Heinrich Martini
Theorie der Übertragung auf elektrischen Leitungen M it 52 Abbildungen und 5 Tabellen
Dr. Alfred Hüthig Verlag Heidelberg
Fachbuchreihe Angewandte Elektronik für Fachhochschulen Herausgeber: Dr. phil. VIKTOR FETZER
Dipl.-Ing. H e in r ic h M a r t in i , Jahrgang 1928, beendete 1953 mit der Diplom hauptprüfung sein Studium der Eiektroteehnik an der Technischen Universi tät München. Von 1954 bis 1963 war er Entwicklungsingenieur für Nachrich tenkabel bei der Siemens AG , Neustadt b. Coburg. Seit 1963 ist er Dozent für Technische Elektrizitätslehre, Theoretische Elektrotechnik und Nachrichten übertragungstechnik an der Fachhochschule Coburg.
ISB N 3 - 7 7 8 5 - 0 2 9 2 - 1 D as W erk ist u rh eb errech tlich g esch ü tzt. D ie dadurch b egrü n d eten R ech te, in sb eso n d ere d ie d er Ü b e rsetzu n g d es N ach d ru ck es, der E n tn a h m e v o n A b b ild u n g en , der F u n k sen d u n g, der W iedergab e a u f p h o to m e ch a n isc h e m oder äh n lich em W eg e und der S p eich erun g in D aten verarb ei tu n gsan lagen b leib e n , auch b ei nur a u sz u g sw eiser V erw ertung, Vorbehalten. B ei V erv ielfä ltig u n g en für gew erb lich e Z w eck e ist gem äß § 54 U rh G e in e V erg ü tu n g an d en V erlag zu za h le n , deren H ö h e m it d em V erlag zu verein b aren ist. © 1974 D r. A lfred H ü th ig V erlag G m b H , H eidelberg Printed in G erm a n y E in b a n d g e sta ltu n g : A lfred K ru g m a n n , S tuttgart B in d u n g: G ro ß b u ch b in d erei A lo y s G raf, H eid elb erg
Vorwort Dieses Buch will ausführliches und grundlegendes Wissen über die gewöhnliche Leitungstheorie vermitteln. Es werden die Aus breitungsvorgänge auf idealen und wirklichen Mehrfachleitungen für den stationären Zustand bei sinusförmiger Erregung behandelt. Die für alle Leitungen unabhängig vom Verwendungszweck gelten den theoretischen Grundlagen werden so dargestellt, daß die Zusam menhänge zwischen den exakten Ergebnissen der Theorie und den in der Praxis üblichen Näherungen zur Berechnung sowie Messung der vom Konstruktionsprinzip abhängigen Übertragungseigenschaf ten untersucht werden können. Einzelheiten über den Aufbau von Nachrichten- und Starkstromleitungen werden insofern berück sichtigt, als sie die verschiedenen Größenordnungen der Leitungs daten mitbestimmen. Die in den Text eingestreuten Zahlenbeispiele sollen eine Vorstellung von den Größenverhältnissen der elektri schen Eigenschaften wirklich ausgeführter Leitungen geben. Voraussetzung zum Verständnis des vorliegenden Buches sind die Grundlagen der Mathematik und Elektrotechnik, die im ersten Stu dienabschnitt an einer Fachhochschule gelehrt werden. Ich hoffe, daß dieses Buch allen Studenten der Elektrotechnik eine praxisnahe Einführung in die Leitungstheorie, den in der Praxis tätigen Ingenieur eine nützliche Arbeitsunterlage bei der Lö sung von Leitungsproblemen sein wird. Coburg, im Sommer 1973
Heinrich Martini
Inhaltsverzeichnis
3.10 Zusammenhang zwischen den Wellenparametern und den Leerlauf- und Kurzschlußwiderständen ...........
Inhaltsverzeichnis
V orw ort........................................................................................... Verwendete Form elzeichen......................................................... 1.
5 9
Einleitung .............................................................................
13
Leitungskonstanten............................................................. 2.1 Leitungsbeläge...................................................................... 2.1.1 Widerstandsbelag .................................................... 2 . 1.2 A bleitungsbelag......................................................... 2.1.3 K apazitätsbelag......................................................... ' 2.1.4 Induktivitätsbelag .................................................... 2.2 Wellenparameter................................................................... 2.2.1 W ellenwiderstand....................................................... 2 .2.2 Übertragungskonstante..............................................
17 17 17
2.
3. 3.1 3.2 3.3
3.4 3.5 3.6
3.7 3.8 3.9
Verlustbehaftete homogene Leitung .......................... .... Herleitung der Wellengleichung........................................... Lösung der Wellengleichung bei sinusförmiger Erregung. Spannungs- und Stromverteilung auf der Leitung........... 3.3.1 Beliebiger V erbraucherw iderstand......................... 3.3.2 A npassung.................................................................. Vierpol- und Betriebsdäm pfung........................................ Phasen-und Gruppengeschwindigkeit............... ............... Berechnung der Wellenparameter aus den Leitungsbelägen..................................................................... 3.6.1 Exakte Beziehungen für beliebige Frequenzen . . . 3.6.2 Näherungen für tiefe F requenzen ........................... 3.6.3 Näherungen für hohe Frequenzen ......................... 3.6.4 Kriterien für die Verwendung der Näherungen . . . 3.6.5 Berechnung der Phasen- und Gruppenge schwindigkeit .............................................................. Berechnung der Leitungsbeläge aus den W ellenparametern.................................................................. Komplexer R eflexionsfaktor............................................ Eingangsw iderstand............................................................
20
20 21
23 23 24 26 26 27 29 29 34 37 40 42 42 44 45 47 49 53 54 55
3.11 Leistungsbeziehungen ........................................................ 3.11.1 Leistungsübertragung bei A np assu n g.................. 3.11.2 Leistungsübertragung bei F ehlanpassung ........... 3.12 Starkstrom leitungen............................................................. 4. Hochfrequenzleitungen...................................................... 4.1 Verlustlose homogene Hochfrequenzleitung.................... 4.1.1 Spannungs- und Stromverteilung bei beliebigem V erbraucherw iderstand........................................... 4.1.2 Spannungs-und Stromverteilung bei reellem V erbraucherw iderstand........................................... 4.1.3 Eingangsw iderstand.................................................. 4.1.4 R eflex io n sfak to r....................................................... 4.1.5 Leitungsdiagramme ................................................ 4.1.5.1 Buschbeck-Diagram m '.......................................... 4.1.5.2 Smith-Diagramm .................................................. 4.1.6 Hochfrequenzm eßleitung......................................... 4.2 Homogene Hochfrequenzleitung mit kleinen. Verlusten . 4.2.1 Wellenparameter.................................... .................... 4.2.2 Spannung und Strom auf der offenen und kurzgeschlossenen Leitung ..................................... 4.2.3 Eingangswiderstand der offenen und kurz geschlossenen L e itu n g .............................................. 4.2.4 Leitungsresonatoren ................................................ 4.3 Vierpolkennkreis der verlustbehafteten homogenen H ochfrequenzleitung........................................................... Berechnung der Leitungskonstanten homogener Leitungen .............................................................................. 5.1 Ungeschirmte L eitungen...................................................... 5.1.1 Doppelleitung ........................................................... 5.1.2 Symmetrische Drehstromfreileitung ..................... 5.2 Geschirmte L e itu n g e n ......................................................... 5.2.1 Doppelleitung ........................................................... 5.2.2 Symmetrisches D rehstrom kabel.............................. 5.2.3 K oaxialleitung...........................................................
1
62 64 64 67 71 75 75 75 76 80 82 85 85 88
93 96 96 99 102 104 109
5.
114 115 115 12J 123 123 127 128
8
Inhaltsverzeichnis
5.2.3 .1 Leitungskonstanten .............................................. 128 5. 2 .3 .2 K opplungsw iderstand........................................... 134
Verwendete Formelzeiehen
6. 6.1 6.2
Inhomogene Leitungen.................. ................................... 139 Pupinleitung ........................................................................ 139 Wirkliche H ochfrequenzleitung......................................... 146
a aB
Vierpoldämpfungsmaß, Leiterabstand Betriebsdämpfungsmaß
7. 7.1 7.2
Gekoppelte verlustlose Hochfrequenzleitungen............. 149 Grundlegende B eziehungen ............................................... 149 R ich tk o p p ler........................................................................ 152
b B
Phasenmaß, Winkelmaß Blindleitwert
C’
Kapazitätsbelag
Gegenüberstellung von Nachrichten- und Starkstrom leitungen ................................................................................ 154 8.1 Nachrichtenleitungen ........................................................ 154 8.2 Starkstrom leitungen............................................................. 156
d D
Leiterdurchmesser, Dicke Außenleiterdurchmesser
ejw t
Zeitfaktor
9. 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5
Anhang: Wichtige mathematische B eziehungen............. N äherungen.......................................................................... Kreisfunktionen ................................................................. Hyperbelfunktionen .......................................................... Ellipse in komplexer Form ............................................... Taylorscher S atz...................................................................
/ /j fc /G
Frequenz Metallverlustfrequenz Kritische Frequenz Grenzfrequenz
10.
Literaturverzeichnis............................................................ 160
G’ G
Ableitungsbelag Wirkleitwert
11.
Sachwörterverzeichnis........................................................ 163
i / , 1= 1- eJi^
Reeller Augenblickswert des Stromes Komplexer Augenblickswert des Stromes Reelle Amplitude des Stromes Komplexe Amplitude des Stromes
k
Knotenbreite, Koppelfaktor
/ L’ L d, Lg Lh Lj Ln L Sp Lx
Leitungslänge Induktivitätsbelag Äußere Induktivität Gesamtinduktivität Hülleninduktivität Innere Induktivität Induktivität infolge Nähewirkung Induktivität einer Pupinspule Induktivitätsbelag für co -* °°
m
Anpassungsfaktor
8.
157 157 157
158 159 159
2 = / • ejw t
10
Verwendete Formelzeichen
Verwendete Formelzeichen
Blindleistung Scheinleistung Wirkleistung
Zoo
Q
Güte
r r_ ra> ri rh R R’
Ro
Betrag des Reflexionsfaktors Komplexer Reflexionsfaktor Radius des Außen- bzw. Innenleiters Hüllenradius Wirkwiderstand, Außenleiterradius Widerstandsbelag Gesamter Verlustwiderstand Verlustwiderstand einer Hülle Wirkwiderstand eines Leiters Verlustwiderstand infolge Nähewirkung Gleichstromwiderstand
<*G aR
s
Welligkeitsfaktor, Spulenfeldlänge
t tan 6
Zeit Verlustfaktor
u u_= U-eJw t U U= U ■e u
Reeller Augenblickswert der Spannung Komplexer Augenblickswert der Spannung Reelle Amplitude der Spannung Komplexe Amplitude der Spannung
»g
Gruppengeschwindigkeit Phasengeschwindigkeit
P\) •Ps
Rg
-^h Ri Rn
Betrag des Wellenwiderstands für w -»• 00 Betrag des Kopplungswiderstands
%
Dämpfungskonstante Ableitungsdämpfung, dielektrische Dämpfung Widerstandsdämpfung
a
Phasenkonstante, Winkelkonstante
ß y = a + ]ß
Fortpflanzungskonstante, Übertragungskonstante
8
Isolationsverlustwinkel
e = e0 e r
Absolute Dielektrizitätskonstante, Metallver lustwinkel 1
e°
, 4 i t - 9 - 10
Blindwiderstand
Y = G + ]B
Komplexer Leitwert
Zl ~ R + j X
Komplexer Widerstand
Z~F0 = 120 3t £2 Z l = Z i + jZ 2
Feldwellenwiderstand des freien Raumes Betrag des Wellenwiderstands Komplexer Wellenwiderstand
Zi Z2
Realteil des Wellenwiderstands Imaginärteil des Wellenwiderstands
F m
A I . « n 1 n + A T V J ,-»1 r \ ‘\ r 4 - * i ’- r i + n fl H ö f /lUSÜiUlc J^lclcKtiiZILdLalvUiiblaiiLC UCö „ ^ freien Raumes Relative Dielektrizitätskonstante
£
Äquivalente Leitschichtdicke
K
Spezifische Leitfähigkeit
X
Wellenlänge Absolute Permeabilität
M= Mo Mr T-T
ß o = 4 3t ‘ 10 ~7 — Absolute Permeabilität des freien Raumes m Relative Permeabilität Mr
X
11
CO = 2 3 t • /
Phasenwinkel Gruppenlaufzeit Phasenlaufzeit Kreisfrequenz
1. Einleitung Elektrische Energie breitet sich längs Drähten stets in Form elektromagnetischer Wellen aus. Besteht das Übertragungsmittel aus einer Mehrfachleitung, d.h., sind mindestens zwei gegenein ander isolierte Leiter vorhanden, dann kann sich eine gewöhnliche Leitungswelle (L-Welle) fortpflanzen. Eine L-Welle hat folgende Merkmale: Es existiert nur ein transversales magnetisches und elek trisches Feld, die Grenzfrequenz der Welle ist Null. Die Eigenschaf ten einer L-Welle werden durch die gewöhnliche Leitungstheorie eindeutig beschrieben, solange die Leitung verlustlos ist. In diesem Fall können die Leitungsgleichungen aus den Maxwellschen Feld gleichungen hergeleitet werden. Es gibt aber keine verlustbehaftete Leitung, die eine reine L-Welle führt, da infolge der endlichen Leitfähigkeit der metallischen Leiter immer eine elektrische Feld kom ponente in Ausbreitungsrichtung entsteht. Die gewöhnliche Leitungstheorie kann daher bei verlustbehafteten Leitungen ledig lich Näherungslösungen liefern. Theorie und Erfahrung zeigen aber, daß diese Näherungen sehr genau sind. Eine Mehrfachleitung wird im folgenden einfach Leitung genannt. Unter den Begriff Leitungen fallen auch Kabel. Zum Unterschied zur Freileitung m it relativ großen Leiterabständen hat ein Kabel wegen seines begrenzten Außendurchmessers relativ kleine Leiter abstände und meistens einen äußeren metallischen Schirm. Die einfachste Leitungsbauform ist die aus einem Hin- und Rückleiter bestehende Doppelleitung. In der symmetrischen Aus führung als ungeschirmte Doppelleitung, die klassische Freilei tung, in unsymmetrischer Ausführung als Koaxialleitung, deren Außenleiter gleichzeitig die Funktionen der Rückleitung des Stro mes und äußeren Schirmung übernimmt. Eine weitere Grundform repräsentiert die aus drei Leitern aufgebaute abgeschirmte Dop pelleitung. Hier sind zwei Betriebszustände möglich. Im .Gegentakt betrieb wird ein Innenleiter als Hinleiter, der andere als Rückleiter benützt, während der Schirm neutral ist. Im Gleichtaktbetrieb wer den beide Innenleiter als Hinleiter, der Schirm als Rückleiter ver wendet. Bei Frequenzen über 1 MHz ist der Betriebszustand nicht
14
1. Einleitung
1. Einleitung
m ehr eindeutig. Geringste, bei der Fertigung unvermeidbare Un symmetrien im Leitungsaufbau verursachen eine Kopplung beider Betriebszustände über den Schirm. B i l d 1 zeigt die einfachsten Leitungsbauformen.
q)
c)
Bild 1: Einfache Leitungsbauformen a) ungeschirmte Doppelleitung b) Koaxialleitung c) geschirmte Doppelleitung
Nachrichtenfreileitungen sind heute nur noch auf dem Lande, in den Randbezirken der Städte oder in dünn besiedelten Gebie ten anzutreffen. In Nachrichtenkabeln wird die für den jeweiligen Verwendungszweck erforderliche Anzahl von Adern in Bündeln oder Verseilgruppen zusammengefaßt. Eine Ader ist ein Leiter mit Isolierhülle. Das einfachste Verseilelement ist das Paar, bei dem die beiden Adern einer Doppelleitung symmetrisch verdrallt sind. Ein häufig benütztes Verseilelement in Nachrichtenkabeln ist der aus vier Adern bestehende Sternvierer. Der Vorteil des Sternvierers ist die günstige Raumausnützung des Kabelquerschnittes sowie die mögliche Bildung eines dritten Sprechkreises, des sog. Phantom kreises. Alle Adern eines Kabels bilden die Kabelseele. Der auf die Kabelseele aufgebrachte Kabelmantel aus Blei, Aluminium oder Stahl wirkt gleichzeitig als mechanischer Schutz und elektroma gnetischer Schirm. Bei erhöhten mechanischen Beanspruchungen wird das Kabel m it einer Bewehrung aus Stahlband, Flach- oder Runddrähten versehen. Zur Energieübertragung auf Freileitungen und Kabeln ist ein Drehstromsystem, nur in Sonderfällen ein Einphasenwechselstrom oder Gleichstromsystem zweckmäßig. Zur Übertragung von Energie
15
auf größere Entfernungen entscheidet man sich aus wirtschaftlichen Gesichtspunkten meistens zugunsten der Freileitung. Die Betriebs spannung eines Drehstromsystems ist die zwischen den Außenlei tern herrschende Spannung. Bei Drehstromübertragung m it Be triebsspannungen bis etwa 15 kV werden Gürtelkabel eingesetzt. Gürtelkabel sind aus drei von der gemeinsamen Gürtelisolierung um gebenen Adern und einem gemeinsamen äußeren Metallmantel aufgebaut. Bei höheren Betriebsspannungen werden Radialfeldkabel (.Höchstädter- und Dreimantelkabel) benützt. Durch eine metallische Folie (H-Folie) oder einen Metallmantel über jede Einzelader wird für jede Einzelader ein radialer Verlauf des elektrischen Feldes er zwungen. Für sehr große Betriebsspannungen sind bis 380 kV Öl kabel, in Ausnahmefällen bis 132 kV Gasinnendruckkabel geeignet. In der Hochfrequenztechnik werden Leitungen außer als Über tragungsmittel auch an Stelle von Resonanzkreisen sowie zur Wi derstandstransformation verwendet. Während Starkstromleitungen nur bei einer Frequenz betrieben werden, müssen auf Nachrichtenleitungen stets Frequenzbänder, beispielsweise für ein verständliches Ferngespräch das Band von 300 bis 3400 Hz, übertragen werden. Bei Hochfrequenzleitungen erstreckt sich der Übertragungsfrequenzbereich oft bis in den GHz-Bereich. Wegen der wesentlich höheren Frequenzen bei der Signalübertragung sind alle Ausbreitungserscheinungen auf Nachrichtenleitungen ausgeprägter und bei geringeren Leitungslängen wirksam. Näherungslösungen aus den exakten Leitungsgleichun gen sind zulässig, wenn die Leitungen entweder sehr kurz gegen die Wellenlänge sind, wie bei Starkstromleitungen, oder sehr lang, wie es oft bei Nachrichtenleitungen zutrifft. Erfahrungsgemäß führen die heute bekannten Methoden zur Be rechnung der konstruktionsbedingten Übertragungseigenschaften lediglich dann zu ausreichend genauen Ergebnissen, wenn die Lei tungen aus homogenen Leiterbauelementen aufgebaut sind. Für flexible Leitungen, deren Konstruktionselemente aus Litzeninnenleitern, inhomogenen Außenleitern, wie Drahtbespinnungen oder Drahtgeflechten bzw. gewendelten Metallbändern, bestehen, sind noch keine Verfahren bekannt, die befriedigende Resultate bringen.
16
1. Einleitung
Ausführliche Herleitungen der Beziehungen für die Stromver drängung in zylindrischen Leitern, die Kapazitäten und Induktivi täten der verschiedenen Leitungsformen findet man in jedem Buch über „Theoretische Elektrotechnik“ , z.B. [7], [9], [14], [18], [19], [24], [26], [30], [31] des Literaturverzeichnisses. In der Praxis häufig gebrauchte Beziehungen werden als zuge schnittene Größengleichungen angeschrieben. Einige wichtige . mathematische Regeln sind im Anhang zusammengestellt.
2. Leitungskonstanten 2.1 Leitungsbeläge Zur Entwicklung einer für alle Leitungsbauformen einheitlichen Theorie werden vier charakteristische, auf die Längeneinheit be zogenen Größen, die Leitungsbeläge oder primären Leitungskon stanten, eingeführt. Als Länge der Leitung wird der einfache Ab stand vom Generator zum Verbraucher festgelegt. Die im allge meinen frequenzabhängigen Beläge können entweder an einem kurzen Leitungsstück direkt gemessen, oder aus dem Aufbau und den Materialeigenschaften der Leitung berechnet werden. Die Lei tungsbeläge werden meistens auf 1 km Leitungslänge bezogen und bezeichnet als Widerstandsbelag Ableitungsbelag Kapazitätsbelag Induktivitätsbelag
R’ G’ C’ L'
Einheit Einheit Einheit Einheit
O/km S/km F/km H/km
2.1.1 Widerstandsbelag Der Widerstandsbelag R ’ erfaßt die Verluste in den metallischen Leitern. Die Leiterabmessungen, das Leitermaterial und die Tempe ratur bestimmen den GleichstromschleifenwiderstandR ’0- Bevorzugte Leiterwerkstoffe sind Kupfer m it der spezifischen Leitfähigkeit kCu = 57,1 • 104 S/cm und Aluminium mit k a1 = 33,3 • 104 S/cm. Für eine Leiterschleife aus Kupfer- bzw. Aluminiumdraht m it dem Drahtdurchmesser d gelten die zugeschnittenen Größengleichungen K'unfer P
12/km
_ 0,446 [djcm]2 ’
• • Aluminium
Rö —
_- °>765
.
Ist R ’0 der Gleichstromschleifenwiderstand bei 20 °C, dann folgt für die Betriebstemperatur T, Einheit °C
18
2.1 Leitungsbeläge
2. Leitungskonstanten
R o t = K S t ! + a 20 C T - 2 0 )]
für x > 1
a 20 = 0,00392 1/°C, a 2o = 0,00403 1/°C.
für Kupfer für Aluminium
a 20 ist der Temperaturkoeffizient —bezogen auf die Temperatur 20 °C. Der Widerstandsbelag R ’ nimmt infolge des Skineffekts mit wachsender Frequenz zu. Der komplexe Widerstand eines zylin drischen Leiters m it dem Durchmesser d = 2r-i setzt sich aus dem Wirkwiderstand R und dem Blindwiderstand coL-. zusammen. L\ ist die innere Induktivität des Leiters. Es wird die äquivalente Leit schichtdicke £ eingeführt.
Vico Mo Mr •
für Aluminium
#
_ 6,67 • 10"
cm
vT/M H z
£
8,72 ■ 10“3
cm
jR 1 ,3 T 0 =X + 4 +64x 3
coL^ R0
X
(5) 3
6 4 x + 128x2
^
Der Gesamtverlauf der Größen R /R o und coLj R 0 ist au f B i 1 d 2 als Funktion von x aufgetragen (s. S. 22). Für x = 5, d.h., d = 20 d , können die zweiten und dritten Glie der in den Näherungen (5) und ( 6 )vernachlässigt werden. Diese Be dingung wird bei hohen Frequenzen erfüllt. Es wird dann
(i)
k
R T s - - rV
Die zugeschnittenen Größengleichungen lauten für Kupfer
19
(8 )
Aus Gl. (7) folgt der Widerstandsbelag eines zylindrischen Einzel drahtes R ’ m it dem Durchmesser d = 2 rj für den Gültigkeitsbe reich d > 2 0 a
Mit der Abkürzung
und dem Gleichstromwiderstand des Leiters R 0 erhält man aus den Reihenentwicklungen der Besselchen Funktionen Nähe rungen für kleine und große Argumente nach [7], [24]. Für x < 1
~ (7>
m it dem wichtigen Zusammenhang R = coLr
V /p H z
* = f Vo t - K -MoMr ' / = 4 ^ 5-
d ' x ‘ T s
R ’ = ----- ------ = — --------K^7t2r{ K dizd ' ( 2)
(9) y}
Die zugeschnittenen Größengleichungen für einen Einzeldraht aus Kupfer bzw. Aluminium lauten KuPfer
R ’ _ 8,32 v ^ = d/cm ' V //M H z £o2T/km
Gültigkeitsbereich
f > 0,0176 [d/cm ]2 MHz
Aluminium
R’ £2 /km /
11,5 d/cm >
0,0305
20
2.1 Leitungsbeläge
2 . Leitungskonstanten
Bei symmetrischen Leitungen m it metallischem Schirm tragen zum gesamten Widerstandsbelag R,l neben den Verlusten in den stromführenden Leitern selbst die Wirbelstromverluste im Schirm (Hülleneffekt) und in den benachbarten Leitern (Nähewirkungs oder Proximityeffekt) bei. Im allgemeinsten Fall ist der Widerstands belag Rg
21
Kabel haben im Vergleich zu Freileitungen etwa 5- bis 30mal höhere Kapazitätsbeläge, da im Kabel die Leiterabstände wegen eines tragbaren Außendurchmessers begrenzt sind. Erfahrungsgemäß ist der Kapazitätsbelag nahezu unabhängig von der Frequenz, so lange die DK der Isolierung frequenzkonstant ist. Die relativen DKs einiger für die Leitungstechnik wichtiger Isolierstoffe findet man in T a b e 11 e 1 .
R g= R i+ R h+ R n
( 10 )
R \ ist der bezogene Verlustwiderstand aller stromführenden Leiter, R h berücksichtigt die Verluste in der äußeren Hülle, R ^ die Verluste durch Nähewirkung benachbarter Leiter. Alle Verlustwiderstände sind frequenzabhängig. 2.1.2 Ableitungsbelag Der Ableitungsbelag G ’beschreibt die Isolationsverluste, die dielektrischen Verluste sowie die Koronaverluste in der Isolierung zwischen den Leitern. An Stelle des oft stark frequenzabhängigen Ableitungsbelages G ’wird der Verlustfaktor tan 6 angegeben.
=S Die Größe des Verlustfaktors hängt vom verwendeten Isolierstoff, vom Aufbau der Isolierung und häufig von der Frequenz und Tem peratur ab. Bei allen Leitungen soll der tan 5 möglichst klein und konstant sein. In T a b e 11 e 1 sind die Verlustfaktoren einiger Isolierstoffe zusammengestellt. Bei Freileitungen wird der Verlust faktor stark durch Rauhreif und Eis beeinflußt. An vereisten Frei leitungen wurden bei Frequenzen zwischen 10 bis 30 kHz schon Maxima des tan 6 von 2,4 gemessen. Richtwerte des Ableitungsbelages G ’ für Freileitungen und Kabel G ' = 0,1 bis 1 (iS/km
Tabelle 1 Eigenschaften von Isolierstoffen und Kabelisolierungen (Durchschnitsswerte bei 5 0 Hz und 20 °C) Stoff bzw. Aufbau der Isolierung
relative DK er
Verlustfaktor tan 5
Papier, trocken Papier, ölgetränkt Papier-Hohlraumisolierung
2,1 bis 2,5 3,3 bis 3,5 1,5 bis 1,7
(25 bis 4 0 )' IO"4 3 • IO”3 2 ■IO"3
Polyäthylen (PE) Polyäthylen, verschäumt PE-Hohlraumisolierung PE - Scheibenisolierung
2,25 1,4 bis 1,8 1,3 bis 1,8 1,08
4 • IO"4 (1 bis 5) • 10-4 < 2 - IO"4 < 1 ■ 10-4
Polystyrol (Styroflex) Polystyrol, verschäumt Polystyrol-Hohlraumisolierung
2,5 1,04 bis 1,08 1,2
Polyvinylchlorid (PVC)
3 bis 8
Synthetischer Kautschuk Butylkautschuk Sinotherm
3 bis 20 2’5
3 • IO-4 < 1 • 10-4 < 2 - 10-4
0,1 (2 bis 40) • IO-2 3 • 10-^
...
Richtwerte für den Kapazitätsbelag C ’ Freileitungen C’ = 5 bis 7 Nachrichtenkabel C ’ = 20 bis 50 Drehstromkabel C ’ = 0,16 bis 1,3
nF/km nF/km ^F/km
2.1.3 Kapazitätsbelag
2.1.4 Induktivitätsbelag
Der Kapazitätsbelag C ’ ist eine Funktion der Leitungsgeometrie und der Dielektrizitätskonstanten (Abkürzung DK) der Isolierung.
