,! dozwolone, to nie widzt( powodu, dla ktorego nie mialyby one zdarzyc sit( podczas Wielkiego Wybuchu, a to prowadzi do zasadniczej sprzecznosci z przekazem rozdz. 27.
1m [30.8] Skorzystaj z zapisu wskaznikowego (np.l/Ja zamiast Il/J», aby pokazac, jaki rodzaj transformacji do tego prowadzi. (Wskazowka: sp6jrz na rys. 29.5.)
809
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
I 1
L
I·····... ~
I (b)
(a)
Rys. 30.16. Biale dziury: odbicie w czasie czarnych dziur. Naruszajil one hipotezy krzywizny Weyla. (a) Diagram konforemny odbicia w czasie procesu formowania siy czarnej dziury, jak na rys. 27.11, 27.16. (b) Diagram konforemny odbicia w czasie formowania siy czarnej dziury i jej znikniycie w wyniku promieniowania Hawkinga, jak na rys. 30.14.
Nie proponuj« powtorzenia tutaj wszystkich moich argumentow28, ale mowi,!c najprosciej, mamy wrazenie, ze Natura oznajmia nam, iz obowi,!zuje cos bardzo przypominaj,!cego hipotez« krzywizny Weyla 29 w odniesieniu do struktury fizycznej tych osobliwosci czasoprzestrzeni, na jakich istnienie zezwala we Wszechswiecie. Jesli zaakceptujemy taki punkt widzenia, wowczas rzeczywiscie w osobliwosciach czarnych dziur wyst,!pi niczym nieskompensowana utrata informacji. Zgodnie z t'! hipotez'! przyczyn,! owej utraty jest fakt, ze ostateczne osobliwosci implozji grawitacyjnej mog,! zawierac - a zatem pochlaniac - gigantyczn,! ilosc stopni swobody (zwi,!zanych z krzywizn,! Weyla), podczas gdy owe stopnie swobody nie mog,! pojawic si« w osobliwosci pocz'!tkowej. Sprobujmy teraz sformulowac ten argument w terminach przestrzeni Jazowej ukladu, rozpatruj,!c tworzenie si« i wyparowywanie czarnej dziury. Scisle bioqc, aby posluZyc si« koncepcj,! przestrzeni fazowej, powinnismy rozwazac uklad zamkni«ty, zawieraj,!CY stat'! i skonczon,! ilosc energii. Aby pomoc naszej wyobraini, pomyslmy 0 gigantycznym pudle, 0 rozmiarach wi«kszych niz rozmiary galaktyki; jego sciany tworz'! lustra doskonale, przez ktore w zadn'! stron« nie przedostanie si« zadna materia ani zadna informacja; zob. rys. 30.18. Oczywiscie, z praktycznego punktu widzenia to calkowicie absurdalna sytuacja, wi«c spiesz« uspokoic czytelnika, ze jest to jedynie "eksperyment myslowy", a nie rzeczywisty! Zostal zaproponowany30 tylko w tym celu, zeby umozliwic zastosowanie koncepcji przestrzeni
,
.'
mt1/ · 810
/"~""
(a)
.\
(b)
Rys. 30.17. (a) Sytuacja symetryczna wzglydem odbicia w czasie, w kt6rej dokonuje siy kreacja bialej dziury w momencie ostatecznego wyparowania czarnej dziury, utworzonej przez implozjy grawitacyjnil. Ta nowa biala dziura rosnie, az osiilgnie rozmiary poprzedniej czarnej dziury przed znikniyciem z erupcjil wielkiej iloSci materii. (b) Diagram konforemny tego procesu.
Perspektywa bardziej radykalna
(a)
(b)
30.9
'"~ ~ (c)
Rys. 30.18. Eksperyment myslowy z "pudlami" zaproponowany przez Hawkinga. (a) Wyobrazmy sobie gigantyczne (na skal" galaktyki) "pudlo" materii, kt6rego sciany sfl idealnymi lustrami i nie przepuszczajfl ani informacji, ani materii do wewnfltrz ani na zewnfltrz. (b) ledno lokalne maksimum entropii to czarna dziura dostarczajflca prawie calfl materi", z niewielkfl iloscifl otaczajflcego jfl promieniowania w r6wnowadze termodynamicznej z dziurfl. (c) Innym rodzajem lokalnego maksimum entropii jest po prostu promieniowanie termiczne (plus niewielka liczba cZflstek), ale bez czarnej dziury.
fazowej do ukladu, w ktorym moze zachodzie utrata stopni swobody w wyniku promieniowania Hawkinga. Rozwazana przestrzen fazowa P opisuje wszystkie mozliwe stany fizyczne naszego ukladu, 0 zadanej calkowitej wartosci energii. J ego ewolucjt;: dynamicznq, za pomoq rodziny strzalek na P, ilustruje rys. 30.19, w sposob podobny jak na rys. 20.5. W tym eksperymencie myslowym z uplywem czasu stopnie swobody znikajq pochlonit;:te przez osobliwose czamej dziury. Te stopnie swobody nie mogq ponownie pojawie sit;: w poczqtkowej osobliwosci (typu bialej dziury), bo zabrania tego hipoteza Weyla, ale sugerujt;:, ze pojawiajq sit;: ponownie w wyniku procesu R. Idea polega na tym, ze istnieje ogolna rownowaga mit;:dzy asymetrycznq w czasie "utratq informacji" w czamych dziurach a asymetrycznym w czasie zachowaniem sit;: prawdopodobienstw w kwantowomechanicznym procesie R, co omawialismy w rozdz. 30.3. Niedeterministyczny charakter procesu R informuje nas 0 mozliwosci istnienia wielu mozliwosci wyniku przy tych samych danych na wejsciu. Taki stan rzeczy rownowaZy fakt, ze w przypadku czamej dziury rozne informacje na wejsciu dajq ten sam efekt na wyjsciu, poniewaz "informacja", ktora rozroznia rozmaite sytuacje wejsciowe, zostaje pochlonit;:ta przez osobliwose. Przypomnijmy sobie, ze w hipotetycznym eksperymencie z rozdz. 30.3 (rys. 30.1) otrzymalismy dwa rozne wyniki (foton dochodzqcy do D i foton dochodzqcy do C) w przypadku tej samej sytuacji na wejsciu (foton wyemitowany przez S), podczas gdy zadanemu wynikowi (foton dochodzqcy do D) odpowiada tylko jedna mozliwose wejsciowa (foton emitowany przez S). Tak wit;:c mamy do czynienia z efektywnym powit;:kszeniem objt;:tosci przestrzeni fazowej, zgodnie z procesem R, podczas gdy asymetria struktury osobliwosci czasoprzestrzeni powoduje zawt;:zenie objt;:tosci przestrzeni fazowej; zob. ponownie rys. 30.19. Te dwa efekty powinny statystycznie rownowaZye sit;: wzajemnie. Powinno bye oczywiste, ze owo bilansowanie jest jedynie globalnq cechq tych procesow fizycznych. Nikt nie twierdzi, ze kazdemu przypadkowi kwantowej redukcji stanu musi jednoczesnie towarzyszye obecnose czamej dziury. Wysuwa sit;:
811
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
przedstawiaj~ ewolucjt( (hamiltoprocesow opisanych na rys. 30.18. Obszary ABC odpowiadaj~ sytuacjom (a), (b), (c) z rys. 30.18. Zgodnie z tym opisem czarna dziura wystt(puje w obszarze B, lecz nie w C. Obecnosc czarnej dziury powoduje, ie zbiegaj,! sit( linie przyplywu (redukcja objt(tosci przestrzeni fazowej), co oznacza UTRATI; informacji, jaka zostaje zniszczona w osobliwosci czarnej dziury (w przyszlosci). Wystt(puje tei kompensuj~cy przyrost linii przyplywu (wzrost objt(tosci przestrzeni fazowej), zwi~zany z asymetri~ wzgJt(dem odbicia czasu procesu R (zakladamy, ie jest to proces rzeczywisty); zob. rys. 30.1. Sugeruje sit(, ie te dwa procesy, naruszaj~ce twierdzenie Liouville'a, powinny sit( nawzajem rownowaiyc, daj~c wefekcie ogolne zachowanie objt(tosci przestrzeni fazowej.
Rys. 30.19. Przestrzen fazowa pudla Hawkinga, w ktorej strzalki nowsk~)
812
tylko tak'! sugestiy, ze w calej przestrzeni fazowej wystypuje r6wnowaga miydzy tymi dwoma efektami. Zgodnie z t'! koncepcj,!, to moiliwosc tworzenia siy czarnych dziur, z ich zdolnosci,! do pochlaniania informacji, stanowi czynnik, ktory rownowaiy przyszl,! losowose w R. Warto zwrocie uwagy, ze oba te efekty naruszaj,! twierdzenie (Liouville'a, zob. rozdz. 2004, rys. 20.7), ktore mowi, ze ewolucja dynamiczna zachowuje objytose przestrzeni fazowej. lednak w kaidym z tych przypadkow wystypuje czynnik, ktory wyprowadza nas poza obryb klasycznej dynamiki, lez'!cej u podstaw tego twierdzenia. Istotnie, sarno pojycie klasycznej przestrzeni fazowej nie jest szczegolnie odpowiednie, skoro rozwazamy jednoczesnie efekty kwantowe i klasyczne. W przypadku ukladu czysto kwantowego powinnismy poslugiwae siy wyl,!cznie przestrzeniq Hilberta. Dla tych, ktorzy wierz,!, ze kwantowa ewolucja U ujmuje calose procesu, opis w terminach przestrzeni Hilberta jest poprawny. W takim razie destrukcja informacji (a wiyc i unitarnosci) w procesie parowania czarnej dziury stanowi bardzo powainy problem. Moim zdaniem zaden z przedstawionych obrazow nie jest calkowicie wlasciwy i kazdy powinien bye rozpatrywany jedynie jako przybliZenie do czegos, czego jeszcze nie potrafimy opisae 1• Przez dlugi czas moj,! intencj,! bylo uzyskanie bezposredniego ilosciowego oszacowania stopnia kwantowej redukcji stanu na drodze analizy szczeg616w r6wnowagi miydzy tymi dwoma procesami, kt6re naszkicowalem (i zilustrowalem na rys. 30.19). Niestety, nie udalo mi siy doprowadzie tej analizy do zadowalaj'!cego konca. Dlatego bardzo siy cieszy z tego, ze istnieje zupelnie inna, ogolna linia rozumowania, ktor'! mozna wykorzystae do uzyskania wlasciwego oszacowania; bydzie to przedmiotem rozwazan w nastypnym rozdziale.
Grudka materii Schrtidingera 30.10
30.10 Grudka materii Schrodingera
Powr6cmy do sytuacji rozwazanej w rozdz. 29.7, kt6rej nadalismy nazwy "problemu kota Schrodingera". Na rys. 29.7 pokazalem, jak mozna wyobrazic sobie superpozycjy kwantowq iywego i martwego kota, poslugujqc siy plytkq swiatlodzielnq, kt6ra rozszczepia stan fotonu na superpozycjy dwu innych: przechodzqca przez plytky czysc stanu fotonu uruchamia urzqdzenie zabijajqce kota, podczas gdy czysc odbita pozostawia go przy Zyciu. Oczywiscie, wykorzystanie kota do takiego eksperymentu nie tylko byloby nieludzkie, ale wprowadzaloby zbytecznie skomplikowany uklad fizyczny. Przyjmijmy wiyc w zamian, ze stan fotonu przechodzqcego przez plytky uruchamia urzqdzenie, kt6re nieznacznie przesuwa poziomo grudky jakiejs materii, podczas gdy cZysc odbita nie rna na niq zadnego wplywu; zob. rys. 30.20. Teraz roly kota SchrMingera odgrywa nakladajqca siy grudka materii i przynajmniej efekt nie jest tak dramatyczny! Kwestia, kt6rq chcy tutaj podniesc, jest nastypujqca: czy superpozycja kwantowa tych dwu polozen grudki jest stanem stacjonarnym? W konwencjonalnej mechanice kwantowej byloby tak z calq pewnosciq, przy zalozeniu, ze kazde polozenie grudki oddzielnie reprezentuje pewien stan stacjonarny 0 takiej samej energii (co oznacza, ze oba polozenia spoczynkowe grudki nie Sq ani wyzej, ani nizej wzglydem polozenia wyjsciowego). Jest to po prostu elementarne zastosowanie regul, jakie poznalismy w rozdz. 21 (zob. r6wniez rozdz. 24.3). 0 ile stan Ix) reprezentuje poczqtkowe polozenie grudki, a lIP) polozenie przesuniyte, 0 tyle mamy dwa r6wnania Schrodingera opisujqce stany stacjonarne tych dwu sytuacji:
kazde z nich daje nam stan wlasny energii, z wartosciq wlasnqE. Jesli ich superpozycjy zapiszemy jako stan lIP) =
wlx)
+ zllP),
w6wczas od razu otrzymamy
Rys. 30.20. "Kot" Schrodingera z rys. 29.7; teraz powstala superpozycja kwantowa zachodzi jedynie miydzy dwoma, nieznacznie r6:ini~cymi siy od siebie polo:ieniami grudki materii.
813
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
bez wzglydu na to, jakie s,! wartosci (stalych) amplitud w i z[30.91. Kazda kwantowa superpozycja IP) jest wiyc rowniez stanem stacjonarnym. Jesli kazdy ze stanow Ix) i Icp) rna pozostae w tym samym miejscu na zawsze, dotyczy to rowniez ich kwantowej superpozycji IP). Takie S,! przewidywania standardowej mechaniki kwantowej. A teraz skorzystajmy z nauki, ktorej udzielil nam Einstein w genialnej i znakomicie potwierdzonej eksperymentalnie ogolnej teorii wzglydnosci. Przede wszystkim moglibysmy uznae za wazne wprowadzenie do teorii pola grawitacyjnego, przejawiaj,!cego siy w geometrii czasoprzestrzeni da. Mozemy sobie wyobrazie, ze doswiadczenie przeprowadzamy na Ziemi, a rozpatrywana grudka materii znajduje siy na poziomej platformie. Geometria ziemskiej czasoprzestrzeni nie jest idealnie plaska i musimy rozwaiye, jaki moze bye wplyw jej krzywizny na przeprowadzan'! przez nas analizy. A zatem jak naleiy rozumiee operator a/at wystypuj,!cy w rownaniu SchrOdingera? Na ogol, w ogolnej teorii wzglydnosci, nie dysponujemy naturalnym ukladem wspolrzydnych, w ktorym zdefiniowane byloby pojycie a/at. Przypomnijmy sobie z rozdz. 10.3 i 12.3 (zob. rys. 10.5), ze "niezmienniczy" sposob myslenia 0 cz'!stkowym operatorze rozniczkowym (takim jak alat) polega na tym, iz rozpatrujemy go jako pole wektorowe na (czasoprzestrzennej) rozmaitosci rys. 30.21. Aby wiyc zdefiniowae pojycie alat, bydziemy potrzebowali jakiegos pol a wektorowego na naszej czasoprzestrzeni. W tym przypadku rozpatrujemy zagadnienie "stanow stacjonarnych", a zatern nasza bazowa czasoprzestrzen sarna musi bye stacjonarna. Istotnie, pole ziernskie traktujerny jako pole stacjonarne. Dowiedzielismy siy (rozdz. 30.4, 6, rys. 30.3), ze stacjonarna czasoprzestrzen charakteryzuje siy istnieniern czasopodohnego wektora Killinga K. W jaki sposob to szczegolne pole wektorowe wkracza do dyskusji? Nasza czasoprzestrzenjest stacjonarna, w tym sensie, ze jest "niezalezna od t", a to oznacza, iz w naszych forrnulach wolno dokonae zamiany (rys. 30.21)
a at
-HK.
Moze pojawie siy problem stalego wspolczynnika skali, ale w tyrn rniejscu nie rna to wielkiego znaczenia. Zwykle wspolczynnik ten ustalamy w ten sposob, ze z'!darny,
Rys. 30.21. Przez pojycie operatora rozniczkowego a/at w rownaniu Schr6dingera na\eiy rozumiec (niezmienniczo) pewne pole wektorowe K na (czasoprzestrzennej) rozmaitosci (lOb. rys. 30.3), w ktorej stacjonarnosc czasoprzestrzeni wyraza siy w tym, ze K(= a/at) jest (czasopodobnym) polem Killinga (£g = 0; lOb. rozdz. 14.7). K
814
~ [30.9] Dlaczego? Wyjasnij, z jakich wlasnosci pola wektorowego If korzystamy, gdy chcemy otrzymac podobne wnioski w przypadku stacjonamej czasoprzestrzeni tla Oak w dalszym rozumowaniu).
Grudka materii SchrOdingera 30.10
aby wektor K, na dUZych odleglosciach, gdzie pole grawitacyjne zanika do zera, stawal si~ "zwyklym" przesuni~ciem czasowym. Lokalnie jednak wielkosc K moze zmieniac si~ w zaleZnosci od polozenia w taki sposob, jaki uwzgl~dnia efekt "spowolnienia zegarow" w polu grawitacyjnym Ziemi (rozdz. 19.8)l3o.101• Poniewaz K przejmuje teraz rol~ alat, wi~c nasze rownania Schrodingera, definiuj,!:ce stacjonarnosc kazdego z oddzielnych stanow Ix) i Icp), przyjmujq postac nast~pujqc,!:: iliKlx)
= Elx) oraz iliKI cp) = EI cp),
a takZe wnioskujemy jak poprzednio, ze dla dowolnej ich superpozycji IIfF) my nadal mieli
b~dzie
iliKI IfF) = EI IfF). Obecnosc stacjonarnego pola grawitacyjnego jako tla nie zmienia zatem faktu, ze dowolna superpozycja dwoch stanow stacjonarnych Ix) i Icp) jest stacjonarna. Zastanowmy si~, co si~ stanie, jesli wezmiemy pod uwag~ wlasne pole grawitacyjne grudki materii. Gdy rozpatrujemy kazdy ze stanow Ix) i Icp) oddzielnie, wydaje si~, ze nie rna zadnego problemu. Oczywiscie, kazdy ze stanow Ix) i Icp) jest stanem kwantowym i dopoki nie dysponujemy ogolnie przyj~t'!: kwantow,!: teoriq grawitacji, dopoty mozemy nie wiedziec, jak potraktowac jej pole grawitacyjne. Z konwencjonalnego punktu widzenia poprawna kwantowa teoria grawitacji powinna wlasciwie ujmowac np. ldasyczne grudki materii z pol ami grawitacyjnymi, ktore S,!: dobrze opisane na podstawie zasad klasycznej ogolnej teorii wzgl~dnosci Einsteina, nawet jesli nie calkiem doktadnie. (Moim zdaniem ten "konwencjonalny punkt widzenia" latwo zakwestionowac, jednak skoro wierzymy w prawdziwosc standardowych zalozen - ze formalizm kwantowy nie wymaga zmiany oraz ze klasyczna ogolna teoria wzgl~dnosci obowi,!:zuje w odniesieniu do cial makroskopowych - musimy go przyj,!c. Celem niniejszych rozwazan jest wszak zbadanie granic zgodnosci tych dwu zalozen.) W takim razie powinnismy miec do czynienia z pewnym stanem kwantowym Ix) i innym stanem kwantowym Icp), ktore poprawnie opisuj,! stany grudki materii, umieszczonej na poziomej platformie na powierzchni Ziemi, w dwu roznych polozeniach, przy czym kazde pojawienie si~ grudki materialnej jest zwi,!:zane z pojawieniem si~ jej prawie ldasycznego pola grawitacyjnego Einsteina32 • Poniewaz kazdy z tych dwu stanow uwazamy za stacjonarny w odpowiedniej czasoprzestrzeni z odpowiednim wektorem Killinga33 K i K , to b~dzie spelnial odpowiednie rownanie Schrodingera z wartosci'!: wlasn,!: E:x '" iIiK)X) =Elx) oraz iIiK",lcp) =Elcp).
rm [30.10] Przekonaj siy, czy potrafisz uwzglydnie ten fakt, korzystajqc z prawa zachowania wyraionego za pomocq wektora Killinga K, jak to jest omowione w rozdz. 30.6, bior'lc pod uwagy fakt, ze norma K aKa moze bye rozna od jednego w poblizu ciala wytwarzaj'lcego pole grawitacyjne, nawet jesli na dUZych odleglosciach od tego ciata jest unormowana do jednosci. Jak to wplywa na miary czasu?
815
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
W poprzednim przypadku, gdy ignorowalismy pola grawitacyjne grudek, bylismy w stanie napisac rownanie Schrodingera dla dowolnej superpozycji wlx) + zl cp) i zapewnic, ze wszystkie one byly stacjonarne. Teraz jednak mamy klopot, poniewaz te dwa wektory Killinga, K x i K 'fJ , Sq rozne. Co w takim razie zrobic? Wydaje si~\ ze potrzebujemy niezmienniczego pojt(cia alat, ktore mozna zastosowac do tych nalozonych na siebie czasoprzestrzeni, ale ani K x' ani K<{! nie nadajq sit( do tego. W nastt(pnym rozdziale przekonamy sit(, ze to nie jest banalny problem, lecz ze pojawila sit( fundamentalna trudnosc, prowadzqca do bezposredniej konfrontacji podstawowych zasad mechaniki kwantowej i ogolnej teorii wzglt(dnosci.
30.11 Fundamentalny konflikt z zasadami Einsteina
816
Musimy nieco dokladniej przeanalizowac znaczenie owego waznego faktu, ze dwa wektory Killinga, K x i K 'fJ , Sq rozne, stanowiq bowiem pol a wektorowe na roznych czasoprzestrzeniach! Mozna by przyjqc, ze te dwie czasoprzestrzenie rozniq sit( tylko nieznacznie odmiennymi strukturami metrycznymi. W takim razie moglibysmy uWaZac je praktycznie za jednq i tt( samq przestrzen, z minimalnie roznymi metrycznymi polami tensorowymi, powiedzmy gig. Zajt(cie takiego stanowiska x 'fJ oznacza rozbrat z jednq z naczelnych zasad teorii Einsteina, a mianowicie z zasadq og6/nej kowariantnosci (zob. rozdz. 19.6). Traktowanie w ten sposob zbiorow punktow dwu czasoprzestrzeni oznaczaloby w efekcie podanie punktowej identyfikacji dwu czasoprzestrzeni. To tak, jakbysmy utozsamiali jakis punkt w jednej czasoprzestrzeni z punktem w innej, ktory ma te same war to sci wspolrzt(dnych. Tymczasem zasada ogolnej kowariantnosci odbiera jakiekolwiek znaczenie szczegolnemu ukladowi wspolrzt(dnych. Orzeka bowiem, ze nie rna zadnej wyroznionej punktowej identyfikacji mit(dzy dwoma roznymi czasoprzestrzeniami. Dlaczego ten brak identyfikacji mit(dzy czasoprzestrzeniami dwu polozen grudek materii jest zrodlem klopotow? Otoi chcemy napisac rownanie Schrodingera. Ale jak to zrobic, jesli nie mamy jednoznacznie okreslonego "K"? Pierwsza mysl to sprobowac identyfikacji K x z K 'fJ , ale to z pewnosciq oznaczaloby naruszenie fundamentalnej zasady teorii Einsteina, albowiem implikowaloby, ze traktujemy te dwa wektory Killinga jak nalezqce do tej samej przestrzeni, czego wlasnie nie powinnismy robic! Wydaje mi sit(, ze w tej sytuacji jestesmy swiadkami rzeczywistego konfliktu mit(dzy fundamentalnymi zasadami mechaniki kwantowej i ogolnej teorii wzglt(dnosci. Nie wolno sit( jednak poddawac. Choc, mowiqc scisle, potrzebujemy odpowiedniej nowej teorii, abysmy wiedzieli, co robic dalej, to jednak wydaje mi sit(, ze mozemy chwilowo zaakceptowac ow konflikt, a jedynie postawic pytanie 0 jakqs miary bl~du, ktory popelnimy, jesli mimo wszystko zgodzimy siy na to "oszustwo". Przyjmijmy wit(c takie stanowisko, ze w pewnym sensie Natura moglaby dopuscic lokalnq identyfikacjt( dwu czasoprzestrzeni, pod warunkiem ze pojt(cie "spadku swobodnego" jest w obu takie sarno. Stanowi to pewne odzwierciedlenie zasady
Fundamentalny konflikt z zasadami Einsteina 30.11
rownowainosci; zob. rozdz. 17.4. Podjyta przez nas proba identyfikacji prowadzilaby do tego, ieby pojycie linii geodezyjnej w jednej przestrzeni pokrywalo siy z pojyciem linii geodezyjnej w drugiej. Tego ogolnie nie moina zrobic, z wyj~tkiem bezposredniego otoczenia jakiegos punktu; w takim razie w zamian sprobujemy obliczyc bl~d, jaki jest zwi~zany z prob~ identyfikacji dwu czasoprzestrzeni. Taka analiza jest trudna do przeprowadzenia w pelnej ogolnej teorii wzglydnosci, ale moiemy zastosowac ten pomysl w granicznym przypadku, gdy prydkosc swiatla przyjmiemy za nieskonczon~, zachowuj~c jednak podstawowe elementy filozofii teorii Einsteina. Prowadzi to do teorii grawitacji Newtona w formalizmie Cartana, o czym mowilismy w rozdz. 17.534 • Przypomnijmy wiyc sobie z rozdz. 17, ie w schemacie teorii grawitacji Newtona-Cartana czasoprzestrzen jest w rzeczywistosci wi¥k~ wloknist~ nad 1-wymiarow~ przestrzeni~ euklidesow~ lEI! dla roinych dozwolonych "czasow" t. Wlokna s~ roinymi 3-przestrzeniami Euklidesa 1E13, z ktorych kaida jest "przestrzeni~" w zadanym czasie. W ten sposob mamypraktycznie "czas absolutny", opisywanyprzezwspolrZydn~ czasow~ t. Moiemy wybaczyc czytelnikowi, jesli w tym miejscu dojdzie do wniosku, ie skoro mamy teraz to sarno pojycie czasu (mierzonego przez t) dla czasoprzestrzeni odpowiadaj~cych obu poloieniom grudki materii, to nasz problem zostal rozwi¥any. Niestety, z faktu, ii znamy t, nie wynika wiedza, czymjest alat. Albowiem operator a/atwymaga, ieby pozostale wspolrzydne (powiedzmy,x,y iz) pozostawaly stale. To jest problem "drugiego fundamentalnego nieporozumienia rachunku roiniczkowego i calkowego", 0 ktorym mowilismyw rozdz. 10.3 (zob. rys.1O.7), a ktory widzimy jasno, kiedy odwolujemy siy do geometrii z nim zwi¥anej. Znajomosc t mowi nam, gdzie leiy ciycie 1E13, lecz znajomosc a/at dalaby nam pole wektora Killinga, ktore definiuje rodziny krzywych przecinaj~cych ty rodziny 3-powierzchni; zob. rys. 30.22. Istotnie, zagadnienie niemoiliwosci wyspecyfikowania pochodnej alat wystypujqcej w rownaniu Schrodingera jest uwaiane za niezwykle waine nawet w bardziej "konwencjonalnych" podejsciach do kwantowej grawitacji. Wiqie siy ono z "problemem czasu" w kosmologii kwantowef5. W kontekscie naszych rozwaian nie mam bynajmniej ambicji rozwiqzania wszystkich tych problemow. W tym miejscu potrzebujemy jakiegos oszacowania blydu, ktory popelniamy podczas "niedozwolonej" identyfikacji roinych wektorow "x i "
~~-t----------~
t~
Rys. 30.22. Znajomosc t nie definiuje alat ("drugie podstawowe nieporozumienie rachunku r6:i:niczkowego i calkowego", zob. rys. 10.7, rozdz. 10.3); t m6wi nam tylko, gdzie znajduje siy ciycie 1&3, natomiast a/at definiuje pewn~ rodziny krzywych przecinaj~cych ty rodziny 3-powierzchni.
817
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
blqd w oszacowaniu roznicy przyspieszen grawitacyjnych (roznice mit(dzy spadkami swobodnymi; tzn. mit(dzy liniami geodezyjnymi) w tych dwu przestrzeniach. Przyjmijmy, ze przyspieszenia grawitacyjne dane Sq, odpowiednio, przez 3-wektory r i r . Wowczas blqd oszacujemy, biorqc kwadrat dlugosci ich roznicy (r - r )2 x '" x '" i wycalkowujqc po calej przestrzeni ]E3. Calkt( tt( interpretujemy jako miary nieoznaczonosci w definicji operatora a/at w rownaniu Schrodingera, w czasie t specyfikujqcym wybor konkretnej przestrzeni ]E3. Nieoznaczonose ta prowadzi poprzez rownanie Schrodingera do okreslenia bezwzglydnej nieoznaczonosci Ec w energii stanow, ktorych superpozycjy rozwazamy. Kolejny krok sprowadza siy do przeksztalcenia tego wyrazenia na Ec do innej (rownowaznej) postaci matematycznej, ktorq mozemy zinterpretowae[30.11] jako:
Ec = grawitacyjna energia wlasna roznicy miydzy rozkladami mas w stanach
Ix) i l
Przez grawitacyjnq energif wlasnq rozkladu mas rozumiemy energiy, jakq uzyskujemy dzit(ki utworzeniu danego rozkladu mas z mas punktowych rozproszonych w nieskonczonosci. Roznict( otrzymujemy, rozpatrujqc rozklad mas w stanie Ix) jako wielkose dodatniq, a w stanie I
Rys. 30.23. Kazdy ze stan6w wchodz'!cych do superpozycji, Ix) i Icp), okresla "wartosc oczekiwan,!" rozktadu jego gystosci mas. R6znica mi((dzy nimi (tzn. jesli traktuje si(( jedn,! z nich jako dodatni,!, a drug,! jako ujemn,!) daje rozklad dodatniej i ujemnej g((stosci masy, a jej grawitacyjna energia wlasna wynos i EG'
tm 818
[30.11] Przekonaj sit(, cz:y potrafisz to udowodnic. Dow6d jest podobny do przeprowadzonego w ewiczeniu [24.3] w rozdz. 24.3. Korz:ystamy z r6wnania Poisson a \12l/J = -4rcp, gdzie l/J jest (skalamym) newtonowskim potencjalem grawitacyjnym. W tym prz:ypadku "blqd" szacujemy jako calkt( przestrzennq z 1\11 - \1l.
Preferowane stany Schrtidingera-Newtona? 30.12
przesun'!e nasz'! grudky materii, pocz'!tkowo w polozeniu Ix), do polozenia Icp), poza zasiyg pol a grawitacyjnego wytworzonego, gdy znajdowala siy w Ix). Okazuje siy, ze w przypadku sztywnego przesuniycia[30.12j jest to ta sarna energia EG co poprzednio, ale w innych sytuacjach tak bye nie musi. Mozemy rozwaZye przyjycie tej drugiej miary energii (a mianowicie energii oddzialywania grawitacyjnego) jako alternatywnej definicji E G' Moim zdaniem pierwsza propozycja, w terminach grawitacyjnej energii wlasnej, jest bardziej zasadna, ale na obecnym etapie naszego rozumienia tych zagadnien nie mozemy wykluczye drugiej. Diosi (1989) rozwaZal obie te propozycje, korzystaj'!c z nich w przypadku podobnym do tego, jaki mam zamiar niebawem rozpatrzye, ale konstruuj,!c rownieZ dynamiky (stochastyczn,!), czego ja nie zamierzam tutaj robie. Te rozne propozycje (podobnie jak i inne) powinny bye eksperymentalnie rozroznialne w doswiadczeniach podobnych do tych, 0 jakich za chwily. Trzeba jednak podkreslie, ze nawet najlepsze z nich nie s,! calkiem wolne od kontrowersji36 . COZ wiyc pocz'!e z nasz'! fundamentaln'! "nieoznaczonosci,! energii", E G? Kolejnym krokiem jest przywolanie jakiejs postaci zasady nieoznaczonosci Heisenberga (zasada nieoznaczonosci energii/czasu; zob. rozdz. 21.11). Przy badaniu cz,!stek nietrwalych lub nietrwalych j,!der (takich jak j,!dro U 238 ) stykamy siy ze znanym faktem, ze nieoznaczonose ich sredniego ezasu iyeia T jest odwrotnie proporcjonalna do nieoznaczonosci ich energii, danej przez M2T. Na przyklad, jak zaznaczylismy w rozdz. 21.11, czas Zycia j,!dra U 238 wynosi okolo 109 lat, wobec czego podstawowa nieoznaczonose energii kazdego takiego j,!dra wynosi okolo 10-51 dzula, co siy przeklada, za posrednictwem relacji Einsteina E = me 2 , na nieoznaczonose masywynosz'!c'! okolo 10- 44 jego masy calkowitej. Mozemy teraz uwazae, ze nasz stan kwantowy, byd,!CY superpozycj,! lIP) = wlx) + zl cp), jest stanem analogicznym, niestabilnym, z czasem Zycia TG , zwi,!zanym relacj,! Heisenberga z fundamentaln,! nieoznaczonosci,! energii E G' jak,! tutaj omawiamy. Zgodnie z tym obrazem37 , dowolna superpozycja lIP) bydzie ulegae rozpadowi na jeden z jej stanow skladowych Ix) lub Icp) w przedziale czasowym wynosz,!cym srednio okolo TG ~ MEG'
30.12 Preferowane stany Schrodingera-Newtona? Zasadniczym wnioskiem z przedstawionych rozwazan jest to, ze superpozycja kwantowa dwoch stanow powinna ulegae rozpadowi na cZysci skladowe w przedziale czasowym rZydu MEG' lednak spostrzegawczy czytelnik moglby zglosie zastrzezenie, ze kaidy stan kwantowy It/J) wolno przedstawie jako superpozycjy pary innych ~ [30.12] Czy wiesz, dlaczego w takim przypadku otrzymujemy ty samq wartosc EG co poprzednio? Co siy stanie, jesli ostateczne poloienie przesuniytej grudki materii podniesiemy nieco w porownaniu z poloieniem poczqtkowym? A co siy stanie w przypadku jej scisniycia?
819
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
stanow (np. Iw) = la) + (Iw) -Ia», z dowolnym la». Nie mialoby zadnego sensu rozpatrywanie wszystkich tych stanow jako rozpadaj,!cych siy na takie "skladowe", szczegolnie jesli wybierzemy la) dla danego Iw) w taki sposob, zeby rozklady mas w tych stanach alternatywnych roznily siy od siebie 0 tyle, by rozpad byl prawie natychmiastowy! Absurdalnose takiego rozumowania mozna ocenie, analizuj,!c w ten sposob superpozycjy I'P) = wlx) + zl cp), w ktorej wystypuje tylko pojedynczy elektron. W takim przypadku moglibysmy przyj,!e, ze Ix) = Ia) reprezentuje elektron w (prawie) dokladnym polozeniu. Teraz rozklad mas bylby prawie funkcj,! delta (rozdz. 21.10), co prowadzi do niemal nieskonczonej wartosci E G' a to z kolei implikuje prawie natychmiastow,! redukcjy stanu I'P) do Ix) lub Icp). To sarno musialoby dotyczye ukladow zlozonych z obiektow punktowych (np. kwarkow). Jasne jest, ze nie rna to zadnego sensu - gdyby takie zachowania byly dozwolone, nie byloby w ogole mechaniki kwantowej. Trzeba zatem bye bardziej ostroznym przy okreslaniu, jakie stany mog,! bye naszymi stanami Ix) i Icp). Zwroemy uwagy, ze w przytoczonej argumentacji stany Ix) i Icp) uwazalismy za stacjonarne. Elektron w stanie 0 (prawie) ustalonym polozeniu z pewnosci,! nie jest w stanie stacjonarnym. Na podstawie zasady nieoznaczonosci Heisenberga dla polozen i pydow (rozdz. 21.11) elektron taki charakteryzowalby siy bardzo duiym pydem i uleglby natychmiastowej dyspersji. Pamiytajmy, ze mamy w ogole trudnosci z zastosowaniem tego argumentu do pojedynczych cz,!stek, jesli z,!damy dokladnej stacjonarnosci dla obu stanow IX) i Icp). Nie istniej,! bowiem stacjonarne rozwi,!zania rownania Schrodingera dla pojedynczej cz'!stki (z dodatni,! mas'!), ktore zanikaj,! w przestrzennej nieskonczonosci[30.l31. Rozwi,!zanie tej zagadki ukrywa siy w fakcie, ze kiedy zapisujemy rownanie Schrodingera, powinnismy uwzglydnie pole grawitacyjne cz'!stki. Nie domagam siy, zeby kwantowac sarno pole grawitacyjne, a jedynie, zeby jego wplyw zostal ujyty w newtonowskiej funkcji potencjalu grawitacyjnego f1J, ktorego zrodlem jest "wartose oczekiwana" rozkladu mas w funkcji falowej. Bye moze nie jest wlasciwe, zebym w tej ksi,!zce bardziej rozwijal taki temaes, choe przepis ow pozwala uzyskae rozs'!dne odpowiedzi. Szczegoly tych procedur s,! przedmiotem intensywnych badan. Z prac tych wynika, ze w przypadku pojedynczej cz'!stki tak zmodyfikowane rownanie Schrodingera - bydy je nazywal rownaniem Schrodingera-Newtona (a wiyc z uwzglydnieniem newtonowskiego pola grawitacyjnego) - daje wlasciwie zachowuj,!ce siy stacjonarne rozwi(!Zania, ktore w odpowiedni sposob zanikaj,! w nieskonczonosci. (W przypadku pojedynczego elektronu zas funkcja falowa rozci,!ga siy na odleglosci wiyksze od rozmiarow obserwowalnego WszechSwiata; w przypadku atomu wodoru jej rozprzestrzenienie siy jest nieco mniejsze od rozmiarow WszechSwiata. Rozmycie funkcji falowej maleje w sposob odwrotnie proporcjonalny do trzeciej potygi masy cz,!stki.)
820
rn [30.13] Dlaczego? (JfSkaz6wka: przeanalizuj raz jeszcze ewiczenie [24.3]).
Preferowane stany Schrtidingera-Newtona? 30.12
Wydaje siy, ze dysponujemy teraz sensown'! propozycj,! uwzglydnienia obiektywnej redukcji stanu kwantowego, przynajmniej w takich sytuacjach, gdy stan kwantowy jest superpozycj,! dw6ch innych stan6w, z kt6rych kazdy jest stacjonarny (w przedstawionym uprzednio sensie Schrodingera-Newtona). Zgodnie z t'! propozycj,! stan taki bydzie siy spontanicznie redukowal do jednej z dwu stacjonarnych skladowych, w przedziale czasu wynosz,!cym srednio okolo li/Eo' gdzie Eo oznacza grawitacyjn,! energiy wlasn,! r6znicy tych dwu rozklad6w mas. Propozycjy ty bydy nazywal grawitacyjnq OR (gdzie OR oznacza "obiektywn,! redukcjy" stanu kwantowego). Dla kazdej pary takich skladowych stan6w stacjonarnych grawitacyjna energia wlasna Eo jest rzeczywiscie dobrze okreslona. Wyraza siy ona przez r6znicy dwu rozklad6w mas, przy czym kazdy z tych rozklad6w jest t'! sam,! "wartosci,! oczekiwan'!", jakiej uZylismy do zdefiniowania r6wnania Schrodingera-Newtona. Wsp6ln,! cech,! wszystkich innych propozycji formalizmu OR jest to, ze prowadz'! do klopot6w z zasadq zachowania energii. W szczeg6lnosci problemy pojawily siy od czasu niezwykle pomyslowej i przelomowej koncepcji, kt6q w 1986 roku przedstawili Giancarlo Ghirardi, Alberto Rimini i Tullio Weber39 • Wobec takich trudnosci og6lnie przyjyt'! postaw,! jest pogodzenie siy z tym problemem, pod warunkiem ze to niezachowanie energii mozna sprowadzic do akceptowalnego, nieznacznego odstypstwa. Moim zdaniem problem ten naleZy potraktowac bardziej powaznie. Zalet'! przedstawionego schematu grawitacyjnej OR jest to, ze nieoznaczonosc energii w Eo uwzglydnia takie potencjalne niezachowanie i w rezultacie pozwala unikn'!c naruszenia zasady zachowania energii. Jest to jednak zagadnienie, kt6re wymaga dalszych badan. Wydaje siy, ze mozliwy jest swoisty kompromis miydzy klopotami z zachowaniem energii w procesie OR i zdecydowanie nielokaln,! (zadziwiaj,!co "slisk'!") natur,! energii grawitacyjnej, 0 kt6rej wspominalismy w rozdz. 19.8. M6j pogl,!d na proces redukcji stanu kwantowego zaklada, ze jest on naprawdy obiektywny i zawsze stanowi fenomen grawitacyjny, nawet wtedy, gdy mamy do czynienia z istotn'! dekoherencj,! srodowiskow,!, kt6ra moze prowadzic do redukcji stanu typu FAPP, na przyklad w ukladzie (takim jak cz,!steczka DNA) stanowczo zbyt malym, aby mozna do niego bezposrednio zastosowac grawitacyjn,! OR. W sytuacjach tego rodzaju za efekt grawitacyjnej OR odpowiada calkowite przesuniycie mas w srodowisku. W rozwaZanych sytuacjach szczeg6lnych, w kt6rych badany stan jest superpozycj,! dw6ch stan6w stacjonarnych, jestem przekonany, ze opisany schemat grawitacyjnej OR dobrze przybliZa rzeczywisty proces redukcji. Pelnej teorii wci,!z nie mamy i nawet w przypadku tych szczeg6lnych superpozycji stan6w nie opisalem dynamiki redukcji stanu zgodnie z procesem OR. Pod tym wzglydem moja propozycja jest "minimalistyczna" i nie pretenduje do opisu pe1nej dynamiki, w przeciwienstwie do inspiruj,!cych koncepcji wysuniytych przez wielu autor6w, takich jak Karolyhazy; Karolyhazy i Frenkel; Pearle; Kibble; Ghirardi, Rimini i Weber; Ghirardi; Grassi i Rimini; Di6si; Weinberg; Percival; Gisin
821
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
i inni40. SC!dzy mimo to, ze moja minimalistyczna propozycja rna jasne konsekwencje eksperymentalne i dlatego zamkny ten rozdzial prezentacjC! idei lezC!cych u podstaw pewnej klasy eksperymentow, w jakich kryje siy mozliwose uzyskania odpowiedzi na pytanie, czy Natura respektuje taki schemat grawitacyjnej OR.
30.13 FELIX i propozycje z nim zwiqzane Istotc! tego pomyslu jest konstrukcja "kota Schrodingera", na ktorC! sklada siy malenkie zwierciadlo M, umieszczone w superpozycji kwantowej dwu nieco roznych polozen, przesuniytych wzglydem siebie na odleglose rZydu rozmiaru jC!dra atomoweg0 41 . Zwierciadlo powinno miee wielkose pylka kurzu, okolo jednej dziesiC!tej grubosci ludzkiego wlosa, i skladae siy z 1014_10 16 jC!der (a zatem jego masa powinna wynosie okolo 5 x 10-12 kg, srednica okolo 10-3 cm). Superpozycjy polozen zwierciadelka uzyskujemy za pomoq padajC!cego nan pojedynczego fotonu, wyemitowanego przez zrodlo promieni X, a superpozycjy stanow fotonu zapewnia plytka swiatlodzielna, rozszczepiajC!ca go na dwa strumienie, z ktorych jeden kieruje siy w strony M. Schemat mozliwego ukladu eksperymentalnego przedstawia rys. 30.24. Foton zostaje wyemitowany przez laserowe zrodlo promieniowania rentgenowskiego L i skierowany na plytky swiatlodzielnC! B. CZyse przechodzC!ca stanu fotonu zostaje skierowana na M, a przy odbiciu od zwierciadla przekazuje mu swoj pyd. Zwierciadlo musi bye wysokiej jakosci, miee na tyle "sztywny" charakter, zeby jako calosc reagowalo na pyd fotonu, bez jakichkolwiek oscylacji oraz bez przemieszczenia atomow, z jakich siy sklada. Lusterko jest podwieszone w taki sposob, zeby wrocilo
11
L
II
Odleglosc Gladkie -,10 srednic '- Gladkie zwierciadla Ziemi zwierciadla
~~t) *_
M,~-.:..
1
'T~:Z~
1-
____________~'"
(M I 'k" h I a en Ie uc y ne Iusterko
822
UHUU
I
Zwierciadla plaskie
Rys. 30.24. FELIX (Free-orbit Experiment with Laser-Interferometry X-rays - eksperyment "wolnej orbity" z interferometrill laserowll promieni X). Rysunek przedstawia szkic uktadu pomiarowego. Foton, wyemitowany przez lase rowe zrodto promieni Roentgena L, zostaje skierowany na plytky swiatlodzieinll B. Przechodzllca przez plytky czyse stanu kwantowego fotonu pada na malenkie lusterko M, o wielkosci okafo 10 mikronow szesciennych, przekazujllc mu przy odbiciu czyse swojego pydu. Wprowadza to M w stan superpozycji kwantowej (kot Schrodingera), ktory naleiy utrzymae przez okres, powiedzmy, oketo jednej sekundy. W tym czasie obie cZysci funkcji falowej fotonu muszll bye utrzymane w stanie koherencji (tutaj za pomocll promieni odbitych miydzy dwiema platformami w przestrzeni kosmicznej), a po uplywie tego czasu caly proces zostaje odwrocony. Jesli ustawienia Sll idealne (z zapewnieniem jednakowej dlugosci drog), to konwencjonalna mechanika kwantowa wymaga, zeby detektor D rejestrowal 0 procent zdarzen. Formalizm grawitacyjnej OR prowadzi do rejestracji 50 procent zdarzen.
FELIX i propozycje zwi¥ane 30.13
do wyjsciowego poloienia w ciqgu, powiedzmy, jednej dziesiqtej sekundy. W tym czasie obie cZysci funkcji falowej fotonu muszq bye w jakis spos6b utrzymywane w stanie koherencji, czas ten jest odpowiednio odmierzany, a po jego uplywie przebieg calego procesu zostaje odwr6cony tak, ieby moina bylo stwierdzie, czy koherencja faz zostala utracona. Tak powinno bye w przypadku spontanicznej redukcji stanu kwantowej superpozycji poloieii lusterka do tej lub innej pozycji. Utrzymanie fotonu rentgenowskiego w stanie koherencji przez jednq dziesiqtq sekundy nie jest bynajmniej banalnym przedsiywziyciem. (Niestety, konieczne Sq promienie X, ieby pyd fotonu wystarczal do spowodowania adekwatnego przesuniycia lusterka.) Jednq z metod majqcych zapewnie koherencjy w ciqgu odpowiedniego czasu jest przeprowadzenie tego eksperymentu w przestrzeni kosmicznej. W6wczas koherencjy foton6w uzyskalibysmy dziyki odbiciu miydzy dwoma wielkimi zwierciadlami umieszczonymi na platformach kosmicznych, oddalonych od siebie 0 odleglose rZydu srednicy Ziemi. Foton przebywa takq odleglose, tam i z powrotem, w czasie okolo jednej dziesiqtej sekundy. W ten spos6b ta czyse funkcji falowej fotonu, kt6ra zostala odbita od M - wraca do M, a czyse odbita od plytki swiatiodzielnej B - wraca do B. Czas jest tak dobrany, ie caly przebieg procesu fizycznego zostaje precyzyjnie odwr6cony. A wiyc ta czyse funkcji falowej fotonu, kt6ra spowodowala przesuniycie M, trafia ponownie na M w momencie, gdy lusterko powraca do wyjsciowego poloienia, w zwiqzku z czym foton odzyskuje z powrotem pyd utracony przy pierwszym uderzeniu w lusterko, natomiast M powraca do poloienia spoczynkowego. Ponadto dopasowanie czasowe jest takie, ie nastypuje rekombinacja obu czysci funkcji falowej fotonu w B. Zakladajqc, ie w ciqgu calego tego procesu nie nastqpila iadna utrata koherencji faz, a dlugosci dr6g Sq wlasciwie dobrane, moiemy oczekiwae, ie wypadkowa funkcja falowa da nam znowu pojedynczy strumieii powracajqcy do zr6dla L. W takiej sytuacji detektor D, umieszczony w takim poloieniu, ie m6g1by do niego dotrzee foton przechodzqcy przez plytky swiatlodzielnq B (zob. rys. 30.24), niczego nie zarejestruje. Propozycja takiego eksperymentu otrzymala nazwy FELIX (Free-orbit Experiment with Laser-Interferometry X-rays - eksperyment "wolnej orbity" z interferometriq laserowq promieni X). Zauwaimy, ie w ciqgu okolo jednej dziesiqtej sekundy stan lusterka M bydzie superpozycjq stanu przesuniytego i nieprzesuniytego, czyli zaistnieje w zasadzie taka sarna sytuacja jak w przypadku grudki materii opisanej poprzednio (rys. 30.20). Zgodnie z koncepcjq grawitacyjnej OR stan lusterka M powinien zostae spontanicznie zredukowany albo do stanu przesuniytego, alba do stanu nieprzesuniytego, w czasie okolo jednej dziesiqtej sekundy. Stan fotonu jest splqtany ze stanem M, wobec czego, gdy tylko nastqpi redukcja stanu M, to redukcji powinien ulec r6wniei stan fotonu. W takim razie foton znajduje siy alba w jednym strumieniu, alba w drugim, a zatem gdy ostatecznie powr6ci do plytki swiatiodzielnej B, prawdopodobieiistwo, ie foton alba dociera do detektora D, alba powraca do L, bydzie jednakowe. Procedury ty moiemy powtarzae wiele razy. Jesli sluszny jest
823
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
+
-{I II II II II
II
1\ 1\
+
_Ii
II II II II
1\
,I
I \
Znacz~cym czynnikiem w tym doswiadczeniu jest rozklad mas j~der w lusterku. Przy tej samej masie calkowitej scislejsza lokalizacja w rozkladzie mas prowadzi do krotszych czasow redukcji.
Rys. 30.25.
824
formalizm OR, wowczas detektor powinien rejestrowae okolo 50 procent zdarzen, tymczasem standardowa mechanika kwantowa przewiduje, ze gdy nie nastypuje utrata koherencji fazy (w warunkach eksperymentu idealnego), detektor nie zarejestruje niczego. Rzecz jasna, w realnym eksperymencie moze wyst,!pie wiele czynnikow powoduj,!cych utraty koherencji faz. Jesli doswiadczenie rna zakonczye siy sukcesem, czynniki te trzeba maksymalnie wyeliminowae. Doswiadczenie naleZy powtarzae wiele razy, stosuj,!c lusterka 0 roznych wymiarach i wykonane z roznych materialow, zmieniaj,!c skaly czasow'! (bye moze trzeba wykorzystywae wielokrotne odbicia miydzy zwierciadlami na platformach w przestrzeni kosmicznej). Waznym czynnikiem w rozwazanym przez nas schemacie OR jest rozklad mas j,!der lusterka. Dla danej masy calkowitej scislejsza lokalizacja mas prowadzi do krotszych czasow redukcji; zob. rys. 30.25. Z wielu powodow przedstawiona tutaj propozycja eksperymentu FELIX jest nadzwyczaj trudna do realizacji. Glowny problem stanowi dokladnose kierowania fotonami rentgenowskimi miydzy stacjami kosmicznymi oddalonymi od siebie na odleglose rZydu 10 000 kilometrow. W kazdym razie eksperymenty w przestrzeni kosmicznej S,! w ogole trudne i kosztowne, dlatego bardzo poz'!dana bylaby jakas alternatywna propozycja do zrealizowania na Ziemi. Szczysliwie wydaje siy, ze taka alternatywa istnieje. Dziyki niezwykle pomyslowym rozwi,!zaniom zasugerowanym przez Williama Marshalla i rownie sprytnym propozycjom ich zastosowania przez Dika Bouwmeestera i Christopha Simona przygotowywany jest projekt eksperymentu naziemnego. W ich propOzycji42 zamiast wywolywania potrzebnego ruchu lusterka przez wykorzystanie pydu pojedynczego fotonu rentgenowskiego mozna zastosowae fotony 0 duzo nizszej energii (takie jak fotony swiatla widzialnego, a nawet podczerwone), odbijane wielokrotnie tam i z powrotem (powiedzmy) _10 6 razy, a zatem ten sam foton przekazuje lusterku swoj pyd nie jeden raz, jak poprzednio foton rentgenowski, lecz 106 razy; zob. rys. 30.26. Na razie wydaje siy, ze nie rna zadnych fundamentalnych przeszkod, aby tego rodzaju wstypne pomiary mogly zostae przeprowadzone w ci,!gu najblizszego roku lub dwoch. Ale nawet jesli taki eksperyment siy powiedzie, to i tak zostanie jeszcze piye do szesciu rzydow wielkosci w stosunku do parametrow, ktorych osi,!gniycie jest niezbydne do definitywnego potwierdzenia grawitacyjnej OR. Gdy zas uda siy zachowae kohe-
FELIX i propozycje zwiqzane 30.13
Rys. 30.26. W bardziej praktycznej wersji ekspetymentu FELIX nie stosuje si~ promieni X, lecz pojedynczy foton rentgenowski zast~puje si~ uderzeniami ok. 106 fotonow swiatla widzialnego, padaj,!cych na lusterko.
rencjy kwantowq w superpozycji dwu polozen lusterka, bydzie to oznaczalo postyp (w terminach masy) w stosunku do aktualnego "rekordu kota Schrodingera" (CZqsteczki fullerenu C 7043 ) 0 czynnik, byc moze, rZydu 10 12 • Wydaje siy prawdopodobne, ze jesli osiqgniemy taki stan rzeczy - gdy "minimalistyczna" koncepcja grawitacyjnej OR przewiduje zgodnosc ze standardowq mechanikq kwantowq - to w ciqgu najblizszych kilku lat mozemy oczekiwac dalszych udoskonalen techniki, koniecznych do przeprowadzenia prawdziwego testu przewidywan wlasciwej grawitacyjnej OR. Jest godne uwagi, ze ta niezwykle mala wartosc nieoznaczonosci energii grawitacyjnej E G , jaka wystypuje w eksperymentach klasycznych - powiedzmy, rZydu 10-33 dzula - wystarcza, aby dac "rozsqdne" czasy Zycia, rZydu jednej dziesiqtej sekundy lub mniej. Niklosc efektow grawitacyjnych jest powodem, dla ktorego wielu fizykow wykazuje sklonnosc do ich calkowitego pomijania. A tymczasem wprowadzenie aspektu grawitacyjnego do naszych kwantowych rozwazan moze miec powazne konsekwencje eksperymentalne. NaleZy zauwaZyc, ze skala czasowa MEG wprowadza stosunek dwu matych wielkosci Ii i G, a zatem wcale nie musi byc mala w normalnych "ludzkich" warunkach. Mamy tu do czynienia z zupelnie innq sytuacjq niz w przypadku charakterystycznych wielkosci kwantowych, gdy wystypujq dlugosc Plancka i czas Plancka (rozdz. 27.10, 31.1), rZydu 10-33 cm i 10-43 s, absurd alnie male, a Sq wynikiem tego, ze rozpatrujemy iloczyn Ii i G. Wyobrazmy sobie, ze eksperyment testowy grawitacyjnej OR zostal przeprowadzony pomyslnie. Jezeli w skali czasowej, jakq przewiduje podany schemat grawitacyjnej OR, nie nastqpila utrata koherencji fazowej, to schemat ten naleZy odrzucic lub co najmniej powaznie zmodyfikowac. Ale co bydzie, jeSJi wyniki takiego eksperymentu potwierdzq przewidywania grawitacyjnej OR? Czy wyciqgniemy wtedy z niego wniosek, ze kwantowa redukcja stanu jest rzeczywiscie obiektywnym efektem grawitacyjnym? Obawiam siy, ze wielu badaczy moze nadal zajmowac w tej sprawie jedno z bardziej "konwencjonalnych" stanowisk. Mogq oni na przyklad utrzymywac, ze scisla unitarnosc (U) jest w dalszym ciqgu zachowana, a tylko czysc stanu kwantowego stala siy niedostypna - prawdopodobnie w wyniku "fluktuacji kwantowych pola metrycznego" (zob. rozdz. 29.6 i 30.14).
825
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
Uwazam za bezcelowe opieranie siy perspektywie dokonania fundamentalnych zmian w akceptowanej wczesniej teorii fizycznej, poniewaz wierzy, ze w przypadku mechaniki kwantowej - jak juz nieraz 0 tym pisalem - fundamentalna zmiana jest naprawdy konieczna. Bye moze bydzie zasadne dokonanie porownania z poglqdami wielu bardzo wybitnych fizykow (np. takich jak Lorentz), ktorzy byli sklonni rozpatrywae efekty szczegolnej teorii wzglfldnosci jedynie jako "poprawki" do ogolnie przyjytego stanowiska fizyki XIX wieku, zakladajqcego istnienie bezwzglydnego stanu spoczynku. Bez wqtpienia, takZe obecnie znajdzie siy wielu szanowanych fizykow bardzo niechytnych perspektywie odejscia od ich konstrukcji dwudziestowiecznej mechaniki kwantowej, zbudowanej ciyzkq pracq, jeSli okaZe siy, ze przewidywania grawitacyjnej OR potwierdzi udany eksperyment typu FELIX. Moim zdaniem takie zachowawcze stanowisko powaznie utrudniloby dokonanie zasadniczego postypU na bazie nowego kwantowego obrazu swiata, jaki bylby naprawdy sensowny! Oczywiscie, wszyscy, ktorzy oczekujq, ze grawitacyjna OR bydzie stymulatorem nowej teorii, mUSZq bye przygotowani na ewentualnose alternatywnq: ze taki eksperyment moze wlasnie podwaZye nasze przewidywania. Przyznajy, ze sam bylbym zaskoczony takim rozwojem sytuacji, niezaleznie od faktu, iz wielu specjalistow w dziedzinie fizyki kwantowej, z ktorymi mialem okazjy dyskutowae te sprawy, wyrazalo mocne przekonanie, ii konwencjonalna mechanika kwantowa wyjdzie z takich eksperymentow bez uszczerbku. Moje zdziwienie wynikaloby przede wszystkim z faktu, ze dzisiejsza mechanika kwantowa nie rna wiarygodnej ontologii, a zatem musi bye powainie zmodyfikowana, jesli nasze fizyczne rozumienie swiata rna miee sens! To oczywiscie sarno w sobie nie oznacza, ie z pomocq musi przyjse grawitacyjna OR ani tez ze przedstawione tutaj propozycje uwzglydnienia grawitacji muszq bye poprawne44 • Obawiam siy rowniei, ze ani sila konstrukcji obecnej mechaniki kwantowej, ani jej solidnose nie ulatwiq dokonania zasadniczej reformy. Taka reforma wymagae bydzie rownie wielkich zmian w znanej nam fizyce; poza rewolucjq, jakiej dokonala ogolna teoria wzglydnosci Einsteina, nie dostrzegam niczego na podobnq skaly. Wlasnie z tych wzglydow pozwalam sobie antycypowae przedstawiony tu schemat grawitacyjnej OR. W kazdym razie, bez wzglydu na wynik tego rodzaju rozwazan, jestem przekonany, ze w XXI stuleciu oczekuje nas niezwykle zasadnicza i intrygujqca ewolucja poglqdow na mechaniky kwantowq!
30.14 Pochodzenie fluktuacji we wczesnym Wszechswiecie
826
Zanim zamkniemy ten rozdzial, chcialbym omowie jeszcze jeden z licznych waznych problemow, na ktorych rozwiqzanie - zgodnie z duchem prowadzonych rozwazan - istotny wplyw mialaby zmiana procedur mechaniki kwantowej. W rozdz. 27.13 zwrocilem uwagy na niezwyklq wyjqtkowose stanu, w jakim, jak siy wydaje, musial znajdowae siy Wszechswiat w momencie swojego poczqtku. Glownym ele-
Zr6dla fluktuacji we wczesnym Wszechswiecie 30.14
mentem tej wyj'ltkowosci byla absurdalnie niska wartosc jego entropii, ktora wynikala z bardzo scislej izotropowosci i jednorodnosci, co spowodowalo, ze geometria czasoprzestrzeni Wszechswiata byla (i jest nadal) zadziwiaj'lco dobrze opisywana za pomoc'l jednego ze standardowych modeli kosmologicznych FLRW (rozdz. 27.11). Oczywiscie, bardzo czysto podaje siy argument, ze Wszechswiat w zadnym wypadku nie mogl znajdowae siy, w scislym sensie, w stanie dokladnie odpowiadaj'lcym tak wysoce symetrycznemu modelowi. Gdyby Wszechswiat mial kiedys tak wysok'l symetriy, musialby w podobnyrn stanie pozostae na zawsze, poniewaz dynamika ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina - podobnie jak i cal a fizyka klasyczna - zachowatyby ty symetriy nienaruszon'l. A co z fizyk'l kwantowq? ezy "losowose" zawarta w procesach ewolucji kwantowej zezwala na pojawienie siy odstypstw od tej dokladnej symetrii? W tym miejscu przywoluje siy CZysto term in "fluktuacje kwantowe", ktorych wystypowanie mogloby uzasadniae potrzebne odstypstwa od symetrii dokladnej. "Fluktuacje" tego rodzaju moglyby najpierw pojawiae siy jako bardzo male, lecz jednoczesnie bye zarodkami nieregularnosci w rozkladzie mas, ktore nastypnie, w wyniku grawitacyjnej kumulacji, prowadzilyby do powstawania gwiazd, galaktyk i gromad galaktyk, zgodnie z tym, co obecnie obserwujemy. Ale czym sq fluktuacje kwantowe? Podstawow'l cech'l zasady nieoznaczonosci Heisenberga (rozdz. 21.11) w zastosowaniu do wielkosci charakteryzuj'lcych pola kwantowe (zob. rozdz. 26.2, 3, 9) jest to, ze jesli probujemy zmierzye dokladnie wartose jednej z tych wielkosci, to tym wiyksza bydzie nieoznaczonose innej, kanonicznie z ni'l zwi'lzanej, a co za tym idzie, bydziemy mieli do czynienia z bardzo szybko zmieniaj'lcymi siy wartosciami oczekiwanyrni mierzonej wielkosci. Sam akt przyporz'ldkowania precyzyjnej wartosci jakiejs wielkosci charakteryzuj'lcej pole kwantowe prowadzi wiyc do dzikich fluktuacji tej wielkosci. Tak'l wielkosci'l moglaby bye jedna ze skladowych metryki czasoprzestrzeni, w zwi'lzku z czym kazda proba dokladnego jej zmierzenia daje w rezultacie ogromne zmiany wartosci. Rozwazania tego rodzaju doprowadzily 10hna Wheelera w latach piyedziesi'ltych xx wieku do wysuniycia supozycji, ze natura czasoprzestrzeni w skali Plancka, a wiyc na odleglosciach rZydu 10-33 cm, powinna przypominae fluktuuj'lC'! "piany" (zob. koniec rozdz. 29.6 i rys. 29.6). Aby wyrobie sobie jasny poglqd na te sprawy, sprobujmy przeanalizowae, co naprawdy mowiq nam relacje nieoznaczonosci Heisenberga. Otoz nie wynika z nich, ze kiedy przechodzimy do najmniejszych rozmiarow, to Natura bynajmniej nie zaczyna zachowywae siy w "mytny" czy "niekoherentny" sposob. Zasada Heisenberga jedynie ogranicza dokladnose, z jakq mogq bye wyznaczone dwie niekomutujqce ze sobq wielkosci. Przypomnijmy sobie, ze w przypadku pojedynczej cZqstki jej polozenie i pyd w jakims kierunku, jako wielkosci nieprzemienne, nie mogq bye jednoczesnie dokladnie wyznaczone, lecz iloczyn blydow pomiaru kazdej z nich nie moze bye mniejszy od (rozdz. 21.11). Istnieje jednak dokladny i dobrze okreslony stan kwantowy i, jesli nie przeprowadzamy zadnego pomiaru, stan takiej
tn
827
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
cz'!stki bydzie precyzyjnie ewoluowal zgodnie z rownaniem Schrodingera (zakladaj,!c, ze obowi,!zuje kwantowomechaniczna procedura U). Podobnie w ramach standardowej mechaniki kwantowej wszystkie zmienne definiuj,!ce stan czasoprzestrzeni nie mog,! bye wyznaczone jednoczesnie. Co prawda kwantowy opis czasoprzestrzeni powinien bye okreslony dokladnie. Zasada nieoznaczonosci Heisenberga mowi nam, ze opis ten nie moze przypominae klasycznej (pseudo-)riemannowskiej rozmaitosci, poniewaz rozne wielkosci opisuj,!ce geometriy czasoprzestrzeni nie komutuj,! ze sob'!. W takim razie, zgodnie z propozycj,! Wheelera, stan taki powinien bye gigantyczn,! superpozycj,! roznych geometrii, ktorych wiykszose bydzie dalekim odstypstwem od plaskosci i, w efekcie, przyjmie sugerowany charakter "pianopodobny". Przekonajmy siy, jak te rozwaiania odnosz'! siy do wczesnych stadiow Wszechswiata. Czy odstypstwa od dokladnej symetrii mog'! bye przypisane "fluktuacjorn kwantowym", jesli przyjmiemy, ze stan pocz'!tkowy rnial idealn,! symetriy kosrnologicznego modelu FLRW? Ewolucja U takiego stanu musi zachowywae ty dokladn,! symetriy FLRW, niezaleznie od "fluktuacji kwantowych" lub jakichkolwiek innych przejawow zasady nieoznaczonosci Heisenberga[3014 l. Czy takie stanowisko nie jest sprzeczne z koncepcj,! geometrii "pianopodobnej", jak'! sugeruje Wheeler? Otoz nie musi tu wystypowae sprzecznose, poniewaz caly stan jest superpozycjq takich nieregularnych geometrii, a nie konkretn,! geometri'!. Sarna superpozycja moze charakteryzowae siy symetri,!, jakiej nie maj,! poszczegolne geometrie, ktore siy na ni,! skladaj,!. Jesli wklad do tej superpozycji rna jakas geometria nieregularna, to wklad daj,! rowniez wszystkie inne, jakie mog,! bye z niej uzyskane przez zastosowanie wszystkich symetrii FLRW45 • Jak w takim razie ta ogromna kwantowa superpozycja nieregularnych geometrii, charakteryzuj'!ca siy symetri'! FLRW, rna doprowadzie do czegos, co przypomina konkretny "prawie FLRW-symetryczny" wszechSwiat, ktorego symetria, zgodnie z tym, co obserwujemy, jest efektem niewielkiego tylko zaburzenia? Czytelnik powinien bye swiadom, ze cos takiego nie moze siy zdarzye w ramach kwantowomechanicznej ewolucji U, poniewaz taka ewolucja dokladnie zachowuje syrnetriy. Musi wiyc zachodzie jakis proces przypominaj,!cy proces R, ktorego wynikiem jest redukcja owej ogromnej superpozycji geometrii do jednej geometrii alba raczej do mniejszej superpozycji, ktora bardziej przypomina jedn,! geornetriy. N ajwazniejsze jest to, ze nieregularnosci wynikaj,!ce z "fluktuacji kwantowych" nie mog,! zaistniee bez jakiejs procedury R, na mocy ktorej pojedynczy pocz'!tkowy stan kwantowy rozklada siy na mieszaniny probabilistyczn,! roznych stan6w. W ten sposob wracamy do problernow ornawianych w rozdz. 29, gdzie dyskutowalisrny rozne stanowiska wobec "realnosci" procedury R.
828
m. [30.14] Cz:y wiesz, dlaczego zachowanie tej symetrii wynika jedynie z deterministycznej jednoznacznosci ewolucji U, prz:y bardzo slabych og6lnych zalozeniach dotyczqcych tej ewolucji?
Zr6dla fluktuacji we wczesnym Wszechswiecie 30.14
Powinnismy miee na uwadze, ze rozwazamy tutaj bardzo wczesny stan Wszechswiata, ktorego temperatura mogla bye rZydu 1032 K. W owym czasie nie bylo zadnych eksperymentatorow, ktorzy mogliby dokonae jakichS "pomiarow", trudno wiyc wyobrazie sobie, jak mozna by tu zastosowae podejscie "szkoly kopenhaskiej" (propozycja (a) z rozdz. 29.1). A jak przedstawia siy koncepcja wielu swiatow (propozycja (b) z rozdz. 29.1)? W tej koncepcji nie rna miejsca na R, dlatego stan Wszechswiat a 0 symetrii FLRW bylby zachowany do dzisiaj i bylby to stan wielkiej superpozycji wie1u skladajqcych siy na niq geometrii czasoprzestrzeni. Tylko w sytuacji, gdy swiadomi obserwatorzy usilujq rozpoznae swiat, wowczas, zgodnie z tym poglqdem, mozna by rozwazae przejscie do alternatywnych geometrii czasoprzestrzeni - a wiyc mielibysmy do czynienia z superpozycjq swiadomych obserwatorow, a kazdy z nich postrzegalby jeden ze swiatow46 . Natomiast w koncepcji FAPP (zob. (c) w rozdz. 29.1) istnienie (dostatecznej) dekoherencji srodowiskowej jest oznakq, ze nasza kwantowa superpozycja roznych geometrii moze bye rozpatrywana jako probabilistyczna mieszanina roznych geometrii. Pouczajqce bydzie porownanie z przykladem pochodzqcym z dziedziny zwyklej mechaniki kwantowej47. Wyobrazmy sobie jqdro radioaktywne w stanie sferycznie symetrycznym (tzn. 0 spinie 0, zob. rozdz. 22.11), spoczywajqce w pewnym punkcie 0, umieszczonym centralnie w komorze pycherzykowet8 (rys. 30.27). Przypusemy, ze w wyniku promieniowania rozpada siy ono na dwie cZysci, A i B, ktore zostajq odrzucone w przeciwnych kierunkach. Mozemy zaloZye, ze A i B Sq elektrycznie naladowane, wobec czego zostawiajq slady w komorze pycherzykowej. W tym przykladzie rozpoczynamy w stanie sferycznie symetrycznym 0 srodku w punkcie 0. Po rozpadzie symetria sferyczna zostaje zlamana, poniewaz pojawila siy os, wzdluz ktorej rozbiegajq siy cZysci A i B. Jak mamy to zrozumiee w terminach ewolucji U stanu wyjsciowego? Jasne jest, zgodnie z poprzednim stwierdzeniem, ze symetria sferyczna musi bye zachowana, ale uzyskujemy to jako superpozycjy liniowq wszystkich mozliwych sytuacji, w ktorych czqstki rozchodzq siy w roznych kierunkach. Funkcja falowa rna postae fali sferycznej 0 srodku w punkcie 0, ale musimy pamiytae, ze ten stan jest stanem splqtanym obu cZqstek A i B, przy czym kaZde polozenie A jest skorelowane z polozeniem B w kierunku antypodalnym. Poniewaz ladunki na A i B jonizujq material wypelniajqcy komory pycherzy-
Rys. 30.27. Zlamanie symetrii przez OR. J'ldro (sferycznie symetryczne) 0 spinie 0 rozpada siy na dwie cZysci, ktare obserwujemy jako poruszaj'lce siy wzdluz pary przeciwnie skierowanych drag. Ewolucja U zachowuje symetriy sferyczn'l stanu pocz'ltkowego, ale stan ten jest (spl'ltan'l) superpozycj'l kwantow'l par przeciwleglych drag (Mott). Procedura R powoduje, ze tylko jedn'l z tych par mozemy obserwowac. Przyklad ten moze posluZyc jako model procesu, ktary maglby zachodzic w przypadku tworzenia siy fluktuacji gystosci w pocz'ltkowo wysoce symetrycznym stanie kwantowym wczesnego WszechSwiata.
829
30
Rala grawitacji w redukcji stanu kwantawega
kowC! i tworzC! sitt Pttcherzyki, to stan staje sitt stan em splC!tanym ze stanem tego materialu. Dochodzimy wittc do wniosku, ze stan calkowity jest superpozycjC!, kt6rej kazda skladowa wprowadza partt slad6w pttcherzykowych w przeciwnych kierunkach, jeden odpowiadajC!cy przejsciu A, a drugi przejsciu B. Opisana sytuacja nie r6zni sitt zasadniczo od sytuacji we wczesnym Wszechswiecie. Potrzebujemy jakiejs wersji procedury R, aby zastC!pie symetrycznC! kwantowC! superpozycjtt mieszaninC! probabilistycznC! mniej symetrycznych alternatyw. Wydaje sitt, ze w praktyce teoretycy majC! sklonnose przyjmowania jednego z wariant6w interpretacji FAPP (zob. (c) w rozdz. 29.1), w kt6rym rozmiary horyzontu kosmologicznego sC! w spos6b arbitralny (i nielogiczny) traktowane jako rodzaj "obcittcia" (cut-off) dla splC!tan kwantowych. Superpozycja kwantowa jest w6wczas traktowana jak mieszanina probabilistyczna, aczkolwiek takie stanowisko nigdy nie zostalo wyjasnione. Na przyklad w podrttczniku dla doktorant6w The Early Universe (Wczesny wszechswiat) wybitni przedstawiciele kosmologii intlacyjnej Kolb i Turner (1994) na s. 286 twierdzC!: "Z chwil<} przekroczenia horyzontu kazdy mod traci charakter mikrofizyczny i »zamraza siy« jako fluktuacja klasyczna".
830
Termin "mod" odnosi sitt do jednej ze skladowych superpozycji kwantowej, a zatern autorzy usilujC! posluZye sitt horyzontem jako sposobem na przejscie od amplitudy kwantowej do prawdopodobienstwa jakiejs alternatywy klasycznej. Jest to wittc propozycja w stylu FAPP (zob. rozdz. 29.6) i, jak sugerowalismy w rozdz. 29.6, 8, scisle biorC!c, nielogiczna 49 • Moim zdaniem jest jasne, ze odejscie od dokladnej symetrii FLRW na drodze tluktuacji kwantowych wymaga koniecznie jakiejs teorii obiektywnej redukcji stanu. "Minimalistyczna" propozycja grawitacyjnej OR, przedstawiona w rozdz. 30.9-12, w takiej postaci, jakC! dysponujemy obecnie, nie jest wystarczajC!ca. Potrzebujemy bardziej sp6jnej koncepcji OR, w kt6rej stanie sitt mozliwe rozwazanie superpozycji kwantowych wielkiej liczby geometrii czasoprzestrzennych, poszczeg6lne geometrie nie muszC! zas bye stacjonarne, jak to bylo w rozdz. 30.10. MajC!c taki schemat, mozemy go natychmiast skonfrontowae z rosnC!C
Przypisy
niem nierownosci Bella", co daje nam korelacjy miydzy odlegtymi zdarzeniami, jakie pozornie naruszaj,! zasady klasycznej przyczynowosci. Takie widoczne pogwatcenie przyczynowosci nie musi wskazywae na istnienie mechanizmu inflacyjnego, zapewniaj,!cego nam przyczynowe t'!cze miydzy owymi zdarzeniami, lecz mogloby bye wynikiem odpowiedniego procesu obiektywnej redukcji stanow (OR). Na podstawie przeprowadzonej dyskusji50 stwierdzamy jednak, ze takie oczywiste "naruszenia przyczynowosci" mog,! wystypowae, bez potrzeby inflacji, nawet w standardowych kosmologiach FLRW, jesli fluktuacje pocz'!tkowe pojawiaj,! siy za posrednictwem procesu obiektywnej redukcji stanu. Jest oczywiste, ze jeszcze daleko nam do teorii, ktora mogtaby w sposob wiarygodny odnieSe siy do wszystkich tych problemow. Mam jednak nadziejy, ze udato mi siy przekonae czytelnika 0 fundamentalnym znaczeniu posiadania formalizmu mechaniki kwantowej opartego na wiarygodnej ontologii. Problemy przedstawione w rozdz. 29 i 30 nie s,! zagadnieniami interesuj'!cymi wyl,!cznie filozofow. Znaczenie ontologicznie spojnej (ulepszonej) mechaniki kwantowej moim zdaniem nie moze bye przecenione. W tym rozdziale zaledwie dotkn,!iem jednego z fundamentalnych problemow, ktorego rozwi,!zanie w istotny sposob zaleiy od posiadania takiej teorii. Takich problemow jest duio wiycej, wt,!czaj,!c w to zagadnienia z dziedziny biologii (zob. rozdz. 34.7,10), w ktorej, podobnie jak w przypadku wczesnych stanow Wszechswiata, obecne stanowisko "szkoly kopenhaskiej" nie moze bye zastosowane, gdyz nie rna w nim wyraznego oddzielenia ukladu kwantowego od klasycznego urz,!dzenia pomiarowego.
Przypisy
1
Rozdzial30.1 Zob. Roseveare (1982).
2
Rozdzial30.2 Zob. Penrose (1980).
Rozdzial30.3 Jest to teehnieznie i teoretycznie mozliwe, przynajmniej jesli nie wymagamy struproeentowej dokladnosci. Mozna na przyklad urz,!dzic to w ten spos6b, zeby koiicowy foton byl zawsze jednym z pary foton6w (powiedzmy, w procesie parametrycznej konwersji w d6l zob. rozdz. 23.10), kt6rej drugi foton uruehamia urz,!dzenie rejestruj,!ce. 4 Ciekawe, jak czysto wystypuj,! trudnosci z przyjyciem tej argumentacji. Sprawy stan,! siy byc moze bardziej zrozumiale, jesli pomyslimy 0 roznyeh ewentualnoSciach zdarzen w tym eksperymencie, zaehodz'!eych w r6znych punktach czasoprzestrzeni. NaleZy rozwaZyc eztery aiternatywne drogi foton6w, SBD, SBC, FBD i FBC. Aby stwierdzic, jakie prawdopodobienstwa tutaj wystypuj,!, zastanawiamy siy, jak cZysto mamy do czynienia z drog,! SBD, gdy zakladamy emisjy w S (sytuacja normalnej emisji), a jak cZysto z drog,! SBD, gdy zaktadamy "emisjy" w D (sytuacja odwr6cona w ezasie). Regula kwadratu modulu daje poprawny wynik w pierwszym przypadku (50 proeent), ale nie w drugim, gdzie powinna dac nam ok. 100 proeent.
J
831
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
Zalei,! one jednak od tego, czy stan pocz'!tkowy jest taki, jaki powinien bye, czy nie jest jakims stanem spl,!tanym (rozdz. 23.3), wynikaj,!cym ze stanu detektora. Moglibysmy tei postawie pytanie, czy odbicie w czasie tego rodzaju spl'ltania mogloby bye odpowiedzialne za fakt, ie regula kwadratu modulu dla sytuacji odwr6conej w czasie prowadzi do tak zupelnie blctdnych wynik6w. Nie jestem w stanie wyobrazic sobie, jak w takim rozumowaniu moina by to wyjasnie. Bye moie jakis pomyslowy czytelnik znajdzie takie wyjasnienie. 6 Zob. Aharonov, Vaidman (1990). 7 Dyskusjct tego problemu znajdziemy w pracy Aharonov et al. (1964). 8 Zob. Aharonov, Vaidman (2001); Cramer (1988); Costa de Beauregard (1995) oraz Werbos, Dolmatova (2000). 5
Rozdzial 30.4 Zob. Unruh (1976); zob. r6wniei Wald (1994). 10 Zob. Penrose (1968b, 1987b) i Bailey et al. (1982). 11 Zob. Kay (2000); Kay, Wald (1991); Kay et at. (1996); Hollands, Wald (2001); Haag (1992). 9
Rozdzial30.5 Zob. Wald (1984). 13 Zob. Wald (1984); Synge (1950); Kruskal (1960); Szekeres (1960). 14 Latwo 0 nieporozumienie przy interpretacji r, poniewai w przypadku Schwarzschilda, kt6ry tutaj rozwaiamy, jest to czas rzeczywisty, podczas gdy w plaskim przypadku (Rindlera), przedstawionym na rys. 30.5a, b, ror mierzy czas obserwatora poruszaj,!cego sict ruchem przyspieszonym. 15 Zob. Newman et at. (1965). 16 Ten stosunek iyromagnetyczny odnosi sict do "idealnej cz'!stki Diraca", wobec ktorej elektron jest jedynie znakomitym przybliieniem, jednak rzeczywisty elektron wymaga jeszcze poprawek radiacyjnych, kt6rych dostarcza dopiero kwantowa teoria pola, zob. koniec rozdz. 24.7. Proton i neutron pozostaj,! jeszcze dalej od idealnej cz'!stki Diraca, natomiast pojctcie to bardziej odpowiada skiadaj,!cym sict na nie kwarkom. 12
Rozdzial30.6 Zob. Novikov (2001); Thorne (1995a); Davies (2003). 18 Davies (2003) przedstawia zabawn'! i interesuj,!c,! dyskusjct takich moiliwosci. 17
Rozdzial 30.7 Zob. Penrose (1969); Floyd, Penrose (1971). 20 Zob. Blanford, Znajek (1977); Begelman et at. (1984). Zob. r6wniei Williams (1995, 2002, 2004). 19
Rozdzial30.8 Zob. Hawking (1974,1975, 1976a, 1976b); Kapusta (2001). 22 Zob. Preskill (1992). 23 Zob. Preskill (1992), albo, przedstawione winny sposob, w Kay (1998a, 1998b). 24 Zob. Preskill (1992); Susskind et at. (1993). 25 Zob. Gottesman, Preskill (2003), gdzie znajdziemy krytykct Horowitza i Maldaceny (2003). Zob. takie Susskind (2003). 26 Hawking zaproponowal uog6lnienie ewolucji unitarnej, w ktorym opis za pomoc,! macierzy S w zwykiej KTP (rozdz. 26.8) zostal sprowadzony do operatora "superrozproszen" (nie rna nic wsp6lnego z supersymetri'!; zob. rozdz. 31.2), oznaczanego symbolem ,,$". Operator ten dziala mictdzy stanami macierzy gystosci, a nie miydzy stanami czystymi, bo tam dziaia macierz S. Zob. Hawking (1976b). Naleiy zauwaZye, ie w roku 2004 (moim zdaniem - szkoda) Hawking zmienil stanowisko: uwaia, ie nie mamy tu do czynienia z UTRATi\, lecz z POWROTEM! 21
832
Przypisy Rozdzial30.9 Przez ostatnie 20 lat glowna roznica poglqdow moich i Hawkinga obracala siy przede wszystkim wokol problemu asyrnetrii czasowej. W calej tej dyspucie Hawking mocno trzyrnal siy formalizmu syrnetrycznego wzglydem odbicia czasu i obstawal alba przy zachowaniu unitarnosci mechaniki kwantowej, alba przy umiarkowanyrn jej uogolnieniu, 0 ktoryrn mowa w przyp. 26 w tym rozdziale. Moje stanowisko w tych sprawach jest zupelnie odmienne, co planujy szerzej wyjasnie. 28 Zob. Hawking (1976b); Preskill (1992); Penrose (1979a). 29 Hipoteza krzywizny Weyla odnosi siy do klasycznej geometrii, a zatem informuje nas 0 tym, co dzieje siy w punkcie, w ktorym "geometria kwantowa" przeksztalca siy w klasycznq czasoprzestrzeii. 30 Zob. Hawking (1976a, 1976b) oraz Gibbons, Perry (1978). 31 Bye moze potrzebujemy jakiegos uogolnionego pojycia przestrzeni Hilberta, ktore zawieraloby pewne wlasciwosci (zakrzywionej) przestrzeni fazowej; zob. Mielnik (1974); Kibble (1979); Chernoff, Marsden (1974); Page (1987) oraz Brody, Hughston (2001). 27
Rozdzial 30.10 Moglyby to bye stany koherentne, 0 ktorych mowilismy w rozdz. 26.6. 33 Zwroemy uwagy, ze indeksy wektorow Kx i K
Rozdzial30.11 Zob. Christian (1995). 35 Zob. Isham (1992); Kuchar (1992); Rovelli (1991); Smolin (1991); Barbour (1992). 36 Zob. przyp. 12 w rozdz. 29, gdzie podane Sq odnosniki do wielu teorii obiektywnej redukcji stanu kwantowego. Diosi, Percival, Kibble, Pearle, Squires i ja traktujemy grawitacjy jako czynnik kluczowy. 37 Niedawno pojawila siy idea bardziej scislego uzasadnienia tego rodzaju propozycji dla grawitacyjnej OR. Przypomnijmy sobie na podstawie ewiczenia [21.6], ze aby stworzye teoriy kwantowq spojnq z zasadq rownowaznosci, przez przejscie od swobodnie spadajqcego ukladu odniesienia do ukladu ustalonego w polu grawitacyjnyrn, konieczny jest czynnik fazowy zawierajqcy trzeciq potygy t. Wtedy te dwa uklady scisle opisujq rozne proznie (zob. rozdz. 26.5), co stanowi pozostalose efektu Unruh, wspomnianego w rozdz. 30.4, ktory pozostaje, gdy przechodzimy do granicy Galileusza. Jesli wiyc zasada rownowaznosci rna bye w pelni respektowana, superpozycja dwoch pol grawitacyjnych wprowadza superpozycjy roznych prozni, a zatem musi bye niestabilna, nawet w granicy Galileusza. Szczegoly tej argumentacji zostanq przedstawione p6Zniej. 34
Rozdzial 30.12 Zob. rozdz. 22.5 oraz Moroz, Penrose, Tod (1998). Czyrn jest "wartose oczekiwana" - zob. przyp. 11 w rozdz. 22. 39 Zob. przyp. 12 w rozdz. 29, gdzie podano wiele odnosnikow do wai:nych prac w tej dziedzinie. 40 Osobiscie wiele zyskalem dziyki analizie tych propozycji. Bye moze niektore z nich mogq dostarczye wskazowek, jak zbudowae bardziej kompletnq teoriy grawitacyjnej OR. Zob. przyp. 12 w rozdz. 29, a takZe Gisin (1989,1990), gdzie przedstawione Sq pewne twierdzenia typu NO-GO ("nie tydy droga") 38
41
RozdziaI30.13 Poszczegolne elementy tego eksperymentu zawdziyczajq wiele roznym moim kolegom. Zasadniczy pomysl, polegajqcy na uZyciu krysztalu "typu Mossbauera", ktoremu swoj pyd przekazuje foton po przejsciu przez plytky swiatlodzielnq, zaproponowal Johannes Dapprich. Niektore inne elementy, np. rozmiary zwierciadelka, energia fotonu oraz wiele szczegolow,
833
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
42
43 44
powstaly w dyskusjach z Antonem Zeilingerem i czlonkami jego zespolu w Innsbrucku. Koncepcja eksperymentu FELIX wylonila sit( w rozmowach z Andersem Hanssonem. Wiele znakomitych pomyslow podali: William Marshall, Dik Bouwmeester i Christoph Simon. Zob. Penrose (2000); Marshall et al. (2003). Zob. Marshall et al. (2003). Zob. Arndt et al. (1999). Na przyklad zarowno oryginalna propozycja grawitacyjnej OR wysunit(ta w Kirolyhazy (1974), jak i nowsza propozycja w pracy: Percival (1994), prowadzq do wnioskow roznych od propozycji tutaj przedstawionej.
Rozdzial 30.14 Zachodzi tu jednak pewna subtelnosc, poniewaz wolno uwazac, ze dzialanie jakiejs abstrakcyjnej symetrii na geometrit( czasoprzestrzeni daje w wyniku tt( samq geometrit( (ze wzglt(du na zasadt( ogolnej kowariantnosci; zob. rozdz. 19.6). Mozna zajmowac w tej sprawie roine stanowiska, jednak nie wplywa to na ogolny argument podniesiony w tekscie. 46 W oryginalnej koncepcji "wszechSwiata partycypacyjnego" Wheelera (zob. Wheeler 1983) wlasnie obecnosc swiadomych obserwatorow jest tym czynnikiem, ktory (teleologicznie) determinuje konkretny wybor geometrii czasoprzestrzeni wczesnego WszechSwiata. 47 Ma to pewne podobienstwo do dyskusji sladow w komorze Wilsona w przypadku emisji cZqstek a, jakq przeprowadzil Neville Mott (1929). 48 Jest to standardowa aparatura, w ktorej przejscie naladowanej cZqstki zostaje zaznaczone liniq malenkich pt(cherzykow (zob. przyp. 47); zob. Fernow (1989). 49 Rzeczywista przyczyna "obcit(cia" na poziomie promienia Hubble'a (gdzie prt(dkosc ucieczki osiqga prt(dkosc swiatla) w tamtej epoce nie rna bezposredniego zwiqzku z aktualnym "rozmiarem horyzontu" (ktory, w kaidym razie,jest duzo wit(kszy od promienia Hubble'a w teorii inflacyjnej; zob. rys. 28.5) i nie rna nic wspolnego z przejsciem od fizyki kwantowej do klasycznej. To czysto klasyczny efekt rozszerzania sit( WszechSwiata podlegajqcy ograniczeniom teorii wzglt(dnosci. 50 Rozni autorzy sugeruq, ze z wymienionych powodow takie "akauzalne" korelacje typu EPR moglyby wystt(powac we wczesnych fluktuacjach WszechSwiata. Na przyklad pomysl taki kilka lat temu przedstawil mi Bikash Sinha. 45
31 Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny 31.1 Niewyjasnione parametry WU;:KSZOSC fizyk6w rna zapewne inne zdanie na temat kierunku rozwoju fizyki w XXI wieku anizeli to, kt6re pozwolilem sobie przedstawic w poprzednim rozdziale. Bardzo niewielu z nich antycypuje pojawienie siy fundamentalnych zmian w strukturze mechaniki kwantowej. Zamiast tego opowiadajq siy po stronie dziwnie sformulowanych koncepcji, na przyklad koniecznosci dodatkowych wymiar6w czasoprzestrzeni alba zastqpienia cZqstek punktowych obiektami takimi jak "struny", a nawet wyzej wymiarowe struktury nazywane "membranami",p-branami lub, po prostu, "branami" - wsr6d kt6rych, jak siy zdaje, szczeg6lnie wainq roly odgrywajq przedziwne obiekty 0 nazwie "D-bran". Powstalo zagadkowe rozszerzenie idei symetrii okreslane terminami "supersymetrie" alba "grupy kwantowe". Istniejq uog6lnienia samego pojycia geometrii na geometrie "nieprzemienne", a takze takie modele Wszechswiata, w kt6rych, w najmniejszej skali, nie wystypuje ci qglosc, lecz dyskretnosc, alba w kt6rych sarna przestrzen "utkana" jest z wyzl6w i oczek (knots or links). Pojawiajq siy tez sugestie, ze nale:i:y zarzucic samq koncepcjy czasoprzestrzeni alba calkowicie przeformulowac jq w jakims innym jyzyku. Co mamy sqdzic 0 tych wszystkich pomyslach? Co zmusza fizyk6w do konstruowania opis6w "rzeczywistosci", jakie w znikomym stopniu przypominajq ty, kt6rq bezposrednio postrzegamy w zwyklej, ludzkiej skali? Bez wqtpienia, czysciowe uzasadnienie takich koncepcji znajdujemy w sukcesach mechaniki kwantowej, a tak:i:e, choc w mniejszym stopniu, og6lnej teorii wzglydnosci. Obie te wielkie teorie XX wieku wykazaly, ze nasze bezposrednie intuicje mogq byc bardzo zawodne, a "rzeczywistosc" bardzo glyboko r6zni siy od wyobraien 0 niej, budowanych na podstawie fizyki poprzednich wiek6w. Jednak sarna mozliwosc skonstruowania egzotycznego czy niezwyklego obrazu swiata nie jest wystarczajqcym powodem, zebysmy uznali go za wiarygodny. Musimy spr6bowac zrozumiec motywy, jakie kierujq badaniami wsp6lczesnych teoretyk6w, kiedy usilujq zglybic i wyjasnic reguly funkcjonowania WszechSwiata. Podejmijmy ten tok rozumowania, z kt6rym zetknylismy siy po raz pierwszy w rozdz. 24, a kt6ry kontynuowalismy w rozdz. 25 i 26; dziyki niemu bowiem polqczenie wymagan szczeg6lnej teorii wzglydnosci i mechaniki kwantowej zawiodlo
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
nas na niebezpieczne terytorium kwantowej teorii pol. Tam od razu trafilismy na pole minowe nieskonczonosci, ktorego obejscie wymagalo naprawdy wielkiej pomyslowosci, aby ostatecznie dojse do standardowego modelu fizyki cz'!stek elementamych, ktory pozostaje w zgodzie z wynikami pomiarow. Co prawda sam model standardowy nie jest wolny od nieskonczonosci i stanowi jedynie teoriy "renormalizowaln'!", a nie skonczon'!. Renormalizowalnose pozwala przeprowadzae pewne obliczenia i uzyskiwae skonczone odpowiedzi na wiykszose stawianych pytan, choe nie daje nam wskazowki, sk,!d bior,! siy najwazniejsze parametry teorii, na przyklad szczegolne wartosci mas i ladunkow cz,!stek w niej wystypuj,!cych. Wartosci te bylyby "nieskonczone" (albo "zerowe"), gdyby nie procedura renormalizacji, ktora pozwala nam omin,!e te nieskonczonosci za pomoc,! przeskalowania i redefinicji wyrazen i w ten sposob mozliwe staje siy uzyskanie skonczonych wartosci innych wielkosci. W zasadzie "dajemy za wygran'!" w odniesieniu do mas i ladunkow, ktorych wartosci po prostu wl'!czamy do teorii jako niewyjasnione parametry i, rzeczywiscie, mamy az 17 lub wiycej takich parametrow, wliczaj,!c w to, poza wartosciami mas podstawowych kwarkow i leptonow, roznego typu stale sprzyzenia, cz'!stky Higgsa etc., kaZdy z nich zas musi bye okreslony. Mamy do czynienia z prawdziwymi zagadkami Natury, dotycz,!cymi dziwnych wartosci mas i ladunku jej cz,!stek. Istnieje na przyklad tajemnicza "stala struktury subtelnej" a, okreslaj,!ca sily oddzialywan elektromagnetycznych, zdefiniowana wzorem
e2
a=-
lie'
gdzie -e oznacza ladunek elektronu. Odwrotnose stalej struktury subtelnej jest bardzo bliska wartosci a-I = 137, a bardziej dokladnie a-I =
836
137,0359 ...
Przez wiele lat niektorzy fizycy uWaZali, ze wartose a-I wynosi dokladnie 137. Sir Artur Eddington (1946) poswiycil ostatnie lata swego Zycia probie zbudowania "teorii fundamentalnej", ktorej konsekwencj,! bylaby wlasnie wartose a-I = 137. Obecnie wiykszose fizykow wykazalaby prawdopodobnie mniej optymizmu niz ich poprzednicy wobec mozliwosci znalezienia bezposredniej formuly matematycznej wyznaczaj,!cej wartosc a lub innych "staiych Przyrody". Wspolczesnie fizycy sklonni S,! rozpatrywae te wielkosci jako funkcje energii cz'!stek bior,!cych udzial w oddzialywaniach, a nie jak po pro stu zadane liczby, i odwoluj,! siy do nich jako do "biegn,!cych stalych sprzyzenia" (zob. przyp. 21 w rozdz. 26). Obserwowane skalame wartosci, ktore nazywamy "stalymi Przyrody", bylyby wiyc wartosciami tych "biegn,!cych stalych" w "granicy niskich energii". Aczkolwiek nadal mozna miee nadziejy na znalezienie czysto matematycznych powodow dla wlasnie takich ich wartosci granicznych, to maj,! one chyba mniej "fundamentalne" znaczenie, niz gdyby nie zachodzila owa zaleznose od energii.
Niewyjasnione parametry
31.1
Wielokrotnie pomocne okazalo sit( wyrazenie wielkosci takich jak masa i ladunek w bezwzgl~dnym ukladzie jednostek (Plancka), wprowadzonym w rozdz. 27.10, w kt6rym stala grawitacji Newtona G, prt(dkose swiatla c, zredukowana forma stalej Plancka Ii oraz stala Boltzmanna przyjmujq wartose jeden:
G=c=li=k=1. W tym ukladzie jednostek ladunek protonu (albo minus ladunek elektronu) wynosi w przyblizeniu e = 1/ J137 , a scislef
e = 0,0854246, natomiast podstawowy ladunek kwarka (minus ladunek kwarka dolnego - zob. rozdz. 25.6) stanowi jednq trzeciq tej wartosci. Jednostki bezwzglydne Sq zwykle nazywane jednostkami Plancka (albo niekiedy jednostkami Plancka-Wheelera), albowiem propozycjt( ich wprowadzenia pierwszy zglosil, w pracy opublikowanej w 1906 roku, Max Planck (wielka postae mechaniki kwantowej - zob. rozdz. 21.4). Jest swego rodzaju ironiq losu, ze w tej publikacji przyjql za wielkose podstawowq do ustalenia innych wielkosci ladunek elektryczny zamiast jego wlasnej "stalej Plancka". Dlatego w tamtym ukladzie mamy e = -1, natomiast Ii = 137,036. To dopiero John Wheeler (zob. np. Wheeler 1973) zwr6cil uwagt( na znaczenie tego pomyslu, kt6ry zastosowal w wielu swoich pracach (ale uZywajqc Ii, a nie ladunku elektrycznego, jak proponowal Planck). Gdyby nie pewna okolicznose, bardziej wlasciwe byloby nazywanie jednostek Plancka jednostkami Stoneya, poniewaZ irlandzki fizyk George Johnstone Stoney (kt6ry pierwszy dokonal pomiaru ladunku elektronu) jeszcze w 1881 roku opublikowal tt( samq propozycjy co Planck w 1906 roku. Jednak istnieje inna praca Plancka, opublikowana w 1899 roku, zanim pojawila sit( jego znana publikacja z 1900 roku, kt6rq uwaza sit( za poczqtek mechaniki kwantowej; "stala Plancka" zostala w niej uiyta do zdefiniowania ukladu jednostek absolutnych. W tej sytuacji pozostany przy terminologii konwencjonalnej i bydy nazywal uklad jednostek bezwzglydnych ukladem "jednostek Plancka". A co z masami cZqstek? Problem masy jest bardziej skomplikowany niz problem ladunku. Jak sit( wydaje, ladunki wszystkich czqstek Przyrody Sq calkowitymi wielokrotnosciami jednego podstawowego ladunku. Za ladunek podstawowy mozemy przyjqe ladunek protonu, jesli chcemy rozwazae jedynie cZqstki, kt6re mogq istniee samodzielnie, albo minus ladunek kwarka dolnego, jesli chcemy uwzglydnie wewnt(trzne skladniki hadron6w. Aczkolwiek w dalszym ciqgu nie mamy dostatecznego wyjasnienia i nie rozumiemy, skqd pochodzi liczba 137,036, to problem wydaje sit( duzo prostszy niz problem odpowiednich mas. Jednym z tajemniczych aspekt6w zagadnienia mas Sq absurdalnie male wartosci mas zwyklych cZqstek, jesli wyraza sit( je w jednostkach bezwzglydnych. Na przyklad mas a elektronu me wyrazona w jednostkach Plancka wynosi
me = 0,000 000 000 000 000 000 000 043,
837
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
838
amasa protonu jest 1836 razy wi~ksza od tej wartosci. Masa neutrina elektronowego Y e jest 10-5 razy mniejsza od masy elektronu. Innym sposobem przedstawienia zagadki tych malych wartosci mas jest postawienie pytania, dlaczego naturalna "masa Plancka", wynoszqca 10-5 g (porownywalna z maSq malenkiego komara), jest tyle razy wi~ksza od mas wszystkich podstawowych cZqstek elementarnych, jakie wyst~pujq w Przyrodzie. Jeszcze inaczej: dlaczego odleglose Plancka, wynoSZqca 1,6163 x 10-35 m, jest okolo 20 rz~dow wielkosci mniejsza od najmniejszej odleglosci, z jakq spotykamy si~ w swiecie czqstek elementarnych. Ta odleglose moze miee wielkie znaczenie w teorii grawitacji kwantowej, albowiem jest to rozmiar tego rodzaju, ze w takiej skali normalne wyobrazenia ciqglej czasoprzestrzeni przestajq miee jakikolwiek rzeczywisty sens 2 • Jednym ze sposobow rozwiklania tych zagadek mogloby bye potraktowanie malych wartosci ladunkow elektrycznych lub mas jako wyniku jakiegos procesu renormalizacji, podczas gdy ich gole wartosci (rozdz. 26.9) moglyby wyrazae si~ jakimis bardziej matematycznie akceptowalnymi liczbami, na przyklad 1 lub 41t. Zgodnie z takq filozofiq, male obserwowane wartosci moglyby bye wynikiem duiych, niekoniecznie nieskonczonych czynnikow renormalizacyjnych. Tak mogloby bye, gdyby zastqpie rozbiezne sumy i calki KTP jakimis wielkosciami zbieznymi. Rozbieznosci te (tzn. rozbieznosci ultrafioletowe; zob. rozdz. 26.9) pojawiajq si~ w zwiqzku z dodawaniem bez ograniczen coraz wi~kszych p~dow, a te odnoszq si~ do coraz mniejszych odleglosci, rowniez bez ograniczen. W takim razie moglibysmy si~ pozbye nieskonczonosci, gdybysmy dysponowali jakims parametrem obci~cia (cut-off) dla rozbieznych calek (lub sum), na odleglosciach, powiedzmy, odpowiadajqcych (grawitacyjnej) skali Plancka3 rz~du 10-35 m. Pomysl taki zglosil okolo 1935 roku Oskar Klein. Wszystko to sugeruje, ze gdyby udalo si~ w odpowiedni sposob wlqczye grawitacj~ w obliczenia KTP, moglibysmy otrzymae teori~ skonczonq, a nie jedynie renormalizowalnq, i w ramach tej skonczonej teorii moglibysmy znaleie uzasadnienie tych niewyjasnionych wartosci liczbowych. Tymczasem, pomimo ze takie propozycje byly przedmiotem rozwazan juz ponad pol wieku temu, problemy zwiqzane z uwzgl~dnieniem grawitacji pogl~bia ly jedynie nasze trudnosci, zamiast je rozwiqzywae. Gdy zastosowano standardowe techniki kwantyzacji do teorii Einsteina, ich wynikiem byla teoria nierenormalizowalna zamiast teorii skonczonej. Taki efekt skierowal wielu badaczy na drog~ poszukiwania niestandardowego podejscia do kwantowej teorii grawitacji. I takie jest tez przeslanie wczesniejszych rozdzialow tej pracy (w szczegolnosci 27-30): nie mozna spodziewae si~ polqczenia KTP i ogolnej teorii wzgl~dnosci za pomocq naszych standardowych technik. J ednak nie traktowano wystarczajqco powaznie moich argumentow, ze zmian trzeba dokonae przede wszystkim po stronie kwantowej. To prawda, ze kiedy zastosujemy bezposrednio do teorii Einsteina standardowe procedury KTP, to wwyniku powstaje niesatysfakcjonujqca, nierenormalizowalna4 teoria grawitacji kwantowej, ale chociaz wielu badaczy domaga si~ zmian w teorii Einsteina, to malo kto domaga si~ reformy KTP.
Supersymetria
31.2
31.2 Supersymetria Jakie zmiany zaproponowano do tej pory? Jednlj, z nich jest idea supersymetrii, ktora w pollj,czeniu z teorilj, Einsteina (z uwzgll(dnieniem torsji; zob. rozdz. 14.4 i przyp. 10 z rozdz. 19) doprowadzila do powstania formalizmu znanego pod nazwlj, supergrawitacji. Co to jest supersymetria? Dlaczego bardzo wielu fizykow akceptuje jlj, do tego stopnia, ze jej idee lezlj, u podstaw wielu sformulowan wspolczesnych teorii fundamentalnych, a przede wszystkim teorii strun? Istotnie, supersymetria zdobyla bardzo znaczlj,C'l: pOzycjl(5, niezaleznie od faktu, ze jej przewidywania przyniosly jak dotlj,d niewiele, 0 ile w ogole cokolwiek nowego w odniesieniu do faktow, z jakimi konfrontuje nas Przyroda. W tym miejscu muszl( ponownie stwierdzie mojlj, stronniczose i przekazae czytelnikowi niezbl(dne ostrzeZenie. J estern zupelnie nieprzekonany do fizycznego znaczenia formalizmu supersymetrii, zwlaszcza w takiej postaci, w jakiej jest dzisiaj stosowany w teorii cZlj,stek elementarnych. Na razie obserwacje z pewnoscilj, nie wspierajlj, specjalnie - 0 ile w ogole - koncepcji supersymetrycznych. Atrakcyjnose idei wynika z bardzo chwalonej matematycznej elegancji formalizmu i z jego niewlj,tpliwej wartosci przy eliminowaniu wielkiej liczby nieskonczonosci w tych modelach KTP, ktore slj, z nilj, zgodne. Przypusemy, ze czytelnik jest zainteresowany skonstruowaniem KTP, ktora bl(dzie wolna od niekontrolowanych nieskonczonosci. W takim przypadku jego zadanie bl(dzie duzo latwiejsze, jesli podejmie trud konstruowania teorii supersymetrycznej! Zasadniczlj, idelj" lezlj,C'l: u podstaw supersymetrii, jest mariai: bozonow i fermionow zgodnie z pewnlj, relacjlj, symetrii. W rozdz. 25.5-8 widzielismy, ze normalne grupy symetrii fizyki cZlj,stek elementarnych dokonujlj, jedynie "obrotow" w zbiorze bozonow alba w zbiorze fermionow, nie przeksztaicajlj, jednak bozonow w fermiony i vice versa. Wlasnie tego dokonuje supersymetria. Przypomnijmy sobie z rozdz. 26.2, ze bozony podlegajlj, regulom komutacji, a fermiony opisywane Slj, regulami antykomutacji. Operator, ktory przeksztaica jedne w drugie, musi sam wykazywae wlasnosci antykomutacji. Jednak operatory, ktore wywodzlj, sil( ze zwyklych grup cilj,glych, Slj, generatorami infinitezymalnymi tych grup i tworzlj, algebrl( Liego; zob. rozdz. 13.6. Elementy zwyklej algebry Liego spelniajlj, reguly komutacji, a nie antykomutacji. Oznacza to, ze potrzebne tu opera tory nie moglj, bye generatorami infinitezymalnymi normalnej grupy cilj,glej, lecz muszlj, bye zwilj,zane z jakims szerszym pojl(ciem - okreslanym jako supergrupa - w ktorym prawa algebry Liego zostajlj, uogolnione tak, zeby pewne generatory rzeczywiscie spelnialy zarowno reguly komutacji, jak i antykomutacji. W rozdz. 26.2, 3 zetknl(lismy sil( juz z takimi wielkosciami, a mianowicie z rownaniami typu
ab ±ba =c, ktore spelniajlj, operatory kreacji, anihilacji i operatory pola KTP (w wyrazeniach typu 'P* cp ± CP'P* = i\1fJI1»I z rozdz. 26.2). Zgodnie z tym konstruuje sil( teraz
839
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
840
superalgebrf Liego, w taki sam sposob jak zwyklq algebry Liego, ale w relacjach definiujqcych dopuszczamy znak (+). W rozdz. 13.6 zauwaiylismy, ze relacje definiujqce algebry Liego majq postae [Ea' Ell] = r;IlEx' gdzie r;1l Sq stalymi strukturalnymi, natomiast [Ea' Ell] = Ea E Il - Ell Ea. Relacje te majq takq postae jak w przedstawionym rownaniu, gdzie miydzy ab i ba wystypuje znak minus. W przypadku superalgebry Liego dopuszczamy takZe znak plus, ktory wystypuje wtedy, gdy zarowno a, jak i b Sq wielkosciami fermionowymi (ale nie wtedy, gdy obie Sq wielkosciami bozonowymi albo gdy jedna z nich jest wielkosciq bozonowq, a druga fermionowq). Dla takich antykomutatorow najczysciej stosujemy zapis [a, bt, a wiyc gdzie [a, b = ab + ba, oprocz zwyklych nawiasow Liego [a, b] = ab - ba. Taki stan rzeczy istotnie wymaga wyjscia poza przyjyte pojycia algebry Liego. Generatory supergrup zwykle przedstawia siy jako wielkosci skonstruowane w szczegolny sposob. Zamiast wychodzie od wielkosci, ktore Sq zwyklymi liczbami rzeczywistymi, za generatory przyjmujemy elementy algebry Grassmanna, ktore, jak pamiytamy z rozdz. 11.6, wykazujq wlasnosci zarowno komutacji, jak i antykomutacji. Zarysy tej konstrukcji poznamy w rozdz. 31.3. Wspolczesnie supergrupy tworzq juz szacownq dziedziny czystej matematyki. Co wiycej, koncepcje supersymetrii mogq bye zastosowane bezposrednio w argumentacji matematycznej i pozwalajq niejednokrotnie uzyskiwae wyniki trudne do osiqgniycia winny sposob6. To jednak nie oznacza, ze supersymetria, w takiej postaci, w jakiej siy jq stosuje, rna jakies bezposrednie odniesienie do fizyki. Istniejq oczywiscie rozne przyklady sytuacji, w ktorych supersymetria odegrala istotnq roly - inspirowala alba potwierdzala wyniki matematyczne 0 istotnym znaczeniu fizycznym7. To tei nie przekonuje mnie, ze supergrupy stanowiq powazny aparat 0 bezposrednim znaczeniu zarowno dla teorii czqstek elementarnych, jak i KTP. Jakie mamy dowody na to, ze supersymetria naprawdy odgrywa jakqs powaznq roly w fizyce czqstek elementarnych? Przypomnijmy sobie model standardowy, opisanyw rozdz. 25, ktorego renormalizowalnose zawdziycza wiele dokladnemu "dostrojeniu" jego parametrow. Zwiqzki te Sq prawidlowo rozumiane w terminach wymogow symetrii SU(3) x SU(2) x U(1)/Z6 (rozdz. 25.7). Wedlug niektorych autorow8 model standardowy wymaga dalszego precyzyjnego dopasowania, zarowno samych tych zwiqzkow, jak i poza nimi. Moglyby w tym pomoc jakies dodatkowe symetrie i tu sugeruje siy, ze roly w osiqgniyciu takiego dopasowania odegralaby supersymetria. Zgodnie z tymi sugestiami koncepcje supersymetrii wykorzystywane Sq w Teoriach Wielkiej Unifikacji (rozdz. 25.8). Czy jednak naprawdy mamy powody, zeby wierzye w takie TWU? N a razie nie sqdzy, zebysmy dysponowali na to dowodami obserwacyjnymi. Zaletq supersymetrii wydaje siy to, ze dostarcza sposobu powiqzania ze sobq bozonow i fermionow, a takZe znacznie ulatwia otrzymanie skonczonych rozwiqzan w supersymetrycznych KTP w przeciwienstwie do niesupersymetrycznych. Przy supersymetrycznym polqczeniu w pary bozonow z fermion ami nieskonczonosci jed-
t
Supersymetria
31.2
nych likwiduj,! nieskonczonosci drugich i praca konstruktorow KTP staje siy znacznie latwiejsza. To jednak nie dowodzi, ze w ten sam sposob dziala Przyroda, ktora moze nas jeszcze zaskoczye wieloma sprytnymi, odmiennymi trikami! Glowna trudnose z supersymetri,! (przynajmniej tak,!, jak,! dzis znamy) polega na tym, ze wymaga ona, aby kazda cz'!stka Przyrody miala swojego "superpartnera" 0 spinie, ktory rozni siy od spinu cz'!stki oryginalnej 0 Ii. W ten sposob partnerem elektronu jest "selektron" 0 spinie 0, "skwark" 0 spinie towarzyszy kazdemu z kwarkow, "fotino" 0 spinie towarzyszy fotonowi, "wino" i "zino" 0 spinie s,! partnerami bozonow W i Z etc. Niestety, nie udalo siy jeszcze znaleze zadnego z tych "supersymetrycznych partnerow". W oficjalnym wyjasnieniu tego stanu rzeczy przyjmujemy, ze w wyniku jakiegos mechanizmu "lamania supersymetrii" - ktorego natura nigdy nie zostala adekwatnie opisana - kazdy z tych suponowanych partnerow supersymetrycznych musi miee wielk,! masy w porownaniu z jego zwyklym partnerem. Postuluje siy, ze masy tych nieobserwowanych cz'!stek powinny bye rZydu tysi,!ca mas protonu lub wiycej. Bynajmniej nie jestem osamotniony, gdy pow,!tpiewam w realnose tych propozycji. Jak siy wydaje, ten postulat glosi, ze sposrod tych dwu "partnerow" bardziej masywny powinien bye partner 0 spinie mniejszym (0 Ii), z wyj'!tkiem przypadkow, gdy obaj partnerzy reprezentuj,! cz'!stki bezmasowe. Przypuszczalnie tylko cz'!stki uwazane za "elementarne" (foton, grawiton, bozony W i Z, gluony, leptony i kwarki) maj,! superpartnerow. W przeciwnym wypadku mielibysmy klopot z cz'!stkami 0 spinie 0, takimi jak piony. Jesli istniejq cz'!stki elementarne 0 spinie 0, np. wci,!z nieodkryty bozon Higgsa, to wedle tej koncepcji musialyby one bye tymi bardziej masywnymi partnerami (albowiem ujemne spiny S,! wykluczone). J esli tak, to dlaczego nie znaleziono jeszcze superpartnera bozonu Higgsa? Co wiycej, zwolennicy zarowno supersymetrii, jak i kosmologii inflacyjnej musz'! wyjasnie, jak do tego obrazu pasuje fenomen skalarnej cz'!stki cp (rozdz. 28.4). Czyms w rodzaju "pozytywnego dowodu" na rzecz supersymetrii jest CZysto dzis cytowany argument zwi'lZany ze sposobem, w jaki trzy podstawowe sHy fizyki cz'!stek elementarnych (silne, slabe i elektromagnetyczne) l'!cz'! siy ze sob,! w jednym, wysokosymetrycznym, jednolitym modelu, ktory rna odpowiadae sytuacji, gdy temperatura WszechSwiata osi,!gala gigantyczne wartosci (rzydu 1028 K), mniej wiycej w 10-39 sekundy (okolo 10000 jednostek Plancka) po Wielkim Wybuchu9 • Taka unifikacja wymaga, zeby sHy wszystkich oddzialywan w tej temperaturze byly takie same. Naleiy pamiytae, ze w normalnych warunkach (aczkolwiek te dwie wielkosci nie mog,! bye bezposrednio porownywane) sHy oddzialywan slabych i silnych rozni,! siy od siebie 0 czynnik rZydu 1013. Argumentuje siy, ze kiedy uwzglydnimy efekty renormalizacji (a na podstawie rozdz. 26.9 wiemy, jak bardzo rozni,! siy ladunki obserwowanych cz'!stek od ich golych ladunkow), wowczas wielkosci tych oddzialywan mog,! osi,!gn,!e takie same wartosci, a w olbrzymich temperaturach te wartosci staj,! siy "gole". (Przypomnijmy pojycie "biegn,!cych stalych sprzyzenia", o ktorym mowilismy pod koniec rozdz. 31.1.) Twierdzi siy, ze bez supersymetrii
841
t
t
t
°
t
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
Rys. 31.1. Zgodnie z pewnymi koncepcjami "wielkiej unifikacji" stale sprzyzenia oddzialywan silnych, slabych i elektromagnetycznych, traktowane jako "biegn,!ce stale sprzyzenia" (zob. przyp. 21 z rozdz. 26 i rozdz. 31.1), w ogromnych temperaturach, rZydu 1028 K (takie temperatury powinny panowac w czasie okolo 10000 jednostek Plancka, tzn. mniej wiycej 10-39 s po Wielkim Wybuchu), powinny osi,!gn,!c identyczne wartosci. Okazuje siy, ze supersymetria jest niezbydna, aby wszystkie te trzy stale sprzyzenia staly siy dokladnie takie same.
wartosci te nie stajq siy dokladnie takie same, lecz r6zniq siy nieznacznie (rys. 31.1); tymczasem gdy tylko wprowadzi siy supersymetriy, nastypuje wspaniala koincydencja tych krzywych i otrzymujemywielkq unifikacjy oddzialywan cZqstek elementarnych! Przypuszczam, ze czytelnik wyczuwa moje niedowierzanie. (Juz w rozdz. 28.3 przedstawilem moje trudnosci z zaakceptowaniem teorii, w kt6rych nastypuje "przywr6cenie symetrii", gdy temperatura WszechSwiata staje siy dostatecznie wysoka.) Mamy tu do czynienia z ogromnymi ekstrapolacjami zawartymi w zbiorze idei wysuwanych jako obserwacyjne potwierdzenie koncepcji supersymetrii. Jednym z zalozen jest przyjycie, ze nic istotnie nowego nie zaszlo w tym gigantycznym przedziale energetycznym miydzy temperaturami rZydu 1028 K a okolo 10 14 K, czyli energiami uzyskiwanymi we wsp6lczesnych akceleratorach. To sarno w sobie jest nierozsqdnq ekstrapolacjq i prawdy m6wiqc nie rozumiem, jak takie argumenty mogq bye uwazane za znaCZqce obserwacyjne wsparcie koncepcji supersymetrii; wyjqtkiem, bye moze, Sq tu fizycy juz przekonani do tej idei.
31.3 Algebra i geometria supersymetrii Powr6emy do teorii supergrawitacji, od kt6rej rozpoczylismy te rozwaZania. Zgodnie z przedstawionq koncepcjq powinien istniee superpartner grawitonu 0 spinie kt6ry proponuje siy nazywae grawitinem. Czqstka ta, podobnie jak grawiton, powinna bye bezmasowa, chyba ze mamy do czynienia z powaznym zlamaniem supersymetrii. Z jakq geometriq zwiqzane jest grawitino? Einstein nauczyl nas, ze grawitacjy opisuje krzywizna czasoprzestrzeni (rozdz. 17.9 i 19.6). Czy z tego wynika, ze grawitino powinno odgrywae podobnq, (super)geometrycZllq roly? Zgodnie z tym wielu teoretyk6w supergrawitacji uwaza, ze zwykle pojycie rozmaitosci (przedstawione w rozdz. 10 i 12) musi zostae uog61nione i na jego miejsce naleiy wprowadzie pojycie superrozmaitosci. Mozemy uwazae, ze pojycie to definiuje siy calkowi-
t,
842
Algebra i geometria supersymetrii
31.3
cie formalnie, uogolniajqc zwykle pojycie wsp6bz~dnyeh w taki sposob, aby uwzglydnie elementy antykomutujqce. W przypadku bowiem normalnych rozmaitosci wspolrZydne Sq na ogolliczbami rzeczywistymi (albo zespolonymi, jesli rozwazamy rozmaitosci zespolone; zob. rozdz. 12.9). W przypadku superrozmaitosci bydq to elementy algebry Grassmanna (rozdz. 11.6). Wiykszose specjalistow badajqcych supergrawitacjy nie zajmuje tak rygorystycznego stanowiska w odniesieniu do charakteru "rozmaitosci", na ktorych funkcjonujq ich supersymetryczne wielkosci polowe (nawet pomijajqc fakt, ze "geometryczna" natura standardowej ogolnej teorii wzglydnosci wymagalaby tego w przypadku supergrawitacji). Dlatego w dalszym opisie nie trzeba wiernie trzymae siy koncepcji "superrozmaitosci". Bydziemy traktowae idee "superalgebry" jako odnOSZqce siy do wielkosci zdefiniowanych na zwyklych rozmaitosciach czasoprzestrzennych. NajprostsZq takq algebry otrzymamy, dolqczajqc pojedynczy element antykomutujqcy S do ciala liczb rzeczywistych R Wielkose S musi antykomutowae sarna ze sobq: ss = -ss, stqd SZ = 0. Kazdy element tej algebry przyjmuje wiyc postae
a +sb, gdzie a i b Sq liczbami rzeczywistymi komutujqcymi z s. Zwroemy uwagy, ze suma i iloczyn takich dwu liczb Sq dane przez
(a + sb) + (e + sd) = (a + e) + s(b + d), (a + sb) (e + sd) = ae + sCad + be). Zauwazmy rowniez, ze jesli zignorujemy wyrazy mnozone przez s, to otrzymamy po prostu reguly zwyklej algebry. Ta sarna zasada odnosi siy do przypadku wielu roznych generatorow supersymetrii, powiedzmy sl" .. , sN' ktore antykomutujq:
SjSj = -s/i' skqd s~= 0, wobec czego ogolny element tej superalgebry rna postae[31.1 l
a + bjs j + bzs z + ... + bNsN+ e12 s js Z+ e13 s j s3 + ... + fjz .. .NSjSZ",SN Jezeli w tej algebrze wezmiemy po prostu "zwyklq" czyse a dowolnego jej elementu (bez zadnych s), wowczas otrzymamy znanq algebry zwyklych liczb (rzeczywistych lub zespolonych). Reszta stanowi "super" czyse tej algebry. Jest ona "nilpotentna" w tym sensie, ze jesli dowolny jej element podniesiemy do wystarczajqco wysokiej potygi, to znika calkowicie[3I.Zl. Czasami dla okreslenia cZysci "normalnej" i "super" uZywa siy fantazyjnych nazw "cialo" i "dusza".
jl! [31.1] Wypisz sumy i iloczyn dwu takich wielkosci w przypadku N = 3. Jak wygl<}da odwrotnosc takiego elementu, gdy a "* O? to [31.2] Udowodnij to. Kt6ra to potyga?
843
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
Jestem przyzwyczajony do tego, by miee jakis "obraz" rozwazanej sytuacji, dlatego takie formalne przedstawienie superalgebr i superrozmaitosci zawsze uwazalem za niesatysfakcjonuj,!ce. Szczt(sliwie sit( sklada, ze istnieje bardziej konwencjonalny, geometryczny sposob traktowania tych wielkosci. Sprobujmy na chwilt( rozwaZye najlatwiejszy przypadek tylko jednego generatora supersymetrii E. Poniewaz jest to wielkose antykomutuj,!ca, mozemy sprobowae potraktowae j,! jak I-formt( e. Nie moze to bye zwykla I-forma, odnosz'!ca sit( do zwyklej przestrzeni - powiedzmy, n-rozmaitosci M - w ktorej pracujemy. Wszystkie normalne formy rozniczkowe w ramach M zostaly juz wykorzystane (zob. rozdz. 12.4). Musimy wyobrazie sobie M jako hiperpowierzchnif? zanurzon'! w (n + 1)-wymiarowej rozmaitosci M' ("hiperpowierzchnia" to podrozmaitose 0 jeden wymiar mniejsza od otaczaj,!cej przestrzeni - zob. przyp. 36 z rozdz. 27), gdzie przez e rozumiemy I-formt( odnosz'!C'! sit( do wit(kszej rozmaitosci M', lecz ograniczon,! do punktow lez,!cych w M. W zasadzie nie interesujemy sit( rozmaitosci,! M', z wyj'!tkiem tych punktow M, gdzie M' daje nam dodatkowy wymiar w kierunku na zewn'!trz M; zob. rys. 31.2a. (Obchodzi nas tylko to, co mozemy okreslie jako najbliisze s,!siedztwo M w M'. To oznacza "pierwsze pochodne" na zewn'!trz M, a wit(c interesuj,! nas takie pojt(cia jak wektory styczne i kostyczne lub przestrzenie, ktore "wskazuj,!" na M' na zewn'!trz M, natomiast nie interesujemy sit( wyzszymi pochodnymi, czyli takim pojt(ciami jak krzywizna w kierunkach na zewn'!trz M.) To, co robimy, jest wci,!z n-wymiarowe, w tym sensie, ze wszystkie nasze wielkosci mog,! bye przedstawione jako funkcje n niezalei:nych wspolrzt(dnych na rozmaitosci M. Wielkosci "duszy" dotycz,! kierunkow na zewn'!trz M i skierowanych do M', podczas gdy wielkosci "ciala" odnosz,! sit( do kierunkow wewn'!trz samej M.
/
(a)
844
(b)
Rys. 31.2. Geometryczne przedstawienie generator6w supersymetrii. (a) W przypadku pojedynczego generatora < traktujemy nasz'! n-rozmaitosc M jako hiperpowierzchniy w (n + 1)-rozmaitosci M', gdzie Ii jest 1-form,! w M' okresion,! na M (i Ii definiuje n-plaszczyzny styczn,! do M, jak na rys. 12.7, rozdz. 12.3). Rozmaitosc M' interesuje nas tylko "do pierwszego rZydu" na M, ale M' dostarcza dodatkowego wymiaru skierowanego na zewn'!trz M. (b) W przypadku N generator6w supersymetrii <"".,
Czasoprzestrzen wyiej wymiarowa
31.4
Ta sytuacja nie zmienia sit( zasadniczo, jesli wprowadzimy N generatorow supersymetrii el' ... , eN' W takim przypadku bt(dziemy uwazali, ze nasza n-rozmaitosc M jest zanurzona w (n + N)-rozmaitosci M', przy czym znowu interesujemy sit( M' jedynie w najblizszym (pierwszym) sqsiedztwie M. Zqdamy teraz, zeby N roznych I-form sondowalo N roznych kierunkow lO od M do M'. Moim zdaniem takie przedstawienie (zawdzit(czamy je roznym autorom, w tym Abhayowi Ashtekarowi, 0 ktorym wit(cej powiemy w rozdz. 32)11 czyni podstawowe idee supersymetrii i superrozmaitosci znacznie jasniejszymi niz zwykle stosowane (i tajemniczo wyglqdajqce) procedury formalne. Zauwaimy przy tym, ze "cialo" odnosi sit( do wielkosci, ktore Sq wylqcznie wlasciwe dla M, natomiast "dusza" zawiera wielkosci 0 skladowych "skierowanych na zewnqtrz" do M'; zob. rys. 31.2b. Nawet jesli przyjmiemy tt( klarownq interpretacjt(, 0 ile zaleiy nam na logicznej spojnosci obrazu geometrycznego, to nadal mamy klopoty z zaakceptowaniem sposobow wykorzystywania tej "superalgebry". Normalna p-forma a w M, gdy p jest liczbq nieparzystq, bt(dzie antykomutowala z generatorem supersymetrii e, jesli iloczyn a z e bt(dzie iloczynem klinowym. W konwencjonalnym podejsciu do superalgebry tego sit( nie praktykuje, rozpatruje sit( natomiast iloczyny, w ktorych e zwykle komutuje z a. Jest to w zasadzie problem zapisu, bo gdy rozpatrujemy iloczyny generatorow supersymetrii z formami, formalnie mozemy rozwazac iloczyny symetryczne, a nie klinowe. Aczkolwiek (formalnie) matematycznie rna to sens, to jednak burzy w pewnym stopniu "jasne" geometryczne przedstawienie, ktore tutaj promujt(. W praktyce w zastosowaniach supersymetrii do "normalnej" fizyki cZqstek elementarnych korzysta sit( z najprostszego przypadku N = 1. Powodem jest to, ze im wit(ksze N, tym wit(cej potrzebujemy superpartnerow, bo kazda czqstka podstawowa naleiy do jakiegos 2N_pletu "partnerow". Tymczasem nawet w najprostszym przypadku pojawia sit( wystarczajqco duzo problemow ze znalezieniem jakichS wspierajqcych danych doswiadczalnych! W kazdym przypadku odpowiednie supergrupy mozemy uwazac za transformacje wprowadzajqce "symetrie wewnt(trzne" (odnoszqce sit( do symetrii wlokien jakiejs wiqzki 5 nad czasoprzestrzeniq; rozdz. 15.1) oraz "obroty", dotyczqce rozszerzenia 5 na jej bezposrednie sqsiedztwo w pewnej przestrzeni 5' 0 N dodatkowych wymiarach.
31.4 Czasoprzestrzen wyzej wymiarowa Teraz, skoro juz mamy nieco lepsze wyobrazenie 0 tym, czym Sq supersymetria i "supergeometria", powrocmy do zagadnienia supergrawitacji. Poczqtkowy entuzjazm, ktory pod koniec lat siedemdziesiqtych XX wieku towarzyszyl powstaniu tej idei, wynikal z nadziei, ze w odroznieniu od standardowej ogolnej teorii wzglt(dnosci Einsteina supergrawitacja moze okazac sit( teoriq renormalizowalnq. W prozniowej teorii Einsteina nierenormalizowalne rozbieznosci pojawiajq sit( na "poziomie 2-pt(tlowym", przy czym slowo "pt(tle" odnosi sit( do rozwinit(cia na diagramy Feynmana, a "liczba Pt(tli" oznacza liczbt( cit(c, jakich trzeba dokonac, aby zredu-
845
31
Supersymetria. wymiary dodatkowe i struny
kowac dany diagram Feynmana do diagramu-drzewa (zob. rozdz. 26.8, w szczegolnosci ostatni akapit i rys. 26.8, a takZe rozdz. 26.9, 10). W obecnosci materii takie rozbieznosci pojawiaj,! siy juz na poziomie I-pytlowym, co nalei:y uwazac za prawdziw,! katastrofy. Tymczasem w supergrawitacji te I-pytlowe osobliwosci, przynajmniej w przypadku materii, na jak,! teoria pozwala, w magiczny sposob redukowaly siy wzajemnie i wielu badaczy mialo nadziejy, ze to sarno moze siy udac na wyzszych poziomach. Niestety, nadzieje okazaly siy plonne i nierenormalizowalne rozbieznosci w teorii supergrawitacji pojawily siy juz na poziomie 2-pytlowym 12 • Zauwazono wtedy, ze byloby lepiej, gdyby wymiar czasoprzestrzeni nie wynosil 4, lecz 11. Pomimo tego nie udalo siy uzyskac w pelni renormalizowalnej wersji supergrawitacji i, jak pokazuj,! nowsze prace13, nie jest to mozliwe. Jak to siy dzieje, ze fizycy mog,! powaznie rozpatrywac mozliwosc, iz czasoprzestrzen moze miec jeszcze inny wymiar niz te cztery, ktorych bezposrednio doswiadczamy (czas i trzy wymiary przestrzenne)? Taki pomysl moze funkcjonowac jako ewiczenie matematyczne, ale rozpatrujemy przeciez teoriy fiZYCZllq, w ktorej czasoprzestrzen jest rzeczywiscie rozumiana jako kombinacja rzeczywistej przestrzeni i czasu. Faktycznie, jak siy 0 tym przekonamy w rozdz. 31.7, teoria strun (zgodnie z obecnym rozumieniem) wymaga, zeby czasoprzestrzen miala wiycej wymiarow niz 4. Wczesniejsze konstrukcje teoretyczne przyjmowaly, ze liczba tych wymiarow wynosi 26, ale po:iniejsze innowacje (uwzglydniaj,!ce koncepcje supersymetrii - zob. rozdz. 31.2) zredukowaly liczby wymiarow czasoprzestrzeni do 10. Zanim odrzucimy te idee jako fantastyczne, powinnismy sobie przypomniec z rozdz. 15.1 niezwykl,! koncepcjy, wysuniyt,! w 1919 roku przez malo znanego (w owym czasie!) polskiego matematyka, Teodora Kaluzy['l, a nastypnie podjyt,! przez szwedzkiego fizyka matematyka Oskara Kleina, z ktorego nazwiskiem zetknylismy siy juz w tym rozdziale. Gdyby wymiary dodatkowe (ponad 4 naturalne wymiary) byly, w pewnym sensie, male, wowczas moglibysmy ich nie zauwazac. Co to znaczy "malywymiar"? Przypomnijmy analogiy do "wyza gumowego" z rys. 15.1. Kiedy patrzymy nan z duzej odleglosci, wowczas w'!z wydaje siy l-wymiarowy, ale gdy przyjrzymy siy z bliska, znajdujemy 2-wymiarow,! powierzchniy. Pomysl polega na tym, ze stawiamy siy w polozeniu istoty zamieszkuj,!cej WszechSwiat "wyza", ktora "nie wie", ze ten wqZ rna jeszcze dodatkowy wymiar, poniewaz rozmiary tej istoty s,! duzo wiyksze niz obwod wyza. Podobnie mozemy myslec 0 "wszechSwiecie wyza" 0 wymiarach 4 + d, w ktorym wszystkie te d wymiary Sq "male" i nie s,! postrzegane przez duzo wiyksze istoty zamieszkuj,!ce ten WszechSwiat; zauwazaj'! one jedynie 4 "duze" wymiary; zob. rys. 31.3.
846
[*] Zob. przypis tlumacza w rozdz. 15.1. Wydaje sit(, ie zwiqzki Theodora Kaluzy z polskosciq Sq wqtpliwe. Racib6rz (Ratibor), w kt6rym Kaluza urodzil sit( w 1885 roku, pozostawal pod panowaniem niemieckim do 1945 roku; w 1919 roku Kaluza pracowal w Kr61ewcu (Konigsberg) i do konca iycia do Polski chyba nawet nigdy nie zajrzal. 0 jego "polskosci" swiadczy wit(c jedynie nazwisko, kt6re w dalszym ciqgu piszemy, zgodnie z oryginalem, jako Kaluza.
Czasoprzestrzen wyzej wymiarowa
31.4
Wymiary dodatkowe
Rys. 31.3. Gumowy w'!z ilustruje typ czasoprzestrzeni Kaluzy-Kleina 0 wiykszej liczbie wymiar6w (zob. rys. 15.1), w kt6rej wymiar odpowiadaj,!cy dlugosci wyza reprezentuje normaln,! 4-czasoprzestrzen, czasoprzestrzen wymiaru obwodu przekroju wyza reprezentuj'! zas "male" (prawdopodobnie w skali Plancka) wymiary dodatkowe. Mozemy sobie wyobrazic, ze duza "istota" zamieszkuj,!ca ten swiat porusza siy, nie zauwazaj'!c w og61e owych dodatkowych wymiar6w wyza.
Jak "male" powinny bye te wymiary w modelu Kaluzy-Kleina lub w jego wspolczesnej, jeszcze wyzej wymiarowej wersji? Sam Klein byl zdania, ze "skala" tego malego dodatkowego wymiaru powinna bye rzt(du odleglosci Plancka, a wit(C 10-35 m. Rozmiar ten (lub nieznacznie wit(kszy) wydaje sit( najbardziej popularny we wspolczesnych konstrukcjach, takich jak wyzej wymiarowa supergrawitacja lub teoria strun. Jest zrozumiale, ze istoty takie jak my postrzegaj,! te wymiary rzeczywiscie jako "male", a nawet mog,! one bye dla nas calkowicie niezauwazalne. Istniej,! nowsze sformulowania teorii strun, w ktorych te dodatkowe wymiary nie S,! az tak male, lecz mog,! nawet miee skalt( jednego milimetra (lub wit(cej). Podejrzewa sit(, ze mozna by znaleie obserwacyjne konsekwencje ich istnienia, przede wszystkim w modyfikacji prawa powszechnego ci,!zenia['1 na takich odleglosciach. Zostaly podjt(te bardzo subtelne eksperymenty sluz,!ce do wykrycia jakichS odstt(pstw od teorii Newtona 14 • Na razie, mimo osi,!gnit(cia odleglosci pol milimetra, zadne takie odstt(pstwa nie zostaly odkryte. Bez wzglt(du na status nowszych pomyslow sugestia wyzszej wymiarowosci czasoprzestrzeni na tym etapie naszych rozwazan nie wydaje sit( bardziej oszalamiaj,!ca niz "sprytny pomysl" Kaluzy-Kleina. Mimo atrakcyjnosci tej idei z matematycznego punktu widzenia musimy zadae sobie pytanie: czy istniej,! wystarczaj,!ce fizyczne powody, aby uwierzye w tak'! konstrukcjt(? W przypadku oryginalnej koncepcji Kaluzy-Kleina chodzilo 0 zaadaptowanie wyzej wymiarowej perspektywy w celu "geometryzacji" teorii elektromagnetyzmu. Jak sobie przypominamy z rozdz. 25.1, jedynymi silami Natury znanymi (i rozumianymi) na pocz'!tku XX wieku byly sily grawitacyjne i elektromagnetyczne. Dzialo sit( to zaraz po pokazaniu przez Einsteina, jak uwzglt(dnie pole grawitacyjne w krzywiinie 4-wymiarowej czasoprzestrzeni. Wydawalo sit( bardzo atrakcyjnym pomyslem, aby rowniei sily elektromagnetyczne potraktowae w podobnie geometryczny sposob. Co wit(cej, byio cos urzekaj,!cego w tym, ze te same "prozniowe rownania Einsteina" -
[*] Autor z reguly uiywa w ksi'lice okreslenia inverse square law - prawo odwrotnego kwadratu, tzn. ie sila przyci'lgania grawitacyjnego dwoch cial jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich odleglosci (przyp. Hum.).
847
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
mianowicie znikanie tensora Ricciego (Rab = 0; zob. rozdz. 19.6) - stosuj~ siy do 5-wymiarowej teorii Kaluzy-Kleina dokladnie w taki sam spos6b jak do standardowej 4-wymiarowej og6lnej teorii wzglydnosci. W teorii 4-wymiarowej r6wnania te odnosz~ siy do stanu proiniowego - tzn. do przypadku, gdy poza polem grawitacyjnym nie wystypuj~ zadne inne pol a fizyczne. Teoria 5-wymiarowa odnosi siy prawie do przypadku, gdy jedynymi silami s~ sily grawitacyjne i elektromagnetyczne, czyli wszystkie znane w tym czasie pol a fizyczne. To "prawie" jest moze uZyte na wyrost. Albowiem najwazniejsze w klasycznej teorii Kaluzy-Kleina jest istnienie pewnej symetrii w tym "malym" wymiarze, w zwi~zku z czym nie rna tu nieskonczenie wielkiej liczby stopni swobody. Spr6bujmy zrozumiee, dlaczego pojawia siy problem dodatkowych stopni swobody. Przypomnijmy sobie dyskusjy z rozdz. 16.7 dotyczqcq nieskonczenie wymiarowej przestrzeni pol w zadanej przestrzeni. W przypadku pola charakteryzujqcego siy k niezaleznymi skladowymi okreslonego na q-wymiarowej powierzchni danych q poczqtkowych ta swoboda wynosi crIoo • W standardowej og6lnej teorii wzglydnosci Einsteina mamy (z nieco skomplikowanych powodow)15 k = 4 i q = 3, wielkose ta 003 wynosi wiyc cd i dokladnie takq samq ilose stopni swobody mamy w teorii Maxwella. W polqczonej teorH Einsteina-Maxwella efektywna liczba skladowych na jeden punkt na powierzchni danych poczqtkowych jest sumq tych wartosci dla kazdego pola oddzielnie, mamy wiyc 4 + 4 = 8 efektywnych niezaleznych skladowych na jeden punkt 3-powierzchni danych poczqtkowych, wobec czego poprawna liczba wszystkich stopni swobody wynosi
848
W przypadku 5-wymiarowej teorii, poddanej jedynie warunkowi plaskosci Ricciego (tzn. Rab = 0; zob. rozdz. 19.6), powierzchnia danych wyjsciowych jest 4-wymiarowa (a wiyc q = 4) i okazuje siy, ze k = 10. To daje nam duzo wiykszq swobody dla pola, 00 1000 \ nii: wymagana wielkose (wyzej podana), nie ze wzglydu na to, ze 10 jest wiyksze od 8 (wartose k), lecz ze wzglydu na to, ze 4 jest wiyksze od 3 (wartose q). Istnieje 0 wiele wiycej funkcji 4-zmiennych niz funkcji 3-zmiennych! W modelu Kaluzy-Kleina redukujemy 4 wymiary do 3 przez nalozenie pewnej symetrii ciqglej Qest to symetria V(l), zob. rozdz. 13.9) w tym malym wymiarze. Musi zatem istniee wektor Killinga (rozdz. 14.7), kt6ry reprezentuje ty symetriy i, rzeczywiscie, 5-przestrzen Kaluzy-Kleina jest Sl wiqzkq B nad zwyklq 4-wymiarowq czasoprzestrzeniq M. To nie wydaje siy zbyt odlegle od zwyklego wiqzkowego sformulowania teorii elektromagnetyzmu, kt6re przedstawilismy w rozdz. 19.4 (i 15.8). Podstawowa r6znica sprowadza siy do tego, ze sarna B rna tutaj przypisanq lorentzowskq, plaskq w sensie Ricciego (pseudo )metryky, zamiast sytuacji, w kt6rej metryky rna tylko czasoprzestrzen M16. Zaskakujqcym faktem w przypadku modelu Kaluzy-Kleina jest to, ze nalozenie warunku plaskosci Ricciego na B, opr6cz symetrii V(l), daje nam prawie kompletny uklad r6wnan teorii Einsteina-Maxwella l7 na M. Potrzebujemy nadto, zeby wektor Killinga mial stalq nieze-
Poczqtkowa teoria strunowa hadron6w
31.5
row'! (w istocie ujemn,!) normy. Ten warunek eliminuje niepoz,!dane pole skalarne i otrzymujemy dokladn,! 4-wymiarow,! teoriy Einsteina-Maxwella! Pomimo calej elegancji sformulowania podejscie Kaluzy-Kleina do teorii Einsteina-Maxwella nie zapewnia zadowalaj,!cego obrazu otaczaj,!cej nas rzeczywistosci. Z cal,! pewnosci,! nie rna zadnych solidnych argument6w fizycznych, kt6re nakazywalyby go przyj,!c. Juz supersymetria rna mocniejsze podstawy dziyki temu, ze redukuje problem nieskonczonosci w KTP. Dlaczego wiyc teorie typu Kaluzy-Kleina ciesz,! siy obecnie tak,! popularnosci,! w poszukiwaniach glybszej teorii zjawisk Przyrody? Gl6wnej motywacji dostarcza teoria strun, kt6ra we wszystkich sp6jnych wersjach w spos6b istotny l,!czy ze sob,! supersymetriy i wyzsze wymiarylB.
31.5 POczCltkowa teoria strunowa hadron6w
Czym wiyc jest teoria strun i na czym polega jej atrakcyjnosc dla wielu wsp6lczesnych teoretyk6w? Powt6rzmy, g16wny pow6d wynika z potrzeby wyeliminowania nieskonczonosci KTP. W tym sensie stanowi ona kontynuacjy idei omawianych w rozdz. 24-26. Jest jednak inny wazny motyw, w spos6b szczeg6lny zwi,!zany z pewnymi zadziwiaj,!cymi obserwacjami w zakresie fizyki hadron6w; zacznijmy zatem od nich. Punktem wyjscia bylo odkrycie pewnych relacji zwi'!zanych z rozpraszaniem hadron6w. W rozdz. 25 wspomnielismy 0 tym, ze wsr6d hadron6w wystypuje wiele "cz,!stek" 0 tak kr6tkim czasie iycia (okolo 1O~23 s), ze z trudem zasluguj,! one na ty nazwy i dlatego okresla siy je czysto mianem rezonans6w. Przypomnijmy teraz, iZ reguly KTP (rozdz. 25.2, 26.6, 8) wymagaj,!, ze aby uzyskac pein,! kwantow,! amplitudy jakiegos procesu fizycznego, naleiy uwzglydnic i dodac do siebie wszystkie mozliwe procesy posrednie. A zatem trzeba wzi,!c pod uwagy wszystkie mozliwe cz'!stki i wszystkie mozliwe rezonanse. Mozemy na przyklad miec do czynienia z takim procesem rozpraszania hadron6w, w kt6rym spotykaj,! siy dwie cz,!stki, Ai B, a po chwili oddzialywania zamieniaj,! siy w pary C i D. Jedna z mozliwosci jest taka, ze A i B najpierw "skladaj,! siy", produkuj,!c pojedyncz,! cz'!stky (rezonans) X, kt6ry prawie natychmiast rozpada siy na pary cz'!stek C i D. Moze byc bardzo wiele takich posrednich cz,!stek X, X', X", ... , i wszystkie te mozliwosci musz'! byc uwzglydnione i do dane do calosci. Diagramy Feynmana kazdego z tych proces6w S,! pokazane na rys. 31.4a. Alternatywna droga polega na tym, ze miydzy cz'!stkami A i B nast,!pi "wymiana" cz'!stki Y, kt6ra spowoduje konwersjy A w C i B w D. Tak jak poprzednio, wymiana moze dokonac siy za posrednictwem cz'!stek Y, Y', Y", ... ; diagramy takich proces6w przedstawia rys. 31.4b. Mozliwa jest trzecia rodzina proces6w tego rodzaju, kt6ra r6zni siy od poprzedniej tym, ze mamy odwrotne przyporz,!dkowanie wychodz,!cych cz'!stek C i D. Ich diagramy ilustruje rys. 31.4c. Istniej,! inne, bardziej skomplikowane sposoby dokonania tej transformacji; pojawiaj,! siy wtedy "pytle zamkniyte" (rys. 31.4d), ale takie procesy "wyzszego rZydu" na razie pominiemy.
849
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
x:,o
C
0
A
B
C
);;i A
0
B (b)
(a)
(e)
(d)
Rys. 31.4. Diagramy Feynmana dla rozpraszania hadron6w ilustruj,! procesy, podczas kt6rych dwie cz'!stki, Ai B, doznaj'!konwersji w par~ C i D. (a) W jednej rodzinie proces6w tego typuA i B I'!cz'! si~, produkuj,!c jedn,! cz,!stk~ (rezonans), kt6ra prawie natychmiast rozpada si~ na cz'!stki C i D. Istnieje wiele mozliwych cz,!stek posrednich X, X', X" ... i wszystkie one daj,! wklad do calkowitej amplitudy. (b) W procesie alternatywnym nast~puje "wymiana" cz'!stki Y (albo Y', Y" ... ), w wyniku kt6rej cz'!stka A przechodzi w C, a BwD. (c) Podobna "wymiana" za posrednictwem cz'!stki Z (albo Z', albo Z", alba ... ), podczas kt6rej A przechodzi w D, natomiast B w C, a wszystkie mozliwosci si~ sumuj'!. Okazuje si~, :i:e w najnizszym rz~dzie wielkosci alternatywy (a), (b) i (c) s,! r6wnowazne. (d) lone sposoby uzyskania tego samego wyniku wymagaj,! uwzgl~dnienia p~tli zamkni~tych.
