Przewodnik po statystyce dla socjologów

-v"22~5 8=C;:0C=.~60:=:==.40=::'5 =c.

1125 2323,79

--- =

+0,4841.

Zastosowanie współczynnika rp pozwoliło na prawidłowe określenie siły związ­ ku pomiędzy zmiennymi zawartymi w tabeli 4.10. Przypuszczaliśmy, że jest to zależność pozytywna (w sensie powiązań między kategoriami zmiennych) i dodatnia wartość miary związku to potwierdziła. Wiemy teraz również, że jest to związek o średniej sile. Abyśmy mieli pewność, że współczynnik rp jest miarą, za pomocą której możemy zmierzyć prawidłowo zależność idealną, obliczmy go dla danych z tabeli 4.7:

50 . 50 - O. O rp

2500 - O

2500

= \1'50.50.50.50 = )6250000 = 2500 = +1.

Dla zależności pozytywnej idealnej wartość współczynnika rp jest równa +1, tyle ile w takim przypadku wynosi wartość współczynnika Yula. Analogicznie będzie w sytuacji braku związku - wartość współczynnika rp będzie równa O. Sprawdźmy jeszcze przykład dotyczący badania zależności pomiędzy postawą wobec kary śmierci a skłonnością do przyznania większych uprawnień policji:

15 . 15 - 5 . 5 rp

225 - 25

obie nasze zmienne mierzone są na poziomie porząd­ kowym. Miarą pozwalającą nam ocenić siłę związku między takimi zmiennymi jest współczynnik gamma Goodmana i Kruskala. na

początek, że

Można powiedzieć, że

nym przypadkiem

następujący:

d '

gdzie Ps, to liczba par zgodności (tak jak zostały one zdefiniowane poprzednio) a Pd - liczba par niezgodności. Jeśli liczba par zgodnych jest większa niż liczba par niezgodnych, to będziemy mieć do czynienia z zależnością pozytywną· Przy równej liczbie par zgodnych i niezgodnych współczynnik gamma będzie się równał zero, co oczywiście oznacza brak związku. Jeśli liczba par zgodnych będzie mniejsza niż par niezgodnych, to współczynnik gamma będzie miał wartość ujemną, co będzie oznaczało zależność negatywną. Przedstawmy hipotetyczne rozkłady liczebności ilustrujące opisane prawidłowości. 10

o

o

5

5

5

o

2

8

o

10

O

5

5

5

2

8

2

O

O

10

5

5

5

8

2

O

,= +1

,=0

,=

-0,94

przeanalizować algorytm

liczenia współczynnika gamma. Załóżmy, osób, sprawdzając ich skłonność do uczestniczenia w akcjach charytatywnych. Zmiennej tej przyporządkowaliśmy trzy kategorie: wysoka, średnia, niska. Następnie zaklasyfikowaliśmy każdą z tych osób do jednej z trzech kategorii dochodu (wysoki, średni, niski). Przypuszczamy, że istnieje związek pomiędzy poziomem dochodu a skłonnością do uczestniczenia w akcjach charytatywnych. Rozkład liczebności według obu zmiennych ułożył się jak w tabeli 4.11. że przebadaliśmy 20

tabel n-przez-n

W sytuacji gdy wymiary tabeli są większe niż 2 x 2, tzn. zmienne mają wię­ cej niż dwie kategorie odpowiedzi, pierwszą kwestią, jaką musimy ustalić, jest poziom pomiaru zmiennych, których związek badamy. Od tego bowiem będzie zależało, którą miarę związku należy zastosować. Zmienne zamieszczane w tabelach najczęściej są mierzone na poziomach słabych, bądź ich poziom pomiaru w celu przejrzystości prezentacji jest zaniżany do takich. Załóżmy

jest

d

Spróbujmy

rp jest zawsze niższa niż wartość współczynnika Yula dla tego samego zestawu zmiennych (z wyjątkiem skrajnych wartości: O dla braku związku i +1 lub -1 dla związku idealnego). Należy o tym pamiętać dokonując porównań siły związku dla różnych zestawów zmiennych trzeba zawsze odnosić się do poziomu wartości tego samego współczynnika.

związku dla

współczynnik gamma

-P ,= PsPs +P

200

= \1'20· 20 . 20 . 20 = \1'160000 = 400 = +0,5.

Wartość współczynnika

4.5. Miary

Wzór na

poznany przed

chwilą współczynnik Yula

współczynnika gamma

(dla tablic 2 x 2).

jest szczegól-

Tabela 4.11.

Skłonność

Wysoka Średnia

Niska

Skłonność

do uczestniczenia w akcjach charytatywnych kategorii dochodu

według

Dochód do uczestniczenia w akcjach charytatywnych - - - - - - - - - Wysoki Średni Niski

5 2 O

4

1

1 2

1

4

Licząc pary zgodne, rozpoczynamy od utworzenia szeregu tabel częściowych na takiej zasadzie, że dla każdego pola wewnętrznego tabeli (poczynając od lewego górnego rogu), posuwając się po wierszach, sprawdzamy jaka część tabeli znajduje się na prawo i w dół od tego pola.

Mamy teraz wszystkie wartości niezbędne do obliczenia współczynnikagamma:

Dla tabeli 4.11 mamy:

Ps - Pd 87 - 11 76 I = Ps + Pd = 87 + 11 = 98 = +0, 78.

1

5 4

2

2

1

4

4

2

4

1

4

4

gdzie 5 i 1 to kolejne wartości z pierwszego wiersza; dla ostatniej wartości z pierwszego wiersza (1) nie ma wartości na prawo i w dół; 2 i 4 to kolejne wartości drugiego wiersza i odpowiadające im części na prawo i w dół; dla pozostałych wartości nie ma już niczego na prawo i w dół tej tabeli. Kolejnym krokiem algorytmu jest obliczenie iloczynów pól my odpowiadających im wydzielonych części tabeli:

wewnętrznych i

su-

5(4 + 2 + 1 + 4) = 5(11) = 55, 1(2 + 4) = 1(6) = 6, 2(1 + 4) = 2(5) = 10, 4(4) = 16. Suma tych wszystkich

wartości

stanowi

liczbę

par zgodnych dla tabeli 4.11:

Ps = 55 + 6 + 10 + 16 = 87. Procedura liczenia liczby par niezgodnych jest odbiciem lustrzanym pokazanej części algorytmu. Zaczynamy od prawego górnego rogu i sprawdzamy wszystko na lewo i w dół w analizowanej tabeli. W omawianym

przykładzie mamy:

1 2

4

o

o

1

2

2

4

o

o

1

1(2 + 4 + O+ 1) = 1(7) = 7, 1(2 + O) = 1(2) = 2, III

2(0 + 1) = 2(1) 4(0) = O,

1

= 2,

zatem: P d = 7 + 2 + 2 + O = 11.

Związek pomiędzy wysokością dochodów i skłonnością do uczestniczenia w akcjach charytatywnych jest silną zależnościąpozytywną (trzeba wziąć pod uwagę fakt, że współczynnik gamma zawyża ocenę siły związku). Patrząc

na algorytm obliczania współczynnika gamma widzimy wyraźnie, jak tabeli pól wartości. Jeszcze raz podkreśl­ my, że współczynnik ten może być stosowany tylko w odniesieniu do zmiennych mierzonych na poziomie porządkowym, który taką kolejność na stałe ustanawia.

ważna jest kolejność występującychw

Jeżeli zmienne, których związek mamy zbadać, są mierzone na poziomie nominalnym i nie są dychotomiczne (tzn. mają więcej niż dwie kategorie), to siłę tego związku określamy w oparciu o współczynnik lambda Goodmana i Kruskala. Ponieważ kolejność kategorii zmiennej mierzonej w skali nominalnej jest wyznaczana arbitralnie, to współczynnik lambda nie wskazuje nam kierunku zależności a tylko jej siłę (ma wartość zawsze dodatnią). To, czy jest to zależność pozytywna, czy negatywna, określamy sami na podstawie rozkładu liczebności w tabeli.

Współczynnik lambda, inaczej niż dotychczas prezentowane miary związku, jest miarą asymetryczną. Oznacza to, że w zależności od tego, którą zmienną uznamy za zależną (tę zamieszczonąw kolumnach, czy tę zamieszczoną w wierszach), a którą za niezależną - wartość współczynnika lambda będzie ulegała zmianie dla tej samej tabeli statystycznej. Jeśli miara związku między dwoma zmiennymi zamieszczonymi w tabeli pozostaje taka sama, niezależnie od tego, czy zmienną niezale żną zamieścimy w kolumnach, czy w wierszach tabeli, to jest ona miarą symetryczną, np. współ­ czynnik gamma dla tabeli 4.11 ma wartość +0,78, niezależnie od tego, czy będziemy go liczyć dla tabeli takiej jak w tekście, czy też zmienne zamienimy miejscami. Załóżmy, że przeprowadziliśmy

badania wśród osób pochodzących z byłego o pozwolenie na pracę w Polsce. Pytaliśmy o to, jakiej są narodowości i w jakim charakterze mają być zatrudnieni w Polsce. Wyniki naszych dociekań zawarte są w tabeli 4.12. ZSRR,

ubiegających się

Przyjmijmy, tak jak możemy to wywnioskować z układu tabeli, że zmienną niezależną będzie dla nas narodowość a zmienną zależną typ zatrudnienia, o pozwolenie na który ubiegają się badani obcokrajowcy.

Tabela 4.12. Obcokrajowcy narodowości

Typ zatrudnienia

ubiegający się o pozwolenie na i typu zatrudnienia

pracę

w Polsce według

Rosjanie

Ukraińcy

Białorusini

Suma

Robotnicy Robotnicy rolni

10 20 10

15 15 20

20 5 5

45 40 35

Suma

40

50

30

120

Specjaliści

Rosjanie Typ zatrudnienia

Obie zmienne są mierzone w skali nominalnej, więc ich związek jest mierzony za pomocą współczynnika lambda

\=

/\

zmiennej

zależnej

Specjaliści

Robotnicy

Robotnicy rolni

10

20

10

40

Jeśli wszystkich Rosjan przyporządkujemydo kategorii "robotnicy" , to 20 osób zaklasyfikujemy prawidłowo a 20 nie (w tym 10 specjalistów i 10 robotników rolnych). Zatem dla Rosjan błąd przyporządkowaniabędzie wynosił 20.

Typ zatrudnienia

z

jest zatem

Suma

Ukraińcy

B z - BN B ·

Strategia liczenia wartości B z i B N, to pewnego typu gra, polegaj ąca na przewidywaniu wartości zmiennej zależnej dla każdej kategorii zmiennej niezależnej. Rozpoczynamy grę tak, jakbyśmy początkowo znali tylko liczebności brzegowe tabeli. Rozkład

Zaczynamy od obliczenia błędów cząstkowych oddzielnie dla każdej kategorii zmiennej niezależnej.

następujący:

Suma

Specjaliści

Robotnicy

Robotnicy rolni

15

15

20

50

Wśród Ukraińców najliczniejsząkategorię stanowią "robotnicy rolni". Jeśli założymy, że wszyscy Ukraińcy to "robotnicy rolni" , to pomylimy się w 15 przypadkach "specjalistów" i 15 przypadkach "robotników". Błąd przyporządkowa­

nia w tej kategorii narodowości będzie równy 30.

Typ zatrudnienia Specjaliści

Robotnicy

Robotnicy rolni

45

40

35

Suma

Białorusini

Typ zatrudnienia

120

Gdybyśmy uznali, że wszystkie 120 badanych osób zaklasyfikujemy do najliczniejszej kategorii - do kategorii specjalistów - to 45 osób zaklasyfikowalibyśmy prawidłowo a 75 nie (w tym 40 robotników i 35 robotników rolnych). Zatem ogólna liczba błędów, jakie moglibyśmypopełnić przez takie przyporząd­ kowanie wynosi 75, i to jest Bz. Zauważmy, że jest to najmniejsza liczba błędów, jakie mogliśmy popełnić, przyporządkowując badanych do kategorii zmiennej zależnej. Jeśli przypisalibyśmy wszystkich do kategorii "robotników", to błęd­ nie przyporządkowalibyśmy 80 osób. W przypadku "robotników rolnych" błąd wzrósłby do 85. Zatem naszą strategią jest przypisanie wszystkich do najliczniejszej kategorii, aby popełnić jak najmniej błędów przyporządkowania:

B z = 40 robotników + 35 robotników rolnych = 75 Taka sama logika towarzyszy nam w wartości B N .

błędów

zmiennej

postępowaniu prowadzącym

zależnej.

do znalezienia

Suma

Specjaliści

Robotnicy

Robotnicy rolni

20

5

5

30

Jeśli uznamy, że wszyscy ubiegający się o pozwolenie na pracę Białorusini to

"specjaliści", to pomylimy się w 10 przypadkach (5 robotnikach i 5 robotnikach rolnych). Błąd przyporządkowaniadla Białorusinów wynosi 1o.

Suma błędów przyporządkowaniadla każdej kategorii zmiennej niezależnej stanowi nasze poszukiwane B N· W naszym

przykładzie:

BN

= 20(Rosjan) + 30(Ukraińców) + 10(Białorusinów) = = 60 błędów zmiennej niezależnej, Bz-BN Bz

A=----

75 - 60 = 15 = O 2. 75 75 '

i

Związek pomiędzy narodowością

ciele badanych

narodowości w

a typem pracy o jaki ubiegają się przedstawiPolsce istnieje, ale jest bardzo słaby.

Załóżmy teraz, że nie prowadzi się statystyki dotyczącej narodowości osób, którym udzielane jest pozwolenie na pracę. Zaznacza się jednak typ zajęć, na jakie wydano zezwolenie. Przeprowadzamy własne badania na 120 osobach ubiegających się o takie zezwolenie. Chcemy sprawdzić, czy znając typ zatrudnienia jesteśmy w stanie powiedzieć coś o narodowości osób otrzymujących zezwolenie. Wobec tego teraz jako zmienną niezależnąbędziemy traktować typ zatrudnienia a narodowość będzie zmienną zależną.

Dla tych samych danych z tabeli 4.12 mamy: B z = 40(Rosjan) BN dla specjalistów BN dla robotników BN dla robotników rolnych

+ 30(Białorusinów) = 70, 10(Rosjan) + 15(Ukraińców) = 25 + 5(Białorusinów) = 20 10(Rosjan) + 5(Białorusinów) = 15

15(Ukraińców)

więc

A = 70 - 60 = 10 = O 14. 70

70

Gdybyśmy dla przykładu prezentowanego w tabeli 4.11, ilustrującego związek wysokości dochodu ze skłonnością do udziału w akcjach charytatywnych obliczyli współczynnik lambda symetryczny, to wynosiłby on 0,44, podczas gdy współczynnik gamma dla tego przykładu miał wartość +0,78. Właściwy w tym

'

Możemy jednak spotkać się z sytuacją, w której każda ze zmiennych mierzona jest na innym poziomie. Wówczas stosujemy miary związku właściwe dla zmiennej mierzonej na słabszym poziomie. Jeśli jedna ze zmiennych byłaby mierzona na poziomie porządkowym a druga na nominalnym, to do mierzenia związku między nimi stosowalibyśmy współczynnik lambda.

Nie jest to jedyna sytuacja, w której stosujemy miary właściwe dla niższego niż tabeli poziomu pomiaru. Załóżmy, że rozkład liczebności w badaniach nad skłonnością do uczestniczenia w akcjach charytatywnych w zależ­ ności od poziomu dochodu przedstawia się jak w tabeli 4.13.

występujący w

Związek pomiędzy typem zatrudnienia a narodowością jest jeszcze słabszy niż w odwrotnym przypadku. Wyraźnie też zaznaczyła się asymetrycznośćwspół­ czynnika lambda.

w stanie wyrazme rozróżnić, która ze zmiennych jest niezależna, a która zależna. Jeśli dysponujemy obydwoma współczynnikami lambda, to możemy policzyć jedną, wówczas symetryczną, miarę lambda dla danej tabeli, która jest kombinacją lambdy liczonej po wierszach i po kolumnach. W przedstawionym przykładzie wskazalibyśmy raczej na narodowość, jako zmienną niezależną a typ zatrudnienia, jako zmienną zależną. Skoro jednak mamy wyznaczone oba współczynniki lambda to obliczmy też ich wersję symeCzasem nie

współczynnik gamma.

przypadku jest

~=60

a

Badając związek między dwoma zmiennymi zaprezentowanymi w tabeli statystycznej, musimy zwracać uwagę na to, na jakich poziomach są mierzone te zmienne. W prezentowanych powyżej przykładach obie zmienne były mierzone na takich samych poziomach: obie na poziomie nominalnym, bądź obie na poziomie porządkowym. Używamy wówczas właściwych dla danych poziomów i rozmiarów tablic miar.

jesteśmy

tryczną:

A = (75 - 60) + (70 - 60) = O 172. 75 + 70 '

Przy stosowaniu współczynnika lambda trzeba pamiętać o jego ograniczeniu. Jeżeli wszystkie liczebności modalne dla każdej kategorii zmiennej niezależnej należą do tej samej kategorii zmiennej zależnej, to lambda będzie wynosić zero, nawet wtedy, gdy zmienne będą w rzeczywistości powiązane.

Tabela 4.13.

Skłonność do

Skłonność

do uczestniczenia w akcjach charytatywnych kategorii dochodu

uczestniczenia w akcjach charytatywnych

według

Dochód

---------~

Wysoki

Średni

Niski

15 5

O 5

15

O

15

Wysoka Średnia Niska

mierzone na poziomie porządkowym, więc aby zmierzyć sinimi należy policzyć współczynnik gamma. Zaczynamy od obliczenia liczby par zgodnych i niezgodnych:

Obie zmienne

są

5 O

łę związku między

III

pary zgodne: 15(5 + 5 + 15 + O) = 15(25) = 375, 5(15 + O) = 5(15) = 75,

Ps = 450,

pary niezgodne:

'Wartość symetrycznego współczynnik lambda jest zatem następująca:

15(5 + 5 + O+ 15) = 15(25) = 375, 5(0 + 15) = 5(15) = 75, Pd

= 450,

zatem:

= Ps - Pd I

=

Ps + Pd

450 - 450 450 + 450

=

~ 900

=

O .

Wartość współczynnika gamma wskazuje na brak związku pomiędzy poziomem dochodu a skłonnością do brania udziału w akcjach charytatywnych. Takie stwierdzenie kłóci się ze zdrowym rozsądkiem opartym o intuicyjną interpretację danych zawartych w tabeli. Widzimy bowiem, że badani różnią się swoją postawą wobec akcji charytatywnych w taki sposób, iż osoby o wysokich i niskich dochodach są tak samo skłonne uczestniczyć w tych akcjach, w odróżnieniu od osób o średnich dochodach, które nie są skłonne do takich zachowal1.

Całe to zamieszanie spowodował specyficzny rozkład częstości w tabeli. Do tej pory byliśmy skłonni uważać, że istnieje zależność między zmiennymi, jeśli czę­ stości układały się po przekątnej tabeli. Tego typu zależność jest zależnością monotoniczną· W tabeli 4.13 częstości układają się nie po przekątnej, tylko w kształcie zbliżonym do paraboli. Oznacza to, że związek między zmiennymi istnieje, ale jest to zależność niemonotoniczna. W takim przypadku do zmierzenia tego związku stosujemy miary właściwe dla niższego poziomu pomiaru,

tu -

współczynnik

lambda.

W przypadku, gdy za zmienną zależną przyjmiemy skłonność do uczestnictwa w akcjach charytatywnych współczynnik lambda wynosi:

Bz

=

30,

B N =5+5+5=15, Bz-BN 30-15 A= = Bz 30 Jeśli za zmienną zależną przyjmiemy

Bz

- BN

15 30

= -

=

0,5.

Wskazuje ona na istnienie między badanymi zmiennymi związku o średniej sile. Taki wniosek zgodny jest z naszymi intuicyjnymi ocenami. Zatem w przypadku podejrzenia o niemonotoniczny charakter zależności między zmiennymi do badania ich związku należy stosować współczynnik lambda. Jest on miarą bardziej czułą na różnorodne typy zależności.

4.6. Trzecia zmienna Do tej pory rozważaliśmy związek między dwiema zmiennymi. Teraz do tego układu wprowadźmy trzecią zmienną. Będziemy ją nazywać zmienną kontrolną· Jaki zatem wpływ może mieć ta zmienna na pierwotny związek między zmienną niezależną i zależną (załóżmy

skrajne możliwości):

zmienna kontrolna nie ma żadnego wpływu na pierwotny związek; obecność zmiennej kontrolnej zmienia całkowicie pierwotny związek;

zmienna kontrolna jest konieczna, aby pierwotny związek zaistniał. Jeżeli pierwotny związek między zmienną niezależną i zależną jest przedstawiony w tabeli kontyngencji, to wprowadzając zmienną kontrolną do tego związku dokonujemy rozbicia tej tabeli na tabele częściowe, tzn. dla każdej kategorii zmiennej kontrolnej utworzymy osobną tabelę dla zmiennej niezależnej i zależnej. Aby odejść na chwilę od konwencji zależności idealnych odwołajmy się do danych pochodzących z Połskiego Generałnego Sondażu Społecznego z roku 1995.

uważa Pan(i), że powinno się zezwolić na eutanazję na żądanie pacjenta?", przy następującej kategoryzacji

odpowiedzi: tak, nie, nie wiem.

Sprawdźmy na początek, czy istnieje różnica w poglądach kobiet i mężczyzn na tę kwestię (tab. 4.14).

dochód:

40 - 25 40

0,43.

\/Vśród prawic czterystu zmieIlIlych tego sondażu znalazła się zmienna bada-

B N = 15 + 10 + O = 25, Bz

=

jąca stosunek respondentów do eutanazji. Pytanie w sondażu brzmiało: "czy

= 40,

A = Bz

A= (30-15)+(40-25) 30 + 40

=

15 40

=

O38. '

Sądząc po rozkładzie liczebności i ich procentowym udziale, płeć nie różnicuje poglądów na kwestię eutanazji na życzenie pacjenta. Około połowa badanych mężczyzn i kobiet byłoby skłonnych takiego przyzwolenia udzielić, po kilkanaście procent nie jest zdecydowanych, a reszta jest eutanazji przeciwna.

Tabela 4.16.

Tabela 4.14.

Tabela krzyżowa POZWOLIĆ NA EUTANAZJĘ -Z/J.Ż.ĄDA PACJENT' PŁEĆ RESPONDENTA * WIARA W ŻYCIE PO ŚMIERCI

Tabela krzyżowa POZWOLIĆ NA EUTANAZJĘ - ZAŻĄDA PACJENT * PŁEĆ RESPONDENTA

PŁEĆ RE8PONDENTA:

PŁEĆ RE8PONDENTA: 1=M,2=KOB MĘŻCZYZNA POZWOLIĆ NA EUTANAZJĘ ZAZĄDA PACJENT

Tak,

zezwalać

Liczebność

% z PŁEĆ RE8P. 1=M,2=KOB Liczebność

% z PŁEĆ RE8P. 1=M,2=KOB Liczebność

Ogólem

Tak

812

437

MĘŻCZYZNA

POZWOLIĆ NA EUTANAZJĘZAZĄDA

Liczebność

NIE WIEM

Ogółem

KOBIETA

375

% z PŁEĆ RE8P. 1=M,2=KOB Nie

1=M,2=KOB WIARA W ŻYCIE PO ŚMIERCI

% z PŁEĆ RE8P. 1=M,2=KOB

52,0%

49,0%

51,0%

257

326

583

36,0%

37,0%

36,0%

84

121

205

12,0%

14,0%

13,0%

716

884

1600

100,0%

100,0%

100,0%

Tak, zezwalać

% z PŁEĆ RE8P. 1=M,2=KOB

PACJENT

Liczebność

Nie

% z PŁEĆ RE8P. 1=M,2=KOB

NIE WIEM

Liczebność

% z PŁEĆ RE8P. 1=M,2=KOB Nie

POZWOLIĆ NA

Tak,

zezwalać

-

Liczebność

% z PŁEĆ RE8P. 1=M,2=KOB

Poszukajmy zatem innej zmiennej, która może różnicować poglądy w tej sprawie. Być może wiara w życie po śmierci miałaby takie znaczenie (tab. 4.15).

NIE WIEM

Liczebność

Ogółem

% z PŁEĆ RE8P. 1=M,2=KOB

Tabela krzyżowa POZWOLIĆ NA EUTANAZJĘ·ZAŻĄDA PACJENT * WIARA W ZYCIE PO ŚMIERCI

TRUDNO POWIEDZIEĆ

WIARA W ŻYCIE PO ŚMIERCI

POZWOLIĆ NA EUTANAZJĘ -

Tak,

zezwalać

Liczebność

% z WIARA W ŻYCIE PO ŚMIERCI Nie

Liczebność

% z WIARA W ŻYCIE PO ŚMIERCI NIE WIEM

Liczebność

% z WIARA W ŻYCIE PO ŚMIERCI Ogółem

Liczebność

% z WIARA W ŻYCIE PO ŚMIERCI

widać

245

124

812

65,0%

50,0%

51,0%

101

61

583

27,0%

25,0%

36,0%

111

33

61

205

11,0%

9,0%

25,0%

13,0%

975

379

246

1600

100,0%

100,0%

100,0%

100,0%

najmniej skłonne do wyrażenia zgody na eutanazję są osoby, które w życie pozagrobowe a największe przyzwolenie występuje wśród tych, którzy w takie życie nie wierzą. Pamiętając o tym, że płeć nie miała bezpośredniego wpływu na poglądy w kwestii eutanazji posłużmy się zmienną wiara w życie po śmierci, jako zmienną kontrolną. Efekt przedstawia tabela 4.16. Jak

wierzą

Tak,

zezwalać

PACJENT

EUTANAZJĘ

ZAżĄDA

Liczebność

% z PŁEĆ RE8P. 1=M,2=KOB

Ogółem

443

43,0%

POZWOLIĆ NA

Nie

45,0% 421

Liczebność

% z PŁEĆ RE8P. 1=M,2=KOB

Tabela 4.15.

ZAżĄDA PACJENT

Liczebność

% z PŁEĆ RE8P. 1=M,2=KOB Nie

Nie

z PŁEĆ RE8P.

