Prof. Dr.-lng. habil. P. Vielhauer
T h eo rie d e r O b e rtra g u n g au f elektrischen Leitungen Hochschullehrbuch
ra
VEB VERLAG T E C H N IK BERLIN
VORWORT
Das vorlieeende Buch iiber Leitungstheorie will den Studenten der Informationstechnik und anderer elektrotechnischer Disziplinen sowie den in der Praxis stehenden Diplomingenieur mit den Methoden zur Untersuchung der elektrischen Ubertragung auf Leitungen, also den Grundlagen zur Untersuchung und Beschreibung von linearen Systemen mit verteilten Parametern vertraut machen. Sie spielen heute nicht nur in der Naehrichten- und Energieiibertragungstechnik eine wichtige Rolle, sondem werden wegen der Verwendung im m er hoherer Frequenzen in den verschiedensten Gebieten der Analog- und Digitalteehnik benotigt. Dabei soli vorausgesetzt werden, dafi die betrachteten Leitungen so beschaffen slnd, da6 die bei der Ubertragung entstehenden elektromagnetischen Felder als transversale Felder (TEM-Wellen) betrachtet werden konnen. Entsprechend der in der letzten Zeit im m er m ehr in den Vordergrund getretenen Problematik der Ubertragung impulsformiger Signale, wird vom dynamischen Verhalten der Leitungen ausgegangen, d .h ., es wer den zeiflich beliebig verlaufende Spannungen und Strome zugelassen. Die in der klassischen Theorie als Ausgangspunkt verwendeten Falle, namlich das stationare Verhalten bei sinusformlger Urspannung und die Einschwingvorgange, werden hier als Sonderfalle angesehen und behandelt. Obwohl stets nur von elektrischen Leitungen die Rede ist, lassen sich die entwickelten Methoden und Ergebnisse auf eindimensionale Ausbreitungsvorgange jeglicher Art (mechanisch, pneumatisch, akustisch, usw.) anwenden, wenn nur die beschreibenden Differentialgleichungen den Leitungsgleichungen entsprechen. Es istm ir ein Bediirfnis, Herrn Prof. em . D r . phil. K . Freitag fur die Anregung zu dieser Arbeit und die Unterstiitzung bei ihrer Durchfiihrung meinen herzlichsten Dank auszusprechen. AuBerdem danke ich Frau Mischnick fur die tatkraftige Unterstiitzung bei der Anfertigung des Manuskripts, sowie Frau Netz vom Verlag Technik fur die gute Zusammenarbeit. Dresden, 1 .3 .1 9 6 9 P . Vielhauer
Lektor: Doris Netz D K : 6 2 1 .3 .0 9 ES: 20 K 5 V T 0 /3 /4 4 5 8 Alle Rechte vorbehalten. Copyright 1970 by V E B Verlag Teohnik, Berlin V L N 201. Dg. Nr. 370 /1 2 4/69 Deutsche Demokratische Republik Offsetdruek: V E B Graphische Kunstanstalt Reprocolor, W erk III, Leipzig Bestellnummer: 551 584 1 5
INHA LTSVERZEICHNIS
Symbolverzeichnis....................................................................
9
0.
Einleitung.......................... : ............................................................
1.
Die Operatorenrechnung zur Untersuchung des dynamischen Verhaltens von linearen zeitinvarianten S y s t e m e n ..................
1 .1 . 1 .2 . 1 .3 .
lineare zeitinvariante S y s t e m e ................................................. Operatorenreehnung nach M ikusinski......................................... Der Ubertragungsfaktor eines linearen zeitinvarianten elektrischen Systems mit konzentrierten Schaltelementen............. Der Verschiebungsoperator......................................................... Operatorfunktionen.........................................................................
23 26 34
2.
Die elektrische Leitung.................................................................
37
3.
Leitungskonstanten.........................................................................
39
3 .1 . 3 .2 . 3 .3 . 3 .4 .
Widerstandsbelag R ' ...................................................................... Ableitungsbelag G ' ......................................................................... Kapazitatsbelag C ' ......................................................................... Induktivitatsbelag I f ......................................................................
39 39 39 40
4.
Die Leitungsgleiehungen und ihre L o s u n g ..................................
41
4 .1 . 4 .2 . 4 .3 .
Ableitung der Leitungsgleiehungen............................................ Operatorform der Leitungsgleiehungen.................................... Allgemeine Losung der Leitungsgleiehungen fur die homogene, im Einschaltmoment energielose Leitung ...................................
41 44
5.
Dynamische Vorgange auf verlustlosen Leitungen.....................
47.
5 .1 . 5 .2 . 5 .3 .
Die verlustlose Leitung................................................................. Ri = 0 , J a = Z ................................................................................. Generatorseitig angepafite Leitung (Rj = Z ) ............................... 5 .3 .1 . Kurzgeschlossene Leitu ng.............................................. 5 .3 .2 . Offenlaufende Leitung...................................................... 5 .3 .3 . Reell abgeschlossene Leitung ...................................... 5 .3 .4 . Induktiv abgeschlossene Leitung................................... 5 .3 .5 . Kapazitiv abgeschlossene Leitung................................. 5 .3 .6 . Mit einem Elementarzweipol abgeschlossene Leitung 5 .3 .7 . Rational abgeschlossene Leitung........................... Beliebiger Innenwiderstand.......................................................... Die Leitung als Vierpol................................................................. 5 .5 .1 . Kettenschaltung von zwei Leitungsstticken................. 5 .5 .2 . Die Kettenmatrix der verlustlosen Leitung................. 5 .5 .3 . Die Wirkung einer Storstelle.........................................
47 47 50
1 .4 . 1 .5 .
5 .4 . 5 .5 .
11
14 14 19
45
52 55 * 55 57 62 64 67 68 71 71 75 78 7
5 .6 . 5 .7 .
Zusam m en fassun g........................................................................ Die im Einschaltmoment elektrlsch geladene Leitung............
82 86
6.
Stationare Vorgange auf verlustlosen Leitungen.......................
90
6 .1 . 6 .2 . 6 .3 . 6 .4 . 6 .5 . 6. 6. 6 .7 .
Spannung und Strom bei sinusformiger Urspannung fur groflet Hin- und rucklaufende Welle, komplexer Reflexionsfaktor . . . Spannung und Strom entlang der Leitung, Welligkeit............... Leitung als V i e r p o l ...................................................................... Eingangswiderstand..................................................................... Leitungsdiagramm........................................................................ MeBleitung.....................................................................................
90 92 95 99 99 101 106
7.
Dynamische Vorgange auf verlustbehafteten Leitungen..........
108 ,
7 .1 .
7 .2 .
Allgemeiner F a l l ........................................................................... 7 .1 .1 . Hinlaufende W e l l e ......................................................... 7 .1 .2 . Riieklaufende W e l l e ....................................................... 7 .1 .3 . B eispiele......................................................................... 7 .1 .3 . 1 . Ubertragung eines Rechteckimpulses.......................... 7 . 1 .3 .2 . Ubertragung einer Sinusschwingung............................. 7 .1 .3 . 3. Ubertragung eines sin2- Im pulses............................... Verzerrungsfreie L e itu n g ...........................................................
108 109 116 120 120 122 133 133
8.
Stationare Vorgange auf verlustbehafteten Leitungen...............
137
8 .1 .
Spannung und Strom bei sinusformiger Eingangsspannung fur groBe t .............................................................................................. 8 .2 . Hin-und riieklaufende Welle, Reflexionsfaktor...................... 8 .3 . Widerstandstransformation........................................................ 8 .4 . Leitung als V i e r p o l ...................................................................... 8 .5 . Wellenwiderstand, Fortpflanzungskonstante............................ 8 . 6 . Ersatzschaltbilder........................................................................ 8 .6 .1 . Ersatzschaltbild fur das Leitungselement.................. 8 .6 .2 . Ersatzschaltbilder fur ein Leitungsstiiek der Lange 1 ......................................................................
137 138 142 144 146 149 149 149
9.
Anhang.............................................................................................
154
9 .1 .
Rechenautomaten-Programme zur Berechnung der Vorgange auf verlustbehafteten L e itu n g e n ................................................. T a f e l n .............................................................................................
154 159
Literaturverzeichnis...................................................................
163
9 .2 . 10.
8
SYMBOLVERZEICHNIS
Amplitude Kettenmatrix Dampfungskonstante Verlustdampfung Phasenkonstante fi Kapazitatsbelag C' Fortpflanzungskonstante 7 Dampfungskoeffizient D Einheitsimpuls tf (t) (Dirac' sehe Deltafunktion) kleine Zahl £ Frequenz f MagnetfluB 0 Phase f Operator G Ableitungsbelag G' Impulsreaktion g (Gewichtsfunktion) Verschiebungsoperator hT Integrationsoperator I Strom i komplexe Amplitude 7 des Stromes Zahlenfaktor k Indu ktivi tatsbe lag L' Leitungslange 1 X Wellenlange Nennerpolynom N(s) ganze Zahl n Kreisfrequenz 01 Zahlerpolynom P(s) Ladungsmenge Q Polynom Q(s) Widerstandsbelag R' Rj, ft j Innemviderstand Reflexionsfaktor K Reflexionsfunktion e Differentiationsoperator s Zeit, Schwingungsdauer T Impulslange T0 Zeit (variabel) t r Zeit (meist Integrationsvariable) Spannung u hinlaufende Spannungswelle uh
A (A) a. a0
riieklaufende Spannungswelle Spannung am Ausgang Spannung,am Eingang komplexe Amplitude der Spannung Ubergangsfaktor «12 (Leitung 1 auf Leitung 2) Verzerrungskoeffizient V V Geschwindigkeit Phasengeschwindigkeit vDh v (x, t) Verzerrungsfimktion hinlaufende Welle wh rucklaufende Welle Wr Hilfsfunktion w(t) Ortskoordinate (Entfemung X vom Leitungseingang) EingangsgroBe x(t) Ortskoordinate (Entfernung y vom Leitungsausgang) AusgangsgroBe y(t> Wellenwiderstand z Wellenwiderstand der verlust Zo losen Leitung Hilfsfunktion S
ur «a ue U
o. e i n l e i t u n g
In dem vorliegenden Buch wird eine umfassende Darstellung der Ubertragungsvorgange auf homogenen Leitungen gegeben. Dabei werden die dynamisohen Vorgange als primar, die stationaren Vorgange als Sonderfall betraehtet und behandelt.
Die Besohreibung der beliebig verlaufenden Spannungen und Strome entlang der Leitung erfolgt mit Hilfe der neuen von Mikusinski entwickelten Operatorenrechnung. Ihre Grundlagen werden im Abschnitt 1. dargestellt, wobei besonderer Wert auf eine enge Verkniipfung mit der Theorie der linearen zeitinvarianten Systeme gelegt wird. AusfUhrlieh wird auf den Verschiebungsoperator eingegangen, der den grundlegenden Operator zur Besohreibung von Sy s t e m e n mit verteilten Parametern darstellt. Die Anwenduhg der MikusinskiOperatoren fiihrt zu einfaehen ansehaulichen Ergebnissen, die die komplizierte Frage der ItRiicktransformation" Uberhaupt nicht erst aufkommen lassen. Auch Konvergenzuntersuchungen, wie sie bei der Laplaoe-Transformation notwendig sind, und die Probleme im Zusammenhang mit der Dirac'sehen Deltafunktion entfallen bei Anwendung der neuen Operatorenrechnung. Im Abschnitt 2. wird festgelegt, was unter einer elektrischen Leitung zu verstehen ist und wie die verschiedenen Leitungsformen nach bestimmten theoretischen Gesichtspunkten zusammengefaRt bzw. unterschieden werden konnen. Im Abschnitt 3. folgt die Definition der vier Leitungskonstanten. Die Leitungsgleiehungen werden nicht wie ttblich aus einem konzentrierten Ersatzschaltbild abgeleitet, dessen Giiltigkeit erst zu beweisen w are, sondern aus den elektromagnetischen Grundgesetzen (Abschn. 4.). Dadurch kommt man z u einem allgemeinen System partieller Differentialgleichungen, das auch die inhomogene und zeitlich variante Lieitung beschreibt. AuBerdem wird der W eg zur Behandlung von Mehrleitersystemen gewiesen. Fiir die allgemeine Losung der Leitungsgleiehungen wird vorausgesetzt, dafl die Leitungskonstanten auch wirklich konstante GroBen sind. Diese Idealisierung wurde in der Leitungstheorie bisher stets vorgenommen und die Praxis zeigt, daB m an damit eine gute Besohreibung der Wirklichkeit erhalt. Im Abschnitt 5. werden die dynamischen Vorgange auf verlustlosen Leitun gen systematisch untersucht. Zur Einfiihrung wird zunachst der einfaehe Fall betraehtet, dafl der Innenwiderstand des Generators gleich Null und der Abschlufiwiderstand gleich dem Wellenwiderstand der Leitung ist, also der in der Literatur bisher meist als „unendlich lange Leitung" bezeichnete Fall. Es ergibt sich dabei die bekannte Tatsache, daB eine verlustlose Leitung bei AbschluB mit dem Wellenwiderstand wie eln ideales Verzogerungsglied wirkt. Urn die Wirkung eines vom Wellenwiderstand abweichenden Abschlusses zu erkennen, werden die wichtigsten Varianten vom KurzschluB bis zum beliebigen Netzwerk betraehtet. Zur Vermeidung von Mehrfachreflexionen ist der Generatorwiderstand gleich dem Wellenwiderstand zu setzen. Zur einfaehen Beschreibung der Reflexion wird der Reflexionsfaktor als der Operator definiert, der auf die hinlaufende Welle anzuwenden ist, um die rucklaufende Welle zu erhalten. LaBt m an schlieBlich die Voraussetzung des angepaBten Genera tors fallen, so erhalt m an den allgemeinsten Betriebsfall mit unendlich vielen 11
aufeinanderfolgenden Reflexionen, deren Starke jedoch nach einer geometrisohen Reihe abnimmt. U m den tibergang einer Welle von einer Leitung auf eine zweite mit abweiehendem Wellenwiderstand oder die Wirkung einer konzentrierten Storstelle untersuchen zu konnen, wird die Leitung als Vierpol betraehtet. Die Besohreibung der in die zweite Leitung „ubergehenden" Welle gelingt am einfachsten mit Hilfe des „Ubergangsfaktors", der analog zum Reflexions faktor definiert wird. Aus den gefundenen Ergebnissen werden einfache Grundgesetze fiir die dynamisehen Vorgange auf verlustlosen Leitungen herausgearbeitet, die es gestatten, die versehiedensten Anwendungsfalle (beliebiger LeitungsabschluB, tibergang auf anderen Wellenwiderstand, konzentrierte Inhomogenitat) ohne komplizierte Rechnung zu analysieren. A m SchluB die ses Abschnitts wird nooh ein Beispiel fiir eine im Einschaltmoment elektrisch geladene Leitung untersuoht. E s zeigt sich, daB mit ihrer Hilfe in einfaeher Weise ein Rechteckimpuls ganz bestimmter Lange an einem ohmschen Widerstand erzeugt werden kann. Im Abschnitt 6 . werden die stationaren Vorgange auf verlustlosen Leitun gen betraehtet. Durch Anwendung der allgemeingiiltigen Formeln auf eine Sinusschwingung und Grenziibergang t — °° erhalt m an Beziehungen, die es gestatten, die komplexen Amplituden von Spannung und Strom bei beliebigem Abschlufl der Leitung aus der komplexen Amplitude der Urspannung zu berechnen. Durch Spezialisierung ergeben sich die klassischen Vierpolgleichungen der Leitung. E s wird gezeigt, daB sich der komplexe Reflexionsfaktor zur Besohreibung der stationaren riicldaufenden Welle am LeitungsabschluB aus dem allgemeinen Reflexionsfaktor in der iibliehen Weise durch Ersetzen des Differentiationsoperators s durch ja> ergibt. Dies gilt aber nicht an LeitungsUbergangen bzw. Storstellen, da der allgemeine Reflexionsfaktor nur eine einmalige Reflexion erfaBt, wahrend sich die stationare rucklaufende Welle i. allg. aus mehreren Anteilen zusammensetzt, deren Amplitude und Phasenlage von der Lange der anschlieBenden Leitung und deren AbschluBwiderstand bestimmt werden. Im Gegensatz zu vielen friiheren Darstellungen der Leitungstheorie wird hier der Reflexionsfaktor besonders betont, da man einmal die Vorgange auf den Leitungen besonders anschaulich deuteri und zum anderen das fiir die A n wendung so wichtige Leitungsdiagramm in einfaeher Weise herleiten kann. Die verschiedenen Anwendungsmoglichkeiten des Leitungsdiagramms werden ausfiihrlich erlautert. Abschnitt 7. behandelt die dynamisehen Vorgange auf verlustbehafteten Lei tungen. Zunachst wird gezeigt, daB sich der Operator zur Berechnung der hinlaufenden Welle in drei Faktoren zerlegen laBt, wobei der erste die zeitliche Verschiebung, der zweite die Verlustdampfung und der dritte die Verzerrung beschreibt. Die beiden ersten Faktoren lassen erkennen, daB die durch eine verlustbehaftete Leitung bewirkte Verzdgerung und Verlustdampfung unabhangig von der Form des Eingangssignals, bei sinusformiger Erregung heiBt das unabhangig von der Frequenz, sind. Beide stimmen mit den entsprechenden Werten der verzerrungsfreien Leitung iiberein. Insbesondere stimmt die Signallaufzeit auf einer verlustbehafteten Leitung mit der auf der entsprechen den verlustlosen Leitung iiberein. Die Verzerrung aufiert sich darin, daB dem verzogerten und gedampften Eingangssignal ein zweites, mit der „Verzerrungsfunktion" gefaltetes Signal uberlagert wird. D a das Ergebnis der Faltung vom Eingangssignal wesentiich bestimmt wird, ist die Verzerrung vom Eingangs signal abhangig. So erklart sich, daB Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz verschieden verzerrt werden und sich daraufhin bei Betrachtung 12
des stationaren Zustands eine frequenzabhangige Dampfung und Phasenlaufz e it ergibt. Die allgemeine Rechnung fiihrt fur groBe t zu den seit langem bekannten und auch experimentell bestatigten Ergebnissen. Die „Verzerrungsfunktion" wird durch den Verzerrungskoeffizienten V bestimmt und ist als u n e n d l i c h e Reihe gegeben, deren einzelne Glieder durch wiederholte Faltung entstehen. Die Untersuchung der Reflexion an einem ohmschen Widerstand zeigt, daB der Reflexionsfaktor in zwei Summanden, eine Zahl und eine Funktion, zerlogt werden kann. D er erste Summand stimmt mit dem Reflexionsfaktor der verlustlosen Leitung iiberein, der zweite soil „Reflexionsfunktion" genannt werden. Damit setzt sich die riieklaufende Welle zusam men aus einem Anteil, den wir bei Betrachtung der verlustlosen Leitung bereits kennengelernt haben, und einem zweiten Anteil, der sich durch Faltung der „Reflexionsfunktion" mit der hinlaufenden Welle ergibt. Die „Reflexionsfunktion" hangt wieder vom Verzerrungskoeffizienten V ab. Im Abschn. 7 .1 .3 . werden verschiedene typische Leitungen und Signalformen untersucht. E s zeigt sich dabei, daB eine optimale Leitungslange existiert, bei der sich die Signalverformungen infolge der Verzerrung und der Reflexion nahezu aufheben und somit eine nahezu verzerrungsfreie Uber tragung stattfindet. Eine einfache Formel zur Berechnung dieser optimalen Leitungslange wird angegeben. Auch wird abgeschatzt, wie lang ein Recht eckimpuls sein darf, damit die Verzerrung einen bestimmten Prozentsatz nicht tibersteiet. Betrachtungen zur verzerrungsfreien Leitung schlieBen diesen Abschnitt ab. Im letzten Abschnitt werden schlieBlich die stationaren Vorgange auf ver lustbehafteten Leitungen dargestellt. Neu ist hier insbesondere die Anwen dung des gewohnliehen Leitungsdiagramms zur Widerstandstransformation unter Benutzung eines zusatzlichen Diagram m s zur Bestimmung des Dampfungsfaktors K v . M a n erspart sich dadurch die umstandlichen Rechnungen mit den komplexen Hyperbelfunktionen. Der Abschnitt wird abgesehlossen durch die Angabe der konzentrierten Ersatzschaltbilder fur die verlustbehaftete Leitung. Im Anhang werden die Rechenautomaten-Programme zur Untersuchung der dynamisehen Vorgange auf verlustbehafteten Leitungen kurz beschrieben und einige Tafeln angegeben.
13
Es soil jetzt an einigen Beispielen gezeigt werden, welche Bedeutung der G haben kann
1. D IE O P E R A T O R E N R E C H N U N G Z U R U N T E R S U C H U N G D E S D Y N A M I S C H E N V E R H A L T E N S V O N L IN E A R E N Z E IT IN V A R IA N T E N S Y S T E M E N
Operator
B eisp iel 1 :
Die Wirkung sei gleich der Ursache; z . B . ein am Eingang eines Ubertragungssystems eingegebenes Signal erscheine unverandert a m Ausgang. Dann gilt also ist
1 ,1 .
Lineare zeitinvariante Systeme
B eisp iel 2 :
Gegeben sei ein lineares zeitinvariantes System mit einem Ein- und einem Ausgang, Die EingangsgroBe werde mit x(t), die AusgangsgroBe mit y(t) bezeichnet, wobei wir auf die Angabe des Arguments meistverzichten werden. E s gilt dann, falls yj die Antwort (Reaktion) des Systems auf die Ursache xj darstellt und cj, C2 beliebige Konstanten bedeuten Ursache cA
x i (t “ t0 )
—
ci y i + V
2
(1 . 2)
y = kx, G = k.
Beispiel 1 ist als Spezialfall im Beispiel 2 enthalten. W ir erkennen, daB jede reelle Zahl als Operator auftreten kann. Die Regeln (1.4) und (1.5) sind offensichtlich erfiillt.
t1 -1)
y x (t-t0 )
Die Wirkung sei das k-fache der Ursache, z . B . ein am Eingang eines Ubertragungssystems eingegebenes Signal erscheine auf das k-fache verstarkt am Ausgang (idealer Verstarker). Dann gilt also ist
— ► Antwort
+ c2x2 —
y 1‘ l x , G ■1 .
B eispiel 3 :
Die Wirkung sei das Integral der Ursache t y = J
Lineares zeitinvariantes System
xiV
Dann ist
y(ti
Beispiel 4: In der Beziehung (1.1) kommt die Linearitat, in (1.2) die Zeitinvarianz des Systems zum Ausdruck (vgl. Wunsch [10]). Lineare zeitinvariante Sy steme mit einem Ein- und einem Ausgang lassen sich dureh die Gleichung
G (°\x x + C2X2 ) = c i G x i + c2 Gx2 :
b)
aus
(1.3)
Beispiel 5:
4>
14
Die Wirkung sei die Ableitung der Ursache
also
G = p
=px, .d dt
D e r Operator p kann natiirlich nur auf differenzierbare Funktionen angewendet werden, insbesondere ergeben sich Schwierigkeiten, wenn x im Nullpunkt unstetig ist, wie von der Heavi side' schen Operatorenrechnung her bekannt ist. Beispiel 6 :
Die Wirkung sei gleich der u m die Zeit T verschobenen Ursache. y = x(t — T)
5>
D en Operator G zeichnen. Beispiel 7:
Bild 1.2.Mathematisches Modell
; kx + Ix • (k + I)x , = k + I.
dt
G x(t) = y(t)
folgt G x(t - 10 ) = y(t - 10).
Die Wirkung sei die Uberlagerung aus dem k-fachen der Ein gangsfunktion und ihrem Integral, also demnach ist
beschreiben. Gl. (1.3) ist eine Funktionalgleichung zwischen der Eingangsfunktion x(t) und der Ausgangsfunktion y(t). Die Grofle G bezeichnen wir als Operator. E r gibt an, welche Operationen mit x ausgefiihrt werden miissen, u m y z u erhalten. Der Operator G ist als mathematisches Modell des betraehteten linearen zeitinvarianten Systems aufzufassen und muR demzufolge entsprechend den Beziehungen (1.1) und (1.2) folgenden Regeln gehorchen: a)
G = I = /. o
W ir wollen I den Integrationsoperator nennen.
Bild 1 .1 . Blocksehaltbild fiir ein lineares zeitinvariantes System
y = Gx
x (r ) d f = I x .
=hT wollen wir als Verschiebungsoperator m-
Die Wirkung sei gleich dem Integral der k-fachen Ursache t y=
k x (t )d t = I k x o G = 1 k.
15
Der Operator erscheint in diesem Fall als Produkt der beiden in den Beispielen 2 und 3 eingefiihrtenOperatoren. M an kann sich vorstellen, daB zwei Systeme hintereinander gesehaltet sind, das erste mit dem Operator k, das zweite mit dem Operator I. Alle hier betrachteten Operatoren erfullen die Regeln (1.4) und (1.5), sind also linear und zeitinvariant. Die aufgezahlten Operatoren und ihre Kombinationen gestatten bereits die Besohreibung sehr vieler linearer zeitinvarianter Systeme. Aber wir konnen nicht erwarten, daB damit alle Falle erfafit sind. U m eine moglichst groBe Klasse von Systemen zu erfassen, machen wir folgendes Gedankenexperiment: Die Antwort eines gegebenen Systems auf einen Rechteckimpuls nach Bild 1 .3
0
IIA
t<0 t^ €
X’
Bild 1 .4 Zerlegung der Eingangsfunktion
Die Gesamtwirkung aller bis zum Zeitpunkt t wirksamen Impulse ergibt sich nach (1.1) durch Superposition n
t >6 sei
yn =
y = ge(t).
E
i=1 wenn n die Anzahl der Impulse bis zum Zeitpunkt t angibt. Das gefundene Ergebnis ist nur eine Naherung, da wir die Funktion x(t) durch eine Treppenkurve ersetzt haben. Die exakte Antwort des Systems auf die Eingangsfunktion x(t) erhalten wir, wenn wir die Einteilung imm er feiner wahlen, d. h. n -^co und dementsprechend A t — dt gehen lassen. Die Summe in Gl. (1.6) geht dabei in das Integral iiber:
m i e
(1.7) £
t
Bild 1 .3 Rechteckimpuls als Ursache
Lassen wir e gegen Null gehen, so bleibt die Impulsstarke (Impulsbreite mal -hohe) gleich 1. Die Folge der Antwortfunktionen g£(t) konvergiere da bei gegen die Funktion g(t). Der Grenzubergang s — 0 bedeutet, daB wir uns die Ursache, die in Wirklichkeit iiber den Zeitraum von 0 bis a verteilt ist, im Nullpunkt konzentriert denken. Die dabei entstehende RecheneroBe bezeichnet man als Kinheitsimpuls oder auch als Dirac'sche Deltafunktion 6 (t), obwohl sie keine Funktion im Sinne der Analysis ist. g (t) ist damit die Ant wort des Systems auf den Einheitsimpuls. Sie wird auch Impulsreaktion genannt. Es soil nun die Antwort dieses Systems bei beliebig vorgegebener Eingangsfunktion x berechnet werden. Dazu zerlegen wir die Funktion x nach Bild 1 .4 in Impulse der Lange A t. Der i-te Impuls hat dann die Starke x(tjj A t, wobei tj ein gewisser Mittelwert im i-ten Intervall ist. Diesen Impuls denken wir uns im Zeitpunkt tj kon zentriert. Auf Grund der Gesetze (1.1) und (1.2) ruft dieser im Zeitpunkt tj konzentrierte Impuls der Starke x(tj) At im Zeitpunkt t die Wirkung
wenn wir fiir die Integrationsvariable statt tj den Buchstaben r einfiihren. Das Integral wird Faltungsintegral genannt. M an spricht auch einfach von der Faltung der beiden Funktionen g und x. In Worten besagt Gleichung (1 .7): Die Antwort eines linearen zeitinvarian ten Systems auf eine Ursache x ergibt sich als Faltung der Impulsreaktion g mit der Ursache x. Da die Impulsreaktion g nach Gl. (1.7) angibt, mit welchem „Gewicht"die Ursache x in den einzelnen Zeitpunkten in die Antwort eingeht, nennt m an sie auch Gewichtsfunktion. Die Faltung der beiden Funktionen g und x konnen wir als Produkt im Sinne der Operatorenrechnung auffassen und schreiben daflir t / 0
g ( t - r ) x (r )d r ={g(t)} {x(t)} = g x
(1 . 8)
Das so definierte Produkt befolgt alle Gesetze eines normalen Produktes der Algebra, z . B . gx=xg
( i . 9)
gfXj + x2 ) = gXi + gx2
(1 . 10)
g2 (Slx ) = (62% ) x = S2glx
^
g(t-tj) x fliM t hervor. 16
U > 17
gx = 0, nur wenn mindestens ein Faktor Null ist.
(1.12)
Die Beweise findet m an z . B . bei Mikusinski [17]. Die Gleichung (1.7), die den Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsfunktion angibt, kann damit kiirzer geschrieben werden: y = {g(t)} {x(t)} = g x
(1-13)
Vergleichen wir diese Formel mit Gleichung (1.3), so erhalten wir G = {g(t)}.
L. 2. (.)|>eratorenrechnung nach Mikusinski
(1.14)
Die Gewiehtsfunktion g(t) ist der Operator G, der a.uf die Eingangsfunktion x(t) angewendet werden mufi, nm die Ausgangsfunktion y(t) zu erhalten. Hierbei ist unter „Anwendung" des Operators die Multiplikation im Sinne der Operatorenrechnung also die Faltung zu verstehen. W ir haben damit den Operator G fur eine sehr grofie Klasse von Systemen bestimmt, namlich flir alle Systeme, die eine Gewiehtsfunktion g(t) besitzen. Eine solche Funktion muB nicht in jedem Fall existieren. D a der Einheitsimpuls 6 (t) nur eine RechengroBe und keine reale Funktion ist, kann die Antwort darauf eine Funktion sein, sie muB es aber nicht sein. Ein Beispiel fur ein System, das keine Gewichtsfiinktion besitzt, ist das im Beispiel 1 genannte System. D a Ursache und Wirkung gleich sein sollen, antwortet dieses System auf den Einheitsimpuls wieder mit dem Einheitsimpuls. W enn m an so will, kann m an sagen, die Gewiehtsfunktion ist gleich der Diraeschen Deltafunktion. Die Bildung des Faltungsintegrals mit dieser ,tPseudofunktion'1 ist nicht moglich. W ir haben aber bereits festgestellt, daB G = 1 ist, so daB wir in diesem Fall schreiben konnen: y = Gx = {(5 (t)} |x(t)} = 1 {x(t)}
(1.15)
Die Multiplikation der Diracschen Deltafunktion mit einer beliebigen Funktion x(t) im Sinne der Operatorenrechnung ist offenbar der gewohnlichen M ul tiplikation der Zahl 1 mit der Funktion x(t) gleichzusetzen. Das gleiche Ergebnis konnen wir noch auf andere W eise erhalten. Nehmen wir wieder an, daB das betrachtete System die Gewiehtsfunktion g(t) besitzt. Dann gilt auf Grund des Kommutativgesetzes (1.9) und Gl. (1.13) y = {g(t)} {x(t)} = {x(t)} |g(t)}.
v.-ie lassen sich alle die Operatoren, die wir kennengelernt haben, unter einsm Gesichtspunkt zusammenfassen und wie kann m an mit ihnen reehnen, um die A n a l y s e und Synthese von linearen zeitinvarianten Systemen moglichst rationell durchfuhren zu konnen. Diese Frage hat Mikusinski beantwortet [17].