Aby otrzymae calkowitq amplitudy procesu, za pomocq ktorego para (A, B) dozna konwersji w pary (C, D), powinnismy dodae do siebie wklady pochodzqce ze wszystkich tych mozliwosci. Okazalo siy jednak dose nieoczekiwanie, ze kazda z trzech alternatyw daje ten sam wynik i jest on zasadniczo poprawny_ Gdybysmy musieli dodae do siebie wszystkie trzy odpowiedzi, to otrzymany wynik bylby zbyt duZy. Z jakiegos powodu kazdy zbior diagramow Feynmana, ukazanych na rysunkach 31.4a, b, c, wysumowany oddzielnie, z fizycznego punktu widzenia prezentuje ten sam proces! Z perspektywy techniki diagramow Feynmana "dualnose,,19 tego rodzaju wydaje siy zupelnie niezrozumiala. lednak w 1970 roku amerykanski fizyk pochodzenia japonskiego Yoichiro Nambu 20, opierajqc siy na formule 21 odkrytej w 1968 roku przez mlodego fizyka wloskiego Gabriele Veneziano, doszedl do wniosku, ze warto spojrzee na ten proces z innej perspektywy, w ktorej pojedyncze cZqstki hadronowe nie bydq traktowane jako cZqstki punktowe, lecz jako struny. Obraz struny jest powierzchniq 2-wymiarowq, wobec czego procesy opisywane diagramami Feynmana z rys. 31.4a, b, c, d mogq bye przedstawione jako alternatywne polqczenia "hydrauliczne", odpowiednio w taki sposob jak na rys. 31.5a, b, c, d. Interesujqcy w tym przedstawieniu jest fakt, ze z "perspektywy strunowej" te trzy procesy (a), (b) i (c), ktore wydawaly siy rozne z perspektywy diagramow Feynmana, Sq teraz topologicznie rownowazne i mogq bye traktowane jako rozne sposoby ujycia tego samego procesu. W ten sposob "obraz strunowy" pozwala nadae sens pewnemu zadziwiajqcemu faktowi fizyki hadronow.
850
)(XJ(f;1{ (a)
(b)
(e)
(d)
Rys. 31.5. Obraz strunowy odpowiednich proces6w z rys. 31.4 pozwala zauwa:i:ye r6wnowaznose proces6w (a), (b) i (c), albowiem S,! to topologicznie r6wnowaine obrazy, kt6re mog,! bye przeksztalcone jeden w drugi. (d) Procesy wyzszego rz~du wymagaj,! bardziej skomplikowanej topologii, w kt6rej genus topologiczny odpowiada liczbie p~tli (pOT. rys. 8.9).
Poczqtkowa teoria strunowa hadronow
31.5
j
Rys. 31.6. Proste "trajektorie Reggego" dla rezonans6w 0 rosnl!cym spin ie, wykreslone w funkcji kwadratu masy. Wyjasnienie tego faktu zapewnia model struny spryZystej.
Ta uwaga rna charakter jakosciowy, ale koncepcja struny sugeruje rownieZ model fizyczny pozwalaj'!cy na wyprowadzenie formuly Veneziano. W dodatku model strunowy - w nim struna zachowuje si~ jak malenka gumka, ktorej napi~ cie rosnie proporcjonalnie do jej rozci,!gni~cia - pozwala wyjasnie inny ciekawy fakt fizyki hadronow, a mianowicie prostoliniowose trajektorii Reggego. Trajektorie Reggego dla konkretnej klasy hadronow s,! liniami, jakie otrzymujemy, wykreslaj,!c wartose spinu w funkcji kwadratu masy hadronu. Okazuj,! si~ one liniami prostymi; przykiad przedstawia rys. 31.6. 0 ile wiem, nie istnieje alternatywne wyjasnienie tego zadziwiaj,!cego faktu dotycz,!cego hadronow22 • Ponadto model strunowy pozwala Zywie niepozbawion,! racji nadziej~, ze w jego ramach mozna zbudowae skonczon,! teori~ fizyki hadronow. Mowi,!c z grubsza, sluZy on do "wygladzenia" rozbieznosci (uItrafioletowych) w konwencjonalnym podejsciu diagramow Feynmana (rozdz. 26.8). Mozemy myslee, ze te rozbieznosci S,! wynikiem efektow na bardzo malych odleglosciach, gdy cz'!stki punktowe zblizaj,! si~ coraz bardziej do siebie, bez ograniczenia. Tymczasem struny nie S,! cz'!stkami punktowymi i ta ich cecha pozwala omin,!e problem. W standardowej technice diagramow Feynmana irodtem klopotow z osobliwosciami S,! p~tle zamkni~te. W teorii strun, jak to ilustruje rys. 31.5d - ktory jest strunow'! wersj,! rys. 31.4d - p~tle zamkni~te zwi,!zane S,! z powierzchniami 0 wyzszej topologii. W wyniku tego powinnismy otrzymae wielkosci skonczone, a nie rozbiezne calki, jak w teorii diagramow Feynmana. Co wi~cej, obraz pojedynczej struny moze odpowiadae wielu roznym diagramom Feynmana, a to daje wi~ksz,! szans~ na uzyskanie ogolnego wyniku - ktory powinien bye skonczony - a nie sumy niefizycznych wkladow, z ktorych kazdy z osobna moze bye rozbieZny, by na koncu redukowae si~ nawzajem. W obrazie strun rozne cz'!stki mozna rowniez uwzgl~dnie po prostu jako rozne mody wibracyjne strun. Wreszcie 2-wymiarowe czasoprzestrzenie strun maj,! t~ dodatkow'! cech~, ze wolno traktowae je jak powierzchnie Riemanna, ktore, 0 ile pami~tamy z rozdz. 8, odznaczaj,! si~ niezwykle bogatymi geometrycznymi i analitycznymi wlasnosciami (dzi~ki ktorym notabene dostalismy znakomit'! formul~ Veneziano). Tutaj wtasnie dziaia magia liczb zespolonych, ktora moze stanowie istotn'! cz~se projektu, wedlug jakiego Natura skonstruowala kwantowy poziom rzeczywistosci. Jest to niew'!tpliwie najbardziej elegancki obraz matematyczny procesow zachodz'!cych na poziomie gl~bszym, niz to umozliwia zwykly obraz cz'!stek elementarnych. Kiedy po raz pierwszy uslyszalem 0 takiej mozliwosci (okolo 1970 roku, a mowil mi 0 tym Leonard Susskind, jeden z pionierow teorii strun), bylem
851
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
urzeczony piyknem i potencjalnym bogactwem tych idei. Wydawalo mi siy, ze jest to zarowno ekscytuj~ce matematycznie, jak i bezposrednio zwillzane z waznll dziedzinll fizyki. Moje glowne zainteresowania w tym czasie koncentrowaly siy na teorii twistorow (do ktorych przejdziemy w rozdz. 33) i uwazalem, ze koniecznie powinienem znaleze jakis pomost miydzy tym, co robilem, a owymi niezwykle obiecujllcymi ide ami. Teoria twistorow czyni podstawowy u:i:ytek ze struktur zespolonych (holomorficznych), a wlasnie w podstawach teorii strun, jak siy wydaje, dostrzegamy, jak takie struktury kontrolujll fizyczne zachowania za posrednictwem powierzchni Riemanna, ktore sll de facto krzywymi zespolonymi23. Co ciekawe, wydaje siy, ze pewne ostatnie badania Wittena (2003) realizujll wczesniejsze oczekiwania. W rozdz. 31.18 zajmy siy tymi fascynujllcymi nowymi koncepcjami, ktore nie posiugujll siy pojyciem wyzej wymiarowej czasoprzestrzeni. Nadal jednak nie dajll nam nowej, spojnej teorii strun, dlatego zanim przejdy dalej, sprobujy przedstawie wlasne uwagi na temat czegos, co mozna by nazwae jej "glownym nurtem".
31.6 W kierunku strunowej teorii swiata Jak te kapitalne koncepcje przesziy proby czasu, uwzglydniajllc to wszystko, co zdarzylo siy w cillgu minionych ponad 30 lat? Czy ich rozwoj zaspokoil POczlltkowe oczekiwania, a moze nawet je przeszedl? Na tak postawione pytania niewlltpliwie wielu badaczy odpowie w sposob diametralnie rozny. Szczegolnie pytania 0 teoriy strun wywolujll niekiedy niezwykle emocjonalne reakcje. Dla jej najbardziej odd anych zwolennikow teoria strun (z pozniejszymi mutacjami) jest fizykll XXI wieku i przedstawia rewolucjy w fizycznym mysleniu, co najmniej porownywalnll, a moze nawet wiykszll od ogolnej teorii wzglydnosci czy mechaniki kwantowej. Zdaniem zas jej najbardziej surowych krytykow, teoria strun z punktu widzenia fizyki nie osillgnyia dotlld niczego i jest niewielka szansa, ze moze bydzie wykorzystana w fizyce przyszlosci. Uwazam za niemozliwe, abym mogl w tej polemice bye bezstronnym, ale postaram siy precyzyjnie przedstawie racje, dla ktorych zajlliem takie a nie inne stanowisko. W tym miejscu, podobnie jak przy poprzednich okazjach, muszy ostrzec czytelnika, ze z moimi pogilldami nie zgodzi siy wielu waznych i niezwykle utalentowanych fizykow teoretykow. Nie mogy jednak przedstawiae rzeczy inaczej, niz sam je oceniam. Poniewaz moje pogilldy bydll wysoce krytyczne w odniesieniu do bardzo wielu aspektow aktualnego stanu teorii strun, dlatego dla rownowagi przedstawiy najpierw stanowiska odmienne. Przytoczy tu wypowiedzi dwoch sposrod glownych autorytetow w tej dziedzinie. Jednym z nich jest Michael Green 24 z Uniwersytetu w Cambridge:
852
"Z chwilq gdy zapoznasz siC( z teoriq strun i zdasz sobie sprawC(, ze prawie wszystkie osiqgniC(cia fizyki, dokonane w ciqgu ostatnich stu lat, wynikajq z takq niezmiernq elegancjq - z jednego prostego punktu wyjsciowego, wow-
W kierunku strunowej teorii swiata
31.6
czas zrozumiesz, na czym polega zniewalajqcy urok tej teorii, kt6ra stanowi klas~ samq dla siebie".
Znana jest tez wypowiedi Edwarda Wittena z Institute for Advanced Study w Princeton 25 : "Ktos juz powiedziat [Danielle Amati], ze teoria strun jest czysciq fizyki dwudziestego pierwszego wieku, jaka przez przypadek trafita do wieku dwudziestego".
Popularne ujycie teorii strun, bardzo przystypne, wymowne i entuzjastyczne, lecz niewchodzqce zbyt glyboko w idee matematyczne, znaleic mozna w monografii Greene'a (1999)26. Aby zaprezentowac spojny, nawet jesli nie calkiem bezstronny, poglqd na teoriy strun, przedstawiy w historycznej perspektywie, jak te idee odbily siy na moim wlasnym sposobie myslenia. Postaram siy wiyc ukazac nie tylko kolejne etapy rozwoju, ale takZe moje osobiste na nie reakcje. Trudno chlodno i beznamiytnie ocenic teoriy strun z tego powodu, ze zarowno wybor kierunkow jej rozwoju, jak i poparcie dla niej wywodzi siy prawie calkowicie ze wzglydow matematycznej elegancji i estetyki. Jestem przekonany, ze konieczne jest zarejestrowanie kolejnych zakrytow teorii i pokazanie, ze prawie kai:dy nowy krok coraz bardziej wyprowadzal nas poza pole ustalonych doswiadczalnie faktow. Pomimo ze teoria strun wziyla swoj poczqtek od analizy wynikow eksperymentalnych w fizyce hadronow, nastypnie od tych poczqtkow zdecydowanie odeszla, w bardzo niewielkim stopniu kierujqC siy dalej argumentami rodem ze swiata fizycznego. Wyobraimy sobie turysty, ktory rna ambitny zamiar odnalezienia konkretnej budowli w ogromnym, ale zupelnie mu nieznanym miescie. Ulice nie majq nazw (albo majq, ale turysta nie jest w stanie ich odczytac), nie rna map, a zachmurzone niebo nie pozwala mu nawet ustalic, gdzie jest polnoc, gdzie poludnie. W ktorqkolwiek strony pojdzie, dochodzi do rozwidlenia drog. Czy powinien pojsc w lewo, czy w prawo, a moze tym malym atrakcyjnym pasazem lekko na ukos? Skrzyzowania skomplikowane, drogi prawie nigdy nie Sq proste. Czasami trafia na slepy zaulek, wtedy musi zawracac i znowu rna dylemat, w ktorq strony isc. Nie rna kogo zapytac 0 drogy, poza tym nie zna jyzyka tubylcow. Turysta wie przynajmniej tyle, ze budowla, ktorej poszukuje, wyroznia siy wykwintnq elegancjq i otacza jq przepiykny ogrod. Dlatego przeciei: jej szuka. A niejedna ulica, ktorq przemierza, odznacza siy wyjqtkowo atrakcyjnq architekturq i piyknymi podworkami, znakomicie przyozdobionymi krzewami i girl and ami kwiatow (ktore czasami okazujq siy plastikowe). Jedynymi wskazowkami, jakimi dysponuje nasz wydrownik, jest atrakcyjny wyglqd okolicy, jego wyczucie architektonicznej logiki, stylu lub wyobrazenie o strukturze urbanistycznej miasta. Bye moze lepszq analogiq bydzie, jesli ty, czytelniku, wyobrazisz sobie, ze sam jeste§ tym turystq, ale podrozujesz w wiykszej grupie, prowadzonej przez przewodnika 0 imponujqcej inteligencji, wiedzy i wyczuciu - jedynym klopotem jest
853
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
854
fakt, ze przewodnik nie zna miasta ani jyzyka jego mieszkancow. Moze ci siy wydawac, ze rna on lepsz,! orientacjy niz ty, a z pewnosci,! jego profesjonalne doswiadczenie pozwala mu oceniac sytuacjy szybciej niz tobie. Czasami dziyki swojemu wyczuciu odnajduje budynki 0 szczegolnej urodzie. Jego kryteria wyboru nie rozni,! siy w zasadzie od twoich wlasnych. Jesli zdecydujesz siy isc razem z grup,!, to przynajmniej bydziesz cieszyl siy towarzystwem innych, mozliwosci,! wspolnego podziwiania odkrywanej architektury i dzielenia siy emocj,! dochodzenia do celu waszej podroi;y. Nawet gdy osi,!gniycie celu nie uda siy, mozesz czerpac radosc z poszukiwania. A moze wolisz szukac sam, poniewaz podejrzewasz, ze przewodnik wcale nie wie lepiej od ciebie, jak odnaleic cel waszej podroi;y? Kazde rozwidlenie drog to los szczyscia i wielokrotnie juz miales wraZenie, ze twoja intuicja jest lepsza od intuicji przewodnika ... Oczywiscie, w poprzednich rozdzialach wielokrotnie spotkalismy siy z sytuacjami, w ktorych wie1cy fizycy demonstrowali potygy szczegolnej intuicji, wynikaj,!cej czysto ze wzglydow wyl,!cznie matematycznej natury. Jednym z najbardziej imponuj,!cych przykladow bylo z pewnosci,! odkrycie przez Diraca rownania elektronu, ktore omawialismy w rozdz. 24.7. U rok tego dokonania polegal przede wszystkim na tym, ze byl to majestatyczny krok w nieznane, inspirowany za to solidnym matematycznym zrozumieniem faktow kwantowomechanicznych ustalonych w sposob eksperymentalny. Innym krokiem tego samego rodzaju byl postulat Diraca zakladaj,!CY istnienie antycz'!stki elektronu. Te odkrycia jednak wprowadzone zostaly z wielk,! ostroznosci,!, a nastypnie potwierdzone w eksperymentach. Rowniez ogolna teo ria wzglydnosci Einsteina byla rezultatem estetycznych matematycznych rozwazan, a jej sila niew'!tpliwie zawdziycza wiele piyknej matematycznej strukturze. Gdy Einstein formulowal j,! po raz pierwszy, nie wynikalo to z koniecznosci wytlumaczenia jakichS waznych obserwacji, choc przeciez nie mozna powiedziec, ze dociekania Einsteina spowodowane byly poszukiwaniem bardziej eleganckich sformulowan teorii. Jego motywy mialy glownie fizyczn,! natury, podobnie jak przekonanie, ze dla zrozumienia zjawiska grawitacji centralne znaczenie rna zasada rownowaznosci (rozdz. 17.4). Rozwoj teorii strun, przeciwnie, byl prawie wyl,!cznie motywowany wzglydami matematycznymi. Muszy jednak od razu zaznaczyc, ze nie jest to sarno w sobie niczym nagannym. Wszystkie skuteczne teorie fizyczne maj,! solidn,! matematyczn,! konstrukcjy. Spojnosc matematyczna jest istotnie kluczowym kryterium poprawnosci teorii fizycznej, jesli ta teoria rna w ogole miec sens. Z chwil,! gdy struktura matematyczna teorii zostaje ustalona, wowczas scisle matematyczne wnioski maj,! potyzne implikacje w otaczaj'!cym nas swiecie. (Imponuj,!cymi przykladami S,! formalizmy lagranzowski i hamiltonowski fizyki klasycznej, omawiane w rozdz. 20.) Trudnosci powstaj,!, gdy w celu pokonania jakiejs niespojnosci musimy zrewidowac dotychczasow'! konstrukcjy i wybor drogi rozwi,!zania problemu moze zalezec od szczegolnej matematycznej wiedzy i estetycznych preferencji teoretyka. Bardzo CZysto proponowana zmiana bydzie po prostu pomyslem, nawet moze "wspania-
Strunowe motywacje dla dodatkowych wymiarow czasoprzestrzeni
31.7
lym pomyslem", ale wci,rl niewolnym odjakiejs matematycznej niesp6jnosci, chociaz moze innej od tej, kt6rej usuni«cie jest naszym zamiarem. W takim razie konieczne mog~ bye dalsze zmiany i tak dalej. Jesli tych zmian jest zbyt wiele, to nasze szanse na wlasciwy wyb6r kierunku staj~ si« nadzwyczaj male.
31.7 Strunowe motywacje dla dodatkowych wymiar6w czasoprzestrzeni Dose wczesnie w teorii strun pojawila si« powazna anomalia kwantowa. Przypomnijmy z rozdz. 30.2, ze anomalie pojawiaj~ si« wtedy, gdy klasyczne reguly komutacji, wyraZaj~ce jak~s klasyczn~ symetri« lub wtasnose niezmienniczosci, nie mog~ bye w petni realizowane przez komutatory kwantowe, w zwi~zku z czym teoria kwantowa traci pewn~ zalet« teorii klasycznej, kt6ra moze bye uwazana za istotn~. W przypadku teorii strun anomalia, 0 kt6rej mowa, dotyczy niezmienniczosci opisu struny ze wzgl«du na parametryzacj«. Istnienie tej anomalii prowadzilo do konsekwencji, kt6re uznano za katastrofalne. Okazalo si« jednak27, ze anomalia ta znika, jesli liczb« wymiar6w czasoprzestrzeni zwi«kszye z 4 do 2628. Zgodnie z tym, wydaje si«, ze teoria strun moze bye kwantowomechanicznie sp6jna tylko w czasoprzestrzeni 0 26 wymiarach. Moja reakcja na to odkrycie sprowadzala si« do tego, ze musi bye jakis inny spos6b omini«cia tej trudnosci, chociaz nigdy nie analizowalem problemu na tyle szczeg610wo, zeby zdae sobie spraw« z sily argumentacji, jaka kryje si« za tym wnioskiem 0 ,,26 wymiarach". Podejrzewam, ze wielu naukowc6w mialo podobne odczucia, poniewaz w konsekwencji tej zmiany teoria stracila duzo ze swojej wczesniejszej popularnosci. Moje powody do odrzucenia koncepcji 26-wymiarowego modelu Wszechswiata mialy zr6dlo jednak gl6wnie w teorii twistor6w. Jak przekonamy si« w rozdz. 33.2, 4, 10, istotn~ implikacj~ mojego stanowiska "twistorowego" jest to, ze czasoprzestrzen charakteryzuje si« rzeczywiscie wymiarami, kt6rych bezposrednio doswiadczamy: jednym wymiarem czasowym i trzema wymiarami przestrzennymi (a wi«c 1 + 3 wymiary). Opr6cz problemu, co pocz~e z tymi dodatkowymi wymiarami - z kt6rymi przypuszczalnie mozna rozprawie si« za pomocq jakiejs recepty typu Kaluzy-Kleina - w stosunkowo latwo wygl~daj~cym strunowym modelu hadron6w pojawila si« inna trudnose, kt6r~ stanowi zachowanie tachionowe (rozchodzenie si« z szybkosciami wi«kszymi od pr«dkosci swiatla). R6wniez rosn~ce sukcesy modelu standardowego, jakie opisywalismy w rozdz. 25, spowodowaly, ze zmalalo zainteresowanie fizyk6w radykalnymi koncepcjami, takimi jak modele strunowe. Zadziwiaj~ce aspekty fizyki hadron6w, kt6re naprowadzily Veneziano, Nambu i innych na pomysl strun, znalazty (cz«sciowo przynajrnniej) alternatywne wyjasnienie w formalizmie kwarkowo-gluonowym. W szczeg6lnosci eksperymenty sugerowaly, ze jednak natura element6w buduj~cych hadrony rna charakter "punktowy", co byto zgodne z obrazem kwar-
855
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
kowym - jaki wynikal z modelu standardowego - a nie z obrazem strunowyrn, takim przynajmniej, jaki wowczas siy wylanial. Typowy rozmiar pytli strunowej winien bye zwiqzany z wielkosciq strunowego sprzyzenia i w pierwotnej teorii strun hadronowych (przy napiyciu struny odpowiadajqcemu stalej sprzyzenia oddzialywan silnych) powinien bye rZydu 1O~15 m. Taki rozmiar w protonowej skali trudno uznae za "punktowy", albowiem jest porownywalny z rozmiarami samego protonu. Po mniej wiycej dekadzie, podczas ktorej zainteresowanie strunami znacznie spadlo, nastqpilo wydarzenie nazywane przez niektorych "pierwszq rewolucjq superstrunowq". W 1984 roku Michael Green i John Schwarz zaproponowali nowy schemat (oparty na wczesniejszych sugestiach Schwarza i Joela Scherka), w ktorym do teorii strun wprowadzili formalizm supersymetrii (zamieniajqc wiyc "zwykle struny" na "superstruny"), co pozwolilo na zredukowanie liczby wyrniarow czasoprzestrzeni29 z 26 do 10. W ten sposob zlikwidowany zostal "problem tachionowy", 0 ktorym byla mowa. Ponadto dziyki radykalnej zmianie skali i charakteru napiycia struny mozna teraz bylo traktowae teoriy strun jako przede wszystkim kwantowq teoriy grawitacji, a nie jako teoriy silnych oddzialywan. Juz wczesniej zdawano sobie spraW y, ze powinna istniee bezmasowa cZqstka/pole 0 spinie 2, zwiqzana z wibracyjnym modem strun. Niestety, ku zakiopotaniu zwolennikow hadronowej wersji teorii strun nie udalo siy znaleie hadronowej czqstki tego rodzaju. Tymczasem w nowej teorii, przy duzo wiykszym napiyciu struny, mozna bylo zidentyfikowae to bezmasowe pole jako pole grawitacyjne. Teraz typowy rozmiar pytli strunowej stawal siy wielkosciq rZydu dlugosci Plancka, a wiyc okolo 20 rZydow wielkosci mniejszy niZ poprzednio, i w skali hadronowej mogl bye uwazany za punktowy. Wreszcie powinienem wspomniee 0 innej roznicy, natury technicznej, ktora wiqze siy z nowq "grawitacyjnq skalq" strun (nie jest jednak podkreslana w popularnych opracowaniach). Poczqtkowo rozwazane struny hadronowe byly niczym gum owe tasiemki, ktorych napiycie rosnie wraz z rozciqganiem i w proporcji do wielkosci tego rozciqgniycia30 • Tymczasem nowe superstruny 0 skali grawitacyjnej charakteryzujq siy stalym napiyciem 1ic/a', niezaleznym od wielkosci rozciqgniycia, natomiast a' jest bardzo malq liczbq (miarq powierzchni) i nosi nazwy stalej strunowej. Pod tym wzglydem oryginalna struna hadronowa bardziej przypominala obiekt znany ze zwyklej fizyki, w ktorej jej klasycina wersja rna pelny sens fizyczny. (Klasyczna wersja nowej superstruny, 0 stalym napiyciu, prawie natychmiast skurczylaby siy do osobliwego obiektu 0 rozmiarze zero!)
31.8 Teoria strun jako kwantowa teoria grawitacji?
856
Pojawienie siy tej koncepcji calkowicie zmienilo ogolny stosunek do teorii strun i natychmiast zjednalo jej ogromnq popularnose. Pojawily siy glosy, ze teoria strun przedstawia juz "calkowicie spojnq kwantowq teoriy grawitacji", w ktorej nierenormalizowalnose ogolnej teorii wzglydnosci (zob. rozdz. 31.1) zostala zastqpiona calkowicie skonczonq strunowq teoriq kwantowej grawitacW 1• Niektorzy zwolennicy teorii strun,
Teoria strun jako kwantowa teoria grawitacji?
31.8
przyparci do muru, zgodzq si(( przyznae, ze nie wszystkie twierdzenia 0 skonczonosci zostaly udowodnione, ale b((d q utrzymywae, ze Sq to problemy bez wi((kszego znaczenia. Pewien wybitny przedstawiciel tego kierunku powiedzial nawee 2 : "Teoria strun jest ponad wszelkq wqtpliwosc teoriq skonczonq, tak ze gdyby ktos rnial zarniar opublikowac tego dow6d, to nie bylbym tym zainteresowany nawet na tyle, zeby go przeczytac".
Co wi((cej, istnieje tendencja, aby uwazae strunowq teori(( grawitacji kwantowej za jedynq drog((, co ilustruje nast((pujqcy komentarz Josepha Polchinskiego (1999) na temat innych podejse do kwantowej teorii grawitacji: ,,[ ... ] nie rna alternatywy [... ] wszystkie dobre pornysly Sq cz~sciq teorii strun".
Podejrzewam, ze mocne przekonanie 0 skonczonosci teorii (ale zob. rozdz. 31.13) nadalo szczegolne tempo jej rozwojowi. Istotnie, gdyby proklamacje oodkryciu tak dlugo poszukiwanej "grawitacji kwantowej" - tego brakujqcego ogniwa mi((dzy dwiema wielkimi rewolucjami fizyki dwudziestowiecznej - zostaly potwierdzone, wowczas mielibysmy peine prawo uznae teori(( strun nie tylko za wielkie intelektualne osiqgniC(cie poprzedniego stulecia, ale tak:ie za rewolucyjny przelorn otwierajqcy nowe perspektywy rozwoju fizyki. Vfam, ze wielu wspolczesnych specjalistow od teorii strun uzna za wielkq przesad(( twierdzenie, iz problem kwantowej grawitacji zostal calkowicie "rozwiqzany" przez teori(( strun lat osiemdziesiqtych XX wieku. Obecnie badacze ci mogq czue siC( znacznie bardziej komfortowo, poniewaz teo ria strun postqpila do przodu i rozni si(( znacznie od tej sprzed 1984 roku, chociaz b((d q oni prawdopodobnie uwazali, ze jej wersja z 1984 roku stanowi najbardziej imponujqcy krok w kierunku zbudowania kwantowej teorii grawitacji. A jakie jest moje stanowisko w odniesieniu do tych twierdzen? Obawiam si((, ze podobnie jak stanowisko wi((kszosci moich kolegow - bardzo negatywne. Bez wqtpienia taka reakcja jest wyrazem pewnej roznicy kulturowej miC(dzy tymi, ktorzy jakja i moi koledzy, budowali swoj swiatopoglqd na glC(bokim zainteresowaniu ogoInq teoriq wzgJ((dnosci Einsteina, a tymi, ktorzy wyrastali bardziej z rdzenia KTP. Glownym efektem tej roznicy jest nasz poglqd na to, co stanowi centralne zagadnienie, ktorego rozwiqzaniem bylaby kwantowa grawitacja. Ci, ktorzy ujmujq to zagadnienie od strony KTP, majq sklonnose traktowania jako glowny problemu renormalizowalnosci - albo, bardziej poprawnie, sk01iczonosci teorii. Z kolei my, "relatywisci", uwa:iamy, ze sednem sprawy jest gl((boki konflikt poj((ciowy mi((dzy zasadami mechaniki kwantowej a zasadami ogolnej teorii wzgl((dnosci i ze dopiero rozwiqzanie tego konfliktu umozliwi rozpocz((cie budowy fizyki przyszlosci. Nasza negatywna reakcja wobec twardych poglqdow gloszonych przez specjalistow od teorii strun nie jest spowodowana krytyk q jakichs szczegolow konstrukcyjnych ani jakqs ogolnq niewiarq (aczkolwiek sprawy tego rodzaju byly rowniez wa:ine), lecz przede wszystkim frustracjq faktem, ze problemow, jakie uwazalismy za centralne dla zagadnienia relacji miC(dzy grawitacjq a fizykq kwantowq, oni w ogole nie traktowali jako istotne!
857
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
Pewne aspekty tych problemaw rozwazalismy w rozdz. 30.11, 0 innych powiemy w rozdz. 33.2. Trzeba zwracie uwagy, ze zagadnienia tam omawiane dotykaj,!: za1edwie powierzchni glybokiego konfliktu, jaki wywoluje zasada ogalnej kowariantnosci w relacji33 z KTP (rozdz. 19.6). Pozostaje tez podstawowe pytanie: jak faktycznie wygl,!:da "geometria kwantowej czasoprzestrzeni"? Teoria strun operuje po prostu gladk,!: "klasyczn,!:" czasoprzestrzeni'!: tia, ktara nawet nie jest czula na obecnose strun - poniewaz struna w stanie podstawowym nie niesie zadnej energii, wobec czego bezposrednio "nie zakrzywia" czasoprzestrzeni. Wiyksza czyse spolecznosci relatywistaw oczekiwalaby, ze prawdziwa "geometria kwantowa" zawiera jakies elementy "dyskretnosci", ana pewno glyboko rozni siy od klasycznego obrazu gladkiej rozmaitosci. o tych powaznych i trudnych problemach, jak tei 0 pewnych podejsciach do ich rozwi,!:zania, powiemy wiycej w nastypnych dwu rozdzialach. W szczegolnosci "pytle", ktarymi zajmiemy siy w kolejnym rozdziale (rozdz. 32.4), aczkolwiek przypominaj,!: nieco struny, rozni,!: siy od nich pod wieloma wzglydami. Przede wszystkim wplywaj,!: one zasadniczo na geometriy czasoprzestrzeni, ktora de facto jest kreowana przez obecnose tych pytli, a metryka przestrzenna koncentruje siy na nich calkowicie i znika poza nimi. Inaczej jest w teorii strun, w ktorej zaklada siy obecnose gladkiej czasoprzestrzeni jako ich tia, a ograniczenia nakladane na jej metryky tylko posrednio zwi'l:Zane S,!: z obecnosci,!: strun, w sposob, 0 ktorym powiemy wiycej w rozdz. 31.9. Na razie jednak odlozmy na bok kwestiy, czy teoria strun odnosi siy do istotnych zagadnien relacji miydzy teori,!: kwantow,!: a grawitacj,!:. Zamiast tego zajmijmy siy pytaniem, czy uzasadnione s,!: pretensje jej zwolennikaw, ze dysponuj,!: juz skonczon'!: kwantow,!: teori,!: grawitacji. Czy naprawdy? Sprabujy podj,!:e ten temat w tym i piyciu nastypnych rozdzialach. Bye moze jednym z elementow konfliktu jest kwestia jyzyka. Adwokaci teorii strun twierdz,!:, ze otrzymali juz "kwantow'!: teoriy grawitacji", a nie ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina. COZ jednak rozumiej,!: przez termin "grawitacja", jesli nie wspaniale potwierdzon,!: ogaln,!: teoriy wzglydnosci? Przypomnijmy najpierw, ze czasoprzestrzen specjalistaw od teorii strun rna obecnie 10 wymiarow (albo, jak przekonamy siy w rozdz. 31.14,prawie 10 wymiaraw - ale nie przejmujmy siy na razie t'!: subtelnosci,!:!) Czym jest "grawitacja" w 10 wymiarach? No coz, rachunek tensorowy dziala rownie dobrze w 10 wymiarach, jak w czterech (zob. rozdz. 14.4, 8), mozemy wiyc bez klopotu skonstruowae odpowiedni tensor Ricciego R ab • Jak stwierdzilismy w rozdz. 19.6, warunkiem istnienia proini w normalnej teorii grawitacji Einsteina jest plaskose Ricciego, a zatem mozemy domyslae siy, iz "rownanie prozni" grawitacyjnej w teorii strun wygl,!:da tak sarno, a mianowicie:
858
z t'!: tylko razniC'!:, ze teraz jest to rownanie w 10 wymiarach. Moglibysmy rawniez oczekiwae, ze przez analogiy do 5-wymiarowej teorii Kaluzy-Kleina, w ktorej ,,5-proznia" obejmuje zarowno grawitacjy, jak i elektromagnetyzm, to rownanie
Dynamika strun
31.9
w 10 wymiarach, a wiyc ,,1O-proznia", obejmuje zarowno grawitacjy, jak i wszystkie pol a niegrawitacyjne. Takie jest wiyc, przynajmniej w przybliZeniu, zasadnicze stanowisko specjalistow zajmujqcych siy teoriq strun. Scislej uWaZajq oni plaskose Ricciego za implikacjy pierwszego wyrazu rozwiniycia w nieskonczony szereg potygowy w stalej a', podczas gdy wyrazy wyzszych rZydow dajq "poprawki kwantowe". (Wspolczynnik przy (aT zawieralby wyzsze pochodne tensorow krzywizny i wyrazenia wielomianowe tych tensorow.) Ponadto w takiej analizie pojawiajq siy rowniez inne pola oprocz metryki 1O-wymiarowej czasoprzestrzeni. Jednym z nich jest antysymetryczne pole tensorowe, istnieje tez pole skalarne nazywane dylatonowym34 (zwiqzane z ogolnq skalq przestrzeni) polem skalarnym, odpowiadajqce polu skalarnemu w oryginalnej teorii Kaluzy-Kleina. (Przypomnijmy sobie, ze to pole skalarne zostaje usuniyte przez unormowanie wektora Killinga; zob. koncowe akapity rozdz. 31.4). Koncepcja dylatonu bydzie miala znaczenie w pozniejszych rozwaZaniach; zob. rozdz. 31.15. Pamiytajmy tez, ze stala strunowa jest bardzo mala. Przyjmuje siy obecnie, ze jest ona tylko nieznacznie wiyksza od kwadratu dlugosci Plancka (a' jest malenkq powierzchniq):
a'
~
10-68 m 2 •
Plaskose Ricciego, w przypadku metryki 1O-czasoprzestrzeni, uWaZana jest zatem za doskonale przyblizenie.
31.9 Dynamika strun Czytelnik moze bye ciekaw, skqd wziyly siy te wnioski dotyczqce krzywizny czasoprzestrzeni, skoro teoria strun jest w zasadzie teoriq malych obiektow poruszajqcych siy w pewnej czasoprzestrzeni podstawowej (aczkolwiek 0 9 wymiarach przestrzennych). Istotnie, do tej pory nie powiedzialem niczego na tern at rownan opisujqcych dynamiky strun. Zajmijmy siy tym teraz. Podobnie jak w zwyklej teorii pola, mamy lagranzjan struny (rozdz. 20.5, 6 i 26.6), zdefiniowany jako 1I2a' pomnozone przez pole 2-powierzchni - wstf?gi swiata - jakq zatacza struna, poruszajqc siy w czasoprzestrzeni. Metryka na tej wstydze swiata musi zgadzae siy z metrykq indukowanq przez czasoprzestrzen i, zgodnie z fizykq klasycznq, dynamika struny przedstawia siy tak, ze wstyga swiata jest czyms w rodzaju "warstwy mydlanej" alba "powierzchniq minimaln,!" (z odpowiedniq sygnaturq metryki) w czasoprzestrzeni podstawowej. Z klasycznego punktu widzenia czasoprzestrzen podstawowa nie podlega zadnym ograniczeniom. Struna po prostu wydruje swobodnie, zgodnie z rownaniami dynamiki. W przypadku kwantowym natomiast wielkiego znaczenia nabiera problem anomalii i okazuje siy, ze nawet warunek, iz czasoprzestrzen podstawowa rna 10 wymiarow i supersymetrycznq niezmienniczose, nie jest wystarczajqcy. Aby spelnie wymagania spojnosci metryki czasoprzestrzeni dla strun kwantowych, konieczne Sq jeszcze powyzsze warunki na krzywizny 1O-przestrzeni.
859
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
Poza wymogiem spojnosci typu rownanie Einsteina musimy sobie przypomniee kwestit; "modu najnizszego wzbudzenia", 0 ktorym wspominalismy w rozdz. 31.7, opisujqcym cZqstkt; bezmasowq 0 spinie 2. Ten "spin 2" pojawia sit; dlatego, ze mod wibracyjny (zob. rozdz. 22.11 i 32.2) rna strukturt; kwadrupolowq (czyli z £ = 2), a jest bezmasowy, poniewaz to mod 0 najnizszej energii, odpowiadajqcy strunie "sztywnej". Mod ten przedstawial powazny problem w poczqtkowej teorii strun hadronowych, ale w nowym kontekscie grawitacyjnym jest inaczej, poniewaz w normalnej (4-wymiarowej) fizyce grawiton (kwant pola grawitacyjnego) powinien bye czqstkq bezmasowq 0 spinie 2. W konwencjonalnej analizie dochodzimy do tego, badajqc zaburzenia pola metrycznego (opisywanego przez symetryczny tensor "hab'" gdywprowadzimy infinitezymalne przesunit;cie formy metrycznej gab do gab + fh ab , gdzie 10 jest infinitezymalne; zob. rowniez rozdz. 32.2). Wobec pojawienia sit; w nowej teorii strun warunku spojnosci w postaci rownania typu rownanie Einsteina (aczkolwiek w 10 wymiarach, a nie w 4) oraz modu wzbudzonego typu "grawitonowego" - uwaza sit;, ze "teoria strun zawiera teorit; grawitacji". Wedlug slow Edwarda Wittena (1996): "Kapitalnq wlasciwosciq teorii strun jest ta, ze przewiduje ona istnienie grawitacji".
I dalej35: "Ten fakt, ze grawitacja wynika z teorii strun, jest najbardziej donioslq konsekwencjq teorii fizycznej, do jakiej kiedykolwiek doszlismy".
860
NaieZy jednak podkreslie, ze poza problemem wymiarowosci podejscie teorii strun (przynajmniej w jej dotychczasowej postaci) jest w zasadzie podejsciem perturb acyjnym, a jej formuly Sq rozwinit;ciami w szereg pott;gowy (na przyklad w parametrze 10, aczkolwiek wit;kszose obliczen teorii przedstawiana jest zwykle w postaci rozwinit;e w szereg pott;gowy w stalej strunowej a'). Ten aspekt uwazany jest przez wit;kszose praktykow teorii wzglt;dnosci za spore ograniczenie i dlatego nie traktujq podanych argumentow jako dostatecznych, aby uznae, ze mamy do czynienia z teoriq tak fundamentalnq jak ogolna teo ria wzglt;dnosci Einsteina. Jednq z wersji "filozofii strun", z jakq sit; zetknqlem, jest poglqd, ze 0 fizyce powinnismy myslee jako 0 2-wymiarowej KTP, w ktorej geometryczne pojt;cie 1O-wymiarowej czasoprzestrzeni jest wtorne w stosunku do bardziej prymitywnej "rzeczywistosci", jakq reprezentuje sarna wstt;ga swiata 2-wymiarowej struny. Wszystko powinno bye opisane w terminach "wzbudzen struny", ate naleZy traktowae jako wielkosci stanowiqce jedynie funkcje dwu wspolrzt;dnych na wstt;dze swiata. Wzbudzenia odczuwajq 10 wymiarow czasoprzestrzeni, ale wszystko jest czyms w rodzaju "pol a na dwuwymiarowej wstt;dze". Nie mogt; pogodzie sit; z takim poglqdem na teorit; pretendujqcq do statusu teorii grawitacji, w ktorej mamy do czynienia z dynamicznymi stopniami swobody w geometrii czasoprzestrzeni. Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 16.7 (a takZe z dyskusji w rozdz. 31.4, por. td dalej, 31.10-12, 15-17), ze dysponujemy bez porow-
Dlaczego nie obserwujemy dodatkowych wymiar6w czasoprzestrzeni? 31.10
nania wiyksz,! ilosci,! funkcji lub pol na przestrzeni 0 wiykszej liczbie wymiarow niz na przestrzeniach nizej wymiarowych, i to niezaleznie od liczby skladowych, jak,! te funkcje (pol a) mog,! miee w kazdym punkcie przestrzeni - pod warunkiem ze liczba tych skladowych jest skonczona. Ponadto, bez wzglydu na to, jak rozumiemy pojycie "wzbudzenia struny", liczba skladowych na jeden punkt bydzie niew,!tpliwie skonczona (poniewaz dowolny punkt wstygi swiata moze bye przemieszczony jedynie w skonczonej liczbie kierunkow w otaczaj,!cej przestrzeni). Dlatego ten szczegolny typ "filozofii strunowej" moze faktycznie prowadzie na manowce. Chociai: w'!tpiy, zeby wielu specjalistow od teorii strun scisle trzymalo siy tej filozofii, to sam fakt, iZ niektorzy z nich powaznie gotowi s,! przyj,!e taki punkt widzenia, wskazuje na pelne fantazji podejscie do problemu wymiarowosci czasoprzestrzeni. 4-wymiarowose naszej obselWowalnej czasoprzestrzeni, nawet jesli traktowana jako "efekt niskoenergetyczny", zbyt czysto wydaje siy spraw,! 0 drugorzydnym znaczeniu! W kazdym razie - nawet w 10 wymiarach -"rownanie prozni" Einsteina jest w teorii strun traktowane jedynie jako konsekwencja warunku sp6jnoSci "dwuwymiarowosci wstygi swiata" struny. Uwaza siy rowniez, ze warunek plaskosci Ricciego musi obowi,!zywae nawet w tych miejscach czasoprzestrzeni, przez ktore sarna wstyga swiata struny nie przechodzi! Gdyby teoria kwantowa rzeczywiscie opisywala kwantowan'! dynamiky sprzyzonego ukladu klasycznego, zadanego przez 9-wymiarow,! przestrzen, ktora zawiera poruszaj,!c,! siy struny, wowczas warunek spojnosci nakladany na krzywizny da powinien obowi,!zywae tylko tam, gdzie struna jest umiejscowiona. Musimy wiyc przyj,!c pogl,!d, ze to nie ten klasyczny uklad jest kwantowany. Tak naprawdy, niezaleznie od ambicji do statusu teorii grawitacji, teoria strun nie bardzo radzi sobie z problemem opisu dynamicznych stopni swobody w metryce czasoprzestrzeni. Czasoprzestrzen stanowi po prostu stale do, poddane pewnym ograniczeniom, aby same struny mialy peln,! swobody.
31.10 Dlaczego nie obserwujemy dodatkowych wymiar6w czasoprzestrzeni?
Jei:eli mamy zamiar powaznie potraktowac peln,! dynamiky lO-wymiarowej czasoprzestrzeni, to musimy zmierzye siy z problemem odwrotnym, a mianowicie jak zredukowac nadmiern,!, ogromn,! dodatkow'! swobody w przestrzeni lO-wymiarowej do takiej, jaka odpowiada normalnej teorii fizycznej w czasoprzestrzeni 0 czterech wymiarach. Plaskosc Ricciego w 10 wymiarach zapewnia swobody funkcyjn,! 70009 00 (zob. rozdz. 16.7), a wiyc niepomiernie wiyksz,! niz jedynie cri'003, jaka charakteryzuje zwykl,! 4-wymiarow,! teoriy pola, jesli zaloZymy N niezaleznych skladowych w kazdym punkcie; rozdz. 16.7 i 31.4. (W teorii lO-wymiarowej, plaskiej w sensie Ricciego, mielibysmy 70 niezaleznych funkcji jako swobodne dane na 9-wymiarowej powierzchni danych pocz'!tkowych36.) Ty dodatkow'! ogromn,! licz-
861
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
862
by stopni swobody implikuje fakt, ze 9 jest wiyksze od 3. W porownaniu z tym wzglydne rozmiary 70 iN w niewielkim stopniu wplywaj,! na ty eksplozjy swobody funkcjonalnef7. Zwykla, klasyczna teo ria pola w 10-wymiarowej czasoprzestrzeni (bez takich ograniczen, jakie wprowadza symetria okreslona przez wektor Killinga w oryginalnej teorii Kaluzy-Kleina - zob. rozdz. 31.4) bylaby z pewnosci,! nie do przyjycia dla opisu naszego obserwowanego WszechSwiata, wlasnie z powodu nieprawdopodobnego nadmiaru funkcyjnej swobody. Do tego zagadnienia wrocimy jeszcze w rozdz. 31.12, 16. Dlaczego specjalisci od teorii strun nie wydaj,! siy specjalnie zaniepokojeni nadmiarem stopni swobody? Przypuszczam, ze czysciowa odpowiedz zawiera siy w ich nadziei, iZ we wlasciwie skwantowanej teorii strun pojawi,! siy dodatkowe warunki na kwantowane struny, jakie efektywnie ogranicz,! ich stopnie swobody; zetkniemy siy z tym w rozdz. 31.16. Jednak glowny argument - powszechnie wysuwany - daje wyraz oczekiwaniom, ze przy zalozeniu niezwykle "malych" tych 6 "nadprogramowych" wymiarow (powiedzmy, charakteryzowanych skal,! Plancka rZydu 10-35 m) - z energiami, jakie S,! dostypne w otaczaj'!cym nas swiecie - na ratunek przyjd,! im relacje kwantowe, ktore efektywnie "zlikwiduj,!" dodatkowe stopnie swobody zwi,!zane z tymi dodatkowymi wymiarami przestrzennymi. Jak mialoby siy to stac? Jak juz mowilismy, prawie wszystkie rozwazania w teorii strun prowadzone S,! w filozofii rachunku zaburzen, w ktorej uwzglydnia siy jedynie niewielkie perturbacje w stosunku do pewnego modelu podstawowego. Tutaj musimy rozpatrzyc "czasoprzestrzen" podstawow'!, ktora jest iloczynem M x Y normalnej 4-przestrzeni Minkowskiego i pewnej zwartej przestrzennopodobnej riemannowskiej 6-przestrzeni y, a calkowity "rozmiar" tej szczegolnej przestrzeni Y jest bardzo maly, np. rZydu skali Plancka, 10-35 m. I teraz zajmiemy siy niewielkimi zaburzeniami M x y, Najpierw musimy miec precyzyjny obraz tego, czym jest "rozmaitosc iloczynowa" A x B, gdzie zarowno przestrzen A, jak i n-przestrzen B S,! rozmaitosciami (pseudo-)riemannowskimi. Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 15.2 (i rys. 15.3a), ze punkty nalez'!ce do A x B stanowi,! pary (a, b), gdzie a nalei:y do A i b nalei:y do B, a zatem wymiar A x Bwynosi m + n (zob. ewiczenie [15.1]). Jak definiujemy metryky (pseudo-)riemannowsk,! na A x B? Jest to "suma prosta" metryk na Ai na B. Mozemy ui:yc wspolrzydnych lokalnych (x', ... , X", y', ... , yn) dla A x B, gdzie (x" ... , X") i (y', ... , yn) S,! wspolrzydnymi lokalnymi odpowiednio dla A i B. W takim przypadku tensor metryczny gij przestrzeni A x B przyjmuje "postac blokowo-diagonaln'!" (podobn,! jak w rozdz. 13.7 dla macierzy reprezentacji w pelni redukowalnej) i opisuje sum~ prostq skladowych metryk odpowiednio dla A i B; kwadrat odleglosci metrycznej w A x B jest sum'! kwadratow tych odleglosci w A i B oddzielnie (rys. 31.7). Kluczowym faktem, ktory bydzie mial znaczenie pozniej (zob. rozdz. 31.14), jest ten, ze jesli metryki obu przestrzeni A i B S,! plaskie w sensie Ricciego (tzn. tensor Ricciego znika - zob. rozdz. 19.6), wowczas suma prosta metryk, odpowia-
Dlaczego nie obserwujemy dodatkowych wymiar6w czasoprzestrzeni? 31.10 A
Rys. 31.7. Rozrnaitosc iloczynowa A x B (zob. rys. I
B
\::::::_---"-.~
15.3a, rozdz. 15.2) dwu przestrzeni (pseudo-)riernannowskich Ai B jest sarna przestrzenil} (pseudo-)riernannowskl}. Jesli obie przestrzenie Ai B sl} plaskie w sensie Ricciego, w6wczas wlasnosc t« rna r6wniei A x B.
dajqca A x S, jest rowniez plaska w tym sensie[3L31. Zakladamy, ze przestrzen y w iloczynie M x Y jest plaska w sensie Ricciego, natomiast sarna przestrzen M, b«dqc przestrzeniq plaskq, jest z pewnosciq plaska w sensie Ricciego. W takim razie ich iloczyn M x Y to rowniez przestrzen plaska w sensie Ricciego. Musimy przyjqc, ze calkowity rozmiar zwartej przestrzeni Y jest rz«du skali Plancka lub nieco wi«kszy. (Przypomnijmy sobie z rozdz. 12.6 sens zwartosci; zob. rys. 12.13.) Jak powinnismy opisywac zaburzenia wychodzqce z M x Y? B«d q one mialy postac pol (tensorowych) na M x y, jak hob w rozdz. 31.9, przedstawiajqce infinitezymalne zmiany metryki M x y. Aby zbadac pola na M x y, wygodnie jest rozwaZyc problem wartosci pOCZqtkowych. Przedstawiamy wi«c M jako M = ]EI X ]E3, gdzie euklidesowa 1-przestrzen ]EI odnosi si« do wspolrz«dnej czasu t, a euklidesowa 3-przestrzen ]E3 odnosi si« do zmiennych przestrzennych. Nast«pnie analizujemy te pola w terminach "modow normalnych" na ]E3 x Y; zob. rys. 31.8. (Przypomnijmy sobie poj«cie "modu normalnego", przedstawione w uj«ciu klasycznym w rozdz. 20.3, a w kontekscie kwantowym w rozdz. 22.11,13.) Jak te mody normalne wyglqdajq? Ze wzgl«du na "iloczynowq struktur«" ]E3 x Y mozemy przedstawic kazdy z nich po pro stu jako zwykly iloczyn modu na]E3 z modem na y. Mody na]E3 Sq stanami p«dowymi (rozdz. 21.11) i tworzq rodzin« ciqglq. Natomiast mody normalne na Y to zgodnie z zapewnieniem zwartosci przestrzeni rodzina modow dyskretnych, z ktorych kazdy opisywany jest pewnym skonczonym zbiorem wartosci wlasnych. (Przypomnijmy dyskusj« pod koniec rozdz. 22.13.) Jak mozna "wzbudzic" jeden z tych modow tak, zeby dokonac zamiany prostej geometrii]E3 x Y na cos innego? Zwolennicy teorii strun argumentujq zwykle, ze mozemy pominqc perturb acje na y, przynajmniej w obecnej epoce kosmologicznej, poniewaz energia konieczna do wzbudzenia dowolnego modu na Y bylaby ogromna - z wyjqtkiem pewnego specjalnego zbioru modow 0 energii zerowej (b«dzie to dla nas wazne w rozdz. 31.14), 0 ktorych na razie nie wspominamy. Dlaczego owe energie muszq
is [31.3] Dlaczego? »Skaz6wka: przyjrzyj sit; jawnym wyrazeniom w cwiczeniach [14.26] i [14.27] oraz w rozdz. 14.7.
863
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
x Y (dla r6wnania Laplace'a) s~ iloczynami mod6w na]E3 z modami na y.
Rys. 31.8. Mody perturbacyjne na ]E3
864
bye tak wielkie? Rozumowanie opiera siy na znikomych rozmiarach przestrzeni y. "Fala stoj'!ca" na Y mialaby dlugose rZydu dlugosci Plancka _10-35 m, a zatem jej cZystose musialaby bye rZydu cZystosci Plancka _10- 43 s. Energia konieczna do wzbudzenia takiego modu musialaby bye rZydu energii Plancka, a wiyc okolo 1012 dzuli, a to jest okolo 20 rZydow wielkosci wiycej niz najwiyksze energie, z jakimi mamy do czynienia w oddzialywaniach cz'!stek elementarnych. Wobec tego argumentuje siy, ze mody w geometrii Y byd,! pozostawaly niewzbudzone, przynajmniej we wszystkich procesach fizyki cz,!stek elementarnych, jakie S,! dostypne w ramach dzisiejszych mozliwosci eksperymentalnych. Powstaje wiyc obraz, zgodnie z ktorym w bardzo wczesnych stadiach rozwoju WszechSwiata jego szese wymiarow utworzylo konfiguracjy opisan,! przez przestrzen Y 0 skali Plancka - podczas gdy pozostale trzy wymiary przestrzenne rozszerzyly siy ogromnie, tworz'!c w efekcie plaski przestrzennie 3-wymiarowy Wszechswiat, jaki opisuje wspolczesna kosmologia. Po czasie odpowiadaj,!cym kilku pierwszym chwilom - w skali Plancka istnienia WszechSwiata przestrzenie Y pozostaly w zasadzie niezmienione. Sprobujmy przyjrzee siy tej argumentacji nieco dokladniej. Aby rzecz uproscie, pomyslmy 0 sytuacji, w ktorej, jak w oryginalnej teorii Kaluzy-Kleina z rozdz. 31.4 i zgodnie z analogi,! wyza gumowego z rys. 15.1, przestrzen Y jest po prostu okr~giem Sl 0 bardzo malym promieniup. Mozemywybrae rzeczywist,! wspolrzydn,! () dla Sl (przy czym () jest tozsame z () + 21t), gdzie p() mierzy odleglose na obwodzie kola. Mody w Y S,! teraz wielkosciami einO , gdzie n jest liczb,! calkowit'!, a wiyc S,! to mody fourierowskie, z jakimi zetknylismy siy w rozdz. 9.2. Na E3 mozemy wybrae zwykle wspolrzydne kartezjanskie (x, y, z). Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 22.11, ze jednym ze sposobow wyznaczania roznych "modow" jest poszukiwanie stanow wlasnych (odpowiedniego) operatora Laplace'a. W rozwazanym przez nas kontekscie mozemy to uwazae za przyblizenie (albo za "model"). Mowi,!c dokladniej, powinnismy zbadae stany wlasne hamiltonianu H odpowiadaj,!cemu tej ewolucji geometrii. Dla 5-przestrzeni plaskiej w sensie Ricciego (nasze zaburzenie M x Sl) potrzebowalibysmy odpowiedniego formalizmu hamiltonowskiego w piyciowymiarowej ogolnej teorii wzglydnosci, co jest dose skomplikowane. Glownym wyrazem jest jednak zasadniczo laplasjan i to wystarczy do naszych obecnych rozwazan.
Dlaczego nie obserwujemy dodatkowych wymiar6w czasoprzestrzeni? 31.10 Po raz pierwszy z 2-wymiarowym laplasjanem V2 = ;i/ax2 + i/al zetknylismy siy w rozdz. 10.5. Teraz potrzebujemy uog61nienia tego operatora na cztery wymiary, ale metryka naszej przestrzeni]E3 x Sl jest nadal plaska, wiyc nie wymagamy bardziej skomplikowanych wyrazen, jak w rozdz. 22.11. Powinnismy zwiykszyc liczby zmiennych do czterech, a wiyc mozemy napisac laplasjan 0 postaci[31.41:
,
V~
82
82
1 82
82
= - + - + - + - -Z &:Z 0'2 8z2 p2 80 '
gdzie naszq czwartq wsp6lrzydnq jest pO, potrzebna na Sl. Aby znaleic nasze "mody", szukamy stanow wlasnych tego operatora. A konkretnie, procedura sprowadza siy do analizy modow na cZysci SI przestrzeni ]E3 x SI i potraktowania czysci zwiqzanej z ]E3 jak zwyklego pola. Zgodnie z tym rozszczepiamy nasze pola na r6zne wklady, charakteryzujqce siy r6znymi calkowitymi liczbami n, zadajqcymi zaleznosc od zmiennej 0 w postaci e in8, jak juz 0 tym m6wilismy. W przypadku modu n-go rZydu na S I mozemy wiyc napisac: 'l' = ein8ljJ, na naszej poczqtkowej 4-powierzchni ]E3 x Sl, gdzie ljJ jest funkcjq zwyklych wspolrzydnych przestrzennychx,y,z. Dla kaZdego takiego modu n-go rZydu 'l' wyrazp-2a2/ao2 w laplasjanie moze byc zastqpionyl31.51 po prostu wyrazeniem _n 2jp2:
n2 p2·
1 82 p2802
--H--
W odniesieniu do pozostalych zmiennych x, y, z nasz laplasjan przyjmuje postac zwyklego laplasjanu 3-wymiarowego, ale dochodzi tu jeszcze czlon staly _n 2jp2. Przypomnijmy sobie, jak wyglqda rownanie pola dla zwyklej (bezspinowej) czqstki 0 masie f1 w normalnej czasoprzestrzeni Minkowskiego M. Jest to rownanie falowe Kleina-Gordona (zob. rozdz. 24.5): (0 +
~: JljJ = o.
Tutaj 0 = a2/at 2 - i/dXz - a2/al- i/az2• Mozemy uwazac, ze jest to "r6wnanie swobodnej cZqstki wchodzqcej" (tak byloby w podejsciu macierzy S w KTP - zob. rozdz. 26.8). Jednak w 5-przestrzeni M x Sl do operatora falowego 0 dojdzie jeszcze czlon dodatkowy _p-ZaZ/ao 2• Jesli chcemy, zeby ta czqstka w 5-przestrzeni znajdowala siy w stank wlasnym n-modu dla S\ to zgodnie z tym, co pokazalismy, czlon dodatkowy naleZy zastqpic wyrazem n 2/p2. Z punktu widzenia zwyklej 4-przestrzeni Minkowskiego nasza czqstka znajdujqca siy w stanie wlasnym n-modu w 5-przestrzeni bydzie opisana nastypujqcym r6wnaniem w 4-przestrzeni: f12 n J ( o + p;z + p2 ljJ = o. 2
!'a [31.4] Dlaczego? !'a [31.5] Dlaczego tak mozna zrobic?
865
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
A to jest znowu rownanie Kleina-Gordona, z t'! roznic,!, ze w miejsce fl211l mamy fl2/;? + n 21p2. Mamy wit(c rownanie Kleina-Gordona dla nowej cz'!stki w 4-przestrzeni, ktorej mas a zamiast fl wynosi teraz ~fl2 + ;?n 2/p2 . Wszelkie obserwowalne cz'!stki Przyrody maj,! masy fl niepomiernie mniejsze (zob. rozdz. 31.1) niz wartose Plancka wynosz'!ca, w przyblizeniu, nip (dla wybranych przez nas wartosci p). Skoro zakladamy, ze n "* 0, nowa cz'!stka musialaby miee mast( co najmniej rzt(du Plancka (nn/p jest duzo wit(ksze od fl), a wit(c bylaby daleko poza zasit(giem obecnie uiywanych akceleratorow. Dlatego zwolennicy teorii strun argumentuj,!, ze w obecnej epoce kosmologicznej mody z n "* 0 nie S,! osi,!galne w jakichkolwiek dostt(pnych procesach zachodz'!cych mit(dzy cz'!stkami elementarnymi! Zasadniczo ta sarna argumentacja odnosi sit( do pelnej zwartej 6-przestrzeni yo skali Plancka. Specjalisci od teorii strun przekonuj,! nas, ze w warunkach zasadniczo niskich energii, w jakich sit( obecnie znajdujemy, mody wzbudzone na yon "* 0 S,! nieosi,!galne doswiadczalnie. W takim razie nie rna sprzecznosci mit(dzy hipotez,! dodatkowych wymiarow przestrzennych a wynikami wspotczesnych obserwacji.
31.11 Czy powinnismy zaakceptowac argument stabilnosci kwantowej?
866
Ale czy ta argumentacja jest przekonuj,!ca? Moim zdaniem istniej,! zasadnicze powody, aby w to w'!tpies. Nawet jesli odloiymy na bok niewyjasnion,! zagadkt( dotycz,!c,! powodu, z jakiego trzy wymiary przestrzenne mialyby sit( zachowywae w tak zupelnie odmienny sposob od pozostalych szesciu, to powinnismy zachowae wielk,! ostroznose w odniesieniu do tego rozumowania z dziedziny "fizyki cz'!stek elementarnych", ktore opiera sit( na zalozeniu, ze geometria y jest niewrazliwa na zmiany podczas dalszej ewolucji WszechSwiata. Zanim jednak przejdziemy do zaburzen na y 0 energii Plancka (b,!dz wyzszej), muszt( wrocie do zagadnienia modow na yo energii zerowej, ktore zdecydowalem sit( pomin,!e w dyskusji w rozdz. 31.10. W rozdz. 31.14 przekonamy sit(, ze mody te mog,! bye uwazane za argument na rzecz teorii strun, poniewaz otwieraj,! perspektywt( prawdziwego kontaktu z grupami symetrii standardowej fizyki cz,!stek elementarnych (rozdz. 25.5, 7). Z matematycznego punktu widzenia prowadz'! one niestety do powaznej trudnosci, ktora nosi nazwt( problemu modul6w. Tak jak w przypadku powierzchni Riemanna (zob. rozdz. 8.4) istniej,! pewne parametry, okreslane mianem modul6w, ktore definiuj,! specyficzny charakter ksztaltu przestrzeni y, ktorq rozwazamy. (W rozdz. 31.14 dowiemy sit(, ze preferowane jako przestrzenie Y Sq pewne zespolone 3-rozmaitosci nazywane "przestrzeniami Calabiego-Yau", ktorych modufy na ogol konstytuujq pewnq rodzint( liczb zespolonych.) Mody 0 zerowych energiach zwiqzane S,! z tymi zmiennymi modulami. Mozemy dokonae wyboru w taki sposob, zeby ta zmiennose miafa charakter przestrzenny na lEI 3, ale to daje nam jedynie akceptowalnq liczbt( stopni swobody OONoo3,
ezy powinnismy zaakceptowac argument stabilnosci kwantowej? 31.11
gdzie N oznacza aktualnq ilose niezaleznych (rzeczywistych) modulow. Okazuje siy jednak, ze istniejq takie mody, ktorych rodzina modulow kurczy siy gwaltownie do zera, dajqc w efekcie osobliwq przestrzen y. Ta pozornie katastrofalna niestabilnose stanowi istoty "problemu modulow" w teorii strun (zob. rowniez rozdz. 31.14)39. Zagadnienie to pozostaje niewyjasnione i zwykle siy je ignoruje. Przypusemy, ze my tei: zgodzimy siy ten problem pominqe(!). Czy w takim razie mody wibracyjne 0 dodatniej energii (w skali Plancka), zwiqzane z tymi sZeScioma dodatkowymi wymiarami, nie mogq bye wzbudzone? Aczkolwiek energia Plancka jest rzeczywiscie ogromna w porownaniu z wartosciami energii spotykanych w fizyce cZqstek elementarnych, to nie jest az tak wielka, a nawet porownywalna z energiq, jaka wydziela siy podczas eksplozji jednej tony TNT. Poza tym, naturalnie, w znanym nam WszechSwiecie spotykamy niepomiernie wiyksze energie. Na przyklad Ziemia otrzymuje od Slonca w kazdej sekundzie energiy 108 razy wiykszq! Rozpatrujqc problem od strony energetycznej, mozemy powiedziee, ze w calym WszechSwiecie jest duzo wiycej energii, niz to potrzebne do wzbudzenia przestrzeni y! W rozumowaniu specjalistow od teorii strun potrzebna energia dostarczana jest w lokalnych oddzialywaniach cZqstek i dlatego jestesmy sklonni uWaZae, ze rozdziela siy jq w jakims minimalnym obszarze zwyklej przestrzeni. Te elementarnet'] wzbudzenia przestrzeni y, 0 ktorych twierdzi siy, ze Sq nieosiqgalne w naszych perturbacjach przestrzeni]E3 x y, powinny bye jednorodnie rozprzestrzenione w ]E3. Przypomnijmy sobie, ze wzbudzenia elementarne ]E3 x y Sq po prostu iloczynami wzbudzen na]E3 ze wzbudzeniami na y. Te, ktore tutaj rozwazamy, Sq stale na ]E3. Nie rna zadnego powodu, aby uWaZae, ze powinny one bye "wstrzykiwane" w jakichS zlokalizowanych obszarach zwyklej przestrzeni fizycznej. To jednak nie jest sarno w sobie argument em przeciwko lokalnym oddzialywaniom cZqstek jako wlasciwej drodze wzbudzania takich modow. Fakt, ze Sq one rozprzestrzenione po calej przestrzeni ]E3, nie stoi w sprzecznosci z fizykq cZqstek elementarnych. Przypomnijmy sobie z omowienia operatorow kreacji i anihilacji w rozdz. 26.2 oraz przy okazji diagramow Feynmana w rozdz. 26.7, 8, ze w KTP cZqstki i ich oddzialywania opisuje siy zwykle w jyzyku stanow pydowych. Stany takie, jak to zostalo specjalnie podkreslone w rozdz. 21.11, Sq rzeczywiscie "rozprzestrzenione" po calej ]E3. "Czqstki kwantowe" wcale nie potrzebujq bye zlokalizowane przestrzennie. Bye moze bardziej wlasciwe byloby rozpatrywae je jako "kwanty", a nie jako czqstki. Problem polega na tym, iz zastanawiamy siy, czy rozsqdne jest oczekiwanie, ze - obojytnie jakim sposobem - jakis pojedynczy kwant energii Plancka moglby zostae "wstrzykniyty" do modu Y. Nie uwa[*] W polskiej terminologii akademickiej uiywa sit( zamiennie nazw: mody drgan, drgania normalne, mody wibracyjne i wzbudzenia elementarne. Autor preferuje termin "mod", dlatego staram sit( w Humaczeniu uiywac tego nieprzyjemnego dla polskiego ucha terminu skoro jest stosowany takZe w polskim slownictwie fizycznym (przyp. Hum.).
867
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
868
zam co prawda, ze przez takie "sposoby" powinnismy koniecznie rozumiee lokalne oddzialywania cz,!stek, a nie cos innego, na przyklad nieliniowe zaburzenia calej geometrii czasoprzestrzeni. Czy istniej,! jakies powody, aby wierzye, ze powinny istniee sposoby tego rodzaju? W moim przekonaniu - tak. Powr6emy do analogii z wt(zem gumowym (rys. 31.3). Wyobraimy sobie, ze w'!z ten jest w zasadzie prosty w jego wymiarze "duZyill" (stanowi,!cym analogit( ]E3) i 0 stalym przekroju Sl (stanowi,!cym analogit( Y), kt6rym jest malenkie kolo 0 promieniu p. Wzbudzenia element arne wt(za moglyby skladae sit( z r6znego rodzaju fal rozchodz'!cych sit( wzdluz jego dlugosci ("mody ]E3") i z r6znych dystorsji ksztaltu jego przekroju ("mody Y"). Jak widzimy na tym przykladzie, kazdy z tych ostatnich mod6w pojawia sit( jednoczesnie na calej dlugosci wt(za. Z kwantowomechanicznego punktu widzenia energia wzbudzenia takiego pojedynczego modu kwantowego - nazwijmy go ekscytonem - 0 czt(stosci drgan v wynosi 2nnv (zob. rozdz. 21.4) i nie zaleZy od dlugosci wt(za! W przypadku wt(za 0 nieskonczonej dlugosci otrzymalibysmy dla kaidego poszczeg6lnego ekscytonu zerow'! gt(stose energii, wobec czego lepiej wyobrazie sobie, ze ten w'!z jest zgit(ty w jeden olbrzymi okr,!g 0 promieniu R, gdzie R » p. Wyobrazmy sobie teraz jakies konkretne wzbudzenie yo okreslonej czt(stosci v. Calkowita energia tego ekscytonu wynosi 2nnv i jest rzeczywiscie niezalezna od R. To moze wydawae sit( zaskakuj,!ce, poniewaz sugeruje, ze im wit(ksze we:imiemy R, tym mniejsza bt(dzie energia zawarta lokalnie w tym wzbudzeniu, kt6ra jest proporcjonalna do l/R. Nie rna tu jednak sprzecznosci, widzimy tylko, ze amplituda drgan ekscytonu, w przypadku ustalonego wzbudzenia elementarnego y, jest tym mniejsza, im wit(ksza jest dlugose wt(za. Jesli przejdziemy do granicy R ~ 00, w6wczas energia zgromadzona lokalnie w tym modzie zd'!za do zera. Wynika z tego, ze kazdy szczeg6lny spos6b, w jaki gumowy w'!z wykonuje drgania lokalnie, w granicy nieskonczonej dlugosci wt(za musi bye zwi'!zany z coraz wyzszymi liczbami kwantowymi, przy czym wplyw kaidego poszczeg6lnego kwantu jest coraz mniejszy, a zatern w efekcie dochodzimy do wniosku, ze bardziej wlasciwy bylby opis klasyczny, a nie kwantowy40. W tym miejscu powstaje problem granicy klasycznej dla ukladu kwantowego w przedziale wysokich liczb kwantowych, a z tym wi,!ze sit( problem redukcji R w odniesieniu do takiej konfiguracji klasycznej. Dowiedzielismy sit(, szczeg6lnie z dyskusji przeprowadzonej w rozdz. 29, ze zagadnienie R nie moze bye zadowalaj,!co rozwi'!zane w ramach wsp6lczesnej mechaniki kwantowet. Mimo to fizycy powinni wiedziee, w jakich przypadkach wlasciwy jest opis kwantowy, a kiedy, z fizycznego punktu widzenia, bardziej sensowny jest opis klasyczny. Przypomnijmy sobie przypadek zwyklego momentu pt(du, jaki dyskutowalismy w rozdz. 22.10. Cialo 0 wielkim momencie pt(du lepiej jest traktowae jako uklad klasyczny, dzit(ki czemu otrzymamy dobrze okreslon,! os obrotu. Rozpatruj,!c je jako uklad kwantowy z bardzo wysok,! wartosci,!j, otrzymamy opis Majorany, z wieloma kierunkami spin6w, zorientowanymi zwykle we wszystkie mozliwe strony! W praktyce opis kla-
Klasyczna niestabilnosc dodatkowych wymiar6w 31.12
syczny nadaje siy najlepiej do uklad6w 0 wielkich momentach pydu i daje nam wtedy wlasciwy obraz fizycznej rzeczywistosci. Ujmy to bardziej og6lnie: wtedy gdy liczby kwantowe stajq siy nadmiernie wysokie, wlasciwszy jest opis klasyczny. W przypadku momentu pydu odpowiednia liczba kwantowa j mierzona jest w jednostkach n, latwo wiyc wyobrazimy sobie rozsqdnie wyglqdajqce kryterium pozwalajqce stwierdzic, jak daleko odeszlismy od rygoru kwantowego: wtedy gdy liczbaj, liczona w jednostkach tl, jest bardzo duza. W przypadku wyza gumowego stwierdzamy, ze mala dlugosc p sarna w sobie nie jest wlasciwq miarq do zdecydowania, czy bardziej odpowiedni jest opis kwantowy czy klasyczny. Przy ustalonym p opis lokalnych drgan wyza wydaje siy coraz bardziej "klasyczny", im wiyksze bierzemy R, albowiem musimy uwzglydnic rosnqC'! liczby ekscyton6w, kt6re wprowadzajq coraz wyzsze liczby kwantowe drgan (wzbudzen elementarnych y)42. W sytuacji gdy nie mamy teorii, kt6ra m6wi nam, kiedy powinnismy opisywac klasycznie "duze" uklady, podczas gdy "male" zachowujq siy zgodnie z regulami kwantowymi (co, moim zdaniem, wymaga zmian w samej strukturze mechaniki kwantowej, odpowiednio do dyskusji przeprowadzonej w rozdz. 30.9-12), mogloby siy wydawac, ze nie jestesmy w stanie dojsc do definitywnej konkluzj i dotyczqcej sugerowanej niedostypnosci wzbudzen elementarnych Y. (Rozwazania z rozdz. 30 raczej nie prowadzq do uzyskania jednoznacznej odpowiedzi, a nawet takiej, kt6ra nie bylaby kontrowersyjna.) Mimo to, choc realne perturbacje Ysugerujq kwantowy obraz bardzo duzej ilosci wzbudzen (kwant6w), a zaden pojedynczy kwant nie rna wiykszego wplywu na geometriy przestrzeni Y i dotyczy to wysokich liczb kwantowych, wydaje siy, ze lepszy wglqd w to, jak zachowujq siy perturbacje we wszechswiecie M x Y z malq y, uzyskamy dziyki analizie klasycznej, a nie kwantowomechanicznej. Zajmiemy siy tym zagadnieniem w nastypnym rozdziale.
31.12 Klasyczna niestabilnosc dodatkowych wymiar6w Co by siy stalo, gdybysmy potraktowali model 1O-przestrzeni jako calkowicie klasyczny? Takie podejscie powinno dac przynajmniej jakqs wskaz6wky odnosnie do tego, jak powinien zachowywac siy pelny model kwantowy. Na poczqtku rozdz. 31.10 dowiedzielismy siy, ze w klasycznej czasoprzestrzeni (1 + 9)-wymiarowej (tj. z jednym wymiarem czasowym i dziewiycioma wymiarami przestrzennymi) powinnioo9 smy miec do czynienia z powodziq nadmiarowych stopni swobody (ocJ'f » r:xfoo\ co jest nie do przyjycia. To wazny, ale moim zdaniem nie najwazniejszy problem. Okazuje siy, ze klasyczny wszechSwiat M x Y - z nalozonym warunkiem plaskosci Ricciego - jest wysoce niestabilny wobec niewielkich zaburzen. Jesli przestrzen Y jest zwarta i 0 rozmiarach Plancka, w6wczas w ulamku sekundy powinny pojawic siy osobliwosci czasoprzestrzeni (rozdz. 27.9)! Rozwazmy najpierw zaburzenia M x y, w kt6rych zaburzona zostaje jedynie geometria Y i kt6re "nie przeciekajq" do przestrzeni ]E3. Inaczej m6wiqc, badamy "generycznq" (1 + 6)-czasoprzestrzen Z, plaskq w sensie Ricciego (zaburzona ewo-
869
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
I
lEI
I
.... ,
J- :~'..
(a)
(b)
Rys. 31.9. Twierdzenie 0 osobliwosciach zastosowane do perturbacji przestrzeni MI x y, w kt6rej Y jest "malq" przestrzeniq Calabiego-Yau. (a) Nieosobliwy przypadek kanoniczny MI x y, gdzie MI = lEI X lE3, Z lEI odnoszqcq siy do czasu. (b) Og61ne zaburzenie Y' przestrzeni Y ewoluuje do przestrzeni Z, kt6ra jest osobliwa, a zatem dowolne perturbacje przestrzeni lE3 x y, kt6re nie zaburzajq lE3, ewoluujq do przestrzeni lE3 x Z, te z kolei Sq osobliwe.
870
lucja Y), a cala (1 + 9)-czasoprzestrzenjest czasoprzestrzenil} Z x ]E3. Uwaiamy, ze Z stanowi wynik ewolucji czasowej pewnej 6-przestrzeni, ktora (w jakiejs okreslonej chwili) jest "bliska" y, to znaczy, ze Z rozpoczyna bardzo blisko (niezmiennej) "ewolucji czasowej" ]EI x y, aczkolwiek w czasie pozniejszym Z moze sic;: znacznie roznie od]E1 x Y (rys. 31.9). Przedstawiam tutaj M jako M =]EI X ]E3, jak w rozdz. 31.10 (przy czym ]EI reprezentuje wymiar czasowy, a ]E3 wymiary przestrzenne), a wic;:c przez pojc;:cie przestrzeni M x Y rozumiemy (]EI x Y) X ]E3 (w iloczynie na pierwszym miejscu stawiamy ewolucjc;: czasowl} Y); zob. rys. 31.9a. Pod koniec lat szesedziesil}tych XX wieku Stephen Hawking i ja udowodnilismy twierdzenie 0 osobliwosciach, ktore pokazuje, ze musimy spodziewae sic;:, iz przestrzen Z bc;:dzie przestrzenil} osobliwl}43. Stwierdzilismy tam e.x:piicite, ze twierdzenie to stosuje sic;: rownie dobrze do czasoprzestrzeni (1 + 6), jak i do czasoprzestrzeni (1 + 9), a takZe do konwencjonalnych czasoprzestrzeni (1 + 3), ktore pocZl}tkowo rozwazalismy. Z twierdzenia tego wynika, ze dowolna czasoprzestrzen, plaska w sensie Ricciego, ktora (podobnie jak ]EI x Y lub Z) zawiera zwartl} hiperpowierzchnic;: przestrzennopodobnl} i ktora jest "generyczna" w pewnym okreslonym sensie44 (oraz nie zawiera zamknic;:tych krzywych czasopodobnych - zob. rozdz. 17.9 i rys. 17.18), musi bye osobliwa! Poczl}tkowa ]EI x Y nie jest osobliwa, poniewaz nie jest spelniony warunek generycznosci. Natomiast zaburzona generycznie Z musi bye osobliwa. NaieZy zauwaZye, ze w takich "twierdzeniach 0 osobliwosciach" nie dochodzimy bezposrednio do wniosku, iZ krzywizna zmierza do jakiejs nieskonczonej wartosci, lecz ze istnieje swego rodzaju przeszkoda, aby linie geodezyjne zerowe lub czasopodobne mogly rozcil}gae sic;:, w czasoprzestrzeni, do nieskonczonej dlugosci (albo, w przypadku geodezyjnych zerowych, osil}gae nieskonczonl} dlugose afinicznl} - zob. rozdz. 14.5). Normalnie oczekiwalibysmy, ze przeszkoda ta powstaje w wyniku roz-
Klasyczna niestabilnosc dodatkowych wymiar6w 31.12
bieznosci krzywizny, ale w twierdzeniu nie rna 0 tym bezposrednio mowy. Twierdzenie to jednak informuje, ze Z musi stae si(( osobliwa, w taki czy inny sposob. Jesli zaburzenie Y jest w takiej samej skali jak Y (tzn. w skali Plancka), wowczas musimy si(( spodziewae, ze osobliwosci, jakie pojawi(! si(( na Z, b((d(! miaty porownywaln(! skal(( czasow'! (- 10- 43 s), ale ta skala czasowa moze bye nieco wi((ksza, jesli perturbacje b((d,! mialy proporcjonalnie mniejsze rozmiary niz sarna y. Wniosek z tego taki, ze jesli chcemy miee mozliwose zaburzenia Yw sposob generyczny, tak aby otrzymae nieosobliwe zaburzenie pelnej (1 + 9)-przestrzeni M x y, wowczas musimy rozwaZye zaburzenia, ktore znacz'!co "przelewaj,! si((" rowniez do cz((sci M. Pod pewnymi wzgl((dami jednak zaburzenia tego rodzaju mog,! okazae si(( nawet bardziej niebezpieczne dla naszego obrazu "zwyktej" czasoprzestrzeni niz te, ktore zaburzaj'! sam,! y, poniewaz krzywizny duze w skali Plancka45 , jakie najprawdopodobniej pojawi,! si(( na y, przedostan'! si(( do zwyktej przestrzeni - co jest w zasadniczej sprzecznosci z danymi obserwacyjnymi - i bardzo szybko doprowadz,! do osobliwosci czasoprzestrzeni46 • Oczywiscie, istnienie takich nieakceptowalnych osobliwosci w teorii klasycznej nie oznacza, ze podobne niedogodnosci czekaj,! nas we wlasciwej kwantowej wersji tej teorii. W rozdz. 22.13 przekonalismy si(( juz, jak mechanika kwantowa usuwa katastrofalne niestabilnosci w przypadku zwyklych, klasycznych atomow, w kt6rych elektrony zbliZatyby si(( ruchem spiralnym do j,!der atomowych, emituj,!c promieniowanie elektromagnetyczne. Sarno wprowadzenie "procedur kwantowych" nie zawsze gwarantuje, ze osobliwosci teorii klasycznej zostan,! usuni((te. Istnieje wiele przyklad6w (takich jak prawie wszystkie modele-zabawki kwantowej grawitacji47 ), ze osobliwosci pozostaj,! pomimo dokonania kwantyzacji. Wypada r6wnid zauwaZye - zob. rozdz. 31.8 - ze (1 + 9)-wymiarowa ptaskose Ricciego nie jest dokladnie tym, czego wymaga teoria strun. Przypomnijmy, ze ptaskose Ricciego jest traktowana tylko jako bardzo dobre przyblizenie do wymagan teorii, stosowane wtedy, gdy wyrazy rz((du wyzszego niz pierwszy w stalej strunowej a' mog,! bye pomini((te. Bye moze spelnienie "doktadnego" wymogu, uwzgl((dniaj,!cego wszystkie rz((dy rozwini((cia w szereg w statej a', dawaloby szans(( obejscia tego twierdzenia 0 osobliwosciach? Jesli to z,!danie zapewnia nam warunek na tensor Ricciego, przy kt6rym spelnione Set zwykte wymogi lokalnej dodatniosci energii (zob. szczeg6lnie przyp. 9 z rozdz. 27 i rozdz. 28.5), w6wczas twierdzenie 0 osobliwosciach stosuje si(( nadal. Co prawda, w KTP z pewnosci,! mog,! wyst((powae takie naruszenia lokalnych warunkow energetycznych (rozdz. 24.3), a zatem problem nadal pozostaje nierozstrzygni((ty. Moim zdaniem znacznie waZniejszym dylematem jest to, ze spetnienie pelnego warunku, uwzgl((dniaj,!cego wszystkie rz((dy rozwini((cia w staiej strunowej a', oznacza wprowadzenie nieskonczonego ukladu r6wnan r6zniczkowych, nieograniczonego rz((du. W takim razie dane, jakie bylyby potrzebne na pocz'!tkowej 9-powierzchni, musialyby uwzgl((dniae pochodne wszystkich rz((d6w wielkosci polowych (a nie po prostu pierwsze lub drugie, jak w normalnych teoriach pola). Ilose para-
871
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
metrow na jeden punkt, niezbt(dna na takiej 9-powierzchni, jest wowczas nieskonczona, a zatem dla dowolnej liczby naturalnej M uzyskujemy swobodt( wit(ksz,! niz OOMoo9. To oznacza, ze problem nadmiernej ilosci stopni swobody staje sit( jeszcze powazniejszy! Nic mi nie wiadomo 0 jakiejkolwiek zasadniczej dyskusji matematycznej postaci tego pelnego wymogu ani tei 0 tym, jaki typ danych poczqtkowych bylby odpowiedni.
31.13 Czy strunowa KTP jest skoliczona? Argumenty wlasnie przedstawione ilustrujq moje powazne problemy z uznaniem, ze modele teorii strun Sq w stanie odtworzyc (1 + 3)-wymiarowq ogolnq teorit( wzglt(dnosci Einsteina, za pomocq jakiegokolwiek klasycznego przejscia granicznego. A jak przedstawia sit( inny zachwalany aspekt teorii strun, mianowicie, ze jest to sp6jna i skonczona KTP (bez wzglt(du na to, co taka teoria fizycznie moze oznaczac)? Wydaje mi sit(, ze uzyskanie skonczonej amplitudy, przy ustalonej topologii wstt(gi swiata struny, byloby najmocniejszym argumentem na rzecz teorii strun i prawdziwym spelnieniem oczekiwan zwiqzanych poczqtkowo z ideq strun. lednak takze i tutaj mamy do czynienia z fundamentalnymi znakami zapytania. Zacznijmy od problemu, ktory mnie nurtuje od czasu, gdy uslyszalem 0 teorii strun, sformulowanej na podobienstwo teorii struktur przypominajqcych fizyczne struny, ktorych wstt(gi swiata Sq czasopodobne i ktorych indukowana "metryka" jest (1 + l)-wymiarowq metrykq lorentzowskq. Obliczen dokonujemy natomiast, korzystajqc ze wstt(g swiata strun 0 dodatnio okreslonej metryce, dzit(ki czemu mozna do nich stosowac eleganckie idee teorii powierzchni Riemanna (jak w rozdz. 8); zob. rys. 31.10. W zgodzie z metrykq lorentzowskq mowi sit( 0 modach zaburzajqcych, ktore rozchodzq sit( z prt(dkosciq swiatla wzdluz czasopodobnych wstt(g swiata, zarowno na lewo, jak i na praw~. (Rozchodzq sit( one wzdluz krzywych zerowych na lorentzowskich wstt(gach swiata.) W riemannowskiej wersji teorii te mody "lewe" i "prawe" staj,! sit( funkcjami "holomorficznymi" i "antyholomorficznymi" na powierzchni Riemanna. Wydaje sit( to ujt(ciem, w ktorym obliczenia wykonuje sit( na dodatnio okreslonej powierzchni Riemanna, a nastt(pnie dokonuje
872
Rys. 31.10. Matematyka teorii strun posluguje siy "hi· storiami strun", kt6re S,! powierzchniami Riemanna o (dodatnio okreslonej) metryce riemannowskiej. Z fizycznego punktu widzenia hi storie strun S,! jednak 10rcntzowskie. Przejscie od jednych do drugich wymaga czegos w rodzaju "obrotu Wicka".
ezy strunowa KTP jest skor'lczona? 31.13
sit( "obrotu Wicka" (rozdz. 28.9), aby otrzymae na koncu poz'!dan'!, lorentzowsk'! teorit( strun. Jest calkiem mozliwe, ze taka procedura zadowala, ale nie mozna jej przyj,!e bez specjalnego uzasadnienia. Zaleiy ona na przyklad w spos6b krytyczny od faktu, ze przy obliczaniu amplitud nie robi sit( zadnych przyblizen. W przeciwnym wypadku pojawiaj,! sit( w stosunku do takiej procedury powazne w'!tpliwosci, podobne do tych, z jakimi zetknt(lismy sit( poprzednio przy omawianiu podejscia Hawkinga do kwantowej teorii grawitacji oraz podejse do KTP zwi,!zanych z procedur,! przedluzania analitycznego (zob. rozdz. 28.9). Moim zdaniem obliczenia w teorii powierzchni Riemanna powinny rzeczywiscie bye dokladne, S,! zatem powody, aby miee nadziejt(, ze obr6t Wicka przyniesie poprawne rezultaty. Niemniej jednak jawne uzasadnienie obrotu Wicka zwi,!zane jest z zalozeniem, ze podstawowa czasoprzestrzen jest plaska, a to na pewno nie zachodzi w przypadku powaznej (nieperturbacyjnej) og6lnej teorii wzglt(dnosci, wobec czego nie jest jasne, jak daleko taka procedura moze nas zaprowadzie w kierunku kwantowej teorii prawdziwej grawitacji. Ale nawet jesli zgodzimy sit( na takie wlasnie ujt(cie problemu plaskosci przestrzeni, czy to oznacza, ze musimy uznae twierdzenie, iz w przypadku kazdej ustalonej topologii powierzchni Riemanna (tzn. 0 ustalonym genusie g, zob. rozdz. 8.4, gdzie g odpowiada "liczbie pt(tli" zwyklego diagramu Feynmana - zob. rozdz. 26.8 i rys. 31.5d, rozdz. 31.5) calkowita amplituda bt(dzie rzeczywiscie skonczona? Moim zdaniem to nie zostalo wykazane. Niezaleinie od wielokrotnie gloszonych dekiaracji, nie przedstawiono dot,!d zadnego dowodu matematycznego takiej skonczonosci. M6wi sit( tylko 0 rozbieznosciach ultrafioletowych (duze pt(dy, male dlugosci), kt6re najbardziej niepokoj,! teoretyk6w KTP, ale nawet w odniesieniu do nich zostalo to wykazane jedynie do poziomu diagram6w dwupt(tlowych. Ponadto wydaje sit(, ze nigdzie nie pokazano, iz w ten spos6b eliminuje sit( rozbieznosci podczerwone (male pt(dy, wielkie odleglosci, rozdz. 26.9). Aczkolwiek te ostatnie zwykle uwaza sit( za mniej grozne niz rozbieznosci ultrafioletowe, to z pewnosci,! nie mog,! bye pominit(te i musz'! w jakis spos6b zostae przeanalizowane, jesli twierdzenie 0 skonczonosci teorii rna bye prawdziwe. Inaczej budzi to w'!tpliwosci wobec calego programu, albowiem skonczonose jest zwornikiem konstrukcji teorii strun48 • A moze to S,! jedynie irytuj,!ce detale techniczne, kt6re zostan,! pokonane w dalszym rozwoju matematyki? Nawet jednak jesli przyjmiemy, ze amplitudy w przypadku kazdej ustalonej topologii s,! skonczone, to nadal jestesmy daleko od pelnego sukcesu, te wyrazenia bowiem musz'! bye teraz wysumowane. Tymczasem, jak sit( wydaje, sumy te S,! rozbiezne 49 • Okazuje sit(, ze teoria, kt6ra miala bye skonczona, wcale taka nie jest! Rozbieinose owa, jak sit( zdaje, wcale nie martwi teoretyk6w zajmuj,!cych sit( teori,! strun, poniewaz uwazaj'! oni szereg tego rodzaju za niewlasciw,! realizacjt( calkowitej amplitudy. Amplitudt( tt( uznaje sit( za pewn'! wielkose analityczn,!, podczas gdy pr6ba przedstawienia jej w postaci rozwinit(cia w szereg pott(gowy jest "rozwijaniem wok61 nieodpowiedniego punk-
873
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
tu", tzn. wokol punktu, ktory dla tej amplitudy jest punktem osobliwym (to tak, jakbysmy probowali znaleic rozwiniycie w szereg In z wokol z = 0, a nie w rozwiniyciu wedlug potyg z - 1 - zob. rozdz. 7.4, aczkolwiek, w tym konkretnym przypadku, szereg mialby nieskoficzone wspolczynniki). Taka argumentacja bylaby dopuszczalna, chociai zostalo pokazane, ze rozbieznosci, z jakimi mamy tutaj do czynienia, majq charakter niekontrolowany ("nie Sq sumowalne w sensie Borela"). Aby skorzystac z "eulerowskiego" sposobu rozumowania (takiego, ktory nadaje sens formule 1 + 22 + 24 + 26 + 28 + ... = zob. rozdz. 4.3 i 26.9), potrzebna jest nieco so bardziej wyrafinowana procedura • Ponadto jesli (perturbacyjne) obliczenia w teorii strun Sq istotnie rozwiniyciami "wokol nieodpowiedniego punktu", to nie jest jasne, czy mozemy w ogole miec zaufanie do takiego rachunku zaburzefi! Wciqi wiyc nie wiemy, czy strunowa KTP jest rzeczywiscie skoficzona, juz nawet nie mowiqc o tym, czy teoria strun, przy wszystkich jej niewqtpliwych zaletach, daje nam kwantOWq teoriy grawitacji.
-t;
31.14 Magiczne przestrzenie Calabiego-Yau; teoria M
874
Zastrzeienia wobec tearii strun, ktore przedstawilem w rozdz. 31.8-13, chyba niespecjalnie martwiq jej zwolennikow. Majq oni inny problem, do ktorego jeszcze nie doszedlem, a mianowicie zagadnienie jednolitosci tej teorii. Poczqtkowo uwazano, ze wielkq nadziejq i triumfem teorii strun jest to, iz moze nam dac jednolitq teoriy WszechSwiata, i wlozono ogromny wysilek na rzecz uzyskania takiej teorii. Zagadnienie to wiqze siy ze zwartymi 6-rozmaitosciami y 0 rozmiarach w skali Plancka, do ktorych "zawija siy" lO-wymiarowy WszechSwiat. Czym Sq te 6-rozmaitosci? Dlaczego Wszechswiat zawija siy wlasnie do nich, a nie do jakichs innych? Wydawalo siy poczqtkowo, ze surowe wymagania supersymetrii, odpowiedniej wymiarowosci, plaskosci Ricciego, razem z podstawowymi wymaganiami fizycznymi, wiodq do uzyskania jednoznacznej odpowiedzi; pot em jednak okazalo siy, ze istnieje ogromna liczba rownie prawdopodobnych rozwiqzafi. Poczqtkowo sugerowano, ze przestrzefi y moze stanowic hipertorus SI x SI X SI X Sl X Sl X Sl 0 zerowej krzywiinie (zob. przyp. 45 w tym rozdz. oraz termin "torus" dla sl x S\ zob. rys. 8.9, 8.11 i 15.3). Wkrotce jednak stalo siy jasne, ze teoria strun na hipertorusie nie jest w stanie uwzglydnic aspektow chiralnych SI modelu standardowego (zob. rozdz. 25.3) i potrzebne bylo bardziej wyrafinowane podejscie. "Surowe wymagania" doprowadzily wtedy do tych 6-rozmaitosci, znanych pod naZWq przestrzeni Calabiego-Yau 52 . Przestrzenie owe Sq bardzo interesujqce z czysto matematycznego punktu widzenia i z tego powodu byly badane przez Eugenio Calabiego i Shing-Tung Yau. Stanowiq one przyklady rozmaitosci Kiihlera, co oznacza, ze charakteryzujq siy zarowno rzeczywistymi metrykami riemannowskimi, jak i strukturami zespolonymi (z tego powodu mogq byc interpretowane jako 3-rozmaitosci zespolone), przy czym obie te struktury Sq kompatybilne (w tym sensie, ze koneksja metryki zachowuje struktury zespolonq, z czego wynika, ze Sq
Magiczne przestrzenie Calabiego-Yau; teoria M 31.14
one rowniez rozmaitosciami symplektycznymi[31.61; zob. rozdz. 12.9 i 14.7, 8, gdzie przedstawione s,! odpowiednie pojC(cia). Przestrzenie Calabiego-Yau maj,! dodatkowe wlasnosci, ktore uwaza siC( za istotne dla teorii strun: maj,! one metryki plaskie w sensie Ricciego i s,! wyposazone w pola spinorowe, ktore S,! stale wzglC(dem koneksji metryki. Te stale pola spinorowe odgrywaj,! rolC( niezbC(dnych generatorow supersymetrii. Bez tych pol supersymetria nie bylaby mozliwa. Rozne pola spinorowe tego rodzaju, przy zadanym wyborze przestrzeni Calabiego-Yau, mog'l bye (formalnie) "obracane wzajemnie w siebie" dzialaniem elementow grupy symetrii. Grupa ta odgrywa zatem tc( sam,! rolC( jak grupy symetrii cz,!stek elementarnych. Trzeba podkreslie, ze symetria ta nie stosuje siC( bezposrednio do samych przestrzeni Calabiego-Yau w taki sposob jak symetria zastosowana do wlokna F jakiejs wi'lzki wloknistej, 0 czym dyskutowalismy w rozdz. 15. Istotnie, przestrzenie Calabiego-Yau nie maj,! (ci,!glej) symetrii i nie naleiy traktowae naszej lO-przestrzeni jako (nietrywialnej) wi,!zki wloknistej 6-przestrzeni Calabiego-Yau nad zwykl,! 4-czasoprzestrzeni'!. Zamiast tego (wewnC(trzne) symetrie cz,!stek odpowiadaj,! "obrotom" miC(dzy sob,! stalych pol spinorowych. Same przestrzenie Calabiego-Yau nie ulegaj,! tym przeksztalceniom symetrii53 • Teoria strun prowadzi wiC(c do bardzo szczegolnej, ajednoczesnie niezwyklej teorii TWU (zob. rozdz. 25.8 i 28.1-3). Ma ona ambicjC( ujC(cia calej fizyki cz'!stek elementarnych w odpowiednim schemacie "teoriostrunowym". Grupy symetrii, ktore pojawiaj,! siC( w ten sposob, S,! duzo wiC(ksze niz grupy modelu standardowego (rozdz. 25.5-7) ale, podobnie jak w przypadku innych TWU (rozdz. 25.8) uwaza siC(, ze jakas forma lamania symetrii odpowiada za redukcjC( tych grup do takich, ktore maj,! bezposredni zwi'!zek z modelem standardowym - aczkolwiek podobny program nie zostal jeszcze uwienczony powodzeniem. A jak przedstawia siC( pojC(cie jednoznacznosci? Niestety, istniej,! dziesi'!tki tysiC(cy klas roznych jakosciowo mozliwych rozwi'!zan dla przestrzeni Calabiego- Yau, a zatem schemat ten jest daleki od jednoznacznosci. W istocie, w ramach konkretnej klasy przestrzeni Calabiego-Yau, ilose roznych przestrzeni jest nieskonczona. Przestrzenie te S'l rozrozniane przez wartosci pewnych parametrow, nazywanych modulami (zob. rozdz. 31.11), ktore definiuj,! ich ksztalty (rys. 31.11), podobnie jak w przypadku powierzchni Riemanna (rozdz. 8.4, rys. 8.11). Istnienie tych modulow uwaza siC( za poz'!dane, poniewaZ ich zmiana prowadzi do zero-energetycznych modow drgan przestrzeni Y (omawianych w rozdz. 31.11), ktore traktujemy jako fizycznie realizowalne i otwieraj,!ce poszukiwan,! drogC( do fizyki cz'!stek elementarnych oraz obserwowalnych konsekwencji teorii strun. Jednak, jak juz 0 tym mowilismy w rozdz. 31.11, moze to prowadzie do niestabilnosci. jll [31.6] Czy wiesz, dlaczego w konsekwencji mUSZq one bye rozmaitosciami symplektycznymi? Wl-kaz6wka: skonstruuj Sab Zmetrykigab i struktury zespolonej J~, a nast'tpnie sprawdz, ze dS = 0 (zakladajqc, ze Sab jest nieosobliwa).
875
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
Rys. 31.11. "Ksztalt" przestrzeni Calabiego-Yau Y opisywany jest za pomoc,! liczby modu16w (por. rys. 8.10 i 8.11). Zmieniaj,!c te moduty, otrzymujemy zeroenergetyczne mody oscylacyjne y.
876
Istniej,! innego rodzaju niejednoznacznosci, bardziej moze zasadnicze niz niejednoznacznose Calabiego-Yau. Okazuje siC(, ze funkcjonuje piC(e roznych ogolnych schematow opisuj,!cych sposob, w jaki supersymetrie l'!cz'! ze sob,! "bozonowe" i "fermionowe" mody drgaj,!ce strun. Dysponujemy wiC(c piC(cioma roznymi teoriami strun, nazywanymi: typu I, typu IIA, typu lIB, heterotyczn'! 0(32) oraz heterotyczn'! Es xEs. Grupy 0(32) i Es x Es pojawiaj,! siC( w sposob opisany w poprzednich akapitach tego rozdzialu. (Oznaczenia tych grup wyjasnialismy w rozdz. 13.2, a grupa Es jest najwiC(ksz,! sporadycznq grup,! Liego.) Teorie typu I posluguj,! siC( strunami zarowno 0 otwartych koncach, jak i stanowi,!cych zamkniC(te pC(tle, wszystkie inne rozwazaj'! jedynie pC(tle zamkniC(te. Zaburzenia we wszystkich modelach mog,! rozchodzie siC( w sensie prawoskrC(tnym i lewoskrC(tnym54• Teorie typu IIA i lIB rozni,! siC( sposobem zwi,!zania ze sob,! prawo- i lewoskrC(tnych zaburzen. Struny heterotyczne S,! szczegolnie oryginalne z tego powodu, ze zaburzenia rozchodz,!ce siC( w lewD i w prawo mog,! naleZee do dwu czasoprzestrzeni 0 roznej wymiarowosci (odpowiednio 26 i 10). Trudno uznae, ze to rna jakis sens geometryczny - z pewnosci,! ja tak nie uwazam (!) - ale wydaje siC( zrozumiale z formalnego punktu widzenia. Uwaza siC(, ze obraz 10-wymiarowy jest odpowiedni z geometrycznego punktu widzenia, ale zaburzenia rozchodz'!ce siC( lewostronnie zachowuj,! siC( tak jak starsze (niesupersymetryczne) "struny bozonowe" z rozdz. 31.5, 7, ktore mialy zamieszkiwae 26-wymiarow,! przestrzen otoczenia. Jakjuz mowilismy, specjalisci od teorii strun raczej niespecjalnie martwi,! siC( tymi widocznymi niespojnosciami wymiarowosci przestrzennej, traktuj,!c problem wymiarowosci jako "efekt energetyczny" (rozdz. 31.10), a wobec tego pozbawiony znaczenia fund amentalnego. WiC(cej na ten temat powiemy w rozdz. 31.15, 16. Przez pewien czas pojawienie siC( wielu roznych modeli strunowych bylo przyczyn,! frustracji fizykow, bo wielu teoretykow zw'!tpilo w mozliwose dalszego postc(pu w tej dziedzinie. Wkrotce jednak powstaly prace wykazuj,!ce, ze miC(dzy tymi tak na pozor roznymi modelami zachodz'! swego rodzaju glC(bokie zwi,!zki. W 1995 roku Edward Witten wyglosil slynny wyklad55 , ktorym zapocz'!tkowal fazC( uznan'! za "drug,! rewolucjC( superstrunow'!". W wykladzie tym nakreSlil nowy program rozwoju teorii strun, calkowicie zmieniaj,!cy sposob widzenia tego formalizmu. Zasadniczym aspektem stalo siC( to, ze odwoluj,!c siC( do pewnych tajemniczych "operacji symetrii" (okreslanych jako "dualnose silna-slaba" alba "symetria lustrzana" 56 lub czasami "dualnosci S", lub S-, T- i U-dualnosci), mozna pokazae, iz rozne modele teorii strun S,! tak glC(boko ze sob,! powi,!zane, ze mog,! bye uznane za modele r6wnowaine. Niektore z tych teorii, w granicy malej skali, okazuj,! siC( toz-
Magiczne przestrzenie Calabiego-Yau; teoria M 31.14 same (w odpowiednim sensie) z innymi, rozpatrywanymi w gran icy duzej skali. Ponadto wyst«puj,! inne rodzaje zwi,!zkow symetrii, ogolnego typu, wynikaj,!ce z dualnosci teorii Yanga-Millsa (rozdz. 25.7), ktora jest analogiczna do dualnosci zachodz,!cej mi«dzy elektrycznosci'! a magnetyzmem w zwyklej teorii elektromagnetyzmu. (Porownajmy to rowniei: z dualnosci,!, jaka wyst«puje w teorii Chan-Thou, ktoq krotko przedstawilismy w rozdz. 25.8.) Ponadto okazuje si«, ze poszczegolne przestrzenie Calabiego-Yau S,! rowniez dualne wzgl«dem siebie na rozne sposoby. Jak dot,!d, 0 ile wiem, nie wszystkie z tych relacji zostaly udowodnione matematycznie S7 , choc pocz'!tkowe wnioski wynikaj,!ce z teorii strun, wsparte imponuj,!CYmi "dowodami poszlakowymi", zainspirowaly bardzo zaawansowane, czysto matematyczne badania, prowadz'!ce do gl«bszego zrozumienia rozmaitosci Calabiego- Yau i zwi¥kow zachodz'!cych mi«dzy nimis8. Jeden szczegolnie uderzaj,!CY przyklad owych "dowodow poszlakowych" wart jest przytoczenia. Wi'!ze si« on z pewnym specyficznym, calkowicie matematycznym problemem, z jakim specjalisci od geometrii algebraicznej borykali si« przez wiele lat. Problem ten ewidentnie nie rna nic wspolnego z fizyk,!, a raczej z policzeniem ilosci lazywych wymiemych w pewnych zespolonych 3-rozmaitosciachs9 • Krzywa wymierna jest krzyw,! zespolon'! (tzn. powierzchni,! Riemanna - zob. rozdz. 8) o genusie zero, tzn. 0 topologii sfery S2. Te zespolone 3-rozmaitosci okazuj,! si« przestrzeniami Calabiego-Yau, jakie, wedlug wymagan teorii strun - zgodnie z postulatami "drugiej rewolucji superstrunowej" - powinny, na drodze symetrii lustrzanej, byc zwi,!zane z niektorymi innymi przestrzeniami Calabiego-Yau. Symetria lustrzana w pewnym sensie przeksztalca struktury zespolone w struktury symplektyczne, wobec czego problem policzenia krzywych racjonalnych (holomorficznych) (co z technicznego punktu widzenia jest bardzo trudne) zostaje sprowadzony do znacznie prostszego i calkiem innego zagadnienia liczenia w "lustrzanej" przestrzeni Calabiego-Yau. Dwaj matematycy norwescy, Geir Ellingstrud i Stein Arilde Stn~mme, rozwin«li metody obliczeniowe, ktore umozliwily bezposrednie policzenie liczby krzywych racjonalnych (kolejnych rz«dow60 1, 2, 3 ... ) w ich przestrzeniach, i uzyskali kolejno liczby 2875, 609 250, 2 682 549 425, dla pierwszych trzech przypadkow. Z kolei Philip Candelas i jego wspolpracownicy, zaloZywszy, ze mi«dzy tymi przestrzeniami zachodz'! relacje symetrii lustrzanej, czyli mozna zastosowac znacznie prostsz,! procedur« obliczeniow'!, otrzymali liczby: 2875, 609250, 317 206 375. Poniewaz symetria lustrzana stanowila w owym czasie jedynie nieudowodniony "postulat fizyczny", uznano, ze identycznosc dwu pierwszych liczb w obu przypadkach byla przypadkowa i ze nie bylo powodu, aby przyj,!c liczb« 317 206 375, jak,! otrzymali Candelas i jego koledzy. Okazalo si« jednak niebawem, ze liczba uzyskana przez matematykow norweskich byla bl«dna - w wyniku bl«du w programie
877
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
komputerowym - i poprawiona wartosc powinna byc dokladnie taka jak uzyskana za pomocq argumentu lustrzanej symetrii! Od tej pory, korzystajqc z postulatu symetrii lustrzanej, obliczono kolejne liczby i uzyskano wyniki dla krzywych racjonalnych wyzszych rzC(dow (4, 5,6 ... , 10): 242 467 530 000 229 305 888 887 625 248 249 742 118022000 295 091 050 570 845 659 250 375 632 160937476 603 550 000 503840510416985243645 106250 704288164978454686113 488 249 750 To bardzo piC(kny przyklad, dobitnie wskazujqcy na to, ze jakas tajemnica wciqZ jest przed nami ukryta. Z pewnosciq mamy do czynienia z faktem najzupelniej nieoczywistym, ktory powinna nam wyjasniC matematyka, i dlatego pojawilo siC( wiele prac matematycznych poswiC(conych temu problemowi61 • lednak wazniejsze jest fizyczne znaczenie tych wynikow. Czy mamy prawo wyciqgnqc wniosek, ze skoro teoria stron pozwolila uzyskac glC(boki i nieoczekiwany wglqd w zagadnienie matematyczne, to rna ona rowniez glC(boki sens jizyczny? Taki wniosek z pewnosciq jest daleki od oczywistosci. Witten uwaza, ze teoria strun, w takiej postaci, jak jq rozumielismy do tej pory, jest jedynie "szczytem gory lodowej" albo, inaczej, przedstawia "piC(c szczytow" pewnej tajemniczej, dotqd nieznanej teorii, ktoq ochrzcil mianem "teorii M"; zob. rys. 31.12. Ta nowa teoria - gdy tylko jq znajdziemyusunie i zastqpi wszystkie inne teorie strun zaproponowane do tej pory. Tajemnicza teoria M rna nie tylko objqc wszystkie modele teorii strun, ale zawierac takZe wiele innych idei zwiqzanych ze strunami i supersymetriami. Struny uWaZa siC( obecnie za szczegolny przypadek ogolniejszych obiektow, zawierajqcych stroktury 0 wyzszych (a nawet 0 nizszych) wymiarach. Obiekty te nazywane Sq membranami (albo p-branami lub po prostu branami) i majq one p wymiarow przestrzennych i jeden wymiar czasowy, co powoduje, ze wstC(gi swiata Sq (1 + p)-wymiarowe; zob. rys. 31.13. Wprowadza siC( rownieZ pewne struktury czasopodobne zwane D-branami, 0 ktorych powiemy wiC(cej w rozdz. 31.17. TypliB
878
ll-wymiarowa supergrawitacja
Rys. 31.12. Tajemnicza "teoria M" glosi, ze piyc roznych modeli teorii strun, powiqzanych relacjami dualnosci S, T i U, oraz ll-wymiarowa supergrawitacja stanowiq szesc roznych aspektow jednej i tej samej, na razie nieodkrytej struktury.
Struny i entropia czarnych dziur 31.15
.... p-wym.
Struna = l-brana
p-brana
Rys. 31.13. Membrany (albo p-brany lub, po prostu, brany) majq p wymiar6w przestrzennych i 1 wymiar czasowy, wstl(ga Swiata jest wil(c (1 + p)-wymiarowa. Struktury te, razem ze zwyklymi strunami (l-brany), stanowiq elementy skladowe nieznanej teorij M.
W innych pracach sugeruje siy, ze teoria M obejmuje rowniez ll-wymiarow~ teori« supergrawitacji, 0 ktorej zaledwie wspomnielismy w rozdz. 31.4. W istocie, o samej teorii M myslimy jako 0 teorii ll-wymiarowej, a zatem zagadka wymiarowosci rna prawdopodobnie blizszy zwi~zek z 10-wymiarowymi teoriami strun niz z 11-wymiarow~ supergrawitacj~. Fakt, ze 11 wymiarow wydaje siy "dozwolonych" dla spojnej teorii typu strunowego, jest konkluzj~, ktor~ zawdzi«czamy Wittenowi. Wedlug niego pocz~tkowy argument, iZ potrzebujemy "jeden plus dziewiye" wymiarow do usuni«cia anomalii kwantowej strun, 0 ktorej mowilismy w rozdz. 31.7, jest w pewnym sensie jedynie przyblizeniem (zwi~zanym czysciowo z pojawieniem si« tych wyzej wymiarowych "bran") i bardziej poprawna odpowiedz wynosi 11 (= 1 + 10, tzn. 1 wymiar czasowy i 10 przestrzennych)62. Ale nawet 11 wymiarow nie zadowala teoretykow strun. Istniej~ sugestie, ze naleZy przejse do teorii wyzej wymiarowej, a nawet do jeszcze bardziej tajemniczej "teorii F", ktora rna 12 wymiarow (12 = 2 + 10, a wiyc 2 wymiary czasowe)63! Jak to mozliwe, zeby teoria z 11-wymiarow~ (a bye moze 12-wymiarow~) "czasoprzestrzeni~" mogla si« redukowae, w przejsciach granicznych niskiej lub wysokiej energii, do roznych teorii, z ktorych kaZda (oprocz jednej) charakteryzuje siy czasoprzestrzeni~ 1O-wymiarow~? Ponownie wydaje siy, ze t« rozbieznose w czasoprzestrzennej wymiarowosci mozna traktowae jako "efekt energetyczny" (rozdz_ 31.10), a wi«c nic specjalnie fundamentalnego. Wyobrazmy sobie, ze dziyki uzyskaniu coraz wyzszych energii mozna b«dzie postrzegae coraz wiycej wymiarow czasoprzestrzeni. Za pomoc~ takiego rozumowania zwolennicy teorii strun chyba usprawiedliwiaj~ swoj nonszalancki stosunek do wymiarow ich czasoprzestrzeni! W rozdz. 31.11, 12 pokazalem juz, dlaczego trudno mi pogodzie siy z takim podejsciem. W moim przekonaniu problemy z ogromn~ roznic~ funkcjonalnych stopni swobody w przypadku roznych wymiarow przestrzeni64 nie s~ wyjasnione w sposob zadowalaj~cy. Podobnie czekaj~ na objasnienie inne zagadnienia, ktore stanowi~ dzisiaj przedmiot zainteresowan wielu teoretykow, 0 czym krotko opowiem w dalszej cZysci ksi~zki. 31.15 Struny i entropia czarnych dziur
Przypomnijmy sobie z rozdz. 27.10 i 30-4, ze wzor Bekensteina-Hawkinga przyporz~dkowuje czarnej dziurze entropiy proporcjonaln~ do pola powierzchni jej horyzontu. Aczkolwiek podano szereg argumentow na rzecz takiego wniosku, to zaden z nich nie wi~ze w sposob jawny i jednoznaczny65 entropii czarnej dziury z logaryt-
879
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
880
mem objytosci przestrzeni fazowej,jak tegowymaga wzor Boltzmanna (rozdz. 27.3). Wymagaloby to bezposredniego policzenia stopni swobody "straconych w dziurze" i takie obliczenia musiatyby bye wykonane w ramach odpowiedniej kwantowej teorii grawitacji. Tymczasem w 1996 roku Andrew Strominger i Cumrun Vafa przedstawili rachunki66, z wykorzystaniem strun i membran, ktore uzasadnialy interpretacjy wzoru na entropiy Bekensteina-Hawkinga jako metody obliczenia liczby stopni swobody. Zwolennicy teorii strun natychmiast oglosili, ze "wreszcie rozwiqzano 25-letniq zagadky"67. J ak zwykle w przypadku takich proklamacji zwolennikow teorii strun wniosek ten byl mocno przesadzony. Na przyklad oryginalne obliczenia Stromingera i Vafy zostaly przeprowadzone dla czarnych dziur w czasoprzestrzeni 5-wymiarowej. P6Zniejsze prace pozwolity zastosowae ich metody do zwyktej 4-czasoprzestrzeni, ale poczqtkowy entuzjazm oparty byl na obliczeniach w 5-wymiarach. Co wiycej, wszystkie te rezultaty "teoriostrunowe" dotyczq jedynie specjalnego przypadku granicznego "dziury ekstremalnej" (lub zaburzen na zewnqtrz niej), dla ktorego temperatura Hawkinga (zob. rozdz. 30.4) wynosi zero i w ktorym czarne dziury zwiqzane Sq z dodatkowymi supersymetrycznymi polami Yanga-Millsa, a te nie majq na razie zadnego fizycznego uzasadnienia. Ponadto obliczenia przeprowadzono w plaskiej pnestrzeni, w ktorej nie rna rzeczywistego horyzontu zdarzen, i argumentowanie, ze wyniki stosujq si(( takZe do znaCZqCO zakrzywionej metryki czarnej dziury, stanowi jedynie ekstrapolacjy. Pozwoly sobie na kilka stow wyjasnienia. W rozdz. 27.10 przekonalismy siy, ze w zwyklej ogolnej teorii wzglydnosci prozni, gdzie czasoprzestrzen rna cztery wymiary, stacjonarna izolowana czarna dziura opisywana jest metrykq Kerra, charakteryzujqcq siy doktadnie dwoma (nieujemnymi) parametrami rzeczywistymi m i a, gdzie m jest masq, a a x m jej momentem pydu (w jednostkach naturalnych). Aby geometria Kerra opisywala rzeczywistq czarnq dziury, a nie jakqs golq osobliwose (rozdz. 28.8), zqdamy, aby m ~ a. (Zauwazmy na przyklad, ze nierownose ta jest konieczna, abyprawdziwy bylwzorA = 81t11l[m + (m 2 _a 2)!]G 2/c 4 z rozdz. 27.10, dla pola powierzchni horyzontu dziury Kerra.) Ekstremalny przypadek czarnej dziury pojawia siy wtedy, gdy m = a, co jest granicznq mozliwosciq uznania jej za "czarnq dziur((". Jest to istotnie graniczny (nieosiqgalny w astrofizyce) przypadek czarnej dziury, z temperaturq Hawkinga rownq zeru. Wszystko to mozemy porownae z procesem, jakiemu podlega jawna "czarna dziura" teorii strun, ktora jest rowniez "ekstremalna", w tym sensie, ze jej temperatura Hawkinga znika. Jednak wszystkie obliczenia teorii strun dotyczq zupelnie innego zjawiska! Zamiast obrotu - na co pozwala obecnose parametru Kerra a wprowadza siy dodatkowe pol a fizyczne. "Dziura" teorii strun jest wzorowana na rozwiqzaniu rownania Einsteina autorstwa Reissnera-Nordstnilma, ktore, wodroznieniu od rozwiqzania Kerra, jest sferycznie symetryczne. W miejscu parametru a wprowadza siy parametr e, ktory oznacza calkowity ladunek elektryczny dziury, a metryka Reissnera-Nordstr0ma jest rozwiqzaniem rownan Einsteina-Maxwella
Struny i entropia czarnych dziur 31.15
(rozdz. 31.4), to znaczy rownan Einsteina, w ktorych tensor energii-pydu odpowiada bezzrodlowemu polu Maxwella68 • Pole powierzchni horyzontu podaje teraz podobnie wyglqdajqcy wzor: A
= 8n[m + (m 2- e2)t]2G2/c 4•
Warunkiem na to, zeby owa metryka reprezentowala czarnq dziury, a nie jakqs golq osobliwosc, jest m ~ lei, a warunkiem, zeby dziura byla ekstremalna (temperatura zero), jest m = lei- (Znak wartosci bezwzglydnej - zob. rozdz. 6.1 - pozwala, aby ladunek byl ujemny.) Typ "czarnej dziury", jakq glownie zajmujq siy specjalisci od teorii strun, jest w zasadzie taki sam jak w przypadku Reissnera-Nordstr!/lma, a roznicy stanowi zastqpienie pol a Maxwella supersymetrycznq rodzinq pol Yanga-Millsa (rozdz. 25.7). Calkowite rozwiqzanie jest w efekcie szczegolnym przypadkiem stanu BPS ("BPS" oznacza tu "Bogomolnyj-Prasad-Sommerfeld"), w ktorym rozwiqzanie okreslajq wymagania supersymetrii, stacjonarnosci i minimum energii. Nie chcy zajmowac siy analizowaniem znaczenia takiego rozwiqzania. Aczkolwiek zagadnienia tego rodzaju interesujq specjalistow od teorii strun i badaczy zajmujqcych siy supersymetriami, na razie nie rna zadnego dowodu ich znaczenia dla rzeczywistego swiata fizycznego (zob. rozdz. 31.2). A co powiemy 0 fakcie, ze obliczenia strunowych stopni swobody dokonywane Sq w plaskiej przestrzeni, gdzie nie istnieje horyzont zdarzen? Poniewaz znam dobrze ogolnq teoriy wzglydnosci Einsteina, wiyc uwazam to za jeden z najbardziej zagadkowych aspektow ustalen propagowanych przez zwolennikow teorii strun. Trudno przyjqc, ze mozna uzyskac scisle wnioski dotyczqce czarnych dziur bez naleZytego uwzglydnienia geometrii bardzo zakrzywionej czasoprzestrzeni czarnej dziury, przy ktorej "informacja" w momencie jej powstawania jest pochlaniana poza horyzontem zdarzen. Sprobujmy uzyskac przyblizone wyobrazenie 0 tym, jak wyglqda argumentacja w teorii strun69 • Na poczqtek wyobrazmy sobie, ze oszacowujemy liczby fizycznych stopni swobody przez policzenie roznych mozliwych pytli strun, 0 dlugosci I, na sieci 0 skali Plancka, powiedzmy wewnqtrz sferycznej objytosci 0 ustalonym promieniu, a struny dajq calkowity wklad masy-energii M. Zakladamy, ze mamy do dyspozycji aktualnq wartosc stalej grawitacyjnej Newtona G. Dla dostatecznie malych G nie bydzie zadnych czarnych dziur, a w granicy G dqZqcego do zera czasoprzestrzen staje siy plaska. Ale jesli wyobrazimy sobie stopniowo rosnqce G ("uruchamiajqc stalq Newtona"), dojdziemy do sytuacji, w ktorej, zgodnie z ogolnq teoriq wzglydnosci, utworzy siy czarna dziura (przypomnijmy sobie wzor Michella 2MG/c2 na promien "newtonowskiej czarnej dziury" - zob. rozdz. 27.8). W teorii strun G zaleZy od parametru gs' zwanego stalq sp1Z~ienia strunowego, i okazuje siy, ze ze wzrostem gs - G rosnie (G W granicy malych G (male gs) logarytm z liczby strunowych stopni swobody (rozdz. 27.3) daje wyrazenie na entropiy identyczne z wartosciq Bekensteina-Hawkinga dla czarnej dziury, pomimo ze zadnej czarnej
is).
881
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
882
dziury nie rna. Przeprowadza siy wtedy operacjy skalowania, aby pokazae, ze ta relacja zostaje zachowana, gdy G rosnie, w efekcie otrzymuje siy wzor Bekensteina-Hawkinga, gdy dochodzimy do stadium czarnej dziury. Ta procedura daje tylko jakosciow,! odpowiedniose miydzy obliczeniem strunowych stopni swobody a wzorem Bekensteina-Hawkinga 5 SH =iA x kc 3/GI1, potwierdzaj,!c przyblizon'! proporcjonalnose miydzy entropi,! strunow,! a polem powierzchni czarnej dziury A. Aby uzyskae dokladn,! wartose iA, Strominger i Vafa rozwaiyli stany BPS, dla ktorych wymagania supersymetrii pozwalaj,! wyrazie masy za pomoq roznych wartosci "ladunku" (dla supersymetrycznych pol Yanga-Millsa) i dla ktorych zamiast przeliczania konfiguracji strunowych zlicza siy wszystkie rozne stany BPS70, jakie daj,! wklad do calego rachunku (wszystkie stany BPS z zadanym zbiorem ladunkow). Rachunek ten mozna przeprowadzie explicite i logarytm uzyskanej liczby daje, rzeczywiscie, dokladn,! wartose iA (w przypadku ekstremalnym). Ale nie tylko, bo (jak wykazaly pozniejsze prace) w efekcie zaburzenia stanu ekstremalnego (czyli wtedy, gdy temperatury Hawkinga s,! infinitezymalnie wiyksze od zera) nadal otrzymuje siy poprawn,! wartose entropii, a takZe pewne niewielkie poprawki do czysto "czarnocialowej" natury promieniowania Hawkinga. Co wiycej, wszystko to jest sluszne, gdy wystypuje rotacja, oraz w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni. Uwazny czytelnik moze bye zdziwiony, sk,!d w teorii strun pojawia siy "inna stala" gs' podczas gdy wszystko powinno bye ustalone przez zadanie stalej strunowej a' (rozdz. 31.8, 9) jako jedynego parametru wystypuj,!cego w lagranzjanie. Odpowiedz sprowadza siy do tego, ze nie wszystko zostalo ustalone, poniewaz musi zostae zadana pewna wartose, charakterystyczna dla pol a dylatonowego (rozdz. 31.8). Wartose gs zadana jest przez wartose oczekiwan'!71 tego pola dylatonowego, o ktorym zaklada siy, ze jest stale. W ogolnym przypadku pole dylatonowe nie musi bye stale, ale czysto dla wygody (jak w przedstawionej dyskusji) za takie siy je uwaza. Jego wartose zaleiy od wielu czynnikow, takich jak szczegolny wybor przestrzeni Y (0 skali Plancka) oraz wybor typu teorii strun (a wiyc typu I, IIA, lIB, heterotycznej 0(32) lub heterotycznej Es xEs; zob. rozdz. 31.14). W istocie ta zaleznose podkresla dualnose silna/slaba z rozdz. 31.14, gdyz gs jednej teorii jest odwrotnosci,! gs teorii "dualnej". Czytelnik zapewne zauwaiy, ze moim zdaniem po dane argumenty s,! dalekie od rzeczywistego wyprowadzenia SSH w teorii strun pomimo tych znacz'!cych zgodnosci. Wiem, ze podobnie mieszane uczucia maj,! inni specjalisci od ogolnej teorii wzglydnosci, glownie z powodu faktu, ze tak istotna dla wyznaczenia entropii wlasciwose czarnej dziury, jak,! jest istnienie horyzontu zdarzen, raczej nie odgrywa tutaj jakiejkolwiek roli. (Mamy tu wyrazny kontrast z dyskusj,! entropii czarnej dziury w terminach zmiennych pytlowych, do czego przejdziemy w rozdz. 32.6). Rzeczywiscie, w obrazie teorii strun entropia w momencie powstawania czarnej dziury prawie w ogole nie wzrasta, co daje kompletnie inny od zwyklego punkt widzenia (opisany w rozdz. 27.10).
Zasada holograficzna 31.16
Dodatkowo powinienem wspomniee 0 pewnej szczegolnej trudnosci 0 charakterze technicznym, zwiqzanej z argumentacjq strunowq w takiej formie, w jakiej jest przedstawiana72 • Wiqze sit( to z osobliwq wlasciwosciq termodynamicznq czarnych dziur, ktora polega na tym, ze dla malych momentow pt(du majq one ujemne eieplo wlaseiwe (zob. przyp. 2 z rozdz. 27). Cieplo wlasciwe ciala okresla sit( przez zmierzenie, 0 ile wzrosnie jego temperatura po dostarczeniu mu danej, niewielkiej ilosci energii cieplnej. W przypadku normalnego ciala cieplo wlasciwe jest liezbq dodatniq, a nasze codzienne doswiadczenie pokazuje, ze jesli cialu dostarczymy ciepla, to jego temperatura wzrosnie. Jednak w przypadku czarnych dziur okazuje sit(, ze jest odwrotnie. Dostarczenie energii cieplnej oznacza zwit(kszenie masy dziury (na zasadzie relacji E = me 2), wobec czego masa dziury wzrasta. Na mocy relacji Hawkinga TBH = 1!8n/m dla dziury Schwarzschilda (rozdz. 30.4) jej temperatura maleje, a zatem jej cieplo wlasciwe jest rzeczywiscie ujemne. Ta ciekawa wlasnose ciepla wlasciwego czarnej dziury powinna sprawiae klopot przywyznaczaniu entropii czarnych dziurw podejsciu przyjt(tym w teorii strun, jesli rna ono miee zastosowanie do czarnych dziur niezbyt blisko sytuacji ekstremalnej. Chodzi 0 to, ze w tej argumentacji cieplo wlasciwe musi bye dodatnie, natomiast cieplo wlasciwe czarnej dziury jest dodatnie tylko w przypadku bliskim ekstremalnego. Faktycznie okazuje sit(, ze cieplo wlasciwe jest dodatnie tylko gdy m > a > (2.J3 - 3)112 m w przypadku Kerra i tylko gdy m > e > m.J3/2 w przypadku Reissnera-Nordstr(llma, i podobnie w przypadku wszystkich innych naladowanych pol Yanga-Millsa. Rzeczywiscie, z tych obliczen w ramach teorii strun wynikajq czasem zaskakujqce relacje. Moim zdaniem jednak nie pozwalajq one podae niezaleznego uzasadnienia wzoru na entropit( Bekensteina-Hawkinga. Metoda zmiennych pt(tlowych (krotko przedstawiona w rozdz. 32.6) oferuje chyba duzo bardziej wlasciwe, kwantowograwitacyjne podejscie do tego problemu.
31.16 Zasada holograficzna
Zarowno przedstawione argumenty "teoriostrunowe", jak i praktycznie wszystkie obliczenia w teorii strun majq charakter perturbacyjny. Ostatnio jednak pojawily sit( nowe idee, ktorych intencjq jest uzyskanie wynikow dokladnych. Sq one zwiqzane z roznymi wariantami pojt(cia "hipotezy holograficznej", ktore zyskalo status zasady holograJieznej. Idea tej "zasady" polega na tym, ze w odpowiednich warunkach stany (kwantowej) strunowej teorii pol a, zdefiniowanej na pewnej czasoprzestrzeni M, mogq zostae postawione we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniosci ze stanami innej KTP, zdefiniowanej na innej czasoprzestrzeni £ 0 nizszym wymiarze! CZt(sto czasoprzestrzen £ jest przedstawiana tak, jakby byla (czasopodobnym) brzegiem M alba przynajmniej jakqs konforemnie gladkq czasopodobnq podrozmaitosciq M (zob. rys. 31.14). W zwyklym przypadku, ktory za chwilt( zbadamy, jest jednak inaczej. Zasadt( holograficznq uwaza sit( w pewnym sensie za analo-
883
31
Supersymetria. wymiary dodatkowe i struny
c
Rys. 31.14. "Zasada ho!ograficzna"? Czasoprzestrzen jest (czasopodobnym) brzegiem innej czasoprzestrzeni M. lWierdzi sit<. ze odpowiednia KTP na c moze bye r6wnowai:na KTP strun na M.
giczn1J, do hologramu, na ktorym postrzegamy obraz 3-wymiarowy, ogl1J,daj1J,c (w zasadzie) 2-wymiarow1J, powierzchniy73 • Najbardziej znana postae tej "zasady holograficznej" pochodzi z pracy Juana Maldaceny z 1998 roku i jest czasami nazywana hipotezq Maldaceny (Maldacena conjecture) alba hipotezqADS/CFT['l. W tym przypadku M jest (1 + 9)-wymiarowym iloczynem AdS5 x S5, gdzie AdS5 jest ("rozwiniyt1J,") (1 + 4)-wymiarowq pnestneniq anty-de Sittera (zob. rozdz. 28.4, rys. 28.8 i 28.9b - ale tutaj mamy cztery wymiary przestrzenne). S5 jest przestrzennopodobnq 5-sferq, ktorej promien 1 rna rozmiar kosmologiczny, rowny (- A')', gdzie A' jest (ujemnq) stalq kosmologiczn1J, AdS5 (rozdz. 19.7). Mniejsza przestrzen E rna stanowiC 4-wymiarowq "skraj" (scri, tzn. nieskonczonose konforemn1J, - zob. rozdz. 27.12) AdS5; zob. rys. 31.15. Zatem E, byd1J,c 4-wymiarowq, z pewnosciq nie moze bye w tym przypadku brzegiem M, poniewaz M = AdS5 X S5 jest lO-wymiarowa. Natomiast "brzegiem"a wiyc "skraj" - przestrzeni M moze bye (ale nie konforemnie) Ex S5. Hipoteza Maldaceny sugeruje, ze teoria strun na AdS5 x S5 powinna bye rownowazna pewnej supersymetrycznej teorii Yanga-Millsa na E. W tym przypadku nie mamy mozliwosci odwolania siy do argumentu "energii kwantowej", wysuniytego w rozdz. 31.10 w celu wyjasnienia wielkiej rozbidno sci miydzy liczb1J, stopni swobody zwyklego pola na M, ktora wynosi OOMoo9, i zwyklego pola na E, wynoszqC1j, ocfoc? Poniewaz dodatkowe wymiary M - 0 rozmiarach kosmologicznych - w zadnym razie nie mogq bye uwazane za male,
~.-~- .' ' ' ' 'i•..,..;;.~.::,..,.:::~ AdS ~
5
•• "".-.' 'r.Jo'"
I
~
x
c rna tu bye 4-wy"skraj" (nieskonczonosci~ konforemn~; rozdz. 27.12) 5-przestrzeni anty-de Sittera AdS 5(zob. rys. 28.9b), a nie lO-wymiarowej M = AdSs X S5, jednak sugeruje sit<. ze teoria strun na M bt
884
[*] ADS/CFf = Anti-de Sitter/Conformal Field Theory, a zatem powiedzielibysmy: model anty-de SitteralKonforemna Teoria Pola (przyp. Hum.).
Zasada holograficzna 31.16
zalew dodatkowych stopni swobody, pochodz<j,cych od zaleznosci tych p61 na czt(sci S5 przestrzeni M, uniemozliwia pogodzenie tych dwu teorii p6l. To sarno dotyczyloby zwyklych KTP na M i E, poniewaz stany jednocz<j,stkowe same S<j, opisywane przez "zwykle pola" (zob. rozdz. 26.2). Jedyn<j, szans<j, dla zasady holograficznej, aby mogla odnosie sit( do tych przestrzeni, jest to, zeby rozwazane KTP nie przypominaly "zwyklych" KTP. W przypadku teorii strun na M mamy pewnose, ze istniej<j, mocne warunki zgodnosci, kt6re drastycznie redukuj<j, liczbt( rxfEoo9 okreslaj<j,C<J: liczbt( stopni swobody. Mimo wszystko wygl<j,da to malo prawdopodobnie. Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 21, 22.8 i 16.7, ze stan kwantowy pojedynczej cZ<j,stki w (1 + n)wymiarowej czasoprzestrzeni rna swobodt( okreslon<j, liczb<j, oc!ocJ!, gdzie P jest pewn<j, liczb<j, naturaln<j, opisuj<j,C<J: liczbt( wewnt(trznych i obrotowych (np. spinowych) stopni swobody cZ<j,stki. Stan kwantowy pojedynczej struny moze miee duzo wit(ksz<j, swobodt(, poniewaz klasyczna struna wyposazona jest w nieskonczenie wiele stopni swobody. Jesli liczba (1:locJ! rna bye w jakis spos6b zredukowana, to musz<j, istniee ogromne obostrzenia, bye moze takie, kt6re prowadz<j, do ograniczen na wymiary czasoprzestrzeni i krzywiznt(, 0 kt6rych mowa w rozdz. 31.7. Nie slyszalem, zeby zaproponowano takie ograniczenia, kt6re zdecydowanie wplynt(lyby na obliczenie stan6w strunowych rozwazanych w rozdz. 31.15. Pozostaje wit(c mozliwose znalezienia wyjasnienia za pomoC<J: wielkiego wzrostu stopni swobody p61 supersymetrycznych Yanga-Millsa na E. Jedynym sposobern, w jaki mozna by to osi<j,gn<j,e, byloby rozwaZenie nieskonclOnej liczby takich p61, co daloby sit( uzyskae dzit(ki przejsciu do granicy N ~ 00 (N jest liczb<j, generator6w supersymetrii). W zwyklej postaci tej zasady rozpatruje sit( przypadek N = 4, zeby miee do czynienia z "grup<j, wewnt(trzn<j," SO(6) dzialaj<j,c<j, na partner6w supersymetrycznych, ale niezmieniaj<j,c<j, potencjal6w Yanga-Millsa 74 • Symetria wewnt(trzna jest tak dobrana, aby zachowala zgodnose z symetri<j, SO(6) na S5, wystt(puj<j,c<j, w AdS 5 X S5. Moim zdaniem fundamentalnym nieporozumieniem jest pr6ba dopasowania "symetrii czasoprzestrzeni" do grupy symetrii wewnt(trznych tego rodzaju - chyba ze tak jak w oryginalnej teorii Kaluzy-Kleina (rozdz. 31.4), symetria czasoprzestrzeni zostanie wyspecyfikowana jako symetria dokladna dzit(ki istnieniu p61 Killinga, i wtedy musz<j, sit( do niej stosowae wszystkie pola fizyczne na tej czasoprzestrzeni. Nadmiar stopni swobody w formule ooMoo9 pochodzi dokladnie st<j,d, ze nie wystt(puje zadna konkretna symetria na czt(sci S5 przestrzeni M, kt6rej podlegalyby wszystkie pol a na M. Jestem przekonany, ze znaczenie tego rodzaju rozbieznosci w swobodzie funkcjonalnej jest niestety niedoceniane. "Rozmiary" przestrzeni Focka (zob. rozdz. 26.6, przyp. 12 z rozdz. 26) stan<j, sit( inne, gdy zupelnie r6zne bt(d<j, stopnie swobody p61 klasycznych. Naleiy zauwaZye, ze warunek dodatnich cz~stosci, wymagany w stosunku do jednocz<j,stkowych stan6w w KTP, nie zmienia wartosci ooMd'I dla liczby stopni swobody p61 klasycznych. Kompensuje on jedynie fakt, ze pola klasyczne, gdy przechodzimy do opisu w KTP, musz<j, bye kompleksyfikowane; lOb. rozdz. 26.3.
885
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
Dlaczego tak powaznie traktuje sit( hipotezt( ADS/CFT? S~dzt(, ze opiera sit( ona na zauwazonym przez Maldacent( zwi~zku mit(dzy stan ami BPS po obu stronach, a takZe na pewnych innych odpowiedniosciach. Wiele tych ostatnich mozna wywnioskowac po prostu na podstawie odpowiedniosci mit(dzy grupami symetrii teorii pola po obu stronach (SO(2,4) i SO(6», jednak istnieje wiele innych "koincydencji", ktore wymagaj~ wyjasnienia. Powodem wiary w to, ze hipoteza ADS/CFT jest prawdziwa, pozostaje zapewne nadzieja na to, iz za jej pomoc~ uzyskamy teorit( strun bez uciekania sit( do zwyklych metod perturbacyjnych, ze wszystkimi surowymi ograniczeniami, jakie te metody nios~ ze sob~. Rachunki po stronie przestrzeni E s~ latwiejsze, poniewaz przestrzen ta jest konforemnie plaska (czasami okresla sit( j~ jako "plask~", pomimo ze nie rna wlasciwej metryki, jedynie metrykt( konforemn~ 0 sygnaturze + - - -). Jest to uniwersalna przestrzen nakrywaj~ca (przyp. 9 z rozdz. 15) "uzwarconej przestrzeni Minkowskiego", do ktorej przejdziemy75 w rozdz. 33.3, wyposaZona w topologit( S3 x ]BJ1. Przestrzen metryczna S3 x ]BJ1 nazywana jest czasami "cylindrem Einsteina" albo "wszechSwiatem Einsteina", stanowi bowiem model kosmologiczny faworyzowany przez Einsteina w latach 1917-1929, gdy wl~czal stal~ kosmologiczn~ do swojego rownania pol a (rozdz. 19.7?6. Hipoteza ADS/CFT powstala jako inny sposob "wyprowadzenia", w teorii strun, formuly Bekensteina-Hawkinga na entropit( czarnej dziury (rozdz. 31.15). W tym celu "czarn~ dziurt(" przedstawia sit( jako "stan cieplny" na E. To mialoby znaczenie jedynie w odniesieniu do czarnych dziur 0 rozmiarach kosmologicznych, a zatem, w najlepszym wypadku, prowadzi do "postulatu" opartego na pewnych godnych uwagi zgodnosciach mit(dzy roznymi sposobami obliczenia entropii, aniZeli stanowi rzeczywiste wyprowadzenie formuly Bekensteina-Hawkinga.
31.17 Perspektywa D-bran
886
W roznych punktach przedstawionej dyskusji, a szczegolnie w rozdz. 31.11,12,15, 16, wyrazalem moj niecht(tny stosunek do zastosowania w teorii strun czasoprzestrzeni wyzej wymiarowych. Jednym z moich fundamentalnych zastrzeZen jest ogromny wzrost swobody funkcjonalnej w teoriach wyzej wymiarowych (cdc.dJ w przypadku czasoprzestrzeni 0 (1 + M) wymiarow), w zwi~zku z czym uWaZam, ze powinny znalezc sit( jakies sposoby zamrozenia tej nadmiernej swobody. Przypomnijmy sobie analogit( "wt(za gumowego", zilustrowan~ na rys. 15.1 i rys. 31.3. To, co postrzegamy jako "punkt czasoprzestrzenny", jest w pelni dynamiczn~ wielkosci~ - opisywan~ tutaj jako okr~g, lecz w ogolnym przypadku jest to obiekt wysokowymiarowy i st~d bierze sit( ta ogromna dodatkowa swoboda. Przypomnijmy, ze Kaluza i Klein zmniejszyli tt( swobodt(, z~daj~c istnienia wektora Killinga, skierowanego wokol wt(za, i tym sposobem zredukowali czasoprzestrzen do czterech wymiarow. Z matematycznego punktu widzenia jest to uprawniona procedura, jednak, jak sit( wydaje, nigdy nie uZyta w teorii strun. Zamiast tego, jak wyjasnialismy
Perspektywa D-bran 31.17
w rozdz. 31.10, specjalisci od teorii strun odwolujq sit( do gigantycznych wartosci energii, jaka bylaby niezbt(dna do wzbudzenia oscylacji w tych wyzszych wymiarach. Jak przekonalismy sit( w rozdz. 31.11, 12, mamy wszelkie podstawy, aby kwestionowae ten sposob argumentacji. Aktywnose teorii strun rna takq wlasnose, ze trudno jq zaatakowae za pomocq jakichS specyficznych argumentow, podanych na przyklad w rozdz. 31.11, 12, 16, albowiem natychmiast dokonuje ona metamorfozy do jakiejs innej postaci i cala krytyka traci sens77 • Rzeczywiscie, zgodnie z ostatnimi innowacjami w sposobie ujmowania wyzszych wymiarow mozna calkowicie zmienie tt( filozofit(, nie przyznajqc oficjalnie, ze jakas zmiana w ogole sit( dokonala. ChociaZ nie musi to bye koniecznie klarowny punkt widzenia "glownego nurtu" teorii strun (cokolwiek by to mialo znaczye), wprowadzenie "filozofii D-bran" moze miee taki wlasnie charakter. Ale najpierw zapytajmy, czym Sq D-brany. Do czego Sq one potrzebne w teorii strun? W odpowiedzi na drugie pytanie - wydaje sit(, ze majq sens w odniesieniu do strun otwartych, jakie pojawiajq sit( w teorii typu I (rozdz. 31.14): kaZdy z dwoch koncow otwartej struny musi znajdowae sit( na jakiejs D-branie (rys. 31.16). W odpowiedzi na pytanie pierwsze powiemy, ze D-brana (albo D-q-brana) jest strukturq czasopodobnq 01 + q wymiarow czasoprzestrzennych (tzn. q wymiarow przestrzennych i 1 wymiar czasowy), ktora jest stabilnym rozwiqzaniem teorii 11-wymiarowej supergrawitacji. (Przywolujqc jednq z dualnosci teorii M, mozemy alternatywnie uWaZae D-brant( za rozwiqzanie rownan pewnej innej wersji strunowej teorii M.) W zasadzie jest to "brana" (podobnie jak opisana w rozdz. 31.14) 0 pewnym wymiarze (0, 1,2, ... ,9), ktora jest stanem BPS (zob. rozdz. 31. 15, 16), a wit(c rna pewien zbior "ladunkow" Yanga-Millsa i minimum energii. D-brany pojawiajq sit( w wielu dyskusjach zwiqzanych ze wspolczesnq teoriq strun (np. w dyskusji entropii czarnych dziur - zob. rozdz. 31.15). Istnieje tendencja traktowania ich tak, jakby byly obiektami klasycznymi wewnqtrz pelnej czasoprzestrzeni 01 + 9 (albo 1 + 10) wymiarow. Litera D oznacza "Dirichleta", przez analogit( do pewnego problemu wartosci brzegowych, zwanego problemem Dirichleta; wystt(puje w nim czasopodobny brzeg, na ktorym specyfikuje sit( wartosci brzegowe (od nazwiska wybitnego matematyka niemieckiego pochodzenia francuskiego, Petera G. Lejeune Dirichleta, iyjqcego w latach 1805-1859 - przypomnijmy sobie "szeregi Dirichleta" z rozdz. 7.4).
Rys. 31.16. Dwa kOlke otwartej struny powinny Idee na czasopodobnej (q + l)-wyrniarowej podprzestrzeni czasoprzestrzeni nazywanej D-bran
887
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
Nie zamierzam tutaj podejmowac szczeg610wej dyskusji D-bran. Jedynym aspektem, jakim chcl( sil( zaj,!c, jest ten, ze wraz z wprowadzeniem takich D-bran r6zni teoretycy skonstruowali "filozofil( strunow'!", oznaczaj'!c'! gll(bok,! zmianl( filozofii obowi,!zuj,!cej do tej pory. Albowiem nierzadko utrzymuje sil(, ze moglibysmy "iyc" na tej lub innej D-branie, co oznacza, iz cala postrzegana przez nas czasoprzestrzen moglaby po prostu znajdowac sil( na jakiejs D-branie. Istotnie, moglaby ona nawet pokrywac sil( z t'! D-bran,!, wobec czego powodem, dla kt6rego nie postrzegamy "dodatkowych wymiar6w", bylby fakt, ze "nasza" D-brana sarna nie rozci,!ga sil( na te dodatkowe wymiary. Oczywiscie, to ostatnie stanowisko byloby najbardziej ekonomiczne, a wil(c "nasza" D-brana (D-3-brana) mialaby 1 + 3 wymiary. Sarno to nie usuwa swobody w tych dodatkowych wymiarach, ale znacznie j,! redukuje. Dlaczego? Z naszej perspektywy nie "uswiadamiamy" sobie teraz stopni swobody zwi,!zanych z gll(bokim wnl(trzem wyzej wymiarowej przestrzeni mil(dzy D-branami, chociaz tam wlasnie daj,! sil( odczuc te dodatkowe stopnie swobody. Tylko wtedy mozemy zdac sobie sprawl( z istnienia dodatkowych stopni swobody, jesli maj,! one bezposredni wplyw na D-branl(, na kt6rej "iyjemy". Wr6cmy do analogii do wl(za gumowego. Zamiast obrazu "przestrzeni ilorazowej,,78 w oryginalnej analogii Kaluzy-Kleina (rys. 31.3), obserwowana przez nas czasoprzestrzen staje sil( teraz 4-wymiarow,! podplZestrzeniq wyzej wymiarowej przestrzeni. Aby to sobie wyobrazic, pomyslmy 0 pasku narysowanym wzdluz dlugosci naszego wl(za gumowego, kt6ry bl(dzie reprezentowal podprzestrzen D-brany, jaka jest teraz odpowiednikiem "naszego, obserwowalnego, 4-wymiarowego WszechSwiata" (rys. 31.17). lIe stopni swobody powinnismy teraz antycypowac? Sytuacja jest podobna do obrazu geometrycznego, jaki przyjl(lismy w rozdz. 31.3, aby uzyskac bardziej konwencjonaln,! perspektywl( na "supergeometril("; zob. rys. 31.2. PoniewaZ teraz rozwaZamy tylko zachowanie sil( na D-branie (0 kt6rej zakladamy, ze geometrycznie jest zwykl,! (1 + 3)-czasoprzestrzeni'!), to mozemy sobie wyobrazic, ii: nasza funkcjonalna swoboda daje akceptowaln,! wartosc ocf!if}, dla jakiejs, co prawda, wielkiej wartosci M. Nawet jednak w tym przypadku zaklada sil(, ze ograniczenia dynamiki w pelnej lO-przestrzeni (albo ll-przestrzeni) podsuwaj,! nam konwencjonalne r6wnania dynamiki w ramach "naszej" 4-wymiarowej D-brany, wobec czego dane pocz'!tkowe na jakiejs 3-przestrzeni calkowicie wystarcz'! do zdeterminowania zachowania w calej 4-przestrzeni. Jest to w og6lnym przypadku malo prawdopodobne, a zatem musimy oczekiwac wci
888
Rys. 31.17. Alternatywny w stosunku do rys. 31.3 punkt widzenia, czt(sto przedstawiany w kontekscie D-bran, polega na tym, ze "istota" w przestrzeni wyzej wymiarowej nie musi rozpoznawae wszystkich dodatkowych wymiar6w, lecz moze bye przedstawiona jako "Zyjqca" w pewnej podprzestrzeni, np. na brzegu D-brany.