1=M,2=KOB Ogółem

Z/J.Ż.ĄDA PACJENT

Tak

Liczebność

%

EUTANAZJĘ

TRUDNO POWIEDZlEC

Liczebność

Liczebność

% z PŁEĆ RE8P. 1=M,2=KOB

NIE WIEM

Liczebność

% z PŁEĆ RE8P. 1=M,2=KOB Ogółem

Liczebność

% z PŁEĆ RE8P. 1=M.2=KOB

178

KOBIETA 265

44,0%

47,0%

Ogółem

443 45,0%

184

237

421

45,0%

42,0%

43,0%

46

65

111

11,0%

11,0%

11,0%

408

567

975

100,0%

100,0%

100,0%

142

103

245

71,0%

58,0%

65,0%

43

58

101

21,0%

33,0%

27,0%

16

17

33

8,0%

10,0%

9,0%

201

178

379

100,0%

100,0%

100,0%

55

69

124

51,0%

50,0%

50,0%

30

31

61

28,0%

22,0%

25,0%

22

39

61

21,0%

28,0%

25,0%

107

139

246

100,0%

100,0%

100,0%

Widzimy, że płeć w dalszym ciągu nie ma charakteru różnicującego w odniesieniu do osób, które wierzą w życie po śmierci oraz takich, które nie mają w tej kwestii zdania. Natomiast w odniesieniu do osób, które w życie po śmier­ ci nie wierzą, zależność między płcią a zgodą na eutanazję zmienia się w sposób zasadniczy. W tej grupie respondenci mają najbardziej sprecyzowane poglądy w kwestii eutanazji (naj mniejszy procentowy udział odpowiedzi "nie wiem"), przy czym mężczyźni są zdecydowanie bardziej skłonni do przyznania pacjentowi prawa do eutanazji niż kobiety.

Z przedstawionego przykładu wynika, że nawet w ramach trzech zmiennych moo różnym typie wpływu zmiennej kontrolnej na związek między zmienną niezależną i zależną (brak wpływu w odniesieniu do dwóch kategorii zmiennej kontrolnej i istotny wpływ w odniesieniu do jednej kategorii tej zmiennej). żemy mówić

Załóżmy

teraz, że pierwotna zależność między płcią a zgodą na eutanazję dla

całej badanej grupy wygląda w sposób zbliżony do takiego, jaki występował wśród osób nie wierzących w życie po śmierci. (Przedstawiane poniżej dane będą miały charakter modelowy i ilustratywny i tylko w nazwach zmiennych będą się odwoływać do rzeczywistej sytuacji badawczej.) Wobec tego zależność między płcią

(zmienna niezależna) a poglądami w kwestii dostępno§ci eutanazji na życzenie pacjenta (zmienna zależna) przedstawiona w formie tabeli z procentowym rozkładem odpowiedzi przybrałaby następującą formę (tab. 4.17):

pozwolić się

pacjentowi na

eutanazję

na

życzenie

Mężczyzna

Kobieta

70 20 10

55 35 10

100%

100%

Tak Nie Nie wiem Suma

Taki rozkład odpowiedzi wskazuje, że istnieje związek między zaprezentowanymi w tabeli zmiennymi. Spróbujmy zatem ponownie wprowadzić zmienną wiara w życie po §mierci jako zmienną kontrolną i załóżmy, że procentowy rozkład odpowiedzi byłby taki jak w tabeli 4.18. Tabela 4.18.

Nie

Trudno

powiedzieć

M

K

M

K

M

K

Tak Nie Nie wiem

32 59 9

31 58

90 2 8

89 3 8

50 25 25

50 25 25

100%

100%

Suma

4.7. Modele przyczynowe Analiza zależności w tabelach i tabelach częściowych służy nam do określenia charakteru zależności między zmiennymi: niezależną (N), zależną (Z) i kontrolną (K). Łącznie z badaną hipotezą ma to prowadzić do zbudowania modelu przyczynowego, obrazującego wzajemne zależności i uwarunkowania badanego zjawiska.

100% 100% 100% 100%

w tabeli kontyngencji możemy przedstawić

na rysunku 4.1.

N ------ Z Rysunek 4.1. Większość

prezentowanych dotychczas przykładów tabel miała taką postać. Stanowi ona podstawę wyjściową modelu przyczynowego.

Wprowadźmy teraz zmienną kontrolną i

rozpatrzmy jej możliwy wpływ na ten pierwotny związek. Istotne relacje między zmiennymi i ich kierunek zostaną oznaczone strzałką, natomiast te, które zanikają będą przedstawione w postaci linii przerywanej. Wprowadzając do

Tak

Powinno pozwolić się pacjentowi na eutanazję na życzenie

11

dla każdej tabeli częściowej tzn. dla każdej kategorii zmiennej kontrolnej (dla tych, którzy wierzą w życie po śmierci; dla tych, którzy nie wierzą w to oraz dla tych, którym trudno to określić) związek między zmienną niezależną a zależną nie istnieje (procentowy rozkład liczebności dla kobiet (K) i mężczyzn (M) jest zbliżony, tab. 4.18). W takiej sytuacji pierwotna zależność między tymi zmiennymi nosi nazwę zależności pozornej.

Podstawową zależność, jaką badamy

Tabela 4.17.

Powinno

że

modelu

zmienną kontrolną możemy stworzyć hipotezę alter-

natywną w wyjaśnianiu zmiennej zależnej dla zmiennej niezależnej (rys. 4.2).

Rysunek 4.2.

Obrazuje on sytuację, w której pierwotna zależność miQdzy zmienną niezależną (płcią) a zmienną zależną (przyzwolenie lub nie, na eutanazję na życzenie) znika pod wpływem zmiennej kontrolnej (wiara w życie po §mier'Ci). \iVidać,

W takiej sytuacji siła danego związku będzie stanowiła o tym, który z nich stanie siQ dla nas eksplanacyjnie istotniejszy. Sprawdzaliśmy np. związek między

l!

płcią a

stosunkiem do eutanazji, a następnie między wiarą w życie po śmierci a stosunkiem do eutanazji. Ten drugi związek okazał się dla nas analitycznie ciekawszy. Zmienna kontrolna może nie mieć żadnego wpływu na relację zachodzącą mię­ dzy zmiennymi niezależną i zależną (rys. 4.3). Rysunek 4.5.

N

:~z

I I I

/

/

K Rysunek 4.3.

Wówczas pomijamy ją w budowie modelu aby nie komplikować jego obrazu tak było w przypadku osób wierzących w życie po śmierci i braku związku mię­ dzy płcią a stosunkiem do eutanazji w ogóle i dla tej kategorii w szczególności. Kolejną formą modelu przyczynowego, jaka może się pojawić w układzie trzech zmiennych jest zależność pozorna. Oznacza to, że wprowadzenie zmiennej kontrolnej powoduje zniknięcie relacji między zmienną niezależną a zależną (rys. 4.4).

N

Rysunek 4.4.

Z przykładem to ilustrującym mieliśmy do czynienia w poprzednim podrozdziale. Może również wystąpić sytuacja, w której zależność między zmienną niezależną

Zaprezentowane powyżej modele przyczynowe są użytecznym narzędziem analizy danych. Naszym zadaniem jest na ogół przeprowadzenie analizy modeli o wyższym stopniu złożoności, zawierającychwięcej zmiennych oraz o bardziej złożonych związkach między nimi. Jednakże logika badania takich związków opiera się na zaprezentowanych tu podstawach. wstępnej

11111111

Wstępem

do budowy modeli przyczynowych jest związek dwóch zmiennych. musimy brać pod uwagę liczbę kategorii obu zmiennych (rozmiar tablicy) oraz ich poziom pomiaru. Analizując go

Programy komputerowe oferują zwykle spory zestaw miar zadaniem jest wybór miary właściwej do badanej sytuacji.

zależności.

Naszym

Oprócz tych miar, które zostały dokładnie opisane w tym rozdziale i im podobnych, jak współczynniki Kendalla tau-b dla tabel o takiej samej liczbie kolumn i wierszy oraz tau-c dla tabel, w których liczba kolumn jest różna od liczby wierszy, stosuje się również współczynnik kontyngencji C Pearsona lub współ­ czynnik V Cramera, które są zbudowane na innych zasadach i przeznaczone dla tabel o wymiarach większych niż 2 x 2. Zostaną one omówione w rozdziale 7. Wszystkie te miary można obliczyć, za pomocą programów komputerowych, w odniesieniu do zmiennych w ich pierwotnej postaci (bez konieczności fizycznej konstrukcji tabel). Tabel warto używać w celu prostej ilustracji analizowanych zmiennych, tając jednak o ich wszystkich zaletach i wadach.

pamię­

a zmienną zależną występuje tylko w obecności zmiennej kontrolnej (rys. 4.5). Wówczas zmienną kontrolna pełni funkcję zmiennej pośredniczącej, a zmienna niezależna jest wobec niej zmienną poprzedzającą, zatem zależność między zmienną niezależną a zmienną zależną nie jest zależnością bezpośrednią. Tak jak to miało miejsce w związku między płcią a stosunkiem do eutanazji wśród osób nie wierzących w życie po śmierci.

Ćwiczenia Ćwiczenie 4.1.

Policz odpowiednie miary oraz 4.15.

związku dla

tabel 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 4.2, 4.5, 4.6, 4.14

Co

może zrobić

- tu nominalnego. Taką miarą była dla nas lambda. Oprócz lambdy SPSS liczy automatycznie współczynnik tau Goodmana i Kruskala (rys. 4.7).

za nas komputer

W prezentowanym przykładzie wykorzystamy analizowane już zmienne pochodzące z PGSS (za ich pomocą prezentowaliśmy wprowadzanie zmiennej kontrolnej do badania związku dwóch zmiennych). Dane w tekście pochodziły z badań z roku 1995, te prezentowane poniżej dotyczą roku 1999. Związkiem, jaki badaliśmy najpierw, był związek między płcią respondenta a jego skłonnością do przyzwolenia na eutanazję. Obie zmienne były mierzone na poziomie nominalnym. Tu, w celu pokazania różnych miar związku, przekodujemy zmienną nominalną przyzwolenie na eutanazję:

Miary kierunkowe Asymptotyczny Wartość

Nominalna przez Nominalna

Lambda

Symetryczna PRZYZWOLENIE NA EUTANAZJĘ

Zmienna

Tau Goodmana i

Kruskala

na zmienną porządkową (kategorię "nie wiem" zmienimy na zgadzam, ani się nie zgadzam"):

kategorię

"ani

PŁEĆ

Teraz utworzymy

jako

zmienną niezależną, a

eutanazję jako zmienną zależną

MEZCZYZNA się

Liczebność % z PŁEĆ RESP.

1=M,2=KOB

ani się zgadzam, ani nie zgadzam nie, nie zgadzam

się

Liczebność % z PŁEĆ RESP. 1=M,2=KOB

Liczebność % z PŁEĆ RESP. 1=M,2=KOB

Ogótem

,000

,000

,000

,000

,008

,004

,000e

,011

,006

,002"

b

b

b

b

hipotezy zerowej.

Rysunek 4.7.

re(rys. 4.6).

Liczebność % z PŁEĆ RESP. 1=M,2=KOB

Ogółem

KOBIETA

Wartość współczynnika lambda wskazuje na brak związku między płcią a przyzwoleniem na eutanazję (pamiętamy jednak o ograniczeniu lambdy, które tu ma miejsce). Współczynnik tau niesie informację, że badany związek jest naprawdę bliski zera. Przewidując postawy wobec eutanazji na podstawie płci można zredukować błąd

PŁEĆ RESPONDENTA: 1=M, 2=KOB

tak, zgadzam

,000

c. W oparciu o aproksymację rozkładu chi-kwadrat.

Tabela krzyżowa: PRZYZWOLENIE NA EUTANAZJĘ * PŁEC RESPONDENTA

PRZYZWOLENIE NA EUTANAZJĘ

,000

b. Nie może być obliczone, ponieważ asymptotyczny błąd standardowy wynosi zero.

tabelę krzyżową między płcią,

przyzwolenie na

zakładając

Istotność przybliżona

zależna:

RESPONDENTA: 1=M,2=KOB a. Nie

kodowaną zmienną

Zmienna zależna: PRZYZWOLENIE NA EUTANAZJĘ Zmienna

się

1. tak, zgadzam się 2. ani się zgadzam, ani się nie zgadzam 3. nie, nie zgadzam się.

T

zależna:

RESPONDENTA: 1=M,2=KOB

się

Przybliżone

Zmienna zależna:

PŁEĆ

1. tak, zgadzam się 2. nie, nie zgadzam 3. nie wiem

błąd

standardowya

266

300

566

56%

47%

50%

65

85

150

14%

13%

13%

145

260

405

30%

40%

36%

476

645

1121

100%

100%

100%

o 0,8%.

Miary oparte na chi-kwadrat potwierdzają ten śladowy związek (rys. 4.8). Zostaną one omówione w rozdziale 7. Miary symetryczne

Wartość

Nominalna przez Nominalna

,104 ,104

,002

,104

,002

kontyngencji

1121

N Ważnych obserwacji a. Nie

Wybierzmy i obliczmy odpowiednie miary zależności dla zmiennej nominalnej płeć i zmiennej porządkowej przyzwolenie na eutanazję. Pamiętamy o tym, że w takim przypadku stosujemy miary właściwe dla niższego poziomu pomiaru

zakładając

,002

Phi V Kramera Współczynnik

Rysunek 4.6.

Istotność przybliżona

hipotezy zerowej.

b. Użyto asymptotyczny błąd standardowy, przy zalożeniu hipotezy zerowej.

Rysunek 4.8.

Następną próbą, jaką podjęliśmy poszukując zróżnicowania postaw wobec eutanazji, było sprawdzenie zależności między wiarą w życie po śmierci a stosunkiem do eutanazji. Pierwotnie obie zmienne były mierzone na poziomie nominalnym. Skoro przekodowaliśmy postawy wobec eutanazji na zmienną porządkową, to przekodujmy zmienną nominalną wiara w życie po śmierci:

1. tak 2. nie 3. trudno

Miary symetryczne Asymptotyczny błąd Wartość Porządkowa

przez

Porządkowa

N

Ważnych

a. Nie

a

Przybliżone 1"

istotność przybliżona

tau-b Kendalla

-,186

,026

-6,950

,000

Gamma

-,334

,046

-6,950

,000

obserwacji

zakładając

standardowy

1121

hipotezy zerowej.

b. Użyto asymptotyczny btąd standardowy, przy zalożeniu hipotezy zerowej.

powiedzieć

Rysunek 4.10.

na zmienną porządkową (kategorię "trudno powiedzieć" zmienimy na kategorię "ani tak, ani nie"):

Tabela krzyżowa: PRZYZWOLENIE NA EUTANAZJĘ' PŁEĆ RESPONDENTA' WIARA W ŻYCIE PO ŚMIERCI

1. tak 2. ani tak, am me 3. nie

PŁEĆ RESPONDENTA: 1~M. 2~KOB

Utwórzmy tabelę pomiędzy wiarą w życie po śmierci, jako zmienną niezależną, a przyzwoleniem na eutanazję jako zmienną zależną (rys. 4.9).

WIARA W ŻYCIE PO ŚMIERCI Tak

PRZYZWOLENIE NA EUTANAZJĘ

tak, zgadzam się

Liczebność

% z PŁEĆ RESP. 1 M,2-KOB

ani się zgadzam, ani nie zgadzam

Liczebność

% z PŁEĆ RESP.

1=M,2=KOB

Tabela krzyżowa: PRZYZWOLENIE NA EUTANAZJĘ'WIARA W ŻYCIE PO ŚMIERCI

nie, nie zgadzam się

WIARA W ŻYCIE PO ŚMIERCI Ani tak, ani nie

Tak PRZYZWOLENIE NA EUTANAZJĘ

Tak, zgadzam się

Liczebność

%zWIARAW ŻYCIE PO ŚMIERCI

Ani się zgadzam, ani nie zgadzam

Nie, nie zgadzam się

Liczebność

Ogółem

Ogółem

339

70

157

566

46%

43%

74%

50% 150

87

48

15

12%

29%

7%

13%

Liczebność

319

46

40

405

Liczebność

%zWIARAW ŻYCIE PO ŚMIERCI

Liczebność

% z PŁEĆ RESP. 1 M,2 KOB

Ogółem

Nie

%zWIARAW ŻYCIE PO ŚMIERCI

% z WIARA W ŻYCIE PO ŚMIERCI

Liczebność

% z PŁEĆ RESP. 1 M,2 KOB

PRZYZWOLENIE NA EUTANAZJĘ

tak, zgadzam

się

Liczebność

%, z PŁEĆ RESP. 1 M,2 KOB

ani się zgadzam, ani nie zgadzam

Liczebność

% z PŁEĆ RESP.

1=M,2=KQB

nie, nie zgadzam

się

Liczebność

% z PŁEĆ RESP.

43%

28%

19%

36%

745

164

212

1121

100%

100%

100%

Ani tak, ani nie

1 M,2 KOB

09ółem

Liczebność

% z PŁEĆ RESP. 1 M,2 KOB

100% Nie

Rysunek 4.9.

Obie zmienne są mierzone na poziomie porządkowym, zatem współczynnikiem mierzącym siłę ich związku będzie gamma. Dodatkowo oczekujemy, że miara ta będzie w tym przypadku ujemna, gdyż zakładamy, iż osoby wierzące w życie po śmierci nie będą skłonne do wyrażania zgody na eutanazję a osoby nie wierzące w życie po śmierci taką zgodę wyrażą.

Zależność pomiędzy zmiennymi wiara w życie po śmierci a przyzwolenie na eutanazję (zmienne porządkowe) przedstawia rysunek 4.10.

PRZYZWOLENIE NA EUTANAZJĘ

tak, zgadzam

się

Liczebność

% z PŁEĆ RESP. 1 M,2 KOB

ani się zgadzam, ani nie zgadzam

nie, nie zgadzam

się

Liczebność

% z PŁEĆ RESP. 1=M,2=KOB Liczebność

% z PŁEĆ RESP. 1-M,2 KOB Ogółem

Liczebność

% z PŁEĆ RESP. 1 M,2 KOB

Rysunek 4.11.

MĘŻCZYZNA

KOBIETA

146

193

339

50%

43%

46%

09 ólem

33

54

87

11%

12%

12%

112

207

319

38%

46%

43%

291

454

745

100%

100%

100%

31

39

70

45%

41%

43%

24

24

48

35%

25%

29%

14

32

46

20%

34%

28%

69

95

164

100%

100%

100%

89

68

157

77%

71%

74%

8

7

15

7%

7%

7%

19

21

40

16%

22%

19%

116

96

212

100%

100%

100%

Rzeczywiście

gamma ma wartość ujemną. Jak na związek pomiędzy zmiennymi to ma też całkiem przyzwoitą wartość (pamiętamy, że gamma "zawyża" siłę związku). To, co może nas szczególnie niepokoić, to duża liczebność pola, dla którego odpowiedź na oba pytania jest "tak". To jest wbrew założeniom związku ujemnego.

jakościowymi,

Ponieważ tabela ma jednakową liczbę kolumn i wierszy, liczymy tau-b. Związek nadal jest ujemny, ale teraz jego siła wydaje się bardziej "adekwatna" do tego, co widać w oknie tabeli.

Na koniec potraktujmy zmienną wiara w życie po śmierci, jako zmienną kontrolną wobec związku płci i przyzwolenia na eutanazję (rys. 4.11). życie

śmierci nie wpływa w sposób widoczny na respondenta a jego stosunkiem do eutanazji. Miary związku dla poszczególnych podtabel to potwierdzają (rys. 4.12).

po

pierwotną zależność pomiędzy płcią

Miary symetryczne

WIARA W ŻYCIE PO ŚMIERCI

Istotność Wartość

Nominalna przez Nominalna

Tak

N

Ani tak, ani nie

Ważnych

N zakładając

Ważnych

Phi

,077

,109

,077

,109

Phi

,155

,140

V Kramera

,155

,140

Phi

,072

,577

V Kramera

,072

,577

745

obserwacji

Nominalna przez Nominalna

przybliżona

V Kramera

obserwacji

Nominalna przez Nominalna N

Nie

a. Nie

Ważnych

164

obserwacji

212

hipotezy zerowej.

b. Użyto asymptotyczny bląd standardowy, przy zalożeniu hipotezy zerowej.

Rysunek 4.12. Używamy

1. Blalock M. H.: Statystyka dla socjologów. Warszawa, PWN 1977.

2.

Brzeziński

J.: Metodologia

badań

psychologicznych. Wyd. 3. Warszawa, PWN

1999. 3. Frankfort-Nachmias Ch., Nachmias D.: Metody badawcze w naukach Poznań, Zysk i S-ka 2001.

Sprawdźmy inną miarę związku.

Zmienna kontrolna wiara w

Literatura

tu miar, które nie zostały jeszcze szczegółowo omówione, ze na ograniczenia lambdy jakie tu mają zastosowanie.

względu

Procedury uzyskiwania za pomocą programu SPSS zaprezentowanych wyzeJ wyników można znaleźć w książce Jarosława Górniaka i Janusza Wachnickiego SPSS PL for Windows - pierwsze kroki w analizie danych (część II, rozdz. 4, 5, Kraków, SPSS Polska 2000).

społecznych.

Pojęcia l!Jl

III I!l

I!l I!l III III

!II III II!

Ell iii iii iii

podstawowe

statystyka indukcyjna testy statystycznej istotności populacja próba próba losowa błąd z próby statystyki próby parametry populacji test dla jednej próby test dla dwóch prób analiza wariancji ANOVA hipoteza zerowa Ho hipoteza alternatywna Hl błąd l, II rodzaju

111 III III II! l1li III

III !li III

fil

III I!I III III

poziom istotności test dwustronny test jednostronny klasyczna definicja prawdopodobieństwa aksjomatyczna definicja prawdopodobieiistwa rozkład normalny rozkład średnich z próby założenie normalności rozkładu

centralne twierdzenie graniczne rozkład t Studenta estymator liczba stopni swobody test dla proporcji estymacja przedziałowa

Do tej pory, opisując przykłady empiryczne, określenie "grupa badana" stosow stosunku do jednostek analizy, które były obiektem naszych badań. Teraz dokonamy precyzyjnego opisu tej grupy. To co nas bowiem interesuje, to możliwość generalizacji naszych obserwacji i analiz. Techniki umożliwiające takie generalizacje będą przedmiotem tego i następnych rozdziałów.

waliśmy

Na początek zostaną wprowadzone podstawowe pojęcia i na prostym przykła­ dzie zostanie zaprezentowana idea testu statystycznej istotności. Będzie chodziło o zaprezentowanie pewnego sposobu rozumowania, którego uchwycenie pozwoli na późniejsze swobodne poruszanie się w materii statystyki indukcyjnej. Przedstawioną w nim formułę można by stosować w sposób mechaniczny (podstawiając odpowiednie wielkości do danego wzoru, np. na statystykę testu) ale nas będzie interesowało zrozumienie tych procedur.

Ta formuła statystyki testu oparta jest o rozkład częstości, zwany rozkładem normalnym, a właściwie szczególny przypadek rozkładu normalnego, będącego rozkładem średnich z próby. Innym rozkładem częstości, z którym zapoznamy się również w tym rozdziale jest rozkład t Studenta.

5.1. Czym zajmuje się statystyka indukcyjna? Do tej pory zajmowaliśmy się analizą zmiennych lub ich związku, odwołując się do danych pochodzących z badań. Zatem wszystkie hipotezy, które stawialiśmy, mogły być zweryfikowane, bądź nie, w stosunku do grupy badanych jednostek analizy. I tak, hipoteza dotycząca związku między poziomem dochodu na jednego mieszkańca a udziałem rolnictwa w PKB na pewno okazała się trafna w stosunku do 20 analizowanych państw. Ale czy prowadząc tę analizę chodziło nam tak naprawdę o pokazanie zależności dla tych 20 państw, czy też o wykrycie pewnych prawidłowości, które miałyby bardziej ogólny charakter. Pytanie jest oczywiście retoryczne, choć bez tego pierwszego nie można by było dokonać tego drugiego. To co nas przede wszystkim interesuje, to fakt, do jakiego stopnia możemy dokonać generalizacji, aby sprawdzone przez nas hipotezy można było ciągle jeszcze uważać za prawdziwe. To właśnie statystyka indukcyjna oferuje nam aparat teoretyczny i narzędzia praktyczne do dokonywania uogólnieil wniosków pochodzących z grupy badawczej na szerszą zbiorowość - jest to wnioskowanie statystyczne. Dokonujemy zatem indukcji, przechodząc od szczegółów -- danych empirycznych dla grupy badanej, do ogółu - wniosków dotyczących szerszej zbiorowości. Narzędzia, za pomocą których możemy z określoną precyzją taki zabieg przeprowadzić, to testy statystycznej istotności. Zacznijmy od początku. Na początku jest nasze zainteresowanie otaczającym nas światem zjawisk społecznych - to jest nasze uniwersum. Z tego świa­ ta wyłania się szczególnie interesujące nas zjawisko, np. jakie są wyznaczniki społeczno-cywilizacyjnegorozwoju państw lub jaki jest stosunek studentów socjologii do ich własnego kierunku studiów. Wszystkie jednostki analizy, których dotyczy interesujący nas problem (wszystkie państwa, wszyscy studenci socjologii - tu wszyscy mogą stanowić studentów jednego uniwersytetu lub studentów wszystkich uczelni w Polsce, czy wszystkich uczelni na świecie) stanowią dla nas populację. Definiując problem badawczy, definiujemy zbiorowość, do której się on odnosi, wyznaczamy populację. Jej cechą charakterystyczną jest to, że zawiera ona wszystkie jednostki analizy interesujące nas z badawczego punktu widzenia. Na

ogół nie zdarza się abyśmy przeprowadzali badania empiryczne na populacji. Nie mamy takich możliwości finansowych i organizacyjnych. To, co jest dla nas dostępne, to możliwość przeprowadzenia badań na części populacji.