Es zeigt sich, daB m an zu einem geschlossenen Aufbau der Operatorenrech nung kommt, wenn m an das Faltungsintegral zur Grundoperation der Opera torenrechnung erklart. Die Gleichung (1.3) y = Gx
legt es nahe, den Operator G als Quotient g
Q- x S° U die Funktion sein, deren Produkt mit der Funktion x (im Sinne der Faltung) gleich der Funktion y ist. Die so festgelegten „Quotienten im Sinne der Operatorenrechnung" sind eindeutig, wie sich aus Gl. (1.12) leicht ableiten laBt. Fiir sie gelten die gleichen Rechenregeln wie fiir gebrochen rationale Zahlen (Bruchrechnung), da sie genau wie diese durch Umkehrung der Multiplikation entstanden sind und fiir das Faltungsprodukt die gleichen Regeln gelten wie fiir das gewohnliohe Produkt; 8.
^ =
(1.16)
a b
Die Gleichung ist richtig, wenn wir setzen
Dies stimmt iiberein mit dem gefundenen Ergebnis. M a n sollte die Bezeichnung Deltafunktion vermeiden und statt dessen vom Deltaoperator sprechen. Sehr vorteilhaft ist die Bezeichnung Einheitsimpuls, da dieser Opera tor die Rolle des Einheitsoperators spielt. Seine Multiplikation mit einer be liebigen Funktion laBt diese unverandert. Die Gl. (1.16) besagt, daB es gleichgultig ist, ob m an den Operator g auf die Funktion x oder den Operator x auf die Funktion g anwendet; das Ergeb nis ist das gleiche. M an kann daher auch beide Funktionen g und x als Operatoren betrachten und vom Produkt der beiden Operatoren g und x sprechen. W ir kommen damit zum Reehnen mit Operatoren und es erhebt sich die Frage, 18
C
jj
I
gilt genau dann, wenn ad = be
(1-19)
c a c T b d
(1 -20>
=r f-
d-21)
M
(1.17)
{*(*)} = 1 -
(1.18)
zu definieren, wobei x und y zwei fiir t > 0 stetige Funktionen sein sollen, die fiir t < 0 verschwinden. M a n legt fest:
Wahlen wir als Eingangsfunktion den Einheitsimpuls, dann lautet die Antwort y = g(t). E s gilt also nach Gl. (1.16) {g(t)} = {g(t)} {6 (t)} = |<5(t)} {g(t)}
= £ x
+ 1
= a ..V
d b 0
(i- 2 2 )
AIlo Buchstaben bedeuten hier Funktionen, die fiir t > 0 stetig sind und ftir t < 0 verschwinden. Alle Produkte sind im Sinne der Faltung zu verstehen. Es sei vorausgesetzt, daB keine der im Nenner stehenden Funktionen identisch Null ist. Bekanntlich geht die (gewohnliche) Division im Bereich der ganzen Zahlen nicht im m er auf, d .h ., es gibt nicht im m er eine ganze Zahl die mit dem Nen ner multpliziert den Zahler ergibt. Genauso ist es hier. Es gibt durchaus nicht im m er eine Funktion, die mit dem Nenner gefaltet den Zahler liefert. Deshalb wird festgelegt:
2
19
‘
Gibt es keine Funktion, deren Faltung mit der Funktion x die Funktion y ergibt, so verstehen wir unter g. elnen Operator, der die Funktion x indie Funktion y transformiert
d' h '
{a}
(1-28)
,Tede reelle oder komplexe Zahl a ist als Spezialfall eines Operators zu hfitrachten. Die Multiplikation mit einem „Zahlenoperator" ist nichts anderes als die gewohnliche Multiplikation.
X x =y
X ______
und die Regeln Gl. (1.19) bis Gl. (1.22) befolgt. Die Unausfiihrbarkeit der zur Faltung inversen Operation fuhrt zur allgemeinen Definition des Operators. Die Operatoren erscheinen damit als eine Verallgemeinerung der Funktionen, so wie die rationalen Zahlen beim Dividieren als Verallgemeinerung der ganzen Zahlen entstanden sind, Jede Funktion kann als Operator aufgefafit werden, derni m an braueht sie lediglich mit einer beliebigen Funktion g(t) zu „erweitern'', um einen Quotienten im Sinne von Gl. (1.18) herzustellen:
Aus Gl. (1.27) folgt namlieh { 1} {ttf(t)} --- ---- = |af(t)}.
■{f(t)}
(1.29)
M an mufi genau unter scheiden zwise hen Zahlen und Funktionen, z . B . bedeutet:
t
2- {x(t)}= {2x(t)}
nach Gl. (1.29)
{2} {x (t )}= jy 2 x (r )d r |
nach Gl. (1 .8).
{im } (era) {»(»>}■
------ {5
■ { e ,i,r —
(1-2 3 >
Unter der Funktion {1} verstehen wir die Funktion, die fur t > 0 iiberall 1 und fur t < 0 iiberall 0 ist, also die Sprungfunktion. Sie spielt eine grundlegende Rolle beim Aufbau der Operatorenrechnung. E s gilt namlieh fur eine beliebige Funktion f(t):
aber
Durch Umkehrung des Integrationsoperators I kommt m an zum Differentiationsoperator s. Wenden wir I auf f (t) an, so ergibt sich i {ret)} = {i} {f(t)}
{i}{f(t )}
l / m
& t = {f(t)}
W = n 7 i T = ilW ~ r' (1' 24) d .h . die Funktion {1} ist derjenige Operator, der eine beliebige Funktion {f(t)} iiberfiihrt in ihr Integral: {1} {f(t)} = | /
f(r )d tj= l{f(t )}
(1.25)
Damit ist aber die Funktion {1} gleichzusetzen dem von uns oben eingefiihrten Integrationsoperator I (1.26)
I = {1}.
Der O p e r a t o r f l i h r t die Funktion {l} in die Funktion {a} iiber (a ist eine beliebige komplexe Zahl). Wenden wir ihn auf eine beliebige Funktion f(t) an, so ergibt sich
/ 0
f (r )d r f = {f(t)
■f(o)}
f(o) { 1 }.
Dividieren wir jetzt durch {1}, so erhalten wir {f(t)} oder mit
1
{f(t)} - f(o) = s |f(t)} - f(o)
(1.30)
{1}
s {f(t)} = {f(t)} + f(o)
(1.31)
1
(1.32)
{1}
Die Anwendung des Differentiationsoperators s auf eine differenzierbare Funktion liefert deren Ableitung plus den Funktionswert an der Stelle Null. Das Ergebnis ist keine Funktion, sondern ein echter Operator, eine Summe aus einer Funktion und einer Z a h l! Der Differentiationsoperator s stimmt mit dem Heavisideschen Operator p nur iiberein, wenn f(o) = 0. Aus Gl. (1.32) folgt s {1} = 1.
M
{f(t)}
1 /
af(r)d r (1.27)
W
“
=
°
{1} '
(1.33)
Das heifit, die Anwendung des Differentiationsoperators s auf die Sprung funktion {1} ergibt den Operator 1, der der Dirac'schen Deltafunktion entspricht [vgl. Gl. (1.15)]. Nur in diesem Sinne ist der in vielen Buchern zu lindende Satzj „Die Dirac'sche Deltafunktion ist die Ableitung der Sprung funktion" zu verstehen. Durch wiederholte Anwendung der Gl. (1.31) erhalt man sn {f(t)} = {f(n)(t)} + f(o) s? _1 + f(o) s11-2 + . . . + f(n_1)(o). (n = 1 , 2 , . . . )
(1.34) 21
Wendet m an den Operator s auf die Exponentialfunktion an, so ergibt sich nach Gl. (1.31) ( a komplexe Zahl)
■{«“ }= {»|a e K t } + l
(1.35)
Der Operator {eat} ist damit als Funktion des Differentiationsoperators s dargestellt. Die Beziehung Gl. (1.35) besagt, daB die Multiplikation (im Sinne der Faltung) der Funktion e at mit einer beliebigen Funktion gleichzusetzen ist der Multiplikation des Operators — mi t dieser Funktion. Die o u> Beziehung Gl. (1.35) entspricht formal der von der Laplace-Transformation her bekannten Beziehung; nur hat der Buchstabe s dort die Bedeutung einer komplexen Zahl. E s l&fit sich zeigen [17] , dafl die Darstellung einer beliebigen Funktion mittels des Differentiationsoperators s formal mit der Laplace-Transformierten iibereinstimmt, so daB die bisher in der Operato renrechnung verwendeten Tafeln der Laplace-Transformation auch weiterhin verwendet werden konnen, wenn m an dem Buchstaben s die Bedeutung des Differentiationsoperators gibt. Durch einfache Operatorenmultiplikation erhalt m an aus Gl. (1.35)
(s —a)
= { e at} { e at} = / e ^ ^ e k J "• 1 Lb
®
dr
(1.36)
und daraus durch weitere Multiplikation und Sehlufi von n auf n + 1: n -1 t (s - a )
at (n = 2, 3, . . . )
(1.37) d.s^ + d.
( n - 1 )!
Die gedampften Schwingungen lassen sich mit Hilfe von Gl. (1. 35) ebenfalls sehr leicht als Funktion von s darstellen: ( a + j w ) t + e (a - jw )t 2 \s — a — e
at
Per Operator G [vgl. Gl. (1.3)] soil entsprechend seiner physikalischen B e als Ubertragungsfaktor bezeiehnet werden. Aus dem bisher Gesagten folgt: Der Ubertragungsfaktor ist die Antwort des Systems auf den Einh e i t s i m p u l s . Der Ubertragungsfaktor ist nur in speziellen Fallen eine Funk tion u n d wird dann auch Gewiehtsfunktion genannt. Im allgemeinen ist der U b e r t r a g u n g s f a k t o r ein Operator im Sinne Mikusinskis. Bisher hatten wir ganz allgemein von linearen, zeitinvarianten Systemen geprochen. In diesem Abschnitt wollen wir elektrische Systeme mit konzen trierten Param etem betrachten. M an beschreibt sie gewohnlich durch eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Fiihrt m an in eine solche den Differentiationsoperator s ein, so benotigt man nach Gl. (1.34) die Anfangswerte der gesuchten Funktion und ihrer Ableitungen bis zur Ordnung n —1. Die Bestimmung dieser Anfangswerte macht, sclbst bei energielosem Anfangszustand, ziemliche Schwierigkeiten. Diese vermeiden wir, indem wir gleich in das aus der Schaltung abgelesene lineare Differentialgleichungssystem 1. Ordnung die Operatoren einfuhren. E s treten dann nur i. Ableitungen auf, so daB wir nach Gl. (1.30) lediglich den Anfangsv.ert der imbekannten Funktionen benotigen. Sorgen wir weiter dafiir, daB nur Ableitungen von stetigen Funktionen auftreten, so stimmen die benotigten A n fangswerte mit den Funktionswerten unmittelbar vor dem Einschalten iiberein, insbesondere konnen dann bei energielosem Anfangszustand alle Anfangswerte gleich Null gesetzt werden. Fiir die praktische Berechnung von Netzwerken bedeutet dies, daB m an als gesuchte GroBen keine Strome durch Kondensatoren und Spannungen an Spulen ansetzen sollte, da diese unstetig sein kbnnen. Betrachten wir wieder die Abhangigkeit einer GroBe y (Strom oder Span nung) von einer zweiten GroBe x (Strom oder Spannung), so erhalten wir bei energielosem Anfangszustand des Systems durch Eliminierung aller iibrigen Unbekannten aus dem Operatorgleichungssystem die Beziehung deutung
und hieraus durch Auflosen at
1 . 3 . Der Ubertragungsfaktor eines linearen zeitinvarianten elektrischen Systems mit konzentrierten Schaltelementen
,| cos cot -
s — a. (s — a)
2
+ (o
2
1_ \ s — a+ jw / (1.38)
Analog ergibt sich f at . 1 ie sin «t !• =
(1.39) (s — a )2 + « 2
’'- - i —
_s^
■*■+...+ d ,s + d
* ^ = i ------- 5—
- *•
f1 -4 0 )
woliei die Koeffizienten dj und bj reelle Zahlen sind, die vom Aufbau des Systems und dem Wert der einzelnen Schaltelemente abhangen. Der Ubertragungsfaktor eines linearen zeitinvarianten Systems mit kon zentrierten Schaltelementen ist eine gebrochen rationale Funktion des Diffe rentiationsoperators s. W a s bedeutet nun die Anwendung dieses Operators auf die Funktion x ? Um diese Frage zu beantworten, zerlegen wir den Operator zunaehst durch Division in einen ganzen und einen echt gebrochenen Anteil (dies erub’rigt sich natiirlich, falls j < n): G = Cj s1 + c. _ 1 s1 ~ 1 + . . . + CjS + cQ
(1.41)
m , m —1 , s + m — 1___________________1______ i s + . . . + a. s + a o + am m ________ n , n —1 , , , , , s + b .s + . . . + b, s + b n —1 1 o mit m < n. 22
23
Betrachten wir zunachst den ganzen Anteil. Die Multiplikation des Opera tors Cj s1 mit einer Funktion x bedeutet nach Gl. (1.34) nichts weiter als i-fache Ableitung der Funktion x, multipliziert mit dem Faktor Cj, und das Hinzufilgen von Ausdrucken der Gestalt Cjx(v) (0) s-**, die sich als Dirae-Impulse hoherer Ordnung deuten lassen (vgl. Abschn. 1 .4 .). Die Zahl cQ gibt an, mit welcher Starke die Eingangsfunktion x selbst in der Antwort y enthalten ist. Die Anwendung des ganzen rationalen Anteils des Operators G auf die Funktion x bedeutet also die Uberlagerung der Funktion selbst und ihrer Ableitungen bis zur Ordnung i, wobei die v-te Ableitung mit dem Faktor cv multipliziert wird, und aufierdem das Hinzufiigen von Dirac-Impulsen hoherer Ordnung, die von den Anfangswerten der Funktion x abhangig sind: Cy s V v =o
(1.42)
v =o
[Xir Index e soil an die Eingangsfunktion erinnem. Zur Vereinfachung der Rechnung schreiben wir komplex: x = | (1& e^ a +
J
mit der komplexen Amplitude 0L& = A g e ^ e . (1.47)
In Operatorschreibweise gilt dann a e x ~ s — ( a + j (o ) '
(1*48)
Die Anwendung des Operators G 1 (s)
Uefert die Ausgangsfunktion
y = G i<s>x = f ( f ) i - f e j o ; ) -
(1 -4 9 >
Durch Partialbruchzerlegung ergibt sich hieraus
Von besonderem Interesse ist der echt gebrochene Anteil von G : m , m —1 , a s +a ,s + . . . + a, s + a r .. m m - 1___________________ 1 o 1 n ,, n —1 , ,, s +b ,s + . . . + b, -s + b n —1 1 o
Z l<s> ,, (1.43)
mit m < n, da sehr viele Systeme allein durch diesen beschrieben werden, namlieh alle die, die eine Gewiehtsfunktion besitzen. Mit Hilfe der komplexen Zahlen dx , . . . , d m und pj_,. . . , pn kann nach dem Fundamentalsatz der A l gebra G j geschrieben werden in der Form a (s - dx) (s - d2) . . . (s - dm ) G ( s ) = _ I 2_ -- ± _ _ -- ----- --- iii_, 1W
( s - P x) ( S - P 2 ) . . .
(s - p n )
(1 . 4 4 )
(1.45)
mit der komplexen Zahl p = a. + jw. Die komplexen Zahlen d^ und pj konnen als Parameter bzw. Kennzeichen des Operators Gi(s) betrachtet werden. Ihre Verteilung in der komplexen Zahlenebene bestimmt die Eigenschaften des Operators. Deshalb ist die Deutung des Operators Gi(s) in der komplexen Zahlenebene, d. h. die Betrachtung des Ubertragungsfaktors als Funktion der komplexen Zahl p = a + )co eine sehr niitzliche Hilfsvorstellung, die es gestattet, die wesentlichen Eigen schaften des Ubertragungsfaktors zu erkennen. Die Bedeutung der komplexen Zahl Gi(p), die wir erhalten, wenn wir im Operator G ^ s ) den Differentiationsoperator s durch die komplexe Zahl p = a + jw ersetzen, wii-d sofort klar durch Anwendung des Operators Gi(s) auf die gedampfte Schwingung Ag e 24
cct,
cos (« t + f e).
(1 -50>
Der erste Teil stellt dabei den Einschwingvorgang, der zweite Teil den eingeschwungenen Zustand y = -- = { q e
J
(1.51) ' '
dar. Die komplexe Amplitude t?a ergibt sich bei der Partialbruchzerlegung Gl. (1.50), indem m an mit s — ( a + ju) multipliziert und dann s = a + jai setzt, zu
'
Da fur Operatoren die gleichen Rechengesetze gelten wie fiir komplexe Zahlen, ergeben sich die d^ als Nullstellen und die pj als Pole der komplexen Funktion m , m —1 , a n +a p + . , . + a, p + a nr m - 1 y •_______________ l y o n , v n —1 , , , p +b ,p + . . . + b, p + b n —1 1r o
y = - N (ir + s.- ( « " > ) ■
(1.46)
a *- - W (£ W )
a e = o l{a + i a » a e.
(1.52)
E s ist also «a G ( a + }a>)=- f- . 6te
(1.53)
Der komplexe Ubertragungsfaktor Gi ( a + ]a>) ist gleich dem Verhaltnis der komplexen Amplituden der eingeschwungenen Ausgangsfunktion und der Eingangsfunktion, speziell ergibt sich damit fur a = 0 (ungedampfte Schwingung) mit Gx(jw) der bekannte Frequenzgang. W ir haben damit die Verbindung hergestellt zwischen dem Ubertragungs faktor G-j^s) als Funktion des Differentiationsoperators s und der althergebrachten Auffassung des Ubertragungsfaktors als Funktion einer komplexen Variablen p = « + j
Soil die Wirkung des Ubertragungsfaktors Gi(s) auf eine beliebige Funk tion x untersucht werden, zerlegt m an ihn in Partialbruche, die bekanntlich die Gestalt A. 1 (s - p /
(1-54)
Die Funktion im Zahler von Gl. (1.55) ist fiir t > o nicht tiberall stetig, w ie dies bei der Einfuhrung der Operatoren gefordert wurde. Durch Erweitern des Quotienten Gl. (1.55) z. B . mit {1} kann m an aber sofort einen Quoiicnten aus zwei fiir t > o stetigen Funktionen herstellen. Wir untersuehen nun die Wirkung des Operators Gl. (1.55) auf eine belie bige Funktion f, die, wie friiher generell gefordert, fUr t < 0 identisch Null sein soil.
haben. Nach den Gin. (1.35) bis (1.39) lassen sieh diese als Funktionen darstellen, so dafi der Operator Gj(s) als Summe von Exponentialfunktionen und gedampften Schwingungen erscheint, die eventuell mit einer Potenz vont multipliziert sein konnen. Die Wirkung Gj x ergibt sich dann einfach durch Faltung dieser Summe von Funktionen, der Gewiehtsfunktion, mit der Ein gangsfunktion x. Im Operator Gl. (1.54) ist pj der Pol mit der N r. i, dessen Realteil die Dampfung und dessen Imaginarteil die Frequenz der zugehorigen Funktion angibt. Der Koeffizient Aj wird durch die Lage aller Pole und Nullstellen bestimmt (vgl. z. B , [6], [8] und [11]).
}ST (t)} |f(t)}
{0}
{1}
(t S T)
hT {f(t)} W
(1.56) {«
Das Integral formen wir um durch Substitution: t ■
(t > T ) : (f - T , - d t = dd
T f(t- ■t )d r = — f t
f T
1 .4 . Der Verschiebungsoperator Unter den im Absehn. 1 .1 . genannten Beispielen fiir lineare zeitinvariante Systeme ist eins, das sich mit den bisher betrachteten Operatoren nicht beschreiben laBt. Es handelt sich um Beispiel 6 , bei dem die Wirkung gleich der um T verschobenen Ursache sein sollte. Iter Verschiebungsoperator hT , der dieses System beschreibt, wird definiert als
10)
f( <j -• T)d d ■ f T
Die letzte Umformung gilt, weil f(t — T) Damit ergibt sich aus Gl. (1.56) hT {f(t)}
f(tf‘ ■T)d
{f(t-T)}
0 fiir t < T.
{0 }
(t s T )
{f(t- T)S
(t > T )
(1.57)
Bei Anwendung des durch Gl. (1.55) definierten Operators h T auf eine be liebige. Funktion f(t) wird diese um T nach rechts verschoben (Bild I . 6 .).
(1.55) m Hierbei ist {1} die Sprungfunktion, wahrend {Si-(t)} die um T verschobene Sprimgfunktion bedeuten soil (Bild 1. 5). Der Verschiebungsoperator hT ist also der Operator, der die Funktion {1} um T nach rechts verschiebt.
- A
;
m Bild 1 .6 . Wirkung des Verschiebungsoperators
Die Potenzschreibweise hT wird gerechtfertigt durch die Beziehung T I {sT(0 } I I I________________ ^ T t Bild 1 .5 . Definition des Verschiebungsoperators
h
1
T T T T + T 0 1 0 1 n (h f ) = h h f=h u f,
(1.58)
die die offensichtliche Tatsache zum Ausdruck bringt, daB es gleichgiiltig ist, oi) eine Funktion zunachst um T 0 und dann noch um I’x oder ob gleich um 11 + T 0 verschoben wird. M an kann mit Versehiebungsoperatoren wie mit Potenzen reehnen, wenn man zusatzlich festlegt: (1.59)
26
27
h
= 1
(1.60)
Ein negativer Exponent bedeutet Verschiebung nach links, der Exponent 0 bedeutet keine Verschiebung. Die Zahl 1 erscheint damit als Spezialfall eines V er schiebungsoper ator s , Beispiel: 2 h
-4
+2h
-2
+2
=2 + 2h
—3 + h
+1
ji = 1 gesetzt zu werden. Die hier getroffene Festlegung ist also eine echte Erweiterung des klas sischen Konvergenzbegriffs der Analysis. Die praktische Bedeutung der Aussage
_ 2h+2
{coswtj —*■0 fiir « —«*>
■3h+4 + h+5 - 2h+2
= 2 - 3 h +4 + h+5 Die Anwendung dieses Operators auf eine Funktion f bedeutet:
(2 - 31144 + h+ 5) {f(t)} =
Jede Funktionenfolge, die im klassischen Sinne gleichmafiig konvergiert, konvergiert auch im Sinne der Operatorenrechnung, denn es braucht ja nur
{2 f(t)}
(ts 4)
{2f(t) - 3 f(t - 4)}
(4< t s 5)
{2f(t) - 3 f(t - 4) + f(t - 5)}
(5 < t)
liegt darin, dafi m an daraus schlieSen kann, daB die Multiplikation (Faltung) cler Funktion {coscjt} mit einer beliebigen Funktion {f(t)} fiir w — °o die Funk tion y 2 0 ergibt. W ir wollen den Verschiebungsoperator h 1 als Grenzwert einer Rmktionenfolge darstellen. Das Beispiel wird zeigen, daB eine Folge stiickweise steti ger Funktionen einen Grenzwert (im obigen Sinne) haben kann, der ein echter Operator ist, der sich also nicht als Funktion darstellen lafit. Dazu gehen wir aus von der Funktionenfolge1) T+£
T-e 2£
Da
= s, erhalten wir als Verallgemeinerung der Gl. (1.33) aus Gl. (1.55) fiir die wir nach Tafel 3 des Anhangs schreiben konnen
die Beziehung
+') h ll2)
(1.61) Damit ergibt sich die Moglichkeit, den Differentiationsoperator s auch auf Funktionen anzuwenden, die fiir t > 0 Spriinge machen und somit im klassischen Sinne nicht differenzierbar sind. Der Verschiebungsoperator hT kann auch als Grenzwert einer Funktionenfolge dargestellt werden, wenn m an den Grenzwertbegriff der Analysis entsprechend ver allgemeine rt. M an legt zu diesem Zweck fest:
0 1_ 1_ 4g
rechnung) gegen ^ {f (t)} . Hierbei ist
ein beliebiger Mikusinski-Opera-
[t — (T — £ )] ^
(T - £ < t < T + e )
{[t — (T — £)]2 - [t - (T + £ ) ] 2 }
(tfeT + e)
Diese Folge konvergiert, wie m an leicht nachrechnet, fiir e maBig gegen die Funktion
Falls die Funktionenfolge {fjj(t)} gleichmafiig gegen die Funktion {f(t)} konvergiert, konvergiert die Folge ^ {fn (t)} (im Sinne der Operatoren-
(t s T - e )
■0 gleich-
(t s T) {f(t)}
(t s T)
also gegen
tor, der nicht von n abhangt. Hiernach konvergiert beispielsweise die Funktionenfolge {cosoit}, die im klassischen Sinne keinen Grenzwert besitzt, fiir « —<-°o gegen Null. E s kon. . .. . . . sinwt vergxert namlich — — fur cogleichmaBig gegen Null: ,. J sinwt lim03 1— 5J— I w
■lim
y —*
2
S
+ CO
2
0
{ }
Daher konvergiert im obigen Sinne: (cos
28
s 2 T s + CO
,
1 s2 2 S + CO
^ Statt n wird hier £ zur Numerierung der Funktionen benutzt. M an denke s {0} = {0} = 0
sich fiir s die diskreten Werte « = — (n = 1, 2, . . . ) eingesetzt.
29
Die Elemente der Funktionenfolge sind Impulse der Breite 2e und der
Durch Multiplikation der Beziehung1) - £_ i 1T + £ _i h hT --------
hT h_
s,
s
I-Iohe ~ j. D er Impulsinhalt ist also fiir ein beliebiges s gleich ( 1 . 6 2 )
T+£ f f(t) dt = 1 . T —E
mit dem Operator s erhalt m an hieraus i 1
i,T _ £ *1 _
_
t,T + £ “ __ _
J
/i no\ (1.63,
s Jedes Element dieser Folge ist eine stetige Funktion und auch der Grenzwert ist eine Funktion, die allerdings im Punkt t = T unstetig ist. Wie Bild 1 .7 . zeigt, liegt hier nichtgleichmaBige Konvergenz im klassisehen Sixme vor.
Bild 1 .7 . Zur Erlauterung von Gl. (1.63)
M an kann damit den Verschiebungsfaktor hT als Grenzwert einer Folge von Spannungsimpulsen gleicher Impulsstarke 6 = /u(t)d t = 1 deuten, deren Breite gegen Null und deren Hohe gegen Unendlich geht. Eine unendlich groBe Spannung ist nicht zu realisieren. Aber als RechengroBe leistet der in einem bestimmten Zeitpunkt T konzentrierte Spannungsimpuls die gleichen guten Dicnste wie der Massenpunkt in der Mechanik. Dieser ist physikalisch gesehen auch irreal, denn er besitzt eine unendlich grofie Dichte. Nur hat man sich hier an diese Idealisierung gewohnt und denkt kaum noch daran, dafl auch der Massenpunkt nur eine „RechengroBe" ist, die sich praktisch nicht reali sieren laBt. Mit der Deutung des Verschiebungsoperators als Grenzwert einer Folge von Jmpulsfunktionen ist der Zusammenhang zur klassisehen Darstellung der Ope ratorenrechnung hergestellt: D er Verschiebungsoperator ist offenbar idenfisch mit der Dirac'schen Deltafunktion, die als „Pseudofunkfcion" im Raiimen der klassisehen Analysis nicht exakt definiert werden kann. Die Dime'sche Deltafunktion erscheint in der Mikusinsid-Operatorenrechnung als i;anz einfacher Operator mit exakt festgelegten Eigenschaften. Ubrigens miissen die Elemente der betrachteten Funktionenfolge nicht imbL-dingt Rechteckimpulse sein. Die Form der Impulse ist vollig beliebig, v.onn nur stets gilt:
Nochmallge Multiplikation mit s liefert 1 hT - £ - h T + £ ¥ 2£
£-0
J “
•
T+e e = / f(t)dt = i T —e
^
Hiermit ist es gelungen, den Verschiebungsoperator hT als Grenzwert (im Sinne der Operatorenrechnung) einer Folge von stiiekweise stetigen Funktio nen darzustellen. Bild 1 .8 . zeigt den geometrischen Sachverhalt.
Dann ist
1 s {m j = j W
fftH
ftr n
fmdt =
&>
I
1 i
I
p e r
-
?
l
I
I
s e - * - o
................... - .... ........... r
T
Bild 1. 8 . Verschiebungsoperator als Grenzwert einer Impulsfolge
^
30
(T + e s t)
I
l
i
t
(T - £ < t < T + e )
Fiir e — 0 gilt demzufolge nach Bild 1 . 9.s
1
r ■
T
“
F(t)
-1 2 I
1_
(t s T - £ )
0
OO (
1 i e
0
Das Zeichen ^ 5 soil bedeuten: konvergiert fiir e —»0 im Sinne der Operatorenrechnung gegen. . .
{w} -
s hT-
Also konvergiert (im Sinne der Operatorenrechnung) fiir e — 0 hT . Der Verschiebungsoperator jShT (/J-reelle Zahl) soil grafisch dargestellt werden als Pfeil im Zeitpunkt T mit der Lange fi. Fiir den im obigen Beispiel betrachteten Operator 2 — 3h+4 + h+5 gilt Bild 1 .1 0 . Durch diese Darstellung gewinnt m an unmittelbar einen Eindruck von der Wirkung dieses Operators bei Amvendung auf eine Funktion f. Die Lage eines Pfeils gibt an, um welchen Wert t die Funktion f zu verschieben, die Lange des Pfeils mit welchem Faktor sie zu multiplizieren ist. 31
Die Doppelimpulse entsprechend Bild 1 .1 1 . konvergieren fiir e ^ O gegen sh^. Wir nennen deshalb den Operator shT Dirac-Impuls zweiter Ordnung. und allgemein den Operator sn_1hT Dirac-Impuls n-ter Ordnung, denn jeder dieser Operatoren laBt sich als Grenzwert einer entsprechenden Impulsfolge darstellen. Setzen wir T = 0, so erkennen wir, dafl der Differentiatiorisoperator s als Dirac-Impuls zweiter Ordnung und seine Potenzen als Dirac-Impulse hoherer Ordnung aufgefaBt werden konnen.
r-e
T
T+e
T-e T
t
Tnv g(t,e)
Bild 1 .9 . Beliebige Impulsform
Z
-/ X.