Jaki jest fizyczny status teorii strun? 31.18
Jednym z zagadnien, do kt6rych rozwi,!zania powinny przydac si~ D-brany, jest "problem hierarchiczny", wspomniany w rozdz. 31.1. Konkretnie chodzi 0 to, dlaczego oddzialywania grawitacyjne Set tak male w por6wnaniu z innymi silami Przyrody albo, r6wnowainie, dlaczego fundamentalna dla grawitacji masa Plancka jest o tyle wi~ksza od mas cz'!stek elementarnych (0 czynnik rz~du 1020). Podejscie do tego problemu w koncepcji D-bran wymaga istnienia wi~cej niZ jednej D-brany, z kt6rych jedna jest "duza", a druga "mala". Wyst~puje tu czynnik wykladniczy, kt6ry pozwala wyjasnic, w jaki spos6b geometria rozci,!ga si~ od jednej D-brany do drugiej, i uwaza si~, ze to umozliwi r6wniez zrozumienie r6znicy rz~du (okolo) 1040 mi~dzy wielkosci,! sil grawitacyjnych a wielkosci,! innych79. Mozna zauwaZyc, ze obraz wysokowymiarowej czasoprzestrzeni, kt6ra rozci,!ga si~ od jednej D-brany do innej, jest rodzajem geometrii proponowanej dla teorii ll-wymiarowych, takich jak teoria M, w kt6rej jedenasty wymiar rna postac otwartego odcinka, a kazda geometria brzegowa rna topologiczn,! postac lO-przestrzeni (np. M x Y) wczesniej rozwazanych. W innych modelach jedenasty wymiar jest topologicznie S1.
31.18 Jaki jest fizyczny status teorii strun?
Jakie wnioski winnismy wyci,!gn,!c odnosnie do statusu teorii strun jako fizyki teoretycznej przyszlosci? W uderzaj,!CY spos6b l'!cz'! sit( tu w jedno aspekty niezwykle enigmatyczne i naprawdt( godne uwagi, a takZe wysoce nieprawdopodobne, i na tym etapie byloby bardzo niedobrze podchodzic do tych spraw w spos6b calkowicie dogmatyczny. Mimo to wielu zwolennik6w teorii strun glosi swoje pogl,!dy z pelnym przekonaniem. Niew'!tpliwie trzeba zachowac daleko id'!c'! ostroznosc i zdrowy rozs'!dek. Uwazam, ze wypada powiedziec, iZ niekt6re z najmocniejszych twierdzen (jak to, ze teoria strun zapewnia sp6jn,! kwantow,! teorit( grawitacji) naleZy odrzucic calkowicie. Powiedziawszy to, musz~ przyznac, ze w pewnych aspektach strunowej teorii M mozna dostrzec elementy naprawdt( znacz'!ce i niepozbawione sensu. Pozwolt( sobie przytoczyc fragment listu, jaki wyslal do mnie Richard Thomas, matematyk z Imperial College London: "Nie potrafiy wyrazie wystarczajqco, jak glybokie Sq niekt6re z tych dualnosci; jak zadziwiajq nas one ciqgle nowymi przewidywaniami. Ukazujq struktury, o jakich nigdy nie pomy§leliby§my, ze Sq mozliwe. Matematycy z pelnym przekonaniem wielokrotnie twierdzili, ze takie rzeczy nie Sq mozliwe, lecz tacy badacze jak Candelas, de la Ossa i inni wykazali, ze nie mieli racji. Kazda przepowiednia, odpowiednio zinterpretowana matematycznie, okazala siy prawdziwa. I to nie z powodu jakichS konceptualnych przyczyn matematycznych - na razie nie wiemy, dlaczego te koncepcje Sq prawdziwe - po prostu wykonujemy rachunki niezaleznie po obu stronach i rzeczywiscie znajdujemy te same struktury, symetrie i rezultaty. Dla matematyka takie sytuacje nie mogq bye jedynie sprawq koincydencji, musi siy za tym krye wyzsza racja. A t q racjq jest zaloienie, ie ta wielka teoria matematyczna opisuje Przyrod~ ... "
889
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
890
A jednak nadal moze bye tak, ze to "cos" rna znaczenie czysto matematyczne, bez zadnego prawdziwego powodu, by wierzye, ze przybliZa nas one do tajnikow Natury. UWaZam, ze takie stanowisko jest calkowicie do przyjycia, aczkolwiek jestem gotow zaakceptowae poglqd, iz Natura sarna moglaby miee z tym cos wspolnego (aczkolwiek w innej formule niz te, jakie nam dotqd sugerowano). Sila teorii strun polega na wielu ciekawych relacjach matematycznych miydzy roznymi "sytuacjami fizycznymi" (ktorych "fizyka" z kolei wydaje siy dose odlegla od fizyki rzeczywistego swiata). Czy zwiqzki te stanowiq po prostu "koincydencje", czy tez kryjq siy za nimi jakies glybsze powody? Wydaje mi siy, ze za wieloma z nich takie powody rzeczywiscie stojq - chociaZ nie zawsze udaje siy je odkrye - to jednak nie daje nam pewnosci, ze teoria strun jest fizykq. A jesli to jest fizyka, to jakie aspekty fizyczne naprawdy bada? Mysly, ze tych spraw nie da siy wlasciwie wyjasnie bez zwrocenia uwagi na roly i szczegolny status Edwarda Wittena. Jest on powszechnie uwazany za naukowca w najwiykszym stopniu odpowiedzialnego za kierunki rozwoju teorii strun (i teorii M) od konca lat osiemdziesiqtych XX wieku. Wspomnialem juz 0 jego roli w rozpoczyciu "drugiej rewolucji superstrunowej" w 1995 roku (rozdz. 31.14), ale juz na dlugo przedtem ustalil swojq wybitnq pozycjy inicjatora wielu waznych linii badawczych zarowno w teorii strun, jak i w wielu innych obszarach, ktore byly zwiqzane (nie zawsze w sposob oczywisty) z teoriq strun. Teoria strun w swojej 30-letniej historii miala licznych "przewodnikow" (rozdz. 31.6), ale wsrod nich Edward Witten byl pod wieloma wzglydami najwybitniejszym. W jakimkolwiek kierunku pojdzie Witten, tam natychmiast podqiajq za nim inni. Jako przyklad takiej sytuacji mozna wymienie oryginalnq pracy Maldaceny, ktora zainicjowala wiele badan omawianych w rozdz. 31.16. Artykul ten lezalby niezauwazony w archiwach teorii strun, gdyby Witten nie odkryl go w 1998 roku. Natychmiast stal siy najczysciej cytowanq pracq w teorii strun80 • Jest interesujqce, ze w jednej ze znaczqcych nowych prac81 Witten powraca do rozwazan w ramach standardowej 4-wymiarowej czasoprzestrzeni (aczkolwiek w dalszym ciqgu z uiyciem supersymetrii). Lqczqc ze sobq idee teorii twistorow i teorii strun, Witten jest w stanie wyprowadziC niezwykle fascynujqce zwiqzki dotyczqce oddzialywan Yanga-Millsa pomiydzy gluonami (rozdz. 25.7). Praca tajest szczegolnie interesujqca z mojej wlasnej perspektywy twistorowej (zob. rozdz. 33) i moze doprowadzie do nowych waznych rezultatow. Poza wszelkq wqtpliwosciq jest nadzwyczajna jakose intelektualnych osiqgniye Edwarda Wittena. Mogy 0 tym mowie na podstawie osobistego doswiadczenia. Wielokrotnie mialem okazjy uczestniczye w seminariach w Instytucie Matematycznym w Oksfordzie (z serii seminariow poswiyconych geometrii i analizie), kiedy oglaszano jakies nowe, niezwykle oryginalne podejscia do roznych zagadnien i okazywalo siy, ze poczqtkowe koncepcje, w czysci lub w calosci, pochodzily od Edwarda Wittena. Czysto jego propozycje otwieraly nowe pol a bad an, na ktorych te zaskakujqce koncepcje rzucaly nowe swiatlo na bardzo trudne problemy mate-
Jaki jest fizyczny status teorii strun? 31.18
matyczne, czasem takie, kt6re poprzednio wydawaly siy niepokonane. Nie mam najmniejszych w'!tpliwosci, ze Edward Witten rna niezwykl,! matematyczn,! intuicjy i rzadko spotykany talent matematyczny. (Potwierdza to przyznanie mu w 1990 roku Medalu Fieldsa, kt6ry wsr6d matematyk6w cieszy siy statusem r6wnym Nagrodzie Nobla w naukach przyrodniczych. Jest to z pewnosci,! niezwykle osi,!gniycie w przypadku fizyka.) Pomimo tego jestem przekonany, ze sam Witten zaprotestowalby, gdybysmy utrzymywali, ze jest on przede wszystkim matematykiem. 0 ile rozumiem jego stanowisko, sukcesy bioT'! siy z glybokiej przenikliwosci przy podgl,!daniu sekret6w Przyrody, a jego intuicja wzmocniona jest przez rzeteln'! znajomosc struktury i technik KTP, zjej calkowaniem po drogach i przestrzeniami funkcyjnymi 0 nieskonczonej liczbie wymiar6w, z samej natury teorii strun i jej uog61nien. Jesli Witten rna racjy, jest to moze najmocniejszy argument, zeby zaakceptowac jego przekonanie, iz teoria strun rzeczywiscie otworzyla now'! drogy do zrozumienia Przyrody. W przeciwnym razie jest on w wiykszym stopniu matematykiem, niz sam jest got6w przyznac! Jak dalece kapitalne odkrycia matematycznych relacji, kt6rych dokonali Edward Witten i jego koledzy, przekonuj,! mnie, iZ pozostaj,! w scislym zwi,!zku z przyrodnicz'! rzeczywistosci,!? Nie mam pewnosci, jak to wszystko traktowac i na pewno jeszcze nie jestem 0 tym przekonany. Przypomnijmy sobie, jak to bylo, kiedy Andrew Wiles udowodnil Wielkie Twierdzenie Fermata, po trzech i p61 wieku nieudanych wysilk6w licznej rzeszy wielkich matematyk6w (rozdz. 1.3). Wiles naprawdy pokazal, ze w pewnym waznym przypadku dwie zupelnie r6zne procedury rachunkowe prowadzily do tego same go zbioru odpowiedzi, a og6lna postac tego twierdzenia znana byla pod nazw'! postulatu Taniyamy-Shimury. (W istocie Wiles udowodnil tylko czysc pelnego postulatu T -S - czysc wystarczaj'!q do ustalenia prawdziwosci twierdzenia Fermata - a jego metoda dala zasadniczy impuls do przeprowadzenia p6zniej pelnego dowodu, czego dokonali Breuil, Conrad, Diamond i Richard Taylor.) Byc moze jest jakies mgliste podobienstwo miydzy tym twierdzeniem a relacjami "symetrii lustrzanej" Calabiego-Yau, 0 jakich m6wilismy w rozdz. 31.14. W kazdym z tych przypadk6w mamy dwa nieskonczone zbiory liczb, kt6re - uzyskane w zupelnie r6zny spos6b - okazuj,! siy identyczne. Taka sytuacja jest niezupelnie wyj'!tkowa w matematyce i w kazdym konkretnym przypadku moze uplyn,!c wiele lat, zanim odkryjemy prawdziwy pow6d, dla kt6rego te wyniki S,! takie same. UWaZam, ze wiele zwi,!zk6w uzyskanych za pomoq "symetrii lustrzanej" zostalo potwierdzonych argumentami czysto matematycznej natury82. 0 ile wiem, takie tajemnicze relacje nie s,! na og61 wysuwane do uzasadnienia czy wsparcia projekt6w badan przyrodniczych (w odr6znieniu od projekt6w matematycznych). Do dyskusji tego typu zagadnien wr6cimy jeszcze w rozdz. 34.9. Zwr6cilismy juz uwagy na "koincydencjy" argument6w "teoriostrunowych" przy obliczaniu entropii czarnych dziur, jakie przedstawilem w rozdz. 31.15 (nawet wczesniej, w rozdz. 30.5, a byly to argumenty niezwi,!zane z teori,! strun). Czy s,! to
891
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
jedynie przypadki matematycznej koincydencji, czy td: argumenty te mozna traktowac jako wyprowadzenie? Proszy mi pozwolic zakonczyc ten rozdzial innym przykladem zdumiewaj,!cej koincydencji matematycznej, pochodz,!cym z pocz'!tk6w fizyki XX wieku. W 1912 roku Woldemar Voigt skonstruowal teoriy linii widmowych, opart'! na blydnym modelu oscylatora. Piytnascie lat p6zniej Heisenberg i Jordan znalezli podejscie, kt6re dzisiaj uznajemy za poprawne, i warto zacytowac uwagi Heisenberga na temat pracy Voigta83 : "Byl on w stanie w taki spos6b sprzygnqc ze sobq oscylatory i pole zewnytrzne, ze w slabyrn polu magnetycznyrn otrzymal poprawne wyrazenie na seriy Paschena-Backa. W obszarze posrednim p6l umiarkowanych otrzymal dla cZystosci i natyzen linii widmowych dlugie i skomplikowane pierwiastki kwadratowe, raczej trudne do pojycia, ale reprodukowaty one wyniki doswiadczalne z wielkq doktadnosciq. Piytnascie lat p6zniej Jordan i ja podjylismy trud rozwiqzania tego samego problemu, ale metod q kwantowego rachunku zaburzen. Ku naszemu ogromnemu zaskoczeniu, otrzymalismy dokladnie te same, stare wzory Voigta zar6wno dla cZystosci, jak i dla natyzen, takZe w skomplikowanym obszarze p6l umiarkowanej wielkosci. P6zniej udalo nam siy zrozumiec pow6d tej koincydencji: mial on stricte formalnq i matematycznq natury".
W rozdz. 34 wr6cy do tego zdumiewaj,!cego aspektu matematycznych zwi¥k6w jako motoru napydzaj,!cego teoriy strun oraz inne projekty rozwoju fund amentalnych teorii fizycznych.
Przypisy Rozdzial31.1 Oczywiscie, nie naleZy mylic tego e z podstawq logarytm6w naturalnych e = 2,718 281 828 459 ... , zob. rozdz. 5.3. 2 Ogromna rozpiytosc sHy poszczeg6lnych oddzialywan silnych, elektromagnetycznych, slabych, a w szczeg6lnosci grawitacyjnych, wyraZajqca siy w odpowiednich wartosciach ich stalych sprzyzenia 1, Ij7' _10-6, _10-39 - nazywana jest niekiedy "problemem hierarchicznyrn". Na stronie internetowej Georgia State University znajduje siy interesujqce por6wnanie tych stalych sprzyzenia; zob. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/forces/couple.html 3 Stosunkowo "skromny" czynnik renormalizacyjny dla ladunku jest wynikiem logarytmicznej natury rozbieznosci elektrodynamicznych. Czujny czytelnik niewqtpliwie zauwaZy, ze zagadka malych wartosci mas cZqstek nie zostata rozwiqzana, ale jedynie przeformulowana w terminach absurdalnie malej skali rozmiar6w przestrzennych. 4 Ale przypomnijmy uwagy 'tHoofta z rozdz. 26.9. 1
Rozdzial31.2 Bardzo poZyteczny przeglqd historii, postaci tw6rc6w i fundamentalnych koncepcji lezqcych u podstaw supersyrnetrii znajdziemy w: Kane (2001) - na poziomie laika, a na poziomie bardziej zaawansowanyrn w Kane (1999). 6 Zob. Witten (1982). Praca Seiberg, Witten (1994) na temat supersymetrycznej wersji teorii 892 Yanga-Millsa doprowadzita do znacznego uproszczenia teorii 4-rozmaitosci Donaldsona; 5
Przypisy
zob. Donaldson, Kronheimer (1990). Wedlug Johna Baeza teoria Seiberga-Wittena pozwolita skrocie niektore z dowodow teorii Donaldsona do jednej tysil(cznej ich poczqtkowej dlugosci. 7 Zob. Witten (1981); Deser, Teitelboim (1977) podajq przyklady dowodow na dodatnio okreslonq energil( z uZyciem supersymetrii; zob. Gibbons (1997), gdzie po dane Sq interesujqce nierownosci dotyczqce czarnych dziur. 8 Zob. Greene (1999). 9 Zob. Lawrie (1998), albo, w opracowaniu bardziej szczegolowym, Mohapatra (2002).
Rozdzial31.3 Istnieje tendencja, zeby N bylo potl(gq 2, ktora jest liczbq skladowych spinora (zob. rozdz. 11.5,33.4). Nie naleZy tego mylie z liczbq 2N elementow algebry supersymetrii. Zob. Wess, Bagger (1992), gdzie znajdziemy dyskusjl( supersymetrii przeprowadzonq przez jednego z jej tworcow! 1l Wit(cej informacji na temat superrozmaitosci znajdziemy w: DeWitt (1984); Rogers (1980). !O
Rozdzial31.4 Zob. artykul przeglqdowy Bern (2002), gdzie znajdziemy szczegolowq dyskusjt( tych problemow. Zob. tez Deser (1999, 2000). 13 Zob. Deser (1999, 2000) na temat "ostatniej nadziei" na renormalizowalnq supergrawitacjt(; zob. tez Deser, Zumino (1976). 14 Zob. np. Hoyle et al. (2001), s. 1418. 15 Zob. Penrose, Rindler (1984). 16 W konwencjonalnym formalizmie wiqzek metrykt( przestrzeni bazowej M mozna, jesli trzeba, "podniese" do wiqzki B, zeby, w ogolnym przypadku, miee na B "zdegenerowanq" metrykt( kanonicznq, ale moze to tez bye metryka niezdegenerowana, jesli potrzebna jest struktura metryczna wlokien. Nie jest to jednak istotny aspekt struktury wiqzki. 17 Sq to rownania Einsteina z tensorem energii-pl(du Maxwella jako zrodlem, wraz ze swobodnymi rownaniami Maxwella w zakrzywionej czasoprzestrzeni. 18 Istniejq takZe nowsze zastosowania koncepcji polqczenia teorii strun z teoriq twistorow, ktore poslugujq sit( normalnq 4-wymiarowq czasoprzestrzeniq. Zob. rozdz. 31.31, 33.14 i przyp. 81 w tym rozdz. 12
Rozdzial31.5 Por. z przyp. 12 z rozdz. 14. 20 Zob. Schwarz (2001), gdzie znajdziemy historit( teorii strun; w szczegolnosci zob. Veneziano (1968); Nambu (1970); Susskind (1970); Nielsen (1970); oraz Goddard et al. (1973). 21 Opisuje ona ten proces za pomocq funkcji ~ wprowadzonej przez Eulera w 1777 roku. Zob. Goddard et al. (1973), gdzie znajdziemy pierwsze waine przedstawienie tej dualnosci. 22 Veneziano (1968) wymyslit najpierw model wyjasniajqcy bieguny Reggego. Zob. Collins (1977), gdzie przedstawiona jest teoria Reggego; zob. takZe Penrose, Sparling, 'Thou (1978). 23 Uzyskano pozniej pewne ograniczone sukcesy w polqczeniu koncepcji twistorow i teorii strun, mialy one jednak glownie charakter matematyczny i nie doprowadzily do opracowania jednolitego fizycznego punktu widzenia; zob. Shaw, Hughston (1990) oraz przyp. 76 wtym rozdz. 19
Rozdzial31.6 Jest to cytat z wywiadu z Michaelem Greenem, ktory 10 grudnia 1997 r. przeprowadzil z nim Brian Greene; zob. Greene (1999). 25 Zob. Witten (1996). 24
893
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
26
Autorytatywne, lecz bardziej szczeg6lowe i techniczne Sq prace: Green et at. (1987); Polchinski (1998) oraz Green (2000).
Rozdzial 31. 7 Zob. Green et at. (1987); Polchinski (1998) albo Green (2000), gdzie znajdziemy argumenty na rzecz 26 wymiar6w. 2B Odpowiedniq liczbq, przy kt6rej w komutatorach kwantowych pojawia sit( anomalia (i musi byc przyr6wnana do zera), jest 24 - a, gdzie a oznacza liczbt( wymiar6w przestrzennych minus liczba wymiar6w czasowych. 29 W przypadku supersymetrii anomalia kwantowa zostaje usunit(ta, gdy przyr6wnamy do zera 8 - a, gdzie a jest zdefiniowane w poprzednim przypisie. 30 Jest niewielka r6znica mit(dzy strunq hadronowq a zwyklq tasiemkq gumowq, polegajqca na tym, ze gumowa tasiemka charakteryzuje sit( naturalnq dlugosciq, po osiqgnit(ciu kt6rej jej napit(cie spada do zera. W przypadku struny hadronowej ta "naturalna dlugosc" sarna wynosi zero. 27
Rozdzial31.8 Wiele wypowiedzi tego rodzaju znajdziemy w Greene (1999). 32 Cytuje to Abhay Ashtekar w swoim wykladzie na NSF-ITP, Quantum Gravity Workshop at the University of California, Santa Barbara (1986). 33 Aczkolwiek nie wszyscy ze spolecznosci relatywist6w zgodziliby sit( calkowicie z moim stanowiskiem, ze poszukiwana unifikacja grawitacji i teorii kwant6w wymaga zmian regul KTP, to jednak wsr6d tej spolecznosci znajdujt( nieustanne wsparcie i zrozumienie. Spolecznosc KTP jest duzo mniej wyrozumiala! 34 Termin "dylaton" odnosi sit( do kwantowych stopni swobody zwiqzanych ze zmianq skali metryki. Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 26, ze zgodnie z regulami KTP skwantowane stopnie swobody powinny przejawiac sit( jako pewien rodzaj czqstek. 31
35
Rozdzial31.9 Wypowiedz cytowana w ksiqzce Greene (1999), na podstawie wywiadu z Edwardem Wittenem, przeprowadzonego przez Briana Greene'a 11 maja 1998 r.
Rozdzial31.10 Liczba 70 pochodzi z wzoru n(n - 3) na liczbt( niezaleznych skladowych na jeden punkt poczqtkowej (n - 1)-powierzchni w n-przestrzeni 0 plaskosci Ricciego; zob. Wald (1984); Lichnerowicz (1994); Choquet-Bruhat et al. (2000). 37 Zob. Penrose (2003); Bryant et at. (1991); Gibbons, Hartnoll (2002). 36
RozdziaI31.11 Zob. Penrose (2003). 39 Zob. Dine (2000), gdzie omawiany jest problem modul6w. 40 Ktos m6glby preferowac prowadzenie dyskusji w ramach KTP i posluZyc sit( opisem w jt(zyku stan6w koherentnych (rozdz. 26.6) zamiast opisu klasycznego. Nie mozna jednak w ten spos6b uniknqc przedstawionych ktopot6w. 41 Aczkolwiek wqtpit(, zeby wielu zwolennik6w teorii strun bylo sklonnych rozwazac procedurt( R w procesach dynamicznych, to istniejq szlachetne wyj"tki; zob. Ellis, Mavromatos, Nanopoulos (1997a, 1997b). 42 W opisie kwantowoteoriopolowym drgan wt(za ekscytony zachowujq sit( jak bozony (rozdz. 22.13,23.8,26.2), wobec czego obsadzenie kazdego konkretnego modu Y moze byc wielokrotne. Uktadem fizycznym, dla kt6rego taki opis kwantowy m6glby byc odpowiedni, bylby dlugi i wqski falow6d optyczny (np. wl6kno optyczne). 38
894
Przypisy Rozdzial31.12 Zob. Hawking, Penrose (1970). 44 Warunek jest taki, ze kazda czasopodobna lub zerowa linia geodezyjna styka siy z "generyczn'!" krzywizn,!, w tym sensie, ze w jakims miejscu wzdluz kazdej takiej geodezyjnej k[aRbJ cdJekickd *- 0, gdzie wektor zerowy k a jest styczny do tej geodezyjnej. Proste, bezposrednie oszacowanie stopni swobody pokazuje, ze warunek ten jest na pewno spelniony w kazdej czasoprzestrzeni "generycznej". NaieZy tu zaznaczye, ze twierdzenie to stosuje siy do przypadkow bardziej ogolnych niz przestrzenie plaskie w sensie Ricciego. Z,!damy tylko, zeby tensor Ricciego spelnial odpowiednie "warunki nieujemnosci energii" (zob. rozdz. 27.9, a szczegolnie przyp. 20 z rozdz. 27 oraz rozdz. 28.5). W sprawie "hiperpowierzchni zwartej" zob. rozdz. 12.6 i przyp. 36 w rozdz. 27. 45 Istniej,! wyj'!tkowe przypadki przestrzeni y maj,!cej zerow'! krzywizny 0 topologii "hipertorusa" SI x SI X SI X SI X S I X SI. Nie s,! to jednak modele dla Y zalecane przez wspolczesnych specjalistow od teorii strun (rozdz. 31.14). Ponadto zaburzenia hipertorusa nie byd,! na ogol plaskie. 46 Wniosek ten wynika z innego zastosowania pod an ego twierdzenia 0 osobliwosciach, odnosz'!cego siy do calej czasoprzestrzeni M. W tym zastosowaniu warunek istnienia zwartej, przestrzennopodobnej hiperpowierzchni zastypuje istnienie pewnego punktu p, ktorego stozek przyszlosci C "skryca siy i styka z samym sob,!" we wszystkich kierunkach. Miejsce geometryczne C jest wyznaczone przez rodziny promieni swietlnych £. (tzn. zerowych linii geodezyjnych - zob. rozdz. 28.8), ktorych punktem koncowym w przeszlosci jest punkt p i ktore rozchodz'! siy nieograniczenie w strony przyszlosci. Technicznie bior,!c, wymagany warunek jest spelniony, jesli kazdy taki £. zawiera pewien punkt q, dla ktorego istnieje dokladnie czasopodobna krzywa, skierowana w stront( przyszlosci, od p do q. W dokladnych modelach M x y, wlasnie opisanych, warunek ten jest niespelniony (tak bye powinno, poniewaz M x Y moze bye nieosobliwa), ale tylko nieznacznie. Chodzi o to, ze w 8-wymiarowej rodzinie promieni swietlnych £. istnieje niewielka 2-wymiarowa podrodzina, ktora nie przedostaje siy do "czysci Y" czasoprzestrzeni i z powrotem, a zatern zakryca siy do wnytrza C. Mozna pokazae, ze wobec generycznych, ale malych zaburzen, z jakimi styka siy C, ta wlasnose zostanie zlikwidowana i po dane twierdzenie 0 osobliwosciach bydzie mialo zastosowanie. Szczegoty tego dowodu zostan,! przedstawione w innym miejscu. 47 Zob. np. Minassian (2002), praca zawiera odsytacze do odpowiednich dalszych badan.
43
Rozdzial31.13 Zob. Smolin (2003) i Nicolai (2003). 49 Zob. Smolin (2003); Gross, Periwal (1988); Nicolai (2003). 8 50 Szereg 1 + 22 + 24 + 2" + 2 + ... rowniez nie jest sumowalny w sensie Borela, pomimo ze "eulerowska" wartose - dla jego sumy jest zupelnie jednoznaczna, 0 czym mozemy przekonae siy za pomoc,! przedluzenia analitycznego (rozdz. 7.4). Nie wiem nic 0 tym, zeby takie procedury byty stosowane w odniesieniu do catkowitych amplitud strun. 48
t
Rozdzial31.14 Uwaga ta nie dotyczy strun heterotycznych, do ktorych omawiania wkrotce przejdziemy, w ich przypadku bowiem nie rna klopotow z chiralnosci,!. 52 Najnowsze informacje znajdziemy w: Gross et at. (2003). Smolin (2003) prezentuje dalsze zastosowania tych rozmaitosci w teorii strun. Dyskutuje je rowniez Po1chinski (1998). 53 Trudno mi zaakceptowae ty argumentacjt(, poniewaz pola spinorowe maj,! interpretacjy geometryczn,!. Nie mog'! one zostae "obrocone" (a co za tym idzie "przecechowane" zob. rozdz. 15.2, 7), jesli nie dotyczy to samej przestrzeni otoczenia; zob. Penrose, Rindler (1984). 51
895
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
Jak 0 tym m6wilismy w rozdz. 31.13; kiedy stosujemy "obr6t Wieka", aby otrzymae powierzchniy Riemanna, otrzymujemy r6znic y miydzy zachowaniem holomorfieznym a antyholomorficznym. 55 Greene (1999); Smolin (2003) przedstawia przeglqd statusu wszystkich znanych dualnosci oraz bogaty spis literatury. 56 Pojycie "symetrii lustrzanej" nie rna nie wsp6lnego z symetriq odbicia przestrzennego (parzystosciq), oznaczanq u nas przez P, kt6rq dyskutowalismy w rozdz. 25.4. 57 Zob. Cox, Katz (1999), kt6rzy przedstawiajq znakomity przeglqd tych koncepcji. 58 Zob. np. Kontsevich (1994); Strominger, Yau, Zaslow (1996); a nowsze rezultaty w Yui, Lewis (2003). 59 Te szczeg6lne rozmaitosci Sq zespolonymi 3-powierzchniami nazywanymi "kwinteksami" (quintics), co oznacza, ze Sq "rzydu 5". Rzqd zespolonej n-powierzchni w ClP'm oznacza liczby punkt6w, w kt6rych styka siy ona z dowolnq zespolonq (m - n )-plaszczyznq w ClP'm. 60 "Rzqd" krzywej zespolonej zostal zdefiniowany w przyp. 59 w tym rozdz. Thtaj n = 1. 61 Zob. Cox, Katz (1999); Candelas et al. (1991); Kontsevich (1995). 62 Zob. Smolin (2003), w szczeg6lnosci pozycja bibliograficzna 171; Witten (1995); a popularne ujycie w Greene (1999). 63 Zob. Vafa (1996) lub Bar (2000). 64 Zob. Bryant et al. (1991); przyp. 37 w tym rozdz. 54
Rozdzial31.15 Bardzo sugestywny argument podal Thorne (1986). 66 Zob. Strominger, Vafa (1996). 67 Zob. Greene (1999). 68 Czytelnik moze bye zdziwiony sposobem, w jaki bezzr6dlowe pole Maxwella prowadzi do pojawienia siy niezerowego ladunku. Nie rna w tym sprzecznosci, poniewaZ czarna dziura mogla powstae z implozji grawitacyjnej materii naladowanej, a wszystkie zr6dla naladowane mogly zostae pochloniyte przez dziury. 69 Bardzo czytelny przeglqd tych zagadnien podaje Horowitz (1998). 70 Rachunek ten uwzglydnia "D-brany", kt6rymi zajmiemy siy w rozdz. 31.17. 71 Zob. przyp. 11 z rozdz. 22. 72 Zwr6cenie uwagi na ten problem zawdziyczam Abhayowi Ashtekarowi. 65
Rozdzial31.16 Zob. Kasper, Feller (2001), gdzie znajdziemy odsylacze do literatury na tern at "rzeczywistych" hologram6w. 74 Jest to raczej dose trudny program. Aby zmierzye siy z prawdziwym wyzwaniem, zob. Maldacena (1997) i Witten (1998). 75 Gary Gibbons wskazal na pewnq intrygujqcq geometriy zwiqzanq z tym obrazem, kt6ra nawet moze miee zwiqzek z teoriq twistor6w. R6zne istotne elementy tej konstrukcji znajdziemy w Penrose (1968a). 76 Einstein (1917). 73
Rozdzial31.17 Zob. Ashtekar, Das (2000) - tamie przyklad tego zjawiska. 78 "Przestrzen ilorazowa" jest podobna do przestrzeni bazowej wiqzki; zob. rozdz. 15.1,2. 79 Zob. Randall, Sundrum (1999a). Bardziej og6lne rozwaZania znajdziemy w Randall, Sundrum (1999b). Standardowym zr6dlem na temat "technologii" D-bran jest Johnson (2003). Jedno z bardziej fantastycznych zastosowan tej technologii stanowi "ekpirotyczny" model poczqtk6w WszechSwiata, przedstawiony w pracy Steinhardt, Turok (2002), gdzie wysuwa 896 siy hipotezy, iz Wielki Wybuch byl wynikiem kolizji dwu D-bran w poprzedniej fazie Wszech77
Przypisy swiata. Pomimo przywolywania tak egzotycznych element6w autorzy tego modelu nie pr6bujq nawet wyjasnic g16wnej zagadki Wielkiego Wybuchu, jakq jest jego nadzwyczajna wyjqtkowosc, omawiana w rozdz. 27.13.
Rozdzial 31.18 Zob. przyp. 74 w tym rozdz. 81 Zob. Nair (1988); Witten (2003); Cachazo et al. (2004a, 2004b, 2004c); Brandhuber et at. (2004). 82 Zob. przyp. 57 i 58 w tym rozdz. 83 Jest to cytat z przem6wienia Heisenberga wygloszonego w 1975 roku na zjezdzie Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego, zatytulowanego Czym jest czqstka elementama? (Dziykujy Abhayowi Ashtekarowi za ten przyklad.) Zob. Heisenberg (1989). 80
32 ZawQzenie podejscia Einsteina; zmienne pQtlowe 32.1 Kanoniczna grawitacja kwantowa NIEZALEZNIE od wielkiej popularnosci teorii strun nie byloby rozsqdne traktowac jq, jak to robiq niektorzyl, w kategoriach wyjqtkowej i niepowtarzalnej koncepcji (zob. rozdz. 31.8). Wiele innych propozycji stalo sit( przedmiotem interesujqcych dociekan, ukazujqc rozne wady i zalety. Niestety, nie jest mozliwe, zebym rozpoczql teraz dyskusjt( licznych alternatywnych koncepcji tqczenia teorii kwantowej ze struktmq czasoprzestrzeni. Skoncentrujt( sit( raczej na przedstawieniu pewnych szczegolnie aktualnych obszarow badan, blizszych moim poglqdom na to, co wydaje sit( bardziej owocnym podejsciem do przyszlego prawdziwego zwiqzku mechaniki kwantowej i ogolnej teorii wzglt(dnosci. Jak mozna wywnioskowac na podstawie uwag w poprzednich rozdzialach, jestem zdania, ze powinnismy przyjqc bardziej rygorystyczne i scislej kontrolowane stanowisko niz to, ktore dopuszcza wzrost wymiarowosci czasoprzestrzeni lub kieruje nas ku supersymetrii (aczkolwiek moje zastrzeZenia wobec supersymetrii Sq mniej smowe niz wobec kwestii wzrostu wymiarowosci, ktora, jak dowiedzielismy sit( w rozdz. 31.11, 12, prowadzi do powaznych problemow stabilnosci). W nastt(pnych dwoch rozdziatach zapoznamy sit( zatem z pewnymi ide ami, zwiqzanymi szczegolnie z 4-wymiarowq czasoprzestrzeniq lorentzowskq, ktorych intencjq jest podejscie do rownania pola Einsteina2, bez supersymetrii, ale w prawdziwie kwantowym kontekscie. Przekonamy sit( wit(c, ze nawet tutaj "obraz rzeczywistosci fizycznej", z jakim sit( zetkniemy, bt(dzie daleki od tego, ktory znamy, pod pewnymi wzglt(dami nie tak daleki jak przedstawiony w poprzednimi rozdziale, ale pod innymi - moze jeszcze dalszy. W tym rozdziale zapoznamy sit( z pewnymi koncepcjami, ktore kryjq sit( za zmiennymi Ashtekara, zmiennymi pt(tlowymi i sieciami spinowymi. W rozdziale nastt(pnym przedstawit( pewien zarys teorii twistorow. Rzuct( tez nieco swiatla na niektore "modne tematy" takie jak czasoprzestrzen dyskretna, struktury z q-deformacjq ("grupy kwantowe") oraz geometria niekomutatywna. Jednym z najbardziej bezposrednich sposobow kwantyzacji teorii Einsteina jest zapisanie jej w formalizmie hamiltonowskim i, nastt(pnie, zastosowanie kanonicznej procedury opisanej w rozdz. 21.2, 3. Z takim podejsciem zwiqzanych jest wiele trudnosci, ale nie chciatbym teraz zaglt(biac sit( w szczeg6ty. Wie-
Chiralny wklad do zmiennych Ashtekara
32.2
Ie tych trudnosci wynika z faktu, ze teoria Einsteina jest "og6lnie kowariantna" (rozdz. 19.6), wobec czego nie rna znaczenia, jakich uiywamy wsp6lrzydnych. Przypomnijmy sobie z dyskusji w rozdz. 21.2, ze standardowy "przepis kwantyzacyjny", kt6ry zamienia pyd Pa na operator ilia/ax', gdziexa (w klasycznej teorii) jest wsp6lrzydn,! kanonicznie sprzyzon,! z pydem, jest nie zawsze poprawny, nawet w przypadku czasoprzestrzeni plaskiej, gdy uiywamy wsp6lrzydnych krzywoliniowych. Z tego powodu przeprowadzenie procedury kwantyzacji wymaga zachowania wielkiej ostroznosci. Inn,! trudnosc stanowi skomplikowana, niewielomianowa struktura, jak,! przyjmuje standardowy hamiltonian og6lnej teorii wzglydnosci. Musimy r6wniez wzi,!c pod uwagy fakt, ze opr6cz hamiltonowskich r6wnan ewolucji, kt6re wyprowadzaj,! nas z pocz'!tkowej przestrzennopodobnej 3-powierzchni S, wystypuj,! jeszcze dodatkowe r6wnania, kt6re obowiC!Zuj,! na S i nosz'! nazwy wi~z6w3. R6wnania te dostarczaj,! nam warunk6w sp6jnosci dla danych na S i spelnienie r6wnan wiyz6w jest warunkiem koniecznym (i dostatecznym) dla wlasciwej ewolucji poza S (przynajmniej lokalnie), a ta ewolucja z kolei odbywa siy wtedy zgodnie z wiyzami. Kanoniczne podejscie do problemu kwantyzacji og6lnej tearii wzglydnosci rna dlug,! i szacown'! historiy, siygaj,!c,! czas6w Diraca, kt6ry w 1932 roku chcial rozwin,!c now'! procedury kwantyzacyjn,!, aby umozliwic rozprawienie siy z problemem skomplikowanych wiyz6w, kt6re rzeczywiscie pojawiaj,! siy w teorii Einsteina4• Przez wiele lat podejscie to pr6bowali rozwijac r6zni badacze, z coraz wiykszym wyrafinowaniem5, ale skomplikowana, niewielomianowa struktura hamiltonianu niezwykle utrudniala postyp. Dopiero w 1986 roku amerykanski fizyk pochodzenia hinduskiego, Abhay Ashtekar, dokonal zasadniczego kroku naprz6d. Zastosowal subtelnywyb6r uiywanych wsp6lrzydnych (czysciowo zwi'!zanych z koncepcjami, kt6re wczesniej zaproponowal Amitabha Sen)6, dziyki czemu wiyzy 20staly zredukowane do postaci wielomianowej, i udale mu siy znacznie uproscic struktury r6wnan, wyeliminowac niewygodne mianowniki w hamiltonianie i w ten spos6b doprowadzic do stosunkowo prostej wielomianowej struktury.
32.2 Chiralny wkfad do zmiennych Ashtekara
Jedn,! z uderzaj,!cych wlasnosci oryginalnych "nowych zmiennych" Ashtekara (tak siy je nadal nazywa) jest asymetria ze wzglydu na to, jak ujmuj,! one "prawoskrytn,!" i "lewoskrytn,!" czysc grawitonu (kwantu grawitacjif. Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 22.7, 9, ze (nieskalarna) cz'!stka bezmasowa rna dwa stany spinowe, z kt6rych jeden jest prawoskrytny, a drugi lewoskrytny w stosunku do jej kierunku ruchu. Stany te nazywane s,! stanami 0 dodatniej i ujemnej skr~tnosci cz,!stki. Grawiton jest cz'!stk'! 0 spinie 2, wobec czego jego odpowiednie stany powinny byc stanami 0 s = 2 i s = -2 (skoro Ii = 1), gdzie s oznacza skrytnosc (2Ob. rozdz. 22.12). W oryginalnym podejsciu Ashtekara te dwa stany traktowane s,! inaczej. Jest to wiyc formalizm asymetryczny ze wzglydu na kierunki lewy-prawy!
899
32
ZawQzenie podejscia Einsteina; zmienne PQtlowe
900
W tym miejscu wypada skomentowac, dlaczego grawiton jest uwaiany za wielkosc 0 spinie 2, podczas gdy foton rna spin 1 (zob. rozdz. 22.7, 32.3). Wartose spinu cZl!stki kwantowej wi~e si y z symetriami (i rawnaniami pola) pola, ktare jl! opisuje (i, jak siy 0 tym przekonamy w rozdz. 34.8, przejawia si y najwyrazniej w rawnaniach zapisanych w formie 2-spinorowej). Jednak dobrze by bylo posluiye si« bezposrednim sposobem geometrycznym, pozwalajl!cym zrozumiee rainic« mi«dzy polem grawitacyjnym, dla ktarego charakterystyczny jest spin 2, a polem elektromagnetycznym, ktarego obiekty charakteryzuj(! si« spinem 1. Zbadajmy wi«c fale odpowiadajl!ce kaidemu z tych pol, czyli z jednej strony fale elektromagnetyczne, z ktarych sklada si« swiatlo, a z drugiej fale grawitacyjne. W przypadku elektromagnetyzmu geometryczn(! natur« fal przedstawilismy na rys. 22.12 i w rozdz. 22.9. Kluczow(! sprawl! jest fakt, ie wektory pola elektrycznego i magnetycznego s(! rzeczywiscie wielkosciami wektorowymi, wobec czego obrat fali 0 k(!t 1t (tzn. 0 180°) wokal jej kierunku ruchu zmienia znak wielkosci polowych na przeciwny i konieczny jest obrat 0 k(!t 21t, aby wracily do wartosci wyjsciowych. W przypadku grawitacji fala b«dzie oznaczac dystorsj« czasoprzestrzeni, jak to ilustruj(! rys. 17.8 i 17.9a. Jesli teraz dokonamy obrotu fali 0 k(!t 1t, to dystorsja przejdzie w siebie, natomiast obrat 0 k(!t t1t zmienia znaki na przeciwne. Wynika to z faktu, ii krzywizna Weyla jest wielkosci(! kwadrupolowq, co ilustruj(! dystorsje eliptyczne na rys. 17.8a i 17.9a, a w rozdz. 31.9 stwierdzilismy, ie odpowiada to wielkosci 0 spinie 2. W przypadku spinu a obrat 0 k(!t 1t/a zmienia znak wielkosci polowych na przeciwny, natomiast obrat 0 kl!t 21t/a przywraca ich poczl!tkowe wartosci. (Zauwaimy, ie ta zasada dziala rawniei w przypadku, gdy a przyjmuje wartosci polawkowe, jednak wtedy sarno pole musi miee charakter spinorowy; zob. rozdz. 11.3.) W przypadku pol a bezmasowego - rozwaianym tutaj - moiemy uczynie dalszy krok i uwaiac, ie fale plaskie skladajl! si y z cz«sci spolaryzowanych kolowo lewoskr«tnie i prawoskr«tnie. Przypadek polaryzacji kolowej fal elektromagnetycznych ilustruje rys. 22.12b. Z kolei dla pola skwantowanego odpowiednie cz«sci b«d(! mialy dodatni(! i ujemn(! skr«tnose (rys. 22.13). Dla spinu a wartosci skr«tnosci wynios(!, odpowiednio, ± a (z opisem nawi(!zuj(!cym do tego na rys. 22.13, ale z zamian(! q2 = z/w na q2a = z/w). W przypadku grawitacji mamy wi«c rzeczywiscie dwie moiliwe wartosci skr«tnosci: +2 i -2. Aby dowiedziee si«, jak opisywae stany wtasne skr«tnosci, musimy przyjrzec si« matematyce tego problemu nieco bliiej. W rzeczywistosci asymetria lewo-prawo, do jakiej si« tutaj odwoiuj«, stanowi istotn(! wlasciwose teorii twistoraw, kt6r(! zajm« si« w nast«pnym rozdziale, a podejscie Ashtekara w jakis spos6b zainspirowane byto wtasnie koncepcjami twistorowymi. Musimy zatem wydobye z idei twistorowych sposab na matematyczne przedstawienie asymetrii lewo-prawo w j«zyku zwyklych terminaw czasoprzestrzeni. Przypomnijmy sobie dwie wielkosci tensorowe, kt6re opisuj(! dwa znane pola bezmasowe Przyrody, a mianowicie pole grawitacyjne i pole elektromagnetyczne. Wielkosciami tymi s(! tensor pol a Maxwella F = Fah
Chiralny wktad do zmiennych Ashtekara
32.2
(rozdz. 19.2) oraz konforemny tensor Weyla C = Cabcd (rozdz. 19.7). Kai:dy z nich rna odpowiadaj,!CY mu tensor dualny, zdefiniowany w zapisie wskaznikowym jako 'p ab
=llO ppq i 2 abpq
'cabed =llO C pqed' 2 abpq
(gdzie lO abpq jest antysymetrycznym tensorem Levi-Civity, wybranym w ten sposob, ze w standardowej prawoskrt(tnej ortonormalnej bazie lO0123 = 1; zob. rozdz. 12.7 i 19.2). Dualny tensor Maxwella *F poznalismy juz w rozdz. 19.2. Dualny tensor Weyla *C jest wielkosci,! analogiczn,!. Moglibysmy rowniez rozwaZye dokonanie "dualizacji" ostatniej pary indeksow tensora Weyla, cd, ale, jak sit( okazuje, wypadloby podobnie jak przy dualizacji wskaznikow ab [32.1]. Przypomnijmy sobie, ze 2-plaski element w punkcie 4-wymiarowej czasoprzestrzeni moze bye przedstawiony jako 2-formaf (czyli jako biwektor), ktora jest 2-form'!prostq (rozdz. 12.7). Tak jak w przypadku tensora Maxwella (2-forma) F, mozemy skonstruowae jego 2-formt( dualn,! *.t i, w przypadku zespolonej formy f, moze ona bye form,! samodualnq, jesli *.t = if oraz, jesli *.t = -if, form,! antysamodualnq. Podobnie (zespolony) 2-plaski element odpowiadaj,!CY f moze bye nazwany "samodualnym" lub "antysamodualnym". Pojt(cie to jest wazne w teorii twistorow (rozdz. 33.6) [32.2]. W teorii kwantowej wielkosci polowe mog'! przyjmowae wartosci zespolone, przynajmniej wtedy, gdy wolno je interpretowae jako funkcje falowe. Istnieje wiele roznych, ale matematycznie rownowaznych sposobow rozpatrywania tych wielkosci (zob. rozdz. 26). Do naszych celow najbardziej odpowiednie byloby, gdybysmy traktowali zespolony tensor Maxwella, a nawet zespolony tensor Weyla, jako wielkosci reprezentuj,!ce pewn'! formt( funkcji falowej, odpowiednio, fotonu lub grawitonu. W miejscu warunku rzeczywistosci, ktory jest charakterystyczny dla klasycznych wielkosci polowych, zaz'!dalibysmy, zeby nasze zespolone funkcje falowe mialy czt(stosci dodatnie (w zgodzie z wymaganiami omowionymi w rozdz. 24.3 i 26.2). Nie przejmujmy sit( zbytnio tym, co to oznacza w przypadku krzywizny Weyla. (Moglibysmy na przyklad uwazae, ze zajmujemy sit( jedynie przestrzeniami zakrzywionymi, ktore tylko infinitezymalnie rozni,! sit( od plaskich. Wowczas C mozna traktowae jako pole w przestrzeni Minkowskiego i wtedy nie pojawi sit( problem czt(stosci dodatnich. Ale, jak przekonamy sit( w rozdz. 33.10-12, dysponujemy lepszymi mozliwosciami8 .) Teraz prawoskr~tne fotony i grawitony opisywane bt(d,! za pomoq wielkosci samodualnych (0 cZt(stosciach dodatnich) +F oraz +C, gdzie +p =t(F - tF) oraz +C =t(C - tc). Mamywit(c:
*CF) = i +F oraz *(C) = i +c, ~
[32.1] Wyjasnij dlaczego. (Skorzystanie z zapisu graficznego i tozsamosci z rozdz. 12.8 moze okazac si y pomocne). ~ [32.2] Pokaz, ze w przypadku gdy dwa indeksy f ab, opisujqce form y samodualnq j, ulegly kontrakcji z dowolnq parq indeksow antysamodualnego tensora Weyla (lub Maxwella), wowczas w wyniku otrzymujemy zero.
901
32
Zaw~ienie
podejscia Einsteina; zmienne
p~tlowe
natomiast wielkosci lewoskrftne s,! wielkosciami antysamodualnymi (0 cZystosciach dodatnich), -F = ~(F + tF) i -C = ~(F + tc), dla ktorych zachodz'! relacje:
'CF) = -rF oraz 'CC)
=
-rc.
W oryginalnym formalizmie Ashtekara cZysci krzywizny Weyla: samodualna i antysamodualna, odgrywaj,! rozne role. Z fizycznego punktu widzenia moze siy to wydawac dziwne, poniewaz nie znamy zadnego dowodu na asymetriy lewo-prawo w polu grawitacyjnym i z cal,! pewnosci,! zadna taka asymetria nie wystypuje w standardowej ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina. Uwazam za celowe spojrzenie na ten problem z dwoch punktow widzenia. Z jednej strony mozemy uznac ty asymetriy za nieistotn,! cechy formalizmu matematycznego, uiyteczn,! po prostu dla uproszczenia hamiltonianu. Z drugiej strony wolno uwazac, ze jest cos istotnie asymetrycznego w relacjach Przyrody, rozrozniaj,!cych prawe od lewego, i ze zaproponowany formalizm asymetryczny w pewien sposob dotyka tego zjawiska. Rzeczywiscie, wiemy 0 tym, ze Przyroda jest asymetryczna, co wykazuj,! jawnie oddzialywania slabe (zob. rozdz. 25.3). Elektromagnetyzm w pewnym sensie zachowuje slady tej asymetrii, lecz dostrzegamy to jedynie posrednio, za pomoq unifikacji z oddzialywaniami slabymi w teorii oddzialywan elektroslabych. Skoro nie znamy podobnej unifikacji w przypadku oddzialywan grawitacyjnych, to nie rna powodu, aby oczekiwac, ze sarna grawitacja, w sposob posredni b,!di bezposredni, bydzie miala podobne wlasciwosci asymetrii. Pod
32.3 Postac zmiennych Ashtekara
902
Czym wiyc S,! te chiralne zmienne Ashtekara? Chiralnosc pochodzi od asymetrycznego wyboru jednego z dwu rodzajow 2-spinorow, dzialaj,!cych w lorentzowskiej 4-przestrzeni. Opisalismy je w rozdz. 25.2, gdzie stwierdzilismy, ze funkcjy falow'! elektronu 1jJ mozna traktowac jako wielkosc skladaj,!c,! siy z pary dwuskladnikowych zespolonych elementowaA i i3A " z ktorych jeden opatrzony jest indeksem nieprimowanym, a drugi primowanym. Zauwaiylismy, ze indeks nieprimowany odnosi siy do czysci zyg elektronu, czyli do cZysci lewoskrftnej (0 skrytnosci ujemnej), a indeks primowany do cZysci zak, a wiyc prawoskrftnej (skrytnosc dodatnia). W rozdz. 25.3 przekonalismy siy tez, ze w slabych oddzialywaniach bierze udzial tylko czysc zyg, a A , natomiast czysc zak, i3A " nie uczestniczy w nich wcale. Forma-
Postac zmiennych Ashtekara
32.3
lizm czasoprzestrzenny, w ktorym wybiera siy jeden z tych spinorow jako "bardziej fundamentalny" od drugiego, wprowadza zasadnicz'! chiralnose i tworzy konstrukcjer, w ramach ktorej mozna dokonac rozroznienia owych dwu skrytnosci na poziomie podstawowym. Tak wlasnie przedstawia siy to zagadnienie w oryginalnym formalizmie Ashtekara (i w teorii twistorow). W podejsciu Ashtekarazmienne kanoniczne wybrane dla przestrzennopodobnej 3-powierzchni S s,! w zasadzie skladowymi (odwrotnej) wewnertrznej 3-metryki y na S i skladowymi (nieprimowanej) koneksji spinowej r ograniczonej do S. Mowi,!c scislej, S,! to skladowe metryki odwrotnej odnosz'!ce siy do lokalnej bazy spinorowej i przedstawione jako 2-formy. Koneksja spinowa r odnosi sier do przesuniercia rownoleglego spinorow a A zdefiniowanych na pelnej 4-przestrzeni, a nie tylko "spinorow wewnytrznych na S'9. r informuje nas wiyc, jak przeniese nieprimowany 4-przestrzenny spinor a A (2-spinor) rownolegle do samego siebie, zgodnie z koneksj,! metryki 4-przestrzeni (rozdz. 14.2,8), wzdluz pewnej krzywej, ktora leZy na 3-powierzchni SIO. Pole 3-metryki y (gerstosci) odgrywa roler zbioru zmiennych p~dowych, a pole koneksji r roler kanonicznie sprzyzonych zmiennych poloieniowych; zob. rys. 32.1. W teorii kwantowej, odpowiednio do sposobu, w jaki perd Pa zostaje zast,!piony przez iha/ax' w reprezentacji polozenx" (rozdz. 21.2), w reprezentacji r pola y zastypujemy przez iM/or (symbol %r oznacza pochodnq funkcjonainq, omawian,! w rozdz. 20.5). Podobnie w reprezentacji y r zastypujemy wyrazeniem iM/oy. Koneksja r rna czerse r l' ktora odnosi siy do wewn~trznej krzywizny powierzchni S, oraz cZysc r z dotycz'!C
, I
I
Rys. 32.1. Oryginalne kanoniczne zmienne Ashtekara zdefiniowane na przestrzennopodobnej 3-powierzchni S w czasoprzestrzeni M jako zmienne "polo:i:eniowe" wprowadzaj~ parametry r, kt6re s~ skladowymi koneksji spinowej w 4-przestrzeni, ograniczonymi do S (spinory at przedstawione przez p61strzalki). Parametry "pydowe" s~ w zasadzie skladowymi (odwrotnej) 3-metryki y powierzchni S (wyra:i:amy je jako 2-formy w ortonormalnej bazie w ka:i:dym punkcie S).
903
32
Zaw~i:enie
podejscia Einsteina; zmienne
p~tlowe
Rys. 32.2. Mozemy przedstawic r = r 1 + ir2, gdzie r 1 odnosi siy do krzywizny wewnytrznej, a r 2 do krzywizny zewnytrznej S (a wiyc r 2 mierzy "przegiycie" Sw M).
(gdzie moglibysmy miec r 1 - ir2, gdybysmy wybrali przeciwn,! chiralnosc). Wielkosc r definiuje koneksjy wi,!zki (w sensie opisanym w rozdz. 15.8), w ktorej Sjest przestrzeni'! bazow'!, a wloknem jest (nieprimowana) przestrzen spinowa § (2-wymiarowa zespolona przestrzen wektorowa). Odpowiedni,! grup,! wlokna jest SL(2, C); zob. rozdz. 13.3 11 • W tym miejscu powinienem zwrocic uwagy na pewn'! trudnosc techniczn,! w oryginalnym podejsciu Ashtekara. Chodzi 0 to, ze grupa wlokna, SL(2, C), jest grup,! niezwart'! i rna niepoz,!dane nieskonczenie wymiarowe reprezentacje, ktorych wiykszosc nie jest unitarna (zob. rozdz. 13.7). Powoduje to powazne klopoty przy scislej konstrukcji poszukiwanej kwantowej teorii grawitacji. Wobec tego, aby mozliwy byl dalszy postyp, stosuje siy zmodyfikowan,! koneksjy rq = r 1 + 1]r2,
904
gdzie 1] jest rozn,! od zera liczb,! rzeczywist'!, znan'! pod nazw'!parametru Barbero-Immirziego. Ma to ty czysto techniczn,! zalety, ze zwart'! grup,! symetrii jest teraz SU (2) i wszystkie jej (nieredukowalne) reprezentacje S,! skonczenie wymiarowe i unitarne. Klasyczna teoria, zdefiniowana przez kazde r q, rozni siy od teorii zdefiniowanej przez r tylko 0 "transformacjy kanoniczn'!", co oznacza, ze wszystkie teorie klasyczne S,! rownowaine (maj,! ty sam,! struktury symplektyczn'!; zob. rozdz. 14.8,20.4), aczkolwiek opisywane s,! za pomoc,! roznych "wspolrzydnych uogolnionych" w przestrzeni fazowej (rozdz. 20.2). lednak teorie kwantowe, ktore w ten sposob otrzymujemy, nie musz'! byc rownowazne. Sprawy ty podnosilismy w rozdz. 21.2: procedura kwantyzacji nie jest na ogol niezmiennicza wobec zmiany wspolrzydnych uogolnionych. Nie wiadomo, ile "szkody" moze przyniesc zast,!pienie r przez r q. W kazdym razie dowiemy siy sporo dziyki badaniu najpierw "latwiejszego" przypadku, jakim jest r q . Aczkolwiek mozna miec obawy, ze uzyskana w ten sposob kwantowa teoria grawitacji bydzie jedynie "modelem-zabawk'!", a nie poszukiwanym podejsciem do kwantowej grawitacji (w ktorej trudno znaleic geometryczne uzasadnienie dla wartosci 1] innych niz ±i alba 0), to odejscie od szukanej kwantowej wersji teorii Einsteina nie powinno byc zbyt wielkie. W przypadku rq sytuacja jest latwiejsza, poniewai rozne niezbydne reprezentacje nieredukowalne SU(2) S,! matematycznie identyczne z roznymi stanami spinowymi (dla cz'!stki masywnej) w zwyklej (nierelatywistycznej) mechanice kwantowej. Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 22.8, ie te roine stany spinowe numerowane S,! liczbami naturalnymi n = 0, 1,2,3,4,5, ... , gdzie tnn jest wartosci,!
Zmienne
p~tlowe
32.4
spinu. (W rozdz. 22.8 dowiedzielismy siy rowniez, ze przestrzen reprezentacji dla kaZdej wartosci n zawiera symetryczne tensory spinowe 'ljJAB .. D 0 n indeksach.) Niebawem przekonamy siy, jak byd,! uiyte te rozne "wartosci spinu".
32.4 Zmienne
p~tlowe
W jaki sposob mozna przedstawic te sprawy w sposob jawnie zgodny z zasad'! ogolnej kowariantnosci (rozdz. 19.6), przynajmniej w ramach pocz'!tkowej 3-powierzchni S? Otoz dokonuje siy tego za pomoq pomyslowego wynalazku, jakim jest opis naszego ogolnego stanu kwantowego w terminach szczegolnie prostej rodziny bazowych stanow kwantowej grawitacji, zapisanych w sposob dyskretny, ktorym bardzo latwo mozna zapewnic zachowanie zasady ogolnej kowariantnosci na S. (Niebawem przejdy do omowienia stanow bazowych.) Stan ogolny jest wowczas przedstawiony jako liniowa superpozycja tych stanow bazowych. Aby to zrozumiec, rozwazmy pytly zamkniyt,! na S i wyobrazmy sobie efekt uiycia naszej koneksji r dla przeniesienia nieprimowanego spinora ~ "rownolegle do samego siebie" wokol tej pytli. Kiedy powrocimy do punktu wyjscia, to zobaczymy, ze wykonalismy liniow,! transformacjy przestrzeni spinowej §. Mozna j,! zdefiniowac za pomoc,! skladowych jako macierz zespolon'! 2 x 2, B (zob. rozdz. 13.3), ktorej elementy macierzowe zalez,! od wyboru bazy na S. Jednak slad tej macierzy, A , jest liczb,! zespolon'! niezalezn,! od wyboru bazy[32.31, a wiyc stanowi wielkosc charakteryzuj,!q koneksjy spinow,! r, zwi,!zan,! z wyborem tej pytli. (To przyklad bardziej ogolnego pojycia, znanego pod nazw'!Pftli Wi/sona, od nazwiska Kennetha Wilson a, ktory po raz pierwszy zastosowal ty idey w teoriach cechowania 12.) W 1988 roku Carlo Rovelli, Lee Smolin i Ted Jacobson rozwinyli ty idey w zastosowaniu do ogolnej teorii wzglydnosci, nadaj,!c owym sladom zaleznym od wyboru pytli nazwy zmiennych Pftlowych. Jesli potraktujemy je jako operatory kwantowe, to "stany bazowe", 0 ktorych mowa na pocz'!tku tego akapitu, byd,! po pro stu ich stanami wlasnymi. Jaki jest geometryczny charakter stanow bazowych kwantowej grawitacji? Okazuje siy, ze z punktu widzenia zwyklej geometrii metrycznej, ktor,! dobrze znamy, S,! to obiekty bardzo osobliwe i odlegle od pojyc "gladkiej geometrii" klasycznej ogolnej teorii wzglydnosci. Istotnie, stany bazowe, jako twory geometryczne, S,! "osobliwe", analogicznie do funkcji delta Diraca, kto!,! rozwaZalismy w rozdz. 9.7 i 21.10. Najpierw pomyslmy 0 S jako 0 rozmaitosci bez struktury13. Nastypnie rozwazmy rodziny pytli zamkniytych na S. Kazdy stan pytlowy powinnismy traktowac jako stan, ktorego cala geometria jest w jakis sposob skoncentrowana wzdluz tej pytli. Nie oznacza to krzywizny skoncentrowanej wzdluz pytli - taka sytuacja bylaby analogiczna do geometrii stozka 0 plaskiej podstawie, jak to ilustruje rys. 32.3, gdzie mamy funkcjy delta (rozdz. 9.7) w krzywiznie wzdluz brzegu podstawy
r
i8 [32.3] Czy potrafisz wyjasnic dlaczego?
r
905
32
Zaw{lzenie podejscia Einsteina; zmienne p{ltlowe Rys. 32.3. (a) Ten niegladki przyklad 2-powierzch-
znika Krzywizna typu 0 Powierzchniowa P~tla 2-powierzchnia stoika funkcja 0
la)
Ib)
ni sto:i:kowej charakteryzuje siC( zerow:} krzywizn:} wszC(dzie, z wyj:}tkiern wierzcholka i wok61 brzegu podstawy, gdzie rnarny krzywiznC( typu funkcji o. (Rachunek Reggego, jako podejscie do kwantowej teorii grawitacji, posluguje siC( analogicznyrni 4-przestrzeniarni, z krzywizn:} typu funkcji 0 na 2-przestrzeniach; zob. rys. 33.3.) (b) lednak:i:e w przypadku pC(tlowej kwantowej teorii grawitacji sytuacja jest inna. Tutaj rnarny do czynienia z "powierzchniow:}" funkcj:} delta wzdlu:i: pC(tli, a sarna rnetryka znika wszC(dzie poza ni:}.
stozka, a takZe przy wierzcholku[32.41, co odpowiada sytuacji wystypuj,!cej w innym podejsciu do kwantowej teorii grawitacji, znanej pod nazw'! rachunku Reggego; zob. rozdz. 33.1. Mamy tu na mysli raczej tak'! sytuacjy, w ktarej cala metryka jest skoncentrowana wzdluz pytli, jako rodzaj funkcji delta, i ktara calkowicie znika poza pytl,!. Istnieje "miara" tej koncentracji, ktar,! wyznacza wartosc "spinu", jak,! mozemy przyporz'!dkowac danej pytli, jesli razne wartoscij odpowiadaj,! raznym nieredukowalnym reprezentacjom SU(2) (poslugujemy siy tu r~ jako nasz'! koneksj,!, a nie bardziej "poprawn'!" form,! r). Zdania te wymagaj,! dalszego wyjasnienia. Pojycie "metryki" oznacza przyporz'!dkowanie pewnego obszaru (pola powierzchni) kai:demu elementowi 2-powierzchni, ktary przecina pytly. W zasadzie dysponujemy tutaj funkcj,! delta jako miar,! powierzchni skoncentrowanej calkowicie wzdluz kazdej pytli tej rodziny. Co to znaczy? Wyobrazmy sobie (niekoniecznie zamkniyt'!) 2-wymiarow,! powierzchniy prabn,! T na 3-powierzchni S. Moze ona przecinac razne pytle w wielu miejscach. Za kazdym razem gdy T przecina jedn,! z pytli - "wycina" pewn'! powierzchniy i wklad tej powierzchni otrzymujemy tylko przy przeciyciu siy z pytl,!. Tak wiyc aw "deltoidalny" charakter metryki przejawia siy w tym, ze kazda pytJa daje wklad do miary powierzchni tylko wtedy, gdy T j,! przecina. Kazdy punkt przeciycia daje wklad
=tn
8nGYJ1i~ j(j + 1),
tn
gdzie j = jest wartosci'! "spinu" danej pytli; zob. rys. 32.4. Wklady od wszystkich pytli rozpatrywanej rodziny sumujemy.
.&:., '.
. 11
906
I
:-,. T ~.
~ [32.4]
Rys. 32.4. 2-wyrniarowa powierzchnia pr6bna T na 3-powierzchni S . Ka:i:de rzeciC(cie T z pC(tl:} daje wklad powierzchniowy 0 wielkoSci 8'1tG711i j(j + 1) (gdzie j jest wartosci:} "spinu" danej pC(tli).
ez:y potrafisz to wyjasnic? U-Skaz6wka: skorzystaj z idei rozdz.
14.5.
Matematyka w~zl6w i splot6w
32.5
Rys. 32.5. Oryginalny opis w j«zyku zmiennych p«tlowych w przyblizeniu k:lasycznej czasoprzestrzeni mozna przedstawit jako superpozycj« nieomal jednorodnie rozlozonych "nitek".
Interesujqcy jest kontrast mit(dzy teoriq strun a teoriq zmiennych pt(tlowych. Podczas gdy teoria strun jest nieomal wylqcznie perturbacyjnym podejsciem do kwantowej grawitacji, to podejscie zmiennych pt(tlowych jest zasadniczo nieperturbacyjne. W teorii strun obliczenia przeprowadza sit( prawie wylqcznie w przestrzeni bazowej, ktora jest czasoprzestrzeniq plaskq, tzn. jest iloczynem przestrzeni Minkowskiego M z jakqs 6-przestrzeniq Calabiego-Yau (zob. rozdz. 31.14), i rozwaza sit( tylko slabe pola w tej przestrzeni. Idea polega na tym, ze od tej granicy slabych pol odchodzi sit( perturbacyjnie, tzn. rozwazajqc szereg pott(gowy w rozwinit(ciu wedlug pewnego malego parametru; zob. rozdz. 26.10 i 31.9. Natomiast w przypadku zmiennych pt(tlowych podstawowe stany pt(tlowe (albo stany spinowo-sieciowe; zob. rozdz. 32.6) Sq dalekie od plaskosci (lub klasycznosci) i miary powierzchni wzdluz tych pt(tli (lub linii spinowo-sieciowych) majq charakter funkcji delta. Aby w zmiennych pt(tlowych opisac czasoprzestrzen, ktora jest w przyblizeniu czasoprzestrzeniq klasycznq, musimy rozwai;yc cos, co przypomina niemal jednorodnq "tkanint( pt(tlOWq", jak na rys. 32.5. Zwrocmy uwagt(, ze jest to opis bardzo topologiczny. Nie rna znaczenia, jak "blisko" siebie znajdujq sit( te pt(tle, poniewaz pojt(cie "metryki" traci sens poza samq pt(tlq. Jedyne znaczenie majq topologiczne relacje typu "lqczy" i "wt(zlow" (albo przecit(c) mit(dzy pt(tlami oraz przyporzqdkowane im dyskretne wartosci "spinow". W ten sposob, jesli zachowujemy jedynie dyskretne topologiczne przedstawienie, to nie mamy problemow z zasadq ogolnej kowariantnosci (wewnqtrz S).
32.5 Matematyka wQzf6w i splot6w
Teoria grawitacji kwantowej w terminach zmiennych pt(tlowych prowadzi nas do dzialu matematyki, ktory wiqze sit( z topologiq wt(zlow i splotow. Jest to przedmiot zdumiewajqco wyrafinowany, zwai;ywszy na powszechne wystt(powanie jego elementow skladowych - przeciez zasadniczo chodzi 0 rozplqtywanie splqtanych sznurkow! Chcemy zrobic uiytek z kryteriow matematycznych, ktorymi dysponujemy, aby zdecydowac, czy zamknit(ta "pt(tla sznurkow" jest rzeczywiscie splqtana (tutaj "splqtanie" oznacza, ze nie jest mozliwe, aby za pomocq gladkich ruchow w zwyklej 3-przestrzeni euklidesowej sprowadzic tt( pt(tlt( do postaci zwyklego okrt(gu, bez przeciqgania jednego kawalka pt(tli przez inny; zob. rys. 32.6). Podobnie mozemy postawic pytanie 0 kryteria, ktore pozwalajq zdecydowac, kiedy dwie lub wit(cej roznych pt(tli moze zostac calkowicie od siebie oddzielonych, czyli kiedy Sq
907
32
Zaw~ienie
podejscia Einsteina; zmienne
(a)
p~tlowe
(b)
(e)
(d)
(e)
Rys. 32.6. Wyzly i sploty. (a) Wyzel potr6jny - przyldad pytli spl!!tanej. (b) Przyldad pytli niespl!!tanej (aczkolwiek nie wygl!!da na tak!!). (c) Prosty splot dw6ch pytli. (d) Splot Whiteheada, w kt6ryrn dwie pytle nie mog!! bye oddzielone, pomimo ze ich "indeks zaczepienia" (Jiczba wskazuj!!ca, ile razy jedna pytla przecina powierzchniy rozpinaj!!c!! drug!!) wynosi zero. (e) Pierscienie Boromeuszy, kt6re nie mog!! bye rozdzielone, mimo ze zadne dwa z nich nie s!! ze sob!! spl!!tane.
niepolqczone. Od pocz'!tku XX wieku znane s,! niezwykle pomyslowe formuly matematyczne pozwalaj,!ce uzyskae scisle odpowiedzi na te pytania (np. "wielomian Alexandera"), ale w czasach wsp6lczesnych - wielokrotnie na bazie inspiracji fizycznych - wynaleziono szereg fascynuj,!cych i subtelnych podejse do tych problem6w. Procedury te nosz'! takie nazwy jak "wielomian Jonesa", "wielomian HOMFLY"['], "wielomian Kauffmana" i inne 14 • Jednym z podejse do analizy tych nowych struktur matematycznych jest rozwaZanie ich w jyzyku swego rodzaju "algebry diagramowej", kt6ra stanowi pewne uog6lnienie graficznego opisu algebry tensorowej wprowadzonego w rozdz. 12.8 (zob. rys. 12.17 i 12.18) i wykorzystywanego szeroko w rozdz. 13 (zob. rys. 13.6-13.9 etc.). W tym uog6lnieniu jest istotne, czy "linia wskaznika" przechodzi ponad inn,! tak'! lini,! czy poniZej niej, gdy tylko mamy do czynienia z ich skrzyzowaniem na diagramie; zob. rys. 32.7. Istnieje wiele "tozsamosci algebraicznych", kt6re mog,! bye nalozone na ty algebry, takie na przyklad, jak przedstawione na rys. 32.8, kt6re sluz,! do wyspecyfikowania algebry Kauffmana. Zapewniaj,! one mozliwose eleganckiego uog6lnienia schematu kombinatorycznego, kt6ry leZy u podstaw teorii sieci spinowych, do jakich niebawem przejdziemy.
Rys. 32.7. Rodzaj diagramowej algebry tensorowej z rysunk6w 12.17, 12.18 oraz 13.6-13.9 etc. moze bye uog6lniony na przypadek algebry wyzl6w i splot6w. Dodatkow!! cech!! tej algebry jest to, ze teraz istotne staje siy to, czy "linia wskainikowa" przechodzi ponad inn!! tak!! lini!! czy poniZej niej w miejscu ich skrzyzowania.
908
Rys. 32.8. Rysunek ilustruje podstawow!! tozsamose algebraiczn!! algebry Kauffmana, gdzie q =A2 = e irrl', co daje nam q-zdeformowan!! wersjy algebry "binorowej", lez!!cej u podstaw teorii sieci spinowych (dla kt6rej A = -1 i problem "krzyzowania" z rys. 32.7 nie wystypuje).
[*] Jest to akronim od nazwisk Hoste, Ocneanu, Millet, Freyd, Lickorish i Yetter (przyp. Hum.).
Matematyka wQzl6w i splot6w
32.5
WielkoseA na rys. 32.8 jest liczb'} zespolon'} i zapisujemy j'} niekiedy za pomoc'} r6wnosci q =A2 = ei1t/r. (W przypadkuA = -1 otrzymujemy tzw. rachunek binorowy, kt6ry stanowi podstaw~ teorii sieci spinowych; Penrose 1969, 1971.) Istniej'} tei analogony symetryzator6w i antysymetryzator6w z rys. 12.17. Rozwini~to teori~ takich wielkosci, czasem nazywan'} teori,} struktur q-zdeformowanych. Cz~ sto w miejsce "q-zdeformowanych" uiywa si~ terminu "kwantowych", tak jak w okresleniu "grupy kwantowe", co jest raczej myl'}ce. Nie istnieje bowiem zaden klarowny zwi'}zek mi~dzy "grupami kwantowymi" a teori'} kwantow'} i fundamentalne zastosowanie grup kwantowych w fizyce, aczkolwiek mozliwe, jest nadal jedynie hipotetyczne. Warto przypomniee, ze istnieje inny mozliwy zwi'}zek mi~dzy tymi nowo odkrytymi strukturami matematycznymi (wielomiany Jonesa etc.) a fizyk'}, propagowany w szczeg6lnosci przez Edwarda Wittena 15 • Jest to koncepcja topologicznej kwantowej teorii pola (TKTP). W takiej teorii r6wnania pola w og6le nie wyst~ puj,}, ale informacja jest zawarta w strukturze globalnej i w "spi~ciach"[*l, kt6re mozemy traktowae jako "zr6dla" (lokalnie znikaj'}cego) pola. Dobrym przykladem moze bye og6lna teoria wzgl~dnosci w 1 + 2 wymiarach. W 1 + 2 (= 3) wymiarach tensor Weyla znika tozsamosciowo, a zatem cala krzywizna zawiera si~ w tensorze Ricciego. W "pustej przestrzeni" (plaskose Ricciego) cala krzywizna wi~c znika. Jednak pole grawitacyjne "zr6dla punktowego" nie jest trywialne, poniewaz zr6dlo produkuje "spi~cie", kt6re odbija si~ na globalnej geometrii. Ilustruje to rys. 32.9. Ta geometria jest bardzo podobna do geometrii struny kosmicznej, przedstawionej na rys. 28.4, z t'} r6znic,}, ze teraz mamy do czynienia z (1 + 2)-wymiarow'} czasoprzestrzeni'}, a nie z 3-wymiarow'} przestrzeni'}. Usuwamy pewien segment, z osi,} wzdluz (czasopodobnej) linii swiata zrMla, a dwa powstale plaskie brzegi sklejamy ze sob'}. W przypadku klasycznym linie swiata takich zr6del musz'} bye proste, ale KTP oparta na modelu klasycznym - a wi~c topologiczna KTP, poniewaz pole (w tym wypadku pole krzywizny) znika - dopuszcza zakrzywione, zasuplane lub spl'}tane linie swiata zrMet. To jest wlasnie sytuacja, kt6ra pozwala Rys. 32.9. "Ogolna teoria wzglydnosci" w 2 + 1 wy-
Ie..
miarach wymaga, zeby czasoprzestrzen byla plaska wszydzie tam, gdzie nie rna :irodel (poniewaz znika tam tensor Ricciego, a tensor Weyla zawsze znika w 3 wymiarach). lednatie linia swiata zrodla daje nam "spiycie" w plaskiej czasoprzestrzeni (osobliwose stozkowq), przypominajqce nam "struny kosmicznq", ktorej przestrzennq 3-geometriy i1ustruje rys. 28.4 w rozdz. 28.2. Klasycznie linie swiata zrodel Sq zawsze proste, ale tak nie musi bye w kwantowej wersji tej teorii, jakq jest topologiczna KTP.
[*] Glitches - siowo to oznacza kr6tkie spiycia (zwarcia) w instalacji elektrycznej (przyp. Hum.).
909
32
Zaw~ienie
podejscia Einsteina; zmienne
p~tlowe
na postyp16 w matematyce wyz16w i splot6w dziyki wykorzystaniu idei topologicznej KTP. Zwr6emy uwagy, ze formalizm zmiennych pytlowych przypomina w pewnym stopniu og6lny schemat TKTP, poniewaz wklad do pol a powierzchni znika poza "spiyciami", kt6re same maj,! charakter pytli. Jest jednak istotna r6znica, poniewaz w formalizmie zmiennych pytlowych r6wnania pol a pozostaj,!. Topologiczne KTP s,! interesuj,!ce jako struktury matematyczne, choe trudno je sobie wyobrazie jako realne modele znacz'!cych teorii fizycznych, g16wnie ze wzglydu na zupelny brak r6wnan pola. Zasadnicza czyse fizyki problemu zalezna jest od nietrywialnosci takich r6wnan, kt6re warunkuj,!, ze mamy do czynienia z kontrolowan'! w czasie propagacj,! p6l. luna mozliwose zaklada, ze idee TKTP moglyby bye zastosowane w pol,!czeniu z teoriq twistorow. W istocie przekonamy siy w nastypnym rozdziale (33.11), ze w opisie twistorowym r6wnania pola znikaj,! lokalnie. Pr6by zastosowania idei TKTP do teorii twistor6w na razie nie doprowadzily badaczy zbyt daleko 17, ale byloby bardzo interesuj,!ce sprawdzie, co w ten spos6b mozna uzyskae.
32.6 Sieci spinowe
910
Pomimo ze stany pytlowe jako konfiguracje graniczne ("funkcje delta") 3-geometrii s,! godne uwagi, to nadal nie stanowi,! odpowiedniej (ortonormalnej) bazy dla tej geometrii. Musimy przejse do og6lniejszego formalizmu, w kt6rym pytle mog,! siy przecinae. To prowadzi nas do swego rodzaju sieci "przecinaj,!cych siy linii pytlowych", trzeba jednak zapytae 0 znaczenie tych punkt6w przeciycia. Odpowiedzi na to pytanie mozemy szukae w pewnych rodzajach struktur, kt6re s,!, z formalnego punktu widzenia, bliskie strukturom sieci spinowych, jakimi sam zajmowalem siy prawie 50 lat temu, z innych, chociaz w pewnym sensie bliskich powod6w. Co to s,! sieci spinowe i dlaczego interesowaly mnie w latach piyedziesi,!tych XX wieku? Moim zasadniczym celem bylo w6wczas opisanie fizyki w terminach dyskretnych wielkosci kombinatorycznych, poniewai bylem przekonany, ze cala fizyka i struktura czasoprzestrzeni powinny opierae siy, u samych podstaw, na wielkosciach o charakterze raczej dyskretnym niz ci,!glym (zob. rozdz. 3.3). Dodatkow'! motywacjy stanowila dla mnie zasada Macha (rozdz. 28.5)18, z kt6rej wynika, ze sarno pojycie przestrzeni powinno bye pojyciem pochodnym, a nie od pocz'!tku podstawowym e1ementem konstrukcji. Wszystkie zjawiska winny bye wyraiane w terminach zwiqzk6w miydzy cialami, a nie miydzy cialem a jak,!s otaczaj'!c'! je przestrzeni'!. Doszedlem w6wczas do wniosku, ze najwiyksze szanse na spelnienie tego wymogu daje rozwazenie kwantowomechanicznej wielkosci, jak,! jest calkowity spin ukladu. "Spin calkowity" definiujemy jako wielkose skalarn,! j (= tn), kt6ra mierzy wielkose spinu jako calosci, a nie jedynie jak,!s jego skladow,! w pewnym kierunku. Ty ostatni,! oznaczamy zwykle liter'! m. (Litery jim s,! uZywane w dyskusji kwantowomechanicznego momentu pydu, podawane w jednostkach Ii, przy czym m zmienia siy od -j do +j, a kolejne kroki tego procesu liczbami calkowitymi; zob. rozdz. 22.8, 10, 11.) Wielkosc spinu calkowitego (uzyskana jako pierwiastek kwadrato-
Sieci spinowe
32.6
wy z sumy kwadratow wartosci m w trzech prostopadlych kierunkach) wynosi fiJj(j+l),a wiyc jest t'! sam'!, ktora wystypuje w wyrazeniu na powierzchniy w rozdz. 32.4. Dozwolone wartosci n = 2j S,! po pro stu liczbami naturalnymi (nieparzystymi dla fermionow i parzystymi dla bozonow; zob. rozdz. 23.7). Ponadto, chociaz n nie zalei:y od kierunku, to jednak jest zwiqzane z kierunkowymi aspektami przestrzeni. Z tych powodow wydawalo mi siy, ze spin calkowity, mierzony liczb,! naturaln,! n, jest idealn,! wielkosci,!, na ktorej warto skoncentrowae uwagy, jesli zamierzamy budowae od podstaw dyskretn,! strukturt( kombinatoryczn'!, prowadz,!q do pojycia rzeczywistej przestrzeni fizycznej. Nastypnie, gdyby udalo sit( skonstruowae formalizm we wlasciwy sposob, mozna by przedstawiae kwantowomechaniczne prawdopodobienstwa jako czyste prawdopodobienstwa, niezalezne od tego, jak rozne elementy urz,!dzenia pomiarowego mog,! bye zorientowane w stosunku do innych. W jaki sposob to funkcjonuje? Nazwijmy n-elementem wielkose 0 spinie calkowitym Ten "element" mozemy traktowae jako cz'!stky, ale niekoniecznie musi to bye cz'!stka elementarna. Moze to bye na przyklad caly atom wodoru. Wazne jest tylko, zeby obiekt ten charakteryzowal siy dobrze zdefiniowan,! wartosci,! calkowitego spinu (w przypadku atomu wodoru n mogloby bye zero lub 2, w zalei:nosci od tego, czy chodzi nam 0 orto- czy 0 parawodor 19). W jaki sposob uzyskae czyste prawdopodobienstwo? Moglibysmy na przyklad rozwai:ye dwie pary l-elementow z eksperymentu EPR-Bohma, niech to byd,! pary (A, B) i (C, D), pochodz,!ce z wyjsciowego stanu O-elementu. (To dokladnie taki uklad par jak na rys. 23.3 z rozdz. 23.4; zob. rys. 32.10.) Doprowadzmy teraz do pol,!czenia B i C tak, aby utworzyly pojedynczy element. S,! tylko dwie mozliwosci takiego pol,!czenia i w wyniku mozemy otrzymae albo O-element, albo 2-element, z prawdopodobienstwem[32.5] wynosz,!cym, odpowiednio, lub Jesli, alternatywnie, pol,!-
tnli.
t
t.
y,1
2
A~C 8 DIll 1
1
1
1
>NVV9>
o
0
0
0
albo
1
1
1
Rys. 32.10. Sieci spinowe. Kazdy odcinek linii prostej, oznaczony liczb1\ naturaln1\ n, reprezentuje cZ1\stky lub poduklad 0 spinie calkowitym ~ x h i nazywamy go n-elementem. W tym bardzo prostym przykladzie mamy dwie pary l-element6w EPR-Bohma, (A, B) i (C, D), z kt6rych kazda pochodzi ze stanu O-elementu (jak na rys. 23.2). Jesli dokonamy pol1\czenia B i C w jeden element, to mamy dwie mozliwOSci: moze to bye albo O-element, z prawdopodobienstwem albo 2-element z prawdopodobienstwem Te same prawdopodobienstwa uzyskamy, skladaj1\cA i D. JednakZe te prawdopodobienstwa nie s1\ niezaleine, poniewaz nie mozemy otrzymae O-elementu w jednym przypadku i 2-elementu w drugim.
t.
l§
[32.5] Czy wiesz dlaczego?
Z,
911
32
Zaw~ienie
podejscia Einsteina; zmienne
p~tlowe
czymy AiD, wowczas mozliwe rezultaty i ich prawdopodobienstwa bydq identyczne. Te prawdopodobienstwa bydq jednak ze sobq zwiqzane, poniewaz 0 ile uzyskamy O-element w jednym przypadku, 0 tyle nie mozemy uzyskac 2-elementu w drugim i vice versa. Taki byl moj pomysl na uzyskanie czystych prawdopodobienstw i doszedlem do przekonania, ze prawdopodobienstwa te bydq liczbami wymiernymi (poniewaz Natura dokonywalaby losowego wyboru miydzy skonczonq liczbq dyskretnych mozliwosci). Przyklad, ktory przedstawilem, jest bardzo pro sty, ale ilustruje dobrze ogolnq idey. Wszystkie elementy w konkretnym przypadku sieci spinowej wyobrazamy sobie jako wyprodukowane w ten sposob z wyjsciowych O-element6w (aczkolwiek nie jest to explicite zaznaczone na diagramie), wobec czego zaden kierunek przestrzenny nie jest wyrozniony. Nastypnie rozne pary elementow mozemy lqczyc w pojedyncze elementy i zapisujemy uzyskane wypadkowe wartosci spin6w. Poszczeg6lne elementy mogq tei: rozszczepiac siy na pary element6w; rys. 32.11 ilustruje takq sytuacjy. Mozemy sobie wyobrazic, ze wszystko to dzieje siy w pewnej czasoprzestrzeni. W oryginalnej teorii sieci spinowych nie zakladano co prawda zadnej konkretnej czasoprzestrzeni otoczenia. Idea polegala na tym, zeby wszystkie pojycia przestrzenne budowane byly na bazie sieci spinow i na podstawie prawdopodobienstw, jakie otrzymujemy (z uZyciem kwantowych regul obliczania prawdopodobienstw), gdy dwa elementy l
912
Rys. 32.11. Pocz'ltkowa propozycja sieci spinowej. Nie zaklada sic< istnienia jakiejkolwiek rozmaitosci czasoprzestrzennej otoczenia. Wszystkie pojc
Sieci spinowe
32.6
dobienstwo tego, ze w takiej operacji jeden z tych spinow rosnie, a drugi maleje, daje nam miary kqta miydzy osiami spinow[32.61• Oto w zasadzie cal a procedura, chociaz nie calkiem, poniewaz potrzebny jest jeszcze dodatkowy element. Trzeba znaleic jakis sposob na odroznienie "prawdopodobienstwa kwantowego" - okreslanego przez kqt miydzy osiami spinow dla dUZych elementow - od "prawdopodobienstwa z niewiedzy", ktore bierze siy stqd, ze nie mamy wystarczajqcych polqczen miydzy tymi elementami. (Przypomnijmy sobie subtelnq relacjy miydzy dwoma rodzajami prawdopodobienstwa, jakie wiqzq siy z macierzami gystosci omawianymi w rozdz. 29.3,4.) Okazuje siy, ze ten "czynnik niewiedzy" mozna wyeliminowac przez powtorzenie transferu l-elementu od jednego duzego elementu do drugiego i wyselekcjonowanie tylko takich sytuacji, w ktorych w obu przypadkach otrzymujemy identyczne prawdopodobienstwa. W przypadku takich rodzin dUZych elementow mozna udowodnic twierdzenie geometryczne, ktore mowi, ze owa "geometria kqtowa" zdefiniowana w ten sposob za pomocq prawdopodobienstwa kwantowego jest dokladnie geometriq kqtow miydzy kierunkami w zwyklej 3-przestrzeni Euklidesa20 . W ten sposob mozna wyprowadzic pojycia normalnej geometrii euklidesowej wylqcznie na podstawie relacji kombinatorycznych w sieciach spinowych. Przekonamy siy, ze motywacje, ktore kierowaly mnq podczas budowania teorii sieci spinowych, bardzo roznily siy od tych, ktore kierowaly konstruowaniem formalizmu zmiennych pytlowych na drodze do kwantowej teorii grawitacji, poniewaz w takim formalizmie sieci spinowych, jaki poczqtkowo rozwaZalismy, nie bylo miejsca na grawitacjy. Zaskoczyl mnie fakt, ze sieci spinowe odgrywajq tak waznq roly w kwantowej teorii grawitacji. Oczywiscie, znajdujemy wiele wspolnego miydzy tymi dwoma projektami, poniewaZ w kaZdym z nich usilujemy sprowadzic pojycie przestrzeni do czegos bardziej dyskretnego i kwantowomechanicznego. Istnieje jednak istotna roznica, albowiem w kontekscie zmiennych pytlowych wie1kosc n jest rzeczywiscie pewnq miarq pola powierzchni, podczas gdy w formalizmie sieci spinowych jest miarq wielkosci spinu. Sq to wielkosci rozne rozmiarowo, co przejawia siy w tym, iz w wyrazeniach w formalizmie zmiennych pytlowych wystypuje stala grawitacyjna G. Niebawem powrocy do tego problemu ijego potencjalnego znaczenia. W jaki sposob sieci spinowe majq przejawiac siy w zmiennych pytlowych kwantowej grawitacji? Juz wczeSniej sugerowalem, ze wyzly sieci spinowej Sq w istocie wynikiem przecinania siy par pytli. Z tego wynika, ze w takim miejscu wartosc j na pytli moze siy zmieniac. W takim razie bydziemy mieli do czynienia z wyzlami, w ktorych spotykajq siy cztery linie (lub wiycej), a nie trzy, jak to bylo w zaproponowanej przeze mnie poczqtkowo teorii sieci spinowych. Prowadzi to do niejednoznacznosci, poniewaz jednoznaczna interpretacja pojawi siy tylko w przypadku wyzlow potrojnych. Potrzebna jest wiyc pewna dodatkowa specyfikacja ("operator B [32.6] laka jest, w terminach prawdopodobienstw, ta miara k<}ta?
913
32
3H3 H
Zawezenie podejscia Einsteina; zmienne petlowe
~~
~
a
+b
1
2
2
3
2
2
Rys. 32.12. Wszystkie wt(zly w sieciach spinowych formalizmu zmiennych pt(tlowych s~ czterokrotne (lub wit(cej krotne) i wymagaj~ dodatkowej informacji na temat tego "przeplatania". Informacja ta mo:i:e bye zakodowana w wierzcholkach typu "X", wyra:i:onych jako kombinacja liniowa wierzcholk6w typu "H", kt6re s~ pol~czeniem par wierzcholk6w potr6jnych. Wyspecyfikowanie wsp6lczynnik6w usuwa niejednoznacznosci.
przeplatania") w kazdym wyzle. Jeden z przykladow takiej specyfikacji ilustruje rys. 32.12, gdzie wierzcholek typu "X" - w ktorym spotykajq siy cztery linie - jest wyraiony jako kombinacja liniowa wierzcholkow typu "H", skladajqcych siy z polqczonych par wierzcholkow potrojnych. Niejednoznacznosci eliminuje odpowiednia specyfikacja wspolczynnikow. Jest jeszcze inna, wazniejsza roznica miydzy sieciami spinowymi w formalizmie zmiennych pytlowych a sieciami, jakie rozwazalem pol wieku temu, ta mianowicie, ze tamte byly strukturami calkowicie kombinatorycznymi, podczas gdy sieci zmiennych pytlowych wymagajq dodatkowej struktury topologicznej, wynikajqcej z ich zanurzenia w rozmaitosci S. Linie sieciowe mogq bye na przyklad splqtane alba lqczye siy ze sobq w najrozniejszy sposob i to dostarcza dodatkowej informacji (zob. rys. 32.13). Informacja ta jest nadal dyskretna i kombinatoryczna, jednak rna charakter calkowicie topologiczny i stqd nie wystarczy wyrazie jej za pomOCq specyfikacji tego, co dzieje siy w poszczegolnych wyzlach. Jak dotqd, opis pytlowy dal nam jedynie opis statyczny, a wiyc bez jakiejkolwiek dynamiki. Glownym problemem, z jakim zmagaly siy formalizmy zmiennych pytlowych i sieci spinowych, bylo zagadnienie rownan wi~z6w ogolnej teorii wzglydnosci, tzn. warunkow, ktore mUSZq bye spelnione na powierzchni S i jednoczesnie gwarantujqcych peine respektowanie zasady ogolnej kowariantnosci Einsteina. To niemale osiqgniycie, jednak skonstruowany formalizm nie rozwiqzal trudniejszego problemu, jakim jest ewolucja dynamiczna poza S (mowimy czasem 0 "wiyzach hamiltonowskich") i taka, zeby spelnione bylo rownanie Einsteina (zob. rozdz. 32.1). Thomas Thiemann w bardzo istotnej pracy21 przedstawH propozycjy rozwiqzania problemu ewolucji hamiltonowskiej, ale pozostajq wqtpliwosci, czy takie podejscie jest odpowiednie w odniesieniu do teorii Einsteina.
914
Rys. 32.13. Sieci spinowe, w standardowym podejsciu zmiennych pt(tJowych, nie s~ ju:i: calkowicie rozczlonkowanymi strukturami kombinatorycznymi, lecz s~ zanurzone w 3-powierzchni pozbawionej struktury (choe prawdopodobnie analitycznej), takiej jak S, i topologiczne wlasnosci ich wt(zl6w i splot6w staj~ sit( istotne.
Sieci spinowe
32.6
Chociaz nie otrzymalismy w pelni satysfakcjonuj,!cego rozwi,!zania tych trudnych zagadnien dynamicznych, to formalizm zmiennych pytlowych pozwolil na uzyskanie imponuj,!cych rezultatow gdzie indziej. W szczegolnosci idee sieci spinowych okazaly siy bardzo uZyteczne i pozwolily na uzyskanie znacznie bardziej bezposredniego (i chyba bardziej realistycznego) podejscia do zagadnienia entropii czarnych dziur, niz to bylo mozliwe w teorii strun (zob. rozdz. 31.15). Teraz geometria czarnej dziury jest od razu geometri,! rozwi,!zan prozniowych Schwarzschilda lub Kerra dla 4-wymiarowej teorii Einsteina. Za pomoc,! sieci spinowych, stosuj,!c odpowiednie przyblizenia, mozna przeprowadzic explicite rachunek grawitacyjnych stanow kwantowych. Kiedy czarna dziura staje siy rozs,!dnie wielka, otrzymujemy dla jej entropii wzor Bekensteina-Hawkinga SBH = ±A (gdzie k = c = G = h = 1), jednak aby uzyskac dokladn,! wartosc czynnika musimy przyj,!c, dla parametru Barbero-Immirziego, wartosc
±,
In2
1] =
nJ3'
Aczkolwiek wygl,!da ona dziwnie, to jednak taki wybor zapewnia poprawny wynik Bekensteina-Hawkinga dla entropii we wszystkich sytuacjach, w ktorych innymi metodami uzyskano wyniki jednoznaczne, z uwzglydnieniem ladunku, obrotu i stalej kosmologicznej22. Wystypuj,! tu rozne numeryczne "koincydencje", na ktorych, jak s,!dzy, opiera siy ta teoria. Dwa oddzielne nieskonczone ci,!gi, obliczane wyraz po wyrazie, dworna zupelnie roznymi sposobami, musz'! siy zgadzac, i tak rzeczywiscie jest. Fakt ten odzwierciedla jak,!s glybok,! spojnosc idei geometrii kwantowej. Mimo to podejrzewam, ze wyniki uzyskane w przypadku czarnych dziur sugeruj,! inn,! roly parametru Barbero-Immirziego. Poprzednio, wprowadzaj'!c parametr 1], chcielismy uzyskac teoriy "geometrycznie poprawn'!" i wydawalo siy, ze do tego celu potrzebne jest 1] = ±i. Przyjycie rzeczywistej wartosci dla 1] wydawalo siy kwesti,! wygody matematycznej, aby miec do czynienia raczej z grup,! zwart'! SU(2) niz z grup,! niezwart'! SL(2,
915
32
ZawQienie podejscia Einsteina; zmienne PQtlowe
32.7 Jaki jest status
p~tlowej
teorii grawitacji kwantowej?
Sprobujy teraz przedstawiC moj,! oceny osi,!gniye formalizmu zmiennych pytlowych Ashtekara-Rovellego-Smolina i jego potencjalnego znaczenia dla przyszlej, pelnej kwantowej teorii grawitacji. Ponownie chcy ostrzec czytelnika, ze mogy nie bye tutaj zupelnie obiektywnym. Tak siy bowiem sklada, ze nie tylko wszyscy czolowi teoretycy tych badan S,! moim dobrymi przyjaciolmi, ale takZe regularnie odwiedzam dwa amerykanskie uniwersytety (Uniwersytet w Syracuse oraz Uniwersytet Stanu Pensylwania), w ktorych powstaly glowne prace z tej dziedziny. Do tego powinienem dodae moje wlasne zainteresowania teori,! sieci spinowych; jest rzecz'! naturaln,!, iz odczuwam satysfakcjy z faktu, ze moje stare pomysly znalazly tak znacz'!ce miejsce w nowym ujyciu. Podkreslam, ze moj wlasny udzial w projekcie poszukiwania teorii grawitacji kwantowej za pomoc,! zmiennych pytlowych Ashtekara raczej nie byl znacz'!cy i dlatego mam nadziejy, ze jestem w stanie zdobye siy na obiektywizm w ocenie prac. Od razu powinienem zwrocie uwagy, ze zarowno pocz'!tkowe zmienne Ashtekara, jak i pozniejszy formalizm zmiennych pytlowych uwazam za niezwykle oryginalne i plodne koncepcje na drodze poszukiwan kwantowej teorii grawitacji. Odnosz'! siy one bezposrednio do ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina w kontekscie KTP, wnosz'!c idee oryginalne i nowatorskie. Nie waham siy stwierdzie, ze stanowi,! najwazniejsze ze wszystkich kanonicznych podejse do grawitacji kwantowej, jakie pojawily siy od ponad pol wieku, czyli od czasu, gdy proby takie podjyli Dirac i inni. Stany pytlowe zostaly wprowadzone, aby za ich pomoC'! mozna bylo rozwi,!zae niektore z glownych problemow zwi'!zanych z zasad'! ogolnej kowariantnosci. Ponadto prace te skierowaly dyskusjy w niezwykle fascynuj'!cym i nieprzewidywanym kierunku, w ktorym zaczynaj,! pojawiae siy intryguj,!ce elementy dyskretnosci w strukturze czasoprzestrzeni. Co wiycej, ostatnie prace pokazuj,!, ze pocz'!tkowo czysto grawitacyjna teoria moze uwzglydnie rownieZ inne oddzialywania, nie tylko grawitacyjne, a wiyc mozemy przyj,!e, ze uzyskalismy formalizm, ktory jest w stanie zasadniczo zmienie nasze podejscie do fundamentalnych problemow fizyki23. Rownoczesnie pojawil siy nieco niepokoj,!CY fakt, ze w tej teorii zmuszeni jestesmy zaadaptowae koneksjy r (z nieokreslon,! wartosci,!1]) zamiast koneksji r, ktora wydaje siy "geometrycznie poprawna". Moim zdaniem nie uda siy w ten sposob uzyskae w pelni wiarygodnego podejscia do kwantowej teorii grawitacji, dopoki nie potrafimy pokonae trudnosci zwi'!zanych z uZyciem oryginalnej koneksji r. W dodatku, chociaz uZycie sieci spinowych usuwa trudnosci z rownaniami wiyzow, to w formalizmie zmiennych pytlowych mamy nadal klopoty z jednoznacznym ujyciem pelnego hamiltonianu Einsteina. Mam wrazenie, ze te trudnosci S,! zwiqzane z pewn'! mniej satysfakcjonuj,!C'! cech,! teorii zmiennych pytlowych Ashtekara. Podobnie jak we wszystkich konwencjonalnych kanonicznych podejsciach do grawitacji kwantowej, jej sformulowanie jest bezposrednio zwi,!zane z opisem w 3-przestrzeni (a wiyc w terminach ~
916
Jaki jest status
teorii grawitacji kwantowej?
32.7
S), a nie z bardziej globalnym opisem w czasoprzestrzeni. J ak siy przekonalismy, w jyzyku stanow pytlowych i sieciowo-spinowych rozwiqzalismy problem "ogolnej kowariantnosci" w 3-przestrzeni, jednak po przejsciu do 4-przestrzeni kwestia ta otwiera liczne i trudne problemy. Wedlug mnie, podejscie zmiennych pytlowych nie radzi sobie z nimi duzo lepiej niz inne podejscia kanoniczne 24 • Trudnose wiqie siy z problemem, w jaki sposob przedstawie ewolucjy czaSOWq, zgodnie z rownaniem Einsteina, w ogolnie kowariantnym formalizmie w 4-przestrzeni. Chodzi tu 0 problem znany pod naZWq "problemu czasu w grawitacji kwantowej" (albo, czasami, pod nazwq "problemu czasu zamrozonego"). W ogolnej teorii wzglydnosci nie mozna odroznie ewolucji w czasie od zwyklej zamiany wspolrzydnych (tzn. od zastqpienia jednej wspotrzydnej czasowej innq). Formalizm ogolnie kowariantny jest niewrazliwy na takie zamiany, wobec czego koncepcja ewolucji w czasie staje siy bardzo problematyczna. Moj poglqd na ty sprawy wyloiylem juz w rozdz. 30.11, mianowicie uwazam, ze problemu tego siy nie rozwiqie, jesli nie zajmiemy siy na serio problem em redukcji wektora stanu, R, a to z kolei wymaga radykalnej rewizji ogolnych zasad mechaniki kwantowej. Z tymi zagadnieniami wiqie siy inny problem, do ktorego, moim zdaniem, podchodzi siy w sposob zdecydowanie niezadowalajqcy, aczkolwiek nie wynika to w zasadzie z kwestii formalizmu zmiennych pytlowych, lecz raczej samego przepisu ogolnej kowariantnosci. W tym sensie podejscie to jest ofiarq wlasnego sukcesuI Albowiem, chociaz stany bazowe sieci spinowych majq ty cechy, ze ich opis geometryczny nie zaleiy od wyboru ukladu wspolrzydnych, to jest w najwyiszym stopniu niejasne, jak naleiy rozumiee superpozycje kwantowe takich stanow bazowych. Ze wzglydu na ogolnq kowariantnose nie rna zwiqzku miydzy "lokalizacjq" jednej sieci spinowej a lokalizacjq innej, z ktorq rna nastqpie superpozycja. (To jest duio wainiejsza wersja zagadnienia, ktore omawialem w rozdz. 30.11, gdzie uzasadnialem koniecznose grawitacyjnej OR.) Dlaczego mamy prawo spodziewae siy, ie z tego wszystkiego wyloni siy prawie klasyczny obraz swiata, w ktorym iyjemy? Mam nadziejy, ze w szczegolnosci dziyki dyskusji przeprowadzonej w rozdz. 30 czytelnik zdaje sobie sprawy, ii w moim przekonaniu przyszle poprawne polqczenie teorii kwantowej z grawitacjq musi w istotny sposob odejse od standardowej mechaniki kwantowej, tak aby proces R mogl bye uwazany za realny proces fizyczny (OR). Czy jest na to miejsce w formalizmie zmiennych pytlowych? Bye moze tak. W formalizmie zmiennych pytlowych liczby n = 2j na krawydziach sieci spinowych odnoszq siy do pola powienchni w jednostkach kwadratu dlugosci Plancka, ale w poczqtkowej koncepcji sieci spinowej nie zajmowalem siy ani problemami metryki, ani zadnymi aspektami grawitacji, a liczby spinowe n oznaczaly po prostu wartosci momentu p~du. Naleiy jednak pamiytae, ze w mojej teorii liczby te musialy bye wynikiem indywidualnych pomiarow calkowitej wartosci spinu (a wiyc dzialania R na kazdej linii), a prawdopodobienstwa wynikaly z polqczenia dwoch elementow w trzeci. Jesli R rna bye obiektywnym fenomenem grawitacyjnym, wowczas procesy grawitacyjne mUSZq zadzialae jui na tym etapie, takjak to sugerujemy
917
p~tlowej
Zaw~ienie
32
podejscia Einsteina; zmienne
p~tlowe
w rozdz. 30. W takim przypadku nie rna mozliwosci oddzielenia grawitacji od zagadnienia prawdopodobie6stw w teorii sieci spinowych. Wydaje siy wiyc, ze peIne pol,!czenie formalizmu zmiennych pytlowych i sieci spinowych wymagac bydzie wl,!czenia procesu redukcji stanu. Jesli ta supozycja okaze siy prawdziwa, to bydziemy mogli znaleic wlasciw,! drogy do sformulowania schematu grawitacyjnej OR. Dopoki jednak takiego formalizmu nie mamy, dopoty koncepcje te musz'! pozostac na poziomie spekulacji. N a koniec muszy skomentowac inne prace zwi,!zane z teori,! zmiennych pytlowych. Okazuje siy, ze nie jest to juZ jedynie czysta teoria grawitacji 25 , lecz w ramach tego formalizmu mozna rozwazac zagadnienia elektromagnetyzmu26 • Wydaje siy tel:, ze istniej,! mniej radykalne sposoby niz te wspomniane w poprzednim akapicie, pozwalaj,!ce na bardziej ,,4-wymiarowe" przedstawienie sieci spinowych pytlowej grawitacji kwantowej. Jeden z tych sposobow polega na pomyslowym uogolnieniu sieci spinowych w wyzszych wymiarach i wprowadzeniu koncepcji piany spinowej. Mamy tutaj do czynienia z 2-powierzchniami charakteryzuj,!cymi siy "wartosciami spinu" n = 2j i mozemy traktowac tak'! piany spinow,! jako ewoluuj,!c,! w czasie siec spinow'!. Idee te zaproponowali Louis Crane, John Barrett i inni27, a rozwiniyte zostaly w wielu innych pracach28 • Ich zwi'!zek z kwantow'! teori,! grawitacji jest jednak jeszcze niejasny. Istnieje tel: mozliwosc, ze istotny postyp dokona siy w pol,!czeniu z teori,! twistorow i dlatego w nastypnym rozdziale przyjrzymy siy zasadniczym pojyciom tej teorii. Wielokrotnie w tej pracy, a szczegolnie w rozdz. 30, staralem siy podkreslic, ze problem kwantowej redukcji stanu jest scisle zwi¥any ze struktur,! osobliwosci czasoprzestrzeni i ich asymetri,! wobec odbicia czasu. Jest interesuj,!ce, ze zapocz'!tkowano juz prace nad wykorzystaniem formalizmu zmiennych pytlowych do zbadania, jakie mog,! byc skutki wprowadzenia teorii kwantowej do opisu osobliwosci czasoprzestrzenf9• Nie jestem w stanie w peini ocenic tych prac, ale nie dostrzegam w nich sladu pojawienia siy niezbydnej asymetrii wzglydem odbicia czasu.
Przypisy Rozdzial32.1 Zob. Greene (1999). 2 Jest swego rodzaju ironiq, ze sam Einstein w podejsciu do jednolitej teorii pol a zajmowal siy tym w ostatnim okresie Zycia - nie zawsze trzymal siy scisle wqskiej drogi, kt6rq sam wczesniej wytyczyl. 3 Zob. Dirac (1964); Ashtekar (1991); Wald (1984), gdzie znajdziemy wyjasnienie pojycia wiyz6w i formalizm hamiltonowski. 4 Zob. na przyklad: Dirac (1950, 1964); Pirani, Schild (1950); Bergmann (1956); Arnowitt, Deser, Misner (1962). Zob. DeWitt (1967), gdzie znajdziemy r6wnanie Wheelera-DeWitta, kt6re jest w zasadzie r6wnaniem Schrodingera kwantowej grawitacji na przestrzeni zwartych 3-geometrii. 5 Zob. Isham (1975); Kuchar (1981). 918 6 Zob. Sen (1982) oraz Ashtekar (1986, 1987). 1
Przypisy Rozdzial 32.2 Niebawem przekonamy siy, w jaki sposob trudnosci techniczne zmusily Ashtekara do cZysciowego odejscia od jawnie chiralnego opisu. Jednak, 0 ile domyslam siy motywacji stoj,!cych za programem Ashtekara, to odejscie jest tylko chwilowym zajyciem siy modelami bliskimi budowanego modelu kwantowej grawitacji, aczkolwiek nie identycznymi. 8 Pocz'!tkow'! dyskusjy grawitacji linearyzowanej znajdziemy w: Fierz, Pauli (1939). Dalsze informacje na ten temat podaj,! Sachs, Bergmann (1958). Na temat nieliniowego grawitonu zob. Penrose (1976a i 1976b). 7
Rozdzial32.3 Zob. Ashtekar (1986 i 1987); zob. takZe artykul przegl,!dowy Ashtekar, Lewandowski (2004), a nawet podrycznik Rovelli (2003)! 10 Ci czytelnicy, ktorzy chc,! zrozumiee, jak te "indeksy" funkcjonuj,!, powinni najpierw zauwaiye, ie odwrotna 3-metryka jest wielkosci,! y" z podniesionymi indeksami 3-wymiarowymi. Tworz'!c wielkose dualn,! we wskazniku s (rozdz. 12.7) na S, otrzymujemy wielkose y'ru (gystose), ktora jest antysymetryczna we wskaznikach t i u. Te dolne indeksy moiemy odczytywae jako indeksy 2-formy w 4-przestrzeni i wzi,!e czyse antysamodualn'!, co daje nam pary dolnych symetrycznych indeksow spinorowych. W ten sposob otrzymujemy wielkose y~ alba rownowain,! jej y~Q, ktora jest bezsladowa w indeksach P i Q. Jesli chodzi 0 r, jest to wielkose r,PQ i stanowi macierz 1-formy w przestrzeni spinowej, rowniei besladowej (poniewai jest koneksj,! SL (2, IC). Zauwaimy, ie struktura indeksow r jest odwrotna do struktury y, a wiyc jest tak, jak bye powinno w przypadku zmiennych kanonicznych. Wiycej szczegolow znajdziemy w: Ashtekar (1986, 1987); Ashtekar, Lewandowski (2004); Rovelli (2003). 11 Jest to koneksja, ktor,! w 1981 roku wprowadzil Sen, dokonuj,!c redukcji wiyzow ogolnej teorii wzglydnosci do postaci wielomianowej. Interesuj,!ce, ie tej samej koneksji uiyl niezaleinie Witten (rowniei w 1981 roku), w dowodzie dodatniosci energii calkowitej w ogolnej teorii wzglydnosci; zob. rozdz. 19.8 i Witten (1981). 0 ile mi wiadomo, to koneksja ta zostala po raz pierwszy zastosowana w konstrukcji hiperpowierzchni przestrzeni twistorowej dla S (zob. Penrose, MacCallum 1972; Penrose 1975), ktora jest cZysci,! teorii twistorow, najbliisz'! koncepcji zmiennych Ashtekara. 9
Rozdzial32.4 Zob. Wilson (1976); uiycie tej techniki w kwantowej teorii pol a znajdziemy np. w Zee (2003). Zob. rowniei Rovelli, Smolin (1990). 13 Nawet gdybysmy mogli j,! okreslie, to jej struktura rozmaitosciowa moglaby bye uwaiana za cos wiycej, poniewai wprowadza nie tylko topologiy, ale takZe struktury roiniczkowaln,! lub "gladkose" - zob. rozdz. 10.2 i 12.3. Por. rowniei z rozdz. 33.1. Istotnie, dla technicznej wygody Sw podejsciu Ashtekara-Lewandowskiego przypisuje siy struktury analitycznq (Ashtekar, Lewandowski 1994), co oznacza, ie jest ona C' w sensie rozdz. 6.4.
12
Rozdzial32.5 Bardzo proste wprowadzenie do teorii wyzlow znajdziemy w: Adams (2000). Bardziej techniczne opracowania - zob. Rolfsen (2004) i Kauffman (2001). 15 Zob. artykul przegl,!dowy Labastida, Lozano (1998); oryginalna propozycja "TKTP" zob. Witten (1988). 16 Z powodu dzikich osobliwosci topologiczna KTP nie prowadzi jednak bezposrednio do uzyskania scislych twierdzen matematycznych. 17 Zob. Penrose (1988). 14
18
Rozdzial32.6 Moje zainteresowanie zasad'! Macha bylo wynikiem dyskusji z koleg,!, przyjacielem i mentorem, Dennisem Sciam,!.
919
32
Zaw~ienie
podejscia Einsteina; zmienne
p~tlowe
Zob. Levitt (2001). Zob. Penrose (1971a, 1971b). 21 Zob. Penrose (1996, 1998a, 1998b, 1998c, 2001). 22 lednakZe niedawno zostalo pokazane, ze przedstawiona tu wartosc YJ jest blydna i jej postac jest bardziej skomplikowana. Zob. Domagala i Lewandowski (2004); Dreyer, Markopoulou i Smolin (2004). Reszta dyskusji przeprowadzonej w rozdz. 32.6, 7 pozostaje bez zmiany. 19
20
Rozdzial 32. 7 Zob. Thiemann (1998c). 24 Zob. Hartle, Hawking (1983) oraz przyp. 3-5 w tym rozdz. Nie potrafiy siy powstrzymac przed odeslaniem czytelnika do pracy Smolin (2003) i do znakomitego artykulu przeglqdowego Ashtekar, Lewandowski (2004), z kt6rego zaczerpnqlem wiele pozycji literatury. Szczeg6lnie zobowiqzany jestem Abhayowi Ashtekarowi za pomoc w skompletowaniu literatury do tego rozdzialu. 25 Zob. Varadarajan (2000). 26 Zob. Varadarajan (2001). 27 Zob. Baez (1998, 2000); Reisenberger (1997, 1999); Reisinberger, Rovelli (2001, 2002); Barrett, Crane (1998); Reisenberger (1999); Perez (2003). 28 Zob. literatury w przyp. 27 w tym rozdz. oraz Perez (2003). 29 Bojowald (2001); Ashtekar, Bojowald, Lewandowski (2003). 23
33 Perspektywy bardziej radykalne; teo ria twistor6w 33.1 Teorie z geometriil 0 elementach dyskretnych eZY rzeczywiscie teorie przedstawione w poprzednich rozdzialach probowaly zlamac radykalnie kod Natury, ktory zawiera sekret l,!czenia kwantowej fizyki tego co male z geometri,! zakrzywionej przestrzeni tego co ogromne? A moze powinnismy szukac teorii 0 fundamentalnie odmiennym charakterze od teorii zbudowanych na rzeczywistej rozmaitosci ci,!glej czasoprzestrzeni, takich jak teoria Einsteina i standardowa mechanika kwantowa? Problem ten rozwazalismy juz w rozdz. 3.3 i koniecznie musimy zapytac, czy czasoprzestrzenne kontinuum liczb rzeczywistych, ktore wystypuje nieomal powszechnie jako zalozenie u podstaw wszystkich teorii fizycznych, stanowi rzeczywiscie odpowiednie ramy matematyczne do opisu zasadniczych elementow struktury Wszechswiata. Przekonalismy siy, w jaki sposob podejscie do teorii grawitacji kwantowej za pomoq formalizmu zmiennych pytlowych zaczynalo zmieniac kierunek: od standardowego obrazu ci,!giej i gladko zmieniaj,!cej siy czasoprzestrzeni w strony obrazu przejawiaj,!cego dyskretny charakter topologiczny. Niektorzy fizycy uwazaj'! nawet, ze jesli chcemy uzyskac rzeczywiscie glyboki wgl,!d w natury "kwantowej czasoprzestrzeni", to niezbydne jest znacznie bardziej radykalne podejscie do koncepcji przestrzeni i czasu. Pierwotna (bardzo ograniczona) propozycja sieci spinowych z rozdz. 32.6 miala rzeczywiscie zupelnie dyskretny charakter, jednak standardowy obraz zmiennych pytlowych nadal zwi,!zany jest z ci,!gl,! natur,! 3-powierzchni, na ktorej osadzone S,! "sieci spinowe". W takim przypadku nie uzyskuje siy calkowicie dyskretnej i jawnie "kombinatorycznej" konstrukcji, jak,! niektorzy uwazaj'! za niezbydn,!, jezeli chcemy zrozumiec, w jaki sposob Natura dziala w jej najbardziej miniaturowej skali. Zaproponowano rozne koncepcje, odmienne od podejscia tych wczesnych schematow sieci spinowych czy pian spinowych, ktorych intencj,! jest skonstruowanie calkowicie dyskretnego i kombinatorycznego obrazu swiata. Wsrod najbardziej ekstrawaganckich propozycji tego rodzaju (wspominaiem 0 nich w rozdz. 16.1) znalazla siy koncepcja wysuniyta przez Ahmavaary (1965t Jego zdaniem system liczb rzeczywistych, fundamentalny dla matematyki konwencjonalnej fizyki, powi-
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistorow
Rys. 33.1. Czasoprzestrzen typu Snydera-Schilda jest sieci,! periodyczn'!, podobn,! do sieci szescianow nalozonych jeden na drugi w regularny sposob. (Taka siec rna wiycej elernentow niezrnienniczosci lorentzowskiej, niz rnozna podejrzewac!)
nien zostae zast,!piony pewnym cialem skonczonym Fp , gdzie p jest bardzo duz,! liczb,! pierwsz'!. Przypomnijmy sobie (z rozdz. 16.1), ze cialo Fp uzyskujemy z ciala liczb calkowitych modulo p. Inni sugeruj,!, ze czasoprzestrzen powinna miee charakter dyskretnej, periodycznej struktury sieciowej, takiej na przyklad jak siee szescianow ulozonych jeden nad drugim w regularny sposob 2 (rys. 33.1). Znacznie bardziej prawdopodobne z fizycznego punktu widzenia S,! inne propozycje, na przyklad geometria zbiorow przyczynowych Raphaela Sorkina3 (lub zblizone do nich wczesniejsze koncepcje )4, zgodnie z ktorymi uwaza sit(, ze czasoprzestrzen sklada sit( z dyskretnego, bye moze skonczonego, zbioru punktow, dla ktorego podstawowe jest pojt(cie koneksji przyczynowej mit(dzy punktami. W zwyklym klasycznym sensie "koneksja przyczynowa" dotyczy mozliwosci przeslania sygnalu z jednego punktu do innego, a zatem jeden z tych punktow leZy wewn'!trz stozka swietlnego drugiego lub na tym stozku; zob. rys. 33.2. Zasadniczo losowa natura koneksji przyczynowych w formalizmie Sorkina stwarza mozliwose pojawienia sit( czegos w rodzaju niezmienniczosci lorentzowskiej szczegolnej teorii wzglt(dnosci, podczas gdy problem ten przysparza trudnosci w formalizmie struktur sieciowych (aczkolwiek w przypadku takich sieci jak na rys. 33.1 mamy znacznie wit(cej symetrii, niz mozna by sit( spodziewae). Istnieje wiele innych koncepcji prowadz'!cych do egzotycznych struktur czasoprzestrzennych, powstalych na bazie teorii zbiorow kwantowych lub geometrii kwaternionowej Davida FinkelsteinaS, fizyki oktonionowej Corinne Manogue i Teviana Draya (rozdz. 11.2, 16.2)6 etc.
9.·' .·, .·.. · .· b J
922
(a)
(b)
Rys. 33.2. (a) Model wszechswiata dyskretnego, opisywanego za pornoc,! geornetrii zbiorow przyczynowych. (b) Relacje rniydzy punktarni rnaj,! charakter przyczynowosci lorentzowskiej, zgodnie z ktor,! strzalki wskazuj,! kierunki wewn'!trz stozkow swietlnych lub na nich.
Teorie z geometriij 0 elementach dyskretnych
33.1
Rys. 33.3. W "rachunku Reggego" czasoprzestrzen rna struktury 4-wyrniarowego wieloscianu ("politopu"), skladaj'lcego siy zwykle z 4-wyrniarowych "czworoscian6w" (5-syrnpleks6w). Krzywizna (jako funkcje delta) urniejscowiona jest wzdluz 2-wyrniarowych (zwykle tr6jk'ltnych) krawydzi, nosz'lcych nazwy "kosci".
Znamy rowniez interesuj,!CY projekt kwantowej teorii grawitacji zaproponowany przez Tullio Reggego w 1959 roku, w ktorym czasoprzestrzen jest nieregularnym 4-wymiarowym wieloscianem (czyli "politopem") zlozonym z "czworoscianow", a jej krzywizna rna charakter funkcji delta (rozdz. 9.7) wzdluz 2-wymiarowych "krawydzi", nazwanych przez Reggego "koscmi"7; zob. rys. 33.3 (a takZe rys. 32.3a, rozdz. 32.4). Stan kwantowy jest zespolon,!, wazon'! sum'! takich przestrzeni, zgodnie z procedur,! "sum po historiach" Feynmana, opisan,! w rozdz. 26.6. Opis samych przestrzeni jest calkowicie kombinatoryczny, z wyj'!tkiem "k,!ta", ktory, aby reprezentowac krzywizny, musi byc okreslony przy kazdej "kosci". "Struna kosmiczna", przedstawiona w rozdz. 28.2 (rys. 28.4), jest przykladem tego samego rodzaju geometrii. Pojawily siy tez inne intryguj,!ce i radykalne propozycje w pracach Richarda Jozsy8 i Christophera Ishama9, ktorzy wykorzystali teori~ topos6w. To pewien rodzaj teorii mnogosci lO , powstaly na gruncie sformalizowania "logiki intuicjonistycznej" (zob. przyp. 6 z rozdz. 2), w ktorej kwestionuje siy zasadnosc metody dowodzenia "przez sprowadzenie do niedorzecznosci" (rozdz. 2.6, 3.1)! Nie chcy wdawac siy w dyskusjy tych podejsc i odsylam czytelnika do literatury. luna jeszcze idea moze okazac siy uiyteczna i odegrac znacz'!c'! roly w fizyce teoretycznej, mianowicie teoria kategorii i jej uogolnienie na teoriy n-kategorii. Teoria kategorii, wprowadzona w 1945 roku przez Samuela Eilenberga i Saundersa Mac Lane'a ll , jest nadzwyczaj ogolnym formalizmem algebraicznym, opartym na bardzo prymitywnych (ale niejednoznacznych) pojyciach abstrakcyjnych, wywodz'!cych siy z idei topologii algebraicznej. (Jej procedury s,! cZysto potocznie okreslane jako "nonsens abstrakcyjny".) Wielka sila tej teorii jest zludna z uwagi na elementarny charakter jej podstawowych skladnikow, ktorymi S,! "strzalki" i "obiekty", a przy tym rna ona bardzo "kombinatoryczny" wygl,!d, podobny do innych idei omawianych w tym rozdziale. Uogolnienie teorii kategorii na teoriy n-kategorii przypomina sposob, w jaki "homotopia" udoskonala pojycie "homologii", 0 czym mowilismy w rozdz. 7.2. Teoria kategorii rna juz swoj wklad w teorii twistor6w (w zwi,!zku z zagadnieniami omawianymi w rozdz. 33.9), natomiast teoria n-kategorii wi,!ze siy z wyzlami i splotami, pianami spinowymi (rozdz. 32.7) i strukturami q-zdeformowanymi (rozdz. 32.5)12. Wcale bym siy nie zdziwil, gdyby okazalo siy, ze te idee odegraj,! znacz'!c'! roly w zast,!pieniu konwencjonalnych koncepcji czasoprzestrzeni nowymi pojyciami fizyki XXI wieku.
923
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
924
Tymczasem posr6d gl6wnych kierunk6w poszukiwan wsp6lczesnej fizyki znajdujemy koncepcjt( geometrii nieprzemiennej, rozwinit(tq gl6wnie w pracach matematyka Alaina Connesa, laureata Medalu Fieldsa. Czym jest "geometria nieprzemienna"? Aby to zrozumiee, wyobrazmy sobie najpierw zwyklq, gladkq rozmaitose rzeczywistq M. Nastt(pnie rozwazmy rodzint( gladkich, rzeczywistych (skalarnych) funkcji na M (kt6re mogq bye funkcjami 0 gladkosci c"'; zob. rozdz. 6.3). Takie funkcje mozna dodawae do siebie i mnoZye, mozna je tei: mnozye przez dowolne (stale) liczby rzeczywiste. Rzeczywiscie, tworzq one system algebraiczny A, kt6ry nazywamy algebrq przemiennq nad cialem liczb rzeczywistych lR; por. rozdz. 12.2 i przyp. 5 z rozdz. 12). Okazuje sit( teraz 13 , ze jesli znamy A tylko jako algebrt( i nie mamy informacji, skqd ta algebra pochodzi, to pomimo tego jestesmy w stanie zrekonstruowae z algebry A calq rozmaitose M. A zatem MiA mogq bye skonstruowane wzajemnie jedna z drugiej, z czego wynika, ze obie te struktury matematyczne Sq, w scisle okreslonym sensie, r6wnowaine. Tymczasem w mechanice kwantowej spotykamy czt(sto algebry, kt6re Sq nieprzemienne. Przykladem moze bye algebra x" i Pa' kt6ra spelnia standardowe kanoniczne reguly komutacji Pbx" -x"Pb = i1ii5~ na podstawie rozdz. 21.2. Jesli z takiej algebry spr6bujemy zrekonstruowae "rozmaitose", w podobny spos6b, w jaki M moze bye otrzymana z A, to uzyskamy wlasnie geometri~ nieprzemiennq. Innym przykladem bt(dzie rozwazenie kwantowomechanicznych skladowych momentu pt(du Ll' L 2, L3 z rozdz. 22.8 (przypomnijmy, ze algebra przez nie generowana jest zdefiniowana za pomocq regul komutacji L1L2 - L2L1 = i1iL 3 , L2L 3 - L3L2 = i1iL 1, L3L1 - L1L3 = i1iL 2). Operatory te mozemy traktowae jako generatory obrot6w na zwyklej sferze S2. Okazuje sit(, ze z algebry generowanej przez Ll' L 2, L3 otrzymujemy geometrit( nieprzemiennq, okreslanq mianem "nieprzemiennej sfery". Pomimo ze wystt(puje tu wiele subtelnosci matematycznych, pit(kne struktury oraz nieoczekiwane zastosowania tej idei, nie mogt( teraz zajqe sit( tym wszystkim. W rozdz. 33.7 powr6ct( na kr6tko do idei geometrii nieprzemiennej w zwiqzku z problemem kwantyzacji twistor6w. Connes i jego wsp6lpracownicy rozwint(li idee geometrii nieprzemiennej z nadziejq, ze w ten spos6b uda sit( zbudowae teorit( fizycznq, kt6ra bt(dzie zawierala standardowy model fizyki cZqstek elementarnych 14 • Ich model stosuje algebrt( A bt(dqcq iloczynem A1 x ~, gdzie A1 jest (przemiennq) algebrq funkcji na czasoprzestrzeni (ale z metrykq dodatnio okreslonq), natomiast ~ jest algebrq nieprzemiennq, odpowiadajqcq grupom symetrii wewnt(trznych modelu standardowego, oraz wprowadza "dwie kopie" czasoprzestrzeni. Model w takiej postaci nie zawiera lorentzowskich idei szczeg6lnej teorii wzglt(dnosci i na pewno nie zawiera og61nej teorii wzglt(dnosci. Ponadto nie wydaje mi sit(, zeby potencjalne bogactwo idei zawartych w koncepcji geometrii nieprzemiennej bylo, jak dotqd, wykorzystane w znaCZqcym stopniu. Niemniej jest to interesujqcy poczqtek i rna intrygujqce wtasciwosci pozwalajqce przewidziee mast( bozonu Higgsa 15 •
Twistory jako promienie swietlne
33.2
Wszystkie te koncepcje obracajq siy wokol problemu konstrukcji pojyc "czasoprzestrzeni" uwzglydniajqcych aspekty dyskretnosci lub swego rodzaju "kwantowej" charakterystyki. W pozostalej cZysci tego rozdzialu przedstawiy calkiem odmienny zbior idei, a mianowicie teon? twistor6w (sam zajmowalem siy niq ponad 40 lat!), ktora nie naklada na czasoprzestrzen zadnych wymogow dyskretnosci. Zamiast tego punkty czasoprzestrzeni przestajq odgrywac glownq roly, jakq zwykle przypisuje siy im w teoriach fizycznych. Czasoprzestrzen staje siy konstrukcjq (wtornq) wynikajqcq z bardziej elementarnych pojyc twistorow. Teoria twistorow jest w pewien sposob zwiqzana zarowno z teoriq sieci spinowych, jak i ze zmiennymi Ashtekara oraz, byc moze, z geometriq niekomutatywnq, jednak nie prowadzi ona bezposrednio do pojycia "dyskretnej czasoprzestrzeni". Zamiast tego odchodzi od koncepcji ciqglosci w swiecie liczb rzeczywistych w przeciwnq strony, albowiem przywoluje magi? liczb zespolonych jako podstawowq zasady kierujqcq naszym mysleniem 0 fizyce. Wedlug teorii twistorow liczby zespolone majq do odegrania fundamentalnq roly w zdefiniowaniu struktury czasoprzestrzeni, poza juz dobrze poznanq ich zasadniczq rolq w mechanice kwantowej. W ten sposob spodziewamy siy znaleic nic lqczqcq fizyky wielkiego z fizykq rna/ego.
33.2 Twistory jako promienie 8wietlne W rozdz. 21 i 22 stwierdzilismy, ze struktury zespolone majq istotnie fundamentalne znaczenie dla mechaniki kwantowej. Liczbami zespolonymi Sq "amplitudy", pojawiajqce siy jako wspolczynniki w podstawowym prawie mechaniki kwantowej, jakim jest zasada superpozycji liniowej, ktora z kolei prowadzi do zespolonych przestrzeni Hilberta. Podczas gdy amplitudy te Sq zwykle traktowane jako wielkosci abstrakcyjne, a ich zasadnicza rola sprowadza siy do okreslenia prawdopodobienstw wynikow pomiarow, to przekonalismy siy w rozdz. 22.9, ze istnieje glyboki zwiqzek tych liczb zespolonych i geometrii przestrzennej. Najwyrainiej pokazano to na przykladzie mechaniki kwantowej cZqstki 0 spinie dla ktorej, dziyki koncepcji sfery Riemanna, mozliwe stany kwantowe spinu odpowiadajq roznym kierunkom przestrzennym. W rozdz. 22.10 dowiedzielismy siy, ze rowniei stany odpowiadajqce wyzszym wartosciom spinow mogq byc opisane w terminach geometrii przestrzennej na sferze Riemanna za pomocq przedstawienia Majorany. lednak nie tylko w mechanice kwantowej znajduje siy miejsce dla fundamentalnej roli sfery Riemanna. Przypomnijmy (z rozdz. 18.5), ze sfera ta odgrywa istotnq roly w teorii wzglydnosci, poniewaz pole widzenia obserwatora moze byc rowniez traktowane jako sfera Riemanna. Fakt ten rna zasadnicze znaczenie dla teorii twistorow, 0 czym przekonamy siy niebawem. Innq zasadq kierunkowq w konstrukcji teorii twistorow jest nielokalnosc kwantowa. W rozdz. 23.3-6 omawialismy dziwne efekty EPR, a nastypnie, w rozdz. 23.9, roly "quanglementu", przejawiajqcq siy szczegolnie w zjawisku teleportacji kwantowej; przypomnijmy sobie, ze doszlismy tam do wniosku, iz procesy fizyczne nie
-t,
925
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
~ eras
Rys. 33.4. W pocz,!tkowej koncepcji sieci spinowych linie sieciowe mog,! bye uwazane za linie quanglementu (zob. rozdz. 23.9 i rys. 23.7). Mozna wybrae dowolny kierunek czasu - do przodu, do tylu lub w bok - a w wyniku otrzymamy ekwiwalentn'! interpretacj« sieci spinowej.
926
mogq bye w pelni zrozumiane w terminach calkowicie lokalnych relacji 0 zwyklym, "przyczynowym" charakterze. Sugeruje to, ze potrzebna jest teoria, w ktorej takie nielokalne wlasciwosci zostanq uwzgl
Twistory jako promienie swietlne
33.2
sci liczb zespolonych w przekonaniu, ze to Natura sarna posluguje sit( t'! magi,! na najglt(bszym poziomie. Przekonamy sit(, w tym i kilku nastt(pnych rozdzialach, w jaki sposob wszystkie te aspekty magii liczb zespolonych l'!cz'! sit( ze sob,! w strukturze formalizmu twistorowego. Dowiemy sit( takZe, jak teoria twistorow odkrywa zdumiewaj,!ce i nieoczekiwane glt(bokie zwi,!zki z ogoln,! teori,! wzglt(dnosci, jak otwiera nowe perspektywy dla KTP, dla fizyki cz'!stek elementarnych i dla mozliwego, nielokalnego uogolnienia mechaniki kwantowej. W jaki sposob wszystkie te idee l'!cz'! sit( ze sob,! w teorii twistorow? Aby zrozumiec idee twistorowe, sprobujmy pomyslec 0 twistorze jako 0 promieniu swietlnym w zwyklej czasoprzestrzeni (Minkowskiego) M. Taki promien swietlny mozemy uwaiac za proste "l'!cze przyczynowe" mit(dzy par,! zdmzen (tzn. punktami czasoprzestrzeni). Jednak same zdarzenia traktujemy jako wtorne elementy konstrukcyjne, ktore uzyskujemy w wyniku przecit(cia sit( promieni swietlnych. Istotnie, kaide zdarzenie R (punkt R czasoprzestrzeni) mozemy opisac za pomoc,! rodziny promieni swietlnych przechodz'!cych przez R; zob. rys. 33.5. Podczas gdy w normalnym obrazie czasoprzestrzeni promien swietlny Z jest traktowany jako miejsce geometryczne, a zdarzenie R jako punkt, to w przestrzeni twistorowej mamy uderzaj,!ce odwrocenie tych rol: promien swietlny jest teraz opisywany przez punkt Z, a zdarzenie przez miejsce geometryczne R. Przestrzen twistorowa, 0 ktorej tu mowimy i ktorej poszczegolne punkty reprezentuj,! promienie swietlne w M, oznaczana jest symbolem lP'N 16 • (Notacjt( tt( przyjmujemy, aby byla zgodna z terminologi,! rozdz. 33.5.) W ten sposob punkt Z w lP'N odpowiada miejscu geometrycznemu Z (promieniowi swietlnemu) w M, a punkt R w M odpowiada miejscu geometrycznemu R (sferze Riemanna; zob. rozdz. 18.5) w lP'N. Zasadniczym element em filozofii twistorowej jest to, ze zwykle pojt(cia fizyczne, jakie normalnie opisujemy w terminach czasoprzestrzeni, naleiy teraz przetlumaczyc na rownowazny (ale zwi(!Zany nielokalnie) opis w terminach
Obraz twistorowy lP'N
Czasoprzestrzen M Rys. 33.5. Promien swietlny Z w przestrzeni Minkowskiego M w przestrzeni twistorowej lP'N (zerowa rzutowa przestrzen twistorowa) jest reprezentowany przez pojedynczy punkt Z; pojedynczy punkt R w M jest w lP'N reprezentowany przez sferl( Riemanna R (przedstawia ona "sferl( niebiesk'l" promieni swietlnych przechodz'lcych przez R). (Pelny obraz wymaga uzwarconej przestrzeni Minkowskiego M#, przedstawionej na rys. 33.9).
927
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
przestrzeni twistorowej. To znaczy, ze zwi'!Zek miydzy M a IP'N jest rzeczywiscie odpowiednioscill nielokalnll, a nie przeksztalceniem punktu w punkt. Sarna przestrzen IP'N to jednak dopiero poczlltek procedury. Prawdziwe bogactwo geometrii twistorowej - naprawdy niezwykle - odslaniae siy bydzie jedynie stopniowo, gdy poznamy szczeg61y zwillzku miydzy pojyciami czasoprzestrzeni a geometrill przestrzeni twistorowej. Miejsce geometryczne R w IP'N opisuje "sfery niebieskll" (calkowite pole widzenia) obserwatora znajdujllcego siy w punkcie R, a owa sfera niebieska moze bye uwazana za rodziny promieni swietlnych przechodzllcych przez R. Jak juz o tym m6wilismy, sfera ta jest sferq Riemanna, a wiyc zespolonq przestrzeniq l-wymiarowq (krZYWll zespolonll; zob. rozdz. 8). Punkty czasoprzestrzeni traktujemy wiyc jako obiekty holomorficzne w przestrzeni twistorowej IP'N, zgodnie z filozofill liczb zespolonych, kt6ra leZy u podstaw teorii twistor6w. W rozdz. 33.5, 6 przekonamy siy explicite, jak ty "filozofiy holomorficznll" mozna przeniese na geometriy bardziej kompletnej przestrzeni twistorowej 1l', a w rozdz. 33.8-12, w jaki spos6b pozwala ona zakodowae informacje 0 liniowych i nieliniowych polach bezmasowych. Sarna przestrzen IP'N, przestrzen promieni swietlnych, nie od razu dopasowuje siy do "filozofii holomorficznej", albowiem nie jest przestrzenill zespolonll. IP'N nie moze bye rozmaitoscill zespolonll, poniewaz rna pi{?c wymiar6w rzeczywistych[33.l j , a piye jest liczbll nieparzystll, podczas gdy kazda n-rozmaitose zespolona musi miee parzystll liczby rzeczywistych wymiar6w, 2n (zob. rozdz. 12.9). Wkr6tce zobaczymy (w rozdz. 33.6), ze gdy przeksztalcimy "promienie swietlne" w taki spos6b, zeby bardziej przypominaly fizyczne cZllstki bezmasowe, przyporzlldkowujllc im zar6wno spin (a wlasciwie skrytnose - zob. rozdz. 22.7), jak i energiy, to otrzymamy sZeSciowymiarowll przestrzen 1P'1l', kt6rll juz mozemy interpretowae jako przestrzen zespolonll - 0 trzech wymiarach zespolonych. Przestrzen IP'N tkwi wewnlltrz 1P'1l', dzieillc jll na dwie rozmaitosci zespolone, 1P'1l'+ i 1P'1l'-; 1P'1l'+ mozemy uwazae za reprezentujllcll cZllstki bezmasowe 0 skrytnosci dodatniej, a lP"r - 0 ujemnej; zob. rys. 33.6. Traktowanie twistor6w jako cZllstki bezmasowe nie byloby jednak wlasciwe. Twistory dostarczajll nam tylko zmiennych, za pomoq kt6rych mozemy opisy-
Rys. 33.6. Rzeczywista 5-rozmaitosc lP'N dzieli rzutowl! przestrzen twistorowl! lP'lI' na dwie 3-rozmaitosci zespolone lP',][,+ i lP'lI'-. Reprezentujl! one cZl!stki bezmasowe 0 odpowiednio dodatniej i ujemnej skr~tnosci.
928
is [33.1] Dlaczego promienie swietlne majl! piyc stopni swobody?
Twistory jako promienie 5wietlne
33.2
wac cz'!stki bezmasowe. (To tak jak z uiyciem 3-wektorow poloienia x w zwyklej przestrzeni do oznaczenia punktu w tej przestrzeni. Choe cz'!stka moie zajmowae punkt oznaczony przez x, to nie powinnismy utoisamiae cz'!stki z wektorem x.) Koncepcja twistorow prowadzi do zupetnie odmiennego widzenia "skwantowanej czasoprzestrzeni", nii zwykle sil( proponuje. W konwencjonalnym podejsciu uwaia sil(, ie procedury kwantowej teorii pola powinny bye zastosowane do tensora metrycznego gab' ktory traktuje sil( jako pole tensorowe na (rozmaitosci) czasoprzestrzeni. Zaklada sil(, ie metryka kwantowana bl(dzie w pewnym stopniu "rozmyta" ze wzgll(du na zasadl( nieoznaczonosci Heisenberga. Mamy wil(c do czynienia z obrazem czterowymiarowej czasoprzestrzeni, ktora charakteryzuje sil( "rozmyt'! metryk'!", wobec czego w szczegolnosci stoiki zerowe - a co za tym idzie pojl(cie przyczynowosci - podlegaj,! zasadzie kwantowej nieoznaczonosci (zob. rys. 33.7a). W takim razie brakuje nam poprawnego klasycznie zdefiniowanego pojl(cia, ktore pozwoliloby stwierdzie, czy jakis wektor czasoprzestrzenny jest przestrzennopodobny, czasopodobny czy zerowy. Zagadnienie to prowadzi do powstania fundamentalnych trudnosci w kaidej zbyt konwencjonalnej "kwantowej teorii grawitacji", poniewai w KTP postulat przyczynowosci wymaga, ieby operatory pol a zdefiniowane dla zdarzen rozdzielonych przestrzenno podobnie byly przemienne (rozdz. 26.11). Jesli sarno pojl(cie "podobienstwa przestrzennego" podlega nieoznaczonosci kwantowej (albo sarno staje sil( pojt(ciem kwantowym), to standardowe procedury KTP - ktore wymagaj,! okreslenia relacji komutacji dla opera torow pola - nie mog,! bye zastosowane bezposrednio. Teoria twistorow oferuje nam zupetnie inny obraz. Teraz bowiem odpowiednie (bez wzgll(du na to jakie) procedury "kwantyzacji" musz'! bye zastosowane w przestrzeni twistorowej, a nie w czasoprzestrzeni Uak w konwencjonalnym podejsciu). W konwencjonalnym podejsciu "zdarzenia" pozostawalyby nienaruszone, natomiast "stoiki zerowe" stalyby sil( "rozmyte". W podejsciu twistorowym nienaruszone pozostaj'l, "promienie swietlne", a "zdarzenia" staj,! sit( rozmyte (zob. rys. 33.7b)
(a)
(b)
Rys. 33.7. (a) Powszechnie podzielany punkt widzenia zaklada, :i:e "skwantowana czasoprzestrzen" bydzie jakirns rodzajern czasoprzestrzeni 0 "rozrnytej rnetryce", co prowadzi do "rozrnytych" sto:i:k6w swietlnych, w kt6rych pojycie kierunku w jakirns punkcie - a wiyc czy jest to kierunek zerowy, czasopodobny czy przestrzennopodobny - podlega zasadzie kwantowej nieoznaczonosci. (b) W obrazie twistorowyrn przestrzeni twistorowej (w tyrn przypadku lP'N) nadajerny charakter bytu (a wiyc rnarny prornienie swietlne, ale ich przeciycia byd,! podlegaly zasadzie nieoznaczonosci). Wobec tego sarno pojycie "punktu czasoprzestrzeni" staje siy "rozrnyte".
929
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistorow
930
Okazuje sil(, ze teoria twistorow korzysta pocz'!tkowo z innej cechy magii liczb zespolonych niz teoria kwantowa, a mianowicie z klasycznej wlasciwosci geometrii czasoprzestrzeni, ktora pozwala uwazac sferl( niebiesk,! za sferl( Riemanna, czyli 1-wymiarow,! rozmaitosc zespolon'!. Spodziewamy sil( w ten sposob znaleic wskazowki, jak dotrzec do prawdziwej konstrukcji Natury, ktora musi ostatecznie unifikowac strukturl( czasoprzestrzeni z procedurami mechaniki kwantowej. Warto zauwaZyc, ze ta wlasciwosc geometrii czasoprzestrzeni jest cech,! specyficzn,!, zwi(!Zan,! z konkretn,! wymiarowosci,! i sygnatur,!, jak,! cechuje sil( czasoprzestrzen fizyczna. Istotnie, fakt, iz sfera Riemanna odgrywa w ogolnej teorii wzgll(dnosci wazn,! roll( sfery niebieskiej (rozdz. 18.5), wymaga, by czasoprzestrzen byla 4-wymiarowa i lorentzowska, co mocno kontrastuje z ideami, Jakie lez,! u podstaw teorii strun i innych schematow typu Kaluzy-Kleina. Cala magia liczb zespolonych wlasciwej teorii twistorow jest w sposob specyficzny zwi'!zana z geometri,! 4-wymiarowej czasoprzestrzeni zwyklej (szczegolnej) teorii wzgll(dnosci, a ten zwi,!zek nie jest juz tak scisly w przypadku "geometrii czasoprzestrzeni" 0 wyzszych wymiarach (zob. rozdz. 33.4). Aby przejsc dalej, powrocmy do pierwotnego obrazu sieci spinowej i zauwai:my, ze glownym mankamentem tej koncepcji byl brak zwi(!Zku z przesunil(ciami przestrzennymi. K,!ty euklidesowe pojawiaj,! sil( tam jako swego rodzaju "granica geometryczna" czysto spinowosieciowej teorii, choc nigdzie w teorii nie wystl(puj,! odleglosci. W formalizmie zmiennych pl(tlowych aspekty "odlegtosciowe" s,! uwzgll(dniane przez liczby (n == 2j) na liniach, ktore odnosz'! sil( raczej do pola powierzchni niz do spinow. Jest to jednak odmienna interpretacja niz w oryginalnej koncepcji sieci spinowych, w ktorej nie wystypuj,! miary odlegtosci, poniewaz spin jest momentem Pfdu, a wil(c zwi,!zanym jedynie z k,!tami i obrotami. Aby moc uwzgll(dnic translacje i odleglosci, potrzebujemy raczej pojl(cia, ktore odpowiadaloby liniowemu Pfdowi. W takim razie musimy prawdopodobnie przejsc od grupy obrotow do peinej grupy ruchow euklidesowych, zatem, w formalizmie relatywistycznym, do grupy Poincan!go (rozdz. 18.2)17. Pod koniec lat pil(cdziesi,!tych i na pocz'!tku lat szescdziesi'!tych XX wieku, kiedy zajmowalem sil( tymi zagadnieniami, teoria zmiennych pytlowych jeszcze nie istniala i rzeczywiscie rozwazalem takie uogolnienie sieci spinowych, w ktorym jawnie wystypowalaby grupa Poincan!go. Niepokoil mnie pewien aspekt grupy Poincarego, mianowicie ten, ze nie jest to grupa potprosta (zob. rozdz. 13.7), co rna przykre konsekwencje w odniesieniu do jej reprezentacji. W tamtych czasach bylem zdania, ze odpowiednie uogolnienie grupy Poincarego na cos, co obecnie jest znane pod nazw'!gntpy konforemnej (ktorajest gruP'! polprost'!), moze doprowadzic do przeksztalcenia teorii sieci spinowych w struktury bardziej satysfakcjonuj,!c,! z matematycznego punktu widzenia. Grupa konforemna uogolnia grupy Poincarego w ten sposob, ze z,!da zachowania jedynie stozkow swietlnych, a nie metryki przestrzeni Minkowskiego. Rzeczywiscie, okazuje siy, ze grupa konforemna odgrywa wazn,! roly w teorii twistorow i jest grup
Grupa konforemna; uzwarcona przestrzer'l Minkowskiego
33.3
zowanych) promieni swietlnych, IF'N. (Bezodbiciowa czC(sc grupy konforemnej jest rowniez grupq symetrii ka.zdej z przestrzeni JP'1['+ i IF''r, opisujqcych cZqstki bezmasowe 0 odpowiedniej skrC(tnosci i energii.) RolC( tej grupy poznamy lepiej w dwu nastC(pnych rozdzialach.