Der Induktivitätsbelag L ’ setzt sich aus der frequenzunabhängi gen äußeren Induktivität L und der frequenzabhängigen inneren
22
2. Leitungskonstanten
2:2 Wellenparameter
Induktivität L{ zusammen. Bei geschirmten symmetrischen Leitun gen müssen außerdem die frequenzabhängige Hülleninduktivität Lfr sowie die durch Nähewirkung erzeugte Induktivität L ’n berück sichtigt werden. Der gesamte Induktivitätsbelag Lg wird dann L g = L ’a + L{+ L i + Lä
(12)
Die äußere Induktivität L I wird von der Leitungsgeometrie und den magnetischen Werkstoffeigenschaften der Leitung bestim m t. Da vorwiegend nichtferromagnetische Stoffe eingesetzt werden, ist Z,a unabhängig von der Größe des Leitungsstromes. Freileitungen haben auf Grund ihrer größeren Leiterabstände um etw a 3- bis 5mal höhere Induktivitätsbeläge als Kabel. Die innere Induktivität L{ rührt von den Magnetfeldern in den Leitern her. L] nim m t m it wachsender Frequenz ab, da die Leiterquerschnitte m it wachsender Frequenz mehr und mehr feldfrei werden. Die inneren Induktivitäten werden aus den Näherungen (4), ( 6 ) oder aus der Kurve ( B i l d 2) erm ittelt. Für Starkstromfre quenzen gilt für einen Einzelleiter aus nichtferromagnetischem Material die gute Näherung L[ = 0,05 mH/km
(13)
Richtwerte für den Induktivitätsbelag L ’ Freileitungen L ’ = 1 bis 2,5 mH/km Kabel L ’ = 0,3 bis 1 mH/km
23
Bei wirklich ausgeführten Leitungen ist immer
G
C’
^
^
Zur Berechnung von Drehstromleitungen sind für die Beläge die entsprechenden Betriebsgrößen einzusetzen. Das Grandelement einer Leitung ist der Leiter m it Isolierhülle, die Ader. Die Isolierstoffe müssen mechanisch hochwertig, elek trisch verlustarm und für eine moderne Fertigungstechnik geeignet sein. Für Nachrichtenleitungen werden möglichst niedrige DK-Werte angestrebt. Durch Isolierungen m it hohem Luftanteil (Hohlraum und Scheibenisolierung) werden relative DK-Werte bis zu 1,04 er reicht. Für Starkstromleitungen müssen verlustarme Isolierstoffe m it hoher elektrischer Durchschlagfestigkeit ausgewählt werden. Die maximale Feldstärke eines isolierten Leiters m it dem wirk samen Radius der von einer metallischen Hülle m it dem wirk samen Außenradius ra umgeben ist, herrscht an der Leiterober fläche. Liegt zwischen Leiter und Hülle die Spannung U, dann gilt für die maximale elektrische Feldstärke E
ax
-
U r-x ln r j t i
Bei festem ra wird E msx ein Minimum, wenn das Radienverhältnis ra/ri = e = 2,72 beträgt. Diese Dimensionierung wird bei Hoch spannungsadern gewählt. 2.2 Wellenparameter Eine Leitung ist ein symmetrischer Vierpol. Das Übertragungs verhalten eines symmetrischen Vierpols wird durch den komplexen Wellenwiderstand Z und das komplexe Übertragungsmaß g eindeu tig beschrieben.
Bild 2: Frequenzgang des Wixkwiderstands Ji und der inneren Induktivität L [ eines zylindrischen Drahtes (R 0 Gleichstromwiderstand)
2.2.1 Wellenwiderstand Der komplexe Wellenwiderstand Z l hängt von der Leitungsgeo metrie, den Materialeigenschaften sowie von der Frequenz ab. Der
24
2 .2 Wellenparameter
2. Leitungskonstanten
Wellenwiderstand einer Leitung ist dagegen unabhängig von der Lei tungslänge. Zwischen dem Wellenwiderstand Z l und den vier Lei tungsbelägen R G ’, C ’und U besteht die Verknüpfung
25
Der Ausdruck Konstante besagt, daß diese Größen auf 1 km Lei tungslänge bezogen sind. Für eine Leitung der Länge l wird g = 7 • / = a - l + iß - l
S . - Z L -e‘^
- Z, +jZ2 -
(15)
Der Index L weist darauf hin, daß die exakte Bezeichnung für Z i Leitungswellenwiderstand oder charakteristischer Widerstand einer Leitung lautet. Damit sind Verwechslungen m it dem in der Theorie der elektromagnetischen Wellen wichtigen Begriff des Feldwellen widerstands Z p ausgeschlossen. Bei sehr hohen Frequenzen strebt der Wellenwiderstand einem reellen frequenzunabhängigen Grenz wert Zx zu lim ^L = Z 00 = ]/p7r~
wobei
7 •/
= Übertragungs- oder Fortpflanzungsmaß, ot- l = Dämpfungsmaß, ß ■l = Phasen- oder Winkelmaß.
Das Wort ,,Maß“ gibt an, daß sich diese Größen auf die Leitungslänge / beziehen. Die Wellenparameter konstanten genannt.
und y werden auch sekundäre Leitungs
Verknüpft man die Gl. (15) m it (17), so folgt Z l - 7 = R ’ + icoL’
(16)
(18)
f-*oo
m it
1
L U = -^a + ^ o o + ihoo
^
Der Grenzwert des Wellenwiderstands Z ^ stellt sich theoretisch erst für /-*• °° ein. Nach der Erfahrung wird aber Z«,, je nach Lei terabmessungen, schon bei Frequenzen zwischen 1 und 10 MHz erreicht. Solange der Fehler bis zu 2 % betragen darf, kann m it Z x gerechnet werden, wenn für die Innenleiter m it dem Durchmesser d die Bedingung d t* 20 # erfüllt ist.
2 .2.2 Übertragungskonstante
Zwischen der komplexen Übertragungs- oder Fortpflanzungs konstanten 7 und den Belägen R ’, G ’, C ’und L ’ einer Leitung be steht der Zusammenhang 7 = a +)ß = V T tf’ + jcoL’H G ’ + jcoC’) wobei
a = Dämpfungskonstante, ß = Phasen- oder Winkelkonstante.
(17)
= G ’ + jwC”
(19)
3.2 Lösung der Wellengleichung bei sinusförmiger Erregung
3. Verlustbehaftete homogene Leitung Die Leitungsbeläge R G ’, C\ L ’sind im allgemeinsten Fall Funk tionen der Zeit und des Ortes. Bei fast allen in der Praxis vorkom menden Leitungen sind aber die Beläge zumindest zeitunabhängig. Hat eine Leitung über die gesamte Länge konstante Querschnitts abmessungen, dann sind auch die Beläge ortsunabhängig. Eine der artige Leitung nennt man eine homogene Leitung. Eine Leitung ist verlustbehaftet, wenn der Widerstands- und Ableitungsbelag nicht vernachlässigbar ist.
27
R'dz
Bild 4: Ersatzschaltbild eines Leitungselements dz einer verlustbehafteten homogenen Leitung
3.1 Herleitung der Wellengleichung Spannungen und Ströme auf einer Leitung sind Funktionen der Zeit und des Ortes. Die Ortskoordinate z und die Zählrichtungen der Spannungen und Ströme werden gemäß B i 1 d 3 festgelegt.
durch Differenzieren und Einsetzen folgen für Spannung und Strom die partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. du d2u du = R ’- G ’ u + i R ’C’ + L ’G ’J z ^ + L ’C 9z^ d t2
(20) (21)
d2i = R ’- G ’- i + ( R ’C’ + L ’G ’)-|^ + L ’C ’f ^ 9z" j--------- / ---------j 2-1 * =o GEHERATOfl Verbraucher
B ild 3: Festlegung der Ortskoordinate z auf einer Leitung
Dem Ort des Verbrauchers Z ^ entspricht die Koordinate z = 0, dem Ort des Generators die Koordinate z = /. Solange die in der Praxis stets zutreffende Bedingung erfüllt ist, daß der Abstand der stromführenden Leiter klein im Vergleich zur Wellenlänge ist, gilt für ein differentielles Leitungsstück dz die Ersatzschaltung des B i l d e s 4. Mit der Maschen- und Knotenpunktsgleichung erhält man aus dem Ersatzschaltbild die partiellen Differentialgleichun gen erster Ordnung 9u _ , . , 9z
Die Gin. (20) und (21) heißen Wellengleichungen. Sie gelten für beliebige Zeitabhängigkeit von Spannung und Strom, also auch für Ausgleichsvorgänge. In der Literatur sind diese Gleichungen unter dem Namen „Telegrafengleichungen“ bekannt. Sie wurden zuerst von Oliver Heaviside zur Untersuchung von Ausbreitungsvorgängen in der theoretischen Telegrafie benützt. 3.2 Lösung der Wellengleichung bei sinusförmiger Erregung Für die Praxis sind die Lösungen der Wellengleichungen am wich tigsten, die sich für den eingeschwungenen Zustand ergeben, wenn die Leitung von einem Generator m it sinusförmiger Spannung ge; speist wird. Die Wellengleichungen (20) und (21) gehen in gewöhn liche Differentialgleichungen zweiter Ordnung über, wenn für Spannung und Strom die komplexen Augenblickswerte t) bzw. z'(Z; t) eingeführt werden.
28
3 .3 Spannungs- u n d Strom verteilung a u f d e r L eitung
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
=
ejW‘
(22)
W ) = hz) ■ejw t
(23)
29
damit lauten die Ausdrücke für die komplexen Am plituden von Spannung und Strom am O rt z auf einer verlustbehafteten homo genen Leitung E m = j ( V i + h - Z O - z - Z + | (U2 - h Z O - e ~ - Z (30)
Mit diesen Ansätzen findet man nach Division durch den Zeitfaktor ejWt für die komplexen Amplituden die Differentialgleichungen
(3i)
d2 U(z) dz
= ( R ’ + }toL’) (G ’ + j coC’) - U (z)
= y 2 • U(z}
(24)
d 2L(z)
mit Hyperbelfunktionen kann gemäß Anhang (A 19) und (A 20) auch geschrieben werden U(z) =
= ( R ’ + jeoL’) (G ’ + j ojC’) • I j #
= f
• / (z)
(32)
(25)
dz I(z) = h Die komplexen Amplituden t/(z) und / fz) sind nur noch F unk tionen der Ortskoordinate z. Die Lösungen der Wellengleichungen sind Exponentialfunktionen U(z) = A • eIZ + B - e l z
cos^ T z + h 2 l • sinh y z
(26)
U2 cosh 1 z + —— Sinh T z Zk
(33)
Sämtliche Beziehungen für die Spannungen und Ströme gelten für die Maximal- und Effektivwerte. 3.3
Spannungs- und Stromverteilung auf der Leitung
3.3.1 Beliebiger Verbraucherwiderstand J z ) - z- ^ - e
- £ - e
-y
(27)
Die noch unbekannten komplexen Konstanten und 5 sind nach ihrer Dimension Spannungen. Aus den Belastungsbedingungen am Leitungsende findet man m it z = 0
Mit dem Ansatz für die komplexen Amplituden A
= Uy = Uy ■eJ^ v
B = U^ = Ur - e I
(34) (35)
wird aus Gl. (26) durch Multiplikation m it dem Zeitfaktor ejWt der komplexe Augenblickswert der Spannung auf der Leitung her geleitet » j(COt + <£,+ ßz)
30
3.3 Spannungs-und Strom verteilung a u f der Leitung
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
31
Ur-e
der Realteil von Gl. (36) liefert den reellen Augenblickswert H z ) = u v ' eßZ ' c o s ( w ? + <^v + 13 z ) +
+ Ur ■e
az • cos (w t +
(37)
Der erste Summand ist der Ausdruck für eine gedämpfte Welle m it der ortsabhängigen Amplitude Uv ■ea z . Die Welle breitet sich vom Generator zum Verbraucher in Richtung abnehmender z aus. A uf B i l d 5 ist das Ortsbild dieser Welle zu konstanten Zeiten Bild 6: Ortsbild der reflektierten Spannungswelle
Die Geschwindigkeit m it der sich beispielsweise ein Wellenberg fortpflanzt, heißt Phasengeschwindigkeit der Welle »p . B e tr a c h t^ man die Nulldurchgänge der vom Generator zum Verbraucher lau fenden Welle, dann wird zur Zeit t x 3t
2
ipv + oJty + ßZi = - j
oder
zx = —
nach der Zeit t2 wird Bild 5: Ortsbild der Spannungswelle vom Generator zum Verbraucher auf einer verlustbehafteten homogenen Leitung
und t2 (ti > ^i) dargestellt. Der zweite Summand in Gl. (37) ist eine gedämpfte Welle mit der ortsabhängigen Amplitude U1 ■eT a z , die vom Verbraucher zum Generator läuft. Diese Welle nennt man reflektierte Welle. Das Ortsbild der reflektierten Welle zeigt B i l d 6 . Die Gesamtspannung auf der Leitung setzt sich also aus zwei gegenläufigen gedämpften Wellen zusammen. Die Dämpfungskonstante a bestimmt die Abnahme der Amplituden beider Wellen. Die Phasenkonstante ß gibt die Phasenverschiebung zwischen den Spannungen bzw. Strömen von zwei Punkten auf der Leitung m it dem Abstand 1 km an. Beträgt der Abstand eine Wel lenlänge X, dann ist die Phasenverschiebung 2 3t. Damit wird
3t
0 y +oJt2 + ßz2 = y
oder
z2
_
lOt2
Die Welle ist im Zeitraum t 2 - t\ um z 2 - Zj gegen die positive z-Richtung fortgeschritten. Die Phasengeschwindigkeit vp wird somit Vp ~
z 2 —Z i __ OOt2 - OJtj _ Cü h - h T i h - ti ) ß
mit Gl. (38) wird schließlich (39)* Der Kehrwert der Phasengeschwindigkeit v p ist die Phasenlaufzeit
X ■ß = 2 3t oder X =
(38) V
3 .3 Spannungs- u n d Strom verteilung a u f der L eitung 32
33
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
r_ = — = -£-
P
»p
(40)
w
v J
Die eingespeiste und die reflektierte Welle laufen m it gleicher Phasen geschwindigkeit in entgegengesetzten Richtungen. Auch der Gesamtstrom auf der Leitung setzt sich aus zwei gegen läufigen gedämpften Wellen m it gleicher Phasengeschwindigkeit op zusammen. Mit den Ansätzen J, -
W
eI W ' - " L) ±JL
ZL
[ e » ' > . j L = A _
—
£
(41)
Die komplexen Amplitude der sich vom Generator zum Ver braucher fortpflanzenden Welle wird m it Gl. (28) 7z j Spannung Uv ■e~ = j (U j + I 2
1
( ~ 2 ^ V
Strom
yz ly ■e~
7z ■ZL) • e~
=
—\ 7z + z T / e“ yz ■e-
=—
(46)
1 /U 2
\
\jr ^ h )
e
Tz =
'L
(42,
l
entnimmt man aus Gl. (27) den reellen Augenblickswert Die komplexe Amplitude der reflektierten Welle wird m it *(z) = / v ' e “ Z c o s
e
Gl. (29)
+
- 13z)
ßz cos (w? + p
(43)
Für die praktische Berechnung von Spannung und Strom auf einer Leitung wird wie in der Wechselstromtechnik m it komplexen Amplituden oder komplexen Effektivwerten gerechnet. Dazu wer den die Gin. (26) und (27) in der Form - 7z
yz
Uy-eUyL —
A z)
+ El '
„ yz
2
(44)
■y z
----- e -
~1T yz ty ■ e~ - V « benützt.
■7 z
(45)
Spannung
Ux • e
— yz
\
~
~ 2
~~
^ "6
34
3. Verlustbehaftete hom ogene L eitung
3 .3 Spannungs- und Strom verteilung a u f der Leitung
35
Diese für den praktischen Betrieb einer Leitung wichtige Dimensio nierung heißt Anpassung. Mit Z 2 = Z L entnim m t man Gl. (28) Uy = Ü2
(52)
Für den Anpassungsfall lauten die Beziehungen für Spannung und Strom auf der Leitung Die reelle Amplitude der eingespeisten Welle t/v • ea 1 läßt sich einfach berechnen, wenn der Innenwiderstand des Generators Z; gleich dem Wellenwiderstand der Leitung Z L ist. Aus B i l d 7» folgt m it Zj = Z L
= U2• eaz • e $ z
(53)
u
= u ,- ^
/z —
=~ e - z = I 2 ■ e l z =I 2 - ea z ■eißz fL — —
(54)
+h ' K aus Gin. (44) und (45) ergibt sich durch Addition aus diesen Gleichungen folgt U± + h
= 2 ' Uy e ^ '
= 2 •
• eal ■e ^ 1
damit wird U* = 2 ■Uv • eal • e # 1 oder für die Beträge L'y • ea l =
(50)
Gl. (50) sagt aus, daß die relle Amplitude der vom Generator zum Verbraucher laufenden Welle unabhängig vom Verbraucher gleich der halben Leerlaufspannung des Generators ist. 3.3.2 Anpassung Wie aus den Gin. (48) bzw. (49) zu erkennen ist, verschwindet die reflektierte Spannungs- und Stromwelle unter der Voraussetzung Z , = Zl
(51)
Uiz) -----h z)
U2 ZLe
j^L
Der Quotient von Spannung und Strom auf einer Leitung ist bei Anpassung ortsunabhängig und gleich dem Wellenwiderstand der Leitung. Für komplexe Wellenwiderstände ist die Phasenver schiebung zwischen Spannung und Strom gleich dem zwar ortsun abhängigen, aber frequenzabhängigen Phasenwinkel des Wellen widerstands ifii. Bei Leitungen mit reellem Wellenwiderstand sind Spannung und Strom in Phase. Das Zeigerdiagramm für Spannung und Strom auf einer m it dem Wellenwiderstand abgeschlossenen Leitung ist auf B i 1 d 8 aufgetragen. Der Zeiger der Verbraucher spannung U2 liegt in der positiven reellen Achse. Mit wachsendem Abstand vom Verbraucher werden die Zeiger länger. Die Endpunkte der Zeiger wandern auf einer Spirale. Alle abgeleiteten Beziehungen gelten auch für Drehstromleitun gen, wenn als Beläge die entsprecnenden Betriebsgrößen, für die Spannungen und Ströme die Phasenspannungen und Leiterströme eingesetzt werden. Die Leitungsgleichungen beschrieben also hier den Zustand einer Phase gegen den Sternpunkt.
36 3. Verlustbehaftete homogene Leitung
3.4 Vierpol- und Betriebsdäm pfung
37
3.4 Vierpol- und Betriebsdämpfung
Betrachtet man die Spannungsamplituden zweier Punkte m it den Ortskoordinaten z x und z 2 auf einer mit dem Wellenwiderstand ab geschlossenen Leitung, dann ergibt sich eine anschauliche Deutung der Leitungsdämpfung. Aus Gl. (53) findet man für z x > z2
*tf»$ENDES *
+i
azi
Amplitude am Ort z t
b \ Zl) = U2
Amplitude am O rt z 2
C/(Z2) = U2 • e'
damit wird
— = ^ ‘ U(Z2) U2 ■eaz2
a z2
= e« - z^>
ist der Abstand Zj ~ z 2 = 1 km, dann gilt ea ==——i-o d e r U(z2)
a = ln
(55) Utz2)
b)
-i
Bild 8: Zeigerdiagramm für Spannung und Strom auf einer verlustbehafteten homogenen Leitung bei Anpassung a) Spannungsdiagramm für eine lange Leitung b) Spannungs- und Stromdiagramm für eine kurze Leitung
Die an sich dimensionslose Größe a wird in Neper pro Kilometer (Abkürzung Np/km ) angegeben. Die Gesamtdämpfung oder das Dämpfungsmaß einer bei Anpassung betriebenen Leitung der Länge l ist somit a = a ■l =
1. Z a h le n b e isp ie l: Am Eingang einer 50 km langen reflexionsfrei abgeschlossenen Fernsprechleitung m it der Übertragungskonstanten 7 = (51,8 + j 51,8) • 10"3 ‘/km liegt die Spannung = 10 V. Gesucht ist die Verbraucherspannung U2 . Aus Gl. (53) findet man U2 = Ut -e ' ? ' 1 = 10 . e- <51*8 +j 51>®) 10-3 * = 0,75 • e"j 2,59 V
V
ln ~
U2
Np
(56)
Nach Gl. (56) kann die Bestimmung des Dämpfungsmaßes einer mit dem Wellenwiderstand abgeschlossenen Leitung auf einfache Spannungsmessungen zurückgeführt werden. Von diesem Verfah ren wird in der Praxis Gebrauch gemacht. » Das nach Gl. (56) definierte Dämpfungsmaß einer Leitung a = a • / ist kennzeichnend für jeden symmetrischen Vierpol. Die exakte Bezeichnung für a ist deshalb Vierpol- oder Wellendämp fung. Die Vierpol- oder Wellendämpfung einer Leitung kann auch
38
3.4 Vierpol- und Betriebsdäm pfung
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
aus den Scheinleistungen am Leitungseingang PS] und Leitungsende Ps2 bei Anpassung definiert werden. Im Anpassungsfall erhält man aus den Gin. (53) und (54) für die Scheinleistung am Ort z auf der Leitung P ^ ) = \ V ( z ) - h z ) = \ u 2 - I 2 - t 2az
= \
B = 10 ■log — L dB
$2
daraus ergibt sich für das Spannungsverhältnis a = a ■l = 2 • log Hl U2
■h ■e 2 a l und
= \ ü 2 -l2
(58)
oder das Leistungsverhältnis
mit Gl. (59) wird die Vierpol- oder Wellendämpfung a = a . i = 1 ^ _PSl _ Np
(61)
S2
(57)
aus Gl. (57) folgt ^
a = a - l = log -=p-
39
(60)
r s2
Wie aus den Gin. (56) bzw. (60) abzulesen ist, werden bei der Vierpol- oder Wellendämpfung Eingangsgrößen m it Ausgangs größen verglichen. Im englischen Sprachbereich ist für die Dämpfung das Bel (Ab kürzung B) bzw. Dezibel (Abkürzung dB) gebräuchlich. Für die Umrechnung gelten die Beziehungen 1 Np = 0,8686 B = 8,686 dB 1 B = 1,151 Np 1 dB = 0,1151 Np Ausgangspunkt bei der Definition des Neper waren die der Messung leicht zugänglichen Spannungen. Dagegen ging man beim Bel von der dem elektrischen und akustischen Gebiet gemeinsamen Größe der Leistung aus. Zweckmäßig wählt man den Briggschen Logarith mus und erhält für das Leistungsverhältnis
B = 2 0 • log Hl U2
dB
(62)
Die Beziehungen (61) und (62) haben nur für reflexionsfrei abge schlossene Leitungen Gültigkeit. Bei Fernsprechkabeln kann die Anpassungsbedingung Z 2 = Z^ im gesamten Betriebsfrequenzbereich häufig nur angenähert er füllt werden. An Stelle der Vierpol- oder Wellendämpfung wird dann die Betriebsdämpfung eingeführt. Dabei werden nicht Eingangsmit Ausgangsgrößen verglichen, sondern die dem Generator maxi mal entnehmbare Scheinleistung P.Jmax wird mit der Scheinleistung Ps verglichen, die dem Verbraucher vom Generator über die Leitung zugeführt wird. Wird ein Generator m it seinem Innenwiderstand Zj als Verbraucher belastet, dann wird in diesem Verbraucher maxi male Scheinleistung umgesetzt. Ist die Leerlaufspannung des Generators, dann erhält man u
0\ 2
(63) smax
2 ■Z:
Mit den Bezeichnungen des B i l d e s 9 berechnet sich das Be triebsdämpfungsmaß in Neper bzw. Dezibel zu 1 ,
D
smax
,
Un
1 i
Z 2 XI
/s .
<64)
p 10.lo g _ ! ^
/ ’s,
= 20-l o g + 1 0 - l o g ^ d B 2 U2 Z
(65)
40
3.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
41
besteht. Betrachtet man zwei Wellen gleicher Am plitude m it etwas verschiedenen F r e q u e n z e n und Phasenkonstanten auf einer verlustlosen Leitung bei Anpassung, dann wird der reelle
F re q u e n z g ru p p e
Augenblickswert u = U [cos (coi t + ß x z) + cos (c j2 t + ß2 z)] oder mit der Umformung nach (A 14) u, = 2 • U ■cos
Ein sinnvoller Vergleich des Betriebsdämpfungsmaßes von Lei tungen setzt gleiche Generatoren und Verbraucherwiderstände' voraus/In der Fernsprechtechnik wird zur Messung des Betriebs dämpfungsmaßes ein Normalgenerator (1 -mW-Sender) m it der Leerlaufspannung U0 = 1,55 V und dem reellen Innenwiderstand = 600 Ü. verwendet. Als Restdämpfung bezeichnet man die zwischen den nominellen Verbraucherwiderständen (meistens. 600 £2) gemessene Betriebsdämpfung bei Speisung mit einem Nor malgenerator. Innerhalb des deutschen Fernsprechnetzes werden .maximal 2,2 Np (19 dB) Restdämpfung zwischen zwei beliebigen : ^Ortsvermittlüngeh'zügelässeh. Der Praktiker spricht von Leitungsdämpfung oder kurz Dämp fung. Gemeint ist damit die Dämpfungskonstante a in Np/km. Bei Antennenleitungen ist es neuerdings üblich, die Dämpfung in dB/ 100 m anzugeben.
3.5 Phasen-und Gruppengeschwindigkeit
cos
kJl ~ <^2 t
ßl__ 02 z
2
2
mit dem hochfrequenten Anteil + ^ 2 t [ ßi + fe ,
2 • U ■cos
2
= 2 • U ■cos
2
OJt + co2' ■ 2 ,
mit der Geschwindigkeit _ Wj+W2 bh f
-------------------
ßl+ß2
mit dem niederfrequenten Anteil W[ -C 0 2 ßl 2 ' U ' cos ----- ---- t + — ---- z 2 2 Lü i
Im stationären Zustand wandern die Punkte gleicher Phase einer Welle mit der Phasengeschwindigkeit vp über die Leitung. Da die Phasengeschwindigkeit im allgemeinen frequenzabhängig ist, laufen die Phasen verschiedener Frequenzen m it unterschiedlichen Ge schwindigkeiten. Diese Tatsache ist besonders in der Nachrichten technik von Bedeutung, da jede Nachricht aus einer bestimmten
= 2 • U ■cos mit der Geschwindigkeit CO j — CO2
'N F
ßl
02
(
ßi-ßi
N
/ + -------------- Z , COi CO2
42
3.6 Berechnung der Wellenparameter aus den Leitungsbelägen
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
beim Grenzübergang W] ÖH F
=
l a n e _ _ P_ ’_
co2 wird aus
co = ~jr 1
die Phasengeschwindigkeit
=
die Gruppengeschwindigkeit
Bp
= ög
( 69)
Bei wirklichen Leitungen ist wegen der Bedingung (14) stets e > 5 . Mit den Verlustwinkeln wird dann
aus öNI.- aber ÖN F
G’ to n -^ tan 8£ =r z —
( £ Lo (lu 6 8Q ),\
43
/? ’ + j oj U = co £ ’(tan e + j), G' + j co C ’ = co C ’(tan 8 + j)
Nach der Erfahrung wandert die Energie auf einer Leitung mit der Gruppengeschwindigkeit z>c . Zwischen Phasen- und Gruppen geschwindigkeit besteht wegen ß = — die Verknüpfung »p
somit folgt für den Wellenwiderstand Z l
Zl
- Z L ■e jlpL L _ - Z7 l + j Z 2 = 1i1V/ Ic>T
/tan i a nße++ ji yi C’ y t;
döp dß _ _ 1
dw
vg
1 /
vl
VPV
co d 5p
mit der Umformung
ÖP dw
ta n e + j _ cos 5 sin e + j cos e _ cos 8
oder
tan 8 + j
cos e sin 5 + j cos 8
^
cos e
dco T äT
(66)
findet man
dw Ist die Phasengeschwindigkeit vp unabhängig von der Frequenz, dann wird z>g = vp . Der Reziprokwert der Gruppengeschwindig keit zig ist die Gruppenlaufzeit rg.
=
<67>
Beispielsweise darf die absolute Gruppenlaufzeit einer Fern sprechweitverbindung in einer Gesprächsrichtung 250 ms nicht überschreiten, da sonst Störungen im Gesprächsfluß auftreten. 3.6
Z L = ZL • 1
=
[in
r C’
Betrag des Wellenwiderstands
Zi + jZ 2 .e- 8 i / cosS ' » cos e 6 ^ L
(70)
= l/^ ’ 'C
l / cc>s ^ cos e
(71)
Berechnung der Wellenparameter aus den Leitungsbelägen
3.6.1 E xakte Beziehungen fü r beliebige Frequenzen Zur praktischen Berechnung werden der frequenzabhängige Me tallverlustwinkel e und Isolationsverlustwinkel 8 in die Beziehungen (15) und (17) eingeführt.