1 0
1
Z
3
4
5
6
-1 Bild 1 .1 1 . Verlauf der Funktion f(t, e )
-z
Bild 1 .1 2 . Verlauf der Funktion g(t,e )
-3 Bild 1 .1 0 . Grafische Darstellung von Verschiebungsoperatoren
Gelegentlich treten Operatoren der Gestalt sh ^ auf. Sie bwirken bei A n wendung auf eine Funktion eine Verschiebung urn T und anschliefiende Diffe rentiation. In der Theorie der Laplace-Transformation wird die zugehorige Original-„Funktion" als Doppelimpuls bezeichnet. M an kann namlich diesen Operator ebenfalls als Grenzwert einer Folge von Impulsen darstellen. W ir betrachten dazu Impulse von der Form
Nach der gegebenen Definition des Grenzwertes einer Folge von Operatoren liegt es nahe, auch Unendliehe Reihen von Operatoren zu betrachten [17 S. 137, 153], Uns interessieren besonders Reihen von Verschiebungsoperatoren. Mikusinski zeigt, daB jede Reihe
1
i =0 {f(t, O } = | ^ l f - - h j h T ^ h T + C .
(1.65)
Bild 1 .1 1 . zeigt diesen Impuls. W ir spalten nun den Operator s ab {f(t, £ )
= s
1
hT - £ - 2hT + hT + £
^ ih
,
in der die Koeffizienten § j komplexe Zahlen und die Exponenten tj reelle Zahlen sind, die streng monoton g e g e n oo streben, konvergent ist. Genau wie in der gewohnlichen Reihenlehre gilt z . B . die Summenformel der geometrischen Reihe
(1 . 66) n hn T =-
= S {g(t, £ )} . Die Funktion g(t, e ) zeigt Bild 1 .1 2 . Sie konvergiert, da f g(t, e )dt = 1, 0 fiir £— 0 gegen h . Das bedeutet aber, daB f(t, e ) gegen shT konvergiert sh 32
(1 . 68)
n=0 T ist hierbei eine positive reelle Zahl, wahrend jl eine beliebige komplexe Zahl oder auch eine Summe aus einer Zahl und einer Funktion darstellt.
(1.67) 3
33
Als Beispiel fiir eine Operator-Potenzreihe soli hier nur die „Binomische Reihe" genannt werden:
E —
= s3 {f(T, t)} mit
^
{f(t)} n = (1 + {f(t)}/
(1.69)
n=0
ro f(T, t) = \ 1 [ | ( t - T )2
(t s T) (1.74) (t a T )
Die partielle Ableitung von f(T, t) nach T lautet
f(t) ist hierbei eine beliebige fiir t > 0 stetige Funktion.
f0 dt_=
(t S T)
J
1 .5 . Operatorfunktionen Ordnet m an jeder reellen Zahl x eines Intervalles J nach einer bestimmten Yorschrift einen Operator q(x) zu, so nennt m an q(x) eine Operatorfunktion [17 S. 165], Ist der Operator q(x) fiir jedes x als Funktion darstellbar, dann nennt m an q(x) eine parametrische Operatorfunktion, z . B . ist fiir x > 0 eine parametrische Operatorfunktion. sx Ist der Operator q(x) fiir jedes x ein Zahlenoperator, nennt m an q(x) eine Zahlenfunktion. Eine Operatorfunktion q(x) soil stetig differenzierbar im Intervall J ge nannt werden, wenn sie eine Darstellung q(x) = |
{f(x,t)}
(1.70)
Wei ter ist 0
q'(x) = | { | | f(x,t)) . Ist der Operator q(x) selbst parametrisch, so ist q(x)
(1.71) einfach gleieh 1 zu setzen:
(t S T )
(t > T )
{-M s
d.h.
s I— h = - { ST (t) VTJ
also
s
{ ^ ■ } = - s { s T (t )} = .
und damit
besitzt, wobei r ein beliebiger Operator und {f(x, t)} eine Funktion von x und dt t ist, die fiir xe Jund t i 0 eine stetige partielle Ableitung — besitzt. Als (ste tige) Ableitung der Operatorfunktion q(x) bezeiehnet m an dann die Operator funktion
( t £ T ) (1 -75)
3 J
kT ‘
Fiir die Ableitung des Verschiebungsoperators haben wir somit gefunden (hT ) ' = - s h T .
(1.76)
Die Beziehung Gl. (1.76) legt es nahe, den Verschiebungsoperator als e-Funktion zu schreiben: h T = e~ T s
= {f(x, t)}
(1 . 77) —T s
q'(x) = { 3| f ( x , t )}
(1.72)
W ir konnen dann mit dem Operator e rechnen, wie mit einer norma len e-Funktion. W i r stellen die wichtigsten Gesetze gegeniiber:
Mikusinski zeigt, daB die Ableitung nach Gl. (1.71) unabhangig von der Wahl
hT X T 2 T1 + T2 h h =h
des Operators ist und daB fiir sie die normalen Differentiationsregeln gelten. Fiir unsere Zwecke interessiert insbesondere die Ableitung des Verschiebungsoperators hT , der eine Funktion der Variablen T ist. Nach Gl. (1. 61) gilt hT = s {ST (t)}_ Die Sprungfunktion Sx(t) ist aber fiir T = t nicht differenzierbar. U m entsprechend Gl. (1.70) zu einer Funktion zu kommen, die iiberall stetig nach T diffe renzierbar ist, spalten wir s^ ab und erhalten: hT = s3 i j (ST (t)} s 34
(1.73)
-T 8 e
- TgS e
+ Ts
- (T 1 + T 2 )s = e
u- T 1 h =-^ n
1
e
,o , h =1
e
(hT r = “ shT
(e-T s )' = - s e " T s
-
(1-78) (1.79)
e o . =1
(1.80) (1.81)
Der Vorteil der Schreibweise e- Ts ist, daB sich die Differentiationsregel Gl. (1.76) leichter merken laiBt, da m an formal nach der Kettenregel differenzieren darf. Ein weiterer wesentlicher Vorteil zeigt sich bei Anwendung des Verschie bungsoperators auf eine Sinussehwingung. Der eingeschwungene Zustand lafit 3
35
2. DIE E L E K T R I S C H E L E IT U N G sich wie bei gebrochen rationalen Operatoren dadurch erhalten, dafi m an den Differentiationsoperator s durch j
= e " s T (a e j
(1.82) (t< T )
. a ejw(t
T)
P T )
folgt namlich fiir den eingeschwungenen Zustand y = e " j" T
{«ejwt} .
(1.83)
Die Operatorfunktion und ihre Ableitung sind besonders bei der Losung partieller Differentialgleichungen von Nutzen. Dies soil an einem einfaehen Beispiel demonstriert werden. Gegeben sei die partielle Differentialgleichung
f t — ft-
i1-" )
Gesucht sei die Funktion y(x, t), die Gl. (1.84) befriedigt und zusatzlich die Bedingung y(x, 0) = 0
(1-85)
y(0 , t) = E(t)
(1 . 86)
erfiillt. Indem wir y als parametrisehe Operatorfunktion betrachten, konnen wir fiir Gl. (1.84) mit Gin. (1.72) und (1.30) schreiben y' = —asy,
(1-87)
wobei die Bedingung Gl. (1. 85) mit beriicksichtigt wurde. Die Losung der gewohnlichen Differentialgleichung lautet y = K e ' S“ X .
(1 . 88)
Die Konstante K wird aus Bedingung Gl. (1.86) bestimmt: y(0) = {y(0, t)} = K = {E(t)} . Die Losung des Problems lautet somit y = {E(t)} e~ sax,
t1 *8®)
also fo
ft
Unter einer elektrischen Leitung, im folgenden einfach Leitung genannt, soil eine Einrichtung verstanden werden zur Ubertragung elektrischer Energie bzw. elektrischer Signale von einem Sender zu einem Empfanger, bestehend aus einem Leiter bzw. Leitersystem zur Hin- und einem zur Riickleitung des Stroms. Diese Leiter miissen so beschaffen.und angeordnet sein, dafl die bei der Ubertragung entstehenden elektromagnetischen Felder als transversale Felder (TEM-Wellen) betraehtet werden konnen. Die letzte Bedingung verlangt z . B ., daB der ohmsche Widerstand der Leiter gering ist, so daB die Langskomponenten der elektrischen Feldstarke vernachlassigt werden konnen und daB der Abstand der Leiter kleiner ist als eine halbe Wellenlange, um das Zustandekommen von Hohlraumwellen zu verhindern. Unter einem Sender bzw. Empfanger ist hierbei jede beliebige Quelle bzw. Senke elektrischer Energie oder elektrischer Signale zu verstehen, also z . B . : Generator — Motor, Gliihlampe; Telefonapparat — Vermittlungszentrale und umgekehrt; Fernsehsender — Sendeantenne; Empfangsantenne — Empfanger. Entsprechend der Vielfalt der Verwendungszwecke gibt es eine groBe Anzahl von verschiedenen Leitungsformen und Leitungsarten. Unterscheidet man die Leitungen nach der Form des Querschnitts, von der wir annehmen wollen, daB sie sich entlang einer Leitung nicht andert, so ergeben sich die im Bild 2 .1 . dargestellten prinzipiellen Moglichkeiten. Die Grundform aller Leitungen ist die symmetrische Zweidrahtleitung. Sie besteht aus zwei parallelgefiihrten Drahten gleichen Querschnitts. Alle an deren Leitungsformen kann m an sich aus ihr entstanden denken. In der ersten Zeile des Bildes 2 .1 . sind weitere symmetrische Leitungen dargestellt. In einem Fall werden statt eines Hin- und eines Riickleiters je zwei vorgesehen, m an erhalt die sog. Vierdrahtleitung, Selbstverstandlich konnen bei hoherer Strombelastung auch mehr als zwei Leiter verwendet werden. Auch miissen die Leiter nicht zylindrisch sein. Durch Verwendung von Metallstreifen erhalt man die Streifenleitung, die besonders vorteilhaft zu fertigen ist, wenn die Streifen auf beiden Seiten eines Isoliermaterials aufgebracht werden (gedruckte Leitungen). Die Zeile 2 zeigt die gleichen Leitungen, aber in unsymmetrischer Ausftihrung. Die Unsymmetrie kann so weit getrieben werden, daB einer der Leiter zu einer unendlich groBen leitenden Ebene (Erde) wird. M an erhalt so die Eindrahtleitung gegeniiber E rde. Stellt m an sich vor, daB der zweite, ebene Leiter zu einem Rohr zusammengebogen wird, so entsteht die Koaxialleitung, die wegen ihrer Eigenschaft der Selbstabschirmung von groBter Bedeutung ist. Durch Abwandlung der Querschnittsformen von Innen- und AuBenleiter ergeben sich verschiedene Varianten, von denen in Zeile 4 einige dargestellt sind. AuBerdem kann der Zwischenraum mit einem Isoliermaterial ausgefiillt werden. Auf zwei verschiedene Arten kann die abgeschirmte Zweidrahtleitung (5. Zeile) betrieben werden, einmal im Gegentakt, d .h ., ein Draht wird als Hin- der andere als Riickleiter benutzt und der AuBenleiter ubem im m t lediglich die 37
36
Abschirmung, andererseits konnen aber auch beide Drahte die Hin- und der absehirmende AuBenleiter die Riickleitung iibernehmen (Gleichtaktanregung). Im letzten Fall kann m an die Leitung als Koaxialleitung mit besonders gestaltetem Innenleiter betrachten. Die W a M der Quersehnittsabmessungen, des Leiter- und Isoliermaterials wird durch die zu erwartende Strom- und Spannungsbelastung und die speziellen Gesichtspunkte des jeweiligen Anwendungszwecks bestimmt. Entsprechend ihrer Verwendung unterteilt m an die Leitungen in Starkstrom-, Fernmelde- und Hoehfrequenzleitungen. Ihrem Aufbau nach unterscheidet m an im wesentliehen zwei groBe Gruppen: Freileitungen; sie bestehen aus Drahten, die mittels Isolatoren an Tragemasten befestigt sind. 2. Kabel; sie bestehen aus einer, meist aber mehreren durch entsprechende Umhiillimg gegeniiber ihrer Umwelt isolierten und geschutzten Leitungen. Im Gegensatz zu den Systemen mit konzentrierten Param etem , den Schaltungen aus ohmschen Widerstanden, Spulen und Kondensatoren zahlt die Leitung zu den Systemen mit verteilten Parametern, deren Grundform sie darstellt.
3.
L E IT U N G S K O N S T A N T E N
Trotz der Vielfalt der Leitungstypen gelingt es durch Einfilhrung von vier charakteristischen GroBen, den sog. Leitungskonstanten, eine fur alle Lei tungen gultige einheitliche Theorie zu entwickeln. Diese Leitungskonstanten sollen hier definiert und die Formeln zu ihrer Berechnung fiir die wichtigsten Leitungsformen angegeben werden. Auf eine Ableitung der Formeln wird verzichtet, da sie in jedem Buch der „Theoretischen Elektrotechnik" im Zusammenhang mit der Untersuchung ebener elektrischer und magnetischer Felder zu finden ist. 3 .1 . Widerstandsbelag R ' Der Widerstandsbelag R ' ist der Verlustwiderstand aller an der Stromfuhrimg beteiligten Leiter je Langeneinheit (ohm sc tie Yerluste, magnetische Yerluste, Strahlungsverluste). R 'w i r d auch bezogener Widerstand genannt (bezogen auf die Langeneinheit). Andert sich der Widerstandsbelag entlang der Leitung, so ist R ' die Ableitung des Verlustwiderstandes nach dem Ort. Abgesehen von den einfachsten Leitungsformen ist die exakte Berechnung des Widerstandsbelages recht sehwierig. Iter Widerstandsbelag wird daher meist durch Messungen bestimmt. Bei hoheren Frequenzen vergroBert sich der Verlustwiderstand auf Grund der Stromverdrangung. Dieser Effekt soli hier unberiicksichtigt bleiben, Bei den liblichen Leituiigen liegt R ' zwischen 2 Q /k m und 100 Q / km. 3 .2 . Ableitungsbelag G' Der Ableitungsbelag G ' ist der Verlustleitwert des Raum es zwischen den Leitem je Langeneinheit (Isolationsverluste, dielektrlsche Verluste, Koronaverluste). G ' wird auch bezogene Ableitung genannt. Der Ableitungsbelag ist bei alien Ubertragungsleitungen sehr klein und liegt in der GroBenordnung von G ' « ljuS/km . Die Bestimmung von G ' erfolgt fast ausschliefilich durch Messungen. 3 .3 . Kapazitatsbelag C ' Iter Kapazitatsbelag C" ist die Kapazitat des von den Lei tern gebildeten Kondensators je Langeneinheit. C ' wird auch bezogene Kapazitat genannt. Mit den Bezeichnungen der Bilder 3 .1 . und 3 .2 . gilt: 1.
38
Zweidrahtleitung
DIE L E IT U N G S G L E I C H U N G E N U N D IH R E L O S U N G
4 .1 . Ableitung der Leitungsgleichungen Bild 3 .1 . Zweidrahtleitung
2 . Koaxialleitung
C -
r„ 18 In — rl
km
(3-3)
Zur Ableitung der Leitungsgleichungen betrachten wir als Grundform aller Leitungen eine Paralleldrahtleitung entsprechend Bild 4 .1 . Aus der Leitung wird ein kurzes Stiick der Lange dx herausgeschnitten und die Anderung von Spannung und Strom auf diesem Leitungsstiick untersucht. Die Spannung zwischen den beiden Leitem an der Stelle x im Zeitpunkt t bezeichnen wir mit u(x, t). Im Bild und i. allg. auch bei der weiteren Rechnung wird auf die Angabe der Argumente der Einfachheit halber verzichtet. B e trachten wir nun eine nMomentaufnahme", d .h ., betrachten wir den Verlauf der Spannung entlang der Leitung zu einem bestimmten festen Zeitpunkt t, so wird sich die Spannung u(x, t) von der Stelle x bis zur Stelle x + dx um du geandert haben. Gleiches gilt fiir den Strom im Hin- und Ruckleiter, der sich von i(x, t) an der Stelle x in i(x, t) + di an der Stelle x + dx andem wird. Wenden wir nun zunachst das Induktionsgesetz auf den betrachteten Leitungsabschnitt an, so erhalten wir (u + du) — u + R 'd x i = — ~
d$.
(4.1)
Bild 3 .2 . Koaxialleitung
3 .4 . Induktivitatsbelag L ' Der Induktivitatsbelag L ' ist die Induktivitat der Leitung je Langeneinheit; sie setzt sich zusammen aus der „inneren Induktivitat", bestimmt durch das Magnetfeld im Inneren der Leiter, und der „auBeren Induktivitat", bestimmt durch das Magnetfeld aufierhalb der Leiter. L ' heiBt auch bezogene Induktivi tat. Mit den Bezeichnungen der Bilder 3 .1 . und 3 .2 . gilt fiir die auBere Induk tivitat L'a : 1. Zweidrahtleitung
2. Koaxialleitung r„ L '= 0 ,2 1 n — a ’
mH ,-km
(3.5) ' ’
In vielen praktischen Fallen kann die innere Induktivitat 1^ gegeniiber der aufieren Induktivitat vernachlassigt werden, so daB der Induktivitatsbelag allein durch La bestimmt wird.
41
Hier ist:R'dx — der ohmsche Widerstand des Leitungsstiickes der Lange dx (Hin- und Ruckleiter) d0 — der umfaBte magnetische FluB. Bezeichnen wir mit $ ' den magnetischen FluB bezogen auf die Langeneinheit, so gilt d 0 = 0 'd x
(4.2)
0 'dx
(4.3)
(4.4)
Allgemein gilt fiir das totale Differential der Funktion u = u(x, t) d u = | | d x + ||dt.
(4.5)
Da wir eine tlMomentaufnahme" betrachten wollten, ist dt = 0 zu setzen, d.h. aber du = g d x .
(4.6)
Hierbei ist:
42
(4.10)
£Ldx
■G - u - f : . at
(4.11)
Die letzte Gleichung besagt, daB die Ableitung des Stromes nach dem Ort (Anderung des Stromes entlang der Leitung) fiir einen bestimmten Zeitpunkt t gleich ist der negativ genommenen Summe aus dem Querstrom und der Anderungsgeschwindigkeit der kapazitiv gebimdenen Ladungsmenge bezogen auf die Langeneinheit. Der oben betrachtete MagnetfluB ist proportional dem Strom i, wobei der Proportionalitatsfaktor der auf der Lange dx wirksamen Induktivitat L'dx gleich ist. Es gilt also
und damit (4.7)
Sie besagt, dafi die Ableitung der Spannung nach dem Ort (Spannungsanderung entlang der Leitung) fiir einen bestimmten Zeitpunkt t gleich ist der negativ genommenen Summe aus dem Spannungsabfall und der Anderungsgeschwindigkeit des umfafiten Magnetflusses bezogen auf die Langeneinheit. Betrachten wir nun die Stromanderung di. Sie setzt sich aus zwei Komponenten zusam m ei. Einmal andert sich der Strom auf dem betrachteten Leitungsstiick infolge der „Querableitung" (Strom zwischen den beiden Leitern der Leitung) und zum anderen andert sich die auf dem Leitungsstuck kapazitiv gebundene Ladungsmenge infolge der zeitlichenAnderung der Spannung zwi schen den beiden Leitern. Mit anderen Worten, einebestimmte Anzahl der Ladungstrager, die an der Stelle x in das betrachtete Leitungsstuck einflieBen, gelangen nicht bis ans Ende des Leitungsstiickes, weil sie bereits unterwegs infolge mangelhafter Isolation den Riickleiter erreichen konnten, auBerdem wird eine bestimmte Anzahl von Ladungstragern auf dem Leitungsstuck auf Grund der Kapazitat zwischen den Leitern festgehalten, falls sich die Spannung erhoht bzw. freigesetzt, falls sich die Spannung verringert. Es muB also gelten di = — G'dx u — -j£ dQ.
d i= ( - G 'u - ^ ) d x
d 11 = 0'dx = L'dx i.
Durch Vergleich mit Gl. (4,4) erhalten wir die grundlegende Beziehung g - - R 'i - ^ .
(4.9)
und weil wir einen bestimmten Zeitpunkt t betrachten wollten, schliefilich wieder wie oben
und schliefilich du = (— R ' i -- ||-)dx.
dQ = Q 'd x . Damit ergibt sich aus Gl. (4 .8)
Aus Gl. ( 4 .1) ergibt sich damit du + R 'i dx = -
Die Minuszeichen sind notwendig, weil der Leitungsstrom abnimmt, sobald ein positiver Querstrom flieBt bzw. eine zusatzliche Ladungsmenge gebunden wird. B e z e i c h n e n w i r die kapazitiv gebundene Ladungsmenge je Langeneinheit mit Q-, so gilt
(4.8)
G'dx — der Leitwert des Raum es zwischen den beiden Leitern auf der Lange dx dQ — die auf der Lange dx kapazitiv gebundene Ladungsmenge.
(4.12)
L'i.
Weiter ist die kapazitiv gebundene Ladungsmenge auf unserem Leitungsstuck gegeben durch dQ = Q'dx = C'dx u, wobei C'dx die auf der Lange dx wirksame Kapazitat darstellt. Demzufolge gilt Q ' = C'u.
(4.13)
Fiihren wir die Beziehungen Gin. (4.12) und (4.13) in Gin. (4.7) und (4.11) ein, so erhalten wir folgendes Gleichungssystem:
(4.14) §
= - G' u - i r < c ' u>
Setzen wir voraus, daB sich die Induktivitat und Kapazitat der Leitung in Abhangigkeit von der Zeit nicht andert, so konnen wir L ' und C ' vor das Differentiationszeichen ziehen und erhalten die sog. Leitungsgleiehungen: du dx
R 'i - L
di dx
G 'u - C
Iter Zusammenhang zwischen Spannung u(x, t) und Strom i(x, t) auf einer Leitung wird beschrieben durch ein System partieller Differentialgleichungen, das linear ist, falls die „ Leitungskonstanten" R ', G ', If und C' nicht von Spannung und Strom abhangig sind. Die Leitungskonstanten diirfen vom Ort, nicht aber von der Zeit abhangig sein. Sind die Leitungskonstanten auch ortsunabhangig, spricht m an von einer homogenen Leitung. FUr die Losung partieller Differentialgleichungen sind verschiedene Verfahren entwickelt worden. W ir wollen wegen seiner Anschaulichkeit das im Abschnitt 1. dargestellte Operatorenverfahren nach Mikusinski benutzen. Zur eindeutigen Bestimmung der Losung miissen Anfangs- und Randbedingungen gegeben sein. Die Anfangsbedingungen geben Spannung und Strom entlang der Leitung im Moment des Einschaltens, also im Zeitpunkt t = 0 an. u(x, 0 ) = f,(x) (4.16) i(x, 0) = f 2 (x) Die Randbedingungen legen die Verhaltnisse an den „Randern", also am Anfang x = 0 und am Ende x = 1 der Leitung fest u(0, t) = F (i(0, t)) (4.17) u(l, t) = F2 (i(l, t)) Ist die Leitung z . B . mit einem reellen Wider stand R abgeschlossen, so gilt einfach u(l, t) = R i(1, t). 4 .2 .
Operatorform der Leitungsgleichungen
Zur Losung der Leitungsgleichungen sollen diese in Operatorform geschrieben werden. Die von x und t abhangigen Funktionen u und i werden als parametrische Operatorfunktionen beziiglich t mit x als Parameter betrachtet (vgl. Abschn. 1 .5 .) : { u(x, t)} = u (x ) = u {i(x, t)} = i(x ) = i
(4' 18)
Fiir die partielle Ableitung nach der Zeit kann m an dann schreiben {u <x > *)} _ u <x -°)
(4.19)
wobei u(x, 0) beziiglich t nicht als Funktion, sondern als Zahlenoperator zu behandeln ist. Fiir die partielle Ableitung nach dem Parameter x gilt )- £ - « - « - - ■
(‘ -“ I
(4.22)
In der Schreibweise der Operatorenrechnung lautet das Gleichungssystem Gl. (4.15):
{ S IM Durch Einfiihrung der oben genannten Beziehungen Gin. (4.18) bis (4.22) erhalt m an hieraus ein System gewohnlicher Differentialgleichungen fiir die parametrischen Operatorfunktionen u und i: g
= - ( E ' t s L ' ) i t L'i(x, 0)
di ^ = - (G' + s C')u + C'u(x, 0)
(4‘ 24)
Dieses Operatorgleichungssystem enthalt bereits die Anfangsbedingungen. Der Spannungsverlauf entlang der Leitung im Einschaltmoment (t = 0) geht ein als Zahlenoperator u(x,0) und entsprechend der Stromverlauf als i(x,0). 4 .3 . Allgemeine Losung der Leitungsgleichungen fiir die homogene, im Einschaltmoment energielose Leitung Von wenigen Spezialfallen abgesehen (vgl. Abschn. 5. 7.), geniigt es, den Fall zu betrachten, dafl im Einschaltmoment die Spannung und der Strom entlang der ganzen Leitung gleich Null sind. Fiir unsere allgemeinen Betrachtungen setzen wir daher u (x ,0 ) = 0 i(x, 0 ) = 0
(4.25) K ’
und erhalten damit fiir den „energielosen Anfangszustand" die Gleichungen
i
= - (R ' + s L 0 i
di f = - (G ' + s C > .
= s u(x) — u(x, 0) = s u — u(x, 0 ),
!£ “
| | = i '( x ) = r .
(4-26)
AuSerdem wollen wir annehmen, daB die Leitungskonstanten R ", G ', If und C ' sich entlang der Leitung nicht andern, also wirkliche Konstanten sind. Eine solche Leitung nennt m an homogen. Die meisten in der Praxis vorkommenden Leitungen konnen als homogene Leitungen betrachtet werden, so daB unsere Annahme gerechtfertigt ist. Im Fall konstanter Parameter kann das Gleichungssystem Gl. (4.26) durch den be kannten Exponentialansatz gelost werden. Dazu eliminieren wir zunachst i und erhalten die Gleichung ,2
Die gleichen Beziehungen gelten fiir die Funktion i(x, t):
2-| = (R' + s L ') (G' + sC')u. dx
= S {i(x,t)} - i(x, 0)
(4.27)
(4.21) i(x, 0) 44
45
5 . D Y N A M I S C H E VORG.X.NGE A U F V E R L U S T L O S E N L E I T U N G E N
Mit der Abkiirzung 7= y
(R' + s L ') (G' + sC')
(4.28)
konnen wir dafiir schreiben d2u 2 . — ~7 u = 0 dx
(4.29)
Die GroBe j wird als Fortpflanzungskonstante bezeiohnet. D er Ansatz Xx u = e
5 .1 . Die verlustlose Leitung
(4.30)
fiihrt auf die Gleichung i 2
X
~7
2
=0,
(4.31)
d .h . A = + j.
(4.32)
Die allgemeine Losung der Gl. (4.29) lautet somit u = K l e 3'x + K 2 e3'x
Zunachst soil aus der allgemeinen Losung der Leitungsgleichungen Gl. (4.36) ein besonders einfacher, aber fiir die Praxis besonders wichtiger Spezialfall hergeleitet werden. Bei alien Leitungen, mit denen m an Energie oder Nachrichten iibertragen will, wird m an namlich bestrebt sein, die Verluste moglichst niedrig zu halten. D as heiflt, m an wird die Leitung so aufbauen, daB entlang der Leitung ein moglichst kleiner Spannungsabfall auftritt und zwi schen den Leitungen moglichst kein Strom fLieBt. In den Leitungskonstanten driickt sich das so aus, daB R ' und G ' sehr klein werden. In sehr vielen Fal len wird m an daher R ' und G ' vernachlassigen, d .h . gleich Null setzen fconnen. M a n idealisiert die Leitung, indem m an sie als verlustlos betrachtet; R' = 0
(4.33)
G' = 0 Aus Gl. (4.26) folgt fiir den Strom i durch Einsetzen von Gl. (4.33) unter Beachtung von Gl. (4.28): (- K ^ e - ^ + K ^ e ^ ) _ r •]/ G ' + sC ' - r x Ki I m ? e 4 -k2
-]/ G ' + sC' r x y w t ^ v eJ ■
W
Dieser fiir die Praxis so wichtige Fall ist theoretisch sehr einfach zu durchschauen. Die allgemeine Losung Gl. (4.36) liefert mit Gl. (5.1) u = ^
e" 8
+ Kg es i ^ C ' x
(5.2)
(4.34) K1
- s / l ? C ' x _ f 2 s f l T C 'x
Zur Abkurzung setzen wir mit
f? und nennen Z aus spater ersichtlichen Griinden den Wellenwiderstand der Leitung. Damit konnen wir die Losung der Leitungsgleichungen in folgender Form schreiben:
S'-
(5.3)
Die hier auftretenden Operatoren sind einfach von x abhangige Versehiebungsoperatoren, der Wellenwiderstand Z ist eine reelle GroBe. Zur Diskussion dieser Losung bestimmen wir die konstanten Operatoren und K 2 fiir verschiedene Betriebsfalle.
u = K 1 e~ 7x + K 2 e 7 * K.
1 = _1
e~ 7x
K~ __ §
(4.36) /x
z “
Die noch unbestimmten Konstanten K x und K 2 sind durch Einfithrung der Randbedingungen zu bestimmen. Hierbei werden sich im allgemeinen nicht einfach Zahlen, sondern konstante Operatoren (konstant beziiglich x) z. B . als Funk tion des Verschiebungs- oder Differentiationsoperators ergeben. Aus der hiermit gefundenen allgemeinen Losung werden in den nachsten Abschnitten die verschiedenen Spezialfalle hergeleitet und ausfiihrlich diskutiert.
46
5 .2 . R . = 0, % = Z i /a Es soil jetzt angenommen werden, daB eine verlustlose Leitung mit dem Wellenwiderstand Z und der Lange 1 an ihrem Eingang von einem Generator mit dem Innenwiderstand = 0 gespeist wird und am Ende mit einem W ider stand $a abgeschlossen ist, der gleich dem Wellenwiderstand Z ist (Bild 5 .1 .). Der Verlauf der Urspannung des Generators sei durch die Funktion E(t) gegeben, wobei vorausgesetzt sei, daB E(t) = 0 fiir t < 0. Die Randbedingungen lauten in diesem Fall u(0) = E
(5.4)
u (l)= Z i{l).
(5.5) 47
Mit Gl. (5.2) ergibt sich damit Kx + K2 = E
(5.6)
Ki e-s fI7 c 'i + K2 esfU c' 1=K^ e-syi7c'i _ K
^ s / i / c 'i
(5 .7 ) Aus der letzten Gleichung folgt K 2 = - K 2 . Das heifit k 2 =o.
(5.8)
t uM ‘
u(2xb■
Damit ergibt sich aus Gl. (5.6) K1 =E.
Bild 5 .2 . SpannungsverlaufStromverlauf
(5.9)
Spannung und Strom ergeben sich somit in dem hier betrachteten Fall aus Gl. (5.2) zu Zr
u = E e - sl/ W x
(5.10)
i = E -s f U C ' x Z e
(5.11)
t
4. Der Widerstand (Verhaltnis von Spannung zu Strom) ist an jeder Stelle der Leitung gleich dem Wellenwiderstand, insbesondere ist der Eingangswiderstand der Leitung
Das Ergebnis besagt: 1. Der Spannungsverlauf u an der Stelle x der Leitung ergibt sich aus dem Verlauf der Urspannung E durch Verschiebung um die Zeit r = y L 'C 'x . Bild 5 .2 . zeigt als Beispiel einen rechteckfbrmigen Urspannungsverlauf und die entsprechenden Spannungsverlaufe an der Stelle x und an der Stelle 2x der Leitung. A n der Stelle x erscheint die Urspannung nachAblauf der Zeit t = y L 'C ' x, an der Stelle 2x nach Ablauf der doppelten Zeit. 2 . Der Strom an jeder Stelle der Leitung ergibt sich aus der Spannung durch
<5-13» gleich dem reellen Wellenwiderstand. Zusammenfassend stellen wir fest, daB sich die mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossene verlustlose Leitung wie ein ideales Verzogerungsglied verhalt. Ein am Eingang eingegebenes Signal erscheint am Ausgang ungedampft und unverzerrt, verzogert um die Laufzeit tQ = -j/lTc'l.