Z populacji dobieramy mniejszą grupę jednostek analizy do badania. Ta grupa to próba. Od sposobu, w jaki dobierzemy próbę z populacji zależy możliwość stosowania testów statystycznej istotności, a więc możliwość dokonywania generalizacji z próby na populację. Czego zatem należy unikać przy doborze próby? Powinniśmy zadbać o to, aby próba nie była "skrzywiona" (obciążona błędem). Przypuśćmy, że chcemy udowodnić, że proszek do prania X jest najlepiej sprzedawanym produktem tej branży. Przeprowadzamy sondę w jednym z hipermarketów. Spośród 20 osób, które zakupiły proszek do prania, 15 osób zakupiło proszek X. Teraz spokojnie możemy wystąpić w reklamówce tego proszku, oświadczając że 75% nabywców preferuje proszek X. Przypuśćmy jednak, że wcześniej wiedzieliśmy, iż sklep, pod którym przeprowadzaliśmysondę prowadzi sprzedaż proszków tylko jednego producenta, dla którego wiodącym produktem jest proszek X. Dokonaliśmy więc intencjonalnego skrzywienia próby. Zwykle badacze nie postępują w taki sposób a skrzywienie próby może być nie intencjonalne. Załóżmy taki sam scenariusz badania rynku proszku, z wyłączeniem monopolizacji sklepu przez jednego producenta. Okazuje się, że otrzymaliśmy takie same wyniki, bo np. sklep w tym dniu oferował proszek X po promocyjnej, dwukrotnie niższej cenie. Nic więc dziwnego, że tylu klientów preferowało ten właśnie produkt. Nasza próba została skrzywiona przez nieprzewidziane przez nas i wcześniej nam nie znane czynniki zewnętrzne. Jednym z najbardziej znanych przykładów nieintencjonalnego skrzywienia próby były badania preferencji przedwyborczych przeprowadzone przez Literary Digest przed wyborami prezydenckimi w USA, w roku 1936. Przeprowadzone na dość dużej próbie badania wskazywały na 60% zwycięstwo kandydata Republikanów Alfa Landona, podczas gdy w czasie rzeczywistych wyborów otrzymał on tylko 38% głosów i został pokonany przez demokratę Franklina D. Roosevelta. Okazało się, że próbę do badania dobierano z listy właścicieli samochodów i książki telefonicznej. W czasach Wielkiego Kryzysu były to dobra na tyle luksusowe, że pozwolić sobie na nie mogli tylko lepiej sytuowani obywatele, wówczas w większości popierający Republikanów. Z badań "wypadła" zatem dużo większa grupa społeczna, gorzej sytuowanych, w znacznej mierze popierająca Demokratów. Powinniśmy zawsze pamiętać, że jeśli próba jest skrzywiona, to nie istnieje taka metoda statystyczna, która pozwalałaby nam na generalizacje na jej podstawie.

Wszystkie narzędzia statystyki indukcyjnej opierają się na założeniu, że próba w rzetelny sposób odzwierciedla populację. Jeśli mamy powód przypuszczać, że nasza próba jest skrzywiona, to żaden test statystycznej istotności "nie zamieni nam ropuchy w królewicza" .

5.2. Próba losowa Jeżeli próba w sposób rzetelny odzwierciedla populację to jest reprezentatywna. Reprezentatywność próby uzyskujemy poprzez odpowiedni sposób doboru jednostek analizy z populacji do próby. Takie kryterium spełniają sposoby probabilistycznego doboru próby, których podstawę stanowi zasada, że każda jednostka analizy w populacji ma jednakową szansę (jednakowe lub z góry znane prawdopodobieństwo)znalezienia się w próbie. Przywołajmy przykład badania stosunku studentów socjologii do własnego kie-' runku studiów. Przypuśćmy, że dysponujemy alfabetycznąlistą wszystkich studentów socjologii naszego uniwersytetu. Każdej osobie na liście przypisujemy kolejny numer, następnie numery te umieszczamy na piłeczkach pingpongowych i wrzucamy do bębna. Mieszamy je tam dokładnie i prosimy ochotnika o wylosowanie jednej piłeczki. Zapisujemy jej numer i wrzucamy ją z powrotem do bębna. Procedurę powtarzamy tyle razy, ile jednostek chcemy wylosować do próby (w naszym przykładzie 165 razy). Tak dobraną próbę nazywamy próbą losową·

Tak skomplikowanej "ręcznej" procedury losowania nie musimy już dziś stosoPrzy doborze stosunkowo małych prób korzystamy z tablic liczb losowych, a przy większych próbach - z odpowiednich programów komputerowych.

wać.

Taki dobór losowy prosty, jaki został zaprezentowany powyżej, nie jest jedynym losowym sposobem doboru próby. Warto tu wspomnieć jeszcze chociażby dobór warstwowy. Ze względu na problem badawczy, niektóre zmienne charakteryzujące populację mają dla nas kluczowe znaczenie. Jeśli liczebności

kategorii takiej zmiennej są znacznie zróżnicowane, to trzeba zastosować warstwowy dobór próby. Jeżeli np. prowadzilibyśmy badania na temat stosunku do wybranego kierunku studiów wśród studentów uczelni wojskowej, to moglibyśmy założyć, że płeć miałaby tu znaczenie różnicujące postawy. Gdyby interesowało nas to zróżnicowanie, to zależałoby nam aby w próbie obok mężczyzn znalazły się również kobiety. Ponieważ procent kobiet studiujących na uczelniach wojskowych jest niewielki, przy doborze losowym prostym istniałoby takie niebezpieczeństwo, że żadna z nich nie znalazłaby się w naszej próbie. Aby temu zapobiec, dokonujemy wstępnie podziału naszej populacji

na warstwy będące kategoriami interesującej nas zmiennej, w tym przykładzie byłby to podział na studentki i studentów danej uczelni wojskowej. Podział

na warstwy musi spełniać dwa kryteria - po pierwsze musi być wytzn. każda jednostka analizy musi być przyporządkowanado którejś warstwy, po drugie - podział ten musi być rozłączny, tzn. każda jednostka może być przyporządkowana tylko do jednej warstwy. Następnie dokonujemy doboru losowego prostego, z każdej z warstw osobno. Jeśli zachowujemy proporcje liczebnościowe warstw, tj. losujemy taki sam procent każdej warstwy, to mamy dobór losowy warstwowy proporcjonalny. Jeśli jednak z jakichś powodów badawczych dokonamy losowania różnych proporcji z każdej warstwy (co jest do przyjęcia), to będziemy mieli dobór losowy warstwowy nieproporcjonalny (wówczas prawdopodobieństwo znalezienia się w próbie będzie niejednakowe dla poszczególnych jednostek analizy ale nam znane). czerpujący,

Przypuśćmy, że zastosowaliśmy wszelkie reguły mające nam zagwarantować

losowy charakter naszej próby. Nie musimy zatem dłużej martwić się tym, że może być ona skrzywiona. Nie oznacza to jednak, że w ogóle nie musimy się martwić. Naszym problemem jest teraz błąd z próby. W tym przypadku błąd nie oznacza pomyłki w procesie losowania. Błąd z próby oznacza odchylenie charakterystyk próby w stosunku do populacji. Jeśli wśród studentów socjologii 70% to kobiety, a w naszej próbie dobranej losowo znalazło się ich 58%, to jest to błąd z próby. Takie same odchylenia mogą dotyczyć innych charakterystyk, np.: dochodu, wyznawanej religii, preferencji wyborczych, postaw wobec aborcji itd., czyli wszystkich mierzonych zmiennych.

Znajdujemy się zatem w sytuacji, w której charakterystyki opisujące próbę od tych opisujących populację. Weźmy pod uwagę pojedynczą zmienną. W rozdziale trzecim zostały opisane dwie grupy miar charakteryzujących zmienną - miary tendencji centralnej i miary dyspersji. Ich podstawowymi przedstawicielami są średnia arytmetyczna i odchylenie standardowe. mogą różnić się

Musimy zatem dokonać rozróżnienia na to co jest charakterystyką próby, a co jest charakterystyką populacji. Analizy prowadzone przez nas do tej pory odnosiły się do prób. Zatem charakterystykami próby będą: lIll

X-

średnia arytmetyczna z próby,

II

s-

odchylenie standardowe z próby,

nazywane

odtąd statystykami próby.

Charakterystyki populacji będziemy oznaczać małymi greckimi literami i będą to odpowiednio: II

fJ (j -

średnia

arytmetyczna z populacji, odchylenie standardowe z populacji,

nazywane

odtąd

parametrami populacji.

Wzory, za pomocą których liczy się parametry populacji są analogiczne do tych, które stosowaliśmy do wyznaczenia statystyk próby. Jeśli odwołamy się do ich wersji definicyjnej, to dla parametrów przyjmą one następującą postać: 11II

średnia arytmetyczna z populacji:

Istnienie związku między dwoma zmiennymi będziemy badać za pomocą testu niezależności chi-kwadrat. Pomimo tej różnorodności testów istnieje jednak jednakowa procedura wnioskowania statystycznego za pomocą testów istotności, procedura niezależna od typu testu. Ta procedura będzie teraz przedmiotem naszych rozważań. Nie będziemy się tutaj zagłębiać w teoretyczne uzasadnienia i niuanse poszczególnych typów testów (to stanie się przedmiotem naszych rozważań w dalszej części podręcznika), postaramy się prześledzić i zrozumieć ideę weryfikacji hipotez za pomocą testów na możliwie naj prostszym przykładzie. Zostanie on dla jasności wywodu i wprowadzenia pewnych ogólnych pojęć zaprezentowany na bardzo małej próbie - w rzeczywistości badawczej trzeba uwzględnić warunki stosowalności danego testu; liczebność próby jest jednym z takich warunków.

odchylenie standardowe z populacji:

Istnieje jedna zasadnicza różnica pomiędzy statystykami próby a parametrami populacji. Parametry, tak jak to wynika z powyższych wzorów, są liczone z wartości wszystkich jednostek analizy danej zmiennej. Są więc wielkościami stałymi, niezmiennymi dla danej populacji. Statystyki natomiast są liczone dla wartości zmiennej tych jednostek analizy, które zostały wylosowane do próby. Mają więc charakter losowy, są zmienne z próby na próbę. Mogą się więc róż­ nić od parametrów. Testy statystycznej istotności pozwalają nam tylko określić, z danym prawdopodobieństwem,czy różnica ta wynika z błędu z próby. Zatem od tej pory będziemy żyć w stanie "statystycznej niepewności". Ale jest to chyba stan bliższy naszym codziennym doświadczeniomniż jakikolwiek inny. (

5.3. Testy statystycznej

Przed przystąpieniem do zajęć ze statystyki indukcyjnej studenci socjologii mieli sprawdzian z wiadomości ze statystyki opisowej. Sprawdzian był oceniany w skali od O do 30 punktów. Do sprawdzianu przystąpiło 17 osób, średnia arytmetyczna dla tej grupy wynosiła 20 punktów a odchylenie standardowe 3,5. Potraktujmy tę grupę jak populację. Znane są nam więc jej parametry (fJ = 20, (j = 3,5). Dokonajmy doboru próby w sposób losowy. Wylosowane do próby cztery osoby uzyskały następującą liczbę punktów za sprawdzian: 18, 21, 22, 25. Średnia arytmetyczna z próby wynosi zatem 21,5. Istnieje więc różnica pomiędzy parametrem i statystyką. Test istotności (w tym przypadku test parametryczny dla jednej próby) pozwoli nam ocenić naturę tej różnicy. Procedurę wnioskowania rozpoczynamy od postawienia hipotezy zerowej Ho. W tym przypadku hipoteza ta będzie miała następującą postać:

istotności

Ho:

Jest wiele kwestii w analizie statystycznej, w stosunku do których możemy uży­

Zakładamy

wać testów, jako narzędzia wspomagającego nasze wnioskowanie. Dla każdej

stępnie

z tych kwestii będziemy używać innego typu testu istotności. I tak, jeśli nasze rozważania będą dotyczyły różnicy między statystykami jednej próby a parametrami (lub jakąkolwiekinną wartością niż parametr), to będziemy stosować test dla jednej próby. Jeżeli będziemy dokonywać porównania statystyk z dwóch prób, to będziemy stosować test dla dwóch prób. Przy porównywaniu statystyk z trzech lub więcej prób będziemy stosować analizę wariancji ANOVA.

taką że:

X=

fJ.

zatem, że statystyka próby jest równa parametrowi populacji. Naw stosunku do hipotezy zerowej stawiamy hipotezę alternatywną Hl,

Hipotezę tę

czasem hipotezą badawczą. Zazwyczaj stawia się jedną ale może też być ich więcej. Jeśli spojrzymy na dane i sposób sformułowania hipotez, zerowej i alternatywnej, to widać, że tak nazywa

się

hipotezę alternatywną,

naprawdę

zainteresowani jesteśmy udowodnieniem hipotezy alternatywnej. Dowodu tego jednak nie możemy przeprowadzić wprost. Jedynym dostępnym nam sposobem jest dowód pośredni, poprzez odrzucenie hipotezy zerowej. Przy weryfikacji hipotezy zerowej możemy popełnić dwa rodzaje błędów. Po pierwsze, możemy odrzucić hipotezę zerową chociaż jest ona prawdziwa. Jest to błąd I rodzaju, zwany błędem 0:. Po drugie, możemy przyjąć hipotezę zerową, choć jest ona fałszywa - jest to błąd II rodzaju, zwany błędem (3. W prezentowanej tu procedurze testu istotności nie mamy możliwości określenia błę­ du II rodzaju. Prawdopodobieństwopopełnienia błędu I rodzaju wyznaczamy w sposób arbitralny, przed przystąpieniem do badań. Sami zatem ustalamy ryzyko odrzucenia hipotezy zerowej chociaż jest ona prawdziwa. Ustalamy tym samym poziom istotności testu. Przy weryfikacji hipotez statystycznych stosuje się zwyczajowo określone poziomy istotności: 0,05; 0,01 i 0,001. Jeśli ustalimy poziom istotności na o: = 0,05, to oznacza, że przyjmujemy 5% szans na to, iż odrzucimy hipotezę zerową, chociaż jest ona prawdziwa. Określony

poziom istotności testu wyznacza nam tzw. obszar krytyczny (z jego istotą zapoznamy się w kolejnych punktach tego rozdziału). Dla podanych poprzednio standardowych poziomów istotności odpowiadające im obszary krytyczne rozpoczynają się od wartości Za: Poziom

istotności

0,05 0,01 0,001

o:

Obszar krytyczny od z" 1,96 2,58 3,29

Zatem nasza statystyka testu ma 21,5 - 20

X-f-t

a/VH'

1,5·2

3

°

Im większa byłaby różnica między statystyką a parametrem, tym większa była­ by wartość statystyki testu. Bezwzględnąwartość obliczonej przez nas statystyki testu porównujemy z właściwym dla obranego poziomu istotności obszarem krytycznym:

Izl < Za, iii jeżeli Izl ~ Za,

III

jeżeli

W naszym

to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, wówczas odrzucamy hipotezę zerową·

przykładzie zachodzi

ta pierwsza ewentualność, bowiem 0,86 < 1,96.

Możemy więc przyjąć, że różnica pomiędzy wielkością statystyki próby (21,5)

a

wielkością

parametru (20) wynika z

błędu

próby.

Stosując test parametryczny dla jednej próby (taki jak w przykładzie powyżej) używamy wyżej określonych

znaczenia iii

jeśli

lIIl

jeśli

błędu

poziomów istotności dla bardziej precyzyjnego wyI rodzaju. I tak:

Izl < 1,96, nie mamy podstaw do odrzucenia Ho i nie podajemy żadnego

prawdopodobieństwa;

l!lI

Z=---

1,5

= 3,5/V4 = - == -3,5- = -3,5 = ,86. 3,5/2

Z

l1li

Po postawieniu hipotezy zerowej, hipotezy alternatywnej oraz wyznaczeniu poziomu istotności testu liczymy statystykę testu. Statystyka ta przybiera różną postać w zależności od typu testu. Dla naszego przykładu będzie to statystyka Z, którą liczymy według następującego wzoru:

wartość:

Izl ~ 1,96 i Izl < 2,58, odrzucamy Ho z prawdopodobieństwem p < 0,05, co konwencjonalnie oznacza prawdopodobieństwopomiędzy 0,05 a 0,01; jeśli Izl ~ 2,58 i Izl < 3,29, odrzucamy Ho z prawdopodobieństwem p < 0,01, co oznacza, że p jest mniejsze od 0,01 ale większe niż 0,001; jeśli Izl ~ 3,29, odrzucamy Ho z prawdopodobieństwem p < 0,001 na tym zatrzymując doprecyzowanie naszego postępowania.

Jeżeli test dla jednej próby będziemy wykonywać za pomocą programów komputerowych, to otrzymamy dokładną wartość prawdopodobierlstwa alfa. Wszystkie powyżej poczynione uwagi odnoszą się do szczególnego typu testu parametrycznego dla jednej próby, zwanego testem dwustronnym. Postać hipotezy alternatywnej zadecydowała o zastosowaniu tego typu testu. Jeśli hipotezę alternatywną zapisalibyśmy w postaci:

gdzie: II iii iii l.1li

średnia

arytmetyczna dla populacji, w omawianym przypadku f-t = 20; odchylenie standardowe dla populacji, tutaj a = 3,5; X - średnia arytmetyczna dla próby, w tym przypadku X = 21,5; N - liczebność próby (N = 4). f-t -

a -

to zastosowalibyśmytest jednostronny (istota dwustronności lub jednostronności testu zostanie wyjaśniona później).

Podsumujmy zatem krok po kroku procedurę właściwą dla przeprowadzenia wnioskowania statystycznego za pomocą testów istotności: 1. Zanim podejmie się analizę danych, trzeba sformułować hipotezę zerową i hipotezę alternatywną, ze szczególnym uwzględnieniem uzasadnienia zastosowania testu jednostronnego i innego niż 0,05 poziomu istotności testu. 2. Po zgromadzeniu danych należy upewnić się, czy mamy wszystkie niezbędne informacje do przeprowadzenia testu, który wybraliśmy, tzn. czy jesteśmy w stanie policzyć jego statystykę. 3. Liczymy statystykę testu.

4. Wyznaczamy odpowiedni obszar krytyczny (adekwatny do formy hipotezy alternatywnej, poziomu istotności testu oraz liczby stopni swobody - dla innych testów niż prezentowany powyżej). 5. Porównujemy statystykę testu z obszarem krytycznym. 6. Podejmujemy decyzję o odrzuceniu lub braku podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. 7. Jeśli odrzucamy hipotezę zerową, to staramy się możliwie precyzyjnie określić błąd I rodzaju. 8. Wracamy do hipotezy zerowej i alternatywnej, i na podstawie przeprowadzonego testu wyciągamy wnioski. Spróbujmy teraz

5.4.

prześledzić istotę

przedstawionej

powyżej

procedury.

Prawdopodobieństwo

Wiemy, że statystyki mają charakter losowy atesty istotności pozwalają nam z pewnym prawdopodobieństwemokreślić, czy różnica między statystykami a parametrami wynika z błędu próby, czy też kryją się za tym jakieś inne istotne przyczyny. Przyjęliśmy również, iż poziom istotności testu, to wyznaczone przez nas prawdopodobieństwopopełnienia błędu I rodzaju. Czym zatem jest prawdopodobieństwo?

Intuicyjnie używamy tego terminu jako "szansy na coś". Powiemy zatem, "prawdopodobnie nie będzie padało" - patrząc na bezchmurne niebo; "prawdopodobnie nie zaliczyłem tego testu" - nie odpowiedziałem na większość pytań.

precyzyjnymi

pojęciami -

Przywołajmy zatem

statystyce musimy definicjami.

się posługiwać

bardziej

dwie znane definicje prawdopodobieństwa, do których dalszej części podręcznika.

się odwoływać w

bę­

prawdopodobieństwa(Laplace'a)

Jeżeli przez n oznaczymy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych (tzn. zdarzell, z których jedno musi zaistnieć w wyniku eksperymentu, wykluczając

przy tym zaistnienie innego zdarzenia), to prawdopodobieństwozaistnienia zdarzenia losowego A wyraża się stosunkiem liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A(m), do całkowitej liczby zdarzeń elementarnych (n)

p(A) q

m n

0'.( p(A) '.( 1,

= -,

oznacza prawdopodobieństwo,że nie zajdzie zdarzenie A,

p(A)

m n

q(A)

= 1--,

q(A)

= 1-

+ q(A) =

p(A),

1.

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa(Kołmogorowa) 1. Każdemu zdarzeniu losowemu przyporządkowana jest jednoznacznie pewna liczba rzeczywista z przedziału (0,1), zwana prawdopodobieństwem tego zdarzenia. 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności. 3. Jeżeli zdarzenie losowe X jest sumą rozłącznych zdarzell losowych Xl + +X2 + ... + X n , to prawdopodobieństwozrealizowania tego zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństwzdarzeń Xl, X 2 , ..• , X n

p(X) = p(Xd

5.5.

Rozkład

+ p(X2 ) + ... + p(Xn ).

normalny

Rozkład normalny jest rozkładem częstości, którego obraz przypomina kształ­ tem dzwon (rys. 5.1).

Krzywa taka posiada trzy zasadnicze cechy: iIl III

Używając prawdopodobieństwaw

dziemy

Klasyczna definicja

II

jest jednomodalna, jest symetryczna, jej końce zbliżają się asymptotycznie do osi wartości.

Ta ostatnia własność oznacza, że wykres funkcji dla wartości dążących do plus lub minus nieskończonościbędzie zbliżać się do osi odciętych, ale nigdy jej nie dotknie.

f

x

Rysunek 5.1. Proszę zwrócić uwagę na zmianę oznaczeń osi układu współrzędnych. Na rysunku mamy modeł matematyczny rozkładu normalnego, więc przyjmujemy założenie, że zmienna X ma charakter ciągły (mamy x - wszystkie wartości, zamiast Xi - wartości z próby), których częstość występowania (ni) określa funkcja gęstości prawdopodobieństwa(I).

Powodem, dla którego ten typ rozkładu częstości jest nazywany rozkładem normalnym jest fakt, że szereg charakterystyk populacji ludzkich, takich jak: wzrost, waga, współczynnik inteligencji ma rozkład częstości zbliżony do takiego dzwono-podobnego kształtu. Nie oznacza to jednak, że inne typy rozkładów są "nienormalne" . Są to po prostu inne modele rozkładów. Takie matematyczne modele możemy traktować jak typy idealne w sensie weberowskim. Rozkład

Pole pod krzywą normalną odpowiada proporcji wszystkich osób o określonej charakterystyce, czyli 100%, co w wymiarze bezwzględnym stanowi 1,0. Zatem pole pod krzywą normalną wynosi 1,0 (można to udowodnić licząc całkę od minus nieskończonoścido plus nieskończonościpo funkcji gęstości prawdopodobieństwa -- do czego zachęcam zainteresowanych). Ponieważ rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym, to pole po lewej stronie średniej będzie równe 0,5 (50% wszystkich przypadków) i pole po prawej stronie średniej będzie równe 0,5 (50% wszystkich przypadków). Wobec tego, prawdopodobieństwo wylosowania do próby osoby, której IQ jest niższe od średniej wynosi 0,5, tyle samo co prawdopodobieństwo wylosowania osoby o IQ większym od średniej. Dla Zosi wartość IQ wynosi 115, zatem proporcji osób, które prawdopodobnie osiągną wynik lepszy od niej, odpowiada pole pod krzywą normalną na prawo od tej wartości a proporcji osób, które prawdopodobnie uzyskają wynik gorszy odpowiada pole na lewo od niej. Jak znaleźć konkretne wielkości odpowiadające tym obszarom? Aby je uzyskać korzystamy z zestandaryzowanych tablic rozkładu normalnego (załącznik 1). Zaczynamy od obliczenia różnicy pomiędzy daną konkretną wartością a średnią - w przypadku Zosi mamy:

x - J-i = 115 - 100 = 15. Zosia uzyskała wynik o 15 punktów większy od średniej. Następnie tę różnicę dzielimy przez wielkość odchylenia standardowego - w tym przypadku (5 = 10:

x - J-i _ 15 == 1 5 (5 10 ,.

normalny jest charakterystyczny dla zmiennych, w przypadku których

na wielkość przybieranych wartości ma wpływ wiele czynników, ale żaden z nich nie jest dominujący. W naukach społecznych jest to na tyle częsta sytuacja, że samo takie określenie stanowi wystarczającą przyczynę, aby z rozkładem normalnym bliżej się zaprzyjaźnić.

Obliczona przez nas wielkość zestandaryzowana oznacza, że wynik, jaki osią­ gnęła Zosia, znajduje się na prawo od średniej arytmetycznej, w odległości 1,5 odchylenia standardowego od tej średniej (rys. 5.2). f

Wspomniany wyżej poziom inteligencji mierzony jako współczynnikinteligencji IQ jest zmienną o rozkładzie normalnym. Zmienna ta mierzona jest w skali od do 200, ze średnią równą 100 i odchyleniem standardowym wahającym się w okolicach 13 lub 14, w zależności od wieku badanych. W naszym przykładzie przyjmijmy spore uproszczenie, ustalając wartość odchylenia standardowego na 10. Zosia, wypełniając test mierzący współczynnik inteligencji, uzyskała 115 punktów. Chcielibyśmy wiedzieć, czy to dużo, czy mało. Inaczej mówiąc, jak wiele osób ma szansę uzyskać wynik lepszy od Zosi, a ile osób prawdopodobnie uzyska wynik od niej gorszy. Niestety nie możemy ustalić, ile osób uzyska taki sam rezultat.

°

-

z

Rysunek 5.2.

Dla takiej wielkości zestandaryzowanej oznaczanej w tablicach rozkładu normalnego jako z, wyznaczone zostały wielkości pola pod krzywą normalną·

Zapiszmy

tę formułę

standaryzacji:

x-p.,

z=--= (J

z,,,

115 - 100 15 10 = 10 = 1,5.