Realteil
Z j - Z L -cos
s f U ' -i/cos 5 ]( (7 3 )
44
3.6 Berechnung der Wellenparameter aus den Leitungsbelägen
3. Verlustbehaftete hom ogene Leitung
Imaginärteil
3 .6.2 Näherungen für tiefe Frequenzen
Z 2 = Z L • sin ipL = L’
/ cos6 '
C7
45
. e -5 sm —
(74)
da e > 5 sind ipL und Z 2 negativ. Mit den Verlustwinkeln erhält man für die Übertragungs- oder Fortpflanzungskonstante
Bei tiefen Frequenzen wird G ’« co ■C \ damit tan 5 ~ 0, R ’» c o - L \ damit tan e » 1. Nach (A l5) bis ( A l 8 ) sind daher nachstehende Näherungen zulässig sin 5 ^ 0
COS 5 ^ 1
i
•e
sm "X ~ 2 COS
e ~ ~
2
7 = a + j ß = oj \J U C’ ■ V (tan e + j)(tan 8 + j)
1
c
yfY 1
cos e
^
.
1
_ col,'
tan e
— r-j,
R
e _ jt
z=r
n
~
A
y f?
24
daraus folgen die NF-Form eln
m it der Umformung
■i
(tan e + j) (tan 5 + j) = ------- ---------- - eJ cos e • cos 5
—(e + 5) ]
komplexer Wellenwiderstand
2 LNF =
Betrag des Wellenwiderstands
Z Ln f =
ergibt sich
y u
i
_j gx
' e
4
nr
(78)
(79)
7 = a +j ß =
■ e+S , . e+ 5 sm —- — + j cos ~~2 ~
= c o -v rr
Real-bzw. Imaginärteil
Z lNp = - Z 2NF = l / 2 'a i c 7
(75)
y / cos e • cos S
(81) r... , Dampiungskonstante
<*> • \ f l T C P e+S a = ------------------- sm 0 • V cos e cos 5
(76)
3.6.3 Näherungen für hohe Frequenzen Die Verlustwinkel nehmen m it wachsender Frequenz ab. Nach (A5) bis (A7) gelten dann die Näherungen
Phasenkonstante
0
W - y j L ’C ’' e+6 -------------------cos —^— V cos e cos 5
(77)
Die abgeleiteten Beziehungen (70) bis (77) gelten exakt für belie bige Frequenzen. Im folgenden werden für niedrige und hohe Fre quenzen Näherungen entwickelt, die in der Praxis zu ausreichend genauen Resultaten führen.
tan e e sin e e cos e « l
tan 6 5 sin 6 « 6 cos 5 *»1
daraus folgen die H F-Form eln
,— , komplexer Wellenwiderstand
_g
_ §
_ 1 U_ . ~ J ~ 2 Lh f » C’
3 .6 Berechnung der Wellenparameter aus den Leitungsbelägen 46
47
3. Verlustbehaftete hom ogene Leitung
sengeschwindigkeit ypHF und der relativen Dielektrizitätskonstanten _ 1 /Z f LHF V C’
Betrag des Wellenwiderstands
der Isolierung er einer Leitung aus nichtferromagnetischen Werk stoffen der Zusammenhang
Phasenwinkel
^L h f =
(91)
“p h f
Real teil
^ iH F
|f ^ , 2’ ' cos
Imaginärteil
Z 2flF = - " j / ^ r ^ (tan e - tan 5)
C
oV C ** "^c*" (^5)
oder wegen der Verknüpfung zwischen der Lichtgeschwindigkeit c0, der absoluten Dielektrizitätskonstanten e0 und der absoluten Permeabilität Mo des freien Raumes
(8 6 )
<92> 0 HF = co ■\J L ’ C
Phasenkonstante
(87) wird Gl. (91)
HF Mit den Gin. ( 6 8 ), (69) und (83) kann die Beziehung ( 8 8 ) auch ge schrieben werden
1
c0
a HF = co • \ f u C’ ~ (tan e + tan 5) ( 8 8 )
Dämpfungskonstante
V
(93)
V er e0 Mo
mit Gin. (90) und (93) gilt somit im Bereich sehr hoher Frequenzen Wm L ' ■ C = - ~ -= £r - e0 - Mo
«h
f
-
“R + “
c
-
I
^
;
+ 5 C ' Z i-h f
C89)
Der erste Summand wird als Widerstandsdämpfung ör , der zweite Summand als Ableitungsdämpfung oder dielektrische Dämpfung oq bezeichnet. Aus den Gin. (83) und (87) findet man unter Berücksichtigung der Gl. (39) die für Hochfrequenzleitungen wichtige Verknüpfung ZLhf = H
PHF
7 c t = l ’' v phf
(90)
f ^oo
(94)
» p HF
Da infolge des extrem ausgeprägtem Skineffekts die elektrischen und magnetischen Feldlinien praktisch nur in der Isolierung der Leitung verlaufen, wird l i m L ’ = L L = L \ + L ’„ f
oo
+ LI
00
(95) 00
3.6.4 Kriterien für die Verwendung der Näherungen Es wird die Metallverlustfrequenz f x eingeführt. Diese ist defi
Mit wachsender Frequenz strebt Z lh f dem frequenzunabhängigen Grenzwert Zoonach Gl. (16) zu. Zoo liegt bei Freileitungen zwischen 500 und 800 £2, bei Kabeln zwischen 50 und 200 £2. Bei sehr hohen Frequenzen besteht zwischen der Lichtgeschwindigkeit c0, der Pha-
niert tan e = — = 1 coi L ’
oder
/i ~
T, 2 jf L
(96)
48
3.6 B erechnung der Wellenparameter aus den Leitungsbelägen
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
Die Berechnung der Wellenparameter ist für praktische Belange ausreichend genau, wenn folgende Bedingungen eingehalten wer den a) NF-Form eln nach Abschnitt 3.6.2 Betriebsfrequenz / = j Metallverlustfrequenz f x b) H F-Form eln nach Abschnitt 3.6.3 Betriebsfrequenz/ = 4 Metallverlustfrequenz f x c) Exakte Formeln nach Abschnitt 3.6.1 Betriebsfrequenzen, die nicht unter a) bzw. b) fallen Der Frequenzgang der Wellenparameter einer verlustbehafteten homogenen Leitung hat grundsätzlich den auf den B i l d e r n 10 und 1 1 dargestellten Verlauf.
B ild 10:
Frequenzgang des Wellenwiderstands für eine verlustbe haftete homogene Leitung (Zj = Real teil, Z 2 = Imaginär teil)
49
3.6.5 Berechnung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Die Phasengeschwindigkeit z>p und deren Kehrwert, die Phasen werden aus der Phasenkonstanten ß ermittelt.
la u fzeit Tp,
Tiefe Frequenzen (NF-Formel)
_
Mittlere Frequenzen
V cos e • cos 5 CO »p = — ■=-%r = ---------------------- -
(exakte Formel)
1 ~ TpNp
TP Hohe Frequenzen (HF-Formel)
p j
% F = ^
« _ -\fT Z T %F \ R ’ C’
(
’
(98)
e+ 6
V V C ' co s: w ^
1
=^= = T
(99)
Im Bereich tiefer und m ittlerer Frequenzen ist die Phasenge schwindigkeit frequenzabhängig. Bei hohen Frequenzen geht die Phasengeschwindigkeit in einen konstanten Wert über, da C und L ’^ - L ’oo = I ’a + £ 'noo + Xhoo näherungsweise unabhängig von der Frequenz sind. Die Gruppengeschwindigkeit fg und die Gruppenlaufzeit r g können lediglich für tiefe und hohe Frequenzen explizit angegeben werden. Aus Gl. ( 6 6 ) folgt = §NF
- ^ = ^ - 2 - T / | t^ = T% F d% F IR C =NF
2-^p PNF
(100)
Im Hochfrequenzbereich ist die Phasengeschwindigkeit öpHF prak tisch frequenzunabhängig. Daraus ergibt sich B ild 11:
Frequenzgang der Dämpfungs- und Phasenkonstanten für eine verlustbe haftete homogene Leitung (a = Dämp fungskonstante, ß = Phasenkonstante)
Bei m ittleren Frequenzen m uß die Gruppengeschwindigkeit »g durch grafische Differentiation aus dem Frequenzgang der Phasenkönstanten ß bestimmt werden.
50
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
3.6 Berechnung der Wellenparameter aus den Leitungsbelägen
2. Z a h l e n b e i s p i e l :
p’HF = co • AJ T T c ’ = 2 k ■ 10 3 y / 1,9 ■ 10~r - 6 - 10 "9 ' Vkm
Gesucht sind die Wellenparameter für die Frequenz / = 1 kHz einer Nachrichtenfreileitung aus 4 mm dicken Drähten m it den Be läg en/?’ = 2,8 O /km , G ’ = 0,5 jiS/km, C = 6,0 nF/km , L ’ = 1,9 mH/km und eines Nachrichtenkabels m it 0,9 mm dicken Leitern und den Belägen R ’ = 5412/km , G ’ = 0,1 (iS/km, L ’ = 0,7 mH/km , C ’ = 33,1 nF/km . Metallverlustfrequenz
= 0,0212 ‘/k m = 1,22 °/km ßl-lF = 0,0212 Vkm = 1,22 °/km
ctfjp — co * \»J U C ’ --z 2 (tan e + tan 6 ) =
für die Freileitung nach Gl. (96) 2 jt ■ 103 V
S' =
2 ^ 1 ,9 -
10-3
= 2 34Hz
• 10 -3 • 6 • 10 -9 • i (0,235 + 0,0133) Np/km
2
ttHF = 2,63 mNp/km
4 - f i = 940 Hz, d.h. für / = 1 kHz HF -Formeln nach Abschnitt 3.6.3
Metallverlustfrequenz f t für das Kabel f
tan e = c o L ’ = 2jc • 103 ■1,9 • 10-3 = 0,235
e = 0,231
0,5 ■10 ~6 = 23 t . 10 3 . 6 . 1 0 -9 = 0,0133
5 = 0,0133
G’ tan 5 - —
51
71
= - R L - = ____ 54_____ 2 jtL ’ 2 « • 0,7 • IO-3
j / , = 2,46 kHz, d.h. f ü r / = 1 kHz NF-Formeln nach Abschnitt 3.6.2. - T
Z lHF ~
V C
C° S 2
Y1
1,9 - 10 “3 6 ■ 10 -9
z iNF
=
|^22 co V co C ’
^ = 560 12
1
■— (tan e - tan 5)
1,9 ■IO"3 6
•
10 "
12
1' ^22 ■23t - 103 -33,1 • 10'
Z Ln f = (362 - j 362) 12
„
_
l / c o C ’R ’ '
NF - PNF -
Y
5 4
= 36212
0,231 - 0 ,0 1 3 3 2
jNF ' Z 2NF
-
i (0,235 - 0,0133) 12 = - 62,4X2
—
i f l n - 103 -33,1 • 10_r^54
'
,
= y ------------ 2-------------------- - Vkm
= 75 • IO"3 Vkm «NF = 75 mNp/km
Z l h f = (560 —j 62,4) 12 ßNF = 75 • 10~3 Vkm = 4,2 °/km
••
52
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
3 .7 Berechnung der Leitungsbeläge aus den Wellenparametem
3. Z a h l e n b e i s p i e l : Gesucht sind die Wellenparameter und die Phasengeschwindig keit für die F re q u e n z / = 50 Hz einer 110-kV-Drehstromfreileitung m it den Belägen R ’ = 0,1 O /km , G ’ = 0,1 S/km, C ’ = 10 nF/km , L ’ = 1,3 mH/km und eines 110-kV-Drehstromkabels m it den Belägen R ’ = 0,1 O /km , G ’ = 0,3 jiS/km, C ’ = 0,32 nF/km , L ’ = 0,4 mH/km. M etallverlustfrequenz/, für die Freileitung /l ' 2 i z 7
Die Ergebnisse des 2. und 3. Zahlenbeispiels lassen erkennen, daß bei Nachrichten- und Starkstromfreileitungen bereits bei rela tiv tiefen Frequenzen HF-Form eln zulässig sind. Die Phasenge schwindigkeit auf einer Freileitung ist demnach etwa gleich der 1. ichtgeschwindigkeit. Der Wellenwiderstand einer Freileitung ist näherungsweise reell.
3.7 Berechnung der Leitungsbeläge aus den Wellenparametem Aus den Beziehungen (18) und (19) leitet man ab
= 2 i r i J 7 I c F H 2 = 12'25H z
4 - f i = 4 9 Hz, d.h. für/ = 50 Hz H F-Form eln nach Abschnitt 3.6.2.
jlpT
Zl '1
Metallverlustfrequenz / , für das Kabel ^
~ 2nL’ ~
2
k
53
= ZL •e
(a + j ß) = Z L (cos
= R ’ + j co L ’
■0,4 • 10~3 Hz = 3 9 ,8 Hz
-
d.h. f ü r / = 50 Hz exakte Formeln nach Abschnitt 3.6.1. Die berechneten Wellenparameter und Phasengeschwindigkei ten für die Drehstromfreileitung und das Drehstromkabel sind in T a b e l l e 2 zusammengestellt. Tabelle 2:
a + jß
1
,
. .
= --------- :— = -=r- (cos ip, - j sm
L —
„ J*L ZL ' e
L
= G ’+ j c o C ’ daraus ergibt sich
Eigenschaften einer 110-kV-Drehstromfreileitung und eines 110-kV-Drehstromkabels bei 50 Hz (Ergebnisse des 3. Zahlenbeispiels) Elektrische Eigenschaften
Freileitung
Kabel
R’ G’ C’ L’
O /km [iS/km nF/km mH/km
0,1 0,1 10 1,3
0,1 0,3 320 0,4
a ß
mNp/km '/k m
0,157 1,13 • 10"3
1,32 3,78 • IO"3
Zi Z2
O O
öp
km/s
361 - 37,6 2,77 • IO*
37,8 - 12,9 0,833 • 105
R ’ = Z L (a cos ipL - ß sin
L’ =
ZL / \ (a sin
G ’ = - ^ - ( a cos
+ ß sin
C> = c o Z L ( ß ° ° S ^
asmifit )
( 102 )
(103) (104)
(105)
Du: Phase des Wellenwiderstands
54
3.9 Eingangswiderstand
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
3.8 Komplexer Reflexionsfaktor Der komplexe Reflexionsfaktor
^ ist der Quotient der kom
plexen Amplitude der reflektierten Welle und der komplexen Amplitude der vom Generator zum Verbraucher laufenden Welle an einem beliebigen O rt auf der Leitung. Aus den Gin. (46) bis (49) folgt somit
ux rM
^
"
Ix r
2V
—L
. 2 71
Ü ü
_
_ h.
uy 6
a) Z 2_ = Z l
, Anpassung
rjjj = 0 und rjQ = 0
( 106) r.
Öl
Ux
Ix
UV
ly
c) Z j = °°, Leerlauf am Leitungsende
-271
= z 7 T 2 T 'e
Zwischen
(107)
Z 2 - ZL ~
Uy
ly
Z2 + ZT
( 108 )
2- Z
(109)
Aus dem komplexen Reflexionsfaktor kann der Verbraucher Z 2 erm ittelt werden
2 7
Ix
= Uy = L
-= 1
(113)
Die Spannungen bzw. Ströme am Leitungsende sind gleich groß und in Phase. 3.9 Eingangswiderstand
und r ^ ) besteht die Verknüpfung
= ^ ( 2) ‘ e
(H 2 )
Die reellen Amplituden der reflektierten und eingespeisten Welle sind gleichgroß. Ux und Uv bzw. / r und / v sind um 180 0 ge
Ux
Reflexionsfaktor Ux Ix am Leitungsende r(2)
-1
geneinander phasenverschoben,
. 2 71
~ iy ~ 6
— ~ —
( 111 )
b) Z 2 = 0, Kurzschluß am Leitungsende
= - ^ T z r e' 2 l Z
Nach dieser Definition ist der komplexe Reflexionsfaktor ab hängig vom O rt auf der Leitung. In der Praxis wird der Reflexions faktor oft auf den Leitungseingang (z = l) oder auf das Leitungs ende (z = 0 ) bezogen. Reflexionsfaktor am Leitungsanfang
Für spezielle Verbraucherwiderstände Z 2 entnim m t man Gl. (106) bzw. (108) nachstehende Reflexionsfaktoren:
Es gibt keine reflektierte Welle.
z 2 -Z L
Y e' 2 1 2
=
55
Der komplexe Eingangswiderstand Zj_ einer Leitung der Länge l, die m it dem komplexen Verbraucher Z 2 belastet ist ( B i l d 12)
£1 — -
ZL.
z z =l
z-- 0
Bild 12: Eingangswiderstand einer verlustbehafteten homogenen Leitung
56
3.9 Eingangswiderstand
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
wird aus Spannung und Strom am Leitungseingang aus den Bezie hungen (44) und (45) m it z = l berechnet zu 71
- 71 Uv ■e - + {/r • e ~ — ^v_ 71 - 71
Ui z, - “ I±
6
1 + ---- • e
widerstand ab. Wird'die Leitung m it dem Wellenwiderstand Z L als Verbraucher Z 2 abgeschlossen, dann ist der Eingangswiderstand Zj_ gleich dem Wellenwiderstand Z L , also Z! = Z 2 = Z L
(116)
Praktisch von Bedeutung ist der Fall, daß der Verbraucher Z^_ nur wenig vom Wellenwiderstand der Leitung Z L abweicht. Mit dem An satz
” ^7
- 2 71
Uy
AZ
1
1+r _ 1 + 'X ü
- 2 71
1
'e
Z 2 - ZL ( 2)
io. - 2 71 1 + / ( 2)_ -e 5t =
—
5t
(H 4 )
“
Z 2 + Zt
4Z 1+
4Z
2 ZL + A Z
2 Zi
(117)
2 71
2 Zt
U2 cosh 7 1 + 12 Z l sinh 7 / -271
4Z L,
4Z
damit lautet die Beziehung (114) unter Berücksichtigung der Näherung gemäß Anhang (A4)
Mit den Beziehungen (32) und (33) kann für den Eingangswider stand Z a u c h geschrieben werden Uj_
0,1
wird der komplexe Reflexionsfaktor bezogen auf das Leitungsende
m it dem komplexen Reflexionsfaktor nach Gin. (107) und (108) wird
1
<
2L
Uy
z
m it
Z , = Zt + 4Z
- 2 71 -e -
Ut
57
Ui A co s h 7 / + —
~2 Z [
sinh 7 /
Z 2 + Z l tanh 7 / =-------------- . Z l ^L + Z 2 tanh 7 / Der Eingangswiderstand einer Leitung Zj_ hängt von den Wellen parametern der Leitung, der Leitungslänge sowie vom Verbraucher-
AZ
oder Z,
1 + —-----e
_ 2 cd (cos 2 ß l - j sin 2 ß l)
ZL
(118)
Der Eingangswiderstand Z , weicht um so weniger vom Wellen widerstand Z L ab, je kleiner AZ_ und je größer das Dämpfungsmaß
58
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
3.9 Eingangswiderstand
a ■l sind. Die Abweichungen hängen vom Phasenmaß ß - la b und sind periodisch. Bei Leitungen mit großem Dämpfungsmaß werden Schwankungen des Eingangswiderstands stark unterdrückt. Eine Leitung m it a- l = 2 Np wird als elektrisch lange Leitung be zeichnet. Für diese wird -271
e
- 2 al
-
• e
Gi o +j - Bi o =
tanh 7 • l =
tanh (a + j ß) ■l
( 121)
- j 2 ßl
- 2 ) ßl
= e
Y i 0 = r 10 -e ■j«P,
59
= 0,01832 • e
Der Frequenzgang des Eingangswiderstands- bzw. Leitwerts einer kurzgeschlossenen bzw. leerlaufenden Leitung hängt wesent lich von tanh 7 • / ab. Nach Anhang (A28) gilt die Zerlegungsformel
damit wird der Eingangswiderstand nach Gl. (114) 1 + r (2) • 0,01832 • e ^ j 2
Zj =
. „N , tanh a l + i tan ß ■ l tanh (a + ] (3) • / = j + j tanh a ;. tan ßT J ~
z h fü ZL 1 - r (2) -0,01832 - e " j 2(31
Der Emgangswiderstand der elektrisch langen Leitung (a • / = 2 Np) ist unabhängig von der Größe des Verbrauchers angenähert gleich dem Wellenwiderstand der Leitung. Für die leerlaufende und kurzgeschlossene Leitung ergeben sich aus Gl. (115) die Eingangswiderstände
sinh 2 a l cosh 2 a l + cos 2 ß l
sin 2 ß l ^ cosh 2 aZ + cos 2 ß l
(122)
mit dem Betrag V sinh 2 2 a l + sin2 2 ß l tanh (a + j ß) • l
cosh 2 a l + c o s 2 ß l
(123)
Kurzschluß Z 2 = 0 1K = i? 1K + j X 1K = Z L tanh 7 • l =
Z i K = Z i K -e =
Z l tan h (a + j ß)
Im Fall der elektrisch langen Leitung (a • / = 2 Np) wird tanh a l «=* 1, damit auch tanh 7 l «s 1. Es folgt aus den Gin. (119) und (120)
(119)
-l
Z j k * Z 10 « 2 l
(124)
L eerlauf Z 2 = °°
Gl. (124) sagt aus, daß die Eingangswiderstände einer elektrisch langen Leitung bei Leerlauf oder Kurzschluß am Leitungsende ange nähert gleich dem Wellenwiderstand der Leitung betragen.
jv5
^ 1 0 = Z 10 • e
10 = i ? i o+ j ^ 1 0 = Z l coth 7 ' l =
= Z l coth (a + j ß) ■l
( 120 )
an Stelle des Widerstands Z 10 wird zweckmäßig der Leitwert ^10 = -J— eingeführt. -^10
Für ß ■/ =
(n = 1 , 3 , 5 ...) wird sin 2 ß l = ± 1 und 4 cos 2 0 / = 0. Aus Gl. (123) findet man Itanh 7/1 = 1 und so- ‘ mit aus den Beziehungen (119) und (120) Z lK
Z 10
~
60
3.9 Eingangswiderstand
3. Verlustbehaftete hom ogene L eitung
Der Frequenzgang der Beträge der Eingangswiderstände einer am Ende kurzgeschlossenen bzw. leerlaufenden Leitung ist auf B i l d 13 aufgetragen. Von praktischer Bedeutung in der Nachrichtentechnik sind Lei tungen, deren Länge ganzzahlige Vielfache einer Viertelwellenlänge entsprechen. Die Leitung befindet sich bei diesen Frequenzen in Resonanz. Bei den üblichen Fabrikationslängen von 100 bis 500 m liegt der 1. Resonanzpunkt zwischen 100 und 500 kHz. Bei diesen Frequenzen ist der Wellenwiderstand einer Leitung nahezu reell. Unter der Voraussetzung Z L = Z L = ZL werden Z 10 und 7 .. . — — HF HF
61
ln den Resonanzpunkten einer Leitung gelten dann für die reellen E i n g a n g s w i d e r s t ä n d e bei kurzgeschlossenem o d e r offenem Leitungs e n d e die Zusammenhänge für n = 1, 3, 5 ... 2 lK
= K
ik
r
coth a l
= Z LH F coth a /
HF
(125) = R . „ - d} ..= Z TL „ - t a n h a / Z—\o ~ ryJ — , o ^ 10 u -1o HF
für n = 2, 4, 6 ... sin 2 /3 / = 0 für 0 • / =
(n = 1 , 2 , 3 ...) Z iK
= i? lK
= 2 l h f - ta n h a l
(126)
Damit ergibt sich aus der Beziehung (122)
tanh (a + j ß) ■l =
f coth a l i l tanh a l
für
n = 1 , 3 , 5 ...
für
n = 2, 4, 6 ...
Z xo = - y — = Ä io = - ~ = ----Y 10 O-jo
ZL
HF
-cotha/
Aus den Beziehungen (125) und (126) ist zu erkennen, daß wegen coth a l = tanh a l Z iK für n = 1, 3, 5 ..., Zi o für n = 2, 4 , 6 . Maxima (Parallelresonanzen) durchlaufen. Minima des Eingangs widerstands (Serienresonanzen) werden von Z \ ^ für n = 2 ,4 ,6 ... von Zio für n = 1, 3, 5 ... erreicht. Bei hohen Frequenzen, d.h. bei ausgeprägter Strom V e rd rä n g u n g in den Leitern, gilt für die Phasengeschwindigkeit auf der Leitung der Ausdruck (91). Aus der Resonanzbedingung für die Leitung 0 . i = 2 jt 1 = n ' n = co~ 1 = 2 rc /k e s ' 1 ^ e ^vRes 2 ÖPHF C° erhält m an d ie R e s o n a n z fr e q u e n z /RlCS
Bild 13: Frequenzgang der Beträge des Eingangswiderstands einer leerlau fenden bzw. kurzgeschlossenen homogenen Leitung m it Verlusten Z 10bzw. Z 1K
/r« JKsi>
Phf n-c0 ;------= ----------7= . 4 -l 4 . /. -
fur« = 1,2,3...
(127)
62
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
3.10 Zusammenhang zwischen den Wellenparametern
oder die zugeschnittene Größengleichung /R e s
75 ' H
MHz
l er m
zur Auswertung der Gl. (129) werden die Abkürzungen gesetzt
für n = 1, 2, 3, M =
Wie aus Gl. (127) zu erkennen ist, kann die Phasengeschwindigkeit »p aus der Resonanzfrequenz der Leitung / Res bestimmt werden. HF
Durch die Verknüpfung der Gin. (90) und (127) erhält man für den Wellenwiderstand einer Leitung bei hohen Frequenzen 2
_
n______
_ ^ ' l ' /Res jj
L h f ‘ 4 - / - / Res- C ’ "
y Zi0
1
und
P = 2 (V’IK - Vxo)
nach Anhang (A29) findet man für die Dämpfungs- und Phasenkon stante t , I M - co sp tanh 2 a / = ---------------
. (130)
1 + A f®
v
. „n, 2 M sin p tan 2 ß l = ---------- (131) 1-M 2
n
Die Ermittlung des Wellenwiderstands aus der Kapazität und der Resonanzfrequenz ist ein genormtes Meßverfahren für Hochfre quenzleitungen [5], 3.10 Zusammenhang zwischen den Wellenparametem und den Leerlauf- und Kurzschlußwiderständen Der Wellenwiderstand Z l , die Dämpfungskonstante a sowie die Phasenkonstante ß können bei beliebigen Frequenzen aus den Eingangswiderständen bei Leerlauf und Kurzschluß am Leitungs ende berechnet werden. Aus den Gin. (119) und (120) ergibt sich Z j L = Z L -e
63
Voraussetzung für das beschriebene Verfahren ist, daß Leerlauf und Kurzschlußwiderstand hinreichend von einander verschieden sind. Dies trifft zu, solange das Dämpfungsmaß der Leitung höch stens 1 Np beträgt. Im allgemeinen sind die Eingangswiderstände Z xo und Z ^K komplex. Einfache Verhältnisse ergeben sich, wenn sich die Leitung in Resonanz befindet. Für die Dämpfungs- und Pha senkonstante leitet man aus den Beziehungen (125) und (126) ab tanh a - l - 1 / V R ik
für n = 1 , 3, 5 ...
(132)
tanh a ■ l = 1 / - * * R \0
für n = 2, 4, 6 ...
(133)
ß-l -
für n = 1, 2, 3 ...