Multiplikation mit -g-, d .h ., Spannung und Strom verlaufen vollig analog. Bild 5 .2 . kann auch als Darstellung des Stromes aufgefafit werden, wenn m an den Mafistab der Ordinate entsprechend andert.
Wenn wir die Laufzeit t 0 in die Gin. (5.10) und (5.11) einfiihren, konnen wir schreiben
3. Spannung und Strom bewegen sich als Welle iiber die Leitung. In der Zeit t = y L ' C ' x wird dabei die Strecke x zuriickgelegt, d .h ., ein bestimmter Zustand bewegt sich mit der Geschwindigkeit v =I = yuc' iiber die Leitung. 48
(5.14)
» = Ee"
a* X 0 1
(5.15)
i = f e - s *o r
(5.16)
(5 -12)
4
49
5 .3 .
Generatorseitig angepafite Leitung (Rj = Z)
E s werde nun der allgemeinere Fall betrachtet, daS die verlustlose Leitung mit einem beliebigen Widerstand oder Netzwerk aus konzentrierten Schaltelementen abgeschlossen ist (Bild 5 .3 .). Der AbschluB werde durch die Impedanz ^a = ^ a (s) eharakterisiert. Der Innenwiderstand des speisenden Ge nerators sei gleich dem Wellenwiderstand Z der Leitung. M a n sagt, der Generator-Innenwiderstand ist an die Leitung angepaBt. In diesem Fall lauten die Randbedingungen u(0) + Z i(0) = E
Den Operator r a nennt m an Reflexionsfaktor. D i s k u s s i o n des Ergebnisses: 1. Betrachten wir zunachst die Spannung u an der Stelle x nach Gl. (5.21). Sie setzt sich zusam m en aus zwei Anteilen. Der erste ergibt sich durch Verschiebung der mit dem Faktor i multiplizierten Urspannung E um die Zeit -t= tQ p . (Der Faktor |-erscheint einfach deshalb, weil die Halfte der Urspannung an dem Innenwiderstand verbraucht wird.) Der zweite A n teil ergibt sich durch Anwendung des Operators v a auf die halbe Urspan
(5.17) (5.18)
nung und anschlieBende Verschiebung um die Zeit t = 2rQ — t0 j-- Das Zustandekommen dieses Spannungsverlaufs kann nur so erklart werden, daB
Ri-Z
die in die Leitung eintretende Spannung
zunachst bis zum Leitungsende
lauft und hierbei die Stelle x im Zeitpunkt ? = t0 j-passiert. A m Leitungs ende wird die ankommende Spannungswelle reflektiert und dabei je nach Art des Leitungsabschlusses verandert. Die Veranderung wird durch den Reflexionsfaktor mathematisch erfafit. Die reflektierte Spannungswelle lauft zum Leitungsanfang zurttck und passiert dabei die Stelle x im Zeit punkt t = 2t0 — t0 p . A m Leitungsanfang (x = 0) trifft die reflektierte Spannungswelle nach Ablauf der Zeit t = 2t0 ein. Mit Gl. (5.2) folgt aus Gl. (5.17)
Kl = t
(5.19)
und aus Gl. (5.18) nach einfacher Umformung E *2
-2 r,o
+ z
(5.20)
2. Fiir den Strom i nach Gl. (5.22) gelten die gleichen tiberlegungen mit dem einzigen Unterschied, daB der zweite Anteil, der durch Reflexion am Lei tungsende entsteht, das entgegengesetzte Vorzeichen besitzt, d .h . in der entgegengesetzten Richtung flieBt. 3. Fiir die zum Leitungsende hinlaufende Welle ist das Verhaltnis von Span nung zu Strom gleich dem Wellenwiderstand Z , fiir die riicklaufende Welle jedoch — Z . Das Verhaltnis von Gesamtspannung zu Gesamtstrom ist ein komplizierter Operator, der jedoch nicht weiter interessiert. E E Wenn wir mit W , = — die hinlaufende und mit W = x -*■die riicklaufende h & -------— r a 2 -------(reflektierte) Spannungswelle bezeichnen, konnen wir kiirzer schreiben
mit ro = f t l c r 1.
-stfQ £
Damit ergibt sich aus Gl. (5.2) fiir die Spannung ■s(2 r0 -r0 i ) E “ szo f E ■ u=- e + ra | e
u = Wh e
1=_E
e~
(5.21a) fh
1 ).
(5.22a)
FUr den Reflexionsfaktor r& gilt nach obiger Festlegung
Bt0 j
e
s (2'f o
W
i ) (5.22)
Hierbei wurde zur Abkurzung gesetzt 2
1 / -sio T - s(2t0 — i = | (W h e A -Wp e
(5.21)
und fiir den Strom
- s(2 t0 - r 0 f ) +W r e
ra = w ^ -
<5 -23a>
Ist die hinlaufende Spannungswelle ein Einheitsimpuls
h ~ z
w h = l,
(5.23) 50 4
51
i(x,t)
U (X ,t)
so stimmt der Reflexionsfaktor mit der reflektierten Spannungswelle tiberein
Z Z %
Der im Absohn. 5\ 2. betraehtete Fall, daB die Leitung mit dem Wellenwider stand abgesehlossen ist, erscheint hier als Spezialfall. Fiir = Z wird namlich * a = 0, d .h ., die reflektierte Welle ist Null. M an sagt dann, der AbschluBwider stand ist an die Leitung angepaBt. Damit ergeben sich aus den Gin. (5.21) und (5.22) die friiher gefundenen Formeln fiir die Spannung Gin. (5.15) und den Strom (5.16), abgesehen von dem Faktor i ,
Z r0
r
T g
2% t‘
Zur naheren Erlauterung der gefundenen Ergebnisse werden jetzt verschiedene spezielle AbschluBwiderstande betrachtet. 5 .3 .1 . Kurzgeschlossene Leitung Ist die betraehtete verlustlose Leitung am Ende kurzgeschlossen, so haben wir zu setzen 4 = °
x-i/
< b
2t„
2% t
(5.24)
Damit folgt aus Gl. (5.23) fiir den Reflexionsfaktor *"a = - l .
(5.25)
Also ist nach Gl. (5.21) E ~s* o f E ~ s (2 ro _ r o f ) u = 2 e " 2 e
zz■ k
(5.26)
und nach Gl. (5.22)
i
E
~ SIo f
i _ 2Z e
e
%
" s (2zro ~ ro T~)
+ 2Z e
1 1 1 1 i i
2%
7
(5-27)
Die Spannung der riicklaufenden Welle hat die gleiche GroBe und Form wie die der hinlaufenden Welle, lediglich die Richtung hat sich umgekehrt. Der Strom von hin- und rueklaufender Welle sind vollig gleich, abgesehen von der zeitlichen Verschiebung. Die Spannung am Ende der Leitung ergibt sich unabhangig von E und 1 zu Null, wie das bei einem KurzschluB nicht anders moglich ist. Der Strom dagegen ist am Ende der Leitung gleich i(l) = | e _ s r ° ’
(5.28)
Bild 5 .4 . zeigt den zeitlichen Verlauf von Spannung und Strom an den Stellen 1 3 x = 0, gl, ^-1 und 1 fiir den Fall, daB die Urspannung E als Reehteckimpuls
ro E0
(t < (OS
I 0
/2
0) t S # t 0)
2%
Bild 5 .4 . Spannung und Strom auf einer kurzgeschlossenen Leitung bei rechteckformiger Erregung
gegeben ist, dessen Zeitdauer gleich zwei Drittel der Laufzeit t 0 ist: E(t) =
X“l r
(5.29)
(F o < t ) 53
52
M an erkennt, wie sich an den verschiedenen Stellen der Leitung je nach dem Laufzeituntersehied die hinlaufende und die riieklaufende Welle iiberlagern. Besonders interessant ist der Verlauf von Spannung und Strom an der Stelle 3
x = £ 1, da sich hier hinlaufende und rucklaufende Welle Uberlappen. Dadurch ergibt sich zeitweise eine Ausloschung der Spannung und Verdoppelung des Stromes. Je weiter m an an das Ende der Leitung kommt, desto 1anger dauert die Uberlappung, bis schliefilich am Ende der Leitung eine vollige Ausloschung der Spannung und entsprechend eine Verdoppelung des Stromes eintritt. E s soil nun noch die Wirkung eines Einschaltsprunges
E
{ e
( S s t t
<5 ' 3 0 >
1 o '
an den gleichen Stellen der Leitung betraehtet werden. Nach Gin. (5.26) und (5.27) ergeben sich die im Bild 5 .5 . dargestellten Ablaufe. Hierbei ist bemerkenswert, dafi die Spannung an jeder Stelle der Leitung einen rechteckformigen Verlauf hat, wobei die Dauer des Rechteckimpulses umgekehrt pro portional zur Entfemung vom Leitungsanfang ist. 5 . 3 . 2 . Offenlaufende Leitung Falls die Leitung offen lauft, setzen wir ? a =°°-
(5.31)
Daraus folgt fur den Reflexionsfaktor ?
-Z
*-a = lim
(5.32)
j Aus Gl. (5.21) folgt damit E -sTq i> = f e
g -s(2 r0 - ( 0 -) + f e '
(5.33)
und aus Gl. (5.22)
rE
E 1 = 2 Z e
” s *o F
E
s P ^ o — to f )
" f e e
•
<5 -3 4 >
Vergleichen wir das Ergebnis mit Gin. (5.26) und (5.27), so stellen wir fest, x~l ■
2%
daB abgesehen vom Faktor -g- Spannung und Strom vertauscht sind, d .h ., wir konnen die Bilder 5 .4 . und 5 .5 . auch fiir den Fall der offenlaufenden Leitung verwenden, wenn wir den MaBstab der Ordinaten entsprechend andern. M e linke Halfte der Bilder gibt dann den Verlauf des Stromes, die rechte den Verlauf der Spannung an.
Bild 5 .5 . Spannung und Strom auf einer kurzgeschlossenen Leitung bei Erregung durch einen Einschaltsprung
5 .3 .3 .
Reell abgeschlossene Leitung
D er AbsehluBwiderstand sei jetzt ein beliebiger ohmscher Widerstand
?=R. 54
(5.35) 55
In diesem Fall ergibt sioh fiir den Reflexionsfaktor
Die angelegte Urspannung sei (Bild 5 .7 .)
*a = |- r|- ’ d .h ., der Reflexionsfaktor ist einfach ein reeller Zahlenoperator mit —1 s ra
s
E (t )=
<5 ' 36> R
1st R < Z , geht m an von
aus;
(t- 0) (0 ; t)
also
Z
1. Im Bild 5. 6 . ist | v & | in Abhangigkeit von -g-bzw. ^ dargestellt. R
[I
E = {2}.
E(th
ist dann negativ. Ist R =»■Z benutzt m an
z
2
—; ic ist dann positiv. Die reflektierte Welle besitzt also bei reellem Ab•tv» schlufi einer verlustlosen Leitung die gleiche Form wie die hinlaufende Welle, lediglich die GroBe und eventuell das Vorzeichen andem sich. Mit Hilfe der Gin. (5.21) und (5.22) kann in Verbindung mit Gl. (5.36) jeder beliebige Anwendungsfall behandelt werden.
Bild 5 .7 . Urspannung
Dann ergibt sich nach Gl. .(5.21) mit x = 0 U = { 1 } + | { 1} e“ S2r° und nach Gl. (5.22)
Bild 5. 8 . zeigt den Verlauf dieser Funktionen. Eine vollstandige Ausloschung kann jetzt natiirlich nicht m ehr vorkommen, da die GroBe der reflektierten Welle nur ein Drittel der hinlaufenden betragt.
u(tb
i(tb
R/ZbzmZfR Bild 5 .6 . Reflexionsfaktor
W ir betrachten als Beispiel den Verlauf von Spannung und Strom am Eingang (x = 0) einer verlustlosen Leitung, falls diese mit einem ohmschen Wider stand abgeschlossen ist, der doppelt so groB ist wie der Wellenwiderstand der Leitung. E s soil also gelten
IX„
1 To
Zt0
t
R = 2 Z. Z 1 Dann erhalt m an aus Gl. (5.36) bzw. aus Bild 5. 6 . mit p- = g
Bild 5 .8 . Spannung und Strom am Leitungseingang bei reellem AbschluB 5 .3 .4 . Induktiv abgeschlossene Leitung Ist die Leitung durch eine Spule mit der Induktivitat L abgeschlossen, so gilt
“? Sl = s L . 56
(5.37)
57
Fiir den Reflexionsfaktor ergibt sich hier
ftir die reflektierte Welle W r erhalten wir dann aus Gl. (5.40) t
sL- Z sL + Z
ra
(5.38)
- f(t - t ) e 2 dt
1
(0 s t < rQ)
Durch Division erhalt m an 2Z L
2Z sL + Z
W r (t) = (t- t) 2 dt
0 -■ 2Z 17
- 2 -t L 1
(5.41) (5.39)
- 2 -t L 1 -1 + 2 e
D er Reflexionsfaktor ist also jetzt ein „echter" Operator, namlieh eine Sum me aus einer Zahl und einer Funktion. Wenden wir ihn auf die hinlaufende
nungswelle W r :
r
= v W, = a h
:
r
{§
eb}
E (t) dr
L
-b J
Bild 5 .1 0 . zeigt den Verlauf dieser Funktion. W ir sehen, daB der Rechteckimpuls durch die Reflexion an der Spule eine Formanderung erfahren hat. Iter exponentielle Abfall ist dabei um so starker je kleiner die Induktivitat L ist. Der Sprung bei t = t0 ist unabhangig von L gleich — 1. Durch Uberlagerung von hin- und riieklaufender Welle erhalten wir fiir Span nung und Strom am Eingang (x = 0) und Ausgang (x = 1) der Leitung entsprechend Gin. (5.22a) und (5.21a): x = 0 (Bild 5 .1 1 .):
■£ » - « )
w_
(o s t < tQ)
Z L *o
Spannungswelle W fa = ||- E(t)j an, so erhalten wir fiir die reflektierte Span
W
(5.40)
u = j w h( t ) } + j w r(t)} e " s 2r ° (5.42)
Die reflektierte Welle setzt sich aus zwei Anteilen zusam men, der erste stimmt nach Form und GroSe mit der hinlaufenden Welle uberein, der zweite ergibt sich durch Faltung der hinlaufenden Welle mit der Funktion
W hW Z
-s2 r„
; W r (t)
u(0,t) 2Z „ r e
L 1 •
r
Als erstes Beispiel wollen wir die Reaktion auf einen Reehteckimpuls b e trachten, dessen HShe gleich 2 und dessen Lange gleich t 0 ist (Bild 5 .9 .).
to
2to
—
i 3X6
WM
_ x Bild 5 .9 . Urspannung 58
z
Bild 5 .1 0 . Reflektierte Welle
Bild 5 ,1 1 . Spannung und Strom am Eingang der Leitung 59
x =-1 (Bild 5 .1 2 .): tielle Abfall ist um so steiler je kleiner die Induktivitat L ist. Durch Uberlagexning der zeitlich entsprechend verschobenen hin- und riicklaufenden Welle ergibt sich die Spannung und der Strom an den verschiedenen Stellen der Lei tung.
U = { w h(t) + W r (t)j e~sto f1 1
=
1
{ £
- stT e
°
'
D er Verlauf des Stromes durch die Spule am Ende der Leitung wird, wie nicht anders moglich, durch eine stetige Funktion beschrieben. u (t,t)‘
7
t0
1 i
2to
r
Bild 5 .1 3 . Urspannung, hin- und riicklaufende Spannungswelle bei induktivem A b s c h l u B ,---- hinlaufende W elle,----- reflektierte Welle, ---- resul tierende Welle
W ,t b
1_
Z
Bild 5 .1 2 . Spannung und Strom am Ende der Leitung.------ hinlaufende W elle ,------ reflektierte Welle, ----- resultierende Welle
Als nachstes soil statt des Rechteckimpulses ein Einschaltsprung der Hohe 2 auf die Leitung gegeben werden (Bild 5 .1 3 .). Die riicklaufende Welle ergibt sich hierbei nach Gl. (5.40) zu:
/
W
■t) 2 dr
(t < 0 ) W
(t) r ''
(5.44) ■1 + 2 e
( tao)
Bild 5 .1 3 . zeigt den Verlauf der angelegten U r spannung E(t), der hinlaufenden Welle Wh(t) und der reflektierten Welle W r (t). Die reflektierte Welle unterscheidet sich hier von der hinlaufenden sehr wesentlich. Der exponen60
Bild 5 .1 4 . Spannung und Strom am Eingang der Leitu ng,---- hinlaufende Welle,----- reflektierte Welle, ..- resultierende Welle
A m Anfang und am Ende der Leitung gelten wieder die Beziehungen Gin. (5.42) und (5.43), die fiir den hier betraehteten Fall in den Bildern 5 .1 4 . und 5 .1 5. grafisch dargestellt sind. A n der die Leitung abschliefienden Spule springt die Spannung nach dem Ablauf der Zeit t 0 zunachst auf den vollen Wert, um dann exponentiell auf Null abzusinken. Iter Strom dagegen wachst stetig von Null bis zum Maximalwert
Fiir den Reflexionsfaktor va erhalt m an 1_
r
a
2_
■Z sC ' 1 + Z sC =-1 +
Z '
2 CZ
s +
CZ t
=-1
'c z
(5.46)
CZ
Durch Anwendung des Reflexionsfaktors auf die hinlaufende Spannungswelle W ^ = j jjj-E(t)J ergibt sich die reflektierte Welle W r zu:
'1+{ § z e
CZ} t
W
=|- j e w + c z
y
{ ^ E(t)} t -t
■c z
E (t )d r
(5.47)
0
Wenn wir das Ergebnis Gl. (5.47) mit der bei induktivem AbschluB der Lei tung giiltigen Beziehung Gl. (5.40) vergleichen, stellen wir fest, daB die rticklaufende Welle bei kapazitivem AbschluB das entgegengesetzte Vorzeichen hat und die Konstante C Z statt ^
auftritt. W ir konnen die Beispiele des vorigen
Absehnitts also ohne besondere Rechnung iibemehmen. Beispiel 1 (Bild 5 .1 6 ): E(t) =
(0 S t < t0 ) (t 0 £ t)
(5.48)
Bild 5 .1 5 . Spannung und Strom am Ende der Leitung,-----hinlaufende W elle ,---- reflektierte Welle, -----resultierende Welle
5 .3 .5 . Kapazitiv abgeschlossene Leitung Die Leitung sei nun mit einem Kondensator der Kapazitat C abgeschlossen. Dann gilt
Wr (t) Bild 5 .1 6 . Urspannung, hin- und rucklaufende Welle bei kapazitivem AbschluB -----hinlaufende W elle,----- reflektierte Welle 63
FUr den Reflexionsfaktor ergibt sich nach Gl. (5.23)
t 1 -2 e W
(t) = r' '
'c z
To CZ
(0 S t < t0 ) t
(5.49)
t
cz
R + sL +
-Z
R + sL +
Z
(5.53)
=
a
(r0 s t ) Durch einfache Umformung erhalt der Reflexionsfaktor die Gestalt
Beispiel 2 (Bild 5 .1 7 ): E(t) = 2
W r (t) = l - 2 e
t CZ
(t iO )
(5.50)
(ts 0)
(5.51)
v
2Z
= 1
a
________ s R____ + Z f' 2 + f i _ 2L / \L C
(R + Z )2 4L2
(5.54)
Der zweite Teil dieses Operators ist eine gedampfte Sinusschwingung, wenn wir voraussetzen, daB
Die tiberlagerung der hin- und riicklaufenden WeU en fur die verschiedenen Punkte der Leitung erfolgt wie bereits geschildert.
(R + Z) LC
(5.55)
4L2
Mit Hilfe von Tafel 3 des Anhangs konnen wir dann schreiben Eft) y
a
=
(5.56)
| A e rt sin (wt + f )|
1
mit ~wh W ^ ~ -
4Z
A =•
"Wr (t)
] / 4 L 2 - L C (R + Z) ir0
4L
arctan
C (R + Z) (f s fs* Bild 5 .1 7 . Urspannung, hin- und riicklaufende Spannungswelle bei kapazitivem A b sc h lu B ,----- hinlaufende Welle,------ reflektierte Welle
0) =
5 .3 .6 . Mit einem Elementarzweipol abgeschlossene Leitung Die Leitung sei jetzt (Bild 5.1 8) mit einer Reihenschaltung aus den drei Grundsehaltelementen R , L und C , einem sog. Elementarzweipol, abgeschlossen. Der Widerstandsoperator des Abschlusses lautet demnach ? a = R + s L + Ic-
R + Z 2L
<5 -52>
1_____(R + Z) LC ..2 4L
Ist die Bedingung Gl. (5.55) nicht erfiillt, ergibt sich statt der gedampften Sinusschwingung eine Summe von zwei Exponentialfunktionen. Durch Partialbruchzerlegung von Gl. (5.54) kann m an diese leicht erhalten. W ir wollen darauf verzichten. Betrachten wir wieder als Beispiel einen Elnschaltsprung wh = w
(5.57)
= §>
so ergibt sich W r am einfachsten, wenn wir fiir *fa die Form Gl. (5. 54) verwenden: W
Bild 5 .1 8 . Mit einem Elementarzweipol abgeschlossene Leitung 64
r
=*• W . = i a h s
2Z L
s+R + z f s + 2L J
2Z at sinwt , ■twL e
+ ( L - - (g .±# >2 VLC 4L2 (5.58) 65
5 .3 .7 .
Rational abgeschlossene Leitung
W enn die Leitung mit einem beliebigen Netzwerk aus konzentrierten, linearen und zeitinvarianten Bauelementen abgeschlossen wird, dann ist der Widerstandsoperator eine rationale Funktion von s
h
<5-“ >
wobei die beiden Funktionen P(s) und N(s) im Zahler und Nenner Polynome in s sind, deren Grad sich hochstens um 1 unterscheidet. W ir sagen damn, die Leitung ist rational abgeschlossen. Der Reflexionsfaktor r a lautet jetzt allgemein
M _ 7
Bild 5 .1 9 . Hin- und riicklaufende Welle
a
wobei a, und co die oben bereits angegebenen Werte besitzen. Bild 5 .1 9. zeigt den prinzipiellen Verlauf dieser Funktion, wobei angenommen wurde, daB 2Z , . SL = lseiA m Ende der Leitung (x = 1) erhalt m an damit fiir die Spannung nach Gl. (5. 21a) u(I) =
-srn
2Z at r- e «L
2
= {2
to) slnw(t_ r0) }
=* r0)
sinw(t — t0 )
if/.t).
r> —
2
V& = K +
P(s) -?Z N(s) ’
(5.60)
(5.64)
mit {p(Q}
Q(s) P(s) + Z N(s)
(5.65)
Die Funktion p (t) ist eine Sum me aus Exponentialfunktionen und Sinusschwingungen, die in Ausnahme fallen mit tn (n = 1, 2, . . . ) sein konnen. Einfache Beispiele fiir die Funktion p (t) haben wir schnitten 5 .3 .3 . bis 5 .3 .6 . bereits kennengelernt. Die reflektierte Welle W r lafit sich zu jeder hinlaufenden Welle facher Weise nach folgender Formel berechnen: W r = *aW h = ( K + = { K W h (t) + y
1 -
k0
(5,63)
r a = K + {p (t )}
W ir erkennen, daB die Spannung zunachst auf den Wert 2 springt, um dann als gedampfte Slnusschwingung um diesen Wert zu pendeln, der Strom dagegen stetig vom Ruhezustand in die gedampfte Sinusschwingung tibergeht (Bild 5.20). uUt)
j
wobei der Grad von Q(s) kleiner ist als der von P(s) + Z N(s). Der zweite Teil laBt sich datrn mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung als Funktion von t schreiben:
| 2 Z at . ] -s i -L e sm w t ~
coL
„
Der Reflexionsfaktor ist ebenfalls eine gebrochen rationale Funktion. Jedoch ist hier Zahler und Nenner vom gleichen Grad, so daB wir eine Zerlegung in eine Zahl und eine echt gebrochen rationale Funktion vornehmen konnen. Eine Ausnahme ergibt sich, wenn die Polynome P(s) und Z N(s) von gleiehem Grad und die Koeffizienten der hochsten Potenzen gleich sind.In diesem seltenen Fall ist der Reflexionsfaktor eine echt gebrochenerationaleFunktion von s. Im allgemeinen gilt
(5.59)
und fiir den Strom nach Gl. (5.22a) 1 i(l) = 2
= N(s) _ P(s) - Z N(s) P(s) P(s) + Z N(s) ‘ N(s) + Z
gedampften multipliziert in den AbWjj in ein-
lW h (t)} p (t- T ) W h (r )d r J .
(5.66)
t
Bild 5 .2 0 . Spannung und Strom am Leitungsende
66
I
5
67
5 .4 .
Beliebiger Innenwiderstand
Die im Abschn. 5 .3 . angenommene Voraussetzung, daB der Innenwiderstand des speisenden Generators gleich dem Wellenwiderstand der Leitung ist, wird jetzt fallengelassen. Der Innenwiderstand des Generators kann nun ein beliebiger Widerstand oder auch ein Netzwerk aus konzentrierten Schalt elementen sein, Der Innenwiderstand werde durch die Impedanz = $ i (s ) beschrieben, der AbschluSwiderstand wie bisher d u r c h = $ & (s) (Bild 5.21).
Neu eingefiihrt wurde als Reflexionsfaktor am generatorseitigen AbschluB, also am Eingang der Leitung. Weiter setzen wir r—i 1 — k . if e i a
-s2rn
“ sn2 X
E ! ' , ' / • n =0
(5.73)
0
Da r a nach Gl. (5. 64) und auf Grund des aquivalenten Aufbaus als Summe aus einer Zahl und einer Funktion gegeben sind, gilt dies naturlich auch fiir das Produkt
m s)
* i * ,a = }>
* -
(5' 74)
Damit ist die Konvergenz der Reihe Gl. (5.73) gesichert. Nach Gl. (5.2) ergibt sich mit Gin. (5.70) bis (5.73) fur die Spannung
W
EZ ?. + Z
Bild 5 .2 1 . Beliebig abgeschlossene Leitung
E
n2 r + t ro
(r i
*a )
o 1
e
n =0
Die Randbedingungen lauten
CO
u(0) + % . i(0) = E
(5.67)
«d)
E n=0
(5.68)
Mit Gl. (5.2) ergibt sich hieraus das Gleichungssystem zur Bestimmung der Konstanten und K 2 (K,
und fiir den Strom n 2X + X to
E n =0
(5.69)
K , e ' sto + K n est° = l "1 ~
1
n+l
Z
(5.70)
EZ 2
+z S2
Xr,
(n + l ) 2 r o -
r r
n =0
1 -te. v e~ s2r° i a
ya e
(5.76)
Schreibt m an die ersten Glieder der Reihen aus, so erhalt m an z. B . fUr die Spannung
- s 2 r ,,
EZ K. + Z
o 1
( *i *a>n 6
sr( a VZ e
Durch Losung dieses Gleichungssystems erhalt m an EZ M. + Z
n n+ 1 v. e l a
K„
Kl + K 2 + ^i\z
K1
(5.75)
e
- sro f
2
+ v. v
i ae
+ *■, v
2
id.
e
- s <4 V
Tro r ) +
(5.71) 2
•s (2 r o - r o r )
+ ir e a
Hierbei sind
+
k
. v i a
- s (4 r o
e
- tQ f ) +
... (5.77)
f U c 'l W ir konnen das Ergebnis wieder als tiberlagerung von Wellen deuten. E s entsteht eine hinlaufende Spannungswelle
n. - z (5.72)
W,
h
EZ
a. + z ’
(5.78)
h 68
a
h + z
69
.
die den Punkt x der Leitung nach Ablauf der Zeit xQ p passiert. Ist der Innen-
also ■Bt0 + l e-s3t0 + l e-a5t0 + _ 4 lo
widerstand reell, so ist die hinlaufende Welle proportional zur Urspannung, in alien anderen Fallen tritt eine Formanderung ein. Bemerkenswert ist, daB sich die In die Leitung eintretende Spannungswelle nach der einfachen Spannungsteilerregel berechnen laBt, wenn man die Leitung durch einen Widerstand ersetzt, der gleich dem Wellenwiderstand Z der Leitung ist (Bild 5 .2 2).
1 --sf0 + I e“ s3r0 +
+t e 3
-srn
.3
32
s3r0 32 e
2
e
•s
5t 0O + ,
-s5r0 + . . # J
(5.81)
Bild 5.23- zeigt den Verlauf dieser Spannung. E s ergibt sich eine Treppenfunktion.
%
u ( l,t)
J
0,6
Bild 5. 22. Ersatzschaltbild zur Berechnung von Wjj
0,4 D er hinlaufenden Welle iiberlagert sich eine am Ende der Leitung reflektierte Welle (1. Glied der zweiten Reihe W r i = ^aW h’
<5 -79>
die den Punkt x der Leitung erst nach Ablauf der Zeit 2 t — t r erreicht. o o 1 Diese reflektierte Welle verschwand fiir = Z (Abschn. 5 .3 .) im Generator, da in dlesem Falle *-j = 0 und somit alle weiteren Glieder in Gl. (5.77) gleich Null sind. Fiir # Z tritt eine zweite Reflexion der zuriicklaufenden Welle am Leitungsanfang ein (2. Glied der ersten Reihe) W
r2
=
jc.
1
W
ri
=
r. r W , . ia h
0,2 0
To
2 Zq
70
• \ ' k '
5 t„
6 t0
t
Fiir t — 00 gilt 1 +
(5.80) ' '
der Zeit 2 1 + t f-. o oi Iter Vorgang wiederholt sich nun. Jedesmal wenn der Anfang bzw. das Ende der Leitung erreicht wird, entsteht eine neue Welle, die sich aus der vorhergehenden durch Multiplikation mit ->q bzw. x a ergibt. Fiir den Strom gilt das gleiche. E s kommt lediglich noch eine Vorzeichenumkehr bei den Reflexionen am Leitung sende hinzu. Betrachten wir als einfaches Beispiel die Spannung am Leitungsende fiir % = = 3 Z , wenn als Urspannung ein Einsehaltsprung der Hohe 1 gegeben ist. E s ist dann
'i
4 t0
Bild 5 .2 3 . Spannungsverlauf nach Gl. (5.81)
♦ M i? * ® '* - '
Da zum zweimaligen Durchlaufen der Leitungslange 1 die Zeit 2 r 0 benotigt wird, erreicht die 2. Reflektierte W rg den Punkt x der Leitung nach Ablauf
E = {1}
3Xq
I
1
1
4
, 1
n =0
1
2 ‘
(5.82)
2
Die Spannung am L e itu n g s e n d e k o n v e r g ie r t g e g e n d e n Wert 2 .