33.3 Grupa konforemna; uzwarcona przestrzen Minkowskiego W poprzednim rozdziale wspomnialem 0 grupie konforemnej czasoprzestrzeni. Sprobujmy teraz zajqc siC( t q grupq nieco blizej. Jest ona szczegolnie wazna w zwiqzku z pol ami bezmasowymi (np. pol em Maxwella), albowiem, jak siC( okazuje, rownania pola dla pol bezmasowych Sq niezmiennicze nie tylko wzglC(dem grupy Poincarego, ale takZe szerszej grupy konforemnef 8 • Mozna przyjqc, ze na poziomie fundamentalnym po]a/czqstki bezmasowe Sq skladnikami elementarnymi, natomiast masa pojawia siC( na dalszym etapie. Istotnie, taki poglqd wydaje siC( zawarty implicite w modelu standardowym (omawialismy go w rozdz. 25), w ktorym masa wchodzi do teorii za posrednictwem bozonu Higgsa i jest wynikiem mechanizmu lamania symetrii (rozdz. 25.5). Bez wzglC(du na to, jakjest naprawdy, istotnq motywacjy u podstaw teorii twistorow stanowi przekonanie 0 podstawowym znaczeniu pol bezmasowych i grupy konforemnej. W rozdz. 33.8 przekonamy siy, ze cZqstki i pola bezmasowe znajdujq w teorii twistorow niezwykle spojny opis, co stanowi zasadniczy fundament tej teorii. Czym dokladnie jest grupa konforemna? Mowiqc scisle, grupa ta nie dziala na przestrzeni Minkowskiego M, lecz na jej nieznacznym uogolnieniu, znanym jako uzwarcona przestrzen Minkowskiego M#. Przestrzen M# jest niezwykle symetrycznq rozmaitosciq zamkniytq, ktorq pod wieloma wzglydami cechuje bardziej kunsztowna symetria niz samq przestrzen Minkowskiego. Nie nale.zy jej jednak traktowac jako rzeczywistej czasoprzestrzeni, to jedynie wygodna konstrukcja matematyczna, u.zyteczna w zrozumieniu geometrii twistorow i jej zwiqzkow z geometriq fizycznej czasoprzestrzeni. W tym miejscu dobrze jest przypomniec sfery Riemanna i jej zwiqzek z plaszczyznq zespolonq. Powtorzmy, na podstawie rozdz. 8.3, ze sfery Riemanna otrzymujemy z plaszczyzny zespolonej przez dolqczenie do niej "elementu nieskonczonego", ktorym jest punkt oznaczony symbolem 00, w wyniku czego otrzymujemy strukturC( geometrycznq 0 wiC(kszej nawet symetrii niz plaszczyzna, od ktorej zaczC(lismy. W podobny sposob ze zwyklej przestrzeni Minkowskiego M otrzymujemy uzwarconq przestrzen Minkowskiego M# przez dolqczenie "elementu nieskonczonego", ktorym w tym przypadku okazuje siC( kompletny stoiek swietlny w niesk011czonosci. Uzyskana w ten sposob przestrzen ma wiC(cej symetrii (a mianowicie symetriy grupy konforemnej) niz sarna przestrzen Minkowskiego. Przekonajmy siy, w jaki sposob to funkcjonuje. Przestrzen M# okazuje siy 4-wymiarowq, rzeczywistq i zwartq rozmaitosciq z konforemnq metrykq lorentzowskq. Na podstawie rozdz. 27.12 pamiC(tamy, ze konforemna metryka loren-
931
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
Nieskoflczonosc
-..,.-
Osobliwosc
Rys. 33.8. Struktura stozk6w zerowych lorentzowskiej rozmaitosci M jest r6wnowa:ina jej strukturze konforemnej. Konforemne przeskalowanie M zmienia metrykcr, ale nie narusza wlasnosci przyczynowosci. (Metrykcr g przeskalowujemy konforemnie do g', jeslig' = fig, a pole skalame n jest wszcrdzie dodatnie.) W sprzyjaj/lcych okolicznosciach takie przeskalowanie moze pom6c w uwidocznieniu osobliwosci i obszar6w nieskonczonych.
tzowska jest, efektywnie, rodzin,! stozk6w zerowych na tej przestrzeni. Tak,! strukturt( definiuje sit( zwykle w terminach klasy r6wnowaZnosci metryk, zgodnie z kt6rymi metryka g uwazana jest za r6wnowaZn,! metryce g', jesli g' = {i g, przy czym gladkie skalarne pole Q jest wszt(dzie dodatnie. Przeskalowanie tego rodzaju zachowuje stozki zerowe (rys. 33.8). Aby przejsc od M (uwazanej za rozmaitosc konforemn'!) do rozmaitosci konforemnej i zwartej M#, dol'!czamy do niej 3-powierzchnit( /7, kt6r'! nazywamy "stozkiem swietlnym w nieskonczonosci". Przypomnijmy sobie z rozdz. 27.12 3-powierzchnie .F i ,ff+ (nazwalismy je "skraj-minus" i "skraj-plus"), kt6re reprezentuj,! nieskonczonosci zerowe w przeszlosci i w przyszlosci w przestrzeni Minkowskiego (zob. rys. 27.16b). M# konstruujemy, identyfikuj,!c ,ff- z ,ff+ w spos6b przedstawiony na rys. 33.9. Punkt ,ff- uWaZamy za identyczny z odpowiednim punktem na ,ff+, czyli jego punktem przestrzennie antypodalnym (na 2-sferze, kt6r,! reprezentuje wit(kszosc punkt6w na diagramie). Stozek swietlny punktu a- na ,ff- zbiega sit( z punktem a+ na ,ff+ i utozsamiamy punkty a- i a+. Dodatkowo wszystkie trzy punkty reprezentuj,!ce nieskonczonosci przestrzenne i czasow'!, i- iO, i+ utozsamiamy z jednym punktem i [33.2]. Rozmaitosc konforemna M# ma rzeczywiscie wit(cej symetrii niz przestrzen Minkowskiego i jest opisywana przez 15-wymiarow,! grupt( symetrii - gruP{? konforemnq - w przeciwienstwie do 10-wymiarowej grupy Poincarego. Istnieje elegancki spos6b opisu przestrzeni M# i jej grupy przeksztalcen. Rozwazmy "stozek swietlny" K pocz'!tku ukladu 0 w pseudoeuklidesowej 6-przestrzeni lE2,4 0 sygnaturze + + - - - -. Wybierzmy na lE2,4 standardowe wsp61rzt(dne w, t, x, y, Z, v, a wit(c K jest dany r6wnaniem w 2 + t 2 _X2 -l-r _v 2 = 0,
natomiast metryka ds 2 przestrzeni lE2,4 jest nastt(puj,!ca: ds 2 = dw 2 + dP -
rm
932
mz - dl- dz2 - dv
2
•
[33.2] Sprawdz, czy potrafisz szczeg61owo opisac geometrit( 10/1[#, wyjasniajqc punktowq identyfikacjt( 17+ i 17- w zwyktych terminach czasoprzestrzeni? Czy wiesz, dlaczego topologiq 10/1[# jest Sl x S3? Czy jestes w stanie wskazac, jakie wazne r6znice pojawilyby sit(, gdyby liczba wymiar6w czasoprzestrzeni byta nieparzysta?
Grupa konforemna; uzwarcona przestrzen Minkowskiego
33.3
.+
l/~
!
I ". ,
.0 Utozsamiamy ",auntypodalnie
I (al
(bl
Rys. 33.9. Uzwarcon'! przestrzen Minkowskiego M# otrzymujemy ze zwyldej przestrzeni Minkowskiego M za pomoc,! dol,!czenia zerowych nieskonczonosci przeszlych i przyszlych, d+ i d- i nastypnie odpowiedniego ich uto:i:samienia z d. (a) Sto:i:ek Swietlny przyszlosci dowolnego punktu a- na /F zbiega siy z wierzcholkiem a + na d+ (ten "sto:i:ek Swietlny", mowi,!c prosciej, jest histori,! czola fali plaskiej poruszaj,!cej siy z prydkosci,! swiatla) i a- uto:i:samiamy z a+. Nieskonczonosc przestrzennopodobna 10{) oraz nieskonczonosci czasopodobne w przeszlosci i w przyszlosci, i- oraz i +, identyfikujemy z jednym punktem i. (b) Wynik tej identyfikacji, d, przedstawiony w postaci scislego diagramu konforemnego z rys. 27.16b; dla calego diagramu punkt a- jest punktem antypodalnym a+ na "S2 obrot6w".
Jest to rawnanie 5-wymiarowego "stozka" 0 wierzcholku w punkcie O. Staralem si«, najlepiej jak potrafi«, przedstawic go na rys. 33.10, ale najbardziej mylqcy jest fakt, ze to, co przypomina dwa razne "kawalki" K ("przyszlosc" i "przeszlosc"), w rzeczywistosci lqczy si« w "jeden kawalek,,[33.3]. A teraz rozwazmy przeci«cie K przez plaszczyzn« zerowq W - v = 1. Powstaly przekraj jest 4-rozmaitosciq ("paraboloidq"), ktarej metryka, indukowana metryk q ]8J2,4, jest nast«pujqca:[33.4] ds 2 = dt 2 _ dx 2 -
di _dz2•
Rozpoznajemy w tym form« metrycznq zwyklej, plaskiej 4-przestrzeni Minkowskiego (rozdz. 18.1) i mozemy jq zidentyfikowac jako M, pomimo ze jest zanurzona w sposab "ugi«ty" w ]8J2,4 (na rys. 33.10 rna postac paraboli). Gdzie na tym obrazie znaleic M#? Jest to abstrakcyjna przestrzen kompletnych generatoraw K (linii
Rys. 33.10. Uzwarcon'! przestrzen Minkowskiego M# mo:i:emy zidentyfikowac jako przestrzen generator6w "sto:i:ka swietlnego" K w pseudoeuklidesowej przestrzeni lE 2,4, danego r6wnaniem w2 + f -l - Z2 - v2 = O. "Paraboidalna" 4-rozmaitosc M na K wyznaczona przez przekr6j 5-plaszczyzn,! W - v = 0 rna wewnytrzn,! metryky Minkowskiego ds 2= dt 2 - ctr - dl- dz2. Rodzina generator6w K na w - v = 0 (niewidoczna na rysunku, poniewa:i: zostal umieszczony tylko jeden wymiar "czasowy") jest rowno\egla do w - v = 1 i nie przecina M, a generatory te daj,! nam punkty d. ,,§! ~
[33.3] Czy wiesz dlaczego? [33.4] Dlaczego?
933
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistorow
prostych przechodzqcych przez 0, ktory leZy na K, przy czym cala linia przechodzqca przez 0, w obu kierunkach, liczy siy jako pojedynczy generator K). Kai:dy punkt M# mozemy wiyc traktowac jako generator K (rys. 33.10) - wobec czego M# jest "sferq niebieskq" dla obserwatora umiejscowionego w poczqtku E2,4! Dlaczego ten przepis jest dobry? Kazdy generator, ktory nie leZy na 5-plaszczyznie w - v = 0, przecina M w jednoznacznie okreslonym punkcie, a zatem ta rodzina generatorow jest we wzajemnie jednoznacznej ciqglej odpowiedniosci z M. Oprocz tego Sq jeszcze genera tory, ktore ieiq na tej 5-plaszczyznie. One dajq nam M z dodatkowymi punktami, ktore konstytuujq #. Przestrzen M#, zdefiniowana w taki sposob, rna konforemnq metryky lorentzowskq, ktorq daje dowolny lokalny przekroj K[33.5J. Pseudoortogonalna grupa 0(2,4), dzialajqca na E 2,4 (zob. rozdz. 13.8, 18.1, 2), sklada siy z "obrotow", ktore zachowujq metryky ds 2 • Takie operacje zamieniajq generatory K na inne genera tory K, a wiyc zamieniajq M# w siebie. Ponadto w ten sposob zachowana zostaje konforemna struktura M#[33.61. Co wiycej, istniejq dokladnie dwa elementy 0(2,4), ktore dzialajq jak elementy tozsamosciowe na M#, mianowicie sam element tozsamosciowy 0(2,4) i ujemny element tozsamosciowy 0(2,4), ktory oznacza odwrocenie kierunku kazdego generatora. Poza odpowiedniosciq dwa-do-jednego, wynikajqcq z odwracalnosci kierunkow generatorow, grupa 0(2,4) jest grupq konforemnq. Zawiera ona lO-wymiarowq podgrupy zachowujqcq 5-plaszczyzny w - v = 0 i w ten sposob otrzymujemy gruPf! Poincarego przestrzeni M[33.71. Istotnie, jest to wyzej wymiarowa wersja argumentu podanego w rozdz. 18.5, w ktorym pokazywalismy, ze konforemne przeksztalcenie zwyklej sfery (ktora jest uzwarconq plaszczyznq euklidesowq) daje nam realizacjy grupy Lorentza 0(1,3); zob. E na rys. 18.9.
33.4 Twistory jako spinory wyzej wymiarowe
Czy jest w tych koncepcjach miejsce dla twistorow? Najkrocej -lecz z pewnosciq nie najbardziej zrozumiale - mozna by odpowiedziec, ze twistor (przestrzeni Minkowskiego) jest spinorem zredukowanym (albo polspinorem) grupy 0(2,4); proszy nie niepokoic siy matematycznq zwiyzlosciq tej definicji, wkrotce przedstawit; znacznie bardziej fizyczne wyjasnienie tego pojycia! W rozdz. 11.5 przedstawilem krotko pojycie spin ora zredukowanego. W przypadku przestrzeni 2n-wymia-
m [33.5] Dlaczego metryka konforemna wyznaczona przez dowolny lokalny przekr6j jest taka sarna jak wyznaczona przez kazdy inny? Dlaczego punkty #, zdefiniowane w ten spos6b, zgodne sl} z poprzednil} definicjl}? Wskaz6wka: zob. rozdz. 18.4 i rys. 18.9. a [33.6] Dlaczego? Mozesz posluZyc si ywynikiem ewiczenia [33.5]. [33.7] Jaki jest explicite warunek na macierz 6 x 6, zeby byla elementem infinitezymalnym grupy 0(2,4)? Kt6re z tych macierzy dajl} nam infinitezymalne transformacje grupy Poincan!go?
m 934
Twistory jako spinory wyiej wymiarowe
33.4
rowej, na ktorej dziala grupa O(n - r, n + r), przestrzen spinorow zredukowanych jest 2"-1-wymiarowa. W naszym przypadku mamy n = 3 (i r = 1), a zatem mamy do czynienia z 4-wymiarow,! przestrzeni,! spinorow zredukowanych i ty przestrzen nazywamy pnestrzeniq twistorowq19. Niestety, taka definicja nie dostarcza jasnych geometrycznych informacji na temat twistora. Co wiycej, orientujemy siy, ze powinna istniec teoria twistorow w przypadku czasoprzestrzeni, ktorych wymiar jest dowoln,! liczb,! parzyst'! 2(n - 1), niezaleznie od tego, co zostalo powiedziane pod koniec rozdz. 33.2. Uogolniamy po prostu podan,! konstrukcjy przestrzeni K (przyjmuj,!c, ze jej wymiar jest teraz 2n - 1, a uzwarcenie 2(n - 1)-wymiarowej przestrzeni Minkowskiego odbywa siy w sposob analogiczny, przez wprowadzenie, jak poprzednio, dwu nowych wspolrzydnych v i w, z ktorych jedna wystypuje w metryce ze znakiem plus, a druga ze znakiem minus. Teraz "przestrzen twistorowa" jest 2n - 1-wymiarowa. W przypadku gdy liczba wymiarow czasoprzestrzeni jest liczb,! nieparzyst'! 2n - 1, nadal stosuje siy ty procedury, ale juz nie mamy do czynienia z pojyciem spinorow zredukowanych i cal,! przestrzen spinow,! 0 2"-wymiarach bydziemy traktowac jako "twistorow'!". W przypadku nieparzystej liczby wymiarow tracimy co prawda wazn,! wlasnosc twistorow, a mianowicie ich chiralny charakter (co przedyskutujemy bardziej szczegolowo w rozdz. 33.7, 12, 14). Tylko wtedy, gdy przechodzimy do zredukowanych przestrzeni spinowych, otrzymujemy formalizm istotnie chiralny (tzn. taki, w ktorym obiekty lewoskrytne i prawoskrytne uzyskuj,! zasadniczo rozny opis twistorowy; zob. rozdz. 33.7) i dlatego mozemy miec nadziejy, ze uda nam siy uwzglydnic chiralne aspekty slabych oddzialywan (rozdz. 25.3). Wkrotce zobaczymy, dlaczego ogolna, n-wymiarowa definicja twistora gubi jego najwazniejsze fizyczne (i holomorficzne) wlasciwosci, dziyki ktorym teoria twistorow jest tak skuteczna. PoniewaZ twistory zwi'!Zane s,! z aktywn'! grupq transformacji czasoprzestrzeni (grupq konforemnq), ktora przeksztalca jedne punkty czasoprzestrzeni winne, uwazamy, ze Sq one obiektami odnoszqcymi siy globalnie do calej czasoprzestrzeni, a nie do jej poszczegolnych punktow. Wielkosci lokalne, takie jak wektory, tensory czy zwykle spinory, zwiqzane Sq z grupami symetrii dzialajqcymi punktowo; zob. rozdz. 14.1 - np. grupa obrotow lub grupa Lorentza (rozdz. 13.8). Aczkolwiek powoduje to, ze trudniej poslugiwac siy twistorami nu zwyklymi wektorami, tensor ami czy spinorami, to owa globalnosc stanowi powaznq zalety przy poszukiwaniu formalizmu, ktory bylby w stanie zastqpic czasoprzestrzen, a nie jedynie zmienic definicje pojyc w odniesieniu do uprzednio zadanej rozmaitosci czasoprzestrzennej. W rozdz. 33.2 zwracalismy uwagy, ze to jest jeden z zasadniczych powodow motywujqcych wprowadzenie teorii twistorow. Glowny mankament takiego podejscia pol ega na tym, iz trudno zauwaZyc, w jaki sposob formalizm tego rodzaju moze byc zastosowany do ogolnej zakrzywionej czasoprzestrzeni M, gdy cos takiego jak grupa konforemna nie jest juz symetriq M. W rozdz. 33.11, 12 dowiemy siy, w jak imponujqcy sposob teo ria twistorow radzi sobie z tq trudnosci,!.
935
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
Definicja twistora jako spinora zredukowanego grupy 0(2,4) pozwala jedynie na bardzo ograniczony wgl,!d w idee i motywacje teorii twistorow. Wlasnie stwierdzilismy, ze w takim podejsciu nie rna niczego szczegolnie 4-wymiarowego i nie widae powodu, dla ktorego mielibysmy upatrywae w teorii twistorow jakiejs wlasciwszej drogi do przenikniycia tajnikow Natury. Aby lepiej zdae sobie sprawy, do czego zmierza teoria twistorow, przywolajmy przeslanie rozdz. 29 i 30. W sytuacji gdy istnieje ogolna zgoda co do tego, ze glownym celem poszukiwan fundamentalnie nowej fizyki powinna bye unifikacja grawitacji i fizyki kwantowej, zasadniczy wniosek zawarty w tych rozdzialach sprowadza siy do tego, ze same prawa kwantowej teorii (pola) nie mog,! bye uwazane za nienaruszalne, lecz wolno nam traktowae elastycznie zarowno te prawa, jak i geometriy naszego konwencjonalnego obrazu czasoprzestrzeni. Zasady mechaniki kwantowej s,! wszak piykne i zawieraj,! wiele prawdy, a zatem nie mozemy po pro stu od nich odst,!pie. W teorii twistorow, zamiast narzucania regul KTP, analizujemy te reguly, aby wydobye z nich cechy, ktore mozna pol,!czye z koncepcjami Einsteina i ujawnie ukryt'! harmoniy teorii wzglydnosci i mechaniki kwantowej. Znalezienie drogi ulatwia nam magia liczb zespolonych, ktora wielokrotnie pojawiala siy na kartach tej ksi'!iki. Inn,! wskazowk,! jest dla nas szczegolna harmonia zwi'!zana raczej z teori,! Einsteina 4-przestrzeni Lorentza niz z jej uogolnieniami na wyzsze wymiary lub na inne sygnatury. Co szczegolnego pod tym wzglydem zawiera siy w 4-przestrzeni Lorentza? Jak podkreslalem w rozdz. 18.5 i 33.2, sfera niebieska obserwatora rna naturaln'! struktury konforemn,! i moze bye interpretowana jako sfera Riemanna. Trzeba pamiytae, ze podobnie ogolna jakose wi,!ze siy z dowoln'! przestrzeni,! 0 niezerowej liczbie wymiarow przestrzennych i czasowych, w ktorej sfera niebieska rna zawsze struktury rozmaitosci konforemnejl33.81• Szczegoln'! cechy 4-wymiarowej przestrzeni Lorentza stanowi fakt, ze ta rozmaitose konforemna moze bye interpretowana jako rozmaitosc zespolona (sfera Riemanna) i jest to wlasnose, ktora nie wystypuje w przypadku zadnej innej liczby wymiarow przestrzennych i czasowych. Jakie znaczenie rna ten fakt? W teorii twistorow magia liczb zespolonych jest w pelni wykorzystana, nie tylko w tym sensie, ze sarna przestrzen twistorowa okazuje siy rozmaitosci,! zespolon,!, ale ta zespolona rozmaitose uzyskuje bezposredni,! interpretacjy fizyczn'!. Co wiycej, mozna ogolnie pokazae, ze tylko taka "przestrzen twistorowa" stanie siy przestrzeni,! zespolon,!20, gdy roznica miydzy liczb,! wymiarow przestrzennych i czasowych, podzielona przez 4, pozostawia reszty 2. Warto zauwaZye, ze nie wystypuje to w przypadku oryginalnej teorii Kaluzy-Kleina ani w 10-lub 11-wymiarowych teoriach supergrawitacji, ani w przypadku 26-wymiarowej teorii strun, ani w lO-wymiarowej teorii superstrun, ani w przypadku ll-wymiarowej teorii supergrawitacji lub teorii M, ani w przypadku 12-wymiarowej teorii F (poniewaz mamy tu dwa wymiary czasowe)!
936
~ [33.8] Wyjasnij dlaczego.
Zasady geometrii twistor6w i wsp6lrz~dne twistorowe
33.5
33.5 Zasady geometrii twistor6w i wsp6frzQdne twistorowe
W jaki sposob mozna, pod wzglydem fizycznym lub geometrycznym, interpretowac ogolny twistor dla zwyklej 4-przestrzeni Minkowskiego? Najlatwiej bydzie to przedstawie, poslugujqc siy standardowymi wspolrzydnymi t, x, y, z punktu R na M i przyjmujqc prydkose swiatla c = 1. Pelna przestrzen twistorowa 'Jl' dla M jest 4-wymiarowq zespolonq przestrzeniq wektorowq, na ktorej ui:yte mogq bye standardowe wspolrzydne zespolone r, Z\ Z2, Z3. Mowimy, ze twistor Z 0 takich wspolrzydnych odpowiada punktowi R - alba ze R odpowiada twistorowi Z, jesli spelniona jest zasadnicza relacja macierzowa (zob. rozdz. 13.3, gdzie wyjasniony jest zapis macierzowy)
=~( t+~ (ZOJ ZI J2 X-IY
X+iY)(Z2J, t-z
Z3
z ktorej wynikajq wszystkie podstawowe wlasnosci geometrii twistorowej plaskiej przestrzeni[33.91! Zgodnie z notacjq przedstawionq w rozdz. 12.8, czasami wygodnie jest uZye zapisu (abstrakcyjno-)wskaznikowego za do oznaczenia twistora Z (skladowe Z w standardowym ukladzie wspolrzydnych Sq wtedy r, Z\ Z2, Z3). Kazdy twistor Z, czyli za (jako element przestrzeni 'Jl'), rna twistor dualny Z, ktory jest wobec niego zespolenie sprzyzony (i jest elementem dualnej przestrzeni twistorowej 'Jl'*). W zapisie wskaznikowym twistor Z zapisujemy jako 2 a' ze wskaznikiem dolnym, a jego skladowe (w standardowym ukladzie) bydq
(20,21' 2 2, 2 3 )
=
(22,23,20,21).
Zapis ten moze bye nieco mylqcy. Cztery wielkosci (liczby zespolone) po lewej stronie Sq po prostu czterema skladowymi dualnego twistora Z. Cztery wielkosci po prawej Sq, odpowiednio, zespolonymi sprzyzonymi liczb zespolonych ZZ, Z3, r, ZI. Skladowa 20 twistora Z jest wiyc liczbq sprzyzonq zespolonq skladowej Z2 twistora Z etc. Przy sprzyganiu zespolonym zwroemy uwagy na ty zamiany pierwszych dwu skladowych z drugq parq. Poniewaz Z jest twistorem dualnym, mozemy utworzye jego (hermitowski) iloczyn skalarny (zob. rozdz. 13.9 i 22.3) z oryginalnym twistorem Z i otrzymae kwadrat normy twistora:
2.Z =2a za =20 r +2Z1 +2Z2+2 Z3 1 2 3 3 = 2 2 + 23Z1 + 20Z2 + 2 1Z 2 2 1 3 2 22 1 3 2 = t(lr + Z + IZ + Z _ Ir _ z _ Iz _ Z ),
r
1
1
1
1
gdzie ostatnie wyrazenie pokazuje, ze iloczyn hermitowski 2aza rna sygnatury (+ + - -), zgodnie z rozdz. 13.9[33.101. (Symetriy przestrzeni twistorowej cechuje, wspomniana w rozdz. 13.10, lokalna rownowaznose grup SU(2) i 0(2,4) z rozdz. 33.3). ~
[33.9] Przedstaw to r6wnanie w zwyldym zapisie algebraicznym.
~ [33.10] Sprawdi to koncowe wyrazenie i wyjasnij, w jaki spos6b wynika z niego sygnatura.
937
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
Z przedstawionej kluczowej relacji odpowiedniosci wynika, ie twistor za moie odpowiadae zdarzeniu w rzeczywistej przestrzeni Minkowskiego M tylko wtedy, gdy jego norma znika: Zaza = 0[33.111. Jesli Zaza = 0, wowczas mowimy, ie twistor Z jest twistorem zerowym (null twistor). Aby to powi4Zae z dyskusj,,! w rozdz. 33.2, musimy zapoznae si(( z rzutow"! przestrzeni"! twistorow"! 1P'1I', ktora jest zespolon"! rzutow"! 3-przestrzeni,,! ClP'3 skonstruowan,,! z zespolonej przestrzeni wektorowej ']['; zob. rozdz. 15.6, gdzie znajduje sit( omowienie przestrzeni rzutowych. Wiele wlasnosci geometrii twistorowej moina latwiej wyjasnie w terminach przestrzeni IP'1I' nii ']['. W przestrzeni IP'1I' liczby z!!, z\ Z2, Z3 s"! wsp6lrz~dnymi jednorodnymi, wobec czego punkty w IP'1I' mog,,! bye oznaczone przez trzy niezaleine stosunki
z!!: ZI: Z2: Z3. Zerowe twistory rzutowe tworz"! przestrzen lP'N; jest ona tak,,! podprzestrzeni"! 0 5 wymiarach rzeczywistych przestrzeni IP'1I' 0 6 wymiarach rzeczywistych, dla ktorej norma twistora znika:
Rownanie to definiuje rowniei 7-wymiarow,,! (0 wymiarach rzeczywistych) podprzestrzen N zerowych twistorow nierzutowych w przestrzeni wektorowej ']['. Gdy Zaza> 0, otrzymujemy przestrzen twistorow dodatnich ']['+, a gdy Zaza < 0, mamy przestrzen twistorow ujemnych ']['-. Odpowiednio definiujemy przestrzenie rzutowe 1P'1I'+ i lP'r; zob. rys. 33.11 (i porownaj z rys. 33.6).
-- -
• Rys. 33.11. Przestrzen twistorowa '][' jest zespolonq przestrzeniq wektorowq z pseudohennitowskq metrykq, a rzutowa przestrzen twistorowa lP'lI' (przestrzen CpJ) - przestrzeniq promieni (l-wymiarowych podprzestrzeni) w ']['. Jesli wiyc twistor Z ma wspolrzydne (ZO, Z\ Z2, Z3), to stosunki ZO : Z' : Z2 : Z' wyznaczajq odpowiedni punkt w lP'lI'. Podprzestrzen N 0 7 wymiarach rzeczywistych (przestrzen twistorow zerowych: Zaza = 0) dzieli przestrzen twistorowq '][' na 4-przestrzenie zespolone ']['+ (twistor6w dodatnich: Zaza > 0) i ']['- (twistor6w ujemnych: Zaza < 0). Odpowiednimi rzutowymi wersjami tych przestrzeni Sq 5-wymiarowa rzeczywista lP'N (reprezentujqca promienie swietIne w M#) i dwie 3-rozmaitosci zespo!one: lP'lI'+ (reprezentujqca cZqstki bezmasowe 0 dodatniej skrytnosci) i lP'lI'- (reprezentujqca cZqstki bezmasowe 0 skrytnosci ujemnej).
938
m. [33.11] Udowodnij to. Pokaz, odwrotnie, ze jesli Zaza = 0 i Z2 oraz Z3 nie znikaj,! jednoczesnie, to takie zdarzenie zawsze istnieje.
Zasady geometrii twistor6w i wsp6lrz~dne twistorowe
33.5
Zajmijmy sit( geometryczn,! relacj,! mit(dzy lP'N aM, zobrazowan'! na rys. 33.5, jako konsekwencj,! glownej relacji odpowiedniosci sformulowanej na pocz'!tku tego rozdzialu. Z relacji tej wynika bezposrednio, ze dwa punkty Pi R na M (dwa zdarzenia), ktorym odpowiada ten sam, rMny od zera twistor Z (a wit(c, koniecznie, twistor zerowy), musz'! bye zerowo odseparowane (null-separated) od siebie (tzn. kazdy z punktow Pi R leZy na stozku swietlnym drugiego). Wnioskujemy wit(c, ze Z definiuje promien swietlny - zerow'! (null) linit( prost,! na M - poniewaz wszystkie punkty M odpowiadaj,!ce Z rnusz'! bye wzajemnie zerowo odseparowane; zob. rys. 33.12. Co wit(cej, twistor Z reprezentuje ten sam prornien swietlny, gdy w miejsce wezrniemy AZ gdzie A jest dowoln,! liczb,! zespolon'! rozn,! od zera. Miejscem geometrycznym zdarzen odpowiadaj,!cych zerowernu twistorowi rzutowemu jest rzeczywiscie prornien swietlny, jednak w szczegolnej sytuacji, gdy Z2 = Z3 = 0, musimy zachowae ostroznose, poniewaz nie rna punktow na M odpowiadaj,!cych takiemu Niemniej nadal mozemy uwazae, ze taki twistor zerowy opisuje promien swietlny w nieskonczonoSci (generator # lez'!cy raczej na M# niz na M)l33.121• Rozwazmy teraz zagadnienie z drugiej strony. Ustalaj'!c zdarzenie R 0 wspolrzt(dnych rzeczywistych t, x, y, z, znajdujemy, ze przestrzen twistorow Z odpowiadaj,!cych R jest zdefiniowana przez dwie liniowe relacje jednorodne mit(dzy skladowymi z)l, Z\ Z2, Z3. Kazda z tych relacji liniowych definiuje pewn'! plaszczyzn~ w lP'I', a ich p1Zeci~cie (zbior punktow lP'I' spelniaj,!cych obie relacje) daje nam linit( rzutow'! R w lP'1' (stanowi,!C'! ClP'I) - faktycznie lez,!c,! w lP'N - ktora jest, jak bye powinno, sfer,! Riemanna (rozdz. 15.4, 6). Punkty M (zdarzenia) w przestrzeni twistorowej S,! zatem reprezentowane przez linie rzutowe w lP'N. Gdy Z2 = 0 = Z3, otrzymujemy szczegoln'! linit( rzutow'! w lP'N, oznaczon'! przez I. Ta szczegolna linia reprezentuje punkt i, ktory jest wierzcholkiem stozka swietlnego # w nieskonczonosci. Kazdy inny punkt Q stozka # jest reprezentowany na lP'N przez linit( rzutow'! Q przecinaj,!C'! 1[33.131. Ilustruje to rys. 33.12. Sposob, w jaki struktury zespolone reprezentuj,! geometrit( przestrzeni Minkowskiego (0 standardowej liczbie wymiarow przestrzennych i czasowych), jest naprawdt( godny uwagi. Mozemy zreinterpretowae przestrzen Minkowskiego jako przestrzen linii zespolonych lez'!cych w lP'N (albo w lP'N - #, jesli chcemy uwzglt(dnie tylko skonczone punkty czasoprzestrzenne), traktuj'!c lP'N jako strukturt( pierwotn,!, a M jako wtorn,!. Oznacza to zaakceptowanie pojt(cia promieni swietlnych jako bardziej elementarnego od samych punktow czasoprzestrzeni. P1Zeci~cie promieni swietlnych Z i X jest reprezentowane za pomoC'! istnienia linii rzutowej na lP'N zawieraj,!cej odpowiednie punkty Z i X z lP'N, a jak sit( przekonalismy, wymog, zeby dwa punkty czasoprzestrzeni, P i R, byly zerowo odseparowane, jest reprezentowany przez warunek, ktory zaklada, ze odpowiednie linie rzutowe P i R w lP'N
a,
za
za.
B [33.12] Wykaz explicite prawdziwosc stwierdzen zawartych w tym akapicie. i8 [33.13] DJaczego?
939
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
jIPT------T~~.!!"1 I \ I I I
IL (a)
I I ____________ J (b)
Rys. 33.12. Geometria podstawowych miejsc geometrycznych na M# i IP'N, okreslona za pomoc,! kluczowej relacji odpowiedniosci twistorowej. (a) Wybierzmy punkt Z (rzutowy twistor zerowy) na IP'N. Punkty na M# (np. P i R), ktore odpowiadaj,! Z, konstytuuj,! promieil swietIny, poniewai wszystkie takie punkty s,! zerowo odseparowane do siebie. (b) Wybierzmy punktR w M#. Punkty IP'N (np. Z i X), ktore odpowiadaj,! R (Iei,!ce na przecil(ciu dwu plaszczyzn zespolonych w "), tworz'! zespolon,!linil( rzutow'!, ktora jest sfer,! Riemanna. Punkty P i R W M#, ktore s,! zerowo odseparowane wzdlui promienia swietInego Z, maj,! odpowiednie sfery Riemanna, P i R, przecinaj,!ce sil( w jednym punkcie Z. (Te sfery Riemanna narysowalem w postaci bardzo wydluionej, musimy bowiem pogodzic sil( z faktem, ie s,! one rowniei rzutowymi liniami prostymi w geometrii rzutowej "I) Szczegolnym przypadkiem takiej sfery Riemanna jest I, ktora reprezentuje punkt i w M#. Punkt i specyfikuje nieskoilczonosc przestrzennopodobn'!/czasopodobn'! i jest wierzcholkiem stoika swietInego # w nieskoilczonosci. Kaidy inny punkt Q stoika # jest reprezentowany w IP'N przez Iinil( rzutow'! Q przecinaj,!C'! I.
przecinaj,! siy (rys. 33.12). A zatem dziyki przestrzeni twistorowej mamy zupelnie odmienny punkt widzenia geometrii fizycznej od tego, ktory obowi,!zuje w normalnym obrazie czasoprzestrzennym. Zwykle punkty czasoprzestrzeni S,! reprezentowane w lP'N przez sfery Riemanna. Punkty lP'N reprezentowane s,! w czasoprzestrzeni przez promienie swietlne. W kazdym z tych przypadkow ta odpowiedniose rna charakter nielokalny, chociaz mozemy przejse od jednego opisu do drugiego za pomoq precyzyjnych regul geometrycznych.
33.6 Geometria twistor6w jako bezmasowych czqstek wirujqcych
940
Przypomny, ze fundamentaln,! ide,!, motywuj,!q nas do konstruowania teorii twistorow, jest pragnienie pelnego wykorzystania magicznych mozliwosci liczb zespolonych. Niezaleznie od faktu, ze lP'N zawiera system (zadany czterema parametrami rzeczywistymi) zespolonych linii rzutowych, sarna nie jest rozmaitosci,! zespoIon,! (nie moze bye inaczej, poniewaz, jak zauwaZylismy w rozdz. 33.2, rna nieparzyst'! liczby rzeczywistych wymiarow). lednak wolno nam przejse od niej do lP'1I' (ktora jest przestrzeni,! CpJ) za pomoc,! dodania jednego wymiaru rzeczywistego. Czy te dodatkowe punkty w lP',][, mozemy zinterpretowae w sposob sensowny i naturaIny z fizycznego punktu widzenia? Okazuje siy (co juz sugerowalismy w rozdz. 33.2), ze tak. Przypomnijmy sobie, ze rzeczywiste fotony swobodne maj,! bogatsz'! struktury niz zwykle promienie swietlne w M. Promien swietlny opisuje cz'!stky
Geometria twistor6w jako bezmasowych cZqstek wirujqcych
33.6
punktowq wydrujqcq z prydkosciq Swiatla w ustalonym kierunku, natomiast prawdziwy foton wyposaiony jest dodatkowo w energiy i spin. Na razie pozostaniemy na etapie opisu klasycznego. Zasadniczo Sq dwie mozliwosci ruchu obrotowego fotonu: moze to bye obrot prawoskrytny lub 1ewoskrytny wokol kierunku ruchu (tzn. wystt(puje skrytnose dodatnia i ujemna, odpowiednio, okreslone przez prawoskrytnq i lewoskrt(tnq polaryzacjy kolowq; zob. rozdz. 22.7). W kazdym z tych przypadkow wielkose skrt(tnosci wynosi n. Okazuje siy, ze klasyczne fotony 0 dodatniej skrytnosci mogq bye przedstawione jako punkty przestrzeni 1P'1I'+, a 0 skrytnosci ujemnej w 1P'1I'-, natomiast wymiar dodatkowy pochodzi od energii fotonu. Opis taki mozna zastosowae do kaidej cZqstki bezmasowej 0 niezerowym spinie nn. W jaki sposob to funkcjonuje? Nie wdajqc siy w szczegoly, przedstawiy tylko najbardziej istotne elementy tego formalizmu. Najpierw warto zdae sobie sprawy, ze pierwsze dwie skladowe twistora Z, z)l i Zl, Sq w istocie dwiema skladowymi 2-spinora w, ktory w zapisie wskaznikowym zanotujemy jako 0/, gdzie W O = ZO i WI = Zl (zob. rozdz. 22.8 i 25.2). Pozostale dwie skladowe Z2 i Z3 twistora Z Sq skladowymi primowanego (dualnego) spinora 1C, ktory w zapisie wskaznikowym zanotujemy jako 1tA" gdzie 1t0' = Z2 i 1t1, = Z3. Czasami piszemy
t
Z
=
(w, 1C)
i w oraz 1C nazywamy cz~sciami spinorowymi twistora Z. Twistor wzglydem niego zespolony sprzt(zony Z rna czysci spinorowe w odwrotnym porzqdku, tzn.:
Z= (n, w), a zatem normt( twistora mozemy przedstawiC w postaci
- a za = Z- ° Z =1C - o W+w - o 1C=1t- WA +w -A' Z 1tA,· A Relacjy odpowiedniosci mit(dzy twistorem Z a punktem czasoprzestrzeni R 0 wspolrzt(dnych Minkowskiego t, x, y, z zapiszemy teraz w postaci w=
inr,
lub w A = i~'1tA' gdzie r (lub ~') rna nastt(pujqce skladowe macierzowe
rOO' r01')=~(t+z X+iY) ( rIo' rH' J2 x-iy t-z . Spinor 1C jest zwiqzany z p~dem czqstki bezmasowej w tym sensie, ze iloczyn zewnt(trzny (bez kontrakcji - zob. rozdz. 14.3) n1C opisuje jego 4-pyd. Spinor w zwi qzany jest momentem pt(du, w tym sensie, ze zsymetryzowany iloczyn win opisuje antysamodualnq czyse 6-momentu pydu cZqstki (rozdz. 18.7, 19.2,22.12,32.2), a zsymetryzowany iloczyn wi 1C opisuje jego czyse samodualnq21. Inaczej niz w przypadku pydu, moment p~du za1e:i:y od wyboru poczqtku 0 czasoprzestrzeni i dlatego czasami mowimy 0 momencie pt(du wzglt(dem O. Ta zaleznose/niezaleznose od wyboru poczqtku ukladu odbija sit( na translacyjnym zachowaniu obu czysci spino-
941
33
Perspektywy bardziej radykalne; teo ria twistorow
rowych, 1C i ro, twistora Z. Kiedy przesuwamy pocz'!tek ukladu 0 do nowego punktu czasoprzestrzennego Q za pomoc,! wektora q wzglt(dem 0, okazuje sit( (przy q w takiej postaci macierzowej jak poprzednio podana), ze czt(sci spinorowe ulegaj,! transformacji[33.14] 1C H 1r
i ro H ro - iq1C.
Istnieje rowniei pewna skalama wielkose, niezalezna od wyboru pocz'!tku ukladu, ktora moze bye skonstruowana z pt(du i momentu pt(du, a mianowicie skr~tnosc s. Okazuje sit(, ze skrt(tnose jest polow'! normy twistora:
s =lZ za =lZ. Z 2 a 2 (orientujemy sit(, ze jest to po prostu czt(se rzeczywista iii· 1C). Faktycznie, formalizm twistorowy pozwala na bardziej zwarte opisanie cz,!stek bezmasowych niz konwencjonalne podejscie 4-wektorowe/tensorowe z rozdz. 22.12. Teraz otrzymalismy sensowne fizyczne przedstawienie twistora niezerowego (z dokladnosci,! do czynnika fazowego Z H e i8Z, z rzeczywistym e) jako wiruj,!cej cz'!stki bezmasowej[33.15 1; por. z rys. 33.6. Nadal jestesmy pozbawieni sensownego geometrycznego wyobrazenia twistora niezerowego, ktorego przedstawienie mozemy uzyskae, rozwazaj'!c kompleksyfikowanq przestrzen Minkowskiego
942
[33.14] Pokaz, ze przy takiej transformacji zachowana jest relacja odpowiedniosci miydzy twistorem a punktem czasoprzestrzeni. Pokaz tez, ze zachowana jest norma twistora. ~ [33.15] Wyjasnij, skqd bierze siy ta swoboda fazy i dlaczego, w przypadku cZqstki 0 zadanej skrytnosci dodatniej, energia cZqstki zakodowana jest w polozeniu punktu w lP'1['+. ~ [33.16] Pokaz to. ~ [33.17] Dlaczego?
Geometria twistorow jako bezmasowych
~1
cz~stek wiruj~cych
33.6
r-r
Pla~czyzn ~ ~_~\:t>~~~ :_-----.. 1
I
."..-
:
:
IP'N
::
M#:
..... -
:
I
----._..
I
'---------~
Rys. 33.13. Zespolony czasoprzestrzenny opis twistorow (w ogolnym przypadku niezerowych) i twistorow dualnych. Dla dowolnego niezerowego twistora za w przestrzeni ICMI# istnieje zawsze 2-zespolenie-wymiarowe miejsce geometryczne punktow mu odpowiadaj'lcych, ktore nazywamya-plaszczyzn'l i ktore jest wszydzie samodualne. W przypadku niezerowego dualnego twistora Wa odpowiadaj'lce mu punkty w ICMI# zawsze tworz'l 2-zespolenie-wymiarow'l plaszczyzny, ktora jest antysamodualna i nosi nazwy p-plaszczyzny. 'TYlko w przypadku twistorow zerowych alba dualnych twistorow zerowych na tych miejscach geometrycznych istniej'l punkty rzeczywiste i wowczas te punkty rzeczywiste konstytuuj'l promien swietiny, zgodnie z rys. 33.12.
za
uzyskac obraz nieobojytnego twistora rzutowego W terminach geometrii rzeza poczywistej czasoprzestrzeni. W tym celu najpierw reprezentujemy twistor moq twistora do niego zespolonego sprzyzonego Za' kt6ry jako twistor dualny jest zwiqzany z pewnq plaszczyznq zespolonq w lP'1I'. Plaszczyzny ty wyznacza jego przeciycie z lP'N, kt6re jest 3-wymiarowym rzeczywistym miejscem geometrycznym. To miejsce geometryczne mozemy interpretowac jako 3-parametrowq rodziny promieni swietlnych w M. A zatem ta rodzina promieni swietlnych reprezentuje geometrycznie twistor (z dokladnosciq do czynnika proporcjonalnosci); zob. rys. 33.14. Promienie swietlne wirujq wok61 kierunku rozchodzenia siy w skomplikowany spos6b, ale mozna uzyskac zaskakujqcy obraz tego ruchu. Rozwazmy "jeden moment czasu" ]E3 (tzn. zwykly euklidesowy 3-przestrzenny przekr6j "teraz" czasoprzestrzeni Minkowskiego M). Kazdy pro mien swietlny w M - cZqstka punktowa poruszajqca siy w jakims kierunku z prydkosciq swiatla - reprezentowany jest w]E3 jako punkt ze "strzalkq", kt6ra wskazuje kierunekjego ruchu. 3-parametrowa rodzina takich promieni swietlnych - nazywana kongruencjq Robinsona - repre-
za
za
~~ MI
ez
kongruencja Robinsona IP''TI'
Rys. 33.14. Mozemy otrzymac "rzeczywisty" obraz twistora niezerowego za, przechodz'lc najpierw do twistora z nim sprzyzonego Za; w ten sposob definiujemy zespolon'l plaszczyzny rzutow'l w n. Plaszczyzny ty wyznacza przeciycie z IP'N, ktore jest 3-wymiarowym rzeczywistym miejscem geometrycznym. To miejsce geometryczne definiuje 3-parametrow'l rodziny promieni swietlnych w MI# i nosi nazwy kongruencji Robinsona.
943
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistorow Rys. 33.15. Przestrzenna ilustracja "zdjycia" kongruencji Robinsona. (Zrzutowane stereograficznie r6wnolegle Clif· forda na S3 - zob. rys. 8.7a i 15.8 - kt6re Slj 3·parame· trowlj rodzinlj okryg6w - oraz jedna linia prosta wypel· niajlj callj ]E3.) W kazdym punkcie ]E3 wyobrazamy sobie cZljstky poruszaj'lC!! siy z prydkoscilj swiatla (promieiJ. swietlny) w kierunku wskazanym przez okrljg (zorientowa· ny) na kt6rym siy znajduje. Cala ta konfiguracja przemiesz· cza siy z prydkoscilj swiatla w kierunku (przeciwnym) do kierunku wskazanego przez liniy prostlj na rysunku. Obraz ten charakteryzuje ruch i moment pydu bezmasowej cZljst· ki wiruj'lcej, jaklj przedstawia twistor Z".
zentuje nasz pojedynczy twistor Z. Na rys. 33.15 widzimy uklad zorientowanych okrygow (i jedn,! liniy prost'!) wypeiniaj,!cych cal,! zwykl,! 3-przestrzen ]E3. W kai:dym punkcie ]E3 wystypuje jedna cz'!stka z tej rodziny, poruszaj,!ca siy (z prydkosci,! swiatla) w kierunku wskazanym przez styczn,! zorientowan'! do okrygu przechodz,!cego przez ten punkt. Ciekawe, ze z postypem czasu cal a ta konfiguracja rozchodzi siy z prydkosci,! swiatla w kierunku (ujemnym) wskazanym przez pojedyncz,! liniy prost,! i tak wlasnie przedstawia siy ruch bezmasowej wiruj,!cej cz,!stki, ktor'! opisuje twistor. Ta konfiguracja okrygow jest w istocie rzutem stereograficznym (rozdz. 8.3, rys. 8.7a) konfiguracji rownoleglych Clifforda na S3 (rozdz. 15.4) na zwykl,! 3-przestrzen euklidesow'!. Nie powinnismy traktowae tych "promieni swietlnych" jako obiektow fizycznych; one tylko daj,! nam geometryczne wyobrai:enie a twistorze (rzutowym). Przedstawiona konfiguracja zawiera w sobie informacjy 0 momencie pydu (klasycznej) wiruj,!cej cz'!stki bezmasowef2. Jest to z pewnosci,! obraz nielokalny. Na rys. 33.15 pokazano najmniejszy okr,!g, ktorego promien jest rowny spinowi podzielonemu przez energiy cz'!stki. Srodek tego okrygu, z grubsza bior,!c, reprezentuje "umiejscowienie" wiruj,!cej cz'!stki (jednak nie maze my traktowae trajektorii tego srodka jako promienia swietlnego reprezentuj,!cego trajektoriy cz'!stki bezmasowej, poniewai: nie zachowuje siy on wlasciwie wzglydem transformacji Lorentza)l33.181• To wlasnie taki obraz spowodowal, ze pojawila siy nazwa "twistor,>2).
33.7 Twistorowa teoria kwant6w Mamy wiyc zarys podstaw geometrii teorii twistorow w plaskiej czasoprzestrzeni. Czytelnicy mag,! jednak bye zniecierpliwieni, bo nie znajd,! w nim na razie odpowiedzi na pytanie, w jaki sposob obraz tego rodzaju, przy calym swaim geometrycznym wyrafinowaniu, rna pomoc w dalszym zrozumieniujizyki. Czego mozemy dowiedziee siy na podstawie teorii twistorow a interesuj,!cej nas unifikacji struktu-
944
rm. [33.18] Znajdz poloienie tego srodka (we wspolrzydnych rozdz. 33.5) i pokai, jak prze· ksztalca siy przy ogolnej transformacji prydkosci Lorentza.
Twistorowa teoria kwant6w
33.7
ry czasoprzestrzeni i zasad mechaniki kwantowej? Na razie dysponujemy tylko pewnymi sprytnymi geometrycznymi i algebraicznymi sposobami opisu cz,!stek bezmasowych, ale ani relatywistyczne, ani kwantowomechaniczne idee nie odegraly iadnej roli. Zajmijmy siC( wiC(c tym zagadnieniem. Powroemy do najbardziej zasadniczej idei teorii twistorow. Polega ona na tym, ie wszystkie pojC(cia czasoprzestrzeni traktujemy jako pomocnicze i wtorne wobec pojC(e przestrzeni twistorowej 'f. Przestrzen ta, bC(d,!c w pelni przestrzeni,! zespolon,!, stwarza moiliwosci pelnego wykorzystania magicznych wlasciwosci liczb zespolonych, co nie jest rownie proste w standardowych ramach koncepcji czasoprzestrzeni. Zgodnie z tym, zamiast opisu w terminach rzeczywistych wspolrzC(dnych czasoprzestrzennych, uiywamy zespolonych zmiennych twistorowych za. Zmienne twistorowe s,! mieszanin,! zmiennych poloieniowych i pC(dowych, wobec czego musimy zadae pytanie: co zastC(puje teraz standardow,! regulC( kwantyzacji (rozdz. 21.2) Pa
'r.
~ ITl
axaa
(albox a ~ -itza/apa)? Odpowiedzjest nastC(puj,!ca: w analogii do zmiennych kanonicznie sprzC(ionychxa iPa' spelniaj,!cych operatorowe reguly komutacjiPbx a-xaPb= = ihO~ z rozdz. 21.2, operatorami kanonicznie sprzC(ionymi bC(d,! obecnie zmienne twistorowe za i Za :
za ZfJ - ZfJza = hOp, gdzie, podobnie jak w przypadku pC(dow i poloien, ktore komutuj,! oddzielnie miC(dzy sob,!, wystC(puje: zazfJ - zfJza = 0 i ZaZfJ - ZaZfJ = 0[33.19J. _ Na marginesie warto zauwaiye, ie ta kwantowa nieprzemiennose Za w za wywoluje intryguj,!C'! kwestiC( typu "geometrii", z jak,! moiemy miee do czynienia, jesli powainie potraktujemy fakt, iZ fundamentalne "wspolrzC(dne" kwantowej przestrzeni twistorowej mog,! bye niekomutuj,!cymi wielkosciami tego rodzaju. W przypadku klasycznym, gdy rozpatrujemy rzeczywist,! strukturC( przestrzeni twistorowej 'f jako rzeczywist'! 8-rozmaitose, wowczas za i Za moiemy traktowae jako niezaleine, komutuj,!ce ze sob,! zmienne (zob. rozdz. 10.1). W obrazie kwantowym jednak za i Za nie komutuj,! ze sob'!. Uiycie takiej "kwantowej" pary, za i Za' jako zmiennych niezaleinych, prowadzi nas w dziedzinC( geometrii nieprzemiennej, 0 ktorej krotko wspominalismy w rozdz. 33.1. Warto zagadnienie to zbadae dokladniej, bo chyba nikt tego dot,!d nie zrobil. Przypomnijmy sobie teraz, ie w zwyklej przestrzeni poloien, w przypadku funkcji falowej cz'!stki t/J(X), nie wystC(puj,! zmienne pC(dowe p, a zamiast tego pC(dy s,! reprezentowane przez operatory ajax" (jak podalismy poprzednio). Jaki jest odpowiednik tej sytuacji w teorii twistorow? S,!dzC(, ie musimy zai,!dae, aby nasza "twistorowa funkcja falowa" f(za) byla "niezaleina" od Za i aby Za bylo reprezenjl! [33.19] Czy na podstawie og61nych rozwazan operator6w przestrzeni Hilberta potrafisz powiedziec, dlaczego w twistorowych relacjach komutacji nie wystypuje "i"?
945
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistorow
towane przez operator a/aza. Tak jest w istocie, ale co naprawdy znaczy, ze f jest "niezalezna" od Za? Z formalnego punktu widzenia taka "niezaleznose" oznacza, ze af/aza = 0, a to (jak pamiytamy z rozdz. 10.5) Sq po prostu warunki Cauchy'ego-Riemanna stwierdzajqce, ze f(za) jest holomorficznq funkcjq za. To zdumiewajqcy i godny uwagi fakt. Twistorowe funkcje falowe rzeczywiscie Sq wielkosciami holomorficznymi i stanowiq wlasciwy lqcznik z magicznym swiatern liczb zespolonych. Kwantowa rola zmiennych zespolenie sprzyzonych Za polega na tym, ze wystypujq one w postaci operatorow rozniczkowych:
a z-a H - laza' iktore Sq operatorami holomorficznymi, a zatem holomorficznose jest zachowana na kwantowym poziomie opisu. Upewnia nas to, ze interpretacja twistorow w terminach pydu i momentu pydu czqstki bezmasowej jest spojna z twistorowymi regulami komutacji, a komutatory pydu i momentu pydu (rozdz. 22.12) w tych relacjach zostajq ujyte w prawidlowy spOSOb 24 • Wielkosciq szczegolnie interesujqcq jest skr?tnosc s, teraz traktowana jak operator, ktorego wartosci wlasne dane Sq zbiorem calkowitych wielokrotnosci ( ... , -21i, -Ii, 0, Ii, 21i, ... ), a takie wartosci Sq dozwolone w przypadku cZqstek bezmasowych. Szczegolnie godny uwagi jest fakt, ze na skutek uwzglydnienia regul komutacji operator skrytnosci przyjmuje nastypujqcq postaCZ5,133,2ol:
-tli, -iii, iii, tli,
s=,,!,(zaz +zaza)H-..!.1i(2+za~). 4 a 2 aza Operator
y=za~ aZa jest nazywany operatorem jednorodnosci Eulera. (Przypomina siy nasz stary znajomy, Leonhard Euler, z rozdz. 5, 6, 7, a w szczegolnosci 9). Pokazal on, ze Y rna ty waznq cechy, iz jego funkcje wlasne Sq jednorodne, a stopien tej jednorodnosci stanowi jego wartose wlasnq. Oznacza to, ze rownanie
Yf=uf, gdzie u jest pewnq liczbq, jest warunkiem spelnienia relacji jednorodnoscil33 .211
Z tego wynika, ze twistorowa funkcja falowa czqstki bezmasowej, 0 okreslonej skrytnosci S (a wiyc sf = IiSf, gdzie s oznacza operator, a S jego wartose wlasnq), musi bye funkcjq holomorficznq i jednorodnq, 0 stopniu jednorodnosci -2S _ 2133.221. jll [33.20] Sprawdi r6wnowaznosc tych dwu wyrazen na s. !§ [33.21] Sprawdi, czy potrafisz to wykazac.
946
is [33.22] Skqd ta wartosc?
Twistorowy opis pol bezmasowych
33.8
Twistorowa funkcja falowa fotonu (S = ±1) bttdzie wittc sumq dw6ch czttsci, jednej 0 stopniu jednorodnosci 0, opisujqcej skladowq lewoskrtttnq (S = -1) i drugiej 0 stopniu -4, opisujqcej skladowq prawoskrtttnq (S = 1). Neutrino, traktowane jako cZqstka bezmasowa, bttdzie mialo jednorodnq funkcjtt falowq 0 stopniu -1 (poniewai skrtttnosc wynosi -i), podczas gdy funkcja falowa (bezmasowego) antyneutrina bttdzie jednorodna w stopniu -3. Funkcja falowa bezmasowej czqstki skalarnej bttdzie jednorodna w stopniu -2. Dla naszych rozwaian najwainiejszy jest przypadek grawitonu, kt6ry potraktujemy (prowizorycznie) jako CZqstktt bezmasowq 0 spinie 2 w plaskiej przestrzeni Minkowskiego (S = ±2). Jego CZttSC lewoskrtttna (S = -2) opisywana jest twistorowq funkcjq jednorodnq 0 stopniu 2, a CZttSC prawoskrtttna (S = 2) za pomocq funkcji twistorowej 0 stopniu -6. Ten brak symetrii jest uderzajqcy i ilustruje zasadniczo chiralnq naturtt teorii twistor6w. Wkr6tce przekonamy sitt, ie niesymetrycznosc przybiera szczeg6lnie wielkie rozmiary, gdy pr6bujemy pod "parasol" pojttcia twistor6w wprowadzic aspekty og6lnej teorii wzglttdnosci. Na razie spr6bujmy zrozumiec, w jaki spos6b powinnismy interpretowac (liniowe) twistorowe funkcje falowe. W tym przypadku brak symetrii nie jest problemem i wszystko funkcjonuje bez zarzutu. Jednak z interpretacjq funkcji falowej f(za) - nazywanej zwykle funkcjq twistorowq - zwiqzana jest pewna waina subtelnosc, do kt6rej teraz przejdziemy.
33.8 Twistorowy opis p61 bezmasowych W czasoprzestrzennym przedstawieniu funkcji falowej swobodnej cZqstki bezmasowej 0 dowolnym spinie r6wnanie Schrodingera zastttpujemy rownaniem swobodnego bezmasowego pola 26 • W rozdz. 25.3 poznalismy przyklad takiego r6wnania i bylo to r6wnanie bezmasowego neutrina 0 spinie (Diraca-Weyla). Nie chctt tutaj zaglttbiac sitt w szczeg61y, ale sarno r6wnanie jest dosyc proste i latwo je wypisacw formalizmie 2-spinorowym tak,jak to zrobilismyw rozdz. 22.8 i 25.2. W przypadku skrtttnosci ujemnej S = mamywielkosctpAB ...D; dla dodatniej skrtttnosci S = mamy wielkosc 0 wskainikach primowanych tpA'B' ...D'. Kaida z tych wielkosci jest calkowicie symetryczna we wszystkich wskaznikach i kaida charakteryzuje sitt CZttstosciami dodatnimi, spelniajqc, odpowiednio, jedno z r6wnan:
i
-in
in
AA'
AA'
V tpAB .. D = 0, V tpA'B' ...D' = 0, gdzie vAA' jest po prostu 2-spinorowym odpowiednikiem zwyklego operatora gradientu va (zapisanego za pomOCq g6rnych wskaznik6w; zob. rozdz. 14.3)l33.231• Dla spinu mamy r6wnanie falowe Dtp = 0, gdzie 0 oznacza zwykly dalambercjan zdefiniowany w rozdz. 24.5. Wygodny 2-spinorowy zapis pozwala latwiej zauwaiyc
°
1m [33.23] Wypisz te rownania w jawnej postaci w przypadku skrytnosc,i
-tn,
stosuj,!c zapis1Ji,=1JiOO..Oll ... l; gdzi~ wystypuje n -rzer i rjedynek, i wyprowadzaj'!c VM Z Va w taki sam sposob, jak wielkost ~ wyprowadzamy ze zwyldych wspolrzydnych Minkowskiego t, x,y, z.
947
33
Perspektywy bardziej radykalne; teo ria twistor6w
pewne subtelnosci. Gdy n = 2 (spin 1), to oba rownania staj,! siy po prostu rownaniami swobodnego pola Maxwella w przypadku antysamodualnym lub samodualnym, odpowiednio[33.24J. W przypadku n = 4 otrzymujemy rownanie Einsteina dla slabego pola, ktore rozszczepia siy na czysci antysamodualn,! i samodualn,!, krzywizny zas traktuje siy jako infinitezymalne zaburzenie plaskiej przestrzeni M27. Co wspolnego maj,! te rownania z funkcjami twistorowymi? Okazuje Siy28, ze istnieje jawne wyrazenie w postaci calki po konturze (rozdz. 7.2), ktore wychodz'!c z funkcji twistorowej f(za), daje nam automatycznie ogolne rozwi,!zanie podanych rownan 0 cZystosciach dodatnich dla swobodnego pola bezmasowego. W rzeczywistosci formula ta jest prawdziwa rowniez bez warunku dodatnich cZystosci, aczkolwiek spelnienie tego warunku, jak przekonamy siy w rozdz. 33.10, mozna latwo zapewnic w formalizmie twistorowym. Bez wdawania siy w szczegoly, podstawowa idea sprowadza siy do tego, ze w przypadku dodatniej skrytnosci funkcja f(za) jest najpierw n-krotnie mnozona przez 1C (rozdz. 33.6; co daje n wskaznikow primowanych) albo, w przypadku ujemnej skrytnosci, dzialamy na ni,! n-krotnie operatorem a;aOJ (co daje n wskaznikow nieprimowanych); nastypnie mnoiymy j,! przez 2-formy T = dno' /\ dn 1, i calkujemy po odpowiednim konturze 2-wymiarowym, wprowadzaj,!c relacjy odpowiedniosci OJ = iT:ll, aby pozbyc siy OJ, a wprowadzic 1C oraz r. To calkowanie eliminuje 1C, wobec czego otrzymujemy ostatecznie wskainikow'! wielkosc W... w dowolnie wybranym punkcie czasoprzestrzeni R (a wiyc W jest funkcj,! jedynie r). Kontur calkowania musi lezec wewn'!trz miejsca geonietrycznego OJ = ir1C (dla kazdego ustalonego r), tzn. na (nierzutowej29 wersji) linii R w N, ktora reprezentuje zdarzenie R; zob. rys. 33.16. Spelnienie warunku dodatnich cZystosci jest zagwarantowane przez z,!danie, zeby calkowanie po konturze bylo mozliwe, gdy linia R leZy calkowicie w obszarze twistorowym n+. Linie w PT, jak pokazalismy w rozdz. 33.6, odpowiadaj,! "punktom zespolonej czasoprzestrzeni", ate, ktore lez,! calkowicie w podobszarze n+, odpowiadaj,! punktom podobszaru M+ w eM, nazywanego kanalem plZednim (forward tube)30. Do tego zagadnienia wrocimy w rozdz. 33.10. W tym formalizmie mozemy rowniez opisywac pola bezmasowe 0 mieszanej skrytnosci - takie jak foton plasko spolaryzowany, ktory jest sum'! cZysci lewoskrytnej i prawoskrytnej - dodaj,!c do siebie funkcje twistorowe dla roznych skrytnosci. Sarno istnienie tego rodzaju wyrazen rna dla mnie cos z magii. W formalizmie twistorowym gin,! gdzies rownania pol bezmasowych, ulegaj,!c konwersji w"czyst'! holomorficznosc". Gdy przyjrzymy siy im dokladniej, dostrzegamy, ze z interpretacj,! funkcji twistorowej wi,!ze siy wazna subtelnosc, pol'!czona w zadziwiaj,!CY sposob z rozszczepieniem pol bezmasowych na cZysci odpowiadaj,!ce cZystosciom dodatnim i ujemnym (rozdz. 33.10). Subtelnosc ta rna rowniez zasadni-
948
tm. [33.24] Przekonaj siy, czy potrafisz to pokazac w przypadku, gdy 1/Joo = C j - iC2, 1/J01= -iC3, oraz 1/J ll = -C j - iC2, gdzie C = 2E - 2iB (zob. rozdz. 19.2) i gdy spelnione s,! odpowiednie wyraienia dla 1/JA'B"
Twistorowa kohomologia snop6w
33.9
Rys. 33.16. Podstawowa twistorowa calka po konturze. Funkcjy twistorow,! f (0 skrytnosci ~ n), jednorodn,! w stopniu -n -2, mnoZymy n-krotnie przez 1C (dla dodatnich n) alba r6rniczkujemy -n razy (dla ujemnych n) po iJ/iJw, co daje nam odpowiednie wskainiki - i nastypnie mnoZymy przez 2-formy l' = = dlto. 1\ dlt1,. Przy kaidym konkretnym wyborze punktu czasoprzestrzeni R, 0 wektorze polozenia r, calkowanie po konturze przeprowadzamy w obszarze R przestrzeni twistorowej, zdefiniowanym relacj,! odpowiedniosci w = inr, W ten spos6b wycalkowujemy zaleznosc od 1C i otrzymujemy rozwi,!zanie r6wnania pol a bezmasowego. Na rysunku Rjest wybrane w g6rnej polowie przestrzeni!P'1['+ (albo ]'+) ifiest holomorficzna na przeciyciu U1 i U2 , gdzie otwarte zbiory U1 i Uz pokrywaj,! razem!P'1['+ (albo ],+).
cze znaczenie dla sposobu, w jaki przejawiaj,! sit( funkcje twistorowe, ktore prowadz,! do zakrzywionych przestrzeni twistorowych. Czyrn jest owa subtelnose? Sprowadza sit( ona do tego, ze funkcje twistorowe nie powinny, w istocie, bye traktowane jako "funkcje", w zwyklym tego slowa znaczeniu, lecz jako elementy holomor-
Jicznej kohomologii snop6w31 • 33.9 Twistorowa kohomologia snop6w
Co to jest kohomologia snopow? Jej koncepcje s,! wyrafinowane matematycznie, ale w rzeczywistosci bardzo naturalne. W tym miejscu przedstawimy jedynie tt( czt(se, ktora nosi nazwt( pierwszej kohomologii snop6w. Najlatwiej chyba to uj,!e, rozwazaj'!c sposob, w jaki rozmaitose moze bye skonstruowana w terminach lat wspolrzt(dnosciowych, 0 ktorych mowilismy w rozdz. 10.2 i 12.2 i co przedstawiono na rys. 12.5a. Na kazdym nalozeniu sit( pary lat definiuje sit( funkcjf przejscia (ktora dostarcza swego rodzaju kleju do pol,!czenia tych lat). Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 12.2 i rys.12.5a, ze te funkcje przejscia ~odlegaj,! okreslonym warunkom spojnosci, ktore musz'! bye spelnione w przypadku potrojnego nakladania sit(. Sprobujmy teraz w podobny sposob skonstruowae rozmaitosci, ale tak, aby funkcje przejscia roznily sit( infinitezymalnie od tozsamosci; zob. rys. 33.17. To przesunit(cie infinitezymalne mit(dzy pewn'! lat'! ~ a inn,! lat'! ~ mozemy przedstawie za pomoq pol a wektorowego Fij na tej czt(sci Up ktora przekrywa sit( z~, opisuj,!cego, jak lata Ui rna bye infinitezymalnie "przetaczana" wzglt(dem~. RownowaZnie mozemy dopuscie przetaczanie ~ wzglt(dem Up ale w przeciwnym kierunku. Tt( sytuacjt( opisuje pole Fij na tej cZt(sci ~, ktora przekrywa sit( z ~, st,!d w obszarze nakladania sit( mamy
P.9 =-P.l]
949
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
Rys. 33.17. Przypomnijmy sobie (z rys. 12.Sa),jak konstruujemy rozmaitose z pewnej liczby lat wsp6lrzydnosciowych. (W kaidym obszarze nakladania siy pary lat definiujemy "funkcjy przejscia", kt6ra odpowiada za "sklejanie" lat.) Tutaj rozwaiamy tylko takie funkcje przejscia, kt6re r6zni~ siy infinitezymalnie od tozsamosci, a wiyc s~ dane przez pole wektorowe Fij na kaidym obszarze przekrywania siy lat U. i ~, i kt6re m6wi~ nam, jak naleiy "przetaczae" kaid~ z lat w stosunku do innej, z jak~ siy naklada. ("Laty" s~ zbiorami otwartymi Up u" U3 , ••• na plaskiej przestrzeni wsp6lrzydnych.)
(zob. ryS. 33.18a). Przy potrojnym nakladaniu siy lat ~, ~ i Uk musi zachodzic[33.25] relacja spojnosci (rys. 33.18b) Fij+~k=Fik' Istniej,! rowniez deformacje "trywialne", ktore odpowiadaj,! (infinitezymalnej) zmianie ukladu wspolrzydnych na kazdej z lat. Mozemy je przedstawic za pomoq pola wektorowego Hi na kazdej z lat U i, ktore oznacza "przetoczenie" calej laty pO sobie samej. Na kazdym przeciyciu pary lat otrzymujemy "trywialn,!" rodziny pol P.lj 0 postaci Fij=Hi-~' ktora nie zmienia naszej rozmaitosci (rys. 33.18c).
(b)
Rys. 33.18. Pola wektorowe Fij ograniczone s~ pewnymi warunkami. (a) Na przeciyciu ~ z Ui mamy Fij = -Fij. Jest to zilustrowane przez ruch Uj na U2,jakwskazuje wektor F12 na Uj • Jednak to samowzgIydne przesuniycie uzyskujemy w odwrotnym kierunku na U2• (b) Rysunek przedstawia warunek potr6jnego nakladania siy F ij + Fk =F ik • W obszarze potr6jnego nakladania siy Uj , U2 i U3 przesuniycie Fj2 laty Uj po U2 jest sum~ ruchu F13 laty Uj po U3 i ruchu F32 laty U3 po U2• (c) Jesli wszystkie laty, indywidualnie, przetoczymy w calosci po sobie, to jedynym tego skutkiem moze bye zmiana wsp6lrzydnych na kazdej z lat. Pokazuje to, ze przetoczenie calkowite Fij = Hi - ~ nie daje wkladu i mozna przez nie "uproscie".
~
950
[33.25] Pokaz, ze warunkiem sp6jnosci przy potr6jnym nakladaniu silt jest antysymetrycznosc Fir
Twistorowa kohomologia snop6w
33.9
Idee te przedstawiaj'! podstawowe reguly pierwszej kohomologii snopow32 • Nie musimy ograniczac sit; tylko do pol wektorowych. Rownie dobrze mozemy posluZyc sit; zwyklymi funkcjami.t;j" NaieZy jedynie zaz'!dac, zeby kazda funkcja.t;j byla zdefiniowana na przecit;ciu ~ i ~ w taki sposob, aby.t;j = -~i' aby na kazdym przecit;ciu potrojnym.t;j +~k + fki = 0, oraz zeby kazdy caly zbior {.t;) byl rownowazny innemu takiemu zbiorowi {gi)' jesli kazdy element zbioru odpowiadaj,!cego roznicy {.t;j - gi) rna "trywialn,!" postac { hi - h). Mowimy, ze {.t;) S,! zredukowane modulo wielkosci postaci { hi - h), a termin "modulo" jest uZyty zasadniczo w tym samym sensie jak w rozdz. 16.1 (zob. rowniez pojt;cie "klasy rownowaznosci", omowione w Przedmowie). W istocie klasa funkcji (fij lub gij)' z ktorymi mamy do czynienia w teorii kohomologii, moze byc bardzo ogolna. W teorii twistorow wystt;puj,! tylko funkcje holomorficzne. To definiuje pojt;cie "holomorficznej kohomologii snopow". Taka koncepcja kohomologii stosuje sit; szczegolnie do funkcji twistorowych. Naturalnie, powinnismy rozwaZac "funkcjt; twistorow'!" w ogolnym przypadku nie jako pewn,! holomorficzn,! funkcjt; f, ale jako kolekcj~ holomorficznych funkcji {.t;), w ktorej kazda pojedyncza funkcja.t;j jest zdefiniowana na nalozeniu sit; pary zbiorow otwartych ~ i~, przy czym.t;j = -~i' gdzie na kazdym przecit;ciu potrojnym.t;j + + ~k + fki = 0, oraz cal a kolekcja tych zbiorow otwartych {U) pokrywa caly rozwazany sektor Q przestrzeni twistorowej. Element pielWszej kohomologii na Q (ze wzglt;du na zbior nakrywaj,!CY {~}) jest reprezentowany przez kolekcjt; funkcji {.t;j}' zredukowanych modulo wielkosci 0 postaci hi - hj' gdzie hi jest okreslona na ~. Nie traktujemy kolekcji funkcji.t;j jako elementu kohomologii, a jedynie jako sposob przedstawienia tego tajemniczego "elementu". Funkcje.t;j nazywamy przedstawicielami elementu pierwszej kohomologii. Aby uzyskac scisl,! definicjt; kohomologii, musielibysmy jednak rozwaZyc procedurt; graniczn,! coraz bardziej dokladnego pokrycia obszaru Q. Na szczt;scie istniej,! twierdzenia, zgodnie z ktorymi w przypadku holomorJicznej kohomologii snopow mozemy poprzestac na U;- S'! one przykladami dostatecznie prostych zbiorow, nosz'!cych nazwt; zbior6w Steina 33 • (Holomorficzna pierwsza kohomologia snopow znika zawsze na dowolnym zbiorze Steina.) A zatem jesli ograniczamy sit; do pokryc, dla ktorych kazde ~ jest zbiorem Steina, to w odniesieniu do elementu kohomologii okreslonego na Q nie musimy dodawac: "ze wzglt;du na pokrycie {~}". Pojt;cie kohomologii nie jest uzaleznione od specyficznego wyboru pokrycia Steina. Element kohomologii jest "rzecz'!" zdefiniowan,! na Q bez wzglt;du na to, jakie pokrycie zostalo wykorzystane 34 • Ten zaskakuj,!CY fakt stanowi czt;SC magii (holomorficznej) kohomologii snopow! W jaki sposob mozna to zastosowac w przypadku funkcji twistorowych i calek po konturze, ktore rozwazalismy w rozdz. 33.8? W najprostszej sytuacji mamy tylko dwie laty, U1 i U2 , ktore pokrywaj,! caly rozpatrywany sektor przestrzeni twistorowej. W takim przypadku musimy rozwaZyc wyl,!cznie jedn,! funkcjt;, czyli "funkcjt; twistorow'!" z rozdz. 33.8:f(za) =f12 = -f21 • Zgodnie z podanymi regulami koho-
951
33
Perspektywy bardziej radykalne; teo ria twistor6w
mologii snopow uwazamy, ze f(za) jest rownowazna g(za), jesli ich roznica jest trywialna w uprzednio podanym sensie, tzn. jesli
f-g=h l -h 2 , gdzie holomorficzna funkcja hI jest globalnie okreslona na Up a h2 na U2• Okazuje siy, ze bardzo latwo mozna pokazae, iz odpowiednia calka po konturze z f jest identyczna z calk,! po konturze z g, jesli funkcje te s,!, w tym sensie, rownowaine. Czasami jednak powstaje koniecznose rozwazenia bardziej skomplikowanych nalozen. W zasadzie podane "reguly kohomologii" odnosz'!ce siy do rownowaznosci miydzy funkcjami twistorowymi sluz,! zachowaniu wynikow, jakie uzyskujemy dziyki calkowaniu po konturze, ale pojycie calki po konturze musi bye uogolnione do "rozgalyzionej calki po konturze", po jednej galyzi dla kazdego z nakladaj,!cych siy obszarow; pokazuje to rys. 33.1935 • Wain,! cech,! kohomologii jest jej zasadnicza nielokalnosc. Wyobrazmy sobie, ze mamy element kohomologii zdefiniowany na pewnym obszarze Q. W takim razie mozemy rozwaZye ograniczenie tego elementu do pewnego mniejszego obszaru Q', zawartego w Q. Nielokalnose kohomologii przejawia siy w tym, ze dla kazdego dostatecznie malego (otwartego) podobszaru Q' w Q jej element znika przy ograniczeniu do Q', w tym sensie, ze przy danej J;j na Q' zawsze mozna w Q' znaleze takie h, dla ktorychflj = h - hJ.. W przypadku funkcji twistorowych nielokalnose informuje nas, ze nie rna znaczenia, jak,! wartose przybiera funkcja J;j w jakims konkretnym punkcie. Istotnie, mozemy dokonae ograniczenia do dostatecznie malego otwartego obszaru otaczaj,!cego ten punkt i przekonae siy, ze element kohomologii znika calkowicie; zob. rys. 33.20. Przejawiana przez funkcje twistorowe (traktowane jako elementy pierwszej kohomologii) nielokalnose prowokuje do porownan z nielokalnymi cechami efektow EPR i quanglementu (rozdz. 23.10). Moim zdaniem cos bardzo istotnego kryje siy za tymi efektami i mozemy oczekiwae, ze pewnego dnia zrozumiemy tajemniczy nielokalny charakter zjawisk EPR, ktory jeszcze nie jest w pelni wyjasniony. !
HOIOmOrfiC~Zn~ e.lementPierwsz.ejkohomologii oF 0
.~ ::.
952
Rys. 33.19. "RozgalC(ziony kontur calkowania" (na sferze Riemanna) do obliczania czasoprzestrzennych calek z funkcji twistorowych w przypadku, gdy pokrycie sklada siC( z wiC(cej nii dwu zbior6w.
.:...:.....
Rys. 33.20. Element kohomologii rnoina zawsze ograniczyc do rnniejszego obszaru. Jesli jednak ten obszar jest dostatecznie rnaly, to kohornologia zawsze znika. Fakt ten ilustruje nielokalnosc kohomologii.
Twistorowa kohomologia snop6w
33.9
Powinnismy traktowae ten "element kohomologii" jako "rzecz" okreslonl! na przestrzeni Q, ktora jest troch~ podobna do funkcji okreslonej na Q, lecz rozni si~ od niej dlatego, ze jest fundamentalnie nielokalna. Przykladem takiej "rzeczy" moze bye cala (zespolona) wil!zka wektorowa nad Q, ktorl! opisalismy w rozdz. 15.2, 5. Przypomnijmy wi~c, ze w definicji wil!Zki ta jej cz~se, ktora leZy nad dostatecznie malym obszarem przestrzeni bazowej (w tym wypadku Q), jest "trywialna" w tym sensie, iz stanowi po prostu iloczyn kartezjanski (por. rozdz. 15.2, rys. 15.3). To przyklad pokazujl!CY, ze jeSli ograniczymy nasz element pierwszej kohomologii do dostatecznie niewielkiego obszaru, to staje si~ on rowniez elementem "trywialnym", tzn. znika. "Informacja" zawarta w elemencie kohomologii rna wi~c fund amentalnie nielokalny charakter. Warto bye moze podae elementarny graficzny przyklad ilustrujl!CY poj~cie kohomologii, aczkolwiek tylko w prostym przypadku. Rys. 33.21 przedstawia wizerunek "obiektu niemozliwego", czasami nazywanego "trybarem,,36. Oczywiste jest, ze taki ,,3-wymiarowy obiekt" jak na rysunku nie moze istniee w normalnej przestrzeni euklidesowej. lednak lokalnie na tym rysunku nie rna niczego niemozliwego. Niemozliwose rna charakter nielokalny i znika, jesli rozpatrujemy jakis dostatecznie maly obszar na tym rysunku. Okazuje si~, ze to poj~cie "niemozliwosci", ktore ilustruje rysunek, jest szczegolnym elementem kohomologij37,[33.26 J• To bardzo prosty typ kohomologii, w ktorej funkcje {f) Sl! stale. Zaledwie dotknl!lem tutaj pewnych podstawowych idei kohomologii snopow. W matematyce wyst~puje wiele zastosowan tych koncepcji i nie wszystkie zwil!zane Sl! z holomorficznoscil!. "Snopy", ktore znajdujl! zastosowanie w teorii twistorow, wyrazajl! sit( w terminach funkcji holomorficznych i w tym kontekscie przejawiajl! sit( magiczne wlasnosci teorii kohomologii. (Mowil!c z grubsza, term in "snop" odnosi sit( do rodzaju funkcji, ktora nas interesuje, ale pojt(cie snopa rna duzo szersze zastosowanie niz tylko w odniesieniu do zwyktych funkcjj38.) Znamy wiele innych mozliwosci wykorzystania kohomologii, na przyklad te, ktore sl! wazne przy
Rys. 33.21. Rysunek "obiektu niemozliwego" (trybara). Lokalnie na tym rysunku nie rna niczego niemozliwego. "Niemozliwosc" t.. okresIa element kohomologii, ktory znika w kazdym, wystarczajl\co maIym obszarze rysunku.
~
[33.26] Przekonaj siy, czy potrafisz wykonac nastypujqce ewiczenie: zlam ten rysunek na pewnq ilose nakladajqcych siy wzajemnie rysunk6w ({U), z kt6rych kazdy reprezentuje sp6jnq struktury 3-przestrzennq, a nastypnie oblicz {J;), biorqc logarytm odleglosci tej struktury 3-przestrzennej od oka obserwatora.
953
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
badaniu przestrzeni Calabiego-Yau, wystl(pujqcych w teorii strun (rozdz. 31.14). Istniejq rowniez liczne sposoby definiowania elementow kohomologii snopow, ale mozna pokazac, ze wszystkie Sq matematycznie rownowazne, niezale.znie od ich zupelnie odmiennej postaci39 • W moim przekonaniu kohomologia (snopow) jest znakomitym przykladem idei platonskiej (rozdz. 1.3), ktora - podobnie jak sarno cialo liczb zespolonych C - "rna swoje wlasne Zycie", wykraczajqce daleko poza jakis szczegolny sposob, ktory mozemy wybrac dla jej przedstawienia.
33.10 Twistory i rozszczepienie cZQstosci na dodatnie i ujemne
W jaki sposob teoria twistorow uwzgll(dnia fundamentalny dla KTP warunek, czyli
warunek rozszczepienia cZfstosci na dodatnie i ujemne? Przypomnijmy sobie z rozdz. 9.2,3, ze podzial sfery Riemanna S2 na polkule poludniowq i polnocnq, S- is+, doprowadzil do rozszczepienia funkcji zdefiniowanej na rowniku Sl na jej cZl(sci o cZl(stosciach dodatnich i ujemnych (rys. 33.22a). Rzutowa przestrzen twistorowa dokonuje czegos podobnego, ale globalnie, co dotyczy bezposrednio pol bezmasowych w calosci. Uzyskuje sil( to za pomocq bezposredniej analogii mil(dzy sferq Riemanna a rzutowq przestrzeniq twistorowq n, w ktorej odpowiednikiem funkcji na sferze Riemanna S2 jest element pierwszej kohomologii na lP''lr. Odpowiednikiem rownika Sl jest teraz lP'N i zauwazmy, ze lP'N dzieli n (ktora jest przestrzeniq CpJ) na dwie polowki n+ i n- w taki sam sposob, jak Sl dzieli S2 (ktora jest ClP'l) odpowiedni040 na polkule S- i S+(rys. 33.22b). Expiicite analogonem zwyklej (zespolonej) funkcji zdefiniowanej na Sl alba na S-lub na S+ jest, odpowiednio, element pierwszej kohomologii zdefiniowany na
::+=
pierwsza kohomologia o cz~stosciach dodatnich
C~3
1 --1- --1-- -r---t-~*-~N ~
v
~
pierwsza kohomologia o cz~stosciach ujemnych
(a)
t
}
~1l
(b)
Rys.33.22. Analogia mi«dzy sferi/ Riemanna S\= C~J) a rzutowi/ przestrzenii/ twistorowi/ n(= CIP).
954
(a) Funkcja zespolona (tzn. element zerowej kohomologii), zdefiniowana na osi rzeczywistej lR sfel)' S2, rozszczepia si« na jej cZ«sc 0 cz«stosciach dodatnich, kt6ra rozcii/ga si« holomorficznie na obszar przedstawiony tutaj jako p61kula p61nocna S-, oraz na cZ«sc 0 cz«stosciach ujemnych, kt6ra rozcii/ga si« na p6lkul« poludniowi/ S+. (Sfera Riemanna jest tutaj nal)'sowana w ten spos6b, ze lR jest r6wnikiem, natomiast -i jest na biegunie p6lnocnym, a +i na biegunie poludniowym; por. z I)'s. 8.7 i 9.10 z rozdz. 9.5.) (b) Element pierwszej kohomologii, zdefiniowany na ~N (i reprezentuji/CY pole bezmasowe), rozszczepia si« na jego cZ«sc 0 cz«stosciach dodatnich, kt6ra rozcii/ga si« holomorficznie na g6rni/ polow« lP"J['+ rzutowej przestrzeni twistorowej oraz na jego cZ«sc 0 cz«stosciach ujemnych rozcii/gaji/Ci) si« na polow« dolni/ lP"J['-.
-
Twistory i rozszczepienie
cz~stosci
na dodatnie i ujemne 33.10
--~-------~----
lP'N alba na lP"ll'+ lub na lP"ll'-. Pola bezmasowe na M (a scislej, na M#) reprezentujq elementy pierwszej kohomologii na lP'N. Kazdy z nich moze bye wyrazony (w zasadzie jednoznacznie) jako sum a dwoch elementow: jednego - rozciqgajqcego siy na lP"ll'+ i drugiego - rozciqgajqcego siy na lP''lC Pierwszy z nich opisuje pole bezmasowe 0 cZystosciach dodatnich, a drugi 0 ujemnych4!. W terminach czasoprzestrzennych czyse pol a 0 dodatnich czystosciach rozciqga siy w taki sposob, ze jest okreslona w kanale pnednim, 0 ktorym mowilismy w rozdz. 33.8 i ktory jest obszarem M+ w CM# zawierajqcym punkty, jakie w przestrzeni twistorowej reprezentujq linie rzutowe w lP'']['+. W przestrzeni CM+ Sq to punkty (zespolone), w przypadku ktorych urojona czyse ich wektorow poiozenia jest czasopodobna i skierowana w stron y przeszlosci[33271. Ta analogia miydzy lP',][, a sferq Riemanna otwiera mozliwose znalezienia analogii miydzy ide ami teorii twistorow i teorii strun. Przypomnijmy sobie z rozdz. 31.5,13, ze powierzchnie Riemanna wykorzystuje siy do reprezentowania "historii strunowych" w tamtej teorii. Sfera Riemanna (ClP'!) jest najprostszym przykladem, ale powierzchnie 0 roznej liczbie "uchwytow" (powierzchnie Riemanna 0 wyzszym genusie - zob. rozdz. 8.4) Sq wykorzystywane do przedstawienia bardziej ogolnych rodzajow historii strunowych. Takie powierzchnie Riemanna oprocz uchwytow mogq rownid miee "dziury" (ktorych brzegami Sq S!; zob. rys. 31.5). Przez analogiy42 wolno rozwazae uogolnienia przestrzeni lP"ll', w podobny sposob otrzymujqce "uchwyty" i "dziury" (z brzegami, ktore Sq kopiami lP'N). Przestrzenie takie nazwane zostaly "preclowymi przestrzeniami twistorowymi", a na ich podstawie powstaly odpowiednie koncepcje KTP (zob. rys. 33.23). Dotychczas jednak status tych projektow nie jest w pelni okreslony.
II I
~O' -=",___.-...~,
-lP'N
lal
Ibl
Rys. 33.23. (a) Konforemna teoria pola (model typu teorii stron), oparta na uog6lnieniach sfery Riemanna na powierzchnie Riemanna 0 wy:i:szym genusie, kt6re mog~ miec zar6wno "dziury" skoflczonych rozmiar6w, jak i uchwyty (zob. rys. 31.5; dziury reprezentuj~ miejsca, w kt6rych dostarczana jest informacja zewnytrzna). (b) Wersja twistorowa posluguj~ca siy uog6lnieniem lP"lI', w kt6rym wystypuj~ "uchwyty" - tak jak w odpowiednich powierzchniach Riemanna, oraz "dziury", kt6rych brzegami s~ kopie przestrzeni lP'N ("preclowe przestrzenie twistorowe").
~
[33.27] Udowodnij to. Pokaz, na podstawie relacji odpowiedniosci, ze zespolony wektor polozenia I' punktu R w eM jest reprezentowany przez liniy rzutow'! w lP'1I'+ wtedy i tylko wtedy, gdy urojona czysc I' jest czasopodobna i skierowana w strony przeszlosci.
955
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
Ujmujl!c problem w perspektywie historycznej, przypomny, ze zl!danie cZystosci dodatnich - a wiyc wlasnosci, ktora powoduje, ze IPN dzieli lP1I' na takie polowy - stanowilo zasadniczl! motywacjy do sformulowania teorii twistorow w 1963 roku, przeszlo 12lat wczesniej, zanim odkrylismy, ze pola bezmasowe mogl! bye opisane jako holomorficzne pierwsze kohomologie snopow43 • Jest uderzajl!ce, ze znowu mamy do czynienia z wlasciwoscil!, ktora w specyficzny sposob wynika z czterowymiarowosci czasoprzestrzeni 0 sygnaturze lorentzowskiej. Szczegolne jest takZe, ze w tym aspekcie teorii twistorow zasadniczl! roly odgrywajl! elementy pierwszej kohomologii, a nie zwykle funkcje - ktore sl! element ami kohomologii zerowej - ani elementy kohomologii drugiej lub wyzszej. Pojycia kohomologii wyzszego rZydu wystypujl! rownieZ (i grajl! pewnl! roly w teorii twistorow), ale jest cos wyjl!tkowego i specyficznego w pierwszej kohomologii, ktora rna fundamentalne znaczenie dla teorii twistorow. Albowiem tylko te wielkosci znajdujl! bezposrednie zastosowanie w generowaniu defonnacji przestrzeni twistorowej. Zajmiemy siy teraz tym zagadnieniem.
33.11 Grawiton nieliniowy RozwaZane elementy kohomologii (funkcje twistorowe) powinnismy na razie traktowae jako elementy calkowicie "bierne", w tym sensie, ze mogl! po prostu bye "namalowane" na przestrzeni (twistorowej). Oznacza to, ze opisujl! pola czasoprzestrzenne, ktore tylko rezydujl! w czasoprzestrzeni i nie wplywajl! na inne pola. Aby wprowadzie tutaj aktywne oddzialywanie, wyobrazmy sobie, ze ta "farba" na przestrzeni twistorowej "wysycha" i powoduje, ze przestrzen ulega pewnej deformacji (rys. 33.24). Zeby stwierdzie, jak to siy moze stae, pomyslmy 0 naszej, pocZl!tkowo biernej funkcji twistorowej hi jako 0 wielkosci zwil!zanej, w odpowiedni sposob, z polem wektorowym Fij' "Przesuwajl!c infinitezymalnie jednl! laty wzglydem drugiej" w kierunku wskazanym przez te pola wektorowe, powodujemy "wysychanie farby" i zaczyna tworzye siy infinitezymalnie "zakrzywiona" przestrzen twistorowa. Mozemy tez wyobrazie sobie, ze ta deformacja ulega "eksponencjacji" (rozdz. 14.6), aZ uzyskamy skonczonl! deformacjy przestrzeni twistorowej (farba wyschnie calkowicie!).
la)
Ib)
Rys. 33.24. Pole wektorowe bt(d,!ce elementem pierwszej kohomologii jest "bierne" (tzn. jest jakby
956
"namalowane" na przestrzeni). Aby je "uaktywnic", pomyslmy 0 procesie "wysychania farby" jako wyniku eksponencjacji pola wektorowego na ka:i:dej z nakladaj,!cych sit( lat. Prowadzi to do "slizgania sit(" lat wobec siebie, co z kolei wiedzie do skonczonej dystorsji i "zakrzywionej przestrzeni".
Grawiton nieliniowy 33.11
Procedura ta po raz pierwszy zastosowana zostala z sukcesem w odniesieniu do grawitacji antysamodualnet. W przypadku infinitezymalnym (slabe pole) mamy do czynienia z polem bezmasowym 0 skrytnosci S = -2, wobec czego, korzystaj,!c z wzoru -2S - 2 na stopien jednorodnosci, otrzymujemy funkcjy twistorow'! J( = !;j) o jednorodnosci 2. W tym miejscu dla ulatwienia zakladamy, ze mamy do czynienia z dwiema latami U1 i U2 , z ktorych kazda przedstawia CZySC plaskiej przestrzeni twistorowej 1[', ze standardowym ukladem wspolrzydnych z rozdz. 33.5. Potrzebne nam pole wektorowe F, ktore konstruujemy zJ, bydzie mialo nastypuj,!C'! postac: F= Of ~_~~
am ami am am 0
I
0
•
Zauwazmy, ze jednorodnosc funkcji J w stopniu 2 kompensuje istnienie dwoch operatorow rozniczkowych, a w wyniku otrzymujemy operator 0 stopniu jednorodnosci zero, ktory dziala na rzutowej przestrzeni twistorowej[33.28 J• Wyobrazmy sobie teraz, ze dokonujemy eksponencjacji tego infinitezymalnego przeci,!gania jednej laty po drugiej (zob. rys. 33.25). Otrzymamy wtedy zakrzywionq (czysciowo) przestrzen twistorow'! T. Poniewaz w relacjach dopasowywania tych lat nie wystypuj,! pochodne 1C, z tego wynika, ze twistor na jednej z lat musi miec tak'! sam,! cZysc 1C jak twistor na drugiej. Implikuje to, ze operacja, ktora "wyrzutowuje" spinor 1C z calej latanej przestrzeni T, jest spojna na calej T. Inaczej mowi,!c, istnieje rzut globalny T na przestrzen spinorow 1C. Pominmy (a jeszcze lepiej - usunmy) "elementy zerowe" zarowno z przestrzeni T, jak i 1C. Okazuje siy wtedy, ze Tjest rodzajem wi,!zki wloknistej nad przestrzeni,! 1C (zob. rozdz. 15.2)45. Kazde wl6kno (przeciwobraz kazdej konkretnej przestrzeni 1C, czyli ta cZysc T, ktora leZy "ponad" 1C) okazuje siy zespolon'! 2-rozmaitosci,! z symplektyczn'! struktur'!, podobnie jak sarna przestrzen 1C (zob. rozdz. 14.8 - tutaj oznacza to tylko, ze miara powierzchni jest okreslona na 2-rozmaitosci), ita cecha jest zagwarantowana przez specyficzn,! formy "latania".
r
:'"'1
u,
T
'-
:" t
.
i~ : • U 2
"
It'· , t, I
I
,~
przestrzen 7r
I -H
ca
.~
~
j
If
T
.j n;
Symplektyczna
Rys. 33.25. Zastosujrny pornysll)'s. 33.24 do przypadku twistorowego opisu antysarnodualnej grawitacji (korzystajqc z dwu lat). Polern wektorowyrn jest (iJf!iJwO)iJ/w ' - (iJf/iJw')a/w O), z funkcjqf 0 stopniu jednorodnosci 2. Otrzyrnujerny zakrzywionq (cz«sciowo) przestrzen twistorowq T. Istnieje rzut globalny T na przestrzen 1/:. Kazde wl6kno tego rzutu jest zespolonq 2-przestrzeniq syrnplektycznq, podobnie jak sarna przestrzen 1/:.
9. [33.28] Dlaczego zerowy stopien jednorodnosci implikuje, ze otrzymujemy pole wektorowe na jakims obszarze JIb']!'? Wskaz6wka: oblicz komutator F i Y (rozdz. 33.7).
957
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
W jaki sposob przejdziemy od tej zakrzywionej przestrzeni twistorowej do pojyC "czasoprzestrzeni"? Odpowiedz na to pytanie zawiera siy w tym, ze kazdy "punkt czasoprzestrzeni" jednoznacznie odpowiada pewnemu holomorficznemu ciyciu wiqzki T. (Pojycie ciycia holomorficznego zostalo podane w rozdz. 15.5; tutaj zas jest to mapa przestrzeni 1C na T.) Dlaczego taka definicja wydaje siy zadowalajqca? W przypadku plaskiej przestrzeni 1l' sprowadza siy ona do reprezentowania (byc moze zespolonego) punktu czasoprzestrzeni R przez mapy, ktora przeksztalca 1C w Z = (ir1C, 1C). W terminach plaskiej rzutowej przestrzeni twistorowej lP1l' ciycie to jest po prostu liniq prostq R (sferq Riemanna, ClP") w lP1l', ktora w rozdz. 33.5 reprezentowala R[33. 291. Jest zaskakujqce, ze taka definicja "punktu czasoprzestrzeni" funkcjonuje rownie dobrze w przypadku zakrzywionej przestrzeni twistorowej T. Okazuje Siy46, ze istnieje tu rodzina ciyc holomorficznych zalezna od czterech parametrow zespolonych, dokladnie tak jak w przypadku plaskim. (W przestrzeni rzutowej lP'T jest to rodzina linii ClP" zalei:na od czterech parametrow zespolonych.) Dysponujemy wiyc 4-wymiarowq rozmaitosciq zespolonq M, ktora reprezentuje ty rodziny. Ta 4-wymiarowosc jest faktem zaskakujqcym - to doskonaly przyklad magicznych wlasciwosci wyzszych wymiarow zespolonych - i wynika z twierdzenia sformulowanego przez japoii.skiego matematyka Kunihiko Kodairy47. (Na podstawie znajomosci jedynie rzeczywistych rozmaitosci moglibysmy oczekiwac, ze powinny istniec niesk011czenie-parametrowe rodziny takich obiektow. Jednak, jak to juz stwierdzilismy w rozdz. 15.5, ciycia holomorficzne mogq byc bardzo ograniczone.) Rys. 33.26 ilustruje ty procedury graficznie (w opisie rzutowym). Wybieramy obszar R w zespolonej czasoprzestrzeni Minkowskiego CM. Dla ulatwienia jako obszar R uznajemy jakies (otwarte) otoczenie punktu R w CM. Odpowiadajqcy mu obszar Q rzutowej przestrzeni lP1l' jest omiatany rodzinq linii, z ktorych kaida reprezentuje pewien punkt w R. Bydzie to otoczenie (nazywane otoczeniem cylindrycznym) linii R, ktora reprezentuje R (rys. 33.26b, c). Mozemy przyjqc, ze topologiq Q jest S2 x lR4, gdzie S2 pochodzi od topologii linii R - albo, rownowaznie, rzutowej przestrzeni 1C-lR4 opisuje zas poprzecznq CZySC otoczenia kaidego punktu linii R. Wyobrazmy teraz sobie S2 (tutaj jest to rzutowa przestrzeii. 1C) jako podzielonq na polkule, ale nieco rozciqgniyte, w taki sposob, ze powstaje "kolnierz" nalozenia siy, a wtedy potraktujmy Q jako zbudowany z dwu nakladajqcych siy kawalkow (ktore Sq zbiorami otwartymi) U, i U2 lezqcych ponad kazdq z tych rozciqgniytych polkul (rys. 33.26d). Wreszcie "przeciqgamy" U2 po U" zgodnie z podanym pol em wektorowym, aby otrzymac nasz obszar zdeformowanej rzutowej przestrzeni twistorowej lP'T(rys. 33.26e, f). Nadal, dysponujqc strukturq wiqzki, mozemy wykonac rzut globalny na przestrzeii. 1C (rys. 33.26f). Jednak poczqtkowe "linie proste" w U, i U2 Sq teraz przerwane, nie dajq wiyc ciyc, natomiast twierdzenie Kodairy mowi, ze istnieje nowa 4-parametrowa rodzina krzywych holomorficznych w lP'T, ktore tworzq ciycia ho-
958
~ [33.29] Wyjasnij, w jakim sensie ta linia jest "ciyciem" przestrzeni lP'1r - I.
Grawiton nieliniowy 33.11
[2J -- I~I If'']['
M
I I
(a)
/-,-n
,
,
•
I
I I
\,_fl.'
,, •
I
\ . __ ,/R
(b)
,'-- ---;1 ~a \
I
\I
fl'
__ '1./
, I
'---
M
~ Q
+
+
~J(fl
przestrzen 1C-CI======::>
(g)
Rys. 33.26. Konstrukcja lewoskrytnego nieliniowego grawitonu. (a) W standardowej, plaskoprzestrzennej odpowiedniosci twistorowej punkty P i Q przestrzeni ICM S,,! zerowo odseparowane wszydzie, gdzie w n przecinaj,,! siy linie P i Q. (b) Chcemy w jakis sposob zdeformowae n, aby powstala zakrzywiona przestrzen twistorowa, jednak istniej,,! twierdzenia matematyczne, ktore mowi"!, ie nie moina tego dokonae globalnie. Wobec tego jako nasz"! wyj§Ciow,,! "czasoprzestrzen" wybieramy tylko odpowiednie (otwarte) otoczenie n punktu R w ICM. (c) W n odpowiada to cylindrycznemu otoczeniu Q linii R. (d) Teraz mozemy zastosowae procedury z rys. 33.25, aby zdeformowae Q (traktowany jako suma dwu zbiorow otwartych U, i Uz). (e) Okazuje siy jednak, ze w wyniku takiej procedury pocz"!tkowa linia R zostaje przerwana i nie moze juz bye wykorzystanajako sensowna definicja "punktu czasoprzestrzeni". (t) Z pomoc,,! przychodzi nam twierdzenie Kodairy; mowi ono, ze istnieje 4-parametrowa rodzina "Iinii" R* (s,,! to zwarte krzywe holomorficzne, nalei,,!ce do tej samej klasy topologicznej co nasze linie wyjsciowe), ktorej mozna uZye w tym miejscu. (g) Punkty naszej poszukiwanej "nieliniowej przestrzeni grawitonowej" M (4-przestrzen zespolona) dane S,,! krzywymi Kodairy R'. Metryka M (zespolona i konforemna) jest zdefiniowana - jak w (a) - warunkiem, ze p' i Q' s,,! zerowo odseparowane wszydzie, gdzie przecinaj,,! siy linie p* i Q*. Okazuje siy, ze krzywizna Weyla przestrzeni M jest automatycznie antysamodualna, a przestrzen ta jest takie, na mocy przeprowadzonej konstrukcji, plaska w sensie Ricciego.
lomorficzne struktury wicp;ki. Poszukiwana przestrzen M jest tak skonstruowana, ze kazdy jej punkt odpowiada jednemu z tych ciyc (rys. 33.26f, g). Okazuje siy, ze M rna przyporz'!dkowan'! w naturalny sposob metryky g, jej krzywizna Weyla jest antysamodualna i plaska w sensie Ricciego. Mozemy latwo znaleic stozki zerowe g (struktura konforemna), korzystaj,!c z faktu, ze dwa punkty p' i Q' przestrzeni M s,! odseparowane zerowo wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie linie p' i Q* w IP'T przecinaj,! siy (rys. 33.26g). Czytelnik rna prawo zapytac, jaki jest sens fizyczny tej "czasoprzestrzeni" M. Otoz jest ona rozmaitosci,! zespolon,! (a zatem, gdyby traktowac j,! jako rozmaitosc rzeczywist'!, to raczej 8-wymiarow,!, a nie 4-wymiarow,!). W przypadku plaskim moglibysmy wydzielic rzeczywiste punkty czasoprzestrzenne (zdarzenia w M), 959
33
Perspektywy bardziej radykalne; teo ria twistor6w
960
bior,!c cit(cia l' lez,!ce w N, a nastt(pnie traktuj,!c nasz'! M jako po prostu kompleksyfikacjt( eM przestrzeni Minkowskiego M. W przypadku przestrzeni zakrzywionej ten zabieg nie jest jednak prosty. Rzeczywiscie, "czasoprzestrzen", jak,! otrzymujemy w wyniku tego rodzaju konstrukcji, sarna jest rozmaitosci,! zespoIon,!, wobec czego nie moze powstae za pomoq kompleksyfikacji rzeczywistej lorentzowskiej czasoprzestrzeni. Dlaczego? Lorentzowska 4-rozmaitose z antysamodualn,! krzywizn,! Weyla musi bye rowniez plaska w sensie Weyla (poniewaz sprzt(zenie zespolone zerowej czt(sci samodualnej jest czt(sci,! antysamodualn,! i dlatego musi rownid bye zerowa). Jesli jest przy tym rowniez plaska w sensie Ricciego, to musi bye w og6le plaska. W przypadku zespolonym 48 natomiast istnieje ogromna rodzina nietrywialnych, antysamodualnych 4-rozmaitosci plaskich w sensie Ricciego. Jest zdumiewaj,!ce, ze wszystkie te rozmaitosci mozna otrzymae (przynajmniej lokalnie) za pomoq przedstawionej juz procedury twistorowej! Do czego moze sit( nam przydae zespolona przestrzen M? Z fizycznego punktu widzenia tt( 4-przestrzen zespolon,!, antysamodualn,!, plask,! w sensie Ricciego (jesli mozna 0 niej powiedziee we wlasciwym sensie, ze rna "dodatnie cZt(stosci"), interpretujemy jako przestrzen reprezentuj,!q lewoskr~tny grawiton. Istotnie, jest to grawiton nieliniowy, w tym sensie, ze stanowi rodzaj "funkcji falowej", ktora jest rozwi,!zaniem nieliniowego rownania prozniowego Einsteina (plaskose Riccciego), a nie jego liniowego przyblizenia. Z tym ostatnim mielibysmy do czynienia, gdybysmy za element kohomologii przyjt(li po pro stu funkcjt( twistorow'!i, nie czekaj,!c, aZ "farba wyschnie" i nast,!pi deformacja samej przestrzeni twistorowej. A zatern teoria twistorow zaprowadzila nas w ciekawym i niespodziewanym pocz'!tkowo kierunku, gdzie l'!cz'! sit( ze sob,! idee teorii kwantowej i struktura czasoprzestrzeni. N asze twistorowe funkcje falowe S,! teraz wielkosciami nieliniowymi, a wit(c zaczynaj,! pojawiae sit( odstt(pstwa od standardowych regul mechaniki kwantowej (rozdz.22.2-4). Pewna cecha tej konstrukcji zasluguje na szczegoln,! uwagt(. Jesli rozwaiymy dowolny punkt Z zakrzywionej przestrzeni twistorowej T, to okaze sit(, ze kazde dostatecznie male otoczenie Z rna identyczn'! strukturt( jak pewne otoczenie dowolnego punktu Z' plaskiej przestrzeni twistorowej l' (nienalez,!ce do obszaru I "w nieskonczonosci" - zob. rozdz. 33.5). Zgodnie z tym, struktura lokalna, jak,! charakteryzuje sit( przestrzen twistorowa, jest "przenosna", w sensie przedstawionym w rozdz. 14.8. Wszystkie informacje dotycz,!ce krzywizny etc. przestrzeni M zawarte s,! wit(c w T globalnie, a nie lokalnie. To odzwierciedlenie omawianego wczeSniej faktu, ze element kohomologii, jaki definiuje funkcja twistorowa, znika calkowicie, jesli ograniczymy go do dostatecznie malego obszaru. W przestrzeni twistorowej nie mamy "rownan pola". Ten rodzaj informacji, ktory jest zwykle zawarty w rozwi¥aniach rownan pola w czasoprzestrzeni (mamy tu na mysli antysamodualne rownanie Einsteina), wystt(puje raczej jedynie nielokalnie w konstrukcji 9 przestrzeni twistorowet •
Twistory i og61na teoria wzglednosci 33.12
33.12 Twistory i og61na teoria wzgl,dnosci "Konstrukcja grawitonu nieliniowego" byla centralnym zagadnieniem w teorii twistorow od polowy lat siedemdziesi'!tych XX wieku. W pocz'!tkowym stadium konieczny byl postyp w dwu innych kierunkach. Najbardziej oczywiste wydawalo siy dopominanie 0 podobn,! konstrukcjy prawoskr~tnego nieliniowego grawitonu, aby mozna bylo dokonac zlozenia z grawitonem lewoskrytnym i w ten sposob tworzyc stany 0 mieszanej polaryzacji (takie jak grawitony nieliniowe spolaryzowane ptasko). Bylaby to glowna czysc programu twistorowego. Jak juz mowilismy, pojycie "grawitonu nieliniowego" miesci siy w duchu poszukiwan teorii, ktorej wielkie znaczenie przedstawialem w rozdz. 30 w zwi'!Zku z mozliwosci,! przystosowania standardowych regul zwyklej kwantowej teorii U w taki sposob, zeby mozna bylo dokonac jej pol,!czenia z ogoIn,! teori,! wzglydnosci Einsteina. Co prawda "grawiton", jaki otrzymalismy w podanej konstrukcji, jest jedynie "polgrawitonem", albowiem uwzglydnia tylko jedn,! z dwu mozliwych wartosci skrytnosci. W tym rniejscu uwami czyteinicy mogliby wysun'!c sugestiy, ze gdybysmy zastosowali opis w terrninach twistorow dualnych Wa zamiast za, wowczas, powtarzaj,!c poprzedni,! konstrukcjy w terminach twistorow dualnych[33.301, otrzyrnalibysmy nieliniow,! funkcjy falow'! grawitonuprawoskr~tnego. Powstaly w ten spos6b grawiton prawoskrytny a grawiton lewoskrytny odpowiadatby jednorodnosci w stopniu 2 (w terminach - jednorodnosci stopnia -6. Nie usunylibysmy jednak trudnosci, poniewaZ utracilibysmy stany 0 skrytnosci ujemnej i nie miatoby sensu ui;ywanie zmiennych Wa do opisu stanow prawoskrytnych i za do opisu lewoskrytnych, przede wszystkim dlatego, ze musimy rownieZ opisywac stany 0 mieszanej skrytnosci50 . Zagadnienie znalezienia sposobu "eksponencjacji" funkcji twistorowej f(za) o jednorodnosci -6 w taki sposob, aby otrzymac nieliniowy grawiton prawoskrytny, otrzymalo nazwy (grawitacyjnego) problemu googly. (Slowo googly jest terminem ui;ywanym podczas gry w krykieta i oznacza pileczky obracaj,!C'! siy prawoskrytnie wzglydem kierunku ruchu, pomimo ze zostala wyrzucona w taki sposob, ktory pozornie wymagat ruchu lewoskrytnego). Poszukiwanie odpowiedniego rozwi,!zania zajylo nam prawie 25 lat, ale wydaje siy, ze jestesmy juz na wlasciwej drodze 5 \ choc obecnie procedury te wci,!z maj,! pod wieloma wzglydami charakter postulatywny. Nie podejmy siy szczegolowego ich przedstawienia, powiem tylko, ze istotn,! nowosci,! jest fakt, iZ wtokna rzutowania naszej zakrzywionej przestrzeni twistorowej Ina przestrzen rzutow'! PT ulegaj,! "skryceniu" (twisted up) w spos6b okreslony przez funkcjy twistorow'! 0 stopniu jednorodnosci -6. (Ten "twist" uzyskujemy za pomoc,! eksponencjacji pewnego pol a wektorowego na parze nakladaj,!cych siy tat, 0 zludnie prostej postaci Cf-fJzaa/aza, gdzie C jest odpowiedni,! stal'!, af-fJ funkcj,! twistorow'! 0 stopniujednorodnosci -6). Takie podejscie pozwala na uwzglydnienie zar6wno lewoskrytnej, jak i prawoskrytnej czysci grawitonu.
Wa>,
a
[33.30] Dlaczego? Ws-kaz6wka: dlaczego odbicie przestrzenne zamienia twistory w twistory dualne?
961
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
Przynajmniej w przypadku odpowiednio asymptotycznie plaskiej czasoprzestrzeni M istnieje jawna, bezposrednia konstrukcja Tw terminach M. Co wiycej, funkcjonuje - na razie prowizoryczna - propozycja otrzymania M z zadanej T, a wiyc konstrukcja punkt6w czasoprzestrzeni z czysto twistorowej struktury T, 0 kt6rej s,!dzimy, ze pozwoli nam poprawnie uwzglydnic warunek plaskosci Ricciego (pr6zniowe r6wnanie pola Einsteina). Propozycja ta w istotny spos6b wi,!ze siy z dlugofalowym projektem badawczym Ezry T. Newmana i jego koleg6w, kt6rzy proponuj,! interpretowac punkty czasoprzestrzeni w terminach "przekroj6w stozka swietlnego", czyli przeciyc stozk6w swietlnych w M z nieskonczonosci,! zerow'! przysztosci /7+52. Jednak, aczkolwiekjest to bardzo obiecuj,!ce, obecnie pewne waine aspekty konstrukcji twistorowej pozostaj'! nadal nierozwi'lZane53. Innym kierunkiem poszukiwan, kt6rych niew'!tpliwie domagata siy pocz'!tkowa konstrukcja nieliniowego, lewoskrC(tnego grawitonu (z przelomu lat 1975 i 1976), bylo uog61nienie teorii grawitacji na inne pola cechowania. Bardzo wczesnie, bo w latach 1976-1977, Richard Ward pokazal, jak mozna otrzymac og61ne antysamodualne pola cechowania, korzystaj,!c z konstrukcji bardzo podobnej do zastosowanej w przypadku pola grawitacyjnego. Rzeczywiscie, konstrukcja Warda spotkala siy z du.zym zainteresowaniem ze strony matematyk6w i znalazla zastosowanie szczeg61nie w teorii uklad6w calkowalnych Uest to problem r6wnan nieliniowych, dla kt6rych, w odpowiednim sensie, mozna znaleic rozwi,!zanie w og61nym przypadku). Tutaj teoria twistor6w pozwolila uzyskac calosciowe spojrzenie na ten problem54 . Wydaje siC( zupelnie prawdopodobne, ze postc(p w kierunku znalezienia pelnego rozwi,!zania grawitacyjnego zagadnienia mieszanej skrytnosci wskaze nam skrC(tnosci pol a cechowania w ramach forrnalizmu twistorowego.
33.13 W kierunku twistorowej teorii
962
cz~stek
elementarnych
W ten spos6b doszlismy do pytania 0 to, w jaki spos6b teoria twistor6w moze rozwin,!c siy w pein,! teoriy fizyczn,! - kt6r,! na razie nie jest. Aby mogla siy ni,! stac, konieczne jest jej rozwiniC(cie w dw6ch dodatkowych kierunkach. Po pierwsze, musi nam przedstawic sp6jne ujC(cie KTP. Sporo pracy wtozono w tc( dziedzinC(; przede wszystkim wymienic tu nale.zy prace Andrew Hodgesa i jego student6w w Oksfordzie (przy moim wsp6ludziale na pocz'!tku), ale takZe innych, we wczesnych latach siedemdziesi'!tych XX wieku. Rozwinyli nowe podejscie perturbacyjne do KTP, w kt6rym diagramy Feynmana zastC(puje siC( konstrukcjami znanymi jako diagramy twistorowe. Technika ta wprowadza wysokowymiarowe calki po konturze, a zastosowanie tego forrnalizmu odnioslo wiele spektakulamych sukces6w; unikniyto przy tym nieskonczonosci, na jakie natrafiamy, postuguj,!c siC( standardow'! technik'! diagram6w Feynmana55 . Podejscie to jest jednak bardzo skomplikowane, ponadto nie dysponujemy jak,!s niezalezn,! zasad,! kierunkow,!, podobn,! do tej z rozdz. 26.6-8, informuj,!c,! nas 0 tyro, kt6re calkowania po konturach powinnismy wykonac, bez koniecznosci odwolywania siy do konwencjonalnych wyraien Feynmana jako posrednika.
Jaka jest przyszlosc teorii twistorow? 33.14
Drugq z tych dziedzin jest twistorowa teona czqstek elementamych, w ktorej pionierskie prace od polowy lat siedemdziesiqtych do poczqtkow lat osiemdziesiqtych XX wieku wykonali: Zoltan Perjes, George Sparling, Lane Hughston, Paul Tod i Florence Tsou (Tsou Seung Tsun) na podstawie koncepcji wprowadzonych przeze mnie (od tamtej pory rzadko siy do nich wraca). Podstawowa idea sprowadza siy tutaj do tego, ze podczas gdy czqstki bezmasowe mogq bye opisane za pomoC
Przedstawiajqc czytelnikowi teoriy twistorow, pominqiem ostrzezenie, ze moje poglqdy w tym zakresie nie odzwierciedlajq opinii wiykszosci fizykow. Rzeczywiscie, poniewaz polowy mega Zycia poswiycilem teorii twistorow (i jest to ciqgle aktualny przedmiot moich zainteresowan), trudno spodziewae siy, zeby moj do niej stosunek odpowiadal scisle temu, co sqdzi ogromna wiykszose fizykow, ktorzy nie zajmowali siy tymi zagadnieniami. Ponadto chcy zwrocie uwagy, ze spolecznose fizykow, ktorzy majq duzq wiedzy na ten temat, jest raczej niewielka, a z pew-
963
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistorow
964
nosciq duzo mniejsza niZ grupa tych, ktorzy wiedzq cos 0 teorii strun czy 0 supersymetrii. W zadnym wypadku niepodobna uznae teorii twistorow za "glowny kierunek" poszukiwan wspolczesnej fizyki teoretycznej. Teoria twistorow, podobnie jak teoria strun, miala jednak bardzo istotny wplyw na badania w zakresie czystej matematyki i fakt ten uWaZany byl za jej najwiykszq zalety. Odegrala waznq roly w rozwoju teorii ukladow calkowalnych (0 czym juz wspomnialem), w teorii reprezentacji56 oraz w geometrii rozniczkowej. (W tej ostatniej dziedzinie powinienem przede wszystkim wymienie pracy Siergieja A. MierkuIowa i L.J. SchwachhOfera, ktorzy dziyki metodom rozwiniytym na podstawie konstrukcji teorii nieliniowego grawitonu zdolali znaleie rozwi¥anie tzw. problemu holonomii57 • Na pokrewnym polu teoria twistorow odegrala istotnq roly w konstrukcji tzw. rozmaitosci Kahlera (hyperkiihler manifolds), "przestrzeni Zolla" etc. 58 ) Teoria twistorow w znacznej mierze motywowana byla wzglydami estetyki matematycznej i wylqcznie matematycznymi zainteresowaniami, zatem w duZym stopniu czerpie swojq sily ze scislej i owocnej matematycznie struktury. Czytelnik rna prawo zapytae szczerze: czyz nie wyjasnialem w rozdz. 31, ze slabose teorii strun polega glownie na jej matematycznym umotywowaniu, poniewaZ w niewielkim tylko stopniu kieruje siy ona ograniczeniami pochodzqcymi ze swiata fizycznego? Pod pewnymi wzglydami krytyka dotyczy tei teorii twistorow. Bardzo trudno uwierzye, opierajqc siy na danych, jakich dostarczaj,! nam wspolczesne obserwacje, ze teoria twistorow wytycza drogy do poznania fizycznych tajemnic swiata. Mozna rowniez uwazae, ze silnie chiralny charakter tej teorii zbyt dalece uwzglydnia asymetriy przestrzenn'!. Poza tym brak fizycznego dowodu, ze asymetria lewo-prawo rna do odegrania jak,!s istotn,! roly w fizyce grawitacji. W rozdz. 27, 28 i 30 podkreslalem koniecznose uwzglydnienia asymetrii czasowej, jesli poszukujemy wlasciwej unifikacji teorii grawitacji z teoriq kwantow, jednak nigdzie nie pojawilo siy fizyczne zqdanie uwzglydnienia asymetrii przestrzennej (bye moze tylko posrednio, przez twierdzenie CPTw KTP; zob. rozdz. 25.4 i 30.2). Jest calkiem prawdopodobne, ze asymetria przestrzenna formalizmu nie przeklada siy na asymetriy efektow fizycznych. Najlepszym argumentem na prawdziwose tego twierdzenia moze bye fakt, iz algebry generowane z jednej strony przez pary (za, -na/aZa), a z drugiej przez (na/aza, ZJ s,! formalnie identyczne. Sugeruje to, ze jeieli otrzymamy jakis rezultat po zastosowaniu opisu twistorowego (zmienne za), rownie dobrze mozemy go uzyskae za pomoq twistorow dualnych (a wiyc zmiennych Wa = Za) i ze to podobienstwo jest tak wielkie, iZ nie moze prowadzic do asymetrii lewo-prawo w ewentualnej teorii grawitacji. Jesli natomiast formalizm ten rna odzwierciedlae Natury, to asymetria lewo-prawo jest niezbydna, gdy teoria przechodzi do opisu slabych oddzialywan (rozdz. 25.3). Obecnie jednak znajdujemy siy na stosunkowo prymitywnym etapie rozwoju teorii i nie rna wyrainego powodu, aby istniala taka roznica. Na razie gtowny zarzut, jaki mozemy postawic teorii twistorow, sprowadza siy do tego, ze nie jest to naprawdy teona fizyczna. Z pewnosciq rozwiqzania, ktore
Jaka jest przyszlosc teorii twistor6w? 33.14
umozliwia, z fizycznego punktu widzenia nie s,! jednoznaczne. UWaZam, moze zbyt optymistycznie, ze teoriy twistorow wolno porownywae z formalizmem hamiltonowskim w fizyce klasycznej. Teoria hamiltonowska nie wprowadza zadnych zmian fizycznych, ale pozwala spojrzee inaczej na fizyky klasyczn,!, co okazalo siC( niezwykle istotne dla sformulowania nowej teorii kwantowej, zgodnie z receptami Schrodingera, przedstawionymi w rozdz. 21-23. Podobnie jest z teori,! twistorow: stanowi ona jedynie przeformulowanie teorii, a to niekoniecznie oznacza wprowadzenie jakichS zmian fizycznych. Nadzieja i optymizm sprowadza siC( do tego, ze w ramach tego formalizmu pojawi siC( wlasciwa propozycja uczynienia zasadniczego kroku w kierunku fizyki przyszlosci. Oczywiscie, sceptycy nie musz'! wierzye, ze w ten sposob nast,!pi rozwoj teorii, i mog,! uwazae, iz glowna wartose teorii twistorow, podobnie jak teorii strun (czy teorii M), sprowadza siC( do matematycznej atrakcyjnosci. Warto jednak zauwaiye, ze obecnie owe teorie s,! matematycznie niezgodne, poniewaz operuj,! roznymi wartosciami wymiarow czasoprzestrzennych. Mozna zasadnie (chociaz moze zbyt radykalnie) stwierdzie, ze z teorii twistorow wynika, iz aspiracje teorii strun s,! falszywe - albo, odwrotnie, ze z teorii strun wynika, iz blC(dna jest teo ria twistorow! Ta niezgodnose nie rozci,!ga siC( na warianty czy tez reinterpretacje teorii strun (lub teorii M), w ktorych te dodatkowe wymiary nie s,! traktowane jako wymiary czasoprzestrzeni, lecz uwazane za pewnego rodzaju wymiary "wewnC(trzne". Aczkolwiek wydaje siC(, ze owe reinterpretacje otwieraj,! mozliwose uzgodnienia punktow widzenia, to jednak nie prezentuj,! tych motywacji, ktore doprowadzily do powstania teorii strun. W zwi,!zku z tym chcialbym przypomniee czytelnikowi 0 wynikach uzyskanych niedawno, szczegolnie przez Edwarda Wittena S9 , 0 ktorych wspominakm w rozdz. 31.18. Prace te zwracaj,! uwagC( na pewne fascynuj'!ce mozliwosci zwi'!zane z nowym spojrzeniem na amplitudy rozpraszania Yanga-Millsa. L'!cz'! one koncepcje teorii twistorow z ide ami teorii strun, ale teraz juz w kontekscie 4-wymiarowym! W kazdym razie teoria twistorow wymaga jakiegos nowego pomyslu. Wsrod najwazniejszych skladnikow innych skutecznych teorii fizycznych wymienimy formalizm lagranzowski i calki po drogach Feynmana, dziC(ki ktorym w KTP mamy metodC( radzenia sobie z rownaniami pola (zob. rozdz. 26.6). Teoria twistorow szczyci siC( usuniC(ciem rownan pol a (rozdz. 33.9, 11), widae jednak wyrainie, ze S,! konieczne jakies nowe idee, aby mogla przeksztalcie siC( w peln,! twistorow'! KTP60. Czy teoria twistorow da nam nowe "przewidywania"? lako takie "przewidywanie" mozemy potraktowae implikacjC( zawart'! w jej podstawach, zgodnie z ktor,! WszechSwiat powinien charakteryzowae siy ujemn,! krzywizn,! przestrzenn'!, a wiC(c ze K < O. Aby dostrzec podstawy takiej konkluzji, przypomnijmy sobie z rozdz. 27 i 28 (a szczegolnie z rozdz. 27.13), ze Wielki Wybuch powinien byl miee nadzwyczaj jednorodny charakter, w czym bardzo przypomina jeden z modeli FLRW. Modele te S,! konforemnie plaskie (krzywizna Weyla znika) i mog,! bye bardzo
965
33
Perspektywy bardziej radykalne; teo ria twistor6w
966
przystt(pnie opisane w terminach plaskiej przestrzeni twistorowej (CJP'3)61. W kazdym z przypadkow K > 0, K = 0, K < 0 istnieje dokladna grupa symetrii, ale tylko w przypadku K < 0 jest to grupa homomorficzna, czyli dokladnie ta grupa, z ktorq wybralismy sit( na wt(drowkt( w kraint( "magii zespoJonej" teorii twistorow, a mianowicie grupa Lorentza 0(1,3), ktora (przy pominit(ciu odbie) jest grupq holomorficznych transformacji sfery Riemanna. Gdzie szukae tej sfery Riemanna? Jest niq "nieskonczonose" 3-przestrzeni hiperbolicznej - jak okrqg graniczny obrazu Eschera, przedstawiony na rys. 2.11 - anaJogiczna do sfery niebieskiej z rozdz. 18.5 jako brzeg 3-przestrzeni hiperbolicznej z rozdz. 18.4; zob. rys. 18.10. Wiemy, ze K < 0 jest przewidywaniem nie tyle teorii twistorow, ile leZ,!cej u jej podstaw filozofii holomorficznej. ezy jestesmy w stanie sformulowae dalej idqce wnioski i powiedziee cos 0 stalej kosmologicznej A? Obecnie proponowane konstrukcje twistorowe (zob. rozdz. 33.12) jakby w naturalny sposob uwzglt(dniajq rownanie prozniowe Einsteina jedynie w przypadku A = 0 i trudno sobie wyobrazie, jak ta procedura winna bye zmodyfikowana, aby uwzglt(dnie przypadek A *- O. ezy z tego wynika, ze teoria twistorow przewiduje A = O? Lepiej, zeby tak nie bylo (niezaleznie od faktu, ze ja sam preferowalem poprzednio przypadek A =O)! Obecnie bardzo wiele najnowszych danych obserwacyjnych (zob. rozdz. 28.10) mocno wspiera poglq.d, ze A > O. Stawia to przed teoriq twistorow nowe wyzwania. Wiadomo, ze teoria twistorow wymaga jeszcze duio pracy, zanim stanie sit( w pelni godn,! szacunku teoriq fizycznq! A co z regulami teorii kwantowej? ezy teoria twistorow ukazuje jakqs drogt( zmiany, odpowiednio do aspiracji przedstawionych w rozdz. 30? Grawiton nieliniowy z rozdz. 33.11 wskazuje, ze podejscie twistorowe pomaga wprowadzie (nieliniowe) modyfikacje regul mechaniki kwantowej. Na razie jednak w formalizmie twistorowym niewiele wskazuje na mozliwose uwzglt(dnienia fundamentalnej asymetrii czasowej, co wydaje sit( nieodzowne w swietle dyskusji rozdz. 30.2, 3, 9. Pewnq nadziejt( na przyjt(cie tej asymetrii stwarza wspomniane w rozdz. 33.12 uiycie formalizmu w wersji googly. Mozliwosci w tym zawarte muszq poczekae na dalszy rozwoj teorii, a uwagi przedstawione w poprzednim akapicie warto zachowae w pamit(ci. Na razie teoria twistorow nie mowi niczego specjalnie uiytecznego na temat kwantowej redukcji stanu, chociaz ten fenomen stanowil znaczqcq cZt(se motywacji do zajt(cia sit( tq teoriq. Na koniec kilka slow 0 statusie filozofii holomorficznej, ktora stanowi glown'! silt( napt(dow,! teorii twistorow. Wydaje mi sit(, ze uczciwose nakazuje przyznae, ii: ta filozofia zachowala status pott(znej sily sprawczej i pod pewnymi wzglt(dami przekroczyla nasze oczekiwania (jak w przypadku reprezentacji twistorowej pol bezmasowych, zarowno liniowych, w rozdz. 33.8-10, jak i nieliniowych, w rozdz. 33.11, 12.) Niestety, na pewnym etapie teoria ta bt(dzie musiala stan,!e przed koniecznosciq wyjasnienia roli liczb rzeczywistych w fizyce oraz zachowan nieholomorficznych, takich jak pojawienie sit( wartosci prawdopodobienstwa (zgodnie z nieholomorficznq regulq kwadratu modulu Z H IzI 2), a tatie rzeczywistosci punktow
Przypisy czasoprzestrzeni, w ktorych chcemy miec moiliwosc uwzgl«dnienia zachowan nieanalitycznych Qui nie mowi,!c 0 nieholomorficznych). Jesli chodzi 0 to ostatnie zagadnienie, pewn'! zach«t« znajdujemy w znakomitej teorii hiperfunkcji, wprowadzonej pod koniec rozdz. 9 (zob. rozdz. 9.7), zgodnie z ktor,! zachowania nieanalityczne mog,! zostac elegancko uj«te w kontekscie operacji holomorficznych. Jak dalece przyszla teoria twistorow b«dzie w stanie poradzic sobie z tymi problemami, pozostaje spraw,! przyszlych badan.
Przypisy Rozdzial 33.1 Zob. Ahmavaara (1965). 2 Zob. Schild (1949); Snyder (1947). 3 Zob. Sorkin (1991); Markopoulou, Smolin (1997); jedn,! z najwainiejszych w tej dziedzinie byla praca Markopoulou (1998). 4 Zob. Kronheimer, Penrose (1967); Geroch, Kronheimer, Penrose (1972); Hawking, King, McCarthy (1976); Myrheim (1978); 't Hooft (1978b). 5 Zob. Finkelstein (1969). 6 Zob. Smolin (2001); Giirsey, Tze (1996); Dixon (1994); Manogue, Schray (1993); Manogue, Dray (1999). 7 Zr6dlow'! publikacj,! jest praca Regge (1962). Nieformalny (lecz zawieraj,!CY duio informacji) przegl,!d napisal Immirzi (1997). 8 Idee te Jozsa przedstawil w swojej pracy doktorskiej; zob. Jozsa (1981). 9 Zob. Isham, Butterfield (2000). 10 Zob. Goldblatt (1979). 11 Zob. Eilenberg, MacLane (1945); MacLane (1988); Lawvere, Schanuel (1997). 12 Zob. Baez, Dolan (1998); Baez (2000); Baez (2001); Chari, Pressley (1994). 13 Zob. Connes, Berberian (1995). 14 Istnieje wiele innych zastosowan geometrii niekomutatywnej, zar6wno w czystej matematyce, jak i w fizyce; zob. Connes (1990, 1998). Jako przyklad tego ostatniego skonstruowano elegancki formalizm ujmuj,!CY w spos6b jednolity problem renormalizacji; zob. rozdz. 26.9 i Kreimer (2000). 15 Zob. Connes, Berberian (1995). 1
Rozdzial33.2 Aby podac pein,! definicjy lP'N, musimy doi,!czyc jeszcze sfery Riemanna "promieni swietlnych w nieskonczonosci"; zob. rozdz. 33.3. 17 Dla tego celu potrzebne bylyby odpowiednie wielkosci nieskierowane (skalarne) charakterystyczne dla grupy Poincarego (a mianowicie operatory Casimira; zob. rozdz. 22.12). Wielkosciami tymi S,! spin catkowity i masa spoczynkowa (kwadrat masy). Masa spoczynkowa nie jest jednak wielkosciq, kt6ra stanowi catkowit'! wielokrotnosc czegokolwiek, w zwiqzku z czym kombinatoryczny aspekt takiego podejscia nie jest Jasny. Mimo to koncepcjy ty rozwin'!t John Moussouris w pracy doktorskiej z 1983 roku na Uniwersytecie Oksfordzkim (zob. Moussouris 1983). Takie ujycie wymaga dodatkowych oznaczen na liniach sieci, uwzglydniaj,!cych zar6wno spin, jak i masy. 16
18
Rozdzial33.3 Zob. McLennan (1956); Penrose (1963, 1964, 1965a, 1986).
967
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistorow
Rozdzial 33.4 Zob. Penrose, Rindler (1986), w szczeg6lnosci Appendix. 20 Zob. Harvey (1990); Penrose, Rindler (1986); Budinich, Trautman (1988). 19
Rozdzial33.6 Zob. Huggett, Tod (2001). 22 Z kai:dym zdarzeniemxw czasoprzestrzeni zwi,!zane S,! dwa kierunki zerowe. Jednym z nich jest kierunek "promienia swietinego" przechodz,!cego z tej rodziny przez x, a drugim kierunek 4-pydu cz'!stki, jak,! reprezentuje twistor. Te dwa kierunki zerowe S,! "gt6wnymi kierunkami zerowymi" - tzn. S,! kierunkami zdefiniowanymi w przedstawieniu Majorany (zob. rozdz. 22.10) - momentu pydu Gego samodualnej lub antysamodualnej cZysci), kt6ry rna ta czqstka. Zob. Wald (1984); Huggett, Tod (2001). 23 Zob. Penrose (1975); Penrose (1987b). 21
Rozdzial 33.7 Zob. Penrose (1968b); Huggett, Tod (2001). 25 Zob. Huggett, Tod (2001); Penrose, Rindler (1986); Hughston (1979). 24
Rozdzial33.8 Zob. Dirac (1936); Fierz (1938, 1940); Penrose (1979b). 27 Zob. Fierz, Pauli (1939); Penrose, Rindler (1986); Penrose (1965a); Penrose, MacCallum (1972). 28 Zob. Penrose (1968b, 1969b, 1987); Huggett, Tod (2001); Houghston (1979); Whittaker (1903); Bateman (1904, 1944). 29 To jest [:2, kt6ra reprezentuje liniy n w lP'N (rys. 33.11). Wiykszosc teoretyk6w zajmujqcych siy teori,! twistor6w lepiej zna calkowicie rzutow'! wersjy tej calki po konturze, w kt6rej w miejcu 2-formy T = d1to• /\ d1t l • korzysta siy z 1-formy 1= 1to.d1t l . - 1t 1.d1to.' Calka po konturze jest tam 1-wymiarowa i jej zwiqzek z podanym tutaj przepisem 2-wymiarowym pol ega na tym, ze jeden z tych wymiar6w (dany przez okrqg SI) redukuje podanq tu nierzutowq wersjy do bardziej znanej wersji rzutowej. Zaletq obecnej wersji jest to, ze pozwala na opis stan6w o mieszanej skrytnosci. 30 Zob. Huggett, Tod (2001); Hughston (1979); Penrose, Rindler (1986). 31 Teoria twistor6w zawdziycza Sir Michaelowi Atiyahowi pionierski wktad w realizacjy tych idei. Zob. Penrose (1979b), gdzie przedstawione zostaly pierwsze koncepcje kohomologii twistor6w, oraz Eastwood et al. (1981) - tam bardziej szczeg610we om6wienie. 26
Rozdzial33.9 Formalizm ten nosi nazwy kohomologii Cecha. Istnieje r6wniez wiele innych sposob6w dojscia do koncepcji kohomologii. Zob. Wells (1991); Ward, Wells (1989); Griffiths, Harris (1978). 33 Gunning, Rossi (1965). Zob. Penrose, Rindler (1986); Ward, Wells (1989); Wells (1991). 34 Zob. Gunning, Rossi (1965); Penrose, Rindler (1986). 35 Zob. Penrose, Rindler (1986). 36 Zob. Penrose (1958). 37 Zob. Penrose (1991). 38 Zob. Penrose, Rindler (1986); Gunning, Rossi (1965); Griffiths, Harris (1978); Chern (1979); Wells (1991). 39 Zob. literatury w przyp. 38 w tym rozdziale oraz Eastwood, Penrose, Wells (1981). 32
40
968
Rozdzial 33.10 Odwr6cenie znak6w + i - nie rna zadnego znaczenia. To po prostu przykry wypadek przy ich doborze; zob. rozdz. 9.2.
Przypisy Wystt(pujq tu pewne subtelnosci techniczne. Jesli wyjsciowe pole nie jest analityczne (nie jest CW), to te pola (na M) mogq okazac sit( hiperfunkcyjne w sensie rozdz. 9.7; zob. Bailey, Ehrenpreis, Wells (1982). 42 Zob. Hodges, Penrose, Singer (1989). 43 Zob. Penrose (1987b). 41
Rozdzial 33.11 Zob. Penrose (1976a, 1979b); Ward (1977); Penrose, Ward (1980); Penrose, Rindler (1986). 45 Mamy tu do czynienia z pewnq subtelnosciq technicznq, albowiem nie jest to holomorJiczna wiqzka wloknista (rozdz. 15.5), pomimo ze wszystkie operacje zastosowane przy jej konstrukcji Sq holomorficzne. Powodem jest to, ze lokalnie w przestrzeni 1t nie mamy scisle holomorficznej przestrzeni iloczynowej. Przestrzeii T nazywa sit( uwl6knieniem holomorJicznym. Zob. Penrose (1976b). 46 W normalnych warunkach; zob. Penrose, Ward (1980). 47 Zob. Kodaira (1962). 48 Albo w przypadku rzeczywistym dodatnio okreslonym (+ + + +), alba w przypadku rozszczepionej sygnatury (+ + - -). Zob. Penrose (1976b); Hansen et al. (1978); Atiyah, Hitchin, Singer (1978); Dunajski (2002). 49 Dlatego wydaje sit(, ze istnieje tu znaczqcy zwiqzek z koncepcjq topologicznej KTP, 0 ktorej mowilismy w rozdz. 32.5; zob. przyp. 17 w rozdz. 32. 44
Rozdzial 33.12 Istnieje podejscie do tych problemow, ktore cechuje symetria wzglt(dem odbic, znane jako formalizm ambitwistor6w, ktore pozwolilo osiqgnqc znaCZqce rezultaty; zob. Penrose (1973); LeBrun (1985, 1990); Isenberg, Yasskin, Green (1978); Witten (1978). Zob. rowniez Penrose, Rindler (1986). Ambitwistor w plaskiej przestrzeni jest w zasadzie parq (Wa' za), gdzie WJa = 0, ktora opisuje zespolony promieii swietlny. Taki opis nie zgadza sit( z filozofiq traktowania "funkcji twistorowych jako funkcji falowych", jakq juZ przyjt(lismy, poniewaZ opis ambitwistorowy przypomina raczej opis klasyczny, w ktorym pojawiajq sit( razem zarowno sarna zmienna, jak i zmienna z niq sprzt(zona - w tym wypadku za i Wa - a nie, jak w przypadku funkcji falowej, w ktorej wystt(puje albo jedna, albo druga. Podejscie ambitwistorowe grozi rowniez powaZnymi trudnosciami matematycznymi przy opisie pol nieliniowych. 51 Zob. Penrose (2001). 52 Zob. np. Fritelli, Kozameh, Newman (1997); Bramson (1975); Penrose (1992). 53 Zob. Penrose (2001). 54 Zob. Mason, Woodhouse (1996). 50
55
Rozdzial 33.13 Zob. Penrose, MacCallum (1972); Penrose, Rindler (1986), s. 149, gdzie podane Sq pewne odsylacze do starszej literatury; zob. Hodges (1982, 1985, 1998), gdzie znajdziemy nowsze wyniki.
Rozdzial 33.14 Zob. Bailey, Baston (1990); Baston, Eastwood (1989); Mason, Woodhouse (1996), gdzie znajdziemy przyklady zastosowania twistorow w matematyce. 57 Zob. Merkulov, Schwachh6fer (1998). 58 Zob. Gindikin (1986, 1990); Lebrun, Mason (2002). 59 Zob. przyp. 76 z rozdz. 31. 60 Aczkolwiek lagranzjany odgrywajq w teorii twistorow pomocniczq rolt( w zrozumieniu oddzialywaii fizycznych, to ich ogolne sformulowanie w ramach tej teorii pozostawia wiele do Zyczenia. Jest swego rodzaju ironiq, ze glowny sukces teorii twistorow, polegajqcy na tym, iz 56
969
33
Perspektywy bardziej radykalne; teo ria twistor6w
61
przedstawia ona pola fizyczne w sposob, ktory implicite rozwiqzuje ich rownania pola (za pomocq jednorodnych funkcji twistorowych, w przypadku swobodnych pol bezmasowych) prowadzi wiasnie do trudnosci z lagranzowskim sformuiowaniem. W konwencjonalnym formalizmie kwantowym rownania pola pochodzq z "sum po historiach" (rozdz. 26.6), w ktorych, aby ta koncepcja miaia sens, musi istniee jawna mozliwose naruszenia rownan pola. Wowczas poprawki kwantowe do teorii klasycznej wynikajq ze szczegoiowego badania caiek po drogach. Ta mozliwose znika zupeinie, jesli formalizm nie pozwala na naruszenie rownan pola! Wydaje mi siy, ze konieczne jest nowe rozumienie tego, czym Sq naprawdy lagranzjany w teorii twistorow, a nawet, ogolnie, w fizyce teoretycznej. Bye moze wiqze siy to z kiopotami, 0 jakich mowHem pod koniec rozdz. 26.6, i z caikiem zasadniczq kwestiq, kt6ra otwiera niemal powszechny problem rozbieznosci, jakie powstajq przy caikowaniu po drogach (zob. rozdz. 26.6). Por. jednak koniec rozdz. 32.5 i przyp. 17 w rozdz. 32. Penrose, Rindler (1986), rozdz. 9.5.
34 Kt6rQdy wiedzie droga do rzeczywistosci? 34.1 Wielkie teorie XX wieku -
i co dalej?
NA POCZ1\TKU trzeciego tysi,!clecia spr6bujmy spojrzec za siebie i dokonac przegl,!du najwazniejszych element6w wiedzy czerpanej z teorii fizycznych dotycz'!cej fundamentalnych wlasciwosci zadziwiaj,!cego swiata, w kt6rym przyszlo nam ryc. Nie rna najmniejszej w'!tpliwosci (rozdz. 31, 11, 12), ze zrobilismy ogromny postyp w jego zrozumieniu dziyki dokonaniu wnikliwych obserwacji i genialnych eksperyment6w i posluzeniu siy glybokimi i trafnymi analizami teoretycznymi oraz argumentacj,! matematycZll,!, opart'! zar6wno na skomplikowanych, choc rutynowych procedurach, jak i na inspiruj,!cych pomyslach najwyzszej klasy. Przeszlismy dlug,! drogy od sposobu, w jaki starorytni Grecy rozumieli geometriy przestrzeni, przez mechaniky Newtona do wspanialej konstrukcji mechaniki klasycznej, a potem do teorii elektromagnetyzmu Maxwella i do termodynamiki. XX wiek obdarzyl nas szczeg6ln,! teori,! wzglydnosci, z kt6rej zrodzila siy genialna i nadzwyczaj precyzyjnie zweryfikowana og6lna teoria wzglydnosci Einsteina, nadto odkrylismy nieslychanie tajemnicz,!, ale bardzo dokladn,! i obejmuj,!C'! szerok'! klasy zjawisk mechaniky kwantow'!, od kt6rej byl juz tylko krok do kwantowej teorii pol a (KTP), a da1ej do pelnego sukces6w standardowego modelu cz,!stek elementarnych i kosmologii. W krygach pewnych siebie teoretyk6w nierzadko mozna bylo spotkac pogl,!d, ze "teoria wszystkiego" jest w zasiygu ryki, a z pewnosci,! nie dalej niz horyzont XX wieku. CZysto komentarze tego rodzaju poparte byly nadziejami zwi'!zanymi z aktualnym statusem "teorii strun". Obecnie, kiedy teoria strun ulegla magicznej metamorfozie w konstrukcje (takie jak np. teoria M lub teoria F), kt6rych natura pozostaje fundamentalnie niewyjasniona, 6w punkt widzenia jest trudny do utrzymania. Moim zdaniem jestesmy znacznie dalej od "ostatecznej teorii", niz to siy moze wydawac. W og6le nie wierzy, zeby kierunki rozwoju, kt6re naszkicowalem w rozdz. 31, prowadzily we wlasciw,! strony. Niew'!tpliwie, idee strunowe (oraz inne z nimi zwi,!zane) doprowadzily do powstania ciekawych konstrukcji matematycznych. lednak nie przekonuje mnie to, ze przedstawiaj,! cos innego niz tylko ciekawe konstrukcje matematyczne, kt6re zawdziyczaj,! swoje pochodzenie glybokim ideom fizycznym. Nie widzy powodu, aby wierzyc, iz teorie, w kt6rych przyjmuje siy wyzsze wymiary czasoprzestrzeni niz te, jakie mozemy bezposrednio ob-
34
Ktor{ldy wiedzie droga do rzeczywistosci?