(134)
L = v r Z i 0 - Zi K =
(128) = 2 ( ^ i o + ^ 1 k)
m it Z L - V Z l0 - Z 1K‘ und
Für den Wellenwiderstand gilt die Beziehung (128), also
z l hf = V Rio • R m /-^lK tanh y ■l = tanh (a + j ß) l = 1 /...= — 1
(129)
64
3.11
3.11 Leistungsbeziehungen
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
Leistungsbeziehungen
65
1 f /2 ,, . , D _ * _ L ~ 2 a (z - l) . c o s w _ B lindleistung Pb(z) ~ 2 ~z [ L
3.11.1 Leistungsübertragung bei Anpassung Als Nennwert der Übertragungsleistung wird diejenige Ein gangswirkleistung bezeichnet, die der m it dem Wellenwiderstand abgeschlossenen Leitung im Dauerbetrieb zugeführt werden kann. Ein Kriterium für die Qualität der Übertragung ist das Verhältnis der Verlustleistung PY zu der dem Verbraucher zugeführten Wirk leistung Pw . Das Verhältnis der Verbraucherwirkleistung PWj zur eingespeisten Wirkleistung i \ Vlheißt Wirkungsgrad der Über tragung 7]. Die Beziehung für die komplexe Scheinleistung P ^z) für eine mit dem Wellenwiderstand Z l abgeschlossene Leitung lautet
\ Y ~ e 2öZ sin
(136)
Damit werden die Leistungen am Leitungseingang und -ende 1 u\
eingespeiste Wirkleistung
^
i ^
cos
=
TT2 e 2 a lco s^ L
(137)
1 u\
= 2
eingespeiste Blindleistung
sin
I ^ e ^ s i n ^ 1 zL
Verbraucherwirkleistung
\
P^ 2 = 2
e
2 zL Verbraucherblindleistung P ^ -
1
_ 2al
(138)
cos cpL
■cos *>L
e
_ 201
(139)
.
sm ‘Pl
i ^ s i n t pL
(140)
Die in den Leitern und in der Isolierung in Wärme umgesetzte Verlustleistung Py ergibt sich aus den Gin. (137) und (139) zu r>
T>
— T> ( \
2° A = P... ^e20!l — 1^
(141)
66
3.11 Leistungsbeziehungen
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
Bei kleiner Dämpfung (a • l < < 1) gilt m it der Näherung (A l 1) />v * 2 a / - P Wl
(142)
Die Verlustleistung wächst m it dem Dämpfungsmaß a • l der Lei tung. Beispielsweise nimmt die Dämpfungskonstante a einer Koaxialleitung m it kleinen Isolationsverlusten im Bereich ausge prägter Stromverdrängung angenähert m it der Wurzel aus der Fre quenz zu. Aus diesem Grund sinkt die übertragbare Leistung m it der Wurzel aus der Frequenz ab. Die maximal übertragbare Leistung einer Leitung wird bei tiefen Frequenzen durch die von der zuläs sigen Spannungsfestigkeit der Isolierung abhängige maximale Be triebsspannung, bei hohen Frequenzen durch die zulässige Erwär mung der Leiter und der Isolierung begrenzt. Die zulässige Erwär mung wird vom Leitungsaußendurchmesser und vorwiegend von der Wärmeleitfähigkeit der Isolierung bestimmt. Der Wirkungsgrad der Übertragung 77 wird
67
quenzen nahezu reell und kann näherungsweise a u s V L ’/C ’ berechnet werden. Die natürliche Leistung Pnat läßt sich demnach durch Reduzierung des Induktivitätsbelags L ’ oder Vergrößerung des Kapazitätsbelags C' erhöhen. In der Praxis wird bei Hochspan nungsfreileitungen eine Induktivitätsverminderung mit aus mehre ren Einzelleitern aufgebaute Bündelleiter erreicht. Der Wellenwi derstand einer Bündelleitung beträgt 250 bis 280 £2 [15]. Bei verlustbehafteten Starkstromleitungen, die bei Anpassnung betrieben werden, lautet die Definition für die natürliche Leistung [27] U\ -Pnat =
2
U\ = 2 Z T ^ C° S
+ j Sin ^
( 145^
Pnat nach Gl. (145) ist die komplexe Scheinleistung am Leitungs eingang. 3.11.2 Leistungsübertragung bei Fehlanpassung
^w 2 ^\V2 V = ~p ~ ~p MVj
l \V 2
1 V
1+
_ -)a > ~p~ ~ e ~ V p I \v 2
(143)
Bei verlustlosen Leitungen ist der Wellenwiderstand reell, die Dämpfung Null und damit die Spannung längs der Leitung kon stant. Ist eine verlustlose Leitung elektrisch lang, oder wird sie bei Anpassung betrieben, dann bezeichnet man die maximal über tragbare Leistung als natürliche Leistung P nat Pnzt =
( 144)
Aus Gl. (144) ist ersichtlich, daß Leitungen zur Energieübertragung einen möglichst niedrigen Wellenwiderstand Z l haben müssen. Ver gleicht man ein Kabel m it einer Freileitung, so liegt der Betrag des Wellenwiderstands beim Kabel zwischen 30 bis 40 £2, bei der Frei leitung bei etwa 375 £2. Nach elektrischen Gesichtspunkten ist ein Kabel zur Energieübertragung auf weite Entfernungen geeigneter als eine Freileitung. Wirtschaftlicher ist aber die Freileitung. Der Wellenwiderstand einer Freileitung ist auch bei Starkstromfre
Die komplexen Amplituden von Spannung und Strom auf einer nichtangepaßten Leitung entnim m t man den Gin. (44) und (45). Mit den Ansätzen (34) und (35) folgt I/y - e « . e j ( ^ + ß E ) + .I/I . e - « - e j ( ^ - ß‘ )
i, , -E
l
e a z , p'j ( ^ v + ß z - v o ~ El
Zl
—
e
uz
zL
Damit leitet man die komplexe Scheinleistung her Psi z)
1 2
= A v W + K m z)
Uy
■e az
= \
•
V&
!w
=
i ( ‘P y + ß z ) + u ^ e - a z . e j «PI - ß z )
r
Uy -j(i£ v+ ßz -
l
^
68
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
3.11 Leistungsbeziehungen
durch Ausmultiplizieren und Umformen mit sinh j (ipv - ipr + 2 ß z) = j sin (tpv -
69
UyU,
= - “ 2 ^— sm K -
Pb(z)
+ 2 ßz)
(150)
der Wirkungsgrad der Übertragung folgt aus Gl. (149) PW(z) = I2
El .
2cez _
EL
ZL
■
ZL
- 2az
COS I^L
N8-
A v2 77 “
ZL
sin (
(146)
b(z)
= I
2
EL
II 2 U2 ± e 2az - ^ - e " 2 a z
(15i>
Aus der Verknüpfung der Beziehungen (29), (108) sowie (110) gewinnt man den Zusammenhang
und die Blindleistung Pb(z) p
U 2}
~ Uy e2al - U 2 e~ 20:1
El
Uy = — = J — -
^ 2)
—
sm ipL —
(152)
1 + (2)
damit wird die Wirkleistung PW(Z) nach Gl. (149) Uy Ur sin (<£v ~
+.2 ßz)
C/2
(147)
e2az _
* . e- 2az
-------------
■ * rL aus Gl. (146) erhält man den Wirkungsgrad der Übertragung
mithin findet man die eingespeiste Wirkleistung r2
p
= 1
-
<153)
2 ZL
_2al
2
I 1 + r(2)l
2al
---------
(154)
(Uv2 - U 2) cos ipL + Uv Ux [sin (
1 ( U 2 e 2 a l - U 2 ■e ~ 2a l ) cos ipL + £/v £/r [sin (<£v —<pr + 2 ßl) ] sin ipj (148) Im folgenden werden fehlangepaßte Leitungen m it reellem Wellen widerstand Z L betrachtet. Diese Voraussetzung trifft näherungs weise für Freileitungen schon bei tiefen Frequenzen, für Kabel erst bei hohen Frequenzen zu. Aus den Zusammenhängen (146) bzw. (147) wird dann r/2
PW(z) - — 2
uv
_2az
UT J22
2az
( 149)
2 P W 2
=
( 1 5 5 )
2 Zl
I 1 + ^( 2) I
infolgedessen wird der Wirkungsgrad der Übertragung P
2 1 - r(2) ------ 2
e 2 a l - r (2)-e
1 2 1 ~ r (2) _ 2 a l. = -------- 2...... (156)
2al
l - r (2)-e 4 a l
wobei rf = e~ 2a l der Wirkungsgrad bei Anpassung nach Gl. (143) ist.
70
3.12 Starkstromleitungen
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
Die dem Verbraucher bei Fehlanpassung zugefuhrte Wirkleistung ist stets kleiner als bei Anpassung. Außerdem steigt bei nichtangepaßtem Verbraucher die Verlustleistung Pv, da auch die reflektierte Welle in den Leitern und im Dielektrikum Verluste erzeugt. Bei Fehlanpassung wird die Verlustleistung Pv
Pv = Avj - Av 2 = Av,
= PW) (1 - 77)
(157)
Optimale Leistungsverhältnisse stellen sich bei einer Leitung nur dann ein, wenn der Wellenwiderstand reell ist und der Verbraucher an die Leitung angepaßt ist. In diesem Fall wird der Eingangswider stand der Leitung ebenfalls reell. Die Leitung nim m t deshalb keine Blindleistung auf. 4. Z a h l e n b e i s p i e l : In ein 100 m langes Koaxialkabel m it dem Wellenwiderstand 60 £2 und der Dämpfungskonstanten a = 0,7 dB /100 m werden 40 kW Wirkleistung eingespeist. Bei Anpassung wird die Verbraucherwirkleistung nach Gl. (143) Av 2 = V ’’ Av, , a ' 1 = 0,0805 Np , 17’ = e ~ 2al = 0,851 ,
71
aus Gl. (157) erhält man die Verlustleistung / \ = Av, - Av 2 = (40 - 33,2) kW = 6,8 kW In die Gleichungen für die Leistungsbeziehungen sind für die Span nungen und Ströme die reellen Amplituden (Maximal-, Scheitel- oder Höchstwerte) einzusetzen. Wird m it Effektivwerten gerechnet, dann sind die Leistungsbeziehungen mit dem Faktor 2 zu multiplizieren. 3.12 Starkstromleitungen Der F re q u e n z / = 50 Hz entspricht im freien Raum die Wellen länge X0 = 6 • 103 km. Starkstromleitungen mit bis zu 350 km Länge sind daher elektrisch kurze Leitungen. Die für elektrisch kurze Leitungen zulässigen Vereinfachungen werden aus den Gin. (32) und (33) mit den Näherungen sinh 7 • / «» 7 • Z, cosh 7 • Z « 1 + ^ ( 7 • l) 2 hergeleitet. Zwischen den Eingangs- und Ausgangsgrößen bestehen somit die Verknüpfungen
Ux ~ Ui
1 + ^ ( r z)2
+ h ZL -7 -1 =
P^ 2 = 0,851 -4 0 kW = 34,04 kW
=
Ü2
1+ \ (t ■ • Z)2 + h [ R ’ + j ü j L ’} - l
(158)
die Verlustleistung nach Gl. (141) Py =
Ui
= ( 4 0 - 3 4 ,0 4 ) kW = 5,96 kW
Bei einer Fehlanpassung von r(2> = 0,3 wird der Wirkungsgrad nach Gl. (156) ( l - r ( 2) W
(1 - 0,32) -0,851
/, * h
+ —
7' l =
+ U2 [G ’ + j w C ’]- Z
77 = 1 —f( 2) • e—4 0:1 = l - 0 , 3 2 - e ^ 0,322 " °>83
damit die Verbraucherwirkleistung p w2 = V ■PWl = 0,83 • 40 kW = 33,2 kW
mit 7 2 = ( R ’ + j c o L ’) ( 6 ’ + j u C ’) kann auch geschrieben werden
(159)
72
3.12 Starkstromleitungen
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
U2 + \ h (i? ’ + j u> L ’) ■l ■[G’ + j c o C ’] - l
(161
Den Gin. (160) und (161) entsprechen die beiden äquivalenten Er satzschaltungen des B i 1 d e s 14.
u,
73
Bei Leerlauf am Leitungsende (12 = 0) nehmen Kabel und Freilei tung nach Gl. (161) eingangsseitig den Leerlaufstrom /I0 *
U2 (G ’ + j w C ' ) - I
(166)
auf. Der L eerlaufstrom /j 0 entspricht dem Strom durch einen Kon densator m it der Kapazität C’ ■l und der Ableitung G ’ • /. Dabei liegt am Kondensator die Verbraucherspannung U2. Zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung einer leerlaufenden Freileitung besteht nach Gl. (164) der Zusammenhang
u,
Ui ~ U 2 ( l - \ w 2 I ’C ’ Z2)
= U2 (1 - ct)
(167)
Bild 14: Ersatzschaltungen der elektrisch kurzen Leitung
m it 0 = Bei elektrisch kurzen Leitungen ist
1
(7 • l )2
< < 1 , deshalb
sind auch für 7 selbst Näherungen zulässig. A uf Grund der unter schiedlichen Größenordnungen der Leitungsbeläge gelten bei Starkstromfrequenzen für Kabel N F-Form eln, für Freileitungen HF-Form eln. Mit den Ansätzen Kabel
7 2 ^ j i ? ’ coC”
Freileitung
72
— co2 L ’ C ’
erhält man m it den Beziehungen (158) und (159) für Kabel U l
Ii
~
+ I 2 [ R ’ + i &}£']• l
U l
(168)
Nach Gl. (167) ist die Eingangsspannung einer leerlaufenden elektrisch kurzen Freileitung kleiner als die Spannung am Leitungs ende. Diese Erscheinung wird als Ferranti-Effekt bezeichnet. Unter Vernachlässigung der kleinen inneren Induktivitäten sowie der meist sehr kleinen Nähewirkung bei einer Freileitung findet man aus Gl. (168) unter Berücksichtigung von Gl. (94) für die Frequenz / = 50 Hz die zugeschnittene Größengleichung
»= ”
■‘» " ( i S ; ) ’
(169>
(162) 5. Z a h l e n b e i s p i e l :
^ I2
+ U2 [G ’ + j u C ’] ' /
(163)
+ /2 [/? ’ + j co L ’\- l
(164)
+ U2 [G ’ + j c oC’ ] - l
(165)
für Freileitungen Ui * U2
co2 L’C ’ l 2
1 - -j co2 L ’ C’ l 2
1 - l co2 L ’ C ’l 2
Über eine 300 km lange Drehstromfreileitung m it den Belägen R ’ = 0,1 £2/km, G ’ = 0 ,2 ß lk m ,C ’ = 11 nF/km , L ’ = 1,0 mH/km wird einem Verbraucher pro Phase die Wirkleistung = 5 MW zugeführt. Die Verbraucherphasenspannung ist U2 = 50 kV (Effek tivwert) bei einem induktiven Leistungsfaktor cos i/j2 = 0,866. Betrag des Verbraucherstroms I 2 (Effektivwert)
74
3. Verlustbehaftete homogene Leitung
Der Zeiger der Verbraucherspannung U2 wird in die positive reelle Achse gelegt, also komplexer Effektivwert U2 = 50 kV. Aus cos ip2 = 0,866 folgt ip2 = 30 °, damit wird der komplexe Effektivwert des Verbraucherstroms /2 = 115 e~“j 30 ° A
Aus Gl. (169) erhält man a = 5,5 • 10~7 ( j t - J
= 5,5 • 10~7 • 3002 = 49,5 • 10"3,
1 _ a = 0,9505
damit wird der komplexe Effektivwert der Eingangsspannung £/, nach Gl. (164)
4 . Hochfrequenzleitungen 4 . l Verlustlose homogene Hochfrequenzleitung
Verlustlos bedeutet, daß R ’ = O u n d G ’ = 0 ist. Diese Voraus setzungen sind bei kurzen Hochfrequenzleitungen, beispielsweise bei Verbindungsleitungen zwischen Meßgeräten oder bei Meßleitun gen, mit ausreichender Näherung erfüllt. Die äquivalente Leitschicht dicke i? eines idealen Leiters (k = °°) ist nach Gl. (1) unabhängig von der Frequenz Null. Daher verschwindet auch dessen innere Induktivität. Für den Induktivitätsbelag der verlustlosen Leitung gilt somit U ^ nach Gl. (95). Der Wellenwiderstand der verlust losen Leitung ist demzufolge reell und frequenzunabhängig 5 t = zl = y % -
( i7 °)
Ui == U2 (1 - a ) + J 2 (i?’ + j u l ’) • / = = 50- 103 -0,9505 + 115- e “ '*30° (0,1 + j 0,314) • 300 V-
Ui ~ (5 6 ,0 2 + j 7,643) kV = 56,5 • ej 7’8 ° kV Bei leerlaufendem Leitungsende wäre die Spannung U2 m it dem berechneten U,
Die Übertragungskonstante der verlustlosen L eitung^ wird gemäß Gl. (17) 7 = a + j ß = \ f ^ c o i L r^ C ' = j co ■\ f L ’o o -C ’
(171)
oder a = 0
U2 «s — - =
^ 6,5 • e-i 7’j 0,9505
kV = 59,4 • ej 7-8 ° kV
Der Leerlaufstrom am Leitungseingang wäre nach Gl. (166) 7,o « U2 (G ' + j w C * ) - / = = 59,4 - e j 7’8° • 103 ( 2 • 10 ~7 + j 34,5 • 10~7) • 300 A
ß = w •
(172)
4.1.1 Spannungs- und Stromverteilung bei beliebigem Verbraucher widerstand Mit den Umformungen (A23) sowie (A24) leitet man aus den Be ziehungen (32) und (33) ab U(z) = U2 cos ß z + j
sin ß z
71 0 ~ 6 1 , 5 - e i 97'8 ° A Ui
/( Z) = I 2 c o s ß z + j
si nß z
76
4.1 Verlustlose hom ogene Hochfrequenzleitung
4. Hochfrequenzleitungen
U2 231 m it ß = - j — und Z^ = - j — wird 2 jtz
. £ ^ J = ü* ( ^ o s - ^ - + j —
. 2 jt z sin
T T ( 2 71 z Z2 2 jr z \ l g ) - h { cos— + J — sin— J
hz) = h
(173)
( 174 )
Die Phasengeschwindigkeit auf einer verlustlosen Leitung ist unabhängig von der Frequenz, d.h. die Phasengeschwindigkeit ist gleich der Gruppengeschwindigkeit. Nach Gin (93) und (101) gilt
(.75, Aus Gl. (175) erhält man den Zusammenhang zwischen der Wellen länge auf der Leitung X und der Wellenlänge im freien Raum X0
1
c0
X0
/ ' V er
V eT
( 178^
X
mit den Beträgen
h z )
, öp x= _
( c0S^ rX~ +
77
( 176)
A uf verlustlosen Leitungen mit einer relativen DK er > 1 sind also Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sowie die Leitungswellen länge kleiner als die entsprechenden Größen im freien Raum. 4.1.2 Spannungs- und Stromverteilung bei reellem Verbraucherwiderstand Die Leitung wird m it dem reellen Verbraucherwiderstand Z 2 = R 2 = w Z l belastet, wobei 0 =■ m => 1 sein soll. Mit R 2 = m Z l folgen aus den Gin. (173) und (174) die Beziehungen
=
h
y
cos2
^
Der Betrag der Spannung (« = 0, 1, 2 ...) wegen cos
+
m 2
sifl2
( 1 8 0 )
durchläuft furz = ^ + H y = ± 1 Maxi-
= 0 und sin
ma, für z - « -y wegen cos = ± 1 und sin ^ X ma. Damit erhält man aus der Beziehung (179)
= 0 MiniX
U2 = U2 ~Rl
Umzx
(181)
C/min = U2
( l 82)
Wie aus Gl. (180) abzulesen ist, durchläuft der Betrag des S tro m s/(z) für z = n ^ M axim a/max = / 2, fürz = - |- + n y Minima/jnj,, - m l 2. Die dimensionslose Größe m wird nach DIN 47 301, Blatt 2, [6 ] Anpassungsfakior, der Kehrwert Welligkeitsfaktor s genannt. 1 ^min 7min ^ 2 m = —= —---------------------------------- 7 — ■s
^ m ax
( 183'
■ ‘ max
Da der Anpassungsfaktor m nur Werte zwischen 0 und 1 annimmt, ist er für viele Anwendungsfälle, besonders für Darstellungen in Kurven und Diagrammen, besser geeignet als der Welligkeitsfaktor s, der Werte zwischen 1 und °° annehmen kann.
78
4. Hochfrequenzleitungen
4.1 Verlustlose homogene H ochfrequenzleitung
bzw. der Strom am Ort z auf der Leitung gegenüber Verbraucher spannung- bzw. Strom voreilen, aus den Beziehungen (177) und
Wegen R 2 - t h jst J2 ,,
(178)
R12. i _ ^max Uimm ____ __ ______ m
Anax
(184)
Anin
Mit den Gin. (181) bis (183) können die Ausdrücke (179) sowie (180) auch geschrieben werden U (z) = tfmax ■ ] / s i ,i 2
/m av '' "p/cOS2 (z) = - Anax | / cos —
+ m 2 C0S2 2 | z
+ m m z2 sin sin 2 — ——2 + —
(185)
ta n ip
u
1 23t z = — tan — - —
m
(187)
A
.
2jtz
(188)
tan (Pj = m • tan ——
B i l d 16 zeigt den Verlauf der Phasenwinkel
V
(186)
A uf B i l d 15 sind Spannung und Strom längs einer verlust losen Leitung für verschiedene Anpassungfaktoren m dargestellt. Die Spannungs- und Stromkurve haben die gleiche Form, sind aber um
79
für die An
|
X
3ir/2 P\ -m
=0 TT -m =9,5
4
3H k
An
X
i /i>
IT/Z
0
verschoben, da in den Gin. (185) bzw. (186) sin und
cos vertauscht sind. Bei Anpassung (m = 1) sind Spannung und Strom längs der Leitung konstant, bei Kurzschluß am Leitungsende (m = 0) durchlaufen Spannung und Strom Nullstellen in den Ab ständen *2 . Wegen des reellen Verbrauchers R 2 = m Z L sind Ver braucherspannung U2 und Verbraucherstrom I 2 in Phase. Werden die Zeiger von U2 und /2 in die positive reelle Achse gelegt, dann findet man die Phasenwinkel u bzw. um welche die Spannung
Bild 16: Phasenwinkel der Spannung
Einen anschaulichen Überblick über die Spannungs- und Strom verteilung auf einer verlustlosen Leitung mit reellem Verbraucher R 2 = m Z L vermittelt die Ortskurvendarstellung der Gin. (177) und (178). Unter Berücksichtigung von Gl. (181) lauten diese Glei chungen U( z)
U ^max hz)
2 3TZ
. .
2 j cz
.
. 2itz
- — •= cos—r— + 1 m sin A Bild 15: Spannungs- und Stromverteilung auf einer verlustlosen Hochfre quenzleitung bei reellem Verbraucher
2JIZ
m cos —-— + j sin —7—
,
A
Gemäß Anhang (A30) sind dies Gleichungen von Ellipsen m it Mit telpunkt im Ursprung der komplexen Ebene. Für m = 1 (Anpas-
80
4.1 Verlustlose homogene Hochfrequenzleitung
4. Hochfrequenzleitungen
81
a) Anpassung Z 2 = Z L Zl = z 2 = Z L b) Kurzschluß Z 2 = 0 Z ik = j Z L tan ~y ~
(190)
c) Leerlauf Z 2 = °° Z 10 = - j Z L c o t ^
Bild 17: Ortskurve von Spannung und Strom für eine verlustlose Hochfre quenzleitung mit rellem Verbraucher R 2 = 0,5 ZL
(191)
d) Blindwiderstand Z 2 = j X 2
1 , Zl .
2 3t /
1 + - r r - tan —7 —
sung) gehen die Ellipsen in Kreise über. A uf B i l d 17 sind Spannungs- und Stromellipse für den Anpassungsfaktor m = 0,5 wiedergegeben. 4.1.3 Eingangswiderstand
X2
A
Z j = ------------------------ \ x 2 1 --T r- tan - 4 — ZL
A
(192)
e) reeller Verbraucher Z 2 = R 2 = m Z L
Für den Eingangswiderstand einer verlustlosen Leitung der Länge /, die m it einem beliebigen komplexen Verbraucherwider stand Z 2 belastet ist, folgt aus Gl. (115) unter Beachtung der Um formung (A25)
...
2 3t / tan —— Zx = ---------------m +j
Zl
(193)
1 + j m tan . . . £ l
2« l
1+j _
tan - r —
1 + j h_ ~
( 23t i tan tan —N
Z2
A
Zi = -
(189) u
. £
ZL
A
Bei hohen Frequenzen liegen die Leitungslängen / in der Größen ordnung der Leitungswellenlänge X, daher wird der Verbraucher Z 2 sowohl bei veränderlicher Frequenz als auch bei veränderlicher Leitungslänge transformiert. F’ür spezielle Verbraucherwiderstände erhält man
Die Eingangswiderstände der kurzgeschlossenen oder leerlaufen den Leitung durchlaufen bei konstanter Länge in Abhängigkeit von der Frequenz, oder bei konstanter Frequenz in Abhängigkeit von der Länge abwechselnd Nullstellen und Pole. Die Eingangs- , widerstände sind immer Blindwiderstände. A uf B i l d 18 sind die Eingangswiderstände der kurzgeschlossenen und leerlaufenden Lei tung ohne Verluste in Abhängigkeit von
aufgetragen. Mit der-
82
4.1 Verlustlose homogene Hochfrequenzleitung
4. Hochfrequenzleitungen
cs>
= ü a ' ' ‘ 2ilJz
83
<195)
mit dem Betrag ^ _ Hz) = - ^ ~ rQ)
Bild 18: Eingangswiderstände der leerlaufenden und kurzgeschlossenen Hochfrequenzleitung ohne Verluste
(196)
I »er Betrag des komplexen Reflexionsfaktors ist bei verlustlosen Leitungen ortsunabhängig. Bei reellem Verbraucher Z 2 = R 2 = m Z L leitet sich der komplexe Reflexionsfaktor bezogen auf das Leitungs ende r( 2) aus Gl. (108) her
artigen Gebilden können Blindwiderstände von — bis + er zeugt werden. In der Praxis werden vorwiegend ausziehbare, kurz geschlossene Koaxialleitungen (Blind- oder Reaktanzleitungen) zur Herstellung beliebiger Blindwiderstände verwendet.
ut —
"
l
- L m
Uv ‘ i — 1+ — m
m - 1
m + 1
Von praktischer Bedeutung ist auch die ---Leitung. Wegen tan
Da 0 ^ m ^ 1, ist r (2) ^ 0, d.h. Uv und Ut sind um 180 ° phasenverschoben. I)ie Gesamtspannung auf der Leitung U(Zy setzt sich wie bei der
= t m ^ -= °° ergibt sich aus Gl. (189)
Z i Z 2 = Z£
(194)
verlustbehafteten Leitung aus zwei gegenläufigen Wellen nach Gl. (44) zusammen. Mit a = 0 wird
Eine ^--Leitung transformiert einen reellen Verbraucher R 2 in den reellen Widerstand R x = Z L2/ R 2. Nach Gl. (194) müssen Z x und Z 2 'gleiche Phasenwinkel m it entgegengesetzten Vorzeichen haben. Bei der ^--Leitung wird wegen tan
= ta n « = 0 \ Z 1 = Z 2,
d.h. die y -L eitung transformiert nicht.
4.1.4 Reflexionsfaktor Nach Gl. (109) wird der komplexe Reflexionsfaktor einer ver lustlosen I.eitung m it a = 0
//(z) = Uy e ^ z + Ut- e ^ i ß z
(198)
mit Uv ■ej ^ z = ^ U2 ( l + ^ ) e i ß z nach Gl. (46) und f/'r - e
Jß z = ^ U 2 (l
• e _ -i ^ z nach Gl. (48).
Die Spannungszeiger der vom Generator zum Verbraucher lau fenden Welle Uy ■e ^ z und der reflektierten Welle Ux • e
sind
verschieden lang und drehen sich in entgegengesetzten Richtungen.