W tablicy rozkładu normalnego mamy trzy kolumny oznaczone A, B, C (załącz­ nik 1). W kolumnie A znajdują się wartości z liczone z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. W kolumnie B znajduje się wielkość pola pomiędzy średnią a określonym z (liczona z dokładnością do czterech miejsc po przecinku), natomiast w kolumnie C podana jest wielkość pola pomiędzy wartością z a plus nieskończonością lub pomiędzy z a minus nieskończonością, w zależności od tego po której stronie średniej znajduj~ się dane z. Wróćmy

Teraz możemy wyjaśnić istotę obszaru krytycznego oraz wartości które pojawiły się już wcześniej w tym rozdziale. Ustalając poziom istotności testu "odcinamy" odpowiednią (taką jak wyznaczone a) część pola pod krzywą normalną jako obszar krytyczny. W zależności od tego czy test jest dwustronny, czy jednostronny, odpowiednia część pola znajduje po obu stronach średniej lub po jednej stronie średniej (prawej lub lewej). Prześledźmy tę procedurę w stosunku do najczęściej używanego poziomu istotności a = 0,05. f

do Zosi.

Obliczone dla niej z wynosi 1,5. Szukamy tej wartości w kolumnie A (załącz­ nik 1). Pole pod krzywą od średniej do danego punktu wynosi 0,4332 (kolumna B), zaś pole od tego punktu do plus nieskończoności wynosi 0,0668 (kolumna C). Wobec tego tylko 6,68% osób osiągnie prawdopodobnie lepszy wynik niż Zosia, natomiast wynik gorszy może osiągnąć 93,32% osób; jest to suma pól pod krzywą: lIiI

od minus nieskOllczoności do średniej -

!li

między średnią a punktem odpowiadającym wynikowi Zosi -

0,5; 0,4332,

razem 0,9332. Zosia jest więc bardzo inteligentną osobą. Nie da się tego powiedzieć o Jasiu, którego współczynnik inteligencji wynosi 80. Zobaczmy dlaczego? Zacznijmy od obliczenia wartości z

z =

x - p., -(J-

80 - 100

- 20

= --1-0- = -1-0- = -2,0.

Rysunek 5.3.

Dla testu dwustronnego wartość poziomu istotności dzielimy na pół, a więc mamy dwie części pola po 0,025 znajdujące się po obu końcach krzywej normalnej. W tablicach rozkładu normalnego (załącznik 1) szukamy w kolumnie C wartości z dla pola 0,025. Znaleziona wartość to nasze Za, W tym przypadku równe 1,96. Jeśli zatem statystyka testu znajdzie się między -Za a +za, to nie będzie podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, jeśli jednak znajdzie się ona na którymkolwiek polu 0,025 to hipotezę zerową Ho odrzucimy. Zapiszmy to symbolicznie: iii iii!

Izl < IZnl Izl ;;:; IZal -

nie ma podstaw do odrzucenia Ho, odrzucamy Ho· f

Ujemna wartość z oznacza, że punkt wyznaczający wartość IQ Jasia znajduje się po lewej stronie średniej i jest od niej odległy o dwa odchylenia standardowe. Zatem pole pod krzywą normalną od minus nieskończoności do tego punktu będzie odpowiadać proporcji osób, które mogą uzyskać wynik gorszy od Jasia (kolumna C - 0,0223 - oznaczenia na dole tablicy) i jest to 2,23% populacji, natomiast pole po prawej stronie tego punktu odpowiada tej części populacji, która prawdopodobnie uzyska wynik lepszy od Jasia i jest to 97,72% osób (pole pomiędzy danym punktem a średnią - tu 0,4772 plus pole po prawej stronie średni-sj - czyli 0,5). Biedny Jaś!

Zo;

x

Rysunek 5.4. Jeśli hipotezę alternatywną postawimy w taki sposób, że test jednostronny, to obszar krytyczny odpowiadający polu

stosować będziemy wielkości 0,05

znaj-

dzie się z jednej strony krzywej normalnej. Wyznaczające go z określimy w następujący sposób: pole po jednej stronie średniej wynosi 0,5, od niego odejmujemy wartość pola obszaru krytycznego 0,05, otrzymujemy 0,45. W kolumnie B tablic rozkładu normalnego (załącznik 1) szukamy tej wartości i odpowiadają­ cego jej z. Teraz nasze Za wynosi 1,645, niezależnie od tego, po której stronie średniej się znajduje.

byłoby możliwych

kombinacji liczby jednostek analizy próby z liczebności populacji. Dla każdej próby moglibyśmy policzyć średnią - statystykę, która jak pamiętamy ma charakter losowy. Średnia z próby byłaby więc zmienną o dają­ cym się zbadać rozkładzie. Ten właśnie rozkład to rozkład średnich z próby. On stanowi podstawę weryfikacji hipotezy zerowej. Zatem, jeżeli jakaś zmienna (x) ma rozkład normalny w populacji, z której dobieramy szereg prób o tej samej liczebności (N), to:

f

iii

rozkład średnich

iii

średnia rozkładu średnich

II

x

Rysunek 5.5.

Zatem warunki weryfikacji testu dla testu prawostronnego (rys. 5.4) są nastę­ pujące:

<

Za -

z ;?

Za -

lIlI Z III

nie ma podstaw do odrzucenia Ho, odrzucamy Ho,

z próby

będzie rozkładem normalnym;

z próby, czyli średnia średnich (oznaczana jako X), będzie równa średniej z populacji /-l, z której te próby zostały dobrane; odchylenie standardowe rozkładu średnich z próby będzie równe Oj?" = = 0/ V1.V, czyli stosunkowi odchylenia standardowego w populacji do pierwiastka kwadratowego liczebności próby z tej populacji dobranej - odchylenie standardowe rozkładu średnich z próby bywa nazywane błędem standardowym średniej lub błędem standardowym.

Dodatkowo o tym rozkładzie wiemy, jaki procent wszystkich możliwych śred­ nich z próby znajduje się w zakresie błędów standardowych w stosunku do średniej średnich. I tak:

± log 11, ± 20g /-l

a dla testu lewostronnego (rys. 5.5): III Z

>-

Za -

II Z ::;; - Za -

5.6.

nie ma podstaw do odrzucenia Ho, odrzucamy Ho.

Rozkład średnich

z prób

Formuła, którą zastosowaliśmy w początkowym przykładzie do policzenia sta-

tystyki testu, X-/-l

Z=---

o/V1.V'

jest formułą standaryzacyjnąrozkładu normalnego, która została opisana powyżej, tyle że zastosowaną,do szczególnego wariantu rozkładu normalnego _ rozkładu średnich z prób. Srednia z próby, w stosunku do której stawiamy hipotezę sprawdzaną za pomocą testu istotności dla jednej próby, jest tylko jedną z wartości statystyk możliwych do policzenia z danej populacji. Przy założeniu określonej liczebności próby z danej populacji możemy dobrać tyle prób, ile

/-l

± 30g

--+

68,27%,

--+

95,45%,

--+

99,73%.

····m~·!?·~~!!t!~~·. ·······, Uczniowie kończący gimnazjum przystępują do testów sprawdzających z kilku przedmiotów, w tym z matematyki. Załóżmy, że rozkład punktów, jaki uzyskują gimnazjaliści z matematyki jest rozkładem normalnym o średniej /-l = 70 i odchyleniu standardowym o = 20. Dobieramy próbę liczącą 100 osób. Jaki będzie rozkład średnich z próby? Zgodnie z przedstawionymi powyżej założenia­ mi powinien to być rozkład normalny o średniej X = /-l = 70 oraz odchyleniu standardowym o/V1.V = 20/JIOO = 20/10 = 2. Średnia z próby N = 100 w 99,73% przypadków powinna znaleźć się w przedziale od 64 do 76 punktów (plus/minus trzy błędy standardowe). Załóżmy, że nasza próba została dobrana spośród uczniów, którzy uczestniczyli w 6-tygodniowym kursie matematyki przygotowującym ich do końcowego testu z matematyki. W takim przypadku nasze pytanie brzmi, czy tę próbę możemy jeszcze traktować jako próbę wszystkich gimnazjalistów?

Odpowiedź na to pytanie pozwala ocenić, czy różnice pomiędzy X a p., wynikają z doboru próby, czy też należy już uznać, że próba odzwierciedla populację o innej średniej p., , niż ta, którą zakładaliśmy przed dobraniem próby.

Przyjmijmy, że w naszym przykładzie średnia z testu z matematyki dla próby 100 osób wynosi 73. Zatem:

O'

Ho:

X = p.,,

Hl:

X>

= 0,05 więc dla testu jednostronnego

Za

p., ,

Można więc stwierdzić, że kurs przygotowawczy z matematyki nie przyniósł

spodziewanych efektów. Zanim przejdziemy do dalszych zagadnień podsumujmy naszą wiedzę dotyczącą poczynionych wcześniej założeń. Odnosimy się w nich do trzech oddzielnych rozkładów częstości: populacji, próby i średnich z próby. Dane, które posiadamy, dotyczą tylko pierwszych dwóch rozkładów. Przyjęte założenia pozwalają nam je wykorzystać w odniesieniu do własności trzeciego rozkładu. Wiemy, że:

= 1,645.

Obszar krytyczny określiliśmy na podstawie formuły standaryzacyjnej rozkładu normalnego. Przypomnijmy ją i spróbujmy zapisać słownie:

z

=

x(l) - p.,(2) a(3) ,

przy czym: 1. wartość zmiennej, której odległość od średniej chcemy znaleźć, 2. średnia naszego rozkładu częstości, 3. odchylenie standardowe naszego rozkładu częstości.

Teraz ten opis słowny przełóżmy na konkretny przykład, którego dotyczy nasza procedura weryfikacyjna: iii

!Il

III

zmienną, której odległość od średniej chcemy zmierzyć, jest średnia X z naszej próby;

średnią naszego roz~ładu częstości (tu rozkładu średnich z próby) jest śred­ nia średnich, czyli X, a według przyjętych założeń p., , czyli średnia z naszej populacji;

odchyleniem standardowym naszego rozkładu, rozkładu średnich z próby jest błąd standardowy, czyli a/m.

Na tej podstawie obliczmy statystykę testu:

X z =

~ p.,

a/m

73 - 70 3 3 = 20/VIOO = 20/10 = "2 = 1,5.

Kolejna zagadka w postaci wzoru na statystykę testu dla jednej próby została rozwiązana. Dokonajmy więc weryfikacji naszej hipotezy, porównując statystykę testu z obszarem krytycznym: z < Za, gdyż 1,5 < 1,645, więc nie ma podstaw do odrzucenia Ho.

III

zmienna x w populacji ma określony rozkład częstości; ten rozkład to rozkład normalny; jego parametrami są średnia p., i odchylenie standardowe a; zmienna x w losowo dobranej przez nas próbie ma określony rozkład często­ ści; znamy liczebność tej próby N oraz jej średnią X; zmienna x w próbie to ta sama zmienna x co w populacji; rozkład średnich z próby to coś, czego zasadniczo nie da się zobaczyć, ale z czego można zrobić użytek; istnieją oddzielne rozkłady średnich z próby dla każdej możliwej liczebności próby; dla każdego określonego N rozkład średnich z próby jest rozkładem wszystkich możliwych średnich pochodzą­ cych z populacji charakteryzowanej przez zmienną x o średniej p., i odchyleniu standardowym a; parametry rozkładu średnich z próby wyznacza centralne twierdzenie graniczne.

Nim przejdziemy do tego twierdzenia jeszcze jedna uwaga. W powyższych rozzmienna x ma w populacji rozkład normalny. Jest to założenie normalności rozkładu. Jeżeli jest ono prawdziwe, to rozkład średnich z próby też jest rozkładem normalnym i możemy zastosować formułę testu istotności dla jednej próby.

ważaniach dokonaliśmy założenia, że

Co się jednak stanie, gdy rozkład zmiennej w populacji nie jest rozkładem normalnym lub, co bardziej prawdopodobne, nie wiemy jaki jest rozkład zmiennej w populacji. W takim przypadku, jeżeli próba będzie dostatecznie duża, będzie­ my mogli nadal stosować przyjęte założenia, dzięki centralnemu twierdzeniu granicznemu. Centralne twierdzenie graniczne mówi, że jeżeli dobieramy próby losowe o liczebności

N z populacji o dowolnym rozkładzie o parametrach p., i a, to wraz ze wzrostem N, rozkład średnich z próby dąży do rozkładu normalnego o śred­ niej p., i odchyleniu standardowym a/m. Jeżeli

zatem liczebność próby będzie odpowiednio duża, możemy znieść zao normalności rozkładu zmiennej w populacji. Rozkład ten może być dowolny, np. asymetryczny lub wielomodalny, a i tak rozkład średnich z próby łożenie

będzie rozkładem

normalnym, do którego

będzie się stosować

centralne twier-

dzenie graniczne. jest ta odpowiednia liczebności próby do zawieszenia założenia norNie ma na to pytanie jednej i jednoznacznej odpowiedzi, bowiem prawidłowości obiektywnego świata przejawiają się tylko w procesach masowych. Socjologowie nie mają z tym na ogół problemu, gdyż próby w ich badaniach są zwykle wystarczająco duże. Arbitralnie przyjmuje się najczęściej następujące założenia dotyczące wielkości próby i sensowności zniesienia zało­ żenia normalności rozkładu zmiennej w populacji: Jak

duża

malności rozkładu?

II iii II II

N ;? 100 - zawsze można znieść założenie normalności rozkładu; 50::::;: N < 100 - prawie zawsze; 30 ::::;: N < 50 - z wielką ostrożnością; N < 30 - nigdy.

5.7.

Rozkład t

Efektywność estymatora zależy od tego, jak bardzo rozkład z próby skupia się wokół rzeczywistej wartości parametru. Jednak estymator nie może być całko­ wicie efektywny, gdyż to oznaczałoby brak jakiegokolwiel< błędu losowania, co

zaprzecza idei losowego doboru próby. Średnia z próby X jest takim nieobcią­ żonym estymatorem fJ (co wynika z centralnego twierdzenia granicznego). Nieobciążony estymator wariancji policzymy ze wzoru (0- jest nieobciążonym estymatorem (J"2, Z czego nie wynika, że O- jest nieobciążonym estymatorem (J"): 2

Studenta

Wiemy, że aby móc stosować test istotności dla jednej próby potrzebna nam jest pewna wiedza na temat populacji. Powinniśmy znać, lub przynajmniej hipotetycznie określić, średnią fJ i odchylenie standardowe (J". Takie

Ten nowy sposób na oszacowanie odchylenia standardowego w populacji na podstawie próby zakłada zastąpienie liczebności próby N w formule kalkulacyjnej odchylenia standardowego przez N -1. Obliczamy w ten sposób estymator O- odchylenia standardowego w populacji. Estymator, to oszacowanie parametru na podstawie statystyk. Musi on spełniać kryterium nieobciążoności, tzn. jego średnia rozkładu z próby powinna być równa wartości parametru oraz kryterium efektywności.

Formułę standaryzacyjną, odnoszącą się do rozkładu normalnego, jaką stosowaliśmy poprzednio w teście istotności, zamienimy teraz na formułę t:

x-

fJ t=--.

postępowanie, mające

na celu ustalenie parametrów populacji, nazywa Przez jakiś czas, w sytuacjach gdy można było hipotetycznie założyć wielkość fJ ale (J" nie było znane, przyjmowano, że dobrym oszacowaniem odchylenia standardowego w populacji może być odchylenie standardowe z próby, czyli s. Z czasem dostrzeżono, że szczególnie w przypadku małych prób takie założenie prowadzi do niewłaściwych wniosków.

o-/VH

się estymacją.

Prowadząc badania nad jakością piwa w browarach Guinnessa, zatrudniony tam kontroler jakości William Gosset odkrył lepsze oszacowanie wartości odchylenia standardowego dla populacji na podstawie małej próby.

Metodologia, jaką zastosował Gosset, została opisana w artykule jednego z najlepszych ówczesnych czasopism naukowych "Biometrica". Zanim do tego doszło, redaktor tego pisma, Karol Pearson, prowadził długotrwałą korespondencję z właścicielami browaru, którzy badania Gosseta traktowali jak własność swej firmy. W końcu wyrazili zgodę na opublikowanie części metodologicznej, bez badań empirycznycfj pod pseudonimem "student", bez ujawniania nazwiska pracownika, tak aby uniemożliwić dotarcie do firmowych tajemnic kontroli jakości. Stąd rozkład średnich dla małej próby nazywa się rozkładem t Studenta.

Rysunek 5.6 pokazuje zmiany wartości ta wyznaczającej obszar krytyczny dla takiego samego poziomu istotności o: = 0,05 dla testu jednostronnego, przy zmieniającej się liczebności próby. W pierwszym przypadku liczebność próby wynosi 121 i wówc~as ta. = 1,6~8: tylko nieznacznie więcej niż Za = 1,645 dla takiego samego pozlOmu ls~otnoscl (rys. 5.6a). Wraz ze wzrostem liczebności różnice pomiędzy z a t maleją. Gdy liczebność spada, wartość ta rośnie. Dla liczebności 21 i tego samego poziomu istotności, statystyka ta (rys. 5.6b) a przy liczebności 6 (rys. 5.6c) ta = 2,015.

1,725

Porównując rozkłady z i t, trzeba pamiętać, że rozkład z jes~ rozkł~d:m .normalnym o stałym obszarze krytycznym dla danego ioziomu IstotnoscI., m:zależnym od liczebności próby, natomiast wartości t zależą od licz~bnośC1 prob!. Zmniejszanie liczebności próby prowadzi do łagodzenia warunkow odrzucema

hipotezy zerowej.

a)

f N=121 df=120

--.! t,,=1,658

b)

x

Zestandaryzowane rozkłady t i z różnią się od siebie. Rozkład z jest rozkładem normalnym. Rozkład t przybiera postać rozkładu normalnego tylko dla prób liczniejszych niż 120 jednostek analizy. Wraz ze zmniejszaniem się liczebności próby, krzywa będąca obrazem rozkładu t ulega spłaszczeniu. Ważną konsekwencją tego jest "odsuwanie" się obszaru krytycznego o tej samej wielkości, od średniej. Ilustruje to rysunek 5.6. Przy każdym przedstawionym na tym rysunku przypadku pojawiło się nieznane nam dotąd oznaczenie df. Skrót ten oznacza liczbę stopni swobody (pochodzi od angielskiej nazwy degrees of freedom ). Matematyczne znaczenie liczby stopni swobody naj prościej można ująć jako liczbę elementów w danej formule, które mogą być zmienne.

f N=21 df=20

+ X2 + X3 = 10. Jeśli przyjmiemy np. Xl = 2 a X2 = 3, to X3 będzie musiało wynosić 5. Zatem w tej formule dwie wartości będą mogły się zmieniać a trzecia będzie przez nie wyznaczona. Takie równanie ma więc dwa stopnie swobody. Weźmy prostą formułę matematyczną, dodawanie Xl

x

c)

Liczba stopni swobody, oprócz poziomu istotności testu, jest niezbędna do odnalezienia w tablicach rozkładu Studenta wartości t wyznaczającej nasz obszar krytyczny. W przypadku testu istotności dla jednej próby, liczbę stopni swobody wyznacza się ze wzoru df = N ~ 1,

f N=6 df=5

gdzie N oznacza --_ ..

to;=2,015

x

m

liczebność próby.

uwaga

Rysunek 5.6.

Zatem jeśli znamy a, zawsze stosujemy rozkład z. Jeśli odchylenie standardowe z populacji jest nieznane, to musimy dokonać estymacji. Istnieją dwa podejścia wśród statystyków do estymacji a jeśli próba jest licz-

niejsza

niż

30 jednostek analizy.

Jedni dokonują precyzyjniejszej estymacji, używając statystyki t i łagodzą warunki weryfikacji hipotezy zerowej (obszar krytyczny odsuwa się od średniej). Inni przyjmują s jako niedoskonały estymator a i utrzymują bardziej restrykcyjne warunki weryfikacji hipotezy zerowej przy rozkładzie z (to stanowisko jest mi bliższe). W przypadku próby o liczebności mniejszej niż 30 zawsze stosujemy statystykę i rozkład t.

-

Taka formllłaobliczanialiczby stopni swobody obowiązuje tylko w odniesieniu do tego konkretnego testu. W innych procedurach korzystają­ cychzrozkładutbędziemy mieli inne formuły liczenia stopni swobody (tokwestia,kt6rej zapamiętanie sprawia na ogół trudność i ma nieprzyjelllriekon.sekwencje) .

Taki zabieg jest niezbędny, abyśmy mogli korzystać z zestandaryzowanych tablic rozkładu t (załącznik 2). W pierwszej kolumnie tej tablicy znajdują się wartości liczby stopni swobody. W kolejnych kolumnach znajdują się wartości t dla opisanych w główce tablicy poziomów istotności testu, z uwzględnieniem podziału na test dwustronny i jednostronny. Poszukiwane przez nas konkretne ta znajdziemy na przecięciu wiersza odpowiadającego liczbie stopni swobody i kolumny z odpowiednim poziomem istotności testu. Teraz łatwo możemy odnaleźć wartości ta' które znalazły się na rysunku 5.6.

Na koniec naszych rozważail o rozkładzie t Studenta jedna uwaga techniczna. Licząc statystykę testu t za pomocą kalkulatora lub programu komputerowego, w ich opisie technicznym należy odnaleźć informację na temat wzoru, z jakiego

sam odsetek osób należących do mniejszości. Spośród nauczycieli województw wschodnich wylosowano próbę 100 osób, wśród których znalazło się 15% osób należących do mniejszości.

program korzysta.

Czy wobec tego mniejszości są niedoreprezentowane wśród nauczycieli?

Jeżeli statystyka t liczona jest w oparciu estymator odchylenia standardowego w populacji CT, wówczas korzystamy z formuły na liczenie t, która została wcześniej podana, jeśli natomiast t jest wyznaczone w oparciu o odchylenie standardowe z próby s, wówczas uprzednia formuła ma zmodyfikowanąpostać:

Hipoteza alternatywna została postawiona tak jak w teście jednostronnym lewostronnym, więc dla O' = 0,05 wartość -Za = -1,645.

X-p,

t=

s/VN -1'

0,15 - 0,2

przy tak samo określonej liczbie stopni swobody, df = N-L

JO,2(1 - 0,2) /100

5.8. Test istotności dla proporcji

Mamy z > -Za, hipotezy zerowej.

Testy istotności dla jednej próby, które zostały przedstawione do tej pory, mogły być stosowane w odniesieniu do zmiennych mierzonych na poziomach sil-

Z

nych (tylko w stosunku do takich zmiennych możemy policzyć średnią i odchylenie standardowe).

W naukach społecznych równie często, jeśli nie częściej, mamy do czynienia ze zmiennymi mierzonymi na poziomach słabych. Miarą takich zmiennych może być proporcja, czyli częstość występowania danej kategorii w całej zbiorowości. Symbolicznie możemy proporcję zapisać jako stosunek liczebności danej kategorii do całkowitej liczebności P = ni/N. Dla takiej miary istnieje zmodyfikowana formuła testu z, która pozwala na weryfikację hipotezy dotyczącej proporcji w próbie, w stosunku do proporcji w populacji.

-

nie możemy nauczycieli.

> -1,645, nie ma

wysnuć

więc

podstaw do odrzucenia

wniosku o niedoreprezentowaniu

mniejszości

5.9. Estymacja przedziałowa Opisując rozkład t Studenta, wprowadziliśmy pOJęCle estymatora, jako najlepszego oszacowania parametru w populacji na podstawie statystyk z próby. Z istnienia rozkładu średnich z prób wiemy, że nie wszystkie średnie X są równe średniej tL, nawet jeśli średnia z próby jest najlepszym estymatorem średniej z populacji. Z tego rozkładu wiemy, że 95% wszystkich średnich z próby bę­ dzie leżało w przedziale ±1,96 błędu standardowego od średniej p,. Analogicznie, 99% średnich znajdzie się w przedziale ±2,58 błędu standardowego od p" a 99,9% średnich w przedziale ±3,29 błędu standardowego.

Statystyka takiego testu ma następującą postać:

gdzie: Ps -- proporcja dla próby, Pp próby.

badań

wśród

gdyż ·~1,25

-0,05 = -0,05 = -1,25. JO,16/100 U,04

W ten sposób budujemy przedział wokół X, z założeniem, że w tym przedziale znajdzie się p,. Dokonujemy więc estymacji przedziałowej.

proporcja dla populacji, N -liczebność

Estymacja przedziałowa polega na wyznaczeniu pewnego przedziału liczbowego, wewnątrz którego z określonym prawdopodobieństwem znajdzie się estymowany parametr. Przedział ten nosi nazwę przedziału ufności, a prawdopodobień­ stwo tego, że znajdzie się w nim estymowany parametr wyznacza współczynnik ufności. Współczynniki ufności są odpowiednikami poziomów istotności dla testu dwustronnego (patrz rozważania z poprzedniego akapitu).

Załóżmy zatem, że proporcja osób zamieszkujących wschodnie województwa Polski i należących do mniejszości narodowych wynosi 0,2. Osoby te mają prawo do nauki swojego narodowego języka. Prawo to może być zrealizowane m.in. wówczas, gdy wśród nauczycieli szkół na tych terenach będzie co najmniej taki

/

:ami~t~jąc o .tym, że ~łą? standardowy Uj( to u/VN, przedział ufności dla sredmeJ fL mozemy zapIsac jako (oczywiście przy znanym u): p (X

- Za

l-N <

fL

< X + Za

l-N) =

przedziałów ufności dla średniej, przy nieznanym odchyleniu standardowym

w populacji:

l-a.

Załóżr~lJ, że 64 wylosowanych do ~róby gimnazjalistów uzyskało średnią liczbę punk.tow. z testu z matematyki X = 75. Odchylenie standardowe u = 20. PrzYJmując a = 0,05 wyznaczamy Za = 1,96.

p

Przedział ufności dla średniej w populacji będzie więc wynosił:

< 75 + 1,96(20/V54))

=

1-0,05,

< fL < 75 + 1,96(20/8))

=

0,95,

< fL < 75 + 1,96 . 2,5)

=

0,95,

p (75 - 4,9 < fL < 75 + 4,9)

=

0,95,

p (75 - 1,96(20/V54)

<

fL

P (75 - 1,96(20/8)

P (75 - 1,96·2,5

p ( X - Za

JN <

p ( X - ta

~ < fL < X + ta ~ )

fL

< X + Za

JN) = =

l - a, l - a,

(X -ta~ < fL < X+ta~) = l-a. N-l N-l

Podobnie jak w teście dwustronnym, wartości w rozkładzie t Studenta poszukujemy dla df = N-L Możemy dokonywać też oszacowania drugiego z parametrów populacji u. W większości podręczrrikówdo statystyki można odnaleźć odpowiednie wzory. Przywołajmy jeszcze reguły, na podstawie których możemy dokonywać oszacowania proporcji w populacji. Odpowiedni wzór będzie miał postać:

p (70,1 < fL < 79,9) = 0,95.

