Teoria de Conjuntos, Curso Intermedio

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Teor´ıa de Conjuntos Curso Intermedio

Jos´e Alfredo Amor Monta˜ no Gabriela Campero Arena Favio Ezequiel Miranda Perea

Invierno del 2010

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A Joaqu´ın y a Leonardo, porque hasta ellos le ganaron en existencia a este libro. A Ofelia, quien me ense˜ no ´ a jugar con los n´ umeros naturales, a Pascual, quien me encant´ o con los diagramas de Venn y a Martha Elena, quien por m´ as que me resisto me recuerda diariamente que las matem´ aticas deben tener alguna utilidad terrenal.

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´Indice general

Introducci´ on

VII

1. Tipos de orden 1.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Construcci´ on y caracterizaci´on de las estructuras num´ericas 1.2.1. Caracterizaci´on de xN, Py . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Construcci´ on y caracterizaci´on de xZ,  Z y . . . . . . 1.2.3. Construcci´ on y caracterizaci´on de xQ,  Q y . . . . . . 1.2.4. Construcci´ on y caracterizaci´on de xR,  R y . . . . . . 1.3. Aritm´etica de tipos de orden . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. N´ umeros ordinales 2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. La inducci´on transfinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. El teorema de enumeraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. El primer ordinal no numerable ω1 . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. La recursi´on transfinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Aplicaciones de la recursi´on transfinita . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Los ordinales iniciales ωα . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2. Aritm´etica ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3. La jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados 2.7.4. Algunas pruebas interesantes . . . . . . . . . . . . . .

1 2 6 7 10 17 27 45 53 53 56 64 67 73 75 80 81 82 84 93

3. N´ umeros cardinales 103 3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.2. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.3. La jerarqu´ıa de los alefs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 v

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´Indice general

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3.4. El cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Aritm´etica cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Idempotencia del producto cardinal . . . . . . 3.5.2. Sumas con un n´ umero infinito de cardinales . . 3.5.3. Productos con un n´ umero infinito de cardinales 3.5.4. El teorema de K¨onig . . . . . . . . . . . . . . . 4. Cofinalidad 4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . 4.2. Definiciones y propiedades . . . 4.3. Ordinales regulares y singulares 4.3.1. El cardinal del continuo 4.4. Exponenciaci´on cardinal . . . . 4.4.1. Resultados dependientes

. . . . . . . . . . . . . . . de la

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HGC

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116 120 120 124 128 134

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139 . 139 . 140 . 148 . 154 . 154 . 162

A. El lenguaje de la teor´ıa de los conjuntos 167 A.1. Definici´on del lenguaje TC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A.2. Manejo de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 B. Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con elecci´ on B.1. Axioma del conjunto vac´ıo . . . . . . . . . . . . . . B.2. Axioma de extensionalidad . . . . . . . . . . . . . B.3. Axioma del par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4. Axioma de uni´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5. Axioma del conjunto potencia . . . . . . . . . . . . B.6. Esquema de comprensi´on o separaci´on . . . . . . . B.7. Axioma de infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.8. Esquema de reemplazo o sustituci´on . . . . . . . . B.9. Axioma de regularidad o buena fundaci´on . . . . . B.10.Axioma de elecci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.11.Comentario hist´orico . . . . . . . . . . . . . . . . . B.12.Comentario sobre la independencia de los axiomas

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171 171 172 172 173 174 174 175 176 177 178 179 180

Bibliograf´ıa

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´Indice de s´ımbolos

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´Indice

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Introducci´on La importancia de la Teor´ıa de Conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir casi toda la matem´atica cl´asica. Por ejemplo, se pueden definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades como teoremas de la Teor´ıa de Conjuntos: par ordenado, relaci´on, funci´on, partici´on, orden, buen orden, los n´ umeros naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, todas las estructuras algebraicas como grupos, anillos, campos, y otro tipo de estructuras como los espacios vectoriales, los espacios topol´ ogicos, los espacios m´etricos, etc. La importancia pr´actica de esta teor´ıa radica en que los m´etodos e ideas te´orico-conjuntistas son sumamente u ´tiles en casi todas las dem´as teor´ıas matem´aticas. La Teor´ıa de Conjuntos generalmente se estudia a partir de la axiomatizaci´on de Zermelo-Fraenkel junto con el axioma de elecci´on, denotada de ahora en adelante ZFE. Estos axiomas son considerados tradicionalmente como el fundamento de la matem´atica cl´asica, pues pr´acticamente todos sus enunciados, con excepci´ on de algunos de la teor´ıa de las categor´ıas, pueden ser expresados en el lenguaje de ZFE y muchos de ellos pueden demostrarse dentro de la teor´ıa que se desprende de estos axiomas. Otro argumento que refuerza esta identificaci´on de los axiomas de ZFE con el fundamento de la matem´atica cl´ asica es la fuerte convicci´on que tenemos en ellos. Creemos en ellos porque reflejan muy bien nuestros procedimientos de demostraci´on cotidianos y en este sentido creemos que no nos llevar´an a ninguna contradicci´on. Este libro est´a pensado como un libro de texto que cubra los temas que generalmente se imparten en la materia de Teor´ıa de Conjuntos II en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Hemos asumido que los lectores de este libro est´an familiarizados con los temas de un primer curso de Teor´ıa de Conjuntos: el concepto intuitivo de lo que constituye un conjunto, lo que significa la relaci´on de pertenencia, las ideas b´asicas de lo que es un lenguaje vii

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´n Introduccio

formal de primer orden y el manejo del lenguaje de la Teor´ıa de Conjuntos (aunque una breve descripci´on de estos conceptos se da en el ap´endice A); los conceptos conjuntistas formales de par ordenado, relaci´on y funci´on; la construcci´on de los n´ umeros naturales como conjuntos, el manejo de sus propiedades y la demostraci´on y manejo del teorema de recursi´on para naturales, incluyendo sus aplicaciones para la aritm´etica de dichos n´ umeros; las relaciones de equipotencia y dominancia entre conjuntos, los conceptos intuitivos de cardinalidad de un conjunto y de suma, multiplicaci´on y exponenciaci´on cardinal, as´ı como los resultados de la aritm´etica cardinal que pueden ser demostrados con estos conceptos intuitivos. Tambi´en presuponemos que el lector tiene una idea de la axiomatizaci´on de Zermelo-Fraenkel y que conoce los axiomas b´asicos de extensionalidad, vac´ıo, par, uni´on, separaci´on, potencia e infinito, aunque los enunciados de ´estos y una descripci´on de ellos se encuentran en el ap´endice B. Adem´as, damos por sentado que el lector ha tenido un primer acercamiento con el axioma de elecci´on, el lema de Zorn y el teorema del buen orden. Todos estos temas est´an cubiertos de manera extensa en el libro “Teor´ıa de Conjuntos para estudiantes de ciencias” [Am05], publicado por la Facultad de Ciencias de la UNAM y del cual este libro es la continuaci´on. El objetivo general de este libro es presentar un panorama amplio de las aritm´eticas ordinal y cardinal partiendo de los ´ordenes totales, as´ı como dar los elementos necesarios de la teor´ıa de cofinalidad para poder desarrollar, con todo rigor, los resultados m´as importantes de la aritm´etica cardinal transfinita y todas las restricciones posibles para el cardinal del continuo desde la teor´ıa de ZFE. El libro consta de cuatro cap´ıtulos y dos ap´endices. El objetivo del primer cap´ıtulo es presentar las definiciones y propiedades de los tipos de orden de ´ordenes totales, la construcci´on formal de las estructuras num´ericas cl´asicas de los n´ umeros enteros, racionales y reales a partir de los n´ umeros naturales, as´ı como su caracterizaci´on como tipos de orden particulares. Se termina este cap´ıtulo con conceptos de aritm´etica general de tipos de orden, completando con varios ejercicios. El segundo cap´ıtulo contiene la presentaci´on de los ordinales y el m´etodo de inducci´on transfinita. En ´el se demuestra el teorema de enumeraci´on que caracteriza a los ordinales como tipos de orden de los buenos ´ ordenes, vinculando este cap´ıtulo con el anterior. Adem´as, se prueban varias versiones del teorema de recursi´on transfinita y se dan varias

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´n Introduccio

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aplicaciones del mismo, entre las que est´an la definici´on de las operaciones de la aritm´etica ordinal y la jerarqu´ıa de los conjuntos bien fundados. El tercer cap´ıtulo est´a dedicado a los n´ umeros cardinales, definidos como ordinales iniciales. Se da la definici´on formal de cardinal de un conjunto, revisando que esta definici´on cumple con las propiedades elementales de la equipotencia y la dominancia entre conjuntos. Adem´as, se presentan las jerarqu´ıas de los alefs y de los beths, as´ı como resultados de la aritm´etica cardinal, incluyendo las f´ormulas de sumas y productos infinitos de cardinales infinitos, las leyes de los exponentes generalizadas y el poderoso teorema de K¨onig y sus aplicaciones. El u ´ltimo cap´ıtulo contiene una presentaci´on cuidadosa del concepto de cofinalidad, la clasificaci´on de los cardinales en regulares y singulares, adem´as de que se discute ampliamente la hip´otesis del continuo. Se presentan los resultados generales de la exponenciaci´on cardinal y las simplificaciones de ´estos al suponer la hip´otesis generalizada del continuo. Finalmente, quedan establecidas todas las restricciones posibles desde ZFE para el cardinal del continuo mostrando cu´ales son los cardinales que no pueden ser el cardinal del conjunto de n´ umeros reales. El ap´endice A contiene una breve discusi´on del concepto de conjunto y de c´omo manejar a las colecciones que no estamos seguros si son conjuntos, las llamadas clases, adem´as de presentar el lenguaje formal de la Teor´ıa de Conjuntos. El ap´endice B contiene una presentaci´on tanto intuitiva como formal sobre cada uno de los axiomas de ZFE, as´ı como la justificaci´on de su verdad respecto al concepto iterativo de conjunto, es decir, respecto al modelo de la jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados cuya construcci´on se da en el tercer cap´ıtulo como una de las aplicaciones del teorema de recursi´on transfinita.

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Agradecimientos A nuestros estudiantes y ayudantes de la materia de Teor´ıa de los Conjuntos II, cuyas observaciones mejoraron varias demostraciones, en especial a Alfonso Gonz´alez. A Rafael Reyes por el apoyo en dejar a este libro agradable a la vista. A los ´ arbitros, por sus cr´ıticas y sus sugerencias que ayudaron a mejorar nuestro texto.

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1 Tipos de orden Hay varias estructuras num´ericas muy conocidas en matem´aticas, como umeros son el conjunto de los n´ umeros naturales N, el conjunto de los n´ enteros Z y el conjunto de los n´ umeros racionales Q. Se puede demostrar que los conjuntos Z y Q (que definiremos formalmente como conjuntos en este cap´ıtulo) son numerables, es decir, tienen el mismo n´ umero de elementos que los que hay en el conjunto N. Esto quiere decir que, desde el punto de vista de la cantidad de elementos que tienen, no se puede distinguir entre los conjuntos de n´ umeros N, Z y Q. Sin embargo, es bastante claro que estos tres conjuntos tienen un aspecto distinto. Este aspecto est´a caracterizado por c´ omo se acomodan sus elementos, es decir, hay que analizar c´omo est´an ordenados sus elementos para ver que realmente son muy distintos. Por ejemplo, en N hay un primer elemento y en Z no existe, y entre cualesquiera dos elementos de Q hay otro elemento de Q, lo cual no pasa ni en N ni en Z. Como ya mencionamos, en este cap´ıtulo definiremos formalmente a los conjuntos Z y Q con su estructura de orden; antes definiremos lo que es un tipo de orden, que es justamente lo que N, Z y Q no comparten. La definici´on de N, en la que est´an basadas las construcciones de Z y Q, se puede consultar en [Am05], pues es importante visualizar a N con base en esa definici´on netamente conjuntista. Tambi´en definiremos al conjunto 1

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1. Tipos de orden

R, cuya cardinalidad (cu´antos

elementos tiene) no es numerable, pero que adem´as tiene una caracterizaci´on interesante basada en su tipo de orden.

1.1.

Definiciones y ejemplos

Recordamos la definici´on dada en el libro [Am05] de un conjunto totalmente ordenado para despu´es definir qu´e significa que dos conjuntos totalmente ordenados tengan el mismo tipo de orden. Dada una relaci´on binaria r, usamos indistintamente las notaciones xx, y y P r ´o x r y para expresar que x est´a r-relacionado con y. Adem´as, denotamos con domprq al dominio tx : Dy xx, yy P ru de r, con imprq a la imagen ty : Dx xx, yy P ru de r, y con camprq al campo domprq Y imprq de r. Definici´ on 1.1 Decimos que xA, ry es un conjunto parcialmente ordenado si y s´ olo si A es un conjunto y r es una relaci´ on binaria sobre A tales que (i) Para todo a P A, xa, ay R r; es decir, r es antirreflexiva en A, y

(ii) Para cualesquiera a, b, c P A, xa, by P r y xb, cy P r implican xa, cy P r; es decir, r es transitiva en A.

Decimos que xA, ry es un conjunto totalmente ordenado o linealmente oras, denado si y s´ olo si xA, ry es un conjunto parcialmente ordenado y, adem´

(iii) para cualesquiera a, b P A, se cumple una y s´ olo una de las siguientes condiciones: a  b o xa, by P r o xb, ay P r; es decir, r es tricot´omica en A.

Para abreviar el hecho de que xA, ry sea un “conjunto parcialmente ordenado” diremos que xA, ry es un orden parcial. De manera similar, diremos que xA, ry es un orden total cuando sea un “conjunto totalmente ordenado”.

Definici´ on 1.2 Sean xA, ry y xB, sy dos o ´rdenes totales. Decimos que xA, ry y xB, sy tienen el mismo tipo de orden si y s´ olo si hay un isomorfismo entre ellos; es decir, si existe una funci´ on biyectiva f : A Ñ B tal que

x, y P Apx r y Ø f pxq s f pyqq. Esto lo denotamos como xA, ry  xB, sy o, si queremos exhibir en la notaci´ on que f es el isomorfismo, como xA, ry f xB, sy. Adem´ as, en este caso decimos que xA, ry y xB, sy son isomorfos.

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1.1. Definiciones y ejemplos

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Obs´ervese que no se ha definido el tipo de orden de un conjunto totalmente ordenado, sino u ´nicamente lo que significa que dos de estos conjuntos tengan el mismo tipo de orden. Como la colecci´on de todos los ´ordenes totales es una clase propia, es decir, no es un conjunto1 , la definici´on de tipo de orden no es tan sencilla. Uno de los ejercicios de esta secci´on pide probar que la relaci´on “tener el mismo tipo de orden” es de equivalencia sobre la clase (propia) de los ´ ordenes totales, por lo que esta relaci´on induce una partici´on en clases de equivalencia (las cuales no son conjuntos). Es posible entonces definir el tipo de orden de un orden total como un elemento particular (un representante) de la clase de equivalencia correspondiente, esto se puede hacer formalmente usando el axioma de buena fundaci´on2 y el llamado “truco de Scott” (v´ease, por ejemplo, [En77]). Sin embargo, en la secci´on 2.4, podremos definir el tipo de orden de todos los ´ordenes totales de cierto tipo: los buenos o´rdenes. Usaremos τ , µ, ν para denotar tipos de orden. No definiremos la noci´on de tipo de orden sino que daremos una definici´on de la relaci´ on “tener el mismo tipo de orden”, as´ı como de las relaciones de orden y orden estricto entre tipos de orden. Definici´ on 1.3 Si llamamos τ al tipo de orden de un orden total xA, ry y µ al tipo de orden de un orden total xB, sy, entonces

 µ si y s´olo si xA, ry  xB, sy; decimos que τ ¤ µ si y s´ olo si existe una funci´ on inyectiva g : A Ñ B tal que x, y P Apx r y Ø gpxq s gpy qq y esto lo denotamos como xA, ry Æ xB, sy, o como xA, ry Æ g xB, sy; olo si τ ¤ µ y τ  µ. decimos que τ   µ si y s´

(i) decimos que τ (ii)

(iii)

Es un ejercicio de esta secci´on demostrar que la definici´on de igualdad y la de orden entre tipos de orden no depende de los ´ordenes totales escogidos 1

V´ease la introducci´ on en el libro [Am05] para una discusi´ on de lo que esto significa en la Teor´ıa de Conjuntos. 2 En el ap´endice B se da la lista de los axiomas de Zermelo-Fraenkel con elecci´ on, junto con una explicaci´ on de cada uno de ellos.

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1. Tipos de orden

como representantes de cada tipo de orden. En otras palabras, se puede probar que la igualdad y el orden entre tipos de orden est´an bien definidos. Los siguientes son ejemplos de tipos de orden: 1. Se puede demostrar que cualesquiera dos ´ordenes totales finitos con la misma cardinalidad son isomorfos. A la luz de este hecho y dado que los n´ umeros naturales (ordenados con la pertenencia) son precisamente ordenes totales finitos, elegimos el tipo de orden de cualquier orden ´ total finito xA, ry como el n´ umero natural n tal que |A|  n. Esta elecci´ on tiene sentido dado que si |A|  n P N, entonces se cumple que xA, ry  xn, Py. Adem´as es la elecci´on m´as natural, pues se tiene una definici´on precisa de los n´ umeros naturales. (V´ease [Am05]).

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Figura 1.1: Tipo de orden 3

2. Siguiendo la tradici´on, denotamos con ω el tipo de orden de xN, Py. En la secci´on 1.2.1 se dar´a una caracterizaci´on de este tipo de orden. Una caracterizaci´on de un tipo de orden τ es un teorema que afirma que cualquier orden total que cumpla ciertas propiedades es isomorfo a τ . Lo interesante es encontar las propiedades que debe cumplir el orden total para ser isomorfo a τ .

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Figura 1.2: Tipo de orden ω

3. Denotamos con ω  el tipo de orden de m P n.

xN, Qy, donde n Q m si y s´olo si

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1.1. Definiciones y ejemplos

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Figura 1.3: Tipo de orden ω 

Ejercicios 1.1.1.- Demuestre que en la parte (iii) de la definici´on 1.1 sobra la afirmaci´ on “y s´olo una”. 1.1.2.- Considere la siguiente definici´on: Decimos que xA, ry es un conjunto con orden reflexivo si A es un conjunto y r es una relaci´on binaria sobre A tal que es reflexiva (para todo a P A, xa, ay P r), transitiva (para cualesquiera a, b, c P A, si xa, by P r y xb, cy P r, entonces xa, cy P r), y antisim´etrica (para cualesquiera a, b P A, si xa, by P r y xb, ay P r, entonces a  b). Sea A un conjunto, demuestre lo siguiente: (i) Si xA, ry es un conjunto con orden reflexivo, entonces el orden xA, r1y, con r1  rztxa, ay : a P Au, es un orden parcial; (ii) Si xA, ry es un orden parcial, entonces el orden xA, r1 y, con r1  r Y txa, ay : a P Au, es un orden reflexivo.

1.1.3.- Considere la siguiente definici´on: Decimos que xA, ry es un conjunto con orden total reflexivo si xA, ry es un conjunto con orden reflexivo y para cualesquiera a, b P A, xa, by P r ´o xb, ay P r. Enuncie afirmaciones similares a las del ejercicio anterior ahora con las nociones de orden total y conjunto con orden total reflexivo y demu´estrelas. 1.1.4.- Demuestre que la relaci´on “tener el mismo tipo de orden” es de equivalencia sobre la clase (propia) de los ´ordenes totales. 1.1.5.-

(i) Demuestre que si xA, ry es un orden total y existe n P N tal que |A|  n, entonces xA, ry  xn, Py, es decir, xA, ry y xn, Py tienen el mismo tipo de orden. (ii) Demuestre que si xA, ry y xB, sy son ´ordenes totales tales que son finitos y tienen la misma cardinalidad, entonces tienen el mismo tipo de orden.

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1. Tipos de orden

1.1.6.- Demuestre que n, m P Npn P m entre tipos de orden.

ùñ n   mq, donde   es el orden

1.1.7.- Demuestre que n P N pxn, Py Æ xN, Pyq, es decir que n P N pn ¤ ω q (donde ¤ es la relaci´on de orden entre tipos de orden).

1.2.

Construcci´ on y caracterizaci´ on de las estructuras num´ ericas

Para dar una caracterizaci´on de xN, Py y, despu´es de haberlos construido de manera conjuntista, de xZ,  Z y, xQ,  Q y y xR,  R y en t´erminos de c´omo est´an ordenados sus elementos, necesitamos primero dar algunas definiciones. Definici´ on 1.4 Sea xA, ry un orden parcial. Decimos que xA, ry es un conjunto bien ordenado o un buen orden si y s´ olo si para todo X „ A con X  H, existe y P X tal que para todo z P X, xy, z y P r o y  z.

Definici´ on 1.5 Sea xA, ry un orden total. Decimos que xA, ry es sin extremo derecho (izquierdo) si y s´ olo si para todo a P A existe b P A tal que xa, by P r (xb, ay P r). Decimos que xA, ry es un orden total sin extremos si y s´ olo si es sin extremo derecho y sin extremo izquierdo. Definici´ on 1.6 Sea xA, ry un orden total. Decimos que un subconjunto X de A es acotado superiormente (inferiormente) si y s´ olo si existe a P A tal que para todo x P X, xx, ay P r o x  a (xa, xy P r o a  x). En este caso decimos que a es una cota superior (inferior) de X. Decimos que un subconjunto X de A es acotado si y s´ olo si es acotado superiormente y acotado inferiormente. Definici´ on 1.7 Sean xA, ry un orden total y X „ A. Decimos que X tiene r-m´ınimo (r-m´aximo) si y s´ olo si existe y P X tal que para todo x P X xy, xy P r o y  x (xx, yy P r o x  y). En este caso decimos que y es el r-m´ınimo (r-m´aximo) de X. Definici´ on 1.8 Sea xA, ry un orden total y X un subconjunto de A. Deolo si w es una cota cimos que w P A es el supremo (´ınfimo) de X si y s´ superior (inferior) de X y es el r-m´ınimo (r-m´ aximo) del conjunto de las cotas superiores (inferiores).

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´ n y caracterizacio ´ n de las estructuras 1.2. Construccio num´ ericas

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Definici´ on 1.9 Sea xA, ry un orden total. Decimos que xA, ry es denso si y s´ olo si para cualesquiera a, b P A con xa, by P r, existe x P A tal que xa, xy P r y xx, by P r.

Definici´ on 1.10 Si A es un conjunto, r „ A2 y B „ A, entonces la restricci´on de r a B, denotada como r æB , se define como r æB  txb1 , b2 y : b1 , b2

P B y xb1, b2 y P ru. Algunas veces simplemente escribimos xB, ry, en vez de xB, r æB y.

1.2.1.

Caracterizaci´ on de xN, Py

Como ya mencionamos al principio de este cap´ıtulo la construcci´on del conjunto N se puede ver con detalle en varios libros, como son [Am05], [HrJe84], [En77]. Damos aqu´ı un resumen con las definiciones y teoremas m´as importantes. Definici´ on 1.11 Un conjunto n es un n´ umero natural si y s´ olo si cumple lo siguiente: (i) n es transitivo (i.e. si x P n y y

(ii) xn, Py es un buen orden;

P x, entonces y P n);

(iii) todo subconjunto no vac´ıo de n tiene un P-m´ aximo. Esta definici´on est´a basada en una idea dada por John von Neumann de que cada n´ umero natural sea el conjunto de los naturales anteriores, de tal un n´ umero natural suerte que el 0 es el conjunto H vac´ıo (pues no hay ning´ anterior a ´el), el 1 es el unitario del vac´ıo tHu, el 2 es el que tiene al vac´ıo y al unitario del vac´ıo tH, tHuu, ..., el sucesor de n es n Y tnu, etc. Todos estos conjuntos efectivamente cumplen la definici´on formal de ser n´ umero natural. Adem´ as, podemos definir la relaci´on “menor” en los naturales como la pertenencia, pues el comportamiento de la pertencia sobre estos conjuntos coincide con la noci´ on usual del “menor”. Para poder reunir a todos los n´ umeros naturales en un conjunto se ne3 cesita el axioma de infinito que afirma lo siguiente: Existe un conjunto infinito. M´as a´ un, dicho conjunto infinito es un conjunto inductivo en el sentido de la siguiente 3

V´ease el ap´endice B.

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1. Tipos de orden

Definici´ on 1.12 Un conjunto A es inductivo si y s´ olo si que x P A, x Y txu P A.

H P A y siempre

El conjunto x Y txu es llamado el sucesor de x y se denota spxq.

As´ı, el conjunto ω se define como la intersecci´on de todos los conjuntos inductivos y existe por el axioma de infinito. Se puede demostrar entonces que todo n´ umero natural es un elemento de ω y que cualquier elemento de ω es un n´ umero natural; es decir, que ω  N. Tambi´en se puede demostrar que las nociones del 0, el sucesor de un conjunto y de ω cumplen con los famosos axiomas de Peano. Adem´ as, se prueba que xN, Py es un orden total, por lo que es v´alido preguntarse c´ omo es su tipo de orden. El objetivo de esta secci´on es precisamente dar una caracterizaci´on de ω o de xN, Py en t´erminos de su tipo de orden, es decir, de c´ omo est´an ordenados sus elementos. Esta caracterizaci´on utiliza uno de los teoremas m´as importantes que involucra a los naturales, el teorema de recursi´ on para naturales, con el cual se pueden hacer definiciones recursivas. La versi´on principal de este teorema (hay varias versiones) es la siguiente: Teorema 1.1 Sea A un conjunto cualquiera. Sean a P A y f : A Ñ A. Entonces existe una u ´nica funci´ on h : ω Ñ A tal que hp0q  a y hpspnqq  f phpnqq. Demostraci´ on. La demostraci´on de este teorema puede revisarse en [Am05]; alternativamente, en el cap´ıtulo 2 demostramos una generalizaci´on de este teorema (teorema 2.5) % Ahora damos la caracterizaci´on de ω como tipo de orden. Teorema 1.2 Sea xA, ry un buen orden no vac´ıo sin extremo derecho y tal que todo subconjunto no vac´ıo de A acotado superiormente tiene m´ aximo. Entonces xA, ry  xN, Py. Demostraci´ on. Sean A un conjunto y r „ A  A tales que (i) A  H; (ii) xA, ry es un buen orden;

(iii)

x P A Dy P Apx r yq; y

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´ n y caracterizacio ´ n de las estructuras 1.2. Construccio num´ ericas

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(iv) para todo B „ A, si B  H y Dy P A x P B px r y _ x  y q, entonces Dz P B w P B pw r z _ w  zq. Queremos demostrar que xA, ry  xN, Py. Como xA, ry es un buen orden, A „ A y A  H, sea a el r-m´ınimo de A. Definimos f : A Ñ A de tal forma que para cada x P A, f pxq  el r-m´ınimo de ty

P A : x r yu.

Como ty P A : x r y u es un subconjunto de A distinto del vac´ıo pues xA, ry es sin extremo derecho, la funci´on f est´a bien definida. Por el teorema de recursi´on para naturales (teorema 1.1), existe una u ´nica funci´on h : N Ñ A tal que hp0q  a y hpspnqq  f phpnqq. Obs´ervese que por la definici´on de f pxq, x P Apx r f pxqq. Por lo tanto, n P Nphpnq r f phpnqqq y, como hpspnqq  f phpnqq, tenemos que

n P Nphpnq r hpspnqqq.

Veamos que h es un isomorfismo. Primero demostraremos que n P Nm P Npm P n Ñ hpmq r hpnqq. Lo haremos probando que D  tn P N : mpm P n Ñ hpmq r hpnqqu es un conjunto inductivo. Como m P Npm R 0q, 0 P D. Supongamos que n P D y demostremos que spnq P D. Sea m P N tal que m P spnq  n Y tnu. Si m P n, entonces, por hip´otesis de inducci´on, hpmq r hpnq. Por otro lado, sabemos que hpnq r hpspnqq y, como r es transitiva, hpmq r hpspnqq. Si m  n, entonces hpmq  hpnq y, como hpnq r hpspnqq, tenemos que hpmq r hpspnqq. Por lo tanto, spnq P D y D es inductivo. Como h es una funci´ on entre ´ordenes totales y

n P Nm P Npm P n Ñ hpmq r hpnqq,

por el ejercicio 1.2.3, h es inyectiva y, adem´as,

n P Nm P Npm P n Ø hpmq r hpnqq. Falta demostrar que h es sobre, es decir, que imphq  A (la imagen de h es A). Supongamos que Azimphq  H. Como Azimphq „ A y xA, ry es un buen orden, sea p el r-m´ınimo de Azimphq. Entonces B  tq P A : q r pu est´a acotado por p y B „ imphq. Adem´as, B  H, pues si B  H, p ser´ıa el r-m´ınimo de A, es decir, a  p; por lo tanto, p  a  hp0q P imphq,

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1. Tipos de orden

contradiciendo el hecho de que p no est´a en la imagen de h. Por lo tanto, B  H. Tenemos que B „ imphq „ A, que B  H y que B est´a acotado superiormente por p, entonces, por el inciso (iv) de nuestras hip´otesis, existe q0 P B tal que q0 es el r-m´aximo de B. Como q0 P B, q0 r p y q0 P imphq, pues p es el r-m´ınimo de Azimphq. Por lo tanto, q0  hpmq para alg´ un m P N. Obs´ervese que p es el r- m´ınimo del conjunto ty P A : q0 r y u (p es el m´ınimo de los r-mayores que q0 ), pues si hubiera p1 r p tal que p1 fuera r-m´ınimo de ty P A : q0 r yu, entonces q0 r p1 r p y q0 no ser´ıa el r-m´aximo de B. As´ı, p es el r-m´ınimo de ty P A : q0 r y u. Ahora, por la definici´on de f , f pq0 q  p  el r-m´ınimo de ty P A : q0 r y u, entonces f pq0 q  f phpmqq  hpspmqq. Por lo tanto, p  f pq0 q P imphq, contradiciendo que p P Azimphq. % Concluimos que imphq  A y, por lo tanto, xN, Py h xA, ry. Con este teorema hemos dado una caracterizaci´on de xN, Py, pues podemos concluir que xN, Py es el u ´nico (salvo isomorfismo) buen orden no vac´ıo sin extremo derecho y tal que todo subconjunto no vac´ıo de ´el acotado superiormente tiene m´aximo.

1.2.2.

Construcci´ on y caracterizaci´ on de xZ,  Z y

En la secci´on anterior se dieron las ideas principales de la construcci´on de xN, Py y tambi´en una caracterizaci´on de xN, Py como tipo de orden. El siguiente paso es la definici´on conjuntista de los n´ umeros enteros. Antes recordamos las definiciones de suma y multiplicaci´on en N. Definici´ on 1.13 Sea m P N. Definimos la operaci´ on sumar m usando el teorema de recursi´ on para naturales (teorema 1.1) de la siguiente manera. Dados m P N y la funci´ on sucesor s : N Ñ N, por el teorema de recursi´ on para naturales, existe una u ´nica funci´ on m : N Ñ N tal que m p0q  m on suma en N y n P N m pspnqq  spm pnqq. As´ı, definimos la operaci´ como la funci´ on N : N  N Ñ N tal que m, n P N m N n  m pnq. on multiplicar m usando Definici´ on 1.14 Sea m P N. Definimos la operaci´ el teorema de recursi´ on para naturales (teorema 1.1) de la siguiente manera. Dados 0 P N y la funci´ on sumar m, m : N Ñ N, por el teorema de recursi´ on para naturales, existe una u ´nica funci´ on m : N Ñ N tal que m  p0q  0 y

n P N m  pspnqq  m pm  pnqq.

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´ n y caracterizacio ´ n de las estructuras 1.2. Construccio num´ ericas As´ı, definimos la operaci´ on multiplicaci´on en funci´ on

No

producto en

N como

11 la

N : N  N Ñ N tal que m, n P N m N n  m  pnq.

Las notaciones de la suma en los naturales como N y de la multiplicaci´ on como N pueden parecer excesivas. Sin embargo, definiremos la suma y la multiplicaci´on en los enteros con base en las de los naturales por lo que usamos esta notaci´on para evitar confusiones. Se pueden demostrar (en la mayor´ıa de los casos por inducci´on) todas las propiedades conocidas de la suma y multiplicaci´on para naturales, como ser conmutativas y asociativas; que la multiplicaci´on se distribuye sobre la suma; las leyes de cancelaci´on de la suma y de la multiplicaci´on; la existencia de los neutros; la compatibilidad de las operaciones con el orden, etc. Ahora, la idea de la construcci´on de los n´ umeros enteros es hacer de la operaci´on aritm´etica de la sustracci´on, que s´olo est´a definida parcialmente en los n´ umeros naturales, una operaci´on “completa”. Despu´es de definir a los n´ umeros enteros como conjunto, veremos c´omo se extienden las operaciones de suma y multiplicaci´on del conjunto N al conjunto Z. Sin embargo, dejaremos las demostraciones de las propiedades de estas operaciones como ejercicios dado que estos resultados realmente pertenecen al campo del ´algebra. M´as bien nos enfocaremos en caracterizar a xZ,  Z y como tipo de orden. Existe una manera de definir la resta o sustracci´on para algunos pares ordenados de n´ umeros naturales: si pm, nq P N  N es tal que m ¥ n (es decir, ´nico natural n P m o m  n), entonces se puede demostrar que existe un u k tal que m  n k, y definimos a m
n como k. Pero si pm, nq P N  N es un n´ umero natural k tal que m  n k (pues tal que m   n, no existe ning´ se puede demostrar que n, k P Npn ¤ n kq y entonces para cualquier k, m   n ¤ n k), por lo que m
n no est´a definido. Si queremos definir m
n para este u ´ltimo caso, tendr´ıamos que encontrar un “nuevo” individuo que sea soluci´on de la ecuaci´on m  n x. Por ahora, representamos a la resta m
n o a la soluci´on de la ecuaci´on m  n x como el par pm, nq sin dar ninguna restricci´on en cuanto a la relaci´on de orden que exista entre m y n. Es importante notar que siempre que m ¥ n, la soluci´on de la ecuaci´on ´nica, pero existen muchas ecuaciones distintas cuyas solum  n k es u ciones son la misma. Por ejemplo, la soluci´on de la ecuaci´on 3  1 x es la misma que la de 7  5 y (es decir, 3
1  7
5  2). Esto quiere decir que hay pares ordenados de n´ umeros naturales que queremos que representen al

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mismo n´ umero entero, como es el caso de los pares p3, 1q y p7, 5q. En general, queremos que pa, bq y pc, dq representen al mismo entero si la soluci´on de las ecuaciones a  b x y c  d y es la misma. Entonces podemos definir una relaci´on sobre N  N en la que dos pares ordenados est´en relacionados si esto sucede:

pa, bq r pc, dq si y s´olo si existe k P N tal que a  b

Nkyc

d

N k.

Sin embargo, hay pares ordenados de naturales que ser´ıa deseable que estuvieran relacionados y que no est´an r-relacionados. Por ejemplo, p1, 2q y p2, 3q no est´an r-relacionados pues no hay k P N tal que 1  2 N k y 2  3 N k, pero nuestra intuici´on indica que deben representar al mismo (nuevo) individuo. Para solucionar este problema, obs´ervese que si pa, bq r pc, dq, como existe k P N tal que a  b N k y c  d N k, sumando estas dos ecuaciones adecuadamente N

a

a  b Nk d Nk  c N pd N k q  pb N k q

Nc

y utilizando las leyes de asociatividad, conmutatividad y cancelaci´on de la suma en los naturales, podemos definir una nueva relaci´on binaria sobre N  N de la siguiente manera:

pa, bq  pc, dq si y s´olo si a

Nd

b

N c.

Obs´ervese que todos los pares ordenados que est´an r-relacionados tambi´en est´an -relacionados, pero adem´as hay nuevos pares ordenados que un, se puede demoss´ı est´an -relacionados, como son p1, 2q y p2, 3q. M´as a´ trar que la relaci´on  es una relaci´on de equivalencia (ejercicio 1.2.7 de esta secci´on), y gracias a este hecho podemos definir a los enteros como las clases de equivalencia inducidas por . Escribimos pa, bq como la clase de equivalencia del par ordenado pa, bq, es decir, pa, bq  tpm, nq : pa, bq  pm, nqu. Definici´ on 1.15 Sea Z  N  N {   tpa, bq : pa, bq P N  Nu, es decir, sea Z el conjunto cociente de N  N m´odulo . Z es el conjunto de los n´umeros enteros y a sus elementos los llamamos enteros.

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Los enteros negativos se definen como aquellos pa, bq tales que a P b. Los enteros positivos son aquellos pa, bq tales que b P a. Ahora definimos el orden com´ un en Z. Definici´ on 1.16 Definimos la relaci´ on binaria  Z sobre Z de la siguiente manera: pa, bq  Z pc, dq si y s´olo si a N d P b N c.

Se puede demostrar que  Z est´a bien definida y que xZ,  Z y es un orden ω. En la secci´on total. El tipo de orden de xZ,  Z y se denota como ω  1.3 se definir´a la suma de tipos de orden y se podr´a demostar que el tipo de orden de xZ,  Z y es efectivamente la suma del tipo de orden de xN, Qy m´as el de xN, Py (ejercicio 1.3.8). Sin embargo, por ahora ω  ω s´olo es una manera de denotar el tipo de orden de xZ,  Z y. Para definir las operaciones usuales en los enteros, podemos apelar a la motivaci´ on de su construcci´on. Como pa, bq y pc, dq “representan” las soluciones de las ecuaciones a  b N x y c  d N y, para “representar” a la suma de pa, bq con pc, dq se necesitan encontrar s y t de forma que s  t N px N y q. Por lo tanto, sumando las primeras dos ecuaciones,

 b Nx  d Ny N c  pb N dq N px a

N c

a

Ny

q

se puede ver cu´al es la definici´on adecuada de la suma en los enteros. Definici´ on 1.17 Definimos la operaci´ on suma en : Z  Z Ñ Z tal que dados p a, b q , p c, dq P Z, Z

pa, bq

p q  pa

Z c, d

N c, b

Z como la funci´on

q

Nd .

De manera similar, para definir la multiplicaci´on de pa, bq y pc, dq, sabiendo que pa, bq y pc, dq “representan” las soluciones de las ecuaciones a  b N x y c  d N y, se necesitan encontrar s y t de forma que s  t N px N y q. Por lo tanto, multiplicando la primera ecuaci´on por y, a N y

 b N y



N x N y,

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1. Tipos de orden

sumando a N d de ambos lados de la igualdad, a N d N a N y  a N d N b N y



N x N y,

factorizando a del lado izquierdo de la igualdad, a N pd

sustituyendo d

Ny

q  a N d



N y por c,

a N c  a  N d



Nb Ny

N x N y,





Nb Ny

N x N y,

sumando b N d de ambos lados de la igualdad, a N c N b N d  a N d N b N d N b N y factorizando b del lado derecho de la igualdad, a N c

sustituyendo d



Nb Nd

N y por c,

a N c



 a N d

Nb Nd

p

Nb N d

 a N d

Ny



Nb Nc

q



N x N y,



N x N y,



N x N y,

se puede ver cu´al es la definici´on adecuada de la multiplicaci´on en los enteros. Definici´ on 1.18 Definimos la operaci´ on multiplicaci´on en ci´ on Z : Z  Z Ñ Z tal que dados pa, bq, pc, dq P Z,

pa, bq Z pc, dq  pa N c





N b N d, a N d

Z como la fun-

 q

Nb Nc .

Se puede demostrar que las operaciones de suma y multiplicaci´on as´ı definidas son conmutativas y asociativas, y que la multiplicaci´on se distribuye sobre la suma. Tambi´en se puede demostrar que p0, 0q es neutro para la suma y que p1, 0q es neutro para la multiplicaci´on. Adem´as, para cualquier entero pa, bq existe un inverso aditivo
pa, bq y
pa, bq  pb, aq. De esta manera se puede definir la operaci´on sustracci´on (de manera completa) en los enteros como pa, bq
pc, dq  pa, bq Z p
pc, dqq. Asimismo, se puede demostrar que las operaciones son compatibles con el orden  Z , es decir que la suma preserva las desigualdades, que la multiplicaci´on por positivos no iguales a p0, 0q tambi´en las preserva, y que la multiplicaci´on por negativos “voltea” la desigualdad. Sobre todo hay que destacar que, a diferencia de lo que sucede en N, para cualesquiera pa, bq, pc, dq P Z la ecuaci´on pa, bq  pc, dq Z x tiene una u ´nica soluci´on en Z, pues la motivaci´on para construir a los enteros fue justamente que se cumpliera esta afirmaci´on.

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´ n y caracterizacio ´ n de las estructuras 1.2. Construccio num´ ericas

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M´as a´ un, si denotamos con 0Z a la clase p0, 0q y con 1Z a la clase p1, 0q, la estructura pZ,  Z , Z , Z , 0Z , 1Z q resulta ser lo que en ´algebra se denomina un dominio entero ordenado, pues, adem´as de cumplir las propiedades mencionadas, se tiene que la multiplicaci´on de dos enteros es 0Z si y s´olo si alguno de los dos enteros es 0Z (lo que se llama “no tener divisores de cero”). Tambi´en podemos definir el valor absoluto de un entero pa, bq, denotado como |pa, bq|, de la siguiente manera: "

|pa, bq| 
ppa,a,bbqq

si pa, bq ¥Z si pa, bq  Z

0Z , 0Z ,

y demostrar todas las igualdades y desigualdades conocidas que involucran al valor absoluto con las operaciones en Z. Veamos ahora que el tipo de orden de xZ,  Z y es una “extensi´on” del tipo de orden de xN, Py. Lema 1.1 xN, Py Æ xZ,  Z y, es decir, el tipo de orden ω es menor o igual que el tipo de orden ω  ω. Demostraci´ on. Debemos dar una funci´on inyectiva EZ de N en Z tal que n P Nm P Npn P m Ø EZ pnq  Z EZ pmqq. Definimos EZ : N Ñ Z como EZ pnq  pn, 0q. Primero demostraremos que n P Nm P Npn P m Ñ EZ pnq  Z EZ pmqq. Sean n, m P N tales que n P m. Tenemos que EZ pnq  pn, 0q y que EZ pmq  pm, 0q. Como n N 0  n y 0 N m  m por la definici´on y la conmutatividad de la suma en N, n N 0 P 0 N m y EZ pnq  Z EZ pmq. on entre ´ordenes totales que cumple que Como EZ es una funci´ n P Nm P Npm P n Ñ EZ pmq  Z EZ pnqq, por el ejercicio 1.2.3, EZ es inyectiva y, adem´as, n P Nm P Npm P n Ø EZ pmq  Z EZ pnqq. Por lo tanto, xN, Py Æ xZ,  Z y y ω ¤ ω  ω. % De hecho, podemos decir que EZ es un morfismo inyectivo entre las estructuras xN, P, N , N , 0, 1y y xZ,  Z , Z , Z , 0Z , 1Z y, es decir que EZ , adem´as de satisfacer que pN,  N q Æ EZ xZ,  Z y, cumple lo siguiente:

n P Nm P NpEZ pnq

p q  EZ pn

Z EZ m

qq

Nm .

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1. Tipos de orden

n P Nm P NpEZ pnq Z EZ pmq  EZ pn N mqq. EZ p0q  0Z . EZ p1q  1Z . Se deja como ejercicio probar que ω  ω  ω, pues ω es un buen orden y ω  ω no lo es. Por lo tanto, ω   ω  ω. Ahora ya estamos listos para caracterizar a xZ,  Z y como tipo de orden. Teorema 1.3 Sea xA, ry un orden total no vac´ıo sin extremos tal que todo

subconjunto no vac´ıo de A acotado superiormente tiene r-m´ aximo y todo subconjunto no vac´ıo de A acotado inferiormente tiene r-m´ınimo. Entonces xA, ry  xZ,  Z y. Demostraci´ on. Sea xA, ry un orden total tal que: (i) A  H,

a P ADb P ADc P Appb r aq ^ pa r cqq, (iii) para todo B „ A, si B  H y Dy P A x P B px r y _ x  y q, entonces Dw P B x P B px r w _ x  wq, y (iv) para todo B „ A, si B  H y Dz P A x P B pz r x _ z  xq, entonces Dv P B x P B pv r x _ v  xq. Sea p0 P A y sean A  tp P A : p0 r pu y A
 tp P A : p r p0 u. Como xA, ry es un orden total y no tiene extremo derecho, xtp0 uY A , r y (ii)

es un orden total y no tiene extremo derecho. Como todo subconjunto no vac´ıo de tp0 u Y A est´a acotado inferiormente por p0 , todo subconjunto no vac´ıo de tp0 u Y A tiene r-m´ınimo, por lo que xtp0 u Y A , r y es un buen orden. Adem´ as, todo subconjunto no vac´ıo de tp0 u Y A acotado superiormente tiene r-m´aximo, pues esto se cumple en xA, ry. Por lo tanto, por el teorema 1.2, xtp0 u Y A , r y es isomorfo a xN, Py. Sea f : N Ñ tp0 u Y A un isomorfismo. An´alogamente podemos ver que xA
Y tp0 u, r
1 y  xN, Py, donde r
1 es la relaci´on inversa de r (v´ease el ejercicio 1.2.10 de esta secci´on). Por lo tanto, sea f
: N Ñ A
Y tp0 u un isomorfismo. Obs´ervese que, por ser f y f
isomorfismos, f p0q  p0  f
p0q. Se deja al lector(ejercicio 1.2.9) demostrar que para todo pn, mq P Z tal que pn, mq ¥Z 0Z , existe un u ´nico k P N tal que pk, 0q P pn, mq y que

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´ n y caracterizacio ´ n de las estructuras 1.2. Construccio num´ ericas

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para todo pn, mq P Z tal que pn, mq ¤Z 0Z , existe un u ´nico k P N tal que p0, kq P pn, mq. Entonces podemos ver a Z como la uni´on tpk, 0q : k P Nu Y tp0, kq : k P Nu. Definimos g : Z Ñ A de la siguiente manera: gpn, mq 

"

f pkq si pn, mq ¥Z 0Z y pk, 0q P pn, mq, f
pkq si pn, mq ¤Z 0Z y p0, kq P pn, mq.

Por las observaciones anteriores, g est´a bien definida y es la uni´on de dos isomorfismos compatibles (i.e. que coinciden en los puntos que sus dominios tienen en com´ un). Se puede demostrar que g es un isomorfismo y, como A  A
Y tp0 u Y A , tenemos que xZ,  Z y g xA, ry. % Con este teorema hemos dado una caracterizaci´on de xZ,  Z y, pues po´nico (salvo isomorfismo) orden total no demos concluir que xZ,  Z y es el u vac´ıo sin extremos, y tal que todo subconjunto no vac´ıo acotado de ´el tiene m´ınimo y m´aximo. Por lo tanto el tipo de orden ω  ω tiene el siguiente aspecto:


3


2


1

0

1

2

Figura 1.4: Tipo de orden ω 

1.2.3.