84
4. Hochfrequenzleitungen
4.1 Verlustlose homogene H ochfrequenzleitung
Die Spannung Uv ist m it der Verbraucherspannung in Phase, Ux um 180° gegen U2 phasenverschoben. Beispielsweise wird für den Anpassungsfaktor m = 0,5: Uv = 1,5 U2, UT = —0,5 U2 . Das Zeigerdiagramm für den O rt des Verbrauchers z = 0 ist auf B i l d 19a aufgetragen. Aus dem Diagramm findet man den für reelle Verbraucherwidexstände R 2 = m Z L allgemeingültigen Zusammenhang. U,min
U,
Uv - Ur
(199)
Schreitet man vom Verbraucher aus um z
^ auf der Leitung
weiter, dann sind infolge der Gegenläufigkeit beider Zeiger die Spannungen nun in Phase ( B i l d 19b). Aus diesem Diagramm liest man die für alle reellen Verbraucherwiderstände R 2 = m Z l gültige Verknüpfung ab
4 . 1.5 Leitungsdiagramme
Die numerische Auswertung des Ausdrucks (189) für den Einaangswiderstand einer verlustlosen Leitung ist sehr umständlich. In der Praxis wird diese Aufgabe deshalb mittels eines Diagramms ge löst. Gebräuchlich sind das Buschbeck- und Sm/f/z-Diagramm. 4 .1.5.1
B u sc h b e c k -D ia g ra m m
Zunächst wird der Fall betrachtet, daß die verlustlose Leitung mit dem reellen Verbraucherwiderstand R 2 = m Z l belastet ist. Aus Gl. (193) erhält man den komplexen Eingangswiderstand / , = R i + j X t m it dem Realteil /i,. 2 2nl m l 1 + tan
Ri =
1 i
l +m U„
(200 )
E l m
Uy + Ur
Aus den Beziehungen (199) und (200) folgt für den Anpassungs faktor m sowie den Welligkeitsfaktor s m
1
Um'm
UV ~ U T
5
^max
Uy + U r
85
2
2 2 3t / tan^ - r —
und dem Imaginärteil (1 - m 2 ) tan
X i = --------------------- ^
1~ Z L
1, 2a 2 2JC/ 1 + m ta n —r—
A
( 201)
i Hei festem Verbraucher R 2 , d.h. m = kon stu n d v variabel, erA
gibt sich als Ortskurve für den Eingangswiderstand ein Kreis m it der Gleichung +i
+i ZL / 1
r i - — ( — + m 2 \m
K
e
f
2
' üv
+ia s
+ x t
Z L (1
2 \m
m
\ i/„
Mi
R E E L L E ACHSE
-i
R E E L L E ACH SE
-i
q)
b)
Bild 19: Zeigerdiagramm der eingespeisten und reflektierten Spannungs welle für eine verlustlose Hochfrequenzleitung a) Ort des Verbrauchers z = 0
b) -Ort z = — 4
Dieser Kreis heißt m -Kreis, der M ittelpunkt liegt auf der reellen Zl / i \ Zl / l \ Achse bei — ( — + m , der Radius ist— ------m ). Der Kreis , 2 \m / 2 \m J schneidet die reelle Achse in den Punkten m Z L und Z i / m . Die* Herleitung der Kreisgleichung ist etwas aufwendig. Man beweist sie am einfachsten dadurch, daß man die Ausdrücke fü ri? x und X x in die Kreisgleichung einsetzt und nachweist, daß sich eine Identi tät ergibt.
86
4.1 Verlustlose homogene H ochfrequenzleitung
4. Hochfrequenzleitungen
Für
= konst und m variabel erhält man als Ortskurve für den
Eingangswiderstand ebenfalls einen Kreis m it der Gleichung ZL V . 4 JE / Vsm T > Dieser Kreis m it M ittelpunkt auf der imaginären Achse bei 4 31 / Zl 7 7 - Z L cot —r— und dem Radius — -— - heißt T - Kreis. Alle v ■ X . 4 3t l X X sm A Kreise laufen durch den Punkt ZL der reellen Achse. Auch diese Kreisgleichung beweist man durch Einsetzen der Ausdrücke 7?! sowie X j . Ein gegebener reeller Verbraucher R 2 = m ZL wird durch eine vorgeschaltete Leitung der Länge / auf dem m-Kreis im Uhrzeiger sinn bis zum Schnittpunkt mit dem Betreffenden - -Kreis verscho
R?
4 3t / V + ( Xj + Z t c o t'
/
b. Z a h l e n b e i s p i e l :
Eine verlustlose Hochfrequenzleitung m it dem Wellenwider stand Z l = 100 £2 und der relativen DK er = 2,25 ist mit dem reellen Verbraucherwiderstand R 2 = 70 £2 belastet. Die Betriebs frequenz is t/ = 33,3 MHz, die Leitungslänge l = 1,20 m (50 m). Der F re q u e n z / = 33,3 MHz entspricht die Wellenlänge im freien Raum X0 = 9 m. Nach Gl. (176) wird die Leitungswellen = 0 ,2 , mit länge X = - 7 ^ , 9 ... •, m = 6 m; folglichy- = ^ V i7 V X 2 T * 6 m =
JR.
70 = Yqq- = 0,7 findet man im Diagramm den relavtiven
Eingangswiderstand Zi 1,3 + j 0,28 /L
ben. Der gesuchte Eingangswiderstand Z x ist der Schnittpunkt, bei welchem zwischen der reellen Achse und dem Abschnitt des l 4^. / ^-K reises der Winkel — wi e auf B i 1 d 20 liegt. In der Praxis
damit wird Z i = (1 3 0 + j 28) £2.
wird ein normiertes Kreisdiagramm m it den relativen Widerständen
L ^ 0,5 ist, also ^ = 0,33. Aus dem Diagramm liest man ab X x Z; = 1,14 —j 0,36, so m itZ\_ = ( 1 1 4 —j 36) £2.
_=!= JL l + jÄ x . verwendet. Das vollständige Buschbeck-Diagramm z h ZL ZL
87
Für l = 5 0 m w ird 4 -= 8,33. D a 4 -= 0,5 einem vollen Umlauf A A im Diagramm entspricht, muß so oft 0,5 abgezogen werden, bis
zeigt B i l d 21 (siehe Klapptafel). Uisher wurden nur reelle Verbraucher R 2 = m Z l betrachtet. Jetzt muß die Aufgabe auf beliebige komplexe Verbraucher Zj_ er weitert werden. Jeden komplexen Verbraucher Z j kann man sich aus einem reellen Verbraucher R 2 = m Z L m it einer vorgeschalteten Leitung m it dem Wellenwiderstand Z L sowie der Länge l2 entstan
Bild 20: Widerstandstransformation eines reellen Verbrauchers im Busch beck -Diagramm
den denken. Die zu bestimmenden Größen m und h. liest man aus X dem Diagramm an den beiden durch Z j gehenden Kennkreisen ab. Der gesuchte Eingangswiderstand ^ der vor Z 2 geschalteten Lei tung der Länge l, ist gleich dem Eingangswiderstand einer mit ni ZL belasteten Leitung der Länge l2 + l (B i 1 d 22).
88
89
4.1 Verlustlose homogene H ochfrequenzleitung
4. Hochfrequenzleitungen
Z i —Zi m itr( i) ?-------Ü .-I- ZL
I
A------
Üi> = z2+zT
Bei gegebenem
erhält man r y j , indem der Zeiger für r ^ in der 40 t i in der komplexen Ebene um den Winkel 2 ß ■l = —^— im Uhrzei
I zL
Zi +zL
und
\I
I
zL
I^ .1
R2=iriZl
gersinn gedreht wird. B i l d 23 zeigt die Transformation des r{2)
B ild 22: Widerstandstransformation eines komplexen Verbrauchers im B uschbeck-Diagramm
7. Z a h l e n b e i s p i e l : Eine 27 cm lange Hochfrequenzleitung mit dem Wellenwider stand Z l = 100 Q, ist m it dem Verbraucherwiderstand Z 2 = (80 + j 40) O belastet. Die Wellenlänge auf der Leitung beträgt X = 1 m. Mit == = 0,8 + j 0,4 liest man im Diagramm ab m = 0,61, • ^ = 0,106; damit wird-y- + ~ = 0,106+ 0,27 = 0,376 aus dem Diagramm ergibt sich der relative Eingangswiderstand
Bild 23: Transformation der komplexen Reflexionsfaktoren in c q )
nach r(i). Aus der Beziehung (202) läßt sich ein Leitungsdiagramm ableiten [8], das zuerst von P. Sm ith angegeben wurde. Nach Gl. (202) sind die Kurven für konstanten Reflexionsfaktor konzen trische Kreise um den Ursprung der komplexen Ebene. A uf dem 4 jt / Umfang des Einheitskreises wird derWinkel — 2 ß l = ------ =— und 7
zweckmäßig eine ^-S kala wie auf = 0,87 —j 0,45 somit Z , = (87 —j 45) £2 4.1.5.2 S m ith -D ia g ra m m Der komplexe Reflexionsfaktor bezogen auf den Leitungsanfang /'(i) einer verlustlosen Hochfrequenzleitung wird nach Gl.
^
B i 1 d 24 aufgetragen.Für ein
brauchbares Diagramm benötigt man noch die Umrechnung der komplexen Reflexionsfaktoren bzw. r^2) *n die entsprechen-
z
z
den normierten komplexen W iderstände^^ bzw..==_. Dazu wird Zh ZL die Z-Ebene auf die r-E bene abgebildet. Die Abbildungsfunktion lautet
90
4. Hochfrequenzleitungen
4.1 Verlustlose homogene H ochfrequenzleitung 1M Ä G I H Ä R T E I L
91
oder
Ir l
1 —u 2 - v 2 (:U — l ) 2 + V2
y
lv ' ~ (u - l ) 2 + v 2
daraus folgen für die Geraden x = konst. in der Z-Ebene Kreise in der _r-Ebene mit der Gleichung
( M - - r -^----V +v , 2 _= ---------1 V 1+x ' (1 + x ) 2
0,25-------------------REÄLTEIL i f i
Die Mittelpunkte der Kreise liegen auf der reellen Achse bei JC 1 u = ----- der Kreisradius ist -------.D ie Geraden y = konst. 1 +x 1+ x in der Z-Ebene gehen in der _r-Ebene in Kreise über m it der Glei chung
Bild 24: Reflexionsfaktorebene in Polarkoordinaten
1 oder
Die Kreismittelpunkte haben die Koordinaten u = 1, v = Ijy , der Kicisradius ist l/y . B i l d 25 zeigt die Abbildung der Z-Ebene auf die r-Ebene. Die reelle Achse der Z-Ebene erstreckt sich von x = 0 bis x = Für x = 0 erhält man aus der Abbildungsfunktion (203) r = — 1, für .v - 00 wird_r = + 1, d.h. die reelle Achse der Z-Ebene geht in der r - libene in den Abschnitt — 1 bis + 1 über. Die imaginäre Achse der Z-Ebene erstreckt sich von y = —» b i s y = + °°. Für beide Werte ergibt sich = + 1. Die imaginäre Achse der Z-Ebene ist in der /■-l’.bene ein Kreis um den Ursprung m it dem Radius 1. Da die rechte Halbebene der Z-E bene in der_r-Ebene auf das Innere das Einheitskreises abgebildet wird, können im Gegensatz zum Buschbeck-Diagramm auch sehr große Widerstandswerte von Z i bestimmt werden. Das vollständige Smith-Diagramm ist in B i l d 26 (siehe lüapptafel) wiedergegeben.
+r
— = ZL 1~ I
mit den Ansätzen R
x
+ j __ _ x
und ^. = y + j 2)
findet man x
+
l y
=
l
-
(;u
u
2
-
v
— l)2 +
2
+
) 2 v
v2
a
l
92
4.1 Verlustlose homogene H ochfrequenzleitung
4. Hochfrequenzleitungen
93
In das Diagramm ist die Lösung für das 7. Zahlenbeispiel eingezeichnet. Der zu ■=- gehörende Punkt r^2) ergibt sich aus den ZL R2 Schnittpunkten der Kreise m it den Param etern----- = 0,8 und ZL /,
■= 0 ,4 zu r , 2> = 0,25 e ^ 103,8 u n d — = 0 ,1 0 6 .Mit — + — = X X X
= 0,376 findet man aus den entsprechenden Kreisschnittpunkten —1
a)
i
°
- j - = 0,87 —j 0,45 und r(1) = 0,25 • e J . Aus dem Diagramm Zl — liest man weiterhin ab, daß Z j durch einen reellen Widerstand R = 0,61 Z L und eine vorgeschaltete Leitung der Länge l2 = 0,106 • X ersetzt werden kann. 4.1.6 Hochfrequenzmeßleitung
R
Tl '
Z -EBENE
b) B ild 25: Abbildung der Z-Ebene in die r -Ebene a) Abbildung der Geraden R = konst. der Z-Ebene in die r -Ebene b) Abbildung der Geraden X = konst. der Z-Ebene in die/•-Ebene
Der Verbraucherwiderstand Z j einer verlustlosen Leitung be stimmt Größe und Lage der Extremwerte der Spannung auf der Leitung. Daraus folgt, daß unbekannte, komplexe Widerstände aus der Spannungsverteilung auf einer verlustlosen Leitung bestimmt werden können. Dazu wird eine Meßleitung benützt. Diese besteht im wesentlichen aus einer höchst gleichmäßig aufgebauten Koaxial leitung mit bekanntem, rellem Wellenwiderstand Z l und vernach lässigbarer Dämpfung. Im Außenleiter der Meßleitung befindet sich parallel zum Innenleiter ein Längsschlitz, auf dem eine verschieb bare, kapazitiv angekoppelte Sonde angeordnet ist. Mit der Sonde wird der Betrag der Spannung längs der Leitung abgetastet. Die ge naue Lage der Sonde ist an einer mm-Teilung ablesbar. Die Meß leitung wird in der Höchslfrequenztechnik'hauptsächlich zur Be stimmung von komplexen Widerständen verwendet. Der unbekannte Widerstand Z x = R x + j X x wird als Verbraucher an die Meßlei tung angeschlossen ( B i l d 27). Gemessen werden X, /mjn und m = Umm / Umax auf der Meßleitung entsprechend Bild 27. Den unbekannten Widerstand Z x kann man sich aus einem reellen Widerstand m Z L und einer vorgeschalteten, verlustlosen Leitung der Länge Z0 und dem Wellenwiderstand Z l entstanden denken.
94
4. Hochfrequenzleitungen
4.1 Verlustlose homogene Hochfrequenzleitung
95
Da die Bestimmung von Zmin häufig ungenau ist, wird zunächst eine Kurzschlußmessung vorgenomme-n. Dazu wird die Meßleitung am O rt des unbekannten Widerstands Zx kurzgeschlossen. Die erste Nullstelle der Spannung auf der Meßleitung liegt genau im Abstand einer halben Wellenlänge vom Kurzschluß ( B i l d 28). A uf einer
B ild 27: Bestimmung eines unbekannten komplexen Widerstands Zx mit der Hochfrequenzmeßleitung Bild 28: Exakte Widerstandsmessung mit der Hochfrequenzmeßleitung durch zusätzliche Kurzschlußbestimmung
Zwischen Z0 und Zmin besteht nach Bild 27 die Verknüpfung 'm in + / o = ~2L -
Oder
2
Leitung wiederholen sich alle Widerstände im Abstand einer halben Wellenlänge (Wiederkehrpunkte), deshalb erscheint nach dem Ent fernen des Kurzschlußes und dem Ansetzen des Z^ am Ort der Wiederkehrpunkte je tz t das gleiche Spannungsverhältnis wie am Ort des Zx . Gegenüber der Spannungsverteilung bei kurzgeschlossener Meßleitung sind die Minima endlich groß und im allgemeinen um Iq gegenüber den Nullstellen bei Kurzschluß verschoben. An Stelle des Abstands Zmin des Spannungsminimums vom O rt des Zx wird die als Differenz zweier Skalenwerte des Längenmaßstabes wesent
A = o, 5 - ^
X
Aus Gl. (193) ergibt sich
r
7.
”
X x
x
~7~
m +
+ J
m —j tan
j t an
“
^2
7t l
*mm
, . 2 3t/min 1 — 1 m tan — ----X
lich genauer zu messende Differenz Z0 = - y — Zmjn ermittelt. Die (204)
Diese Gleichung wird im Buschbeck- oder Smith-Diagramm ausge wertet. Dabei m uß—, im Uhrzeigersinn, d a g e g e n -^ - gegen den UhrX X zeigersinn angetragen werden.
Wellenlänge X wird aus dem Abstand möglichst mehrerer Nullstellen der Spannung bei kurzgeschlossener Meßleitung bestimmt. Bei kleinen Anpassungsfaktoren m = 0,05 wird m aus der Knotenbreite gemäß B i l d 29 erm ittelt. Wird Gl. (179) m it Gl. (182) verknüpft, dann wird
96
4. Hochfrequenzleitungen
4.2 Homogene H ochfrequenzleitung m it kleinen Verlusten
R’
Wj
L’
cd
97
/;
tan e = q
B ild 29: Ermittlung der Knotenbreite auf einer Hochfrequenzmeß leitung
nach m aufgelöst, ergibt u .
mm
. 2 jtz X
sm r
Umax
COS‘
^min.
/
Aus der Bedingung tan e = 0,1 f o l g t / = 1 0 / ^ d. h. für verlust
arme Leitungen gelten HF-Form eln nach Abschnitt 3.6.3. Für Frequenzen über 1 MHz werden in der Praxis vorzugsweise Koaxialleitungen wegen des eindeutigen Betriebszustandes einge setzt. Der Induktivitätsbelag einer Koaxialleitung L ’ setzt sich nur aus dem frequenzunabhängigen äußeren Induktivitätsbelag Z/a so wie aus dem frequenzabhängigen inneren Induktivitätsbelag L\ zu sammen, es existiert kein Hüllen- und Nähewirkungseffekt. Für die Phasenkonstante ßHF und den Betrag des Wellenwiderstands Z l h f erhält man aus den Beziehungen (83), (87) unter Berücksichtigung von (16) die Ausdrücke
Aus der Knotenbreite k zwischen den Punkten m it V T-facher Mi nimumsamplitude findet man entsprechend Bild 29 C’
. %k U . sm -r nun m = ---- = - ..- -K,
max
für k <
V 1 + sin2
t (205) A
i
L
\
1+77 « 2 »
(
1
L
U + 4 l 4
\
, ■
(2 0 6 )
gilt m it 1 % Fehler die Näherung j3HF = co y f l T C 7 = co V ( I ’a + L\ ) - C ' = co V /-ä C>3t k
4.2
Homogene Hochfrequenzleitung m it kleinen Verlusten
4.2.1 Wellenparameter Eine Leitung ist verlustarm, wenn die Voraussetzungen tan e = 0,1
und
tan 8 = 0,1
erfüllt sind. Bei wirklichen Leitungen ist außerdem e > > 8. Durch Vereinigung der Gl. (69) m it Gl. (96) findet man
Mit wachsender Frequenz strebt "l/l + ^ 1 gegen 1. Im Bereich ausZ/2 geprägter Stromverdrängung in den Leitern, d. h. die Bedingung d ^ 20 i? ist für den Innenleiterdurchmesser d der Koaxialleitung erfüllt, kann der Einfluß des L \ vernachlässigt werden, solange der Fehler bis zu 2 % betragen darf. Für diesen Fall lauten die Näherun gen zur Berechnung der Wellenparameter
98
4.2 Homogene Hochfrequenzleitung m it kleinen Verlusten
4. Hochfrequenzleitungen
Z L hf ^ Z 1hf ** Zo° ~
v C’
(208)
0HF 585 w ' V L ’a ■C ’
(209)
Für die Wirkkomponente des Wellenwiderstands Z jHF gilt die sehr gute Näherung /
Wie ein Vergleich mit den für verlustlose Leitungen abgeleiteten Be ziehungen (170) und (172) zeigt, werden Phasenkonstante und Wel lenwiderstand einer verlustarmen Leitung m it guter Näherung wie bei der verlustlosen Leitung berechnet. Dagegen dürfen die Ver luste bei der Berechnung der Dämpfungskonstanten einer verlust armen Leitung keinesfalls vernachlässigt werden, wie aus Gl. (210) zu erkennen ist. Für bestimmte Verwendungszwecke von Koaxialleitungen wird eine sehr genaue Berechnung des Wellenwiderstands gefordert. In diesen Fällen muß der Einfluß des L\ berücksichtigt werden. Unter der bei wirklichen Koaxialleitungen stets zutreffenden Bedingungen e > > S findet man aus Gl. (86) die Blindkomponente des Wel lenwiderstands Z 2m .
=
_ I
—
B
______
l.
2 u>(L’a + L \)
2
(
Z 2hF
Ti)*1 Zo° \ ~ za
= Z 00- Z 2 m (210)
Z2HF ** ~ 2 t a n e ' Z lHF =
i L \\
ziHf 88 zLhf ~ z°°y +
a HF ^ 2 w V L ’a C ’ (tan e + tan 5) 'R' 2 VZ, + G ’Z « ,)
Z H 7 Z lHF =
7
lüF
Bei ausgeprägter Stromverdrängung wird mit Gl. (8) und (A l)
99
(212)
Mit den Gin. (211) und (212) wird der komplexe Wellenwiderstand / i F einer Koaxialleitung bei ausgeprägter Stromverdrängung
z
L h F = Z lH F + i Z 2HF ^ Z °° — Z 2h f + i Z 2h F
“ Z qo
Z 2j-jp (1
j)
oder
z L hf * Zoo
yt
Z00( 1 - j)
(213)
4.2.2 Spannung und Strom a u f der offenen und kurzgeschlossenen Leitung i < Bei kurzen, verlustarmen Leitungen ist meistens ajiF ' 1 = 0,005 Np. Es ist dann e HF = e 0,01 = 1,01. Der Fehler gegen über der verlustlosen Leitung beträgt nur 1 %. Aber auch sehr ge ringe Dämpfungen dürfen nicht vernachlässigt werden, wenn offene oder kurzgeschlossene Leitungen in der Umgebung ihrer Resonanz frequenzen untersucht werden. Mit der Voraussetzung aHF . / < o,005 Np erhält man aus den Zerlegungsformeln (A26) sowie (A27) unter Berücksichtigung von (A5), (A6), (A8) und (A9) für die hyperbolischen Funktionen die Näherungen sinh («HF + J 0HF) ^ 555 a HF ' ^ cos $HF ' Z+ j sin ßjip • l cosh ( a HF + j £>hp) • / ~ c o s 0 h f • / + j a HF • Zsin ßHp ■ l
100
4. Hochfrequenzleitungen
4.2 Homogene H ochfrequenzleitung m it kleinen Verlusten
Mit diesen Näherungen ergeben sich Eingangsspannung und -ström einer Hochfrequenzleitung m it kleinen Verlusten aus den Gin. (32) bzw. (33) zu Uj_
+ h Zoo («HF • / cos j3h f * / + j sin ßHF ■[)
Zum Unterschied zur kurzgeschlossenen Leitung ohne Verluste existierten keine Nullstellen von Spannung und Strom längs der Leitung. Die Minima der Spannung U\ min . = U\ max - a HF ' Z u n d des Stroms J lmjn = h
U2 (COS |3 h f • 1 + j “ HF ' 1 sin 0HF • 0 + (214)
101
• a HF • / steigen proportional mit dem
Abstand vom Leitungsende. Für die offene Leitung m it schwacher Dämpfung leitet man aus den Beziehungen (214) sowie (215) her
Ti « I 2 (cos jSHF - / + j 0£HF • / sin % F • / ) + U_2 (cos ß{iF ■/ + j “ h f ' ^ sin ßpjp • /)
(220)
U2 Li ^ ~7 ~ (“ HF ' ^ cos'0HF ' Z+ j sin ßHF ■/) ^OO
.(221)
Ui + -7 — («HF ' ^ cos % F ' Z+ j sin j3jjp • l) ^OO
(215)
somit wird für die kurzgeschlossene Leitung U i ^ J 2 Zoo
(“ HF " ^
ßfjF " ^ J
$ h f ■0
[2 (cos Ahf ' ^+ J “ HF ' Z • sin /3h f ■/)
h
(216)
mit den Beträgen
(217)
Ui 52 U2 U2 /1 50
m it den Beträgen
^ I 2 V cos2 f e p • l + ( “ h f ' ^ s^n 0HF ' ^)2 ^'max
Bei veränderlicher Leitungslänge l (Ort des Verbrauchers 1 = 0 ) werden die Maxima
^Imax =
max
_ Ü2 7 Z'OO
somit folgen die normierten Gleichungen
Zoo’ 7lmax = 12
damit findet man die normierten Gleichungen -------- 55:5 \ / (öjjp * l cos ßfjp • /)2 + sin2 ßjjp • l
y j cos2 0HF ' /+ (“ HF ' 1 sin 0HF ' 0 2'
(222)
% \ J (<XjjF • /• cos j3HF • l)2 + sin2 ßjjF • 1
(223)
^max
(218)
^Iraax
^'max
^ %/ cos2
^Imax
+ si11 $HF ' ^
Bei veränderlicher Leitungslänge l ergeben sich die Maxima
Ui « 5 /2 Z ao V(»HF ' ^ cos % F ' 0 2 + sin2 % f ' ^ h
Zoo
,---------------------------- ------— -------- , ' v ( ö h f ‘ ^' cos $HF - 0
• l + (afjF ■/ sin ßjjp • l)2
(219)
Der Verlauf der Beträge von Spannung und Strom auf einer kurz geschlossenen bzw. leerlaufenden Leitung mit kleinen Verlusten
102
4. Hochfrequenzleitungen
103
4.2 Homogene H ochfrequenzleitung m it kleinen Verlusten
wird durch die Ausdrücke \ f (a^F 1 cos 0HF ' 0 2 + sin2 % F ' i bzw. s / cos2 0HF / + (a HF /• sin % F ■l ) 2 bestimmt. Auf B i l d 30 sind diese Funktionen in Abhängigkeit von der Leitungslänge / auf getragen.
mit dem Betrag Z
1 K
■l )
/ ( a H F
1
+ tan2 jSHF • l (225)
Zoo
r 1 + (afjF • l ■tan ßj^F • l )
Z 1K - durchläuft in Abhängigkeit von der Leitungslänge / Extrem^ " A werte, und zwar Minima für / = n y (n = 0, 1, 2 ...) y H 00'm in
« «hf -l
(226)
M axim afür/ = -^- + « y '1K ,
*
(227)
|)o= Eingangswiderstand der offenen Leitung Z jo folgt aus den Ausdrücken (220) bzw. (221) Bild 30: Betrag von Spannung und Strom auf einer Hochfrequenzleitung mit kleinen Verlusten in Abhängigkeit von der Leitungslänge a) Spannung bei Leerlauf bzw. Strom bei Kurzschluß b) Spannung bei Kurzschluß bzw. Strom bei Leerlauf
Jj_
4.2.3 Eingangswiderstand der offenen und kurzgeschlossenen Leitung Unter der bisherigen Bedingung q:h f ' ^ — 0,005 Np wird der Eingangswiderstand der kurzgeschlossene]? Leitung Z lK m it den Gin. (216) sowie (217) Ux ——
<*HF ’ ^ ^HF ’ ^ "M $HF’ ^ /j cos /3j_[F • l + j a jjF • / sin |3fjF • / 00
ftlF ’ ^
a HF ’ ^ c o s ßHF ' ^ + j s*n ßHF ’ ^
1 + j ajjp ■/ ■tan ßj|F ■/ a HF • / + j tan ßHF ■l
2 , . . . 1 / 1 + (aHF • / • tan ßHF • l ) 2
f
'
(<*HF ' 0
+
$HF ‘ ^
j tan 0HF • l
1 + j a HF •
tan /3HF • / Z°°
^224
(228)
mit dem Betrag
Zoo a HF ■ Z+
COS |3jjp- / + j ttfiF ’ ^
Hk
Z 10 = ----- ^ -------------------------------—------------Z, oo
Maxima werden für / = « y ( « = 0, 1, 2 ...) durchlaufen
(229)
104
4 .2 Homogene H ochfrequenzleitung m it kleinen Verlusten
4. Hochfrequenzleitungen
(230)
ax
aHF ' 1
105
Umgebung der Resonanzfrequenz möglichst weitgehend überein stimmen. ^ Der Eingangswiderstand der kurzgeschlossenen ^--Leitung ist nach Gl. (227) hochohmig. Der Ersatzschwingkreis ist deshalb ein Parallelresonanzkreis ( B i l d 32 ). In Umgebung der Resonanz frequenz ojRes wird gesetzt
Minima für i 2 ,o
(231)
Z 007 ~ min
co
w Res +
Aco < 0,1 ooRes
mit
A oj
Die Gin. (225) und (229) sind in B i l d 31 grafisch ausgewertet.