972
serwowae (a wiyc 1 + 3), moglyby w istotny sposob poglybie nasze zrozumienie fizyki. W przypadku innych zaproponowanych schematow, z ktorych glowne naszkicowalem w rozdz. 32 i 33, i ktore bardziej mi odpowiadaj,!, nie mam w'!tpliwosci, ze im rowniei brak czegos bardzo istotnego. Nie byloby roztropne prognozowanie z przekonaniem, ze teorie te wyznaczaj'! wlasciwy kierunek poszukiwan, ktory pozwoli nam wreszcie odkrye prawdziw,! drogy do zrozumienia fizycznej rzeczywistosci. A jednak w XX wieku rodzaj ludzki zrobil gigantyczny krok naprzod w kierunku takiego zrozumienia, a ja w tej pracy usilowalem przekazae czytelnikowi pewne informacje 0 tym, co juz udale siy osi,!gn,!e. Za najwiyksze osi,!gniycie mysli ludzkiej w minionym stuleciu uwazam ogoln,! teoriy wzglydnosci Einsteina. Bye moze wiykszose fizykow bydzie przekonana, ze jeszcze wiykszym osi,!gniyciem jest mechanika kwantowa (i KTP). Z mojego szczegolnego punktu widzenia nie mogy siy z tym zgodzie. Aczkolwiek, bez w'!tpienia, teoria kwantowa wyjasnHa nam nieporownanie wiycej zjawisk i faktow niz ogolna teoria wzglydnosci, to jako leoria nie uzyskala jeszcze waloru niezbydnej spojnosci. Zasadniczym problemem, jak o tym pisalem obszernie w rozdz. 29, pozostaje paradoks pomiaru. Moim zdaniem teoria kwantow jest wci,!z niepelna. Gdy uda nam siy j,! uzupelnie - spodziewam siy, ze to nast,!pi w XXI wieku - bydzie to nawet wiyksze osi,!gniycie nil: ogolna teoria wzglydnosci Einsteina. Istotnie, jak to wynika z rozwaZan rozdz. 30, taka zupelna mechanika kwantowa bydzie musiala zawierae w sobie teoriy Einsteina jako przypadek graniczny w przedziale wielkich mas i odleglosci. (Mam nadziejy, ze na podstawie argumentow przedstawionych w rozdz. 31.8 wiadomo, iz nie uwazam, zeby teoria stmn dawala szansy takiej unifikacji, bez wzglydu na przeciwne opinie gloszone przez jej entuzjastow.) Jestem przekonany, ze ogolna teoria wzglydnosci pozostanie w nauce jako opis czasoprzestrzeni w granicy wielkich rozmiarow (w ktorej teoria Einsteina dopuszcza istnienie stalej kosmologicznej A), aczkolwiek musimy spodziewae siy powaznych jej modyfikacji zwi'!zanych z absurdalnie malymi dlugosciami Plancka rZydu 10-35 m alba w poblizu osobliwosci czasoprzestrzeni, gdy gystose materii, w jednostkach Plancka, staje siy rZydu 5 x 1093 gystosci wody. Taki pogl,!d na status ogolnej teorii wzglydnosci naleiy obecnie uwazae za konwencjonalny. Natomiast jej status obserwacyjny, przynajmniej na tym koncu skali, gdzie znajduj,! siy orbituj,!ce gwiazdy neutronowe i efekty soczewkowania grawitacyjnego, a nawet czarne dziury, naleiy uznae za znakomity. Imam tutaj na mysli standardow'! teoriy Einsteina, bez stalej kosmologicznej. A jak przedstawia siy zagadnienie stalej kosmologicznej? Obserwacje przeprowadzone w ci,!gu ostatnich kilku lat dose jednoznacznie wskazuj,! na jej dod atni,! wartose. Jesli rzeczywiscie jest stala kosmologiczna, to w zwyklych, lokalnych terminach musi ona bye bardzo mala. Kiedy myslimy 0 stalej kosmologicznej A jako 0 krzywiznie, wowczas oznacza ona odwrotnose kwadratu odleglosci, a ta odleglose jest porownywalna z promieniem obserwowalnego WszechSwiata, a zatem Ajest z pewnosci,! do pominiycia wszydzie poza skal,! kosmologiczn'!. Jdli chcemy
Wielkie teorie xx wieku - i co dalej?
34.1
interpretowae A jako gystose efektywn'l, .f2A ' wowczas ta gystose nie moze bye wiycej nu 2lub 3 razy wiyksza od sredniej gystosci materii naszego obecnego Wszechswiata, a wiyc okolo 10-27 kgm-3, czyli znacznie mniejsza niz najlepsza sztuczna proznia, jak'l, udalo siy kiedykolwiek wytworzye na Ziemi. I w tym przypadku A moze miec znaczenie jedynie w skali kosmologicznej. Mimo to na bazie koncepcji formulowanych przez znawcow KTP A jest naprawdy miar'l, efektywnej gystosci prozni generowanej przez "kwantowomechaniczne fluktuacje prozniowe" (co wi<j,Ze siy z zasad'l, nieoznaczonosci Heisenberga w KTP; zob. rozdz. 21.11, a takZe rozdz. 29.6, 30.14) i zgodnie z tym "powinna" miee rozmiar (porownywalny z wartosci'l, Plancka), ktory jest okolo 10120 razy (a moze tylko, jak niektorzy sugeruj'l" 1060 razy) wiykszy nu gorna granica wielkosci obserwowanych! Fakt ten uwaza siy za fundamentalny problem w KTp 1, nierozwi'l:Zany przez zadne z konwencjonalnych podejse do kwantowej teorii grawitacji ani przez teoriy strun. Moj stosunek do niego jest mniej emocjonalny nu u wielu moich kolegow. Przypuszczam (zob. rozdz. 30.14), ze zagadnienie "fluktuacji prozniowych" bydzie musialo zostae gruntownie zrewidowane w momencie pojawienia siy lepszej kwantowej teorii grawitacji oraz lepszej KTP. Musimy, oczywiscie, wzi'l,e pod uwagy ogromny wachlarz zjawisk, ktore potwierdzaj'l, slusznosc istniej'l,cej mechaniki kwantowej i KTP. Chcialbym podkreslic, ze nie rna tu zadnej sprzecznosci z pogl'l,dem przedstawionym w rozdz. 30, gdzie antycypowalismy zmianyw podstawach teorii kwantowej. Jak dot'l,d, nie przeprowadzono zadnego eksperymentu na poziomie zblizonym do poziomu "grawitacji kwantowej", po ktorym spodziewam siy, ze uwidoczni koniecznose zmian i spowoduje obiektywne wyst'l,pienie redukcji wektora stanu (grawitacyjnej OR). Obserwowane efekty spl'l,tania kwantowego na odleglosciach do 15 kilometrow2 S'l, calkowicie zgodne z perspektyw'l, tych zmian, poniewaz w tych efektach spl'l,tania bior'l, udzial jedynie pary fotonow 0 energiach rZydu 10-19 J, natomiast nie spodziewamy siy spontanicznej redukcji stanu zgodnej z grawitacyjn'l, OR, dopoki fotony nie zostan'l, zarejestrowane (a wiyc gdy OR wyst'l,pi w samym urz'l,dzeniu pomiarowym). Obecn'l, sytuacjy doswiadczaln'l, w kontekscie slusznosci mechaniki kwantowej w przypadku znacz'l,cego ruchu mas najlepiej ilustruj'l, eksperymenty przeprowadzone w Wiedniu przez Antona Zeilingera i jego wspolpracownikow3• Ich doswiadczenia, ktore w zasadzie prezentuj,! typ eksperymentu dwoch szczelin, wykorzystuj'l, cz'!steczki C 60 (a takZe C70 ) , tzw. bucky balls. S'l, to fullereny, w ktorych kazda cZ'l,steczka sklada siy z 60 atomow wygla, tworz'l,cych bardzo piykn'l, symetryczn'l, struktury, przypominaj'l,C'l: uklad szwow na pike futbolowej (cz'l,steczka C70 , skladaj'l,ca siy z 70 atomow wygla, jest nieco mniej symetryczna). Te cZ'l,steczki maj'l, okolo jednego nanometra srednicy i interferuj'l, ze sob'l" jesli zblu'l, siy do siebie na odleglosc okolo 10-7 m, a wiyC okolo 100 razywiyksz'l, niz rozmiar "pilki". Zgodnie z rozwazaniami przeprowadzonymi w rozdz. 30.11, taka superpozycja moglaby istniec jakies sto tysiycy lat, zanim nast'l,pilaby spontaniczna redukcja stanu, odpowiadaj'l,ca grawitacyjnej OR, a zatem nie wystypuje tu zadna sprzecznose z eksperymentem Zeilingera.
973
34
Kt6r~dy
974
Naturalnie, ta sytuacja moze ulec zmianie w zwiqzku z opracowaniem nowych doswiadczen. Projekt kosmiczny typu FELIX, opisany w rozdz. 30.13, lub jakis eksperyment wywodzqcy siy z prac Dika Bouwmeestera w Santa Barbara moglyby stworzye mozliwose bezposredniego przetestowania schematu grawitacyjnej OR, ale z pewnosciq pojawiq siy rowniei: inne mozliwosci doswiadczalne, ito prawdopodobnie juz na poczqtku XXI stulecia. UWaZam ty perspektywy za niezwykle ekscytujqc~ i dostrzegam wysokie prawdopodobienstwo, ze eksperymenty tego rodzaju w sposob znaczqcy zmieni~ nasze pojmowanie mechaniki kwantowej. A juz co najmniej ich wynikiem bydzie powaZne ograniczenie pola do spekulacji na temat tego, jak nalezaloby modyfikowae mechaniky kwantowq, aby dostosowae jq do przyszlej teorii. Taki stan rzeczy wyraznie kontrastuje z obecnq (a taki:e mozliwq do przewidzenia) sytuacjq eksperymentalnq w odniesieniu do innych podejse, zmierzajqcych do polqczenia grawitacji i teorii kwantow, takich jak opisane w rozdz. 31-33. Wiykszose zglaszanych propozycji eksperymentalnych, zaprojektowanych w celu zbadania tego rodzaju koncepcji, wymaga cZqstek 0 gigantycznych energiach, wykraczajqcych daleko poza istniejqce obecnie (lub powaznie planowane) mozliwosci akceleratorow czqstek. (Jedyny wyjqtek, 0 ktorym wiem, stanowiq eksperymenty zaprojektowane do przetestowania mozliwosci istnienia "duZych" dodatkowych wymiarow (rozdz. 31.4), ktorych skutkiem mogloby bye naruszenie, na malych odleglosciach, grawitacyjnego prawa odwrotnosci kwadratu odleglosci, a tilie pewne projekty slabo zwiqzane z kwestiq naruszenia kowariancji lorentzowskiej przy wysokich energiach, co tez mogloby bye wynikiem efektow kwantowo-grawitacyjnych4.) Mamy rzeczywiscie do czynienia z klopotliwym przypadkiem, zwiqzanym z testowaniem kaZdej koncepcji grawitacji kwantowej, w ktorej wynikiem polqczenia bylaby jedynie modyfikacja struktury czasoprzestrzeni (na ekstremalnie malych odleglosciach lub w czasach Plancka), podczas gdy procedury mechaniki kwantowej pozostalyby nienaruszone. Od strony doswiadczalnej jestesmy w znacznie lepszej sytuacji, jesli, jak to sugerowalem w rozdz. 30, zgodzimy siy na takq modyfikacjy mechaniki kwantowej, ktora bydzie uwzglydniala wyniki ogolnej teorii wzglydnosci, poniewaz dziyki obecnym mozliwosciom technologicznym mozna zrealizowae proponowane eksperymenty. Gdyby te doswiadczenia udalo siy skutecznie przeprowadzie, a ich wyniki wskazywalyby na koniecznose zmiany regul mechaniki kwantowej, to uzyskalibysmy w koncu solidne fizyczne uzasadnienie postulatow matematycznych, ktore wspotczesnie stanowiq glowny stymulator poszukiwania kwantowej teorii grawitacji. Brak danych eksperymentalnych, wspierajqcych wysuwane zwykle projekty unifikacji grawitacji i teorii kwantowej, doprowadzil do kuriozalnej sytuacji w zakresie teorii podstawowych problemow fizyki. Wydaje siy, ze zostal osiqgniyty ogolny konsens, polegajqcy na tym, ii: jesli chcemy naprawdy wyjse poza standardowy model fizyki cZqstek elementamych (i kosmologii) i w ten sposob uzyskae glybsze zrozumienie podstawowych elementow skladowych naszego Wszechswiata, to teoria kwantowa, oprocz oddzialywan silnych, slabych i elektromagnetycznych, musi objqe
wiedzie droga do rzeczywistosci?
Fizyka fundamentalna inspirowana matematycznie
34.2
takZe oddzialywania grawitacyjne. Stanowisko takie wynika czysciowo z przyjycia zaloienia (niew~tpliwie uzasadnionego fizycznie), ie skonczona KTP (w przeciwienstwie do teorii jedynie renormalizowalnej) wymaga "odciycia" (cut off) osobliwosci na odleglosciach Plancka, a zatem musz~ pojawic siy efekty grawitacyjne (zob. rozdz. 31.1). Poniewai jednak nie dysponujemy iadnymi danymi eksperymentalnymi w tej materii, to, z koniecznosci, wysilki teoretykow w duZym stopniu zeszly na drogy penetrowania wewnytrznego swiata dezyderatow matematycznych.
34.2 Fizyka fundamentalna inspirowana matematycznie
Wzajemne oddzialywanie i przenikanie idei matematycznych oraz procesow fizycznych bylo stalym tematem rozwaian prowadzonych w tej ksi~ice. W calej historii nauk fizycznych postyp dokonywat siy na drodze znajdowania rownowagi miydzy rygorami, pokusami i rewelacjami konstrukcji matematycznych z jednej strony, a z drugiej - precyzyjnymi obserwacjami procesow zachodz~cych w swiecie fizycznym, zwykle za pomocq starannie kontrolowanych eksperymentow. Kiedy doswiadczenie przestaje kierowac naszymi poszukiwaniami, to podobnie jak w wit(kszosci obecnych badan fundamentalnych procesow, ta rownowaga zostaje zachwiana. Matematyczna spojnosc5, sarna w sobie, jest dalece niewystarczajqcym kryterium, aby odpowiedziec na pytanie, czy jestesmy "na dobrej drodze" (nie mowi~c 0 tym, ie w wielu przypadkach to konieczne, zdawaloby sit(, kryterium gdzies znika).1)rmczasem walory estetyki matematycznej zaczynaj~ odgrywac duio wiyksz~ roly nii do tej pory. Specjalisci czysto odwotuj~ siy do sukcesow Diraca, Schrodingera, Einsteina czy Feynmana oraz wielu innych, udowadniaj~c, ie ich odkrycia czt(sto byly inspirowane wlasnie wzglt(dami estetycznymi, co pozwolilo im na rozwiniycie teoretycznych idei. Nie moina przecenic znaczenia takich estetycznych rozwaian, poniewai odgrywaj~ one istotn~ rolt(, kiedy musimy dokonywac wyboru miydzy roinymi proponowanymi konstrukcjami teoretycznymi. Wzglt(dy natury estetycznej mog~ czasami bye wyrazem potrzeby uzyskania spojnej procedury matematycznej, albowiem spojnose formalizmu i jego matematyczna uroda Sq naprawdy scisle ze sob~ zwi~zane. Moim zdaniem takie wymagania w stosunku do wszelkich proponowanych modeli fizycznych s~ poza dyskusj~. Co wit(cej, kiedy mowimy 0 wzglt(dach estetycznych, naleiy podkreslie zalety spojnosci matematycznej, mianowicie jej obiektywny charakter. Zwykle, kiedy kierujemy sit( kryterium estetyki, takie oceny s~ raczej subiektywne. Matematyczna spojnose sarna w sobie nie moie nas jednak zadowolie. Ci, ktorzy dlugo i ciyiko pracowali na polu konstrukcji matematycznych, s~ w stanie lepiej ocenic subtelnose i nieoczekiwan~ jednose, jaka moie ukrywae siy w jakims szczegolnym formalizmie. Ci zas, ktorzy wkraczaj~ na to pole z zewn~trz, mog~ bye czysto zaskoczeni i miee trudnosci ze zdaniem sobie sprawy, dlaczego pewne aspekty teorii powinny bye uwaiane za bardziej zadziwiaj~ce - i dlatego, bye moie, wydajq siy bardziej atrakcyjne - nii inne. Zdarzaj~ sit( wszak takie sytuacje, w kto-
975
34
Kt6r~dy
976
rych to wlasnie ci "z zewn'!trz" mog,! ocenie sprawy bardziej obiektywnie, albowiem ktos, kto wiele lat spydzil na badaniu jakiegos w,!skiego pol a koncepcji matematycznych, moze wlasnie nie bye w stanie dokonae takiej oceny! Spojnose i elegancja matematycznej struktury teorii fizycznej, niezaleznie od niew'!tpliwych zalet, nie wystarczaj'!. Wzglydy natury fizycznej Set daleko wainiejsze, choc w sytuacjach, gdy brakuje argumentow doswiadczalnych, przewagy uzyskuj,! matematyczne aspekty teorii. Z pewnosci,! jestem daleki od twierdzenia, ze istniej,! proste odpowiedzi na nurtuj,!ce nas pytania. Wierzy, ze niektorzy badacze maj,! racjy, kieruj,!c siy wlasnym wyczuciem estetyki i piykna. Nie powinni siy jednak dziwie, kiedy okaze siy, ze ich koledzy Set zupelnie obojytni wobec urody koncepcji, ktore ich tak urzekly. Motywacje estetyczne uwazam za istotny element rozwoju kazdej wainej koncepcji, ktora pojawila siy w naukach teoretycznych. Ale gdy zabraknie ograniczen, Jakie nakladaj,! na nas eksperymenty i obserwacje, motywy tego rodzaju cZysto wiod,! daleko poza granice sensu fizycznego. W historii nauki znamy wiele przykladow piyknych schematow matematycznych, ktore rob By wraienie, jakby odkryly jakis rewolucyjnie nowy sposob wyjasnienia sekretow Przyrody, a potem okazywalo siy, ze nie mozna spodziewae siy z ich strony pomocy w spelnieniu nadziei na odsloniycie tych tajemnic. Dobrym przykladem jest teoria kwatemionow i uroda sposobu, w jaki doprowadzita do skonstruowania algebry z dzieleniem. J ak 0 tym mowilismy w rozdz. 11.2, dokonawszy odkrycia w 1843 roku, Hamilton poswiycit pozostale 22 lata swego Zycia na stworzenie formalizmu opisuj,!cego Przyrody calkowicie w jyzyku tej teorii. Jednak ta "czysto kwatemionowa" praca (mam tu na myslijego oryginaln,! teoriy kwatemionow i ich algebry z dzieleniem) w niewielki bezposredni sposob wplynyla na dalszy rozwoj teorii podstaw fizyki. Inne prace Hamiltona mialy ogromny, i to bezposredni, wplyw na rozwoj fizyki teoretycznej. Wystarczy wskazae jego wczeSniejsze prace, ktorych wynikiem bylo wprowadzenie pojye obecnie okreslanych jako "hamiltoniany", "zasada Hamiltona", "rownanie Hamiltona-Jacobiego" etc. - pozwalaj,!cych na badanie analogii miydzy falami a cz'!stkami Newtona - a ktore stanowBy trampoliny dla dwudziestowiecznego rozwoju mechaniki kwantowej i KTP (zob. rozdz. 20.2 i 21.1, 2). Wplyw kwatemionow okazal siy co prawda bardzo odlegly i wymagaj,!cy uogolnien, w ktorych cecha algebry z dzieleniem zostala odrzucona. W polowie XIX wieku mozna bylo latwo ulec urodzie matematycznej struktury kwatemionow i ciekawej wlasnosci dzielenia przez nie (rozdz. 11.1). Ta cudown a wlasnosc kwatemionow i kilku innych algebr miala wielkie znaczenie dla czystej matematyki, ale nie dla glownych kierunkow poszukiwan fizyki teoretycznej. To dopiero uogolnienia kwatemionow na wyzsze wymiary, czego dokonal Clifford, razem z poiniejszymi koncepcjami Pauli ego, a w szczegolnosci Diraca, wraz z przyjyciem lorentzowskiej sygnatury, odpowiedniej dla naszej czasoprzestrzeni, pozwolily na ogromny postyp w fizyce teoretycznej (rozdz. 11.5,24.6, 7). Wlasnie w dalszym rozwoju teorii, tak niezwykle waznym dla fizyki, ty wspanial,! wlasnosc dzielenia w formalizmie Hamiltona trzeba bylo bezwzglydnie odrzucic!
wiedzie droga do rzeczywistosci?
Fizyka fundamentalna inspirowana matematycznie
34.2
Do tajemniczego zagadnienia pi~kna w matematyce i jego znaczenia dla fizyki powr6c~ jeszcze w rozdz. 34.9. Wi'!ie si~ ono jednak z pewnym waZnym i fascynuj,!cym aspektem dodatkowym: dlaczego drogi matematyki Set tak kr~te i pod'!iaj,! w swoim wlasnym kieronku? Jui od czasu staroiytnych Grek6w teorie, kt6re braly pocz'!tek z obserwacji proces6w fizycznego swiata, niejednokrotnie otwieraly wrota do pi~knej matematyki, wartej zainteresowania dla niej samej, a cz~sto znajdowaly zastosowania bardzo dalekie od fizycznych rozwaZan, kt6re byly ich punktem wyjscia. Czasami odkrycie takich zastosowan zajmowalo wieki, na przyklad w przypadku badania przez Apolloniosa okolo 2000 lat p.n.e. przekroj6w stozkowych, kt6re odegraly fundamentaln,! rol~ w zrozumieniu ruch6w planet - czego dokonali dopiero Kepler i Newton w XVI i XVII wieku; alba w przypadku "malego twierdzenia Fermata" z 1640 roku, kt6re znalazlo zastosowanie dopiero w kryptografii XX wieku. Matematyka - a szczeg6lnie dobra matematyka - rna zwyczaj znajdowania zastosowan w bardzo odleglych dziedzinach, co jest jednym ze zr6del jej sily i Zywotnosci. Procesy Przyrody niezwykle cz~sto okazywaly si~ wspanial,! inspiracj,! dla takich idei matematycznych. Owe idee winny cechowac si~ precyzj,! i niezawodnosci,! i nie rna w tym niczego zadziwiaj,!cego, jesli przyjmiemy pogl,!d, ze procesy Przyrody przebiegaj,! dokladnie zgodnie z prawami matematyki. Bardziej zadziwiaj,!ce Set subtelnose i wyrafinowanie matematyki, kt6re wi,!z,! si~ z prawami Przyrody, a takZe podkreslany juz fakt, ze matematyka rna ciekawy zwyczaj znajdowania zastosowan daleko od miejsca, z kt6rego si~ wywodzi Qako szczeg6lny przyklad wezmy rachunek r6zniczkowy i calkowy Newtona i Leibniza - zob. rozdz. 6). Czy na tej podstawie mozemy, odwrotnie, wnioskowac, ze jesli jakas proponowana teo ria fizyczna stymuluje wiele prac w dziedzinie matematyki, to w ten spos6b zyskuje ona na wiarygodnosci? Pytanie to wi,!ze si~ szczeg6lnie z koncepcjami przedstawionymi w rozdz. 31, 32 i 33. S,!dz~, ze nie rna na nie prostej odpowiedzi, ale z pewnosci,! zalecana jest wielka ostroznosc. Szczeg6lnie teoria stron stala si~ stymulatorem pi~knych osi,!gni~c matematycznych i jej rola wiele zawdzi~cza tej matematycznej atrakcyjnosci. (To sarno odnosi si~ do znacznej cz~sci teorii twistor6w oraz do podejsc Ashtekara i Hawkinga). Nie wiadomo dokladnie, do jakiego stopnia rna to zwi'!zek z fizyczn,! rzeczywistosci,!, kt6r,! mialaby objasnic. Wiele razy zdarzalo mi si~ slyszec z ust matematyk6w, obwieszczaj,!cych z wi elk,! satysfakcj,!, ze ich wyniki maj,! zastosowanie w fizyce, poniewaz uprawiana przez nich matematyka wi,!ze si~ z teori,! strun! Doskonale rozumiem pragnienie wielu matematyk6w, zeby jakies aspekty ich pi~k nych teorii znalazly wazne zastosowanie w procesach fizycznego swiata. Trzeba jednak jasno powiedziec, ze nie istniej,! Qak dot,!d) zadne obserwacje fizyczne, kt6re by uzasadnialy wiar~ w to, iZ teoria stron (w szczeg6lnosci) jest fizyk,!, aczkolwiek, niew'!tpliwie, jej motywacj,! Set wielkie fizyczne oczekiwania. Teoria stron jest r6wniez przedmiotem prac bardzo wielu fizyk6w, ale czy sam fakt, ze zajmuj,! si~ ni,! fizycy, czyni z niej fizyk~? W ten spos6b doszlismy do roli, jak,! w badaniach fizyk6w odgrywa moda, i t'! spraw,! zajm~ si~ w kolejnym rozdziale.
977
34
Kt6r~dy
wiedzie droga do rzeczywistosci?
34.3 Rola mody
w fizyce teoretycznej
Zaczn(( od przegl'ldu dokonanego przez Carlo Rovellego i przedstawionego na Mi((dzynarodowym Kongresie na temat Ogolnej Teorii WzgI((dnosci i Grawitacji, jaki odbyl si(( w Pune w lndiach w grudniu 1997 roku 6 • Rovelli jest jednym z tworcow formalizmu zmiennych p((tlowych, ktory opisalem w rozdz. 32.4, i nie pretenduje do grona profesjonalistow w przeprowadzaniu tego rodzaju przegl'ldow, choe przedstawione przez niego wyniki oddaj'l dose wiernie to, czego moglbym si(( spodziewae. Policzyl on artykuly na tern at grawitacji kwantowej, jakie zostaly opublikowane w poprzednim roku, na podstawie danych udost((pnionych przez Los Angeles Archives. Srednia liczba artykulow pUblikowanych miesi((cznie na temat roznych uj((e tego problemu przedstawiala si(( nast((puj'lCo: Teoria strun: Zmienne p((tlowe: KTP w zakrzywionych przestrzeniach: Podejscia sieciowe: Euklidesowa grawitacja kwantowa: Geometria niekomutatywna: Kosmologia kwantowa: Teoria twistorow: Pozostale:
978
69 25 8 7 3 3 1 1 6
Mam nadziej((, ze czytelnik zauwaZyl, iz przedstawiaj'lc w tej ksi'lzce rozne podejscia do kwantowej teorii grawitacji, nie kierowalem si(( specjalnie wzgl((dami mody. (Krotko tylko dotkn'llem tematu KTP w zakrzywionych przestrzeniach w zwi¥ku z efektem Hawkinga, 0 ktorym mowilem w rozdz. 30.4. Podejscia sieciowe, w ktorych dyskretne modele czasoprzestrzeni zast((puj'l czasoprzestrzen ci'lgl'l, przedstawilem w rozdz. 33.1. Euklidesowa grawitacja kwantowa wyst((puje w podejsciu Hawkinga, dyskutowanym w rozdz. 28.9. Kosmologia kwantowa wykorzystuje czasoprzestrzenie uproszczone, w ktorych ignoruje si(( wi((kszose grawitacyjnych stopni swobody. lone cytowane podejscia omawialismy w rozdzialach 31-33.) Zwroemy uwag((, ze w badanym okresie 0publikowano wi((cej artykulow na temat teorii strun niZ na wszystkie inne tematy razem wzi((te. Wydaje si((, ze panuje powszechne przekonanie, ze gdyby takiego przegl'ldu dokonae obecnie, to przewaga publikacji w tematyce teorii strun bylaby jeszcze wi((ksza. Gdyby badania naukowe prowadzone byly zgodnie z regulami demokracji, to widz'lc t(( ogromn'l przewag(( specjalistow od teorii strun, mozemy bye pewni, ze wszystkie decyzje dotycz'lce kierunkow badan naukowych podejmowane bylyby pod ich dyktatem 7 ! Na Szcz((scie kryteria, ktorymi kieruje si(( nauka, nie przypominaj'l tych, jakie obowi'lzuj'l demokratyczne rZ'ldy. Jest sluszne i wlasciwe, ze naukowa dzialalnose badaczy nie moze cierpiee z tego powodu, iz S'l oni w mniejszosci. Daleko wazniejsze zagadnienie stanowi matematyczna spojnose i zgodnose z wynikami
Rola mody wfizyce teoretycznej
34.3
obserwacji. Ale czy mozemy sobie pozwolie na calkowite zignorowanie kaprysow mody? Z pewnosci,! nie. Oprocz wielu mniej wiarygodnych pomyslow, bardzo modnych w swoim czasie (takich jak koncepcje ll-wymiarowej supergrawitacji o siedmiu dodatkowych wymiarach, wyznaczaj'!cych "zgniecion,! 7-sfer((")8, mog(( wskazae wiele tendencji modnych w przeszlosci, ktore, wydawalo mi si(( - i nadal tak mysl(( - zawieraly w sobie bardzo istotne prawdy (np. trajektorie Reggegozob. rozdz. 31.5 - czy analityczna macierz S Geoffreya Chew9 ), ale juz od dziesi((cioleci wypadly z lask. Do pewnego stopnia popularnose jakiejs teorii pozwala nam ocenie jej naukowe znaczenie - ale tylko do pewnego stopnia. lest rowniei prawd,!, podobnie jak w biznesie, ze to co duze rna naturaln,! tendencj(( do stawania si(( wi((kszym kosztem tego co mniejsze. Nietrudno stwierdzie, dlaczego podobnie musi bye w przypadku mod naukowych, szczegolnie we wspolczesnym swiecie, dla ktorego wlasciwe S,! m.in. podroze odrzutowcami i internet, w ktorym nowe idee rozchodz'! si(( blyskawicznie dzi((ki wyst,!pieniom na konferencjach lub niemal natychmiast przekazywane e-mailami alba za pomoc,! internetowych (CZ((sto nierecenzowanych) artykulow naukowych. Ta nieslychana latwose komunikowania si(( wywoluje CZ((sto gor'!czkow'! konkurencj((, a ta z kolei prowadzi do efektu "wozu z orkiestr'!" (bandwagon effects), gdy pracuj,!CYw danej dziedzinie obawiaj,! si((, ze znajd,! si(( na marginesie, jesli nie dol'!cz'! do liderow. Moda traci znaczenie w przypadku tych idei teoretycznych, ktore S,! nieustannie poddawane kontroli eksperymentu. W przypadku koncepcji, ktorych eksperymentalna weryfikacja jest nieslychanie odlegla, zwi,!zanych z grawitacj,! kwantow,!, musimy jednak zachowae szczegoln'! ostroznose w traktowaniu popularnosci jakiegos podejscia jako oznaki jego prawdziwosci. Moda odgrywa rowniez znacz'!C'! rol(( w innych obszarach, takich jak zagadnienie notacji lub wyboru jakiegos specyficznego formalizmu. Oczywiscie, to S,! problemy 0 mniejszym znaczeniu niZ te, 0 ktorych mowilismy poprzednio, jednak CZ((sto takie wplywaj,! na rozwoj danego kierunku badan. Przytocz(( tu konkretny przypadek powszechnego uiycia 4-spinorowego formalizmu Diraca, w przeciwienstwie do pozniejszego, 2-spinorowego formalizmu van der Waerdena (zob. rozdz. 22.8, 24.7, 25.2). Istotnie, w elektrodynamice kwantowej formalizm 4-spinorowy jest uiywany nieomal powszechnie, podczas gdy, jak to pokazal Robert Geroch lO , formalizm 2-spinorowy jest znacznie prostszy (zob. rozdz. 22.8). W 1928 roku Dirac odkryl swoje rownanie i do jego zapisu posluiyl si(( 4-spinorami. Rownanie Diraca wywolalo wielkie zainteresowanie spinorami i rok pozniej wybitny matematyk holenderski, Bartel L. van der Waerden, sformulowal rachunek 2- spinorowyll. lednak juz wtedy euforia wywolana odkryciem rownania elektronu byla tak wielka, ze wi((kszose fizykow poslugiwala si(( formalizmem zaproponowanym przez Diraca, nie maj,!c nawet swiadomosci, ze istnieje znacznie bardziej elastyczny i wygodniejszy formalizm van der Waerdena. Na szcz((scie sam Dirac szybko zdal sobie spraw(( z zalet formalizmu van der Waerdena. Na pocz'!tku lat pi((edziesi,!tych XX wieku UCz((szczalem na wyklady Diraca, podczas ktorych przedstawil pi((kne
979
34
Kt6r~dy
980
wprowadzenie do rachunku 2-spinorowego, czyni,!c caly problem bardzo klarownym, gdy jednoczesnie obliczenia wykonywane w formalizmie 4-spinorowym byly niezwykle uci¥liwe. W 1936 roku sam Dirac zastosowal formalizm 2-spinorowy do uogolnienia swojego rownania elektronu na przypadek cz'!stek 0 wyzszych wartosciach spinu 12 • Jednak wielu uczonych, ktorzy nie zapoznali siy z formalizmem 2-spinorowym, "odkrywalo" szczegolne przypadki rownania Diraca dla wyzszych spinow i st,!d pochodz,! takie pojycia jak "rownanie Duffina-Kemmera-Petiau" (z lat 1936-1939, dla spinu 0 i 1) lub "rownanie Rarity-Schwingera" (1941) dla spinu W tej dziedzinie cytuje siy na ogol ich prace (w ktorych stosuje siy formalizm 4-spinorowy), a nie wczesniejsze prace Diraca. Dirac nie postypowal zgodnie z mod,!, a w dodatku z tak'! mod,!, ktor'! sam wprowadzil! Inni zas niejednokrotnie poddaj,! siy modzie nawet wtedy, kiedy wcaIe nie majq takiego zamiaru. Z tak,! sytuacj,! zetkn'!lem siy osobiscie, gdy w polowie lat siedemdziesiqtych XX wieku udalem siy do CERN-u, aby porozmawiac z Brunonem Zumino, ktory byl jednym z pionierow idei supersymetrii. (Jego praca, opublikowana w 1974 roku wspolnie z Juliusem Wessem13, miala wyrazny zwi,!zek z teori,! twistorow i chcia1em ten problem bliZej zbadac.) Zumino przyznal, ze zdaje sobie sprawy z mozliwosci formalizmu 2-spinorowego, a nawet opublikowal pracy, w ktorej wykorzystal ten formalizm do przedstawienia pewnych swoich pomyslow. Kilka miesiycy pozniej te same wyniki opublikowal bardzo szanowany fizyk, Abdus Salam, korzystajqc z formalizmu 4-spinorowego. Od tej pory wszyscy cytuj,! publikaejy Salama, a pracy Zumina nikt nie zauwaza. W zwiqzku z tym Zumino doszedl do wniosku, ze nie popelni wiycej podobnego blydu i nie bydzie ui:ywal formalizmu 2-spinorowego, chociaz jest to metoda z technicznego punktu widzenia bez porownania lepsza! Jest jeszcze inny aspekt zwi,!zany z modnymi tendencjami, ktory powoduje, ze w szczegolnosci mlodzi ludzie ulegajq modzie, chociaZ weale tego nie ehq. Otoz na ogol procedury matematyczne, z jakimi mamy do czynienia we wspolczesnej fizyce teoretycznej, s,! bardzo zaawansowane i skomplikowane. Ze zrozumieniem i opanowaniemjakiejs techniki czy metody jest wystarczajqco duzo klopotow. Mlodych adeptow nauki zwykle nie stac na opanowanie roznych technik i dokonanie porownania oraz wyboru miydzy nimi. Sitq rzeczy, musz'! oni polegac na sugestiach bardziej doswiadczonych badaczy i korzystac z ich wskazowek. W ten sposob trafiaj,! w objycia mody, wzoruj,!c siy na modnych publikacjach, ze strat'! dla tych, ktore Sq mniej popularne. Aczkolwiek przedstawione uwagi dotyczyly raczej prac teoretycznych, glownie w obszarze teorii nieograniczonej solidnymi wynikami doswiadezalnymi, to problem mody nie jest pozbawiony znaczenia takZe w dziedzinie badan eksperymentalnych, chociaz z nieco innych wzglydow. Wiqze siy to z zagadnieniem ogromnych kosztow badan doswiadczalnych w dziedzinie pods taw fizyki. Poniewaz te eksperymenty Sq rzeczywiscie nieslychanie kosztowne i wymagajq pomocy rzqdow
wiedzie droga do rzeczywistosci?
t.
ezy eksperyment jest w stanie obalic ztq teori~?
34.4
albo wielkich koncernow, istnieje koniecznosc tworzenia rozlicznych komisji, ktore bylyby w stanie dokonac oceny i rekomendacji konkretnych projektow doswiadczalnych. Jest naturalne, ze do udzialu w tych komisjach zaprasza siy uczonych o juz ustalonej, autorytatywnej pozycji w dziedzinie, ktora jest przedmiotem badan w ranmach glownego kierunku. Jest rownie naturalne, ze byd(! oni faworyzowali badania zgodne z ich perspektyw(! i punktem widzenia. Pojawia siy wiyc tendencja ograniczania badan do tych glownych kierunkow. Korekta tego kierunku, podjycie badan "niemodnych", moze okazac siy bardzo trudna.
34.4 Czy eksperyment jest
w stanie obalic zf~ teori~?
Moze siy wydawac, ze taki problem nie istnieje, poniewaz jesli jakis kierunek badan jest blydny, eksperyment to pokaze i bydziemy zmuszeni podj(!c prace w innym kierunku. Jest to tradycyjny pogl(!d na rozwoj nauki. Istotnie, znany filozof nauki Karl Popper sformulowal sensownie wygl(!daj(!ce kryterium 1\ zgodnie z ktorym tylko takie teorie powinny bye uwazane za naukowe, ktore s(! falsyfikowalne obserwacyjnie. Obawiam siy jednak, ze jest to kryterium zbyt surowe i zdecydowanie zbyt idealistyczne jak na warunki wspolczesnego swiata "wielkiej nauki". RozwaZmy przyklad supersymetrii w fizyce cz(!stek elementarnych. Ta idea charakteryzuje siy matematyczn(! elegancj(! i ulatwia teoretykom konstruowanie renormalizowalnych KTP (rozdz. 31.2). Niew(!tpliwie najwiyksze znaczenie rna fakt, ze stanowi ona zasadniczy skladnik teorii strun. Jej pozycja wsrod wspolczesnych teoretykow jest tak silna, ze uWaZa siy j(! niemal za CZySC modelu standardowego fizyki cz(!stek elementarnych. W rzeczywistosci nie istniej(! jednak zadne (powazne) eksperymentalne dowody jej prawdziwosci (rozdz. 31.2). Teoria przewiduje istnienie "superpartnerow" wszystkich obserwowanych cz(!stek elementarnych Przyrody, ale jak dot(!d zadnej takiej cz(!stki nie odkryto. Wedlug zwolennikow teorii strun dzieje siy tak dlatego, ze mechanizm lamania symetrii (ktorego natura nie jest znana) powoduje, iz ci superpartnerzy maj(! tak wielkie masy, ze energie niezbydne do ich uzyskania s(! wci(!z poza zasiygiem wspolczesnycl' akceleratorow cz(!stek. Jesli zwiyksz(! siy nasze mozliwosci doswiadczalne, te Howe cz(!stki zostan(! odkryte i bydzie to kolejny kamien milowy w fizyce teoretycznej, 0 ogromnych implikacjach dla nauki przyszlosci. Przypuscmy jednak, ze nie uda nam siy znaleic tych superpartnerow. Czy to sfalsyfikuje teoriy supersymetrii? Bynajmniej. Mozna wysun(!c argument (i prawdopodobnie tak bydzie), ze zbyt optymistycznie oceniono stopien zlamania symetrii i ze potrzeba jeszcze wyzszych energii, aby znaleie brakuj(!cych partnerow. Przekonalismy siy, ze nie jest bynajmniej latwo pozbyc siy popularnej teoretycznej koncepcji, gdy w tradycyjny sposob przeprowadza siy experimentum crucis, nawet jesli jest naprawdy blydna. Sprawy dodatkowo komplikuj(! ogromne koszty eksperymentow w zakresie wysokich energii. W dziedzinie cz(!stek elementarnych istnieje wiele hipotez teoretycznych, ktorych sprawdzenie wymagaloby energii
981
34
Kt6rQdy wiedzie droga do rzeczywistosci?
982
znacznie przekraczaj~cych nasze mozliwosci techniczne. Rozne wersje TWU i teorii stfUn zawieraj~ przewidywania, ktore z tych wlasnie powodow nie potrzebujq obawiac sit( eksperymentalnej refutacji. Czy wobec tego "niepopperowski" charakter tych modeli powoduje, ze stajq sit( one nieakceptowalne jako teorie naukowe? Myslt(, ze taki stricte popperowski os~d bylby zdecydowanie zbyt surowy. Jako intrygujqcy przyklad przywolajmy argument Diraca (rozdz. 28.2), ktory mowi, iZ sarno istnienie, gdzies w kosmosie, pojedynczego magnetycznego monopolu stanowiloby wyjasnienie faktu, ze kazda cZqstka wystt(pujqca we WszechSwiecie rna ladunek, ktory jest calkowit~ wielokrotnosciq pewnej ustalonej wartosci (co faktycznie obserwujemy). Teoria, ktora utrzymuje, ze taki monopol gdzieS istnieje, jest zdecydowanie niepopperowska. Gdyby udalo sit( odkryc takq cZqstkt(, to zostalaby potwierdzona prawdziwosc teorii, jednak jest ona niefalsyfikowalna w sensie kryterium Poppera; albowiem nawet jesli jest zdecydowanie falszywa, to bez wzglt(du na to, jak dlugo fizycy doswiadczalni takiego monopolu poszukujq, sam fakt, ze nie Sq w stanie go znaleic, nie obala teorii 15 ! Mimo to teoria pozostaje naukowq i jest z pewnosciq warta rozwazenia. Podobn~ uwagt( mozemy uczynic w odniesieniu do kosmoiogii. Ta czt(sc WszechSwiata, ktora znajduje sit( poza naszym horyzontem zdarzen (rozdz. 27.12), jest niedostt(pna bezposredniej obserwacji, choc woino wysunqe rozsqdne, naukowe przypuszczenie, ze obszar ten, w wielkiej skali, przypomina obszar, ktory bezposrednio obserwujemy. Teoria, ktora zaklada, ze niedostt(pny obszar Wszechswiata jest podobny do tego, ktory bezposrednio obserwujemy - co stanowi element standardowego modelu kosmologii (rozdz. 27.11), aczkolwiek nie w przypadku wit(kszosci modeli inflacyjnych (rozdz. 28.4) - z pewnosciq nie jest teoriq doswiadczalnie falsyfikowainq. Ponadto jesli ograniczymy naSZq uwagt( jedynie do bezposrednio obserwowalnej czt(sci WszechSwiata, musimy zadac pytanie, czy geometria przestrzenna, 0 ktorej zakladamy, ze jest - w wielkiej skali - jednorodna i izotropowa, charakteryzuje sit( krzywizn~ dodatniq, ujemnq czy zerowq (odpowiednie przypadki K > 0, K < 0 czy K = 0; zob. rozdz. 27.11)? Jesli nasza teoria twierdzi, ze K = 0, wowczas rna ona charakter teorii obserwacyjnie falsyfikowalnej, poniewaz dla dowolnego skonczonego odchylenia od plaskosci wystarczajqco precyzyjne obserwacje moglyby (w zasadzie - chociaz niekoniecznie w praktyce) wykryc to odstt(pstwo od plaskosci, bez wzglt(du na to, jak mala bylaby wielkosc krzywizny. Jesli jednak nasza teoria stwierdza, iz K "* 0, wowczas nie da sit( jej podwaiyc przez obserwacje wykazujqce, ze K = 0, poniewaz zawsze istnieje pewien stopien niepewnosci, czy nie mamy do czynienia z niewielkq krzywiznq przestrzennq, dodatni~ lub ujemnq. Zauwazmy, iz przypadek K > 0 moglby w zasadzie zostac obalony, gdyby krzywizna byla faktycznie z K < 0 i na odwrot. Z kolei przypadek K = 0 nie moze bye (bezposrednio) potwierdzony 16, w przeciwienstwie do przypadku K"* 0 (gdyby sit( okazalo, ze tak rzeczywiscie jest). Tak wit(c oba twierdzenia, K> 0 i K < 0, s~ popperowskie w tym ograniczonym sensie, ze Sq falsyfikowalne w pewnych okolicznosciach - chociaz
ezy eksperyment jest w stanie obalic zlq teorie?
34.4
nie mozna ich obalie, jesli w rzeczywistosci K = 0 - oraz kazde z nich jest indywidualnie potwierdzalne. Zauwazmy, ze przypadekK = 0 jest w zasadzie w pelni popperowski, ale nie moze bye potwierdzony! Nie jestem pewien, zwaiywszy te wszystkie alternatywne mozliwosci, dok,!d nas ten popperowski tok myslenia doprowadza. Wydaje mi siy oczywiste, ze kaida z mozliwosci K > 0, K < 0 czy K = 0 - jako twierdzenie - jest r6wnie "naukowa", niezaleznie od tych subtelnych r6znic w odniesieniu do kryterium Poppera. W kazdym razie wiykszose kosmolog6w z pewnosci,! nie zajylaby r6wnie pedantycznego stanowiska, jakie tutaj przyj,!lem, a mianowicie, ze stwierdzenie K = 0 oznacza, iz warunek ten rna bye spelniony dokladnie. Poprawna teoria bylaby wszak w lepszej sytuacji, gdyby przewidywala K > 0 lub K < 0, poniewaz istnialaby wtedy mozliwose jej obserwacyjnego potwierdzenia (a kazda teoria naukowa poszukuje potwierdzenia, niezaleinie od bardziej negatywnej perspektywy Poppera w odniesieniu do kwestii naukowej akceptowalnosci). Teoria przewiduj,!ca, ze K = 0, musi poszukiwac innych dr6g jej uzasadnienia, aby mogla uzyskae status teorii akceptowalnej. Takim innym sposobem uzasadnienia, ze K = 0, bylaby procedura wykazuj,!ca, iz jest to implikacja jakiejs szczeg6lnej teorii, niezaleznie potwierdzonej obserwacyjnie. Istotnie, stanowisko takie prezentuje wielu zwolennik6w wysoce modnej kosmologii inflacyjnej, dyskutowanej w rozdz. 28.4. Przypomnijmy sobie, ze podobnie jak supersymetria jest "nieomal" cZysci,! modelu standardowego fizyki cz'!stek elementarnych, tak kosmologia inflacyjna jest czysto uwaiana za czyse standardowego modelu kosmologii! Przeanalizujmy zatem status inflacji w swietle kryterium Poppera. Mogloby siy wydawae, ze sytuacja pod tym wzglydem jest jasna i ze model inflacyjny to rzeczywiscie teoria popperowska. Przez ponad 10 lat twierdzono zgodnie, ze K = 0 jest implikacj,! modelu inflacyjnego 17 , i przypominam sobie taki wlasnie wniosek, formulowany stanowczo podczas wielu wyklad6w, wyglaszanych przez zwolennik6w inflacjil8. JeSli wiyc obserwacje wyraznie pokazuj,!, ze K"* 0, to koniec z modelem inflacyjnym! Takie stanowisko jest niezwykle klarownym zastosowaniem kryterium Poppera. Co wiycej, z modelu inflacyjnego (wraz z niekt6rymi innymi zalozeniami) wywodz,! siy pewne szczeg610we przewidywania odnosnie do promieniowania reliktowego, kt6re znajduj,! czysciowe uzasadnienie obserwacyjne, w szczeg6lnosci dotycz'!ce niezmienniczosci skalowania fluktuacji. Co prawda od polowy lat dziewiyedziesi'!tych XX stulecia, na podstawie r6znych niezaleznych obserwacji, zaczylo pojawiae siy coraz wiycej argument6w za tym, ze srednia gystose materii Wszechswiata f2d (l'!cznie barionowej i ciemnej) nie osi,!ga wartosci, jakiej wymaga og6lna plaskose przestrzenna, i wynosi nie wiycej niz jedn,! trzeci,! tej liczby. (Gystosci f2d i f2A stanowi,! ulamek gystosci krytycznej, kt6ra w teorii Einsteina, bez czlonu kosmologicznego, prowadzi do K = 0; zob. rozdz. 28.10.) W szczeg6lnosci f2d wynosi okolo 0,3. Zgodnie z t'! tendencj,!, teoretycy inflacjonisci zaczyli tworzye modele inflacyjne, dopuszczaj'!ce K "* 0, a konkretnie K < 019 • Warto zwr6cie uwagy, ze r6wniez w szkole Hawkinga, kt6ra w spo-
983
34
Kt6r~dy
984
sob zdecydowany przewidywala K > 0 (w zwiqzku z modelem "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga - zob. rozdz. 28.9), zaczyto rozwa.zae mozliwose wlqczenia przypadku K < 0 do wlasnej teorieo. Ta sytuacja ulegla zmianie okolo 1998 roku, gdy obserwacje odleglych supernowych (rozdz. 28.10) zaczyly wskazywae, ze do rownania Einsteina naleZy wlqczye dodatniq stalq kosmologicznq, czyli A > O. W ten sposob otrzymujemy dod atkowq efektywnq gystose n A, ktora wziyta lqcznie z gystosciq materii nd moze dae oczekiwanq wartose krytycznq nd + n A= 1 (albo nd + n A> 1, czego wymaga oryginalna propozycja Hartle'a-Hawkinga). W ten sposob hipoteza ogolnej plaskosci przestrzennej (K = 0) bylaby zgodna z danymi obserwacyjnymi (podobnie jak ogolna dodatnia krzywizna), przy nA ~ 0,7. Wobec takiego obrotu sprawy wiykszose zwolennikow modelu inflacyjnego zaczyna wracae do K = 0 jako propozycji kosmologii inflacyjnej. Ciekawe, co Popper mialby do powiedzenia na ten temat! W rzeczywistosci dysponujemy teraz nowym, egzotycznym modelem inflacyjnym, wprowadzajqcym nowy element (nowe pole), nazywany "kwintesencjq", ktory prowadzi do efektywnej stalej kosmologicznej poprzez rozwazania dynamiki "ciemnej energii" 0 ujemnym cisnieniu. Zwolennicy tego modelu utrzymujq, ze moze on bye oznakq nowej fazy inflacyjnej, w ktorq wchodzimy (zob. rozdz. 28.10)! NaieZy miee nadziejy, ze podobne fantastycznie brzmiqce koncepcje szybko zostanq w przekonujqcy sposob uzasadnione obserwacyjnie, aczkolwiek w praktyce problemy Sq na ogol bardziej skomplikowane. Moim zdaniem musimy bye nadzwyczaj ostrozni w przypadku tego rodzaju rewelacji, nawet jesli wydajq siy potwierdzone bardzo wyrafinowanymi eksperymentami. Doniesienia takie Sq zwykle interpretowane z perspektywy jakiejs modnej teorii. Na przyklad znakomite obserwacje promieniowania reliktowego w programie BOOMERanG21 byly poczqtkowo interpretowane w ramach modelu inflacyjnego i twierdzono, ze dowodzq, iz K = 0 (a stqd A > 0). Poza tym w przypadku eksperymentow podobnych do BOOMERanG, wobec ogromnej ilosci danych obserwacyjnych i szerokich mozliwosci roznych analiz, "surowe" dane mogq bye niedostypne przez wiele lat, aby badacze zwiqzani z projektem (bardzo sensownie) mieli pierwszenstwo w ich opracowaniu. A wtedy niewielka jest szansa, zeby dane mogly bye przeanalizowane z innego punktu widzenia. Dziyki eksperymentowi BOOMERanG Vahe Gurzadyan z zespolem mial mozliwose uzyskania dostypu do danych i zastosowania wlasnej metody analizy eliptycznej (rozdz. 28.10). Wyniki tej analizy wyraznie wskazywaly na K < 0, co p6Zniej potwierdzilo odpowiednie przeanalizowanie danych eksperymentu WMAP. Podobnie jak w przypadku "anomalii" pomiarowej w eksperymencie WMAP (efekt ukryty w poblizu osi pionowej rys. 28.19) dla f = 2, wyniki te nie calkiem potwierdzajq stanowisko inflacjonistow. Trzeba bydzie jeszcze trochy poczekae, aby dojse w tej materii do zdecydowanej i klarownej konkluzji! Przekonalismy siy, jak silnie moda moze wplywae na kierunki teoretycznych poszukiwan, wbrew glosnym protestom uczonych, ktorzy woleliby nas przekonae
wiedzie droga do rzeczywistosci?
Sk~d
nadejdzie kolejna rewolucja w fizyce?
34.5
o petnym obiektywizmie swoich badan. Chcialbym jednalcie podkreslie, ze ow brak obiektywizmu w iadnym wypadku nie obci,!za Natury. Swiat fizyczny istnieje obiektywnie i fizycy slusznie uwazaj'! za swoj obowi¥ek zbadanie jego natury i objasnienie zachowan. Subiektywizm, ktory dostrzegamy w omowionych wplywach mody, jest przejawem tego, ie nasze szukanie wytlumaczenia procesow Przyrody poddane jest naciskom otoczenia, potrzebie zdobycia funduszy i wielu innym czynnikom, wsrod ktorych niebagateln,! roly odgrywaj,! ludzkie slabosci i ograniczenia. Wszystko to razem sklada siy na chaotyczny i cZysto niespojny obraz rzeczywistosci, z ktorym musimy siy uporae.
34.5 Skqd nadejdzie kolejna rewolucja w fizyce? Mam wrazenie, ze w tym rozdziale przedstawilem bardziej pesymistyczn,! oceny postypu w naszych poszukiwaniach zrozumienia fundamentow fizyki nii ta, ktor'! czysto spotykamy w popularnych opracowaniach. Wierzy, ze jest to obraz znacznie bardziej realistyczny. Z pewnosci,! nie chcy tym samym sugerowae, jak to probuj,! robie niektorzy popularyzatorzy22, ie doszlismy juz do takiego etapu, w ktorym zasadniczy postyp jest prawie niemoiliwy. Dysponujemy obecnie ogromn,! ilosci,! danych obserwacyjnych, ktore wymagaj,! naleiytego zrozumienia, i nawet gdybysmy jui nie przeprowadzali dalszych eksperymentow, to i tak pracy wystarczy na dlugo. Dane, jakich dostarczaj'! nam wspolczesne doswiadczenia, Set czysto rejestrowane automatycznie i na ogol tylko niewielka czyse zgromadzonej inform acji jest przedmiotem zainteresowania bezposrednio zaangazowanych teoretykow i fizykow doswiadczalnych. Dlatego najprawdopodobniej ta wielka ilose danych analizowana jest glownie pod k,!tem poszukiwania odpowiedzi na nurtuj,!ce ich pytania. Moiliwe, ie dane te kryj,! wiele tajemniczych kluczy do zagadek Przyrody. Przypomnijmy sobie, ie do odkrycia ogolnej teorii wzglydnosci doprowadzilo Einsteina zdanie sobie sprawy ze znaczenia zasady rownowainosci (zob. rozdz. 17.4), jaka tkwila imp/icite we wszystkich danych obserwacyjnych dostypnych od czasow Galileusza (a nawet na dlugo przed nim), tyle ie nikt tego nie dostrzegal. Calkiem prawdopodobne, ie w tej niezmiernej masie danych, jakie zawdziyczamy wspolczesnym obserwacjom, zawartych jest jeszcze wiele takich niewyjasnionych zapisow. Bye moie niektore z nich S,! "oczywiste", wymagaj,! jedynie innego uszeregowania czy inn ego potraktowania, abysmy odkryli nowe prawdy 0 naturze fizycznej rzeczywistosci. Jestem przekonany, ie swieie spojrzenie jest naprawdy konieczne i ie ta zmiana punktu widzenia musi dotyczye zasadniczych kwestii, ktore wywoluje paradoks pomiaru kwantowego oraz zwi,!zany z nim problem nielokalnosci, nieodl,!czny od efektow EPR i od pojycia quanglementu (rozdz. 23 i 29). W rozdz. 30 przekonywalem, ie paradoks pomiaru wi
985
34
Kt6r~dy
986
steina). Bye moze jakies nowe eksperymenty (takie jak FELIX lub jego naziemna alternatywa, rozdz. 30.13) wskaz,! drogy do lepszego zrozumienia teorii kwantowej. Mozliwe, ze pojawi,!: siy eksperymenty innego typu, ktore wyjasni,!: natury grawitacji kwantowej (jak na przyklad te, ktore zaprojektowano do zbadania mozliwosci istnienia wyzszych wymiarow czasoprzestrzeni). Rownie prawdopodobne jest, ze ten niezbydny krok naprzod dokona siy za pomoq nowej analizy teoretycznej tego, co juz wiemy. Czy zal'!:zki oczekiwanego rozwoju teorii mozna znaleie w niektorych ideach przedstawionych w poprzednich rozdzialach tej ksi,!:zki? Rzecz jasna, dopuszczalne S,!: rozne podejscia do problemu i duz,!: roly w odpowiedzi na to pytanie musz'!: odgrywae wlasne opinie. To z pewnosci,!: moja nadzieja - :iywiona przez ponad 40 lat - ze teoria twistorow moze dostarczye nam wskazowek i intuicji pozwalaj'!:cych na istotn'!: zmiany spojrzenia na fizyky. Niezaleznie od postypu dokonanego na tej drodze (zob. rozdz. 33) nie jestesmy jednak w stanie obecnie stwierdzie, ze teoria twistorow w sposob znacz'!:cy przybli:iyla nas do rozwi,!:zania paradoksu pomiaru. Bez wzglydu na to, jakie stanowisko zajmiemy w sprawie znaczenia i mozliwosci teorii, ktore opisalem, jest poza dyskusj,!:, ze potrzebne S,!: nowe idee i nowe perspektywy. Jakje odnaleie? Czy mamy oczekiwae "nowego Einsteina", pracuj,!:cego w samotnosci i dochodz,!:cego do tych rewolucyjnych koncepcji na drodze glownie wewnytrznych i indywidualnych deliberacji? Czy tez znowu pomog,!: nam zadziwiaj,!:ce odkrycia eksperymentalne? Wlasna intuicja Alberta Einsteina zawiodla go w efekcie do sformulowania ogolnej teorii wzglydnosci, ktora jest praktycznie "teori,!: jednego czlowieka" (niezaleznie od wkladow, jakie wniesli Lorentz, Poincare, Mach, Minkowski, Grossmann i inni). Mechanika kwantowa, przeciwnie, jest teori'!: "wielu ludzi", wspomagan,!: z zewn'!:trz przez nadzwyczajne wyniki licznych starannie przeprowadzonych eksperymentow. Dokonanie indywidualnego zasadniczego kroku naprzod w sytuacji wspokzesnych badan podstawowych wydaje siy duzo trudniejsze niz w czasach Einsteina. Prace wielkich zespolow, gigantyczne obliczenia komputerowe, koniecznose ulegania modnym kierunkom wszystko to s'!: zasadnicze elementy obrazu obecnych poszukiwan naukowych. Czy z tego moze wylonie siy nowa perspektywa, ktorej potrzebujemy? W'!:tpiy. Bye moze bylbym mniej sceptyczny, gdyby nowe kierunki badan byly scislej zwi,!zane z nowymi eksperymentami, tak jak bylo w pierwszych dekadach XX wieku - wowczas "podejscie wielu ludzi" mogloby przyniese poz'!:dane efekty. Moim zdaniem to jest mozliwe - w obszarze kwantowej grawitacji - tylko wtedy, gdyby zostaly zaprojektowane eksperymenty, ktore ujawni,!: wplyw zasad ogolnej teorii wzglydnosci na sam,!: struktury mechaniki kwantowej (0 czym przekonywalem w rozdz. 30). Je§li to siy nie stanie, to s,!:dzy, ze bardziej liczye mozna na sukces einsteinowskiego podejscia "samotnego wilka". Ale w takim przypadku nie w'!:tpiy, ze zasadniczym powodem tych poszukiwan musi bye pol,!:czenie matematycznej estetyki z glybok,! fizyczn,!: intuicj,!:.
wiedzie droga do rzeczywistosci?
Skqd nadejdzie kolejna rewolucja w fizyce?
34.5
Moja wiara wynika z obserwacji, ie im gl~biej wnikamy w podstawy zachowan fizycznych, tym wi~ksz~ mamy swiadomose, ie zjawiska te s~ scisle kontrolowane przez matematyk~. Co wi~cej, matematyka, ktor~ spotykamy w tych pracach, nie rna po prostu charakteru bezposrednich obliczen, ale jest bardzo wyrafinowana, a jej subtelnose i pi~kno s~ innego rodzaju nii to, z jakim mielismy do czynienia w przypadku matematyki wystarczaj~cej do zrozumienia fizyki na mniej podstawowym poziomie. W takim razie dalszy post~p w kierunku pelniejszego zrozumienia fizyki - jesli nie b~dzie precyzyjnie kierowany wynikami eksperymentow - musi coraz bardziej polegae na naszej zdolnosci postrzegania fizycznego znaczenia i gl~bi matematyki, na wytropieniu wlasciwych koncepcji i na wyczuleniu na estetyczne walory matematycznych konstrukcji. Ze wzgl~du na sam charakter problemu niezwykle trudno sformulowae jakies wiarygodne kryteria, ktore gwarantowalyby nam osi~gni~cie wytyczonego celu. Przekonalismy si~ jui, na przykladzie podejse opisanych w ostatnich rozdzialach, jak roine konstrukcje matematyczne, kierowane wlasnymi kryteriami fizycznymi i wzgl~dami estetyki matematycznej, mog~ prowadzie zupelnie roinymi i przeciwnymi drogami. Niektorzy uwaiaj~, ie powinnismy, bye moie, poszukiwae takich drog, na ktorych wszystkie te podejscia spotkaj~ si~ w postaci jakiejs wi~k szej syntezy, po wydobyciu z kaidego cz~sci wlasciwej dla poszukiwanej calosci. Rownie dobrze moina calkiem zasadnie argumentowae, ie niezgodnosci mi~dzy nimi s~ zbyt wielkie i ocaleje tylko jeden kierunek, a wszystkie inne musz~ bye odrzucone. Podejrzewam, ie prawda leiy jak zwykle posrodku i ie w kaidej z tych teorii moiemy odnaleie cos istotnego i wainego, co warto zachowae, nawet jesli trzeba zrezygnowae z calosci. Niektore z prezentowanych teorii, chociai nie calkiem zgodne mi~dzy sob~, maj~ jednak wiele wspolnego. W szczegolnosci podejscie zmiennych p~tlowych z rozdz. 32 wykazuje wspolne cechy z teori~ twistorow (rozdz. 33) i jestem w stanie wyobrazie sob ie, ie odpowiednie ich pol~czenie (z uwzgl~dnieniem, bye moie, sieci spinowych, pian spinowych, teorii n-kategorii, a nawet geometrii niekomutatywnej) moie zaprowadzie nas na wlasciw~ drog~. Jednak teoria strun, w znanej obecnie postaci, z jej zaleinosci~ od dodatkowych wymiarow przestrzennych, wydaje mi si~ zbyt oddalona od formalizmu twistorowego czy zmiennych p~tlowych, ieby moina bylo przewidziee ich pol~czenie. Same struny nie s~ powodem tej niezgodnosci (rozdz. 31.5). Z ide~ twistorow moina pogodzie nawet supersymetri~23. Zasadniczy konflikt zarowno z teori~ twistorow, jak i formalizmem zmiennych p~tlo wych wywodzi si~ z potrzeby wprowadzenia (w teorii strun) wyiszych wymiarow (szczegolnie tych konkretnych wymiarow i ich sygnatur, ktore klocq si~ z filozofi~ holomorficzn~ teorii twistorow - zob. koncowy akapit rozdz. 33.4). Do niedawna specjalisci od teorii strun nie zdradzali ochoty poszukiwania spojnej (1 + 3)-wymiarowej teorii, chociai, jak 0 tym wspominalem w rozdz. 31.18 i 33.14, pojawily si~ pierwsze jaskolki zwiastuj~ce, ie moiliwe jest zastosowanie idei teorii strun do (1 + 3)-wymiarowej czasoprzestrzeni.
987
34
Kt6r~dy
wiedzie droga do rzeczywistosci?
34.6 Co to jest rzeczywistosc?
988
Na podstawie tego, co napisalem, czyteinik domysia siy, ze nie wierzy, iz odkrylismy juz prawdziw,! "drogy do rzeczywistosci", niezaIei:nie od oIbrzymiego postypu, jakiego dokonalismy w ci,!gu ponad dwu i p61 tysi,!ca Iat, a w szczeg6Inosci w ostatnich kiIku stuleciach. Z cal,! pewnosci,! konieczne jest fundamentalnie nowe spojrzenie i nowe idee. Co wiycej, niekt6rzy czytelnicy mog,! bye zdania, ze w og6Ie sarno istnienie takiej drogi jest w'!tpliwe. To prawda - mog,! powiedziee mielismy duzo szczyscia, ze udale nam siy trafie na konstrukcje matematyczne, kt6re zdumiewaj,!co zgadzaj,! siy z pewnymi wlasnosciami Przyrody, jednak jej scisly zwi,!zek, jako calosci, z jakimis schematami matematycznymi jest zwykl,! iluzj,!. Inni z kolei mog,! zaj,!e stanowisko, zgodnie z kt6rym sarno pojycie "rzeczywistosci fizycznej", 0 prawdziwie obiektywnej naturze, niezalei:nej od tego, jak j,! ujmujemy, jest zludzeniem samym w sobie. Istotnie, mamy prawo zapytae: co to jest rzeczywistose fizyczna? Pytanie to zadawano przez tysi,!ce lat i filozofowie na przestrzeni wiek6w pr6bowali udzielie na nie odpowiedzi. Obecnie spogI,!damy wstecz uzbrojeni w wiedzy, kt6r,! zapewnia nam wsp6tczesna nauka, i utrzymujemy, ze potrafimy w tej sprawie zaj,!e bardziej realne i obiektywne stanowisko. Zamiast usitowae odpowiedziee na pytanie "co", wiykszose wsp6tczesnych uczonych pr6buje posluZye siy wybiegiem. Byd,! nas przekonywae, ze pytanie jest ile sformulowane: nie powinnismy pytae 0 to, czym jest rzeczywistose, ale jak ona siy zachowuje. Istotnie, "jak?" jest podstawow'! kwesti,!, kt6rej poswiyciIismy zasadnicz,! czyse tej pracy: jak opisujemy prawa, kt6re rz'!dz'! naszym WszechSwiatem i jego elementami skladowymi. Wielu czytelnik6w potraktuje tak,! odpowiedz jak unik. Wiedza 0 tym, w jaki spos6b zachowuj,! siy poszczeg6lne elementy skladowe WszechSwiata, nie odpowiada wcale na pytanie co to jest, co siy tak zachowuje. Pytanie "co?" jest scisle zwi'!zane z inn,! wazn,! kwesti,!, kt6ra nurtuje nas od czas6w staroZytnych: "dlaczego?". Dlaczego obiekty Wszechswiata zachowuj,! siy wlasnie w taki spos6b, w jaki siy zachowuj'!? Ale bez odpowiedzi na pytanie, czym one S,!, trudno zrozumiee, dlaczego maj,! zachowywae siy w ten a nie winny spos6b. Wsp6tczesna nauka zachowuje wielk,! ostroznose przy pr6bach odpowiedzi na pytanie "co?" oraz na pytanie "jak?", choe bez przerwy odpowiadamy na te pytania. Uwaza siy, ze udzielanie takich odpowiedzi rna sens, pod warunkiem ze nie poruszaj,! one sedna zagadnienia. Mozna smialo oczekiwae odpowiedzi na takie pytania jak: "z czego zbudowana jest cz,!steczka cholesterolu?"; "dlaczego zapalka zap ali siy po szybkim przeci,!gniyciu po odpowiednio chropowatej powierzchni?"; "co to jest zorza polama?"; "dlaczego Slonce swieci?"; "jakie sHy wi,!z,! atom wodoru lub cz,!steczky wodoru?" albo "dlaczego j,!dro uranu jest nietrwale?". S,! jednak inne pytania, kt6re mog,! sprawie wiycej klopotu: "co to jest elektron?" alba "dlaczego przestrzen rna tylko trzy wymiary?". Nawet na te pytania powinnismy takZe uzyskae odpowiedz w ramach nieco bardziej fundamentalnego obrazu rzeczywistosci fizycznej.
Co to jest rzeczywistosc?
34.6
Na podstawie dyskusji przeprowadzonej w szczegolnosci w rozdz. 31-33 wiemy, ze wspolczesni fizycy nieodmiennie opisuj'l swiat w jyzyku modeli matematycznych, bez wzglydu na to, jakimi teoriami siy posluguj'l. To sprawia wraZenie, jakby usilowali umiejscowic "rzeczywistosc" w ramach platonskiego swiata idei matematycznych. Takie stanowisko wydaje siy konsekwencj'l kaZdej proponowanej "teorii wszystkiego", poniewaZ wtedy rzeczywistosc fizyczna jest jedynie przejawem czysto matematycznych praw. Jakjuz wyjasnialem, daleko jeszcze do opracowania takiej teorii i jest kwesti'l spornq, czy w ogole znajdziemy kiedykolwiek cos, co przypominaloby "teoriy wszystkiego". Bez wzglydu na to, co siy stanie, niew'ltpliwie, im bardziej zaglybiamy siy w sekrety Przyrody, tym dalej wkraczamy w platonski swiat idei matematycznych. Dlaczego tak siy dzieje? Dotychczas zagadnienie to pozostaje dla nas tajemnicq. Jest to pierwsza z trzech glybokich tajemnic, o ktorych mowilem w rozdz. 1.4, ilustruj'lC je na rys. 1.3, a ktore tutaj przedstawiam w nieco bardziej ozdobnej postaci na rys. 34.1. Ale czy pojycia matematyczne faktycznie istniej'l we wlasnym "swiecie"? Jesli tak, to wydaje siy, ze znaleilismy ty nasz'l ostatecznq rzeczywistosc i ze swiat, ktory zamieszkuje, jest calkowicie abstrakcyjny. Niektorzy z trudem przyjmuj'l fakt, ze swiat idei platonskich jest w kazdym sensie swiatem "rzeczywistym", i nie zadowala ich poglqd, iz swiat fizyczny zbudowany jest jedynie z abstrakcyjnych pojyc. Osobiscie uwazam, ze powinnismy zaakceptowac swiat Platona jako "rzeczywistosc" pojyc matematycznych (do czego przekonywalem w rozdz. 1.3), ale sprzeciwiam siy probom identyfikowania rzeczywistosci fizycznej z abstrakcyjn'l rzeczywistosciq §wiata platonskiego. Mam nadziejy, ze rys. 34.1, na ktorym kaZdy z trzech swiatow - matematyczny Platona, fizyczny i mentalny - rna swoj'l wlasn'l rzeczy-
J
J
},
J
r
r
~__""
(
///
"
! / " )//
Ji
,-}
// "
/1. / / "
/
/
Swiat psychiczny
Rys. 34.1. Powt6rzenie diagramu z rys. 1.3, przedstawiaj'!cego "trzy swiaty i trzy tajemnice", ale uzupelnionego 0 inne "idea/y platonskie", a wi«c Pi«kno i Moralnosc, w dodatku do Prawdy, kt6r,! znajdujemy w matematyce. Prawda i Pi«kno przepiataj,! si« ze sob'!, piykno teorii fizycznej jest pomocne w ocenie poprawnosci teorii w jej relacji do swiata fizycznego, podczas gdy Moralnosc jest w ca/osci zwi'lZana ze swiatem mentalnym.
989
34
Kt6r~dy
wiedzie droga do rzeczywistosci?
wistose i kazdy z nich (w sposob gl((boki i tajemniczy) jest osadzony w swiecie, ktory go poprzedza (swiaty naleiy rozpatrywae cyklicznie), dobrze oddaje moj pogl,!d na to zagadnienie. Podoba mi sit( mysl, ze z tej trojki swiat matematycznych idei Platona jest, w pewnym sensie, najbardziej prymitywny, poniewaz matematyka stanowi rodzaj koniecznosci, magicznie wyczarowuj'!c siebie sit,! samej logiki. Ale bez wzglt(du na to, jak jest naprawdt(, mamy tu do czynienia z inn,! tajemnic,!, z paradoksem, ktory dostrzegamy w cyklicznosci tych swiatow; kazdy z nich bowiem pozornie obejmuje calose swiata, jaki wystt(puje po nim, podczas gdy sam jest zwi,!zany jedynie z niewielk,! cz((sci,! tego, ktory go poprzedza.
34.7 Wpfyw mentalnosci na teorie fizyczne
990
Musimy pamit(tae, ze kazdy z tych "swiatow" charakteryzuje sit( odmiennym sposobem istnienia, mimo to nie s,!dzt(, zebysmy byli w stanie wlasciwie zrozumiee ktorykolwiek z nich w izolacji od dwu pozostalych. Poniewaz jednym z tych swiatow jest swiat mentalny, musimy udzielie odpowiedzi na pytanie 0 rol(( umyslu w teoriach fizycznych, a takZe zastanowie sit(, w jaki sposob mentalnose przejawia sit( w strukturach fizycznych (takich przynajmniej jak iywe, czujne, zdrowe ludzkie mozgi), z ktorymi jest zwi,!zana. W tej ksi,!zce celowo nie zaglt(bialem sit( w kwestit( rozumu i swiadomosci, pomimo ze te zagadnienia ostatecznie musz'! miee istotne znaczenie w naszych poszukiwaniach zrozumienia fizycznej rzeczywistosci. (Sprawami tymi zajmowalem sit( szeroko w innym miejscu, lecz tutaj nie chcialbym wchodzie w g'!szcz problemow, jakie sit( z nimi Wi,!Z,!24.) Nie byloby jednak wlasciwe, gdybym usilowal calkowicie zignorowae ten problem. Niezaleznie od tego, ze wszechswiat mentalny, zgodnie z rys. 34.1, powinien bye rozwazany w l'!cznosci z dwoma innymi swiatami, to w niniejszej pracy problem swiadomosci odgrywal istotn,! rol(( w omawianych teoriach fizycznych, zarowno posrednio, jak i bezposrednio. Jeden z przykladow wi,!ze si(( z zasad'! antropiczn'!, wspomnian,! w rozdz. 27.13, a bardziej szczegolowo omowion,! w rozdz. 28.6, 7. Jesli WszechSwiat moze "bye obserwowany", wowczas jest logiczn,! koniecznosci,!, zeby umozliwial istnienie swiadomego rozumu, poniewaz, w ostatecznym rachunku, to swiadomose odgrywa rol(( "obserwatora". Ten fundamentalny wymog oznacza nalozenie takich wi((zow na prawa fizyczne rz'!dz'!ce WszechSwiatem alba na odpowiednie parametry fizyczne, aby istnienie swiadomego umyslu bylo mozliwe nie tylko potencjalnie, ale faktycznie. Zgodnie z tym zasada antropiczna orzeka, ze Wszechswiat, ktory my, swiadomi obserwatorzy, faktycznie postrzegamy, funkcjonuje w ramach praw i wartosci parametrow, jakie musz'! bye zgodne z tymi wi((zami. Wi((zy te moglyby przejawiae si(( w szczegolnych wartosciach fundamentalnych stalych Przyrody, jak to omawialismy w rozdz. 31.1. Istotnie, stalo si(( dose powszechn'! praktyk'! przyjmowanie wartosci odkrywanych w Przyrodzie za wynik zastosowania zasady antropicznej.
Wplyw mentalnosci na teorie fizyczne
34.7
Niestety, nawet jesli wartosci tych stalych s,! rzeczywiscie okreslone przez zasady antropiczn,! - a nie, powiedzmy, przez jakies rozwazania natury matematycznej - to zasada owa jest prawie bezuZyteczna, poniewaz niewiele wiemy 0 warunkach koniecznych do istnienia i pojawienia siy swiadomosci. Jest ona praktycznie nie do zastosowania we wszechSwiecie nieskonczonym przestrzennie i zasadniczo jednorodnym (K ::;; 0), poniewaz w takim wszechSwiecie kazda konfiguracja materii, kt6ra moglaby pojawie siy w wyniku jakiegos przypadku, musialaby rzeczywiscie wyst,!pie w jakims miejscu, a zatem nawet najbardziej niesprzyjaj,!ce powstaniu swiadomego iycia warunki bylyby zgodne z zasad'! antropiczn,!; zob. rozdz. 28.6. Dlatego, moim zdaniem, znacznie bardziej optymistyczn'! ewentualnosci'! jest przyjycie, ze te stale fundamentalne s,! liczbami, kt6rych wartosci wyznacza matematyka. Jesli WszechSwiat jest przestrzennie nieskonczony, to takie stanowisko nie jest sprzeczne z zasad'! antropiczn'!. Zupelnie inn,!, wazn,! roly odgrywa swiadomose w wielu interpretacjach procedury R mechaniki kwantowej. Omawialismy to w rozdz. 29 (w szczeg6lnosci w rozdz. 29.7, 8). Rzeczywiscie, interpretacja mechaniki kwantowej, kt6r,! mozemy traktowae wrycz jako "konwencjonaln,!", w ostatecznym rachunku zwi'!zana jest z obecnosci,! "istoty postrzegaj,!cej", a zatem musimy wiedziee, czym jest "postrzeganie"! Przypomnijmy, ze zgodnie z filozofi,! szkoly kopenhaskiej (punkt widzenia (a) w rozdz. 29.1), nie naleiy traktowae funkcji falowej jako obiektywnego elementu fizycznej rzeczywistosci, ale jako cos, co istnieje "w umysle obserwatora". Ponadto, przynajmniej w jednym z jej sformulowan, interpretacja ta wyrnaga, zeby pomiar byl "obserwacj,!", co oznacza, ze musi bye procesem obserwowanym przez istoty mysl'!c'!, aczkolwiek, na poziomie praktyki eksperymentalnej, porniaru dokonuje "klasyczna" aparatura pomiarowa. Jednak odwolanie siy do klasycznej aparatury jest jedynie chwilowym wybiegiem, poniewaz kazda czyse aparatury sklada siy z element6w kwantowych i - nawet w przyblizeniu nie bydzie zachowywae siy klasycznie, jesli traktujemy j,! zgodnie z regulami standardowej kwantowej procedury U. (Jest to, m6wi,!c prosciej, zagadnienie kota Schrodingera - zob. rozdz. 29.7-9 i 30.10-13.) Podobnie przedstawia siy problem dekoherencji srodowiskowej (ewentualnose (c) w rozdz. 29.1), poniewaz niedostypnose informacji "straconej w otoczeniu" nie oznacza, w sensie obiektywnym, rzeczywistej utraty. Ale koncepcja "utraty subiektywnej" prowadzi ponownie do zagadnienia "subiektywnie postrzeganej - przez kogo?", a wiyc wracarny do kwestii swiadomego obserwatora. W kazdym razie, nawet w przypadku dekoherencji srodowiskowej, skoro stoimy na stanowisku, ze procedura U daje "prawdziwy" opis kwantowy ewolucji WszechSwiata, to jestesmy zmuszeni zgodzie siy z koncepcj,! wielu swiat6w (ewentualnose (b) w rozdz. 29.1). Taki punkt widzenia jawnie zaleiy od tego, czy wlasciwie rozumiemy, co sklada siy na pojycie "swiadomego obserwatora", poniewaz kazda postrzegana "rzeczywistose" jest zwi,!zana ze "stanem obserwatora", a zatem nie mozemy wiedziee, jakie stany rzeczywistosci (tzn. jakie
991
34
Kt6r~dy
wiedzie droga do rzeczywistosci?
"swiaty") s:,! dozwolone, dopoki nie wiemy, jakie s:,! dozwolone stany obserwatora. Inaczej mowi:,!c, zachowanie siy swiata, ktory jest aktualnie postrzegany i jak siy wydaje - rna charakter obiektywny, zaleZy od tego, w jaki sposob swiadomose obserwatora przebija siy przez niezliczon:,! ilose alternatywnych superpozycji kwantowych. Dopoki nie mamy adekwatnej teorii swiadomych obserwatorow, dopoty koncepcja wielu swiatow pozostanie, w zasadniczy sposob, niezupelna (zob. rozdz. 29.8)25. Formalizm spojnych historii (alternatywa (d) w rozdz. 29.2) rowniez jawnie zaleZy od tego, co rozumiemy przez pojycie "obserwatora" (w koncepcji Gell-Manna-Hartle'a26 pojycie to jest okreslane terminem IGUS[·J). TakZe sugestia Wignera (alternatywa (f) w rozdz. 29.2) na temat swiadomosci (a bye moze w ogole kazdego systemu obdarzonego Zyciem), ktora moglaby naruszae proces ewolucji U, w jawny sposob odwoluje siy do roli umyslu (lub czegokolwiek, co sklada siy na pojycie "obserwatora") w interpretacji mechaniki kwantowej. Wydaje mi siy, ze jedynymi interpretacjami niezwi:,!zanymi z pojyciem "swiadomego obserwatora" s:,! koncepcja de Broglie'a-Bohma (alternatywa (e) w rozdz. 29.2)27 oraz wiykszose tych, ktore wymagaj:,! fundamentalnej zmiany w regulach mechaniki kwantowej (alternatywa (f) w rozdz. 29.2); procedury U i R stanowiC! w nich jedynie przyblizenia do jakiejs obiektywnie rzeczywistej ewolucji fizycznej. Jak to juz stwierdzilem w wielu miejscach tej pracy (a specjalnie w rozdz. 30), jestem zwolennikiem poglC!du, ze przejscie od ewolucji kwantowej U do obiektywnej redukcji R (tzn. OR) wi:'!ze siy z fenomenem grawitacji. Proces grawitacyjnej OR dokonuje siy spontanicznie i nie wymaga udzialu swiadomego obserwatora. W zwyklych warunkach procesy OR powinny zachodzie nieustannie. W rezultacie mozemy stwierdzie, ze jako bardzo dobre przyblizenie pojawia siy, w wielkiej skali, obraz klasycznego swiata. Zgodnie z tc! filozofi:,!, nie wymagamy obecnosci swiadomego obserwatora, aby w momencie pomiaru uzyskae redukcjy stanu kwantowego (R). Rownoczesnie jednak wyobrazam sobie, ze fenomen swiadomosci - ktory uwazam za neczywisty proces fizyczny, powstaj:,!CY "na zewn:'!trz" w swiecie fizycznym - w sposob zasadniczy korzysta z procesu OR. A zatem moje stanowisko jest w zasadzie odwrotne do referowanych poprzednio, w ktorych - w taki czy inny sposob - uwaza siy, ze to swiadomose odpowiada za proces R. Jestem przekonany, ze to rzeczywisty fizyczny proces R jest odpowiedzialny (czysciowo) za istnienie swiadomosci28 ! Czy ta hipoteza moze bye zbadana doswiadczalnie? Wierzy, ze tak. Przede wszystkim dziyki wskazaniom, ze istniej:,! struktury w mozgu, ktore mogC! bye zwiqzane bezposrednio z tym procesem, w szczegolnosci mikrotubule neuronowe sieci A, co pierwszy sugerowal Stuart Hameroff29 (ale bye moze rowniez inne struktury,
992
[*] IGUS = Information Gathering and Utilizing System - System Gromadzenia i Uiytkowania Informacji (przyp. Hum.).
Wplyw mentalnosci na teorie fizyczne
34.7
takie jak kolbki synaptyczne30 , ktore budow,! przypominaj,! cz,!steczki C60), pojawita sier szansa, ze hipoteza ta berdzie mogla bye zweryfikowana. Taki proces wymagalby swego rodzaju koherencji kwantowej w duzej skali, a wierc przynajmniej na rozs,!dnie duZym obszarze mozgu (bylby wierc w pewnym stopniu podobny do zjawiska nadprzewodnictwa wysokotemperaturoweg0 31 ; zob. rozdz. 28.1), w ktorej wain,! roler odgrywalyby mikrotubule neuronowe sieci A. Wyst,!pienie w nich "zdarzenia swiadomosciowego" byloby zwi,!zane z czersciow'! redukcj,! stanu tego ukladu kwantowego (l,!czne i zharmonizowane OR). Proces taki musialby zachodzie jednoczesnie w roznych czersciach mozgu w celu uzyskania dostatecznie koherentnego ruchu cz'!steczek bialka, w wyniku czego otrzymalibysmy grawitacyjn,! OR, zgodnie ze schematem opisanym w rozdz. 30.11, 12. Istnieje niezwykle ciekawa propozycja wysunierta przez Andrew Dugginsa, ktorej zastosowanie pozwoliloby na przetestowanie tych idei, aczkolwiek nie jest ona specjalnie zwi'!zana z hipotez,! mikrotubuli, a raczej z faktem, ze za rozne aspekty postrzegania (takie jak percepcja ruchu, koloru czy ksztahu) odpowiedzialne S,! rozne obszary mozgu i wszystkie te rozne aspekty l'!cz'! sier, tworz'!c pojedynczy obraz. Ten proces jest czasami nazywany problem em wiqzania (binding problem). Pomysl Dugginsa polega na sprawdzeniu, czy w procesie formowania swiadomego obrazu nie dochodzi do znacz'!cego pogwalcenia nierownosci Bella, co wskazywaloby na wysterpowanie efektow typu EPR (rozdz. 23.3-5), a to z kolei sugerowaloby, ze efekty kwantowe na dUZych odleglosciach stanowi,! czerse procesu swiadomej percepcji. Wsterpne wyniki S,! niejednoznaczne, ale zachercaj,!ce wrazenie sprawiaj,! pewne ich aspektl2. Bez wzglydu na to, jak oceniamy status tych koncepcji, s,!dzy, ze kazda "fundamentalna" teo ria fizyczna, ktora pretenduje do jakiejs zupelnosci na najbardziej podstawowym poziomie zjawisk fizycznych, musi rowniez umozliwie uwzglerdnienie zjawiska swiadomosci. Niektorzy usiluj,! omin,!e (albo zbagatelizowae) ten problem, utrzymuj,!c, ze swiadomose "pojawia siy" jako zjawisko towarzysz'!ce i wtorne (epiphenomenon). W takim razie - tak przynajmniej twierdz,! - pojawienie sier swiadomosci nie jest zwi,!zane z jakims precyzyjnym modelem fizycznym stanowi'!cym podstawer odpowiednich procesow (niekoniecznie biologicznych). Takie standardowe stanowisko mozemy okrdlie jako funkcjonalizm obliczeniowy (computational functionalism), zgodnie z ktorym swiadomose jest wynikiem jedynie pewnej aktywnosci obliczeniowej 0 odpowiednim, aczkolwiek jeszcze nieokreslonym, charakterze. Bardzo mocno przeciwstawialem siy temu pogl,!dowi (posluguj,!c siy czysciowo rozumowaniem opartym na twierdzeniu Godla oraz koncepcji obliczalnosci Turinga - zob. rozdz. 16.6) i sugerowalem, ze swiadomose musi bye zwi'!zana z brakuj,!c,! wci,!z (grawitacyjn,!) teori,! OR33. Moja propozycja zaklada, ze brakuj,!ca teoria rna charakter niekomputacyjny (tzn. jej procedury leZ,! poza zasiergiem symulacji obliczeniowej maszyny Turinga; rozdz. 16.6). Koncepcje teoretyczne zmierzaj,!ce do skonstruowania odpowiedniego modelu OR S,! na etapie wsterpnym, ale bye moze istnieje juz jakis zal'!zek teorii.
993
34
Kt6r~dy
wiedzie droga do rzeczywistosci?
34.8 Nasza zmudna matematyczna droga do rzeczywistosci
994
Mam nadziejy, ze z dyskusji przeprowadzonej w poprzednich rozdzialach wynika jasno, iZ znajdujemy siy wciqi bardzo daleko od osi,!gniycia naszego celu, jakim jest zrozumienie natury rzeczywistego Swiata. Bye moze nigdy nie zdolamy osi,!gn,!c tego celu, a byc moze pojawi siy jakas ostateczna teoria, w ramach ktorej to, co nazywamy "rzeczywistosci'!", stanie siy, przynajmniej w zasadzie, zrozumiale; bydzie to teoria bardzo rozna od teorii fizycznych, ktore poznalismy do tej pory. Po trwaj,!cych juz ponad dwa i pol tysi,!ca lat poszukiwaniach powinnismy zrozumiec, ze istnieje glyboki zwi¥ek34 miydzy pewnymi dziedzinami matematyki a funkcjonowaniem swiata fizycznego i zwi¥ek ten stanowi "pierwsz,! tajemnicy" przedstawion,! na rysunkach 1.3 i 34.1. Jesli "droga do rzeczywistosci" rna kiedys doprowadzic nas do celu, to moim zdaniem koncowy punkt charakteryzowae musi lez'!ca u podstaw glyboka prostota, ktorej nie dostrzegam w zadnej z istniej,!cych obecnie teorii. Intuicja staroi:ytnych Grekow, ktora podpowiadala im, ze to matematyka ujmuje wlasciwie funkcjonowanie rzeczywistosci fizycznej, oddala nadzwyczajne uslugi imam nadziejy, ze udalo mi siy jasno pokazac, iZ niezaldnie od odleglosci, jaka nas dzieli od celu, uzyskalismy naprawdy imponuj,!c,! wiedzy 0 zachowaniach WszechSwiata na najniZszym ze znanych nam poziomow. Niektore z poznanych koncepcji matematycznych mialy w przeszlosci niebagatelne znaczenie i konsekwencje. Wsrod nich poczesne miejsce zajmowaly cialo liczb rzeczywistych i idea geometrii. Na pocz'!tku byla to geometria Euklidesa, najpierw systematycznie studiowana przez staroi:ytnych Grekow, a potem jej idee zostaly kapitalnie rozwiniyte w pracach Lamberta, Gaussa, Lobaczewskiego, Bolyaia, Riemanna, Beltramiego i innych. Wtedy pojawil siy Minkowski, ktory nas nauczyl, jak pol,!czye czas z przestrzeni'!, a nastypnie Einstein przedstawil nam swoj,! wspanial,! geometriy zakrzywionej czasoprzestrzeni ogolnej teorii wzglydnosci. Rachunek rozniczkowy i calkowy Archimedesa, Fermata, Newtona, Leibniza, Eulera, Cauchy ego, Cartana i wielu innych, a takZe zwi'!zane z nim idee rownan rozniczkowych, rownan calkowych i pochodnych wariacyjnych - udowodnily swoje kluczowe znaczenie dla teorii opisuj,!cych z sukcesem funkcjonowanie swiata i wszystkie one w glyboki sposob l'!cz'! siy z ideami geometrii. Fundamentalne znaczenie mialy idee fizyki statystycznej; Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Einstein i inni nauczyli nas, jak z ich pomoc,! radzic sobie z wielkimi i skomplikowanymi ukladami, skiadaj,!cymi siy z niezliczonej ilosci pojedynczych elementow. Matematyka tworzy podstawowy szkielet mechaniki kwantowej, od formalizmu macierzowego Heisenberga przez przestrzenie zespolone Hilberta, algebry Clifforda, teorie reprezentacji, nieskonczenie wymiarow,! analizy funkcjonaln,!, do koncepcji Diraca, von Neumanna i wielu innych. Chcialbym wyroznie dwa obszary matematyki, ktore maj,! szczegolne znaczenie dla zrozumienia funkcjonowania swiata, i przedyskutowac je kolejno, poniewaz jestem przekonany, ze ukazuj,! bardzo wazne aspekty naszych teorii fizycznych, a nie poswiycono im dot,!d dostatecznej uwagi. Pierwszym z nich jest system liczb zespolonych, ktory odgrywa tak fundamentaln,! roly w operacjach mechaniki
Nasza imudna matematyczna droga do rzeczywistosci
34.8
kwantowej - w przeciwienstwie do systemu liczb rzeczywistych, kt6ry stanowil fundament wszystkich poprzednich teorii. Drugim jest symetria, kt6ra miala centralne znaczenie w prawie wszystkich teoriach XX wieku, w szczeg6lnosci w zwhp:ku z teori,! cechowania oddzialywan fizycznych. Najpierw porozmawiajmy 0 liczbach zespolonych. Stale powracaj,!cym motywem tej pracy bylo przypominanie, ze mamy do czynienia nie tylko ze szczeg6ln,! magi,! ukryt,! w matematyce tych liczb, ale ze sarna Natura wykorzystala tt( magit( w procesie funkcjonowania WszechSwiata na jego najglt(bszych poziomach. Wolno wszak zapytac, czy to jest rzeczywiscie prawdziwa cecha charakterystyczna naszego Swiata, czy moze jedynie kwestia wygody matematycznej i uZytecznosci tych liczb, kt6re uzasadniaj,! ich szerokie wykorzystanie w teoriach fizycznych. Przypuszczam, ze wielu fizyk6w przychyli sit( raczej do tej drugiej opinii. Myslt( jednak, ze nawet dla nich pozostanie tajemniq - wymagaj,!c,! jakiegos wyjasnienia - fakt, ze rola tych liczb okazuje sit( tak uniwersalna w strukturze teorii kwantowej, w fundamentalnej zasadzie kwantowej superpozycji, nastt(pnie - choc w nieco innej postaci - w r6wnaniu Schr6dingera, w warunku dodatnich czt(stosci i w niekonczenie wymiarowej "strukturze zespolonej" (rozdz. 26.3) kwantowej teorii pola. Tacy fizycy uWaZaj,! liczby rzeczywiste za "naturalne", a liczby zespolone za "tajemnicze". Z matematycznego punktu widzenia w liczbach rzeczywistych nie rna niczego specjalnie "naturalnego", co r6zniloby je od liczb zespolonych. W istocie, bior,!c pod uwagt( nieco magiczny status matematyczny liczb zespolonych, mozna by przyj,!c stanowisko przeciwne i rozpatrywac je jako znacznie bardziej "naturalne" i "od Boga dane" niZ liczby rzeczywiste. Moim zdaniem znaczenie liczb zespolonych - albo, bardziej szczeg610wo, znaczenie holomorficznosci (czyli analitycznosci zespolonej) - w podstawowych problemach fizyki powinno byc istotnie uWaZane za "naturalne", ana zagadkt( "naturalnosci" naleZy spojrzec z odwrotnej stront5 • Jak to sit( dzieje, ze struktury neczywiste odgrywaj,! tak wielk,! rolt( w fizyce? Trzeba sobie zdawac sprawt(, ze nawet standardowy formalizm mechaniki kwantowej, aczkolwiek oparty na liczbach zespolonych, nie jest teori,! calkowicie holomorficzn'!. Widzimy to w z,!daniu, aby obserwable kwantowe byly opisywane za pomoc,! operator6w hermitowskich (a nawet normalnych, jak to przedstawilem w rozdz. 22.5), oraz unitarnej (a nie po prostu liniowej zespolonej) natury ewolucji kwantowej, zwi,!zanej z pojt(ciem sprzt(zenia zespolonego (z HZ). St,!d okazuje sit(, ze waZna wlasnosc ortogonalnosci stan6w nie jest pojt(ciem holomorficznym. Wlasnosc hermitowskosci wi¥e sit( ze zwyklym (ale nie calkiem koniecznym) z,!daniem, zeby wyniki pomiar6w byly liczbami rzeczywistymi, natomiast unitarnosc z warunkiem "zachowania prawdopodobienstwa", tzn. z zachowaniem reguly kwadratu modulu (l'!czy sit( to z pomiarami), na mocy kt6rego amplituda Z przechodzi w prawdopodobienstwo, zgodnie z nieholomorficzn,! operacj,! ZHZZ.
Okazuje sit( wit(c, ze w zasadzie holomorficznosc kwantowa zostaje zlamana podczas konwersji "informacji kwantowej" (tzn. quanglementu - zob. rozdz. 23.10)
995
34
Kt6rQdy wiedzie droga do rzeczywistosci?
996
w "informacjy klasyczn~" (prawdopodobienstwo wyniku pomiaru). Ortogonalnose alternatyw jest ponownie k1uczow~ cech~ pomiaru. A zatem nieholomorficznose pojawia siy dokladnie w tym miejscu, w ktorym do teorii kwantowej wprowadzamy pomiar. Oczywiscie, dostrzegamy roly liczb rzeczywistych rowniez w czasoprzestrzeni tla, w ktorej osadzony jest formalizm teorii kwantowej. Jesli grawitacyjna OR rna bye prawdziw~ podstaw~ kwantowej redukcji stanu, wowczas rzeczywista (nieholomorficzna) struktura aktualnej czasoprzestrzeni bydzie wi~zala siy ze struktur~ operacji z ~ zz. Bye moze jest w tym zawarta informacja dla specjalistow od teorii twistorow, w szczegolny sposob zwi~ana z rol~, jak~ odgrywaj~ w niej operacje holomorficzne. Czy powinnismy natomiast spodziewae siy, ze z magii liczb zespolonych wyniknie jakas rola dyskretnych zasad kombinatorycznych, a wiyc ze "czasoprzestrzen" powinna miee raczej struktury dyskretn~, a nie opart~ na liczbach rzeczywistych (zgodnie z dyskusj~ przeprowadzon~ w rozdz. 3.3, 5, 32.6 i 33.1)? W kazdym razie jestem przekonany, ze mamy tu do czynienia z bardzo waZnymi zagadnieniami, dotycz~cymi matematycznej podstawy rzeczywistosci fizycznej. Wroemy teraz do fundamentalnej roli, jak~ we wspolczesnych teoriach fizycznych odgrywa symetria, bez w~tpienia pojycie bardzo uZyteczne. Zarowno teoria wzglydnosci (w zwi~zku z grup~ Lorentza), jak i teo ria kwantowa korzystajq z niego w istotny sposob. Ale czy mozemy uWaZae symetriy za fundamentalny element funkcjonowania Natury, czy jest to cecha przypadkowa alba jedynie przyblizona? Wydaje mi siy, ze wiele wspolczesnych podejse do teorii czqstek elementarnych w dogmatyczny sposob traktuje symetriy jako fundamentalnq wlasnose, natomiast odchylenia od symetrii uwazane Sq za skutek jej zlamania we wczesnych stadiach rozwoju WszechSwiata. Istotnie, jak zauwai:ylismy w rozdz. 13.1 i 15.2, 4, dokladna symetria jest cechq koniecznq idei koneksji wiqzkowej. Co wiycej, na podstawie rozdz. 25.5, 8 pamiytamy, ze standardowe podejscie do teorii oddzialywan elektroslabych uznaje symetriy V(2) za fundamentalnie dokladnq, wobec czego moze ona rzeczywiscie odgrywae roly symetrii cechowania sit elektroslabych (rozdz. 15.1,8), natomiast uwaza siy, ze okolo 10-12 sekundy po Wielkim Wybuchu symetria ta zostala spontanicznie zlamana. Z rozdz. 28.3 przypominamy sobie informacje 0 pewnych trudnosciach z uznaniem, ze we wczesnym Wszechswiecie rzeczywiscie istnialy mozliwosci zajscia takiego procesu. Wqtpliwose odnosi siy nie tylko do symetrii V(2) oddzialywan elektroslabych, ale taue do znacznie wiykszych symetrii, jakie wykorzystywane Sq w teoriach TWU. Ale czy naprawdy grupy symetrii,jakie pojawiajq siy w teoriach TWV, upraszczajq nasz obraz fizyki czqstek elementarnych? Czy nie byloby latwiej, gdyby wiele z tych symetrii nie zostalo, fundamentalnie, zlamanych na samym poczqtku? Z takiej perspektywy (niesprzecznej nawet z teori~ oddzialywan elektroslabych; zob. rozdz. 28.3) wiele symetrii, ktore zauwazamyw naszych teoriach fundamentalnych, byloby jedynie przyblizonymi i musielibysmy siygnqe nieco glybiej, aby zrozumiec, skqd wziyly siy te widoczne symetrie.
Nasza imudna matematyczna droga do rzeczywistosci
34.8
W zwyklej teorii kwantowej mamy przyklady obu typow zlamanej symetrii. Z jednej strony istniej,! dobrze rozumiane zjawiska, w ktorych spontaniczne lamanie symetrii wystypuje jawnie, jak w zjawisku nadprzewodnictwa (zlamanie symetrii U(1)) i w innych. Z drugiej strony mamy przyklady, w ktorych idee symetrii pozwalaj,! swietnie zrozumiee zjawisko, ale jednoczesnie wiemy, ze jest to jedynie przyblizenie, poniewaZ istnieje teoria dokladniejsza, na glybszym poziomie, ktora jest mniej symetryczna, na przyklad w przypadku klasyfikacji widm atomowych 36 • Dopiero w przyszlosci okaze siy, ktora z tych sytuacji rna wiyksze znaczenie dla pelniejszej, przyszlej teorii cz,!stek elementamych37 • Warto zauwaZye w tym miejscu, ze istniej,! sytuacje, w ktorych pojawia siy dokladna symetria nawet w przypadku struktur pocz'!tkowo niewykazuj,!cych zadnej symetrii. Przykladem jest sarna sfera Riemanna, ktor,! mozemy sobie wyobrazie jako zlozon'! z lat plaszczyzny zespolonej, w taki sposob, ktory nie wykazuje jakiejkolwiek symetrii. Zakladaj,!c jednak, ze topologiy powstalej w ten sposob rozmaitosci zespolonej stanowi rzeczywiscie S2, stwierdzamy, ze jest ona rownowaina sferze Riemanna jako rozmaitosci zespolonej (na mocy twierdzenia Riemanna), wobec czego jej grup,! symetrii jest dokladnie grupa SL(2, q, a wiyc bezodbiciowa grupa Lorentza (rozdz. 18.5), niezaleznie od tego, jak bardzo nieregulamie skladalibysmy te kawalki 38 • Z tymi uwagami wiqz,! siy pytania 0 tajemnicze, czysto liczbowe stale Przyrody (rozdz. 31.1). Czy zostaly one zdeterminowane w najwczdniejszych stadiach rozwoju WszechSwiata (jak tego chcq propozycje typu Wheeler a i Smolina, 0 ktorych m6wilismy w rozdz. 28.6), w analogii do koncepcji spontanicznego zlamania symetrii? Rzeczywiscie, niekt6re z tych stalych, takie jak k,!ty Cabibbo i Weinberga (rozdz. 25.7), mogly powstae w taki spos6b. Czy tez liczby te mog'! bye wyznaczone matematycznie na podstawie jakiejs glybszej, bardziej podstawowej teorii? Takie stanowisko byloby blizsze moim pogl,!dom na to zagadnienie, ale na razie jestdmy daleko od wiarygodnej teorii 39 • Interesujqc,! kwesti,! z tym zwiqzanq jest symetria chiralna slabych oddzialywan (rozdz. 25.3). W zwyklym podejsciu do standardowego modelu symetria chiralna jest wbudowana w ramy teorii. Obecnie natomiast wydaje siy, ze neutrina (a przynajmniej wiykszose z nich) Sq cZqstkami masywnymi (tzn. 0 niezerowej masie spoczynkowej) i fakt ten stanowi odchylenie od oryginalnego modelu standardowego oddzialywan elektroslabych. Nie mozna po prostu "oskarzae" lewoskrytnego neutrina 0 calq asymetriy chiralnq slabych oddzialywan. Neutrino masywne nie jest calkowicie lewoskrytnq cz'!stkq "zyg", poniewaz obdarzone maSq, musi r6wniez miee czyse prawoskrytn,! "zak" (zob. rozdz. 25.2). Mozna uWaZae, ze w pewnych sformulowaniach modelu standardowego (nieco uog6lnionego, aby rozpatrzye istnienie neutrin masywnych) uwzglydnia siy spontaniczne zlamanie symetrii modelu, kt6ry byl pocz'!tkowo lewo-prawo-symetryczny. Ale w takim przypadku "konwencjonalny" punkt widzenia zaklada, ze ta asymetria istniala tam od pocz'!tku, a nie powstala w wyniku spontanicznego zlamania symetrii we wczesnym WszechSwiecie.
997
34
Kt6r~dy
wiedzie droga do rzeczywistosci?
Moglibysmy tez zastanawiae siy, czy asymetria wzglydem odbicia czasu (wymaga jej analiza przedstawiona w rozdz. 27 i 28) nie jest zagadnieniem, ktore nalezaloby z tej perspektywy ponownie przeanalizowae. Jednak nie pojawi siy ona w wyniku konwencjonalnego "spontanicznego zlamania symetrii we wczesnym Wszechswiecie". Podejscie konwencjonalne wykorzystuje Drugie Prawo Termodynamiki; nie moze wiyc bye uZyte do jego wyprowadzenia.
34.9
998
Pi~kno
i cuda
Powroemy teraz do pewnych bardziej ogolnych i zagadkowych aspektow matematyki, ktore lez,! u podstaw teorii fizycznej na jej najbardziej zasadniczym poziomie. Dwie potyzne wewnytrzne sily napydowe bardzo mocno wplynyly na kierunki teoretycznych poszukiwan, aczkolwiek rzadko wymieniane S,! w powainych publikacjach naukowych - z obawy, niew'!tpliwie, ze tego rodzaju wplywy S,! zbyt odlegle od surowych regul wlasciwych procedur badawczych. Pierwsz'! z nich jest piykno albo elegancja, 0 ktorych wielokrotnie wspominalem na kartach tej ksi,!zki. Drug,! z nich, nieodpart'! pokusy, cZysto okreslan,! terminem "cudu", jedynie sygnalizowalem (w rozdz. 19.8,21.5 i 31.14); jednak na podstawie mojego osobistego doswiadczenia mogy powiedziee, ze wywiera ona potyzny wplyw na kierunek poszukiwan. Zanim przejdziemy do kwestii cudow, ktora jest glownym tematem tego rozdzialu, zajmijmy siy najpierw kwesti,! piykna, poniewaz te dwie jakosci S,! nierozl'!czne. J ak juz nieraz wskazywalem, wiele koncepcji, ktore odegraly duz,! roly w rozwoju fizyki teoretycznej, mozna uwazae za zniewalaj,!co piykne. Nie ulega w'!tpliwosci piykno geometrii Euklidesa, ktora utworzyla podstawy pierwszej calkowicie dokladnej teorii fizycznej, a mianowicie teorii przestrzeni, sformulowanej przez staroiytnych Grekow. Poltora tysi,!ca lat pozniej zetknylismy siy z niezmiern
Pi~kno
i cuda
34.9
Spr6bujmy przyjrzee siy niekt6rym piyknym i glybokim teoriom matematycznym, w kt6rych wplywy fizyki - przynajmniej dotychczas - byly minimalne. Jednym z takich przyklad6w jest teoria nieskonczonosci Cantora. Moim zdaniem to jedna z najwspanialszych konstrukcji matematycznych w calej historii matematyki. A jednak wydaje siy, ze niewiele z tej teorii rna jakies odniesienie do znanego nam swiata fizycznego (zob. rozdz. 16.3,4, 7). To sarno odnosi siy do innego monumentalnego osi,!gniycia matematyki, kt6re jest niew'!tpliwie pochodn,! teorii nieskonczonosci Cantora, a mianowicie do slynnego twierdzenia Godla 0 nierozstrzygalnosci (rozdz. 16.6). Piykne i dalekosiyzne koncepcje znajdujemy w teorii kategorii (rozdz. 33.1), ale na razie nie maj,! one wiykszego zwi'!Zku z fizyk'!. W przypadku tych dw6ch ostatnich dziedzin pojawiaj,! siy oznaki, ze mog,! one miee wiyksze znaczenie w fizyce XXI wieku (rozdz. 34.7, 33.1), ale s,! to tylko spekulacje. Znacznie mniej prawdopodobne wydaje siy, ze pojawi,! siy waZne zwi'!Zki z fizyk,! w przypadku innych, niezwykle piyknych koncepcji matematycznych, kt6re juz poznalismy. Przypomnijmy kapitalne dwudziestowieczne osi,!gniycie Andrew Wilesa, kt6ry przeprowadzil dow6d Wielkiego Twierdzenia Fermata, poszukiwany od przeszlo 350 lat. Osi,!gniycie to wydaje siy bardzo odlegle od praw fizyki, przynajmniej w obecnym rozumieniu, niezaleznie od wspanialosci mysli matematycznej, jakie zawiera. W XX wieku bylismy swiadkami wielu innych cudownych osi,!gniye matematyki, takich jak klasyfikacja grup prostych, zar6wno ci,!glych, jak dyskretnych. W tym ostatnim przypadku koncepcje te znalazly zastosowanie w fizyce, jednak nie mozemy uWaZae, iz teoria grup prostych daje nam jak,!s "teoriy fizyczn'!". Po prostu ta klasyfikacja matematyczna pozwala fizykom zorientowae siy, jakie S,! mozliwosci. A oto inny przyklad. W XIX wieku bylismy swiadkami pojawienia siy wspanialej teorii funkcji ~ Riemanna i jej zwi'!Zku z rozkladem liczb pierwszych. Teoria ta wydaje siy bardzo odlegla od fizyki, niezaleznie od niekwestionowanego piykna i wielkiego matematycznego znaczenia tej wci,!z nieudowodnionej hipotezy Riemanna (rozdz. 7.4). W rzeczywistosci zachodz'! tutaj pewne intryguj,!ce zwi,!zki z fizyk,!40, trudno jednak utrzymywae, ze teoria Riemanna tworzy cos przypominaj,!cego model swiata fizycznego. Czy mamy zatem oczekiwae, ze pojawi siy scislejszy zwi'!Zek wiykszej czysci glybokiej i piyknej matematyki z fizyk,! przyszlosci? Czy tez sukcesy fizyki matematycznej daj,! nam tylko zludzenie bliskosci zwi,!zku matematyki z fizyk,!, silniejszego niz w rzeczywistosci? Problem ten zwiyzle ujmuje rys. 1.3. Jak wielka czyse platonskiego swiata idei matematycznych leZy u podstawy strzalki, kt6ra ilustruje nam "pierwsz,! zagadky "? Mozemy r6wniez zapytae, czy istnieje jakis spos6b, aby okreslie rodzaj matematyki, kt6ry moze miee zastosowanie przy opisie praw rz'!dz'!cych naszym Swiatem. To intryguj,!ca kwestia. Bye moze odkrycie tego kluczowego czynnika, kt6ry odpowiada za tajemnicze zwi'!Zki miydzy matematyk'! a ftzyk,!, bydzie w przyszlosci mozliwe. Mam nadziejy, ze przeprowadzone przeze mnie rozwaZania wyjasnily czytelnikowi, iz matematyczna uroda teorii jest, w najlepszym wypadku, niewystarczaj,!-
999
34
Kt6r~dy
wiedzie droga do rzeczywistosci?
cym przewodnikiem, chociaz, na co tez zwracalem uwagy w wielu rozdzialach tej ksi(!zki, nie mozna w(!tpic, iZ estetyczna ocena odgrywa wielk(! roly, zarowno w matematyce, jak i fizyce, przy podejmowaniu decyzji co do tego, jaki kierunek badan obierzemy. Elementy takiej oceny maj(! bardzo subtelny charakter i latwo zrozumiec, maj(!c do wyboru wiele alternatywnych mozliwosci, ze istotn(! roly odgrywaj(! wzglydy natury subiektywnej. Czasami zdarza siy, gdy poszukujemy matematycznej teorii swiata fizycznego, ze pojawia siy cos, co wywiera bardziej przemozny wplyw na kierunek naszych badan niZ sarna elegancja matematyczna. Zdarzenia tego rodzaju okreslam mianem "cudow". Mogy przytoczyc wiele sytuacji tego rodzaju w historii idei "grawitacji kwantowej". Jednym z przykladow jest teoria supergrawitacji (rozdz. 31.2). Podczas gdy podejscie perturbacyjne do KTP, zastosowane do standardowej ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina, prowadzilo do pojawienia siy nierenormalizowanych rozbieZnosci w drugim rZydzie rachunku zaburzen, to dziyki wprowadzeniu supersymetrii nagle okazywalo siy, ze te rozbiezne wyrazy cudownie wzajemnie siy znosz(!41. To "znoszenie siy" osobliwosci uwzglydnialo mnostwo wyrazow i przez pewien czas specjalisci od supergrawitacji uWaZali, ze ten oczywisty "cud" jest sygnalem, iz teoria odnalazla wlasciw(! drogy, a wiyc naleZy oczekiwac renormalizowalnosci we wszystkich rZydach, i ze prawdziwa kwantowa teoria grawitacji jest w zasiygu ryki! Niestety, kiedy udalo siy przeprowadzic obliczenia w trzecim rZydzie rachunku zaburzen, okazalo siy, ze nierenormalizowalne rozbieZnosci pojawily siy znowu. Fakt ten skierowal uwagy na kwestiy wyzszych wymiarow, ale rozwoj teorii zostal na jakis czas zahamowany. Pod koniec lat dziewiycdziesi(!tych XX wieku koncepcje supergrawitacji odZyly jako cZysc programu prowadz(!cego do teorii M, jak to omawialismy w rozdz. 31.4, 14. Jestem pewien, ze zarowno w teorii strun, jak i w teorii M znacz(!C
Pi~kno
i cuda
34.9
Czy takie cudowne zdarzenia mozna uwazae za wlasciwe drogowskazy sluZ,!ce do poszukiwan teorii fizycznej? To jest powaZne i trudne pytanie. Mogy sobie wyobrazie, ze czasami tak jest, ale trzeba w tych sprawach bye nadzwyczaj ostroznym. Jest calkiem mozliwe, ze odkrycie przez Diraca, iz jego relatywistyczne rownanie falowe automatycznie uwzglydnia spin eIektronu, wygl,!dalo na cud; podobnie jak uZycie przez Bohra kwantyzacji momentu pydu do uzyskania poprawnego widma atomu wodoru; alba gdy Einstein zdal sobie sprawy, iz jego podejscie do grawitacji, za pomoq zakrzywionej przestrzeni ogolnej teorii wzglydnosci, prowadzi do poprawnej odpowiedzi na temat ruchu peryhelium Merkurego - kwestii, ktora stanowila zagadky dla astronomow przez przeszlo 70 lat. Wszystko to byly wlasciwe konsekwencje fizyczne wczesniej sformulowanych teorii, a te "cuda" stanowily jedynie ich imponuj,!ce potwierdzenie. Jest znacznie mniej zrozumiale, na czym polega sila czysto matematycznych cudow, takich jak w przypadku supergrawitacji lub symetrii lustrzanej. Kiedy w koncu potrafimy matematycznie zrozumiee, na czym polega ten matematyczny cud, to takie wyjasnienie moze, w pewnym stopniu, zlikwidowae ty aureoly cudownosci. Ale nawet wtedy nie musi to oznaczae, ze zniszczylismy psychologiczn,! sily samego cudu, ktor'! zawsze naleZy rozpatrywae z odpowiedniej perspektywy historycznej. Jest jednak niew'!tpliwe, ze takich matematycznych cudow nie mozna zawsze traktowae jako wlasciwych drogowskazow. Podczas moich prac nad teori'! twistorow niejednokrotnie odkrywalem niezwykle zachycaj,!ce fakty, ktore w tym sensie, w jakim uZywam tutaj tego slowa, mogly bye zakwalifikowane jako "cuda". Jednym z takich przykladow bylo odkrycie (rozdz. 33.8), ze jednorodne funkcje pojedynczych twistorow generuj,! ogolne rozwi'!Zania rownan pola bezmasowego, za inny przyklad moze sluZye konstrukcja nieliniowego grawitonu (rozdz. 33.11). Czy takie odkrycia mog,! bye przekonuj'!cym argumentem, ze teoria twistorow "jest na dobrej drodze"? Trzeba tu zachowae ostroznose. Nie chcy dokonywae porownania miydzy cudami w teorii twistorow a tymi, ktore pojawily siy w teorii strun. Ani jedne, ani drugie nie mog,! bye jednoznacznymi drogowskazami, poniewaZ, co wyjasnialem w rozdz. 33.14, te dwie teorie, tak jak je obecnie rozumiemy, s,! ze sob,! niezgodne! Przedstawione uwagi odnosz'! siy jedynie do tego, co rozumiemy jako stan tych teorii "w danej chwili". Niezwykle ekscytuj,!ce wyniki, ktore pojawily siy doslownie w ostatnich kilku miesi,!cach, mog,! calkowicie obalie konkluzje, jakie sformulowalem w poprzednim akapicie. S,! to wysoce pomyslowe zastosowania idei teorii strun w kontekscie teorii twistorow, glownie dziyki pracom Edwarda Wittena 43 (0 ktorych wspominalem w rozdz. 31.18 i 33.14). W pracach tych teoriy strun stosuje siy do standardowej fizyki w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, w powi,!zaniu z oddzialywaniami typu Yanga-Millsa, ktore, z kolei, mog,! miee bezposredni zwi'!zek z oddzialywaniami cz,!stek, co oznaczaloby zasadnicze odejscie od takiego ksztaltu teorii strun, do jakiego odnosilem siy w poprzednim akapicie. Jak to jest mozliwe? Rozpatruje siy "przestrzen docelow'!", na ktor,! odwzorowuje siy powierzchnie Riemanna teorii strun, nie jako zespolon'! 3-rozmaitose Calabiego- 1001
34
Kt6r~dy
wiedzie droga do rzeczywistosci?
-Yau (rozdz. 31.14) - ktora byla potrzebna do dostarczenia "dodatkowych wymiarow przestrzennych" standardowej teorii strun - lecz jako 3-rozmaitose zespolon,!, ktora jest nutowq pnesmeniq twistorowq lP'1I' (a wil(c cp3; zob. rozdz. 33.5). Jak wiemy, geometria twistorowa explicite odwoluje sil( do zwyklej 4-wymiarowej czasoprzestrzeni i nie rna w niej zadnych "dodatkowych wymiarow przestrzennych"! W tym nowym sformulowaniu wci'!i mamy do czynienia z supersymetri'! i ta supersymetryczna wersja lP'1I' moze bye uwai:ana za "przestrzen typu Calabiego-Yau". (Tak sil( dzieje dzi((ki usunil(ciu pewnej "anomalii", jednak wydaje mi si((, ze koniecznose jej usunil(cia jest przeceniana i niewykluczone, iZ supersymetria nie jest naprawd(( potrzebna). Obecnie uwai:a sil(, ze te powierzchnie Riemanna maj,! genus 0 (zob. rozdz. 8.4), tzn. s~ sferami Riemanna 44 • To pozwala na pewien kontakt z wczesniejsz,! teori,! twistorow, w ktorej rowniez wykorzystywane byly idee "strunowe,,45. Jesli teoria strun moze zostae do tego stopnia zmieniona - co wydaje mi sil( bardzo istotn'! zmian,! - to jakie moze bye fizyczne znaczenie "cudow", ktore sil( w tej teorii wydarzyly? Przypuszczam, ze moglyby miee znaczenie istotne (aczkolwiek posrednie), bo bye moze "za kurtyn,!" zachodz'! procesy, ktorych sens w ten sposob ujawni si(( latwiej Gak to sugeruje wypowiedz Richarda Thomasa, cytowana w rozdz. 31.18). Czy jest mozliwe wyekstrahowanie z teorii strun tego, co rna istotne fizyczne znaczenie, i uwolnienie jej z wil(zow wyzszej wymiarowosci? Moze tak. Prawdziwy wydaje sil( fakt, ze jest cos gll(bokiego w koncepcji kwantowej teorii pola opartej na odwzorowaniu powierzchni Riemanna na rozmaitosci zespolone 46 (bye moze rowniez odwzorowanie powierzchni Riemanna 0 wyzszym genusie) i ze takie idee mog,! nadal bye wazne w tym nowym kontekscie, w ktorym rozmaitose zespolona jest (rzutow'!) przestrzeni~ twistorow'!. Nadal jednak pytanie 0 to, z czym dokladnie mamy tu do czynienia, pozostaje w dui:ym stopniu tajemnic~.
34.10 Odpowiedzielismy na powazne pytania, ale jeszcze powazniejsze czekajq na odpowiedz Problemy, ktore rozwai:alismy w kilku poprzednich rozdzialach, w ramach mozliwosci wspolczesnych teorii fizycznych S,! dalekie od rozwi'!Zania i mozemy tylko miee nadziej((, ze rozjasni je fizyka XXI wieku. Jesli jednak spojrzymy wstecz i ocenimy to, co jui: osi,!gnl(lismy i co sklada sil( na wiedzl(, z jak~ konczylismy XX wiek, to ludzkose rna wszelkie powody do dumy. Bardzo wiele kwestii, ktore byly dla staroi:ytnych nieodgadnionymi, niekiedy wr((CZ przerai:aj~cymi zagadkami, znalazlo wyjasnienie i dlatego mozemy dzialae w sposob pozytywny. Liczne, kiedys okropne choroby jui: nie budz,! strachu, nie tylko ze wzgll(du na wspolczesne lekarstwa (przy wyprodukowaniu ktorych nie mozna si(( obejse bez metod naukowych), lecz takZe dzi((ki mozliwosciom ustalenia wczesnej diagnozy za pomoc,! metod najnowszej technologii (promienie rentgenowskie, ultradZwi((ki, tomografia etc.) oraz wyrafinowanym metodom fizykoterapii (promieniowanie, lasery etc.) CZl(sto owe technologiczne osi~gni((cia S,! wynikiem zrozumienia fizyki, ktore bylo niedostl(pne staroi:ytnym. 1002 Ten sam rodzaj pojmowania procesow Przyrody umozliwil nam korzystanie z wielu
Odpowiedzielismy na powaine pytania, ale jeszcze powainiejsze
czekaj~
na odpowiedi 34.10
innych dobrodziejstw, takich jak hydroelektrycznosc, swiatlo elektryczne, wspolczesne materialy, ktore pozwalaj,! bronic siy przed Zywiolami, mozliwosci telekomunikacyjne, czyli telewizja i telefonia komorkowa, technologia komputerowa, internet, nowoczesny transport i cale mnostwo innych aspektow naszego iycia. Wiele tych dokonan z pewnosci,! wiClZe siy bezposrednio z osi,!gniyciami fizyki, w takiej lub innej formie. Co wiycej, podstawowe prawa chemii, zgodnie z ich obecnym rozumieniem, to w istocie prawa fizyczne (w zasadzie, jesli nie w praktyce) i wynikaj,! przewaznie z regul mechaniki kwantowej. Prawa biologii s,! znacznie bardziej odlegle od praw fizyki, jednak nie mamy zadnych powodow, aby wierzyc (pomijaj,!c sprawy swiadomosci), ze zachowania biologiczne nie S,!, u samych ich podstaw, calkowicie zalezne od procesow fizycznych, ktore obecnie w zasadzie juz rozumiemy. W takim razie procesy biologiczne S,! rowniez, w ostatecznym rachunku, kontrolowane przez matematyky. Rozwaimy na przykiad cudowny sposob, w jaki nasionko rozwija siy w Zyw,! rosliny, a ta nadzwyczajna struktura kaidej rosliny jest w najmniejszym detalu podobna do wszystkich innych roslin wyroslych z tych samych nasion. U podstaw tych procesow leZ,! zjawiska fizyczne, poniewai DNA, ktory kontroluje wzrost roslin, jest cz'!steczk'!, a trwalosc i niezawodnosc jej struktury w sposob krytyczny jest zwi¥ana z regulami mechaniki kwantowej (co wyrainie podkreslil SchrMinger w 1944 roku w swojej znanej i wplywowej ksi,!zce Czym jest Zycie?47). Co wiycej, wzrost roslin jest ostatecznie kontrolowany przez te same sHy fizyczne, ktore rz,!dz,! cz'!stkami, z jakich siy skiadaj,!. Chodzi tu przede wszystkim 0 sHy pochodzenia elektromagnetycznego, ale duze sily j'!drowe maj,! zasadnicze znaczenie w okresleniu, ktore j,!dra wchodz'! w gry, a co za tym idzie, z jakimi atomami bydziemy mieli do czynienia. RownieZ oddzialywania slabe odgrywaj,! wielk,! roly w zjawiskach, ktore obserwujemy w wielkiej skali, i zdumiewaj,!ce, w jaki sposob, niezaleznie od ich slabosci (ich wielkosc jest jedynie rZydu 10-7 wielkosci oddzialywan silnych i 10-5 oddzialywan elektromagnetycznych), prowadz'! one do najbardziej dramatycznych zjawisk, ktorych doswiadcza ludzkosc. To wlasnie oddzialywania slabe podczas procesow rozpadu radioaktywnego wewn'!trz skorupy Ziemi s,! odpowiedzialne za wysok,! temperatury ziemskiej magmy. W szczegolnosci ich pochodn,! s,! erupcje wulkaniczne. W historii Ziemi byl kilkuletni okres, okolo 535 roku, kiedy wyst,!pila klyska glodu na skaly swiatow,! oraz zapanowaly niezwykle niskie temperatury, w wyniku gigantycznych wybuchow wulkanu i ogromnego rozproszenia pylu wulkanicznego, ktory prawie jednorodnie pokryl powierzchniy Ziemi. Tym wulkanem byl najprawdopodobniej Krakatau w poblizu Jawy, ktorego wybuch w 535 roku stal siy chyba najwiykszym kataklizmem w dziejach ludzkosci. Drugi podobny wybuch tego wulkanu (aczkolwiek nieco mniej gwaltowny) odnotowano w 1883 roku. Z punktu widzenia cywilizowanych obserwatorow bardziej nawet dramatyczny byl wybuch wulkanu okolo 1628 roku p.n.e., ktory zniszczyl wyspy Thera (Santoryn); mozna go bylo latwo obserwowac z Krety, oddalonej okolo 160 km w kierunku poludniowym. Erupcja calkowicie zniszczyla iycie na samej Therze i byla naj- 1003
Kt6r~dy
34
wiedzie droga do rzeczywistosci?
prawdopodobniej zasadnicz,! przyczyn,! upadku pokojowej i wysoce kulturalnej spolecznosci miasta Knossos na Krecie, gdzie w Wielkim Palacu mial bye zbudowany slynny labirynt Dedala48 • Uporczywie twierdzi siy, ie zaglada Thery mogla bye zr6dIem legendy 0 Atlantydzie 49 • Moie powinno bye dla nas pewn'! pociech,!, ie niektore kataklizmy przeszlosci staly siy zaczynem postypu i rozwoju, jaki pewnie bez nich nie m6glby siy dokonae. (Najbardziej dramatycznym z nich byla globalna zaglad a dinozaur6w, kt6ra umoiliwila rozwoj ssak6w, a w konsekwencji pojawienie siy czlowieka - aczkolwiek ta katastrofa byla spowodowana nie tyle przez aktywnose wulkan6w, ile przez zderzenie z planetoid,!.) Czy rzeczywiscie niezwykly rozw6j kultury staroiytnych Grekow, w ci,!gu tysi,!c1ecia po zagladzie Thery, nie rna zwi,!zku z t'! katastrof,! wulkaniczn,!? Jeszcze bardziej zadziwiaj,!CY jest fakt, ie najbardziej gwaltowne wybuchy, z jakimi spotykamy siy we WszechSwiecie, spowodowane S,! najslabszymi ze wszystkich dzialaj,!cych sil- jesli slowo "sila" w ogole rna tu zastosowanie - a mianowicie silami grawitacyjnymi (ich wielkose jest r6wna okolo 10- 40 sil elektrycznych wystypuj,!cych w atomie wodoru i okolo 10-38 sit oddzialywan slabych), dziyki kt6rym czarne dziury stanowi'! niewiarygodnie potyine zrodlo energii kwazar6w. Ich odleglose od nas jest tak wielka, ie najjasniej swieqcy kwazar, 3C273, ogl,!dany z Zierni rna jasnose milion razy mniejsz,! od pobliskiego Syriusza pomirno wydzielanej przezen gigantycznej energii. Istotnie, gdy ogl,!darny niebo podczas jasnej i spokojnej nocy, dostrzegarny jedynie mikroskopijn,! czyse jego gigantycznej skali. Najdalszy obiekt niebieski widziany golym okiem (galaktyka Andrornedy) znajduje siy od nas w jednej tysiycznej odleglosci od 3C273 i okolo 10- 4 odleglosci od granicy obserwowalnego WszechSwiata! Osobliwosci czasoprzestrzeni, ktore stanowi,! istoty czarnych dziur, nalei,! do tych znanych (przynajmniej tak s'!dzimy) obiektow WszechSwiata, kt6re S,! najbardziej zagadkowe i ktorych wsp6lczesne teorie nie S,! w stanie opisae. W rozdz. 34.5, 7, 8 zapoznalismy siy z innymi tajemniczymi zagadnieniarni, kt6re wyrnykaj,! siy naszemu zrozumieniu. Jest bardzo prawdopodobne, ie w XXI wieku uzyskarny jeszcze glybszy wgl,!d w tajniki Przyrody od tego, jaki byt naszyrn udzialern w XX wieku. Aby jednak tak siy stalo, bydziemy potrzebowali nowych idei, ktore zaprowadz'! nas w znacz'!co roinych kierunkach nii te, kt6re obecnie s,! naszym celern. Bye moie to, czego najbardziej potrzebujemy, to jakas subtelna zmiana perspektywy - cos, co urnyka wci¥ naszej uwadze ...
Przypisy Rozdzial34.1 Zob. np. Mukohyama, Randall (2003). 2 Zob. Tittel et al. (1998). 3 Zob. Arndt et al. (1999). 4 Zob. Amelino-Camelia et al. (1998); Gambini, Pullin (1999); Amelino-Camelia, Piran (2001); 1004 Sarkar (2002); albo, jako mozliwa "droga wyjscia", Magueijo, Smolin (2002). 1
Przypisy
5
Rozdzial34.2 Uiywam tutaj slowa spojnosc (coherence), aby przekazae cos wiycej niz niesplZecznosc (consistency). Termin ten rna sugerowae, ze aby uzyskae w pelni spojnq (coherent) struktury matematycznq, oprocz logicznej zgodnosci potrzebna jest pewna ekonomia, w ktorej rozne aspekty formalizmu lqczq siy ze sobq w sposob harmonijny.
Rozdzial34.3 Zob. Rovelli (1998). 7 Niektorzy z moich kolegow przekonywali mnie, ze mamy do czynienia z takq wlasnie sytuacjq! 8 Przypomnijmy sobie z rozdz. 15.4, ze S7 jest uwlokniona przez S3 w analogii z rownoleglymi Clifforda na S3. Istotnie, 0 S7 mowimy, ze jest "paralelizowalna" (parallelizable), co oznacza, ze kazdemu z jej punktow mozna w sposob ciqgly przyporzqdkowae 7 kierunkow wektorow stycznych. "Zgniecenie" S7 uzyskujemy systematycznie wzdluz tego rodzaju "rownoleglych" kierunkow. Zob. Jensen (1973). 9 Zob. Collins (1977), gdzie znajdziemy teoriy trajektorii Reggego, oraz Chew (1962) tam teoria macierzy S. 10 Zob. Geroch (nieopublikowane wyklady, wygloszone na University of Chicago). 11 Zob. van der Waerden (1929); Infeld, van der Waerden (1933); Penrose, Rindler (1984, 1986); O'Donnell (2003). 12 Zob. Dirac (1936). Inne wersje rownania dla czqstek 0 wyzszym spinie zob. Corson (1953). 13 Zob. Wess, Zumino (1974). 6
Rozdzial 34.4 Zob. Popper (1934). 15 Zabawny przyklad zastosowania tego rodzaju idei podali Aldiss, Penrose (2000). 16 Niezaleznie od ostatnich doniesien, ze zostalo to potwierdzone w eksperymencie BOOMERanG. Zob. np. Bouchet et al. (2002), gdzie przedstawiona jest (dose ograniczona) krytyka tych doniesien. 17 Model stacjonarnego wszechSwiata, zaproponowany przez Bondiego, Golda i Hoyle'a we wczesnych latach piyCdziesiqtych XX wieku (zob. Hoyle 1948; Bondi, Gold 1948), byl nieslychanie popperowski. Jasno formulowal to Bondi, wskazujqc jako glowny sposob jego obalenia obserwacyjne udowodnienie, ze K O. Model ten zostal jednak obalony przez konflikt z innymi obserwacjami, przede wszystkim z obecnosciq promieniowania tla 2,7 K, ktore stanowi bezposrednie uzasadnienie koncepcji Wielkiego Wybuchu; zob. rozdz. 27.4, 7,10,13. 18 Zob. np. Linde (1995). 19 Zob. Bucher, Goldhaber, Turok (1995) i Linde (1995). 20 Zob. Hawking, Turok (1998). 21 Zob. Lange et al. (2001). 14
*'
Rozdzial34.5 Zob. pracy Johna Horgana, The End of Science (1996). 23 Zob. Ferber (1978); Ward, Wells (1989); Delduc et al. (1993); Ilyenko (1999).
22
Rozdzial 34.7 Zob. Penrose (1989, 1994, 1997). 25 Zob. Deutsch (2000); Lockwood (1989). 26 Zob. Gell-Mann (1994) i Hartle (2004). 27 Chociaz kazdy, kto mial okazjy kiedykolwiek slyszee, co sam David Bohm 0 tyrn sqdzil, wie, ze nie uwazal on, by problem swiadomosci w ogole nie wiqzal siy z zagadnieniami mechaniki kwantowej. 1005 28 Zob. Penrose (1989, 1994, 1997).
24
Kt6r~dy
34
29
30 31 32
33
wiedzie droga do rzeczywistosci?
Zob. Hameroff, Watt (1982); Hameroff (1987, 1998); Hameroff, Penrose (1996). Zob. Koruga et al. (1993). Zob. Anderson (1997). Informacja prywatna. 0 ile wiem, badania Dugginsa nie Sq jeszcze zakoiiczone i zadna praca nie zostala 0publikowana. Zob. Penrose (1987a, 1994); Hameroff, Penrose (1996).
Rozdzial34.8 Wydaje siy kwestiq spornq, czy ten tajemniczy zwiqzek jest naprawdy godny uwagi. W znanym wyldadzie z 1960 roku wielki matematyk, Eugene Wigner (zob. Wigner 1960), m6wil o "niezrozumialej skutecznosci matematyki w fizyce". lednak inny wybitny matematyk, Andrew Gleason, kt6rego dwa doniosle twierdzenia pojawily siy na kartach tej ksiqzki (zob. przyp. 4 w rozdz. 13 i 4 w rozdz. 23), przyjql odmienne stanowisko (1990), wedlug kt6rego zgodnose miydzy matematykq a fizykq stanowi jedynie odbicie faktu, ze "matematyka jest naukq porzqdku". M6j osobisty punkt widzenia bliZszy jest stanowisku Wignera niZ Gleasona. Wydaje mi siy, ze nie tylko nadzwyczajna precyzja, ale takZe subtelnose i wyrafinowanie, jakie odkrywamy w matematycznych prawach opisujqcych elementarne procesy fizyczne, Sq czyms wiycej niz tylko przejawem "porzqdku" w funkcjonowaniu swiata. 35 Filozofia ta wydaje si y zblizona do filozofii Geoffreya Chew, kt6ry odkryl wiele holomorficznych wlasnosci macierzy S. Zob. Chew (1962). 36 Zob. uwagi wstypne Freemana Dysona; Dyson (1966). 37 Zob. Penrose (1988). 38 Ten fakt rna duie znaczenie w og6lnej teorii wzglydnosci przy badaniu asymptotycznych symetrii czasoprzestrzeni asymptotycznie plaskich; zob. Sachs (1962a, 1962b); Penrose, Rindler (1986). 39 Por. Eddington (1946). 34
Rozdzial 34.9 Zob. du Sautoy (2004), kt6ry dyskutuje zwiqzki hipotezy Riemanna z fizykq; zob. takZe Berry, Keating (1999). leszcze innq roly w fizyce odgrywa funkcja ~ (Eulera) pod nazwq "regularyzacji funkcji ~". Szybkie przeszukanie LANL arXiv pokazuje znaczenie regularyzacji funkcji ~ (Eulera) -136 trafieii za ostatnim razem!!! 41 Zob. Wess, Bagger (1992) oraz przyp. 13 z rozdz. 3l. 42 Zob. przyp. 57 i 58 z rozdz. 3l. 43 Zob. przyp. 81 z rozdz. 3l. 44 To sarno w sobie nie ogranicza powierzchni Riemanna do linii twistorowych reprezentujqcych punkty czasoprzestrzeni (zob. rozdz. 33.5), gdyz mogq bye one krzywymi "wyzszego rzydu". Zasadniczo "warunek genus 0" m6wi nam, ze rozwazamy procesy Yanga-Millsa typu drzewa, w kt6rych nie wystypujq jakiekolwiek "pytle zamkniyte" (rozdz. 26.8). 45 Zob. Shaw, Hughston (1990); Hodges (1985, 1990a, 1990b). 46 Modele tego rodzaju nazywane Sq "modelami a"; zob. Ketov (2000). 40
Rozdzial34.10 Zob. SchrOdinger (1967). 48 Na stronach 89-94 ksiqzki: Davies (1997) znajduje siy graficzne przedstawienie tego wydarzenia (skorzystalem z tego opisu w Prologu). Samq legendy zap0Zyczylem z mojej ulubionej ksiqzki: Hamilton (1999). 49 Najnowsze opracowanie tego tematu przedstawil Friedrich (2000). 47
Epilog AmEA, mloda doktor fizyki, pochodzila z malego miasteczka w poludniowych Wloszech i obdarzona byla wybitnymi zdolnosciami artystycznymi i matematycznymi. Obserwowala czyste nocne niebo przez wielkie okno na wschodniej scianie Instytutu Alberta Einsteina w Golm pod Poczdamem. Ten prestizowy instytut badawczy zalozony zostal pod koniec XX wieku w poblizu miejsca, w ktorym Einstein mial kiedys domek letniskowy. Powazna czysc prowadzonych tam badan poswiycona byla problemowi "grawitacji kwantowej", zmierzaj,!cemu do pol,!czenia zasad lez'!cych u pods taw ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina z zasadami mechaniki kwantowej - prawdziwej zagadki wsrod fundamentalnych praw rz'!dz'!cych WszechSwiatem. Taki tez byl kierunek wlasnych badan Antei, ale byla ona nowym pracownikiem, na dodatek przyniosla ze sob,! pewne nieortodoksyjne, ale nie do konca jeszcze uformowane koncepcje, ktore w wielu miejscach okazaly siy fundamentalnie rozne od koncepcji jej kolegow. Tej nocy pracowala do rana w gornej bibliotece instytutu, w czasie kiedy jej koledzy juz dawno poszli spac. Studiowala pewne starsze prace na temat gigantycznych emisji energii, jakie zachodz'! w centrach niektorych galaktyk. To naprawdy szczyscie, pomyslala, ze Ziemia i Uklad Sloneczny nie znajduj,! siy w ich poblizu, w przeciwnym bowiem wypadku wyparowalyby prawie natychmiast. Konwencjonalne wyjasnienie tych gigantycznych eksplozji sprowadzalo siy do tego, ze kazda z nich jest zasilana przez energie czarnych dziur 0 ogromnych rozmiarach. Antea wiedziala, ze czarna dziura jest obszarem czasoprzestrzeni, wewn'!trz ktorego znajduje siy struktura okreslana mianem "osobliwosci czasoprzestrzeni". Jej naukowy opis nadal nam siy wymyka i zwi¥any jest z wci¥ nieistniej,!c,! kwantow'! teori1! grawitacji. JednakZe zainteresowania Antei nie dotyczyly bezposrednio czarnych dziur, lecz eksplozji nawet bardziej monstrualnych: koncz'!cych wszystkie eksplozje - alba raczej eksplozji stoj,!cej u pocz'!tku ich wszystkich - znanej pod nazw1! Wielkiego Wybuchu. Wszak osobliwosci czasoprzestrzeni w Wielkim Wybuchu byly zagadk,! jeszcze wiyksz1! niZ tajemnice czarnych dziur. Antea zdawala sobie sprawy, ze u korzeni tych tajemnic leZy sekret unifikacji stworzonej przez Einsteina teorii przestrzeni, czasu i grawitacji z zasadami mechaniki kwantowej.
Epilog
Noc byla piykna i gwiazdy wyraznie widoczne. Stracila rachuby czasu, stojqC tak w zadumie, oparta 0 balustrady schod6w, gdy przyglqdala siy przez wielkie okno niebieskim konstelacjom. Kontemplujqc bezkresnq kopuly nieba, gigantyczne odleglosci, z kt6rych nadbiegaly drobniutkie iskierki swiatel - a jako astrofizyk zdawala sobie sprawy, ze te odleglosci nic nie znaCZq w por6wnaniu z bezmiarem skali kosmologicznej - odczula niezwykle silnie wlasnq nicosc. A jednak - myslala - gdyby mogla teraz zobaczyc jakqs eksplozjy kosmicznq, bez wzglydu na to, jak odleglq, zwiastujqce jq malenkie fotony nie potrzebowalyby czasu, aby do niej dotrzec. To sarno dotyczyloby grawiton6w wytworzonych podczas wybuchu, kt6rych cZysc moglaby byc zarejestrowana przez detektor fal grawitacyjnych instytutu, znajdujqcego siy w poblizu Hanoweru, okolo 250 kilometr6w od niej. Poruszyla jq mysl, ze moglaby miec bezposredni kontakt z tym kosmicznym wydarzeniem ... Gdy tak stala ze wzrokiem skierowanym na wsch6d, zaskoczyl jq nagly i niespodziewany blysk zielonego swiatla, na moment przed zaraniem, po czym ciemnoczerwone Slonce zaczylo siy wylaniac zza horyzontu. Zjawisko "zielonego blysku" i jego fizyczne wyjasnienie bylo jej dobrze znane, nigdy jednak nie miala okazji zetknqc siy z nim bezposrednio, ten niespodziewany widok spowodowal wiyc silnq reakcjy emocjonalnq. To nagle doswiadczenie jakby oswietlilo jasnym blaskiem zagadkowe rozwazania matematyczne, kt6re myczyly jq przez caly wiecz6r. Wtem przyszla jej do glowy dziwna mysl. ..
Bibliografia FrZYKA xx wieku doznala jeszcze innego przelomu, 0 jakim dot,!d nie wspominalem, chociai nalei)' on do najbardziej donioslych! Chodzi 0 wprowadzenie arXiv.org - internetowego magazynu, w ktorym fizycy i matematycy, biolodzy i informatycy mog,! publikowac swoje prace, zanim (a nawet zamiast) wysl,! je do odpowiednich czasopism. ArXiv.org umozliwil przekazywanie nowych idei swiatowej opinii naukowej z niewiarygodn,! szybkosci,!, a w konsekwencji nast,!pilo ogromne przyspieszenie postt(pu badan naukowych w tych wszystkich dziedzinach. Osi,!gnit(cie to docenila spolecznosc naukowa, a jego tworca Paul Ginsparg zostal uhonorowany "nagrod,! dla geniuszy" Fundacji MacArthurow (The John D. and Catherine T MacArthur Foundation). Staralem sit( wykorzystac zalety tego niezwykle istotnego wynalazku i, gdzie tylko bylo to mozliwe, dol,!czyc w niniejszej bibliografii link do arXiv.org. Dotarcie do odpowiedniej pracy na arXiv.org jest niezwykle proste. Najpierw za pomoq naszej ulubionej wyszukiwarki znajdujemy www.arxiv.org. Nastt(pnie szukamy odpowiedniego artykulu lub wypisujemy ..www.arxiv.orgl... dodaj.!c odpowiedni kod podany w nawiasie w odpowiedniej pozycji bibliografii. Na przyklad chqc znaleic pract(: Smolin 2003 zatytulowan'! How far are we from the quantum theory of gravity? (Jak daleko jestesmy od kwantowej teorii grawitacji?), wypisujemy adres internetowy: www.arxiv.org/hep-th/0303185 Sprobujcie!
Abian (1965): Abian A., The theory of sets and transfinite arithmetic, Saunders, Filadelfia. Abbott et al. (2004): Abbott B. et aI., Detector Description and Performance for the First Coincidence Observations between LIGO and GEO, "Nuclear Instrument and Method", AS17, s. 154-179 [gr-qc/0308043]. Adams (2000): Adams e.e., The Knot Book, Owl Books, Nowy Jark. Adams, Atiyah (1966): Adams J.E, Atiyah M.EA., On K-theory and Hopfinvariant, "Quarterly Journal of Mathematics", 17, s. 31-38.
Bibliografia
Adler (1995): Adler S.L., Quatemionic Quantum Mechanics and Quantum Fields, Oxford University Press, Nowy Jork. Afriat (1999): Afriat A, The Einstein, Podolsky, and Rosen Paradox [w:] Atomic, Nuclear, and Particle Physics, Plenum Publishing Corp. Aharonov, Albert (1981): AharonovY., Albert D.Z., Can we make sense out of the measurement process in relativistic quantum mechanics?, "Physical Review", D24, s. 359-370. Aharonov, Anandan (1987): Aharonov Y., Anandan J., Phase change during a cyclic quantum evolution, "Physical Review Letters", 58, s. 1593-1596. Aharonov, Bohm (1959): Aharonov Y., Bohm D.J., Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory, "Physical Review", 115, s. 485-49I. Aharonov, Vaidman (1990): Aharonov Y., Vaidman L., Properties of a quantum system during the time interval between two measurements, "Physical Review", A41, s. II. Aharonov, Vaidman (2001): Aharonov Y., Vaidman L., The Two-State Vector Fonnalism of Quantum Mechanics [w:] Time in Quantum Mechanics (red. J.G. Muga el al.), Springer-Verlag. Aharonov et al. (1964): Aharonov Y., Bergmann P., Lebowitz, J.L., Time symmetry in the quantum process of measurement [w:] Quantum Theory and Measurement (red. J.A Wheeler, W.H. Zurek), Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1964 (po raz pierwszyw "Physical Review" 1983, 134B, s.1410-1416). Ahmavaara (1965): Ahmavaara Y., The structure of space and the fonnalism of relativistic quantum theory, I. "Journal of Mathematical Physics", 6, s. 87-93. Aitchison, Hey (2004): Aitchison I., Hey A, Gauge Theories in Particle Physics: A Practical Introduction, t. 1 i 2, Institute of Physics Publishing, Bristol. Albert et al. (1985): Albert D., Aharonov Y., D'Amato S., Curious New Statistical Prediction of Quantum Mechanics, "Physical Review Letters", 54, s. 5. Aldiss, Penrose (2000): Aldiss B.W., Penrose R, White Mars. St Martin's Press, Londyn. Alpher, Bethe, Gamow (1948): Alpher RA, Bethe H.A, Gamow G., The Origin of Chemical Elements, "Physical Review", 73, s. 803. Ambjorn et al. (1999): Ambjorn J., Nielsen J.L., Rolf J., Loll R, Euclidean and Lorentzian Quantum Gravity: Lessons from Two Dimensions, "Chaos Solitons Fractals", 10 [hep-th/9805108]. Amelino-Camelia, Piran (2001): Amelino-Camelia G., Piran, T., Planck-scale defonnations of Lorentz symmetry as a solution to the UHECR and the TeV-MATH-gamma paradoxes, "Physical Review", D64, 036005 [astro-ph/ 0008107] Amelino-Camelia et al. (1998): Amelino-Camelia G. et aI., Potential Sensitivity of Gamma-Ray Burster Observations to Wave Dispersion in Vacuo, "Nature" 393, 1010 s. 763-735 [astro-ph/ 9712103].