5 .5 ,
Die Leitung als Vierpol
5 .5 .1 . Kettenschaltung von zwei Leitungsstiicken Bisher wurde eine homogene Leitung betrachtet, die mit konzentrierten Schaltelementen abgeschlossen ist. Jetzt soli der AbschluB selbst wieder eine Lei tung sein. Entsprechend Bild 5 .2 4 . sei eine Kettenschaltung aus zwei Leitungsstiicken betrachtet, von denen das erste den Wellenwiderstand und die Lange 1^ und das zweite den Wellenwiderstand Z 2 und die Lange I2 besitzt.
71
D a wir uns fiir die Wirkung der „Sto6stelle" interessieren, nehmen wir an, daB der Innenwiderstand des Generators gleich Z l und der AbschluBwider-’ stand gleich Z 2 ist. Dadurch vermeiden wir Reflexionen an den beiden Enden dieser Kettensehaltung. Aus Gl. (5.2) erhalten wir fur das erste Leitungsstuck fUr x = 0:
ux(0)
(5.83)
(K.
11 ■K 2 l)
und am Ausgang
^ (lj) = K
w
1_ K,
11
(5.90)
Durch Einsetzen der Beziehungen Gin. (5. 83) bis ( 5 .86) in die Gin. (5.87) bis (5. 90) ergibt sich ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Konstanten K n , K 2i u s w . Seine Auflosung liefert K -S. K 11 2
und fiir x = 1-^: e
(5.89)
ux (0) + Z x ix (0) = E
u 2 (12 ) = Z 2 12 (12 )-
Kxi + K 2i
1,( 0)
AuBerdem gilt am Eingang der Kettensehaltung
s t s t ol + K 2 1 e
, 01
Z 2 ~ Z 1 -s 2 "o l E 21 _ Z 2 + Z x e 2
(5.84)
(K .
(5.91)
11 TT 12
2Z2 Z„ + Z ,
-S ? ol E 6 2
K 2 2 =°Auf der Leitung 1 gilt demnaeh -S t
£ u x(x) = 2
Mx) Mit dem zusatzlichen Index 1 werden die GroBen der Leitung 1 gekennzeichnet, entsprechend die GroBen der Leitung 2 mit dem zusatzlichen Index 2. Fiir Leitung 2 iie'fert Gl. (5.2), wenn wir den Nullpunkt des Koordinatensystems an den Anfang von Leitung 2 legen: u2 (0 ) = K i 2 + K 22 (5.85)
Z 2 (K 12 _ K 2 2 )
K 12 e ,
+ K 22 e
.
12 (12) = Z ^ ( K 1 2 e
s 'c o\ — K 22 e
(5.86)
r ol . , r-) 1^ (5.92)
8 <2 r o i “ r oi h
ol ll r al e
2Z,
mit
Z2 al
~
Z1
Zg + Z x
Os x s 1
u„(x) = n
° )
• s
12 2 (5.93)
A n der StoBstelle miissen die Spannungen und die Strome iibereinstimmen:
72
ol
Spannung und Strom verhalten sich auf der Leitung 1 so, als ob diese mit einem reellen Widerstand Z 2 abgeschlossen ware. Auf der Leitung 2 gilt, wenn wir x von der StoBstelle aus zahlen:
und u2 (I2)
+ ic - e al
und
1 12 (0) "
x o lll
U1 (11) = U 2 (0)
(5 -87>
i l ^ l ) = i 2 (°)
(5.88)
i2(x)
» 12
E
2Z e
ol
o2 1
73
Es gilt offenbar die Beziehung
mit 2Z2
(5.95)
a l2 = 1+zfa r Sie folgt aus der Bedingung Gl. (5.87) mit Gin. (5.92) und (5.93).
und
0
£
X
S
Bild 5.26 zeigt denVerlauf des Ubergangsfaktors
lg .
Den Faktor u 1 2 nennen wir Ubergangsfaktor. Er gibt an, in welcher Weise die auf der Leitung 1 hinlaufende Welle in die Leitung 2 ubergeht. W ir halten das Ergebnis fest: A n einer Stofistelle zwischen zwei Leitungen mit unterschiedlichem Wellen widerstand ruft eine auf der Leitung 1 ankommende Welle Wjj zwei Wellen hervor, eine auf der Leitung 1 zuriicklaufende Welle W r = *"alw h und eine in die Leitung 2 iibergehende Welle Wjj = ^ 12^ (Bild 5.25).
inAbhangigkeit von •=- . 2
5 . 5 . 2 . Die Kettenmatrix der verlustlosen Leitung Werden m ehr als zwei Leitungsstiicke in Kette geschaltet, empflehlt es sich, zur Berechnung die Kettenmatrix der Vierpoltheorie zu verwenden. Diese soil hier abgeleitet werden. W ir gehen dazu wieder aus vom Gleichungs system Gl. (5.2) und bezeichnen Spannung und Strom fiir x = 0 mit dem In dex e (Eingang) und fiir x = 1 mit dem Index a (Ausgang, AbschluB).
StoBsteiie Leitung 1 %
Leitung 2
wa* * n wh
---- 0
0-----
0e
z
ua
i
II
/ Bild 5 . 27. Leitung als Vierpol
Bild 5 .2 5 . Wellen an einer Stofistelle Nach Gl. ;5.2) gilt dann fiir den Eingang der Leitung Die reflektierte und die in Leitung 2 iibergehende Welle haben die gleiche Form wie die primare Welle, da die Operatoren und ii\i als Zahlenoperatoren lediglich eine einfache Multiplikation bewirken.
ue = K l + K 2 (5.96) 'e = | ( K l + K 2) und fiir den Ausgang -st u
= K ,e a 1
81 + K„ e 2
, , - st st JL / „ O T, O 1 = ■= K , e —K_ e a Z I 1 2
(5.97)
Aus Gl. (5.96) folgt fiir die Konstanten
(5.98) K 2 = 2 und aus Gl. (5.97) st K l = | ( ua + Z i a > e Bild 5 .2 6 . Ubergangsfaktor K 2 = ! < ua - Z y 74
° "“ ST-
e
(5.99)
° 75
Durch Gleichsetzen und Auflosen nach den EingangsgroBen erhalten wir die Vierpolgleichungen der verlustlosen Leitung in Kettenform: 1/
SV
2 6
- sto'
+e
1
■St L
o
Z i„
ua + 2 \ - St
. 1 /
o\ 1
Z ua + 2
s *o
(6
-s t
(5.100)
+ e
Die Hinzunahme der Kettenmatrix des Innenwiderstandes des Generators ist notwendig, da der Innenwiderstand die Reflexion am generator sei tigen A b schluB mafigebend bestimmt (vgl. Abschn. 5 .4 .).
Damit lautet die Kettenmatrix der verlustlosen Leitung: l [ Sto 2 \
■s t \ ,
,
u
-SV “ e
. sr
1 1 (e
-Bt
,
u
„
cosh stQ •
O .
= gIe
+ e
-at
■= sinh st \Z o
cosh st
(5.103) o
I
Will m an die Ausgangs- durch die EingangsgroBen ausdriicken / Ua
(5.104)
= (A f
so muB die Inverse von (A) bestimmt werden. Sie lautet, da die zu (A) gehorige Determinante det(A) = 1: Z sinh st
o\
(5.105)
(A) " 1 =
V
75 sinh st Z
o
cosh st o
Als Anwendungsbeispiel sei noch einmal die Anordnung (Bild 5 .2 4 .) berechnet. Allerdings moge jetzt ein beliebiger AbschluB | a (s) vorliegen (Bild 5 .2 8 .). Die Gesamtkettenmatrix erhalten wir durch Multiplikation der Einzelkettenmatrizen des Innemviderstands und der beiden Leitungsstiicke (A) = (A.) (A ,) (A ) 76
H f)
Durch Ausmultiplizieren erhalt m an
(A)
cosh st
(Aj) •
(5.102)
Z sinh st \ o\
1
(5.106)
ua
; T Bild 5 . 2 8. Beispiel fiir Kettenschaltung
0
/ cosh s t o
Leitung 2
h
Fiir die so definierten Operatoren gelten die gleichen Rechengesetze wie fiir die entsprechenden reellen Funktionen. Die Kettenmatrix erhalt mit Gl. (5.102) die Form
w
Leitung 1 1
°
, , st -sr 1 / o o = g Ie —e
^
smh st
X
(5.101)
Bei umfangreicheren Rechnungen empfiehlt es sich, fiir die hier auftretenden Summen von Verschiebungsoperatoren die hyperbolisehen Funktionen zur Abkiirzung einzufuhren. Die Anschaulichkeit geht dadurch allerdings verloren. W ir setzen
, 1, /
h
1 1
(a2 )
Aus der ersten Gleichung yon Gl. (5.108) konnen wir unter Beaehtung von Gl. (5.109) die Beziehung zwischen der Urspannung E und der Spannung ua am A b sch luBwi derstand herstellen: / A i2 V 1 ua = l vA i i + j ; ) E
tung liegt und fragen nach dem Verlauf der Spannung ue am Eingang und ua am Ausgang der Leitung, wenn eine Spannungsquelle mit der Urspannung E und dem Innenwiderstand Rj = Z an den Leitungseingang angeschlossen und der AbschluBwiderstand gleich dem Wellenwiderstand ist.
(5 -110>
Durch Einsetzen der aus der Matrix Gl. (5.107) zu entnehmenden GroBen A n und A 12 und einige Umrechnungen mit anschlieflender Reihenentwicklung er halt man E -s(r ol + ro2> °° " ua = s 2 e "“ l 2<1 + ,ra2> X n=0
n (re2 \ 2
~ sZntn9 e (5.111)
mit n
2Z2 12
Z1 + Z2
e2
Z1 + Z2
Zl " Z2
~
Im einfachsten Fall konnen wir dabei an eine parallel zur Leitung liegende Kapazitat denken, die z . B . durch eine Stutzscheibe einer koaxialen Leitung gebildet wird (Bild 5 .3 0 .). Die Kettenmatrix des gesamten Vierpols einschlieBlich des Generatorinnenwiderstandes ergibt sich durch Multiplikation aus 1
Z2
Z\ / cosh s t , ol
Z sinh s t . , ol \
(A)
2 _
v| s i n h s t r o l
Die Entstehung der Spannung ua konnen wir wieder durch eine Uberlagerung von Wellen erklaren. Wenn wir noch etwas umordnen
cosh st „ o2 i
Z
E STol ~sto2 ua = 2 e n 12e <1 + *a 2 > [1 + ye2 *a2 e" S2Z° 2 + ‘ --] (5.112) erkennen wir, daB die vom Generator ausgehende Welle j zunachst in der Zeit t Qi bis zur Ubergangsstelle von Leitung 1 auf Leitung 2 lauft, hier eine Multiplikation mit dem Ubergangsfaktor « i 2 erfahrt und dann in der Zeit t 02 weiterlauft bis zum LeitungsabschluB. Es entsteht eine reflektierte Welle, die sich der primaren uberlagert. Die reflektierte Welle erscheint wieder nach Ablauf der Zeit 2to2 multipliziert mit re2 *-a2 entsprechend den Reflexionen am Eingang und Ausgang des Leitungsstiickes 2. In Abstanden von 2to2 erscheinen weitere an den beiden Enden der Leitung 2 reflektierte Wellen. Ist der AbschluBwiderstand | a gleich dem Wellenwiderstand Z 2 , so ist
Die Wirkung einer Storstelle
Als weiteres Beispiel fiir die Anwendung der Kettenmatrix der Leitung untersuchen wir die Wirkung einer Storstelle. W ir nehmen an, daB im Abstand 1^ vom Leitungseingang entsprechend Bild 5 . 2 9 ein beliebiger Zweipol aus kon zentrierten Schaltelementen mit der Impedanzfunktion ^p(s) parallel zur Lei78
c o s h s ^
/ ^
.i—
V
£
X....
s in h st „ o2
,
({. U 3 )
Z s in h st
o2\
cosh st _ o2
7 '
--------
1
o—
----- o
Bild 5 . 3 0. Stutzscheibe einer koaxialen Leitung als konzentrierte Kapazitat
Die uns interessierenden Elemente A ^ ^ und A ^ lauten
A ^2 = Z (cosh s t ^ sinh s t 2 + sinh s t ^ cosh stQ2 ■sinh s t . sinh s t _) ol o2 '
(5.122)
Damit ergibt sich fiir ue mit Gl. (5.118) A,
(Al l +
12 Z ol -
=W .
!fa
Setzen wir obige Ausdriicke fiir A ^ und A ^2 ein , so folgt schliefilich
u a
-st , . -st , 1_ = Ee 01 — ~ ~ e Z
.(5.117)
A m Eingang der Leitung iiberlagert sich der hinlaufenden Welle eine um 2rol verschobene Welle. Diese kann nur durch Reflexion an der Storstelle entstanden sein. W ir bezeichnen deshalb den Faktor
2 + ^—
Z
$P
Wenn wir die hinlaufende Welle Wj,, =
u
E
-st . .. = W ,e 01 -- V " il
.
Li
,
E
tt
lfa einfiihren, erhalten wir
-st 9 e
.
(5.118)
+ Z
*12 = —
V 2
als Reflexionsfaktor der Storstelle. Blickt m an vom Generator aus in die Leitung hinein, so liegt parallel zum Widerstand | p der Wellenwiderstand Z der dahinterliegenden Leitung. A n der Storstelle wird also der Widerstand
fa fa
/ cosh sfol
r
(5-119)
1 ,st
fat
^ | s i n h s r ol
Z sinh s«ol\ / I 0\ coshstJU -
/cosh stQ2 lj
\ j sinh stQ2
Z sinh stQ2
(5.125)
+ Z
wirksam sein. Diese Annahme wird bestatigt durch folgende Rechnung:
f a
erfaBt wird und lauft schliefilich in der Zeit t Q2 bis zum Leitungsende. Den Faktor it1 2 wollen wir wieder als Ubergangsfaktor bezeichnen. E r gibt an, in welcher Weise die an der Storstelle eintreffende Welle iiber diese hinweggeht. Zur Berechnung der Eingangsspannung ue benotigen wir die Elemente A n und A 12 der Matrix
(5.124)
St
2J *P
Die in der Leitung hinlaufende Welle Wjj wird zunachst um die Laufzeit r 0\ verschoben, erfahrt dann an der Storstelle eine Anderung, die durch den Operator
(5.123)
+ Z
+z
+ Z
fa
'f a
I
,+ z
■ fa
(5.126)
+z•
Es ergibt sich tatsachlich der bereits angegebene Reflexionsfaktor der Storstelle Gl. (5.124), d. h. die Spannung vor der Storstelle verhalt sich so, als ob die Leitung mit einer Parallelschaltung aus dem reellen Widerstand Z und dem Zweipol abgeschlossen ware (Bild 5.31).
cosh s«q2 (5.120)
Sie ergeben sich durch Ausmultiplizieren zu
h
A , , = cosh st - cosh s i „ + sinh st - sinh s t Q + 11 ol o2 ol o2 /.7
Bild 5 . 3 1. Ersatzschaltbild fiir die Schaltung Bild 5. 29
6
81
Fiir den Ubergangsfaktor Gl. (5.119) gilt auch hier wieder
und n = 1 +v.
^ 1 2 = 1 + *'st= 1 ~ 2 ^ p + Z = 2 ^p + Z
(5.127)
Der Faktor r heiGt „Reflexionsfaktor", n der nUbergangsfaktor". 5 . Fiir den „Widerstand der Storstelle"
1
+
a) beim LeitungsabschluB der AbschluBwiderstand ^ a , (Der Ubergangsfaktor entfallt hierbei.) b) beim Leitungsiibergang der Wellenwiderstand Z 2 des zweiten Leitungsstuckes, c) bei parallelgeschaltetem Zweipol mit der Impedanz der Widerstand
Z
h was sich daraus erklart, daB die Spannungen unmittelbar vor und hinter der Storstelle gleich sein miissen. 5. 6 .
Zusammenfassung
Die bisher durchgefiihrten Berechnungen (Abschnitte 5. 1 . bis 5. 5.) zeigen, daB die dynamischen Vorgange auf verlustlosen Leitungen einigen einfochen Grundgesetzen gehorchen, die es gestatten, die Vorgange auf einfachen Leitungsanordnungen ohne komplizierte Rechnungen lediglich durch Anwendung der Grundgesetze zu bestimmen. Die Grundgesetze fiir verlustlose (im Einschaltmoment energiefreie) Leitungen lauten: 1. Eine Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand Wj und der Urspannung E schickt in eine angeschlossene Leitung mit dem Wellenwiderstand Z eine hinlaufende Spannungswelle Wjj, die sich aus der Spannungsteilerregel ergibt zu:
[Abschn. 5. 4. , Gl. (5.78)] 2. Die auf der Leitung hinlaufende Spannungswelle u = W ^ ist von einer Strom welle begleitet. Fiir diese gilt
ist einzusetzen;
V
/Z
f e + Z
■
6 . Fiir die sekundaren Wellen W r und W k 2 gelten die gleiehen Regeln wie fiir die primare Welle. Sobald sie auf eine Storstelle treffen, rufen sie wiederum zwei neue Wellen hervor. A m Leitungseingang ist dabei fur^gt der Innenwiderstand des Generators %i einzusetzen. Der Ubergangsfaktor entfallt am Leitungseingang natiirlich genauso wie am Leitungsausgang. Beispiel: Die Anwendung der Grundgesetze soli anhand des folgenden Beispiels erlautert werden. Gegeben sei eine Kettenschaltung aus drei Leitungsstiicken entsprechend Bild 5 . 3 2. Der Innenwiderstand des Genera tors und der AbschluBwiderstand seien gleich dem Wellenwiderstand der angrenzenden Leitungsstiicke. Das mittlere Leitungsstuck habe den doppelten Wellenwiderstand. Der Generator soil einen kurzen Rechteckimpuls der Hohe 1 abgeben. Mit Hilfe des Diagram m s 5. 33 konnen wir dann den Verlauf der Spannung auf der Leitung herleiten. Die Reflexions- und Ubergangsfaktoren der einzelnen Storstellen sind in den beiden oberen Zeilen eingetragen. Dabei ist zu unterscheiden, von welcher Seite m an sich der betreffenden Storstelle nahert. Der Spannungsimpuls bewegt sich zunachst mit der GroBe ^ (wegen der Span-
[Vgl. Gin. (5.2), (5.10) und (5.76)] 3. Die auf der Leitung hinlaufende Welle breitet sich so lange ungestort aus bis sie eine „Storstelle" erreicht. Als Storstelle treten u . a . auf: der LeitungsabschluB, der Ubergang auf eine Leitung mit abweichendem Wellenwiderstand, ein parallel zur Lei tung liegender Zweipol. 4. Jede Storstelle ist als Quelle einer reflektierten Welle W r und einer auf der eventuell vorhandenen AnschluBleitung hinlaufenden Welle Wh2 anzusehen. Diese Wellen ergeben sich zu
nungsteilung am Leitungseingang) bis zur 1. Storstelle, dem Ubergang auf Leitung 2. Hier entstehen zwei Wellen (eine Zeile tiefer eingezeichnet), de ren GroBe sich durch Multiplikation mit dem Reflexionsfaktor k = i und dem 4 Ubergangsfaktor « = j ergeben. Dieser Vorgang wiederholt sich an jeder StoBstelle. W ir finden auf diese W eise, daB der eingegebene Spannungsim puls am Ende der Kettenschaltung in Abstanden von 2 i „ im m er wieder er1 scheint, jedoch jeweils verkleinert um den Faktor Das erste M ai erscheint 4 a er mit der GroBe ^ im Zeitpunkt + ro2 + weim wir mit t die.Laufzeit iiber die Leitung v bezeichnen (Bild 5.34). A m Eingang der Leitung 1 erhalten wir zunachst im Zeitpunkt 0 den primaren Spannungsimpuls der GroBe i und nach Ablauf von der GroBe i . Von da an erscheinen in Abstanden von
einen zweiten Impuls 2 '^ 2
Impulse mit nega-
tivem Vorzeichen, deren GroBe wieder sehr rasch abnimmt (Bild 5.35).
6
83
Leitung 1
Leitung3 Bild 5 .3 4 . Spannungsverlauf am AbsehluSwider stand f
2
__ 3_ 3 1
I
__ 3_ ~3 1
2 1 *
2 3 2 3
2t,01
22 W il 11
2
~9
±
'27
2tm+2t02>
2 2 '9
3
2 '81 2. 2
'2 43
2tgj + ^t02>> ■
'81 3
t01 + tg2+tg3
2_
lb ')
27 2_
27
-M -i)
H )
2. 2 27 3
81
PI
1
2t°2
1
1
243
%
243 3
84
-
±
2_ I
Bild 5 .3 3 . Diagram m : Verlauf der Wellen
Naha
11
729
tgj+5 % + 103
* r07
t 2t02
r
Bild 5 .3 5 . Spannungsverlauf am Eingang der Leitung 1
5 .7 .
Die im Einschaltmoment elektrisch geladene Leitung
Fiir den Strom folgt dann aus der ersten Gleichung von Gl. (5.129)
Zum AbschluB des Abschnitts iiber die dynamischen Vorgange auf verlustlosen Leitungen soil noch ein Beispiel betrachtet werden, bei dem die A n fangsbedingungen nicht verschwinden. Eine Leitung entsprechend Bild 5 .3 6 , auf der vor dem Einschalten die Gleichspannung U 0 steht, moge im Zeit punkt t = 0 durch SchlieBen der beiden Schalter Sj und S2 an eine Spannungsquelle mit der Urspannung E(t) und dem Innenwiderstand Z und an einen AbschluBwiderstand ^ a (s) angeschlossen werden.
K-.
-st o1
K„
st
ol
(5.132)
mit 1/ Die Randbedingungen lauten E = Z i(0) + u(0) u(l) =
(5.133)
i&).
Hieraus bestimmen sich die Integrationskonstanten zu 1 s Uo
K,
E •
K„
E • -U s o
i -sr 1 XT O •— U e s o
-s2r
W ir fragen nach dem Verlauf der Spannung an den einzelnen Punkten der Leitung. Zur Losung dieser Frage gehen wir vom Gleichungssystem Gl. (4.24) aus. Unter Beriicksichtigung der Anfangsbedingungen u(x,0) = U o
(5.134)
h +z
Durch Einsetzen dieser Ausdrucke in Gl. (5.131) ergibt sich fiir die Spannung u an der Stelle x der Leitung: E
-st
“ "o l
23. 1
+ *"a e
i(x, 0) = 0
<5 ' 128>
-sr o 1
ergibt sich aus Gl. (4.24), wenn wir noch R ' = 0 und G' = 0 setzen: du T,. dx = ~ s di HL = _ s c 'u + C 'U dx o
-stf
21
+ ra e
(5.135)
-st (5.129)
{ U o}
+
z
Die Spannung ergibt sich also als Uberlagerung folgender Einzelspannungen:
Durch Elimination von i folgt hieraus
1. der bereits vor dem Einschalten vorhandenen Gleichspannung j U 0 J ,
,2 p 2-i - s L 'C 'u = - s L 'C 'U dx 0
(5.130)
2. der von der Urspannung E = {E (t)} ausgehenden Spannungswelle und der dadurch am LeitungsabschluB hervorgerufenen Reflektierten, 3. einer am Leitungseingang entstehenden Spannungswelle j—
Die Losung dieser inhomogenen Differentialgleichung lautet
und der
dadurch am LeitungsabschluB hervorgerufenen Reflektierten, u
=
K
i e
o I " +
K
2
wobei wieder die Laufzeit rQ = ■fUc’ 1 eingefiihrt wurde.
86
e S I °
r
+
|
u
o ,
( 5 . 1 3 1 )
4. einer am LeitungsabschluB entstehenden Spannungswelle, die von einem Generator auszugehen scheint, der die Urspannung { — U 0 } und den Innen widerstand besitzt. Das bedeutet, wir konnen unsere Schaltung fiir t »■0 durch die Ersatzschaltung (Bild 5 .3 7 ) ersetzen, wenn wir noch an jeder Stelle der Leitung in jedem Zeit punkt die vor dem Einschalten vorhandene Gleichspannung U 0 hinzuzahlen, Zur Illustration sei der Spezialfall E = 0, ? a = Z betrachtet. Mit anderenWorten, eine auf U 0 aufgeladene Leitung vom Wellenwiderstand Z werde im Zeit punkt t = 0 an beiden Enden mit einem Widerstand abgeschlossen, der gleich dem Wellenwiderstand ist. 87
z
%
und demzufolge *fa = 1. Nach Gl. (5.33) steht dann nach Ablauf der Zeit 2 rQ an jeder Stelle der Leitung die Spannung U 0 . Legen wir in einem beliebigen Zeitpunkt t > Zt0 den Schalter S zuruck, so erfolgt eine Entladung der Lei tung, die wir wieder nach Gl. (5.135) berechnen konnen. Mit E = 0, K s. = x ergibt sich u
M
T ~8tn T “ srr> e 01 + e 0
l
(5.137)
A n dem Widerstand Z am Eingang der Leitung (x = 0) lautet also die Spannung U
-s21 (5.138)
Aus Gl. (5.135) folgt dann U1
r °U
u=k }
-at .
01
~ol
e
-sz" o
1- x 1
(5.136)
Der Entladevorgang hat demzufolge an den Stellen x = 0, 1 1, 1 1 und 1 den im Bild 5 .3 8 dargestellten Verlauf.
Diesen Entladevorgang zeigt Bild 5 .4 0 . M a n erkennt, daB mit Hilfe der ein fachen Schaltung (Bild 5. 39.) ein Rechteckimpuls erzeugt werden kann, dessen Zeitdauer durch die Lange der angeschlossenen Leitung bestimmt wird. Durch Andern der Leitungslange (sog. Posaune) laBt sich die Zeitdauer des Impulses in einfacher, aber genau definierter Weise variieren. Die Dauer des Impulses ist gleich der Zeit, die ein Signal braucht, um die Leitungslange zweimal zu durchlaufen; d .h ., bei l m Leitungslange erhalt m an einen Rechteckimpuls von 6,7ns Dauer, falls die Ausbreitungsgeschwindigkeit auf der Leitung gleich der Iichtgesehwindigkeit im freien Raum ist.
Uo Z
Ik
Ul
to
fto
f
Bild 5 .4 0 . Spannungsverlauf J?0 Bild 5 .3 8 . Spannungsverlauf an einigen Stellen der Leitung
Ein anderes Beispiel zeigt Bild 5 .3 9 . Die Urspannung sei eine Gleichspannung U 0 , die im Zeitpunkt t = 0 durch Umlegen des Schalters S an eine Lei tung der Lange 1 gelegt wird. Die Leitung moge offen laufen, d .h . = °°
/
S
89
6. S T A T I O N A R E V O R G A N G E A U F V E R L U S T L O S E N L E IT U N G E N
Die gesuchten Funktionen fiir Spannung und Strom ergeben sich nach Gin. (5.75) bzw. (5.76) durch Addition von Ausdrucken der Gestalt -at
-st l.(s) + Z 6 .1 .
i
a s — j«
■e
w ( s)
VLr
(6.5)
s - jco
Mit
Spannung und Strom bei sinusformiger Urspannung fiir groRe t
E s soli eine verlustlose Leitung mit dem Wellenwiderstand Z und der Lange 1 betraehtet werden, die mit einem beliebigen Widerstand $ a (s) abgeschlossen ist und yon einem Sinus-Generator mit dem Innenwiderstand Mt (s) gespeist wird (Bild 6 .1 .). Das Problem wurde im Absehn. 5 .4 . bereits in voller Allgemeinheit gelost. Trotzdem soil der eingesehwungene Zustand bei sinusformiger Urspannung hier ausfiihrlieh untersucht werden, da er einerseits fiir die Praxis beson ders wiehtig ist und andererseits bedeutende Reehenerleichterungen durch Einfuhrung der sog. -Rechnung erreicht werden konnen.
Us)
P^(s)
Njlsj ’
Na(s)
(6 . 6 )
und %.(s) ■ (6.7)
f (s) + Z
. (s) + Z ' ergibt sich aus Gl. (6.5) -st
Tlifs)
Pt(s)
ZN.(s)
P.(s) ■ Z N .(s)
P.(s) + ZN.(s)
P.(s) + ZN.(s)
■Z N a (s) P a<s) P a(s) + Z N a (s)
S — 1(0 (6 . 8 )
Hierbei sind Pj(s) und Nj(s) sowie P a (s) und Na (s) Polynome in s, deren Grad sich jeweils hochstens um 1 unterscheidet. Durch Vergleich von Gl. (6.5) mit Gl. (6. 8) stellen wir fest, daB der Operator m (s) eine gebrochen rationale Funktion von s ist, deren Zahlergrad hochstens gleich dem Nennergrad ist. Als stationarer Anteil von Gl. (6.5) ergioi sich daher nach Abscnn. 1 .3 . sowie Absehn. 1 .5 . (6.9)
U {e^wt} = e ' ^ ^ w Q w ) tlQ |e^a t J mit der komplexen Amplitude
Der Verlauf der Urspannung sei gegeben durch Uoeos(ait + fQ).
(6 . 1)
Fiir die Rechnung benutzen wir die komplexe Darstellung
j«tl
E 16
%
6 2)
( .
mit der komplexen Amplitude W
o
=U
o
e
3?0 °.
(6.3)
Die physikalisch reale Urspannung ist dann gleich dem Realteil der RechengroBe Gl. (6. 2) und auf Grund der Linearitat der betrachteten Schaltung gilt das gleiche auch fiir die zu berechnenden Spannungen und Strome. In Operatorform lautet die Urspannung Gl. (6.2) U0 s - j
Vi =
(6 . 10 )
U .
Der komplexe Faktor zur Berechnung der Amplitude VI ergibt sich in einfaeher Weise aus dem Operator e~®^ w (s), indem m an statt des Differentiationsoperators s die imaginare Frequenz ja> einsetzt. D er Operator w (s ) ist dabei eine beliebige gebrochen rationale Funktion in s, deren Zahlergrad nicht groBer als der Nennergrad ist und deren Polstellen alle in der linken Halbebene liegen Da die Frequenz die gleiche bleibt, geniigt es, bei der Rechnung die komple xen Amplituden zu betrachten. Auf diese Weise erhalten wir aus Gl. (5.75) die komplexe Amplitude der Spannung an der Stelle x der Leitung fiir groBe t:
11 =
U Z o i. (jCO) + Z
-jcj2t
I
«-t(jw) *"a(j“ ) e
-i cot o 1
n=0
■jco2to }D -jwrQ (2-S.)