io4 1 £ns. £rc
103 z „ ’ z a
. r*------1,-A -r I
io2
io'
Bild 32: Ersatzschwingkreis der kurzgeschlossenen j -Leitung
Aus Gl. (224) findet man den Eingangsleitwert der kurzgeschlosse nen ^-L eitung 1
Im Bild 31: Betrag des Eingangswiderstands einer kurzgeschlossenen und offe nen Hochfrequenzleitung mit kleinen Verlusten in Abhängigkeit von der Leitungslänge
1 + j a jip • l ■ tan
Z ik
<*HF • / + j tan ßHF • /
C O tfa F • ; + j a HF • 1
1
ß HF ' ^c0* 0HF ' ^+ j
Z°°
■l
l Zx
4.2.4 Leitungsresonatoren Bei höheren Frequenzen werden an Stelle von Schwingkreisen aus konzentrierten Bauelementen Leitungsresonatoren verwendet. Leitungsresonatoren sind leerlaufende oder kurzgeschlossene
mit 0HF ■/
CO- l
_ ( w Res+ 4 w ) ' /
PHF w Res ' 1
PHF
Jt 2
^--Leitungen m it kleinen Verlusten. Die Elemente des Ersatz PHF
schwingkreises werden so bestimmt, daß der Eingangswiderstand der Leitung und der Widerstand des Ersatzschwingkreises in der
wird unter Berücksichtigung von (A7)
und f e FRes-^ =
106
4. Hochfrequenzleitungen
107
4.2 Homogene H ochfrequenzleitung m it kleinen Verlusten
|)ie Größen des Ersatzschwingkreises sind also
c o tff \
y PHF/
°PHF
ö PHF
_ _
“ HF • 1
_ 1
(234)
- z2
z
folglich ergibt sich m it Gl. (90) der komplexe Eingangsleitwert der Leitung
R /_
C '• l
C » ^t L
(235)
Aco ■l . . ~ ~ ------- + J "HF ' 1 pHF
1
1
/
_
(236)
Au-l'
•Jt2 “H F '/ + J
Z oo
Zo o \
ÖPHF
ÖPHF “ HF ’ 1
---------- + ) A o j - 1 - C ’
(232)
Aus diesen Beziehungen findet man die Kreisgüte des Ersatz schwingkreises Q q
-
C
_
G
1
^
^ w Res ^
^ R e s Z °°
C ’ ■l
“ HF ‘ ^
2
_
= ^HFRcs 2 “ HF
Der komplexe Leitwert des Parallelresonanzkreises nach Bild 32 lautet in Umgebung der Resonanzfrequenz
(237)
Der Eingangswiderstand der offenen ^--Leitung ist nach Gl. (231) . Y = G + j 2 o ; R es-C Kes
(233) Res
Ein Vergleich von Gl. (232) und (233) ergibt „
“ HF ' l
„
~ ~ Too T t
c
C ’- l
Mit aHF nach Gl. (210) und der zulässigen Vernachlässigung G ’ = 0 wird schließlich
niederohmig. Der Ersatzschwingkreis ist jetzt ein Serienresonanz kreis ( B i l d 33). Nach Gl. (228) wird der Eingangswiderstand der offenen ^--Leitung 1 + j “ HF ‘ 1 ‘ tan'0HF ' 1 ? Z l0 =
—
,] . ,
~
:
‘ Z oo -
«HF ' / + J ^ ^ H F ' z -
cot 0HF ■l + J “ H!; ' ^ — Zx ^ ^ “ HI' ' ^ cot $HF ' ^ J
“ h f ' l +3 A u>L’- l (238)
R Ih
r ~ 1 R’ a ~ 2 ? r
L
OO
C
Aus der Beziehung ojRes L ■C = 1 erhält man für den Schwing kreis!. = ~ L ’■ l. jt2
■i '4 4-
T
i
Bild 33: Ersatzschwingkreis der offenen
-Leitung
109
4.3 Vierpolkennkreis der verlustbehafteten homogenen H f-Leitung
108
4. Hochfrequenzleitungen
Der komplexe Widerstand des Serienresonanzkreises nach Bild 33 wird in Umgebung der Resonanzfrequenz
Q =
/R e s
/R e s
/h 2-- f/x1
2A f
f-'iir die kurzgeschlossene rzgeschlossene ^— Leitung erhält man m it Gl. (237) Z = R + i 2 “ Res L —
(239) f a F Res (f 2 - f i ) a HF
Aus den Gin. (238), (239) sowie dem Zusammenhang toRes L ■C = 1 werden die Größen des Ersatzschwingkreises bei Vernachlässigung
2 '/Res
2 oder m it 0HFRes= ------------ un(* ypHF aus Gl. (127) wird
der Ableitungsverluste der ^--Leitung ( G ’ « 0) hergeleitet
es
D ~ R ’1 R ~ - y
(240)
3 t(/2 - / i ) « ( / 2 - / 1) _ n - A f a HF « ------------- • = ; ------ - 7 7 —— V
T ~ L ’1 L ~ —
(241)
R
w Res ^
^
^ R es^
_
2 Z o o a HF
1 W-IFr „ - ^ : s C ’. 2 Z ^ h f = 2 ^
(2 « )
Leitungsresonatoren haben bei höheren Frequenzen bessere Eigen schaften als Schwingkreise aus konzentrierten Bauelementen. Die Dämpfung eines Leitungsresonators wird aus der Resonanz breite bestimmt. Wird beispielsweise ein Parallelresonanzkreis mit konstantem Strom gespeist, dann durchläuft die Spannung in Ab hängigkeit von der Frequenz eine Resonanzkurve. S in d /j u n d / 2 die Frequenzen, bei welchen die Spannung am Kreis Resonanzspannung beträgt, dann gilt für die Kreisgüte
(244)
PHF
Die Bestimmung der Dämpfung kurzer Hochfrequenzleitungen aus der Resonanzbreite ist ein genormtes Meßverfahren nach DIN 47 250 [5], 4.3 Vierpolkennkreis der verlustbehafteten homogenen Hochfrequenzleitung
damit folgt für die Kreisgüte des Ersatzschwingkreises Q Q - -^ Res L = -------- 1-------- Ä
ÜPHF
mal der
Wellenwiderstand und Dämpfungskonstante verlustbehafteter Hochfrequenzleitungen werden im Höchstfrequenzbereich aus dem bei konstanter Frequenz gemessenen Eingangswiderstand der am Ende m it einem veränderlichen Blindwiderstand belasteten Leitung ermittelt. Damit die Messung ausgewertet werden kann, muß die Ortskurve des Eingangswiderstands bei fester Frequenz und variablem Verbraucher Z 2 = j X 2 bekannt sein. Diese Ortskurve heißt Vierpolkennkreis. Nach Gl. (115) wird der Eingangswiderstand Z , für den Ver braucher Z 2 - j X 2 j X 2 +ZL tanh 7 - / -------------Z± = R 1 + j X , = ---------- = .x 2 1 + j —------tanh y ■l l HF
110
111
4 3 Vierpolkennkreis der verlustbehafteten homogenen H f-Leitung
4. Hochfrequenzleitungen
Bei konstanter Frequenz ist tanh 7 1 = tanh ( a + j ß) ■l konstant. Mit der Abkürzung tanh y l = a + j b wird j x 2 + z hHF (a + j b ) Zi — Ri +j X { —
W erd en d ie s e
Gleichungen nach X 2 aufgelöst und gleichgesetzt, dann
folgt 1 ~ Z ^HF ü
R i ' a — X 1 ■b
Z u HF
X i ■a + R \ - b 1 + j y 3—
(a + j
b)
HF
Z L n F a + i ( X 2 + Z L H F b)
b -z '^ L HF 1 + a2 + b2
durch Umformen erhält man m it der Abkürzung c
a den Vierpolkennkreis der verlustbehafteten homogenen Hochfrequenz leitung
. „\ 2 v 2- - Z£ 72 * , 3 n^r 1 1 xt X
/(£^ ! - , )
(245,
lh f
Z lh
f
'
c
|)er Kreismittelpunkt liegt auf der reellen Achse bei R t Bei sehr hohen Frequenzen ist die Blindkomponente des Wellenwi derstands einer verlustbehafteten Leitung äußerst klein. Es wird daher gesetzt Z Lh f = = Z l h f -Erfahrungsgemäß stimmt
der Radius des Kreises ist Z Lt bHF ' \
c 4
1. Die Schnittpunkte des Vier-
polkennkreises m it der reellen Achse entnim m t man B i l d 34 ZL
in manchen Fällen nicht mit Z ^ überein. Bei Frequenzen
über etwa 1 GHz kann Z Lhf besonders bei Hochfrequenzleitungen, die aus inhomogenen Konstruktionselementen aufgebaut sind, wie Geflechtsaußenleitern, Litzeninnenleitern oder inhomogenen Iso lierungen, frequenzabhängig sein. Es ist sehr schwierig, wenn nicht praktisch unmöglich, den Frequenzgang des Wellenwiderstands zu berechnen. Zweckmäßiger ist es, den Frequenzverlauf des Wellen widerstands aus dem Vierpolkennkreis zu ermitteln. Mit der Bedingung Z Lhf = z lh f findet man aus der Beziehung für den Eingangswiderstand Z, die beiden reellen Gleichungen
ßild 34: Vierpolkennkreis der verlustbehafteten homogenen Hochfrequenz
leitung
112
4. Hochfrequenzleitungen
4.3 Vierpolkennkreis d er verlustbehafteten homogenen H f-Leitung
113
Bei großer Leitungsdämpfung schrumpft der Vierpolkennkreis R lmzx = ~ Y ~
(c + \/c 2 - 4 )
(247)
auf einen Punkt zusammen, bei der Dämpfung Null fällt der Kreis
mit der imaginären Achse zusammen. Aus den Gin. (246) und (247) folgt der Zusammenhang R lmax
Die Konstante c =
a
+^
(248)
wird bestimmt aus
sinh 2 a l cosh 2 a l + cos 2 ß l folglich 1 + a + b
sin 2 j31 und
b
cosh 2 a l + cos 2 ß l
2 cosh 2 a l = ------- —----------------- — cosh 2 a l + cos 2 ß l
somit wird c = 2 • coth 2 a l
(249)
Gl. (249) in die Gin. (246) sowie (247) eingeführt, ergibt ^ Imin = z Lm
• tanh a /
und
Z?lmax = 2 L h f c o t h a /
Durch Division wird die Gleichung für die Dämpfung abgeleitet
Aus dem bei konstanter Frequenz gemessenen Vierpolkennkreis können Wellenwiderstand und Dämpfungskonstante der Leitung aus den einfachen Beziehungen (248) und (250) bestimmt werden. Der Durchmesser des Vierpolkennkreises ist eine Funktion der Leitungsdämpfung. Nach Gl. (245) ist der Kreisradius
5.1 Ungeschirmte Leitungen
5. Berechnung der Leitungskonstanten homogener Leitungen Im Rahmen des vorliegenden Buches können nur einfache Lei tungsbauformen betrachtet werden. Im folgenden wird vorausge setzt, daß die Leitungen aus nichtferromagnetischen Werkstoffen aufgebaut sind. Einfache Beziehungen für die Leitungskonstanten ergeben sich nur bei sehr niedrigen oder sehr hohen Frequenzen. Im Zwischenfrequenzbereich wird die Berechnung äußerst aufwendig. Ausführliche Unterlagen, auch für komplizierte Leitungsbauformen, findet man in [4], [9], [13], [14], [17] und [33], Im praktischen Betrieb interessieren auch die optimalen Eigen schaften einer Leitung, wie maximale Spannungs- und Leistungs belastung sowie minimale Dämpfung. Aus wirtschaftlichen Gründen soll der Leitungsaußendurchmesser möglichst klein sein. Bei vorge gebenem Außenleiterdurchmesser muß durch zweckmäßige Dimen sionierung die optimale Leitungskonstruktion für den jeweiligen Verwendungszweck gefunden werden. Nachrichtenleitungen wer den vorzugsweise für niedrige Dämpfung, Starkstromleitungen für größte Spannungs- und Leistungsbelastung dimensioniert. Als Ausgangspunkt für die Leitungssynthese werden einige in früheren Abschnitten hergeleiteten Zusammenhänge kurz zusam mengestellt. a) Der Kapazitätsbelag C ’ist praktisch frequenzunabhängig. b) Der Induktivitätsbelag U setzt sich aus dem frequenzunab hängigen äußeren Induktivitätsbelag L \ , den m it Wurzel aus der Frequenz abnehmenden inneren Induktivitätsbelag der Leiter L \ sowie den frequenzabhängigen Belägen, die den Einfluß durch Nähewirkung der Leiter L ’n und den Einfluß einer äußeren metallischen Hülle Z,’h erfassen, zusammen. L ’n und verkleinern die Gesamtinduktivität. Bei Starkstrom frequenzen sind die inneren Induktivitäten nahezu konstant. Für einen Einzelleiter gilt Gl. (13) L \ = 0,05 mH/km
115
Für den Grenzfall unendlich hoher Frequenz ist der Induk tivitätsbelag L ’ nach Gl. (95) nur noch von der Leitungsgeo metrie und den Materialeigenschaften der Leitung abhängig. Nach Gl. (94) besteht die Verknüpfung Cr L ^ • C ’ = — = e0 er ß 0 c0 c) Bei unendlich hoher Frequenz lautet der exakte Ausdruck für den Wellenwiderstand nach Gl. (16) bzw. (90) L ’ -V e ? c0 C ’
c0
d) Es kann näherungsweise m it und Z x gerechnet werden, wenn für die Innenleiter m it dem Durchmesser d die Bedin gung d ^ 20 & erfüllt ist. Für Kupferleiter ist diese Voraus setzung gegeben, wenn /
> 0,0176
MHZ “ ( d Y Vcm / e) Der Widerstandsbelag R ’ wächst infolge des Skineffekts in den stromführenden Leitern, durch Wirbelstromverluste in benachbarten Leitern und in der äußeren Abschirmung mit der Frequenz. f) Enthält eine Leitung mehr als zwei metallische Leiter, so sind als Leitungsbeläge die entsprechenden Betriebsgrößen einzu setzen. 5.1 Ungeschirmte Leitungen 5.1.1 Doppelleitung Die ungeschirmte Doppelleitung oder Freileitung erfordert nur geringen Aufwand an Material sowie Baukosten. Freileitungen be stehen häufig aus blanken Leitern, die m it Isolatoren an Masten be-
116
festigt sind. In der Nachrichtentechnik sind auch Konstruktionen üblich, die aus zwei, m it einem flexiblen Kunststoffsteg verbunde nen Leitern oder aus zwei verdrahten Adern aufgebaut sind. Durch das Verdrallen werden die Reichweite der äußeren Felder und die Abstrahlung vermindert. Die Freileitung hat bei gegebenem Leiter querschnitt die niedrigste Dämpfung. Sind die Leiter hinreichend weit voneinander entfernt, dann tritt keine Nähewirkung ein. Die Übertragungseigenschaften werden vom Leiterradius r-x und vom Leiterabstand 2 a (B i 1 d 35) bestimmt. Für den Kapazitätsbelag C ’gilt Jt '
C ’= ln
’ er
(251)
\h
eingeführt werden. Der Induktivitätsbelag L ’ setzt sich aus der inneren Induktivität der beiden Leiter und der äußeren Induktivität L \ zusammen. Bei niedrigen Frequenzen ist L \ konstant. Ohne Nähewirkung (2 a ^ . 1 0 • / - j ) wird Mo Jt
a + y /a 2 - r 2 ln
(253)
+ 0,25
■'ir — ^ 3,6 benützt man die Näherung '■ r:
3,6 ist die Näherung zulässig Mo
ln (
) + 0,25
Jt
7 t' 6q* €r c
252
a
lnl
Mo mH mit — = 0 , 4 ----3t km
103 nF mit Jt • e0 = -r-T — 36 km für — •= r\
7t * 6q ‘ 6r
C'
V =
/ ' .... 7-2... .. 2'\ a + y /a 2
117
5.1 Ungeschirmte Leitungen
5. Berechnung der Leitungskonstanten hom ogener Leitungen
«
Aus der Beziehung (253) erhält man den Induktivitätsbelag L ’ bei hohen Frequenzen (d = 2 rj ^ 2 0 £ )m itZ ,- 155 0
m 2£ Bei den in der Nachrichten- und Energietechnik ausgeführten Frei leitungen darf die Kapazität der beiden Leiter gegen Erde fast immer vernachlässigt werden. Ist das nicht der Fall, dann muß für den Kapazitätsbelag für die in gleicher Höhe h über der Erde liegenden Leiter die Betriebskapazität
L’ * L’
ju0 ( a + v L ’a = - T ln
,2
- „r-,i2
(254)
7t
mit der Näherung für y
= 3,6
Mo , / 2 a •— ■ln
Jt 2° ------- H B ild 35: Ungeschirmte Doppelleitung (Freileitung)
Mit C ’ nach Gl. (251) sowie L ’.d nach Gl. (254) wird der Grenzwert des Wellenwiderstands bei sehr hohen Frequenzen
118
5. Berechnung der Leitungskonstan ten hom ogener Leitungen
119
5.1 Ungeschirmte Leitungen
Für die Ableitungsdämpfung findet man m it G ’ aus Gl. (11) und
1 1 / Mo . ln A + v « 2 C” n V e0-er
'Lj -
/
/•
. • r. _^ c — o
Co mit
-1 / ^ ö ' Z p 0 = V — = 120 3t ü = 377 0 r e0
(255)
ZFo ist der Feldwellenwiderstand des freien Raumes. Es wird dann
« G ------------- = — co • C” • tan 5 • Z 2 2
/ a + \J a 2 - r : 2 \ ln ----------------- L.
(256)
= 10,5 • V i ; - tan 5
f
(258)
km Die Ableitungsdämpfung a G hängt nach Gl. (258) nur von den dielektrischen Eigenschaften der die Leiter umgebenden Isolierung ab. oq ist dagegen unabhängig von den Leiterabmessungen. Die Be ziehung (258) gilt für alle Leitungen bei hohen Frequenzen. Bei sehr hohen Frequenzen entsteht durch Abstrahlung ein zusätz licher Dämpfungsanteil, die Strahlungsdämpfung äst -
mit der Näherung für — = 3,6 ri 120
c0
oder als zugeschnittene Größengleichung Oie
120
= - co • tan 6 2
/2 a
Leitungslänge / unter -~~ Die Dämpfung im Hochfrequenzbereich ist nach Gl. (89) die Summe aus Widerstandsdämpfung a R und Ableitungsdämpfung aQ. Mit R ’ nach Gl. (9) wird die Widerstandsdämpfung
aR = 22^
----- !--------------!— 2ZM
400 / Z \ 2 / 2 ß Y
Np
-Zoo W n
a St • l
800 / 2 a
(259)
VX
(257)
Die zugeschnittene Größöngleichung für Leiter aus Kupfer lau tet
a St • l
Np
~
(260)
U
Bei Berücksichtigung der Strahlungsdämpfung wird die Gesamt dämpfung a ^ p = a R + a c + “ st-
120
5. Berechnung der Leitungskonstanten hom ogener Leitungen
5.1 Ungeschirmte Leitungen
Ist der Abstand der Leitermittelpunkte 2 a nicht mehr groß gegen den Leiterradius r\, dann muß die Nähewirkung berücksichtigt wer den. Nach [13] wird dann die Induktivität bei hohen Frequenzen Oi = 10 ß)
I ;ilv.-lle 3:
Optimale Eigenschaften der ungeschirmten Doppelleitung bei festem Leiterabstand 2 a (r^ = Leiterradius, er = relative DK der Isolierung, Zoo = Grenzwert des Wellenwiderstands) a
Zoo
r\
n
E ig e n s c h a f t
L’
Mo 3t
ln
121
(261) 2,276
K le in s t e D ä m p f u n g
Der zweite Summand in Gl. (261) ist die Korrektur für den Induk tivitätsbelag L ’infolge Nähewirkung. Für den Kapazitätsbelag C ’ gilt weiterhin Gl. (251). Der Widerstandsbelag R ’ und damit die Widerstandsdämpfung ö r erhöhen sich um so mehr, je kleiner der Leiterabstand 2 a wird. A uf B i l d 36 ist das Verhältnis
175,6 V eT
G r ö ß t e S p a n n u n g s f e s t ig k e it
2,932
G r ö ß t e L e is t u n g
2,146
208,6
167,7 \/e ^
ÖR
—— aufgetragen. apx ist die Widerstandsdämpfung m it Nähewir°R
kung, ü!qr die Widerstandsdämpfung ohne Nähewirkung nach Gl. (257). Bild 36 entnim m t man, daß beispielsweise für a = 2 r-x die Widerstandsdämpfung durch Nähewirkung um etwa 20 % er höht wird. In T a b e l l e 3 sind die Dimensionierungen für die optimalen Eigenschaften der ungeschirmten Doppelleitung bei festem Leiter abstand 2 a nach [33] zusammengestellt.
5.1.2 Symm etrische Drehstromfreileitung Es gelten alle aus den Leitungsgleichungen abgeleiteten Bezie hungen, wenn als Leitungsbeläge die entsprechenden Betriebs größen eingesetzt werden. Infolge der symmetrischen Anordnung ( B i l d 37) ergeben sich zwischen den Leitern die drei gleichen
2ri
Bild 37: Symmetrische Drehstrom freileitung
Teilkapazitäten C \ , zwischen jedem Leiter und Erde die drei gleichen Teilkapzitäten C ’0 [14]. Folglich wird der Kapazitätsbe lag C' = Co + 3 C\.
0,4
0,6
0,8
1,0
Bild 36: Nähewirkung bei der ungeschirmten Doppel leitung
122
5. Berechnung der Leitungskonstanten hom ogener Leitungen
1 uF mit 2 jt e0 = fg ^ chung C' [iF km
findet man die zugeschnittene Größenglei
18 ln a 2 r-.
2 3t e0
i
oder
In
a_
'»r-,
C’ iiF km
1
3t • e0- er C’ =
18 ln
ln
Analog zum Kapazitätsbelag C ’ wird der Ableitungsbelag G ’ G ’ = G ’n + 3 G
1
(263)
Für den Widerstandsbelag R ’ ist der Widerstandswert eines Außen leiters einzusetzen. Der Induktivitätsbelag L ’ errechnet sich aus der Betriebsinduktivität des Mehrleitersystems. Bei Starkstromfrequenzen wird un ter Berücksichtigung der inneren Induktivitäten nach [31] V
Mo 23t
Inf j -
5.2 Geschirmte Leitungen
D ie Anordnung der Doppelleitung m it Schirm zeigt B i l d 38. Von den beiden möglichen Betriebszuständen wird nur das Gegen takt- oder symmetrische System betrachtet. Aus der Betriebskapa zität des symmetrischen Systems errechnet sich der Kapazitätsbe lag C’ nach [13]
a erhält man aus Gl. (262) die Näherung
C’
123
5.2.1 Doppelleitung 1
für r-t «
5.2 Geschirmte Leitungen
1 ) + 0,25
(264)
'2 « '•h2
(265)
(2 a r hf 2a
Nach der Erfahrung muß m it einer effektiven relativen DK gerech net werden, die kleiner ist als die relative DK des Isolierstoffes, bei spielsweise bei Polyäthylen mit 2,0 bis 2,1 gegenüber 2,25 für das reine Material. Bei niedrigen Frequenzen ist der Induktivitätsbelag L ’ bei Ver nachlässigung des Hülleneinflußes Mo
(266)
lnl — ) + 0,25
Bei sehr hohen Frequenzen, näherungsweise für rj ^
der Induktivitätsbelag L\^ aus der Beziehung L x = mit C ’ nach Gl. (265) abgeleitet
1 0 $ , wird e0- er • ß 0 C
mit T tc = 0,2 | ~ erhältntan die zugeschnittene Größengleichung L’ mH km
=
0,2 H f ~ 1 ) + 0,25
für r\ < < a wird L’
Mo 23t
ln( 7 )+ °>25 Bild 38: Geschirmte Doppelleitung
124
L’
Mo
2 a rh2 - q2
(267)
\ rx rh2 + a1
Jt
ln r\
ü,
Der Induktivitätsbelag L ’x setzt sich aus der äußeren Induktivi tät Z,’a , die mit dem L \ der ungeschirmten Doppelleitung nach Gl. (254) übereinstimmt, der Hülleninduktivität L ’h sowie der Indukti vität infolge Nähewirkung L ’n zusammen. Aus Gl. (267) folgt L’
Mo
2a
Jt
r,
Mo
'h°°
-------ln Jt
(268)
f rh2 + a2 (269)
rh2 - a2
(2 a r h )2 \ 2
l
('2 a r h f
Jt
V - « 4
Sl 2 a.
Die negativen Vorzeichen bei L ’^ und L ’noo weisen darauf hin, daß die Nähewirkung und die Anwesenheit der Hülle die Gesamtinduktivi tä t verkleinern. Gegenüber der ungeschirmten Doppelleitung mit / \ 9 aus Gl. (261) nimmt die Nähewirkung durch den
Einfluß des metallischen Schirms gemäß Gl. (270) ab. Die Nähe wirkung und damit auch die Verluste durch Nähewirkung werden sehr klein, wenn der Leiterabstand 2 a = wird. Es wird dann
r h4 - « 4
0,00445, d.h. L ’
\2
(271)
— V er
/
2a
(272)
- Inf 0,6 — V
Die Bemessung rh = 2 a ist für die praktische Ausführung von ge schirmten Doppelleitungen auch deshalb wichtig, weil die Verluste infolge Nähewirkung vernachlässigbar sind. Der W iderstandsbelag/?’ setzt sich in diesem Fall nur aus dem Wirkwiderstand der beiden Innenleiter R j und dem Wirkwiderstand, der die Wirbelstromver luste im Schirm erfaßt, R j, zusammen. Bei hohen Frequenzen berechnet man den Wirkwiderstand beider Innenleiter nach Gl. (9) R> . = ------- ----------1
(2 a r h )2
'1
(270)
’n
2a
/ r
rh2 + a2
wird ein Maximum, wenn bei festem rh die Dimensionierung = 2 a gewählt wird. In der Umgebung des Maximums ist der Wellenwiderstand relativ unempfindlich gegen kleine Lagenfehler der Innenleiter, die beispielsweise durch Fertigungsungenauigkeiten verursacht werden können. Mit = 2 a wird der Grenzwert des Wellenwiderstands nach Gl. (271) 120
Mo
125
5.2 Geschirmte Leitungen
5. Berechnung der Leitungskonstanten hom ogener Leitungen
0.
Aus den Ausdrücken (265) und (267) wird der Grenzwert des Wellenwiderstands der geschirmten Doppelleitung bei Gegentakt betrieb hergeleitet
Jt •
(273)
■ Kj
Der Verlustwiderstand der Hülle wird für rh = 2 a nach [13]
R)
(274) n - r h - d h -Kh
15
Damit wird der Widerstandsbelag für rt, - 2 a
126
5 .2 Geschirmte Leitungen
5. Berechnung der Leitungskonstanten hom ogener Leitungen Tabelle 4:
R ’ = R \ + R \ , = -------~--------+ -------- ---------- -ly1 11 %■ r-t i9j ■k, Jt ■rh !?h ■Kh 15
.(275)
Mit R ’ erhält man die Widerstandsdämpfung der geschirmten Dop pelleitung für = 2 a bei hohen Frequenzen
ftR
R’ 2Z^
J __ ( ______ 1 2 Z „ U-z-j ■
, 1 16 ■Kj + it- rh • i?h- « h 1 5) (2/6j
Bestehen die Innenleiter und der Schirm aus Kupfer, dann lautet die zugeschnittene Größengleichung
127
Optimale Eigenschaften der geschirmten Doppelleitung bei festem Schirmdurchmcsser 2 r^ (2 a = Leiterabstand, /"i = Leiterradius, er = relative DK der Isolierung, Z ^ = Grenzwert des Wellen widerstand^ a Hi
rh
Eigenschaft Kleinste Dämpfung
0,444
5,5
Größte Spannungsfestigkeit
0,48975
Größte Leistung
0,4935
n
2oo ~Q. 146
Ve? 5,5
142
V ? 3,75
94,7 > /*
1UZ
cm
+ l£ 6 6 \l// rMHZ MHZ / cm
oder m it Z x nach Gl. (272) i . + 1,066 r,h
km
* ( 0 ,6 - )
Die Gesamtdämpfung ist wieder die Summe aus der Widerstands dämpfung nach Gl. (276) und der Ableitungsdämpfung nach Gl. (258). In T a b e l l e 4 sind die Bemessungen für die optimalen Ei genschaften der geschirmten Doppelleitung bei vorgegebenem Lei tungsaußendurchmesser. d. h. bei festem Schirmradius rh , nach [12] und_[33] zusammengezogen.