3

4

ω

Construcci´ on y caracterizaci´ on de xQ,  Q y

Al igual que como construimos xZ,  Z y a partir de xN, Py completando la operaci´on resta s´olo parcialmente definida en xN, Py, construiremos xQ,  Q y a partir de xZ,  Z y completando la operaci´on divisi´on. La suma, la multiplicaci´on y la resta est´an definidos para cualquier par de n´ umeros enteros, pero la divisi´on no, pues dados a, b P Z no siempre es posible encontrar un c P Z tal que a  b Z c (por ejemplo, si a  15 y b  2, no existe tal c en Z). Obs´ervese que hemos dejado de denotar a los elementos de Z como pn, mq con n, m P N, pues conviene relajar la notaci´on. Diremos que a P Z es divisible entre b P Z si existe c P Z tal que a  b Z c. Queremos extender la estructura de los n´ umeros enteros para que todo elemento a de esta estructura extendida sea divisible por cualquier elemento

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1. Tipos de orden

b de la misma, pero tambi´en pretendemos que esta extensi´on preserve todas las reglas aritm´eticas v´alidas en Z. En particular, como 0Z Z x  0Z para todo x P Z, el sistema extendido tambi´en debe cumplir esta igualdad. As´ı, la ecuaci´on a  0Z Z x puede tener muchas soluciones o no tener ninguna; si a  0Z , no tiene ninguna, y si a  0Z , tiene una infinidad. Por esto es que nuestra estructura extendida s´olo cumplir´a que para todo elemento a y ´nico x tal que a  b  x. todo elemento b  0Z existe un u 1 Sea Q  Z pZzt0Z uq. Al igual que sucedi´o al construir Z, hay pares ordenados de enteros en Q 1 que representan al mismo “cociente”. Por ejemplo, las ecuaciones 4  2 Z x tiene la misma soluci´on que la ecuaci´on 8  4 Z x y umero que 8{4. As´ı que esta vez entonces queremos que 4{2 sea el mismo n´ tambi´en definimos una relaci´on sobre Q 1 de la siguiente manera:

pa, bq r pc, dq si y s´olo si existe k P Z tal que a  b Z k y c  d Z k.

Sin embargo, en esta ocasi´on, de manera similar a como sucedi´o en la construcci´on de Z, hay pares ordenados de enteros que ser´ıa deseable que estuvieran relacionados y que no est´an r-relacionados. Por ejemplo, 6{4 y 3{2 no est´an r-relacionados pues no hay k P Z tal que 6  4 Z k y 3  2 Z k, pero nuestra intuici´on indica que deben representar al mismo (nuevo) individuo. Para solucionar este problema, obs´ervese que si pa, bq r pc, dq, como entonces existe k P Z tal que a  b Z k y c  d Z k, multiplicando estas dos ecuaciones adecuadamente a  b Z k d Z k  c a Z pd Z kq  pb Z kq Z c y utilizando las leyes de asociatividad, conmutatividad y cancelaci´on de la multiplicaci´on en los enteros (observando que en el caso en que k  0Z tendr´ıamos que a  0Z y c  0Z y la igualdad de la siguiente definici´on tambi´en se cumplir´ıa), podemos definir la relaci´on binaria sobre Z pZzt0uq de la siguiente manera:

Z

pa, bq  pc, dq si y s´olo si a Z d  b Z c. Obs´ervese que todos los pares ordenados que est´an r-relacionados tambi´en est´an -relacionados, pero adem´as hay nuevos pares ordenados que un, se puede demostrar s´ı est´an -relacionados, como son 6{4 y 3{2. M´as a´ que la relaci´on  es una relaci´on de equivalencia (ejercicio 1.2.12 de esta

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secci´on), y gracias a este hecho podemos definir a los racionales como las clases de equivalencia inducidas por . Denotamos la clase de equivalencia del par ordenado pa, bq como a{b, es decir, a{b  tpc, dq : pa, bq  pc, dqu. Definici´ on 1.19 Sea Q  Q 1 {   ta{b : pa, bq P Q 1 u, es decir, sea Q el odulo  . Q es el conjunto de conjunto de las clases de equivalencia de Q 1 m´ los n´ umeros racionales y a sus elementos los llamamos racionales. Para definir el orden en los racionales primero debemos notar que todo racional se puede representar como la clase de equivalencia de un elemento pa, bq P Q 1 donde b ¡Z 0Z , pues a
a donde b ¡ 0 ´o
b ¡ 0 .  Z Z Z Z b
b Definici´ on 1.20 Definimos la relaci´ on binaria  Q sobre Q de la siguiente manera: a c si b ¡Z 0Z y d ¡Z 0Z ,  Q si y s´ olo si a Z d  Z b Z c. b d Se puede demostrar que  Q est´a bien definida y que xQ,  Q y resulta ser un orden total. El tipo de orden de xQ,  Q y se denota con η. Recordemos que lo que nos interesa es construir la estructura num´erica de los racionales para despu´es caracterizarla como tipo de orden, por lo que ahora definimos las operaciones usuales. Para definir las operaciones usuales en los racionales, podemos apelar a la motivaci´ on de su construcci´on. Como a{b y c{d representan a las soluciones de las ecuaciones a  b Z x y c  d Z y, para representar a la suma de a{b con c{d se necesita encontrar s y t de forma que s  t Z px Z y q. Por lo tanto, multiplicando la primera ecuaci´on por d, a Z d  b Z d Z x, multiplicando la segunda ecuaci´on por b,

c Z b  b Z d Z y, sumando las dos ecuaciones anteriores,

pa Z dq Z pc Z bq  pb Z d Z xq Z pb Z d Z yq, factorizando b Z d del lado derecho de la igualdad, a Z d Z c Z b  pb Z dq Z px Z y q, se puede ver cu´al es la definici´on adecuada de la suma en los racionales.

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1. Tipos de orden

Definici´ on 1.21 Definimos la operaci´ on suma en ci´ on Q : Q  Q Ñ Q tal que dados a{b, c{d P Q, a b

Q como la siguiente fun-

 pa Z dqb  Zdpb Z cq .

c

Q d

Z

De manera similar, para definir la multiplicaci´on de a{b y c{d, sabiendo que a{b y c{d representan a las soluciones de las ecuaciones a  b Z x y c  d Z y, se necesitan encontrar s y t de forma que s  t Z px Z y q. Por lo tanto, multiplicando las dos primeras ecuaciones,

 b Z x  d Z y a Z c  pb Z dq Z px Z y q

Z

a c

se puede ver cu´al es la definici´on adecuada de la multiplicaci´on en los racionales. Definici´ on 1.22 Definimos la operaci´ on multiplicaci´on en guiente funci´ on Q : Q  Q Ñ Q tal que dados a{b, c{d P Q, a c  b Q d

Q

como la si-

 ab Z dc . Z

Se puede demostrar que las operaciones de suma y multiplicaci´on as´ı definidas son conmutativas y asociativas, y que la multiplicaci´on se distribuye sobre la suma. Tambi´en se puede demostrar que 0{1 es neutro para la suma y que 1{1 es neutro para la multiplicaci´on. Adem´as, al igual que como se cumple en los enteros, para cualquier racional a{b existe un inverso aditivo
a{b y
a{b  p
aq{b; as´ı, se define la operaci´on sustracci´on como a{b
Q c{d  a{b Q p
c{dq. De hecho, tambi´en como sucede en los enteros, para cualesquiera a{b, c{d P Q la ecuaci´on a{b  c{d Q x tiene una u ´nica soluci´on en Q. Asimismo, se pueden definir los racionales positivos como aquellos a{b tales que a{b ¡Q 0{1, y a los negativos como los racionales que no son positivos ni cero. De manera similar a como sucede en los enteros, se puede demostrar entonces que las operaciones son compatibles con el orden  Q , es decir que la suma preserva las desigualdades, que la multiplicaci´on

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por positivos no iguales a 0{1 tambi´en las preserva, y que la multiplicaci´on por negativos cambia el sentido de la desigualdad. Sobre todo hay que destacar que, a diferencia de lo que sucede en Z, se puede demostrar que para cualesquiera a{b, c{d P Q, si c{d  0{1, la ecuaci´on a{b  c{dQ x tiene una u ´nica soluci´on en Q, pues la motivaci´on para construir a los racionales fue justamente que se cumpliera esta afirmaci´on. De hecho, por cumplir con las propiedades mencionadas, la estructura

xQ,  Q ,



Q , Q , 0Q , 1Q

y

donde 0Q es la clase 0{1 y 1Q la clase 1{1, es lo que en ´algebra se denomina un campo ordenado. Adem´ as, la estructura construida xQ,  Q y, cuyo tipo de orden denotamos como η, es realmente una extensi´on de xZ,  Z y, pues tomando EQ : Z Ñ Q donde EQ ppq  p{1Z , tenemos que xZ,  Z y Æ xQ,  Q y, lo cual equivale a que ω  ω ¤ η. M´as a´ un, la funci´ on EQ es un morfismo inyectivo entre las estructuras algebraicas pZ,  Z , Z , Z , 0Z , 1Z q y pQ,  Q , Q , Q , 0Q , 1Q q, es decir que EQ , adem´as de satisfacer que xZ,  Z y Æ EQ xQ,  Q y, cumple que

p P Z q P Z pEQ ppq Q EQ pqq  EQ pp Z qqq, que p P Z q P Z pEQ ppq Q EQ pqq  EQ pp Z qqq, y que EQ p0Z q  0Q y EZ p1Z q  1Q .

Ahora cumplimos el principal objetivo de esta secci´on: caracterizar a

xQ,  Q y como tipo de orden.

Recordemos que un conjunto A es numerable si existe una funci´on biyectiva f : N Ñ A; este hecho lo entedemos como que A tiene la misma cardinalidad o misma cantidad de elementos que N (v´ease la introducci´on a la secci´on 1.2.4). Lema 1.2

xQ,  Q y es un orden total denso, sin extremos y numerable.

Demostraci´ on. El hecho de que xQ,  Q y es un orden total se deja como ejercicio. La prueba de que Q es numerable se puede ver en [Am05]. Para ver que esta estructura es sin extremos, basta ver que para todo a{b P Q, se tiene que a{b
Q 1Q  Q a{b  Q a{b Q 1Q .

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1. Tipos de orden

Para ver que xQ,  Q y es denso, sean a{b, c{d P Q con a{b  Q c{d. Sin p´erdida de la generalidad podemos suponer que b, d ¡Z 0Z . Entonces paZ dq Z pbZ cq P Q y se cumple que a   paZ dq Z pbZ cq   c . Q Q d 2 b d b 2 b d Z Z

Por lo tanto,

Z Z

xQ,  Q y es denso, sin extremos y numerable.

%

De manera que el tipo de orden η tiene el siguiente aspecto:

Figura 1.5: Tipo de orden η

En la pr´oxima secci´on veremos que, aunque en esta figura η aparenta ser una l´ınea continua, en realidad tiene muchos huecos. Los siguientes dos teoremas demuestran el mismo hecho: que xQ,  Q y es el u ´nico (salvo isomorfismo) orden total denso, sin extremos y numerable. Las demostraciones de estos teoremas son distintas, pero ambas utilizan el procedimiento conocido en ingl´es como el m´etodo “back-and-forth”. La frase “back-and-forth” se usa en la lengua inglesa para hablar de una acci´on hecha “de ida y vuelta” o “en un sentido y en el sentido inverso”. La idea de este procedimiento consiste en construir un isomorfismo primero decidiendo a d´onde mandar un elemento del dominio y despu´es tomando un elemento del codominio para decir de cu´al elemento del dominio ser´a imagen. Esta elecci´ on de elementos en el dominio y el codominio se repite una cantidad numerable de veces hasta abarcar a todos los elementos de ambos y la construcci´on se hace de tal forma que la funci´on resultante sea un isomorfismo. Entonces se llama “forth” (“ida” o “en un sentido”) a la parte del procedimiento en que se elige un elemento del dominio y se decide cu´al ser´a su imagen, y se llama “back” (“vuelta” o “en el sentido inverso”) a la parte del procedimiento en que se elige un elemento del codominio y se decide de cu´al elemento del dominio ser´a imagen. Teniendo en cuenta esta forma de construir isomorfismos podemos entender mejor las demostraciones de los siguientes dos teoremas. Aunque el teorema que a continuaci´on presentamos se debe a Cantor, el proceso “back-and-forth” es posiblemente un m´etodo de demostraci´on posterior.

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Teorema 1.4 (Cantor) Cualesquiera dos o ´rdenes totales, densos, sin extremos y numerables son isomorfos. Demostraci´ on. Sean xA, ry y xB, sy dos ´ordenes totales, densos, sin extremos y numerables. Como A y B son numerables, sean A  tan : n P ω u y B  tbn : n P ω u de forma que ambas enumeraciones sean sucesiones inyectivas (es decir, no repiten elementos de A o B). Definimos dos sucesiones tcn : n P ω u y tdn : n P ω u por recursi´on (v´ease la figura 1.6):

 a0 y d0  b0 ; sea k ¡ 0 y supongamos definidos cm y dm para toda m   k, • si k es impar, definimos dk como bj P B donde j es el m´ınimo natural tal que m   kpbj  dm q, y definimos ck como ai P A

(i) c0 (ii)

donde i es el m´ınimo natural tal que ai guarda la misma relaci´on en el orden r con respecto a c0 , c1 , ... y ck
1 que la relaci´on que guarda dk en el orden s con respecto a d0 , d1 , ... y dk
1 ; podemos encontrar tal ai gracias a que xA, ry es denso y sin extremos.

• si k es par, definimos ck como ai P A donde i es el m´ınimo natural tal que m   kpai  cm q, y definimos dk como bj P B donde j es el m´ınimo natural tal que bj guarda la misma relaci´on en el orden s con respecto a d0 , d1 , ... y dk
1 que la relaci´on que guarda ck en el orden r con respecto a c0 , c1 , ... y ck
1 ; podemos encontrar tal bj gracias a que xB, sy es denso y sin extremos. Claramente, tcn : n P Nu „ A y tdn : n P Nu „ B. Ahora probemos que A „ tcn : n P Nu por inducci´on fuerte utilizando que A  tan : n P Nu. - Si n  0, como c0 -

 a0 , a0 P tcn : n P Nu. Supongamos que i   kpai P tcn : n P Nuq, entonces i   kDn P Npai  cnq. Sea n0 el m´aximo n P N tal que cn  ai para alg´ un i   k. Queremos demostrar que ak P tcn : n P Nu. Si ak  cn para alg´ un n ¤ n0 , entonces ak P tcn : n P Nu. Si n ¤ n0 pak  cn q, entonces

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1. Tipos de orden • si n0 es impar, n0 1 es par y por lo tanto, por la construcci´on de la sucesi´on tcn : n P ω u, tenemos que ak  cn0 1 P tcn : n P Nu. • si n0 es par y ak  cn0 1 , entonces ak P tcn : n P Nu. Pero si n0 es par y ak  cn0 1 , entonces n ¤ n0 1pak  cn q y, como n0 2 es par, por la construcci´on de la sucesi´on tcn : n P ω u, tenemos que ak  cn0 2 P tcn : n P Nu.

Por lo tanto, A  tan : n P Nu. An´alogamente se puede demostrar que B  tdn : n P Nu. Sea h : A Ñ B tal que n P Nphpcn q  dn q. Entonces h es un isomorfismo y xA, ry  xB, sy, es decir xA, ry y xB, sy tienen el mismo tipo de orden. % c2 q a1

a4

c0 q a0

c3 q a5

a6

c1 q a2

c4 q a3 A h B

b4 q d2

b0 q

b2 q

b1 q

d0

d3

d1

b5

b3 q d4

Figura 1.6: Construcci´ on de las sucesiones tcn : n partir de las sucesiones tan : n P ω u y tbn : n P ω u

P ωu y tdn : n P ωu a

Por el lema y teorema anteriores sabemos que entonces xQ,  Q y es el u ´nico (salvo isomorfismo) orden total, denso, sin extremos y numerable. Como ya djimos anteriormente, el siguiente teorema prueba esto mismo, pero la demostraci´on es un tanto distinta y tambi´en refleja el “aspecto” que tiene xQ,  Q y. Teorema 1.5 (Cantor) Todo orden total sin extremos, denso y numerable es isomorfo a xQ,  Q y.

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Demostraci´ on. Sea xP,  P y un orden total sin extremos, denso y numerable. Como P y Q son numerables, sean P  tpn : n P ω u y Q  tqn : n P ω u de forma que ambas enumeraciones sean sucesiones inyectivas. Diremos que una funci´ on h de un subconjunto de P en Q es un isomorfismo parcial de P en Q si p, p1 P domphqpp  P p1 Ø hppq  Q hpp1 qq. Primero probaremos la siguiente afirmaci´on: si h es un isomorfismo parcial de P en Q tal que domphq es finito, para cualesquiera p P P y q P Q existe un isomorfismo parcial hp,q de P en Q tal que h „ hp,q , p P domphp,q q y q P imphp,q q. Sea h  tppi1 , qi1 q, ppi2 , qi2 q, ..., ppik , qik qu un isomorfismo parcial de P en Q, donde pi1  P pi2  P ...  P pik . Entonces tambi´en qi1  Q qi2  Q ...  Q qik . Sean p P P y q P Q. Si p P domphq y q P imphq, entonces definimos hp,q  h. Si p R domphq, entonces puede suceder que p  P pi1 , que pik  P p, o que pir  P p  P pir 1 con 1 ¤ r   k. Tomamos qn P Q, donde n es el m´ınimo natural tal que qn guarda la misma relaci´on en el orden  Q con respecto a qi1 , qi2 , ... y qik que la relaci´on que guarda p en el orden  P con respecto a pi1 , pi2 , ... y pik . Es decir, qn P Q, donde n es el m´ınimo natural tal que: si p  P pi1 , entonces qn  Q qi1 (tal qn existe pues Q es sin extremo izquierdo); si pik  P p, entonces qik  Q qn (tal qn existe pues Q es sin extremo derecho); y si pir  P p  P pir 1 con 1 ¤ r   k, entonces qir  Q qn  Q qir 1 (tal qn existe pues Q es denso). Sea h1  h Y tpp, qn qu, entonces h1 es un isomorfismo parcial de P en Q y p P domph1 q. Si q P imph1 q, sea hp,q  h1 . Si q R imph1 q, escribimos h1

 tppj , qj q, ppj , qj q, ..., ppj , qj q, ppj , qj qu, donde pj  P pj  P ...  P pj  P pj . Entonces tambi´en se tiene que qj  Q qj  Q ...  Q qj  Q qj . Por lo tanto, puede suceder que q  Q qj , que qj  Q q, o que qj  Q q  Q qj con 1 ¤ r   k. Tomamos pm P P, 1

1

2

k 1

1

1

2

2

2

k

k

k

k 1

k 1

k 1

1

k 1

r

k

r 1

donde m es el m´ınimo natural tal que pm guarda la misma relaci´on en el orden  P con respecto a pj1 , pj2 , ... y pjk 1 que la relaci´on que guarda q en el orden  Q con respecto a qj1 , qj2 , ... y qjk 1 . Es decir, pm P P, donde m es el m´ınimo natural tal que: si q  Q qj1 , entonces pm  P pj1 (tal pm existe pues P es sin extremo izquierdo); si qjk 1  Q q, entonces pjk 1  P pm

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(tal pm existe pues P es sin extremo derecho); y si qjr  Q q  Q qjr 1 con 1 ¤ r   k, entonces pjr  P pm  P pjr 1 (tal pm existe pues P es denso). Sea h2  h1 Y tppm , q qu, entonces h2 es un isomorfismo parcial de P en Q, p P domph2 q y q P imph2 q. Por lo tanto, definimos hp,q  h2 . As´ı, hemos probado que si h es un isomorfismo parcial de P en Q tal que domphq es finito, para cualesquiera p P P y q P Q existe un isomorfismo parcial hp,q … h tal que p P domphp,q q y q P imphp,q q. Ahora, definimos por recursi´on una sucesi´on de isomorfismos parciales de la siguiente manera: h0  H, hn 1  phn qpn ,qn ,

donde phn qpn ,qn es la extensi´on de hn que cumple pn P dompphn qpn ,qn q y qn P impphn qpn ,qn q. ” Finalmente si definimos h  nPN hn , entonces xP,  P y h xQ,  Q y. % As´ı, hemos caracterizado a xQ,  Q y como tipo de orden. Adem´as, podemos demostrar el siguiente poderoso resultado.

Corolario 1.1 Todo orden total numerable xS,  S y puede sumergirse isoon inyectiva S Ñ Q, que m´ orficamente en xQ,  Q y, es decir, hay una funci´ preserva el orden, lo cual se denota con xS,  S y Æ xQ,  Q y. Demostraci´ on. La demostraci´on de este corolario es muy parecida a la prueba del teorema anterior. Como S y Q son ambos conjuntos numerables, sean S  tsn : n P ω u y Q  tqn : n P ω u de forma que ambas enumeraciones sean sucesiones inyectivas. Podemos demostrar que para cualquier isomorfismo parcial h de xS,  S y en xQ,  Q y con dominio finito y cualquier elemento s P S, existe un isomorfismo parcial hs de xS,  S y en xQ,  Q y tal que h „ hs y s P domphs q. Sea h  tpsi1 , qi1 q, psi2 , qi2 q, ..., psik , qik qu un isomorfismo parcial de S en Q, donde si1  S si2  S ...  S sik . Entonces tambi´en qi1  Q qi2  Q ...  Q qik . Sea s P S. Si s P domphq, entonces definimos hs  h. Si s R domphq, entonces puede suceder que s  S si1 , que sik  S s, o que sir  S s  S sir 1 con 1 ¤ r   k. Tomamos qn P Q, donde n es el m´ınimo natural tal que qn guarda la misma relaci´on en el orden  Q con respecto a

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qi1 , qi2 , ... y qik que la relaci´on que guarda s en el orden  S con respecto a si1 , si2 , ... y sik . Es decir, qn P Q, donde n es el m´ınimo natural tal que: si s  S si1 , entonces qn  Q qi1 (tal qn existe pues Q es sin extremo izquierdo); si sik  S s, entonces qik  Q qn (tal qn existe pues Q es sin extremo derecho); y si sir  S s  S sir 1 con 1 ¤ r   k, entonces qir  Q qn  Q qir 1 (tal qn existe pues Q es denso). Sea hs  h Y tps, qn qu, entonces hs es un isomorfismo parcial de xS,  S y en xQ,  Q y, h „ hs y s P domphs q. Ahora, definimos por recursi´on una sucesi´on de isomorfismos parciales: h0  H hn 1  phn qsn donde

phn qs

on de hn tal que sn P dompphn qsn q. n es la extensi´ ” Finalmente si h  nPN hn , entonces xS,  S y Æ h xQ,  Q y.

%

Entonces podemos concluir que hay una copia dentro de xQ,  Q y de cualquier orden total numerable; es decir, todo orden total numerable puede ser encajado isom´orficamente en cualquier orden total numerable denso y sin extremos.

1.2.4.

Construcci´ on y caracterizaci´ on de xR,  R y

Todas las estructuras num´ericas que hasta ahora hemos caracterizado tienen la misma cardinalidad. De manera similar a como hemos definido que dos ´ ordenes totales tengan el mismo tipo de orden, la noci´on de que dos conjuntos tengan la misma cardinalidad puede definirse sin que sea necesario definir el concepto de n´ umero cardinal. Definici´ on 1.23 Sean A y B conjuntos cualesquiera. Decimos que A tiene la misma cardinalidad que B, o que A es equipotente a B, si y s´ olo si existe una funci´ on biyectiva f : A Ñ B. Este hecho lo denotamos como A  B. Se puede ver que la relaci´on “tener la misma cardinalidad” es de equivalencia sobre la clase (propia) de todos los conjuntos. Sin embargo, las clases de equivalencia inducidas por esta relaci´on no siempre son conjuntos, por lo que elegir un representante de cada una para definir los n´ umeros cardinales

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no puede hacerse a la ligera. En el cap´ıtulo 3 de este libro definimos formalmente cu´ales son estos n´ umeros cardinales que representan a cada clase de equivalencia. Por ahora, lo interesante es notar que N, Z y Q tienen la misma cardinalidad, llamada, como ya mencionamos, numerable. Durante un tiempo los matem´aticos se preguntaron si todos los conjuntos infinitos ten´ıan la misma cardinalidad, pero Cantor descubri´o que existen conjuntos infinitos que no son numerables. Este descubrimiento se convirti´o, seg´ un autores como Kanamori (ver [Ka96], en particular la nota al pie de p´agina n´ umero 6), en el origen del desarrollo de la Teor´ıa de Conjuntos. El conjunto potencia de A, P pAq, es el conjunto de todos los subconjuntos de A. Claramente, existe una funci´on inyectiva g : A Ñ P pAq definida como gpaq  tau. Sin embargo, lo que Cantor demostr´o es que A no es equipotente con P pAq (v´ease por ejemplo [Am05]), es decir, demostr´o que la cardinalidad de P pAq es “m´as grande” que la de A para cualquier conjunto A. Como consecuencia de este resultado, se tiene que el conjunto infinito P pNq no es numerable. Por otro lado, se puede demostrar que P pAq tiene la misma cardinalidad que la del conjunto A 2  tf |f : A Ñ t0, 1uu (v´ease por ejemplo [Am05]). En particular, P pNq tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos. El conjunto de los n´ umeros reales, que construiremos a continuaci´on, es uno de los conjuntos m´as famosos en matem´aticas y no es numerable. Intuitivamente esto es porque al representar a los n´ umeros reales en sistema binario obtenemos esencialmente a todas las sucesiones de ceros y unos. Al igual que en los naturales y en los enteros, existen ecuaciones en los racionales que no tienen soluci´on y este hecho puede motivar la necesidad de extender la estructura num´erica de los racionales. Sin embargo, a diferencia de las construcciones de los enteros y racionales, que se hacen mediante la compleci´on de operaciones algebraicas (la resta y la divisi´on respectivamente), veremos que la construcci´on de los reales como extensi´on de los racionales tiene una naturaleza netamente conjuntista. Las observaciones para determinar que xQ,  Q y tiene huecos han sido conocidas desde tiempos de los griegos, aunque la problem´atica no estuviera expresada precisamente en estos t´erminos. La escuela pitag´orica, no se sabe si Pit´agoras mismo, descubri´o que no exist´ıa ning´ un n´ umero racional cuyo cuadrado fuera el n´ umero 2. En t´erminos modernos, esta escuela descu-

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bri´o que la ecuaci´on x Q x  2 no tiene soluci´on en Q. Pero lo que result´o un golpe m´as fuerte para la escuela pitag´orica fue el descubrimiento de que no todos los segmentos de recta tuvieran medida racional; la terminolog´ıa de la ´epoca era que hab´ıa segmentos de recta inconmensurables, es decir, sin posibilidad de medirse. Se cree que este descubrimiento se hizo cuando se intentaba dar la raz´on entre el lado de un cuadrado cuyos lados fueran de medida unitaria y la diagonal de este cuadrado. A trav´es del teorema de Pit´agoras y del hecho de que ning´ un racional al cuadrado es 2, se descubri´o que la diagonal de este cuadrado era inconmensurable. Este hecho lo entendemos en t´erminos modernos como que la hipotenusa de un tri´angulo ? umero no sea racional. A partir de rect´angulo de lado 1 mida 2 y que este n´ ese momento y durante muchos a˜ nos la mayor´ıa de los matem´aticos griegos separ´o a la geometr´ıa de la aritm´etica, hablando de segmentos inconmensurables y considerando que el uso de los n´ umeros para medir longitudes y ´ areas era contrario al “idealismo plat´onico”. Sin embargo, los n´ umeros racionales en forma de cocientes de enteros eran conocidos y utilizados en la Grecia Antigua. Adem´ as, el matem´atico Arqu´ımedes us´o estos n´ umeros en su estudio de las ´ areas y los vol´ umenes, y sus ideas de aproximar ´areas y vol´ umenes con racionales de manera sucesiva se acercan a la concepci´on moderna de los n´ umeros reales. Este comienzo de la historia de los n´ umeros reales puede consultarse en [BePi63]. Durante muchos siglos los matem´aticos utilizaron los n´ umeros reales sin que existiera una definici´on exacta de ellos. Afortunadamente, la idea intuitiva que se ten´ıa del sistema de n´ umeros reales era lo suficientemente acertada como para que rara vez se llegara a conclusiones falsas. Con base en esta concepci´ on informal se cre´o, por ejemplo, el c´alculo de Newton y Leibniz. No fue sino hasta finales del siglo XIX con el trabajo de Cantor y particularmente el de Dedekind que la pregunta “¿qu´e es un n´ umero real?” fue resuelta.

El hecho de que xQ,  Q y tenga huecos se puede formalizar con la terminolog´ıa de tipos de orden: en xQ,  Q y no todos los subconjuntos superiormente acotados tienen supremo (o, equivalentemente, no todos los subconjuntos inferiormente acotados tienen ´ınfimo). Es decir, la motivaci´ on para completar a xQ,  Q y es la misma de que existen segmentos de recta cuya medida no es racional, pero el planteamiento est´a en t´erminos de las definiciones relacionadas con el comportamiento

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de los ´ ordenes totales. Para decir cu´al es la longitud de un segmento de recta dado AB tomamos el conjunto S de todos los n´ umeros racionales positivos x tales que x es menor o igual que la distancia de A a B (medida en t´erminos de un segmento unitario fijo), entonces si d es el  Q -m´aximo de S, d es la longitud del segmento AB. Sin embargo, no siempre sucede que S tenga  Q -m´aximo; por ejemplo, si AB es la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden lo mismo que el segmento unitario, podemos ver que el conjunto S  tq P Q : 0  Q q y q Q q ¤Q 2u y que S no tiene  Q -m´aximo. Precisamente el conjunto S es un subconjunto superiormente acotado de Q que no tiene supremo. Por lo tanto, la motivaci´on para la construcci´on de la estructura xR,  R y es que sea una extensi´on de xQ,  Q y en la que todo subconjunto superiormente acotado tenga supremo (esta afirmaci´on a veces es llamada el axioma del supremo). Primero analicemos qu´e sucede si cortamos un orden total xA, ry cualquiera. La idea intuitiva de lo que hacemos cuando cortamos un orden total es simplemente la de cortarlo con unas tijeras cuyas navajas sean infinitamente delgadas. La definici´on formal es la siguiente. Definici´ on 1.24 Una cortadura de un orden total xA, ry es un par ordenado pB, C q, donde B y C son subconjuntos ajenos no vac´ıos de A tales que A  B Y C y si b P B y c P C entonces b r c. Entonces dada una cortadura pB, C q de un orden total xA, ry se puede dar alguna de las siguientes cuatro situaciones. 1. B tiene un r-m´aximo y C tiene un r-m´ınimo, como en la figura 1.7.1; 2. B tiene un r-m´aximo y C no tiene un r-m´ınimo, como en la figura 1.7.2; 3. B no tiene un r-m´aximo y C tiene un r-m´ınimo, como en la figura 1.7.3; o 4. B no tiene un r-m´aximo y C no tiene un r-m´ınimo, como en la figura 1.7.4. El tipo de cortadura enumerada como la 1 se puede denominar como un “salto”. Este tipo de cortadura no existe en xQ,  Q y, pues si hubieran B y C tales, como xQ,  Q y es denso, habr´ıa un q P Q entre el r-m´aximo

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de B y el r-m´ınimo de C, y entonces la uni´on de B y C no podr´ıa ser Q. Sin embargo, todos los dem´as tipos de cortaduras pueden darse en xQ,  Q y. Las cortaduras enumeradas como la 2 y la 3 son equivalentes en el sentido de que en ambos casos el subconjunto B tiene supremo; en el caso 2, el supremo ser´ıa el r-m´aximo de B, y en el caso 3, ´este ser´ıa el r-m´ınimo de C. El tipo de cortadura enumerada como la 4 se puede denominar como un “hueco” y estas cortaduras son precisamente las que no quisi´eramos que fueran posibles en la extensi´on xR,  R y de xQ,  Q y. Es decir, queremos que xR,  R y sea una compleci´on de xQ,  Q y que resulte ser un orden total en el que las u ´nicas cortaduras posibles sean las de tipo 2 o 3, de forma que todo subconjunto de xR,  R y superiormente acotado tenga supremo. B

C

B

C

B

C

1.

2.

3. B

C

4. Figura 1.7: Tipos de cortaduras Construyamos entonces al sistema de los n´ umeros reales bas´andonos en el trabajo de Dedekind. Definici´ on 1.25 Un conjunto I es un segmento incial de (i) (ii) (iii)

H  I  Q, r, s P Qppr  Q s ^ s P I q ùñ r P I q, y Dr P I q P I pq ¤Q rq.

Q si y s´olo si

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1. Tipos de orden Obs´ervese que si I es un segmento inicial de Q, entonces el par ordenado

pI, QzI q es una cortadura de xQ,  Q y. M´as a´un, si I es un segmento inicial de Q, entonces pI, QzI q es una cortadura de tipo 3 o 4, pues por el inciso (iii) I no tiene m´aximo.

Definici´ on 1.26 Una cortadura de Dedekind es una cortadura pI, QzI q donde I es un segmento inicial de Q. La idea genial de Dedekind fue la de tomar a los segmentos iniciales de racionales precisamente como los n´ umeros reales. Definici´ on 1.27 Sea R el conjunto de todos los segmentos iniciales de Q, es decir, R  tI : I es un segmento inicial de Qu. R es el conjunto de los n´ umeros reales y a sus elementos los llamamos reales. Por lo tanto, los n´ umeros reales son los segmentos inciales que corresponden a las cortaduras del tipo 3 o 4. Esto es natural, pues, como ya discutimos, las cortaduras de tipo 1 son imposibles en xQ,  Q y, y las de tipo 2 son equivalentes a las de tipo 3 y no queremos repetir individuos. De hecho podemos pensar que cuando una cortadura de Dedekind es de tipo 3 el n´ umero real que le corresponde es un racional y cuando es de tipo 4 el n´ umero real que le corresponde es un “individuo nuevo” o un irracional. En otras palabras, dado r P Q, Ir  tq P Q : q  Q r u es un segmento inicial de Q (como se demuestra en el siguiente lema) y la cortadura de Dedekind pIr , QzIr q es de tipo 3. Sin embargo, existen segmentos iniciales I de Q, como por ejemplo I  tq P Q : q ¤Q 0 _ q 2  Q 2u, tales que r P QpI  Ir q y una cortadura de Dedekind pI, QzI q correspondiente a esta clase de segmentos es de tipo 4. Cabe mencionar que al cortar el orden total xQ,  Q y la probabilidad de que la cortadura resultante sea de tipo 3 es m´as bien baja, aunque s´ı pueda suceder, esto es intuitivamente (gracias a nuestro conocimiento previo de aritm´etica cardinal y al hecho de que la cardinalidad de R es no numerable) porque la cardinalidad de Q es numerable y la cardinalidad de sus huecos es mayor. Es claro ahora por qu´e dijimos en la introducci´on de esta secci´on que la construcci´on del conjunto R es de naturaleza netamente conjuntista, pues los n´ umeros reales son subconjuntos de n´ umeros racionales y los supremos de estos subconjuntos son ellos mismos. Es decir, la manera en que Dedekind

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decidi´o llenar los huecos fue definiendo al conjunto de todos los racionales a la izquierda de un hueco como el punto que llena ese hueco. Como por definici´on R „ P pQq, podemos por lo pronto afirmar que la cardinalidad de R es menor o igual que la cardinalidad de la potencia de Q, es decir que |R| ¤ 2ℵ0 (v´ease [Am05] para la aritm´etica cardinal involucrada). Lema 1.3 Para todo r P Q, Ir

Q.

 tq P Q : q  Q ru es un segmento inicial de

Demostraci´ on. Sea r P Q. Como Q es sin extremo izquierdo, existe q P Q con q  Q r, por lo que Ir  H. Claramente Ir „ Q y, como r R Ir , Ir  Q. Por lo tanto, H  Ir  Q. Sea q P Ir y sea t P Q tal que t  Q q, entonces t  Q q  Q r y, por la transitividad de  Q , t P Ir . Sea q P Ir . Como xQ,  Q y es denso y q  Q r, existe p P Q tal que q  Q p  Q r. Por lo tanto, Ir no tiene  Q -m´aximo. % Veremos que estos segmentos iniciales Ir con r P Q son los correspondientes a los “n´ umeros racionales en R”. As´ı, reaparece el sabor conjuntista de esta construcci´on, pues los racionales ahora ser´an subconjuntos de racionales. Como ya discutimos, hay muchos otros segmentos iniciales que no se pueden escribir de esta forma y ´estos son los que llenan los huecos, es decir los correspondientes a los n´ umeros irracionales. Ahora definimos el orden en R de forma que extienda el orden en Q e incluya los “huecos”. Definici´ on 1.28 Definimos la relaci´ on binaria  R sobre manera: I  R J si y s´ olo si I  J.

R de la siguiente

Ahora veamos que es correcto hablar del tipo de orden de Lema 1.4

xR,  R y.

xR,  R y es un orden total.

Demostraci´ on. Claramente  R es antirreflexivo y transitivo, pues se defini´o como la contenci´on propia entre segmentos iniciales. Veamos que  R es tricot´omica. Sean I, J P R tales que I  J e I  R J. Queremos demostrar que J  R I, es decir que J  I. Sea q P J. Como por

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hip´otesis I † J, I zJ  H, entonces sea r P I zJ. Como q, r P Q y xQ,  Q y es un orden total, q  Q r o r ¤Q q. Si r ¤Q q, como q P J y J es segmento inicial de Q, r P J, lo que contradice que r P I zJ. Por lo tanto, q  Q r. Como I es segmento inicial de Q y r P I, q P I y J „ I. Pero por hip´otesis J  I, entonces J  I y J  R I. Por lo tanto, para todo I, J P R sucede una de las siguientes situaciones: I  R J, J  R I o I  J. Para ver que s´olo puede suceder una de estas situaciones, basta recordar que  R se defini´o como la contenci´on propia. % Denotamos con λ al tipo de orden de

xR,  R y.

Figura 1.8: Tipo de orden λ Aunque en aparencia el tipo de orden λ se vea igual que el tipo de orden η (figura 1.5), sabemos que son muy distintos, pues demostraremos que λ, a diferencia de η, no tiene “huecos”. Demostremos ahora que la estructura R realmente es una extensi´on de Q. Lema 1.5 El tipo de orden η es menor o igual que el tipo de orden λ, es decir xQ,  Q y Æ xR,  R y. Demostraci´ on. Sea ER : Q Ñ R definida como sigue

ER prq  Ir  tq P Q : q  Q ru. Veamos que r, r 1 P Qpr  Q r 1 Ñ ER pr q  R ER pr 1 qq. Sean r, r 1 P Q tales que r  Q r 1 . Entonces para todo q P Ir , q P Ir1 , pues si q  Q r, como r  Q r 1 , q  Q r 1 . Adem´as, como ya vimos antes, Ir  Ir1 . Por lo tanto, Ir  Ir1 y ER pr q  R ER pr 1 q. Como ER es una funci´ on entre ´ordenes totales y adem´as se cumple que r, r1 P Qpr  Q r1 Ñ ER prq  R ER pr1qq, por el ejercicio 1.2.3, ER es inyectiva y, adem´as, r, r1 P Qpr  Q r1 Ø ER prq  R ER pr1 qq. % As´ı que, xQ,  Q y Æ xR,  R y y η ¤ λ.

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Por consiguiente podemos ver a los n´ umeros racionales en R como los n´ umeros reales Ir con r P Q. Para ver que xR,  R y es realmente la compleci´on de xQ,  Q y necesitamos las siguientes definiciones. Definici´ on 1.29 Sea xA, ry un orden total. Decimos que D „ A es denso en A si y s´ olo si para cualesquiera a, b P A con a r b, existe d P D tal que a r d r b. Definici´ on 1.30 Sea xA, ry un orden total. Decimos que xA, ry es separable si y s´ olo si existe un subconjunto numerable D de A que es denso en A. Definici´ on 1.31 Sea xA, ry un orden total. Decimos que xA, ry es completo si y s´ olo si todo subconjunto no vac´ıo superiormente acotado de A tiene supremo. Primero demostraremos que xR,  R y es denso, sin extremos, completo y separable (donde el subconjunto numerable de R denso en R ser´a precisamente Q  tIr : r P Qu, que es el correspondiente a los racionales) y despu´es demostraremos que es el u ´nico salvo isomorfismo orden total con esas propiedades. Teorema 1.6 separable.

xR,  R y es un orden

total denso, sin extremos, completo y

Demostraci´ on. Por el lema 1.4 sabemos que xR,  R y es un orden total. Demostremos que xR,  R y es sin extremos. Sea I P R. Como I es un segmento inicial de Q, QzI  H, entonces sea q P QzI. Como xQ,  Q y es sin extremo derecho, sea q 1 P Q con q  Q q 1 . Por el lema 1.3, sabemos que Iq1 es un segmento inicial de Q por lo que Iq1 P R. Demostremos que I  R Iq1 , es decir que I  Iq1 . Sea x P I. Como xQ,  Q y es orden total, x  Q q o q ¤Q x. Si q ¤Q x, como I es segmento inicial y x P I, q P I, lo que contradice que q P QzI. Entonces x  Q q. Como q  Q q 1 , x  Q q 1 y x P Iq1 . Por lo tanto, I „ Iq1 . Adem´as, q P Iq1 y q R I, por lo que I  Iq1 y xR,  R y no tiene extremo derecho. Ahora, sea p P I, entonces p P Q y, por el lema 1.3, Ip es un segmento inicial de Q. Demostremos que Ip  R I, es decir que Ip  I. Sea x P Ip ,

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entonces x  Q p. Como I es segmento inicial de Q y p P I, x P I. Por lo as, p P I y p R Ip (pues p  Q p), por lo que Ip  I y tanto, Ip „ I. Adem´ xR,  R y no tiene extremo izquierdo. Demostremos que xR,  R y es completo, es decir, que todo subconjunto no vac´ıo superiormente acotado tiene supremo. Demostraremos Sea B „ R tal que B  H y est´a superiormente acotado. ” ” que B es el supremo de B. Primero veamos que B P R. Como B  H, sea I P B. Entonces I ” es un segmento inicial de Q, pues ” B „ R, e I  H. Sea y P I, entonces y P B y B  H. ” Sea y P B. Entonces y P I para alguna I P B. Como I es segmento ” inicial de Q, I „ Q. Por lo tanto, y P Q y B „ Q. Para demostrar que ” B  Q, sea I P R una cota superior de B. Entonces J P B pJ ¤R I q, es ” decir, J P B pJ „ I q. Por lo tanto, B „ I. Como I es un segmento inicial ” de Q, I  Q, por lo que B  Q. ” Ahora, sean p, q P Q tales que p  Q q y q P B. Entonces q P J para alguna J P”B. Como B „ R, J es un segmento inicial de Q y p P J. Por lo tanto, p P B. ” Sea y P B, luego existe I tal que”y P I P B. Como I es segmento inicial existe x P I tal que y  Q x y x P B. ” ” Por lo tanto, B es un segmento inicial de Q y B P R. ” ” Claramente ” B es el supremo de B, pues dado I P B, I”„ B y B; y dada K una cota superior de B, si y P B, y P J entonces I ¤R P B y, como K es cota superior de B, J „ K, por lo que para alguna J ” y P K y B „ K. Para demostrar que xR,  R y es separable, sea Q  tIr : r P Qu „ R. Por el lema 1.5, sabemos que |Q|  |Q|  ℵ0 , pues ER es inyectiva y suprayectiva sobre su imagen Q. Ahora veamos que Q es denso en R. Sean I, J P R tales que I  R J, es decir, I  J. Entonces sea r P Q tal que r P J zI. Como J es segmento inicial de Q, no tiene  Q -m´aximo, sea t P J con r  Q t. Veamos que I  R It  R J. Sea p P I. Si r ¤Q p, como I es segmento inicial de Q y p P I, r P I, lo que contradice que r P J zI. Por lo tanto, p  Q r y, como r  Q t, p P It . Como r  Q t, r P It , pero r R I, por lo que I  It e I  R It . Ahora, sea p P It , entonces p  Q t. Como J es segmento inicial de Q y t P J, p P J. Adem´ as, t R It , pues t  Q t, y t P J, por lo que It  J e It  R J.