(6.4) + ?fa (j CO)
I
v i ( j « ) r a (jw )e
(6 . 11)
n=0 90
91
D a |*“n(iw )l £ 1 und I 0 ^ )1 < 1 angenommen werden kann, konvergieren die unendfichen Reihen. Ihre Summen lassen sieh nach der Formel fiir die geometrisehe Reihe sofort aufschreiben. Die Summierung der Reihen und entsprechende Umformung liefert, wenn wir die Argumente weglassen, da im folgenden eine Verwechslung mit den entsprechenden Operatoren nicht moglich ist
U--
U Z o + Z
-j/Sx 1 •
ra e w r
e
Ftir den ersten Teil der Gl. (6.12) konnen wir schreiben a t = Zlu h ha
(6.18)
Der Index h wurde deshalb gewahlt, weil es sich um die komplexe Amplitude einer zum LeitungsabschluB hinlaufenden Welle handelt. Dazu betrachten wir den Realteil von
-j (21 - x)
w
+ v e a
(6i9) (6 . 12) Hierbei wurde wie iiblich gesetzt o = "t" V = ~T~
’
(6.13)
= |Mh a | c o s ^ t - f x + m j V M an erkennt, daB es sich um eine in positiver x-Richtung wandernde Welle handelt. Ein bestimmter Phasenzustand bewegt sich dabei mit der Phasengeschwindigkeit
wobei X die Wellenlange und/? die Phasenkonstante bedeuten (vgl. Abschn. 6 .2 .). Analog ergibt sich fiir die komplexe Amplitude des Stromes an der Stelle x der Leitung aus Gl. (5.76)
7
“ aSi + Z
-........ J L ...... l - r .v e - ^ 1 i a
e -j^x
K
Vp h = _"
=1 _
=1 _ ? r ^ _ .
on. (6 . 20)
Fiir die koaxiale Leitung und naherungsweise auch fiir andere Leitungsformen ist die Phasengeschwindigkeit gleich der Lichtgesehwindigkeit des freien Raum es, dividiert durch die Wurzel aus der relativen Dielektrizitatskonstanten des Raumes zwischen den Leitern, also
(21 — x) a
V _u =
Ph
(6.14) Ist der Innenwiderstand des Generators an die Leitung angepaBt, also = Z und damit *-j = 0, so vereinfachen sich die Gin. (6.12) und (6.14) sehr wesentlieh. In diesem Fall gilt: « ,i 5 >
(C. 1|,
J ' - § - [ . - ^ - r , e - W <2 1 - * l ]
,6.16 ,
300 000 km i/eZZi
s
Der Abstand zweier Punkte der Leitung, in denen sich die Phasenlagen um 2 x unterscheiden, wird als Wellenlange X bezeichnet, d. h.
[wt-y?x+^l+jdhaJ - [wt-jS(x + X ) + 1 +f ha] = 2^ Hieraus folgt fiir die Wellenlange 2 it
(6 . 21)
Mit Hilfe von Gl. (6.20) kann man auch schreiben 6 .2 . Hin-und riicklaufende Welle, komplexer Reflexionsfaktor Zur Untersuchung der in Abschn. 6 .1 . gewonnenen Ergebnisse betrachten wir zunachst den ersten Teil der Gl. (6.12) fur den Leitungsausgang x = 1 und be zeichnen ihn mit U jja m ha
U Z o n. + Z i
-j/31 e .. -j2/?l 1 — r. r e J ^ l a
(6.17)
2jfv , v . 1 = -- 2S = -EE. = v T, oj f ph ’
'
(6 . 22) '
wobei f die Frequenz und T die Schwingungsdauer angibt. Nach Gl. (6.18) bzw. (6.19) ist 11jla die komplexe Amplitude der auf der Lei tung hinlaufenden Welle am AbschluB der Leitung, also fiir x = 1. Fiir den zwei ten Teil von Gl. (6.12) schreiben wir nun analog U
r
=11 Q e ' j/?(1_x) ra
(6.23)
mit
U
Z
v e ^ l
^ r a = W~+~Z~
, i
92
e-j2//l a
*
<6 ’ 24)
Der Index r deutet an, daB es sich um eine auf der Leitung riicklaufende Welle handelt. Durch Ubergang zum Realteil laBt sich das leicht feststellen. Da sich auBer dem Vorzeichen im Exponenten und der komplexen Amplitude nichts geandert hat, besitzt die riicklaufende Welle die gleiche Phasengeschwindigkeit und Wellenlange wie die hinlaufende Welle Wra ist die komplexe Amplitude der auf der Leitung riicklaufenden Welle an der Stelle x = 1, also am AbschluB der Leitung. Mit den Gin. (6.18) und (6.23) lautet Gl. (6.12) einfach a = \
+ a r’
~ #h r = ~Z
h
r =
UT -£, h
(6.30)
dann gilt
(6.25)
d .h ., die komplexe Amplitude der Spannung an der Stelle x setzt sich zusamm en aus den komplexen Amplituden der hinlaufenden und der riicklaufenden Spannungswelle. Aus Gl. (6.14) folgt dann analog fiir die komplexe Amplitude des Stromes 7
und wenn wir den komplexen Reflexionsfaktor an der Stelle x einfiihren mit
«r Z" '
Z
e-^ 1 1 —r . r e - ^ T i a
X , ’
wobei y = 1 — x als Abstand vom Leitungsende eingefiihrt wurde. D a der Reflexionsfaktor am Ende der Leitung durch den AbschluBwider stand nach
< «•” »
bestimmt ist, kann mit Gl. (6.31) das Verhaltnis von ttT zu an jeder Stelle der Leitung leicht berechnet werden. Fiir den Leitungseingang (y = 1) ergibt sich insbesondere der Eingangsreflexionsfaktor v e zu
(6.33)
(6’ 27)
Benutzt man eine entsprechend Bild 6 .3 . erganzte komplexe Zahlenebene, so laBt sich die Transformation Gl. (6.33) bzw. (6.31) leicht grafisch ausfiihren.
erfafit.
VLhe
nh
a ,■re
vtr
-j — Die Multiplikation mit e ^ bedeutet namlich lediglich eine Drehung um A]f\ den Winkel -j- in Richtung negativer Winkel, d .h . im Uhrzeigersinn. Eine
txha M r
i —Skale auf dem Rand des Einheitskreises erspart die Berechnung der Winkel. A 1st zum Beispiel w
0
(6.31)
<6 -26>
Zur Beschreibung des stationaren Zustandes von Spannung und Strom geniigt es also, statt der unendlich vielen hin- und riicklaufenden Wellen, die in Wirklichkeit auftreten, eine hin- und eine riicklaufende Welle zu betrachten. Die Wirkung der wiederholten Reflexionen wird durch den Faktor
-*i + Z
4S£ *r = *- e a
-------------------------------------------------------------------
x
I
= 0 , 6 e^36
und die Leitungslange 1 = 0,2A, so ergibt sich -i 108° = 0,6 e
aus Bild 6 .3 . der Eingangsreflexionsfaktor »
x
Bild 6 .2 . Zur Definition der hin- und riicklaufenden Spannungswellen 6 .3 . Spannung und Strom entlang der Leitung, Welligkeit Es soli jetzt der Verlauf des Betrages von Spannung und Strom entlang der Leitung untersucht werden. Dazu gehen wir von Gl. (6.25) aus
Aus Gin. (6.17) und (6.24) folgt ^ra r * = %a-
(6‘ 28)
D er komplexe Reflexionsfaktor
“ - “ h
(1 + r ) -
( 6 -M >
Mit Gin. (6.18), (6.30) und (6.31) ergibt sich hieraus
u
ha
1+ V
ha
1 -f w
a
e
. 4ay 'J
(6.35)
wobei Vtj^a | nach Gl. (6.17) nicht von y abhangig ist. 94
95
miei'te Spannung nimmt zunachst zu (falls v a die im Bild 6 .4 . festgelegte Grofie hat), iiberschreitet den Maximalwert 1 + |r a |, nimmt dann ab bis zum Minimalwert nimmt wieder zu usw. Der Abstand zwischen einem Maxim um und dem nachfolgenden M inimum betragt A 1 = 0,25/1, da in diesem Fall der Drehwinkel gleich X & 180° ist. Der Abstand zwischen zwei M axim a bzw. M inim a ist^l 1 = 0,5a.. Der normierte Strom schwankt in der gleichen Weise zwischen 1 —| r a |und 1 + |r a |. Nur liegen seine M axim a an den Stellen, wo die Spannung M inim a besitzt und umgekehrt. Bild 6 .5 . zeigt die Verlaufe \tt\ 1.71 von — jj— - und — j — -. I ha| | ha| Da sich Spannung imd Strom, abgesehen von der Verschiebung um vollig gleich verhalten, geniigt es im weiteren von der Spannung zu sprechen.
Bild 6 .3 . Reflexionsfaktorebene - Diagramm zur Transformation des Reflexionsfaktors
Wenn wir auch die Konstante IttjuJ normieren, folgt demnach fiir den Spannungs verlauf in Abhangigkeit von der Entfernung vom Leitungsende
1 + *• 'hal
a
e
IVLI
/3 /
(6.36)
Analog ergibt sich fiir den Stromverlauf entlang der Leitung aus Gl. (6.26) Ul
1 - ^ e
hal
(6.37)
Die Funktionen Gin. (6.36) und (6.37) lassen sich mit Hilfe der komplexen Zahlenebene (s. Bild 6 .4 .) leicht auswerten. Die Zeiger 1 und ira werden aneinandergesetzt. Fiir y = 0, also das Leitungsende, ergibt sich das im Bild 6 .4 gezeichnete Bild. Mit wachsendem y drehen sich die Zeiger und entsprechend dem Faktor e 96
in Uhrzeigerriehtung um den Punkt 1. Die nor-
\ A 4
,
Z 4
Bild 6 .5 . Spannungs- und Stromverlauf entlang der leitung
97
Ist der AbschluBwiderstand gleich dem Wellenwiderstand der Leitung, also der Reflexionsfaktor gleich Null, so existiert nur eine hinlaufende Welle. Die Amplitude der Spannung ist auf der Leitung Uberall gleich |Z$ha l> also lz/1 — r = !• M a n spricht von Anpassung. I hal Je weiter der AbschluBwiderstand vom Wellenwiderstand abweicht, d .h ., je groBer die Fehlanpassung ist, desto mehr schwankt die Amplitude der Span nung entlang der Leitung. Als Mafi fiir die Fehlanpassung benutzt m an das Verhaltnis von Minimal- zu Maximalspannung lain,™
6 .4 . Leitung als Vierpol Die Kettenmatrix der verlustlosen Leitung zur Beschreibung der stationaren Vorgange erhalten wir aus Gl. (5.101), indem wir fiir den Differentiationsoperator s die imaginare Zahl j to einsetzen:
+ e
-J\
Jo *
2
Z (6.40)
(A) im e 2 \
(6.38)
\W\ m ax
-iJoit,
-j«r \ X( W 1 1 -e J 75 Ie c / Z 2 '
0
■ -i +e
°)
Hieraus folgt durch Anwendung der Eulerschen Formel und Gl. (6.13)
M an bezeichnet es als Welligkeit. Offenbar gilt dann
cos (A)
1 ~lr I m =r+p r^|-
(6.41)
.1
(6.39)
Bei Totalreflexion, also |v a | = 1, ist m = 0. Die Amplitude der Spannung schwankt in diesem Fall zwischen 0 und 2\U h a | (Bild 6 .6 .). E s ergeben sich stehende Wellen.
. _ . 2ttl j Z sm -j-
2 jz1
2jtl X
Mit den Bezeichnungen von Bild 6 .7 . gilt dann fiir die komplexen Amplituden von Spannung und Strom
tt. (6.42)
(A)
Bild 6 .7 . Leitung als Vierpol Bild 6. 6. Spannung und Strom bei KurzschluB am Leitungsende 6 .5 . Eingangswiderstand Ein Energietransport findet dann natiirlich nicht statt. Allgemein kann die iibertragene Leistung Pii berechnet werden nach der Formel
Wird eine verlustlose Leitung mit einem Zweipol abgeschlossen, dessen komplexer Widerstand gleich ist, so folgt aus Gl. (6.42) mit Gl. (6.41) fiir den Eingangswiderstand der Leitung
P.. = P (1 - IK I2) u max'' 1 a1 ' VL, K l 2 — r-
98
,
,2
2Xl , _ . 2itl cos -j— + ] Z sm
__
(6.43)
J a . ] -=- sm —5— + COS —T~
>•
7
99
wenn m an beaehtet, daB
Ist die Lange der Leitung 1 =
4
.1. Fiir 1 =
+ j tan
£e Z
i , . /a 1 + jT
ergibt sich aus Gl. (6.45), nachdem wir vorher Zahler und 2 jt \
----------f t
Nenner durch tan -y- dividiert haben 2 x C^= — .
2*1
(6.47)
h,
X
(6.45)
. 2ffl tan -j-
Z ?a Das heiBt, der normierte Widerstand — geht in den reziproken Wert, also den normierten Leitwert | a Z iiber oder anders ausgedriickt, der Eingangswiderstand ist dual zum AbschluBwiderstand:
Spezialfalle: 1- 1st ? a = Z , so folgt fiir eine beliebige Leitungslange 1 aus Gl. (6.45) j e = Z . Der Wellenwiderstand wird stets in sich selbst transformiert. 2. Fiir eine kurzgeschlossene Leitung, also gangswiderstand
so wird ? in sich selbst transformiert:
(a
(6.44) Zwischen dem auf den Wellenwiderstand Z normierten AbschluBwiderstand und dem normierten Eingangswiderstand besteht demnach die Transformationsgleichung
X
tt ,
'• ■0 , ergibt sich fiir den Ein-
.„ , 2#1 = j Z tan — .
(6.46)
Bild 6. 8. zeigt den Verlauf des Eingangswiderstandes einer kurzgeschlossenen Leitung. M an erkennt, daB sich jeder beliebige Blindwiderstand durch entsprechende Wahl der Leitungslange herstellen laBt.
h
,f ..
Abgesehen von den hier betrachteten einfaehen Spezialfallen, ist die Transformationsgleichung (6.45) doch recht kompliziert. M an hat deshalb ein spezielles Diagramm entwickelt, mit dessen Hilfe die Transformation Gl. (6.45) auf grafischem W eg durchgefuhrt werden kann. 6 .6 .
Leitungsdiagramm
j Den normierten Eingangswiderstand •— konnen wir statt aus Gl. (6.45) auch auf folgende Weise bestimmen: 1. W ir berechnen den zu /a v
gehorigen Reflexionsfaktor r a nach der Formel
^
= 1 --- . a 2 /a - + i
(6.49)
2. W ir transformieren den Reflexionsfaktor zum Eingang der Leitung
. 4jT1 v = v e e a
.
(6.50)
3. W ir berechnen den zum Reflexionsfaktor gehorigen normierten Widerstand 2
_
Z
1 + K
--- e_ 1 - *■ e
(6.51) K ’
Den Sohritt 2. konnen wir mit Hilfe des Diagram ms (Bild 6 .3 .) in einfaeher Weise grafisch erledigen. Die verbleibende Umrechnung von umgekehrt Bild 6. 8. Eingangswiderstand einer kurzgeschlossenen Leitung
100
in v und a
in — wiirde entfallen, wenn m an die zu den einzelnen Reflexionse z faktoren gehorigen Widerstande gleich aus Bild 6 .3 . ablesen konnte. U m dies k
101
zu ermoglichen, wird die komplexe Ebene der normierten Widerstande : mit Hilfe der gebrochen linearen Funktion is - 1 ;»•= Zl
(6.52)
•+ 1 in die Reflexionsfaktorebene abgebildet (Bild 6 .9 .). Die gesamte rechte Halbebene geht dabei iiber in den Einheitskreis. Eine gebrochen lineare Abbildung besitzt u .a . zwei wichtige Eigenschaften: 1. Geraden werden in Kreise bzw. Geraden abgebildet. 2. Die Abbilder von Kurven, die sich rechtwinklig schneiden, stehen ebenfalls senkrecht aufeinander. Unter Ausnutzung dieser beiden einfachen Gesetze kann m an nach Berechnung der Bilder der beiden Koordinatenachsen die gesamte Abbildung leicht konstruieren. R Fiir die reelle Achse x ergibt sich aus Gl. (6.52) (6.53)
x + 1 und fiir die imaginare Achse ^
_ _
=jy folgt j arc tan
jy + 1
i
Bild 6 .9 . Abbildung * = y ---
2v
= y. ~ l + ]2y. 1 • e
T
(6.54)
+ 1
y2 + 1 Drehung auf einem konzentrischen Kreis im Uhrzeigersinn um den Winkel
Damit erhalten wir als markante Beispiele:
bedeutet (vgl. Diagram m 6 .3 ).
h z r
0 -1
1 2 1 3
1
2
10
0
1
9 11
3
oo 1
.1 +j 126,9° e-J ’
±j 1
+ j2
e + j90°
+ j 53,1° e-J ’
Bei spiel:
Die positive reelle Achse geht demzufolge in den Abschnitt —1 bis +1 der reellen Achse iiber, wahrend die imaginare Achse in den Einheitskreis ab gebildet wird. D a alle Koordinatenlinien der —— Ebene durch den Punkt« gehen, kann man nunmehr unter Beachtung der oben genannten Abbildungsgesetze ihre Bilder sofort angeben (Bild 6 .9 .). Das rechtwinklige Koordinatennetz geht dabei in zwei sich rechtwinklig schneidende Kreisscharen iiber. W ir denken uns nun die Reflexionsfaktorebene (Bild 6 .3 .) iiber die transformierte Widerstandsebene (Bild 6. 9.) gelegt und erhalten so das im Bild 6.1 0 dargestellte Leitungsdiagramm, das allgemein als Smith-Diagramm bezeichnet wird. Mit seiner Hilfe konnen wir die Widerstandstransformation nach Gl. (6.45) bzw. Gin. (6.49) bis (6.51) ohne komplizierte Rechnung durchfiihren, da die Transformation iiber eine Leitungslange 1 nach Gl. (6.33) lediglich eine 102
E s sei eine Leitung mit dem Wellenwiderstand Z = 60 Q und der Lange 1 = 0,166 I mit dem Widerstand = (120 + j 30) Q abgeschlossen. W ie grofl ist der Eingangswiderstand? (Vgl. Bild 6 .1 1.) la. 1. Normierung: -g- = 2 + j 0,5 *a .2. Aus dem Leitungsdiagramm folgt: — = 0,227 3. Transformation iiber die Leitungslange 1: 1
1
1
T = T + I = 0’393
L
-^ = 0 ,6 5 -j
0,55
4. Entnormierung: ? = Z(0,65 — j 0,55) = (39 — j 33) Q
ir
2. Reflexionsfaktortransformation (Bild 6 .3 .) Bestimmung des Betrages von Spannung oder Strom entlang der Leitung bei AbschluB der Leitung mit } . Durch Verbindung der Punkte 0 und (Bild 6 .1 3.) erhalt m an einen Zeiger, dessen Lange proportional zur Spannung am Leitungsausgang ist. LaBt m an die Spitze des Zeigers auf dem [r | -Kreis umlaufen, so ergibt sich nach Gl. (6.36) der Spannungs verlauf. 4. Bestimmung der Welligkeit m als Schnittpunkt d e s k |-Kreises m it der reellen Achse im Abschnitt 0 . . . 1 (Bild 6 .1 4 .). Alle Widerstande eines |K-|-Kreises erzeugen die gleiche Welligkeit. Fiir den Schnittpunkt mit <^x R der reellen Achse im linken Halbkreis gilt -g- = -g < 1.
0,393 Bild 6 .1 1 . Widerstandstransformation
Aus dem Leitungsdiagramm lesen wir folgende, z. T . bereits durch Rechnung festgestellte Eigenschaften der Widerstandstransformation ab: 1. Ein Blindwiderstand (als Grenzfalle auch KurzschluB und offenlaufende Leitung) wird stets wieder in einen Blindwiderstand transformiert. 2. Der Wellenwiderstand j
$
= lj wird stets in sich selbst transformiert.
3. Die Transformation uber eine halbe Wellenlange ( j = 0 ,5 ) fiihrt stets zum gleichen Wider stand, d .h ., durch Hinzufiigen oder Weglassen einer Lei tungslange 1 = n ^ (n = 1 , 2 , . . . ) andert sich die Transformation nicht.
AuBer zur Widerstandstransformation kann das Leitungsdiagramm zur Losung folgender Aufgaben verwendet werden: 1. Umrechnung Widerstand
Reflexionsfaktor und umgekehrt (Bild 6 .1 2.)
Bild 6 .1 4 . Bestimmung von m
Dann ist nach Gl. (6.39) 1 —1*-1 m = T T iT ]= :
IR + Zl (R + Z) + ( R - Z ) R ; i"R — Z |~ (R + Z) - ( R - Z) ~ z IR + Zl
(6-55)
In diesem speziellen Fall ist also die Welligkeit gleich dem normierten Widerstand. 5. Berechnung des Leitwertes zu einem vorgegebenen Widerstand und umgekehrt. Nach Gl. (6.47) wird ein normierter Widerstand -gr- durch eine n 2 j-lange Leitung in den Kehrwert y = f a Z transformiert. Auf Grand diefa. ser Tatsache laBt sich die Inversion im Leitungsdiagramm durch Drehung um I- = 0,25 = 180° in einfachster Weise durchfiihren (Bild 6.1 5.). A
Bild 6 .1 2 . ~ 104
-^ + j ^
= |r ] e3f
Bild 6 .1 3 . Verlauf von IU I 105
Zur Bestimmung des AbschluBwiderstandes
sind folgende Schritte notig:
1. Ersatz des MeBobjekts durch einen KurzschluB. Abfahren der MeBleitung mit dem Spannungsmesser zur Feststellung der Lage des ersten Spannungsknotens y j vom Ende der MeBleitung (y = 0) aus gereehnet. 2. AnschluB des MeBobjekts. Abfahren der MeBleitung mit dem Spannungs m esser zur Feststellung von !Z*lm ax und W l m in und der Lage des ersten l^m in Spannungsminimums y j. Berechnung der Welligkeit m = — -- und der m ax Knotenverschiebung A y = y j — yj.
2
3. Bestimmung von
Durch Inversion der Gl. (6.45) erhalt m an mit ^
=■— und «a
aus dem Leitungsdiagramm durch Eintragen von m
und M entsprechend Bild 6 .1 7 . Dies erklart sich daraus, daB der WiderA/ stand an der Stelle y i gleich dem zu bestimmenden Widerstand und an der Stelle f i gleich dem reellen Widerstand R m in mit dem gleichen m und
h '
fa. Z + j tan ^
Z =
Zi
(6.56) 1 + j ifaZ t a n ¥
D a fiir die Transformation der normierten Leitwerte die gleiche Formel gilt wie fiir die Widerstande, ist das gleiche Diagram m anwendbar. E s ist lediglich zu beachten, dafi Normierung auf den Wellenwiderstand Z bei Leitwerten Multiplikation mit Z bedeutet.
R min A . < Z seinm uB, wobei m = —S i — . 1st A y < 0, so wird — entgegen mm h a dem Uhrzeigersinn abgetragen. Die Wellenlange X kann notigenfells als das Doppelte des Abstands zweier Spannungsminima bestimmt werden. Weicht der Wellenwiderstand der Verbindungsleitung von dem der MeBlei tung ab, so kann zunachst nur der Eingangswiderstand der Verbindungs leitung bestimmt werden, indem m an den KurzschluB an dieser Stelle anbringt. Durch Zuriickrechnen im Leitungsdiagramm kann schlieBlich ermittelt werden. R
6 .7 . MeBleitung Der komplexe AbschluBwiderstand einer Leitung kann mefitechnisch bestimmt werden, indem m an die Welligkeit und die Lage der Spannungsknoten auf der Leitung feststellt. Dazu wird zwischen MeBsender und Leitung eine sog. Mefileitung (Bild 6 .1 6 .) eingeschaltet. Das ist eine Leitung mit dem Wellenwider stand Z , auf der m an einen MeBschlitten zur Messung des Betrages der Span nung an den verschiedenen Stellen der Leitung bewegen kann. Bei koaxialer Ausfiihrung muB der AuBenleiter zu diesem Zweck mit einem Schlitz versehen werden. Ein an der MeBleitung angebmchtes MetermaB gestattet die Stellung des Schlittens y zu bestimmen.
Bild 6 .1 6 . MeBleitung 106
I
107
7. D Y N A M I S C H E V O R G A N G E A U F V E R L U S T B E H A F T E T E N L E IT U N G E N
mit ~ z
Fiir Spannung und Strom konnen wir damit nach Gl. (4.36) schreiben u = | (e _ r x + «fa e " 3' (21' x ) )
(7.6)
i = |L 2Z \
(7.7)
7 .1 . Allgemeiner Fall E s werde eine beliebige homogene verlustbehaftete Leitung mit den Leitungs konstanten R ', G ', L ' und C ' betrachtet, die vor dem Einschalten der U r spannung E(t) energielos war. Der Innenwiderstand der Spannungsquelle moge mit dem Wellenwiderstand Z der Leitung1) ubereinstimmen, der AbschluBwiderstand sei durch den beliebigen Operator ^ a charakterisiert. Spaimung und Strom auf der Leitung werden dann durch die Gl. (4. 36) mit Gin. (4.28) und (4.35) beschrieben. Die Konstanten K i und K 2 sind durch die Randbedingungen zu bestimmen.
a
e_?,(21-x)Nl .
Das Ergebnis stimmt formal mit dem im verlustlosen Fall vollig tiberein. Die GroBen j , Z und damit r a sind jedoch hier kompliziertere Operatoren. Ihre Wirkung soil in den nachsten Abschnitten untersucht werden. 7 .1 .1 .
Hinlaufende Welle
Betrachten wir zunachst nur die Spannung fiir den Fall, daB der AbschluBwiderstand gleich dem Wellenwiderstand der Leitung ist: 4
= z
also
(7 • 8)
v = 0, a
’
so gilt nach Gin. (7.6) und (7.5) einfach u = | e " ^ x.
(7.9)
Fiir die Fortpflanzungskonstante j konnen wir von Gl. (4.28) ausgehend schreiben 7 = ] / (R ' + s L ') (G' + sC') A m Eingang der Leitung gilt u(0) + Z i (0) = E .
= V L 'C ' (7 . 1)
y (s + D)2 - y 2
(7.10)
Hierbei wurde zur Abkiirzung gesetzt
Hieraus folgt mit Gl. (4.36) D = K l
=
f
-
P - 2 )
+
(7 .H )
und
A m Leitungsausgang gilt V ’ u(1) = ^ a i(1)‘
<7 -3 )
Daraus erhalten wir die zweite Konstante K 2 K2 = | e - 2^ %
(7.4)
* ( & - $ )
Y I7 V ^
(7 -i 2 >
D und V sind zwei i. a. positive Zahlen, die durch die Leitungskonstanten be stimmt sind. W ir werden spater sehen, daB D fiir die Dampfung und V fttr die Verzerrung mafigebend sind. Gl. (7.10) l&Bt sich schreiben in der Form (s + D)
Da der Wellenwiderstand Z eine transzendente Funktion von s ist, ist die Voraussetzung S j = Z in der Praxis nur naherungsweise zu erfiillen.
108
109
Die Wurzel konnen wir nach Gl. (1.69) in der iiblichen Weise als Potenzreihe schreiben:
7 = W C '
(s + D)
£ f| V =0
V :+ D
(7.14) /
'v■
Fiir 3-erhalt m an damit durch Ausmultiplizieren
7 = s y F c r + d f u c ' + y iT c F X
j
(- I)" (s + D)
V=1
2v-l (7.15)
W ir konnen uns demnach das an der Stelle x der Leitung ankommende Signal aus zwei Anteilen zusammengesetzt denken. Der erste Anteil er gibt sich einfach durch zeitliche Verschiebung des Eingangs signals um die Laufzeit V L' C ' x und Dampfung u m den Faktor e-D c ' x . Der zweite Anteil ergibt sich durch Verschiebung und Dampfung des mit der ,,Verzerrungsfunktion" v(x,t) gefalteten Eingangssignals. W ir sehen. dafi sich ein Signal auf einer verlustbehafteten Leitung mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreitet wie auf einer verlustlosen Leitung. Der Unterschied besteht darin, dafi sich bei einer verlustbehafteten Leitung entsprechend des Energieverbrauchs eine Verkleinerung des Signals, also eine Dampfung ergibt und auBerdem ein zusatzliches verandertes Signal uberlagert wird. Die GroBe
y = s Y If C ' + D y i / C ' + {w(t)|
(7.16)
= i (R ' f ? + G'fP , "1ln'
® 0=
d .h ., abgesehen von dem gemeinsamen Faktor C ', eine Summe aus dem Differentiationsoperator s, einer Zahl und einer Funktion {w(t)}:
2 \Z
o
+CrZo
(7.23)
soil als Verlustdampfung je Langeneinheit bezeichnet werden. Hierbei wurde
mit Z .2v-2
V
(s + D)
V =1
2v-l
(7.17)
Die Funktion w(t) werden wir spater noch genauer betrachten. Mit Gl. (7.16) erhalt m an fur den in Gl. (7.9) vorkommenden Operator -sfL' C' x
-7X ,
TcF
x e" lwW} x
!
(7.19)
= ( - 1)
x untersuchen zu konnen,
• ! 1 • 3 • • • (2v - 3) y
(v&
(7.24)
2)
2 v\
und tv - 2 i (2V— 2 ) !
(s + D)
2v- l
(7.25)
wird aus Gl. (7.17)
Das heiflt
ir(t)}:
fiir den Wellenwiderstand der verlustlosen Leitung eingefuhrt.
-Dt
2 2
-{w(t)} X _ 1 _ {w(t)j X + (w(t)l x' 1! 2
=
U m die Wirkung des Verzerrungsoperators e schreiben wir Gl. (7.17) zunachst als Funktion. Mit
(7.18)
Der erste Faktor ist ein Verschiebungsoperator, der zweite ein Dampfungsfaktor, der dritte Faktor bewirkt eine Verzerrung des Signals. Fiir ihn kann m an nach [17] die gewohnliche ex -Reihe verwenden, also
o
2
: 1 + {v(x,t)}
(7.20)
{w(t)} = j - Y L 'C '
V 2 e ' Dt
I
mit
v =2
2 V — t2 v - r 2 1 -3 . . . (2y — 3) V y (2v — )! 2 v\
2
CO {v(x,t)} = •
iw(t)}x 1!
,
|w(t)} 2x2 2!
(7.21)
■Y L ' C ' V
2
-Dt 1
e
1 +
2
(Vt)
I
V =2
v(x, t) wollen wir die Verzerrungsfunktion nennen. Fiir die Spannung u an der Stelle x der Leitung ergibt sich damit
2v —2
2 V ~ 1 v\ 2 V
(y —1)!
Numeriert m an inn und ubernimmt die 1 mit in die Sum me, so folgt
u = e-sy i? c 'x e-DY!7c'x(1+{v(X)t)})| =
-sYFcr + e
110
x
-d
YiTc'
x jE|t) I 2
■ s y F C - , e- D - fi7 C - *{v K t)| j E | ! |
(7.22)
r = | - I -fiFS- V 2 e-“
L
f ’ Y , v
=o
(y + l)!
(7.26)
Die Konvergenz der Reihe ist fiir beliebige t gegeben. 111
In dieser Form laBt sich die Funktion w(t) fiir beliebige Werte von D und V mit Hilfe eines digitalen Rechenautomaten leicht berechnen. Im Anhang ist das Rechenprogramm und eine Tafel fiir die in Gl. (7.26) vorkommende Reihe angegeben. Die Tafel gestattet, zusammen mit einer Tafel fiir e-x, die B e rechnung der Funktion w(t) mit Hilfe des Rechenstabes. Bild 7 .2 . zeigt den maschinell berechneten Verlauf der Funktion w(t) fiir mehrere typische Falle. Die betrachteten Leitungen wurden von 1 bis 9 durchnumeriert, die entsprechenden Leitungskenngrofien sind Tafel 4 des Anhangs zu entnehmen. Mit Hilfe der Funktion w(t) kann nun die Verzerrungsfunktion v(x, t) nach Gl. (7. 21) berechnet werden. Fiir kleine x gilt naherungsweise {v(x,t)}»s — {w(t)} x.