5.2.2 Symmetrisches Drehstromkabel Die Angaben beziehen sich auf das Gürtelkabel, dessen Adern sich in einem gemeinsamen Metallmantel befinden. Für die Leitungs beläge des Radialfeldkabels (H-Kabel, Dreimantelkabel) gelten die Beziehungen wie für die Koaxialleitung nach Abschnitt 5.2.3. Auch beim symmetrischen Drehstromkabel beeinflussen der Me tallmantel und die Bewehrung aus ferromagnetischem Material die elektrischen Eigenschaften. Der Einfluß der äußeren Hülle auf die Betriebskapazität und Induktivität kann bei wirklichen Kabeln meistens vernachlässigt werden. Mit den Bezeichnungen nach B i l d 39 lautet der Kapazitätsbelag bei Vernachlässigung der Wirbelströme in der Hülle nach [9]
128
43t-e0-er
C'
(277)
(3 R 2 - a 2)3 (27 R 6
km
0,111 • er ln
a2 (3 R 2
/c MHZ
300 Xc m
mit
Ac - f (D + d ) -
(278)
Der Ausdruck für den praktisch frequenzunabhängigen Kapzitätsbelag C” lautet
a2f =
r-2 (27 R b - a6)
2 j t
( 2 7 9 )
e o ’f r
i D
Für den Induktivitätsbelag U gilt näherungsweise die Beziehung für die ungeschirmte Drehstromleitung (264). Als Widerstandsbe lag R ’ ist der Wert eines Leiters einzusetzen. Die Zunahme des Wi derstandsbelags durch die Stromverdrängung im Leiter, den Nähewirkungs- und Hülleneffekt sowie durch Magnetisierungsverluste in der ferromagnetischen Bewehrung gegenüber dem Gleichstromwi derstand des Leiters werden durch einen Zusatzwiderstand A R ’ berücksichtigt. Zl ’ ist von der Leiterabmessung abhängig. Bei Lei terquerschnitten unter 25 mm 2 ist dieser Zusatzwiderstand ver nachlässigbar. Nach [10] beträgt /3i?’für bewehrte Kabel etwa 0,01 ~
kritische Frequenz f c ist die niedrigste Grenzfrequenz von allen Hohlleiterwellen in der Koaxialleitung. Es gilt
ab )
HF mit 4 Jt • e0 = 0,111 t — erhält man die zugeschnittene Größen gleichung C’
129
5.2 Geschirmte Leitungen
5. Berechnung der Leitungskonstanten hom ogener Leitungen
~d oder als zugeschnittene Größengleichung C _ _1_ er . i q3 nF 18 . D E
T
Bei ausgeprägtem Skineffekt, d. h. d ^ 20 ist näherungsweise nur noch die äußere frequenzunabhängige Induktivität L ’a wirk-
bei der Frequenz 50 Hz.
L \d = L'
= -£*2 Jt In 4d
(280>
5.2.3 Koaxialleitung oder
5.2.3.1 L e itu n g s k o n s ta n te n B i l d 40 zeigt den Querschnitt der Koaxialleitung. Unterhalb der kritischen Frequenz f c ist der Betriebszustand eindeutig. Die
mH km
0,2 ln
_D d
Aus den Gin. (279) und (280) wird der reelle und frequenzunab hängige Grenzwert des Wellenwiderstands hergeleitet
Bild 40: Koaxialleitung
130
5.2 Geschirmte Leitungen
5. Berechnung der Leitungskonstanten hom ogener Leitungen
damit wird L \ nach Gl. ( 8 )
|/V en-^ (
1
mit 1/ — = 120 it £2 wird ul / eo r 60 V
km
ß
= 7 - ^ ,n 7
P*D
Die Wellenwiderstände der gebräuchlichen Koaxialleitungen sind Z x = 50, 60 oder 75 £2. Die Berechnung des Wellenwiderstands aus Gl. (281) liefert bei wirklichen Leitungen meistens ausreichend genaue Werte, wenn die Bedingung d ^ 20 erfüllt ist. Für sehr genaue Rechnungen geht man von Gl. (213) aus. Im Hochfrequenz bereich werden die inneren Induktivitäten von Innen- und Außen leiter der Koaxialleitung aus dem Zusammenhang ( 8 ) bestimmt Dazu muß zunächst der Widerstandsbelag R ’ erm ittelt werden, der sich aus dem Widerstandsbelag des Innenleiters R ■und dem Wider standsbelag des Außenleiters R ’a zusammensetzt. Mit Gl. (9) er hält man R’
R \ + R ’n
Kj d - 3 f
Ka
■D ■3 t - # a
(282)
Beschränkt man sich auf den praktisch wichtigen Fall, daß Innenund Außenleiter aus Kupfer bestehen, dann ergibt sich die zuge schnittene Größengleichung R’ ü km
8,32 Lcm
cm
mit dem Gültigkeitsbereich / > 0,0176 MHZ = / d \ * \c m )
131
l/H VMHZ
(283)
8,32 U +i . ' cm cm
(284)
2 3 t- 106 ■ ] / £
Aus Gl. (213) findet man schließlich den komplexen Wellenwider stand der Koaxialleitung im Frequenzbereich ausgeprägter Strom verdrängung
Beispielsweise wird für die international genormte Koaxialleitung mitZ) = 9,5 mm, d = 2,6 mm, er = 1,1 und ZM = 74 £2 nach Gl. (285) Z l HF = 7 4 +
0 93
(
}
gülüg f ü r / ^^ 0,495 MHz
v S bei der Frequenz 1 MHz wird dann Z Lh f = (74,93 - j 0,93) £2. Die Abweichung gegenüber dem Wert aus der Näherungsgleichung (281) beträgt etwas über 1 %. Die Widerstandsdämpfung der Koaxialleitung bei hohen FreR’ quenzen wird aus der Beziehung a R = mit R ’ aus Gl. (282) CO bestimmt. Bestehen Innen- und Außenleiter aus Kupfer, dann folgt mit Gl. (283)
132
5. Berechnung der Leitungskonstan ten hom ogener Leitungen
Bei der Leitungssynthese sind häufig der Außenleiterdurchmesser D und der Wellenwiderstand Z^'vorgegeben. Zur Lösung dieser Aufgabe wird Gl. (281) nach dem Innenleiterdurchmesser d aufge löst und in Gl. (286) eingeführt Zc
r
fL
U i j_ (
N£ km
z^ ^
60
n
D \ crn"
j . i ß l r7fm /
V MHz
(287)
Die Gesamtdämpfung einer Koaxialleitung m it Kupferleitern wird . c , / > 0,0176 „ , , im Frequenzbereich £ ^ unter Berücksichtigung der Vom/ Ableitungsdämpfung nach Gl. (258) 4,16 / 1 D
NP km
£2
cm
d
■V!MHz + 10,5 • V T -
cm
/ '
tan
5
(288)
M I T
MH/.
133
5.2 Geschirmte Leitungen
Außenleiterdurchmesser D kann die von der Leitungsgeometrie un abhängige Ableitungsdämpfung a G größer werden als die Wider standsdämpfung ctR. Die Beziehungen (288) sowie (289) liefern für Koaxialleitungen mit Volldrahtinnenleiter und homogenem Rohraußenleiter sehr ge naue Ergebnisse. Bei flexiblen Leitungen, deren Innenleiter aus Litze und deren Außenleiter aus Drahtgeflechten aufgebaut sind, entstehen zusätzliche vom Litzen- und Geflechtsaufbau sowie von der Frequenz abhängige Verluste. Die Leitung m it homogenen Lei tern hat stets die niedrigste Dämpfung. In der Nachrichtentechnik sollen die Übertragungsmittel mög lichst kleine Dämpfung haben. Da die Material- und Herstellungs kosten einer Leitung proportional mit dem Außenleiterdurchmesser steigen, muß dieser gering gehalten werden. Wie oben ausgeführt, dürfen für dämpfungsarme Leitungen nur verlustarme Isolierstoffe mit niedriger relativer DK verwendet werden. Daneben gibt es noch ein Durchmesserverhältnis D /d , für welches die Widerstandsdämp fung bei vorgeschriebenem Außenleiterdurchmesser D ein Minimum durchläuft. Aus Gl. (286) liest man ab, das dies der Fall ist, wenn 1+ ln j der A usdruck------—---- einen Extremwert erreicht. Aus der 1. Ab-
'4
oder mit Gl. (287)
leitung.und Nullsetzen folgt ln — = 1 +
a
= 4,16
1
N£ km
^
R_ cm
’r Zc°° 1 + e "60 £2
transzententen Gleichung lautet
y r MHz z
f= + 10,5 • \fel ■tan 5 ... ..... r MHz
3,6
Die Lösung dieser d
(290)
(289)
Aus Gl. (289) erkennt man, daß niedrige Gesamtdämpfung a bei festem Außenleiterdurchmesser D und Wellenwiderstand Z x eine Isolierung mit möglichst kleiner relativer DK er sowie kleinem Ver lustfaktor tan 5 verlangt. Bei sehr hohen Frequenzen und großem
Die Koaxialleitung kleinster Dämpfung hat nach Gl. (281) den Wel lenwiderstand
134
Bei Vollisolierung mit Polyäthylen wird m it er = 2,25 Z ^ = 51,3 n . Die Abmessungen von Koaxialleitungen mit optimalen Eigen schaften sind in T a b e l l e 5 zusammengestellt. Tabelle 5:
Optimale Eigenschaften der Koaxialleitung bei festem Außen leiterdurchmesser D (d = Innenleiterdurchmesser, er = rela tive DK der Isolierung, Zoo = Grenzwert des Wellenwider stands)
Eigenschaft
D d
Kleinste Dämpfung
3,6
Größte Spannungsfestigkeit
2,72
Größte Leistung
1,65
Zoo TT 77
60
30
\/ i r
135
5.2 Geschirmte Leitungen
5. B erechnung der Leitungskonstan ten hom ogener Leitungen
offenen Eingangsklemmen der am Ende kurzgeschlossenen, elek trisch kurzen Leitung die Spannung U^. Für den Betrag des Kopp lungswiderstand ZK gilt dann Zv = K /St ' l
(292)
Die übliche Einheit für Z ^ ist ~ ~ Die durch den äußeren Störstrom 1$t im inneren System erzeugte Störspannung U2 bleibt klein, wenn der Kopplungswiderstand Z K klein ist. Gute Schirmwirkung des Außenleiters bedeutet also niedri ger Kopplungswiderstand. Größe und Frequenzgang des Kopplungs widerstands hängen vorwiegend vom Aufbau des Außenleiters der Koaxialleitung ab. Bei Gleichstrom und tiefen Frequenzen ist der Kopplungswiderstand gleich dem Gleichstromwiderstand des Außen leiters R 0 , mit wachsender Frequenz weicht Z K erheblich von R 0 ab. Nach VDE 0855 ist beispielsweise für Antennenleitungen in Fernsehgemeinschaftsanlagen ein maximaler Kopplungswiderstand von 500
5.2.3.2 K o p p lu n g sw id e rsta n d Ein Maß für die Schirmwirkung des Außenleiters einer Koaxial leitung ist der Kopplungswiderstand Z K , dessen Definition lautet Über den Außenleiter der Koaxialleitung, deren Länge kleiner — ist, fließe der Störstrom /g t ( B i l d 41). Dann entsteht an den^
bei der Frequenz 200 MHz zulässig. Der Ausdruck m füi den Betrag des Kopplungswiderstands Z K für ein homogenes Metallrohr aus nichtferromagnetischem Material lautet nach [13] 2^a K R0
1/
Y cosh
2Ja
- cos
— 2Ja
(293) 2-V2 ^ e ” * V mit
Bild 41: Definition des Kopplungswiderstands der Koaxialleitung
für d a > 0
d a = Rohrdicke i? = äquivalente Leitschichtdicke des Rohres = spezifische Leitfähigkeit des Rohres k R n = -----=— ------ Gleichstromwiderstand des Rohres u
jt ■D ■ d a • k
136
5.2 Geschirmte Leitungen
5. Berechnung der Leitungskonstanten hom ogener Leitungen
Der Außenleiter einer flexiblen Koaxialleitung besteht aus ge w endeten Metallbändern, aus einer Drahtbespinnung oder aus ei nem Drahtgeflecht. Durch die stets vorhandenen Öffnungen in der artigen Außenleitern entsteht ein magnetischer Durchgriff, demzu folge der Kopplungswiderstand von einer gewissen Frequenz ab wie der ansteigt. Den Frequenzgang des Kopplungswiderstands von Koaxialleitungen m it gebräuchlichen Außenleiterkonstruktionen [11] zeigt B i l d 42. Verfahren zur Berechnung des Kopplungs widerstandsverlaufs von Koaxialleitungen mit inhomogenen Außen leitern sind bis jetzt nicht bekannt.
137
! r ^ ök (■+eVÖ5} i / £ ■w86■i/ £ km
m it dem G ültigkeitsbereich/ = 0,36 MHz. Die Ableitungsdämpfung wird nach Gl. (258) 4 r “ = 10,5 • y / l Ö T • 4 • 10~4 J r r = 0,0063 J r r Np MHz MHz km Aus Gl. (278) folgt der eindeutige Betriebsfrequenzbereich XC, %
f • \ / 2,25 (0,99 + 0,22) cm
= 2,85 cm,
/ c = 10,5 GHz
Bild 42: Frequenzgang des Betrags des Kopplungswiderstands einer Koaxial leitung für verschiedene Außenleiterkonstruktionen 1) homogenes Rohr 2) und 3) Drahtgeflecht
ln B i l d 43 ist der Verlauf der Widerstands-, Ableitungs- und Ge samtdämpfung für den Frequenzbereich von 10 MHz bis 10 GHz aufgetragen. Man erkennt, daß ab etwa 2,4 GHz der Anteil der Ab leitungsdämpfung a G den Anteil der Widerstandsdampfung a R an der Gesamtdämpfung a überschreitet.
8. Z a h l e n b e i s p i e l : Eine Koaxialleitung mit dem Wellenwiderstand Z M = 60 £2 ist aus homogenen Kupferleitern aufgebaut. Der wirksame Außenlei terdurchmesser des 0,25 mm dicken Rohres beträgt 9,9 mm. Die Vollisolierung aus Polyäthylen hat die relative DK er = 2,25 und den Verlsutfaktor tan <5 = 4 • 10~4 . Aus Gl. (281) findet man den Innenleiterdurchmesser d ^co d = D •e
60
12
= 9,9 • e " ^ ^ 5 mm =
nach Gl. (287) wird die Widerstandsdämpfung
mm Bild 43: Frequenzgang der Dämpfung einer Koaxialleitung (8. Zahlenbei spiel)
138
J. Berechnung der Leitungskonstanten hom ogener Leitungen
Mit dem Gleichstromwiderstand des Rohraußenleiters
6. Inhomogene Leitungen
r
6.1 Pupinleitung
= 0
10~4
J t - 0 ,9 9 -0 ,0 2 5 -5 7 ,1
S2 _ _ „ cm
m£2 m
erhält man aus Gl. (293) den Betrag des Kopplungswiderstands bei tiefen Frequenzen Z K = R 0 = 2,25 y p , bei 1 MHz
Bereits im Jahre 1893 hat O. Heaviside vorgeschlagen, die Dämp fung von Leitungen durch künstliche Erhöhung des Induktivitäts belages zu erniedrigen. Bei tiefen Frequenzen ist die Ableitungs dämpfung a G vernachlässigbar gegenüber der Widerstandsdämpfung a R . Die Dämpfung ist dann proportional y
d.h. wird L ’
erhöht, so sinkt a. Ein höherer Induktivitätsbelag L ’ erzeugt einen Anstieg des Wellenwiderstands und der Laufzeit. Längere Laufzeit kann sich bei langen Leitungen störend bemerkbar machen. Zur Verwirklichung der Idee von Heaviside sind zwei Verfahren, das K ram p-Verfahren (Krarup 1902) und das Pupin-Verfahren (Pupin 1901), bekannt geworden. Heute ist nur noch das Pupin- Ver fahren von Bedeutung. Nach Pupin werden in gleichmäßigen Ab ständen Spulen (Pupin-Spulen) in die Leitung eingebaut. Derartige Leitungen werden als pupinisierte, bespülte oder belastete Leitun gen bezeichnet. Die Pupinisierung bringt nur bei Kabeln wesentliche Vorteile. Freileitungen werden heute nicht mehr bespült. Pupini sierte symmetrische Kabel werden zur Fernsprechübertragung im Niederfrequenzbereich und für Rundfunkleitungen dann eingesetzt, wenn die Dämpfung der unbespulten Leitung reduziert werden soll und die Entfernung oder die Anzahl der benötigten Sprechkreise den Einsatz von Trägerfrequenzsystemen nicht lohnt. Durch den Einbau der im Vergleich zum Induktivitätsbelag des Kabels großen konzentrierten Spuleninduktivität £ Sp ist die Pupinleitung nicht mehr homogen. In Deutschland ist ein Spulenabstand s = 1,7 km sowie eine Spuleninduktivität Lgp = 80 mH eingeführt. Im Ausland werden vorwiegend ein Spulenabstand s = 1,83 km und eine Spu leninduktivität L sp - 88 mH verwendet. Der Spulenabstand s heißt auch Spulenfeldlänge. Hinsichtlich des Aufbaus von pupini-, sierten Kabeln wird zwischen der europäischen und der USA-Bauart unterschieden. In Europa beginnen und enden belastete Kabel mit einem halben Spulenfeld s/ 2, auch Anlauflänge genannt. In den USA beginnen und enden pupinisierte Kabel mit einer Pupinspule
140
m it der Induktivität \ Z,gp. Während der Frequenzgang von Phase und Dämpfung für beide Bauarten gleich ist, unterscheiden sich beide Bauarten bezüglich ihres Wellenwiderstandsverlaufs. Der Auf bau und das Ersatzschaltbild eines bespülten Kabels nach europä ischer Bauart ist auf B i l d 44 wiedergegeben. Die Beläge des unpupinisierten Kabels erhalten den Index „Null“ . Bezogen auf das Spulenfeld der Länge s gilt somit R ’o - s t t ,
G ’0 -s S,
CÖ- s F,
LÖ'sH
Die Induktivität einer Pupinspule ist L Sp, der Verlustwiderstand einer Spule R Sp, die sehr kleine und daher meist vernachlässigbare Eigenkapazität einer Spule Cgp. Die Ersatzschaltung eines bespülten Kabels nach Bild 44 ist die Kettenschaltung verlustbehafteter Tief pässe. Werden zunächst die Verluste vernachlässigt, dann erhält man für ein Spulenfeld einen Tiefpaß in II-Schaltung ( B i l d 45). Mit der Vierpoltheorie [22] lassen sich für diese II-Schaltung folgende Zusammenhänge herleiten: Grenzfrequenz
141
6.1 Pupinleitung
6. Inhomogene Leitungen
1 f c = -----------------------J t-V T C iT L s p + s Lo)
(294)
^■sp+'s^0 2
cSD«c;
o
Lsp*SLo _ / " V V V \ _ _---a-9----'
sp+sC6 j L
Csd+s Cq
JL
L J __ I
2 _/YYY>
*-Sp+s/.Q
'sp+5t-0 2
2
Bild 45:
Ersatzschaltbild eines Spulenfeldes bei Vernachlässigung der Verluste
x /g
(295)
normierte Frequenz
r\
Durchlaßbereich
/ < / g , damit t? < 1
Sperrbe reich
/ > f c ’ damit rj > 1
Vierpoldämpfung Durchl aßbereich
a = 0
Sperrbereich
a = 2 ar cosh r?
(296)
= 2 arc sin 77
(297)
Vierpo Iphasenmaß Durchlaßbereich
b
Sperrbereich
b = Jt
(298)
Wellenwiderstand
+ s L ’0 V
1-
n
2
(299)
m s- C. ’0 + Cssp-
Der Frequenzgang des Vierpolphasenmaßes b ist auf B i l d 46 aufgetragen. Den Verlauf des Betrags des Wellenwiderstand Z in Ab-
Bild 44: Pupinisiertes Kabel nach europäischer Bauart und Ersatzschaltung
Bild 46:
Frequenzgang des Phasenmaßes für die Ersatzschaltung nach Bild 45
142
6. Inhomogene Leitungen
6.1 Pupinleitung
143
Die Größe a , kann wie die Dämpfungskonstante einer homogenen Leitung nach Abschnitt 3.6 berechnet werden, wenn nachstehende ( oitungsbeläge eingeführt werden R ’ = -R ’0 +
•^Sp
ü,
S
km s km
G ’ = Go
Bild 47: Frequenzgang des Betrags des WellenWiderstands für die Ersatzschal tung nach Bild 45
fsp C ’ - C ’o + ——5
L’ = L 0 + hängigkeit von der normierten Frequenz r, zeigt B i l d 47. Nach Gl. (299) ist der Wellenwiderstand im Durchlaßbereich frequenzab hängig und reell, im Sperrbereich frequenzabhängig und imaginär. Der Betrag des Wellenwiderstands eines unpupinisierten Kabels ist wesentlich kleiner als der des pupinisierten Kabels. Wie aus genauen Untersuchungen unter Berücksichtigung der Verluste hervorgeht [29], bleiben die Ausdrücke für die Grenzfre quenz/Q (294) sowie für das Vierpolphasenmaß b (297) gültig. Für die Phasenkonstante ß eines bespülten Kabels folgt für den Durch laßbereich aus Gl. (297)
ß
= -j arc sin 17
(300)
Wie zu erwarten war, muß die Dämpfung eines bespülten Kabels im Durchlaßbereich von Null verschieden sein. Wegen des starken Anstiegs der Dämpfung in der Nähe der Grenzfrequenz / q wird ein Pupinkabel nur bis zu (0,7 bis 0,8) / q ausgenützt. Die Beziehung für die Dämpfungskonstante im Durchlaßbereich (77 < 1) lautet <*1
a = — — __ N / T - t ?2
(301)
_F_ F t t - ~ Q km
km
^Sp
H
s
km
Der komplexe Wellenwiderstand wird im Durchlaßbereich Realteil
Z j = . ...1=
, l / - - Sp.+- - L1
V l - T72
Imaginärteil
(302)
1/C sp + s C i
R
1 77 (1 - 17 )
(303)
Für ein pupinisiertes Kabel nach USA-Bauart gelten für die Grenzfrequenz / q , die Dämpfungskonstante a sowie für die Pha senkonstante ß ebenfalls die Ausdrücke (294), (300), (301). Dage gen berechnet sich der komplexe Wellenwiderstand zu ■^Sp + s L ’o 1i /, — ------- r
Realteil
Z j = V 1 - n2
ImaginärteU
R S v + s R ’ 0 Z 2 = - .....— a-------
Csp + s C 0 '
1 —2 t?2 /1 2t7 ■
(304) (305)
Die Imaginärteile des Wellenwiderstands Z 2 nach den Gin. (303) bzw. (305) sind klein gegenüber den Realteilen Z x nach den Gin. (302) bzw. (304).
144
6. Inhomogene Leitungen
6.1 Pupinleitung
Eine Gegenüberstellung des Frequenzganges der Dämpfung und des Realteils des Wellenwiderstands eines unbespulten und nach europäischer Bauart bespülten Kabels m it 0,9 mm dicken Leitern zeigt B i l d 48 nach [11],
145
Mit der M etallverlustfrequenz/! = 184 Hz folgt, daß bei der Fre quenz 1 kHz HF-Formeln zulässig sind a , = « h f = \ w V ^ ’ C ’ (tan e + tan 6) =
2500
Q
= i
2 it • 103 • V 47,7 • IO '3 • 33,13 • 10
2 000
V
15D0
(0 .1 8 4 t4 .8 ]- 1 0 - )!^ E
1000
500
\
\
Die Grenzfrequenz wird nach Gl. (294) best'mmt
1
2 a)
4 f—
«, = 2 2 , 9 ^ E
8 kHz 10
_l___________ _
Bild 48: Frequenzgang des Realteils des Wellenwiderstands Z Y (a) und der Dämpfungskonstanten Oi(b) eines unbespulten (1) und bespülten Nachrichtenkabels (2) mit 0,9 mm dicken Leitern ( £ Sp = 80 mH, s = 1,7 km)
/G ” 3t- V s C ’0 (L Sp + s- L i ’ ’ Hz = 4,7 kHz 1,7 ■33,1 • 1 0 '9 (8 0 + 1 ,7 -0 ,7 ) • 10~3
3 t•
damit wird die normierte Frequenz nach Gl. (295)
9. Z a h l e n b e i s p i e l : Für das unbelastete Kabel des 2. Zahlenbeispiels wurden bei der Frequenz 1 kHz folgende Eigenschaften erm ittelt: a ^ p = 75 mNp/km, ßNF = 75 • 10~3 1/km , Z L m = ( 3 6 2 - j 3 6 2 ) 0 . In das Kabel werden in 1,7 km Abständen Pupinspulen m it den Ei genschaften L Sp = 8 0 m H ,C Sp = 0 ,0 5 n F ,i? Sp = 1,8 0 nach europäischer Bauart eingefügt. Bei der Frequenz 1 kHz ergeben sich für das pupinisierte Kabel nachstehende Werte R ' = R ’o + ^ P = (54 + | 4 ) i F - = /s i\ 54 + I1 ,7 j )/ km
55,06 Tp55,06 km
„ - - X
^ c u u
folglich wird die Dämpfungskonstante der belasteten Leitung ge mäß Gl. (301) (x ~~
»]
~
22,9 mNp „-------------- r V 1 — 0 ,2 132 km
„ mNp ,4 . km
Die Phasenkonstante findet man aus Gl. (300)
G ’ = G '0 = 0,1 p.S/km Cc_
/
n nc\ „c
„c
ß = f arc sin V =
arc sin 0,213 ±
= 0 ,2 5 2 ^
Aus den Phasenkonstanten berechnen sich die Phasengeschwindig keiten des unbespulten Kabels zu 0,839 • 105 km/s, des bespülten Kabels zu 0,249 • 105 km/s.
146
6. Inhom ogene Leitungen
6.2 Wirkliche H ochfrequenzleitung
Der komplexe Wellenwiderstand des pupinisierten Kabels wird nach Gl. (302) bzw. (303) 7
= , -
^
-j / ^Sp S Z'O _ | / c Sp + s C ’o _
'
1 / (8 0 + 1,7 -0 ,7 )- 10~3 " = - - ===. = =• 1 / - ---------------■ -------------- S 2 = 1225 12 x / l —0,213 | / (0,05 + 1,7 • 33,1) • IO '9 7
_
R S v + s R - ’a 4
-
------- 1 77 ( 1
1,8+ 1,7 • 54 4
,
=
- T t 2) ' 2
1___________ _ 0,213 (1 — 0,2132)^2 ^
118J1
Schwankungen des Eingangswiderstandes. In der Praxis wird die Leitung m it dem Wellenwiderstand abgeschlossen und der Betrag des Reflexionsfaktors am Leitungseingang in Abhängigkeit von der Frequenz gemessen. Die Eingangsreflexion ist in erster Linie ein Maß für die Fertigungsqualität einer Leitung. Dagegen werden die Dämpfung und der mittlere Wellenwiderstand vom Konstruk tionsprinzip festgelegt. Unter dem mittleren Wellenwiderstand Z m h at man den Mittelwert aus allen ortsabhängigen Werten des Wel lenwiderstands längs einer Leitung zu verstehen. Alle bisherigen Angaben hinsichtlich des Grenzwerts des Wellenwiderstands beziehen sich bei wirklichen Leitungen auf den m ittleren Wellen widerstand Z m . Bei einer Koaxialleitung gilt somit für Z n 60
Zm
ln
n Z L = (1225 - j 118) Sl
D d
(306)
D = m ittlerer Außenleiterdurchmesser d = m ittlerer Innenleiterdurchmesser er = mittlere relative DK der Isolierung bedeuten.
wobei
6.2 Wirkliche Hochfrequenzleitung Wegen der eindeutigen Wellenausbreitung ist die Koaxialleitung ein wichtiges Übertragungsmittel in der Hoch- und Höchstfre quenztechnik. Neben der Dämpfung ist die Homogenität des Wel lenwiderstands längs der Leitung ein entscheidendes Kriterium für die Güte des Übertragungsmittels. Inhomogenitäten in einer Lei tung verursachen besonders bei hohen Frequenzen Reflexionen, welche außer einem Leistungsverlust Verzerrungen des Nutzsignals hervorrufen. Örtliche Schwankungen des Wellenwiderstands ent stehen vorwiegend durch fertigungsbedingte, sog. innere Ungleich mäßigkeiten. Letztere sind statistisch verteilte Material- und Abmes sungsschwankungen längs einer Fabrikationslänge. Zusätzlich kön nen zwar kleine, aber periodische Schwankungen, die praktisch keinen Beitrag zum Niveau des Eingangsreflexionsfaktors liefern, bei selektiven Frequenzen zu maximalen Eingangsfehlern führen. Innere Ungleichmäßigkeiten erzeugen durch Änderung der Phase der an den Stoßstellen reflektierten Wellen auch bei Ab schluß der Leitung m it dem Wellenwiderstand frequenzabhängige
147
Sind ± AD , ± i d u n d ± A et die Abweichungen von den Mit telwerten, so wird'gemäß Anhang (A31) die Abweichung des Wel lenwiderstands A Z AZ =
9 Zn
Ad +
A£r +
3 er
dZm
AD
dD
dd
oder mit Gl. (306) AZ
1 ^ er ln
D
Ad d
AD D
(307)
Der Wellenwiderstand an einer Stoßstelle wird dann Z = Z m + A Z . Es entsteht eine reflektierte Welle. Der Reflexions faktor hat den Betrag Z
Zm
Z + Zm
i
A/I Z7 A Z + 2 Zm
l
I
AA Z7 27
1
(308)
148
6. Inhomogene Leitungen
Der Wert des Reflexionsfaktors ist von der Größe der Störung A Z abhängig. Ist beispielsweise für eine Koaxialleitung mit d = 2,6 mm, D = 9 ,5 m m ,Z nl = 75 £2 ein A Z = ± 0,75 £2 zu lässig, dann wird r = 0,5 %. Ist Aer = 0 und A D = 0, so findet man aus Gl. (307) die zulässige Abweichung für den Innenleiter- , durchmesser Ä i _
AZ
(
.