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Por lo tanto, Q es denso en R y xR,  R y es separable. El hecho de que xR,  R y sea separable implica que es denso. Por lo tanto, xR,  R y es un orden total denso, sin extremos, completo y separable. % El siguiente teorema nos da la caracterizaci´on de orden.

xR,  R y como tipo de

Teorema 1.7 Cualesquiera dos o ´rdenes totales densos, sin extremos, completos y separables son isomorfos. Demostraci´ on. Sean xA,  A y y xB,  B y dos ´ordenes totales densos, sin extremos, completos y separables. Entonces sean DA „ A y DB „ B tales que DA es denso en A, DB es denso en B y |DA |  ℵ0  |DB |. Es claro que xDA ,  A æD y y xDB ,  B æD y son ´ordenes totales densos, A B sin extremos y numerables, por lo tanto son isomorfos por el teorema 1.4. Sea h : DA Ñ DB un isomorfismo, entonces h es biyectiva y se cumple que x, y P DA px  A y Ø hpxq  B hpyqq. Definimos la funci´ on f : A Ñ B de la siguiente manera: f paq  sup thpxq : x P DA

^ x ¤ au, A

donde sup denota al supremo de un conjunto. Queremos mostrar que f es el isomorfismo deseado. Primero veamos que f est´a bien definida. Sea a P A. Como DA no tiene extremo izquierdo, thpxq : x P DA ^ x ¤A au  H. Adem´ as como A no tiene extremo derecho, sea a1 P A tal que a  A a1 . La densidad de DA en A implica que hay t P DA tal que a  A t  A a1 . Entonces para todo x P DA con x ¤A a, se tiene que x  A t. As´ı que para todo x P DA con x ¤A a, se tiene que hpxq  B hptq, pues x, t P DA y h es isomorfismo. Por lo tanto, thpxq : x P DA ^ x ¤A au est´a acotado superiormente por hptq y, como B es completo, dicho conjunto tiene supremo y as´ı f est´a bien definida. Para demostrar que f es un isomorfismo, primero demostremos que h  f æD , es decir que x P DA pf pxq  hpxqq. Sea x P DA . Tenemos que A mostrar que hpxq  supthpy q : y P DA ^ y ¤A xu def f pxq. Como h es isomorfismo, entonces y P DA py ¤A x Ñ hpy q ¤B hpxqq, por lo que hpxq es cota superior de thpy q : y P DA ^ y ¤A xu. Ahora, sea t una

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cota superior de este mismo conjunto. Si y P DA y y ¤A x, tenemos que hpy q ¤B t. En particular, si y  x, entonces hpxq ¤B t, por lo que se tiene que hpxq  supthpy q : y P DA ^ y ¤A xu y hpxq  f pxq. En segundo lugar veamos que a1 , a2 P Apa1  A a2 Ñ f pa1 q  B f pa2 qq. Sean a1 , a2 P A tales que a1  A a2 . Como DA es denso en A, sean y1 , y2 P DA tales que a1  A y1  A y2  A a2 . Como h es isomorfismo y a1  A y1 , entonces para cualquier y P DA con y ¤A a1 , se tiene que hpy q  B hpy1 q, por lo que hpy1 q es cota superior del conjunto thpy q : y P DA ^ y ¤A a1 u. Entonces se tiene que f pa1 q  supthpy q : y P DA ^ y ¤A a1 u ¤B hpy1 q  f py1 q. Por otra parte como h es isomorfismo y y1  A y2 , entonces f py1 q  hpy1 q  B hpy2 q  f py2 q. Adem´as, como hpy2 q P thpy q : y P DA ^ y ¤A a2 u, entonces f py2 q  hpy2 q ¤B supthpy q : y P DA ^ y ¤A a2 u  f pa2 q. Por lo tanto, f pa1 q ¤B f py1 q  B f py2 q ¤B f pa2 q y hemos probado que a1, a2 P Apa1  A a2 Ñ f pa1q  B f pa2qq. M´as a´un, por el ejercicio 1.2.3 (ver al final de esta secci´on) tenemos que f es inyectiva y que a1, a2 P Apa1  A a2 Ø f pa1q  B f pa2qq. De manera que para mostrar que f es un isomorfismo, s´olo falta ver que f es suprayectiva. Sea b P B. Si b P DB , entonces, como h es sobre, existe a P DA tal que hpaq  b y, como h  f æDA , entonces f paq  hpaq  b. Si b R DB , entonces sea Ab  ty P DA : hpy q  B bu. Queremos demostrar que b  f psup Ab q. Primero veamos que Ab  ∅. Como B no tiene extremo izquierdo, sea b0 P B tal que b0  B b, por la densidad de DB en B hay x1 P DB tal que b0  B x1  B b y como h es sobre DB entonces x1  hpy1 q para alg´ un y1 P DA , de donde hpy1 q  x1  B b y por lo tanto y1 P Ab . Es decir, Ab  ∅. Veamos ahora que Ab est´a acotado superiormente. Como B no tiene extremo derecho, sea b1 P B tal que b  B b1 . Por la densidad de DB en B, sea x0 P DB tal que b  B x0  B b1 . Ya que h es sobre, hay y0 P DA con hpy0 q  x0 y b  B hpy0 q. Ahora, dado y P Ab , se tiene que hpy q  B b  B hpy0 q. Por lo que si y P Ab , entonces y  A y0 , pues h es isomorfismo. Por lo tanto, y0 es cota superior de Ab y as´ı sup Ab existe. Antes de mostrar que b  f psup Ab q, mostremos la siguiente propiedad general: z P DApz  A sup Ab Ñ z P Abq (1.1) En efecto, si z P DA y z  A sup Ab , como el supremo de Ab es la m´ınima cota superior de Ab , entonces existe z0 P Ab tal que z  A z0 .

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Puesto que h es isomorfismo se tiene que hpz q  B hpz0 q y dado que z0 P Ab , entonces hpz0 q  B b, de donde hpz q  B hpz0 q  B b y por lo tanto hpz q  B b, es decir, z P Ab . Por lo que se cumple la propiedad (1.1). Continuando con nuestro objetivo, para ver que b  f psup Ab q como f psup Ab q def supthpy q : y P DA ^ y ¤A sup Ab u veamos primero que b es cota superior del conjunto thpy q : y P DA ^ y ¤A sup Ab u con lo cual tendremos que b ¥ f psup Ab q. Sea y P DA con y ¤ sup Ab . Tenemos dos casos: Si y  sup Ab , entonces hpy q  hpsup Ab q. Queremos mostrar que hpy q ¤ b. Supongamos lo contrario, es decir b  B hpsup Ab q para llegar a una contradicci´on. Como DB es denso en B, sea t0 P DB tal que b  B t0  B hpsup Ab q. Dado que h es sobre, sea u0 P DA tal que hpu0 q  t0 . Entonces b  B hpu0 q  B hpsup Ab q  hpy q y, como h es isomorfismo, u0  A sup Ab  y y por la propiedad (1.1), u0 P Ab . Entonces hpu0 q  B b, es decir, t0  B b, contradiciendo que b  B t0 . Por lo tanto, hpsup Ab q ¤B b.

P Ab y hpyq   b. Por lo tanto, b es cota superior del conjunto thpy q : y P D ^ y ¤ sup Ab u y as´ı b ¥ sup Ab . Si y

 

A

sup Ab , entonces por la propiedad (1.1), y

B

A

A

Finalmente veamos que b es la m´ınima cota superior. Sea c una cota superior de thpy q : y P DA ^ y ¤A sup Ab u y supongamos para llegar a una contradicci´on que c  B b. Como DB es denso en B, existe x P DB tal que c  B x  B b y puesto que h es sobre, hay y P DA con hpy q  x, de donde c  B hpy q  B b y entonces y P Ab , por lo que y ¤A sup Ab ; pero como c es cota superior de thpy q : y P DA ^ y ¤A sup Ab u, entonces hpy q ¤B c, es decir, x ¤B c, contradiciendo que c  B x. Por lo tanto, b ¤ c y as´ı b es el supremo de thpy q : y P DA ^ y ¤A sup Ab u, es decir, b  f psup Ab q, lo cual concluye la prueba de que f es suprayectiva. Luego entonces f es isomorfismo y por lo tanto xA,  A y  f xB,  B y. % Como en el teorema 1.6 demostramos que xR,  R y es un orden total denso, sin extremos, completo y separable, entonces, salvo isomorfismo, xR,  R y es el u ´nico con estas propiedades. Ahora definimos las operaciones en R.

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1. Tipos de orden

P R. Definimos lo siguiente: x R y  tp Q q : p P x ^ q P y u; 0R  tq P Q : q  Q 0Q u y 1R  tq P Q : q  Q 1Q u;
x  tp P Q : Ds ¡Q pp
s R xqu; x
R y  x R p
y q; |x|  x Y p
xq;

Definici´ on 1.32 Sean x, y (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) x R y

(vii) (viii)

$ 0R B ' ' ' ' & x R y

Y | | | |

si x ¥R si x  R

' ' ' %


p|x| R |y|q

si x  R 0R y y ¡R 0R o x ¡R 0R y y  R 0R

'

0R y y 0R y y

¥R 0R  R 0R

 tp Q q : 0Q ¤Q p P x ^ 0Q ¤Q q P yu tp P Q : Dsp1{s ¡Q p ^ s R xu si x ¡R 0R , x
1 
p|x|
1q si x   0 ; ?x  0 Y tq P Q : q2  q  q P xu si x ¥ R0 R. R Q R R donde B "

Se pueden demostrar entonces las reglas aritm´eticas usuales: R y R son cerradas, conmutativas y asociativas; R distribuye a R ; 0R es el neutro con respecto a R , 1R es el neutro con respecto a R ; dado x P R,
x P R y es su inverso aditivo; dado x P R con x  0R , x
1 P R y es su inverso multiplicativo; dado x P R, |x| ¥R 0R ;  R es compatible con R , etc. Tambi´en se puede demostrar que la funci´on ER : Q Ñ R definida en la demostraci´on del lema 1.5 preserva las operaciones, es decir, que p P Qq P QpER ppq R ER pqq  ER pp Q qqq, que

p P Qq P QpER ppq R ER pqq  ER pp Q qqq, que ER p0Q q  0R y que ER p1Q q  1R .

En [Am05] aparece la siguiente demostraci´on debida a Cantor de que R es no numerable. Esta demostraci´on particular utiliza la caracterizaci´on ´nicamente utiliza que R es un orden de R como tipo de orden (de hecho u total denso, sin extremo derecho y completo). La damos aqu´ı no s´olo porque est´a muy acorde con esta secci´on, sino adem´as porque refleja la raz´on por la cual R no es numerable.

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´ n y caracterizacio ´ n de las estructuras 1.2. Construccio num´ ericas Teorema 1.8 El conjunto

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R es no numerable.

Demostraci´ on. Supongamos para llegar a una contradicci´on que R es umero real numerable. Entonces R  tcn : n P ω u. Encontraremos un n´ a R tcn : n P ω u. Definimos dos sucesiones tan : n P ω u y tbn : n P ω u por recursi´on. (V´ease la figura 1.9): (i)

 c0 y b0  ck , donde k es el m´ınimo natural tal que a0  R ck (pues R

a0

es sin extremo derecho), (ii)

an 1  ck , donde k es el m´ınimo natural tal que an (pues R es denso) y bn 1  ck , donde k es el m´ınimo natural tal que an (pues R es denso). a0 a1

a2

a3

b3 b2 b1 b0

1

 R ck  R bn  R ck  R bn R

Figura 1.9: Construcci´ on de las sucesiones tan : n P ω u y tbn : n P ω u Como R es completo y tan : n P ω u est´a acotado superiormente por bn (para cualquier n P ω), sea a  suptan : n P ω u P R. Demostraremos que a R tcn : n P ω u. Primero veamos que n P ω pan  R a  R bn q. Si hubiera un j P ω tal que a ¤R aj , como a  suptan : n P ω u, a  aj . Por construcci´on, aj  R aj 1 . Entonces a  aj  R aj 1 , contradiciendo que a es cota superior del conjunto tan : n P ω u. Si hubiera un j P ω tal que bj ¤R a, como bj es cota superior del conjunto tan : n P ωu, bj  a. Por construcci´on bj 1  R bj y bj 1 es cota superior del conjunto tan : n P ω u, contradiciendo que a es la m´ınima cota superior. Luego entonces, n P ω pan  R a  R bn q. Sea ci P tcn : n P ω u. Entonces puede ser que Dn P ω pci ¤R an _ bn ¤R ci q, o que n P ω pan  R ci  R bn q. Si Dn P ω pci ¤R an _ bn ¤R ci q, entonces a  ci , dado que se cumple que n P ωpan  R a  R bnq.

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1. Tipos de orden

Si n P ω pan  R ci  R bn q, en particular para m P ω, am  R ci  R bm . u n j ¥N m y Entonces ci debe ser seleccionado como aj 1 o bj 1 para alg´ j ¤N m i. Es decir, ci debe ser seleccionado como elemento de alguna de las dos sucesiones a lo m´as depu´es de i pasos de la recursi´on, pues se elige siempre el de m´ınimo ´ındice. Esto contradice que n P ω pan  R ci  R bn q, por lo que este caso no es posible. As´ı se tiene que a  ci para cualquier i P ω, lo que contradice que R  tcn : n P ωu. % Por consiguiente, R es no numerable. De lo anterior se sigue que ℵ0   |R|. Ya hab´ıamos mencionado anteriormente que, como R „ P pQq, |R| ¤ 2ℵ0 , entonces hasta ahora tenemos que ℵ0   |R| ¤ 2ℵ0 . Para ver que |R| ¥ 2ℵ0 razonamos de la siguiente manera. Tomamos el conjunto de las sucesiones de ceros y unos (que son elementos de N 2) restando aquellas sucesiones que a partir de cierto momento sean s´olo ceros. Este conjunto tiene la misma cardinalidad 2ℵ0 puesto que s´olo eliminamos una cantidad numerable de sucesiones. Definimos una funci´on f : N 2 Ñ p0, 1q de forma que f pa0 a1 a2 . . .q  0.a0 a1 a2 . . ., que es un real del intervalo p0, 1q en notaci´on binaria. Entonces |N 2| ¤ |p0, 1q|  |R|. Hemos visto que existen funciones inyectivas EZ : N Ñ Z, EQ : Z Ñ Q, y ER : Q Ñ R, de tal forma que podemos ver a los naturales como un subconjunto de R. El siguiente teorema demuestra que el conjunto de los n´ umeros naturales no est´a acotado superiormente en R. Teorema 1.9

R es arquimediano, es decir, r P R Dn P N pr  R nq.

Demostraci´ on. Supongamos para llegar a una contradicci´on que N „ R est´a acotado superiormente en R. Como R es completo, sea b  sup N. Entonces b
R 1R no es cota superior de N (se deja como ejercicio ver que b
R 1R  R b). Por lo tanto, existe n0 P N tal que b
R 1R  R n0 . Como  R es compatible con R (ejercicio 1.2.24, inciso (viii)) y
1R R 1R  0R (ejercicio 1.2.24, inciso (v)), b  R n0 R 1R . Pero si n0 P N, se puede ver que n0 R 1R P N y esto contradice el hecho de que b  sup N. % Por lo tanto, N no est´a acotado superiormente en R. As´ı, los naturales son “cofinales” en R, es decir, dado cualquier n´ umero real, existe un natural m´as grande que el real dado.

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´ n y caracterizacio ´ n de las estructuras 1.2. Construccio num´ ericas

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Ejercicios 1.2.1.- Demuestre que todo buen orden es un orden total. 1.2.2.- Demuestre que si A es finito y xA, ry es un orden total, entonces xA, ry es un buen orden. 1.2.3.- Sea xA, ry tal que r es tricot´omica en A, sea xB, sy un orden parcial y sea f : A Ñ B tal que x, y P Apx r y Ñ f pxq s f py qq. Demuestre que (a) f es inyectiva, y que

x, y P Apx r y Ø f pxq s f pyqq. Demuestre que n P N pxn, Py  xN, Pyq, es decir, que el tipo de (b)

1.2.4.-

orden de cualquier natural es distinto de ω. Concluya, usando el ejercicio 1.1.7, que n P N n   ω como tipos de orden. 1.2.5.- Demuestre que ω

 ω.

1.2.6.- Sea xA, ry un orden total. Pruebe que xA, ry es un buen orden si y s´olo si no existe una sucesi´on tan | n P ω u tal que n P ω pan 1 r an q. Comentario: Se necesita el axioma de elecci´on4 para probar una de las implicaciones, ¿cu´al de ellas? Tambi´en se necesita el teorema de recursi´on (teorema 1.1) para escribir con todo rigor una de las implicaciones. 1.2.7.- Demuestre que la relaci´on de equivalencia.

 definida sobre N  N para definir Z es

xZ,  Z y es un orden total sin extremos. Demuestre que para todo pn, mq P Z tal que pn, mq ¥Z existe un u ´nico k P N tal que pk, 0q P pn, mq. Demuestre que para todo pn, mq P Z tal que pn, mq ¤Z existe un u ´nico k P N tal que p0, kq P pn, mq.

1.2.8.- Demuestre que 1.2.9.- (a) (b) 4

0Z , 0Z ,

V´ease el ap´endice B.

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1. Tipos de orden

1.2.10.- Sea A un conjunto y r una relaci´on binaria sobre A. Definimos r
1 una relaci´on binaria sobre A de la siguiente manera: x r
1 y si y s´olo si y r x. Demuestre que si xA, ry es un orden total entonces xA, r
1y es un orden total. 1.2.11.- Demuestre que la funci´on g definida en la demostraci´on del teorema 1.3 est´a bien definida y es un isomorfismo.

 es una relaci´on de equivalencia sobre Q 1. Demuestre que a{b 
a{
b.

1.2.12.- Demuestre que 1.2.13.-

1.2.14.- Demuestre que las operaciones definidas sobre los racionales est´an bien definidas. 1.2.15.- Demuestre que la suma y la multiplicaci´on en los racionales son conmutativas y asociativas, y que la multiplicaci´on se distribuye sobre la suma. 1.2.16.- Demuestre que si a{b, c{d P Q y c{d  0Q , la ecuaci´on a{b  c{d Q x ´nica. tiene una soluci´on x P Q y ´esta es u

 Q est´a bien definido. Demuestre que p  Z q si y s´olo si p{1  Q q {1. Demuestre que EQ : Z Ñ Q donde EQ ppq  rp{1Z s es un morfismo inyectivo de xZ,  Z , Z , Z , 0Z , 1Z y en xQ,  Q , Q , Q , 0Q , 1Q y. Demuestre que xQ,  Q y es un orden total.

1.2.17.- Demuestre que el orden 1.2.18.1.2.19.1.2.20.-

1.2.21.- Justifique que para cualquier tipo de orden numerable τ se tiene que τ ¤ η.

1.2.22.- Demuestre que un orden total xA, ry es completo si y s´olo si todo subconjunto inferiormente acotado tiene ´ınfimo. 1.2.23.- Sea xP,  P y un orden total, denso y sin extremos. Demuestre que existe un orden total denso, sin extremos y completo xC,  C y tal que: (i) P

„ C,

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1.3. Aritm´ etica de tipos de orden

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p, q P P pp   q Ø p   qq, (iii) xP,   y es denso en xC,   y y (iv) xC,   y es el u ´nico salvo isomorfismo que cumple lo anterior. A veces a xC,   y se le llama la compleci´ on de xP,   y. (ii)

P

C

P

C

C

C

P

1.2.24.- Demuestre que: (i) la operaci´on

R es cerrada, asociativa y conmutativa;

(ii) la operaci´on R es cerrada, asociativa y conmutativa; (iii) la operaci´on R distribuye a R ; (iv) 0R es el neutro con respecto a a R ; (v) si x P R, entonces de x;

R y 1R es el neutro con respecto


x P R y, adem´as,
x es el inverso aditivo

(vi) si x P R es tal que x multiplicativo;

 0R , entonces x
1 P R y es su inverso

(vii) si x P R, entonces |x| P R y |x| ¥R 0R ; (viii)

x, y, z P Rpx  R y Ø x

z

 R y

z q;

1.2.25.- Demuestre que la propiedad arquimediana enunciada en el teorema 1.9 es equivalente a que a, b P Rpa, b ¡R 0R Ñ Dn P Npb  R n R aqq.

1.3.

Aritm´ etica de tipos de orden

Es interesante explorar lo que pasa cuando unimos dos ´ordenes totales para formar un nuevo orden total, de forma tal que uno quede a la izquierda del otro. Tambi´en es interesante hacer el producto cartesiano de dos ´ordenes totales para formar un nuevo orden total. Estos nuevos ´ordenes los definimos de la siguiente manera. Definici´ on 1.33 Sean τ y µ tipos de orden representados por xA,  A y y xB,  B y respectivamente.

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1. Tipos de orden

Si A X B  H, definimos τ orden de pA Y B,  AYB q, donde x  AYB y

si y s´ olo si

µ (la suma de τ m´as µ) como el tipo de $ & x

 A y y x, y P A, ´o x  B y y x, y P B, ´o % xPA y y P B.

Definimos τ  µ (el producto de τ por µ; o τ , µ veces) como el tipo de orden de pA  B,  AB q, donde

pa1, b1 q  



A B

pa2 , b2 q

"

si y s´ olo si

b1 b1

  b2, ´o  b2 y B

a1

 

A

a2 .

A este orden se le llama orden antilexicogr´afico. Obs´ervese que al definir A  B no se necesita pedir que A y B sean ajenos. De hecho, un caso particular es τ  τ denotado como τ 2 . Por otro lado, cuando escribamos τ τ estaremos asumiendo que es el tipo de orden de la uni´on de dos ´ordenes totales ajenos con el mismo tipo de orden. Esto se puede lograr tomando un orden total xA,  A y con tipo de orden τ y uniendo xA,  A y con xA  tHu,  AtHu y, donde se cumple que xa, Hy  AtHu xb, Hy si y s´olo si a  A b. Es interesante decir aqu´ı que si τ y µ son tipos de orden finitos, τ µ  µ τ y τ  µ  µ  τ , pero que si τ o µ son infinitos, la suma τ µ y el producto τ  µ pueden ser diferentes a la suma µ τ y al producto µ  τ respectivamente (v´eanse los ejercicios 1.3.4, 1.3.5 y 1.3.6 de esta secci´on). Las figuras 1.10, 1.11, 1.12 son ejemplos visuales de la suma y la multiplicaci´on de tipos de orden.

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1.3. Aritm´ etica de tipos de orden

p p p p

p q

Tipo de orden ω

p0, 1q 1

p0, 1q p1, 1q p2, 1q p3, 1q

p0, 0q p1, 0q p2, 0q p3, 0q

Tipo de orden ω

p q

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q q q q p0, 0q p1, 0q p2, 0q p3, 0q

ω

p2, 1q p1, 1q p0, 1q p0, 0q p1, 0q p2, 0q p3, 0q p4, 0q Tipo de orden ω 

ω

Figura 1.10: Ejemplos de suma de tipos de orden

Ejercicios 1.3.1.- Sean xA,  A y y xB,  B y ´ordenes totales tales que A Demuestre que xA Y B,  AYB y es un orden total.

X B  H.

1.3.2.- Si xA,  A y y xB,  B y son ´ordenes totales, demuestre que tambi´en xA  B,  AB y es un orden total. 1.3.3.- Sean τ , µ y σ tipos de orden. Demuestre que (i) pτ

1.3.4.-

µq

 τ pµ σq, (ii) pτ  µq  σ  τ  pµ  σ q, (iii) τ  pµ σ q  pτ  µq pτ  σ q, (iv) τ τ  τ  2. Sean xA,   y y xB,   y ´ordenes totales finitos. Entonces sus tipos de orden son n y m para algunos n, m P N. Demuestre que n m  m n y que n  m  m  n, donde es la suma de tipos de orden y  es la multiplicaci´on de tipos de orden. A

σ

B

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1. Tipos de orden

p p p p p p p p pp pp pp pp p pp pp p

q q q q q q q q

q q q q q q q q 0 q q q q q q p0, 0q p1, 0q p2, 0q p3, 0q

1

p0, 1q p1, 1q p2, 1q p3, 1q

Tipo de orden ω  2 η

q5 q6

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q

0

q1

q3

0

1

1

q0

q4

q2

1

0

0

1

1

pq2 , 0qpq2 , 1q

pq5 , 0q pq5 , 1q pq1 , 0q pq1 , 1q pq0 , 0qpq0 , 1q pq4 , 0qpq4 , 1q 0

0

0

1

pq6 , 0qpq6 , 1q pq3 , 0qpq3 , 1q

1

Tipo de orden 2  η η

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Tipo de orden ω  η Figura 1.11: Ejemplos de multiplicaci´on de tipos de orden

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1.3. Aritm´ etica de tipos de orden

ω

p2, 1q

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ω

p1, 1q

p0, 1q

p0, 0q

p1, 0q

p2, 0q

ω

ω

ω

ω

ω

p q 

ω

Tipo de orden ω  pω  ω

p2, 1q

p1, 1q

ωq

ω

p0, 0q

p0, 1q

p2, 0q

p1, 0q

p q

ω



ω

ω



ω

ω



ω

Tipo de orden pω 

ω



ω

ω



ω q  pω 

ω

ω



ω

ωq

Figura 1.12: Ejemplos de suma y multiplicaci´on de tipos de orden

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1. Tipos de orden

1.3.5.- Demuestre que el tipo de orden ω 1 no es igual al tipo de orden 1 ω, es decir, que en general la suma de tipos de orden no es conmutativa. 1.3.6.- Demuestre que el tipo de orden ω  2 no es igual al tipo de orden 2  ω, es decir, que en general el producto de tipos de orden no es comutativo. 1.3.7.- Demuestre que

 ω ω, ω  ω  ω, ω ω  ω  ω ω  ω 1 ω  ω  ω 1, ω 1  ω  1 ω, ω  ω  ω  ω

(i) ω (ii) (iii) (iv) (v) (vi)

ω,

xNztHu, Qy es igual a ω. Demuestre que el tipo de orden de xNztHu  t0u, Q1 y es ω  , donde pn, 0q Q1 pm, 0q si y s´olo si m P n. Tambi´en demuestre que el tipo de orden de xN t1u, P1 y es ω, donde pn, 1q P1 pm, 1q si y s´olo si n P m. Demuestre que el tipo de orden de xZ,  Z y es igual al tipo de

1.3.8.- (a) Demuestre que el tipo de orden de (b)

(c)

orden ω  ω. Es por esto que decidimos denotar al tipo de orden de los enteros como ω  ω. Sugerencia: Utilice al orden total xNztHu  t0u, Q1 y como representante del tipo de orden ω  y a xN  t1u, P1 y como representante del tipo de orden ω.

1.3.9.- Demuestre que los siguientes tipos de orden son todos diferentes: (a) ω 

(b) pω  (c) pω 

ω, ωq

pω

ω q  pω 

ω q,

ω q.

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1.3. Aritm´ etica de tipos de orden

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1.3.10.- Encuentre un contraejemplo para justificar que no siempre

pµ

σq  τ

 pµ  τ q pσ  τ q.

Observe que esto no contradice el inciso (iii) del ejercicio 1.3.3. 1.3.11.- Recuerde que denotamos con η al tipo de orden de muestre que

 η  η  η  η  2  2  η; (ii) p1 η q  η  pη 1q  η  p1 η 1q  η  η 1 η  η. (i) Demuestre que η  η 1. (ii) Sea f : Q Ñ p
1, 1s X Q definida como f pxq  |x|x 1 , donde p
1, 1s X Q  tq P Q :
1Q  Q q ^ q ¤Q 1Q u y " |x|  x
x sisi xx ¥ Q 00Q ,. Q Q Pruebe que xQ,  Q y Æ f xp
1, 1s X Q,  Q æp
1,1sXQ y. Obs´ervese que el tipo de orden de xp
1, 1s X Q,  Q æp
1,1sXQ y es η 1, por lo que η ¤ η 1. Por otro lado, claramente se cumple que xp
1, 1s X Q,  Q æp
1,1sXQ y „ xQ,  Q y y entonces η 1 ¤ η, pero por el primer inciso de este ejercicio η  η 1. Por lo tanto, la relaci´on ¤ entre tipos de orden no es antisim´etrica, es decir, si τ y µ son tipos de orden con τ ¤ µ y µ ¤ τ , esto no necesariamente implica que τ  µ. Describa c´ omo es el tipo de orden ω η  pω  ω q. Recuerde que denotamos con λ al tipo de orden de xR,  R y. De(i) η

1.3.12.-

1.3.13.1.3.14.-

xQ,  Q y. De-

η

muestre que (i) λ

λ  λ,

(ii) λ  λ  λ.

(iii) λ ¤ λ

λyλ

λ ¤ λ.

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1. Tipos de orden

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2 N´umeros ordinales 2.1.

Introducci´ on

Los n´ umeros naturales se definen para formalizar el proceso de contar los elementos de conjuntos finitos. Este proceso de contar involucra ordenar a los elementos. Los n´ umeros ordinales, como su nombre lo indica, generalizan esta formalizaci´ on de ordenar a cualquier conjunto finito o infinito, usando el axioma de elecci´ on (discutido en el ap´endice B), para contar sus elementos. En la introducci´on de la secci´on 1.2.1 mencionamos la definici´on de n´ umero natural y discutimos brevemente su motivaci´on. Los n´ umeros naturales se definen de manera que representen a todas las distintas cantidades finitas. Al decir que n es un natural se busca que n represente a todos los conjuntos finitos con n elementos. Entonces debe elegirse un conjunto que tenga 0 elementos, uno que tenga 1 elemento, uno que tenga 2 elementos, etc. Esta elecci´ on se hace usando la idea de John von Neumann de que todo natural es el conjunto de los naturales anteriores a ´el. Entonces el primer natural, por ser el primero y por ser el conjunto de los anteriores, es necesariamente el vac´ıo (esto no deber´ıa sorprendernos pues existe s´olo un conjunto con ning´ un elemento, por lo que ´este es el u ´nico candidato para ser 53 i

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´meros ordinales 2. Nu

el natural 0). El siguiente natural, como es el conjunto de los naturales anteriores, es el unitario del vac´ıo; el siguiente es el conjunto que tiene al vac´ıo y al unitario del vac´ıo, etc. Este proceso de construcci´on de los naturales tambi´en se puede describir de la siguiente manera: el vac´ıo es el primer natural y dado n un natural, el siguiente natural, usualmente llamado el sucesor de n y denotado spnq, se obtiene agregando a n un elemento m´as y este elemento es n mismo; es decir, spnq  n Ytnu. Constru´ıdos as´ı, los naturales resultan ser transitivos (un conjunto x es transitivo si y py P x Ñ y „ xq) y bien ordenados por la pertenencia. El desarrollo formal de los n´ umeros naturales puede verse en [Am05]. Lo importante aqu´ı es decir que la definici´on de que un conjunto sea finito depende por completo del concepto de n´ umero natural. Definici´ on 2.1 Un conjunto A es finito si existe un n´ umero natural n y una biyecci´ on f : n Ñ A. Es decir, un conjunto es finito si es equipotente a alg´ un n´ umero natural (definici´ on 1.23). Si existe un n´ umero natural n y una biyecci´on f : n Ñ A, se dice que A tiene n elementos y ´estos fueron contados en el orden natural, es decir, primero el f p0q P A, luego el f p1q P A, etc. Buscamos una generalizaci´on de estas ideas para poder contar los elementos de conjuntos en general, incluso cuando tengan un n´ umero infinito de elementos. Como los n´ umeros naturales resultan muy adecuados para contar los conjuntos finitos, los naturales ser´an ordinales. Pero necesitamos definir a los ordinales de tal forma que los elementos de cualquier conjunto puedan ser contados por ellos (con la ayuda del axioma de elecci´on). De hecho, la idea de John von Neumann mencionada anteriormente es m´as general: todo ordinal es el conjunto de los ordinales anteriores a ´el. Entonces el siguiente ordinal depu´es de todos los naturales es el conjunto de todos ellos: ω, el m´ınimo conjunto inductivo (v´ease la introducci´on de la secci´on 1.2.1). Continuando as´ı, el siguiente ordinal despu´es de ω, su sucesor, es ω Y tω u, denotado como ω 1 (por ahora, ω 1 es s´olo una manera de denotar al sucesor de ω, pero una vez definida la suma entre ordinales formalmente veremos que precisamente ω 1  ω Y tω u). El siguiente es entonces ω 1 Y tω 1u, denotado como ω 2, y as´ı sucesivamente. El siguiente ordinal despu´es de todos los de la forma ω n con n P ω es el conjunto de todos los anteriores, es decir, ω Y tω n : n P ω u que normalmente se

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´n 2.1. Introduccio

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denota como ω ω; obs´ervese que ´este es un “salto” similar al que hicimos cuando construimos ω. Despu´es, para cada n P ω, construiremos ωn  ω ω ... ω loooooooomoooooooon n veces



ω Y tω

n : n P ω u Y tω

ω

n : n P ωu Y . . .

. . . Y tω . . . ω n : n P ω u. looooomooooon




n 1 veces

Si continuamos as´ı, construiremos el ordinal denotado como ωω

 

ω ω ω ... ω Y tω n : n P ω u Y tω

ω

n : n P ωu Y . . .

Posteriormente, el ordinal ωω

 ω  ω  ω  ...,

y as´ı sucesivamente. Debe ser claro que con esta idea cada n´ umero ordinal es un conjunto transitivo de ordinales, pues los elementos de sus elementos son anteriores a sus elementos y por tanto anteriores a ´el, por lo que ser´an tambi´en elementos suyos. Adem´ as cada ordinal pertenece y al mismo tiempo es subconjunto propio del siguiente. Esto nos sugiere a la relaci´on de pertenencia como el orden lineal entre los ordinales. Veremos que la pertenencia entre ordinales coincide con la contenci´on propia y es adem´as un buen orden para los ordinales. Todas estas ideas intuitivas ser´an demostradas con todo rigor a partir de la definici´on que daremos de n´ umero ordinal. La clase (veremos que es propia) de los n´ umeros ordinales comparte varias propiedades con los naturales (aunque no sea conjunto), por ejemplo demostraremos el principio del m´ınimo ordinal, el principio de inducci´on para ordinales y el teorema de recursi´on transfinita que son generalizaciones de los resultados correspondientes para naturales. Tambi´en veremos que dado un conjunto bien ordenado xA, ry existe un u ´nico ordinal α y una funci´on f tal que xA, ry f xα, Py (teorema de enumeraci´on). Entonces podremos “contar” los elementos de A por medio del isomorfismo f y es as´ı como los ordinales formalizar´an el proceso de contar incluso a conjuntos infinitos. Pero es aqu´ı donde necesitamos el axioma de

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elecci´ on pues para poder afirmar que los elementos de cualquier conjunto pueden ser “contados” por un ordinal, necesitamos que el conjunto sea bien ordenable. El teorema del buen orden que afirma que todo conjunto es bien ordenable es equivalente al axioma de elecci´on (ver [Am05] para esta equivalencia; tambi´en en la secci´on 2.7.4 veremos, como una aplicaci´on del teorema de recursi´on transfinita, que el axioma de elecci´on implica el teorema del buen orden). Formalicemos ahora todo lo discutido.

2.2.

Definiciones y propiedades

Definici´ on 2.2 Un n´ umero ordinal es un conjunto transitivo bien ordenado por la relaci´ on de pertenencia P. La frase “α es ordinal” significa entonces lo siguiente: ypy P α Ñ y „ αq ^ xα, Py es un buen orden. Comprobaremos que esta definici´on formal coincide con la idea de John von Neumann discutida arriba. Adem´as, veremos durante todo este cap´ıtulo que esta definici´on es la adecuada para que se cumpla nuestro objetivo: “contar” los elementos de conjuntos infinitos por medio de los ordinales. Los ordinales ser´an denotados con letras griegas min´ usculas α, β, γ, δ, . . . Proposici´ on 2.1 Sean α, β y γ ordinales. Entonces se cumple lo siguiente: (i) α R α;

(ii) si α P β y β (iii)

P γ, entonces α P γ; no es posible que α P β y β P α.

Demostraci´ on. (i) Usando el axioma de buena fundaci´on esta afirmaci´on es obvia. Sin embargo, en el caso en que α es ordinal podemos evitar su uso mediante la siguiente argumentaci´on. Sea α un ordinal. Si α P α, entonces hay un elemento en α, a saber α mismo, que se pertenece a s´ı mismo, contradiciendo el hecho de que P sea antirreflexiva en α, es decir que xα, Py sea un orden parcial. Por lo tanto, α R α.

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2.2. Definiciones y propiedades

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(ii) Sean α, β y γ ordinales tales que α P β y β P γ. Entonces, como γ es transitivo, se tiene que β „ γ. Por lo tanto, α P γ. (iii) Supongamos que α y β son ordinales tales que α P β y β P α. Entonces, como xα, Py es orden parcial, P es transitiva en α, por lo que tendr´ıamos que α P α, contradiciendo el inciso piq. Por lo tanto, no es % posible que α P β y β P α. As´ı que la relaci´on de pertenencia en los ordinales es antirreflexiva, transitiva y cumple que dados α y β ordinales α R β o β R α. Estos hechos motivan la siguiente definici´on. Definici´ on 2.3 Definimos la relaci´ on de orden olo si α P β. gue: α   β si y s´

  entre ordinales como si-

Como ya discutimos anteriormente, la definici´on de ordinal debe tener como consecuencia que los naturales sean los ordinales finitos y que ω sea el primer ordinal infinito. Proposici´ on 2.2 Todo n´ umero natural es un n´ umero ordinal. Adem´ as, ω es un n´ umero ordinal. Demostraci´ on. De acuerdo a la definici´on 1.11 los naturales son conjuntos transitivos bien ordenados por la pertenencia, por lo que todo n´ umero natural es un n´ umero ordinal. V´ease, por ejemplo, [Am05] para las demostraciones de que ω es transitivo“y que xω, Py es un buen orden, hechos que se desprenden de que ω  ty | y es inductivou (definici´on 1.12). Por lo tanto, ω es un ordinal. % Se puede verificar que pω, Pq no tiene un P-m´aximo, por lo que ω no es un n´ umero natural. Entonces hemos encontrado un n´ umero ordinal que no es natural, a saber ω. As´ı que todo natural es ordinal, m´as no a la inversa. Proposici´ on 2.3 Sea α un ordinal. Entonces (i) si x P α, x es un ordinal; (ii) α  tβ | β es ordinal y β

  αu; y

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58 (iii) si x „ α y x es transitivo, x es un ordinal. Demostraci´ on.

(i) Sea x P α. Por ser α transitivo, x „ α. Entonces xx, Py es un buen orden, pues xα, Py lo es y los subconjuntos de buenos ´ordenes son a su vez buenos ´ ordenes. Para ver que x es transitivo, sean z P x y y P z. Como x P α, α es transitivo y z P x, tenemos que z P α. Ahora, como z P α, α es transitivo y y P z, y P α. Por lo tanto, x, y, z P α. Finalmente, dado que xα, Py es un buen orden, P es transitiva en α, por lo que y P x. Por lo tanto, x es transitivo.

(ii) Sea α un ordinal. Por definici´on β P α si y s´olo si β   α. Adem´as, por el inciso anterior, todos los elementos de α son ordinales, por lo que α  tβ | β es ordinal y β   αu.

(iii) Sean α un ordinal y x un subconjunto transitivo de α. Entonces xx, Py es un buen orden pues xα, Py lo es y los subconjuntos de buenos ´ordenes son a su vez buenos ´ ordenes. Como adem´as x es transitivo, tenemos % que x es ordinal. As´ı, la definici´on formal de ordinal realmente satisface la idea de John von Neumann pues, por el inciso (ii), un ordinal es el conjunto de todos los ordinales anteriores a ´el. Proposici´ on 2.4 Sean α y β ordinales, entonces (i) α X β es un ordinal;

(ii) α  β si y s´ olo si α P β;

(iii) se cumple que α „ β o β

„ α;

(iv) se cumple una y s´ olo una de las siguientes relaciones: α P β, o β P α, o α  β. Demostraci´ on. (i) Sean α y β ordinales. Entonces α X β „ α. Por otro lado, la intersecci´on de conjuntos transitivos es un conjunto transitivo. Por lo tanto, por el inciso (iii) de la proposici´on 2.3, α X β es un ordinal.

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2.2. Definiciones y propiedades

(ii) Sean α y β ordinales tales que α  β. Entonces tenemos que β zα  ∅. Como β zα „ β y xβ, Py es un buen orden, existe x0 P β zα tal que x0 es el P-m´ınimo de β zα. Veamos que x0  α.

Como x0 es el P-m´ınimo de β zα, y P x0 py R β zαq, es decir, dada y P x0 , y R β o y P α. Como β es transitivo y x0 P β, tenemos que y P x0py P αq, por lo que x0 „ α.

Sea z P α. Entonces z P β y, como P es tricot´omica en β y x0 P β, tenemos que x0  z o x0 P z o z P x0 . Ahora bien, x0  z pues z P α as, como α es transitivo y x0 R α, x0 R z. Por lo tanto, y x0 R α. Adem´ z P x0 y α „ x0 . Entonces α  x0 , por lo que α P β. Rec´ıprocamente, sean α y β ordinales tales que α P β. Como β es transitivo, α „ β. Adem´as, α  β, pues α P β y P es antirreflexiva en los ordinales.

(iii) Sean α y β ordinales. Por el inciso (i), sabemos que α X β es un ordinal. Supongamos que α „ β y que β „ α, entonces sean x P αzβ y y P β zα. Por lo tanto, α X ⠐ α y α X ⠐ β. Entonces, por el inciso (ii), α X β P α y α X β P β, por lo que α X β P α X β, lo cual contradice el hecho de que α X β sea un ordinal. Por lo tanto, α „ β o β „ α. (iv) Sean α y β ordinales. Por el inciso anterior, tenemos que α β „ α.

„β

o

Si α  β, entonces se cumple al menos una de las relaciones.

Si α  β, entonces α  β o ⠐ α. Por el inciso (ii), se tiene que α P β o β P α. Por lo tanto, se cumple al menos una de las tres relaciones. No es posible que se cumplan dos de las relaciones a la vez, pues transitiva y antirreflexiva en la clase de los ordinales.

P es %

Como, por la proposici´on 2.1, la relaci´on de pertenencia entre ordinales es antirreflexiva y transitiva, y adem´as es tricot´omica por el inciso (iv) de la proposici´on anterior, la clase de los ordinales est´a totalmente ordenada por la pertenencia. Adem´ as, veamos que est´a bien ordenada. Es importante aclarar que las clases no necesariamente son conjuntos (cuando no son conjuntos las llamamos clases propias), aunque con cui-

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dado podemos manejarlas como conjuntos. V´ease el ap´endice A para una discusi´on de esto. Teorema 2.1 (Principio del M´ınimo Ordinal) Toda clase no vac´ıa de ordinales tiene un elemento m´ınimo. Es decir, si C es una clase no vac´ıa de ordinales, entonces se cumple que Dα P C β P C pα P β _ α  β q. “

Demostraci´ on. Sea C una clase no vac´ıa de ordinales. Veamos que C es el elemento m´ınimo de C. “ Por el axioma de separaci´on1 sabemos que C es un conjunto , ya que dado α P C (y dicho α existe, pues C es no vac´ıa), podemos observar que “ C  tβ P“α : γ P C pβ P γ qu. Adem´as, como xα, “ Py es un buen orden y “ C“„ α, x C, Py es un buen orden. Para ver que C es transitivo, sean tiene que y P γ y que“γ es transitivo, por y P C y x P y. Para todo γ P C se“ lo que γ P C px P γ q, es decir, x P C. De manera que“ C es un“ ordinal. “ p C  α o “ C  αq. Dado que α P C p C „ αq, se tiene que α P C “ De modo que, por la proposici´ on 2.4 (ii), α P C p “ C P α o C  αq. “ “ Si sucediera que“α P C p C P αq, se tendr´ıa“que C P C, lo“cual es ı, Dα P C p C  αq, “ es decir, C P C. imposible, pues C es un“ordinal. As´ “ Adem´ as, como α P C p C P α o C  αq, entonces C es el m´ınimo % ordinal de C. Una consecuencia de este teorema es el hecho de que la clase de todos los ordinales est´a bien ordenada por la pertenencia. Este hecho es una generalizaci´on del llamado principio del buen orden para naturales, que se sabe es equivalente al principio de inducci´on para naturales. M´as adelante veremos que el principio del m´ınimo ordinal tambi´en es equivalente a una generalizaci´on para los ordinales del principio de inducci´on para naturales. Otra consecuencia es la llamada paradoja de Burali-Forti que se llama “paradoja” por razones hist´oricas, pero en la actualidad sabemos que no es una paradoja. Al matem´atico Cesare Burali-Forti le pareci´o una paradoja, pues pensaba que la clase de todos los ordinales deb´ıa ser un conjunto. Denotamos a esta clase como OR, es decir, OR  tα | α es un ordinal u. Corolario 2.1 (Paradoja de Burali-Forti) La clase de los ordinales no es un conjunto. 1

V´ease el ap´endice B

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2.2. Definiciones y propiedades

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Demostraci´ on. Como los elementos de un ordinal son ordinales, OR es transitivo. Adem´ as, por el principio del m´ınimo ordinal, P bien ordena a OR. De manera que, si OR fuera conjunto, OR ser´ıa un ordinal. Pero entonces OR P OR, contradiciendo el inciso (i) de la proposici´on 2.1. Por lo tanto, OR no puede ser conjunto. % Corolario 2.2 Para cualquier α, α es un ordinal si y s´ olo si α es un conjunto transitivo de ordinales. Demostraci´ on. Si α es un ordinal, entonces por definici´on es un conjunto transitivo. Adem´ as, por el inciso (ii) de la proposici´on 2.3, α es un conjunto de ordinales. Supongamos que α es un conjunto transitivo de ordinales. Como α es un conjunto de ordinales, por el principio del m´ınimo ordinal, xα, Py es un % buen orden. Como α es transitivo, α es un ordinal. Definici´ on 2.4 Un ordinal α se llama sucesor si y s´ olo si existe un ordinal β tal que α  β Y tβ u. Es un ejercicio de esta secci´on demostrar que si β es un ordinal, entonces un ordinal entre β y su sucesor. β Y tβ u es un ordinal, y que no hay ning´ En adelante usaremos β 1 para denotar β Y tβ u. Por ahora, β 1 es s´olo una manera de denotar a este ordinal; posteriormente, cuando definamos la suma ordinal, veremos que efectivamente β 1  β Y tβ u. Definici´ on 2.5 Un ordinal α se llama l´ımite si y s´ olo si α sucesor.

 0 y α no es

Claramente, el ordinal 0 no es sucesor, pues ∅  β Y tβ u para cualquier conjunto β. En consecuencia, los ordinales se dividen en tres tipos disjuntos: el cero, los sucesores y los l´ımites. Proposici´ on 2.5 Se cumplen las siguientes propiedades. (i) Para todo ordinal β,

”

pβ

1q  β.

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(ii) α es un ordinal l´ımite si y s´ olo si α es un ordinal tal que α ” α  α.

0y

(iii) Todo ordinal l´ımite es inductivo. M´ as a´ un, α es un ordinal l´ımite si y s´ olo si α es un ordinal inductivo. (iv) ω es el m´ınimo ordinal l´ımite. Demostraci´ on. ”

(i) Para cualquier conjunto x, se cumple que x „ px Y txuq; pues dado y P ”x, hay z P x Y txu, a saber z  x, tal que y P” z, por lo que Ytxuq. Si adem´as x es transitivo, veamos que px Ytxuq „ x. y P px ” Sea y P px Y txuq. Entonces hay z P x Y txu tal que y P z. Si z P x, entonces, como x es transitivo, y P x; si z  x, entonces tambi´en se tiene que y P x.

(ii)

”

pβ

1q 

”

pβ Y tβ uq  β. as, Si α es un ordinal l´ımite, entonces, por definici´on, α  0. Adem´ ” ” claramente α „ α, pues α es transitivo. Para ver que α „ α, t´ omese β P α. Como α es un ordinal l´ımite, α  β Y tβ u, y como no existe ning´ un ordinal entre β y su sucesor, tenemos que β Y tβ u P α. ” De aqu´ı que β P β Y tβ u P α y entonces β P α. ” Inversamente, supongamos que α es un ordinal tal que α” α  0. Si hubiera un ordinal β tal que α  β 1, entonces α  pβ 1q; pero entonces, por el inciso (i), α  β y, como β P α, tendr´ıamos que α P α, lo cual es absurdo. De manera que α es un ordinal l´ımite. Por lo tanto, si β es un ordinal,

(iii) Supongamos que α es un ordinal l´ımite. Como la pertenencia es tricot´ omica en OR, α  0 y α R 0, se tiene que 0 P α. Por otro lado, si β P α, como α  β Y tβ u y la pertenencia es tricot´omica en OR, un ordinal entre β y α P β Y tβ u o β Y tβ u P α. Como no hay ning´ su sucesor, α R β Y tβ u, pues β P α, por lo que β Y tβ u P α y α es inductivo.