(7.27)
Die weiteren Glieder der Reihe Gl. (7. 21) ergeben sich durch Faltung der Funktion w(t) mit sich selbst. Die Bildung der Faltungsprodukte erfolgt am zweckmafiigsten ebenfalls mit einem digitalen Rechenautomaten. Ein entsprechendes Rechenprogramm ist im Anhang angegeben. Das zweite Glied lafit sich auch direkt als Reihe angeben, indem m an w(t) in der Form Gl. (7.17) mit sich selbst multipliziert und dann ahnlich wie oben zur Funktionsschreibweise iibergeht. Nach einigen Umformungen erhalt m an {w(t)} 2 = {w(t)} {w(t)J
H L ' C ' V 3 e~Dt
E
r=0
2v +1
(- 1 )
£ (*)(
i
j (vty (2 v + 1)!
ji = l {P'l \v + 2-jij
(7.28)
Bild 7, 2a, b, c. Verlauf von w (t). Parameter: Leitungstyp
Bild 7 .3 . Verlauf von {w (t)} ‘
112
8
113
2 Iiild 7 .3 . zeigt einige maschinell berechnete Verlaufe von {w(t)} . jm Bild 7 .4 . wurde die nach Gl. (7.21) berechnete Verzerrungsfunktion v(x,t) fiir ein Femmeldekabel (Leitung 4) dargestellt. Die Leitungslange x wurde als Parameter benutzt. Die- Wirkung des Verzerrungsoperators auf verschiedene Eingangssignale wird im Abschn. 7 .1 .3 . betrachtet. Der Strom i ergibt sich fiir ara = 0 nach Gl. (7. 6) und Gl. (7. 7) durch Multi:>]ik;ition der Spannung mit dem Operator ■g: i= |u .
(7.30)
Fiir den Operator \ erhalt m an aus Gl. (4.35) z 1 z
G' + sC' _ 1_ R ' + s L ' ~ Z„
2V s +
(7.31) Tr
Hierbei ist V gegeben durch Gl. (7.12), wahrend Z 0 wiederum fUr den Wellenv. iclt-rstand der verlustlosen Leitung gesetzt wurde Z0 = f f .
(7.32)
Bild 7 .4 . Verzerrungsfunktion v(x, t) fiir Leitung y und zum Vergleich — w(t) Parameter; x in km 114
115
Durch Reihenentwicklung der Wurzel ergibt sich 1_ Z
1 + Z_. (-1) v =1
jm l w y
'
a+
(7.33)
is,
Die Reihe laBt sich mit
(7.34)
R'\P
'T s und Gl. (7.24) folgendermaBen als Funktion schreiben r
R '
-Ve
{ s (« }
1 + V
I— J V= 1
A J L i :
-.11. (Vt)'
V ! (V (V + 1 )!
(7.35)
M a n iiberzeugt sich leicht, daB die Reihe fiir beliebige t konvergiert. Der reziproke Wellenwiderstand kann demnach mit Gl. (7.35) in der Form 1 1_ Z ~ Z„
1
+ { .§ ( * > } ]
(7.36)
geschrieben werden. Der Strom i an einer beliebigen Stelle x der Leitung ergibt sich aus der dort herrschenden Spannung u nach Gl. (7.30) zu (7.37) falls nur eine hinlaufende Welle vorhanden ist. Die Funktion ^(t) kann nach Gl. (7.35) mit Hilfe eines digitalen Rechenauto maten leicht berechnet werden. Ein Rechenprogramm ist im Anhang ange geben, aufierdem eine Tafel fiir die in der eckigen Klam mer stehende Funk tion in Abhangigkeit von (Vt). Bild 7 .5 . zeigt den Verlauf von£ (t) fiir einige typische Falle. 7 .1 .2 . Rucklaufende Welle W ir hatten bisher angenommen, daB nur eine hinlaufende Welle existiert. Das ist aber in der Praxis nur naherungsweise der Fall, da der Wellenwiderstand einer Leitung durch eine Wurzel, der AbschluBwiderstand aber durch eine gebrochen rationale Funktion gegeben ist, so daB beide nie exakt gleich sind. W enn wir die am Leitungsausgang ankommende Spannungswelle mit ujj be zeichnen, so entsteht dort (x = 1) nach Gl. (7. 6) eine reflektierte Spannungs welle ur =lfa I e _ n = V h
(7’ 38)
mit ?
- Z
h. =i£__ a
116
Bild 7. 5. Verlauf von£ (t). Parameter: Leitungstyp
}r + z
117
Die reflektierte Welle breitet sich nach dem gleichen Gesetz wie die hin laufende Welle, nur in entgegengesetzter Riehtung aus. Nach G L (7. 6) gilt fiir die Spannung u = £ e “ ^ x + ur
(7 . 39)
Zur Berechnung der am AbschluBwider stand entstehenden reflektierten Welle benotigen wir den Reflexionsfaktor in einer anwendungsgerechten Form. Der Einfaehheit halber wollen wir annehmen, dafj ein reeller AbschluBwiderstand vorliegt. E s soli also gelten ? a = R a-
<7 -40)
Dann konnen wir mit G L (7.36) schreiben R - *£ - 1
Rn R x + —S. + _JL
z
z
o
o KJ
(7.41) {f(t)
2Z =
1
0
K
a
+
° l+
R R
a
a
+Z
o
{ /w }
Mit Hilfe einer Reihenentwicklung erhalten wir schliefilich R
-Z
2Z
„ /
*a - 5 - + z a - 5 - T T a o a o
£ “
-
^
R
V
\ W ~ T z~) \ a o/
1
, { S < ‘> k J (7.42)
_ R a - z o . r „.l + Z ° + {e(t)} “ a o
R„
-
D er Reflexionsfaktor setzt sich also aus einer Zahl und einer in Form einer Reihe gegebenen Funktion zusam men. Die Zahl stimmt mit dem Reflexions faktor der verlustlosen Leitung iiberein. In der Reihe bedeutet { | (t)jr , dafl die durch Gl. (7. 35) gegebene Funktion { S (t)} (r ~ l)mal mit sich selbst zu falten ist. Wenn {u^(t)} die am Leitungsausgang eintreffende Spannungswelle beschreibt, so ergibt sich die reflektierte Spannungswelle nach Gin. (7.38) und (7.42) zu
{ Ur (t)} - F
M
a
+ "Z ° K w } o
= R - r 5 r Z
a
o r ___ ,i 0
' -
+ {e(t))
(7.43)
^ ( r r r )
\ a V 'a
n o
/ k
J
(7 . 44)
Bild 7 .6 . Reflexionsfunktion g (t).
118 119
Gl. (7.43) laBt erkennen, daB sich das am LeitungsabschluB entstehende reflektierte Signal zusammensetzt aus zwei Anteilen. Der erste Anteil stimmt mit der reflektierten Welle auf einer verlustlosen Leitung iiberein, der zweite ergibt sich durch Faltung der ,,Reflexionsftmktion" 9 (t) mit der hinlaufenden Welle. Bild 7. 6 . zeigt die ^eflexionsfunktlon" g (t) fiir zwei Leitungstypen und die AbschluBwiderstande K „ = Z und R = jr Z . a o a 2 o W enn wir die angelegte Urspannung als Eingangsfunktion und die resultierende Spannung am AbschluBwiderstand u^ + ur als Ausgangsfunktion betrachten, so ergibt sich als Impulsreaktion bzw. Ubertragungsfaktor der mit einem reellen Widerstand abgeschlossenen Leitung; 1
-s f t /c r i e -D1/L'C'l
2e Zu Beginn des Abschnitts 7. wurde vorausgesetzt, daB der Innenwiderstand des Generators Rj mit dem Wellenwiderstand der Leitung Z iibereinstimmt. Ist diese Voraussetzung nicht erfiillt, so ruft die reflektierte Welle am generatorseitigen AbschluB eine zweite zum Verbraucherwiderstand hinlaufende Welle hervor, die sich ebenfalls mit Hilfe des Reflexionsfaktors Gl. (7.42) berechnen laBt, wobei in den Formeln lediglich R a durch Rj zu ersetzen ist. Es ergeben sich durch die fortgesetzte Reflexion an den beiden Absehlussen der Leitung theoretisch unendlieh viele hin- und rucklaufende Wellen, wie im Abschnitt 5 .4 . fiir die verlustlose Leitung ausfuhrlich gezeigt wurde. Wie viele dieser Wellen einen praktisch meBbaren Beitrag liefern, hangt von der Dampfungskonstanten der Leitung und ihrer Lange sowie dem Verhaltnis der AbschluBwiderstande zum Wellenwiderstand der Leitung ab und muR von Fall zu Fall untersucht werden. 7 .1 .3 .
Mit Hilfe der abgeleiteten Formeln sollen jetzt verschiedene Beispiele unter sucht werden. W ir geben uns dazu charakieristische E ingangs signale vor und berechnen zunachst nach Gl. (7.22) den Spannungsverlauf der hinlaufenden Welle U}j(t) am Leitungsausgang, Von diesem ausgehend kann nach Gl. (7.43) die reflektierte Spannung ur (t) und damit die Spannung am AbschluBwiderstand
uh(t) + ur(t)
(7 . 45)
berechnet werden. Das Blockdiagramm fiir ein geeignetes Rechenprogramm ist im Anhang gegeben. Mit seiner Hilfe wurden die folgenden Ergebnisse erzielt. 7 .1 .3 . 1 .
frj verlustlosen Leitung Z o s W sein. A m Ausgang der Leitung 7 (vgl. Tafel 4 des Anhangs), also einer Freileitung mit geringen Verlusten, ergibt sich dann je nach Lange x der Leitung der im Bild 7. 7. dargestellte Spannungsverlauf. M a n erkennt, daB die Verzerrung eines Rechteckimpulses von der Lange T 0 = 0,4 • 10~3 s so gering ist, daB sie unberucksichtigt bleiben kann. Anders ist dies bei einer Freileitung, deren Widerstandsbelag fiinfmal so grofi ist (Leitung 9). Hier ergibt sich der im Bild 7 .8 . dargestellte Verlauf. U m die Verformung des Signals besser zu erkennen, wurden alle Kurven auf den Maximalwert normiert. Die Verzerrung der hinlaufenden Welle u^ nimmt mit der Leitungslange zu. Die Verzerrung der resultierenden Spannung ua dagegen nimmt zunachst ab, ist fiir x « 120 km am geringsten und nimmt dann wieder z u . Die gleiche Erscheinung stellen wir bei einem Fernmeldekabel (Leitung 4) fest. ^ Nach Bild 7 .9 . ergibt sich hier als optimale Leitungslange x = 15k m . Auch fiir andere Impulslangen (Bilder 7 .1 0 . und 7 .1 1.) ist diese Leitungs lange am giinstigsten. Bild 7 .1 2 . zeigt schlieBlich die Spannung der hinlaufenden Welle und die resultierende Spannung am Ausgang eines Fernmeldekabels mit groBerem Verlustwiderstand (Leitung 6). Neben der Dampfung ist entsprechend dem groBeren Wert von V auch die Verzerrung groBer geworden. Die optimale Leitungslange betrSgt hier nur 3 k m . Bereits nach 10 km ist die Form des Eingangssignals nicht mehr zu erkennen. Allgemein halten wir fest: Es gibt eine optimale Leitungslange, bei der der Verlauf der Spannung am AbschluBwiderstand mit dem der Eingangs spannung nahezu iibereinstimmt (abgesehen von der zeitlichen Verschiebung und der Dampfung). Zur Bestimmung der optimalen Leitungslange ergibt sich heuristisch folgende einfache Formel
Beispiele
« a (t) =
D e r A b s c h l u B w id e r s t a n d R a m o g e jew eils gleich d e m W e l l e n w i d e r s t a n d d e r
xopt
c V
(7.47)
wobei c = 3 • 10® km /s die Lichtgeschwindlgkeit und V die durch Gl. (7.12) definierte Verzerrungskonstante bedeuten. Vergleichen wir die Bilder 7. 9. bis 7 .1 1 , so stellen wir fest, daB die Verzerrungen um so geringer sind je kiirzer der Eingangsimpuls ist. Um die Frage zu beantworten, wie kurz ein Rechteckimpuls seinm uB, damit bei einer bestimmten Leitungslange die Verzerrung der hinlaufenden Span nungswelle nicht m ehr als P Prozent betragt, machen wir folgende Abschatzung fur t = T 0 ;
Ubertragung eines Rechteckimpulses
Als erstes soil angenommen werden, daB der Spannung'sverlauf am Eingang der Leitung gleich einem Rechteckimpuls der Hohe 1 (z .B . Volt) und der Lange T 0 ist, also fO ue (t) = ^ 120
=
( t < 0)
jl
(OS t s T q)
U
(T0 < t)
(7.46)
^ Die Ergebnisse fiir Leitung 4 gelten naherungsweise auch fiir eine koaxiale Leitung mit mittleren Verlusten (Leitung 2), da die GroBen D und V fiir diese beiden Leitungen nahezu tibereinstimmen (vgl. Tafel 4 des Anhangs). 121
|{v(x,t)j jue (t)| <
|{v(x,0)]- {ue (t)}|
(7.48) 10
= | v (x ,0) {l} {ue (t)}|
100 • w (0)x
J
ue (r)dt|
0 = | — w (0)x T o |
= |Y i7 ^ A
t o<
|
Dabei wurde verwendet: X.
Aus Bild 7 .4 . folgt
2.
Aus Gl. (7.21) folgt da fiir alle n > X
3. Aus Gl. (7.26) folgt
|v(x,t)| < |v(x,0)|. v(x,0) = — w (0)x , jw(t)jn = 0 flir t = 0. w(0) = - |
1000 1000
] /L 'C ; V 2 .
Das Ergebnis lautet: Die Verzerrung eines Rechtecttimpulses betragt weniger als P Prozent, falls seine Dauer T
op < ---- ------- .
(7.49)
ioo yiTcr v2x Beispiele: X. Leitung 4, Lange x = 20 km, P = X0%. T o < 0,56 • XO-5 s (vgl. Bild 7. IX.). 2. Leitung 9, Lange x = 50 km , P = 10%. T q < 0,2 • 10" 3 s (vgl. Bild 7. 8 .). Bisher wurde angenommen, daB der AbschluBwiderstand R a gleich dem Wellenwiderstand Z Q der entsprechenden verlustlosen Leitung sei. U m die Wirkung eines hiervon abweichenden AbschluBwiderstandes zu zeigen, wurde im Bild 7. X3. der Spannungsverlauf ua fiir die Leitung 9 bei AbschluB mit 2 Z 0 und — Z Q dargestellt. Ein Vergleich mit Bild 7 .8 . zeigt, daB durch die Anderung des AbschluBwiderstandes zwar die Impulshohe verandert wird, der Charakter der Kurven aber im wesentlichen erhalten bleibt. 7. X. 3 .2 . Ubertragung einer Sinus schwingung
Bild 7 .7 . Ubertragung eines Rechteekimpulses Leitung 7, T 0 = 0 ,4 XO-3 s. Parameter: Leitungslange in km
Fiir die Leitung 4 (Fernmeldekabel mit kleinem Verlustwiderstand) wurden die Spaimungsverlaufe uh und ua beim Einschalten einer Sinusschwingung berechnet und in den Bildern 7. X4. bis 7. X7. fiir verschiedene Leitungslangen und die Frequenzen 3,125; 6,25 und X00 kHz dargestellt. Dabei wurde wieder angenommen, daB der AbschluBwiderstand R a gleich dem Wellen widerstand der verlustlosen Leitung Z 0 ist.
122
X23
normiert
Bild 7. 8 , Ubertragung eines Rechteekimpulses Leitung 9, T 0 = 0,4 10~3 S. Parameter: Leitungslange in km
124
Bild 7 .9 . Ubertragung eines Rechteekimpulses Leitung 4, T 0 = 0,4 10~3 s. Parameter: Leitungslange in km
obso/ut
norm/erf
Bild 7 .1 0 . Ubertragung eines Rechteekimpulses Leitung 4, T 0 = 0,4 10~4 s. Parameter: Leitungslange in km
126
absolut
normiert
Bild 7 .1 1 . Ubertragung eines Rechteekimpulses Leitung 4, T 0 = 0,4 10-5 s. Parameter: Leitungslange in km
127
Bild 7 .1 3 . Ubertragung eines Rechteekimpulses R a 4= Z 0 Leitung 9, T 0 = 0,4 10~3 s. Parameter: Leitungslange in km
128
9
129
Aus Bild 7 .1 4 . ist zu entnehmen, daB die Verzerrung ein Einschwingen der Spannung % bewirkt. Fiir eine Leitungslange von 10 km ergibt sich beispielsweise das erste M axim um zu 0,54, wahrend der Betrag des darauf folgenden Minim um s nur 0,47 betragt. Die zweite Schwingung zeigt jedoch bereits nahezu gleiche V^erte fur M axim um und M inim um , namlieh 0,49. Ahnlich verhalt es sich mit dem Abstand der Nullstellen. Fiir x = 1 0 km betragen diese: 197°; 175°; 183°; 179°. D er Abstand der Nullstellen konvergiert also sehr schnell gegen 180°. M a n kann sagen, daB fiir x = 10 km der stationare Zustand praktisch bereits mit der zweiten Schwingung erreicht ist. Fiir groBere Leitungslangen ist dies naturlich nicht der Fall, da die Verzerrung nach Gl. (7.21) mit der Leitungslange zunimmt. Weiter zeigt Bild 7 .1 4 ., daB die Verzerrung eine Verschiebung der Nullstellen und damit der gesamten Sinusschwingung in positiver Richtung bewirkt. Diese Verschiebung wird im wesentlichen durch die Verzerrung der ersten Schwingung bestimmt. Obwohl eine Sinusschwin gung wie jedes andere Signal zum Durchlaufen der Leitungslange x die konstante Laufzeit t0 = l/TTC' x benotigt, ergibt sich damit auf Grund der V e r zerrung eine von der Frequenz f abhangige vergroBerte Phasenlaufzeit fur den eingeschwungenen Zustand. Die Frequenzabhangigkeit demonstriert Bild 7 .1 5 ., in welches die Spannung ujj fur x = 20 km fiir verschiedene Frequenzen eingetragen wurde. Fiir f = 100 kHz ist die Verschiebung praktisch gleich Null, so daB Phasenlaufzeit und Laufzeit des Signals iibereinstimmen. AuBerdem erkennt m an im Bild 7 .1 5 die Frequenzabhangigkeit der Amplitude. Fiir 100 kHz stimmt die Amplitude nahezu mit der iiberein, die m an durch Multiplikation des Eingangssignals mit dem Dampfungsfaktor erhalt. Die Verzerrung geht also offenbar fiir groBe Frequenzen gegen Null. Dies erklart sich aus der Tatsache, daB das Faltungsintegral
Eingangsspannung: Sinusschwingung f = 3,125 kHz Leitung 4 (Fernmeldekabel) AbschluBwiderstand R a = Z 0
{v(x,t)} {sin . Der Beweis ist leicht zu fiihren, indem man das Verhalten der Operatorenfolge {sin at} fiir groBe a untersucht: E s gilt {s in o )t }= s {|- ic o s < i)t }
(7.50)
und folglich {sin ait} —
s {o} = 0
fiir
a —- «
g
Die Bilder 7 .1 6 . und 7 .1 7 . zeigen die resultierende Spannung ua am A b schluBwiderstand R a = Z Q. Die Reflexion am LeitungsabschluB bewirkt eine Verschiebung der Nullstellen nach links (Verkiirzung der Phasenlaufzeit). Fiir x = 15 km heben sich die Verschiebungen infolge der Verzerrung und der Reflexion nahezu auf, so daB die Phasenlaufzeit fast gleich t0 wird. Bild 7 .1 7 . laBt erkennen, daB bei einer Leitungslange von 15 km auch die Amplitudenunterschiede durch die Reflexion praktisch aufgehoben werden. Dieser Umstand entspricht der oben festgestellten nahezu verzerrungsfreien Ubertragung des Rechteckimpulses.
130
Bild 7 .1 5 . ujj Spannung der hinlaufenden Welle Parameter: f Frequenz der Eingangsspannung in kHz Eingangsspannung: Sinusschwingung Leitung 4 (Fernmeldekabel) Lange der Leitung x = 20 km
9
131
7 .1 .3 . 3 .
Ubertragung eines sin2 -Impulses
Zum AbschluB moge noch die Ubertragung eines sin2-Impulses untersucht werden, also fO
(t < 0)
sin2 | - t o
ue (t) =
( 0 S t s T o)
(7.52)
(T o-
Bild 7 .1 6 . u a Spammng a m LeitungsabschluB Parameter: x Leitungslange in km Eingangsspannung: Sinusschwingung f = 3,125 kHz Leitung 4 (Fernmeldekabel) AbschluBwiderstand R a = Z 0
Alle weiteren Angaben und die Ergebnisse sind Bild 7 .1 8 . zu entnehmen. Die Verzerrungen ahneln denen des entsprechenden Rechteekimpulses (Bild 7 .9 .). Auch hier ist zu erkennen, daB die Verzerrung der resultierenden Spannungua fiir x = 15 km am geringsten ist. Das M axim um und die Nullstelle liegen dann an den glelchen Stellen wie die entsprechenden GroBen der Eingangsspannung ue . 7 .2 .
V e r z e r r u n g s f r e i e Leitu n g
Ist
v =i( l7 - £ ) =0’
(7-53>
so ergibt sich aus Gl. (7.26) w(t) = 0 . Damit sind auch alle fw(t)}n = 0 fur n S 2 . Die Verzerrungsfunktion verschwindet nach Gl. (7.21) ebenfalls v(x,t) = 0 . Fiir die Spannung der hinlaufenden Welle folgt aus Gl. (7. 22) uh = e " s V
^
* e -D
(7.54)
Nach Gl. (7.35) ist in diesem Fall auch Bild 7 .1 7 . ua Spannung am LeitungsabschluB Parameter: f Frequenz der Eingangsspannung in kHz Eingangsspannung: Sinusschwingung Leitung 4 (Fernmeldekabel) AbschluBwiderstand R a = Z 0 Lange der Leitung x = 15 km
5(t> = o und somit der Reflexionsfaktor nach Gl. (7.42) r
a
R -Z = _ £ -- ° R + Z ’ a o
so daB die reflektierte Spannung einfach proportional zur hinlaufenden Span nung ist R ur = R
132
'7a a
W
V o
(7 ' 55>
133
1
W ir stellen fest: Sind die Leitungskonstanten einer verlustbehafteten Leitung so beschaffen, daB gilt K . = SL L' C '*
(7.56) K '
so ist die Ubertragung verzerrungsfrei, d .h ., ein beliebiges Eingangssignal erscheint am LeitungsabschluB in der gleichen Form , lediglich verzogert um die Laufzeit x ^ L ' C ' und gedampft um den Faktor e_ D Y ^ ' C x ^ + r a). Bemerkenswert ist, daB es kein Einschwingen wie bei Systemen mit konzen trierten Param etem gibt. Die verzerrungsfreie Leitung besitzt noch eine weitere interessante Eigenschaft. Betrachten wir namlich die Verlustdampfung einer beliebigen verlust behafteten Leitung nach Gl. (7.23) a = i (S- + G 'Z o 2 IZ o ' o und fragen, unter welcher Bedingung dieser Ausdruck bei festgehaltenem R ' und G" zum Minimum wird, so finden w ir, daB dies fiir die verzerrungsfreie Leitung der Fall ist. W ir differenzieren dazu die Dampfung a0 nach Z 0 und setzen diese Ableitung gleich Null:
p
-S7>
o Hieraus folgt Zo = f f -
(7 -58)
Da die zweite Ableitung
Bild 7 .1 8 , Ubertragung eines sin^-Impulses Leitung 4, T o = 0 , 3 1 Q~^s Parameters Leitungslange in km
d * _ °= ii- > 0 , dZ Z3 o o
(7.59)
ist damit das M inim um nachgewiesen. Andererseits ist aber zo = f ¥ ’
so daB nach Gl. (7. 58) bei minimaler Dampfung gelten muB w
= w>
<7 -60)
was mit obiger Bedingung Gl. (7, 56) fiir die verzerrungsfreie Leitung ubereinstimmt. Die verzerrungsfreie Leitung besitzt unter alien Leitungen mit dem gleichen Widerstands- und Ableitungsbelag die kleinste Verlustdampfung:
cio = | R ' G ' .
(7.61)
134 135
I
Leider ist die Bedingung Gl. (7.56) fiir praktische Leitungen nicht erfiillt.
ST A T IO N A R E V O R G A N G E A U F V E R L U S T B E H A F T E T E N L E IT U N G E N
TV*
Das Verhaltnis j t ist im allgemeinen wesentlich groBer als das Verhaltnis n-» 7 ?-, so daB die Verzerrungskonstante V relativ groB wird (vgl. Tafel 4 des Anhangs). Das wirkungsvollste Mittel zur Verringerung der Verzerrung ist die Verkleinerung von R ' , wodurch auch die Dampfung abnimmt. Jedoch bedeutet dies VergroBerung der Leiterquerschnitte, also Erhohung des Materialeinsatzes und damit Verteuerung der Leitung. Die einfachste Methode zur Verringerung der Verzerrung ware die Erhohung von G', d .h . eine Verschlechterung der Isolation, eine gewollte gleichmaBige Ableitung von Energie entlang der Leitung. Dadurch erhoht sich natiirlich die Dampfung wesentlich. D a normalerweise die Dampfungskonstante a0 nach Gl. (7. 23) wegen der Kleinheit von G' lediglich durch das erste Glied bestimmt wird, wiirde sich fiir V = 0 fast eine Verdoppelung der Dampfung ergeben. Diesen Nachteil wird m an im allgemeinen nicht in Kauf nehmen konnen. Eine weitere Moglichkeit, namlich die VergroBerung von L ' und Verkleinerung von C ' durch Anderung der Querschnittsabmessungen, z. B . durch VergroBern des Abstands der beiden Leiter einer Doppelleitung, bringt keine entscheidende Verbesserung, da sich sowohl L ' als auch C ' nach Abschnitt 3. lediglich nach einer In-Funktion andern. Die erforderliche wesentliche VergroBerung von L ' kann m an durch Einbau konzentrierter Induktivitaten erreichen (sog. Pupin-Leitung), Im Abstand von z. B . 1,7 km werden Ringkernspulen in die Leitung eingefiigt. Dadurch wird die Leitung inhomogen und m an muB die dadurch bedingten neuen Eigenschaften, wie TiefpaBcharakter und Auftreten von Einschwingvorgangen beriicksichtigen. Der durch die konzentrierten Induktivitaten hervorgerufene TiefpaBcharakter verhindert die Ubertragung hoherer Frequenzen, so daB „bespulte" Leitungen nur fiir spezielle Zwecke eingesetzt werden konnen. Schliefilich kann zur Verringerung der Verzerrung der im Abschnitt 7 .1 .3 . gezeigte Effekt ausgenutzt werden, daB fiir bestimmte Leitungslangen die Reflexion am reellen AbschluBwiderstand eine weitgehende Verminderung der Verzerrung bewirkt.
8 .1 .
Spannung und Strom bei sinusformiger Eingangsspannung fiir groBe t
Die Ergebnisse des Abschn. 7 .1 .3 . 2. zeigen, daB bei sinusformiger Ein gangsspannung am Ausgang einer verlustbehafteten Leitung nach kurzem Einschwingen ebenfalls wieder eine Sinusschwingung erscheint. Interessiert nur der eingeschwungene Zustand, so geniigt es wie im Abschnitt 6 . die kom plexen Amplituden zu betrachten. Ihren Zusammenhang erhalt m an am einfachsten, indem m an zunachst die Leitungsgleichungen Gl. (4.15) durch den Ansatz u = ^ ( x ) e jwt
(8 . 1)
i = J ( x ) e i wt uberfiihrt in ein System gewohnlicher Differentialgleichungen fiir die von x abhangigen komplexen Amplituden VL und J : U '= - ( B T + j « L ') J J '= — (G' + j&>L") tt
(8' 2)
D a das Gleichungssystem Gl. (8.2) dem Operatorengleichungssystem Gl. (4.26) vollig entspricht, konnen wir die Losung in Analogie zu Gl. (4.36) sofort hinschreiben: n = u . e ~r x + u &?x he re 7 - ^ e _- ?x_^re ■ J ry c Z
(8 .3)
*x
mit Z =
R" + .i L ' G' + j C '
(8.4)
und ?”= y ( R ' + j
L-) W + i
o ’) .
(8.5)
Der Wellenwiderstand Z und die Fortpflanzimgskonstante y sind jetzt komplexe Zahlen, die durch die Leitungskonstanten und die Frequenz der Eingangsspan nung bestimmt werden. (Von den zwei komplexen Zahlen, die sich als Wurzeln ergeben, sei hier stets die mit positivem Realteil gemeint.) Die Integrationskonstanten K x und wurden hier aus spater ersichtlichen Griinden mit Mjjg und U ve bezeichnet. Offenbar ergibt sich auch bei verlustbehafteten Leitungen der stationare Vorgang aus dem allgemeinen Vorgang, indem m an den Differentiationsoperator s durch die komplexe Zahl j
137
Iter reale Spannungs- und Stromverlauf ergibt sich flam Zu
Beispiel:
u(x,t) = R e | ^ e i
\ e = 1’
i(x, t) = R e j 7e'*6)t|.
a ,l
(8-6>
8 .2 . Hin-und riicklaufende Welle, Reflexionsfaktor Entsprechend Gl. (8 .3 ) kann m an sich die Spannung Vt, durch Uberlagerung der beiden Spannungen M h = \ e e_r X
(8-7)
U
(8 . 8 )
und r
=U
re
e?x
entstanden denken. (Gleiches gilt fiir den Strom, was nicht besonders betrach tet werden soli.) Die komplexe Spannungsamplitude Gl. (8 . 7) reprasentiert eine auf der t l ifting hinlaufende gedampfte Welle, die Amplitude Gl. (8 . 8) eine riicklaufende eedampfte Welle. Setzt m an namlieh ?=a+jP ,
(8.9)
so folgt Re
r -tx jwtl | he e 7 e j
[l I ^ h e ~ax 3(“ t - /x ) = Re | K e l e e e
IK he
e
-ax
cos(«t —fix + ^ e)
(8 . 10)
und entsprechend Re { a ^ e ^ e 1®4 }
= R e j |z*r e | e fr e e ax ej(wt + ^ x > }
In 10 Np
“ h a ^ - 1=
2,3026 Np.