Bibliografia
Anderson (1987): Anderson P.w., The Theory of Superconductivity in the High-Tc Cuprate Superconductors, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1987. Anguine (1999): Anguine K., Isotropic cosmological singularities 3: The Cauchy problem for the inhomogeneous conformal Einstein-Vlasov equations, "Annals of Physics", 282, s. 395-419. Antoci (2001): Antoci S., The origin of the electromagnetic interaction in Einstein's unified field theory with sources [gr-qc/018052] Anton, Busby (2003): Anton H., Busby R.C, Contemporary Linear Algebra, John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey. Apostol (1976): Apostol T. M., Introduction to Analytic Number Theory, SpringerVerlag, Nowy Jork 1976. Arfken, Weber (2000), Arfken G., Weber H., Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press. Arndt et aI. (1999): Arndt M. et aI., Wave-particle duality ofC6omolecules, "Nature", 401, s. 680. Arnol'd, VJ. (1978): Arnol'd, Y.L, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, Nowy Jork. Arnowitt et al. (1962): Arnowitt R., Deser S., Misner Cw., [w:] Gravitation: An Introduction to Current Research (red. L. Witten), John Wiley & Sons, Inc. Nowy Jork. Ashtekar (1968): Ashtekar A, New variables for classical and quantum gravity, "Physical Review Letters", 57, s. 2244-2247. Ashtekar (1987): Ashtekar A, New Hamiltonian formulation of general relativity, "Physical Review", D36, s. 1587-1602. Ashtekar (1991): Ashtekar A, Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity (Appendix), World Scientific, Singapur. Ashtekar, Das (2000): Ashtekar A, Das S. , Asymptotically anti-de Sitter space-times ConselVed quantities, "Classical and Quantum Gravity", 17, s. L17-L30. Ashtekar, Lewandowski (2001): Ashtekar A, Lewandowski J., Relation between polymer and Fock excitations, "Classical and Quantum Gravity", 18, s. L117-L127. Ashtekar, Lewandowski (2004): Ashtekar A, Lewandowski J., Background Independent Quantum Gravity: A Status Report [gr-qc/0404018]. Ashtekar, Lewandowski (1994): Ashtekar A, Lewandowski J., Representation theory ofanalytic holonomy algebras [w:] Knots and Quantum Gravity (red. J.C Baez), Oxford University Press, Oksford. Ashtekar, Magnon (1980): Ashtekar A, Magnon A, A geometric approach to external potential problems in quantum field theory, "General Relativity and Gravity", t. 12, s. 205-223. Ashtekar, Schilling (1998): Ashtekar A, Schilling T.A [w:] On Einstein's Path (red. A Harvey), Springer-Verlag, Berlin. 1011
Bibliografia
Ashtekar et al. (2000): Ashtekar A, Baez J.e., Krasnov K., Quantum geometry of isolated horizons and black hole entropy, "Advances in Theoretical and Mathematical Physics", 4, s. 1-95. Ashtekar et al. (1998): Ashtekar A, Baez J.e., Corichi A, Krasnov K., Quantum geometry and black hole entropy, "Physical Review Letters", 80, s. 904-907. Ashtekar et al. (2003): Ashtekar A, Bojowald M., Lewandowski J., Mathematical structure of loop quantum cosmology, "Advances in Theoretical and Mathematical Physics", 7, s. 233-268. Atiyah (1990): Atiyah M.E, The Geometry and Physics of Knots, Cambridge University Press, Cambridge. Atiyah, Singer (1963): Atiyah M.E, Singer LM., The Index of Elliptic Operators Compact Manifolds, "Bulletin of American Mathematical Society", 69, s. 322-433. Atiyah et al. (1978): Atiyah M.E, Hitchin N.J., Singer LM., Self-duality in fourdimensional Riemannian geometry "Proceedings of Royal Society of London", A362, s. 425-461. Baez (1998): Baez J.e., Spin foam models, "Classical and Quantum Gravity", 15, s.1827-1858. Baez (2000): Baez J.e., An introduction to spin foam models of quantum gravity and BF theory, "Lectures and Notes in Physics", 543, s. 25-94. Baez (2001): Baez J.e., Higher-dimensional algebra and Planck-scale physics [w:] Physics Meets Philosophy at the Planck Scale (red. e. Callender, N. Huggett), Cambridge University Press, Cambridge 2001 [gr-qc/9902017]. Baez, Dolan (1998): Baez J.e., Dolan D., Categorification [w:] Higher Category Theory (red. E. Getzler, M. Kapranov), seria Contemporary Mathematics, t. 230, AMS, Providence, RI 1998 [zob. tez http://xxx.lanl.gov/abs/math.QN 980202y]. Bahcall et al. (1999): Bahcall N., Ostriker J.P', Perlmutter S., Steinhardt P.J., The Cosmic Triangle: Revealing the State of the Universe, "Science", 284 [astroph/9906463]. Bailey, Baston (1990): Bailey T.N., Baston R.J. (red.), Twistors in Mathematics and Physics, LMS Lecture Note Series 156, Cambridge University Press, Cambridge. Bailey et al. (1982): Bailey T.N., Ehrenpreis L., Wells R.O., Jr., Weak solutions of the massless field equations, "Proceedings of Royal Society of London", A384, s.403-425. Banchoff (1990, 1996): Banchoff T., Beyond the Third Dimension, Scientific American Library, zob. tez http://wwwJacultyJairfield.edu/jmac/cl/tb4d.htm. Bar (2000): Bar I., Survey of Two-Time Physics [hep-th/0008164]. Barbour (1989): Barbour J.B., Absolute or Relative Motion, t. I: The Discovery of 1012 Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge.
Bibliografia
Barbour (1992): Barbour J.B., Time and the interpretation of quantum gravity, Syracuse University Preprint. Barbour (2001 a ): Barbour J .B., The Discovery ofDynamics: A Study from a Machian Point of View of the Discovery and the Structure ofDynamical Theories, Oxford University Press, Oksford. Barbour (2001b): Barbour J.B., The End of Time, Oxford University Press, Oksford. Barbour (2004): Barbour J.B.,Absolute or Relative Motion: The Deep Structure of General Relativity. Oxford University Press, Oksford. Barbour et al. (2002): Barbour J.B., Foster B., 0 Murchadha N., Relativity without relativity, "Classical and Quantum Gravity", 19, s. 3217-3248 [gr-qc/0012089]. Barrett, Crane (1998): Barrett J. W, Crane L., Relativistic spin networks and quantum gravity, "Journal of Mathematical Physics", 39, s. 3296-3302. Barrett, Crane (2000): Barrett J.W., Crane L., A Lorentzian signature model for quantum general relativity, "Classical and Quantum Gravity", 17,3101-3118. Barrow, Tipler (1988): Barrow J.D., Tipler F.J., The Anthropic Cosmological Principle, Oxford University Press, Oksford. Baston, Eastwood (1989): Baston RJ., Eastwood M.G., The Penrose transform: its interaction with representation theory, Oxford University Press, Oksford. Bateman (1904): Bateman H., The solution ofpartial differential equations by means of definite integrals, "Proceedings of London Mathematical Society", (2) 1, s.451-458. Bateman (1944): Bateman H., Partial Differential Equations ofMathematical Physics, Dover, Nowy Jork. Becker (1982): Becker R, Electromagnetic Fields and Interactions, Dover, Nowy Jork. Begelman et al. (1984): Begelman M.C, Blandford RD., Rees M.J., Theory of extragalactic radio sources, "Reviews of Modern Physics", 56, s. 255. Bekenstein (1972): Bekenstein J., Black holes and the second law, "Lettere al Nuovo Cimento", 4, s. 737-740. Belinskii et al. (1970): Belinskii Y.A., Khalatnikov I.M., Lifshitz E.M., Oscillatory approach to a singular point in the relativistic cosmology, "Uspiechi Fiziki" 1970, 102, s. 463-500 (dum. ang. w "Advances in Physics" 1970, 19, s. 525-573). Bell (1987): Bell J.S., Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge. Beltrami (1868): Beltrami E., Essay on the interpretation ofnon-Euclidean geometry (Hum. w: Stillwell J.C, Sources of Hyperbolic Geometry, "History of Mathematics", 10, AMS Publications). Bennett (2003): Bennett CL. et aI., First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Preliminary Maps and Basic Results "Astrophysical Journal", Suplement 2003, 148, s. 1 [astro-ph/0302207]. Bergmann (1956): Bergmann P.G. [w:] "Helvetica Physica Acta", Supp1. 4, s. 79. 1013
Bibliografia
Bergmann (1957): Bergmann P.G., Two-component spinors in general relativity, "Physical Review", 107, s. 624-629. Bern (2002): Bern Z., Perturbative Quantum Gravity and its relation to Gauge Theory, "Living Rev. Relativity", 5 [www.livingreviews.orgiArtic1esNolume5/2002-5 bern/index.html]. Berry (1984): Berry M.V., Quantal phase factors accompanying adiabatic changes, "Proceedings of Royal Society of London", A392, s. 45-57. Berry (1985): Berry M.V., Classical adiabatic angles and quantal adiabatic phase, "Journal of Physics A Mathematical and General", 18, s. 15-27. Berry, Keating (1999): Berry M.V., Keating J.P', The Riemann Zeros and Eigenvalue Asymptotics, "SIAM Review", 41, nr 2,236-266. Berry, Robbins (1997): Berry M.V., Robbins, J.M., Indistinguishability for quantum part spin, statistics and the geometric phase, "Proceedings of Royal Society in London", A 453, s.1771-1790. Biedenharn, Louck (1981): Biedenharn L.c., Louck J.D., Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Londyn. Bilaniuk, Sudarshan (1969): Bilaniuk O.-M., Sudarshan G., Particle beyond the light barrier, "Physics Today", 22, s. 43-51. Birrell, Davies (1984): Birrell N.D., Davies P.C.W, Quantum Fields in Curves Space, Cambridge University Press, Cambridge. Bjorken, Drell (1965): Bjorken J.D., Drell S.D., Relativistic Quantum Mechanics, McGraw Hill, Nowy Jork i Londyn. Blanchard et al. (2003): Blanchard A, Douspis M., Rowan-Robinson M., Sarkar S., An alternative to the cosmological 'concordance model', "Astronomy and Astrophysics", 412, s. 35-44. Blanford, Znajek (1977): Blanford R.D., Znajek R.L., Electromagnetic Extraction ofEnergy from Kerr Black Holes, "Monthly Notices of the Royal Astronomical Society", 179, s. 433. Bohm (1951): Bohm D., Quantum Theory (Prentice-Hall, Englewood Cliffs 1951), rozdz. 22, par. 15-19. Przedruk: The Paradox of Einstein, Rosen and Podolsky [w:] Quantum Theory and Measurement (red. J.A Wheeler, WH. Zurek), Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1983. Bohm, Hiley (1994): Bohm D., Hiley B., The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory, Routledge, Londyn. Bojowald (2001): Bojowald M., Absence of singularity in loop quantum cosmology, "Physical Review Letters", 86, s. 5227-5230. Bondi (1957): Bondi H., Negative mass in general relativity, "Review of Modern Physics" 1957,29, s. 423-428; rowniez w "Mathematical Review", 19, s. 814. Bondi (1960): Bondi, H., Gravitational waves in general relativity, "Nature" (Londyn), 186, s. 535. Bondi (1961): Bondi H., Cosmology, Cambridge University Press, Cambridge. 1014 Bondi (1964): Bondi H., Relativity and Common Sense, Heinemann, Londyn.
Bibliografia
Bondi (1967): Bondi H., Assumption and Myth in Physical Theory, Cambridge University Press, Cambridge. Bondi, Gold (1948): Bondi H., Gold T., The Steady-State Theory of the Expanding Universe, "Monthly Notices of the Royal Astronomical Society", 108, s. 252-270. Bondi et al. (1962): Bondi H., van der Burg M.G.J., Metzner AWK., Gravitational waves in general relativity, VII: Waves from axisymmetric isolated systems, "Proceedings of Royal Society of London", A269, s. 21-52. Bonnor, Rotenberg (1966): Bonnor W.B., Rotenberg M.A, Gravitational waves from isolated sources, "Proceedings of Royal Society of London", A289, s.247-274. Borner (2003): Borner G., The Early Universe: facts and fictions, Springer-Verlag, Berlin i Nowy Jork. Bouchet et al. (2000): Bouchet P.R., Peter P., Riazuelo A., Sakellariadou M., Evidence against or for topological defects in the BOOMERanG data? "Physical Review", D65, 021301 [astro-ph/0005022]. Boyer (1968): Boyer c.B., A History of Mathematics, wyd. 2, John Wiley & Sons, Nowy Jork. Braginsky (1977): Braginsky v., The Detection of Gravitational Waves and Quantum Non-Distributive Measurements [w:] Topics in Theoretical and Experimental Gravitation Physics (red. V. De Sabbata, J. Weber), s. 105-122, Plenum Press, Nowy Jork. Bramson (1975): Bramson B.D., The alignment offrames of reference at null infinity for asymptotically flat Einstein-Maxwell manifolds, "Proceedings of Royal Society in London", A341, s. 451-461. Brandhuber et at. (2004): Brandhuber A, Spence B., Travaglini G., One-Loop Gauge Theory Amplitudes in N = 4 Super Yang Mills from MHV fiertices, [hep-th/ 0407214]. Brauer, Weyl (1935): Brauer R., Weyl H., Spinors in n dimensions, "American Journal of Mathematics", 57, s. 425-429. Brekke, Freund (1993): Brekke L., Freund P.G.O., P-adic numbers in physics, North-Holland, Amsterdam. Bremermann (1965): Bremermann H., Distributions, Complex Variables and Fourier Transforms, Addison Wesley, Reading, Massachusetts. Brody, Hughston (1998a): Brody D.C., Hughston L.P. (1998a), Geometric models for quantum statistical inference [w:] The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work of Roger Penrose (red. S.A Huggett, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford. Brody, Hughston (1998b): Brody D.C., Hughston L.P., The quantum canonical ensemble, "Journal of Mathematical Physics", 39(12), s. 6502-6508. Brody, Hughston (2001): Brody D.C., Hughston L.P., Geometric Quantum Mechanics, "Journal of Geometry and Physics", 38(1), s. 19-53. 1015
Bibliografia
Brown, Churchill (2004): Brown J.w., Churchill R.Y., Complex Variables and Applications, McGraw-Hill, Nowy Jork i Londyn. Bryant et al. (1991): Bryant RL., Chern S.-S., Gardner RB., Goldschmidt H.L., Griffiths P.A., Exterior Differential Systems, MSRI Publications, nr 18, Springer-Verlag, Nowy Jork. Bucher et al. (1995): Bucher M., Goldhaber A., Turok N., An open Universe from Inflation, "Physical Review", D52 [hep-ph/9411206]. Buckley, Peat (1996): Buckley P., Peat ED., Glimpsing Reality, University of Toronto Press, Toronto. Budinich, Trautman (1988): Budinich P., Trautman A., The Spinorial Chessboard, Trieste Notes in Physics, Springer-Verlag, Berlin. Burbidge et al. (1957): Burbidge G.R, Burbidge EM., Fowler w.A., Hoyle E, Synthesis of the Elements in Stars, "Reviews in Modern Physics", 29, s. 547--650. Burkert (1972): Burkert w., Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, Harvard University Press, Harvard. Burkill (1962): Burkill J.c., A First Course in Mathematical Analysis, Cambridge University Press, Cambridge. Byerly (2003): Byerly W.E,An Elementary Treatise on Fourier's Series and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics, Dover, Nowy Jork. Cachazo et al. (2004a): Cachazo E, Svrcek P., Witten E, MHV Vertices and Tree Amplitudes in Gauge Theory [hep-th/0403047]. Cachazo et al. (2004b): Cachazo E, Svrcek P., Witten E, Twistor Space Structure of One-Loop Amplitudes in Gauge Theory [hep-th/0406177]. Cachazo et al. (2004c): Cachazo E, Svrcek P., Witten E, Gauge Theory Amplitudes In Twistor Space and Holomorphic Anomaly [hep-th/0409245]. Candelas et al. (1991): Candelas P., de la Ossa x.c., Green P. S., Parkes L.,Apair ofCalabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory, "Nuclear Physics", B359, s. 21. Cartan (1923): Cartan E, Sur les varietes i1 connexion affine et la tMorie de la relativite generalisee I, "Ann ales de Ecole Normale Superieure", 40, s. 325-412. Cartan (1924): Cartan E., Sur les varietes i1 connexion affine et la tMorie de la relativite generalisee (suite), "Annales Ecole Normale Superieure", 41, s. 1-45. Cartan (1925): Cartan E., Sur les varietes i1 connexion affine et la tMorie de la relativite generalisee I, "Ann ales de Ecole Normale Superieure", 42, s. 17-88. Cartan (1945): Cartan E, Les Systemes Differentiels Exterieurs elleurs Applications Geometriques, Hermann, Paryz 1945. Cartan (1966): Cartan E, The Theory of Spinors, Hermann, Paryz 1966. Carter (1966): Carter B., Complete Analytic Extension of the Symmetry Axis ofKerr's Solution of Einstein's Equations, "Physical Review", 141, s. 4. Carter (1971): Carter B.,Axisymmetric Black Hole Has Only Two Degrees ofFreedom, 1016 "Physical Review Letters", 26, s. 331-332.
Bibliografia
Carter (1974): Carter B., Large Number Coincidences and the Anthropic Principle, [w:] Confrontation of Cosmological Theory with Astronomical Data (red. M.S. Longair), s. 291-298, Reidel, Dordrecht 1974 (przedruk w Leslie 1990). Cercignani (1999): Cercignani c., Ludwig Boltzmann: The Man Who TrustedAtoms, Oxford University Press, Oksford. Chan, Tsou (1993): Chan H.-M., 'Thou S.T., Some Elementary Gauge Theory Concepts, World Scientific Lecture Notes in Physics, t. 47, Londyn 1993. Chan, Tsou (2002): Chan H.-M., Tsou S.T., Fermion Generations and Mixing from Dualized Standard Model, "Acta Physica Polonica", B 12. Chandrasekhar (1981): Chandrasekhar S., The maximum mass of ideal white dwarfs, "Astrophysical Journal", 74, s. 81-82. Chandrasekhar (1983): Chandrasekhar S., The Mathematical Theory ofBlack Holes, Clarendon Press, Oksford 1983. Chari, Pressley (1994): Chari v., Pressley, A Guide to Quantum Groups, Cambridge University Press, Cambridge 1994. Chen (2002): Chen w.w.L., Linear Functional Analysis [dostctpne w internecie online: http: www.maths.mq.edu.au/-wchen/lnlfafolder/lnlfa.html]. Cheng, Wang (1999): Cheng K.S., Wang J., The formation and merger of compact objects in central engine ofactive galactic nuclei and quasars: gamma-ray burst and gravitational radiation, "Astrophysical Journal", 521, s. 502. Chern (1979): Chern S.S., Complex Manifolds Without Potential Theory, Springer-Verlag, Nowy Jork 1979. Chernoff, Marsden (1974): Chernoff P.R., Marsden J.E., Properties of infinite hamiltonian systems, "Lectures and Notes in Mathematics", t. 425, Springer-Verlag, Berlin. Chevalley (1946): Chevalley c., Theory of Lie Groups, Princeton University Press, Princeton 1946. Chevalley (1954): Chevalley c., The Algebraic Theory of Spinors, Columbia University Press, Nowy Jork. Chew (1962): Chew G.P', S-Matrix Theory of Strong Interactions Pearson Benjamin Cummings. Choquet-Bruhat, DeWitt-Marette (2000): Choquet-Bruhat Y., DeWitt-Marette c., Analysis, Manifolds, and Physics, cz. I i II, North-Holland, Amsterdam. Christenson et al. (1964): Christenson J.H., Cronin J.W., Fitch v.L., Turlay R., Evidence for the 2p decay of the KO meson, "Physical Review Letters", 13, s.138-140. Christian (1995): Christian J., Definite events in Newton-Carlan quantum gravity, preprint, wyslany do "Physical Review" ser. D. Church (1936): Church A., The calculi of lambda-conversion, "Annals of Mathematical Studies", 6, Princeton University Press, Princeton, N.J. 1017
Bibliografia
Claudel, Newman (1998): Claudel CM., Newman KP., Isotropic Cosmological Singularities I. Polytropic Perfect Fluid Spacetimes, "Proceedings of Royal Society of London", 454, s. 1073-1107. Clauser et al. (1969): Clauser J.R, Home M.A, Shimony A, Holt R.A, Proposed experiment to test local hidden-variable theories, "Physical Review Letters", 23, s. 880. Clifford (1873): Clifford W.K, Preliminary Sketch of Biquatemions, "Proceedings of London Mathematical Society", 4, s. 381-395. Clifford (1878): Clifford W.K, Applications of Grassmann's extensive algebra, "American Journal of Mathematics", 1, s. 350-358. Clifford (1882): Clifford W.K, Mathematical papers by William Kingdon Clifford, (red. R. Tucker), Londyn. Cohen (1966): Cohen P.J., Set Theory and the Continuum Hypothesis, W.A Benjamin, Nowy Jork. Collins (1977): Collins P.D.B., An Introduction to Regge Theory and High Energy Physics, Cambridge University Press, Cambridge. Colombe au (1983): Colombe au J.E, A multiplication of distributions, "Journal of Mathematical Analysis Applications", 94, s. 96-115. Colombeau (1985): Colombeau J.R, Elementary Introduction to New Generalized Functions, North Holland, Amsterdam. Connes (1990): Connes A., Essay on physics and non-commutative geometry [w:] The Interface of Mathematics and Particle Physics (red. D.G. Quillen, G.B. Segal, S.T. Tsou), Clarendon Press, Oksford. Connes (1998): Connes A., Noncommutative differential geometry and the structure of space-time [w:] The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work of Roger Penrose (red. S.A Huggett, L.J. Mason, KP. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford. Connes, Berberian (1995): Connes A, Berberian S.K, Noncommutative Geometry, Academic Press, San Diego. Connes, Kreimer (1998): Connes A, Kreimer D., Hopf Algebras, Renormalization and Non-commutative Geometry [hep-th/9808042]. Conway (1976): Conway J.H., On Numbers and Games, Academic Press, Londyn. Conway, Kochen (2002): Conway J.H., Kochen S., The geometry of the quantum paradoxes [w:] Quantum [Un]speakables: From Bell to Quantum Information (red. R.A. Bertlmann, A. Zeilinger), Springer-Verlag, Berlin. Conway, Norton (1979): Conway J.H., Norton S.P., Monstrous Moonshine, "Bulletin of London Mathematical Society", 11, s. 308-339. Conway, Smith (2003): Conway J.H., Smith D.A, On Quatemions and Octonions, AK Peters, Natick, Mass. Corson (1953): Corson E.M., Introduction to Tensors, Spinors, and Relativistic Waveequations, Blackie and Son Ltd., Londyn. Costa de Beauregard (1995): Costa de Beauregard 0., Macroscopic retrocausation, 1018 "Foundations of Physics Letters", 8(3), 287-291.
Bibliografia
Cotes (1714): Cotes R, Logometria, "Philosophical Transactions of Royal Society of London", marzec 1714. Cox, Katz (1999): Cox D.A, Katz S., Mirror symmetry and algebraic geometry, "Mathematical Surveys and Monographs" 68, American Mathematical Society, Providence, RI 1999. Cramer (1988): Cramer J.G., An ovelView of the transactional interpretation of quantum mechanics, "International Journal of Theoretical Physics", 27(2), s.227-236. Crowe (1967): Crowe M.J.,A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea ofa Vectorial System, University of Notre Dame Press, Toronto 1967 (przedruk poprawiony i uzupelniony: Dover, Nowy Jork 1985). Cvitanovic, Kennedy (1982): Cvitanovic P., Kennedy AD., Spinors in negative dimensions, "Physica Scripta", 26, s. 5-14. Das, Ferbel (2004): Das A, Ferbel T., Introduction to Nuclear and Particle Physics, World Scientific Publishing Company, Singapur. Davenport (1952): Davenport H., The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers, Hutchinson's University Library, Londyn. Davies (1997): Davies N., Europe: A History, Oxford University Press, Oksford, s. 89-94; wyd. polskie: Europa: rozprawa historyka z przesz/osciq, przel. E. Tabakowska, Wydawnictwo "Znak", Krakow 2003. Davies (2003): Davies P., How to Build a Time Machine, Penguin, USA 2003. Davis (1978): Davis M., What is a Computation? [w:] Mathematics Today: Twelve Informal Essays (red. L.A Steen), Springer-Verlag, Nowy Jork. Davis (1988): Davis M., Mathematical logic and the origin of modem computers [w:] The Universal Turing Machine: A Half-Century SUlVey (red. R Herken), Kammerer und Unverzagt, Hamburg. Davydov (1976): Davydov AS., Quantum Mechanics, Pergamon Press, Oksford. de Bernardis et al. (2000): de Bernardis P. et al., A Flat Universe from High-Resolution Maps of the Cosmic Microwave Background Radiation, "Nature", 404, s. 955-959. Oelduc et al. (1993): Delduc F., Galperin A, Howe P., Sokatchev E., A twister formulation of the heterotic D = 10 superstring with manifest (8,0) worldsheet super-symmetry, "Physical Review", D47, s. 578-593 [hep-th/9207050]. Derbyshire (2003): Derbyshire J., Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Joseph Henry Press, Waszyngton. Oeser (1999): Deser S., Nonrenormalizability of D = 11 supergravity [hep-th/ 9905017]. Deser (2000): Deser S., Infinities in quantum gravities, "Annalen der Physik", 9, s. 299-307 [gr-qc/9911073]. Oeser, Teitelboim (1977): Deser S., Teitelboim C, Supergravity Has Positive Energy, "Physical Review Letters", 39, s. 248-252. 1019
Bibliografia
Deser, Zumino (1976): Deser S., Zumino B., Consistent supergravity, "Physical Rewiev Letters", 62B, s. 335-337. de Sitter (1913): de Sitter W., "Physikalische Zeitschrift", 14, s. 429 (po niemiecku). Deutsch (2000): Deutsch D., The Fabric of Reality, Penguin, Londyn. Devlin (1988): Devlin K., Mathematics: The New Golden Age, Penguin Books, Londyn. Devlin (2002): Devlin K., The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time, Basic Books, LondynlPerseus Books, Nowy Jork. DeWitt (1967): DeWitt B.S., Quantum Theory of Gravity. I: The Canonical Theory, "Physical Review", 160, s. 1113. DeWitt (1984): DeWitt B.S., Supermanifolds, Cambridge University Press, Cambridge. DeWitt, Graham (1973): DeWitt B.S., Graham RD. (red.), The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton University Press, Princeton. Dicke (1961): Dicke RH., Dirac's Cosmology and Mach's Principle, "Nature", 192, s.440-441. Dicke (1981): Dicke RH., Interaction-free quantum measurements: A paradox?, "American Journal of Physics", 49, s. 925. Dicke et al. (1965): Dicke RH., Peebles P.J.E., Roll P.G., Wilkinson D.T., Cosmic Black-Body Radiation, "Astrophysical Journal", 142, s. 414-19. Dine (2000): Dine M., Some reflections on Moduli, their Stabilization and Cosmology [hep-th/0001157]. Di6si (1984): Di6si L., Gravitation and quantum mechanical localization of macroobjects, "Physical Review Letters", 105A, s. 199-202. Di6si (1989): Di6si L., Models for universal reduction of macroscopic quantum fluctuations, "Physical Review", A40, s. 1165-1174. Dirac (1928): Dirac P.A.M., The quantum theory of the electron, "Proceedings of Royal Society of London", A1l7, s.610-624; cz. II, ibidem, AllS, s. 351-361. Dirac (1932): Dirac P.A.M. [w:] "Proceedings of Royal Society of London", A136, s.453. Dirac (1933): Dirac P.A.M., The Lagrangian in Quantum Mechanics, "Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion", t. 3, z. 1. Dirac (1936): Dirac P.A.M., Relativistic Wave Equations, "Proceedings of Royal Society of London", A155, s. 447-459. Dirac (1937): Dirac P.A.M., The Cosmological Constants, "Nature", 139, s. 323. Dirac (1938): Dirac P.A.M., A new basis for cosmology, "Proceedings of Royal Society of London", A165, s. 199. Dirac (1950): Dirac P.A.M., Generalized Hamiltonian dynamics, "Canadian Journal 1020 of Mathematics", 2, s. 129.
Bibliografia
Dirac (1964): Dirac P.AM., Lectures on Quantum Mechanics, Yeshiva University, Nowy Jork 1964. Dirac (1966): Dirac P.AM., Lectures in Quantum Field Theory, Academic Press, Nowy Jork 1966. Dirac (1982a): Dirac P.AM., The Principles of Quantum Mechanics, wyd. 4, Clarendon Press, Oksford 1982. Dirac (1982b): Dirac P.AM., Pretty mathematics, "International Journal of Theoretical Physics", 21, s. 603-605. Dirac (1983): Dirac P.AM., The Origin of Quantum Field Theory [w:] The Birth of Particle Physics (red. L.M. Brown, L. Hoddeson), Cambridge University Press, Nowy Jork. Dixon (1994): Dixon G., Division Algebras, Quaternions, Complex Numbers and the Algebraic Design of Physics, Kluwer Academic Publishers, Boston. Dodelson (2003): Dodelson S., Modem Cosmology, Academic Press, Londyn. Dolan (1996): Dolan L., Superstring twisted conformal field theory: Moonshine, the Monster, and related topics (South Hadley, MA, 1994), "Contemporary Mathematics", 193, s. 9-24. Domagala, Lewandowski (2004): Domagala M., Lewandowski J., Black hole entropy from Quantum Geometry [gr-qc/0407041]. Donaldson, Kronheimer (1990): Donaldson S.K., Kronheimer P.B., The Geometry of Four-Manifolds, Oxford University Press, Oksford. Douady, Hubbard (1985): Douady A, Hubbard J., On the dynamics of polynomial-like mappings, "Annales de Ecole Normale Superieure", 18, s.287-343. Dowker, Kent (1996): Dowker F., Kent A, On the consistent histories approach to quantum mechanics, "Journal of Statistical Physics", 82 [gr-qc/9412067]. Drake (1957): Drake S., Discoveries and Opinions of Galileo, Doubleday, Nowy Jork 1957. Drake (1953): Drake S. (Hum.), Galileo Galilei.· Dialogue Concerning the Two Chief World Systems - Ptolemaic and Copernican, University of California, Berkeley. Dray, Manogue (1999): Dray T., Manogue CA, The Exceptional Jordan Eigenvalue Problem, "International Journal of Theoretical Physics", 38, s.2901-2916 [math-ph/99110004]. Dreyer et al. (2004); Dreyer 0., Markopoulou F., Smolin L., Symmetry and entropy of black hole horizons [hep-th/0409056]. Duffin (1938): Duffin R.J., On the characteristic matrices of covariant systems, "Physical Review", 54, s. 1114. Dunajski (2002): Dunajski M., Anti-self-dual four-manifolds with a parallel real spinor, "Proceedings of Royal Society in London" Ser. A: Math. Phys. Eng. Sci. 2002, 458(2021), s. 1205-1222. du Sautoy (2004): du Sautoy M., The Music of the Primes, Perennial, Nowy Jork. 1021
Bibliografia
Dunham (1999): Dunham W.,Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America, Waszyngton. Dyson (1966): Dyson F.J., Symmetry groups in nuclear and particle physics: a lecturenote and reprint volume, W.A Benjamin, Nowy Jork. Eastwood et al. (1981): Eastwood M.G., Penrose R, Wells RO. Jr., Cohomology and massless fields, "Communications in Matematical Physics", 78, s.305-351. Eddington (1929a): Eddington AS., The Nature of the Physical World, Cambridge University Press, Cambridge. Eddington (1929b): Eddington AS.,A Symmetrical Treatment of the Wave Equation, "Proceedings of Royal Society of London", A12t, s. 524-542. Eddington (1946): Eddington AS., Fundamental Theory, Cambridge University Press, Cambridge. Eden et al. (2002): Eden RJ., Landshoff P.Y., Olive D.I., Polkinghorne J.e., The Analytic S-Matrix, Cambridge University Press. Edwards, Penney (2002): Edwards C.H., Penney D.E., Calculus with Analytic Geometry, wyd. 6, Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J. Ehrenberg, Siday (1949): Ehrenberg w., Siday RE., The refractive index in electron optics and the principles of dynamics, "Proceedings of Physical Society", I.XlIB, s. 8-21. Ehrenfest, Ehrenfest (1959): Ehrenfest P., Ehrenfest T., The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics, Cornell University Press, Ithaca, NY 1959. Eilenberg, Mac Lane (1945): Eilenberg S., Mac Lane S., General theory of natural equivalences, "Transactions of American Mathematical Society", 58, s. 231-294. Einstein (1914): [w:] Lorentz et al. (1952). Einstein (1917): Einstein A., Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitiitstheorie, "Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften", s. 142-152. Einstein (1925): Einstein A [w:] "Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften" 22, s. 414. Einstein (1945): Einstein A., A generalization of the relativistic theory ofgravitation, "Annals of Mathematics", 46, s. 578. Einstein (1948): Einstein A,A generalized theory ofgravitation, "Reviews of Modern Physics", 20, s. 35. Einstein (1955): Einstein A, Relativistic theory of the non-symmetric field [w:] Appendix II: The Meaning ofRelativity, wyd. 5, s. 133-166, Princeton University Press, Princeton, N.J. Einstein, Kaufman (1955): Einstein A, Kaufman B., A new fonn of the general relativistic field equations, "Annals of Mathematics", 62, s. 128. Einstein, Straus (1946): Einstein A, Straus E.G., A generalization of the relativistic 1022 theory of gravitation II, "Annals of Mathematics", 47, s. 731.
Bibliografia
Einstein, Podolsky, Rosen (1935): Einstein A, Podolsky B., Rosen, N., Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? [w:] Quantum Theory and Measurement (red. J.A Wheeler, W.H. Zurek), Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1983 (pierwodruk w "Physical Review", 47, s. 777-780). Elitzur, Vaidman (1993): Elitzur AC., Vaidman L., Quantum mechanical interaction-free measurements, "Foundations of Physics", 23, s. 987-997. Elliott, Dawber(1984): ElliottJ.P., DawberP.G., Symmetry in Physics, t.l, Macmillan, Londyn. Ellis, Mavromatos, Nanopoulos (1997a): Ellis J., Mavromatos N.E., Nanopoulos D.Y., vacuum fluctuations and decoherence in mesoscopic and microscopic systems [w:] Symposium on Flavour-Changing Neutral Currents: Present and Future Studies, University of California, Los Angeles. Ellis, Mavromatos, Nanopoulos (1997b): Ellis J., Mavromatos N.E., Nanopoulos D.Y., Quantum decoherence in a D-foam background, "Modern Physics Letters", A12, s. 2029-2036. Engelking (1968): Engelking E., Outline of General Topology, North-Holland & PWN, Amsterdam. Euler (1748): Euler L., Introductio in Analysis Infinitorum. Everett (1957): Everett H., 'Relative State' fonnulation of quantum mechanics [w:] Quantum Theory and Measurement (red. J.A Wheeler, W.H. Zurek), Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1983 (pierwodruk w "Reviews of Modern Physics", 29, s. 454-462). Fauvel, Gray (1987): Fauvel J., Gray J., The History of Mathematics: A Reader, Macmillan, Londyn. Ferber (1978): Ferber A, Supertwistors and confonnal supersymmetry, "Nuclear Physics", B132, s. 55-64. Fernow (1989): Fernow RC., Introduction to Experimental Particle Physics, Cambridge University Press, Cambridge. Feynman (1948): Feynman RP., Space-time approach to nonrelativistic quantum mechanics, "Reviews of Modern Physics", 20, s. 367-387. Feynman (1949): Feynman RP., The theory of positrons, "Physical Review", 76, s.749. Feynman (1987): Feynman RP., Elementary Particles and the Laws of Physics: The 1986 Dirac Memorial Lectures, Cambridge University Press, Cambridge. Feynman, Hibbs (1965): Feynman RP., Hibbs A, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, Nowy Jork. Fierz (1938): Fierz M., Uber die Relativitische Theorie kriiftefreier Teichlen mit beliebigem Spin, "Helvetica Physica Acta", 12, s. 3-37. Fierz (1940): Fierz M., Uber den Drehimpuls von Teichlen mil Ruhemasse null und beliebigem Spin, "Helvetica Physica Acta", 13, s. 45-60. Fierz, Pauli (1939): Fierz M., Pauli w., On relativistic wave equations for particles of 1023
Bibliografia
arbitrary spin in an electromagnetic field, "Proceedings of Royal Society of London", A173, s. 211-232. Finkelstein (1969): Finkelstein D., Space-time code, "Physical Review", 184, s. 1261-1279. Finkelstein, Rubinstein (1968): Finkelstein D., Rubinstein J., Connection between spin, statistics, and kinks, "Journal of Mathematical Physics", 9, s. 1972. Flanders (1963): Flanders H.,Differential Fonns, Academic Press (przedruk Dorf 1989). Floyd, Penrose (1971): Floyd RM., Penrose R, Extraction of Rotational Energy from a Black Hole, "Nature. Physical Sciences", 229, s. 177. Fortney (1997): Fortney L.R, Principles ofElectronics. Analog and Digital, Harcourt Brace Jovanovich, San Diego. Frankel (2001): Frankel T., The Geometry of Physics, Cambridge University Press, Cambridge. Frenkel (2000): Frenkel A,A Tentative Expresion of the Karolyhazy Uncertainty of the Space-time Structure through Vacuum Spreads in Quantum Gravity [quantph/0002087]. Friedlander (1982): Friedlander EG., Introduction to the theory of distributions, Cambridge University Press, Cambridge. Friedrich (2000): Friedrich w.L., Fire in the Sea: The Santorini Volcano: Natural History and the Legend of Atlantis (przel. AR McBirney), Cambridge University Press, Cambridge. Frittelli, Kozameh, Newman (1997): Frittelli S., Kozameh c., Newman E.T., Dynamics of light cone cuts at null infinity, "Physical Review", D56, s. 8. Frohlich, Pedrini (2000): Frohlich J., Pedrini B., New applications of the chiral anomaly [w:] Mathematical Physics 2000 (red. A Fokas, A Grigoryan, T. Kibble, B. Zegarlinski), s. 9-47, Imperial College Press, Londyn. Gambini, Pullin (1999): Gambini R, Pullin J., Nonstandard optics from quantum spacetime, "Physical Review", D59, s. 124021. Gandy (1988): Gandy R, The confluence of ideas in 1936 [w:] The Universal Turing Machine: A Half-Century Survey (red. R Herken), Kammerer und Unverzagt, Hamburg. Gangui (2003): Gangui A, Cosmology from Topological Defects, "AIP Conference Proceedings" 668 [astro-ph/O 303504]. Gardner (1990): Gardner M., The New Ambidextrous Universe, W.H. Freeman, Nowy Jork. Gauss (1900): Gauss c.P., Werke, t. VIII, s. 357-362, Lipsk. Gel'fand, Shilov (1964): Gel'fand I., Shilov G., Generalized Functions, t. 1, Academic Press, Nowy Jork. Gell-Mann (1994): Gell-Mann M., The Quark and the Jaguar: Adventures in the Simple and the Complex, W.H. Freeman, Nowy Jork; wyd. polskie: Kwark 1024 i jaguar, przel. P. Amsterdamski, CiS, Warszawa 1996.
Bibliografia
Gell-Mann, Hartle (1995): Gell-Mann M., Hartle J.B., Strong Decoherence [w:] Proceedings of the 4th Drexel Conference on Quantum Non-Integrability: The Quantum-Classical Correspondence (red. D.-H. Feng, B.-L. Hu), International Press of Boston, Hongkong 1998 [gr-qc/9509054]. Gell-Mann, Ne'eman (2000): Gell-Mann M., Ne'eman Y., Eightfold Way, with new contributions from the authors, Perseus Publishing, Cambridge, Mass. Geroch, Hartle (1986): Geroch R, Hartle J., Computability and physical theories, "Foundations of Physics", 16, s. 533. Geroch (1968): Geroch R, Spinor structure of space-times in general relativity, "Journal of Mathematical Physics", 9, s. 1739-1744. Geroch (1970): Geroch R, Spinor structure of space-times in general relativity II, "Journal of Mathematical Physics", 11, s. 343-348. Geroch (1984): Geroch R, The Everett Interpretation, "Nous", 18, s. 617-633. Geroch (niepubl.): Geroch R., Geometrical Quantum Mechanics, notatki z wykladow na Uniwersytecie w Chicago. Geroch et al. (1972): Geroch R, Kronheimer E.H., Penrose R, Ideal points for space-times, "Proceedings of Royal Society of London", A347, s. 545-567. Ghirardi, Grassi, Rimini (1990): Ghirardi G.c., Grassi R, RiminiA, Continuous-spontaneous-reduction model involving gravity, "Physical Review", A42, s. 1057-1064. Ghirardi, Rimini, Weber (1986): Ghirardi G.c., Rimini A, Weber T., Unified dynamics for microscopic and macroscopic systems, "Physical Review", D34, s.470. Gibbons (1984): Gibbons G.w., The isoperimetric and Bogomolny inequalities for black holes [w:] GlobalRiemannian Geometry (red. T. Willmore, N.J. Hitchin), Ellis Horwood, Chichester. Gibbons (1997): Gibbons G.w., Collapsing Shells and the Isoperimetric Inequality for BlackHoles, "Oassical and Quantum Gravity", 14, s. 2905-2915 [hep-th/9701049]. Gibbons, Hartnoll (2002): Gibbons G.w., Hartnoll S.A, Gravitational instability in higher dimensions [hep-th/0206202]. Gibbons, Perry (1978): Gibbons G .w., Perry M.J., Black Holes and Thermal Green's Function, "Proceedings of Royal Society of London", A358, s. 467-494. Gibbs (1960): Gibbs J., Elementary Principles in Statistical Mechanics, Dover, Nowy Jork. Gindikin (1986): Gindikin S.G., On one construction of hyperkiihler metrics', "Functional Analysis and Applications", 20, s. 82-3 (po rosyjsku). Gindikin (1990): Gindikin S. G., Between integral geometry and twistors [w:] Twistors in Mathematics and Physics (red. T.N. Bailey, RJ. Baston), LMS Lecture Note Series 156, Cambridge University Press, Cambridge. Gisin (1989): Gisin N., Stochastic quantum dynamics and relativity, "Helvetica Physica Acta", 62, s. 363. 1025 Gisin (1990): Gisin N. [w:] "Physical Letters", 143A, s. 1.
Bibliografia
Gisin et al. (2004): Gisin N., de Riedmatten H., Scarani v., Marcikic I., Acin A, Tittel w., Zbinden H., Two independent photon pairs versus four-photon entangled states in parametric down conversion, "Journal of Modern Optics", 51, s. 1637 [quant-ph/0310167]. Glashow (1959): Glashow S., The renormalizability of vector meson interactions, "Nuclear Physics", 10, s. 107. Gleason (1957): Gleason AM., Measures on the Closed Subspaces ofa Hilbert Space, "Journal of Mathematics and Mechanics", 6, s. 885-893. Gleason (1990): Gleason AM. [w:] More Mathematical People (red. DJ. Albers, G.L. Alexanderson, C. Reid), Harcourt Brace Jovanovich, Boston, s. 94. Goddard et ai. (1973): Goddard P. et aI., Quantum dynamics ofa massless, relativistic string, "Nuclear Physics" B56, s. 109. Gold (1962): Gold T., The Arrow of Time, "American Journal of Physics", 30, s.403. Goldberg et al. (1967): Goldberg J.N., Macfarlane AJ., Newman E.T., Rohrlich E, Sudarshan E.C.G., Spin-s spherical harmonics and eth, "Journal of Mathematical Physics", 8, s. 2155-216l. Goldblatt (1979): Goldblatt R., Topoi: The Categorial Analysis of Logic, North-Holland Publishing Company, Oksford i Nowy Jork. Goldstein (1987): Goldstein S., Stochastic mechanics and quantum theory, "Journal of Statistical Physics", 47. Gottesman, Preskill (2003): Gottesman D., Preskill J., Comment on 'The black hole final state' [hep-th/0311269]. Gouvea (1993): Gouvea EQ., P-Adic Numbers: An Introduction, Springer-Verlag, wyd. 2 (2000), Berlin i Nowy Jork. Grassmann (1844): Grassmann H.G., Die lineare Ausdehnungslehre, wyd. 4, Springer-Verlag. Grassmann (1862): Grassmann H.G., Die lineareAusdehnungslehre Vollstiindig und in strenger Form bearbeitet. Gray (1979): Gray J., Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic. Oxford University Press, Oksford. Green (2000): Green M.B., Superstrings and the unification of physical forces [w:] Mathematical Physics 2000 (red. A Fokas, T.w.B. Kibble, A Grigouriou, B. Zegarlinski), s. 59-86, Imperial College Press, Londyn. Green et al. (1978): Green M.B., Schwarz J.H., Witten E., Superstring Theory, t. I i II, Cambridge University Press, Cambridge. Greene (1999): Greene B., The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory, Random House, Londyn; wyd. polskie: Pi?kno Wszechswiata: superstruny, ukryte wymiary i poszukiwanie teorii ostatecznej, przel. E.L. Lokas, B. Bieniok, Proszynski i S-ka, Warszawa 2004. Griffiths, Harris (1978): Griffiths P., Harris J., Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, Nowy Jark. 1026
Bibliografia
Grishchuk et al. (2001): Grishchuk L.P. et al., Gravitational Wave Astronomy: in Anticipation ofFirst Sources to be Detected, "Uspiechi Fiziki" 44, s. 1-51 [astroph/0008481 ]. Groemer (1996): Groemer H., Geometric Applications of Fourier Series and Spherical Harmonics, Cambridge University Press, Cambridge. Gross, Periwal (1988): Gross D.J., Periwal Y., String Perturbation Theory Diverges, "Physical Review Letters", 60, s. 2105. Gross et al. (2003): Gross M.W., Huybrechts D., Joyce D., Winkler G.D., Calabi-¥au Manifolds and Related Geometries, Springer-Verlag, Berlin i Nowy Jork. Grosser et al. (2001): Grosser M., Kunzinger M., Oberguggenberger M., Steinbauer R., Geometric Theory of Generalized Functions with Applications to General Relativity, Kluwer Academic Publishers, Boston i Dordrecht. Guenther et al. (1998): Guenther D.B., Krauss L.M., Demarque P., Testing the Constancy ofthe Gravitational Constant Using Helioseismology, "Astrophysical Journal", 498, s. 871-876. Gunning, Rossi (1965): Gunning R.c., Rossi H., Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Giirsey (1983): Giirsey E, Quatemionic and octonionic structures in physics: episodes in the relation between physics and mathematics "Symmetries in Physics (1600-1980)", s.557-592, San Feliu de Guixols, Univ. Autonoma Barcelona, Barcelona 1987. Giirsey, Tze (1996): Giirsey E, Tze C.-H., On the Role of Division, Jordan, and Related Algebras in Particle Physics, World Scientific, Singapur. Gurzadyan et al. (2002): Gurzadyan Y.G. et al., Ellipticity analysis of the BOOMERANG CMB maps, "International Journal of Modern Physics", D12, s. 1859-1874 [astro-ph/0210021]. Gurzadyan et al. (2003): Gurzadyan Y.G. et al., Is there a common origin for the WMAP low multipole and for the ellipticity in BOOMERANG CMB maps? [astro-ph/0312305]. Gurzadyan et al. (2004): Gurzadyan Y.G. et al., WMAP confirming the ellipticity in BOOMERANG and COBE CMB maps [astro-ph/0402399]. Gurzadyan, Kocharyan (1992): Gurzadyan Y.G., Kocharyan AA, On the problem of isotropization of cosmic background radiation, "Astronomy and Astrophysics", 260, s. 14. Gurzadyan, Kocharyan (1994): Gurzadyan Y.G., Kocharyan AA, Paradigms of the Large-Scale Universe, Gordon and Breach, Lozanna. Gurzadyan, Torres (1997): Gurzadyan Y.G., Torres S., Testing the effect of geodesic mixing with COBE data to reveal the curvature of the universe, "Astronomy and Astrophysics", 321, s. 19-23 [astro-ph/9610152]. Guth (1997): Guth A, The Inflationary Universe, Jonathan Cape, Londyn; wyd. polskie: Wszechswiat inflacyjny: w poszukiwaniu nowej teorii pochodzenia kosmosu, przel. E.L. Lekas, B. Bieniok, Pr6szyllski i S-ka, Warszawa 2000. 1027
Bibliografia
Haag (1992): Haag R, Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras. Springer-Verlag, Berlin. Haehnelt (2003): Haehnelt M.G., Joint Fonnation of Supennassive Black Holes and Galaxies [w:] Camegie Observatories Astrophysics Series, t. I: Coevolution of Black Holes and Galaxies (red. L.c. Ho), Cambridge University Press, Cambridge [astro-ph/0307378]. Halverson (2001): Halverson N.W., DASI First Results: A Measurement ofthe Cosmic Microwave Background Angular Power Spectrum [astro-ph/0104489]. Halzen, Martin (1984): Halzen E, Martin A.D., Quarks and Leptons: an introductory course in modem particle physics, John Wiley & Sons, Nowy Jork. Hameroff (1998): Hameroff S.R, Fundamental geometry: the Penrose-Hameroff 'Orch OR' model of consciousness [w:] The Geometric Universe; Science. Geometry, and the Work of Roger Penrose (red. S.A. Huggett, L.J. Mason, KP. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford. Hameroff (1987): Hameroff S.R, Ultimate Computing. Biomolecular Consciousness and Nano-Technology, North-Holland, Amsterdam. Hameroff, Penrose (1996): Hameroff S.R, Penrose R, Conscious events as orchestrated space-time selections, "Journal of Consciousness Studies", 3, s. 36--63. Hameroff, Watt (1982): Hameroff S.R, Watt RC., Infonnation processing in microtubules, "Journal of Theoretical Biology", 98, s. 549-561. Hamilton (1999): Hamilton E., Mythology: Timeless Tales of Gods and Heroes, Warner Books, Nowy Jork. Han, Nambu (1965): Han M.Y., Nambu Y., Three-Triplet Model with Double SU(3) Symmetry, "Physical Review", 139, s. BlOO6-lO. Hanany et al. (2000): Hanany S. et al., MAXIMA-1: A Measurement of the Cosmic Microwave Background Anisotropy on angular scales of 10 arcminutes to 5 degrees, "Astrophysical Journal", 545, s. L5. Hanbury Brown, Twiss (1954): Hanbury Brown R, Twiss RQ.,A new type ofinterferometer for use in radio astronomy, "Philosophical Magazine", 45, s. 663-682. Hanbury Brown, Twiss (1956): Hanbury Brown R, Twiss RQ., Correlation between photons in 2 coherent beams of light, "Nature", 177. Hannabuss (1997): Hannabuss K, An Introduction to Quantum Theory, Oxford University Press, Oksford. Hansen, Murali (1998): Hansen B.M.S., Murali c., Gamma Ray Bursts from Stellar Collisions [astro-ph!9806256]. Hansen et al. (1978): Hansen RO., Newman E.T., Penrose R, Tod KP., The metric and curvature properties of H-space, "Proceedings of Royal Society of London", A363, s. 445-468. Hardy (1914): Hardy G.H., A Course of Pure Mathematics, wyd. 2, Cambridge University Press, Cambridge. Hardy (1940): Hardy G.H.,A Mathematician'sApology, Cambridge University Press, Cambridge; wyd. polskie: Apologia matematyka, przel. M. Fedyszak, 1028 Pr6szyTIski i S-ka, Warszawa 1987.
Bibliografia
Hardy (1949): Hardy G.H., Divergent Series, Oxford University Press, Nowy Jark. Hardy (1992): Hardy L., Quantum mechanics, local realistic theories, and Lorentz-invariant realistic theories, "Physical Review Letters", 68, s. 2981 [lastract/ PRL/v68/i20/p2981_1] . Hardy (1993): Hardy L., Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, "Physical Review Letters", 71(11), s. 1665. Hardy, Wright (1945): Hardy G.H., Wright E.M.,An Introduction to the Theory of Numbers, wyd. 2, Clarendon Press, Oksford. Hartle (2003): Hartle J.B., Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity, Addison-Wesley, San Francisco i Londyn. Hartle (2004): Hartle J.B., The Physics of'Now' [gr-qc/040300l]. Hartle, Hawking (1983): Hartle J.B., Hawking S.w., The wave function of the Universe, "Physical Review", D28, s. 2960. Harvey (1966): Harvey P.R, Hyperfunctions and linear differential equations, "Proceedings of National Academy of Sciences", 5, s. 1042-1046. Harvey (1990): Harvey P.R, Spinors and Calibrations, Academic Press, San Diego, CA. Haslehurst, Penrose (2001): Haslehurst L., Penrose R, The most general (2,2) self-dual vacuum: a googly approach [w:] Further Advances in Twistor Theory, t. III: Curved Twistor Spaces (red. L.J. Mason, L.P. Hughston, P.Z. Kobak, K. Pulvere), Wiley, Nowy Jork, s. 345-349. Hawking (1972): Hawking S.w., Black holes in general relativity, "Communications in Mathematical Physics", 25, s. 152-166. Hawking (1974): Hawking S.w., Black hole explosions, "Nature" 248, s. 30. Hawking (1975): Hawking S.w., Particle creation by black holes, "Communications in Mathematical Physics", 43. Hawking (1976a): Hawking S.w., Black holes and thermodynamics, "Physical Review", D13(2), s. 19l. Hawking (1976b): Hawking S.W., Breakdown of predictability in gravitational collapse, "Physical Review", D14, s. 2460. Hawking et al. (1976): Hawking S.w., King A.R, McCarthy P.J.,A new topology for curved space-time which incorporates the causal, differential, and conformal Structures, "Journal of Mathematical Physics", 17, s. 174-18l. Hawking, Ellis (1973): Hawking S.w., Ellis G.P.R, The Large-Scale Structure of Space-Time, Cambridge University Press, Cambridge. Hawking, Israel (1987): Hawking S.w., Israel W. (red.), 300 lears of Gravitation, Cambridge University Press, Cambridge. Hawking, Penrose (1970): Hawking S.W., Penrose R., The singularities of gravitational collapse and cosmology, "Proceedings of Royal Society of London", A314, s.529-548. Hawking, Penrose (1996): Hawking S.w., Penrose R, The Nature of Space and Time, Princeton University Press, Princeton, New Jersey; wyd. polskie: Natura 1029 czasu i przestrzeni, przet. P. Amsterdamski, Zysk i S-ka, Poznan 1998.
Bibliografia
Hawking, Turok (1998): Hawking S.W., Turok N., Open Inflation Without False lilcua, "Physical Letters", B425 [hep-th/9802030). Hawkins (1977): Hawkins T., Weiestrass and the theory of matrices, "Archives of History of Exact Sciences", 17, s. 119-63. Hawkins (2000): Hawkins T., Emergence of the theory ofLie groups, Springer-Verlag, Nowy Jork. Heisenberg (1971): Heisenberg w., Physics and Beyond, Addison Wesley, Londyn. Heisenberg (1989): Heisenberg w., What is an elementary particle? [w:) Encounters with Einstein, Princeton University Press, Princeton. Helgason (2001): Helgason S., Differential Geometry and Symmetric Spaces, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. Hestenes (1990): Hestenes D., The Zitterwebegung Interpretation of Quantum Mechanics, "Foundations of Physics", 20(10), s. 1213-32. Hestenes, Sobczyk (1999): Hestenes D., Sobczyk G., CliffordAlgebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics, Reidel, Dordrecht. Heyting (1956): Heyting A, Intuitionism. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, North-Holland, Amsterdam. Heywood, Redhead (1983): Heywood P., Redhead M.L.G., Non-locality and the Kochen-Specker paradox, "Foundations of Physics", 13 (5), s. 481-499. Hicks (1965): Hicks N.J., Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton. Hirschfeld (1998): Hirschfeld J.w.P., Projective Geometries over Finite Fields, wyd. 2, Clarendon Press, Oksford. Hodges (1982): Hodges AP., Twistordiagrams, "Physica", 114A, s. 157-175. Hodges (1985): Hodges AP.,A twistor approach to the regularization of divergences, "Proceedings of Royal Society of London", A397, s. 341-374; idem, Mass eigenstates in twistor theory, ibidem, s. 375-396. Hodges (1990a): Hodges AP., String Amplitudes and Twistor Diagrams: An Analogy [w:) The Interface of Mathematics and Particle Physics (red. D.G. Quillen, G.B. Segal, S.T. Tsou), Oxford University Press, Oksford. Hodges (1990b): Hodges AP., Twistor diagrams and Feynman diagrams [w:) Twistors in Mathematics and Physics, LMS Lect. Note Ser. 156 (red. T.N. Bailey, RJ. Baston), Cambridge University Press, Cambridge. Hodges (1998): Hodges AP., The twistor diagram programme [w:) The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work ofRoger Penrose (red. S.A Huggett, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford 1998. Hodges et al. (1989): Hodges AP., Penrose R, Singer M.A, A twistor conformal field theory for four space-time dimensions "Physical Letters", B216, s. 48-52. Hollands, Wald (2001): Hollands S., Wald RM., Local Wick Polynomails and Time Ordered Products of Quantum Fields in Curved Spacetime, "Communications 1030 in Mathematical Physics", 223, s. 289-326 [gr-qc/0103074).
Bibliografia
Home (1997): Home D., Conceptual Foundations of Quantum Physics: An OvelView from Modem Perspectives, Plenum Press, Nowy Jork i Londyn. Hopf (1931): Hopf H., Uber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphiire auf die Kugelfliiche, "Mathematische Annalen", 104, s. 637. Horgan (1996): Horgan J., The End of Science, Perseus Publishing, Nowy Jork; wyd. polskie: Koniec nauki, czyli 0 granicach wiedzy u schylku ery naukowej, przel. M. Tempczyk, Pr6szynski i S-ka, Warszawa 1999. Horowitz (1998): Horowitz G.T., Quantum states of black holes [w:] Black Holes and Relativistic Stars (red. RM. Wald), s. 241-266, University of Chicago Press, Chicago. Horowitz, Maldacena (2003): Horowitz G.T., Maldacena J., The black hole final state [hep-th/0310281]. Horowitz, Perry (1982): Horowitz G.T., Perry M.J., Gravitational energy cannot become negative, "Physical Review Letters", 48, s. 371-374. Howie (1989): Howie J., On the SQ-universality ofT(6)-groups, "Forum Math.", 1, s. 251-272 [arXiv: math.GR/060l590 vI 24 Jan 2006]. Hoyle et al. (200l): Hoyle C.D. et al., Submillimeter Test of the Gravitational Inverse-Square Law: A Search for 'Large' Extra Dimensions, "Physical Review Letters", 86(8), s. 1418-1421. Hoyle (1948): Hoyle E,A New Model for the Expanding Universe, "Monthly Notices of the Royal Astronomical Society", 108, s. 372. Hoyle et al. (1956): Hoyle E, Fowler WA., Burbidge G.R, Burbidge E.M., Origin of the elements in stars, "Science", 124, s. 611-614. Huang (1949): Huang K, On the zitterbewegung ofthe electron, "American Journal of Physics", 47, s. 797. Huggett, Jordon (2001): Huggett S.A., Jordon D.,A TopologicalAperitif, Springer-Verlag, Londyn. Huggett, Tod (2001): Huggett S.A., Tod KP., An Introduction to Twistor Theory, Cambridge University Press, Cambridge. Hughston (1979): Hughston L.P., Twistors and Particles, Lecture Notes in Physics, nr 97, Springer-Verlag, Berlin. Hughston (1995): Hughston L.P., Geometric Aspects of Quantum Mechanics [w:] Twistor Theory (red. S.A. Huggett), s. 59-79, Marcel Dekker, Nowy Jork. Hughston et al. (1993): Hughston L.P., Jozsa R, Wooters W.K, A complete classification of quantum ensembles having a given density matrix, "Physical Letters", A183, s. 14-18. Ilyenko (1999): Ilyenko K, Twistor Description of Null Strings, praca doktorska, niepubl., Oksford. Immirzi (1997): Immirzi G., Quantum Gravity and Regge Calculus [gr-qc/9701052]. Infeld, van der Waerden (1933): Infeld L., van der Waerden B.L., Die Wellengleichung des Elektrons in der allgemeinen Relativitatstheorie, "Sitzungsberichte Berliner Preussische Akadernie der Wissenschaften: Physik, Mathematik", 9, s. 380-401. 1031
Bibliografia
Isenberg et al. (1978): Isenberg J., Yasskin P.B., Green P.S., Non-self-dual gauge fields, "Physical Letters", 78B, s. 462-464. Isham (1975): Isham c.J., Quantum Gravity: An Oxford Symposium, Oxford University Press, Oksford. Isham (1992): Isham C. J., Canonical Quantum Gravity and the Problem of Time [gr-qc/9210011 ]. Isham, Butterfield (2000): Isham c.J., Butterfield J., Some Possible Roles for Topos Theory in Quantum Theory and Quantum Gravity [gr-qc/9910005]. Israel (1967): Israel w., Event horizons in static vacuum space-times, "Physical Review", 164, s. 1776-1779. Jackson (1998): Jackson J.D., Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, Nowy Jork i Chichester. Jennewein et al. (2002): Jennewein T., Weihs G., Pan J., Zeilinger A., Experimental Non-locality Proof of Quantum Teleportation and Entanglement Swapping, "Physical Review Letters", 88, s. 017903. Jensen (1973): Jensen G., Einstein Metrics on Principal Fibre Bundles, "Journal of Differential Geometry", 8, s. 599-614. Johnson (2003): Johnson c., D-Branes, Cambridge University Press, Cambridge. Jones (2002): Jones H.E, Groups, Representations, and Physics, Institute of Physics Publishing, Bristol. Jozsa (1981): Jozsa R, Models in Categories and Twistor Theory, praca doktorska, niepubl.,Oksford. Jozsa, Linden (2002): Jozsa R, Linden N., On the role of entanglement in quantum computational speed-up [quant-ph/0201143]. Jozsa (1998): Jozsa RO., Entanglement and quantum computation [w:] The Geometric Universe (red. S.A. Huggett, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), s. 369-379, Oxford University Press, Oksford. Kahn (1995): Kahn D.W., Topology: An Introduction to the Point-Set and Algebraic Areas, Dover Publications, Nowy Jork. Kaku (1993): Kaku M., Quantum field theory: a modern introduction, Oxford University Press, Oksford. Kamberov et al. (2002): Kamberov G. et al., Quatemions, Spinors, and Surfaces (Contemporary Mathematics (American Mathematical Society), t. 299), American Mathematical Society, Providence, RI. Kane (1999): Kane G. (red.), Perspectives on Supersymmetry (Advanced Series on Directions in High Energy Physics), World Scientific Publishing Co., Singapur. Kane (2001): Kane G., Supersymmetry: Unveiling the Ultimate Laws of Nature, Perseus Publishing, Nowy Jork. Kapusta (2001): Kapusta J.I., Primordial Black Holes and Hot Matter [astro-phl 0101515]. KarolyMzy (1966): KarolyMzy E, Gravitation and quantum mechanics of 1032 macroscopic bodies, "Nuovo Cimento", A42, s. 390.
Bibliografia
Karolyhazy (1974): Karolyhazy E, Gravitation and Quantum Mechanics of Macroscopic Bodies, "Magyar Fizikai Foly6irat", 22, s. 23-24 [po wygiersku]. Karolyhazy et al. (1986): Karolyhazy E, Frenkel A., Lukacs B., On the possible role of gravity on the reduction of the wave function [w:] Quantum Concepts in Space and Time (red. R Penrose, c.J. Isham), s. 109-128, Oxford University Press,Oksford. Kasper, Feller (2001); Kasper J.E., Feller S.A., The Complete Book of Holograms: How They Work and How to Make Them, Dover Publications. Kauffman (2001): Kauffman L.H., Knots and Physics, World Scientific Publishing, Singapur. Kay (1998a): Kay B.S., Entropy defined, entropy increase and decoherence understood, and some black hole puzzles solved [hep-th/9802172]. Kay (1998b): Kay B.S., Decoherence of Macroscopic Closed Systems within Newtonian Quantum Gravity, "Classical and Quantum Gravity", 15, s. L89-98 [hep-th/ 9810077]. Kay (2000): Kay B.S., Application of linear hyperbolic PDE to linear quantum in curved space-times: especially black holes, time machines, and a new semilocal vacuum concept [w:] Journees Equations aux Derivees Partielles, Nantes 5-9 Juin 2000. Groupement de Recherche 1151 du CNRS [gr-qc/Ol03056]. Kay, Wald (1991): Kay B.S., Wald RM., Theorems on the uniqueness and thennal properties of stationary, nonsingular, quasifree states on space-times with a bifurcate Killing horizon, "Physics Reports", 207, s. 49-136. Kay et al. (1996): Kay B.S., Radzikowski M.J., Wald RM., Quantum Field Theory on Spacetimes with a Compactly Generated Cauchy Horizon, "Communications in Mathematical Physics", 183 (1997), s. 533-556 [gr-qc/9603012]. Kelley (1965): Kelley J.L., General Topology, Van Nostrand, Princeton, New Jersey. Kemmer (1938): Kemmer N., Quantum theory ofEinstein-Bose particles and nuclear interaction, "Proceedings of the Royal Society", A166, s. 127. Kemmer (1939): Kemmer N., The particle aspect of meson theory, "Proceedings of the Royal Society", A173, s. 91. Kerr (1963): Kerr RP., Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics, "Physical Review Letters", 11,237-238. Ketov (2000): Ketov S.v., Quantum Non-Linear Sigma-Models: From Quantum Field Theory to Supersymmetry, Confonnal Field Theories, Black Holes, and Strings, Springer-Verlag, Berlin i Londyn. Kibble (1961): Kibble T.w.B., Lorentz invariance and the gravitational field, "Journal of Mathematical Physics", 2, s. 212-221. Kibble (1979): Kibble T.W.B., Geometrization ofquantum mechanics "Communications in Mathematical Physics", 65, s. 189. Kibble (1981): Kibble T.w.B., Is a semi-classical theory of gravity viable? [w:] Quantum Gravity 2: A Second Oxford Symposium (red. c.J. Isham, R Penrose, D.W. Sciama), s. 63-80, Oxford University Press, Oksford. 1033
Bibliografia
Killing (1893): Killing w., Einfuehntng in die Gntndlagen der Geometrie, Paderborn. Klein (1898): Klein E, Ober den Stand der Herausgabe von Gauss' Werken, "Mathematische Annalen", 51, s. 128-133. Knott (1900): Knott c.G., Professor Klein's view of quaternions: A criticism, "Proceedings of Royal Society of Edinburgh", 23, s. 24-34. Kobayashi, Nomizu (1963): Kobayashi S., Nomizu K, Foundations of Differential Geometry, Interscience Publishers, Nowy Jork i Londyn. Kochen, Specker (1967): Kochen S., Specker E.P., The Problem ofHidden Variables in Quantum Mechanics, "Journal of Mathematics and Mechanics", 17, s.59-88. Kodaira (1962): Kodaira K,A theorem of completeness of characteristic systems for analytic submanifolds of a complex manifold, "Annals of Mathematics", 75, s.146-162. Kodaira, Spencer (1962): Kodaira K, Spencer D.C., On deformations of complex analytic-stntctures I, II, "Annals of Mathematics", 67, s. 328-401,403-466. Kolb, Turner (1994): Kolb E.W., Turner M.S., The Early Universe, Perseus Publishing, Nowy Jork. Komar (1964): Komar A.B., Undecidability ofmacroscopically distinguishable states in quantum field theory, "Physical Review", 133B, s. 542-544. Kontsevich (1994): Kontsevich M., Homological algebra of mirror symmetry [w:] Proceedings of the International Congress of Mathematicians, t. 1, 2 (Zurych 1994), Birkhaiiser, Bazylea. Kontsevich (1995): Kontsevich M., Enumeration of rational curves via toric actions [w:] The Moduli Space of Curves (red. R Dijkgraaf, C. Faber, G. van der Geer), "Progress in Mathematics", 129,335-368 [hep-th/9405035]. Koruga et al. (1993): Koruga D., Hameroff S., Withers J., Loutfy R, Sundareshan M., Fullerene C 60 - History, physics, nanobiology, nanotechnology, North-Holland, Amsterdam. Kraus (1983): Kraus K, States, effects and operations: fundamental notions of quantum theory, Lecture Notes in Physics, t. 190, Springer-Verlag, Berlin. Krauss (2001): Krauss L.M., Quintessence: The Mystery of the Missing Mass, Basic Books, Nowy Jork. Kreimer (2000): Kreimer D., Knots and Feynman Diagrams, Cambridge University Press, Cambridge. Kronheimer, Penrose (1967): Kronheimer E.H., Penrose R, On the structure ofcausal spaces, "Proceedings of Cambridge Philosophical Society", 63, s. 481-50l. Kruskal (1960): Kruskal M.D., Maxima/ Extension ofSchwalZschild Metric, "Physical Review", 119, s. 1743-1745. Kuchar (1981): Kuchar K, Canonical methods ofquantization [w:] Quantum Gravity 2 (red. D.W. Sciama, R Penrose, c.J. Isham), Oxford University Press, Oksford. Kuchar (1992): Kuchar KY., Time and interpretations of quantum gravity [w:] 1034 Proceedings of the 4th Canadian Conference on General Relativity and
Bibliografia
RelativisticAstrophysics (red. G. Kunstatter, D. Vincent, J. Williams), World Scientific, Singapur. Labastida, Lozano (1998): Labastida J.M.F., Lozano C, Lectures in Topological Quantum Field Theory [hep-th/9709192] Landsman (1998): Landsman N.P., Mathematical Topics Between Classical and Quantum Mechanics, Springer-Verlag, Berlin. Lang (1972): Lang S., Differentiable Manifolds, Addison-Wesley, Reading, MA. Lange et al. (2001): Lange AE. et al.,A measurement by BOOMERanG of multiple peaks in the angular power spectrum of the cosmic microwave background, "Astrophysical Journal", 571, s. 604-614 [astro-ph/0005004]. Laplace (1799): Laplace P.S.,Allgemeine geographische Ephemeriden herausgegeben von F. von Zach, iv Bd. 1st, I Abhandl., Weimar. Laporte, Uhlenbeck (1931): Laporte 0, Uhlenbeck G.E., Application of spinor analysis to the Maxwell and Dirac equations, "Physical Review", 37, s. 1380-1552. Lasenby et al. (2000): Lasenby J., Lasenby AN., Doran CJ.L., A unified mathematical language for physics and engineering in the 21st century, "Philosophical Transactions of Royal Society of London", A358, s. 21-39. Lawrie (1998): Lawrie L,A Unified Grand Tour of Theoretical Physics, Institute of Physics Publishing, Bristol. Lawson, Michelson (1990): Lawson H.B., Michelson M.L., Spin Geometry, Princeton University Press, Princeton. Lawvere, Schanuel (1997): Lawvere W., Schanuel S., Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press, Cambridge. LeBrun (1985): LeBrun CR, Ambi-twistors and Einstein's equations, "Classical and Quantum Gravity", 2, s. 555-563. LeBrun (1990): LeBrun CR, Twistors, ambitwistors, and conformal gravity [w:] Twistors in Mathematical Physics (red. TN. Bailey, RJ. Baston), LMS Lecture Note Series 156, Cambridge University Press, Cambridge. Lebrun, Mason (2002): Lebrun C, Mason L.J., Zoll manifolds and complex surfaces, "Journal of Differential Geometry", 61(3), s. 453-535. Lefshetz (1949): Lefshetz J., Introduction to Topology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. Leggett (2002): Leggett AJ., Testing the limits of quantum mechanics: motivation, state ofplay, prospects, "Journal of Physics", eM 14, R415-451. Levitt (2001): Levitt M.H., Spin Dynamics: Basics of Nuclear Magnetic Resonance, John Wiley & Sons, Nowy Jark. Lichnerowicz (1994): Lichnerowicz A (red.), Physics on Manifolds: Proceedings of the International Colloquium in Honour ofYvonne Choquet-Bruhat. Paris. June 3-5. 1992, Kluwer Academic Publishers, Boston i Dordrecht. Liddle (1999): Liddle AR,An Introduction to Modem Cosmology, John Wiley & Sons, Nowy Jork. 1035
Bibliografia
Liddle, Lyth (2000): Liddle AR., Lyth D.H., Cosmological Inflation and Large-Scale Structure, Cambridge University Press, Cambridge. Lifshitz, Khalatnikov (1963): Lifshitz E.M., Khalatnikov I.M., Investigations in relativistic cosmology, "Advances in Physics", 12, s. 185-249. Linda (1993): Linda A, Comments on Inflationary Cosmology [astro-ph/9309043]. Linde (1995): Linde A, Inflation with Variable Omega, "Physical Letters", B351 [hep-th/95 03097]. Littlewood (1949): Littlewood J.E., Littlewood's miscellany, przedruk w 1986, Cambridge University Press, Cambridge. Livio (2000): Livio M., The Accelerating Universe, John Wiley & Sons, Nowy Jork. Llewellyn Smith (1973): Llewellyn Smith C.H., High energy behaviour and gauge symmetry, "Physical Letters", B46(2), s. 233-236 [dost<tpne w internecie]. Lockwood (1989): Lockwood M., Mind, Brain and the Quantum; the Compound 'I', Basil Blackwell, Oksford. Lorentz et al. (1952): Lorentz H.A, Einstein A, Minkowski H., Weyl H., The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity, Dover, Nowy Jork. Lounesto (2001): Lounesto P., CliffordAlgebras and Spinors, Cambridge University Press, Cambridge. Liiders (1951): Liiders G., Uber die Zustandsanderung durch den Messprozess, "Annalen der Physik", 8, s. 322-328. Ludvigsen (1999): Ludvigsen M., General Relativity: A Geometric Approach, Cambridge University Press, Cambridge. Ludvigsen, Vickers (1982): Ludvigsen M., Vickers J.AG., A simple proof of the positivity of the Bondi mass, "Journal of Physics", A15, s. L67-70. Luminet et al. (2003): Luminet J.-P. et al., Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background, "Nature", 425, s. 593-595. Lyttleton, Bondi (1959): Lyttleton R.A, Bondi H. [w:] "Proceedings of Royal Society of London", A252, s. 313. MacDuffee (1933): MacDuffee c.c., The theory of matrices, Springer-Verlag, Berlin. MacLane (1988): MacLane S., Categories for the Working Mathematician, Springer-Verlag, Berlin. McLennan (1956): McLennan J.A, Jr., Conformal invariance and conservation laws for relativistic wave equations for zero rest mass, "Nuovo Cimento", 3, s.1360-1379. MACRO Collaboration (2002): MACRO Collaboration, Search for massive rare particles with MACRO, "Nuclear Physics Proceedings" Suppl. 110, s. 186-188 [hep-ex/0009002]. Magueijo (2003): Magueijo J., Faster Than the Speed ofLight: The Story ofa Scientific 1036 Speculation, Perseus Publishing, Nowy Jork.
Bibliografia
Magueijo, Smolin (2002): Magueijo J., Smolin L., Lorentz invariance with an invariant energy scale [gr-qc/0112090]. Mahler (1981): Mahler, P-Adic Numbers and Functions, Cambridge University Press, Cambridge. Majorana (1932): Majorana E., Teoria relativistica di particelle con momento intrinsico arbitrario, "Nuovo Cimento", 9, s. 335-344. Majorana (1937): Majorana E., Teoria asimmetrica dell' elettrone del positrone, "Nuovo Cimento", 14, s. 171-184. Maldacena (1997): Maldacena J., The Large N Limit of Superconfonnal Field Theories and Supergravity [hep-th/9711200]. Manogue, Dray (1999): Manogue CA, Dray T., Dimensional Reduction, "Modern Physics Letters", A14, s. 93-97 [hep-th/9807044]. Manogue, Schray (1999): Manogue CA, Schray J., Finite Lorentz transfonnations, automorphisms, and division algebras, "Journal of Mathematical Physics", 34, s. 3746-3767. Markopoulou (1997): Markopoulou E, Dual fonnulation of spin network evolution [gr-qc/970401 ]. Markopoulou (1998): Markopoulou E, The internal description ofa causal set: What the universe looks like from the inside, "Communications in Mathematical Physics", 211, s. 559-583 [gr-qc/9811053]. Markopoulou, Smolin (1997): Markopoulou E, Smolin L., Causal evolution of spin networks, "Nuclear Physics", B508, s. 409-430 [gr-qc/9702025]. Marsden, Tromba (1996): Marsden J.E., Tromba AJ., Vector Calculus, W.H. Freeman & Co., Nowy Jork [nowe wyd. 2004]. Marshall et al. (2003): Marshall W., Simon C, Penrose R., Bouwmeester D., Towards Quantum Superpositions of a Mirror, "Physical Review Letters", 91, s. 13. Mason, Woodhouse (1996): Mason L.J., Woodhouse N.M.J., Integrability, Self-Duality, and Twistor Theory, Oxford University Press, Oksford. Mattuck (1976): Mattuck R.D., A Guide to Feynman Diagrams in the Many-Body Problem, Dover, Nowy Jork. Merkulov, Schwachhofer (1998): Merkulov S.A., SchwachhOfer L.J., Twistor solution of the holonomy problem [w:] The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work of Roger Penrose (red. S.A. Huggett, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford Michell (1784): Michell J., On the means ofdiscovering the distance, magnitude, etc., of the fixed stars, in consequence of the diminution of their light, in case such a diminution should be found to take place in any of them, and such other data should be procured from observations, as would be further necessary for thatpurpose, "Philosophical Transactions of the Royal Society of London", 74, s. 35-57. Mielnik (1974): Mielnik B., Generalized Quantum Mechanics, "Communications in Mathematical Physics", 31, s. 221. 1037
Bibliografia
Milgrom (1994): Milgrom M., Dynamics with a non-standard inertia-acceleration relation: an alternative to dark matter, "Annals of Physics", 229 [astro-phl 9303012]. Miller (2003): Miller A, Erotica, Aesthetics, and Schroedinger'S Wave Equation [w:] It Must Be Beautiful (red. G. Farmelo), Granta, Londyn. Minassian (2002): Minassian E., Spacetime singularities in (2 + i)-dimensional quantum gravity, "Classical and Quantum Gravity", 19, s. 5877-5900. Minkowski (1952): Minkowski H. [w:] Lorentz et al. (1952). Misner (1969): Misner c.w., Mixmaster Universe, "Physical Review Letters", 22, s.1071-1074. Misner et al. (1973): Misner c.w., Thome KS., Wheeler J.A, Gravitation, Freeman, San Francisco. Mohapatra (2002): Mohapatra RN., Unification and Supersymmetry, Springer-Verlag, Berlin i Londyn. Montgomery, Zippin (1955): Montgomery D., Zippin L., Topological Transformation Groups, Interscience, Nowy Jork i Londyn. Moore (1990): Moore AW., The Infinite, Routledge, Londyn i Nowy Jork. Moroz et at. (1998): Moroz I.M., Penrose R, Tod KP., Spherically-symmetric solutions of the Schrodinger-Newton equations, "Classical and Quantum Gravity", 15, s. 2733-2742. Mott (1929): Mott N.F., The wave mechanics of a-ray tracks, "Proceedings of Royal Society of London", A126, s. 79-84 (przedruk w: Quantum Theory and Measurement, red. J.A Wheeler, W.H. Zurek, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1983). Moussouris (1983): Moussouris J.P., Quantum models of space-time based on recoupling theory, praca doktorska, niepubl., Oksford. Mukohyama, Randall (2003): Mukohyama S., Randall L., A Dynamical Approach to the Cosmological Constant, "Physical Review Letters", 92 (2004), s. 211302 [hep-th/0306108]. Munkres (1954): Munkres J.R, Elementary Differential Topology, "Annals of Mathematical Studies", 54, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. Myrheim (1978): Myrheim J., Statistical geometry, material CERN, niepubl., TH-2538. Nahin (1998): Nahin P.J.,AnImaginary Tale: The StoryofR, Princeton University Press, Princeton. Nair (1988): Nair v., A Current Algebra For Some Gauge Theory Amplitudes, "Physical Letters", B214, s. 215. Nambu (1970): Nambu Y. [w:] Proceedings of the International Conference on Symmetries and Quark Models, Wayne State University, Gordon and Breach Publishers, s. 269. Narayan et al. (2003): Narayan R et al., Evidence for the Black Hole Event Horizon, 1038 "Astronomy & Geophysics", 44(6), s. 6.22-6.26.
Bibliografia
Needham (1997): Needham T., Visual Complex Analysis, Clarendon Press, Oxford University Press, Oksford. Negrepontis (2000): Negrepontis S., The Anthyphairetic Nature ofPlato's Dialectics [w:] Interdisciplinary Approach to Mathematics and their Teaching, t. 5, s. 15-77, University-Gutenberg, Ateny (po grecku). Nester (1981): Nester J.M., A new gravitational energy expression, with a simple positivity proof, "Physical Letters", 83A, s. 241-242. Newlander, Nirenberg (1957): Newlander A, Nirenberg L., Complex Analytic Coordinates in Almost Complex Manifolds, "Annals of Mathematics", 65, s.391-404. Newman (1993): Newman RP.AC., On the Structure of Confonnal Singularities in Classical General Relativity, "Proceedings of Royal Society of London", A443, s.473. Newman (2002): Newman E.T., On a Classical, Geometric Origin of Magnetic Moments, Spin-Angular Momentum and the Dirac Gyromagnetic Ratio, "Physical Review", D65, s. 104005 [gr-qc/0201055]. Newman, Penrose (1962): Newman E.T., Penrose R,An approach to gravitational radiation by a method ofspin coefficients, "Journal of Mathematical Physics", 3, s. 896-902; errata (1963), 4, s. 998. Newman, Penrose (1966): Newman E.T., Penrose R, Note on the Bondi-Metzner-Sachs group, "Journal of Mathematical Physics", 7, s. 863-870. Newman, Unti (1962): Newman E.T., Unti T.W.J., Behavior of asymptotically flat empty space, "Journal of Mathematical Physics", 3, s. 891-90l. Newmanetal. (1965): Newman E.T., Couch E., Chinnapared K, Exton A, Prakash A, Torrence R, Metric of a rotating charged mass, "Journal of Mathematical Physics", 6, s. 918-919. Newton (1687): Newton I., The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, przedruk: University of California Press 1999. Newton (1730): Newton I., Opticks. Dover, 1952. Ng (2004): Ng Y.J., Quantum Foam [gr-qc/0401015]. Nicolai (2003): Nicolai H., Remarks at AEI Symposium "Strings meet Loops': 29-31 October 2003, www.aei-potsdam.mpg.de/events/stringloop.html. Nielsen (1970): Nielsen H.B., material z "Proceedings of the XV International Conference on High Energy-Physics", Kijow (niepubl.). Nielsen, Chuang (2000): Nielsen M.A, Chuang LL., Quantum Computation and Quantum Infonnation, Cambridge University Press, Cambridge. Nomizu (1956): Nomizu K., Lie Groups and Differential Geometry, The Mathematical Society of Japan, Tokio. Novikov (2001): Novikov I.D., The River of Time, Cambridge University Press, Cambridge; wyd. polskie: Rzeka czasu: czarne dziury, biale dziury i podr6ie w czasie, przel. P. Amsterdamski, Proszynski i S-ka, Warszawa 1998. 1039
Bibliografia
O'Donnell (2003): O'Donnell P., Introduction to 2-Spinors in General Relativity, World Scientific, Singapur. O'Neill (1983): O'Neill B., Semi-Riemannian Geometry: With Applications to Relativity, Academic Press, Nowy Jork. Oppenheimer (1930): Oppenheimer J.R, On the theory of electrons and protons, "Physical Review", 35, 562-563. Ozsvath, Schiicking (1962): Ozsvath, Schiicking E. [w:] "Nature", 193, s. 1168. Ozsvath, Schiicking (1969): Ozsvath I., Schiicking E. [w:] "Annalen der Physik", 55. Page (1995): Page D., Sensible Quantum Mechanics: Are Only Perceptions Probabilistic? [quant-ph/950601O]. Page (1987): Page D.A, Geometrical description ofBerry's phase, "Physical Review", A36, s.3479-3481. Page (1976): Page D.N., Dirac equation around a charged, rotating black hole, "Physical Review", 14, 1509-1510. Pais (1982): Pais A, 'Subtle is the Lord'... The Science and the Life ofAlbert Einstein, Oarendon Press, Oksford; wyd. polskie: "Pan BOg jest wyrafinowany... " NauI«J i iycieAlberta Einsteina, przel. P. Amsterdamski, Proszyflski i S-ka, Warszawa 2OOl. Pais (1986): Pais A, Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World, Clarendon Press, Oksford. Parker, Taubes (1982): Parker T., Taubes, On Witten's proof of the positive energy theorem, "Communications in Mathematical Physics", 84, s. 223-38. Pars (1968): Pars L.A.,A Treatise on Analytical Dynamics, przedruk Ox Bow Press 1981. Pearle (1985): Pearle P., Models for reduction [w:] Quantum Concepts in Space and Time (red. c.J. Isham, R Penrose), s.84-108, Oxford University Press, Oksford. Pearle, Squires (1995): Pearle P., Squires E.J., Gravity, energy conservation and parameter values in collapse models, Durham University preprint, DTP/95/13. Peitgen, Richter (1986): Peitgen H.-O., Richter P.H., The Beauty ofFractals: Images of Complex Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin i Heidelberg. Peitgen, Saupe (1988): Peitgen H.-O., Saupe D., The Science of Fractal Images, Springer-Verlag, Berlin. Penrose (1959): Penrose R, The apparent shape of relativistically moving sphere. "Proceedings of Cambridge Philosophical Society", 55, s. 137-139. Penrose (1960): Penrose R, A spinor approach to general relativity, "Annals of Physics" (Nowy Jork) 10, s. 171-201. Penrose (1962): Penrose R, The Light Cone at Infinity [w:] Proceedings of the 1962 Conference on Relativistic Theories of Gravitation, Warsaw, Polska Akademia Nauk, Warszawa (wyd. 1965). Penrose (1963): Penrose R,Asymptotic properties offields and space-times, "Physical 1040 Review Letters", 10, s. 66-68.
Bibliografia
Penrose (1959): Penrose R, Conformal approach to infinity [w:] Relativity, Groups and Topology: The 1963 Les Houches Lectures (red. B.S. DeWitt, C.M. DeWitt), Gordon and Breach, Nowy Jork. Penrose (1965a): Penrose R, Zero rest-mass fields including gravitation: asymptotic behaviour, "Proceedings of Royal Society of London", A284, s. 159-203. Penrose (1965b): Penrose R, Gravitational collapse and space-time singularities, "Physical Review Letters", 14, s. 57-59. Penrose (1966): Penrose R,An analysis of the structure of space-time, Adams Prize Essay, Cambridge University, Cambridge (niepubl., wiC(kszosc tresci w: Penrose 1968a). Penrose (1967): Penrose R, Twistoralgebra, "Journal of Mathematical Physics", 8, s.345-366. Penrose (1968a): Penrose R, Structure of space-time [w:] Battelle Recontres, 1967 (red. C.M. DeWitt, J.A. Wheeler), Lectures in Mathematics and Physics, Benjamin, Nowy Jork. Penrose (1968b): Penrose R., Twistor quantization and curved space-time, "International Journal of Theoretical Physics", 1, s. 61-99. Penrose (1969a): Penrose R, Gravitational collapse: the role of general relativity, "Rivista del Nuovo Cimento", ser. I, t. 1; nr specjalny, s. 252-276. Penrose (1969b): Penrose R, Solutions of the zero rest-mass equations, "Journal of Mathematical Physics", 10, s. 38-39. Penrose (1971a): Penrose R, Angular momentum: an approach to combinatorial space-time [w:] Quantum Theory and Beyond (red. T. Bastin), Cambridge University Press, Cambridge. Penrose (1971b): Penrose R, Applications of negative dimensional tensors [w:] Combinatorial Mathematics and its Applications (red. D.J.A. Welsh), Academic Press, Londyn. Penrose (1975): Penrose R, Twistor theory: its aims and achievements [w:] Quantum Gravity, an Oxford Symposium (red. c.J. Isham, R Penrose, D.W Sciama), Oxford University Press, Oksford. Penrose (1976a): Penrose R, The non-lineargraviton, Gen. ReI. Grav. 7, s.171-176. Penrose (1976b): Penrose R, Non-linear gravitons and curved twistor theory, "General Relativity and Gravitation", 7, s. 31-52. Penrose (1978): Penrose R, Gravitational collapse: a Review [w:] Physics and Astrophysics of Neutron Stars and Black Holes, LXV Corso, Societa Italiana di Fisica, Bolonia, s. 566-582. Penrose (1979a): Penrose R, Singularities and time-asymmetry [w:] General Relativiy: An Einstein Centenary (red. S.W Hawking, W Israel), Cambridge University Press, Cambridge. Penrose (1979b): Penrose R, On the twistor description of massless fields, [w:] Complex Manifold Techniques in Theoretical Physics (red. D.E. Lerner, P.D. Sommers), Pitman, San Francisco; zob. td: raine artykuly w: L.P. Hughston, 1041
Bibliografia
RS. Ward (red.), Advances in Twistor Theory, Pitman Advanced Publishing Program, San Francisco 1979. Penrose (1980): Penrose R, On Schwarzschild causality - a problem for 'Lorentz-covariant' general relativity [w:] Essays in General Relativity (A. Taub Festschrift) (red. F.J. Tipler), s. 1-12, Academic Press, Nowy Jork. Penrose (1982): Penrose R, Quasi-local mass and angular momentum in general relativity, "Proceedings of Royal Society of London", A381, s. 53-63. Penrose (1986): Penrose R, Gravity and state-vector reduction [w:] Quantum Concepts in Space and Time (red. R Penrose, c.J. Isham), s. 129-146, Oxford University Press, Oksford. Penrose (1987a): Penrose R, Quantum physics and conscious thought [w:] Quantum Implications: Essays in Honour of David Bohm (red. B.J. Hiley, F.D. Peat), Routledge and Kegan Paul, London i Nowy Jork. Penrose (1987b): Penrose R, On the origins of twistor theory [w:] Gravitation and Geometry: a volume in honour ofI Robinson (red. W. Rindler, A. Trautman), Bibliopolis, Neapol. Penrose (1987c): Penrose R, Newton, quantum theory, and reality [w:] 300 lears of Gravitation (red. S.w. Hawking, W. Israel), s. 17-49, Cambridge University Press, Cambridge. Penrose (1988): Penrose R, Holomorphic linking, "Twistor Newsletter", 27, s. 1-4. Penrose (1988a): Penrose R, Topological QFTand Twistors: Holomorphic Linking; Holomorphic Linking: Postscript, "Twistor Newsletter", 27, s. 1-4. Penrose (1988b): Penrose R, Fundamental asymmetry in physical laws, "Proceedings of Symposia in Pure Mathematics", 48, American Mathematical Society, s.317-328. Penrose (1989): Penrose R, The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics, Oxford University Press, Oksford; wyd. polskie: Nowy umysl cesarza: 0 komputerach, umy§le i prawach fizyki, przel. P. Amsterdamski, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000. Penrose (1991): Penrose R, On the cohomology of impossible figures [La cohomologie des figures impossiblesJ "Structural Topology" ["Topologie structurale"] 17, s. 11-16. Penrose (1992): Penrose R, H-space and Twistors [w:] RecentAdvances in General Relativity. Einstein Studies, t. 4 (red. A.I. Janis, J.R. Porter), s. 6-25, Birkhauser, Boston. Penrose (1994): Penrose R, Shadows ofthe Mind: An Approach to the Missing Science of Consciousness, Oxford University Press, Oksford; wyd. polskie: Cienie umyslu. Poszukiwanie naukowej teorii §wiadomo§ci, Zysk i S-ka, Poznan 2001. Penrose (1996): Penrose R, On gravity's role in quantum state reduction, "General Relativity and Gravitation", 28, s. 581-600. Penrose (1997a): Penrose R, The Large, the Small and the Human Mind, Cambridge 1042 University Press, Cambridge; wyd. polskie w: M. Longair (red.), Makro§wiat,
Bibliografia
mikroswiat i ludzki umysl, przel. P. Amsterdamski, Pr6szynski i S-ka, Warszawa 1997. Penrose (1997b): Penrose R, On understanding understanding, "International Studies in Philosophical Sciences", 11, s. 7-20. Penrose (1998a): Penrose R, Quantum computation, entanglement and state-reduction, "Philosophical Transactions of Royal Society of London", A356, s.1927-1939. Penrose (1998b): Penrose R, The question of cosmic censorship [w:] Black Holes and Relativistic Stars (red. RM. Wald), University of Chicago Press, Chicago, Illinois, przedruk w "Journal of Astronomy and Astrophysics", 20, s.233-248 (1999). Penrose (2000a): Penrose R, Wavefunction collapse as a real gravitational effect [w:] Mathematical Physics 2000 (red. A. Fokas, T.WB. Kibble, A. Grigouriou, B. Zegarlinski), s. 266-282, Imperial College Press, Londyn. Penrose (2000b): Penrose R, On Bell non-locality without probabilities: some curious geometry [w:] Quantum Reflections (red. J. Ellis, D. Amati), Cambridge University Press, Cambridge, s. 1-27. Penrose (2001): Penrose R., Towards a twistor description ofgeneral space-times; introductory comments [w:] Further Advances in Twistor Theory, t. III: Curved Twistor Spaces (red. L.J. Mason, L.P. Hughston, P.Z. Kobak, K. Pulverer), Chapman & Hall/CRC Research Notes in Mathematics 424, Londyn, s. 239-255. Penrose (2002): Penrose R, John Bell, State Reduction, and Quanglement [w:] Quantum [UnJspeakables: From Bell to Quantum Information (red. RA. Bertlmann, A. Zeilinger), Springer-Verlag, Berlin. Penrose (2003): Penrose R, On the instability of extra space dimensions. The Future of Theoretical Physics and Cosmology. Celebrating Stephen Hawking's 60th Birthday (red. G.W Gibbons, E.P.S. Shellard, S.J. Rankin), Cambridge University Press, Cambridge. Penrose, MacCallum (1972): Penrose R, MacCallum M.A.H., Twistor theory: an approach to the quantization of fields and space-time, "Physical Reports", 6C, s. 241-315. Penrose, Penrose (1958): Penrose L.S., Penrose R, Impossible Objects: A Special Type of Visual Illusion, "British Journal of Psychology", 49, s. 31-33. Penrose, Rindler (1984): Penrose R, Rindler W, Spinors and Space-Time, t. I: Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields, Cambridge University Press, Cambridge. Penrose, Rindler (1986): Penrose R., Rindler W, Spinors and Space-Time, t. II: Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry, Cambridge University Press, Cambridge. Penrose, Robinson, Tafel (1997): Penrose R, Robinson I., Tafel J.,Andrzej Mariusz Trautman, "Classical and Quantum Gravity", 14, s. AI-A8. 1043
Bibliografia
Penrose et al. (1978): Penrose R, Sparling G.AJ., Tsou S.T., Extended Regge Trajectories, "Journal of Physics A: Mathematical and General", 11, s. L23I-L235. Penzias, Wilson (1965): Penzias AA, Wilson RW., A Measurement of Excess Antenna Temperature at 4080 Mc/s, "Astrophysical Journal", 142, s. 419. Percival (1994): Percival I. e., Primary state diffusion, "Proceedings of Royal Society of London", A447, s. 189-209. Percival (1995): Percival I.e., Quantum space-time fluctuations and primary state diffusion [quant-ph/9508021]. Peres (1991): Peres A, Two Simple Proofs of the Kochen-Specker Theorem, "Journal of Physics A: Mathematical and General", 24, s. L175-L178. Peres (1995): Peres A, Generalized Kochen-Specker Theorem [quant-ph/9510018]. Peres (2000): Peres A, Delayed choice for entanglement swapping, "Journal of Modern Optics", 47, s. 531 [quant-ph/9904042]. Perez (2001): Perez A, Finiteness ofa spinfoam model for Euclidean quantum general relativity, "Nuclear Physics", B599, s. 427-434. Perez (2003): Perez A, Spin foam models for quantum gravity, "Classical and Quantum Gravity", 20, s. R43-R104. Perlmutter et al. (1998): Perlmutter S. et al., Cosmology from Type Ia Supernovae, "Bulletin of American Astronomical Society", 29 [astro-ph/9812473]. Peskin, Schroder (1995): Peskin M.E., Schroder P.Y.,Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press, Reading, MA i Wokingham. Petiau (1936): Petiau G., Contribution ala tMorie des equations d'ondes pusculaires, Academie Royale Belgique (Cl. Sci. Mem. Collect. 16, or 2). Pirani, Schild (1950): Pirani F.AE., Schild A, On the Quantization of Einstein's Gravitational Field Equations, "Physical Review", 79, s. 986-991. Pitkaenen (1994): Pitkaenen M., P-adic description of Higgs mechanism I: p-adic square root and p-adic light cone [hep-th/9410058]. Po1chinski (1998): Po1chinski J., String Theory, Cambridge University Press, Cambridge. Polkinghorne (2002): Polkinghorne J., Quantum Theory. A Very Short Introduction, Oxford University Press, Oksford. Popper (1934): Popper K., The Logic of Scientific Discovery, Routledge (nowe wyd. marzec 2002); wyd. polskie: Logika odkrycia naukowego, przel. K. Niklas, PWN, Warszawa 1977. Pound, Rebka (1960): Pound RY., Rebka G.A [w:] "Physical Review Letters", 4, s.337. Preskill (1992): Preskill J., Do black holes destroy information? [hep-th/9209058]. Priestley (2003): Priestley H.A, Introduction to ComplexAnalysis, Oxford University Press, Oksford. Rae (1994): Rae AI.M., Quantum Mechanics, Institute of Physics Publishing, wyd. 1044 4, 2002.
Bibliografia
Raine (1975): Raine D.J., Mach's principle in General Relativity, "Monthly Notices of Royal Astronomical Society", 171, s. 507-528. Randall, Sundrum (1999a): Randall L., Sundrum R.,A Large Mass Hierarchy from a Small Extra Dimension, "Physical Review Letters", 83, s. 3370-3373 [hepph/9905221 ]. Randall, Sundrum (1999a): Randall L., Sundrum R., An Alternative to Compactification, "Physical Review Letters", 83, s.4690-4693 [hep-th/ 9906064]. Rarita, Schwinger (1941): Rarita W, Schwinger J., On the theory of particles with halfinteger spin, "Physical Review", 60, s. 61. Redhead (1987): Redhead M.L.G., Incompleteness, Nonlocality, and Realism, Clarendon Press, Oksford. Reed, Simon (1972): Reed M., Simon B., Methods of Mathematical Physics, t. I: Functional Analysis, Academic Press, Nowy Jork i Londyn. Reeves et al. (2002): Reeves J.N. et aI., The signature of supernova ejecta in the X-ray afterglow of the gamma-ray burst 011211, "Nature", 416, s. 512-515. Regge (1961): Regge T., General Relativity without Coordinates, "Nuovo Cimento", A 19, s. 558-571. Reisenberger (1997): Reisenberger M.P.,A lattice worldsheet sum for 4-d Euclidean general relativity [gr-qc/9711052]. Reisenberger (1999): Reisenberger M.P., On relativistic spin network vertices, "Journal of Mathematical Physics", 40, s. 2046-2054. Reisenberger, Rovelli (2001): Reisenberger M.P., Rovelli c., Spacetime as a Feynman diagram: the connection fonnulation, "Classical and Quantum Gravity", 18, s.121-140. Reisenberger, Rovelli (2002): Reisenberger M.P., Rovelli c., Spacetime states and covariant quantum theory, "Physical Review", D65, s. 125016. Reula, Tod (1984): Reula 0., Tod K.P., Positivity of the Bondi energy, "Journal of Mathematical Physics", 25, 1004-1008. Riemann (1854): Riemann G.B.F., Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (rozprawa habilitacyjna, Getynga); zob. Collected Works of Bernhard Riemann (red. Heinrich Weber), wyd. 2, Dover, Nowy Jork 1953, s.272-287. Rindler (1977): Rindler W, Essential Relativity, Springer-Verlag, Nowy Jork. Rindler (1982): Rindler W, Introduction to Special Relativity, Clarendon Press, Oksford. Rindler (2001): Rindler W, Relativity: Special, General, and Cosmological, Oxford University Press, Oksford. Rizzi (1998): Rizzi A., Angular momentum in general relativity: A new definition, "Physical Review Letters", 81(6), s. 1150. Robinson (1975): Robinson D.C., Uniqueness of the Kerr Black Hole, "Physical Review Letters", 34, s. 905-906. 1045
Bibliografia
Rogers (1980): Rogers A., A global theory of supermanifolds, "Journal of Mathematical Physics", 21, s. 1352-1365. Rolfsen (2004): Rolfsen D., Knots and Links, American Mathematical Society, Providence, RI. Roseveare (1982): Roseveare N.T., Mercury's Perihelion from Le Verrier to Einstein, Clarendon Press, Oksford. Rovelli (1991): Rovelli c., Quantum mechanics without time: A model, "Physical Review", D42, s. 2638. Rovelli (1998): Rovelli c., Strings, loops and others: a critical survey of the present approaches to quantum gravity [w:] Gravity and Relativity: At the tum of the Millennium (15 th International Conference on General Relativity and Gravitation), red. N. Dadhich, 1. Narlikar, Inter-University Centre for Astronomy and Astrophysics, Puna, Indie, s. 281-331. Rovelli (2003): Rovelli c., Quantum Gravity, http://www.cpt.univ-mrsJr/-rovelli/ bookpdf. Rovelli, Smolin (1990): Rovelli c., Smolin L., Loop representation for quantum general relativity, "Nuclear Physics", B331, s. 80--152. Runde (2002): Runde v., The Banach-Tarski paradox - or - What mathematics and religion have in common, "Pi in the Sky", 2 (2000), s. 13-15 [math.GM/ 0202309]. Russell (1903): Russell B., Principles ofMathematics, najnowsze wyd.: w.w. Norton & Company 1996. Russell (1927): Russell B., TheAnalysis ofMatter, Allen and Unwin, przedruk Dover, Nowy lork 1954. Ryder (1996): Ryder L.H., Quantum Field Theory, Cambridge University Press, Cambridge. Sabbagh (2003): Sabbagh K, The Riemann Hypothesis: The Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Farrar, Straus and Giroux, Nowy lork. Saccheri (1733): Saccheri G., Euclides ab Omni Naevo Vindicatus, przekl. w: G.B. Halsted, Euclid Freed from Every Flaw, Open Court, La Salle, Illinois 1920. Sachs (1962): Sachs R, Asymptotic symmetries in gravitational theory, "Physical Review", 128, s. 2851-2864. Sachs, Bergmann (1958): Sachs R, Bergmann P.G., Structure of Particles in Linearized Gravitational Theory, "Physical Review", 112, s. 674--680. Sachs (1961): Sachs RK, Gravitational waves in general relativity, VI: the outgoing radiation condition, "Proceedings of Royal Society of London", A264, s. 309-338. Sachs (1962a): Sachs RK, Gravitational waves in general relativity, VIII: waves in asymptoticaly flat space-time, "Proceedings of Royal Society of London", A270, s. 103-126. Sachs (1962b): Sachs RK,Asymptotic symmetries in gravitational theory, "Physical 1046 Review", 128, s. 2851-2864.
Bibliografia
Sakellariadou (2002): Sakellariadou M., The role oftopological defects in cosmology, seria wyldadow w NATO ASI/COSLAB (ESF) School pt. Patterns of Symmetry Breaking, wrzesien 2002 (Krakow) [hep-ph/0212365]. Salam (1980): Salam A, Gauge Unification of Fundamental Forces, "Review of Modern Physics", 52(3), s. 515-523. Salam, Ward (1959): Salam A, Ward J.e., J.-J0ak and electromagnetic interaction, "Nuovo Cimento", 11, s. 568. Sarkar (2002): Sarkar S., Possible astrophysical probes of quantum gravity, "Modern Physics Letters", A17, s. 1025-1036 [gr-qc/0204092]. Sato, M. (1958): Sato M., On the generalization of the concept of a junction, "Proceedings of Japan Academy", 34, s. 126-30. Sato (1959): Sato M., Theory ofhyperfunctions, cz. I, "Journal of Faculty of Sciences, University of Tokyo", Sect. I, 8, s. 139-193. Sato (1960): Sato M., Theory ofhyperfunctions, cz. II, "Journal of Faculty of Sciences, University of Tokyo", Sect. I, 8, s. 387-437. Schild, (1949): Schild A, Discrete space-time and integral Lorentz transformations, "Canadian Journal of Mathematics", 1, s. 29-47. Schoen, Yau (1979): Schoen R., Yau S.-T., On the proofofthe positive mass conjecture in the general relativity, "Communications in Mathematical Physics", 65, s.45-76. Schoen, Yau (1982): Schoen R., Yau S.-T., Proof that Bondi mass is positive, "Physical Review Letters", 48, s. 369-371. Schouten (1954): Schouten J.A, Ricci-Calculus, Springer, Berlin. Schrodinger (1930): Schrodinger E. [w:] "Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften - Physik-Mathematik", 24, s. 418. Schrodinger (1935): Schrodinger E., Probability relations between separated systems, "Proceedings of Cambridge Philosophical Society", 31, s. 555-563. Schrodinger (1950): Schrodinger E., Space-Time Structure, Cambridge University Press, Cambridge. Schrodinger (1956): Schrodinger E., Expanding Universes, Cambridge University Press, Cambridge. Schrodinger (1967): Schrodinger E., 'What is Life?' and 'Mind and Matter', Cambridge University Press, Cambridge; wyd. polskie: Czym jest iycie? Fizyczne aspekty iywej kom6rki; Umysl i materia; Szkice autobiograficzne, przel. S. Amsterdamski, Proszynski i S-ka, Warszawa 1998. Schutz (2003): Schutz B., Gravity from the ground up: an introductory guide to gravity and general relativity, Cambridge University Press, Cambridge. Schutz (1997): Schutz J.w., IndependentAxioms for Minkowski Space-Time, Addison Wesley Longman Ltd., Harlow, Essex. Schwartz (1966): Schwartz L., Theorie des distributions, Hermann, Paryz. Schwarz (2001): Schwarz J.H., String Theory, "Current Sciences", 81(12), s. 1547-1553. 1047
Bibliografia
Schwarzschild (1916): Schwarzschild K., Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, "Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften in Berlin - Physik-Mathematik, Technik" Kl. 189-196. Schwinger (1951): Schwinger J. [w:] "Proceedings of National Academy of Sciences", 37, s. 452. Schwinger (1958): Schwinger J. (red.), Quantum Electrodynamics, Dover. Sciama (1959): Sciama D.W., The Unity of the Universe, Doubleday & Company, Inc., Nowy Jork. Sciama (1962): Sciama D.W., On the analogy between charge and spin in general relativity [w:] Recent Developments in General Relativity, Pergamon i PWN, Oksford. Sciama (1972): Sciama D.W., The Physical Foundations of General Relativity, Heinemann, Londyn. Sciama (1998): Sciama D.W., Decaying neutrinos and the geometry of the universe [w:] The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work ofRoger Penrose (red. S.A Huggett, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford. Seiberg, Witten (1994): Seiberg N., Witten E., Electric-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N = 2 supersymmetric Yang-Mills theory, "Nuclear Physics", B426 [hep-th/9407087]. Sen (1982): Sen A, Gravity as a spin system, "Physical Letters", B119, s. 89-91. Shankar (1994): Shankar R., Principles of Quantum Mechanics, wyd. 2, Plenum Press, Nowy Jork i Londyn. Shapiro et al. (1971): Shapiro I.I. et al. [w:] "Physical Review Letters", 13, s. 789. Shaw, Hughston (1990): Shaw W.T., Hughston L.P., Twistors and strings [w:] Twistors in Mathematics and Physics (red. T.N. Bailey, R.J. Baston), London Mathematical Society Lecture Notes Series, nr 156, Cambridge University Press, Cambridge. Shawhan (2001): Shawhan P., The Search for Gravitational Waves with LIGO: Status and Plans, "International Journal of Modern Physics", A 16, sup!. 01C, s. 1028-1030. Shih et al. (1995): Shih Y.H. et al., Optical Imaging by Means of Two-Photon Entanglement, "Physical Review A Rapid Communications", 52, s. R3429. Shimony (1998): Shimony A, Implications of transience for spacetime structures [w:] The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work ofRoger Penrose (red. S.A Huggett, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford. Shrock (2003): Shrock R., Neutrinos and Implications for Physics Beyond the Standard Model, World Scientific Publishing Co., Singapur. Silk, Rees (1998): Silk J., Rees M., Quasars and galaxy formation, "Astronomy and 1048 Astrophysics", t. 331, s. Ll-L4.
Bibliografia
Simon (1983): Simon B., Holonomy, the quantum adiabatic theorem, and Berry's phase, "Physical Review Letters", 51, s. 2160-2170. Singh (1997): Singh S., Fennat's Last Theorem, Fourth Estate, Londyn; wyd. polskie: Tajemnica Fennata, przei. P. Strzelecki, Proszynski i S-ka, Warszawa 1999. Slipher (1917): Slipher Y.A., Nebulae, "Proceedings of American Philosophical Society", 56, s. 403. Smolin (1991): Smolin L., Space and time in the quantum universe [w:] Conceptual Problems in Quantum Gravity (red. A. Ashtekar, J. Stachel), Birkhauser, Boston. Smolin (1997): Smolin L., The Life of the Cosmos, Oxford University Press, Oksford; wyd. polskie: Zycie WszechSwiata, przei. D. Czyzewska, Amber, Warszawa 1998. Smolin (1998): Smolin L., The physics ofspin networks [w:] The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work of Roger Penrose (red. S.A. Huggett, LJ. Mason, K.P. Tod, S.T.Thou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford. Smolin (2001): Smolin L., The exceptional Jordan algebra and the matrix string [hepth/0104050]. Smolin (2002): Smolin L., Three Roads To Quantum Gravity, Basic Books, Nowy Jork; wyd. polskie: Trzy drogi do kwantowej grawitacji, przei. J. Kowalski-Glikman, CiS, Warszawa 200l. Smolin (2003): Smolin, L., How far are we from the quantum theory of gravity? [hep-th/0303185]. Smoot et al. (1991): Smoot G.F. et al., Preliminary results from the COBE differential microwave radiometers: large-angular-scale isotropy of the Cosmic Microwave Background, "Astrophysical Journal", 371, s. LI. Snyder (1947): Snyder H.S., Quantized space-time, "Physical Review", 71, s. 3~l. Sorabji (1983): Sorabji R.J., Time, Creation, and the Continuum: Theories in Antiquity and the Early Middle Ages, Cornell University Press, Ithaca. Sorabji (1988): Sorabji R.J., Matter, Space and Motion: Theories in Antiquity and their Sequel, Cornell University Press, Ithaca. Sorkin (1991): Sorkin R.D., Spacetime and Causal Sets [w:] Relativity and Gravitation: Classical and Quantum (red. J.e. D'Olivo et al.), World Scientific, Singapur. Sorkin (1994): Sorkin R.D., Quantum Measure Theory and its Interpretation [w:] Proceedings of 4th Drexel Symposium on Quantum Nonintegrability, 8-11 September, Filadelfia, PA [gr-qc/9507057]. Spergel (2003), Spergel D.N., First lear Wilkinson Microwave Anisotropy Probe Observations: Detennination of Cosmological Parameters, "Astrophysical Journal" - Suppl. 148, s. 175. Stachel (1995): Stachel J., History of relativity [w:] History of 20th Century Physics (red. L. Brown, A. Pais, B. Pippard), rozdz. 4, American Institute of Physics 1049 (AlP), British Institute of Physics (BIP).
Bibliografia
Stairs (1983): Stairs A, Quantum logic, realism and value-definiteness, "Philosophy of Sciences", 50(4), s. 578-602. Stapp (1971): Stapp H.P., S-matrix Interpretation of Quantum Mechanics, "Physical Review", D3, s.1303-1320. Stapp (1979): Stapp H.P., Whiteheadian Approach to Quantum Theory and the Generalised Bel/'s Theorem, "Foundations of Physics", 9, s. 1-25. Steenrod (1951): Steenrod N.E., The Topology ofFibre Bundles, Princeton University Press, Princeton. Steinhardt, Turok (2002): Steinhardt P.J., Turok N.,A Cyclic Model of the Universe, "Science", 296(5572), s. 1436-1439 [hep-th/0111030]. Stoney (1881): Stoney G.J., On the Physical Units of "Nature", "Philosophical Magazine", t. 11, s. 381. Strauss (1992): Strauss w., Partial Differential Equations: An Introduction, John Wiley and Sons, Nowy Jork. Strominger, Vafa (1996): Strominger A, Vafa c., Microscopic Origin of the Bekenstein-Hawking Entropy, "Physical Letters", B379, s. 99-104. Strominger et al. (1996): Strominger A, Yau S.-T., Zaslow E., Mirror symmetry is T-duality, "Nuclear Physics", B479, s. 1-2, 243-259. Struik (1954): Struik D.J., A Concise History oj Mathematics, Dover, Nowy Jork. Sudarshan, Dhar (1968): Sudarshan G., Dhar J., Quantum Field Theory ofInteracting Tachyons, "Physical Review", 174, s.1808. Sudbery (1987): Sudbery A, Division algebras, (pseudo) orthogonal groups and "Journal of Physics", A17, s. 939-955. spinors, I Susskind (1970): Susskind L., Structure of Hadrons Implied by Duality, "Nuovo Cimento", A69, s. 457. Susskind (2003): Susskind L., Twenty Thars of debate with Stephen [w:] The Future of Theoretical Physics and Cosmology (red. G.w. Gibbons, P. Shellard, S. Rankin), Cambridge University Press, Cambridge. Susskind et al. (1993): Susskind L., Thorlacius L., Uglum J., The stretched horizon and black hole complementarity, "Physical Review", 48, s. 3743 [hep-th/ 9306069]. Sutherland (1975): Sutherland W.A, Introduction to Topology, Oxford University Press, Oksford. Swain (2004): Swain J., The Majorana representations of spins and the relation between SU(CX)) and S Diff (S2) [hep-th/0405004]. Synge (1950): Synge J.L., The gravitational field of a particle, "Proceedings of Irish Academy", A53, s. 83-114. Synge (1956): Synge J.L., Relativity: The Special Theory, North-Holland, Amsterdam. Synge (1960): Synge J.L., Relativity: The General Theory, North-Holland Publ. Co., Amsterdam. Szekeres (1960): Szekeres G., On the Singularities ofa Riemannian Manifold, "Pub!. 1050 Mat. Debrecen", 7, s. 285-301.
Bibliografia
't Hooft (1978a): 't Hooft G., On the phase transition towards pennanent quark confinement, "Nuclear Physics", B138, s. l. 't Hooft (1978b): 't Hooft G., Quantum gravity: a fundamental problem and some radical ideas [w:] Recent Developments in Gravitation (red. M. Levy, S. Deser), Plenum, Nowy Jork. Tait (1900): Tait P.G., On the claim recently made for Gauss to the invention (not the discovery) of quatemions, "Proceedings of Royal Society of Edinburgh", 23, s.17-23. Taylor, Wheeler (1963): Taylor E.E, Wheeler J.A., Spacetime Physics, W.H. Freeman, San Francisco. Terrell (1959): Terrell J., Invisibility of the Lorentz contraction, "Physical Review", 116, s. 1041-1045. Thiele (1982): Thiele R., Leonhard Euler, Lipsk (po niemiecku). Thiemann (1996): Thiemann T.,Anomaly-free fonnulation of non-perturbative, four-dimensional Lorentzian quantum gravity, "Physical Letters", B380, s. 257-264. Thiemann (1998a): Thiemann T., Quantum spin dynamics (QSD), "Classical and Quantum Gravity", 15, s. 839-873. Thiemann (1998b): Thiemann T., QSD III: Quantum constraint algebra and physical scalar product in quantum general relativity, "Classical and Quantum Gravity", 15, s. 1207-1247. Thiemann (1998c): Thiemann T., QSD v: Quantum gravity as the natural regulator of matter quantum field theories, "Classical and Quantum Gravity", 15, s.1281-1314. Thiemann (2001): Thiemann T., QSD VII· Symplectic Structures and Continuum Lattice Formulations of Gauge Field Theories, "Classical and Quantum Gravity", 18, s. 3293-3338. Thirring (1983): Thirring w.E., A Course in Mathematical Physics: Quantum Mechanics of Large Systems, Springer-Verlag, Berlin i Londyn. Thomas (1939): Thomas I., Selections Illustrating the History of Greek Mathematics, t. I: From Thales to Euclid, The Loeb Classical Library, Heinemann, Londyn. Thorne (1986): Thorne K, Black Holes: The Membrane Paradigm, Yale University Press, New Haven. Thorne (1995a): Thorne K,BlackHolesand Time Wmps, w.w. Norton & Company; wyd. polskie: Czame dziury i krzywizny czasu. Zdumiewajqce dziedzictwo Einsteina, przel. D. Czyzewska, Pr6szynski i S-ka, Warszawa 2005. Thorne (1995b): Thorne K, Gravitational Waves [gr-qc/9506086]. Tipler (1997): Tipler EJ., The Physics of Immortality, Anchor Books, Nowy Jork. Tipler et al. (1980): Tipler EJ., Clarke c.J.S., Ellis G.ER., Singularities and horizons - a review article [w:] General Relativity and Gravitation, t. II (red. A. Held), s. 97-206, Plenum Press, Nowy Jork. Tittel et al. (1998): Tittel w., Brendel J., Zbinden H., Gisin N., Violation of Bell Inequalities by Photons More Than 10 km Apart, "Physical Review Letters", 1051 81, s.3563.
Bibliografia
Tod, Anguine (1999a): Tod KP., Anguine K, Isotropic cosmological singularities 1: Polytropic perfect fluid spacetimes, "Annals of Physics", 276, s. 257-293 [grqc/9903008]. Tod, Anguine (1999b): Tod KP., Anguine K, Isotropic cosmological singularities 2: The Einstein-Vlasov system, "Annals of Physics", 276, s. 294-320 [gr-qc/ 9903009]. Tolman (1934): Tolman R.c., Relativity, Thermodynamics, and Cosmology, Clarendon Press, Oksford. Tonomura et al. (1982): Tonomura A, Matsuda T., Suzuki R., Fukuhara A, Osakabe N., Umezaki H., Endo J., Shinagawa K, Sugita Y., Fujiwara E, Observation of Aharonov-Bohm effect with magnetic field completely shielded from the electronic wave, "Physical Review Letters", 48, s. 1443. Tonomura et al. (1986): Tonomura A, Osakabe N., Matsuda T., Kawasaki T., Endo J., Yano S., Yamada, Evidence for Aharonov-Bohm effect with magnetic field completely shielded from electron wave, "Physical Review Letters", 56, s. 792-795. Trautman (1958): Trautman A, Radiation and boundary conditions in the theory of gravitation, "Bulletin of Polish Academy of Sciences", seria: Mathematics, Astronomy, Physics, 6, s. 407-412. Trautman (1962): Trautman A, Conservation laws in general relativity [w:] Gravitation: An Introduction to Current Research (red. L. Witten), Wiley, Nowy Jork. Trautman (1965): Trautman A [w:] Trautman A, Pirani EAE., Bondi H., Lectures on General Relativity, Brandeis 1964 Summer Institute on Theoretical Physics, t. I, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. Trautman (1970): Trautman A, Fibre bundles associated with space-time, "Reports in Mathematical Physics" (Torun), 1, s. 29-34. Trautman (1972, 1973): Trautman A, On the Einstein-Cartan equations I-IV, "Bulletin of Polish Academy of Sciences", seria: Mathematics, Astronomy, Physics, 20, s. 185-190; 503-506; 895-896; 21, 345-346. Trautman (1997): Trautman A, Clifford and the 'Square Root' Ideas, "Contemporary Mathematics", 203. Turing (1937): Turing AM., On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, "Proceedings of London Mathematical Society", 42(2), s. 230-265; errata ibidem (1937), 43, s. 544-546. Unruh (1976): Unruh w.G., Notes on black hole evaporation, "Physical Review", D14, s. 870. Vafa (1996): Vafa c., Evidence for F-theory, "Nuclear Physics", B469, s. 403. Valentini (2002): Valentini A, Signal-Locality and Subquantum Information in Deterministic Hidden-Variables Theories [w:] Non-Locality and Modality (red. T. Placek, J. Butterfield), Kluwer [quant-ph/0112151]. van der Waerden (1929): van der Waerden B.L., Spinorana/yse, "Nachrichten der Aka1052 demie der Wissenschaften in G6ttingen", Mathematik - Physik, s. 100-109.
Bibliografia
van der Waerden (1985): van der Waerden B.L., A History of Algebra: From al-Khwrizmi to Emmy Noether, Springer-Verlag, Berlin, s. 166-174. van Heijenoort (1967): van Heijenoort J. (red.), From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic. 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, Mass. van Kerkwijk (2000): van Kerkwijk M.H., Neutron Star Mass Detenninations [astroph/OOOI077]. Varadarajan (2000): Varadarajan M., Fock representations from U(i) holonomy algebras, "Physical Review", D61, s. 10400l. Varadarajan (2001): Varadarajan M., Photons from quantized electric flux representations, "Physical Review", D64, s. 104003. Veneziano (1968): Veneziano G. [w:] "Nuovo Cimento", 57A, s. 190. Vilenkin (2000): Vilenkin A., Cosmic Strings and Other Topological Defects, Cambridge University Press, Cambridge. Vladimirov, Volovich (1994): Vladimirov V.S., Volovich LV., P-Adic Analysis and Mathematical Physics, World Scientific Publishing Company, Inc. von Neumann (1955): von Neumann J., Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. Wagon (1985): Wagon S., The Banach-Tarski paradox, Cambridge University Press, Nowy Jork. Wald (1984): Wald R.M., General Relativity, University of Chicago Press, Chicago. Wald (1994): Wald RM., Quantum Field Theory in Curved Spacetime and Black Hole Thennodynamics, University of Chicago Press, Chicago. Ward (1977): Ward RS., On self-dual gauge fields, "Physical Letters", 61 A, s. 81-82. Ward, Wells (1989): Ward RS., Wells RO., Jr., Twistor Geometry and Field Theory, Cambridge University Press, Cambridge. Weinberg (1967): Weinberg S.,A model of leptons, "Physical Review Letters", 19, s. 1264-1266. Weinberg (1972): Weinberg S., Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, Wiley, Nowy Jork. Weinberg, S. (1989): Weinberg S., Precision Tests of Quantum Mechanics, "Physical Review Letters", 62, s. 485-488. Weinberg (1992): Weinberg S., Dreams of a Final Theory: The Scientists Search for the Ultimate Laws of Nature, Pantheon Books, Nowy Jork; wyd. polskie: Sen o teorii ostatecznej, przel. P. Amsterdamski, Zysk i S-ka, Poznan 1997. Wells (1991): Wells RO., Differential analysis on complex manifolds, Prentice Hall, Englewood Cliffs. Werbos (1989): Werbos P., Bell's theorem: the forgotten loophole and how to exploit [w:] Bell's Theorem, Quantum Theory, and Conceptions of the Universe (red. M. Kafatos), Kluwer, Dordrecht. 1053
Bibliografia
Werbos, Dolmatova (2000): Werbos P.J., Dolmatova L., The Backwards-Time Interpretation of Quantum Mechanics: Revisited With Experiment [http:// arxiv .orglftp/quan t -ph/papers/0008/0008036. pdf]. Wess, Bagger (1992): WessJ., Bagger J., Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press, Princeton. Wess, Zumino (1974): Wess J., Zumino B., Supergauge transformations in four dimensions, "Nuclear Physics", 70, s. 39-50. Weyl (1918): Weyl H. [w:] Lorentz et al. (1952). Weyl (1928): Weyl H., Gruppentheorie und Quantenmechanik, Hirzel, Lipsk; angielski przeklad 2 wyd.: The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover, Nowy Jork. Weyl (1929a): Weyl H. [w:] "Zeitschrift fur Physik", 56, s. 330. Weyl (1929b): Weyl H., Elektron und Gravitation I. "Zeitschrift fur Physik", 56, s.330-352. Wheeler (1957): Wheeler J.A,Assessment of Everett's 'Relative State' Formulation of Quantum Theory, "Reviews of Modern Physics", 29, s. 463-465. Wheeler (1960): Wheeler J.A, Neutrinos, Gravitation and Geometry: contribution to Rendiconti della Scuola Intemationale di Fisica' Enrico Fermi-XI. Corso, July 1959, Zanichelli, Bolonia (przedruk 1982). Wheeler (1965): Wheeler l.A, Geometrodynamics and the issue of the final state [w:] Relativity, Groups and Topology (red. B.S. De Witt, C.M. DeWitt), Gordon and Breach, Nowy Jork. Wheeler (1973): Wheeler J.A, From Relativity to Mutability [w:] The Physicist's Conception of Nature (red. J. Mehra), s. 202-247, D. Reidel, Boston. Wheeler (1983): Wheeler J.A, Law without law [w:] Quantum Theory and Measurement (red. J.A Wheeler, W.H. Zurek), s. 182-213, Princeton University Press, Princeton. Whittaker (1903): Whittaker E.T., On the partial differential equations of mathematical physics, "Mathematical Annals", 57, s. 333-355. Wick (1956): Wick G.c., Spectrum ofthe Bethe-Salpeterequation, "Physical Review", 101, s. 1830. Wigner (1960): Wigner E.P., The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Physical Sciences, "Communications in Pure Applications Mathematics", 13, s.1-14. Wilder (1965): Wilder R.L., Introduction to the foundations of mathematics, John Wiley & Sons, Nowy Jork. Wiles (1995): Wiles A, Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, "Annals of Mathematics", 142, s. 443-551. Williams (1995): Williams R.K., Extracting X-rays, y-rays, and Relativistic e- e+ Pairs from Supermassive Kerr Black Holes Using the Penrose Mechanism, "Physical 1054 Review", D51, s. 5387.
Bibliografia
Williams (2002): Williams RK, Production of the High Energy-Momentum Spectra of Quasars 3C279 and 3C273 Using the Penrose Mechanism [astro-phl0306135], przyjyty do pUblikacji w "Astrophysical Journal" 2004. Williams (2004): Williams RK, Collimated Escaping Vortical Polar e- e+ Jets Intrinsically Produced by Rotating Black Holes and Penrose Processes [astroph/0404135]. Willmore (1959): Willmore T.J.,An Introduction to Differential Geometry, Clarendon Press,Oksford. Wilson (1975): Wilson K [w:] "Physics Reports", 23, s. 331. Wilson (1976): Wilson K, Quarks on a lattice, or the colored string, model, "Physics Reports", 23(3), s. 331-347. Winicour (1980): Winicour J., Angular momentum in general relativity [w:] General Relativity and Gravitation, t. 2 (red. A Held), s. 71-96, Plenum Press, Nowy Jork. Witten (1978): Witten E.,An interpretation of classical Yang-Mills theory, "Physical Letters", 77B, s. 394-398. Witten (1981): Witten E.,A new proofofthe positive energy theorem, "Communications in Mathematical Physics", 80, s. 381-402. Witten (1982): Witten E., Supersymmetry and Morse theory, "Journal of Differential Geometry", 17, s. 661-692. Witten (1988): Witten E., Topological quantum field theory, "Communications in Mathematical Physics", 118, s.411. Witten (1995): Witten E., String theory in various dimensions, "Nuclear Physics", B443, s. 85. Witten (1996): Witten E., Reflections on the Fate of Spacetime, "Physics Today", kwiecieii 1996. Witten (1998): Witten E., Anti de Sitter Space and Holography [hep-th/9802150]. Witten (2003): Witten E., Perturbative Gauge Theory as a String Theory in Twistor Space [hep-th/0312171]. Witten (1959): Witten L., Invariants of general relativity and the classification of spaces, "Physical Review", 113, s. 357-362. Wolf (1974): Wolf J., Spaces of Constant Curvature, Publish or Perish Press, Boston. Woodhouse (1991): Woodhouse N.M.J., Geometric Quantization, wyd. 2, Clarendon Press, Oksford. Woodin (2001): Woodin WH., The Continuum Hypothesis, cz. I i II, zapiski AMS, dostypne on line: http://www.ams.orglnotices/200106/fea-woodin.pdf. Wooters, Zurek (1982): Wooters WK, Zurek WH., A single quantum cannot be cloned, "Nature", 299, s. 802-803. Wykes (1969): Wykes A, Doctor Cardano: Physician Extraordinary, Frederick Muller, Londyn. Yang, Mills (1954): Yang C.N., Mills RL., Conservation ofIsotopic Spin and Isotopic 1055 Gauge Invariance, "Physical Review", 96, s. 191-195.
Bibliografia
Yui, Lewis (2003): Yui N., Lewis J.D., Calabi-Yau Varieties and Mirror Symmetry, "Fields Institute Communications", t. 38, American Mathematical Society, Providence, RI. Zee (2003): Zee A., Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press, Princeton. Zeilinger et al. (1988): Zeilinger A., Gaehler R., Shull e.G., Mampe W, Single and double slit diffraction of neutrons, "Reviews of Modern Physics", 60, s. 1067. Zel'dovich (1966): Zel'dovich Y.B., Number ofquanta as an invariant of the classical electromagnetic field, "Soviet Physics - Doklady", 10, s. 771-772. Zimba, Penrose (1993): Zimba J., Penrose R., On Bell non-locality without probabilities: more curious geometry, "Studies in History and Philosophy of Science", 24, s. 697-720. Zinn-Justin (1996): Zinn-Justin J., Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Oxford University Press, Oksford.