Supongamos que α es un ordinal inductivo. Entonces H P α, de donde α  0. Ahora, si hubiera un ordinal β tal que α  β Ytβ u, tendr´ıamos que β P α; pero entonces, como α es inductivo, β Ytβ u P α, por lo que

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2.2. Definiciones y propiedades

α P α, lo cual contradice que α sea ordinal. Por lo tanto, α es ordinal l´ımite. (iv) Por el inciso anterior, ω es un ordinal l´ımite. Ahora, sea α un ordinal l´ımite. Por el inciso anterior, α es inductivo. Al ser ω el m´ınimo conjunto inductivo con respecto a la inclusi´on, tenemos que ω „ α. Por lo tanto, ω es el m´ınimo ordinal l´ımite. % Observe que, por el inciso (i) de la proposici´on anterior, si α es un ordinal ” sucesor, entonces α es el antecesor de α. Por otro lado, por el inciso (ii), una condici´on necesaria y suficiente para que α sea un ordinal l´ımite es que ” sea distinto del vac´ıo y que α  α.

Ejercicios ”

2.2.1.- Demuestre que si A es un conjunto de ordinales, entonces A es un ordinal. Sugerencia: Utilice el corolario 2.2 del principio del m´ınimo ordinal. 2.2.2.- Si X es un conjunto no vac´ıo de ordinales, ¿cu´al es el m´ınimo ordinal de X que el principio del m´ınimo ordinal asegura que existe? ¿Por qu´e? 2.2.3.- Sea α un ordinal. Demuestre lo siguiente:

(i) α Y tαu es ordinal; y (ii) no existe ning´ un ordinal β tal que α P β

Pα

1.

2.2.4.- Sea X un conjunto. Demuestre lo siguiente: ”

X es el supremo (con respecto a „) del conjunto X; (i) (ii) si X es un”conjunto de ordinales tal que no tiene un P-m´aximo, entonces X es un ordinal l´ımite.

2.2.5.- Sea α un ordinal y sea X „ α. Demuestre que si para cada γ ” existe δ P X tal que γ P δ, entonces α  X.

Pα

2.2.6.- Demuestre que todo n´ umero ordinal finito es un n´ umero natural.

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2.2.7.- Usando u ´nicamente la definici´on ω  tx | x es inductivou (v´ease la definici´on 1.12), demuestre que ω es un ordinal. Sugerencia: Utilice el corolario 2.2 del principio del m´ınimo ordinal. 2.2.8.- ¿Es cierto que todo conjunto inductivo de ordinales es un ordinal? Justifique su respuesta, dando prueba o contraejemplo. 2.2.9.- Sea α un ordinal. ¿Para qu´e casos (cero, sucesor o l´ımite) es cierto que α es inductivo? Justifique su respuesta.

2.3.

La inducci´ on transfinita

A continuaci´on presentamos el principio de inducci´on ordinal, tambi´en conocido como principio de inducci´ on transfinita. Este principio es una generalizaci´on del principio de inducci´on para naturales que sabemos que es la herramienta m´as utilizada para demostrar las propiedades que cumplen los elementos de ω. Una de las versiones del principio para naturales es que si demostramos que el cero cumple una propiedad y cada vez que la cumpla un natural, la cumple su sucesor, entonces todos los naturales cumplen la propiedad. Esta idea est´a basada en que un natural o es el cero o es el sucesor de alg´ un natural. En las p´aginas anteriores, dividimos a los ordinales en tres tipos: el cero, un sucesor o un l´ımite. Entonces hay que generalizar el principio para ordinales para que tambi´en incluya a los ordinales l´ımites y este salto se puede entender como traspasar el infinito, de ah´ı la palabra “transfinita” en el nombre del nuevo principio. De hecho, veremos que para probar algo con una de las versiones del principio de inducci´on ordinal, se llevar´an a cabo tres pasos, correspondientes a cada uno de los tipos de ordinales. Primero veamos la versi´on generalizada del a veces llamado principio de inducci´on fuerte para naturales o segundo principio de inducci´on para naturales, para despu´es ver que es equivalente al principio descrito en el p´arrafo anterior. Teorema 2.2 (Principio de Inducci´ on Ordinal) Sea φ una f´ ormula del

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´ n transfinita 2.3. La induccio

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lenguaje de la teor´ıa de conjuntos. Si se cumple que2




α P OR β β P α Ñ φpβ q Ñ φpαq entonces se tiene que



,

α P OR φpαq.

Demostraci´ on. Haremos la demostraci´on por contrapositiva, es decir, supondremos que no es cierto que α P OR φpαq y veremos que entonces no
es cierto que  α P OR β β P α Ñ φpβ q Ñ φpαq . Supongamos que Dα P ORp φpαqq. Entonces C  tα P OR | φpαqu es una clase no vac´ıa, de manera que por el principio del m´ınimo ordinal
tenemos que  Dα P OR φpαq ^ β β P α Ñ φpβ q .

%

Obs´ervese que utilizamos el principio del m´ınimo ordinal para demostrar el principio de inducci´on ordinal. M´as a´ un, en el ejercicio 2.3.1 de esta secci´on, se pide demostrar que estos principios son equivalentes, hecho que no debe sorprendernos pues ya sab´ıamos que el principio de inducci´on para naturales es equivalente al principio del buen orden (en los naturales). Ahora s´ı demostremos el principio de inducci´on transfinita que utiliza ´ los tres tipos de ordinales. Este dice que si el cero cumple una propiedad, y cada vez que la cumple un ordinal, la cumple su sucesor, y siempre que la cumplan todos los anteriores a un ordinal l´ımite, el ordinal l´ımite la cumple, se tiene que todos los ordinales cumplen la propiedad. Corolario 2.3 (Principio de Inducci´ on Ordinal, segunda forma) Si φ es una f´ ormula del lenguaje de la teor´ıa de conjuntos, entonces se cumple que 1. φp0q,

2. 3.



α P OR φpαq Ñ φpα 1q , y
 γ P OR γ es l´ımite ^ β β P γ Ñ φpβ q Ñ φpγ q ,

2 ormula Como se discute en el ap´endice A.2 la expresi´ on α P ORϕ abrevia a la f´ αpordpαq Ñ ϕq, donde ϕ es cualquier f´ormula y ordpαq es la f´ormula que expresa que α

es ordinal. As´ı manejaremos a las cuantificaciones sobre clases de ahora en adelante.

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66 entonces se tiene que α P OR φpαq.








Ñ φpαq

, lo cual,

Demostraci´ on. Basta probar que α P OR β β P α Ñ φpβ q Ñ φpαq para aplicar el teorema 2.2. Sea α P OR y supongamos que  β β P α Ñ φpβ q . (2.1) Queremos mostrar que φpαq. Si α  0, entonces, por el inciso 1 de las hip´otesis, tenemos que φpαq. Si α  β 1, entonces, como β P α, por la suposici´on (2.1), se tiene que φpβ q. De aqu´ı que, por el inciso 2 de las hip´otesis, φpβ 1q. Por lo tanto, φpαq. Si α es un ordinal l´ımite, entonces la suposici´on (2.1) junto con la hip´otesis 3 implican que φpαq.


Por lo tanto, se cumple que α P OR β β P α Ñ φpβ q por el teorema 2.2, lleva a la conclusi´on deseada.



%

M´as adelante, en la secci´on 2.7.3, veremos que el principio de inducci´on ordinal no s´olo se usa para demostrar propiedades de los ordinales, sino que termina siendo muy u ´til para demostrar propiedades (por lo menos de una parte importante) de la teor´ıa de conjuntos en general.

Ejercicios 2.3.1.- Observe que el principio de inducci´on ordinal se prob´o usando el principio del m´ınimo ordinal. Pruebe que el principio de inducci´on ordinal implica el principio del m´ınimo ordinal, es decir que ambos principios son equivalentes. 2.3.2.- Pruebe que la segunda forma del principio de inducci´on ordinal implica el principio de inducci´on ordinal. 2.3.3.- Ya hemos visto que si α es un ordinal, entonces xα, Py es un conjunto bien ordenado. Demuestre que si α y β son ordinales tales que

xα, Py  xβ, Py (ver definici´on 1.2), entonces α  β. Sugerencia: Considere el conjunto D  tδ P α | hpδq  δu, donde h es el isomorfismo.

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´n 2.4. El teorema de enumeracio

2.4.

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El teorema de enumeraci´ on

Recordemos del primer cap´ıtulo que dos conjuntos totalmente ordenados tienen el mismo tipo de orden si son isomorfos. Tambi´en recordemos que no dimos una definici´on precisa del tipo de orden de un conjunto totalmente ordenado, pues para esto necesitar´ıamos una manera de escoger un representante de la clase (generalmente propia) de equivalencia del conjunto totalmente ordenado. En esta secci´on, demostramos el teorema de enumeraci´ on que nos ayuda a definir de manera natural el tipo de orden para un caso particular de conjunto totalmente ordenado: los conjuntos bien ordenados. El teorema de enumeraci´on afirma que todo buen orden es isomorfo a un u ´nico ordinal. Entonces en el caso de los conjuntos bien ordenados tenemos un candidato magn´ıfico para ser su tipo de orden: el u ´nico ordinal con el cual es isomorfo. M´as a´ un, este teorema nos garantiza que el estudio de los buenos ´ ordenes es esencialmente el mismo que el estudio de los ordinales. En particular, esto significa que, salvo isomorfismo, hay tantos buenos ´ordenes numerables como ordinales numerables. Lo mismo sucede en general, salvo isomorfismo, hay tantos buenos ´ordenes no isomorfos de cierta cardinalidad como ordinales de esa misma cardinalidad. Para probar este importante teorema, necesitamos primero demostrar que los conjuntos bien ordenados cumplen algunas propiedades. Teorema 2.3 Si xA,  A y y xB,  B y son conjuntos bien ordenados isomorfos, entonces el isomorfismo entre ellos es u ´nico. Demostraci´ on. Sean f y g isomorfismos de A en B y C

 ty P A | f pyq  gpyqu.

Para llegar a una contradicci´on, supongamos que C  ∅. Como xA,  A y es un buen orden, C tiene un  A -m´ınimo, digamos a0 . As´ı, f pa0 q  gpa0 q y c P Apc  A a0 Ñ f pcq  gpcqq. Como la relaci´on  B es tricot´omica en B, f pa0 q  B gpa0 q o gpa0 q  B f pa0 q. Si f pa0 q  B gpa0 q, entonces, como g
1 es un isomorfismo de B en A, que f g
1 pf pa0 qq g
1 pf pa0 qq  A a0 . La minimalidad de a0 implica 
1
1  g g pf pa0 qq . De aqu´ı que f g pf pa0 qq  f pa0q. Como f es inyectiva, se tiene que g
1 pf pa0 qq  a0 . Pero entonces a0  A a0 , lo cual es una contradicci´on a que  A es antirreflexiva en A.

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Si gpa0 q  B f pa0 q, entonces, como f
1 es un isomorfismo de B en A, f
1 pgpa0 qq  A a0 . De manera an´aloga al caso anterior, utilizando la minimalidad de a0 y la inyectividad de g, llegamos a la contradicci´on de que a0  A a0 . Por lo tanto, C  ∅ y entonces f  g. % El siguiente corolario se desprende trivialmente de este teorema, donde un automorfismo de un orden total xA,  A y es un isomorfismo de xA,  A y en s´ı mismo. Corolario 2.4 Si xA,  A y es un buen orden, entonces su u ´nico automorfismo es la identidad. Para probar el siguiente lema, necesario para la demostraci´on del teorema de enumeraci´on, usaremos por primera vez uno de los esquemas en la axiomatizaci´on de Zermelo-Fraenkel para la teor´ıa de conjuntos, el axioma de reemplazo. Este axioma (en realidad un esquema de axiomas) afirma que la imagen de un conjunto bajo una correspondencia funcional es un conjunto. Llamamos funcional a una clase (quiz´a propia) de pares ordenados que se comporta como funci´on.3 M´as precisamente, si ϕ es una f´ormula con dos variables libres que se comporta como una funci´on en el universo de los conjuntos, es decir, que cumple que  xyz ϕpx, yq ^ ϕpx, zq Ñ y  z , y si a es un conjunto cualquiera, entonces la colecci´on imagen de los elementos de a bajo ϕ, es un conjunto. V´ease el ap´endice B para la redacci´on formal de este esquema de axiomas. Tambi´en necesitamos la siguiente definici´on y notaci´on. Definici´ on 2.6 Si xA, ry es un orden parcial y c P A, entonces definimos el segmento inicial determinado por c en xA, ry, denotado por Ac , como el conjunto ty P A | y r cu. Lema 2.1 Sea xA,  A y un conjunto bien ordenado. Si se cumple que

c P A Dβ P OR pxAc ,   y  xβ, Pyq, A

entonces se tiene que

Dγ P OR pxA,   y  xγ, Pyq. A

3

V´ease el ap´endice A

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´n 2.4. El teorema de enumeracio

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Demostraci´ on. Supongamos que c P A Dβ P OR pxAc ,  A y  xβ, Pyq. Como xA,  A y es un buen orden, es claro que xAc ,  A y es un buen orden. Por el teorema anterior, dado c P A el isomorfismo gc tal que xAc ,  A y gc xβ, Py es u ´nico; adem´as, por el ejercicio 2.3.3 de la secci´on anterior, el ordinal β al que Ac es isomorfo tambi´en es u ´nico. Entonces podemos definir un 4 funcional f : A Ñ OR tal que para toda c P A, f pcq es el u ´nico ordinal β tal que gc : xAc ,  A y  xβ, Py. Sea γ  tf pcq | c P Au, entonces γ es una colecci´on de ordinales que es un conjunto, por el axioma de reemplazo. Veamos que γ es transitivo. Sean α y β ordinales tales que α P β P γ. un c P A. Sea b  gc
1 pαq P Ac „ A. Afirmamos Entonces β  f pcq para alg´ que gcæAb : xAb ,  A y  xα, Py. (2.2)

Dado que Ab es un orden total, por el ejercicio 1.2.3, basta ver que gcæAb preserva el orden y es suprayectiva sobre α. La primera afirmaci´on se desprende de que gc es un morfismo. Para demostrar la segunda, sea δ P α. Entonces δ P β, pues α P β. Por lo tanto, existe y P Ac tal que gc py q  δ. Resta ver que y P Ab , pero gc py q  δ P α  gc pgc
1 pαqq y, como gc es isomorfismo, y  A gc
1 pαq  b, de donde se sigue que y P Ab . Esto prueba que gcæAb es suprayectiva sobre α y con esto (2.2) queda demostrado. Finalmente, (2.2) implica que α  f pbq, por lo que α P γ y γ es transitivo. Siendo γ un conjunto transitivo de ordinales, se tiene que γ es un ordinal. Ahora afirmamos que f : xA,  A y  xγ, Py.

(2.3)

Por definici´on de γ, tenemos que f es suprayectiva. Para mostrar la inyectividad, dado que xA,  A y es un orden total, por el ejercicio 1.2.3, basta ver que f preserva el orden. Ya vimos que (2.2) implica que α  f pbq pero tambi´en tenemos que gc pbq  α. Entonces, si b  A c tenemos que b P Ac y f pbq  gc pbq P f pcq Por lo tanto, f preserva el orden y la afirmaci´on (2.3) es cierta. % Lema 2.2 Sea xA,  A y un buen orden. Entonces

c P A Dβ P OR pxAc ,   y  xβ, Pyq. A

4

V´ease el ap´endice A

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70 Demostraci´ on. Definimos el siguiente conjunto



 tc P A | Dβ P OR xAc,   y  xβ, Py u. Supongamos que E  ∅. Siendo xA,   y un buen orden, sabemos que E tiene un   -m´ınimo, digamos b. Entonces  z P A pz   b Ñ z R E q, es decir, z P Ab Dβ P OR xAz ,   y  xβ, Py . Por el inciso (iv) del ejercicio 1 de esta secci´on, Az  pAb qz , por lo que  z P AbDβ P OR xpAb qz ,   y  xβ, Py . As´ı, dado que xAb ,   y es un buen orden, por el lema 2.1, concluimos que Dγ P OR pxAb,   y  xγ, Pyq, es decir, b R E lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto, E  ∅ y se sigue que c P A Dβ P OR pxAc ,   y  xβ, Pyq. % E

A

A

A

A

A

A

A

A

A

De los lemas anteriores se desprende el teorema de enumeraci´on. Teorema 2.4 (Teorema de Enumeraci´ on) Todo buen orden es isomorfo a un u ´nico ordinal. Es decir, si xA,  A y es un buen orden, entonces existe un u ´nico ordinal γ tal que xA,  A y  xγ, Py. Demostraci´ on. Sea xA,  A y un buen orden. Por el lema 2.2, sabemos que para todo c P A, existe un ordinal β tal que xAc ,  A y  xβ, Py. Entonces, por el lema 2.1, tenemos que existe un ordinal γ tal que xA,  A y  xγ, Py. La unicidad de este ordinal es consecuencia del ejercicio 2.3.3. % Como mencionamos al principio de esta secci´on, gracias al teorema de enumeraci´on, podemos definir formalmente el tipo de orden de un buen orden: el u ´nico ordinal con el cual es isomorfo. Recordemos que en la secci´on 1.1 elegimos como el tipo de orden de un orden total finito al natural con el cual es isomorfo (utilizando que cualesquiera dos ´ordenes totales finitos de la misma cardinalidad son isomorfos). Adem´as, por el ejercicio 1.2.2, sabemos que todo orden total finito es un buen orden. Entonces la definici´on que ahora damos incluye la convenci´on que hab´ıamos hecho en esa secci´on de que el tipo de orden de un buen orden finito sea el natural al cual es isomorfo. Definici´ on 2.7 Sea xA,  A y un buen orden. El tipo de orden de xA,  A y, ´nico ordinal denotado τ pxA,  A yq o simplemente τ pAq, se define como el u α tal que xA,  A y  xα, Py.

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´n 2.4. El teorema de enumeracio

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Ejemplo 2.4.1 τ pxN, Pyq  ω;



ta, b, cu, txa, by, xa, cy, xb, cyu  3; Sea A  N Y tx0, 0y, x0, 1yu. Definimos una relaci´on binaria r en τ

A de la siguiente manera:

r æN  P,

x0, 0y r x0, 1y,

para cualquier n P N, n r x0, 0y, y

para cualquier n P N, n r x0, 1y. Se puede ver que entonces xA, ry(es un buen orden y que adem´as un las convencioτ xA, ry  ω Y tω u Y ω Y tω u , es decir, seg´ nes de escritura que hicimos en la introducci´ o n de este cap´ıtulo,  τ xA, ry  ω 2. 0

1

2

ω

3

ω Y tω u

(

Figura 2.1: Tipo de orden ω Y tω u Y ω Y tω u .

Una vez que hayamos definido la suma, multiplicaci´on y exponenciaci´on de manera formal en los ordinales, podremos dar m´as ejemplos de tipos de orden y compararemos estas operaciones con las correspondientes en tipos de orden, definidas en el primer cap´ıtulo.

Ejercicios 2.4.1.- Sea xA, ry un orden parcial. Demuestre las siguientes afirmaciones. (i) Para cualquier c P A, Ac

 A.

P A, si z r w, entonces Az  Aw . orden total, para cualesquiera z, w P A,

(ii) Para cualesquiera z, w

(iii) Si xA, ry es un Az  Aw , entonces z r w.

(iv) Para cualesquiera z, b P A, si z r b, entonces pAb qz

si

 Az .

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2.4.2.- Sea xX, ry un orden parcial. Dado a P X, denotamos al r-segmento inicial determinado por a como Xar  ty P X | y r au. Pruebe lo siguiente. (i) X es un ordinal si y s´olo si xX, Py es un buen orden y a P X pXaP

 aqq. (ii) Si para toda a P X se tiene que  a, entonces r  P æX . (iii) Si xX, ry es un buen orden y para toda a P X se tiene que Xar  a, entonces X es un ordinal. Sea xA,   y un conjunto bien ordenado y supongamos, como en el lema 2.1, que c P A Dβ P OR pxAc ,   y  xβ, Pyq. Como vimos en la demostraci´on del lema 2.1, podemos definir f : A Ñ OR tal que para toda c P A, f pcq es el u ´nico ordinal β que cumple gc : xAc ,   y  xβ, Py, pues sabemos que para cada c P A, gc y β son u ´nicos. Demuestre que para cualesquiera y, z P A si y   z, entonces gz py q  gz rAy s. Sea xA,   y un orden total. Para prop´ositos de este ejercicio, decimos que S „ A es un segmento inicial de A si y s´olo si S es un subconjunto propio de A tal que para cualesquiera a P A y s P S, si a   s, entonces a P S. ¿Es cierto que si xA,   y es un orden total Xar

2.4.3.-

A

A

A

A

2.4.4.-

A

A

A

cualquiera, todo segmento inicial S de A es de la forma Ac para alg´ un c P A? Justifique, dando una prueba o un contraejemplo.

2.4.5.- Sean A un conjunto transitivo, r „ A  A y s „ B  B. Si suponemos que xA, ry  xB, sy, ¿es B un conjunto transitivo? Es decir, ¿la propiedad de ser transitivo se preserva bajo isomorfismos? ¿Qu´e sucede en el caso en que r  s  P? Justifique sus respuestas. 2.4.6.- Sea xX, ry un buen orden y supongamos que el tipo de orden de xX, ry es el ordinal α. Demuestre que α es un ordinal l´ımite si y s´olo si X  ∅ y X no tiene un r-m´aximo. 2.4.7.- Sea xA, ry un buen orden infinito. Pruebe que existe una relaci´on binaria r1 sobre A tal que xA, r1 y es un buen orden y xA, r1 y  xA, ry. 2.4.8.- Sean α y β ordinales cualesquiera. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando su respuesta. Recuerde que la

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2.5. El primer ordinal no numerable ω1

notaci´on A  B significa que A y B son equipotentes (definici´on 1.23), que no es lo mismo que ser isomorfos. Adem´as, decimos que A est´ a dominado por B, denotado A ¨ B, si hay una funci´on inyectiva de A en B, y denotamos por A   B el hecho de que A ¨ B y A  B. (i) (ii) (iii) (iv) (v)

α β α¨β α β α β αβ

ñα¨β ñα¤β ñα β ñα β ñαβ

(vi) (vii) (viii) (ix) (x)

αβ α β αβ α¨β αβ

ñαβ ñαβ ñ pα   β _ β   αq _ β¨α ñ pα ¨ β _ β ¨ αq

2.4.9.- Sea A un conjunto. Demuestre que existe un buen orden para A si y s´olo si A es equipotente con alg´ un ordinal. Entonces, como el axioma de elecci´ on es equivalente al teorema del buen orden (que afirma que todo conjunto es bien ordenable), el axioma de elecci´ on es equivalente a que todo conjunto sea equipotente con alg´ un ordinal.

2.5.

El primer ordinal no numerable ω1

Sabemos que hay una infinidad de ordinales numerables, como ω, ω 1, . . . , ω n, . . ., etc. Si todos los ordinales fueran numerables, tendr´ıamos que OR  ω Y tα : α es ordinal numerableu y, como OR es una clase propia (corolario 2.2) y ω es un conjunto, la colecci´on

tα : α es ordinal numerableu ser´ıa una clase propia. Sin embargo, probaremos, usando el axioma de reemplazo, que tα : α es ordinal numerableu s´ı es un conjunto. Se puede ver entonces que el conjunto ω Y tα : α es ordinal numerableu  tα : α P ω o α es ordinal numerableu es transitivo y, como sus elementos son ordinales, es a su vez un ordinal. Adem´ as este ordinal, denotado como ω1 , es el primero no numerable, pues si fuera numerable ser´ıa un ordinal que se pertenecer´ıa a s´ı mismo. Entonces ω1 es un ordinal no equipotente a un ordinal menor que ´el. A los ordinales que cumplen esto les llamamos ordinales iniciales. Es claro que los naturales son ordinales iniciales y que el primer ordinal inicial infinito es ω, el segundo es

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precisamente ω1 , y en la secci´on 2.7.1 definiremos una infinidad de ordinales iniciales infinitos. La idea es entonces que ω1 sea el conjunto de todos los ordinales finitos o numerables, es decir, ω1

 tα P OR | α P ω o α  ωu.

Equivalentemente, buscamos que ω1 sea el conjunto de los ordinales equipotentes a alg´ un subconjunto de ω, es decir, ω1

 tα P OR | DA „ ωpα  Aqu.

Ahora s´ı, definimos a ω1 de la siguiente manera:



 tα P OR |DB „ ω xB, ry  xα, Py u. Observemos que B P P pω q, y que r P P pω  ω q, por lo que ambos son ω1

conjuntos. Para ver que ω1 realmente es un conjunto, consid´erese el siguiente funcional F : P pω q  P pω  ω q Ñ ω1 F pxB, ryq 

"

0 α

si xB, ry no es un buen orden, y si xB, ry es un buen orden y xB, ry  xα, Py.

Por el teorema de enumeraci´on 2.4, F es un funcional, pues si xB, ry es un buen orden, existe un u ´nico ordinal α tal que xB, ry  xα, Py. As´ı, dado que P pω q  P pω  ω q es un conjunto y ω1 es la imagen bajo F de P pω q  P pω  ω q, el axioma de reemplazo garantiza que ω1 es un conjunto. Ahora, veamos que ω1 es un ordinal. Proposici´ on 2.6 El conjunto ω1 es un ordinal. Demostraci´ on. De lo anterior es claro que ω1 es un conjunto de ordinales. Resta ver que ω1 es transitivo. Sean α P ω1 y β P α. Como α P ω1 , hay r „ ω  ω y B „ ω tales que xα, Py  xB, ry. Sea h dicho isomorfismo. Como ⠐ α, se puede ver que hæβ es un isomorfismo entre xβ, Py y xhrβ s, ræhrβ s y. Finalmente como hrB s „ B „ ω y ræhrβ s „ ω  ω, entonces β P ω1 . As´ı, ω1 es un conjunto transitivo de ordinales, y ω1 es un ordinal. % Confirmemos que ω1 es no numerable y que es el primero con esta propiedad.

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´ n transfinita 2.6. La recursio

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Proposici´ on 2.7 El ordinal ω1 es el primer ordinal no numerable. Demostraci´ on. Sea α P ω1 . Entonces α es numerable, pues xα, Py  xcamprq, ry para alg´un r „ ω  ω, lo que implica que α  camprq y claramente camprq es numerable. Por lo tanto, todos los ordinales anteriores a ω1 son numerables. Ahora, supongamos que existe una funci´on biyectiva g : ω Ñ ω1 . Definiendo a r „ ω  ω como xn, my P r si y s´olo si gpnq P gpmq, tendr´ıamos que xω, ry  xω1 , Py. De la definici´on de ω1 , obtendr´ıamos que ω1 P ω1 , lo cual es una contradicci´on al hecho de que ω1 sea ordinal. Por lo tanto, ω1 % es no numerable.

Ejercicios 2.5.1.- Justifique que las colecciones tα P OR OR | DA „ ω pα  Aqu son iguales.

| α P ω o α  ωu y tα P

2.5.2.- Demuestre que realmente la imagen del funcional F definido en esta secci´on es ω1 .

2.6.

La recursi´ on transfinita

Las ideas de inducci´on y recursi´on surgen de la estructura que poseen los n´ umeros naturales, al ser construidos a partir de un objeto b´asico (el cero) mediante una funci´ on generadora (la funci´on sucesor). La inducci´on y recursi´on se convierten en las principales herramientas para demostrar teoremas acerca de n´ umeros naturales y para definir funciones que tienen como dominio a los n´ umeros naturales, respectivamente. En la secci´on 2.3 generalizamos la inducci´on a todos los n´ umeros ordinales, considerando a ´estos generados a partir del mismo cero con la operaci´on sucesor y la nueva operaci´on l´ımite ordinal. Ahora veamos los teoremas de recursi´on transfinita que, de manera an´aloga a la recursi´on para naturales, se convierten en una poderosa herramienta para definir funcionales o funciones sobre todos los ordinales o segmentos iniciales de ellos. Recu´erdese que llamamos funcional a una clase

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(quiz´a propia) que se comporta como funci´on. Adem´as, decimos que G es un funcional del universo si es un funcional cuyo dominio5 es el universo. Teorema 2.5 (de Recursi´ on Transfinita, primera versi´ on) Si G es un funcional del universo, entonces podemos definir un u ´nico funcional F tal que: 1. El dominio de F es la clase OR, y 2.

α P OR, F pαq  GpFæαq

La demostraci´on de este teorema requiere de algunos conceptos preliminares. Definici´ on 2.8 Sean t una funci´ on, G un funcional del universo y α un ordinal. Decimos que t es G, α-adecuada si y s´ olo si se cumple lo siguiente: 1. domptq  α 2.

1, y 

β ¤ α tpβ q  Gptæβ q .

La idea es que una funci´on ser´a G-adecuada si tiene como dominio a alg´ un ordinal sucesor y en su dominio se comporta como el funcional F que se puede definir seg´ un el teorema de recursi´on transfinita. De hecho, la definici´on de F se hace aproxim´andola con funciones G-adecuadas, ya que, como se ver´a en la demostraci´on de la proposici´on 2.9, estas funciones resultan ser compatibles. Proposici´ on 2.8 Si t es G, α-adecuada y δ tæα pδq  tæβ pδq. Demostraci´ on. Como δ P ⠐ α, α  α tiene que tpδq  tæβ pδq  tæα pδq.

 

1, y α

β

 

α, entonces tpδq



1 es el dominio de t, se

%

En la siguiente proposici´on se demuestra que para cada ordinal α existe una u ´nica funci´ on G, α-adecuada, por lo que la definici´on buscada del funcional F realmente se podr´a encontrar aproxim´andola por estas funciones. Si F es un funcional definido por una f´ ormula ϕpx, y q entonces usamos la expresi´ on “dominio de F ” para referirnos a la clase tx | Dy ϕpx, y qu. V´ease el ap´endice A.2 5

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´ n transfinita 2.6. La recursio Proposici´ on 2.9 Sea


x P OR

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Ppx, yq la siguiente f´ormula: 

^ Dt t es G, x-adecuada ^ tpxq  y _




x R OR

^ y∅



.

Entonces P define un funcional, es decir, para todo conjunto x existe un u ´nico conjunto y tal que Ppx, y q. Demostraci´ on. Si x R OR, es claro que Ppx, y q se cumple u ´nicamente para y  ∅. Vamos a probar, por inducci´on transfinita, que para cualquier α P OR existe una u ´nica funci´ on G, α-adecuada t. Entonces supongamos que para ´nica t tal que t es G, β-adecuada. toda β   α, existe una u Primero, para demostrar que existe una funci´on G, α-adecuada, sea T  tt | t es G, β-adecuada con β   αu. Por el axioma de reemplazo, T es un conjunto, pues por la hip´otesis de inducci´on, para cada β   α existe una u ´nica funci´ on G, β-adecuada. Afirmamos que T es un conjunto de funciones compatibles. Si t1 , t2 P T , y dompt1 q  β1 y dompt2 q  β2 , sin p´erdida de la generalidad, supongamos que β1 ¤ β2 . Entonces β1 „ β2 y dompt1 q X dompt2 q  β1 . Probemos ahora por inducci´on transfinita que δ   β1 pt1 pδq  t2 pδqq. Sea δ   β1 y supongamos que γ   δpt1 pγ q  t2 pγ qq, lo cual implica que t1æδ  t2æδ . Como t1 , t2 P T y G es funcional, tenemos que t1 pδq  Gpt1æδ q  Gpt” 2æδ q  t2 pδ q. Por lo tanto, T es un conjunto de funciones compatibles y T es una funci´ on. ” ” ” Sea τ  T Y tx α, G p T qyu . Como T es una funci´on, se tiene que ” ” ” domp T q” tPT domptq  β  α pβ 1q  α, de donde se sigue que α R domp T q. As´ı, τ es una funci´on cuyo dominio es α 1. Finalmente, para probar que τ es G, α-adecuada resta ver que si β ¤ α, entonces τ pβ q  Gpτæβ q. ” Si β  α, entonces τ pβ q  τ pαq  Gp T q  Gpτæα q  Gpτæβ q. Por otro ´nica funci´on G, β-adecuada, que existe lado, si β   α, entonces sea t P T la u por la hip´otesis de inducci´on. Se tiene entonces que β P β 1  domptq, ´ltima igualdad se debe a que de donde τ pβ q  tpβ q  Gptæβ q  Gpτæβ q, la u t „ τ . Por lo tanto, τ es una funci´on G, α-adecuada. Para demostrar que τ es la u ´nica funci´on G, α-adecuada, sea τ 1 otra on funci´ on G, α-adecuada. Probaremos que γ ¤ αpτ 1 pγ q  τ pγ qq por  inducci´ sobre α. Sea γ ¤ α y supongamos que δ   γ τ 1 pδq  τ pδq . Entonces

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τ 1æγ  τæγ , lo cual implica que τ 1 pγ q  Gpτ 1æγ q  Gpτæγ q  τ pγ q, pues G es un funcional. Por lo tanto, τ es la u ´nica funci´on G, α-adecuada y con esto tenemos % que Ppx, y q es un funcional. Procedemos a continuaci´on a demostrar el teorema de recursi´on transfinita. Demostraci´ on. (Del teorema de recursi´on transfinita, primera versi´on) Sea Ppx, y q la f´ormula del enunciado de la proposici´on anterior. Definimos al funcional F as´ı: F pxq  y si y s´olo si x P OR

^ Ppx, yq.

F realmente es un funcional gracias a la proposici´on anterior. Adem´as, es claro que el dominio de F es OR, y que α P OR F pαq  tpαq, donde t es la u ´nica funci´ on G, α-adecuada. Veamos que si t es una funci´on adecuada, entonces Fædomptq  t. Sea β P domptq, entonces, por la unicidad de las funciones adecuadas, tæβ 1 es G, β-adecuada. De aqu´ı que F pβ q  tæβ 1 pβ q y, por la proposici´on 2.8, tenemos que tpβ q  tæβ 1 pβ q, es decir que F pβ q  tpβ q. De manera que si domptq  α 1, entonces t  Fæα 1 , lo cual implica que tæα  Fæα . Como G es funcional, se tiene que Gptæα q  GpFæα q, lo que final% mente lleva a que F pαq  tpαq  Gptæα q  GpFæα q. Para finalizar la secci´on presentamos otras versiones, equivalentes, del teorema de recursi´on transfinita, las cuales pueden ser u ´tiles dependiendo de lo que se quiere definir recursivamente. Abusaremos de la notaci´on escribiendo dompF q incluso cuando no sepamos si F es un conjunto. Teorema 2.6 (de Recursi´ on Transfinita, segunda versi´ on) Sean a un conjunto, y G y H funcionales del universo. Entonces podemos definir un u ´nico funcional F tal que: 1. dompF q  OR, 2. F p0q  a, 3. F pspαqq  GpF pαqq, y 4. F pγ q  H pFæγ q, para un ordinal l´ımite γ.

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Demostraci´ on. Veamos c´omo definir tal F usando la primera versi´on del teorema de recursi´on transfinita. Sea G1 definida por la siguiente f´ormula PG1 px, yq: x∅



^ ya _
 _ x es funci´ on ^ Dα P OR dompxq  α 1 ^ y  Gpxpαqq
 _ x es funci´ on ^ Dγ P OR γ es l´ımite ^ dompxq  γ ^ y  H pxq
 x  ∅ ^ x no es funci´ on _ dompxq R OR ^ y  ∅ .

Es claro que G1 define un funcional del universo, de manera que la primera versi´on del teorema de recursi´on transfinita garantiza la definici´on de un u ´nico funcional F tal que dompF q  OR y α P OR F pαq  G1 pFæα q. De aqu´ı se sigue que: F p0q  G1 pFæ0 q  Gp0q  a, que F pspαqq  G1 pFæspαq q  GpFæspαq pαqq  GpF pαqq, y que F pγ q  G1 pFæγ q  H pFæγ q, si γ es l´ımite.

%

A continuaci´on enunciamos otras dos versiones del teorema de recursi´on transfinita. Teorema 2.7 (de Recursi´ on Transfinita, tercera versi´ on) Sean a un conjunto, y G y H funcionales del universo. Entonces podemos definir un u ´nico funcional F tal que: 1. dompF q  OR, 2. F p0q  a, 3. F pspαqq  GpF pαqq, y 4. F pγ q  H pF rγ sq, para un ordinal l´ımite γ. Demostraci´ on. Se deja como ejercicio.

%

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Teorema 2.8 (de Recursi´ on Transfinita, cuarta versi´ on) Sea G un funcional del universo. Entonces podemos definir un u ´nico funcional F tal que: 1. dompF q  OR, y 2.

α P OR, F pαq  GpF rαsq.

Demostraci´ on. Se deja como ejercicio.

%

Ejercicios 2.6.1.- Demuestre la tercera versi´on del teorema de recursi´on transfinita. 2.6.2.- Demuestre la cuarta versi´on del teorema de recursi´on transfinita. 2.6.3.- Demuestre que las cuatro versiones del teorema de recursi´on transfinita son equivalentes.

2.7.

Aplicaciones de la recursi´ on transfinita

A continuaci´on presentamos aplicaciones importantes e interesantes del teorema de recursi´on transfinita. La fuerza de este teorema est´a en su capacidad de generalizar conceptos y definiciones. Por ejemplo, en la primera parte de la secci´on generalizamos la idea de la definici´on de ω1 para ver que dado un ordinal incial existe un siguiente con cardinalidad mayor. En la segunda parte, generalizamos la suma, producto y exponenciaci´on de los n´ umeros naturales a todos los ordinales. La tercera parte corresponde a una de las aplicaciones m´as importantes de este teorema, la construcci´on de una clase de conjuntos en la que est´an todos los conjuntos bien fundados de manera jerarquizada. Esta manera de ver a los conjuntos bien fundados es una herramienta poderosa para demostrar propiedades de estos conjuntos y para comprender mejor c´ omo est´an constru´ıdos conjuntos que supuestamente ya conocemos. En la u ´ltima parte damos una prueba de que el axioma de elecci´ on implica el teorema del buen orden y otra de que el axioma de elecci´on implica el lema de Zorn. Estas pruebas son diferentes a las que normalmente

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aparecen en los libros, pues generalmente se necesita utilizar estos hechos antes de poder dar la recursi´on transfinita. Las hacemos aqu´ı por su sencillez y belleza, y para mostrar el poder que el teorema de recursi´on transfinita tiene para facilitar algunas pruebas.

2.7.1.

Los ordinales iniciales ωα

Recordemos la siguiente definici´on. Definici´ on 2.9 Un ordinal inicial es un ordinal que no es equipotente con ning´ un ordinal anterior a ´el. Sabemos que los naturales son ordinales iniciales y que tanto ω como ω1 son ordinales iniciales infinitos. Con la tercera versi´on del teorema de recursi´on transfinita, podemos definir una infinidad de ordinales iniciales infinitos de la siguiente manera: ω0 ωβ ωγ

1

 ω,   t”α P OR |DB „ ωβ Dr „ ωβ  ωβ xB, ry  xα, Py u,  tωβ | β   γ u, si γ es l´ımite.

Obs´ervese que la definici´on de ωβ 1 es una generalizaci´on de la definici´on vista antes de ω1 , por lo que para definir cada ωβ 1 es necesario utilizar el axioma de reemplazo. De hecho, tambi´en para definir cada ωγ , donde γ es un ordinal l´ımite, se necesita el axioma de reemplazo (¿por qu´e?). Se deja como ejercicio ver que cada ωα es un ordinal. Para demostrar que cada ωα es un ordinal inicial, necesitamos usar el teorema de Cantor-Schr¨oder-Bernstein, que se puede encontrar en [Am05] (donde no se utiliza el concepto de cardinal, todav´ıa no discutido en este libro) o en el teorema 3.1, que demostramos en el cap´ıtulo de cardinales. Proposici´ on 2.10 Si α es un ordinal, entonces ωα es un ordinal inicial. Demostraci´ on. La demostraci´on se hace por inducci´on sobre α. El caso en que α  0 es consecuencia de que ω no es biyectable con ning´ un ordinal finito. La prueba del caso en que α es sucesor es an´aloga a la demostraci´on de que ω1 es el primer ordinal no numerable y se deja al lector.

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Si α es un ordinal l´ımite y para todo δ   α, ωδ es un ordinal inicial, entonces supongamos que existe γ   ωα tal que γ  ωα . Como ωα  ” tωβ | β   αu  suptωβ | β   αu, por la definici´on del supremo, existe β   α tal que γ ¤ ωβ . De aqu´ı que ωα  γ „ ωβ . Como ωβ „ ωβ 1 „ ωα , ωα  γ „ ωβ „ ωβ 1 „ ωα , y, por el teorema de Cantor-Schr¨oder-Bernstein, todos estos ordinales son equipotentes, por lo que ωβ  ωβ 1 , contradiciendo la hip´otesis de inducci´on. % Por lo tanto, para todo ordinal α, ωα es un ordinal inicial. En el siguiente cap´ıtulo el concepto de ordinal inicial ser´a fundamental y all´ı demostraremos que todo ordinal inicial infinito es un ωα . Esta afirmaci´ on, aunque no parece sorprendente, es poderosa. Tiene el sabor, parecido a otros eventos importantes en matem´aticas, en que definimos objetos que tienen una propiedad y terminamos definiendo todos los objetos que tienen dicha propiedad. As´ı, utlizando el teorema de enumeraci´on, podremos concluir que todo buen orden es equipotente a un u ´nico ordinal inicial.

2.7.2.

Aritm´ etica ordinal

Generalizando las operaciones aritm´eticas de los n´ umeros naturales, definimos las operaciones de aritm´etica ordinal, utilizando el teorema de recursi´on transfinita. Definici´ on 2.10 (Suma ordinal) Dados los ordinales α y β, definimos la on sobre β como sigue: suma ordinal α β por recursi´ α

0  α,

α

spδq  spα

α

γ

 ”δ γ pα

δq, δq  suptα

δ|δ

  γ u, si γ es un ordinal l´ımite.

Esta definici´on se justifica mediante la tercera versi´on del teorema de recursi´on transfinita, la idea es que el funcional F dado por el teorema defina la operaci´on “ α  ”, para cada α. Los detalles se dejan al lector. Obs´ervese que α 1  α sp0q  spα 0q  spαq  α Y tαu lo cual coincide con la notaci´on convenida anteriormente para el sucesor de un ordinal. Tambi´en es claro que la suma ordinal de dos n´ umeros naturales

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coincide con la suma dada en la definici´on 1.13 para los naturales. M´as a´ un, esta suma coincide con la suma de tipos de orden, en el caso en que los tipos de orden sean buenos ´ordenes, pues recuerde que el tipo de orden de un buen orden es el u ´nico ordinal con el cual es isomorfo. Adem´as, al igual que con la suma de tipos de orden, la suma ordinal no es conmutativa, como se ver´a en los ejercicios. Definici´ on 2.11 (Producto ordinal) Dados los ordinales α y β, definion mos el producto ordinal α  β (interpr´etese como α, β veces), por recursi´ sobre β como sigue: α  0  0,

α  spδq  pα  δq αγ

α,

 ”δ γ pα  δq  suptα  δ | δ   γ u, si γ es un ordinal l´ımite.

Al igual que con la suma ordinal, se puede verificar que el producto ordinal de dos n´ umeros naturales coincide con el producto dado en la definici´on 1.14, y que este producto tambi´en coincide con el producto de tipos de orden de buenos ´ ordenes. Definici´ on 2.12 (Exponenciaci´ on o potencia ordinal) Dados los ordinales α y β, definimos la potencia o exponenciaci´ on ordinal αβ por recursi´ on sobre β como sigue:

 1, αspδq  αδ  α, ” αγ  δ γ pαδ q  suptαδ | δ   γ u, si γ es un ordinal l´ımite. α0

Se deja como ejercicio justificar las definiciones de estas operaciones con el teorema de recursi´on transfinita. Es importante mencionar aqu´ı que algunas de las nociones intuitivas de las que hablamos en la introducci´on de este cap´ıtulo se pueden formalizar con las definiciones de estas operaciones. Por ejemplo, no nada m´as es cierto que para cualquier ordinal α, α 1 realmente es el sucesor de α, tambi´en se cumple que el siguiente ordinal despu´es de todos los ω n con n P ω es realmente ω ω; al igual que se cumple que ω  n  ω ω ... ω , y que loooooooomoooooooon el supremo del conjunto tω  n : n P ω u es ω  ω, etc.

n veces

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2.7.3.