~ pra.w~~podobieństwem 0,95 możemy stwierdzić, że średnia populacji będzie SIę, mIescIła ~ pr~edziale od 70,1 do 79,9. Jeśli współczynnik ufności przyjęli­ bysmy ~a pOZIOmIe 0,01, to wówczas przedział ufności dla tej samej próby byłby

następujący:

p (75 - 2,58(20/V54)

< fL < 75 + 2,58(20/V54))

=

1-0,01,

< fL < 81,45)

=

0,99.

P (68,55

Teraz z prawdopodobieństwem równym 0,99 możemy powiedzieć że średnia z populacji znajdzie się w przedziale między 68,55 a 81,45. St~imy zatem przed wyborem, czy dany parametr szacować z większym prawdopodobień­ st,:em (mniejszy współczynnik ufności) i jednocześnie z mniejszą dokładnością ~wI~kszy zakres pr~e~ziału ufności), czy z mniejszym prawdopodobieństwem l .w~ększą dokł~dno~cIą. Ko?kretny wybór zależy od tego, co jest dla nas waż­ meJsze w okresloneJ sytuaCjI badawczej. W po~anym powyżej przykładzie założyliśmy, że mamy wiedzę o wielkości odchylema sta~dardow~g.~ w populacji u, co zwykle nie ma miejsca. Analogicznie d~ reguł, .ktore ustalrlrsmy dla testów istotności dla jednej próby w odniesiemu do wIelkości tej próby, korzystamy ze zmodyfikowanych formuł liczenia

Porównując wzór

na statystykę testu dla proporcji i wzór na estymację przedziaw wyrażeniu pod pierwiastkiem proporcja z populacji została zastąpiona proporcją z próby, zakładamy bowiem, iż proporcja z próby jest estymatorem proporcji z populacji. Założenie takie daje się utrzymać tylko dla dużych prób, dlatego należy bardzo ostrożnie stosować szacowanie proporcji na podstawie małych prób. łową, należy zauważyć, że

lliiilllll

Przedstawiona w tym rozdziale procedura weryfikacji testu istotności dla jednej próby służyła przede wszystkim zaprezentowaniu logicznych założeń leżących u podstaw stawiania hipotezy zerowej i alternatywnej oraz poznania istoty konstruowania statystyk testów i warunków weryfikacji postawionych hipotez. Trzeba sobie bowiem zdawać sprawę, że badacz bardzo rzadko posiada wiedzę na temat wielkości parametrów populacji lub na temat sensowności rozpatrywania założenia normalności rozkładu interesującej go zmiennej w populacji. W badaniach najczęściej mamy do czynienia z danymi pochodzącymi z prób i w odniesieniu do nich prowadzimy postępowanie weryfikacyjne. Będzie to tematem rozważań w następnych rozdziałach. Procedury będą się nam komplikować, ale ich istota pozostanie taka sama.

Ćwiczenia Ćwiczenie 5.1. Postaw hipotezę zerową i hipotezę alternatywną w stosunku do następujących

twierdzeń:

1. Menedżerowie różnią się od innych pracowników stopniem identyfikacji z miejscem pracy. 2. Senatorowie partii prawicowych różnią się od wszystkich senatorów pod względem poparcia dla polityki konserwatywnej. 3. Osoby należące do ruchów pacyfistycznych różnią się od innych osób stopniem poparcia dla użycia siły militarnej.

7. Czy proporcjonalnie więcej osób uzyska wynik gorszy niż 8,5, czy wynik lepszy niż 147 8. Jakie jest prawdopodobieństwowylosowania osoby, której wynik będzie lepszy niż 12,57 9. Jakie jest prawdopodobieństwowylosowania osoby, która uzyska wynik pomiędzy 6 a 8,9? 10. Jakie jest prawdopodobiellstwo wylosowania osoby, która uzyska wynik pomiędzy 6 a 12,57 Ćwiczenie 5.4. Każdy

testu

Ćwiczenie 5.2. Kontynuując rozważania powyżej przedstawionych kwestii dokonaj kolejnych kroków procedury testu istotności jeżeli:

1. Stopień identyfikacji z miejscem pracy jest mierzony w skali od O do 100. Średnia arytmetyczna dla pracowników wynosi 36,1 a odchylenie standardowe 11,1. Dla losowo wybranych 9 menedżerów średnia ta wynosi 81,8. 2. Średni poziom konserwatyzmu senatorów wynosi 56,2, przy odchyleniu standardowym 32,4. Dla 7 losowo wybranych senatorów partii prawicowych średnia ta wynosi 61,9. 3. Skalę postaw pacyfistycznych mierzy się od O do 10. Hipotetycznie średni poziom pacyfizmu wynosi 3,5 przy odchyleniu standardowym 0,5. Dla 25 członków ruchów pacyfistycznych średnia ta wynosi 2,8.

Ćwiczenie 5.3. Indeks mierzący umiejętność szybkiego czytania ze zrozumieniem jest zmienną o rozkładzie normalnym o średniej f.L = 8,9 i odchyleniu standardowym eJ = 3,1. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Jaka proporcja osób może uzyskać wynik lepszy niż 147 Jaka będzie proporcja osób, które uzyskają wynik pomiędzy 8,9 a 147 Jaka będzie proporcja osób, które uzyskają wynik gorszy niż 147 Jaka proporcja osób uzyska wynik gorszy niż 8,57 Jaka proporcja osób uzyska wynik pomiędzy średnią a 8,57 Jaka proporcja osób uzyska wynik pomiędzy 8,5 a 147

z poniżej zaprezentowanych problemów wymaga rozwiązania za pomocą Dobierz i przeprowadź właściwą procedurę.

istotności.

1. Średnia wieku mieszkańców Stanów Zjednoczonych wy~osi 32 lat~, .przy odchyleniu standardowym 14,5. Ponieważ wielu emeryt.ow p~zenos.l. SIę na Florydę zakładamy, że średnia wieku w tym stanie będzlC wy~sza ~IZ W. całym USA. Dla losowo dobranych 144 mieszkańców Florydy sredma wIeku . wynosi 34 lata. 2. Dla losowo dobranych 25 mieszkańców Miami średnia :riek.u ,wyn~sl ~6,~, przy odchyleniu standardowym s = 16. Co możemy pO':ledzlec o mlesz ancach tego miasta w stosunku do mieszkańcówcałego krajU (dane z punktu 1. pozostają w mocy)? . . 7 3. Jeśli próba z punktu 2. liczyłaby 64 osoby, Jaka byłaby nasza konklUZJa. Ćwiczenie 5.5.

Wszyscy więźniowie osadzani w zakładach karnych przechodzą tes~y .p~ycholo­ giczne. Oto parametry niektórych używanych w tych testach wskazmkow:

A. poparcie dla przemocy B. poczucie izolacji w stosunku do innych C. tolerancja wobec współwięźniów

57,1 56,2 62,5

15,2 32,4 31,6

Dla 50 losowo dobranych więźniów zakładu o złagodzonym rygorze średnia X dla powyższych wskaźników wynosiła odpowiednio: A - 37,4; B - 50,7; C - 71,3. Czy badani więźniowie są reprezentatywni dla ogółu osadzonych pod tych trzech wskaźników?

względem

Ćwiczenie 5.6.

Co

Innymi wskaźnikami tego samego testu co w poprzednim ćwiczeniu są:

A. współczucie dla ofiar przestępstwa B. skłonność do popełniania kolejnych przestępstw C. odrzucenie norm społecznych

74,9 48,6 42,5

Dla 25 więźniów odsiadujących wyroki pomzeJ 2 lat statystyki powyższych wskaźników przedstawiająsię następująco:

może zrobić

za nas komputer

Aby przeprowadzić test dla jednej próby potrzebna nam jest wartość parametru w populacji. Na ogół nie jest ona znana. Dla pewnych zmiennych możemy jednak znaleźć jej bardzo prawdopodobne oszacowanie. Taką zmienną jest np. liczba osób w gospodarstwie domowym. Przeciętna liczba osób w rodzinie w roku 1999 wynosiła 3,17 ("Rocznik Statystyczny", 2000). Tę wartość możemy potraktować jako parametr, naszą statystyką będzie średnia liczba osób w rodzinie respondentów PGSS (rys. 5.7). Statystyki dla jednej próby

x A. B. C.

78,2 60,2 36,6

(f Błąd

16,2 33,8

N LICZBA OSÓB W GOSPODARSTWIE DOMOWYM

35,5

2282

Średnia

Odchylenie standardowe

3,35

1,83

standardowy średniej

3,83E-02

Rysunek 5.7.

Czy badani wIęzmowie różnią się w swoich postawach w stosunku do ogółu osadzonych pod względem każdego z tych wskaźników?

Test dla jednej próby

Ćwiczenie 5.7.

Wartość testowana

Kobiety stanowią 52% populacji w Polsce. Metodą warstwową dobrano próby o liczebności 50 osób według wykonywanych zawodów. Proporcja kobiet w tych próbach była następująca: Zawód Nauczyciele Profesorowie szkół wyższych Pielęgniarki

Stomatolodzy

3.17 95%

t L1CZBAOSÓBW GOSPODARSTWIE DOMOWYM

4,630

dl

Istotność

Różnica

(dwustronna)

średnich

2281

,000

,18

przedział ufności

dla

różnicy średnich

Dolna granica

Górna granica

,10

,25

Rysunek 5.8.

0,72 0,38 0,84 0,45

Czy da się obronić hipotezę o nadreprezentowaniu, bądź niedoreprezentowaniu kobiet w tych zawodach?

Ćwiczenie 5.8. Stan zdrowia czterolatków oceniany jest w skali od 30 do 70. Dla 25 losowo dobranych przedszkolaków średnia tego wskaźnika wynosi X = 50, a odchylenie standardowe s = 9. Oszacuj średni wskaźnik zdrowia dla populacji 4-latków z prawdopodobieństwem 0,95.

Na podstawie przeprowadzonego testu musimy o.drzu~ić hip~~ezę zer?':ą (poziom istotności - w programie SPSS oznaczany Jako Istotnosc - mmeJszy od 0,05; rys. 5.8) o równości średniej liczby osób w rod~inie wśród responden~ów PGSS ze średnią liczbą osób w rodzinie według roczmlm statystycznego (proba PGSS nie odzwierciedla pod tym względem populacji). Dokonajmy analizy innej zmiennej. Aby ją utworzyć należy podzielić wartości zmiennej łączny dochód gospodarstwa domowego przez liczbę osób w go~podar­ stwie domowym i utworzyć nową zmienną dochód na 1 osobę w 'rOdzzme - to jest nasza statystyka. Teraz możemy przepro,wadzić ~e.st dla j.ednej próby .dla zmiennej dochód na 1 osobę w 'rOdzzme. Porownywac ją będzIemy z przecIęt­ nym miesięcznym rozporządzalnym dochodem na 1 osobę, .który w 1999 roku wynosił 560,43 zł ("Rocznik Statystyczny", 2000) to Jest nasz parametr (rys. 5.9).

Statystyki dla jednej próby Błąd

N DOCHÓD NA 1 OSOBĘ

2113

Średnia

Odchylenie standardowe

580,46

standardowy średniej

12,93

594,14

Rysunek 5.9. Test dla jednej próby Wartość testowana

= 560.43 95% przedział ufności dla

t

DOCHÓD NA 1 OSOBĘ

1,549

dl 2112

Istotność

Różnica

(dwustronna)

średnich

,121

20,03

różnicy średnich

Dolna granica

-5,32

I Górna granica I

45,37

Pojęcia

Rysunek 5.10.

podstawowe

próby niezależne próby zależne III test na homogeniczność wariancji .. jednoczynnikowa analiza wariancji

iii

l1li średnia całkowita

III

III

III

Nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej (poziom istotności więk­ szy od 0,05; rys. 5.10) o równości dochodu na jedną osobę w rodzinie wśród respondentów PGSS w stosunku do tego z rocznika statystycznego (pod tym względem próba odzwierciedla populację).

III I!I

III

Literatura 1. Blalock M. H.: Statystyka dla socjologów. Warszawa, PWN 1977. 2.

Brzeziński

J.: Metodologia

badań

psychologicznych. Wyd. 3. Warszawa, PWN

1999. 3. Frankfort-Nachmias Ch., Nachmias D.: Metody badawcze w naukach Poznań, Zysk i S-ka 2001. 4.

Gruszczyński

Śląski 1986.

społecznych.

L. A.: Elementy statystyki dla socjologów. Katowice, Uniwersytet

suma kwadratów oszacowanie wariancji całkowita suma kwadratów

III III

II

iii III

wewnątrzgrupowa suma kwadratów międzygrupowa suma kwadratów

suma kwadratów błędu wewnątrzgrupoweoszacowanie wariancji międzygrupowe oszacowanie wariancji test post hoc wskaźnik Scheffe'a

Sytuacja badawcza, w której znane nam są parametry populacji jest prawie niespotykana. To, czym najczęściej dysponujemy, to statystyki z próby - jednej lub więcej niż jednej. Określenie różnic między tymi próbami oraz ich przyczyn, to nasze zadanie badawcze. Występowanie tych różnic świadczy o związku mię­ dzy dwoma zmiennymi - jednej mierzonej na poziomie silnym, dla której liczymy statystyki oraz drugiej, mierzonej na poziomach słabych, której kategorie stanowią dla nas osobne próby. Statystyka oferuje nam pomoc w takiej analizie w postaci testów dla dwóch prób lub analizy wariancji. Podobnie jak w teście dla jednej próby, w testach dla dwóch prób porównujemy dwie średnie, z tą różnicą, że średnie te są teraz statystykami z dwóch prób. Na podstawie tego porównania dokonujemy uogólnienia dotyczącego średnich odpowiednich populacji, przy czym nie mamy teraz żadnej wiedzy na temat parametrów tych populacji. W ciąż jednak, o ile wielkość prób nie jest odpowiednio duża, musimy utrzymywać założenie o normalności rozkładu interesującej nas zmiennej w badanych populacjach. Test dla dwóch prób jest właściwie rodziną testów składającą się z wielu jego odmian. Dobór tego właściwego zależy od takich czynników jak sposób doboru

prób ~raz możliwość (bądź nie) przyjęcia założenia o równości wariancji w populac~ach. Sama. form~ła statystyki testu t oraz procedura wyznaczania liczby

stopm swobody Jest WIęC w tych testach bardziej skomplikowana. Analiza wariancji ANOVA

należy do rodziny procedur statystycznych takich

~amy~h jak testy istotności. Zatem tak j ak owe testy opiera się na porównywaniu

sre~~lch, ~ prób. To, co różni ją od poprzednio przedstawianych procedur, to

mozhwosc Jednoczesnego porównywania więcej niż dwóch średnich.

Jeśli konkluzją analizy wariancji jest odrzucenie hipotezy zerowej o równości średnich z wielu prób, to zwykle stosujemy procedurę post hoc, mającą na celu dokładne wskazanie, która nierówność leży u podstaw warunków odrzucenia.

6.1. Sposób doboru prób Jeżeli obie próby są odzwierciedleniem dwóch różnych populacji a struktura jednej z nich nie ma żadnego wpływu na strukturę drugiej, to możemy mówić o ~ró~ach niezależnych (każda z prób jest dobierana w sposób niezależny). Dla kazdeJ z nich możemy obliczyć właściwe jej statystyki (X i s lub 0-). Sytuację tę możemy przedstawić następująco:

Jeśli różnica ta okaże się statystycznie nieistotna (brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej), będzie to oznaczało, iż wynika ona z błędu próby, a nie jest konsekwencją udziału w eksperymencie.

Istnieje też inny tryb prowadzenia eksperymentu niż przedstawiony powyżej. Mamy w nim do czynienia z zależnością między obiema próbami. To tak, jakbyśmy losowali do próby bliźniaki, z których jedno umieszczalibyśmyw grupie eksperymentalnej a drugie w grupie kontrolnej. Takie badania są oczywiście prowadzone ale częstszym przypadkiem jest zastosowanie schematu w taki sposób, że na tej samej losowo dobranej próbie przeprowadzamy badania dwukrotnie, przed eksperymentem i po jego zakoń­ czeniu. Fizycznie mamy jedną próbę ale w kategoriach zbiorów danych są to dwie próby. W takim przypadku są to próby zależne.

6.2. Test dla dwóch prób

Populacja 1

Populacja 2

Rozkładem

/11 nieznane al nieznane

/12 nieznane

będzie rozkład

(J2

Próba 1 liczebność

średnia

nieznane

liczebność

Xl

średnia SI

X2

82

stać:

= M2,

Hl: MI

'I M2

teście

między średnimi

Hipoteza zerowa, jaką możemy postawić w takim przypadku, będzie miała poHo: MI

dla jednej próby, statystykę testu obliczymy dzieląc różnicę przez odchylenie standardowe rozkładu z próby. Teraz błąd standardowy jest odchyleniem standardowym rozkładu różnic średnich z próby. Tak jak w

N2

odchylenie standardowe

niezależnych

z próby, który będziemy wykorzystywać tworząc statystykę testu t Studenta. Tym razem jednak nie będzie to rozkład średnich z próby (tak jak w teście dla jednej próby) ale rozkład różnic pomiędzy wszystkimi teoretycznie możliwymi parami średnich z próby.

Próba 2

NI

odchylenie standardowe

a hipoteza alternatywna:

(przy

Test istotności ma nam odpowiedzieć na pytanie, czy różnica między średni­ mi z prób jest odzwierciedleniem różnicy między odpowiednimi populacjami (populacja osób poddanych eksperymentowi istnieje tylko hipotetycznie, jako zbiorowość, którą utworzyłyby osoby, jeśli eksperyment zostałby rozszerzony).

teście dwustronnym lub MI < M2 czy MI > M2 dla testów jednostronnych).

Tego typu założenia towarzyszączęsto sytuacji eksperymentu z udziałem grupy ~ontrolnej. Z populacji losowo dobieramy dwie niezależne próby, jedną podda-

Jemy eksperymentowi, drugą nie. Tę drugą traktujemy jak grupę kontrolną.

Zatem błąd standardowy, którego poszukujemy, jest estymatorem opartym o odchylenie standardowe z dwóch prób. ciągu naszych rozważań dotyczących błędu standardowego będzie­ my się odnosić do wariancji, a nie odchyleń standardowych jako miar zróżni­ cowania. Jeśli wariancje z dwóch prób są zbliżone co do wartości, to możemy założyć, że wariancje populacji, z których próby pochodzą, są sobie równe, czyli = o-~.

W dalszym

o-r

W takim przypadku błąd standardowy będziemy liczyć jako średnią ważoną wariancji z dwóch prób. Mamy wówczas większe szanse na odrzucenie hipotezy zerowej niż w przypadku, gdy równości wariancji w populacjach nie możemy

założyć. Jeśli jednak jest tak, że a-f

w oparciu o Aby

inną formułę.

i= a-~,

to statystykę testu t musimy policzyć

Oto wyniki:

rozstrzygnąćkwestię, czy mamy do czynienia z sytuacją równości czy nie-

Próba 1

Próba 2

Xi

Xi

6 7 7 8 9 10

3 5

równości wariancji w populacjach stosujemy test na homogeniczność (jednorodność) wariancji. W zależności od jego wyniku stosujemy odpowiednią formułę statystyki t naszego testu zasadniczego. Nim przejdziemy do prezentacji tych formuł (na konkretnym przykładzie), ustalmy kolejne kroki procedury testu dla dwóch prób niezależnych: 1. Stawiamy Ho i Hl

dotyczące porównania średnich z prób.

2. Dla każdej próby określamy jej liczebność N, średnią X i wariancję 82. 3. Aby określić, którą formułę statystyki testu t zastosować, przeprowadzamy test na homogeniczność wariancji F: a. stawiamy Ho i Hl dotyczące porównania wariancji; b. liczymy statystykę testu F; c. określamy liczbę stopni swobody i obszar krytyczny Fa; d. porównujemy statystykę testu z obszarem krytycznym: jeżeli F ~ Fa, to zakładamy nierówność wariancji w populacjach, jeżeli F < Fa, to zakładamy, że wariancje w populacjach są sobie równe. 4. Obliczamy zdeterminowaną przez test na homogeniczność wariancji statystykę testu t. 5. Wyznaczamy liczbę stopni swobody i obszar krytyczny to:. 6. Dokonujemy porównania statystyki testu z obszarem krytycznym i wycią­ gamy wniosek z całego naszego postępowania weryfikacyjnego.

stanowić grupę poddawaną eksperymentowi a 5 -

grupę kontrolną.

Badanie dotyczy oceny dobrze znanego produktu w skali od O do 10. Studenci z grupy eksperymentalnej dokonywali tej oceny po obejrzeniu jednominutowej reklamówki, o sprawdzonej wcześniej znacznej sugestywności. Studenci z grupy kontrolnej oceniali produkt bez znajomości tej reklamówki.

7 8

LXi = 47

LXi = 29

Xl - Lx;jN = 47/6 = 7,83

X2 =

L

xi/N = 29/5 = 5,8

dla dwóch prób będziemy mogli ocenić, czy ró~nica pomię~zy badanego produktu przez grupę eksperymentalną l kontro}n ą jest skutkiem oglądania reklamy tego produktu, czy też wynika z błędu proby. Za

pomocą testu

średnią oceną

Zatem: Ho: /-il = /-i2, Hl: /-il > /-i2· Ze względu na różnicę średnich w próbach. i oczekiwany :fekt, o.dd~iaływania reklamy hipoteza alternatywna została zapIsana w postacI własClwej dla testu jednost:onnego - prawostronnego (w pakietach komputerowych standardowo przeprowadzany jest test dwustronny). Schemat

Przypuśćmy, że z grupy studenckiej (zbiorowości, na której najczęsclej prowadzone są eksperymenty) wylosowano 11 osób. Spośród nich 6 osób będzie

6

wyjściowy dla

tego

przykładu możemy zapisać jako:

Populacja 1

Populacja 2

wszystkie osoby, któr-e widziały r-ekłamę

wszystkie osoby, któr-e nie widziały r-eklamy

{lI

nieznane

{l2

O'i nieznane ł

nieznane

O'~ nieznane

Próba 2

Próba 1

gr-upa ekspcr-ymentalna

gT"Upa kontmIna

liczebność

liczebność

średnia

Xl

NI = 6

7,83 odchylenie standardowe =

si = 1,81

= 5 5,8 odchylenie standardowe s~

średnia

X2

Nz =

=

2,96

Teraz możemy przystąpić do testu na homogeniczność wariancji: H o·. H .

2

0"1

W omawianym

przykładzie statystyka

7,83 - 5,8

(

W tym teście hipoteza alternatywna ma zawsze postać właściwą dla testu dwustronnego.

Statystykę testu F obliczamy na podstawie następującego wzoru:

=

będzie wynosić:

t = --,::.======== = 1,971. 6,1,81+5,2,96) (1 + 1)

2-1- 2 1· 0"1 ;0"2'

F

ta

2

= 0"2'

6+5-2

6

5

Wartości

obszaru krytycznego poszukujemy w tablicach rozkładu t Studenta dla testu jednostronnego, najpierw dla poziomu istotności oc = 0,05. Liczba stopni swobody dla tego typu testu jest wyznaczona następująco:

s2

większe 2 Smniejsze

df = NI

+ N2 -

2

= 6 + 5 - 2 = 9,

zatem:

W tym przypadku: F

= s~ = 2,96 - 1 si

1,81 -

III

,64.

Mamy policzoną statystykę testu, którą musimy porównać do obszaru krytycznego wyznaczonego przez rozkład F (Snedecora). Zestandaryzowane wartości tego rozkładu zawiera załącznik 3.

Ab~ odnale,ź~ "! nim obszar krytyczny, oprócz poziomu istotności musimy znać dWIe wartOSC1 lIczby stopni swobody (zaznaczone w tablicach jako n i n czego nie należy mylić z liczebnością). 1 2, Li:zb.ę sto~ni s:"o?ody oznaczoną jako nI obliczamy jako dl = N -1, dla próby, ktorej wanancJa Jest w liczniku statystyki F. Dla naszego przykładu liczba st,opni swobo~y liczn.ika dl = 5 - 1 = 4. Wartości tej· szukamy w pierwszym gornym rzędzIe tabelI. Liczbę stopni swobody oznaczoną jako n2 obliczamy również jako dl = N - 1 ale dla prób~, której wal~iancja znajduje się w mianowniku statystyki F. W ty~ przypadku lIczba stopm swobody mianownika dl = 6 - 1 = 5. Wartości tej szukamy w pierwszej kolumnie załącznika 3. Na przecięciu się wiersza i kolumny właściwych dla odpowiedniej liczby stopni swobody znajdujemy wartość obszaru krytycznego Fa = 5,19.

III

dla oc dla oc

Podsumujmy nasze dotychczasowe rozważania. Postawiliśmy hipotezę zerową, że badany produkt jest średnio jednakowo oceniany przez tych, którzy widzieli jego reklamę i przez tych, którzy tej reklamy nie widzieli. W hipotezie alternatywnej założyliśmy, że oglądanie reklamy wpływa na podwyższenie oceny badanego produktu. Obliczyliśmy liczebność, średnią arytmetyczną i wariancję dla każdej próby. Przeprowadziliśmy test na homogeniczność wariancji w populacji aby ustalić, z której formuły statystyki testu t mamy korzystać. W tym przypadku założenie o równości wariancji populacji zostało utrzymane. Obliczyliśmy statystykę testu t i wyznaczyliśmy obszar krytyczny testu. Z prawdopodobieństwemp < 0,05 odrzuciliśmy hipotezę zerową, przyjmując wniosek, że oglądanie reklamy badanego produktu miało wpływ na lepszą jego ocenę. Spróbujmy teraz tak zmienić poszczególne wartości w grupie kontrolnej aby ich zróżnicowanie przy niezmienionej liczebności i ich sumie, a więc przy niezmienionej średniej.

wzrosło

Teraz wskazania grupy kontrolnej Xi

1

Ponieważ F. ~ .Fa , ~dyż. 1,64 < 5,19, nie mamy podstaw do odrzucenia hipo-

3 6 9 10

tezy zeroweJ, 1Z wanancJe obu populacji są sobie równe. W takim przypadku t obliczamy według następującego wzoru:

statystykę testu

t

=

X 1 -X2

----r======~==

(~,st~~~~~) (~, + ~2)

= 0,05; ta = 1,833 < t = 1,971 - odrzucamy Ho, = 0,025; ta = 2,262 > t = 1,971 - p < 0,05.