Indeks rzeczowy A addytywnosc 289, 416, 665 entropii 665 aksjomat 1~11, 14--16,23,27-28, 41,48,224,240,245-246, 349-350,355,357,364 grnpy 240, 245-246 Playfaira 28 wyborn 14--16, 23, 349-350, 355, 357,364 aktywna transfonnacja liniowa 266 transformacja tensora 267-268 alef zero t{o 351, 359, 574--575 a-plaszczyzna 942 algebra Clifforda 196--198, 203-206, 251,591-595,598,605, 631, 994 lorentzowska 592 Clifforda-Diraca 593, 595 diagramowa 908 funkcji na czasoprzestrzeni 924 Grassmanna 197-198, 205-209, 251,630,840,843 infinitezymalnych elementow grnpy Liego 258, 301 Kauffmana 908 komutatywna nad cialem liczb rzeczywistych 924 pol skalamych 237 kwantowa 61, 237, 251, 260, 503, 524--525, 549, 592, 653, 794,924,945,994 kwantowej teorii pola 61, 653, 994 kwatemionow 193, 195, 197, 204, 209, 251, 259, 595, 976 liczb rzeczywistych 69, 74, 195, 197,204,206,259,265, 280, 840, 843, 924 zespolonych 69-70, 74, 82, 84,86, 197,206,259, 265,843
Liego 245, 257-261, 265, 278, 30~302, 310, 377, 398, 507,524--526,541,549, 595, 839-840 grnpy obrotow 0(3) 524 SO(3) 524 ortogonalnej 278 Poincarego 541 symplektycznej 278 unitamej 278 rzeczywista 259, 265 zespolona 259, 265 macierzowa 251, 278, 994 momentow P't'du 260, 524--525, 549 nad cialem liczb rzeczywistych 195,204,924 2" -wymiarowa 204 niekomutatywna ~ 'algebra: nieprzemienna nieprzemienna 237, 924 nieskoiiczenie wymiarowa 631-632, 994 obrotow infinitezymalnych 524 oktonionow 197, 345-346 operatorow kreacji i anihilacji 630-631, 635-637 spinorow 204, 206, 550, 594 stopniowana (z gradacj,!) 208 supersymetrii 197,842,893 tensorowa 23~232, 290, 558-559,908 z dzieleniem 197, 342, 976 nieasocjatywna 8-wymiarowa 197 algorytm 67, 357-359, 656 Euklidesa 67 amplituda calkowita diagramu Feynmana 584,603-605,611-614,621, 625, 627, 638, 642-644, 646--647, 649-656, 781, 845, 849-851,867,873,962 drgaii 457, 536, 545, 868 ekscytonu 868 fotonu 773, 787-788 historii czasoprzestrzennej 639
kwantowa 517, 53~531, 639, 641,644,647,830,849, 925 prawdopodobieiistwa 517, 530, 638-639, 641, 653, 787, 789,830,925,995 rozpraszania Yanga-Millsa 965 strnny 872-873, 895, 965 analiza eliptyczna 984 fourierowska 151, 461, 540 funkcjonalna 994 harmoniczna 536, 540, 548, 744--745 matematyczna 99-100, 101, 209, 283,546,759,890,908, 971 tensorowa 215, 908 zespolona 82, 85, 111, 121, 124, 193,632,994 anihilacja cz'!stki 584--585, 597, 611-612, 630-631,634,636,646--647, 804 pary elektron-pozytron 597, 611, 647-649 antycz,!stka 65, 98, 582-585, 596--598,606,609-612,614,617, 620, 622, 627, 633-634, 655, 786,803-804,854 elektronu ~ pozytron antykwark 99, 609, 612, 617, 650, 712 d 650, 712 antyproton 65-66, 601, 609 wirtualny 66 antysamodualna cz't'sc krzywizny Weyla 902, 960 6-momentu P't'du cz'!stki 941 krzywizna Weyla 902, 959-960 antysymetria 208, 219-220, 222, 225-226, 23~231, 234,251-252, 259-260, 263, 276--278, 281, 29~292, 296, 307-309, 337,418,424--425,542,550, 568-571,618-620,632,859, 901,909,919
Indeks rzeczowy
1058
funkcji falowej fermion6w 569 nawias6w Liego 259 sldadowych 208, 222, 225, 230, 308 tensora 219, 252, 263, 291-292, 296,307-308,337,418, 424,542,859,901 antysymetryczne pole tensorowe 308, 859 wielkosci (tensory) Levi-Civity 251-252,424,542,901 antysymetryzacja 208, 219, 222, 225-226,231,234,252 w zapisie graficznym 251 arcus tangens 88 argument "energii kwantowej" 862, 884 funkcji falowej 486, 494, 568, 591 liczby zespolonej 86-88, 92-93, 124 Arystotelesa czasoprzestrzeil 366-368, 372 dynamika 367 asymetria chiralna 607, 902, 964, 997 czasoprzestrzenna podejscia Schrodingera 554 czasowa 670, 747, 786-787, 790--791,809,812,833, 918, 964,966,998 lewo-prawo 899-900, 902, 964 odbiciowa 605, 607 przestrzenna 554, 684, 964 wzgl«dem odbicia czasu ~ asymetria: czasowa zyglzak 607, 614 atom 18,42,48,50,54-55,70--71, 75,79,81,86,88,90,93,97, 99-100, 101-102, 104, 106-107, 111, 117, 123, 127-128, 131, 134-136, 147, 149, 154, 156, 164, 167, 170, 182, 185, 193,197,199,202-205,212, 228,236,241,244,251,264265,267,271,288,291,315, 320, 322, 335-337, 340, 345, 347,370,382-383,389,396397,406,415,418-419,422, 432-433, 435, 438, 444, 450, 471,478-479,482,487,492, 498,502,505,507,514,518, 523,527,530,534-535,538-539, 544, 546-548, 551, 558, 560,562,567,579,584,587, 595-596,600,603,605,608, 611,614, 626, 634, 649--Q50, 655,657, 661, 671, 675--Q77, 679, 684-685, 69O--Q91, 693--Q94, 703, 706, 709, 711, 715, 723, 725, 729, 731, 737, 739-740, 743, 746-749, 751-752, 755-756, 758, 762, 764, 769, 781,787,790,792,796,801-
-802, 805, 817, 820, 822-823, 829, 832, 837, 840, 844-845, 856, 859, 863, 870-872, 883, 900,902,906,911,923-924, 929,931,933,940--941,954, 959-960,964,972-973,988, 995-997, 1001, 1003-1004 klasyczny 433, 471, 539, 546-547,739,871,941 w«gla 729, 749, 973 wodoru 546-548, 551, 600, 650, 820,911,988,1001,1004 zelaza 706
B baza przestrzeni wektorowej 194, 217,256,259,266,331,620, 904 dualna 280--281 ortogonalna 206, 275, 277, 528, 655 ortonormalna 275, 517, 768, 901, 903, 910 pseudoortonormalna 275, 277 spinorowa 903 stan6w spinowych 905, 917 ,B-plaszczyzna 942 biegun funkcji 80-81, 177, 954 poludniowy kuli 38, 141, 159, 954 p61nocny kuli 159, 954 bozon 98-99, 527, 546, 567-571, 601,605--Q07,61O--Q14,617--Q18, 621--Q22, 629--Q31, 655, 664,713,715,839-841,876, 895,911,924,931 cechowania 606, 612--Q14, 621--Q22, 713, 715 Higgsa ~ cz~stki: Higgsa W 98-99, 527, 546, 567-571, 601, 605--Q07, 61O--Q14, 617--Q18, 621--Q22, 629--Q31, 655, 664, 713, 715, 839-841,876,895,911, 924,931 W+ 612, 713 W-607 X 601 Z 98-99, 527, 546, 567-571, 601, 605--Q07, 61O--Q14, 617--Q18, 621--Q22, 629--Q31, 655, 664, 713, 715, 839-841, 876, 895, 911,924,931 brzeg czasopodobny 695, 883-884, 887, 910 czasoprzestrzeni (klasyczny) 226,428, 466,693--Q96, 739-740,747,883-884,889 domkni«tego kola jednostkowego 213, 228-229 kuli Blocha 765 obszaru 169-170,226-229,427, 694,719,739
osobliwy 694-696,739-740,747 przestrzeni 149, 213, 427-428, 466, 693-{j96, 711, 719, 739-740,747,765,782, 883-884, 888-889, 906, 955,966 rozmaitosci 149, 883 powierzchi bocznej walca 228 3-przestrzeni hiperbolicznej 694, 966
C calka 126, 223, 362, 465, 468, 553, 628, 632, 638--Q39, 641--Q42, 646--Q47, 651, 655, 781, 838, 951-952,970,998 dzialania 465 formy 223, 362, 465, 468, 553, 638--Q39, 998 funkcjonalna ~ calka: po drogach hiperfunkcji 171-172 l-wymiarowa 224 nielokalna 434 nieoznaczona 116, 123 nieskoilczenie wymiarowa 632, 646 osobliwa 646 oznaclOna 126 po drogach 362, 465, 468, 553, 638--Q39, 641--Q42, 646, 655, 781, 970, 998 po konturze 951 rozbiezna 628, 642, 838 stacjonarna na linii geodezyjnej 307 wzdluz krzywej 305 zbiezna 628, 632, 642, 838 calkowanie 100--100, 101-102, 114, 117,119-119,120--124,126, 131, 162, 171-172,223-224, 231,282,302,305,422,429, 453, 639, 644-646, 739, 750, 782,794,818,891,948-949, 952, 962, 964, 970, 977, 994 hiperfunkcj i 171-172 po drogach 122, 131, 646, 739, 750, 891, 952, 970 po konturze 120--121, 124, 126, 171-172,646,949,952, 962 po krzywej 223, 305, 794 po p-wymiarowej przestrzeni 223 zespolone 120, 124, 126, 131, 646 cechowania koneksja 312-313, 337-338, 430, 432, 434, 495, 621, 623, 713-714,748,905 krzywizna 337, 429, 432, 623, 714 niezmienniclOsc 431, 467-468 pole 239, 337, 429-430, 432-435,495,594,613,634, 710,712,714,905,962
Indeks rzeczowy relacje 239 transformacja 431, 433, 468, 495,600 cechowanie 239, 279, 312-314, 337-338, 429-435, 467-468, 495,594,600,606,612-614, 621-624,626,634,654,710, 712-716,748,895,905,962-963, 9Q5-996 nieabelowe 614, 621-622, 710, 712,716,963 zalezne od drogi 434 chaos 659, 698-699, 726, 775 kwantowy 775 chiralne aspekty slabych oddzialywan 935 zmienne Ashtekara ~ zmienne: p~t1owe
cialo doskonale czame 479-480, 500, 675,697,717,751,792 liczb p-adycznych 364 rzeczywistych 194-195, 204, 215, 318, 343, 347, 361, 843,921,924 zespolonych C 235, 361 skonczone 99, 341-343, 347, 361, 379, 450, 464, 678, 922 IF, 99, 343 IF, 342 1F8344 IF 342,922 iF 343 stali 350,479,569,659,708,751 superalgebry 840 ciemna energia 442, 742, 746, 750, 984 gwiazda MicheJla 678 materia 742-743, 750, 983 cieplo 660-661, 701, 883 wlasciwe 701, 883 ujemne czamych dziur 883 ci~cie (sekcja, przekr6j) 25, 36, 39, 47,58,70-71,95-96, 114-115, 136, 147-148, 170, 185-186, 201,221-222,277,287,318-320, 323-328, 333-336, 347, 352, 362, 370-371, 386-387, 396-400,405-406,410,430, 561,563,566,576,593,628, 649, 678-679, 682-683, 688, 711,715,718-720,766,796-797,807-808,817,830,834, 838, 845, 847, 868, 906-907, 910, 927, 929, 933-934, 939-940, 943, 949-951, 957-960, 962, 966, 975, 977, 981 holomorficzne struktury wi~zki 959 wi¥ki 318-320, 323-327, 333, 336,352,362,370-371, 410,430,834,957,959
ci~gle 318-320, 323, 362 Galileusza 371 holomorfiezne 325, 957, 959 homomorficzne 957 horyzontalne 333 lokalnie 333 nieci,!gle 362 stale 333, 336, 957 zerowe 320, 324, 333 cisnienie 436, 442-443, 659, 664, 678-679,689,984 atmosferyczne 664 termiczne 679 wewn~trzne materii 678 zdegenerowanych elektron6w 679 neutron6w 679 continuum 23, 68 hipoteza 23 uog61niona Cantora 364 moe 355 cykJoida 730 Friedmanna 730 czama dziura 391, 444, 446, 658, 663,671-672,677-686,694-699, 701, 703, 712, 726, 730-733, 736-737, 740, 747, 771, 785, 791-792, 794-795, 797-801,803-812,879-883,886-887, 891, 893, 896, 915, 972, 1004, 1007 naladowana 799, 896 rotuj,!ca 804 Schwarzschilda 694, 797-799, 915 teorii strun 880-883, 886-887, 891,915 w czasoprzestrzeni 5-wymiarowej 880 czas 60, 347, 414-415, 553 absolutny 367, 370-371, 386-387, 400, 431-432, 553, 696,817 fizyczny 11, 57, 59-60, 64, 66, 70-71,77,211,312-313, 315,343,363,366-367, 369,381,385,388,390-391, 395, 429, 437-438, 455,474,495,500,505, 526, 551, 553, 648, 654, 657-658, 670, 683, 694, 701, 718, 730-731, 734, 738,751-752,763, 775, 798-799,802,810, 823, 846, 848, 861, 872, 877, 885,907,921-922,925927,930-931,940,959, 964,977,989,1000,1003 Plancka 480, 675, 685-686, 771-772,825,827,842,847, 862, 864, 867, 869, 871, 972,974 Schwarzschilda 680, 797-800, 832 skierowany do tylu 640, 925
teorii wzgil,dnosci 11, 60, 177, 196,268-269,283,293-294, 306, 313, 366, 383, 388-392,396,403,415, 422,464,467,471,475, 483, 490, 553, 579, 582, 589, 591, 625, 638, 650, 658,678,738,751,786, 802, 858, 873, 880, 899, 910, 917, 922, 925, 930, 972,994,1000,1006 wlasny obserwatora 440, 801 wlasciwy 59, 64, 71, 211, 286, 366,375,386,391,416, 431,483,508,525,540, 568, 577, 589, 643, 669, 703, 724, 738, 746-747, 763, 798, 886, 929-930, 945,956,964,1000 zespolony 69-71, 74, 80, 86, 118, 121,162,176,227,235, 272-273,275,325,330-331,334,337,397,433, 502,506,515,517,528, 554-556, 639, 739, 773, 795, 797, 799, 843, 925-926,928-930,936,940, 942-943,945,949,955, 958-960, 996 zewn,
1059
Indeks rzeczowy
1060
-696, 701, 711, 713-714, 717-719,724,726,728,731-732, 734-740,747,751,771-772, 785-787,792-794,797-802, 804,807, 810, 812, 814-817, 826-831, 833-834, 835, 838, 842-843, 845-849, 851-852, 855-856,858-862,865,867, 869-871,873,875-876,879-885,887-890,893,895,898-904,906-907,910,912,916-918,921-931,935-936,940-943,945,947-949,952,955-962, 965-966, 968, 971-972, 974,976,978,986-987,994, 996, 1001-1002, 1004, 1006, 1007 Arystotelesa 366-368, 372 asymptotycznie plaska 447, 467, 801,961,1006 cillgla 639, 838, 875, 910, 921, 978 czarnej dziury 391, 658, 677, 679-684,696,740,785, 797-799, 804, 880-881, 1004, 1007 dyskretna 347, 898, 910, 916, 921-922,924-925,978,996 periodyczna struktura sieciowa 921 Galileusza 366, 368-372, 377-378,386,390,399 generyczna 869-870, 895 Kaluzy-Kleina 313-314, 430, 847-848, 862, 885, 887, 930 klasyczna 391, 574-575, 640, 683,739-740,787, 828, 833, 858-859, 861-862, 869,887,899,902,906-907, 929 gladka 640, 858 konwencjonalna (1 +3) 870 kwantowa 237, 347, 471, 475, 540,554,575,578,604, 638,738-740, 771-772, 787,792,794,828,830, 833, 838, 855, 858-859, 861, 873, 883, 885, 898, 902, 917-918, 921-922, 924-925, 929-930, 936, 945,960,974,978,986, 996 Lorentza 283, 388, 419, 422, 437, 693, 718-719, 739-740,797,849,898,922, 930,956,960,974,976 Minkowskiego 11, 48, 388-390, 392,395,397,409,419, 422--423, 427--428, 436--437, 456, 640, 678, 711, 718-719,738,786, 862, 865, 906, 927, 940-943, 959-960, 994 zespolona 940, 942, 959
newtonowska 377, 735 og61nej teorii wzglydnosci 11, 283,293,313,366,390-392,467,471,475,658, 678, 751, 858, 873, 880, 910,972,994,1006 owymiarze (1 + 2) 909 (1 + 6) 870 (1 + 9) 869 plaska 386, 427, 436, 447, 456, 467, 473, 694, 739, 786, 797,801,814,849,859, 861,869-870,873, 881, 899, 901, 906, 910, 958, 960-962, 1006 asymptotycznie 447, 467, 801, 961, 1006 w sensie Ricciego 849, 859, 861,869-870,910,962 podstawowa 428, 786, 849, 858-859,861-862,873,902, 922 Schwarzschilda maksymalnie poszerzona 797 skwantowana 929 stacjonarna 465, 793-794, 801, 814-815,830, 880 struny 211,313,693,711,835, 846,851,855-856,858861,876,879,887,890, 893, 902, 906, 910, 930, 965, 987, 1001 tla 385, 387, 423, 437, 679, 724, 858, 898, 996 wyiej wymiarowa 314, 835, 845, 852, 887-888 zakrzywiona 283, 384, 390, 421, 430, 436, 448,471, 475, 751, 786, 792-793, 881, 893, 921, 935, 957-958, 994 topologicznie trywialna 448 cZ'lstka/fala 478, 482, 488-489, 500, 976 cZ'lstka
--{l06, 608-621, 623--{l26, 627--{l47, 649--{l50, 653, 655--{l56, 658-661, 664--{)66, 669, 683, 695-696,706.708,714-716, 719-721,724,734-735,742, 748,751-752,754,758,762, 766-770, 775, 777, 779, 783, 786,792-794,803-807,811, 814, 819-821, 827, 829, 832, 834-834, 835-842, 845, 849-851, 856, 860, 864-867. 875, 885,889,892,894,897,899-900, 904, 911-912, 924-925, 927-931,938,940-947,962-963, 968, 971, 973-974, 976, 980-983, 988, 992-993, 996-997, 1001, 1003, 1005 a 603 1\603 bezmasowe 389-390, 409, 418, 481,521-522,543,603, 608-609,613,626,645, 715,735, 841-842, 856, 860,899,928-931,938, 940-947, 963 o niezerowym spinie 941 o spinie 2 603, 608, 856, 860, 899,947 wirujf/ce 940, 942-944 bezspinowe 419, 509, 553-554, 586, 590, 630, 758, 865 bez struktury 418, 542, 640, 661 element arne 60, 65, 98-99, 148, 199,238,242-243, 246, 257,286,312-314,343, 399,429,434,471,502, 583, 600--{)01, 613, 623, 626--{)26, 627--{l28, 636--{l37, 649--{l50, 655-656, 660, 706, 708, 715-716, 742, 793, 805, 807, 836, 838-841, 845, 851, 864, 866-867, 875, 889, 897, 911, 924, 927, 931, 962-963, 971, 974, 981, 983, 996-997 hadronowe 850, 856, 860 Higgsa 601, 615--{l16, 836, 841, 924,931 identyczne 98, 433, 552, 567, 570-571, 665, 904 kwantowe 65--{l6, 98-99, 162, 199,384,399,418,420. 430, 433, 464, 471, 474, 476, 483, 489, 492--494, 498, 500, 503, 507, 509, 528, 534, 542, 544, 546, 550, 552-553, 555, 557-558, 562-563, 566-567, 572-575, 582-585, 587-588,590-591,604,613--{l15, 627, 629, 632, 634, 637,639, 641-644, 650, 660, 786, 792, 794, 821, 827, 832, 867, 885, 900,
Indeks rzeczowy 904,925,927,945,971, 974,976 nierelatywistyczne 474, 503, 591,904 relatywistyczne 399, 474, 476, 503, 546, 582, 584, 587, 590-591,627,904.945 lambda 601 masywne 389-390, 395, 583, 616,735,841,997 bezspinowe 586 z wyZszymi spinami 841 naladowane 382, 481, 495--496, 584,589,594,605,612, 621,644,834 newtonowskie 373, 380, 421--422,450--451,454,464, 475,820 nietrwale 819, 988 omega-minus 601 o spinie calkowitym 537, 567, 610,631,912 o ujemnej energii 66, 588, 597, 610,636,803-806,928 punktowe 236, 418, 451, 461, 503, 606, 624, 639, 641--{)42, 835,850-851,940,943 relatywistyczne 399, 419, 474, 476,481,503,542,546, 554, 582, 584, 586-591, 593-595, 627, 904, 945 naladowane 481, 589, 594 rzeczywiste 60, 78, 381, 389, 395, 421,430,460,471,481, 495, 500, 502, 509, 553-555,562,567,588--589, 604, 614, 618--{)19, 643--{)45, 758, 803-804, 832, 938,942 sigma 601 skalame 98, 509, 527, 554-555, 630,721,803,841,899, 947 spinowe 419--420, 509, 528, 532, 534, 536, 542, 553-554, 560, 570, 572-573, 586, 590, 595, 630, 758, 762, 767-768,770,865, 885, 899, 904, 944 swobodne 381, 409, 454, 482--483,547,586,588--589, 605, 614, 620, 636--{)37, 642, 644--{)45, 735, 865,947 nierelatywistyczne 586, 588 wirtualne 66, 601, 611, 644--{)45, 647,803-804 Z0555-556, 612--{)15 zloione 65, 98-99, 567-568, 608, 615,619,665 czc;stosci 22,153,158--165,171,191, 339, 384, 432--433, 435, 458, 460--461, 477, 479--480, 487, 536,545,547,551,586-587, 589, 596, 603, 616, 626, 630, 633--{)35, 637, 642--{)43, 653-
--{)55, 658, 675--{)76, 697, 739, 741,748,787,793-795,864, 868,885,892,901-902,927, 947-949,954-956,960,995 dodatnie 158-161, 163-165, 171, 191,339,458,545,586-587, 589, 596, 630, 633--{)34, 637, 642-643, 653--{)55, 658, 739,741, 793-795, 885, 901-902, 927, 947-949, 954-956, 960, 995 w zakrzywionej przestrzeni 793 ujemne 158-160, 165, 171, 191, 339, 586, 596, 630, 633--{)35, 637. 643, 653, 795, 949, 954-955 widm atomowych 432, 547 CZt;stosc drgan 22,161-162,458,460--461, 480, 536, 545, 616, 868 swiatla widzialnego 616 fali 161, 384, 477, 480, 487, 586, 596, 603, 626, 630, 633--{)34, 654,697,864,901 de Broglie'a 603 fotonu 384, 547, 633, 675, 787, 901 klltowa 153, 161 linii spektralnych atomu wodoru 551 naturalna cZllstki 433, 435, 794 normalna 458, 460--461, 536, 545,616 Plancka 433, 479--480, 545, 547, 675,697,864 podstawowa 461, 545, 633, 927 czc;sc antysamodualna rozmaitosci 960 antysymetryczna tensora 219, 263,291,307 rzeczywista liczby zespolonej 74, 124, 162, 173, 175, 639, 843, 851 funkcji 120-121, 131, 137, 152, 155, 176, 188-189, 235, 339, 586, 758, 954 samodualna rozmaitosci 960 spinorowa twistora 941, 957 symetryczna tensora 219, 263, 291 urojona funkcji 120, 152, 155, 176, 188--189,191,235 liczby zespolonej 92, 124, 175 logarytmu 124 4-p't'd 416--419, 436, 482--483, 541-544, 589, 643--{)45, 803-805, 941,968 kwantowy 482--483 4-rozmaitosc 177, 189, 211, 228, 241-242,283-284,305,307,
384,866,877,892,929,933, 957, 960, 1001 lorentzowska 391-392, 419, 453, 540,592,718,796-797, 898,902,930-931,960,974 4-wektor energii-pt;du 415, 589 Pl!du 415, 589 polozenia 415 prosty 221 4-wymiarowa czasoprzestrzen 48, 205, 313, 409, 483, 652, 847-848, 861, 882, 888, 890, 893, 898,901,922-923,930, 1002 rozmaitosc zespolona 936, 958, 960 przestrzen -4 przestrzen czterowyrniarowa czynnik fazowy 430, 520-521, 523, 634, 764-765,788,833,942 renormalizacyjny 649, 838, 892 rozcillgnit;cia 331-334, 336 wagowy 187,517,568,638
D dalambercjan 623, 709-710, 712, 716,840,875,982,996 deformacja drogi calkowania 122 cillgla 122, 200, 213, 434 homologiczna 122-123 homotopijna 122 plaskosci 295 degeneracja stanow 0 minimalnej energii 706 wartosci wlasnych 255, 280, 460, 518,521 dekompozycja biegunowa -4 dekompozycja: Schmidta Schmidta 777, 782 delta Diraca 117, 172, 496--498, 504, 643,905 Kroneckera 219, 237, 250, 267-269,273,306,473,517 diagramy Cartera-Penrose'a -4 diagramy: konforemne dwupc;tlowe 873 elektron6w 605, 644, 647 Feynmana 584, 603--{)05, 611--{)14, 621, 625, 627, 638, 642--{)44, 646-647, 649--{)56, 781, 845,849-851, 867,873,962 konforemne 693--{)96, 704, 714-715,718--719,737,792, 797-798,801,807,810,933 schematyczne 693--{)94, 696, 714-715 scisle 693--{)94, 704, 797, 933 przestrzeni
1061
Indeks rzeczowy
1062
de Sittera 801 Minkowskiego 694 Penrose' a ~ diagramy: konforemne twistorowe 962-963 operator 653 r6wnanie 425, 679 spinor (4-spinor) 604 teoria elektronu 647 zapis 219, 234, 605 diagramy-drzewa 646-647,845 dlugosc fali 477--480, 482, 533, 626, 674, 748,823,864,868 de Broglie'a 479 swiatla widzialnego 626 geograficzna 536-537 hiperboliczna 33, 407--409 krzywej 229, 285, 288, 293, 305-307,389,394,404,411, 672, 870 luku krzywej 307 linii swiata 402 Plancka 478--480, 686, 771-772, 825,827,838,847,856, 859, 864, 881, 918, 972, 974-975 stacjonarna 453 wahadla 458 wektora 202, 246, 268, 287-288, 293,306,385,417,469, 509,519,527,533 zalezna od drogi 431 dodatnia okreslonosc 275, 441, 585,587,591,631,703,871 energii 444, 447, 511, 547, 585-586,588-589,591,597-598,631,703, 742-743, 801, 803, 818, 867, 871, 893,919,928,941 gl(stosci prawdopodobienstwa 591 liczby cZllstek 509, 631, 885 operacji sprzl(zenia hermitowskiego 273 dodawanie 14, 19,56-58,62,64-65, 69,75,78,83-83,84-85,88-92,94-95,99,131,133,176, 191,194,196,207,209,230, 246-247,251,262,282,342-343,361,364,394,407--409, 429,436,467--468,483,527, 548-549,585,587,629,634, 636, 645, 838, 849-850, 916, 924,951 dlugosci w geometrii hiperbolicznej 407 liczb naturalnych 56, 62, 64 zespolonych 69, 78, 84-85, 87-88,92-93,176,247, 361 macierzy 251 raptownosci 408--409 skladanie
pn;:dkosci w teorii wzgll(dnosci 407 translacji 201 wektor6w 194,246-247,262, 282,483,635 dopelnienie ortogonalne 386, 400--401, 425--426 zbioru 359 drgania diwil(kowe 743 male 457--459, 536, 539-540, 545 normalne 458, 460, 536, 545, 616 okresowe 151 pola elektromagnetycznego 481 zerowe 545 dualne grupy symetrii 623-624, 963 Hodge'a 238, 424-426 koneksja cechowania 623 krzywizna 623, 902, 948, 959-960 obiekty 188, 217, 231 postac 3-formy 436 tensor pola Maxwella ~ tensor: dualny Maxwella Weyla ~ tensor: dualny Weyla wielkosci 188, 190, 272, 288, 421,424-425,623,901902,919,937 dualnosc 12-13, 149, 173, 188, 190, 213,217-219,221,230-231, 238,261-263,272-273,280-281,288,312,358,421,424--426,428,436,491,497,503, 508,510,512,553-554,556, 570,585,604,623-624,659, 666, 828, 850, 876-878, 882, 887,889, 893, 896, 901-902, 918-919, 937, 941-943, 947-948, 950, 956-957, 959-964, 968,982,986 elektrycznosci i magnetyzmu 877 Hodge'a 238, 424-426 polozenia i pl(du 497 S 173, 188, 190, 217, 219, 230-231,263,312,421,426, 428, 503, 510, 554, 623-624, 876-878, 882, 889, 902, 919, 937,941,948,982 silna-slaba 876, 882 T 218,231,263,358,497,512, 570, 623-624, 876, 878, 960 teorii M 12, 273, 553, 585, 624, 876-878,887,918,963-964,986 Yanga-Millsa 877 U 219, 230, 424, 604, 623-624, 876,878
2-forma 424-426, 901, 942 czasoprzestrzenna 901 dualna 425--426, 901, 942 prosta 425--426, 901 samodualna 942 symplektyczna 462 2-plaski element 400, 425--426, 901 antysamodualny 901 samodualny 901 2-powierzchnia przestrzennopodobna 429 zamknil(ta 428 dwuwymiarowa (-e) elementy plaskie 206, 220-221, 296 kwantowa teoria pola 860 obszar 224 reprezentacje spinorowe 526 rozmaitosc 188, 220-221 rzeczywista 189 zespolona 188 zorientowana 228 dynamika Arystoteiesa 367 ciemnej energii 984 lO-wymiarowej czasoprzestrzeni 861 Galileusza 368-370, 657 gwiazd w galaktyce 742 hamiltonowska 309, 455, 461, 594,998 kiasyczna 309, 641, 658--659, 670, 701, 812, 827, 859, 861, 971 KTP 636, 786 Newtona 370, 375, 421, 450, 463, 657, 750, 971, 998 p6l 455, 530, 594,613,641,649, 657, 795, 984 relatywistyczna 481 strun 859, 861 dywergencja 426--427, 555 wektora pola 555 dzialanie 61 calkowite 62, 65, 372-373, 413, 467, 471, 635, 918 stacjonarne 452--453, 465, 639-640 dziedzina funkcji 77-78. 102-103, 108, 111,117,120-122,125-126, 128-129, 133-134, 138, 140, 154, 168, 173, 177,182,740,951,994 dzielenie 9, 22, 51, 56, 58, 64, 70, 83,96-97, 195-197,204,342, 557,593,597,617,649,690-691,698,743,758,771,831, 854,918,976 kwaternion6w 195-197, 204, 976 liczb zespolonych 197,588 dziura ekstremalna 880-881, 883 powierzchni 142,679,681-683, 685-686,703,791-792, 798, 879-880, 882, 955
Indeks rzeczowy rotuj1!ca 792, 804 Schwarzschilda 694, 797-799, 883,915 w morzu Diraca 597, 610 diwiyki (tony) czyste 22, 151-153, 155, 161162,384,461,491,613 harmoniczne 152, 161-162,545-546
E efekt Aharonova-Bohma 433-434 cieplarniany 702 Comptona 481, 611 EPR 446, 481, 557, 566, 571, 576, 578-579, 611, 646, 721, 751, 766, 905, 925, 952, 985, 993 fotoelektryczny 479, 481 grawitacyjny 376, 380-381, 438-439, 444-446, 449, 679, 684-685, 697, 736, 742, 784,787,792,815,821, 825, 972-975 Hawkinga 685, 792, 794, 978, 984 interferencyjny 500 kwantowego spl1!tania 557-558, 571, 578, 973 ptywowy 380-381, 438, 444, 628, 648--649, 682-683 soczewkowania grawitacyjnego 445,742,972 spowolnienia zegarow 815 Unruh 792, 794, 833 ekspansja WszechSwiata 671, 689-690,697,704,716-718,720, 725,730,741-744,834 inflacyjna 690, 716-718, 725 wykladnicza 689-690, 693, 698, 704, 716, 718, 720, 725 eksperyment dwoch szczelin 481-482, 487-489,973 EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) 382-383,430,481-482, 490,492,557-559,561-564, 566, 571, 573-580, 751-753,766,768,775, 777, 790, 823, 825, 830, 834,911-912, 925,952, 973, 985-986, 993 Bohma 557, 562 Hardy'ego 563-564 Stappa 561 FitzGeralda-Lorentza (kontrakcja, splaszczenie) 411 Hulse'a-Taylora 446 myslowy Elitzura-Vaidmana 549 Sterna-Gerlacha 535 Zeilingera 973 eksponencjacja 301-302, 311, 507, 525, 956-957, 961
funkcji twistorowej 961 pola wektorowego 302, 956, 961 elektrodynamika 594-595, 600, 604,613,647,649,655,892, 979 kwantowa (QED, EK) 595, 600, 604,647,649,655,979 elektromagnetyzm 149,238,313, 337,382,422,432,434,469, 480,495,549,621,624,654, 665,712,727,847,849,858, 877,900,902,918,971,998 uogolniony 448 elektron 65, 68, 88, 99, 199,204, 430,433-434,478-480,482, 488-489,521,527-528,546-547,555,567-570,582,589-598, 600-609, 611-613, 615, 617,622,625-626,634-636, 642-644, 646-651, 656, 679, 686, 711, 713, 723, 728-729, 774, 800, 820, 832, 836-838, 841,854,871,902,979-980, 988,1001 Diraca 204, 480, 546-547, 582, 590-598,600,602,604-605,608,615,625,634-636,642-643,723,800, 832,854,979-980,1001 oddzialuj1!CY 600, 647 swobodny 604-606, 626, 636 element algebry Clifforda 198, 203-205, 591-595,605 Grassmanna 198, 205-209, 840, 843 liniowy 206, 208 niegeometryczny 209 Liego 258, 260, 278, 301, 310, 524,595,839 diagonalny (macierzy) 252-254, 257-258, 262-263, 267, 269,271,273,275-278, 415,459,595,603,614, 620, 905, 913 grupy jedynkowy (tozsamosciowy) 242-243,260,301 Liego 258, 260, 299-301, 507, 524,595 odwrotny 240, 623 kohomologii 949, 951-954, 956, 960 drugiej 956 snopow 949, 951, 954 wyZszej 956 zerowej 954, 956 objytosciowy (n-rozmaitosci) 229-230, 462 pierwszej kohomologii 951-954, 956 plaski 27, 206-208, 217-222, 237,296,330, 386-387, 400-401, 425-426, 901
ptaski r-wymiarowy 206 styczny do powierzchni 218-219, 237, 296 powierzchniowy zorientowany 237 superalgebry 843 energia 60-61, 66, 412-418, 422, 435-447,452,454-456,459-460,462-463,466-467,474-477,479-483,500,502,506, 511,513,524,526,540-541, 543-548,551,583-591,596-598,610,622,624,626,631, 635-636, 639, 647, 650, 656, 659-661,665,671-672,675-678,683-684,702-703,706-708,720-721,731,741-743, 746, 748, 750, 780, 787-789, 792,800-807,811,813,818-819,821,824-825,833,836, 842,858,860,862,864,866-868, 871, 879, 881, 883-884, 887, 893, 895, 919, 928, 930, 940-941,944,973-974,981, 984, 1004, 1007 atomu wodoru 546, 548, 1004 calkowita 413, 415, 418, 438, 444, 447, 455-456, 459, 462,476,500,544-547, 585,636,660-661,678, 743,811,819,868,881 ciemna 442, 742, 746, 750, 984 cieplna 413,661,883 drgan zerowych 545 fali grawitacyjnej 444-445, 447 fotonu 418, 479, 547, 597, 675-676, 684, 787-789, 792, 824,833,940-941,973 grawitacyjna 435, 437-439, 444-445, 447, 650, 677-678, 818-819,821,825,973-974,1004 kinetyczna 413, 452, 454, 459, 585,587,639,661,677 newtonowska 412-415, 439, 444, 475,546-547,587 oddziatywania grawitacyjnego 819, 1004 Plancka 479, 545, 547, 675-676, 792, 862, 864, 866-867, 881,974 pola grawitacyjnego 435, 437-439,444,818 potencjalna 413, 444, 447, 452, 454,459,475,639,650, 677,821 grawitacyjna 444, 447, 677, 821 promieniowania Hawkinga 804, 807 prozni 445, 635-636, 742-743, 746 relatywistyczna 415, 543, 546, 586-589, 780 rotacyjna 805
1063
Indeks rzeczowy
1064
spoczynkowa 416-418, 479, 585, 587-588,590,656,720,813 ujemna 66, 444, 447, 547, 586, 588-589,596-598,610, 635-636, 683, 801-806, 818,895,928,941,984 wzbudzenia modu kwantowego 868 zerowa 511,545,551,864,866, 868 energia-pyd 60, 412-416, 435-441, 443-445,447,455-456,466-467,474,477,481-482,524, 526,540-541,543-544,546-548,589-590, 659, 720-721, 792, 801, 803-805, 824, 881, 893 entropia 660-666, 668-673, 675-677,684-687,696-699,725, 731-733, 737, 740, 791-792, 795,811,826,879-880,882-883,886-887,891,915 boltzmannowska 661-664, 666, 699,879 czamych dziur 663, 677, 684-686,697-699,732-733, 737, 740, 791-792, 795, 811,879,882-883,886-887,891,915 promieniowania reliktowego 687,699 sloneczna 676 strunowa 882, 891 WszechSwiata 670-673, 686-687, 697-699,725,731-732,826 ewolucja czasowa 455, 462, 474, 505-507, 509, 657, 671, 689, 691, 752, 755, 759, 773, 791, 800,869,917 6-przestrzeni 869 ukladu 455, 462, 505-506 dynamiczna 462, 496, 513, 657, 669,717,811-812,914 stanu 496, 669, 717 hamiltonowska 455-456, 462, 507, 553, 658, 760, 783, 812,864,899,914 liniowa 507-508, 511-512, 829, 995 schrodingerowska 476, 493, 495-496,503-506,508-509,511-513,516,553, 565,658,752,755,781 superunitama 809 unitama 505-506, 509, 511-512, 708, 752, 759, 779, 783, 832,995 wektora stanu 493, 503, 506, 513, 553, 752 w mechanice kwantowej 471, 474,505,658,708,759-760, 785, 826, 828, 852, 992 wstecz 660, 668
WszechSwiata 565, 670-673, 689-690, 696-697, 704, 717, 721, 725-726, 731-732,800,828,866,991
F fala 151, 166, 478 de Broglie'a 479, 500, 603, 755, 779 elektromagnetyczna 150, 384, 426, 480, 488, 532-533, 554,596,871,900 glosowa 488 grawitacyjna 444-447, 449, 549, 820,900,1008 klasyczna 477, 480, 483, 48&-491, 514,532,539,633-634, 779, 871, 901 kwadratowa 166-168, 172,588 o wartosciach zespolonych 486, 510,901 pilotujllca 755, 758, 779 plaska 447, 482, 487-488, 498, 500, 532-533, 589, 793, 900,933,960,982 prawdopodobienstwa 48&-489, 494-496, 555, 591, 639, 773 radiowa 102, 150, 488 Schrodingera 493, 495-496, 503, 508,514,555,590,781, 820,947 sferyczna 537, 539, 546, 829 sinusoidalna 151,458,461 stojllca 864 swietlna 150, 383-384, 491, 674, 933 zespolona 486-488, 494, 503, 507,510,554-556,568, 588,633-634,901-902,946 fala/cz1jstka 478, 482, 48&-489, 500, 976 faza Berry'ego 339 calkowita wektora stanu 531 fali 486-488, 494-496, 691, 823 funkcji falowej 486, 494-496, 823 inflacyjna (WszechSwiata) 654, 669-673, 687, 690-691, 697-699,712,717-718, 721-722, 725-726, 730-731,734,746-747,896, 984 liczby zespolonej 86, 331, 338, 530 wzglydna 7, 312, 339, 531, 663, 670,672,722,765 zapadnia 678 zdominowana przez materiy 746 promieniowanie 690-691 fizyka cZ1jstek elementamych 98-99, 199,246,429,600-601,613, 623, 627-628, 649, 655,
660,706,708,715-716, 836,839,841,845,864, 866-867, 875, 924, 927, 963,974,981,983,996 hadron6w849-851,855-856 j1jdrowa 548, 617 klasyczna 309, 421, 455, 489, 545, 547, 587, 752, 774, 827, 834, 854, 856, 859, 902, 965 oktonionowa 922 relatywistyczna 422, 476, 593, 638, 945 statystyczna 421, 656, 660, 994 fluktuacje gystosci WszechSwiata 736, 830 kwantowe 704, 771-772, 825, 827-828, 830, 973 pola metrycznego 825 w polu grawitacyjnym 771-772 forma antysamodualna 901-902, 919, 960 antysymetryczna 230, 260, 263, 276-277,425,632 biliniowa 269,271-272,276 hermitowska 271-273, 277, 512, 614,632 Killinga 264-265, 280 kwadratowa 74, 196, 271, 443 metryczna przestrzeni Minkowskiego 933 pseudoortogonalna 632 r6:i:niczkowa 60, 101, 109, 113, 119, 122, 184, 223-224, 226, 229, 239, 283, 298, 422, 427-429, 464-465, 482, 554, 642, 652, 844 rzeczywista grupy zespolonrj 265, 269, 277, 281 zwarta 265, 277 samodualna 901-902, 942 symetryczna 165,263,271-272, 278, 454, 499, 632, 809, 833,845,860,997 symplektyczna rzeczywista 277, 309 wirowa zbioru Mandelbrota 17 zespolona 70, 74, 81, 85, 109, 120, 124, 140-141, 145, 149,154,163,254,265, 269,271-273,277,281, 433,503,530-531,632, 634,639,739,901,927, 958-959,966,994-995 zewnytrzna 122, 185, 218-219, 223-224,226,229,239, 283, 289, 303, 422, 426429,436,679,807,955 formalizm ambitwistor6w 969 Ashtekara 902-903, 910, 913-918,921,930,978,987 calek po drogach 468, 638, 965, 998
Indeks rzeczowy chiralny 902, 935 4-spinorowy 605, 979-980 2-spinorowy 526, 539, 602, 604-605,625,947,979-980 hamiltonowski 447, 450-451, 454--457,461,464,471, 473, 500, 553-554, 760, 854, 864, 898, 902, 914, 916,918,965,976,998 kwarkowo-gluonowy 855 lagranzowski 437, 447, 450-452, 456-457, 461, 464--465, 468,471,553,760,854, 965 lagranzowsko-hamiltonowski 447, 450-451, 456-457, 461, 464, 471, 553, 760, 854 macierzowy Heisenberga 994 nierelatywistyczny 582 og61nie kowariantny 917 relatywistyczny 464, 483, 525, 546, 553, 582, 926, 930, 998 Schrodingera 483, 554, 784 Schwingera 655, 980 sieci spinowych 913-914, 916, 918,926 Sorkina 922 spinorowy 232, 468, 525-526, 539,594,602,604-605, 625, 902, 935, 947, 979-980 nierelatywistyczny 526 relatywistyczny 525 sp6jnych historii 755, 758, 778, 992 struktur sieciowych 922 supersymetrii 839, 856, 980 tensorowy 438-439, 468, 525, 594,935,942 teorii kwantowej 362, 457, 464, 468,505,547,553,582-583, 590, 604, 755, 758-760, 815, 898, 913, 915-916, 918,921,994-996,998 twistorowy 903, 926-927, 935, 942, 948-949, 962-963, 965-966, 969, 980, 987 van der Waerdena -4 formalizm: 2-spinorowy zmiennych pcrtlowych (Ashtekara-Rovellego-Smolina) -4 formalizm: Ashtekara foton 384, 389-390, 396, 399, 409, 418,426,479,481,487,490492, 520-524, 532-533, 543, 546-547,549,563,568,571, 577-578,597,600-601,604-605,610-615,621,633,644-648, 675-676, 684, 686, 713, 715,773-774,777,787-789, 792,812-813,822-825,831, 833,841,899,901,940-941, 947,949,973, 1008 lewoskrcrtny 426, 522-523, 941, 947,949
podczerwony 675, 824 prawoskrcytny 426, 522-523, 901, 941,947,949 rentgenowski 787, 789, 822-825 spolaryzowany kolowo 522-523 swobodny 600, 613-614, 940 swiatla widzialnego 824-825 wirtualny 605, 611, 644-645, 648, 774 funkcja 32, 47-48, 76-81, 86-88, 90-95, 100-100, 101-114, 116-119, 120-123, 125-126, 128-132, 133-140, 142, 148-149, 150-174, 175-185, 188-189, 191-192, 193, 196, 201, 209,215-216,219,233,235, 262,271,280,282,295,302-303, 306, 310-311, 319-320, 325, 333-336, 339, 343, 346, 354, 357, 362-363, 372, 408, 415,419,430-431,433,450, 452-455,457-458,462,464-468,472-473,475-476,480, 482-483, 485-500, 502-502, 503-504,507,509-510,514, 517, 525-528, 533, 537-541, 544, 546, 550, 553-557, 560, 565, 568-570, 582, 586, 588, 591,593-594,596,598, 601, 607-608, 619, 628-635, 639, 644, 651-656, 657-658, 668, 692-693, 697, 722, 727, 730, 734, 740, 752, 758, 767, 773, 779, 781-782, 786, 797-798, 820,823,829,835-836,843-844,846,848,851,858,860-862, 865, 872, 876, 879, 885, 887-888,893,901-903,905-906,910-911,919,922-924, 927,931,941,945-954,956-958, 960-963, 967, 969-970, 990-991, 993-996, 998-999, 1001, 1006 analityczna 111, 120-121, 125-126, 129-131, 133-134, 150, 157, 165-166, 168, 171-173,209,740,797-798 rzeczywista 121, 130-131, 150, 740, 797 w punkcie 111, 126, 129, 131, 165, 798 antyholomorficzna 121-122, 125-126, 128-131, 134, 138-139, 148-149, 150, 157-158, 160,163-165, 167-174, 175-177, 188-189, 191-192, 193, 196, 209, 235, 325, 334-336, 339, 362, 586, 632, 740, 872,946,949,951-954 ~ Eulera 893 ci'lgla 104, 107-108, 117, 122, 161, 166, 168, 172, 176, 179, 191-192,319-320, 362,487,492,517,782
na okrcrgu jednostkowym 191 delta (Diraca) 117-119, 172, 496-500, 502, 504, 591, 593-594,596,608,644, 820,905-906,910,922923,994 dzeta (Eulera-)Riemanna 131-132 falowa 430, 433, 476, 482-483, 485-500,503,507,509-510,514,517,525-527, 533, 537, 539, 544, 546, 553-557, 560, 568-570, 586, 588, 591, 593-594, 596,607-608,619,629-635, 639, 654, 658, 697, 752, 758, 773, 779, 781, 820,823,829,901-902, 945-947, 960-961, 963, 969, 991 antyneutrina 608, 947 bezmasowej cZ'lstki skalamej 947 bozon6w 568, 570 cZ'lstki niestabilnej 500 skalamej 509, 527, 554-555,947 dwuskladnikowa 525, 902 elektronu 430, 488, 594, 607, 635,820,902 fermion6w 568-569, 629, 631 fotonu 487, 490-491, 533, 633, 773, 823, 901, 947 grawitonu 901, 960-961 jednocz'lstkowa 509, 629, 631, 633-634 normalizowalna 494 skalama 509-510, 527, 554-555,594,947 stanu pcydowego 483, 485-487, 494--495, 497-498, 517,546 unormowana 494, 509-510, 654 wielu cZ'lStek 509, 554, 629, 631, 633-635 gladka 77, 104, 106-109, 111, 117-118, 120-121, 125-126, 128-129, 131, 138, 173,177-181,183,192, 216,219,334-335,363, 452-454,858,906,924 na sferze 177-178 rzeczywista 77, 129, 131, 178, 219,453-454,924 zespolona 109, 120-121, 125-126, 128, 131, 138, 178, 334-335 Greena 655 holomorficzna 121-122, 125-126, 128-131, 134, 138-139, 148-149, 150, 157-158, 160, 163-165, 167-174,175-177,188-
1065
Indeks rzeczowy -189, 191-192, 193, 196, 209,235,325,334-336, 339,362,58~632, 740, 872,946,949,951-954 i jednorodna 946 kwaternionowo 196 skn;cona 325 klasy CO 106, 173 C' 111, 165, 173 C-w 173
C'173 C'117
1066
C-' 110, 168, 172 C-'l72 C"" 108, 173 C ' 117 C'117 logarytmiczna rzeczywista 92, 134, 137, 167 zespolona 133, 137 nachylen drugiego rz,
wykladnicza 91-92, 94, 500 zespolona 94 wysokosci 177, 185, 191,319 zmiennej rzeczywistej 79--81, 101, 110, 120, 123, 130, 150-151, 154-155, 173, 176,188-189,191,339, 454, 554-555, 586 zespolonej 79--80, 109, 111, 120-121, 123, 130, 154, 156, 173, 176, 189, 196, 235, 554-555, 586 zespolona 78-80, 86, 94, 109, 111, 120-121, 123, 125-126, 128-132, 133-134, 137-138, 149-149, 150, 154, 156, 160, 163, 168, 172-173, 175-178, 188-189,191,193,196,235, 325,334-335,362,419, 433, 486-487, 494-495, 507, 510, 528, 554-556, 568, 586, 588, 632-634, 758,901-902,946,954, 994 o cz,<stosciach dodatnich 160, 163,901,954 o czestosciach ujemnych 158-160, 165, 171, 191,339, 586, 630, 634-635, 653, 949,954 funkcje cillgle na okr,
G generator infinitezymalny grupy cillglej 839 obrotow lorentzowskich 540
obrotu 512, 524, 540, 924 supergrupy 839--840 supersymetrii 843--845, 875, 885 symetrii cillglej 308 translacji czasowej 540 Poincarego 541 przestrzennej 512, 540-541 generujllce elementy algebry Clifforda 205 Grassmanna 205 geodezyjna( -e) linia 48, 293-295, 297-298, 307, 322-323, 372, 378, 380-381, 391, 405, 439-440, 453-454, 466, 735, 817, 870,895 czasopodobna 391, 735, 870, 895 koneksji 391 swiata 372, 380-381, 391, 439 zerowa 735, 870, 895 odchylenie 297-298, 322-323, 380-381 geometria 8, 11 algebraiczna 195, 324, 503, 877 algebry zespolonej 84, 324 Beltramiego 39, 43, 406-407, 994 brzegowa 739-740, 889 czarnej dziury 684, 703, 740, 797,880--881,915 czasoprzestrzeni 11,48,237, 283, 389-390, 395, 409, 432, 437, 684, 688, 701, 717,724,739-740,793-794,797,814,826,828--830, 833--834, 842, 858, 860, 867, 881, 889, 910, 921-922, 925, 928-931, 936,940,943,994,1002 fizycznej 11, 437, 922, 930-931,940 Minkowskiego 11, 48, 389390,395,409,994 Wszechswiata 688, 826, 829, 834 eliptyczna 45, 47 euklidesowa (Euklidesa) 8, 11, 27-33,35-36,39,41-48, 50, 53, 55-57, 282, 293, 295-296, 306, 327-329, 367,392,394,401-405, 540,691,912-913,994,998 4-wymiarowa 394 Galileusza 377, 390 globalna 910 gladka 283, 858, 905, 924 hiperboliczna 32-36, 38-39, 41-45,47,52, 67, 284, 296, 404-409, 691-692 holomorficzna 148 klltowa 10, 24, 27, 30-33, 39, 41, 44,402-403,711,913 Kerra 792, 797, 880, 915
Indeks rzeczowy klasyczna 309, 455, 463, 739-740,828,833,858,869, 905, 929, 971 konforemna 32-34, 36, 38-39, 43-44, 137, 146,406-407, 693,749 kwantowa 237, 327, 331, 503, 528, 530-532, 534, 734, 740,760,789,794,828-830, 833, 858, 869, 898, 905,913,915,918,921-922, 929, 936, 945 stan6w spinowych 528, 534 kwantowej czasoprzestrzeni 237, 740, 794, 830, 833, 858,867,921-922,929, 936 kwaternionowa Finkelsteina 922 kwaternion6w 198, 922 logarytm6w 84 lorentzowska 392, 401-403, 592, 693,739-740,922 Lobaczewskiego 32, 43, 994 mechaniki kwantowej 327, 331, 503,531-532,760,921 metryczna 28, 145-146, 905 Minkowskiego 11, 39, 48, 269, 389-390, 394-395, 403-404,407,409,413,417, 540,592,940,994 nieeuklidesowa 11, 43, 48, 270 niekomutatywna ~ geometria: nieprzemienna nieprzemienna 237, 656, 835, 898, 924-925, 945, 967, 978,987 nieskoiiczona 28, 44, 327-328, 343, 408-409 pianopodobna 828 plasko-przestrzenna teorii twistor6w 944 plaszczyzny euklidesowej 27, 32, 296 przestrzeni hiperbolicznej 39, 44, 47, 296, 404,407,409,691-692 Minkowskiego 11, 48, 269, 389-390, 395, 403-404, 407, 409, 540, 940, 994 tr6jwymiarowej 8, 11, 27 twistorowej 925, 928-931, 937-938, 940, 943-945, 1002 pseudoriemannowska 141, 306-307, 532, 576, 586, 739-740, 828, 925, 929, 940,994 riemannowska 141, 306-307, 532, 576, 586, 739-740, 828, 925, 929, 940, 994 rozmaitosci 283, 306, 309, 324, 385, 455, 828, 858, 921, 924,929 symplektycznych 309, 455 r6zniczkowa 964, 994
rzutowa 38, 43, 327-329, 339, 343,406-407, 530-531, 940,943 Schwarzschilda 682, 797, 915 sfery Riemanna 141, 532, 576, 586,925,929,940 skoiiczona 28, 44-45, 327-328, 343,345-346,408-409, 461, 922 spinor6w 550 stacjonarna 792-793, 830 stoZka 395, 417, 693, 905, 910, 922 struny kosmicznej 711, 910 supersymetrii 842, 845, 1002 symplektyczna 309, 455, 461-463, 760 twistorowa 322, 324, 896, 924-925,928-931,937-938, 940, 943-945, 1002 Weyla 431-433, 833 WszechSwiata 29, 32, 45-47, 671, 688,826,828-829,834-835,866,922,982 zakrzywionej czasoprzestrzeni 881,921,994 zbior6w przyczynowych Sorkina 922 zespolona 84, 148,324,331,503, 528,530-532,534,739, 925,929-930,940,943 przestrzeni rzutowej 531, 943 geometryczne przedstawienie liczb zespolonych 78, 84, 331, 531,942 dodawania 78, 84, 246 mnozenia 78, 84, 246 gystosc 162, 221-223, 229, 237, 381-382,423,425,427,435-436,440,443-444,446-447, 449,465,467,469,482,495, 509, 591, 636, 639, 652, 665, 678-679,683,704,721,724, 731,736,741-743, 746, 754, 758,760-771,777-778,781-782,795,801-803,807,809, 818,830,832,868,903,913, 919,972-973,983-984 aktywnej masy grawitacyjnej 443 amplitudy 639, 652, 777 czasoprzestrzenna 423, 465, 683, 724,807,972 4-pydu 436 efektywna (WszechSwiata) 721, 731, 736, 742-743, 746, 764,830,972-973,983-984 energii 435-436, 440, 444, 447, 683, 721, 742-743, 746, 801-803, 818, 868 pola 435, 721, 803 gwiazdy neutronowej 444, 679 j1)dra atomowego 444 krytyczna (masy-energii) 440, 444,742-743, 746, 818, 983-984
lagranzjanu 465, 467, 469, 652 ladunku 423, 427, 436 masy 222-223, 381-382, 440, 443-444, 636, 678-679, 742-743,746,818 masy-energii 440, 444, 742-743, 746,818 materii 222-223, 382, 440, 444, 679, 704, 721, 724, 731, 736,741-743,801,807, 972, 983-984 barionowej 741-742,983 ciemnej 742, 983 n -gystosc 229 prawdopodobieiistwa 495, 509, 591,639,665,758,761-762,766-770,913 pqdu ladunkowego 423 spin6w 449, 762, 765, 767, 913 wody 721, 765, 972 gladkosc 107-110, 117, 120-121, 125-128, 137-139, 177, 179-181,216,302,338,717,724, 919,924 klasy C' 117 nieskoiiczona 109 przestrzeni 338 zespolona 120-121, 125-128, 137-139 sens geometryczny 138 gradient nachylenie 184 pochodna zewnytrzna 185, 218, 289 granica 8, 13, 16, 18-19,28,31-34, 36-38,44,47,57-58,63,74, 78,81-82,87,90,106,108, 114-115, 117, 121, 125, 138-139,142-144,146-147, 149, 157, 159, 161-165, 170-171, 174,176,181,184,192,196-197,217-218,236,238,251-252,258,261,270,278,281, 283,285-286,332,341,345, 347-348, 356-357, 360-361, 363,372,389-390,398,408-409,422,429,431,439,445, 447,450,467,469,474,476, 486,500,504,525,531,548, 551, 553, 555, 574, 576, 580, 583-584, 589, 595-596, 598, 614, 637-639, 643, 647, 655, 662-664,671-672,675,678-679,688-690,695,698,711, 716, 718, 724-725, 737-738, 747-749, 760, 762, 768, 787, 796,798-800,802,805,815, 817,827,833-834, 836, 838, 844,851,858-862,868,871-872,876,879-882,885-886, 888, 893, 895, 903, 906, 910, 921, 930, 936, 950-953, 958, 960,964,966,972-974,976, 980-982,985, 1004-1006 Chandrasekhara 679
1067
Indeks rzeczowy
1068
klasyczna dla ukladu kwantowego 868 grawitacja 8, 60-61, 190,238,291, 313,372-373,377, 380, 382, 384,421-422,435-439,445, 447,467-469,526,582,628, 650, 663, 671, 676, 678, 683, 685,697,701,727,730,734, 738, 740, 749-750, 771, 784787,790-792, 797-798, 803, 815,817, 826, 833, 837-S39, 842-843, 845-S47, 854, 856-S58,860-S61,871,873-874, 878-S80, 887, 889, 893-894, 898-900, 902, 904-907, 913, 915-919, 921-922, 929, 936, 956-957, 962, 964, 973-974, 978--979, 986, 992, 1000-1001, 1007 antysamodualna 956-957 kwantowa ~ kwantowa: grawitacja linearyzowana 919 powierzchniowa 792, 797-798 w 10 wymiarach 858, 860, 879, 936 grawitacyjna energia potencjalna 444, 447, 677, 821 wlasna 818-S19, 821 masa/energia 444, 447, 678, 818, 821 OR 239, 375-378, 380-382, 404,422,435,437-439, 443-447, 467-468, 475, 628, 636, 650, 656-656, 657, 676-678, 683, 685, 698, 701, 711, 728, 734-737, 740, 750, 784, 786, 792,794,798--799,807, 810, 814-S18, 820-S26, 830, 833-834, 848, 856, 858,860,889,900,902, 913, 916-918, 961-962, 972-975, 978, 992-993, 996, 1004, 1008 skala strun 856 symetria cechowania 467 zasada dzialania 468, 736 grawitacyjne promieniowanie 447, 697 stany kwantowe 792, 794, 815, 821, 824-825, 830, 915, 973-974, 996 stopnie swobody 437,443,697, 701,734,794,810,978 grawitacyjny efekt plywowy ~ efekt: plywowy soczewkowania 445, 742, 972 grawiton 422, 446, 475, 522, 771-772,787,794,815,820,833, 841-S42,860,899,901,919, 947,956,959-962,964,966, 974, 1001, 1008
lewoskrC(tny 899, 959-962 nieliniowy 919, 956, 959-962, 964, 966, 1001 lewoskrC(tny 959, 961-962 prawoskrC(tny 961 spolaryzowany plasko 961 prawoskrC(tny 899, 901, 961 gromada Coma 369 galaktyk 369, 688, 742, 827 Virgo 369 grupa(-y) 53, 97, 99, 167,239-248,251-252,254,257-265, 268--272, 275-281, 282-283, 299-302, 308--309, 315-316, 323, 337-338, 340, 343, 369, 377, 390, 397-399, 419, 431, 437,507,524-527,539-541. 543-544,549,569,595,613-615,617-618,620-626,647, 649,652,654,656,687-688, 707-709,711,716,738--739, 741,748,787,835,839-840, 845, 853-S54, 86~ 875-876, 885-S86, 898, 904, 909, 915, 924,930-931,933-937,963, 966-967, 996-997, 999 abelowa 241, 246, 524, 541, 613, 621 addytywna 241 bezodbiciowych symetrii kola 0(2) 244, 278, 323, 707-708, 748 cechowania 613-614, 621, 624, 654,963 oddzialywan elektromagnetycznych (U(I)) 613, 621,654 ci'lgla 242, 245, 247, 258, 260, 264,279,301,377,738, 839,999 cykliczna 97,99,241,617 Z3 617 Zn 97, 99, 241, 617 dualna 262, 623-624, 963 E8 x E8876 GL(m) 280 GL(n, IC) 252, 281 GL(n, 1R) 252, 258, 280-281 gladka 279, 300 holomorficzna 966 holomorficznych transformacji sfery Riemanna 966 iloczyn prosty 246, 301 ilorazowa 245, 617 izomorficzne 278 lokalnie 278 klasyczne 245, 261, 276-277, 279,539,787 proste 279 kolorowa SU(3) 620-622, 624 konforemna 930-931, 934-935 kwantowa 257, 260, 282, 399, 525, 539, 549, 621, 647,
652, 738, 787, 835, 898, 909,996 Liego 242, 245, 258--261, 264-265, 276, 278, 299-301, 524-526,549,595,839,876 liniowa ogolna GL(n) 251 pelna (nad cialem liczb rzeczywistych) GL(n, 1R) 252, 258, 268, 278, 280-281 zespolona (nad cialem liczb zespolonych) GL(n, IC) 252 specjalna SL(n) 252 nad cialem liczb rzeczywistych SL(n, 1R) 252, 280 nad cialem liczb zespolonych SL(n, IC) 252 Lorentza 265, 269, 278, 398, 431,437,739,934-935, 966, 996-997 bezodbiciowa 437, 997 monstrum 246 multiplikatywna liczb zespolonych U(I) 278, 337-338 nieosobliwych macierzy n x n 252,258 skonczona 97 nieabelowa 241, 257-259, 279, 614,621,623,963 niezwarta 264, 270, 277, 739, 904, 915 0(1,3) (Lorentza) 265, 269, 278, 398,419,431,437,739, 934-935, 966, 996-997 0(2,4) 278, 886, 934, 936-937 0(3) (pelna grupa obrotow) 241-245, 247-248, 257, 265, 268, 278, 280, 300, 399, 524-527, 539, 549, 687, 707, 930 0(32) 876 0(3,1) 398, 739 0(4) (6-wymiarowa) 397-398, 687,739 O(n) (transformacji liniowych w n-wymiarach) 261, 268--269,281 O(n, IC) zespolona 269, 271 O(p, q) (pseudoortogonalna) 269,934 obrotow 241-244,247,254.257, 260, 269, 271, 278, 280, 300,323,397-398,419, 437, 524, 539-540, 595, 687,707-708,738-739, 839, 930, 935 okrC(gu 0(2) lub U(I) 323 sfery 241-242, 244, 300, 539 oddzialywan elektroslabych ~ grupa: unitarna U(2)
Indeks rzeczowy silnych --> grupa: SU(3) ortogonalna 241, 248, 265, 268-269, 271-272, 276-278, 282 Poincarego 265, 398-399, 419, 540-541, 543-544, 738, 930-931,934, 967 p6tprosta 264-265, 277, 930 niezwarta 264 zespolona 265, 277 zwarta 264-265, 277 prosta 240-242, 245-246, 257, 261, 264-265, 268, 277, 279,301,526,623,716, 845, 886, 930, 999 ci~gta 245, 264, 301, 999 klasyczna 279 skonczona 245-246 przeksztalcen 239, 930, 933-934 przesuniyc pocz~tku ukladu (4-wymiarowa) 397-398 pseudoortogonalna O(p, q) 269 pseudosymplektyczna Sp(p, q) 277 pseudounitarna U(p, q) 275, 277 renormalizacji 647, 649, 656 ruch6w euklidesowych 265, 397-398,930 rzeczywista 241, 252, 258, 265, 269, 277-279, 281, 309, 338, 398, 620, 915 skonczona 53, 97, 99, 241-242, 244-246, 258, 260, 270, 301-302,647,649,739 S1-(2, iC) 278 SL(n, JR) 280 SL(n, JR) 252 SO(I) 708 SO(2) 278, 707-708, 748 SO(2,1) 278 SO(2,4) 886 SO(2m) 279 S,9(2m + 1) 279 SO(3) 114,280 SO(3) (obrotow wlasciwych) 241-245,247,265,278, 280,300,524-527,539, 549, 707 SO(6) 885-886 SO(n) 269, 281 SO(p, q) (pseudoortogonalna) 269,934 Sp(l) 278 Sp(I,I) 278 Sp(l, iC) 278 Sp(m) 279 Sp(m,m) 309 Sp(n, 0) 277 Sp(p, q) 277-278 Sp(tn) 277 Sp( n, iC) 277 Sp(!n, -l:n) 277-278 sporadyczna E, 245, 623 sporadyczne 245-246, 276, 623, 876
skonczone proste 246 SU(I,I) 278 SU(2) 278, 613, 621, 623-626, 904,915,937 SU(2) x U(I) 613, 621, 623-626, 840 SU(2) x U(I)/Z, 625 SU(2,2) 278 SU(3) 617-618, 620-624, 626, 652,963 SU(3) x SU(2) x U(I)/Z6 623, 626, 840 SU(5) 623, 709 SU(lO) 623 SU(m + 1) 279 SU(n) 275, 278, 281 SU(p, q) 275 symetrii 239-244, 246, 251, 257, 265, 269, 276, 278, 282, 309,315,323,340,390, 397-399,419,437,544, 613-615, 620-624, 626, 649,652,654,687-688, 707-709,711, 716, 738, 741,748,787,835, 839, 845, 866, 875, 885-886, 904,924,930-931,935, 963,966,996-997 czasoprzestrzeni Galileusza 390 cz~stek etementarnych 623, 708, 716, 839, 866, 875, 996 geometrii Minkowskiego 390 hiperbolicznej 3-przestrzeni 269 kwadratu 240, 243-244, 257 modelu standardowego 622-624, 626, 649, 708, 875,924 oddzialywan silnych 621, 623, 626 o zlej sygnaturze 741 przestrzeni Euklidesa ]E' 397-398 Minkowskiego 390, 397, 399,419,437,738, 931 n-wymiarowej 252 promieni swietlnych 930 wektorowej 246,251,282, 620 sfery Riemanna 269, 398, 966, 997 teorii wzglydnosci 257, 265, 399, 738 wewn<;trznych modelu standardowego 924 symplektyczna 276-278, 309 zespolona Sp(!n, iC) 277 klasyczna Sp(tn) 277 rzeczywista 277, 309 zwarta 277 translacji 398-399, 419, 540 tranzytywna 398-399, 687
trywialna 243-245, 708 unitarna 271-272, 275-278, 282, 904 U(I) 278 U(2) 613-614, 624, 626, 652, 654,708,904,963,996 U(n) 275, 278 U(p, q) 275, 277, 281 wewnytrzna 544, 845, 885, 924, 963 wi~zki 247, 315-316, 323, 338, 340,399,549,621,623, 845,875,909,996 wt6kna 315, 323, 340, 621, 904 zespolona 240-241, 252, 257, 265,269,271-272,277-278,281,323,337-338, 343,397,966,997 macierzy 277 zespolonych transformacji liniowych Sp (p, q) 277 zwarta 264-265, 270, 277, 739, 904,915 gwiazdy neutronowe 444--445, 679, 681-682, 972 orbituj~ce 972 podwojne 444--445 podwojne 383, 444--445, 447, 681-682 neutronowe 444-445 supermasywne 798
H hamiltonian 450, 452, 455-456, 459,462-464,474--477,500, 506-507, 511, 545-546, 548, 551,553-554,586-591,593-594, 596, 598, 638, 658, 755, 757, 783, 864, 899, 902, 916, 976 dodatnio okreslony 586 Einsteina 916 mechaniki kwantowej 474, 976 oscylatora harmonicznego 545-546 relatywistyczny cz~stki 586 standardowy ogolnej teorii wzgh;dnosci 899 wielu cz~stek 590 zalezny od czasu 476, 500, 548 harmoniki sferyczne 536-539, 546, 550, 743 spinowo-waZone 537-539 wyZsze 152, 545 Hartle'a-Hawkinga propozycja "bez brzegu" 738, 740-741, 747 hermitowskosc 255, 271-275, 277-278,282,419,504,509-512, 514-515,519,572,614,630, 632, 653, 655, 755-756, 761, 765,770,937-938,995 obserwabli 515, 995 hiperboliczna( -y)
1069
Indeks rzeczowy k~t32-33,35-36,38-39,41-42,
1070
44,145,270,408-409,796 linia prosta 33-36, 38, 44, 405 odleglosc 34-36, 43-44, 408, 796 plaszczyzna 32-33, 36, 42, 138, 145,270,296,405,689,693 hiperfunkcje 150, 168-174, 191, 362-363,496-497,653,927, 967 iloczyn 171-172 iloczyn z funkcj~ analityczn~ 171 pochodna 171 r6:i:niczkowanie 172 suma 171 hiperplaszczyzna 203, 206 odbicia 203, 206 styczna 229 hiperpowierzchnia 149,456,466, 681,691,695,703-704,844, 870,895,919 czasoprzestrzenna 149, 681, 870 przestrzeni twistorowej 919 przestrzennopodobna 466, 691, 870,895 zwarta 691, 870, 895 hipertorus 874, 895 o zerowej krzywiinie 874, 895 hipoteza ADS/CFT ~ zasada: holograficzna continuum 23 dodatkowych wymiarow przestrzennych 866 euklidesowosci przestrzeni kosmicznej 47 hiperbolicznosci przestrzeni kosmicznej 47 holograficzna ~ zasada: holograficzna "k~ta ostrego" 41 krzywizny Weyla 734, 737-739, 749, 809-810, 833 Maldaceny ~ zasada: holograficzna mikrotubuli 992-993 ogolnej plaskosci przestrzennej 984 Riemanna 131-132, 999, 1006 historie 757 czasoprzestrzenne 366, 371, 384, 638-640,642,652 akauzalne 640 dekoherentne 757 gruboziarniste 757, 779, 781 spojne 755, 757-758, 778-779, 781,992 strunowe 872, 890, 893, 955 holomorficzna kohomologia snopow 174, 926, 949,951,953,956 pierwsza kohomologia snopow 951, 956 przestrzen iloczynowa 969 wi~zka wloknista 969 holomorficzne (-y)
charakter 188, 926-927 funkcje ~ funkcja: holomorficzna zredukowane modulo 171 kowektory 235 obiekty 175, 325, 928 odwzorowanie 134, 138-139, 145-147, 159-160 operacje 175-176, 190, 196,235, 967,996 p-formy 144, 956, 987, 995 pola wektorowe 235, 632 przekroj 147,325-326 przeksztalcenie 139, 142, 144, 146,176 rozszerzenie (przedluzanie) 129, 131, 134, 150, 158-159, 163-164,339,797 rownania 148, 189, 192-192, 193, 209,236,325,336,949 struktury 140, 145, 148, 175-177,236,309,325,632, 852,877,959,995 tensory 235, 309 holomorficznoSc 125-126, 138, 158, 163, 165, 176, 188-189, 236, 325, 335, 945-946, 949, 953,995 czysta 949 funkcji 125-126, 138, 163, 165, 176,953 kwantowa 945-946, 995 rozmaitosci 236 horyzont 142, 185, 190,274,327-328, 332-335, 370, 378-380, 411,679-683,685, 694-696, 703,714-715,717,720,724, 737,743,791,795,803-805, 807-808, 830, 834, 879-882, 915,971,982,1008 czarnej dziury ~ horyzont: zdarzen cz~stek 380, 695-696, 714, 720, 724, 803-804 kosmologiczny 830 zdarzen 679-683, 685, 695-696, 703,715,737,791,803-805,808,879-882,982
iloczyn grupowy246,258,30l-302,924 hiperfunkcji 171-172 z funkcj~ analityczn~ 171 kartezjanski 953 zbiorow (produkt zbiorow) 350 klinowy (grassmannowski) 207-209,219-220,222,224-225,231,296,571,845 liczb zespolonych 84, 93, 198, 510 macierzowy 251, 253, 258, 459 modow 93, 246, 759, 863-864, 867,924,941
prosty grup 246, 301 przestrzeni 204, 213, 262, 274, 282,301,315-316,319-320, 333, 338, 367, 369, 372,377,416,510-511, 558, 630, 633, 665, 803, 862-863, 869, 883, 906, 924, 953, 969 Hilberta 510-511, 558, 630 skalarny 186-188, 217, 220, 230, 232, 234, 274, 282, 291, 416,509-512,516,529, 630, 632-633, 759, 803, 937 hermitowski 274, 282, 509, 511, 632, 937 kowektora z wektorem 188, 217, 230, 234, 274 z kropk1j 416, 510 tensorowy 262,274,289,291, 534,558-560,570,655,761 zsymetryzowany 534, 570, 655 transformacji liniowych 250, 262, 274, 510 wewnytrzny 187, 803, 924 wzbudzen ~ iloczyn: modow zewnytrzny 219,224,289,761, 941 zsymetryzowany 534, 570, 655, 941 indeks (wskainik) 2-spinorowy 525,602,625,941,947 nieprimowany ~ wskainik: nieprimowany primowany ~ wskainik: primowany indeksy kolorowe 621 smakowe 620 infinitezymalna (-y, -e) element algebry Liego 258, 278, 301 grupy 254, 258, 260, 299-301 Liego 258, 260, 299-301 generator grupy 839 granica 138, 181, 439 ksztalty 137-138, 411 liczba 60, 253, 346, 950 natura liczb rzeczywistych 60, 346 obroty 254, 524 pytla 292, 334, 432 przedzial czasu 389 przesuniycie 237, 287, 300-301, 860,950 formy metrycznej 860 rownoleglobok 292, 301 skala 137, 432 transformacja liniowa 258, 507 translacja 473, 524 wielkosc 181-182, 223, 237, 301, 346,389,419,956 zmiana metryki 863 informacja 67, 82-83, 118, 132, 146,150,156,170,185,207,
Indeks rzeczowy 209, 237, 258, 283, 301, 307, 337-338,340,369,413,439, 445,450,471,490,494-496, 510,518,547,557,572-576, 579-580, 602, 621, 635, 655--656, 659--660, 679--680, 683, 688, 695, 715, 720, 745, 757, 762,767,770-771, 777-778, 782, 795, 806-812, 881, 893, 895-896,910,914,919,924925, 928, 935, 944, 953, 955, 960,967,972,985,991,995-996,1006 klasyczna 471, 557, 573-576, 944,996 kwantowa 471, 494, 547, 557, 573-576, 580, 683, 762, 771,777,782,812,925, 995 interferencja 433, 482, 488-489, 521,549,578,780-781 falowa 482, 488 kwantowa 433 interferencyjne wygaszanie 491-492, 495 wzmocnienie 491 izotropowosc przestrzenna 687-688, 691, 826 WszechSwiata 688, 691, 826
J jqdro atomowe 444, 567, 600, 729, 822,871 ci«zkie 527, 749 ci«zkiego wodoru 527 kobaltu 607 niestabilne 500, 871 nietrwale 819, 988 radioaktywne 600, 605, 829 toru 546, 605 uranu 23'U 500, 606 w«gla 729, 749 wodoru 527, 546, 600, 701, 988 jednolita teoria pola 448, 918 WszechSwiata 841,874 jednorodnosc funkcji946-947, 957, 961 przestrzenna 367, 438, 687-688, 717,725 WszechSwiata 675, 687-688, 716,724-725,727,826 jednostki Gaussa 423 naturalne (bezwgl~dne) ---> jednostki: Plancka Plancka (Plancka-Wheelera) 396,415,526,649,663, 685-686,699,727,791, 797,799,837,841-842, 856,862,864,869,871, 874,880,918,972-973 Stoneya ---> jednostki: Plancka jednowymiarowa (-y) przestrzen euklidesowa 367
rozmaitosc 223 skierowana 228 zespolona 929 oscylator harmoniczny 545 lowisz-Slonce, uklad 444
K kanoniczna grawitacja kwantowa ---> kwantowa: grawitacja kanoniczna postac macierzy 257 transformacji Iiniowej 257 procedura kwantowania 474 regula komutacji ---> kanoniczna: relacja komutacji relacja komutacji 474, 638, 924, 945 kqt Brewstera 549 Cabibbo 622--623, 997 fazowy zespolony 634 hiperboliczny 32-33, 35-36, 38-39,41-42,44, 145,270, 408-409,796 pomi«dzy krzywymi 33, 411 slabego mieszania ---> kqt: Weinberga srodkowy 408, 798 Weinberga 614, 622-623, 997 kierunek czasopodobny 390, 399-401, 407,419,929 czasu 59, 64, 131, 159, 185, 187, 286,293,298,368-369, 375, 377, 379, 384, 390, 399-401,407,419,462, 473-474,482,491,530, 532-533, 535, 544, 560, 562,564,566,572,576, 603, 610-611, 658, 660, 668, 670, 685, 693, 699, 706, 714, 726, 769, 788-790, 793, 797, 801-802, 844,873,910,916,921, 924-926,929,943,960961,968,977,986,1000 czysto przestrzenny 401 Majorany 528, 535, 539, 869, 968 promienia swietlnego 339, 384, 410, 775, 929, 940, 943-944,968 przestrzennopodobny 400, 404, 895,929 przestrzenny 64, 367, 381, 384385,400-401,404,407, 436,474-475,482,485487,528,530-531,548, 572,576,611,895,912, 925,929 spinu 203, 522, 529-531, 534-535, 539, 557, 560-561, 563-564, 572, 574-575,
603,607,762-763,766-770,869,899,910-912, 925-926, 940 zerowy 107, 184, 399, 401, 409-410,535,693,929,968 klasa 50, 61, 76,106,108-111,117-118,121-122, 124, 129, 131, 142-143, 150, 157, 165, 168, 170-173, 179-181, 183, 199, 213, 215-216, 226, 231, 237, 245-246,261,264,276-277, 279,283,308-309,312,327, 342,348,352,355-356,360, 391,419,421-422,432-433, 435,439,447,455,460,463-464,471,474-477,480,482-484,488-491,500,508,514-515,531-532,536,539-540, 542,545-547,550-551,557, 561-562,565-566,569,572-576,578,586-588,606,626626,627--628,632-634,637-641, 643-644, 646-647, 656, 658-659,661,665,670,683, 687,693,701,730,739-740, 748, 752, 757-759, 761-764, 773-774, 779, 786-787, 803-804,807,812,815,822,825, 827-828, 830-831, 833-834, 848,851-852,854-856,858-859,861-863,868-869,871-872, 875, 885, 887, 895, 899, 901-902,904-907,910,915, 917,922,929,931,941,944-945,951,959,963,965,969-970,971,991-992,996-997, 999 homologii 122, 124, 951 homotopii 122 rownowaZnosci 170, 342, 348, 432,439,693,764,931, 951 metryk 432, 693, 931 rozniczkowalnosci 118 wszystkich klas 111, 172, 246, 279,348,355-356,477, 540, 562, 572, 574, 634, 638-639, 661, 670, 683, 852,869,904,917 wszystkich zbiorow n 356 klasyczna teoria czarnych dziur 683, 740, 804, 807 pola 421, 435, 464, 474, 488, 514-515,557,632--634, 638-639,641,739,779, 787, 803, 815, 862, 885, 901,910,929 w lO-wymiarowej przestrzeni 862 klasyczne przejscie graniczne 872 reguly komutacji 787, 855 urzqdzenie pomiarowe 561, 773-774, 831
1071
Indeks rzeczowy
1072
zachowanie 213, 419, 477, 490, 562,572,641,644,701, 758,774,779,787,827 klasyfikacja grup 245-246, 999 prostych 245-246, 999 widm atomowych 997 kohomologia 174, 926, 949-954, 956,960,968 cecha 926, 952, 968 snop6w 174,926, 949-951,953-954, 956 pieIWsza 949-951, 956 holomorficznych 174 wyZszego rzydu 956 kolo jednostkowe 142-143, 146, 158,167,213,227-229,407 domkniyte 213, 227-229 magiczne 344-345, 363 Poincarego 33, 138, 407 "zamkniyte" 146, 664, 698, 765 kompleksyflkacja 265, 269, 279, 281,396-397,399-400,419, 795-797, 960 czasoprzestrzeni 797, 960 grupy 265, 269, 279, 281, 397 przestrzeni396, 795-797, 960 komutator 258-259, 299, 301, 304, 308-310,336,340,473,653, 840,855,894,945-946 algebry Liego 310 grupy 258-259, 299 koncepcja inflacyjna 704, 706, 718, 722-724, 731, 743 "wielu swiat6w" 463, 508, 731, 755, 757-758, 775, 777-778, 829, 991-992 kondensacja Bosego-Einsteina 569,751 grawitacyjna 676, 698 koneksja 287, 290--294, 296, 298-299, 301-309, 312-313, 331-338,362,371-372,378, 381-382,391,430-434,438, 495-496,621,623,713-714, 748,874-875,903-905,916, 919,922,996 bez torsji 291. 296, 298, 301-304,306,336,372,378, 391 cechowania 312-313, 337-338, 430,432,434,495,621, 623,713-714,748,905 dualna wobec D(l) 623 Christoffela 306 elektromagnetyczna 313, 337, 432,434,495,621 r ~ koneksja: spinowa Levi-Civity 306, 308 kauzalna 922 metryki 305, 307-308, 391, 874-875, 903 Riemanna 306, 309, 874 SL(2, iC) 919
spinowa 903, 905 wiijZki 312, 331-334, 336-337, 371-372, 430-433, 496, 621,623,713,904,996 stycznej 332, 334, 336 w zapisie wskainikowym 336 zalezna od drogi 334, 336 wsp61rzydnosciowa 290--291, 304 z krzywiznq 291-292, 298, 301, 304, 336-337, 381, 391, 431,438,623,714,904 z symetri'l D(l) 337, 433 z torsj'l291, 296, 298, 301-304, 306,336,372,378,391 bez krzywizny 291, 298, 301 zalezna od drogi 291-292, 298, 334, 336, 433-434 konforemne (-y) diagramy czasoprzestrzenne 693-695, 797-798, 801 geometria 32-34, 36, 38-39, 43-44,137,146,406-407, 693, 749 model plaszczyzny hiperbolicznej 33 obraz 32, 37, 138, 693, 792 odwzorowanie 33-38, 43-44, 121, 137-139, 176, 406, 689,693 reprezentacja geometrii hiperbolicznej 36, 407 przeksztalcenie 138-139, 142, 930,934 sfery 142, 934 przeskalowanie 431, 932 r6wnowainosc 145 ruchy 138-139, 530 splaszczenie czasoprzestrzeni 443 struktura 140,145, 177,283, 411,432,693,930,932, 934,936,959 tensor 443, 734, 901 teoria pola 432, 883, 955 transformacja 138, 142, 145, 411,431,793,935 konstrukcja nieliniowego grawitonu 959, 961-962,964,1001 Warda 962-963 kontrakcja 219, 230--231, 234, 272, 274,289,303,411,441-442, 730,770,801,941 FitzGeralda-Lorentza 411 tensorowa (transwekcja) 219, 230,274,289,303,801 wskaznika 230, 272, 289, 770 kontur calkowania 120--121, 124, 126,171-172,646,948-949, 952,962 zamkniyty 124, 126, 171 kopia czasoprzestrzeni 924 eksperymentatora 753
kosmiczne defekty topologiczne 709-710 kr6tkofalowe promieniowanie tla ~ promieniowanie: reliktowe kosmologia 28, 45, 60, 442-443, 445, 448, 539, 548, 670--672, 674-675, 684, 687-690, 694, 696, 698, 701, 703-704, 712, 716-718,720,722-724,727, 730, 734-735, 740--743, 745-746, 749, 785, 817, 826, 828, 830--831, 841, 864, 866, 883-884, 886, 915, 966, 971-974, 978, 982-984, 1008 chaotyczna 749 inflacyjna 690, 698, 704, 716, 718,720, 722-724, 727, 741,746,830,841,983-984 kwantowa 548, 706, 723-724, 741,745,749,817,828, 830,834,971,974,978, 982-983 kowariancja lorentzowska 974 kowektor 188, 216-222, 230, 233-235, 237-238, 272, 274, 288-289, 303, 307, 312, 326-327, 332, 416, 436, 454 holomorficzny 235 kreacja 551, 584-585, 629-631, 633-637,646,648-649,653, 655,809-810,839,867 antyczqstki 584-585, 634 cZ'lstki 584-585, 629-631, 634, 636, 646, 653 krysztal nieliniowy 577 typu Mi:issbauera 833 kryterium estetyki 975, 987 Poppera 981-983 sp6jnosci matematycznej 637, 975 krzywa 33, 42-43, 48, 76, 95, 101, 104, 106-107, 114-116, 120--122, 127, 136, 138, 149, 168, 170,175,185,190,202,217, 223, 226, 228-229, 268, 283, 285-288, 291-294, 296-298, 301-302, 304-307, 309-311, 312,319,322-323,325,332-337,362,371-372,374-375, 378,381-382,384, 389-391, 394-396,404,411,421,429-432,436,438-441,443,448, 451-453,465,467,471,475, 480, 536, 582, 623, 640, 652, 665-667, 672-673, 682-683, 688-689, 691-693, 697-699, 714,717-719,721,730,734-739,741,743-746,749,751, 786,792-794,802, 807, 809-810, 814, 817, 833, 841-842, 844,847,852, 858-859, 861, 870--872, 874, 877, 880--881,
Indeks rzeczowy 885, 893, 895-896, 899-906, 910,921-923,928,935, 948-949, 956-961, 965, 972, 978, 982,984,994,1001,1006 analityczna 121, 168 calkowa pola 114, 302, 396, 438 calkowania 223, 305 czasopodobna 389-391, 395, 640,718-719,735,738, 802,870,872,895 zamkni~ta 391, 718-719, 870 dzwonowa 665-666 gladka 138, 293-294, 298, 305, 640,739,858,906 holomorficzna 168, 190, 335, 852,872,877,957,959 homologiczna 122 homotopiczna 122 horyzontalna 332-335 racjonalna ~ krzywa: wymierna styczna 43, 106, 138, 228, 285, 287-288, 293-294, 296, 302, 332-333, 384, 389, 452, 640, 666, 737, 844, 895,1001 wymierna 877 wyZszego rz~du 844, 859, 877, 1006 zamkni~ta (l-rozmaitosc) 149, 168,228,391,448,714, 718-719,741,870 skierowana 228 zerowa na lorentzowskiej wst~dze swiata 872 zespolona 120, 168, 175, 228, 325, 335, 396, 852, 877, 896, 928, 959-960 krzywizna 42, 48, 101, 104, 107, 291-293,296-298, 301, 304, 307, 309, 322-323, 334-337, 372, 378, 381-382, 391, 429, 431-432,438,440-441,443, 467, 623, 682-683, 688-689, 692,698,714,717,721,734-739,741,744-746,749,807, 809-810,814,833,842,844, 859,861,870-871,885,895, 900-902,904-906,910,922-923, 948, 959-960, 965, 982, 984 cechowania 337, 429, 432, 623, 714 czasoprzestrzeni 372, 381, 391, 438, 440, 682-683, 689, 734,736-737,807,810, 814,833,842,859,861, 870-871,885,904,922 duza w skali Plancka 871 dodatnia 297-298, 322-323, 441, 688, 698, 741, 982, 984 dualna 623, 902, 948, 959-960 funkcji 104, 107, 335, 844, 906, 922-923 Gaussa 42, 296, 298 generyczna 895
koneksji 291-292, 298, 301, 304, 336-337,381, 391, 431, 438,623,714,904 wiljzki 336-337, 431, 623 krzywej 42, 48, 101, 104, 107, 291-293,296-298,301, 304,307,309,322-323, 334-337,372,378,381-382,391,429,431-432, 438, 440-441, 443, 467, 623, 682-683, 688-689, 692, 698, 714, 717, 721, 734-739,741,744-746, 749,807,809-810,814, 833, 842, 844, 859, 861, 870-871,885,895,900-902,904-906,910,922-923,948,959-960,965, 982,984 linii swiata 372, 381, 432, 910 przestrzeni podstawowej 859, 861 przestrzenna 323, 372, 381, 391, 438, 440, 443, 682-683, 688-689,692,698,717, 734, 736-737, 741, 744-745,807,810,814,833, 842,844,859,861,870-871, 885, 895, 901, 904, 906,910,922,948,959-960,965,982,984 dodatnia 323, 688, 698, 741, 982,984 ujemna 688, 741, 965, 982 Wszechswiata 689, 717, 744, 965,982 zerowa 682, 717, 870, 895, 906,982 Ricciego 292, 381, 440-441, 443,734-737,859,861, 910,959 skalarna 291, 441, 467, 721 wewn~trzna powierzchni 904 ujemna 297-298, 688, 741, 746, 965,982 Weyla 381, 432, 443, 683, 734-739,749,809-810,833, 900-902,910,959-960,965 antysamodualna 902, 959-960 plaska w sensie Ricciego 959 wiljili 334-337, 381, 431, 623, 735,737 zerowa 107, 682, 688, 717, 735, 737, 870, 895, 906, 960, 982 zewn~trzna 904 kumulacja grawitacyjna 737, 827 informacji 807 kwadrat 24-25, 295 dlugosci 24-28, 30-31, 42, 50-51,59,469,509,519, 818,859,918 hiperboliczny 39-40, 43
modulu 177, 494, 514, 517, 555-556, 638-639, 758-759, 762-763, 777, 788-790, 831-832,966,995 funkcji falowej 494, 514, 555 odleglosci metrycznej 862 wiljzki wektorowej 326 wlasnosci symetrii 239 kwant 47,60-61,64-66,68,77,86, 98-99, 117, 121, 156, 158-159, 161-162,172-174,199,204, 237-238,247,251,254-255, 257,260-262,271,273-276, 278, 282, 309, 327, 331, 339, 347,362-364,382,384,389, 396,399,418-420,421-422, 426,430,433-434,439,446, 457,464-469,471,474-486, 489-498,500,502-502,503-518, 520-528, 530-532, 534, 536,539-542,544-551,552-558,562-576,578-580,582-592,595,598,600,604,609-610, 612-616, 618, 620-622, 625-626,627,629-630,632639,641-644,647,649-653, 655, 658, 660, 663, 671, 679, 683, 685, 701, 704, 708, 715, 721,730,734,738-740,742-743, 747-749, 751-755, 757-764, 768, 771-777, 779-782, 784-792,794,803,805,807-809,812-817,819-834,835, 837-838,849,851-852,854-863,866-869,871,873-874, 879-880, 883-885, 889, 892, 894-895, 898-907, 909-913, 915-919, 921-922, 924-925, 927,929-930,936,944-946, 960-961, 964-966, 970-970, 971-974,976,978-979,985-986, 991-998, 1000-1003, 1005, 1007 cechowania 612, 621 dzialania 61, 174, 503, 507, 512, 635,658,755,762 energii 61, 66, 476, 500, 524, 540, 545-548, 584-586, 589-590, 635, 650, 660, 671, 721, 742, 748, 803, 813,819,858,862,867-868, 884, 973-974 energii Plancka 545, 862, 867, 974 pola elektromagnetycznego 422, 426,481,604,612,655, 974 grawitacyjnego ~ grawiton kwantowa (-y, -e) algebra 61, 237, 251, 260, 503, 524-525, 549, 592, 653, 794,924,945,994 chromodynamika (QeD) 616, 621,652
1073
Indeks rzeczowy
1074
elektrodynamika (QED, EK) 60-61, 65, 98-99, 158, 162, 199, 204, 262, 275, 282, 327, 331,347,362,382,384, 389,399,419-420,422, 426,430,433-434,446, 457, 464-465, 468-469, 471, 474-476, 478-480, 484-485,489-490,492-495,500,503-510,513-515,520,523,525,528, 530, 534, 544--548, 550, 552-555, 557-558, 562-569,571-576,578,580, 582-585, 588, 590--592, 595,600,604,610,613-615,620,622,627,632, 634-635, 637-639, 641-642,644,647,649-650, 652, 655, 660, 663, 671, 683, 685, 708, 721, 730, 734, 739, 747, 749, 751-755,757-758,760,762, 764, 768, 771, 773-777, 779-782, 784--792, 803, 808,812,816,820--821, 823-826, 828-833, 837-838,851-852,854,857-859, 861-863, 868-869, 871, 873, 889, 895, 898, 900, 904--906, 909, 913, 915-918, 921-922, 924, 927,929,936,945,960, 971-974, 978-979, 985-986,991-993,995,998, 1000, 1002, 1005, 1007 fizyka 47, 61, 65, 98-99, 199, 257,273,282,309,331, 382, 457, 471, 476, 485, 493, 504--505, 510, 548, 571,592,604,638,660, 730,751-752,759-760, 774,784--785,794,826-827,834-834,835,852, 857,902,921-922,927, 936,945,965,972,974 cZllstek elementamych 98-99, 199,660,927,974 geometria 237, 327, 331, 503, 528, 530--532, 534, 734, 740,760,789,794,828-830,833,858,869,898, 905,913,915,918,921-922,929,936,945 czasoprzestrzeni 237, 740, 794, 830, 833, 858, 921-922,929,936 grawitacja 60-61, 238, 582, 650, 663, 671, 683, 685, 730, 734, 740, 749, 784--787, 790--792, 803, 815, 817, 826, 838, 856-858, 871, 873-874, 880, 889, 898, 902,904--907,913,915-918,921-922,929,936,
973-974, 978-979, 986, 1000, 1007 kanoniczna 898, 916-917 informacja 471, 494, 547, 557, 573-576, 580, 683, 762, 771, 777, 782, 812, 925, 995 informatyka 550 interferencja 433 komputer 555, 574, 576 komputeryzacja 574 kryptografia 574, 576 mechanika ~ mechanika: kwantowa wielu cial 552 nieoznaczonosc 500, 506, 819, 827-828,929,973 obliczenia 251, 504, 546, 557, 580,583,649,742,789-790,874,880,1000 probabilistyka 66 procedura R 117, 261, 309, 396, 464, 474-475, 493, 503, 505, 507, 509, 518, 546, 553, 567, 572, 578, 583, 632, 647,650,658,740,755, 757, 759, 762, 772, 786, 790, 826-828, 830, 871. 873, 922, 929-930, 974, 991 U 117, 261, 309, 396, 464, 474-475, 493, 503, 505, 507, 509, 518, 546, 553, 567, 572, 578, 583, 632, 647, 650, 658, 740, 755, 757, 759, 762, 772, 786, 790, 826-828, 830, 871, 873, 922, 929-930, 974, 991 rachunek zaburzeii 874, 892, 1000 redukcja stanu ~ kwantowa: procedura R rzeczywistosc 61, 430, 471, 479, 484-485, 492-493, 504, 513, 575, 588, 604, 627, 638, 751-753, 759-760, 763-764,771,775, 781, 809,835,851,869 spl'ltanie 389, 507, 552, 557-558, 563, 565-566, 571, 576, 578,753-754, 768, 771, 809,830,973 superpozycja 508, 517, 520, 522, 540,546,604, 614-615, 620,632,637-639,660, 739,752-753, 773-777, 780--781, 813-814, 819, 821-824,828-830,905, 917, 925, 992, 995 teleportacja 571-576, 751, 925 teoria grawitacji 61, 582, 650, 671, 683, 685, 734, 785-787.
792, 803, 815, 838, 856-858, 873-874, 880, 889, 902,904--907,913,915-916,918,921-922,929, 936, 973-974, 978, 986, 1000, 1007 informacji 471, 547, 683, 777, 782 pola (KTP) 61, 66, 77, 121, 158, 172, 257, 273, 362, 396, 399, 422, 426, 446, 464-466, 469, 475, 492, 514,526,546-548,567, 583-584,590,600,610, 625-626, 627, 632, 635, 638, 649, 653, 671, 715, 738-739,742,759,785-786,792,803,808,815, 832-833, 857, 859, 873-874, 880, 883, 895, 901, 907,910,919,921-922, 925,927,929,936,971, 973-974, 978, 994--995, 998, 1002 bozonow 546 fotonow 546 Maxwella 384, 547, 600 renormalizowalna 975 spojna i skoiiczona 872 w zakrzywionych przestrzeniach 792, 978 pol oddzialuj'lcych 627 spinu 61, 278, 567, 590, 913, 998 kwantyzacja 422, 474-476, 554, 629, 638, 650, 787, 838, 871, 898-899, 904, 924, 929, 945, 1001 geometryczna 475 momentu pt;du 1001 pola grawitacyjnego 422 teorii Einsteina 650, 838, 898-899, 1001 kwarki 65, 99, 343, 527-528, 567-568,591,601,608,612-613, 615, 617-624, 650, 713, 820, 832, 836-837, 841, 855 b 99, 343, 608, 619-622, 841 bezmasowe 713 c 65, 527, 608, 618, 620, 624, 713,836 d 608, 617-618, 620, 650, 713, 837 denny ~ kwarki: b dolny ~ kwarki: d dziwny ~ kwarki: s gomy ~ kwarki: u koIorowe 619-622, 624 podstawowe 620 pit;kny ~ kwarki: b powabny ~ kwarki: c prawdziwy ~ kwarki: t s 65, 99, 568, 608, 612, 615, 617-619,622,624,841 smakowe 620
Indeks rzeczowy szczytowy ---+ kwarki: u t 65, 620, 624, 713 u 608, 617-618, 620-621, 624, 713 kwaternionowa mechanika kwantowa 364 reprezentacja obrotow 278 kwaterniony 193-204, 209, 251, 259, 278, 322, 364, 591, 595, 922,976 podwojne 197, 278
L lagranzjan 450, 452, 454--456, 464--469, 474, 628, 637-639, 642, 651-654, 859, 882, 969-970 materii 467-468 Maxwella 468-469 pola 454, 466, 468-469, 639, 652,859 strony 859 laplasjan 190, 475, 537, 591, 864--865 2-wymiarowy 190, 865 liczba 5,10 barionowa 489, 550, 584, 686, 698, 742, 983 calkowita Cartana 280 e 10, 13, 15, 22-23, 35, 42-43, 50-68,69-75,77,81-83, 84-85, 88-94, 96, 98-99, 101-102,111-112, 118, 124, 126, 131, 134, 145, 148, 152, 156, 161-162, 169,173,175,177-178, 195-201, 207-208, 211, 213, 215-216, 219, 235, 241, 246-248, 252, 254, 256-257,259,262,264-265, 274, 276-277, 280, 294--295, 318, 322, 324, 330-331,338, 341-351, 353-355, 358-359, 361, 363-364,383,393,411, 420, 430, 449-449, 450, 464,471-472,474,477, 486, 494, 503, 506, 509, 511,528,530,532,535-536, 538-539, 550, 555-556, 568-569, 574, 584, 586,588,631-632,637, 639,643,649,651,658, 664-665, 672, 675, 682, 687,720,733,742-743, 762,770-771, 800, 806, 830, 838, 843, 846-847, 851, 855-856, 860-861, 866,868-869, 874, 877, 881-883,885,904,908, 911-912,918,921,924--925, 927-929, 935-936, 940, 963, 966, 983, 991, 995-997, 1000 elementow algebry supersyrnetrii 893
falowa 477, 486, 503, 510, 539, 554--556, 568-569, 588, 946,963 i 66, 193,474,506 krzywych wymiernych 877 kwantowa 61, 65-66, 68, 86, 98-99,262,331,433,464, 489,503,509,514--515, 528, 530-532, 534, 539, 548, 550, 557, 568, 571, 574, 584--585, 588, 604, 632, 637, 639, 649, 743, 762,830, 851, 868-869, 885, 894, 911, 925, 929, 978, 994--996 bozon/fermion 99, 571 leptonowa 612 elektronowa 612 muonowa 612 taonowa 612 OJ (Cantora) 68 11 55, 58, 93 p«tli diagramu Feynmana 845, 873 stron 850, 881 skladowych spinora 528, 595, 893 stopni swobody 236, 363, 460, 464, 536, 554--556, 671, 676,848,861,866,880-882, 884--885 urojona 42-43, 92, 94--95, 124, 175, 193, 198, 404, 432, 474,506,658,796,798 wymiarow czasowych 60, 894, 936, 940 przestrzennych 60, 450, 894, 936,940 liczby calkowite 13, 50-52, 54, 60, 62, 64-65,67,87-90,92,96, 98, 108, 111, 115, 125, 131, 152,161-162,177,199, 211,215,241,248,254, 262, 275, 280, 341-343, 348, 350-352, 393, 460, 527-528,537,543,550-551, 743, 864-865, 881, 911-912,918,921,930 modulo p 341, 921 dziesi«tne 52-54, 67, 354, 364 hiperzespolone 193 kardynalne 348-350, 355 nieporownywalne 349 nieskonczone 348-350, 355 skonczone 349-350 kwadratowe 10, 43, 52-53, 55-56, 67,69,71-74,193,248, 253-254, 348, 358, 588 kwantowe 61, 65-66, 68, 86, 98-99,262,331,433,464, 489,503,509,514--515, 528, 530-532, 534, 539, 548, 550, 557, 568, 571, 574, 584--585, 588, 604,
632, 637, 639, 649, 743, 762,830,851,868-869, 885,894,911,925,929, 978, 994--996 addytywne 65, 68, 98, 584--585 dokladne 99 drgan 868-869 dyskretne 61, 548, 550, 639 kwarkowa 99 momentu p«du 528, 539, 548, 550, 869, 911 multiplikatywne 98-99 dokladne 99 przybliZone 98 naturalne 15, 52-56, 62-65, 89-90,92, 112, 143, 148, 193,277,341,346-350, 353,357-359,361,363364,649,686,800,806, 871,885,904,911-912,995 nieparzyste 51-53, 98, 199-200, 204,527,845,911,928, 935,940 niewymierne 50, 53, 55-56, 58, 67,90,134 kwadratowe 55-56, 67 p-adyczne 364 parzyste 51-53, 98-99, 131, 199-200, 204, 276, 361, 911, 928,935 pierwsze 10, 54--55, 64, 69, 85, 131,341-345,348,353, 361, 364, 464, 877, 905, 921,994,999 Porzlldkowe 58, 62-63, 68, 79, 99,102,118,178,247,256, 347,353,364,411,556, 568,674,761 nieskonczone 58, 68, 353 skonczone 58, 68, 353, 761 rzeczywiste 52-54, 56-68, 69-74, 77-79,81-83, 86, 89-90, 92-96, 102-103, 108, 110-111,119,121-122,124, 131, 161-162, 169, 173, 175-176,178,193-195, 197,204,206,215,217, 219,246-247,252,259, 265,268,277-278,280, 318,324,330-331,336338,341,343,346-347, 350-351, 353-354, 361, 385,404,430,496,509, 511,514,516,555-556, 604,639,684,760-761, 765, 796-798, 840, 843, 851, 866, 904, 911, 921, 924--925,928,940,966, 994--996 infinitezyrnalne 60, 346 ujemne 42-43, 48, 58, 62, 64-65, 69,74--75,90,96, 102, 118, 131,159,586,588,643,761 wymierne 50, 52-56, 58, 62, 64, 66-68,69-70,72,77,89-90,
1075
Indeks rzeczowy
1076
134, 161,341,347-348, 350-351,362,912 zespolone 66, 69-74, 77-S3, 84-94,96-97,99,109,118, 121, 124, 126, 134, 141, 145, 148-149, 156, 162, 173,175-176,178,193, 196-199,206,235,240-241, 246-247, 254, 257, 259,265,269,271,274-275, 277-278, 320-322, 324,326,330-331,337-338,343,361,363,411, 433,486,494,498,503, 506,510-511,515,528, 530-532, 534, 554-556, 568-569, 588, 632, 639, 800,843,851,866,896, 905,909,925-930,936-937,939-940,942,945-946,954,994-996 skrycone 0 module 1 331 sprzyzone 82-83, 176, 511, 937 uogolnione 193 Liego algebry 245, 257-261, 265, 278, 300-302,310,398,524-526,541,549,595,839-840 grupy ortogonalnej 278 symplektycznej 278 unitarnej 278 rzeczywiste 259, 265 zespolone 259, 265 grupy 242, 245, 258--261, 264-265, 276, 278, 299-301, 524-526,549,595,839,876 nawiasy 259, 264, 298-300, 302, 304,309,840 pochodna 298--299, 302-303, 307,462 linia geodezyjna 4 geodezyjna: linia quanglementu 575, 926 linia swiata 8, 370-373, 377-378, 380-381,384-385,389,391, 393,395-396,399,401-403, 410,417-418,432,439-440, 542,574,640,682,693,695, 721,732,752,774,797,801-S02,910,943-944 czasopodobna 389, 391, 395, 401,403,417-418,640, 735,802,870,895,910 cz~stki 76, 185, 370-373, 380-381,385,389,393,395-396,402-403,417-418, 510,517,542,559,574, 605--{)06, 611, 613--{)15, 621--{)22, 640, 643,660, 695--{)96, 715, 735, 751, 829,834,867,912,943-944 inercjalnej 371, 402-403, 418
masowej 389, 396, 418, 715, 735,943 fotonu 384, 389, 396, 399, 522-523,532,549,577, 605, 611, 613--{)15, 621, 644-645,648,715 obserwatora 399, 401, 410, 439-440, 579, 696, 797, 801-S02 na diagramie Feynmana 611--{)12,642--{)44,653 przestrzennopodobna 389, 393, 696, 801 spl~tana 558, 577, 910, 914 swietlna 389, 410, 674, 682, 735, 801,895,939-940,944 zakrzywiona 910, 959 zerowa 254, 320, 385, 389, 399, 410, 549, 636, 693--{)94, 715,735,870,895,939940,959 zrodla (czasopodobna) 389, 391, 395,401,403,417-418, 613,640,735,802,870, 895,910 linie sit pola magnetycznego 433-434 spektralne 4 linie widmowe spinowo-sieciowe 906, 925-926 twistorowe 939, 943, 947, 949, 955,958--961,966, 1001, 1006 widmowe 547-548, 551, 674, 751, 892 zerowe 4 linia swiata: zerowa liniowosc 217, 238, 271, 276, 288, 303,506,508,613,632,764765, 773, 784, 851 iloczynu skalarnego 217 kowektorow 217, 288 pochodnej kowariantnej 287 rownaft Maxwella 632 tensora 303 logarytm 35, 73, 84, 88-93, 95, 100, 117, 123-124, 126, 133-134, 136-137,142,167,172,652, 661, 663--{)66, 703, 721-722, 879,882,892 iloczynu 88 liczby zespolonej 73, 88-89, 92 naturalny 35, 90-92, 100, 661, 664,703,892 objytosci przestrzeni fazowej 666, 879 rzeczywisty 92, 134, 137, 167 zespolony 73, 88-S9, 92-93, 123-124, 126, 133, 137 lokalna dodatniosc energii 871 rownowaZnosc grup SU(2) i 0(2,4) 937 struktura grupy 258, 260, 264, 301,316 symetria 308-309, 392, 714, 935 teoria grup ci~glych 258
I:. ladunek antykwarka d 712 elektryczny 64-65, 68, 99, 375, 423, 427-430, 433, 435-436, 467, 489, 584, 597, 605--{)o6, 612--{)13, 618, 634, 636, 643, 647--{)49, 651, 685, 703, 712, 799, 837-S38, 880 bozonu W 612--{)13 czarnej dziury 703 elektronu 65, 68, 99, 430, 489, 597,606,634,636,647--{)49 goly 649 kwarku 65, 99, 618 dolnego 618, 837 morza Diraca 636 pozytronu 612, 648 protonu 65, 68, 430, 606, 618, 712 zerowy 636 kolorowy 621--{)22 magnetyczny 422-423, 429, 467, 547, 600, 710, 712, 800,982 Plancka 686, 837 podstawowy 429, 836-S37 Yanga-Millsa 882, 887 lamanie supersymetrii 841-842 symetrii 243, 607, 614-615, 622, 624, 650, 652, 654, 704, 706-716,722,727,748, 786, 830, 875, 931, 981, 996-998 laty (powierzchni) 18,30,39,50, 55, 69-71, 73, 79, 89, 93, 95, 101,108-109,111,113-114, 117,125,131,133-138,140-141, 144, 158, 163, 174, 177-178, 180-184, 188-189, 191, 193,201,203-204,212,214-216,219-220,223,225,232, 235, 237, 246, 248, 253, 257, 259, 265, 270, 278, 283-285, 288--292,298,306,312,316-317,333--334,361,363,394, 404,415,442,444,451-452, 455, 461, 469, 493-494, 496, 507, 520, 527, 555, 580, 588, 599-599,600,615,620,625--{)26, 632, 637, 647, 653--{)54, 665, 668, 683, 716, 748, 755, 760-761,770,785,787,795, 815,826, 839-S41, 844, 855, 869,886,902,904-905,937-938, 947-952, 956-957, 959, 961,976,979,981,996-997, 1000, 1002-1003 nakladaj~ce siy 137, 181, 183, 189,216,956,961 wspolrzydnosciowe 214-216, 219, 232, 235, 283, 290, 361,451,949-950
Indeks rzeczowy I'!cze przyczynowe 831, 927 quanglementowe 790, 926, 985 luk okrc,gu 33-34, 36, 38-39, 42, 44,88, 163-164, 201-203, 228,287,307,402,408,410, 445 wektorowy 201-203 M macierz( e) 238, 246-264, 267-269, 271,273-278,280,415,423, 459-461, 525, 545, 595, 603-{i04, 614, 620, 643, 646, 656, 754, 760-771, 777-778, 781-782,795,809,832,862,865, 905,913,919,937,941-942, 979,994, 1005-1006 algebry Liego 258, 260-261, 278, 595 antysymetryczna 251, 276-278 bezsladowa 278 blokowo-diagonalna 263 diagonalna 257, 263, 275, 277, 771,777 dodatnio okreslona 268, 459-461,545 dodatnio p61okreslona 268 gystosci 754, 760-771, 777-778, 781-782,795,809,832, 913 efekt6w EPR 766 spinu! 762 stanu czystego 764-766, 771, 782, 809, 832 grupy Liego 258, 260-261, 278, 595 obrot6w 254, 269, 595 SU(3) 620 hermitowska 255, 273-275, 277-278,614,761,765,770 hermitowsko sprzyzona 274 iloczynu grupowego 258 1-formy 919 kwadratowa n x n 248, 250, 253-254, 262-263, 267 nieosobliwa 251, 267-268, 276, 280 nieujemnie okreslona 461, 761, 765 normalna 255, 260, 545, 768, 771 odwrotna 251, 261-262, 267, 273,276,415,614 ortogonalna 269, 278, 766, 768, 777,782 osobliwa 251-252, 264, 267-268, 273, 276, 280, 795 o wyznaczniku 1 252, 254 Pauliego 525, 595 prostok,!tna m x n 261 rozproszen --+ macierz: "S" reprezentacji 258-260, 263-264, 525,765,777,862,994 w pelni redukowalnej 862
rzeczywista 252, 267-269, 271, 277,461,620,754,763765, 771, 777, 809 "s" 238, 252, 256-257, 261-264, 267,269,276,278,459-460,545,595,643,646, 656,754,761,763-764, 768-769, 771, 777-778, 782,832,865,979,1005-1006 sumy 258, 264, 604, 754, 770-771, 777, 862 symetryczna 267-268, 276, 278, 459,461,545 tozsamoSciowa 768 transponowana 261, 273 unitama 255, 275, 278, 832 zespolona 269, 273, 275, 277, 764,782,905,937,994 magnetyczny biegun poludniowy 429, 710, 712 p61nocny 429, 710, 712 monopoI429,601, 710, 712,982 masa 8, 41-42, 48, 65-{i6, 113,209, 213-214,222-223,295,357-359, 361, 364, 372, 374-376, 380-382, 389-390, 395-396, 399,407,409,413-419,431, 433,435-440,443-445,447, 449,454,471,475,477,479, 481,500,521-522,524,526, 532, 534, 536, 540-544, 546, 549, 572, 583-587, 589-590, 593-594, 596-598, 601, 603, 608-Q09,612-{i17, 623, 625-{i26, 634, 636, 643-Q45, 649, 651,659, 669, 673, 677-{i79, 681-{i86, 698, 712-713, 715, 720, 728-729, 731-733, 735-737,741-744,746, 752, 754, 792-793, 798-800, 803, 805-807,818-822,824,827,836-838,841-842,851,856,860, 865-866, 880-883, 889, 892, 899-900,904,914,924,928-931, 938, 940-949, 954-957, 963,966-967,969-970,972-973, 981, 985, 993, 997, 1001-1002 addytywna 65, 416, 418, 585, 589-590 aktywna 375, 439, 443, 636 bezwladnosci 375-376, 659 bialego karla 679, 681-{i82 biema 375-376 bozonu Higgsa 841, 924, 931 bozonu W 601, 612-{i13, 713, 715,924,931 bozonu Z 601, 612-{i13, 713, 715 calkowita 8, 213, 223, 372, 380-381, 414-416, 418-419, 436,439,444,447,544, 636,673,678,684,743,
819,821,824,881,946, 963,967 czamej dziury 444, 677-{i78, 682-{i86,698, 712, 731-733,792,799-800,805-807, 880 cz'!stki 66, 213-214, 372, 381, 389-390,395-396,399, 407,409,413,416-418, 431,433,435,454,475, 477,479,481,500,521-522, 524, 532, 534, 536, 543,546,549,572,583-587,589-590,593,596-597,601,603,608-{i09, 613-{i16, 625-{i26, 634, 643-{i45, 669, 715, 735, 754,803,805,820,836-838, 841-842, 856, 860, 865-866,889,892,899, 904, 928-931, 938, 940-947,963,981,997 elektronu 521, 546, 594, 596-598,603, 608-{i09, 613, 615,651,679,713,728-729,800,837-838 energia 66, 414-418, 435, 440, 444,447,475,477,479, 500,524,526,540,544, 583-585, 587, 589-590, 597, 636, 659, 678, 731, 741-743,746,805,807, 818-819,821,860,881, 883,928,930,944,981 grawitacyjna 372, 375-376, 381, 439,443-445,447,636, 678, 698, 735, 737, 798, 818,820-821, 827, 856, 860,889,900 aktywna 375, 439, 443, 636 gwiazdy 443-444, 678-{i79, 681-{i82, 735, 798,827 hadronu 616, 851, 860 konserwatywna 416 kwarka 601, 608, 615, 623, 713, 836 leptonu 6" 7, 623, 713, 836 morza Diraca 636 neutrina 522, 549, 609, 634, 713, 735-736,838,947,997 elektronowego 838 neutronu 608, 617, 679, 681-{i82, 729 Plancka 433, 479, 686, 799, 837-838,866,881,889 pozytronu 596 protonu 65, 546, 598, 608, 617, 728-729,806,838,841 pr6zni 636, 735, 880 Sionca 444, 678-{i79, 682, 735-736,792,805,807 spoczynkowa 416-418, 433, 479, 524,543,585,587,590, 593,596,603,643,645, 967, 997
1077
Indeks rzeczowy
1078
antycz'lstki 585, 596 superpartnera 981 taonu 609, 617 WszechSwiata 673, 713, 720, 731-732, 741-742, 805 Ziemi 358, 364, 374, 415, 444, 532,636,643,678-679,792 masa/energia 66, 414--418, 435, 440,444,447,475,477,479, 500,524,526,540,544,583-585,587,589-590,597,636, 659,678,731,741-743,746, 805,807,818-819,821,860, 881,883,928,930,944,981 calkowita 8, 213, 223, 372, 380-381,414--416,418-419, 436,439,444,447,544, 636, 673, 678, 684, 743, 819,821,824,881,946, 963,967 spoczynkowa 416-418, 433, 479, 524,543,585,587,590, 593,596,603,643,645, 967, 997 WszechSwiata 673, 713, 720, 731-732, 741-742, 805 wz6r Einsteina (E = me') 435, 440 maszyna Turinga 357-359, 361, 364,993 skuteczna 357-359 uniwersalna 358 wadliwa 357-359 materia barionowa 698,741-742,983 ciemna 742-743, 750, 983 normalna 720, 742, 746, 801 mechanika klasyczna 283, 308-309, 312, 327,419,421,464,471, 508, 546, 557, 566, 658, 774,869,871,971 kwantowa (kwantowa mechanika) 47, 60-61, 117, 156, 162, 173, 247, 251, 255, 257, 273,309,327,331,347, 363-364,382,399,419, 421,433,439,457,464, 471,474,477-478,483, 490,492-496,500,502-505, 508-509, 513-515, 517,520,522,524-525, 531-532,536,541,544, 546,548,550-551,552-553, 556--557, 562-563, 565-569, 572-573, 576, 582, 585, 588-589, 598, 638,658,663,685,701, 734, 738-739, 747, 751-755, 759-760, 773-775, 777, 780, 784-785, 787, 790-791,794,803,807, 814,816,820,823-824, 826,828-829,831,833, 835,837,852,857,868-
-869,871,898,912,917-918,921,925,927,930, 936,945,960,966,971-974,976,986,991-992, 994-995, 998, 1003, 1005, 1007 cZ'lstki punktowej 638 o spinie 925 elektronu ze spinem 592 konwencjonalna 505, 508, 566, 753, 755, 785, 823, 826,991 kwaternionowa 364 nierelatywistyczna 553 oktonionowa 363 operatorowe sformulowanie 514 spinu 347, 522, 532, 912, 925 wielu cial 552 Newtona 415, 450, 471, 546, 685,760,784,971,976 statystyczna 666 mechanizm Higgsa 626, 931 inflacyjny 831 lamania symetrii 931, 981 metryka 145, 206, 266, 268-270, 283,305-308,310,387,389-391,395-397,403-406,410-411,431-432,448,453,460, 470,536,549,684,692-694, 703, 718-720, 738-740, 743, 750,794,796,799-800,827, 849, 858-859, 862-863, 865, 872, 874-875, 880-881, 886, 893-894,903,905-907,918-919,924,929-934,938,959 czasoprzestrzeni 283, 385, 389, 391, 397,431,692-694, 718-719, 738-739, 799-800,816,827,849,858-859,861,880,924,929 dodatnio okreslona 268-270, 305-307,391,453,693, 739,872,924 lO-czasoprzestrzeni 859 Eddingtona-Finkelsteina 680 euklidesowa 406, 739, 796 FLRW 688, 720 geometrii hiperbolicznej 405, 692 indukowana 404, 859, 872, 933 jednostkowej 3-sfery 692 kanoniczna zdegenerowana 893 Kerra 684, 703, 799-800, 880 Kerra-Newmana 799-800 konforemna 145-146,411,431, 530,693-694,886,930-932,934,959 lorentzowska 283, 306, 390, 397, 432,453,693,739-740, 750,849,872,931,934 (1 + 1)-wymiarowa 872 konforemna 693, 931, 934
+
materii 720, 799 Minkowskiego 395-397, 403, 718-719,930,933,935 na wstydze Swiata 859, 872 niezdegenerowana 391, 893 p!aska 396, 403, 405-406, 720, 739, 849, 859, 863, 865, 875, 880, 886, 933, 959 geometrii Minkowskiego 403 w sensie Ricciego 849, 863, 875,959 zespolona Cg 396 plaszczyzny Euklidesa 405 powierzchni 283, 391, 405, 859, 872,903,906,918 p6lriemannowska 311 proporcjonalna 387, 431-432, 720, 743 przestrzeni 28, 206, 283, 305, 385, 389, 391, 395-397, 403-404,410,431,692-694, 718-720, 738-739, 799-800, 816, 827, 849, 858-859, 861-863, 865, 875, 880, 886, 893, 903, 924,929-931, 933-935, 938 bazowej 893 de Sittera 718-720 hiperbolicznej 692 Minkowskiego 395-397, 403, 718-719,930,933,935 pseudoeuklidesowej JE;',4 933 pseudoriemannowska 305 riemannowska 305, 307, 410, 739-740,750,862,872,874 "bez brzegu" 739 rzeczywista 874 rozmyta 929 Schwarzschilda 799-800 Schwarzschilda-Kerra 799-800 skwantowana 929 stanu stacjonarnego (Wszechswiata) 720, 886 wiecznej czarnej dziury 799 zakrzywiona 283, 404, 536, 880 czarnej dziury 880 og61nej teorii wzglydnosci 404 mezon 99, 527, 568, 590, 610-611, 617, 622, 634 i(o 99, 527, 617 K" 611, 622, 634 K,. (dlugi) 590, 622, 634 K, (kr6tki) 527, 622 It 634 It° 610 miara gystosci 162, 229, 381, 509, 754, 761,767,769-771,777, 782, 972-973 lukowa k'lta 33, 44, 88 objytosci przestrzeni 60, 219, 223, 338, 642, 663, 666, 671, 687, 733
Indeks rzeczowy fazowej 663, 666, 671, 687, 733 pola powierzchni 143, 175, 188, 212,219,235,283,419, 848, 913, 955 miejsce geometryczne 28, 247, 404, 657, 895, 927-928, 939-940, 942-943, 948 zdarzen 367, 482, 729, 927, 939, 948 mieszanina probabilistyczna 768-771, 777-778, 828-830 r6znych geometrii 829 minimum lokalne energii potencjalnej 459 funkcji 106, 453 mnozenie 15, 56-58, 62, 64, 69, 78, 84-86,88-91,93,96-97,100, 139,176,193-200,207,209, 230, 240-242, 246-247, 251, 257-259,261-262, 274, 280, 287, 300-301, 326, 334, 337-338, 342, 345-346, 361, 364, 467, 482, 494, 496, 525, 570, 595, 614, 626, 632 grupowe 246, 257-258, 301 lewostronne 243 prawostronne 243 kwaternion6w 194-197, 200, 209 Iiczb naturalnych 15, 56, 64 Iiczb zespolonych 78, 84-86, 88, 93, 176, 198--199,241,247, 257, 259, 326, 337-338, 361 macierzy 251,258,280,525,595, 614 oktonion6w 197, 345-346 skalarne 230, 287, 334, 467 transformacji Iiniowych 258, 274,280 wektor6w przez skalar 230, 247 moc continuum 355 iloczynu kartezjanskiego zbior6w 350 sumy zbior6w 959 zbioru liczb 63, 347-351, 353 ~o63,271,348-351,353
calkowitych 350 kwadratowych 348 naturalnych N (~o) 63, 271, 348--351, 353 rzeczywistych 271, 350-351, 353,362 wymiernych 350, 362 zespolonych 362, 959 mod 49,86-88,93, 156-157, 177, 341,343,460-461,485,494-495,514,517,536,545,555-556, 638-639, 724, 746, 758-759,762-763,777,788-790, 830-832, 851, 860, 863-868, 872, 875-876, 895, 966, 978-980, 985, 995 bezmasowy 860
drgan 460--461, 536, 545, 868, 875-876 fourierowski 461, 864 najniZszego wzbudzenia 860 normalny 156, 460--461, 536, 545,639,790,860,863 o energii zerowej 864, 866 podstawowy 461 wibracyjny (struny) 461, 851, 860,864,866-867,876 wzbudzony 860, 864, 866-867 model anty-de Sittera 718-720 Konforemna Teoria Pola 884 Beltramiego konforemny 43, 406-407 Chana i 'Thou 624, 963 de Sittera 718-721 10-przestrzeni 869 ekpirotyczny 896 FLRW 688, 720 inflacyjny 690,717-718,720-721, 724, 727, 742, 745, 982-984 Kaluzy-K1eina 313-314, 847-849, 855, 858-859, 862, 864,885,930,936 konforemnie plaski 737, 965 kosmologiczny 442, 448, 671-672, 675, 687, 689, 694, 717-718,741,826,828, 886,984 Einsteina 886 hiperboliczny 741 inflacyjny 718, 984 konforemnie plaski 737 niestandardowy 724 oscylacyjny 730 oscylatora 892 rzutowy geometrii hiperbolicznej 406 stacjonarny czarnej dziury 799 standardowy fizyki cZ1jstek elementarnych 600,613,623,627-628, 649,660,706,708,836, 924,974,981,983 kosmologii 671-672, 687, 690, 701,717,724,826,971, 974, 982-983 strunowy 851, 855, 876 Tolmana 690-691 wszechswiata stacjonarnego 719-721, 1005 zabawka kwantowej grawitacji 871, 904 zgodnosciowy 703 modul funkcji falowej 494-495, 514, 555 Iiczby zespolonej 86, 88, 93, 639, 866 przestrzeni 485, 495, 866-867, 875-876, 966 moment
bezwladnosci 659 dipolowy 745 kwadrupolowy 745 magnetyczny 535, 594, 642, 710, 748,800 atomu 535 czarnej dziury 800 elektronu 594, 642, 800 pl(du 60, 260, 412-415, 418-419, 435-437, 467, 476, 483, 493, 524-528, 536-537, 539-550, 559, 572, 659, 684,792,799-800,869, 880, 883, 911, 918, 924, 930, 941-942, 944-946, 963, 968, 1001 atomu wodoru 546, 548, 1001 calkowity ukladu 413, 545 czarnej dziury 684, 792, 799-800,880,883 cZ1jstki masywnej 963 elektronu 546-547, 800, 1001 orbitalny 546-547 relatywistyczny 415, 419, 540-541,545-546,1001 cZ1jstki ze spinem 419, 542, 549,559,941 kwantowy 260, 483, 524-525, 528,536,539-541,546-550,869,911,924 spinowy 419, 542, 918, 930 monopol cechowania 710, 712 kosmiczny 711-712, 716 magnetyczny 429, 601, 710, 712, 982
N nachylenie 101, 103-106, 114-117, 120,184-185,385,401,449, 563-564,579,682,743 krzywej 101, 104, 106, 114-116, 120,682,743 zespolonej 120 natl(zenie funkcji falowej 486, 697 padaj1jcej fali 489 promieniowania ciala czarnego 480,697 naturalny uklad jednostek ~ jednostki: Plancka wsp61rzl(dnych obserwatora 439 neutrino 522, 601, 605, 608-609, 634,947,997 bezmasowe 522, 609, 947 elektronowe v, 609 lewoskrl(tne 997 masywne 735, 997 mionowe 609 taonowe 609 nieholomorficzna regula kwadrat6w modulu 966, 995 struktura czasoprzestrzeni 996
1079
Indeks rzeczowy nieinwariantnosc relatywistyczna energii 589 masy 589 pochodnej czasowej 589 nieliniowosc bezir6dlowego pola Maxwella 613 pola cechowania 613 nielokalnosc kohomologii 952 kwantowa 751, 925, 985 nieoznaczonosc czasu :i:ycia 500, 819, 825 energii 500, 647, 818-819, 821, 825 grawitaCY,jnej 821, 825 kwantowa 500, 506, 819, 827-S28, 929, 973 masy 500, 819 nier6wnosc Bella 557-558, 561, 563, 771, 830,993 "bez prawdopodobienstwa" 558 tr6jk~ta
1080
w geometrii Euklidesa 402-403 Lorentza 402-403 nieskonczonosc 25, 27, 32, 43, 51-52,58,75,78,81,83,117, 134-136, 140, 142, 161-162, 164-165,173,227,322,327-329,341-343,346-347,350-351,353,355,361,364,408-409,447,465-466,480,628, 632,637,644,647,649,670, 678, 681, 683, 693--{j94, 696, 737, 795, 799-S00, 804-805, 818,820,836,838-839,841, 849, 883-S84, 931, 933, 939-940,960,962,966-967,999 czasoprzestrzeni 409, 465, 628, 681, 683, 693--{j94, 799, 962 konforemna 693--{j94, 696, 883-S84, 931, 933 KTP 628, 649, 839, 841, 849 na diagramie Feynmana 647, 962 na stozku zerowym 795, 800, 933,962 najwiyksza 355 3-przestrzeni hiperbolicznej 966 w geometrii hiperbolicznej 408-409 zerowa 447, 693--{j94, 795, 800, 836,931,933,962 przyszlosci 800, 931, 933, 962 niestabilnosc dodatkowych wymiar6w 869 ukladu 586 nietrywialnosc koneksji wi¥ki 331 topologiczna 211-212, 331 niezmienniczosc 431, 467-468, 475, 500,550,560,594,607,611,
613, 625, 738, 743, 745, 855, 859, 922, 983 CP611 CPT 611 cechowania 431, 467-468 elektromagnetycznego 431, 467 lagranzjanu 466, 469, 474, 638 Lorentza 743, 922 obrotowa spinu 0 560 relatywistyczna 500, 594, 738 skalowania fiuktuacji 983 struny ze wzglydu na parametryzacjy 855 wzglydem obrotu 467, 560 odbicia w czasie (T) 611, 613 odbicia przestrzennego (P) 466-467,474,610,625 odbic 607, 611, 613 og61nego przeksztalcenia wsp61rzydnych 467 sprzyzenia ladunkowego (C) 467,607,738 translacji przestrzennej 466, 474 w czasie 467 norma 32, 68, 70-72, 84, 98, 101, 117,156,167,192,196,200, 219,229,231,242-245,251-252, 255, 259-260, 273, 275, 277,280,301,305,319,321, 323,371-372,411,425,444, 456-458, 460-461, 465, 479, 485-486, 494-495, 497, 500, 509-511,515-521,526,528, 536,544-545,548-550,555-556, 559, 565, 570, 572, 576, 587,597-598,600, 616--Q17, 628, 633, 636--Q39, 647, 649--{j56, 658, 664--Q65, 676, 688, 691--{j92, 703-704, 708, 715-716, 720, 739, 742, 746, 755, 757,760,762-764, 766, 768, 770-771, 775, 782-783, 786, 789-790, 794, 797, 801, 805, 825, 829, 831, 836, 838-841, 843-S47, 849, 856-863,865, 870-S71, 883, 892-893, 901, 903,910,913,926-927,937-938, 940-942, 953, 967, 969, 975,981,995,1000 funkcji falowej 486, 494, 509510,555,654,658 twistora 273, 893, 926-927, 937-938, 940-942 wektora 219, 231, 259, 275, 280, 323,457,494,509-510, 517,519,762,770,801, 849,859
0 objytosc 56, 60, 101, 219, 222-223, 229-231,338,380-382,392, 428,439-440,442,448,462,
465-466,470,494,642,661--{j68, 67O--Q72, 675, 677, 679, 687,699,732-735,739,782, 812, 879, 881 przestrzeni fazowej 462, 663--{j67, 67O--Q71, 687, 699, 732-733, 812, 879 obojytne twistory nierzutowe 938 rzutowe 938-940, 943 obraz Heisenberga 499, 506, 513-514, 551,629 kwarkowy 608, 855 oddzialywania 433, 514, 548, 605, 616, 708, 716, 786, 996 Schr6dingera 506, 508, 513-514, 548,554,772 strunowy 850, 855 obroty (wlasciwe, bez odbicia) 25-26, 85-S7, 97, 99, 123-124, 134, 139, 145, 147-148, 198-204,206,211,213,228, 236, 240-244, 247, 254, 257, 260,269,271,278-280,287, 300, 323, 344-345, 350, 380, 391,397-399,408-409,419, 433,437,467,469,512,524-525,530,539-541,560,574, 595, 622, 655, 684--Q85, 687, 707-708,738-739,763,797, 804-806, 839, 845, 869, 872-S73, 875, 880, 885, 900, 912, 915,924,930,933-935,941, 984 czasoprzestrzenne 419, 437 infinitezyrnalne 254, 524 lewoskrytne 200, 941 lorentzowskie 419, 437, 540 na plaszczyznie zespolonej 85 n-wyrniarowe 203 skladanie 203 obiekt6w spinorialnych 203-204, 280 prawoskrytne 200-201, 228, 941 przestrzenne 399, 419, 433, 437, 512,524,541 skladanie 202, 408 obserwable 497, 502, 514-516, 518, 535,541-544,548,550,762, 995 ci~gle 518 komutuj~ce 502, 541-543 obserwator inercjalny 379, 401 zewnytrzny 33, 679--{j81, 683, 696, 737 obszar jednosp6jny 318, 434 niejednosp6jny 434 nieorientowalny 228 otwarty 127-128, 132, 137-138, 147,150,157,167-171, 182, 215-216, 225, 235,
Indeks rzeczowy 237,260,316,669,950, 952,959 sp6jny 132, 150 skierowany (zorientowany) 226, 228-229,694,803 topologicznie nietrywialny 434 trywialny 333, 434, 953 "zamkni"ty" na plaszczyznie zespolonej 127, 132-132, 133, 138, 141, 146-147, 156, 171, 229 zwarty226-229,427,429 4-wyrniarowy 427 odbicia 78, 84-86, 98-99, 138-139, 142,150,176,201-206,240-243, 257, 262, 269, 274, 278, 280,288,318,329,331,343, 419,437,445,478-479,490-491, 500, 520-523, 540, 545, 549, 562, 576-580, 605, 607, 610-611, 613, 625, 658-659, 673,695,698,701,724,726-727,730-731,743,747-749, 753, 775, 777, 786-789, 798, 809-810, 812-813, 816, 822-825, 832-833, 853, 896, 910, 918,930,941,966,969,997-998,1006 na plaszczyznie zespolonej 138, 176,240 n-wyrniarowe 205-206 skladanie 203 obiekt6w spinorialnych 203-204, 280 sldadanie 202, 540 zwierciadlane cZqstki 98 odbicie czasu 98-99, 206, 262, 269, 343, 419,437,522-523,549, 562,576-578,610-611, 613, 658-659, 695, 698, 701,726,731,747,753, 786, 788-789, 798, 809-810, 812-813, 816, 823-824, 832-833, 918, 998 przestrzenne 269, 437, 576, 579, 610-611,625,695,731, 786,896 przestrzenno-czasowe (PT) 437, 578, 611, 724, 786 odchylenie geodezyjne 297-298, 322-323, 380-381 ruchu Merkurego 785 odcinek jednosp6jny 317, 333 osi rzeczywistej 86-87 otwarty 169-171,174,889 prostej 27-28, 45, 202, 285, 531, 912 oddzialywania 98, 239, 243, 257, 279,286,312-314,337,430, 433-434,468,514,520-521, 544, 546, 548, 568, 589, 594,
596,600-602,604-607,609-617,621-626,633-634,637-638,643-644,650-654,656, 676, 683, 706, 708-716, 721-722,786,819,836,841-842, 849, 856, 864, 867, 889-890, 892,902,916,935,956,963-964, 970, 974-975, 995-997, 1001, 1003-1004 elektromagnetyczne 313, 337, 433, 594, 596, 600-601, 604-605, 612-613, 615, 621-622,634,651,708, 715, 836, 842, 892, 974, 1003 elektroslabe 605, 613-615, 622-624, 626, 650, 652, 654, 708-716, 721-722, 786, 902,963,996-997 grawitacyjne 239, 650, 656, 676, 819,889,892,902,916, 974, 1004 silne 434, 568, 600-601, 616-617,621-623,626,650-651, 656, 709, 841-842, 856,892,963,974,1003 slabe 98, 434, 568, 600-601, 605-607, 609-615, 622-626, 650-652, 654, 708-716, 721-722, 786, 841-842, 892, 902, 935, 963-964, 974, 996-997, 1003-1004 Yanga-Millsa 434, 890, 1001 odleglosc 79, 268, 294, 306, 408 afiniczna 294-295 euldidesowa 34, 37, 43-44, 59, 367,930 hiperboliczna 34-36, 43-44, 408, 796 kqtowa 744 lorentzowska 268, 396, 796, 974 Plancka -) dlugosc: Plancka odpowiedniosc nielokalna 928, 940 wzajemnie jednoznaczna 348-349,352-354,359 ciqgla 949 odwr6cenie czasu 403, 576, 658, 669, 689, 699, 726, 787, 789, 801, 927 sygnatury 405, 408, 718 odwzorowanie 33-39, 43-44, 48, 85-86, 102, 121, 133-134, 137-142, 145-147, 149, 159-160,176,178,217,311,316, 318-319,322,351-352,362, 364,406,410,689,693,1002 antypodalne 410 bezodbiciowe 138-139 biliniowe 140 ciqgle 145, 176,316,318-319 dodawania liczb zespolonych 85 gladkie 147, 149, 178 holomorficzne 134, 138-139, 145-147, 159-160
homograficzne 140, 145 K1eina 43, 406 konforemne 33-38, 43-44, 121, 137-139,176,406,689, 693 geometrii hiperbolicznej 33-34,36,43 liniowe i niejednorodne 139 mnozenia liczb zespolonych 85-86 Mobiusa 140-141 p61kuliste 38, 43 p61plaszczyznowe Poincart:go 48 rzutowe (geometrii hiperbolicznej) 37-38, 43-44, 141, 316,318,322,406,1002 tozsarnoSciowe 318 zespolone 85-86, 133, 138-139, 142,145,147,160,176, 178,1002 okrqg bazowy 317 jednostkowy na plaszczyznie zespolonej 80, 93, 96, 127, 129, 142, 155, 157-158, 227,321,334,339-340 Sl 149,316-322,331-339,409, 430,665,689 wielki 11, 213, 369, 382, 388, 444, 533, 615, 622, 626, 651,678-679,687,690, 698,709,713,746,822-823, 838, 841-842, 856, 864,889,973,996,1004 zbieznosci szeregu pot"gowego 80, 119, 128, 156 zwarty 540 okres drgan 151, 457, 480 funkgi 151-153, 155, 161, 163-164, 166, 168, 191,730, 797-798 inflagi 717, 721-722 p61rozpadu 502 urojony 152, 502, 795, 797 okr"gi Clifforda 322-323 wichrowate 322-323 omnium 910, 919 ontologia 751-752, 754-755, 757-760, 763, 765-769, 771-772, 775,777-782,809,826,831 fali pilotujqcej 755, 758, 779 macierzy g"stosci 754, 763, 766-769,771,777-778,809 mieszaniny stan6w 763, 769, 777-778 sp6jnych historii 755, 757, 778, 781 stanu spinowego 767 szkoly kopenhaskiej 752 teorii kwantowej 751, 759-760, 777, 779 transakcyjna 781 wielu swiat6w 755, 758, 778
1081
Indeks rzeczowy
1082
operacja holomorficzna 175-176, 190, 196,235,967,996 nieholomorficzna 175-176, 995-996 operator 182, 184-185, 190, 199-201,204,216-217,219,224-226,274,283,287-294,299, 301-303, 310, 334, 336, 340, 426,430,433,455,462,465, 471-474, 476-477, 482-484, 496-498,500, 504, 511-512, 514-519, 524-525, 527-528, 536-538,541-544,546,550-551,554,572,585-594,598-599,602,621,629-631,633-638, 653, 655, 658, 755-756, 759,787,790-791,794,814, 817-818,832,839,864-865, 867,899,905,913,924,929, 945-948,957,967,995 anihilacji 629-631, 634-637, 653, 655, 839, 867 antyczl/stki 634 Casimira 527, 542-543, 550, 967 grupy Poincarego 543, 967 SO(3) 527 D'Alemberta 591-592 Diraca 474,498,504,514,591-593 dodatnio okreslony 511 energii calkowitej 585 falowy ~ dalambercjan funkcji falowej 433, 482-483, 498,537,586,591,594, 629-631,633,635,945-946 gradientu 289, 303, 602, 947 Hamiltona ~ hamiltonian hermitowski 274, 504, 511-512, 514-515,572,630,653, 655,755-756,995 hermitowsko sprzyzony 511, 514-515,630,655 holomorficzny 946 jednorodnosci Eulera 946 kanonicznie sprzyzony 899, 945 Kleina-Gordona 594 kowektorowy 288 kreacji 551, 629-631, 633-637, 653,655,839,867 antyczl/stki 634 kwantowy 274, 474, 482-484, 504,511,514-515,518, 524-525,527-528,541, 544, 546, 572, 587-588, 590-591, 629, 635, 755, 794,905,929,945-946,995 Laplace'a 536, 591-592, 864 liniowy 219, 287-288, 483, 496, 498, 511-512, 514-515, 518,525,586,591,899 momentu pydu 483, 525, 527-528,537,543,546 nieunormowany 637
normalny 515-517, 572, 755, 839,995 odwracania czasu 658 odwrotny 477, 498 pydu 474, 476-477, 482-483, 496,498,504,514,517-518, 524-525, 527-528, 537,541,543,546,554, 589, 591, 594, 638, 655, 899,945 pochodnej cZl/stkowej 185, 283, 290-291, 303,455,473,590 drugiej 301, 472, 590-591 kowariantnej 287, 289, 621 po czasie 465, 591, 658 pola 184,216,219,224,288-289, 294, 299, 301, 303, 430,455,462,472-474, 511, 515, 588-589, 594, 621, 630-631, 633, 635, 637,787,814,839,929, 946 polozenia 482-483, 498, 504, 514,517-518,524,554, 591, 594, 638, 945 pomiaru 496, 504, 515, 518-519, 572, 755-756, 759, 790-791 przeplatania 913 przestrzeni Hilberta 511-512, 517,525,587,630,635 rozniczkowy 184, 190, 201, 216-217,219,283,287,289, 299,462,471,474,476477, 482, 500, 550, 554, 588-589,592,814,946,957 cZl/stkowy 283, 500, 550, 554. 588,814 drugiego rZydu 190, 554 samosprzyzony 515, 518 skladowej momentu pydu 525, 527,537,543 skrytnosci 945-946, 948 spinu calkowitego 527, 543 super rozproszeii 832 symetrii 473-474, 544 tozsamosci 301, 519, 630 unitamy 511-512 zdegenerowany 518 orbita elektronu w atomie wodoru 546-547 eliptyczna Keplera-Newtona 546-547 kwantowomechaniczna 546 planety 446, 657 ujemnej energii 547, 803 orientacja kierunek pytli (na sferze) 158 objytosci czasoprzestrzeni 470 obrotowa ciala 211 obszaru 466 plaszczyzny zespolonej 176 sfery 158, 228, 323 ortogonalne
cZystosci 460 przeciycie 33 ortogonalnosc 206-207, 279, 386-387, 39~00, 419, 515-516, 535, 550, 564, 632, 768, 777, 995-996 euklidesowa 386 lorentzowska 399 stanow wlasnych 515-516, 777, 995 oscylator 515, 545-546, 548, 892 harmoniczny 515, 545-546, 548 osobliwosc czamej dziury 683, 696, 698-699,726,730,737,740, 747,785,795,810,812, 880-881, 1004, 1007 czasopodobna 695, 737-738, 870 czasoprzestrzeni 682-683, 689, 695-696, 726, 731, 734, 737-738,740,747,785, 787,810,812,869-871, 895,910,918,972,1004, 1007 diagramu Feynmana 851 ultrafioletowa 647 funkcji 78-81, 128, 130, 163, 644 zespolona 80, 128 gola (naga) 737, 880-881 poczl/tkowa 689, 726, 730, 737-738,749,786,795,810, 812,918 przestrzennopodobna 696, 738, 808 teorii klasycznej 730, 871 Wielkiego Kresu 689. 699, 730, 740, 747, 785 Wielkiego Wybuchu 689, 703, 726,730-731,734,737, 740, 747, 785-787, 1007 zapadania grawitacyjnego 683 os obrotu (3-wymiarowego) 87, 930 n-wymiarowego 203 rzeczywista 57, 59-60, 70-71, 79, 86-87, 118, 333, 404, 423, 574, 645, 673, 781, 925, 994, 999 na sferze Riemanna 586 skosna ukladu wspolrzydnych 206 urojona 79, 404, 474, 955
P paczka falowa 485-487, 489-491, 499,504,508 fotonu 490-491 para cZl/stek EPR 562, 566, 573, 575, 611, 659, 766, 768, 777, 836,841 funkcji holomorficznych 169-171,362,951 zdarzeii 562, 584, 650, 701, 715, 927,939
Indeks rzeczowy paradoks bliinillt 391, 399, 402--403 pomiaru 540, 567, 751-752, 777, 779, 781, 784, 972, 985-986 Russella 355-356, 360 VIR 356, 360, 403, 432, 566, 752,777,779,985 zegarow 402, 431--432 parametr Barbero-Immirziego 904, 915 czasowy 367, 671-672, 692, 728, 755, 793-794, 860 czasu kosmicznego 692 Feynmana 646 odciycia (cut-off) 226, 628, 649, 830, 838, 975 zespolony 131, 142, 144-145, 149,175,191,411,549, 940, 958-959 parametry Kerra 684, 799, 880 kosmologiczne 671, 740--741 niewyjasnione 623, 835--836 parowanie 8, 544, 558, 648, 690-691, 708, 715, 717, 722, 743, 809--810, 812, 939-940, 959, 1007 czarnej dziury 809--810, 812 pary cZllstka/antyczllstka 98, 584-585, 803-804 Coopera 569 parzystosc 98-99, 199-200, 610, 896 g98 obrotow 99, 199-200 periodycznosc czasowa 482 przestrzenna 151, 478, 482 zespolona 795, 797-799 p~d 60, 162,213-214,260,412--419,435--441,443--445,447, 454--457,459,466--467,474--483, 485--487, 493-500, 504, 514,517-518,524-528,530, 533, 536-537, 539-550, 554, 559-560, 572, 577, 589-591, 594, 629, 638, 643-647, 649-650, 653, 655-656, 659, 661, 670-671,684,720--721,754, 792, 799-801, 803--805, 820, 822-824, 827, 833, 838, 863, 867, 869, 873, 880--881, 883, 893,899,903,911,918,924, 930, 941-942, 944-946, 963, 968,1001 calkowity 213,413--415,419, 436,438,444,447,455--456, 494, 527, 537, 544-547, 643, 646, 673, 684, 911, 945, 963 cZllstki bezmasowej 941, 944-946 cZllstki masywnej 963
fotonu 533, 577, 644-645, 822--824,833 kanonicznie sprzyzony ze wspolrzydnll uogolnionll 467 klasyczny 474--475,477,482--483, 500, 539, 546-547, 572, 643-644, 661, 869, 899,944 kwantowomechaniczny 474--475, 643, 911, 924 liniowy 498, 514, 517, 525, 591, 899,930 przestrzenny 415--416, 419, 436--438,445,456--457,466, 474--475,482--483,485, 487, 500, 524, 540--541, 548, 572, 589, 629, 670, 803-804 uogolniony 447,454--455,459, 467 pytla 123-125, 132, 146-147, 149, 158,190--191,199-200,212-213,236,287,292,305,313, 320, 334, 336, 347, 357, 391, 432,434,461,646-648,714, 845-846,849--851,856,858, 873,876,881-883,898,905-908, 910, 913-918, 921, 930, 978,987,1006 diagramu Feynmana 647, 845, 851,873 spilltana 907-908 topologicznie nietrywialna 434 Wilsona 905 zamkniyta 124, 146-147, 158, 212-213, 287, 336, 391, 434,647,714,849--851, 876,905,907,1006 p-formy 219, 221-226, 229-231, 235,239,283,304,845 holomorficzne 235 proste 219, 222, 231 zamiana na (n - p )-wektor 229-230 piana 22, 29, 175,577,735,771-772, 827-828, 918, 921, 923, 987 spinowa 918, 921, 923, 987 pierscien 156-158, 167-168, 194-195,204,342,908 z dzieleniem 195, 204, 342 przemienny 342 z jedynkll194, 204 zbieinosci 156-158, 167-168 pierwiastek 22, 34, 43, 48, 52-53, 55-56,69,71-74,84,89,96-98, 100, 131, 193,241,343, 494, 500, 533, 587-592, 594, 596,598,729,749,892,911 kwadratowy 34, 43, 52-53, 55-56,69,71-74, 193,494, 500, 533, 587-592, 594, 596, 892, 911 Clifforda-Diraca 591
operatora 588, 591-592 liczby zespolonej 72-74, 89, 96, 193,343,588 stopnia z 22, 48, 72-74, 89, 96-97,100,343 wielomianu 518 5-przestrzen 718-719, 848, 864--865,884 Minkowskiego 718-719, 865 plaska w sensie Ricciego 864 pion 841 dodatni 11+ 610 neutralny 11° 610 ujemny 11- 610 platonski (-a) bryIa 9 byt 15, 19, 39, 57, 63, 239 ideal 21, 57, 239, 989 swiat form idealnych 63 matematycznych 21 plaski element n-wymiarowy 218 przestrzennopodobny 400, 801, 870 plaskosc 295, 447, 718, 724-725, 731,828,848--849,858--859, 861,869,871,873--874,894, 906,910,960,962,982-984 przestrzenna 718, 724-725, 859, 861, 873, 894, 910, 962, 983-984 Ricciego 848--S49, 858--S59, 861, 869, 871, 874, 894, 910, 962 w 10 wymiarach 859, 861 WszechSwiata 447, 718, 724-725, 869,874,983 asymptotyczna 447 plaszczyzna 25, 27-28, 32-33, 36, 38,42,48,78-79,85,109, 121, 128-129, 133-134, 136-145, 150, 156-157, 160, 163-164,167,172,176-178,185, 190--192, 198, 201-203, 206, 212-213,218,220,227,229, 270,284-286,296,321-322, 325,327-330,335,337,339, 343-346,363,400,405--406, 410,469,486--487,519,530, 532-533,563-564,689,693, 707,711,719,764,797,844, 896,931,933-934, 939-940, 942-943, 997 antysamodualna 942-943 czasopodobna 411 euklidesowa 27, 32, 36, 139, 202, 227,284-286,296,322, 797,934 uzwarcona 934 Fano 345-346 hiperboliczna 32-33, 36, 42, 138, 145,270,296,405,689, 693 Lamberta 42, 405
1083
Indeks rzeczowy
1084
n-plaszczyzna styczna 218 przestrzenna 405, 410, 486-487 r6wnikowa kuli 141 rzutowa 38, 141-143,285, 322, 327-330, 339, 343, 345, 363,406,939-940,943 IP"(IFq) (nad cialem IF.) 343 samodualna 942-943 stalej fazy 487 styczna 218, 229, 285-286, 469, 707,844,942 zerowa 933, 942-943 zespolona 78-79, 85, 109, 121, 128-129, 133-134, 136-137, 139-145, 150, 156, 160, 163-164, 172, 176-177,191,198,227,321, 325,335,337,486-487. 530,764,797,896,931, 940,942-943,997 pochodna 104-108, 110-114, 117-118, 120, 125-126, 131, 171, 177, 179-182, 184-185, 189, 192, 198, 217-219, 224-226, 283-284, 287-291, 298-299, 301-304,307,309-310,312, 333, 426, 435-436, 454-455, 462,464-466,469,472-473, 511, 537, 590-591, 621, 649, 658,817,844,859,871,903, 910,957,994,999,1003 cz~stkowa 131, 177, 179-180, 182, 184-185, 189, 192, 283,290-291,303,310, 455,473,590 we wsp6lrz«dnych 182, 185, 283,290-291,303,473 druga 180, 182, 590 mieszana 180 wyiszego rz«du 180 druga 104-107, 110, 112, 180, 182,192,301,472,590-591,871,957 funkcjonalna 465, 903 hiperfunkcji 171 iloczynu funkcji 112, 171 kowariantna 287-290, 309, 312, 435,537,621 czasoprzestrzenna 435 we wsp6lrz«dnych 290 Liego 298-299, 302-303, 307, 462 niezaleina od wyboru wsp6lrz«dnych 181, 284, 303,436,844 n-ta funkcji zespolonej 106 pierwsza 107, 110, 112, 120, 287-288, 464, 590-591, 844,859,871 pola wektorowego 218, 284, 287-288,299,302,307, 455,462 sumy funkcji 112, 171 trzecia 110, 472 wariacyj na 466, 994
wyZszego rz«du 104-105, 117, 120,302 zewn«trzna 185, 218-219, 224-225,289,303,426,436 podejscie Ashtekara-Lewandowskiego ~ podejscie: zmiennych p«tlowych Hawkinga 739, 809, 873, 977-978 perturbacyjne 860, 906, 962, 1000 sieciowe 978 zmiennych p«tlowych 898, 906, 914,917,919,921,987 podgrupa (-y) 242-245, 252, 258, 280, 315, 399, 617, 625-626, 787,934 grupy obrot6w 242-244 nie-normalne 243-245, 617 niezmiennicze (normalne) 242-245,252,617 symetrii kwadratu 243-244 podobienstwo figur 30, 758 przestrzenne 396, 496, 530, 729, 912,929 podprzestrzen D-brany 887-888 l-wymiarowa wektorowa przestrzeni 1(:2 321 podrozmaitosc 325, 703, 844, 883 zespolona wi~ki 325 podr6i kanalikowa (wonnhole travel) 802 w czasie 82, 391, 410, 800-802 pokrycie grupy (podw6jne) 278, 280 plaszczyzny podw6jne 339 przestrzeni dwukrotne 278 polaryzacja eliptyczna 532-533 fotonu 521-523, 532-533, 549, 563,577,941 kolowa 522, 532-533, 549, 900, 941 lewoskr«tna 522, 941 prawoskr«tna 522, 941 lin iowa 522, 549, 961 plaska 522, 532, 961 pr6ini 647, 649 pole 554 bezmasowe 209, 735-736, 856, 860, 900, 928, 931, 938, 947-949, 954-957, 1001 swobodne 209, 947-948 bozonowe 655 cechowania 239, 337, 429-430, 432-435, 495, 594, 613, 634,710,712,714,905, 962 ci~gle 58, 61,118,143,145,176, 191,213,301,310,323, 362,397,434,464,710-711, 921, 925
jednostkowych wektor6w spinorowych 324 dylatonowe 859, 882 elektromagnetyczne 382, 421-423, 426, 430, 433-434, 436,441,443,448,481, 488, 495, 533, 554, 589, 594, 596, 604-605, 612, 621, 632, 634, 637, 655, 671, 804-805, 848, 900, 974 elektryczne 374-375, 383, 422-423, 429, 469, 479, 532-533, 554-555, 634, 648, 712,900 elektronu 634, 648 element6w plaskich 206, 218-220,222,901 fermionowe 567-569, 631, 634 fizyczne 59-62, 70-71, 148,331, 337,396,404,421-422, 429-431,436-438,454, 468-469,485,494,531-532, 610, 627, 648--649, 721. 724, 726, 779, 848, 852, 872, 880-881, 885, 890, 902, 910, 926, 936, 960, 964-965, 970, 987 grawitacyjne 190, 374-378, 381-382,404, 421-423, 435, 437-439, 443-444, 446,454,456,475,671, 676-678,680,701,711, 735-736, 771-772, 787, 794,814-816,818,820, 833,847-848,856,858, 860, 900, 902, 910, 962, 974 cz~stki 381, 437, 456, 735, 820, 860, 974 Sionca 381, 735-736 statyczne 190, 680 struny kosmicznej 711 Ziemi 375-376, 381, 435, 438, 446,454,678,815 Higgsa 601, 615-616, 721 w kosmologii 721 Killinga 801, 814, 816-817, 859, 862, 885 klasyczne 421, 435, 464, 474, 488,514-515,557,632-634, 638-639, 641, 739, 779, 787, 803, 815, 862, 885, 901, 910, 929 kowektorowe 217-218, 288-289, 327 krzywizny 104, 335, 337, 381, 429,431-432,438,623, 714,735-736,859,895, 900,910,922,948,960 kwantowe 61, 66, 77, 86, 121, 158,172,257,273,331, 362,396,399,419,422, 426, 433, 446, 464-466, 469,474-475,492,503,