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La jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados

En esta secci´on utilizamos el teorema de recursi´on transfinita para definir el universo de los conjuntos bien fundados. La motivaci´on para la construcci´ on de este universo comienza con la famosa paradoja de Russell. Al principio, parecer´ıa que podemos definir un conjunto como cualquier colecci´on de objetos que hagan verdadera alguna propiedad (donde una propiedad es vista como una f´ormula con una variable libre, escrita en el lenguaje de la teor´ıa de conjuntos, v´ease el ap´endice A). Es decir, se podr´ıa pensar que toda propiedad define un conjunto. Sin embargo, la paradoja de Russell plantea que esta es una concepci´on err´onea de lo que debe aceptarse como un conjunto. Veamos cu´al es esta paradoja. Sea P pxq la f´ormula x R x. Si toda propiedad define un conjunto, entonces el siguiente A ser´ıa conjunto A  tx | x R xu. De aqu´ı que A P A si y s´olo si A R A, lo cual es absurdo. Por lo tanto, A no es conjunto. A principios del siglo pasado, esta paradoja trajo mucha discusi´on sobre la raz´on por la que esta idea intuitiva y simple de lo que es un conjunto falla. La axiom´atica de Zermelo Fraenkel ZFE surge en gran medida para responder la pregunta de cu´ales colecciones son conjuntos y cu´ales no. El axioma de separaci´on es claramente una restricci´on a la idea general de que toda propiedad define un conjunto. Adem´as, en la axiom´atica ZFE (la letra “E” es por el axioma de elecci´on) est´a un axioma llamado el axioma de fundaci´on o regularidad. Este axioma restringe los conjuntos posibles a los llamados “bien fundados”, y puede no mencionarse, pues no es contradictorio permitir que conjuntos “no bien fundados” existan. Veremos en esta secci´on lo que afirma el axioma de fundaci´on y veremos que efectivamente implica que todos los conjuntos son “bien fundados”. Pero ¿cu´ales son estos conjuntos “bien fundados”? Antes de definirlos, veamos c´omo surgen. Como dec´ıamos, a la luz de la Paradoja de Russell, aparece la discusi´on sobre cu´ales son los conjuntos. Podemos encontrar una respuesta parcial a esto pensando en cierto tipo de conjuntos (los que ser´an los “bien fundados”), si en vez de preguntarnos ¿qu´e son los conjuntos? nos preguntamos ¿c´omo se construyen los conjuntos? Ahora, una idea fundamental de Cantor sobre el concepto de conjunto es que una colecci´on de objetos s´olo puede ser

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conjunto si se puede considerar como una entidad completa. Entonces, al construir un conjunto por primera vez debemos disponer ya de antemano de todos aquellos objetos que han de ser sus elementos o ¿es posible construir algo por vez primera, sin tener los elementos que lo constituyen? Esta observaci´ on nos lleva a considerar la jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados, que es una idea subyacente a la axiom´atica de Zermelo Fraenkel. As´ı, debemos comenzar con una colecci´on inicial de objetos BF0 . De aqu´ı construimos una colecci´on BF1 de conjuntos de elementos de BF0 . Despu´es construimos la colecci´ on BF2 de conjuntos de elementos de BF0 Y BF1 , y as´ı sucesivamente. Esta descripci´on es la idea intuitiva de lo que es la jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados. Adem´as, de acuerdo con esta descripci´ on ning´ un conjunto “construido” puede ser elemento de s´ı mismo. As´ı pues, todos los conjuntos construibles a partir de un principio no se pertenecen a s´ı mismos. Ahora, para obtener precisi´on en esta construcci´on, tenemos primero que decidir cu´al es la colecci´on BF0 que tomamos como la colecci´on inicial. Como buscamos que la teor´ıa de conjuntos sea tan intuitiva y sencilla como sea posible, acordamos que la colecci´on BF0 sea vac´ıa, es decir, comenzamos con nada6 . BF0 denota el primer estrato de la jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados. La siguiente precisi´on que debemos hacer es hasta d´onde permitimos que se extienda esta jerarqu´ıa. Como buscamos que la teor´ıa de conjuntos tenga las menos restricciones posibles, no queremos que haya un momento en el que ya no podamos constuir nuevos conjuntos. As´ı, acordamos que no hay un u ´ltimo estrato en esta construcci´on. Es decir, siempre podemos dar un paso m´as en la construcci´on de la jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados, tomando colecciones de los elementos de los estratos anteriores. De hecho para cada ordinal α, deber´ıa haber un estrato correspondiente BFα , entre cuyos miembros est´an los conjuntos de los estratos anteriores, es 6

Hay algunas construcciones en las que se considera que BF0 sea una colecci´ on de objetos a los que se llama urelementos, la palabra es de origen alem´ an y el prefijo “ur” se puede traducir como “primitivo” u “original”. Estos urelementos se consideran indivisibles o que no tienen elementos, pero no son conjuntos. Para fines de la construcci´ on de las matem´ aticas dentro de la teor´ıa de los conjuntos estos objetos no-conjuntos son innecesarios, pues los n´ umeros, relaciones, funciones, estructuras num´ericas usuales, etc. pueden ser construidos sin urelementos. As´ı, aqu´ı consideramos que BF0 es una colecci´ on vac´ıa.

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86 decir, que contenga a

”

 

β α BFβ .

Finalmente, precisemos lo que queremos decir con que “cada estrato sea una colecci´ on de conjuntos de elementos de los estratos anteriores”. Supongamos que hemos definido el estrato BFα , entonces ¿cu´ales conjuntos de elementos de BFα ser´an miembros de BFα 1 ? Otra vez usando el argumento de que la teor´ıa de conjuntos tenga las menos restricciones posibles, escogemos todos los conjuntos de elementos de BFα , es decir, BFα 1  P pBFα q. Es interesante mencionar aqu´ı que estamos utilizando el axioma de potencia para esta construcci´on y este axioma afirma que existe el conjunto de los subconjuntos de un conjunto dado. Esta es la manera m´as amplia de construir conjuntos con conjuntos dados, pero no es muy clara, pues en la noci´ on de subconjunto, vuelve a aparecer la noci´on de conjunto. Nuestra discusi´on de la paradoja de Russell tiene como consecuencia que no toda propiedad define un conjunto, pero ¿ser´a cierto que todo conjunto es definido por una propiedad? ¿Ser´ıa conveniente entonces decir que el estrato BFα 1 sea el de las colecciones de elementos de BFα que est´en en un conjunto ya construido y cumplan una propiedad escrita en el lenguaje de la teor´ıa de conjuntos? Observe que en este caso se estar´ıa usando el axioma de separaci´on restringiendo el de potencia para construir el siguiente estrato. Hacerlo as´ı, lleva a una jerarqu´ıa llamada la de los conjuntos definibles o construibles, conocida como el universo L. Esta jerarqu´ıa fue definida formalmente por G¨odel y es interesante decir aqu´ı que no se puede demostrar ni refutar en ZF que todo conjunto es definido por una propiedad (v´ease [Ku80]). Es por esto que no se puede ni demostrar ni refutar que la jerarqu´ıa de los conjuntos definibles sea distinta de la de los bien fundados. Sin embargo, como es un hecho que la jerarqu´ıa de los definibles est´a contenida en la de los bien fundados, argumentando otra vez la b´ usqueda de la menor restrictividad posible, acordamos que para la jerarqu´ıa de los bien fundados BFα 1  P pBFα q. Veremos que esta construcci´on realmente es acumulativa, en el sentido de que si un conjunto aparece en un estrato, aparece en todos los estratos posteriores a ese estrato. Adem´as, veremos que todo conjunto construido de este modo tiene un inicio constructivo por lo que tendr´a necesariamente “un fondo” respecto a la relaci´on de pertenencia; pues si A fue formado en alg´ un estrato, entonces sus elementos fueron formados en estratos anteriores, y los elementos de sus elementos fueron a su vez formados en estratos anteriores

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´ a ´estos, y as´ı sucesivamente hasta llegar al conjunto vac´ıo. Estos son los conjuntos bien fundados. Podemos ahora precisar que BF ser´a la uni´on de todos los conjuntos formados en todos los estratos de la jerarqu´ıa acumulativa descrita, y le llamaremos la clase de los conjuntos bien fundados. En el ap´endice B se da una discusi´on intuitiva de que los axiomas de ZFE son verdaderos respecto a la clase BF. Pasemos ahora a las formalidades. Denotamos, como es costumbre, al universo de todos los conjuntos con la letra V . Por el teorema de recursi´on transfinita, mediante el conjunto vac´ıo y los funcionales potencia P : V Ñ V ” : V Ñ V , podemos definir un u ´nico funcional BF : OR Ñ V tal y uni´on que  ∅, BFp0q BFpα 1q  P pBFpαqq,  ”δ γ BFpδq, si γ es l´ımite. BFpγ q Denotamos al conjunto BFpαq con BFα y se le llamar´a el α-´esimo estrato. Ahora, definimos ¤ BF  BF α

P

α OR

y los elementos de BF ser´an los conjuntos bien fundados. Obs´ervese que la clase BF es realmente la f´ormula BFpxq 

Dα pα es un ordinal ^ x P BF α q.

BF es una clase propia conocida como la jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados, o jerarqu´ıa de Von Neumann. En la figura 2.2 se da una idea gr´afica de los estratos de esta jerarqu´ıa. Observe que BF0  0, BF1  1 y BF2  2. Sin embargo, 3  BF3 , pues ttHuu P BF3 . Teorema 2.9 Los estratos de la jerarqu´ıa de los bien fundados tienen las siguientes propiedades. (i) Sea α un ordinal, entonces x x P BFα (ii)



 Dβ   α px „ BFβ q . Sean α y β ordinales, entonces α   β si y s´ olo si BFα  BFβ .

(iii) Para cualquier ordinal α, BFα es transitivo.

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BFω1

BFω

”

P BFn

BFω

n ω

P pBFn q

ω

BFn

1

H, tHu BF2 H BF1 BF0

Figura 2.2: La jerarqu´ıa de los conjuntos bien fundados

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Demostraci´ on. Se dejan como ejercicio.

%

Es claro que BF „ V . Con respecto a la contenci´on contraria, no hay una respuesta general definitiva. La u ´nica respuesta es parcial: podemos suponer que V  BF, o bien podemos suponer que V  BF, y ambas suposiciones son posibles, en el sentido de que no nos llevar´an a contradicciones. Intuitivamente, el hecho de suponer V  BF significa que todos los conjuntos est´an construidos a partir de un principio. De hecho por un ejercicio de esta secci´on, al considerar los elementos que pertenecen a un conjunto bien fundado, y los elementos que pertenecen a sus elementos y los elementos que pertenecen a los elementos que pertenecen a sus elementos, etc., llegaremos despu´es de una cantidad finita de pasos, al vac´ıo (v´ease el inciso (ii) del ejercicio 2.7.24). Formalizando esto, veremos que la afirmaci´on V  BF es equivalente al axioma de buena fundaci´ on. Por otro lado, el hecho de suponer lo contrario, que V  BF, significa suponer que no todos los conjuntos deben tener un “fondo”, sino que adem´as de los conjuntos bien fundados, hay conjuntos sin principio de construcci´on, es decir, dentro de los que se pueden dar cadenas infinitas descendentes de pertenencias. El ejemplo m´as sencillo de este fen´omeno es un conjunto x con la propiedad de que x  txu, de esta manera se tendr´ıa que x P x P x P x . . ., etc. La existencia de tales conjuntos se postula mediante ciertos axiomas incompatibles con el axioma de buena fundaci´on, por ejemplo el axioma de Antifundaci´on AFA (el desarrollo de la teor´ıa de conjuntos con este axioma puede estudiarse en [Ac88]). Es importante mencionar aqu´ı que el axioma de buena fundaci´on es parte de los axiomas de ZFE, es decir, la mayor´ıa de los libros cl´asicos de la teor´ıa de conjuntos consideran que todo conjunto es bien fundado. Esto es porque los conceptos b´asicos de las matem´aticas (las relaciones, las funciones, los n´ umeros naturales y dem´as estructuras num´ericas) pueden ser definidos dentro de la jerarqu´ıa de los bien fundados. Sin embargo, la raz´on para que el axioma de buena fundaci´on siga siendo parte de la axiom´atica de ZFE es la utilidad pr´actica de trabajar s´olo con los conjuntos bien fundados, y no que sea creencia generalizada de los conjuntistas que todos los conjuntos sean bien fundados. De hecho, muchos conjuntistas consideran que es un axioma de tipo restrictivo. Entonces, incluso si se incluye este axioma, puede pensarse que se est´a trabajando en una secci´on del universo de los conjuntos, la secci´on de los bien fundados, aunque puede ser que haya con-

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juntos fuera de esta secci´on del universo. Veamos ahora las demostraciones formales de lo discutido. Una de las consecuencias m´as importantes de la definici´on de los conjuntos bien fundados es que podemos seguir la pista de la construcci´on de un conjunto, al tener un registro de en qu´e estrato se fueron construyendo los elementos que lo constituyen. Esto se da gracias a que la jerarqu´ıa de los conjuntos bien fundados est´a bien ordenada por la clase de ´ındices para los estratos, es decir, por la clase de los ordinales. Si suponemos que un conjunto x pertenece a alg´ un estrato, es decir si Dβ P ORpx P BFβ q, entonces, por el principio del m´ınimo ordinal, existe un ordinal m´ınimo α tal que x P BFα 1 , de modo que α ser´a el m´ınimo ordinal tal que x „ BFα . El lector debe convencerse del siguiente hecho: si un conjunto aparece por primera un α; es decir, el m´ınimo ordinal vez en BFβ , entonces β  α 1, para alg´ β tal que x P BFβ es necesariamente un ordinal sucesor. Conjuntos m´as complejos que otros aparecer´an m´as arriba en la jerarqu´ıa de conjuntos, por ejemplo ∅ P BF1 , n P BFn 1 , tnu P BFn 2 , ω P BFω 1 . Estas consideraciones motivan la siguiente definici´on. Definici´ on 2.13 El rango de un conjunto bien fundado x se denota como ρpxq y se define como ρpxq 

£

tα P OR | x P BFα 1 u.

Es decir, ρpxq es el m´ınimo ordinal α tal que x „ BFα . Proposici´ on 2.11 Si x y y son conjuntos tales que x P y, entonces se tiene que ρpxq   ρpy q. Demostraci´ on. Supongamos que x P y. Como y „ BFρpyq , x P BFρpyq . Por el ejercicio 2.7.16, sabemos que x P BFρpxq 1 y que ρpxq 1 es el m´ınimo ordinal que cumple esto. Como x P BFρpyq , tenemos que ρpxq 1 ¤ ρpy q y ρpxq   ρpy q. % Obs´ervese que el rec´ıproco de esta proposici´on no es cierto. Por ejemplo, tenemos que ρp∅q  0   2  ρptt∅uuq y, sin embargo, ∅ R tt∅uu. Teorema 2.10 Se tienen las siguientes afirmaciones.

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 tx P BF | ρpxq   αu, es decir, x P BFα si y s´ olo si ρpxq   α. ” Para cualquier conjunto x, ρpxq  tρpy q 1 | y P xu. Para cualquier ordinal α, ρpαq  α. ” Para cualquier conjunto x, ρp xq ¤ ρpxq. ” ” Para cualquier conjunto x, ρp xq  yPx ρpy q.

(i) Para cualquier ordinal α, BFα

(ii) (iii) (iv) (v)

%

Demostraci´ on. Se deja al lector. Probemos ahora la equivalencia entre la afirmaci´on V de buena fundaci´on o regularidad. El axioma de buena fundaci´on afirma que

 BF y el axioma

Todo conjunto no vac´ıo tiene un elemento minimal con respecto a la relaci´ on de pertenencia, es decir,




x x  ∅ Ñ Dy y P x ^ zpz P x Ñ z R yq



.

Para demostrar que este axioma es equivalente a que V  BF, necesitamos primero demostrar que dado un conjunto cualquiera c, existe un m´ınimo conjunto transitivo que lo contiene. Ser conjunto transitivo es una propiedad que cumplen algunos conjuntos y ya hemos visto que estos conjuntos tienen caracter´ısticas muy u ´tiles y elegantes. A continuaci´on mostraremos que aunque no todo conjunto es transitivo, siempre podemos extenderlo de un modo can´onico para tener un conjunto transitivo m´ınimo que lo contiene; tal conjunto se llama su cerradura transitiva. Desde luego, si el conjunto dado es transitivo, entonces su cerradura transitiva es ´el mismo. La construcci´on de dicha extensi´ on se hace por recursi´on para naturales (recursi´on hasta ω). Teorema 2.11 (Existencia de la cerradura transitiva) Para todo conas a´ un, si R es junto A, existe un conjunto transitivo T tal que A „ T . M´ transitivo y A „ R, entonces T „ R. A tal conjunto se le llama la cerradura transitiva de A y se denota con CT pAq.

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”

Demostraci´ on. Sea A un conjunto. Consid´erese el funcional uni´on : V Ñ V . Por la segunda versi´on del teorema de recursi´on transfinita, restringido a ω podemos definir una sucesi´on de conjuntos como sigue: A0 An 1

 

A, ”

An .

”

Sea T  nPω An . Es claro que T es un conjunto, por el teorema de recursi´on transfinita, y los axiomas de reemplazo y uni´on, y que A „ T , pues A  A0 „”T . Adem´ as, si x P T , entonces x P An , para alg´ un n P ω. Por lo tanto, x „ An  An 1 „ T , con lo cual concluimos que T es transitivo. Por otro lado, supongamos que R es transitivo y que A „”R. Para”ver „ R, basta observar que An „ R implica que An 1  An „ R, que T ” y que R „ R, pues R es transitivo. Por lo tanto, como A0  A „ R, An „ R para todo n P ω, y T „ R. Con esto se prueba que T es el menor % conjunto transitivo que contiene a A. Ejemplo 2.7.1 La cerradura transitiva de tcu es: CT

ptcuq  tcu Y c Y pYcq Y pY Y cq Y . . .

Ahora s´ı veamos que la afirmaci´on V buena fundaci´on.

 BF es equivalente al axioma de

Teorema 2.12 El axioma de buena fundaci´ on es equivalente a que todo conjunto es bien fundado. Demostraci´ on. Supongamos, adem´as del axioma de buena fundaci´on, que existe un conjunto no bien fundado c, es decir, existe un conjunto c P V tal que c R BF. Entonces α P ORpc R BFα q. De la existencia de c y del teorema anterior, se sigue la existencia de un conjunto transitivo B que tiene como elemento a c, digamos B  CT ptcuq. As´ı, el conjunto A  tx P B | α P ORpx R BFα qu es no vac´ıo. Por el axioma de buena fundaci´on, existe m P A tal que m X A  ∅. Ahora bien, si x P m, entonces, por ser B transitivo, x P B, pero claramente x R A, pues m X A  ∅. De manera que x P BFα para alg´ un α P OR.

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Es decir, x es bien fundado. As´ı, todo elemento de m es bien fundado. Veamos que entonces m mismo es bien fundado. Dado”x P m, sabemos que existe un ordinal αx tal que x P BFαx , entonces δ  xPm αx es un ordinal (es conjunto por el axioma de reemplazo y el de uni´on). De donde m „ BFδ y m P BFδ 1 . Pero esto contradice el supuesto de que m P A. As´ı pues, el conjunto c no puede existir y todo conjunto es bien fundado. Para demostrar el rec´ıproco supongamos que todo conjunto es bien fundado. Sea A  ∅. Mostremos que existe y P A tal que y X A  ∅. Como todo conjunto es bien fundado, A P BF y existe un ordinal β tal que . Para todo y P A, definimos f py q  m´ıntδ P OR | y P BFδ u. A „ BFβ“ Sea γ  tf py q | y P Au  m´ıntf py q | y P Au. Entonces γ P OR, pues tf pyq | y P Au  ∅. Sea y0 P A tal que γ  f py0q. Ahora bien, si y0 X A  ∅, habr´ıa z P y0 X A. Entonces, por la proposici´on 2.11, ρpz q   ρpy0 q, de donde f pz q  ρpz q 1   ρpy0 q 1  f py0 q  γ. Pero z P A y f pz q   γ, lo que contradice la minimalidad de γ. Por lo tanto, existe y0 P A tal que y0 X A  ∅, con lo cual se cumple el axioma de buena fundaci´on. % Entonces hemos construido la clase de todos los conjuntos bien fundados de manera jerarquizada. Esta manera de ver a los conjuntos bien fundados es una herramienta poderosa para demostrar propiedades de estos conjuntos y para comprender mejor c´ omo est´an construidos conjuntos que te´oricamente ya conoc´ıamos. Los ejercicios 2.7.19 y 2.7.20 de esta secci´on son un ejemplo interesante de la nueva informaci´on que se adquiere sobre el nivel de complejidad de ciertos conjuntos.

2.7.4.

Algunas pruebas interesantes

El axioma de elecci´ on fue agregado a la lista de axiomas por Zermelo en 1904, cuando se dio cuenta que se utilizaba para probar que para todo conjunto existe un buen orden del conjunto. Es un axioma especial pues afirma que ciertos conjuntos (las funciones de elecci´on) existen sin dar una descripci´ on de ellos como colecciones de objetos que tengan una cierta propiedad. Por esto y por algunas de sus consecuencias contraintuitivas (como que para el conjunto de los n´ umeros reales exista un buen orden) fue dif´ıcil para algunos matem´aticos aceptar este axioma. Sin embargo, sus consecuencias en varias ´ areas de las matem´aticas son tan necesarias y poderosas (como, por

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ejemplo, que todo espacio vectorial tenga una base), que ya es poco com´ un encontrarse con alg´ un matem´atico que no lo acepte. El llamado teorema del buen orden afirma precisamente que para todo conjunto existe un buen orden del conjunto. Se sabe que esta aseveraci´on es equivalente al axioma de elecci´on. Tambi´en se sabe que el lema de Zorn es equivalente al axioma de elecci´on. Este lema afirma que si toda cadena en un orden parcial no vac´ıo est´a superiormente acotada, entonces en el orden parcial existe un elemento maximal, donde una cadena es un subconjunto linealmente ordenado del orden parcial. En esta secci´on damos una prueba de que el axioma de elecci´ on implica el teorema del buen orden y otra de que el axioma de elecci´ on implica el lema de Zorn. Estas pruebas utilizan el teorema de recursi´on transfinita y gracias a este teorema tienen una gran belleza, adem´as de ser m´as r´apidas y claras que las que no lo usan. Para ver las otras pruebas puede consultarse [Am05]. La pregunta respecto a para qu´e conjuntos existe un buen orden fue discutida desde los tiempos de Cantor, quien consideraba bastante claro que para todo conjunto exist´ıa un buen orden. Intuitivamente se puede dar una “demostraci´on” de este hecho del siguiente modo. Sea A un conjunto cualquiera y sea b un conjunto cualquiera que no pertenece a A (sabemos que siempre existe tal b). Ahora, definimos un funcional F que toma valores ordinales. Sea F p0q  Sea F p1q 

" "

un elemento de A b

si A  H, y en otro caso.

un elemento de AztF p0qu b

Y as´ı sucesivamente, " un elemento de AzimpF sea F pαq  b

æα q

si AztF p0qu  H, y en otro caso. si AzimpF æα q  H, y en otro caso.

As´ı, F da una lista de los elementos de A ordenados por los ordinales. El proceso de “construcci´on” de esta lista terminar´a si y s´olo si F toma el valor b para alg´ un ordinal. Pero veremos que en alg´ un momento lo tomar´a, pues la colecci´ on de todos los ordinales es clase propia y A es un conjunto. Desde luego, nosotros veremos c´ omo esta idea intuitiva se puede formalizar con todo rigor, usando dos hechos necesarios: el teorema de recursi´on transfinita y el axioma de elecci´ on.

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Teorema 2.13 El axioma de elecci´ on implica el teorema del buen orden. Demostraci´ on. Sea A un conjunto. Probaremos que existe r „ A  A de manera que xA, ry es un buen orden. Por el axioma de elecci´on, sea f una funci´ on de elecci´ on para P pAqzt∅u. Sea c un conjunto tal que c R A, este c existe, pues A es un conjunto. Definimos f 1 : P pAq Ñ A Y tcu como f 1  f Y tx∅, cyu. Ahora, definimos el funcional G : V Ñ A Y tcu como GpX q  f 1 pAzX q. Obs´ervese que

X pAzX  ∅ Ø GpX q  cq.

(2.4)

Mediante la cuarta versi´on del teorema de recursi´on transfinita podemos definir un u ´nico funcional F : OR Ñ A Y tcu tal que

α P OR F pαq  GpF rαsq  f 1pAzF rαsq



.

Demostramos las siguientes tres afirmaciones. 1. Si F pαq  c, entonces β

2.

3.

¤ αpF pβ q  cq. Supongamos que F pαq  c. Entonces GpF rαsq  c y, por (2.4), se tiene que AzF rαs  ∅. Si β ¤ α, se tiene que F rβ s „ F rαs, por lo que AzF rαs „ AzF rβ s. De aqu´ı que AzF rβ s  ∅ y, por (2.4), concluimos que F pβ q  c. Si F pαq  c, entonces β, δ ¤ αpβ  δ Ñ F pβ q  F pδqq. Supongamos que F pαq  c. Sean β y δ con β  δ y β, δ ¤ α. Sin p´erdida de la generalidad, podemos suponer que β   δ. Por la afirmaci´on 1, F pδq  c, ya que δ ¤ α y F pαq  c. As´ı pues, F pδq  GpF rδsq  c y, por (2.4), AzF rδs  ∅. Esto implica que F pδq  f 1 pAzF rδsq P AzF rδs, pues f 1  f Y tx∅, cyu, donde f es funci´on de elecci´on, y AzF rδs  ∅. Por lo tanto, F pδq R F rδs, pero, como β   δ, F pβ q P F rδs, por lo que F pβ q  F pδq. Existe un ordinal β tal que F pβ q  c. Si se cumpliera que para todo ordinal α, F pαq  c, la afirmaci´on 2 implicar´ıa que OR  F rORs „ A. De aqu´ı que, por el axioma de separaci´on, F rORs ser´ıa un conjunto, pero entonces el axioma de reemplazo implicar´ıa que OR  F
1 rF rORss ser´ıa un conjunto, lo cual es absurdo.

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Por el principio del m´ınimo ordinal y la afirmaci´on 3, sea β0  m´ıntβ P OR | F pβ q  cu. Entonces F pβ0 q  GpF rβ0 sq  c y, por (2.4), AzF rβ0 s  ∅, lo que equivale a A „ F rβ0 s. Ahora, por la minimalidad de β0 , se tiene que α   β0 , F pαq  c. Como el contradominio del funcional G es A Ytcu, α   β0 , F pαq P A. Esto prueba que F rβ0 s „ A. Por lo tanto, F rβ0 s  A y, por la afirmaci´on 2, Fæβ0 : β0  A. Sea r „ A  A tal que  a, b P A a r b Ø F
1paq P F
1 pbq . Como xβ0 , Py es un buen orden, xA, ry tambi´en lo es. En este caso se dice que r es el buen orden inducido por β0 mediante Fæβ0 . % Ahora, veamos la otra prueba prometida, la de que el axioma de elecci´on implica el lema de Zorn. El lema de Zorn es una afirmaci´on muy famosa en matem´aticas por su poder y elegancia para demostrar muchos resultados cl´ asicos, algunos de los cuales resultan incluso ser equivalentes al lema. Como ya mencionamos antes, este lema afirma que cualquier orden parcial no vac´ıo con la propiedad de que todas sus cadenas est´an superiormente acotadas, tiene un elemento maximal. La idea intuitiva de esta demostraci´on, por reducci´on al absurdo, es suponer que no hay un elemento maximal en el orden parcial dado y definir por recursi´on sobre OR, usando dos funciones de elecci´ on, una cadena de objetos de modo que ser´ıa una cadena-clase propia contenida en el conjunto dado, lo cual es una contradicci´on. Esta elegante demostraci´on vuelve a mostrar el poder del teorema de recursi´on transfinita, mezclado con la fuerza del axioma de elecci´on. Teorema 2.14 El axioma de elecci´ on implica el lema de Zorn. Demostraci´ on. Sea xP,  y un orden parcial no vac´ıo, tal que toda cadena en P tiene cota superior en P . Obs´ervese que siempre hay cadenas en P , pues como P  ∅, hay a P P y tau es una cadena en P . Supongamos, para llegar a una contradicci´on, que P no tiene un elemento maximal. Por el axioma de elecci´on, existe una funci´on de elecci´on g para el siguiente subconjunto de P pP q

ta P P | a es cota superior de C u | C es cadena en P

(

.

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´ n transfinita 2.7. Aplicaciones de la recursio Ahora, definamos f1 : tC | C es cadena en P u Ñ P como

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f1 pC q  g ta P P | a es cota superior de C u . Como por suposici´on P no tiene elemento maximal, tenemos que para cualquier q P P existe r P P tal que q   r. De aqu´ı que, por el axioma de elecci´ on, existe una funci´ on de elecci´on h para el siguiente subconjunto de P pP q ( tr P P | q   ru | q P P . Sea f : tC | C es cadena en P u Ñ P , tal que f pC q  h tr



P P | f1pC q   ru .

Sea C una cadena en P . Gracias al teorema de recursi´on transfinita, podemos definir para cada ordinal α los siguientes elementos de P : c0 cα cγ

1

 f pC q,   h tr P P | cα   ru ,  f tcδ | δ P γ u , si γ es un ordinal l´ımite.

Obs´ervese que si γ es un ordinal l´ımite, cγ est´a bien definido, pues para cualesquiera β y α tales que β P α P γ, se tiene que cβ   cα , por lo que tcδ | δ P γ u es realmente una cadena. M´as a´un, se puede verificar por inducci´on sobre α que si β P α, entonces cβ   cα y que tcδ | δ P αu es una cadena. As´ı, C Æ  tcδ | δ P ORu es una cadena contenida en P , pero entonces C Æ es una clase propia contenida en un conjunto, lo cual es absurdo. % Por lo tanto, xP,  y tiene un elemento maximal.

Ejercicios 2.7.1.- Justifique, usando la tercera versi´on del teorema de recursi´on transfinita, que el funcional ωα est´a bien definido. 2.7.2.- Justifique recursivamente, utilizando el axioma de reemplazo que para todo ordinal α, ωα es un conjunto. Depu´es demuestre que para todo ordinal α, ωα es un ordinal, de manera similar a como demostramos que ω1 lo era.

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2.7.3.- Demuestre que si ωα es un ordinal inicial, entonces ωα 1 es un ordinal inicial. Este es el caso que no se hizo expl´ıcito en la demostraci´on de la proposici´on 2.10. 2.7.4.-

(i) Justifique las definiciones de la suma, producto y exponenciaci´ on ordinal mediante la tercera versi´on del teorema de recursi´on transfinita. (ii) Demuestre que si α y β son ordinales, entonces α αβ son ordinales.

β, α  β y

2.7.5.- Sean xA, ry y xB, sy dos buenos ´ordenes, y sean α y β sus tipos de orden, respectivamente. (i) Demuestre que la suma de xA, ry y xB, sy como tipos de orden es isomorfa a α β.

(ii) Demuestre que el producto de xA, ry y xB, sy como tipos de orden es isomorfo a α  β. Sugerencia: Si xA, ry f xα, Py y xB, sy g xβ, Py, entonces utilice la funci´on h definida como hpa, bq  α  gpbq f paq.

2.7.6.- Consid´erese el buen orden xZ,  y, donde vemos a Z como la uni´on de los positivos con el cero, Z Yt0u, y los negativos, Z
, y el orden   est´a definido de la siguiente manera: $ & p, q

P Z Y t0u p q p, q P Z
% p P Z Y t0u  Pruebe que τ xZ,  y  ω ω.

y p  Z q, o y q  Z p, o y q P Z
.

2.7.7.- Pruebe las siguientes propiedades de la suma ordinal: (i) (ii) (iii)



 α, β, γ P OR pα β q γ  α pβ γ q ;  α, β, γ P OR α   γ  pβ α   β γ q;  α, β, γ P OR pβ α  β γ q  α  γ .

2.7.8.- Pruebe las siguientes propiedades del producto ordinal: (i)



 α, β, γ P OR pα  β q  γ  α  pβ  γ q ;

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´ n transfinita 2.7. Aplicaciones de la recursio 

 α, β, γ P OR α   γ  pβ  α   β  γ q ;  (iii)  α, β, γ P OR pβ  α  β  γ q  α  γ .  Demuestre que  α, β, γ P OR α  pβ γ q  α  β α  γ . Sean α y β ordinales tales que α ¤ β. Pruebe que α γ  β tiene (ii)

2.7.9.2.7.10.-

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una soluci´on u ´nica para alg´ un ordinal γ.

2.7.11.- Para cada una de las siguientes igualdades, encuentre ordinales α, β y γ para los cuales no se cumplan y, si es posible, encuentre ordinales distintos para los que s´ı se cumplan. (i) (ii) (iii)

α β  β α. α  β  β  α. α 1  1 α.

2.7.12.- Si es posible, encuentre ordinales α, β y γ que cumplan los siguientes pares de condiciones, justificando su respuesta. (i) α γ  β γ y α  β. (ii) α  γ  β  γ y α  β. 2.7.13.- Para cada una de las siguientes igualdades, encuentre el m´ınimo ordinal α que la cumpla. (i) ω α  α. (iii) ω α  α. (ii) ω  α  α. 2.7.14.- Para cada uno de los siguientes ordinales α, encuentre un conjunto A „ Q tal que xA,  Q æA y  xα, Py. (i) α  ω 1. (iii) α  ω 2 . (ii) α  ω  2. (iv) α  ω ω . 2.7.15.- Sea xA, ry un buen orden. Dado z P P pAq denotamos con αz pfz q al u ´nico ordinal (isomorfismo) tales que fz : xαz , Py  xz, ry. Definimos el orden   sobre P pAq como x   y si y s´olo si se cumple alguna de las siguientes condiciones excluyentes entre s´ı: - x∅yy -

 ∅, o x, y  ∅ y αx P αy , o x, y  ∅, αx  αy y fx pβ q r fy pβ q, donde β  m´ıntδ P αx | fx pδq  fy pδqu.

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Pruebe que xP pAq,  y es un orden total. ¿Es cierto que xP pAq,  y es un buen orden? 2.7.16.- Verifique que para todo conjunto bien fundado x, x x R BFρpxq .

P BFρpxq

1

y

2.7.17.- Demuestre las siguientes afirmaciones del teorema 2.9: (i) (ii)



x x P BFα  Dβ   α px „ BFβ q . α   β si y s´olo si BFα  BFβ .

(iii) BFα es transitivo. 2.7.18.- Demuestre las siguientes afirmaciones del teorema 2.10: (i) Para cualquier ordinal α, BFα x P BFα si y s´olo si ρpxq   α.

 tx P BF | ρpxq   αu, es decir,

(ii) Para cualquier conjunto x, ρpxq 

”

(iii) Para cualquier ordinal α, ρpαq  α. (iv) Para cualquier conjunto x, ρp (v) Para cualquier conjunto x, ρp

” ”

tρpyq

1|y

P xu.

xq ¤ ρpxq. xq 

”

P ρpy q.

y x

2.7.19.- Sean x y y conjuntos. Exprese los siguientes rangos en t´erminos de ρpxq y/o ρpy q: (i) ρpP pxqq; (v) ρpxx, y yq; (ii) ρptxuq; (vi) ρpx  y q; (iii) ρptx, y uq; (vii) ρpy xq. (iv) ρpx Y y q; 2.7.20.- Calcule ρpZq, ρpQq, ρpRq y ρpCq. Sugerencia: ρpCq  ρpR2 q. 2.7.21.- Demuestre que el axioma de buena fundaci´on implica que

x px R xq. 2.7.22.- Demuestre que el axioma de buena fundaci´on implica que 2.7.23.-

Dx1 , . . . , xn px1 P x2 P . . . P xn P x1q. Demuestre que si x P BF y x es un conjunto transitivo de conjuntos

transitivos, entonces x es un ordinal.

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´ n transfinita 2.7. Aplicaciones de la recursio 2.7.24.-

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(i) Demuestre que no hay un conjunto tan : n P ω u „ BF tal que n P ωpan 1 P anq. Sugerencia: V´ease el ejercicio 1.2.6.

(ii) Demuestre que si A P BF, entonces no existe tan : n P ω u „ A tal que n P ω pan 1 P an q.

2.7.25.- Suponga el axioma de buena fundaci´on y suponga que si un conjunto A es bien ordenable, entonces P pAq es bien ordenable. Demuestre que entonces todo conjunto es bien ordenable. 2.7.26.- Justifique con los teoremas de recursi´on transfinita adecuados, los funcionales definidos en las pruebas de los teoremas 2.13 y 2.14. 2.7.27.- Complete la demostraci´on del teorema 2.14, es decir, demuestre por inducci´on sobre α que si β P α, entonces cβ   cα y que tcδ | δ P αu es una cadena.

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3 N´umeros cardinales 3.1.

Introducci´ on

En varios de los libros que intoducen la Teor´ıa de Conjuntos, como [Am05] o [HrJe84], se define el hecho de que los conjuntos A y B tengan el mismo n´ umero de elementos sin que se necesite definir el concepto de n´ umero de elementos. Esto se hace simplemente usando el concepto de equipotencia (definici´on 1.23): A y B tienen el mismo n´ umero de elementos o son equipotentes si y s´olo si existe una funci´on biyectiva f : A Ñ B; este hecho muchas veces se denota como A  B. En este caso se dice tambi´en que A y B tienen la misma cardinalidad y se denota como |A|  |B |. Usando esta sencilla definici´on se pueden demostrar muchos resultados interesantes, sin recurrir al concepto de n´ umero de elementos. Despu´es se puede hacer una suposici´on plausible de que existen conjuntos que se llaman n´ umeros cardinales cumpliendo que para todo conjunto X existe un u ´nico n´ umero cardinal |X |, y que los conjuntos X y Y son equipotentes si y s´olo si |X |  |Y |. Con esta suposici´on basta para poder definir la aritm´etica cardinal: la suma, el producto y la exponenciaci´on de n´ umeros cardinales y probar varias de sus propiedades. V´ease por ejemplo [Am05] o [HrJe84]. 103 i

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´meros cardinales 3. Nu

La intenci´on de este cap´ıtulo es la de definir formalmente qu´e conjuntos son los n´ umeros cardinales, lo que traer´a consigo definir formalmente lo que significa el tama˜ no o n´ umero de elementos de un conjunto, y probar que estas definiciones satisfacen todas las propiedades arriba mencionadas. Adem´ as, teniendo la definici´on formal de n´ umero cardinal, en la secci´on 3.5.1 podremos demostrar una de estas propiedades (que para todo cardinal infinito κ, κ  κ  κ) sin recurrir al axioma de elecci´on (cosa que sin la definici´on es inevitable) y tambi´en obtendremos resultados nuevos. Esto se logra usando el concepto de n´ umero ordinal. Para definir a los n´ umeros cardinales o, simplemente, cardinales debemos considerar la elecci´ on de representantes de cardinalidades. La idea intuitiva se desprende del hecho de que la relaci´on “tener la misma cardinalidad” se comporta como una relaci´on de equivalencia sobre la clase propia del universo de los conjuntos. Sin embargo, ni siquiera la clase de equivalencia de los conjuntos que tienen la misma cardinalidad que el conjunto t∅u es un conjunto. Es decir, ni siquiera la colecci´on de todos los conjuntos que intuitivamente tienen s´olo un elemento es un conjunto. As´ı, la elecci´on de un representante para cada cardinalidad es necesaria y debe hacerse con cuidado. Para un conjunto finito es f´acil elegir un representante de su cardinalidad, la elecci´ on natural es la del n´ umero natural equipotente con ´el. De forma que los n´ umeros naturales son n´ umeros cardinales. Para los conjuntos infinitos, buscamos elegir tambi´en un n´ umero ordinal, pero la elecci´on no es tan natural. Usando el axioma de elecci´on, sabemos que todo conjunto es bien ordenable y, por el teorema de enumeraci´on, ´ese buen orden es isomorfo a un u ´nico ordinal. Entonces para todo conjunto existe un ordinal con el cual es biyectable (o equipotente). As´ı que suena plausible, elegir a este ordinal como el cardinal del conjunto. Sin embargo, si A es infinito, existen muchas maneras de bien ordenar a A que dan como resultado buenos ´ordenes no isomorfos, por lo que existen muchos ordinales con los cuales A es biyectable. Entonces para definir el cardinal de A necesitamos elegir un solo ordinal. Esto lo podemos hacer usando el principio del m´ınimo ordinal: eligiendo el m´ınimo ordinal con el cual A es biyectable. As´ı, un n´ umero cardinal es un ordinal que no es biyectable con los ordinales menores a ´el.

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3.2. Definiciones y propiedades

3.2.

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Definiciones y propiedades

De la definici´on 2.9 sabemos que un ordinal inicial es un ordinal que no es equipotente (o biyectable) con ning´ un ordinal anterior a ´el. De aqu´ı que la definici´on de un cardinal es precisamente la de ser un ordinal inicial. Definici´ on 3.1 Un cardinal es un ordinal inicial, es decir, un ordinal no biyectable con ning´ un ordinal menor. En la definici´on anterior y en adelante, debe entenderse que el orden entre los cardinales es el mismo que el de los ordinales. Se deja al lector verificar que cualquier n´ umero natural es un ordinal inicial, por lo que los cardinales finitos son n´ umeros naturales. De aqu´ı en adelante denotaremos con κ, λ, µ a cardinales infinitos y con m, n a los finitos. Con CAR denotaremos a la clase de todos los cardinales infinitos, es decir, CAR  tκ : κ es un cardinal y κ ¥ ω u. Abusando de la notaci´on, obs´ervese que CAR „ OR. Proposici´ on 3.1 Se cumplen las siguientes propiedades. (i) Si κ y λ son cardinales tales que κ  λ, entonces κ  λ. (ii) La pertenencia se comporta como un buen orden para la clase de los cardinales. (iii) Para toda n P ω, n es cardinal; ω es cardinal y para toda α P OR, ωα es cardinal. (iv) Si κ P CAR, entonces κ es un ordinal l´ımite. (v) Si α P OR, α  ω y α  ω, entonces α R CAR. Demostraci´ on. (i) Sean κ y λ cadinales tales que κ  λ. Como κ y λ son cardinales y κ  λ, tenemos que κ   λ y λ   κ. Entonces κ  λ, pues la pertenencia se comporta como un orden total para los ordinales.

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(ii) Como los cardinales son una subclase de la clase OR y, por el principio del m´ınimo ordinal, la pertenencia se comporta como un buen orden para OR, P tambi´en se comporta como un buen orden para la clase de los cardinales. (iii) Se deja al lector como ejercicio, verificar que todo natural es un cardinal. El hecho de que ω es cardinal se desprende de que sea el primer ordinal infinito. Por la proposici´on 2.10, sabemos que para toda α P OR, ωα es cardinal. (iv) Sea κ P CAR. Si κ fuera un ordinal sucesor, digamos κ  α 1, entonces se puede encontrar una biyecci´on de κ con el ordinal anterior, es decir, κ  α. Pero entonces α   κ y κ  α, lo cual contradice el hecho de que κ es cardinal. Se deja como ejercicio dar la biyecci´on κ  α. (v) Se deja como ejercicio.

%

Sin usar la definici´on formal de cardinal, utilizando s´olo la noci´on de cardinalidad como la discutimos en la introducci´on de este cap´ıtulo, se pueden demostrar varias propiedades, como por ejemplo el siguiente famoso teorema. Teorema 3.1 (Cantor-Schr¨ oder-Bernstein) Sean A y B conjuntos cualesquiera. Si existen funciones inyectivas f : A Ñ B y g : B Ñ A, entonces A  B. Demostraci´ on. Puede verse la demostraci´on que no utiliza la definici´on % de cardinal de este teorema en [Am05]. A este respecto es importante observar que con la definici´on de cardinal, el axioma de elecci´ on y suponiendo cierta propiedad de la relaci´on de dominancia entre conjuntos, podemos dar otra demostraci´on de este teorema. Recu´erdese primero la definici´on de la relaci´on de dominancia: decimos que un conjunto A est´a dominado por B si existe una funci´on inyectiva de A en B, lo cual se denota como A ¨ B. Como por el axioma de elecci´on todo conjunto es bien ordenable, entonces por el teorema de enumeraci´on y por el principio del m´ınimo ordinal, existen ordinales m´ınimos α y β con los cuales

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3.2. Definiciones y propiedades

A y B son biyectables respectivamente. Por el ejercicio 3.2.3 de esta secci´on α y β son cardinales y como por el inciso (ii) de la proposici´on anterior P se comporta como un buen orden para los cardinales, entonces tenemos que ¤ se comporta como una relaci´on antisim´etrica para los cardinales. Luego entonces, como A ¨ B y B ¨ A, entonces por lo anterior α ¨ β y que β ¨ α. Ahora bien, si suponemos adicionalmente que

λ, κ P CARpλ ¨ κ ñ λ ¤ κq (3.1) entonces como α ¨ β y β ¨ α entonces α  β y por lo tanto A  B. Esto concluye una demostraci´on de que la propiedad (3.1) implica el teorema de Cantor-Schr¨oeder-Bernstein.

Al final de esta secci´on veremos que la clase de todos los cardinales es, al igual que la de los ordinales, una clase propia, por lo que no siempre sucede que la uni´on de una colecci´on de cardinales es un cardinal. Sin embargo, si la colecci´ on es un conjunto, entonces la uni´on s´ı es un cardinal. Para demostrar esto, usamos una de las consecuencias del teorema de CantorSchr¨oder-Bernstein que se deja al lector como ejercicio: si κ, λ y µ son cardinales tales que κ ¨ λ ¨ µ y κ  µ, entonces κ  λ  µ. Proposici´ on 3.2 La uni´ on de un conjunto de cardinales es un cardinal, es ” decir, si X es un conjunto de cardinales, entonces X es un cardinal. ”

Demostraci´ on. Sean X un conjunto de cardinales y γ  X. Como X es un conjunto de ordinales, por el ejercicio 2.2.1, γ es un ordinal. Si γ no ” fuera un ” cardinal, existir´ıa un ordinal δ   γ  X tal que δ  γ. En tal caso δ P X, por lo que existir´ıa un κ P X tal que δ P κ. De esta manera se tendr´ıa que δ  κ „ γ, por lo que δ ¨ κ ¨ γ y δ  γ. As´ı, por el teorema de Cantor-Schr¨oder-Bernstein, se obtendr´ıa que”δ  κ, lo cual es una contradicci´on a que κ es cardinal. Por lo tanto, γ  X debe ser un cardinal. % A continuaci´on presentamos el teorema de Hartog, el cual asegura que para todo conjunto A existe un cardinal m´ınimo que no es puede inyectar en ´el y que, por lo tanto, intuitivamente tiene m´as elementos. Para el caso particular en que A sea un cardinal κ, el teorema nos asegura la existencia

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de otro cardinal m´ınimo no dominado por ´el y, por tanto, es el primero estrictamente mayor que κ, es decir, es el sucesor cardinal de κ. Teorema 3.2 (Hartog) Para todo conjunto A existe un m´ınimo cardinal κ no dominado por A y dominado por P pP pA  Aqq. Demostraci´ on. Sean A un conjunto y κ  tα P OR | α ¤ Au. Si κ es un conjunto, entonces veamos que es un conjunto transitivo de ordinales. Sean α y β ordinales tales que β P α P κ, entonces β ¤ α ¤ A, por lo que β P κ. De aqu´ı que κ es un ordinal. Por otra parte, veamos que κ es un cardinal. Sea β   κ, entonces β ¤ A, por lo que β  κ, pues si κ  β ¤ A, κ ¤ A, lo cual implicar´ıa el absurdo de que κ P κ. De manera que κ es un cardinal y adem´as κ ¤ A. Finalmente, si µ es un cardinal que cumple que µ ¤ A y tuvi´eramos que µ   κ, entonces µ ¤ A lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto, si µ ¤ A, κ ¤ µ, es decir, κ es el m´ınimo cardinal no dominado por A. Por supuesto falta mostrar que κ es un conjunto, para lo cual definimos el siguiente conjunto:

 txB, ry | B „ A, r „ B  B y xB, ry es un buen ordenu. Claramente W „ P pAq  P pA  Aq. Sea F : W Ñ OR, donde F pxB, ryq se define como el u ´nico ordinal α tal que xB, ry  xα, Py. El teorema de W

enumeraci´on garantiza que F est´a bien definida. Es claro que W es un conjunto por el axioma de separaci´on. Afirmamos que F rW s  κ con lo cual, por el axioma de reemplazo, habremos demostrado que κ es conjunto. Sea F pxB, ryq P F rW s y digamos que F pxB, ryq  α. Entonces xα, Py  xB, ry, por lo que α  B ¤ A. De manera que F pxB, ryq P κ. Por otro lado, si β P κ, entonces β ¤ A, por lo que β  B para alg´ un B „ A. Supongamos que g : β Ñ B es la funci´on biyectiva. Calcando el buen orden de β a trav´es de g, definimos el buen orden r para B como x r y si y s´olo si g
1 pxq P g
1 py q. Se puede verificar que efectivamente xB, ry es un buen orden, adem´as de que xB, ry g
1 xβ, Py, de donde β  F pxB, ryq P F rW s. As´ı, podemos concluir que F rW s  κ y que κ es un conjunto. Finalmente, veamos que κ ¤ P pP pA  Aqq. Definimos G : κ Ñ P pP pA  Aqq mediante Gpαq  tr P W | F prq  αu  F
1 rαs, es decir, Gpαq es la pre-imagen de α bajo F . La funci´on G es inyectiva, pues si Gpαq  Gpβ q,

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3.2. Definiciones y propiedades

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entonces para toda r P Gpαq se tiene que xα, Py  xB, ry  xβ, Py, de modo que por el teorema de enumeraci´on, α  β. La inyectividad de G atestigua la relaci´on κ ¤ P pP pA  Aqq. % Es interesante decir aqu´ı que para esta demostraci´on del teorema de Hartog no hizo falta utilizar el axioma de elecci´on, comentario que, siempre que sea posible, vale la pena aclarar en cualquier teorema que asegure la existencia de un conjunto ya que el axioma de elecci´on no nos define lo que afirma que existe y claramente una definici´on constructiva nos da m´as informaci´on. Definici´ on 3.2 (N´ umero de Hartog) Dado un conjunto A, sea HpAq el m´ınimo cardinal no dominado por A, llamado el n´ umero de Hartog de A, de esta forma se define un funcional H : V Ñ ω Y CAR que asocia a cada conjunto un cardinal que representa al siguiente tama˜ no posible al tama˜ no de A. Al n´ umero de Hartog de un cardinal λ lo denotamos por λ . El n´ umero de Hartog de un conjunto est´a bien definido por el teorema de Hartog. Adem´ as, obs´ervese que para definir el n´ umero de Hartog de un conjunto no necesitamos la segunda parte del teorema (la que afirma que el cardinal est´a dominado por la potencia de la potencia del conjunto). Sin embargo, es un resultado bonito que se puede utilizar para probar una afirmaci´on muy interesante: que la hip´otesis generalizada del continuo, de la cual hablaremos en el cap´ıtulo 4 (tambi´en v´ease el ejercicio 3.4.9), implica el axioma de elecci´ on. Para esta demostraci´on v´ease [Am89]. Proposici´ on 3.3 El cardinal λ menor cardinal mayor que λ.

es el cardinal sucesor de λ, es decir, el

umero de Hartog de Demostraci´ on. Sea λ un cardinal. Como λ es el n´ λ, λ ¤ λ. Por el ejercicio 3.2.6 de esta secci´on, tenemos que λ  λ. De aqu´ı que λ   λ y, como λ es el menor cardinal con esta propiedad, λ es % el cardinal sucesor de λ. Como prometimos, aqu´ı est´a la prueba de que la clase de los cardinales es propia. Proposici´ on 3.4 CAR es una clase propia.