LXi

= 29

X 2 = Lx;jN2 = 5,8

mogłyby wyglądać następująco:

III

III III

5. Mniejsza z liczebności prób jest liczebność grupy kontrolnej, wobec tego liczba stopni swobody będzie równa tej liczebności df = 5. Dla oc = 0,05 obszar krytyczny dla testu jednostronnego odczytany z tablicy rozkładu t Studenta wynosi ta = 2,015

liczebność

N 2 = 5, średnia X 2 = 5,8, wariancja s§ = 11,76.

Dla tego . całą procedurę testu " nowego zbioru danych pr zeprowad'zmy ponowme dla dwoch prob (według kolejnych przedstawionych wcześniej kroków): 1. Ho: /-lI =/-l2, Hl: /-lI 2.

>

Średnia Wariancja

NI

6. Zatem, jeśli ta

statystyka testu

-I CT~,

c. Fa = 5,19

statystyka próby - parametr populacji _-c--=----'---'---'---=---------.Cbłąd standardowy

jącą postać:

1,81 - 6,497,

<. F

=

Symboliczny zapis tej reguły dla dwóch prób niezależnych przyjąłby następu­

= s§ = 11,76 _ si

= 2,015 > t = 1,115, to nie mamy podstaw do odrzucenia Ho·

Przyjrzyjmy się teraz bliżej statystykom testu t. Opiszmy słownie stosowaną wcześniej regułę budowy statystyki testu dla jednej próby

N2 = 5 X2 = 5,8 s~ = 11,76

6 Xl = 7,83 si = 1,81 =

3. a. Ho: CT? = CT~, Hl: CT?

b F .

7,83 - 5,8

--r======== = 1,115. + 11,76) (~ 6-1 5-1

/-l2·

---~--------Grupa eksperymentalna Grupa kontrolna Liczebność

t=

= ?,497, odrzucamy więc Ho z p

~ozostał,t~b sam Jak

< 0,05, obszar krytyczny

w przykładzie pierwotnym, llczebnosCl grup eksperymentalnej i kontrolnej.

gdyż nie uległy zmianie

4. W przypa~ku, kiedy nie możemy utrzymać założenia o równości wariancji w populacjach statystykę testu t liczymy w oparciu o następujący wzór:

Ponieważ w hipotezie zerowej założyliśmy równość średnich w populacjach, to /-lI - /-l2 = i w liczniku naszej statystyki pozostanie tylko różnica średnich

°

z prób, Xl -

X2.

Przejdźmy teraz do błędu standardowego, który możemy zapisać jako:

X l -X2

t=-r=~~~=

( N ,Si- l + N 2s~- l )

Liczbę

stopni swobody wyznacza mniejsza z

Q!;YIKQ)pl'zybli,żenierzeczywistej

liczebności

Jeżeli założymy równość wariancji w obu populacjach, to wówczas prób.

liczby stopni swobody dla tego skomplikowana formuła (zainteresowanych 3j()dl'izukaJlia w innych podręcznikach, nam będzie ją lipotrzeby tego testu wystarczy wartość przybliżona).

YZJj.a<~za dość

Na ogół próby mają różną liczebność, wobec tego estymator CT jest średnią ważoną z wariancji w obu próbach podzieloną przez odpowiedniąliczbę stopni swobody. Zatem:

0-=

NIsi + N 2 s§ NI +N2 - 2

i w rezultacie:

0-5(1-5(2

=

(NI8i+N28~) (~+~) NI

+ N2 -

2

NI

N2

'

Teraz wzór na statystykętestu dl d 'h 'b" . . , , . '.. . a woc pro mezaleznych przy załozemu rownoscI warIanCjI w populacjach staJ'e SI'ę l' . ł J 'l' ł" , ,. . " . z Ozumra y. es l za ozema o rownosCI warIanCjI w populacjach nie mo' t' . . zemy u rzymac, to oba odchylema standardowe mUsImy oszacować oddzielnI'e dł' . d ,. , o wo UJąc SIę o statystyk z obu prob, a WIęC:

możemy więc mówić o jednej próbie, gdyż cały czas prowadzimy badania na tej samej grupie osób, a z drugiej strony mamy do dyspozycji dwa zestawy danych, czyli tak jakbyśmy mieli dwie próby. Zatem procedura testu istotności dla dwóch prób zależnych będzie w sobie łączyć elementy testu dla jednej próby z elementami testu dla dwóch prób niezależnych.

Dla jasności wywodu najlepiej

posłużyć się

prostym

przykładem.

···r;l···~!·~X~!.~.f:l . Przypuśćmy, że

Na koniec naszY~h,r~zważań o teście istotności dla dwóch prób niezależnych trzeba pr~ypommec, ze korzystając z programów komputerowych przy liczeniu tych testow n~leż~.wiedzieć, czy odpowiednie formuły oparte są o obciążony e~tymator wanancJI 82, czy nieobciążony ei3ty-matorwariancJt8-2. Dla tego drugIego przypadku formuły liczenia statystyki testu będą miały zmodyfikowaną postać (tak liczy program SPSS): II

nasz eksperyment badający wpływ reklamy na ocenę danego produktu został zaprojektowany w taki sposób, iż wśród studentów wylosowaliśmy 6 osób, które dokonały oceny produktu. Następnie osoby te obejrzały reklamę i dokonały ponownej oceny produktu. Oto

wartości wskazań jakie otrzymaliśmy:

Przed eksperymentem

Po eksperymencie

5 5 7 8 7 3

10 6 8 7 9 7

statystyka testu t dla dwóch niezależnych prób przy założeniu równości wariancji w populacjach:

dla liczby stopni swobody df = NI

+ N2 -

2;

• st~t~styk~ tes.~u t dla dwóch niezależnych prób przy założeniu braku równOSCI warIanCjI w populacji:

6.3. Test dla dwóch prób zależnych O~reśl~li~~yjuż wcz.~śniej, że z dwiema próbami zależnymi mamy do czynienia n~JczęscIeJ w sytuaCjI eksperymentu polegającegona tym, że badamy dwukrotme tę samą grupę osób, raz "przed" i raz "po" eksperymencie. Z jednej strony

L: Xi = 35

L: Xi = 47

Xprzed = 5,83

X pa = 7,83

się 6 osób i 6 par wartości Np. Przy próbach upow kierunku rosnącym lub malejącym musimy pamiętać o tym, że możemy to zrobić tylko w odniesieniu do wartości "przed" lub tylko wartości "po" eksperymencie, par wskazań nie możemy bowiem rozłączać. Jeśli przyjrzymy się tym parom bliżej, to zauważymy, że w pięciu przypadkach na sześć po obejrzeniu reklamy ocena produktu uległa podwyższeniu.

W naszej próbie znajduje rządkowania wartości

Problem, który staramy się poddać testowi, to właśnie taki ocenę produktu, jaki zaobserwowaliśmyw naszej próbie. Możemy

zatem

postawić

hipotezy Ho:

zerową j.Lprzed

Hl: j.Lprzed

i

alternatywną:

= IL pa , <

j.Lpo·

wpływ

reklamy na

Test, który będziemy przeprowadzać zasadniczo odnosi się do różnic wskazań dla każdej pary.

Przed eksperymentem

Po eksperymencie

D

D-D

(D-D?

5 5 7 8 7 3

10 6 8 7 g 7

5

3 -l -l -3 O

g

2

4

Różnice te możemy zapisać jako:

D =

X po -

Xprzed'

Możemy więc dokonać modyfikacji hipotezy zerowej i alternatywnej, tak aby

l l -l

2 4

r. = 12

odnosiły się bezpośrednio do przedmiotu naszego zainteresowania; Ho: f.lD Hl: f.lD

= 0, > O.

Przez f.lD rozumiemy średnią wszystkich różnic we wskazaniach w populacji. Jeśli zakładamy, że obejrzenie reklamy będzie powodowało wzrost oceny produktu, to różnice te będą dodatnie i średnia tych różnic również będzie dodatnia. Stąd kierunek znaku nierówności w hipotezie alternatywnej.

Traktując różnice wskazań jako punkt odniesienia, zastosujmy do nich statystykę testu t dla jednej próby:

fJ - f.lD t=---=== sD/)Np -1' gdzie: N p - liczba par w próbie, fJ - średnia różnic wskazań w próbie, SD _ odchylenie standardowe różnic wskazań w próbie, które obliczymy na podstawie wzoru; SD =

./r.(D - D)2

V

Np

a f.lD -- średnia różnic wskazań dla wszystkich możliwych par w populacji.

Ponieważ w hipotezie zerowej założyliśmy, że średnia różnic dla populacji będzie się równała'zero, zatem ostateczny wzór na statystykę testu t będzie następu­

jący:

fJ t = -----=== sD/)Np -1' dla df

= Np

-

1.

Policzmy więc statystykę testu dla naszego przykładu.

l l

g O

r. = 24

z tego:

fJ =

r.N D = 126 = 2, p

- Jr. (D - D)2 _ N

SD -

a na tej podstawie

_ t-

JN

p -

= 1

liczba stopni swobody df I!I

III

dla a dla a

2 2/V6=!

= Np

-

1

t:

= _2_ = 2V5 = v'5 = 2,236; 2/V5

2

= 6 - 1 = 5, a zatem:

= 0,05; to = 2,015 < t = 2,236 - odrzucamy Ho, = 0,025; to = 2,571 > t = 2,236 - p < 0,05.

Możemy postawić ną ocenę

f24 -- 2, V6

możemy obliczyć statystykę testu

fJ

SD/

-

p

wniosek, że danego produktu.

oglądanie

reklamy

wpływa na

bardziej pozytyw-

6.4. Jednoczynnikowa analiza wariancji Analiza wariancji jest procedurą pozwalającą na zbadanie związku dwóch zmiennych. Jedna z tych zmiennych (zwykle zmienna zależna) musi być ~ier~o­ na na poziomach silnych, druga (zmienna niezależna) na dowolnym pOZlOmle. Zwykle jednak zmienna niezależnajest zmienną mierzoną na p~ziomac.h sł~?!ch i wówczas każda kategoria tej zmiennej z punktu widzenia analIzy wanancJl Jest osobną próbą·

Przy innych kombinacjach poziomów pomiarów zmiennych do analizy ich związ­ ku możemy wykorzystać inne metody, o których powiemy m.in. w następnym rozdziale.

zmienna niezależna ma wpływ na zmienną zależną, to powImen się on przejawiać w taki sposób, że wartości zmiennej zależnej wskazywane przez respondentów należących do tej samej kategorii zmiennej niezależnej powinny być do siebie zbliżone, natomiast powinny się różnić od wartości wskazywanych przez respondentów należących do innej kategorii zmiennej niezależnej. Zatem średnia wskazań wartości zmiennej zależnej powinna być różna dla każ­ dej kategorii zmiennej niezależnej.

Aby ją określić postanowiono sprawdzić trzy sposoby:

Jeśli

Wytypowano 30 osób do pierwszego szkolenia. Każde 10 osób miało .odbyć trening w innym trybie i czasie (określonymi jak wyżej). Po zakończe.~lU .treningu każda poddana mu osoba miała określić swój po~iom satysfa~cJI z Jego ukończenia w skali od O (brak satysfakcji) do 5 (całkowIta satysfakcJa).

Jeśli

zmienna niezależna ma dwie kategorie, to różnice ich średnich możemy za pomocą testu dla dwóch prób. Jeśli tych kategorii jest więcej stosujemy analizę wariancji.

zbadać

Procedura rozumiana jako kolejne kroki postępowania, jest w analizie wariancji identyczna jak w pozostałych testach istotności: 1. Najpierw stawiamy hipotezę zerową, w której zakładamy równość średnich (z wartości zmiennej zależnej) dla wszystkich prób (kategorii zmiennej niezależnej).

2. W hipotezie alternatywnej zakładamy, że dla co najmniej jednej pary śred­ nich zachodzi stosunek nierówności. Inaczej niż w testach istotności, w hipotezie alternatywnej, nie można określić kierunku tej nierówności. 3. Na podstawie danych obliczamy statystykę testu F. Obszar krytyczny wyznaczamy w oparciu o tablice rozkładu F. 4. Jeżeli statystyka testu jest większa od wielkości obszaru krytycznego dla poziomu istotności 0,05, to odrzucamy hipotezę zerową. Przeprowadziliśmyjednoczynnikową analizę

wariancji. Możemy wobec tego istnieje związek między zmienną niezależną i zależną, bowiem od tego, w której kategorii zmiennej niezależnej znajdzie się respondent, zależy jego odpowiedź na pytanie (wartość) mierzona przez zmienną zależną. powiedzieć, że

Procedura przedstawiona powyżej nie jest dla nas już żadną nowością. To co jest w niej do tej pory nieznane, to logika konstruowania i liczenia statystyki testu oraz związane z nią nazewnictwo. Zobaczmy to na przykładzie.

1. Pierwszy polegał na rozpoczynaniu dnia pracy od poniedziałku do piątku, od godzinnego treningu. 2. Drugi sposób również polegał na rozłożeniu treningu na pięć godzinnych spotkań (od poniedziałku do piątku) ale odbywających się wieczorem. 3. Trzeci zakładał odbycie całego treningu w sobotę (z odpowiednimi przerwami rekreacyjnymi).

Nasza próba to poddane szkoleniu 30 osób, każdą z tych osób charakteryzują dwie zmienne: III III

tryb szkolenia (zmienna niezależna), ocena satysfakcji z odbycia szkolenia (zmienna zależna).

Aby relacje pomiędzy tymi zmiennymi nie były zakłócone przez żadne inne czynniki, przy doborze prób la-osobowych trzeba zwrócić uwagę ~~ to, aby był!. one do siebie "podobne" pod względem średniej wieku pracowmkow, proporcjI płci, chęci lub niechęci uczestnictwa w treningu itp. Na kwestię tę musimy zwracać uwagę tylko w warunkach ekspery~~nta:nych: tam gdzie następuje arbitralne przypisanie respondentów do kategorII zmIennej niezależnej (tu trybu i czasu szkolenia). Przyjmijmy, że dołożyliśmy wszelkich starań aby wyelimi~ować ~zynniki mogące zakłócić związek pomiędzy trybem i czase~ ,od.bywama trem~gu a satysfakcją z jego ukończenia. Możemy zatem postawIc hIpotezę zerową·

Ho:

fJdzień = fJwieczór = fJsobota'

Hipotezy alternatywnej nie da się tak prosto zapisać. Może ona oczywiście przybrać formę: Hl:

fJdzień

i' fJwieczór i' fJsobota,

ale hipotezę zerową będzie również wykluczać jakakolwiek z następujących nieZałóżmy sytuację quasi-eksperymentalną. Kierownictwo

agencji reklamowej jest zainteresowane jak najbardziej efektywną formą szkolenia swoich pracowników w zakresie ich zdolności do komunikowania się z klientami. W tym celu stworzono specjalny pięciogodzinny program treningowy. Kwestią nierozstrzygniętą pozostała forma jego aplikacji.

równości:

i' fJwieczór, fJwieczór i' fJsobota, fJdzień i' fJsobota' fJdzień

Oto ocena poziomu satysfakcji po przeprowadzonym treningu we wszystkich trzech grupach (Xi oznacza poziom satysfakcji). Dzień

Wieczór

Sobota

2 3 4 4 4 4 5 5 5 5

o

2 3 3 3 4 4 4 5 5 5

1

2 2 2 3 3 4 4 5

Dla każdego przypadku zostanie podana wartość statystyki F, którą jeszcze nie wiemy jak policzyć oraz średnia całkowita. Średnia całkowita to średnia arytmetyczna policzona po wszystkich wartościach zmiennej zależnej, bez uwzględ­ niania podziału na kategorie zmiennej niezależnej. Przypadek 1. Dzień

Wieczór

3 3 3 5 5 5

3 3 3 5 5 5

EXiD EXiD

= 41

XD = 41/10 = 4,1

EXiW

= 26

Xw = 26/10 = 2,6

EXiS

= 38

Xs = 38/10 =

= 24

XD = 24/6 = 4

EXiW

= 24

Xw=24/6=4

3,8

F Na podstawie wielkości średnich dla każdego trybu i czasu treningu możemy sądzić, że ma on wpływ na poczucie satysfakcji z jego ukończenia. Jest to jednak tylko przeczucie i aby sprawdzić jego statystyczną istotność zastosujemy analizę wariancji. Kolejnym jej krokiem powinno być obliczenie statystyki F. Zacznijmy od intuicyjnego zrozumienia, czym jest statystyka F. Przyjmijmy, że jest ona miarą tego, w jakim stopniu kategorie zmiennej niezależnej wyjaśniają zróżnicowanie wartości zmiennej zależnej. Jeśli

kategorie zmiennej niezależnej są zupełnie bezużyteczne w wyjaśnianiu zmiennej zależnej, statystyka F powinna być równa zero (brak związku między zmiennymi).

= 0,

średnia całkowita

X = 48/12 = 4.

Średnie z wartości zmiennej zależnej dla poszczególnych kategorii zmiennej niezależnej nie różnią się od średniej całkowitej. Wobec tego wiedza o tym, czy ktoś odbywa trening w dzień czy wieczorem, nie ma żadnego znaczenia przy przewidywaniu satysfakcji, jaką będzie on miał z ukończenia treningu. Statystyka F będzie wynosić zero. Wprowadźmy drobną zmianę we wskazaniach satysfakcji polegającą na tym, że w grupie dziennej jeszcze jedna osoba wskaże 5, a w grupie wieczornej jeszcze jedna osoba wskaże 3. W ten sposób średnia całkowita nie ulegnie zmianie.

zróżnicowania

W im większej mierze kategorie zmiennej niezależnej będą wyjaśniały zróżni­ cowanie wartości zmiennej zależnej, tym statystyka F będzie miała większą wartość (związek między zmiennymi będzie silniejszy). Jeśli

kategorie zmiennej

Przypadek 2. Dzień

Wieczór

3

3 3 3 3 5 5

3 5 5 5 5

niezależnej będą wyjaśniały całkowicie zróżnicowanie

wartości zmiennej zależnej, to wielkość statystyki F będzie dążyć do plus nieskończoności.

Dla celów ilustratywnych przyjmijmy jeszcze prostszą wersję eksperymentu szkoleniowego (potem powrócimy do pierwotnych danych). Załóżmy, że bierze w nim udział 12 osób szkolonych w dzień lub wieczorem (po 6 w każdej grupie). Rozpatrzmy różne przypadki oddziaływania zmiennej niezależnej czasu treningu, na zmienną zależną - ocenę satysfakcji z ukończenia treningu.

EXiD

= 26

XD = 26/6 = 4,33

EXiW

Xw

= 22

= 22/6 = 3,66

F = 1,248, średnia całkowita X = 48/12 = 4.

Teraz średnie.z wartości satysf .. z u k' . ,rozmą . . się . ,.. " poziomu , " a kCJI ~nczonego trenmgu mIędzy sobą l . rozmą "d oso'b o dbywa. .SIę, od . sredmeJ całkowiteJ' . Sred' ma wsro Jących szkoleme w dZlen Jest wyższa niż średnia dl db . h kl' wieczorem. a o ywającyc sz o eme Kontynuujmy wprowadzanie zm'lan we ws k ' . zakreSIe . Jak . poazamach w takIm . . przedmo: Jedno wskazanie 5 więc . . d' . . . . , . .. ej w grupIe zlenneJ l Jedno 3 WIęcej w grupIe wIeczorneJ. Przypadek 3. Dzień

Wieczór

3 5 5 5 5 5

3 3 3 3 3 5

LXiD =

XD

28

= 28/6 = 4,67

LXiW

Xw

F = 7,994, średnia całkowita

Zauważmy, że zróżnicowanie wartości zmiennej zależnej w przypadku 1. wystę­ puje tylko wewnątrz kategorii zmiennej niezależnej. Średnie dla każdej kategorii nie różnią się od średniej całkowitej. W przypadku 2. i 3. w coraz większym stopniu zróżnicowaniewartości zmiennej zależnej da się wyjaśnić przez różnice między kategoriami zmiennej niezależnej, a więc przez różnice między średnimi dla poszczególnych kategorii a średnią całkowitą· W korlcu, w przypadku 4. nie występuje w ogóle zróżnicowanie wartości zmiennej zależnej wewnątrz kategorii zmiennej niezależnej, a występuje tylko między kategoriami. Wszystkie odchylenia wartości zmiennej zależnej od średniej całkowitej mogą być wyjaśnione przez odpowiednie średnie kategorii zmiennej niezależnej . Zatem różnica pomiędzy wartością pojedynczego pomiaru a średnią całkowitą może zostać rozłożona na dwa składniki: różnicę pomiędzy wartością pojedynczego pomiaru a średnią kategorii zmiennej niezależnej, do której ten pomiar należy, oraz różnicę pomiędzy tą średnią kategorii a średnią całkowitą· Alge-

= 20

= 20/6 =

W tym ostatnim przypadku wszystkie rozmce we wskazaniach satysfakcji z ukończonego szkolenia dadzą się wyjaśnić przez to, w jakim czasie ono się odbywało. Jeśli ktoś odbywał trening w dzień to wiemy, że swą satysfakcję z kursu oceni na 5 a jeśli ktoś miał trening wieczorem, to jego satysfakcja wynosi 3. Zmienna niezależna z zależną są w związku idealnym.

3,33

X = 48/12 = 4.

braicznie można to zapisać jako:

Ró~nica .p~międ~y ~red~imi z wartości zmiennej zależnej dla każdej kategorii zmlenn.eJ ~leza,le~neJ ZWI~~sza się. Rośnie odchylenie tych średnich od średniej całko;"lteJ' Rosme :vartosc statystyki F. W coraz większym stopniu satysfakcja z uk~nczonego trenmgu zależy od tego, o jakiej porze był on prowadzony. Idźmy dalej według takiego samego schematu.

(wartość pomiaru - śr. całkowita) = = (wartość pomiaru - śr. kategorii)

Dla przypadku 1., dla wartości pomiaru 5, niezależnie od kategorii (dzień, wieczór) będziemy mieli:

Przypadek 4. Dzień

Wieczór

5 5 5 5 5 5

3 3 3 3 3 3

LXiD

XD

= 30

= 30/6 = 5

LXiW

+ (śr. kategorii - śr. całkowita).

(5 - 4) = (5 - 4) + (4 - 4), (1) = (1) + (O), 1 = 1 + O, 1 = 1, natomiast dla wartości pomiaru 3, również niezależnie od kategorii, otrzymujemy:

(3 - 4) = (3 - 4) + (4 - 4), (-1) = (-1) + (O),

= 18

Xw = 18/6 = 3

-1=-1+0, ~e względu

na dzielenie przez Onie da się policzyć wartości F X = 48/12 = 4. '

średnia całkowita

-1

=

-1.

a Dlt pr~!pa~ku 4:, ~la wartości pomiaru 5, która występuje tylko w jednej ka egoru zmIennej mezależnej (dzień), będziemy mieli:

(5 - 4) (1)

=

=

(5 - 5) + (5 - 4), (O) + (1),

1 = 0+1, 1 = 1, natomiast dla wartości pomiaru 3, która występuJ'e tylko w kategorii . '" uzyskamy: "wleczOl' , = (3 - 3) + (3 - 4), (-1) = (O) + (-1), -1=0-1,

(3 - 4)

Mianownik we wzorze na wartość estymatora jest równy liczbie stopni swobody. Licznik jest sumą kwadratów odchyleń wartości pojedynczych pomiarów od średniej. Dla każdego pomiaru wyznaczamy odległość, jaka dzieli ten pomiar od średniej i aby pozbyć się wartości ujemnych podnosimy ją do kwadratu. W analizie wariancji wyrażenie to nazywamy w skrócie sumą kwadratów i oznaczamy SK. Jeśli sumę kwadratów podzielimy przez liczebność, to otrzymamy średnie zróż­ nicowanie odchylenia przypadające na każdy pomiar, czyli wariancję. Jeżeli natomiast sumę kwadratów podzielimy przez liczbę stopni swobody, to otrzymamy oszacowanie wariancji (OW).

Zatem

powyższy wzór

na estymator wariancji OW

= SK. df

-1 = -1. W

p~zypadku.:. różnica pomiędzy średnią kategorii a średnią całkowitą zawsze

będzIe zero,.. a w przypadku 4 . różnica poml'ęd zy war t OSClą ' . pomIa. ,wynOSlC .

ru a.sredmą kate?oru zawsz: będ.zie równa zero. Są to dwa skrajne przypadki.

~ plerv.:szym z ~l(~h kat~go:le zmIennej niezależnej w ogóle nie wyjaśniają zróż­

mc.owama warto~cl ~oml~row,. w.czwartym wyjaśniają je całkowicie. Przypadki 2. l 3., s.ą sytu~cJaml posredmml. W drugim przypadku odchylenie pomiędzy wart~sclą p?mla~U a srednią całkowitą w 1/3 może być przy przypisane różni­ cy mIędzy kategorii a średnią całkowitą , zaś w 2/3 różnl'cy po mIę . d zy t ' . sredmą . , war OSClą ~~mlaru ~ srednią kategorii. W przypadku trzecim odchylenie pomiędzy .,. ,. .wartOSClą . pomIaru , .a średnią całkowitą w 2/3 moz'e. b yc' wYjasmone przez rozn~cę pomlędz! .sredm~ kategorii a średnią całkowitą, a w 1/3 przez różnicę pomIędzy wartosclą pomIaru a średnią kategorii. Logika analizy ;varia?c:ji jest oparta na podziale odległości wartości pomiaru w stosunku do sredmej całkowiteJ' na część która moz'e b ' .,. '. .. . , y c wYJasmona przez sredmą kat~goru .1 na część, która przez tę średnią wyjaśniona być nie może. ~ostępo';~~le t~ jest analogiczne do tego, które zastosowaliśmy powyżej, z tą jednak rozmcą, z~ odl~gł.ości w procedurze ANOVA podnoszone są do kwadratu - pozwala to umknąc lIczb ujemnych.