D \
x 0,75 /
.
£ . 9 ,5 \
i d ~ zT {~J ' " d j - ±' 7 T ^ 2'61n2sj mm
7. Gekoppelte verlustlose Hochfrequenzleitungen 7.1
Grundlegende Beziehungen
Unter gekoppelten Leitungen wird eine Anordnung aus zwei gleichen Doppelleitungen der Länge / verstanden, die sich Uber ihre elektrischen und magnetischen Felder gegenseitig beeinflussen. Die Zählrichtungen der Spannungen und Ströme sind entsprechend B i l d 49 festgelegt. Nach [32] bestehen folgende Zusammenhänge: Z 1L
= ± 0,0337 mm
^Kz) = U io c o s ß z + } ----- (h o + k l ■I 20) s i n ß z -----k 1 \ (z) = Iasl ' cos ß z + i r ~ r - ( U i o - k 2 U20) s i n ß z
(309)
(310)
K ^1L
Z 2I Ü2(Z) = f/ao cos j3 z + j ■ — - ( h o + k 2 / i o ) sin 0 z -----k
(311)
h(z) = h o c o s ß z + j
(312)
o ~ k i Uio) sin ß z
dabei bedeuten k l , k 2 und k = V 1 — k x k 2 Koppelfaktoren. Sind die Leitungen entkoppelt, d.h. k x = 0, k 2 = 0 und damit
i
i
Z - I
2= 0
Bild 49: Gekoppelte Hochfrequenzleitungen
150
7.1 Grundlegende Beziehungen
7. G ekoppelte verlustlose Hochfrequenzleitungen
k = 1, dann gehen die Gin. (309) bis (312) in die Beziehungen für Spannung und Strom auf einer verlustlosen Hochfrequenzlei tung über. Werden die unteren Leiter der Leitung 1 und 2 zu einem ge meinsamen Leiter 3 zusammengefaßt, so ergibt sich das Dreileiter system gemäß B i l d 50. Für dieses System werden die Koppel faktoren und Wellenwiderstände Ci2 ki = -------------Q e + C 12
Unter der Voraussetzung, daß die Leitung 1 am Anfang und Ende reflexionsfrei abgeschlossen ist, die Leitung 2 mit einem be liebigen Verbraucher Z 2o belastet ist, folgt aus den Gin. (309) und (310) U20 zU\l . 1 Un = U i0 L cos0/ + j ^ l + * , - ^ Y 2
(313)
LLL
^11
Ui 0
2 lL
' 1L
sin ß l
(317)
U20 . 1 cos ß l + j -j-11 — k 2 ~ T— / sin ß l (318) ~ÜÜ
aus der Kombination der Beziehungen (316) bis (318) ergibt sich
C 2 E + C.12
"2L ZlL = »p * ( C i e + C 12)
(314)
£
V * ( C2E + C12)
(315)
?1L
1.
~ül
Z2L
151
k 11
k i Z 2L = k 2 Z IL
(316)
Wie aus Bild 49 abzulesen ist, bestehen zwischen den Spannun gen, Strömen und Widerständen die Zusammenhänge U io = /io ' Z \o , U\\ = - h \ ' Z i \ (Zählpfeile von Spannung und Strom sind entgegengesetzt!), U^ ~ = h o ' Z 2o■
Bild 50: Dreileitersystem
(319)
2 (1 —] k cot ß- l)
haben beide Leitungen gleichen Wellenwiderstand Z l , dann wird
Op = Phasengeschwindigkeit aus der Verknüpfung der Ausdrücke (313) bis (315) wird abgeleitet
z 1L z,
Ujsl U20
±L
Z 20
(320)
2 (1 —j k cot ß l)
mit Gl. (320) wird Gl. (317) U\a
Z 2o
Zl
U \\
Z 20 + Z L
. sin ß l cosß / + j
(321)
Sind die Leitungen lose gekoppelt ( k -*■ 1), so ist der Betrag von Gl. (321) gleich dem Betrag des Reflexionsfaktors bezogen auf den Verbraucher Z 20. Werden beide Leitungen am Anfang und Ende mit dem Wellen widerstand Z L abgeschlossen, dann folgt aus Gl. (320) U±0 = 0,
152
7.2 R ich tko p p ler
7. G ekoppelte verlustlose H ochfrequenzleitungen
wobei vorausgesetzt wird, daß aus Gl. (317) ab
=£ 0. Mit
= 0 leitet man
* ~ U ^ = i j t S'm ß l
(322)
153
Das Leistungsverhältnis der in die Hauptleitung eingespeisten Leistung F , zur Leistung in der Nebenleitung P x wird als Koppel dämpfung öK definiert und in dB angegeben. Aus Bild 51 liest man ab «K ' ’ "HR dB
P„
^21 Z 1L
= 10 l0g ~P~ P 1 = 10 108
1Un F ...7Z..... 2L
weiterhin findet man mit U j^ = 0 aus Gl. (311) mit den Beziehungen (316), (322) und (323) wird ^ _ U2 1
k k cos ß l + j sin ß l (323)
7.2 Richtkoppler Gekoppelte Leitungen mit den unter Abschnitt 7.1 beschriebe nen Eigenschaften werden bei der Leistungs-, Widerstands-, Reflexionsfaktormessung und als Leistungsteiler in der Höchstfre quenztechnik benützt. Die gespeiste Leitung wird als Hauptleitung, die angekoppelte Leitung als Nebenleitung bezeichnet. Vorzugs weise verwendet man Anordnungen aus zwei gekoppelten Koaxial leitungen. Auf B i l d 51 ist ein Richtkoppler aus zwei gekoppelten Leitungen als Achtpol dargestellt. Wie im Abschnitt 7.1 hergelei tet, ist für Z 20 = Z 2l die Spannung U l0 = 0, aber U\j ¥= 0. Die in das Klemmenpaar 3 ^ 3 ’ eingespeiste Leistung P3 wird in die Teilleistungen P s und P4 aufgeteilt, während P2 = 0. Ist der Ver braucher Z 20 verschieden vom Wellenwidersland Z 2l , dann ist bei loser Kopplung das Spannungsverhältnis der Nebenleitung U U)/U \i gleich dem Betrag des Reflexionsfaktors der Hauptleitung.
Bild 51: Richtkoppler
aK k cos ß l + sin ß l — = 10 lo g ----------- c— ------- ü_ dB k i k 2 sin ß l Die Koppeldämpfung aK wird ein Minimum für / = ( ak)min 1 ——- — = 10 log -— — dB kx k2
X 3 ^ X ... ( j 25)
Bei praktisch ausgeführten Richtkopplern liegt die Koppeldämp fung je nach Verwendungszweck zwischen 1 bis 40 dB.
155
8.1 Nachrichtenleitungen
8. Gegenüberstellung von Nachrichten- und Starkstrom leitungen
$ A = A ■ e ^ = — = ^2- ej(v52 " ^ 5, 5,
8.1 Nachrichtenleitungen In der Nachrichtentechnik werden Leitungen möglichst bei An passung betrieben. Die Eingangswiderstände der Sender und Emp fänger werden durch Übertrager oder bei höheren Frequenzen durch Transformationsschaltungen an den Wellenwiderstand der Leitung angepaßt. Im Gegensatz zur Energietechnik muß immer ein bestimmtes Frequenzband übertragen werden. Die Bandbreite hängt von der Art der Nachricht, beispielsweise Sprache, Töne, Bilder oder Zeichen, und vom verwendeten Modulationssystem ab. Aus wirtschaftlichen Gründen wird das weltweite Nachrichten netz vorwiegend nach übertragungstechnischen Gesichtspunkten für das Fernsprechen ausgelegt. Da über 50 % der Kosten eines Fernsprechnetzes auf die Leitungen und deren Verlegung entfallen, müssen die Leitungen optimal ausgenützt werden. Besonders im Fernsprechweitverkehr werden die Übertragungskanäle durch die gleichzeitige Übermittlung mehrerer Nachrichten vielfach ausge nützt. Auf symmetrischen Nachrichtenkabeln werden pro Paar gleichzeitig 120 Ferngespräche, auf einem Koaxialpaar 2,6/9,5 gleichzeitig bis zu 10 800 Gespräche geführt. Neuerdings werden auch die für die niederfrequente Sprachübertragung bemessenen billigen Orts- und Bezirkskabel durch das PCM-Verfahren (PCM = Pulscodemodultion), das nur geringe Anforderungen an den Übertragungskanal stellt, mehrfach ausgenützt. Dämpfung und Laufzeit von Leitungen sind frequenzabhängig. Dadurch werden die einzelnen Frequenzen einer Nachricht unterschiedlich gedämpft und verzögert. Man sagt, die Nachricht wird verzerrt. Der Einfluß des Übertragungssystems auf die Si gnale wird durch den komplexen Übertragungsfaktor A = A eJt^ beschrieben. Liegt am Eingang eines linearen Übertragungssystems, z.B. einer unbespulten Leitung, die sinusförmige Sendefunktion Sj_ = Si , dann erhält man am Ausgang die sinusförmige Empfangsfunktion S 2 = S 2 eJ1^2. Der komplexe Übertragungsfak tor A lautet somit
wobei
s A = -=r-
Amplitudenfaktor
= ^2 — 'Pi
Übertragungswinkel
(326)
(327) (328)
aus dem Übertragungswinkel y nach Gl. (328) findet man die Phasenlaufzeit
Die Phasenlaufzeit r p ist nur dann frequenzunabhängig, wenn der Übertragungswinkel
und
r„ = — = V F
00
• C’
Sind der Amplitudenfaktor und/oder die Phasenlaufzeit frequenz abhängig, dann entstehen Dämpfungs- und/oder Laufzeitverzerrun gen. Verlustbehaftete Leitungen erzeugen bei tiefen und mittleren Frequenzen Dämpfungs- und Laufzeitverzerrungen. Bei hohen Fre quenzen entstehen dagegen nur noch Dämpfungsverzerrungen, da wegen ßHF = co • y / L 0’ 0 • C’ die Phasenlaufzeit r pHF frequenzkon stant wird. Für Fernsprechkabel gilt die Faustregel, daß die zulässige , Dämpfungsverzemmg immer dann eingehalten wird, wenn die Leitungsdämpfung bei der Frequenz 800 Hz den Wert 1 Np nicht überschreitet. Laufzeitunterschiede sind erfahrungsgemäß um so kleiner, je kleiner die Dämpfung des Übertragungssystems ist.
156
8 . Gegenüberstellung von Nachrichten- und Starkstromleitungen
9. Anhang: Wichtige mathematische Beziehungen Für Nachrichtenleitungen ist also die Hauptforderung niedrige Leitungsdämpfung. Bei der drahtgebundenen Übertragung hoher Frequenzen muß zusätzlich eine ausreichende Homogenität der Leitung garantiert werden. Z. B. dürfen die Werte des Eingangsre flexionsfaktors von Koaxialleitungen für Fernsehgemeinschaftsan tennenanlagen 10 % im gesamten Betriebsfrequenzbereich nicht überschreiten. 8.2 Starkstromleitungen Bei der Energieübertragung auf Leitungen wird gefordert a) Hoher Wirkungsgrad der'Übertragung b) Keine Verbraucherblindleistung c) Eingangsspannung wenig verschieden von der Verbraucherspannung für jede Belastung Diese Bedingungen werden nur von einer idealen Leitung bei an gepaßtem Verbraucher erfüllt. Bei einer wirklichen Leitung kann die Forderung b) lediglich dann eingehalten werden, wenn der Wellenwiderstand der Leitung reell ist, wie dies näherungsweise bei einer Freileitung der Fall ist. Die Bedingung c) verlangt elektrisch kurze Leitungen. Starkstromleitungen werden möglichst so dimen sioniert, daß sie bei Nennlast mit der natürlichen Leistung betrieben werden. Bei hoher Nennlast muß auch eine hohe natürliche Lei stung der Leitung gewählt werden. Dazu müssen der Kapazitäts belag hoch, der Induktivitätsbelag der Leitung niedrig gehalten werden. In der Energietechnik schwanken der Energiebedarf und damit der Verbraucherwiderstand stark. Soll eine Leitung mit der natürlichen Leistung gefahren werden, dann muß man den Wellen widerstand der Leitung an den variablen Verbraucher anpassen. Bei der Fernübertragung über Drehstromfreileitungen m it Spannun gen von 100 kV aufwärts werden in Abständen von 400 bis 600 km Blindwiderstände parallelgeschaltet. Bei schwacher Last wird der Wellenwiderstand durch Drosselspulen erhöht, bei Überbelastung durcli Kondensatoren erniedrigt. Dieses Verfahren wird als Leitungs kompensation bezeichnet.
9.1 Näherungen Für |x| < 0,1 bzw. |x x| < 0,1 und |x2l < 0,1 bleibt der Fehler unter 1 % 1 1 ±X
1—X
( Al )
1 V i 1 X «3 1 ± ~2 X 1 1 ■ 1 + __ V 2 X X V i 1 1±Xj 1±
RS
1±
X
1 + x2
(A2) (A3)
(A4)
X2
sin
X
SS
X
(A5)
cos
X ss
1
(A6)
tan
X
%
X
(A7)
sinh
X
X
(A8)
cosh
X
SS
1
(A9)
tanh
X
Sä
X
(A10)
e
+ V
as
( Al l )
1 ± X
9.2 Kreisfunktionen s i n( —a) = — sin a
( A l2)
co s(-a ) =
(A l 3)
co sa
a + 1ß- c o s — a —ß c o s a + c o s ßn = -i 2 cos —y
/( A14) a 1 /i \
c o s a = —r= = = = — V 1 + tan2 a
(A l 5) *
sin a =
tan a , .... „ ~ V 1+ tan2 a
(A16)
158
9. Anhang: Wichtige m athematische Beziehungen
9.5 Taylorscher Satz
(A l 7)
sin — = " |/ y (1 - cos a)
9.4 Ellipse in komplexer Form z = a cos t + j b ■ sin t
cos y = " | / i (1 + cos a)
(A l 8)
9.3 Hyperbelfunktionen
159
(A30)
Die Funktion z = / ( t), wobei z = x + j y und t eine reelle Ver änderliche ist, wird durch Punkte z in der komplexen Ebene ( B i l d 52) dargestellt, die bei einer Änderung von t eine Ellipse durchlaufen.
pX-fl-X
sinhx =
cosh x
(A l 9)
2 e x + e _x
(A20)
2
e x —e ~ x (A21)
ex + e~~x c o th x
1 tanh x
cosh x sinh x
(A22)
Bild 52: Ellipse in der komplexen Ebene
sinh j x = j sin x sin j x = j sinh x
(A23)
9.5 Taylorscher Satz
cosh j x = cos x cos j x = cosh x
(A24)
Ist w = f ( x , y , z), so erhält man für die Änderungen dw , dz, dy, dx der Variablen bei Beschränkung auf die Glieder erster Ordnung
tanh j x = j tan x tan j x = j tanh x
(A25)
sinh (a + j b ) =
sinh a cos b + j cosh a sin b
(A26)
cosh (a + j b ) =
cosh a cos b + j sinh a sin b
(A27)
. , , , .,s t a n h ( f l + 1 &) =
tanh a + i tan b 1 + j tanh a tan b
d x + - |^ - d y + ^ r ~ dz öy dz
. , 2 M cos p tanh 2 a = -------------------------------------------- 1 +M2
(A 29)
(A31) v ’
In die partiellen Differentialquotienten sind die „Ausgangswerte“ der Variablen x, y, z einzusetzen.
sinh 2 a+ i sin 2 b -----------------------:----------j ---------- r = ----- r —-i------(A28) cosh 2 a+ cos 2 b
tanh (a + j b) = M e
„ , 2 M sin p tan 2 b = -----------— 1-M 2
dw = | £ ox
10. Literaturverzeichnis
10. Literaturverzeichnis [1] Artus, W.: Einführung in die elektrische Nachrichtentechnik, Elementare Übertragungssysteme. München: Oldenbourg Verlag 1957. [2] Bidlingmaier, M., Haag A ., und Kühnemann, K.; Einheiten Grundbegriffe, Meßverfahren der Nachrichten-Übertragungs technik. Berlin-München: Siemens Aktiengesellschaft No vember 1969. [3] Breisig,F.: Theoretische Telegraphie. Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn 1910. [4] Buchholz, H.: Elektrische und magnetische Potentialfelder. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer-Verlag 1957. [5] DIN 47 250: Hochfrequenz (HF)-Kabel und Leitungen. Be griffe, Meß- und Prüfverfahren. Berlin und Köln: Beuth-Vertrieb 1964. [6] DIN 47 301: Hochfrequenz-Leitungstechnik. Blatt 1: Wel lenleiter, Hohlleiter; Blatt 2: Leitungsanpassung. Berlin und Köln: Beuth-Vertrieb 1957. [7] Fetzer V.: Integraltransformationen. UTB-Taschenbücher. Heidelberg: Dr. Hüthig Verlag, 1974. [8] Fetzer, V.: Ortskurven und Kreisdiagramme. UTB-Taschenbücher. Heidelberg: Dr. Hüthig Verlag, 1974. [9] Fraenckel, A .: Theorie der Wechselströme. 2. Auflage. Berlin: Julius Springer 1921. [10] Heinhold L.: Kabel und Leitungen für Starkstrom. Berlin und München: Siemens Aktiengesellschaft 1969. [11] Hölzler, E. und Thierbach, D.: Nachrichtenübertragung. Grundlagen und Technik. Berlin/Heidelberg/New York: Springer-Verlag 1966. [12] Kaden, H.: Die Dämpfung und Laufzeit von Breitbandka beln. Archiv für Elektrotechnik 30 (1936). 11. Heft. [13] Kaden, H.: Wirbelströme und Schirmung in der Nachrichten technik. Technische Physik in Einzeldarstellungen, herausge geben von W. Meissner 10. 2. Auflage. Berlin/Göttingen/Hei delberg: Springer-Verlag 1959.
161
[14] Küpfmüller, K.: Einführung in die Theoretische Elektrotech nik. 7. Auflage. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer-Ver lag 1962. [15] Lau, H. und Hardt, W.: Energieverteilung. Hochschul-Lehr buch. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn 1968. [16] Megede zur, W.: Fortleitung elektrischer Energie längs Lei tungen in Starkstrom- und Fernmeldetechnik. Berlin/Göt tingen/Heidelberg: Springer-Verlag 1950. [ 17] Meinke, H. und Gundlach, F. W.: Taschenbuch der Hochfre quenztechnik. 2. Auflage. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer-Verlag 1962. [18] Meinke, H. H.: Einführung i. d. Elektrotechnik höherer Fre quenzen. Erster Band: Bauelemente und Stromkreise. 2. Auf lage. Berlin/Heidelberg/New York: Springer-Verlag 1965. [19] Ramo, S . und Whinnery, J. R .: Felder und Wellen in der modernen Funktechnik. Berlin: VEB Technik 1960. [20] S ch elku n o ff S. A.: Electromagnetic Waves. Princeton/ Toronto/New York/London: D. van Nostrand 1964. [21] Schröder, H.: Grundlagen der drahtgebundenen Übertra gungstechnik. Berlin: VEB Technik 1962. [22] Schröder, H.: Elektrische Nachrichtentechnik. I. Band: Grundlagen, Theorie und Berechnung passiver Übertragungs netzwerke. Berlin-Borsigwalde: Verlag für R adio-Foto-K ino technik GmbH 1959. [23] Schubert, W.: Nachrichtenkabel und Übertragungssysteme. Berlin und München: Siemens Aktiengesellschaft 1971. [24] Schunk.H .: Stromverdrängung. UTB-Taschenbücher. Heidelberg: Dr. Hüthig Verlag, 1974. [25] Siemens: Form el-und Tabellenbuch für Starkstromingeni eure. 2. Auflage. Erlangen: Siemens-Schuckertwerke Aktien gesellschaft 1960. [26] Sim onyi, K.: Theoretische Elektrotechnik. Hochschulbücher für Physik. Herausgegeben v. R. Rompe u. E. Schmutzer, Band 20, 2. Auflage. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wis senschaften 1966.
162
10. Literaturverzeichnis
[27] Unger, H.-G.: Theorie der Leitungen. Hochschul-Lehrbuch. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn 1967. [28] Vielhauer, P.: Theorie der Übertragung auf elektrischen Lei tungen. Berlin: VEB Technik 1970. [29] Wallot, J.: Einführung in die Theorie der Schwachstrom technik. 5. Auflage. Berlin/Göttingen/Heidelberg: SpringerVerlag 1948. [30] Weissvon, A .: Übersicht über die Theoretische Elektrotech nik. Erster Teil: Die physikalisch-mathematischen Grundla gen. 3. Auflage. Prien: C. F. Winter’sche Verlagshandlung 1965. [31] Weiss von, A. und H. Kleinwächter: Übersicht über die Theoretische Elektrotechnik. Zweiter Teil: Ausgewählte Kapitel und Aufgaben. Leipzig: Akademische Verlagsgesell schaft Geest & Portig KG 1956. [32] Wolf, H.: Gekoppelte Hochfrequenzleitungen als Richtkopp ler. Forschungsberichte des Landes Nordrhein-Westfalen. Heft 440. Köln und Opladen: Westdeutscher Verlag 1958. [33] Zinke, O. und H. Brunswig: Lehrbuch der Hochfrequenz technik. Berlin/Göttingen/Heidelberg/New York: SpringerVerlag 1965.
11. Sachwörterverzeichnis abgeschirmte Doppelleitung 13 Ableitungsbelag 20 Ableitungsdämpfung 119 Adern, verdrallte 116 äquivalente Leitschichtdicke 18 äußere Induktivität 21 Amplitudenfaktor 155 Anpassung 34 Anpassungsfaktor 77 Argumente 18 Bel 38 Bewehrung . 14 Blindleistung 65 Blindleitungen 82 Briggscher Logarithmus 38 Bündel 14 Bündelleiter 67 Buschbeck-Diagramm 85
Ellipse in komplexer Form Ersatzschwingkreise 107
159
Feld wellen widerstand 24, 118 Femsprechweitverbindung 42 Ferranti-Effekt 73 Fortpflanzungskonstante 24 Freileitung 66, 115 Gasinnendruckkabel 15 Geflechtsaußenleiter 110 gekoppelte Leitungen 149 Gesamtdämpfung 37 geschirmte Leitungen 123 Gleichstromschleifenwiderstand Gruppengeschwindigkeit 42 Gürtelkabel 1 5 ,1 2 7
Dreimantelkabel 15, 127 Durchmesserverhältnis 133
h-Kabel 127 Heaviside, Oliver 27 Hf-Formeln 45 Hinleiter 13 Hochfrequenzleitung, verlustbe haftete 109 Hochfrequenzleitung, verlustlose homogene 75 Hochfrequenzmeßleitung 93 Hochspannungsadern 23 Höchstädterkabel 15 Höchstfrequenzbereich 109 Hülleneffekt 2 0 ,9 7 Hülleneinfluß 123 Hülleninduktivität 22 Hyperbelfunktionen 158
Eingangswiderstand, komplexer 5 5 ,8 0 Eingangswirkleistung 64 eingespeiste Blindleistung 65 eingespeiste Wirkleistung 65 elektromagnetischer Schirm 14
Induktivitätsbelag 21, 114 inhomogene Isolierungen 110 Inhomogenitäten 146 innere Induktivität 22 Isolationsverluste 20 Isolierstoffe 21
charakteristischer Widerstand 24 Dämpfungskonstante 24 Dämpfungsmaß 37 Dezibel 38 dielektrische Verluste 20 Doppelleitung 13, 115 Doppelleitung, ungeschirmte 13 Drehstromleitung, ungeschirmte 128 Drehstromfreileitung, symmetrische
121
11. Sachwörterverzeichnis
164
165
II- Sachwörterveneichnis
Kabel 13 Kabelisolierungen 21 Kabelmantel 14 Kabelseele 14 Kapazitätsbelag 20, 114 Kettenschaltung 140 Koaxialleitung 13 komplexe Amplitude 33 kom plexe Scheinleistung 64 Koppeldämpfung 153 Kopplungswiderstand 134 Koronaverluste 20 Krarup-Verfahren 139 Kreisfunktionen 157 Kreisgüte 108 kurze verlustarme Leitungen 99 kurzgeschlossene Leitungen 99 Kurzschlußwiderstände 62 Leerlaufstrom 73 Leerlaufwiderstände 62 Leistungsübertragung bei Fehlan passung 67 Leiterabstände 13 Leitungen 13 Leitungen, ungeschirmte 115 Leitungsbauformen, einfache 14 Leitungsbeläge 1 7 ,2 6 ,5 3 Leitungsdämpfung 37, 156 Leitungsdiagramme 85 Leitungsdurchmesser 114 Leitungsgeometrie 22 Leitungsgleichungen 13 Leitungskompensation 156 Leitungsresonatoren 104, 108 Leitungstheorie, gewöhnliche 13 Leitungswelle (L-Welle) 13 Leitungswellenwiderstand 24 Litzeninnenleiter 110 m-Kreis 85 magnetischer Durchgriff 136 Maxwellsche Feldgleichungen 13
Mehrfachleitung 13 metallischer Schirm 13 Metallverlustfrequenz 47 minimale Dämpfung 114 Nachrichtenfreileitungen 14 Nachrichtenleitungen 1 5 ,1 5 4 Näherungen 157 Näherungen für hohe Frequenzen 45 Nähe Wirkungseffekt 20, 97 natürliche Leistung 66 Neper 37 Nf-Formeln 45 nichtferromagnetische Werkstoffe 114 offene Leitungen 99 Ortskurvendarstellung 79 Paar 14 Parallelresonanzkreis 105 Phantomkreis 14 Phasengeschwindigkeit 3 1 ,4 0 ,4 2 , 4 9 ,6 1 , 76 Phasenkonstanten 49 Phasenlaufzeit 3 1 ,4 9 Phasenverschiebung 30 Ü-Schaltung 140 primäre Leitungskonstanten 17 Proximityeffekt 20 Pupin-Spulen 139 Pupin-Verfahren 139 Radialfeldkabel 15 Reaktanzleitungen 82 reflektierte Welle 30 Reflexionsfaktor, komplexer 54, 82 Resonanzfrequenz 61 Restdämpfung 40 Richtkoppler 152
Skineffekt 1 8 ,1 1 5 Smith-Diagramm 88 Spulenabstand 139 Spulenfeld 139 Spuleninduktivität 139 Starkstromleitungen 71, 156 Sternvierer 14 Strahlungsdämpfung 119 Stromverdrängung 61 Stromverteilung auf der Leitung 29 Taylorscher Satz 159 Telegrafengleichungen 27 Übertragungsfaktor 154 Übertragungskonstante 24 Übertragungsleistung 64 Übertragungswinkel 155 Verbraucherblindleistung 65 Verbraucherwiderstand 29, 76
Verbraucherwirkleistung 65 Verseilgruppen 14 Vierpoldämpfung 141 Vierpolkennkreis 109, 111 Vierpolphasenmaß 141
Wellendämpfung 37 Wellengleichung 26 Wellengleichung bei sinusförmiger Erregung 27 Wellenparameter 23, 53, 62, 96 Wellenwiderstand 23, 43 Welligkeitsfaktor 77 Widerstandsbelag 17 Widerstandsdämpfung 120 Widerstandsdämpfung ohne Nähe wirkung 120 Winkelkonstante 24 Wirkleistung 64 Wirkungsgrad der Übertragung 64
B ild
2 6 :
V o lls t ä n d ig e s
S m ith -
D ia g r a m m
(M it fr e u n d lic h e r G e n e h m ig u n g d e r F ir m a W a n d e l & G o lt e r m a n n )
*L
Zl
Bild 21: Vollständiges Buschbeck-Diagramm (Mit freundlicher Genehmigung der Firma Wandel & Goltermann)
Z\_