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Demostraci´ on. Una consecuencia del teorema de Hartog es ” que CAR no CAR ser´ıa tiene un u ´ltimo cardinal. Si CAR fuera conjunto, entonces un cardinal, por la proposici´ on 3.2. Adem´ as, para cualquier κ P CAR, ” ” es decir, κ   CAR para todo cardinal intendr´ıamos que κ  CAR, ” ” finito. Esto implica que CAR   CAR y esto es una contradicci´on a que ” CAR sea ordinal. De manera que CAR no puede ser un conjunto. %

Ejercicios 3.2.1.- Demuestre que todo n´ umero natural es un cardinal y que, por ende, los cardinales finitos son los naturales. Sugerencia: V´ease el lema de finitud en la p´agina 69 del libro [Am05]. 3.2.2.- Demuestre que si α P OR, α  ω y α  ω, entonces α R CAR. 3.2.3.- Sea A un conjunto cualquiera. Sea γ la colecci´on de todos los ordinales equipotentes a A. (i) Demuestre que γ es un conjunto y es no vac´ıo. (ii) Demuestre que el m´ınimo ordinal de γ es un cardinal. 3.2.4.- Dar la biyecci´ on requerida en la prueba del inciso (iv) de la proposici´on 3.1 3.2.5.- Usando el teorema de Cantor-Schr¨oder-Bernstein, demuestre que si κ, λ y µ son cardinales tales que κ ¤ λ ¤ µ y κ  µ, entonces κ  λ  µ. 3.2.6.- Sean λ y κ cardinales cualesquiera. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando su respuesta. Compare sus respuestas con las del ejercicio 2.4.8 que habla de ordinales. (i) (ii) (iii) (iv) (v)

λ κñλ¨κ λ¨κñλ¤κ λ κñλ κ λ κñλ κ λκñλκ

(vi) (vii) (viii) (ix) (x) (xi)

λκñλκ λ κñλκ λ  κ ñ pλ   κ λ¨κ _ κ¨λ λ  κ ñ pλ ¨ κ λ¨κλ¤κ

_ κ   λq _ κ ¨ λq

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3.3. La jerarqu´ıa de los alefs

3.3.

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La jerarqu´ıa de los alefs

En esta secci´on, usando el teorema de recursi´on transfinita, definimos una jerarqu´ıa de cardinales infinitos. Esto lo hacemos utilizando el n´ umero de Hartog, es decir, en este caso el concepto de cardinal sucesor. Adem´as, conseguimos algo m´as poderoso: que cualquier cardinal infinito sea un cardinal de la jerarqu´ıa. Por lo que, como sucede en los eventos importantes en matem´aticas, definimos objetos que tienen una propiedad y terminamos definiendo todos los objetos que tienen dicha propiedad (la de ser cardinal infinito). Definici´ on 3.3 El funcional ´alef ℵ : OR Ñ CAR se define mediante el teorema de recursi´ on transfinita como sigue: ℵp0q ℵpα 1q ℵpγ q

 ω,  ℵ”pαq ,  β γ ℵpβ q,

si γ es un ordinal l´ımite.

En adelante usaremos la notaci´on usual ℵα en vez de ℵpαq. A los elementos de la imagen del funcional ´alef se les puede llamar los alefs. La siguiente proposici´on afirma que efectivamente el funcional ´alef arroja cardinales infinitos. Proposici´ on 3.5 Para todo α son cardinales infinitos.

P OR, ℵα P CAR. Es decir, todos los alefs

Demostraci´ on. Se deja al lector.

%

Ahora podemos demostrar que efectivamente todo cardinal infinito es un ´ alef. Proposici´ on 3.6 Se tiene que CAR  tℵα | α P ORu. Demostraci´ on. En la proposici´on 3.5 ya se prob´o que tℵα | α P ORu „ CAR. Sup´ongase que existe un µ P CAR tal que µ  ℵα para todo α P OR. Sea κ el m´ınimo ordinal tal que es cardinal infinito y cumple esta propiedad. Sea X  tℵα | ℵα   κu  tλ P CAR | λ   κu. Dado que ω P X, X  ∅. Analizamos dos casos. Si X tiene un u ´ltimo elemento digamos ℵα , entonces

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´ltimo κ  ℵα  ℵα 1 , lo cual contradice que κ no es un ´alef. Si X no tiene u l´ ımite. De elemento, entonces X  tℵα | α   γ u, donde γ es un ordinal ” aqu´ı que κ  suptλ P CAR | λ   κu  suptℵα | α   γ u  α γ ℵα  ℵγ , contradiciendo nuevamente la definici´on de κ. Por lo tanto, CAR  tℵα | α P ORu. % Recu´erdese que en la secci´on 2.7.1 definimos los ordinales iniciales infinitos ωα . Ahora podemos decir que estos ordinales infinitos son cardinales. De aqu´ı que, por la proposici´on anterior, podemos asegurar que cualquier ωα es un ℵβ . Una consecuencia importante de esto es que todo ordinal inicial infinito (o cardinal infinito) es un ωα . De hecho, se puede demostrar que para cualquier ordinal α, ωα  ℵα . Lo interesante de esto es ver que, a pesar de que la motivaci´ on de la construcci´on de los alefs es muy distinta a la de los ordinales iniciales infinitos, pues una es con el n´ umero de Hartog o el concepto de cardinal sucesor y la otra es a trav´es del concepto de buen orden y del teorema de enumeraci´on, obtenemos los mismos cardinales. La siguiente tabla clasifica a los ordinales en t´erminos de si son ordinales sucesores, ordinales l´ımites, cardinales sucesores y/o cardinales l´ımites; de acuerdo con la definici´on 3.4. $ 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' sucesores ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' &

OR

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' %

ordinales finitos no cero  cardinales finitos no cero 1, 2, 3, ... ordinales l´ımite no cardinales

l´ımites ω ω, ω ω ω, ...,ω1 ω, ...

ordinales sucesores infinitos, no son cardinales ω 1, ω 2, ...,ω ω 1, ... CAR (= alefs) cardinales infinitos sucesores ω1  ℵ1 , ℵ2 , ..., ℵω 1

cardinales l´ımites ω  ℵ0 , ℵω , ℵω ω , ..., ℵω1

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3.3. La jerarqu´ıa de los alefs

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Definici´ on 3.4 Un cardinal infinito κ se llama sucesor si y s´ olo si existe un un ordinal α tal que κ  ℵα 1 , y se llama l´ımite si es ℵ0 o ℵγ , para alg´ ordinal l´ımite γ. Damos las siguientes definiciones para funcionales f : OR Ñ OR. Re” cuerde que si γ es un ordinal, supβ  γ f pβ q  β  γ f pβ q, otra manera de denotar este ordinal es con l´ımβ  γ f pβ q, y esta manera da mayor sentido a la palabra “continuo” en la siguiente definici´on. Definici´ on 3.5 Sea f : OR Ñ OR un funcional. (i) f es mon´otono si y s´ olo si α, β (ii)

P ORpα   β Ñ f pαq   f pβ qq. f es continuo si y s´ olo si para todo ordinal l´ımite γ, f pγ q  l´ımβ  γ f pβ q.

(iii) f es normal si y s´ olo si f es mon´ otono y continuo. Obs´ervese que si f es un funcional continuo y γ es un ordinal l´ımite, se tiene que  f l´ım β  l´ım f pβ q.

 

 

β γ

β γ

Los funcionales normales gozan de diversas propiedades interesantes, a continuaci´on mostramos una de ellas. Definici´ on 3.6 Sea f : OR Ñ OR un funcional. Un punto fijo para f es un ordinal α tal que f pαq  α. Proposici´ on 3.7 Sea f : OR Ñ OR un funcional normal, entonces f tiene puntos fijos arbitrariamente grandes. Demostraci´ on. Sea α un ordinal. Definimos la siguiente sucesi´on por recursi´on hasta ω: β0  α, βn

1

 f pβnq.

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114 ”

Sea β  nPω βn . Veamos que β es un punto fijo de f . Para esto primero hay que notar que β es un ordinal l´ımite, pues tβn |n P ω u no tiene m´aximo al ser f mon´otona. As´ı, f pβ q

   

f


¤

¤ nPω

P

n¤ ω

P



βn

f pβn q βn

1

n ω

β.

La primera igualdad”se da por la continuidad de f . Para ver la segunda igualpβnq ¤ ”γ β f”pγ q, pues a cada f pβnq lo podemos dad, basta ver que nPω f ” q, pues dado ”γ   β, hay ver como un f pγ q; y que γ  β f pγ q ¤ nPω f pβn” n P ω tal que γ   βn , por lo que f pγ q   f pβn q, y γ  β f pγ q ¤ nPω f pβn q.

%

Obs´ervese que dado un ordinal α, si β es el ordinal construido en la demostraci´on anterior, β  m´ıntδ P OR|f pδq  δ ^ α ¤ δu. Esto es cierto, pues dado γ P tδ P OR|f pδq  δ ^ α ¤ δu, veamos que β ¤ γ, para lo cual basta probar por inducci´on sobre ω que para todo n P ω, βn ¤ γ. Tenemos que β0  α ¤ γ, pues γ P tδ P OR|f pδq  δ ^ α ¤ δu. Adem´as, si βn ¤ γ, entonces, como f es mon´otona, βn 1  f pβn q ¤ f pγ q  γ. De aqu´ı que β ¤ γ. Por lo tanto, efectivamente β  m´ıntδ P OR|f pδq  δ ^ α ¤ δu. A continuaci´on mostramos que el funcional ℵ es normal y, por lo tanto, de acuerdo a la proposici´on anterior, existe una cantidad infinita de ordinales α tales que ℵα  α. Proposici´ on 3.8 ℵ es un funcional normal. Demostraci´ on. Veremos que ℵ es mon´otono, por inducci´on sobre β. Si β  0, entonces para cualquier α   β, se tiene que α   0 y la implicaci´on es trivialmente v´alida. Supongamos que α P ORpα   β Ñ ℵα   ℵβ q. Sea α   β 1, entonces hay dos casos. Si α  β, entonces ℵα  ℵβ   ℵβ  ℵβ 1 ; si α   β, entonces, por la hip´otesis de inducci´on, ℵα   ℵβ   ℵβ  ℵβ 1 .

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3.3. La jerarqu´ıa de los alefs

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Si β es un ordinal l´ımite γ, suponemos que α, δ   γ pα   δ Ñ ℵα   ℵδ q. la hip´otesis de inducci´on, teSea α   γ. Como γ es l´ımite, α 1   γ y, por” nemos que ℵα   ℵα 1 . Por otro lado, ℵα 1 „ β  γ ℵβ  ℵγ , por definici´on del funcional ´ alef. De aqu´ı que ℵα   ℵγ . As´ı, ℵ es mon´otono y ℵ es funcional continuo simplemente por c´omo se defini´o. Por lo tanto, ℵ es un funcional normal. % Corolario 3.1 Para todo α P OR, existe κ ¡ α tal que ℵκ Por ejemplo, si α  ℵ0 , hacemos κ 

”

tℵ0, ℵℵ , ℵℵ 0

ℵ0

 κ. , . . .u.

Ejercicios 3.3.1.- Revise que la definici´on del funcional ´alef est´a bien justificada por el teorema de recursi´on transfinita. 3.3.2.- Demuestre la proposici´on 3.5: para todo α P OR, ℵα

P CAR.

3.3.3.- Verifique que si f : OR Ñ OR es un funcional continuo, para todo ordinal l´ımite γ se tiene que f pl´ımβ  γ β q  l´ımβ  γ f pβ q. 3.3.4.- Sean F uncpxq la f´ormula que dice “x es funci´on”, dompxq el t´ermino que representa al “dominio de x”, Ordpαq la f´ormula que dice “α es ordinal” y Limpαq la que dice que “α es ordinal l´ımite”. Sea G : V Ñ V una operaci´on sobre el universo definida como sigue para cualesquiera x, y: Gpxq  y

_



F uncpxq ^ dompxq  0 ^ y

_



F uncpxq ^ Dα Ordpαq ^ dompxq  α y

_

 ℵ0

 |tf : xpαq Ñ 2u|

1^



F uncpxq ^ Dα Limpαq ^ dompxq  α ^ y


 ” xrαs

F uncpxq _ pF uncpxq ^ α P ORpdompxq  αq y

∅





q^



.

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´meros cardinales 3. Nu

116 (i) Verifique que G es un funcional.

(ii) Aplique el teorema de recursi´on para ordinales utilizando el funcional G para definir una u ´nica operaci´on funcional con dominio OR a la cual llamaremos beth i.

(iii) Diga a qu´e son iguales ip0q, ipα

1q, y ipγ q para γ l´ımite.

(iv) Demuestre que i es un funcional normal.

3.4.

El cardinal de un conjunto

Como mencionamos en la introducci´on de este cap´ıtulo, ahora que sabemos la definici´on de n´ umero cardinal, podemos formalizar la idea de cardinal de un conjunto, mientras que antes s´olo pod´ıamos asegurar cu´ando es que dos conjuntos ten´ıan el mismo cardinal. Debe ser clara la importancia de esto, pues ahora realmente podemos decir cu´al es el tama˜ no o cu´al es el n´ umero de elementos de cualquier conjunto. Definici´ on 3.7 (AE) Sea A un conjunto. El cardinal de A, denotado como |A|, es el m´ınimo ordinal biyectable con A. Veremos en la siguiente proposici´on que el cardinal de un conjunto realmente es un cardinal. Adem´as, veremos que para asegurar que todo conjunto tiene cardinal se necesita el axioma de elecci´on. Claro que si se sabe que un conjunto es bien ordenable, el axioma de elecci´on no es necesario para asegurar la existencia de su cardinal. Proposici´ on 3.9 Se cumplen las siguientes propiedades. (i) Para cualquier conjunto A, |A| existe y es u ´nico. (ii) Para cualquier conjunto A, el ordinal |A| es un cardinal. (iii) Para cualquier conjunto A, |A|  (iv) Si α P OR, entonces |α| cardinal.

¤

α.

“

tα P OR | α  Au. M´ as a´ un, |α|  α si y

s´ olo si α es

Demostraci´ on.

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3.4. El cardinal de un conjunto

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(i) Sea A un conjunto. Por el axioma de elecci´on, existe r „ A2 tal que xA, ry es un buen orden. Por el teorema de enumeraci´on, existe un u ´nico ordinal α tal que xA, ry  xα, Py, por lo que A  α. Entonces, usando el principio del m´ınimo ordinal, podemos encontrar el m´ınimo ordinal biyectable con A. La unicidad se sigue del hecho de que el m´ınimo ordinal de un conjunto de ordinales es u ´nico. (ii) Sea A un conjunto. Si |A| no fuera un cardinal, entonces existir´ıa un ordinal β   |A| tal que |A|  β. Como A  |A|, A  β y β   |A|, contradiciendo la minimalidad de |A|. (iii) Se deja como ejercicio al lector. (iv) Se deja como ejercicio al lector.

%

En la siguiente proposici´on vemos que la definici´on de cardinal efectivamente preserva la idea de que dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos si y s´olo si tienen el mismo cardinal. An´alogamente, se da lo esperado para el concepto de dominancia. Proposici´ on 3.10 Sean A y B conjuntos. Entonces se tiene lo siguiente. olo si |A|  |B |. (i) A  B si y s´ (ii) A ¨ B si y s´ olo si |A| ¤ |B |. Demostraci´ on. (i) Supongamos que A  B. Como |A|  A y |B |  B, |A| aqu´ı que, por el inciso (i) de la proposici´on 3.1, |A|  |B |.

 |B |. De

Rec´ıprocamente, si |A|  |B |, entonces A  |A|  |B |  B, de donde A  B.

(ii) Si A ¨ B, entonces, como |A| dos casos.

 A y |B |  B, |A| ¨ |B | y tenemos

Si |A|  |B |, entonces, por el inciso (i) de la proposici´on 3.1, |A|  |B | y, por lo tanto, |A| ¤ |B |.

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´meros cardinales 3. Nu

118

Por otro lado, si |A|   |B |, entonces, por el teorema de CantorSchr¨oder-Bernstein, no puede haber una inyecci´on de |B | en |A|. Entonces |B | † |A|, es decir, |B | R |A|. Como P es tricot´omica en los ordinales, se tiene que |A| ¤ |B |. Rec´ıprocamente, |A| ¤ |B | implica que |A| „ |B |, que a su vez, impli% ca que |A| ¨ |B |. As´ı, como |A|  A y |B |  B, A ¨ B.

Ejercicios 3.4.1.- Demuestre que para cualquier conjunto A, |A| Au.

 “tα P OR | α 

3.4.2.- Sea α un ordinal. Demuestre lo siguiente: (i) |α| ¤ α.

(ii) |α|  α si y s´olo si α es cardinal. 3.4.3.- Sean α y β ordinales y κ un cardinal. Demuestre lo siguiente: (i) Si α   β, entonces |α| ¤ |β |.

(ii) Si α   κ, entonces |α|   κ.

(iii) Si κ   α, entonces κ ¤ |α|.

(iv) Si |α|   |β |, entonces α   β.

3.4.4.- Sean α y β ordinales. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, dando prueba o contraejemplo. (i) Si α   β, entonces |α|   |β |.

(ii) Si |α|   |β |, entonces α   β. (iii) Si β

  |α|

, entonces |β | ¤ |α|.

3.4.5.- ¿Es cierto que si α y β son ordinales tales que |α|  |β |, entonces α  β? Justifique su repuesta, dando prueba o contraejemplo.

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3.4. El cardinal de un conjunto

3.4.6.- En el ejercicio 2.4.7 se pidi´o probar que si xA, ry es un buen orden infinito, existe una relaci´on binaria r1 sobre A tal que xA, r1 y es un buen orden y xA, r1 y  xA, ry. ¿Cu´antos buenos ´ordenes no isomorfos se pueden definir sobre A? ¯  tq „ A  A | xA, q y  xA, ryu y BA  3.4.7.- Sea r „ A  A. Definimos r tr¯ | xA, ry buen orden y r „ A  Au. Sea OA  tα P OR | α  Au. Pruebe que BA  OA y que "

|OA|  1|A|

si A es finito si A es infinito

3.4.8.- Demuestre la equivalencia de las siguientes afirmaciones: (a) (b)

DY pN   Y ^ |R|  ℵ1.

Y

  Rq,

La afirmaci´on (a) es la famosa hip´otesis del continuo (HC), que dice que no hay ning´ un conjunto con cardinalidad mayor que la de los naturales y menor que la de los reales. ¿Se necesita en alguna de las pruebas del axioma de elecci´on? 3.4.9.- Demuestre la equivalencia de las siguientes afirmaciones: (a)

DX pA   X ^

(b) 2|A|  |A| .

X

  P pAqq,

La afirmaci´on (a) es la hip´otesis generalizada del continuo (HGC), que es una generalizaci´on de la hip´otesis del continuo mencionada en el ejercicio anterior y de la cual discutiremos en el cap´ıtulo 4. ¿Se necesita en alguna de las pruebas del axioma de elecci´on? 3.4.10.- Recuerde el funcional beth definido en el ejercicio 3.3.4 y que HGC es la afirmaci´on paq del ejercicio 3.4.9. Demuestre que HGC es cierta si y s´olo si α P ORpℵα  iα q. ¯, BN definidos como en el ejercicio 3.4.7. Defi3.4.11.- Sean r „ N  N y r ¯ | xN, ry es un orden totalu. Es claro que BN  TN . nimos TN  tr Diga si |BN |   |TN | o si |BN |  |TN |, justificando su respuesta.

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3.4.12.- Sea A un conjunto infinito cualquiera y sean BA y TA definidos de manera an´aloga a como se definieron BN y TN en el ejercicio anterior. Nuevamente es claro que BA  TA . Diga si |BA |   |TA | o si |BA |  |TA |, justificando su respuesta. 3.4.13.- Sea A un conjunto infinito de cardinal κ. ¿Cu´antos ´ordenes lineales no isomorfos hay del conjunto A?

3.5.

Aritm´ etica cardinal

A continuaci´on nos dedicamos a desarrollar aritm´etica cardinal con cardinales infinitos, en especial nos ocuparemos de sumas y productos infinitos. Primero recordamos las definiciones de suma, producto y exponenciaci´on cardinal simples. Estas definiciones y algunas de sus consecuencias pueden verse en [Am05]. Definici´ on 3.8 Sean κ y λ cardinales cualesquiera. Definimos la suma, multiplicaci´ on y exponenciaci´ on, respectivamente, de κ con λ de la siguiente manera: κ

λ  |pκ  t0uq Y pλ  t1uq|;

κ  λ  |κ  λ|; κλ

3.5.1.

 |λκ|, donde λ κ  tf |f : λ Ñ κu. Idempotencia del producto cardinal

Se puede demostrar, sin utilizar la definci´on de cardinal (s´olo usando la de “misma cardinalidad”) la idempotencia del producto de cardinales infinitos, es decir, que κ  κ  κ, para cualquier cardinal infinito κ (v´ease [Am05]). Sin embargo, esto tiene que hacerse utilizando el axioma de elecci´on. En esta secci´on demostramos esta afirmaci´on, sin apelar al axioma de elecci´on. Comenzamos mostrando un par de desigualdades importantes. Lema 3.1 Para todo κ P CAR, κ ¤ κ

κ y κ ¤κκ

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3.5. Aritm´ etica cardinal

121

Demostraci´ on. Como κ κ  |κ  t0u Y κ  t1u| y κ  κ  |κ  κ|, es suficiente probar que κ ¨h κ t0uY κ t1u y κ ¨h κ  κ, lo cual es inmediato haciendo hpαq  xα, 0y. % Lema 3.2 Si κ y λ son cardinales tales que κ, λ ¡ 1, entonces κ λ ¤ κ  λ. Demostraci´ on. Basta con mostrar que κ t0uY λ t1u ¨ κ  λ. Definiendo h como $ & xα, 0y si x  xα, 0y hpxq  x1, β y si x  xβ, 1y, β  0 % x0, 1y si x  x0, 1y,

se tiene que κ  t0u Y λ  t1u ¨h κ  λ.

%

A continuaci´on definimos un buen orden para el producto cartesiano OR  OR, as´ı como algunas de sus propiedades necesarias para mostrar la idempotencia del producto de cardinales infinitos. Definici´ on 3.9 Definimos el buen orden can´ onico para OR  OR como sigue: sean η un ordinal y sean α, β, γ, δ P η. El orden  η „ pη  η q  pη  η q se define como xα, β y  η xγ, δy si y s´ olo si

pαYβ   γ Yδq _ pαYβ  γ Yδ ^ α   γ q _ pαYβ  γ Yδ ^ α  γ ^ β   δq. Lema 3.3 Sea η un ordinal. Se tiene lo siguiente. 1. xη  η,  η y es un buen orden. 2. Si α, β P δ P η, entonces xα, β y η „ δ  δ. Es decir, el segmento inicial del orden  η determinado por xα, β y est´ a contenido en δ  δ. Demostraci´ on. 1. Es directo verificar que  η es un orden total y se deja como ejercicio. Sea A „ η  η, A  ∅. Definimos el  η -m´ınimo de A como sigue:

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´meros cardinales 3. Nu

122

Sea α0  m´ıntα Y β | xα, β y P Au, es decir, el m´ınimo de los m´aximos de los pares de A, y sea B  txβ, δy P A | β Y δ  α0 u. Definimos β1  m´ıntβ | xβ, δy P B u, C  tδ | xβ1 , δy P B u y δ1  m´ın C. As´ı pues, xβ1 , δ1 y P B y β1 Y δ1  α0 . Se deja como ejercicio verificar que estas definiciones son buenas y que el  η -m´ınimo de A es xβ1 , δ1 y. 2. Recordemos que xα, β y η  txγ, ǫy α, β P δ P η. Veamos que xα, β y η Hacemos un an´alisis de casos:

P η  η | xγ, ǫy  η xα, β yu. Sean „ δ  δ. Sea xγ, ǫy P xα, β y  . η

a) Si γ Y ǫ   α Y β, entonces γ, ǫ ¤ m´axtγ, ǫu   m´axtα, β u   δ. Por lo tanto, γ, ǫ P δ. b) Si γ Y ǫ  α Y β y γ   α, entonces γ P δ, pues α ǫ ¤ γ Y ǫ  m´axtα, β u   δ. Por lo tanto, γ, ǫ P δ.

c) Si γ Y ǫ  α Y β, γ  α y ǫ   β, entonces ǫ ǫ P δ, y adem´as γ  α P δ, por lo que γ, ǫ P δ.

P δ. Adem´as

  β   δ implica %

Utilizando los lemas anteriores, estamos ya en posici´on de probar nuestro objetivo. Teorema 3.3 Si κ es un cardinal infinito, entonces xκ  κ,  κ y  xκ, Py. Demostraci´ on. Procedemos por contradicci´on. Sea κ el m´ınimo cardinal infinito tal que xκ  κ,  κ y  xκ, Py. Por los lemas anteriores, sabemos que κ ¤ |κ  κ| y que xκ  κ,  κ y es un buen orden. Por el teorema de enumeraci´on, existe un β P OR tal que xκ  κ,  κ y f xβ, Py. Basta mostrar que β  κ para obtener una contradicci´on. Obs´ervese que κ ¤ β, puesto que κ ¤ |κ  κ|  |β | ¤ β, . Supongamos ahora que κ   β, en cuyo caso κ  β y κ  tα P β | α   κu es un segmento inicial de β, de manera que f
1 rκs ser´a un segmento inicial de κ  κ con el orden can´onico  κ . Pero |f
1rκs|  κ y veremos que todo segmento inicial de κ  κ tiene cardinal menor que κ. Sea xα, δy P κ  κ. Veamos que |xα, δy κ |   κ. Sea γ  pα Y δq 1. Como κ es ordinal l´ımite, γ   κ y, como α, δ   γ, por el segundo inciso del lema anterior, se tiene que

xα, δy  „ γ  γ. κ

(3.2)

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“lc2masterbis” — 2011/1/28 — 11:49 — page 123 — #135 i

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3.5. Aritm´ etica cardinal

123

Si γ es finito, entonces γ  γ tambi´en lo es y |xα, δy κ |   ω ¤ κ. En otro caso, se tiene que ω ¤ |γ | ¤ γ   κ y γ  γ  |γ |  |γ |; pero, por la minimalidad de κ, como |γ |   κ, se tiene que x|γ |  |γ |,  |γ | y  x|γ |, Py. De modo que |γ |  |γ |  |γ | y: 







|xα, δy  | ¤(3.2) |γ  γ |  |γ |  |γ |  |γ |  |γ |   κ, κ

lo cual contradice que κ   β. As´ı pues κ ciendo la definici´on de κ.

  β, de donde κ  β, contradi%

La idempotencia del producto de cardinales infinitos resulta ahora un simple corolario del teorema anterior. Corolario 3.2 Si κ es un cardinal tal que κ ¥ ω, entonces κ κ  κ  κ  κ. Demostraci´ on. Se sigue que κ ¤ κ

κ ¤ κ  κ  κ del teorema y de lemas anteriores.

%

Obs´ervese que tambi´en hemos probado que la suma de cardinales infinitos es idempotente. Terminamos esta secci´on con un par de propiedades que son consecuencia de lo visto hasta ahora. Corolario 3.3 Si κ y λ son cardinales tales que κ κ λ  κ  λ  κ Y λ  m´axtκ, λu.

¥ ω y λ ¡ 1, entonces

Demostraci´ on. Supongamos, sin p´erdida de la generalidad, que κ ¥ λ. En tal caso κ Y λ  κ y claramente κ ¤ κ λ. Adem´as, como λ „ κ, κ  λ ¤ κ  κ, de donde κ ¤ κ λ ¤ κ  λ ¤ κ  κ  κ. Por lo tanto, % κ λ  κ  λ  κ  κ Y λ  m´axtκ, λu. N´otese que para λ  1 y κ ¥ ω, este corolario se cumple trivialmente, por lo que basta pedir como hip´otesis que λ  0. Proposici´ on 3.11 Para cualquier cardinal infinito κ, existe una partici´ on xAα : α P κy de κ tal que |Aα|  κ para todo α   κ.

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´meros cardinales 3. Nu

124

Demostraci´ on. Sean g tal que κ g κ  κ y Aα  tβ | gpβ q  xα, β y u. El % lector debe verificar que esta es la partici´on buscada. La proposici´on anterior garantiza que para cualquier conjunto infinito de cardinal κ, existe una partici´on en κ conjuntos, cada uno de cardinal κ.

3.5.2.

Sumas con un n´ umero infinito de cardinales

En esta secci´on estudiaremos sumas que involucran a un n´ umero infinito de cardinales. Definici´ on 3.10 Sea tκi | i P I u una familia de cardinales indexada por un conjunto cualquiera I. Definimos la suma de dichos cardinales como ¸

P

κi

¤  κi 



P

i I

  i .

t u

i I

De esta forma, la suma de cardinales se define como el cardinal de la uni´on ajena de los mismos. A continuaci´on mostramos que ´esta es una definici´on correcta para familias de conjuntos ajenos cualesquiera. Proposici´ on 3.12 Si tAi | i P I u es una familia de conjuntos ajenos dos a dos y tales que |Ai |  κi para todo i P I, entonces ¸

P

|Ai| 

¤    Ai  

i I

P

i I



¸

P

κi .

i I

Demostraci´ on. Sean Ai fi κi , entonces Ai fi1 κi 1 fi pαq  xfi pαq, iy. De aqu´ı se puede verificar que ¤

P

i I

Ai

” P

i I

fi1

 tiu,

si definimos

¤

P

pκi  tiuq.

i I

%

En el caso de que se tengan dos familias de conjuntos ajenos indexadas por un mismo conjunto de ´ındices y tales que conjuntos con el mismo ´ındice tienen la misma cardinalidad, podemos asegurar que las cardinalidades de su uni´on coinciden.

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“lc2masterbis” — 2011/1/28 — 11:49 — page 125 — #137 i

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3.5. Aritm´ etica cardinal

125

Proposici´ on 3.13 Si tAi | i P I u, tBi | i P I u son dos familias de conjuntos ajenos dos a dos tales que |Ai |  |Bi | para todo i P I, entonces ¤    Ai  

P

¤

 

i I

Demostraci´ on. Sean Ai

f

i

¤

P

P

 

Bi .

i I

Bi , entonces se puede verificar que Ai

i I

” P

¤

i I

fi

P

Bi .

i I

% La proposici´on anterior puede generalizarse al caso de dos conjuntos de ´ındices distintos pero equipotentes, como mostramos a continuaci´on. Proposici´ on 3.14 Si tAi | i P I u. tBj | j P J u son dos familias de conjuntos ajenos dos a dos con I f J y tales que Ai gi Bf piq para todo i P I, entonces ¤ ¤ Ai  Bj .

P

P

i I

j J

Demostraci´ on. Se puede verificar que h : hpai q  gi pai q, es la biyecci´ on buscada.

”

P Ai

i I

Ñ

La proposici´on anterior se usa com´ unmente cuando J

”

P Bj , donde

j J

%

 |I | y |I |  I.

Obs´ervese que si |I |  λ y tκi |i P I u  tκα |α P λu, entonces ¸

P

i I

κi



¸

P

κα .

α λ

Este hecho es u ´til para cambiar el conjunto de ´ındices de manera que sea un cardinal. Las propiedades usuales de asociatividad y conmutatividad se generalizan al caso de un n´ umero infinito de sumandos de acuerdo a la siguiente

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“lc2masterbis” — 2011/1/28 — 11:49 — page 126 — #138 i

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´meros cardinales 3. Nu

126 Proposici´ on 3.15 Sean tκi | i P λu y xλj : j λ un cardinal infinito. Entonces ¸

P

κi

¸
¸



i λ

P

j J

P

P J y una partici´on de λ, con

κi .

i λj

Demostraci´ on. Sea tAi | i P λu una familia de conjuntos ajenos dos a dos, tales que |Ai |  κi . Para la demostraci´on, basta verificar que ¤

P

Ai

¤
¤



P

j J

i λ

P



Ai .

i λj

% La propiedad de monoton´ıa v´alida para la suma de dos cardinales tambi´en se generaliza a sumas de una cantidad arbitraria de cardinales de acuerdo a la siguiente proposici´on. Proposici´ on 3.16 Sean tκi | i P µu, tλi | i P µu familias de cardinales tales que κi ¤ λi para todo i P µ. Entonces ¸

P

κi

¤

i µ

¸

P

λi .

i µ

Demostraci´ on. Para cada i P µ, sea fi : κi Ñ λi una funci´on inyectiva. Definimos fi1 : κi  tiu Ñ λi  tiu como fi1 pxai , iyq  xfi pai q, iy. Entonces basta ver que ¤ ¤ ¤ fi1 : κi  tiu Ñ λi  tiu

%

es inyectiva.

La proposici´on anterior no es v´alida para el menor estricto, a´ un si se tiene que κi   λi , para toda i P µ. Por ejemplo, ¸

P

n ω

2n  ω



¸

P

p2n

1q.

n ω

Para terminar nuestra exposici´on acerca de sumas infinitas, proporcionamos algunas f´ormulas de utilidad.

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“lc2masterbis” — 2011/1/28 — 11:49 — page 127 — #139 i

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3.5. Aritm´ etica cardinal Proposici´ on 3.17

°

P

i λκ

127

κλ

Demostraci´ on. Basta observar que ¤

P

pκ  tiuq  κ  λ.

i λ

%

Veamos algunos ejemplos de sumas infinitas: °

P 1  1  ℵ0  ℵ0 .

i ω

°

P n  n  ℵ0  ℵ0 .

i ω

°

P ℵ0  ℵ0  ℵ0  ℵ0 .

i ω

°

 

i κ

κκκ

 κ  κ  κ  °i κ

κ .

En el u ´ltimo ejemplo se observa nuevamente que, a´ un°cuando κi ° todo i P µ, no necesariamente se tiene que iPµ κi   iPµ λi .

  λi para

La proposici´on anterior se generaliza como sigue. Teorema 3.4 (Sumas infinitas) Sea tκα | α P λu un conjunto de cardinales indexados por λ. Si para toda α   λ, κα  0 y λ ¥ ℵ0 o κα ¥ ℵ0 para alg´ un α   λ, entonces ¸ κα  λ  sup κα .

P

P

α λ

α λ

°

°

Demostraci´ on. Como κα ¤ supα λ κα , α λ κα ¤ α λ psupα λ κα q  κα q. Para la desigualdad contraria, λ  psupα λ° como 1 ¤ κα entonces λ  ° ° ¤ ¤ 1 κ . Claramente κ κ β α λ α°  λ α para toda β   λ, puesto ” α λ α que κβ ¨ α λ pκα  tαuq, de manera que° α λ κα es una cota superior de tκα | α   λu. Por lo tanto, supα λ κα °¤ α λ κα . Finalmente se tiene que % λ  supα λ κα  m´axtλ, supα λ κα u ¤ α λ κα . Corolario 3.4 Si λ ¤ supα λ κα con κα para toda α   λ, entonces ¸

P

α λ

κα

¥ ℵ0 para alguna α   λ y κα  0

 sup κα . P

α λ

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“lc2masterbis” — 2011/1/28 — 11:49 — page 128 — #140 i

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´meros cardinales 3. Nu

128

Veamos algunos ejemplos, que utilizan estos nuevos resultados: °

P n  ℵ0  supnPω n  ℵ0  ℵ0  ℵ0 .

n ω

°

P ℵn  ℵ0  supnPω ℵn  ℵ0  ℵω  ℵω .

n ω

°

  ℵn  ℵ1  supα ℵ1 ℵα  ℵ1  ℵℵ1

α ℵ1

3.5.3.

 ℵℵ . 1

Productos con un n´ umero infinito de cardinales

A continuaci´on desarrollamos la aritm´etica cardinal para el caso de productos infinitos. Definici´ on 3.11 Dada una familia de conjuntos tAi | i P I u, definimos su ‘ producto cartesiano generalizado, denotado iPI Ai , como ¡

P

Ai

 tf : I Ñ

i I

En particular se tiene que

¤

P

Ai | f piq P Ai para todo i P I u.

i I

‘

P A  tf | f : I Ñ Au.

i I

La definici´on del producto de un n´ umero arbitrario de cardinales se sirve del producto cartesiano generalizado. Definici´ on 3.12 Sea tκi | i P I u una familia de cardinales indexada por un conjunto cualquiera I. Definimos el producto de dichos cardinales como ¹

P

κi

¡

 

i I

P

 

κi .

i I

La siguiente proposici´on garantiza que productos cartensianos generalizados, cuyas componentes son equipotentes, siguen siendo equipotentes. Proposici´ on 3.18 Si tAi | i P I u, tBi | i P I u son dos familias de conjuntos tales que Ai hi Bi para todo i P I, entonces ¡

P

i I

Ai



¡

P

Bi .

i I

i

i i

i

i

i

“lc2masterbis” — 2011/1/28 — 11:49 — page 129 — #141 i

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3.5. Aritm´ etica cardinal

129

‘

‘

”

Demostraci´ on. Sea H : iPI Ai Ñ iPI Bi tal que H pf q : I Ñ iPI Bi , donde H pf qpiq  hi pf piqq. El lector debe verificar que H es biyectiva. % Como corolario obtenemos el hecho de que cualquier producto de cardinales de conjuntos es igual al cardinal de su producto cartesiano generalizado. Corolario 3.5

±





‘  iPI |Ai |   iPI Ai .

 |Ai|, de donde ‘iPI Ai  ‘iPI |Ai| y ±  ‘ ‘  % iPI |Ai | def  iPI |Ai |   iPI Ai .

Demostraci´ on.  Ai  Se tiene que

La proposici´on 3.18 se generaliza para el caso en que las familias de conjuntos se indexan con conjuntos del mismo tama˜ no como sigue. Proposici´ on 3.19 Si tAi | i P I u, tBj | j P J u son dos familias de conjuntos tales que I h J y Ai gi Bhpiq para todo i P I, entonces ¡

P

Ai



i I

¡

P

Bj .

j J

‘

‘

Demostraci´ on. Se puede verificar que H : iPI Ai Ñ j PJ Bj es la bi” yecci´ on buscada, donde H pf q : J Ñ j PJ Bj , se define como H pf qpj q  gh
1 pj q pf ph
1 pj qqq. % En particular, podemos utilizar como conjuntos de ´ındices u ´nicamente a cardinales. Obs´ervese que si |I |  λ y tκi |i P I u  tκα |α P λu, entonces ¹

P

i I

κi



¹

P

κα .

α λ

La monoton´ıa del producto de dos cardinales sigue siendo v´ alida en el caso general de acuerdo a la siguiente proposici´on. Proposici´ on 3.20 Si κα ± κ ¤ α µ α α µ λα .

±

¤ λα

para toda α

  µ, entonces se cumple que

i

i i

i

i

i

“lc2masterbis” — 2011/1/28 — 11:49 — page 130 — #142 i

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´meros cardinales 3. Nu

130

Demostraci´ on. Se puede demostrar de manera an´aloga a como se de% mostr´o la proposici´on 3.16. An´alogamente al caso de la suma, a´ un cuando se tenga κα   λα para toda α   µ, la desigualdad en los productos no necesariamente es estricta. Como ejemplo tenemos que κ   κ , pero ¹

 

κ

α κ

puesto que ¹

 

κ

α κ

¹

 

κ

¡    κ 

 

¹

 

κ ,

α κ





 tf | f : κ Ñ κu  κκ  2κ ,

α κ

¡    κ  



 

α κ





 tf | f : κ Ñ κ u  pκ qκ  2κ ,

α κ

recordando que si 2 [Am05]).

¤λ¤κ

, entonces 2κ

 λκ  κκ  pκ qκ

(v´ease

A continuaci´on probamos otras propiedades de productos infinitos. Empezamos mostrando que el producto cardinal no tiene divisores de cero. Proposici´ on 3.21

±

 

α λ κα

 0, si y s´olo si κα  0 para alg´un α   λ.

Demostraci´ on. Como el producto cartesiano de conjuntos no vac´ıo es no ± vac´ıo por el axioma de elecci´on, tenemos que si α λ κα  0, entonces un α   λ. κα  0 para alg´ Para el rec´ıproco, observe que no existe f : λ Ñ 0, si λ  0. % La asociatividad y conmutatividad del producto se generalizan como sigue. Proposici´ on 3.22 Sean tκα partici´ on de λ. Entonces ¹

P

α λ

| α P λu con λ P CAR y xλj κα



¹
¹

P

j J

P

: j

P J y una



κα .

α λj

i

i i

i

i

i

“lc2masterbis” — 2011/1/28 — 11:49 — page 131 — #143 i

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3.5. Aritm´ etica cardinal Demostraci´ on. Sea H :

‘

131

αPλ κα

H pf q : J


‘

Ñ ‘j PJ

Ñ

¤
¡

P

P

j J

P

α λj



κα definida por



κα ,

α λj

”

donde H pf qpj q : λj Ñ αPλj κα est´a dada por H pf qpj qpαq debe verificar que H es biyectiva.

 f pαq. El lector %

Se deja como ejercicio demostrar las siguientes igualdades de productos infinitos: ±

P

α λκ

±



 ‘    αPλ κ





 tf | f : λ Ñ κu  κλ .

ℵ P 2  2 0.

α ℵ0

±

ℵ0 ℵ P ℵ0  ℵ0  2 0 .

α ℵ0

Terminamos nuestra exposici´on acerca de productos infinitos con la siguiente propiedad. Teorema 3.5 (Productos infinitos) Sean λ ¥ ℵ0 y xκα | α P λy una λ-sucesi´ on no decreciente de cardinales distintos de cero. Entonces ¹

P

κα



α λ

sup κα

P

λ

.

α λ

Demostraci´ on. Como κα ¤ supα λ κα , por la proposici´on 3.20 y el primero de los ejemplos anteriores, tenemos que ¹

 

α λ

κα

¤

¹

 

psup κα q   

α λ α λ

sup κα

 

λ

.

α λ

λu una parPara verificar la desigualdad contraria, sea P  tAβ | β   ± tici´ o n de λ tal que | A |  λ  | P | . Como κ  ∅ entonces α β α λ κα  ∅ ± ± y αPAβ κα  ∅. Por lo tanto, κα ¤ αPAβ κα para cualesquiera α P Aβ ± con β   λ. As´ı pues, αPAβ κα es cota superior de todos los κα con α P Aβ , ± de donde supαPAβ κα ¤ αPAβ κα para toda β   λ. Pero supα λ κα  supαPAβ κα , hecho que probamos enseguida. Para cualquier α P Aβ „ λ, se

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´meros cardinales 3. Nu

132

cumple supα λ κα ¥ κα , por lo que supαPAβ κα ¤ supα λ κα . Para demostrar la desigualdad contraria, sea α0   λ. Entonces existe γ P Aβ tal que α0   γ, pues en caso contrario α0 ser´ıa una cota superior de Aβ en λ, de donde Aβ „ α0 y |Aβ | ¤ |α0 | ¤ α0   λ, lo cual es absurdo. De modo que, como la sucesi´on de κα es no decreciente, se tiene que κα0 ¤ κγ ¤ supαPAβ κα . Luego entonces supαPAβ κα es cota superior de tκα | α   λu de donon tenemos que de supα λ κα ¤ supαPAβ κ± α . Para concluir la demostraci´ supα λ κα  supαPAβ κα ¤ αPAβ κα lo cual implica que

psup κα qλ   

α λ

¹

sup κα

   

β λα λ

¤

¹
¹

 

β λ

P



κα

α Aβ



¹

 

κα .