Wprowadzając terminologię właściwą dla procedury analizy warianCj'l' b d . . d ł ' d " , ę Zlemy, SIę o ':0 !wac o pOjęCIa estymatora wariancji. Przypomnijmy zatem jego wzor defimcYJny: 3-2

=

L

(Xi -

xy

N-l

możemy zapisać jako:

Nawiązując

do poprzednich rozważań i powyżej wprowadzonej terminologii przedstawimy teraz dokładną procedurę liczenia statystyki F. To, co ANOVA liczy najpierw, to całkowita suma kwadratów SKc, czyli suma kwadratów odchyleń wartości wszystkich pomiarów od średniej całkowitej. Ta całkowita suma kwadratów składa się z dwóch części: takiej, która może być wyjaśniona przez odchylenia średnich poszczególnych kategorii od średniej całkowitej oraz takiej, która przez te odchylenia wyjaśniona być nie może. Pierwsza to międzygrupowa suma kwadratów SK M a druga wa suma kwadratów SKw.

wewnątrzgrupo­

Wewnątrzgrupowa suma

kwadratów jest odzwierciedleniem odchyleń wartopomiarów od odpowiadającej im średniej kategorii i bywa nazywana sumą kwadratów błędu.

ści

Wyżej opisaną zależność możemy zapisać

SK c Podziału całkowitej

jako:

= SKM + SKw.

sumy kwadratów używamy do obliczenia dwóch oddzielnych oszacowań wariancji. Pierwsze to międzygrupowe oszacowanie wariancji. Jest to ta część wariancji populacji, która może być wyjaśniona przez kategorie zmiennej niezależnej. Obliczamy ją, dzieląc międzygrupową sumę kwadratów przez odpowiednią liczbę stopni swobody df M' Ponieważ jednostkami, w stosunku do których prowadzimy tę część analizy są kategorie zmiennej niezależnej, wobec tego liczba stopni swobody będzie równa liczbie kategorii minus jeden (df M = k -1).

Zatem:

Druga część wariancji populacji to ta, która nie może być wyjaśniona przez kategorie zmiennej niezależnej - to wewnątrzgrupoweoszacowanie wariancji. Obliczamy ją, dzieląc wewnątrzgrupową sumę kwadratów przez odpowiednią liczbę stopni swobody dfw. Ta liczba stopni swobody to różnica pomiędzy całkowitą liczbą stopni swobody a liczbą stopni swobody dla międzygrupowego oszacowania wariancji (dfw = (N -1) - (k - 1)). Stąd:

OW

_ SKw _ SKw w - df w - (N - 1) - (k - 1)"

Podobnie jak sumy kwadratów, liczby stopni swobody tywny, co oznacza, że:

df C = df M

+ df w = (k -

1)

+ [(N -

mają

charakter addy-

Sobota

2 3 4 4 4 4 5 5 5 5

O 1 2 2 2 3 3 4 4 5

2 3 3 3 4 4 4 5 5 5

2:= XiD = 41 XD = 4,1 ND = 10

2:=XiW = 26 Xw =2,6 Nw = 10

2:= XiS = 38 Xs = 3,8 Ns = 10

korzystamy do tego celu formułę opartą o następuJący wzor:

1) - (k - 1)] = N-L

SKc =

oszacowań:

N

przykładu, dla

którego

postawiliśmy nastę­

pującą hipotezę zerową: !-Lwieczór

=

ND

+ Nw + Ns =

10 + 10 + 10 = 30,

LXi = LXiV + LXiw + LXis = 41 + 26 + 38 = 105.

krytycznego F cx odczytujemy z tablic rozkładu F (załącznik 3) dla odpowiedniego poziomu istotności (dla każdego poziomu istotności mamy osobną tablicę) i dla dwóch wielkości liczby stopni swobody (nI = df M' które znajdujemy w górnym rzędzie i n2 = dfw, które znajdujemy w lewej kolumnie). Jeśli wartość statystyki F jest większa od wartości obszaru krytycznego F cx , to odrzucamy hipotezę zerową, stosując znaną nam już procedurę określenia prawdopodobieństwa, z jakim tego dokonujemy. Odrzucenie hipotezy zerowej oznacza, że istnieje związek między zmienną niezależną i zależną.

Ho: !-Ldzień =

=

natomiast

Wartość obszaru

do naszego pierwotnego

LX; - (2:=NXi)2

gdzie w naszym przykładzie

F= OW M . OWw

Powróćmy

Wieczór

Pierwszą wielkością, jaką mamy obliczyć, jest całko.wita sur,na kwadratów. Wy-

Zależność ta nie odnosi się do oszacowań wariancji. Estymator wariancji nie jest równy sumie oszacowań wariancji międzygrupowej i wewnątrzgrupowej .

Statystyka F jest stosunkiem obu

Dzień

!-Lsobota·

Dokonajmy jej weryfikacji na podstawie danych empirycznych z naszego eksperymentu (Xi oznacza poziom satysfakcji).

pochodzących

Brakuje nam wyrażeń będących sumą kwadratów pomiarów. Obliczmy je. Dzień

'1"

4 9 16 16 16 16 25 25 25 25

2:= XTD

= 177

Wieczór

4 9 9 9 16 16 16 25 25 25

O 1 4 4 4 9 9 16 16 25

2:=XTw

Sobota

= 88

2:= XTs

= 154

LX; = LX;D

+ LX;w + LX;s =

177 + 88 + 154

= 419.

Całkowita suma kwadratów będzie wynosiła: SK c

(105)2 30

11025 30

= 419 - - - = 419 - - - = 419 - 367 5 = 51 5 "

Kolejnym kro~iem prowadzonej procedury będzie obliczenie sumy kwadratow, wyznaczanej z ogólnego wzoru: SK

(2:: Xil)2+(2:: x i2)2

=

N

M

N2

l

.

międzygrupowej

6.5. Test post hoc W przeprowadzonej analizie wariancji, po odrzuceniu hipotezy zerowej, konkluzją powinno być wskazanie hipotezy alternatywnej. Ze względu na wielość prób, hipotezę tę nie jest łatwo zapisać. To, co na razie jesteśmy w stanie stwierdzić to fakt, że istnieją różnice między próbami (kategoriami zmiennej niezależnej) w średnim poziomie wskazań zmiennej zależnej. Możliwa jest zatem każda z następujących kombinacji: JLdzień =/=

(2::Xik)2

(2:: Xi)2

Nk

N

+ ... + -'='------'-'-'-'-

(26)2

(38)2

+ -10- + -10- -

367 5 = 126 ' , .

Wartość wewn~tr~gr~powej sumy kwadratów obliczymy jako różnicę całkowitej

sumy kwadratow

l

mIędzygrupowej sumy kwadratów:

SK w = SKc - SK M = 51,5 - 12,6 = 38,9. Teraz możemy przystąpić do obliczenia odpowiednich oszacowań wariancji:

38,9 OW w = SK w = SKw dfw (N -1) - (k-1) - (30-1) _ (3-1) OW M

=

1,44,

= SK M = SK M = 12,6 _ df M

k- 1

3 - 1 - 6,3,

zatem statystyka F będzie wynosiła: F- OW M - OW w

=

= 4,375.

Obszar krytyczny dla df = 2 i 27 wynosi odpowiednio: .. dla a = 0,05; Fa = 3,35 < 4,375 dla a = 0,01; Fa = 5,49 > 4,375 -

II

odrzucamy Ho, < 0,05.

p

Wobe~ teg~ nasza. konkluzja j~st t,a~a, że istnieją różnice w ocenach satysfakcji z ukonczema trenmgu, w zaleznoscl od tego, w jakim trybie i czasie szkolenie to zostało przeprowadzone. '

JLsobota,

JLdzień = JLwieczór =/= JLsobota, JLsobota =

JLdzień =/=

JLwieczór·

Na podstawie danych moglibyśmy wskazać intuicyjnie ostatnią możliwość, jako najbardziej prawdopodobną. Nie chcemy jednak ostatecznych wniosków opierać tylko na intuicji. Moglibyśmy zastosować serię testów dla dwóch prób porównujących każdą z możliwych par średnich. Jednak przy tak prowadzonych porównaniach wielokrotnych prawdopodobieństwopopełnienia błędu I rodzaju rośnie przy każdym kolejnym porównaniu. W takich przypadkach stosujemy testy post hoc wielokrotnych porównań. Testy takie pozwalają nam kontrolować poziom istotności z jednoczesną możliwo­ ścią precyzyjnego wskazania występującej nierówności. Jednym z takich testów jest test oparty o wskaźnik Scheffe'a. Pozwala on wyznaczyć krytyczną różni­ cę (dla każdej pary średnich) konieczną do odrzucenia hipotezy zerowej, takiej że odpowiadające im średnie populacji są sobie równe. Test ten posiada taką zaletę, że można go stosować do prób o różnej liczebności. Jeśli

6,3 1,44

=/=

JLdzień =/= JLwieczór = JLsobota,

gdzie k jest liczbą kategorii zmiennej niezależnej. W naszym przykładzie: (41)2 SK M = - 10

JLwieczór

przez i oznaczymy jedną z prób a przez j obliczymy ze wzoru:

drugą,

to

krytyczną różnicę

ich

średnich

(Xi -

xjt =

±J

d/M' Fa' OWw

(~i + ~J.

Taką krytyczną różnicę liczymy dla każdej możliwej pary prób (par kategorii zmiennej niezależnej) a następnie porównujemy ją do bezwzględnej różnicy średnich tych prób. Jeśli ta ostatnia jest większa od wskaźnika Scheffe'a, oznacza to, że różnica między tymi dwiema próbami (kategoriami) była przyczyną odrzucenia hipotezy zerowej w analizie wariancji.

W omawianym przykładzie liczebności wszystkich prób są jednakowe, wobec tego wskaźnik Scheffe'a będzie jednakowy dla każdej kombinacji średnich, i bę­ dzie wynosił: 2·3,35'1,44·

(~ + ~) 10 10

próby oraz ideę testów dla dwóch prób, za pomocą li~:ratury uzupcłmającej, poradzicie sobie z pewnością z testem różnicy proporcjl.

= ±-yh,9296 = ±1,389.

Zatem: Ho

lXi -Xjl

f-LD=f-LW f-LD =f-LS f-LW=f-LS

14,1 - 2,61 = 1,5 14,1 - 3,81 = 0,3 12,6 - 3,81 = 1,2

VVskaźnik

Scheffe'a

> 1,389 < 1,389 < 1,389

VVniosek odrzucamy Ho nie odrzucamy Ho nie odrzucamy Ho

Tak jak wcześniej przypuszczaliśmy, powodem odrzucenia hipotezy zerowej w analizie wariancji były różnice w ocenie satysfakcji z ukończenia szkolenia między osobami, które odbywały trening w dzień a osobami, które odbywały trening wieczorem. 111l1li111

Analiza wariancji tak w warunkach eksperymentu, jak i w warunkach nieeksperymentalnych daje nam możliwość oceny wzajemnego oddziaływania dwóch zmiennych. Jedna z tych zmiennych - wartość mierzona w eksperymencie lub zmienna zależna - musi być mierzona na poziomach silnych. Druga ze zmiennych - grupy eksperymentalne lub zmienna na ogół zmienną mierzoną na poziomach słabych. Sama analiza wariancji pozwala nam tylko zmiennymi istnieje, czy nie. Do istoty tego testy post hoc.

ocenić,

czy

niezależna -

jest

związek między

związku możemy dotrzeć

częściej mamy do czynienia ze zmiennymi ja~ościowymi. D.la takich z~ie~nych nie możemy obliczyć średniej, a więc nie mozemy ,;obec ~lch posta':lc ~lpote­ zy o równości średnich. Możemy jednak wyznaczyc dl.a mc~ odpowl~.dme ~r~­ porcje. W poprzednim rozdziale poznaliś~~ test .dla jednej proporCj.l: Is.tmej~ również test na porównanie dwóch proporcjl. Znając test dla proporcJi ~ j~dn~j

tymi poprzez

Test dla dwóch prób pozwala nam na tego samego typu analizę, ale tylko w przypadku gdy zmienna niezależna ma tylko dwie kategorie. Jest to niewątpliwie ograniczenie. Na korzyść stosowania tej procedury w przypadku gdy jest to możliwe - świadczy jej "wrażliwość" na sposób doboru próby oraz możliwość zróżnicowaniazałożeń dotyczących populacji (równość bądź nierówność wariancji). W zaprezentowanych procedurach zmienna zależna była zmienną mierzoną na poziomie co najmniej interwałowym. Wierny, że w naukach społecznych naj-

Ćwiczenia

Ćwiczenie 6.5.

Dla wygody arytmetycznej we wszystkich ćwiczeniach zmienne zależne mają charakter skal z wartościami skokowymi, przyjmujemy więc założenie o ich cią­ głości (tak jak to praktykowaliśmywcześniej), aby móc liczyć z nich statystyki.

Skala mierząca poparcie wprowadzenia odpłatności za studia wyższe (O - ca.ł­ kowity brak poparcia, 5 - całkowite poparcie) została zastosowana do badama różnych grup studentów.

Ćwiczenie 6.1.

Oto wyniki

°

Indeks tolerancji na zachowania szowinistyczne był mierzony na skali od (najmniejsza tolerancja) do 15 (największa tolerancja). W losowo dobranej próbie 10 studentów zmierzono wartość tego indeksu (grupa 1). Drugą próbę (grupa 2) wylosowano również spośród studentów tego samego uniwersytetu, którzy wła­ śnie ukończyli zajęcia z antropologii kulturowej. Sprawdź, czy istnieje różnica w tolerancji między tymi dwoma populacjami: III

l'lI

Grupa 1: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6. Grupa 2: 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7.

Ćwiczenie 6.2. Grupę kontrolną z poprzedniego ćwiczenia porównaj do losowo dobranej próby pracowników wydziału nauk społecznych: III

Grupa pracowników: 5, 5, 5, 5, 5, 15, 15, 15, 15, 15.

Ćwiczenie 6.3. Załóżmy, że grupa kontrolna z ćwiczenia 6.1 uczestniczyła w treningu uczącym krytycznego podejścia do własnych postaw, po zakończeniu którego ponownie zmierzono indeks tolerancji członków tej grupy.

Zbadaj wpływ treningu na postawy tolerancji: .. Grupa 1 (po treningu): 3, 3, 5, 7, 6, 8, 7, 5, 9, 8. Ćwiczenie 6.4. W tym rozdziale rozważaliśmy wpływ oglądania reklamy na ocenę reklamowanego produktu. Przeprowadź analizę wariancji dla tego samego przykładu: iii III

Grupa eksperymentalna: 6, 7, 7, 8, 9, 10. Grupa kontrolna: 3, 5, 6, 7, 8.

Spróbuj wyjaśnić różnicę we wnioskach między obiema procedurami.

III

III lIIl

wskazań według

tych grup:

Studenci uczelni prywatnych: 3, 4, 4, 5, 5. Studenci zaoczni uczelni państwowych: 3, 3, 4, 4, 5. Studenci dzienni uczelni państwowych: 0, 0, 1, 1, 2.

Przeprowadź analizę wariancji i test post hoc, jeśli zajdzie taka potrzeba.

Ćwiczenie 6.6.

Badanie mierzące poparcie wprowadzenia odpłatności za studia prowadzono wśród wykładowców tych uczelni.

wyższe

Oto wyniki: 111

Wykładowcy

llII

Wykładowcy

lIlI

uczelni prywatnych: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5. studiów zaocznych: 1, 3, 4, 4, 4, 5. Wykładowcy studiów dziennych: 0, 1, 1, 2, 3.

Przeprowadź analizę wariancji i test post hoc, jeśli zajdzie taka potrzeba.

prze-

Co może zrobić za nas komputer

Pamiętamy że

Przeprowadzanie testów statystycznych lub analizy wariancji (dotyczy to więk­ szości procedur analitycznych) jest szybkie i mało skomplikowane. Wszystko liczy za nas komputer. Naszym zadaniem jest odpowiednio przygotować dla niego zadanie a potem prawidłowo zinterpretować wyniki. Tych decyzji komputer za nas nie podejmie. Zobaczmy jak to zrobić.

w testach dla dwóch prób pierwszą kwestią, którą musimy rozfakt, czy możemy utrzymac załozeme o rowno~cl wanan~JI w populacji, czy nie? W programie SPSS hipotezę tę sprawdza SIę w oparcm o test Levene'a (rys. 6.2). ,

l'

strzygnąć jest

Test dla prób

••

I'

l'

•

•

••

niezależnych

Test Levene'a jednorodności

PGSS oferuje nam dane dotyczącewysokości dochodów z pracy oraz dane dotyczące płci respondentów. Chcemy sprawdzić hipotezę o nierówności dochodów kobiet i mężczyzn. To jedna z możliwych hipotez potwierdzających dyskryminację według płci na rynku pracy. Aby ją sprawdzić trzeba przeprowadzić test dla dwóch średnich dotyczący różnic w dochodach między kobietami i mężczy­ znami. Respondenci PGSS są osobami o różnej sytuacji na rynku pracy: pracują i uzyskują dochody, są bezrobotni, są emerytami, rencistami, uczniami, studentami, są na utrzymaniu współmałżonka. Do tej analizy wybieramy tylko te osoby, które pracują i uzyskują z pracy dochody. Takich respondentów jest 925 (rys. 6.1). Statystyki dla grup

PŁEĆ RESPONDENTA: 1=M,2=KOB DOCHODY Z PRACY RESPONDENTA (PLN)

MĘŻCZYZNA

KOBIETA

Średnia

N

Test t równości średnich

wariancji

Test dla dwóch prób niezależnych

Odchylenie standardowe

Błąd

standardowy średniej

464

1149,65

866,89

40,24

461

875,90

542,59

25,27

Rysunek 6.1.

Statystyki dla obu grup respondentów (prób) - kobiet i mężczyzn pokazują, że rzeczywiście istnieją różnice w średnim dochodzie przez nie uzyskiwanym. Wartość odchylenia standardowego mówi nam o tym, że dochody mężczyzn są bardziej zróżnicowane niż dochody kobiet. Teraz chcielibyśmy wiedzieć, czy różnice między średnimi dochodami kobiet i mężczyzn są statystycznie istotne.

Co nam mówi test dla dwóch prób?

Pamiętamy, że hipotezą zerową, którą sprawdzamy tym testem jest hipoteza

dotycząca równości średnich dochodów kobiet i mężczyzn.

~

G ·c

·e o '2

~

:g

:=!-

~

,~

·U

l3

.~

g

~

N

fi

:Ę

·0

o::

~

~

* ~


95% przedzial ufności

~.~

D~ DOCHODY Z PRACY RESPONDENTA (PLN)

Zalożono równość

wariancji Nie

,000

30,085

zalożono

równości

wariancji

dla

różnicy

średnich

E·~rn

·0

Clo,

5,752

923

,000

273,74

47,59

180,35

367,14

5,760

778,314

,000

273,74

47,52

180,46

367,03

Rysunek 6.2.

Dla tego testu mamy policzoną statystykę F i poziom istot~ości.,J:śli p.ozio~ istotności jest mniejszy niż 0,05 to odrzuc~my ~ipotez,ę .0. rownoscl wan~~cJl. Tak jest w naszym przykładzie - tu pOZlOm IstotnosCI Jest nawet .mmeJ~~y niż 0,0005 bo SPSS zaokrąglił tę wartość do O,OO? Zate~ w d~lszeJ ~nah:l~ będziemy brać pod uwagę wielkości w wierszu, w ktorym "me z,ałozono ro,:nosCl wariancji". (Gdyby poziom istotności w teście Levene'a b~ł rown~ lub ';Ięks~~ niż 0,05, to w dalszej analizie patrzylibyśmy na wiersz gdzlC "załozono rownosc wariancji" .) To co nas interesuje to statystyka t, która tu wynosi 5,76, liczba stopni swobod~ , a 77831 0,000 , czyli mniej, .niż rown , i pozi~m istotności testu równy. , 0,0005. d . h JeślI . poziom istotności jest mniejszy niż 0,05 to hIpotezę o rownos.cl sre mc mus.Imy odrzucić. Zatem różnica w dochodach kobiet i mężczyzn Jest statystyczme istotna.

Analiza wariancji ANOVA Teraz chcielibyśmy wiedzieć, czy wysokość uzyskiwanych dochodów się na zadowolenie z sytuacji finansowej respondentów.

przekłada

Taką subiektywną ocenę sytuacji finansowej PGSS bada za pomocą odpowiedzi na pytanie o zadowolenie z własnej sytuacji finansowej ujęte w trzech kategoriach: lIIl l1li

II

DOCHODY Z PRACY RESPONDENTA (PLN) Test Scheffea,b Podzbiór dla alfa

ZADOWOLENIE Z WŁASNEJ SYTUACJI FINANSOWEJ

niezadowolony,

491

Niezadowolony

mniej więcej zadowolony, zadowolony.

Mniej

więcej

1

N

zadowolony

1176,68

69

1743,19

Istotność

1,000

Wyświetlane są średnie

920 osób odpowiedziało na to pytanie. Teraz nasza hipoteza zerowa jest taka, że średnie dochody osób niezadowolonych z własnej sytuacji finansowej będą równe średnim dochodom osób mniej więcej zadowolonych z własnej sytuacji finansowej oraz będą równe średnim dochodom osób zadowolonych z własnej

1,000

1,000

dla grup jednorodnych,

a. Wykorzystywana jest średnia harmoniczna wielkości próby = 155,383. b.

Liczebności grup nie są równe. Użyta została średnia harmoniczna grup. Poziom błędu I rodzaju nie jest zagwarantowany.

liczebności

Rysunek 6.4.

sytuacji finansowej.

Aby to sprawdzić należy przeprowadzić procedurę ANOVA dla poczucia zadowolenia z własnej sytuacji finansowej według uzyskiwanych dochodów.

3

793,78

360

Zadowolony

,05

2

Porównania wielokrotne Zmienna zależna: DOCHODY Z PRACY RESP (PLN) Test Scheffe

Rezultat analizy przedstawia rysunek 6.3. ~

Analiza wariancji

.c

Suma kwadratów Między

grupami

Wewnątrz Ogółem

grup

u

~ 'm

Średni

df

kwadrat

70026897,5

2

35013449

430027008

917

468949,85

500053906

919

F 74,664

'" 'c

Istotność

,000

Rysunek 6.3.

(I) ZADOWOLENIE Z WŁASNEJ SYTUACJI FINANSOWEJ

(J) ZADOWOLENIE Z WŁASNEJ SYTUACJI więcej

zadowolony

Niezadowolony Mniej

więcej

zadowolony

To co nas tu interesuje, to statystyka F tu równa 74,664 i poziom istotności 0,000 a więc mniejszy niż 0,05 (a nawet niż 0,0005). Musimy zatem odrzucić hipotezę o równości średnich dochodów dla grup respondentów wyrażających różne zadowolenie z własnej sytuacji finansowej.

Chcielibyśmy jednak wiedzieć, które różnice między grupami są istotne, czy między wszystkimi trzema grupami, czy też między jakąś parą z nich. Test post hoc pozwoli nam to ustalić (rys. 6.4).

Wstępna ocena grup jednorodnych wskazuje, że wszystkie różnice mogą być znaczące, zobaczmy zatem, co wyjdzie nam z porównań wielokrotnych

Niezadowolony

Zadowolony Zadowolony Mniej

*,

-Bl

u

-g.

oN

iD

'o

o::

·u ·m

o

§ .!!2

więcej

95%

przedział ufności

~.~ -c o",

o~

FINANSOWEJ Mniej

Zadowolony

'c"

Q)

Niezadowolony

(rys. 6.5).

'E

u

'c

DOCHODY Z PRACY RESP (PLN)

>-

~

o

u

zadowolony

'" i'l E"c (5~

566,51'

89,995

,000

345,87

787,16

949,41'

88,042

,000

73,3,55

1165,27

-566,51'

89,995

,000

-787,16

-345,87

382,90'

47,516

,000

266,40

499,39

-949,41'

88,042

,000

-1165,27

-733,55

-382,90'

47,516

,000

-499,39

-266,40

Różnica średnich jest istotna na poziomie .05.

Rysunek 6.5.

Wszystkie poziomy istotności są poniżej 0,05 a więc :v~zyst~i~ ró.żni~e są statystycznie istotne, te między osobami zadowolonyml.l ~meJ wlęceJ za~ dowalonymi, zadowolonymi i niezadowolonymi, mniej wlęceJ zadowolonyml i niezadowolonymi. Procedury uzyskiwania za pomocą programu SPSS zaprezentowanych. w!żej wyników można znaleźć w książce Jarosława Górniaka i Janusza WachmckIego

SPSS PL for Windows -

pierwsze kroki w analizie d

Kraków, SPSS Polska 2000).

anyc

h (

" II d 7 częsc ,roz z. ,

Literatura 1. Blalock M. H.: Statystyka dla socjologów. Warszawa, PWN 1977. 2. Brzeziński J.: Metodologia badań psychologicznych Wyd. 3. Warszawa, PWN

1999.

.

3. Frankfort-Nachmias Ch N h . D M d , . ., ac mms .: eto y badawcze w naukach P oznan, Zysk l S-ka 2001.

społecznych.