Indeks rzeczowy 514-515,517,522,526, 530-532, 534, 546-548, 555, 557, 567-568, 573, 575, 583-584, 588, 590, 600, 610, 625-626, 627, 632-635, 638-639, 641, 649, 653, 655, 671, 715, 721,730,738-739,742, 759,764,771-773, 785-787,794,803,808,812, 815, 820, 825, 827, 832--833, 851, 854, 857, 859, 880, 883, 895, 898, 900-901, 907, 910, 912, 919, 921-922,925,929,936, 946, 970-970, 971, 974, 976, 978, 994-995, 1002 kwarkowe 621 magnetyczne 382-383, 421-423, 426, 429-430, 433-434, 436,441,443,448,469, 479, 481, 488, 495, 532-533, 535, 554-555, 589, 594, 596, 601, 604-605, 612,621,632,634,637, 655, 671, 710, 712, 804--805, 832, 848, 892, 900, 974,982 Maxwella 60, 337, 383, 421-423, 425-426,429-432,435-436, 443, 469, 479, 481, 488, 547, 555, 600, 613, 633, 637, 710, 848--849, 881,896, 900-901, 931, 947 bezzr6dlowe 613, 881, 896 swobodne (bez zr6del) 469, 555, 600, 613, 637, 881, 896,947 na 2-wymiarowej wstydze 860 naladowane 374, 382, 430, 468, 589, 594, 605, 634 nieliniowe 613, 633, 867, 928, 959,961-962,1001 potencjalne 413, 454, 475, 531, 639 powierzchni 33, 60, 73, 114-115, 133-137, 141, 143-145, 149,175,177,188-189, 212, 216, 219, 228, 235, 283,287,381,419,448, 454, 633, 715, 791, 815, 817,848,851--852,859, 871, 873, 877, 879--882, 896,906,910,913-914, 918,930,955,988,1001-1002 czarnej dziury 791, 879--880, 882 horyzontu 715, 791, 879--881 pod krZYW:j 114 tr6jk:jta sferycznego 287 ujemne 114, 136-137,228, 287
relatywistyczne 399, 548, 579, 589,594,652,738 rzeczywiste 41, 58-61, 69-74, 78-82, 90, 93, 118, 120-121, 123-124, 131, 136-137, 142,162-163,173,175-176, 178, 187, 189, 191, 197, 206, 219, 235-236, 246-247, 259, 265, 269, 277-278, 281, 309-310, 316,320,323,329-331, 334, 336-338, 353-354, 361-362,394,397,399, 421, 430-431, 433, 438, 481,485-486,502,554-555,604,614,627,632-634, 637-639, 712, 726, 759, 779, 795, 797, 832, 843, 851, 874, 880, 890, 901, 925, 928-929, 938, 940, 943, 945, 954, 958, 960,984,994-996 samooddzialuj:jce 633 sil41, 79, 113, 120, 124, 193, 375-376,378,382,413, 421,423,429,433-434, 454-455, 627, 639-641, 657, 712, 716, 848, 890, 923,977,980,988,1001 sily centralnej 657 sily ciyzkosci 375-376, 378, 413 skalarne 179, 184, 187-188, 216-219, 229, 273-274, 284, 289, 299, 302-303, 334,430,448,461,510, 554-555, 630, 633-634, 721,724,849,859,931-932 gladkie 216, 284, 334, 555, 931 rzeczywiste 430, 554-555, 633-634 zespolone 273-274, 334, 510, 554-555 spinorowe 324, 326, 634, 875, 895,941 Majorany 634 na S' 324, 326 stale 875 stacjonarne 382, 466, 640, 814--816, 820 stale 41, 61, 66, 73, 88, 96, 135, 139, 147, 173, 176, 186, 227, 235-236, 265, 273, 284, 320, 322, 336, 338, 378,413,421,441-442, 456,468,486-487,494, 506-507,511,523,533, 589,600,614-616,623, 678, 720-721, 730, 743, 773, 820, 825, 859, 875, 882, 886, 896, 961, 974, 978,982,984,997 swobodne 190,209,236,363, 375-378,438,469,555,
600,613,633,637,735-736,833,947-948,970 bezmasowe 209, 947-948 symetryczne 272, 277, 305, 308, 437, 527, 568, 610, 632, 680,745,787,812,843, 859--860, 880--881 tensorowe 284, 287, 289, 299, 303,305,308,312,327, 362,816,859,900,929 antysymetryczne nieosobliwe 308 wektora Killinga 801, 816--817, 859,862 wektorowe 181, 183-184, 186-188,209,216-220,235-236,246-247,272,284, 287-289, 299-302, 307, 310,316,320-322,324-327, 337, 394, 455-456, 462, 473, 494, 506-507, 510,632-633,814,816, 900,904,937-938,950, 953,956-957,959,961 holomorficzne 235 rzeczywiste 187, 219, 235-236, 246-247, 310, 316, 337,394,632-633 zespolone 235-236, 246-247, 272, 320-322, 324-326, 337, 394, 494, 506, 510, 632-633, 904, 937-938, 953 widzenia obserwatora 925, 928 Yanga-Millsa 712, 880--881 zespolone 66, 69-74, 77--83, 84-97,99,109-111,118, 120-132, 133-134, 136-149, 150-151, 154-156, 158, 160, 162-164, 168, 171-173, 175-178, 188-189,191,193,196-199, 206, 227-229, 235-236, 240-241, 246-247, 252, 254,257,259,265,269, 271-275, 277-279, 281, 309,320-326,329-331, 334-335,337-338,343, 361-363,394,396-397, 399,411,419,426,431, 433, 486-488, 494-495, 498,502-502,503,506-507, 510-511, 515, 517, 522, 528, 530-532, 534, 549,554-556,559,568-569,586,588,602,614, 632-634, 638-639, 646, 739,758, 764-765, 770, 773, 782, 795, 797--800, 843,851--852,866,874, 877,896,901-902,904-905,909,922,925-931, 936-943, 945-946, 949, 953-955, 957-960, 966, 969, 994-997, 1001-1002
1085
Indeks rzeczowy
1086
zewnytrzne 163, 218, 224, 376, 454, 475, 477, 549, 589, 594,596,645,892 ziemskie 381, 432, 454, 814 polozenie cZ'lstki 162, 213-214, 381, 414, 418,454,456,474-475, 482,487,493-496,504, 509, 517-518, 524, 542, 553-556, 560, 567, 570, 572, 594, 629, 638-<>39, 659, 661, 754, 758, 827, 829,929,945 rownowagi 457-458, 545 srodka masy 414, 418, 544, 659, 685 uogolnione 451, 455, 467, 469 pomiar 33, 48, 57, 60, 87, 382-383, 393,430-431,480,492-494, 496-497,500,503-504,507-509,514-521,523,530-531, 535,540,549,555,557,559-564,566-567,571-575,579-580, 585, 594, 613, 639, 720, 743, 752, 754-759, 762-763, 766-770, 772-774, 777-782, 784, 789-791, 823-824, 827, 829, 831, 836-837, 911-912, 918, 925, 972-973, 984-986, 991-992, 995-996 energii 500, 585, 973 kwantowy 492-493, 500, 503-504, 507, 514-516, 518, 520,531,557,563-564, 566,571-572,580,639, 752,754-755,757-759, 762, 772-774, 777, 779, 782,784,789-790,827, 831,911,973,985,992, 996 momentu pydu 493 pydu 493, 496, 500, 504, 514, 827 polozenia 493-494, 496, 500, 504,509,514,555,758-759,827 rzutowy 518-521, 530, 549, 756 spinu 530-531, 535, 557, 560-561,572,575,762-763, 766-769,912,918 TAK/NIE 430, 497, 500, 504, 507,516-521,523,530-531, 549, 560-564, 567, 572,575,579,585,639, 754-755, 757, 762-763, 766-769,779, 789-790, 827,912 zerowy 520-521, 523, 549 poprawki kwantowe 595, 641, 832, 859, 970 radiacyjne 832 postulat 11, 27-28, 30-32, 35-36, 41-43,45-46,50,52,284, 332, 405, 518-521, 523-524,
549,737-738,756,841,854, 877,886,891,929,961,974 przyczynowosci 929 rownoleglosci (pi'lty postulat Euklidesa) 27-28, 30-32, 35-36, 41-43, 46, 50, 52, 284,405 rzutowy 518-521, 523-524, 549, 756 Taniyamy-Shimury 891 potencjal 19, 190, 430, 432, 434, 443,454,468-469,598,621, 626, 633, 637, 655, 707, 721, 758,820,885 elektromagnetyczny 430, 432, 443,468,598,621,637 "kapelusz meksykanski" 707, 721 kwantowy 721, 758, 820 Maxwella 430, 443, 469, 633 pola elektrostatycznego 190 grawitacyjnego 190, 443, 820 Yanga-Millsa 885 powierzchnia 11, 25-26, 30-31, 33-34,42-45,48,60,73,101, 114-116, 121, 133-137, 140-146,149,174-174,175,177-181,185,188-189,202,212, 214,216,218-219,223-224, 227-229,235,237,244,270, 283, 286-287, 293, 296-298, 313-314,369,381,389,391, 400,405,419,427-429,446, 448,454,456,463,466,469, 500, 549, 572-574, 633, 644, 658, 678-D83, 685-D87, 689, 691-D93, 695, 703-704, 707, 711,715,717-718,720,743, 791-792, 797-798, 815, 817, 844, 846, 848, 850-852, 856, 858-859, 861, 865-866, 870-873,875,877,879-883,894-896,899,903-906,908,910-911,913-914, 918-919, 921, 930-931,955,957,988,1001-1003,1006 danych wyjsciowych 848 2-wymiarowa 177, 188,212,224, 298,313-314,405,846, 850-851,883,906 horyzontu czarnej dziury 679, 682, 685, 703,791,879-880 zdarzen 679-D80, 682, 685, 715,791 jednospojna 212 kuli 11,42,44-45,48, 136, 141, 202, 212, 227, 244, 707, 1003 niezwarta 142 n-powierzchnia 149, 229, 896 pUlapkowa 703 Riemanna 121, 133-137, 140-145, 175, 177-178, 189,
212,235,283,391,419, 851-852, 866, 872--873, 875,877,896,955,1001-1002, 1006 dodatnio okreslona 391, 872 o genusie zero 877 o wyZszym genusie 955, 1002 teorii stron 142, 852, 872, 955,1001 zwarta (zamkniyta) 142-143 2-wymiarowa zorientowana 142 szescianu 11, 177 wielospojna 212 wyzszych wymiarow 188 zwarta 142-143, 149,227,427-429, 448, 682, 691, 703, 870,895,931 powierzchnia trojk'lta euklidesowego 43-44, 136, 202, 227,293 hiperbolicznego 33-34, 42-45, 145,270 minimalna (wstyga swiata) 293, 859,872 sferycznego 42 pozytron 595-599, 601, 609, 611-D12, 635, 647-D49 prawa algebry Liego 839 dynamiki 148,367,369-370,450, 595,616,641,657,660-D61,666-D72,674-D75, 685,698,703,717,724-726,731,738,746,749, 780, 789-790, 888, 998 Arystotelesa 367 Galileusza 369-370, 657 Newtona 370, 450, 657 kwantowej teorii pola 66, 77, 422, 426, 546, 627, 738, 815, 832, 859, 936, 974, 995,1002 prawdopodobienstwo 66, 211, 488-489,494-496,504,509,516-519,521,530-531,535,547, 555-558, 560-564, 572, 579-580, 583, 591, 598, 636, 638-D39, 641-D42, 653, 664-D65, 672, 729, 733-734, 751-752, 756-763, 766-771, 773, 777, 780, 782, 787-790, 812, 823, 830-831, 911-913, 918, 925, 966, 974, 995-996 czyste 504, 766, 911-912 kwantowe 66, 504, 509, 516-517, 530-531,557,562-564, 572,591,639,641,751, 757-759,761-763,777, 788-790,812,830,911-913, 974 przejscia 504, 516, 653, 756, 830 przeskoku 504, 516, 752, 790 w teorii sieci spinowych 918 waZone 763, 766
Indeks rzeczowy wyniku pomiaru 516, 530-531, 557, 561, 564, 580, 763, 767,769-770,780,789, 918, 925, 995-996 prawo Coulomba 547 Gaussa 43, 48, 209, 428-429, 665 Iqcznosci dodawania 194 mnozenia 194, 197, 240 grupowego 240 "odwrotnego kwadratu" 380, 546-547, 650, 656--656, 657, 788, 974 powszechnego ciqienia 847 przemiennosci dodawania 194 mnozenia 193-194, 197,251 rozdzielnosci 194, 207, 259 mnozenia wzgllidem dodawania 194, 207 r6wnolegloboku 84-85, 201, 246-247 tr6jkqta (dodawania wektor6w) 11,33,84-85,88,93,201-202, 246-247, 408-409 hiperbolicznego 409 skladania obrot6w 201 tr6jkqt6w podobnych 84-85, 88, 93,201 zachowania 8, 10-12, 71, 82, 119, 134, 137, 148, 165,343,367, 373,380,413-416,419,422, 427, 429, 435-438, 441-442, 446-447, 450, 456, 462-463, 466-467, 474, 477, 489, 524, 551,594,612,614,641, 659--660, 666--667, 669, 731,734,758-759,773,775, 780, 804-805, 812, 825-826, 855, 888, 966, 979, 987, 994-995, 1003 4-Plidu 419 calkowe 8, 367, 422, 427, 436-438,447,641,660, 888,1003 energii calkowitej 438, 660 energii-Plidu 413, 415-416, 436-438,477,524 calkowe 436, 438, 660 liczby barionowej 489 ladunku elektrycznego 427, 435 masy 8, 415-416, 437, 447, 524,731,966 masy-energii 415-416, 447, 524,731 momentu Plidu 414-415, 419, 467 Plidu 413-416, 419, 436-438, 467,474,477,524 pola ciqglego 435 prawdopodobienstwa dla R 759,812 ruchu srodka masy 415,437
strumienia magnetycznego 422 Wiena 480 pn;dkosc 47,60, 101,213-214,373, 382-385, 387, 390, 393, 396, 399-402, 407-413, 415-418, 423, 426, 431, 433, 437, 439, 443,451-452,454-455,459, 464,469,526,541,544,561-562, 571, 576, 579, 588-589, 603, 657, 659, 661, 665--666, 674,676--679,681,685,690, 767, 817, 834, 837, 855, 872, 933,937,940,943-944 CZqstki masywnej 407, 431 orbitalna Ziemi 410 swiatla 47,373,382-385,387, 393, 396, 399-400, 402, 407-412,415,423,426, 433,439,443,526,561-562, 571, 576, 588, 603, 678--679, 685, 767, 817, 834, 837, 855, 872, 933, 937,940,943-944 ucieczki 677--679, 690, 834 uog6lniona 451-452, 454-455, 459,464,469 zegara 433 zygzakowego ruchu elektronu 603 problem anomalii kwantowych 859 czasu w grawitacji kwantowej 786, 917 w kosmologii kwantowej 817 zamrozonego 917 Dirichleta 192, 887 hierarchiczny 889, 892 holonomii 964 horyzontu 715, 717, 724 kwantyzacji twistor6w 924 ladunku (podstawowego) 837 masy 359, 626, 636, 728, 731, 806,837,860,914,956 metryki (sieci spinowej) 918 mieszanej skrlitnosci 949 modul6w (w teorii strun) 866-867,895 nielokalnosci 985 og6lnej kowariantnosci ~ zasada: og6lnej kowariantnosci plaskosci Wszechswiata 718 pomiaru 514, 518, 521, 567, 580, 752,754,772,985 redukcji wektora stanu 917 renormalizacji 967 rozbieinosci 80, 970 tachionowy 855-856 uporzqdkowania czynnik6w 475 wartosci poczqtkowych 131, 863, 918 wiqzania 21, 31, 57, 72-73, 81, 101, 104, 131, 147, 152,
165,168,192,201,279, 336, 355, 360-361, 448, 475, 513, 545, 557, 565, 596, 633, 653, 669, 671, 701, 704, 711, 715, 717, 725, 730, 746-747, 754, 768,775,793,817,826, 831, 838, 854, 857-858, 892,914,916-918,962, 964, 973, 985, 993, 1002, 1005 wymiarowosci (teorii strun) 860-861, 876 jako "efekt energetyczny" 876 zmieniajqcych sili stalych 749 proces Hawkinga 803-805, 808, 812, 880 Yanga-Millsa typu drzewo 1006 promieniowanie ciala doskonale czamego 479-480,500,675,697,717, 751 elektromagnetyczne 479-480, 597,697,701,871 Y 684 grawitacyjne 447, 697 Hawkinga 795, 803-804, 807, 810-811, 882 mikrofalowe tla (2,7 K) ~ promieniowanie: reliktowe reliktowe 49, 675, 687--688, 690, 697, 699, 720, 734, 743-745, 983-984 termiczne (czamej dziury) 795, 806,811 tla 49, 675--676, 687--688, 691, 697, 745, 1005 promien Hubble'a 834 krzywizny 688, 735-736, 745 newtonowskiej czamej dziury ~ wz6r: Michella R6ntgena 488, 681--682, 796, 822-823,825,940,968 swietlny 294, 329-330, 339, 384-385,389,405,409-410, 415, 693, 714, 735, 775, 895, 925-930, 938-940, 943-944, 968-969 w nieskonczonosci 693, 939 wodzqcy 124, 796 WszechSwiata 686, 688, 690--691, 697--698, 701, 732, 745,805,972 zbieinosci szeregu potligowego 91 Ziemi 617, 676, 678, 734, 745, 775,881 propagator Feynmana 603--604, 642--643,646,653,655 elektronu 603, 643 prosta 8, 26 r6wnolegla 27-28, 31, 41, 201, 247-248, 284-287, 301, 327-329, 394
1087
Indeks rzeczowy
1088
zespolona 74, 81-82, 85-86, 90, 92,94,96,109,124,126, 140, 142, 147, 156, 160, 172, 198, 257, 265, 277, 320-322, 325, 334, 361, 363,486,528,588,632-633,639,765,843,877, 937,945,958,995 pr6znia 380, 441, 445, 629-630, 634-637,647,649-650,652-654,664,704,706,708,720-721,735,742-743,746,786, 794--795,803-804,833,845, 847-848,858,861,880,915, 960,962,966,972-973 cZ'lstek ~ stan: pr6zniowy falszywa 706, 720-721, 746, 794 sztuczna 972 termiczna 794--795 prMnie alternatywne 635-637, 654, 794 przedluzenie analityczne 127, 129-131, 134, 150, 168, 172, 612, 740, 895 holomorficzne 797 przedzial domkni,
abstrakcyjna generator6w 933 afiniczna 279, 282, 340, 371, 396,473,870 parametr 282, 294 anty-de Sittera 718-720, 883-884 antysyrnetryczna 252, 263, 859 bazowa 194, 198,206,315-316, 319-322,324--325,331, 333-334, 336, 369-370, 377-378, 542, 620, 713, 814,893,896,904,906, 953 wiqzki 315-316, 319-320, 322, 325, 334, 336, 369-370, 377-378, 713, 893, 896, 953 Calabiego-Yau 338, 866, 870, 874-877,906,953,1001-1002 ci'lg6w liczb zespolonych 337, 363 de Sittera 718-721, 883-884 wersja stacjonarna 718-719 dr6g klasycznych 639, 740, 971 dualna 173, 213, 217-219, 261-263,272-273,280, 312, 421, 426, 510, 553-554, 556, 877, 887, 919, 937, 943, 948, 959-960 dwuwyrniarowa 28, 44, 320, 523, 860 euklidesowa 8, 11, 27, 33, 39, 46-47, 136-137, 198,202, 211, 213, 247-248, 279, 282, 284, 286, 293, 296, 306, 322, 350, 366-368, 392,397-398,403,473, 530,540,738-739,796-797,817,863,907,943, 953 4-wyrniarowa E' 398 1-wyrniarowa 367, 817 6-wyrniarowa 211, 213, 397-398 3-wyrniarowa, E' 198, 202, 211-212, 367, 953 fazowa 213-214, 283, 308, 312, 363,430,450,452,455-456,462-463,661-674, 676,685,687,699,732-733,757,761,764,786, 811-812,833,879,904 Finslera 392 Focka 637, 655, 885 graniczna 33, 217-218, 689, 799, 879, 966 Hausdorffa 216 Hilberta 362-363, 509-512, 515, 517,519,524--525,528, 530-531,555-556,558-559,565,587,630,632, 635-637, 708, 755-756, 761,764--765,769-770, 812,833,925,994
hiperboliczna 39-40, 44, 47, 269, 296, 404-405, 407-409, 540,689,691-692, 694, 724,966 jednostkowa 408, 692 iloczynowa 204, 213, 262, 274, 282,301,315-316,319-320, 333, 338, 367, 369, 372,377,416,510-511, 558, 630, 633, 665, 803, 862-863, 869, 883, 906, 924,953,969 iloczynu tensorowego 262 ilorazowa 245, 315, 888, 896 izotropowa 28, 45, 687-689, 691, 826, 982 jednocz'lstkowych funkcji falowych 631 jednorodna 28, 45, 330, 337, 367, 386, 438, 485, 499-500, 677, 687-689, 701, 717-718,724--726,729, 737, 826, 867, 906-907, 938-939,957,961,982,991 jednosp6jna 213, 339, 718 jednego wyrniaru zespolonego 176,321-322,325,487 Kaluzy-K1eina 430, 847-848, 859, 862, 885, 888, 930 kolorowa 620-621 konfiguracyjna 211-214, 283, 450-453, 464-465, 475, 553,638-639, 652, 758-759 konforemnie plaska 886, 965 kosmiczna 46-47, 402-403, 407, 409, 444, 492, 539, 675-676,711,717,737,801-802, 805, 808, 823-824, 910,922 kostyczna 218, 312, 340, 450, 452,454,464,844 kowektorowa 217-218, 274, 312, 416,436,454 lepton6w 748 liczb rzeczywistych IR 57, 59-60, 178, 194, 206, 215, 217, 246-247,252,318,330-331, 337-338, 555-556, 761, 798, 866, 911, 921, 928, 966, 996 zespolonych Ie 175, 178, 193, 197,206,235,246-247, 320-321, 330-331, 337, 363, 503, 510, 530, 532, 534, 554--556, 568, 632, 866, 925-926, 928-930, 936, 940, 942, 945, 996 liniowa 203-204, 206, 246-247, 249-252, 255-257, 261263, 265-266, 269, 272, 282, 325, 329, 483, 498, 507, 510-512, 514--515, 518, 525, 528, 765, 867, 899, 905, 925, 939, 959
Indeks rzeczowy lorentzowska 283, 399, 419, 437, 540,693,718, 739-740, 797, 849, 898, 902, 922, 930-931, 934, 956, 960, 974,976 lustrzana Calabiego-Yau 877 macierz g«stosci uklad6w 2-stanowych 795 metryczna 28, 283, 385, 410, 693, 816, 862, 886, 893, 929,933 Minkowskiego 11, 48, 269, 386, 388--392, 394-397, 399, 402-407,409,419,422-423, 427-429, 436-437, 448,456-457,540,640, 678,694,711,718-719, 738--739, 786, 793-794, 797, 862, 865, 886, 901, 906,927,930-931,933-935, 937-938, 940-943, 947, 959-960, 994 kompleksyfikowana 797, 942 uzwarcona 886, 927, 931, 933, 942 nakrywajllca 339, 886 uniwersalna 339, 886 n-ek liczb rzeczywistych JR" 330 zespolonych IC" 330 nieosobliwa 272, 305, 739-740, 870-871 nieplaska 175 nieskOl1czenie rozcillgla 28, 497 nieskonczenie wielowymiarowa 256,363,506--507 niezwarta 213, 540, 739 n-wymiarowa 177, 203-207, 218-219, 235, 251-252, 256, 261, 283, 329, 336, 363, 463, 632, 693, 844, 885 n-wymiarowa lP'" 329 rzeczywista W 330-331 o zwartych 3-geometriach osobliwa 250-251, 272, 305, 514, 682-683, 689, 694-696, 726,731,734,737-740, 747, 785, 787, 800-801, 808, 810, 812, 867, 869-871, 895, 910, 918, 972, 1004, 1007 par liczb zespolonych 1C'175, 320,330,928,996 p«d6w 213-214, 415-416, 419, 436-438, 440, 445, 447, 456-457, 466-467, 474-475,481-483,485,487, 494-495, 497-500, 504, 514,517,524-525,528, 539-541,543,548,572, 589, 629, 643-645, 653, 659, 661, 670, 673, 803-804, 823, 880, 893, 899, 941,945, 1001
plaska 28, 175, 206, 217-218, 329,386,396,400-401, 403, 426-427, 436, 441, 447-448,456,467,473, 500,532,694,717-718, 720,724-726,739-741, 786,793,797,801,814, 849, 859, 861, 863-865, 869-870,873,875,880-881, 886, 894-895, 899, 901,906,910,933,937, 944,947-948,950,957-962,965,969,983-984, 1006 Euklidesa 401, 739 Minkowskiego 386, 403, 427, 436, 448, 456, 786, 793, 906,933,947,960 w sensie Ricciego 849, 863-864, 869-870, 875, 895, 959-960 polozen 211-214, 266, 367, 381, 415,451-452,478,494, 497-499, 514, 517, 553, 578, 629, 643, 659, 661, 670-671, 717, 816-817, 903,929,945,949,955 p61spinor6w 205, 934 pr«dkosci w teorii wzgl«dnosci 47,399-400,407-408,411 promieni swietlnych ---+ przestrzen: twistorowa pseudo-Minkowskiego 406, 718--719,933 (pseudo )riemannowska 392, 453,828,862 pusta 381, 438, 443, 447, 734, 910 reprezentacji grupy 259, 261-263,278,282,539 redukowalna 261, 263, 539 tensorowej 261, 539 riemanowska 863 rozwiljZan swobodnych r6wnan Maxwella 632 rzutowa 286, 322, 327, 329-330, 343,370,394,407,494-495, 500, 518--519, 524, 529-531, 603, 691, 756, 764,782,927,929,938--940, 943-944, 954-955, 957-959, 961, 1001-1002 n-wymiarowa lP'" 329 lP"'(IF ) (nad cialem IF ) 343 stan6wqftzycznych 494, 529 zespolona 1ClP'" 330-331 soczewkowa 691 spinorowa 204-205, 312, 338, 464,569,875,942 zredukowana 205 spinor6w 204-206, 280, 312, 325, 338, 464, 534, 569, 603,875,902-903,934-935, 942, 957 zredukowanych 205, 934-935
spinowa 205, 347, 419, 509, 529-530, 534, 539, 630, 865, 885,903-905,910,912, 917,919,925-926,930,935 sp6jna 57, 213, 339, 713-714, 718, 830, 855, 859, 876, 957 stan6w 136, 203, 205, 215-216, 218, 237, 251, 262, 278, 280,282,306,313,321-322,329,331,363,366, 369,382,387,395,397, 400,408,411,427,432, 436-438,444,452,456--457, 462, 464-465, 483, 485, 487, 493-500, 504, 506--507,509-510,517-519, 524, 528--530, 534, 539-540,542,548,553-555,568,572-573,575-576, 578--579, 582, 587, 589,592,603,620-621, 628, 632-633, 635-639, 658,661-662,665,671-673,676-677,679-680, 683-684, 693-696, 708, 713,717-719, 729, 732, 734, 739, 755, 764-765, 769-770, 782, 786, 794-797,799,808,811,814-816,823,826,828-831, 855,858-859,861,865, 867,869,871,874,880, 883, 885-886, 890-891, 898-899, 902, 917-919, 921-922, 924-925, 929, 935-937, 940, 943, 945, 953,957,959,966,972, 983,991,996,1001,1004 czystych 397, 499, 529, 764-765, 782 klasycznych 464, 572, 575, 587,639,858,899,902 wieloczllstkowych 262, 554 styczna 216, 218, 283, 286, 301, 305, 312, 327, 336, 340, 384-386,415,450,452, 454,464,474,476,483, 500,543,553,589,640, 652, 738, 770, 793, 799, 802,844,898,926,936, 945, 1001 symetryczna 239, 263, 272, 305, 440,713,905,931 [Pj-tensor6w 312 tbpologiczna 136, 149, 211, 213, 236--237,316,323,410, 448,711,889,921,953, 959 twistorowa 384-385, 389, 409, 895, 900, 919, 926--930, 935-940,945,949,951-952, 954-961, 965, 987, 1001-1002, 1006 dualna 937, 960
1089
Indeks rzeczowy
1090
plaska 937, 957-960, 965 rzutowa 958 preclowa 955 zakrzywiona 949, 956--961 twistorow dodatnich 938, 954 ujemnych 938, 954, 965 typu Calabiego-Yau 1002 weklorowa 194--195, 213, 217-218, 246--247, 249-252, 256,259,261-263,265-266,272,279-280,282-284,301,312,315-322, 324--325, 327, 329-332, 337-338, 361, 363, 373, 430, 456, 473, 483, 494, 506--507,510,620,632-633,711,814,816,904, 937-938,950,956,959,961 4-wymiarowa 194, 937 dualna 217-218, 263, 272, 312 2-wymiarowa rzeczywista 337 1-wymiarowa 317-318, 321-322, 324-325, 329, 331-332, 337-338 rzeczywista 318, 331-332, 337-338 zespolona 321-322, 324-325,337 macierzy 249, 251-252, 259, 620,937 nad cialem liczb rzeczywistych 194 nieskonczenie wymiarowa 283,506,632-633 n-wymiarowa 194, 213, 217-218,247,250--251,256, 259,261-262,265,283, 316--318,320--322,324-325, 329-332, 337-338, 363,483,506,620,632-633,904,937-938 rzeczywista 194, 217, 246--247,252,265-266,316, 318, 331-332, 337-338, 620, 632-633, 938 skonczenie wymiarowa 283, 483,506,632-633 3-wymiarowa 247, 265 rzeczywista 265 zespolona 246--247, 272, 320--322,324-325,337,494, 506, 510, 632-633, 904, 937-938 2-wymiarowa C' 320 wektorow wlasnych 246, 254-256,280,284,515,517-518,756,801,815 wewnc
wspolrzc
-961,978,994,1001 zespolona 133, 136, 175-178, 193, 197-198,206,235, 246--247,254,272-273, 320--322,324-325,329-331,334,337,363,396--397, 399, 433, 486-487, 494, 503, 506, 510, 528, 530--532, 534, 554-556, 568, 586, 632-633, 739, 758, 764-765, 782, 795, 797, 799-800, 866, 877, 904,922,925-926,928-930,936--938,940,942-943, 945, 949, 954-955, 957-960,994,996,1001-1002 4-wymiarowa C' 930, 936--937,958 1-wymiarowa (krzywa zespolona) 254, 321-322, 324-325, 337, 928-929 zespolenie sprzyzona 273, 937 Zolla 964 zwarta 28, 149,213,227,237, 427-429,438,448,466, 540,548,551,691,703, 739,862-863,866,869-870,895,918,931,959 przestrzen czterowymiarowa 48, 60,194,196,205,313,380, 394,398,409,427,473,483, 573,652,847-848,861,882-884,888,890,893,898,901, 922-923, 929-931, 935-937, 956, 958, 1001-1002 Euklidesa 8, 11, 27-28, 33, 39, 45-47,57,136--137,141, 177-178, 198, 202, 211-213, 247-248,279,282,284, 286,293,296,306,321-323,327-329,350,366--369, 392, 394, 397-399, 401-403,473,530,540, 556,689,691,738-739, 765,796--797,817,863, 907, 913, 943, 953, 998
lorentzowska 283, 399, 419, 437, 540,693,718,739-740, 797,849,898,902,922, 930--931, 934, 956, 960, 974,976 Minkowskiego 11, 48, 269, 386, 388-392, 394-397, 399, 402-407,409,419,422-423, 427-429, 436-437, 448, 456-457, 540, 640, 678,694,711,718-719, 738-739,786, 793-794, 797,862,865,886,901,
906,927,930--931,933-935, 937-938, 940--943, 947,959-960,994 zespolona, antysamodualna, plaska 28, 133, 136, 175-178, 193, 197-198,206, 217-218, 235, 246--247, 254, 272-273, 320--322, 324-325, 329-331, 334, 337, 363, 386, 396--397, 399-401,403,426-427, 433,436,441,447-448, 456, 467, 473, 486-487, 494, 500, 503, 506, 510, 528,530--532,534,554-556, 568, 586, 632-633, 694, 717-718, 720, 724-726, 739-741, 758, 764-765, 782, 786, 793, 795, 797,799-801,814,849, 859,861,863-866,869-870, 873, 875, 877, 880--881,886, 894-895, 899, 901, 904, 906, 910, 919, 922, 925-926, 928-930, 933, 936--938, 940, 942-945, 947-950, 954-955, 957-962, 965, 969, 983-984,994,996,1001-1002, 1006 przesuniycie (sztywne, bez obrotu) 25,28,85, 111, 126, 145, 152, 164,201,213,237,266,284-288, 292, 294-301, 304, 306, 311-311,312,332-334,395, 397,410,434,445,486,524, 577,653,674-675,697,714-715,717-718,744-745,748, 813, 815, 818-819, 821-823, 860,903,930,950 dlugosci fal w strony czetwieni 674, 748 infinitezymalne 237, 287, 300-301,860,950 przestrzennopodobne 395 rownolegle 85, 201, 284-288, 292, 294-298, 301, 304, 306,312,332-333,903 spinorow 903 tensora 287, 292, 306, 312 wektora 286--288,292,296--298, 301,304,306,312,333
Indeks rzeczowy stale 25, 28, 286, 294, 332-334, 717 zaleine od drogi 334 przycii\ganie elektrostatyczne 546--547 grawitacyjne 381, 454, 650, 656, 677 przyspieszenie 101, 297, 372, 375-376, 379-381, 391, 402-403, 438-440, 442, 454, 458, 743, 750, 794, 797, 805, 817-818 dosrodkowe 440, 442 ekspansji WszechSwiata 743 grawitacyjne 375-376, 381, 438-439,454,817-818 linii geodezyjnej 381,439,817 objl(tosci 380--381, 439-440, 442 ziemskie 375, 381, 454 pseudometryka 268, 305, 308, 391, 395 lorentzowska 391 plaska w sensie Ricciego 848 pseudosfera 43-44, 406 2-wymiarowa 406 pulsar 444-445, 447 podwojny Hulse'a-Taylora 447 punkt antypodalny 530,538,691,931, 933 przestrzennie 530, 931 Curie 706--707, 709, 748 czasoprzestrzeni 211, 213, 313-314,368-370,377,384-385, 399, 430, 439, 465, 693--694,714,717-718, 787,798,816--817,831, 835, 859, 861, 887, 922, 925,927-929,935,940--942, 949, 957-960, 962, 966, 1006 Liidersa 523-524, 549 Majorany 534-535, 539 maksimum 453 minimum 453 osobliwy funkcji 78-80, 128, 163, 177,598 przegiycia 105, 107, 453 regularny funkcji 128 rozgall(zienia 134-136, 142, 168, 216 rZl(du n 134-136, 142, 216 nieskonczonego 134, 136 skonczonego rZl(du 134, 136, 142 w nieskonczonoSci 135-136, 142 siodlowy 453-454 stacjonarny 453-454, 465, 579, 720 w nieskonczonosci 135-136, 142, 327-329, 818, 939-940, 960 zakrzywionej przestrzeni twistorowej 957-960 zerowo-odseparowany 939-940, 959
znikaji\CY na horyzoncie 327-328 pyl kosmiczny 687 wulkaniczny 1003 R R (procedura redukcji paczki falowej) 2-5, 7-13, 15-23, 24-28,30--39,41-43,45, 47-48, 50--53, 55--63, 65--68, 69-70, 72-74, 76--82, 84-100, 101-104, 106--119, 120--127, 130--132, 133-149, 150--156, 158, 162-163, 165-174, 175-182,184-192,193,195-198, 200--201, 203-209, 211-213, 215-233, 235-238, 239-262, 264-281, 282-299, 301-302, 304-307, 309-311, 312-325, 327-339, 341-364, 366--367, 369-386, 388-393, 394-404, 406-410, 412-416, 418-419, 421-449, 450-455, 457-470, 471-472, 474-477, 479-480, 482-483, 487, 489-498, 500, 502-502, 503-538, 541-551, 552-563, 565-570, 572-580, 582-599, 600--605, 608--626, 627,630--643,645--650,652--656,657--661,663--691,693--694, 697--698, 701-702, 704, 706--718, 720--725, 728-730, 732, 734-738, 740--750, 751-766, 768-775, 777-782, 784-797, 799-801, 804-805, 807, 809,811-824,826--834,835-841,843-845,847-861,863-871,874-891,893-896,898-907, 909-919, 921-922, 924-928,930--933,935-970,971-972, 974-989, 991-1005, 1007-1008 dla konfiguracji klasycznej 895 rachunek binorowy 909 calkowy 60, 100--100, 101, 114-115, 120, 177, 223-224, 226,229,231,282-284, 343, 364, 422, 427-429, 453, 604,748,817,977,994 2-spinorowy 281, 599, 602, 979 kwaternionow 195-198 lambda 118 Reggego 905-906, 923 roiniczkowy 60, 100--100, 101, 103-104, 110--111, 113-114, 120, 122, 177, 181, 185,223-224,226,229, 231,239,282-284,295, 343,364,422,427-429, 453,465,817,977,994 drngie podstawowe nieporozumienie 185, 817 pierwsze podstawowe nieporozumienie 181
w zmiennych zespolonych 110, 120 roiniczkowy i calkowy 60, 100--101,120,177,223-224, 226, 229, 231, 282-284, 343,364,422,427-429, 453,817,977,994 Cartana 223-224, 994 funkcji wielu zmiennych 177, 191 form zewnl(trznych 122, 223-224,226,229,239,422, 427-429 na rozmaitosciach 239, 282284,422 tensorowy 231, 284 w zmiennych rzeczywistych 101 spinorowy 281, 594, 599, 602, 979 tensorowy 187, 231, 284, 336, 439,525,593-594,748,858 zaburzen 548, 862, 874, 892, 1000 czasowy 548 redukcja modulo 341 objl(tosci 380--382, 392, 439, 666, 735,812 paczki falowej 504 stanu kwantowego 504-505, 548, 579,658,752,771,784785,787,812,821,823, 825,830,833,917-918, 966,973,992-993,996 WszechSwiata 830 superpozycji geometrii 828 wektora stanu 504, 917, 973 redukowalnosc reprezentacji grnpy 261 calkowita 264 regularyzacja funkcji ~ (Eulera) 1006 regula kwadratu modulu 494, 639, 759, 762, 777, 788-790, 831-832,966,995 lancuchowa 182, 189 reguly antykomutacji 4 relacje: antykomutacji kohomologii snopow 950--951 komutacji kwantowej 4 relacje: komutacji mechaniki kwantowej 399, 433, 494,515,524,546,556, 734,774,777,869,912, 936,960,966,974,992, 1003 wyborn 15, 357, 551 relacja Hawkinga 4 temperatura: Hawkinga odpowiedniosci 938-941, 948-949
1091
Indeks rzeczowy
1092
relacje antykomutacji 204-208, 541, 592, 629,631, 635, 787, 839, 855 cechowania 239 definiuj'lce algebn; Liego 541, 839-840 komutacji 473--474, 476, 498, 525, 541-542, 630-631, 637-638, 929, 945 momentow pydu 945 operatorow pola 473, 929 renormalizacja 636-637, 647, 649, 651,656,742,838,841,967 ladunku 636, 649, 838 masy 636, 838 prozni 636 renormalizowalna (-y) EK 628,649-651,715,836,845, 975,1000 KTP 628, 649, 652, 704, 838, 857, 975, 981 model standardowy 628, 649-650,836 reprezentacje 36--38, 172, 239, 246, 257-264,266,270,278,282, 399,407,498-500,515,517, 525-527, 534, 539, 553-554, 617-618,629,655,694,765, 777,862,903-905,930,964, 966, 994 algebry Liego 257, 260, 525-526 grupy SO(3) 525-526 grup 257-264, 270, 278, 282, 399, 525-526, 539, 617-618, 904 calkowicie redukowalne 264 ci'lgiych 258, 260 nieredukowalne 264, 526, 539,904 SU(2) 904 nieskoitczenie wielowymiarowe 270, 904 redukowalne 264 skoitczenie wymiarowe 258, 264,270,904 wierne 258-260 tensorowe 539 grupy Poincarego 399 SU(3) 617-618 SU(3)/Z, 617 momentu pydu 525 pydow499, 517,525, 554,629, 655,903 polozeit 499-500, 517, 553-554, 629,903 spinorowe 2-wymiarowe 526 koneksja 905 powierzchnia 44, 141, 185,202, 216,400,692,707,715, 717,798,931,955,1006 spojna (zamkniyta) 140 sfera 515, 539 o wartosciach zerowych 324 spojna 140 uklad6w dwustanowych 528
tensor 261-262, 264, 539, 905 krzywizny, pelny 443 twierdzenie 0 odwzorowaniach 146 rodzina elektronowa 622 dubletow (kwarkowych) 622 mionowa 98, 617, 622 taonowa 622 transformacj i liniowych 261 rozbieznosc 1-pytJowa 846 2-pytJowa 845-846 krzywizny 432, 870 logarytmiczna 652, 892 nierenormalizowalna 845-846, 1000 podczerwona 647, 873 szeregu potygowego 80 ultrafio1etowa 647, 838, 851, 873 rozklad drgait okresowych 151 dzwonowy --* rozklad: Gaussa Fouriera 150, 153, 156, 161 Gaussa 485--486, 665-666 prawdopodobieitstwa 494--495, 665, 758, 761-762, 782 rozmaitosc 136--137, 149, 177, 181-185, 188-189,193,211-221, 223, 228-229, 235-237, 239, 241-242, 260, 268, 282-284, 298-302,304-311,312,315, 324-327, 332-333, 361, 363, 372,378,384-385,422,431, 450--451, 455, 461, 463--464, 703,713,717,732-733,771, 814,828,842-845,858,862-863, 866, 874, 877, 883, 892-893,895-896,905,912,914, 921, 924, 928-929, 931-933, 935-936, 938, 940, 945, 949-950,957-958,960,964,997, 1001-1002 bez struktury 137, 177, 189, 216--217,229, 235-236, 239,283-284,298,300-301,309-310,315,384, 455,771,874,905,914, 932, 936, 945, 957, 964 Calabiego-Yau 866, 874, 877, 1001 czasoprzestrzenna 149, 283, 814, 843,912,935 4-rozmaitosc 177, 283, 384, 892, 933,960 domkniyta 149 Zm-rozmaitosc rzeczywista 309 2-rozmaitosc riemannowska 189,305 gladka 177, 216, 283-284, 298-300, 302, 717, 732-733, 771,858,883,924 rzeczywista 924 grupowa 260, 300--301 Hausdorffa 216
holomorficzna 235 iloczynowa 862-863 jednospojna 213 Kiihlera 874, 964 konforemna 883, 931-932, 936 niezwarta 308 n-rozmaitosc 177, 188, 193, 211, 214,218-219,229,235-236, 284, 307, 703, 844-845,928 gladka 284 rzeczywista 177, 211, 235-236,928 z metryk'l 305 zespolona 235-236, 928 ogolna 136, 149, 177, 188, 193, 211,239,283-284,298-300, 302, 306--307, 327, 333,451,843,931,936 otwarta 136--137, 149, 182, 215, 235, 260, 309, 950 "przenosna" 309-310 plaska w sensie Ricciego 874, 960 Weyla 960 pseudoriemannowska 305 riemannowska 305-307, 309, 828, 862, 874 rzeczywista 137, 177, 189, 211, 235-236, 309-310, 384, 431, 843, 874, 921, 924, 928-929, 931, 938, 940, 945, 958, 960 2-rozmaitosc 177, 189 z dwoma polami rzeczywistymi 235-236, 309-310, 431,843,874, 928-929, 938, 940, 958, 960 z polem wektorowym 235, 310 skierowana (zorientowana) 228, 844 styczna w punkcie 217-218, 229, 301,312,333,450 symetryczna zamkniyta 931 symplektyczna 308-309, 326--327, 455,461,463,874,957 rzeczywista 309, 874 6-rozmaitosc nieeuklidesowa 211-212 3-rozmaitosc 213, 228, 241-242, 866, 874, 877, 929, 938, 1001 wielospojna 213 z koneksj'l 298, 304-305, 309, 312,333,372,378,874 zakrzywiona 136, 185, 268, 283. 921 zamkniyta 149,931 zawieraj'lca brzegi 149 ze struktur'l 137, 177, 189, 216--217, 229, 235-236, 239, 283-284, 298, 300-301, 309-310,315,384,455. 771,874,905,914,932, 936, 945, 957, 964
Indeks rzeczowy
o(zero) -
rozmaitosc 211, 228, 284, 301, 372, 866, 877, 932, 936, 960 zespolona 136, 188-189,235-236, 309,324--325,431,843, 866, 874, 877, 896, 928-929, 936, 938, 940, 957-958,960,997,1001-1002 zwarta 149, 308, 874, 931 bez brzegu 149 rozmiar kwantowych fluktuacji prozniowych 973 horyzontu 743, 830, 834 kosmologiczny 830, 883-884, 886,972 nieskonczonosci 347, 361, 820 pytli strunowej 856 Plancka -4 jednostki: Plancka protonu 806, 856 przestrzeni 59-60, 66, 341, 362-363, 663, 666, 670, 672, 687, 692, 732-733, 786, 820, 838, 862, 864, 869, 883-885, 892, 972 przestrzenny Wszechswiata 341, 692 rozpad 418 ~ 605 j'ldrowy 829-830 mezonu K0611 radioaktywny 600-601, 605, 650, 702,1003 neutronu 601, 605 slaby 600, 606-608, 622, 650, 1003 rozpraszanie elektronow MlZlllera 646 hadronow 849-850 rozszczepienie czystosci 158-159, 163, 165, 171, 339, 586, 633, 795, 949, 954 rozwi¥anie (rownania Einsteina) Friedmanna 687 Kerra 686, 795, 880, 915 Reissnera-NordstrlZlma 880 Schwarzschilda 680, 795, 915 rozwiniycie Fouriera 155, 159, 161, 166, 191 perturbacyjne 651, 860, 874, 906 rownanie (-a) anty-Diraca 65, 593, 596, 608, 1001 Cauchy'ego-Riemanna 120, 189-191 wyzej wymiarowe 235 Boltzmanna 666 calkowe 67, 92, 120, 131,287, 363, 427, 429, 436, 438, 447, 460, 476, 494, 506, 661, 687, 818, 880, 888, 947,949,962,994 Diraca 65, 204, 547, 589-591, 593-596, 598, 600-602, 604, 608, 625, 679, 723, 800, 820, 854, 947, 979-980, 998, 1001
dla
cz~stek 0
wyzszych spinach 980 Diraca-Weyla bezmasowego neutrina 947 Duffina-Kemmera-Petiau 980 dynamiki Idasycznej 309, 641, 658, 670 strun 859 Einsteina (pola) 291, 379, 392, 422,435,437-439,441-444,449,469,500,600, 650, 674, 680, 683, 687, 689, 720, 738, 786, 795, 847, 849, 858, 860-861, 880-881,886,893, 898, 914,916-917,948,960, 962,966,984,1001 antysamodualne 948, 960 Einsteina-Maxwella 422, 500, 600,849,880-881,893 elektronu -4 rownanie: Diraca Eulera-Lagrange'a 452-454, 465,467 ewolucji 455, 462, 476, 493, 496, 503-504, 506, 553, 658, 666, 670, 689, 702, 717, 752,759,781,899,914, 917 falowe cz~stki relatywistycznej 503,590,593 Friedmanna 674, 687, 689-690 Hamiltona 204, 309, 452, 455, 457,459,461-462,476, 506, 546, 553, 589-590, 596,641,899,914,916, 976 Hamiltona-Jacobiego 976 Heisenberga 513 Kleina-Gordona 590, 593, 865-866 Laplace'a 190-192, 193,209, 864 Iiniowe 458, 506, 632-633, 773, 960, 962, 1001 Maxwella rownania 382, 422-426,428-430,500,547, 555, 600, 632-633, 668, 752, 849, 880-881, 893, 931,947 rownanie pierwsze 288, 353, 422, 425, 429, 439, 506, 590-591, 593, 596, 687, 692,723,887,952 "mostu Brougham" 201, 204 na wartosci wlasne 254, 460, 483,496,548,815 pola 51, 72-74, 92, 120, 131, 148, 190-l9l, 193,209, 236, 284, 287-288, 291, 299,321,325,353,363, 392,422-423,425-426, 429-430,437-442,444, 465-466,469,477,494, 506, 555, 589-590, 633, 641,658,715,720,759,
814,816,820,848,850, 858,860,865,880-881, 886,898,900,910,931, 947-949,960,962,965, 970,976,995,1001 bezmasowego 209, 931, 947-949, 1001 Einsteina 291, 392, 437-438, 441-442,444,469,720, 880-881,886,898,948, 960, 962 nieliniowe 633, 1001 Procy 309, 416, 476, 493, 565, 608-609, 650, 661, 679, 709,717,725,752,759, 827,850,880,966,980 prozni grawitacyjnej w teorii strun 858 prozniowe Einsteina 786, 847, 960,962,966 nieliniowe 960 Rarity-Schwingera 980 rozniczkowe 120, 190, 236, 363, 422-423,427,429,471, 500,550,589,658,723, 752, 814, 871, 994 cz~stkowe (PDE) 190, 363, 423,500,550,658,752 zwyczajne (ODE) 500 ruchu, Newtona 452 wahadla 458 Schr6dingera 476-477, 483, 493-494,496,503-504, 506, 546, 553-555, 565, 585, 589-591, 593, 596, 658,752,773,780-781, 813-818, 820-821, 827, 918,947,995 Schriidingera-Newtona 820-821 sfery 265,270,287,321-322, 380, 385, 410, 880 stozka 385, 410, 715,933 swobodnego pola bezmasowego 209, 947-948 swobodnej cz~stki wchodz~cej 865 trzeciego stopnia 73-74 Weyla 432, 609, 625, 683, 737, 947 Wheelera-deWitta 918 wiyzow 363,555,899,914,916 ogolnej teorii wzglydnosci 914 zachowania 148, 422, 427, 429, 435-438,441-442,447, 452, 490, 513, 590-591, 593,746,888 energii 436,438, 513, 746 zespolone 72-74, 92,120,131, 148,191, 193,236,321, 325,494,506,995 rownoleglobok 84--85, 144--145, 201,246-247,282,292-298, 301,305,335 infinitezymaJny 292, 301
1093
Indeks rzeczowy
1094
rownoleglosc 27-28, 30--32, 35-36, 41,43,52,247-248,284-286, 291,293-295,298,301,332-333 euklidesowa 36, 284-286 niezalezna od drogi 291 wektorow stycznych 285-286, 332-333 zalezna od drogi 298 rownowaga 457--461, 545, 665--Q67, 669--Q70, 672--Q73, 675--Q77, 685, 697, 701, 707-708, 717, 812,852,975 chwiejna (nietrwala) 461 cieplna 665, 667, 673, 677, 697 stabilna (trwala) 459--460, 708 termodynamiczna 665, 669. 672, 675--Q77, 685, 697, 701, 717 rownowaZnosc 122, 144-145, 170, 342, 348, 373-376, 382, 384, 432,436,438-439,494,514, 612, 693, 764, 794, 816, 833, 850,854,931,937,951-952, 985 holomorficzna 145 topologiczna 850 dyskretna 144 konforemna 145 rozniczkowalnosc 104, 118, 179, 191 funkcji wielu zmiennych 191 rozniczkowanie 101-102, 104, 107-111, 113-114, 116--118, 120, 125, 139, 146, 168, 172, 179, 184,191,201,224,239,282-284,287,289-290,293,298, 334,464--465,472,476,482, 498,652,919 form zewnertrznych 239, 283 funkcji zmiennej zespolonej 109, 120 funkcjonalne 464-465, 652 hiperfunkcji 172 na rozmaitosciach 239, 282-284 p-form 239, 283 pol tensorowych 287 wektorowych 287 reguly 111, 113, 116, 239, 465 struktur ogolnych na rozmaitosci 239, 283 szeregow potergowych 110--111 w zapisie graficznym 289-290 ruch ciqgly 122-123, 200, 213, 301, 369, 397 falowy 151, 384, 477, 480, 483, 495, 758, 1001 harmoniczny prosty 457--458, 460 inercjalny 371-372, 376--379, 381,391,418 Newtona 372, 377-378 Einsteina 376--379, 381, 391
jednostajnie przyspieszony 794, 797 jednostajny 369, 371-372, 382, 414,418-419,794,797 srodka masy 414, 418-419 klasyczny 483, 547, 639, 641, 871 konforemny 138-139,530 obrotowy czarnej dziury 805 fotonu 941 prosty 86, 265, 279, 301, 370--372,376--378,414,418, 452,457--458,460,532-533,684,943 przyspieszony 372, 375, 547, 794,797,832 zespolony 139, 158, 240, 265, 397 ruchy euklidesowe 139, 265, 350, 397-398,540,907,930 lorentzowskie 437, 540 newtonowskie 378, 452, 659, 881 obrotowe Poincarego 540--541 rZqd grupy 241 monstrum 246 macierzy 238 wielkosci 296 rzeczywistosc 7,11-13,18-19,22, 27,39,41,57, 61--Q3, 65--Q6, 70--72,90,114,118,134,140, 150,176,187,197,221,237, 241,256,258,280,290,310, 323, 329, 331, 346, 350, 366, 371, 381, 388, 396, 398, 404, 408-410,421--423,429--430, 434, 436, 438, 448, 460, 471, 479,484--485,492--493,496, 504, 513, 553-554, 562, 575, 578-579,582-583,588,603--Q05,620,627,636,638--Q39, 643,670,703,708,713,751-755,757-760,763-765,771, 775,777-779,781-782, 800, 807, 809, 817, 835, 849, 851, 860, 869, 891, 898, 900--901, 933,948-949,966,971-972, 977,981-982,984-985,988-991,994,996,999 fizyczna 11, 18-19, 22, 62, 65--Q6, 150, 346, 388, 421, 423,485,492--493,504, 513, 604--Q05, 627, 636, 713, 751-752, 763, 771, 775,778-779,782, 869, 898,972,977,985,988-991,994,996,999 kwantowa 61, 430, 471, 479, 484--485,492--493,504, 513, 575, 588, 604, 627, 638,751-753,759-760, 763-764,771,775, 781, 809,835,851,869 swiata platonskiego 18, 989
wignerowska 775 rzut globalny 954, 957, 959 pionowy 38,142,689 stereograficzny 38, 141-142, 322, 394, 406, 530, 943-944 rzutowa przestrzen Hilberta 519, 524, 530--531, 764 twistorowa lP'lr 927, 929, 938-940, 954-955, 957-959, 961, 1001-1002 rzutowanie kanoniczne 316, 318, 369-370 prostopadly 285, 530 stereograficzne 38, 141-142, 322,406,944
S samodualna cz,"sc krzywizny Weyla 902, 959-960 6-momentu perdu 941 scri -4 skraj sfera 13, 42--44, 102, 136, 140--147, 149, 156--160, 163-165, 168, 171,175,177-178,191,201-202,212-213,228-229,241-242,244,247-248,265,269-270, 285-287, 293, 296, 300, 306, 310, 320--325, 330--331, 339, 350, 369, 379-381, 384-385, 392, 394, 398, 404--406, 409--412,415,500,515,528, 530--534, 536--540, 546, 548, 550, 574, 576, 586, 595, 664--Q65, 680, 682--Q83, 689, 691--Q95, 702, 707, 710, 718-719, 727, 735, 743, 765, 792, 797-799,804-805, 807, 829-830, 877,880-881,883,913,924-925,927-931,934,936,939-940, 952, 954-955, 958, 966--967,979,997,1002 4-wymiarowa S' 322 2-wymiarowa S' 285 1-wymiarowa S 1 321 8-wymiarowa S8322 15-wymiarowa SIS 322 7-wymiarowa S' 322 3-wymiarowa S3265, 310, 320--324, 394, 404--405, 448, 537-538,543,689,691 jednostkowa 142, 145-146, 168, 191, 213, 228-229, 248, 270,287,321,323,331, 350,410,536--538,692 konforemna 142, 145-146, 406, 411,530, 689, 693--Q94, 797-798,807,934,936, 955 Lamberta 42, 405 metryczna 145-146, 410, 530, 693 niebieska 409--411, 515, 530, 539, 927-930, 934, 936, 966
Indeks rzeczowy niekomutatywna 924 o urojonym promieniu 405, 718 Riemanna 136, 140--142, 147, 149, 156-160, 163-165, 168,171,175,177,191, 212, 269, 322, 324-325, 330,398,409-411,515, 528, 530-534, 574, 576, 586, 595, 765, 925, 927-931, 936, 939-940, 952, 954-955, 958, 966-967, 997, 1002 gladka 149 o wartosciach zerowych 324-325 promieni swietlnych w nieskoftczonosci 931 sp6jna 140 uklad6w dwustanowych 528, 531 siec krystaliczna 478-479, 487 przecinaj'lcych sier Iinii p«tlowych 910 spinowa 61, 66, 347, 748, 898,
906, 908-910, 912-918, 921, 925-926, 930, 987 pertlowej grawitacji kwantowej 913,918 w wyzszych wymiarach 918 zmiennych pertlowych 347, 898,
906,913-914,916,918, 921,930 sila 372 cierZkosci 375-379, 413, 439, 457-458, 657 oddzialywania 544, 600, 602, 616, 643, 650, 656, 683, 706, 836, 841, 889, 892, 996,1004 elektromagnetycznego 836, 892 grawitacyjnego 650, 656, 889, 892, 1004 silnego przyci'lgania grawitacyjnego 454, 650, 656 ziemskiego 454 zachowawcza 416, 506 zewnytrzna 413-414, 416, 452, 469, 506, 544 sily elektromagnetyczne 382, 433, 600,836,841,847-848, 892, 1003 elektryczne 375, 423, 429, 594, 643,650,712,728,1004 fizyki cZilstek elementarnych 841 grawitacyjne 375-376, 378, 423, 443, 454, 650, 656, 676, 678, 728, 784, 847-848, 889,892,1004 j'ldrowe 616-617, 622, 656, 676, 1003
oddzialywaft slabych 600, 650, 841,892,996,1004 plywowe 438, 683 przyci<jgaj,!ce 372-373, 656, 676 skala diatoniczna 22 hadronowa 856 infinitezymalna 137, 432 logarytmiczna 88, 721-722 metryki 431, 693, 931-932 Plancka 60, 771-772, 827, 838, 847,856,862-864,866-867,871,874,881-882 protonowa 856 grawitacji kwantowej 60 r6wno temperowana 22 skalar 64, 98,179,184,186-188, 194,216-220,224,229-230, 232,234,237,247,261-262, 273-274,282,284,287,289, 291,299,302-303,309,311, 334,416,430-431,436,441, 448,461-462,467,483,509-512,516,527,529,542,554-555, 594, 630, 632-634, 643, 693,721,724,759,803,836, 841,849,859,899,910,924, 931-932,937,942,947,967 Ricciego 441 skalarne i10czyny 186-188, 217, 220, 230, 232, 234, 274, 282, 291, 416,509-512,516,529, 630,632-633,759,803,937 pole 179, 184, 187-188, 216-219,229,273-274,284, 289, 299, 302-303, 334, 430,448,461,510,554-555, 630, 633-634, 721, 724,849,859,931-932 wielkosci 64, 179, 186-188, 237, 273,287,291,311,334, 416,430,436,483,910, 942,967 skalowanie rzeczywiste 246, 324, 433 zespolone 246, 433 skladowe 2-spinora 538, 602, 941 fourierowskie 153, 159, 161, 163, 457 momentu perdu 419, 437, 524-525,527,537,540-541, 543,924 p-formy 222, 225, 230 przestrzenne perdu 415, 419, 437, 456-457, 500, 524, 541 spinora 528, 538, 595, 601-602, 893,903,941 primowanego (dualnego) 602,941 transformacji liniowej 248, 250, 273 twistora 937, 939, 941, 947
wektora 187, 207-208, 213, 218-220,230,232,256,262, 266,415,457,525,541, 543,554,589 skok (funkcji) 168-170, 492-493, 504 kwantowy 492-493, 504, 513, 515,520,548,759,790 skr«cenie (twist) wi¢i 317, 323, 331 wl6kna 317-318, 323, 961 skr«tnosc 138, 205, 228, 520, 522-523, 532-533, 543, 603-605, 607,609,625,899-900,902, 928-930,938,941-942,945-949,957,961-962,968 antyneutrina 522, 947 CZ1jstki bezmasowej 522, 603, 928-930, 938, 946-947 dodatnia (prawoskr«tna) 522, 532-533, 543, 603, 605, 607, 625, 899-900, 902, 928-929,938,941,947-949,961 grawitonu 522, 899, 961 mieszana 949, 961-962, 968 neutrina 522, 609, 947 odwzorowania 138 stanu 522-523, 532-533, 899-900,945,961,968 ujemna (lewoskrytna) 522, 532-533, 543, 603-604, 607, 609,625,899-900,902, 928-929,938,941,947-949,961 skraj (scri) 80, 229, 287, 391, 444, 540, 884 minus 931 plus 931 spin 61, 66, 68, 141, 185, 199-201, 203-206,209,232,278,280-281,291,312,323-326,338-339,347,399,419-420,449, 464,468,503,509,521-522, 524-532, 534-539, 542-543, 546,549-550,552-554,557-561,563-564,566-570,572-576, 586, 590-592, 594-596, 598-599, 601-605, 607-610, 612,615,617-619,621,625, 630-631,634,643, 655, 665, 723, 748, 758-759, 762-763, 765-770, 775, 777, 829-830, 841-842,851,856,860,865, 869,875,885,893,895,898-
-900,902-919,921,923,925-926,928,930,934-936,940-942,944,947,957,967,979-980,987,998,1001,1005 calkowity 323, 347, 526-528, 534, 537, 543, 546, 567, 610,631,910-912,918, 967 cZ1jstki 399, 419-420, 503, 509, 521-522,526-528,532,
1095
Indeks rzeczowy 534,536-537,542,546, 549,552-554, 557-561, 563-564,566-567,569-570,572-575,586,590-591,595-596,601,603-604,608,610,618-619, 621,625,630-631,634, 643,665,758,762,766-770, 775, 777, 841, 856, 860,865,875,885,899-900,904,912,925,928, 940-941,944,947,980, 1005 bezmasowej 521-522, 603, 608,841,856,860,899, 928,941,944,947 masowej 521-522,532,534, 536,572,590,603,608, 625, 634, 841, 856, 860, 899,904,928,941,944, 947 elektronu 204, 521, 527-528, 546,570,591-592,594--596, 603-605, 607--ffl8, 634,841,980,1001 fotonu 521-522, 563, 841, 899, 940 grawitonu 522, 842, 860, 899, 947 jlldrowy 546 kwarku 527-528, 591, 618-619, 841 lewoskrl(tny 205, 522, 603, 625, 899, 915, 935 neulrina 522, 527, 634, 947 pl(t1i347,898,905-907,913-914, 916-918, 921, 930 pionu 528, 561, 564, 590, 617, 841,980 pol6wkowy 527-528, 537, 567, 631, 900 prawoskrl(tny 205, 522, 528-529, 603,625,899,915,935 superpartnera 841--842 wewnl(trzny 420, 549, 665, 875, 885,903 wyiszy 464, 526-527, 532, 534, 617,917-918,925,980, 1005 wzgll(dem srodka masy 542, 944 spinor 141, 199-201,203-206,209, 232,280-281,312,323-326, 338-339,464,468,524--528, 534,537-53~550,553,568-
-569,594--595,598-599,601~05,608-609,615,625,631,
1096
634,875,893,895,900,902-903,905,915,919,934--936, 941-942, 947, 957, 979-980 1-wskainikowy 534 nieprimowany 602~03, 609, 625, 903, 905 n-wskainikowy 527 o walencji 1 526 Pauliego 595, 601
wewnytrzny 875, 903 wyiej wyrniarowy 934 zredukowany 205, 625, 934--936 grupy 0(2,4) 934, 936 spinorowe obiekty 199-200, 203-204, 280, 323,525,527,568,594 przeniesienia r6wnolegle 915 Spllllanie 389, 503, 507, 520, 552, 557-560,563,565-567,571-573,576-581,753-754, 768, 770-771, 775, 777, 782, 809, 823, 829--832, 907-908, 910, 914,973 kwantowe 389, 507, 552, 557-558, 563, 565-566, 571, 576, 578, 753-754, 768, 771,809,830,973 sponlaniczne zlamanie syrnetrii 615, 704, 706-708, 710-712, 714, 996-998 sprzl(ganie (sprzl(zenie) herrnitowskie 273-274, 511, 653, 770 kwaternionowe 195 zespolone 173, 175-176, 235, 240-241,272-275, 279, 396,419,426,511,602, 633-634,937,943,960,995 sprzl(zenie ladunkowe 610 strunowe 856, 882 sprzl(zona zespolona liczba 82-83, 176, 511, 937 wskainik spinorowy 550 stabilnosc atom6w 751, 871 kwantowa 586, 866, 871 stacjonarnosc 465-466, 794, 801, 805,814--815,820,881 calki czasoprzestrzennej 465 dzialania 465 stala 112 Boltzmanna 480, 661~62, 666, 685,702,837 grawitacji (Newtona) 61, 372-373,378,381,413,444, 446,456,467-468,526, 677~78, 685, 697, 728, 797-798,837,847,856--857, 881, 892, 913, 956, 961,974,978,986 kosmologiczna 442-443, 448, 674,68~90, 720, 734--735, 741-743, 746, 749, 883,886,915,966,972, 984 efektywna 742-743, 746, 984 Plancka 174,433,474,478-480, 499,526,685,702,837, 864,972,974 Rydberga-Ritza 551 sprzl(zenia 273, 511, 602~03, 615,643,650-651,656, 836,841-842,856,882,892
oddzialywan elektromagnetycznych 651, 842, 892 silnego 650-651, 842, 856, 892 skalarna 643 strunowego 856, 882 struktury subtelnej 651, 728, 836,899 slrunowa 856, 859-860, 871, 882 stale Przyrody 463, 480, 728-729, 836, 976, 990, 997 sprl(Zyste 659 strukturalne (Liego) 259-260, 264--265, 840 stan antysyrnetryczny 307, 618-619, 901 bazowy 161, 317, 322, 528, 538, 542,559,620,622,713, 771,814,905,917,953 kwantowej grawitacji 905 oddzialywania silnego 622 slabego 622, 713 sieci spinowej 917 Bella 71, 573 BPS (Bogomolnyj-Prasad-Sommerfield) 881--882, 885-887 ciekly 708 cieplny 665, 673, 677, 697, 886 WszechSwiata 673, 697 czasowo asymetryczny 786 czysty 13,161-162,397,479, 491, 499-500, 504, 529, 569, 613, 764--766, 771, 782, 796, 809, 832, 882, 916,989 EPR 557, 566, 573, 575, 577, 579, 766, 768, 775, 830, 912 fotonu 384, 490-492, 520-524, 532-533, 547, 549, 571, 577-578, 597, 610, 613, 615, 645, 684, 773, 789, 792,813,822--824,973 gazowy 708 heisenbergowski 513 1-antycz1)Stkowy 634 jednocz/tstkowy 885 koherentny 637, 655, 757, 833, 895 kwantowej teorii pola 172,396, 422,464,62~26,627,
632, 635, 649, 742, 759, 785-786, 815, 859, 883, 921, 929, 971, 974, 994--995 kwantowy 61, 65~6, 99, 172, 204,237,262,309,331, 347, 363, 396, 422, 433, 464,476,483-485,492-494, 497-498, 500, 503-509,512-518,520,522-523,527-528,530-531,
Indeks rzeczowy 534, 539, 545-548, 552-553, 555, 557-558, 565-566, 569-575, 579, 584, 586-588, 591-592, 595, 604,614-616, 618, 620, 622, 626--626, 627, 629--630, 632, 635--638, 649--650, 658, 660, 679, 708, 721,730,734.742,748. 751-755, 757-764, 768, 771-777, 779-782, 784--787,789-792, 794, 807, 809, 812--S15, 819, 821, 823--S28, 830--831, 833, 838,851, 857--S59, 871, 883, 885, 902, 904--905, 912, 915-918, 921-922, 925, 929, 960--961, 966, 971,973-974,976,991-996 bozonow 99, 569-571 czysty 504, 764, 771, 809 elektronu 204, 528, 547, 592, 595 o ujemnej energii - stan pozytronowy fermionow 99, 569, 571, 629, 679 kwarkowy 99 mieszany 763, 777, 809, 828, 830 nienormowalny 518 niespliltany 558-560, 565, 571-572,579 normowaIny 509 p~du 483, 500, 517, 528, 530, 539, 546-548, 823 pojedynczej struny 885 spinu 61, 204, 347, 509, 522, 528,531,534,539,553, 557, 566, 572-573, 575, 592, 595, 885, 904, 912, 915, 917, 925 spl1/tany 507, 552, 557, 565-566, 571, 753-754, 768, 771,809,830,973 ujemnej energii 586, 635 ukladu 331, 433, 476, 485, 503-505,507,509,514, 528,531.539,553,555, 566, 586, 604, 748, 752, 761-762,771,790,809, 821,831,912,917,993 wieloczilstkowy 262 zredukowany 571, 579 lewoskr~tny 522-523. 899, 959. 961 Majorany 534--535, 539, 563, 768,925 mieszany 762-764, 766, 768-771,777-778,809,828, 830, 961, 968 nieunormowany 516 obserwatora 411, 566, 579, 679--680, 683, 696, 753, 775, 794, 991-992
ogolny 47, 65, 95, 136, 139, 168, 171,174,176,193,218, 236-237, 251, 255, 284, 286-287, 309, 353, 359, 380,411,458,460,475, 483, 485, 497, 504, 509, 522,528-529,531-533, 535-536, 540, 546, 549,
571,589,591,604,614, 626,630,649--650,654---655, 658, 666, 678, 684, 708, 732, 755, 764, 769, 777. 781-782. 786, 792, 815--S16, 826--S27, 834, 838, 843, 845, 848, 872, 891, 899, 902, 905, 908, 916-917, 936-937, 961, 971-972,974,983,997, 1000--1001 o mieszanej skr~tnosci 961, 968 ontologicznie realny 777 ortogonalny 269, 386-387, 400, 511, 515-520, 528, 530, 535, 563, 573, 655, 763, 766,768,777,782-783,995 p~dowy 423, 483, 485--487, 494---495,497-500,517,530, 655,863,867,945,966 p~tlowy 905-906, 910, 914, 916-918,921 podstawowy 8, 53, 61, 155,226, 245, 505, 545, 547, 595, 622--623,638,668,716, 755, 795, 858, 906, 925, 931,974,997 polaryzacyjny fotonu 522, 532-533,577 polozeniowy 496--499, 504, 517, 945 pozytronowy 635 prawoskrytny 201, 487, 522-523,
528-529,899,901,961 proporcjonalny 376, 387, 516, 519,547,572,712,756-757,764 prozniowy 380, 629--630, 634---636, 650, 652--653, 704, 708, 721, 735, 786, 803-804,848,960 rownowagi 457--461, 665--666, 669--670, 672--673, 676--677.685,697,701,707-708,717,812,852 Schrodingera-Newtona 819, 821 sferycznie symetryczny 707, 807, 829 sieciowo-spinowy ~ stan: spinowo-sieciowy skr~tnosciowy 522 spinowo-sieciowy 906, 917 spinowy 61,509,522,526,528-530, 532, 534, 536, 538, 553,557,560,570,572-573,595,619.655,762, 767-768,770,885,899,
904--906,909,912,914--915,917-919,921,987 cZ1/stki bezmasowej 899 masywnej 0 wyzszym spinie 534 lewoskr~tny 899 prawoskr~tny 528-529, 899 spl1/tany 503, 507, 520, 552, 557-560, 565-566, 571-573, 577,579-580,753-754, 768, 770--771, 775, 777, 782,809,823,829--S31,973 spoczynku 366, 369, 377, 379-380,386-387,400,411, 440,444,528,587,603, 813,826,967,997 stacjonarny 458, 465, 546-547, 579, 640, 719-720, 794, 805, 813--S16, 820--S21, 830,881 staly 20, 34, 61, 88, 99, 165, 176, 218-219,284,366,372, 444,456,479,485,487, 491,494--495,507,515-516, 520--521, 523, 528, 561,572,575,580,589, 603, 619, 623--624, 629, 635--636, 649--650, 662, 666,669,672,676,678--680,686,695,697,706-708, 720, 742-743, 746, 751, 767, 769, 771, 773, 775,782-783,790,806, 823,825,830,833,841. 844, 859, 861, 867--S68, 874--875,886,916,951, 959,963,966,972,974, 982,990,997,1000,1005 termiczny 679, 794--795, 797 czarnej dziury 794--795 termodynamiczny 661, 663, 665, 669,672,676--677,685, 697,701,717, 792 ukladu fizycznego 331, 457, 483, 505, 531, 657--658, 707, 754, 811, 813 unormowany 425, 494, 519-521, 549,559,633,653--654, 757, 760, 762-764, 766, 770, 782-783 wlasny 11, 61, 157, 203, 223, 280,307,369,391,443, 483--484, 487, 496--498, 500,504,507,509,514--519,527-528,530,535-538, 541-542, 544--549, 553, 560, 563, 566, 576, 586-587,614, 622, 633, 635,665,678,753,756, 759, 769, 777-778, 782, 790--791,813,815,818, 821, 864--865, 887, 895, 900,914, 916-917, 936, 945-946,953,956,995
1097
Indeks rzeczowy
1098
calkowitego momentu ptrdu 545 energii 500, 545-548, 586, 813, 818, 821 macierzy gtrstosci 769, 777-778, 782 masy 443, 614, 678, 818, 821, 956 momentu Ptrdu 528, 541, 545-546, 548 nienormalizowalny 549 oddzialywaii silnych 622 operatora 483-484, 496-498, 504,514-519,527-528, 536--538, 546, 586--587, 756,759,790-791,864-865,945 Laplace'a 536, 864 Ptrdu 483, 496, 498, 504, 517-518, 528, 546, 945 polozenia 498, 504, 517-518,945 pomiaru 496, 504, 515, 518-519,756, 759, 790-791 skladowej momentu pC;du L3 527 spinu 527 oscylatora harmonicznego 548 skrytnosci 900, 945 wzbudzony 444, 547 standardowy model 197, 583, 600--
antycz'lstki 596, 610, 620 grawitacyjne 437, 443, 697, 701, 734,736,794,810,978 kolorowe 619--
grupy 258-261, 264, 282-283, 300--301, 308, 316, 399, 741, 930 globalna 258, 260 lokalna 258, 260, 264, 301, 316 hermitowska 282, 632 holomorficzna ---> struktura: zespolona konforemna 140, 145, 177, 283, 411,432,693,930,932, 934, 936, 959 kryszta!u 478 kwadrupolowa 860 metryczna 282-283, 311, 410, 816,893 wl6kien 893 niewielomianowa hamiltonianu 899 prawie zespolona 236, 247, 940, 995 "przenosna" (jIoppy) rozmaitosc 309-310 przestrzeni stycznej 301, 384-385, 640, 945 wektorowej 217, 246--247, 259,282,301,318,331, 337,506,816 przyczynowa 389-391 q-zdeformowana 909, 923 rozmaitosci 137, 177, 189,216--217, 229, 235-236, 239, 283-284, 298, 300-301, 309-310,315,384,455, 771,874,905,914,932, 936, 945, 957, 964 konforemnej 932, 936 symplektycznej lokalna 309 r6zniczkowalna 919 sfery 177, 384, 394, 410-411, 530, 931, 936 symplektyczna 283, 308-309, 311,455,632,760,874, 877, 904, 957, 998 zespolona (holomorficzna) 277, 309, 632, 874, 877, 957 topologiczna 410, 910, 912, 914 wi<jZki 64, 315-317, 325, 333, 371-372, 386--387, 399, 432, 463, 479, 586, 597, 893, 909, 959, 998 wielomianowa hamiltonianu 899 z q-deformacj" 898, 908-909 zerostozkowa 390 zespolona 140, 148-149, 175-177,235-236,247,265, 309,325,331,337,394, 503, 506, 632, 765, 852, 874,877,925,927,931, 940, 943, 957, 995-996 KTP632 strumieti 462 4-pydu 436
Indeks rzeczowy energii 436, 479 ladunku elektrycznego 427, 429 pydu 436 pola elektrycznego 429 powietrza 147-148 struna 10, 121, 134, 142,211,246, 313,324,338,461,509,623, 627,654,693,711,787,835, 839, 846-847, 849-862, 864, 866-867,871-895, 898, 902, 906, 910, 915, 922, 930, 936, 953, 955, 963-965, 971-973, 977-978, 981-982, 987, 1000-1002 bozonowa 876 hadronowa 850, 856, 860, 894 heterotyczna 876, 882, 895, 902 klasyczna 856, 858-859, 861, 872, 885, 902 kosmiczna 711, 910, 922 o otwartych koncach 461, 876, 887 pytla zamkniyta 876 sztywna 860 suma arytmetycznego dodawania 19 hiperfnnkcji 171 kqtow trojkqta 30-33, 42, 93 hiperbolicznego 32-33, 42 euklidesowego 31 hiperbolicznego 32-33, 42 liczb zespolonych 74, 82, 84, 93, 176,363 logarytmow 88, 652 po historiach 642-643, 646, 781, 922,970 prosta metryk 862-863 przestrzeni 10, 363, 519 reprezentacji 264, 526, 862 szeregu 74-78, 110, 126, 165-168, 176,652,895 potygowego 74, 78, 176 czqstkowa 75-76, 78, 166 zbiorow 230, 236--237, 757, 959 superalgebra 839-840, 843-845 Liego 839-840 supergrawitacja 291, 313, 839, 842-843, 845-847, 878-879, 887, 893,936,979,1000-1001 ll-wymiarowa 878-879, 887, 936,979 renormalizowalna 845-846, 893, 1000 wyzej wymiarowa 847 superpartner 841-842, 845, 981 bozonu Higgsa 841 grawitonu 841-842 superpozycja geometrii 739, 828-830 liniowa 508, 522, 614-615, 638, 660, 752, 773-774, 777, 829, 905, 925 kwantowa 508, 517, 520, 522, 540,546,604,614-615,
620, 632, 637-639, 660, 739, 752-753, 773-777, 780-781,813-814,819, 821-824, 828-830, 905, 917,925,992,995 czasoprzestrzeni 739, 830 nieregulamych geometrii 828 stanow 517, 520, 522, 604, 614-615,620,632,637-638, 660, 752-753, 773-777,780-781,813-814,819,821,823,830, 905, 917, 995 swiadomych obserwatorow 753, 829,992 wszechSwiatow -4 omnium supersymetryczna KTP 840-841 niezmienniczosc 859 teoria Yanga-Millsa 883-884 supersymetryczne odpowiedniosc bozonow i fermionow 839 pola Yanga-Millsa 880-881 wielkosci polowe 843 sygnal klasyczny 573-574, 922 kwantowy 573, 1000 sygnatura 268-269, 271, 275, 277-278,306,309,385,389,395-396,398,404-405,408,423, 440,456,540,549,591-592, 598,718-719,741,859,886, 930, 933, 936--937, 956, 969, 976, 987 grupy pseudounitamej 275, 277-278 symplektycznej 277, 309 iloczynu hermitowskiego 937 lorentzowska 385, 718, 956, 976 macierzy hermitowskiej 274 metryki 306, 389, 404, 549, 718-719, 859, 886 operacji sprzyzenia hermitowskiego 274 pseudoeuklidesowej 6-przestrzeni 933 rozmaitosci 309 rozszczepiona 277-278, 309, 969 (ensora metrycznego 395 tensora zespolonego 269, 309 symetria 687, 931, 995 Bianchiego 291-292, 307 cechowania 279, 434, 467, 495, 614,621, 623-624, 654, 712-713,716,748,963, 995-996 chiralna 947, 997 ciqgla 308, 436--437, 466, 711, 787, 848, 875 czasoprzestrzeni 390, 399, 419, 437,467,638,688,693-694, 713, 738, 829, 834, 845, 848, 862, 875, 885, 924,935,1006
czasoprzestrzenna teorii wZglydnosci 638 czasowa 437, 474, 611, 657-659, 809 dokladna 239, 279, 323, 337, 434, 615, 621, 623-624, 654,694,713,715,827-828, 830, 877, 885, 931, 966, 996--997 dyskretna 787 FLRW 828-830 hermitowska 271, 614 kolorowa 620-622, 624 kwadratu 27, 239-241, 243-244, 257 lokalna 308-309, 392, 714, 935 Lorentza/Poincarego 265, 398, 419 lustrzana 876--877, 891, 896, 1000-1001 niezlamana 621, 623, 654, 712 obrotowa 242, 380, 399, 419, 437,524,707 odbicia przestrzennego 269, 437,896 oddzialywan elektromagnetycznych 337, 613, 621-622, 708 elektroslabych 613, 615, 622, 624, 626, 650, 652, 654, 708-710, 712-716, 722, 786,996 silnych 621, 623, 626, 709 pseudometryki 391 przestrzeni twistorowej 937 wektorowej 246, 251, 282, 318,331-332,473,620 sferyczna 539, 683, 693, 707, 829-830 translacji czasu 419, 437, 474, 524 translacyjna 419, 437, 473 U(I) 278, 323, 337, 433, 613, 621,623,626,654,708, 712,840,848-849,997 U(2) 613-615, 622-624, 626, 652,654,708-709,712-713,715,748,840,904, 996 ukryta 613-614, 624, 704, 741 wewnytrzna 257, 544, 845, 875, 885,924,963 cz,!stek 257, 875, 963 oddzialywan czqstek elementamych 257 wlokna 315, 318, 323, 332, 337-338,340,621,748,845, 875 wzglydem odbicia w czasie -4 symetria: czasowa odbic 205, 611, 659, 809, 969 zlamana 243, 607, 614-615, 621-624,652,654,704,706--
1099
Indeks rzeczowy -716,722,786,829-830, 981, 996-998 zmieniaj,!ca orientacjl( 239, 241 symplektyczny (-a) 2-forma 455, 462 element grupy 276 forma rzeczywista 277, 309 geometria 309, 455, 461-463, 760 rozmaitosc 308-309, 326-327, 455,461,463,874,957 struktura 283, 308-309, 311, 455,632,760,874,877, 904,957,998 system aksjomat6w Zermelo i Frankela 23 chaotyczny 659, 701, 775 formalny 14, 360 hamiltonowski 458 liczb rzeczywistych 53, 59--{)0, 64--{)5, 69, 72, 79, 341, 921, 924,994 zespolonych 66, 69, 71, 79, 954,994 szereg Dirichleta 131, 887 Fouriera 121, 150, 154, 156-157, 159, 161, 163-164, 166-168, 191 Laurenta 154, 156-157, 164-165, 167-168 MacIaurina 110, 119, 125 potl(gowy 74, 77-81, 91, 102, 110-112, 119, 121, 125-132,154,156,167-168, 173, 176, 259, 279, 302, 459,587,635,637,651, 859-860,873,906 rozbiezny 74-78, 80, 128, 156, 642, 650, 873 Taylora 119-119, 120, 126 zbiezny 74-78, 80, 91, 120, 125, 128-129, 156-157, 167-168, 302, 587, 635, 637, 642,650,873 6-przestrzen pseudoeuklidesowa 933 tensor momentu pydu 540
S
1100
slad elementu infinitezymalnego algebry Liego 278 macierzy (transformacji liniowej) 235, 253, 269, 273-274,278,284,287-289, 299, 302-303, 305, 308-309,312,327, 362, 403, 423, 425-426, 428, 431,436-439,441,443-444,534,623,720,735-736,765,816,859-860, 881,893,900-901,905,929
tensora energii-pl(du 441, 720 tensora (Weyla) 441, 720, 736, 749 srodek ci\.!zkosci 101, 211, 379 masy 381, 414-415, 418-419, 437, 443, 524, 540-544, 549, 659, 682, 685--{)86, 944 swiadomosc 20, 22-23, 63, 76, 313, 318,387,490,508,566,572, 591, 728, 752-753, 768, 774-775,782,979,987,990-993, 1003, 1005 eksperyrnentatora 753, 774 obserwatora 752-753, 990, 992 Swiat ftzyczny 10-11, 15, 17-18,20-23, 42,47,58,60--{)1,63--{)4, 195-196, 341, 346, 361, 366, 383, 389, 395, 421, 450,485,586,628,65~
672, 721, 728-730, 734, 738, 752, 775, 778, 802, 826,853,872,874,881, 890,921,937,964,971, 977, 989-990, 994-995, 998-1000, 1006 idei platonskich 11-12, 15, 18-19, 21, 63--{)4, 346,989, 999 mentalny 17-19, 21-22, 47, 63, 66,71,341,384-385,422, 549, 557, 605, 632, 678, 727-728,730,779,853, 971, 975, 989-990, 996, 1007 Swiatlo 412, 479 elektryczne 383, 422, 479, 1002 spolaryzowane 522, 549 T temperatura 659, 661 (ciata czarnego) 479-480, 500, 675,717,751,792,882 Curie ~ punk!: Curie Hawkinga 791-796, 798-799, 803,805,880,882-883 krytyczna 706, 713 Plancka 675, 686, 792, 841-842 przyspieszeniowa 794, 805 tla 675, 745, 805 Unruh 792, 794 WszechSwiata 615, 675, 701, 717,724-725,731,745, 805,828,830,841-842 tensor 187,215,219,230-235,238, 252,261-264,266-269,271-274,279-281,283-284,287-292, 296-297, 299, 302-309, 311-311,312,327,332,336-337, 362, 385-386, 390-391, 395-396,400,403,415,418-419,423-426,428,431,435-445,447,464,467-470,525-527,534,538-540,542,558-
-560, 569-570, 593-594, 623, 655,720-721, 734-736, 748-749,761,801,816,833,847, 858-860, 862-863, 871, 881, 893, 895, 900-901, 905, 908, 910, 929, 935, 942 antysymetryczny Levi-Civity 252, 424, 542, 901 dodatnio okreslony 268-269, 305,307,396 dualny 262, 312, 424, 426, 428, 436,623,901 Maxwella 426, 428, 623, 901 Weyla 901 energii-~du 435-437, 439-441, 443-445, 447, 720-721, 801,881,893 holomorficzny 235 konforemny 443, 734, 901 krzywizny 291-292, 296-297, 304,307,309,336-337, 391, 431, 438, 440-441, 443, 735, 859, 910 interpretacja geometryczna 296-297 w zapisie Christoffela 307 fizyk6w 291 matematyk6w 304 materii 443, 720-721, 735-736, 801 metryczny 272, 306, 385, 390, 395,415,431,436,443, 469, 720, 816, 860, 862, 929 Lorentza 390, 431 momentu pl(du 419, 540 Nijenhuisa 238 owa1encji 290-291, 303 [\]291 263-264 l:]307 [~] 262-263, 273 pseudometryczny 306, 395 Ricciego 292, 440-441, 443, 720, 735-736,749,847,858-859,863,871,895,910 "z przeciwnym sladem" 720 Riemanna 305, 307, 438, 440, 443,534 Riemanna-Christoffela 307, 438 spinowy 526-527, 534, 538-539, 560, 905 symetryczny n-wskainikowy 534 symetryczny 219,263,268,291, 305, 385, 437, 440, 526, 534, 860, 905 nieosobliwy 0 walencji 438,440 torsji 291, 303, 306, 444, 735 Weyla 431, 442-443, 735-736, 901, 910 dualny 901
m m
m
Indeks rzeczowy konforemny 443, 901 zespolony 269, 273-274, 309, 362,534,901 tensorowy formalizm 438--439, 468, 525, 594,942 iloczyn 262, 558-560, 570, 655, 761 prawo Leibniza 289-290 rachunek r6zniczkowy i calkowy 231,284 struktury lokalne 308 zap is abstrakcyjno-wskaznikowy 232,291 graficzny 234 teoria Ashtekara-Rovellego-Smolina-J acobsona -> teoria: zmiennych p~tlowych Bohra, atomu 546, 1001 Cantora, niesko6czonych liczb kardynalnych 57, 347-348, 353,999 cechowania 279, 313-314, 337-338,431-433,435,467-468, 594, 621-622, 624, 626, 654, 710, 712-713, 716, 905, 962-963, 995-996 nieabelowa 621-622, 710, 712,716 Chan-'Thou 624, 626, 877 cZ'lstek elementarnych 238, 242, 257, 286, 312-314, 399, 434, 471, 583, 601, 627-628, 636-637, 649-650, 656, 716, 839-840, 866, 875, 924, 927, 962, 971, 974, 981, 996-997 4-rozmaitosci Donaldsona 892 de Broglie'a-Bohma 500, 779, 781 Diraca, elektronu 60, 65, 479, 546-548, 582, 590-591, 594--595, 597-598, 600, 604, 610, 627, 637-638, 642,647,651,685,710-712,774,832,899,994, 998, 1001 drga6 121, 457, 536, 616, 895 dualna 12, 273, 553, 585, 624, 876-878, 882, 887, 918, 963-964, 986 Einsteina 11, 45, 47, 57, 60-61, 134, 136, 177, 283, 286, 291,293,297,312-313, 366, 373, 377, 380, 382, 388, 390, 392, 399, 402, 404,419,421-422,431-432, 437, 439, 443-446, 448--449,467,469,471, 479, 571, 582, 600, 627-628, 650, 680, 693, 703, 723,749,751,784--786, 814-817,826-827,838-
-839, 845, 848-849, 854, 857-858, 860-861, 872, 880-881, 898-899, 902, 904, 914--916, 918, 921, 936, 961, 971-972, 983, 985-986,994,998,1000-1001, 1007 Einsteina-Maxwella 60, 422, 443,600,848-849,998 elektromagnegtyzmu Maxwella 60, 149,313,337,382-384, 422-423,426-427,432, 443,468--469,547,600, 665, 668, 710, 848-849, 881,971,998 elektroslaba 613-615, 622, 624, 626,650,652,654,709-713,715,721,786,902, 996 F 432, 755, 759, 879, 936, 971 fizyczna 11, 21, 59-60, 66, 77, 121, 209, 211, 239, 271, 291,313,337,343,361, 366,383,388,396,422, 432, 448, 463, 468--469, 477,494,586,610,627-628, 650, 654, 657-658, 660,668,672,704,710-711,713,716,724,734, 738,751,778,792,826, 839, 846-848, 852-854, 860-861, 872, 875, 878, 880-881, 889-890, 892-893,902,910,918,921, 924--926, 935-936, 962, 964--966, 970-970, 971-972, 974--977, 989-990, 993-996, 998-1002 fizyki hadron6w 851 form r6zniczkowych Cartana 422 fundamentalna 23, 57, 60-61, 66,121,131,190,269,282, 293, 343, 382, 388, 396, 399,431-432,435,439, 461, 468--469, 595, 613, 632,654,678,685,710, 716,785,791,816,826, 831,836,839,857,860, 885,887,892,902,909, 916,921,925-926,929, 936, 940, 954, 956, 971, 973, 993-996, 1007 funkcji analitycznych 93 Galois 279 grawitacji 61, 190,291,313,373, 377,380,382,421-422, 435,439,445,467-469, 582,650,671,678,683, 685,734,738,784--787, 792,803,815,817,838, 842-843, 845-847, 856-858, 860-861, 873-874, 878-880, 887, 889, 894, 902,904--907,913,915-
-916,918,921-922,929, 936,962,964,973-974, 978, 986, 1000-1001, 1007 Einsteina 291, 373, 377, 380, 421-422,469,582,650, 784, 815, 845, 858, 860, 904, 1001, 1007 kwantowej 61, 582, 650, 671, 683,685,734, 785-787, 792,803,815,838,856-858,873-874,880,889, 902,904--907,913,915-916,918,921-922,929, 936,973-974,978,986, 1000,1007 Newtona 190, 373, 377, 380, 382,439,445,685,784, 817 Newtona-Cartana 382, 817 grup 242, 245-247, 257-258, 260,265,269,278-279, 282,377,399,431, 614, 621,624,647,652,654, 716,738-739,741,787, 840, 866, 876, 885-886, 909, 930-931, 936, 963, 966,996,999 ci'lgiych 247, 258, 260, 377, 738 lokalna 258 prostych 245, 265, 716, 886, 930, 999 hamiltonowska 457, 461, 464, 466,553,760,854,864, 898, 914, 965 harmonik sferycznych 538-539, 550 spinowo-waZonych 538 hiperfunkcji 174, 927, 967 homotopii 236, 923 inflacyjna -> kosmologia: inflacyjna 11-wymiarowej supergrawitacji 878-879,887,936 jednolita 448, 614-615, 622, 706, 874,893,918,1000 Kaluzy-Kleina -> model: Kaluzy-Kleina kategorii 373, 898, 923, 987, 999 kohomologii 926, 951, 953, 956 kwantowa 61, 65-66, 77, 121, 158-159,172,247,257,271, 273--274, 278, 282, 347, 362, 382,384,396,399,419, 421-422,426,433,439,446, 457, 464-469, 471, 475-476, 492-494,500,504--505, 513-514,526, 546-548, 553-554, 557, 566-567, 579, 582-586, 589-590, 595, 600,604,610,614,616, 625-626,627,632,635-638, 647, 649-653, 655, 658, 671, 683,685,715,734,738-739, 742,751,755,758-760,774,
1101
Indeks rzeczowy
1102
777, 779, 782, 784-787, 791-792,803,808,815-816, 826, 830, 832-833, 835, 838, 852,855-859,861-862,869, 871, 873-874, 880, 883, 889, 895, 898, 901-907, 909-910, 913, 915-916, 918-919, 921-922,925,927,929,936, 945, 960-961, 965-966, 970-970, 971-974, 978, 986, 994-998, 1000, 1002, 1007 nierelatywistyczna 464, 553-554,582,586 pol oddzialuj,!cych 627 relatywistyczna 399, 464, 476, 548, 553-554, 582-586, 590, 627, 638, 738, 945, 998 Wielkiego Wybuchu 739, 786 kwaternionow 196, 209, 922, 976 lagranzowska 457, 461, 464, 466-468,553,760,854,965 liczb 57, 59--{i0, 65-66, 82, 131, 198,313,343,347-349,353, 361,411,449,460,464,477, 584, 632, 651, 838, 845, 848, 856, 861, 885, 891, 905, 909, 918, 921, 925-930, 935-936, 940, 966, 983, 994-997, 999-1000 pierwszych 131, 343, 353, 905, 994,999 linii widmowych 547-548, 892 M 61, 134, 141, 196,205,371, 373, 377, 382, 384, 389, 392, 396, 399, 403, 432-433, 443, 474-475, 538, 547, 551, 583, 625,655,657,710-711,784, 816-817, 851, 862, 869, 872, 874, 876, 878-880, 887, 889-890, 915-916, 918, 923, 936, 953, 961, 963, 965-966, 971,978,990,998,1000 macierzy 247, 258, 260, 280, 777, 905, 994, 1005 macierzy S 1005 Maxwella, elektromagnetyzmu 60,149,238,313,337,382-384,422-423,426-427, 432, 434, 443, 468-469, 547, 600, 621, 624, 654, 665, 668, 710, 712, 847-849, 858, 877, 881,902,918,971,998 Mie 47, 57, 60-61, 66, 77, 196, 246-247,294,313,347,353, 360-362, 373, 379, 383, 396, 401,403,416,421-422, 432-433, 439, 446, 449, 457, 464, 467-468, 471, 477, 490, 508,536,547,553,567,571, 583,589-591,607,610, 615--{i16, 624--{i25, 627, 637, 651, 657, 678, 680, 682, 710-711,715-716,723,730, 738-739,741,745,758--759,
777,779,781,784-786,792, 799,814,817,834,838-839, 845-847, 852, 854-858, 861, 873-874, 876-878, 881-883, 885,887,891-892,896, 898-899, 902-907, 913-916, 918-919,921-922,925-927, 929-930, 936, 945, 955, 964-966, 969, 971-977, 986-987, 989, 993-994, 996-998, 1001-1002, 1007 mnogosci 23, 355, 360, 923 nieliniowego grawitonu 961-962,964 n-kategorii 923, 987 Newtona 47, 60, 190,373,377, 379-380, 382-383, 413, 421-422,439,443,445,449, 463,468, 471, 546, 678, 685, 760,784-785,817,847,881, 971,994 grawitacji 190, 373, 377, 380, 382,439,445,685,784, 817 niepopperowska 982 nierenormalizowalna 649--{i50, 838,845-846,856,1000 nieskoiiczonosci Cantora 347, 353,999 obserwacyjnie falsyfikowalna 981-982 oddzialywaii cz,!stek elementarnych 286, 312-314,434, 650, 974, 996 elektromagnetycznych 313, 594,613,615,622,715, 974 elektroslabych 613, 615, 622, 624,626,650,652,654, 709-713, 715, 721, 786, 902,996 silnych 434,616,651,709, 856,974 slabych 434, 613, 615, 622, 624--{i26, 650, 652, 654, 709-713, 715, 721, 786, 902,964,974,996 ogolnie kowariantna 312, 899 percepcji 508, 777-778 pola 60-61, 66, 77, 82, 121, 158, 172, 198, 257, 265, 273, 324, 337, 353, 362, 382-383, 396, 399,404,411,421-422,426, 432-433, 435, 437, 439, 446, 448,461,464-466,468-469, 475,492,514,526,546-548, 567, 583-584, 590, 594, 600-601, 610, 615, 621, 625--{i26, 627, 632--{i33, 635, 649,651,653,671,710-712, 715,721,724,738-739,742, 759,785-787,803, 808, 814-815, 832-833, 842-843, 848-849, 852-853, 856-862,
871-872, 875, 877, 880--881, 883, 886, 889-890, 895, 901-902,905,907,909-910, 918-919,921-923,925-931, 936, 940, 955-956, 962, 964-966, 970-970, 971, 974-975, 982, 994-995, 1001-1002 grawitacyjnego 382, 404, 422, 435, 437, 439, 446, 475, 814-815, 833, 848, 856, 858, 860, 902, 974 klasyczna 435, 464, 633, 803, 815,862,910,929 kwantowa -4 kwantowa: teoria pola bozonow 546, 567, 895 fotonow 426, 546, 600 Poincan!go-niezmiennicza 786 popperowska 982-983 powierzchni Riemanna 121, 142, 852,872-873,955,1001-1002 Reggego 893, 905-906, 922, 1005 relatywistyczna 399, 422, 464, 476, 547-548, 553-554, 582-586, 589-591,627,638,738,926, 945, 998, 1001 renormalizowalna 628, 649--{i52, 654,715-716,836,838, 845-846, 856-857, 975, 1000 reprezentacji (grup) 257-258, 260, 282, 903, 964, 994 ci,!glych 260 rozmaitosci zespolonych 324, 877, 929, 936, 1001-1002 Seiberga-Wittena 892-893 sieci spinowych 61, 66, 347, 908-909, 912-916, 918, 925-926,930,987 snopow holomorficznych 927 spinorow 141,205,338,538539, 875, 936, 980 spinowo-torsyjna Einsteina-Cartana-Sciamy-Kibble'a 291 struktur q-zdeformowanych 909 strun 121,134, 142, 211, 246, 313, 324, 338, 461, 623, 627, 654, 693, 787, 839, 846-847, 849, 851-862, 864, 866-867, 871-887,889-893,895,898, 902, 906, 915, 930, 936, 953, 955, 963-965, 971-973, 977-978,981-982,987, 1000-1002 heterotyczna E, x E, 876 heterotyczna 0(32) 876, 882 na hipertorusie 874 typu I 849, 876, 882, 887, 930, 955 typu IIA 876, 882 typu lIB 876, 882
Indeks rzeczowy strunowa hadronow 849, 851 supergrawitacji 291, 313, 842-843, 845-847, 878-879, 887, 936, 1000 superstrun 856, 877, 936 supersymetrii 654, 839-840, 842, 849, 856, 878, 881, 887, 890, 963, 980-981, 1000 systemow calkowalnych 962, 964 toposow 923 trajektorii Reggego 1005 twistorow 61, 121, 134, 141, 158, 269, 273, 278, 310, 322, 324, 326-327, 339, 526, 543, 580, 793, 852, 855, 890, 893, 896, 898,900-903,910,918-919, 921,923,925-931,935-936, 940, 944--945, 947, 951, 953-956, 960-970, 977-978, 980, 986-987, 996, 1001-1002 Weyla 431-433, 448, 625, 738, 910 wyzlow 347, 907, 913, 919, 923 i splotow 907, 923 wi<jzek Wielkiej Unifikacji ---> TWU wszystkiego 47, 59, 211, 239, 353, 382,413,415,426,431,437, 439, 457, 464, 467-468, 477, 493, 508, 553, 600-601, 604, 610,613--614,617,626-626, 627-628,636-637,647,650, 653--654, 657-658, 668, 671-672, 683, 750, 754, 779, 784--785,814,816,831,835, 838-839,848-849,852,854, 856-858, 862, 871, 874, 876-878, 880, 882-883, 886, 904, 915, 921, 927, 953, 964, 971,978,981,989,994--995, 1000-1001 wzglydnoki 11,39,45,47,57, 60, 134,136,141,149,177,196, 257, 265, 267-269, 278, 283, 286, 293--294, 297, 306, 308, 312-313,366,373,380, 382-383,388-392,396,399, 401-404,407-408,411,413, 415-416,418-419, 421-422, 431, 437, 442-446, 448-449, 456, 464-465, 467, 471, 474-475, 479, 483, 490, 500, 514,526,551,553,567,571, 579, 582-583, 589, 591, 625, 627-628, 633, 638-639, 650, 658, 670, 672, 678, 684-685, 723,730-731,734,738-739, 751,760,782,784--786,791, 802-803,808,814-817, 826-827, 834-834, 835, 838, 843, 845, 848, 852, 854, 856-858, 860, 864, 872-873, 880-882, 898-899, 902, 905, 910, 914, 916-917, 919, 922,
924--925, 927, 930, 936, 947, 961,971-972,974,978,985-986, 994, 996, 998, 1000-1001, 1006-1006, 1007 prozni 880 ogolna 11, 45, 47, 57, 134, 136, 267, 283, 286, 293, 297,312-313,366,373, 380,382,390-392,402-404,411,431,437,443-446,448-449,456,467, 471,475,526,551,582, 628, 633, 650, 658, 670, 672, 678, 684-685, 723, 730-731,734,738-739, 751,784--786,791,802, 808,814-817,826-827, 835, 838, 843, 845, 848, 852, 854, 856-858, 860, 864, 872-873, 880-882, 898-899, 902, 905, 910, 914,916-917,919,924, 927,930,947,961,971-972, 974, 978, 985-986, 994,998, 1000-1001, 1006-1006, 1007 szczegolna 11, 149, 196, 265, 268-269, 306, 308, 373, 383, 388-389, 392, 399, 401-403,407,415,418-419,421-422,464,475, 483,514,551,571,579, 582-583, 589, 625, 627, 639, 658, 738, 826, 835, 838, 898, 922, 924, 930, 947,971,985 Yanga-Millsa 434, 621, 712, 877, 881,883-884,890, 892, 965,1001 zbiorow kwantowych 922 zmiennych pytlowych 347, 882, 905-907, 913-916, 918, 921,930,987 termodynamika 421-422, 660-661, 666-671, 674-675, 685, 717, 724--726, 731, 738, 746, 749, 789-790, 792, 795, 797-798, 971,998 statystyczna 421, 660, 795, 797-798 TKTP 510-511, 559-560, 571, 574, 761, 764--765, 770, 787 tlumienie drgan 536 ruchu 659 topologia 48, 122, 126, 135-136, 143-145, 149, 197, 211-213, 236-237,310,316,320,323, 331-334,338,410,430,434, 448,612,645-647,655,709-712,714,772,850-851,872-873, 877, 886, 889, 895, 907, 910,912,914,919,921,923, 953,959,969,997 algebraiczna 923
diagramu Feynmana 647, 850 euklidesowa 48, 211, 213, 430 hipertorusa 895 ogolna 136, 236, 711, 907, 923 ograniczona 236 powierzchni 135-136, 143-145, 149,212,448,851,873,914 Riemanna 135-136, 144--145, 873 przestrzeni 136, 149, 211, 213, 236-237, 316, 323, 338, 410, 448, 711, 772, 873, 877, 886, 889, 895, 921, 953, 959 rozmaitosci 136, 149,212-213, 877,914,997 zespolonej 136, 877, 997 sfery S2 877 wyzlow i splotow 907, 910, 914 wi'lZki 331, 334, 953, 969 topologiczna kwantowa teoria pola ---> TKTP nietrywialnosc 211-212, 331 rownowaZnosc 850 dyskretna 144 struktura sieci spinowych 912, 914 trywialnosc 211-212, 331 torsja 213, 291-292, 295-296, 298, 301-304,306,336,372,378, 380-381,391,410,444,449, 462, 734--737, 745, 839, 868, 900,956 koneksji 291, 296, 298, 301-304, 306,336,372,378,391 topologiczna 213 torus 135-136, 143-145,212-213, 227,874,895 Riemanna 135-136, 144--145, 212 tozsamosc algebraiczna 908 Bianchiego (druga) 291-292, 337,441 Jacobiego 259-260, 309 komutatorowa 309 Ricciego 292, 910 trajektoria 376, 454-456, 462-463, 535,546,605,638,659,851, 944, 979, 1005 cZ<jstki bezmasowej 944 klasyczna 546, 638 elektronu 546 Reggego 851, 979, 1005 transformacja biliniowa (Mobiusa) 140, 142, 269,272 cechowania 431, 433, 468, 495, 600 gladka 138, 300 kanoniczna 257, 904 konforemna 138, 142, 145,411, 431,793,935 liniowa 139, 246-251, 253-258, 260-263, 265-269, 271-275, 277-278, 280, 282, 483, 507, 510,512,514,525,905
1103
Indeks rzeczowy
1104
aktywna 266 bierna 266 infinitezymalna 258, 507 nieosobliwa 256, 272 odwrotna 263, 275 ogolna 139, 246, 248, 280 ortogonalna 247-248, 268, 272 osobliwa 250, 256, 272, 514 pseudounitarna 275 rzeczywista 265-269, 278 skoftczona (nieinfinitezymalna) 257, 507 tozsamosciowa 250 unitarna 271-272, 512 zespolona 254, 269, 271-273, 277 Lorentza 422, 541, 593, 739, 944, 966 macierzowa 249, 261, 280, 942 pseudounitarna 275, 278 unitarna 271-272, 275, 512 Zukowskiego 147-148 translacja 25, 85, 145, 201-202, 350,398-399,419,437,466, 473-474,512,524,540-541, 543,793-794,800,930 czasoprzestrzenna 419 czasowa 540, 793-794 infinitezymalna 473, 524 przestrzenna 419,437,466,474, 512,524,540-541 skladanie (dodawanie) 85, 398, 540 w czasie 466, 524, 543 transpozycja (macierzy) 261-262, 267,273,276 sprzyzona 273 trojkllt euklidesowy 202, 402-403 krzywoliniowy (sferyczny) 42, 202 dualny 263 3-forma 224, 424, 436 objytosc zwarta 439, 448 Pcrd 541-542, 545 powierzchnia zamkniyta 427 przestrzeft euklidesowa ]&3212, 247-248,286,322,530, 765,863 rozmaitosc 241 niespojna 242 skierowana 228 spojna 242 zespolona 866, 874, 877, 929, 938, 1001 wymiarowy element plaski 221, 386 twierdzenie 10 Atiyaha--Singera 149 Banacha-Tarskiego 350 Bella 557, 563 CPT 598, 610-611, 786, 964 de Moivre'a 100 Desargues'a 328-329, 339, 344--345,363
Fermata wielkie 13, 23, 361, 891, 999 male 13, 977 Gaussa-Bonneta 48 G6dla 0 niezupelnosci (nierozstrzygalnoSci) 19, 353, 355, 999 Greena 224 Kodairy 958-959 Lagrange'a 55, 361 Liouville'a 462, 782, 812 Newlandera-Nirenberga 236 NO-GO 833 Ni:ither 419, 437, 466-467, 473 o odciyciu 170 o osobliwosciach 683, 726, 870-871,895 o zwi¢u spinu ze statystykll 567, 618-619, 631 Pappusa 328, 339, 344--345 Pitagorasa 10,24,26,30-32,47, 50-52,55,88,306,394 podstawowe algebry 73, 82, 254 rachunku calkowego 101, 114--115, 224, 226, 229, 422, 427-429 rozniczkowego i calkowego 101, 224, 226, 229, 422,427-429 popperowskie 982 Riemanna 0 odwzorowaniu konforemnym 146 Stokesa 224, 237 Taylora 302, 311, 891 twistor 61, 121, 134, 141, 158, 209, 269,273,278,310,322,324, 326--327, 339, 526, 543, 580, 793, 852, 855, 890, 893, 896, 898,900-903,910,918-919, 921,923-931,934--949,951-970,977-978,980,986--987, 996, 1001-1002, 1006 dualny 273, 937, 941-943, 957, 960-961, 963-964 jako promieft swietlny 925-927, 929-930, 939, 943-944 jako spinor wyzej wymiarowy 934 jako spinor zredukowany grupy 0(2, 4) 934, 936 nieobojytny 942-943 obojytny 938-940, 943 rzutowy 927, 929, 938-940, 943-944, 954--955, 957-959, 961,968,1001-1002 nieobojcrtny 943 zespolony sprzyzony 937, 941, 943 twistorowa (-e,-y) formalizm diagramowy 963 funkcja falowa 945-947, 960, 963,969 fotonu 947, 949
kohomologia snopow 926, 949 KTP 955, 962-963 opis czasoprzestrzeni 926--927, 945 p61 bezmasowych 949 pol fizycznych 926 relacje komutacji 945 reprezentacja pol bezmasowych 966 teoria cZllstek elementarnych 962 kwantow 944, 1002 wyraZenia 209, 948, 963 zmienne --+ zmienne: twistorowe TWU 103,510-511,559,761, 770, 787,977
U uklad drgajqcy 457 dwustanowy 528, 531, 765-766 holonomiczny 469 izolowany 447, 467, 552, 660, 670 jednostek bezwzglydnych --+ jednostki: Plancka naturalny --+ jednostki: Plancka nieholonomiczny 469 niezmienniczy 437, 468-469 n-stanowy 782 odniesienia 311, 377, 383, 412-414,416-418,440,485, 513,524,538,544,578-580, 589, 603, 609, 660, 669,720,794,833,868 inercjalny 413, 579, 794 przyspieszony 794 spinorowy 538 stacjonarny 579 swobodnie spadajqcy 377, 833 wlasny, spoczynkowy 416--417,720 rownaft rozniczkowych nieskoftczony 871 Sioneczny 373, 444, 659, 669, 684,734,807,1007 wspolrzc;dnych preferowany 439, 448 zamknicrty 124, 127, 462, 811 ulamek 10, 50, 52-56, 58, 67-68, 70,81,89,162,170,342,353, 618,742-743,869,983 cillgly 53-56, 58, 67 nieskonczony 54, 56, 58, 67 dziesiytny 52-53, 67 nieskoftczony 52-53 okresowy 53 unifikacja grawitacji i mechaniki kwantowej 582, 790-791, 1007 oddzialywan cZllstek elementarnych 841
Indeks rzeczowy elektroslabych i silnych 623 struktury czasoprzestrzeni i zasad mechaniki kwantowej 945 VIR paradoks 356, 360, 403, 432, 566, 752, 777, 779, 985 procedura 10, 58, 62, 88, 106, 129, 136, 181, 191, 193,231, 273, 285-287, 301, 342, 353, 396,464-465,467,471,474, 503,505,509,515-516,536, 554, 567, 572, 578, 629, 647, 650, 652, 656, 710, 740, 752, 757, 759, 772, 774, 779, 788, 790, 794, 827, 873, 891, 899, 923, 930, 951, 959, 966, 971, 991-992 uwl6knienie 969 holomorficzne 969 Hopfa 320
W wahadlo 413, 457-458, 659 magnetyczne 659 walec 2-wymiarowy 317 walencja operatora 288, 291 tensora 233, 262, 273-274, 288-291,303,307 warstwa czasowa przestrzeni ICE4 399 grupy 245 Heaviside'a 102 stozka swietlnego 410 wartosci funkcji 78-80, 87, 90, 92, 95, 102-104, 106-108, 110, 117-119, 120-121, 123, 125, 129, 131-132, 133-135, 138, 140,151, 154, 165, 168, 172-173, 177-180, 188, 191-192,209,295,319-320, 333-334, 362, 453-454, 465, 482-483, 486, 494, 497, 500, 510, 525, 586, 588, 644, 740, 782,797,820,851,888,901, 946, 952, 990 gole 649, 841, 881 srednie 106, 135,342,382,421, 469, 480, 502, 558, 640, 649, 659, 682, 836, 870, 983,1005 wlasne 254, 280, 461, 511, 541 energii 483, 511, 544-546, 548, 586, 598, 813 komutujqcych obserwabli 541-542 macierzy gystosci 768, 777-778,782 momentu pydu 528, 537, 541, 546,548,550 niezdegenerowane 518 obserwabli kwantowej 515-516,550
operatora Laplace'a 536 wielokrotne 254, 256, 545, 768, 945-946 zdegenerowame 460, 518, 521 zespolone 78, 80, 82, 90, 92-93, 96, 120, 123, 131-132, 133, 138, 145, 156, 178, 188, 191, 254, 273, 362, 486-487, 502, 510,515,633,795,800,901 wartosc bezwzglydna 102, 177-178,295, 494,656,837,881 gola ladunku 649, 841 krytyczna gystosci materii 743, 983-984 m (wlasna spinu) 82, 107, 114, 118, 131, 156, 191, 254, 273, 284,288,295,302,315-316, 319,344,428-430,483,489, 514,518,528,535,537,541, 546, 548-549, 586, 594, 643, 661, 678, 743, 745, 768, 770, 800,841,888,911,915, 965-966, 982 oczekiwana 549, 580, 745, 762, 818, 820-821, 827, 882, 984 pola dylatonowego 882 okreslona obserwabli 514, 516 spinu 399, 522, 526-528, 530, 532, 535, 539, 546, 563, 567,630,770,851,869, 900, 904-907, 911-912, 915, 918, 925, 980 srednia energii 480, 502 ubrana ladunku 649 wlasna 483 pydu 483, 496, 528, 537, 541, 544, 546, 548, 550, 945 operatora pomiaru 496, 515, 518-519, 756 operatora skrytnosci 945-946 polozenia 945 spinu 527, 530, 535, 546 zdegenerowania 460, 518, 521 warunek dodatnich cZystosci 163-164, 642, 741, 793-794, 885, 901,927,948-949,954,995 Frobeniusa 237 generycznosci 870 Hausdorffa 216, 236 holomorficznosci funkcji 188 istnienia pr6zni 858 jednorodnosci 946 ortogonalnosci 535, 550, 768 w przedstawieniu Majorany 535 nieujemnosci energii 895 normalizacji funkcji falowej 494 parazwartosci 236 plaskosci Ricciego -4 plaskosc: Ricciego znikania w nieskoftczonosci 632 zwartosci 236, 265, 551
wektor 181, 183-184, 186-188, 194-195, 201-203, 206-209, 213,216-222,228-238,246-247,249-252,254-256, 259, 261-263,265-266, 268, 272, 274-275, 279-280, 282-289, 292-308,310,312,315-327, 329-333, 336-338, 340, 361, 363, 372-373, 385, 394, 400, 413-418,423,425-427,429-430,435-437,440,443,450, 454-457,460,462,469,473, 483,485,493-494,503-504, 506-507,509-511,513,515, 517-519,525,527-528,531-535, 537-538, 540-543, 553-555,559,566,571-572,589, 592-594,607,620,629,632-633,635,645,709,711,748, 752-753, 756, 759, 761-762, 764,766,768-771,773, 777, 790-791, 793-794, 797-798, 800-805,814-818,833,844, 848-849,859,862,887,895, 900-901,904,917,929,935, 937-938,942,949-951,953, 955-957,959,961,973,1005 czasopodobny 417-418, 440, 645, 793-794, 801-803, 814,895,929,955 czasoprzestrzenny 416, 423, 793, 814,929,935,942 czasopodobny 793, 929 przestrzennopodobny 929 zerowy 929 energii-pydu 413, 415-416, 435, 443,540-541,589, 801, 803-804 gystosci prildu 423, 427 Killinga 280, 307-308, 436-437, 793-794, 797-798, 800805,814-817,848-849, 859,862,887 czasopodobny 793-794, 801-803, 814 przestrzcnnopodobny 801-805 kolumnowy 261-262, 525 kostyczny 218, 312, 324, 326-327, 332,340,450,454,844 lilczilCY 297-298, 373 n-wektor 219-220, 231, 538 momentu magnetycznego 535 pola elektrycznego 429, 469, 532-533, 554-555, 900 magnetycznego 423, 429, 469, 532-533, 535, 554-555, 900 polozenia 266, 414-415, 418, 504, 542,553,929,949,955 4-przestrzenny 418 3-przestrzenny 415 prqdu ladunkowego 423, 426 przestrzennopodobny 801-805, 929
1105
Indeks rzeczowy r6wnolegty 24&-247, 282, 284-288, 292-293, 29&-298, 301, 304-306, 312, 332-333, 1005 spinowy Pauliego-Lubanskiego 542 spinu 203, 312, 323-326, 535, 537-538, 542-543, 553, 572, 594, 904, 935, 942 stanu 217-219, 251, 261-262, 282, 287-288, 321, 323-324, 329, 372, 394, 436, 457, 469, 483, 485, 493-494, 503-504, 50&-507,509-510,513,517,519, 531, 553, 566, 571, 589, 594, 620,629,635,752-753,759, 762, 764, 766, 768,77G-771, 773,777, 79G-791, 794, 815-816, 917, 935, 937, 973 kwantowego 485,493,503-504, 513,553,571,762,764, 768, 79G-791,917, 973 Stokesa 533 styczny 217-220, 228, 283, 285-288, 293-295, 297-298, 301-302, 312, 323-324, 32&-327, 332-333, 336, 340, 385, 417-418, 440, 450, 454, 503,537-538,593,752,801, 844, 895, 917, 1005 czasopodobny 417-418, 440, 895 jednostkowy spinorialny 323-324,537-538 wierszowy 261 wtasny 217-218, 220, 246, 254-256,280,284,287,306, 460, 483, 504, 515, 517-518, 566, 756, 759, 777, 801, 815 obserwabli 515, 542 operatora polozenia 504 zerowy 218-219, 250, 254, 275, 282, 301, 319-320, 324, 385, 418,645,764,849,895,929 zespolony 206, 235-236, 24&-247, 254, 272, 32G-322, 324-326, 337, 394, 494, 506, 51G-511, 531, 554, 559, 632-633, 764, 770, 904, 937-938, 953, 955 sprzc;zony 272, 511, 559, 770 wc;zly i sploty 907-908, 910, 914, 923 potr6jne 908, 913 sieci spinowej 347, 913-914 willzanie chemiczne 595-596, 751 kowalentne 595-596 wi'lzka 312-327, 331-340, 352, 362, 369-372,377-378,381,384,
38&-387,399,430-434,464, 469,478-479,490-491,496,
1106
52G-523, 537-538, 549, 621, 623, 703, 71G-711, 713, 817, 845, 848-849, 875, 893, 896, 904,953,957,959,969,996
Clifforda 320, 322-324, 331, 337, 537-538 Galileusza 369-372, 377-378, 386 gt6wna 332, 340 iloczynowa 315-316, 319-320, 333,369,372,377 liniowa 316, 320, 325, 332, 523, 549 kostyczna 324, 32&-327, 332, 464 Mbbiusa 31&-318, 320, 331 nad przestrzeni'l 4-wymiarow'l 875 2-wymiarow'l 334 rzutow'l327 napryzona 332-337, 432 nieskrycona 315 styczna 323-324, 32&-327, 332-334,336,464,537 tensorowa 327, 332, 336 trywialna 315-317, 319, 331, 334,875,953 U(I) 323, 337-338, 430, 433, 623 wektorowa 315, 320, 324-327, 331,33&-337,430,538,711, 953 zespolona 320, 324-326, 337, 953 wl6knista 312, 314-315, 331, 338, 369-371, 377, 621, 713, 817, 875, 957, 969 zespolona 320, 322-326, 331, 334-335, 337-338, 953 liniowa 325 widmo atomowe 432, 547, 997 atomu wodoru 1001 ciala doskonale czarnego 751, 792 promieniowania ciata czarnego 480, 751 rentgenowskie 681 wielkosc antysamodualna 902 dualna 188, 190, 272, 288, 421, 424-425, 623, 901-902, 919, 937 kwadrupolowa 900 lewoskrc;tna 426, 522, 603, 902 lokalna 292, 301, 430, 438, 447, 470,489,815,935 polowa 843, 871, 90G-901 samodualna 901 skalarna 64,179,18&-188,237, 273,287,291,311,334,416, 430, 436, 483, 910, 942, 967 tensorowa 266, 273, 283-284, 290,299,312,336,400,418, 435, 438, 525, 539, 761, 900 wektorowa 183, 187-188, 194, 213, 217, 221, 232, 237, 262, 266, 284, 288, 299, 301, 336, 400,413,435-437,900,956 wielomian 73, 81-82, 254, 637, 859, 899,907,909,919 Alexandera 908
HOMFLY 908 Jonesa 908, 909 Kauffmana 908 zespolony 82 wierzchotek diagramu Feynmana 613, 621, 643, 651-654 stozka §wietinego 384, 409, 933, 939-940 typu "H" (sieci spinowej) 913-914 typu "X" (sieci spinowej) 913-914 wiyzy 363, 469, 555, 566, 622, 624, 644,650,899,914,916,918-919,934,990,1002 hamiltonowskie 899, 914, 918 wl6kno 312, 314-325, 327, 33G-335, 337-340, 369-372, 377-378, 430,432,621,713,748,817, 845, 875, 893, 895, 904, 957, 961,969, 1005 optyczne 895 rzutowania 316, 370, 961 wskai:niki (indeksy) spinorowe 232, 527,550,947 nieprimowane 272, 525, 602-603, 625, 902, 948 primowane 272-273, 525-526, 602-603, 625, 902, 941, 947-948 wsp6lrzc;dne (-a) biegunowe 8&-87, 92, 411, 79&-797 czasowa 160, 415, 553, 582, 67G-672,738, 794, 79&-797, 817,917 jednorodne 248, 330, 938-939 kanonicznie sprzc;zone 467, 476, 899 kartezjanskie 78-79, 8&-87, 92, 104-106,247-248,265,267, 306,321,394,397,414,448, 451,456,473,517,53&-537, 796,864 zespolone 86-87, 92, 397, 517 k'ltowe 451, 476, 797-798 krzywoliniowe 899 lokalne 177-178, 181, 188,224, 442,862 Minkowskiego 405-406, 423, 430, 436, 448, 456, 590, 738, 935,937,941-942 plaskie 220, 430, 436, 448, 456, 473, 475, 797, 899, 950, 957 sferyczne 411, 53&-537 stereograficzne 411 twistorowe 937, 945, 957 uog61nione 451, 454, 458-460, 464, 467, 469, 473, 475476,544,904 wymierne 362 zespolone 80, 82, 86-87, 92, 96, 158,178,235,269,334-335,337,362,39&-397,
Indeks rzeczowy 411,517,795,843,937, 942,945 wstyga M6biusa 215, 228, 316-317 swiata 859-861, 872, 878-879 2-wymiarowej struny 860 struny 0 dodatnio okreslonej metryce 859 Wszechswiat lO-wymiarowy 874 Einsteina 442, 674, 689, 742, 827, 886, 983, 1007 Friedmanna -> model: FLRW inflacyjny 690, 704, 716-718, 720-727,731,741-742,746,830 jednorodny 45, 485, 675, 687-688, 713,716-718,724-727,729, 731,736-737,826,982 kombinatoryczny 912 niesko6czony 63, 341, 670, 689, 693, 699, 729, 804, 820, 991 obserwowalny 688, 693, 695, 698-699, 718, 732, 734, 741. 820, 888, 972, 982, 1004 otwarty 691 partycypacyjny Wheelera 834 sko6czony 62-63, 341, 670, 672, 689, 693, 699, 729, 804, 820, 991 stacjonarny de Sittera 719-721 statyczny, przestrzennie ograniczony 442, 724 wygladzony 732 zamkniyty przestrzennie 149,442, 691 wymiar dodany czasoprzestrzeni 338 grupy symplektycznej 278, 309 przestrzeni wektorowej 194, 213, 217-218,247,250-251, 256, 259,261-262,265,280,283, 316-318,320-322,324-325, 329-332,337-338,363,483, 506,620,632-633, 904, 937-938 rzeczywisty 11, 60, 137, 175-176, 194,196-197,204,206,235, 256,265,269,309,316,318, 331-332,337-338,363,394, 398,553,555-556,620,632-633, 796, 817, 846, 860, 880,928,931,938,940,943, 958,960 wewnytrzny przestrzeni 313-314, 409, 885, 965 zespolony 130, 175-176, 188, 193, 196-198, 206, 229, 235, 254, 265, 269, 309, 320-322, 324-325, 335, 337, 363, 394, 397,419,433,486-487,506, 511,528,555-556,632--633, 646, 782, 904, 928-930, 936-938, 940, 958, 960, 994995, 1001
wz6r Bakera-Campbella-Hausdorffa 310 Balmera 551 Bekensteina-Hawkinga 685-686, 698,880,882--883 Cotesa-Eulera 94 Lamberta 34, 270 Michella 680, 881 Rayleigha-Jeansa 480 Leibniza 112, 289, 473, 511
Z zaburzenie pola metrycznego 860 przestrzeni nieosobliwe 870-871 w spos6b generyczny 895 zachowania nieanalityczne 966-967 nieholomorficzne 966, 995 zachowanie antyholomorficzne 896 4-pydu 419, 643-644, 803--804 energii 413-416, 418, 435-438, 446-447, 456, 462, 466-467, 477, 500, 506, 513, 524, 547, 584,660,731,746,780,792, 801--805, 821 energii-pydu 413-416, 435-438, 447, 466-467, 477, 524, 792, 803--804 holomorficzne 148, 150, 852, 896, 945-946, 967 iloczynu skalarnego 511-512, 759,803 liczby barionowej 489, 584 !adunku 422, 427-428, 435-436, 467, 489, 584, 605, 612, 703 masy 8,223,414-416,418-419, 436-437, 447, 524, 549, 590, 593, 644, 673, 731, 746, 824, 966 masy-energii 414-416, 418, 447, 524, 731, 746 momentu pydu 413-415, 419, 435-436,467, 524, 559, 792 normy 71, 509, 511, 775 objytosci przestrzeni fazowej 667,812 pydu 413-416, 419, 435-438, 447, 466-467, 474, 477, 524, 559, 577, 643-644, 659, 673, 792, 803-804 prawdopodobie6stwa 641, 758-759,812,966,995 tachionowe 855 zacmienie SIo6ca 445 zak 4,19,41,52,89,108,172,195, 207, 229-230, 236, 256, 265, 280, 283, 299, 302, 336, 359, 361,406,444,446,458-459, 476,479,482,506,517,522, 533, 542-544, 547, 558, 566, 573, 584, 603-615, 625, 634,
643, 649, 652, 658, 664-665, 673,683,689,693,699,701, 712,714,721,726-727,733, 737-738, 754, 756, 763, 766-767, 775, 787-789, 799, 812, 821,823,826--827,831,854, 856,858,863,866,881--882, 888,902,910,912,929,940, 957,963,982,993,997 antyneutrina 608-609, 634 elektronu 479, 603-604, 609, 615, 854,902 neutrina 609, 634, 997 zamkniyte krzywe czasopodobne 391, 718-719, 870 pytle (diagramu Feynmana) -> Pl'tla: zamkniyta zapadanie grawitacyjna 678, 683, 736 zapis (tensorowy, macierzowy) 2-spinorowy 598, 601-602, 900, 947 abstrakcyjno-wskaznikowy 232,252 graficzny 252 z przekresleniem 593 zygzakowy 605 zasada antropiczna 699, 727-733, 747, 749, 786, 990-991 mocna 728-730, 749 slaba 728, 749 dynamiki Newtona 370 druga 660, 731, 749 pierwsza 371 trzecia 372-373, 414, 468 ekwipartycji energii 665 Hamiltona 452-454, 464-466, 511,546,589,639,641, 760,976 holograficzna 883--886 identycznosci cZllstek kwantowych 433 liniowej zespolonej superpozycji stan6w 522, 638 Macha 383, 514, 723, 747, 749, 838, 902, 905, 910, 919, 965,990,994 nieoznaczonosci Heisenberga 486, 499-500, 819-820, 827--828, 929, 973 energia/czas 500, 819 polozenie/pyd 499-500, 820 og6lnej kowariantnosci 439, 670, 816,834,858,905,907,914, 916-917 przyczynowosci 682, 718-719, 830, 929 r6wnowainosci 373-376, 382, 384, 436, 438-439, 794, 816,833,854,952,985 Einsteina 374, 382, 436, 985 stacjonarnego dzialania 452, 465,639
1107
Indeks rzeczowy superpozycji 522, 614, 638, 660, 773, 819, 823, 833, 905, 925,995 wzgl"dnosci 366, 368, 371, 382-383, 386-387, 390, 399-400, 412-413,415,464,553,579, 582, 589, 628, 670, 723, 760, 791, 815--816, 826, 835, 857, 873,914,922,925,985-986, 1007 Galileusza 366, 368, 371, 383, 387,413,985 zasady mechaniki kwantowej 433, 439, 464,505,514,522,582,589, 638,751,759-760,774,785, 791, 803, 816, 826, 835, 857, 917, 925, 936, 945, 974, 976, 986, 1003, 1007 zbior 63, 339, 342 dokladny 236, 350, 353-354, 503,599,756,882 domkni"ty 149 fraktalny 725 liczb calkowitych Z 52, 67, 342, 350-352 kwadratowych 52, 56, 67, 348 naturalnych N 63--64, 347-350, 353, 357, 359 wymiernych 52, 56, 58, 64, 67, 347-348, 350-351 zespolonych 265 maksymalnie sprecyzowany 757, 778 Mandelbrota 16-17, 81-83 niepusty 237, 350 nierekurencyjny 359 nieskonczony 16, 58, 63, 213, 236,342,347-351,353,891 otwarty 136, 149-149, 150, 213, 216, 236-237, 309, 348, 669,949-951,959 podzbiorow 81, 133, 150, 349, 351-354,357,359 pozaskonczony 361 projektorow 756-757, 778, 781, 783 przeliczalny nierekurencyjnie 361 rekurencyjnie 359 pusty63, 237, 289,348,350, 352 rekurencyjny 359 roznic doskonalych 363 skonczony 16, 58, 63, 213, 236237,342,347-351,353, 361,761,863,891,922
Steina 922, 951 zupelny komutujqcych operatorow (obserwabli) 542 zewnytrznych 527 ortogonalnych projektorow 756 zwarty213, 227, 237, 863, 959 zdanie typu il, 361 zdarzenia 8, 18, 367, 369-370, 384-387,389-391,401-402,409410,440,482,516,520,548, 562, 564, 566, 574, 580, 584, 597, 640, 650, 679--683, 685, 696, 701, 715, 729, 737, 777, 786-789,791,803,823,830--831,880-882,927,929,938-939,948,960,968,982,993, 1000 jako punkty czasoprzestrzeni 370,384,831,927,960 jednoczesne 367, 401, 564 na stozku swietlnym 384, 409, 939 zderzenie 376, 416, 446, 481, 622, 684, 703, 734, 1004 proton-proton 622 zespolona liniowosc struktur przestrzeni Hilberta 765 przestrzen wektorowa 246-247, 272, 320-322, 324-325, 337, 494, 506, 510, 632--633, 904, 937-938 rzutowa 3-przestrzen 929 3-rozmaitosc Calabiego-Yau 866,877,1001 zespolony promien iiwietlny 928, 938-939, 969 tensor Maxwella 901 Weyla 901 zlamanie przyczynowosci 391, 715 supersymetrii 842 symetrii 243, 607, 614--615, 621--624,652,654,704,706-716,722,786-787,829-830,842,981,996-998 cechowania, nieabelowej 716 oddzialywan elektroslabych 622,624,654,708-709, 712-716, 722, 996 spontaniczne 615, 704, 706-708,710-712,714, 996-998
U(2) 615, 622--624, 652, 654, 708-709,712,715 wzglydem odbic 607 zmienne Ashtekara ~ zmienne: pytlowe dynamiczne 483-484, 496, 500, 513-514, 915 heisenbergowskie 513 kanoniczne 903, 919, 945 kanonicznie sprzyzone 903, 945 niezalezne 189, 196, 363, 452, 466, 476, 500, 543, 550, 866,905,945 pydowe 498, 554, 903, 945 pytlowe (Ashtekara-Rovellego-Smolina) 347, 898-899, 902-903,916,919,925 polozenia 162, 482-483, 498, 500,513-514,554,594, 903,929,945 twistorowe 543, 945, 963-964, 987 zwarta 4-objytosc 428, 466 hiperpowierzchnia przestrzennopodobna 691, 870, 895 przestrzennopodobna 6-przestrzen riemannowska 862 6-rozmaitosc 874 zwartosc 142, 227, 236-237, 264--265,548,551,863 grupy polprostej 265 przestrzeni 227, 237, 548, 551, 863 topologicznej 237 sfery kierunkow przestrzennych 548 zwierciadlo paraboliczne 490, 823 polprzepuszczajqce 490, 773, 787 zyg 576, 598, 601, 603--616, 622, 625, 634,651,713,902,997 elektronu 601, 603--605, 607, 609, 611,615,651,713,902 neutrina 609, 612, 634, 713, 997
Z zrodlo pola 172, 197, 429, 435, 439, 443, 522-523,577,613,710,820, 881, 896, 910 elektromagnetycznego 443 fotonow 522-523, 577 grawitacyjnego 435, 439, 443, 820,910 lokalnie znikajqcego 910 punktowe 910
Indeks nazwisk A Abbott B. 449 Adams C. C. 919 Adams F. J. 209, 339 Adams Walter Sydney 446 Adler S. L. 363 Afriat A. 580 Abaronov Yakir 339, 581, 832 Abmavaara Y. 68, 341, 921, 967 Aitchison I. 654 Albert D. 783 Alpher Ralph Asher 702 Amati Daniele 853 Ambjorn J. 750 Ampere Andre Marie 423 Anderson Carl David 1006 Anguine K. 749 Antoci S. 448 Archimedes z Syrakuz 60, 101, 994 Arfken G. 550 Arndt M. 834, 1004 Arnold V. I. 392 Arystoteles ze Stagiry 367, 369, 377,392 Ashtekar Abhay Vasant 68, 655, 749, 845, 894, 896, 899-900, 902, 904, 917-920, 977 Atiyah Michael Francis 968
8 Back Ernst 49 Baez John 893, 920, 967 Bagger J. 893, 1006 Bahcall John N. 750 Bailey T. N. 173-174,598,832,969 BanchoffTom 419 Barbour J. B. 448, 748 Barnes V. E. 626 Barrow J. D. 749 Becquerel Antoine-Henri 601 Bekenstein Jacob David 791-792, 879, 882, 886, 915 Belinskii V. A. 749 Bell John Stewart 831 Beltrami Eugenio 38, 48 Berberian S. K. 967 Bergmann P. G. 918-919 Berry M. V. 339 Bilaniuk O. M. 393 Bjorken J. D. 656
Blanchard Alain 703, 750 Bloch Felix 762, 765-766 Block Martin 625 Bohm David Joseph 434, 557, 559, 573, 758, 766, 776, 911-912, 992, 1005 Bohr Niels Henrik David 508, 547, 752,774 Boltzmann Ludwig 664-665, 994 Bolyai Janos 43 Bombelli Raphael 74 Bondi Hermann 68, 392, 402, 447, 703,1005 Bonnor W. B. 449 Borel Felix Edouard Justin Emile 874,895 Borner G. 748 Born Max 514 Boskovic Rudjer Josip 448 Bouwmeester Dik 974 Bradley James 410 Braginsky V. 549 Brahmagupta 89 Brekke L. 364 Bremernann H. 174 Brooks R 17 Brown J. W. 419 Bryant R L. 896 Bucher M. 750, 1005 Burbidge E. M. 749 Burkert W. 22 Burkill J. C. 67, 118
C Cachazo F. 897 Calabi Eugenio 876, 891, 954 Candelas Philip 877, 889, 1000 Cantor Georg 68, 347, 350-352, 354-357 Cardano Gerolamo 69, 73-74, 82 Carnot Sadi Nicolas Leonard 421, 661 Cartan Elie 210, 224, 245, 364, 377-378, 381, 391 Carter Brandon 704, 727-728, 749, 799 Cauchy Augustin-Louis 122, 125-126, 132, 137, 188-190, 192, 946 Cayley Arthur 197, 251 Chadwick James 601
Chambers RG. 448 Chandrasekhar Subrahmanyan 684, 703 Chew Geoffrey 979,1006 Christian J. 833 Church Alonzo 118,364 Churchill R V. 192 Clausius Rudolf 422, 661 Clifford William Kingdon 209, 310, 323,943-944,1005 Cohen Paul 23 Collins P. D. 893, 1005 Colombeau J. F. 174 Compton Arthur Holly 612 Connes Alain 237, 656, 924, 967 Conway J. H. 67, 279, 580 Cotes Roger 94,100 Coulomb Charles Augustin de 644 Cramer J. G. 781 Crane Louis 918 Crowe M. J. 209 Crumeyrolle A. 210
D Dapprich Johannes 833 Darmon Henri 23 Darwin Charles 730, 734 Das A. 502, 896 Davenport Harold 67 Davies P. 832 Davis M. 364 Davisson Clinton Joseph 479 Davydov A. S. 655 Dedekind Julius Wilhelm Richard 57-58,62,64 Derow Peter 780 Desargues Girard 344 Deser S. 893 Deutsch D. 548, 780, 1005 Devlin "Keith 279 Dhar J. 393 Diamond Fred 891 Dicke Robert Henry 448, 702, 728 Dine M. 895 Dirac Paul Adrien Maurice 174, 509-510,548,551,558,583, 591-592, 594-596, 602, 611, 628,634-636,654,710,727728, 749, 837, 916, 918, 976, 982,1005
Indeks nazwisk
Dodelson Scott 703, 748, 750 Dolan L. 279 Doppler Christan 745 Doran J. L. 210 Douady A. 82 Dowker Fay 781 Drake Stillman 368, 392 Dray Tevian 922 Duggins Andrew 993, 1006 Dunham W. 118 Du Sautoy Marcus 132, 1006 Dyson Freeman John 1006
E Eastwood M. G. 969 Eddington Arthur Stanley 445, 580,668,702,736,836,1006 Ehrenberg W. 448 Einstein Albert 11, 230, 248, 283, 293,312,365,372, 375-376, 378-80,382-384,388,403,415, 432, 421-422, 435-39, 441-445, 448,478-479, 481, 500, 582-584,587,589-90,690,746.750, 766, 816, 819, 842, 896, 898, 975 Elitzur Avshalom 549, 578 Elkies Noam 23 Ellingstrud Geir 877 Elliot J. P. 549 Ellis G. F. R. 237, 895 Escher Maurits Cornelis 32-38, 45, 138,407-408,691 Eudoksos z Knidos 56--57, 89 Euklides z A1eksandrii 60, 68, 138, 693, 978 Euler Leonhard. 23, 76, 93, 96, 100, 102, 104, 107-108, 110111, 121, 127, 131-132, 642, 647, 994, 1006 Everett Hugh 548, 753
F
1110
Faraday Michael 382, 421 Fermat Pierre de 13-15, 23, 101 Fermi Enrico 606-607, 631 Fernow R. C. 834 Ferro Scipione del 74 Feynman Richard Phillips 593, 622,641,645,648,651,655656,781,846,922,965,975 Fields John Charles 891, 924 Fierz Markus E. 919, 968 Finkelstein David 655, 967 Fitch Val Logsdon 611 FitzGerald George Francis 412, 415 Flanders H. 237, 448 Floyd R. M. 832 Fock Vladimir A1exandrovich 637 Fontana Niccolo (Tartaglia) 73 Fortney L. R. 549 Fourier Joseph 151-152, 161-163, 165,498-499,517 Frege Friedrich Ludwig Gottlob 348
Frenkel A. 821 Friedmann A1eksander A1eksandrowicz 689, 692-693, 695, 699 Frittelli S. 969
G Galileusz (Galileo Galilei) 60, 348, 367,369, 374--376, 382, 413, 454, 457, 833, 985 Gamow George 702 Gandy R. 364 Gangui A. 748 Gauss Carl Friedrich 48, 78, 224, 297,423,450 Gell-Mann Murray 617-618, 626, 782, 992, 1005 Germer Lester Halbert 478 Geroch Robert 550, 625, 967, 979, 1005 Ghirardi Giancarlo 821 Gibbons Gary W. 795, 797, 800, 833,893,896 Gibbs Josiah Willard 422, 994 Gisin N. 581, 781, 833 Glashow Sheldon Lee 606, 626 Gleason Andrew Mattei 580, 1006 Goddard P. 893 Giidel Kurt 360-361 Goldbach Christian 361, 500, 720, 1005 Goldberg J. N. 550 Goldblatt R. 967 Goldstein S. 500 Gottesman D. 832 Goudsmit Samuel Abraham 595 Graham R. D. 548, 780 Grassi Renata 781 Grassmann Hermann 209, 986 Greene Brian 893-894, 896, 918 Green George 224, 655 Green Michael 852-853, 893-894 Griffiths P. 968 Griffits Robert 755 Groemer H. 550 Gunning R. C. 968 Giirsey F. 209 Gurzadyan Vahe G. 49, 745, 984 Guth Alan 722-723
H Haehnelt M. G. 748 Hall Aspeth 785 Hall Edwin Herbert 68 Halverson N. W. 49 Hameroff Stuart 992, 1006 Hamilton William Rowan 193, 195-197,201,209,450,1006 Hanany S. 49 Han M. Y. 1008 Hansen B. M. S. 703 Hansen R. O. 969 Hardy Godfrey Harold 41, 48 Hardy Lucien 558 Hariot Thomas 42
Hartle James 364, 420, 702, 734, 738--739,741-742,747,750, 786,920,984 Hartnoll S. A. 894 HalVey F. R. 174, 968 Hausdorff Felix 136 Hawking Stephen W. 702-704, 741, 749,754,771,781-782,793, 805-806, 809, 832-833, 870, 895, 967, 983 Hawkins T. 280 Heaviside Oliver 119, 471-472 Heisenberg Werner 500, 511-513, 638, 647-648, 784, 892, 897 Helgason S. 237 Hermite Charles 271 Hertz Heinrich Rudolf 383, 426 Hestenes D. 209, 625 Hey A. 654 Heyting A. 48 Hilbert David 48, 467-468, 513 Hiley B. 500, 755 Hirschfeld J. W. P. 363 Hodges Andrew 962, 969, 1006 Hodge William Vallance Douglas 425 Horowitz G. T. 896 Howie J. 363 Hoyle Fred 720, 729, 749, 893, 1005 Huang Kerson 625 Hubbard J. 82 Hubble Edwin 674 Huggett S. A. 968 Hughston Lane P. 833, 893, 968, 1006 Hulse Russell Allan 445 Hurwitz Adolf 197
Immirzi Giorgio 967 Infeld Leopold 598, 625 Isenberg J. 969 Isham Christopher J. 833, 923, 967 Israel Werner 703
J Jackson J. D. 549 Jacobi Carl Gustav Jacob 259, 297 Johnson C. 896 Jordan D. 236, 280 Jordan Pascual 628 Jozsa Richard O. 581, 782, 967
K Kahler Erich 875 Kahn D. W. 192 Kaku M. 626 Kaluza Theodor (Kaluza Teodor) 313-314,887 Kane G. 892 Kasper J. E. 896 Katz S. 896 Kauffman Louis H. 919 Kay B. S. 832 Kelley J. L. 236, 338
Indeks nazwisk Kent Adrian 778-779, 782 Kepler Johannes 657, 977 Kerr R. P. 703 Kibble Tom Walter Bannerman 449,833 Killing Wilhelm 245, 703, 802 Kirschner Robert 743 Klein Felix Christian 193 Klein Oskar 313-314, 407, 448, 838,846 Kobayaschi S. 237 Kocharyan A. A. 49 Kodaira Kunihiko 969 Kolb E. W. 830 Komar A. B. 364 Kontsevich M. 896 Krauss L. M. 750 Kreimer D. 967 Kruskal M. D. 832 Kuchar K. 918
L Labastida J. M. F. 919 Lagrange Joseph Louis (Giuseppe Luigi Lagrangia) 55, 358, 450, 468, 639 Lambert Johann Heinrich 33, 43, 45,405,994 Landsman N. P. 655 Lang S. 1005 Laplace Pierre Simon 423, 450 Laporte O. 625 Lasenby J. 210 Lawrie I. 893 Lawson H. B. 598 Lee Tsung Dao 205 Legendre Adrien-Marie 450 Leggett Anthony J. 567 Leibniz Gottfried Wilhelm von 113,192,223,289,977 Lemaitre Georges-Henri 687, 689 Lenard Philipp Eduard Anton 479 Levi-Civita Tullio 251, 281, 306 Levitt M. H. 920 Lewandowski Jerzy 919-920 Lewis J. D. 896 Lichnerowicz A. 894 Liddle Andrew R. 703 Lie Marius Sophus 261, 311 Linde A. 580, 750, 1005 Littlewood J. E. 67 Livio Mario 749 Loll Renata 750 Lorentz Hendrick Antoon 268, 383, 826, 936, 986 Lounesto P. 210, 598 Lubanski J. K. 543 Uiders G. 549 Ludvigsen M. 448 Luminet Jean-Pierre 703 Lyth D. H. 748 Lyttleton R. A. 68
MacDuffee Cyrus Colton 280 Mach Ernst 748 Mac Lane Saunders 923 Magueijo J. 749 Mahavira 62 Mahler K. 364 Majorana Ettore 534, 538-540, 550 Maldacena Juan 883, 886, 890, 896 Mandelbrot Benoit 16, 19, 81--82, 725 Manogue Corinne A. 363, 922, 967 Marsden J. E. 191 Marshall William 824, 834 Mason L. J. 969 Matelski J. P. 17 Mattuck R. D. 656 Maxwell James Clerk 422, 464, 614,633,665-666,784,901, 948 McLennan J. A. Jr. 967 Merkulov Sergiej A. 969 Michell John 679 Mie Gustav 468, 693 Milgrom Mordehai 750 Millikan Robert Andrews 68, 479 Minassian E. 895 Minkowski Hermann 393, 425, 427 Misner Charles W. 749, 918 Mobius Augustus Ferdinand 228 Moller Christian 646 Montgomery Deane 279 Moore A. W. 364, 392 Mott Nevill Francis 580, 830, 834 Moussouris John 967 Munkres J. R. 338 N Nambu Yoichiro 626, 850, 855 Napier ---> Neper Narayan Ramesh 702 Nayfeh A. H. 310 Needham T. R. 83,131 Negrepontis Stelios 67 Neper (Napier) John 100 Netterfield 49 Neumann John (Janos) von 63, 518,549,762,994 Newman Ezra T. 210,449, 550, 800,832,962 Newton Isaac 43, 366, 371, 375, 381-382,390,392,399,414, 435,448 NgY. J. 782 Nielsen M. A. 549-550, 581, 782, 893 Nirenberg L. 238 Nomizu K. 237 Nordstrom Gunnar 880, 883 Norton S. P. 68 Nother Emmy Amalie 474 Novikov I. D. 393, 832
0 M MacCallum M. A. H. 919, 968
O'Donnell P. 238, 1005 Oppenheimer Julius Robert 599
Ostrogradsky Michail Wasiliewicz 224,423,450 Ozsvath Istvan 749
P Page D. 782, 833 Pais A. 448, 470, 598, 625, 702 Pan J. 196, 271, 581 Pappos z A1eksandrii 339 Pars L. A. 210 Pauli Wolfgang 448, 569-570, 595-596,601-602,610,619,629, 679,968,976 Pearle P. 781 Peat F. D. 749 Pedrini B. 68 Penney D. E. 119 Penrose Roger 23, 67, 118, 238, 338, 364,392,420,449,550,581, 625, 702-703, 749, 780-781, 805, 831, 833, 893, 895--896, 909,919-920,968-969,1005-1006 Penzias Arno Allan 702 Percival I. C. 834 Perez A. 920 Periwal V. 895 Perjes Zoltan 963 Perry M. J. 449, 798, 800 Peskin M. E. 656 Philiponos Ioannes 374 Pitagoras z Samos 5, 9-11, 22, 47, 89 Pitagorejczycy 50 Planck Max 421, 479, 481, 697 Platon z Aten 11-13,15,17-18, 21-22,55,57,349,643,989990 Poincare Jules Henri 31, 39, 44, 137,223,234,264,380,381, 385,394,395,400,411,412, 415,422,543,545,546,751. 43,225,237,384,419,429, 739 Poisson Simeon Denis 309, 461, 787 Polchinski Joseph 857, 895 Popper Karl 984, 1005 Post Emil 9, 29, 76, 138, 347, 364, 377,439,476,491,594,841, 853,902 Powell Cecil Frank 617 Preskill J. 832 Pressley A. 967 Priestley H. A. 83, 132 R Raine D. J. 749 Rayleigh, lord ---> Strutt John William Randall L. 1004 Reasenberg Robert D. 446 Rees Martin 748 Reeves J. N. 703 Regge Tulio 617, 967
1111
Indeks nazwisk Reisenberg M. P. 920 Reissner H. 880, 883 Rideout 967 Riemann Bernhardt 133, 136, 146-147 Rimini Alberto 821 Rindler Wolfgang 48, 210, 236-238, 281,310-311,339-340,420, 448-449,470,549-550,598-599,625,704,797,832,893, 895, 968-970, 1005-1006 Robertson Howard Percy 687, 689 Robinson D. S. 449, 943 Rogers A. 893 Roentgen Wilhelm Conrad 488, 681 Roseveare N. T. 449, 831 Rossi H. 968 Rovelli Carlo 68, 833, 919, 978, 1005 Rubinstein J. 655 Runde V. 364 Russell Bertrand Arthur William 68,364
S Saccheri Girolamo 41-42, 48, 50 Sachs Rayner 449, 919 Sakellariadou M. 748 Salam Abdus 606, 626, 628, 980 Sato Mikio 168-169 Saupe D. 82 SchanuelS.967 Scherk Joel 856 Schild A. 68, 922, 967 Schilling T. A. 500 Schmidt Erhard 777 SchrOder P. V. 655 Schr6dinger Erwin 60-61, 68, 448, 495,512-513,540,546,557, 580,598,638,748,772,779-780,813,822-824,828,965, 991, 1003, 1006 Schwachh6fer L. J. 964 Schwarz John H. 856 Schwinger Julian 655 Sciama Dennis William 449, 748, 919 Sen Amitabha 899 Shankar R. 502, 548-550, 598, 655 Shawhan P. 449 Shaw Ronald 626 Shih Y. H. 581 Shilov G. 174 Shimony A. 580 Shrock R. 655 Simon B. 548 Simon Christoph 824, 834 Singer I. M. 969 Singh S. 23, 364 Sinha Bikash 748, 834 Sitter Willem de 392 Slipher Vesto Melvin 702 Smith D. A. 209
Smolin Lee 68, 730, 749, 895-896, 919-920,967,1004 Smoot George F. 703 Snyder Hartland 68, 682 Sobczyk Garret 209 Sommerfield Charles P. 881 Sorabji R. 67 Sparling George 963 Squires E. J. 781, 833 Stachel J. 68 Stapp Henry 558, 566, 578 Starobinski A1eksiej 716 Stevin Simon 374 Stoney George Johnstone 68, 837 Straus E. G. 448 Strauss 192 Struik Dirk J. 192 Strutt John William (lord Rayleigh) 480 Sundrum R. 896 Susskind Leonard 832, 851 Swain J. 550 Synge John Lighton 448
T Tait P. G. 209 Tales z Miletu 9-10 Tartaglia 4 Fontana Niccolo Taylor Brook 119, 302, 311 Taylor Richard 891 Teitelboim C. 893 Terrell J. 420 Thiele R. 118 Thiemann Thomas 920 Thirring Walter E. 280 Thomas I. 48 Thomas Richard 1002 'tHoof! Gerardus 892 Thorne Kip S. 896 Tipler Frank J. 702, 704 Tittel W. 580, 1004 TodK. P. 749 Tolman Richard Chase 701, 722 Tomonaga Sin-ltiro 628 Torres S. 49 Trautman Andrzej 338, 598 nou Florence (Sheung nun) 623, 626,748,893,963 Turing Alan Mathison 353, 360-361, 364 Turok Neil 741, 750, 897, 1005 Twiss Richard Q. 571 U Unruh W. G. 832 Unti T. W. J. 449
V Vafa Cumrun 880, 882, 896 Valentini Antony 781 van der Waerden Bartel Leendert 82-83,279,598,625 van Heijenoort J. 364 van Kerkwijk Marten H. 702
Varadarajan M. 920 Veneziano Gabriele 851, 893 Vickers J. A. G. 449 Voigt Woldemar 892
W Wald R. M. 448, 655, 702-703, 832, 968 Walker A. G. 687, 689 Ward Richard S. 962-963 Warren John 78 Weber H. 502 Weber Tullio 821 Weinberg Steven 624, 626, 628, 747, 781, 821 Wells R. O. 968, 1005 Werbos P. J. 581, 781, 832 Wessel Caspar 78, 81 Weyl Hermann 210, 280, 431-432, 448,736,812 Wheeler John Archibald 364, 420, 611,702,730-731,782,827-828,997 Whittaker E. T. 968 Wick Gian-Carlo 738-739, 872-873 Wien Wilhelm 480 Wigner Eugene 774, 782, 992, 1006 Wilder R. I. 364 Wiles Andrew 13-14, 23 Williams R. K. 805, 832 Willmore T. J. 48, 237 Wilson Kenneth Geddes 905 Wilson Robert Woodrow 702 Winicour J. 470 Witten Edward 852-853, 860, 876, 878-879, 890-891, 893-894, 896-897,910,919,969 Woodhouse Nick M. J. 185, 192, 237, 339, 500, 969 Woodin W. H. 364 Wooters W. K. 581, 782 Wright E. M. 67 Wu Chien-Shiung 205, 607 Wykes A. 82 y Yang Chen Ning 607, 626 Yau Shing-Tung 449, 896 YuiN.896 Yukawa Hideki 601, 617
Z Zee A. 550, 599, 625-626, 655-656, 919 Zehnder Ludwig 491-492, 521 Zeilinger Antony 581, 834 Zeldowicz Jakow B. 749 Zimba J. 550, 580 Zinn-Justin J. 656, 750 Zippin Leo 279 Znajek R. L. 805, 832 Zumino Bruno 980, 1005 Zweig George 617