α λ

% Veamos algunos ejemplos que utilizan estos resultados: ±

ℵ P zt u n  2 0 .

n ω 0

±

ℵ P ℵn  ℵω0 .

n ω

±

 

α ω ω

±

ℵα

 ℵℵω

0

ω.

ℵ1   ℵα  ℵℵ1 .

α ℵ1

Las operaciones de suma y producto de una cantidad infinita de cardinales interact´ uan mediante las llamadas leyes de los exponentes generalizadas. Proposici´ on 3.23 (Leyes de los exponentes generalizadas) Se cumplen las siguientes igualdades: 1. 2.


±

iPI κi

±

λ

 ±iPI pκλi q, que generaliza a pκ  µqλ  κλ  µλ. °

λ iPI pκ q  κ i

P

i I

λi ,

que generaliza a κλ  κµ

 κλ

µ.

Demostraci´ on.

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3.5. Aritm´ etica cardinal

133

‘

‘

‘

λ λ 1. Definimos G : λ iPI κi Ñ ” iPI p κi q como sigue. Sea f P iPI κi λ arbitraria y sea Gpf q : I Ñ iPI p κi q tal que Gpf qpiq : λ Ñ κi se define como Gpf qpiqpαq  f pαqpiq para toda α P λ. Veamos que G es biyectiva. Si f  g, entonces existe α P λ tal que f pαq  gpαq. Por lo tanto, existe i P I tal que Gpf qpiqpαq  f pαqpiq  gpαqpiq  Gpgqpiqpαq, de donde Gpf qpiq  Gpgqpiq y por lo tanto Gpf q  Gpgq. Por lo tanto, G es inyectiva.

‘

”

Por otra parte sea h‘ P iPI pλ κiq, es decir, h : I Ñ iPI pλ κiq con λ λ hpiq P κi y sea f P iPI κi tal que f pαqpiq  hpiqpαq P κi , para todo α P λ. As´ı, para cualesquiera i P I, α P λ, tenemos que Gpf qpiqpαq  f pαqpiq  hpiqpαq, es decir, para cualquier i P I, Gpf qpiq  hpiq, de donde Gpf q  h y G es suprayectiva.

”

‘

‘

λi 2. Definimos F : ” iPI pλi κq Ñ p iPI λi tiuq κ. Sea f P iPI p κq, es λ λ decir, f ” : I Ñ iPI p i κq con f piq P i κ. En tal situaci´on definimos F pf q : iPI λi  tiu Ñ κ mediante F pf qpx‘ αi , iyq  f piqpαi q P κ. λi Veamos que F es biyectiva. Sean f  g P iPI p κq. Esto implica que existe i P I tal que f piq  gpiq, de donde existe αi P λi tal que F pf qpxαi , iyq  f piqpαi q  gpiqpαi q  F pgqpxαi , iyq. Esto nos lleva a que F pf q  F pgq, por lo que F es inyectiva.

”

”

Por otra parte tomemos h : iPI λi  tiu Ñ κ y f : I Ñ iPI pλi κq tal que f piqp” αi q  hpxαi , iyq. De esta forma se tiene que para cualquier xαi, iy P iPI pλi  tiuq, F pf qpxαi, iyq  f piqpαi q  hpxαi , iyq, es decir, F pf q  h y F es suprayectiva.

% Veamos m´as ejemplos de productos infinitos simplificados con ayuda de las leyes exponentes generalizadas. ±

ℵ0    n  ℵ0

0 n ω

±

ℵ0 0n ω n

±



 2ℵ .


±

°

0

0n ω n

ℵ0

 p2ℵ qℵ  2ℵ ℵ  2ℵ . 0

0

0

0

0

 ℵ0   n  ℵℵ0  2ℵ . ° ± ℵ  κ   ℵ  κℵ . n  ω κ n n  ω ℵ 0

n

n ω

n ω

0

n

0

ω

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´meros cardinales 3. Nu

134 ± ±

ℵn   ℵω

n ω

3.5.4.

°

 ℵω   ℵ  ℵω ℵ  2ℵ . ° ℵ    ℵ  ℵℵω 1  2ℵ . 1 ω 1

ℵn n  ω ℵ ω

n

n ω

n ω

ω

n

ω

ω

ω

El teorema de K¨ onig

En ninguno de los resultados presentados en las secciones anteriores se preservan las desigualdades estrictas al sumar o multiplicar cardinales. A continuaci´on presentamos el teorema de K¨onig que es muy importante precisamente porque habla de un caso de preservaci´on del menor estricto. M´as a´ un, hasta donde sabemos, ´esta es la desigualdad estricta m´as general sobre operaciones de cardinales infinitos que se preserva. Teorema 3.6 (K¨ onig (AE)) Si tκi | i P I u, tλi | i P I u son dos familias de cardinales tales que κi   λi para toda i P I, entonces ¸

P

κi

 

i I

¹

P

λi .

i I

Demostraci´ on. Sin p´erdida de la generalidad, sean tAi uiPI y tBi uiPI dos familias de conjuntos tales que |Ai |  κi , |Bi |  λi , Ai X Aj  ∅ para i  j y Ai  Bi . Basta ver que ¤ ¡ Ai   Bi . (3.3)

P

P

i I

i I

Primero vamos a establecer la relaci´on ¨. Para cada i P I sea ci P Bi zAi , obtenido por ” el axioma de elecci´on dado‘que Bi zAi  ∅ por hip´otesis. ‘ Bi , con f paq P iPI Bi mediante Definimos f : Ai Ñ f paqpℓq 

"

cℓ si ℓ  i, a si ℓ  i.

para cualquier a P Ai , i P I. ”

f est´a bien definida pues cada a P Ai pertenece a una”u ´nica Ai , por hip´otesis. Veamos ahora que f es inyectiva. Sean a  a1 P Ai . Hay dos casos: Si a, a1 P Ai , entonces f paqpiq f paq  f pa1 q.

a

a1

 f pa1qpiq.

Por lo tanto,

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3.5. Aritm´ etica cardinal

135

Si a P Ai , a1 P Aj , i  j, entonces f paqpiq  a P Ai y f pa1 qpiq  ci con ci P Bi
Ai . Por lo tanto, a  ci y as´ı f paq  f pa1 q. ”

‘

Ahora, establecemos la relaci´ on  mostrando que para ” g : Ai Ñ Bi ‘ arbitraria, existe una f P iPI Bi tal que para toda a P iPI Ai , gpaq  f , es decir, g no es sobre. Tomemos una g arbitraria y para cada i P I, definamos ci  tgpaqpiq | a P Ai u „ Bi . De esta definici´on y de las propiedades de Ai y Bi , se sigue que |ci | ¤ |Ai |   |Bi |. Como c  Bi , tomamos mediante ‘ i el axioma de elecci´ on di P Bi zci , y sea f P iPI Bi , definida por f piq  di . q  gpaqpiq para De esta definici´on es claro que f piq R ci y, por lo tanto, f pi” todas i P I, a P Ai . Luego entonces f  gpaq para toda a P Ai , por lo que % g no es suprayectiva. Terminamos el cap´ıtulo y nuestra discusi´on acerca de aritm´etica cardinal con algunos corolarios relevantes del teorema de K¨onig. Corolario 3.6 (Teorema de Cantor) Para todo cardinal κ, κ   2κ . Demostraci´ on. Como 1   2, tenemos que κ

¸

P

1 

i κ

¹

P

2  2κ .

i κ

%

El siguiente corolario asegura que el cardinal del continuo no puede ser ℵω . Corolario 3.7 ℵω

 2ℵ . 0

Demostraci´ on. Supongamos que ℵω  2ℵ0 . Como para toda n   ω, se tiene que ℵn   ℵω . Entonces tendr´ıamos que ℵn   2ℵ0 para cualquier n   ω. As´ı, ℵω



¸

 

n ω

es decir, ℵω

ℵn

 

¹

 

2ℵ0

 p2ℵ qℵ  2ℵ ℵ  2ℵ , 0

 2ℵ . Por lo tanto, ℵω  2ℵ . 0

0

0

0

0

n ω 0

%

Finalmente mostramos una desigualdad estricta que no involucra directamente al cardinal 2.

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´meros cardinales 3. Nu

136 Corolario 3.8 ℵω

  ℵℵω . 0

Demostraci´ on. Como para cualquier n   ω, se tiene que ℵn Entonces ¸ ¹ ℵn   ℵn 1  ℵℵω0 . ℵω 

P

P

n ω

n ω

 

ℵn

1.

%

Ejercicios 3.5.1.- Consideremos las operaciones de suma, producto y exponenciaci´on ordinal α ord β, α ord β, αβ , dadas en las definiciones 2.10, 2.11 y ord

2.12, as´ı como las operaciones respectivas para cardinales α car β, α car β, αβ enunciada en la definici´on 3.8. Diga si las siguientes car afirmaciones son verdaderas o falsas, dando prueba o contraejemplo. (i) κ

car

λ  |κ

ord

λ|,

(ii) κ car λ  |κ ord λ|,

(iii) κλ  | κλ |. car

ord

3.5.2.- Sean κ, λ, µ y ν cardinales. Demuestre lo siguiente. (i) La suma y producto de cardinales es conmutativa y asociativa.

(ii) κ ¤ κ

(iii) κ  pλ

λ.

µq  κ  λ

(iv) Si λ ¤ κ y ν (v)

(vi) (vii) (viii) (ix) (x) (xi)

κ  µ.

¤ µ, entonces λ ν ¤ κ µ. Si λ ¤ κ y ν ¤ µ, entonces λ  ν ¤ κ  µ. Si λ  0, entonces κ ¤ κ  λ. Si λ ¡ 0, entonces κ ¤ κλ . Si κ ¡ 1, entonces λ ¤ κλ . Si λ ¤ κ y ν ¤ µ, entonces λν ¤ κµ . κλ  κµ  κλ µ . pκλ qµ  κλµ.

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3.5. Aritm´ etica cardinal (xii) pκ  λqµ

137

 κµ  λµ.

3.5.3.- Sea η un ordinal. (i) Demuestre que la relaci´on orden total.

 η dada en la definici´on 3.9 es un

(ii) Verifique que en el lema 3.3 β1 y δ1 est´an bien definidas, y que el  η -m´ınimo de A es realmente xβ1 , δ1 y. 3.5.4.- Muestre que la partici´on propuesta en la proposici´on 3.11 cumple con lo afirmado en dicha proposici´on. 3.5.5.- Defina una partici´on P  tAβ | β tal que β   λ, |Aβ |  λ  |P |.

  λu de λ un cardinal infinito,

3.5.6.- Verifique que las funciones dadas en las demostraciones de la secci´on 3.5.2 cumplen con ser inyectivas o biyectivas, seg´ un sea el caso. 3.5.7.- Verifique que las funciones dadas en las demostraciones de la secci´on 3.5.3 cumplen con ser inyectivas o biyectivas, seg´ un sea el caso. 3.5.8.- Pruebe que si tAi |i P I u es una familia de conjuntos tales que A  ∅ para‘toda i P I y Ai X Aj  ∅ para todo i  j, entonces ”i iPI Ai ¤ p iPI Ai q  I 3.5.9.- Demostrar las siguientes igualdades de productos infinitos: ±

‘ 

αPλ κ  

±

P 2  2 0. ± ℵ0 αPℵ0 ℵ0  ℵ0 α ℵ0

3.5.10.-

 





λ   αPλ κ  tf | f : λ Ñ κu  κ .

ℵ

 2ℵ . de cardinales tal que κi ¥ 2 Pruebe que si tκi |i P I u es°una familia ± para todo i P I, entonces iPI κi ¤ iPI κi 0

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´meros cardinales 3. Nu

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4 Cofinalidad 4.1.

Introducci´ on

Durante muchos a˜ nos los matem´aticos se preguntaron si el cardinal del conjunto de los n´ umeros reales, conocido como el cardinal del continuo, era el cardinal sucesor de ℵ0 . Cantor ya hab´ıa demostrado que el cardinal del continuo es estrictamente mayor que el cardinal del conjunto de los n´ umeℵ 0 ros naturales. Adem´ as, se puede demostrar que |R|  2 , por lo que esta pregunta se puede resumir como ¿es 2ℵ0 igual a ℵ1 ? Cantor conjetur´o que la respuesta a esta pregunta era afirmativa y a esta conjetura se le conoce como la hip´ otesis del continuo (v´ease el ejercicio 3.4.8). A pesar de que la hip´otesis del continuo puede ser planteada en estos t´erminos sencillos, durante muchos a˜ nos los esfuerzos por demostrarla (o refutarla) fueron en balde. En 1939, Kurt G¨odel utiliz´o t´ecnicas de la L´ogica Matem´atica para probar que la hip´otesis del continuo no puede ser refutada asumiendo los axiomas de ZFE. Sin embargo, esto no significaba que la hip´otesis del continuo pudiera ser probada en ZFE. De hecho, veinticuatro a˜ nos despu´es, Paul Cohen prob´o que la hip´otesis del continuo no puede ser demostrada asumiendo los axiomas de ZFE. Es decir, los axiomas de ZFE no nos dan su139 i

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4. Cofinalidad

ficiente informaci´on para contestar la pregunta de si el cardinal del continuo es ℵ1 o no. Estos resultados pueden consultarse en [Ku80]. Por el axioma de elecci´on, sabemos que existe alg´ un ordinal α tal que 2ℵ0  ℵα . Entre los esfuerzos que se hicieron para demostrar o refutar si α  1, estuvo la de investigar cu´ando dos ordinales “terminaban del mismo modo”, concepto que definiremos en este cap´ıtulo como el de cofinalidad. Con este concepto podremos descartar a varios ordinales α, es decir, veremos que estos ordinales no pueden cumplir la igualdad 2ℵ0  ℵα . Sin embargo, como ya discutimos en el p´arrafo anterior, en ZFE no se puede dar una respuesta completa. De hecho, se sabe que los ordinales α que descartaremos en este cap´ıtulo son los u ´nicos que se pueden descartar con la informaci´on que nos dan los axiomas de ZFE. Como es usual en matem´aticas, la motivaci´on de los conceptos muchas veces es superada y el concepto por s´ı solo es suficientemente interesante gracias a otras de sus consecuencias. Este es el caso del concepto de cofinalidad que, al margen de que descarta algunos cardinales para ser el cardinal del continuo, termina dividiendo a los ordinales en dos grandes clases (la de los regulares y la de los singulares) y el estudio de las caracter´ısticas de estas clases es interesante per se. M´as a´ un, el concepto de cofinalidad tambi´en contesta algunas preguntas sobre la exponenciaci´on cardinal, que ameritan una secci´on de este cap´ıtulo. Adem´as, resulta que las implicaciones que tiene suponer la hip´ otesis generalizada del continuo con respecto a la exponenciaci´on cardinal son tambi´en interesantes y ocupan la u ´ltima parte de este cap´ıtulo. La hip´otesis generalizada del continuo que, como su nombre lo dice, es una generalizaci´on de la hip´otesis del continuo, afirma que para todo ordinal β, 2ℵβ  ℵβ 1 , es decir, 2ℵβ  ℵβ (v´ease el ejercicio 3.4.9).

4.2.

Definiciones y propiedades

Para dar la definici´on de cofinalidad entre ordinales, primero damos las siguientes definiciones. Definici´ on 4.1 Sean A y B conjuntos tales que xA Y B,  y es un orden total. Decimos que A y B son  -confinales si y s´ olo si 

x P A Dy P B x ¤ y ^ y P B Dx P A y ¤ x



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4.2. Definiciones y propiedades

141

Definici´ on 4.2 Si xx,  y es un orden total y y „ x, entonces decimos que olo si z P x Dw P y z ¤ w. y es  -confinal con x si y s´ La relaci´on de confinalidad formaliza el hecho de que dos ´ordenes totales “terminen igual”. Veamos algunos ejemplos.

tn P ω | n es paru y tn P ω | n es imparu son P-confinales. Si y „ x y y es confinal con x, entonces x y y son confinales. tℵn |n P ωu y ℵω son P-confinales. ω es confinal con R. Son confinales

Q y R, Q y ω, Z y R, Q y RzQ.

Sin embargo, en el caso en que los conjuntos son ordinales, el hecho de que sean confinales, implica que son iguales, como se ve en la siguiente proposici´on. Proposici´ on 4.1 Si α y β son ordinales confinales, entonces α  β. Demostraci´ on. Sean α y β ordinales. Entonces α ¤ β o β ¤ α. En el primer caso, como α es confinal con β, tenemos que δ P β Dγ P α δ ¤ γ. Por la transitividad de α, se tiene que δ P α y de esta forma β „ α, lo cual implica que α  β. % An´alogamente, si β ¤ α, llegamos a la misma conclusi´on. De manera que en ordinales no es interesante saber cu´ando “terminan igual”, sino que “terminen del mismo modo”. Esto se formaliza con el concepto de cofinalidad (note que hemos eliminado una letra “n” de la palabra confinalidad) que representa el “modo de terminar” de un ordinal. Definici´ on 4.3 Sean α y β ordinales. Decimos que α es cofinal en β si y s´ olo si existe una funci´ on f : α Ñ β tal que f rαs es P-confinal con β. En tal caso se dice que f es una funci´on cofinal de α en β. Veamos algunos ejemplos.

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4. Cofinalidad Para cualquier ordinal β, β es cofinal en β. Una funci´on cofinal es la identidad. ω es cofinal en ℵω . Una funci´on cofinal es f pnq  ℵn . ω es cofinal en ω

ω. Una funci´on cofinal es f pnq  ω

n.

2 es cofinal en ω 4. Una funci´on cofinal es f p0q  ω 1, f p1q  ω 3. Definici´ on 4.4 Sea xx,  y un orden total y sea y „ x. Decimos que y es no-acotado en x si y s´ olo si z P x Dw P y pz   wq. En caso contrario, decimos que y es acotado en x, es decir, si Dz P xw P y pw ¤ z q. Observemos que si y „ x es no-acotado en x, entonces y es confinal con x, pero el rec´ıproco no siempre es cierto. Por ejemplo, y  tω 1, ω 2, ω 3u es confinal con ω 4 y, sin embargo, es acotado en ω 4. Proposici´ on 4.2 Sean α y ” β ordinales y sea f : α Ñ β. Entonces f rαs es no-acotado en β si y s´ olo si f rαs  β. ”

Demostraci´ on. Supongamos que f rαs es no-acotado en β. Sea γ P f rαs, entonces existe δ   α tal que γ P f pδq y f pδq P β. De donde γ P β y ” f rαs „ β. Por otro lado, t´omese γ P β. Como f rαs es no-acotado en β, ” ” Dδ   α, γ   f pδq. De donde γ P f rαs y β „” f rαs. Para demostrar el rec´ıproco, sea γ P β  f rαs. Entonces existe δ   α % tal que γ P f pδq, es decir, f rαs es no-acotado en β. La siguiente proposici´on nos da una condici´on para la equivalencia entre que la imagen de una funci´on entre ordinales sea no-acotada y que sea confinal. Proposici´ on 4.3 Sean α un ordinal, β un ordinal l´ımite y f : α Ñ β. olo si f rαs es P-confinal con β. Entonces f rαs es no-acotado en β si y s´ Demostraci´ on. Ya observamos que, en general, si y „ x y y es no-acotado en xx,  y, entonces y es  -confinal con x. De manera que si f rαs es noacotado en β, entonces f rαs es P-confinal con β o equivalentemente f es cofinal de α en β. Para demostrar el rec´ıproco, supongamos que f rαs es P-confinal con β y sea γ P β. Como β es l´ımite por hip´otesis, γ 1 P β.

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4.2. Definiciones y propiedades

Como f rαs es P-confinal con β, existe δ P α tal que γ 1 ¤ f pδq. Por lo tanto, γ   γ 1 ¤ f pδq y, en particular, γ   f pδq. As´ı, f rαs es no-acotado en β. % Proposici´ on 4.4 Sean α, β y γ ordinales tales que α es cofinal en β y β es cofinal en γ. Si existe una funci´ on f : β Ñ γ cofinal y no decreciente, entonces α es cofinal en γ. Demostraci´ on. Sea g : α Ñ β una funci´on cofinal. Veamos que si f : β Ñ γ es una funci´ on cofinal y no decreciente, entonces f  g : α Ñ γ es cofinal en γ. Sea δ P γ, como f es cofinal en γ, existe ε P β tal que f pεq ¥ δ, y, como g es cofinal en β, existe ξ P α tal que gpξ q ¥ ε. Ahora bien, como f es no decreciente, tenemos que f pgpξ qq ¥ f pεq ¥ δ (v´ease la figura 4.1). Por lo % tanto, f  g es cofinal en γ. δ

¤ f pεq ¤ f pgpξqq ε ¤ g pξ q

γ

f β g

ξ

α

Figura 4.1: Esquema de la demostraci´on de la proposici´on 4.4

Ahora estamos listos para dar la definici´on de la cofinalidad de un ordinal. Definici´ on 4.5 Sea β un ordinal. La cofinalidad de β, denotada cf pβ q, es el m´ınimo ordinal α tal que α es cofinal en β. Es decir, cf pβ q 

£

tα | α cofinal en β u.

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4. Cofinalidad

Luego entonces la cofinalidad de β es el menor ordinal α tal que existe una funci´ on f : α Ñ β cuya imagen es P-confinal con β. Proposici´ on 4.5 Sea β un ordinal. Se cumple lo siguiente. (i) cf pβ q ¤ β.

(ii) cf pβ q es un cardinal. Por lo tanto, cf pβ q ¤ |β | ¤ β.

(iii) cf pβ

1q  1.

(iv) cf p0q  0.

(v) cf pω q  cf pω

ω q  cf pℵω q  cf pℵℵω q  ω.

Demostraci´ on. (i) Como β es cofinal en β, cf pβ q ¤ β.

(ii) Supongamos que γ es un ordinal tal que γ   cf pβ q, γ g cf pβ q y f : cf pβ q Ñ β es cofinal. Veamos que entonces f  g : γ Ñ β ser´ıa cofinal en β, contradiciendo la definici´on de cf pβ q. Si δ P β, entonces existe ε P cf pβ q tal que f pεq ¥ δ y, como g es sobre, existe ξ P γ tal que gpξ q  ε. Por lo tanto, f pgpξ qq  f pεq ¥ δ y f  g ser´ıa cofinal en β. Por lo tanto, cf pβ q es un cardinal. De aqu´ı que cf pβ q ¤ |β | ¤ β.

(iii) Se tiene que cf pβ en β 1.

1q  1, pues f : 1 Ñ β

1 con f p∅q  β es cofinal

(iv) Se tiene que cf p0q  0, pues la funci´on vac´ıa es cofinal.

(v) Se tiene que cf pω q  cf pω ω q  cf pℵω q  cf pℵℵω q  ω, pues las siguientes funciones son cofinales: la identidad en ω; f : ω Ñ ω ω, donde f pnq  ω n; g : ω Ñ ℵω , donde gpnq  ℵn ; y h : ω Ñ ℵℵω , donde hpnq  ℵℵn .

%

De la proposici´on anterior se observa que la cofinalidad del cero y de todos los sucesores ya est´a determinada, de modo que en adelante s´olo nos interesa estudiar cofinalidades de ordinales l´ımite.

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4.2. Definiciones y propiedades Corolario 4.1 cf : OR Ñ CAR Y t0, 1u es un funcional.

Demostraci´ on. Es claro por la definici´on de cofinalidad y la proposici´on % anterior. Proposici´ on 4.6 Si β es un ordinal cualquiera, entonces existe una funci´ on f : cf pβ q Ñ β tal que f es cofinal y estrictamente creciente. Demostraci´ on. Sea β un ordinal. Si β es cero o un sucesor, la afirmaci´on se sigue trivialmente de la demostraci´on de la proposici´on anterior. Supongamos que β es l´ımite. Por la definici´on de cf pβ q, existe una funci´ on cofinal g : cf pβ q Ñ β. Entonces grcf pβ qs es no-acotado en β y ” grcf pβ qs  β por las proposiciones 4.2 y 4.3. Definimos recursivamente la funci´ on f : cf pβ q Ñ β de la siguiente manera f pη q  m´axtgpη q, suptf pξ q

1|ξ

  ηuu.

El lector debe justificar la existencia de f mediante el teorema de recursi´on transfinita. Veamos que si η P cf pβ q, efectivamente f pη q P β. Claramente gpη q P β. Supongamos que suptf pξ q 1 | ξ   η u R β, entonces definimos f 1 pξ q  ” 1 f pξ q 1. De aqu´ı que suptf pξ q 1 | ξ   η u  f rη s  β y, por la proposici´on 4.2, f 1 rη s es no-acotado en β. De manera que f 1 es una funci´on cofinal de η en β, contradiciendo el hecho de que η   cf pβ q. Por lo tanto, suptf pξ q 1 | ξ   η u P β y f pη q P β. Ahora veamos que f es cofinal y estrictamente creciente. Sea α P β. Entonces existe δ P cf pβ q tal que gpδq ¥ α. Como f pδq ¥ gpδq por construcci´ on, f pδq ¥ α y f rcf pβ qs es no-acotado en β (v´ease la figura 4.2). Por otra parte, si ξ   η P cf pβ q, entonces f pη q ¥ suptf pγ q 1 | γ   η u. Por lo tanto, % f pη q ¥ f pγ q 1 para toda γ   η, de donde f pη q ¥ f pξ q 1 ¡ f pξ q. Proposici´ on 4.7 Sean α y β ordinales. Si f : α Ñ β es cofinal y estrictamente creciente, entonces cf pαq  cf pβ q. Demostraci´ on. Sea f : α Ñ β cofinal y estrictamente creciente. Por definici´on, cf pαq es cofinal en α, de donde por la proposici´on 4.4, usando la existencia de f , tenemos que cf pαq es cofinal en β. As´ı, cf pβ q ¤ cf pαq.

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4. Cofinalidad α ¤ g pδ q ¤ f pδ q g δ

β cf pβ q

Figura 4.2: Esquema de la demostraci´on de la proposici´on 4.6 Ahora bien, sea h : cf pβ q Ñ β cofinal. Definimos j : cf pβ q Ñ α, “ mediante j pξ q  tη P α | f pη q ¥ hpξ qu. La funci´on j est´a bien definida, pues f es una funci´on cofinal de α en β y hpξ q P β, por lo que tη P α | f pηq ¥ hpξqu  ∅. Veamos que j es cofinal en α. Sea γ P α, entonces f pγ q P β. Como h es cofinal, existe ξ P cf pβ q tal que f pγ q ¤ hpξ q, de donde, por definici´on de j, f pj pξ qq ¥ hpξ q. Por lo tanto, f pj pξ qq ¥ f pγ q y, como f es estrictamente creciente, j pξ q ¥ γ (v´ease la figura 4.3). As´ı pues % j : cf pβ q Ñ α es cofinal, de donde cf pαq ¤ cf pβ q. f pγ q ¤ hpξ q ¤ f pj pξ qq

β

f γ

¤ j pξq

α j ξ

h cf pβ q

Figura 4.3: Esquema de la demostraci´on de la proposici´on 4.7 Corolario 4.2 Para cualquier ordinal β, se tiene que cf pcf pβ qq  cf pβ q. Demostraci´ on. Se sigue de la proposici´on 4.7, dado que, por la proposici´ on 4.6, existe f : cf pβ q Ñ β cofinal y estrictamente creciente. % Corolario 4.3 Para cualesquiera ordinales α y β, se tiene que cf pα cf pβ q.

βq 

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4.2. Definiciones y propiedades

Demostraci´ on. Por la proposici´on 4.7, como la funci´on f : β Ñ α β definida como f pη q  α η es cofinal y estrictamente creciente, cf pα β q  cf pβ q. % Para demostrar la siguiente proposici´on, usamos el axioma de elecci´on. Proposici´ on 4.8 (AE) Se tiene que cf pω1 q  ω1 . Demostraci´ on. Sea f : ω  ¤   f ω 

r s

¤    f n 



P

P

n ω

¤



¤



p q ¤  pf pnq  tnuq pq  p|f pnq|  tnuq 

n ω

¸

Ñ ω1. Entonces P

P

n ω

n ω

|f pnq|  ℵ0  sup |f pnq| pq ℵ0  ℵ0  ℵ0 P

n ω

Para justificar la igualdad (), observe que si f pnq gn |f pnq|, entonces ” p| f pnq|  tnuq. Aqu´ı usamos AE al elegir las n tnuq funciones gn . Para justificar la igualdad (), basta observar que |f pnq| ¤ ℵ0 para toda n P ω, pues f pnq P ω1 . As´ı pues cf pω1 q ¤ ω1 , pero cf pω1 q es un cardinal y cf pω1 q  ω. Por lo % tanto, cf pω1 q  ω1 . ”

pf pnq  tnuq ”pg

Proposici´ on 4.9 Si γ es un ordinal l´ımite, entonces cf pωγ q  cf pγ q. Demostraci´ on. Definimos f : γ Ñ ωγ , donde f pαq  ωα . Es claro que f es estrictamente creciente, pues”f  ℵ æ γ y ℵ lo es. Adem´as, f es no acotada, ” pues γ es l´ımite y f rγ s  α γ ωα  ωγ . As´ı pues, por la proposici´on 4.7, se tiene que cf pωγ q  cf pγ q. %

Ejercicios 4.2.1.- Verifique que las funciones cofinales dadas en esta secci´on realmente lo sean. 4.2.2.- Verifique que cf pω

ω q  cf pℵω q  cf pω q  cf pℵℵω q  ω.

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4. Cofinalidad

4.2.3.- Muestre que cf pω1

ω q  ω.

4.2.4.- Justifique la existencia del funcional f utilizado en la demostraci´on de la proposici´on 4.6. 4.2.5.- Demuestre que cf no es un funcional mon´otono. 4.2.6.- Demuestre que cf no es un funcional continuo. 4.2.7.- ¿Ser´ a cierto que si α y β son ordinales tales que |α|  |β |, entonces cf pαq  cf pβ q? Justifique con prueba o contraejemplo. 4.2.8.- Demuestre que si α cf pαq  n.

4.3.

¥ ω y α es l´ımite, entonces para toda n P ω,

Ordinales regulares y singulares

En esta secci´on desarrollamos una clasificaci´on de ordinales de acuerdo a su cofinalidad. Definici´ on 4.6 Decimos que un ordinal α es regular si y s´ olo si cf pαq  α. Si α no es regular, es decir, si cf pαq   α, decimos que α es singular. Proposici´ on 4.10 Sea α un ordinal. Se cumplen las siguientes propiedades. (i) Si α es regular infinito, entonces α es cardinal y cf pℵα q  α.

(ii) cf pαq es un cardinal regular.

(iii) Los ordinales 0 y 1 son regulares. (iv) Cualquier ordinal sucesor mayor que 1 es singular. (v) Si α es l´ımite y no es cardinal, entonces es singular. Demostraci´ on. Se deja como ejercicio al lector.

%

De la proposici´on anterior, se observa que todo ordinal no cardinal es singular y que todo cardinal finito, con excepci´on del 0 y del 1, es singular.

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4.3. Ordinales regulares y singulares

Algunos ejemplos de cardinales regulares son los siguientes: 0, 1, ω, ω1 , ω2 , . . . , ωα 1 . Algunos ejemplos de cardinales singulares, con sus cofinalidades, son los siguientes: Cardinal α 1 con α  0 ω ω ωω ℵω ℵ ω1 ℵκ con κ   ℵκ

Cofinalidad 1 ω ω ω ω1 cf pκq ¤ κ   ℵκ

Para demostrar el siguiente teorema, utilizamos el axioma de elecci´on. Teorema 4.1 (AE) Para todo cardinal infinito κ, se tiene que κ gular. Es decir, cualquier cardinal sucesor infinito es regular.

es re-

Demostraci´ on. Supongamos que κ es un cardinal infinito tal que κ es singular, es decir, cf pκ q   κ . Por la proposici´on 4.6, existe una funci´on f : cf pκ q Ñ κ cofinal y estrictamente creciente. Entonces κ



¤

f rcf pκ

qs 

¤

  p q

f pξ q.

ξ cf κ

Obs´ervese que para toda ξ   cf pκ q, se tiene que f pξ q P κ , de donde |f pξq|   κ y |f pξq| ¤ κ. De esta manera hemos expresado a κ como una uni´on de a lo m´as κ°conjuntos, cada uno de cardinal menor que κ, lo cual implica que κ ¤ α κ κ  κ  κ  κ, que es absurdo. De manera que % cf pκ q  κ y κ es regular. Corolario 4.4 (AE) Todo cardinal singular infinito es l´ımite. De lo anterior se observa que ω es regular y l´ımite, todo cardinal sucesor infinito κ es regular y todo cardinal singular infinito es l´ımite, pero ¿habr´a cardinales regulares y l´ımites mayores que ω? o bien ¿todo l´ımite mayor que ω ser´a singular? En resumen, tenemos lo siguiente.

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4. Cofinalidad Cardinales infinitos Sucesores L´ımites

Regulares ℵ1 , ℵ2 , . . . ω, ?

Singulares No hay ℵω , ℵℵ1 , . . .

Teorema 4.2 Sea κ un cardinal infinito. La cofinalidad de κ es el menor cardinal λ tal que κ se puede escribir como una uni´ on de λ subconjuntos de κ, cada uno de cardinal menor que κ. Es decir, 1. Existe una familia tAξ | Aξ „ κ, ξ y para toda ξ   cf pκq, |Aξ |   κ, y

  cf pκqu tal que κ  ”ξ cf pκq Aξ

2. Si existe una familia tAξ | Aξ „ κ, ξ   λu tal que κ para toda ξ   λ, |Aξ |   κ, entonces cf pκq ¤ λ.

 ”ξ λ Aξ

y

Demostraci´ on. Sea κ un cardinal infinito. ”

f rcf pκqs  κ 1. Sea f : cf pκq Ñ κ una funci´on cofinal. Entonces  f pξq P κ. ”Tenemos que f pξq „ κ y |f pξq|   κ, y definimos A ”ξ por lo tanto ξ  cf pκq f pξ q  f rcf pκqs  κ. As´ı, existe una familia tAξ | Aξ „ κ, ξ   cf pκqu tal que κ  ”ξ cf pκq Aξ y para toda ξ   cf pκq, |Aξ |   κ. 2. Supongamos que existe tAξ | Aξ |Aξ |   κ para toda ξ   λ.

„ κ, ξ   λu tal que κ  ”ξ λ Aξ y

Si κ ¤ λ, entonces cf pκq ¤ κ ¤ λ. Si λ   κ es el caso, entonces ¤ 

κ  |κ|  

 

ξ λ

 

Aξ  ¤

¸

 

ξ λ

|Aξ |  λ  sup |Aξ | ¤ λ  κ pλ κq κ.  

ξ λ

”

As´ı que, λ  supξ  λ |Aξ |  κ, de donde ξ  λ |Aξ |  supξ  λ |Aξ |  κ, pues λ   κ. De lo anterior, tenemos que t|Aξ | | ξ   λu forma una λsucesi´on de elementos de κ, pues |A” f : λ Ñ κ es ξ |   κ. Por lo tanto, ” ” una funci´ on cofinal, pues f rλs  t|Aξ | ξ   λu  ξ  λ |Aξ |  κ. Luego entonces, cf pκq ¤ λ.

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4.3. Ordinales regulares y singulares

% El siguiente corolario caracteriza a la cofinalidad de κ como el menor cardinal λ tal que κ se puede expresar como una suma de λ cardinales, cada uno de cardinalidad menor que κ. Corolario 4.5 Sea κ un cardinal infinito. Entonces 1. Hay una familia de cardinales tκξ | ξ y para toda ξ   cf pκq, κξ   κ, y

  cf pκqu tal que κ  °ξ cf pκq κξ

2. Si hay una familia de cardinales tκξ | ξ   λu tal que κ para toda ξ   λ, κξ   κ, entonces cf pκq ¤ λ.

 °ξ λ κξ

y

Demostraci´ on. 1. Sean κξ

 |f pξq|, donde f : cf pκq Ñ κ es una funci´on cofinal. Entonces  

κ  |κ| pq 

¤

  pq

ξ cf κ

 

f pξ q  ¤

¸

  pq

|f pξq| 

ξ cf κ

¸

  pq

κξ .

ξ cf κ

La igualdad () se justifica por la parte 1 del teorema 4.2. Por lo tanto, ° ξ  cf pκq κξ ¥ κ. °

Por otro lado, ξ  cf pκq κξ  cf pκq  supξ  cf pκq κξ ¤ κ, pues cf pκq ¤ κ y κξ  |f pξ q| ¤ f pξ q   κ. Por lo tanto, supξ  cf pκq κξ ¤ κ. Al tener ambas desigualdades, se concluye que

°

  p q κξ  κ.

ξ cf κ

2. Supongamos que hay una familia de cardinales tκξ | ξ   λu tal que ° κ  ξ  λ κξ y para toda ξ   λ, κξ   κ. En el caso en que κ ¤ λ, se tiene que cf pκq ¤ κ ¤ λ. °

Analicemos el caso en que ” λ   κ. Tenemos que κ  ξ  λ κξ  λ  supξ  λ κξ . Por lo tanto, ξ  λ κξ  supξ  λ κξ  κ, pues λ   κ. Adem´ as, κξ   κ, por lo que κξ  κ. Luego entonces se cumplen las condiciones de la parte 2 del teorema 4.2 con tκξ | ξ   λu y, por lo tanto, cf pκq ¤ λ.

%

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4. Cofinalidad

De lo anterior se sigue que un cardinal es regular si no es uni´ on de menos que ´el conjuntos, cada uno de cardinal menor que ´el, o bien, si no es suma de menos que ´el cardinales menores que ´el. Veamos ahora que un cardinal infinito mayor que ω que sea cardinal l´ımite y regular es un punto fijo del funcional ´alef. Proposici´ on 4.11 Si ℵα ℵα  α.

¡

ω es un cardinal l´ımite y regular, entonces

Demostraci´ on. Si ℵα es como se pide, entonces α  0 y α es ordinal l´ımite. En tal caso cf pℵα q  cf pαq ¤ α, pero, como ℵα es regular, cf pℵα q  ℵα . Por lo tanto, ℵα ¤ α. Por otra parte, siempre se cumple que ℵα ¥ α. Por lo tanto, ℵα  α. %

Obs´ervese que hay cardinales regulares mayores que ω, como por ejemplo ℵ1 , que no son l´ımite. Tambi´en hay cardinales l´ımite mayores que ω, como por ejemplo ℵω , que no son regulares (pues la cofinalidad de ℵω es ω). Si existiera un cardinal regular, l´ımite y mayor que ω, ya hemos visto que tiene que ser punto fijo del funcional ℵ. Sin embargo, esta condici´on necesaria no es suficiente para probar que existe un cardinal regular l´ımite y mayor que ω. Ya demostramos que el funcional ℵ tiene puntos fijos (proposici´on 3.7 y proposici´on 3.8), sin embargo, es un resultado conocido, que no mostraremos aqu´ı (v´ease [Ku80]), que desde ZFE no se puede probar que exista un cardinal regular l´ımite mayor que ω. A continuaci´on presentamos algunos resultados que combinan el teorema de K¨onig y el concepto de cofinalidad. Teorema 4.3 Para cualquier cardinal infinito κ se cumple lo siguiente: (i) cf p2κ q ¡ κ, (ii) κcf pκq

¡ κ.

Demostraci´ on.

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4.3. Ordinales regulares y singulares

(i) Sabemos que existe una familia de cardinales tκα | α   cf p2κ qu tal que ° κ 2  α cf p2κ q κα , donde κα   2κ para toda α   cf p2κ q. Entonces, por el teorema de K¨onig (teorema 3.6) se tiene que: 2κ



¸

  p q

κα

¹

 

α cf 2κ

  p q

2κ

 p2κ qcf p2 q  2κcf p2 q . κ

κ

α cf 2κ

Si cf p2κ q ¤ κ, entonces κ  cf p2κ q absurdo. Por lo tanto, cf p2κ q ¡ κ.

 κ, de donde 2κ   2κ , lo cual es

(ii) Sabemos que existe una familia tλα | α   cf pκqu tal que para toda ° α   cf pκq, λα   κ y κ  α cf pκq λα . Por lo tanto, ¸

κ

  pq

λα

 

α cf κ

Luego entonces κcf pκq

¹

  pq

κ  κcf pκq .

α cf κ

%

¡ κ.

Corolario 4.6 Si cf pλq  ℵ0 , entonces λ  2ℵ0 , es decir, 2ℵ0 no puede ser ning´ un cardinal cuya cofinalidad sea ℵ0 . Demostraci´ on. Se sigue del teorema anterior, pues cf p2ℵ0 q ¡ ℵ0 .

%

Del corolario anterior se sigue en particular que: 2ℵ0

 ℵω ,

2ℵ0

 ℵω

ω,

2ℵ0

 ℵℵ

ω

.

Corolario 4.7 Si cf pλq ¤ κ, entonces λ  2κ , es decir, 2κ no puede ser ning´ un cardinal cuya cofinalidad sea menor o igual que κ.

Del corolario anterior se sigue en particular que: 2ℵ1

 ℵω , 1

2ℵ1

 ℵω ,

2ℵ1

 ℵω

ω.

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4. Cofinalidad

Corolario 4.8 Si κ es un cardinal infinito, entonces κ

¤ κcf pκq ¤ 2κ .

Demostraci´ on. Por la parte 2 del teorema anterior, κ   κcf pκq y, como cf pκq ¤ κ, entonces κcf pκq ¤ κκ . De aqu´ı se concluye que κ   κcf pκq ¤ κκ  2κ . Luego entonces κ ¤ κcf pκq ¤ 2κ . %

4.3.1.

El cardinal del continuo

El teorema de Cantor implica que 2ℵ0 ¡ ℵ0 , es decir, que 2ℵ0 ¥ ℵ1 . Pero hasta ahora no sabemos de cota alguna para el tama˜ no de 2ℵ0 , lo u ´nico que sabemos, por el corolario 4.6, es que no puede ser un cardinal de cofinalidad numerable. De hecho, esto es todo lo que se puede saber de este cardinal (asumiendo los axiomas de ZFE), pues se puede demostrar que no hay ninguna contradicci´on al suponer los axiomas de ZFE y que 2ℵ0 sea cualquier cardinal que no est´e prohibido por el corolario 4.6. Este u ´ltimo resultado se pueden consultar en [Ku80].

Ejercicios 4.3.1.- Sea α un ordinal. Demuestre lo siguiente. (i) Si α es regular, entonces α es cardinal y cf pℵα q  α.

(ii) cf pαq es un cardinal regular.

(iii) Los ordinales 0 y 1 son regulares. (iv) Cualquier ordinal sucesor mayor que 1 es singular. (v) Si α es l´ımite y no es cardinal, entonces es singular. 4.3.2.- Verifique que ω  ω, ℵω , y ℵω1 son singulares, dando sus cofinalidades.

4.4.

Exponenciaci´ on cardinal

Por el teorema 4.3, sabemos que κcf pκq λ   cf pκq? Proposici´ on 4.12 Si κω

¡ κ, pero ¿qu´e pasa con kλ , si

 κ, entonces ω   cf pκq.

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´ n cardinal 4.4. Exponenciacio

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Demostraci´ on. Por el teorema 4.3, se tiene que κcf pκq ω p κ q cf ¡ κ , por lo que necesariamente cf pκq ¡ ω. κ

¡ κ. Como κω  κ, %

El rec´ıproco de esta proposici´on no es necesariamente cierto. Un ejemplo es el siguiente: cf pℵ1 q  ℵ1 ¡ ω y, sin embargo, ℵℵ1 0  2ℵ0 ¥ ℵ1 . ¿Qu´e se puede saber si se supone la hip´otesis generalizada del continuo?, el lector debe verificar que en tal caso y suponiendo cf pκq ¡ ω, se concluye que κω  κ o κω  κ . Teorema 4.4 (F´ ormula de Hausdorff ) Sean κ y λ cardinales infinitos. Entonces pκ qλ  κλ  κ .

Demostraci´ on. Analicemos los siguientes dos casos. Si κ ¤ λ, recordando que para todo µ: 2 ¤ µ ¤ λ implica que µλ  2λ , concluimos que pκ qλ  2λ y κλ  2λ . Adem´as, κ ¤ λ   2λ y, por lo tanto, κλ  κ  2λ  κ  2λ . Finalmente, se tiene que pκ qλ  2λ  κλ  κ .

¤ pκ qλ . Como todo cardinal sucesor es regular, tenemos que κ  cf pκ q. Tambi´en sabemos que si λ   cf pµq entonces”toda funci´on f : λ Ñ µ tiene imagen acotada en µ, es decir, λµ  γ  µ λγ. Entonces, como ” λ   κ  cf pκ q, λκ  γ  κ λγ. Luego entonces, Si λ   κ , veamos que pκ

 ¤

pκ qλ  |λκ |  

 

γ κ

 

qλ ¤ κλ  κ

γ ¤

λ

¸

 

γ κ

|λγ | 

y que κλ  κ

¸

 

γ κ

|γ | λ ¤

¸

 

κλ

 κλ  κ

,

γ κ

donde la segunda desigualdad es v´alida dado que si γ   κ , entonces |γ | ¤ γ   κ y por lo tanto |γ | ¤ κ, de donde |γ |λ ¤ κλ , para toda γ κ . Para verificar la desigualdad contraria, observemos que, como κ   κ , entonces κλ ¤ pκ qλ . Adem´as, κ ¤ pκ qλ . Por lo tanto, se tiene que κλ  κ ¤ pκ qλ  pκ qλ  pκ qλ .

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4. Cofinalidad

% La f´ormula de Hausdorff tambi´en puede enunciarse usando alefs de la siguiente manera: pℵα 1qℵβ  ℵℵαβ  ℵα 1. El siguiente corolario es un caso particular del resultado muy conocido que recordamos al inicio de la demostraci´on de la f´ormula de Hausdorff. Corolario 4.9 Para cualquier cardinal infinito κ, se tiene que pκ

qκ  2κ .

Demostraci´ on. Tomando κ  λ en la f´ormula de Hausdorff y usando que, como 2 ¤ κ   κ , tenemos que κκ  2κ , obtenemos la igualdad deseada. % Corolario 4.10 Sea

|R|  c. Entonces pc qℵ  c

.

0

qℵ  cℵ  c

Demostraci´ on. Por la f´ormula de Hausdorff se tiene que pc Por lo tanto,

0

pc qℵ  cℵ  c  p2ℵ qℵ  c  2ℵ ℵ  c  2ℵ  c  c  c  c 0

0

0

0

0

0

0

0

.

.