Die GroBe a, der Realteil der Fortpflanzungskonstanten y, ist nach Gl. (8 .12) die Dampfung je Langeneinheit, sie wird daher Dampfungskonstante genannt. Die Dampfungskonstante a erfafit gleichzeitig die durch die Verlustdampfiing und die Verzerrung bewirkte Anderung der Spannungsamplitude. Eine Unterscheidung in Verlustdampfung und Verzerrung hat im eingeschwungenen Z u stand keine praktische Bedeutung. D a die durch die Verzerrung hervorgerufene Amplitudenanderung frequenzabhangig ist, ist auch a eine Funktion der Frequenz. M r die Phasengeschwindigkeit vph und die Wellenlange X ergibt sich aus Gl. (8 .10) genau wie im verlustlosen Fall vph “ #
<8 -13) =
Durch Gl. (8.10) wird eine zum Leitungsausgang hinlaufende Welle beschrieben. Ihre Amplitude flir x = 0, also am Leitungseingang ist|Mhel- Die Ampli tude nimmt nach einer e-Funktion ab und erreicht am Ausgang der Leitung den Wert |z*h a | = | i r j e ' a l.
i. (8.14)
Da die Phasenkonstante fi als Imaginarteil der Fortpflanzungskonstante y nach Gl. (8 .5) nicht linear von to abhangt, wird die Phasengeschwindigkeit Vpk eine frequenzabhangige GroBe. E s hat daher den Anschein, als ob W e l len unterschiedlicher Frequenz mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten iiber die Leitung laufen wiirden. DaB dem nicht so ist, wurde im Abschn. 7. gezeigt. Jede Frequenz lauft mit der gleichen Geschwindigkeit iiber die Lei tung. Die unterschiedliche Phasengeschwindigkeit im eingeschwungenen Zu stand kommt durch die frequenzabhangige Phasenverschiebung der V erzer rung zustande. Durch Gl. (8 .11) wird eine zum Leitungseingang riicklaufende Welle darge stellt. I U Te I ist die Amplitude dieser Welle am Eingang der Leitung. Die Amplitude nimmt mit wachsendem x zu. Abgesehen von der umgekehrten Laufriehtung, stimmen alle Parameter mit denen der hinlaufenden Welle tiberein. Fiir den komplexen Reflexionsfaktor an der Stelle x gilt }r= 1 k = lh s . e 27 X “h “ he
= I“ re I e<£X cos(&,t + ^ x + y,re)-
(8.15)
und somit am LeitungsabschluB fiir x = 1
" a = s f e2?a he
<8 ' 16>
Der Reflexionsfaktor r an einer beliebigen Stelle x der Leitung kann demnach aus dem Ausgangsreflexionsfaktor sra berechnet werden nach der Formel
Die GroBe
I # he I al = l n l ¥ T T ha
(8 -12)
wird allgemein als Dampfung bezeichnet. Sie ist eigentlich eine dimensionslose GroBe, wird aber zur Unterscheidung von anderen DampfungsmaBen mit Neper (Np) gekennzeichnet. 138
=
x=
if e " 2 7'<1 _x ) SL
(8.17)
oder wenn wir wieder y als Abstand vom Leitungsende einfiihren r=
v e~2 ? y . a
(8.18) 139
Mit Gin. (8 .9 ) und (8.14) kann hierfUr geschrieben werden
v = e
_1
-2ay
x
J
L
a
( 8 .18a)
e J
Der in der Klam m er stehende Ausdruck stimmt mit der Formel Gl. (6.31) fiir den verlustlosen Fall iiberein. Zu Ihrer Auswertung wurde das im Bild 6 .3 dargestellte Diagram m entwickelt. Dieses Diagram m kann demnach auch hier verwendet werden, wenn m an nach der Drehung auf dem Is-1 -Kreis eine Ande rung des Betrages entsprechend dem Faktor K v = e " 2 ay
(8.19)
vom im m t. Die Bestimmung dieses Faktors kann mit Hilfe des Biagramms (Bild 8 .1 .) erfolgen. Seine Handhabuug ist ohne nahere Erlauterung verstandlich. E s ist lediglich zu beachten, daB die Dimension von a, reziprok zu der vo n y sein muB, also z . B . y in km undain kin-1. Zur Transformation des Reflexionsfaktors mit Hilfe der Diagram m e(Bilder6.3. und 8 .1 .) sind folgende Sehritte erforderlich (vgl. Bild 8 .2 .): 1. Berechnung von \ . 2. Drehung um \ auf \vn |-Kreis im Diagram m Bild 6 .3 . A a 3. Bestimmung des Faktors K v aus Diagram m Bild 8 .1. 4. Berechnung von |*i = K
Bild 8 .1 . Diagramm zur Berechnung von K y = e 2ay
V
ijt |. \k \ eintragen in Bild 6 .3 . B.
Bild 8 .2 . Transformation des Reflexionsfaktors
140 141
8 .3 . Widerstandstransformation Die Transformation des Widerstandes vom AbschluB einer verlustbehafteten Leitung zu einer beliebigen anderen Stelle wird auf die Transformation des Reflexionsfaktors zuriiekgefiihrt. Nach Gl. (8 .3) gilt namlich mit Gin. (8 .7 ) und (8 . 8) an einer beliebigen Stelle x der Leitung
2
m= m + u a r 73 _ J Z
Hieraus folgt fiir den Widerstand U J
tth
\Q23b
(8 . 2 0 )
“r Z'
nr ~
lh
0.7U85
02
_____ l V &
—
1
\
_ 1 +r l- r
h
\
<8 -21)
und damit
1
J
\
0,3985/ Die Auswertung dieser Formel [vgl. Gl. (6.52) ] fiihrte auf das Leitungsdiagram m (Bild 6 .10 .). W ir konnen es also auch fiir die verlustbehaftete Lei tung verwenden. Allerdings ist die Normierung und Entnormierung hier sehwieriger, da der Wellenwiderstand Z nach Gl. (8.4) selbst eine komplexe GroBe ist. Ein Beispiel moge das Vorgehen verdeutlichen: Gegeben sei eine Leitung mit dem Wellenwiderstand Z = (200 — j 100) Q , der Dampfungskonstanten a. = 0,1 N p/k m und der Lange 1 = 6,64 km. Die Leitung sei mit einem reellen Widerstand | a = R a = 1000 abgeschlossen und werde
Bild 8 .3 . Widerstandstransformation iiber verlustbehaftete Leitung
6 . A u s Bild 8 .3 .
>0,85 - j 0,3
7. Entnormierung:
mit einer Wellenlange X = -j- = 40,4 km betrieben.
= ( 0 ,8 5 - j 0,3) ( 2 0 0 - j 100) £2
W ie groB ist der Eingangswiderstand j e dieser Leitung?
= (140 — j 145) 12.
1. Normierung: Spezialfalle:
h t.-
looo a
Z - (200 -jl00)ffi
loop (2oo + j ioo) 4 0000 + 1 0000
. 4 +
2. Eintragen in Leitungsdiagramm, Bild 8 .3 . 3. Drehung auf |*r|-Kreis um ^
= 0,1645.
4. Bestimmung des Umrechnungsfaktors K v aus Diagram m Bild 8 .1 . Ky = 0,265. 5. Aus Bild 8 .3 . m a = 0,2 s | r a l = 0,666. |jre l = Kv |nra l = 0,265- 0,666 = 0,1765 & m e = 0 ,7 . Eintragen im Bild 8 .3 . 142
1. W ird eine Leitung mit ihrem Wellenwiderstand Z abgeschlossen, so ist der Eingangswiderstand stets gleich Z . A u s = Z folgt r a = 0. Nach Gl. (8.18) ist dann auch x e = 0 und somit = Z. 2. Eine unendlich lange Leitung besitzt unabhangig vom AbschluBwiderstand den Eingangswiderstand Z . Fiir 1 gegen Unendlich geht K v nach Bild 8 .1 . gegen Null; d .h . aber, daB die Transformation nach Bild 8 .2 . stets im Mittelpunkt, also im Punkt — = 1 endet. Zi 3. Der Wellenwiderstand ist das geometrische Mittel aus Leerlauf- und KurzschluBwiderstand ,a z
"
i h J i -
Ohne Rechnung ist aus Bild 8 .4 . zu entnehmen, dafi die beiden normierten ^L ?K Widerstande -g- und -g- stets symmetrisch zum Mittelpunkt liegen.
Die numerische Auswertung dieser Formeln erfolgt am zweckmaBigsten mit Hilfe der Additionstheoreme: cosh( a+ j/)l = coshal cos fi 1 + j sinhal sin p i
E s gilt also (vgl. Bild 6 .1 5.)
sin h (a + j^)l = sinhal cos fil + j coshal sin pi
z
£l
z
(8.24)
(8.28)
Die Kettenmatrix der verlustbehafteten Leitung lautet somit
Ik
/c o s h a l
woraus sofort Gl. (8.23) folgt. Die Beziehung Gl. (8.23) kann als Grundlage zur meBtechnischen Bestimmung des Wellenwiderstandes einer verlustbehafteten Leitung dienen.
Z sinh j'A
(A)
(8.29) sinh yl
cosh j l
mit e+j P = ]/(R' + j
« a cosh y l + J ^ Z sinhal (8.30) -g- sinh y l +
cosh yl
und mit
'a *
sinh v 1 i t , -- r-“—;. = tanh r 1 cosh y 1 1
wird daraus + Z tanh yl Bild 8 .4 . Leerlauf- und KurzschluBwi der stand
1 + — tanh f 1 Hieraus folgen die bereits oben diskutierten Spezialfalle:
8 .4 . Leitung als Vierpol
i - ;a = z = * ? e = z
Aus Gl. (8.3) folgt fiir den Leitungseingang (x = 0) U
e
ZJ
2 , 1 —* oo
= U. + VL he re e
(8.31)
h -
= VI. - u he re
(8-25)
? = Z
3 -h
=0
=Ztanh X l = h
4 -k
ae0m* h
= Z c°th ^ 1 = / L
und fiir den Leitungsausgang (x = 1) U
a
1 = It. e~3' 1 + U e^ 1 he re (8.26)
Z J a = K h e e" r l - K h e e /1 '
Aus Spannung und Strom am Eingang bzw. Ausgang der Leitung konnen die komplexen Amplituden der hin- und riicklaufenden Spannungswellen leicht ermittelt werden. Aus Gl. (8.25) folgt z . B . fiir den Leitungseingang
Durch Auflosen des Gleichungssystems Gl. (8.26) nach £?jle und U re und Einsetzen in Gl. (8.25) ergeben sich fiir die komplexen Amplituden der Eingangsund Ausgangsgroflen folgende Beziehungen:
(8.32) U
U = U cosh 7 1 + J Z sinh y 1 e a s a * ■7 = -g- sinhj'l + 3 144
cosh yl
re
■ Z7e ).
<8 -27>
10
145
8 .5 . Wellenwiderstand, Fortpflanzungskonstante
Den Verlauf der Ortskurve zeigt Bild 8 . 6 :
Die gefundenen Ergebnlsse zeigen, dafl die statlonaren Vor gauge auf verlustbehafteten Leitungen durch die beiden komplexen Kenngrdfien Z und y eindeutig beschrieben werden. Sie sollen daher hier noch einmal genauer betrachtet werden, insbesondere hinsichtlich ihrer Frequenzabhangigkeit. Iter komplexe Wellenwiderstand Z wird deflniert durch Gl. (8 .4).
1 . ® = 0 : y = f i F c r , d .h . 2.
a> klein, so daB
«
«=
Y F G 7 , / = 0.
w C ' , R ' » ai L ":
r = i / R ' j w c ' = t /r '
y ip ;.
= l/Il
I or' + j
(8.35)
(8.36)
Fiir eine bestimmte Leitung mit R1 G'
3. a) groB, so daB G'** w C ', R'<e
If. C'
ergibt sich flir den Wellenwiderstand Z in Abhangigkeit vonw der im Bild 8 .5 skizzierte Verlauf: 1. co = 0 : Z = y f
(8 . 33)
w
klein, d .h .
2b.
&)
so, daB
2c. co
groB, d .h .
/ = firc r d .h .
2. co so, daB G ' « 2a.
Y l /C '
R ' »
] /(ja > + D )2 + V 2 .
(8.37)
FUr groBe Frequenzen spielt die Verzerrung keine Rolle, d .h ., es kannV gleich Null gesetzt werden. Damit ergibt sich (D + j(y) = D f l T c ' + j &; ^ L ' C ' ,
a = D ~j jlC f = aQ
[vgl. Gl. (7.23)J
(8.38) (8.39)
e ”^ 5° ^~ 2
e" ^ 2 2 ’5°
(8.34)
R ' « coif : Z =
Bild 8 .5 . Ortskurve von Z
Auch fiir die Fortpflanzungskonstante nach Gl. (8.5) 7 = a + j / = Y ( R ' + 3 w L'> ( O ' + jtoC') l&Bt sich eine ahnliche Diskussion durchfiihren.
146
Bild 8 .7 . zeigt den prinzipiellen Verlauf von a und fi in Abhangigkeit von u . Erst im Bereich 3, also oberhalb einer bestimmten Grenzfrequenz w™. ist die Dampfung konstant und die Phasenverschiebung proportional zur frequenz, d .h . die Phasengeschwindigkeit nach Gl. (8.13) konstant Werden Signale iiber eine verlustbehaftete Leitung tibertragen, die Frequenzen aus dem Bereich unterhalb der Grenzfrequenz cogj. enthalien, so treten Ampli-
10
147
tuden- und Phasenverzerrungen auf. Diese konnen mit Hilfe von frequenzabhangigen Verstarkern und entsprechenden AllpaB-Netzwerken zumindestweitgehend ausgeglichen werden. Im Absehn. 7. wurde gezeigt, dafl bei bestimm ten Leitungslangen bereits durch die Reflexion am LeitungsabschluB eine wesentliche Verminderung der Verzerrungen errelcht wird.
8.6.
Ersatzschaltbilder
8 .6 .1 . Ersatzschaltbild fiir das Leitungselement Ein Leitungselement der Lange dx kann durch den im Bild 8 . 8 . dargestellten Vierpol aus konzentrierten Schaltelementen ersetzt werden. Mit den Bezeichnungen von Bild 8 . 8 . gilt namlich fiir den Knoten A J = ( J + d J ) + (G'dx + jw C 'dx) U
(8.40)
und fiir die Masche M U = (R 'd x + jw L 'd x ) 7 + Vt, + d M ,
(8.41)
wobei Glieder, deren Kleinheit von zweiter Ordnung ist (d J dx), vernachlassigt werden, w as unter der Voraussetzung dx —►0 erlaubt ist.
R 'dx
Bei der Untersuehung von a, und / wurde wie vereinbart angenommen, daB die Leitungskonstanten unabhangig von der Frequenz sind. Auf Grund der Stromverdrangung (Skin-Effekt) steigt jedoch insbesondere der Widerstandsbelag R ' mit der Frequenz an, so dafl die Dampfung a, im Gegensatz zur Darstellung im Bild 8 .7 von einer gewissen Frequenz an wieder zunimmt. FUr eine symmetrische Zweidrahtleitung ergibt sich z . B . nahe rungs weise 12 r;
1 +
(f< y
! +
(f> g
R' =
H
f
itr zji)i0 Hierbei bedeutet:
(8.42)
| f = - (R ' + J « L ' ) 7
(8.43)
Ersatzschaltbilder fiir ein Leitungsstuck der Lange 1
Unter der Voraussetzung, daB die Lange 1 eines gegebenen Leitungsstiickes der Bedingung Iyl I s 0,14
(8.44)
geniigt, konnen die in Gl. (8.27) vorkommenden hyperbolischen Funktionen jeweils durch das erste Glied ihrer Taylorreihe ersetzt werden, ohne daB der dadurch entstehende Fehler 1% iibersteigt, Aus Gl. (8.27) folgen dann die Naherungsgleiehungen:
R q Widerstandsbelag bei Gleichstrom r Radius der Leiter x spezifische Leitfahigkeit des Leitermaterials Ji relative Permeabilitat jlq Induktionskonstante 148
= — (G' + j w C ') U
Das sind die fiir den stationaren Zustand gtiltigen Leitungsgleiehungen Gl. (8.2), so daB damit gezeigt ist, daB die Eigenschaften eines Leitungsstiickes der Lange dx und des Vierpols (Bild 8 . 8 .) fiir dx — 0 iibereinstimmen'.
mit der Grenzfrequenz 4
U+dU
Nach Umformung folgt hieraus
8 .6 .2 . R' o
L'dx
U
e
=U
a
+J
a
Z /I •
(8.45)
J e ^ a £ + J a11
149
w
Mit den Abkiirzungen
Fiir ihn gelten die Beziehungen
n ' = R ' + j u L'
a e = aa + * ' 17a
(8.46)
(f' = G ' + j o C ' gilt aber
(8.52)
J e = ^ 1Z*a + [ 1 + ( 3 '1)2 H r
z7 =
(8.47)
und 1 Z
nr
(8.48)
V w =t
so daB Gl. (8.45) einfacher geschrieben werden kann: m
J
e
i
a
+J
(8.53)
cosh yl = 1 +
lautet, hat der Fehler der Ersatzschaltung die gleiche Grofienordnung wie
U + K 'l j a a
= CflU
Sie stimmen mit den Naherungsgleichungen Gl. (8.49) nahezu iiberein. Ledig lich der zweite Koeffizient in der Stromgleichung enthalt zusatzlich das Glied (jl)2 . D a dieser Koeffizient in den exakten Gleichungen (8.27)
der der Naherungsgleichungen Gl. (8.49), namlich — (yl)2 . (8.49)
a
Nun kann m an das obige Halbglied natiirlich auch in umgekehrter Richtung betreiben (Bild 8 .1 0 .).
M e Gin. (8.49) konnen nach Gl. (8.44) angewendet werden fiir Leitungslangen
,< M i -
0 ,1 4
0 ,1 4 _ 0 ,1 4 X, 2 it
(8.50)
TL'I
d .h . 1 < 0 ,0 2 %.
(8.51)
Beispiele: 1. Fernsprechtechnik: f = 2. Starkstromtechnik:
3 kHz —»1 < 2 km
f = 50 H z
— 1 < 120 km
E s liegt nun nahe zu versuehen, ein der Bedingung Gl. (8 .44) geniigendes kurzes Leitungsstuck durch einen Vierpol aus konzentrierten Elementen zu ersetzen. Zunachst betrachten wir einen Ersatzvierpol nach Bild 8 .9 . Er entspricht der oben fiir das Leitungselement verwendeten Ersatzschaltung.
Die Vierpolgleichungen lauten dann tte = [l + (7 l)2]wa + » ' l 7a j
%
e
= griu + j i a a
.
(8.54)
Durch Vergleich mit Gl. (8.49) ertennt m an, daB jetzt der erste Koeffizient in der Spannungsgleichung abweicht. Fiir den dadurch entstehenden Fehler gilt das gleiche wie oben. Die genannten Ersatzschaltbilder nahern eine Leitung urn so besser an, je kleiner die Leitungslange 1 ist, da der Betrag des relativen Fehlers in der Grofienordnung
-n't
X
Un
2 7»
‘
(8.55)
liegt. M a n wird daher eine wesentlich bessere Ersatzschaltung erhalten, wenn man die vorgegebene Leitungslange in zwei gleichlange Stiicke der Lange zerlegt Bild 8 .9 . 1. Ersatzschaltbild
und jedes Stuck fiir sich durch eine der oben angegebenen Ersatzschaltungen
150
11
151
darstellt. Dabei ist es giinstig, die Kettenschaltung der Ersatzvierpole in der in den Bildern 8 .1 1 . und 8 .12 . angegebenen Weise vorzunehmen, da auf diese Weise symmetrisehe Vierpole entstehen, was der Symmetrieeigenschaft der darzustellenden Leitung entgegenkommt. T t 'j
Aus den Gleichungssystemen Gin. (8.56) und (8 . 57) erkennt m an. daB die T-Ersatzschaltung die Spannung und die tC-Ersatzschaltung den Rtrom J e besonders gut aimahert. Je nach Verwendungszweck wird m an daher die eine oder die andere Ersatzschaltung verwenden, wobei das Verhaltnis der Betrage von und 3 ^ beriick^ichtigt ^verden m u 8 .
T t 'j
9'!
Bild 8 . 11. 3 . Ersatzschaltbild (T-Glied)
«e=[l + M
!
(8.56)
7 e = f 1 U a + [1 + | ( r l ) 2> a Die Ersatzschaltung fiir eine Leitung groBerer Lange erhalt m an durch Zerlegung der Leitung in 2n-Leitungsabschnitte und Ersatz von je 2 Abschnitten durch ein T- oder JT-Glied. Bild 8 .1 3 . zeigt als Beispiel die T-Ersatzschaltung.
W
f 'r l
2
-o-oBild 8 .12 . 4. Ersatzschaltbild (tf-Glied) « e = [ 1 + l ^ ) 2] “ a + r l ^a
(8.57) ^ e = f 1 [ 1 + i ( ? ' 1)2] « a + [ 1 + l ^ ) 2h
Die Koeffizienten in der Hauptdiagonale der beiden Gleichuiigaaysteme Gin. (8.56) und (8 . 57) stellen die ersten beiden Glieder der cosh-Reihe dar und ergeben somit eine relativ gute Naherung der entsprechenden Koeffizien ten des Gleichungssystems Gl. (8.27) Fiir die Koeffizienten der Nebendiagonale gilt das jedoch nicht, da die ersten beiden Glieder der Taylorreihe fiir sinh folgendermaBen lauten: sinh j-l =j l +
1 + 1 ( 7 i}2 +
:rl[:
(8.58)
Der Fehler wird in beiden Gleichungssystemen im wesentlichen durch den Koeffizienten bestimmt, der nur das erste Glied der Reihe Gl. (8.58) enthalt. Der Betrag des relativen Fehlers liegt in der Groflenordnung: n 152
(8.59) 153
9. A N H A N G
Programm zur Berechnung der Funktion w(t) 1
n-z „ 2
w(t) = - 5 i j i c
v
-Dt
e
V
2_j
f V . \ 2i 12
I
i> (i+iyr
i= 0
9 .1 . Rechenautomaten-Programme zur Berechnung der Vorgange auf verlustbehafteten Leitungen Zur Berechnung des zeitlichen Ablaufs von Spannung bzw. Strom an der Stelle x einer verlustbehafteten Leitung benotigt man nach den Absehnitten 7 .1 .1 . und 7 .1 .2 . die Funktion w(t) [Gl. (7.26)] und 5(t) [Gl. (7.35)] sowie deren Faltungen mit sich selbst. Im folgenden werden daher die hierzu erforderlichen Programme kurz beschrieben: 1. 2. 3.
Programm zur Berechnung der Programm zur Berechnung der Programm zur Berechnung der
Funktion w(t) Funktion § (t) Faltung
Alle diese Programm e sind in der algorithmischen Sprache „ A L G O L 6 0" formuliert. Als Beispiel fiir die Anwendimg dieser Programme wird schliefilich das EluBbild eines Program m s zur Berechnung der Spannung am Ausgang einer verlustbehafteten Leitung unter Beriicksiehtigung der auftretenden Reflexion angegeben. In ahnlicher Weise konnen alle anderen Fragen zur Ausbreitung von Wellen auf verlustbehafteten Leitungen gelost werden.
begin real t, tMin, tMax, delta, R , L , G , C , eps, y, a, i, V , D ; integer k; array w[0 :n]; Boolean Q ; fi : = ( R / L + G 7 C )/2 ; V : = (R /L - G / C ) / 2 ; t := t M i n ; k : = 0 ; A : y : = (Vxt/2)f2; i : = l; a : = l ; w[k]: = l; B :a := a x y / i ; i := i + l; a : = a/i; w [k ]:= w [k ]+ a; if abs(a) > eps then go to B else if Q then go to E else w [k]: = —lxsqrt (L x C) xVxVxexp (-Dxt)/2xw[k]; E : k : = k + 1 ; t:=t+delta; if t > t M a x then go to S T O P else go to A ; end Erl toterung; 1. Eingabe:
1 .1 .
1 .2 . 1 .3 . 1 .4 .
Minimale und maximale Zeit tMin, tMax [s] Schrittweite delta [s] Anzahl der Schritte n ganze Zahl Leitungskonstanten R [Q/km] L [H/km] G [S/km ] C [F/km] Genauigkeitsforderung eps Q = true : £ (t) wird berechnet Q = false; w(t) wird berechnet
2. Ausgang: Je nachdem, ob Q wahr ist oder falsch, wird E (t) oder w(t) be rechnet und steht als Feld zur weiteren Verarbeitung bzw. zum Druck bereit. A n der Stelle k des Feldes steht der Funktionswert fiir t = tMin + k delta.
154
155
Programm zur Berechnung der Funktion j (t)
1 + y -1
Z_j i= l
.L'.?
Programm zur Berechnung der Faltung £
' .(2i ~ 1), (vt)i
i ! (i +1)!
Erlauterung: 1 .1 .
1 .2 . 1 .3 . 1 .4 .
i(t) g (t - * )d * }
' vt'
begin real t, tMin, tMax, delta, R , L , G , C , eps, y, a, i, j, V; integer k; array Z[0:n]; Boolean Q ; V : = ( R / L —G 7 C )/2 ; t : = tMin; k : = 0 ; A ; Z[k]: = l; a : = l; i : = l; j : = 1; y := V x t ; B : a : =axjxy/i; i : = i + l; j : = j + 2 ; a : = a/i; Z[k]:= Z[k]+a; if abs(a) > eps then go to B else if Q then go to E else Z[k]:=-lxVxexp (-R/Lxt)x z{k]; E : k : = k + 1 ; t:=t+delta; if t > tM ax then go to S T O P else go to A ; end
1. Eingabe:
{h(t)} ={f(t)} {g(t)} = { /
Minimale und maximale Zeit tMin, tM ax [s] Schrittweite delta [s] Anzahl der Schritte n ganze Zahl Leitungskonstanten R[fi/km ] L [H /km ] G [ S /k m ] C [F /k m ] Genauigkeitsforderung eps Q = true : 1 + E wird berechnet Q = false: § (t) wird berechnet
2. Ausgang: Je nachdem, ob Q wahr ist oder falsch, wird 1 + £ oder £ (t) berechnet und steht als Feld zur weiteren Verarbeitung bzw. zum Druck bereit. A n der Stelle k des Feldes steht der Funktionswert fiir t = tM in + k delta.
begin real delta; integer n, i, j, k, m ; real array f, g, h [0 :n]; hToT: = 0 ; m : = l; A : i : = 2 x m ; j : = 0 ; k : = 2 x m ; h k := 0 : B : h [kl: = h [k] + f [i]xg [j]+4xf [i —l]xg [j + l] + f [i—2] xg Q + 2]; if i > 2 then go to C else go to D ; C : i := i—2; j := j + 2; go t» B ; D : h[k] :=h[k]xdelta/3; m : = m + l; if k-< n then go to A else i := 0 ; E : h[i + 3]7= (—1 xh[i]+ 9xh[i + 2] + 9 xh [i+ 4]—lxh[j. + 6])/16; if i + 6 < n then go to F else go to G; F: i := i + 2; go to E ; G : h[i + 5] : = (h|T[-5xh [i+ 2 ]+ 15xh [i+4] + 5xh [i + 6])/16; i := 0; h [i + 1] : = (5xh [i] + 15xh [i + 2]—5xh [i + 4] + h [i + 6])/16; end Erlauterung: 1. Eingabe:
1 .1 . 1 .2 .
Schrittweite delta Anzahl der Schritte n (ganze Zahl) f(t) und g(t) als Feld 0 :n
2. Ausgang: D as Programm berechnet die Faltung aus f(t) und g(t) mit Hilfe der Simpsonschen Formel und anschlieBender Interpolation mittels der Lagrange'schen Interpolationsformel dritten Grades.
Im A L G O L- P r o g r a m m wurde statt ^ der Buchstabe Z verwendet.
156
157
Program m zur Berechnung der Spannung am Aasgang einer verlustbehafteten Leitung
9 .2 . TafelnTafel 1. Hilfsfunktion zur Berechnung von w(t)
Blockdtagramm
, 2i [f*i
■
E i =0
i ! (i + 1)!
Vt
M
E
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0,100000000 0,113031820 0,159063685 0,263558014 0,487973257 0,973425685 0,204473122 0,445825979 0,999682842 0,229092160 0,534197660 0,126342884 0,302355813 0,730815190 0,178153227 0,437499896 0,108132429 0,268779009 0,671459249 0,168498671 0,424549734 0,107361142 0,272399642 0,693234805 0,176912324 0,452629210 0,116077481 0,298330772 0,768289316 0,198229040 0,512354693
1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 8 8 8 9 9 10 10 10 11 11
Erlauterung: Die Zahl y ergibt sich aus der Tafel in der Form E y = M 10
158
159
Tafel 2. Hilfsfunktion zur Berechnitng von § (t)
y = 1+
£
Tafel 3. Formeln der Operatorenrechnung
(Vt)1
{gCt)} {f
= \f
i =1 s{f(t)} = { f (t)} + f(0 ) Vt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
M 0,100000000 0,190526214 0,509067872 0,186277762 0,842152877 0,431025901 0,237719214 0,137680271 0,825456448 0,507849700 0,318785349 0,203350954 0,131436955 0,858946584 0,566583383 0,376736315 0,252248171 0,169926806 0,115088254 0,783210062 0,535287211 0,367258897 0,252857768
E 1 1 1 2 2 3 4 5 5 6 7 9 9 10 11 12 13 14 14 15 16 1?
0
(t < T
f (t - T)
(T S t
hT { f ( t ) } = e " s T {f(t)} =
Funktion
Operator
Bemerkung
1 s n!
n s 0 (ganz)
sn + 1 at
1 s —a
a komplex
n! n+1
tn e at
(s - a ) e
at
, , sin « t
a reell hi reell
co -a)2 + o) 2
e
at
a
cosa>t
(s - a ) e at sin()
2
+ 0
2
m- cos
+ cu
Erlauterung: Die Zahl y ergibt sich aus der Tafel in der Form y = M 10E
160
1 + (l)
eat sin (a)t+y Q) (a — a)
2
2
+ co
mit fo = aretan
161
r Freileitung
Symmetrisches Femmeldekabel 577,3
Koaxialleitung
1. Theorie der linearen Systeme ! 111,5
O cs N
7 0 ,7
Leitungstyp
10. L IT E R A T U R V E R Z E I C H N I S
0Q \
[2]
224
[3] 283
1 W O > iH
[13
CO 00 03
[4 ]
I
0,0 02 0,0045 0,0 09
0 ,0 89 5 0 ,2 2 4 0 ,4 4 7
450 1200 2450
19 9 8 7 ,5 4 9 9 8 7 .5 9 9 9 8 7 .5
550 1300 2 550
04 a
[8] [9] D.0]
20 0 1 2 ,5 50 0 1 2 ,5 100 0 1 2 ,5
* 0
CO
[ll] 0.2]
[t3]
“
0 ,1
b
rH
0 ,6
[l4] J
2. Operatorenrechnung &.5]
Pi C3
ID O O O O O cq m 0 rH rH CM CQ LO © rH H N W
0 ,5
ij 1
0 ,2 5
1
Nr.
Leitungen Tafel 4 Ubersicht iiber die betrachteten 162
rH _ I P OQ
66668 666 6T 666 6
i-4 > 100
[6]
[7]
40
53 g
10 001 20 001 40 001
1
50
0
0 ,0 3 5 4 0,0708 0,1 41 6
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2 / 4 1 3 1 7 7 1 7 3
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Sm ith- Diagram m