4. Gruszczyński L. A.: Elementy statystyki dla socjologów. Katowice, Uniwersytet Śląski 1986. Pojęcia

test III III

III III III

podstawowe

niezależności chi-kwadrat

liczebności

empiryczne liczebności teoretyczne poprawka ciągłości Yatesa dokładny test Fishera współczynnik kontyngencji C Pearsona

Cramera V stosunek korelacyjny 1] regresja liniowa metoda najmniejszych kwadratów współczynnik korelacji r Pearsona współczynnik alienacji

III współczynnik iii fil

!III

III !III

Już w poprzednim rozdziale zajmowaliśmy się tym, co dla badacza jest najciekawsze, a mianowicie relacją pomiędzy dwiema zmiennymi. Teraz postaramy się postawić kropkę nad "i" . Prowadząc analizę musimy pamiętać stale o dwóch jej poziomach - poziomie empirycznym odnoszącym się do próby i poziomie populacji. Badamy, czy istnieje zależność między zmiennymi w próbie? Jeśli tak, to jak jest ona silna? W końcu chcemy wiedzieć czy zależność ta jest istotna w populacji? Po przestudiowaniu poprzednich rozdziałów mamy już wiedzę dotyczącą pewnych elementów tej układanki. Teraz uzupełnimy elementy brakujące i postaramy się stworzyć z tego całość. Częstym

sposobem prezentacji dwóch zmiennych mierzonych na poziomach jest tabela. Wiemy jak zmierzyć siłę związku między takimi zmiennymi i poznamy jeszcze nowe wskaźniki. Poznamy też sposób uogólniania tych wniosków na populację. Najbardziej popularnym narzędziem do badania statystycznej istotności związku między zmiennymi na podstawie tabel jest test niezależności chi-kwadrat.

słabych

Jeżeli obie zmienne mierzone są w skalach silnych, to próba zaprezentowania ich w tabeli prowadzi na ogół do obniżenia poziomu pomiaru. Zabieg ten stosujemy zatem tylko w celach ilustratywnych.

Do badania związku takich zmiennych stosujemy natomiast bardziej wyrafinowane matematycznie metody. Jedną z nich jest analiza regresji liniowej. Pozwala ona nie tylko określić czy związek dwóch zmiennych istnieje, oraz jaka jest jego siła, ale stwarza nam również możliwości predykcyjne. Posuwamy się zatem o krok w poznawanych metodach analizy statystycznej.

7.1. Test chi-kwadrat Przypomnijmy przykład zamieszczony w rozdziale czwartym, pokazującyzwią­ zek stosunku do kary śmierci ze skłonnością do zwiększania uprawnień policji (tab. 4.8). Związek ten w próbie 40 przebadanych osób istnieje, a jego siłę określają obliczone miary (Q = 0,8; rp = 0,5). Załóżmy, że te 40 osób to studenci socjologii, losowo dobrani spośród wszystkich studentów tego kierunku i tego uniwersytetu. Czy na podstawie tego badania możemy w sposób uprawniony uogólnić ten

związek na wszystkich studentów tego uniwersytetu, bądź na wszystkich studentów socjologii w Polsce? Odpowiedź na to pytanie przyniesie odpowiedni

test statystycznej

istotności.

Procedura testu statystycznego rozpoczyna się od postawienia hipotezy zerowej. Zakładamy zatem, że wśród wszystkich studentów naszego uniwersytetu nie istnieje związek pomiędzy ich stosunkiem do kary śmierci a skłonnością do zwiększania uprawnień policji. Gdybyśmy przebadali wszystkich i obliczyli Q i rp, to ich wartość powinna wynosić zero, w przeciwnym razie sugerowałoby to błąd do boru próby. Ogólnie w sposób słowny hipotezę zerową sformułowalibyśmynastępująco:

Ho: w populacji nie istnieje związek pomiędzy badanymi zmiennymi.

Ponieważ znany nam jest test statystycznej istotności pozwalający tę hipotezę zweryfikować, możemy ją zapisać również w sposób symboliczny (symboliczny zapis hipotez może też się odnosić do właściwych dla danej tabeli miar związku

t:rm

Narzędziem pozwalającym

na weryfikację hipotezy zerowej jest w przypadku test niezależności chi-kwadrat, zwany w skrócie testem chI-kwadrat i oznaczany grecką literą X 2 . Ideę

na której opiera

się

ten test,

można opisać jako

poszukiwanie takiego roztzn. wskazy-

kładu liczebności w tabeli, który byłby zgodny z hipotezą zerową, wałby

na brak

związku między

Mielibyśmy wobec i!!I

zmiennymi.

tego do czynienia z dwoma typami

rozkładu liczebności:

pierwszy pochodziłby z badań i przedst.awiał rz:~zy,,:iste z~leżności ~ystę­ w próbie, te liczebności byłyby hczebnosclaml empirycznymi,

pujące

drugi przedstawiałby hipotetyczny rozkład lic~eb~oś~i pozos~a~ący. w zgodzie z hipotezą zerową, te liczebności nazywają 8lę hczebnosclaml teoretycznymi.

Jak znaleźć liczebności teoretyczne? Dla każdego pola wewnętr~nego,tabel~ limy J·e na podstawie wzoru: iloczyn sumy liczebności wszystluch pol w Wler, . k" h 'l k czy . szu, w którym znajduje się dane pole i sumy hczebnoscl ,:szyst l;, po w. 0lumnie, w której znajduje się dane pole podzielone przez hczebnosc całkOWItą. Wróćmy

do (tab. 7.1):

przykładu.

Tak

wyglądał w

nim

rozkład liczebności empirycznych

śmierci a skłonność do studentów socjologii

Tabela 7.1. Stosunek do kary licji

wśród

zwiększania uprawnień

śmierci

Stosunek do kary Zwiększanie uprawnień

policji Za

Przeciw

Za Przeciw

15 (a) 5 (c)

5 (b) 15 (d)

20 20

Suma

20

20

40

np.
Ho: X 2 = O, zatem hipoteza alternatywna przybierze postać:

Obliczmy

liczebności teoretyczne:

+ 5)(15 + 5)

_ 20·20 40

= 400 = 10,

(15 + 5)(5 + 15) _ 20·20 40 40

= 400 = 10,

(15

40

Jeśli w naszym postępowaniu odrzucimy hipotezę zerową, będzie to oznaczało, że związek odkryty w próbie dotyczy również populacji a miary tego związku

obliczone dla próby będą estymatorami takich miar dla populacji.

Suma

ntb =

40 40

po-

:!I1\ i~

_ (5

ntc -

_ (5 ntd -

+ 15)(15 + 5) 40

+ 15)(5 + 15) 40

400 - 10 40 ,

=

20·20

40 =

Odchylenia liczebności empirycznych od teoretycznych dla każdego pola testu

Statystyka

20 20 40

O

O

20 20 40

±1

0,4

Tabela

400

4{) = 10.

spełniającej hipotezę zerową

Tabela 7.2. Stosunek do kary śmierci a skłonność do zwiększania uprawnień policji wśród studentów socjologii

Stosunek do kary śmierci Suma

Za

Przeciw

Za Przeciw

10 10

10 10

20 20

Suma

20

20

40

Rozkład taki wskazuje ewidentnie na brak związku pomiędzy stosunkiem do kary śmierci a skłonnością do zwiększania uprawnień policji. Aby jednak mieć absolutną co do tego pewność, obliczymy również miarę zależności właściwą dla takiej tabeli: ad - bc t.p = -r,==:=77=====7=====

V(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)

10· 10 - 10 . 10 )20 . 20 . 20 . 20

II ~ .

I

20·20 40

= --- = _

Zat~~ rozkł~d li~z:bności teoretycznych w tabeli pOWll1len byc takI Jak w tabeli 7.2.

Zwiększanie uprawnień policji

\~~

100 - 100 O -V-=1=60=0-00- = 400 = O.

10 10 20

20

11 9

11

20

20

10 10 9

12

8

8

20 20 40

±2

1,6

20

12 20

15 5 20

5 15 20

20 20 40

±5

10

20

O

O

20 20

20 20 40

±1O

40

20

Pamiętamy, że

w teście statystycznej istotności konkluzję o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy zerowej wywodzimy z porównania statystyki testu z obszarem krytycznym. Jak sama nazwa testu wskazuje, rozkład teoretyczny, na podstawie którego wyznaczymy obszar krytyczny, to rozkład chi-kwadrat. Jego znormalizowane wartości znajdują się w załączniku 4. Aby odszukać jakąkolwiekwartość w tej tablicy musimy znać poziom istotności testu (standardowo ustalony na tY = 0,05) oraz liczbę stopni swobody. Dla testu chi-kwadrat

liczbę tę określa

wzór:

df = (k - l)(w - l),

Jeże~i hipoteza zerowa jest prawdziwa, to będziemy oczekiwać, że liczebności

empIryczne będą takie same jak liczebności teoretyczne. Im bardziej te pierwsze będą. odchylać się od tych drugich, tym bardziej możemy spodziewać się że będZIemy musieli odrzucić hipotezę zerową. '

gdzie k to liczba kolumn a w ~ liczba wierszy w tabeli (wróć do rozważań z rozdziału 5 o istocie stopni swobody ~ dają się one bezpośrednio zastosować do takiego ich zdefiniowania, z jakim spotykamy się w omawianym teście).

N~ początek zajmiemy się ilustratywnym rozumieniem tych pojęć, potem przejdZIemy do konkretnych wzorów.

Teraz możemy przystąpić do dokładnego obliczenia statystyki testu chi-kwadrat. Wyraża się ona wzorem:

Dla przejrzystości dalszych rozważań będziemy się posługiwać tylko polami liczebności tabeli. gdzie n e to

liczebności empiryczne

a nt

~ liczebności teoretyczne.

\11~1 i

1\ !

Różnice pomiędzy liczebnością empiryczną a liczebnościąt~oretyczną dla każ­

Przypomnijmy ich rozkład dla analizowanego przykładu: !li liczebności

.15 5 20 lIiI

5 15 20

20 20 40

liczebności

10 10 20

10 10 20

Zapiszmy te Pole a b c d

°

dego pola mogły wynosić od do ±10, to daje nam możliwość utworzenia 11 tabel obejmujących wszystkie możliwe kombinacje rozkładów liczebności pól wewnętrznych przy danych liczebnościach brzegowych.

empiryczne n e :

Teoretyczny rozkład chi-kwadrat z prób, na podstawie którego wyznaczamy obszar krytyczny, jest rozkładem ciągłym. Dlatego niektórzy statystycy dowodzą, że przy małej liczbie wszystkich możliwych kombinacji z danej próby (w naszym przykładzie jest to 11), krzywą rozkładu teoretycznego chi-kwadrat można wyznaczyć tylko w przybliżony sposób.

teoretyczne nt: 20 20 40

wartości dla każdego pola

ne

nt

15 5 5 15

10 10 10 10

ne

-

nt

(n e

-

tabeli i obliczmy statystykę chi-kwadrat:

nt)2

25 25 25 25

5 -5 -5 5

(n e

-

nt? /nt

25/10 = 2,5 25/10 = 2,5 25/10 = 2,5 25/10 - 2,5 X 2 = 10

Statystyka testu chi-kwadrat dla naszego

przykładu

Zastosujmy tę poprawkę do naszego przykładu. Pole n e dokładnie

tyle ile zapisaliśmy wcześn~ej, p,~ka~ując wpływ odchyleń liczebności empirycznych od teoretycznych na wlelkosc tej statystyki. Znajdźmy odpowiedni dla naszej tabeli obszar krytyczny tego testu. Liczba stopni swobody dla tabeli 2 x 2 jest równa df = (2 - 1)(2 - 1) = 1. Wobec tego: fJlI

ill III

wynosi

°

z

prawdopodobieństwem

mniejszym

niż

którego została zaprezentowana idea i procedura tezmiennych dychotomicznych. Dla tego konkretnego pr~ykładu rozkładów ~iczebności brzegowych w tabeli 2 x 2, wielkość statystyki chI-kwadrat wahała SIę od dla braku związku do 40 dla związku idealnego. dotyczył

°

15 10 5 10 5 10 15 10

In e

-

ntl

5 -5 -5 5

In e

-

ntl -

0,5

(In e

-

nt I - 0,5)2 20,25 20,25 20,25 20,25

4,5 4,5 4,5 4,5

(In e

-

nt I - 0,5)2 /nt

20,25/10 = 20,25/10 = 20,25/10 = 20,25/10 =

2,025 2,025 2,025 2,025

2

X = 8,1

dla o: = 0,05; Xz. = 3,84 < X2 = 8,10 -

odrzucamy hipotezę zerową,

2

dla o: = 0,01; Xz. = 6,64 < X = 8,10, .. dla o: = 0,001; Xz. = 10,83 > X2 = 8,10 -

!II

7.2. Warunki stosowania testu chi-kwadrat Przy~ład, ~a ~~dstawie

c d

l1li

jedna setn.a. Wobec teg~ w inter:s~jąc~j nas populacji istnieje związek pomiędzy po~l~~aml ~a stos.owan~e kary smlercl a stosunkiem do zwiększania uprawnień polIcJI. PowIemy, ze zWIązek ten jest statystycznie istotny.

stu mezaleznoscl,

a b

nt

Nasza konkluzja w tym przypadku nie ulegnie zmianie, gdyż:

dla o: = , 05·, Xa2 3 84 < X 2 -- 10 - O d rzucamy h·Ipotezę zerową, - , dla o: = 0,01; Xz. = 6,64 < X 2 = 10, dla o: = 0,001; Xz. = 10,83 > X2 = 10 - p < 0,01.

~atem odrzuciliśmy hipotezę zerową

Z tego powodu przy liczeniu statystyki testu chi-kwadrat dla tabel 2 x 2 powinno się stosować poprawkę ciągłości Yatesa. (Niektórzy statystycy uważają jednak, że to zbyt konserwatywne podejście.) Poprawka ta polega na tym, że od bezwzględnej różnicy między liczebnością empiryczną a liczebnością teoretyczną odejmujemy 0,5 przed podniesieniem tej różnicy do kwadratu.

p

< 0,01,

choć wprowadzenie poprawki ciągłości zaostrzyło warunki odrzucenia hipotezy zerowej. Przedstawiona powyżej kwestia jest dyskusyjna. Na potrzeby naszych rozważań i wprowadzenia do nich jakiegoś porządku przyjmijmy, że poprawkę ciągłości Yatesa będziemy stosować w tabelach 2 x 2. Inna kwestia z zakresu warunków stosowalności testu niezależności chi-kwadrat, jaką należy tu poruszyć, nie jest dyskusyjna. Dotyczy ona wielkości liczebności teoretycznych, a właściwie liczby dopuszczalnych dla danej tabeli liczebności teoretycznych, które mają wartość między

1 a 5.

Test chi-kwadrat możemy stosować tylko wówczas, gdy żadna z liczebności teoretycznych nie jest mniejsza od jedności i gdy nie więcej niż 20% liczebności teoretycznych jest mniejszych od pięciu. Dla najczęściej występujących tabel warunek ten będzie następujący: Rozmiar tabeli

Liczba nt

20% z nt

2x2

4 6 9 12 16 20 25

0,8 1,2 1,8 2,4 3,2 4,0 5,0

2 x 3

3x3 3x4 4x4 4x5 5x 5 Proszę pamiętać, że

ograniczenia te

Dopuszczalna liczba pól o 1

< nt < 5

o 1

1 2 3 4 5 dotyczą liczebności

w badanych krajach Dochód/osobę

Liczba telefonów na 1000 osób

Suma

Wysoki

Średni

Niski

Bardzo niski

Niska

12 3 O

6 6 3

O 12 3

O O 15

18 21 21

Suma

15

15

15

15

60

Wysoka Średnia

Aby zweryfikowaćpowyżej postawionąhipotezę trzeba policzyć statystykę testu niezależności chi-kwadrat.

teoretycznych a nie

empirycznych. Jeżeli

do policzenia testu chi-kwadrat będziemy stosować program komputerowy, to w programie tym pojawią się ostrzeżenia dotyczące zbyt dużej liczby liczebności teoretycznych mniejszych niż dopuszczalne dla stosowalności testu. Jeśli tak się zdarzy, to w zależności od wielkości tabeli będziemy mieli do dyspozycji różne rozwiązania tego problemu. W przypadku tabeli 2 x 2, gdy kryteria stosowania testu chi-kwadrat nie są spełnione, stosujemy dokładny test Fishera. Test ten znajduje się we wszystkich programach liczących test chi-kwadrat, co jest cenne, gdyż ręczne policzenie tego testu nie jest łatwe. Dociekliwych czytelników zachęcam do zapoznania się z nim w podręcznikach dla zaawansowanych. Natomiast w przypadku tabel o wymiarach większych niż 2 x 2 stosujemy projednej ze zmiennych lub obu zmiennych tak długo, aż liczba zbyt małych liczebności teoretycznych zostanie ograniczona tak, iż bę­ dziemy mogli zastosować test chi-kwadrat. Nie pozostaje to jednak bez skutku dla wyników naszej analizy (wyniki testu są wrażliwe na zmiany liczby kategorii - zmiana liczby stopni swobody). Może się też zdarzyć, że ograniczenie liczby kategorii obu zmiennych do dwóch nie rozwiąże problemu liczebności teoretycznych i w końcu będziemy musieli zastosować dokładny test Fishera. Takie sytuacje są jednak wyjątkowe. Spróbujmy prześledzić taką procedurę na przykładzie (tab. 7.3). cedurę łączenia kategorii

Ho: nie ma związku między poziomem dochodu na jednego mieszkal1ca a telefonów na 1000 osób. Hl: związek taki istnieje.

. d nego mi'eszkan'ca " l'lczba telefonów na 1000 osób Tabela 7.3. Dochód na Je

liczbą

Zaczynamy od obliczenia liczebności teoretycznych dla każdego pola tabeli: Pole

ne

nt

a b c d e f g h

12 6 O O 3 6 12 O O 3 3 15

4,50 4,50 4,50 4,50 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25

j k l

Tabela, którą analizujemy ma wymiar 4 x 3; dopu~zczaln~ liczba l~czebn~ś~i teoretycznych mniejszych od pięciu dla takiej tabelI w~n~sl 2; W. te~ tab;l: ~lczeb~ ności teoretycznych nie spełniających kryterium mmlmalncJ wlelkoscl Jest 4, nie możemy zatem stosować testu chi-kwadrat.

Musimy zatem dokonać połączenia kategorii co najmniej jednej zmiennej. Zmienna mierząca poziom dochodu na jednego mieszkańc,a m.a dwie kategorie opisujące dochód jako niski. Spróbujmy zatem je połączyc w Jedną (tab. 7.4).

Tabela 7.4. Dochód na jednego danych krajach

mieszkańca

i liczba telefonów na 1000 osób w baDochód/osobę

Liczba telefonów na 1000 osób

Suma

Wysoki

Średni

Niski

Niska

12 3 O

6 6 3

O 12 18

18 21 21

Suma

15

15

30

60

Wysoka Średnia

Teraz odpowiednie

liczebności empiryczne

Teraz, kiedy dokonaliśmy połączenia kategorii państw o wysokim i średnim dochodzie na jednego mieszkańca (poprzednio w tych kategoriach wystąpiły pola o zbyt małej liczebności teoretycznej), możemy przypuszczać,że będziemy mogli zastosować test niezależności chi-kwadrat. Tak też jest istotnie. ne

nt

a b c d e f

18 O 9 12 3 18

9 9 10,5 10,5 10,5 10,5

i teoretyczne dla takiej tabeli mia-

łyby następujące wartości:

Pole

ne

nt

a b c d e f

12 6 O 3 6 12 O 3 18

4,5 4,5 9 5,25 5,25 10,5 5,25 5,25 10,5

g

h

ne

Pole

-

nt

(n e

-

(n e

nt)2

nt? /nt

9 9 0,214 0,214 5,357 5,357

81 81 2,25 2,25 56,25 56,25

9 -9 -1,5 1,5 -7,5 7,5

-

X2

= 29,142

df = (2 - 1)(3 - 1) = 2, zatem: lI!l

III l1li

dla dla dla

= 5,99 < X2

et =

0,05; X;

= et =

0,01; X; = 9,21 < X = 29,142, 2 0,001; X; = 13,82 < X = 29,142 -

et

= 29,142 -

odrzucamy hipotezę zerową,

2

p

<

0,001.

Nasza ostateczna konkluzja jest więc taka, że istnieje związek pomiędzy poziomem dochodu na jednego mieszkańca a liczbą telefonów na tysiąc osób.

Tabela, którą analizujemy ma wymiar 3 x 3; dopuszczalna liczba liczebności teoretycznych mniejszych od pięciu dla takiej tabeli wynosi 1; w tej tabeli liczebności teoretycznych nie spełniających kryterium minimalnej wielkości jest 2; nie możemy nadal stosować testu chi-kwadrat. Pozostaje nam próbować dalej i utworzyć dwie kategorie dochodu (tab. 7.5).

Pozostała nam do rozważenia ostatnia kwestia związana ze stosowaniem testu niezależności chi-kwadrat - kwestia relacji pomiędzy siłą związku a jego statystyczną istotnością. Siłę związku między zmiennymi mierzymy na podstawie danych empirycznych za pomocą odpowiednich współczynników.Wielkość tych współczynników pokazuje nam, czy związek zmiennych w próbie istnieje, czy też nie. Sama siła tego związku nie świadczy jeszcze o tym, czy jest on statystycznie istotny w populacji, czy też nie. Zatem siła związku mię.dzy zm~~nnymi w próbie nie przekłada się automatycznie na jego statystyczną lstotnosc w po-

pulacji. Tabela 7.5. Dochód na jednego danych krajach

Liczba telefonów na 1000 osób Wysoka

mieszkańca

i liczba telefonów na 1000 osób w baDochód/osobę

Wysoki i

średni

Niski i bardzo niski

Suma

Niska

18 9 3

O 12 18

18 2l 21

Suma

30

30

60

Średnia

Po,b.i~~ęiiZ()$tąną]pn~eclstaV\Tionewzajemne relacje między wyżej opisanyprostoty i wygody naszych rozważań przedstawione yz.~stal1:'l: t]rlk'6)\!e~vll(~tr:/;ne pola tabeli a statystyka testu chi-kwadrat .ZClS.tl:l,Il,le Qbli'czCfIl,a bez uwzględnienia poprawki ciągłości i spełnienia > FW:ą)'J.l.I1Jk1J..J1ltnlj:rl,!ovlriej liczby liczebności teoretycznych poniżej 5. Postą­ ~m.>w,edjt.ug reguły, że cel uświęca środki, czego w poprawnie l1e.\ą,l1ąl~iOj.e absolutnie nie wolno stosować.

Przypadek 1, N = 5

2

l

3

l

l

2

X2

X • = 0,13~ < X; ~ 3,84 - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej; zWIązek mIędzy zmIennymi jest słaby i statystycznie nieistotny. 2

Przypadek 2, N = 50

10 10 20

X

2

= 1,388, df = l, dla o: = 0,05

X;

= 3,84.

Przypadek 3, N = 500

100 100 200

= 0,166,

300 200 500 X

2

= 13,888, df = l, dla o: = 0,05

X;

Załóżmy teraz, że rozkład liczebności empirycznych będzie nieznacznie zmienion~, ale tak,. iż prz~niesie to poważne konsekwencje w stosunku do siły związku mIędzy zmIennymI. Przypadek 4, N = 5

2 l 3 022 235 X

2

tp

10 20 30

= 0,666,

30 20 50 X2

= 22,221, df = l, dla o: = 0,05

X;

= 3,84.

2

=

= 2,221, df = l, dla o: = 0,05

Zatem statystyczna istotność danego związku między zmiennymi zależy od jego i od wielkości próby, przy czym, im silniejszy związek między zmiennymi, tym mniej liczna próba jest niezbędna do wykazania jego statystycznej istotności. Trzeba też pamiętać o tym, że test chi-kwadrat wymaga dużej liczebności próby, gdyż rozkład z próby zbliża się do wartości podawanych w tablicach dopiero przy dużych N (wspominaliśmy już o tym przy okazji opisywania poprawki na ciągłość). siły

= 3,84.

2

= 0,666,

3,84 - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej; zmiennymi jest silny ale statystycznie nieistotny.

Test chi-kwadrat stosuje się przede wszystkim jako test statyHtycznej iHtotności dla zmiennych mierzonych w skali nominalnej. Zdarza się jednak, że stosujemy go do zmiennych mierzonych na poziomie porządkowym a nawet interwałowym.

= 13,88~ > X; = 3,8~ - od:-zucamy hipotezę zerową z p < 0,001 (dla ~ = 0,001. Xc> = 10,83); zWIązek mIędzy zmiennymi jest słaby ale statystycznie IStO.t~y, me tyl~o ~dr.zuciliś~~ hipotezę zerową ale zrobiliśmy to na naj niższym mozhw~m ~ozlOmIe IstotnoscI, zatem prawdopodobieństwo,że hipoteza ta jest prawdzIwa Jest znikome.

tp

=

X;

22,221 > X; = 3,84 - odrzucamy hipotezę zerową z p < 0,001; związek zmiennymi jest silny i statystycznie istotny na naj niższym możliwym poziomie istotności.

2

200 100 300

<

pomiędzy

X • = 1,38~ < X; ~ 3,84 --:-. nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej; zWIązek mIędzy zmIennymI Jest słaby i statystycznie nieistotny.

X

°

20

X

30 20 50

= 0,166,

tp

tp

20

= 0,166, X2 = 0,138, df = l, dla o: = 0,05 X; = 3,84.

20 10 30

2,221

Przypadek 5, N = 50

325 tp

=

związek pomiędzy

X;

= 3,84.

7.3. Miary

związku oparte

na chi-kwadrat

Przy prowadzeniu badań empirycznych należy pamiętać o tym, że mamy cały czas do czynienia z dwoma poziomami analizy. Jeden dotyczy próby i wszystkiego, co na jej temat możemy się dowiedzieć, korzystając z już poznanych narzędzi statystycznych, drugi to poziom populacji. Zadaniem naszej analizy jest odpowiedzieć na pytanie, które prawidłowości i zależności odkryte w próbie mogą być uznane za statystycznie istotne w populacji. Do tej pory do policzenia siły związku między zmiennymi mierzonymi na poziomie nominalnym mieliśmy do dyspozycji, w zależności od rozmiarów tabeli, miary Q, tp i A. Teraz, korzystając z obliczonej statystyki testu chi-kwadrat, do zestawu, który już posiadamy, dokładamy następne miary związku między zmiennymi nominalnymi, poszerzając nasze możliwości eksplanacyjne. Wszystkie miary siły związku pomiędzy zmiennymi są normalizowane, tak aby przyjmowały wartości z przedziału (O - l). Zależność statystyki chi-kwadrat od li-

I1

11\lf 1\ ii

, I

czebności

próby i rozmiarów tabeli sprawia, że z taką niu do miar opartych na chi-kwadrat mamy kłopot.

normalizacją

w odniesie-

Poprzednio używaliśmy współczynnika