% Veamos algunos ejemplos, utilizando la f´ormula de Hausdorff (F.H.) y las igualdades ℵℵ1 0  2ℵ0 y κκ  2κ . ℵℵ2 0 ℵℵ2 1 ℵℵ3 1

 pℵ1 qℵ F.H. ℵℵ1  ℵ1  2ℵ  ℵ1  2ℵ  ℵ2.  pℵ1 qℵ F.H. ℵℵ1  ℵ1  2ℵ  ℵ1  2ℵ  ℵ2  2ℵ .  pℵ2 qℵ F.H. ℵℵ2  ℵ2  2ℵ  ℵ2  2ℵ  ℵ3. 0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Corolario 4.11 (F´ ormula de Hausdorff generalizada) Sean α un ordinal, λ un cardinal infinito y n P ω. Entonces ℵλα

n

 ℵλα  ℵα

n.

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´ n cardinal 4.4. Exponenciacio

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%

Demostraci´ on. Es por inducci´on sobre n y se deja al lector. Corolario 4.12 Sean α un ordinal y n P ω. Entonces ℵℵαα n

 2ℵ  ℵα α

n.

Demostraci´ on. Se sigue del corolario anterior, pues ℵℵαα

 2ℵ

α

.

%

Corolario 4.13 (F´ ormula de Bernstein) Sean λ un cardinal infinito y n P ω. Entonces ℵλn  2λ  ℵn . Demostraci´ on. Tomando α  0 en la f´ormula de Hausdorff generalizada y observando que como λ ¥ ℵ0 , ℵλ0  2λ , se obtiene la igualdad deseada. % Veamos algunos ejemplos que utilizan la f´ormula de Bernstein: ℵℵ0 1

 2ℵ ,

ℵℵ1 0

 2ℵ ,

ℵℵ2 1

 2ℵ ,

ℵℵ1 2

 2ℵ ,

 2ℵ  ℵ3,

ℵℵ1 3

 2ℵ ,

ℵℵ3 1

1

1

1

0

2

3

ℵℵ0 2 ℵℵ3 0

 2ℵ ,

ℵℵ2 0

2

 2ℵ  ℵ2, 0

 2ℵ  ℵ3,

ℵℵ0 3

 2ℵ ,

 2ℵ ,

ℵℵ2 3

 2ℵ .

ℵℵ3 2

0

2

3

Corolario 4.14 Si λ y κ son cardinales infinitos tales que λ ° λ tonces κ  µ κ µλ . Demostraci´ on. Como λ   cf pκq, se tiene que λ κ  κλ

¤

 

 

γ κ

Por lo tanto, κλ

λ

 

γ ¤

¸

 

γ κ

 °µ κ µλ.

|γ |λ

¤

¸

p|γ |¤γ  κq γ  κ

κλ

”

3

  cf pκq, en-

λ   γ, por lo que

γ κ

 κ  κλ  κλ . %

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158

4. Cofinalidad

Definici´ on 4.7 (Hausdorff-Kuratowski) Un cardinal κ regular se llama d´ebilmente inaccesible o inaccesible d´ebil.

¡

ω, l´ımite y

No es posible saber desde ZFE si hay cardinales d´ebilmente inaccesibles (v´ease [Ku80]). Si un cardinal κ es inaccesible d´ebil, sabemos por la proposici´on 4.11 que κ ”es un punto fijo del funcional ´alef, es decir ℵκ  κ. Obs´ervese que λ  tℵ0 , ℵℵ0 , ℵℵℵ0 , . . .u es un punto fijo de ℵ, pero no es inaccesible d´ebil, pues cf pλq  ω, por lo que es singular. Definici´ on 4.8 Un cardinal infinito κ es un cardinal fuerte o l´ımite fuerte si y s´ olo si para todo λ   κ, se tiene que 2λ   κ. Proposici´ on 4.13 Todo cardinal fuerte es un cardinal l´ımite. Demostraci´ on. Si κ es fuerte y λ λ   κ y κ es cardinal l´ımite.

  κ, entonces λ ¤ 2λ   κ, por lo que %

Proposici´ on 4.14 Un cardinal infinito κ es fuerte si y s´ olo si

µ, λ   κ, µλ   κ. %

Demostraci´ on. Se deja como ejercicio.

Un ejemplo de un cardinal fuerte es iω (v´ease la definici´on del funcional un n P ω, i en el ejercicio 3.3.4), pues si λ   iω , entonces λ   in para alg´ de donde 2λ ¤ 2in   2in 1   iω . Nuevamente este cardinal no es regular, pues cf piω q  ω. Proposici´ on 4.15 Sean κ y λ cardinales. Si κ es fuerte y λ tonces κλ  κ.

  cf pκq, en-

Demostraci´ on. Dado que λ ¡ 0, entonces κλ ¥ κ. Para verificar la desigualdad contraria, observemos que, como λ   cf pκq, ” λκ  λ ı que γ  κ γ. De aqu´ κλ

¤

 |λκ|  

 

γ κ

 

γ ¤

λ

¸

 

γ κ

|γ |λ 

¸

 

µ κ

µλ

 κ  sup µλ ¤ κ  κ  κ,  

µ κ

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´ n cardinal 4.4. Exponenciacio

159

donde la u ´ltima desigualdad es v´alida, pues si µ   κ y λ   cf pκq entonces µλ   κ, dado que κ es fuerte. Por lo tanto, supµ κ µλ ¤ κ.

¤ κ, %

Definici´ on 4.9 (Sierpinski-Tarski) Un cardinal κ ¡ ω, fuerte y regular se llama fuertemente inaccesible o inaccesible fuerte. Es claro que todo cardinal inaccesible fuerte es inaccesible d´ebil, por lo que nuevamente no podemos demostrar la existencia de cardinales inaccesibles fuertes desde ZFE. Obs´ervese que los cardinales inaccesibles fuertes no pueden ser obtenidos con las operaciones conjuntistas usuales, sucesor, uni´on, reemplazo o potencia, a partir de cardinales menores. Se comportan de manera an´aloga con respecto a los cardinales menores a ellos a como ω se comporta con respecto a los cardinales finitos (recuerde que para la existencia de ω requerimos el axioma de infinito). Proposici´ on 4.16 Sean κ y λ cardinales infinitos. Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones respecto al cardinal κλ en t´erminos de cofinalidad.

¤ κcf pκq ¤ κκ  2κ . ¤ κcf pκq ¤ κλ ¤ 2κ .

(i) Si λ   cf pκq ¤ κ, entonces κ ¤ κλ (ii) Si cf pκq ¤ λ ¤ κ, entonces κ (iii) Si κ ¤ λ, entonces κλ

 2λ .

Demostraci´ on. Las pruebas se siguen de resultados anteriores y se dejan como ejercicio. % A continuaci´on probamos una propiedad importante de la exponenciaci´ on de los cardinales fuertes, para lo cual necesitamos primero de la siguiente definici´on. Definici´ on 4.10 Sean κ y λ cardinales. Definimos el cardinal λ a la menor que κ, denotado λ κ , como: λ κ

 suptλµ | µ   κu.

Obs´ervese que, en particular, λ κ

 λκ .

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4. Cofinalidad

Lema 4.1 Si κ es un cardinal, entonces 2κ Demostraci´ on. Sea κ Entonces tenemos que 2κ

°

2

  p q κi

i cf κ



 p2 κ qcf pκq .

 °i cf pκq κi , donde para toda i   cf pκq,

¹

2κi

  pq Por lo tanto, 2κ  p2 κ qcf pκq .

¹

¤

i cf κ

  pq

2 κ

κi

  κ.

 p2 κ qcf pκq ¤ p2κ qcf pκq  2κ .

i cf κ

%

Obs´ervese que si κ es sucesor, digamos κ que p2 µ qcf pµ q  p2µ qµ  2µ .

µ

, tenemos directamente

 κcf pκq. Demostraci´ on. Como κ   2κ , κcf pκq ¤ p2κ qcf pκq  2κcf pκq  2κ .

Proposici´ on 4.17 Si κ es un cardinal fuerte, entonces 2κ

Para mostrar la desigualdad contraria, como κ es fuerte entonces 2 κ supµ κ 2µ ¤ κ. Finalmente, por el lema 4.1, tenemos que 2κ



 p2 κ qcf pκq ¤ κcf pκq . %

A continuaci´on determinamos el valor del cardinal κλ , para lo cual nos serviremos del siguiente lema. Lema 4.2 Si κ es un cardinal l´ımite y λ ¥ cf pκq, entonces λ

κ





sup µ

 

λ

cf pκq

.

µ κ

°

Demostraci´ on. Sea κ  i cf pκq κi con κi   κ para toda i   cf pκq. Observamos que κλi ¤ supµ κ µλ ¤ κλ . Entonces usando el ejercicio 3.5.10 (p´agina 137) y otros resultados del cap´ıtulo tres: 

κλ



¸

  pq

i cf κ

λ



κi

¤

¹

  pq

i cf κ

λ

κi



¹

  pq

i cf κ

κλi

¤

¹

sup µλ

  i cf pκq

µ κ



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´ n cardinal 4.4. Exponenciacio





sup µ

 

λ

cf pκq

µ κ

161

¤ pκλ qcf pκq  κλ . %

Proposici´ on 4.18 Sean κ y λ cardinales infinitos. El valor del cardinal κλ queda determinado como sigue: (i) si κ ¤ λ, entonces κλ (ii) (iii)

 2λ ; un µ   κ, entonces κλ  µλ ; y si µλ ¥ κ para alg´ si κ ¡ λ y µλ   κ para toda µ   κ, entonces - si cf pκq ¡ λ, entonces κλ  κ, y - si cf pκq ¤ λ, entonces κλ  κcf pκq .

Demostraci´ on. (i) Ya se prob´o en la proposici´on 4.16. La afirmaci´on es v´alida incluso si κ  λ , pues pλ qλ  2λ .

(ii) Supongamos que existe µ   κ tal que µλ

¥ κ. Entonces µλ ¤ κλ ¤ pµλ qλ  µλ .

 µλ . Supongamos que κ ¡ λ y que µλ   κ para toda µ   κ. Si κ es cardinal sucesor, digamos κ  µ , entonces cf pκq  κ ¡ λ y, como µ   µ  κ, µλ   κ  µ . As´ı, usando la f´ormula de Hausdorff

Por lo tanto, κλ (iii)

(teorema 4.4), tenemos que κλ

Por lo tanto, κλ

 κ.

 pµ qλ  µλ  µ  µ  κ.

En el caso en que κ sea un cardinal l´ımite, debemos primero verificar que supµ κ µλ  κ. Pero como para todo µ   κ, µλ   κ, κ es cota superior de donde supµ κ µλ ¤ κ. Por otro lado, es claro que κ  supµ κ µ y como µ ¤ µλ para todo µ   κ entonces se tiene que κ  supµ κ µ ¤ supµ κ µλ . As´ı, supµ κ µλ  κ.

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4. Cofinalidad - Si cf pκq ¡ λ, como toda f : λ Ñ κ es acotada, tenemos que κλ

 ¤

 

 

λ

 

α ¤

α κ

Por lo tanto κλ

¸

 

|α|λ  sup µλ  κ  κ  κ  κ.  

µ κ

α κ

 κ.

- Si cf pκq ¤ λ, como supµ κ µλ κλ



 κ, por el lema 4.2, tenemos que

sup µλ

 

µ κ

cf pκq

 κcf pκq . %

Corolario 4.15 Para cualesquiera κ y λ cardinales infinitos, el valor de κλ un µ tal que cf pµq ¤ λ   µ. es 2λ o κ o µcf pµq , para alg´ Demostraci´ on. Por la proposici´on 4.18, es claro que κλ puede ser 2λ o κ, en cuyo caso tenemos que κλ  2λ  κ y, por lo tanto, κλ   2λ  κ. As´ı que si no suceden los casos anteriores, entonces κλ ¡ 2λ  κ. En este caso sea µ el m´ınimo cardinal tal que µλ  κλ , de donde por la proposici´on 4.18 para µ % y λ, concluimos que µλ  µcf pµq . El funcional guimel est´a definido para los cardinales como ‫ג‬pµq  µcf pµq . As´ı, el corolario anterior muestra que la exponenciaci´on cardinal est´a determinada por el funcional guimel.

4.4.1.

Resultados dependientes de la HGC

La demostraci´on de la proposici´on 4.18 no requiere de la hip´otesis generalizada del continuo, sin embargo, esta hip´otesis permite obtener resultados m´as sencillos como mostramos a continuaci´on. Lema 4.3 (HGC) Sean κ, λ y µ cardinales infinitos. Entonces: (i) κcf pκq

κ

;

(ii) si µ   κ y λ   κ, entonces µλ (iii) si µ   κ, entonces 2µ

¤ κ;

  2κ ;

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´ n cardinal 4.4. Exponenciacio (iv) si 2µ

163

 2κ , entonces µ  κ.

Demostraci´ on. (i) Sabemos que κ   κcf pκq ¤ κκ  2κ HGC κ . Lo cual implica que κ   κcf pκq ¤ κ , de donde necesariamente κcf pκq  κ .

¤ κ y λ ¤ κ. Por lo tanto, µλ ¤ m´axtµ, λum´axtµ,λu HGC pm´axtµ, λuq  m´axtµ

(ii) Sean µ, λ   κ. Entonces µ

,λ

u ¤ κ.

(iii) Sea µ   κ. Entonces 2µ (iv)

HGC µ ¤ κ   2κ . Por lo tanto, 2µ   2κ . Sup´ongase que µ  κ. Entonces µ   κ o κ   µ y en cualquier caso, por el inciso anterior, tenemos que 2µ  2κ . %

Teorema 4.5 (HGC) Sean κ y λ cardinales infinitos. Entonces

κλ

$ κ ' ' ' ' &

si λ   cf pκq ¤ κ,

' κ

si cf pκq ¤ λ ¤ κ,

λ

si cf pκq ¤ κ ¤ λ.

' ' ' %

Demostraci´ on. Analicemos los tres casos: 1. Si λ   cf pκq, entonces, por la proposici´on 4.16, κ ¤ κλ ¤ κcf pκq ¤ 2κ . De aqu´ı que, por la hip´otesis generalizada del continuo y el inciso (i) del lema 4.3, κ ¤ κλ ¤ κ , donde una de estas desigualdades es estricta. Por otra parte, κ ¤ κλ

¤λ   γ

 |λκ|  

 

γ κ

¤

¸

 

γ κ

|γ |λ  κ  sup |γ |λ ¤ κ  κ  κ,  

γ κ

´ltima donde la segunda igualdad es v´alida, pues λ   cf pκq, y la u desigualdad se da porque |γ |   κ y λ   κ implican |γ |λ ¤ κ, por el inciso (ii) del lema 4.3. Por lo tanto, κ es cota superior y entonces supγ  κ |γ |λ ¤ κ.

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4. Cofinalidad

2. Si cf pκq ¤ λ ¤ κ, entonces, por la proposici´on 4.16, tenemos que κ ¤ κcf pκq ¤ κλ ¤ 2κ , de donde, por la hip´otesis generalizada del continuo, κ ¤ κcf pκq ¤ κλ ¤ κ y, por lo tanto, κλ  κ . 3. Si κ ¤ λ, entonces, por la proposici´on 4.16, se tiene que κλ  2λ . Por lo tanto, la hip´otesis generalizada del continuo implica que κλ  λ .

%

Sabemos que si A y B son conjuntos tales que A  B, entonces tambi´en P pAq  P pB q. Sin embargo, el rec´ıproco de esta afirmaci´on no se puede probar en ZFE, dado que se necesitar´ıa demostrar que si κ y λ son cardinales infinitos, entonces 2κ  2λ implica que κ  λ y esto puede probarse s´olo bajo la hip´otesis generalizada del continuo.

Ejercicios 4.4.1.- Demuestre la f´ormula de Hausdorff generalizada: si α es un ordinal, λ es un cardinal infinito y n P ω, entonces ℵλα n  ℵλα  ℵα n . 4.4.2.- Responda las siguientes preguntas, justificando sus respuestas. (i) ¿Es posible que 2ℵ1 (ii) ¿Es posible que (iii) ¿Si 2κ

2ℵ0

 ℵℵ ? 1

sea inaccesible fuerte?

¥ λ, entonces se tiente que λκ  2κ ?

4.4.3.- Sean κ y λ cardinales infinitos. Demuestre lo siguiente.

¤ κcf pκq ¤ κκ  2κ . ¤ κcf pκq ¤ κλ ¤ 2κ .

(i) Si λ   cf pκq ¤ κ, entonces κ ¤ κλ

(ii) Si cf pκq ¤ λ ¤ κ, entonces κ

(iii) Si κ ¤ λ, entonces κλ

 2λ .

4.4.4.- Demuestre que κ es un cardinal fuerte si y s´olo si para cualesquiera λ, µ   κ, se tiene que µλ   κ. 4.4.5.- Demuestre que si κ es un cardinal inaccesible fuerte y λ tonces κλ  κ. 4.4.6.- Demuestre que ℵℵω1

  κ, en-

 ℵℵω  2ℵ 0

1

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´ n cardinal 4.4. Exponenciacio

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4.4.7.- Demuestre que bajo la hip´otesis generalizada del continuo todo cardinal inaccesible d´ebil es inaccesible fuerte. 4.4.8.- Suponiendo la hip´otesis generalizada del continuo, demuestre que si cf pκq ¡ ω, entonces κω  κ o κω  κ . 4.4.9.- Demuestre que κ es inaccesible fuerte si y s´olo si κ ¡ ℵ0 , κ es fuerte ° y λ κ κλ  κ. 4.4.10.- Demuestre que κ es inaccesible d´ebil si y s´olo si κ es regular y ℵκ  κ. 4.4.11.- Demuestre que κ es inaccesible fuerte si y s´olo si κ es regular y iκ  κ. 4.4.12.- Se sabe que si A es un conjunto finito de cardinal n, entonces el n´ umero de funciones biyectivas f : A Ñ A es n! ¿Qu´e sucede si A es infinito de cardinal κ? 4.4.13.- Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes. (a) Si κ   λ, entonces 2κ (b)

  2λ . Si 2κ  2λ , entonces κ  λ.

4.4.14.- Sea κ un cardinal inaccesible. Demuestre lo siguiente. (i) Para todo α   κ, ℵα

  κ.

(ii) ℵκ tambi´en es inaccesible. 4.4.15.- Suponiendo la hip´otesis generalizada del continuo, se tiene que para todo κ cardinal infinito κcf pκq  κ ¿Ser´a cierto el rec´ıproco? 4.4.16.- Considere el siguiente teorema de Silver (1975): Si λ es un cardinal singular tal que cf pλq ¡ ω y para todo cardinal κ   λ, 2κ  κ , entonces 2λ  λ . Argumente entonces por qu´e la hip´otesis generalizada del continuo no puede fallar por primera vez en un cardinal singular de cofinalidad no numerable.

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4. Cofinalidad

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A El lenguaje de la teor´ıa de los conjuntos Una parte esencial en el estudio de cualquier teor´ıa es su lenguaje y en la Teor´ıa de Conjuntos en particular esto es muy importante por ser una teor´ıa tan b´asica y a la vez tan poderosa. Al precisar su lenguaje y, con ´el, las suposiciones iniciales acerca de los conjuntos y la relaci´on de pertenencia, se precisan estos conceptos indefinidos, pues quedan determinados impl´ıcitamente por estas suposiciones iniciales.

A.1.

Definici´ on del lenguaje TC

El lenguaje de la Teor´ıa de Conjuntos (TC) es un lenguaje formal de predicados con igualdad cuyos componentes son: ´ Variables: a, b, c, . . . , w, x, y, z, A, B, C, . . .. Estas denotan conjuntos y existen en una cantidad numerable. S´ımbolos l´ ogicos: • Igualdad:

.

• Negaci´on:

. 167

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A. El lenguaje de la teor´ıa de los conjuntos

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^. Disyunci´ on (o) : _.

• Conjunci´on (y) : •

• Implicaci´ on (si, . . . entonces) : • Equivalencia (si y s´olo si):

Ø.

Ñ.

• Cuantificador universal (para todo): . • Cuantificador existencial (existe): D.

S´ımbolos no l´ ogicos: u ´nicamente un s´ımbolo de predicado de dos argumentos, P, escrito de manera infija, cuyo significado es “ser elemento de” o bien “pertenecer a”. S´ımbolos auxiliares: par´entesis p, q. Con estos s´ımbolos, formamos afirmaciones o f´ormulas, de acuerdo a la siguiente definici´on recursiva: Las f´ormulas simples o at´omicas son s´olo de las formas a Siendo a, b variables cualesquiera. Si ϕ, ψ son f´ormulas, entonces f´ormulas.

ϕ, ϕ ^ ψ, ϕ _ ψ, ϕ

 b, a P b.

Ñ ψ, ϕ Ø ψ son

Si ϕpxq es una f´ormula referente a una variable arbitraria x, entonces xϕpxq y Dxϕpxq son f´ormulas. Las u ´nicas f´ormulas del lenguaje TC son las de las formas descritas en las cl´ ausulas anteriores.

A.2.

Manejo de clases

El concepto ingenuo de conjunto como colecci´on determinada por una propiedad es un concepto equivocado, pues adem´as de llevar a la contradicci´ on conocida como la paradoja de Russell, puede mostrarse que contradice una verdad l´ ogica (para m´as detalles sobre esta afirmaci´on v´ease [Am05]). Si bien es claro que en ZFE s´olo existen los conjuntos, muchas veces surgen de manera natural dentro de la teor´ıa, colecciones o clases tan enormes que no son conjuntos, por ejemplo, la colecci´on de todos los conjuntos, la de

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A.2. Manejo de clases

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todos los ordinales o la de todos los cardinales. Podemos decir que una clase que no es un conjunto, llamada clase propia, no es un objeto de estudio de la teor´ıa de conjuntos puesto que no existe en la Teor´ıa de Conjuntos, ya que existir es sin´onimo de ser un conjunto. Sin embargo, las clases propias se pueden concebir intuitivamente y podemos hablar de ellas como si fueran conjuntos. Para formalizar el uso de estas colecciones en la Teor´ıa de los Conjuntos se puede utilizar una axiomatizaci´on m´as general que ZFE, donde se postule la existencia de clases, como, por ejemplo, la teor´ıa de von Neumann-Bernays-G¨ odel (NBG). Sin embargo, tambi´en es posible hablar de clases dentro de ZFE, aunque ´estas no existan oficialmente. La idea es que dada una f´ormula del lenguaje TC, siempre es posible definir la colecci´on determinada por ella. Por ejemplo, la f´ormula x  x determina a la colecci´ on de todos los conjuntos, es decir al universo V . En general llamaremos clase a una colecci´ on determinada por una f´ormula ϕpxq del lenguaje TC cuya u ´nica variable no cuantificada o libre sea x. Esta observaci´on permite incorporar un mecanismo de definici´on y uso de clases dentro de ZFE de manera que toda afirmaci´on que involucre clases pueda reemplazarse por una expresi´on del lenguaje TC equivalente a la original. Observando que dada una propiedad ϕpxq, los objetos x que cumplen esa propiedad son exactamente los que pertenecen a la clase determinada por esa propiedad, denotamos a dicha clase con la notaci´on tx | ϕpxqu. Una vez que se introduce la notaci´on para clases podemos manipularlas como si fueran conjuntos en diversos casos. Por ejemplo, si definimos A  tx | ϕpxqu y B  tx | ψpxqu, entonces podemos definir operaciones entre clases, an´alogas a las operaciones con conjuntos, como sigue: AYB

 tx | ϕpxq _ ψpxqu A X B  tx | ϕpxq ^ ψ pxqu s  tx | ϕpxqu A A  B  tx | DaDbpx  pa, bq ^ ϕpaq ^ ψ pbqqu Adem´ as podemos definir la relaci´on de pertenencia de un conjunto a una clase, as´ı como las relaciones de inclusi´on e igualdad entre clases como: a P A def ϕpaq

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A. El lenguaje de la teor´ıa de los conjuntos

170 A„B

def xpϕpxq Ñ ψpxqq A  B def xpϕpxq Ø ψ pxqq Obs´ervese que todo conjunto es una clase pues si a es un conjunto definido por la f´ormula ϕpxq, entonces se cumple la igualdad a  tx | ϕpxqu. Es decir, el conjunto a es la clase definida por la f´ormula ϕpxq. Pero no toda clase es un conjunto, por ejemplo, la clase de todos los conjuntos V  tx | x  xu, o la clase tx | x R xu, que al suponer que son conjuntos nos llevan a la conocida paradoja de Russell, mencionada al principio de esta secci´on. M´as a´ un, la definici´on de pertenencia s´olo tiene sentido entre un conjunto a y una clase A la cual podr´ıa ser propia o no. No es posible definir la relaci´on de pertenencia entre dos clases propias. Finalmente observamos que, como los pares ordenados son conjuntos, existen algunas clases cuyos elementos pueden ser pares ordenados exclusivamente, a las cuales se les llama clases relacionales o simplemente relacionales. Es decir, una clase R es una relacional si y s´olo si R „ V  V . M´as a´ un, una clase F es una funcional si y s´olo si es una relacional que se comporta como una funci´ on. Es decir, F es una funcional si y s´olo si F es una relacional y 

xyz px, yq P F ^ px, zq P F Ñ y  z y, en tal caso, denotamos con F pxq al u ´nico valor y tal que px, y q P F .

Para un tratamiento m´as profundo acerca de clases dentro de ZFE sugerimos consultar [VRM00].

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“lc2masterbis” — 2011/1/28 — 11:49 — page 171 — #183 i

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B Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con elecci´on El concepto correcto de conjunto se adquiere al establecer algunas de las propiedades esenciales de los conjuntos y algunos de los procesos mentales con los que construimos conjuntos. Estos ser´an los supuestos iniciales o axiomas de la teor´ıa. En este ap´endice hemos hecho una descripci´on detallada de los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos Zermelo-Fraenkel con el axioma de elecci´ on (denotada como ZFE), as´ı como de su significado intuitivo respecto a la interpretaci´on usual del concepto iterativo de conjunto en la llamada jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados, vista en el cap´ıtulo 3.

B.1.

Axioma del conjunto vac´ıo “Hay un conjunto sin elementos.”

Dx y py R xq. 171 i

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“lc2masterbis” — 2011/1/28 — 11:49 — page 172 — #184 i

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´n B. Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con eleccio

172

Enunciado original en alem´ an: Es gibt eine Menge ohne Elemente. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: el conjunto ∅ est´a construido en el segundo estrato de la Jerarqu´ıa sin urelementos: es la u ´nica colecci´ on posible de urelementos pues no hay urelementos. Observaciones: este axioma es constructivo en el sentido de que afirma la existencia de un conjunto defini´endolo.

B.2.

Axioma de extensionalidad

“Dos conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales.”

xy zpz P x Ø z P yq Ñ x  y



.

Enunciado original en alem´ an: Zwei Mengen, die die selben Elemente haben sind gleich. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: La justificaci´on de este axioma es previa a la jerarqu´ıa acumulativa, pues independientemente de c´ omo est´e formado un conjunto, sus elementos lo determinan un´ıvocamente. Este axioma es de tipo especificativo. Observaciones: para cualesquiera x y y, el inverso del axioma de extensionalidad es una verdad l´ogica; una consecuencia inmediata de este axioma es que implica que todos los individuos (urelementos) son iguales, puesto que si a y b son individuos, entonces se cumple el antecedente del axioma y podemos concluir que a  b. Otra implicaci´on de este axioma es que el conjunto vac´ıo es u ´nico y puede denotarse sin ambig¨ uedades como ∅.

B.3.

Axioma del par

“Para cualesquiera conjuntos x, y, hay un conjunto z cuyos elementos son exactamente x y y.”

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´n B.4. Axioma de unio

xyDzw

173

w



P z Ø pw  x _ w  yq .

Este conjunto z nuevamente es u ´nico por extensionalidad y se denota usualmente como tx, y u. Enunciado original en alem´ an: F¨ ur alle Mengen x und y existiert eine Menge z, die genau x und y als Elemente hat. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: sean Ex y Ey los estratos en los que han sido construidos x y y, respectivamente. Entonces tx, y u puede construirse en cualquier estrato posterior a Ex y a Ey . Observaciones: El axioma del par implica que no hay un u ´ltimo estrato en la jerarqu´ıa; en el caso en que x  y el par tx, xu se escribe simplemente txu y se conoce como el unitario de x.

B.4.

Axioma de uni´ on

“Para cualquier conjunto x existe un conjunto y, que tiene como elementos exactamente a los elementos de los elementos de x.”

xDyz z P y Ø Dwpw P x ^ z P wq ”



.

Tal conjunto y es u ´nico y se conoce como la uni´on de x, denotado como x. Enunciado original en alem´ an: F¨ ur jede Menge x existiert eine Menge y, die genau die Elemente der Elemente von x als Elemente hat. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: puesto que los elementos de los elementos de x han sido construidos en estratos anteriores al de x, ” entonces x puede construirse en el mismo estrato que x, o inclusive en el estrato anterior.

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´n B. Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con eleccio

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”

Observaciones: Puesto que x P ta, bu Ø x P a _ x P b, podemos ” un de definir a Y b como ta, bu. De manera que la operaci´on com´ uni´on de dos conjuntos est´a plenamente justificada por los axiomas de uni´on y par.

B.5.

Axioma del conjunto potencia

“Para cualquier conjunto x existe un conjunto y, cuyos elementos son exactamente los subconjuntos de x.” 

xDyz z P y Ø wpw P z Ñ w P xq . El conjunto y se llama el conjunto potencia de x, es u ´nico por extensionalidad y se le denota como P pxq. Este axioma es constructivo. Enunciado original en alem´ an: F¨ ur jede Menge x existiert eine Menge y, deren Elemente genau die Teilmengen von x sind. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: todo subconjunto de x aparece en el mismo estrato que x, as´ı que P pxq puede construirse en el estrato siguiente. Observaciones: La noci´on de subconjunto x „ y puede definirse como wpw P x Ñ w P yq de manera que el enunciado del axioma de potencia puede simplificarse como xDy z z P y Ø z „ x .

B.6.

Esquema de comprensi´ on o separaci´ on

“Para cualquiera propiedad ϕ y cualquier conjunto x existe un conjunto y cuyos elementos son exactamente los z que son elementos de x y que cumplen ϕ”

xDyz z P y Ø z P x ^ ϕpzq



.

Este esquema es constructivo y postula un axioma para cada f´ ormula ϕ del lenguaje de ZFE, es decir, se postula un n´ umero infinito numerable de

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B.7. Axioma de infinito

axiomas. El conjunto y cuya existencia se postula y que para cada x y ϕ es u ´nico por extensionalidad, se representa por: y

 tz | z P x ^ ϕpzqu

o y

 tz P x | ϕpzqu.

Enunciado original en alem´ an: F¨ ur jede Eigenschaft ϕ und jede Menge x existiert eine Menge y, die genau die z als Elemente hat, die Elemente von x sind und f¨ ur die ϕ zutrifft. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: para justificar la verdad de este axioma n´otese que todos los elementos de la colecci´on y han sido construidos en estratos anteriores al estrato en el que x fue construido (simplemente porque todos ellos son elementos de x), por tanto, y puede construirse en el mismo estrato en el que x se construya. Observaciones: El conjunto determinado por comprensi´on a partir de x y de ϕpz q es un subconjunto de x, es decir,

tz | z P x ^ ϕpxqu „ x. Esta observaci´ on justifica el nombre de separaci´on.

B.7.

Axioma de infinito

“Existe un conjunto x que tiene al conjunto vac´ıo como elemento y que para cada uno de sus elementos y, tiene como elemento al conjunto cuyos elementos son exactamente y y los elementos de y.”

Dx ∅ P x ^ ypy P x Ñ y Y tyu P xq



o bien

Dx






Dvpv P x ^ wpw R vqq ^  y y P x Ñ Dz z P x ^ wpw P z Ø w P y _ w  y .

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´n B. Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con eleccio

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Enunciado original en alem´ an: Es existiert eine Menge x, die die leere Menge als Element enth¨alt, und die mit jedem ihrer Elemente y auch diejenige Menge z als Element enth¨alt, deren Elemente genau y und die Elemente von y sind. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: Sean E0 el estrato en el que ∅ ha sido construido, E1 el estrato en el que t∅u ha sido construido, E2 el estrato en el que t∅, t∅uu ha sido construido, etc. Si W es un estrato posterior a todos los En , entonces en W puede construirse un conjunto satisfaciendo el axioma de infinito. Observaciones: Este axioma es constructivo y afirma que hay un conjunto que tiene como elementos a los conjuntos ∅, t∅u, t∅,t∅uu, t∅, t∅u, t∅, t∅uuu, . . . de manera que estamos construyendo un conjunto inductivo, el cual es claramente infinito.

B.8.

Esquema de reemplazo o sustituci´ on

“La imagen de un conjunto bajo una relaci´ on funcional ϕ es un conjunto.” M´as precisamente, si ϕ es una f´ormula con dos variables libres x y y que define una relaci´on funcional (total o parcial) en el universo de los conjuntos,  es decir tal que: xy z ϕpx, y q ^ ϕpx, z q Ñ y  z y si u es un conjunto cualquiera, entonces la colecci´on imagen de los elementos de u bajo ϕ es un conjunto. Formalmente, sea ϕ una f´ormula del lenguaje de ZFE que tiene a x y y como variables libres. Entonces el siguiente enunciado es un axioma: 

xyz ϕpx, yq^ ϕpx, zq Ñ y  z Ñ uDvz z P v Ø Dx x P u ^ ϕpx, zq



.

Enunciado original en alem´ an: Das Bild einer Menge unter einer funktionalen Eigenschaft ϕ ist eine Menge. Historia: fue propuesto por A. Fraenkel en 1922.

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´n B.9. Axioma de regularidad o buena fundacio

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Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: Dados ϕ y u, as´ociese a cada ´nico z que satisx en u tal que Dzϕpx, z q el estrato Ex en el cual el u face ϕpx, z q ha sido construido (es posible que hubiera elementos de u que no queden asociados con estrato alguno). Entonces v puede ser construido en cualquier estrato posterior a todos los Ex , de tal modo que los elementos de v sean exactamente todos los z que satisfacieron un x en u. ϕpx, z q para alg´ Observaciones: Dado ϕ y u, el conjunto cuya existencia se postula se representa por v  tz | Dx x P u ^ ϕpx, z q u. En contraste con el esquema de separaci´on, n´otese que el esquema de reemplazo puede llevarnos fuera del conjunto u al formar el conjunto v, es decir, los elementos de v no son necesariamente elementos de u.

B.9.

Axioma de regularidad o buena fundaci´ on

“Todo conjunto no vac´ıo x tiene un elemento y tal que ning´ un elemento de y es un elemento de x.”


x Dzpz P xq Ñ Dy y P x ^ wpw P y Ñ w R xq



.

Es decir, todo conjunto no vac´ıo x tiene un elemento y tal que x X y  ∅. Otro modo de decirlo es que todo conjunto no vac´ıo x tiene un elemento minimal respecto a la relaci´on de pertenencia P restringida al conjunto x. Enunciado original en alem´ an: Jede nichtleere Menge x hat ein Element y derart, daß kein Element von y ein Element von x ist. Historia: fue propuesto por Dimitry Mirimanoff en 1917. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: Sean x un conjunto no vac´ıo y y un elemento de x construido en un estrato lo m´as abajo posible de y. Entonces y es un testigo de la verdad del axioma de regularidad ya que si z es un elemento de y, entonces z ha sido construido en un estrato anterior al estrato en el que y ha sido construido, por consiguiente z no puede ser un elemento de x, pues y fue elegido de tal manera que todo elemento de x ha sido construido en un estrato igual o posterior al estrato en el que y se construy´o.

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´n B. Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con eleccio

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Observaciones: Este axioma afirma que P es una relacional bien fundada sobre el universo V , es decir, prohibe la existencia de cadenas circulares de conjuntos tales como x P y P z P x, as´ı como la existencia de cadenas infinitas descendentes de conjuntos como . . . x3 P x2 P x1 P x0 . Este axioma es claramente especificativo, pues no nos proporciona nuevos conjuntos sino que especifica que todos cumplen con ser bien fundados. En realidad es un axioma restrictivo, pues aceptarlo es equivalente a aceptar que la jerarqu´ıa de los conjuntos bien fundados es todo el universo de los conjuntos, es decir que V  BF.

B.10.

Axioma de elecci´ on

“Si x es un conjunto no vac´ıo de conjuntos no vac´ıos y ajenos dos a dos, entonces existe un conjunto y que tiene exactamente un elemento en com´ un con cada elemento de x.”

x Dypy P xq ^ ypy P x Ñ Dzpz P yqq ^ yzpy P x ^ z P x ^ y  z Ñ upu P y Ñ u R zqq  Ñ Dyzpz P x Ñ Dupu P y ^ u P z ^ wpw P y ^ w P z Ñ w  uqqq o bien


a

a∅



^ ∅ R a ^ xypx P a ^ y P a ^ x  y Ñ x X y  ∅q Ñ

Dc w w P a Ñ Dzpw X c  tzuq



^ u u P c Ñ Dvpv P a ^ u P vq



.

Al conjunto c le llamamos un conjunto de elecci´on para a. Una versi´on equivalente al axioma de elecci´on es la afirmaci´on: para todo conjunto no vac´ıo de conjuntos no vac´ıos, existe una funci´ on de elecci´ on que elige un elemento de cada uno de los conjuntos no vac´ıos. Con m´as precisi´on: para todo conjunto no vac´ıo b de conjuntos no vac´ıos existe una ” funci´ on f ,tal que f : b Ñ b y tal que para todo x P b, f pxq P x.

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´ rico B.11. Comentario histo

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Enunciado original en alem´ an: Ist x eine nichtleere Menge nichtleerer und paarweise elementfremder Mengen, so existiert eine Menge y, die mit jedem Element von x genau ein Element gemeinsam hat. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: La verdad de este axioma en la jerarqu´ıa de los conjuntos bien fundados queda justificada as´ı: sea a un conjunto de conjuntos no vac´ıos y ajenos dos a dos. Entonces los elementos de los elementos de a est´an construidos a lo m´as en el estrato que est´a dos niveles antes del estrato donde est´a construido a. Entonces en el estrato inmediato anterior al de a, donde se construyeron todos sus elementos, se puede construir cualquier colecci´on formada por elementos de elementos de a, en particular se puede construir una colecci´ on c que tenga exactamente un elemento de cada uno de los elementos de a. Esto es posible porque cada elemento de a tiene al menos un elemento ya que ∅ R a, los elementos elegidos son distintos para elementos distintos de a, pues los elementos distintos de a son ajenos, y finalmente porque se pueden formar todas las colecciones posibles de elementos de elementos de a. Observaciones: El axioma de elecci´on es una afirmaci´on muy especial del lenguaje de la Teor´ıa de Conjuntos, pues afirma la existencia de un conjunto para el cual no se da una definici´on, por esa raz´on la caracterizaci´on de tal conjunto con el lenguaje es m´as complicada y es s´olo una caracterizaci´on, pues no es u ´nico el conjunto cuya existencia se postula. Es importante comentar que hay muchos enunciados equivalentes al axioma de elecci´on.

B.11.

Comentario hist´ orico

La axiomatizaci´on conocida como Z est´a constituida por los axiomas B1 a B7 y fue propuesta por Ernst Zermelo en 1908. Es importante precisar que Zermelo incluy´ o al axioma de elecci´on en su formulaci´ on original (en la versi´on de una funci´ on de elecci´on), ya que su objetivo era demostrar el teorema del buen orden: para todo conjunto existe un buen orden, que es uno de los muchos equivalentes del axioma de elecci´on, sin embargo, actualmente tal axioma se considera aparte de Z y de ZF.

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´n B. Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con eleccio

En 1922 A. Fraenkel propuso el esquema de reemplazo, mientras que Dimitry Mirimanoff propuso en 1917 el axioma de regularidad. La axiomatizaci´on conocida como ZF (Zermelo-Fraenkel) est´a constituida por los axiomas B1 a B9 y fue presentada en su formulaci´on actual por Von Neuman. A la axiom´atica ZF junto con el axioma de elecci´on, se le conoce como ZFC (por choice, en ingl´es) o como ZFE (por elecci´ on, en espa˜ nol).

B.12.

Comentario sobre la independencia de los axiomas

La axiomatizaci´on completa ZFE est´a constituida por los axiomas B1 a B10, sin embargo, los axiomas B2. Vac´ıo, B3. Par, y el esquema B6. Comprensi´on, realmente se pueden probar (son dependientes) del resto de los axiomas del siguiente modo: 1. B6. Comprensi´on

ñ B1. Vac´ıo.

2. B1. Vac´ıo y B5. Potencia y B8. Reemplazo 3. B8. Reemplazo

ñ B3. Par.

ñ B6. Comprensi´on.

As´ı pues, los axiomas independientes de ZFE son s´olo seis axiomas y un esquema: B2. Extensionalidad (especificativo), B4. Uni´ on (constructivo), B5. Potencia (constructivo), B7. Infinito (constructivo), B8. Reemplazo (constructivo), esquema de axiomas, B9. Regularidad (especificativo), B10. Elecci´ on (existencial).

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Bibliograf´ıa [Am05]

J.A. Amor Monta˜ no, Teor´ıa de conjuntos para estudiantes de ciencias, Segunda edici´on, Coordinaci´on de Servicios Editoriales, Facultad de Ciencias UNAM, 2005

[Am89]

J.A. Amor Monta˜ no, La Hip´ otesis Generalizada del Continuo (HGC) y su relaci´ on con el Axioma de Elecci´ on (AE), Cr´ıtica Revista Hispanoamericana de Filosof´ıa, Vol. XXI No. 62, 1989, 55-66

[Ac88]

P. Aczel, Non-well-founded sets, Center for the study of language and information, 1988

[BePi63]

R. A. Beaumont, R. S. Pierce, The Algebraic Foundations of Mathematics, Addison-Wesley Publishing Company Inc., 1963

[De94]

K. Devlin, The Joy of Sets, Springer, 1994

[En77]

H.B. Enderton, Elements of Set Theory, Academic Press, 1977

[HrJe84]

K. Hrbacek, T. Jech, Introduction to Set Theory, Third Edition, Marcel Dekker Inc., 1999

[Ka96]

A. Kanamori. The Mathematical Development of Set Theory from Cantor to Cohen. Bulletin of Symbolic Logic Vol. 2 No. 1, 1996, 1-71.

[Ku80]

K. Kunen, Set Theory, an introduction to independence proofs, North Holland, 1980

[VRM00]

L.M. Villegas Silva, D. Rojas Rebolledo, F.E. Miranda Perea. Conjuntos y Modelos. Curso Avanzado. UAM Iztapalapa 2000.

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Bibliograf´ıa

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´Indice de S´ımbolos

Ac , 68

ω1 , 74

 Z , 13  Q , 19  R , 33

BF, 87 BFα , 87

‘

cam, 2 CAR, 105 OR, 60 cf pβ q, 143 CT pAq, 91

P Ai , 128

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Q, 19 R, 32

r
1 , 44 æ, 7 ρpxq, 90

¨, 73, 106  , 73

spxq, 61 Z , 13 N , 10 Q , 20 R , 40 sup, 37

dom, 2

Z, 12 im, 2 , 2 λ , 109

η, 19 λ, 34

Æ, 3 Z , 14 N , 11 Q , 20 R , 40

Xar , 72

ω, 4 ωα , 81 ω, 4 183 i

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´Indice de S´ımbolos

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´Indice

arquimediano, 42 automorfismo, 68 Axioma de Reemplazo, 68 de Buena Fundaci´on, 89, 91 de Elecci´on, 93 de Infinito, 7

bien ordenado, 6 con orden reflexivo, 5 con orden total relfexivo, 5 inductivo, 8 linealmente ordenado, 2 parcialmente ordenado, 2 totalmente ordenado, 2 compleci´on de, 45 sin extremo derecho, 6 sin extremo izquierdo, 6 sin extremos, 6 transitivo, 7, 54 conjunto potencia, 28 cortadura, 30 de Dedekind, 32 cota inferior, 6 superior, 6

buen orden, 6 inducido, 96 Teorema del, 94 cadena, 94 cardinal, 105 del continuo, 154 innaccesible d´ebil, 158 innaccesible fuerte, 159 l´ımite, 113 sucesor, 109, 113 cardinalidad, 27 cerradura transitiva, 91 clase, 169 propia, 169 cofinal, 141 cofinalidad, 143 completo, 35 confinal, 140 conjunto bien fundado, 87

denso, 7 en un orden total, 35 dominado por, 73, 106 enteros, 12 negativos, 13 positivos, 13 equipotencia, 27 estrato, 87 exponenciaci´on 185

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´Indice

186 cardinal, 120 finito, 54 funcional, 68, 75, 170 del universo, 76 beth, 116 continuo, 113 mon´otono, 113 normal, 113 F´ormula de Bernstein, 157 F´ormula de Hausdorff, 155 generalizada, 156 guimel, 162 Hartog n´ umero de, 109 Hip´otesis del continuo, 119, 139 Hip´otesis Generalizada del continuo, 119 idempotencia, 120 ´ınfimo, 6 isomorfismo, 2 parcial, 25 multiplicaci´on en los enteros, 14 en los naturales, 11 en los racionales, 20 en los reales, 40 cardinal, 120 m´aximo, 6 m´ınimo, 6 natural producto, 11 suma, 10

numerable, 21 n´ umero natural, 7 ordinal, 56 orden buen, 6 parcial, 2 total, 2 ordinal, 56 exponenciaci´on, 83 inicial, 73, 81, 105 l´ımite, 61 potencia, 83 producto, 83 regular, 148 singular, 148 sucesor, 61 suma, 82 Paradoja de Russell, 84 Principio de Inducci´on Transfinita, 64 de Inducci´on Ordinal, 64 del M´ınimo Ordinal, 60 punto fijo, 113 racionales, 19 rango, 90 reales, 32 relacional, 170 relaci´on antirreflexiva, 2 antisim´etrica, 5 campo de, 2 dominio de, 2 imagen de, 2

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´Indice reflexiva, 5 transitiva, 2 tricot´omica, 2 restricci´on de una relaci´on, 7

187 valor absoluto, 15 von Neumann, 7, 53, 54 Zorn Lema de, 94

segmento inicial determinado por, 68 segmento inicial de Q, 31 separable, 35 subconjunto acotado, 6 acotado inferiormente, 6 acotado superiormente, 6 sucesor, 8 suma en los enteros, 13 en los racionales, 20 en los reales, 40 cardinal, 120 supremo, 6 Teorema de Recursi´ on para naturales, 8 de Recursi´ on Transfinita, 78, 79 de Cantor-Schr¨oder-Bernstein, 106 de Enumeraci´on, 70 de Hartog, 108 de Recursi´ on Transfinita, 76 del Buen Orden, 94 tipo de orden, 2, 70 producto, 46 suma, 46 unitario, 173

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